Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А.
Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб,
пособие.— 2-е изд., перераб.—М.: Высш, шк., 1989.—
383 с.: ил.
ISBN 5-06-000557-7
В пособии приводятся краткие теоретические сведения и решения типовых
задач по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Имеются также
задачи для самостоятельного решения. Материал пособия позволяет вырабо-
тать практические навыки в решении и исследовании дифференциальных урав-
нений, описывающих эволюционные процессы в различных областях естество-
знания. Первое издание вышло в 1984 г, в издательстве «Вища школа».,.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие посвящено методам решения и качественного иссле-
дования задач из курса обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Цель книги — помочь студентам в формировании их
математического мышления, в выработке практических навы-
ков решения и исследования дифференциальных уравнений,
описывающих эволюционные процессы в различных областях
естествознания.
В пособии должное внимание уделено изложению методов
решения типовых задач теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений и их приложений; подбору и решению задач,
разъясняющих основные идеи, понятия, теоретические факты
и их практическое применение; подбору большого числа задач
для самостоятельного решения студентами.
Содержание пособия полностью охватывает программу по
курсу обыкновенных дифференциальных уравнений для универ-
ситетов I! педагогических институтов, а также для технических
вузов с углубленным изучением математики.
Первое издание пособия вышло в 1984 г. в Киеве в изда-
тельстве «Вища школа». Настоящее издание существенно сокра-
щено, некоторые параграфы переработаны.
Авторы выражают благодарность рецензенту профессору
А. Ф. Филиппову за полезные замечания и советы, способство-
вавшие улучшению настоящего издания, а также рецензентам
первого издания доцентам А. И. Зинченко и Ю. А. Клиху.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
При изучении явлений природы, решении многих задач
физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда
удается непосредственно установить прямую зависимость между
величинами, описывающими тот или иной эволюционный про-
цесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь
между величинами (функциями) и скоростями их изменения
относительно других (независимых) переменных величин, т. е.
найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под
знак производной. Эти уравнения называют дифференциаль-
ными.
Простейшим примером дифференциального уравнения яв-
ляется уравнение
где f(x) — известная, а у=у(х)— искомая функции независи-
мого переменного х. Решения этого уравнения называют перво-
образными функциями для функции f (х). Например, решениями
дифференциального уравнения = 1 sin 2х являются функ-
ции у — х—cos 2хф-С, где С—произвольная постоянная,
причем других решений это уравнение не имеет.
Характерное свойство дифференциальных уравнений — иметь
бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный
выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное урав-
нение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя
одновременно найти зависимость между величинами, характе-
ризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного
множества зависимостей ту, которая описывает именно этот
процесс, надо иметь дополнительную информацию, например
знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного
условия задача недоопределена и аналогична такой: «Автомо-
биль движется по прямолинейному шоссе в направлении к го-
роду А с постоянной скоростью v0. Через какое время он при-
едет в город А?». Обозначив путь, пройденный автомобилем за
время t от начала наблюдения, через s = s(Z), получим закон
ds
движения автомобиля: ^- = у0.
Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, необ-
ходимо знать начальное положение автомобиля, т. е. на каком
расстоянии от города А находится автомобиль в начальный
момент.
4
Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к диф-
ференциальным уравнениям.
Задача 1. В благоприятных для размножения условиях
находится некоторое количество Af0 бактерий. Из эксперимента
известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна
их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий с тече-
нием времени.
Решение. Обозначим через N (t) количество размножаю-
щихся бактерий в момент времени I: ЛДО) = .Уо. Отвлекаясь
от того, что численность может измеряться только целыми
числами, считаем, что N (/) изменяется во времени непрерывно
дифференцируемо. Тогда скорость размножения есть производ-
ная от функции N (t); поэтому указанный в условии задачи
биологический экспериментальный закон позволяет составить
дифференциальное уравнение размножения бактерий:
d-^ = kN(t), k>Q.	(1)
Коэффициент k зависит от вида бактерий и условий, в кото-
рых они находятся. Его можно определить экспериментально.
Задача свелась к чисто математической задаче: найти реше-
ние N — N(t) уравнения (1), для которого N(0) = No.
Поскольку АД/) > О, разделив обе части уравнения (1) на
N (/), получим (In N (t)) = k. Отсюда
In У (0 = ^/ + Съ	(2)
где С,— произвольная постоянная; обозначим ее так: Cj = ln С,
С > 0. Из (2) имеем
N(f) = Cekt.	(3)
Чтобы из множества функций (3) выделить ту, которая
описывает процесс размножения бактерий, воспользуемся усло-
вием N(Q) = N0, откуда Na = C. Окончательно получим
#(0 = ^^,	(4)
т. е. численность бактерий возрастает по показательному закону.
Дифференциальное уравнение
рассмотренное в предыдущей задаче, описывает разнообразные
процессы и зависимости между величинами, в которых искомая
функция у = у (х) может быть не только положительной. Прежде
чем перейти к рассмотрению еще нескольких задач, приводящих
к уравнению (5), разработаем теорию этого уравнения, считая,
что k—фиксированное действительное число.
Решениями уравнения (5) являются те и только те функции
у = у(х), производная которых в каждой точке отличается от
значения функции в этой точке лишь множителем k.
5
Вспомнив правила дифференцирования и таблицу произвол-,
ных для простейших функций, нетрудно найти некоторые реше-
ния этого уравнения. Ими являются все функции вида у = Секх,
где С—произвольное число.
Никаких других решений уравнение (5) не имеет. Докажем
это. Пусть у = <р (х) — некоторое решение уравнения (5). Рассмот-
рим функцию Ф(х) = ф(х) е~кх. Ее производная
Т=т'’*'-МФ-в=<*(^-йи).
Поскольку функция ф(х), по предположению, является
решением уравнения (5), выражение в скобках при всех х равно
ЙФ „
нулю, т. е. es 0.
Следовательно, Ф(х) —постоянная функция: Ф(л-) = С (С С R).
Из равенства (р(х)е~кх = С получаем, что ф(л') = СеЙЛ. Таким
образом, формула
у = Секх (С € R)	(6)
дает все решения уравнения (5). Множество этих решений обла-
дает одним замечательным свойством: графики функций у = Секх
со всевозможными числовыми значениями множителя С покры-
вают всю плоскость, причем через каждую точку плоскости
проходит график единственной такой функции. Среди функ-
ций (6) найдем все те, графики которых проходят через точку
(х0; у0). Для определения С получим уравнение у0 = Секх°, кото-
рое имеет единственное решение С = е~кх«у0. Значит, среди
функций (6) имеется в точности одна, график которой проходит
через точку (х0; у0): у = уоек<х~х°>.
Вся плоскость «соткана» из графиков решений уравнения (5),
причем никакие два из этих графиков не пересекаются.
Задача 2. Известно, что чем выше над уровнем моря, тем
воздух разреженнее — атмосферное давление с высотой умень-
шается. Определить зависимость р = p(h) давления р от вы-
соты h.
Решение. Напомним, что за величину атмосферного дав-
ления принимаем вес вертикального столба воздуха с площадью
сечения s = l см2. Проведем мысленно два горизонтальных
сечения этого столба воздуха на высотах h и /гЦ-Д/г. Разность
давления на указанных высотах p(h)—p(h-±-&h) =— &p(h)
численно равна весу столбика воздуха между двумя сече-
ниями: —Др (h) = k-tng, где Дт—масса этого воздуха; g—уско-
рение свободного падения. Объем До столбика равен Ду = 8-ДЛ=
= ДЛ, поэтому если средняя плотность воздуха в столбике
равна рс₽, то Д/и = рсрД/г, откуда —Др (/г) =£рсрД/г и =
= SPcp-
Обозначим плотность воздуха на высоте h через р(/г). Тогда
при ДА, стремящемся к нулю, средняя плотность рср стремится
6
к р(Л) и, переходя к пределу в последнем соотношении при
АЛ—^0, получаем дифференциальное уравнение
Ж = -№(*),	'	(?)
в котором функция р(Л) также неизвестна.
Предположим, что температура воздуха одна и та же во всех
слоях атмосферы. Тогда из закона Бойля—Мариотта или из
уравнения газового состояния легко вывести, что давление
пропорционально плотности:
р(Л) = Лр(Л).	(8)
Имеем pV--=RT, откуда р =	~ , где Л = ^;р(Л) =
= -у> R—универсальная газовая постоянная; М—молярная
масса газа.
Из равенств (7) и (8) получаем дифференциальное уравнение
^ = _ Ln
dh b P’
совпадающее с уравнением (5). Согласно (6), решениями урав-
_Xft
нения (9) являются функции р--Се b (С R).
Если над уровнем моря (при Л = 0) атмосферное давление
равно р0, то С = /?(|; закон изменения атмосферного давления
в зависимости от высоты над уровнем моря имеет вид
р(Л) = /?ое
Итак, давление убывает с высотой по показательному закону
в соответствии с полученной так называемой барометрической
формулой. Формула (10) на больших высотах (сравнимых по
величине с радиусом Земли) дает большую погрешность. Это
связано с тем, что пренебрегаем не только изменением темпе-
ратуры с высотой, но и изменением ускорения свободного па-
дения.
Задача 3. В резервуаре имеется а кг водного раствора соли,
в котором содержится b кг соли. В определенный момент
включается устройство, непрерывно подающее в резервуар с кг
чистой воды в секунду и одновременно удаляющее из него
ежесекундно с кг раствора. При этом в самом резервуаре
жидкость непрерывно перемешивается. Как изменяется со вре-
менем количество соли в резервуаре?
Решение. Момент начала процесса примем за начало
отсчета времени t. Пусть y(t) — искомая функция, выражающая
в каждый момент t количество соли в резервуаре. В силу
условия задачи и соглашения об отсчете времени, у (0) = Ь.
Это пока единственное значение искомой функции, которое
известно.
7
Основная трудность задачи состоит в том, что концентрация
раствора непрерывно меняется. Однако применив надлежащую
методику решения, можно извлечь пользу из этого «непрерыв-
ного» изменения, обратив эту кажущуюся поначалу главную
трудность в решающее средство для достижения цели. Что
произойдет в резервуаре за малый промежуток времени [/, /-f-A/J,
где t—некоторый фиксированный момент времени? В начале
этого промежутка в резервуаре имеется y(t) кг соли, а в конце
y(t-\-&t) кг. Разность y(t)—yfj-^-At)—это количество соли,
которое вытекло с раствором за время АЛ Так как концентра-
ция раствора в течение рассматриваемого промежутка времени
убывала от до KEiAll, то .с.Д/^^(/)—y(t-\- А/)<^
причем неравенства являются строгими, если
с 0 и Ь^О.
Разделив это неравенство на А/, получим
f У(<+Д0—у(0 \ <у(/)	/цч
Исходя из характера рассматриваемого процесса, можем
сделать вывод, что искомая функция y(t) непрерывна. В этом
случае lim y(t-\- At) = y(t). Тогда из (11) получаем
Д/ч-О
Jim	(/)
л^о А*	«у v ’
Искомая функция у (/) в каждой точке t имеет производную:
°а‘М-	О2»
Функция y(t) удовлетворяет уравнению (12). Это уравнение
совпадает с уравнением (5), поэтому с учетом формулы (6) и
условия i/(0) = Ь искомая функция, описывающая изменение
t
во времени количества соли в резервуаре, имеет вид у = Ье а .
В различных областях человеческой деятельности возникает
большое число задач, решение которых сходно с решением
рассмотренных выше. О таких задачах говорят, что они сво-
дятся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач
и методику их решения можно схематически описать примерно
так. Происходит некоторый процесс, например физический,
химический, биологический. Нас интересует определенная функ-
циональная характеристика этого процесса, например закон
изменения со временем температуры или давления, массы,
положения в пространстве. Если имеется достаточно полная
информация о течении этого процесса, то можно попытаться
построить его математическую модель. Во многих случаях
такой моделью служит дифференциальное уравнение, одним из
решений которого является искомая функциональная характе-
ристика процесса. Дифференциальное уравнение моделирует
8
процесс в том смысле, что оно описывает эволюцию процесса,
характер происходящих с материальной системой изменений,
возможные варианты этих изменений в зависимости от первона-
чального состояния системы.
Например, уравнение (12) с его бесчисленным множеством
решений показывает, что процесс «опреснения» раствора в резер-
вуаре происходит по экспоненциальному закону независимо
от первоначальной концентрации этого раствора. При задан-
ной начальной концентрации процесс протекает однозначно
и его характеризует определенное решение этого уравнения.
Первый этап решения задачи заканчивается составлением диф-
ференциального уравнения для искомой функции у(/). С этого
этапа задача переведена на язык математики. Перейдем ко вто-
рому этапу. Рассмотрим математическую задачу «в чистом
виде»: решить данное дифференциальное уравнение, найти все
его решения или только те, для которых выполняются опреде-
ленные дополнительные условия. Эту задачу будем решать на
основе теории дифференциальных уравнений. Опыт показывает,
что разные по содержанию задачи приводят к одинаковым или
сходным дифференциальным уравнениям. Эго видно также на
примере уже рассмотренных задач. Поэтому необходимо выра-
ботать приемы решения таких классов уравнений для тех задач,
которые привели или могут привести к ним. Этим и занимается
математическая наука, называемая теорией дифференциальных
уравнений. Если задача сводится к дифференциальному урав-
нению, методы решения которого уже найдены, то ее следует
считать решенной. В этом случае творческая часть решения
заканчивается составлением дифференциального уравнения, вто-
рой этап представляет собой чисто техническую процедуру.
Тут имеется полная аналогия с задачами на составление алгеб-
раических уравнений. Если уравнение по данным задачи состав-
лено и оно оказалось, например, квадратным, то решение
заканчивается известным техническим приемом — применением
формулы для корней квадратного уравнения.
Заметим, что в процессе решения предыдущих задач мы
решали дифференциальное уравнение вида (5). Решение этого
уравнения можно использовать в качестве составной части
решения других задач. Примером этого является решение урав-
нения
d£ = ky + a,	(13)
где а (как и ^—постоянное действительное число. Уравне-
ние (13) легко привести к (5): правую часть запишем в виде
ку-\-а = к^у-{-^ (напомним, что &=^=0) и обозначим функ-
цию у(х\-ф^ через z(.r):
dz d /	, а \ du ,	,
-г- = -т- г/4-~г ==-r- = Ki/ + a = «z.
dx dx 1 k j dx J '	
Функция z (х) = у (х) + удовлетворяет уравнению ^ = kz,
поэтому г = Секх. Отсюда
у(х) = С^-|.	(14)
Значение постоянной С также определяется однозначно, если
задано начальное условие у(х0) = у0.
Заметим, что второе слагаемое —в выражении (14) яв-
ляется решением уравнения (13).
Следовательно, все решения этого уравнения выражаются
формулой (14), в которой первое слагаемое определяет все
решения уравнения (5), а второе — одно из решений уравне-
ния (13).
Рассмотрим несколько задач, приводящих к уравнению (13).
Задача 4. Тело массы т падает вертикально вниз с некото-
рой высоты. Сила вязкого трения, действующая на тело, про-
порциональна величине скорости: Етр =— av, где а>0—
коэффициент трения. Определить зависимость скорости от
времени.
Решение. Пусть v(t)— скорость тела в момент времени t.
На тело действуют две противоположно направленные силы:
сила тяжести Ft = mg и сила вязкого трения FTp = — av.
В данном случае дифференциальное уравнение можно соста-
вить, используя второй закон Ньютона: та = F = FT-|-FIf, т. е.
dv
т—тт = те—av.
dt
Разделив обе части уравнения на т, получим дифферен-
циальное уравнение вида (13):
dv	а	г-.
-77- =---^ + g’	(15)
Согласно (14), находим его решения:
v(t) = ^-tCe~™ *.
Если тело начинает движение с нулевой скоростью, т. е.
и(0) = 0, то С =— и
u(O = ^G—е т 0-	(1®)
При свободном падении без трения — величина ско-
рости возрастает линейно: v(t)=gt.
При наличии же вязкого трения скорость, возрастая, тем
>	mg
не менее стремится к постоянной величине v =	.
10
Задача 5. Тело, имеющее в начальный момент температуру
Т(О) = То, поместили в среду, температура которой поддержи-
вается неизменной и равна Т±. Как будет изменяться с тече-
нием времени температура тела?
Решение. Обозначим через Т (t) температуру тела в мо-
мент времени t. Экспериментально установлено, что при опре-
деленных упрощениях скорость изменения температуры тела
пропорциональна разности температур тела и окружающей
среды. Это означает, что
=	(17)
где у > О— коэффициент пропорциональности.
Знак минус в правой части уравнения соответствует экспе-
риментальным данным: если Т (/)— Tt > 0, то температура тела
убывает и поэтому скорость его изменения отрицательна,
если же Т (t) — Тг<СО, то температура тела возрастает, а сле-
довательно, скорость ее изменения положительна.
Итак, процесс нагревания (или охлаждения) тела в среде
с неизменной температурой моделируется уравнением (17), кото-
рое можно записать в виде (13).
Одно из решений уравнения (17) очевидно: 7’(^) = 7’1.
Поэтому, согласно (14), все решения этого уравнения выра-
жаются формулой
Т (t) = T1J[-Ce~vt.	(18)
Учитывая условие Т(0) = То, находим искомую зависимость
температуры тела от времени:
T^T. + ^-TJe-^.	(19)
Функция T(i) возрастает, если То — 7\ < О (тело нагре-
вается), и убывает, если То — Т'1^>0 (тело охлаждается). В обоих
случаях с возрастанием t ее значение стремится к Т
Многие реальные процессы моделируются дифференциаль-
ными уравнениями, содержащими вторую производную неиз-
вестной функции. О таких уравнениях говорят, что они яв-
ляются дифференциальными уравнениями второго порядка.
Рассмотрим задачу, которая приводит к дифференциальному
уравнению второго порядка.
Задача 6. Материальная точка массы m свободно падает
под действием силы тяжести. Пренебрегая сопротивлением воз-
духа, найти закон движения точки.
Решение. На вертикальной оси, вдоль которой падает
точка, выберем точку отсчета О и определим положительное
направление—от точки О вниз. Положение точки определяется
координатой y(t), изменяющейся со временем t. Точка падает
под действием силы тяжести F-L = nig\ поэтому, согласно вто-
(20)
(21)
рому закону Ньютона, ma = F. Имеем т^- = mg или
d2.v _
dt2
Интегрируя дважды соотношение (20), находим:
= +	г/(0 = ^ + С^ + С2.
Формула (21) определяет закон движения материальной
точки, однако, как и в предыдущих примерах, она содержит
постоянные интегрирования, в данном случае—две. Зная началь-
ное положение падающей точки относительно точки О—t/(0)=yo
и ее начальную скорость у(О) = уо, из совокупности функ-
ций (21) выберем одну, описывающую движение точки.
Так как скорость движения точки у(/) = ^-, то при указан-
ных начальных условиях	С.2=уд; поэтому искомая
функция, описывающая закон движения точки, имеет вид
У=^^ + ^ + у0.	(22)
Таким образом, получили известную формулу пути, прой-
денного точкой при равномерно ускоренном движении.
В предыдущей задаче ускорение было постоянным. На прак-
тике приходится решать задачи, в которых ускорение изменяется
по определенному закону. Рассмотрим одну из таких задач.
Задача 7. Материальная точка с массой т движется вдоль
оси Оу и на нее в каждый момент времени действует сила,
пропорциональная отклонению точки от начала координат и
направленная к началу координат. Найти закон движения точки,
если в момент t = 0 она имела ординату уд и скорость и0.
Решение. Обозначим ординату движущейся точки в момент
времени t через у (f). Тогда —ускорение точки в этот момент.
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело,
равна произведению его массы на ускорение. Поэтому
F = т ,
dt2 ’
где F—сила, действующая на материальную точку. По условию
задачи эта сила пропорциональна отклонению движущейся
точки от начала координат и направлена в его сторону: F =
=	Т>0-
Функция у(/) удовлетворяет уравнению
Д2д	,,,
m-dt* = — ууЮ-
Обозначив — = &2, запишем это уравнение так:
^ + ^ = 0.
(23)
12
Найдем все его решения. Непосредственно убеждаемся, что
функции у = cos kt и у = sin kt являются решениями уравне-
ния (23).
Из правил вычисления производной и характера уравне-
ния (23) видим, что уравнение обладает следующими свойствами:
1) сумма двух любых решений уравнения есть решение этого
уравнения;
2) произведение любого числа на функцию, являющуюся
решением данного уравнения, есть решение этого уравнения.
Все функции вида
y = C1cosktJrC2sinkt (Съ C,£R)	(24)
являются решениями уравнения (23), в чем можно убедиться,
подставив выражение (24) в уравнение (23). Но существуют ли
другие решения? Оказывается, что нет. Докажем это.
Пусть ф(^)—одно из решений уравнения (23). Тогда
+k^ (/)=о (<р" (0+k^ (0 = 0)
для всех ZgR.
Введем вспомогательные функции
F(0 = ф(0 sin kt-{- уф' (t) cos kt,
Ф(0= <P(0 coskt—у (p' (t)s'mkt.
Убедимся, что производные этих функций тождественно
равны нулю:
F' (0 — ф' (0 sin kt + ^ф(/)соэ kt-\- ф" (t) cos kt—
— ф' (0 sin&Z = [ф"(0 + &2ф (0] • у cos kt = 0,
Ф' (0 = ф' (0 cos kt — Йф (0 sin kt — у ф" (0 sin kt —
— Ф' (0 coskt = — [ф"(0 + ^2ф(0] • sin kt = Q.
Обе производные тождественно равны нулю, так как нулю
равны выражения в квадратных скобках, т. е. функции F (t)
и Ф(0 постоянны: F(/) = Pi, Ф(/) = А>> гДе Pi и Pz— некото-
рые числа.
Следовательно,
Ф (0 sin kt + у ф' (0 cos kt =
<p{t)coskt— (t)sinkt = p2.
Умножив обе части первого из этих равенств на sin kt,
а второго на coskt и сложив их, получим ф (/) = /?! sin/г/ +
13
+ p2cosW, т. e. одну из функций (24). Формула (24) опреде-
ляет все решения уравнения (23). В отличие от множеств функ-
ций (6) и (14), являющихся соответственно решениями урав-
нений (5) и (13), множество решений (24) дифференциального
уравнения (23) зависит от двух параметров и С2, имеет две
степени свободы. Это характеристическое свойство уравнений
второго порядка. Через каждую точку плоскости проходят гра-
фики бесчисленного множества функций вида (24) (с фиксиро-
ванным положительным /г).
Однако если поставить условие, чтобы график функции,
проходящий через данную точку, имел в ней данный наклон
к оси Оу, то среди функций (24)- будет только одна функция,
обладающая этим свойством. Действительно, пусть в точке t = ta
функция имеет значение y(t0)=y0, а ее производная в этой
точке у' (1)=у'й. Тогда для функций (24) получим:
Clcoskt0JrC.2smktQ-==y0, С\(—ksmkt^ + C.Jicoskto = у'в.
Решив систему этих двух уравнений относительно Сх, С2,
имеем
С\ = уа cos kt„—~ sin ki0, С2 = у0 sin kta + -у- cos kt0.
Подставив эти значения в формулу (24), найдем, что един-
ственное решение уравнения (23), которое удовлетворяет ука-
занным условиям, имеет вид
y = y0cosk(t — Q + sin£(Z — /0).	(25)
В механической интерпретации у0—это ордината движу-
щейся точки в момент t = t0, а у'о—ее скорость в этот момент.
Преобразуем выражение (25):
= Л0зт (k(t—/о) + «о),
гдеЛ0=1/ Уо + (-лг) , а а0 — решение системы: sina0 = -^-,
|/	\ R /	/iQ
__ у'о
COS а0 — kA^.
В частности, если то или иное решение уравнения (23) вы-
делить, используя его значение и значение его производной
в точке 1 = 0, то это решение запишется в виде
«/ = Доэт(^ + ао).
(26)
14
Итак, за исключением функции # = 0, которая является
решением уравнения (23) и получается из (26) при Ло=0(уо=
— у' = 0), все решения уравнения (23) периодичны с периодом
. Поэтому процессы, моделируемые этим уравнением, тоже
периодичны. Они называются гармоническими колебательными
процессами.
Колебательный процесс, описываемый уравнением (23), одно-
значно определяется двумя числами, одно из которых интер-
претируется как начальное положение коле-
блющейся точки, а второе—как ее начальная
скорость.
Возвращаясь к исходной задаче, можем
сказать, что материальная точка совершает
гармонические колебания по закону у =А х
xsin(£/ + a), где A = j/'+ sina = -^- ,
cos а =-гт, А — амплитуда этих колебаний,
2л
a -----их период.
Важной задачей, приводящей к уравнению
(23), является также задача о малых колеба-
ниях маятника.
Пусть шарик массы т закреплен на конце
стержня ОМ, подвешенного шарнирно в точке О так, что полу-
чается качающийся в одной плоскости маятник (рис. 1).
Отклонение маятника ОМ от положения равновесия ОЛ40
удобно измерять величиной у угла М0ОМ, выраженной в ра-
дианах.
На шарик действуют две силы: направленная вертикально
вниз сила тяжести FT = — mg и направленная по радиусу МО
сила реакции стержня N.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательную:
m-^(ly) = — mgsmy, т. е. = — f siny. (27)
Рассмотрим малые колебания маятника, т. е. считаем вели-
чину у малой. Тогда sin у можно заменить на у, зная, что
sin х ,
lim-----= 1,
х->0 х
и от полученного уравнения придем к уравнению вида (23):
d'2‘/ _ g ..	ГЛР i/"F
--------+	Где w_ у T,
Следовательно, при малых отклонениях от положения рав-
новесия колебания маятника являются почти гармоническими
15
с частотой и = у , не зависящей от массы т и от началь-
ных условий, лишь бы у9 и v0 были достаточно малыми.
Конечно, все многообразие природных процессов и явлений
не сводится только к уравнениям нескольких типов, с которыми
мы познакомились. Мир дифференциальных уравнений богат
почти настолько, насколько разнообразен реальный мир. В по-
следующих разделах рассмотрим многие типы дифференциаль-
ных уравнений, описывающих множество разных эволюционных
процессов и явлений, ознакомимся с методами составления и
решения дифференциальных уравнений. Опыт показывает, что
использование дифференциальных уравнений в качестве мате-
матических моделей очень плодотворно, конечно, если при этом
не забывать об ограниченной области применения любого рода
моделей.
ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотно-
шение вида
Здесь х — независимая переменная; у~у(х)— неизвестная функция
аргумента х; Fix, у, у') — заданная функция переменных х, у, у'=^~ .
Уравнение (1) не разрешено относительно производной, а уравнение
вида
а.	а)
где f (х, у) — заданная функция двух переменных, называется дифферен-
циальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно произ-
водной. Часто встречается и такая запись дифференциального уравнения
первого порядка:
Р (х, у) dx ф- Q (х, у) dy = 0.
Здесь Р (х, у) и Q(x, у) — заданные функции переменных х и у.
Решением дифференциального уравнения (1) или (2) на интервале /
называется непрерывно дифференцируемая функция t/=tp(x), превра-
щающая это уравнение в тождество на I, т. е.
[	dtp (х) \	/ dtp (х)	\
F V’ ф w’ <ix}=0	ф(х));
для всех х£/. Соотношение Ф (х, t/) = 0 называется решением уравнения
(2) в неявной форме (или интегралом уравнения (2)), если оно определяет
у как функцию от х: t/ = tp(x), которая есть решение уравнения (2).
График решения t/ = tp(x) уравнения (2) называется интегральной
кривой этого уравнения. Проекция графика решения на ось ординат на-
зывается фазовой кривой (или траекторией) дифференциального уравнения.
Задача о нахождении решения z/ = tp(x) уравнения (2), удовлетво-
ряющего начальному условию tp (х0) — Уо, называется задачей Коши.
Через каждую точку (х; у) из области определения уравнения (2)
проведем прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен
f (х, у). Это семейство прямых называется полем направлений, соответст-
вующим уравнению (2) (или полем направлений функции f (х, у)).
Интегральная кривая в каждой своей точке касается поля направ-
лений функции f (х, у). Всякая кривая, касающаяся в каждой своей
точке направления, имеющегося в этой точке, является интегральной
кривой.
Изоклиной называется кривая, во всех точках которой направление
поля одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие данную изо-
клину, в точках пересечения наклонены к оси абсцисс под одним и тем
же углом.
17
1.1. Убедиться, что функция у = сх-\—г - при каждом
ч/ 1 _|_с2
У'
V 1+у'2
Так как производная данной функции у' =с,
в данное уравнение вместо у и у' их значения,
c£R является решением уравнения у—ху'
Ре ш е н и е.
то, подставляя
имеем
сх+ Ki+c2 хс /Г-Н2’
т. е. получаем тождество. Следовательно, данная функция у
при каждом cCR является решением указанного уравнения.
/ С* ех \
1.2. Показать, что функция у=^х ( 1 + \ — dx \ является
du
решением уравнения х~—у = хех.
Решение. Вычислим производную данной функции:
Имеем
х^|—r/ = xfl4-e*4-C jrdx'] —х fl + J dx\ =xex.
Данная функция обращает исходное уравнение в тождество и,
следовательно, является решением этого уравнения.
1.3. Убедиться в том, что функция <р (х) — х sin t2dt яв-
ляется решением дифференциального уравнения х^—у —
= х2 sin х2.
Решение. Вычислим производную от функции <р(х):
f*sin/2d/-|-xsinx2.
dx J о
Отсюда
х ——<г (х) = х С* sin t2dt 4~x2sinx2—х С* sin t2dt,
dx * ' ' Jo	JO	’
или
x — Ф (x) = x2 sin x2,
t. e. функция у = ф(х) является решением данного уравнения.
1.4. Доказать, что при каждом C£R функция г/ = <р(х),
определяемая соотношением z/ = arctg (х+у) +С, является ре-
шением дифференциального уравнения (х + у)2^=1.
Решение. Применяя к данному соотношению правило
1+^
, ,	„ ,	du	dx
дифференцирования неявной функции, имеем =	•
Отсюда %х=~у^.
18
Подставляя найденное значение ~ в данное дифференциаль-
ное уравнение, получим тождество (х-ру)2 	= 1 •
1.5. Функция у = ср (х) задана параметрически: x=tet,
y = e~i. Доказать, что эта функция является решением уравне-
ния (1 + ху)^ + у2 = 0.
Решение. При каждом значении параметра t имеем
(l+xy)g + y2 = (l + ^-e-9^=^ + e-2‘ = 0,
т. е. функция у = ср(х) является решением данного уравнения.
1.6. Убедиться в том, что функция
у = х -ф С К1 + х2	(3)
при каждом С С R является решением уравнения
(ху+ l)dx—(х2+ 1) dy = 0.
Доказать, что других решений, отличных от (3), данное урав-
нение не имеет.
Решение. Подставим данную функцию в левую часть
уравнения:
[х (х+С Г1 + X2) + 1 ] dx—(х2 + 1) (1 -|——dx =
\ V 1 %2 /
= (х2 + СхК 1 +х2+1) dx—((х2+ 1) + СхК 1 +х2) dx = Q.
Эта функция при любом С С R обращает данное уравнение
в тождество и, следовательно, является его решением при каж-
дом С g R.
Докажем, что других решений, отличных от указанных, нет.
Предположим, что у = ср(х)—решение данного уравнения, не
совпадающее ни с одним из решений (3). Функция <р(х) удо-
влетворяет тождественно равенству
хФ(х)+1-(х2+1)-^- = 0.	(4)
Рассмотрим функцию F(х) =	. Производная
V 1 -Д
функции
от
этой
Г(х)
19
в силу равенства (4). Отсюда следует, что F(x) = C0, где Со —
некоторое действительное число, т. е.
= Ф(х) = х+С0ГГ+Р.
V 14-х2
Решение у = <р(х) получается из формулы (3) при С = С0;
следовательно, формула (3) содержит все решения данного
уравнения.
1.7.	Доказать, что все решения дифференциального урав-
нения	—^-z/ = 0 определяются ^формулой
г/ = с|х|'я (c6R).	(5)
Решение. Покажем, что при любом с £ R функция у = с | х
является решением данного уравнения. Имеем
-^ = тс[х['л 1 signx = — с | х Iм 1xsignx = — с| х\т = —У-
Убедимся, что формула (5) содержит все решения исходного
уравнения.
Пусть г/ = ср(х)— некоторое решение исходного уравнения,
dcp т , , п
т. е. ------ср (х) = 0.
dx х r v ’
Рассмотрим функцию F (х) = ср (х) • | х|"'в. Ее производная
^7 = ф' (*) • I х Г“—т | х I-"2"1 sign х-ср (х) =
= (ф'(х) — -уср (х)) |х|-“ = 0,
так как выражение в скобках тождественно равно нулю. Сле-
довательно, F(x)=c0, где с0 — некоторое число. Из равенства
ср (х) | х |" т = с0 имеем ср (х) =с01 х |'л, т. е. ср(х) представимо
в виде (5). Доказано, что все решения исходного уравнения
определяются формулой (5).
1.8.	Сколько решений г/ = ср(х) уравнения
х1^+у=у* 1пх
определяет соотношение у (х 4- In х) = 1 —у?
Решение. Дифференцируя последнее равенство, получим
-^-(х + 1пх4-1) + у(1 4-1)=0,
х^-(х4-1пх4-1)4-г/(х4-1) = °.
20
Согласно данному уравнению, в полученном равенстве заменим
х~ на — У + У2 In Имеем
dx	viz
(—у + У2 Inх)(х-(-lnx-ф I) +//(хф-1) =у [(—1 + ylnx)(x +
+ 1л Х-\- 1) ф- (хф- 1)] =// —1 + Л_^1ПХ_|_ I ) (X ф- In Хф- 1) +
+ (*+!)] - / [~ ,Х + j (-» + !п+ 1) + (х-Ц)] ~0.
Таким образом, всякая непрерывно дифференцируемая функ-
ция y — <f>(x), определяемая соотношением г/(хф-1пх) = 1—у,
является решением данного уравне- „ ж
ния.	Л
Последнее соотношение определяет	।	i
две непрерывно дифференцируемые функ-	! \
ции ф1 (х) и <р2(х), каждая из кото-	I \
...	1	I \
рых задается формулой у = -т-,-п— 	i
1 - - X -1П X	__ -
Одна из них определена на про- 0 \Ь\ >	х
межутке (0, Ь), а вторая — на проме- \ )
жутке(/д -оо), где b—корень уравне-	1|
ния 1ф-хф-1пх=0.	V
Следовательно, указанное в задаче со-	|i
отношение определяет два решения данно-	Рис. 2
го уравнения. Нарисовав интегральные
кривые этих решений (рис. 2), видим, что фазовой кривой одного
из этих решений (определенного на промежутке (0, Ь)) является
полупрямая у < 0, а фазовая кривая второго решения (опре-
деленного на промежутке (Ь, ф-оо)) есть полупрямая у > 0.
1.9.	Сколько решений уравнения (х—1)^-ф-у = 0 опреде-
ляет соотношение
у(х— 1) = с	(6)
при каждом фиксированном с £ R?
Найти решения указанного уравнения, удовлетворяющие
начальным условиям: 1) г/(0) = 0; 2) z/(0) =—1; 3) у(2) = 1.
Указать промежуток определения каждого из этих решений,
а также соответствующую ему интегральную и фазовую кривые.
Решение. Если с#=0, то соотношение (6) определяет две
непрерывно дифференцируемые функции: срх (х) = с областью
определения (Ь, ф- оо) и <р2 (х) = с областью определения
(I; +°о).
Каждая из этих функций является решением исходного
уравнения; действительно, дифференцируя (6), получим (х—1)х
х ~ ф- у = 0, т. е. приходим к исходному уравнению.
21
Найдем решения данного уравнения, удовлетворяющие ука-
занным начальным условиям.
1)	Начальному условию t/(0) = О удовлетворяет нулевое ре-
шение у = 0. Это решение определено при всех x^R. Его ин-
тегральная кривая—ось абсцисс, а фазовая кривая — проек-
ция оси абсцисс на ось ординат, т. е. точка у = 0.
2)	Подставляя в (6) х = 0 и у = —1, находим, что с = 1;
следовательно, условию у(0) = —1 удовлетворяет решение у =
—	, определенное при х < 1. Интегральная кривая этого
решения—ветвь гиперболы у(х—1) = 1, соответствующая про-
межутку xg(—оо, 1). Фазовая кривая этого решения.—-полу-
прямая у < 0.
3)	Подставив в (6) х = 2 и у = 1, находим, что с = 1. Следова-
тельно, начальному условию г/(2) = 1 удовлетворяет решение
у——^^ определенное при х> 1. Интегральная кривая этого
решения — ветвь гиперболы у{х—1) = 1, соответствующая про-
межутку (1, 4-оо). Фазовая кривая этого решения—- полупря-
мая у > 0.
1.10.	Построить интегральные кривые уравнений:
dy = | ху |.	2) — = х~у 
dx ху ’	' dx	|х — t/1 ’
dy _	х-Цх|.	dy_ = ( 0, если у^х;
dx	i/ + lvl ’	dx если y = x.
Решение. 1) Данное уравнение определено во всей пло-
скости хОу, исключая точки прямых
х = 0 и у = 0. В области определения
его можно записать в виде
dy _ (	1, если ху > 0;
dx	|—1, если ху < 0.
Поэтому в I и III квадрантах коор-
динатной плоскости интегральные кри-
вые—графики функций у — х-\-С, а
во II и IV квадрантах — графики функ-
ций у = —х-^С (рис. 3).
2) Уравнение не определено на прямой у = х. В полуплос-
UW «
кости у < х уравнение эквивалентно такому: •^=1, т. е.
у = х~\-С. В полуплоскости у'>х имеем — = — 1, т. е. у —
=—хф-С. Интегральные кривые изображены на рис. 4.
3)	Область определения данного уравнения есть верхняя
полуплоскость координатной плоскости хОу. В указанной об-
22
ласти определения уравнение эквивалентно такому:
,	(	0, если х^О;
dx	I — — если х > 0.
I у ’
Во II квадранте координатной плоскости имеем -^- = 0 или
у = с. В I квадранте уравнение можно представить в виде у dy+
-}-xdx — 0 или уd(г/2 + х2) = 0. Отсюда х2ф- у2 = с2. Интеграль-
ные кривые уравнения изображены на рис. 5.
4) Уравнение определено во всей координатной плоскости.
Интегральные кривые этого уравнения
изображены на рис. 6.
1.11.	Найти уравнение множества
экстремальных точек решений уравне-
ния у' —fix, у). Как отличить точки
минимума от точек максимума?
Решение. Пусть у = ф(х)—любое
решение данного уравнения. Функция
ср(х) непрерывно дифференцируема и
ее производная в точке экстремума
функции равна нулю:-^ = f (х, ф (х)) =
= 0. Следовательно, множество экстре-
мальных точек решений данного уравнения определяется со-
отношением f(x, г/) = 0. Пусть х0 — экстремальная точка реше-
ния у = ф(х). Если ф"(х0) > 0, то х0—точка минимума, а если
ф"(х0)<0, т0 хо—точка максимума. Так как
d2<p
dx2
^/(Х, ф(х)) =
= df(x, ф(х)) df (х, Ф (х))	(х, Ф (х))
дх ' ду / Ч I ЧЧ 7) (JX
то множество точек минимума решений исходного уравнения
определяется системой соотношений
I Г* (х, У) > 0,
23
а множество точек максимума решений—системой соотношений
Цх, У) = 0,
f'x (X, у) < 0.
1.12.	Составить дифференциальные уравнения семейств кри-
X
вых: 1)х2 + у2—сх = 0;2)х—у—cey~x = Q; 3) y = sinx-|-ccosx;
4) х + у + с(1— ху) = 0.
Решение. 1) Рассматривая в данном соотношении у как
неявную функцию от х и дифференцируя по х, имеем 2х Д-
Д-2у-^-—с = 0. Отсюда с = 2х-\-2у^~. Подставляя в исходное
соотношение вместо с последнее выражение, получим искомое
уравнение х2 +у2—х (2х +	) = 0 или 2ху^~+х2—у2 — 0.
2)	Запишем данное уравнение в виде (х—у)ех~у =с. Диф-
ференцируя это соотношение по х, получаем искомое уравнение
/, С'-У \
X	х — у — х\ 1—т-	.	, . X
(х—у)ех~у------
или
х — у ' dx
Окончательно у—2у Ц-х = 0.
3)	Дифференцируя данное равенство по х, имеем
dy
= cos х—с sinx.
Умножив обе части исходного равенства на sinx, а послед-
него—-на cos х и сложив почленно, получим искомое уравнение
•	! dy	. о . о
у sin X 4- -f-COS X = sin- X 4- COS2 X
J 1 dx	1
dy	,	.
или -f- COS X 4- y sin X = 1.
dx	1
4)	Дифференцируя данное равенство по х, находим
1+-£-с(х-27 + ^)=0-
По условию, с —	• Подставляя это выражение вместо с
в предпоследнее соотношение, получим искомое уравнение
24
r-r	»	dy . 1-J-y2 л
После упрощении имеем ~	' -у = 0.
аХ 1 Х“
1.13.	Составить дифференциальное уравнение семейства
окружностей с общим центром О (0; 1).
Решение. Уравнение указанного семейства окружностей
имеет вид х2Ц-(у — 1)2 = г2. Дифференцируя по х это соотно-
шение, находим 2х-|-2(г/—= 0/—
1.14.	Составить дифференциальное уравнение семейства пара-
бол, которые проходят через начало координат и для которых
ось абсцисс является осью симметрии.
Решение. Уравнение указанного семейства парабол есть
у2 = сх. Дифференцируем по х: 2у^ = с. Исключив из этих
двух равенств параметр с, получим искомое дифференциальное
уравнение у2 = 2у ~ х, 2х-~-—у = 0.
1.15.	Составить дифференциальное уравнение семейства эл-
липсов, имеющих постоянную большую ось, равную 2а.
Решение. Прямоугольную систему координат на плоскости
выберем так, чтобы большая ось каждого из указанных эллип-
сов лежала на оси абсцисс и ее концы совпадали с точками
(— а; 0) и (а; 0). Тогда каноническое уравнение семейства эл-
липсов примет вид
-4 + 4-=1,
а2 с2
где с — произвольная постоянная, изменяющаяся в промежутке
0 < с < а.
Дифференцируя уравнение семейства эллипсов по х, имеем
о dy
2х , dx ____р
~а* 1
Исключив из последних двух уравнений произвольную посто-
янную с, получим искомое дифференциальное уравнение:
-x2)-g- + x</ = 0.
1.16.	Уравнения силовых линий диполя (диполь—-два заряда
+9 и —q, удаленные друг от друга на расстояние 2а), соот-
ветствующих закону Кулона, имеют вид
х+а х—а
где г2 = (х + а)2 + у2, rl = (x—а)2 + у2. Составить дифференциаль-
ное уравнение силовых линий.
25
Решение. Дифференцируя по х обе части данного урав-
нения, имеем
, . , dr1	.	. dr 2
гг-(х-а) —
2	2
Г1	Г-2
Поскольку
,	, dy	, dy
, x4-a + z/-r-	, x—а4-у-f-
dri _	' dx dr 2 ___	dx
dx	rt ’ dx	r-2	4
запишем полученное уравнение
г? — (% + с)2 — (х + а) у~
в виде
rl — (x — a)2 — (x — a) y^-
---------------------— = 0
3
Г2
или
у2~^х+а^1к
*1	Q
Г1	Г-1
После несложных преобразований получаем искомое диф-
ференциальное уравнение силовых линий
f х—a x-j-a^ dy / 1	1
dx~(С? У
z/ = 0.
\ Г2	/ аХ \ Г2
1.17.	С помощью изоклин построить приближенно интеграль-
ные кривые уравнения ^ = 2х(1 — у).
Решение. Семейство изоклин для данного уравнения опре-
деляется уравнением 2х(1—y) = k, где k—действительный
параметр.
Это уравнение задают две прямые: х = 0 и у — 1 (при& = 0)
k
и семейство гипербол z/ = l—.
Прямая у=1 является интегральной кривой, так как функ-
ция у = 1 есть решение исходного дифференциального уравне-
ния. Ось ординат (изоклина при /г = 0) интегральные кривые
пересекают под прямым углом, т. е. касательные к ним парал-
лельны оси абсцисс. Это означает, что точки прямой х —О яв-
ляются точками экстремума для интегральных кривых.
Чтобы выяснить характер экстремальных точек, вычислим
вторую производную функции у = у(х):
g = 2(l-//)-2x-g- = 2(l-z/)-2x.2x(l-z/) =
= 2(1 —t/)(l—2х2).
Следовательно, точки оси ординат, для которых */> 1, яв-
ляются точками максимума, а точки оси ординат, для которых
г/< 1,— точками минимума интегральных кривых. Из выраже-
26
ния для второй производной следует также, что точки прямых
т/"2
х = ±2-=— являются точками перегиба интегральных кривых,
сРу л
так как в этих точках обращается в нуль.
Далее, прямые х = 0 и г/= 1 (изоклины при k — О) делят
координатную плоскость на четыре части, в каждой из кото-
рых производная имеет один и тот же знак. Следовательно,
пересекая прямую х = 0, интегральные кривые переходят из
области возрастания функции у(х) в область убывания, если
г/> 1, и из области убывания функции у(х) в область возра-
стания, если г/ < 1. Рассмотрим еще две изоклины: при k = l,
у = 1—и при k = —1, г/= I Д-. Касательные, проведенные
к интегральным кривым в точках пересечения с указанными
изоклинами, образуют с осью абсцисс углы 45 и 135° соответ-
ственно.
Полученной информации достаточно для построения интег-
ральных кривых исходного уравнения (рис. 7).
1.18.	С помощью изоклин построить приближенно интег-
ральные кривые уравнения х-~ = '2у.
Решение. Заметим, что ось абсцисс является интеграль-
ной кривой данного уравнения, а также что интегральные кри-
вые расположены симметрично как относительно оси абсцисс,
так и относительно оси ординат. ' Последнее следует из того,
что при замене в данном уравнении х на —х или у на —у
оно не изменяется. Поэтому для полного представления о по-
ведении интегральных кривых достаточно исследовать их в I
квадранте координатной плоскости.
Семейство изоклин определяется уравнением
kx = 2y, у = ^ х.
27
Поэтому для любого k > 0 касательные к интегральным
кривым данного уравнения, проведенные в точках прямой
у = образуют с осью абсцисс угол, равный arctg/г. Нари-
и поле направлений, строим прибли-
совав несколько изоклин
имеем изоклину у = — х,
женно интегральные кривые уравне-
ния (рис. 8).
1.19.	С помощью изоклин пост-
роить приближено интегральные кри-
вые уравнения (х—у)‘~ = х + у.
Решение. Полагая y' = k, по-
лучим уравнение семейства изоклин
(х—y)k = x-\-y. Таким образом, изо-
клинами являются прямые (^+ 1) у =
= (k—1)х, проходящие через начало
координат. При k = 1 получим
изоклину у = 0 (ось абсцисс), ко-
торую интегральные кривые пере-
секают под углом 45°. При k = 0
в точках которой касательные к ин-
тегральным кривым параллельны оси абсцисс. Изоклину
х — 0 (k =—1) интегральные кривые пересекают тоже под
углом 45°, при этом касательные в точках прямой х = 0 к ин-
тегральным кривым образуют угол 135° с осью абсцисс. Если
уравнение изоклин решить относительно у:
й-1
y = k + XX
и перейти к пределу при k —> оо, то получим изоклину у = х,
в точках которой интегральные кривые имеют вертикальные
касательные. Построим схематически интегральные кривые ис-
ходного уравнения (рис. 9).
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение вида

(1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Если g(co) = O в точке у = с0, то функция у = с0 является решением
уравнения (1). Решения уравнения (1), вдоль которых g (у) # О, удовле-
творяют соотношению

Теорема. Пусть функции f (х) и g (у) определены и непрерывно диф-
ференцируемы в окрестности точек х = ха, у=у0 соответственно, причем
g (у0) G- Тогда решение у-ц (х) уравнения (1) с начальным условием
<f (x0)=yn существует в некоторой окрестности точки х = х0, единственно
28
и удовлетворяет соотношению
С<₽ М dy ex
\	—ГТ=\ f (х) dx.
J Уо g (У) J V
Уравнения вида f {ах + by+с) приводятся к уравнениям с раз-
деляющимися переменными заменой ах-\-Ьу-\-с — г.
С дифференциальным уравнением ^ = f(y) связано понятие вектор-
ного поля на прямой. Каждой точке у из области определения функции
f{y) поставим в соответствие вектор, длина которого равна | f {у) |, а на-
правление совпадает с положительным направлением на оси Оу, если
f (у) > 0, и противоположно ему, если f (у) < 0; тогда множество указан-
ных векторов образует векторное поле. Точки, в которых направление
поля не определено, т. е. в которых f(y)=O, называются особыми точ-
ками векторного поля (или положениями равновесия). Нарисовав вектор-
ное поле, нетрудно схематически изобразить поведение интегральных
кривых данного уравнения.
1.20.	Решить уравнение х(1 + у2) + у(1	=
Решение. Представим данное уравнение в виде
х (1 4-у2) dx + у (1 + х2) dy = 0.
Разделив обе части этого уравнения на произведение (1 J-x2)x
X (1 Ч~ f/2), получим уравнение с разделенными переменными
, х „ dx + . f а dy = 0.
14-х2	1 1 + у2 J
Интегрируя это уравнение, последовательно находим
Р х dx Р у dy ___
J nF1’
I In (1 + X2) +1 In (1 + у2) = ± In С (1 In С = Сг \
Отсюда (1 +*2) (1 +р2) = С.
1.21.	Решить уравнение ^ = ху2 + 2ху.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
% = ху(у + 2).
Функции у=0 и у — — 2 являются решениями уравнения.
Остальные решения найдем, разделив переменные в уравнении
и проинтегрировав его:
.dy л: — xdx = 0, \ dy — С х dx = 0,
у(у+2)	’ J у(у + 2) J
4- С f----dy—С xdx = 0,
2 J к У У + %] а J
In | у | — In | у + 21 — х2 = In CL,
=	Сх>0.
29
Так как ранее найденное решение z/ = 0 можно получить из по-
следнего соотношения, положив ^ = 0, то
FF2 = Ce (C€R)’ или
1.22.	Решить уравнение 2 ch у dx—(Их+1+Кх—l)t/z/=O.
Решение. Разделив переменные, имеем
dy__________dx______ n
Отсюда
Г rdy Г dx
J ?y + e-v J /7+Т+/7=Т’
j= 4$ П^-Г^Т) dx,
arc tg ey = 4 ((x + 1 ) - — (x— 1) 3/2) + C.
Окончательно ey = tg ( C+ 4-(x + Ш2—5-(x—1)3/2^ , или
\	О	О	J
у = In tg (c + 1 (x +1 )s/2-±(x-1)’/,} , x > 1.
1.23.	Найти решение уравнения ex dx—(1 -\-ex)ydy = 0, удо-
влетворяющее условию у (0) = 1.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
т-f rdx = ydy.
Искомое решение этого уравнения удовлетворяет соотношению
Сх ех dx Су ,
Отсюда In (1 + ех)1—In 2 = -^—у, или у2 = 1 4 2 In	,
//==]/ 1 4-21п
1.24.	Найти решение # = <р(х) уравнения х2—-— l = cos2y,
удовлетворяющее условию lim <р(х) = -^.
Решение. Обозначим ср(1) = у0 4= у + &л, k^.Z. Искомое
решение удовлетворяет соотношению
Рф М dy Сх dx
Jy„ l+cos2(/“ Ji x- '
Отсюда 4-(tg<p(x) — tgz/0) = —J- + 1. Из условия lim <p(x)=s
2	X	X~>- 05
5л	1
= -j- находим -g- (1 — tg y0) = 1, tg y0 = —1. Следовательно,
30
tgq>(x) = l —q)(x) = n + arctg^l —y)’	t' e- y~
= n + arctg ——J-
1.25.	Решить уравнение (l-\-ey)dx—e2v sin3 xdy = Q. Из всех
решений данного уравнения выделить то, которое удовлетво-
ряет условию у(л/2) = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде dy = s?%~~ .
Отсюда
С eilJ у — С dx СeVd	С d (ctg
J 14- еу У J sin3 х ’ J 1+еу	J sinx ’
^-ln(l +ev)= _ _C^dx>
'	1	' sin X J sin3 X ’
ev_]n (1 +ey} = _	+ In I fg |!
О 111 Л	Olli Л	I	X, I
Таким образом,
ey — In(1 +е») =4- In I tg4| — ^~ + C.
'	1	7	2	| ° 2 |	2 sin2 x
Из условия у(л/2) = 0 находим 1 — In2 = С, т. е. С=1 — 1п2.
Искомое решение определяется в неявном виде:
^-1п(1+^) = 11п| tg-iU-^L + l-ln2,
v 1	7	2 J ° 2	2 sin2 x	’
„ . i 2	1 1 I , x I cos x , <
или ev + lnrpz = T ln| tgT|-2—^ + 1.
1.26.	Решить уравнение + У = 2.x + 1.
Решение. Данное уравнение приводится к уравнению
с разделяющимися переменными, если положить у—2х—1—Z.
Имеем:	—2=~^, ~- + 2 + z = 0. Одно решение последнего
уравнения очевидно: z~—2. Находим остальные его решения:
+ Л = 0, f_^+frfx = O,
z Д-Х	J 2 д-z J
In | z + 21 + х = In Ci, \z + 2\ = C1e~x, Ct > 0.
Решение z =—2 можно получить из последнего соотношения
при Cj = O, поэтому z =— 2 + Се~х, С £ R. Окончательно
у—2х—1=—2-^Се~х, или у = 2х—1-{-Се~х.
1.27.	Решить уравнение -~- = cos(x—у—1).
Решение. Замена х—у—1=г приводит это уравнение
к уравнению с разделяющимися переменными:
,	dy dz	. dz	dz .
1 -r- = -7—, 1—-r- = COSZ, -7~=1—COSZ.
dx dx ’ dx	’ dx
Функции z = 2kn, k£Z ^являются решениями последнего
уравнения. Остальные его решения удовлетворяют соотношению
31
C-j—= [dx. Отсюда—ctg-^=x—С, z=2arcctg (С—х)+2тт,
1 cos z J	л
п € Z.
Таким образом, х—у—l=2arcctg(C—х) + 2пп, n£Z', окон-
чательно у = х— 1 4- 2kn, k £ Z;
у — х—1—2arcctg(O—х)+2/гл, n£Z.
1.28.	Решить уравнение = и построить интеграль-
ные кривые этого уравнения.
Решение. Правая часть данного уравнения определена во
всей плоскости хОу, за исключением точек прямой х = 0. Оче-
прямой х = 0. Оче-
АН
Рис. 10
видно, функция у = 0 при х < 0 и прих>0 есть решение дан-
ного уравнения. Остальные решения определим из соотношения
С dy _ ь С dx
J У J '
Отсюда
1п|у| = £1п|хЦ-&1пС1, или |г/| = С1 р, Сх > 0.
Присоединяя к этим функциям найденное ранее решение у = 0,
все решения исходного уравнения можно объединить одной фор-
мулой: у = С\х\к, С£ R. Интегральные кривые в зависимости
от параметра k изображены на рис. 10.
- -п	du sin и
1.29.	Построить интегральные кривые уравнения =
С1Х	sin X
32
Решение. Правая часть уравнения определена во всех
точках плоскости хОу, за исключением точек прямых x — kn,
k£l. Функции у = пл (n£Z) на любом промежутке, не содер-
жащем точек х = kn (k € Z), являются решениями данного урав-
гх	С dy
нения. Остальные решения удовлетворяют соотношению \	=
J sin 4/
== ДНх ’ Интегрируя, получим:
In | tg-j| = ln | tgy| + InCf,
= c‘>0-
Окончательно tg y = C tgy, C(ER, у = 2arctg tg yj-|-йл.
Интегральные кривые изображены
на рис. 11.
1.30.	Пусть в уравнении (у)
функция [(у) непрерывно дифферен-
цируема в промежутке [a; b], f(a) =
— f(b) = O и f(y) > 0 (f \y)<0) при
у£(а; Ь). Доказать, что для любо-
го решения у = <р(х), ф(О) = уо,
у0б (а; Ь) данного уравнения
lim <р (х) = b / lim ср (х) — аЛ.
X СО	\ХГ -> СО	/
Рис. 11
Решение. Функции у = а и у = Ь являются решениями
данного уравнения, поскольку f (о) = f (Ь) = 0. Решение у=<р (х),
х(О) = 1/о, У» € (о; Ь) тождественно удовлетворяет равенству
^^ = /(ф(х)). Если /(у) > 0 (/(у)<0) при у£(а; Ь), то при
всех х^О функция у = ф(х) является монотонно возрастающей
(убывающей), поскольку при всех х^О выполняется неравен-
ство d^> > 0	< 0. . Значения у = b (у = а) функция ср (х)
достичь не может. Действительно, если предположить, что такая
ситуация возможна, т. е. ф(х3) = 6(ф (х3) = а) при некотором
х, > 0, то в точке (хх; Ь) ((хх; а)) нарушилось бы условие единст-
венности решения, т. е. через эту точку проходило бы два реше-
ния: у = Ь и у = ф(х). Таким образом, ф (х) монотонно воз-
растает (убывает) и ограничена сверху (снизу); значит, сущест-
вует предел lim ф(х) = С.
X со
Докажем, что С = Ь (С —а). Пусть С^Ь (С^а); тогда
С <6(С> а) и /(С)>0 (/(С)<0). Так как ф(х)—при
2 № 2314
33
х—> оо, то ф'(х)—*-0 при х—> оо. Но
0 = lira g.= Пт7(ф(х)) = /(С),
Х->- 00 ах Х-г а>
что противоречит предположению.
Следовательно, при выполнении условий задачи имеем:
lim ф(х)=Ь, если f(y)>0 при у£(а; Ь);
Х-* 00
lim ф(х) = а, если f(y)<0 при у£(а; Ь).
X -+ а>
1.31.	Используя утверждение, доказанное в предыдущей
задаче, построить схематически интегральные кривые уравнений:
1)	g = //(l-//2),2)-g- = sinz/,3)^=/(y)={	y^°Q’
Решение. 1) Функция f (у) = у (1 — у2) обращается в нуль
в трех точках: у = —1, у —0 и у=1. Поэтому прямые у = —1,
„ф	У = 0 и г/ = 1 являются интег-
Ss. ’	ральными кривыми данного урав-
w	нения. На промежутках (—оо,
-------- Т___________—1) и (0, 1) функция f(y)> О,
-------------------~ поэтому каждая интегральная
------------------- ^кривая, проходящая при х = хй
и 2.  х через точку у0€(——1),
	возрастает с возрастанием х, при-
м _______________________"—’ ~~ ближаясь к прямой у — —1. Ес-
'*•	—	ли у0 € (0, 1), то соответствую-
<	щая интегральная кривая с воз-
рис. 12	растанием х приближается к пря-
мой у = 1.
На промежутках (—1, 0) и (1, -|-оо) /(г/)<0; поэтому если
интегральная кривая проходит через точку г/0€(—1, 0), то она
убывает при возрастании х и приближается к прямой у=—1
при х—* + оо; если же у0 £ (1, 4-оо), то интегральная кривая,
убывая, стремится к прямой у = 1 при х + оо. Интегральные
кривые схематически изображены на рис. 12.
2)	Точки y = kn (k£Z) являются положениями равновесия
уравнения. Если у£(2пл, л + 2/гл), то sin у > 0 и интеграль-
ная кривая, проходящая через такую точку, приближается,
монотонно возрастая, к прямой у — л-Е2пл при х -J- оо. Если
z/£ (л + 2пл;, 2л + 2пл), то sin у < 0 и интегральная кривая,
проходящая через такую точку, приближается (монотонно убы-
вая) к прямой у = л-\-2пл (рис. 13).
3)	Уравнение имеет три положения равновесия: у=0 иу—±\.
Так как функция f(y) нечетная, то интегральные кривые рас-
положены симметрично относительно оси абсцисс. Поэтому до-
статочно построить интегральные кривые в области у> 0. При
у 6 (0, 1) f (у) < 0, а при у > 1 f (у) > 0; это значит, что интег-
ральные кривые, начинающиеся в полосе 0 < «/< 1, монотонно
34
убывают, приближаясь к прямой у = 0, а интегральные кривые,
проходящие через точку области у > 1, возрастают при возраста-
нии х. Интегральные кривые, изображены на рис. 14.
В данном случае нельзя утверждать, ссылаясь на предыду-
щую задачу, что прямая у = 0 является асимптотой при х —> + оо
интегральных кривых, лежащих в полосе | у | < 1, так как функ-
ция /(у) в точке у = 0 не является дифференцируемой. Не исклю-
чена возможность, что начиная с некоторого х интегральная
кривая сливается о прямой у —0. В данном случае это не так,
в чем легко убедиться решив уравнение. Его интегральные
кривые, проходящие в области у > 0, имеют вид у — еСе2х. Ни
одна из них не совпадает с прямой у = 0 при конечном зна-
чении х.
§ 3. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Составить дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый эво-
люционный процесс или зависимость между характеристиками исследуе-
мого явления, часто оказывается не проще, чем решить его. Универсаль-
ного метода составления дифференциального уравнения не существует,
поэтому можно лишь дать некоторые общие указания. Пусть у=у(х)—
искомая зависимость между характеристиками х и у изучаемого процесса.
При составлении дифференциального уравнения, решением которого
является функция у (х), необходимо выразить, насколько изменится эта
функция, когда независимая переменная х получит приращение Ах, т, е.
выразить разность y(x-f-Ax)—у(х) через величины, о которых говорится
в задаче. Разделив эту разность на Ах и перейдя к пределу при Ах—>-0,
получим дифференциальное уравнение, т. е. зависимость скорости изме-
нения величины у в точке х (производной у' (х) от х и у (х)). Во, многих
случаях указанная зависимость определяется на основании закона или
экспериментального факта, установленного в той или иной области естество-
знания. При этом, в частности, используется геометрический смысл про-
изводной (тангенс угла наклона касательной) и ее физический смысл
(скорость протекания процесса).
При решении некоторых задач получаются уравнения, в которых
неизвестная функция входит под знак интеграла. Такие уравнения назы-
2*	35
ваются интегральными. Они возникают при использовании геометри-
. ческого смысла определенного интеграла как площади криволинейной
трапеции и других интегральных формул (длина дуги кривой, площадь
поверхности и объем тела вращения, работа силы и т. д.). В простейших
случаях удается путем дифференцирования преобразовать интегральные
уравнения в дифференциальные.
1.32.	Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного
распада пропорциональна количеству вещества. Найти полу-
период распада радиоактивного вещества (время, за которое
распадается половина вещества).
Решение. Пусть х{1)— количество радиоактивного веще-
ства в момент времени t, x(Q) = x0. Указанный эксперименталь-
ный факт означает, что-^- =— kx, k > 0. Отсюда -у-= —kdt,
1пх = — й(ф-1пс, х = се~ы.
Так как х(0) = хо, то закон изменения количества вещества
со временем имеет вид x(t) = xoe~kt.
Время Т, через которое распадается половина вещества,
определяется из уравнения у лг0 = xi,e~kl\ т. е. Т=^~. Это
время не зависит от начального количества вещества.
1.33.	Из эксперимента известно, что скорость размножения
бактерий при достаточном запасе пищи пропорциональна их
количеству. За какое время количество бактерий увеличится
в tn раз по сравнению с начальным их количеством?
Решение Если х(() — количество бактерий в момент вре-
мени t, х(О) = хо, то изменение их со временем описывается
уравнением = kx, k > 0, из которого находим ^- = kdt,
х = сеы, х = хоем.
Время Т, за которое количество бактерий увеличится в m раз,
находим из уравнения х(Т) = тх0==х0екГ; Т =
1.34.	На материальную точку массы m действует постоянная
сила, сообщающая точке ускорение а. Окружающая среда оказы-
вает движущейся точке сопротивление, пропорциональное ско-
рости ее движения, коэффициент пропорциональности равен у.
Как изменяется скорость движения со временем, если в началь-
ный момент точка находилась в покое?
Решение. Будем отсчитывать время с момента . начала
движения. Через и(() обозначим скорость движения точки в мо-
мент времени t. Тогда ц(0) = 0. В произвольный момент t на
точку действует сила та—Согласно второму закону Нью-
-	та — vv (t)
тона, эта сила сообщает точке ускорение, равное------.
Ускорение в момент t—это скорость изменения скорости дви-
жения в этот момент, т. е. производная скорости как функции
т-т	dv та—то (О о
времени. Поэтому-^- =----. Запишем это уравнение так;
dv	г .
-п- =----v + a.
dim
36
Одним из решений является постоянная функция у (/) = -у а.
Она обращает правую часть уравнения в нуль, а производная
постоянной функции также равна нулю, поэтому все решения
полученного уравнения определяются выражением
(1)
Выберем то решение, которое удовлетворяет условию и(0)=0.
Полагая в (1) / = 0, получим 0 = у-а-|-С, откуда С =— -у а.
Скорость движения материальной точки изменяется по закону
v(t) = -у а (1 —е т *).
Из этой формулы видно, что скорость движения материальной
точки возрастет со временем, приближаясь к значению ~ а.
Через некоторое время после начала движения точка будет
двигаться практически равномерно со скоростью, близкой к ~ а.
1.35.	Материальная точка движется по прямой со скоростью,
обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный
момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от на-
чала отсчета пути и имела скорость и0 = 20 м/с. Определить
пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала
движения.
Решение. Обозначим через s = s(/) расстояние точки от
начала отсчета в момент t. Тогда s(0) = 5. Согласно условию,
изменение величины s от времени описывается дифференциаль-
ds k
ным уравнением = — , где k—коэффициент пропорциональ-
ности .
Разделив переменные в этом уравнении и проинтегрировав
его, получим: s2 = 2(£/ + С), s = K2 (&/-(-С).
Из условия s(0) = 5 определим постоянную интегрирова-
ния С: 5 = К2С, С = 25/2, поэтому s = K25 + 2&/.
Дифференцируя по /, найдем скорость движения точки в
момент t:
. j.	ds	k
' ’	dt	v 25 + 2W
Из условия u(0)="Jo=20 м/с определяем коэффициент пропор-
циональности k‘. v (0) = у = 20 м/с, k= 100.
Таким образом, расстояние s(/) и скорость v(t) изменяются
со временем по закону s (Z) = К25 -ф 200/, v (/) = -^====-.
37
Через 10 с после начала движения имеем:
s(10) =К25 + 200-10 = 45 м,
100	100 20 ,
v (10) = -г _=^ = — == — м/с.
'	V 25 + 200.10	45	9
Итак, через 10 с после начала движения скорость точки состав-
ляла 20/9 м/с. За это время точка прошла расстояние s(10)—
— s(0) = 45 — 5 = 40 м.
1.36.	Лодка замедляет свое движение под действием сопро-
тивления воды, которое пропорционально скорости лодки.
Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а ее скорость через 4 с
равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна
0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?
Решение. Пусть v = o(Z) — скорость лодки в момент t.
Тогда и(0) = 2. Согласно второму закону Ньютона, m^ = F(t),
где F (t) — сила, действующая на лодку; т—масса лодки. По
условию, F(t) = — kv(t), где /г > 0—коэффициент пропорци-
ональности, а знак минус означает, что сила направлена против
движения (на уменьшение скорости). Поэтому дифференциальное
dv .	„
уравнение движения лодки есть = — ku. Его решения
-А/
v = Ce т . Согласно условию, ц(0) = 2, поэтому С = 2 и у(0=
_______k
=2е	. Поскольку v (4) = 1, можно определить величину —:
Скорость лодки ц(/) = 21 4. Время Т, через которое ско-
рость лодки будет равна 0,25 м/с, находим из уравнения 0,25 =
= 21 4, откуда 2_? = 21 4 , —2 = 1 —, Т — 12 с. Длину
пути, пройденного лодкой, вычислим по формуле
s(O = y%(x)dx = j'Zo21“dx = _^ (1-2”).
Отсюда видно, что лодка может пройти путь, не больший
-Д-~11,5м.
In 2	’
1.37.	Ускорение локомотива, начальная скорость которого
равна у0, прямо пропорционально силе тяги F и обратно про-
порционально массе поезда пг. Сила тяги локомотива F (/) =
= Ь-—kv(t), где v(t)—скорость локомотива в момент t, а b
и k—постоянные величины. Определить 'зависимость силы
тяги локомотива от времени t.
38
Решение. Ускорение локомотива есть производная отего
dv п	dv b—kv r,
скорости: а = ^. Поэтому, согласно условию, -^-==———. Ин-
b -—t
тегрируя это уравнение, получим ц(/) = у4-Се т .
Начальная скорость локомотива о(0) = щ, поэтому v (0) =
c=v0=^- + C, C = v0— . Таким образом, и(/) = -^- +
к	а	к
+ (v°—~k)e т и зависимость силы тяги локомотива от вре-
__Lz
мени определяется равенством F(t) — b—kv(t) = (b—kv0)e т .
1.38.	Материальная точка массы т движется вдоль коор-
динатной прямой Ох. Работа силы, действующей на точку, про-
порциональна времени t от начала движения (коэффициент
пропорциональности равен k). Найти закон движения точки,
если в начальный момент (при t = 0) точка находилась в покое
на расстоянии s0 от начала отсчета..
Решение. В случае прямолинейного перемещения точки,
когда направления силы и скорости совпадают, работа дейст-
вующей на точку силы F (s) выражается формулой
А = (s F (и) du.
По условию, A —kt. Сравнивая оба выражения для А, получим
уравнение F (ы) du = kt. Дифференцируя обе части этого со-
отношения по I, имеем F (s)^ = k, а так как -^~ = v (скорость
движения), то F(s)v = k.
На основании второго закона Ньютона F(s) = m-^ , поэтому
имеем дифференциальное уравнение nw^ = k. Интегрируя его,
находим —= kt -|- С.
Из начального условия v (0) = 0 (в начальный момент точка
/~ 2k
находилась в покое) находим, что С = 0 и потому v— J/ — t.
ds	2	/~ 2 k ~~
Заменяя v через -^-и интегрируя, получим s = -j у — t2 4-Cj.
Так как, по условию, s (0) = s0, то C1 = sl) и закон движения
2 /~ 2й —
точки окончательно примет вид s = s0 + у 1/ — /2.
1.39.	Парашютист спускается на парашюте, имеющем форму
полусферы радиуса R — 4 м. Его' масса вместе с массой пара-
шюта равна 82 кг. Найти скорость v парашютиста через 2 с
после начала спуска и путь, пройденный за время t. Считать,
что сила сопротивления воздуха Fx = 0,00081sv2, где s—пло-
39
щадь наибольшего сечения, перпендикулярного направлению
движения; v—скорость движения.
Решение. В дифференциальном уравнении движения пара-
шюта m^- = F сила F является равнодействующей двух про-
тивоположно направленных сил: веса, равного mg, и силы
сопротивления воздуха, равной 0,00081so2. Поэтому дифферен-
циальное уравнение движения есть m^ = mg—0,00081 so2.
„	dv	»	0,00081s
Запишем это уравнение в виде -^- = g—av , где а = ———.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
С - а = ^+с.
J g — at,2
Разложив дробь на простые дроби:
g —ад2 — 2Kg \ Kg+v/a ' Kg— vV"a )'
вычислим интеграл
Г dV In (Ki+о К a) — —^=-In (Ki— vKa) =
2 И ga	_ 2у ga
_	1 In V g + vV"a
2 Кga	К g— vV a
g—аи2
Таким образом, —In	= t + С. Если 7 = 0, to
H ’ 2j/ga	Кg-»Ka
u = 0; следовательно, C = 0 и окончательно получим
/ =	1 In
2Kga	К g—vV a ’
Отсюда выражаем v как функцию времени t:
V =	= i/’F sh(Kga^) /«x
V a	V a ch(Kga/) ’	' '
Заменяя в этой формуле v на , имеем уравнение
ds _ -рЛ_g sh(KgaQ
dt V a ch (Кgat)
Интегрируя его, получаем
s = In ch (KgaO + C.
Отсюда при начальном условии ^ = 0, s = 0 постоянная С = 0
и в результате находим
s= In ch (Kia?).	(3)
40
Формулы (2) и (3) описывают изменение скорости парашютиста
и пройденного им пути за время t..
Вычислим скорость через 2 с после начала движения:
ПО1 0,00081s	0,00081л 160 000 л пас
£-981’ “ = —----------------82000----°’005-
|Л|~443, Kg^~2,21.
Соответствующая скорость
^,8.81_ 1
V. = v (2) = 443 е8	~ 4,43 м/с.
С ’	1
Скорость, определяемая равенством (2), имеет предельное
значение vn = limv(t) = Kg/a. Таким образом, этой предельной
скорости, которой никогда не достичь теоретически, парашю-
тист достигает практически уже через 2 с после начала движения.
Анализ формулы (3) раскрывает истинный характер движе-
ния парашюта. Запишем эту формулу в виде
1	e1/g°'-l + e-l/gat
S — — In------------------------
а	2
Второе слагаемое числителя уже при небольших значениях t
становится очень малым, поэтому при всех t, больших некото-
рого определенного значения, можно без практической ошибки
принять, что
1 1 eV&at
S = — Ш------5---
а. 2
1/
г а
In 2
а
Получили линейную зависимость, физический смысл которой
состоит в следующем. Спустя некоторое время движение пара-
шютиста практически равномерно. Скорость равномерного дви-
жения равна К S'/се, т. е. предельной скорости движения.
1.40.	Метеорит, находящийся под влиянием земного притя-
жения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на
Землю с высоты h. Какой была бы скорость метеорита при
достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала зем-
ная атмосфера? Радиус Земли R = 6377 км.
Решение. Пусть x = x(t)— расстояние, пройденное метео-
ритом с начала падения, h—-х—расстояние от метеорита в мо-
мент t до центра Земли. В момент t на метеорит действует
сила F = ma, где т—масса метеорита, а а—его ускорение. На
поверхности Земли на тело действует сила тяжести Р = mg, где
g—ускорение свободного падения на поверхности Земли.
По закону Ньютона эти силы обратно пропорциональны
квадратам расстояний падающего тела от центра Земли:
F _ 7? 2 та ______ R4-
Р ~ (h—x)2 ’ mg ~ (h—x)2 '
41
Отсюда а =	но а = £, поэтому	Учиты-
вая равенство
dv   dv dx   dv
dt	dx dt	dx’ V'
получим дифференциальное уравнение движения:
dv gR2	dv2	r2gR2
V-t~ = ТГ---, ИЛИ -т— = -ТГ-2---r=-.
dx	(h—x)2 ’ dx	(fi—x)2
Интегрируя последнее уравнение, находим
Движение начиналось из состояния покоя, т. е. х = 0 и ц = 0
при t = 0:
о = ^ + с,
Л—0 1	’	h
Поэтому изменение скорости v метеорита в зависимости от прой-
2.gR2x
денного расстояния х выражается формулой и2 = °_. На
поверхности Земли (при x = h—R) скорость метеорита и =
₽ У2gR(\ —. Так как h по условию неограниченно
велико, то, переходя к пределу при h—> со, получим v = К2gR.
При достижении Земли метеорит имеет скорость
V = К2 -9.81 -6 377 000 ~ 11,2 км/с.
1.41.	Кривая у = <р(х) проходит через точку (1; 2). Каждая
касательная к этой кривой пересекает прямую у = 1 в точке
с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Найти
кривую # = <р(х).
Решение. Пусть (х; у) — произвольная точка на данной
кривой. Уравнение касательной, проведенной к этой кривой
в точке (х; у), имеет вид
где X, Y—текущие координаты точек касательной. Из того
условия, что касательная пересекает прямую у = \ в точке
с абсциссой 2х, получаем дифференциальное уравнение, кото-
рому удовлетворяет искомая кривая:
1-У=-^Рх-х), х^ = 1~у-
Разделив переменные и проинтегрировав это уравнение, нахо-
Q
дим у—1= —. Искомая кривая проходит через точку (1; 2),
поэтому С — 1; следовательно, у = 1 Ц- —.
42
1.42.	Кривая у = <р(х) проходит через точку (0; 1) и обла-
дает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла каса-
тельной к этой кривой равен удвоенному произведению коор-
динат точки касания. Найти кривую у = ср (х).
Решение. Пусть (х; у) — производная точка на искомой
кривой. Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке
(х; у) равен производной искомой функции в точке (х; у), т. е.
По условию, = 2ху. Отсюда у = Сех\ Так как у(0) = 1,
то С — 1 и у = е*2.
1.43.	Кривая проходит через начало координат и лежит
в полуплоскости у^О. Каждый прямоугольник, ограниченный
осями координат и перпендикулярами к
ним, проведенными из точки кривой, кри-
вая делит на две части, причем площадь
'части прямоугольника, находящейся под
кривой, в 2 раза меньше площади части
прямоугольника, находящейся над кривой.
Найти уравнение кривой.
Решение. Опустим из произвольной
точки М (х; у) искомой кривой у = у(х)
Рис. 15
перпендикуляры МА и МВ на коорди-
натные оси (рис. 15). Площадь прямоугольника ОАМВ выра-
жается формулой S — xy (или £ = —ху, если кривая лежит
в области х<0). Площадь части прямоугольника, лежащей
под кривой (на рисунке она заштрихована), вычислим по фор-
муле Q=^*y(/)dZ (или Q = — ^xQy(t)dt, если х<о).
По условию, S—Q = 2Q, т. е. xy = 3^xQy(t)dt. Получили ин-
тегральное уравнение (искомая функция у(х) входит под знак
интеграла); от него перейдем к дифференциальному уравнению,
продифференцировав обе части уравнения по х. Имеем х~^ +
+ у = 3у, или х^ = 2у.
Интегрируя это уравнение, находим у = Сх2. По условию
искомая кривая лежит в полуплоскости у^О, поэтому любая
парабола у = Сх2(С>0) удовлетворяет условию задачи.
1.44.	В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со ско-
ростью 5 л в минуту поступает раствор, в каждом литре кото-
рого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор перемешивается,
и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли
будет в сосуде через 4 мин?
Решение. Обозначим через m(t) количество соли в сосуде
через t мин после начала процесса. Вычислим, насколько из-
менится количество соли в сосуде за промежуток времени
[*; < + Д^].
За время Д^ в сосуд поступит 5-Д/ л раствора. В этом рас-
творе содержится 0,2-5-Д£ = Д^ кг соли. За это же время из
43
сосуда вытечет 5AZ раствора. В момент t в сосуде было m{t) кг
соли, следовательно, в 5-AZ л вытекающего раствора содержа-
лось бы—^-5-AZ = 0,25m(Z)-AZ кг соли, если бы за времяAZ
количество соли в сосуде не изменялось. Так как за это время
данное количество соли изменится на некоторую величину а
(отметим, что а —> 0 при AZ —► 0), то из сосуда за время AZ
вытечет 0,25 (т (Z) + ₽) AZ кг соли, где 0 < р < а.
Таким образом, в растворе, втекающем в сосуд за проме-
жуток [Z, Z-J-AZ], содержится AZ кг соли, а в вытекающем за
это же время — 0,25(m(Z) + p) AZ кг соли. Приращение коли-
чества соли за это время m(t + At)-—m(Z) равно разности най-
денных величин, т. е.
т (t 4- AZ) — т (Z) — At—0,25 (т (t) ф- р) AZ.
Разделим обе части этого равенства на AZ и перейдем к пре-
делу при AZ-=-0. Учитывая, что р -> 0, когда AZ —> 0, имеем
m'(Z) = l—0,25m (Z).
Получили дифференциальное уравнение, которому удовлет-
воряет функция m(Z). Решения этого уравнения имеют вид
_t_
m(Z) = 4-фСе 4. Так как в момент Z = 0 соли в сосуде не было,
т. е. т(0) = 0, то С = —4. Итак, количество соли в сосуде со
/ _____________________________________________
временем изменяется по закону m(Z) = 4^1—е 4 ).
В момент Z = 4 в сосуде будет tn (4)=4 (1 —е-1) ~ 2,4 кг соли.
Истечение жидкости через отверстие в сосуде. Скорость истечения
жидкости через малое отверстие в сосуде, находящееся на расстоянии h
ниже уровня жидкости в сосуде без учета трения, была бы равна ско-
рости свободного падения тела с высоты Л, т. е. 2gh. С учетом трения
зависимость скорости v от h определяется законом Торричелли:.ц = цУ2gh,
где g — ускорение свободного падения; pi — так называемый коэффициент
расхода, который определяется эмпирически и зависит от жидкости. Для
воды р. = 0,62, для керосина р = 0,6.
1.45.	Сосуд, площадь S = S(/i) поперечного сечения которого
есть известная функция высоты h, наполнен жидкостью до
уровня Н. В дне сосуда имеется отверстие площади а, через
которое жидкость вытекает. Определить время Z, за которое
уровень жидкости понизится от начального положения Н до
произвольного 0 У h Н, и время Т полного опорожнения
сосуда.
Решение. Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый
момент Z равна h. Количество жидкости АУ, вытекающее из
сосуда за промежуток времени AZ от момента Z до Z +AZ, можно
подсчитать как объем цилиндра с площадью основания ст и вы-
сотой V (h): AV = oV (h) At. Этот же объем жидкости может быть
вычислен другим способом. Вследствие утечки жидкости ее уро-
вень h в сосуде понизится на величину —Ah', следовательно,
АУ — — S (й) Ah. Приравнивая оба выражения для ДУ, имеем
44
— S(h)Ah = aV(h)At. Разделив обе части последнего равенства
на А/ и переходя к пределу при А/ —> 0, получим дифферен-
циальное уравнение, описывающее зависимость уровня воды
в сосуде от времени:
-S(h)% = aV(h).
Подставляя вместо V (/г) его значение согласно закону Торричелли
и разделяя в этом уравнении переменные, получим
dt
S(h)_
ар. V 2gh
dh.
Отсюда
—1 =
ар /2g J и К х. ар /2g J ft К х
При полном опорожнении сосуда /г = 0, поэтому время Т опо-
рожнения сосуда определяется по формуле
ар I 2g J о V h
1.46.	Круглый цилиндрический бак с вертикальной осью,
диаметром 2R и высотой Н наполнен водой. Из бака вода вы-
текает через круглое отверстие диаметром 2а в дне бака. Опре-
делить время опорожнения бака.
Решен не. Площадь поперечного сечения S = S(/г) в данном
случае постоянна и равна лР2, а площадь отверстия <т = ла2.
Согласно второй из формул, полученных при решении предыду-
щей задачи, время опорожнения сосуда
—	1 Г" S (ft)	С" dh _ 2R2V Н
ар /2g J о /ft «а2р /2g J о /ft	а2р /2g
В частности, при R = 1 м,
(для воды) получим
И = 2,25 м, « = 0,05 м и ц = 0,62
2-1-/2,25
0,0025-0,62-/1/62
~ 452 с = 7 мин 32 с.
1.47.	В прямолинейной трубе радиуса R течет жидкость.
Скорость течения v каждого слоя жидкости увеличивается с при-
ближением этого слоя к центру трубы (оси цилиндра). Найти v
как функцию расстояния г соответствующего слоя жидкости от
оси цилиндра.
Решение. Из гидравлики известно, что зависимость между v
и г выражается уравнением dv = —г dr, где е—коэффициент
вязкости; i—гидравлический спад; у—плотность жидкости (знак
минус обусловлен тем, что с увеличением расстояния г скорость
течения уменьшается).	
45
Интегрируя уравнение, имеем v = — га + С. Значение по-
стоянной С определим из условия, что скорость течения слоя
жидкости, непосредственно прилегающего к трубе, равна нулю,
т. е. о(/?)=0:
«(Я) = —£^ + С = 0; С =
Таким образом, и(г) = -^-(Р2—г2).
1.48.	Пустой железный шар находится в. стационарном теп-
ловом состоянии (т. е. в состоянии, при котором температура
в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке
с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара
6 см, внешний —10 см, температура внутренней поверхности
200 °C, внешней — 20 °C. Найти температуру в точках, находя-
щихся на расстоянии 9 см от центра шара.
Решение. Экспериментально установлено, что количество
теплоты q, проходящее через площадку S, перпендикулярную
направлению теплового потока, пропорционально площади S
и скорости изменения температуры с изменением х, т. е. q =
= —AS-^-, где k—коэффициент теплопроводности (для железа
й = 0,14).Х
В данном случае, согласно симметрии, теплота распространяет-
ся радиально, а поэтому температура в каждой точке есть функция
расстояния ее от центра шара. Площадь площадки, через кото-
рую проходит теплота, есть площадь поверхности шара радиуса г,
т. е. S = 4лг2; поэтому q = — 4л£г2-^-. Но количество теплоты,
проходящее через две произвольные концентрические сфериче-
. , „ dT	,
ские поверхности, одно и то же, поэтому —4л/гг~= 7--const.
Разделяя переменные и интегрируя, получим 4nkT =	Из
условий Т (6) = 200, У (10) = 20 определим q и С: 800л/г =	С,
80л^ = ^ + С, <7==1О8ООл&, С =—1000л&. Тогда Т — Т (г) =
= 5Z22 _ 250, У (9) = 300 —250 = 50 °C.
1.49.	Цилиндрическая катушка изготовлена из медной про-
волоки. При прохождении через катушку электрического тока
выделяется теплота. Вывести формулу для температуры У =
=; У (/) установившегося режима как функции времени t.
Решение. Пусть Уо—температура среды, в которой нахо-
дится катушка; У (0) — Т^; с—удельная теплоемкость меди; у—
ее плотность; V—объем; S—площадь поверхности катушки;
q—количество теплоты, выделяемое на протяжении единицы
времени; k—коэффициент теплопроводности.
46
Количество теплоты, выделяющееся за время А/, равно q&t.
Эта величина состоит из двух частей: теплоты, которая идет
на повышение температуры АТ, и теплоты, уходящей в среду,
окружающую катушку. Первая часть равна сКуАТ, а вторая
kS(T—T0)At (количество этой теплоты пропорционально раз-
ности температуры Т и Т6 катушки и среды, а также величи-
нам S и А/); отсюда q\t = cVy\T-\-kS'(T—T0)At.
Разделив обе части последнего равенства на А/ и переходя
к пределу при А/ —* 0, получим дифференциальное уравнение
q = cVy^r-Yk{T — T0') или ^г = ~а(Т— То) + |3, где а =
₽=4--
r cVy
Так как
w + k(T-T0) или
Разделяя переменные и интегрируя, получим
/фС = — — In I У — То — -Ц
1	а I 0 а |
Т(О) = То, то С —-поэтому
t—Lin-L=_±in|r—г0—-S-I.
а а а	а
Отсюда
Т—То — -Р- = ±е-а/	т-^-Т 0 + А(1—е-^).
0 а а ’	0 1 а '	7
Окончательно Т = То ф-	1 —е cVv j.
1.50.	Поглощение светового потока тонким слоем воды про-
порционально толщине слоя и потоку, падающему на его по-
верхность. При прохождении через слой толщиной 1 м погло-
щается 1/4 первоначального светового потока. Какая часть свето-
вого потока дойдет до глубины /г?
Решение. Пусть Q = Q (h)—световой поток, падающий на
поверхность на глубине h. При прохождении через слой воды
толщиной dh поглощенный световой поток dQ равен dQ = — kQ dh,
где k—коэффициент пропорциональности. Отсюда Q(h) = Ce~hh.
Пусть первоначальный световой поток равен Qo. Тогда из
начального условия Q (0) = Qo находим, что С = Qo, и поэтому
Q(/i) = Qoe~ftft. По условию, Q(l) = -|-Q0, поэтому -|-Qn = Qoe~\
3	/ 3 \ ft
откуда е~к = -^ и Q (й) = Qo (. До глубины h = 4 м дойдет
световой поток Q(4) = Q0 ^У — 0,316Q0.
Таким образом, до глубины 4 м дойдет менее 1/3 первона-
чального светового потока.
1.51. В цилиндрическом сосуде объемом атмосферный воз-
дух адиабатически (без обмена теплоты с окружающей средой)
сжимается до объема Vt. Вычислить работу сжатия.
Решение. Представим, что в цилиндрическом сосуде воздух
сжимается с помощью поршня. При опускании поршня на бес-
47
конечно малое расстояние dx совершается работа dA —— pSdx,
где р—давление воздуха до опускания поршня, S — площадь
поршня. Но Sdx = dV—бесконечно малое изменение объема,
(у. \ £
-у ) ,
где k—постоянная для данного газа величина.
Получаем дифференциальное уравнение
dA^-рУ^.
Решая его, находим:
Л	|	РоУб
Л ~ (й-1)	Й-Г
При V — имеем А = I (rr-Y 1 — 1 ] .
k— 1 L \ Vi ) J
1.52. В результате химической реакции между веществами
А и В образуется вещество С. Установить зависимость коли-
чества вещества С от времени, если в момент вступления в реак-
цию количества веществ Л и В были равны соответственно а
и Ь. Скорость реакции пропорциональна произведению реаги-
рующих масс.
Решение. Пусть х = х(/) — количество вещества С через
время t после начала реакции; — скорость образования ве-
щества С (скорость реакции). По условию,
/7 у
~^- = k(a—x)(b—х), k > О,
где k—коэффициент пропорциональности. Разделяя перемен-
ные, имеем
---.=kdt, или —--------^т = — k(b—a)dt.
(a—x)(b — x)	’	х—а x — b	v '
Интегрируя, получим
x~tt _ Се~к (b~a} f
x —b
Из условия x (0) = 0 находим С = у ; значит,
х~а _ а „-k (b-at t
x—b Ье
Решив это уравнение относительно х, найдем требуемую зави-
симость:
Предположим, что &>«; тогда x(t)-^a при /~>оо. Если
же b < а, то, записав зависимость x = x(t) в виде
bef“b~a't — a’
заключаем, что x(t) —*.b при t —> оо.
48
Если количества веществ А и В равны, т. е. а = Ъ, то урав-
нение реакции имеет вид ^- = k(a—х)2.
Разделяя переменные и интегрируя, получим ^-^ = W +С.
Из условия х(0) = 0 найдем, что С = —. Поэтому процесс реак-
ции описывается зависимостью
а /,	1	\
х = °-—гп—г; = а 1 — гп—л .
1 -J- Q.kt у	1 -р Clkt ]
Таким образом, х(/) —при t->-oo.
1.53.	Скорость увеличения площади молодого листа виктории-
регии, имеющего форму круга, пропорциональна радиусу листа
и количеству солнечного света, падающего на него. Количество
солнечного света пропорционально площади листа и косинусу
угла между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти
зависимость между площадью s листа и временем t, если в 6 ч
утра эта площадь составляла 1600 см2, а в 18 ч того же дня
2500 см2. Принять, что угол между направлением луча Солнца
и вертикалью в 6ч утра и в 18ч равен 90°, а в полдень—0°.
Решение. Пусть S = S(t) — площадь листа в момент вре-
мени t. Если за начало отсчета времени взять 6 ч утра, то
5(0) = 1600 см2, a S (12) = 2500 см2 (площадь листа в 18 ч).
Скорость роста листа -^- = £rQ, где k—-коэффициент пропор-
циональности; г — радиус листа; Q—количество солнечного света.
По условию, Q = yS cos а, где у—коэффициент пропорцио-
нальности; а—угол между направлением солнечного луча
и вертикалью к листу. Угол a = a(Z) является линейной воз-
растающей функцией времени:
a = at + b, а(0) =— у, а(6)=0, а(12)=у.
Из указанных условий находим « = ут>, Ь —— ~, т. е. се =
= у|((—6). Таким образом, Q = yScos^(/-—6).
/5^
— , имеем дифференциальное
уравнение
— = -JL s Vs cos - (t — 6).
dt V л	12'	7
Разделив переменные и проинтегрировав, получим
2 12йу . л ,,
---= =----~ sin — (t—6)4- С.
VS nV п 12
Из условий 5(0) = 1600, 5(12) = 2500 находим
Р__	9	, ~ nVп
Ь~~2бб’	2400 •
49
Подставляя эти значения в последнее равенство, получим
2	1 . л ,,	9
К S 200	12	'  • 200
ИЛИ
е	160 000
[э —sin^(Z —6)р
§ 4. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция F (х, у) называется однородной степени k, если для- всех
X > 0 выполняется равенство F (Хх, Ху) = ХА/? (х, у). Примером однородной
функции может служить любая форма (однородный многочлен) степени k.
Функции
S’
являются однородными соответственно степени 0, 1, 2, k,
Дифференциальное уравнение
Тх=^Х'
(1)
называется однородным, если f (х, у) — однородная функция степени нуль.
Уравнение А (х, у) dx-[-B (х, y)dy = 0 является однородным, если А (х, у)
и В (х, у) однородные функции одной и той же степени.
Областью определения однородного уравнения не обязательно должна
быть вся координатная плоскость без точки О. Однородные уравнения
можно рассматривать в любой однородной (инвариантной относительно
растяжений) области, например в угле с вершиной О, и т. д.
Замена у = гх приводит однородное уравнение к уравнению с разде-
ляющимися переменными. Однородное уравнение приводится к уравнению
с разделяющимися переменными также в полярной системе координат:
х = р cos ф, у = р sin ф.
т,	dy
К. однородным уравнениям приводятся уравнения вида =
_ (а-^х Ь\уА-С\ \	~	„	,,	. ,
= F -----г~<.~ —* • Это достигается линеинои заменой x~x0-j-t, у =
\а2х+Ьа-\гСч1
= z-|-y0, гдех0, Уо — координаты точки пересечения прямых a1x+&i^-|-ci=0
и a2*+i>21/+c2 = 0. Если же указанные прямые не пересекаются, то в этом
a-i bi
случае —=-^~ и уравнение приводится к уравнению с разделяющимися
&2	#2
переменными с помощью замены aix-\-biy-\~^i ~г-
Функция g(x, у) называется квазиоднородной степени k, если при
некоторых а и Р имеет место равенство g(X“x, ??(/) = Xftg (х, у) для всех
X > 0.
Квазиоднородные степени складываются при умножении функций,
эти степени называются весами. Таким образом, х имеет веса, у—вес р,
Зху2—вес а+2р и т. д.
Дифференциальное уравнение (1) называется квазиоднородным (с ве-
сами а и Р), если функция f (х, у) является квазиоднородной (с весами
аир) степени Р—а, т. е. f (Х“х, 7^y) = ^~af (х, у).
Заменой у = г^а квазиоднородное уравнение приводится к однород-
ному, однако практически более удобно пользоваться заменой у = их^а,
приводящей квазиоднородное уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными.
50
< ел г>	dy ху-\-1ре"*1у
1.54.	Решить уравнение	-----•
Решение. Данное уравнение является однородным. Поло-
жив у = zx, получим
dz .	, ,	ех'г , dx
X-^~ + Z = Z +Z^"1/2, —2~dz= —,
dx 1	’ z2 x’
— e1''2 = ln|x]—C, ex/y + In | x | = C.
1.55.	Решить уравнение ^x—z/cosdx + x cos у dz/= 0.
Решение. Введем замену y = xz. Имеем
(x—xz cos z) dx + x cos z (x dz + z dx) = 0,
dx
или dx + xcoszdz = 0, — 4-coszdz = 0. Интегрируя, получим
In |x| + sinz — С. Значит,
ln|x| + sin — = C.
.	n	dy	y+Vx2 — y2
1.56.	Решить уравнение —	-----—•
CtX	X
Решение. Правая часть уравнения—однородная функция
нулевой степени, поэтому данное уравнение однородное. Замена
dz ,	,
переменных y = zx приводит к уравнению хz = z+
+ -Ц-^И1 — z2, или x^ = signxri—z2. Очевидно, функции
z = 1 и z = —1 являются решениями полученного уравнения. Дру-
dz
гие его решения найдем, разделяя переменные. Имеем=
.= slg” - dx, arcsin z = sign x In | x | + С. Заменяя z на у , получим
arcsin Y = signxln |х|ф-С, y = x, y =— x.
1.57.	Кривая проходит через точку (1; 1). Расстояние любой
касательной к этой кривой от начала координат равно абсциссе
точки касания. Составить уравнение указанной кривой.
Решение. Пусть точка (х; у) лежит на указанной кривой
у = у(х). Касательная к этой кривой, проведенная в точке (х; у),
находится от начала координат на расстоянии

которое по условию задачи равно х. Поэтому указанная кривая
является решением уравнения
K1 + U/'/
51
1
или у2—2ху^-\-х2 (^pa==xa + x2	т- е- ^хУ^с~У2—х*
Это однородное уравнение. Решим его, полагая y = zx;
2x2z(-^x + z)=x2(z2—1),
2xz-^ + z2+l =0, -g-dz+- = O,
dx 1	’ z2+l ' x ’
ln(z2+l) + ln|x| = lnC, (z2+l)x = C.
= 0.
Согласно замене z = у, получим у2 + х2 = Сх. По условию кри-
вая проходит через точку (1; 1): 1 + 1 =С, т. е. С — 2. Таким
образом, уравнение искомой кривой у2 + х2 = 2х, или (х—1)2+
+ у2 = 1.
1.58.	Решить уравнение +^ = 2 f—
J г	ах	\х+у — 2/
Решение. Введем замену z/+l=z, х—3 = /; получим
однородное уравнение = 2	• Пусть z = tir, тогда
, du ,и__ 2и2	, du
l~dt 1	— (1 + «)2’
Отсюда получаем
In | и | + 2 arc tg и + In 111 = In С, ut = Ce~2 arcte
Возвращаясь к переменным х и у, имеем
- 2 arctg У + *
у + \=Се *-3,
или (у + 1)ехр ^2 arctg^T^j = С.
1.59. Решить уравнение (2х—4у + 6)dx + (х + у—3)dy = 0.
Решение. Данное уравнение приводится к однородному.
Для этого найдем точку пересечения прямых 2х—4z/-j-6 = 0 и
х + у—3 = 0. Из системы уравнений
( 2х—4z/ + 6 = 0,
\ х + у—3 = 0
находим x0 = 1, y(j = 2.
В данном уравнении произведем замену переменных х = /+1,
y=z+2; получим однородное уравнение (2/—4z) dt+(t-\-z) dz=Q.
В последнем уравнении положим z — ut. Имеем 2Л(1—2и)п7+
+ /(1 -4 и) (udt 4-tdu) = Q, или (2—3« + w2)d^+^(l -\-u)du = 6.
Выражение 2—3u + «2 равно нулю при и = 1 и и = 2, поэтому
функции и = 1 и и = 2 являются решениями этого уравнения.
Остальные решения найдем, разделяя переменные:
dt ,	1-! «	, п
Т+ 2-3«+«2 du — Q-
52
гр	1 4 W	3.2
Так как	, то предыдущее уравнение
запишем в виде
Интегрируя, имеем
1п|/|+1п-^=Ц- = 1пСъ или	= C£R.
Возвращаясь к переменным х и у, получим
(z—2Q3 = C(z —0, (у — 2хУ = С(у—х—I)2.	(2)
Функциям и = 1 и и = 2 в переменных х и у соответствуют
решения исходного уравнения y = x-j-l и у — 2х. Решение
у = 2х получаем из (2) при С = 0.
|	1.60. Решить уравнение	+ ^g —гт •
J1	dx х 41	° х +1
Решение. Уравнение становится однородным, если поло-
жить x = t — 1, y = z — 2, поэтому замена переменных х = t — 1,
у = ut—2 приведет данное уравнение к уравнению с разделяю-
щимися переменными:
, du ,	, , ut — 2— 2 (t — 1)	, du . ,
Zdr + w = w + ^------И----L’ ZdF=fg(M—2)-
Функция w = 24b (&£Z) является решением полученного
уравнения. Другие его решения найдем, разделяя переменные:
^(^27 = ^’ ln|sin(u—2)1= InJ/l + lnCx,
или sin (и—2) = Ct, С g R. Решения u = 24fcrt получаем из
предыдущей формулы при С = 0.
Переходя к переменным х и у, получим sin -~~-^=C(x41).
1.61. Доказать, что интегральные кривые уравнения
[2х(х2—аху-\-у2')—у2 Ух2 4 у2] dx 4
4 у[2(х2—аху + у2) 4 хУх2 4 у2]dy = 0, |п| < 2
— замкнутые линии, охватывающие начало координат.
Решение. Данное уравнение однородное, поэтому в поляр-
ной системе координат оно преобразуется в уравнение с раз-
деляющимися переменными.
Перейдем к полярной системе координат: х=рсозф, y=psin<p;
тогда
р3 [2 (1 — a sin q> cos ф) cos ф—sin2 ф] (cos (pdp—р sin фсйр) 4
+р3 [2 sin ф (1 —a sin ф cos ф) 4 sin ф cos ф] (этффД-р cos фйф)=0
53
или 2 (1 —a sin <р cos ф) dp + р sin фсГф = 0. Разделив переменные,
получим
jP+ ...........d(p = o.
р 1 2 — asin2tp
Интегрируя в промежутке от 0 до ф, имеем
1ПР + Jo'2—a sin 2/ dt =lnP»> Ро = Р(°)’
или р = рое'° 2-asin 2Z •
„	(*<₽ sin t dt
Докажем, что \ 2~aSin2/' является периодической по ф
функцией с периодом 2л; тогда р = р(ф) при любом р0 > 0 яв-
ляется 2л-периодической функцией и график этой функции
(интегральная кривая исходного уравнения) представляет собой
замкнутую кривую. Имеем
п<р+2л sin tdt' _ С2я sin tdt Рф+2л sin tdt
Jo 2 — a sin 2^ Jo 2 — a sin 2/^J 2л 2 — asinit '
__Ся sin tdt । С2л sin t dt , (“Ф sin (2л -’ 0) dO ____
J о 2 — a sin 2/ J л 2 — a sin 2t J о 2 — a sin 2 (2n-j-0) '
__P-т sin/Д	С-’t sin 0 dO P<₽ 'sin 0 d0 __(*Ф sin0d0
' J o 2—a sin 2/ J о 2—a sin 20 ' j о 2— a sin 29 J о 2 — a sin 20 ‘
Рассматривая однородные уравнения в полярной системе координат,
можно выделить достаточно широкие классы уравнений, интегральные
кривые которых являются замкнутыми кривыми, охватывающими начало
координат. Пусть уравнение f (х, у) dx-\-g (х, у) dy = 0 однородное и функ-
ции f (х, у), g(x, у) определены на всей плоскости хОу. Перейдем к по-
лярной системе координат: x = pcosq>, z/ = psin <р; тогда
f (р cos <р, р sin <р) (cos dp — р sin <р рф) ф
(р cos <р, р sin ф) (sin фйр + р cos ф фр) =0
или
р* [(/ (cos ф, sin ф) cos ф+g (cos ф, sin ф) sin ф) dp +
+р(—f (cos ф, sin ф) sin ф+g (cos ф, Sin ф) cos ф) фр] = 0,
где fe—степень однородности функций f(x, у} и g (х, у).
Сокращая на рА, перепишем уравнение в виде
F (ф) dp—pG((p)d<p = O.
Здесь
F (ф) == f (cos ф, sin ф) cos ф(cos ф, sin ф) sin ф,
G (ф) =f (cos ф, sin ф) sin ф — g (cos ф, sin ф) cos ф.
Предположим, что функции f(x, у) и g (х, у) таковы, что F (ф)	0 для
всех фС[0, 2л].
Интегрируя предыдущее уравнение, находим
р(ф)=роехр[^|^].
Отсюда следует, что если
dt — периодическая с периодом 2л функ-
С2Я G (0 л
ция, а это имеет место тогда, когда	dt = O, то все интеграль-
ные кривые исходного уравнения — замкнутые.
1.62.	Убедиться, что уравнение	является квази-
однородным, и решить его.
Решение. Пусть х имеет вес а, у—вес (3. Чтобы данное
уравнение было квазиоднородным, необходимо, чтобы
,₽_а 4*6-^
2Va+₽^r/	Ыу ’
т. е. чтобы система уравнений 6а—4а—р = 4р—4а—Р = ₽—а
была совместной. Решая эту систему, находим, что ее решениями
служат любые пары чисел (а, р), связанных соотношением .
2р—За = 0. Таким образом, исходное уравнение является квази-
однородным. Оно приводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью замены у = их3/2. В самом деле, про-
изведя указанную замену в исходном уравнении, получим
du , 3	4х6 — и4хв du 3	4 —гг1
-г- X2!2 + -5- х^-и = -р-3—^-5- , X -7- + -х- и = —5—;
dx ' 2	2x4ux3i~	’ dx ‘ 2 2и ’
2и du , dx n , , ,
(^ + 4)(Ц^1)+ —^°’
In4-5 In |х[ —In Сг,	= OCR.
u2-j-4	) ii	u2-j-4	’
Согласно замене y = ux3/2, имеем u2 = -^j-l поэтому
»»2 __ y3
У л у5 ___ Г*
г/2 + 4х3
1.63.	При каких р и q уравнение
77 = ахр + Ьуч
является квазиоднородным? Решить уравнение
^- = -2^ +у2,
если известно, что оно квазиоднородное.
Решение. Данное уравнение окажется квазиоднородным,
если при некоторых а и р выполняется равенство
акархР + bWy* =	(ахр+Ьу«).
Это возможно, когда pa = qfi = $—а, т. е. при p = </(/7-f-l)
или —-^-=1. ОтсюДа следует, что уравнение	——!
является квазиоднородным только при р = —2. В этом
оно имеет вид-^- = — -^+у и заменой у = и-ха= —
разуется в уравнение с разделяющимися переменными:
1 du и	2 . и2 du	, . п
—j—•—8 =--------5- +	~2,	x-r-	=	u2Jru—2.
х dx х2	х2 1 х2 dx
Чхр + у2
[ случае
преоб-
55
Решим полученное уравнение. Корни квадратного трехчлена
и2-]-и—2, т. е. и = 1 и и = —2, являются решениями этого
уравнения. Найдем остальные его решения:
(и—l; (u + 2) ~~ ’ "3 П 117+2 j ~ ln I *1 + з ln
^=c[x|, c€r.
Переходя к переменным x и у, получим
ух — 1	2	1 + 2Сх	2
-- г-5 = Сх, У —---, ИЛИ у = —+ И у =-------------.
ух + 2	’ J х ’ J х(1 — Сх) v х
1.64.	Доказать, что интегральные кривые уравнения
х2^- = —К 5х4 + у4 + х2у2-
dx 2	1 j । э
пересекают прямую у = 2х под углом 45°.
Решение. Для однородного уравнения -^- = легко
вычислить тангенс угла, под которым
интегральные кривые пересекают луч
y — kx. Пусть М — точка пересечения
некоторой интегральной кривой с пря-
мой y = kx (рис. 16) и р— величина
угла между касательной, проведенной
к интегральной кривой в точке М, и
р 16	осью абсцисс. Тогда угол ф между ка-
сательной к интегральной кривой и
прямой y = kx равен р—а; поэтому
tg Ф == tg (Р—а)
_ tg Р — tg а
“ 1 + tg 0 ig а •
Точка Л4 (х0, //0) лежит на прямой y = kx\ следовательно,
tgp = ^.| = f (	= f (k).
° ' dx [m 1 \ x.„ )	' ' '
Таким образом, tg cp
Запишем исходное уравне-
i-)-kf(k)
ние в виде
у2____
dx 2%2

Для этого уравнения
Значит,	—Кб + £4 + й2. Тангенс угла пересечения
интегральных кривых исходного уравнения с прямой у = 2х
56
вычислим по выведенной формуле:
tam_ f(k}~k -	- ~3~2 - 1
i+kf(k) l+2f(2)	1+2(-3)
Следовательно, <р = л/4, что и требовалось доказать.
1.65.	Построить приближенно интегральные кривые урав-
нения
ху-^- + х2 = 2у2,
не решая его.
Решение. При решении предыдущей задачи была выве-
дена формула для определения тангенса угла между лучом
y = kx и пересекающей его интегральной кривой однородного
уравнения "2“ = /( у) • Эта формула применяется для прибли-
женного построения интегральных кривых однородного урав-
нения. Так как интегральные кривые однородного уравнения
пересекают луч y-^kx под одним и тем же углом, то, исследуя
f (k)—k	,	Л
знак выражения	в зависимости от k, можно прибли-
женно определить поведение интегральных кривых уравнения
dx ' \ х j '
,,	„	du 2у х
Запишем уравнение решаемой задачи в виде -А = —---------- ;
получим /("7) =2 у—у, /(&) = 2/г— . Тангенс угла пере-
сечения интегральной кривой с лучом y = kx определяется
формулой
(3)
1+Ц2/е
Исходное уравнение не изменится, если в нем заменить х на
— х или у на —у. Таким образом, интегральные кривые должны
быть расположены симметрично относительно осей абсцисс и
ординат. Поэтому достаточно построить их в I квадранте ко-
ординатной системы, т. е. исследовать формулу (3) только для
k > 0. Для указанных значений k tg <p > 0 при k > 1 и tg <p < 0
при 0 <&< 1, причем при k 0 tgq>—> — оо; значит, инте-
гральные кривые пересекают ось абсцисс под прямым углом.
Если k = \, то tg<p = O; следовательно, луч у = х, х>0
является интегральной кривой. Рассмотрев еще несколько зна-
чений k, получим достаточную ’ информацию для приближен-
ного построения интегральных кривых исходного уравнения
(рис. 17).
57,

1.66. Построить приближенно интегральные кривые уравне-
ния

не решая его.
Решение. Данное уравнение определено в области ^-+1^0.
Рассмотрим это уравнение при х > 0, переписав его в виде
=_у , т/^2 । у3
dx х ' г х2 х:>
В данном случае
f (JL\=JL + т/4+4. f(k) = k + ]^k^+k3.
1 \ X J X 1 Т ? ' X3 ’ ' v 7
Поэтому интегральные кривые пересекают луч y — kx, х > 0
под углом <р, для которого
.	\k\V 1+й
tg ф =----!—! г	.
&	1+^2+^]Ка2 + й3
Из этой формулы видно, что лучи z/ = 0 и у = — X, X > 0 (при
Л = 0 и k = —1) являются интегральными кривыми исходного
уравнения. Исследуя функцию
w=------И1КШ
&'	1 +k2-±kV k2 +k3
на промежутках (—1, 0) и (0, +°°), нетрудно построить другие
интегральные кривые исходного уравнения (рис. 18).
Пусть х < 0, тогда
58	'
и интегральные кривые пересекают луч у = kx, х < 0 под
углом ф таким, что
tg$ =
-\k\Vi+k
14-.%2 — k Vk3±k3
Лучи у —0 и у = —х (х < 0) являются интегральными кри-
выми исходного уравнения. Остальные интегральные кривые
построим, исследуя функцию
g(k) =
-|fe|Vl+fe
1+/г2 —	V 1 -f-й
на промежутках (—1, 0) и (0, 4-оо).
Отметим, что выражение, стоящее в знаменателе функции
g (k), может обращаться в нуль при k > 0:
l+k2=k2KT^k, 14-2/?г-)-/г4==/г4-'-/г5, k3 — 2k3—1=0.
Исследуя функцию z — k3— 2k2— 1 (или графически), .легко
установить, что уравнение k3— 2k2 — 1 =0 имеет один положи-
тельный корень k = kn. Следовательно, луч y = kox\ х<0 ин-
тегральные кривые исходного уравнения пересекают под пря-
мым углом. Вычислив при необходимости значение функции
g(k) еще в нескольких точках /г£(—1, 0) (J(0, 4-оо), получим
достаточную информацию для приближенного построения инте-
гральных кривых исходного уравнения прих<0 (рис. 19).
Поведение интегральных кривых на всей плоскости показано
на рис. 20.
59
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Уравнение '
^4-а(х)у = &(х)	(1)
называется линейным. Существуют несколько методов решения этого
уравнения.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Рассмот-
рим однородное уравнение
Его решения имеют
ищем в виде
Подставляя (2) в
dC , , а А “<х> dx
dx
b (x) e
-	\ а (х) dx
вид у = Се J . Решения исходного уравнения
-	\ а (х) dx
у = С(х)е J .	(2)
(1), для определения С (х) получим уравнение
. Отсюда
Sf а (х) dx
b (х) eJ dx,	(3)
где С — произвольная постоянная. Подставляя С (х) из (3) в (2), находим
все решения уравнения (1):
(4)
Любое решение у (х) линейного уравнения (1), проходящее при х = х0
через точку у0, можно записать так:
-	\ a (t) dt рх \ a (t) dt
у=е	z/o +JXo6(T)eJX dx.
~\a(x)dx р \ a(x)dx
у—е'1	C4-\i(x)eJ dx
Метод Бернулли. Решение уравнения (1) ищем в виде y=u(x)v(x).
.. du . dv .	.
Имеем —г- v-^-u-j—\-а (х) т = Ь (х). Выберем в качестве и (х) одно из ре-
СГХ	ил
du .	- \ а (х) dx
шений уравнения ~^~га W и = 0, например и (х) =е *	, Тогдау(х)
находим из уравнения
S\ а (х) dx
b(x)e*) dx, где С — произвольная постоянная. Пере-
множая и (х) и v(x), получим (4).
Метод интегрирующего множителя. Умножим обе части уравнения (i)
\ а (х) dx
на	и запишем его в виде
d I \ a(x)dx ]	\ a \x)dx
J--b(x)e^
60
Интегрируя, получим
\ а (х) dx	р	\ а (х) dx
ye. = С -j- \ b(x)eJ ',
-	\ а (х) dx	р	\ a (x)dx
y — eJ С + \ * (х) eJ dx .
Некоторые уравнения становятся линейными, если х считать функ-
цией, а у—аргументом. Так, нелинейное уравнение А (у)(В (у) х —
—С (у))	= 0 решается аналогично уравнению (1), если его представить
dx ,	. ,	, . ,	. , В (у) , . , С (у)
в виде —(У), где <р (у) =
К линейным приводятся уравнения вида
/'(</) ^+f(y)a(x)=b(x)
с помощью замены г = f (у). В частности, уравнение Бернулли^ т. е«
уравнение
^-+а(х)у = &(х)у« («#0,1),
которое можно записать в виде
'/“"-^ + а(л:)у1-'1 = &(х), у # О,
заменой г=у1-п приводится к линейному уравнению. Однако решения
уравнения Бернулли удобней искать в виде у = т, не приводя его к ли-
нейному уравнению.
Уравнение(х) у + & (х) у2 = С (х) называется уравнением Рик-
кати. Это уравнение в общем случае не решается в квадратурах. Если
известно одно частное его решение у-У1'(х), то заменой У = У1 + г урав-
нение Риккати сводится к уравнению Бернулли.
1.67.	Решить уравнение —•—2ху = 3х2'—2х4.
Решение. Рассмотрим однородное уравнение-^-—2ху = 0.
Функция у = 0 является решением этого уравнения. Другие
его решения найдем, разделяя переменные: ^- = 2xdx. Отсюда
находим
In | у | = х2 + In С, С > 0; у = Сех\ С £ R, С=#=0.
Решение у = 0 можно получить из последней формулы при С = 0,
поэтому все решения однородного уравнения выражаются фор-
мулой y = Cex\ CgR. Решение исходного уравнения ищем
в виде у = С (х)ех\ Подставив это выражение в заданное урав-
нение, получим
е*2 + 2хех*С (х)—2хС (х) ех* = Зх2—2х4;
^l=e-*l(3x2—2х4),	С(х) = p-*\3x2—2х4)Лх==х3е-** + С,
61
где С е R—произвольная постоянная. Решения исходного урав-
нения имеют вид у = (С + х3е~х*) е*2 = Сех* + х3.
1.68.	Решить уравнение х-~—2у = 2х4.
Решение. Ищем решение этого уравнения в виде произве-
дения двух функций: у—и (x)v(x). Имешх~и+хи^-^2т—2х1.
их	их
Выберем функцию v так, чтобы х^—2п = 0. Поскольку это
уравнение с разделяющимися переменными, нетрудно убедиться
в том, что в качестве функции v (х) можно взять функцию
о(х) = х?. Функцию и(х) находим из уравнения х3-^- = 2х4, т. е.
и (х) = х? + С.
Следовательно, все решения исходного уравнения опреде-
ляются формулой z/ = Cx2 + x4.
1.69.	Решить уравнение -^ + у cos x = e~sinx.
Решение. Решаем соответствующее однородное уравнение:
^+у cosx = 0,	y + cosxdx = 0, у = 0, In |у ] ф-sinх = In С,
y = Ce~sinx.
Решение исходного уравнения ищем в виде
z/ = C(x)e-sin\
Имеем
е-sin X_ cos хе- sin X с	с (х) е-sin X cos X = е-sin х,
f = 1. СМ=х + С.
Следовательно, «/ = (x + C)e-staJc.
1.70,	Решить уравнение -^ + у tgx = —.
Решение. Умножая левую и правую части данного урав-
1
нения на ------, получим
cos х J
1 dy .	sin х   1
cos x dx'V cos2x cos2x ’
ИЛИ
-y-\ У —-—= —-5—, —— = C + tg x, y = C cos x + sin x.
dx v cos x J cos2 x ’ cos x	0
1.71, Кривая y = y(x) проходит че-
рез точку A (a; a) и обладает следующим
свойством: если в любой точке М (х; у)
кривой с ординатой, равной | ВМ | (рис.
21), провести касательную до пересечения
с осью ординат в точке С, то площадь
трапеции ОСМВ постоянна и равна а2.
Найти уравнение указанной кривой.
62
Р е ш е н и е. Площадь трапеции ОС МВ определим по= формуле
Так как]ОС| = у—х^-, |ОВ|=х, | МВ | == у, то имеем диф-
ференциальное уравнение
(2у—х	х = 2а2, или х2-^-—2ху + 2а2 — 0.
Запишем это уравнение в виде х4 ф-2а2 = 0. Интегри-
руя, находим у = х2	. Учитывая, что у(а} = а, полу-
чим а = -о-а + Са2, С = г-. Следовательно, уравнение кривой
и	оС1
_ 2а2 . х2
’Зх+'За'
1.72. Кривая у = у(х) проходит через начало координат.
Середина отрезка ее нормали, заключенного между любой точ-
кой кривой и осью абсцисс, лежит на параболе у2 = ах. Соста-
вить уравнение указанной кривой.
Решение. Пусть М (х; у) — произвольная точка кривой.
Точка пересечения нормали в точке М кривой с осью абсцисс
имеет координаты А ^хА-у^> o') , а середина В отрезка AM
нормали—координаты В ^х ф- у у ~ ; у) . Точка В лежит на
параболе у2 = ах, и ее координаты удовлетворяют уравнению
параболы:
У2	!	। 1	dy \	dy	у	2х
= а х ф- -о- у -Л или -г—=------.
4	\	' 2	dx )	dx	2а	у
Это уравнение Бернулли. Положив г/ = и(х)ц(х), получим
du ,	dv uv	2х
dx '	dx 2a	uv
Взяв в качестве функции п(х) одно из решений уравнения ~ —
X
например ц==е2“, определим м(х) из уравнения
и — = — 2хе~х<а.
Находим
и.2 = —4 xe~xia dx = ie~x!a (а2 ф- ах ф- Сех'а)
или у2 = 4(а2ф-ахф-Сех''11). Указанная кривая проходит через
начало координат, поэтому 0 = 4(а2ф-С), С —— а2. Следова-
тельно, ее уравнение у? = 4ахф-4а2(1—е*/о).
63
1.73..Найти решение уравнения -^-sinx—ycosx= —
которое стремится к нулю при х~* оо.
Решение. Пусть y = u(x)v(x), тогда
du	.	.	dv .	sin2*
-j-osinx + u -т— sinx—uvcosx =-----5—.
dx	1	dx	x2	,
Выберем в качестве и (х) одно из ненулевых решений уравнения
du .
-г- Sin X — и COS X = О,
/IV	’
например и = sinx. Тогда функцию о(х) определим из уравнения
sin?x-^- =—sin2x . Интегрируя, находим v(х) = С + — . Следо-
вательно,
Среди найденных решений только одно обладает свойством
у (х) —>0 при х—* оо, а именно у —
1.74. Найти решение уравнения -^-sin2x = 2(y + cosx),
которое остается ограничением при х —л/2.
Решение. Решения данного уравнения ищем в виде у =
= w(x)u(x). Имеем
v sin 2х + а	sin 2х = 2ии + 2 cos х.
их	их
Пусть п(х)— решение уравнения sin 2х=2и, например и (х)=
= tg х. Функцию v(x) найдем из уравнения tgx-^-sin2x=
= 2 cos х. Отсюда = cos2* , v (х) = ——|- С. Следовательно,
uX SIH X	Sin Аг
, 1
ц = С tg х— -----.
а ° COS X
Для ограниченного при х —► л/2 решения имеем lim (у(х)х
х -> л/2
xcosx) = 0, т. е. lim (y(x)cosx) = lim (С sinx—1) = 0.3на-
x -> л/2	х -> л/2
чит, С = 1, откуда z/=tgx——1—.
Wo Л
1.75. Пусть в уравнении + а(х)у = f(х) а(х)^с>0,
/(х) —> 0 при х —► оо. Доказать, что каждое решение этого урав-
нения стремится к нулю при х—> оо.
Решение. Умножим обе части данного уравнения на
«(й Л	d ( a<t)dt\	Г' a(t)dt
е^х<> и запишем в виде -^\Уе^ °	=	/(х).
64
Интегрируя это равенство от х0 до х, получим
а (0 dt
f(x)dr,
V a (t)dt гх Г
У (*)+*»	— г/о =
или
-\ a(t)dt Сх a(t)dt
У(х)—Уое '*• +L»e f(x)dx.
(5)
По условию, а (я)	> 0, поэтому е •)*»	+ е~с ^х~х^ для всех
х^х0, т. е. первое слагаемое в выражении у(х) стремится
к нулю при хоо. Докажем, что и второе слагаемое также
обладает этим свойством:
С х - \ о (t) dt	Сх
\Хае	f(x)dx ^\Xoe~^x-^\f(x)\dx =
X
= g-cu-t) |	| Дг+ ^e"c(x_T) | f(x) | dx sC
°	2
2 x sup |/(0l+ sup |/(0l7-e"c(*“T)
x0<t<x/2	x/2^t^x
<e 2 x sup |/(0I + t- sup	]/(/)]—>0
x0</<x/2	t'x/2<Z<*
при xоо, поскольку sup |/(0K^<°°, a sup I/(/)|->0
jr0</<*/2	x/2</<x
При X —► OO.
Итак, при любом y0 оба слагаемых в выражении (5) стре-
мятся к нулю при х—оо, значит, каждое решение исходного
уравнения обладает свойством у(х)—>0 при х—> оо.
1.76. Сила тока в электрической цепи с омическим сопро-
тивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Lf + Й = Е,
(6)
где Е—электродвижущая сила. Найти зависимость силы тока
i(f) от времени, если Е изменяется по синусоидальному закону:
£ = £’osina>/ и i(0) = 0.
Решение. Из (6) имеем
4^- +at =42-sin®Z,	(7)
at	L	x '
D
где a = -j~. Решение уравнения (7) ищем в виде i(t) = u (t) v (t).
Подставляя это выражение в (7), получим
4ru + “^r + ocwu=7Ssin(o/-
_Ul	иь	L*
3 № 2314	65
Пусть и (t)—одно иа решений уравнения-^—|-ац=0, например
ц__е-а/. Тогда из (8) находим= sin©/. Отсюда
о {t^ — ^-^e^smatdt.	(9)
Обозначив I — J еа/ sin at dt, имеем
I = С eai sin at dt = -— eat — cos at -1—— C eat cos at dt =
J	w	CO J
=----— eat cos at 4-	sin at—C ea/sin©/d/ =
co	'co2	co2 J
==---—eat cosat + A-ea<sincoZ——^-I.
CO	co2	co2
Следовательно, I =m ^°2s^>^j~a Sin . Подставляя это выра-
жение в формулу (9), находим
... Ео (eat (—со cos со/4-a sin at) ,
VV> Т V со2-уa2
где С—произвольная постоянная.
Перемножая найденные функции u(t) uv(f), получим закон
изменения силы тока:
Ео ( —со cos at + a sin at . r -at\
co2 + a2	ГGe )’
Используя начальные условия i (0) = 0, находим С: 0 =s
^т(~со2~ а2 ’ т- е- С= а^2'- Следовательно,
i = Е(а^+ к2) (— ю cos + « sin м/ + ae~at).
При больших значениях Z(a>0) величина e~at достаточно
мала, так что 1(f) со временем приближается к стационарному
режиму:
Е	Е
i (0 = г / 9 —9?(—со cosсо/4-asin соЛ =—г	= .sin (со/—ср)=?
v ' L(“a+a2)v	L^co24-a2	4	'
= , Е° — sin (at — ср),
/(Leo)2 + v 7
где <p = arctg-^—начальная фаза тока.
1.77, Найти периодическое с периодом 2л решение уравне-
ния -^- = 2wsin2x4-cosx.
Решение. Разделяя переменные в уравнении-^- = 2уsin2х,
найдем, что все его решения выражаются формулой у =з
66
х—т Stn М —
= Се 2	. Решения исходного уравнения ищем в виде у=я
„ , ч х—Г sin 2Х
= С (х) е 2
тт	/->/4	dC(x) х—J-Sin 2Х
Для определения С (х) получаем уравнение 2	=
= cos х, из которого находим
С (х) = С (х0) + f е *+ 2 Sm 2< cos t dt.
JXo
Следовательно,
y=^e 2 C (x0) + ) e 2 cos/d/J. (10)
Если существует периодическое решение исходного уравнения,
то оно должно быть ограниченным. Запишем последнее равен-
ство в виде
-* + — sin ах	, Г* -i+— Sinai ,
е 2 у = С (х0)Ч- е 2 cos tdt
и перейдем к пределу при х—оо. Для ограниченного реше-
ния значение С(х0) определяется из уравнения О==С(хо) +
, с оо -i +—sin ai ,	.	fco -i +—Sinai , ,,
+ e 2 costdt, t. e. C(x0) = — j e 2 costdt.
(Докажите, что интеграл, стоящий в правой части последнего
равенства, абсолютно сходится для любого х0 С R.)
Подставляя найденное значение С (х0) в (10), найдем огра-
ниченное решение исходного уравнения:
Soo x — t—— (sin 2Х-sin a i)	, .	("0
х е 2	costdt = ^_eet-»toTc°»(2*-r) х
Xcos (х—т) dx.
So
_х eT~s,nTC0S (г*-*) cos (х—т) dx видно,
что . решение у*(х) периодическое с периодом 2л.
1.78. Показать, что уравнение=/(х), где а > 0,
/(х)—ограниченная при всех x£R функция, имеет только одно
решение, ограниченное при всех xgR. Найти это решение.
Показать, что найденное решение периодическое, если функция
f (х) — периодическая.
Решение. Из уравнения
1+^0	(11)
находим
-y-4-adx = 0, если у#=0; ln|i/]-|-ax = lnC, у=Се~ах.
з*
67
Решение исходного уравнения ищем в виде у = С (х)е~вх. Под-
ставляя это выражение в исходное уравнение, получим
е~ах ~ = f (х), — = eaxf(x).'
dx 1 ' dx 1 ' '
Интегрируем последнее равенство в пределах от х0 до х:
С (х) = С (х0) + 5*ве«7 (По-
следовательно, у — С (х0) е~ах + е~а {x~t} f (0 ОтсюДа видно,
что для решения у(х) такого, что у(х0) = у0, значение С (х0)
надо определить из уравнения у0=С(х0)е-ах», т. е. С (х0)=еах«уа.
Указанное решение запишем в виде
у = у0 + e~a<x-vf (/) dt.	(12)
Умножим обе части этого равенства на еа пусть х —>— оо.
Для ограниченного решения (если оно существует) еа (х~хо> у (х)-*0
при х—>— оо; следовательно,
<^4(t)dt,	(13)
т. е. у„ = ^X°x,ea{t~xJ f (t)dt, а ограниченное решение у*(х) =
\Х_.ге~а{х~^ f(t)dt.
Докажем, что у* (х) действительно единственное ограничен-
ное решение исходного уравнения при всех xgR, если только
функция /(х) ограничена при всех xgR.
Пусть |/(х) | /С < оо для всех xgR; тогда |р*(х)|^
е~а {x~t} I f (t) I dt e~a {x~t} K(t) dt—^~ для всех x £ R,
t. e. функция у* (x) ограничена на всей оси. Тем самым дока-
зана сходимость интеграла из уравнения для определения на-
чального значения у0 ограниченного решения. Поэтому у*(х)
действительно является ограниченным на всей оси решением
исходного уравнения. Единственность такого решения следует
из единственности решения уравнения (13) относительно у0.
Единственность можно доказать и от противного, предположив,
что кроме у*(х) исходное уравнение имеет ограниченное на всей
оси еще одно решение у“(х); тогда разность у*(х)—y°(x)—z
ограничена для всех х £ R, и так как
^ + ау* = /(х) и ^ + ay° = f(x),
то, вычитая почленно оба эти равенства, имеем
-^- + «2 = 0, z(x) = y*(x) —у°(х) = Сеах.
Поскольку г (х)—ограниченная функция при всех х £ R, послед-
нее равенство возможно при С = 0. Значит, у*(х)=у°(х).
68
Докажем, что если f(x)—периодическая функция, то и у*(х)
также периодическая функция. Пусть f (х ф- Т) = f (х) для всех
x£R, где Т—период функции /(х); тогда
У*(х + Т) =	е-(*+7’-')/(т)е/т =
= Г-оо *‘в <Х~Ч У + Л „ е~а (0 dt = у* (х).
1.79. Решить уравнение jjg (х—t)y(t)dt = 2хф ^xQy(f)dt.
Решение. Запишем данное уравнение в виде
(*— 1) $оУ(О dt=^2x+ ^oty(f) dt.
Продифференцировав обе части этого уравнения по х, имеем
^у(/)<Фф(х— 1)у (х) = 2 Ф ху (х),
или
$*у(/)^ = 2ф-у(х).	(14)
Если ^xQy(t)dt обозначить через z, то уравнение (14) при-
нимает вид 2 = 2 + -^.
Решая его, находим z = 2 + Сех. Следовательно, у = Сех. Так
как уравнение (14) получается в результате дифференцирования
обеих частей исходного уравнения, то не все решения уравне-
ния (14) могут быть решениями исходного уравнения. Подставим
у = Сех в исходное уравнение:
(х—1) Q Celdt = 2хф- ^xCteldt,
(х—1)С (е*-—1) = 2хф C7ef —С ^dt,
(х—1) С (е*— 1) = 2хф С хе*—С (ех — 1), — Сх = 2х.
Исходному уравнению удовлетворяет функция y = Ce? только
при С =—2, а именно у =—2ех.
1.80. Решить уравнение х ф- у = у2 In х.
Решение. Это уравнение Бернулли. Его можно решать
1
с помощью замены г — —, которая приведет исходное уравнение
к линейному. Однако удобнее искать решения уравнения Бер-
нулли в виде произведения двух функций: y = u(x)v(x). При
этом
хи -у- ф- хи -j- -4- uv = u2v2 In х.
dx 1 dx 1
Функцию м(х) .найдем как частное решение уравнения х-^- ф-
ф-н = 0, например . Тогдах2^=v2 Inх. Отсюда, разделяя
69
переменные и* интегрируя, получим-
1	C'lnx . Itix	1	л
	=v—«тах =---С,
V-----------------J X2	X	X
°	= 1+Cx+lnx’
Таким образом, у= i^cx+lnx* Кроме найденных решением
исходного уравнения является еще функция г/ = 0.
1.81. Решить уравнение
(1 4- х2)^—2ху = 4 Кг/ (1 4- х2) arctg х.
Решение. Это уравнение Бернулли. Его решение найдем
в виде произведения двух функций: y = u(x)v(x). Подставляя
в исходное уравнение y = uv, получим
(1 4-х2) у 4- и —2xuv = 4 Kuu (1 4~ х2) arctg х,
dv 2х сА u = 4Kuy(l 4- х2) arctgx.
(1 + X2)
dx
Примем за v какое-нибудь
dv
dx
решение уравнения
2х п
-тч—5^ = 0,
I -I- V4	’
например у(х) = 1 4-х2. Тогда для отыскания и(х) используем
уравнение
<(1 4-х2)-^-у = 4 Kuy(1 4- х2)arctgх,
или
(1 + x2)2	= 4 (1 4-х2) К u arctg х.
Одно из
решения
решений этого уравнения очевидно: и = 0. Остальные
найдем, разделяя переменные:
du __4 arctg х у— du _ 2 arctg х
~dx ~ 14-х2	’ 2 К"й ~ 14-х2
Ku = arctg2 х 4- С, u = (arctg2 х 4-С)2.
Решения исходного уравнения таковы: г/==0 и z/ = (l 4~*2)x .
X (arctg2 х 4- С)2.
1.82.	Решить уравнение ^xssiny-4 2y = x$.
их	их
Решение. Запишем уравнение в виде
п dx	, .
2ydy~ х-~х sint/-
70
^Полученное уравнение ^является уравнением Бернулли. Сделав
в нем замену переменной г =	, получим линейное уравнение
У^+2 = 51ПУ-
Решения этого уравнения ищем в виде z = и (у) v (у). 'Имеем
У lly v + Уи % + uv = s’n У' выберем н(у) так, чтобы у + и = О,
т. е. возьмем любое отличное от нуля решение этого уравнения,
например u = j-. Тогда функцию v (у) определим из уравнения
~ = siny, т. е. v(y) = — cos у + С.
Таким образом, г = C~^0S- или у —(С—cosy)x2. Заметим,
что функция у = 0 также является решением исходного урав-
нения.
1.83.	Решить уравнение ~(-!Г2у — еху2.
Решение. Поскольку это уравнение Бернулли, его реше-
ния, отличные оту^О, можно найти введя новую функцию г
по формуле z = у1-2 = —. Имеем: — =----т-г, -т-— 2z =— ех.
е j	» у	dx у2 ах ах
Указанная замена привела исходное уравнение к линейному.
Умножая левую и правую части этого уравнения нае~2\ получим
^(ге-2¥) =— е~х, или ze~2x = е~х^-С.
Учитывая замену, окончательно имеем у (ех + Се2х) = 1. Кроме
найденных решений, очевидно, исходное уравнение имеет ре-
шение 1/^0.
1.84.	Доказать, что уравнение Риккати
^ = У2 + р(х)у + у(х),
где р(У) и q(x) — периодические с периодом Т функции, не может
иметь более двух разных периодических с периодом Т решений.
Решение. Докажем, что если два решения уДх) и у2(х)
данного уравнения в некоторой точке х0 равны, то они совпа-
дают для всех х из общего интервала определения. Действи-
тельно, У1(х) и у2(х)—решения данного уравнения, поэтому
^=y2i + p(x)yi+>q.(x) и ~ = yl + p{x)y2 + q(x).
Отсюда
= +	Уа) + р (л) (ул— уд,
или
. .	. .	.	. .	. х. X* .[|/1П) + у2(т)+Р(т)]<гт
У1 (х)—у2 (х)= (У1 (Хо) —уДХо))^»
71
Если при некотором х0 ух (х0) = у2 (х0), то ух (х) =* у2 (х) для всех х
из общего интервала определения.
Предположим, что вопреки утверждению уравнение имеет три
периодических с периодом Т решения: У1(х), у2(х), у3(х). В силу
установленного выше свойства решений считаем, что при всех
х £ R выполняются неравенства yt (х) < у2 (х) < у3 (х). Из тождеств
^^y2i+P(x)iji + q (х),
^ = yl + p(x)y2 + q (х),
%[~=yl + p(x)y3 + q(x),
вычитая почленно первое и второе из третьего, получим
{У з ” У1) = (У з—У1) (Уз+У1+Р(х)),
^(Уз—Уз) = (Уз—Уз)(Уз + Уг+р(х)).
Согласно предположению, у3 > у2 и у3 > yit поэтому из двух
предыдущих равенств имеем
Проинтегрировав это тождество по х на промежутке 0 х «С Т,
получим
. [Ь ] у3 (х)—у1 (х) | — In | у3 (х)—у2 (х) |]ог = $ Q (ух (х)—у2 (х)) dx.
Левая часть этого равенства равна нулю, так как функции yt (х),
у2(х) и Уз (х) —Т-периодические, а правая часть меньше нуля,
поскольку ух < у2 для всех х (по предположению). Полученное
противоречие свидетельствует о том, что исходное уравнение
не может иметь более двух периодических с периодом Т решений.
1.85. Доказать, что если уравнение Риккати
Й-»!+Ж.
где /(х) — периодическая с периодом Г функция, имеет два раз-
ных периодических с периодом Т решения ух(х) и у2(х), то
Jo (ydx) + y2(x))dx = 0.
Решение. Так как Ух(х) и у2(х)—решения данного урав-
нения, то — = yl + f (х),	= yl + f (х) для всех х € R. Вычитая
почленно эти равенства, имеем
(У1—Уз) =	+&) (Уг~Уз)-
72
Отсюда
У1(х}—<Z2(x) = eJO	(У1(0) —г/2(0)).
При х= Т получим
ГТ
\ (Ух (0 + У* (0) dt
. УЛТ)~УЛТ) = е^	АУЛ^-УМ-
В силу периодичности решений у Ax') и г/2(х) последнее равенство
эквивалентно следующему:
, (л (О + гМО)^
1 = eJ0	,
т. е. равенству	+ (/))Л = 0, что и требовалось до-
казать. .
1.86.	Решить уравнение ^. + ау(у—х) = 1.
Решение. Это уравнение Риккати. Нетрудно заметить, что
у = х является решением уравнения. Поэтому замена y = x-\-z
приводит его к уравнению Бернулли:
-^ + oz(x + z) = 0.
Положив z = uv, имеем
Возьмем в качестве и (х) одно из решений уравнения
-j—\-axu = v,
dx '	’
ДАТ2
например u = e 2 . Тогда v(x) определим из уравнения
ахг	,	_ ох2
е 2 -7^ + «е"аА'2г?2 = 0, —г + ае 2 dx — 0
dx 1	1 v2 1	*
ах2	!
—- + а ? е 2 dx = — С, v =---------!——2—
V ‘J	’
С+a J е 2 dx
ахг
тт	ж
Поэтому у = X Н---------—г— и у — X.
So —
е 2 dx
1.87.	Решить-уравнение ^ + Z/2 = ^‘-
Решение. Это уравнение Риккати; его можно проинтегри-
ровать в том случае, если найдем хотя бы одно его частное
73
решение. Иногда такое частное решение удается подобрать исходя,
из вида свободного члена уравнения (с (х)). В данном примере
попытаемся искать его в виде уг = у . Подставляя у^х) в урав-
нение
_А ,
х2 х2 х2 ’
д.	k
видим, что функция — является решением данного уравнения
при k =—1 и А = 2. Таким образом, получены два решения
уравнения: у =----и у = —. Замена y = z-------приводит исход-
ное уравнение к уравнению
dz	, 1	.	„ 2г	, 1	2 dz	2 _	„
“5— “5" 4“ %?-------5" — —а" , "Г '— % — % •
dx	х2	1 х х2	xi	’ dx	х
Умножая обе части этого уравнения на х2, получим x^(zx) =
= Згх—(zx)2 или х^- = и (3—и), где u=zx. Отсюда и = (и—3) сх3,
3	1
и = 3 или z = c(zx—З)х3, z = —, окончательно y = z—— —
_ 2сх3-Ц	__2
(сх3— 1) X И X ’
§ 6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Уравнение
М (х, у) dx + N (х, у) dy = 0	(1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
является полным дифференциалом некоторой функции U (х, у), т. е.
dU (х, y)^^-dx^-^-dy = M(x, y)dx+N(x, y)dy.
Для того чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифферен-
циалах, необходимо и достаточно, чтобы
<Ш(х, у)_ЭУ(х, у)
ду	дх '	( ’
Если известна функция, полным дифференциалом которой является
левая часть уравнения (1), то все решения этого уравнения удовлетво-
ряют условию U (х, у)=-С, где С — произвольная постоянная.
Чтобы найти функцию U (х, у), воспользуемся равенствами
<=«<«. й-	(3)
Интегрируя первое из этих равенств по х, определим функцию U (х, у)
с точностью до произвольной дифференцируемой функции:
I/(х, у) = А4 (х, j/) dx=®(x, у) + <р (у),	(4)
где <р(«/)—произвольная дифференцируемая функция; Ф (х, у) — первооб-
разная от М (х, у). Дифференцируя (4) по у, с учетом второго равенства
74
из (3) получаем уравнение для определения функции ф(у):
йФ(х, у) . </<р
----r-^+~T-=N (*• У}-
ду 1 dy '
Интегрирующим множителем для уравнения
М (х, y)dx + N (х, y)dy = 0	(5)
называется такая функция т (х, у), после умножения на которую урав-
нение (5) превращается в уравнение в полных дифференциалах.
Если т(х, у} — интегрирующий множитель уравнения (5), то уравне-
ние т (х, у) М (х, у) dx 4- т (х, у) N (х, у) dy — O является у равнением в пол-
ных дифференциалах:
(т (х, у, М (х, у)) =-^ (т (х, у) N (х, у)),
т. е. интегрирующий множитель есть решение уравнения
.	.	/дМ	dN \	.. дт	.. дт	„
т (х, у)	-з--д—	=ЛГ^-----Л1-—.	(6)
'	’ \ ду дх J дх ду
В некоторых частных случаях уравнение (6) упрощается и интегри-
рующий множитель для уравнения (5) легко найти. Рассмотрим несколько
таких случаев.
1.	Если уравнение (5) имеет интегрирующий множитель, зависящий
только от х, т. е. т (х, у)~т(х), то из (6) имеем
дМ dN
1 dm___ ду дх
т dx N "
2.	Если уравнение (5) допускает интегрирующий множитель как функ-
цию одной переменной у, т. е. т (х, у)=т(у), то
дМ dN
1 dm___ ду дх
т dy — М '
3.	Если уравнение (5) имеет интегрирующий множитель вида т (х, у) =
= т(а(х, у)), где <и (х, у) — известная функция, то
дМ dN
1 dm__ ду dx
tn da .. dm м dm
N~dic~M~dy
Пусть.т0 (х, у) — интегрирующий множительуравнения (5) и Uo (х, у) —
соответствующий ему интеграл этого уравнения. Тогда все интегрирую-
щие множители уравнения (5) выражаются формулой т (х, у)--т()(х, у)х
Хф(£7о(х, У)), где ф(з) — произвольная непрерывно дифференцируемая
функция.
Используя это утверждение, интегрирующий множитель иногда удается
найти следующим образом. Представим уравнение (5) в виде
Л! 1 (х, у) dx -J- N, (х, у) dy 4- М 3 (х, у) dx 4- N2 (х, у) dy = O
и предположим, что удалось найти интегрирующие множители (х, у)'
и т2 (х, у) и интегралы Ut(x, у) и t/2(x, у) соответственно уравнений
Му (х, у) dx4~ Ni (х, y)dy — 0 и М2 (х, у) dx-}- N2 (х, y)dy = O. Тогда все
интегрирующие множители первого Из этих уравнений запишутся в виде
т (х, у) = т1(х, у) <Pi((di (х, у)), а второго—в виде т (х, у) = т2(х, у)х
Хфг (U2 (х, у)), где ф! (г) и ф2 (г) — произвольные дифференцируемые функ-
ции. Если удается подобрать функции ф.* (z) и ф* (г) так, что тх {х, у)Х
ХФ1(^1(х, y))=m2(x,y)q*(U2(x, у)),го т(х,у} = т1(х, у) <р* ! (х, у)) —
интегрирующий множительуравнения (5).
1.88.	Рёшить уравнение
(2хг/ + Зг/2) dx + (х2 4- бху—Зу2} dy = Q.
Решение. В данном случае
Л1 (х, у) = 2ху + Зг/2, N (х, у) = х2 + бху—Зг/2;
^ = 2х + 6у,
ду	’ дх
2x4-6г/.
~	дМ dN
Таким образом, -^'=	, т. е. левая часть данного уравнения
действительно является полным дифференциалом некоторой
функции И (х, у).
Для искомой функции U (х, у) имеем
-^- = 2хг/ + 3г/2, ^- = x2 + 6xz/—Зг/2.
Из первого уравнения получим
U (х, у) = х2у + Зху2 + ф (у).
Для определения функции ф(г/) дифференцируем последнее
равенство по у:
^ == х2 4- бхг/ + -^ = х2 4- бху—Зг/2,
т. е. •^ = —Зг/2. Отсюда ф(г/) =— у3 + С1. Поэтому U (х, у) =
= х2г/-фЗхг/2—у3 + С±. Решения уравнения запишутся в виде
х2г/ + 3хг/2—г/3 = С.
1.89.	Решить уравнение
(Зг/2 4- 2хг/ 4- 2х) dx 4- (бху + х2 + 3) dy = 0.
Решение. Это уравнение в полных дифференциалах,
поскольку
(Зг/2 + 2хг/+ 2х) = 6г/4-2х =-^ (бхг/4-х2 + 3).
Функцию U (х, у) найдем из уравнений
^ = Зг/2 + 2хг/4-2х,.-^ = 6хг/ + х2 + 3,	(8)
Интегрируя, например, второе из этих уравнений по у (считая
х постоянным), имеем
J7 (х, у) = (бхг/ 4- х2 4- 3) dy = Зху2 4- х2у 4- Зу 4- ф (х),
где ф(х) — произвольная дифференцируемая функция. Согласно
первому уравнению из (8),
(Зху2 4- х2у 4- Зу 4- ф (х)) = Зу2 4- 2ху 4- 2х.
76
Следовательно,
. 3y2 + 2xt/-|-§- = 3(/2 + 2xy + 2x, J = 2x,
<P (x) = x2 4- const, U (x, y) = 3xy2+yx2 + 3t/ + x2,
3xy2 + x2y + 3y + x2 = C.
1.90.	Решить уравнение
2x(l + И x2—y)dx—К x2—у dy = Q.
Решение. Поскольку
-f-(2x(l+И^=у)) =-----*=-,
dy v v	Кx2~y
данное уравнение является уравнением в полных дифферен-
циалах. Найдем функцию U (х, у), полный дифференциал кото-
рой равен левой части данного уравнения:
у^- = 2х(1+И*®—-у), ^- = -И^=?.	(9)
Интегрируем по х первое из этих уравнений, считая у посто-
янным:
U (х, у) = J (2х+ 2х Их2—у) dx = х2 + у (х2—у)% + <р (у).
Подставляя это выражение для U (х, у) во второе из урав-
нений (9), найдем
(%2 + f (х2~УУ1г + Ф (У)) = “ Кх2—у,
—И х2—У + ^=	х2—у, ф (у) = const.
2
Следовательно, U (х, у) = х2 + у (х2—у)3/г и решения исходного
уравнения имеют вид
х2 + у(х2—«/)’/« = С или у = х2—[у(С—х2)] '’.
1.91. Решить уравнение
(х-^)2] dx+[ (x-z/)2 ~7]^ = 0-
'	D	дМ dN 2ху
Решение. В данном случае — = ~ = — (х_уу , т. е.
левая часть уравнения является полным дифференциалом не-
которой функции U (х, у).
Найдем неизвестную функцию U (х, у) из соотношения
ди	1 у2
дх ~~ х	{х—у)2
77
Отсюда
(х,у) = § [7—<&4\Ф(у) = Ь*+-^ + Ф(у).
Найдем частную производную функции U (х, у) ио у;
dU _ 2ху—у* dq 9U _ х2____1_
ду — (х—у)2 ' dy ' ду — (х—у)2	у ’
2ху—у2 . dtp (у) _ х2_1_
(х—у)2 dy (х—у)2 у ’
^=1—ф(у)=У“M + Ci.
Функция U (х, у) имеет вид
U(x, у) = 1пх + -^- + у—1пу+.С1.
*> У
Все решения исходного уравнения выражаются формулой
Искомую функцию U (х, у) можно найти иначе, используя
соотношение
dU _ х2	1
ду ~ (х—у)2	у '
Имеем
U (х, у) = J [ у] йУ + (*) = In у ф- ф (х).
ди х2— 2ху dib
Отсюда -т- —	ф- ~т~ .
дх	(х—у)2 1 dx
„	,	х2 — 2ху , dib х2 1 dib 1	,
Таким образом,	-----dr4--TL=:7----гг--, ~т~ ~-------1,
1	’	(х—у)2 1 dx (х—у)2	у ’	dx	х ’
д»2
ф (х) = In х—х. Поэтому U (х, у) = х-__у —Inу + In х—х. Реше-
ния исходного уравнения определяются соотношением
_^_ + 1п- = С.
х—у у
1.92.	Решить уравнение (у2 + х2 + а)у — -{-(у2ф-х2—а)х = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
(у2 ф- х2—а)х dx-\-(y2 + х2 ф-a) ydy = O.
Нетрудно заметить, что это уравнение в полных диффе-
ренциалах:
(х (у2 + х2—а)) = 2ху = (у (у2 + х2 ф-а)).
Найдем его решение:
(ха ф- у2) (х dx ф- у dy)—a (xdx—у dy)—&,
'	(х2 + у2) d (х2 ф- у2)—ad(x2—у2) = 0,
(х2+У?)2—2а (х2—у2) = С.
78
Это семейство овалов Кассини. Их уравнение в полярной
системе координат р* = 2ap2 cos 2ср ф- С.
1.93.	Решить уравнение (хсЬу-КзЬх^-^ф-усЪхф-зЬу = 0.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
(у ch х ф- sh у) dx ф- (х ch у ф- sh х) dy — 0.
Поскольку
(у ch х ф- sh у) = ch х ф- ch у, — (х ch у ф- sh х) — ch у ф- ch х,
Uy	л
это уравнение в полных дифференциалах и
dU u 1 V. ди .	, ,
= у ch х ф- sh у,	= х ch у ф- sh х.
Отсюда
{7 (х, у) = J (у ch х + sh у) dx = у sh х ф х sh у ф- tp (у),
-^-(у shx + xshy + cp(y)) = xchy + shx-^-,
shx-]rxchy + -^-==xchy4-shx, -^- = 0,
<р (у) = const.
Следовательно, U (х, у) = у shx + xshy = С.
1.94.	Зеркало отражает все лучи, выходящие из заданной
точки параллельно данному направлению. Определить форму
зеркала.
Решение. Примем точечный источник света за начало
координат, а ось Ох направим
лению (рис. 22). Пусть
М (х; у)— произвольная точ-
ка зеркала. Рассмотрим сече-
ние зеркала плоскостью хОу,
проходящей через ось Ох и
точку М (х; у), и проведем
касательную (MN) в точке
М (х; у) к сечению зеркала
указанной плоскостью. Из
параллельно данному направ-
закона отражения луча (угол
падения равен углу отражения) следует, что треугольник N0M
равнобедренный: | NO | = | ОМ |. Поэтому
f<T m _	|АШ'|	__________\ММ' |________
g4> — IjVOI + IOM' I ~ / |ОМ']2ффЛ1ЛГ |а + |ОМ' | '
Учитывая, что =	|MM'| = y, |ОЛ4'|==х, получаем
дифференциальное уравнение, описывающее форму сечения зер-
кала плоскостью хОу.
dy _ у
dx х+Ух“-{у*‘
. 79
Это однородное уравнение и его можно решить с помощью
замены y = zx.
Однако проще решить его так. Освободимся от иррацио-
нальности:
dx’ xdx+ydy=^x2+y2dx-
Уравнение имеет интегрирующий множитель т(х, у)—
1
=  г ; поэтому
V *2+z/2
xdx+y£y_^ = 0	dx = 0; /F+7 = x+C,
/x24-i/2	2pGc2 + !/2
z/2 = 2Cx + C2.
Таким образом, сечением зеркала является парабола, а поверх-
ность зеркала представляет собой параболоид вращения.
1.95.	Решить уравнение х = (Зх2 cos у—sinz/)cosz/, если
известно, что оно имеет интегрирующий множитель как функ-
цию одной переменной х или у.
Решение. Представим данное уравнение в виде
(3x2cosz/—sin у) cos г/dx—xdy = 0	-(10)
и вычислим значение выражения
дМ dN о п -	г. , ,
-5-——— = —Зх2 2 cos у sin у—cos 2/7 4 1 =
ду дх	V V	я I
— —2 (Зх2 cos у—sin у) sin у.
Если полученное выражение разделим на —М{х, у) ~
=—(3x2cosy—sinz/)cosy, то частное окажется функцией только
от у, следовательно, интегрирующий множитель есть функция
от у. Найдем его из уравнения
дМ dN
d^ = 2tgydy,
т(у) dy	—М	т	я*
d-^ = 2\igydy, ln|m| = —21n|cosz/| + lnC.
В качестве интегрирующего множителя возьмем т(у) = —.
1 у
Умножая обе части уравнения (10) на eos2j/ , получим уравне-
ние в полных дифференциалах:
(Зх2—tg у) dx—~^dy = 0.
80
Решим его:
—-Зх2—taw dU - Х
дх ox ig у, ду —	^2 у ,
{/ (х, у) = § (Зх2—tg у) dx = х3—х tg у + <р (у),	(х3—х tg у +
+ <pfe/)) = -^, —ебЙ7+ф'^)==“^7’ <Р'^ = 0’
Ф (у) = const.
Следовательно, V(х, у)=х3—xtgy, х3—xtgy = C. Отметим,
что’ при делении на cos2у потеряны решения исходного урав-
нения у = у-ф^л, k£Z.
1.96. Решить уравнение ^1 — yj dx-]- ^2ху + у ф-у-^ dy=0.
Решение. Выясним, имеет ли данное уравнение интегри-
рующий множитель как функцию одной переменной. Вычислим
ду дх ~ у2 У у у2 \ "Г ~у "Г у2 J '
дМ dN
Значит, -у есть функция только от х; следовательно,
„	1 dm 1
интегрирующий множитель находим из уравнения----г- = — — ,
Z7Z иХ	X
dm . dx Л	1
-------= 0, т. е. т~ — .
т х ’	х
,7 1
Умножая исходное уравнение на —, получим уравнение
/1	1	/	1	х \
в полных дифференциалах:-------) dx4- 2у-]-----]-— } dy = 0.
\ х	У J	\	У	У J
Записав его в виде
d±+(L + zy\dy-xdy-ydx = b,
х \ У J	у2
d (in |х| + 1п|у| + у2—у) =0,
имеем 1п|х] + 1п|у|+у2—^ = С.
1.97. Решить уравнение (х2—sin2y)dx + xsin2ydy = 0.
Решение. Здесь Л1(х,у) = х2—sin2y, N(х, у) = хsin2у.
Имеем
dM__dN_ '
ду дх   —2 sin у cos у—sin 2у 	2
~N	х sin 2у — х
Следовательно,
—	, 1п т -ф 21п х = С, т (х, у) =	•
т dx х ’	1	’	\
81
Уравнение 1 — "ffi'1) dx+—dy=О является уравне*
наем в полных дифференциалах.
Представим его в виде
& . xsin2yrfy—sin2ydx  л
Тогда
< (	, sin2 у \ л . sin2 у п	» г,
d хН------- 1=0, хЧ------— = С, x2 + sin2w = Cx.
\ X J ’	' X . ’	1
1.98.	Решить уравнение ydx—(х + х2 + у2) dy = 0, если из-
вестно, что оно имеет интегрирующий множитель как функцию
от х2 + у2.
Решение. Интегрирующий множитель найдем по фор-
муле (7), полагая в ней со=х2 + у2. Имеем
1 dm_	1 +1 +2х	_	2(1-[-х)	__1_
т de> ~ — (х-1-х2у2) 2х—у2у	—2 (1 +х) (x2-f-y2)	со ’
dm , da п , ч 1	1
------= 0, Ш (X, у) = — г = -j-—5 .
т ' со ’ v s'	а>(х, у) х2-\-у2
1
Умножив исходное уравнение на х2 , получим уравнение
в полных дифференциалах:
у dx	f х , , \ Л
, ,	+ 1 ]dy = 0.
х2^у2	\x2-\-yl j J
Решим его:
<9(7 у ди ( х . j,,	. р у j
~дГ~ 1^+у2 ’ ~ду~ ~ ~	’ U^X’ J x2+y2dx~~
= arctgy + ф(у),	(arctg |+ Ф (у)) = -	+1) ,
______1	_х_ . d<f _ х .
, । х2 " у2 “г ~dy~— х2 + у2	’
1+F
^ = — 1, ф(у) = —y + const,
U(x, y) = arctg J—у, ardg^—y = C, y = 0.
1.99.	Решить уравнение
(x3—ху2—у) dx + (х2у—у3 + х) dy = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
х(х2—y2)dx+у(х2—y2)dy-\-xdy—ydx = 0.
Рассмотрим уравнение
х(х2—y2)dx-|-y(x2—y2)dy = 0.	(11)
82
Его интегрирующий множитель mj(x, у) —	’> значит, xdx-J-
±у dy = 0, х2 + у2 = С. Поэтому все интегрирующие множители
уравнения (11) выражаются формулой mt(x,	(x2-f- у2),
где <рх (z)—произвольная дифференцируемая функция. Урав-
нение
xdy—ydx = Q	(12)
«	о /	\	1	dy
имеет интегрирующий множитель т2(х, у) = —; значит, ——
— ^- = 0, ~ = С. Поэтому все интегрирующие множители урав-
нения (12) определяются по формуле т2(х, у) =	<р2	, где
<p2(z)—произвольная дифференцируемая функция.
Пользуясь тем, что <рх (z) и <p2(z)— произвольные функции,
подберем их так, чтобы выполнялось равенство
<Р1 (*2 + У*} = Ч>2 ( у ) •
Л у	л>у \ Л у
Это имеет место тогда, когда <Pi(z) = l, <р2(z)=	2 • Выбрав
указанным образом функции <рг (z) и <р2 (z), найдем интегри-
рующий множитель исходного уравнения:
У
1	1 X
т(х, у) = т1(х, у) = т2—^ = т2(х, у) = —--rrys-
л У	ЛУ ।/ У_ \
\ X J
Умножая обе части исходного' уравнения на т (х, у) ~	-,-2 ,
получим уравнение в полных дифференциалах:
(х х2___и2 4~ (у 4* хг__о2 \dy = Q.
\ Л *7 J	\	Л у t
Решим его:
г У	, х .
дх х2—у2' ду У^х^ — у2’
in*, ^)=4-41пЮ1+(₽(у);
д / х2 1 1 I х — г/ | ,	, х
ду\~2 "2 П| х + у	—У +
тАг + <Р,(^) = г/ + ^Г72. <₽'(?/) = //. <Р(£/)=у + const.
Л “—<У ’	л у
и(х, 9)=4+£_4i„|i=i|;
4+f-4’”imhc-
§ 7. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
КОШИ
Укажем достаточные условия существования и единственности реше-
ния задачи Коши
У)> У (хц) = у9.	(1)
Теорема Пикара. Пусть функция f (х, у) непрерывна в прямоугольнике
П = {(х; у) 11 х—х0] <а, |У—Уо |<&}. а > 0, & > О
и удовлетворяет условию Липшица по у равномерно относительно х, т. е.
|/(х, У1)~ f(x, у2) | < N | У1 — у2 | для всех х, |х—х0|<а и ylt у2,
\У1~Уъ\<Ь,\у2—уъ\<Ь. Пусть М = шах |/(х, у) |, /i = min I а, .
(х; йеП	\ т /
Тогда задача Коши (1) на промежутке [х0—А; х0~|-А] имеет единственное
решение у = <р(х).
Решение задачи Коши при выполнении условий теоремы Пикара
можно найти как предел при п —> оо равномерно сходящейся последова-
тельности функций {уп (х)}, определяемых рекуррентным соотношением
Ул+1й=?о+Г ИЛ yn(t))dt, у0(х) = у0 (n = 0, 1, 2, ...).
J хо
Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения у(х)
п-м приближением уп (х), выражается неравенством
МКп~г
\у{х) — уп (х)|<—-----hn.
Теорема Пеано. Пусть функция f (х, у) непрерывна в прямоуголь-
нике П, причем
f ъ \
М — max |/(х, у) |, A = min(a, -г. ) •
(х;</)ЕП	\
Тогда задача Коши на промежутке [х0—h, х0-|-А] имеет по крайней мере
одно решение у = <р(х).
Часто решение задачи Коши существует не только на отрезке, ука-
занном в предыдущих теоремах, но и на большем отрезке.
Если функция f (х, у) удовлетворяет в прямоугольнике П условиям
теоремы Пикара, то всякое ее решение у = у(х), у(х0) = у0, (х0, у0)£П
можно продолжить до выхода на границу прямоугольника П. Если
функция f (х, у) в полосе а < х < р, — оо < у < оо (а^—оо, р<-]-оо)
непрерывна и удовлетворяет неравенству | f (х, у) | < а (х) | у | -\-Ь (х), где
а (х) и Ь (х)— непрерывные функции, то всякое решение уравнения (1)
можно продолжить на весь интервал а<х< Р.
Точка (х0; у0) называется точкой единственности решения задачи
Коши, если через эту точку проходит только одна интегральная кривая
уравнения (1). Если через точку (х0; у0) проходит более одной интеграль-
ной кривой уравнения (1), то такую точку называют точкой неедин-
ственности решения задачи Коши. Множество точек неединственности
называют особым множеством. Если особое множество содержит интег-
ральную кривую, то такую кривую назовем особой интегральной кривой,
а соответствующее этой интегральной кривой решение — особым решением.
1.100.	Найти наименьшее из чисел М, ограничивающих
функцию f(x, у) — х3у3 + 2(2—х~— у) в прямоугольнике D ~
==Д(*; У) 11 *—1 I < а. I У—1 I < •
Решение. Функция /(х, у) = (х—1)2 + (у—-1)2 + 2 прини-
мает в области D наибольшее значение в точках этой области,
84
наиболее отдаленных от точки (1; 1). Этими точками являются
вершины прямоугольника D, и в каждой из этих точек данная
функция принимает одно и то же Значение: max / (х, у) =
(х;»)е D
= f{a + \, 6 + 1) = п2 + 62 + 2.
Наименьшим числом М, при котором справедливо нера-
венство | f (х, у) | С М для всех (х; у) £ D, является М = а2 +
4- b2 + 2.
1.101.	Проверить, что функция f(x, у) = у2 sin хех в по-
лосе П = {(х; у) 11 у |	6} удовлетворяет условию Липшица по у
равномерно относительно х£ R. Найти наименьшую из постоян-
ных Липшица.
Решение. Пусть ylt у2^П. Оценим разность f(x, у})—
— f(x, у2):	\f(x, yj — ftx, у2) | = |у2 sinx—у2 sinx | —
= I sinx 11у + y211у—y2|. Так как sup j sinx| |yx + y3 | = 26, to
(x; у)€П
]f(x, У1)~[(х, y2)K26|y1—y2|. Это означает, что f(x, у)
удовлетворяет в полосе П по у условию Липшица равномерно
относительно х£ R. Наименьшая из постоянных Липшица равна
N = 26.
1.102.	Проверить, удовлетворяет ли условию Липшица
функция
.	( У In IУI при у =5^0,
/ (У) — |	Q При у _ Q
на отрезке [—6, 6].
Решение. Предположим, что данная функция удовлетво-
ряет условию Липшица на отрезке [—6, 6]. Пусть yt и у2—
две произвольные точки этого отрезка; тогда \f(y1)—/(у2)|^
^А^Ух—у21 для некоторой не зависящей от yv и у2 положи-
тельной постоянной АТ Выберем у2 = 0, У1#=0; тогда должно
выполняться неравенство (уг 11 In | ух 11 N | ух | или | In | ух 11 N
для всех уь 0<|у1|^6, что невозможно.
Данная функция на отрезке [—6; 6] условию Липшица не
удовлетворяет.
1.103.	Доказать, что функция f(x, у) = (2-f-cosх)  у2/»—
— sinx не удовлетворяет условию Липшица по у в полосе
П={(х; y)||y|sgC6}. При каких а и р (а < Р) данная функция
удовлетворяет условию Липшица в полосе Пх = {(х; у) | а^у^р}?
Решение. Предположим, что /(х, у) удовлетворяет усло-
вию Липшица по у в полосе П, т. е. существует такая поло-
жительная постоянная N, что
\f(x, yi)~f(x, y2)| = (2 + cosx)|y21/3—уМ<А/|ух—у2|
для всех х, ух, у2 е П.
Пусть у2 = 0; тогда должно выполняться неравенство
(2 + cosх)у7’А/1Ух| или (24-созх)|ух|_1/’^Х для всех xgR
и Ух, |ух|^6. Очевидно, последнее неравенство не может вы-
полняться для Достаточно малых по абсолютной величине зна-
85
чений yt. dsejy3B^T&vbW3, предположение о том, что данная,
функция в полосе П удовлетворяет условию Липшица, неверно.
Рассмотрим функцию /(х, у) в полосе П^. Для разности
f(x, У1)—[(х, у2) имеем
1/(*. У1)~ f(x, y2)| = (2 + cos%)| y7’—4/7’1^
У*1/,+Уг/*
У^+У^У^ +Уг3
1У1—УЛ-
= (24- cos х)
Следовательно, величина
(2 + cos х)
у[3+у'13
У1*+у1’У2г+У2г
ограничена для всех и у2 из полосы тогда и только
тогда, когда отрезок a^z/^Р не содержит нуля, т. е. когда
оф > 0. При этом условии
(2 ф- cos х)
у[3 + у13
у2/3+у'^3у23+у23
= (2 + cos х)
где
а при а > 0;
j/ГЯ при р<0.
Таким образом, если оф > 0, то данная функция f(x, у)
удовлетворяет условию Липшица по у в полосе П1 с постоян-
2
ной Липшица N = — .
1.104.	Методом последовательных приближений найти реше-
ние задачи Коши ^~Х + У, у(0) = 1.
Решение. Последовательные приближения к решению
данной задачи определим по рекуррентной формуле
0»иМ = 1 + $o(ff + y„(o))dn,	(2)
n = 0, 1, 2, ..., у0(х) = 1.
Подставляя в (2) поочередно n = 0, 1, 2, ..., найдем функ-
ции У„+1(х):
</о(х) = 1,
' У1 (х) ~	(<г + 1) do = 1 4- ~ 4- х,
Уг (х) = 14~ С. f о 4- 1 4* о -ф -g-'j do = 14-х -f-хг-|~-of,
V \	а у.	01
86
1 +J* (-O+1 4- G4-aa+-^J da = l +x+*2 + y+^,
У*(.х) — 1 + Jo (a	+ о + о2+т + '4г) do = 1	+ —3-4-
(х) = 1 + JQ (a+ 1 +<т4-о2 + -у + ... +(^L1)I +У do-
оуз	уя + 1
= 1+х + х2 + ^-+...+^-+7^лут.
Заметим, что у„(х) можно представить в виде
Xй ,	х«+1	,
х—1.
УЛХ)-^ 2]Lft=o k\ ~г(п4-1)!
Поэтому, переходя к пределу при и-^оо, находим решение
исходной задачи Коши:
У = SУп = 2Х&=оТГ~х— 1 = 2еХ—х~1 •
1.105.	Построить последовательные приближения уа(х), у^х)
и у,2(х) к решению задачи Коши—= 1—(1+х)у + у2, у(0) = 1.
Оценить разность между у2 (х) и' точным решением указанной
задачи при —1/4 СхС; 1/4.
Решение. Последовательные приближения к решению
данной задачи Коши определяем по формуле
уп+1 (х) = 1 + Jo (1 — (1 + о) уп (о) + Уп (о)) do,
у0 (х) = 1, п = 0, 1, 2, ....
При я = 0 имеем
у, (х) = 1+J^(1- (l + o) + l)do =
Найдем у2(х):
x2
2 •
y2 (x) = 1 + 0 (1 — (1 4- о) у I (a) + У21 (o)) do =
= 1 + $ * (1 + У1 (<*) (Vi (a)—о — 1)) do = 1 +
+ J0 [1~V+O 2'J]d<T-1+x—T—-g-+go-
Для оценки разности между у2 (х) и точным решением у (х)
указанной задачи Коши найдем само у (х). Действительно,
записав исходное уравнение как -^-(у—х—1) = у»(у—х~ 0.
видим, что у(х^ = хф-1. Таким образом,
|И*)—
- x2K
‘ IQi
87
Выражение ly + -|-—"То | пРинимает наибольшее значение на
промежутке [—1/4', 1/4] в точке х=1/4; поэтому
+	<0,0032,
т. е. |г/(х)—г/2(х)| <0,0032 Vx£[—1/4, 1/4].
1.106.	Методом последовательных приближений найти третье
приближение к решению задачи Коши — х—у2, у(0) = 0,
рассматривая уравнение в квадрате | х |	1, | у |<Z 1, На каком
промежутке теорема Пикара гарантирует сходимость последо-
вательных приближений? Оценить погрешность между точным
решением указанной задачи Коши и найденным третьим прибли-
жением.
Решение. В данном случае функция f(x, у)—х—у2
непрерывно дифференцируема по у и ее частная производная
df
по у есть = — 2у. Поэтому f (х, у) удовлетворяет условию
Липшица с постоянной N— max 1^-1 = 2. Так как М =
= max |f(x, у)| — max \х—у2\ = 2, то ft = min(a, b/М) = 
I х к 1	I х к 1
\у к I	I у |< 1
= min(l; 1/2) = 1/2. Значит, пикаровские приближения к реше-
нию указанной задачи Коши сходятся по крайней мере на
промежутке [—1/2, 1/2]. Приближенья вычисляем по формуле
Уп+1(*) = $о(а—УпЮ№, п =	1......
Имеем:
р2 (х) = С* fa—=
J2' ’ J о \	4 J 2	20
, л С* ( „ /а2	о5\2’\	*2 *5 । Xs	х11
Уз(х) — Jo	( "2	20J /	—"2 ~20 “'“160 W
Разность между точным решением у (х) и найденным третьим
приближением оценивается так:
IH*)— Уз WK-gj- /I3
_ 2-22	1	1
— 6 ‘ 23 — 6 ’
Теорема Пикара гарантирует сходимость последовательных
приближений на промежутке [—1/2, 1/2]. Абсолютная погреш-
ность третьего приближения не превосходит 1/6.
1.107.	Найти максимальный промежуток существования
решения задачи Коши ^ = (x2-\-y2)el~xt~vl, z/(0) — 0, и схо-
димости пикаровских приближений, который гарантируется
теоремой Пикара.
88
Решение. В любом квадрате
П = {(х; t/)£ R2||xCa.	а>0
правая часть данного уравнения непрерывна и ее частная
производная по у
д1^ =	е1'*2'9’) = [~2У (** + №) + е1-"’-"*
ограничена, а значит, f{x, у} удовлетворяет по у условию
Липшица равномерно по х, |х|^а. Таким образом, выпол-
няются условия теоремы Пикара. Теорема гарантирует суще-
ствование решения указанной задачи Коши на промежутке
|х| h, /i = min|a, -4-1, где М = max (х24-г/2)е1-*2_Л
I М )	(х; у) 6 П
Чтобы определить М, заметим, что функция f(x, у) —
= (х2 + у2) e1~xi~y2 постоянна на каждой окружности х2 4-1/2 = г2.
Найдем наибольшее значение функции g (7) = /e1-t при t 0.
Поскольку g(0)=0 и lim g(t) — b, наибольшее значение при
t -> со
функция g(t) принимает в одной из точек максимума.
Производная
g' =
равна нулю только в одной точке t = \, причем g' (t) > 0 при
/<1 и §'(/)< 0 при />1. Следовательно, t = l—точка мак-
симума функции g(t).
Таким образом, наибольшее значение, равное 1, функция
f(x, у) принимает в точках окружности х2 + у2 = 1. Поэтому
h = a.
1.108.	Пусть
f (х, у) = •
0 при
2х при
2х---при
—2х при
х=т^0, —оо<у<оо;
0<х^1, — оо < г/< 0;
0<х^1, О^г/^х2;
0 < х 1, х2 < у < + оо.
Доказать, что пикаровские приближения, построенные для
задачи Коши ^ = f(x, У), у(0) = 0, не сходятся ни на каком
промежутке [0; е], 0 <	1.
Решение. Непосредственно убеждаемся, что в полосе П:
0 х 1, —оо < у < оо функция f (х, у} непрерывна и огра-
ничена: | / (х,	|	2. В силу теоремы Пеано решение задачи
Коши существует. Построим пикаровские приближения при
0 х < 1. Имеем:
г/о(х) = 0, r/i(x)=	0)d/ = ^2/dZ = х2;
yAx)=^f{i,	t2)dt=lx0(-2t)dt^-X\
89
 •	'	' J		 -
Так как f (x, х2) = — 2х, a f-(х,—х2) = 2х,то yim-i(x) = xz,
Угт (х) — ^х2(т = 1,2,...;). Поэтому ^последовательность {уп(х)}
для каждого х#=0 имеет две предельные Точки и, значит,
последовательные ^приближения не сходятся. Заметим также,
что ни одна из сходящихся подпоследовательностей {y2m~i:(x)},
{й2я1(х)} не сходится к решению указанной задачи Коши, по-
скольку *- = 2х^= f (х, х*) и = ~2х^/= f (х, —х2).
Рассмотренный пример показывает, что одной непрерывности
функции f(x, у) недостаточно для сходимости последовательных
приближений.
1.109.	Пусть /(х, у)—функция, непрерывная по совокуп-
ности переменных х и у в области
П = {(х; t/)|x0<xCx0 + o, \у—
и невозрастающая по у при каждом фиксированном х. Дока-
зать, что задача Коши ^ = f (х, у), у(х0) = у0 имеет на любом
отрезке [х0, х0 + е], 0<8^а не более одного решения.
Решение. Пусть у = <р (х) и у = ф (х)—два решения ука-
занной задачи Коши на промежутке [х0, х0 + е]. Обозначим
z(x) = (<p(x) — ф(х))2. Следовательно, z(xo) = O, z(x)2>0 при
х^х0. Вычислим производную от функции z(x):
= 2 (<р (х)—ф (х))	(<р (х)—ф (х)) =
= 2(ф(х)—ф(х))/(х, ф(х))—/(х, ф(х))).
Она неположительна, так как по условию функция f(x, у)
невозрастающая по у при фиксированном х. Из неравенства
0 и условия z (хо)=О следует, что z (х) = 0, т.'е. ф (х)=ф(х)
при всех х£[х0; х0 + е]. Таким образом, указанная задача
Коши имеет единственное решение.
1.110.	Доказать, что если функция f(x, "y) непрерывна по
совокупности переменных х и у в области
П = {(х; t/)|x0^x<x0 + a, \у—у0|<М
и удовлетворяет условию (f(x, у2) —f(x, yt)) (у2 — yj
при х0 <х^х0 + а, то задача Коши = f У)> У№)=у0 на
любом отрезке [х0, х0 + в], 0<е^а имеет не более одного
решения.
Решение. Предположим, что указанная задача Коши имеет
по крайней мере два фешения у=ф(х) и у — ф(х) ша проме-
жутке [х„, х0 + е]. Лусть z(x) = (rp(x)—ф (х))2; таким образом,
.г,(^)=0 и ф)>0 .при х>1Ге. Вычисляя производную функ-
'90		<	' .
НИИ получим
£ = 2 (<р (х)—ф (х)) (ф (х)—ф(х)) =
з=2(ф(х) —ф(х))(/.(х, ф(х)) —fix, ф(х)))< —(ф(х))2-.
Функцияz (ус)удовлетворяет при х > х0 неравенству-^- ~х  ,
z (х) z (х„) (х—х0)2, х>х0. Так как z(x)^0 и z(xo) = O, то
z(.i)=0, т. е. ф(х)_ ф (х). Итак, указанная задача Коши
имеет единственное решение.
1.111.	Найти все решения задачи Коши ^ = 3у2\ у(0)=0,
определенные на промежутке [0, + оо).
Решение. Одно из решений указанной задачи Коши оче-
видно: у(х)=Ы). Покажем, что /(у) действительно не удов-
летворяет условию Липшица в точке у = 0. Предположим
противное; пусть f(y) удовлетворяет условию Липшица,
т. е. существует . такая положительная постоянная N,
что \у/3—у2/“|^Л?|У1—у2|- Положив у2 = 0, Ухт^О, имеем
у!/а < N I Ух I или 1 < NI ух |‘/г.
Однако последнее неравенство противоречиво, если | у11 до-
статочно мало. Поэтому функция / (у) не удовлетворяет условию
Липшица в точке у = 0 и поставленная задача может иметь неедин-
ственное решение. При у =£0, разделяя переменные в уравнении
~- = Зу2/з, получим: у~2^ dy — 3dx, С у~2^ dy — \3dx, Зу'^ —
= 3(х—с), у = (х—с)3.
Семейство функций у = (х—с)3 содержит одно решение ис-
ходной задачи Коши: у = х3. Кроме двух указанных решений
данной задачи Коши ее решением, определенным на промежутке
[0; оо), является также всякая функция вида 
Г 0 при 0 х с0;
у = <р (х) = . .	. „
I \х—со) ПРИ х>со.
для любого с0 > 0 (рис. 23). Таким образом, исходная задача
Коши имеет бесконечное множество решений.
1.112.	Выяснить, имеет ли уравнение +	—хУ/з
особые решения. Найти их, если они существуют, построить
интегральные кривые данного уравнения.
Решение. Введя замену у—х — г, относительно z получим
уравнение
— = — г’/»	(3)
dx 2	' '
з 
Функция /,(z) = -g z1/» не удовлетворяет условию Липшица при
г = 0. Поскольку z = 0’есть решение последнего уравнения,
91'
оно может быть особым решением. Найдем другие решения
уравнения (3):
z-'l»dz — ^dx, У z~'i>dz = dx\
^гг/* = ^(х—с), г = (х—сУ>‘.
При х = ха условию z(xo) = O удовлетворяют по крайней
мере два решения уравнения (3): z = 0 и z — (x—xQ)3K Поэтому
z = 0 — особое решение уравнения
(3). Учитывая замену у—х=г,
заключаем, что функция у =
—X является особым решением
исходного уравнения. Остальные решения этого уравнения
определяются формулой у = х-\-(х—с)3/г. Их графики изобра-
жены на рис. 24.
1.113.	Может ли уравнение Риккати	= а (х) у2 -j- b (х) у -ф
-фс(х), где а(х), Ь(х) и с(х) — непрерывные по всей оси функ-
ции, иметь особое решение?
Решение. Функция f (х, у) = а (х) у2 -ф b (х) у-\-с (х) непре-
рывно дифференцируема по у, и ее частная производная
= 2а (х) у -ф b (х) ограничена в любом прямоугольнике
П={(х; у)е R2|l^—Ха\^а, \у—z/0|<4-
Поэтому в прямоугольнике П функция f(x, у) удовлетворяет
условию Липшица по у, а значит, правая часть исходного
уравнения удовлетворяет условиям теоремы Пикара. Следова-
тельно, данное уравнение особых решений не имеет.
1.114.	Пусть f(y) — непрерывная на промежутке [а, Ь] функ-
ция, обращающаяся в нуль только в одной точке у* С (а, Ь),
Ру* Ду
f(y*) = Q. Доказать, что если интеграл j -у-^- расходится, то
задача Коши
=	(4)
имеет единственное решение у(х)^=у*-, если же J схо-
92
дится, то единственность решения указанной задачи Коши
нарушается.
Решение. Пусть у = ф(х)—решение уравнения ^ = /(у),
для которого ф (х0) = у0 < у* (случай уа~> у* исследуется ана-
логично); предположим, что f(p)>0 при у£\уа, у*). Функция
у — <р (х) удовлетворяет соотношению
РФ (*) dy
X — Хо = \	. •»
0 Jko Ну)
Из этой формулы видно, что если ср(х) приближается к у*, то
Су* dy
из-за расходимости интеграла -ц_ переменная х неогра-
ниченно возрастает. Это означает, что интегральная кривая
решения р = ф(х) асимптотически приближается к прямой
у = у* при неограниченном возрастании х и не имеет с ней
общих точек ни при каком конечном значении х. Следовательно,
в этом случае задача Коши (4) имеет единственнве решение.
Пусть теперь ~Цу}=А < °°' ^Ри значении х = х0 + А =
= х кривая р = ф(х) приходит в точку (х; у*), лежащую на
интегральной кривой у = у*.
Таким образом, в этой точке единственность решения нару-
шается. Поскольку функция у = ф (х—с) есть решение уравнения
= при любом c£R, единственность решения нарушается
для любой точки прямой у = у*. Таким образом, в случае схо-
f*//* dti
димости интеграла j прямая у — у* .является особой интег-
ральной кривой, а функция р(х)^=у* — особым решением урав-
нения.
1.115.	Используя утверждение, доказанное в предыдущей
задаче, указать особые интегральные кривые уравнения
= y2Ja (.У2 — О- Приближенно изобразить на чертеже интеграль-
ные кривые данного уравнения.
Решение. Правая часть уравнения обращается в нуль
в трех точках: у = 0 и у = ±1. Пусть |у0|<1; тогда
С°—т;———:—= ?0</з	. Следовательно, С° ———-------- схо-
(У2—1) Jy0 г-1	Зу» у'3 (у2— 1)
дится, а значит, в точках прямой у = 0 нарушается единствен-
ность решений исходного уравнения. Нетрудно доказать, что
интегралы
С-1 dy f1 dy
Л» у!/’(у2-1) ’ J^y/j(y2-i)
являются расходящимися, а это означает, что в точках прямых
у=±1 единственность решений не нарушается.
Учитывая также, что в промежутках (—1, 0) и (0, 1)
У*1з№—1)<0, а в промежутках (—оо, —1) и (1, -f-oo)
93
у’А(*/2—1) > О, нетрудно схематически показать поведение
интегральных кривых данного уравнения (рис. 25).
1.116,	Пусть функция f(x, у) определена и непрерывна
в прямоугольнике П={(х; у) |0 <Jx | у—уа | ^Ь}, а г/=<Р1 (х)
и ^ = Фа(^)—решения задачи Коши ^ = /(х, у), у(Р)=уа,
определенные на промежутке [0, й], й < а. Положим (й)= уг,
ffi(h)==y2 (пусть для определенности У1<у2).
Доказать, что для любого у* g (yt; у2) существует такое ре-
шение у = <р (х) указанной задачи Коши, что <р (h) = у*.
Решение. Рассмотрим решение у ~ ф(х) следующей задачи
Коши:
^=/(^, У). у(Л) = у*.
Существование такого решения гарантирует теорема Пеано.
Будем продолжать решение р = ф(х) влево от точки x = h
(рис. 26). При таком продолжении интегральная кривая этого
решения попадет или в точку (0; р0) (в этом случае ф (х) и будет
искомой функцией у = (х)), или при некотором х = т, 0<т<й
совпадет (пересечет) с одним из графиков решений p = <Pj(x)
или р = <р2(х). Для определенности считаем, что <рх(т) =ф (т).
Однако в точке (т;	(т)) совпадают не только графики решений
у = <р1(х) и р = ф(х), но и касательные, проведенные к этим
графикам: /(-г, <р1(т)) = /(т, ф(т)).
Поэтому в качестве решения задачи Коши у = <р(х) можно
взять функцию
( (рДх) при О^х^т;
ф(х)— [ ^(х) при т^х^й.
Таким образом, функция <р (х) есть решение исходной задачи
Кеши на промежутке [0, h] и <р (й) = ф (й) = у*.
94
Из этой задачи, которая является частным случаем теоремы
Кнезера, следует, что если через некоторую точку (х0, у0) про-
ходят хотя бы две разные интегральные кривые, то через нее
проходит бесконечное число интегральных кривых.
§ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное отно-
сительно производной, имеет вид
F (х, у, =0.	(1)
\ s dx }	' ’
При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно
dw
, т. е. получить одно или несколько уравнении, разрешенных относи-
тельно производной:
=	G = l, 2, ..., k).	(2)
Однако не всегда уравнение (1) разрешается относительно и еще
реже полученные после, разрешения относительно у' уравнения (2) легко
интегрируются. Поэтому уравнения вида (1) часто приходится решать
методом введения параметра. Рассмотрим простейший вариант этого ме-
тода. Более полно этот метод изложен в [13; 17|.
Пусть уравнение (1) легко разрешается относительно у или относи-
тельно х, например его можно записать в виде y = f(x, у') у'^=~.,
r>	. dy	,,	.
Введя параметр /,=="^ > получим y = f(x, р).
Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства
и заменив dy через pdx, получим уравнение
df (х, р) , . df (х, р)
pdx= \  ’ dx-{— \	 dp,
дх 1 др
т. е. М (х, р) dx-\-N (х, p)dp — 0.
Если найдем решения этого уравнения х = Ф(р, с), то решения ис-
ходного уравнения запишем в параметрическом виде
( х = Ф (р, с),
I У=Цх, р).
Примерами уравнений, которые решаются изложенным выше методом,
являются уравнения Лагранжа у = х<р (у’) + ф (у') и Клеро у = ху'~\-^(у').
Задача Коши у(х<^=уй для уравнения (1) имеет единственное реше-
ние (точка (х0; р0) является точкой единственности решения), если не
существует двух интегральных кривых уравнения (1), которые проходили
бы через точку (х0; уй) и имели бы в этой точке общую касательную.
В противном случае в точке (х0; yQ) единственность решения задачи
Коши нарушается (точка (х0; уо) является точкой неединственности ре-
шения задачи Коши).
Достаточные условия существования и единственности решения
задачи Коши для уравнения (1) определяет следующая теорема.
Теорема. Пусть функция F (х, у, у') в окрестности точки (х0, уа, у'о),
где уо—один из корней уравнения F (х0, у0, у'о) = О, непрерывна по х и не-
прерывно дифференцируема по у и у', а ее производная по у’ отлична
95
1
от нуля:
dF	t
~^г (*о. у0, у'о) / О,
Тогда существует единственное решение у = <р(х) задачи Коши F (х,
у, у') = 0, у(х0) = уа, определенное в достаточно малой окрестности точ-
ки х0, для которого <р' (хо) = у'о.
Как и уравнения, разрешенные относительно производной, уравнения
вида (1) могут иметь особые решения, т. е. такие решения, соответст-
вующая интегральная кривая которых целиком состоит из точек не-
единственности.
Если функция F (х, у, у') непрерывна по х и непрерывно дифферен-
цируема по у и у', то особое решение уравнения (1), если оно имеется,
удовлетворяет системе уравнений
f Е (х, у, у') = О,
I dF .	_	(3)
\-^<х,у,у)=Ь.
Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнения (1), из системы
уравнений (3) надо исключить у'. Полученное при этом уравнение
W (х, у) = 0 определяет дискриминантную кривую. Для каждой ветви
дискриминантной кривой необходимо проверить, является ли эта ветвь
решением уравнения (1), и если является, то окажется ли это решение
особым, т. е. состоит ли соответствующая ему интегральная кривая из
точек неединственности.
Если семейство кривых Ф (х, у, с) = 0, являющихся интегральными
кривыми уравнения (1), имеет огибающую у = <р(х), то она представляет
собой особую интегральную кривую этого же уравнения. Если функция
Ф (х, у, с) непрерывно дифференцируема, то огибающая входит в состав
дискриминантной кривой, определяемой системой уравнений
( Ф (х, у, с) = О,
J <ЭФ
( У’
Некоторая ветвь у = т(х) дискриминантной кривой заведомо является
дФ	дф
огибающей, если (х, <р (х), с) 0 или (х, <р (х), с) 0.
В общем случае, чтобы узнать, является ли ветвь у = <р(х) дискри-
минантной кривой огибающей (особой интегральной кривой), следует
выяснить, касаются ли ее в каждой точке кривые семейства ф (х, у, с) = 0.
Если они являются интегральными кривыми уравнения F (х, у, у')— 0,
то интегральные кривые уравнения
F х, у,
_ОЛ.У0
1 ± ky' J
пересекают кривые данного семейства под одним и тем же углом а, для
которого tga = &. В частности, интегральные кривые уравнения
F^x, у, —-^-^=0 ортогональны кривым Ф (х, у, с) = 0.
1.117.	Решить уравнение (у')3—2х(у')2 + у’ = 2х.
Решение. Поскольку (у')3—2х(у’У‘ + у’ — 2х = (у'—
— 2х) ((/)* + 1), данное уравнение эквивалентно уравнению
——2х = 0. .Его решения имеют вид у — х2 + С.
1.118.	Решить уравнение (у')2 + у(у—х)у'—xy3 = Q.
Решение. Представим данное уравнение в виде (у'+у2)х
х(у'—ху) = 0. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно
96
совокупности двух уравнений: у' + у2 = 0 и у'—xy = Q. Реше-
ния первого из них // = 0 и у= х_^с , а второго у = Сех2!2.
Окончательно	(у—Се*2'2) =0.
1.119.	Решить уравнение (y')2 + (sinx—2ху)у' —2xysinx = 0.
Решение. Данное уравнение эквивалентно совокупности
двух уравнений, разрешенных относительно производной:
— 4-sinx = 0 и —2ху = 0. Решения первого из этих урав-
нений y = cosx-]-C, а второго у = Сех\ Поэтому решения исход-
ного уравнения (у-—cosx—С)(уе~х2— С) = 0.
1.120.	Решить уравнение (у’)2 —1=0 и нарисовать его ин-
тегральные кривые. Нарушается ли в каких-либо точках плос-
кости хОу единственность решения
этого уравнения?
Решение. Данное уравнение
эквивалентно совокупности двух
„ dy , dy ,	„
уравнении ^=1 и -^ =—1. Ре-
шениями этих уравнений служат
соответственно семейства функций
г/=х-фС и у = —%4-С.
Через каждую точку (х0; у0)
плоскости хОу проходят две ин-
тегральные
уравнения:
y—yQ = — x+x,
интегральные кривые пересекают-
ся под прямым углом, единствен-
ность решения не нарушается (рис. 27).
1.121.	В каких точках плоскости хОу нарушается единст-
венность решений уравнения (у')2 — (у-]-х2)у' -|-'x2y=0? Написать
по три разных решения данного уравнения, проходящих через
точки (0; 0) и (1; 1).
Решение. Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
кривые исходного
У — Уо = х — ха и
:0. Поскольку эти
dy
dx
dy 1
— у и ~ = х2.
v dx
(4)
Через каждую точку плоскости хОу проходит по одной ин-
тегральной кривой каждого из этих уравнений. Единственность
решений исходного уравнения нарушается в тех точках плос-
кости, в которых касательные к интегральным кривым урав-
нений (4) совпадают, т. е. в точках, в которых совпадают пра-
вые части уравнения (4). Этими точками служат точки параболы
у = х2.
Чтобы дать ответ на второй вопрос задачи, решим уравне-
ния (4). Интегрируя эти уравнения, имеем у = Сех и у = -^-\- С.
4 Ns 2314
97
Запишем решения исходного уравнения, проходящие через
указанные точки. Через точку (0; 0) проходят, например, такие
решения исходного уравнения:
х3	f 0 при х < 0;
= прих>0,
а через точку (1; 1)—следующие решения:
г д-з 2
/ \ г-т / х X3 . 2	, . I -Э- + -5- при X < 1;
У1(х) = еж \ t/2(x) = y + y,	3	3
[ех~х при х^ 1.
1.122,	Решить уравнение у = (у'Уеи'.
Решение. Введем параметр р = г/' = ^~. Тогда у = р2е?,
dy = (2реР + р2е?) dp. Кроме того, dy = pdx, поэтому pdx =
= р(2-]-р)еРdp. Отсюда р = 0 либо x = 2eP~yep(p — 1)4'0 =
== ер (р +1) + С.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются
Р = (р+1И+с,
у = 0 и <
\у — р2е?.
1.123.	Решить уравнение In у' -4- sin г/'—х = 0.
Решение. Положим у' = р, x = lnp + sinp. Так как dy—
—pdx, то	+ cos р ) dp. Отсюда у=(1 4- pcosp)dp =
=/2 4-cos/?-j-/?sin/? + O. Решения данного уравнения имеют вид
Г х= In р + sin р,
\у = р-\- cos р 4- р sin р + С.
1.124.	Решить уравнение у' sin у'-у cos у'—у = 0.
Решение. Данное уравнение разрешимо относительно у,
поэтому, положив у' = р, имеем у = р sin р 4- cos р. Дифферен-
цируя это равенство по х, получим
dp .	dp . 'dp	dp
тх> p = pcosp-^.
Из этого уравнения находим р = 0 и x = sinp + C.
Г x = sinp + C,
Следовательно, у = 1 и ч .
' и	[ у = psinp4-cosp.
1.125.	Решить уравнение {у'У-У{х-\-а)у'—у = 0.
Решение. Введем параметр р = у'\ тогда у = р24-(х4-а)р.
Из равенств dy = pdx и dy = 2рdp4-(х4-a)dp4-рdx имеем
pdx = 2pdp-\-(x-\~a)dp + pdx, (2p + x+a)dp = 0. Отсюда р = С,
или 2р\-х-\-а = Ь. Поэтому решения исходного уравнения имеют
вид
‘'=(х+‘,)С+С8"\2р+х+«-О.
98
Исключив из последних двух равенств параметр р, получим
у = С(х + а) + С* и у = --Ц^-
1.126.	Решить уравнение К (у' )2+1 + ху'—у — 0.
Решение. Это уравнение Клеро. Положим р = у'\ тогда
1/ = хр + К1+р2. Дифференцируя последнее равенство по х,
имеем
dp
du , dp , р dx
~ = р + х-~+ л
dx f dx у ] Ц. p-2
Отсюда	p = o x=---------, p или p = c. Таким
\	/H-P2 ) dx	у\+p2
образом,
____	(x=---r 	,
у = сл:-фК1+с2и< ? 1 p~
\ у = px+V 1 + p2.
Исключив из последних двух равенств параметр р, получим
у = Г1 —х2.
1.127.	Решить уравнение х4 (у')2 — ху’—у = 0.
Решение. Введем параметр р = у', тогда у = х4р2—хр. Из
равенств dy = pdx и dy = 4x3p2dxy 2рх4 dp—xdp—pdx полу-
чим (2p — 4x3p2)dx==(2px4—x)dp, или (1—2px3){2p dx~\-x dp)=b.
Отсюда 1—2px3 = 0, или 2pdx-\-xdp = Q. Первое из этих ра-
венств дает решение исходного уравнения:
JI—2рх3 = 0,	, j j
\у = Х4р2—Хр, ИЛИ 4х*	2х2	4х2'
Решая уравнение 2pdxyxdp = 0=$>p = -^ , находим остальные
решения исходного уравнения: у = С2—
1.128.	Решить уравнение х^ = уУху 1 +
Решение. Положим = р; тогда у = ,г(р — К1 + Р2)- Диф-
ференцируя это равенство по х, получим:
~ = р— К1 + р? + f 1_ р ;
dx	V /1+р2 J dx
р = р—1----
r r	1 + р2 / dx ’
4*
99
Разделяя переменные и интегрируя, находим:
dx . / р	1	\ . п
—FI 1—:—“	г ' ~ I &Р — *
х г\ 1+ p2 К1 + Р2 )
1п|х| —1п(р + к 1 + р2) + у In (1 +/J2) = lnC;
с(р+ГТ+^)
Л	г- —	•
V 1 + р2
Запишем решения исходного уравнения в параметрическом виде:
(С(р+^Т+?)
J V1+Р2	’
\y^x{p—V\ + p*Y
Исключая параметр р из этих двух равенств, получим (х—С)2Д
+ г-с.
1.129.	Решить уравнение у' -\-у = х (у')2.
Решение. Данное уравнение легко разрешимо относи-
тельно у: у = х{у'У—у'. Это уравнение Лагранжа. Введем па-
раметр р — у'тогда у — хр2—р. Дифференцируя по х, имеем
^ = р2 + 2рх^—или р = р2 + 2рх^~-
dx 2	1
Получим линейное уравнение	х= 'р (р—1~ ’ Решая
р— In р+С
его, находим х = --—.
(Р —1)2
1.130.	Решить уравнение у (у')2-{-2ху'—у' = 0-
Решение. Это уравнение, как и предыдущие, можно
решить методом введения параметра. Однако проще это сде-
лать, введя замену y2 — z. Тогда 2yy' — z', исходное уравне-
ние примет вид (z')2 + 4xz' — 4z = 0, т. е. исходное уравнение
преобразуется в уравнение Клеро. Решая его, найдем z —
=	+ у и z — — х2. Учитывая, что z = y2, имеем у2 =	.
1.131.	Решить уравнение (у')2 + у2 = 1. Написать три реше-
ния этого уравнения, удовлетворяющие условию у (0) = 1.
Решение. Решим данное уравнение методом введения па-
раметра, положив y' = sinp, у = cos р. Из равенств ^ = sinp
и = — sinp — получаем sinp =— sinp-^-. Отсюда sinp = 0
или ^- = —4, т. е. р =— % + С.
dx	'	1
Таким образом, функции, заданные параметрически равенст-
вами
[sinp = 0,	( х = С—р,
<	и
(у = cos р	[у = cos р,
100
являются решениями исходного уравнения. Исключая пара-
метр р, получим у = —1, у—1 и у = cos (%—С).
Прямые у=±1 служат огибающими семейства кривых
y = cos(x—С) (рис. 28).
В каждой точке прямой
у=±1 нарушается един-
ственность решения, по-
этому решения у =—1 и
у = 1 являются особыми.
Примерами	решений
данного уравнения, удов-
летворяющих	условию
у (0) = 1, могут служить следующие функции:
Рис. 28
Ух (х) = 1, y2(x) = cosx, у3(х) =
'cos х при х < 0;
1 при 0^х^л/2;
sin х при х > л/2.
Начальному условию у(х0) = 1 или у(л:0) =—1 удовлетво-
ряет бесконечное множество решений данного уравнения.
1.132.	Решить уравнение (у')2—2ху'+у = 0. Имеет ли это
уравнение особые решения?
Решение. Положим у' = р; тогда у = 2хр—р2. Из равенств
dy—pdx и dy=2pdx-\-2xdp—2pdp получимpdx+2(х—p)dp=0.
d X Ух
Отсюда р = 0 или -^-Д —= 2. Это линейное уравнение. Решая
2 С
его, находим х = -^р +
Решения исходного уравнения имеют вид
(	2	, С
I х — р 4—г >
[у = 2рх—р2, y = Q.
Исследуем, существуют ли у этого уравнения особые реше-
ния. Для определения дискриминантной кривой составим систему
( (у')2—2ху' + у = 0,
( 2у' — 2х = 0.
Исключая из этих уравнений у', находим дискриминантную
кривую у = х2.
Непосредственно убеждаемся, что у = х2 не является реше-
нием исходного уравнения, а значит, и его особым решением.
Таким образом, данное уравнение особых решений не имеет.
1.133. Найти особое решение уравнения у = х^2у' — (у')2.
Решение. Из системы уравнений
У—х—2у' + (у')2 = 0,
2—2у' = 0
101
находим дискриминантную кривую у = х+1. Выясним, служит
ли функция у = х-|-1 особым решением. Непосредственной под-
становкой в уравнение убеждаемся, что у = х4~1 является его
решением. Проверим, касаются ли прямой у = х-ф1 в каждой
ее точке другие интегральные кривые исходного уравнения.
Для этого решим данное уравнение. Положив р~у', у =
~х + 2р—р2, из соотношений dy=-pdx и dy = dx-\-(2—2p)dp
получим (р—1) dx-j-2 (р—-l)dp=0. Отсюда р— 1 или х = —2р-\-с.
Поэтому решениями исходного уравнения являются функции
( х = —2р + С,
У х 1 и \
\у = х+2р — р2.
(С—л')2
Исключая параметр р, имеем у = х 4~1, у = х + С—х— -——-
— С—~Условия касания кривых у = ф(х) и у = ф(х)
в точке с абсциссой х = л*0 таковы: ф (х0) = ф (х0), ф' (х0) = ф' (л'о).
(С_х)2
Для решений у = х+1 и у = С—-—— эти условия запи-
шутся в виде х0 + 1 = С——~4~ •, 1 =	•
Из второго равенства находим С = 2^х0. Подставляя это
92
значение С в первое уравнение, получим х0-р 1 = 2 + х0—	,
Л'о--1 =х0+ 1- Это равенство справедливо при всех х0. Значит,
при каждом х0 прямая у = хр-1 в точке с абсциссой х0 касается
(С—х)2
одной из парабол у = С—-—, а именно той параболы, для
которой С = 2 + х0. Следовательно, у = х+1—-особое решение.
1.134.	Решить уравнение 8(у')3—12(у')2 = 27(у—х). Выде-
лить особые решения, если они существуют.
Решение. Данное уравнение решим относительно у:
у=^(у')3—J(/)2+*
и введем параметр р = у', т. е. dy = pdx. Тогда
у = ^р3—^-р* + х, dy = -j(p2—p)dp + dx.
Вейлу равенств dy = pdx и dy=^(p2—p)dp-srdx получаем
уравнение
у(р2—p)dp + (l—/?)с/х = 0, (р—dxj =0.
Отсюда р=1 или х = -^-р2 + С. Решения исходного уравнения
102
имеют вид
4
г/ = х—27 и
’ х = ур2+С;
8 «	4 п .
^ = _рз„g/>’U
Исключив параметр р, окончательно находим
у = х-~ и у = (х-С)’/, + С.	(5)
Исследуем, имеются ли среди функций (5) особые решения
данного уравнения. Составим систему уравнений для нахожде-
ния дискриминантной кривой:
[ 8у'3—12у'2 = 27(у—х),
\ 24у'2 —24у' = 0.
Исключив из этих уравнений у’, находим дискриминантную
4
кривую: у — х и у = х—
Ветвь у~х дискриминантной кривой не является интеграль-
ной кривой. Функция у = х—~ является решением исходного
уравнения. Проверим, касаются ли в каждой точке прямой
у = х—X другие интегральные кривые. Условия касания в дан-
4	3
ном случае принимают вид х0—^ = (х0—Су^+С, 1 =-2-(х0—С)'!‘.
Этим условиям удовлетворяют все пары чисел (х0; С), связан-
ные соотношением х0— С = -д-. Это означает, что в любой точке
4
(х0; у0) прямой у = х—ее касается одна из кривых семейства
у = (х—С) С, а именно та, для которой С = х0—у. Таким
4
ооразом, прямая у = х—состоит из точек неединственности
и является особой интегральной кривой.
1.135.	Каждая из функций семейства у = Сех-\--^ является
решением дифференциального уравнения (у')2—УУ’ + 4е* = 0.
Найти особые решения этого уравнения.
Решение. Запишем систему уравнений для определения
дискриминантной кривой:
y = Cex + -i,
Исключив параметр С, получим у=±4ех^2; убеждаемся, что
обе ветви у = 4еХ/’2 и у —— 4е*/2 дискриминантной кривой яв-
ляются интегральными кривыми данного уравнения. Так как
103
4
функция Ф(х, у, C) ssy—Cex—-£ непрерывно дифференцируема .
по х и по у и ее частная производная 4^- = 1 О, то кривые
у = ± 4е-*''2 являются огибающими семейства линий у = Се* + ,
а значит, особыми интегральными кривыми данного уравнения.
Такой же вывод получим, убедившись, что в каждой своей
точке линии у= ± 4е*''2 касаются одной из кривых у = Се*
В самом деле, запишем условия касания в точке с абсциссой х0
4
линии y = 4eXi'2 и одной из линий х = Се* -q 
( 4ех0/2 = Се*о4.-1,
<	с
I 2e-V2 = Се*о.
Из второго уравнения этой системы найдем С = 2е_*°/2 и под-
ставим в первое уравнение. Имеем 4е*^2 = 2ех»/2 --2е*о/2. Полу-
ченное тождество означает, что в любой точке кривой у~ 4е*/2
4
с абсциссой х0 ее касается одна из кривых у — Се* + , а именно
та, у которой С = 2е"*»/2, т. е. кривая
у = 2е^	+ 2е*»/2 = 2е*^2 (е{*'*°} +1).
Таким образом, еще раз доказано, что у = 4е*/2 является особым
решением исходного уравнения. Точно так же можно убедиться,
что в каждой точке кривой у = — 4ех/2 с абсциссой х0 ее ка-
4
сается одна из кривых у = Се* , т. е. что и у = — 4ех/2 есть
особое решение исходного уравнения.
1.136.	Каждая из парабол х2-\-С(х—Зу) + С2 = 0 является
интегральной кривой дифференциального уравнения Зху'2—
— 6pp'-j-x4-2p = 0. Найти особые решения этого уравнения.
Решение. Из системы уравнений
( Ф(х, у, С)	х2-\~С (х—Зу) + С2 = 0,
I ^(х, у, С) = х-Зу + 2С = 0
находим уравнение дискриминантной кривой: х2—(х—Зу)2 — 0,
т. е. у — х и у = — х/3. Обе ветви у = х и у = — х/3 дискрими-
нантной кривой являются интегральными кривыми данного
уравнения. Проверим, будут ли эти ветви огибающими данного
семейства парабол.
Прямая у = х в точке (х0; х0) пересекается с одной из па-
1	/ у2
рабол х2 + С (х—Зу) + С2 — 0, а именно с параболой у — -~\--р
О \ Хо
+ х+х0). Кроме того, производные функций у = х и р = 4-Х
/	V
104
/	\
x — 4-x4-x0 в точке x = x0 равны 1, т. e. прямая у — х ка-
\ #0	/
1 [ X2	\
сается параболы у = v----1- х + х0 . Следовательно, она является
<5 \ х0	/
огибающей данного семейства парабол, а значит, функция у = х—•
особое решение исходного уравнения.
Прямая у = — у в точке	пересекается с одной
из парабол данного семейства, именно с той, для которой С =
= —хв, т. е. с параболой у = — у (------х-(-х01. Производная
от указанной функции в точке х = хв равна — 1/3, следовательно,
прямая у = — х/3 в этой точке касается параболы, а значит,
является огибающей данного семейства парабол. Таким образом,
и функция у —— х/3— особое решение исходного уравнения.
1.137.	Найти линии, ортогональные линиям семейства гипер-
бол ху = а.
Решение. Составим дифференциальное уравнение указан-
ного семейства гипербол: х+ у = 0. Дифференциальное урав-
нение линий, ортогональных данным гиперболам, имеет вид
х ,	„ dy п
---7~ + У = 0, У тт—х = 0.
dy 1 J J dx
dx
Отсюда находим искомые линии: ydy—xdx — Q, у2—х2 = С.
1.138.	Найти линии, ортогональные линиям семейства окруж-
ностей х-- у~ -~-2ах.
Решение. Составим дифференциальное уравнение данного
семейства окружностей: 2х ф- 2у = 2а, 2х2-\-2ху^ = х2-\-у2.
Дифференциальное уравнение искомых линий имеет вид
—,,2_Г2 ЛУ _ 2хУ
dy V ’ dx х‘-—у2’
dx
Решая его (например, как однородное уравнение), находим
искомые линии: С (х2 + у2) = у.
1.139.	Найти уравнение семейства линий, ортогональных
интегральным кривым дифференциального уравнения у In у' ф-
, х
+ х= —Г.
У
Решение. Составим дифференциальное уравнение искомого
семейства линий. Для этого в данном уравнении заменим у' на
— -у-.Имеем p in — у-) ф-х =— ху', илиу1п(—р')=х(1 +у')-
Решим полученное уравнение методом введения параметра.
Положим р = — у', т. е. dy = — pdx. Тогда
У — х; dy = ±j~P- dx—х р 1пД~2--—-dp.
J In р J In p	p In-p r
105
Приравняв выражения при dy, получим дифференциальное урав-
нение
“ PdX = TafT dX~X Р рР1П2р+ dP>
или
L-P±P^dx = xp- 1п4~-£± 1 dpt dx=*dp.
In р	pln2p r	p In p r
Решая это уравнение, находим х = С In р. Уравнение линий иско-
мого семейства в параметрическом виде: х = С1п/>, у = р х.
Исключив параметр р из последних соотношений, имеем у —
= С (1 — ех!с).
1.140. Используя результат задачи 1.16, составить уравнение
семейства эквипотенциальных линий электрического поля, созда-
ваемого диполем. (Эквипотенциальные линии, или линии равного
потенциала, ортогональны силовым линиям поля.)
Решение. Пусть расстояние между зарядами + q и —q,
образующими диполь, равно 2а. Как показано в задаче 1.16,
дифференциальное уравнение силовых линий диполя имеет вид
(х — а x-)-a\dy / 1	1 \ п
( з ~	( з з" ) У >
\ г-2 Г1 / dx \ Г 2 Л1 /
где г} = (х + а)2+у2, rl = (х—а)2 -г у2.
Так как линии равного потенциала ортогональны силовым
линиям, то их дифференциальное уравнение запишется в виде
(х—а	f 1 \	/ 1	1 V. п
(щ тл _'5г(т_7Г?_ц’
\ dx J
ПЛИ
(х—а) rl—{x+a) г32 4- у (rf — rl) ^| = 0.
Поскольку r1dr1 = (xJra)dx^-ydy, r2dr2 = (x—a)dx-rydy, по-
следнее уравнение запишем в виде r2r2dr2 — rs1r1dr1. Интегрируя
это уравнение, находим у-—— Это уравнение выражает
основное геометрическое свойство линий равного потенциала
рассматриваемого поля: разность величин, обратных расстояниям
текущей точки от заряженных центров поля, есть величина
постоянная. Переходя к переменным х и у, получаем искомое
уравнение линий:
1	_	1	= с.
V(x—а)2+у2	}/\ха)2у2
1.141.	Найти уравнение семейства линий, ортогональных
интегральным кривым дифференциального уравнения уу'+х +
+ у'sin-4 = 0.
J	у'
106
Решение. Заменяя в данном уравнении у' на —	, со-'
ставим дифференциальное уравнение искомого семейства: у
= ху' + sin у'. Это уравнение Клеро. Решаем его. Пусть р = у',
у = xp + sin р. Тогда pdx = xdp + pdx-\-cos pdp, (x4-cos p) dp=O,
X — — cos p или p = C. Решения уравнения Клеро таковы: у ==
( х = — cosp,
=Cx4-sinCH<	. (особое решение).
( y = px + smp
1.142.	Составить уравнение семейства линий, пересекающих
эллипсы Зх24-г/2 = С под углом 45°.
Решение. Продифференцировав обе части уравнения ука-
занных эллипсов, получим их дифференциальное уравнение:
Зх-\-уу' = 0. Заменяя в этом уравнении у' на , получим
дифференциальные уравнения искомого семейства линий:
Зх + р^4 = О,
' J 1 ± у
или
dy у — Зх	dy _ Зх + </	,р\
dx у Зх	dx Зх — у'	*
Решив первое из этих уравнений (например, как однородное),
имеем
- 2 V 2 arctg -d—-
у2 4- 2ху 4- Зх2 = Се	1/2 х .
Так как второе из уравнений (6) совпадает с первым, если в нем
заменить у на —у, то его решения определяются соотношением
1/ —	, X- и
— 2 V 2 arctg ———
у2 — 2ху ' Зх2 = Се	v х .
1.143.	Найти кривую, у которой отрезок касательной, за-
ключенный между точкой касания и осью
абсцисс, равен абсциссе точки касания.
Решение. Пусть у = у(х) — искомая
кривая, (ДА4)—касательная к ней в точ-
ке (х, г/(х)), [Л4В] I (Ох) (рис. 29). По
условию, | AM | = | ОВ |. Так как | ОВ | = х,
\МВ\=у, а | АВ | = | МВ | ctg <р, ctgcp =
= Л, то \АМ\ = К|	+	=
- f /йТ7.
Составим дифференциальное уравнение, которому удовлет-
воряет искомая кривая: — И1 4-у’* = х или у =	Xf/ -. Решим
у'' .	' 14- у'л
это уравнение. Пусть р = у'\ тогда
хр ,	р , , xdp
У = "	— 9 dy =	4-	dx4-----—-,
У14-Р?9 J К14-^ Щ-рЪ /а
107
^=7^+^. НГГ+^-.Ы^
dx dp dx_________(V1 + p2 + О dp
x p(K 1 + p2—1) (1 + P2) ’ x P3(l+P2)
Интегрируя последнее уравнение, имеем
lnlx|=f(KTt^+1)dp + lnC
1П 1 1 J р3(1+р2) +шс-
Вычислим интеграл, введя замену Kl + p2 = z. Находим
f LL1±£!±2} dn = С___*_______
J Р3(1+Р2) Р J z(z + 1)(z-1)2
(V1	1 1	3 1 +1	1 '+/ =-
J\z	4 ’г + 1	4 ' z —1 ‘ 2 ’ (z—I)2/ 2 ~
= lnz—4ln (Z + 1) —11П | 2 — 1 |—у’7=1-
Поэтому, переходя к переменной р, получим
in । x|=inK 1+р2—4 мг1+р2+ 0—41п |01—р2~ 11—
\ I Р I3 /
Итак, условию задачи удовлетворяют кривые, заданные сле-
дующими параметрическими уравнениями:
е
У
_______1______
2 (И 1+ р2 -1) - С,
хр
КМ ’
1.144. Найти кривую, у которой отрезок любой ее нормали,
Рис. 30
заключенный между координатными
осями, равен а.
Решение. Пусть (АВ)— нормаль,
проведенная к искомой кривой у = у (х)
в точке М (х\ у) (рис. 30). Уравнение
этой нормали имеет вид
^-У = -^(Х-х),
dx
где X, Y—текущие координаты точки
нормали. Ординату точки А и абсциссу точки В определяем
соответственно из уравнений
= -у = --±(Х-х),
т. е. А = (о; у + ~^) , В = (хА-уу'\ 0).
\	У J
108
По условию,
{х+уу'У+^У= а' или у4(i^L)2(1+^'’)==а-
Введем параметр; положив tgp = «/', dy = tgpdx, получим
|~^Гр~^|= а’ или х = — y^P^asinP~
Вычислим dx:
dx = — dytgp—y^~dp ± acospdp.
dy
dp
Заменяя в последнем соотношении dx на ctg pdy, имеем
4- tg ру = ± a sinрcos2/?. Решив это линейное уравнение,
находим у = С cos р =р у cos3 р. Таким образом, искомые кривые
определяются уравнениями
( х —— у tg р ± a sin р\
1 у = С cos р Т v cos3 р.
1.145.	Найти кривую, у которой отрезок любой ее касатель-
ной, заключенный между координатными осями, равен а.
Решение. Пусть М (х; у)—точка искомой кривой. Урав-
нение касательной к кривой в этой точке имеет вид
r-9 = g(X-x).
где X и Y—текущие координаты точки касательной, а х и у —
координаты точки касания (координаты точки кривой). Каса-
тельная пересекает оси координат в точках ^х—р-; 0^ и (0;
У~ху').	_____________________
По условию, (х—-^-^2 + (у—ху')2 = а. Решив это урав-
нение относительно у, имеем у = ху' ± ау . Следовательно,
искомая кривая является решением уравнения Клеро.
Решив это уравнение, находим
__ а
X -- з/" •
(1 + р2)/3
, а	,	°р3
у = хр± —	= ±------
V	+р2	(1 + р2)/з
аС
КТ+С2
у = Сх ±
И
Исключив параметр р из последних двух равенств, получим
х2/з + г/2/> = а8/». Это уравнение астроиды.
Итак, указанным в условии задачи свойством обладают аст-
роиды х2-''» + уг/° = аг/> и семейства прямых у = Сх ± -р===г.
Отметим, что астроида является огибающей указанных семейств
прямых.
109
Задачи для самостоятельной работы
Найти решения уравнений;
3. у' = 2ех cos х,.
5- / =	^=h
у 1 — х2
7. у' = sin у.
9. у' = хДу+1.
11. y' = V 4уг — 1, у(0) = у.
13. p=l + ^!/dx.
15.	у'=^.
J х-Н 1
4. у = 2хе-Л у(0) = —1.
6- У'+^=У-
8. у'= у In у.
10. у' = Уу — Х-г1.
12. у = e~’J dx, х > 0.
14. 2x1^1 — у- dx у dy = 0.
16. (у- -+- ху-) dx 4- (х2 — ух2) dy = 0.
Не решая уравнений, изобразить схематически поведение их интег-
ральных кривых:
17. у'=у(1—у4).
19. у' = у2 sin у.
18. у' = (у —I)2 (у — 2).
20. у’ = V4 —у In у.
21.	у' = х — еу.	22. у'~——.
у	х — у
23.	Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1,
центры которых лежат на прямой у = ‘2х.
24.	Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, парал-
лельной оси ординат, касающихся одновременно прямых у = 0 и у — х.
25.	Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно,
что через 30 дней распадается 50 % этого вещества. Через сколько дней
останется 1 % начального количества вещества?
26.	В среду с постоянной температурой 20° поместили тело, нагре-
тое до 100°. Через 10 мин температура тела понизилась до 60°. Через
какое время температура тела станет равной 25е?
27.	Через 12 ч после начала опыта численность некоторой популяции
бактерий возросла в 3 раза. Во сколько раз увеличится число бактерий
через 3 сут?
28.	Найти кривую, проходящую через точку (2; 3) и обладающую
тем свойством, что отрезок произвольной ее касательной, концы кото-
рого лежат на осях координат, делится точкой касания пополам.
29.	Кривая у = <р(х) проходит через точку (1; 1) и обладает тем свой-
ством, что тангенс угла наклона каждой ее касательной пропорционален
квадрату ординаты точки касания. Найти уравнение этой кривой.
30.	Кривая у = <р(х) проходит через точку (0; —2) и обладает тем
свойством, что тангенс угла наклона ее касательной в любой ее точке
равен ординате этой точки, увеличенной на три единицы. Найти урав-
нение этой кривой.
31.	Найти кривую, для которой тангенс угла наклона ее касатель-
ной в любой ее точке в п раз больше тангенса угла наклона прямой,
проходящей через ту же точку и начало координат.
32.	Доказать, что кривая, тангенс утла наклона касательной кото-
рой к оси абсцисс в любой точке пропорционален абсциссе точки каса-
ния, есть парабола.
33.	Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каж-
дой точке которой тангенс угла, образуемого радиусом-вектором с каса-
тельной, равен квадрату радиуса-вектора.
34.	Моторная лодка движется по озеру со скоростью 20 км/ч. Через
40 с после выключения двигателя ее скорость уменьшается до 8 км/ч.
110
Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки-. Какова
скорость лодки через 2 мин после остановки двигателя?
35.	Материальная точка М массы т расположена на кривой у = у (х),
вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.
Определить уравнение кривой, если материальная точка находится
в равновесии в произвольном положении на кривой.
36.	Ракета опущена вертикально вверх с начальной скоростью 100 м/с.
Сопротивление воздуха замедляет ее движение, сообщая ракете отрица-
тельное ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости (—kv2). Опре-
делить время достижения ракетой наивысшего положения.
37.	Пуля, двигаясь со скоростью + = 400 м/с, пробивает стену тол-
щиной ft —0,2 м и вылетает из нее со скоростью 100 м/с. Считая силу
сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения
пули, найти время Т движения пули в стене.
38.	В резервуар, в котором имеется 100 л 10%-ного раствора соли,
каждую минуту вливается 30 л воды и из него вытекает 20 л смеси.
Какое количество соли останется в резервуаре через 10 мин (считать,
что смесь непрерывно перемешивается)?
39.	На дне цилиндрического резервуара, наполненного жидкостью,
образовалась щель. В течение первых суток вытекло 10 % содержимого.
Считая скорость истечения жидкости пропорциональной высоте уровня
ее в резервуаре, определить, через какое время из сосуда вытечет поло-
вина жидкости.
40.	Ветер, проходя через лес и испытывая сопротивление деревьев,
теряет скорость. На бесконечно малом пути эта потеря пропорциональна
скорости ветра в начале этого пути и его длине. Найти скорость ветра,
прошедшего в лесу 150 м, зная, что начальная его скорость была 12 м/с;
после прохождения в лесу пути s= 1 м скорость уменьшилась до 11,8 м/с.
41.	В закрытом помещении объемом У м3 находится открытый сосуд
с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между
количеством q водяного пара, насыщающего 1 м3 воздуха при данной
температуре, и количеством q водяного пара, имеющегося в 1 м3 воздуха
в рассматриваемый момент (считается, что температура воздуха и воды,
а также величина площади, с которой происходит испарение, остаются
неизменными). В начальный момент в сосуде было та г воды, а в 1 м3
воздуха <70 г пара. Сколько воды останется в сосуде через промежуток
времени /?
Решить уравнения:
42. ху’ = Ух2 + у'1 + у.
44. (4у2 + х2)у' = ху.
46. (Зх—7у —3) у'+(7х-3у —7)=0.
48. у’ -\-2ху = хе~*2.
50. х2у' — у = х2е* х .
52. у'4-4х3у3 + 2ху = 0.
54.	ху' — у2 1пх + у = 0.
56.	уу' + у2 + 4х (х+ 1) = 0.
58.	х2 (3у + 2х)у' + 3х (у + х)2 = 0.
60.	х (ху — 3) у' + ху2 —у = 0
62.	(2х3у — х) у'—2ху2 —у = 0.
43. ху' = у-\-х(\+Ух),
45. ху' = у cos In .
47. (х + у — 2) у' — 1— 2 (х + у).
49. у'+ у tg х = sin 2х.
51. у’ sin х cos x = y+sin3 х.
53. ху'-\-ху2 — у.
55. х(2х—1) у' + у2 + 4х = (4х + 1) у.
57. (2х2у—2х3) у'+2у2х—6х2уЦ-4х3=0.
59. (х2у—1) у' + ху2 —1 =0.
61. (2х2у + х) у’—-х2у2 + 2ху2+ у = 0.
63.	Построить последовательные пикаровские приближения у0 (х),
Ух (х), у2 (х) в задаче Коши: а) ^=х—у2, у(0) = 0; б) ^=l+xsiny,
их	их
у (л) = 2л.
64.	При каких неотрицательных а нарушается единственность реше-
ний уравнения у'= | у |“ и в каких точках?
Ш
65.	На каком промежутке существует решение уравнения у' —14-у2,
у &
66.	Доказать, что для решения уравнения y' = xi-\-yi, у(0) = 0 на
промежутке [0, 1] справедлива оценка
Й1<010015Л
| о оо |
67.	Как ведут себя на промежутке [0, 2] последовательные прибли-
жения для уравнений у' = у2, у' = —у2, у' = у, если у(0)=1?
Решить уравнения:
• У'2 = У3 —У2-
 У,г + ху'2 — у = 0.
 ху'2 + ху' — у = 0.
, х-у'2—2хуу' — х2 — 0.
, уу'2 — 2ху'+у = 0.
. siny’ + y' = x.	-- о
80. Найти особые решения уравнений: а)у —уу 4-ех = 0; 6)4(1 — //)=
(Зу-2)2у'2.
69. у'2 У2 (In2 у- 1) = 0.
71.
73.
75.
77.
79.
68.
70.
72.
74.
76.
78.
ху'*— уу,2+ 1 = 0.
(3x+l)y'2-3(y + 2)y' + 9 = 0,
х4у'2-— ху' — у = 0.
In у'4-2 (ху’ — у) = 0.
у'2 sin у'= у.
ГЛАВА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 9. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ.
УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
1.	Общие понятия и определения. Уравнение
F (х, у, у',	у<«’) = 0,	(1)
где х — независимая переменная, у — искомая функция, а функция F
определена и непрерывна в некоторой области GczRn + 2 (га 1) и во
всяком случае зависит от «/<”>, называется обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением га-го порядка.
Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относи-
тельно старшей производной, имеет вид
yw=f(x, у, у',	z/f"-1’),	(2)
где функция f также предполагается непрерывной в некоторой области
D сз Rn + 1 изменения своих аргументов.
Решением уравнения (2) на интервале 7 = (а, Ь) называется функция
у (х), удовлетворяющая условиям:
1)	у (х) непрерывно дифференцируема га раз на 7;
2)	(х, у(х), у' (х), .... г/"”1» (x))gD Vxg7;
3)	у (х) обращает уравнение (2) в тождество, т. е.
yW(x)^f(x, у(х), у' (х), .... у^п-Р (х)) Ух£7.
Аналогично определяется решение уравнения (1).
Задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения (2) называется
задача нахождения решения у (х) уравнения (2), удовлетворяющего на-
чальным условиям
У (х0) = уа, у' (ха) = у'о, ....	(х0) =(/<«-D,	(3)
где х0£7, у0, у'п, y(on~v — заданные числа.
Теорема Пеано. Если функция f непрерывна в области D, то для лю-
бой точки (х0, у0, у[, ..., y($~u)(z.D существует решение уравнения (2),
определенное в некоторой окрестности точки х0£Л и удовлетворяющее
условиям (3).
Существование и единственность решения задачи Коши гарантирует
следующая теорема.
Теорема Коши — Пикара. Если функция f непрерывна в области D и
удовлетворяет условию Липшица по переменным у, у', ...,	то для
любой точки (х0, у0, У'о> > У<0'1-1))€Г) существует единственное решение
уравнения (2), определенное в некоторой окрестности точки. х0£1 и удов-
летворяющее условиям (3).
Условия теоремы Коши — Пикара выполняются, в частности, если
функция f непрерывна на D и имеет в окрестности точки (х0, уо, у)., ..., yj)n~1>)
ограниченные частные производные по у, у’, ...,
Пусть D — область, в каждой точке которой задача Коши для урав
нения (2) имеет единственное решение. Функция
У = ф(х, С, С1, ..., С„),	(4)
где Ci, С2....Сп — произвольные постоянные, называется общим реше-
нием уравнения (2) в области D, если:
113
1)	функция <р имеет непрерывные частные производные по х до я-го
порядка включительно;
2)	для любой точки (х0, уй, уа,	система
Уо = ф(*о. Сх. С2> Сп),
1/о = ф' (х0, Ci, С2, Сп),
r/<'l-1, = <p(»-i)(x0, Ст, С2, Сп)
единственным образом разрешима относительно Ст, С2, ,... Сп*.
С? = Ф1(хо. Vo. У'о, Vi,'1”1'),
С20 = Ы*о- У О’ V'..Vg'-1)),	(5)
Сап = А'п(ха, у0, у'о, с-1’);
3)	функция ф (х, С®, С®, .... С®) является решением уравнения (2)
при любых значениях произвольных постоянных С®, С°, ..., С® в ра-
венствах (5), когда точка (х0, Уц, у'.Vq1'1’) принадлежит области D,
Если общее решение (4) в области D задано неявно соотношением
Ф(х, у, Ст, С2, Сп) = 0,	(6)
то (6) называется общим интегралом уравнения (2) в области D.
Любое решение, получаемое из (4) при конкретных числовых значе-
ниях Ст, Ст, ..., Сп, называется частным решением уравнения (2). Ана-
логично вводится понятие частного интеграла. Если известно общее ре-
шение (4) или общий интеграл (6), то решить задачу Коши можно сле-
дующим способом: из соотношений (4) или (6) и тех, которые получаются
из них (п—1)-кратным дифференцированием по х с использованием на-
чальных условий (3), получаем систему для определения Ст, С.,, ...,Сп.
Решив эту систему и подставив конкретные значения С®, С®, С®
в (4) или (6), получим решение задачи Коши
у = ф(х, С», С»,	С®),	(7)
или частный интеграл Ф (х, у, С®, С®, ,,,, С°) = 0, с помощью которого
неявно задано решение задачи Коши.
Если в равенстве (7) учесть явный вид зависимости С?, С?, ..., Сп от
х0, Уй< • • •, Vo1-1’. то получим общее решение в так называемой форме
Коши: y~ty(x, х0, r/о, У'о, -	Vo1-1’).
Если соотношения (4) или (6) заданы в виде
х —х(/, Ст, С2, Сп),
y = y(t,CltC2......Сп) (t^T),	(>
то (8) называют общим интегралом в параметрической форме.
Для уравнения (1) не разрешенного относительно производной //">,
задача Коши ставится аналогично задаче Коши для уравнения (2). При
этом если заданным числам х0, у0, уф	и каждому из значе-
ний определяемых из уравнения
F(*o, у0, уф ур-», у<п>) = О,
соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши имеет
единственное решение.
Теорема (теорема существования и единственности
решения задачи Коши для уравнения (1)). Пусть функция
F непрерывна в области G и имеет непрерывные частные производные по
114
у, у\ ...» Тогда для любой точки рс0, у0, у’о, ...» y^>^G такой, что
dF
F(XQ, у0, у'а,..., !/<«>) = О, ^Г(Х0, Уо, у'о, .... <’)^О,
существует единственное решение уравнения (1), определенное в некоторой
окрестности точки х0£1 и удовлетворяющее условиям (3).
Понятия общего решения и общего интеграла уравнения (1) опреде-
ляются аналогично этим понятиям для уравнения (2).
Если у (х)— решение уравнения (1), то множество {(х, у (х)) |х£7},
т. е. график решения р = р(х), называется интегральной кривой уравне-
ния (I).
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой
семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от п парамет-
ров Ci, С-2, .  Сп.
Если дано уравнение «-параметрического семейства кривых, напри-
мер в виде (6), то, дифференцируя его п раз по х и исключая из (6) и
из полученных п уравнений постоянные Сд, С-2, , Сп, получим диф-
ференциальное уравнение данного семейства кривых (его порядок не
превосходит п).
Соотношение вида
Т(х, у, у', у^-ь\ G, Сь .... СЛ) = 0	(9)
(где у — решение уравнения (1)), получаемое при интегрировании уравне-
ния (1), называется промежуточным интегралом k-го порядка уравнения (1).
Знание промежуточного интеграла k-ro порядка (9) позволяет свести
задачу интегрирования уравнения «-го порядка к более простой задаче
интегрирования уравнения порядка п— k < «. Промежуточный интеграл
¥ (х, у, у’,	С,) = 0	(10)
называется первым интегралом.
Если известны k различных первых интегралов, то порядок уравне-
ния можно понизить на k единиц.
Если известны « различных первых интегралов, то, исключив из них
все производные у', у", ..., у<п-1>, получим общий интеграл уравнения.
Функция £ (х) называется особым решением дифференциального урав-
нения (1), если:
1) £(х) обращает дифференциальное уравнение в тождество;
2) для любой точки х0£/ задача Коши с начальными условиями
у(х0) = £(х0), у' (х0) = Г (х0), .... у<п~» (x0) = g<«-» (х0)
имеет более одного решения.
2. Некоторые типы уравнений высших порядков, разрешаемых в квад-
ратурах. а) У равнения, содержащие только производную п-го порядка иско-
мой функции и независимую переменную. Рассмотрим уравнение
F (х, у<«>) = 0.	(11)
Во многих случаях уравнение (11) допускает параметрическое пред-
ставление х=<р (7), у(п) — ф(/), где ф (/)—дифференцируемая функция.
В этом случае удается найти общий интеграл в параметрической форме
(8). Имеем dy^n~^ = yWdx, dy,-r‘~l> = ty (t) <р! (t) dt„ откуда у'п-4)=
= $ Ф (0 <₽'(!) dt+Ci = 4’! (/, Cj).
Аналогично находим y(n-?) и т. д. Для у получаем выражение вида
у = ф„ (t, Сх, С2, ,.С„). Поэтому система х=ф (/), у—^'п (Ч С,, С2.Сп)
является общим интегралом уравнения (11) в параметрической форме.
Частным случаем (11) является уравнение
«/<"> = Ж,	(12)
Где f (х) — непрерывная функция на 1—(а, Ь),
115
Если принять х = х£1 в качестве параметра, то общее решение урав-
нения (12) получим в форме
$ • • • $ f (*) dxdx .,. dx-\-C1xn-l-\-C2xn~2^-... + Cn С».
п
Общее решение уравнения (12) в форме Коши имеет вид
ее е	н"1-1’
у=\ \ ... \ f(x)dxdx ... dx+ Ja- -Tj-(x — Xo)"-1^
J J	v	V*’ */1
Xq Xq	X0
(Л-2)
+ '(я°—2)T —xo)"~2+ • •  +</o (X—x0)4-y0,
где xog/, y0, y'o..—любые числа.
б) У равнения вида
F(y^-\yW)^Q.	(13)
Если уравнение (13) разрешимо относительно yW, т. е.
yW^f (yU-D),	(14)
то, введя новую искомую функцию и = у('‘~1>, приведем уравнение (14)
к виду
u' = f(u).	(15)
Общий интеграл уравнения (15) есть
x+C1=J-^-(/(n)^ 0).	(16
Предположим, что (16) разрешимо относительно и:
и = ф(х, Ci), у'п-» = ф (х, С2).	(17)
Учитывая, что (17)—уравнение типа (12), общее решение уравне-
ния (13) получим в виде
у= J ф (х, Cj) dx dx ... dx'j-C2xn~2-^ ,,. + Cn_1x + Cn.
Если уравнение (13) имеет параметрическое представление
у<’1) = (р(/), у("_> = ф(О, где ф (/) — дифференцируемая функция, то про-
цесс интегрирований уравнения (13) происходит следующим образом. Из
ф' (/) dt
соотношения dy^n~1'> = yw dx получаем dx = ——~ ~~ (<) , откуда
Hv5T'"+c‘“№Ci)'
(18)
Далее
dy^-V=y<n-Vdx=y(z)(-Z)dt, y<«-2)=
<p (0	J <p (0
dy{n - 3) _ y(n - 2) dx.dy = y'dx,
y= J y'dx-}-Cn = ri (t, C2, ..., Cn).	(19)
Совокупность (18), (19) представляет собой общий интеграл уравне-
ния (13) в параметрической форме.
в) Уравнения вида
F(y^~2\yW = Q.	(20)
С помощью замены
у(«-2) = «	(21)
116
уравнение (20) приводится к уравнению второго порядка
F (и, u") = 0.	(22)
Предположим, что (22) разрешимо относительно и":
un=f(u).	(23)
Умножение (23) на интегрирующий множитель р = 2и' приводит (23)
к уравнению
2и'и" = 2f (и) и’.	(24)
Из (24) имеем первый интеграл уравнения (23):
и'2 = 2 J /(u)duJ-Ci.	(25)
Далее из (25) получаем
-------у du ------------- dx А С/ (u) du + С2 # 0 Y
± У 2 p(u)d« + Ci ' -	'
откуда находим общий интеграл уравнения (23);
Г------... du ------------- х + С3.	(26)
J ± ”|/ 2 f (и) du Ci
Учитывая замену (21), из (26) получаем промежуточный интеграл
уравнения (20) вида
V(x, G, С2) = 0,
т. е. дифференциальное уравнение (п — 2)-го порядка типа (11), которое
интегрируется в квадратурах.
Если уравнение (20) имеет параметрическое представление г/(''> = ф (/),
у<п-2) = ф(7), то процесс интегрирования уравнения (20) происходит сле-
дующим образом. Из соотношений dy'n~1> = у{п> dx, dy{n~2> = dx
получаем уравнение относительно y<-n~V вида dy1-"--1) = ф (/) ф' |7) dt,
откуда
/---------------------------------------------
yin-i>=± у 2^<f(t)^(t)dt+C1^l(t,C1).
Таким образом, для	имеем параметрическое представле-
ние вида (/(п) = ф(0, У<п-1) = 5 (t, Ci), т. е. задача сведена к интегриро-
ванию уравнения типа (13).
3.	Некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих пониже-
ние порядка, а) У равнения, не содержащие искомой функции и нескольких
последовательных производных. Рассмотрим уравнения вида
F (х, у^, y{k + 1}, ..., у(п})~0 (l<fe<n).	(27)
С помощью замены tf-R}=u, где и —новая неизвестная функция, урав-
нение (27) приводится к уравнению (и— й)-го порядка:
F (х, и, и', ..., ii,n~f:c)--,Q.	(28)
Если уравнение (28) интегрируется в квадратурах, то, возвращаясь
к переменной у, получим промежуточный интеграл (27):
</«> = ф(х, Съ ..., Cn_ft), или Ф(х, Cj.....С„_А) = 0.	(29)
Уравнения (29) являются уравнениями типа (11).
б)	Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Рассмотрим
уравнения вида
F (у, у'...у^) = 0.	(30)
117
С помощью замены
/ = Р	(31)
(где р=р(у)— новая искомая функция, у—новая независимая перемен-
ная) порядок уравнения (30) понижается на единицу, так как
dx dy dx рр
У dx dy dx (РР 1 р )р’	(32)
/ d‘p	\
p(n> = g(p, /У, .... р^-1’) \P'i}=~^’ 1=1,2...... n—1J.
Подстановка (31), (32) в (30) дает уравнение (п— 1)-го порядка отно-
сительно новой неизвестной функции р:
Fi(y, Р, р', .... р<п-1>)=0.	(33)
Если известен общий интеграл уравнения (33):
Ф1 (.У> Ру С1> 1-2> •••> Сп-1)=0,
то соотношение
®Лу, у’, Съ С2, ..., С„_!) = 0	(34)
является промежуточным интегралом (я— 1)-го порядка уравнения (30)—
дифференциальным уравнением первого порядка интегрируемого типа.
Общий интеграл уравнения (34), имеющий вид Ф (х, у, Съ ..., Сп)=0,
где Cj, С2....Сп — произвольные постоянные, является общим интегра-
лом исходного уравнения (30).
При осуществлении замены (31) возможна потеря решения p = const.
Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у урав-
нения (30) решений такого вида.
в)	У равнения, однородные относительно у, у'. г/"1. Рассмотрим
уравнения вида
F (х, у, у'... ;/">) = 0,	(35)
где функция F является однородной относительно у, у’,	с пока-
зателем однородности т, т. е.
F (х, Му, Му'....Vj4rt>) (х, у, у’,..., j/(n>) (Х>0),
С помощью замены
у’ = уи,	(36)
где и — новая неизвестная функция, порядок уравнения (35) понижается
на единицу. Имеем:
у’=уи,
У =У(,^-\-и ),
yW = yg(u, и', ...,
Подставив (37) в (35), получим
ymF (х, 1, и, и2 + и', ..., g(u, и', ..., п(',-1>)=0,	(38)
Сократив в (38) на у01 (при этом, как будет видно ниже, не про-
исходит потери решения у = О), получим дифференциальное уравнение
(п—1)-го порядка относительно функции и:
F (х, 1, и, и2 + «'....g(u, и', ..., «'«~1>))=0.	(39)
Если известно общее решение ц = <р(х, Съ С2, ..., Cn_i) уравнения
(39), то, как следует из (36), общее решение исходного уравнения (35)
118
имеет вид
\ Ф (х, Сц Си . . >, С л _ ,) dx
У=Спе*	,	(40)
где Ci, С2.....Сп~произвольные постоянные. Решение у = 0 получается
из (40) при Сп — 0.
г)	Обобщенно-однородные уравнения. Рассмотрим уравнения вида
F(x, у, у', ....	= 0.	(41)
Уравнение (41) называется обобщенно-однородным, если существуют
числа k и т такие, что
F (A,fx,	у',	* ylr:)) —M^F (х, у, у', ..., у'п>).
С помощью замены (при х < 0 полагаем х = —У)
х = е*, y — uent,	(42)
где t — новая независимая переменная, и — новая искомая функция, урав-
нение (41) приводится к уравнению, не содержащему независимой пере-
менной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на еди-
ницу (см. п. 36).
Производные при замене (42) преобразуются по формулам
у' е~*= (ем kue^ e~t = (u’~yku) e<A-J)
LI If	\ Ul	j
y’’ = ^-e-t = (u" + (2k—\)u'-yk (k —])	(43)
(/('i) = g(M> u',..., «(»>) e^~n)t.
Подстановка (42), (43) в уравнение (41) дает уравнение вида
emtFi (и, и',	и<п>) = 0,
которое после сокращения на emt обращается в уравнение, не содержа-
щее явно независимой переменной t.
д)	Уравнения в точных производных. Рассмотрим уравнения вида
F (х, у, у',	у{п>) = 0,	(44)
левые части которых являются точными производными от некоторой функ-
ции Ф1 (х, у, у', ..., г/1"-11), т. е.
F (х, у, у', ..., У(,,)) = ^;Ф1 (х, у, у'.у{п~1}).	(45)
Такие уравнения называются уравнениями в точных производных.
Из (45) следует, что соотношение
Ф1(х, у, у', .... у<м-Ъ) = С1
является [первым интегралом уравнения (44) — уравнением (п— 1)-го по-
рядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнения в точ-
ных производных допускают понижение порядка на единицу.
Если исходное уравнение (44) не является уравнением в точных произ-
водных, то иногда удается подобрать такую функцию у—и (х, у, у', ..., у^)
(интегрирующий множитель), что после умножения на нее уравнение (44)
становится уравнением в точных производных. При умножении на интег-
рирующий множитель могут быть введены лишние решения (решения
уравнения р. = 0), а также возможна потеря решений (в случае разрыв-
ности множителя р).
При решении задачи Коши для уравнений высших порядков методом
понижения порядка произвольные постоянные целесообразно находить
после каждого интегрирования.
119
2.1.	Показать, что функция у = у(х), неявно заданная урав-
нением
х = у2 + у,	(46)
является решением уравнения
У'У'"—З/’^О.	(47)
Решение. Находим у’, у", у'". Имеем:
,________________dy__ dy ______	1
~~~dx~ (2y+l)dy~ 2(/+1 ’
„ d , d /________1_\ rf.f___L_\_J___	2
~ dx — dx W+J~ dy \2y+l J 2y+l —	(2t/-H)3’	....
<</	2	\ I	12	<48)
У ~dX\y> dy\	(2t/ + l)3j 2v+l	(2г/+1)Г
Подставим (48) в уравнение (47):
	‘2	3	4	__Q
2у+1 (2r/ + ip ° (2у + 1)в~
Следовательно, функция у = у(х) является решением данного
уравнения.
2.2.	Показать, что функция у = //(х), параметрически задан-
ная системой уравнений
(1 1	, ,	3
*=У1п/ + ^-
J/=4z+i- (Z>°)’
является решением уравнения
/г-2// + 3 = 0.
Решение. Находим у', у". Имеем:
1	9
, у 4	4f>	/2+3
У — х ~~ 1	3 “ 2/ ’
2/	2/3
—3
, /'  (У )  	2/2	__ ,
у ~ х ~ 1	3
2/ 2Р
Подставим (51) в уравнение (50):
Z2_ 2(!+з./+з = о.
(49)
(50)
(51)
Следовательно, функция у = у(х) является решением данного
уравнения.
•120‘
2.3.	Показать, что соотношение
у\пу—х—e(1 dt =§	(52)
является интегралом уравнения
z/(l + In у)у" + у'* = 2хуех\	(53)
Решение. Дифференцируем (52) два раза по х:(1 Д1пу)х
ху'— 1—е*2 = 0, -ут/'2 + (1 4-ln//)z/"—2хех* =0, откуда
у(1+\пу)у" = 2хуех*—у'\	(54)
Подставив (54) в уравнение (53), получим, что функция у=у(х),
неявно заданная соотношением (52), обращает уравнение (53)
в тождество.
2.4.	Найти дифференциальное уравнение двупараметрического
семейства окружностей:
(х-С1)г + (у-С2)^ = 1.	(55)
Решение. Соотношение (55) дифференцируем два раза по х:
х—Ci+(y—С2)у' =0,	(56)
1+(У—СДу =0.	(57)
Из (55), (56), (57) исключим постоянные С±, С2. Из (57)
находим
у-С2 = -'-±£	(58)
Из (56) получим
А-_=	(59)
Выражения (58), (59) подставим в (55). Имеем
(Ч//2)2 у'2 , 0 + у'2)2 = ,
У"2	у"2
или у"2 = (1-l/2)3.
2.5.	Построить общее решение уравнения
у"'=х\пх	(60)
в форме Коши и найти частное решение этого уравнения, удовле-
творяющее начальным условиям
у(1) = 1, /(1) = 0, /(1) = -1.	(61)
Решение. Уравнение (60) относится к типу, рассмотрен-
ному в п. 2а. Из (60) последовательным интегрированием на-
121
ходим
у2	r2
/=4-1ПХ-^- + Си
/ = -f Inx—g-4-СхХ + С,,	(62)
У — "24“ In x 288 xi	1 ~2—Ь С'гЛ' Ц- C4.
Постоянные С\, C2, C3 найдем из системы
4с1+^с2+с3=//э-41п^+йх«’
Ci	• *o i । 5л’о
1TC2 = yG g- in -p
Имеем
C^y'i—f ln.v.^ 4’
C2 = y'o — Л'оУо + ^-ЬДо— -у-,	(63)
Cs = уй—xoy’o + Xr yl — у xl In x0 + X X4.
Подставив (63) в (62), получим общее решение уравнения (60)
в форме Коши:
IJ — X- 1Пу 13	(и”___ Л° ]n г I х° Л-3
£/— 24 Ш'* 288* 1 2 о *Q 1 4 J*
(з	з \
У0—Хоу"а +	1 п х0 — ]х 4- уа — Хоу'а +
2	,	,
I Х°	..	,	1 „4
।	2	g -«о 411 л о "f з^Ло*
(64)
Полагая в (64) х0 = 1, у0 = 1, у'о = 0, Уо =—1, получим иско-
л1 .	13 .	3 „ , 8	,17
мое частное решение: у — -^-тх—-^—х'—	+
*	24	2со о	У о2
2.6. Найти общее решение уравнения
у'" = К 1 —х
(65)
Решение. Уравнение (65) относится к типу, рассмотрен-
ному в и. 2а. Из (65) следует, что xg[—1, 1]- Введем пара-
метр t, положив х = sin t (t б [— зт/2, л/2]). Тогда у"' = | cos 11 =
= cos t. Таким образом, уравнение (65) имеет параметрическое
представление:
x = sinZ, (/''' = cost
(66)
122
Проинтегрируем уравнение (66). Имеем
dy" = у"' dx = cositdt, у" — J cos2/<+ + y,
У =2-^+2-51112^+6^ ;
dy’ =y"dx = ^ ^ + ysin2^+ C,) costdt,
y' — -?>-§ ^cos t + y sin 2/ cos t + C^ost] dt + ~^-,
y’ = -i- ( t sin t + cos t —y cos31 + CL sin t + C2 ;
y' dx =4- ( t sin t + cos t —
costdt,
у = -2j ^y+in2/-; cos4—-g-cos+ +
+ у Ci sin 2/-- C2 cost\ dtA--^,
У = -^) ( — 4-1 cos 2/ +4 t + 4? sin 2/ —4; sin + —
— 4 Ct cos 2t + C2 s in t + C3 Y
Поэтому общее решение в параметрической форме имеет вид
1	3	7	1
У = — -о-1 cos 2t + -= t + sin 2t — =- sin M —
О	Ю	‘iO
— 4cos^ + C2 sin Z + Cg, Ar = sinZ —n/2, n/2]),
где Cn C2, C3—'Произвольные постоянные.
2.7.	Найти решение задачи Коши:
у"2—х2 = 1,	(67)
1/(0) = 0, /(0) = 1.	(68)
Решение. Уравнение (67) относится к типу, рассмотрен-
ному в п. 2а. Введем параметр t, положив x = sh£ (/$R).
Тогда z/"2 = l +sh2/ = ch2/, |у"| = cht. Рассмотрим уравнение,
имеющее параметрическое представление:
х = sh К у" = ch t.	(69)
Найдем значение t = t0, соответствующее значению х — 0.
Имеем sh t = 0, 1-(е*—е"0=0. откуда /о=О Интегрируем урав-
нение (69):
dy' =у" dx = chitdt, yr— ^ctftdt-YCi,
/ = 4 J (i + ch 2П d/ + Сх = ^ + Т sh + Сь <7°)
123
dy = y' dx= t + -^-sh2/ + ch tdt,
У = § \^teht +-jsh2/ch/ + C1ch^ dt + C2,
y = -^t shZ—у ch 14--^-ch31 + C\sh t + C2.	(71)
Подставляя в (70), (71) Z = 0 и учитывая начальные усло-
вия (68), получим: 1 =СХ, 0 = — у + 4 + ^2’ откуда Сх — 1,
С2 = — . Поэтому
у = 41 sh t — 4ch^ + 4ch3^+sh^ + 4- — sh Z (72)
2.	2.	О	О
— искомое решение задачи Коши (67), (68) в параметрической
форме. Выразим t через х. Имеем 4 (ef—e~f)—x, e2t—2xef—1 =0,
откуда e< = x + Kx2 + 1, t = In (x + Kx2 + 1), ch t = К1 + sh2t =
= Kx24~l. Подставляя в (72), получим явную зависимость
решения у от х:
У — у х In (х + Г х2 Т- 1) —2* х2 ~г 1 4" у (х2 4“ 1 )3 + х 4" у'
2.8.	Найти общее решение уравнения у"3 — 2у"—х~0.
Решение. Уравнение относится к типу, рассмотренному
в п. 2а. Введем параметр t, положив у" = t. Тогда х — Z3— 2t.
Имеем dy' = у" dx = t (3Z2— 2)dZ = (3Z3—2t)dt, откуда
у' = J(3Z3 —2t) dt+C^-j^—t^+C^
dy = y'dx — (4/4—t2 + c^ (3Z2 — 2)dt,
у = J (4 Z6 - 4 P + (2 + 3Q) Z2- 2Q) dt + C2,
у = A V -та /6 + (4 +	^-2CtZ + C2.
Поэтому общее решение в параметрической форме имеет вид
^ = А/7-та/5 + (4 + ^)/3~2Сз/ + С'2’ x = t*-2t,
где Ct, С2, С3—произвольные постоянные.
2.9.	Найти общее решение уравнения
/'' = |Л1+У'2	(73)
в форме Коши.
Решение. Правая часть уравнения (73)—функция /(х, у,
у', у") =	1 ф- у"* непрерывна и имеет непрерывные частные
124
производные: —f^ = 0, Гу* = ~р=—- • Поэтому, в силу тео-
ремы существования и единственности, задача Коши для урав-
нения (73) с любыми начальными данными (х0, у0, у'о, у"9) имеет
единственное решение.
Уравнение (73) относится к типу, рассмотренному в п. 26.
Положив у" = и, из (73) получим:
п' = К1+«2,  rdu.._. =dx, С ,.du- = x + Сх,
’ К14-«2 J К1+м2
In (и + К 1 + и2) =х + СХ) и 4-К1 + и2 = ex + Ci,
откуда
- У1и2 = ex+Ci—и, 1 + и2 = е2<*+С1>—2uex+Ci + и2,
u = -^-(ex+ci—e~(x+Ci>), y" = sh(x4-Cx). (74)
Из (74) последовательным интегрированием находим у' =
= ch (х + Сх) 4~ С2, у = sh (х Сх) -|- С2х 4* С3, где Сх, С2, С3
произвольные постоянные.
Постоянные Clt С2, С3 найдем из системы
sh (х0 4~ Ci) + С2х0 + С3 = у0, ch (х0 4- Сх) 4~ С2 = уй,
sh (Уа + C^^yi
Имеем Ci = arcshi/o—х0, С2=у3—ch(arcshyj)=z/o — у 14~*/о ,
С3 = У0 — (у'о — ]/* 1 4- Уо ) ха—у'о. Поэтому
у = sh (х 4- arcsh у о—х0) 4-
+ (уо— ]/~ 1 +Уо ) х4~Уо — (у»—	1 + Уо )х0— у0.
2.10.	Найти общее решение уравнения
/"/-/ 1+у"2=0.	(75)
Решение. Уравнение (75) задано в не разрешенном отно-
сительно у'" виде. Левая часть уравнения (75)—функция
F(x, У, у', у", у'") = у'"у"—14~У"2 непрерывна и имеет не-
о"
прерывные частные производные F^=F^=0, F'v„=y —-	- ,
Г 1 ф- z/"2
F'y,,,=y". Поэтому, в силу теоремы существования и единст-
венности, задача Коши для уравнения (75) с любыми началь-
ными данными вида (х0, у0, у3, у"й) (у'а^О) имеет единственное
решение. Функция у такая, что у" = 0, данному уравнению не
удовлетворяет.
Уравнение (75) относится к типу, рассмотренному в п. 26.
125
Положив if —и, приведем уравнение (75) к виду и'и =-
—V1 + и2, откуда—7^==-= dx, И1+м2=х+С1, u^^x+C^—i,
у 1+«2
и = ± Hx'+Ci)2—1,	(76)
ИЛИ у" — ±V(x+Cj)2—1,
Из (76) последовательным интегрированием находим
у' = ± [4 + С г) Г (x + Cj)2—1 -
—2" In | х + Ci + У (х + С\)2— 1 | j + С.2,
у = ±[4Г((x + CJ2-!)2-!(X + Сх) In Iх + сх+
+У(х + с;’)2-1 I +1 г (X + Cx)2-1 ] 4- С2Х + С3,
где Cf, С2, С3 — произвольные постоянные. Знак плюс соответ-
ствует общему решению для области у">0, знак минус—для
области у" < 0.
2.11.	Найти решение задачи Коши:
4у"Гу = 1,	(77)
г/(0) = 1, у'(0) = —1.	(78)
Решение. Уравнение (77) относится к типу, рассмотрен-
ному в п. 2в. Из (77), учитывая, что у > 0, получим
<79>
Умножим (79) на интегрирующий множитель ц(у, y') = 2y'i
2уУ=?Й’ °ткуда
* +с„ g^Vy+c,. (80)
J 2 И у
Постоянную Ci найдем из начальных условий. Подставив
в (80) х = 0, у (0) = 1, у' (0) = —1, получим, что Сг = 0. Поскольку
у' (0) =—1, из (80) следует, что у' =—У у, откуда
Уу:==-о(х, JA = _x + c2, |узм = -х + С2. (81)
Учитывая начальные условия (78), из (81) получим С2 = 4/3.
Поэтому у = 1 1 —~^Х\
2.12.	Доказать, что уравнение вида y(”> + fti(x)y<',-1> =s
= /(х) (у(п-1))'п, где т = const, всегда может быть проинтегри-
ровано в квадратурах.
126
Решение. Сделав замену у'""11 —н, относительно функ-
ции и получим интегрируемое в квадратурах уравнение Бер-
нулли и'+hf(x)u=f (х)ит, общее решение которого u=<p(x, CJ.
Следовательно, для у получим уравнение интегрируемого типа!
= Сх) (п. 2а).
2.13.	Найти общее решение уравнения у'п + 2ху" — 0.
Решение. Положив у" = и, относительно и получим ли-
нейное однородное уравнение первого порядка и’ + 2xu = Q,
общее решение которого и — Сге~х\ Используя указанную за-
мену, имеем
у’ — Ci J e~xi dx-\- С2, у = Ci (j}6”*2	+ С2х-]-С3.
Проинтегрировав по частям, находим
у = С, (-т <?**+ х С е-Л'2 dx\ 4- С.,х 4- С3,
где Cf, С2, С3— произвольные постоянные.
2.14.	Проинтегрировать уравнение у"--2д' = еху'\
Решение. Положив у' = и, относительно и получим урав-
нение Бернулли: и' 4 2и ~ехи2. Очевидно, последнее уравнение
допускает решение п = 0. Разделив левую и правую части на
и2 4= О и положив u-1 = z, относительно z получим линейное
уравнение первого порядка z'— 2z = — е*, общее решение кото-
рого имеет вид z = е2х (C1-Jre~x). Используя указанную замену,
имеем
1	f dx , п
W”4*4C42*’	1 С2 —
=^-£+г4^и*+с2=
J L e e 1 +С1еЛ_
— —e~x—CLx 4 Ct In 11 +Cxev | 4 C2,
где Ci, C2—произвольные постоянные. Решением уравнения
является также функция у = С = const (и = 0).
2.15.	Проинтегрировать уравнение у"—ху"' 4 у"2 = 0.
Решение. Уравнение не содержит искомой функции и ее
производной (п. За). Положив у" = и, где и—-новая неизвест-
ная функция, получим и—хи' 4п2 = 0.
Разделяем переменные при «40, «4—1:
-	С-	^~ + 1пС (ОО),
«(«44	х J и(и41)	J х 1	\ >i
1п|п|—1п|«+1 |=1пС|х|, |ут4т| = С|л:|, _^— = Сгх (С^О),
I W “ 1 1 I	W f 1
откуда и = у"=	х • Последовательным интегрированием
находим
у' = f -Г%Г dx+°2=-x~r1п 11 ~с^х I +
(J -1 г~~~
У = —	А-х 1 n 11 — С1Х14 Л X 4	In 11 — CiX 14 c2x 4 C3,
где Cit C2, C3—произвольные постоянные (^=4 0).
127
(82)
।
Рассмотрим случаи и — 0 и и — —1. Имеем и — 0, откуда
у = ах-\-Ь', и ——1, откуда у = —g-4-cx + rf, где a, b, с, d —
произвольные постоянные. Непосредственной проверкой убеж-
даемся, что эти функции также являются решениями данного
уравнения.
2.16.	Найти решение задачи Коши 2уу" у'2 у'* ~0,
i/(0) = 1, z/'(0) = 2, предварительно убедившись, что искомое
решение существует и единственно.
Решение. Перепишем данное уравнение:
. п  у'2 ~у’1
У	2у •
Правая часть уравнения (82)—функция f(x, у, у') —-----—
непрерывна и имеет непрерывные частные производные fy =
У НУ г' У ~\~2у
=	2^2 —, fy, = — у — в окрестности точки (0; 1; 2).
Поэтому, в силу теоремы существования и единственности,
искомое решение существует и единственно. Данное уравнение
не содержит явно независимой переменной х (п. 36). Положим
у'=р, где р = р(у) — новая неизвестная функция. Тогда отно-
сительно р = р(у) получим уравнение
2yp-^ + p2 + p* = 0.
Для искомого решения р^=0, у ^=0. Поэтому из (83), раз-
d (р2) dy
деляя переменные, получим —, откуда
= С,р (С^О). (84)
(83)
р-р1
1п^±1 = 1пС| у\ (С>0),
Постоянную Cj найдем, используя
Поскольку
*/(0) = 1, //'(0) = р (1) = 2 > 0, из (84)
р=—у.—   . Согласно произведенной замене, имеем
начальные условия.
5
следует, что С\ = —,
dy__
dx ~
у— 1
5
у— 1 dy = dx,
8
15
3/2 ,
— хф С2.
(85)
Из (85), учитывая начальные условия, найдем С2 = -^. Поэтому
1 о
z/ = l(15% + 1)^3 +±.
2.17.	Проинтегрировать уравнениеуу"—у'2—у'2 In у в области
у > 0, у' > 0.
128
Решение. Уравнение не содержит явно независимой пе-
ременной х (п. 36). Положив у' = р, vjifi р — р(у)—новая не-
известная функция, получим
УР^~Р2==У^пУ-	(86)
Домножим (86) на —: 2р-^-—ур2 —2ylny, или ——
— — р2 — 2у\пу—линейное неоднородное уравнение первого
порядка относительно функции р2. Общее решение этого урав-
нения имеет вид
52 . г р	г 2 .
— dy I	\	- \ — dy
v IA + J 2,у\пуе J у dy\,
откуда р2 = у2(С1 + In2 у), и так как у > 0, р > 0, то р =
— у ИС’1 + 1п2у. В силу произведенной замены, имеем
^^z/KCj + ln2^, ~	= =
ах	у У Ci-[-In2 у
In | In г/ + ИСх + ln2y| =-%+ In С (C > 0),
Iny+KCj-F ln2y = C2ex (C2y=0).
Из (87) находим
Ct + In2 у = С]е2х—2C2ex In у + In2 y,
c^-c,
Cle2*—Ci	•	
ЫУ= 2C^ > У = е 2	•
2.18.	Проинтегрировать уравнение x2yy"—{у—xy')2 — Q.
Решение. Левая часть уравнения—однородная функция
относительно переменных у, у', у" с показателем однородности 2
(п. Зв):
F(x, Ху, Ху', Му") = №[х2уу"-(у-ху')2] = №Р(х, у, у', у").
(87)
Сделаем замену у'= уи(у" — у(и2-\-и')), где и—новая неизвест-
ная функция:
x2t/2 (н2 + и') — (у—хуи)2 = 0, у2 [х2 (и2 + и') — (1 —хи)2] =0.
Функция у = 0, очевидно, является решением данного урав-
нения. При имеем х2и2 +%2и' — 1 л-2хи—х2н2 = 0, откуда
для функции и получаем линейное неоднородное уравнение
первого порядка: и +у и . Общее решение этого уравнения
Г 2 . Г	г 2 . Т
- \ —dx 1	р 1 \ —ах	г> 1
и = е J х Сх+ х dx =Ь- + -.
L 1 1 J X2	J X2 1 X
Согласно произведенной замене, имеем
у' = рн, y = C2Judx,
у = Сге^х2 XJ =С2хе *.
Решение у=0 получается при С2 = 0.
S № 2314
129
2.19.	Проинтегрироватъуравнение х*у” + {ху'—y)3 — Q.
Решение. Положим F(x, у, у',tf) = xiy" + (xt/'—у)3. Имеем
F(Vx, №у, М^у', tf)=W»-v х*у” + (Vx^-1)fу’ —
— №ly)3 = №+зи x*y"-{-W^xy’—y)3 = ).3tF(x, у, у', у") (k=\),
откуда следует, что данное уравнение является обобщенно-
однородным (m = 3, k—l) (п. Зг). Выполним замену х = е(,
у = ие*. Тогда у'=и'4-и, у" ~(и"е~*. Отсюда е4Г(и"-[-ы')е_/4-
4-[ef(«'+u)—ыгг]3 = 0, и"и'и'а = 0.
Полученное уравнение явно не содержит независимой пере-
менной t. Положим и' — р (и) [и"=	 Тогда р^~{-р-]-р3=0,
откуда =—1—Р2, или р = 0. Из второго уравнения р = 0
следует ц' = 0, и = С, или у = Сх. Из первого уравнения:
= — du, arctgp = C!—и, p = tg(C1—и). Поэтому
u' = tg(Cx—и), ctg(C1—u)du = dt,
^ctg(Cj—u)du=i—InC (C > 0), ln|sin(u—C\)| =— ^ + lnC,
sin(u—C1) = C2e~t (C2=/=0), и = C14-arcsinC2e_;.
Учитывая замену у —их,	находим
f	с \	*
у — х ( Ct + arcsin
Решение у — Сх получается при С2 = 0, С1 = С.
2.20.	Проинтегрировать уравнение уу"—у'2 = у'.
Решение. Очевидным решением уравнения является функ-
ция (/ = 0. Разделим левую и правую части уравнения на у3 у=0:
уу"—у'2 у'	( у' \ . ( 1 V л (у' । 1 V л
——= откуда — 4- —) =0, или (—4— =0.
У3	у2	\ у J \ У J	\ у у J
Таким образом, данное уравнение приведено к уравнению в точ-
ных производных (п. Зд). Имеем -у4-у = С1, У’— ^1У — —Ь
откуда при Ci = 0 у = — х-\-С. При 64#= О имеем линейное
неоднородное уравнение первого порядка, общее решение
которого
z/= ec*-v f С2—[e~cixdx'\ =С2ес‘*4-^- (СХ=И=О).
\ J	/
2.21.	Найти решение задачи Коши ху"—у'—х2уу'= 0,
г/(1) = 0, /(1) = 2.
Решение. Разделив левую и правую части уравнения на
х2#=0, приведем его к уравнению в точных производных:
х2	\ х J \2 J \ х
У^._— C
х 2 У -С1’
g'i/2) =0> откуда
Постоянную^ найдем, учитывая начальные условия. Имеем
Сх=у-у .°2==2. Тогда
у' _ 1 <.2 10	гУ2 + 4 dy _ 1 j
2У +2, dx X 2 ’ y*+4~2XCtX’
уarctg-|==y x2-f-yC2, arctgy=ухаДС2. .
Находим С2 = arctg у—у = —у. Поэтому arctg у = у х2—у.
Следовательно, решением задачи Коши является функция у =
2.22.	Доказать, что функция £(х) = а1х2 + а2х + а3 (а4, а2,
а3—произвольные постоянные) является особым решением урав-
нения yiv = у 1/у"'.
Решение. Так как £"'(x) = BIV(x) = O, то z(x) при любых
значениях alt а2, а3 является решением данного уравнения.
Найдем общее решение. Положив у'"— и, при ц #=0 получим
3 _2_	_— з
и' = и 3 , и 3 du = -;г dx, откуда
н = </'" = (х + СХ)Ч у" = у (X +	+ С2,
У' = уу (х + С3)7Л + С2х ф- С3,
У — 57779 (х++ у С2х2+С3х-Т С4.
Из уравнения « = у"' = 0 получаем у = %(х). Покажем, что
задача Коши для данного уравнения с начальными условиями
У (х0) = I (х0), у’ (х0) = Г (х0), у" (х0) = Г(х0), у"' (х„) = I'" (х) = О
кроме решения г/ = 1(х) имеет еще одно. Для определения Clt С2,
С3, С* имеем систему
А (х9 + G)9/,+1 С2х1+С3х0+С4=g (х0),
35 (Хо + Cj)7^ 4- С2ха ф- С3 — (х0),
у(х9 + Сг)% + С2 = Г(х0),
(хв + С1)’/3 = ^”(хо) = О,
из которой Си С2, С3, С4 определяются однозначно: С* = —
с2’=Г(х0), с;=т (х„)-с;(хо), С1=Цх^-^с^-с^0. гы
этому ?(х) является особым решением данного уравнения.
131
5»
§ 10. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется
уравнение вида
а» (х) </n>+ai(*)^'*-l,+ -.-+«n-i(x)!/' + an(x)!/ = f W.	(0
где функции а0 (х), at (х), ап(х) непрерывны на интервале I = (а, Ь),
причем а0 (х) # 0 Vxg Z.
Разделив (1) на а0 (х) # О и обозначив Л/(х)=—(«=1, ..., п),
°о W
Ffx)
f (х) =—, получим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
а0 (X)
в канонической форме:
+ (X)	... +hn-i (х) y'+hn (x)y = f(x).
(2)
Если f(x)^=O при xgZ, то (2) называется линейным неоднородным
уравнением. Если f(x) = O при xgZ, то уравнение (2) называется линей-
ным однородным. При этом уравнение
(х)	+ -	(*) y' + hn (х) t/= 0
называется линейным однородным уравнением, соответствующим неодно-
родному уравнению (2). Линейное однородное уравнение всегда имеет ре-
шение у^О, которое называется тривиальным решением.
Переписав уравнение (2) в виде
j4n> = — 2 hi(x) ^п~^ + }{х)^Ф(х, у, у', .... фп~Ъ) (3)
»=1
и заметив, что функция Ф (х, у, у', .... непрерывна вместе со
своими частными производными --------—h; (х) (i=l....п) при xg
dy'-n~i}
g[a, Р] с Z и любых у, у', ..., у,п~1>, можно сделать вывод, что правая
часть уравнения (2) удовлетворяет условиям теоремы существования
и единственности. Более того, доказано, что для любой точки xogZ и лю-
бых начальных значений у0, у'а, .... решение задачи Коши для
уравнения (2) существует на всем интервале Z = (a, Ь) и единственно.
Краткая запись линейного неоднородного уравнения (2) имеет вид
L (y) = f (х), где L — линейный дифференциальный оператор n-го порядка
L (у) ф^+hr (X) !/«-»+... +Л„_1 (X) у' +hn (х) у,
определенный на множестве п раз непрерывно дифференцируемых на Z
функций.
2.23. Дано уравнение у" -ф ht (х)у' + h2(x)y = f (х). Требуется:
1) произвести замену независимой переменной по формуле
x — x(t) (Z£(a, Р), x£7 = (a, fe)), гдех(/)— произвольная дважды
непрерывно дифференцируемая функция такая, что х'(/)Ф=0
при /£(а, Р);
2) подобрать такую замену независимой переменной, чтобы
в преобразованном уравнении отсутствовал член с
Решение. 1) Выразим производные от у по х через про-
изводные от у по новой независимой переменной t. Имеем
dy _ dy dt _____ dy 1
dx dt ' dx ~ dt ’ x' (ty
132
d?y___d_ [ dy_ 1 \	d / dy Г \	1 _
dx2	dx\ dt	' x’ (t))	dt \ dt	" x‘ (t))	’ x’ (t) ~
. rf2y 1______x" (t) dy
dt2'x,2(t) x* (t) dt'
Подставляем эти выражения в данное уравнение:
d2y 1__________х' (t) dy ,	z_./z44 dy 1
dt2 ‘ x'2\t)
(Л dt <Х W 17 ' (Х (/)) У = f (Х (0)’
х \tj dt	dt х \t}
или
где
F(/) = /(x(/)),
°о(О==Йо’ й1(0=Л1(х(0)7^^Яо ’ a^-h^x^-
Таким образом, замена x = x(i) переводит линейное уравнение
в линейное, причем если исходное уравнение является одно-
родным, то преобразованное уравнение также будет однородным.
2) Потребуем, чтобы ах(/) = 0. Тогда при x — x(t) имеем
— о -4- = /ii (х).
X'(t)	X'*(t)	Х'2
Последнее уравнение не содержит явно независимой пере-
менной t. Используя замену х' = р(х), х" = р'р, получим
^ = М*), y = /i!(x)dx, p^Cje^1 (x}dx,
e~^hl M dx dx = c1dt, c±t + c2 = e~^hl w dx dx.
Таким образом, искомая замена независимой переменной
(<?! = ], с2 = 0) выражается формулой
t^^e^hiMdxdx.
2.24. С помощью замены независимой переменной уничтожить
член с первой производной в уравнениях:
1) У"~у' + е2ху=-0',
2) у" + ±у'+(1—^}у = ° (v=const>0, х> 0).
Решение. Воспользуемся результатом задачи 2.23.
1)	Здесь йх(х) = —1, h^xj^e231', замена независимой пере-
менной: / = 5e"^(_1)</JCdx = e*, x = lnt Преобразованное урав-
нение имеет вид
133
где a0.(f) — —•=t*, a2(0==es,n/ = f4, t. e.
*' (0
1	V2
2)	Здесь h1(x') = —, h2(x)=\—; замена независимой пе-
p - V — dx p	p j —
ременной: t— \ e 3 x dx = \ e~[nxdx = l y = ln x, х = е*. На-
ходим коэффициенты преобразованного уравнения: а0 (f) =
= — = e~2t, а2 (/) = 1 —v2e~2t. Преобразованное уравнение
х (t)
имеет вид
е“2<-^| + (1 —'v2e-2/)y = 0, или -^| + (е2< — v2)«/ = 0.
2.25.	Доказать, что если линейное однородное уравнение
n-го порядка
L(y) = yM + h1 (х)у{п~1} + ... +hn_1(x)y' + hn(x)y = 0
{hn (х) 0)
может быть приведено с помощью замены независимой перемен-
ной вида
/ = ф(х) (х€/ = (а, &), /€(«, 0)),
где ф(х)—непрерывно дифференцируемая п раз функция и
ф'(х)=/=0 при х£1, к линейному однородному уравнению с по-
стоянными коэффициентами, то необходимо, чтобы
ф (х) — § khn (х) dx,
где k = const У^О.
Решение. Рассмотрим случай п = 2. В уравнении z/"4~
+ (х) у' + h2 (х) у = 0 сделаем замену / = ф(х). Тогда, в соот-
ветствии с результатом задачи 2.23, получим уравнение
\№W^ + aAt)^ + h2[x)y = Q (/ = ф(х)).
Разделив обе его части на [ф' (х)]2 =И= 0, имеем
d2y . щ (0 dy h2 (х)	0
dt3 * [ф' (X)]2 dt "r[i|>'(x)]2i/
Согласно условию последнее уравнение является уравнением
с постоянными коэффициентами. Поэтому, в частности,
= С= const =7^=0,
|ф'(х)р
откуда
ф' (х) = И kh2 (х), ф(х) = jK-fe/ia(x)cfx
134
2.26.	В уравнении х8#'"—9х2#'ф- Зху'—-4у = 5 In х+1п’хпро-
извести замену независимой переменной / = гр(х) так, чтобы
коэффициенты преобразованного уравнения были постоянными.
Решение. Перепишем данное уравнение в каноническом
виде (х > 0):	.
,,,	9 „ . 3 ,	4 51пхф-1п2х
у ~у +-^у —^у=—Гз—
Из решения задачи 2.25 следует, что функцию t = ф(х) нужно
искать в виде
t = ф (х) = С j/"k( —	dx = — р/4k In х ф- С.
Выберем С = 0, k =—1/4. Тогда / = 1пх, х = е*. Последовательно
находим:
,	dy	dy	dt	dy	t
“	dx	dt	dx	dt	’
d2y _ d f dy Д
y ~~ dx2 ~~dx\ dt J
,,,  d3y   d Г f d2y
У dx3	dx [ \ dt2
_d2y 2t dy ,	C-M\~(d2y dy\r-2t
dt2 ‘ dt v e >	\ dt2 dt J
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:
„з1 ( d3y q АгУ I о dV \ fi-3t Op2t f ^У dy \ p-tt
e {dt3	° dt2‘Z dt )e	Уе \ dt2	dt ) e
ф-3е*-^е_/—4y = 5t ф- t2,
1 dt z	’
или

2.27.	Дано уравнение
Ь (У) = Ум + W 4/(n-1) + • • • + Л„-д (x) y' + hn(x)y = f (x).
Требуется: 1) произвести замену неизвестной функции по фор-
муле у—р (х) иф-g (х), где р (х), q (х)—непрерывно дифференциру-
емые п раз на I = (а, Ь) функции и р (х) #= 0 при х g I, v—новая
неизвестная функция;
2)	подобрать функции р (х) и q (х) так, чтобы преобразован-
ное уравнение было линейным однородным и не содержало
члена с
3)	установить, как нужно выбрать функцию р (х), чтобы
преобразованное уравнение допускало понижение порядка на
единицу.
Решение. 1) Для нахождения производных применяем
формулу Лейбница. Имеем
й
У{к} = .2 CkP^ (х)	’ (х) ф- qM (х) (k == 1, 2, .... п).
135
Подставляем это выражение в данное уравнение:
2	+ q(ni + Л1 ( 2 Cill_1pa}v'-n~1~n + q<"~и ] + ...
i = 0	\i=0	/
• • • + Лд-1	+ p'v + q') + h„ (pv + q) = f.
Объединив коэффициенты при производных функции v, полу-
чим линейное неоднородное уравнение n-го порядка относительно
функции v:
о(п) + а1(х)и(п-1)+ ... +о„_1(х)о' + а„ (x)v = F(x),
где
ау(х)^С^р^/р	F(x) = |[/(x)-L (<?)].	(4)
1 = 0
В частности,
1	1 п	1
ar W = j (пр' + htp), ап (х) = - У hiP1*-» = - L (р).,
2)	Функции р (х), q (х) выберем из условий а± (х) = 0,F (х) = 0.
Имеем (х) = (пр' + hYp) = 0, пр' + htp = O, откуда, разделяя
переменные, получаем
—— С hi (х) dx
р = Се	,
где С =7^=0—произвольная постоянная. Условие F(x)=0 дает
1[/(х)-Л(7)]=0, L(q) = f(x).
Таким образом, искомая функция р = р (х) определяется одно-
значно с точностью до постоянного множителя, а в качестве
q = q (х) можно выбрать любое частное решение исходного урав-
нения L(y) = f(x).
3)	Преобразованное уравнение допускает понижение порядка
на единицу, если ап (x) = -^-L (р) = 0, т. е. если р = р (х)—нетри-
виальное решение однородного уравнения L(y) = 0, В этом слу-
чае замена у — р (х) J u(x)dx (v' = u—новая неизвестная функ-
ция) позволяет понизить порядок исходного уравнения на еди-
ницу.
2.28. Заменой неизвестной функции у = ри уравнение z/" +
+ (х) у' + h2 (х) у = 0 привести к виду и" -\-а2(х') и = 0.
Решение. В соответствии с результатом задачи 2.27 функ-
цию р выбираем в виде
—— f ht (х) dx
р = Се 2J (C = const=#0).
136
Коэффициент а2(х) уравнения определяется по формуле (4)
(/ = 2, п = 2):
1 4" f fti (*) dx Г ( —г f (*>	( - — f Л1 W dx\
a2(x) = ±e2 > |CV 3	) +h1C\e 2 J J +
-4-	\ ht(x)dx । i ।
+ Ch2e J J =4-/li~ -2hi—-2hi + hz-
Таким образом, a2(x) = h2(x)—±-hl(x)—-^-hl(x).
2.29. Выражение Q(x) = h2(x)—-^hl(x)—h[ (x) называется
инвариантом уравнения
y” + h1(x)y' + ft2(x)«/ = 0.	(5)
Доказать, что равенство инвариантов двух уравнений вида (5)
есть необходимое и достаточное условие того, чтобы одно из
них могло быть преобразовано в другое с помощью следующей
замены неизвестной функции:
у — р(х)и.	(6)
Решение. Наряду с уравнением (5) рассмотрим уравнение
y" + h1(x)y' + h2(x)y=0.	(7)
Инвариант уравнения (7) есть Q(x) = h2(x)—-i/ii(x)—
Предположим, что уравнение (5) с помощью замены вида
У = РУ	(8)
может быть преобразовано в уравнение (7). Уравнение (7) заменой
_	С fti wdx
у = Се 2 J v (С = const =£= 0)	(9)
(см. задачу 2.28) преобразуем в уравнение
v” + Q(x)v = 0.	(10)
Таким образом, уравнение (5) преобразовано в уравнение (10)
заменой
—— С Л, (х) dx
у = ре 2 d v.	(11)
Но уравнение (5) с помощью замены вида (11) единственным
образом может быть преобразовано к виду (10) (см. задачи 2.27
—— С hLdx	—— С Л, dx	— С (ft, -ft,) dx
и 2.28). При этом ре 2 J = Се 2 J , р = Се2 J ,
где С = const =# 0 й
. Q(х) = й2(х) —hl (х) —hl (х) = Q (х).
137
Предположим, что имеет место равенство инвариантов урав-
нений (5) и (7):
Q(x) = Q(x).	(12)
Покажем, что при выполнении условия (12) уравнение (5)
может быть преобразовано в уравнение (7) с помощью замены
-1- С	_
у = е J	у = ру.
Действительно, коэффициенты преобразованного уравнения
+	+ (x)y = Q определяются по формулам (4);
«1W = j [2/ +	=
-2_ \ (hi-hi) dx _	-2- С (hi-hjdx __
= е * J	[(hl_hi) + hi]e* }
«2 (x) = 7 [p" + hj' + h2p] =
—1- C [hi — h^dx г । _	1 —
= e 1 J	^(/il_/I1)2 + ±(/I'_/l;) +
+ ~2 ^1(^1 — ^i) + ^2jeS	==^2----4Л1---2’Al + -g-/j1-|-
+1 = Q (x) - Q (x) + h2 (x) = JL (x).
2.30. Показать, что уравнение
+	= 0	(« = const 7=0)
с помощью подстановки Лиувилля у = р (х) и
быть приведено к виду
7^ + (« + p;xP5)v = Q.
Решение. Сначала произведем замену неизвестной функции:
у' = p’v + pv', у" — p"v + 2p'v' + pv",
pv + 2pv + pv +y,pv = Q, V +-~V +^4-_Jy = o.
Перейдем теперь к новой независимой переменной по фор-
мулам t = С —, t'x = Л .-. Имеем
J р W Р (х)
,__ dv__ dv	,,______ dv	1
V	dx	dt	x	dt p2 (x) ’
,i - d2v _ d	f	dv 1	\___ d	! dv \	1	dv	—2p' _
V	dx^	dx	\	dt	p2 (x)	J —	dx	\ dt J	' p* (x) ' dt ‘ pa (x) ~~
__ <Pv 1	dv 2p’
~~ dt2	p* (x)	dt ps (x) ’
138
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
d*v	1	dv 2р’	2р'	dv 1 , / р" . а \
dt2	р*	dt р*-	р	dt	р* ' \ р pi) V	’
откуда
4г+(а+^3)и=0-
2.31.	Применить подстановку Лиувилля к уравнению у”-'г
+ е2ху = 0.
Решение. Согласно обозначениям задачи 2.30, имеем
__Lx р dx 0
р(х) = е 2 , t = \	= \ех dx = ех. Подстановка Лиувилля
—-*	1
у=е 2 о= t = ^ приводит данное уравнение к виду
	^ + (l+^Ps)v = 0.
Учитывая,	»	1 “Vх 1	1	з _"Г*	1 что рхх = -y е * =-г	, р3 — е 2 = —, 1хх 4	4 )/ / ’ '	t^t
получаем	d*v f,	1 \	„ -Т7г+	1 +-Г7Т V = 0. dt* 1 \	1 4/2 J
2.32.	Доказать, что с помощью замены неизвестной функции
/ = */«(« = у)	(13)
линейное однородное уравнение n-го порядка
yw + h1(x)y{n~1}+h2(x)y{n-2} + ... +h„_1(x)y' + h„(x)y=0
(п> 1) может быть преобразовано в нелинейное уравнение
(п—1)-го порядка вида (уравнение Эйлера—Риккати)
и(п-1* + ht(х) и(п~2> + ... + hn_t (х) и +
+	(х)	+^n(x) + f(x> u> и'> •••> «<г,“2>) == О, (14)
где ft0(x) = l, a f(x, и, и’, ..., u<n-2))—нелинейная функция,
зависящая от х, и и производных от и до (п—2)-го порядка.
Решение. Производные y(i} (i = 2, 3, ..., п) вычислим,
применяя формулу Лейбница:
=	=	=	(15)
Из (15) при i = 2, 3 соответственно имеем:
у" — у'и + уи' = уии + уиг — у (и2-{-и'),
у’” = у"и + 2у’и' + уи" — у(и2-\-и')и-^ 2уии' +	(16)
-{-уип == у (и3 + Зшг' -ф и"\.
139
Применяя метод математической индукции, покажем, что
производная у1 (1 = 3, ..., п) выражается формулой
у“' = у(и‘ + и«-" + Ы,	(17)
где fi — нелинейная функция, зависящая от и и производных
от и до (i—2)-го порядка включительно. Справедливость фор-
мулы (17) при 1 = 3 вытекает из (16). Предположим, что фор-
мула (17) справедлива при всех 3^t<m^n, и докажем ее
справедливость при i = tn. Из (15), с учетом предположения
индукции, имеем
yl™>=S^oicLiy<m-1-ft,M<ft,=SrJoC^_1</(ra-i-ft)«(A)+c^?/u('n-3,+
+ W”-«+W”’11 =	+ и^-^+
+ L_1_s)w(ft)+C^13z/(u2+U')M(M-3)+CS=^u(ffi-2,+C«z^u<—1> =
= г/[(Ы'л-1 + м('»-2> + /и_1)ы + С^_1(и“'2 + и<»-3> + /,л_2)и'+ ...
• • • + CffrA (us + и" + Д) u^~» + C^~t (u* + u') u(m-3> +
+ Cm=iuu(ra-2) + «(m-1)] = у [um -I- w'"2-1’+ /и],
где/и=(и<'»-2>+Лл-1)и+Уй=7С^_1 (M"’-1"ft + H('«-2-^+/ra_1_ft)x
X u<ft) + Cm-i(w2+ u')u<"'~3'+ ^i2uu(m'2) — нелинейная функция,
зависящая от и и производных от и до (т—2)-го порядка.
Формула (17) доказана.
Подставляя (13), (16), (17) в исходное уравнение и сокра-
щая на г/#=0, относительно и получаем уравнение (п—1)-го
порядка вида
нП + ц(п-1) + ^ + Л1(х)(ы»-1+м(»-2) + /п_1)+ ...
• • • + Ли_2(х)(«2 + и’) + h^u + hn(x) = 0.
Произведя группировку членов, получим уравнение
и*""1’ -(-/^(х) u<n-2) + .. . + hn_1 (x)u +
+ '£i~ohi(x) un~‘ + hn(x) + f(x, u, u', ..., u<n-2))=0,
где ft0(x) = l, f(x, u, u', ..., u{n-i) = fn+'^l-31hi(x)fn_i — не-
линейная функция, зависящая от х, и и производных от и до
(м—2)-го порядка, т. е. уравнение вида (14).
2.33. Применяя замену у' = уи, показать, что линейное
однородное уравнение с постоянными коэффициентами у"+а1у'+
~га2у (alt а2 = const) интегрируется в квадратурах. Найти общее
решение уравнения у"-\-2у' + у = 0.
Решение. В результате замены у' = уи, у" = у (и2 + и')
относительно новой неизвестной функции получим уравнение
Эйлера—Риккати м2 + ы' + а1и + а2 = 0, которое является урав-
нением с разделяющимися переменными. Для данного уравне-
ния аг — 2, а2 = 1.
Разделяем переменные:
Н'=_(Ы + 1Л_^_ = _Л («#=-!),
140
I
:-Ж + Д,	'	_Ж_Д,	_
Cl	“+1	cl’	и+1	с'
I 1	Cl	«
и + 1 = -г-1  , и = —г2-1
Cix—1	CiX—1
(решение и = —1 получается при С( = 0).
Используя произведенную замену, находим
= Сг?п1С^-1
|-х =С1хе~х + С2е~х,
где Clr С2—произвольные постоянные.
§ 11.	ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.	Основные понятия. Линейное однородное уравнение n-го порядка
имеет вид
где функции hi (х) непрерывны на / = (а, Ь), 1=1,2, ,,,, п. Приведем
основные свойства решений этого уравнения.
1.	Если ylt у2, ..., ут—решения уравнения (1), то и любая их ли-
tn
нейная комбинация У, С,у,-, где Cz = const (1 = 1, 2. т),	является
i = 1
решением уравнения (1).
2.	Если линейное однородное уравнение (1) с действительными коэффи-
циентами имеет комплексное решение y = u-[-iv, то функции и = ^у,
v=Imy в отдельности являются решениями уравнения (1).
Функции <рх (х), ф2 W> • ••, <pm (х) называются линейно зависимыми
на множестве I, если существуют постоянные aj, a2> am такие, что
оЗДг W+«2<Pa W + -•• 4-amq>CT (х) = 0, х£1,	(2)
т
причем а; > о
i = i
Если же тождество (2) имеет место лишь при ai = a2= ... =ал = 0,
то функции q>i(x), ф2 (х), ..., фт (х) называются линейно независимыми
на I.
Любая система из п линейно независимых решений уг (х), у2(х), ...
.уп (х) линейного однородного уравнения (1) называется фундамен-
тальной системой решений уравнения (1). Фундаментальная система
решений У1(х), у2 (х)..уп (х) называется нормальной (при х = х0), если
У1(*о)=1. y'i(xo) = O, ..., у?"1'(хо) = О,
у2(х„) = 0, у2(х0)=1, .... уг’"1,(*о) = О,
Уп(Хо) = О, Уп(хо) = О, Уп 1>(х0)=1,
где х0£/. Общее решение линейного однородного уравнения (1) имеет
вид у = С1У1(х) + С2у2(х)4-...4-С„у„(х), где Clt С2, ..., Сп — произвола
ные постоянные, а yi (х), у2(х), уп(х)—фундаментальная система
решений уравнения (1).
141
Если y-L (х), у2 (х),	уп(х) — нормальная фундаментальная система
решений уравнения (1), то решение задачи Коши для уравнения (1)
с начальными условиями у(хо)=Уо, #'(хо)=Уо, ... y^n~3-> (х0) =уоп~1>
имеет вид
У = УоУх + УйУг (*) + • • • +Уо’-1>Уп (х).
2.	Условия линейной зависимости и независимости функций. 1. Для
того чтобы функции ф1 (х), ф2 (х)....ф„ (х), непрерывные на [а, й], были
линейно независимы на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы опреде-
литель Грама системы функций <fi (х), ф2 (х), .... срт (х), имеющий вид
Г(фь ф2,
• • • > ф/л) —
(ф1, Ф1) (фь фа) ••• (ф1. фт)
(ф2. Ф1) (ф2. ф2)	(ф2> фОТ)
(ф«. Ф1)
(флл. фа) • • • (фот» ф/л)
где
(ф<> Ф/)= Jа ф< (х) фу (х) dx (i, / = 1, ..., т), был отличен от нуля:
Г (ф1, ф2, • • •, фи) # 0.
2. Для	того чтобы функции	фх (х), ф2 (х),	фот (х), непрерывные
вместе со своими производными		до (т—1)-го порядка включительно
на /, были Вронского	линейно независимы	на I, достаточно, чтобы определитель
	(вронскиан) 1Г(х) =	W [ф1, ф2,	фи] системы функций
Ф1(х), ф2(х) интервала 1 W [фх, ф2, ..	...» <рт(х) был отличен от нуля хотя бы в одной точке х , т. е. Фх(х)	ф2(х)	в.. фот(х) „Ф^^х)^	. ^0, х€/. фГ-п(х) фГ-^х) ... фй1-1’^)	
3. Если функции ф1(х), фа(х), .... фт(х), непрерывные вместе со своими
производными до (т—1)-го порядка включительно на / = (а, Ь), линейно
зависимы на 1, го
Г (х) = W [фх, ф2> ..., фи]^0, xgZ.
4.	Для того чтобы решения у±, у2, ..., уп линейного однородного
уравнения л-го порядка (1) были линейно независимы на / = (а, Ь), необ-
ходимо и достаточно, чтобы
W (х)= W [yi, у2,	0 VxgZ.
Для вронскиана л решений линейного однородного уравнения (1) имеет
место формула Лиувилля —Остроградского
сх
— \ hi (s) ds
W (x) W [(/!, y2, ...,yn] = w (x0)e Jx«
Из формулы Лиувилля—Остроградского вытекает следующее условие.
5.	Для того чтобы решения ylt у2, уп линейного однородного
уравнения л-го порядка (1) были линейно независимы на 1 = (а, Ь),
необходимо и достаточно, чтобы вронскиан W (х) = W [ух, у2, ..уп]
не обращался в нуль хотя бы в одной точке xog/.
2.34.	Показать, что система функций (х), ф2 (х), ..., срт (х),
определенных на / = (а,Ь), является линейно зависимой на I,
если среди этих функций есть хотя бы одна, тождественно
равная нулю на I.
Решение. Пусть, например, <р1(х) = 0. Выберем а2#=0,
а7 = 0 (/ = 2, ..., т). Тогда, очевидно, на I имеет место тож-
дество а1<р1.(х) + а2ф2 (х) + ... -|- амфи (х)=0, причем «г > О.
142
Поэтому функции <piW = 0, ф2(х), .... фт(х) линейно зави-
симы на Д
2.35.	Показать, что система функций фх(х), ф2 (х), ..., фт(х),
определенных на 1 — (а,Ь), является линейно зависимой на I,
если среди этих функций имеются по крайней мере две тожде-
ственно равные на I.
Решение. Пусть, например, Ф1(х) = ф2(х). Выберем аг=
= —а2=^0, о,- = 0 (/ = 3, ..., т). Тогда на I имеет место
тождество
«1Ф1 (х) + а2ф2 (х) + а3ф3 (х) + ... + атфт (х) == О,
причем 2^=1 а(>0- Поэтому функции фх(х), Ф2(х), ф3(х), ...
..., линейно зависимы на I.
2.36.	Показать, что любая подсистема линейно независимых
на 1 = (а, Ь) функций фх(х), ф2(х), ..., фт(х) также линейно
независима на I.
Решение. Предположим, что подсистема ф^ (х), ф&2(х), ...
..., ф*/,(х)	i = l, 2, ..., р) системы линейно не-
зависимых на I функций Ф1 (х), ф2 (х), ..., фи(х) линейно
зависима на /. Тогда на I имеет место тождество
akt(fkt (х) + а*2Фй2 (х) + ... + akp (q>kpx) е= 0,	(3)
причем 2?=ia* >0- Но тогда, положив аг = о^., если / = /<?,
(t = 1, 2, ..., р), аг=0, если k2, ...,kp}, получим, что
вместе с (3) на I имеет место тождество	(х) = 0,причем
Поэтому функции ф! (х), ф2 (х), .. ., фт (х) линейно зави-
симы на I, что противоречит условию.
2.37.	Показать, что система функций (х), ф2 (х), ..., tpm (х),
определенных на I = (а,Ь), является линейно зависимой на I,
если какая-либо подсистема этой системы линейно зависима на I.
Решение. Пусть функции Ф*2(х), ф*2(х), ..., Ф^(х)
1 = 1, 2, ..., р) линейно зависимы на / = (а, Ь).
Предположим противное, что функции фх (х), ф2 (х), ..., <рт (х)
линейно независимы на /. Но тогда, в силу результата
задачи 2.36, подсистема ф*,(х), ..., ФлДх) также линейно
независима на /, что противоречит условию.
2.38.	Показать, что если система функций фх(х), ф2(х), ...
..., фм(х), определенных на 1 = (а,Ь), линейно зависима на/,
то она линейно зависима на любом промежутке = Р) с: /.
Решение. Так как данная система функций линейно
зависима на I, то имеет место тождество
«1Ф1(х) + а2фг(х)+...+аяфот(х) = 0 Ух^Л (4)
причем 2^-1	> О-
Поскольку /х с /, тождество (4) имеет место также и на /г.
Поэтому система функций фх(х), ф2(х), ..., фт(х) линейно
зависима на /х.
143
2.39.	Пусть функции фх(х), Ф2(х), ..., ф„(х), определенные
на 1 — линейно независимы на 7. Следует ли отсюда,
что функции фх (х), ф2(х), •••» фи(х) линейно независимы на
любом промежутке 7j = (a, Р) с: 7?
Решение. Не следует. Приведем пример. Функции х и |х|
линейно независимы на промежутке (—1, 1), так как тождество
«iX + aalxl^O, х£(—1,1)	(5)
возможно лишь при aj = a2 = 0. Действительно, при х = 0,5
из (5) получаем (с^ + а2) 0,5=0, откуда о^ + а^О; при х =—0,5
из (5) следует (о^—а2) 0,5 = 0, откуда а,—a2 = 0. Поэтому
a1 = a2 = 0, а значит, и функции х и )х| линейно независимы
на (—1, 1).
Если х£ (0, 1), то х—|х| = х—х = 0 (at = 1, a2 — —1); если
х€(1,0), тох+|х|=х—х = 0 (a1 = a2 = l). Поэтому функции
х и |х| линейно зависимы на промежутках (—1, 0) и (0, 1).
2.40.	Пусть функции Ф1 (х), ф2(х), ..., фт(х) определены
на промежутке 1 = (а, Ь) и линейно независимы на промежутке
/j = (a, р) с 7. Доказать, что функции фДх), ф2(х), ..., Фм(х)
линейно независимы на I.
Решение. Предположим противное, т. е. что функции
Ф1 (х), ф2 (х), • • •, фт (х) линейно зависимы на /. Тогда на 7
имеет место тождество
«1Ф1 (х) + а2ф2(х)+ .. .	(л) = 0,	(6)
причем 2^=1 а?>0. Поскольку I, с I, тождество (6) имеет
место также и на Ц. Поэтому данные функции линейно зави-
симы на /j, что противоричит условию.
2.41.	Пусть функции фДх), ф2(х), ..., фш (х) определены
и (т—1) раз непрерывно дифференцируемы на I = (а, Ь}. Дока-
зать, что если W(х) = W [ф15 <р2, ..., <рт] =ё0 на /, то функции
Ф1(х), ..., Ф„ (х) линейно независимы на 7.
Решение. Предположив, что функции фДх), ф2(х), ...
..., ф,л (х) линейно зависимы на I, получим, что W (х) = 0, а это
невозможно.
2.42.	Показать, что: 1) если const на 7 = (а, Ь), то
функции фДх) и ф2(х) линейно независимы на 7;
2)	если = const на 7, то функции фДх) и ф2 (х) линейно
зависимы на I.
Решение. 1) Предположим, что У*фconst на 7 = (а, Ь),
но функции Ф1(х) и ф2(х) линейно зависимы на 7. Тогда на 7
имеет место тождество
а1Ф1(х) + «2ф2(х) = 0,	(7)
144
причем а?-|-а|>0. Пусть, например, сц^О. Тогда из тожде-
ства (7), учитывая, что <р2(х)=^0 на 7, имеем
=	= const.
<р2 (%)	«!
Это противоречит сделанному предположению.
2)	Предположим, что ss const = с на 7. Тогда на 7 имеет
место тождество ф^х)—сф2(х)=0, причем а14-а2 = 12+(—с)2>0.
Поэтому функции Фт (х) и ф2(х) линейно зависимы на 7.
2.43.	Исследовать на линейную зависимость функции:
1) 1, х, х2, х3; 2) 1, Inх; 3) sinx, cosx; 4) 4—х, 2х-|-3, 6х-]-8;
5) х2 + 2х, Зх2—1, хф-4; 6) 1пх4, 1п5х, 11; 7) х, х3, |х3|.
Функции рассматриваются в областях, где они определены.
Решение. 1) Предположим, что функции 1, х, х2, х3
линейно зависимы на / = (—оо, Н-оо). Тогда на 7 справед-
ливо тождество
“1-1 + сс2хЧ-а3х2 + а4х3^0,	(8)
где a3 -j- <х| + а| = а4 > 0, что невозможно, так как в левой части
(8) имеем многочлен степени не выше третьей, который, как
известно, может обращаться в нуль не более чем в трех точках
промежутка 7. Следовательно, функции 1, х, х2, х3 линейно
независимы на 7. Из решения следует, что функции 1, х, х2, х3
линейно независимы на любом промежутке 7t = (а, Ь).
2)	Воспользуемся результатом задачи 2.42. Поскольку
= In хз^ const при х > 0, данные функции линейно незави-
симы на 7 = (0, + оо).
3)	Предположим, что данные функции линейно зависимы
на 7 = (—оо, + оо). Тогда на 7 имеет место тождество
sinx 4- a2cosx = 0,	(9)
где, например, о^^О. Положим х = л/2. Тогда из (9) следует
а4 = 0, что невозможно. Поэтому данные функции линейно
независимы на 7.
4)	Выясним, можно ли найти такие постоянные alt a2, a3,
чтобы a2-|-a2 + al>0 и на промежутке 7 = (—оо, +°°) имело
место тождество
0^(4—x)4-a2(2x + 3)4-a3(6x-p8) = 0.	(10)
Из (10) имеем
(—a1-|-2a2 + 6a3)x4-(4a1 + 3a2 + 8a3)-l =0.	(11)
Поскольку функции 1 и х линейно независимы на 7
(см. п. 1), тождество (И) возможно при условиях
( —a14-2a24-6a3 = 0.
\ 4ai + 3a2-|-8a3 = 0.
145
Переписав систему (12) в виде
eq—2а2 = 6а3,
4cq Заа = — 8а3
(13)
и заметив, что главный определитель системы (13) относительно
неизвестных alf а2 есть
Д =
1 —2
4 3
= 11 =#0,
можно сделать вывод, что система (13) при любых а3=/=0 имеет
нетривиальное решение. Поэтому данные функции линейно
зависимы на I.
5)	Выясним, можно ли найти такие постоянные а1т а2, а3,
чтобы ai + a2 + al>0 и на промежутке / = (—оо, 4-оо) имело
место тождество
ах (х2 4- 2х) 4- а2 (Зх2—1) 4- а3 (х + 4) = 0.	(14)
Из (14) имеем
(a14-3a2)x24-(2ai4-a3)x4-(—а24-4а3)-1 = 0.	(15)
Аналогично п. 4, в силу линейной независимости функ-
ций 1, х, х2 (п. 1), из (15) получаем систему линейных одно-
родных алгебраических уравнений относительно ап а2, а3:
а14-3а2 =0,
2а14-а3 = 0,
— а2 + 4а3 = 0.
(16)
Так как главный определитель системы (16) есть
3 0
0 1
— 1 4
1
2
0
Д =
= — 23 ^=0,
то система (16) имеет лишь тривиальное решение: oq = a2 =
= a3 = 0. Поэтому данные функции линейно независимы на /.
6)	В силу того что функции In х и 1 линейно независимы
на промежутке / = (0, 4- °°) (п. 2), тождество oq In х4Ч- a2 In 5x4-
4-a3-ll=0 или (a24~4a-,)Inx+(a2In54~ 1 la3)• 1 0 возможно
лишь при
4tt1 + a2 = 0,
a2ln5 + lla3 = 0.	^?)
Система (17) имеет нетривиальное решение ^например, oq =
“2 = — 1лТ’	Поэтому данные функции ли-
нейно зависимы на I.
146
7) Поскольку
X®, Х^О
—х®, х <0 ’
данные функции ли-
нейно зависимы на промежутках (— оо, 0) и (0, + оо). Рас-
смотрим промежуток 7 = (—оо, 4-оо). Пусть данные функции
линейно зависимы на 7. Тогда на этом промежутке имеем
тождество
агх + а2х® + а31 х® | = 0,
(18)
причем аЦ-аЦ-аз > 0. При х^О из (18) получаем
а1х + (а2 + а3)х® = 0.
(19)
При х<0 из (18) получаем
агх-\-(а2—а3)х3 = 0.	(20)
Функции х и х3 линейно независимы на любом промежутке,
поэтому из (19) и (20) следует, что «1 = 0, а2-|-а3 = 0; «1 = 0,
а2—«з = 0, откуда «1 = 0, а2 = а3 = 0, что противоречит усло-
вию (18). Следовательно, данные функции линейно независимы
на 7.
2.44.	Пользуясь определителем Грама, исследовать данные
функции на линейную зависимость на указанных промежутках:
1)	Ф1(х) = 2х—1, ф2 (х) = 2х +1, ф3(х) = х; I = [—1, 1];
2)	фо = 1, ф!1’ = sinx, ф^2) = cosx, ..., ф^11 = sin их, фА2) =
= cosnx; 7 = [—л, л];
3)	Ф1(х) = х, ф2(х) = |х|; 7 = [— 1, 1];
4)	ф1(х) = х3, ф2(х) = х2|х|, ф3(х) = х; I = [0, 1];
5)	ф1(х) = х3, ф2(х) = х2|х|, Фз(х) = л;; 7 = [—1, 1].
Решение. 1) Находим:
(Ф1, Ф1)=С (4х2—4х+ \)dx= (угх3—2х24-х^|1 =-Ц‘,
J — 1	\ О	j [ — 1 о
(Ф1, ф2) =	(4х2—l)dx= (дх3—х) ]’_! =4 ;
(Ф1, фз) =	(2х2—x)dx= (-|х3—т) 1-1
(ф2, Ф1) = у» (Тг, Фг)=У11 (4x2+4x+l)dx=^-|x3+2x2+x^ 1^ =
_ 14.
~ 3 ’
(ф2. Фз) = ^1(2х2 + х)(/х=(-|х3 + 4л2)|^1:==4: <Ф®’ =
(Фз, Фз)=4» (фз> Фз) =		1	3 ах = -^х3 О	1 -1 —	2 з •
	14/3	2/3 4/3	о	7 1 2
Г(Ф1, ф2, ф3) =	2/3	14/3 4/3	О ~ 27	1 7 2
	4/3	4/3 2/3		2 2 1
= ^(49 + 4 + 4 — 28— 28—1) = 0.

Данные функции линейно зависимы на промежутке I =
= [-1,1].
рл
2)	Находим: (<р0, ф0) = \	1 -dx = 2n,
(Фо, фр) = уЛл 1 -sin ixdx = 0, (<р0, фр) =	1 -cos ixdx =0.
Аналогично (<Р(Ц), ф/л',) = 0 (1=#/; Р-, v=l, 2);
(фР, ФР) = уЯ sin2 ixdx = у J" ^(1—cos 2ix) dx = л;
Г*л	1 рл
(фР, ФР)=\ cos2 ixdx = у ( п(1 4-cos2i’x)dx = n;
(ф<ю, фГ) = о (p#=v) (1, / = 1, 2, ..		, п).
	2л 0 0 ... 0 0	
	0 л 0 ... 0 0	
Г (Фо, фр, • • ., Фп’) =	0 0 л ... 0 0	= 2л2п + 1у=0.
	0 0 0 ... л 0	
	0 0 0 ... 0 л	
Функции ф0 (х) = 1, <рр(х) = sin lx, <рр(х) = cos ix (t =
= 1, 2, ..., п) линейно независимы на I = [—л, л].
pl	12
3)	Находим: (фп ф1)= \ x2dx = -^ хзр1 = у ;
(Фп ф2) = x|x|dx = 0; (ф2, ф0 = 0;
(ф2, ф2) = JJ, |x|2dx = jx3|1_1 = y.
г/	ч 2/3 0	4 п
Г(Ф1, Ф2) 0 2/3 ~ 9^ °-
Функции х и |х| линейно независимы на / = [—1, 1].
4)	Находим:
(Ф1, Ф1) = У’х’4/х = у , (фъ ф2) = Jox5|x|dx = J‘xMx = y ,
(Ф1, Фз) =	= ; (ф2, Ф1) = у, (ф2) ф2)= Vo X4|x|2dx =
= 1охШ==Т’ (ф2’ Фз) = Jo %3lxldx =
(Фз. Ф1) = 4> (Фз, ф2) = 4’ (Фз. Фз) = J10^dx = -j.
1/7
Г(Ф1, ф2,
Фз)= 1/7
1/5
1/7
1/7
1/5
1/5
1/5
1/3
= 0.
Функции ф! (х) = х3, ф2 (х) — х21 х |, фз (х) = х линейно зави-
симы на I = [0, 1].
148
5)	Находим:
(<Pi, Ф1) = j^ixedx = yx7|l1 = y, (<pi, <p2) = ^ix6|x|dx = 0,
(<Pi, <P3) = JIxx*dx = -|-; (ф2, Ф1)=0,
(фг> Ф2) = J1 j J X |2 dx = J * t Xedx = — ,
(ф2, Фз) = У^х3|х|ах = 0; (ф3, ф1) = -|-> (фз, ф2) = 0.
(Фз, Фз) =
	2/7	0	2/5	= А_А-о 147	175
Г(Ф1, ф2, Фз) =	0	2/7	0	
	2/5	0	2/3	
Функции <р1(х) = х3, ф2(х) = х2|х|, <р3(х)=х линейно неза-
висимы на I = [—1, 1].
2.45.	Показать, что функции
х\ хк^ ..., xkm,	(21)
где kf, k2, ..., km—действительные числа и k^kj (i #=•/),
линейно независимы на любом промежутке вида I = (а, Ь)
(Ь> а> 0).
Решение. Предположим противное, т. е. что данные функ-
ции линейно зависимы на I. Это означает, что на I имеет
место тождество
+ . . . + атхкт — 0>	(22)
причем	Пусть, например, am=H=0. Разделив левую
и правую части (22) на хк<, получим a1 + a2xz»+ . . . -}-атх1т=0,
где li = ki—kt (i = 2, ..., tn).
Продифференцировав последнее тождество, находим
+ (З3?3 + ... + ртх!”> = 0,	(23)
где I't — lj — \=ki—— 1, p; = a;Z; (i = 2, ..., tn), причем
P,„ = am (km—Левую и правую части (23) разделим
на tl* и полученное тождество снова продифференцируем. В ре-
зультате имеем
У,А3 + ... + уях"т О,
где п- —П( — 1 = /• — /2— 1 =kj—kY— 1 —(k2—kt— 1)— 1 — kj —
—k2— 13	—Z2)=a,(^—^2) (t=3, • •tn),
причем ym = am (^—k^ (km—kt) #= 0.
Продолжая указанный процесс, на (т—1 )-м шаге получим
6тхр«^0,	(24)
где &m = am(km—К){кт—k2) ... (km—km_t), p'm = km—km_-,— \.
149
Тождество (24) противоречиво, так как 0. Полученное
противоречие доказывает линейную независимость функций (21)
на I.
2.46.	Показать, что функции
xePi*
ер^х, хер2х, ..., хт‘ер^,	_
„РкХ YOPkX	Ymkopkx
с R , хе к , ..., х Re R ,
где mj^O—целые числа, при любых комплексных р1^р]-
(I =f= j; I, j = 1, 2, ..., k) линейно независимы на любом про-
межутке 1 = (а, Ь).
Решение. Предположим противное, т. е. что функции (25)
линейно зависимы на I. Это означает, что на / имеет место
тождество
e^Ql(x) + e^Q2(%)+...+epftrQA(x) = 0,	(26)
где Qy(x) (/ = 1, 2, ..., k) — многочлены степени не выше т}-,
причем среди этих многочленов найдется по крайней мере один
(пусть это Qft(x)), не равный тождественно нулю. Разделим (26)
на ePi* и продифференцируем полученное, тождество mr +1 раз.
В результате имеем
е<ра-₽.) хА2 (%)+...+ хАк (х) =0.	(27)
В (27) степени многочленов Лу(х) (/ = 2, ..., k) совпадают
со степенями многочленов Q/(x), так как при /-кратном диффе-
ренцировании выражения 0,(х)ер* в результате получаем выра-
жение А}-(х)ерх, где ЛДх)—многочлен, коэффициент при стар-
шем члене которого отличается от коэффициента при старшем
члене многочлена Q7(x) на постоянный множитель р1. Поэтому,
в частности, многочлен Л^(х) не равен тождественно нулю.
Делим (27) на e<p’_p‘>* и полученное тождество дифференцируем
(/п2 +1) раз и т. д. На (k — 1)-м шаге приходим к тождеству
Dk(x)e(pk~pk-i)x^Ot
откуда Dj(.r)^0, что невозможно, так как степень Dk(x)
равна степени Qk(x) и, следовательно, многочлен Dk(x) не равен
нулю тождественно. Полученное противоречие доказывает ли-
нейную независимость функций (25).
2.47.	Доказать, что если система функций
да1 = ы1(х) + ш1(х), ..., и/п = ип(х) + ш„(х),
Wi=«i(x) — ivt(x),	wn = un(x) — ivn(x)
{uj(x), Vj{x)—действительные функции, P = —1) линейно неза-
висима на /^R, то функции Uj(x) = Rewj, Vj(x) = Imwj
(j = 1, 2, ..., n) также линейно независимы на /.
150
Решение. Состав им тождество
2 [«;«/ (*) + hvJ W] s °»
)=1
где ау, Ру=con st. Учитывая, что ф/=4	+	vi=z^{w/—wj)>
получим
” Г •	_ р. — 1
X т (“7~	+ Ti (Wj—Wj') = о,
i= i L
или
21 [4 (а~ WJ' + i (а/+ “Я = °-
/=1 L
Из последнего равенства в силу линейной независимости
функций Шу, Шу следует, что у(ау— Ф/) = ®> 4(а/ + Фу)
откуда осу = Ру = 0 (/ = 1, 2, ..., п). Это означает, что функ-
ции Vy(x), Vj(x) (/ = 1, 2, ..., п) линейно независимы на I.
2.48.	Показать, что функции
e^cospjX, xe^cosPjX, ..., x’n'eaiXcosft pc,
e^sinxe“iXsinPjX, ..., x^e^sinpxx,
ea^ cos pAx, xea** cos pftx, ..., x'"*e“sx cos pftx,
eaA*sinрлх, xe“*vsinpfex, ..., хга*е“л* sin pAx,
где ay, py—действительные числа, руф=0 (/ = 1, 2, ..., k),
т/^0—целые числа, pj = ay- -ф фу =£ pt = аг -ф ф>г (i2 =—1) при
j ф I (j, 1=\, ..., k), линейно независимы на любом проме-
жутке I = (а, Ь).
Решение. Воспользуемся результатом задачи 2.47. Дан-
ные функции линейно независимы, так как они являются
соответственно действительными и мнимыми частями функций
вида
Шу = xTiep 1х = xr}^ix (cos РуХ-ф i sin Рух),
Шу = xrie?Iх = x'ie'~ix (cos РуХ— isinPyx)
(ry = 0, 1, ..., mj, / = 1, 2, ...,&),
линейная независимость которых доказана в задаче 2.46.
2.49.	Пусть функция x — g(t) осуществляет взаимно одно-
значное отображение множества Л = (a, Р) на множество I —
= {а, Ь). Доказать, что функции
<П(х), <р2(х), .... фт(х).
(28)
151
определенные на /, линейно независимы на / тогда и только
тогда, когда функции
ФЛО. Ф«(0» .... лЫП,	(29)
где ф,- (1) <pY (g (0) (i = 1, .  •, tn), линейно независимы на Л.
Решение. Из условия следует, что на множестве I опре-
делена функция t = f(x), обратная функции x = g(t)-. g(f(x)) — x
Vx£l.
Пусть функции (28) линейно независимы на I. Предположим
противное, т. е. что функции (29) линейно зависимы на Л.
Это означает, что на Л имеет место тождество
«хфх (0 + а2ф2 (0 + • • • + аяфя (0	0.
причем
2Г=1«?>0.	(30)
Поскольку ф,- (0 = <р(. (g (0) = ф,& (f W) = Ф,(х) (i = 1, 2, ..., т),
на множестве I имеет место тождество
«1Ф1 (х) 4- а2ф2 (х) + ... + атфи (х) == 0
и выполняется неравенство (30), что невозможно в силу линей-
ной независимости функций (28) на /. Следовательно, функ-
ции (29) линейно независимы на Л. Аналогично доказывается,
что из линейной независимости функций (29) на Л следует
линейная независимость функций (28) на I.
2.50.	Показать, что функции
х“> cos (Рх In х), xMnxcos^lnx), ..., х®* lnm>xcos(PjInx),
xa‘ sin(pj In x), x“* In x sin (Pj Inx), .... xa‘ln"!‘xsin (Pj Inx),
x“*COS(PftInx), x“*InXCOS(PftInx), ..., x“*lnm*xcos(PAInx),
x“*sin(Pftlnx), x“*lnxsin(PftInx), ..., xa*lnm*xsin(Pftlnx),
(31)
где a7-, Py—действительные числа, Ру =# 0 (/ = 1, .. ., k), rrij 0 —
целые числа, p7- = ay + iPy=#=pt = az +ipz (i2 = —1) при j #= /
(/, /==1, ..., k), линейно независимы на любом промежутке
I = (а, b) (b> a > 0).
Решение. Функция / = 1пх осуществляет взаимно одно-
значное отображение множества / на множество A = (a, Р),
где a = lna, p = lnb. Подставив x = ef в (31), получим функции
еа^ cos fat, telcos fat, ..., tmie^itcosрх/,
........................................... (32)
ea*zsinPA/, sin pxl, ..., f^e*1** sin fat.
Функции (32) линейно независимы на Л (см. задачу 2.48);
тогда, согласно доказанному в задаче 2.49, функции (31) ли-
нейно независимы на 7.
152
2.51.	Показать, что функции
х®*, х®>In х, ..., х®* lnm> х,
x“s, x®dnx, ..., x®dnm*x,
.................................... (^<3)
Xaft, x“* In X, ..., x“* lnm* X,
где m7d>0—целые числа, при любых действительных ау ^аг
(/ Ф I; j; / = 1, ..., k) линейно независимы на любом проме-
жутке 1 = (а, Ь) (&>п>0).
Решение. Функция / = 1пх осуществляет взаимно одно-
значное отображение множества I на множество Л = (а, 0), где
= 1па, (3 = In b. Подставив x = ef в (33), получим функции
f teak‘ ...... tm*e“*<,
линейная независимость которых на Л следует из решения
задачи 2.48. Поэтому, как доказано в задаче 2.49, функции
(33) линейно независимы на 1.
2.52.	1) Найти определитель Вронского систем функций:
а)	ех, хех, х2е*; I = (—оо, 4-оо);
б)	10, arcsinx, arccosx; / = (—1, 1);
в)	5, cos2x, sin2x; / = (—оо, + оо);
г)	х2, х|х|; I = (—оо, + оо).
2) Какие выводы относительно линейной зависимости Дан-
ных функций на I можно сделать по их определителю Врон-
ского?
Решение: 1) Находим
	ех	хе*	х2е*	
а) 1Г(х) =	ех	(х-|-1)е*	(х2 + 2х) ех	=
	ех	(х + 2) ех	(х2 + 4х + 2)е*	
		1 X	X2	
	езх	1 х-Н	х2 + 2х	—	
		1 х 4- 2	х2 + 4х + 2	
	1	X X2		
__ gSj	0	1 2х	==езх (4x4-2—	4х) — 2езх;
	0	2 4хЦ-2		
	10	arcsinx	arccos х	«
б) W(x) =	0	(1—x2)~V2	_ (1— х2)-		1/2 =0;
	0	х(1—х2)-	3'2 —х(1—X2)	-3/2
	5	COS2 X	sin2x	
в) W(x) =	0	— sin 2х	sin2x =0;	
	0	—2 cos 2х	2 cos 2х	-
153

\ П7/ ч Xs X X „
г) №(х)= _	'	=0.
'	' ’ 2х 2|х|
2)	Поскольку W (х) — 2е3* #= 0 на 7, данные функции линей-
но независимы на 7. В случаях б)—г) вывод о линейной, за-
висимости данных функций по их определителю Вронского
сделать нельзя.
б)	Данные функции линейно зависимы на 7, так как на /
имеет место тождество ах • 10 4- а2 arcsin х + а3 arccos х = 0, где
ах =— л/20, а2'=а3 = 1.
в)	Данные функции линейно зависимы на 7, так как на 7
имеет место тождество a154-a2cos2x + a3sin2x =0, где ах =
= —1/5, а2 = а3 = 1.
г)	Данные функции линейно независимы на 7, так как тож-
дество
ахх2 + а2х ] х | = 0 (х £ 7)	(34)
выполняется только при ссх = а2 = 0. Действительно, при х = 1
из (34) получаем ах4-а2 = 0; при х = —1 из (34) имеем ах—
— «2 = 0. Система
( a1 + a2=0,
( ax—а2 = 0
имеет единственное решение ax = a2 = 0.
2.53.	Пусть функции ф = ф(х) и ф = ф(х) непрерывны и
линейно независимы на интервале 7 = (а, Ь). Доказать, что ф
и ф также линейно независимы и на 70 = 7\{х0}, где х0£7.
Решение. Предположим, что функции ф и ф линейно за-
висимы на 70, получим тождество Лхф(х) + Х2ф(х) 0 4x^1
(х=4=х0), причем Х2Ц-Х|>0. Учитывая непрерывность ф(х) и
ф(х) на 7 и переходя к пределу при х—+х0, имеем ^Хф(хо)4-
4-Х2ф (х0) = 0. Поэтому ф и ф являются линейно зависимыми
и. на 7, что противоречит условию.
2.54.	Пусть функции ф = ф(х) и ф = ф(х) непрерывно диф-
ференцируемы и линейно независимы на 7 = (а, Ь), причем
В7(х) = Ц7[ф, ф] = 0 на 7.
Доказать, что:
1)	существует по крайней мере одна точка хх и одна точка
хх (хх, х(С/) такие, что ф(хх) = 0 и ф(х()~ 0;
2)	существует интервал 7о = (ао, Р0)с7 такой, что функции
Ф и ф линейно зависимы на 73;
3)	существует точка a£7 такая, что ф(а) = ф(а) = ф'(а) =;
= ф'(а) = 0. Привести примеры таких функций.
Решение. 1) Предположим, что такой точки (например,
хх) не существует, т. е. ф(х)#=0 Ух£/. Тогда вронскиан мож-
но записать в виде
^(xW^\~WW	на 7,
154
откуда ф(х) = Сф(х) (С = const) VxgZ, что противоречит ли-
нейной независимости функций ф и ф на I.
2) Предположим противное, т. е. что функции ф и ф ли-
нёйно независимы на любом интервале (а, р)с7. Пусть х —
произвольная точка интервала I. Рассмотрим последователь-
ность интервалов 1„ — [^х—, x-j-^d (п = п9, п04-1, • • •)•
Так как функции ф и ф по предположению линейно незави-
симы на /„ и и^(х)^0 на то из п. 1 следует, что суще-
ствует точка х„оС7„о такая, что ф(х„о)=О. Рассматривая ин-
тервал /П| (/!!>«„), не содержащий х„о, аналогично покажем
существование точки хп £ln такой, что ф(х„) = 0, и т. д.
В результате получим последовательности точек х„ —>х (fe—*
—>4-00), причем ф(х„А)=0 (&=1, 2, ...). В силу непрерыв-
ности функции ф имеем ф(х) = ф( litn х„.) = lim ф(хге.)=0.
'*->-+<» й/ k->-+a> v й/
Так как х—произвольная точка интервала /, то ф(х)^0 на
I, что противоречит условию линейной независимости функций
Ф и ф на /.
3) В п. 2 было установлено существование интервала /о —
= (а0, р0)с/ линейной зависимости функций ф и ф:
%ХФ (х) + ^2ф (*) = 0 Ух С Ц
(^ + %1>0). Предположим, что Г = (а, £>)=з70—максимальный
из таких интервалов (с теми же коэффициентами линейной
зависимости Х2), так что, например, на интервале /е =
— (а—е, Р)с/ (е—произвольное достаточно малое положи-
тельное число) ф и ф уже являются линейно независимыми.
Рассмотрим интервал (а—е, а) (в случае (а—е, Р)<£/ будем
рассматривать интервал (а, Р + е)а:/).
Если на этом интервале ф и ф линейно зависимы, то, оче-
видно, коэффициенты линейной зависимости не пропор-
циональны коэффициентам %lt %2, так как в противном случае
Г не был бы максимальным. Поэтому
^Ф-(х) + Х2ф (х) = 0,	%хф (х) + Х2ф (х) ss О,
Хфр'(х)-|-Х2ф'(х) = 0, Ххф' (х) 4- Х2ф' (х) = 0,
(х£(а—е, а))	Р))
(\1 + ^2 + -J" >• 0),
Переходя в этих равенствах к пределу при х——0 и
х-*а-| 0 соответственно и используя непрерывность ф, ф, ф',
ф', получим
i Х1ф(а)4-^аф(а) = 0, гД’ф'(а) + ^ф'(а)=0,
I Х1ф(а)4-Х2ф(а) = 0 И ( \ф'(а)ф-?.2ф'(а)=0.
1S6
Т' А I
Так как Д= .	.
I "i "2
Ф 0, то это возможно лишь при <р (а) =
— ф (а) = <р' (а) = ф' (а) = 0.
Если же на интервале (а—е, а) функции <р и ф линейно
независимы, то, воспользовавшись результатом п. 2 и тем, что
ё—произвольно малое число, получим, что при некотором е0
<р и ф будут линейно зависимы на (а—е0, а), т. е. приходим
к предыдущему случаю.
В качестве функций <р и ф можно взять, например, следу-
ющие функции:
Ф(х) =
<р(х) = х3, ф(х) = |х|3, / = (—1, 1);
0 при х€(0, 1),	, . J (х— I)2 при х£(0, 1),
(х—I)2 при х£ [1, 2),	(	0 при х£ [1,2),
(/ = (0, 2)).
Проверку выполнения условий задачи и утверждений
п. 1—3 рекомендуем выполнить самостоятельно.
2.55.	Доказать, что линейное однородное уравнение п-го
порядка
1/п> + М*)#<л-1)+ • •+Лп-1(*)/ + М*)У = °	(35)
с непрерывными на / = (а, Ь) коэффициентами /г,- (х) (7=1, ...
...,п) всегда имеет фундаментальную систему решений.
Решение. Задача Коши для уравнения (35) имеет един-
ственное решение при ха £ I и любых начальных значениях
Уо, У'о, • • •, У?~и-
Построим п решений данного уравнения уг (х), г/, (х), ...
..., уп(х), определяемых следующими начальными условиями:
Ух (*о) = Ум, Уг (х0) = у$, ..., уп (х0) = у$,
у’о (Хо) = Z/IV, у г (р„) = у%, ..., у'п (х0) = у %,
У1~1у (*о) = Ум~г\ Уг~1у (хй) = у&-'\ ..., у(пп-Г) (х0) = уй-1’,
х0 ё /.
Начальные значения у$ (i = 1, ..., и; j = 0, 1, ..., п—1)
подчиним единственному требованию:
Ум! Ум> ... Ум
у®-1' ... у%~"
Поскольку W[ylt ..., р„] |Х=Х(1 = W (х0) = Д =/= 0, функции
Уи Ун • • •. Уп образуют фундаментальную систему решений
уравнения (35).
156
2.56.	Выяснить, являются ли решения уДх) и уДх) урав-
нения у"у' + ( 1 —~^-]У — ® (х 0> а = const) линейно не-
зависимыми на / = (0, +°°). если известно, что:
1) !/i(l) = 3, >Д1) = 0;	2) У1(1) = -6, у2(1) = 1/3,
//Д1) = —1, г/2(1) = -2;	f/i(l) = 2,	УИ1) = -1/9.
Найти W[ylt у2].
Решение. Используя формулу Лиувилля —Остроградского,
получим
W[yi, у2] = Г(1)е’^ = ^(1)^.
Далее, находим:
1) ^(0 =
2) IF(1) =
2 = -6^0 и №[У1, у2] = -~;
!//9|=4-4=о и ^в0-
Поэтому в случае 1) решения У1(х) и z/Дх) линейно незави-
симы, а в случае 2)—линейно зависимы на I.
2.57.	Пусть функции г/Дх), z/Дх), ..., уп(х) непрерывно
дифференцируемы п раз на промежутке I = (а, Ь). Доказать, что
если W (х) е= W [У1, у2, ..., Уп]^^ Vx£/, то существует
только одно линейное однородное уравнение n-го порядка с
непрерывными на / коэффициентами и с коэффициентом при
у(п>, равным 1, для которого заданные функции У1 (х), z/2 (х), ...
...,уп(х) составляют фундаментальную систему решений. По-
строить это уравнение.
Решение. Пусть ht(x), йДх), ..., /г„(х)—коэффициенты
искомого уравнения. Так как функции z/Дх), уДх), ..., уп(х)
должны удовлетворять этому уравнению, то получаем систему
п линейных неоднородных уравнений
Р/"’ + hr (х) z/)"-1’ + ... + ft„_i (х) у’- + hn (х) У]- = 0 (/ = 1,2,..., п).
Главный определитель системы
Д =
У?-1’
г/Г1’
г/?-2)
г/Г2)
• • y'i У1
 У-2 У 2
»(га — 1)
= (-!) 2
Z/Г1’ у(пп-2) ... Уп уп
Nx^I.
Поэтому коэффициенты /гДх), й2(х), ..., й„(х) определяются
из системы однозначно. Непосредственной подстановкой легко
157
проверить, что искомое уравнение имеет вид
W [//1, У*,
	У1 y'l	У* У*	Уп Уп	У У	
II к					= 0.
	г/Г1’	У?-1'	УТ»	у{п~1}	
	У1°	№	Уп’	у{п}	
2.58.	Проверить, что функции уг = х2, у2 = х? образуют фун-
даментальную систему решений некоторого линейного однород-
ного уравнения второго порядка, и найти решение задачи Коши
для этого уравнения с начальными условиями ^(1) = !,
Решение. Находим определитель Вронского:

х2 х5
2х 5х4
= 5хв — 2хв = 3хв.
Следовательно, функции z/i = x2, у2 = хъ образуют фундамен-
тальную систему решений некоторого линейного однород-
ного уравнения второго порядка, коэффициенты которого яв-
ляются непрерывными функциями при х^=0. Общее решение
этого уравнения имеет вид у = С±х2 + С2х5, где Clt С2 —произ-
вольные постоянные.
Для решения поставленной задачи Коши необходимо опре-
делить значения постоянных Cit С2 так, чтобы выполнялись
заданные начальные условия у(1) = 1, z/'(l) =—2. Имеем
Ct-|-C2=l, 2Сх-]-5С2 =—2, откуда Сх = 7/3, С2 =—4/3. По-
7	4
этому решение данной задачи Коши имеет вид у~ — х2—-^х&.
О	О
2.59.	Показать, что функции уг = х, у2 = х2, у3 = ех обра-
зуют фундаментальную систему решений некоторого линейного
однородного уравнения третьего порядка. Составить это урав-
нение.
Решение. Найдем W[ylt у2, у3]:
— —2 (хех—ех)-^ех (2х2—х2) —ех [(х—1)2+ 1] #= 0 Ух £ /?.
Следовательно, данные функции образуют фундаментальную
систему решений некоторого линейного однородного уравнения
третьего порядка:
г/'" + Л1(х)г/" + й2(х)/ + /13(х)«/ = 0.	(36)
Найдем ЛДх), ^(х) и h3(x). Подставив в (36) последовательно
yt = x, у2 = х2,	= для определения /гДх), й2(х) и Л2(х)
158
получим систему линейных неоднородных уравнений:
О • ht (х) 4-1 • (х) xha (х) = О,
2hi (х) 4- 2xha (х) 4- х2Л3 (х) = О,
exhi (х) 4- ехЛ2 (х) 4- exh3 (х) = — ех.
Эту систему решаем по правилу Крамера:
Д =
О
2
ех
1
2х
ех
х
х2
= ~^[У1, У2, у3] = — ех(х2—2х + 2),
= — ех (х2—2х2) = х2ех,
х
X2
= х (—2ех) = —2хех,
= — ех (—2) = 2ех,
hi (х)
h (y\ = — = 2х
А х2 —2x4-2 ’	2{' А х2 —2x4-2 ’
1 / \ А3	2
И3 X)	~г~	------5 q ;	•
3 v '	А	х2 — 2х 4- 2
Искомое уравнение (х2—2x4-2)//"'—х2у" + 2ху'—2t/ = 0.
2.60.	Построить линейное однородное уравнение, для кото-
рого функции уг = ех, у.2 = е~х, z/3 = sinx, r/4 = cosx образуют
фундаментальную систему решений.
Решение. Поскольку W[yt, у2, у3, г/4] = 8у=0, в силу
результата задачи 2.57 искомое уравнение имеет вид
ех	е~х	sin х	cosx	У	
ех	— е~х	cos X	— sinx	у'	
ех	е~х	— sinx	— cosx	У"	= 0
ех	— е~х	— cosx	sinx	у'"	
ех	е~х	sin X	cosx	ylv	
Разложив определитель по элементам последнего столбца,
получим
	ex ex	1 1	sinx cosx	cosx — sin x\	
yIV8—у"'					4-
	ex	e x	— sinx	— cos X	
	ex	e~x	sinx	COS X	-
ISO
+ у"	6х 6х ех	е~х — е~х ~е~х	sinx cds х — cos X	cosx — sin x sinx	—
	ех	е~х	sin x	cosx	
	ех	е~х	sinx	cosx	
	ех	е~х	— sinx	— cosx	
—у'	ех	~е~х	— cosx	sinx	+
	ех	е~х	sinx	cosx	
£	X "	— е~х	cosx	— sinx	
, £	X	е~х	— sin x	— cosx	
+ У е	X	— е~х	— cosx	sinx	= 0,
£	>Х	е~х	sinx	cosx	
или 8yiv—8z/ = 0, yIV—y = 0.
2.61.	Доказать, что если ylf y2, ym—линейно незави-
симые на / = («, b) решения линейного однородного уравнения
y<”’ + (х) t/'"-1’ + • • • + ft»-i (х) У' + hn (х) у = 0,	(37)
где п^т, ht(x) — непрерывные на / функции (1 = 1, ..., п),
то функции уг, у2, ..., ут линейно независимы на любом про-
межутке 7i = (a, Р)<=/. (Сравнить с задачей 2.39.)
Решение. Предположим противное, т. е. что функции
У1, У г, . ••, Ут линейно зависимы на /х. Тогда на имеет
место тождество
«if/i + а2у2 + • • • + а-тУт = 0.	(38)
причем 2^-1 аг >
Рассмотрим функцию у, определенную на I равенством
у = оуА + а2у2 ~Ь ... + <хтут- Функция у является решением
уравнения (37). Пусть x0Qlx\ так как, в силу (39), z/(x0) =
= У' (х0) = • • • =г/("-1* (хо) = 0, то по теореме существования и
единственности имеем г/=0, т. е. -ф а2у2 -ф ... -ф атУт = 0
Vxg/, причем 2^=1 а? > 0’ что противоречит условию линей-
ной независимости функций у1( у2, ..., ут на /.
2.62.	Доказать, что если функции уъ у2, ...,уп непрерывно
дифференцируемы (п — 1) раз на 1 = (а, Ь) и у =ф=0 на /, то
для вронскиана W [у1г у2, ..., у„] имеет место формула пони-
жения порядка
W[ylt уг,	(39)
Решение. Имеем
W[yuyit
160
	У1	y*	• Уп
	У1	У2	 Уп
Уп\ =	yt\	yt> . •	 У?
	уГи	yr11 	• yr1'
Для преобразования определителя выведем некоторые соот-
ношения. Находим
(»’*’ = {у‘у^ = У^У" + СкУ^ ’ * *
• • • + Ci-'y'i (yr1)'*"1’ + Clyi {у^\
откуда
У. = +	•  • +C^ydy^k^ У1 +
+ Ckkyi(yr1Yk)yi (i = l, ..., n; k = \, 2, ..., n — 1).
Умножим первую строку определителя на Съ(ух1){к} Ух, вто-
рую—на СУ1 (уУУ^ у-х, k-ю строку—на СЦуУУух п
сложим с (£-|-1)-й строкой. Указанную процедуру повторяем
последовательно при k = n — 1, п—2,	1. В результате
этих преобразований, которые не меняют значения определи-
теля lF[z/i, у2, ..., у„], получим
У1
О
О
У1
У1
W [У1, у2, .... Уп\ =
\Уг )	"	\У1 )
Справедливость формулы (39) установлена. При п — 2 фор-
мула (39) следует из соотношения
/ у2 у У2У1 —УгУх  W [t/i, у2]
\ У1 1	ух	Ух
2.63. Пусть Ух, у2, ..., ут — линейно независимые на
I = (а, Ь) решения линейного однородного уравнения
yW + hx (х) у'”’1’ + ... + hn_x (х)у' yhn (х) у = О,
где п^т, ht(x) (t = l, 2, ..., п) —непрерывные на / функции.
Доказать, что W [yit у2, .... У,л]^0 на I.
Решение. При т — 1 утверждение очевидно. При т — п
оно следует из формулы Лиувилля—Остроградского. Пусть
1 < т < п. Предположим противное, т. е. что
[У1, У2, х-.., УЛ = ^ на
6 Ns 2314	161
Рассмотрим промежуток /0==(а, 0) такой, что у±^0 при
Ух^1ь. Как доказано в задаче 2.61, решения yit у2, .ут
линейно независимы на /0.
Используя формулу (39), можно записать
(§)', ...»	(40)
 Обозначим
,.	,	\	/ tto/+i\' (У/+1\'	....
«о/ = ^(/ = 1’	™).	=	={—)	(41>
(/• = 1, 2, т—1)
и рассмотрим функции, определяемые рекуррентной формулой
где при фиксированном i	— 1) индекс / меняется от
1 до т— i, а функции tiof определяются по формулам (41).
Покажем, что существует последовательность промежутков
/в.1С/и.2с...с/,.с.,.с/ос/	(42)
таких, что MZi=0=O при Yx£l; (1 = 0,1, ..., т—1).
Отметим, что если существование промежутка /z_f установ-
лено, то функции и,у(/ = 1, ..., т—I) являются п — 1 раз
непрерывно дифференцируемыми на /z_i. Имеем ио1=Ух^О
при Vx£/0. Далее, uli=(—= (—} Т^О на /0, так как
\ Moi /	\ У1 J
если «1Т^0, то у2—Суух^О на /0, где С± = const, что про-
тиворечит линейной независимости функций yit у2 на /0- По-
этому, в силу непрерывности функции ип- на Ц, существует
промежуток Ii = (aj, 0J с 16 такой, что и1х^0 Ух^/Х. Пред-
положим, что существование промежутка /z_£ установлено.
Докажем существование промежутка Zz (г =2,3, ..., т — 1).
Имеем и.ц =	) Ф 0 на I^i, так как если uZ1==0, то
tzz_12—С^.цеО, т. е. f “'~?3 —Сх f-22Д ==0 на Z_j,
\ «/-21 /	\ «/-21 /
откуда uz_2S—C1wz_22—С2ц,_21^0 на /z_2....ио;+1——
Сз^б<-2 . ..-~CzuOisO на Zz_j, т. е. J/z+i- Сгу;
— C2y^i—...—С,г/х = О на где Clt С2, ..., Cz = const
(i = 2, 3, ..., т—1), что противоречит линейной независимо-
сти функций yt, у2, ..., yz+i на /z_j. Поэтому, в силу непре-
рывности функции и,! на I,-_х, существует промежуток /z с /z_z
такой, что иц^О	Тем самым существование последова-
тельности (42) установлено. Рассмотрим вронскиан W [yit
на промежутке 1т-х. Применяя формулу (40) т—1 раз, по-
лучим
Г[г/1, у2,	=	Hi2,	.
= HSIuS_1I^[«2i, U22, . . ., Н2л!_2]= . . . =ЦЙ«ГГХ • • • «т-31 X
ыи-22] == UojWu 1Wai 2 ... W^t_31U^1_21Uej_iX, x£lm_i.
162
Так как «oi —У1#=0,	(i = l, 2, tn—1) при
Vx£lm-i, то Уз, •••»«/«,]¥= 0 Vx$Im_u что противоре-
чит предположению. Следовательно, ITfr/j, у2, *,z/m] 0 на I.
2.64. Пусть уг—нетривиальное частное решение линейного
однородного уравнения второго порядка
у"+Мх)у'4-М-*)//=о,
где йДх), h-2(x}— непрерывные на I = (а, Ь) функции, причем
z/i=^0 при Ух£/.
Доказать, что общее решение уравнения можно найти по
формуле Абеля:
р - J fij (x)dx
У^С^Д-—5——dx + c2yt (x^I),	(43)
J yi (х)
где Cit С2 — произвольные постоянные.
Решение. Понизим порядок уравнения заменой искомой
функции по формуле
у = У1 j udx (и. = (-j) ) (xel\	(44)
Относительно функции и получим уравнение (см. задачу 2.27)
w 4------1-------и = 0.
У1
Разделяя переменные, имеем
- \ h, (х) dx I
и = С,е •>	• -т,—.
yi W
Подставив (45) в (44), найдем
(45)
р - Л, (х) dx
У ~ С1У1 (	3 dx 4- С2у£,
J yi (x)
где Ci, C2—произвольные постоянные. Поскольку решения
р - J h, (х) dx
У1, Уз = У1\-—2---dx линейно независимы ( — =£const, х £ I ),
J yi (х)	\ Vi	1
по формуле (43) действительно определяется общее решение.
2.65.	Уравнение
(2х—х^у"+(хг—2) у'4- 2 (1 — х) у ~ О
имеет решение yi — ех. Найти решение задачи Коши для этого
уравнения с начальными условиями
К(3) = 1. /(3)-0.	(46)
6*	163
Решение. Найдем фундаментальную систему решений дан-
ного уравнения, воспользовавшись результатом, задачи 2.64.^
Линейно независимое с yt решение у2 уравнения находим по"'
формуле Абеля (Сх=1, С2 = 0):
л . - J ftj (х) (/Ж
У2 " У1 1	^~Г\
J	У1(х)
Запишем уравнение в канонической форме:
(*^0-*^2).	(47)
Рассмотрим .промежуток / = (2, Ч-оо). Из (47) следует, что
h2 (х) = ~2'-—хт • Находим:
f, , . , Р х2—2 , Рх2—2хЧ-2х—2 ,
— j ht (х) dx = J х-_2х dx=\---------dx ~
= С f 1 + 2 —2~~4	dx — X + 2 Г	—Г- dx =;
J \	1 х2 — 2х j	J (х— I)2—1
=х+j (xd~ 17 - г=х+1п (*2 ~2х)
у, — ех gx+in (хг-2х) ,е-2х dx = ex \ (х2—2х)е~х dx =
'х2— 2х — и, du = (2x—2)dx,~
dv — e~xdx, v =— e~x
= ex £—(x2— 2x)e~x-\-2 § (x—l)e-xdx] =s
x—1=«, du = dx,
~ { dv--e~x dx, v —— e~xJ ~~
^=ex £—e~x (x2—2x)—2(x—1)е~л'4-2 J e~xdxj =
— ex [—e~x (x2—2x)—2 (x—l)e~x — 2e-A'J =
= —x2 + 2x—2x + 2—2 = —x2.
Функции t/j = ex, y2 — — x2 образуют фундаментальную си-
стему решений. Общее решение уравнения на промежутке
/ = (2, +оо) имеет вид у = С.ех + С2х2, где Cit С2 — произволь-
ные постоянные. Значения Сп С2 найдем, используя началь-
ные условия (46):
С^ + ЭС^!, С^Ч-бС^О.	(48)
Из равенств (48) находим ЗС2 — 1, С2 = 1/3, С1е3 = —2,
Ci = —2е~3. Следовательно, решение задачи Коши с началь-
ными условиями (46) имеет вид у == —2е“3ел' + у х2 = —2е*~8+
Н-4-а;2.
О
164
A
2.66.	Найти общее решение уравнения
х3у"'—Зх2у" + бху' —6у = 0, '
Решение. Поскольку W[x2, х3] =
если известны два его частных решения:' у1 = х2,
__	____ [х2 х3
2х Зх2
t/3=x3.
= х4У=0 при
х =£ О, решения уи у2 линейно независимы на всей числовой оси.
Понизим порядок уравнения заменой неизвестной функции по
формуле (см. задачу 2.27)
y—x2\udx (и = (~Л , х=4=0
где и — новая неизвестная функция. Имеем:
у' = 2х J udx-\-x2u,
у” ~2\ udx + 4хм + х2и',
у"' — би + бхи' + х2и".
Подставив эти выражения в данное уравнение, относительно
функции и получим линейное однородное уравнение
(49)
Найдем общее решение уравнения (49), применяя формулу
Абеля. Так как уравнение (49) имеет решение и± == ( j =1,
то по формуле Абеля находим
Г _ С —	р.
и=С1\е х dx-|-C2 = -y х~2-|-С2.
Поэтому общее решение исходного уравнения у = С1х-|- С.гх2 4-
+ С3х3, где Сь С2, С3 — произвольные постоянные.
2.67.	(Обобщение формулы Абеля.) Пусть у t, у2, ...,yn-i—
линейно независимые решения линейного однородного уравне-
ния порядка /г > 2
A(y) = p<«>4-/ii(x)p<-!-1’+ ... 4-/i„_1(x)/ + /i„(x)y = 0 (50)
с непрерывными на I = (а, Ь) коэффициентами /о (х) (i = 1,..., п)
такие, что W (x)s?W [ух, г/2, ..., p,^.jj=40 Vx£/. Доказать,
что общее решение уравнения (50) может быть представлено
в виде
(х„ «е/), (Я)
165
где Ki (x,
	У1Ю У1(.^	J/2(t)	... У2 (т)	Уп-iM Уп-1(т)	
т) = (n > 3)	^-3)(т) У1(х)	г/Г3)(т) ... У2 (*)	С=2!(т) Уп-1(х)	
Cz(i = l....n)—произвольные постоянные.
Решение. Рассмотрим функцию
Сх JCn-i (.X, т) -fti (s)ds
=	~ Г~(т) 6 J dX хо^7)-	(52)
Покажем, что функция уп является решением исходного
уравнения (50) при Vxg/. Разложив определитель Кп_г{х, т)
по элементам последней строки, получим, что функция К„_х (х, т)
при каждом т g I является решением уравнения (50):
£(K„_i(x, т)) = 0.	(53)
Нетрудно вычислить производные функции уп\
(54)
Подставив (52) и (54) в уравнение (50), с учетом (53) получим
+ Mie-E.w=0 ¥xg;.
Вычислим W [yt, у2, ..., t/„]U=x„. Из (52) и (54) следует,
что z/„(x0) = p;(x0)= ... =у"'-2,(хо) = О, у™-1' (х0) = \W (х»)1 -1.
Поэтому
w №,	|х=х0 =
У1 (*о)	Уг (*о)	• • •	У П-1 (*о)	0
УГ2,(*0)	!/Г2,(х0)	...	^’(Хо)	О	=I
••• mor1 '
166
и, следовательно, функции yit y2i . . уп образуют фундамен-
тальную систему решений уравнения (50). Поэтому общее ре-
шение уравнения (50) может быть записано в виде (51).
2.68.	Построить общее решение линейного однородного
уравнения
> 4х-—3	п 2	₽ .	2	л
У " + х(2х —1) У — х(2х—1) У + х2 (2х—1) У ~ ®’	(55)
1
если известно два его частных решения; У1 — х, у>= — .
X
Решение. Для построения общего решения уравнения (55)
воспользуемся формулой (52). Имеем
1 as-1 1 |т
4	is i® kdT
4 J Хо \х т }
1*0 I3
4 |2х0-1 |
Л;
|т|3
X, х0С/ = (—оо, 0) и(0, 1/2) и (1/2, + оо).
Интервалы (—оо, 0), (0, 1/2), (1/2, + оо) являются интер-
валами непрерывности коэффициентов уравнения (55). Если х0,
а\ I х013	Хо 12т—1|	2т —1	-р
xf{ ОО, 0), ТО '	, I = -о-—I FT-1- = Г-• Если х0,
’ >'	|2х0 —1|	2х0 —1 ’ |тр т3	°’
то |х°|3 х° 12т~1| - 2т^1 Если
*4 2J’ ° |2х0 —1| —	2х0 —1 ’	|т|3	,т3  Ь
,	\ I х013 Хо |2т—1|	2т—1
Хо, х£(1/2, +оо), ТО 12х0 —! | — 2х0 —1 ’ I т |3 — т3 ’ По"
этому для всех этих интервалов
__ хо	г х\2т — 1 , __
У3~~ 4(2х0—1) Jxo "т J ~
—412хХ°	2(*1пИ4Д) + И21п|хо|+7-+1') —	*о)] •
'1/L	\	Л0 J Л	J
Так как функции у± = х, Уг = -^ и у2 являются линейно неза-
висимыми решениями линейного однородного уравнения (55),
то у*3 = х1п|х|+ 1 также решение уравнения (55),^ линейно
независимое с уи у2. Поэтому общее решение данного
167
уравнения имеет вид у = Сгх + С2 у + С3 (х In | х | + 1), где Clt
С2, С3 —произвольные постоянные.
2.69.	Пусть г/i, у2, ..., уп—фундаментальная система реше-
ний линейного однородного уравнения n-го порядка
(х)у(г‘-1)+ ... +hn_i(x}y' + hn(x)y = Q (56)
с непрерывными на I = (а, Ь) коэффициентами й(- (х) (/ = 1, ..., и).
Доказать, что система функций
=	(^ = h •••> п)>	(57)
где аи = const, образует фундаментальную систему решений
уравнения (56) тогда и только тогда, когда А = det ((«H))	0.
Решение. Из (57) следует, что функции zlt z2, ...,?„ яв-
ляются решениями уравнения (56) при любых akl (k, 1—Л, ..., п).
Поэтому достаточно доказать, что вронскиан системы (57)
IF [zlt z2, .... zn] ¥= 0 Vx g 7 тогда и только тогда, когда А =^0.
Имеем
W[z1,z2,...,zn] =
'^1=\ацУ1	'^А1=1аиУ1	'2»1=1ап1У[
_ 2"=1апУг	2"=1а2 1У/	••• S?=i°nz?/z	=3
2п п Д’-Р У" п	У? п ./"-Р
z=i auyi . ацУ1	• • • ^z=i апгУ1
/ Cji a12 ... aln \ /гл y’± ... г/Г“п\
I a2i a22 ... a2n \ y2 y2 ... yf-v \
\a„i an2 ... ann] \yn y’n ... y% 1;/
= A-1F [z/1( tj2, .... yn}.
Так как W [yif y2, ..., yn] =-/=0 Yx£l, to W [zn z2, ..., z„] #=0
Va-^7 тогда и только тогда, когда А^=0.
2.70.	Пусть ylt у2, ..., уп—фундаментальная система реше-
ний линейного однородного уравнения n-го порядка
у{п} + h, (х) у^-» + ... + hn_i (х) у' Д hn (%) у = 0	(58)
с непрерывными на I = (а, Ь) коэффициентами /г,- (л;) (i = 1, ..., п).
Доказать, что нормальная фундаментальная система реше-
ний zL, z2, . . ., zn уравнения (58) может быть найдена по фор-
муле
г — V" (*о)	ггдч
zk Z~1=1 Ц7(Х(|) У1>
где W (x0) = W[yi, у2, ..., z/„] |д.=я.о, И7н(х) —алгебраическое
дополнение элемента k-й строки й /-го столбца вронскиана
(А’о)>	€ !•
168
Решение.'Функции zk (k = \, 2, п) ищем в виде
= 2л-1 Mi {k = 1, .... п).	(60)
Числа ak (k, Z = l, ..., п) подберем так, чтобы выполнялись
условия
zft(*o) = O, гДхо) = О, .... г^-2)(хо) = О, гГ1’(х0) = 1,
z^(xtf) = 0,	4'’-1>(хо) = О (/г = 1, 2,	п).	(61)
Подставив (60) в (61), получим систему для определения ак1:
ак1У1 М + ак2у2 (х0) + ... + акпуп (х0) = 0,
ак1У1 (*о) + ак2у2 (х0) + .. . + акпу'п (х0) = 0,
М + ak2yf~2> (х0) 4- ... + akny%~2' (х0) = 0,	(62)
а^Уг^ (*о) + а^Уг'1’ (х0) + ... + а^Уп^ М = 1,
а<лУ1} (*о) + ah2y^ (х0) + . . . + акпу*> (х0) = 0,
«wt/Г1-1’ (*о) + ак2Уг~" (х0) + arf-1’ (х0) = 0
(k = 1, . . ., п).
Поскольку главный определитель системы W(xo)=£0, систе-
ма (62) имеет единственное решение, которое можно найти по
правилу Крамера:
а« = дМгГ (М = 1,2,..,4	(63)
w \хо)
где Wkl(x0)— алгебраическое дополнение элемента /е-й строки
и /-го столбца определителя W (х0).
Покажем, что А = det ((aftl)) =£0. Имеем
	1Г11 (х„)	IF12 (х0)	»71п (Хо)	
	IF (х0) IF21 (х)	Г (х0) • VA2 (%о)	‘ W (Хо) ^2П (-^о)	
А =	W (х„)	Г (х„) •	IF (х0)	= Ц7-1(х0)^О
	Iv’rtl (Xq) IF(x0)	(Хо) IF (х0) ‘	пп (-’Лз)  W (Хо)	
Поэтому, в силу результата задачи 2.69 и выполнения усло-
вий (61), функции zr, z2, ..., zn образуют нормальную фунда-
ментальную систему решений уравнения (58). Подставив (63)
в (60), получим формулу (59).
2.71.	Доказать, что функции cos сох, sin сох, xcos сох, х sin сох
образуют фундаментальную систему решений линейного одно-
родного уравнения
L (у) = yw + 2со2//" -ф (я1у — 0 (со = const > 0).
169
Решение. Покажем, что функции ф(х)==тег<ая, ф(х) = хе:ах
(i2 — —1) удовлетворяют уравнению. Находим
<р' (х) = iaeibiX, ф" (х) =—<л2е‘шх, ф'" (х) =—im3eia>x, ф1У (х)=оз4е‘“х;
ф' (х) = (14- i®x) eiax, ф" (х) = (2ift>—со2х) eiwc;
ф"' (х) = — (Зсо3 4- 1<о3х) е‘ах, ф1У (х) = — (4/со3—и4х) е‘ах.
Поэтому
£(ф) = (и4—2®4 4- <о4) е{ах = О,
L (ф) = (—4ioj3 4- хю4 4- 41м3 — 2х®4 4- ® 4х) ег<0А:	О,
и, следовательно, функции ф(х), ф(х) являются решениями
уравнения. Поскольку коэффициенты уравнения—действитель-
ные числа, функции
у± = Re ф = cos а>х, у2 = Im ф = sin сох,
у3 = Кеф = хсоз.сох, у4 = 1тф = хзтсох
также являются решениями уравнения. Линейная независимость
функций г/i, у2, у3, yt следует из результата задачи 2.48.
§ 12. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейное неоднородное уравнение n-го порядка имеет вид
L (у) = у”1' 4- (х) у™ - Ч 4-.,, 4- hn _ 1 (х) у' 4- hn (х) У = f (х),	(1)
где функции	1г; (х) (i = 1, ..., и) непрерывны на 1 = (а, Ь). Общее
решение уравнения (1) находится по формуле
У = У + У-	(2)
Здесь у —общее решение линейного однородного уравнения L(y) = 0,
соответствующего уравнению (1), а у — какое-нибудь частное решение
неоднородного уравнения (1).
Если известна фундаментальная система у±, у2, .... у,, решений соот-
ветствующего однородного уравнения L(y) = 0, то общее решение неодно-
родного уравнения (1) может быть всегда найдено с помощью метода
вариации произвольных постоянных (метода Лагранжа). Сущность этого
метода состоит в следующем. Общее решение неоднородного уравнения (1)
ищем в виде
= (3)
i — 1
где функции с,-(х) (г=1, п) определяются из системы уравнений
Cl (X) У1 4- С2 (х) 1/2 4- . > . 4- с'п (х) уп = О,
Ci(x) у1-5-с'2(х) y'z+... +с'п(х) у'п = 0,
О (X) уГ~1У+С2 (х) УТ~1у 4-... + Сп (х) у%-1у = f(x).
Относительно с/(х) (1=1, .... п) система (4) является системой п линей-
ных неоднородных алгебраических уравнений, причем главный определи-
тель этой системы
А = (yi, У2,  • •, Уп] # о vxgz.	(5)
Поэтому система (4) имеет единственное решениез
с,'(х) = ф/(х) (1=1,	и),	(6J
170
откуда
с/(х)= ф, (х)<1х + а;,	(7)
где а,'(1=1,	п) — произвольные постоянные. Учитывая равенства (3)
и (7), общее решение неоднородного уравнения, найденное методом вариа-
ции произвольных постоянных, получаем в виде
п
1/=М1 + зд+* и 2 \ 'ф' (*) dx-yt* (8)
1 J
Для нахождения частного решения линейного неоднородного урав-
нения (1) может быть использован метод Коши. Согласно методу Коши,
частное решение линейного неоднородного уравнения (1), удовлетворяю-
щее нулевым начальным условиям
У (*о) = у' (Хо) — »! « — l/o1 1)(х'о) = О	'	(9)
находится по формуле Коинг.
У=\Хг К(х, s)f(s)ds (х0, xgZ),	(10)
где К (х, s) — функция Коши, являющаяся при каждом значении пара-
метра решением однородного уравнения L {у) = 0 и удовлетворяющая
условиям
K(s, S) = K'(S, s) = .,.=K((?,"s>> = 0,	(11)
Если известна фундаментальная система решений ylt у2, ..., уп ли-
нейного однородного уравнения L(y) = 0, то функция Коши К (х, s) может
быть найдена в виде
к (*, s) = 2Ci w*	<12)
i = 1
где коэффициенты с;-(s) (1=1, 2, п) определяются так, чтобы удовле-
творялись условия (11).
Если известна нормальная фундаментальная система решений
i/i, у2> Уп линейного однородного уравнения L(y) = 0, то решение
линейного неоднородного уравнения (1), удовлетворяющее начальным
условиям у(х0) = у0, у' (Xo) = y'i, ,,,, у*"-1'(xo) = j/o’~1), может быть най-
дено по формуле
У = УоУ1 (х) уоуч. (х) + ,., -^Уо1 1 Уп (х) + у (х),	(13)
где у (х) — частное решение уравнения (1), построенное по методу Коши.
Принцип суперпозиции решений состоит в том, что если yi является
решением линейного неоднородного уравнения
L(.y) — fi(x) (1=1, .,,, и),	(14)
т	.
то функция 2 является решением линейного неоднородного
i ~ 1
уравнения
tn
(15)
i- I
где a,- —постоянные. Если f (х) представима в виде суммы ряда, т. е,
00
f(x) = ajy (х), а у; является решением неоднородного уравнения
 L(y) = fi(x) (1=1,2,.,.),	(16)
ОО
причем ряд a/у/ сходится и допускает n-кратное почленное дифферен-
i=l
171
цированйе, то функция у = 2- ai!/i является решением линейного неодно-
i = i
родного уравнения
£&) = /(*)•	О7)
Если линейное неоднородное уравнение
L (y) = q (х) + »ф (х),	(18)
где коэффициенты йу (х) (/=1........ п) и функции <р(х), ф (х) действи-
тельны, имеет комплексное решение у= и (х)-j- iu (х), то функции и — Re у,
ц=1ту являются соответственно решениями уравнений L(y) = cp(x),
Д(у) = ф(х).
2.72.	Найти общее решение уравнения
У"'—^У"-г-^У'—~ёУ = Ух,	(19)
применяя метод вариации произвольных постоянных.
Решение. Найдем сначала фундаментальную систему реше-
ний соответствующего однородного уравнения
У'"-У' + ^У'—^У = Ъ.	(20)
Решение уравнения (20) будем искать в виде многочлена
у — ахп + .... Подставив это решение в (20) и выписывая только
члены, содержащие старшую степень х, получим
ап(п— 1) (п—2) хп~3—ап (п— 1) хп-2-|-
(V	6
Ч—-апх11-1----гахп + ... = 0.
х2	х3	1
Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени х,
находим п(п — 1)(п — 2) — Зп(п—1) + 6п— 6 = 0, (п—1)х
х(и2 — 5ге + 6) = 0, откуда ^ = 1, п3 = 2, п3 = 3.
Следовательно, если уравнение (20) допускает решение в виде
многочлена, то этот многочлен может быть только многочленом
первой, второй или третьей степени. Непосредственной провер-
кой убеждаемся, что многочлены уг — х, у2 = х2, у3 = х3 являются
в отдельности решениями уравнения (20). Поскольку функции
х, х2, х3 линейно независимы, система решений уг = х, у2 = х2,
у3 = х3 является фундаментальной.
Общее решение уравнения (19), согласно методу Лагранжа,
ищем в виде z~c1(x)x-’rc2(x)x2-j-c3(x)x3, где функции Cj(x),
с2(х), с3(х) определяются из системы
(%) х + с2 (х) х2 4- с3 (х) х3 = 0,
(%) -1 + с2 (х) 2х + с3 (х) Зх2 = 0,	(21)
с'2 (х)  2 + с3 (х) 6х = ГX.
172
Решая систему (21), получим с[ (х) — у Ух3,
с2 (х) = — Ух,
Сз(х)
1
2У~х
, откуда
с± (х) = у Кх? + ай с2 (х) = — Ух3 ф а2, с3 (х) = Ух ф а3,
где а,, а2, а3 — произвольные постоянные.
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у = агх + а2х2 -ф а3х3 + 4- К х5-х—-|-К х3-х2 + Кх-х3,
о	о
или у = cqx + а2х2-фа3х3 + ^ Ух"1, где а±, а2, а3— произвольные
постоянные.
2.73.	Найти общее решение уравнения
У —~^У + ~&У У — ]/'х+1’
применяя метод вариации произвольных постоянных.
Решение. Для определения функций ^(х), с2 (х), с3(х)
имеем систему
c'i (х) Х-фС2 (х)х2-ф Сз (х) X3 = 0,
c'i (х)  1 + с2 (х) 2х ф- с'з (х) • Зх2 = 0,
с'з (х) • 2 + с'з (х) 6х =	.
V Хф1
Решая эту систему, получим
ci (х) =	, с'з (х) =-— с'з (х) = - L------г.
2 У х+1	Ух+1’	2(Кхф1)
Находим
— у+ Кх— In (Кхф-1) + ап
с2У) = ~$у^ц + а2=~~Ух3 + х-2У х +
4~ 2 In (У х -1) - р сс,,
Сз^ = fоГт,/--; ;\ + аз =Кх—1п(Их + 1) + а3,
j (V хт~Ы
где at, а2, а3 — произвольные постоянные.
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у = ахх а2х2 + а3х3 + [у К х5—4 х2 -ф^-Кх3 —
—уХф-Кх—In (Кхф-1)] х+ £ — уКх3 + х—2.Ухф-
-ф 2 In (Гхф 1) j х2 + [Кх— In (Кх + 1)]х3,
173
или
у=С±х 4- С2х214- С3х3 -г?Их7 —•
J м
—4-Их?4-Их3—(х3—2х24-х) 1п(Их4- 1),
О
где Ci, С2, С3—произвольные постоянные.
' 2.74. Найти общее решение уравнения
т , ч ,,,	3 „ . 6 ,	6 х-[-ЗУ х
 --У -г-ГУ —
Решение. Представим правую часть уравнения в виде
f (х) =	= 3 Их—2 -Л—==А (-4+А (х),
у *4-1 У *+1	г х+1
где А(х) = ЗИх, /2(х) = — 2^-—* - -.
Согласно принципу суперпозиции, частное решение данного
уравнения имеет вид у — 3уг—2уг, где у2—частное решение
уравнения Z, (//)= Их, а у2—частное решение уравнения L(y) —
X
Их 4-1
Из решения задач 2.72 и 2.73 следует, что уг и
f/з
можно выбрать в виде
У1 = -^Их7, у2 = -^Их7—|-Их54-Их3 —
— (х3—2х24-х) In (Их+ 1).
Поэтому
у = -^= Их7 у Их5—2 Их3 4- (2х3—4х24~2х) In (Их 4- О-
Общее решение однородного уравнения, соответствующего
данному неоднородному уравнению, имеет вид (см. задачу 2.72)
у = Схх -? С2х2 + С3х3.
Общее решение данного неоднородного уравнения находим
по формуле у = у + у. Имеем
у = Сгх4-С2х2 + С3х3 4- ygИх7 4-у Их5—2 Их3 4~
4- (2х3—4х2 4- 2х) In (Их +1),
где С2, С3—произвольные постоянные.
2.75. Найти решение линейного неоднородного уравнения
y'f' + y" = f(x),
(22)
174
где f(x)—непрерывная на 1 = (а, Ь) функция, удовлетворяю-
щее начальным условиям
y(x0)=y'(x0) = y"(x0) = Q (хб£7),	(23)
применяя: 1) метод вариации произвольных постоянных; 2) ме-
тод Коши.
Решение. Найдем фундаментальную систему решений
однородного уравнения
/" + / = 0,	(24)
соответствующего уравнению (22).
Понизив порядок уравнения (24) с помощью замены у" = и,
где и — новая неизвестная функция, получим линейное одно-
родное уравнение первого порядка и' + «=0, общее решение
второго и = С1е~х, где —произвольная постоянная.
Поэтому общее решение уравнения (24) имеет вид у =
— С1е~х-^-С2х-]-С3, где С±, С2, С3— произвольные постоянные,
а функции у± = е~х, у2 = х, у3 — 1 образуют фундаментальную
систему решений уравнения (24).
1)	Общее решение неоднородного уравнения (22) ищем ме-
тодом вариации произвольных постоянных в виде
у-=с1(х)е~х + с2(х) х + с3(х),	(25)
где функции сДх), с2 (х), с3(х) определяются из системы урав-
нений
ci (х) е~х+ с2 (х)х + с'з (х) = 0,
— d (х)е~х + с2 (х) = 0,	(26)
с’1 (х)е“х = f (х).
Из (26) находим ci (х) = exf (х), е'2 (х) = f (х), с'9 (х) = —(х + 1) х
Х/(х), откуда
с1 W = Са dS +	(*) = Со f ds + “2.
c3 (*) = — C»(s+ l)f(s)ds + a3,	(27)
где at, a2, a3—произвольные постоянные, x, х0£/. Подставив
(27) в (26), получим общее решение уравнения (22):
y = a1e-x4-a2x + a3-|-^o(es-JC + x—s—l)f (s)ds. (28)
Выделим из общего решения (28) искомое частное реше-
ние. Из (28) последовательно находим:
у' — — а>е~х + a2 +	(—es-JC+l) / (s) ds + (ех~х+х—х—1)Дх)==
+ аа + Со(— 6s-* + i)f(s)ds,
у" = а,хе~х гр ^xXi>es~x f(s)ds + (\— ex~x)f(x) = a1e~x-sr
+ C/S"xf(s)ds-
175.
Начальные условия (23) приводят к системе для определе-
ния alt a2, a3:
' а1е~л:« + a2x0 + «з = О,
— a1e_j;"4-a2 = 0,
а1е~х'> — О,
откуда a1 = a2 = a3 = 0. Следовательно, искомое частное реше-
ние
У= lXXa(es~x + x—s—l) f (s) ds.
2)	Согласно методу Коши, искомое решение
где К(х, s)—функция Коши. Ее ищем в виде
К(х, s) = c1(s)e"x + c2 (s)x4-c3(s),
причем коэффициенты c^s), c2(s), c3(s) находим из условий
К (s, s) = щ (s) e~s + с2 (s) s + с3 (s) = О,
К' (s, s) = —cl(s)e_'? + c2(s) = 0,	(29)
К" (s, s) = c1(s)e-5 = l.
Из (29) имеем	c2(s) = l, c3(s) =— (1+s). Поэтому
К (x, s) = +-A’ + x—s— 1 и y = \XXa{eS~x + x—s—1) f (s) ds (x,x0£
61)-
2.76.	Найти решение линейного неоднородного уравнения
/" + / = /(.?),	(30)
где f(x) — непрерывная на / = (а, Ь) функция, удовлетворяю-
щее начальным условиям
у(х0) = у0, у'(хо)=у'о, у"(х0) = у“й (x0£Z).	(31)
Решение. Как следует из решения задачи 2.75, общее
решение уравнения (30) есть z/ = a1e-x + a2x + a3 + y, где у =
= (es~x + x—s—l)f(s)ds—частное решение уравнения (30),
удовлетворяющее нулевым начальным условиям.
Имеем у' =— а1е~х + <z2 + z/', у" = ахе~х + у”.
Коэффициенты tz,, a2, a3 найдем из начальных условий (31).
Поскольку у (х0) = у' (х0)~у" (хо) = О, для определения a2,
a3 получаем систему
' a1e-^ + a2x0 + a3 = f/0,
- — a1e-A" + a2==z/o,	(32)
. а.1е~х« = у’о.
176
Из (32) находим а^у^е*», аг=у^+у"в, a3 = yQ—xoy'<,~-{\ + х0)у3.
Поэтому искомое решение имеет вид
У = у"^-х + (у'о+У*) х + у0—хау'о — (1 + х0) у; +
+ $*o(e*-*4-x—s—l)/(s)ds (х, х0£7).
2.77.	Пусть yi, у2, ..., уп—фундаментальная система ре-
шений линейного однородного уравнения L(y) = 0. Доказать,
что решение линейного неоднородного уравнения L(y)=f(х),
где /(х)— непрерывная на 1 = (а, Ь) функция, удовлетворяю-
щее нулевым начальным условиям //(х0)=у'(х0)= .. . =
= г/(п-1) (х0) = 0, можно найти по формуле
H.E-.W ««И* <зз>
где W (s) = W [yt (s), y2(s), ..., y„(s)]—вронскиан системы ре-
шений у2, ..., у„, a ITni(s) — алгебраическое дополнение
i-го элемента n-й строки вронскиана W (s).
Решение. Согласно методу Коши, искомое решение имеет
вид
s)/(s)rfs> (34)
где К (х, s)—функция Коши. Ее ищем в виде
К (х, s) = с± (s) ух (х) + с2 (s) у2 (х) + ... + с„ (s) уп (х).
Коэффициенты с; (s) (i = 1, ..., п) находим из условий
К (s, s)=K'(s, s) = ... = К}п~® (s, s)=0, К(и-1)(5, s) = l.
Имеем:
Ci (s) У1 (s) + c2 (s) y2 (s) + ... + cn (s) yn (s) = 0,
Cl (S) yr2’ (S) + C2 (s) pp-2) (s) + ... + cn (s) y,'r2) (s) = 0, <35)
Cl (s) у?-1’’ (s) + c2 (s) y^-v (s) + . . . + cn (s) yt”-1' (s) = 1.
Так как главный определитель системы (35) A = IE(s)^h
= IE[z/i(s), t/2(s), •••, yn(s)]¥=0 Vs£l, то по правилу Кра-
мера для c,-(s) получаем выражение
= (/ = 1> 2- •••’ л)'
где Wnl(s) — алгебраическое дополнение i-ro элемента л-й стро-
ки вронскиана W (s). Поэтому
. Л(х, 5)=^"=1^уг.(х).	(36)
Подставив (36) в (34), получим формулу (33).
177
2.78.	Найти частное решение линейного неоднородного
уравнения
/ + ®2y = /(x),	(37)
где со = const > 0, f (х) —непрерывная на I — (а, Ь) функция,
удовлетворяющее начальным условиям у(х0)=у0, у'(хо) = Уо
(х0 € !)
Решение. Непосредственной проверкой легко убедиться
в том, что функции z/j = cos ©х, у2 = sin ©х образуют фундамен-
тальную систему решений линейного однородного уравнения
f/" + ©2z/ = O, соответствующего уравнению (37).
Запишем общее решение данного неоднородного уравнения
в виде
г/= Ci cos ©х + С2 sin юх + у,	(38)
где Cj, С2—произвольные постоянные, у—частное решение
неоднородного уравнения (37). Решение у построим методом
Коши, используя формулу (33) задачи 2.77:
у = j* vV У1 W У* W] f & ds>
где
. cos ©s sin ©S ,	„	, . „	.
w (s) =	.	= w (cos2 wx + sm2 ©x) = ©,
—®Sin©S ©COSffiS
UZ21(s) = — sin ©s, IF22 (s) = cos ©s.
Поэтому
у = у* -±- [— sin ®s cos ©x+ cos ©s sin ©x] f (s) ds =
==— C*sin©(x—s)f(s)ds.	(39)
Поскольку построенное частное решение уравнения (37)
при х = х0 удовлетворяет нулевым начальным условиям, для
определения постоянных Ct, С2 получаем систему
j Qcos©х0 + С2 sin®х0 — у0,	.....
( —®CiSin®x0 + ®C2cos®x0=yo,
откуда
1 1
Су = у0 cos ®х0—— z/oSin«xo, С2 =у0 sin ®х0 + — Уо cos ®х0. (41)
Подставляя (39) и (41) в (38), получим искомое решение
у = у9 cos © (х—х0) 4-	у’о sin ® (х—х0) ф-
4~— С* sin®(x—s)f(s)ds (х, х0^/).
J ATq
2.79.	Найти частное решение линейного неоднородного
уравнения
y-®2W(x).	(42)
178
где со = const > 0, f(x)— непрерывная на I = (а, Ь) функция,
удовлетворяющее начальным условиям у(х0) = Ув» У'(.хо) = Уо-
Решение. Искомое решение найдем по формуле
У = УОУ1(Х) + У^2(Х) + У(Х),	(43)
где У1 = У1(х), Уг — у2(х) — нормальная фундаментальная систе-
ма решений линейного однородного уравнения
/-оЛ/ = О,	(44)
а у = у(х)—частное решение уравнения (42), построенное ме-
тодом Коши. Непосредственной проверкой легко убедиться в
том, что функции еюх, е~ах являются линейно независимыми
решениями уравнения (44). Нормальную фундаментальную си-
стему решений уравнения (44) ищем в виде
yL = а1е(М-]-а,е-ил:, у2 = pjg®* + Р2е_“х,	(45)
где постоянные af, a2, pit Р2 определяются из условий
(*о) = К У1 (-'-о) =
//2(хо) = О, у2(^о) = 1.	’
Подставив (45) в (46), для определения otf, a2, рй Р2 по-
лучим систему уравнений
а2е-их» == 1, р1еюх» + р2е_ил:’= О,
с^сое05*»—а2сое-а*» = 0, р^е®*» —p2ine““-V(> = 1,
откуда 04 = -^-еa2 = 4-efflZ°, Рх = -Д-Р2 = —-Д-е“-Ч
Поэтому для функций t/i, у2 получаем выражения
У1 = уг е®**-*»)	2. е-а>(х-х„) _ ch ш (д-—Хд^
(47)
«, = -Л(х-х0>_е-и(х-х0) = ± sh GJ (х—х„).
а2 2со	2со	со '	°'
Функцию у найдем, используя формулу (33) задачи 2.77:
У= Г ->4f[^2i(s)yi(x) + IF22(s)p2(x)]/(s)ds	(х, х0€/)-
Имеем
Г(ф
1
chco(s—x0)	— shco(s—x0)
wsh®(s—x0) chco(s—x0)
= ch?co(s—-x0)—
—sh? co (s—x0) := 1,
(s) = — sh(s—x0),	(s) =chto (s—x0).
179
Поэтому
у = Г Г— 4- sh ю (s—х0) ch со (х—х0) +
+ -^- ch со ($—x0)-shи(х—x0)j f (s)ds =
= 7-7? sh(x—s) f (s)ds.	(48)
ш tMO
Подставив (47), (48) в (43), получим искомое решение:
У = Уй ch со (х — х0) +-^z/;sh со (х—x0) + -i- С* shco (х—s)/(s) ds.
О J	(JJ Xq
2.80. Найти общее решение линейного неоднородного урав-
нения
y"—to2y = f(x),	(49)
где f (х)— непрерывная 2л-периодическая функция, заданная
графически (рис. 31).
Рис. 31
Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид
у = у--у, У = С1^£,Х + С2е~ах—общее решение однородного урав-
нения у"—®2г/==0, найденное в задаче 2.79, а у—частное ре-
шение уравнения (49). Построим у, используя принцип супер-
позиции. Функцию Дх) разложим в ряд Фурье. Имеем
.. х ПРИ —л/2^х^л/2,
А ( л — х при л/2^х^Зл/2, Дхф-2л) = Дх).
Поскольку функция Дх) нечетная, коэффициенты ряда
Фурье определяются по формулам
ah = Q (fc = 0, 1, 2, ...),
= ~ у о Дх) sinkxdx (k = l, 2, ...).
Имеем
Л
Ь, — — Г 2 xsin fexdx+ Ся (л — х) sin kxdx}=*
li л | J о	J
2
= - f -£221*+ 1 coskxdx~(-~x\—~I" -
л L k [o ' k j о	k I n.
2
. kn
, „„	т . SIH
1	, T 4	2
-- Г \ „ COS kxdx =------Г5—.
k J 2L	1 л
2
180	,	-
Следовательно, b2n = 0, b2»+i —(^^2 (« = 0. 1. •'• •)• По-
этому
/(х) = У“	+	(50)
Так как f(—n) = f(n), а функция f(x) — кусочно-гладкая
на [—л, л], то ряд Фурье (50) сходится равномерно на всей
числовой оси к f(x). Рассмотрим уравнение
y"-®2i/ = J^fcwsin(2n + 1)x (» = 0, 1, 2, ...). (51)
Будем искать частное решение уп этого уравнения в виде
yn = cnsm(2ti+V)x.	(52)
Подставив выражение (52) в уравнение (51), получим
~сп [со2ф-(2п + I)2] sin(2n+ 1)х =	sin (2п + 1)х,
откуда с„ = л(2я + 1)2[й)2 + (2/г + 1)2] ’ Значит’
~ _	4(-l)».sin(2n+l)^	/ п < ч
Уп л (2пД-1)2 [<и2 + (2иД-1)2]
Согласно принципу суперпозиции, если ряд
оо ** V4 05
у =E„=o^=Ln=o
4 (—1)и sin (2ге1) х
л (2«+ I)2 [ш2-1-(2ге+ I)2]
(53)
сходится и допускает двукратное почленное дифференцирова-
ние, то функция у является частным решением исходного урав-
нения (49).
Докажем законность двукратного почленного дифференци-
рования ряда (53). Составим ряды
и 4 (—1)” cos (2»Ч~ О х
1га= 0 л (2« + 1) [w2 + (2/i-j- I)2]
(54)
и
Так как
4 (—i)n + i sin (2и + 1) х
л [<o2 + (2«+ I)2]
(55)
4
1 ~~ Д (2«+1)2 [<о2 + (2« + 1)2] R’
।	л(2« + 1) [со2 + (2,1 + I)2]2 б R,
л [<о2 + (2л + I)2] Vx € R>
4
а числовые ряды
V00--------------------------- (г = 0, 1, 2)
Х-П=О л(2п4-1)2-' [со2 + (2п + 1)2]	'
181
сходятся» то по признаку Вейерштрасса ряды (53), (54), (55)
сходятся равномерно на всей числовой оси. Следовательно',
ряд (53) допускает почленное двукратное дифференцирование.
Поэтому
1J = C е®*4-С е-®* + — V w (-l)"sin (2а + 1)х
у	-|-о2сг -Г я 2-<л=о (2/i+l)4<o2 + (2zi+1)2] ’
где Cit С2—произвольные постоянные.
2.81. Найти общие решения линейных неоднородных урав-
нений
у" + со2у = еах cos рх,	(56)
у" + со2у = er'-x sin |3х,	(57)
где со > 0, а, (5—действительные постоянные.
Решение. Общие решения уравнений (56) и (57) соответ-
ственно имеют вид
у = Cl1’ cos сох + Ср sin сох + ,
у = Ср cos <ох+Ср sin
где Ср, Ср (/ = 1, 2) — произвольные постоянные, —частное
решение уравнения (56), а у2— частное решение уравнения (57).
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
у" + ^у = ерх,	(58)
где р = а + ф (i2 = — 1). Если у—решение уравнения (58), то
функции у1 = Р.еу, у— Im у являются частными решениями
уравнений (56) и (57) соответственно. Из результата задачи 2.78
следует, что у можно найти по формуле
~	1 Рх
у =— \ sin(x—s)eps ds.
Имеем
У =2^7	(x-s)—-e~ia>	epsds — :
1 Px
__ I [g(a + c (p-и)) s + tcox_g(a+i(f + is))s-i<i>x]Jj
2ico J о L	J
Рассмотрим следующие случаи:
1) Тогда a + i(p— co)+=0, a + i (P + co) += 0 и
eps + io{x-s) x
1 -___________
V ~ 2coi	cc + HP—co) о
eps-ita(x-s) lx
(P4~co) Io
1 i(i>epx — ia sin cox + p sin cox — cco cos cox
coi [a + c(P—co)] [a + i (p + co)]
(59)
Отделяя в (59) действительную и мнимую части, получим
~_____еаха> (a cos Рх—b sin Рх) + (&Р — aapsin сох — асо cos сох .
У	со(а2+Ь2)	•
, . еихсо (b cos Рх+а sin Рх)—(аР + &a) sin сох—bat cos сох ^gg^
co(a2+b2)
182
(62)
(63)
(64)
(65)
а —
(66)
я = а2 + со?—P2, 6 = 2ap.	(61)
Так как функции sin их, cos сох являются решениями одно-
родного уравнения у"4-со2// = 0, то'из (60) следует, что ча
решение уравнения (58) можно выбрать в виде
__еах (a cos Рх—Ь sin Рх) . . еах (b cos Px+a sin Px)
У	a2-f-6?	*”1	а2 + &	’
где а и 6 определяются по формулам (61). Поэтому
7, __ р о Г* — еаХ (а cos —6 sin ₽*)
У1 — Kez, —	а2+№	’
- т еах (b cos Px-f-a sin Px)
u. = Im и*=--------ir-rh----— •
В частности, при p = 0 имеем a? — a2 ф- co2, 6 = 0 и
eax
a24-0)?’ O'
2)	a = 0, P=^=±co. Тогда a +1 (P ± co) = I (P ± co) 0,
= co2—P2, 6 = 0 и из (63), (64) получаем
~ cos Px ~ sin Px
У1 “ и2 —P3 ’	— <L2 —p2 "
3)	a = 0, p = co. Тогда
1 ex r .	.	,	1 Г •	1	. 1*1
__ I ГлНЯХ_____£21COS-KBX1	£>2ttos-U0,c I
y 2<oz JoL	J 2(ог L 2ia>	|oj
= тД-т [xeiax—J- sin cox] —
2(oz L	J
1	i	, i
— -7Г-Х Sin COX — -и— X COS COX 4- TT-s- sin cox.
2(0	2(0	1 2w2
Из (67) следует, что частное решение уравнения (58) можно
выбрать в виде
«** = -Д-xsincox—-Д-х cos сох.
u 2(о	2(0
Поэтому
z/1 = Rez/** = -^sincox, у2 = Im У** = ~^ cos сох. (68)
4)	а = 0, р = — со. Тогда уравнения (56) и (57) имеют вид
у" + co2z/ — cos сох, z/" + co2z/ = — sin сох
X .
и, согласно принципу суперпозиции, yY = sin (ох, у2 =
— cos (ох. Следовательно, общие решения данных уравнений
имеют вид
с/= Q1’cos (ох + Q1’sin сох + z/i,
у =	cos сох + Q2) sin сох+у2,
1S3
где С{'\	—произвольные постоянные (/ = 1, 2), a yit у2
определяются по формулам
e“*(acosfx — bsinpx) ~ ___ еах (b cos Рх Ц-а sin Рх)
Z/1—	а2-1-&2	,	^2—	а2_|_62
при а^=0, где а = а3 + ®2—Р2, 6 = 2а|3;
cos Вх - sin Рх	Л а . ,
*/i = ^rzy. Z/2 = m2—jr при а = 0,
jf1 = -^-sin®.v, у.2 — +	cos сох при а = 0, |3 = ±а>.
§ 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейным однородным дифференциальным уравнением п-го порядка
с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
Ь (У)	i/(n) + «ii/(ri_1)+ • • • + ап_гу‘ -\~апу = 0,	(1)
где ay = const (/=!> ..., п). Многочлен D (X) степени п вида
D (X) = Z”4-4-... + а„_1Х4-а„	(2)
называется характеристическим многочленом линейного дифференциаль-
ного оператора с постоянными коэффициентами L[y). Уравнение
£>(Х)=0	(3)
называется характеристическим уравнением оператора L(y). Если
Xi, Х2, •••> X;— корни уравнения (3), имеющие кратности т^, т2, .... mi
/' '	\
mj- п 1 соответственно, то функции
4=1	J
хА*,
. Хт2-1ек2х
Кгх к.х
? 1 , хе 1 ,
1 К.х
е 1
(4)
т
X 1
образуют фундаментальную систему решений линейного однородного
уравнения (1).
Если в уравнении (!) коэффициенты а}- (/=1, п)— действитель-
ные числа, а уравнение (3) имеет действительные корни: 4 кратности тг,
k-2 кратности т2.... kr кратности тг, а также комплексные корни
(эти корни входят комплексно сопряженными парами с одинаковой крат-
ностью): «г ± ipi кратности Ц1, «2 ± »₽2 кратности р,2> .<х$ ± ips
.	/ Г	S "	\
кратности ц4 2 от/ + 2 2 Ez = w )> т0 Фундаментальную систему реше-
4=1	1=1 J
ний линейного однородного уравнения (1) можно выбрать в виде
А*, хАх, хт\~гё1хх, хег>2х, х’!'з~1еГ!2х,
..., е^, xekrX...................х'^е^,
eai*cos PiX, xe^cos PjX........xMt-1e“1Xcos ptx,
eaiX sin PjX, xeai*sin (JjX, ...xgl-1eaiXsin pxx,
e®5* cos p^x, xe®5* cos psx, ..., xMs le-'sX cos x,
sin p5x, xeai* sin P5x........xHs-1ea'si' sin psx.
(5)
184
Таким образом, линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами всегда можно проинтегрировать в элементарных функ-
циях, причем интегрирование сводится к алгебраическим операциям.
Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным
уравнениям с постоянными коэффициентами.
1.	Уравнение Эйлера. Это уравнение вида
xnt/-^ + a1xn-1tfn~1'>+ ... +ап_1ху’ + апу = 0,
где ay = const (/=1, 2....п). Заменой Jt — et (при х > 0) уравнение сво-
дится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На прак-
тике ^решение уравнения Эйлера ищут в виде у — ert = (е*)г --хг. Для
нахождения г получают характеристическое уравнение. Простому корню rt
характеристического уравнения соответствует решение х/г, а /п-кратпому
корню гг — т линейно независимых решений вида xri, xMnx, xri(lnx)2, ..,
..., xri (In х)™-1. Если коэффициенты уравнения действительны, а харак-
теристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни г0 =
= «о ± i'Po кратности р, то уравнение Эйлера имеет 2р линейно незави-
симых решений вида
ха» cos (Ро In х), ха" In х cos (р0 In х), ..., х“» (In х)ц_ 1 cos (Ро In х),
х“° sin (₽0 In х), х“" In х sin (Ро In х),	х“° (In х)ц_ 1 sin (Ро 1пх).
2.	Уравнение Лагранжа. Это уравнение вида
(ax + &)<yn> + ai (ax + 6)n~1y(«-1)-!-. >  +«n-i (a*+6) y' + any = 0,
где a, b, ay- = const (/ = 1, 2, .... п).
Заменой ах-\-Ь = е1 уравнение Лагранжа сводится к линейному урав-
нению с постоянными коэффициентами.
3.	Уравнение Чебышева. Это уравнение вида
(1—Х-) у" — ху' +«2Z/ = 0 (n=const).
Заменой x = cos/ (при |х[< 1) уравнение Чебышева сводится к урав-
нению
4.	Линейное однородное уравнение второго порядка.
у" + /11 (х)/ + Л2(х)у = 0
с помощью замены у = е J и сводится к уравнению
u"-[-Q (х) и = 0,
где Q(x)=h2(x)——hi(x)—hi (х) — инвариант уравнения. Последнее
уравнение является уравнением с постоянными коэффициентами или
Q
уравнением Лагранжа, если Q (х) --^С или Q (х) =	С = const)
соответственно.
2.82.	Доказать, что имеет место тождество
L (<?-) = D (X) еКх,
где D(X)— характеристический многочлен линейного дифферен-
циального оператора с постоянными коэффициентами А (у).
Решение. Находим
L (еКх) = (еХх)<п) ф- а± (еКхУп~1'> Ц- . . . + ап_1 (ех*)' -ф- апе}’х =
= А,"еХл:т]-гг1Хп_1е^4- • • • + осп_1кеХх + anelx = z
= (%" +	ап_ук + ап)еКх — D(к)еКх.
Поэтому L (е'х) = D (X) е}'х.
185
2.83.	Пусть kQ—корень характеристического уравнения
£>(Х) = 0 кратности т. Доказать, что функции t/ft = xAex«* (k =
= 0, 1,	tn—1) являются линейно независимыми решениями
линейного однородного уравнения L(у) = 0.
Решение. Тождество L(еКх) = D(%)е1х продифференцируем
k раз по к, применяя формулу Лейбница:
(L (?*)) = L	= L (хкеКх) = XJ=O С^<7) (*) xk~J^ (6)
При к = к0 из (6) получаем
L (хке^х) = 2/=о CkD^'1 (Ло) хк~->еК°х.
(7)
Так как 7()— корень характеристического многочлена D(k)
кратности т, то £> (Хо)=£>'(^о) = • •  = D("2-1)(Xo)=O, O(m)(7fl)^0.
Поэтому из (7) следует, что L = 0 при 6 = 0, 1, 2, ...
..., т—1.
Следовательно, функции yk = xkeK°x (k = 0, 1, ..., т— 1)
являются решениями линейного однородного уравнения (1).
Линейная независимость функций уб, ..., ут-± следует из ре-
зультата задачи 2.46.
2.84.	Найти общее решение уравнения
у"4-<й2// = 0 (со = const > 0).
(8)
Решение. Составляем характеристическое уравнение Х2Д-
4-со2 = 0 и находим его корни: Z1 = /co, к.г = — zco.
Поэтому функции eiax, e~iax образуют фундаментальную
систему решений уравнения (8). Поскольку коэффициенты урав-
нения (8)—действительные числа, функции у± = Re eiax = cos сох,
у2 = Im eib>x = sin сох также образуют фундаментальную систему
решений уравнения (8). Следовательно, р = Сх cos сох+ С2 sinox,
где С\, С2— произвольные постоянные.
2.85.	Найти общее решение уравнения у"—со2у = О (со ==
е= const > 0).
Решение. Корни характеристического уравнения к2—>
— со2 = 0 равны: 7,^=0, к.2 =— со. Поэтому фундаментальную
систему решений образуют функции yt = eax, у2 = е~ах. Следо-
вательно, у = С1еь>х + С2е~ах, где Ct, С2 — произвольные посто-
янные.
2.86.	Найти общее решение уравнения
y”+py' + qy = G (р, <? = const).
(9)
В плоскости параметров (р, q) изобразить множества, для кото-
рых общее решение уравнения (9) имеет заданный вид.
Решение. Найдем корни характеристического уравнения
Рассмотрим случаи:
1)	А = р2—4(? = —ю2, где (й = К4<7—р2. Тогда Х12 = —Л-+-
±i-j. Фундаментальную систему решений образуют функции
n	р
~—Х	СО —тх • W
е 2 costtX, е 2 sin^x.
2)	А = р2—4<7 = О. Тогда %1 = %2 = — Фундаментальную
р-х ~2LX
систему решений образуют функции е 2 , хе 2 .
3)	А = р2—4q = со3, где со = КР~—4р. Тогда Х1>2 = —у •
Фундаментальную систему решений образуют функции
-_L (p + a>)x —~(р-<ч)х
е 2	, е 2	.
В плоскости параметров (р, q) изо
бразим множества (рис. 32):
Л1 = {(Р> <7)|А = р2—4<7<О},
Л2 = {(р, р)| А = р2—4^ = 0},
Л3 = {(р, <?) | А = р2—4<? > 0}.
Следовательно,
Р /	Л
п % /	СО -]	• со \
у = е 2 I CjCos-g-Jv + Qsinyx \
(<a = Vr4q — pi), если (р, q)^Alt	Рис. 32
Р.х
у = е 2 (Cj4-C2x), если (р, р)^Л2,
У ==C1e'"^(P’,'“>x+C2e	<Р-“)*(®=Кр2—4р), если (р, q) £ Ag,
где Cit С2 — произвольные постоянные.
2.87.	Построить нормальные фундаментальные системы реше-
ний для уравнений: 1) р" + со2р = 0; 2) у”—а2у — 0 (со =
= const > 0).
Решение. Нормальную фундаментальную систему реше-
ний линейного однородного уравнения второго порядка можно
построить по формуле (59) задачи 2.70:
_ — М а I (*о)	/р j 91
Zk №(Хо) У1+ W(x0)	—П ^).
где yi, у-2—какая-нибудь фундаментальная система решений,
W (х0) = W [yit z/2] |х=х0, Wkl (х0) — алгебраическое дополнение
элемента k-й строки и 1-го столбца вронскиана W (х0).
Имеем: 1)	i/2 = sincox;
то / X I cos ахо sin СОХп
• =®,
. I—СО Sin СОХ, (OCOS(OX0
FIi(x0) = ®cosc»Xo, lF12(x0) = c»sintt>X(j,
. ^21(*о) = — sincoxo, W22 (x0) == cos (0Xq.
187
Поэтому
Zj = cos wx0 cos (ox + sin ®x0 sin (лх = cos a (x—x0),
1	.	,	1	.	1		/	X
z2 —- — — Sin ®X0 COS (OX + — COS ®X0 Sin (OX = — sin (0 (x—x0).
2) «/i = e®x, «/2 = e-“x;
№(x0)= ,
W и M - ®*°,
^2i (x0) = — e~^,
Поэтому
-we" “Vе . -«eV®*	,	,	.
Z, =-----------p.---------= ch co (x — x0),
1	—2co ' —2co	'	u/’
_„-ax„ MX	MX „„-ax	<
Z* =	+ -V- = Й Sh “
gCOXo g—(i)Xo
we'0*» —we-®*»
= — 2(0
^12 (x0) = —we“*»,
^22 (x0)=e“*«.
2.88.	Пусть y=y(x, y0, ya)—решение уравнения у”—®2z/ = 0
((о = const >0) с начальными условиями у (х0) = у0, у'(х^—у'ц.
В фазовой плоскости (у0, у'й) найти множества Ф^, Ф^,
ф|„, Фг», Ф-оо, Ф1ео такие, что
lim z/ = 0 при (г/0, у’о) £ Ф+,
Х->+ со
lim г/==0 при (у0, у'^Фо,
Х ~> - оо
(	+°°	при	(у0,	уйСФХоо,
i	-оо	при	(yQ,	z/o)e®t«,
[	+оо	при	(у„,	уо)еФ;оо,
lllTl I] = \	.	_
х-+-.^	[	— ОО	при	(z/0,	Уо)еФ-«.
Решение. Используя результат задачи 2.79, запишем
решение у~у(х, yQ, у'д) в виде
y = yoch а>(х—х0) + sh ® (х—х0),
или
У = | fZ/o + Vo Vю и-х“> + 4 (у0-~У'»} е-“	(10)
«С \	vJ у	Z» К	UJ j
Из-(10) следует, что
lira z/ = 0, если //о + ^г/о = О.
Л->+а>	60
lim г/ = 0, если уа-------Уо = О,
Ж-> - 00	®
lim у =
Х->+ оо
4-00, если у04- —г/о > О,
— оо, если у9 + ~у'0<0,
188
(4-00, если г/о >0,
— оо, если 1/0—<0.
Следовательно,
Фо+ = ^(Уо I У») |4Л> 4“~ = Оу’ , Фо — 'у (//о, У о) | Уо—~ Уг> = Оу”
Ф+~=<{(&>, Уо)\У» + ^Уё>о\ , Ф^оо = ^(Уо, //o)|t/o + -^^<oj>
Ф;оо = {(£/о, Уо)|1/о —-^i'o>oj> , Ф:0О = ^(г/0, у'0)\у0 —r/ocoj-
Рис. 33
Множество состоит из точек прямой у0 4- у’о = 0, мно-
жество Фо~ — из точек прямой у0—-~у'о = О (рис. 33).
2.89. Найти общие решения уравнений:
1) у"4- Зу' 4- 2у = 0;	2) у" — 8г/' = 0;
3) г/"-8//'4-16г/ = 0;	4) у"+ 2у' + 9г/ = 0.
Решение. 1) Корни характеристического уравнения Х24-
4~ЗХ4-2 = 0 — числа Xi = — 2, Х2 =—1. Фундаментальную си-
стему решений образуют функции е~2х, е~х. 2) Корни харак-
теристического уравнения X2— 8Х = 0—числа Х1 = 0, Х2 = 8.
Фундаментальную систему решений образуют функции 1, е~х.
3) Корни характеристического уравнения X2 — 8X4-16 = 0 —
числа Xj = Х2 = 4. Фундаментальную систему решений образуют
функции eix, xeix. 4) Корни характеристического уравнения
Х24~2Х 4-9 = 0 — числа Х1>2 = —l±i2j/”2. Фундаментальную
систему решений образуют функции е~х cos 2 К 2 х, е~х sin 2 К2 х.
Поэтому имеем: 1) у = С1е~2х ^С2е~х-,	2) у = С1-‘гСугх;
3) у = eix (С1-^гС2х);	4) у = е~х (C1cos2K2x4-C2sin2K2^),
где Cj, С2—произвольные постоянные.
2.90. Найти общие решения уравнений: 1) у'" 4- 8у = О,
2) у'!! — 8г/= 0.
Решение. 1) Находим корни характеристического урав-
нения Х34-8 = 0. Имеем (Х-|-2)(Х?—2X4-4) = 0, откуда Xt =—2,
Х2,3 = 1±гКЗ. Фундаментальную систему решений образуют
функции' ех cos ИЗ х, ех sin КЗх.
189
2) Находим корни характеристического уравнения А3—8 = 0.
Имеем (А—2)(А?4-2А4-4) = О, откуда А1 = 2,,А218 =—l±iK3.’
Фундаментальную систему решений образуют функции е-х,
е~х cos КЗ х, е~х sin КЗ х.
Итак;
1)	y = C1e~ix-[-ex(C2cosV^3x-[-CisinVr3x),
2)	у = C1e2X + e-A:(C2cosK Зх4-С3 sin И Зх),
где С^, С2, С3—произвольные постоянные.
2.91.	Найти общее решение уравнения у'"—4у" + 4у"—у==0.
Решение. Находим корни характеристического уравнения
V—4Х24-4Х—1 =0. Имеем X3 —1 — 4Л. (X—1) = 0, (А—1)р —
3	]/" 5
—ЗА-}-1) = 0, откуда Af = 1, А213 = у ±	. Фундаментальную
f3 А5 Yr f3 6 Yv
систему решений образуют функции: е*, А 2 2 ' , А 2 . 2 ' .
Поэтому
( з У~й	( з У~
у=с1ех4-с2А2 2А+с3А2 2 Л
где Cj, С2, С3—произвольные постоянные.
2.92.	Найти общее решение уравнения
у^—4у'" + 5у"—4y' + y = Q.	(И)
Решение. Характеристическое уравнение
V—4А,3 + 5А2—4А. + 1 =0	(12)
является симметричным уравнением четвертой степени. Оче-
видно, что А, =т^0. Уравнение (12) разделим на А2 и преобра-
зуем к виду
4(/+т)+5=0-	(13)
В уравнении (13) сделаем замену
А, + | = Л	(14)
Тогда A24--j2- = /2—2. Относительно t получим уравнение /2 —
—4^4-3 = 0, откуда /1 = 1,/2 = 3. Используя замену (14), имеем
А2—А4-1=0,
,	1 ± i V 3
А-f о - X
z+t=3’
Л
А2—ЗА 4-1 =0,
1	_3±Кб
Лз,4— о ‘
Фундаментальную
зуют функции
Т /”з
е2 cos х,
систему решений уравнения (11) обра-
X 1/"о	3 + У 5	3-V 5
е 2 sin х, е 2 х, е 2 х.
190
Поэтому
— /	1/"Ч	П \	-±V~.r	8~^~ х
у — е2 ^Qcos -~-x + C2sin^-~x^ + C3e 2 +С4е 2	,
где С£, С2, Cs, С4—произвольные постоянные.
2.93.	Найти общее решение уравнения yv4-2y = 0.
Решение. Корни характеристического уравнения ^4-2=0
находим по формуле
&=£/—2 = £/2 (cos л 4-1 sin л) =
5 z о f	n4-2h . . . л4-2йл \
.= / 2 cos —-------1-1 sin —-j,
где k — 0, 1, ..., 4. Имеем:
л	5 Z о f	ЗТ • • • ЭТ \ = т/ 2 cos -г +1 sin Y	Э	и J	(k = Q),
л	5 Z7T /	Зл . . . Зл \ = / 2 ^cos-g- +1 sin -g- 1	1 (^ = 1),
=	2 (cos л + i sin л) = — у	z2 (^ = 2),
Pv4 = -r/ 2 cos -7	1 sin-p- * v \	0	0 j	(^ = 3),
a	5 Z*^ (	• • Л \ = j/ 2 ( cos-5-—1 sin у \	(& = 4).
Фундаментальную систему решений образуют функции
5	ЗЛ .	с. .	5/	ЗЛ ,	п ,
1/ 2 X COS	[ 5 /7: . Зл \	1/ 2 X COS — ,	/5 х — . ЗЛ \
ev 5 cos ( j/ 2sin-5-J x, e	5 sin ( у 2sin -g- j x.
Поэтому
5 /“‘	5 /— П R	.	.
,	~ - 1/ 2 X	,	1/ 2 *	COS — Г	/	5 /7: . Л \	,
у = Cre v + ev 6 C2 cos / 2 sin -g- x +
,	.	5 /— 3ft ,	,	„ ,
_ . / 5 zt;  Л \ 1,	1/ 2 * c°s — / z> I 5 /71 • Зл \	,
4- C3 sin ( У 2 sin -g- \ x + ev 6 (C4cos(1/2sin-5-lx +
H-C5 sin (j/2 sin —) лф
где Сх, C2, ..., C6.— произвольные постоянные.
2.94.	Найти общее решение уравнения
t/Vf-4yv +	4- 4/ = 0.
191
Решение. Составляем характеристическое уравнение А6 —
—4А5-4-8А4—8А3 + 4А2 = 0 и находим его корни. Имеем:
А2(А4—4А34-8А2—8А + 4) = 0,
А2 (А4 + 4 А2 + 4—4 А3 + 4А2—8А) = О,
А2(А2—-2А +2)*2 = 0,
откуда At = А, = О, А3 = А4 = 1 ф- i, АБ = Ae = 1 — i. Фундаменталь-
ную систему решений составляют функции
1,	х, excosx, a* sinx, xev cosx, хе* sinx.
Поэтому у = Сг-]-С2х-^ех (С3 cos х+С4 sin хф-С5хcos х-[-Сйх sin х),
где С1( С.,, . .., Св— произвольные постоянные.
2.95.	Доказать, что функции
у1 = е’/2* (cos К2x~H'sinK2х),
y2 = e-v 2 * (cos К 2х—fsin К 2х)
образуют фундаментальную систему решений уравнения
у"-4й/ = 0.	(15)
Являются ли функции u1 = Rey1, tz2 = Rey2,
v„ = Im у2 решениями данного уравнения? Имеет ли данное урав-
нение действительные решения?
Решение. Составляем характеристическое уравнение А2 —
—4(=0 и находим его корни:
Аь 2 = 2 К i = 2 ]/"cos ~ + i sin у =
/	у-1-2йл	-5-4-2ЙЛ \
= 2 ^cos--------F i sin —~2-/>
где k = 0, 1. Имеем
А1= 2 ^cos-^-4-isin-^ = К2ф- (К2 (А = 0),
А2 = 2 ^cos ~ + t sin = — К2— i К2 (k = 1 )„
Поэтому функции
t/j = е^х =	2+',1/ ^)x = ev 2 *(cog j/"2 х + i sinK2x),
y2 = eV = (?(-i/ 2-tV 2)x = e-i/ 2x(cos j/'2x — i sinK2x)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (15).
Действительные функции
u1 = el/ 2X cosK2x,	vr —е17 2JCsinK2 x,
u1 = e~V2 * cos K2x, v2 = — e~v 2Jt sinK2x
192
не являются в отдельности решениями данного уравнения. Если
предположить, что действительная функция и—решение урав-
нения (15), то и"—4iu = Q, откуда, так как и", «ER, следует,
что и" = 0, —4ы = 0, т. е. и = 0. Таким образом, данное урав-
нение не имеет никаких действительных решений, кроме три-
виального: у = 0.
2.96.	Построить нормальную фундаментальную систему ре-
шений уравнения у'" 4-со2с/' = 0 (со = const > 0).
Решение. Характеристическое уравнение Х34-со2Х=0 имеет
корни Xj = O, %2i3=±ico. Фундаментальную систему решений
образуют функции t/i=l, y2 = coscox, y3 = sincox. Нормальную
фундаментальную систему решений zlt z2, z3 построим, приме-
няя формулу (59) задачи 2.76:
W fcl (Хо)	I ^.С'2 (Хо) | ^кЗ (Хо)	/ 1 с\
F(x0)	F(x0)	Г(х0) V3’	(	'
где k = 1,	2,	3. Имеем
		1	cos сохо	sin сохо
(х0) = 0 —со sin сох0	со cos сох0 =со3,		
		0 —co2coscox0 —co2sincox0
			со sin СОХ0	СО COS СОХо
47 и (х0) —	—	„	„ .	= со3, СО2 COS СОХо — со2 sin СОХо
	0	— COCOSCOXn	0 —СО sin СОХо
1F12(x0) =	0	= 0, 4713(х0)= „	2	=0 — co2sincox0	0 —co3coscox0
		cos coxn	sin cox„
№21(х0) =		= 0 —co2coscox0 —co2sincox0
	1	sin cox0
	0	„ .	= — co2sincox„, —CO“SinCOXo
		1	cos cox0
Fo3(X0) =		.	,	= co2 cos COXo,
		0 —co2coscox0
		cos coxo sin coxo
№31(х0) =		— (0,
	—	co sin COXo CO COS cox0
		1 sin cox0
473о (х0) =	—	„	=	CO COS COXo,
		0 CO COS COXo
	1	COS COXo
w33 (х0) =	0	= — cosincoxn. —co sin COXo
Подставив в (16), получим		
		21=1,
*2= —	СО2 Sin СОХо	, СО2 COS СОХо .	1	.	,	•. ——5	2- COS СОХ4	3—- Sin сох — — Sin со (х — Хо), со3	1	со3	со	v	
СО , . — СО COS СОХ0	, —со sin сохо
г3 = -з •1 +----—- cos сох+---------—°- sin сох=
= ^(1 — cosco(x-x0)).
!7 Ns 2314
193
2.97	*. Материальная точка М массы т движется по пря-
мой ОТ йод действием силы- /у, притягивающей ее к точке О.
и силы сопротивления среды f2. Величина силы ft пропорцио-
нальна отклонению материальной точки от положения О, вели-
чина силы f2 пропорциональна
-у Ь м М,Т^ скорости материальной точки.
О	s(t) s0 s Начальное отклонение материаль-
ной точки равно s0, начальная
Рис. 34	скорость равна ц0. Найти закон
движения точки.
Решение. Направим координатную ось 0s от прямой ОТ,
приняв точку О за начало (рис. 34). Обозначим через i орт
координатной оси 0s, через s = s(t) — координату (отклонение)
движущейся точки в момент времени t. Тогда s=s (t)=s (/) i—век-
тор отклонения точки М, v=v(t)=s' (t)--s' (/) i = v (Z) i—мгновен-
ная скорость точки M, a = a(t) = s" (t) = s” (t)i = a(t)i — мгно-
венное ускорение точки М, = — ks (t) = — ks{t)i(k =
= const>0); сила ft направлена от точки M к началу О,
f2 = — bv (t) = — bs’(t)i (b = const > 0); направление сопротив-
ления среды противоположно направлению скорости точки.
Согласно второму закону Ньютона, ma = f1-sr f2. Спроеци-
ровав это векторное равенство на ось Os, получим ms" = — ks — bs’,
откуда
s" + ps'4-^s = 0,	(17)
где p = — , q = — > 0.
m ’ 7 m '
Таким образом, для определения закона движения матери-
альной точки получена задача Коши:
s" + ps' + 7s = 0, s(/0) = s0, s'(/0) = y0.	(18)
Рассмотрим следующие случаи:
1)	Д = р2— 4q < 0. Тогда:
а)	при р — 0 (сопротивление среды отсутствует)
s(t) = s0cosVrq(t — t0)-\—^smVq\t— tQ);	(19)
У <?
б)	при р > 0
s(0 = ^ 2 V M[s0cocosy (/ —/0) + (s0p + 2y0)siny (/ —Zo) ,
(20)
где ® = V4q—p\
* Перед разбором решений задач 2.97—2.99 рекомендуется решить
задачу 102 (см, задачи для самостоятельной работы к гл. 2).
194
Из (19), (20) следует, что при р — 0 материальная точка
колеблется по оси Os около точки О с периодом = 2п 1/ ~
у q У к
(гармонический колебательный процесс), а при р > 0 она со-
вершает периодические затухающие колебания около точки О
с периодом _______. Амплитуда колебаний убывает по экспо-
У 4?— р2
ненциальному закону.
2)	А = р2—4*7 = 0. Тогда
s(/) = ^2 (/"и[5о + (^+г;о)(/-4)].	(21)
Из (21) следует, что с течением времени материальная точка
стремится к точке О; так как s (t) может обратиться в нуль
только при одном значении t, то движение происходит без
колебаний (затухающий апериодический процесс).
3)	А = р2—iq > 0. Тогда
_ 1Л   s0 (р + со) + 2Уо	— (Р — *0) (/—/о)
20) е
s0 (р—(0) + 2у0	(p+w) (t-to)
2а>	‘
(22)
где со = Кр2 — 4</<р.
Так как р + ®>0, р—ю > 0, то из (22) следует, что с те-
чением времени материальная точка стремится к точке О. Как
и в предыдущем случае, s(t) может обратиться в нуль только
при одном значении t. Поэтому движение происходит без коле-
баний (затухающий апериодический процесс).
2.98. (Линейное уравнение математического маятника.) Ма-
тематическим маятником называется материальная точка М
массы т, подвешенная на нерастяжимой нити длиной I и дви-
жущаяся под действием силы тяжести. Считая, что маятник
совершает малые отклонения от вертикали и что сопротивление
среды пропорционально скорости, найти закон движения мате-
матического маятника.
Решение. Очевидно, материальная точка М движется по
окружности радиуса I. Поэтому положение точки М на окруж-
ности в момент времени t можно однозначно охарактеризовать
углом 0 = 9(0 отклонения нити от вертикали.
Дифференциальное уравнение для угла отклонения нити
0(0 от вертикали получено во «Введении» и имеет вид
0" pQ' + qsin 0 = 0,	(23)
где
р = — , q=«-	(24)
(коэффициент Ь характеризует сопротивление среды).
7 *
195
Уравнение (23) называется уравнением математического
маятника. Учитывая, что sin 0 = 0+о (02), 0-^0, и то, что
маятник совершает малые отклонения от вертикали (0(/)<^1),
в уравнении (23) приближенно заменим sin0 на 0. Таким об-
разом, получим приближенное линейное уравнение математи-
ческого маятника:
0" + р0' + <?9 = О,	(25)
где р, q определяются по формуле (24). Если р = 0 (сопротив-
ление среды отсутствует), то линейное уравнение маятника
имеет вид
0" + <?0 = О.	(26)
К линейному уравнению (25) присоединим начальные условия
0(^о) = 9о, 9'(U = 0;	(27)
Полагая Р = ~^, q = -j~, рассмотрим следующие случаи:
1)	А = р2— 4q < 0. Тогда:
a)	9(O = 0ocos]Z-^(^—4) + 0o]ZjSin]/ f-(Z —/0),
если р = 0 (сопротивление среды отсутствует). Маятник совер-
шает периодические с периодом 2л j/ у колебания (гармони-
ческий колебательный процесс);
б)	0(/) = 1е 2	/o)^0o(ocosy(Z —10) +
+ (V+20') sin | (/-./„)],
если p > 0, где со = К4</—p2. Маятник совершает периодиче-
4л
ские с периодом у4 2' затухающие по экспоненциальному
закону колебания.
2)	А = р2—4<7 = О. Тогда
0(О = И(/’/о,[0о+	0;) (/-/„)].
Маятник стремится занять вертикальнее положение. Дви-
жение происходит без колебаний (затухающий апериодический
процесс).
3)	А = /?2—4<? > 0. Тогда
0	= 9о (р + со) + 29о е_± 1р_Ь1)	_s0(p — w)+29q	j_ (р + о)
' '	2ш	2со	2	’
где и = К/’2 — 4q. Поскольку /?Д-со>0, р—со > 0, маятник
стремится занять вертикальное положение. Движение происхо-
дит без колебаний (затухающий апериодический процесс).
196
F"
2.99. Конденсатор емкости С разряжается через цепь с со-
противлением 7? и коэффициентом самоиндукции L. Найти закон
изменения напряжения на обкладках конденсатора v = v(t),
если ц(^0) = у0, а сила тока » = 1(£)вцепи в начальный момент
времени /0 равна i(70) = i0.
Решение. На основании законов Кирхгофа имеем:
i = — Cv',	(28)
v = RiJr Li'.	(29)
Подставив (28) в (29), получим v' = R (—CY/)+Z.(—Cv"), или
v" + pv'+ qv = 0,	(30)
где
/> = Т’ <7 = ^>0.	(31)
Таким образом, для определения v(f) получена задача Коши:
v" + pv' + qv = 0, y(Z0) = u0, v'(t0) = — l-L. (32)
Линейное уравнение (30) совпадает с уравнениями (17) и (25),
рассмотренными в задачах 2.97 и 2.98 соответственно. Полагая
R 1
р = —, q = L£, рассмотрим следующие случаи:
1)А = р2—4q < 0. Тогда:
a) v (f) = и0 cos-^Jj-—г0 l/ —sin^~jj
’	’	0 VbC г С К LC
если p = 0 (отсут-
ствует активная составляющая цепи: R = 0). Напряжение на
обкладках конденсатора v(t) изменяется периодически по гар-
моническому закону с периодом 2л VLC (гармонический колеба-
тельный процесс);
/,ч	1 —Г и ,,	, •. . !	2i0\
б) п(0 = —е 2	^u0fi)cos-y(7—10)+ [щр—^jx
xsiny(/ — 4)^, если р>0, где <о = К4д—-р2. Напряжение
v(t) стремится к нулю, совершая периодические с периодом
4я затухающие по экспоненциальному закону колебания.
У 4q — р2
2) А = р2'—4g = 0. Тогда
...	-v^-^Г	1 ( vap
v(t) = e 2 [yo + (^

Напряжение v(t) стремится к нулю при t —и изме-
няется без колебаний (затухающий апериодический процесс).
3) А = р2—4g > 0. Тогда
/.V СУо(р-ро))—2i0	~ (Р — w)U—^о)	(р *(о) 2(’о	—/о)
2^С е	2wC е	‘
197
	м, м	
0	a, x(t)	*
Рис. 35
где a = prp2—4q. Напряжение п(/) стремится к нулю при
/—>-4-оо и изменяется без колебаний (затухающий апериоди-
ческий процесс).
2.100.	Узкая длинная трубка вращается с постоянной угло-
вой скоростью со вокруг перпендикулярной ей вертикальной оси.
В начальный момент на расстоянии а0 от оси внутри трубки
находится шарик массы т. Считая, что в начальный момент
скорость шарика относительно трубки была равна нулю, найти
закон движения шарика относитель-
но трубки.
Решение. Направим ось коор-
динат Ох по оси трубки, приняв точку
О за начало (рис. 35). Обозначим че-
рез х = х (/) координату шарика (точку
Л4) в момент времени t. Так как
по условию шарик движется по трубке без трения, то на него
действует только центробежная сила fc = m<£>2x. Поэтому по
второму закону Ньютона для относительного движения имеем
тх" = ты2х или
х"—со2х = 0.	(33)
К уравнению (33) присоединим начальные условия: х(/0) = а0,
х' (А>) = 0. Нормальная фундаментальная система решений урав-
нения (33) построена в задаче 2.87. Использовав ее, получим
x(0 = ao chco(£—/0).
2.101.	Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик
прикреплен к точке О пружиной. Сила действия пружины на
шарик пропорциональна деформации пружины: коэффициент
пропорциональности равен k. Длина пружины в свободном со-
стоянии равна а0.
Реш.ен и е: На шарик действуют две силы: центробежная
fc = nw>2x и упругая сила пружины f =— k (х—а0).
Согласно второму закону Ньютона, для относительно дви-
жения имеем тх" = та2х—k(x—а0), или
tnx"-\-(k—та>2) х = a„k.	(34)
Начальные условия х = а0, х' {t0) = 0. Рассмотрим следующие
случаи:
1)	k = ma>2. Тогда (34) принимает вид х” ==^- , откуда, учи-
тывая, что х'(/о) = 0, х(/0) = а0, получим
у = х= {t_to}dt + ao==^{t_tor + a^
lib	I/L I q	Lilt
2)	k—Уравнение (34) сведем к линейному одно-
родному, полагая у = х—ь—ты2  Относительно новой неизвест-
ной функции у получаем уравнение
r/" + vy = O,	(35)
198
F
где v=~—®2. Начальные условия имеют вид
#(Zo) = ~ У (U = 0-
k—mco2cosj/	— co2(t—/0)
Фундаментальные системы решений уравнения (35) для слу-
чаев v > 0 и v < 0 построены в задаче 2.87. Имеем:
a)	v > 0. Тогда г/= — ^^2cos v(t — /0), откуда
х = 5———2 k—//гео2 cos Т/ ——со2(/ —/0) ;
k — ты2 [_	V т '	07
б)	v < 0. Тогда у = — ch К — v(t—10), откуда х —
—	—5 k—лч<о2сЬ1/ со2-----— (t —10) .
k — ma2 L	r	m v 07 _
Поэтому:
если & = meo2, то x =	— /о)2 + ао’>
если k > ffloj2, T(u = ———-
k—
если & < mco2, tox = t—1 k—/neo2 ch 1/ 0)2—— (t—ta} .
k —mi'i- [	у	m ' v'
2.102.	Проинтегрировать следующие уравнения Эйлера:
1)	x2y" + xy' + &2y = Q\
2)	х2у"-\-ху’— со2// =0;
3)	ху' + 6х/ + 4у = 0;
4)	х2у" + 5xz/' + 4y = 0;
5)	x2y" + 3xy' 2y = 0 (co = const, x > 0).
Решение. Будем искать решение уравнения Эйлера в виде
у = хг. Тогда получим:
1)	х2г (г— l)xr~2 + xrxr~1 + <i>2xr = 0, г (г—1) + г + со2 = 0,
г2~|~ео2 = 0, откуда г112 = ± гео.
При <о = 0 имеем двукратный корень характеристического
уравнения Г1,2 = 0. Поэтому общее решение запишется в виде
у — С} + С2 In х.
При <0-4=0 имеем у = Ct cos (ео In х) + С„ sin (ео In х).
2)	х2г(г — \)хг~2^хгхг'1—-<о2л:г = 0,	г (г — 1) + г—<о2 = 0,
г2 — <о2 = 0, откуда /-! 2 = + ео.
Случай со = 0 рассмотрен в п. 1. При со =4=0 общее решение
имеет вид у = Сгха + Сгх~а.
3)	х2г{г — 1)хг~2 + 6хгхг~1-{-4хг = 0, г (г — 1) + 6г + 4 = 0,
г2 + 5г4-4 = 0, откуда гх = —1, г2 = —4. Поэтому y = C1x-1 +
4- C2x~i.
4)	х2г(г — 1)хг~2 + 5хгх’-1 + 4хг — 1 =0, г (г—1) + 5г + 4 = 0,
г2 + 4г + 4 = 0, откуда гг^2 = —2—двукратный корень характе-
ристического уравнения. Поэтому общее решение имеет вид
у = CiX“? + С2х~2 In х.
198
5)	x2r(r—l)xr-2 + 3xrxr~14-2xr = 0, r (r — l) + 3r-|-2 = 0,
r2+2r-4-2 = 0, откуда rlt 2 = —1 ± i. Поэтому у = Ctx-1 cos (In x) +
+ C2x-1sin(lnx).
2.103.	Найти ебщие решения следующих уравнений Чебы-
шева:
1)	(1-х2)/-х/+Зу = 0;
2)	(1 -х2) у"-ху' + 4г/ = 0 (| х | < 1).
Решение: 1) Произведем замену переменной по формуле
x = cos/ (/6(0, л))- Имеем
,__dy__ dy	dt ___ dy (	1 \	„__ d2y	_d	/	dy (	I	\	\	d/_
У ~~ dx	dt	dx	dt \	sin t J ’ У	dx2	dt	\	dt \	sin / j	J	dx ~~
f	d2y (	1 A ,	dy	cos t	\	(	1 \	_
\	dt2 \	sin t J	dt	sin2 /	/	\	sin t j
d2y 1	dy cos t
dt2 sin2/	dt sin3/’
Подставляем эти выражения в уравнение:
/1 __с(-)с2	1	cos	।	/ dy 1 до.. л
(i cos /)^Л2 sln21	dt sin3/; + C0Sr dt Sint ' ^“O’
^-+3// = °,
откуда
у = Cr cos К 3/ 4~ С2 sin К 3/ =
= С\ cos (К 3 arccos х) + С2 sin (|/ 3 arccos х).
2) В результате замены x = cos/ (/€(0, л)) получим
-> + 4</ = 0,
откуда
у = Сг cos 2/ + С2 sin 2t = С\ cos (2 arccos x) —
+ C2sin (2 arcsinx) = C1 (2x2— 1) + 2C2xК1 — x2.
2.104. Проинтегрировать уравнение Чебышева
(1—x2)y"—xy'-Js-n2y = 0 (n = const^0, |x| > 1).
Решение. Произведем замену независимой переменной по
формуле x = + ch/ (/6 R) (x = ch t при x > 1, x = — ch/при
x <—1). Тогда получим
и' = ‘^ = — . — =
V dx dt dx dt sh t ’
* . d2y	d (dy ± 1 \ dt ( d2y ±1 dy (^cht\\ ±1
” dx2	dt \ dt sht J dx~\ dt2 sh t ' dt \ sh2 t J ) sh t ~~
=	__i— x2 —1—ch2/ —— sh2/
dt2 sh21 dt sh8/’ x — 1 ent------------sn /.
200
Подставляем эти выражения в уравнение:
— sh8/
1	dy ch t __	.
sh3 t ~~ dt ' sh3? J + Ctl 1
d2!/	„ n
-nf-—n2y = 0,
ar3 J ’
sh t 1	3	*
откуда, выбрав фундаментальную систему решений в виде yt —
= ch nt, y2 = shnt, находим
у = Cj ch nt + C2 sh nt = C± ch (/? arcch x) + C2 sh (n arcch x).
2.105.	Найти решение задачи Коши
(1-х8)р"-х/ + 4р = 0, р(Г2) = 1, у’ (К 2) = 0.
Решение. В результате замены x = ch/ (х>1) получим
уравнение
общее решение которого имеет вид
у = Сх ch 2/ + С2 sh 2/ = Ct ch (2 arc ch х) + С2 sh (2 arc ch x) =
= C\ [2 ch2 (arc ch %) — 1 ] + C2 • 2 sh (arc ch x) ch (arc ch x) =
= Cj (2x2 — 1) + 2C.2x Vx^l.
(Здесь использованы зависимости ch 2a = 2 ch2 a—1, sh 2a =
= 2shacha.) Находим
у' = 4x0, + 2C2 У 7^1 + 2C 2x 2	=
= 4xCx + 2C 2 Г	+ 2C 2 y— •
Учитываем начальные условия:
f (4 —1)Ci + 2K2C2 = 1;	f 3C1 + 2K2C,^l,
I 4Vr2C1 + 2C2 + 4C.2 = 0,	I 4K2 + 6C2 = 0,
откуда Cj = 3, C2 = —2 К 2.
Решение задачи Коши имеет вид
у = 3 (2х2 — 1) — 4 V 2х
2.106.	Проинтегрировать уравнение
у” + 2ху' + (х2 + &) у = 0.
Решение. Найдем инвариант уравнения: Q = /i2(x) —
— -|-Л1(х) — уЛ{(х) = х3 + 6—• 4х2—у >2 = 5. Заменой у =
1 г j
—— I 2xdx
= е J «данное уравнениесводитсякуравнениюн"+5«=0.
201
Поэтому
г/ = е 2 (Cxcos KSx + CaSin j/5x).
2.107.	Проинтегрировать уравнение
(0 < х < л
n t x , . 8 — x2	„
У — ^уУ +^~У = 0
Решение. Находим инвариант
о = ^2	1
4	4х2
4^| + |-
__2____1___1_
~ х*	4	4
cos2 —
уравнения
1	1 _
2	х ~~'
COS2-—
__2______L_l J_ - JL
— х* 4 "Г” 4 —	‘
1
-----и данное уравне-
cos2-^-
2
ние сводится к уравнению Эйлера и" - \-U. -—Q. Ищем реше-
ние в виде и = хг. Тогда г (г — 1)а/~24-2хг-2 = 0, г2—r-\-2 = Q,
1 , 1/"7
Г1,г~ у ±—~ •
Поэтому
и = CjK X cos
Заменой у = е
— 2 In COS —
и — e 2 -и
In х
— !п%
У =-------х
cos2-^-
С± cos ( - 2 In х ] + С2 sin
§ 14. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением п-го порядка
с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
L (У) = i/<n) + «if/<'1-1)+  • • +an-iy’+any=f (х),	(1)
где f (х) — непрерывная на 1=(а, Ь) функция ау- = const (/=1,	п).
Поскольку фундаментальная система решений линейного однородного
уравнения L(y) = 0 всегда может быть найдена, задача интегрирования
линейного неоднородного уравнения (1) сводится к задаче построения
частного решения этого уравнения. Частное решение линейного неодно-
родного уравнения (1) всегда можно построить применяя метод вариации
произвольных постоянных (метод Лагранжа) или метод Коши.
Если правая часть уравнения (1) имеет специальный вид
f (x) = Pm(x)eat,	(2)
где о—комплексная (в частном случае — действительная) постоянная,
называемая контрольным числом правой части (2), Рт (х) — многочлен
степени т, то нахождение частного решения линейного уравнения (1) по
существу сводится к алгебраическим операциям. Пусть контрольное
число а является корнем характеристического уравнения оператора L (у)
кратности г^О (если г > 0, то говорят, что имеет место резонансный

202
случай', если а не является корнем характеристического уравнения, то
г = 0 —нерезонансный случай). Тогда уравнение (1) имеет единственное
частное решение вида
y~=XrRm(x)e°x,	(3)
где (х) —многочлен степени т, коэффициенты которого могут быть
найдены методом неопределенных коэффициентов.
Если коэффициенты aj (/=1, 2, п) уравнения (1) —действитель-
ные числа, а правая часть имеет специальный вид
f (х) = еах [Рт (х) cos ₽х + Q„ (х) sin 0х],	(4)
где а, Р—действительные постоянные, Рт (х), Q„(x)— многочлены соот-
ветственно степени тип с действительными коэффициентами, то линейное
неоднородное уравнение (1) имеет единственное частное решение вида
y = xreax [Ri (х) cos Рх4-5г (х) sin Рх],	(5)
где г — кратность контрольного числа о = а ± г'Р правой части как
корня характеристического уравнения оператора L (у) (г > 0 — резонанс-
ный случай, г = 0 — нерезонансный случай), Ri (х), Sz (х) — многочлены
степени / = тах {т, п}, коэффициенты которых могут быть найдены ме-
тодм неопределенных коэффициентов.
Таким образом, линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами всегда могут быть проинтегрированы в квадратурах,
причем в случае, когда правая часть имеет специальный вид (2), (4),
интегрирование по существу сводится к алгебраическим операциям.
2.108. 1) Найти контрольное число о правой части уравнения
L(y) = f(x),	(6)
где: a)f(x) = 2; б)/(х) = 3х2—21Хф-5; в) f (х) = 2е~3х; г)/(х) =
= Зе2'*; д) f (х) = Зе2* (cos 5х—rsin5x); е) f(x) = (2ix—1)е3*;
ж) f (х) = Зхе‘х.
2) Записать вид общего решения уравнения (6) для случаев
а)—ж).
Решение. 1) Правая часть уравнения (6) в случаях а)—ж)
имеет специальный вид (2). Имеем:
а) <т = 0; б) ст = 0; в) <т =—3; г) о = 2i; д) о = 2—57;
е) о = 3; ж) о = £.
2) Общее решение уравнения (6) имеет вид у = у + у, где
у—общее решение однородного уравнения L (у) = 0, у—частное
решение соответствующего неоднородного уравнения.
Используя формулу (3), получаем:
а) у = ахг; б) у = хг (ах2 + Ьх ф- с); в) у — ахге~зх', г) у = «хге2'*;
д) у = ахге12~5.Пх; е) у = хг (ах ф- Ь) е3*; ж) у = (ах ф- b) хге‘х,
где а, Ь,с—неопределенные коэффициенты, аг^О—кратность
контрольного числа а как корня характеристического уравне-
ния оператора L(y).
2.109. Найти общее решение уравнения
=	=	(7)
где f.(x) определяется так же, как и в задаче 2.108.
Решение. Характеристическое уравнение X3—г’Х2 = 0 имеет
корни Z1 = Z2 = 0, X3 = t. Поэтому общее решение линейного
203
однородного уравнения имеет вид у = Ct + С2х + С3е‘х, где Clt
С2, С'з—произвольные постоянные. Найдем частное решение
линейного неоднородного уравнения (7) для случаев а)—ж).
а) Контрольное число о = 0 — корень характеристического
уравнения кратности 2. Поэтому г = 2 и
у = ах2.	(8)
Подставив (8) в уравнение (7), получим —i’2a = 2, откуда a ~i.
б) Контрольное число о = 0—корень характеристического
уравнения кратности 2. Поэтому г = 2 и
z/ = x2(ax2 + bx + c) = ax4 + bx3 + cx2.	(9)
Подставив (9) в (7), получим
(3-|- 12ш)х2 + (—24a + 6bi— 2г) х + (5 + 2ci— 6b)-1 =0,
откуда, в силу линейной независимости функций 1, х, х2 (см.
задачу 2.45), получаем систему для определения а, Ь, с:
3 + 12га — 0,
ЪЫ—2i—24a = 0,	(10)
5 + 2d—6b = 0.
Из (10) находим a = i/4, b = 4/3, с = —31/2.
в)	Контрольное число ст = —3 не является корнем характе-
ристического уравнения. Поэтому г = 0 и
у~ае~зх.	(11)
Подставив (11) в (7), получим—27ае-3*—9aie~sx = 2е-зх, откуда
________9	1
й = 27 + 9i = —45 (3 i}'
г)	Контрольное число о = 2i не является корнем характери-
стического уравнения. Поэтому г = 0 и
у~аег‘х.	(12)
Подставив (12) в (7), получим —Яа/е-‘х-j- 4aie2‘x = Зе2,х,
3 .
откуда а = -^г.
д)	Контрольное число <т = 2 — 5i не является корнем характе-
ристического уравнения. Поэтому г = 0 и
y = ae(2-s,)\	(13)
Подставив (13) в (7), получим
a(65i — 150)е<?-6,)Л — ia (—20г —21)e<?-5/)xs3e(§-6‘>*,
3	1	3 85 + 431
откуда а— 2 85 —43i —	2 9074 ’
204
IF
e)	Контрольное число o = 3 не является корнем характери-
стического уравнения. Поэтому г = 0 и
у = (ах-\-Ъ)^х.	(14)
Подставив (14) в (7), получим
е3* (27ах 4-27а 4 27b) — ie3x (9ах-(6а^-9Ь) = (2ix—1) ёзх,
(27а — 9ia — 2i) х ф-(27а 4~ 27b—-6ia—9ib-[-1) • 1=0,
откуда, в силу линейной независимости функций 1, х,
27a — 9ia—2i = 0,
27a-\-27b—6ia — 9ib+ 1 =0.
Из (15) находим a = ^(3i—1), b =
ж)	Контрольное число o = i—корень характеристического
уравнения кратности 1. Поэтому г = 1 и
у = х (ах -  - Ь) е‘х ----- (ах2 ф- Ьх) е'х.	(16)
Подставив (16) в (7), получим
eix [— tax2 ф- х (— 6a — ib) ф- 6ia — 3b] —
— ieix [— ax2 4- x (4ia—b) ф-2аф- 2zb] = 3xe'x,
(—2a—2ib — 3)x-\-(4ia— b)-l ^0,
откуда, в силу линейной независимости функций 1, х,
— 2а — 2zb —3 = 0, 4ш — Ь = 0.	(17)
Из (17) находим: a = y, b = 2i. Значит, общее решение
у = С1 + С2х + С3е'х+у, где С1Ч С2, С3 — произвольные постоян-
ные, а у определяется по следующим формулам:
а) y = ix2', б) г/ = -^х4ф-уХ3—х2; в) у = — (3 — i) е~зх-,
г) ~y = ^ie2ix-, д) у = — 4^743~e<2~8Z>'V;
е)	45“ х---ПйГ )е ’ ж> у= 2^ +2uJ е1Х.
2.110. 1) Найти контрольное число о правой части уравнения
^(у)^У{п} + а1у{п~1) +    +an.iy' +a„y = f(x),	(18)
(ay- = const (ER, j = 1, ..., n),
где:
a) f(x) = 2; 6) f(x) = 3x2—2хф-5; в) f (x) = 2e~3x;
r) f(x) = 2xex; д) /'(x) = 3sin2x; e) f (x) = 5 cos 2x;
ж) / (x) = 3 sin 2x4-5 cos 2x; з) f (x) = 3 sin 2x 4- 5x cos 2x.
2)	Записать вид общего решения уравнения (18) для слу-
чаев а)—з).
205
Р еше ни е. 1) Правая часть уравнения (18) в случаях а)—з)
имеет специальный вид (4). Имеем:
а)	а = р = 0, о = а ± ip = О;
б)	а = р = О, о = а±/р = 0;
в)	а = — 3, Р = О, о==౫Р= —3;
г)	а = 1, Р == О, о = а ± /р = 1;
д)	а = 0, р = 2, о==а±1’Р —±2i;
е)	а = 0, р = 2, o = a±ip = ±2i;
ж)а = 0, Р = 2, o = a±ip = ±2i;
. з) а = 0, Р = 2, o = a + ip = ±2i.
2) Общее решение уравнения (18) есть у = у + у, где у—
общее решение однородного уравнения £(у) = 0, а ~у — частное
решение соответствующего неоднородного уравнения.
Для построения частного решения у воспользуемся форму-
лой (5). Имеем:
а) у'-- ахг\ б) у = хг(ах2 4- Ьх + с); в) у = ахге~3х;
г) у = хг (ах 4-6) ех', д) у = л/(a cos 2x4-6 sin 2х);
е) у = xr(a cos 2x4- b sin 2х); ж) у ~xr(a cos 2х 4- b sin 2х);
з)	у = xr[(ax-^b) cos 2х + (сх + d) sin 2х],
где а, Ь, с, d—-неопределенные коэффициенты, а г^О — крат-
ность контрольного числа о как корня характеристического
уравнения.
2.111. Найти общее решение уравнения
Л(у)^//"'-у" = /(х),	(19)
где f(x) определяется так же, как и в задаче 2.110.
Решение. Характеристическое уравнение №—/4 = 0 имеет
корни Х12 = 0, Х3 = 1. Поэтому общее решение линейного одно-
родного уравнения запишем в виде у = Су 4- С2х 4- С3ех, где Q,
С2, С3—произвольные постоянные.
Найдем частное решение линейного неоднородного уравне-
ния (19) для случаев а) — з).
а)	Контрольное число о = 0 — корень характеристического
уравнения кратности 2. Поэтому г = 2 и
у = ах2.	(20)
Подставив (20) в уравнение (19), получаем —2а = 2, откуда
а = —1.
б)	Контрольное число о = 0—корень характеристического
уравнения кратности 2. Поэтому г = 2 и
у = х2 (ах2 4- Ьх 4- с) = ах* 4- Ьх3 4- сх2.	(21)
Подставив (21) в уравнение (19), получим (3 4~ 12а)х2 +
4- (66—24a—2)х + (54-2с—66)  1 = 0, откуда
34-12а = 0, 66—24а—2 = 0, 5 +2с—66 = 0.	(22)
206
Из (22) находим а =—1/4, Ь =—2/3, с =—9/2.
в)	Контрольное число о = —3 не является корнем характе-
ристического уравнения. Поэтому г = 0 и
у = ае~зх.	(23)
Подставив (23) в уравнение (19), получим
—27ae~sx—9ае~3х - 2e~sx,
откуда а =—1/18.
г)	Контрольное число о = 1—корень характеристического
уравнения кратности 1. Поэтому г = 1 и
у = х (ах -]-Ь)ех = (ах2 + Ьх) ех.	(24)
Подставив (24) в уравнение (19), получим
[ах2 + (6а ф- Ь) х + 6а + ЗЬ] ех—
: — [ах2 + (4а + b) х -j- 2а + 2Ь] ех = 2хех,
(2а—2) х 4- (4а ф- Ь)  1 -;0,
откуда 2а—2 = 0, 4а + Ь = 0, а = 1, Ь = —4.
д)	Контрольное число о = ± 21 не является корнем характе-
ристического уравнения. Поэтому г = 0 и
у = acos2x + &sin2x.	(25)
Подставив (25) в уравнение (19), получим
8 (a sin 2х—beos 2х) —-4 (—acos 2х—b sin 2х) = 3 sin 2х,
(8а + 4Ь—3) sin 2х4- (4а—8b) cos 2х = 0,
откуда, в силу линейной независимости функций sin2x, cos 2х
(см. задачу 2.48),
8а + 4Ь—3 = 0, 4a—8b =0.	(26)
Из (26) находим a = 3/10, b = 3/20.
ё) Аналогично случаю д) ищем у в виде
у = acos2x + b sin2x.	(27)
Подставив (27) в уравнение (19), получим
8 (a sin 2х—bcos 2х)—4 (— a cos 2х—bsin 2х) = 5 cos 2х,
(8a+ 4b) sin2х +(4a—8b—-5)cos2№0,
откуда
8a + 4b = 0, 4a—8b — 5 = 0.	(28)
Из (28) находим a = 1/4, b =—1/2.
ж) Аналогично случаям д), е) ищем у в виде
у — a cos 2х + b sin 2х.	(29)
207
Подставив (29) в уравнение (19), получим
8 (a sin 2х—b cos 2х)—4 (— a cos 2х—b sin 2х)=3 sin 2х-|-5 cos 2х,
(8а + 4b—3) sin 2х + (4а—8Ь—5) cos 2х s= 0,	(30)
откуда
8аЦ-4Ь—3 = 0, 4а—8Ь—5 = 0.	(31)
Из (31) находим: а= 11/20, Ь =— 7/20.
з) Контрольное число o = ±2i не является корнем характе-
ристического уравнения. Поэтому г = 0 и
y=(ax + b)cos2x + (cx + 4)sin2x.	(32)
Подставив (32) в уравнение (19), получим
(— 8сх—8d— 12a) cos 2х + (8ax + 8b— 12c) sin 2x—
— (— 4ax—4b + 4c) cos 2x—(— 4cx—4d—4a) sin 2x h=
= 3 sin 2x + 5x cos 2x,
(— 8d— 12a + 4b—4c) cos 2x + (8b— 12c-(- 44 +4a—3) sin 2x +
+ (— 8c + 4a—5) x cos 2x + (8a + 4c) x sin 2x s 0,
откуда, в силу линейной независимости функций cos2x, sin2x,
xcos2x, xsin2x (см. задачу 2.48),
— 84—12a + 4b—4с = 0, 8b —12c+44 + 4a—3 = 0,
— 8c + 4a—5 = 0,	(33)
8a + 4c = 0.
Из (33) находим a = 1/4, b = —3/4, c = —1/2, 4 = —1/2.
Поэтому общее решение имеет вид
y = C’i + C’2x + С3ех + у,
где С,, С2, С3—произвольные постоянные, а у определяется по
следующим формулам:
а)у = —х2; б) у = —-^х4—-|х3—-|-х2; в) у = —
~	3	3
г) г/ = (х2—4х)ех; д) z/ = |QCos2x + gQsin2x;
е) y = ycos2x—ysin2x; ж) у = cos 2х—^sin2x;
з) у = \-^х—у 1 cos2x—(-у х+у 1 sin2x.
2.112. Найти общие решения уравнений:
у" + ы2у = Н cos vx	(34)
(со, v = const >0, Н = const б R),
r/" + co2z/ = /7sinvx.	(35)
Решение. I способ. Характеристическое уравнение
имеет корни ^,2 = ± ко. Правые части уравнений (34), (35)
208
имеют специальный вид (4), причем контрольное число правых
частей в обоих случаях о = ± tv. Для построения частных реше-
ний уравнения (34), (35) соответственно рассмотрим следующие
случаи:
1) Не резонансный-. v=^co. Контрольное число о не является
корнем характеристического уравнения, г = 0 и частные реше-
ния ищем в виде
У1 = cos vx + Ьх sin vx,	(36)
у.2 = а2 cos vx + b2 sin vx.	(37)
Подставив (36), (37) соответственно в уравнения (34), (35), по-
лучим
(со2 — v2) — Н] cos vx + bt (со2— v2) sin vx	0,
a2 (co2—-v2) cos vx 4- [b2 (co2—v2) — H] sin vx ~ 0,
откуда в силу линейной независимости функций cosvx, sinvx,
имеем
«i(®2—V2) — H = Q, Ьх (со2—v2) = 0,	„
й2(®2 —v2) = 0, b2(a2 — v2) —Н = 0.	1 '
Из (38), учитывая, что v^co, находим = Ьх = 0,
й2 = 0, b2 = —2-^_v2. Поэтому
Н	~ И .
у, = ----т. COS VX, у2 = -5-5 Sin VX.
и СО2 — V2	и (О2— V2
2) Резонансный: v = co. Контрольное число а является кор-
нем характеристического уравнения, г = 1 и частные решения
ищем в виде
Уг = х («х cos ах + bL sin сох),	(39)
y2 = x(a.2 cos cox + b2 sin юх).	(40)
Подставив (39), (40) соответственно в уравнения (34), (35), по-
лучим
со2х (— at cos ах—b2 sin сох) -ф 2со (— aL sin cox-j- cos сох) 4-
+ со2х («х cos сох 4* bY sin сох) = Н cos сох,
со2х (— а2 cos сох—b2 sin сох) + 2со (— а2 sin сох 4- b2 cos сох) -ф
4- а2х («2 cos сох 4- b2 sin сох) = Н sin сох,
(2abt— Н) cos сох—2со«! sin сох = 0,	(41)
2соЬ2 cos сох ;- (— 2аа2— Н) sin ах = 0.	(42)
Из (41), (42) находим «! = 0, bt = -£- , а.2 = —	, Ь2 = 0.
Поэтому
хН . 	- хН
1/1 =-2^-sin сох, 1/2 = —-2^-coscox.
209
1
II способ. Найдем частное решение у вспомогательного
уравнения
у?uty = Не** (Р = —1).	(43)
Тогда частные решения уг, у2 можно найти по формулам
= Re у, у2 = 1ту.
1) Нерезонансный случай: v=4co. Решение у ищем в виде
c/ = cetvx.	(44)
Подставив (44) в уравнение (43), получим
—cv2e'v* + чРсе'ЛХ = Heivx,
откуда
Поэтому уt = Re у = cos vx, У2 = Im У = s'n w-
2) Резонансный случай: v = со. Решение у ищем в виде
у = xceiwc.	(45)
Подставив (45) в уравнение (43), получим
—<>Pxcei<ax ф- 2с1ые’-‘"х + (o'-’xce'"JA' = Не1®*,	(46)
Н Hi „
0ТКУДа С = 2to = - 2ш • ПоЭТОМУ
- г» - хН .	-у	хН
w. = Rew = -S—smcox, н, = Imw =------cos сох.
-71	2о)	’	2 j 2а>
Следовательно, общие решения уравнений (34), (35) имеют соот-
ветственно вид
у — Cl cos сох -ф С2 sin сохЦ-	cos vx,
С/= Сх COS СОХ + С2 sin СОХ +	s’n VXI
если v =/= со;
хН
у = С± cos сох+ С2 sin сох4- — sin сох,
хН
у = Ct COS СОХ + С2 sin СОХ — cos сох,
если v = со, где СХС2 —произвольные постоянные.
2.113.	Пусть ст—корень кратности г^О характеристического
уравнения £>(Х) = 0 линейного дифференциального оператора
L(y) = yln) + aly(n~1>+ ... +а„^1у' + апу
\aj = const, j = 1, ..., n).
210
Доказать, что частное решение у линейного неоднородного
уравнения
L(y) — HePx (Н, о = const)	(47)
может быть найдено по формуле
<48>
Решение. Контрольное число правой части <т является
корнем характеристического уравнения кратности г. Поэтому
решение у ищем в виде
у = ахге*х.	(49)
Тождество L (aelx) = aD (X) е/х (а, к = const) продифференцируем г
раз по параметру X. Применяя формулу Лейбница, получим
L (ахге1х) = а V>.=0 CkrD{r~k} (К) х,!еКх.	(50)
Так как о—корень кратности г уравнения D(Z) = 0, то
7)<у) (<т) = 0 при j = 0, 1,	г — 1, a (о)=^=0. Поэтому,
положив в (50) Z = о, получим
L (axreox) = aD{r} (а)е°х.	(51)
Подставим теперь (49) в уравнение (47). С учетом (51) имеем
aD[ г> (о) еох = He"x, откуда а = -п,^. , . Поэтому у =	. еГ1Х —
v	J	Dir> (с)	J J D'r> (о)
частное решение уравнения (47).
2.114.	Найти общее решение линейного неоднородного урав-
нения
у" + py' + qy = H sin (W + q>)
(р, 9, Ф, v>0, Я > 0 = const € R).	'
Решение. Для нахождения частного решения у уравне-
ния (52) воспользуемся тем, что если г—частное решение вспо-
могательного уравнения
z" + pz' 4- qz = Не1 <v ф> ,
то p = Imz — частное решение данного уравнения. Для построе-
ния z используем формулу (48) задачи 2.113. Рассмотрим сле-
дующие случаи:
1)	D(iv) — q—v2-H‘pv=^0. Тогда (г = 0, o = iv)
- т - т 7/e‘<v‘+T>	,,т	ег<\7+Ф>
и = Imz = 1m —тгг-т— = И 1m----«-?-—
а	D (iv)	q— v2-\-ipv
__г, т el <vf+<P> (q — v2— ipv)	H[(q — v2) sin (у^ + ф) — pvcos (у/Д-ф)] _
m	(q—y2)2-j-p2v2_(q — v2)24-p2v2j	’
_ Hsin (у/4-Ф4-а)	_	. pv
~	a - arc S ^^q •
211
2)	D(iv) = (?—v2-\-ipv = O, откуда либо a) p — Q, v^O;
либо б) р=й=О, v = 0, <? = 0; либо в) p — 0, v = 0, q = Q.
Тогда: a) r = l, a — iv, D' (iv) = 2iv =И=0 и y = Imz =
fftei<vi+4>> Ht T . , ivt+a, Ht . { , .	, Зл \ й. ,
=im —— = — ivIm te	^-~2V sm(j/+<p+—); 6) r=1,
o = 0, D' (0) = p=£(J и </= Imz = Im”~~-=	sin<p; в) r = 2,
o = 0, D'(0) = 0, D"(0) = 2 и у = Im z = Im	sin <p.
Общее решение данного уравнения имеет вид у = у + у, где
у—общее решение однородного уравнения.
2.115.	Если общее решение линейного уравнения
Z. (у) = у™ + а1у{п~г> + . . . + ап-1У' + апУ = Н sin (W + <р) (53)
(Н > 0, v > 0, ср, а, С R, j = 1, ..., и),
имеет вид у = у+у, где общее решение уравнения L (у)=0 у —> О
при t~> + оо, а у—периодическое с периодом I = — частное
решение уравнения (53), то говорят, что решение у описывает
переходный режим, а решение у — установившийся режим.
Доказать, что если все корни характеристического уравне-
ния D (Х)=0 оператора L (у) имеют отрицательные действительные
части, то уравнение (53) имеет единственное Т = 2л/у-периоди-
ческое (установившееся) решение
у = Н Im
gi <V/ + Cf)
~oW’
описывающее установившийся режим.
Решение. Пусть Хх, Х2, ..., ).s— корни характеристи-
ческого уравнения D(X) = O, mlt т2, ..., ms — их кратности
(2/=1ту- = п). Общее решение у однородного уравнения L (у)=0
имеет вид y = 2/=i eKlt (CXZ + C,t-\- •   + Cmfr1), где C1( C2,...
..., Cm •—произвольные постоянные. Так как Re Ху < О
(j = 1, 2, . .., s), то у - - 0 при t + оо.
Вместе с уравнением (53) рассмотрим вспомогательное урав-
нение
L (г) = Не1 <vi+v>.	(54)
Поскольку D (iv) =f= 0, частное решение г этого уравнения
может быть найдено по формуле (48) задачи 2.113 (г = 0, o=tv):
- Яе‘ <'<+ч>>
2 = D (iv)
212
Следовательно, единственным частным Т = 2л/у-периодиче-
ским решением уравнения (53) является функция
i(v/ + q>)
w = Im z = // Im —n .. .  ,
J	D (iv) ’
описывающая установившийся режим.
2.116. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к
другому прикреплен груз массы т, на который действует пе-
риодическая возмущающая сила Н sin (yt-\~ ср), направленная по
вертикали. При отклонении груза на расстояние х от положе-
ния. равновесия пружина действует на него с силой kx (упру-
гая сила пружины), направленной к положению равновесия;
при движении груза со скоростью и сила сопротивления среды
равна bv (И > 0, у > 0, k > 0, 0<Ь<|т, ср — постоянные).
Найти движение груза в установившемся режиме и частоту
возмущающей силы vpe3 (резонансную частоту), при которой
амплитуда колебаний груза в установившемся режиме явля-
ется наибольшей. Найти эту амплитуду.
Решение. Пусть x = x(/)— отклонение груза от положе-
ния равновесия в момент времени t. Согласно второму закону
Ньютона, тх = — kx—bx + //sin (yt + <р), откуда для опреде-
ления закона движения x = x(t) груза получаем линейное не-
однородное уравнение вида
х + рх + qx = sin (yt + <р),	(55)
ь k
где р — — , q = — .
' т ч т
Поскольку р > 0, q > 0, из результатов задач 2.114, 2.115
следует, что установившееся движение груза существует и
описывается решением уравнения (55) вида
х (t) — A (у) sin (у/ 4 <р + а),
где
А (у) = —r	Н-=	, а = arctg —z-v -.
т К (9—v2)a+p2v2	v Ч
Частоту Урез, при которой амплитуда А (у) колебаний груза
в установившемся режиме достигает наибольшего значения,
можно найти из условия минимума функции Ф(у) = (<?—v2)2 +
+ p2v2. Имеем ф'(у) = —4v (q—y2)4-2p2v = 0, откуда vpe3 —
= j/"q—= y'	Амплитуда колебаний груза при
резонансе такова:
Н
Д ('’рез)
w У ч---^
2тН
b К 4k. ;г —t2
213
2.117. Последовательный колебательный контур состоит из
последовательно включенных (рис. 36) источника тока, напря-
жение которого изменяется по закону и (t) = Е sin (yt -ф-ф), Со-
t,	R	с	противления R, индуктивности L и емко-
f--------- сти С (Е > О, R > О, С > О, L > 0, v > О,
г	Ф— постоянные). Найти силу тока в кон-
дС	/70/ =~^	туре в установившемся режиме и частоту
С	vpe3 источника тока (резонансную частоту),
•---@)-при которой амплитуда колебаний тока в
Рис 36	установившемся режиме является наиболь-
шей. Найти эту амплитуду.
Решение. Последовательный колебательный контур пред-
ставляет собой электрическую цепь с четырьмя узлами а, Ь,
с, d. Применив первый закон Кирхгофа, получим
fda~:^bn— 0, Лб + Лб—0,
откуда Ida =1аь — hc = ^cd =f (0. гДе f (0 — искомая сила тока
(символом I обозначена сила тока, идущего от узла х к
узлу у). Для падения напряжения иху от узла х к узлу у
имеем
dt ’ ^ьс Eh Ucd C \ idt, Urfe 4 (0 ’
= — E sin (v/ + cp).
Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа,
uab + Ubc + Ucd + uda = 0,
ПЛИ
L	+ Ri’ + -gr J idt = E sin (yty <p).
Продифференцировав последнее соотношение, для опреде-
ления i = i(t) получим линейное неоднородное уравнение вида
di 2i , di . Ev . , . .
a^ + P'dT + qi=~C0S’^t + ^’	(56)
R 1
где p = r,
Поскольку p > 0, <7 > 0, из результатов задач 1.114, 1.115
следует, что установившийся режим колебаний тока в контуре
существует и описывается решением уравнения (56) вида
i (t) = A (v) cos (vt + ф -ф a),
где
A (v) =--r .E , a = arctg
L /fcpl+p.
214
Резонансная частота находится из условия минимума функ-
ции =	---ИР2- Очевидно, что функция ф(v) прини-
мает наименьшее
v₽e3 =
есть
значение при условии q—v2 = 0, откуда
Амплитуда колебаний тока при резонансе
F F
(vpc3) =	= ~дг •
2.118. Трансформатор представляет собой электрическую
пень, состоящую из двух контуров (обмоток), связанных ин-
дуктивно (рис. 37). Первый кон-
тур (первичная обмотка) со-
стоит из индуктивности Z-i >
> 0, внутреннего сопротивления
источника тока, напря-
жение которого изменяется по
закону и (t) — Е sin (vt4~ ф) (А>
>0, v > 0, <р = const). Второй
контур (вторичная обмотка) со-
стоит из индуктивности Ь2 > 0,
внутреннего сопротивления t?2^0 и сопротивления нагрузки
R > 0. Коэффициент взаимоиндукции М > 0. (M2^.LXL^.
Найти силы токов в первичной (А (0) и вторичной (12 (/)) об-
мотках в установившемся режиме. Считая трансформатор иде-
альным (Л1 = 7?2 = 0, M2 = LiL2), найти амплитуду падения
напряжения на нагрузке R.
Решение. Обмотки трансформатора представляют собой
электрические цепи с узлами а12 Ь12 cL и а2, Ь2, с2 соответст-
венно. Согласно первому закону Кирхгофа,
1а ь + Iс h ~ 0, If! с -р 1а с = 0, 1	1f. а = 0,
4*21*2 1	^2^’2	'	yjvj 1 WjCj	'	С 2’^'3 '	О 2^* 2	*
откуда
^a1bl~^btc2	а2Ь2 = IЬ2с2~ 1с2а2~ С(0-
Для падений напряжений соответственно имеем
=	+ ubet = Riii, uCiai = — u(t) =
= — E sin (vt 4- <p),
Ua2b2 ^2 "27 + Al -jj- , Wb2<,2 = R2t2, Uc2a2 = Rh-
Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, получаем
+ М + RA-E sin (vt + Ф) = °,
£2^+мчг+^+^=0-
215
Исключив из (57) 12(1\), для определения i1(i2) получим
линейные неоднородные уравнения
(LA-М2)	+ [L, (R, + R) + L2R,]	+ Ri(R2 + R) h =
= Ei sin (v/ + <p + a),
(L1L2-M^^I- + [L1(R2 + R) + L2R1-\^. + R1(R2 + R)i.^ (58)
= E2sin (v£ + q>4--y-),
где E^EVL^+tRz + Ry, E2 = MEv, a = arctg^^-.
Пусть Ъ — ЦЕ, — A42>0, R2 > 0, R2 > 0. Тогда из (58)
получим
rfF + p ~dF +	= "8"sm + ф + a)’
d2t2 , di2 , E2 . { , ,	, 3л \
+	sin(W + <₽ + —j,
где p = |[T1(R2 + R)4-L2R1]>0, q = |ri (R2 + R) > 0.
Из решения задач 1.114, 1.115 следует, что силы токов i,
i2 в установившемся режиме выражаются соотношениями
Ч (t) = At (v) sin (yt + <p + a + P),
7> (0 = ^2 (V) S’n ( 4~ ф H-2-1- P \
где
__LjV1 У (Rj-У R)3
6 У ^q-^^yiyp2v2. ’
A2 (v) == — EMv =-,
8 F (? —v2)2 + p2v2
|3 = arctg-^—.
*	° v2 — q
Рассмотрим случай идеального трансформатора: R1 = R2 = 0,
6 = L1L2 — Л42 = 0. Тогда из второго уравнения (58) получаем
di2 Е2 . [ , .	. Зл \
^-=ZTR smr/+(p+-rJ-
откуда для амплитуды колебаний тока i2 (t) находим Д2 (v) =
Е2	ЕМ Е У Ь2 к
—	= т^- = у • Амплитуда падения напряжения на
нагрузке есть A2(v)R= j/
тг£-
218
2.119. Электрический фильтр
низких частот представляет
собой электрическую цепь, изо-
браженную на рис. 38 (и (t) =
— Е sin (vt + <р); Е > 0, v > О,
L > О, С > О, 7? > О, ф—по-
стоянные). Найти падение на-
пряжения на сопротивлении на-
d
Рис. 38
грузки R в установившемся режиме. Показать, что lim =
v->о Л
= 1, Пт
на нагрузке R
Решение.
О, где А (у) — амплитуда падения напряжения
в установившемся режиме.
Согласно первому закону Кирхгофа,
1<1Ь + Ца, — Ibc^Idc— 0, led + I ad + I bd — 0,	4~— 0.
Обозначив /аЬ = г’1, Ibc = i2, получим — — h, Icd = h,
I da	1-
Для падений напряжений имеем uab = L-+-, ubc = L-^~-,
uCd = Ri2, uda = — u(t) = — f sin(v/+ ф), udb = ^- ^(i2 — ijdt.
Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа,
+	+ Rh-Esin(vt + ^ = O,
r di.	1 c	<59)
L § (h— C) dt—E sin (vt + ф) =0.
Заметив, что последнее уравнение системы (59) является
следствием первых двух уравнений, исключим из этой систе-
мы ir. В результате для определения i2 получим линейное не-
однородное уравнение вида
a'3i2 . d2i. . di. , . Е	<	,r.,.
Д7^ + Р^ + ^ДГ + Пз=№а1п^ + ^’	<6°)
7^	2	7?
где Р — -Т-, q = -гтг , г = -727г . Так как р > 0, q > 0, г > 0,
Et	LAs	l—i О
pq > г, то в силу критерия Рауса — Гурвица * все веществен-
ные части корней характеристического уравнения D (1) =
±= V р№ + q% -|- г = 0 отрицательны и уравнение (60) имеет
* Формулировка критерия Рауса — Гурвица приведена в § 25.
217
установившееся решение:
£ et (v/+<p)	££2 Sin(v/ + <p4-a)
«2 (0 — ££2 1 m P(iv) — уГ (f_pv2)2 + v2 (9 — V2)2
£
-^г sin (v/4-<p--)-a)
/~T~5	V / 9/	\2 *
(Jt-RLv^	LV\
(l2 > 2L
v I 1Л---i
где a = arclg—---------Падение напряжения на
-jr- RLv2
R есть ucd = Ri2 = A (v) sin (vt + cp ~l a)t где
ER
нагрузке
(61)
Из (61) следует, что
;ЦПО £ J ’ E £2Cv3 ’
r A(v)
oo lim —~
г
-v _x. i .-л	•*-'
0.
Задачи для самостоятельной работы
Указать метод интегрирования или понижения порядка для следу-
ющих уравнений:
Ly’V = xsfflx 2. 3(/'"г + 2х2 = 4. 3. у"2~у'=\.
4. x = e-u’”R-y'". 5. хуу"-+ху'2-уу' = 0. 6. (1 + </2) уу" = (Зу2- 1) ул.
7. ху"+ у’= хех. 8.2Уу'у"' = 3. 9. 2уу"-j-y'2-j-y’* = 0.
10. х2 (уу"~у'‘) + хуу' = уУ х2у'2 + у2.
11. х2у2у" —3xy2y'-f-4y34-x6 = 0.	12. -^-2^ = 0.
13. (1 +у'2)у"' — 3y'y"2 = G. 14. у"-\у' cos х — у sin х = 0.
Найти общие решения следующих уравнений. Где указано, найти
решение задачи Коши, предварительно решив вопрос о его существова-
нии и единственности:
15. (/" = 6х+2; у(0) = у'(0) = 0._16. у"г-2у’ = 0; у(1) = 2,
17. ху"’~у"=0. 18. у" = 2Уу'; у(0)=у' (0)= 1; у (0) =у' (0) = 0.
1й- УУ"— У'2 = У2 У(О) = У' (0)= 1. 20. х (у"у—у'2) = уу’.+ху2,
21.	-2+е!/у=1. 22. у" + 1у'-^гу = 3х2-
23.	у" + 2ху’ + 2у=Е, у(0) = у'(0) = 0.
24.	Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорцио-
нален длине отрезка нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент
пропорциональности k равен ±1; ±2.
25.	Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити под
действием ее веса (цепная линия).
26.	Составить дифференциальное уравнение семейства плоских кри-
вых х2-^-у2-]-С1х-[-С2у-\-Сз = 0.
Найти общие решения уравнений, используя формулу Абеля:
218
, 2 ,	„ sinx
27-	У’+у/+У=О; yv = —^~.
28.	(cos x + sin x) y”—2 cos x(/' + (cos x — sinx)y~0; y1 = cosx.
Найти общие решения уравнений с помощью формулы Абеля, по-
лучив одно частное решение в виде многочлена:
29.	(х— 1) у" — (х+ 1) г/'+2г/ = 0.
30.	х2 (2 In х — 1) у"—х (2 In х + 1) у' -f- 4г/ = 0.
31.	Найти общее решение уравнения (х2 — 2хф-2) у"'~х2у”4г2ху'—•
— 2г/= 0, применяя обобщение формулы Абеля, если известно, что дан-
ное уравнение имеет два линейно независимых решения в виде много-
члена.
Найти общие решения уравнений:
32.	у'"— 13г/' — 12г/ = 0. 33. у'" — 2у"— у' -^2у = й. 34. г/" —2г/' = 0.
35.	г/’-(/' + //=0. 36. г/у — 10г/'"-ф-9г/'= 0. 37. г/" + 2г/'+2г/ = 0.
38.	/ + 4г/=0. 39. yiv — у=0. 40. yiV + y = O-
41.	г/1У+Ю/ + 9г/ = 0. 42. у'" — 7у" + 16г/' — 12г/ = 0.
43.	г/1У + 2г/" —8г/' + 5г/ = 0. 44. у™ — 2у'" + 2г/" — 2у' -ф- у = 0.
45.	г/lV + 2у'" + Зг/'' + 2г/' + у = 0. 46. уЧ + ylV J- 2г/"' + 2 г/" + г/' -ф- г/ = 0.
47.	у” — у = 2 sin х — 4 cos х. 48. г/" + 4г/= sin 2х.	49. г/" + г/ =
= cos х -ф- cos 2х.
50.	у” — Зу' = езх—18х. 51. у" — 2у'~-у = 4ех.
52.	i/IV + 2i/" + i/= cos х.
53.	у'" — Зг/"-'Зг/'— у = 2ех. 54. у”-\- у = 4х cos х.
55.	у"—9г/ = е3х cos х. 56. г/1У — у = 5ех sin х.
57.	y,v— 8у' - -хе-х. 58. у"-\-‘2у' -ф-у = е~х cos х-\-хе~х.
59.	г/"'4-г/ = х2 —x-ф 1. 60. у'" — 7 у"-\- fjy-х1.
Для следующих линейных неоднородных уравнений с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида записать вид част-
ного решения у (не отыскивая числовых значений коэффициентов):
61.	tf-4-Ъу' = 4хф-е-зх-фх cos Зх.
62.	у'" — 4г/' = 3 + е2х-фе2х sin 2х.
63.	у'" + 5г/''ф-4г/' =x2 + xe~4x-j-x2e-x4-sin2х.
64.	у'1' + 6г/"+ 10г/' = хе-3х cos х-ф-х.
65.	г/lV —5г/'"-ф6г/" = 2 sin 2х-|- х2е3х-фе~2х cos Зх.
66.	г/1У — 4у"' -ф-5у" = х2 cos 2х-\-хех sin 2х-фЗгх sin х.
Найти общие решения следующих уравнений методом вариации про-
извольных постоянных:
67.	у" + 4у = —Цг-.	68. г/"' + г/'= S‘Y .
J cos 2х	cos- х
„	4х2+1	„„	„ „ ,	х2 + 2х-ф-2
69.	г/ — г/=	76. у —?.у -ф г/=-----—-----.
х V х	х
Решить следующие задачи Коши:
71.	г/"-5г/' + 4г/ = 0; р(О)=г/' (0)=1.
72.	г/" + 4г/'-ф4;/=Зе-х; у(О) = у’ (0) = 0 (применить метод Коши).
73.	у"4у; -- sin 2х; у (0) = у' (0) = 0 (применть метод Коши).
Применяя замену независимой переменной x = et, найти общие реше-
ния уравнения Эйлера:
74.	х2г/"+хг/' + г/= 2 sin (In х). 75. х2г/"—ху' + у — 6х 1п Хэ
76.	х3г/'" — Зх2г/"+6хг/'— 6у=0.
Найти общие решения следующих уравнений Эйлера, Лагранжа,
Чебышева:
219
77.	х3у"' -\-ху' — у = 0. 78. х2у"' — 2у’ = 0.
79.	х2у"-}-2ху'~6«/ = 0. 89. х3у'"--Зх2у" 4 6xy'— fiy=^G.
81.	2(2х+1)2/' — (2х+1)У + 2у=0.	82. (х + 2)2 у"—4 (x-f-2) у’ -f-
-J- Gy~ 0.
83.	х3у"' — ху' — Зу~х2. 84. х2у’"4-8x2j/"4~ 12х/ = In х.
85.	(х + 2)3 у"' + 9 (х + 2)2 у"-у 18 (х + 2) у' +6t/ = In (х + 2).
86.	(1-х2)/'-х/ + 2^ = 0 (|х|< 1).	87. (1-х2)/'-х/ + 9у = 0.
(| х | < 1). 88. (х2—1) #"+хг/'— 16г/= 0. (| х | > 1).
89.	(х2— \)у" + ху’~2у = 0 (| х | > 1).
С помощью соответствующей замены искомой функции или незави-
симой переменной свести следующие уравнения к уравнениям с посто-
янными коэффициентами. Найти общие решения:
90.	2ху"+у’—2у = 0. 91. (1 — х2) у" ~ ху’ + 4у = 0.
92.	y"sin 2х —z/'4-9i/tg x-sin2 х = 0, х£(0, л/2).
93.	х^"+2х3у' — 4у = ~ . 94. х2у"-~2ху’ + (х2-^ 2) у = 0.
95.	х2р" —4ху' + (6 —х2) у = 0. 96. (1 + х2) у"-}-4ху'-\-2у = 0.
97.	ху"-у' — 4х3г/ = 0. 98. (1 +х2) у"ху'+у = 0.
б	I
Рис. 41
99.	Составить дифференциальное уравнение и определить силу тока
i (/) в контуре (рис. 39) в установившемся
режиме при условии: а) и (/) = Е == const;
б) и (t} — E sin (vZ + ф).
100.	Составить дифференциальное урав-
нение и определить силу тока г2 (/) в уста-
новившемся режиме в контуре II (рис. 40)
при условии, что коэффициент взаимной
индукции M — L, u(t) = Esiavt.
101.	Составить дифференциальное урав-
нение и найти падение напряжения на
сопротивлении R2 (рис. 41) в установившемся режиме при условии, что
и (/) ~Е sin (vt + ф).
102. Построить нормальную фундаментальную систему решений
уравнения у"+Ру' + qy = O (р, q- const).
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
И СВОЙСТВА ИХ РЕШЕНИЙ
3.1. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение
второго порядка
а(х)у"+ b(x)y'+ c(x)y = Q,	(1)
где а(х), Ь(х), с(х)—.непрерывные на некотором интервале
[х0; хх] функции, а (х) #=0, можно привести к самосопряжен-
ному виду
=	(2)
Решение. Предположим, чтор(х)—-непрерывно дифферен-
цируемая функция. Уравнение (2), записанное в виде
Р (х) у" + р' (х) у' + q (х) у = О,
показывает, что коэффициент при у' есть производная от коэф-
фициента при у". Умножим обе части уравнения (1) на неко-
торую функцию р(х) и подберем эту функцию так, чтобы вы-
полнялось условие
^(и(х)«(х)) = р(х)&(х).
Очевидно, функция р(х) является решением уравнения
(*) _ fe(x)—д'(х)	/ .
dx	а (х)	 ' ’’
Таким образом, в качестве р(х) можно взять функцию
1 С
p(x) = -4-eJ	.
r v ' а (х)
При умножении на р(х) уравнение (1) примет вид
С Ь (х)	С 6 (х) ,	С 6 (х) ,
gj а(х) Х	а(х) у’-£AlgJ “(х) ^// = 0,
3 1 а (х)	3 1 а (х)	3	’
221
или
т. е. вид (2), где
Г Ь (х)	-С ь (х) .
р(х)=е^ “<*> \ q(x) = SJ^Le} aW \
3.2. Пусть в уравнении (р(х) у')' + q(x) у >=f(x) функция
р(х)=^=О при х, принадлежащем некоторому интервалу. Дока-
зать, что заменой независимой переменной уравнение можно
привести к виду
+	=	(3)
Решение. Произведем замену х = <р(/),
ная функция по отношению к
, Сх ds	.
t=\	X°£J-
J Xo P (s)
где <p (Z) — обрат-
Так как p(x)^=0, то функция i = t(x) имеет производную
и строго монотонна; следовательно, она имеет обратную функ-
цию х = <р(Д определенную на некотором интервале. После
введения новой независимой переменной t исходное уравнение
переходит в уравнение
%/r + P(x)q(x)y = p(x)f(x),
или
+ Р (ф (0) Я (Ф (0) У = Р (Ф (0) / (ф (0).
т. е. в уравнение требуемого вида, где
<2(О = р(ф(О)<7(ф(О) и А(0 = /’(ф(0)/(ф(0)-
Если в линейном уравнении
y"+b(x)y' + c(x)i/ = d(x)
функция й(х) имеет непрерывную производную, то это урав-
нение приводится к виду (3) с помощью замены неизвестной
функции у по формуле
у = ге 2 J
В результате получим уравнение
z"+ [с(х)~ у&2(х) —ifc'O
z =d(x) е2
222
т. е. уравнение вида (3), где
<200 = [сОО—“з'^ОО—h (х) = d (х) е 2
3.3.	Решить уравнение 2ху" + у' — 2у = 0, записав его в само-
сопряженном виде.
Решение. Разделим обе части уравнения на 2К|х| и
представим его в виде
________________=ti = o
dx V ' 'dx ) у । x|
В последнем уравнении произведем замену независимой пере-
менной t = 2К]х|. В результате получим уравнение
У = 0, у^С^ + С^-*.
Таким образом, у = Схс21 1	+ C2e-2l/| АI.
3.4.	Доказать, что если ср(х) и ф (х)— решения уравнения
(р(х) у')' + <7(х)у = 0, то существует такая постоянная С, что
Ф 00 Ф' ОО —ф' (х) ф (х) =	.
Решение. Утверждение, которое требуется доказать, яв-
ляется следствием формулы Лиувилля—Остроградского. Так
как <рО)ф'(/)— ср' (t) ф (t) = W (/), где W (О—-вронскиан, то со-
гласно указанной формуле
_ С р'w dx	с
W (х) = Се ' pW =Ce-ln pW = —,
v ’	Р(х)'
W (х) = Сге~dx = W (х0)е~dx =	,
т. е.
Ф(х)ф'(х) —<р'(х)ф(х) = -^-,
где постоянная С = W (х0) р (х0) зависит от решений <р (х) и ф (х).
В частности, если С=£0, то решения <р (х) и ф(х) линейно
независимы.-
3.5.	Доказать, что два решения <р(х) и ф(х) уравнения
(р (х) у')' + q (х) у = 0, р (х) =^= 0 (р (х) и q (х) — непрерывные функ-
ции), имеющие общую точку экстремума х = х0, линейно зави-
симы.
Решение. Из результата предыдущей задачи следует, что
Ф W Ф' (*)—ф' 00 Ф W = (Ф (х0) ф' (х0)—ф' (х0) ф (х0)).
223
Если х = х„—точка экстремума обоих решений <р(х) иф(х),то
<р' (х) = ф' (х0) = 0; поэтому <р (х) ф' (х)—<р' (х) ф (х) = 0, т. е.
решения <р(х) и ф(х) линейно независимы.
3.6.	Даны два уравнения
(р (х) и')'4-(х) и = / (х) и (p(x)i/)' + <7(x)v = £(x).
Доказать формулу Грина:
[Р (0 (и (0 V (t)-u' (/) и))]/=хо = Ц (£ (т) и (т)—f (т) v (т)) dx.
Решение. Если обе части первого из уравнений умножить
на п(х), а обе части второго—на и(х) и результаты умноже-
ния вычесть, то получим
[р (х) (и (х) v' (х) — и' (х) v (х))]' = q (х) и (х)—f (х) у (х),	(4)
поскольку [p(x)(uv'—vu'yy = и (р (х) v')' — v(p(x)u'y. Соотно-
шение (4) называется тождеством Лагранжа. Интегрируя его
в пределах от х0 до х, получим требуемую формулу Грина.
§ 16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Решения линейного дифференциального уравнения выше первого
порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через
элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко при-
водится к квадратурам.
Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных
уравнений является представление искомого решения в виде степенного
ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка
y" + p(x)y’ + q(x)y = Q.	(1)
Предположим, что коэффициенты р (х) и q (х) уравнения (1) являются
аналитическими функциями на интервале |х— х01 < а, т. е. разлагаются
в степенные ряды
Р (х) = 5*=°Рй	?(x) = 2*=o'?fe(x —xo)ft,	(2)
сходящиеся при |х—х0| < а.
Теорема. Если функции р (х) и q (х)—аналитические при |х — х0 ] < а,
то всякое решение у = у(х) уравнения (1) является аналитическим при
|х — х0 | < а, т. е. разлагается в степенной ряд
У (х) = ck (.х — х0)*,
сходящийся при |х —х0| < а.
Эта теорема дает возможность проинтегрировать уравнение (1), т. е.
построить решения этого уравнения в виде степенных рядов. Алгоритм
такого построения состоит в следующем. Для простоты положим хо = О.
Будем искать решение уравнения (1) в виде ряда по степеням х с не-
определенными коэффициентами:
У (х) = 2£=о сАх*.	(3)
Подставляя (3) в уравнение (1), имеем
2*=2 k (k - 1) ckx* - 2 + 2г=о PkXk 2г=1 kcbx* -1 + 2г=о qkX* ££жАХ* =0.
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х°, х1, х2, х3, ..., полу-
чаем рекуррентную систему уравнений для определения неизвестных
224
коэффициентов с3, а, с2, ,,,,
ЯоРо 4“ PoPi + 1 • 2са = О,
<7ica-4“ (?о+Pi) Gi 4~ 2роса+2 • Зс0 = О,
....................................................  (4)
2*=i [7й-|'с/+ (*+ О РЛ-1С/+11 + (^+ О (&4~2) с*+2 = 0,
Коэффициенты с0 и ci можно задавать произвольно (хотя бы один из
них должен быть отличен от нуля, иначе получим решение р=0). За-
фиксировав сои Cj, ищем решение уравнения (1), удовлетворяющее на-
чальным условиям у (О)=со, - у' (0) = Сх. Из первого уравнения находим Са,
из второго с3 и т. д.
Если в уравнении (1) функции р (х) и q (х) — рациональные, т, е,
, . Pt (х)	. . qi (х)
р W = --Г' . • я W =	;-<• ,
Ро W	9о {х) '
где р0 (х), pi (х), z/о (х),	(х) —многочлены, то точки, в которых рд (х)=0
или <?о(х) = О, называются особыми точками уравнения (1).
Для уравнения второго порядка
х2у"-]-хр(х) г/' + <?(х) у = 0,	(5)
в котором р (х) и q (х)—аналитические функции в промежутке |х| < а,
точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициен-
тов ро или ро в разложении функций р (х) и q (х) в степенной ряд отли-
чен от нуля. Эго пример простейшей особой точки, так называемой
регулярной особой точки (или особой точки первого рода).
В окрестности особой точки х = х0 решения в виде степенного ряда
может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обоб-
щенного степенного ряда:
у= (х — хо)л2*=оса(х — х0)*,	(6)
Где А и с0, ci, с2, с3, ..., (с0 # 0.) подлежат определению.
Рассмотрим уравнение (5) при х > 0. Подставив в это уравнение
выражение (6) при Хо = О, имеем
(А (А— 1) 4~РоА4~?о1 со 4~{[А (А -|- 1) -}-Ро (А-Ь1) ~Ь<7о] с1 + (Аро + ?о) со}х + • • •
• • > +{1(А+п) (А + « — 1) + ... +Ро (А>+«) +<?о1 cfe + • • •
• • • + (Apo + ?о) с0} Xй	0.
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррент-
ную систему уравнений:
fo Со = 0,
/о (А + 1) С1 +/1 (А) с0 = 0,
......................................................... (7)
fo (A-J-ft) (АЦ-й— 1) Cji-i-^-fz (A-L-A—2) c^_o4~ • • • 4~/fe (A) c0 = O,
где обозначено
/о(А) = А(А—1)-4“РоА + <7о,
fm(A)=Apm+pm, m5sl.	U
Так как Co # 0, то А должно удовлетворять уравнению
А (А—1) -{-poA-j-fl'o = 0,	(9)
которое называется определяющим уравнением. Пусть Ai, А2 — корни этого
уравнения. Если разность Aj—Аг не есть целое число, то /о (Af-f-fe) ф О,
/о(Аг + ^) 5й 0 ни при ’каком целом k > 0, а значит, указанным методом
можно построить два линейно независимых решения уравнения (1):
yi =хХ12*=о ck}xk и =
8 № 2314	225
Если же разность	является целым числом, то указаниям
выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого
ряда yi(x). Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля—Остро-
градского можно найти второе линейно независимое с yi (х) решение;
Г -^р(х)<7х
=	-—2 -.--dx.
J Vi W
Из этой же формулы вытекает, что решение у3 (х) можно искать в виде
Уз (х) = Ayi (х) In (х) + XX12ft=0 ckx*
(число А может оказаться равным нулю).
3.7.	Решить уравнение z/"4-xy = 0.
Решение. Ищем решения данного уравнения в виде ряда
У = сАхк.
Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в дан-
ное уравнение, имеем
,’2*=2k (k ~1) ckxk ~3 + х 2Г=« ckxk = ° •
Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х,
получим систему уравнений для определения сй:
2-1 •с2 = 0, 3-2-с34-с0 = 0,
4-3-с4 + сх = 0, .... k (k~ l)cft + cft_s = 0, ....
Из этих уравнений находим
с2=0> сь+з— (fe-|-2)%+3) ’ & =	1» 2, ....
Положим с0 — 1, С1 = 0, тогда отличными от нуля будут
только коэффициенты с3т. Имеем
с3(и+1)—	(3^4-2) (Зт-ЬЗ) ’
откуда
с  -------------(—-1)"______ т _ j 2
t'3'»- 2-3-5-6- ... .(3m —1)-Зт ’	11 ’ •••'
Построено одно решение уравнения
н (х] — 1 4- V“ ________(~1)||,х8я______
Z/iW —12-3-5.6- ... .(3m —l)-3m *
Второе решение, линейно независимое с найденным, полу-
чим, положив (,> = 0, Ci = l. Тогда отличными от нуля будут
только коэффициенты c3(B+i:
Р —_____________C3ra+i	m—ft 1 9
Сзи+4— (Зщ-ЬЗ) (Зщ4-4) ’ т~ ’
226
Отсюда
Cj = l, C3m+f =
3-4-6-7 ... 3m(3m-H)
(1)1» хзт+1
значит,
у2(х) = х+^т= t 3.4.6.7	3m(3m+l)
Ряды, представляющие уг(х) и уг(х), сходятся при любых
значениях х и являются аналитическими функциями. Таким
образом, все решения исходного уравнения — аналитические
функции при всех значениях х. Все решения выражаются фор-
мулой у = C'i//! (х) + С2г/2 (х), где С^, Са—произвольные постоян-
ные:
У = Ci	= 1 2-3-5-6 ... (3m—l)-3m )
+ С2(х + ^m= J 3.4.6.7	3/П (3m-|-1) ) •
3.8.	Решить уравнение у"-\-ху' +у = 0.
Решение. Коэффициенты р (х) = х и q (х) — 1 являются
аналитическими функциями при всех х. Ищем частные реше-
ния данного уравнения в виде ряда
У = 2£=оСбХ*.
Подставляя это выражение в уравнение, имеем
^=2ckk(k- l)x*"?4-x2“=i cAifexA-J + 2r=o^A = O.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, полу-
чаем уравнения для определения коэффициентов ск: (&4-1)х-
X(k + 2)ck+2+(k+ l)cft = O,A=O, 1,2, .... Положив Со = l,q= О,
находим
г ___	( 0м т — io с - = О
с2т~ 2-4-6 ... (2m) ’ "г'—11	•••» C2m+1 u*
Поэтому
и (x) — 1 _ X2 . X4 X8 |	,	(—	. g-g-x’/s
th\x) —1	2^2-4	2-4-6^	2-4-6 ... (2m)
Второе решение, линейно независимое с yt (х), найдем, по-
ложив cd = 0, Ci = l. Имеем
с2т+1^ ll3.5	(2m4-1) ’ т^°г 2» •••
Следовательно,
2/2 W-2^=0
___1)от д-2/тг—Я
1-3-5 ... (2m-f-I) "*
значит, «/^CiyiCxJ + C^Cx), где Cj, Са—произвольные посто-
янные
8*	227
1
3.9.	Доказать, что дифференциальное уравнение Вебера
а-\--^]у — 0 имеет линейно независимые решения
ю	х2Я + 1
У1 (*) =	= 0 C2feWT ’	= 2-1* = о Сп+1 (2Й4-1) ! ’
где с0 = ct = 1, с2 = с3 — а и
g*+2 = «gft+-^‘-Сй-2, k = 2, 3, ....
Решение. Подставив г/Дх) в данное уравнение и потре-
бовав, чтобы оно тождественно удовлетворялось, получим урав-
нения'для определения ск.
V” 2й(2й—1)с2йЛ—— (а + 4-)У°° cik-^-- = Q,
Х«<*=2 v ' 2Й (2k) !	\	' 4 J J-4k-=0 ' (2k) !	’
(2k+-2) (2fe+l)	a	1	„
(2k + 2)l	С2Й+2 (2k)lC2k 4-(2(k— 1)) !C2^-2 U’
, (2k — l)2fe
или c2ft+2 = ac2ft-p-Y~C2k_i.
Если коэффициенты c2k удовлетворяют указанному в задаче
условию, то УтХх) является решением уравнения Вебера. Под-
ставив у2(х) в уравнение и потребовав, чтобы оно тождественно
выполнялось, получим уравнение для определения c2ft+1:
(а + -4-)	с2й+1 (2Й+1)! =0>
(2k + 3)(2k + 2)	__ а	,1
(2fe4-3)!	C2ft+S~ (26-Н)!С2*+1 + 4(2/г—1)!С2*-*
ИЛИ
Если c2fe+t удовлетворяют указанному в условии задачи
соотношению, то у2(х) также является решением уравнения
Вебера. Очевидно, у±(х) и у2(х) линейно.независимые, поскольку
разложение г/г(х) в степенной ряд начинается с 1, а разложение
у2 (х) в степенной ряд начинается с х.
3.10.	Решить уравнение у"—2ху' + 2ту = 0, где т—целое
неотрицательное число.
Решение. Коэффициенты —2х, 2т являются аналити-
ческими функциями при всех х, так что все решения этого
уравнения аналитические при всех х. Ищем решение в виде
степенного ряда!
y = 2"=ocfcxft.
Подставив этот ряд в уравнение, имеем
S”=2 k \k—1) с^—2х 2”= 1 kc^-i + 2т	= 0.
228
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, при-
ходим к рекуррентной системе уравнений для определения ch:
__________________ 2(m — k)	ь n 1 9
cft+2 — (fe4-l)(^ + 2)^’ « —и,
Положим Cj’^0, тогда все коэффициенты ck с нечетными номе-
рами обратятся в нуль: c2ft+1 = 0, а для коэффициентов с чет-
ными номерами получим
е _ 2т г .. 2 (т-2)	_ 2(т-2п + 2)
2	J.2 > Ч 3.4	• • • > 1-20— (2п— 1)2/1 С2»-2> • • •
Перемножив выписанные соотношения, находим
_ 2пт(т — 2) ... (т —2/г-|-2)
(2й)! :	f°’
следовательно,
,, /г\_г V” 2*m(m-2)...(m-2fc + 2) 2ft
y^x!-co	(W ~x •
Отметим, что если m—четное число (m = 2p), то все коэф-
фициенты с номерами 2k > 2р обращаются в нуль и решение
г/х (х) является многочленом:
г/i W-c0 ^=0
2^р(р-1) ... (p-fe + 1) y2ft
(2Л)!
Этот многочлен лишь постоянным множителем отличается
от многочлена Эрмита:
Нт (х) = (-1)»ex* (е-2) = (2х)“-^р^ (2ху-^
। m(m-l)(m —2)(т—3)^^ш_4 ,
Последний член в этом соотношении при т = 2р равен
(—1 )р -2р)~, поэтому если в z/4(x) положить с0 равным этому
числу, то получим, что у1(х) = Н2р(х). Чтобы найти второе
решение исходного уравнения, линейно независимое с уДх),
положим с0 — 0. Тогда все коэффициенты с четными номерами
обратятся в нуль: с2„ = 0, а для коэффициентов с нечетными
номерами получим рекуррентную систему уравнений
2(т — 2п-^-1)	. о
C^+i 2n(2n4-l) C^~i<	П-1,2, ....
Отсюда
2(m-l)	22(m-l)(m-3) •	_
сз----2^3	11	5—	2-3-4-5 ъ	—
2" (m —1) (m —3) ... (m—2n+l)^
— '	(2n+l)l	C1’
Л («-) = V+2-и-"<,,.-зь,);(»-ч+1|.,,..>.
229
Все решения исходного уравнения имеют вид у = у^(х}-£
+ у2(х), где в выражениях для у1{х) КУг(х) постоянные Со и Ct
принимают любые значения. Если т—нечетное число (т=2р-|-1),
то у2 (х) становится многочленом:
/ \	(	1 22-Р з ,	—1) . ,	,
Уг(х)=С1 (х + -—---------------txs+
2^р(р~1).,.2.1	\
.	(2р+1)! Х J*
-	, ,._2(2р4-1)!
Если положить Ci — (—1)Р-	, то получим, что этот мно-
гочлен совпадает с многочленом Эрмита H2p+i(x), т. е. у2(х)~
— H2p+t(x). Окончательно находим
,, _ £( 1 4- V "	2^т(т~2) ... (т^2&+2) Л
+2-а=1	(2k)\	х J +
, г f г !_ V ”	Ц (W~3) ‘  • (т~~2/г+ 1) „2* +1А
+ V + 2-1*= 1	(2Й+ 1)!	Х J •
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
3.11. Найти решение уравнения ху"-\-у = §, удовлетворяю-
щее условиям г/(0) = 0, у'(0) = 1.
Решение. Определяющее уравнение для данного уравне-
ния есть Х(А.—1) = 0. Отсюда %i = 0, Х2 = 1. Таким образом,
исходное уравнение имеет решения в виде степенного ряда.
Если среди таких решений существует решение, удовлетворяющее
указанным в условии задачи условиям, то оно представляется
рядом
У — 2*=i ckxf!>
причем Ci = 1.
Подставляя этот ряд в уравнение, получим
S*=2 fe(fe-l)c^-X + 2”=l^ = 0.
Отсюда 2-1-с2 + С1 = 0, 3-2-с3 + с2 = 0, ..., (k+ l)kck+i-\-ck ~=а
= 0, ..., или, учитывая, что сх = 1, находим
1 _ 1 _ (—1)«
с2—	J.2, сз —2!.3!» •••» ck+i~	•
Поэтому искомое решение выражается формулой
/ X2 . X3	.	(—1)6~ях* .	\ __
Vх- 11’21 ' 2!-3!	•••+ (й— 1)J Jfe! ‘ •••J —
_ V ”	хк
3.12. Решить уравнение 2x2z/"+(3x—2х2)у' —	0.
Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой
данного уравнения. Составляем определяющее уравнение:
2% (X—l)-f-3X—1=0. Его корни Xj = l/2 и %2 =—1. Решение
исходного уравнения, соответствующее корню А.='%х, ищем
230
в виде
Fi -	2л=о скх\ с0 #= О, я > О.
Тогда
=LLo (k+4)	&=EL (* + 4) (k - 4) c*xk~a/i-
Подставив У1(х), yi(x) и у’((х) в исходное уравнение, имеем
2х? ХГ=о (fe2—4) ckXk-’h+(3%—2х2)ЕГ=о (А+4) с^",/2—
— (X + 1 )2г=о CkXk+= О
(26 + 3) с^+^-2^0 2 (k + 1) ckxk^ = 0.
Отсюда, сократив на х^\ получим
2^о6 (2k + 3) с^-2?=о 2 (k + 1) скх^ = 0.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем
уравнения для определения cki
k(2k + 3)ск = 2кск_1, k =1, 2, ...
Положив с0 = 1, находим
с —_________________ /г — 1 2
5-7-9 ... (2& + 3) ’	’ ’ .
Таким образом,
У1 (х) = х'1* ( 1 +	t 5.7.9 ^/(2Л+3) )•
Соответствующее корню X = Х2 решение исходного уравнения
ищем в виде
^w=4eLo^s-
Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим 2 (k—1)Х
х (k — 2)cft + 3(6 — l)cft — 2(k — 2)ck_i — ck_t — ck = Q или
k(2k—3)ck = (2k—3)ck^i, k=\, 2, ... . Положив c0 = 1, на-
ходим
Ci — 1, c2 — 21 , c3 — 31.. — A1 , . . .,
t. e.
/ ,	1 f < , „ . x” .	, x* ,	\
JiW = 7^+Jf+ 2f+ •••+лГ+ V*
Общее решение исходного уравнения запишем в виде у =
е= С3уг (х) 4- Сгуг (х), где Q и С2—произвольные постоянные.
231
§ 17.	ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется
уравнение
х(х—1) у" + \— т+(«+Р+1) х] / + а,6у = 0,
где а, Р, у—действительные числа.
Точки х = 0 и х= 1 являются особыми точками уравнения. В окрест-
ности точки х=0 уравнение можно записать в виде
[7(а + р+1)х]2ХоХ* , а₽2Г=о^+1 п
Определяющее уравнение, соответствующее точке х = 0, имеет вид
X (X—1) + уХ = 0. Его корни Хх = О, Х2=1—у. Если у не является целым
неположительным числом, то можно найти два линейно независимых
решения гипергеометрического уравнения в виде обобщенных степенных
рядов, сходящихся при |х| < 1).
3.13.	Найти решение гипергеометрического уравнения
х (х— 1) у” + [— у + (а + Р + 1) х] у' + а|3(/ = 0
при | х | < 1 в случае, если у не является целым неположи-
тельным числом.
Решение. Как отмечено выше, корнями определяющего
уравнения являются ^ = 0, Х3 = 1—у. Корню Хх = 0 соответ-
ствует решение
У1(х) = ckxk-
Подставив это выражение в данное уравнение, имеем
х(х— \Y£jUk(k — \)ckxk~2 + [— у+ (« + ₽+ 1)х)]х
х 2?=1 kc^-1 + czP^toQx* = °-
Приравнивая коэффициенты при степенях х к нулю, полу-
чаем уравнения для определения ск:
k(k— l)cft—(k+ V)kck+1—y(k + l)cft+1 + (a+P+l)fcft+a|3cft=0,
_fe(fe_l) + ^(a + p + l) + ap	_ (a + *)(p + ftr
ll+1	(/г+1)(£ + у)	(fe+i)(y + fe)^
k = 0, 1,2......
Положив c0 = 1, последовательно находим
a₽ _a(a+l)P(P+l)	a(a-p 1) (a + 2) ft (3 + 1)(3 + 2)
1 Y’ 2	2!y(y + l) ’ Сз	3!y(y+l) (y + 2)	’
_ «(a+l) ... (q+fe-l)p(p + l)(p+2) ... (3 + fe-l)
&!y (У+1) (y + 2) ... (y-H—1)
Искомое решение yt (x) запишется в виде
Ух(х) = 1 +
, V ”	a(a+l)(a+2) ... («+fe-l)p(3+l)(B + 2) ... (P + fe-l) k
^2^=1	fe!y(y+l)(y + 2) ... (y + fe-l)
Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, называется
гипергеометрическим рядом. Этот ряд сходится при | х | < 1,
232
а его сумма называется гипергеометрической функцией и обоз-
начается через F(a, (3, у, х), т. е.
F (а, р, у, х) = 1 +
I у "	а (а + 1) (а+ 2) ... (a J fe — 1) р ([3 —}- 1) (р 2) ... (Р +& — 1)
”ГХй/;=1	Y (Y + 1) (Y + 2) ... (y + k— 1)
Второе решение исходного уравнения, линейно независимое
с У1(Л'), можно найти в виде
z/2 (х) = х1 2/7=о скх*.
Но можно это сделать и так. В исходном уравнении сделаем
замену искомой функции по формуле у = х1~'*’г. Тогда
у' = x1~tz' + (1 —y)x-vz,
у" = x1~vz" + 2 (1 —у) х~^г'—у (1 —-у) х-ч-^-г.
Подставив выражения для у, у' и у" в исходное уравнение
и сократив на х1-7, получим
х (х— 1) г" + {— (2—у) + [1 + (a + 1 у) + (Р + 1 — у)] х} г' +
+ (a + 1 —у) (Р + 1 —у) z = 0,
т. е. гипергеометрическое уравнение, параметрами которого
являются числа а+1—у, р+1—у, 2 — у. Частное решение
полученного уравнения существует в виде гипергеометрического
ряда z = F(a+l—у, Р+1—у, [2—у, х). Таким образом,
у2 (х) =x1-vF(a 1—у, р +1—у, 2 — у, х). Итак, если v не
является целым числом, то все решения гипергеометрического
ряда при | х | < 1 выражаются формулой
z/ = C1F(a, р, у, x) + C2x!-vF(a+1—у, р + 1 — у, 2—у, х),
где и С2—-произвольные постоянные, F(a, Р, у, х) — гипер-
геометрическая функция.
Отметим, что если выражение х1~т не определено при х < 0,
то предыдущее утверждение справедливо только при 0 < х < 1.
Следовательно,
y = C1F(a, р, у, х)+ C2xI-vF(a+1—у, Р+1—у, 2—у, х).
3.14.	Найти два линейно независимых решения гипергеомет-
рического уравнения в окрестности точки х=1 в предполо-
жении, что а + Р+1—у не является целым неположительным
числом.
Решение. Замена независимой переменной х=1 — t пере-
водит точку х = 1 в точку t = 0, а гипергеометрическое урав-
нение—в уравнение
-^(1-05~[-у + (а + ₽+1)(1-0]# + «РУ = 0,
которое перепишем в виде
^(^-l)F" + [-(a + ₽ + l-Y) + (a + P+1)n/ + «PF = O.
233
Это гипергеометрическое уравнение с параметрами а, Р и
а + р+1—у. По условию, а-Ьр+1— у не является целым
неположительным числом, поэтому линейно независимыми реше-
ниями преобразованного уравнения в окрестности особой точки
t = 0 служат такие функции (см. решение предыдущей задачи):
= Р> а + Р+1—Т, 0>
у2(0 = ^-а_р^(т—Р» V—«, у+1—«—Р> О*
Следовательно, линейно независимые решения исходного гипер-
геометрического уравнения в окрестности точки х = 1 имеют вид
z/i(x) = F(a, Р, а + Р+1—у, 1— х),
//2,(х) = (1—x)v-“-₽F(y— р, у—а, у1 — а—р, 1—х).
3.15.	Гипергеометрическая функция зависит от трех пара-
метров а, р и у, и при частных их значениях из нее можно
получить много элементарных функций.
Доказать, что при | х | < 1:
1)	F(l, р, р, х)=~; 2) ln(l+x) = xF(l, 1, 2, —х);
3) F(a, р, а, х) = (1-х)-₽; 4) ln = 2xF (1, 1, |.
Решение. 1) Имеем:
1) F(l, р, р, х) =
_ , , V «	1-2-З...^Р(р+1)(р + 2)... (р + й-1) к _
+	wp(|3 + D(p+2)(р-Н-1) х -
= i+x+x2+...+xft+... = i^;
ч 1,2, -*)-x+s;„
=х-^+4-4+-„+(^'Г‘**+„-=1п<1+*>;
3) F(cc, р, a, х)=1+|х +^±^ + ...+
+ Р(Р+1)..ЛР+^-1) ^+... =(1_Х)-Р;
4) 2xF(4- 1-4- *2) =
234
4)	При |х|<1 получим
1п1±^=1п(1+х)-1п(1-х) = х-4 + -^-/..'
т. е. действительно
1—х	\ 2 ’ ’ 2 ’	/
3.16.	Доказать, что при любом натуральном k справедливо
равенство
~^[хУ+к~1(х—l)“+0-v+£ F<*> (а, Р, у, %)] = (—1)йа(а4-1)
... (а+fc—1)Р(р+1) ... (Р + /г—l)xv-i(x— 1)“+₽-?х
xF(a, р, у, х),
где
F(W(a, Р, у, x) = -J^-F(a, р, у, х).
Решение. Запишем гипергеометрическое уравнение в са-
мосопряженном виде:
ГхДх—i)a+3-v+i	_j_apx?-i —1)“+0-?у == 0.	(1)
Дифференцируя n раз функцию F (a, p, у, x), получаем
F<"’(a, p a(a+l)..:(^+n-l)P(H-l)._;.(P+n-l)x
Л ’ 1 ’ r’ ’	у (v+O-.•(?+«-1)
ХР(афп, P + n, y + n, x),
t. e. n-я производная от гипергеометрической функции с пара-
метрами а, р, у лишь постоянным множителем отличается от
гипергеометрической функции с параметрами аф-/г, Р + «, у + «.
Таким образом, функция FM (а, р, у, х) удовлетворяет урав-
нению (1), если в нем заменить а, р, у соответственно на а-|-«9
р -ф п и у + п, т. е.
^[х?+п(х—l)a+P+1~v+" —Р’ У’ х).j +(a + n)(p_j_n)x
xxv~1+n(x—l)«+₽-v+«P">(a, p, у, x) = Q.
Дифференцируя это тождество п раз, получим новое тож-
дество:
^n+1 Гxv+n(x_l)a+p+i-V+n ^(п) Р» V’ 1 —
dx"+1L '	dx J
e=—(a + n)(PH-n)^(xv-i+«(x— l)«+P-v+«F<">(a, p, y, x)).
235
Запишем последнее тождество для значений п —О, 1, 2,
k—1 и почленно перемножим полученные равенства. Обе части
полученного соотношения содержат одинаковые множители, и
после сокращений придем к искомому тождеству
^_(x?+*-i(x—1 )«+₽-?+*(а, р, у, х)) = (—1)Аа(а+1)...
... (а-|-£—1)р(|34-1).. .(Р4~£— 1)х^-1(х— l)“+P-vF(а, Р, у, х),
справедливому при любом натуральном k.
3.17.	Полиномами Лежандра называются функции рп(х),
определяемые следующим выражением:
1 Ап
/’«W—
Каждая из этих функций является решением уравнения Ле-
жандра (1—х2) у"—2хр'+ п (пф-1) z/ = 0, где п — натуральное
число. Убедиться, что полиномы Лежандра можно получить
из гипергеометрической функции при соответствующем значе-
нии ее параметров.
Решение. Покажем, что уравнение Лежандра сводится
к гипергеометрическому уравнению. Для этого положим
х = 1 —2t. Тогда
, _ 1 —‘ х dy _	1 dy d2y _ 1 d-у
dx ~ 2 dt ’
Подставляя эти выражения в уравнение Лежандра, имеем
1(1-(1-2/)2)^ + (1-2/)4+п(«+1)р = 0)
или
/(/-1)$ + (-1+2/)-^-п(и+1)у = 0,
т. е. получили гипергеометрическое уравнение с параметрами
а = п+1, Р = — п, у = 1. Одно из решений этого уравнения
есть гипергеометрическая функция у± — F(n-}~ 1, —п, 1, t).
Таким образом, одним из решений исходного уравнения
Лежандра является функция p1(x) = F^n+1, —п, 1, -у-) •
Покажем, что F^n+K —и, 1, ^^—рп(х). В самом деле,
F(n + 1, —п, 1, t) представляет собой многочлен степени п от t
с коэффициентом при tn, равным
(n-|- 1) (п -]-2)., ,2п (— п) (— п Ц- 1)... (—1) , , 2п!
п! -2.. .п	'	' (п!)2 ‘
Полагая в доказанном в предыдущей задаче тождестве а = п + 1,
Р = — п, у=1, имеем
F<«>(n+1, -п, 1,
236
после сокращения получим
F(n+1,
или
F (И+1, ~П’ 11 ~2~ ) =	’ dx" t*2--1)"’
т. е. полиномы Лежандра рп(х)—это частный случай гипергео-
метрической функции при значении ее параметров а = н+1,
1 — X
|3 = — п, у=1, если в последней заменить х на —— .
Так, например, при п=1, 2, 3, 4 непосредственно убеж-
даемся, что
P1(x) = F(2, -1, 1,
р2(г) = т(з, —2, 1, h=^U|(3x2-l),
p3(x) = F(4 -3, 1, Ь^)=1(5х3-3х),
Pi(x) = F(5, -4, 1, 1^^=1(35%4-30х2 + 3).
3.18.	Доказать, что полиномы Лежандра ортогональны на
промежутке (—1, 1), т. е.
JLi Р,ЛХ) pn(x)dx = 0 при т.=£п.
Решение. Полиномы Лежандра рт(х) и Рп W Удовлетво-
ряют тождествам
A[(i_%2)^W]+m(m4-i)Pra(%) = 0,
^[(1-л;2)Ёчг1]+?г(«+1)р„М = о.
Умножая первое из этих равенств на рп(х), второе—на рт(х),
вычитая почленно и интегрируя на промежутке (—1, 1), по-
лучим
\т (т + 1)—п (п + 1)] j _ j рт (х) рп (х) dx =
= У-, {p-^z [(> —От] ~р- «Е-l о -*’> тг]}
Интегрируя слагаемые правой части этого равенства по
частям, находим
Г
= (1 — x^p	__f1 (1—	,dpFPdx =
= — Г (1—X2)^-^-^«dX,
J -1 '	' dx dx ’
237
j1., p. «s [о -*)	*=(i -x’) p. w	, -
- f, о -*) “У У =Ч- (1
Таким образом,
(m(m+l)—n(n-P 1)) J^pm(x)p„(x)dx = 0,
ИЛИ 5 11 Pm (*) Pn (x) = 0. TaK KaK m =4 n.
3.19.	Доказать, что полиномы Лежандра рп(х) обладают
свойством р„(—х) = (—1)п рп(х).
Решение. Представим многочлен р„(х) в виде
Рп (-0 = 2"я!	1)" = Fn! dx^X~ (* + ^rt=a
=2iE:=oc«S(—
=mEj-=0C"(,-4)I	4"	0" "
Отсюда имеем
p. v)=(-1(4T' 	(ЧУ -
=<-‘)"Е’.0(сгу (i+i)-'-'’.
Из представления
следует, что p„(l) = l, a pn (—1) = (—l)n.
3.20.	Найти решение уравнения Лежандра (1 —х2) у1'—2ху'-}-
+ бу ~ 0, удовлетворяющее условиям у (0) = 0, у' (0) =—2.
Решение. Одним из решений данного уравнения является
полином Лежандра р2 (х) = у (Зх2—1) (см. решение задачи 3.17),
поэтому функции Ср2 (х) при любом С представляют собой ре-
шения уравнения, но ни одно из этих решений не удовлетво-
ряет указанным в задаче условиям. Поскольку точка х = 0
является обыкновенной для уравнения Лежандра, искомое
решение ищем в виде степенного ряда по х. Учитывая началь-
ные условия, полагаем
у = — 2х + 2“= 2 с^.
238
Подставив это выражение в исходное уравнение, имеем
4-6 (—2x + 2”=2Qx:ft) =0.
Отсюда получаем уравнения для определения cki
с2 = 0, (^+2)(&4-l)cft+2 = (^+3)(&-2)cft, fe = I,2, ...,Ci = — 2.
Из этих уравнений находим
с — Q с „ _ (2т Ц-2) (2 m —3)	— « 9
<-2И —и, с-2/n+i—	(2m-f-l)-2m,	•••>
т. е.
С2т+1	2 [гт—1	2m+J’	°’1’2»*-
Таким образом, искомое решение выражается формулой
00 I Г~ 3	II ,
У ~Sm=о~2 [2m—1 “‘2пг+1 ] Х
Нетрудно убедиться, что у можно представить в виде
3	. 1/0 2	1 \ X ** 33	Я2/я—
Найденное решение
!/ = & (х)==^-(3х2—1)1п|^--
называется функцией Лежандра второго рода.
3.21.	Решить уравнение х(х—V) у"—ху'-\-у = О.
Решение. Это частный случай гипергеометрического урав-
нения: а = р = —1, у = 0. Корни определяющего уравнения
в данном случае таковы: —О и Я,2 = 1—у = 1. Одно решение
(с точностью до постоянного множителя) данного уравнения
можно найти в виде степенного ряда.
Нетрудно заметить, что этим решением является х — у1(х).
Так как %2——целое число, то линейно независимое с г/Дх)
решение в виде степенного ряда может и не существовать. Для
отыскания у2(х) воспользуемся формулой Лиувилля—Остро-
градского:
01W #2 (*) —.гЛ pWdx
У1{х) у2(х)	•
или, положив С = 1, имеем
,	•	- Г р (х) dx
УГ(Х) t/2 (X) —у2 (Х) У1 (х) е >
Vi (х)
У1(х)
239
откуда у2 (х) = г/i (х) \-2---dx. В данном случае уг(х) = х,
d yi (х)
. . 1
Р (х) —	> поэтому
f* г
16	1 Х	/ J
у2 (x) = xj ——dx = x I —-—In ] x j) = — 1 —xln I x |.
Следовательно, найдены два линейно независимых решения
данного уравнения, значит, все решения данного уравнения
запишем в виде у = С1х + С2 (1 4-х In [), где и Са—произ-
вольные постоянные.
Отметим, что из последней формулы можно получить все
решения не только в промежутке (0; 1), но и при х < 0 и х > 1.
3.22.	Решить уравнение хг/' + (?—х)у'— ау = 0.
Решение. Это вырожденное гипергеометрическое уравне-
ние, которое на конечном промежутке имеет одну особую точку
х = 0. Решение данного уравнения ищем в виде обобщенного
ряда:
У = %к=оСкхк+\ со=#О.
Подставив этот ряд в уравнение и приравняв нулю коэф-
фициенты при одинаковых степенях х, получим уравнения для
определения ск:
[А,(Л—1)4-уА.]со = О, ск+1 (V+X4ft) (!4Х4й)
k = 0, 1, 2, ... .
Так как сй=4=0, то % (Л—1 +?) = 0, т. е. Xj = O, 4, = 1—у.
При Х = 0, положив са — 1, получаем
а	а(а4-1)	„	а(аф1)...(а-|-4—1)
С2~2!7(?+1), •••> сй-й!7(?+1)...(? + й_1) > ••••
Поэтому
tt(a+l)...(a+<i-l) к
• • • й!у (y + l)...(v4fe—1)	‘
Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, назы-
вается вырожденным гипергеометрическим рядом, а его сумма
F(a, у, х) = 1+^=1
а(а+1)...(а+й—1) й
й!у (у+1)...(у4й —1)х
— вырожденной гипергеометрической функцией (или функцией
Куммера).
Если в уравнения для определения ск подставим Х2 = 1—у,
то при условии, что у не является целым неположительным
240
числом, найдем второе, линейно независимое с у±(х) решение:
у2(х) = х1~?Р(а—уЧ-1; 2 — у; х).
Поэтому если у =0=0, —1, —2, .... то все решения исход-
ного уравнения запишем в виде
z/ = CxF(a, у, х) + C.2xl~vF(a—у + 1, 2—у, х).
Отметим частный случай вырожденного гипергеометрического
уравнения
ху" + (1—х)у' + пу = 0 (у = 1, а = —п).
В этом случае функция Куммера является многочленом сте-
пени п и лишь постоянным множителем п\ отличается от по-
линома Лагерра:
Ln(x) =е^(хпе-Ч = (п!)2Уп (—1 )*/мй
'	dx'1'-	'	' ' X-^ik^o ' (я!)2 (я— /<):
— п\ F(—п, 1, х).
Оставляя доказательство в качестве самостоятельного упраж-
нения, укажем рекуррентные формулы для полиномов Лагерра:
^n+i(x) = (2n+ 1 — х) L„(x)—n2Ln_1(x),
^Ln+1(x) = (n+l)[^L„(x)-Lrt(x)].
§ 18. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
3.23. Решить уравнение Бесселя хгу" -J- ху' ф- (х2—v2) z/ = 0
в предположении, что v не является целым числом.
Решение. Поскольку уравнение не изменяется при замене
в нем х на —х, достаточно рассмотреть неотрицательные зна-
чения х. Единственная особая точка х = 0. Определяющее
уравнение, соответствующее этой точке, есть % (%—1) + %—v2=0,
I2—v2 = 0. Если v=t^0, то определяющее уравнение имеет два
корня: Zx = v и А, =— v. Найдем решение данного уравнения
в виде обобщенного степенного ряда
У = '21к = оСкхк+\ со^=О.
Так как
У' = 2Г=о (k + К) скхк 1, у" = (А + k) (X + k-1) ckxk^~\
то, подставив у, у' и у” в исходное уравнение, получим
Xх 2”= о + k) (X + k — 1) скхк + ХХ 2”= о + k) СкХк 4-
+ Xх 2”=0 СкХк+^ — ХК 2"=0 V2CftXS = 0.
Отсюда, сокращая на х\ имеем
2*₽ о № + k) + k-1) + + k—V2] скх* + 2^о скхм = 0,
241
или
S”= о [(% + kf - v*] скхь + 2Г= о	= 0.
Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты
должны удовлетворять уравнениям
(V—v2)co = O, [(Х + 1)2—v2] Ci = О,
[(X + £)2-v2]ca + ca_2 = 0, k = 2, 3.......
Найдем решение, соответствующее корню определяющего урав-
нения % = v. Подставив в последние равенства X = v, видим,
что в качестве с0 можно взять любое число, отличное от нуля,
число С! = 0, а для k = 2, 3, ... имеем
г _ ___ Cfe-2
fe(2v + *) *
Отсюда c2m+I = 0 при всех m = 0, 1, 2, ...,
Cq	Cq	__
С2 = ~ 2M-(v + 0 ’ Ci 24-2! (уф 1) (v-J-2) ’ * ’ *’ C*k ~~
~	1 22*-/г! (v-ф!) (V-[-2)...(v-|-fe) •
Таким образом, найдены все коэффициенты ск, значит,
Hi (x) —	= 0 (—1 )* 22*.fe! (v + i)(v°+2)...(v+^)x*k+v-
Нетрудно убедиться (например, используя признак Даламбера),
что этот ряд равномерно сходится на любом конечном проме-
жутке [0; я], следовательно, щ(х) является решением уравне-
ния Бесселя при любом с0. Удобно в качестве с0 взять число
1
°--2v-r(v-f-l) ’
где Г (а)— известная гамма-функция, Г (а) = J” xa~Je~xdx,
а > 0. Учитывая, что Г (v-ф 1) = vT (v), представим уДх) в виде
и(х\~\'а= (__________________cq-2v________
—	' k\ (уф1)(уф2).;.(уфй) \ 2 J
₽=У“ /_п*__________________
X-iA=0K 7 2v-£! Г (v-ф l)-(v-|- l)(v-f-2) (v + й) \ 2 /
— V® {________________________1	(x№+v
' k\F(v^-k+i) \2 J
Функция
7V W = 22”=0( — 1 )*fc!r(v + *+l) ()
называется функцией Бесселя первого рода v-ao порядка.
•242
Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно неза-
висимое с ищем в виде
&(x) = S“=o<V*~v.
Уравнения для определения ск при % = — v имеют вид
(v?—v2)co = O, (1 — 2v)c1 = 0, .... [(—• v + fe)2—v2]cft4-cfc_2 = 0.
Полагая са^=0, Ci = 0, находим
c2fe+i = 0, с2к = —	•
По условию v не является целым числом, так что все коэффи-
циенты ск с четными номерами однозначно выражаются через с0:
C-2k (	1)Й22А,/г! (—v-]-i)(—v + 2),,, (—v + й) '
Таким образом,
х^-\
УзС*) —2пг=о(	-У-НН—v-f-2),,, (— v+k)
Полагая с0 = 2—г < 1—пРеДстаВим Б вВДе
/ \	00	/	1\&	1	( X \ 2A-V
Уъ(х) —	) й!Г(—V-H+!) V 2 J
Функция
•^-v (*) =	= О 1 fe! Г(—v-j-fe-j-1) (?)
I
называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным
индексом.
Таким образом, если v не является целым числом, то все
решения исходного уравнения Бесселя являются линейными
комбинациями функции Бесселя Jv(x) и	у — С^^(х)-\-
+ C2J_v(x).
3.24.	Решить уравнение у"—т^а^У = О°
Решение. Запишем уравнение в виде х2у" + хуг +
4- ^х2—Д)у = 0. Данное уравнение является уравнением Бес-
селя (v = l/3). Поэтому общее его решение есть у = С171/з(х)+
4~ C2/-i/s (х).
3.25,	Решить уравнение х2у" + ху* + (4х?—=
Решение. Положим 2x — t. Тогда
d~>v =? 1 d2ff
dx dt с	di'i
и уравнение преобразуется в уравнение Бесселя:
/2 I t _1_ / /2___________________у _ о
243
Отсюда
У — CjJ	(/) + С2 J - !/2 (/), У — CjJ 1/2 (2х) -р С2 J _ 1/2 (2х).
3.26.	Доказать, что если v—целое число, то Т_„(х) =
= (-1)Ч,(х).
Решение. Так как Г(—п + ^+1) обращается в беско-
нечность при /г = 0, 1., ..., п — 1, то
.	, . у» ( 1 \ 2 J у»	( 1 \2 )
J-nW — Z^k=0 klY + ^k=n г(*+1)-Г(—rt-H+1) ’
Полагая в последней сумме k~n-\-tn, получим
j 1 Y\ _ V00	l)	( —
J-nW~Z^m=o Г(от+1)Г(«+»+1) \ 2
3.27.	Доказать, что для произвольного v справедливы
равенства
37 (xvJv (х)) = xvJv^ (х),	(x~vJv (х)) = — х~vJV+1 (х).
Решение. Имеем
d , v j , .. _ d уч м ____(— l)ftx2fe+2V__
dx (x v(X))—dx 2^k=o 22ЬТ(Н1)Г(НН1) ~
= y 00	2 (fe + v) (— 1)^^^2V-1
— 2-i*=o 22* + vr (fe+l) r(v-{-k) (v-pfe)
=	(-l)W^2^^	_ y
2vT2fc-ir Г (V_pfe) v IV. p
Вторая формула доказывается аналогично.
3.28.	Доказать, что
^v-1	*^v+l (•*") = 2/v (х), j(х) Jv+i (х) = —— Jv (х).
Решение. Запишем соотношения, установленные в преды-
дущей задаче:
VXv-1/v (х) + Xv Jy (х) = XVJV_! (х),
— VX-v-1 Jv (х) + x~v J'v (x) = — xv Jv+1 (x).
Умножим обе части первого из этих равенств на x~v, а обе
части второго равенства —на xv:
d V (-^) гЬ JV (^) — *Д’-1 (-^), Jv (•'') Jv (.Х) — *Д>+1 (^-)-
Отсюда, складывая и вычитая почленно полученные равенства,
имеем
Тv_i (х) Jv+i (-^) = 2/v (х), J'v-i (х) Jv+i (-^) — Jv
244
Эти соотношения называются рекуррентными формулами для
функций Бесселя. Первое из них позволяет выразить производ-
ную от функции Бесселя через функции Бесселя, а второе —
найти функцию Бесселя порядка v-ф 1, если известны функции
порядков v и v — 1.
3.29.	Найти функции Бесселя J-i/2(x), J1/2(x), A/aW.
Решение. Имеем
Согласно определению гамма-функции,
Т, / 3 \	1 р, / 1 \	1 (*» _х dx	/г ,,
Следовательно, J1/2 = j/'ysinx,
X2 X4
1-2 ' "4?
J —1/2 (х).
В предыдущей задаче доказано соотношение
Jv-i (х) -ф ^v+Г (•’О = ~ Jv (•'-)•
Полагая v = 1/2, находим
24	1
A/aW-—^i/2 (х) ^_1/2W —у J/
COSX.
— sinx—
ЛХ
COS X =
sin x
--------COS X
X
3.30.	Решить уравнение х-у" -ф ху' -ф4 (х4—2)z/ = 0.
Решение. Положим х2 = /. Тогда
Ф/. _ dy 9	<^у_ _ <Ру_ , 2 , 9 dy_ _ ., d?y_ _ dy
dt~dt ’ dx^ dti r dt ~ di^Z dt •
Подставив эти выражения в исходное уравнение, имеем
4/2ё- + 2^ + 2/^ + 4^-2)У = 0’
или	+ —2)у = 0. Это уравнение Бесселя с пара-
метром v = K 2. Его решения у = CJv-(t)-\-C2J Таким
245
образом, решения исходного уравнения есть z/ = C1Jv-(x2) 4-
+C2J_v-(x2).
3.31.	Доказать, что функция
V U tr J у
является решением уравнения Бесселя.
Решение. Вычислим первую производную функции 7(х)з
Г(х) = Jy(x) С*—+ Jv(x) —?— = —— ( Jy(x) / (х) +—\
v k ’Jo tJ^t) v ' xJy(x) Jy(x)A v ’ X )
Отсюда Jv(x)I' (x} = I'v{x)J + . Дифференцируя это ра-
венство, имеем
Jv (х) Г (х) + J'v (х) Г (х) = Г (х) Jv (х) + Jy (х) Г (х) —±.
Л'
Из полученных равенств, учитывая, что
к w+p;w+ (i-5) Jv=o,
находим
Jv (X) [г(х) + 4 Г (X) + (1 -5) I(X)] =
= - j;(x) Г (X) + (1 -5) Jv W Цх) + 4 J'v (X) Z(x) + ± 4-
+/(х) [-4 ^w-(i-5) ;vw]+Jv w/z w-5=°-
Отсюда /"(x) + 4/(x)+ (1—I (x) = 0, т. e. функция I (x)
удовлетворяет уравнению Бесселя.
3.32.	Решить уравнение xtf-\-у' + ху = 0.
Решение. Это частный случай уравнения Бесселя (v = 0).
Одним из его решений является функция Бесселя первого рода
нулевого порядка у± (х) — Jo (х). Как было отмечено в § 16, если
разность корней определяющего уравнения равна целому числу,
то второе решение, линейно независимое с z/Дх), надо искать
в виде суммы обобщенного степенного ряда и уг (х) In (х). В дан-
ном случае v—целое число; поэтому ищем р2(х) в виде
У> (х) = Jo (х) In х + ckxk.
Подставив г/2(х) в уравнение, имеем
х ( Jo (х) In х 4- 2Jо (х) — — J0	4- Jo In х 4- Jo (x)-£ 4*
+ xJ0 (x) In X 4- Sr= 2 k (k -1) CkX*-> + 2"=	4r
°-
246
Отсюда
2Г=о (* + 2) (k + l)cfe+2x^1 + 2?=o(^+l)cft+Ix*+
+ 2“=ocftxft+1 = -2JoW.
S“=l [(^ + 0 ^ck+i + (& + 1) ck+i 4-C*~i] ^* + ^1
_	„ d у ® (— l)ft / x y*
~	1 dx ^k=0 (*!)? \2/ ’
ЕГ=,№+1)-^1+^.]х' + с1-22Г=,4^У)!,’‘.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях k, х,
получим уравнения для определения ск\
<4 = 0, (2m+l)2c2ra+i + c2m-i = 0, m = l, 2, ....
4 (я? +1 )2 с2 (m+i) + c.lm =	22,д , m = 0, 1, 2, ....
Из этих уравнений, полагая с(, = 0, находим, что ск с нечет-
ными номерами, т. е. при k — 2m— 1, равны нулю, а при
k~2tn имеем
<-о 0, Г3 22 ’	23*42 \ ~Ь т
1	i 1 X 1
с« — 22.42-62 \1-'2'3j’
с —(_____П“+1--------!------fl । 2__i__L_l.	_l_!_ )
'	22-42,.,(2m)2 <	mJ’""
Таким образом,
к?»	^"г
У2 W = Л (х) Ь х +	! (— 1 )m+r 22,42-;"(2/в)а х2т-
§ 19.	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
В отличие от задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения в краевой задаче значение искомой функции (или значение
линейной комбинации функции и ее производной) задается не в одной,
а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется опре-
делить решение.
Чтобы решить краевую задачу
l(y)^a(x)y" + b{x)y' + c(x) y — f (х), a<,x<b,	(1)
аУ (а) + Ру' (а) = 0, у у (Ь) + бу' (б) = 0,	(2)
надо найти общее решение уравнения (1) и подобрать значения произ-
вольных постоянных, входящих в формулу общего решения, так, чтобы
удовлетворялись-краевые условия (2). В отличие от задачи Коши краевая
задача не всегда разрешима, а если разрешима, то не обязательно един-
ственным образом.
Функцией Грина краевой задачи (1), (2) называется функция G(x, s),
определенная при х£[а; 6], s£(a; b) и при каждом фиксированном
з£(а; Ь) обладающая свойствами:
1)	при х s функция G (х, s) удовлетворяет уравнению
а (х)у" + «> (х)у'-гс(х)у = 0;	(3)
247
2)	при х — а и х = & функция G (х, s) удовлетворяет краевым усло-
виям (2);
3)	при x=s функция G (х, s) непрерывна по х, а ее производная
по х терпит разрыв первого рода со скачком, равным \/а (х), т. е.
G(s + 0, s) = G(s—0, s), G*(s-)-0, s) — G'x(s—0, s)=l/a(s).	(4)
Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два
решения уу (х) и у2 (х) (отличные от у (х) = 0) уравнения (3), удовлетво-
ряющие соответственно первому и второму из краевых условий (2).
Если yi (х) не удовлетворяет одновременно обоим краевым условиям,
то функция Грина G (х, s) существует и ее можно искать в виде
G (х, s) = /	при a<X<S’	(5)
[ ф (s) у2 (х) при s<x<&,
где функции <р (s) и ф (s) подбираются так, чтобы функция (5) удовлет-
воряла условиям (4), т. е. чтобы
ф (s) у2 (s) = ф (s) yi (s), ф (s) уз (s) — ф (s) yi (s) = 1 /я (s).	(6)
Если найдена функция Грина G (х, s), то решение краевой задачи (1),
(2) выражается формулой
y(x)=^G(x, s)f(s)ds.	(7)
При решении линейных краевых задач часто бывает полезен сле-
дующий прием. Если дано линейное дифференциальное уравнение (1)
с двумя краевыми условиями,' наложенными на у(х), и ее производные
в двух точках х = а и х = Ь, то решение краевой задачи есть
У = Уо (х) + аи (х) +	(х),	(8)
где функции уо (х), и (х) и v (х) находятся соответственно из трех задач
Коши:
/(</) = Нх), У^=У' (а) = 0; /(у)=0, у(а) = 1, у' (а) = 0;
/(у) = 0,. у(а) = 0, у'(а)=1.	W
Подставляя заданные краевые условия в (8), получаем систему двух
уравнений для определения коэффициентов а и 0.
Собственным значением краевой задачи
а (х) У" + b W У' + с (*) У = ^У,	(Ю)
ау (а) + 0/ (а) = 0, уу (&) ф бу' (6) = 0	(11)
называется такое число Л —ф, при котором эта задача имеет нетриви-
альное решение у = ф(х). Это решение называется собственной функцией.
3.33.	Найти решение уравнения у" — у' = 0, удовлетворяю-
щее краевым условиям г/(0) = 3, у (1)—у' (1) = 1.
Решение. Все решения данного дифференциального урав-
нения выражаются формулой у = Су -ф С2ех, где Су, С2 —произ-
вольные постоянные. Подберем Су и С2 так, чтсбы удовлетво-
рялись заданные краевые условия, т. е. определим постоян-
ные Су и С2 из уравнений С14-С2 = 3, Су~\-С2-е—С2-е — 1.
Отсюда Су = 1, С2 = 2. Таким образом, решением краевой задачи
является функция у = 1 -ф 2ех.
3.34.	Найти решение уравнения г/"фг/ = О, удовлетворяющее
условиям у(0) = 0, у(а) = уй.
Решение. Общее решение данного дифференциального
уравнения имеет вид у — Су cos х -ф С2 sin х. Условие у(0) = 0
удовлетворяется при 6^ = 0, при этом # = C2sinx. Если а #= пл,
248
где п — целое число, то из второго граничного условия находим
у0 = С, sin а, С, =	.
2	*	2 sin а
Следовательно, в этом случае существует единственное реше-
ние данной краевой задачи: t/ = ^-sinx. Если а = пп, то из
второго краевого условия имеем С2 sin пп = уп. Отсюда, если
z/o = O, краевая задача имеет бесконечное множество реше-
ний: у = C2sinx, где С2 может принимать любые значения.
В случае, если а = пп, а у0^£>, указанным краевым усло-
виям не удовлетворяет ни одно решение данного дифферен-
циального уравнения, т. е. краевая задача решений не имеет.
3.35.	Найти решение уравнения х2у"— 2г/ = 0, удовлет-
воряющее краевым условиям: 1)	=	lim/(x)=0;
2)	lim у(х) = 0, t/'(l) = l.
х->0
Решение. Это уравнение Эйлера. Его решения ищем
в виде у = хк. Для определения k имеем уравнение k(k — 1) —
— 2 = 0, т. е. k± = — 1, k2 = 2. Поэтому все решения дифферен-
циального уравнения запишем в виде у = -+-}-С2х2. Выберем
и С2 так, чтобы удовлетворялись краевые условия.
1)	Из условия lim у' (х)=0 следует, что С2 = 0, поскольку
А'-^-оо
у' (х) =— ^- + С2х2, а из условия у(1) = 1 находим, что Сх = 1.
Таким образом, указанная краевая задача имеет решение
1
У = у
f С'	\
2)	Условие lim -А + С2х2 ) = 0 выполняется тогда, когда
С\ = 0. Из второго краевого условия находим С2: г/'(0 = 2С2 = 1,
С2 = 1/2. Поэтому решением краевой задачи является функ-
ция у = х2/2.
3.36.	Построить функцию Грина для краевой задачи у" —
— y = f(x), у(х) ограничено при всех х£(—оо, оо).
Решение. Общее решение уравнения у"—у = 0 есть у =
— С1е-х + С’2ех. Решение у1(х) = ех ограничено при х —> — оо,
а у2(х) = е~х ограничено при х—>-|-оо, поэтому функцию Грина
указанной краевой задачи ищем в виде
f <p(s)ex, —оо < х «С s,
G(x, «)4 , Д ,
v	Г тр(s)е х, s=Cx<-|-oo,
где функции ф(х) и определяем из условий
ф (s) e~s — <р (s) es, —ф($)е~'’ = ф(5)е54-1.
Отсюда q>(s) = — ^e~s> ty(s) —— ^eS‘ Таким образом, искомая
249
функция Грина данной краевой задачи!
G (х, s)=
__рХ- S
2 е
___L pS-X
2 е 1
— оо < х + 5,
S ^Х < + ОО.
3.37, Построить функцию Грина для краевой задачи у" =*
-/U), у{- 1) = у(1) = 0, -1<х<1.
Решение. Общее решение уравнения у"=0 есть г/ = С’14-
+ С2х. Условию у(—1) = 0 удовлетворяет, например, решение
f/j (х) = 1х, а второму краевому условию—решение у2(х) =
— 1 —х.
Функцию Грина для указанной краевой задачи ищем в виде
. f <P(s)(l+^), — 1<xsCs,
1ф(8)(1— Х), 5<Х<1,
где функции ср(х) и ф(х) определяются из условий
ф(з)(1—s) = <p(s)(l +s), —ф (s) — <р (s) = 1. Отсюда ср (s) —
= — Ц~> Ф(3 * 5) =—	• Таким образом, искомая функция
Грина имеет вид
6(х,
-1(1-S)(1 +х),
-1(1+S) (1-Х),
— 1 +х++,
$ + х + 1 .
Построив функцию Грина G(x, $), запишем решение данной
краевой задачи!
у= S-iG^’ s)f(s)ds=: —	0—s)f(s)ds-^
**	%) X
3
3.38. Решить краевую задачу xz/"—=	#(!)=/(!),
Зу(2)—2у'(2) = 3.
Решение. На примере этой краевой задачи проиллюстри-
руем метод приведения краевых задач к задачам Коши. В дан-
ном случае такое приведение не эффективно, но во многих
случаях, особенно в связи с методами численного решения,
этот прием оказывается полезным. Ищем решение указанной
краевой задачи в виде у = у0 (х) + аи (х) + (to (х), где у0 (х), и (х)
з
и v(x) соответственно решения таких задач Коши: ху"—у* = — ,
y(l)^/(l) = 0; ху"-у' = 0, г/(1) = 1, /(1) = 0; х/-/=0,
г/(1)==0, у' (1) = 0. Решив каждую из этих задач Коши, нахо-
дим г/0(х) = 1(х2—3) + -!, ы(х) = 1, о(х) = 1(х2—1). Подберем
250
в выражении
г/ = |(х2-3) + 1 + а + |(^-1)	(12)
коэффициенты аир так, чтобы это выражение удовлетворяло
краевым условиям. Подставляя (12) в краевые условия, полу-
чаем уравнения для определения а и 0: а = 0, 6а 4-0 = 7.
Отсюда а = 0=1. Таким образом, искомое решение имеет вид
у* (Х2_3)+1+1+ 1 (Х2_1)=Х2 + 1-1.
л	л
3.39. Решить краевую задачу х2у"-[-2ху' = т (т-\-1)хт, т>0,
1/(1) = у' (1), у(х) ограничена при х-^0.
Решение. Построим функцию Грина для этой задачи. Общее
Q
решение уравнения х2у"-\-2ху' = 0 есть t/ = Ci4-y. Решение
уг(х) = 2—у удовлетворяет первому краевому условию, а реше-
ние у2 (х) = 1 удовлетворяет второму краевому условию, поэтому
функцию Грина ищем в виде
( <p(s),	0 < x^s,
G(x, s) = { f i \
v	(ф(5Ц2—-j, ssCx^l.
Функции <p(s) Hif(s) определяем из условий <p (з)=ф (s) ^2—
Ф (s) 72-= 4г ’ T-e‘ 4’(s) = 1» <p(s) = 2—у - Отсюда
f 2—-, 0 < x^s,
G(x, s) = < s.
I 2---„ ss^xCTl.
Искомое решение имеет вид
t/(x) = J* G(x, s) m(m-(-1) smds —	1)£ J* ^2—4) sfflds-b
+П2_т)!'*] = т(т+1)[(2-т)=ттл:”+‘+'
+ (—4-TSm+1——	|s=11 =xm + m—1.
1 \ /«4-1	/ |s=xj
3.40.	Построить функцию Грина для краевой задачи
d [ dyX т2 г. г,
Тх{х^)-—у=^ т>°>
z/(0) конечно, 1/(1) = 0.
Решение. Уравнение xtf -]-у'—^-у = 0 имеет два линейно
независимых решения хт и х~т. Первому краевому условию
удовлетворяет, например, решение г/1(х) = хт, а второму—ре-
251
шение у2(х) = хт—х~т. Поэтому функцию Грина ищем в виде
( <p(s)xm,	0 < x<s,
G (X, S) — |	— Х~т^ Ss^XS^l.
Из уравнений ф (s) (sm—s~m) = q(s)sm, ty(s)ni(sm~l-}-s~m~1) —
— <p(s)ms“-14--|- находим cp(s) и ф(з):
t	о /// С ***	Ч
ф (s) =---5-----, ф (g) = -5—.
v’	2m	’ T' 2m
Таким образом,
0<x^s,
1.
3.41.	Оценить сверху и снизу решение задачи х2у"-\~3ху'—
— ty = f(x), у(х) ограничено при х-+ 0 и х—>4-°°> и его пер-
вую производную, если известно, что 0^f(x)^.M.
Решение. Построим функцию Грина для данной краевой
задачи и через нее выразим решение этой задачи. Уравнение
х2у" + 3ху'—Зу = О имеет два линейно независимых решения
‘1	л
уг = х и у2 = -^з, причем одно из них ограничено при х —> О,
а второе—при х—>оо. Функцию Грина ищем в виде
(Ф (s) х,
G (х, $) = !,. .	1
О <x<s,
s^x <4-00,
где ф (s) и ф(я) удовлетворяют уравнениям
jy^ = 4’(s)s, -7гФ(5)^ф(8) + т2.
Из этих уравнений находим
1
<₽(S)= S2 (3s2-pl) ’ ’’I’ (s) = ~ 3s2 + j •
Поэтому
{x	p
s2(3s2+l) ’
s2 1
---0 ’2 , T • —T , 8 <4 x < OO ,
3s2 4- 1 X3 ’	’
Следовательно, решение данной краевой задачи имеет вид
t/(x)=$*G(xs s)f(s)ds.
252
Оценим у (х) и у' (х) снизу и сверху, учитывая, что О f (х) С М.
Для этого представим у(х) в виде
#(x) = J*G(x, s)/(s)ds +J” G(x, ,s)/(s)ds==
______!_ С* 2Ж л. r C” f (s)ds
x2 Jo 3s2+ 1 Ui> X Jx s2(3s2+l) •
Отсюда
,,Г 1 C* s2^s । C“ ds Л^- / \ n
--M -3 \ n 2 < I +x \	2 /n 2 , 142- rCy (x) CCO.
I x3 J 0 3s2 -f-1 1 J x s2 (3s2 + I)2 J ' ~
Так как
1 Px s2 ds - 1 Cx ,	1
I3 J 0 3s3-(- 1 T3 J 0 S dS ~ ”3 ’
P® ds	P ® ds .
XJx s2 (3s2 4-1) ' XJx sa ~ ’
то для y(x) получаем оценку
изводную функции у(х):
^//(х)^0. Вычислим про-
y'W = ^[JoG^’ s) / (s)ds + £” <Ж s)f(s)ds^
Г 1	x2/ (x)___3_ Px s2/(s) ,	P°° f, (s) ds___xf (x)	1 _
Lx?*3x24-1	x4Jo3s24~1 rJz s2(s24-l)	x2(3x24-l)J^
__3_ P s2f (s)	, P® f (s) ds
x4 Jo 3s24-1 ui> J.v sa(3s2+l) 
>да
_ Р» f (s) ds ,	}	3_ Px s2f (s)_rf
J* s2(3s24-l)	;^=x4Jo3s24-l	’
или, так как 0^f(x)^M,
,, P® ds	3M Px s2 ds
~M Jx s2(3s24-l) W C xi Jo 3s24-1 ‘
Поскольку
px s2 ds x3	P»	ds ^.1
Jo 3s24-1	Jx s2(3s24-l)
окончательно получим--— ^.y' (x) Cj —.
3.42.	Найти собственные значения и собственные функции
краевой задачи у" -^-'иу, у (0) = г/(Z) = О, I > 0.
Решение. Если Х = 0, то г/ = С1х + Са и краевым усло-
виям удовлетворяет только тривиальное решение, т. е. 2v = 0 не
является собственным значением. Пусть А, > 0; тогда общее
решение уравнения y" = ty есть у — С^Кх-^-C2e~v^x. Среди
этих функций краевым условиям удовлетворяет только z/ = 0.
Если А. < 0, то решения уравнения z/" = Az/ имеют вид у=
=CxsinK—Ax4-C2cosK—Ах. Подставляя это выражение в
краевые условия, получим С2 = 0, Cxsin(K—AZ)=O. Таким
253
образом, данная краевая задача имеет ненулевые решения, если
И—Kl — kn, т. е. К —— (-j")2’ ^ = 1, 2, .... . Эти значения %
являются собственными. Соответствующие этим значениям соб-
ственные функции таковы: ук (х) = sin	,£ = 1,2,... .
3.43.	Найти собственные значения и собственные функции
краевой задачи у" = Ку, у' (0) = у(1) = 0, 1>0.
Решение. Как и при решении предыдущей задачи, убеж-
даемся, что на промежутке [0, оо) данная задача не имеет соб-
ственных значений. Пусть % < 0, тогда уравнение у" = Ку имеет
решения y = CisinVr—Zx-f-C2cosK—Кх. Подставляя это вы-
ражение в краевые условиям, получим Cf = 0, C2cos (К — X /)=0,
т.е.	+ Z = -(t + ^2-K> й = °-	2>	•
Таким образом, собственными значениями данной краевой задачи
являются числа К = Кк = —( у + k )	, £ = 0, 1, 2, ... . Соот-
ветствующие этим числам’собственные функции таковы: yft(x)=
= cos “Г * ^ = 0, 1, 2, ... .
3.44.	Найти собственные значения и собственные функции
краевой задачи у" + — у' + Ку = 0, г/(1) = 0, у (х) ограничено
при х —>0.
Решение. Если Л = 0, то решениями уравнения г/"+^-г/'=О
являются функции у = Ci + C2 In |х|. Среди этих функций крае-
вым условиям удовлетворяет только г/ = 0, т. е. А. = 0 не яв-
ляется собственным значением.
Пусть К>0. В уравнении у" + ^у' -\-Ку — О и положим
УКх = 1. Тогда	= К К^-, ^г^ = К^~ и уравнение преоб-
ил	Ul ил и»
разуется в уравнение Бесселя (v = 0): у" + у t/' + y = O. Огра-
ниченные при t —► 0 решения этого уравнения имеют вид у=
— CJa(t\ где То(О—функция Бесселя первого рода нулевого
порядка, С—произвольная постоянная. Таким образом, собст-
венными функциями данной краевой задачи являются функции
Бесселя z/A(x) = J0(KКкх), где Кк—корни уравнения /о(КХ)=О.
3.45.	Пусть Кк и Кт—два разных собственных значения
краевой задачи:
Тх (р+ q	У=Ку' Р(х)> °, х € [а; &],
at/ (a) + pt/ (&) = 0, уу' (a) -j- Sy’ (&) = 0,
254
а ?/п(4 и ^й-соответствующие этим значениям собственные
функции. Доказать, что
1 '
Решение. Тождества
(р	+ Я W Уп = КУп,	W 0» = М«
умножим соответственно на ут(х) и уп(х), а затем полученные
результаты почленно вычтем;
Ут (Р (*) УпУ—Уп (р (*) У'тУ - (к~к) УпУт,
или
d%[pW ZT ~dx ) ] = ^п Кп)УпУт<
На основании формулы Грина (см. задачу 3.6) имеем
Р (b)[ym (b) (b)-yn(b)d-^ (&)]-р (а) [ут (а)	(а) -
—Уп (а)	(а) ] = (к—к) £ Уп (*) Ут (*) dx.
Левая часть этого равенства равна нулю, поэтому
(к—к) $ * У п W Ут (х) dx = 0.
Так как кп—0, то «/„(*) «/„(*) = 0.
Задачи для самостоятельной работы
1.	Доказать, что линейное неоднородное уравнение
а (х) у"+b (х) у' + с (х) у = d (х)
можно привести к виду (р (х) у')' + р (х) у = J (х).
2.	Убедиться, что замена г= Р-Х& р переводит уравнение (р (х) у')'+
4~<?(х)у = 0 в уравнение Риккати;
z2
г'+и^+'?Мг=0‘
3.	Убедиться, что замена у’= гу переводит уравнение у''4-а(х) у1 +
4-Ь(х) у = О в уравнение Риккати: г'-рг24~а (х) ? + 6(х) = 0.
4.	Уравнение х2у"+2х2у' + (х2—2) у = 0 заменой у = а(х)г привести
к уравнению, у которого коэффициент при z' был бы равен нулю.
5.	Уравнение у"—’У'-j-eixy=O заменой ( = <р(х) привести к уравне-_
dy
нию, у которого коэффициент при — был бы равен нулю.
Решить уравнения:
6.	у"—ху=0. Ч. у"—ху'—2у — 0.
8. ^'г + 4х/+2(14-2х2)у = 0. 9. ху" — (x-f-1) у' + у = О.
10.	ху"—(2х*-+Цу' + х3у = 0.
255
11.	х(х+1)Г-(х+1)/+{/ = 0. 12. x(*W+(3xW+M-'
13.	Вычислить определитель Вронского, составленный для двух ли-
нейно независимых решений гипергеометрического уравнения х(х—1)у"+
+ 1—у+(а+₽+1) у'.+°Фу=Ь-
14.	Убедившись, что полиномы Лежандра Рп (X) являются коэффи-
-со .
пиентами в разложении (1—2х/-ф/2)-1^2 = '2 Pn(x)tn, доказать, что
п=о
dPn(x) dPn_i(x)
X~d~x Тх
Решить уравнения:
15.	(х2 — 1) y"+2axy'-f-a (а—1)у = 0.
16.	(х2 —a2)y" + 8xy' + 12i/ = 0.
17.	Пусть F (а, 0, у, х) —гипергеометрическая функция. Доказать,
что:
a)	nxF (1 — п, 1, 2, х)=1 — (1—х)п;
б)	2f (-J,	у. х2)=(1+хр + (1-х)«,
в)	2hxf(-^Z1L, уЦ-1, у , х2) =(1 + х)п —(1 —х)«,
/	1	1	\	2" п’
г)	F\—n, n + у, у. x2)=(—V)n J 35 д2л— 1) Pin^>
(	4	4	\	9n ti I
д)	xF(-n, n + y, у, X2) =(-1)^.5	(2n-—.p2n + 1(x).
18.	Вычислить определитель Вронского, составленный для двух
линейно независимых решений уравнения Лежандра.
19.	Вычислить определитель Вронского, составленный для двух
функций Бесселя Jv(x) и 7_v(x), v # п.
20.	Доказать, что для целочисленных и достаточно больших х
справедливы соотношения
V лх J2n Iх) = (—О” (cos x + sln х) + О Гу; Y-
У лх A„ + i (х) = (—l)n + 1 (cos х—sin х)ф-0
21.	Доказать, что функция
7 X \v+2i+l
co	\ 2 /
y=Xk o(“1)ft ~7—з\7-----------------зт
r(fe+4.) r(v+*+4)
является решением неоднородного уравнения Бесселя
. ( х V+1
4 ( ’2’)
X2у" + ху' + (X2 — V2) у = —	----р-,
Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным краевым
условиям:
22.	</" + </= 1, </(0) = 0, у'(л/2)=1.
23.	у"~2у'-Зу=0, а) у(0)=1, lim у (х) = 0; б) у (0) = 1, lim у' (х)=2.
24.	х2у"—2ху'+2у=0-, у)х) = 0(х) при х->0, у(1) = 2.
Построить функцию Грина для указанных ниже краевых задач:
25.	y" = f(x); а) </(0) = j/(l) = 0; б) i/(0) = 0, у' (1)=Ь; -в) у (0) + у (1)=0,
У (0) + У (1) = о.
26.	У+у={(х), J/(0) = J/(l) = 0.
256
27.	f-k*y=f(x), й#0, y(-V) = y(l), /(-1) = /(1).
28-	У +y = f(x), у(О) = у(л), у' (0) = y' (n).
29.	xy"-y' = f(x), u'(l) = O, {/(2) = 0.
30.	xfy"-[-xy' — y = f(x), z/(l) = 0, y(x) ограничено при x->+oo.
31.	Решить краевую задачу t/" = f(x), у (а) = у (6) = 0.
32.	Построив функцию Грина, решить краевую задачу ху"-\-у' = 2х,
у(\) = у' (1), у(х) ограничена при х 0.
Найти собственные значения и собственные функции краевых задач:
33.	у" = Ку, у'(р) = у’(1) = О. 34. у" = Ьу, 1/(0) = / (0 = 0.
35.	xVH-i-у = 1у, у(1) = у(е) = 0.
36.	Пусть — собственное значение краевой задачи (p(x)i/'),+
+ <?(х) у = 1.у, ау (а) + 0/ (а) = 0, у у (Ь) + бу' (&) = 0, уп (х) — соответствую-
щая этому значению собственная функция. Доказать, что если краевая
задача (р (х) у'}'+ (q (х)—Х„) у = f (х), ау (а) + &у' (а) = 0, уу (й) + б/ (6)=0
имеет решение, то уп (х) / (х/ dx = 0.
9 № 2314
ГЛАВА 4
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 20. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ
В НОРМАЛЬНОЙ И СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМАХ
Система дифференциальных уравнений
dx-	•
= хъ Xi, ..., х„) (i= 1, п,)	(1)
называется системой в нормальной форме или системой, разрешенной
относительно производных от неизвестных функций х, = х,(/).
Решением системы уравнений (1) на промежутке /cR называется со-
вокупность непрерывно дифференцируемых на I функций Х/ = ф;(<),
i= 1, п, таких, что
<Р1(0. .... ФИО)
для всех
Непрерывно дифференцируемая в области определения системы (1)
функция ф (t, Xi, ..., хп) называется первым интегралом этой системы,
если ее производная, составленная в силу системы (1), т. е,
^Ф <>Ф	<?ф	~ ,
чг~’йг+2и.1-=1‘31"Л(Л Х1’Х2’ Xn)i
равна нулю.
Если известны п независимых первых интегралов системы (1)
(/, Xi, .... хп), 4>2(Л Xi, х„), *фп(f, %i, Хц), то совокуп-
ность равенств
,Ф/(0 Xi, ...,xn)=Ci (i=T7T),	(2)
где С; — произвольные постоянные, определяет общий интеграл этой си-
стемы.
Из общего интеграла (2) системы (1) можно найти практически лю-
бое решение этой системы, разрешая равенства (2) относительно Xf,
Ха, <. ., хп.
Если известен отличный от постоянной один первый интервал, то,
разрешая уравнение ф (t, .....х„)=С относительно одной из пере-
менных Xi, х2, .х„, например относительно х„:
х„ = Ф(/, Xi, х2, .... x„_r, С),	(3)
и подставляя выражение (3) в первые п—1 уравнений системы (1), по-
лучим систему уравнений, в которой число неизвестных функций на
единицу меньше по сравнению с исходной системой уравнений.
Укажем два метода решения систем дифференциальных уравнений
в нормальной форме. Первый из них заключается в приведении системы
уравнений к одному уравнению n-го порядка или к нескольким урав-
нениям порядка, меньшего чем п.
Общая схема приведения состоит в следующем. Дифференцируя, на-
пример, первое из уравнений (1) последовательно п—1 раз и подставляя
.	dxt
каждый раз вместо производных их значения, из остальных урав-
258
нений этой же системы имеем
^-=Г1(г, Xi, х2.....хп),
d2Xi
— = F2(^, Х1, х2, .... хп),
,...»«»♦	(4)
 ^„-1	Xi, х2,	х„),
d(n>Xi	.
-^-=Fn(t, xi, х2,	х„).
Определив х2, хя, хп из первых п—1 уравнений системы (4) и
подставив эти выражения в последнее уравнение системы, получим диф-
ференциальное уравнение n-го порядка
dnxi__f dxj d^-^x^
dt" \ ’ Xi> dt ’ dtn~l )'
Решив это уравнение, найдем решения исходной системы уравнений.
Систему уравнений (1) можно решить методом нахождения интегри-
руемых комбинаций. Сущность этого метода состоит в том, что с помо-
щью арифметических операций из уравнений данной системы образуют
так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые
уравнения относительно новой неизвестной функции: u = u(t, Xi, хп).
Указанные выше методы решения систем уравнений (1) можно при-
менить также к решению систем дифференциальных уравнений в симмет-
ричной форме, т. е, систем уравнений вида
dxi	dx2	dxn
X 1 (-^i, • •', хп) \2 (Xi, ..., Xjii	Xп (Xj, ..., хп)
При решении системы уравнений (5) полезно использовать свойство
равных дробей: если имеются равные дроби
^"1	^2	Яп
bi	b2	Ьп
и произвольные числа ki, k2, ,,,, kn, то
ai  а2  	_ап kiai -j- k2a2 -J- ... -|- knan
bi	b2	bn	kibi-}-k2b2-\-... -\-knbn'
4.1.	Решить систему уравнений
-^- = xsinZ, ^- = xezost.
dt	’ dt
Решен ие. Первое уравнение решается независимо от вто-
рого. Разделяя в нем переменные и интегрируя, получим х —
= Cie~cost. Подставляем найденное значение х (/) во второе
уравнение:	— Отсюда у = C±t-\-C2.
Таким образом, решениями исходной системы являются
функции xt=Cie~zost, y = Cit-\-C2.
4.2.	Решить систему уравнений ^- = ах-\-у, -Jjr ——x-j-ay.
Решение. Дифференцируя обе части первого из данных
уравнений, имеем'
£L = a- + ^-.	(6)
di* а dt dt *
9*	259
Из второго уравнения находим
ф/ ,	-. , / dx \ dx	/« ,
= — х + ау = — х + а^—ах) =а-^-(1 +&}х.
Подставив это выражение в (6), получим уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами:
^2а^ + (1+^)х = 0.
Для его решения составим и решим характеристическое урав-
нение:
X2—2аХ + 1+й2 = 0, Л,112 = а ± i.
Следовательно, x — e^tC^ cos t Д-С2 sin t). Из первого урав-
нения исходной системы определяем у (f):
у =	—ах = aeat (С, cos t 4- C2 sin t) 4- eat (— Ct sin t ф C2 cos t) —
—aeat (C\ cos t -ф C2 sin t) = eat (— Ct sin 14- C, cos t).
4.3.	Решить систему уравнений • = 1——-,	.
Решение. Дифференцируя обе части первого из данных
уравнений, имеем
dy
d2x _ dt
~dtr~~yr'	v
Из исходных уравнений находим
dy_____1	iV
dt	x — t ’ ф \ dt ) ’
С учетом этих равенств уравнение (7) принимает вид
Уравнение (8) можно представить в виде
d / dx	\	dx
~dT \dt	)	_	dT ~1
dx	x—t	’
~dt~ 1
ИЛИ
d , I dx . I d , ,
~dT П I dt Vj~dTlnlx—
Отсюда
T/T — l =СЛХ—0, Сх=Ф=0 или	t) = Ct(x—t).
260
Интегрируя, получим х = / + C2ecif, С2 £ R, С2^0. Согласно
первому из данных уравнений, у =----Таким образом,
1	1	1	1 -Ct
У' .dx^C^-x)- — C1C2eClt ~ С^'в ‘*
dt
х = t + C2eCit, у = —
С1С3
4.4.	Решить систему уравнений = г/2 -ф sin t,
Решение. Дифференцируя сбе части первого из данных
уравнений, имеем
-g- = 2^ + cos/.	(9)
Из второго уравнения находим 2у^~- = х, поэтому уравнение
(9) можно представить в виде
d2x	,
---X — COSt.
dt‘
Общее решение этого уравнения есть х =	+ С2е~*—у cos Л
Из первого уравнения системы находим
У2 —	—sin / = Схе1 — С2е~*—sin t.
и dt	1 л 2
4.5.	Решить систему уравнений
dx du dz i . _
-тт- = у, -%-^x, -^-=x-\-y + z.
dt	dt ’ dt i и i
d%% du
Решение. Из первого уравнения имеем= или с
d2x
учетом второго уравнения-^—х=0. Отвода х -\-С2е~*,
У-^—С^-С2е-^.
Подставляя найденные функции x(t), y(t) в третье уравне-
dz
ние системы, получим —2 = 20^. Решая это уравнение,
находим г = С3е* ф- 2С^.е*.
. „ т,	„ dx	du	dz
4.6.	Решить систему уравнении -^- — z—у,	=
s= 2—X.
Решение. Дифференцируя обе части первого уравнения,
d2x	dz	du
имеем -^- = -7}—-77-• Отсюда, в силу последних двух уравне-
(11	UI	СИ
d2x
ний системы, получим	= Решая это уравнение, на-
261
ходим x = Cfcos£4-C2sin t Из третьего уравнения системы
dz	dz	,
имеем-г—z =— х или	—г =— С, cost—C2sint.
dt	at
Общее решение уравнения —г —0 есть z = C3ei. Част-
ное решение неоднородного уравнения ищем в виде 2Ч. н =
= acos/ + bsin/. Для определения коэффициентов а и b по-
лучаем систему уравнений b—а = — Си —b—а = — С2. Из
этой системы а — -~—-, о = -^—±- Таким образом,
z = C3ef ф-у (Cj ф-С2) cos / (С2—Ci)sinZ.
Из первого уравнения системы находим
У = Z —1 (Сх-С2) cos t +1 (Сх+С2) sin t.
4.7.	Проверить, являются ли первыми интегралами системы
уравнений	— — у,	У ~1  функции: 1) z = t2-\-2xy,
at	dt х
2) z = x—ty2.
Решение. Каждая из данных функций z непрерывно диф-
ференцируема. Вычислим производную , составленную в си-
лу данной системы уравнений. Имеем:
1)	^- = 2t + -2x^-+2y~ = 2t+2xy~- + 2y(-y) = 0;
2)	=-у-у*-Ъу^^-
Таким образом, функция z — t2-\-2xy есть первый интеграл ис-
ходной системы уравнений, а функция z — x—ty2 первым ин-
тегралом данной системы уравнений не является.
4.8.	Убедиться, что функции ф1 = /х, ф2 = /г/+х2 являются
первыми интегралами системы 4т- = — -г-, 4т = 2- ^-у, и вы-
dt	t dt	t
яснить, независимы ли указанные интегралы.
Решение. Найдем производные по t, составленные в силу
данной системы от функций фх и ф2:
*+»=°.
Ль2 < dy ।	, о dx 2х2	,	2х2 А
~ = t -Ут + У + 2х -тт- =  у + у т- = 0.
dt dt ' v 1 dt t v a t
Найденные производные тождественно равны нулю, следо-
вательно, функции фх и ф2—первые интегралы данной системы
уравнений.
262	• -	- .
Чтобы выяснить, независимы ли эти интегралы, составим
матрицу
/dih!	gjh	d^i\
D	дх	ду \_/Х t	0\
D (t, х, у) ~ I	дЧ~2	2х	t)'
\dt	дх	ду /
Ранг этой матрицы равен двум; следовательно, интегралы -фц
и ф2 независимы.
4.9.	Найти первый интеграл системы уравнений
dx	> I  du
-тг = —f + sinx, ~ — — у cosx.
dt J 1	’ dt а
Решение. Умножим почленно первое уравнение на у cos х,
а второе—на —у2 sinx и полученные равенства сложим по-
членно:
ycosx^- + (—y2 + sinx)-^- = 0.
Последнее уравнение представим в виде
d /	у3 \ л
dF^smx-X-J=0.
Отсюда найдем первый интеграл данной системы:
Зу sin х—у3 = С.
4.10.	Доказать, что функция и(х,у) = х2+у2—2 1п[ху—1 |
вдоль траекторий любого решения системы уравнений
dx	du	. „
•5Г = х + у—ху2, ~ = — х—у + х2у
постоянна.
Решение. Пусть (x(i), у(^))— решение данной системы
уравнений. Вдоль траектории этого решения функция
и (X (/), у (/)) = X2 (0 + у2 (0 - In (х (0 у (0 -1 )2
непрерывно дифференцируема. Вычислим ее производную:
„ .	,, ( dy	dx \
d .	о.. dx । о., dy	V dt	dt )
-^-u(x(i), y(t)) — 2x dt +2y dt	(xy—1)2	’
— 9 ( У \ dx_ 9 f x \ dy ___
\ xy—ljdt^ ^ xy—ljdt^
=	[(-*-*/ + *2У)^г + (х-У+ ЧП %r] =
*=	[(— X—у + x*y} (x + у—xy2) + (— X—у + xy2) X
x(—X—y + x2y)]==Q.
Таким образом, при всех t из промежутка существования ре-
шения (х(/), у(0) имеем -4-м(х(/), у(/))т=О. Значит, w(x(Z),
у(0) = С.
263
4.11.	Найти один из первых интегралов системы уравнений
{x2 + y2_n^- = tx-, +
Решение. Умножив почленно каждое из данных уравне-
ний соответственно на 2х и 2у, имеем
(X2 + y2_t2}d£ = 2tx^ {x2 + yi_t2^=2ty\
Сложив почленно эти уравнения, получим
z	d?
(z — t2)^—2tz = 0, z = x2 + y2.
Запишем последнее уравнение в виде
Z^L__(12—д~21г} = 0	___РгУ—О
г dt V dt	’ dt \ 2	1 J
Отсюда z2—2t2z = C. Таким образом, первый интеграл исход-
ной системы уравнений имеет вид (х2 + у2) (х2 + у2—2t2) = C.
4.12.	Решить систему уравнений -^- =— у, — — у .
/ > 0.
Решение. Сложив почленно данные уравнения, получим
-JT-(ху) — —т-(х-гу), откуда х + У = • Вычитая почленно
исходные уравнения, имеем -^~(х—у) = ^-(х—У)> откуда х—у=
— C2t. Из системы уравнений х-\-у = -^, х—y = Czt находим
х = 4(т + С20’ у = т(т~С2/)-
4.13.	Решить систему уравнений ^~~х2у,	= —ху2.
Решение. Умножив обе части первого уравнения на у,
а второго—на х и сложив почленно полученные уравнения,
имеем
У dt dt ~ t ил dt \ХУ>~ t ’
Отсюда
ху = С^.	(10)
Заменяя в первом уравнении данной системы ху на Crt, полу-
dx	с <г
чим — Cjtx. Интегрируя это уравнение, находим х = С2е 1 2 .
Из равенства (10) в случае имеем
264
Кроме того, если х = 0, то из второго уравнения y — Ct', если
z/ = 0, то из первого уравнения х = С.
4.14.	Решить систему уравнений
^-= */ + (! — ха—у2)х,	— х—х2—у2) у.
Изобразить схематически траектории и указать направление
движения по этим траекториям.
Решение. Одно из решений этой системы очевидно: х = 0,
у = 0. Найдем остальные ее решенгш. Для этого перейдем к
полярным координатам: x = pcos<p, г/ —psintp, р > 0. Тогда
получим
cos ср—р sin ф	= р sin ф + (1 —р2) р cos ф,
sin ф 4- р cos ф = — рсозф + (1 —р2) р sin ф.
Умножим почленно первое из этих уравнений на cos ф, а вто-
рое— на sin ф и полученные уравнения сложим. Имеем
^- = р(1—р2). Умножая теперь почленно уравнения (11) со-
ответственно на зШф и созф и вычитая из второго уравнения
первое, находим
Таким образом, в полярных координатах исходная система
уравнений сводится к следующей:
-J = p(l-p2), ^- = -1.	(12)
о	„	dp2
Запишем первое из полученных уравнении в виде =
е= 2р2 (1—р2). Отсюда р = 1 или
( 2‘ 1--dP2 = —2Л,
\ р2 — 1 р2 /
In | р2—1| — 1пр2 = —2/-)-1пС, |1—^-^С^е-2*, Сх>0.
В круге 0< ps^l решения уравнения (12) имеют вид
Р = 77=^=-, Ф = С2 — t, Сх>0.
Вне этого круга
р =77=2==-, ф = С2 — t, 0 < Сх < 1.
V 1—Cie-2<
Отметим, что решения, начавшиеся при t = 0 в области р> 1,
существуют не при всех t £ R. Каждое из них имеет свой про-
межуток определения: t > In Сх, 0 < Сх < 1.
265
Запишем решения исходной системы уравнений:
„ А .. с. „ - cos (/—С2)	„ siri(/ — Са).
Л —• Vj у — V, Л - “- —	-	f у —
К i+cie-?‘
если Хо + 1/о^ 1, и
х= cos(/-C2) у sin(/-C2)_
V 1— Cj.e-2t К 1—Cie-2t
если x§4- yl 1. Траектория решения x = 0, y = 0—точка (0; 0).
Траектория решений, начавшихся на окружности х2 + у2 — 1
(x = cos(Z—С2), y = sin(Z—С2)), есть эта же окружность.
Траекториями остальных решений являются спирали
1
, ^>0,
р
если 0 < х§ 4- у20 < 1, и спирали
1
1
р = ,	'	, О
у 1—Cje2
если %о + Уо > 1 •
Так как <p = C2— t, то при /—> + о° величина угла <р—>—оо;
поэтому с течением времени движущаяся по спирали фазовая
точка приближается к окружности х24~у2=1 (эта окружность
называется устойчивым предель-
ным циклом; рис. 42).
4.15.	Решить систему уравнений
но
Рис. 42
dx	' dy
~аГ~~У~'г' 1Г
dz
Решение. Вычитая почлен-
из второго уравнения третье,
d . '
получим -^(у—z) = y—z,y—z =
С учетом этого из первого
уравнения находим х = С}е‘ ~\-С„.
Подставим найденное для х выражение по второе уравне-
ние. Имеем —= г/+ С2+ t. Решая это линейное уравне-
ние, находим у = (С\/ + С3) е*— t — 1—С2. Тогда г = у—~
^(С^ + Сз-CJ^-l-C,.
4.16.	Решить систему уравнений
dx	dy » , dz , .
1Г=У~г'	+	1Г=х2+г-
266
v*%	' ft	о	dx du. / dz
Решение. Из данных уравнении следует -& + -gf =*
~у—z—х2—y + x2 + z — 0, т. е.
ji-(x—y + z) = 0, x—y + z = Ci.	(13)
С учетом найденного первого интеграла из первого уравнения
получаем -^- — х—Clt x = C2et-1rCi.
Подставляя найденное значение х во второе уравнение,
имеем = У + Cle2f + 2C1C2et 4- С2. Отсюда у — —С2 +
+ (2С±С^ + С3) С C%e2t. Используя первый интеграл (13),
находим
z = Ct — ху = — С.С + (2CjC2f + С3) е* + C22e2t — Cl.
. n	о dx dy dz
4.17.	Решить систему уравнении
тг	du dz
Решение. Из уравнения -2- = — находим один из интег-
ралов данной системы: -^- = С1. Найдем еще один интеграл, об-
разовав интегрируемую комбинацию:
„----= —4----d(x—2г + у) = 0.
2г — у	2г — у ’ '	1 J’
Имеем х—2г-\-у — С2. Очевидно, найденные первые
независимы.
л .„ n	„ dx dy -dz
4.18.	Решить систему уравнении — = —- = —.
J J r	xz yz xy
тл	dx dy
Решение. Из уравнения — = — находим
х = Сгу.
Составим интегрируемую комбинацию:
ydx-[-xdy  dz d(xy')   dz
yxz-\-xyz	-xy ’ 2xyz	xy
Сокращая обе части последнего уравнения на
руя его, получим
ху—z2 = C„.
интегралы
(И)
и интегри-
(15)
Поскольку первые интегралы (14) и (15) независимы, все реше-
ния исходной системы определяются из соотношений х = С2у,
xy—z2 = C2.
4.19.	Решить систему уравнений =
Решение. Приравнивая первое и третье соотношения
dx dz t.
и сокращая на у, получим уравнение — = Из этого урав-
267
нения находим -~== Cit x = Clz. Умножив - числитель и знаме-
натель каждого из соотношений соответственно, на 2х, 2у, 2г
и сложив их, получим
2xdx'-\-2ydy-\-2zdz__ dz
2у(х2 + у2+г2)	2уг
или
d (х2 + у2 + г2)   dz_
х2 + У2 + г2	г
Интегрируя это уравнение, находим
^2 + У2 + 22 = С2г, х = Схг, x2 + y2 + z2 = C2z.
. тл	о dx dy dz
4.20.	Решить систему уравнении ——— = —= —-—.
Решение. Пользуясь свойством равных дробей, составим
интегрируемую комбинацию:
dx — dy ____ dy — dz
у + ?~ (x + z)	x + z — f(x + y) ’
d(x—y)  d(y —z)
x — у у —г
X—y = C1(y—z).
Вторую интегрируемую комбинацию можно составить так:
dx-\-dy-\-dz __________________ dx — dy
у-| z —x-l z+ х+-у	y + z— (x + z) ’
(x + у + z) _ d(x — y)
2(* + y+z)	~(x — y) ’
Отсюда находим еще один интеграл данной системы:
у In | х + у + z | + In |х—У 1 = 4 In С2,
(х + уЧ~г)(х—у)2 = С2.
Нетрудно убедиться в том, что найденные первые интегралы
независимы, поэтому все решения исходной системы опреде-
ляются соотношениями х—у = С±(у—z), (X + y + z)(x—у)2 = Сг.
4.21.	Решить систему уравнений  ;dx =-	= —^—;•
J	х(у—z) у (z—х) z(x—у)
Решение. Составим интегрируемую комбинацию:
_________dx+dy______________ dz	d(x + y)   dz
x (У—г) + У (г — х)___________г (х — у) ’ г (у—х) ~ г (х — у) "
Отсюда x + y+-z = C1. Можно составить еще одну интегрируе-
мую комбинацию:
у rfx+ х dy - dz
xy(y—z)+xy(z.—x) ~ z(x—y) ’
d (xy) __ dz d (xy)____ dz
xy(y—x)~ z(x~y)’ xy “ —z'
268
Таким образом, zd(xy)-\-xydz — Q, d(xyz)—Q, xyz = C2.
Найденные первые интегралы независимы, поэтому окончательно
имеем x + + 2 = xyz = C2.
4.22.	Решить систему уравнений
dx ___________________ dy _ dz
х + у — ху2 — х2у—х — у ~ у2 —х2 ’
Решение. В силу свойства равных дробей составляем
интегрируемую комбинацию:
_______2х dx-(-2y dy	’ dz
2х(х-\-у—ху2) -)-2у(х2у— х — у)	у2—х2 ’
d (x2-'-j/2)	dz	д, 2	____2^
2(х2 — у2)	— (х2 — у2)’ а(х+У>~ zaz-
Отсюда находим х2 + у2 -|-2г = Сх. Еще одну интегрируемую
комбинацию можно составить, например, так:
. ydx + xdy	____ dz
ху+У2—ху3 + х3у — х2 — ху	у2 — х2 ’
________d (ху) = dz d (ху) = ,ч
(у2 — X2) (1 —.ху)	у2—х2' 1—ху
Интегрируя, имеем In I 1 —ху \-\-z = С2. Нетрудно убедиться,
что найденные первые интегралы независимы: х2 + у2 + 2г = Cf,
In | 1 —xy\-\-z = C2.
4.23.	Решить систему уравнений
dx п , dy „	dz
— = <2x-y + z, W = 2y-z, -^ = z.
Решение. Данные уравнения решаются последовательно
одно за другим. Из третьего уравнения имеем г = С3е*. С уче-
том этого второе уравнение примет вид ~- = 2у—С3е*. Его
общее решение есть у = С2е21 + С3ё*.
Первое уравнение данной системы запишем так:
-^ = 2х-С2Л	(16)
Общее решение соответствующего ему однородного уравнения
x = C1e2t, а частное решение неоднородного ищем в виде хч н=
= (at + b)e2t. Подставляя это выражение в уравнение (16), на-
ходим а = — С2, b—любое. Следовательно, решение уравнения
(16) есть x = C±e2t—C2te2t = (СГ—C2t)e2t.
Таким образом, решения исходной системы имеют вид
x = (Ci—C2t)e2t, у — C2e2t -]-С3е*, 2 = С3е*.
4.24. Решить систему уравнений -^ = -^-,	= Зх + у.
и	dx dy
Решение. Из первого уравнения имеем у = t2	=
п, dx , d2x	dy о , 3 о , о, dx
+ а из второго -^ = 3х + тг/ = 3х + 3^.
269
Следовательно, исходная система; сводится к. уравнению
второго порядка ^* ^ + 2/^• = 3x4-3/-^, т. е. к уравнению
Эйлера
= <17>
Решения уравнения (17) ищем в виде x — tk. Для ‘определения k
получаем уравнение k(k—1)—k—3=0, откуда& = —1,/?2 = 3.
Общее решение уравнения (17) есть х =-у-+ С2(а. Из первого
dx
уравнения исходной системы находим у = t? -тг =*— Сх + ЗС2/4.
§ 21. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Линейной однородной системой дифференциальных уравнений назы-
вается система уравнений
dx
^ = A(t)x, xgR«, t£I,
(1)
где A (0 — квадратная матрица размера «Хп, элементы которой а// (/) X
X(i, / = 1, п) непрерывны на интервале / функции. Любое решение си-
стемы уравнений (1) можно продолжить на весь интервал I. Множество
ЗЕ всех решений системы (1), определенных на /, является линейным про-
странством. Линейное пространство ЗЕ всех решений линейной однород-
ной системы изоморфно фазовому пространству Rn этой системы.
Фундаментальной системой решений линейной однородной системы
уравнений называется базис линейного пространства решений ЗЕ, т. е.
п линейно независимых решений этой системы.
Матрицу X (/), столбцами которой являются решения, образующие
фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей. Если
X (t0) = E, где Е—единичная матрица, то X (/) называют матрицантом. •
Любое уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений
<₽i(0, ф2 (/)> Ф» (0-
.Любое решение системы (1) является линейной комбинацией реше-
ний фундаментальной системы.
Любые п4~1 решений системы (1) линейно зависимы.
Определителем Вронского системы вектор-функций ср, (/), .... <p„(Z) •
называется числовая функция W (/), значение которой в точке t есть
П0 =
Фи (0
Ф1П (0
•, • фп! (0
» # • • •
••« фпп(0
Фй (0— ФА1 (0 ei +	+ фйпеп«
Система решений	<Рп(?) уравнения (1) является фундамен-
тальной тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского отличен
от нуля в какой-нибудь точке t. Если определитель Вронского системы
решений уравнения (1) равен нулю в одной точке, то он равен нулю
тождественно при всех /. Для определителя Вронского системы решений
уравнения (1) справедлива формула Лиувилля —Остроградского:
\ а (г) dr
где а (Г) = Sp А (/) = 2"=i «/7 (0-
276
4.25.	Вычислить при значение определителя Врон-
ского, составленного из решений
/%(0\
yyitt))' Xi(0) = 1’	= W)/’ X2(0)=-1>	= 1
системы уравнений
dx . , , da	. ..
-ТГ = XSin /4- У, ~fr = X— ysvat.
dt	1 dt J
Решение. Воспользуемся формулой Лиувилля—Остро-
градского:
/А	\ f sp А (т>л
В данном случае
/sin if 1 \
А(/) =	.	. . , SpA(/)=0.
'' \ 1	— sin tj r
1
1
ii=2- '
— sin t, y± = cos t системы
Следовательно, w (л) = w (0) =
4.26.	Известно одно решение Xi
уравнений
-^- = xcos21 — (1 —sin t cos t) у, 4t- = (1 + sin t cos t) -j-y sin21.
UL	Clb
Найти все решения этих уравнений.
Решение. Пусть х = ср(/), у = ф(/)— решение данной си-
стемы, удовлетворяющее условию ф(0) = 1, ф(0) = 1.
Согласно формуле Лиувилля—Остроградского, получим
ф(/) —sin/	1 0
ф (/)	cos/	0 1
С1
\ „ (sin2 т + cos2 т) dr
е J °	= е*
или
Ф (/) cos / + ф (/) sin / = ef.
(2)
Так как (<р (Z), ф(/))—решение исходной системы, то с учетом
равенства (2) имеем
= — ф + cos / (<р cos / + ф sin /) = —фе* cos /),
— <р + sin / (ф cos / + ф sin/) = <р-ф ef sin /
или
= —cos/ef) = — (ф—sin tef),
—зт/е() = ср—cos/e‘.
271
Отсюда <р (t) = cos /е*, ф (/) = sin /е*. Фундаментальная система
решений исходной системы уравнений имеет вид
/ cos Л ( sin fv
.	), (	, j.
\sin t J \ cos t)
Общее решение исходной системы уравнений определяется фор-
мулами
x = C1ezcosС2 sin/, у = sin t ф- С2 cos t.
4.27.	Известно, что система уравнений
имеет решение х = %! (О, г/ = У1(О. гДе -МО и Hi (0—много-
члены относительно t соответственно второй и первой степени.
Найти все решения данной системы уравнений.
Решение. Пусть x1(t) = a-\-bt^-ct2, yr (t) = d + ft. Под-
ставляя эти выражения в данную систему, для определения
коэффициентов получаем уравнения:
—c-\-f = O, с—b-]-d—f = 0, b-—a—d + f — Q,
a-^f-^-d—2c = 0, b = d, a-\-d—f = 0.
Эти уравнения удовлетворяются, если b = d = O, a = f — c. По-
лагая a = f — c= 1, находим одно из решений исходной системы:
Xi = 1 + i2, yt = t. Для отыскания еще одного решения этой
системы, линейно независимого с найденным, воспользуемся
формулой Лиувилля—Остроградского. Пусть х=<р(/), */=ф (/)—
решение исходной системы уравнений, удовлетворяющее усло-
вию ф (0), ф (0) = 1; тогда
или (1+/2)ф—Ар = е‘. С учетом этого равенства из второго
уравнения исходной системы находим
^г = Ф—Лр + О + ИФ— /ф = Ф — /фе*.
При t^=0 имеем
t = Лр—/2ф + te* = (1 +12) ф—— /2ф = 1е\
^ = Ф + (/-1)е*.
Отсюда, учитывая, что ф(0) = 1, получим
ф(0 — е1, 7ф = (1-|-/2) ф—е‘=
272	.
т. е. ф(/) — te*, ф(/) = е*. Таким образом, найдена фундамен-
тальная система решений исходных уравнений: х — 1 +12, х2 =
^te*, yi = t, у2 = е\
Общее решение данной системы уравнений имеет вид
х = С1(1 + Г) + С2/е<, у = С^ + С2е<.
4.28.	Известно,	что	Xi = cos/—s1^—	, yr = -у--	решение
„	dx	х ,	du	x	тт «
системы	уравнении	-% —— -t—ty, —	Найти	все	реше-
ui	I	ш	с
ния этой системы.
Решение. Дифференцируя почленно второе уравнение
данной системы, приведем ее к уравнению второго порядка:
d2y	1 (dx	х \	1 (	Чх	, \	1 I	с, dy	, \
— Т TJ7 — Т =-Г---------7— ty =~Г	— ty ,
dt2	t \ dt	t j	t \	t	v)	t \ dt	J J
d2y _	2 dy
dt2	t dt	y‘
~	sin t
Так как известно частное решение у^ — —— этого уравне-
ния, то можно решить полученное уравнение. Произведем замену:
/ 7\ sin t •	/ о\
У = zyr (/) = z—.	(3)
Имеем
d2z sin/ , о t cos t — sin t dz , —/2sin/— 2/cos/ + 2sin/ „ ,
-^2- • — + 2	-JT '	/3	Z +
, 2 I sin t dz , t cos t — sin t \ , sin t n
+ 74 — d/+----------2J+ —2 = 0.
После упрощений получим уравнение
fl 7
sin t -77т + 2 cos t = 0.
dt2 1 dt
Перепишем его в виде
. „ , d2z , „ . ,	, dz n
Sin2 t -Т7Г + 2 sin t COS t -t: — 0.
dt2	dt
Отсюда
sin2 t-^rr = C.	(4)
dt	' '
Поскольку данная система является линейной и известно
одно из ее решений, для нахождения всех ее решений доста-
точно определить еще одно решение, линейно независимое с дан-
ным. Поэтому в (4) положим, например, С — 1 и найдем одно
из его решений: z = ctg/. Согласно замене (3), имеем
, , sin t cos t
i/ = ctg/. — = —
273
Из второго уравнения данной системы находим
, dy , — t sin t — cos t . , cos t
X = t--?- = t---=—75-----= —Sin/---------7-
dt	t2	t
t2
Таким образом, получим два решения:
, sin t	sin t
Xx = COS/--—, w,= ——
. , cos t	cos t
x2 = — sin/----j-, У2=—1~
Определитель
Xi x2
У1 У2
, sin t
COS t-------—
sin t
~T~
. ,	cos t
sin t----—
cos t
~~r
= 7^’
x2 (/), y2 (/) линейно независимы,
и
поэтому решения xx(/), yx(/)
следовательно, общее решение данной системы уравнений
имеет вид
X
'	, sin t
cos t-------—
y — -^ (C'i sin t + C2 cos t).
. , . cos t
sin £ -I——
4.29.	Образуют ли вектор-функции
[	\ - p-COS t (	} I —z>sin t (
\у)1	1/’ \У)ъ \ 2;
фундаментальную систему решений системы уравнений
dx
—~ = (2 sin / — COS /) x + (sin / — cos /) у,
, (5)
= 2 (cos /—sin /) x + (2 cos /—sin /) y>
Найти матрицант этой системы уравнений и ее решение,
удовлетворяющее условию х (л) = —1, у (л) = 2.
Решение. Проверим, являются ли данные функции реше-
ниями системы (5). Имеем:
^_e-cos f ==sin/-e~C0S< = (2 sin /—cos /)e-cos f—(sin /—cos /)e-cos*,
—e-cos 9 = — sin t-e~Z02t = 2 (cos /—sin /)-e-cos; —
—(2 cos/—sin/)-e-cos/,
-^-(—e’,nZ) = — cos t-esInt = (2 sin /—cos /)-(—esinZ) 4-
(sin /—cos /) 2esin z,
-- (2e’,n <)=2cos/esin z=2(cos/—sin/)(—e5in z)4-(2cos/—sin/)2e’tai.
Таким образом, данные функции являются решениями си-
стемы уравнений (25). Определитель
g'-COS t ___________________gSin t
__g'-cos t 2e3in
__ gSin t-CCS / -A Q.
значит, эти функции образуют фундаментальную систему реше-
ний указанной системы. Общее решение системы (25) запишем
в виде
х = С1е~cos ‘—C2e,ia	у = — Сге~cos ‘+ 2C..eiia *.
Из этого семейства решений выберем два решения, одно из
которых удовлетворяет условию хг (/0) = 1, ух (/0) = 0, а второе —
условию х2 (tg) = 0, у2 (t0) = 1.
Для первого решения постоянные С1 и С2 определяем из
системы линейных уравнений
1 = Cre ~cos —C2esia , 0 = — С±е ~cos 7» + 2C2esta .
Находим Ci = 2 exp [cos /0], С2=ехр [— sin /0]. Для второго реше-
ния аналогичная система для определения и С2 имеет вид
0 = C1e-₽os;»— C2sinZ«, 1 = —	2C2esinz».
Отсюда Cf = exp [cos /0], C2 = exp[—sin/0]. Искомые решения
таковы:
(/)=2e”(cos z-cosZo)_f-sin t0 __________2e~(cos ^-c°s/o)_|_2esin/_sia/o
X2 (t) = g“(cos cos ^o)_h
y2 =______g-(cos /-cos /о) | 2esitl f'sl'n
Запишем матрицант исходной системы
/ 2g-(c°s / -cos /0)_gsm /-sin t„ g-(cos / -cos /0)_gsln /-sin /0	\
(.С ^o) I 2gsin /-sin /0 _g—(cos /-cos /0) 2esia /-sin 4______g-(cos /-cos/0) )'
Решение системы (5), удовлетворяющее условию х (л) = —1,
у (л) — 2, запишем в виде
(—1\ /2e-cosZ-r—esin* g-i-cos/_gsinz \
\y(t)J X(t,n \ 2J\2(esiat—e-1-cost)2esiat—e~l~cost
X
t. e. x = — e~slat, y = 2e,iat.
4.30.	Найти решение системы уравнений
dx du 2
-ур = У, -£- = ~7Zxi
dt dt У ’
удовлетворяющее условию x(—1 ) = \, у(—I) = —2.
275
Решение. Данная система уравнений приводится к урав-
нению Эйлера:
d2x dy 2	.» d2x п п	,с.
=-77- = -^ X, t -J72-2х = 0.	(6)
dt2 dt t2 ’ dt2	' '
Решения полученного уравнения ищем в виде x — tk. Под-
ставляя x — tk в уравнение (6) и сокращая на tk, для определе-
ния k имеем уравнение k (k—1)—2 = 0, откуда = 2, k2=—1.
С
Значит, общее решение уравнения (6) есть х = С1/2-|—j-.
Из первого уравнения системы имеем у = 2С}/—. Учи-
тывая начальные условия, определяем С1 и С2 из системы 1 =
= С\—С2,----2 =—2Cj — С2. Находим Ci = l, С2 = 0. Следова-
тельно, искомое решение имеет вид x = t2, y — 2t.
4.31.	Решить систему уравнений
dx . 2	. dy f. . 2 \	.
dT“(,1+-Jx-^=-L
Решение. Первое уравнение решаем независимо от вто-
рого. Общее решение соответствующего ему однородного урав-
Q
нения естьх = -^-. Нетрудно заметить, что неоднородное урав-
нение имеет частное решение вида x = at. Подставляя x = at
в уравнение, находим а = 1/3. Поэтому общее решение первого
t с
из уравнений системы имеет вид х = -д- + ^|-.
Подставив найденное решение во второе уравнение, получим
dt у з t2^ t3 з •
Общее решение соответствующего этому уравнению однородного
уравнения есть у = С2ег. Частное решение неоднородного урав-
нения ищем в виде у = а + fitL-|-	. Подставляя это выражение
в уравнение, получим а = 0, р =— -у, у = —Ct, Поэтому у =
г t t	Cl	;
— С2е	з	/2 .
§ 22. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами, имеющую вид
Г=Ах’
где x=(Xi, .... хп) — n-мерный вектор, А —постоянная квадратная мат-
рица размера ихп, методом исключения неизвестных можно привести
к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией.
Однако существуют и другие методы решения указанных систем уравнений.
276
J
Метод Эйлера заключается в следующем. Решение системы (1) ищем
в виде
х = е^а, a = (ai, ап).	(2)
Функция (2) является решением системы (1), если X—собственное зна-
чение матрицы А, а а —собственный вектор этой матрицы, соответствую-
щий числу [X. Если собственные значения Хх, Х2, ..., Xrt матрицы А по-
парно различны и at, а2, ..., ап — соответствующие собственные векторы
этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется
формулой
х=	01+ С2е^г/а2 + ... -рСпе>‘п/ ап,
где C'i, С2, .... Сп — произвольные числа. Если для кратного собствен-
ного значения X матрицы А имеется столько линейно независимых собст-
венных векторов at, а2, ..., о^, какова его кратность, то ему соответствуют k
линейно независимых решений исходной системы: e^Oi, еЦт2, ..., е^а^.
Если для собственного значения X кратности k имеется только
т (т < k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соот-
ветствующие X, можно искать в виде произведения векторного много-
члена степени k — m на т. е. в виде
х = (аа + а^+ .. .+а^_т1«-т)е^.
Чтобы найти векторы а0, а±, .... ak_m, надо подставить выражение (2)
в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и пра-
вой частях системы, получим уравнения для нахождения векторов
^о>	» • • •» Gfe-m •
Если среди собственных чисел матрицы А имеются комплексные числа,
то указанным выше методом строится соответствующее такому собствен-
ному числу решение системы (1) через комплексные функции. Чтобы выра-
зить решение через действительные функции (в случае действительной
матрицы Л), надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части
комплексного решения, соответствующего собственному числу X =
= а ± Pi (Р ?£ 0), являются линейно независимыми решениями.
Другой метод решения системы уравнений (1) основан на непосредст-
венном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.
Экспонентой еА матрицы А называется сумма ряда
11	I	V-4 оо 1
ел=£+_!_л+^гл2+-зГлз+...=£.=0-2-лл	(3)
где Е—единичная матрица. Свойства матричной экспоненты:
а)	если АВ — ВА, то еА + в = еА-ев=ев-еА',
б)	если A = T~1JT, то еА = T~1eJT;
в)	матрица X(f)=eAt является решением матричной задачи Коши:
dX
----= АХ, X (0) = Е, т. е. является фундаментальной матрицей системы (1).
dt
Из свойства в) следует, что решение х (/) системы (1), удовлетворяю-
щее условию х (0) = хо, определяется выражением х (t)=eAtx0. Таким обра-
зом, задача нахождения решений системы уравнений (1) эквивалентна
задаче отыскания матрицы eAt по матрице А.
Для вычисления матрицы eAt удобно представить матрицу А в виде
A=T~1JАТ, где JA—жорданова форма матрицы А, так как eAt—T~^e А Т.
Так как J — клетка Жордана:
(X 1 0 ... 0\
О X 1 ...О \
1’
6 о' 0.. .X/
277
то, представив J в виде / = Х£4*/, где
(01	0	...	О'
О	0	1	...	О
•	• •	•	9 9	«
О	о	о	...	0.
находим, что е^=е^ен. Матрицу e/f легко найти с помощью ряда (3),
поскольку 1Г = 0, где т — размер клетки J, а значит, в нем отличны от
нуля только первые г членов.
4.32.	Решить систему уравнений
>-5х+2»,
Решение. Частные решения этой системы ищем в виде
х = аеЛ/, у = реЧ Подставляя эти выражения в данную систему,
для определения аир получим линейную однородную систему
уравнений
(5—Z)a + 2p = 0, —4a + (—1—Х)Р = О.	(4)
Она имеет нетривиальное решение, если ее определитель
т. е. Z, = 1, Х2 = 3.
При Х = Х1 = 1 система уравнений (4) эквивалентна уравне-
нию 4а + 2Р = 0, одно из решений которого есть а = 1, р =—2.
Поэтому Xi = ef, у± =—2et является решением исходной системы
уравнений.
Подставив корень Х2 = 3 в систему (4), получим эквивалент-
ное ей уравнение 2аЦ-2р = 0. Одно из его решений есть а = 1,
Р = —1. Таким образом, найдено еще одно решение исходной
системы уравнений: x2 = e3f, у2 =— est. Поскольку
gt	g3f
— 2е* — е~st
= е« ф=0.
найденные два решения исходных уравнений являются линейно
независимыми, а следовательно, образуют фундаментальную
систему решений (базис пространства рещений),
Поэтому все решения исходной системы уравнений выра-
жаются формулами х — С±ег -ф C2e3t, у = —2C1et—C2e3t, где Ct
и С2—произвольные постоянные.
4.33.	Решить систему уравнений
dx г, .	du	,
-уг — Зх + у, -тг = — х + у-
dt '	dt	' v
Из всех решений выделить то решение, которое удовлетворяет
условию х (0) = I, у (0) = 0.
278
Решение. Составляем и решаем характеристическое урав-
нение:
. . « = 0, А,2—4А,+4 = 0, А.. = А.2 = 2.
—1	1—Л
Его корни равны, поэтому в данном случае не сможем найти
два линейно независимых решения исходной системы уравне-
ний в виде x = ae2t, у — pe2t (два линейно независймых реше-
ния данного вида не существуют). Можно найти одно решение
такого вида. Для него аир определяются из уравнения
а + Р = 0, одно из решений которого есть а = 1, р = —1. Поэтому
Xi(0 = e2t, г/1(0 = — e2t—решение исходной системы уравнений.
Еще одно решение исходной системы, линейно независимое
с найденным, ищем в виде х2 = (а-)-у/) e2t, у2 = (Р + 8t) e2t.
Подставляя эти выражения в исходные уравнения, получим
у + 2 (а + у/) = 3 (а + у/) + Р + ^,
6 + 2(Р + бО = — а—yf + p + б/.
Эти равенства тождественно выполняются тогда и только тогда,
когда а—у + Р = О, у+6 = 0.
Полученная алгебраическая система уравнений имеет два
линейно независимых решения, например а=1, Р=—1, у=6=0
и а = 1, р = 0, у = 1, 6 = —1. Следовательно, найдены два ли-
нейно независимых решения исходных уравнений:
Xi(0 = e2t, 2/1(0 = -^ И х2(0 = (1+0^,	г/2(0 = -^2‘.
Все решения начальной системы уравнений запишутся в виде
x = C1eit + C2(i + t)e2t,
у = —	— C2te2t.
Теперь легко найти решение, для которого х(0) = 1, г/(0) = 0.
Из уравнений 1 =Ci4-C2, 0 = — С\ имеем С\ = 0, С2 = 1. Иско-
мым решением является х = (1 + t)e2t, y — —te2t.
4.34.	Решить систему уравнений
-^ = 3x-|-2z/, $ = — х—у.
Решение.. Находим корни характеристического уравнения:
3 —А,	2
,	. =0, А,2—4А, + 5 = 0, A,12 = 2±i.
—1	1 — Л
Найдем комплексное решение x = aeKii, y = $eKii данной си-
стемы уравнений, соответствующее корню А^ = 2—i. Отметим,
что а и Р—комплексные числа. Числа а и Р определяем из
уравнений (3—A,j)a4-2P=0, (1 + i) a + 2р=О. Одно из его реше-
ний есть a = 1 — г, Р = —1; поэтому
х —(1—i)e(?_‘u, # = —
279
—комплексное решение исходной системы уравнений, которое
запишем в виде х = (1 —t)e2t (cos t — i sin t) = e2t (cos t—sin£ —
— i (cos 14- sin /)), у = e2/ (cos t—i sin t).
Известно, что действительная и мнимая части полученного
решения по отдельности представляют собой решение заданных
уравнений.
Таким образом, имеем два действительных решения исход-
ной системы:
Xi (/) = e2t (cos t—sin t), y1(t) = — e2*cos t,
x2 (t) = — e2t (cos t + sin /), t/2 (t) = e2t sin t.
Нетрудно убедиться, что найденные решения линейно незави-
симы, поэтому общее решение исходной системы уравнений
имеет вид
x=e2t((C1—C2)cos t — (C14-C2)sin t), у——e2t (C^cost—C2sin/).
4.35.	Решить систему уравнений
dx	,	du	,	dz	,
-rr = y + z-,	-^7-=x4-Z;	77- = X-\-y.
dt	'	dt	1	dt	'	v
Решение. Ищем решение в виде x — aeXt, у = РеЛ<, z=yeXt.
Для определения а, Р, у и X имеем систему уравнений
’ —Аа + р-|-у = 0,
. а + (—А)р + у = О,	. (5)
а + Р—Ау = 0.
Эта система имеет нетривиальное решение, если
— А
1
— А
1
1
1
1
1 =о,
— А
А’—ЗА —2 = 0,
т. е. если А! = 2, А2 = А3 = —1.
Корню Ах = 2 соответствует система из двух уравнений
(третье есть следствие первых двух):
— 2а + Р + у = 0,
а—2Р + у = 0.
Одно из ее решений а = 1, Р = 1, у = 1. Отсюда получаем одно
решение исходной системы уравнений: х1 = е2/, y = e2t, z1 = e?t.
Ранг матрицы системы алгебраических уравнений (5) при А=
= Аа = —1 равен единице, поэтому эта система сводится к одному
уравнению: а4-Р + у = 0. Это уравнение имеет два линейно не-
зависимых решения, напримёр а = 1, р = 0, у =—1 и а = 0,
Р = —1, у = 1. Каждому из лшх соответствует одно решение
исходной системы уравнений: х2 — е~\ у2 = 0, г2 = — е~*; х3=0,
Уз = ~ г3 = е"‘.
280
Определитель				
	е2/	е21	e2t e-t 0	—e~t		1	1 1 1	0 —1	= —3	0,
	0 —e~f	е~*	t=a	0 —1	1	
поэтому найденные решения линейно независимы и, следова-
тельно, образуют фундаментальную систему решений исходных
уравнений. Общее решение имеет вид x = CJe2t + C2e-f, у =
= С^21—Сзв~1, z = C1e2t—Cie~t4-C3e-t.
4.36. Вычислить eAt, если:
/О 1\	( 0 1\
л=\1 о) : 2) л =	1 О/
Решение. 1) По определению матричной экспоненты имеем
eAf = E + At-Y^+ ...
Вычислим матрицы Л^(/г = 2, 3, ...):
А3=А2А = ЕА = А, А1 = А2-А2 = Е-Е = Е.
Таким образом, Ак = А, если /г = 2р Ц-1, и Ак = Е, если k = 2р.
Поэтому
eAt = =E + At + E^+A^ + E~+... =
,А 0\ /0 1\ /1 0\	/0 1\ t3
\0 1J + M о/ + \о 1У2!+<1 о^зг+----
/2	/4	/3 t5	\
1 + ~2Г + IT + • ’ • * + ЗГ+ 5Г+ ’ ' ’ A /ch/ sh А
t + i + £+- 1 +-& + £+ •••/ <ShZ Ch^’
2) Как и выше, вычислим матрицы Ак:
Отсюда видно, что
Л** = (—])*£, Д2»+1 = (—1)М, £ = 0,1,2,...
281
Поэтому
e“ = E + At-E*~-A £ + £-£+ ... =
4.37. Вычислить матрицу eAt, если:'
1) Л =
3 —2\
4 -3j
Решение. 1) Собственные числа данной матрицы ^ = 1,
/ а Ь\
= —1. Найдем такую невырожденную матрицу Т = (
я	/1	0\
чтобы A = T~1JT, где ^ = (q । Для определения мат-
рицы Т получаем уравнение
fa b\f3 —2\ /1	3\f a b\
\с d) \4 —3 / — \0 —1 ) \с d)
или
/За-|-4Ь —2а—ЗЬ\ / а Ь\
\3c + 4d —2с—3d) \—с —d)'
Отсюда a-}-2b = Q, c + d = O. Одно из’решений полученных
уравнений есть а = 2, Ь — —1, с = —1, d = l, поэтому в ка-
честве Т можно взять матрицу
Нетрудно убедиться,
имеет вид
что обратная матрица к матрице Т
Г
2
Таким образом, справедливо равенство
<'3 —2\_/1 1V1 0V 2 —1\
ч4 — 3 J ~ <1 2/ V* —1)	1	1 /
282
Учитывая равенство ел, = Т-1елТ, имеем
/1 1\ Д 0- \ / 2 —1\ Д e-f \( 2 —1\
~\1 2До е-'Д—1 1ДД 2е-'Д—1 1)
Z2ef—е~*	—е*-\-е~1 \
~ \2ef—2е~* —е*А-2е~1)'
2)	Из уравнения
3—л	1
1	1	1 = 0, X2 —4Хф-4 = 0
находим собственные
как ранг матрицы
числа данной матрицы: Х1=Х2 = 2. Так
/3 — 2
Л —ХЕ Д
1
—1
равен 1, то жорданова форма
матрицы А имеет вид J =
Матрицу Т =
венства
такую, что A = T-1JT, определим из ра-
a b\f 3 1\ /2 \\f а Ь\
с d)\— 1 1/ \0 2Дс dj'
Для нахождения а, Ь, с и d получаем линейную систему
уравнений За—b — 2a-\-c, a + & = 2& + d, Зс—d = 2c, cA~d = 2d,
которая эквивалентна следующей системе: а—b—с=0, с—d-=Q.
Одно из решений полученных уравнений есть а = 3, Ь — 2,
с = 1, d=A. Таким образом,
Обратная к ней матрица имеет вид
Равенство Л = 7,_1771 запишем так:
283
4.38.	Вычислить матрицу eAt, если:
/ «
Л = п
1)
а
Решение,
где
1) Представим матрицу А в виде Л=а.Е4-0/,
/1 О
£ = (о 1
' О 1\
— 1 о/
Поскольку матрица аЕ коммутирует с матрицей 0/, имеем
gAt — guEtffi] t
Но eaEt ~ eaiE, поэтому eAt — eat -e^11. Матрица eft
в задаче 4.36:
найдена
( cos t sin t\
е/1=А
\—sin t cos/;
Поэтому
/ cos 0/ sin0/'
^3/1 —_ I
\—sin0/ cos0/
Таким образом,
f e^cosfi/ ea/sin0A
лЛ t —	• pfi I t — 1	)
\—e“zsin0/ eat cos fit J
2) Из уравнения
5 —Z	10
—2 —3—X ==0
находим собственные числа данной матрицы Лх=1—2i, Х2 =
= 1 Поэтому действительная жорданова форма матрицы
/ 1 2\
имеет вид J = l 2 1 )• Зайдем такую невырожденную дейст-
Za Ь\
вительную матрицу Т = {	что A = T~lJT,. т. е. чтобы
выполнялось равенство
/а b\f 5	10Х / 1 2\ /а 6\
\с dj —2 —3 / — —2 1 j \с dj’
или
/5а—2Ь 10а—36\ / а + 2с & + 2d\
\5с—2d 10с—3d)~ \—2а + с —2й-|- d)'
Для определения постоянных а, Ь, с и d имеем систему урав-
нений
4а—26—2с = 0, 10а—46—2d. = 0;
4 с—2d + 2a — 0, 10с—4d + 26 = 0.
284
Одно из решений полученной-системы уравнений есть а = 0,
/О —1\
Ь = —1, с=1, d — 2. Таким образом, Т = 1	2/‘ ^огда
/ 2 1\
Т~1=	)
V—1 о/
Равенство А = Т~ЧТ запишем так:
10\ f 2 1\/ 1 2\у —1\
—3 / Л—1 О А—2 1Д1 2Г
5
—2
Из решения и.
е" = е'
1 этой задачи следует, что
е‘ cos 2t A sin 2t\
— ezsin2/ е1со&21Г
поэтому
eAt =
ezcos2Z
'у— e^sin 2t
ef(2sin2/4-cos 2t)
— e1 sin 2/
ег sin 2Л /О —1\
е?соз2/Д1	2/“
5e<sin2Z	\
е* (cos 21 — 2 sin 2t))'
4.39.	Решить систему уравнений
7Г-Лх’
—2 —2\
4	4/
вычислив матрицу eAt.
Решение. Собственными числами матрицы А являются
/ а Ь\
S = 0, 2^ = 2. Найдем такую матрицу Т = [ А, чтобы
—2 —2
4	4
Перемножая матрицы в обеих частях записанного равенства,
получим систему уравнений для определения чисел а, Ь, с и d:
—	— —cA-d — Q. Эта система алгебраических уравнений
имеет решение а~2, Ь=1, с=1, d=l. Поэтому
/2 1\	/1 —1\
И 17’	1	2
Учитывая равенство A = T~lJT, находим
eAt
—e2t \/2
. 2е“Д1
17“
1\ / 2—е*	1— ем \
2 + 2е2? —1.4-2е«/
285
Таким образом, любое решение х(/) данной системы урав-
нений, проходящее при t — О через точку х0, запишем в виде
/ 2—e2t
х(0 = ^_2 + е2«
1 — e2t \
—1+2е27Х°
4.40.	Вычислив матрицу eAt, найти решение системы урав-
нений
. лд / 1	1 -А
~^ = Ах, х = [ ха 1, Л = 1 —1	2 —1 1,
\х8/	\ 2 —1	4/
/О\
удовлетворяющее условию х(0) = 1 1 !.
\0/
Решение. Собственные числа матрицы А определим из
уравнения
1—X 1	—1
—1 2—% —1
2	—1 4—%
= 0,
(Л—2)2(Х —3) = 0.
Имеем %1 = %2 = 2, А,3 = 3. Ранг матрицы
/—1	1 —1\
А—= 1—1	0—1
\ 2 — 1	2/
равен двум; следовательно, жорданова форма матрицы А имеет
вид
/2 1 0\
J = ( 0 2 0.
\0 0 3/
Матрицу
/ @а @12 й!з \
У = I fl2J О22 О23 )>
\«3f Oga @33/
для которой A = T~1JT, определяем из матричного уравнения
@н @12
@21 @22
,@31 @32
^is'X / 1
®23 )(	1
@33/ \
1
2
—1
2 1
0 2
0 0
012
@22
@32
Записав эквивалентную этому уравнению систему алгебраи-
ческих уравнений относительно а,7-, нетрудно убедиться в том,
что одно [из ее решений есть «и = 3, а1а=аза = 2, aai==aaa=a
“ О2з = Og£ — O33 — 1 ♦
286
Находим матрицы Т и Т~1:
/3 0 2\	/ 1 0 —2\
Т^1 1 11),	= (	0 1 —1 ).
\1 О 1/	1 0	3/
Так как
/е2< ieu 0 \
= [ о e2f 0 ),
\0	0 е8у
то
/	1	0 — 2\ /e2t	teu	0 \ /3	0	2\
ел* = (	0	1-10	e2i	0	( 1	1	1	=
1	О 3/\0	О	est/\l	О	1/
/	e2f(3 + 0 —2e3f	te2t	e2f(2 + Z)—2-e3f4
I	(fit (fit	(fit	g&t (fit
(3 + 0e2t + 3e3< — teu — e2j(2 +t) + 3e3i ,
Искомое решение исходной системы
уравнений имеет вид
/°\
x(t) = eAt( 1 )
\0/
4.41.	Найти решение системы уравнений
^- = Ах, х =
at
({\
удовлетворяющее условию х(0) = (^1.
Решение. Из характеристического уравнения
4
1 —к
—3—Я
—1
= 0, X2 + 2Z+l=0
находим собственные числа матрицы A: Z1 = Z, =—1. Ранг
матрицы
—3—(—1)	4	\ /—2 4\
-I l-(-l)J = <-1 2j
равен 1, поэтому жорданова форма матрицы А есть
Л—Хх£ =
287
(а Ь\	'
Матрицу 7' = ( J, для которой A = T~1JT, определим из
равенства
fa b\f—3
\с аД—1
4\ /—1	\\(а Ь\ '
1 / \ 0 —1 Дс dj’
системе алгебраических уравнений
которое эквивалентно
2a4-b4*c = 0, 2c + d = 0.
Одно из решений этой системы уравнений есть а = —1,
1	1\	•	/—2 —1\
b = 1, с — 1, d = —2, поэтому Т —	, о ), Т-1 = (	).
’	’	’	1	\ 1—2/’	1 —1/
Таким образом,
/—2 —1\ 7-1 i\tf — 1 1\
pAt — I	I л\ о — 1/ I	]
е	\ 1 — 2/
/1 А
= e_flg 1 ), окончательно имеем
Поскольку 0
/'—2	te-^f—l 1\
pAt = I	Н	и	I =
1 —1 До Г(У\ 1 —2/
2е-‘ —е-'(1 +2/)V—1	_ <(1 —2/) 4te-t \
_g-'(l-H) Д 1 —2/Д te-1	(l + 0e-f/
Искомое решение запишем в виде
/(1— 2Z)e-‘ 4te-1 yi\ /(1—2/)е~‘\
\ t-e~f (1 +/)<?“* До/ \ te~l )'
хх = (1—20e_f, х.2 —/е-г.
4.42.	Доказать, что если матрица Р (/) коммутирует со своим
интегралом, т. е.
P(/).J>(r)dr = $>(r)rfr.P(O,
то решения системы уравнений
-^ = Р(/)х	(6)
С Р (г) dr
выражаются формулой x(/) = eJ0 х0.
Решение. Покажем, что в данном случае матрицант си-
стемы уравнений (6) имеет вид
В самом деле,
А п	f Р (г) dr
4Q(O = eJo P{t).
288
Так как матрицы ^P(r)Jz- и P(Z) по условию коммути-
руют, то
(/	et
\ Р (г) dr	\ Р (г) dr
е'°	=
Поэтому
И	Р (r)dr
Кроме того, Й(0) = £'. Таким образом, все решения исходной
f * Р (г) dr
системы запишутся в виде x(Z) = ej0 х0.
4.43.	Убедившись, что матрица системы уравнений
4^-= х cos / + w sin t, = х sin t + у cos t
dt	1 J ' dt	' J
коммутирует со своим интегралом, найти решения этой системы
уравнений.
Решение. Матрица данной системы уравнений есть
sin Z\
cos Z j ’
/ cos Z
P(Z) = • r
' ’ \ sin Z
a
1 — cos f
sin t
A =
pt	( sin Z
P(r)dr = ,
Jo 7 yl —cos Z
Найдем их произведение:
pt	(	sin Z
P (Z)- \ P (r)dr = . , , .	...	,.
' ’ Jo v 7 \sin2 Z-j-cos Z(1—cos Z)
r>,	/	sin Z
\ P (r) dr • P (t) = 1 .	...
Jo 7	\sin2Z + cosZ(l—cosZ)
Итак, матрица P (Z) коммутирует co
этому матрицант исходной системы уравнений имеет вид
яп/ I-cosZV^in(n/ch (1—cosZ) sh(l—cosZ)\
-cos t sin t )
\sh(l—cos Z) ch(l—cosZ)/'
Зная матрицант (см. задачу 4.36), легко записать решения
исходной системы уравнений:
x(Z) = esini' (ch (1 —cos Z)x0 -]-sh(l —cos Z) p0),
z/(Z) = esin 7 (sh (1 — cos Z)x0 + ch (1 —cos Z) r/0).
с/х	/ ^i*\
4.44.	Найти решение системы уравнений! ~^- = Ах, x =
g ), удовлетворяющее начальному условию
sin2 Z+cos t (1—cos Z)^
sinZ	j'
sin2Z+cos Z(1 — cosZ)\
sin Z	у
своим интегралом, по-
Q(Z)=e
x
1 '
Ю № 2314
289'
Решение. Из уравнения
6—A	5
—10 —8—A
= 0, X24-2X4-2 = О,
определяем собственные числа матрицы А: Ах=—1—i, Аа =—l-f-t.
Так как они комплексные, то действительная жорданова форма
матрицы А имеет вид
—! 1\
—1 — 1}
Л4атрицу Т=
для которой
Л = 71-177', определяем
из равенства
6	5
—10 —8
которое эквивалентно системе уравнении
I la — 10b = c,
I 5a— 7b = d.
b = 2, с — 1, d= 1. Поэтому Т =
Одно из решений полученной системы уравнений есть а = 3,
/3 2\	/1 —2\
~	" 1 Р’Ч-! 3/
Легко вычислить

cos t
— e_/ sin t
e~l sin t'
sin t
(см. задачу 4.38).
f>At — (	1
1
Поэтому
—2\/	cos t
3) \ — e~f sin t
_ ~t/cos 14- 7 sin t
~e ( —lOsin/
е-г sin /\ /3
e~fcos t) \1
5 sin t \
cos t—7 sin t)’
Таким образом, искомое решение
...	..	./cos t-\- 7 sin t 5 sin/
x(t) = eMx0 =e~tI in . ,	, _ . .
v 0	\ —lOsin/	cost—7 smt
/	5 sin/ \
== 0 1 I	I,
\cos /—7 sin //
матрицу eAt, если:
0
0
a
4.45. Вычислить
1) Д =
°\
Р Г 2\Л = I О
а/	\ О
₽
а
О
О
°\
1 \
а/
а
а
о
о
а
О
О
1
О
а
299
Решение. 1) Положим В = (	„	], тогда eBt = eatx
\—р а/
/ cosp/ sinp/x .	т л 0\
Х( . д, д, ) (см. задачу 4.38). Так как Л = (п D ), то
\—sinf}/ cosp// '	J '	\0 В J
(cos pt sinpz	0	0	\
— sinpz cosp/	0	0	\
1	1	I
0	0 cosp/ sinpz j
0	0	—sinp/ cosp//
2) Представим матрицу А в виде Л=Л4-7, где
/ар	0	0\	/0	0	1	0\
/—Ра	001	/0001)
I 00	а	р ’ 7 у 0	0	0	0 )
\ 0 0 — р	а/	\0	О	О	О/
Перемножая матрицы Ли/, убеждаемся, что они комму-
тируют. Поэтому eAt = eAt • ец. Согласно результату задачи 4.38,
имеем
(cos pt
-sinpz
О
О
sin pt
cosp/
О
О
О	О
О	О
cosp^ sin р/
— sinр/ cospz
Матрица ен = Е -{- /, поскольку
72 = 0. Отсюда
1 — нильпотентная матрица;
/1 0 0 0\ /О
„ /0 1 0 0 \ , / О
—	1-4-
10010 FIо
\0 0 0 1/ \о
Таким образом,
О t 0\	/1	0	t	0\
О 0 t\	0	1	0	t\
ООО HI 0	0	1	0 j
ООО/	\0	0	0	1 /

О
1
О
О
Ч
о
о
<0
4.46.
	/ cospz	sin pt	0	°	\
eAt -е11	^pat[ -sinp/ “ I 0	cos p/ 0	0	0	] cosp/ sinp/ j
	\ 0	0	— sinp/ cosp//
t 0\	/ COS p/	sin p/	Zcosp/ Zsinpf
0 t	— Sinp/	cosp/	— t sin pt teas pt
1 0	F \ o	0	cosp/ sinpz
0 1/	\ 0	0	— sinP/ cosp/ ,
Вычислить матрицу еА		*, если:	
	/0 I 0\		/2 1 0\.
1) А	= ( 0 0 1);	2) A =	( 0 2 1).
	\0 0 0/		\0 0 2/
10*
,291
Решение. 1) Так как
/О	1	О\/О	1	О\ /О	О	1\
Л2 = ( О	О	1)0	О	1 =( о	о	о)
\о	о	о/ \о	о	о/ \о	о	о/
/О	0	1\ /О	1	о\ /о	о	о\
Л3=Л2Л = О	О	0 0	0	1=0	о	о),
\о	о	о/\о	о	о/ \о	о	о/
то ЛА = 0 для всех /?Z>3. Поэтому
/1	О	0\	/0	1 0\ /О 0 1\	1	т
eAt = l о	I	0 + 0	0 1 р+ о о о -£-=	о I	t	•
\0 0 1/ \о о о/ \0 О о/ vo 0 1 ;
2) Представим данную матрицу в виде
/О 1 0\
А ^2Е-\В, где В —[ О 0 1 )
\0 О О/
Матрицы 2Е и В коммутируют; тогда
gAt _ giEt + Bt __ gitE. gBt.
e2t'E =e2tE, eBt = q j
,0 0 1 .
Таким образом, — Q \ t •
kO 0 1
4.47.	Найти определитель матрицы eA, не
рицу еА, если:
/2	0	1\	/12
1)	А = О 1	2 ; 2) А = 3 2
\3 —1 —3/	\1 О
вычисляя мат-
3\
1 ’
—1 /
Решение. 1) Воспользуемся формулой Лиувилля—Остро-
градского:
с t
deteXi = eJ°
С1
Имеем det еА = е'0 Sp Mr = е° = 1.
с 1
\ 2 dr
2)	След матрицы А равен 2, поэтому detex = eJ° = е2.
292
г
4.48.	Решить систему уравнений
/хД	/10	2\
-77-	= Лх, х = ( х2 , Д=(	0 1 —1
W	\-1 0 —2/
и найти матрицу eAt.
Решение. Из уравнения
1—X
О
—1
О
1—X
О
2
—4
—2 —X
= 0, Х(Х2—1) = 0
находим собственные числа матрицы А: Х1 = 0, Х2 = 1,Х3 =—1.
Жорданова форма матрицы А имеет вид
/О 0	0\
J= 0 1 О
\0 0 —1/
/«и ц12
Матрицу Т = а21 а22
\a3i	«32
ляем из равенства
/«11	«12	«1з\	f	1
й21	а22	а23	I	О
\«31	«32	«зз/	\	1
которой А = Т rJT, опреде-
«13 у
«23 к ДЛЯ
«33/
Записанное матричное равенство равносильно системе ал-
гебраических уравнений аГ1 = а13, а22 = а22, а.21 = 2а.22, 2а31 = а33,
а]2 = 0, а23 = 0, а32 = 0. Одно из решений данной алгебраичес-
кой системы есть а12 = а13 = а22 = ц31 = 1, а21 = а33 = 2, а12 =
/1 0 1\	/20 —1\
= а,3 = а,32 = 0. Поэтому Т = [ 2	1	0 I	Т-1 = 1 —4	1	2 L
\1	0	2/	1	0	1/
Таким образом,
/20 —1\/1 О
eAt = 1—4 1	2 ) 0 ef
1 0	1/\0 О
/ 2— е-t О
= —4 + 2(е‘ + е-‘) е*
\—1	О
О \ /1
0 2
е~1 / \1
О А
1 0 =
О 2/
2(1-г~0\
—4(1—6-*) ).
2е-* —1 /
293
т
Решения исходной системы уравнений запишем в виде
/ 2—е~*	0	2(1—e~f)\
«(/) — ( —4 + 2(е< + е~<)	—4(1—e_f) jx0.
\—1+e-t	0	2е~' — 1 /
§ 23. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
Линейной неоднородной системой называется система вида
dX;	—___
' —ail (О Х1 ~га/а (0 х2 + • • • + a/«Xn A~fi (Ot i=h tl,
или в векторной записи
dx
-^ = Л(/)х + /(/),	(1)
где х —вектор с компонентами xt, хп; Л (/) = {а у (?)} —матрица,
компонентами которой являются функции О у (/); f (t) —вектор-функция
с компонентами /7 (t).
Систему линейных неоднородных уравнений можно решать путем
приведения их к одному уравнению более высокого порядка методом
интегрируемых комбинаций или методом вариации произвольных постоян-
ных. Последний из названных методов применяется в том случае, если
удается решить соответствующую однородную систему уравнений
dx
~^A(t)x.	(2)
Если
х = X (Z) с,	(3)
где X (/) — фундаментальная матрица системы (2), с — произвольный по-
стоянный вектор, (3)—-общее решение однородной системы (2), то общее
решение системы (1) ищем в виде X = X(t)c(tj. Компоненты с/(/) векто-
ра с (/) определяются из системы уравнений
de
Общее решение линейной неоднородной системы есть сумма общего
решения соответствующей ей однородной системы и какого-нибудь од-
ного решения неоднородной системы.
Для линейной неоднородной системы с постоянными коэффициента-
ми, т. е. системы (1), в которой матрица X(Z) = 4— постоянная, в неко-
торых случаях частное решение может быть найдено методом неопреде-
ленных коэффициентов. Это можно сделать в том случае, если функции
fi (/) состоят из сумм и произведений функций b = bit-\-.. ,-\-bmtm, eat,
cos pz, sin PZ.
В случае, когда fi (Z) — Pmi (Z) где Pmi(t)— многочлен степени
т^, частное решение системы (1) ищем в виде
Xi= Qm+stfleW,	(4)
где Qm+s — многочлены степени m + s с неизвестными коэффициентами,
m max /п,-, s = 0, если у не является собственным числом матрицы А, а
если у—собственное число матрицы А, то s можно взять равным крат-
ности этого числа (или, точнее, s на единицу больше наибольшей из сте-
пеней многочленов, на которые умножаются eV* в общем решении одно-
родной системы),
294
Неизвестные коэффициенты многочленов Qm+s определяются путем
подстановки выражения (4) в данную систему и сравнения коэффициен-
тов подобных членов.
Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда
fi(t) = Рт. (t) eat cos ₽/ -ф Rf/. (f) e& sin рф
a y = a+ip является собственным числом матрицы А.
4.49.	Решить систему уравнений
^ = z/-5cos/, % = 2х+у.
Решение. Одним из методов, рассмотренных в предыду-
щих примерах, найдем общее решение соответствующей одно-
родной системы:
x0.0 = C1e~t-^C.2e2t, у0.0 = -С1е-* + 2С2е2'.
Частное решение неоднородной системы найдем методом не-
определенных коэффициентов, полагая
х = Л1 sin t -ф Bi cos t, у = Аг sin t -J- B2 cos t.
Подставляя эти выражения в данную систему уравнений, по-
лучим уравнения для определения коэффициентов А2, Blt А.,
В.,: Аг—В, = — 5, В1-фЛ2 = 0, А2 — 2В1 — В.2 = О, 2А1 + В2 +
+ Л2 = 0.
Решая эти уравнения, найдем At =—2, Вг = —1, Л2 = 1,
В2 = 3. Общее решение данной системы уравнений запишем в
виде
х = Сфе*4 -ф C2e2t— 2 sin Ф—cos/,
у = — Се~* -ф 2C.2e2t -ф sin t -ф 3 cos t.
dx
4.50.	Найти решение системы уравнений -^- = 2х-\-у—
—	— 3,	= — х-ф2у—1, которое остается ограниченным
при t —> оо.
Решение. Найдем все решения данной системы. Соответ-
ствующая ей однородная система
Ф = 2х+9, >—^ + 2»
/ cos t sin t\	_n
имеет матрицант e2t (	) (см. задачу 4.39, п. 1). За-
\	’ SIH v COS t J
пишем все решения однородной системы уравнений:
x0.0 = e2f(C1cos/ + C2sinO, у0.0 = еМ(—sin /-ф С2 cos/).
Частное решение неоднородной системы ищем в виде
х2 = (Л^ -ф Л2/) е~* -ф Л3, y2 = (BiA~ B2t)e *А~В3.
2S5
Подставляя эти выражения в данную систему уравнений, оп-
ределим неизвестные коэффициенты А; и Bt (i = l,3):
ЗЛХ—Л2—В1 = 0, 2Л2ф-В2 = 7, ЗВ,— А — В2 = 0,
2Л3ф-В3 = 3, Л3 —2В3 = —1, ЗВ2 — Л2=0.
Имеем Лг = 4, В1 = 4, Л2 = 3, В2 = 1, Л3=1, В3 = 1. Част-
/5	\
ное решение неоднородной системы есть хч н> = ( ф-Зм е~* ф-1,
Уч.и. = (-4 + Ч е~г + 1 • Общее решение данных уравнений имеет
вид
x = e2?(C1cos t ф-С2 sin t) ф-	-фЗ/^ e~l + 1,
y = e2t(— C^sin t ф-С2 cos t) ф-	ф-1) e~t ф-1.
Среди всех решений данной системы уравнений ограниченным
при t — оо является только одно решение: х= ^уф-3/je-' ф-1,
г/= (•^ф-^') e~f-|-1, lim х(/) = 1 и lim y(t) — l.
\ ’	/	/->00	t -> да
4.51.	Решить систему уравнений
^ = 2х + г/ф-2^, ^ = х + 2у-3е^.
С* v	НС
Решение. Находим корни характеристического уравне-
ния соответствующей однородной системы:
27Х * =0, А2 —4Аф-3 = 0, А1 = 1, А., = 3.
1 2Л
Общее решение однородной системы есть
^о.о = C,ef ф- C2e3t, у0.0 = — С,е* ф- C2e3t.
Поскольку А—корень характеристического уравнения одно-
родной системы, частное решение данной системы ищем в виде
хч. н. = (^1 +	е* 4~	Уч. н. = (®i + B-zt) et + Bseif.
Подставляя эти выражения в данную систему, получаем урав-
нения для определения неизвестных коэффициентов Л,-, В;
— А, ф- Л2—В, — 2, Л1ф-В1 — 52 = 0, Л2ф~В2 = 0,
2Л3 — В3 = 0, 2В3 —Л3 = 3.
Из этих уравнений находим Лх = 0, Л2 = 1, Л3 = —1, В, = —1,
В2 = —1; В3 = —2. Частное решение неоднородной системы
хч. и. = —eif, уч.н. = —	—2elf, а ее общее решение
х = C,efф- C2e3tф- tef—elt, у — — Cef ф-C2e3t—(t ф-1) ez—2e4f.
296
4.52.	Решить систему уравнений
-^ = x + f + /ch/, -^ = f + r/ + ^shO
Ut ,	L	Lit I
Решение. Сложив почленно оба уравнения, получим ли-
нейное уравнение с неизвестной функцией х + у:
~(х + у) = (1 + j-) (x + y) + tef.
Решение соответствующего ему однородного уравнения есть
x-\-y = C1tet. Решение неоднородного уравнения ищем в виде
х +у = Сг(1) te(. Функцию C1(t) определяем из уравнения
= т. е. С1(/) = /4~С1. Таким образом,
хф- у = С^е(+ t2ef.	(5)
Вычитая почленно из первого уравнения данной системы
второе, имеем -^-(х—= —у) (х—y) + te~(. Отсюда нахо-
дим
х—у = C2te~f ф- t2e~*.	(6)
Из уравнений (5) и (6) получим
х = у (С^ +	4-t2 ch t, y = Y (СгеА—С2е~г) -фt2 sh t.
4.53.	Решить систему уравнений
Решение. Общее решение соответствующей однородной
системы есть x = C1elJrC2e~t, у -С^е1—Се~'.
Общее решение данной системы уравнений ищем в виде
x = C1(0ef + C2(0e-f, y = C1(t)^-C2(/)e4	(7)
Функции С, (/) и С2 (/) определяем из уравнений
Gj (0 + С-2 (0 e~f = О, С[ (/) е1— Ci (t) е~(	In О
Ci (/) = 1	± + In t), Ci(t) = -±-ef(± + In z).
Отсюда получим
С1(0 = -^-'(т + 1пО+С1, C2(0 = 4^(l-In^ J-C2,
где С, и C2 — произвольные постоянные. Подставляя найденные
выражения в (7), находим общее решение данной системы:
х = С1е-фС2е_*— In t, у = Сге—C2e~f—р
297
4.54.	Решить систему уравнений
^t = y+^2t— 1. § = — x+tgt.
dx
Решение. Общее решение однородной системы & = у,
— — х есть х = С\ cos t + С2 sin t, у — — C\sin /4-C2cos t (см.
задачу 4.37, п. 1).
Решение неоднородной системы ищем в виде х = ^ (/) cos/4*
4- С, (/) sin t, у = — С, (t) sin t + C2 (/) cos t.
Для определения функций Cx (t) и C2 (t) имеем уравнения
(/) cos t-\-C'2(f) sin t = tg21 — 1, —C[(t) sin t + C2 (t) cos / = tg t.
s in3 t
Отсюда Cj(/) =— cos/, C2(t) — -2. Интегрируя, находим
Сг (/) = C\— sin t, C2 (/) = C2 + -gy -|-cos t. Поэтому x—Cxcos /+
4- C2 sin t + tg t, y = — Cx sin t 4- C2 cos /4-2.
4.55.	Решить систему уравнений
J = 3x + y4-4-41n/, g = -x + y + |.
Решение. Общее решение однородной системы есть х =>
— (С, -С, (1-- /)) е2( (см. задачу 4.34).
Решение неоднородной системы уравнений ищем в виде
х=(С1(/)+с2(0(1+0)^, у = -(С1(0 + с2(/)/)е«	(8)
Для определения функций С, (/) и С2 (/) имеем систему урав-
нений
e2t4Ci (0 + (1 +0 С2 (/)) - у"4 ln ~е*	+tC'^ = Т •
Отсюда находим
СД/) = —e~2f (24--J- —4Лп/) , СД0=(т—41п/)е"2#.
Интегрируя, имеем С1(/) = С1—e2Hn t (1 +2/), С2(/) = 2е“2Чп/.
Подставляя эти выражения в (8), получим общее решение ис-
ходной системы:
х = (С14_С2(1 4-/))e2f + Int, у = — (Ct4~О2/)e2f4~Int.
4.56.	Решить систему уравнений
^ = 3х + 2у4-3е« ^ = х + 2у4-Л
Решение. Рассмотрим однородную систему
a=x+2»-	<
,298
Ее решение ищем в виде х = аеи, у = $еи, где X—корень урав-
нения
|3ТХ Л =0, V — 5Х + 4 = 0, т. е. Х1=1, Х2 = 4.
Соответствующие корни \ = 1 значения аир определяем нз
уравнения 2а-|-2|3 = 0. Одно из решений этого уравнения есть
а = 1, р = —1. Поэтому x1—-et, у, = — e~t — решение однород-
ной системы. Значения а и Р, соответствующие второму корню
Л, = 4, определяются из уравнения —а + 2р = 0. Числа а = 2,
р= 1 удовлетворяют этому уравнению, поэтому x2=2e4/, у2=е41—
решение однородной системы. Общее решение однородной сис-
темы имеет вид х = С^-}-2C2e4t, у== —	+ C.2e4t. Решения
данной системы уравнений ищем в виде
x = C1(t)efA'2C2(t)e4t, у =— C1(t)et-rC.,(j)eil. (9)
После подстановки этих выражений в начальную систему
уравнений получим Ci(t)efA~2C2(t)e4t=3e2t, — Ci(t)el-\-C^(t)e4t=е2/.
Отсюда Q(Z) = — ef, C'2(t) = + 4-е~2Г, или C1(t) = -^-et + C1,
О	О	о
о
с2(0 = -4^-^+с2.
Подставляя найденные значения Сх (/) и С2 (/) в (9), полу-
чим общее решение данной неоднородной системы: х = С1е/ +
A-2C2e4t—e2f, у = — C1ef + C,e4Z—e2t.
4.57.	Решить систему уравнений = t^-f-sin at, = — х.
Решение. Корнями характеристического уравнения соот-
ветствующей однородной системы являются = — i, K2=-i.
Общее решение однородной системы есть х — С\ cos t + С2 sin t,
у = — (\ sin t + C2cos t. Частное решение неоднородной системы
ищем методом неопределенных коэффициентов.
Возможны два случая: а) со 1; б) со = 1. Рассмотрим слу-
чай а). Если <0=^=1, то частное решение неоднородной системы
ищем в виде
хч н = Лх sin at -pBi cos at, уч.п = Л2 sin at + B2 cos at.
Подставляя эти выражения в данную систему уравнений и
приравнивая коэффициенты при sinco£ и coscof, получим урав-
нения для определения величин Alt Bit А2, В2:
аА1 = В2, А2-\-аВ1 = —1, соЛ2-|-В1 = О, соВ2 = Лх.
Отсюда находим Л^О, Л2 =	, 5Х = —	, В2 = 0. Ис-
комое частное решение есть
со	,	1	.	.
хч н =----: cos at, уч „ = -т,- , sm at.
ч.	н	--- 1	’ Н ---------. |
299
Поэтому общее решение запишем в виде
х = С1 cos/ + C2sin/—j cos
у = — Сг sin t + С.г, cos t + -21_1 sin <о/.
Рассмотрим случай б). Если ю=1, то частное решение не-
однородной системы ищем в виде
хч н = (Л г -1- A 2t) sin t -1- (Лз -1- А cos t,
Уч. н = (#1 + B2t) sin t + (B3 + BJ) cos t.
Подставив эти выражения в данную систему уравнений,
получим уравнения для определения коэффициентов Л,- и В,-
(1 = 1?4): A1-\-Ai = B3,A2 — A3—B1-1r}, В24-Л4=0, Л2-В4=0,
Вх + В4 + А3 = 0. Из этих уравнений находим Л4 = Л3= Л44-В2—
=В3=0,В1-——1/2, Л2 = В4=--1/2. Таким образом, искомое частное
решение есть
Хч. H=4SinZ’ #ч.н= — 4 ^/ + 4 COS/,
а общее решение имеет вид
х = С4 cos t + С2 sin t + 4 sin t,
у — — sin t + C2 cos t—sin /Д- 4 cos t-
4.58.	Решить систему уравнений
J = — 2x + 3z/ + 4z—3/,
 ^ = —6x4-7y + 6z + l —7/,
at	»
di	!	। г
^ = x—y^z + t.
Решение. Характеристическое уравнение соответствующей
однородной системы имеет корни X4 = l, Z2 = 2, 7.3 = 3. Реше-
ния однородной системы ищем в виде х = аеи, y^fie'-‘, z — yeu.
Частные решения однородной системы, соответствующие каж-
дому из корней характеристического уравнения, таковы:
х4 = ег, у2=ег, z4 = 0; х2 = е-‘ , у2 = 0, z2 = e2/,
х3 = е34 f/3 = 3e3t, z3 = — e3t.
Эти решения образуют фундаментальную систему решений од-
нородной системы, поэтому ее общее решение имеет вид
х = С2е( 4- С2еп + С3е3/; у — Сгег 4- 3C3e3i; z = C2e2t — C3e3t.
Частное решение неоднородной системы ищем в виде х=(Л14-В1/),
1/ = Л24-В2/, и = Л34-В3/. Для определения коэффициентов Л,-
300
Рис. 43
и В; получаем уравнения:
В, + 2А,—ЗД2 —4Д3 = 0, — 6В, + 7В2 + 6В3 = 7,
—2В, 4 ЗВ2 -j- 4В3 = 3, В3—-Xx4-42— Аз~6,
В, + 6А, — 7Д2—6Д3=1, В, — 52 + вз = _1.
Решая эти уравнения, находимВ2 = 1, А, = А.,= А3 = В, = В3=0.
Частное решение неоднородной системы есть х = 0, y=t, z=0.
Таким образом, все решения исходной
системы уравнений определяются вы-
ражениями
х = C,ef 4- C2e2t 4- C3e3t,
у = C,ef -4 3C3e3f + t, z = C2e2t— C3e3t.
4.59.	Тело брошено под углом а к
горизонту с начальной скоростью у0.
Считая сопротивление воздуха пропор-
циональным скорости движения, найти
закон движения в зависимости от времени и траекторию дви-
жения тела.
Решение. Пусть тело движется в плоскости хОу, где Ох—
горизонтальная, а Оу—вертикальная прямая (рис. 43). За на-
чало координат возьмем точку О — начало движения тела.
Считаем, что масса т тела сосредоточена в одной точке. На тело
действуют две силы: сила тяжести тела P = mg, направленная
вниз, и сила сопротивления воздуха Q, направленная противо-
положно вектору скорости движения: Q = — ktnv. Согласно
второму закону Ньютона, запишем уравнения движения тела:
d2x	. dx d2y	, dy
m-r^^ — nik-TT, ni-r£ = — mg—mk-£,
dt2	dt ’ dt2 a dt ’
ИЛИ
d,2x_______________	, dx d2y_	,dy
dt2 ^dt’ dt2 Z~~kdt'
Интегрируя эти уравнения, находим
х = ^е-« + С2; y = -Z.t-^e-M + C,.
Обозначая проекции начальной скорости ц, на оси Ох и Оу
соответственно через р и q, т. е. p = v0cosa, <7 = uosina,
из начальных условий х(0) = г/ (0), ^(0) = р, ^(0) = <? нахо-
дим постоянные интегрирования: С, = р, С2 = ^, С3 = g + kq,
Таким образом, координаты тела со временем изменяются
согласно формулам
301
Из этих уравнений видно, что со временем абсцисса х увели-
чивается, асимптотически приближаясь к пределу —, ордина-
та у — оо.
Производная обращается в нуль при t — x, где т удов-
летворяет уравнению
(4 + ^) •	^- = 0, т. е. т = ^-1п (1+^).	:
В этот момент х траектория достигает наибольшей высоты
Рис. 44
сти от времени изменяются
М (рис. 44), а затем опускает-
ся вниз, приближаясь к верти-
кальной асимптоте Х=-£.ИСКЛ tO-
ft
чая из уравнений (10) неза-
висимую переменную t, находим
уравнение траектории движения
тела:
/ g .	\ X , g , I, kx\
У = 4 + <7 — + Й In 1-----•
Координаты х, у в зависимо-
по закону
tin cos a,, _br.	1 f g .	.	\ _ЬА gt
x = -^—(l~e kt), z/ = -^-|- + yosin<zJ(l—«)—
Траектория движения тела определяется формулой
{ g ,	.	\ X . g . (, kx \
у = -г 4-у0 sin а-------h&ln 1----------.
J \k 1 и j v0 cos a	\ v0 cos a)
4.60.	Дифференциальные уравнения движения свободной
материальной точки относительно земного шара под действием
силы тяжести имеют вид
d2x п du d2g п dx , d-z
= _2(0-4 -4 = 2(0-77— geos ср, —7 = — gsintp,
dt2	dt ’ dt2 dt &	dt2
где (p—широта точки, (о—угловая скорость вращения земного
шара. Определить зависимость положения точки от времени,
если при t = Q точка находилась в начале координат.
Решение. Дифференцируя обе части первого уравнения и
d-’zy
подставляя вместо его значение из второго уравнения, по-
лучим относительно x(t) линейное дифференциональное урав-
dx
нение третьего порядка: + 4ы2 = 2og cos <p.
Общее решение однородного уравнения, соответствующего
данному, есть x00 = C1-|-C2cos2(o/4-C3sin2(i)/. Его частное
решение ищем в виде хч. и=at Ц- b.l Легко находим, что
302
a gc°s Ф & = 0. Таким об разом,	:
х = С1ф-С2 cos 2&t + С3 sin 2(о/ 4-*? t (11)
Из первого уравнения имеем
^7 = — v-^4 = 2C2cocos2(o/ + 2C3a>sin2co/.
at 2(o dt- z	i о
Отсюда
z/ = C2sin2(oZ—C3 cos 2(о/-j-C4.	(12)
Наконец, дважды интегрируя третье уравнение данной сис-
темы, находим г =— yg72sin ф + С5£ -)-С6.
Вводя в равенствах (И) и (12) вместо постоянных С2 и С3
новые постоянные Л и 0 по формулам С.2 = A cos 2(00, С3=
= — A sin 2oj0, преобразуем указанные равенства к виду
х = С, + A cos 2(о (/ + 0) +8-^^ t,
у = Ci 4- A sin 2со (/ + 0).
Из начальных условий x = y = z = 0 при / = 0 находим
С1 = — A cos 2(00; С4 = — A sin (00; Св =.0. Окончательно получим
х = — A cos 2(00 cos 2(о (/ ф- 0) -4- —t,
у = — A sin 2(00 -ф sin 2(0 (I -ф 0),
z = — -g- sin q>g72 -ф Ct
(здесь вместо C5 написано С).
Зависимость положения точки от времени определяется
уравнениями
х = — A cos 2о)0 -ф cos 2(о (t -ф 0) -фt,
у = — Л sin 2(00 sin 2(о (/-|-0),
z = — у g72 sin (р + Ct.
4.61.	Материальная точка М единичной массы движется на
плоскости хОу, притягиваясь точкой 0(0; 0) с силой, пропор-
циональной расстоянию между точками М и О. Найти закон
изменения координат точки М в зависимости от времени, если
х(О)=хо, у(0) = 0, х(0) = 0, y(0) = vo, и траекторию этого дви-
жения.
Решение. Обозначим коэффициент пропорциональности
через /г2. Поскольку действующая на точку М сила совпадает
по направлению с вектором МО, а ее величина равна k2\OM\ =
е= k2 Кх2.-ру2, проекции силы на координатные оси Ох и Оу
303
равны соответственно k*x и k*y. На основании второго закона
Ньютона составляем уравнения движения: =— k^x,
=—kty. Их решения имеют вид х = Cr cos kt -j- С.2 sin kt,
у = С3 cos kt + С4 sin kt. Из условий определяем значения про-
извольных постоянных: Сх=х0, С2 = 0, С3 = 0, С4 = у. Окон-
чательно имеем x = xQcoskt, y — ^smkt.
Исключая из этих равенств независимую переменную t, на-
ходим
\X0J	’
т, е. траектория движения точки М—эллипс.
4.62.	Найти траекторию движения электрона в однородном
электрическом поле напряжения Е, если в начальный момент
известны направление и величина начальной скорости электрона.
Решение. Спроецируем прямоугольную систему коорди-
нат на плоскость так, чтобы ось Ох совпадала с направлением
напряжения поля; пусть <р — величина угла между направле-
нием начальной скорости и положительным направлением оси Ох.
Найдем проекции вектора напряжения поля на оси координат:
На электрон с зарядом е. в любой точке поля действует
сила, проекции которой на координатные оси таковы: еХ..--еЕ,
еЕу = 0. Поэтому на основании закона Ньютона уравнения движе-
ния имеют вид/л	= т—масса электрона. Отсюда
имеем ^ = е —Z + Cj, ^7 = С2. Так как при / = 0
dt т ' dt 2	г
о dx I	n dy I	.	г,	л
^==3f|/=o==!?oC	L=o=!7oSincp’то Ci=v°cos ф,
— o0sin<p; следовательно,	14-y0 cos <p, = va sin <p. Интег-
рируя эти уравнения, получим
fF
* = 2m + C0S ф + С1*’ У = Vat Sin ф + С*г'
Изначальных условий (/=0,	находим, что С4—G —0.
еЕ
Окончательно имеем х = Е + cos Ф> У = v3t + sin ф. Исклю-
чая из этих равенств t, получим уравнение траектории дви-
жения электрона:
X = о--гЕ- -Г ' У2 + У ctg ф.
2mi>2 sin2 гр-7 1 J ь 1
4.63.	(Задача о гашении колебаний.) На тело массы тг,
подвешенное на пружине (рис. 45), в вертикальном направле-
304

нии действует возмущающая сила f = u sin vt. Чтобы уменьшить
амплитуду колебаний этого тела, к нему также на пружине
прикрепляется другое тело массы т2. Каковы должны быть
масса т2 второго тела и коэффициент упругости пружины,
к которой оно прикреплено, чтобы тело массы '/////////////^.
тг не совершало колебаний с частотой v вынуж- J
дающей силы /?
Решение. За исходное положение примем
положение равновесия этих двух тел. Обозначим	»
через х и у вертикальные смещения центров тя- — fey '7
жести этих тел во время колебаний. Обозначим
силы упругости, действующие на два тела, соот-	<
везственно через Ft и F2. Согласно закону Гука,	д н|
F1 = k1(x—у), F,^ky, где klt k2 — коэффициенты
упругости пружин (растяжение нижней пружи- т\ f
ны равно разности х—у смещения ее кон- Рпс 45
цов).
На тело массы гщ действует сила —F,, направленная вверх
(при х > у); на тело массы т, кроме возмущающей силы /
действуют еще сила —F2, направленная вверх (при у > 0), и
сила Fj, направленная вниз (при х > у). На основании вто-
рого закона Ньютона составляем уравнения движения: mi^p==
= — Fj т2^ = f(t)— F24-Flt или, учитывая выражения для
Fn F2 и /, имеем
mi 5F = ~ klX +
т2 = — kyj ф- k± (х—у) ф- и sin vt.
Если ооозначить — = а;-------= р;------ = у: — = 6;—=Е.
т!	т2 т2 тг ’
то приходим к системе уравнений
Xf ф- ах ф- Рр = 0, Xf 4-ух ф-бг/= £ sinv/.	(13)
(Л 6	til
Дифференцируя дважды первое из этих уравнений и иск-
лючая у, для определения смещения x(t) получаем линейное
дифференциальное уравнение четвертого порядка:
+ (“-г б)	+ (аб ф- Ру) х = — Др sin vt.
Характеристическое уравнение, соответствующее однородному
уравнению, есть V ф- (а ф- 6) /3 ф- (аб—Ру) = О. Отсюда =•--
— (афб) ± УДа+б)2 —4 (аб — Ру)
= —1—!— ------1. Подкоренное выражение
(аф-б)2—4 (аб—Ру) = (а—б)2-ф4|3у > 0, поэтому выражения
и Х2—действительные. Так как Z24-X2 =— (аф-б)<0 иЛ1-Х|=
— аб—Ру = — . — > о то < 0, 12 < 0. Обозначив
305
и = — и|, найдем корни характеристического уравнения:
Х = <о11, Х =— (Oil, X —<o2t, Х = — ®2i и общее решение одно-
родного уравнения запишем в виде
х (/) = Сх sin (OjZ + С2 cos coj/ 4- С3 sin ю2< + С4 cos <s>2t
или
x(t) = Ai sin («ц/ + 0i) + sin (co2/ 4- 02).
Величины (ox и co2 называются частотами собственных колеба-
ний системы. Предполагая, что частота v вынуждающей силы
f(t) отлична от (ох и со2, частное решение неоднородного урав-
нения ищем в виде x1 = asinvi (здесь нет смысла искать реше-
ние в виде a sin vt A-bcosvt, так как неоднородное решение
содержит только производные четного порядка, а в правой
части нет члена с cosvQ.
Для определения постоянной а получим уравнение
[v4— (ос 4- 6) v2 4- (осб—Ру)] а = — РЕ.
Отсюда а =-----?——а-- . Следовательно, общее ре-
V4 — (ос-J-о) v24-(ao — ру)	’	г
шение неоднородного уравнения имеет вид
х = -1--7—, -Ь-?~г ГЁ—йт sin vt 4 At sin (cOj/ 4- 0J 4-
v*—(a -J- o) v2 (ao — By)	1 v 1 1 u
+ A2 (Sin b)2l +0г)-
Так как из первого уравнения системы (13) следует, что у =
1 ( d2x \
==—р- ( ах 4-	, то, подставляя в это выражение найденное
решение х, получим
У = ^_(46)v4(w6_-pT) sin----------------Sin(cOi/ + 0i) +
4-	Sin	_p e2).
Отсюда видно, что тело массы т2 не будет совершать коле-
баний с частотой v вынуждающей силы, если v2 = а, т. е. если
v = Ka= 1/ Но 1/ ——это собственная частота гаси-
r mi	г тг
теля колебаний (тела массы подвешенного на пружине с коэф-
фициентом упругости fej). Таким образом, чтобы максимально
уменьшить колебания тела массы т2, нужно массу т1 и коэф-
фициент упругости kt подобрать так, чтобы частота свободных
колебаний гасителя совпадала с частотой v возмущающей силы.
Задачи для самостоятельной работы
Решить системы уравнений:
, dx t dy t _ dx . n dy „	, , ,
1. -T7-=—, -17- = . 2. = x + y, 2x-~- = y2 —x241.
dt у dt x dt я dt
dx__ у	dy__ x	dx_dy__ dz
dt	(x—y)2 ’	dt	(x—y)2'	' xz	yz	—xy'
306
5	dx dy _ dz	dx ____dy _____ dz
' У~х x-\y — z~ x — y ’ ‘ x (y — z)~ z2+ хг/—г (x + z) ’
Проверить, являются ли соотношения <р (/, х, у) = С первыми интег-
ралами системы уравнений:
7-^- = ~У'	+	<f2 = y2 — t2x2.
8	. -^-=z/2 — cosx, ^- = — у sinx- <рх=2/ cosx — Iny, <p2=3ycosx—ys-
Решить системы уравнений:
_ dx o	dy	dx	dy
9	.— = 2y,	= 2x. 10. —- = x — y, -~ = y—4x.
dt	a	dt	dt	dt
,, dx , . dy „	dx n , _ dy
Ц. _ = _л + 4у1 -^Зу-х. 12. Г2х+5у, r-x + 4y.
. „ dx , o dy	dx r dy
A3-~dT = x^2y’ -dt- = 4x + 3y- ,4’ -dT= x~oy’ M=2x-y-
, c dx	dy	dx	dy „ ,
15‘ ~dF = x~y’ Гх+Зу- ,6’ ИГ = х~3у’ 7i-	3x:!-
17-~ЗГ=3х~у’ 1Г = 4х~у- ,8‘ dT = 5x+3y’ ~dr^~3x~y-
19	. Вычислить матрицу е4, если:
а>л-(! t); б,л-(» з)’в)л~(—I ;)•
Решить системы уравнений:
20.	dx	21. __ = _3х + 4У-2г,	f dx . ir=4x-y>
	tx^z dt	' ’	{ ^L=3x + y-z
	— 6x — 6^-|-5z.	1 dz I dF = x + z-
22.	dx 0 ,	,	23. ( -dT = 2x + y + z'	^T = — x + y-'-z, dt
	—y- = —2x — z,	'	dy —d— = x-y-r-z.
	dt	’	1	dt	J '
	^=2x+y + 2z.	dz	, — =x + ,-z.
„. dx 24. —		= Ax,	Mi A x=	, \ Xo /		Л= I	<1 —2\ k2 —3/	
	dt						
25.	dx dt	= Ax,	X	= ( Xl\ \X2 ) ’	A =	/1	2^ \ 2 — 2,	•
26.	dx dF	= Ax,	X	\ X -2 J	Л =	/ a —1' \1	•
27.	dx ~dt	= Ax,	X	f Xj\ =G;)’	л =	/2 —1 \1 —1	
28.	dx dt	= Ax,	X		л=(	/2	0 1 —1 k3 —1	—К 0). —1/
Ж
.	/хх\	/'	~1	—1\
29. 4£=Дх, х = х2 , Д = ! 110).
dt	\xj	\з	0	1/
/xt\ /4 —1 Ох
30. -^-=Ах, х = х2 ), А= 3	1	-1 ).
dt	\x3J	\1	О	1/
/—3	2 2\
31,^£ = Лх, д= -3 -1 1 .
dt	\— 1	2 О/
/ О 1 К
32.	~ = Ах, А =	110).
dt	\— 1 О 1/
33.	Найти detc^, не вычисляя матрицы еА, если
/ 1 ° Зх
Д = (—1 2	0).
\ 0 1 — 1/
Л..
34.	Доказать, что собственные числа матрицы еА равны е ', где %,—
собственные числа матрицы А.
35.	Пусть вещественные части всех собственных чисел матрицы А
отрицательны. Доказать, что lim dete^# = O.
00
36.	Доказать, что линейная система
—А(Г1-(а{Г>
интегрируется в квадратурах, и найти матрицант этой системы,
f * А (т) dx
37.	Доказать, что матрица А'(/) —является матрицантом
дх
линейной системы -^- = A(t)x тогда и только тогда, когда матрица A (t)
St	с t
А (т) dx = \ А (т) dx А (/).
О	J о
38.	Найти матрицант системы уравнений-^-= Д (/) х, в которой мат-
рица А (/) имеет вид
(a(t)	1	0	...	О	О
О	а (/)	1	...	О	О
.......................
О	О	0	...	а (/)	1
О	О	0	...	О	a (Z)
39.	Доказать, что все решения системы уравнений
dx	dy	2у
dt	dt	t
ограничены при / Эг 1.
40.	Составить линейную однородную систему дифференциальных
уравнений, имеющую фундаментальную матрицу
et cos t sin t
— sint cos t
41.	Доказать, что если x (t) и у (t) — решения соответственно систем
уравнений
308
тле Лт (t)—транспонированная по отношению к A (t) матрица, то<х(/),
z/(/)> = const для всех t из промежутка непрерывности матрицы A (t).
Решить системы уравнений:
43.
42.
dx
-г.— у—cos t,
dt a
dy ,
W=l~x-
+ 5x+У — e*,
44.	г dx	,
-rr+w = COS t,
I dt я
] dy ,	. ,
\"dF^x = sin
46. f dx „	. , .
—rr = 2x — 4y + 4e~
I dt	s
^ = 2y-x~bei sint
47. ( dx
I -j—==2x^y — 2z~t^2,
j dt '	1
dz ,	, , ,
_ = x + i/_z_Z + l.
48. Пусть вещественные части собственных чисел матрицы А отри-
цательны; f (/) — непрерывная и ограниченная при всех вектор-
функция. Найти ограниченное при всех /£R решение системы уравне-
dx
ний ±£ = Лх + /(/).
ГЛАВА 5
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 24. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ
Решение х = ф(/) системы дифференциальных уравнений
dx
*)> (1)
определенное при всех '/г?-/,,, называется устойчивым (в смысле Ляпу-
нова), если для любого е > 0 существует такое 6 = 6 (е) > О, что для вся-
кого решения x = x(t) той же системы уравнений, начальное значение
которого удовлетворяет неравенству
P(Zo)~<p(^)ll< 6,	(2)
при всех / /о выполняется неравенство
II* (О— Ф (О II < е-
Решение х = <р (/) системы дифференциальных уравнений (1) назы-
вается асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и существует
такое б0 > 0, что для всякого решения x = x(t) той же системы, началь-
ное значение которого удовлетворяет неравенству
||х(/0)—ф(/0)|| < 60,
справедливо предельное равенство
lim || х (/) — ср (/) ]| = 0.
t - + 00
Если решение х = ф(£) не является устойчивым, то будем называть
его неустойчивым. Таким образом, для неустойчивости решения х = ф(/)
достаточно, чтобы существовало положительное число е0 и при любом
как угодно малом 6 > 0 нашлось хотя бы одно решение х = х (/), удовле-
творяющее при t = t0 неравенству (2), для которого при некотором tL > /в
выполнялось бы равенство ||х(/,) — ф(/1)|| = е0.
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения х = ф(/)
системы уравнений (1) сводится к исследованию устойчивости нулевого
решения у (t) s= 0 другой системы, получаемой из (1) с помощью замены
х = у+ф(О.
5.1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову,
выяснить, устойчивы ли решения данных уравнений с указан-
ными начальными условиями:
1)	“ х, х(1) = 0; 2)	=	х(0) = 0;
Ul v	LLL
d Y
3) -^- = sin2x, х(0) = 0.
Решение. 1) Решая данное уравнение, находим, что любое
его решение х(Г), х(1)=х0 имеет вид x(t) = tax0. Решение, удовле-
творяющее условию х(1) = 0, есть xo(f)^O. Разность x(t)—
310
— x0(l) — taxa. Поэтому |x(/)—х0 (/)| = |х01, если а = 0; | а: (/) —
— *о(О| = Нхо|—*0 при/—-*4-оо, если «<0, и|х(/)—х0(/)|—*оо
при t—* оо, каким бы малым по абсолютной величине ни было
ха=+0, если а > 0. Следовательно, решение х = 0 устойчиво
при а^О, к тому же асимптотически устойчиво при а < О
и неустойчиво при а > 0.
2)	Решив данное уравнение, убеждаемся, что всякое его
решение х(/), х(0) = хо выражается формулой x(i) = x„e-l + i,
а разность любых двух решений х(/), х(О) = хо и y(t),
Z/(0)=//o есть
х(/)—у(/) = е-'(х0—у0).
Отсюда |х(/) —г/(/)| = е"Чх0—Уо|—*0 при /-+4-00. Таким
образом, все решения данного уравнения асимптотически
устойчивы.
3)	Решение данного уравнения, удовлетворяющее условию
х(0) = 0, есть х(/) = 0. Решив данное уравнение, находим, что
его решения х(£), х(О) = хо, 0 < х0 < л определяются формулой
х(Z)=arcctg (ctgx0— t). Значит, каким бы малым ни было ха > О,
найдется момент времени > 0 такой, что х(/1)>1, так как
lim х(/) = lim arcctg (ctgx0 — /) = л.
/ —> + оо	/ —> + оо
Следовательно, решение х = 0 указанного уравнения неустой-
чиво.
5.2.	Исследовать на устойчивссть решение х —	/^1,
dx !	2 \ 2
уравнения	=— (х—.
Решение. Это уравнение Риккати. Заменой х = у +	оно
приводится к уравнению Бернулли:
T-ТИ-»’-	О)
Исследование устойчивости решения х = у исходного урав-
нения сводится к исследованию вопроса устойчивости тривиаль-
ного решения z/ = 0 полученного уравнения Бернулли. Решая
уравнение (3), находим
Q/2
= и У =	(4)
Поэтому любое решение уравнения (3), удовлетворяющее усло-
вию у(1) = у0, определяется формулой
_________________________
Уо^3-1) + У
311
Из этой формулы видно, что, каким бы малым по абсолютной
величине ни было у:, < 0, решение y(t), у (1) = г/0 уравнения (3)
не продолжимо до моментов t =	—у-)13 (^(0	—00
при t t*—0). Таким образом, решение t/^O уравнения (3)
неустойчиво.
5.3.	Доказать, что для устойчивости решений уравнения
d х
-^- = a(t)x, где а(/)— непрерывная при /^0 функция, необхо-
it
0 а (т) dx < + оо.
I —> 00
Решение. Необходимость. Пусть решения данного
уравнения устойчивы. Любое решение данного уравнения х (О,
х(О) = хо представим в виде
\ а (т) dx
х(})~хое^0	,
а разность двух решений x(t), х($) = х0 и //(/), z/(0)=yo—в виде
rt
\ а (г) dx
x(t)—y(t) = e->°	(л-0—у0).
Из устойчивости решений следует, что для произвольного е > О
найдется такое б = б(е)>0, что при |х0—у01 < б имеем
ix(/)—z/(0| < е для всех /^0, т. е. если |х0—уа | < б, то
для всех	Поскольку величина |х0—yti\— постоянная,
неравенство (5) выполняется тогда, когда
lim \ „ а (т) dx < -р оо.
00
Достаточность. Пусть выполняется неравенство (5).
Очевидно, можно указать такое положительное число К, что
с/
\ а (т) dx
е'°
Зафиксируем произвольное е > 0 и выберем б = б (е) = -^ . Для
решений x(t) и y(t), начальные условия которых удовлетво-
ряют неравенству |х0—у01 < б, имеем
г t а
1^(0 y(t}\ = e 0	|х0 //0|<Я|х0 у01 е
для всех t^O. Это и означает, что все решения исходного
уравнения устойчивые.
5.4.	Исследовать на устойчивость решения системы уравнений
dx п dy
= Чт^хУ-
dt ’ dt J
312
Изобразить траектории решений и указать направление дви-
жения по траекториям.
Решение. Решениями этой системы являются функции
х = х0, y = yoex«t, где х0 и у0—произвольные постоянные.
Зафиксируем произвольное решение х = ср (/) = х0, у = ф(0 =
X* t
= у*йе 0 и исследуем его на устойчивость.
Если Хо < 0, то по любому е > 0 можно указать такое 6 =
= 6 (е) > 0, чтобы из неравенства
|<р(0)—x(O)| + |z/(O)—ф(0)| = |х*—x0| + |«/J —1/0| < 6 (6)
следовало неравенство
|<р(/)—х(0| + |ф(0 —у(/)|=|хо*—Хо1 + ЬХ(,^о*—ех»^0| <е (7)
для всех t 0. Выбор такого 6 (е) обеспечен тем, что
I Х*о — х01 +1 ех'-,ту*а —ех°ху01 < |х0*—х01 +1 у*0 —уп | +
+ |/°’т —	11 z/o | ^ | Хо — хо| + |уо— 2/о| +
+	(| хо |. I I) r Q _е-|х0’-х, | т) ।	। _ Q
равномерно ПО Т^О, лишь ТОЛЬКО Хо—> Хо , уа-^Уа ихо<0.
Неравенства (6) и (7) означают, что любое решение х--Хо < О,
у = y1eXf>t устойчиво. Если х*0 ^0, то разность |ф(/)—у (0| стре-
мится к бесконечности при »4-оо:
IФ (0—У (01 = 1 eXat У« —£Xat Уо I + 00 •
В этом случае неравенство (7) при всех t 0 невозможно,
какое бы малое 6 ни фиксировали. Следовательно, любое реше-
ние х = Хо7&О, y = y<)ex'>t исходной
системы уравнений неустойчиво.
Найдем траектории решений дан-
ной системы уравнений. Правые части
исходных уравнений одновременно
обращаются в нуль при xz/ = O, т. е.
на координатных осях. Поэтому ко-
ординатные оси заполнены особыми
точками. Каждая такая точка слу-
жит траекторией решения х =
= 0, у = уа или х —х„, у = 0. Ес-
ли же хут^О, то уравнение тра-
dx
екторий имеет вид-т- = 0. Отсюда
иу
Рис 46
х = х0 = const, т. е. траекториями служат лучи х = х0, у > 0
и х = х0, у < 0. Из второго уравнения исходной системы нахо-
дим у = уоех«*. Значит, если х0 < 0, то движение по указанным
лучам происходит в направлении к оси абсцисс. Если х0 > 0,
то движение по указанным лучам происходит в направлении
удаления от оси абсцисс (рис. 46).
313

§ 25.	УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Устойчивость или неустойчивость решений линейной однородной
системы
dx
ГА^Х	(!)
с непрерывной ограниченной при матрицей А (7) определяется
поведением при t—>4-00 матрицанта X (t, t0) этой системы.
Теорема. Для устойчивости решения x = tp(Z) линейной системы урав-
нений (1) необходимо и достаточно, чтобы матрицант X (/, t0) этой си-
стемы был ограничен при t t0; для асимптотической устойчивости —
чтобы этот матрицант удовлетворял условию lim X (t, to) = O, а для не-
/-++00
устойчивости — чтобы этот матрицант был неограниченным.
Поскольку матрицант X (t, t0) не зависит от начального значения
х(/0), решения линейной системы или все одновременно устойчивы, или
неустойчивы. Исходя из этого, линейную систему (1) называют обычно
устойчивой, асимптотически устойчивой или неустойчивой в зависимости
от того, являются ли ее решения устойчивыми, асимптотически устой-
чивыми или неустойчивыми.
Если в системе уравнений (1) матрица A (t) = A не зависит от /, т. е.
постоянная, то условия устойчивости ее решений определяются собствен-
н-ыми числами матрицы А.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Решения линейной однородной системы дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами тогда и только тогда являются:
1)	устойчивыми, когда действительные части собственных чисел мат-
рицы системы неположительные, причем числам с нулевой действительной
частью соответствуют одномерные клетки Жордана в жордановой форме
матрицы, т. е. таким числам соответствуют простые элементарные
делители;
2)	асимптотически устойчивыми, когда действительные части соб-
ственных чисел матрицы системы отрицательны;
3)	неустойчивыми, когда хотя бы одному собственному числу с нуле-
вой действительной частью соответствует неодномерная клетка Жордана
(такому числу соответствует непростой элементарный делитель) либо
когда среди собственных чисел матрицы системы имеется хотя бы одно
число с положительной действительной частью.
Условия, при которых действительные части собственных чисел
матрицы А отрицательны, т. е. при которых решения линейной системы
дифференциальных уравнений х = Ах асимптотически устойчивые, вы-
ражает следующая теорема.
Теорема Рауса — Гурвица. Действительные части всех корней уравнения
Хп + /г1Х'1-1+...-]-а„_1Х + а„ = 0'
отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные
диагональные миноры матрицы Гурвица
т, е. когда
Д1 = а1 > 0,
'at	1	0	0	0	...	0
а3	а2	а±	1	0	...	0
а5	а4	а3	а2	...	0
. О	0	0	0	0	...	ап

314
5.5.	Исследовать на устойчивость решения системы урав-
нений
dx	п	dy	, о
-7т- = 2х—у, -~ — х-±-2у.
dt	dt	1 27
Изобразить траектории решений этой системы и указать
направление движения по траекториям.
Решение. Составим и решим характеристическое урав-
нение: X2—4X4-5 = 0, Xli2 = 2±i. Вещественные части корней
характеристического уравнения положительны; следовательно,
решения данной системы неустойчивы. Чтобы изобразить траек-
тории решений, перейдем к полярной системе координат. По-
лагая в уравнениях x = pcos(p, у = р sintp, имеем
dp	dm п
cos ф — р sin ф	= 2р cos ф — р sin ф,
sin ф 4- р cos ф — = р cos ф 2р sin ф.
'dm
и —-, получим
Разрешая эту систему относительно
^- = 2р,	— Отсюда находим траектории решений исход-
ных уравнений: р = Се2ч>, С^О. Одна
из траекторий — точка (0; 0), а осталь-
ные—логарифмические спирали (рис.
47).
Направление движения по этим спи-
ралям указано стрелкой—точка (%(/);
(/(/)) со временем по спирали как
угодно далеко удаляется от начала ко-
ординат.
5.6.	Исследовать на устойчивость
решения системы уравнений
= ах 4- 5у,	—Х-- 2у.
Решение. Запишем характеристическое уравнение мат-
рицы коэффициентов данной системы:
а — X 5
—1	2 —X
= 0 или X2—(2 4-а) X 4-2а 4-5 = 0.
Корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные
части, если одновременно 2|-а<0 и 2а4~5>0, т. е. если
5/2 < а <—2. При таких а решения данной системы уравне-
ний асимптотически устойчивы. Если 2а 4-5 <0, т. е. а>—2,5
или а > —2, то при таких значениях а характеристическое
уравнение имеет один положительный корень или пару комп-
лексных корней с положительной вещественной частью. В этом
случае решения данных уравнений неустойчивы.
315
При а = —2,5 один из корней характеристического уравне-
ния равен нулю, а второй —0,5; следовательно, решения исход-
ных уравнений при а=—2,5 устойчивы. Решения устойчивы
также и при а = —2, так как в этом случае корни характе-
ристического уравнения мнимые.
5.7.	Исследовать на устойчивость решения системы урав-
нений
у—2х + 49, >-^-2!,.
Изобразить траектории
этим траекториям.
Решение. Найдем
А-(~2
\ 1
решений и направления движения по
собственные числа матрицы системы:
_2), ^1 = 0, к, = — 4.
Значит, решения системы устойчивы. Траектории решений опре-
деляем из уравнения
(x—2y)dx + 2(x—2y)dy = 0, (х—2у)	+	=°-
Из этого уравнения видно, что траектории решений данной
системы представляют собой множество точек прямой х—2г/= 0,
а также лучи, полученные из
прямых у = —	за исклю-
чением точек пересечения этих
прямых с прямой х—2г/= 0
(рис. 48).
5.8.	Исследовать на устой-
чивость решения системы урав-
„ dx л , с dy
нении ~гг = — 4х+Ьу, -А-=
dt	’ dt
=-—Зх4~ 5г/. Схематически изобра-
зить траектории решений и на-
правление движения по этим
траекториям.
/—4
Решение. Матрица данной системы А = (	„
\ —<5
. Ее соб-
ственные числа находим из характеристического уравнения:
~4Т'" Л 1 =°> 24—А,—2 = 0, \ = —1, Х2 = 2.
Собственные числа матрицы А действительны и имеют разные
знаки; следовательно, решения данной системы неустойчивы,
а начало координат—особая точка типа «седло». «Усы» седла
ищем в виде y = kx. Подставляя y = kx в уравнение траекто-
рий, получим
dy — Зх 4- 5(/	.  —.3 -1 5/г
dx — 4х + бу ’	—4 4 6k ’
316
1	X
т. е. —	&2	= 1. На лучах прямой у = -^, х=#0 исходная
dx	du	„	, 	_
система примет вид-^- = — х, -^- = — у. Отсюда x(t) —* О,
y(t)—+O при t —* -|- оо, т, е. движение на лучах р = у, х ^0
направлено к точке (0; 0).
На лучах прямой у = х, ху=0 исходная система эквива-
лентна системе ~ = 2х, ^~=2у. Отсюда x = xoe2f, у = р0е2',
И &
т. е. х(0 —> ± «э, */(0~* ±
± оо при t~* оо. Следова-
тельно, на лучах прямой
у = х, х^=0 движение на-
правлено от начала коорди-
нат.
В случае особой точки
типа «седло» траекториями
уравнения (ax\-by)dx^(cx--\~-
+ dy) dy = 0 являются гипер-
болы. На рис. 49 изображены
траектории данной системы
и показано направление
движения по этим траекто-
риям.
Рис. 49
5.9.	Исследовать на устойчивость решения системы уравне-
ний -^ = х—4у, ~^ = х—у. Изобразить траектории решений
этой системы и указать направление движения по траекториям.
Решение. Собственные числа матрицы коэффициентов дан-
ной системы определяем из уравнения
1—X
1
—4
—1—X
= 0,
Х2 + 4=0.
Имеем Xj = —2i, %2 = 2t. Собственные числа — чисто мнимые,
значит, все решения данной системы уравнений устойчивы.
Траектории решений системы определяются из уравнения
(%—y)dx—(х—4y)dy = 0. Это уравнение в полных дифферен-
циалах. Решая его, получим
U {х, у)--^\(x^y)dx ---~---xy -\-<f (y), —х + ^ = —х + 4у,
<р (у) = 2у2, U (х, у) =	— ху + 2у2.
Таким образом, траектории решений (рис. 50) данной си-
стемы уравнений—эллипсы х2 — 2ху-\-4у2=С2, (х—у)24-Зр2=С2.
Движения по указанным эллипсам являются периодическими,
и направление движения можно определить, например, так.
Предположим, что в данный момент движущаяся по одному из
317
эллипсов точка y(t)) пересекает
луч х = 0, z/>0. Тогда в этот момент,
согласно второму уравнению исходной
системы, —	= — у (I) < 0, т. е. орди-
ната движущейся точки в данный мо-
мент времени убывает. Следовательно,
Рис. 50	движения по эллипсам происходят про-
тив часовой стрелки.
5.10.	При каких действительных а и b действительные части
корней многочлена /(2i) = V-)-aA,3-]-bX2 + ai + 1 отрицательны?
Решение. Составим матрицу Гурвица:
'а 1 0 0\
a b а 1 \
О 1 а b )
.0 0 0 1/
Условия отрицательности действительных частей корней мно-
гочлена /(X) имеют вид
а 1
а b
0 1
0
0
1 0 0
b а 1
1 а b
0 0 1
> 0
или а>0, а(Ь—I) > 0, а2 (Ь—2)>0. Эти неравенства экви-
валентны системе а > 0, b > 2. Таким образом, действительные
Части корней многочлена /(Л) отрицательны, если а > 0 и b > 2.
5.11.	Найти все действительные значения параметров а и Р,
при которых решения системы уравнений
dx	,	. о
— — х ау pz,
dy	,
-Sr = — ах—»-az,
dt	» i >
dz а
асимптотически устойчивы.
Решение. Собственные числа матрицы коэффициентов
данной системы определяются из уравнения
Р
а
—1—X
—1 —X а
— а —1—%
— Р —а
= 0,(4-1) (V + 2Л+1 +ра+2а2)=0.
При любых действительных аир вещественные части кор-
ней этого уравнения отрицательны. Поэтому решения исходной
318
системы асимптотически устойчивы при любых действитель-
ных аир.
5.12.	При каких действительных а, b и с решения системы
u dx	. j dy	Li	“
уравнении -& = ах + by,	= — bx + су асимптотически устой-
чивы?
Решение. Собственные числа матрицы коэффициентов дан-
ной системы определяются из уравнения
а2ь ЛхП0’ ^-(« + с)Х + ас + Ь2 = 0.
Действительные части корней этого уравнения отрицательны
тогда и только тогда, когда
а + с<0 и ас + &2>0.	(2)
Таким образом, решения данной системы уравнений асимпто-
тически устойчивы, если одновременно выполняются неравен-
ства (2).
5.13.	При каких действительных а, Ь, с корни многочлена
f (X) = X3 -j- «А2 + be + с
имеют отрицательные действительные части?
Решение. Воспользуемся критерием Гурвица. Соответ-
ствующая данному многочлену /(А.) матрица Гурвица имеет вид
а I 0\
с b а _
0 0 с/
Условия отрицательности действительных частей корней мно-
гочлена /(А) таковы:
а > 0,
а
с
а I 0
с b а
0 0с
>0,
т. е. а > 0, ab—с > 0, c(ab—с) > 0, или а > 0, 0<с<а6.
5.14.	Исследовать на устойчивость решения системы урав-
нений
/О	2 —1\	АД
= Д= 3	0 —2 , х= х2 .
\5 —4	0/	\х3/
Решение. Это система уравнений с постоянными коэф-
фициентами, поэтому вопрос устойчивости решений определяется
собственными числами ее матрицы.
Собственные числа матрицы А находим из уравнения
— А 2 —1
3 — А —2
5 —4 —А
= 0, А3—9%4-8 = 0, (А— 1)(А2 + А—8)=0.
319
Один из его корней есть X — 1, т. е. имеет положительную ве-
щественную часть, следовательно, решения исходной системы
неустойчивы.
5.15.	Исследовать на устойчивость решения системы урав-
нений
^ = -х-4у, ^ = 2x + 5i/.
Схематически изобразить траектории решений и направление
движения по этим траекториям.
Решение. Собственные числа матрицы данной системы
определяем из уравнения
4
X—5
Х + 1
—2
= 0, X2—4Х-рЗ = 0, т. е. Х1 = 1, Х2 = 3.
Эти числа действительны и положительны; значит, решения
данной системы неустойчивы, а начало координат О (0; 0) —
особая точка типа «узел».
Траектории решений определяем из уравнения (2х + 5у) dx +
+ (x-\-4y)dy = 0. Подставив y = kx в уравнение
dy _ 2x4-5у	/оч
dx	х4г/ ’	' '
найдем значения k, при которых лучи y = kx, х>0 и х<0
являются траекториями решении исходной системы: k — —	,
2/г2 + 3&4~1 =0, &! = -—g-, k2 = —1. Из уравнения (3) видно
также, что траектории пересекают ось абсцисс под углом, тан-
генс которого равен —2, а ось ординат под углом, тангенс
которого равен—5/4. Полученной информации достаточно, чтобы
построить траектории решений (рис. 51).
5.16.	Исследовать на устойчивость решения системы урав-
„ dx	du „
нении --у-= — х—у, -гг — х—Зу и схематически изобразить
dt	и dt	г
траектории решений и направление движения по этим траек-
ториям.
320
Решение. Собственные числа матрицы данной системы
определяем из уравнения
1 IJ=°> Хг + 4Х + 4=О, т. е. ^ = ^ = -2.
—1 Л -j- и j
Эти числа действительны и отрицательны. Таким образом, все
решения данной системы асимптотически устойчивы. Траекто-
рии решений определяются из уравнения
dy х — Зу	dx —х—у
dx —х—у	dy х—Зу
Точка (0; 0) является особой точкой типа «узел». Траектории
решений (рис. 52), представляющие собой лучи y = kx, х > 0
или х < 0, определяются из уравнения k = j , k2—2/г
4-1=0, £ = 1, т. е. у = х.
5.17.	Доказать лемму Гронуолла — Веллмана: если непре-
рывная неотрицательная при функция u(t) удовлетворяет
неравенству
и (t) С -ф v (т) и (т) dx,	(4)
где С^О, v(t)—положительная функция, то
и (0 < Се-^оv <т) Л.
Решение. Действительно, из (4) получаем
и (о) v(a)	.
---па --------=О(°)-
С + \ . и (т) v (г) dx
J Го
Интегрируя обе части этого неравенства по о в пределах от t0
до t, имеем
(*'	..< Г О (О) do,
Кс + Ц U(x)v(x)dx JZo
In (с+ u(x)dx^—	v(o)do,
или и (т) и(т) dx °(<7) d<3. Следовательно,
и (t) С -j- Jи (т) v (т) dx СеЬоv (0) da.
5.18.	Доказать, что если решения системы уравнений
> =	(5)
устойчивы, то устойчивы и решения системы уравнений
-^ = (Д + В(0)х	(6)
при условии, ЧТО (ОИГ < оо.
11 № 2314	321
Решение. Разность любых решений x(t), х(О) = хо и
г/(О) = £/о системы уравнений (6) допускает интегральное предо-
ставление
*(0—y(t) = eAt(x0—у0) + ^оеА((-х,В(т)(х(т)—y(x))dx. (7)
В предположении, что решения системы (5) ограничены, можно
указать такое положительное число С, что sup ||ел<||^СС. Из
t > о
равенства (7) получим
И(0—y(t) ||<С||х0 —у0||+ JqC||S(t)||||x(t) — г/(т)||Дг.
Отсюда, в силу леммы Гронуолла — Веллмана (см. задачу 5.17),
имеем
Ь(0—t/(OII<CeCJ°l|S(T)HT||xo — t/alK^ho—у0||,	(8)
„ г С\“||В(Т)||Л
где д=Се J0	.Из оценки (8) следует, что для произ-
вольного е>0 можно указать такое 6 = 6(е) = е/7С, что для
любых двух решений х(0 и y(t) системы уравнений (2) из
условия ||х0—у0 || < 6 имеем
II* (0—У» || < /С6 = е
для всех /^0, т. е. все решения уравнений (6) устойчивы.
5.19.	Доказать, что все решения уравнения А~
+	—утк/а) х = 0, а > 0, ограничены вместе со своими пер-
выми производными при t £ R.
Решение. Заметим, что уравнение не изменяется, если в
нем заменить t на —t, так что достаточно доказать ограни-
ченность его решений вместе с первыми производными при t ^0.
Запишем это уравнение в виде системы двух уравнений:
dx dy	.1
~dT~tJ' IT	(9)
или
где
Собственными числами матрицы А являются %lt 2(Л) = 4-1’Иа,
dz л	и
так что решения системы -^- = Az устойчивы, а
У о IIВ WIIdx = JoTTT* = arctS Z < f •
В силу результата предыдущей задачи все решения системы
-уравнений :(1) устойчивы, а значит, и ограничены (система (9) —
линейная). Компонента y(t) решения z(t) системы (9)—это
производная решения х(1) данного уравнения. Таким образом,
доказана ограниченность решений вместе с их производными
данного уравнения.
§ 26.	КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ
ПРИБЛИЖЕНИЮ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-^-=Ax+f(t, х),
(1)
в которой А — постоянная матрица, f(t, х)— непрерывная по /их
(/^/0, ||х||<й) функция, удовлетворяющая условию
lim J|/(Z, х)||==0
|| х II -* О II х ||
равномерно по /^/а. Система уравнений с постоянными коэффициен-
тами
называется системой первого приближения для системы (1).
Теорема. Если действительные части всех собственных чисел матрицы
А отрицательны, а функция f (Z, х) удовлетворяет равенству (2), то ну-
левое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво. Если же
среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно -число с положи-
тельной вещественной частью, а функция f <t, х) удовлетворяет условию
(2), то нулевое решение уравнения (1) неустойчиво.
Если же среди собственных чисел матрицы А имеется хотя бы одно
с нулевой действительной частью, а остальные — с отрицательной, то ну-
левое решение системы уравнений (1) может быть как устойчивым (асимп-
тотически устойчивым), так и неустойчивым, т. е. в этом случае из
устойчивости решений системы первого приближения нельзя делать вы-
вод об устойчивости тривиального решения полной системы уравнений.
Отметим, что если вектор-функция f (/, х) такова, что / (Z, 0) = 0 и
4^-(Z, 0) = 0, то она удовлетворяет условию (2).
5.20.	Исследовать устойчивость положений равновесия ма-
тематического маятника с трением:
/72 у	А у
-^ + 2й-^ + зшх = 0, k>0.
(Л I	UI
Решение. Уравнение движения маятника эквивалентно
системе уравнений
1Г = У’ ^- = — ^x—2ky.	(3)
Положения равновесия этой системы определяются из урав-
нений у = 0, sinx-f-2&y = 0. Отсюда х = пл, у — 0, п£ Z. Вейлу
периодичности правых частей системы уравнений (3) по х, до-
статочно исследовать устойчивость двух ее решений: х = 0,
И*
323
у —О (решение соответствует нижнему положению равновесия
маятника) и х = л, y — Q (решение соответствует верхнему по-
ложению равновесия маятника).
Линеаризуем систему уравнений (3) в окрестности точки
(0; 0). Для этого выделим из функции sinx ее линейную часть:
sinx = x—.
О.
Система первого приближения, соответствующая уравне-
ниям (3), имеет вид
Собственные числа матрицы коэффициентов этой системы
определяются из уравнения
Г 1	= 0, V + 2^ + l=0.
1	—ZR — л
Так как, по условию, k > 0, то действительные части корней
этого уравнения отрицательны. Следовательно, решение х = 0,
у — 0 уравнений (3) асимптотически устойчиво.
Исследуем теперь устойчивость верхнего положения равно-
весия маятника, т. е. устойчивость решения х — л, у — 0 си-
стемы уравнений (3). Поскольку в окрестности точки х = л
справедливо разложение
sin х = — (х—л) -ф —-----. . . ,
систему первых приближений, соответствующую уравнениям (3),
запишем так:
^—(х-л)-2ку.
Собственные числа матрицы коэффициентов этой системы опре-
деляются из уравнения
J , =0, X2 + 2U—1=0.
1	—2k— л
Корни этого уравнения действительны и имеют разные знаки,
поэтому решение х = л, у = 0 уравнений (3) (верхнее положе-
ние маятника) неустойчиво.
5.21.	Доказать, что если оф >—1, то нулевое решение си-
стемы уравнений -77- = — sin (хф-си/), -^7-= (3х +In (1—у) асимп-
С4 4	LLv
готически устойчиво.
Решение. Учитывая разложения
sin Z = Z —gp+ . . ., In (1 — у) = — У + ^2-•••»
324
запишем систему первого приближения:
dx	du о
Соответствующее ей характеристическое уравнение есть
=°> +2Х+1 + а₽=°-
р	—1 —Л
Оба его корня имеют отрицательную вещественную часть, если
1 4-оф > 0, т. е. если оф >—1. Таким образом, при выполне-
нии условия задачи нулевое решение данной системы асимпто-
тически устойчиво.
5.22.	Исследовать на устойчивость тривиальное решение
системы уравнений
^- = 2х—In (1 +i/) + sinx,
= ех + sin (х + у) — cos2 у.
Решение. Составляем уравнения первого приближения
^Г = 3х~у, ^- = 2х + у
и соответствующее им характеристическое уравнение
=0, V—4Z + 5 = 0.
Z 1 —Л
Корни характеристического уравнения 2 = 2±i комплекс-
ные и их действительные части положительны; таким образом,
решение x = y = Q исходной системы неустойчиво.
5.23.	Исследовать на устойчивость все положения равнове-
сия системы уравнений
z dv
(w = ~2x+y+x^
| -^- = —х—2уфЗх5.
Решение. Положения равновесия данной системы опре-
деляются из уравнений
—2х-{-у4-х3 = 0, —х—2г/-фЗх5 = 0.
Отсюда находим три положения равновесия: х = 0, г/= 0, х = 1,
у = 1 и х ——1, у — — 1. Исследуем вопрос устойчивости каж-
дого из них. Система первого приближения, соответствующая
положению равновесия х = 0, у = 0, имеет вид
>--2* + s, ^—х-2у.
325
Ее характеристическое уравнение
“с! . =0, V + 4% + 5 = 0.
—1	— л
Корни этого уравнения %1( 2 = —2 ± i. Значит, положение рав-
новесия х = 0, у = 0 асимптотически устойчиво.
Разложим правые части исходной системы в окрестности
положения равновесия х=1, у = \ в ряд Тейлора:
—2х + у + х3 = (х— 1) + (у— 1) + • • •,
— х—2у+ 3х5 = 14 (х—1) — 2 (у— 1)+ . ..
Здесь точками обозначены члены не ниже второго порядка ма-
лости по отношению к х—1.
Отсюда видно, что система первого приближения в окрест-
ности точки х = 1, у = 1 есть
-уГ = и + + ‘ЗГ = 14ы~2у’	(4)
где « = х—1, v = y—1; корни характеристического уравнения
этой системы Х2-|-Х—16 = 0 действительны и имеют разные
знаки, поэтому положение равновесия х = 1, у — 1 исходной
системы неустойчиво.
В окрестности точки х = —1, у = —1 разложения правых
частей исходных уравнений таковы:
—2х + у + х3 = (х +1) + (у + 1)4- • • •,
-х-2у + 3+ = 14(х + 1)-2(у + 1)+... .
Поэтому система первого приближения в окрестности точки
х = —1, у =—1 совпадает с системой (4), если в последней
положить и=х + 1, и = у + 1. Следовательно, положение рав-
новесия х = —1, у = —1 неустойчиво.
5.24.	Исследовать вопрос устойчивости решения х = у = z = 0
системы уравнений
•J- = —sin(x—г), -^—= sin2x—у—sin z, -^ = tg(y—г).
Решение. Уравнения первого приближения, соответству-
ющие данной системе, имеют вид
dx	.	_	'du	dz
— — x + z,	-+- = — y—z,	-^- = y—z.	(5)
dt	1	’	dt v <	dt v	v ’
Собственные числа матрицы коэффициентов системы уравне-
ний (5) определяются из уравнения
—1—1	0
0	—1—1
0	1
1
—1
—1—1
= 0, (1+1) (12 + 21 + 2) = 0.
336
Корни этого уравнения kf = —1, X2tS = —1 ± I имеют отрица-
тельные вещественные части. Следовательно, тривиальное ре-
шение данной системы уравнений асимптотически устойчиво.
5.25.	Доказать, что если а<0 и 2а<0<—а, то реше-
ние x—y=z=Q системы уравнений
ах	о9
— == ах—cos и
at	и 9
 J = ₽sinx + ln(l+ау)—XZ* 2,
= х2 cos z + Ру 4- sin аг
асимптотически устойчиво.
Решение. Линеаризуя в окрестности точки х=у=г=0
правые части данной системы уравнений, запишем уравнения
первого приближения:
~ = ax + Pz, -^- = Рх + ау, ^f = Py + az. (6)
Характеристическое уравнение системы уравнений (6) имеет вид
К3 —3aX24-3a2Z—a3—03=О.	(7)
Для определения значений
действительные части корней
отрицательны, воспользуемся
матрицу Гурвица:
параметров а и 0, при которых
характеристического уравнения
критерием Гурвица. Составим
—За
— а3—03
О
1
За2
О
° А
—За	).
_ аз_р3у
Условия отрицательности действительных частей корней урав-
нения (7) запишем в виде системы неравенств:
—За > 0, —9а3 Ц-а3 + р3 > 0, —а3 — Р3>0.
Эта система неравенств эквивалентна такой: a < 0, 0—2a > О,
а4*Р<0, т. е. а<0, 2а < 0 <—а.
Следовательно, если параметры а и 0 таковы, что a < 0 и
2a < 0 <—а, т. е. удовлетворяют условию задачи, то триви-
альное решение х = у = г = 0 исходных уравнений асимптоти-
чески устойчиво.
5.26. Найти все положения равновесия системы уравнений
> = ^ + 4. # = 4’ + »--17.
Исследовать их устойчивость и определить типы особых точек.
Решение. Положения равновесия (особые точки) данной
системы определяются из уравнений ху 4- 4 = 0, х2 4- №—17 = 0.
Решая эти уравнения, находим четыре положения равновесия:
Д(—1; 4), В (—4; 1), С (1; —4) и L>(4; —1).
327
Раскладывая правые части исходной системы в ряд Тей-
лора в окрестности положения равновесия (ха; у0) и ограни-
чиваясь в этих разложениях линейными членами, получим
уравнения первого приближения
(	— Уа (х хо) 4" хо {У Уо)>
( ^^2хЛх—х0) + 2Уо(у—У^-
Заменяя х—х0 на х, а у—у0 на у, имеем
^- = У9х+хоУ, ^- = 2х0х + 2у0у.
Составляем характеристическое уравнение
У9	хо
2х0	2у() А
= 0, A2—3z/0A4-2(z/a—ха) = 0.
Если yl < %о, то корни характеристического уравнения дей-
ствительны и имеют разные знаки. Так как координаты поло-
жений равновесия В и D
удовлетворяют этому усло-
вию, то указанные положе-
ния равновесия неустойчивы.
Особые точки (—4; 1) и (4;
—-1) являются особыми точ-
ками типа «седло».
Характеристические урав-
нения, соответствующие точ-
кам А и С, имеют вид
А2 — 12Х + 30 = 0 и А2 + 12А +
4-30 = 0. Оба корня первого
из них положительны, а
второго—отрицательны. По-
этому положение равновесия
А(—1; 4) неустойчиво, а
положение С (1; —4) асимп-
Рис. 53
тотически устойчиво.
Особая точка А является неустойчивым узлом, а точка С —
устойчивым узлом. Поведение траекторий в окрестности поло-
жений равновесия изображено на рис. 53.
5.27. Исследовать устойчивость всех особых точек системы
уравнений
> =	i=x= + i/._i3.
Определить типы особых точек.
Решение. Особые точки (положения равновесия) данной
системы определяем из системы алгебраических уравнений
х2—у2—5 = 0, x24-z/2—13 = 0. Отсюда находим четыре особые
328
точки: Л(—3; —2), В(—3; 2), С (3; 2), 0(3; —2). Система
первого приближения, соответствующая исходной системе, в
окрестности особой точки (х0; у0) имеет вид
z dx
I щ~ = 2ао(х—Хо) — 2г/0(у—у0),
| ^ = 2xo(x—A'o) + 2z/o(z/—у0),
откуда, заменяя х—,г0 на х и у—уд на у, получим
= 2x„x—2уоу,	= 2хих + 2уду.
Собственные числа матрицы коэффициентов этой системы оп-
ределяются из уравнения
X2 — 2(хо + г/о)Л. + 8хоуо = 0.	(8)
Если хпуд < 0, то уравнение
разных знаков. Неравенство
точек В и D. Таким
образом, эти точки не-
устойчивы и являются
особыми точками типа
«седло».
Для точек А и С,
как нетрудно убедить-
ся, корни уравнения
(8) комплексные. При
этом действительные
части корней уравне-
ния, соответствующего
точке А, отрицательны,
а соответствующего точ-
ке С — положительны.
Поэтому точка А асим-
(8) имеет действительные корни
хоуо < 0 выполняется для особых
птотически устойчива
(устойчивый фокус), а точка С неустойчива (неустойчивый
фокус). Траектории решений исходной системы изображены
на рис. 54.
5.28. Пусть все решения системы уравнений
dx
dt
= Ах
(9)
ограничены при /^0, а /(/, х) — непрерывная при
||х||^й, /i > О вектор-функция такая, что
mt, хжтюи-	(Ю)
Доказать, что если
0 у(т)б?Г< оо,
(И)
: 329
то нулевое решение системы уравнений
£ = Ax + f(t,x)	(12)
устойчиво по Ляпунову.
Решение. Пусть х = х(Г), х(О) = хо— решение системы
уравнений (12), начинающееся из достаточно малой окрестности
точки х = 0. Для него справедливо интегральное представление
x(t) = eAtx0 +	(Z-t)/(t, x(x))dx.	(13)
Так как решения системы (9) ограничены, то	для
всех при некотором К > 0. Поэтому из (13) имеем
II % (о ||< к ho 11+ $ z0 *+ (т) IIх h) Il(h-
Отсюда, в силу леммы Гронуолла — Веллмана (см. задачу 5.17),
получаем
г t
h(0ll<^ ia?(T>dTholl<^hc||.
где
Таким образом, для любого е > 0 можно указать такое 6 ~
= е/Л\, что если ho II < S, то ||х (0II ho II < е при всех
t^O. Это и означает, что решение х = 0 устойчиво.
§ 27. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ
ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Пусть v (х) =v (Xi, х2, ...,х„) — скалярная функция переменной
x=(xi,x2.....хп), определенная и непрерывно дифференцируемая в шаре
Ja = {x€R«: ||х|| < h, h> 0),
и такая, что о(0) = 0.
Функцию v (х) назовем положительно-определенной в шаре если
при всех х£7л, исключая точку х = 0, имеет место неравенство v (х) > 0.
Если же выполняется неравенство v (х) < 0, то функция v (х) называется
отрицательно-определенной. В обоих этих случаях функцию v (х) назовем
знакоопределенной.
Функцию о (х) называют знакопостоянной в шаре /д, если для всех
xgJft выполняется неравенство v (х)	0 или неравенство v (х)	0.
В первом случае v (х) является положительно-постоянной, а во втором—
отрицательно-постоянной.
Если функция v (х) принимает в шаре Jh как положительные зна-
чения, так и отрицательные, то ее назовем знакопеременной в
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
dx
(1)
Х=(хь Х2, .... Х„), f = (fn, f2, .... fn)
330
в предположении, что функция f (х) определена, непрерывна в шаре
при некбтором h > 0, удовлетворяет условию Липшица в^и / (0) =0.
Последнее означает, что х=0 является решением системы (1).
Пусть х = х(/) — некоторое решение системы уравнений (1). Вдоль
этого решения функция v = v(x(t)) как функция переменной t непре-
рывно дифференцируема и ее производная
dv п dv dx; п
dt	dXi dt
dv dx,-	dv
функции v (х), составленной в силу системы (1),
Производной по t от
назовем выражение
^=<gradv(x),f (х)>.
Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если
<5.м системы уравнений (1) существует знакоопределеннан в области Jл
функция v (х), производная которой по времени , составленная в силу
уравнений (1), является знакопостоянной функцией и имеет знак, проти-
воположный знаку функции v (х), или тождественно обращается в нуль, то
нулевое решение х = 0 системы уравнений (1) устойчиво в смысле Ляпунова.
Теорема 2 (теорема Ляпунова об асимптотической
устойчивости). Если для системы уравнений (1) существует знако-
-V	/-	Т t	. .	л	dv
определенная в области Jр функция v (х), производная по времени ко-
торой, составленная в силу уравнений (1), является также знакоопреде-
ленной функцией и имеет знак, противоположный знаку функции v (х), то
нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво.
Теорема 3(теоремаЛяпунова о неустойчивости). Если для
системы уравнений (1) существует функция v (х) такая, что производная
ее по времени, составленная в силу системы (1). является знакоопределенной,
а сама функция v (х) в любой окрестности точки х = 0 не является знако-
dv
постоянной и имеет знак, противоположный знаку — , то нулевое решение
системы уравнений (1) неустойчиво.
Предположим, что функция f (х) в системе (1) определена во всем
пространстве Rre.
Нулевое решение системы уравнений (1) называется устойчивым в
целом, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если для любого дру-
гого решения х (!) этой системы lim || х (/) [| = 0.
Функцию п(х), определенную для всех xgRn, назовем бесконечно
большой, если для любого положительного числа а существует такое
положительное число г, что v (х) > а для всех х, лежащих вне сферы
<х, х> = г2.
Теорема (теоремаБарбаши на—К расовского). Если сущест-
вует положительно-определенная бесконечно большая функция v (х) такая, что
производная ее по времени, составленная в силу системы (1), является отри-
dv
цательно-постояннои, причем равенство возможно на множестве, не
содержащем целых траекторий, кроме точки х = 0,то нулевое решение сис-
темы уравнений (Г) устойчиво в целом.
5.29. Какие из функций двух переменных являются знако-
определенными, знакопостоянными и знакопеременными:
2)	v(x, i/)=(x—z/)2;
4)	v(x, у) = х*у + ху*-,
6) п(х, у) = — sin2x—(х—г/)2?
1) v (х, у) = хгЦ- уг—2у^;
3) v(x,y) = l—cosx + f/4;
5) v (х, у) = — х2;
331
Решение. 1) Запишем функцию v (х, у) в виде
v (x, у) = х2 + у2~2у3 = х2 + у2 (1 — 2у).
Если у < 1/2, то и(х, у) > 0 для всех (х; у), за исключением
точки х = 0, t/ = 0. Так, например, в круге х2 + у2<1/4 дан-
ная функция положительно-определенная.
2)	Функция и(х, г/) = (х—у)2 положительно-постоянная, по-
скольку обращается в нуль не только в точке (0; 0), но и во
всех точках прямой х—у = 0-
3)	В круге х2+«/2 < 4л2 функция положительно-определенная.
4)	Данная функция v (х, у) = х2у-\-ху2 = ху (х -)-«/) в любой
окрестности начала координат может принимать значения раз-
ных знаков, так что эта функция является знакопеременной.
5)	Функция отрицательно-постоянная, поскольку она обра-
щается в нуль на прямой х = 0.
6)	В круге х2 + у2 < л2 данная функция отрицательно-опре-
деленная.
5.30.	Доказать, что если функция v = u(x, у) положительно-
определенная, то можно указать такое положительное число т,
что все кривые v(x, у)~с, где 0<с<т, являются замкну-
тыми и охватывают начало координат.
Решение. Предположим, что функция является положи-
тельно-определенной в круге х2 4- у2 <г2. Поскольку функция
v(x, у) непрерывна, на компактном множестве Sr—окружности
х2+у2—г2 эта функция достигает минимального значения, ко-
торое обозначим через т. Так как функция v(x, у) — положи-
тельно-определенная, то т > 0.
Пусть у = у(т)— произвольная непрерывная кривая, соеди-
няющая начало координат О с произвольной точкой (х0; у0)
окружности Sr. Так како(0;0)=0, ап(х0; у0) т, гдех;;4-//о=г2,
и функция v (х, у) меняется непрерывно вдоль непрерывной
кривой у, то v (х, у) в некоторой точке этой кривой примет
значение с(х, у)~с, поскольку с < т.
Таким образом, доказано, что на любой непрерывной кри-
вой, соединяющей начало координат с точкой окружности Sr,
имеется по крайней мере одна точка, в которой v(x,y) = c.
Поэтому если 0 < с < т, то кривые t»(x, у) = с замкнутые и
охватывают начало координат.
5.31.	Доказать, что если в системе уравнений = у, = —f (у)
функция /(х) такова, что / (0) = 0, х/(х)>0, х=5^0, то поло-
жение равновесия х = у = 0 этой системы устойчиво.
Решение. Данная система имеет первый интеграл
причем из условия f (х) > 0 при х =4= 0 следует, что Jf (/) dt > 0
при х^=0. Поэтому функция
v(x, y) = ^ + ^XQf(t)dt
332
является положительно-определенной и ее производная, сос-
тавленная в силу данной системы уравнений,
dv dv , dv, r, .. r . .	.... Л
dt == д~х У + ~dy	=	W °’
В силу первой теоремы Ляпунова, положение равновесия
х = у = 0 устойчиво.
5.32.	Исследовать на устойчивость положения равновесия
d2x
уравнения маятника sinx = О, k > 0.
Решение. Данное уравнение эквивалентно системе урав-
нений
dx du , .
-77 = У, 77 = —k sin х.	(2)
dt J dt	' ’
Эта система имеет положения равновесия (пл; 0). В силу перио-
дичности правых частей системы уравнений (2) по х, достаточно
исследовать на устойчивость два положения равновесия: (0;0),
соответствующее нижнему положению равновесия маятника, и
(л; 0), соответствующее верхнему положению маятника.
Система первого приближения, соответствующая системе (2)
в окрестности положения равновесия (х0; 0), имеет вид
= Tt = =-£cosx0(x-x0).
Собственные числа матрицы этой системы определяются из урав-
X2 k cos х0 = 0.	(3)
Если х0 = л, то уравнение (3) имеет действительные корни
разных знаков; следовательно, положение равновесия (л; 0),
т. е. верхнее положение равновесия маятника, неустойчиво.
Если х0 = 0, то корни уравнения (3) мнимые и на основании
критерия устойчивости по первому приближению нельзя сде-
лать вывод об устойчивости или неустойчивости положения
равновесия (0; 0) системы уравнений (2).
Воспользуемся решением предыдущей задачи и рассмотрим
положительно-определенную в окрестности точки (0; 0) функцию
v (Л> У) = + k (1 —cos х).
Ее производная по /, составленная в силу системы уравнений (2),
= k sin ху—ky sin Х-=0.
Следовательно, положение равновесия х = 0, у = 0 устойчиво.
5.33.	Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
= ахт + g (х), где т—натуральное число, а#=0, a g(0) = 0
и разложение g(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0
начинается с членов степени k^m + l.
333
Решение. Рассмотрим положительно-определенную функ-
цию v (х)==х2. Ее производная, составленная в силу исходного
уравнения,
|=2xg = 2nx“+‘ + 2xg(x).
Если т—нечетное число (т = 2р + 1), то функция является
знакоопределенной в достаточней малой окрестности точки
х = 0, поскольку такова функция 2ахт+1, а разложение функ-
ции xg(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 начинается
с членов степени не ниже т + 2. Поэтому при а<0 выпол-
няются условия теоремы Ляпунова об асимптотической устой-
чивости, а при а > 0 функция v (х) = х2 удовлетворяет условиям
теоремы Ляпунова о неустойчивости.
Пусть теперь т—четное (т = 2р). Рассмотрим функцию
v(x)~ х и вычислим ее производную по t в силу исходного
уравнения:	= ах2? + g (х). Очевидно, в достаточно малой
п	dv
окрестности точки х = 0 производная является знакоопреден-
ленной. Функция v (х) не является знакопостоянной (о (х)—знако-
переменная функция), причем ее знак противоположен знаку
Тогда, согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, нулевое
решение исходного уравнения неустойчиво.
Следовательно, если а < 0 и т—нечетное число, то нуле-
вое решение асимптотически устойчиво; если а>0 и т—не-
четное число или же если т—четное число, то нулевое реше-
ние неустойчиво.
5.34.	Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
уравнений
^ = ах3 + &/, ^ = cx + dy\
Решение. Воспользуемся критерием устойчивости по пер-
вому приближению. Система уравнений первого приближения
в данном случае имеет вид
Соответствующее ей характеристическое уравнение есть X2—Ьс=0.
Если be > 0, то корни характеристического уравнения дей-
ствительны и имеют разные знаки, следовательно, нулевое
решение данной системы неустойчиво.
Для других значений параметров Ь, с, т. е. при Ьс^О,
исходя из критерия устойчивости по первому приближению,
нельзя заключить об устойчивости или неустойчивости нулевого
решения исходной системы, так как при bc^ZQ имеет место
критический случай—действительные части корней характе-
ристического уравнения равны нулю.
334
Для исследования вопроса устойчивости в этом случае
воспользуемся методом функций Ляпунова.
Поскольку правая часть каждого из данных уравнений пред-
ставляет собой сумму двух функций, одна из которых зависит
только от х, а вторая—только от у, попытаемся искать функ-
цию v(x, у) в виде v(x, у) = А (х) + В(у), где А (х) и В (у) —
непрерывно дифференцируемые в окрестности начала координат
функции и такие, что А (0) = 0, В (0) = 0. Полная производная
по t от функции v (х, у), составленная в силу исходных урав-
нений, есть
Потребуем, чтобы функция имела такую же структуру, что
и функция v (х, у), т. е. чтобы также была суммой двух
функций, одна из которых—функция только от х, а вторая—
от у. Для этого должно выполняться равенство
dA ,	, dB „ by ex
-у-by 4- -j- ex = 0 или	= — -rx.
dx J 1 dy	dB dA
dy dx
Последнее равенство возможно, если выражения и —
dy dx
1
— постоянные, равные, например, у.
Из равенств <^ = 2Ьу и^ =—2сх находим В (у)=Ьу2, А(х) =
:=—сх2, т. е. v(x,y) = byz— сх2. Функция v(x,y) при Ьс < 0
является знакоопределенной, ее производная ~ = —2асх44~2йdyr‘.
Если а^О, и Ьс < 0, то выполняются условия тео-
ремы Ляпунова об устойчивости; поэтому при указанных зна-
чениях параметров a, b, с, d нулевое решение данной системы
уравнений устойчиво.
Если а < 0, d > 0 и Ьс < 0, то выполняются условия тео-
ремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, а значит,
при этих значениях параметров a, b, с, d нулевое решение
асимптотически устойчиво.
Если а > 0, d < 0 и Ьс < 0, то выполняются условия тео-
ремы Ляпунова о неустойчивости; следовательно, нулевое
решение неустойчиво.
Метод построения функции v (х, у), описанный выше, назы-
вается методом разделения переменных.
5.35.	Являются ли бесконечно большими функции:
1)	У(х, y) = Y+&^y*'' 2)	//)=*2 + aV?
Построить линии постоянного уровня функции v(x, у), т. е.
множества точек {(x; y) € R4: с (х, #) = const}.
335
Решение. 1) Данная функция является положительно-
определенной во всей плоскости хОу. Несмотря на то что она
может принимать как угодно большие значения, она не явля-
ется бесконечно большой. Какой бы большой по абсолютной
величине ни была переменная х, функция v (х, 0) остается
ограниченной, т. е. вдоль прямой у = 0 функция v(x, у) не
стремится к оо при |х|-^оо. Например, для числа а = 1
нельзя указать такой окружности, чтобы вне этой окружности
для всех (х; у) выполнялось неравенство п(х, у) > 1. Для точек
(х; у) с ординатой, равной нулю, всегда и (х, у) < 1.
Чтобы построить линии постоянного уровня, рассмотрим
уравнение + = С^О. Если С = 0, то линия вырож-
дается в точку (0; 0). Пусть С > 0. Очевидно, множество точек
ц(х, у) = С симметрично как относительно оси абсцисс, так и
относительно оси ординат. Поэтому достаточно построить гра-
фик функции
Область определения функции (4) определяется неравенством
С—С+ (С- 1)х2>0.
Значит, функция (4) определена при -/ тга«/га
если 0<С< 1; если же С 1, то указанная функция опре-
делена для всех х, —оо<х<оо. В области определения
функция непрерывно дифференцируема и ее производная
У' (х) =------------
<!+*) у с-га.
положительна при х > 0 и отрицательна при х < 0. Точка х=0—
единственная точка максимума функции.
что если 0 < С < 1, то у
Отметим,
= у Т/	)—0, а если , то limz/(x)= lim 1/ С—-гага —
____1	/	|х|->оо	х2->со *	l-j-x
— VС—1. Этой информации достаточно для построения линий
336
(рис. 55)
X2
1 + х2
у2 = С.
Для небольших С, именно при 0 < С < 1, линии v(x, у) = С
являются замкнутыми (см. также задачу 5.30).
2)	Если а = 0, то функция и(х, у) не является бесконечно
большой (у (0, у) = 0). Если а=4=0> то функция v(x, у) является
бесконечно большой, так как вне окружности х2 + у2==1 имеем
v (х, у) = х2 + а2у2	а2 (х2 Д у2)
при 0 < а2 1 и
v (х, у) = х2 + а2у2 > (х2 + у2)
при а2>1. Линии постоянного уровня функции и(х, у)—эл-
липсы х2Да2у2 = С (С > 0); если С = 0—точка (0; 0).
Отметим, что в данном случае каждая из линий п(х, у)===С
(С > 0), замкнута и лежит в ограниченной части плоскости хОу.
5.36.	Устойчиво ли в целом нулевое решение системы урав-
нений ^ = у, =— f (х)—аУ< где а > 0, Функция /(х) непре-
рывна и удовлетворяет условиям х/(х)>0 при х=/=0, /(0) = 0
и 5^/(0^ = +°°?
Решение. Функцию и(х, у) ищем в виде v(х, у) = А (х) 4-
+ В(у). Ее производная, составленная в силу данной системы,
есть
dv , dA , dB,	. , .	.
Из условия
dxy dy 1 1	’ dB ~~ dA
dy dx
приравнивая обе части последнего равенства, например 1, на-
ходим В(у)=^-, Д(х)=\ f (t) dt. Следовательно, v(x, у) =
v 0
== jo /(0+ у и S = — аУ2-
Вследствие условий xf (х) > 0 при х 4=0 и °° f(t)dt = -J-oo
функция ц(х, у) бесконечно большая, а ее производная, состав-
ленная в силу данных уравнений, отрицательно-постоянная.
Производная обращается в нуль на прямой у = 0. Выясним,
есть ли на этой прямой целые траектории, отличные от точки
(0; 0). Если такая траектория существует, то соответствующее
ей решение х = <р(/), у = 0.
Подставляя это решение во второе уравнение начальной
системы, имеем /(ф(0) = 0- Отсюда ср(/) = О. Значит, множест-
337
во точек, на котором ^ = 0, не содержит целых траекторий,
отличных от точки (0; 0). Таким образом, в силу теоремы Ба-
рабашина—Красовского, нулевое решение исходных уравнений
устойчиво в целом.
§ 28.	ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
Систему дифференциальных уравнений
Л	<1>
где Р (х, у) и Q (х, </)—непрерывно дифференцируемые в некоторой об-
ласти хОу (или во всей плоскости) функции, часто называют динамичес-
кой системой, а координатную плоскость — ее фазовой плоскостью.
Рис. 56
В системе (1) возможны три типа фазовых кривых (траекторий):
точка, замкнутая кривая и незамкнутая кривая. Решение, траекторией
которого является точка (х0; г/0) (положение равновесия), постоянно:
х(/) = х0, у(Р)=уй для всех Замкнутая кривая соответствует перио-
дическому решению, а незамкнутая — непериодическому.
Под направлением на фазовой кривой L подразумеваем направление
движения фазовой точки (x(Z); y(t}) по L в сторону возрастания t.
Основная задача качественного исследования динамической системы
(1) состоит в том, чтобы выяснить качественную картину разбиения
фазовой плоскости на траектории, или, другими словами, установить
топологическую структуру этого разбиения.
Под топологической структурой принято понимать все те свойства,
которые остаются инвариантными при топологическом (т. е. взаимно
однозначном и взаимно непрерывном) преобразовании плоскости в себя.
Чтобы выяснить качественную картину для системы (1), нужно знать
поведение не всех фазовых кривых, а лишь некоторых из них, называе-
мых особыми', положения равновесия, предельные циклы и незамкнутые
кривые, у которых хотя бы одна полутраектория является сепаратрисой
какого-нибудь состояния равновесия.
Предельным циклом системы (1) называется замкнутая фазовая кри-
вая, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекто-
риями, гго* которым фазовая точка неограниченно приближается к этой
замкнутой кривой при. t—или при t—>•—<»•»
338
Рассмотрим случай, когда система (1) является линейной однородной^
т. е. имеет вид
^=ах^Ьу, ^=cx+dy.	(2)
Если ad—сЬ Ф 0, то система (2) имеет единственное положение рав-
новесия: х = у = 0. Качественное поведение фазовых кривых (тип поло-
жения равновесия) определяется собственными
числами матрицы коэффициентов этой системы,
т. е. корнями уравнения
X3 — (a + d)X + ad—б*=0.	(3)
Если корни и уравнения (3)—действи-
тельные числа одного знака (Z,iX2 > 0), то по-
ложение равновесия — узел, причем устойчивый,
если < 0, Х2 < 0 (рис. 56,а), и неустойчивый,
если > 0, Z2 > 0. Если система (2) имеет вид
dx du
^—ах, ~^~аУ, то Узел называется дикритичес-
ким (рис. 56,6). Если Х1=Л2 и ранг матрицы
/а —Лх b \
I J % ) Равен то узел называется
вырожденным (рис. 56, в).
Если корни уравнения (3) действительные
и Х-До < 0, то положение равновесия —седло
(рис. 57). Если корни уравнения (3) комплексно-со-
пряженные, т. е. Xli2 = a±i'P, то положение
а # 0 и центр при а = 0 (рис. 58).
равновесия—фокус при
Рис. 53
Чтобы построить фазовые кривые системы (2) на плоскости хОу
в случае узла, седла и вырожденного узла, нужно прежде всего найти
те фазовые кривые, которые лежат на прямых, проходящих через начало
координат. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов
матрицы А. В случае узла фазовые кривые касаются этой прямой, кото-
рая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему
по абсолютной величине значения %
Для исследования положения равновесия более общей системы (1)
надо перенести начало координат в исследуемое положение равновесия
и разложить функции Р (х, у) и Q (х, у) в окрестности этой точки по
формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда
339
(4)
система (1) примет вид
^-=ах + 6у+ф(х, у), ^ = сх+Л/ + ф(х, у).
Если вещественные части корней характеристического уравнения (3)
отличны от нуля, то положение равновесия х = 0, у = 0 системы (1)
имеет тот же тип, что и положение равновесия системы (2), получаемой
из (4) при ф (х, у) = 0 и ф(х, у) = 0.
В том случае, когда для системы (2) точка х = 0, у —0 является
центром, для системы (4) она может быть фокусом или центром. Для
наличия центра достаточно, чтобы фазовые кривые имели ось симмет-
рии, проходящую через исследуемое положение равновесия. Очевидно,
ось симметрии существует, если уравнение
dy Q (х, у)
dx Р (х, у)
на —х (или у на —у). Для наличия фокуса
чтобы положение равновесия было асимпто-
t —> + оо или при t—> — оо. Исследование
(5)
не меняется при замене х
необходимо и достаточно,
тически устойчивым при
устойчивости можно провести с помощью теорем Ляпунова.
Исследование окрестности положения равновесия системы (1) — это
локальная задача качественной теории дифференциальных уравнений.
В отдельных случаях, исследовав поведение фазовых кривых в окрест-
ности каждого положения равновесия, удается решить глобальную
задачу качественной теории —установить поведение фазовых кривых
системы (1) на всей фазовой плоскости или установить структуру раз-
биения фазовой плоскости на траектории. Однако в общем случае эта
задача довольно сложная. Более простой оказывается задача в случае,
если уравнение
Q (х, у} dx — Р (х, у) dy = 0	(6)
является уравнением в полных дифференциалах, а значит, фазовые
кривые системы (1) расположены на интегральных кривых уравнения (6),
.	,	„ ди _ ,	, ди .	. ,,
т. е. на линиях и(х, у)--С, где ^ = Q (х> У}>	—Р (х, У)- Примером
такого рода систем может служить механическая система с одной сте-
пенью свободы, без трения, описываемая дифференциальным уравнением
Ньютона
(П
(8)
d2x
dt2 l (x)’
где f (х)— дифференцируемая на некотором интервале / вещественной
оси функция.
Запишем уравнение (7) в виде системы
dx dy ,, ч
м=у'
и введем следующие функции:
П (х) =—\ / (g) dg —потенциальная энергия;
|у2
7'(у)=^—кинетическая энергия;
Е (х, у) = П (х) + Т (у) — полная механическая энергия.
Полная энергия Е (х, у) является первым интегралом системы (8),
а значит, каждая фазовая кривая этой системы целиком лежит на одном
множестве уравнения энергии, т. е. на множестве {(х; у) | П(х)-|-Т (у) — С)
при некотором значении С.
Чтобы построить линии уровня энергии, представим шарик, катаю-
щийся в «потенциальной яме» П (рис. 59) ([1, § 12]). Зафиксируем зна-
340
Рис. 59
чение полной энергии Е. Заметим, что кинетическая энергия неотри-
цательна. Поэтому потенциальная энергия не превосходит полной.
Значит, линия уровня энергии Е проецируется на ось Ох в множество
не превосходящих Е значений потенциальной энергии {x£Z; П(х)^Е}
(шарик не может подняться выше уровня Е в потенциальной яме).
Далее, скорость тем больше (по абсолютной
величине), чем меньше потенциальная энергия:
| у | = 1^2 (Е — П (х)) (скатываясь в яму, шарик
набирает скорость, а поднимаясь, теряет ее).
В «точках поворота», где П(х) = £', скорость
равна нулю. Из четности энергии по отноше-
нию к у следует, что линия уровня энергии
симметрична относительно оси Ох (шарик про-
ходит каждую точку туда и обратно с одинако-
вой скоростью).
Этих простых соображений достаточно,
чтобы построить линии уровня энергии си-
стем с разнообразными потенциалами П(х). Рас-
смотрим простейший случай (бесконечно глубо-
кая потенциальная яма с одним притягивающим
центром х0); тогда f (х) монотонно убывает,
f(xo)=0, Z=R (рис. 59).
Если значение полной энергии Ех меньше минимума потенциальной
энергии Е2, то множество уровня Е (х, у) = Ег пусто (движение шарика
физически невозможно). Множество уровня Е (х, у) = Е2 состоит из одной
точки (х0; 0) (шарик покоится на дне ямы).
Если значение Е3 полной энергии больше критического £2 = П(хо),
то множество уровня Е (х, у)=Е3— гладкая замкнутая симметричная
кривая, окружающая положение равновесия (х0; 0) на фазовой плоскости
(шарик катается в яме взад и вперед; он поднимается до высоты Е3,
в этот момент его скорость обращается в нуль, и он скатывается обратно
в яму, проходит точку х0, в этот момент его скорость максимальна, он
поднимается с другой стороны и т. д.).
При исследовании более сложных случаев следует поступать подоб-
ным же образом, последовательно увеличивая значения полной энер-
гии Е и отмечая значения Е, равные критическим значениям потен-
циальной энергии П (х) (где П'(х) = 0), и рассматривая кривые, для
которых Е немного меньше и немного больше критических.
Если консервативная система имеет положение равновесия типа
«центр», то малые возмущения этой системы могут привести к появле-
нию устойчивости предельного цикла. В этом случае при весьма разных
начальных условиях устанавливается периодическое колебание одной
и той же, вполне определенной амплитуды. Этот установившийся режим
называется режимом автоколебаний.
Так, например, в системе, близкой к системе малых колебаний
dx . , .	. dy , , .	, „
маятника -тт = */+е/1 (*> W> 777=—х + е/2(х, у), 0< е < 1, достаточным
III	Ш
условием наличия предельного цикла является существование положи-
тельных решений а = а0 >0 уравнения Е(а)=0, где
Г“2л
F (а) =—а \ [^(acostp, —a sin <р) cos <р—f2 (a cos <р, —a sin <р) sin <р] dtp.
К тому же цикл является асимптотически устойчивым, если F' (а0) < 0,
и неустойчивым, если F' (а0) > 0.
При выяснении вопроса существования предельных циклов системы
уравнений (1) часто пользуются принципом кольца: если на фазовой
плоскости можно указать такое кольцо ri<(x—х0)2 + (у—y0)2^rl, что
все решения системы (1), начинающиеся на границе этого кольца, входят
внутрь кольца или одновременно все выходят из кольца, то внутри
кольца имеется предельный цикл системы уравнений (1).
341
5.37.	Исследовать поведение фазовых кривых системы урав*
нений:
1)^ = -4х + 2<,,	=
2>г = °. > = ' + !'•
Решение. 1) Правые части каждого из уравнений си-
стемы обращаются в нуль в точках прямой у=2х, так что
точки этой прямой являются положениями равновесия. Фазовые
кривые, отличные от положений равновесия,— интегральные
кривые уравнения
dy 2х—у	dy _	1	„
dx~ —4х~+2у ИЛИ dx~ 2 ’ У^2а>
т. е. это полупрямые, получаемые из семейства прямых у —
= —i-(x + C) при пересечении его прямой у = 2х.
Движение по фазовым кривым происходит в направлении
к положениям равновесия, так как если фазовая точка (х(0, y(t))
Д)	б)
Рис. 60
в момент t находится в области 2х—у < 0, т. е. над прямой
у = 2х, то ~ = — 4хД2у>0, ~ = 2х—у<0, т. е. x(t) воз-
растает со временем, a y(t) убывает. Наоборот, если фазовая
точка в момент t находится под прямой у = 2х, т. е. 2x(t) —
— у(0>0, то ^-<0, — > 0, т- е- х(0 убывает, a y(t) воз-
растает (рис. 60, а).
2) Положениями равновесия данной системы являются точки
прямой х-\-у = 0. В точках (х; у), для которых х-\-у=^0, имеем
^ = —-^ = 0, т. е. фазовые кривые системы лежат на прямых
х = с. Итак, каждая прямая х = с состоит из трех фазовых
кривых: точки (с; —с) и полупрямых х = с, у>—с и х = с,
у <—с. Поскольку -£-=х+у>0 при у >—х и ~ < 0 при
Зв
у<—х, движения по фазовым кривым уходят в 4-ос (—- оо)
при т. е. положения равновесия являются неустойчи-
выми (рис. 60, б).
5.38.	Определить тип положения равновесия и характер
поведения фазовых кривых системы уравнений =	=
= х-[-2у. Сделать чертеж.
Решение. Система имеет единственное положение равно-
весия х = у = О. Составим и решим характеристическое урав-
нение:
1— X О
1	2—%
= 0, (1—Х)(2—Л) = 0, Хх = 1, Z2 = 2.

сх
О
Корни и Л2—вещественные, различные и имеют одина-
ковые знаки. Следовательно, положение равновесия (0; 0) —
узел, причем неустойчивый, так как
Xi > 0 и Х2 >0. Для = 1 находим
собственный вектор {1; —1}, а для
Л2 = 2—вектор {0; 1}.
На плоскости хОу строим прямые
х + у = 0 и х = 0, направленные
вдоль указанных векторов. Каждая
из этих прямых содержит три фа-
зовые кривые, положение равнове-
сия и две полупрямые, на которые
прямая разделяется точкой 0(0; 0).
Остальные фазовые кривые каса-
ются при подходе к точке 0(0; 0)
прямой х + у = 0, так как | 1 < | Х21.
Схематически проведение фазовых
рис. 61.
5.39.	Исследовать поведение фазовых кривых системы уравне-
ний 27 = — Зх + 2у, g- = x—4у. Сделать схематический чертеж.
Решение. Составим и решим характеристическое урав-
нение:
Рис. 61
кривых изображено на
—3—%	2
1	—4—X
= 0, V4-7A+ 10 = 0, A.j = —2, Х2 = —5.
Корни характеристического уравнения действительные и
отрицательные; следовательно, положение равновесия—устой-
чивый узел.
Прямые, содержащие фазовые кривые системы, ищем в виде
y--=kx. Подставляя y = kx в уравнение
dy _	х—4у
dx	—Зх+2у ’
получаем уравнение для определения k:
k=	^+k-1=0, ^=-i,
343
Значит, t/== — 1 и у = х/2— искомые прямые. Остальные фазо-
вые кривые—части парабол, касающихся в начале координат
прямой у = х/2. Их схематически можно построить, например,
методом изоклин. То, что эти параболы касаются именно пря-
мой у = х/2, следует из того, что собственный вектор {2; 1}
матрицы коэффициентов данной системы, соответствующий
собственному числу Хх =— 2, параллелен прямой y = xj2
(рис. 62).
5.40.	Определить тип положения равновесия системы урав-
нений ^- = 2у, ^у = 2х--3у и исследовать поведение фазовых
til	III
кривых.
Решение. Составим и решим характеристическое урав-
нение:
„	_ . =0, X2—ЗХ—4 = 0, Хх = — 1, Х2 = 4.
2 о — А
Корни характеристического уравнения действительны и
имеют разные знаки; следовательно, положение равновесия —
седло. Найдем сепаратрисы седла, т. е. прямые, разделяющие
гиперболы разных типов, которые являются фазовыми кривыми
системы (собственно асимптоты этих гипербол).
Ищем их в виде y = kx. Для определения k имеем уравне-
ние = —2Х2 — 3/г—2 = 0, /гх =—fe2 = 2.
Следовательно, у = — х/2 и у = 2х—искомые прямые. Каж-
дая из них состоит из трех фазовых кривых. На прямой
у = — х/2 исходная система принимает вид х = — х, у — — у.
Значит, вдоль прямой у = — х/2 фазовая точка (х(/); y(t))
движется по закону x(/) = xoe-t, y(t) — yae~t, т. е. движение
точки с ростом t происходит по направлению к началу коор-
динат. Аналогично находим, что вдоль прямой у = 2х фазовая
точка движется согласно системе уравнений х = 4х, у — 4у,
344
т. е. по закону x(Z) = xoe4i и у = уоеи. По этой прямой движе-
ние происходит в направлении от начала координат.
Этой информации достаточно, чтобы схематически изобразить
фазовые кривые исходной системы и указать направление
движения по этим кривым (рис. 63).
5.41. Исследовать поведение фазовых кривых системы урав-
„ dx	.du	,
нении -т7-==ах + у,	—— х-\-ау.
dt	dt
Решение. Характеристическое уравнение
= 0, X2—2аХ + Х2+1 =0.
имеет комплексные корни ^£ = «±1. Если а = 0, то положе-
ние равновесия — центр. В этом случае исходная система имеет
вид х = у, у = — х, и находим, что х2 ф- у2 = с2, т. е. ее фазовые
кривые — окружности радиуса |с| > 0 с центром в точке (0; 0)
и сама точка (0; 0). При а^=0 положение равновесия—фокус,
причем устойчивый, если а < 0, и неустойчивый, если а > 0.
В этом случае фазовые кривые—спирали, наматывающиеся на
точку (0; 0). Движение фазовой точки по этим спиралям проис-
ходит в направлении к положению равновесия, если а < 0, и
от него, если а > 0 (рис. 64).
5.42. Построить фазовые кривые системы уравнений:
. ч dx ,	dy	dx	dy „
1) -тг = х2,	-ф = ед;	2)	-тг = ау,	-^- = х2.
’ dt ’	dt и	’	dt	dt
Решение. 1) Если а = 0, то каждая прямая у = у0 содер-
жит три фазовые кривые: полупрямую у = у0, х<0, точку (О; //„)
и полупрямую у = у0, х > 0. Движение фазовой точки по ука-
занным полупрямым происходит в сторону возрастания х, т. е.
слева направо (рис. 65).
Если а=Ф=0, то из уравнения	находим, что фазовые
кривые лежат на линиях у = Се~а>х. Ось ординат кроме поло-
жения равновесия (0, 0) содержит две фазовые кривые: полу-
прямые x = 0, г/ >0 и х = 0, у <0.
345
2) Поскольку уравнение фазовых кривых x2dx—aydy = 0
легко интегрируется: ух3—ау2 = С, нетрудно построить фазо-
вые кривые данной системы (рис. 66).
5.43. Исследовать поведение фазовых кривых системы урав-
нений 7т = —У,	= х—Зхг в окрестности положений равно-
(Ли	ил
Решение. Данная система имеет два положения равно-
весия: 0(0, 0) и О1(\/3-, 0).
Характеристическое уравнение, соответствующее положению
равновесия (х0; у0), записывается в виде
— к —1
1—6х0 —X
= 0,
X2 1 —6х0 = 0.
Для точки 0(0; 0) это уравнение принимает вид Х2ф-1 =0,
т. е. %i, 2 = ± i- Следовательно, положение равновесия 0 может
быть либо центром, либо фокусом. Заметим, что уравнение
,	du х—Зх2
фазовых кривых =не меняется при замене у на —у,
значит, фазовые кривые симметричны относительно оси абсцисс,
поэтому О—центр.
346
! Характеристическое уравнение, соответствующее положению
равновесия Ох, есть Z.2—1=0, т. е. Хх= — 1, Х2=1. Итак,
положение равновесия Ох—седло.
Определим направления, по которым сепаратрисы подходят
к этому седлу, т. е. запишем уравнения касательных к сепа-
ратрисам в точке Ох. Линеаризируя систему в окрестности
точки Оъ получим
dx	dy	/	1 \
-зт —— У, — — *—т •
dt	dt	\	3 )
Уравнение искомых касательных ищем в виде y = k ( х—-у 1 .
__1_
гт	dy Х 3
Подставляя это выражение в уравнение ^- = —-—, находим
&=±1.Итак, у = — (х—у) иу = х—у—касательные к сепа-
ратрисам.
Мы провели полное исследование поведения фазовых кри-
вых данной системы в окрестности ее положений равновесия.
Однако полученной информации недостаточно для построения
фазовых кривых во всей плоскости. В данном случае это можно
сделать, поскольку уравнение фазовых кривых легко интегри-
руется, т. е. данная система имеет первый интеграл: #24~х2 —
— 2х3 = С. Построив вспомогательное семейство кривых z --
——х2 + 2х3 + С, нетрудно построить и фазовые кривые данной
системы (рис. 67).
Из условия z(l/3) = 0 находим, что уравнение сепаратрис
есть у2 + х2—2х3 = 1/27. Направление движения по фазовым
кривым может быть установлено, если учесть, что согласно
347
первому уравнению в полуплоскости у > 0 абсцисса фазовой
точки со временем убывает, а в полуплоскости у <0—воз-
растает.
5.44.	Исследовать и построить фазовые кривые системы
уравнений ^ = 2у, ~ = 4х—4х3.
Решение. Приравнивая правые части уравнений нулю,
находим положения равновесия системы: О} (—1; 0), О (0; 0),
О., (1; 0). Система имеет первый интеграл у2—2x2Jrxi = C. Рас-
смотрим вспомогательные функции z = C + 2x2—xi. Построив
графики этих функций при разных С, легко построить траек-
тории данной системы (рис. 68).
Кривая у2—2х2 + х* = 0 содержит три траектории—две петли
и точку 0(0; 0). При С > 0 кривая у2—2х2---х^ С опреде-
ляет одну траекторию; при С < 0—две траектории (два овала);
при С =—1 получаем две изолированные точки: ОД—!; 0) и
О2(1; 0). Направление движения по траекториям легко уста-
новить исходя из того, что, в силу первого уравнения систе-
мы, абсцисса фазовой точки со временем возрастает в области
У> 0.
5.45.	Доказать, что множество уровня энергии -|(х; у)|П(х)+
+ -у = Е | является гладкой кривой в окрестности каждой
своей точки, исключая лишь положение равновесия, т. е. точки
(х; у), где /(х) = 0, у = 0.
Решение. Воспользуемся теоремой о неявной функции.
Имеем
дЕ (х, у) _ УП (х) _	, , . дЕ (х, у) __ dT _
дх	dx	1 {	ду " dy у'
Если одна из производных отлична от нуля, то в окрестности
рассматриваемой точки множество уровня Е является графи-
ком дифференцируемой функции вида х = х(у) или у = у(х).
Утверждение доказано.
Заметим, что исключенные выше точки (х; у), где /(х) = 0
и у = 0,—это положение равновесия системы Ньютона. Они
являются критическими точками полной энергии Е (х, у). На-
конец, точки х, где /(х) = 0,—это критические точки потен-
циальной энергии П(х).
5.46.	Построить линии уровня энергии, если потенциальная
энергия П (х) = kx2/2.
Решение. Линии уровня энергии в этом случае — кривые
второго порядка kx2-\-y2 = C. Если & > 0 (критическая точка
х = 0—минимум потенциальной энергии), то линии уровня
энергии —гомотетичные эллипсы с центром в точке 0(0; 0).
Если & <0 (критическая точка х = 0 — максимум потенци-
альной энергии), то линии уровня энергии — гомотетичные ги-
348
перболы с центром в точке О (0; 0) и пара их асимптот у =
= ±К—kx (рис. 69).
5.47.	Построить линии уровня энергии уравнения Ньютона
для потенциалов, изображенных на рис. 70, а—в.
Рис. 70
Решение. Пользуясь рекомендациями для построения
линий уровня энергии, изложенных перед задачей 5.46, а также
учитывая, что в окрестности локального минимума потенциаль-
ной энергии линии уровня представляют собой замкнутые кри-
вые, гомеоморфные эллипсам, а в окрестности локального мак-
симума потенциальной энергии эти линии гомеоморфны гипер-
болам, строим их (рис. 71, а—в).
1 с
5.48.	Уравнение Ньютона с потенциалом П(х) =—— 4-^2 ,
с > 0, х > 0 описывает изменение расстояния планет и комет
от Солнца (задача Кеплера). Построить линии уровня энергии
для задачи Кеплера.
349
Рис. 71
1 с
Решение. Построив график функции П(х) =—
1 с
(рис. 72), строим кривые — — + + % = Е. В окрестности
точки (х0; 0) эти кривые замкнутые, так как ха—минимум по-
тенциальной энергии. Если значение Е увеличивается от Ео до
нуля, то эти кривые остаются замкнутыми, но сильно «вытя-
гиваются» вправо. При £ = 0 линия уровня размыкается, при-
чем если х-^-оо, то у—> 0, т. е. ось абсцисс является для нее
асимптотой. При Е > 0 все линии уровня незамкнуты и каж-
дая из них имеет две асимптоты при х-у=±К2Е.
5.49.	Исследовать фазовые кривые системы уравнений
dx dy ,	.
-dt-У’
350
Решение. Это система уравнений Ньютона. Ее потенци-
альная энергия П(х)=-—з_ + ~- Критические точки потен-
циальной энергии х = 0, х=±1. В точке х = 1 потенциальная
энергия имеет локальный минимум, а в точке х = 0—локаль-
ный максимум. Точка х = 0—вырожденная критическая точка
потенциальной энергии.
Рис. 72	Рис. 73
Таким образом, положение равновесия 0^—1; 0) исходной
системы является седлом, а положение равновесия О2 (1; 0)—•
центром. Точка 0(0; 0)—сложное положение равновесия. Фазо-
X х*
вые кривые системы лежат на линиях уровня энергии -=--=—[-
О о
+4-=с.
Строим эти линии, предварительно построив график функ-
ции П(х) = -^---(рис. 73). Направление движения фазовой
точки по фазовым кривым можно определить, используя то,
что, согласно первому из уравнений системы х (t) = у (t), абс-
цисса фазовой точки со временем возрастает, если движение
происходит в фазовой полуплоскости у < 0.
5.50.	В фазовой плоскости (х, х) исследовать фазовые кри-
вые уравнения маятника x + sinx = 0.
Решение. Запишем уравнение маятника в виде системы
dx	du
-^т = У, -£ = — sinx.
dt	dt
Положение равновесия системы— точки оси Ох с абсциссами
x = kn, k = 0, ±1, .... Потенциальная энергия П (х) =— cosx
(рис. 74). Поскольку правая часть системы периодична по х
с периодом 2л, достаточно исследовать фазовые кривые в вер-
тикальной полосе фазовой плоскости шириной 2л, например
в полосе —л^х^л, —оо < у <-роо;
351
Фазовые кривые вблизи начала координат похожи на эл-
липсы. Этим фазовым кривым соответствуют малые качания
маятника. Их период мало зависит от амплитуды, пока она
мала. При больших значениях полной энергии получаются
большие замкнутые кривые, пока энергия не достигает крити-
ческого значения, равного потенциальной энергии переверну-
того маятника. Период колебаний при этом растет (так как
время движения по сепаратрисам, из которых состоит крити-
ческое множество уровня, бесконечно).
Большим значениям энергии соответствуют незамкнутые
кривые, на которых у не меняет знака, т. е. маятник не ка-
чается, а вращается. Его скорость достигает наибольшего зна-
чения в нижнем, а наименьшего—в верхнем положении.
Заметим, что значения х, отличающиеся на 2йл, соответст-
вуют одинаковым положениям маятника. Поэтому фазовым
пространством маятника естественно считать не плоскость, а
цилиндр (рис. 75).
Наворачивая на цилиндр нарисованную уже на плоскости
картину, получим фазовые кривые маятника на поверхности
цилиндра. Все они замкнутые гладкие кривые, исключая два
положения равновесия: А, В (нижнее и верхнее) — и две сепа-
ратрисы: С, D.
5.51.	Исследовать тип каждого из положений равновесия
системы уравнений
§ =*(*+«/—2), ^- = у(1 — х).
Решение. Положения равновесия данной системы опре-
деляем из уравнений х(х-\~У—2) = 0, у(1—х) = 0. Значит, су-
ществует три положения равновесия данной системы: 0(0; 0)-
Oi(l; 1) и О2(2; 0). Характеристическое уравнение, соответст-
352
вующее положению равновесия (х0; у0), имеет вид
2*0 4* у о 2 X х0
У О	1	-^0
= А,2—(х0 4- у0 — 1) К 4х0—2хд Ц- у0—2 = 0.
При хо = уо = О получим уравнение Z24-X—2 = 0, имеющее
корни Хх = .—2, %2 = 1; следовательно, положение равновесия
0(0; 0) — седло. При х„ = у0 = 1 получим уравнение л2— Л,+ 1=0.
Его корни комплексно-сопряженные, причем ReZ = 1/2 > 0;
значит, положение равновесия ОД1; 1) — неустойчивый фокус.
Наконец, при х0 = 2, //„ 0 имеем уравнение Л2—-к — 2 = 0,
Корни этого уравнения—действительные числа разных зна-
ков; поэтому положение равновесия О.2 (2; 0)—седло.
Координатные оси состоят из фазовых кривых. Так, ось
ординат состоит из трех фазовых кривых: х = 0, у < 0; х = 0,
у = 0; % = 0, у > 0, а ось абсцисс — из пяти: у = 0, х < 0; х = 0;
t/ = 0; у = 0, 0 < х < 2; у = 0, х = 2; г/ = 0, х > 2.
На прямой х = 0 исходная система эквивалентна уравнению
у = у, так что движение фазовой точки на ось ординат прохо-
дит в направлении от по-
ложения равновесия 0(0:
0) по закону у (Z) = ety0.
Движение фазовой точ-
ки по оси абсцисс прохо-
дит следующим образом:
если движение начинается
из точки (х0; 0), %<2, то
фазовая точка с течением
времени приближается к
началу координат; если
же движение начинается
из точки (х0; 0), х0 > 2,
то фазовая точка с тече-
нием времени уходит в
бесконечность. Фазовые
кривые исходной системы уравнений изображены на рис. 76.
5.52.	Исследовать тип положений равновесия системы урав-
нений

Решение. Из системы алгебраических уравнений 2ху = 0,
1 + у—х2 + #3 = 0 находим положения равновесия ОД—1; 0) и
О2(1; 0). Поскольку исходная система не изменяется при замене
х на —х, ее фазовые кривые симметричны относительно оси
ординат, а значит, достаточно исследовать тип одного из поло-
жений равновесия, например 02(1; 0).
12 № 2314
353
Составляем характеристическое уравнение, соответствующее
этому положению равновесия:
—%	2
— 2 1—л
= 0, V—Л.4-4 = 0.
Корни этого уравнения комплексно-сопряженные, причем
Re\ = Re%2 = 1/2; следовательно, оба положения равновесия
УФ
исходной системы—неустойчи-
вые фокусы. Отметим, что ось
ординат является фазовой
кривой и на этой оси система
эквивалентна уравнению у —
= 144/4-У2- Фазовая точка, в
какой бы точке оси ординат
она ни начинала движение, с
течением времени уходит в 4
оо. Фазовые кривые системы
изображены на рис. 77.
положений равновесия системы
Рис. 77
5.53.	Исследовать тип всех
„ !dx с, du
уравнении -^- =—2лт/,
Решение. Решая совместно алгебраические уравнения
—2хр = 0, х24-р2—1 = 0, находим все положения равновесия
исходной дифференциальной системы: ОД—1; 0), О2(1; 0),
Составляем характеристическое уравне-
положению равновесия (х0; у0):
0,(0; 1), ОДО; -1).
ние, соответствующее
— 2р0—I
2х0
2-4
2р0 —
= 0, ^24-4(4—Ро) = 0.
При х0 = 0, у0 = ± 1 это уравнение имеет действительные корни
разных знаков: Х4 =—2, %2 = 2; следовательно, положения
равновесия О3 и О4 являются седлами. Нетрудно заметить так-
же, что ось ординат состоит из фазовых кривых, три из кото-
рых являются сепаратрисами указанных седел: х = 0, у <—1;
х = 0, —1 < у < 1; х = 0, у>1, причем сепаратриса х = 0,
—1 < у < 1 является общей для обоих седел, выходящей для
седла О3 и входящей для седла О4. При х0 = +1, у0 = 0 харак-
теристическое уравнение имеет чисто мнимые корни: 2 = ±2i;
следовательно, положения равновесия О4 и О2 исходной системы
могут быть либо центрами, либо фокусами. Поскольку уравне-
ние фазовых кривых (х24~р2—l)dx4-2xp = dp = 0 не меняется
при замене у на —у, фазовые кривые исходной системы симмет-
ричны относительно оси абсцисс. Отсюда следует, что положе-
ния равновесия О4 и О2 являются центрами. Направление дви-
жения по замкнутым фазовым кривым в окрестности этих цент-
ров можно определить исходя из следующих соображений.
354
У*
Рис. 78
Согласно второму уравнению исходной системы, фазовая
точка пересекает ось абсцисс так, что y(f) = x2(t)—1. Значит,
ее ордината в этот момент возрастает, если фазовая точка пере-
секает ссь абсцисс в точках,
для которых | х | > 1, и убы-
вает, если |х< 11. Фазовые
кривые изображены на рис.
78.
5.54.	Исследовать поло-
жения равновесия системы
уравнений:
,. dx	 dy
1)	—тг = sin х, -J7- = smz/;
' dt	dt	J
dx . dy
2) -7-= sin w,-^ =— sinx.
’ dt J ’ dt
Построить фазовые кривые.
Решение. 1) Правые
части данной системы
уравнений периодичны по
х и у с периодом 2л, по-
этому достаточно иссле-
довать систему в квадрате К = {(х; у) | О х < 2л, 0^у<2л}.
Этот квадрат содержит четыре положения равновесия системы:
0(0; 0), О, (0; л), О2 (л; 0) и 03(л; л). Составляем и решаем
характеристическое уравнение,
равновесия (х0; w0):
соответствующее положению
cosx0 — X	0
0 cos у0 — X
= 0,
X1 = cosx„, A2 = cosz/0.
Значит, положения равновесия О и О3— узлы, причем О — не-
устойчивый, а О3— устойчивый узел. Корни характеристиче-
ского уравнения, соответствующего точкам Ох и О2, действи-
тельны и имеют разные знаки, т. е. Ох и 0.2— седла. Поведе-
ние фазовых кривых изображено на рис. 79.
2)	Заметим, что, как и в предыдущей задаче, в силу пери-
одичности правых частей данных уравнений достаточно иссле-
довать фазовые кривые в квадрате со стороной 2л, например
в квадрате
К = {(х; у)\—л^х<л, —лс7г/<л}.
Указанный квадрат содержит четыре положения равновесия:
0(0; 0), ОД—л; 0), О2(—л; л) и О3(0; —л). Составляем ха-
рактеристическое уравнение, соответствующее положению равно-
весия (х0; z/0):
—% cosy0
—cosx6	—X
= 0,	+ cos х0 cos уа = 0.
12*
355
Для точек 01 и 03 это уравнение принимает вид X2 —1=0,
т. е. \ = —1, Ха = 1. Таким образом, точки и О3—седла. Для
точек О и О2 характеристическое уравнение есть X2 4-1 = 0.
Его корни чисто мнимые, и если учесть, что уравнение фазовых
кривых sin х dx 4~ sin у dy — 0 не меняется при замене х на—х
Рис. 80
и при замене х на х + л, у на у + л, то можно утверждать,
что О и О2— центры. Фазовые кривые системы изображены на
рис. 80.
5.55.	Исследовать фазовые кривые системы уравнений
Г ^ = -*-у + *(х2+у2),
— = у + у(д2 + у2).
Решение. Перейдем к полярной системе координат: х~
= pcoscp, y=psincp. Имеем
(‘^2- cos ф — р sin <р	= — р cos ф—р sin ф + р3 cos ф,
^-sin ф + р соэф -^- = Р соэф — р sin ф +р3 sin ф.
„	do dtp
Разрешая эти уравнения относительно — и , получим
^т =— p(I '	Запишем уравнение фазовых кривых
в полярной системе координат: -^- =— р(1—р2).
Отсюда видно, что имеется одна замкнутая фазовая кривая
р=1. Для остальных фазовых кривых р как функция ср воз-
растает при р> 1 и убывает при 0 <р< 1.
Таким образом, исходная система уравнений кроме положе-
ния равновесия 0(0; 0), которое является устойчивым фоку-
356
сом, имеет неустойчивый предельный цикл—окружность еди-
ничного радиуса с центром в начале координат.
5.56.	На фазовой плоскости ’(х; х) исследовать поведение
траекторий уравнения Ван-дер-Поля
^ + х = е(1-х2)^,
где е — малый положительный параметр.
Решение. Запишем данное уравнение в виде системы
уравнений
£ = У’ -^ = -х + е(1-х2)у.	(9)
Если е = 0, то получаем уравнения малых колебаний маят-
ника в окрестности его нижнего положения равновесия, т. е.
консервативную систему, фазовые кривые которой х2 + у2 = с'2.
Если 6=^=0, то существует единственное положение равно-
весия (—0; 0) системы (9). Соответствующее этому положению
равновесия характеристическое уравнение имеет корни 2 =
е , • т /~1	е '2
= у ± i у 1 —у , т. е. при малых е положение равновесия—
неустойчивый фокус.
Выясним, имеет ли система уравнений (9) предельный цикл.
Для этого рассмотрим функцию
52л
0 [/у {a cos ср, —a sin ср) cos ср —
— /2 (a cos ср, —a sin ср) sin ср] dcp.
В данном случае /Х(х, г/) = 0, f2(x, у) = (1—х2)у; поэтому
Е(п) = «\0 (1—a2 cos2 ср) a sin3 ср cfcp) =
= a2 J2" sin2 ср — sin22cp) Ар = па2 ^1 —.
Функция F (а) имеет простой положительный корень ад == 2,
причем при переходе через а0 она меняет знак с плюса на
минус. Поэтому система уравнений (9), а значит, и уравнение
Ван-дер-Поля имеют при малых е устойчивый предельный цикл,
близкий к окружности х2 + х2 = 4 на фазовой плоскости (х, х).
5.57.	Выяснить, имеет ли предельный цикл система урав-
нений
dx	. , du	, „
~тт = У — Х + Х3, -ту = —X — у + у3.
at J	'at	J J
Схематически изобразить поведение фазовых кривых.
Решение. Пусть (х(/), г/(/))— решение данной системы
уравнений. Тогда
4 (*2 (0 + у2 (I)) = 2х + 2у = 2х (у — х + х3) +
+ 2у (- х - у + у3) = —2 (х2 + у2) + 2 (х’ + if).
357
Если фазовая точка (х(/); у(/)) находится на окружности
радиуса г, т. е, x = rcosq>, z/ = rsin<p, то
~ (х2 (/) + г/2 (0) = —2г2 + 2г4 5 6 (cos4 <р -ф sin4 <р) ~
>= —2г2(1 —г2 (cos4<p4~sin4 <р)).
предельный цикл, так
Рис. 81
Так как 1/2 =Ccos4<p4-sin4<p 1, то при г<1 имеем
J^-(x2 (0+у2 (0)=—2r2 (1 — г2 (cos4<p + sin4<p))<—2г2(1 —г2)<0,
а при г > К2 получим -^-(х2 (/) + у2 (/)) > 0. Отсюда в силу
принципа кольца следует, что в кольце 1 < х2 -ф у3 < 2 имеется
:ак через окружности х2 -ф у2 = 1 и
х2 + //2 = 2 решения исходной систе-
мы выходят из этого кольца.
Исследуем положения равновесия
данной системы. Построив графики
функций у = х—х3 и х = — у + у3,
убеждаемся, что данная система
имеет только одно положение рав-
новесия: 0(0; 0). Составим харак-
теристическое уравнение для этого
положения равновесия:
J . —/?-ф2Л-'-2 =0.
Корни этого уравнения комплекс-
Re A-i — Re = —1. Поэтому поло-
жение равновесия — устойчивый фокус. Фазовые кривые си-
стемы изображены на рис. 81.
но-сопр яженные,
Задачи для самостоятельной работы
Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить,
устойчивы ли решения данных уравнений с указанными начальными
условиями:
1.	а) х (1) =2; б) х (1) =0.
dx
2.	~ = (2 —Р)х: а) х(0) = 0; б) х(0)=1.
dx
3.	~=:х(х2—1): а) х(0) = 0; б) х(0) =—1.
4. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной одно-
родной системы дифференциальных уравнений неустойчиво, то неустой-
чивы все решения этой системы.
5. Доказать, что если каждое решение линейной однородной си-
стемы дифференциальных уравнений остается .ограниченным при
t —* + оо, то все решения этой системы устойчивы по Ляпунову.
6. Пусть X (Z) —матрицант линейной однородной системы дифферен-
циальных уравнений. Известно, что lim detX(/) = O. Следует ли
t -* +®
358
отсюда, что: а) все решения данной системы асимптотически устойчивы;
б) система имеет хотя бы одно устойчивое решение; в) система имеет
ограниченные при t—>-4-00 нетривиальные решения?
Исследовать на устойчивость нулевое решение систем уравнений;
, I
f >=-5х+^
I dy „
I
!' dx	. ,
-тг~— *4~ 1 — COS у,
dt	u
J
-r^=sin2 x-}- 1 —ey.
at
( -^=-2x-5^
l Г2х+2У-
j -^- = 4 sin X-+ In (l-r-»z).
12> 1 dy ,	, „
( -^=x + y+ x2y.
13. При каких значениях параметра а асимптотически устойчива
нулевое решение системы уравнений
Г ^ = 2е-^-К4 + ау,
I -^ = ’п(1 + 9х + а</)?
14. Исследовать, устойчиво ли решение x=sin/, у~—2 cos/ системы
уравнений
dx 1 /	। 1 1	• У
-^-=ln (—x + l+smZ)-y,
-^=(1 — х2) cos Z2х cos2 /4-2 sin3/ —cos3/.
Исследовать на устойчивость все положения равновесия систем
уравнений:
15. •	f	dx dt У’ dy — sin X. dt	16. .	r dx _ dt dy . dt	\—x — y + xy, xy — 2.
		dx	,	.		r dx	 dt	2y-i~V j — 3j/ —sinx
17. .			18. <		
		^.= 10 (x2 — y).		dy . dt	— sin x.
19. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы урав-
нений
dx х „
-=--t2xy\
_ у /-.I
dt t ’	’
20.	При каких значениях параметров а и Ь асимптотически устой-
„ dx , dy
чивы решения системы уравнении -^-=—х-^ау, -^-=Ьх—у + аг,
dz
~dt
=by—г?
359
непрерывная при
dx	v
21.	Доказать, что если решения линейной системы ~^~^х устой-
dx
чивы, то устойчивы и решения системы уравнений -^-—Ах+В (t) х, где
матрица В (t) удовлетворяет условию
00.
dx
22.	Пусть решения линейной системы — ~Ах устойчивы. Доказать,
что если непрерывная при t^st0, ||х||<h вектор-функция f(t, х) удов-
летворяет неравенству [|/(7, х) || <&(0 || х ||, \ k (t) dt <	, то нулевое
dx
решение системы уравнений -g^-=Лх-f-f (/, х) устойчиво.
23.	Исследовать устойчивость нулевого решения системы уравнений:
f dx
^-=ху — х3 + у\
d-У 2	2
—Д- = х2 — у3.
<dt я
а) '
f dx ,
Гу~х’
jty.—_X_(fi-
x y ’
б)
24.	Является ли устойчивым в целом нулевое решение системы
« dx	dy	. г,
уравнении -тг — —у, -£- = х-тау\ а < О?
Ci't	ас
25.	Пусть в системе уравнений
dx
df
= У~х3,
-ЗГ=-'«
функция f (х), /(0) 0 удовлетворяет условиям: xf (х) > 0 при х О
и f (t) dt—>оо при | х |—>-oo. Доказать, что нулевое решение этой
системы устойчиво в целом.
Исследовать поведение фазовых кривых систем уравнений:
26.	Г dx 3T=’-’' | -f=2 <!,-«).	27. ’	r dx	, o -=-x + 2y, lib»-
28. 	dy , I dt=x + y'	29. 	'	3« + 2». dy	. rx~4y-
30. ’	f dx „	. 1Г=3х-4</, ^- — x — 2y. \ dt	я	31. 	f dx	ne _-__2х-5г,. , ^2x + 2y-
32. •	f dx	n ~rr = x — 2y, dt	я	33. ’	’ f=x-2y.
Выяснить типы положений равновесия систем уравнений:
34.	.	35.	.	______
J£=_4x+2xy-8.	х2 + 8у.
> ur	V at
360
1
' £ = -2(x-y)y,	f -^ = (!/-1)(3x.+ </-5),
38.	.	37.	.
I т=2+'“’*-	'
Построить линии уровня энергии и фазовые кривые следующих
консервативных систем уравнений Ньютона:
оо dx	dy	•>	<>п dx	dy.
38.	—— = г/, -jZ- = x —Х-.	39. у, -j7- = sin2x.
dt я dt	dt 3 dt
40.	Построить фазовые кривые консервативных систем с потенци-
альиой энергией: а) П (х) = Д j д_ 3 ; б) П (х) = ± х sin х.
41.	Доказать, что если потенциальная энергия П (х) ограничена
d2x dll (х)
снизу, то каждое решение уравнения  =-------продолжается не-
ограниченно.
42.	При каких условиях система	где Нр) —не"
прерывная функция, имеет предельный цикл? При каких условиях
этот цикл устойчив? неустойчив?
43.	Имеют ли предельный цикл на фазовой плоскости (х, х) урав-
нения:
a) x x - c (1 ~x- —x'2) x; 6) x~-x = e (1 — x2) x?
44.	Доказать, что уравнение x + f (х)фх = 0, где f (у) — непрерывная
функция, /Д0) = 0 и yf (у) > 0 при у # 0, не может иметь периодических
решений, отличных от х = 0.
45.
Даны системы уравнений:
(dx
гу+х
dy ,
____2_ —_ у J.
dt
< dx ,
|
I x + -
dt - + 1
а)
б)
х2 + у2
У е
У2-
Доказать, что каждая из них имеет циклы, и определить их число.
Исследовать устойчивость циклов.
ДОПОЛНЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Линейным однородным уравнением первого порядка с частными произ-
водными называется уравнение
,	. ди ,	.	. ди .	,	,	. ди п
«тЦь	х«)~-дМ*!...........*п)-5^-+---+апЦ1....
(1)
где а; (хг, хп) — заданные функции, определенные в некоторой об-
ласти DcR’, u~u(xi, .... хп) — искомая функция.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
-^-=а(х), х=(х1г хп), а = (сц, ап)	(2)
называется системой уравнений характеристик для уравнения с част-
ными производными (1), а ее фазовые кривые — характеристиками.
Теорема. Функция u — u(Xi, ..., хп) является решением линейного
уравнения первого порядка тогда и только тогда, когда она является
первым интегралом системы уравнений характеристик.
Задачей Коши для уравнения (1) называется задача о нахождении
решения и — и{х) этого уравнения, удовлетворяющего условию
и W Цеу = *Р (*)> гДе V — некоторая гладкая гиперповерхность в D,
а ф (х)— заданная гладкая функция на этой гиперповерхности. Гипер-
поверхность у называется начальной гиперповерхностью, а функция
ф(х)— начальным условием. Точка х на начальной гиперповерхности у
называется нехарактеристической, если характеристика, проходящая
через эту точку, трансверсальна (не касательна) к начальной гипер-
поверхности.
Теорема. Пусть х — нехарактеристическая точка на начальной гипер-
поверхности у. Тогда существует такая окрестность точки х, что задача
Коши для уравнения (1) в этой окрестности имеет решение и притом
только одно.
Если найдены га—1 независимые в области D первые интегралы
системы уравнений характеристик (2)
ф/ (х1; ..., хп)~С;, i = 1, 2, ..., п— 1,	(3)
то все решения уравнения (1) можно получить из формулы
и = Ф (Ф1, ..ф„_1),	(4)
где Ф —произвольная дифференцируемая функция.
Линейным неоднородным уравнением первого порядка с частными про-
изводными называется уравнение
.	. ди .	.	. ди .
«1(^1....Хп) -g^- + a2(xi, .... х„)—
...+a„(xi, .... xn)~^-=b{xi....хп).	(5)
Задача Коши для уравнения (5) ставится так же, как для однородного
уравнения (1).
Теорема. Задача Коши для уравнения (5) в достаточно малой окрест-
ности любой нехарактеристической точки х0 начальной поверхности у
имеет решение и притом единственное. Это решение определяется фор-
362
мулой
u(g(x, /)) = <р (x)+^&(g(x, T))dr,	(6)
где g(x, t)—значение решения уравнения характеристик (с начальным
условием g(x, 0) = % на начальной поверхности) в момент времени t.
Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение
,	.ди .	,	.ди .
a^xi, х„, и)-^- + а2(х1, ..., хп, и),
...+а„(х1.....хп, и) -^-=b (хъ .... х„, и),	(7)
где я/ (х, и), Ь (х, и) — функции, определенные в некоторой области
переменных (х, и). Это уравнение отличается от линейного тем, что
коэффициенты а,- и b могут зависеть от неизвестной функции.
Уравнения характеристик для квазилинейного уравнения имеют вид
= an(xi, ..., х„, и), -^- = b(xi> • хп, ti).	(8)
Задача Коши для квазилинейного уравнения (7) состоит в том, чтобы
найти решение и = и(х), которое на заданной гиперповерхности у раз-
мерности п—1 обращается в заданную функцию ср (х). Начальное усло-
вие (у, <р (х)) называется нехарактеристическим для квазилинейного
уравнения (7) в точке х0 из у, если вектор а (х0, и0) = (fli, ап)
(«о-=ф(хо)) в этой точке не касается поверхности у.
Теорема. Решение квазилинейного уравнения (7) с нехарактеристичес-
ким в точке х0 начальным условием в окрестности этой точки существует
и локально единственно.
Если найдены п первые независимые интегралы уравнений характе-
ристик (8)
ф/ (х, н) = С/, i=l, 2, ..., п,	(9)
то все решения уравнения (7) определяются из равенства
Ф (Ф1> Фг, • • •, Фп) = 0,
где Ф — произвольная дифференцируемая функция.
Чтобы найти решение и = и(х) уравнения (7), удовлетворяющее
начальному условию и |xev = <p (х), где гиперповерхность у задается,
например, уравнением
f(Xi, х2, ..., х„) = 0,
нужно из системы уравнений
I f(xt, х2, ..., хп) = 0,
-! Ф<(И, х2....Xn) = Ci,
( U = <p(Xf, х2, .... хп) (1=1, п)
исключить Xi, х2, ..., х„, и и получить соотношение вида
F (Ci, С2, ..., Сп) = 0. Подставив сюда вместо Cf, С2, .... Сп левые
части соотношений (9), получим
F (ф2 (х, и), ф2 (х, и); ...,	(х, «)) = 0.
Одно из решений и = и(х) этого уравнения и является искомым.
Д1. Проверить, являются ли решениями уравнения
ди , ди , ди А
x-5- + «/-5-4-z-5-=0
дх * а ду 1 дг
363
в области х > О, у > О, г > О следующие функции и = и (х, у, г):
1)	и==-^- + тг, 2) u = xyz, 3) u =
Решение. 1) Вычислим частные производные функции
и (х, у, г):
да _	2х ди _____	2х2	2у ди	_	2у2
дх	у2	’ ду	у3	г2 ’ dz г3
В силу этих равенств имеем
ди , ди .	ди	2х2	2х2
x^- + y-x--\-z-^ = —z-------~
дх	J ду 1	дг	у-	у~
2у2	2у2 _
z2	2-
х2 и2
т. е. « = -^2- + р-решение данного уравнения.
2)	Находим
ди ди ди
-^-=t]Z, — = XZ, -у~=--ху.
дх J ду ' дг J
Подставив эти выражения в уравнение, получим
ди . ди , ди о , ,,
Х-Т- + у -ч- -4- z ^- = Зхуг	О
дх 1 - ду  dz J
в указанной в условии области, поэтому функция u = xyz не
является решением данного уравнения.
3)	Найдем частные производные функции и:
^L=(_____У. + ЛДехг^
дх \ х2 1 ху)	' ду \ х у2 J 9
<5z у
Отсюда
. ди . ди г..,„2 ( гу . г . у 2г . г \ А
x^--\-y~^ + z-5- = ех^ ——Н-------к —------ ~ = 0.
дх J ду 1 дг	\ х у х у у J
Следовательно, и = -^ехг^2 — решение данного уравнения.
Д.2. Доказать, что и (х, у) — х + у + f (х, у), где f(x,y)—
произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является
решением дифференциального уравнения
ди ди
Х-$---У -3- = х—у.
дх J ду
Решение. Дифференцируя по х и у, имеем
^=\+yf (ху), ^ = l+xf'(xy).
Умножив эти равенства соответственно на х и у и подставив
в данное уравнение, получим тождество
х^~y^^x + xyf (х< y)—y—xyf' (xy)=x—y.
364
J
Это означает, что данная функция является решением ука-
занного уравнения.
Д.З. Доказать, что
и = К x2 + y2f ^arctg-^4- In И х2 +у‘2\
где /(г) — непрерывно дифференцируемая функция, является
решением уравнения
Решение. Дифференцируя данное выражение по х и у,
имеем
17 =	^(arctsт+ln+
+ 7^7 r (arctgт +1п Кх2+П -
= г' У ~ f f arctg — + In Кх2 + у2) 4-
ду	7 х2 + у2 V х	/
4—... у (arctg — 4- In Kx2 4-у2) •
К х24-у2 'к 6 х	' а )
Умножим первое из полученных равенств на х4-у, а второе
на х—у, одновременно заменяя f ^arctg-^-4-lnKx24-y2j на
11	гр
 т™
('-4» 4V+f+>"	
Вычитая почленно эти равенства, получим данное дифференци-
альное уравнение; следовательно, функция и является его
решением.
Д.4. Найти решения уравнения у|^—%^ = 0. Из всех ре-
шений выделить то, которое удовлетворяет условию и (0, у)=ру2.
Решение. Из уравнения у = находим характеристики
х24-у2 = С. Все решения исходного уравнения запишем в виде
и =Ф(х24-у2), где Ф(г) — произвольная непрерывно дифферен-
цируемая функция. Последняя формула определяет поверх-
ности вращения вокруг оси Ои.
Найдем ту из этих поверхностей, которая проходит через
параболу и = ру3 в плоскости х = 0. Исключив х и у из урав-
нений х = 0, и — ру2, х2-\-у2 = С, имеем и = рС. Подставляя в
это равенство х24~у2 вместо С, получим уравнение искомой
поверхности и = р(х24-у2)- Это уравнение определяет поверх-
ность параболоида вращения (вокруг оси Ои).
369
Д.5. Найти решение уравнения
ди , ди .
Х-г-А-Ц 5- = 1,
dx ' а ду ’
которое удовлетворяет условию и(х, 1) = х.
Решение. Составляем уравнения характеристик:
dx dy
dt=x’ dt=y-
Их решения имеют вид x = C1ef, у = С2е*. Из этих решений
выберем такое решение x = gi(^, х, у), у = g2(t, х, у), значение
которого при t = 0 лежит на начальной поверхности, т. е. на
прямой у=\. Таким решением является g1 = efx, g2—et.
Согласно формуле (6), искомое решение и (х, у) удовлетво-
ряет соотношению и (е*х, ef) = х ф-1. Положив теперь е1 - у,
имеем и (ху, у) = хф- In у или окончательно и (х, у) =
Д.6. Найти решение задачи Коши
х
У
In у.
ди ди ,	9 /л \	1
Уз----= Ч---------Х~, «(О, (/)=-;.
v дх ду J	\ 1 и/ yi
Решение. Уравнения характеристик имеют вид
dx	dy
-7Т=У, -£ =---X.
dt	dt
Найдем решения этих уравнений: х = Сх sin t ф-С2 cos t, у~
= С\ cos — C2sinZ, где С± и С2— произвольные постоянные.
Из этих функций выберем те, значения которых при t = О
лежат на прямой х = 0, и обозначим эти функции через gi(t,
х, у), g2(t,x,y). Из условий х(0) = 0 и у(0) = у находим, что
Сх = у, С? — 0; поэтому
gi (t, х, у) = у sin t, g2 (t, x,y)=y cos t.
Согласно формуле (6), для искомого решения задачи Коши
имеет место представление
1
w(ysin/, у cos =	\ y2(cos2r— sin2r)dr.
У JO
Отсюда
1 и2
и (у sin t, у cos /) = -j -ф sin 2t.
У
После замены у sin t на х и у на у получим
У) = Хг^у2- + ху.
Д.7. Найти решения уравнения
ди ,	ди , ди п
X—- -ф-2 — = 0,
дх	ду 1 дг	’
366
г
удовлетворяющие следующим начальным условиям:
1) и(\,у, z) = y2 + z2;
2
2) и(х, у, z)|/+22=2 = -.
Решение. 1) Составляем уравнения характеристик!
dx	du dz
dt	’ dt a' dt
Решая эти уравнения, находим x = C1et, y = C2ef, z = C3e*. Оп-
ределим произвольные постоянные С.2, С3 так, чтобы точка
(х(0); у(0); z(0)) принадлежала начальной поверхности — плос-
кости Л'=1; имеем 1=Си у = С„, г — С3. Таким образом,
gi (t, х, у, z) = е\ g.. (/, х, у, z) = уе\ g3 (t, х, у, z) = zef.
Следовательно, согласно формуле (6), находим
н(Ф, уе‘, гс1)--у2-- г2.
Заменяя Ф на х, и на — , z на — , окончательно получим
и(х, у, z) = ^±^.
2) Решим эту задачу другим методом. Запишем уравнения
характеристик в симметричной форме:
dx__dy___dz
X ~~ у ~ г 
Отсюда находим два независимых первых интеграла:
Из равенств
м = |, № + г2 = 2, -^ = СХ, -=С2
х2 ’ 27 1	’ х 11 z 2
исключаем переменные у и z. Из трех последних равенств имеем
(Q+q)x2 = 2, l = q+c22.
Итак, и = 2/х2 = С2 + С|. Подставляя в это равенство у/х вместо
Ci и z/x вместо С2, получаем искомое решение:
и(х, у, =
Д.8. Решить задачу Коши
ди , ди , ди	/п \
Тх + д~у + тг = хУг’ u(.0,y,z)=y-z.
367
ЯШ.
Решение. Составляем и решаем уравнения характеристик: -
dx__________________1 dy__. dz__.
dt~ dt~ Щ”1’
х=/ + Съ y = /4-C2, z = t-\-C3.
Следовательно, характеристики представляют собой семейство
( у— х = С*и
( z—x — C‘>.
Все эти прямые пересекают плоскость х = 0 трансверсально;
поэтому для нахождения решения указанной задачи Коши
можно воспользоваться формулой (6).
Решения уравнений 'характеристик, значения которых при
£ = 0 лежат на плоскости х = 0, имеют вид
gi(t, х, у, z) = t, g3(t, х, y,z) = t + y, g3(t,x,y, z) = t + z.
Подставляя эти выражения в формулу (6), находим
u(t, t + y, t + z) = у—z + $qT(t + «/)(t + z)dz —
/4	/3	/2
= y — 2ГтФ(Ут2)т'Н2Т.
*	О
Подставляя теперь в это равенство вместо t, у, z соответст-
венно х, у—х и z—х, получим искомое решение задачи Коши:
« (х, у, z) = y—z4-^ + y (y + z — 2х)4-(г/—х) (z-x)^-.
Д.9. Найти решения задачи Коши
ди . ди п ,	.	,
х0-х + У &} = 2хУ’ и(х,х) = х2.
Решение. Составим и решим уравнения характеристик:
у =	= х = С^, у = С3еК
Q
Таким образом, характеристики—лучи прямых у = ~х. В дан-
ном случае начальная поверхность (прямая у = х) состоит из
характеристик, т. е. все ее точки являются характеристичес-
кими, поэтому для нахождения решения задачи Коши нельзя
воспользоваться представлением (6).
Попытаемся найти искомое решение исходя из общего реше-
ния исходного уравнения. Составим систему в симметричной
форме
dx__dy__ du
~х ~~у ~2ху
и найдем ее два независимых интеграла:
7 = ^1, ху—и = Сг.
368
Все решения исходного уравнения выражаются формулой
ф(у, ху~и^=0,
где Ф—произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Разрешая последнее равенство относительно второго аргумента
функции Ф, имеем
« = *!/+/(у) ,
где /(г)—произвольная дифференцируемая функция. Используя
начальное условие
w (х, у) |л;=г/ = х2, и (х, х) = х2 + / (1) = х2,
убеждаемся, что решениями данной задачи Коши являются
функции
и(х, y) = xy + f ,
где /(z)— произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
ция, обращающаяся в нуль при г = 1.
Д-Ю. Найти поверхность, которая пересекает семейство
сфер х2 + у2 ф г2 = С2 под прямым углом и проходит через кривую
х = 1, y2 + z2 = x.
Решение. Если задано семейство поверхностей F (х, у, z)—C,
то поверхность и (х, у, z) = Сг пересекает эти поверхности под
прямым углом тогда и только тогда, когда
dF ди .dF ди .dF ди_~
дх дх ' ду ду' dz dz
В данном случае функция и (х, у, z) определяется из урав-
нения
ди , ди . ди п
х— --у — z —-0.
дх J ду дг
Запишем уравнения характеристик в симметричной форме:
dx__dy__dz
х ~ у ~ г ’
Два независимых интеграла этих уравнений имеют вид
-К = СЪ -|- = С2 и определяют уравнение ортогональных траек-
торий указанного в задаче семейства сфер: Ф	= 0, где
Ф—произвольная дифференцируемая функция.
Найдем ту из поверхностей, которая проходит через задан-
ную линию. Исключая из уравнений
х = 1, y2 + z2= 1, 1 = ^,4 = ^
369
переменные х, у и г, получим Q4-Q = l. Заменяя в этом
равенстве С± и С2 соответственно на у/х и z/х, окончательно
находим у1 2 + г2 = х2. Это и есть искомая поверхность — прямой
круговой конус, осью которого является ось х, образующими—
прямые, проходящие через начало координат, а направляющей—
окружность у2 + г2 = 1 в плоскости х = 1.
Д.11. Найти ортогональные траектории семейства плоскос-
тей, проходящих через прямую x = y = z. (Кривая называется
ортогональной траекторией к семейству поверхности F(x, у, z) = C,
если каждая ее касательная является нормалью к указанным
поверхностям.)
Решение. Уравнение данной прямой можно записать в
виде системы двух уравнений
f у—х = 0,
j z—х = 0.
Тогда уравнение семейства плоскостей, проходящих через
эту прямую, примет вид
у—х-]-С(г—х) = 0 или F(x, у,	,
где С—произвольная постоянная. Дифференцируя это уравне-
ние, имеем
dF  г —У dF  	1 dF _ у—х
дх (г — х)2 ’ ду	г—х ’ дг (г—х)2’
Поэтому ортогональные траектории указанного семейства плос-
костей—это характеристики уравнения с частными производными:
г —у ди 1 ди , у—х ди «
(г — х)2 дх г — х dy ' (z-x)2 dz
Запишем уравнения характеристик:
dx _______________________ dy ___ dz
г—у х — z у — х‘
Решая их, находим два независимых интеграла: x4-z/ + z = Cj:
и х2 + у2-]-г2 = Сг.
Линии
х -\-У + 2 — Ci,
x2 + y2 + z2 = C2
являются искомыми. Они представляют собой окружности, ле-
жащие в плоскостях, перпендикулярных прямой x = y = z,
с центрами на этой же прямой.
Д.12, Решить уравнение
1 ди , ди .
----=- + т- = и ctg У-
cos х дх ду ь 23
370
Решение. Составляем уравнения характеристик и нахо-
дим их независимые интегралы:
cosxdx = dti = tg н— , у—sinx = C1, м  = С„.
3	и 1 V	11 sin у i
Решения данного уравнения запишем в виде
Ф [у—sinx,	= О,
у-7	sin у )
или u = sin у/(у—sinx), где /(z) — произвольная непрерывно
дифференцируемая функция.
Д.13. Решить уравнение
„ ди ,	9 ди , „ди
X тг + У zr + z = и.
ах 1 J ay az
Решение. Запишем систему уравнений для характерис-
тик в симметричной форме:
dx__dy__dz__du
x2 у2 z2 и
Из этих уравнений находим независимые интегралы:
- — - = (?!,	- = С„, ие1'х = С3.
X У L X Z	6
Все решения данного уравнения определяются из уравнения
Ф (ие1^, ——-,  ------------------------=0,
\	’ X ух z J ’
или окончательно
и (х, у, z) = e~1Jxf (---, ---,
\х ух z) '
где /—непрерывно дифференцируемая функция своих переменных.
Д-14. Найти решение и (х, у) задачи Коши
ди . ди . а ।	1
Х11дх^УиТу^Ху = ()' w|.vz/=-l =1-
Решение. Уравнения характеристик имеют вид
dx dy  du
хи уи	—ху ’
Из этих уравнений находим два первых интеграла:
± = С1, у2 + ^ = С2.
X	J 1 X 2
371
Исключив х, у, и из уравнений
7 =	z/2 = ^ = C2, ху=1, « = 1,
получим 2Ct = C2.
После замены С± и С2 соответственно выражениями у и
, , Z/ZZ2
щ -г:— имеем
» > х
и2 = 2 — ху.
Последнее соотношение в области ху < 2 определяет два глад-
ких решения исходного уравнения с частными производными
и = Уг2—ху и и = —К2—ху. Одно из них, именно и (х, у) —
= К2—ху, ху < 2, является искомым решением задачи Коши.
Д.15. Найти поверхность и — и(х, у), удовлетворяющую
уравнению
ди , ди
дх^~ У ду
X2—у2
и проходящую через параболу и = х—х2, лежащую в плоскос-
ти у ——2.
Решение. Составляем уравнения характеристик в симмет-
ричной форме
dx__dy _ du
X у и — х2 — у2
и находим их первые интегралы
X ___Q X2 4- у2 + и _____
у ~ у ~
Следовательно, все решения уравнения с частными уравнения
ми выражаются формулой
ф (± х2 + у2 + и\ = 0
к У ’ У 1
млпи = у[\^)—х2—у2, где f (г) — произвольная непрерывно
дифференцируемая функция.
Остается подобрать такую функцию f{z), чтобы выполня-
лось начальное условие и(х,—2) = х—х2, т. е. чтобы
х—х2 = — 2f	4,
372
или f —у ) = — -j — 2. Отсюда f(z) — z—2. Таким образом,
решением исходной задачи Коши является функция
и(х, у) = у (j~2^—x2—y2.
Искомая поверхность и — х—2у—х2—у2 — параболоид вра-
( х = 1/2,
щения, осью которого является прямая '
I У= —1-
Д.16. Одномерная среда состоит из частиц, движущихся по
прямой по инерции, так что скорость частицы остается посто-
янной. Пусть скорость частицы, находящейся в момент t в точ-
ке х, равна и (х, t). Определить и (х, /), если
Ц(х, 0) = ^.
Решение. Пусть х = ф(/)— закон движения частицы; тогда
^ = ц(ф(0-0-
Запишем уравнение Ньютона (ускорение частицы равно нулю):
d2<p d ,	ди дер , ди ди . ди п
— = -г, U (ф (Г), 0 = н-37 + 57 = и'5“ + з7 = 0-
dt1 dt	' дх dt dt dx dt
Таким образом, поле скоростей и среды из невзаимодействую-
щих частиц удовлетворяет квазилинейному уравнению. Учи-
тывая начальное условие, приходим к задаче Коши
ди . ди п , гл 4
wtt + -37 = 0, и (х, 0) = . -
дх fit	’	v	’	i j-i:x
Уравнения характеристик имеют вид
dx	dt	,	du	п
~г = и,	zr = К	тг =°-
ат	ат	ат
Значит, характеристиками являются прямые х = С.. + Су, и = Cj.
Для нахождения решения задачи Коши из системы уравнений
х = С2ф-С1/, w = Cj, t = Q, и = х
~г с
,	4 о
исключаем t и х: ы ~ сг • Заменяя в полученном равенстве
С2 на х—ut, находим
4
U =-------
4 + ^-“г
Получили соотношение F(x, t, u) = 0, из которого опреде-
ляется решение м = и(х, t) задачи Коши. Вычислив производную
dF (х, t, и) । 4iex~ut
ди	(4 ех - и/)2 ’
873
видим, что она обращается в нуль на поверхности
ex~ui = 2 (t—2) ± 2	2)2—4 = 2 (t—2) ± 2 И2—4Л
I;
Г

Следовательно, при г" ^4 не существует гладкого решения
указанной задачи Коши. Начиная
с этого момента частицы в среде
сталкиваются. Физическое усло-
вие движения по инерции, т. е.
отсутствие взаимодействия между
частицами, становится нереали-
стичным и должно быть заменено
другим физическим условием—
описанием характера столкнове-
ния. Так возникают ударные
изображенного на рис. 82, удовлетво-
разрыва и дополнительным условиям
волны—функции вида,
ряющие уравнению вне
происхождения на разрыве.
Задачи для самостоятельной работы.
Решить уравнения:
1.
t
!
f
з.
5.
7.
Найти
8.
9.
и (x, 1, z) = xz.
10.
и (x, 0) = №.

ди	ди	п „ ди	,	ди	,	ди
у-----х~— = 0. 2. х——Pz-v-=0.
дх	ду	дх	v ду	'	ог
ди	ди	...«л	ди	> ди	•>
у-—-х-r— — x2-j-y2. 4. ху —-у2 —
у дх ду J	дх а ду
ди , _ ди , ди	„1 ди , 1 ди	и
-л—Г-2-т-——— = xyz. 6.--—--—.
дх ду ' дг	v х Ох у ду	у2
ди . п . ди
ху^+(х~2и)^уи-
решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:
о ди	ди	п
(x — 2eU)—-— = 0, и(х, 0) — х.
' дх	ду	’
ди . ди 9 ди _.
дх 1 ду дг ’
ди , „ ди
ху -з—Г х	= У<
а дх ' ду
ди ди
х —--у—— = х— у,
дх я ду
„ ди	ди „
х ----ху—— = ха,
дх	ду
ди ди „	„	,
 yrx^=v х ’ и^=т^-
Х^ + у^^и~Ху' “(а'’2)=1 + х2-
ди , . ди . „ ди .	.	.
х——,-2и ——УЗг-т—= 4и, и(х,х, г) = г.
дх 1 и ду 1 dz	' ’
Найти! поверхность, проходящую через прямую х = у, г=1 и
ортогональную поверхностям x2-\-y2-]-z2 = Ctp
17.	Найти ортогональные траектории семейства плоскостей у — Сх.
18.	Составить уравнение с частными производными, которому удо-
влетворяют все конические поверхности с вершиной в данной точке (х0;
у0; г0), и решить его.
11.
и (1, у) = у+еУ.
и (х, х) = l+-jy
Уг
12.
13.
14.
15.
16.
J
ОТВЕТЫ
Глава 1
1. i/=ln(l + x2) + C. 2. y=ln|x+Kx'2 —ll + C. 3. p = ex (cos x+
-ф sin x) -j-C. 4. z/ = — e~xZ. 5. у = 2 —	1 — x2. 6. y — l-j-Cex. 7. tg ~ = Cex,
y = kn, k£Z. 8. \ny = Cex. 9. ln| x+p+2| = x+C. 10. у = х-ф—-2_£L,
x — C; y — x. 11. y = -^-ch2x. 12. y = lnx. 13. y—ex. 14. х2=У 1—y2=C,
15. y~ 1+C (%+ 1), x^—\.
= С.
16.----U--
х у
23. (у-2х)2 (/2+l)=W2+l)2. 24. ху'2=у (2у'-1). 25. l0'”-100 ~ 199 (дней).
26. Через 40 мин. 27. В 729 раз. 28. Ветвь гиперболы ху — у. 29. k (х— 1) у—
— у--1 = 0. 30. х — In (// + 3). 31. у-Сх:‘. 32. у = ах2 + С. 33. р2 = 2 (<р-‘-С).
34.	о = ^км/ч. 35. у = ^х2 + С. 36. Т= arctg(31,62/~~fe)
25	2g	3,162 К k
=	----L).	38. 2,5 KI. 39. T=  'n2, - ~6 cvt 14 ч.
t>0 \ vL v0 J	In 10 —In 9
Vi
40. v ~ 0,93 м/с. 41. Количество оставшейся воды m(Z) = m0—V — <?0)x
Х\1—е V J> k — коэффициент пропорциональности. 42. у-\~У х2+у2 =
У- Cx	x2	/ ! n \
~Cx2. 43. e x =-—7^-. 44. In | у [ = -—--j-C. 45. lnCA = ctg ( 77 In — ),
1 — Cx	8y2 1	b \ 2 x j
y -.xe-k:l, k£Z. 46. (g—x- I)2 (y+x— 1)5=C. 47. 2x-j-y —3 In | x-j-jH-l |=C.
/ 2	\	— *•
48.	y= + С j e~x'2. 49. y = — 2 cos2 x +C cos x. 50. y = e x(ex-^-C).
51.	y = ctgx — sinx. 52. у2 (Се2*2 — 2x2 — I) = 1.	53. y= r^X „ , y = 0.
C -j— A -
i	2x24-C
54.	y= 	:-----7;—.	55. y=-----, y=l. 56. y2-j-4x2 = Се_2л'2.
a 1 + lnx+Cx	x + C a	‘
57.	x2i/2—2x3g—x4 = C. 58. 6x2i/2 + 8x3y + Зх4 = C. 59. x2g2 —2 (x + y) = C.
60.	xy—lnxy3 = C. 61.  ' -r—-L2 In x = C. 62. 2 In I — | +—=C, y = 0.
3 a	(xy)2 xy '	I x I 1 хи у
x2	x2 x6
63. a) ji0(x) = 0, yi (x)=-y, y-i(x) = -^-"go-;6) УоМ = 2л, г/1(х) = л + х,
уг (x) = 2л + х + х cos x—sinx. 64. При
65. На промежутке (—л/2, л/2).
0 < а < 1 в точках оси абсцисс.
68. i/=-----7x7-’ i/ = °- У=\-
cos2 А+Е.
69. y = e,ia(x+c\ у = е, У=±-' 70'	р+ИГ~1}2 ’ у =	+
С-	л,	— 1J	£.
+ (р—I)2 ’ ^=0; ^==х+1-	71, l/ = Cx+g2> 4i/3 = 27x2.	72. х = Ср2е/’,
375
у=С(р+\}еР\ у=0. 73. ЗСр=ЗС2х+(С—З)2; у2+4р= 12х. 74. 2Су4-х2=С2.
75. ху = С2х+С-, 4х2р = — 1. 76. у2 = 2Сх—С2, у=±х. 77. у=^Сх -(-Л In С,
2р+1-|-1п(—2х) = 0.	78. x = p + sinp, У=^—l“P sinp-~cos р-|-С.
79. p = p2sinp, х=р sin р—cos р-]-С. 80. а) у= -±2е^2\ б) у=\.
Глава 2
15. у = х3-{-х2. 16. y = x-f-l, у = х2— х-]-2.	17. р = С4х3 + С2х+С3.
№	л-2
18. р=1 (х+ l)3+v ; р=4 ,Р = 0. 19. p = eshx. 20. у-.~-С2х~	
О	О	О
Ci х4
21. x=lnt + et + C1, y^t + te^ — e^C^. 22. у — -±\-^---С2х. 23. р =
= 1(1-е-х2). 24. p=lch(C1x + C2) (Z>=1); (x-JQ2 + у2 = С1(й = -1);
2С\р=(± Схх+С2)2+1 (fe=2); х=С4 (t— sin/)-{-С2, р = С4(1 —cos t) (k=— 2).
1	s
25. p= — ch & (x+C2) + Ci,	(H—величина горизонтального натя-
жения, s—вес единицы длины каната). 26. Зу'у"2— (1-j-p'2) у”' =0.
27. р = С4^+С2-^. 28. p = C4cosx-|-C2ex. 29. y = Ct (х2 + 1)-|-62е-'-'.
30. р = С4х2 + С21п х. 31. р = С4х+С2х2+С3ех. 32. y^Cve~x -rC2eix-\-C.e~3x.
— ( V з
33. у = С1ех + С2е2х + С3е~х. 34. р = С1 + С2е2х. 35. у = е 2 ( С4 cosх+
i/"3 \
С2 sin —х 1 .	36. y = C1 + C2ex + C3e-x-\-Cie3x + C!,e~Sx.	37. у =
= е~х (С4 cos х-’-С2 sin х). 38. y=Ct cos 2x + C2sin2x. 39. р=С1ех-|-С2е-А'+
— х/ У"2	V"2 \
+ Cs cos х+С4 sin х. 40. р = е 2	IQcos—-—x-j-C2sin——х j-\-
-—х/	У~2	/"2 \
+е 2	( С3 cos—g—x-j-C4sin——xl. 41.p = C1cosx-[-C’2sinx4-
cos ЗхЦ-С4 sin Зх. 42. p = Cie3x-(-e2x (С2 + С3х). 43. р = ех(С1+С2х)4-
+ е~х (С3 cos 2х-|-С4 sin 2х).	44. у = ех (С4 + С2х) + С3 cos х-^С4 sin х.
45. у = е
2 (Ci + C2x) cos—x+(C3-f-C4x)sln—g—х
46. у = С1е~х +
(^-2 "4“ С3х] cos х-|~ (С4 С3х) sin х. 47. у — С^ёх '! С2а х 2 cos х—sin х.
48. y = CY cos2x+C2 sin2x —	cos 2х. 49. у =С\ cos х+С2 sinx-f-i sin x —
I 1	x
---^-cos2x. 50. p = C4e3x-|-C2-|-— e3-v+3x2-{-2x. 51. y — ex (C4+C2x)4-2x2ex,
о	о
y2
52. £/—cos	sinx----g— cos x. 53. //=(С1-)-С2Х-|_Сзх2)
+ 4-x3ex. 54. p = (C4 + x) cos x+(C27|-x2) sinx. 55. p = C1e3x + C2e-3x -f-
+ i e3x (6 sin x — cosx). 56. p = C4ex-j-C2e-x4-C3 cos x-)-C4 sin x — ex sin x
о/
57. у = Ct 4- С2е2х + е-х(Сз cos/ 3x+C4sin/ 3x)-f-le2x (x2-2x).
376
/	х3 \	-/ Уз
58. у = е х ( Сх 4-С2х4—g—cosxj. 59. y = Cie~x-\-е 2 ( С2 cos ~~ к
60. (/ = С1^-рС2е(з + 1/15)х+С3/3-1/15- х
—]— С3 sin ~~
у2 7
+ -g-+18 -	61. у=х(Ах4-В)4-Се Зх + (£>х4-Е) cos 3x-|-(Fx 4- G) sin Зх.
62. у = АхА~ Вхе2хА~е2х (С cos 2xA~D sln2x). 63. у=х(Ах2А-ВхА~С)А~
-p x (Dx--Z?) e~4A'-- X (Fx2Gx-|-/) e-x4-/< cos 2x-!-Л sin 2x.	64. u =
— xe~Sx [(Лх-|-В) cos x 4~ (Cx-\-D) sin x] -j-x (ExA-F). 65. i/ = Xcos2x4-
4-5 sin 2х-]-хе3л'(Cx2 + Dx-]-E)-j-e~2x (F cos 3x-|-G sin 3x). 66. y-(Ax2A-
-j- Bx4-C) cos 2x4-(Cx24-Dx4-E) sin 2x4~ex [(Fx4~G) cos 2x4-(/x-|-F)sin 2х|Ц-
4- xe2x [L cos xA~N sin x]. 67. y = CY cos 2x4-C2 sin 2x4--j- cos 2x- In | cos 2x | 4-
4~4-*sin2x.	68. c/ = Ci4~С'2 cos xСз sin x4   (-cos x In | cos x | 4-
2	COS X
4-sin x (x — tg x). 69. y = Ciex A~C2e~x—4У x. 70.	(c'14'C’2x)4--r •
3	x	1
71. y e':.	72. (/=-g-x2e~2*.	73. y~—cos 2x4~-g- sin 2x.	74. у =
= Ct cos (In x) 4-C2 sin (In x) — In xcos (In x). 75. y — x (CiA~C2 In x)4-x In3 x.
76. у = C1x4-C2x24-C3x3. 77. y—x (C1-|-C2 In xA~C3 In2 x). 78. y-C1-bci In x4-
4-C3x2. 79. у-=С1Х2У^-. 80. c/ = C1x4-C2x2cJ-C3x3. 81. с/ = Сх (2x4-1) 4-
4-C2 )/2xA-1- 82. c/ = C1(x4-2)24-C2(x4-2)3. 83. c/ = C1x34-C2 cos In x 4-
4- C3 sin In x— 4- x2. 84. y=Ct4- —4- —у + Л 'n2	ln x- 85- J/ = ——Ц 4-
1 л	5	1 x2 x? 12	36	y x-j-2
+ 86- ^ C>cos(^ar-os") +
4-C2sin()/' 2 arccos x).	87. y -Ci cos (3arocos x) 4-C2 sin (3 arocos x).
88. y=C| ch (4 arcch x) -C2 sh (4 arcch x).	89. y — C1ch(pr 2 arcch x) 4-
4-C2sh(}C' 2 arcch x). 90. y-Cy’~ xA~C2e~2 x. 91.i/=C1cos(2arccosx)4-
4-C2 sin (2 arccos x). 92. y = Ct cos (3 In cos x) 4- C2 sin (3 In cos x). 93. y~
= — ^4-Cie2/'X4-C,2«-	94. y=x (C1 cos x-f-C2 sin x). 95. y=x2 (CiexA~Cie~x).
96. z/=	+	• 97- !/ = C1ex2''24-C2e-t2/2. 98. у=Сг cos In НКЩ2) 4-
1 -г x-
( >	no ч E	E Sin (vZ 4-<p —a)	vL
(xA-V lA-x99. a) -5- ; 6) --------..	, a = arctg—-
'R у в2 A- v2L2	R
Evsin (vf4-«) a = arctg2L ioi ER^zsin (v/4-<p —a)
lAa '	’ 2LV КRlRlAiRi+Rz)2^2 ’
100.--------
27?
,	(^?i 4" ^2)
” = afctg R.R —
1
102. 1) гх = — е 2
СО
ы cosy(x—х0)4-
,	. со .	. |	2	— (х ХА .СО	/	/------
-'г psin —(х —х(|) I, г2 —— е 2 siny(x — х0) (ш = У 4q—р2), если
д = Р2 — 4? < 0; 2) гх = е 2< Г 1) -тт О —-*о)1. г2 = е 2 (* ^’(х —х„),
если Д = р2 —4<? = 0;
, . . —- (р-а»(х-х<>)
(р-р’со)е 2
3) .
377
,	, --i-(р + <в) <х-ж0)
— (р—со) е 2
1 Г “Т (₽-“) (*-*о)	-—(₽ + <!>) (х-л0)
г2 = — е а	— е 2
со L
(со = рг — 4</), если А = р- — 4</ > 0.
Глава 3
4. хгг" —2г = 0.	5.	+ f2y = 0.	6. у = Сг ( 1 +
LOO	x3j^	\ f	00	д;ЗЛ + 1
к= 1 2 3 5-6 ... (ЗА—1)-ЗА J +С'2 \x+2-ia = 1 3.4.6-7 ...3k (ЗА-II) ) '
~ f	Г4 X6 \
7. у — С^хе 2 4-С2 ( 14“-*2 4—3~-"'-45 ^ * * ’ у * 8* У ~ (Ci 4~ С-^х) e~xZ. 9. у —
х2
--С, (1 .х) ' С2й-\ 10. у=е2 (Ci+Gx2). 11. у=С!(х-1)+С2[(х—1)1п|х|—
— 4х]. 12. с/ = 4 f (Ci + C2 1п | х+1 |).	13. с/i (х)у' (х) — у[ (х) уг (х) =
= С|х|-т|1 — х|?-“~<3-1. 15.'с/^С1|х+1|1-а + С2|х—1[1“а. 16. у =
= С1|х + а|-3 + С2|х — а|-з. 18. Г (х) =-> С °- I9- W (Jv> J-v)=
2 sin vn
лх
22. y=\—sinx — cosx. 23. a) c/ = e-3x; б) краевая задача
не имеет решений. 24. г/ = 2х2. 25. a) G (х, s) =
— (1—s)x, Ocx-Xs,
— s(l — x),
,, r ,	.	( — x, 0sSx<s, .	.
6)G(x, s) = 7	B) °(x, s)
1 ,	4	1	„
--FT (x — s)-- , 0 • X «7 s,
2	'	4
1 ,	ч	1
— 4S— x)-----r,	S<X<1.
2 '	4
26.
G (x, s) = •
sin x sin (1 —s)
sin 1
sin s sin (1 —x)
sin 1
0 x s,
27. G (x, s) =
s«£ix< 1.
29.
ch k (x — s-|- 1)
Ik sh k	'
ch k (s — x + 1)
2k sh k	’
( s2 —4
2s2
G(x, S)J Д4
28. G (x, s) = ^-sin | x —s
2s2
30.
G (x, s) = <
2s2x
l<x<s;
s-C x < oo.
, 2s2x ’
b
31. у
= * (b — x) C (s — a)f (s) ds + (x — a) C (b — s) f (s) ds
t/	V
. 32. G(xt s) =
a
c 14-Ins, 0<x<s;
I	1	ЛО *1	n. vL	ЛЛЛ
~Д 1 + lnx, s<x<l, c/ = y(x2+l). 33’	IT’ Ук-™*—’
* = 0. 1, 2. 34. ^ = -(4~fe)2 (j)2’ l/^sin^-l)^’ ft =
= 1, 2, 3, .... 35. K/i — — (йя)2, yk = x sin (far In x), k = 1, 2, .,, .
378
Tf
st
a
св
4
U
= x cos2 t — (1 — cos/sin t) y, ^-=(l-|-sin/cos/)x+ji-sin2/. 42. x —
~ 6?i cos t C2 sin ^4"j' cos t 4~ 1 j У — Cx sin t -J- C2 cos t sin t —cos t.
43. x = e-^(Ci+C2t)+^-~e^,y=-e-»(C1 + C2 + C2t) + ^ + ^t.
44. x = C1et + C2e~< + sin t, y = — С^~}-С2е~^. 45. x =	+ C2e3t +
4-e*(2cos/—sin/), y = C\e*— C4e3t + e* (3 cos/4-sin/). 46. x = CT(cos2/ —
— sin 2/)+ C3 (cos 2/+ sin 2/), y— C± cos 2/ + C2 sin 2/ Д- e~2t. 47. x = C-let-[-
4-C2sin/4-CsCOs/, y = ~С^+Сгсоз/—C3sin/ + /, z = C2sin/+C3cos/4-1.
t
48. x= J e'1 <Z“T) / (т) Ут.
— co
Глава 5
1. а) Неустойчиво; б) неустойчиво. 2. а) Асимптотически устойчиво;
б) асимптотически устойчиво. 3. а) Асимптотически устойчиво; б) неустой-
чиво. 6. а) Нет; б) нет; в) да. 7. Неустойчиво. 8. Устойчиво. 9. Асимпто-
тически устойчиво. 10. Неустойчиво. 11. Асимптотически устойчиво.
12. Неустойчиво. 13. 0<а<2. 14. Неустойчиво. 15. (2fct; 0) — устойчивые;
(Пт|-2Лл; 0) — неустойчивые. 16. (1; 2) и (2; 1) — неустойчивые. 17. (2; 3)—
неустойчивое, (—1;	0) — устойчивое. 18.	(2/гл;	—1) — устойчивые,
(л-|-2/гл; —1) — неустойчивые. 19. Неустойчиво. 20. 2а6 < 1. 23. а) Асимпто-
тически устойчиво; б) неустойчиво. 24. Да. 25. Убедиться, что функция
(X
f (т) dx-]-у2 удовлетворяет условиям теоремы Барбашина —
с о
Красовского. 26. Точки прямой х — у = 0 — неустойчивые положения рав-
новесия. 27. Точки прямой х — 2у— устойчивые положения равновесия.
28. Неустойчивый узел. 29. Устойчивый узел. 30. Седло. 31. Центр.
32. Устойчивый узел. 33. Неустойчивый фокус. 34. (2; 4) — узел,
(—1; —2) — фокус. 35. (3; 0) — фокус, (1; 1) — узел, (—1; 1) и (—3; 0) —
седла. 36. (2; 2) — узел, (—2; 0) — седло, (—1; —1)—фокус. 37. (1; 2) —
узел, (2; —!)—фокус, (2; 1) и (—2; 1) — седла. 41. Указание. См. дока-
зательство в [2; § 12]. 42. Если /(ро) = О; при возрастании р функция [ (р)
меняет знак с плюса на минус; меняет знак с минуса на плюс.
43. а) Имеет; б) имеет.
Дополнение
1. u==f (х2-| у2). 2. u = f^^, y) ' 3’ и~ ХУ+f (х2~У2)- 4. « =
у2 1	уЗ
= 3у^ху^ху^ 5' и=~6—^(2г + У^—2~+f(y~2х, г —х). 6. и =
=yf (х2—у2). 7. и = xf (2х —у2 — 4и). 8. и = хеу — e2y~h 1- u = (\-Jrx — y)X
X(2 —2// + г). 10. и = х2—у2 — In	И- и--~х-\-у— 1 -\-ехУ. 12. и=
= 1+|^. 13. u = xi/—1-(--j——j • 14. ц =	+	—ху. 15. и==
Зх	3	' х2-\-у2	2у
= х4/^—,	, и — ~ • 16. 2х2 + г2 = z (х2 + г/2 + г2). 17. Окружности,
лежащие в плоскостях, параллельных плоскости г = 0, с центрами на
п	ч dz . .	, dz	2 — zn	у — уп\
оси Ог. 18. (Х-Хо)	(у-у0)	= г-г0; ——°7=f	.
UX	(jy	X ~~~ Xq	\Х — Xq у
ЛИТЕРАТУРА
1.	Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния.— М.: Наука, 1971.
2.	Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости.— М.:
Наука. 1971.
3.	Гудыменко Ф. С., Павлюк И. А., Волкова В. А. Сбор-
ник задач по дифференциальным уравнениям.— Киев: Вища школа, 1972.
4.	Данко П. Е., Попов А. Г., К о ж е в н и к о в а Т. Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. Ч. II.— М.: Высшая школа, 1986.
5.	Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчи-
вости.— М.: Наука, 1967.
6.	Еру гин Н. П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных
уравнений.— Киев: Вища школа, 1974.
7.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям.— М.: Наука, 1971.
_	8. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные
Дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления.— М.:
Наука, 1980.
9.	Киселев А. И., Краснов М. А., Макаренко Т. И. Сбор-
ник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Выс-
шая школа, 1965.
10.	Л и зо рк ин П. И. Курс дифференциальных и интегральных
уравнений с дополнительными главами анализа.— М.: Наука, 1981.
11.	Ляшко И. И. и др. Дифференциальные уравнения.— Киев:
Вища школа, 1981.
12.	Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям.— Минск: Вишэйшая школа, 1970.
13.	Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных диф-
ференциальных уравнений.— Минск: Вышэйшая школа, 1974.
14.	П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.— М.: Наука, 1970.
15.	Пон ома рев К. К. Составление дифференциальных уравне-
ний.— Минск: Вышэйшая школа, 1973.
16.	П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния.— М.: Наука, 1974.
17.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М.:
ГИТТЛ, 1952.
18.	Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния.— М.: Наука, 1980.
19.	Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным урав-
нениям.— М.: Наука, 1979.
20.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—
М.: Мир, 1970.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................  3
Введение...................................................... 4
Глава 1. Дифференциальные уравнения	первого порядка........... 17
§ 1.	Общие понятия и определения.............  17
§ 2.	Дифференциальные уравнения с разделяющимися	перемен-
ными 	 28
§ 3.	Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого
порядка................................................. 35
§ 4.	Однородные уравнения............................... 50
§ 5.	Линейные уравнения первого порядка................. 60
§ 6.	Уравнения в полных дифференциалах.................. 74
§ 7.	Существование и единственность решения	задачи	Коши	...	84
§ 8.	Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно
производной................................................... 95
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ......	113
§ 9.	Уравнения, разрешаемые в квадратурах. Уравнения, допу-
скающие понижение порядка...................................  113
§ 10.	Общие свойства линейных дифференциальных уравнений . .	132
§ 11.	Линейные однородные уравнения......................... 141
§ 12.	Линейные неоднородные уравнения ...................... 170
§ 13.	Линейные однородные уравнения с постоянными коэффи-
циентами ................................................... 184
§ 14.	Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффи-
циентами . , , ,............................................ 202
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка , .	221
§ 15.	Преобразования уравнений и свойства их решений........ 221
§ 16.	Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов.........................................     224
§ 17.	Гипергеометрическое уравнение......................... 232
§ 18.	Уравнение Бесселя..................................... 241
§ 19.	Краевые задачи........................................ 247
Глава 4. Системы дифференциальных уравнений................. 258
§ 20.	Общие вопросы теории систем в нормальной и симметричной
формах....................................................   258
§ 21.	Однородные системы линейных дифференциальных уравнений 270
§ 22.	Линейные системы с постоянными коэффициентами .....	276
§ 23.	Линейные неоднородные системы ........................ 294
382
Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравн ний . • •	310
§ 24.	Понятие устойчивости решения........................  •	310
§ 25.	Устойчивость решений линейных однородных систем дифФе'
ренциальных уравнений....................................    .	314
§ 26.	Критерий устойчивости по первому приближению. . . . . •	323
§ 27.	Исследование устойчивости методом функций Ляпунова. • •	330
§ 23.	Фазовая плоскость....................................... 338
Дополнение. Дифференциальные уравнения первого порядка с част-
ными производными............................................ 362
Ответы..................................................... . •	355
Литература.................................................... 381
Учебное издание
Самойленко Анатолий Михайлович
Кривошея Сергей Арсентьевич
Перестюк Николай Алексеевич
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ:
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редакторы Е. В. Зернов, А. М. Су-
ходский. Мл. редакторы Г. В. Вятоха, Н. П. Майкова. Оформление
художника Н. Ю. Бабиковой. Художественный редактор М. Г. Миц-
кевич. Технический редактор Э. М. Чижевский. Корректор Р. К. Ко-
синова
ИБ № 6761
Изд. № ФМ-909. Сдано в набор 17.04.89. Подпав печать 03.10.89. Формат
60X90/16 Бум. кн.-журн. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем
24,0 усл. печ. л. 24,0 усл. кр.-отт. 23,76 уч.-изд. л. Тираж 60 000 экз. Зак.
№ 2314. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО
«Первая Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати.
113054, Москва, Валовая, 28