NUMERICAL PROCESSES
in
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Ivo Babuska, Milan Prager and Emil Vitasek
PRAHA, CZECHOSLOVAKIA
1966
SNTL-PUBLISHERS OF TECHNICAL LITERATURE, PRAGUE
INTERSCIENCE PUBLISHERS
A DIVISION OF JOHN WILEY & SONS
LONDON - NEW YORK - SYDNEY

И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер
ЧИСЛЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Перевод с английского
В. Л. Каткова
Под редакцией
Г. И. М арчу к а
Издательство «Мир»
Москва 1969

УДК 517.9 + 518
Книга посвящена исследованию устойчивости и оптимизации
численных процессов решения дифференциальных уравнений.
В отличие от монографий подобного рода в ней подробно изу-
изучаются ошибки округления при выполнении расчетов на маши-
машинах с плавающей и фиксированной запятой. Авторы развили ори-
оригинальный подход к этой проблеме и получили ряд новых инте-
интересных результатов. Многочисленные примеры иллюстрируют
особенности различных алгоритмов.
Книга рассчитана на широкий круг читателей. Она будет
полезна математикам-вычислителям, программистам, инженерам,
использующим ЭВМ, а также всем, кто имеет дело с численным
решением дифференциальных уравнений.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
3-69

ОТ РЕДАКТОРА
В последние годы в связи с бурным развитием вычислитель-
вычислительной техники возникли новые научные направления в численном
анализе, которые иногда называют машинной математикой.
Хотя этот термин достаточно широк и неопределенен, все же он
характеризует целенаправленность исследований, связанных
с реализацией алгоритмов на вычислительных машинах. Пер-
Первые исследования в области вычислительной математики, сти-
стимулированные появлением электронных вычислительных машин,
были связаны с фундаментальными понятиями аппроксимации,
устойчивости и сходимости приближенных задач к точным.
В большинстве своем такие исследования имели теоретический
характер. По мере накопления опыта по решению задач на
электронных вычислительных машинах появились новые проб-
проблемы, которые условно можно было бы назвать «теорией реаль-
реальных вычислительных алгоритмов и процессов».
Предлагаемая читателю книга И. Бабушки, Э. Витасека и
М. Прагера посвящена именно этому направлению численного
анализа. В книге систематически изложены результаты как
самих авторов, так и многих других исследователей, внесших
заметный вклад в конструктивную теорию реальных вычисли-
вычислительных алгоритмов и их оптимизацию (С. Л. Соболев, Л. В. Кан-
Канторович, П. С. Бондаренко, П. Хенрич, Дж. X. Уилкинсон,
Р. Е. Мур, К. Никел и др.).
Изложение материала отличается простотой, ясностью и за-
законченностью. Это наложило известный отпечаток на круг из-
излагаемых результатов: в книге рассматриваются лишь вопросы
численного решения обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, а пути исследования численных алгоритмов для задач
математической физики только намечены. Такое построение
книги позволяет читателю быстро войти в круг новых проблем
и идей вычислительной математики и овладеть новой техникой.

Or редактора
весьма полезной и удобной для анализа алгоритмов и постро-
построения эффективных вычислительных процессов.
Несомненно, эта книга является крупным вкладом в вычис-
вычислительную математику; она привлечет большое внимание спе-
специалистов, аспирантов и студентов математических факульте-
факультетов, интересующихся проблемами теории вычислений.
При подготовке перевода редактор и переводчик активно
сотрудничали с авторами, которые внесли в русский текст ряд
существенных дополнений и важных замечаний (в особенности
в гл. 2, 3 и 4) и, кроме того, исправили замеченные опечатки
и редакционные погрешности-. Мы выражаем им за это глубо-
глубокую признательность.
Г. И. Марчук

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
Эта книга, написанная в 1959—1964 г., представляет со-
собой переработанное издание чешского варианта, опубликован-
опубликованного Государственным издательством технической литературы
(Прага, 1964 г.). Толчком к ее написанию послужил теоретичес-
теоретический анализ численных решений ряда технических проблем,
приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Авторы не пытались исчерпывающе описать в этой книге чис-
численные методы и превратить книгу в справочник по алгорит-
алгоритмам, пригодным для использования на вычислительных маши-
машинах. Вместо этого мы выбрали некоторые аспекты численного
решения дифференциальных уравнений, которые могут быть
интересны в теоретическом плане и, как мы надеемся, окажутся
полезными на практике.
Книга содержит много численных примеров. Они приведены
не только для пояснения идей и методов, но и для иллюстра-
иллюстрации некоторых явлений, встречающихся при численных рас-
расчетах; кроме того, эти примеры предназначены для сопоставле-
сопоставления теоретических выводов с практическими результатами.
В некоторых примерах приведены серии расчетов, полученных
на различных вычислительных машинах.
Выбор материала был в большой степени обусловлен объ-
объемом книги, а также теми целями, которые ставили перед со-
собой авторы. Мы ограничились в основном линейными задачами
(за исключением задачи Коши для обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений). Полностью опущены проблема собственных
значений и результаты, связанные с уравнениями гиперболи-
гиперболического типа.
Ради краткости и простоты мы совсем не касались специ-
специфических явлений, встречающихся при выполнении расчетов
с плавающей запятой, и сконцентрировали внимание на проб-
проблемах, которые являются общими для вычислений с плаваю-

8 Из предисловия
щей и фиксированной запятой. Ссылки, относящиеся к работам
этого направления, даны прямо в тексте. Предполагается, что
читатель знаком с основами высшей математики; в первую
очередь это относится к теории дифференциальных уравне-
уравнений, а в некоторых местах используется и функциональный
анализ. Практический опыт численных расчетов на вычислитель-
вычислительных машинах у читателя может отсутствовать; если же такой
опыт имеется, то он, конечно, поможет пониманию трактуемых
в книге вопросов.
Авторы

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с открытия логарифмов в 1614 г. и до недавнего
времени решения задач прикладной математики неизменно
представлялись в виде явных формул, содержащих затабули-
рованные функции, число которых постоянно увеличивалось.
Таблицы предназначались для уменьшения числа арифмети-
арифметических операций, требуемых для вычисления решения. Они слу-
служили, говоря современным языком вычислительной техники,
оперативной памятью большой, практически бесконечной, ем-
емкости; за счет этого преодолевались трудности счета, обусло-
обусловленные малой скоростью выполнения арифметических операций.
Высокая скорость выполнения арифметических операций и
ограниченная емкость памяти современных автоматических вы-
вычислительных машин явились причиной фундаментальных
перемен. Вместо счета по явным формулам используются бо-
более общие вычислительные методы, и сегодня задача считается
решенной только в том случае, если имеется эффективный
метод, дающий требуемый результат с достаточной точностью
за приемлемый отрезок времени.
Другой стороной современной вычислительной техники
является то, что стоимость сложных численных расчетов и,
следовательно, средняя стоимость одной арифметической опе-
операции значительно понизилась, в то время как среднее число
арифметических операций, необходимых для получения отдель-
отдельного технического или научного результата, значительно воз-
возросло. Кроме того, количество значащих цифр в разрядной
сетке быстродействующих вычислительных машин осталось при-
примерно тем же, что и в настольных машинах, использовавшихся
ранее.
Необходимость выполнения большого числа арифметичес-
арифметических операций, присущая современным численным методам
решения задач, привела исследователей к различным новым проб-
проблемам, таким, как оптимизация численных методов и числен-
численная устойчивость. Многие аспекты этих проблем, появившихся
в связи с увеличением быстродействия современных вычисли-
вычислительных машин, еще ждут удовлетворительного теоретического
изучения в будущем.

10 Гл. 1. Введение
§ 1.1. Оптимизация
Даны математическая задача и автоматическая вычисли-
вычислительная машина; требуется выбрать наилучший численный ме-
метод решения. Ясно, что такое определение проблемы оптими-
оптимизации будет приемлемым только после установления критерия,
с помощью которого станет возможным сравнение различных
методов.
В качестве примера рассмотрим одновременно инженерную
постановку задачи об изгибе балки, пластинки или оболочки
и их более точную формулировку на основе математической
теории упругости. Соответствующие уравнения можно интерпре-
интерпретировать как некоторое приближение, связанное со сведением
пространственной задачи к задаче одного или двух измерений.
Такая редукция, основанная на физических соображениях,
полностью аналогична процедуре сведения дифференциальных
уравнений с частными производными к системам обыкновенных
уравнений или уравнений с частными производными.
В этой книге численный метод будет называться оптимальным,
если он минимизирует максимум возможной ошибки в преде-
пределах заданного четко определенного класса задач.
Если встать на асимптотическую точку зрения, то мы получим
другой критерий оценки метода, позволяющий установить
скорость его сходимости или порядок, иными словами, асимпто-
асимптотический оптимум является хорошим критерием при сравнении
эффективности методов.
£ 1.2. Численная устойчивость
Современные вычислительные методы были ранее недоступ-
недоступны, ибо их реализация требует громадного числа арифметиче-
арифметических операций, выполнение которых одним человеком заняло бы
всю его жизнь. Длительность процесса вычислений приводит
нас к новым проблемам. Из-за ошибок округления вычислитель-
вычислительная машина никогда не сможет реализовать численные алго-
алгоритмы в их абстрактной идеальной форме. Результат выполне-
выполнения численного алгоритма зависит от типа вычислительной
машины и используемо?! программы. Во время реализации
численные алгоритмы подвергаются помехам так же, как теле-
телефонные передачи сопровождаются шумом. Подобно тому как
телефонные линии должны иметь зависящие от их длины емкости
для предотвращения полного поглощения разговора шумом,
точно так же математику необходимо иметь в распоряжении
достаточное число значащих цифр в зависимости от характера
и длительности вычислительного процесса,

§ 1.3. Возможность и надежность 11
Первоначально расчеты были, как правило, настолько ко-
короткими, что эта проблема не возникала и процесс вычислений
мог быть отождествлен со своей моделью в поле вещественных
чисел. Сегодня каждый раз необходимо рассматривать бли-
близость идеального вычислительного процесса к его реализации.
В то время как большая часть математических моделей вы-
вычислительных процессов предполагает использование точных
чисел, некоторые основаны на их приближенном представле-
представлении, ограничении погрешностей сверху и их стохастическом
поведении. Однако каждая такая математическая модель пред-
представляет собой абстракцию и не может быть полностью ото-
отождествлена с реальным процессом.
Эта книга посвящена изучению некоторых моделей вычис-
вычислительных процессов. Исследуются идеальные процессы в поле
вещественных чисел, а также расстояние между этими процес-
процессами и их реализациями как функция их длин, т. е. иссле-
исследуется проблема численной устойчивости.
Руководствуясь значительным опытом, накопленным в ре-
результате численных экспериментов на различных вычислитель-
вычислительных машинах, авторы выбрали для математических формули-
формулировок и обсуждения этих процессов подход, допускающий
одинаковое описание численной устойчивости для всех типов
вычислительных машин. Так как реализации вычислительных
процессов в различных условиях отличаются друг от друга
в том смысле, что они могут давать приближения разных ве-
величин, неизменности результата в указанном выше смысле можно
достичь, рассматривая неблагоприятные в практическом отно-
отношении случаи. Зачастую разница в результатах, получаемых
различными способами, становится настолько значительной,
что дальнейший расчет теряет всякий смысл.
ф 1.3. Возможность и надежность
Оценивая преимущества метода с учетом различных фак-
факторов, необходимо всякий раз рассматривать одновременно
возможность реализации и надежность вычислений. Следует
также помнить о цели расчета и учитывать тот факт, что на-
надежность результатов, полученных вычислительной машиной,
должна рассматриваться в связи с требуемой надежностью
заключений, полученных на основе этих результатов.
Надежность вычислительного процесса нельзя гарантиро-
гарантировать на основе теоретических выводов, так как всегда сущест-
существует та или иная причина, нарушающая процесс вычислений.
Цель теории вычислительных методов состоит в сведении ве-
вероятности появлений возмущений к минимуму.

12 Гл. 1. Введение
На практике составными частями искусства вычислений
являются квалификация, опыт и интуиция вычислителя. Мате-
Математическая строгость не является здесь самоцелью. Строгий
математический анализ задач вычислительной практики все-
таки оставляет некоторые вопросы нерешенными. Практические
расчеты требуют таланта, знания и опыта, способности схва-
схватывать сущность задачи и выбирать комбинации известных
методов, а также умения использовать строгий математичес-
математический язык для адекватного описания трудностей проблемы.

Глава 2
УСТОЙЧИВОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
И ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
ф 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы
Рост быстродействия современных вычислительных машин
и соответствующее увеличение числа арифметических операций
выдвинули на первый план проблему численной устойчивости
счета; см., например, Бабушка, Прагер, Витасек [1963], [1964а],
[1965]; Прагер, Витасек [1963]; Витасек [1965]; Бауэр [1965];
Уилкинсон [1963], [1965]; Дальквист [1956]; Хенрич [1962]; Вое-
Воеводин [1967]; Бабушка [1968], [1968а]; Бондаренко [1962] и т. д.
Опыт показывает, что некоторые вычисления дают почти
идентичные результаты, в то время как другие не могут быть
даже реализованы на практике или приводят к существенно
различным результатам на вычислительных машинах разных
типов.
Укажем несколько простых примеров, детально изучаемых
в последующих параграфах. Численные результаты, приводимые
ниже, были получены по просьбе авторов в различных вычи-
вычислительных центрах на различных вычислительных машинах.
Пример 2.1. Вычислить интегрированием по частям интеграл
пех dx B.1.1)
для п = 0, 1 14.
Легко получить рекуррентную формулу
/„=1-л/„_„ /о = 1 — 1/в B.1.2)
и оценки 0 </„+!</„, /„->0 при п-^-оо.
Таблица 2.1 содержит результаты этих расчетов. Видно, что
они совершенно неприемлемы для п>12.
Пример 2.2а. Вычислить уп и zn по формулам
yn = zjn, zn+{=nyn, z, = l B.1.3)
для и= 1, 2 10 000.

14
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Таблица 2.1. Вычисление У
■ - - Г х"
exdx
Плавающая запятая
Тип машины
Вычислительный
центр2
П = 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ZUSE 23
ГИИТ Прага
0,632 120 559
0,367 879 441
0,264 241 118
0,207 276 646
0,170 893 415
0,145 532 921
0,126 802 474
0,112382 680
0,100 938 558
0,091552 9728
0,084 470 2721
0,070 827 0073
0,150 075 912
-0,950 986 862
14,313 816 0
D2
ТУ Дрезден
0,632 120 559 000
0,367 879 441200
0,264 241 117 610
0,207 276 647 177
0,170 893 411296
0,145 532 943 523
0,126 802 338 862
0,112 383 627 969
0,100 930 976 248
0,091 621 213 7705
0,083 787 862 2985
0,078 333 514 7182
0,059 997 823 3837
0,220 028 296 015
-2,080 396 144 21
Минск 22
ФИ Прага
0,632 120 55
0,367 879 44
0,264 241 11
0,207 276 66
0,170 893 37
0,145 533 14
0,126 801 13
0,112 392 07
0,100 863 46
0,092 228 889
0,077 711 105
0,145 177 84
-0,742 134 09
10,647 743
-148,068 40
1 Расчет умышленно проведен с малым числом знаков
ГИИТ—Государственный исследовательский институт теплотехники
ТУ—Технический университет
КУ—Карлов университет
Очевидно, что точным значением уп будет 1/п. В табл. 2.2
приведены результаты, полученные на различных вычислитель-
вычислительных машинах.
Последовательность B.1.3) можно записать в виде
((((A:2) 2): 3K): 4) 4.... B.1.4)
Переставив скобки
((A: 2) B : 3)) C : 4)) .... B.1.5)
получаем
Пример 2.26. Вычислить уп по формулам
B.1.6)
для п= 1, 2, ..., 10 000.

§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы
15
по рекуррентной формуле B.1.2)
Плавающая запятая
ICT 1905
ЧКД Прага
0,632 120 5590
0,367 879 4412
0,264 241 1176
0,207 276 6472
0,170 893 4113
0,145 532 9437
0,126 802 3381
0,112 383 6336
0,100 930 9310
0,091 621 62058
0,083 783 79419
0,078 378 26386
0,059 460 83367
0,227 009 1623
-2,178 128 272
БЭСМ 6
ВЦ Новосибирск
0,632 120 558
0,367 879 441
0,264 241 117
0,207 276 647
0,170 893 411
0,145 532 940
0,126 802 357
0,112 383 500
0,100 931994
0,091 602 0494
0,083 879 5050
0,077 325 4444
0,072 094 6667
0,062 769 3319
0,121229 352
Фиксированная запятая
LQP 30 ■
ТУ Врио
0,63
0,37
0,25
0,00
0,99
0,00
0,99
-2,00
8,99
-43,99
45,00
-88,99
267,99
-1071,00
5355,99
ИТИА—Институт теории информации и автоматизации
ВЦ—Вычислительный центр
ФИ—Физический институт ЧСАН
ЧКД—Вычислительный центр завода ЧКД
D I
ТУ Дрезден
0,632 120 559 0000
0,367 879 4412000
0,264 241 117 6000
0,207 276 647 2000
0,170 893 411 2000
0,145 532 943 9999
0,126 802 336 0000
0,112 383 647 9974
0,100 930 816 0205
0,091622 655 8151
0,083 773 441 8483
0,078 492 139 6689
0,058 094 323 9729
0,244 773 788 3521
-2,426 833 036 9304
Точным значением уп по-прежнему будет 1/п. В табл. 2.3
приведены результаты, полученные на различных вычислитель-
вычислительных машинах по формуле B.1.6).
Пример 2.3. Вычислить
= ^+\, г,=
B.1.7)
для п= 1, 2, ..., 10000.
В табл. 2.4 приведены значения г10000< полученные на раз-
различных вычислительных машинах. Видно, что они практически
совпадают.

16
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Таблица 2.2. Вычисление Уюооо X Ю4 по формуле B.1.3)
Плавающая запятая
Тип
машниы
ZUSE23
LGP30
LGP30
LGP30
D2
XI
XI
SIEMENS
2002
ER56
Минск 22
ICT 1905
БЭСМ 6
Вычислительный
центр1
ГИИТ Прага
ТУ Брно
КУ Прага
КУ Прага
ТУ Дрезден
ТУ Брауншвейг
ТУ Брауншвейг
ТУ Майнц
ТУ Штутгарт
ФИ Прага
ЧКД Прага
ВЦ Новосибирск
JijooooXIO1
0,999 993 645
0,999 263 1
0,999 552 4
1,001 660
1,000 000 000 02
1,000 000 000 00
0,999 960 60
0,999 999 761
0,999 999 725 12
0,999 999 72
0,999 999 999 854
1,000 000 000 40
Примечания
Ручная программа
Автокод
Специальная под-
подпрограмма
12 значащих цифр,
автокод
8 значащих цифр,
автокод
Фиксированная запятая
Тип машины
LGP30
D1
Урал 1
Вычислительный центр '
КУ Прага
ТУ Дрезден
ИТИА Прага
Jlioooo X 10*
0,848 78
0,999 999 999 706 54
0,999 97
'Сокращения поясняются R табл. 2.1.
Пример 2.4. Сосчитать сумму ряда
B.1.8)
k=\
для п = 2s, s = 6, . . ., 19.

§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы
17
Таблииа 2.3. Вычисление г/юооо X Ю4 по формуле B.1.6)
Плавающая запятая
Тип машины
ZUSE23
LGP30
LGP30
LGP30
D2
X 1
XI
SIEMENS
2002
ER56
Минск 22
ICT 1905
БЭСМ 6
Вычислительный
центр'
ГИИТ Прага
ТУ Брно
КУ Прага
КУ Прага
ТУ Дрезден
ТУ Брауншвейг
ТУ Брауншвейг
ТУ Майнц
ТУ Штутгарт
ФИ Прага
ЧКД Прага
ВЦ Новосибирск
jj X Ю4
^ юооо Л ,'и
0,999 991 849
0,999 285 0
0,999 575 4
1,001661
0,999 999 999 316
0,999 999 999 990
0,999 884 80
0,999 999 974 5
1,000 900 483 6
0,999 999 95
1,000 000 000
0,999 999 999
Примечания
Ручная программа
Автокод
Специальная под-
подпрограмма
12 значащих цифр,
автокод
8 значащих цифр,
автокод
Фиксированная запятая
Тип маши
D1
LGP 30
XI
1Ы
Вычислительный центр 1
ТУ Дрезден
КУ Прага
ТУ Брауншвейг
ffioooo X Ю4
0,999 999 999 8
0,976 92
0,673 450 81
1 Сокращения поясняются в табл. 2.1.
Счет проведем тремя различными способами:
(а) Используем рекуррентное соотношение
B.1.9)

18
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Таблица 2.4.
Вычисление г,0000 по формуле B.1.7)
Плавающая запятая
Тип машины
ZUSE23
LGP30
D2
Минск 22
ICT 1905
БЭСМ 6
Вычислительный
центр '
ГИИТ Прага
ТУ Брно
ТУ Дрезден
ФИ Прага
ЧКД Прага
ВЦ Новосибирск
^10000
1,000 100 02
1,000 100
1,000 100 020 08
1,000 100 0
1,000 100 010
1,000 100 01
Фиксированная запятая
Тип машины
LGP30
D1
Вычислительный
центр '
ТУ Брно
ТУ Дрезден
Поооо
1,000 100 02
1,000 100 020 103 78
1 Сокращения поясняются в табл. 2.1.
(б) Второе рекуррентное соотношение
2«) = 2«-» + 2(М>, /=1 S,
~,(s) — е .. _
z' — с>4 —
(в) Третье рекуррентное соотношение
2 О
= 0-1 ft—
Zfc+l = zk + "ft.
Tl4+l=2ft+i-2ft)
ft = 0, 1, ..., ft- 1,
k = 0, 1, . . ., ft— 1,
«ft+I = «ft - 8ft? @0 = 0, ft = 0, 1, ..., ft- 1,
Величины eft и (ofe, очевидно, тождественно равны нулю. Тем
не менее имеет смысл выяснить их значение.

§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы
19
Обозначим через е„ погрешность результата вычисления Sn,
(т. е. en = Sn — Sn, где Sn — приближенное, a Sn — точное зна-
значения). Эта величина приведена в табл. 2.4а.
Таблица 2.4а. Погрешность при счете Sn
Тип
машины
Вычисли-
Вычислительный
центр '
п = 64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
Счет по
ICT 1905
ЧКД Прага
4,841 -11
1,099 -10
2,845-10
5,318 -10
3,733 -10
4,026 - 11
1,162 -9
-4,467 -9
-3,927 -9
-8,626-9
-2,164 -8
-2,866 -8
-3,859 -8
-4,690 -8
1 Сокращения поясняются
B.1.9)
Минск 22
ФИ Прага
-0,596-7
0,596-7
-0,894 -7
-0,894 -7
0,238 -7
0,357 -6
0,953 -6
0,655 -6
0,596 -6
0,178 -6
0,357 -6
-0,226 -5
-0,995 -5
-0,403 -4
в табл. 2.1.
Плавающая запятая
Счет по
ICT 1905
ЧКД
Прага
-1,164 -10
-1,164 -10
-1,164 -10
-1,164 -10
-1,164 -10
-1,164-10
-1,164 -10
-2,328 -10
-2,328-10
-3,492 -10
-3,492-10
-3,492-10
-3,492-10
-4,656 -10
B.1.10)
Минск 22
ФИ Прага
0,298 -7
0,298 -7
0,298 -7
0,298 -7
0,298 -7
0,596 -7
0,596-7
0,596 -7
0,596-7
0,596 -7
0,596-7
0,596 - 7
0,596 -7
0,596-7
Счет по
ICT I905
ЧКД
Прага
5,821 -11
5,821 -11
5,821 -11
5,821 -11
5,821 -11
1,164 -10
0
0
1,164-10
0
0
0
1,164-10
0
B.1.П)
Минск 22
ФИ Прага
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Сравним результаты, полученные в этих четырех примерах.
Пример 2.1 демонстрирует удивительное явление, сводящее
на нет все вычисления после нескольких шагов. Этот наиболее
очевидный тип численной неустойчивости, как мы видим, имеет
место независимо от типа использованной машины.
В противоположность этому табл. 2.2 и 2.3 показывают, что
эффект неустойчивости выражен слабее, чем в случае 2.1, хотя
имеется некоторая потеря значащих цифр. Тип машины, рабо-
рабочая программа и тот факт, используется ли плавающая или фи-
фиксированная запятая, оказывают большое влияние на результаты.
Наконец, пример 2.4 характерен тем, что точность резуль-
результата не зависит от типа машины и рабочей программы. Это

20 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
типичный пример устойчивого вычислительного процесса. В прак-
практической работе нужно всегда стремиться использовать такие
процессы и избегать неустойчивых процессов типа 2.1.
Пример 2.4 показывает, что различные эквивалентные спо-
способы счета (в предположении, что счет идет с точными числами)
могут давать на практике различные результаты.
Ввиду того что теория вычислительных методов основана
на предположении, что все числа, используемые в вычислениях,
абсолютно точны, мы можем доверять таким формулам лишь
в случае устойчивых численных процессов; иными словами,
только в случае устойчивых процессов можно идентифициро-
идентифицировать вычислительный процесс на машине с математической мо-
моделью, использующей точные числа. На практике мы не в со-
состоянии избежать употребления слабо неустойчивых процессов
типа 2.2а, б. Однако в таких случаях необходимо учитывать
это явление при анализе окончательных результатов.
£ 2.2. Устойчивость численных процессов
Понятие численной устойчивости было введено для изучения
влияния того факта, что в реальных расчетах невозможно опе-
оперировать с точными числами, ибо мы не в состоянии избежать
малых ошибок, которые иногда могут быть причиной быстрой
потери точности.
С этой точки зрения численный процесс есть последователь-
последовательность элементарных арифметических операций над числами.
Однако, чтобы упростить наши исследования, удобно обобщить
этот процесс и работать с более сложными объектами, такими,
как векторы, матрицы, или еще более общими объектами, такими,
как элементы нормированных пространств. Итак, введем
Определение 2.1. Пусть Xt, i = 1, 2 N, — последо-
последовательность нормированных пространств и Ah i = 1, ..., N — I,—
последовательность непрерывных операторов, таких, что At
определено на прямом произведении Хх X Х2 X . . . X Х{ и ото-
отображает это произведение в пространство Xi+V Тогда последо-
последовательность уравнений
хм = Л1{хих2 xt), Xi<=Xi, /=1,2 N- 1,B.2.1)
будет называться численным процессом, а последовательность
элементов xt, i= I, 2 N, удовлетворяющих B.2.1), — реше-
решением уравнений этого процесса.
В практической работе, очевидно, Xt = Ru г = 2, 3, ...,
и X\ = Rn, где Rn есть п-мерное евклидово пространство

§ 2.2. Устойчивость численных процессов 21
и At — оператор элементарных арифметических операций1). На
самом деле этот оператор никогда не будет зависеть от всех
ранее полученных чисел. Последовательность в определении 2.1
будет конечной, а число N уравнений B.2.1) может быть задано
заранее или может быть определено в процессе вычислений.
Например, в случае итераций вычисления могут быть закон-
закончены, когда разность xN — jcjV_: будет меньше заданного значе-
значения. В этом случае, строго говоря, N зависит от решения урав-
уравнений численного процесса. Ради простоты эта зависимость
будет игнорироваться, так как число N всегда будет настолько
большим, что реальная ситуация будет лучше описываться бес-
бесконечной последовательностью уравнений, чем конечной.
На практике вычисления не могут быть проведены в соот-
соответствии с определением 2.1, так как в процессе расчетов по
каждому из уравнений B.2.1) мы, возможно, допустим некото-
некоторую ошибку и получим следующий результат из неточных пре-
предыдущих значений. Это значит, что вместо элемента хс мы
будем вычислять элемент xh используя уравнения
xM = At(xu хъ ..., xt) + 6h в,б=*,+1, B.2.2)
где бг — элемент, вообще говоря, с малой нормой. Значение бг
определяется несколькими условиями, в частности значениями xf,
7=1, 2, ..., i, типом ошибок округления, реальной машинной
программой и т. п. Так как мы стремимся изучить общие за-
законы процессов, будем предполагать всюду, что элемент бг мал.
Возникает важный вопрос, можем ли мы на практике реали-
реализовать достаточно малые бг. В действительности вычисления
выполняются не в том порядке, что сначала точно вычисляются
А((хи х2, ..., xt), а затем к этим значениям прибавляются
(аддитивно) ошибки б,-; аддитивная ошибка возникает из-за неточ-
неточного выполнения операции At(xu хъ ..,, xt). Следовательно,
если мы хотим использовать модель, соответствующую опреде-
определению 2.1, то нужно рассмотреть проблему ее реализации на
машине.
Итак, мы будем исследовать величины разностей, т. е.
нормы || Х( — xt ||. Мы должны потребовать, чтобы б; были ма-
малыми для того, чтобы хг — xt были малы для всех /. Однако,
даже если бг малы, это еще не гарантирует, что для всех /
мала разность xt — xt. Она будет малой только для устойчивых
процессов и не будет сильно зависеть от / для малых 6t.
') Оператор деления не является непрерывным, когда знаменатель равен
нулю. Но это неважно, так как деление на нуль не должно встречаться
в процессе счета и разрывность может быть формально устранена.

11 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Определение 2.2. Пусть даны численный процесс (см.
определение 2.1) и последовательности а = (аи ..., aN), — оо<
< а,< оо, b = {bu ..., bN), 0< 6/< оо. Решение хи i= 1,2, ..., N,
назовем (а, Ь)-устойчивым, если для любого е > 0 существует 6,
такое, что если \\ хх — Х\ Hi ^afi для a{'^Q или \\х{— хх\\{^.
< — а^и^Э для а!<0 и || 6; \\м < aMQ для ar+i>0 или
II б,- ll,-+i ^ а<+1 II *i+i llr+i « элементы xt удовлетворяют уравнениям
xi+x = At{xx Xi) + Qh /=1,2 N-\, B.2.3)
то || хг — Х[ \\t < е6г для /=1, 2, ..., Л^, где \\ ||г обозначает
норму в пространстве Х-Г Если же существуют ео>О и Q, такие,
что можно положить 6 = Q min (e0, е), то решение назовем
(а, Ь)-липшицевски устойчивым или (a, b)-L-устойчивым.
Понятие устойчивости определено для решения, но не для
численного процесса. В самом деле, решение будет полностью
определяться начальным элементом, т. е. х{, так что если мы
начнем с другого начального значения х'х, то может оказаться,
что решение имеет совершенно иной характер. Это зависит от
структуры операторов Ah i=\, 2, .. ., N — I. Поэтому мы
должны исследовать устойчивость искомого решения.
Последовательность а обусловливает способ счета. При счете
с фиксированной запятой (см. Уилкинсон [1963]) имеем, напри-
например, х±у = х±у + 01) и аналогично для операции X; в случае
плавающей запятой имеем х ± у — (х ± у)(\ + б'J)- Это выра-
выражение можно, очевидно, записать в виде х±у = (х±у) +
+ . д, (х + у). В первом случае полагаем а=\, а во втором
а = —j-q7g7 (или а = - 1).
Последовательность b служит мерой ошибок. В большинстве
случаев можно положить at = ± 1 и Ьг=\, причем этот выбор
настолько очевиден, что о последовательностях а и b мы вообще
не будем больше говорить.
Если мы хотим изучить этим способом устойчивость общего
решения, то должны предположить, что нам известно точное
решение. С практической точки зрения для этого достаточно
знать некоторые качественные свойства операторов А{, такие,
как монотонность, знак оператора и т. п. в окрестности точного
решения.
') Волнистой чертой мы обозначим операцию округления.
*} Случай переполнения мы рассматривать не будем.

§ 2.2. Устойчивость численных процессов 23
Определение 2.2 выражает тот факт, что мы будем стре-
стремиться к решению, имеющему требуемую точность независимо
от i, если счет выполняется достаточно точно. Однако в случае
конечного процесса это заключение неудовлетворительно, так
как по определению 2.2 каждое решение конечного процесса
устойчиво.
До сих пор мы рассматривали численный процесс и его по-
поведение как независимый объект и игнорировали его начальные
условия и окончательный результат. Рассмотрим следующий
пример. Пусть требуется найти численное решение дифферен-
дифференциального уравнения, причем длина отрезка, на котором ищется
решение, заранее неизвестна. В этом случае хотелось бы знать,
что устойчивость не зависит от длины этого интервала; иными
словами, на практике желательно изучать последовательность
численных процессов в зависимости от подходящим образом
выбранного параметра и требовать устойчивости процесса вне
зависимости от этого параметра.
Другой пример: требуется решить краевую задачу для диф-
дифференциального уравнения методом Ритца. В случае если мы
хотим повысить точность, нужно решить большое число алге-
алгебраических уравнений. В § 4.7 обсуждаются некоторые труд-
трудности, встречающиеся на этом пути. Чтобы обойти их, необхо-
необходимо (насколько это возможно) сделать устойчивость не завися-
зависящей от числа уравнений. Однако, как мы увидим далее,
имеются случаи, когда такой независимости достигнуть невоз-
невозможно. В связи с этим введем
Определение 2.3. Пусть дана последовательность числен-
численных процессов
i=l, 2 N(j)-\, 7=1, 2 B.2.4)
и пусть х{Р, /= 1, 2, . . ., N, есть последовательность его реше-
решений. Пусть, далее, заданы последовательности
а> = « а«), V = (bf &»>), B.2.5)
как в определениях 2.1 и 2.2; верхний индекс — это номер после-
последовательности. Последовательность B.2.4) назовем ^-последова-
^-последовательностью (k^O) численных процессов для решений х{р и (а\ Ь}),
если для любого е > 0 существует 6 > 0, не зависящее от /, такое,
что если Ix^-x^f^a^r" или \\ xf - х? f < - afufk\\ x\i} \\[

24 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
и || Q(/] |g, < a^Qf" или I eift £, < - oKi8 || *ж ||™, у"* « if г/doe-
летворяет уравнениям
*ж = Л<л (JE<", 4'» *</)) + 6'/», B.2.6)
то !*{/> — я'/'Ц'.'' < eft'». 3dec6 || if/' обозначает норму в про-
пространстве элементов х{р. При k = 0 будем говорить о равно-
равномерной устойчивости.
Если же существует ео>О и Q (не зависящие от /), такие,
что можно положить 0 = Q min (e0, е), то будем говорить об ^-по-
^-последовательности липшицевского типа или об o.h-L-no с ледова-
тельности.
На практике почти все процессы принадлежат a^-L-типу.
В сущности, определение 2.3 выражает тот факт, что если мы
увеличиваем /, то должны также увеличивать точность вычи-
вычислений пропорционально /*. Так как в общем случае длина
машинного слова не может меняться, то очень трудно увели-
увеличить точность реальных расчетов. Однако в случае a^-L-после-
довательности численных процессов и малых погрешностей мы
можем интерпретировать наше определение так, что для постоян-
постоянной ошибки 6 в элементарных операциях (т. е. для ||б;''||/+1 < б)
потеря точности в результате будет пропорциональна 6/*.
Обратим внимание читателя на то, что предлагаемая интер-
интерпретация возможна лишь в случае малых ошибок. Непосред-
Непосредственно из определения 2.3 следует, что если окончательная
ошибка и k-я степень / пропорциональны друг другу в описан-
описанном выше смысле, то мы должны иметь /*8/Q ^ е0. Таким обра-
образом, если е0<оо, то предположения определения 2.3 носят
локальный характер. Введение понятия, более слабого, чем
a^-L-последовательность, представляется нам желательным.
Понятие, не требующее этого предположения и выражающее
только тот факт, что для достаточно малых ошибок арифмети-
арифметических операций окончательная ошибка пропорциональна k-u
степени /, дается в следующем определении.
Определение 2.4. Пусть дана последовательность чис-
численных процессов B.2.5). Будем говорить о ^^'^-последователь-
^^'^-последовательности численных процессов для решений х\'} и (a(", ft("), если
существует константа С, такая, что
limsup /— sup —77Г sup \\x(.i} — x{.!) I' \^ Cik,

§2 3. Приложения 25
где Я<Л, = а&, для <t > °- *£> = ~ а% II **+. С, ^л а& < ° «
jc(" удовлетворяет B.2.6).
Отметим, что в силу определений 2.3 и 2.4 каждая
akl (^-последовательность есть также а^г(р^)-последовательность
при условии, что k2^k\. Конечно, мы будем стремиться полу-
получать оценки для минимального значения k.
В практических задачах важно ввести удобные параметры,
т. е. подходящие последовательности по определениям 2.3 и 2.4.
Однако критерий удобности параметра едва ли может быть
введен достаточно строго и потому его следует рассматривать
как один из аспектов искусства вычисления (см. гл. 1). Мы
продемонстрируем выбор подходящих параметров на некото-
некоторых практических примерах.
Практическое решение уравнений B.2.2) было определено
как решение возмущенных уравнений B.2.1). Иногда удобно,
исследуя решение B.2.2), трактовать его как точное решение
другого численного процесса, близкого к B.2.1). Этот формаль-
формальный путь можно использовать во многих случаях (см., напри-
например, § 4.7, а также книгу Уилкинсона [1963]).
£ 2.3. Приложения
Проанализируем теперь примеры § 2.1, используя резуль-
результаты предыдущего параграфа.
2.3.1. Устойчивость процесса в примере 2.26. В B.1.6) мы
имели
Чтобы оценить потерю значащих цифр при вычислении уп в за-
зависимости от параметра п, рассмотрим эти формулы как после-
последовательность численных процессов для уп, п = 1, 2, ...,/,
/=1, 2, .... Так как в определении 2.3 используется лишь
один символ xh перепишем эти формулы в виде
хМ = —^— г('> = И" >:</> г"» = 1 A 3 П
где по определению 2.3 N(j) = 2j. Рассмотрим приближение
л'2п+1 Л2п-1Л2гс Т Uii ' Л'2п я+1 ти2п-1> Л1 l ^ °0 • \^-J.Z)
и пусть
hi) _ y(D _ x(i)
ln Xn Xn •

26 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Вычитая B.3.1) из B.3.2), получаем
?(/) _ у(/) = ?(/) ?(/) _ у(!) x(l) _l Л(Л
A2rt+i A2rt+I A2rt-iA2rt A2rt-iA2n > U2n>
?(/) _ v(/) = fi(/)
X2rt X2n °2n-I-
Легко видеть, что
A2n-IA2n A2rt-iA2n \л2п-\ x1n-\)\X1n X2n)^
4- xU> (x№ — x№\ + x<'' (rW — >:('* "l
T A2rt-i \,A2rt A2rtJ T A2rt VA2rt-i A2rt-iJ*
Используя тот факт, что
!■(/) = -L Г(Л = "
A2rt-1 „ ' A2rt n+\ '
получаем
4D — 41) 41) i ' /(/) i n 4» i fSO
?2n+l - Г2п-1?2п + - t2n + -^J hn-\ + 02„, з з
41) _ *(/)
*2n =O2n-I-
Исследуем эту последовательность с точки зрения расчетов на
машине с фиксированной или плавающей запятой.
Фиксировал ная запятая. В этом случае для xlP вы-
выберем пространство Rx вещественных чисел с абсолютным зна-
значением в качестве нормы и положим а = (\, 1, ...), й = A, 1, ...).
Докажем, что B.3.1) есть apL-последовательность.
Итак, пусть задано е>0. Положим б = -тг min (-^ , е| и по-
кажем, что если | б!й |£, < б// и 1/1л(Я<б//, то | tf «f < e. Из
B.3.3) сразу следует, что || 4« 12„ < б//< е и
Так как п/(п + 1) + б// < 1 и по предположению п<1/, то
что и требовалось доказать.
Плавающая запятая. Выберем Х(пп = Ri и положим
а = (—1, ...), b = {х{{\ . . .). Пусть задано е>0, положим
B.3.4)
= -j-minl-^-, e). Тогда получим

©
©
©
©
1
<
x
—
X
x
X
:
*
*
у
y\
rv
■on
X
23 57Ю 23 57 10 23 57 10 23 57 10 23 57 10
Рис. 2.1. Ошибка в уп для процесса B.1.6). Плавающая запятая
1) и/ЮОО 4) 6уп х Ю", d 2
2) ошибка 5) &уп X I010. ZUSE 23
3) Ьуп X 1010, SIRIUS 6) Ьуп X 10s, LGP 30
7) by x 10', ER 56

28
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
а также
||г2«»2«-^ j n+i 1-е// ■** n+i
Аналогично имеем
II tip {If" < " A + —
1 ^ n
+ 2 e / i
n+ 1
и
k
d)
»2n+i II,-4.1 + 7
3 8
'2n+i ' / n + 1 7 ^ я + 1
e.
I"'' "| A
2rt+l / /
Как и раньше, приходим к ^-/.-последовательности. Следова-
Следовательно, при счете с плавающей запятой абсолютная ошибка не
30
20
10
© 5
3
2
>
•
/
>
>
/
/
•
/
го
!■
/ х
у
/
/
У
/
/
23 57 10 23 57 10
Рис. 2.2. Ошибка в уп для процесса B.1.6). Фиксированная запятая
1) п/1000 3) 6уп X I07, LGP 30
2) ошибка 4) 6уп X I09, Урал I
5) наклон теоретической кривой а,-1,-последовательности
увеличивается, в то время как при счете с фиксированной
запятой она растет линейно с увеличением п.
На рис. 2.1 приведено абсолютное значение ошибки при
вычислении уп по B.1.6) с плавающей запятой. Результаты
получены на пяти различных машинах. В согласии с теорети-
теоретическими выводами на всех машинах, кроме ZUSE 23 и LGP 30,
ошибки ограничены по абсолютной величине.
Рисунок 2.2 демонстрирует рост абсолютного значения уп
для того же процесса B.1.6) в случае машин с фиксированной
запятой. Так как мы установили, что имеем дело с aj-L-после--

ю
©
©
*
*
T
:—Э
-*-
M
/
A
/
d
/
V
л
к"
:
/
I
/
A
(
/
8
/
У-
/
/
/
—•»
z
/
t
:
2 3 5 7 10
СО
2 3 5 7 10
3 5 7 10 2 3 5 7 10 2.3 5 7 Ю
Рис. 2.З. Ошибка в zn для процесса B.1.3). Плавающая запятая
1) я/1000 5) 6гп X 10», ZUSE 23
2) ошибка 6) 6гя X 104, LGP 30
3) Ьгп X I0\ SIRIUS 7) 6гя X 10», ER 56
4) 6г X 10", D 2 8) наклон теоретической кривой
o.rL -последовательности

30
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
/
,r
i
Л
/
и
J
X
\
довательностью численных процессов, то рост ошибки должен
быть пропорциональным п, т. е. значения уп должны ложиться
на или около прямой линии, указанной на рис. 2.2. Совпаде-
Совпадение с теоретическим прогнозом хорошее.
2.3.2. Счет в примере 2.2а. Легко видеть, учитывая опре-
определение 2.3, что в случае машины с фиксированной запятой
(о = A, 1, ...),6 = A, 1, ...))для zn
мы получим а,-/.-последователь-
ность, а для плавающей запятой
(а = (- 1, - 1, ...), Ъ = (\, 1, ...))
apL-последовательность. Рост абсо-
абсолютного значения zn при счете по
B.1.3) с плавающей запятой на
различных вычислительных маши-
машинах отражен на рис. 2.3.
В то время как для машин
ZUSE 23, LGP 30, ER 56 теорети-
теоретические выводы хорошо согласуются
с реальными расчетами, ошибки, по-
полученные на машинах SIRIUS и D2,
меньше предсказанных.
Погрешности zn для случая фик-
фиксированной запятой приведены на
рис. 2.4. Хотя теория предсказывает
в этом случае ^^-последователь-
^^-последовательность, результаты показывают, что
мы имеем apL-последовательность.
Причина этого несоответствия бу-
будет выяснена в § 2.4.
Заметим, что рассмотренные на-
нами примеры можно проанализиро-
проанализировать более детально, изучая работу конкретной машины. Часто
это помогает объяснить некоторые аномалии, встречающиеся
при счете').
2.3.3. Счет в примере 2.3. Читатель может легко убедиться,
что рекуррентное соотношение B.1.7) формирует а0-2.-последо-
вательность численных процессов и что теоретические выводы
подтверждаются численными результатами.
1
2 3 4 б 8 10
Рис. 2.4. Ошибка в zn для
процесса B.1.3). Фиксирован-
Фиксированная запятая
п/!000
6zn X
3) наклон теоретической кривой
(^-^-последовательности
4) фактический наклон, отвечающий
а,-1.-последовательности
') Например, при счете по B.1.3) с плавающей запятой (числа записы-
записываются в нормализованном виде) с М десятичными цифрами (М> 1) и обыч-
обычной ошибкой округления мы имеем всегда zn = zn, если zt = 1 + 1Q~A(+1. Qm,
Фриш, Каутский [1964].

# 2.3. Приложения 31
2.3.4. Счет в примере 2.1. Образуем из соотношения B.1.2)
/„ = 1 - n/n-i
последовательность процессов точно так же, как это было
сделано в п. 2.3.1. Легко видеть, что ни при каком значении k
она не образует ak-L-последовательность. Это следует из того,
что соотношение B.1.2) нельзя использовать для нахождения
значений /„. Таблица 2.1 подтверждает этот результат. Покажем
теперь, что численную устойчивость процесса можно значи-
значительно улучшить, изменив порядок вычислений (см. Бабушка,
Прагер, Витасек [1964а]).
В § 2.1 мы имели оценки
0</rt+I</rt, lim/n = 0. B.3.5)
Бабушковой1) указаны два возможных способа получения
устойчивых процессов:
I. По B.3.5) мы можем положить Ij = 0 для достаточно
большого значения / и переписать рекуррентное соотношение
B.1.2) в виде
I%=X-ZJjLy n = uj-\ 1, //' = 0. B.3.6)
Выбрав Xn = R\ и абсолютное значение в качестве нормы, мы
получим последовательность численных процессов с lim/{," = /„.
Для ошибки
Л1) __ /"(/) _ /(/) _ 1 9 ;
Ln ' ' /-rt + I ' /-rt+1, ll '— l у ^> ■ • • > /»
имеем следующее рекуррентное соотношение:
*п i о'/)
U
которое, как легко видеть, дает (^-/.-последовательность числен-
численных процессов для фиксированной и плавающей запятой.
Этот метод весьма эффективен и может быть применен для
большинства неустойчивых процессов, записанных в виде раз-
разностных уравнений первого порядка. Значение /, гарантирую-
гарантирующее требуемую точность, может быть определено эксперимен-
экспериментально после сравнения двух серий процессов для различных
значений /. Таблица 2.5 представляет результаты расчетов на
машине SIRIUS (с плавающей запятой) для / = 59, 39, 29, 19,9.
') См. также »Гаучи [1961]. Идея обращения рекуррентных схем для
устранения накопления ошибок была высказана Кулиджем [1932] и позднее
с успехом применялась при вычислении бесселевых и других высших транс-
трансцендентных функций.

32
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
35
40
Габлица 2.5. Вычисление /^' по
формуле B.
3.6) для различных /
Значения у''
/ = 59
0,632 120 600
0,367 879 450
0,264 241 130
0,207 276 650
0,170 893 420
0,145 532 930
0,126 802 360
0,112 383 500
0,100 931 970
0,091612 290
0,083 877 070
0,059 017 540
0,045 544 886
0,037 086 215
0,031 279 674
0,027 046 289
0,023 822 729
/ - 39
0,632 120 600
0,367 879 450
0,264 241 130
0,207 276 650
0,170 893 420
0,145 532 930
0,126 802 360
0,112 383 500
0,100 931970
0,091612 290
0,083 877 070
0,059 017 540
0,045 544 886
0,037 086 215
0,031 279 674
0,027 046 278
/ = 23
0,632 120 600
0,357 87Э 450
0,264 241 130
0,207 276 650
0,170 893 420
0,145 532 930
0,126 802 360
0,112 383 500
0,100 931 970
0,091 612 290
0,083 877 070
0,059 017 540
0,045 544 886
0,037 086 158
/=19
0,632 120 600
0,367 879 450
0,264 241 130
0,207 276 650
0,170 893 420
0,145 532 930
0,126 802 360
0,112 383 500
0,100 931 970
0,091 612 290
0,083 877 070
0,059 017 030
/=9
0,632 120 800
0,367 879 200
0,264 241 630
0,207 275 130
0,170 899 480
0,145 502 650
0,126 984 130
0,111 111 ПО
0,111 111 ПО
II. Легко видеть, что /„ (п = 1, 2, ...) удовлетворяют урав-
уравнениям
(+l+-M/n + /n-. = l + -k /0=l-l/e. B.3.7)
Пусть !*■„, п = 1, 2, . .., у — 1, будет решением B.3.7) при условии
1^=1-lie и [f = 0. Тогда lim/<f =/„.
Решая систему B.3.7) методом окаймления (см. Фаддеев,
Фаддеева [1963], гл. 2, § 25), мы придем к формулам
п= 1, 2 /- 1, /#> = (),
1+я + A/я)+/■{/!,
^)=-A+i-e.)e л-2.3...../-I,
B.3.8)
„(/) rU)
Пс, п-Уп '
(/)(/) _ , | / — 1 /"'' = t/n

§ 2.3. Приложения
33
где j>n0. Легко показать, что /n,= lim/J,j-i. Проанализируем
/->оо
теперь процесс B.3.8). По индукции можно доказать, что
п+1
(и+1I
0<С2
«0
1
„, п
где С) и С2 зависят только от п0 и
"'"~
У
< —
гИ1пс,п
Рассмотрим случай плавающей запятой. В целях экономии
введем несколько индексов. Пусть ГХ(,Р, уХп\ еХп\ 'Хп] обозна-
обозначают пространства величин r'^\ y(^\ g(£ n, /^' п.
Аналогично вышеприведенному мы получим для r(h и у(^
aQ-L-последовательности численных процессов, а для g(^ п и /^ п
получим а,^-последовательности.
Для процесса B.3.8) мы должны еще определить адекват-
адекватное значение п. Для этого можно использовать последнее урав-
уравнение B.3.8), так как у(^ и gU> n изменяют знак с изменением п,
а их абсолютное значение убывает. Итак, если | /^ „ — /I'1, n-i I < е,
то I/)/»', л —Hm/^_/-i |<е. Однако этот критерий пригоден лишь
при счете с точными числами, на практике мы всегда должны
учитывать, что имеем дело с ^-/.-последовательностью числен-
численных процессов.
Указанный метод удобен в тех случаях, когда нам нужно
найти только одно значение /„.
Таблица 2.6. Вычисление 1По по формуле B.3.8) для
различных е
По
15
20
25
30
х
Значения /п
для е- 10~6
0,059 017 600
0,045 544 885
0,037 086 217
0,031 279 676
ДЛЯ Е - 10
0,059 027 780
0,045 548 655
0,037 087 912
0,031 280 548
В табл. 2.6 приведены результаты расчетов на машине
SIRIUS (с плавающей запятой) для нескольких значений п0 и
3 Зак. 78

34 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
е=10~6, е=10~3. Заметим, что даже в случае фиксированной
запятой численная устойчивость остается неизменной.
Те же самые идеи могут быть использованы также в других
случаях; например, для счета функций Бесселя см. Стиган,
Абрамович [1957]; Рендел, Ривс [1958]; Бабушка, Прагер, Вита-
сек [1964а].
2.3.5. Счет в примере 2.4. Рассмотрим только случай пла-
плавающей запятой. Положим а = (—1, — 1,...), й = A, 1,...).
В целях экономии места не будем расписывать в деталях
исследуемый процесс. Как и выше, у'-й процесс заключается
в вычислении суммы ряда B.1.8) для п = у.
(а) Счет по рекуррентным формулам B.1.9). Дока-
Докажем, что в этом случае мы имеем а,+Т)-/_-последовательность
для любого ц>0. Обозначим йк — uk = q>k, zk — zk = tyk. Легко
проверяются неравенства
jy + Ш
а также
1 е
г1зо = О, k = 0, 1 у. B.3.9)
Очевидно, что Sk^C\g(k+\). Наше утверждение вытекает
непосредственно из B.3.9).
Легко также проверить, что мы не получим а,-/_-последова-
тельности.
(б) Счет по формулам B.1.10). Докажем, что здесь мы
имеем дело с a^-L-последовательностью для любого г\>0. Обо-
Обозначим через ср(/> разность z^ — zf. Тогда
Так как
,■ ii i_e ^ 1-е
zy>|<sn и /<log2s,
то отсюда следует наше утверждение.
Можно также доказать, что мы не получим а0-/„-последо-
вательности.
(в) Счет по формулам B.1.11). Ввиду того что нас
интересует вычисление только Sn, а счет величины zk образует,

§ 2.3. Приложения 35
как мы выяснили, а,+Т)-/,-последовательность, то выберем b так,
чтобы bt = оо для i, касающихся ошибок uk, zk, цк, ek, wk, и
b\ = 1 в случае ошибки для величины Sn (последнее уравнение
в B.1.11)). В противном случае, как и раньше, берем а =
= (-1, -1, ...)•
Докажем вначале, что мы имеем ^-/^-последовательность
для любого е >0. Распишем формулы B.1.11) в виде
j + Q"k + 91,
9£ + 81 + 82, B.3.10)
Sk+\ = Sk + fc+ j— 6& — 6^ + 9^ ~" 0ft-
Далее легко видеть, что
Oi? <тггг- B.3.11)
Аналогично,
lim sup ~\ Qt | = 0
и
limsup-Uef \ = Sk+l<C lg(k+ 1). B.3.12)
e->o °
Отсюда следует, что
n
lim sup-щ | Sn — Sn | ^ Ci /, -г- + С2lg (k + 1), B.3.13)
9^.o О ^^ ft
и утверждение доказано.
Докажем теперь, что этот процесс не может образовывать
а,^-/.-последовательность для Л>у.
Доказательство проведем от противного. Итак, пусть
9 = Cn~i+ е; тогда можно положить 8% = Сп~>+ -т~т , откуда
следует, что л
1 + е) + т^г. B-3.14)

36 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
и если обозначить zk — zk = -фь то
и потому tyk~^>zkCn~ule. Из этого вытекает, что
пг ~-^ иг*2! —1-J-A.42 2
9* ^ кС [п ) е
и, следовательно,
e£>£cV+")V B.3.15)
или
I Sn - S„| > С'еЪ-'+3\ B.3.16)
Отсюда следует наше утверждение.
В табл. 2.4а приведены результаты счета. На этих при-
примерах хорошо заметна разница между a^-L-последователь-
ностями и ^-/.-последовательностями, а также техника выбора
последовательности Ь.
§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости
2.4.1. Вычисления с фиксированной и плавающей запятой.
Термин «вычисления с фиксированной или плавающей запятой»
часто употребляется в связи с автоматическими цифровыми
машинами. В прошлом, когда использовались только арифмо-
арифмометры, термин вычисления с фиксированной запятой подразу-
подразумевал, что все числа имеют одинаковое число цифр справа
от запятой. Сегодня этот термин используется в связи с расче-
расчетами различных величин в различных шкалах, не меняющихся
в течение вычислительного процесса.
С другой стороны, в расчетах с плавающей запятой коли-
количество цифр остается все время одним и тем же. Существуют
также промежуточные типы расчетов, связанных с использо-
использованием переменных шкал, т.. е. шкал, изменяющихся в про-
процессе счета. Вычисления с плавающей запятой можно отнести
к таким расчетам, в процессе которых шкала изменяется
каждой операцией.
В этой книге термин «вычисления с фиксированной запятой»
будет всегда использоваться в классическом смысле, т. е. тогда,
когда в расчетах употребляется фиксированное число цифр
справа от запятой. В примерах, полученных на вычислительных
машинах, работающих в системе с фиксированной запятой,
мы будем допускать вычисления в различных шкалах, которые,
однако, не изменяются в течение всего процесса счета. Будем
предполагать, что вычисления с плавающей запятой произво-

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости 37
дятся над нормализованными числами, т. е. над такими
числами, у которых количество цифр одно и то же и первая
цифра справа от запятой отлична от нуля.
Вычисления с фиксированной запятой в классическом пони-
понимании этого термина на практике встречаются редко. Проме-
Промежуточные типы расчетов используются довольно часто.
Опыт авторов говорит о том, что в большинстве случаев
вычисления с фиксированной и плавающей запятой можно рас-
рассматривать как предельные случаи вычислительных процессов,
занимающих промежуточное положение между ними. Это значит,
что если вычисления характеризуются а&(р&)^-последователь-
ностями для фиксированной и плавающей запятой, то реальные
вычисления образуют последовательность, лежащую практи-
практически всегда между этими двумя последовательностями.
Мы приходим к математической модели вычислений, исполь-
использующих фиксированную запятую в классическом смысле или
плавающую запятую, отправляясь от наших определений с соот-
соответствующим выбором а, Ь. Как правило, мы всегда будем
рассматривать только эти два предельных случая, так как про-
промежуточные случаи, упоминавшиеся выше, довольно сложны
для теоретического исследования. Модель, основанная на клас-
классической идее фиксированной запятой, больше всего прибли-
приближается к расчетам, согласующимся с современной концепцией
фиксированной запятой, той, которая использует различные,
но неизменные шкалы. Однако это справедливо не всегда.
На простом примере мы продемонстрируем влияние разных
шкал на потерю значащих цифр при счете.
На рис. 2.4 представлена погрешность в zn, получающаяся
при счете по формулам B.1.3) в случае фиксированной запятой.
Мы уже указывали, что это есть ^-/.-последовательность, хотя
теория дает а2-/.-последовательность.
Детальное обсуждение этого примера показало, что рабочая
программа примера B.1.3) использует разные шкалы для zn
и уп так, что первая величина вычисляется с меньшим числом
цифр после запятой, чем вторая. Иными словами, наш расчет
не подходит под категорию расчетов с фиксированной запятой
в указанном выше смысле. Этот факт хорошо иллюстрируется
рисунком 2.5, показывающим погрешности в определении zn,
когда обе величины уп и zn вычисляются с одним и тем же
числом цифр справа от запятой. На машине LGP 30 значе-
значения уп были вычислены с 32, 18 и 15 бит (двоичными раз-
разрядами), причем случай 15 бит приблизительно соответствует
расчету, в котором для обеих величин бралось одинаковое
число цифр. Рисунок 2.5 показывает, что теоретическая
(^-/.-последовательность хорошо согласуется с практической,

38
Га. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Из этого следует, что использование различных шкал изме-
изменяет характер вычислений с фиксированной запятой и что этот
процесс вплотную приближается к расчету с плавающей запятой.
Однако, по мнению авторов,
это случается редко. В более
сложных расчетах эти разли-
различия пропадают, и характери-
характеристика процесса как а4-£-после-
довательности уже не зависит
от выбора шкалы. Это обстоя-
обстоятельство станет ясным после
нескольких примеров из сле-
следующих глав.
100
70
50
30
20
10
D
>
1
1
1
'f
f f
1
4
ff
L.
■—\
+■ ■
ft'
T)
/'
/'
■ /'
t
/
<■(!
-\
у
5 7 10
20
(T)
so ьо
Рис. 2.5. Наклон кривой погреш-
погрешности г„ для процесса B.1.3). Фикси-
Фиксированная запятая
1) я/Ю
2) 6гп X 104 для 3
&гп X 10s для 4
бг„ X 102 для 5
4) +счет уп с 18 бит
5) О счет уп с 15 бит
6) фактический наклон
а^ ^.-последовательности
(ft-= 1.09)
7) фактический наклон
K^-L последовательности
(ft -= 1.96)
8) фактический наклон
K^-L-последовательности
(к = 2.03)
для
2.4.2. О максималистском
и статистическом характере
ошибок округления. В нашей
модели, описывающей влияние
ошибок округления на резуль-
результаты счета, мы совсем не рас-
рассматриваем возможности ста-
статистического описания таких
ошибок. Можно построить мо-
модель, в которой величины 6г из
определения 2.2 будут случай-
случайными переменными. Однако
мы не занимались такими мо-
моделями по той простой причине,
что в действительности округ-
округление не является случайным
процессом. На многих приме-
примерах авторы убедились, что
процесс округления не имеет
статистического характера,
соответствующего предполо-
предположению о нулевом среднем зна-
значении ошибок округления при
выполнении элементарных опе-
операций. Серия расчетов на
что погрешности, т. е. вели-
часто фиксированный знак
различных машинах показала,
чины Xi — Xi, I,- e /?,-, имеют
и т. п.
На основе личного опыта авторы пришли к заключению,
что ошибки округления при выполнении элементарных операций
состоят из постоянной и переменной частей, причем толькд

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости 39
последняя имеет характер случайной переменной с нулевым
средним значением 1).
Последовательное применение модели, основанной на пред-
предположении о статистическом поведении ошибок округления,
привело в настоящее время к противоречию с численным экспери-
экспериментом. Подход, выражаемый определениями 2.2 и 2.3, в сущ-
сущности, носит максималистский характер. При таком подходе
занимаются не оценкой ошибок, а изучением зависимости по-
погрешности от параметра, характеризующего численный процесс.
В результате отпадает необходимость построения мажорантных
оценок, приводящих зачастую к пессимистическим результатам.
Эксперименты на машине, работающей в десятичной системе
счисления, показали, что поведение абсолютной величины по-
погрешности (а не только наклон кривой погрешности) хорошо
описывается максималистской моделью, в которой элемен-
элементарная ошибка округления равна не половине последней цифры,
а некоторой меньшей величине.
2.4.3. Практическое значение понятия ak (|5Л-1,-последова-
тельности. Описание численной устойчивости с помощью ak ($k)-L-
последовательностей носит асимптотический, сугубо качествен-
качественный характер. Этот факт может быть использован в различных
целях, которые мы сейчас проиллюстрируем примерами.
Сравнение между собой различных методов решения кон-
конкретной задачи основывается не только на необходимом машин-
машинном времени и необходимом объеме оперативной памяти,
но также на численной устойчивости. Другим примером
может служить такая ситуация, когда решение задачи полу-
получается комбинацией нескольких методов. Пусть требуется решить
большую систему линейных алгебраических уравнений (возни-
(возникающую, скажем, в методе конечных разностей). Может слу-
случиться, что наиболее подходящей окажется такая процедура,
когда на первом шаге будет применяться какой-то прямой
метод, например исключение, а на втором шаге для повышения
точности — итерации. Естественно, возникает вопрос, достиг-
достигнем ли мы на самом деле заметного повышения точности
результата. Нам известно, что метод исключения образует
(^-/.-последовательность, в то время как итерации образуют
«/-/.-последовательность численных процессов; следовательно,
итерации будут улучшать решение только в случае /</. Если
/ = у, то итерации практически не улучшат точности.
Проиллюстрируем последнее утверждение на простом при-
примере. Пусть требуется найти решение краевой задачи у" — q(x)y =
') Об ином подходе, близком к статистическому, см. Воеводин [1967].

40 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
= f(x), y@) = y(\) = 0, q(x)^0 методом конечных разностей,
приводящим к системе п— 1 линейных алгебраических урав-
уравнений. Величина шага h=l/n. Ясно, что в этом случае нет
смысла использовать итерационные методы, так как мы по-
получим ^-/.-последовательность численных процессов по пара-
параметру 1//г.
Иногда можно использовать выводы, касающиеся a^-L-после-
довательностей, даже с количественной стороны. Пусть, напри-
например, требуется получить оценки ошибок округления, появляю-
появляющихся при решении разностных уравнений методом исключения.
В гл. 4 мы покажем, что это есть случай a2-L-последова-
a2-L-последовательности численных процесов, который не зависит сильно от
функции q{x). Поэтому можно решить эти уравнения с q(x) = 0
для различных значений h. Так как в этом случае можно
найти точное решение разностных уравнений, т. е. решение
системы линейных уравнений, то можно определить и величину
погрешности. Можно ожидать, что если теперь методом исклю-
исключения на той же самой машине решать задачу с q(x) = 0,
используя те же самые шкалы, то постоянный множитель,
который вместе с параметром k характеризует a^-L-последова-
тельность, будет одним и тем же при q(x) = 0 и q(x) ф 0.
Этот подход можно использовать, например, при оценке по-
погрешности метода конечных разностей для выбора оптималь-
оптимального значения h. Ниже мы покажем, что при решении одно-
одномерных краевых задач методом конечных разностей и исклю-
исключения шаг h может оказаться очень малым, тогда как такой
опасности не существует для многомерных задач, решаемых
на обычных вычислительных машинах. Причина этого состоит
в том, что на обычной вычислительной машине можно решить
одномерную задачу для таких малых значений h, что погреш-
погрешность процесса исключения будет больше, чем в разностном
методе. В случае многомерных задач из-за ограниченной емкости
оперативной памяти вычислительных машин порядок системы
уравнений не может быть большим, так что погрешность про-
процесса исключения не превосходит обычно ошибки аппрокси-
аппроксимации х).
Мы привели здесь некоторые простые случаи, в которых
может быть использована теория а&(р&)-последовательностей.
!) Заметим, что все доказательства, связанные с анализом а^-последова-
тельностей, носят такой характер, что в большинстве случаев можно легко
вычислить величины констант, участвующих в доказательстве. Тем самым
можно получить общую точную оценку. Такая оценка будет, вероятно,
завышенной. Тем не менее, иногда такая оценка позволяет все же опреде-
определить, имеет лн машина достаточное число разрядов слова для получения
результата сравнительно невысокой точности.

# 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости 41
Естественно, имеются многие другие возможности, зависящие
от личного опыта и искусства вычислений х).
До сих пор мы обсуждали определение роста ошибок, обу'
словленных округлением априори, т. е. перед проведением
реальных расчетов. Апостериорные оценки ошибок округления
легко получаются двукратным счетом на одной и той же
машине. Основная идея этого способа состоит в том, что
в результате двух отдельных расчетов в наиболее сложной
ситуации получаются надежная верхняя и нижняя оценки для
каждого вычисленного значения.
Игак, пусть задан численный процесс
где At — арифметический оператор. Можно записать численный
процесс в виде
Xi+i = Ai (xtit xt2), 1 < г, < i2 < i,
и вычислять параллельно
Xi+\ = At (£/,, lt)-i б/, A-j+i т= Ai(y]i,, Tji2) — 6г-,
>0 1ч = хч для ■dF^
J S U
дЛ■ ~ дА'
для ^7>0- % = хч для -^7
Случаи dAild^i- = 0 тривиальны; 6г, б,- равны единице в послед-
последних знаках xh xt соответственно. Ясно, что xt и xt суть пре-
предельные значения, обусловленные округлением, а весь процесс
легко реализуется на любой вычислительной машине.
Указанный способ хорошо разработан в связи с так назы-
называемой интервальной техникой. См., например, Мур [1966],
[1968]; Никел [1966], [1968]; Крюкеберг [1968] и др.
2.4.4. Локальная и глобальная устойчивость. Понятие устой-
устойчивого решения численного процесса было введено в опреде-
определении 2.2. Основная идея состоит в том, что в случае устой-
устойчивого процесса требуемая точность решения обеспечивается
достаточной точностью отдельных операций. График зави-
') Понятые аи ф£)-последовательностн носнт относительный характер.
При сравнении двух методов параметры следует выбирать так, чтобы ско-
скорость сходимости по этим параметрам была одной и той же в обоих слу-
ЧЭЯХ.

42
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
симости погрешности решения от погрешностей отдельных
операций в случае устойчивого процесса проходит через начало
координат (рис. 2.6). При L-устойчивости эта связь липшицев-
ского типа.
Ясно, что с ростом погрешности отдельных операций (т. е.
с ростом б) будет расти погрешность решения (т. е. е). Могут
встретиться следующие два качественно различных случая:
Глобальная устойчивость. Функция 6 = f (e) не огра-
ограничена (кривая 4 на рис. 2.6). В этом случае окончательная
Р и с. 2.6. Локальная и глобальная устойчивость
1) погрешность е результата
2) погрешность б элементарной операции
3) локальная устойчивость
4) глобальная устойчивость
5) критическая погрешность элементарной операции
ошибка результата соответствует ошибке отдельных операций
независимо от их величин. Иными словами, процесс всегда
устойчив независимо от ошибок отдельных операций.
Локальная устойчивость. Функция б = /(е) ограни-
ограничена (кривая 3 на рис. 2.6). В этом случае окончательная
ошибка е, т. е. ошибка, равномерно ограниченная по числу
операций, соответствует ошибке отдельных операций лишь
тогда, когда последние меньше критической погрешности. Про-
Процесс становится неустойчивым, если ошибка превышает крити-
критическое значение.
Проиллюстрируем эти два случая численными примерами.
Пример 2.4. Провести счет по следующим рекуррентным
формулам, встречающимся при решении некоторой простой

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости
43
системы дифференциальных уравнений: B.4.1)
Уп+i = Уп + 0,003 A - 1666,8333^ - 4999,5«#гп _
- 5000,5^-1666,5z^),
zn+1 = гп + 0,003 (- 1666,5r/3 _ 5005,5^ -
- 4999,5ynz2n - 1666,8333z3),
Можно показать, что этот численный процесс будет гло-
глобально устойчивым. В табл. 2.7 представлены значения уп и zn
Таблица 2.7. Иллюстрация глобальной устойчивости.
Вычисление уп и г„ по формуле B.4.1) с разным числом
значащих цифр
п
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
150
210
Счет с
значащим!
0
0,030
. 0,060
0,080
0,080
0,080
0,045
0,100
0,155
0,190
0,194
0,189
0,214
0,219
0,244
0,254
0,371
тремя
цифрами
гл
0
0
0
-0,015
-0,040
-0,070
-0,135
-0,110
-0,085
-0,080
-0,105
-0,140
-0,145
-0,170
-0,175
-0,195
-0,260
Счет с четырьмя
значащими цифрами
Уп
0
0,0300
0,0560
0,0765
0,0965
0,1090
0,1250
0,1390
0,1540
0,1715
0,1800
0,1965
0,2145
0,2315
0,2450
0,2580
0,3448
гп
0
0
-0,0040
-0,0135
-0,0235
-0,0425
-0,0565
-0,0725
-0,0875
-0,1000
-0,1215
-0,1350
-0,1470
-0,1600
-0,1765
-0,1935
-0,2762
вплоть до п = 210 при счете с фиксированной запятой с тремя
и четырьмя значащими цифрами. Изменение числа значащих
цифр, используемых в расчетах, изменяет погрешность инди-
индивидуальных операций. Рисунок 2.7, иллюстрирующий резуль-
результаты табл. 2.7, показывает, что погрешность в общем убывает,
хотя иногда она достигает значительной величины.

44
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Пример 2.5. Вычислить значения уп и zn, пользуясь сле-
следующими рекуррентными соотношениями (аналогичными соот-
соотношениям примера 2.4):
yn+i = Уп + 0,005 A - 5000,52* - 9999,0ynzn - 5000,5^),
zn+1 = zn +0,005 (-4999,5z*- 10001,0упгп- 4999,5^), B.4.2)
Zo = yQ = 0.
Можно показать, что этот численный процесс будет лишь
локально устойчивым. Результаты, представленные в табл. 2.8,
получены счетом с тремя и четырьмя значащими цифрами.
0,2
0.1
60 80 100 120
(
\
А
I
J
)
/
-
1
0 10 20 30 40
Рис. 2.7. Глобально устойчивый численный процесс B.4.1)
1) число шагов
3) расчет с тремя значащими цифрами
4) расчет с четырьмя значащими цифрами
Таблица 2.8 и соответствующий рис. 2.8 говорят о том, что
результат устойчив для случая четырех цифр и неустойчив —
для трех; причина неустойчивости заключается в том, что по-
погрешность индивидуальных операций становится (в случае трех
значащих цифр) больше критической погрешности.
Практические расчеты часто принадлежат классу локально
устойчивых процессов. В этой ситуации очень важно знать
о существовании критической ошибки, даже если мы не в со-
состоянии получить для нее надежную оценку.
С чисто дедуктивной точки зрения очевидно, что устой-
устойчивость в определенном выше смысле не может гаранти-
гарантировать точного результата без точных оценок и детального
анализа всего процесса выполнения алгоритма на машине по
той причине, что, помимо всего прочего, мы не имеем оценки
критической ошибки. С другой стороны, в сложных задачах
невозможно детально проанализировать и дать надежные
оценки погрешности. В этих условиях процессы, устойчивые

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости
45
Таблица 2.8. Иллюстрация локальной устойчивости.
Вычисление уп и гп по формуле B.4.2) с разным числом
значащих цифр
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
Счет с тремя
значащими цифрами
"п
0
0,005
0.010
0,015
0,020
0,025
0,005
-0,005
-0,135
-2,555
- 666,900
гп
0
0
0
0
0
0
-0,025
-0,050
-0,175
-2,600
-666,950
Счет с >
етырьмя
значащими цифрами
• Уп
0
0,0050
0,0100
0,0125
0,0125
0,0150
0,0225
0,0225
0,0250
0,0300
0,0325
0,0425
0,0525
гп
0
0
0
-0,0025
-0,0075
-0,0100
-0,0075
-0,0125
-0,0150
-0,0150
-0,0175
-0,0325
-0,0475
в смысле указанных выше определений,
лизуются без труда.
вероятнее всего, реа-
реа1
\
*
_з
г*
У
)
4
)
<
003
00?
U 13 15
Рис. 2.8. Локально устойчивый процесс B.4.2)
1) чиста шагов 3) расчет с тремя значащими цифрами
2) уп 4) расчет с четырьмя значащими цифрами
5) точное решение
До сих пор мы только упомянули понятие критической точ-
точности в связи с устойчивостью результата отдельного числен-
численного процесса (см. определение 2.2). Аналогичная ситуация
имеет место и для последовательностей численных процессов
в смысле определений 2.3 и 2.4. В самом деле, с точки зрения
локальной и глобальной устойчивости разница между aft-L-no-

46
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
следовательностью и p^-L-последовательностыо численных про-
процессов состоит только в том, что величина критической погреш-
погрешности в случае (^-последовательности убывает как /"*, в то
время как в случае ^-последовательности она может убывать
по произвольному закону с ростом /.
2.4.5. Итерационные процессы и численная устойчивость.
Проиллюстрируем теперь на примере вычисления квадратного
корня из симметрической положительно определенной матрицы
тот факт, что понятия скорости сходимости и устойчивости не
всегда совпадают. Мы покажем, что улучшение сходимости
итерационного процесса может явиться причиной потери числен-
численной устойчивости. Вследствие этого улучшение итерационной
процедуры может привести к потере практической сходимости.
Будем искать корень из положительно определенной ма-
матрицы как предел последовательности положительно опреде-
определенных матриц. Из элементарной алгебры известно, что суще-
существует только один такой корень. Докажем теперь следующий
результат.
Теорема 2.1. Пусть к — симметрическая положительно
определенная матрица порядка k и Я/, /'= 1, 2 k, — ee
собственные значения. Пусть Amax = maxA/- и AmIn = min Kt. Ца-
лее, пусть \п, п = 0, 1, 2, ..., — последовательность матриц,
определяемых одним из следующих соотношений:
г
= 0,
= 2AA,
B.4.3)
B.4.4)
Y0=<2AA, я = 0, 1 B.4.5)
Тогда, обозначая евклидову норму матрицы Y через ||Y||, бу-
будем иметь в случае рекуррентного соотношения B.4.3)
max \УТГ,{\ - 0 VyK7S+i J <!
. max
i
-Yn
th-^
<
J -t- в \
вп
th -у У Я//Ятах
B.4.6)

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости
47
в случае рекуррентного соотношения B.4.4)
max [VT, A-0 УуК^) A - в, УКЛ
<|| /А - Yn
<max y% A-0
и б случае рекуррентного соотношения B.4,5)
i/A~-Y2J<
B.4.7)
max /Л/ A-0 /A,Amax)
' L
' " th
WAmai[
1 + в ^/
в' = тах@, в,).
th
B.4.8)
Доказательство. I. Во-первых, предположим, что ма-
матрица А первого порядка, и пусть А = А. Тогда матрицы Ytt
будут тоже первого порядка; пусть Yn= «/„. При этих условиях
соотношения B.4.3) — B.4.5), как легко видеть, описывают ме-
метод Эйлера для решения уравнения Риккати
у' (х) + у2 (х) = X при г/@) =
Действительно, соотношения B.4.3) и B.4.4) отвечают методу
Эйлера, если в качестве шагов взять h = ув/^А, и Л = y©i
соответственно, а B.4.5) задает переменные шаги /г = у
и /г = ув1//Х.
Из неравенства 0 < у0 = у @) ^ \^Л следует, что
г/(«Л)<г/„</Л, B.4.9)
и в силу того, что B.4.3) и B.4.4) можно записать в виде
Уп+\ ^Уп + hi У К- уп) (УХ + уХ
легко проверяется, что
B.4.10)
где vn определяется рекуррентным соотношением

48 Гл 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Аналогичные соображения применимы к B.4.4) и B,4.5). Так
VI - у (nh) = (VI - у0) ^гг\~{1ПНШ B.4.11)
о th
- 2Л
B,4.12)
то для г/о^ОУХ Л»^®''^ и /г^ув,//^ можно получить
соотношения B.4.6) и B,4,7) соответственно.
мы получим B.4.8).
II. Во-вторых, пусть А-диагональная матрица порядка k\
Я, О 0 ... О О
О К 0 ... О О
О 0 0 ... О Kk j
Тогда матрицы Yn, задаваемые соотношениями B.4.3) — B.4.5),
тоже будут диагональными:
У™ 0 0 ... О От
О у® 0 ... О О
О 0 0 ... О
Из уравнения B.4.3) тогда следует, что
j = 1 2 Ь
Используя B.4.9)-B.4.12), мы получаем B.4.6).
В случае B.4.4) имеем
еут+(я
/=!• 2 й-
С помощью B.4.9)-B.4.12) получаем B.4.7).

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости
40
Наконец, из B.4.9) — B.4,11) получаем
1-е]//-L
где
и поскольку
МЫ получаем B.4.8).
III. Если А — произвольная симметрическая положительно
определенная матрица, то существует унитарное преобразова-
преобразование Т, такое, что А = TDT , где D — диагональная матрица.
Умножая B.4.3)— B.4.5), на Тч и Т слева и справа и пола-
полагая Qn=T''YnT, мы получаем для Qn соотношения п. II. Так
как Т —унитарная матрица, то || Qu— D || = ||\п— ^А||, откуда
следует утверждение теоремы.
Легко видеть в силу этой теоремы, что матрицы Y,,, опре-
определяемые соотношениями B.4.3) — B.4.5), сходятся к Vk. Ясно
также, что скорость сходимости определяется скоростью схо-
сходимости к нулю последовательностей
г
[1-е уХ„дтаХ Г и u -
в'
Очевидно, что для B.4.3) и B.4.4) скорость сходимости неве-
невелика. Итак, при малых значениях Amln/Amax скорость сходимости
B.4.5) будет много больше, чем в случаях B.4.3) и B.4.4). Сле-
Следовательно, соотношение B.4.5) наиболее пригодно для расчетов.
Исследуем теперь устойчивость численных процессов, опре-
определяемых B.4.3) — B.4.5), и докажем такой результат:
Теорема 2.2. Решения уравнений численных процессов,
описанных в теореме 2.1, устойчивы для
е
2 г Лщах
в, Vimln
У лт
У Я
если в качестве пространств Kt из определений 2.1 и 2.2 вы-
выбрать пространство всех матриц k-го порядка с евклидовой
нормой.

59
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Доказательство. Рассмотрим сначала численный про-
процесс B.4.3). Следуя процедуре, описанной в § 2.2, преобразуем
процесс к тривиальному решению и запишем ¥„ — ¥„ = Т„, где
Yn и \п — приближенное и точное решения процесса B.4.3) со-
соответственно. Тогда для Т„ получим рекуррентное соотношение
Т„+1 = Т„-А(Т„¥„-Ь¥ПТ„+Т1)-ЬА„, я=1, 2 B.4.13)
Предположим вначале, что А — диагональная матрица, т. е.
что (см. доказательство теоремы 2.1, п. II)
О
о о ... о о
i/v 0 ... О О
0 0 ... О
B.4.14)
Пусть Т„={^'/)), I, /=1, 2, ..., /г; обозначим через т„ —век-
—вектор порядка /г2:
[ ,A, 11 ,B, 1) /(ft, 1) /d, 2) /B, 2) ,(k, 2)
.... Гп , Г,
Мы можем теперь переписать B.4.13) в виде
/A, А) /'2, Ы Л*.
где В„=(б(^'/)), i, /=1, 2, ..., /г2, — диагональная матрица по-
порядка /г2:
, г = 1, 2, .... k\ B.4.15)
и [а] обозначает целую часть а. Так как
s= I, 2, .. .,
то ||ВП||<С<1, и потому в силу диагональности матрицы А
утверждение теоремы доказано.
Общий случай легко сводится к рассмотренному с помощью
преобразования подобия.
Соотношение B.4.4) доказывается аналогично. Вместо B.4.15)
будем иметь
г , м ^

§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости
51
Доказательство соотношения B.4.5) подобно предыдущему.
Итак, теорема 2.2 доказана.
Из доказательства теоремы вытекает, что при
У ^гпах + '
^-Д*>2
max I 1 — Д*-
a,-
>1
процессы B.4.4) и B.4.5) неустойчивы.
Продемонстрируем теперь влияние численной устойчивости
на фактический счет по формулам B.4.3) — B.4.5). Пусть тре-
1
(А)
/
/
<
\
12
V
)
1
*••
1
■■■■
5
17
аи
г
5
са
2
9
3
2
\
\
\
4
i
г
22 27 30 35 41
-
"(
3
>
*■*
■-•
1
i
i
1
i
• 1
1 •
45;
0,206
0,205
0,204
0,2060
0,2059
Рис.
буется
корень
2.9. Вычисление квадратного корня матрицы методом итераций
1) число п итераций 3) счет по B.4.3)
2) р^1'1' 4) счет по B.4.5)
5) точное значение
найти итерационным методом теоремы 2.1 квадратный
из матрицы ckkk порядка k, k = 6, 7, ..., где
13-8 1 0 0 ... О О О О О"
-8 14 -8 1 0 ... О О О О О
1 -8 14 -8 1 ... О О О О О
О 0 0 0 0 ... О 1 -8 14-8
О 0 0 0 0 ... О 0 1-8 13_
и числа Сь таковы, что наименьшие собственные значения ма-
матриц равны обратной величине наибольших собственных значений.

n
0
2
4
7
12
14
15
17
22
25
27
29
30
32
35
41
42
45
46
Таблииа 2.9. Нахождение квадратного корня матрицы
»«■'>
0,140 950 53
0.186 058 59
0.198 279 26
0.203 426 70
0,205 317 70
0.20") 550 28
0.205 627 92
0,205 736 93
0,205 869 89
0,205 906 51
0,205 922 64
0.205 934 52
0.205 939 29
0,205 947 13
0.205 955 62
0.205 965 76
0.20л 966 93
0.20л 969 57
0,205 970 41
Счет по B.4.
уA,12)
0
0
0
0.000 003 19
-0,000 010 78
0
0
-0,000 038 40
-0.000 053 70
0
-0,000 055 6Я
0
0
-0,000 051 S0
0
0
0
0
0
3)
й<12, 1)
0
0
0
0.00J 000 19
-0,000 010 78
0
0
-0,000 038 40
-0,000 053 70
0
-0.030 055 6S
0
0
-0,000 051 90
0
0
0
0
0
с12А12 по формулам
Счет по B.4.4)
0.140 950 53
0 157 731 84
0.170 001 94
0.183 169 60
0,196 493 66
0.189 599 44
0.196 520 6S
е|2>
0
0
-0,000 063 45
0
0,001 347 65
-0.007 013 54
0.024 996 73
расходится
0
0
-0.000 065 45
0
0,001 368 83
-0.007 162 4G
0,025 573 93
2.4.3) - B.4.5)
Счет по B.4.5)
0.193 017 72
0,202 668 £0
0.205 461 74
0.205 741 64
0,205 830 57
0,205 S09 01
0,205 966 47
0.205 972 77
0.205 975 89
0.205 977 62
0,205 973 27
0.205 981 61
0,205 967 50
0.206 145 49
0.204 987 69
0,207 022 39
0,199 970 75
,0.12)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.000 071 98
0
-0,000 074 09
-0.000 037 90
0
-0,000 044 15
0,000 133 77
-0,001 024 03
0,001 010 67
-0,006 040 98
е-п
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.000 033 90
0
-0.000 033 6')
-0.000 036 55
0
0.000 040 31
0.000 082 27
-0.000 781 08
0.000 720 92
-0,004 674 03

§ 2.5. Асимптотические оценки и численная устойчивость 53
Собственные числа матриц Ak легко вычислить. Можно
найти, что
Am[n ^ 12- 16 cos (Jt/(fe + 1) ) + 4 cos2 (n/(k + П ) = „ / J_
Лщах " 12+16cos(ji/(£ + 1))+4cos2 (n/(k + l)) ~ \k2
Таблица 2.9 содержит значения y'^'.), y^'12\ y^2'" при счете
квадратного корня c12Ai2 по формулам B.4.3) — B.4.5). Вычи-
Вычисления были проведены на машине Урал 1 с фиксированной
запятой. На рис. 2.9 представлен график у<£< °.
Приведенный пример определения квадратного корня ма-
матрицы с помощью итераций наглядно показывает, каким обра-
образом скорость сходимости влияет на устойчивость.
§ 2.5. Асимптотические оценки и численная
устойчивость
2.5.1. Асимптотическая оценка погрешности численного про-
процесса. В предыдущих параграфах мы изучали некоторые свой-
свойства последовательностей численных процессов, влияющие на
их реализацию. Рассмотрим теперь другой, не менее важный
аспект анализа численных процессов. В практической работе
последовательность численных процессов, т. е. совокупность
численных процессов, зависящая от параметра, появляется, как
правило, тогда, когда строятся приближенные решения задачи.
В связи с этим мы коснемся вопроса о пределе последователь-
последовательности численных процессов. Процесс аппроксимации заключается
в том, что этот предел мы полагаем равным некоторому конеч-
конечному члену последовательности. Естественно возникает важный
вопрос относительно выбора члена заданной последовательности
в качестве точного результата, т. е. вопрос относительно средств,
гарантирующих, что мы не превысим допустимой ошибки.
Во всех расчетах этого типа мы должны решать задачу
об оценках погрешности. Эта задача очень сложна и едва ли
будет исследована в такой общей постановке. В некоторых спе-
специальных случаях, встречающихся на практике, большое зна-
значение имеют асимптотические методы оценки погрешности,
основанные на исправлении приближения вблизи предельного
значения.
Поэтому мы будем изучать поведение разности между реше-
решением численного процесса, зависящего от некоторого параметра,
и решением, являющимся в известном смысле пределом этих
процессов. Такая связь между последовательностью численных
процессов и предельной задачей часто может быть описана
следующим способом.

54 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Пусть задана последовательность численных процессов
*{L = Af (*(Л 4Л xfh i = i. 2- • • •; « = i. 2, .... лг(у)-1
B.5.1)
(см. определение 2.3). Предположим, что N(j)-+°o при / —> оо.
Предположим, далее, что существуют нормированное простран-
пространство X и элемент х ^ X, такие, что в X
x%f)-*x при у->оо. B.5.2)
Следующая простая теорема позволяет определить норму раз-
разности x$(j) —х при условии, что нам кое-что известно о пове-
поведении этой разности при у —> оо.
Теорема 2.3. Пусть
B.5.3)
где х^}(/) определено по B.5.1), х — по B.5.2) и ср (у) — однород-
однородная функция порядка у (т. е. ср (cj) = cYqp (у) для каждого ве-
вещественного числа с), такая, что
Ф (/) —*■ 0 при у —> оо,
- х = СТГГ №л - <•)) + ° (Ф W) B-5.4)
любого положительного целого с.
Ясно, что уравнение B.5.4) следует из B.5.3) и дает для
оценки ошибки численного процесса асимптотическую формулу
г\
г(с/) — v~ (x<ni) —*■</> "i ппи /->оо С9 5 51
XN{cj) X cV_l\XN(cl) XN{j)) ПРИ У^°°- ^.О.О;
Если в B.5.5) заменить знак асимптотической эквивалент-
эквивалентности на обычный знак равенства, то мы получим формулу,
которая часто лежит в основе построения оценок погрешностей
численных процессов. Иногда она служит критерием для авто-
автоматического выбора у в машинной программе. В этом случае
для у задается начальное значение, такое, чтобы правая часть
формулы B.5.5) была бы меньше некоторого наперед заданного
числа.
Формула B.5.4) или B.5.5) может быть построена и другим
способом. Основная идея, лежащая в основе оценки B.5.5),
состоит в экстраполяции последовательности численных про-
процессов, сходящихся к точному результату, по двум известным

§ 2.5. Асимптотические оценки и численная устойчивость 55
членам последовательности и известному характеру сходимости
(функция ф). Эту экстраполяцию можно выполнить также, вы-
выбирая для аппроксимации решения вместо х^с1) улучшенное
значение
v те ! I>V v(/) _ v
CY_ l V" ЛГ(/) Л
Этим способом получается приближение, включающее в себя,
в отличие от x'fi.Q с ошибкой О(ф(/)), ошибку порядка о(ф(у)).
Итак, погрешность этого приближения не превышает значения,
задаваемого B.5.5).
Однако в силу асимптотического характера оценок погреш-
погрешности следует все время помнить, что можно получить невер-
неверные выводы об абсолютной величине ошибки; в самом деле,
так как в B.5.5) знак асимптотической эквивалентности был
заменен на знак равенства, то может случиться, что отброшен-
отброшенный член, соответствующий окончательному значению у, не будет
мал по сравнению с правой частью B.5.5).
2.5.2. Асимптотические оценки и численная устойчивость.
В предыдущем пункте была получена основная для асимптоти-
асимптотических оценок формула в предположении, что мы оперируем
с точным решением уравнений численного процесса без учета
ошибок округления. На практике такой процесс, конечно, не-
невозможен. В реальных условиях заданная последовательность
численных процессов будет образовывать а^(р^)-/,-последователь-
ность, ибо в противном случае процесс не может быть реали-
реализован (см. первые параграфы этой главы). Вообще говоря, чи-
численные решения необязательно должны дать сходящуюся
последовательность, даже если точные решения сошлись. Тем
не менее в практической деятельности часто оказывается полез-
полезной оценка B.5.5). Ее непригодность может быть обусловлена
либо причинами, отмеченными в п. 2.5.1 (т. е. тем фактом, что у
недостаточно велико для того, чтобы оправдать замену знака
асимптотической эквивалентности знаком равенства), либо пло-
плохой реализацией численного процесса.
Итак, формула B.5.5) может быть использована при условии,
что ошибки округления будут пренебрежимо малы по сравнению
с ошибками, обусловленными заменой *№„ на х. В большинстве
практических случаев эти два эффекта взаимно уравновеши-
уравновешиваются и потому существует некоторое оптимальное у0, такое,
что ошибка x^f,) — х достигает минимума; погрешность начинает
расти после перехода через /0. Поэтому условие fl^L, — х$ф J< e

56
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
может никогда не выполняться, если величина е выбрана очень
малой. Если в машинной программе используется указанный
выше принцип, то полезно ввести в нее некоторый критерий,
по которому расчеты прекращаются, если разность
не убывает в том или ином смысле,
Таблица 2,10. Вычисление асимптотической ошибки
с использованием формулы B.5,5)
Точное решение
/
37
62
87
112
137
162
187
У?!)
1
—0,060 518 765 58
—0,060 521395 41
—0,060 522 131 03
—0,060 522 437 19
—0,060 522 592 38
—0,060 522 676 54
—0,060 522 731 27
Погрешность
B/) _ .. ,п\
1
0,000 004 137 00
0,000 001 507 17
0,000 000 771 55
0,000 000 465 39
0,000 000 310 20
0,000 000 226 04
0,000 000 170 31
Асимптотическая
оценка погрешности
по B.5.5)
_
0,000 001 503 95
0,000 000 773 42
0,000 000 471 82
0,000 000 315 80
0,000 000 212 99
0,000 000 165 70
Вычисленное решение
j
37
62
87
112
137
162
187
и
• 1
—0,060 518 818 21
—0,060 521 519 27
—0,060 522 277 89
—0,060 522 036 96
—0,060 522 802 72
—0,060 522 810 41
—0,060 524 663 30
Погрешность
B/) ,1 /nv
/
0,000 004 084 37
0,000 001 383 31
0,000 000 624 69
0,000 000 865 62
0,000 000 099 86
0,000 000 092 17
—0,000 001 760 72
Асимптотическая
оценка погрешности
по B.5.5)
0,000 001 544 68
0,000 000 797 61
—0,000 000 371 30
0,000 001558 24
0,000 000 019 46
0,000 005 610 19
Поясним это на примере.
Пример 2.6. Используя метод конечных разностей, решить
численно дифференциальное уравнение
у"(х)-10у(х) = 1
с граничными условиями

§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации 57
подразделяя отрезок [0, 1] на 2/ равных частей. Соответствую-
Соответствующую систему линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных yfh, i = 1, 2 2/ — 1, решить методом исключения.
Снабдим нижним индексом / процесс, приводящий к вычи-
вычислению yf\ и пусть xU>w = yfi\ yfi]-> у A/2). В табл. 2.10 пред-
представлены значения у = A/2). Расчеты были выполнены на
машине Урал 1 с фиксированной запятой. Видно, что если
определять yf!) — y(l/2) с помощью критерия, основанного на
соотношении B.5.5), то он.будет непригоден для />100.
§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации
2.6.1. Оптимальная аппроксимация функционалов в гиль-
гильбертовом пространстве. Пусть заданы линейный функционал F
над гильбертовым пространством Н и некоторое пространство
линейных функционалов ЗЯ. Говорят, что функционал f e Ш
будет оптимальной аппроксимацией F в Ш, если для любого
gel
sup | F (x) - f (x) |< sup \F(x)-g (x) |. B.6.1)
llx||= I 11*11= I
Далее обозначим через zh элемент из Н, который по теореме
Рисса реализует функционал h, т. е. h(x) = (zk, x) для любого
х^Н.
Теорема 2.4. Если F — линейный функционал и Ш — под-
подпространство пространства всех линейных функционалов над
гильбертовым пространством Н, то существует только один
функционал f е Ж, являющийся оптимальной аппроксимацией F
в Tt, и f е ЗИ — оптимальная аппроксимация F в Ш тогда и
только тогда, когда g(zF_f) = O для любого g^ffi..
Утверждение теоремы очевидно, так как B.6.1) эквивалентно
неравенству || zF.f IK || zP.g ||; теорема представляет собой моди-
модификацию теоремы проектирования. В самом деле, для опти-
оптимальной аппроксимации f имеем zj = PmZf, где Р-щ — проектор
на пространство ЗЯ.
2.6.2. Об оптимальной квадратурной формуле. В качестве
иллюстрации теоремы 2.4 рассмотрим задачу об оптимальном
вычислении коэффициентов Фурье.
Вычисление интеграла
2я
х)е'РХс1х B-6-2)

58 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
или его многомерного аналога играет важную роль в вычисли-
вычислительной математике. Хорошо известно, что численный счет таких
интегралов наталкивается на определение трудности при больших
значениях р из-за того, что подинтегральная функция сильно
осциллирует.
Вычисление интеграла B.6.2) часто выполняется методом
Файлона [1928]. Метод Файлона напоминает квадратурную фор-
формулу Симпсона. Однако в то время, как в методе Симпсона
вся подинтегральная функция заменяется параболой, в методе
Файлона параболой заменяется только функция f (х). Таким
путем Файлон получил квадратурную формулу с коэффициен-
коэффициентами, зависящими от р.
Применим теперь теорему 2.4 для получения такой же про-
простой, как и формула Файлона, квадратурной формулы, но зна-
значительно лучше согласованной с качественными свойствами f (x).
Для простоты рассмотрим простейшую квадратурную формулу.
Пусть Hi, /^ 1, — гильбертово пространство 2л-периодических,
комплекснозначных функций f (х), — °о<л;<оо, отличающихся
более, чем на константу, 1-е производные которых (в обобщен-
обобщенном смысле) квадратично интегрируемы со скалярным произ-
произведением
2Л . ——
О
Пусть
2Л
Fp(f) = iijeipxf(x)dx; B.6.3)
о
выберем для пространства ЗЯп линейных функционалов все функ-
функционалы вида
п п
(-1 П /-I
п
Так как 2с/ = 0 и /^1, то B.6.4) будет линейным функ-
функционалом. Докажем теперь такой результат:
Теорема 2.5. Функционал
JL , 2л .
B.6.5)

§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации 59
С (р, п, I) = !—й , B.6.6)
1A, р'п) + [р!(п - р)]21 5 (/, (п - р)/п)
где
utw ...1' B-6J)
есть оптимальная аппроксимация функционала B.6.3) в ЗЯп.
Доказательство. I. Сначала покажем, что
где
оо
Шп-р)х
2ng (х) = ^- - С (р, п, I) У elvn'P)x {tn - pp. B.6.8)
Р ^-оо
В самом деле, пусть
оо оо
f(r)= "V n,pikx^U, У ЬП I г, Р^-оо- (О fi Q\
k= —оо Й = —oo
тогда
OO
(f, g); = a_p - С (р, tt, /) 2 «/«-p.
^= —oo
Однако
2л 2л
П. Докажем теперь, что gBnj/n) = 0 для /=1, 2, ..., п.
В этом случае cp(g) = O для любой ср е Шп (см. B.6.4)), и тео-
теорема 2.5 справедлива в силу теоремы 2.4.
Имеем
g Bnj/n) = -^ е~'Р ~' -if - С (р, п, I)
. 2л
-<р / / оо
1

60
Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Кроме того,
и потому g Bл}/п) = 0 для /=1, 2 п.
Таблица 2.11. Значения функции £ (/, а)
\ а
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0,08
1,000 033 1
1,000 000 2
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,16
1,000 403 0
1,000 007 1
1,000 000 1
1,000 000 0
1,000 000 0
1,С0HЭ0 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0.24
1,001585 6
1,000 054 3
1,000 002 0
1,000 000 1
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,32
1,003 962 8
1,000 211 0
1,000 012 0
1,000 000 7
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0.40
1,007 766 4
1,000 569 0
1,000 045 0
1,000 003 6
1,000 000 3
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,48
1,013 101 8
1,001 225 6
1,000 124 5
1,000 013 0
1,000 001 4
1,000 0 D0 1
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
\> и
' \^
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
0,50
1,019 983 3
1,002 269 7
1,000 281 5
1,000 035 8
1,000 004 6
1,000 000 6
1,000 000 1
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,64
1,028 367 8
1,003 775 1
1,000 550 8
1,000 082 6
1,000 012 5
1,000 001 9
1,000 000 3
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,72
1,038 178 3
1,005 796 6
1,000 969 3
1,000 1G 0
1,000 029 1
1,000 005 1
1,000 000 9
1,000 000 2
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,80
1,0493194
1,008 372 0
1,001 571 4
1,000 304 5
1,000 0*59 7
1,000 011 7
1,000 002 3
1,000 000 3
1,000 000 1
1,000 000 0
1,000 000 0
1,000 000 0
0,88
1,061 688 7
1,011 522 4
1,002 383 1
1,000 512 5
1,000 1113
1,000 024 3
1,000 005 3
1,000 0012
1,000 000 3
1,000 000 1
1,000 000 0
1,000 000 0
0,96
1,078 722 3
1,016281 9
1,003 754 9
1,000 898 0
1,000 217 8
1,000 053 2
1,000 013 0
1,000 003 2
1,000 000 8
1,000 000 2
1,000 000 1
1,000 000 0
Таблица 2.11 содержит значения £(/,а) для 1 = 2 13,
а = 0,03, ,.., 0,96. Заметим также, что функция \/С(р,п,1)

§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации 61
может быть переписана в виде (см. Сакс, Зигмунд [1952], стр. 318)
C(p,n,l) ~ ZjW'n l) „2/ {21_1у И dz2l-2 Zj (z_tf
—00
sin яг / J_a
__
B/ - 1)! га2/ [ dz2l~2 { sin
p/n
По теореме 2.5 оптимальная квадратурная формула для вы-
вычисления интеграла B.6.2) состоит в подсчете значения инте-
интеграла по формуле трапеций и умножении результата на кон-
константу B.6.6). В практической работе мы должны, конечно,
выбрать значение параметра /. Этот выбор зависит от некото-
некоторых факторов. Ясно, что лучше всего получить оптимальную
оценку свойств f(x). Иногда оказывается полезной следующая
процедура.
Функция f (х) часто является аналитической в области
E[x + iy; \y\^R]. В этом случае можно оценить нормы f(x)
для разных значений /. Действительно, по формуле Коши
ИЛК^-а. B-6.10)
где а —некоторая постоянная. Так как
где g определено по B.6.8), то
sup | Fp(f) - %, Jf) I = -7 Q (/, p,n),
lifiii/=1 P
где
Q(/, p, tt)=y==r[l -C(p, n, /)]l/2.
Используя B.6.10), для ошибки е численного интегрирования
получаем
e^-^j-a \Q(l, p, n). B.6.11)
Величина / может быть теперь выбрана так, чтобы она мини-
минимизировала B.6.11).
В заключение отметим еще, что эти же идеи можно использо-
использовать при построении оптимальных квадратурных формул для
интегралов по бесконечному интервалу или по заданным узлам.

62 Гл. 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация
Из формул B.6.6) и B.6.7) видно, что £(/, а)-> 1 при /->оо,
и, следовательно, при больших /
Итак, для больших / следует положить п>2р. См. также
Бабушка [1963], [1965], [1966], [1968а], [19686]; Бабушка, Собо-
Соболев [1965]; Бахвалов [1968].

Глава 3
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 3.1. Введение
3.1.1. Вводные замечания. При численном решении задач
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений вычисли-
вычислительные методы служат для приближенного определения функ-
функций, представляющих решение этих задач. Очевидно, что
в принципе невозможно выразить численно понятие функции
в полном смысле этого слова. В самом деле «функция» может
быть охарактеризована только конечным числом параметров
и некоторым правилом, которое мы будем называть алгоритмом,
позволяющим определить интересующие нас свойства искомого
решения с некоторой требуемой степенью точности.
Численная характеристика функции, представляющей реше-
решение исходной задачи, тесно связана с
а) размером таблицы параметров,
б) сложностью алгоритма.
Задача поиска «наиболее удобных» численных выражений
функции и ее связь с методами улучшения таких приближе-
приближений играет важную роль в практических расчетах. Учитывая
специфику конкретной задачи, можно значительно ускорить
процесс решения, а также уменьшить требования к объему
оперативной памяти машины; в то же время такой подход
к решению задачи помогает решить вопрос о том, можно ли
вообще выполнить расчеты или нет (см., например, Бабушка,
Соболев [1965], Витушкин [1959]).
В этой главе мы будем рассматривать лишь так называе-
называемые дискретные методы, т. е. методы, определяющие решение
для дискретных значений независимой переменной. В частности,
в § 3.2 мы проанализируем разностные методы, а в § 3.3 — методы
Рунге — Кутта.
Мы ограничились только дискретными методами по той при-
причине, что в настоящее время они находят наиболее широкое
применение. Характерная особенность дискретных методов
для решения уравнения y' = f(x, у) заключается в том, что
процесс решения состоит в повторении алгоритма для получе-
получения искомого решения уп с использованием известных, ранее
вычисленных значений yn_h /= 1, 2, .. ., пг, и f(xh yt).

64 Гл. 3. Задачи Коши
Проблемы построения численного алгоритма можно разде-
разделить на три группы:
а) Локальные свойства алгоритма. Задача заклю-
заключается в выборе такого алгоритма для определения уп, чтобы
разность уп — у(хп) была минимальной. Здесь уп обозначает
приближенное значение точного решения у (х); предполагается,
что y(xn-j), /=1, 2 т, известны. Асимптотическая оценка
точности алгоритма для | jen_/ — х„-/_| | = А—> 0 определяется
двумя числами (а, С), если
Решение предполагается достаточно гладким, а параметр а ха-
характеризует алгебраическую степень точности.
Примером такого алгоритма служит метод Эйлера
#n= «/n-l+Un-*n-l)/Un-i, Уп-\\
для которого а = 2, С = у у" (хп.х).
Другой подход, обсуждаемый в п. 3.2.6, состоит в нахо-
нахождении оптимального алгоритма в пространстве Zj>p. Основная
идея аналогична развитой в § 2.6. Решение у(х) интерпрети-
интерпретируется как элемент из Lf , p^2 (пространства всех функций
с интегрируемым квадратом производных порядка р), а уп —
как линейный функционал в том же пространстве. Как и
в § 2.6, будем отыскивать оптимальную аппроксимацию этого
функционала в пространстве всех линейных комбинаций функ-
функционалов, которые элементы у(хп_,-), г/'(*л-/)> /=1, 2, ..., т,
ставят в соответствие элементу у(х).
б) Глобальные свойства алгоритма. Выше мы
отмечали, что численный метод включает в себя циклическое
повторение алгоритма. Его характерная особенность состоит
в том, что при \хп — .*:„_! |-> 0 число повторений алгоритма,
требуемое для определения значения решения в точке х, воз-
возрастает. Вследствие этого может произойти накопление оши-
ошибок, появляющихся на каждом отдельном шаге; в результате
расчет может стать совершенно бессмысленным. Основной
задачей становится выбор такого алгоритма, который бы не
приводил к накоплению ошибок, т. е. чтобы уп-*у(х) при
[xn-xn.i |—>0 и хп->х.
хп
в) Устойчивость алгоритма как численный
процесс. Некоторые сходящиеся алгоритмы могут сопрово-

§ 3.1 Введение fi5
ждаться численной неустойчивостью. Потому мы рассмотрим
условия, гарантирующие устойчивость алгоритмов.
3.1.2. Оценки ошибок. Одна из основных проблем числен-
. ного анализа состоит в оценке погрешностей. В настоящее
время наши знания в этой области весьма неудовлетворительны.
Предположим, что мы хотим отыскать точное решение
данного дифференциального уравнения, а потому нас интере-
интересует точность, с которой наши численные значения аппрокси-
аппроксимируют искомое решение дифференциального уравнения. Эта
погрешность состоит из двух частей: во-первых, из погрешно-
погрешности, которая появляется даже тогда, когда мы можем прове-
провести счет с точными числами, и, во-вторых, из погрешности,
обусловленной тем фактом, что вычислительная машина опе-
оперирует с приближенными числами.
В литературе, посвященной оценкам погрешностей числен-
численных методов, в основном описываются вычисления с точными
числами, и, к сожалению, такие оценки оказываются довольно
пессимистическими.
Говоря об оценке погрешностей, следует различать две
проблемы: априорные оценки, получаемые до расчета, напри-
например при выборе метода, и апостериорные оценки, связанные
с конкретным счетом на самой машине. Один из способов
получения строгих апостериорных оценок состоит в проведе-
проведении параллельных расчетов (см. п. 2.4.3, где параллельный
счет был использован для оценки ошибок округления). Подоб-
Подобный принцип может быть применен для оценки погрешности
метода (см. также Мур [1966]).
Очевидно, что при получении апостериорных оценок суще-
существенно широкое (насколько это возможно) использование вы-
вычислительных машин. Оценки погрешности задач Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений с использова-
использованием параллельного счета обсуждаются в п. 3.5.2.
До сих пор мы предполагали, что нас интересуют точные
решения математических задач. Однако во многих инженер-
инженерных проблемах интересуются в основном решениями физиче-
физических задач, а не точными решениями математических. Сов-
Современные представления о законах природы позволяют фор-
формулировать задачи, которые более общи и сложны по сравнению
с теми, которые мы м,ожем на самом деле решить. Упроще-
Упрощения, основанные на физических или инженерных соображениях,
нужно рассматривать как приближения, формирующие по
крайней мере одну стадию процесса решения. Например,
линеаризация задачи аналогична замене функций двумя пер-
первыми членами их рядов Тейлора, техническая теория изгиба

66 Га 3 Задачи Киши
балки сводит трехмерную задачу к двумерной и т. д. Строго
говоря, точные оценки в таких случаях будут учитывать не
только погрешности, обусловленные численным методом реше-
решения данной задачи (или в случае балки, обусловленные реше-
решением двумерной задачи), но также и погрешности, связанные
с линеаризацией или уменьшением числа измерений.
Из этого следует сделать общий вывод о том, что мы
должны изучать как априорные, так н апостериорные оценки
в едином комплексе всей задачи с учетом сложности и удоб-
удобства расчета. Необходимо учесть все эти аспекты и выбрать
надежный метод вычислений. Здесь имеются три возможности:
во-первых, может оказаться совершенно необходимым получить
точную оценку погрешности; во-вторых, может оказаться до-
достаточным построение (математическими методами) верхней и
нижней границ погрешности; в-третьих, достоверность резуль-
результата, возможно, удастся проверить на основе инженерных
соображений. Примером математической оценки служит асимпто-
асимптотическая оценка с последующей корректировкой. Надежность
расчета с инженерной точки зрения может быть проверена,
например, тем, что мы найдем точное решение другой мате-
математической задачи, близкой к исходной.
Мы рассмотрим здесь вопрос об оценке погрешностей при
решении задач Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Тем не менее общий характер этих рассуждений
позволяет перенести их и на другие типы задач.
§ 3.2. Разностные методы
Пусть требуется найти решение дифференциального урав-
уравнения
/ = /U, у) C.2.1)
с начальным условием у@) = у0 на отрезке [0, а]. Разделим
этот отрезок на N частей длины h = a/N и будем искать при-
приближенные значения уп искомого решения у(х) в точках
xn = nh, п = 0, 1, ..., N. Классическим примером методов та-
такого рода служит упоминавшийся в § 3,1 метод Эйлера, кото-
который состоит в следующем; приближенное значение уп+] реше-
решения в точке хп+[ получается из приближенного значения уп
решения в точке хп по формуле
yn+^yn + hy'n, C,2,2)
Где yr = f(Xn, yn), так что уп+1 есть линейная комбинация зна-
значений функции и ее производных в точке хп.

§ .9 2. Разностные методы 67
Желая обобщить ьту процедуру, представим себе, что C.2,2)
получено интегрированием дифференциального уравнения // = у'
на отрезке [хп, хп+{\ с начальным условием у(хп)^уп, а не
уравнения C.2.1). Другими словами, мы можем представить
себе, что неизвестные значения if (x) на отрезке [хп, хп+[] за-
заменены постоянными значениями у'п.. Используя у'п во многих
предыдущих точках, можно построить для у' (х) интерполяцион-
интерполяционную формулу
У' (х) = У'п + { (х - хп) Vy'n + -±г(х- хп) (х -
+ 1W {Х ~ Хп) {Х ~ Xn'l) {X ~ Х>^]
где \7 обозначает разность назад, т. е. Vzn = zn — zn_,. Интегри-
Интегрируя C.2.3) на отрезке [хп, хп+1], получаем
— результат, известный как формула Адаме а — Башфорта.
Аналогично, интегрируя по отрезку [хп.ь хп], получим
формулу Адамса — Мултона
Уп = *„_, + h (< - 1 V< - ± vyn - ±. WX ...). C.2.5)
vyn
Интегрирование на отрезках [х„_ь хп+1] и [хп-2, хп] дает фор-
формулы Нистрёма и Милн — Симпсона соответственно (см., напри-
например, Фокс [1962]). Аналогичные формулы можно вывести
с помощью приближенного дифференцирования и т. д.
Хотя эти формулы относительно просты, их применение
может натолкнуться на специфические трудности, обусловлен-
обусловленные несоответствием между порядком дифференциального урав-
уравнения и более высоким порядком разностного уравнения (см.
также 3.2.3).
3.2.1. Общая разностная формула. Рассмотрим теперь, учи-
учитывая сказанное выше, общий разностный метод
к k
S ачУп+х- = Л 2 Pr/(*n+v, 0n+v). « = 0. ! N-k, акф0,
v=0 v«0
C.2.6)
с начальными условиями
yi = y0,t, i = 0, 1, ..., Л-1. C.2.7)
Так как формула C.2.6) определяет //„ через k предыду-
предыдущих значений yj, будем называть ее разностной формулой

68 Г л. 3. Задачи Каши
k-го порядка. Если рА ф О, то формула называется неявной;
если же % = О, то — явной. Главное достоинство явных формул
состоит в том, что они включают в себя очень простые опе-
операции, которые, если не рассматривать пока вычисление зна-
значений функции /, линейны. Неявные формулы дают, как пра-
правило, более точные результаты, чем явные формулы того же
сэморо порядка. Если величина шага h достаточно мала и
правая часть уравнения C.2.1) удовлетворяет условию Лип-
Липшица, то существует решение, определяемое неявной форму-
формулой C.2.6); это следует непосредственно из теоремы, связываю-
связывающей решение C.2.6) с соответствующими приближениями.
Задача выяснения существования решения тривиальна в случае
явной формулы.
Необходимо заметить, что преимущество, связанное с отно-
относительной простотой формулы C.2.6) по сравнению с формулами
типа Рунге — Кутта (см. § 3.3), отчасти снижается тем фактом,
что C.2.6) можно использовать лишь тогда, когда известны
значения решения в k последовательных точках (см. C.2.7)),
в то время как начальное условие для C.2.1) задает значение
только в одной точке. Поэтому мы должны вычислять допол-
дополнительные значения каким-либо иным методом. На практике
находят применение оба типа формул.
3.2.2. Сходимость разностных формул.
Определение 3.1. Будем говорить, что разностная фор-
формула имеет степень р^О, если выполнены следующие условия:
S-.-0. j^b-j^L. ,-l.J ,@-1).
v=0 v=0 v=0
C.2.8)
Легко проверить с помощью формулы Тейлора, что если
эти условия выполняются, то для достаточно гладкой функ-
функции у(х)
2 avy (х + vA) - h 2 W (x + vA) = С^+У*» (х) + О (hp+\
C.2.9)
где Ср+{ — некоторая постоянная.
Отсюда следует, что разностное уравнение C.2.6) степени р
аппроксимирует дифференциальное уравнение C.2.1) локально
с точностью порядка hp+1, т. е. что ошибка, возникающая при
вычислении
aky (х + kh) - /фА/ (х + kh, у (х + kh))
по формуле C.2.6), будет порядка hp+1.

§ 3.2. Разностные методы
69
Таким образом, замена дифференциального уравнения C.2.1)
разностной формулой степени р будет давать локальную ошибку
порядка hp+{. Однако это не значит, что приближенное реше-
решение, полученное по любой произвольной формуле степени р,
должно давать хорошее приближение к решению данного диф-
дифференциального уравнения на всем отрезке [0, а]. Рассмотрим,
например, решение уравнения
на отрезке [0, 1] с начальным условием t/@)= 1. Будем решать
эту задачу по явной разностной формуле второго порядка
наивысшей возможной степени. Из C.2.8) сразу следует, что
эта степень равна трем, а формула, обеспечивающая эту сте-
степень точности, имеет вид
ц .,= — 4у _,, + 5у +ЛDы' , + 2у'). C.2.10)
В нашем случае из этой формулы мы получаем линейное раз-
разностное уравнение с постоянными коэффициентами
уп+2 + 4A + h)yn+1 - E - 2А) уп = 0, C.2.11)
которое при h = 0,1 имеет общее решение
уп = A-СJ» + Сг», C.2.12)
где z, = 0,904 835 . . ., z2 = — 5,304 835 ... — корни квадратного
уравнения z2 + 4,4z — 4,8 = 0, а константа С зависит от началь-
начального значения ух, В табл. 3.1 представлены соответствующие
Таблица 3.1. Численное решение диффергициальиого уравнения у' = —у
с (/@)= 1 по формуле C.2.10) с h = 0,1
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
№, = 1,000 000, yi = e~°'{
Численное
решение
1,000 000
0,904 837
0,818 717
0,740 863
0,670 044
0,607 949
0,541 236
0,535 717
0,236 378
1,536 178
—5,624 569
Ошибках 106
0
0
— 14
45
—276
1418
—7576
40132
—212951
1129608
—5992448
i/o= 1,000 000, у, = z.
Численное
решение
1,000 000
0,904 835
0,818 726
0,740 814
0,670 303
0,606 574
0,548 529
0,498 026
0,441 616
0,447 424
0,151 091
Ошибках Ю6
0
2
-5
4
— 17
43
—283
1443
—7713
40854
—216788

70 Гл. 3. Задачи Коши
результаты. Первые две колонки содержат приближенное ре-
решение и соответствующие погрешности в случае tj\ = е~0'', т. е.
когда г/, определяется из точного решения. В остальных колон-
колонках дано приближенное решение в случае у, = zu т. е. когда г/,
определяется из C.2.12) при С = 0. Конечно, результаты явно
неудовлетворительны, ибо, как видно из C.2.12), решение
C.2.11) содержит сильно расходящийся член CzJ. Ситуацию
нельзя улучшить, положив С равным нулю, так как этот член
все равно будет доминирующим из-за ошибок округления. Так
как lim z2 = — 5, то понятно, что характер приближенного ре-
Л->0
шения не изменится, если уменьшать величину шага А, ибо
всегда будет появляться «паразитарный» член.
Из этого следует, что на коэффициенты из C.2.6) необхо-
необходимо наложить некоторые дополнительные условия для того,
чтобы исключить нежелательные явления, отмеченные выше.
Г. Дальквист [1956], [1959] детально изучил эту проблему. Его
основной результат мы приведем ниже. А теперь сформулируем
Определение 3.2. Будем говорить, что формула C.2.6)
устойчива в смысле Дальквиста1), если все корни £{ характери-
характеристического полинома
2Ч C.2.13)
v=0
таковы, что 11,{ |<[ 1, а те корни, для которых \ £(- |= 1, просты.
Теорема 3.1. Пусть правая часть дифференциального
уравнения C.2,1) определена для Q^.x^.a, —оо<г/<оо,
в этой области непрерывна и удовлетворяет условию Липшица
по у с постоянной М, не зависящей от х. Пусть у(х) есть ре-
решение C.2.1) на отрезке [0, а], имеющее непрерывные произ-
производные вплоть до р + 1 порядка, р~^\. Рассмотрим разност-
разностную формулу C.2.6) порядка k и степени р, устойчивую
в смысле Дальквиста, и обозначим через уп, п = 0, 1, ..., N,
решение уравнений
k k
S «v//n+v = A 2pv/(*n+v, £n+v) + 6n, « = 0,1 N-k, C.2.14)
v=0 v=0
с начальными условиями /7/ = рОг(, i = 0, 1, ..., k — 1. Тогда
^,
C.2.15)
') См. Дальквист [1956], [1959] и Хенрич [1962].

3.2. Разностные методы 71
где
1 _ U Р*
= шах | iji — у (х,) |, 6= max \6n
1=0, 1, ..., k-\ ' n=0, 1, .... N-k
C.2.16)
a G, M, /С — постоянные, зависящие только от коэффициентов
заданной формулы и дифференциального уравнения C.2.1) и
не зависящие от h для любого достаточно малого h.
Прежде чем доказывать теорему, обсудим неравенство C.2.15).
Мы видим, что погрешность, появляющаяся при счете по C.2.14),
состоит из трех частей: погрешности, обусловленной выполне-
выполнением начального условия с недостаточной точностью; погреш-
погрешности, присущей методу и появляющейся при аппроксимации
решения C.2.1) с ошибкой K.hp, убывающей с уменьшением h;
погрешности, обусловленной приближенным способом решения
C.2.6) и характеризуемой величиной 1/Л, которая растет при
уменьшении h. Все эти погрешности имеют тенденцию расти
с длиной отрезка, на котором ищется решение. Следовательно,
в случае когда применяется формула C.2.6), существует опти-
оптимальное значение h, гарантирующее наилучшую возможную
точность. В целом это оптимальное значение h, являющееся
функцией параметров вычислительной машины, приведет, грубо
говоря, к равным значениям ошибок, входящих в характеристику
метода (ошибки дискретизации и округления).
Переходя теперь к доказательству теоремы 3.1, приведем
некоторые полезные для дальнейшего леммы.
Лемма 3.1. Пусть у (х) — точное решение дифференциаль-
дифференциального уравнения C.2.1) на отрезке [0, а]. Предположим, что
правая часть уравнения определена, непрерывна и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица по у с константой М, не зависящей
от х, в области 0^х^.а, —оо<г/<оо. Далее, пусть для
каждого фиксированного целого v, O^vs^iV,
uv=y(xv)-kf(x,, y(xx)), C.2.17)
где К удовлетворяет неравенству
|Я|М<1. C.2.18)
Тогда уравнение
z-kf(xv, z) = uv C.2.19)
имеет точное решение г = yv и
\Ух~У(*v) I < i-i'mmI "v- «v I- C-2.20)

72
Га. 3. Задачи Коши
Доказательство. Для решения уравнения C.2.19) ис-
используется метод последовательных приближений.
Лемма 3.2. Рассмотрим полином C.2.13) и матрицу
О 1 0 ... О
0 0 1 ... 0
C.2.21)
А =
0
О
о
1
Предположим, что корни £(- полинома C.2.13) удовлетворяют
условию |£/К1, а те корни, для которых |£(-|=1, просты.
Тогда существует константа G, зависящая только от коэффи-
коэффициентов C.2.13), такая, что
Л" KG, n = 0, 1, 2,
C.2.22)
где | | обозначает максимальную норму'); утверждение
остается в силе для других норм с другими константами.
Если для всех корней C.2.13) |£г|<1, го существуют кон-
константы G\ и у, 0<v<l, такие, что
п = 0, 1, 2 C.2.23)
Доказательство. Использовать жорданову канониче-
каноническую форму для данной матрицы.
Лемма 3.3. Пусть cp(v), -ф(v), %(v) — последовательности,
определенные для v = 0, \, .. ., п, %(v)^0 и
V-1
и=о
Тогда
2 хОФ
й = 0
Ии) П
v = 0, 1 п. C.2.24)
hx(s)]. C.2.25)
Доказательство. Результат C.2.25) является разност-
разностным аналогом хорошо известного неравенства Беллмана;
см. Беллман [1953].
Доказательство теоремы 3.1. Так как по предполо-
предположению разностная формула C.2.6) имеет степень р, то для
') См., например, Фаддеев и Фаддеева [1963].

§ 3.2. Разностные методы 73
точного решения C.2.1) имеем
к к
2 avy (xn+v) - h 2 pvf (*n+v. у (xn+v) ) = — /„,
v=0 v=0
ra = 0, 1 #-*, C.2.26)
где
\ln\<Klip+l. C.2.27)
В силу того что yv удовлетворяет C.2.14),
к
v=0
ft
= « 2 Pv If (-«n+v, Рл+v) ~ f (Xn+V, У (Xn+V) )] + б„ + /„,
v=0
я = 0, 1 #-*. C.2.28)
Для Я, определяемого по C.2.16), выберем h настолько малым,
чтобы выполнялось неравенство C.2.18), и положим
v = 0, 1 N. C.2.29)
В силу леммы 3.1 достататочно получить оценку для uv — uv.
По C.2.28) имеем
к
2 av(««+v~ un+v) = Япу га = 0, 1, ..., N — k, C.2.30)
v=0
где
fe-i
3v - "^ av) If Un+v. Pn+v) ~ / (*n+v. «/(-«n+v))] + Sn + /n.
( r
n = 0, 1 #-*. C.2.31)
Далее, пусть
й — и = //(V+D v = 0 1 fe — 1
"n+v "ra+v "n ' v "i l| ...i « 11
n = 0, 1 N-k+l. C.2.32)
Тогда C.2.30) можно переписать в виде
v=1 9 h — 1
C.2.33)
П+1 (l АшЛ V—1 tl Ctt_rt
fe v-1 к

74
Гл. 3. Задачи Коши
или, полагая
qn= 0, 0, ..., ~qn , и=0,
получим
C.2.34)
C.2.35)
где А есть матрица C.2.21). Решение C.2.35) можно записать
в виде
V-I
uv = A u0 + Zi >
м=о
\ v = 0, I,..., N-k + l. C.2.36)
Для того, чтобы получить оценку |qtj, где | | обозначает
максимальную норму соответствующего вектора, поступим сле-
следующим образом. По лемме 3.1 имеем
(s+1) I <
1 "^ 1 - | А | М I "и
s = 0, I k-l,
- \X\M
uul,
C.2.37)
и потому в силу соотношений C.2.16), C.2.27) и C.2.31)
Mh\uu
или, полагая
получаем
М=-
|aft|(l-U|Af)
|i = 0, I N-k,
k-i
м \
■а.
б + Khp+
— | Я. |
C.2.38)
C.2.39)
C.2.40)
Используя C.2.36), C.2.40) и лемму 3.2, находим
Ь + Khp+1) + G | u0
v-l
uv |< G Mh 2] | u(l
v = 0, 1 N -k+ \.
C.2.4Г

§ 3.2. Разностные методы 75
Применение леммы 3.3 теперь дает
п-\
и „|< GMh V ( «!_ (б + I<hp+]) +G\u,\)(\+ 0М1гГх+] +
+ —г (б + /<//иЧ + G! и„ | - G | ц, |A + GMlif
I k I
n = 0, 1 N-k + l. C.2.42)
Неравенство C.2.15) сразу следует теперь из леммы 3.1 и оче-
очевидных неравенств
l + GMi. <eGUh , ~[(l + GMh)n- \}<GxneGUx».
M
Сделаем два замечания. Во-первых, в теореме 3.1 предпо-
предполагалось, что правая часть C.2.1) непрерывна и удовлетворяет
условию Липшица во всей области О^х^а, —оо<у<оо.
Это условие было введено только для упрощения доказатель-
доказательства и не уменьшает общности результата. Общий случай, когда
f(x, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица только
в некоторой окрестности решения, легко сводится к рассмо-
рассмотренному. Чтобы гарантировать выполнение неравенства C.2.15),
мы должны просто предположить, что 0 и б из C.2.16) доста-
достаточно малы.
Во-вторых, предполагая, что полиномы
v=0 v=0
не имеют общего множителя, можно показать, что условие
р~~^\ и устойчивость в смысле Дальквиста являются также
необходимыми условиями сходимости решений уравнений, опи-
описанных в теореме 3.1. В самом деле, формула C.2.10) неудачна
потому, что не выполняется условие устойчивости, так как корни
полинома р(£) были равны 1 и —5.
То, что полиномы р(£) и о(£,) не должны иметь общих мно-
множителей, не является сильным ограничением. Действительно,
если
v=0

76 Гл. 3. Задачи Коши
есть наибольший общий делитель р(£) и а(£), то решение C.2.6)
с заданными начальными условиями эквивалентно решению
разностного уравнения
*
S <\„ Ы Wf (xn+v, yn+v) = zn,
где
k-r k-r
V=0 v=0
a zn есть решение разностного уравнения
v-0
с начальными условиями, определяемыми только начальными
условиями для уп. Использование формулы C.2.6) с полино-
полиномами р(£) и ст(£), имеющими отличный от константы общий
множитель, не оправдано, так как эти формулы будут содер-
содержать тогда большее число операций без-соответствующего по-
повышения точности.
3.2.3. Устойчивость разностных формул. Исследуем теперь
устойчивость разностной формулы C.2.6) в смысле определений
гл. 2. На самом деле мы уже изучали этот вопрос в п. 3.2.2,
а из неравенства C.2.15) вытекает непосредственно
Теорема 3.2. Формула C.2.6) как последовательность
численных процессов, характеризуемая параметром j = a/h,
определяющим число узлов на отрезке [0, а], образует в пред-
предположениях теоремы 3.1 агЬ-последовательность для а =
= A,1,...) и Ь = (\, 1,...) или а = (— 1, — 1, ...) и Ъ =
= A, 1, ...), если в качестве нормы брать абсолютное значе-
значение (см. определение 2.1).
Здесь мы коснулись проблемы глобальной устойчивости (см.
п. 2.4.4). Если бы f(x, у) удовлетворяла условию Липшица
только в некоторой окрестности точного решения, то мы имели бы
случай локальной устойчивости; принимая во внимание заме-
замечания, сделанные после доказательства теоремы 3.1, мы должны
были бы в этом случае ограничиться решениями с начальными
условиями, достаточно близкими к точным решениям.
Теорема 3.2 детально исследует задачу численной устойчи-
устойчивости формулы C.2.6), Можно доказать, что для практических
расчетов устойчивость C.2.6), как она определена в теореме 3.2,

§ 3.2. Разностные методы
77
будет недостаточной. Проиллюстрируем это утверждение про-
простым примером.
Пример 3.1. Требуется решить дифференциальное урав-
уравнение
с начальным условием г/@) = 5, исуюльзуя формулу
+и Уп+х)- C.2.43)
Это явная формула второго порядка и второй степени, устой-
устойчивая в смысле Дальквиста. Правая часть дифференциального
Рис. 3.1. Численное решение дифференциального уравнения у" = 1 — у2 для
у @) = 5 по формуле C.2.43)
1) х 3) точное решение
2) у 4) приближенное решение с Л = 0,05
5) приближенное решение с Л = 0,02
уравнения непрерывна, удовлетворяет условию Липшица
в окрестности решения, начиная с точки х = 0, у = 5, и имеет
три непрерывные производные. Поэтому, доопределив правую
часть уравнения, мы добьемся выполнения всех условий тео-
теоремы 3.1, так же как и теоремы 3.2. На рис. 3.1 отражены
результаты счета по формуле C.2.43) для h ~ 0,05 и 0,02
с У\ = у{Щ- В обоих случаях характер ошибки один и тот же.
Для h = 0,05 она быстро растет на конце отрезка [0, 2]. При
h = 0,02 тенденция к росту очевидна, хотя величина ошибки
меньше.

78 Гл. 3 Задачи Коиш
Применим теоремы 3.1 и 3.2 к этому случаю. В силу C.2.15)
погрешности могут расти экспоненциально, так как отрезок
интегрирования увеличивается. Это как раз та самая ситуация,
с которой мы столкнулись в нашем примере. Погрешность
растет вследствие наличия погрешности дискретизации, фигу-
фигурирующей в C.2.15) в виде члена Khp, а также из-за ошибок
округления, характеризуемых членом б/Л. Так как К1гр умень-
уменьшается с Л, мы можем уменьшить общую ошибку, уменьшая Л,
при условии, что элементарные операции порождают постоян-
постоянную ошибку б. Однако мы можем это делать только до тех
пор, пока ошибка округления не станет преобладающей, ибо
б/Л растет с уменьшением Л. Следовательно, начиная с какого-то
значения Л амплитуда общей ошибки определяется только чле-
членом б/Л и растет с уменьшением Л (см. замечания после до-
доказательства теоремы 3.1).
Ясно, что с точки зрения практических расчетов такое по-
поведение погрешности нежелательно, ибо увеличение отрезка ин-
интегрирования (мы хотим, чтобы ошибка оставалась неизменной)
должно сопровождаться одновременным уменьшением Л или
увеличением точности индивидуальных операций.
Из сказанного следует, что всякий раз, когда решается диф-
дифференциальное уравнение на очень большом отрезке или за-
задача такова, что длина отрезка интегрирования неизвестна за-
заранее,' полезно наложить более жесткие условия на формулы
с тем, чтобы гарантировать невозрастание общей ошибки с уве-
увеличением отрезка интегрирования. Очевидно, это требование
должно также налагать некоторые ограничения на класс диф-
дифференциальных уравнений, которые будут тогда менее чувстви-
чувствительны к ошибкам, порождаемым незначительными возмуще-
возмущениями правых частей.
Определение 3.3. Рассмотрим дифференциальное урав-
уравнение типа C.2.1) на интервале [0, оо), и пусть его решением
будет у = 0, т.е. пусть f(x, 0) = 0 для ге[0, оо). Будем гово-
говорить, что это тривиальное решение устойчиво к постоянным
возмущениям, если для любого е>0 существует б >0, такое,
что для любого решения уравнения
Л' = /(*, n) + g(x), C.2.44)
где
1т| @) |<б, | g (х) |< б для х е [0, оо) C.2.45)
и g(х) — произвольная измеримая функция, имеет место нера-
неравенство
\ц(х)\<е для .ve[0, оо). C.2.46)

3.2. Разностные методы 79
Для упрощения формулировки мы ограничились в этом
определении тривиальным решением. Как обычно, это ограни-
ограничение легко может быть снято.
Определение 3.4. Разностная формула C.2.6) степени
р^\ будет называться сильно устойчивой, если все корни по-
полинома
где р(£) — полином C.2.13), лежат внутри единичного круга.
Теорема 3.3. Пусть правая часть f(x, у) дифференциаль-
дифференциального уравнения C.2.1) определена, ограничена и непрерывна
как функция двух переменных в полуплоскости х^О, равно-
равномерно непрерывна по х (независимо от у) и удовлетворяет
условию Липшица по у (с константой М, не зависящей от х).
Далее, пусть f(x, 0) = 0 для 0 ^ х < оо и тривиальное реше-
решение C.2.1) устойчиво к постоянным возмущениям. Рассмотрим
заданную сильно устойчивую разностную формулу C.2.6)
степени р"^\ и порядка k.
Тогда для каждого е>0 существуют ho>O и б>0, такие,
что любое решение уп разностного уравнения
k k
2 <xvSrn+v = Л S Pv/ (*n+v, £n+v) + в„, « = 0,1,..., C.2.48)
v=0 v=0
где
\yt\<hb, i = 0, 1, ..., k- 1, |б„|<Лб, n = Q, 1, ..., h<h0,
C.2.49)
удовлетворяет неравенству
I Ул Ке, п = 0, 1, .... C.2.50)
Доказательство. Очевидно, что без потери общности
можно положить ctfe=l. Пусть
Ф) = Уп+9п+1ь*п (х~хпЪ -v-n<.t<xn+1, n = 0, 1, ..., C.2.51)
где уп обозначает решение уравнения C.2.48). Если мы дока-
докажем, что разность у[(x) — f(x, ц(х)) может быть сделана произ-
произвольно малой, то теорема будет доказана, так как тривиальное
решение уравнения C.2.1) предполагается устойчивым. Чтобы
получить оценку этой разности, положим
Zn=h±i^IiLi ,г = 0>1>___> C.2.52)
Н покажем, что гп ограничены для п = 0, J, .,, ь

80 Г л 3. Задачи Коми
Так как р'^ 1, то в силу C.2.8)
k-i
2«v=- 1. C.2.53)
v=o
Из C.2.53) и C.2.48) легко видеть, что г„ удовлетворяет раз-
разностному уравнению
fc-2 t-2 k б
Zn+ft-1 = _ av 2j zn+n + 2j Pv/ (*n+v> i'rt+v) + If
v=0 n=v v=o
ИЛИ
Zn+*-i = - S И + 2 <0z»+v + <7», « = 0,1,..., C.2.54)
v=0\ n-v+1 /
где
k .
Цп = 2 Pv/ OW ^n+v) + x' n = 0, 1, ... . C.2.55)
v=0 ■"
Очевидно, что полиномы
k-2 I k-l
,.ft-i i V / i i V
t, + 2i 1 + 2j
v=0\ n-v+1
и Pi (S) совпадают, и потому, полагая
zn+v = 4v+1)' v = 0, 1, .... ft-2, n = 0, 1, ....
».-№*?.-".ггЛ Ч. = {CO,....-/.}, C-2-56)
мы сможем записать C.2.54) в виде
zrt+i = Azrt + qrt C.2.57)
или
zrt = 2
v=0
C.2.58)
где матрица А есть матрица C.2.21), характеристическим по-
полиномом которой является р, (£). Однако, как это следует не-
непосредственно из C.2.58) и предположений относительно f(x, у)
и р( (£), числа г„ ограничены, если
|р,|<СЛ, / = 0, 1, .... й- 1, |6„|<СЛ, п = 0, 1, ...,') C.2.59)
где С — произвольная константа.
') Утверждение основано на том, что \ Ап\ < Gfl", где 0<у<'; это
верно, если все корни р, (g) лежат внутри единичного круга (см. лемму 3.2).
Можно показать, что это же условие будет необходимым.

$ 3.2. Разностные методы
81
Далее, пусть
vn = zn-f{xn, уп), га = О, 1, ...;
C.2.60)
оценим vn. Так как р^\, то в силу второго уравнения C.2.8)
имеем
ip ^1 2(+ 2 %)■ C.2.61)
v=0 v=0\ n=v+1 /
Из C.2.54) в силу C.2.61) получаем для vn разностное уравнение
ft-2/ ft-l
У„+й-1 = - 2 1 + 2
v=0\ n=v+l
+ 2
v—0
которое можно записать в виде
ft-2/ ft-l \
в«н=-21 1+ 2 %)vn+v + rn, « = 0,1,..., C.2.63)
v=o\ n=v+l
где
ft-2/ ft-l \
'"«=- 2A + 2 %)[f(xn+v,yn+v)-f(xn+v, yn+k-i)]-
v=0\ n-v+1 /
ft-2/ ft-l \
- 2 И + 2 Оц ) [/ (Xn+V, Уп+k-l) ~ f (Xn+k-U Уп+k-l)]
v=0\ n=v+l
ft
v=0
2 Pv [/
v=0
X •
Следовательно, при п = 0, 1, ...
v=0
2 «u
+l
+ 2 И + 2 % + I Pv 1I/(*«+*-!. Уп+k-l) ~f{xn+v, Уп+к-\)\
v0\ v+l /
«-2
2
v=0
+ ЛА1
C.2.65)

82
Гл. 3. Задачи Коши
Так как мы уже доказали, что zn ограничены, то из C.2.65)
и равномерной непрерывности f(x, у) следует, что для любого
Е]>0 существуют /г,>0 и 6i>0, такие, что
п = 0, 1 C.2.66)
для
h<hx,
<elt
= 0, 1, . . ., k- 1, |б„|</гб,, п = 0, 1,....
Однако уравнение C.2.63) имеет тот же вид, что и C.2.54),
послужившее источником оценок для zn. Поэтому из уравне-
уравнения, аналогичного C.2.58), следует, что для каждого е2>0 су-
существуют /г2>0 и 62>0, такие, что
! и„|<е2, п = 0, 1, ..., C.2.67)
для h<h2, ! tji !</гб2, / = 0, 1, . . ., /г- 1, |6„!</г62, п = 0, 1, ....
Так как равенство
Ч'-fU, r\) = zn-j(x, ц), хп<х<хп+и
может быть записано в виде
if - / (х, Vi) = zn-f (хп, уп) + f (хп, уп) + f (хп, 11) - / (хп, ц) - f (х, г\),
C.2.68)
откуда
f (х,
М! zn \(x-xn) + \f (хп, т|) - f (x, т|) |, C.2.69)
то из C.2.67) прямо следует, это для любого е3>0 существуют
/г3>0 и 63>0, такие, что
hW(*. ЛI<е3 C.2.70)
для h < h3, ! уi ! < /гб3, / = 0, 1, . .., k — 1, ! б„ ! < /гб3, п = 0, 1, ....
Итак, теорема доказана.
Из теоремы 3.3 сразу же вытекает
Теорема 3.4. В предположениях теоремы 3.3 разностные
формулы C.2.6) как последовательность численных процессов,
характеризуемых параметром j = l/h, образуют для а = A, 1, . . .),
b = A, 1, .. .) или а = (— 1, — 1, . ..), b = {\, 1, .. .) агпоследова-
тельность процессов г).
Как и раньше, мы можем ограничиться предположениями, на-
наложенными на f(x, у) в теоремах 3.3 и 3.4 в окрестности три-
тривиального решения. Если мы допустим, что тривиальное реше-
') Значение этой теоремы состоит в том, что каждый из численных про-
процессов рассматривается как бесконечный (г. е. jV (/) = со). Грубо говоря, тео-
теорема доказывает равномерную устойчивость процесса теоремы 3,2 по отно-
щениго к длине отрезка интегрирования.

.<!> 3.2, Разностные методы 83
пие дифференциального уравнения будет устойчивым в смысле
Липшица, т.е. если в определении 3.3 величина 6 = 6(е), как
функция е, будет удовлетворять условию Липшица, то мы при-
придем к заключению, что разностные формулы C.2.6) образуют
^-.^-последовательность численных процессов.
Мы должны снова подчеркнуть, что теорема 3.3 налагает
более ограничительные условия как на дифференциальное урав-
уравнение, так и на разностную формулу. Это совершенно есте-
естественно, ибо для того, чтобы абсолютная величина ошибок
была достаточно малой, решение рассматриваемого дифферен-
дифференциального уравнения должно обладать соответствующими свой-
свойствами. Поэтому, если не выполнены условия устойчивости за-
заданного дифференциального уравнения, разностные формулы
для решения такого уравнения будут неустойчивыми на беско-
бесконечном интервале интегрирования. Это — очевидное следствие
того, что абсолютная ошибка должна быть равномерно малой.
Аналогично можно исследовать случаи, в которых естественно
требование малости относительной погрешности. Однако про-
проблемы этого типа довольно специальны и рассматриваться здесь
не будут.
С другой стороны, даже если заданное дифференциальное
уравнение удовлетворяет указанным выше условиям, может
возникнуть неустойчивость, если не требовать сильной устой-
устойчивости разностной формулы. Это следует из того, что в про-
противном случае численное решение всегда будет иметь «парази-
«паразитарные» расходящиеся члены. Пример, приведенный в начале
этого пункта, иллюстрирует этот факт.
Итак, применение сильно устойчивых разностных формул
для решения дифференциальных уравнений с устойчивым ре-
решением на интервале большой длины не встретит нежелатель-
нежелательных осложнений, таких, как быстрый рост ошибок с увеличе-
увеличением интервала и т. п. Наоборот, применение разностной фор-
формулы, устойчивой в смысле Дальквиста, но не сильно устойчивой,
может привести к затруднениям при счете.
3.2.4. Некоторые наиболее употребительные разностные фор-
фулы. В табл. 3.2 представлены многие разностные формулы,
широко используемые в практике. Формулы 1 — 5 этой таб-
таблицы—явные формулы типа Адамса — Башфорта, а формулы
6—10 являются неявными формулами типа Адамса — Мултона,
дающими, как правило, более точные результаты. Все эти
формулы сильно устойчивы и потому пригодны для решения
уравнений на очень длинных отрезках.
Примерами других часто используемых формул, устойчивых
в смысле Дальквиста, но не сильно устойчивых, являются

84
Гл. 3. Задачи Коши
Таблица 3.2. Наиболее часто используемые разностные формулы
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Уп+2 =
Уп+3 =
Уп+< =
Ли.-
уп+1 =
Уп+1 =
Уп+2 =
Уп,г =
Уп+< =
Уп + Ьу'п
УП+2+12"ЛB
</„+з + ^>Ф
1 , ,
yn+i+l2HE
yn+.2 + 1Lh(9
1 ,
#n+3 + 720 ^
Формула
Зу'п+2-1Ьу'п+1+5у'п)
5у — 59у' о ~Н 37w 9у )
1901Уп+* ~ 277АУп+3 + 261%п+2 ~
-\- у I
Уп+2 ~^~ ^п+1 — ^л)
г/«+з +19#«+2 - 5г/«+1+г/«)
9^1 ' 4-fi4fi ' 9fi4 ' -4-
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
р
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1/2
5/12
3/8
251/720
95/288
— 1/2
-1/12
-1/24
— 19/720
-3/160
неявные формулы Милн — Симпсона (см. Хенрич [1962])
Уп = Уп 2 + h{2y'n-2Vy'n+ TvYn+ •••) C.2.71)
и явные формулы Нистрёма
Уп+1 ■= *«-i + h B< + Т VX + | V3^ +•••)• C-2-72)
Сделаем несколько замечаний относительно использования
неявных формул. Для примера рассмотрим формулу 10 из
табл. 3.2. Вообще говоря, ее применение связано с решением
нелинейного уравнения на каждом шаге. Начальные значения
искомой функции могут быть найдены с помощью подходящей
явной формулы, скажем формулы 4 из табл. 3.2. Решение
можно искать последовательными приближениями. Методы пре-

§ 3.2. Разностные методы 85
диктор-корректор содержат только два таких шага, а именно
вычисление по явной формуле приближенного значения и его
улучшение по неявной формуле. Заметим, что подходящий
предиктор может превратить несильно устойчивую формулу
в сильно устойчивую (см. Штеттер [1964]).
Вообще говоря, можно построить любое число разностных
формул, удовлетворяющих сформулированным выше требова-
требованиям. Проблема выбора подходящей формулы для конкретной
задачи может оказаться довольно сложной. Выбор наилучшей
разностной формулы связан со спецификой исходных диффе-
дифференциальных уравнений. Как отмечалось во введении, в таких
случаях всегда играют большую роль опыт и интуиция.
3.2.5. Пример. Следующий пример иллюстрирует теоретиче-
теоретические результаты предыдущего пункта.
Пример 2.2. Решить дифференциальное уравнение
у'=\-у, у@) = 2 C.2.73)
(точным решением которого является у (х) = 1 + е~х) методом
Адамса — Башфорта
с Л=10, 10~3, ..., 10~б, используя в качестве начальных
условий соответствующие значения точного решения. В табл. 3.3
представлены результаты расчетов, выполненных на чехосло-
чехословацкой машине EPOS 1, общая погрешность, ошибки дискре-
дискретизации и округления. Эта информация доступна нам, так как
в случае C.2.73) разностное уравнение C.2.74) будет линейным
с постоянными коэффициентами, и его решение можно выписать
явно. На рис. 3.2 показаны ошибки дискретизации и округле-
округления в нескольких точках отрезка интегрирования. График зави-
зависимости ошибки округления от 1/Л показывает (в соответствии
с теоремой 3.2), что C.2.74) образует ^-/.-последовательность
численных процессов. Мы видим также, что ошибка дискрети-
дискретизации имеет порядок Л2. Рисунок 3.2 показывает, что ошибка
метода не зависит от длины отрезка интегрирования; так как
формула C.2.74) сильно устойчива, то это обстоятельство согла-
согласуется с теоремой 3.3. Наконец, этот же рисунок иллюстрирует
существование оптимального значения h, для которого общая
ошибка становится минимальной. Действительно, оптимальное
значение h равно приблизительно 10~3 — результат, хорошо согла-
согласующийся с оценкой C.2.15).

86
Гл. 3. Задачи Кпши
Таблица 3.3. Численное решение уравнения C.2./3) по формуле C.2.74)
X
1
2
3
4
5
6
h
П.
ю-2
10
ю-5
ю-6
ю
ю-3
ю-4
ю-5
ю-6
ю-2
ю
ю
ю-5
ю-6
ю-2
ю-3
10
ю-5
10
ю-3
ю-4
10
ю-2
ю-3
10
10
Численное
решение
1,367 894 77
1,367 880 23
1,367 885 75
1,367 942 78
1,368 522 78
1,135 346 65
1,135 33E 31
1,135 343 76
1,135 421 95
1,136 174 13
1,049 793 42
1,049 788 15
1,049 796 48
1,049 883 25
1,050 902 21
1,01831881
1,01831671
1,018 325 46
1,018 415 72
1,006 739 48
1,006 738 92
1,006 747 87
1,006 844 10
1,002 479 51
1,002 479 80
1,002 488 96
1,002 569 74
Погрешность
дискретизации
—0,000 015 27
—0,000 000 16
0
0
0
—0,000 01129
—0,000 000 12
0
0
0
—0,000 006 24
—0,000 000 06
0
0
0
—0,000 003 06
—0,000 000 03
0
0
—0,000 00141
—0,000 000 01
0
0
—0,000 000 63
—0,000 000 01
0
0
Погрешность
округления
—0,000 000 06
—0,000 000 63
—0,000 006 31
—0,000 063 34
—0,000 643 34
—0,000 000 08
—0,000 000 91
—0,000 008 48
—0,000 086 67
—0,000 838 85
—0,000 000 11
—0,000 001 02
—0,000 009 41
—0,000 096 18
—0,001 115 14
—0,000 000 11
—0,000 001 04
—0,000 009 82
—0,000 100 08
—0,000 000 12
—0,000 000 96
—0,000 009 42
—0,000 106 15
—0,000 000 13
—0,000 001 04
—0,000 010 21
—0,000 090 99
Общая
погрешность
—0,000 015 33
—0,000 000 79
—0,000 006 31
—0,000 063 34
—0,000 643 34
—0,000 01137
—0,000 001 03
—0,000 008 48
—0,000 086 67
—0,000 838 85
—0,000 006 35
—0,000 001 08
—0,000 009 41
—0,000 096 18
—0,001 11514
—0,000 003 17
—0,000 00107
—0,000 009 82
—0,000 100 08-
—0,000 001 53
—0,000 000 97
—0,000 009 42
—0,000 106 15
—0,000 000 76
—0,000 001 05
—0,000 010 21
—0,000 090 99
3.2.6. Оптимальные разностные формулы. Обсудим теперь
проблему построения оптимальных в смысле § 2.6 разностных
формул.
Пусть k, /^2 будут целыми, и пусть Л>0. Обозначим
через Hi'h гильбертово пространство классов вещественных
функций f(x), 0^.x^.kh, отличающихся самое большее на
полином степени '—1с производными (в смысле обобщенных
функций) порядка /, квадратично интегрируемыми в интер-

§ 3.2. Разностные методы
87
вале @, kli) и скалярным произведением
Положим теперь
F(f) = f (kh) + 2 atf (jh) - h 2 p/ (yA), C.2.75)
/=o
где
2 a/f = 2 s$jjs~\ s = 1, 2, .. ., / - 1. C.2.76)
Ю2 1O3 Ю4 1O5 IO6 Ю2 IO3 10" IOb I06 I02 Ю3
1O5
Рис. З.2.- Зависимость ошибки численного решения дифференциального
уравнения C.2.73) по формуле C.2.74) от величины шага h
1) \jh 3) ошибка округления
2) ошибка 4) ошибка дискретизации
5) наклон теоретической cCpL-последовательностп
Условия C.2.76) необходимы для того, чтобы F (f) было линей-
линейным функционалом в Hi'h. Легко видеть, что C.2.76) экви-
эквивалентно C.2.8), и потому при ak= 1
v=0
«vl/n+v =
Pv/ (Xn+V, yn+v)
есть формула порядка к и степени /—1,

Гл. 3. Задачи Коши
Все линейные функционалы вида
ф(/) = А2а/0"А) C.2.77)
/=о
с условиями
2 «*//*"' = 0, s= 1, 2, ...,/- 1,
/=0
и вида
ФШ = А2б/Г0"А) C.2.78)
с условиями
ft-1
2«й/Г' = 0, s=l, 2, ..., /-1,
/=о
определяют пространства 9№? и 9№2 соответственно. Условия
k^l— 1 и k^l необходимы и достаточны для того, чтобы
пространства 9№* и 9№* не были пустыми.
По теореме 2.5 существует только одна оптимальная аппрок-
аппроксимация C.2.75) в 2t? или в Tt2, которая будет обозначаться
через
Ф0Ш = А2а»Г(/А) C.2.79)
и
ФоШ = А2б/Г(/А) C.2.80)
/=о
соответственно. При этих условиях имеем ')
f (kh) + 2 a, f (jh) - h 2 (P, + a») /' (yA)
/=o ' /=o
sup
llfllj-l
знак равенства имеет место только при а? = 0. Формула
'ai)l{xn+i> Уп+i) C.2.81)
с o,k = 1 называется оптимальной неявной формулой порядка k
и степени /—1. Аналогично формула
2 *,у„, = h 2 (р, + 6?) / (JW г/„+/) C.2.82)
') H/II/ обозначает норму / в Hf
*' h

3.2. Разностные методы
89
с o,k = 1 называется оптимальной явной формулой порядка k
и степени / — 1. Заметим, что C.2.81) и C.2.82) не зависят от
выбора коэффициентов Ру.
Из этого следует, что, не теряя общности, можно ограни-
ограничиться случаем h=\.
Неявные формулы порядка k и степени / — 1, k^l — l, на-
назовем точными на t, процентов
= 100
sup
llfllj-i
/ (
sup
\\f\\[
=■1
k-
k)+ 2
/=o
f(k) +
a.
2
/=o
f (j)
a,f
—
(i)
k
2
—
<(p
0
j + a
P/f
U)
C.2.83)
и аналогично будем говорить о ^-процентной точности явных
формул.
В пп. 3.2.2 и 3.2.3 было показано, что устойчивость в смысле
Дальквиста так же, как сильная устойчивость, определяется
только коэффициентами а/, / = 0, 1, ..., k. По этой причине
наш поиск оптимальной формулы связан лишь с изменением
Р/. Ясно, что если а/ заданы, то существует только один
набор Р/, определяющий разностные формулы наибольшей воз-
возможной степени. Эти формулы имеют очевидное преимущество
перед другими, если решение достаточно гладкое. В противном
случае предпочтительнее использовать оптимальные формулы
данного класса.
Докажем теперь две теоремы, которые делают возможным
построение оптимальных формул.
Теорема 3.5. Пусть g{x), O^xs^k, удовлетворяет сле-
следующим условиям:
= 0, i<x<i+l, i = 0, I k-l, C.2.84)
dx2t
и-\.
-Tw(/-°) = ct/> /=1. 2 £-1,C.2.85)
-!, C.2.86)
C.2.87)

90 Гл 3. Задачи Коши
Тода
sup
/=о /=о
Легко проверить, что утверждение теоремы прямо следует
из формулы
ft-i * *
Д*) + S «//(Л-SP/Г 0) = (-1)' ^g(l>(x)fl)(x)dx. C.2.88)
/=о /=о о
Если а/ и $j удовлетворяют соотношениям C.2.76), то функ-
функция g существует и определяется единственным образом с точ-
точностью до полинома степени /— 1.
Терема 3.6. Формулы C.2.81) и C.2.82) будут оптималь-
оптимальными тогда и только тогда, когда функция g(x), определенная
в теореме 3.5, может быть выбрана так, что
g'(]) = 0 для / = 0 Лг — 1 и g/(]) = 0 для j = O,...,k,
C.2.89)
для явной и неявной формул соответственно.
Доказательство. I. Достаточность следует из теорем
3.5 и 2/.
II. Необходимость будет доказана только для неявной фор-
формулы; доказательство для явной формулы совершенно анало-
аналогично. В силу предыдущей теоремы, если g{x) — функция,
соответствующая оптимальной формуле, то для всех ajt удо-
удовлетворяющих условиям
s
2 sajf'1 = 0, C.2.90)
имеем
k
2а/(/) = 0. C.2.91)
/=о
Итак, g (х) (определенная в теореме 3.5 с точностью до поли-
полинома степени /— 1) может быть изменена на полином степени
/ — 1 для получения равенств C.2.89).
Теорема 3.6 позволяет эффективно строить оптимальные
формулы и вычислять £ для других формул в смысле опреде-
определения C.2.83). В табл. 3.4 представлены оптимальные явные
формулы типа Адамса для некоторых k и / и значения £ для фор-
формул Адамса — Башфорта. Заметим, что наибольшее возможное

$ 3.2. Разностные методы
91
Таблица 3.4. Оптимальные явные формулы типа Адамса
и значения £ для формул типа Адамса—Башфорта
/
2
3
Р.
;
1,5
Ро
0
—0,5
75,592 8
100,000 0
.'/„+2
1
2
3
4
р.
1
1,625
1,916 666 66
Pi
0
—0,75
— 1,333 333 33
Ро
0
0,125
0,416 666 66
49,7416
82,721 1
100,000 0
2
3
4
5
Уп+Г
р
1
1,633 333 33
2,079 545 39
2,291 666 66
ь
0
-0,8
— 1,821 969 6
—2,458 333 3
+:; + hy'n+2 +
Pi
0
0,2
0,905 303 01
1,541666 66
р J у , 1 ~|~ РО^?т /
Ро
0
—0,033 333 33
—0,162 878 78
—0,375 000 00
30,845 3
54,334 1
85,792 7
100,000 0
<
2
3
4
5
6
Уп
Р.
1
1,633 928 57
2,106 521 72
2,474 475 72
2,040 277 77
0
—0,803 571 42
— 1,971 376 62
—3,189 569 55
—3,852 777 77
р
0
0,214 285 71
1,191 666 70
2,638 52100
3,633 333 33
3 + fc^+Pli
0
—0,053 571 43
—0,395 290 45
— 1,106 236 29
— 1,769 444 44
Wi+PoO
0
0,008 928 57
0,068 478 62
0,182 809 06
0,348 611 11
•
18,203 5
32,947 9
57,430 7
87,980 7
100,000 0

92
Гл. 3. Задачи Коми
Таблица 3.5. Оптимальные неявные формулы типа Адамса и значение
для формул Адамса — Мултона
1
2
3
Р,
0,5
0,5
Ро
0,5
0,5
1
100
100
2
3
4
Уп+2 ~ Уп + l ~*~ \г2Уги
р2
0,5
0,4375
0,416 666 66
Р,
0,5
0,625
0,666 666 66
2 + Р.г/п+. + Ры/п
Ро
0
—0,062 5
—0,083 333 33
>
Е
92,582 0
97,566 5
100,000 0
'
2
3
4
5
Уп+3 =
Рз
0,5
0,433 333 33
0,387 626 25
0,375
= У п+2 + h (Рз£
Р,
0,5
0,65
0,753 787 85
0,791 666 66
Р,
0
—0,1
—0,170 454 54
—0,208 333 33
1Уп+1 + Ш
Ро
0
0,016 666 66
0,029 040 44
0,041 666 66
X,
80,538 7
84,641 5
95,716 9
100,000 0
'
2
3
4
5
6
Уп+4 = Уп+3 + к
Р4
0,5
0,433 035 70
0,382 880 44
0,356 425 91
0,348 611 11
Р,
0,5
0,651 785 74
0,780 072 46
0,865 963 03
0,897 222 22
Р2
0
—0,107 142 87
—0,220 833 33
—0,319 777 88
—0,36 666 666
* + Р2У»+2 +
Р,
0
0,026 785 71
0,069 927 52
0,115 963 03
0,147 222 22
Р.</п+. + РоУп)
Ро
0
—0,004 464 28
—0,012 047 09
—0,018 574 09
—0,026 388 88
(ГС
67,669 6
68,567 9
78,735 6
94,960 2
100,000 0

§ 3.3. Общие одношаговыс методы 93
значение / мы всегда получаем в случае формулы Адамса —
Башфорта. В табл. 3.5 приведены аналогичные результаты для
неявных формул. Видно, что неявные формулы заметно менее
чувствительны к гладкости искомого решения по сравнению
с явными формулами.
£ 3.3. Общие одношаговые методы
Общие одношаговые методы можно рассматривать как обоб-
обобщение метода Эйлера, но в противоположность методам, рас-
рассмотренным в § 3.2, зависимость от у и у' будет теперь, вообще
говоря, нелинейной и в формулах будет использоваться значе-
значение у в одной предыдущей точке. Используя обозначения § 3.2,
запишем общую одношаговую формулу для решения дифферен-
дифференциального уравнения C.2.1) в виде
Уп+1 = Уп + Щ(хп, У„ h), C.3.1)
где Of —функция аргументов х, у, h, зависящая к тому же
от правой части f(x, у) уравнения C.2.1).
Основное преимущество формулы C.3.1) состоит в том, что
приближенное значение решения в точке x + h получается на
основе информации, полученной в точке х, в результате счет
выполняется без применения специальных процедур для на-
нахождения решения в нескольких начальных точках. С другой
стороны, формулы Рунге — Кутта (наиболее важные среди об-
общих одношаговых методов), как будет видно позднее, имеют
один недостаток, заключающийся в том, что правая часть C.2.1)
должна вычисляться в нескольких точках. Это обстоятельство
может явиться причиной некоторых трудностей, например тогда,
когда правая часть C.2.1) лредставляет собой сложное вы-
выражение или задана в виде таблицы. По этой причине на
практике разностные и одношаговые методы часто комбини-
комбинируются так, что последние используются для вычисления на-
начальных значений.
3.3.1. Сходимость и устойчивость общих одношаговых ме-
методов. Будем предполагать, что правая часть f(x, у) уравне-
уравнения C.2.1) определена, непрерывна и удовлетворяет условию
Липшица в области 0^х^.а, —оо<г/<оо или О^х<сх>,
— оо<г/<оо и что решение C.2.1) обладает той степенью
гладкости, которая требуется в данном частном случае.
Как и в § 3.2, по формальным соображениям предположим
снова, что непрерывность и выполнение условия Липшица имеют
место всюду. На самом же деле необходимо, чтобы эти условия
выполнялись лишь локально.

94 Гл. 3. Задачи Коши
Определение 3.5. Формулу C.3.1) будем называть регу-
регулярной, если функция Ф;(х, у, h) определена и непрерывна
в области O^Lx-^La, — оо < г/ < оо, 0 ^ /г ^ /г0 (Ло — положитель-
положительное число) и существует константа М (не зависящая от х и /г),
такая, что
|Of(*, у, А)-Ф, (ж, z, h)\^M\y-z\ C.3.2)
для любых хе[0, а], у, ге(—оо, оо), /ге[0, /го].
Определение 3.6. Будем говорить, что формула C.3.1)
имеет степень р, если существуют константа L и целое р > О,
такие, что
z(t+^-v\ C.3.3)
М', У, h)-
для любых t е [0, а], г/ е (—оо, оо), /ге[0, /го], где г (jc)
решение уравнения C.2.1) на отрезке [t, t + h], удовлетворяющее
условию z(t) = у.
Теорема 3.7. Дана регулярная общая одношаговая фор-
формула C.3.1) степени р>0. Обозначим через у(х) решение диф-
дифференциального уравнения C.2.1), а через уп — решение урав-
уравнения
Уп+1 = Уп + ®!(хп, У„, А) + 6„, /г = 0, 1, .... N-1. C.3.4)
Тогда
Мх
\Уп~У (х«) \<\8о-у(О)\ eVx" + (Lhp + {) е' Пм~ 1 , C.3.5)
6= max |б„|,
где
6=
«=о, I,..., л/—1
а М, L — константы из неравенств C.3.2) и C.3.3) соответственно.
Доказательство. Пусть
гп = Уп-у(хп), п = 0, 1, ..., N. C.3.7)
Функция гп удовлетворяет разностному уравнению
rn+i = rn + h Щ (хп, уп, А)—Ф, (хп, у (хп), /г)] + h (<Df (xn, у (хп), А)—
/г = 0, 1, .... tf-1, C.3.8)
или
n-1
r» = r0 + S 2V, /г = 0, 1 N, C.3.9)
v=0

$ 3.3. Общие одношаговые методы 95
где
/г (ф, (лЧ., ,/ (*v), /г) -
v = 0, 1, . ... jV- l". C.3.10)
С помощью C.3.2), C.3.3) и C.3.6) получаем для zv оценку
\zs\ ^hM\rv\ + Lh"+l+6, v = 0, 1, .... ЛГ-1. C.3.11)
Тогда по C.3.9) и C.3.11)
V-1
kvKkol +AM2|rJ + v(L/zp+1 + 6), v = 0, 1, .... N- 1, C.3.12)
и по лемме 3.3
л-l
к„| < ко I + «(iAp+1 + 6) + hM (Lh"*1 + 6) 2 v(l + M/zr'"v +
v=o
n-l
+ AMko|S(H-MA)"~'"v C.3.13)
v = 0
или
В силу неравенства 1 + /И/г < eMh, утверждение теоремы доказано.
Теорема 3.7 дает достаточные условия сходимости прибли-
приближенного решения, полученного по общей одношаговой фор-
формуле. Если отказаться от условия, чтобы C.3.1) было степени р,
и ввести менее жесткое условие
Ф!(х, у, O) = f(x, у), C.3.15)
то теорема 3.7 также будет давать необходимые условия схо-
сходимости.
Теорема 3.8. Последовательность численных процессов
C.3.1) с параметром N = ajh {числом узлов разностной сетки)
образует в предположениях теоремы 3.7 агЬ-последовлтельность
для а = A, 1, ...), Ь = {\, 1, ...) или а = (-1, -1, ...),
& = A. 1. •••)•
Таким образом, теоремы 3.7 и 3.8 решают проблему сходи-
сходимости и устойчивости общей одношаговой формулы на конеч-
конечном отрезке. Как и для многошаговых формул, отметим два
важных момента (см. п. 3.2.3). Во-первых, попытка уменьшить
ошибку метода, характеризуемую членом Lhp, приводит к умень-
уменьшению h и, следовательно, к увеличению ошибки округления,

96 Гл. 3, Задачи Коиш
представляемой членом 6//г. Во-вторых, ошибки дискретизации
и округления могут быстро расти с увеличением интервала, на
котором разыскивается решение.
Рассмотрим формулы, устойчивые по отношению к постоян-
постоянным возмущениям (см. определение 3.3) на интервале [0, оо).
Определение 3.7. Будем говорить, что общая одноша-
говая формула C.3.1) вполне регулярна, если функция <Df (х, у, h)
определена в области 0^х<оо, — оо<г/<оо, О^/г^/го, ог-
ограничена в ней, непрерывна как функция трех переменных,
равномерно непрерывна по х {независимо от у), удовлетворяет
условию Липшица по у (с константой, не зависящей от х и К)
и равномерно непрерывна по h.
Теорема 3.9. Пусть дано дифференциальное уравнение
C.2.1) на интервале [О, оо), пусть f(x, 0) = 0 для хе[0, оо) и
тривиальное решение этого уравнения устойчиво по отношению
к постоянным возмущениям в смысле определения 3.3. Рас-
Рассмотрим вполне регулярную общую одношаговую формулу сте-
степени р>0. Тогда для любого е>0 существуют п{>0 м6>0,
такие, что каждое решение разностного уравнения
Уп+1 = Уп + Щ(Хп, Уп, А) + 6Я, п = 0, 1, .... C.3.16)
для которого
|0о К в. 1*»1<Лб, « = 0, 1. .... А<А„ C.3.17)
удовлетворяет неравенству
\уп\<е, п = 0, 1, .... C.3.18)
Доказательство. Пусть
f (х„> УпЛ) + -j-) (х - хп),
х(=[хп, хп+1], п = 0, 1, ... . C.3.19)
Если мы докажем, используя неравенства C.3.17), что разность
r\' — f(x, т]) можно сделать произвольно малой, то утвержде-
утверждение теоремы будет доказано ввиду устойчивости тривиального
решения C.2.1). Рассмотрим
r[-f{x, 4)-^{xn,yn,h)+^-f{x, т)) =
= №f (*». Уп, h) - <*>t (хп, Л. Л)] + [Ф, (хп, т|, /г) - Of (x, ц, /г)] +
+ [Ф,(*. Л, h)-f(x, г|)] + бя/А. C.3.20)
В силу C.3.3) имеем
f(x, гО=-Ф/(*, Л, 0), C.3.21)

§ 3.3. Общие одношаговые методы 97
и потому по C.3.2), C.3.19)-C.3.21)
\r\'-f(x, т)ЖМ(|Ф?и„, уп, А)| + |б„|/А)А +
+ \Ф)(хп, ц, Щ-Ф^х, х], А)| +
+ |Ф?и, т), А)-Ф, (ж, т), 0)| + |6„|/А. C.3.22)
Утверждение теоремы следует теперь из C.3.22) и предполо-
предположений теоремы.
Очевидно, требование, чтобы формула C.3.1) была сте-
степени р>0, можно снова заменить менее ограничительным
условием C.3.15).
Теорема 3.10. Формула C.3.1) как последовательность
численных процессов с параметром N=\jh образует в пред-
предположениях теоремы 3.9 ^^-последовательность').
Заключение о численной устойчивости общей одношаговой
формулы, к которой мы пришли в предыдущем пункте, пред-
предполагая, что вычислительный алгоритм близок к C.3.1), оче-
очевидно, нельзя улучшить. Однако из C.3.1) можно видеть, что
вычисление приближенного значения уп носит такой же харак-
характер, как это было при счете п-й частичной суммы гармониче-
гармонического ряда в примере 2.4. Так же, как и там, для подсчета уп+1
прибавим к уп величину, малую по сравнению с уп. Возникает
вопрос, нельзя ли улучшить численную устойчивость счета
(конечно, ценою увеличения числа арифметических операций),
применяя аналогичные соображения, что и в процессе (в) из
примера 2.4 на стр. 18 (см. формулу B.1.11)). Проведем теперь
вычисления с плавающей запятой, используя для счета при-
приближенных значений уп следующие два алгоритма.
Алгоритм I:
м„+1 = ип + ЛФ? (хп, ип, /г), у (х0) = и0,
n\n+i = un+l-un, ln+l = r\n+l-fiO!(xn, un, /г),
w«+i = vn-ln+u vo = O, yN = uN + vN, n = 0, ..., N-l.
Алгоритм II:
м„+1 = ип + пФ!(хп, yn, h), uo = yo = y(xo), n = 0, ..., N-l,
r)n+l = un+l-un, |„+, = т1„+1-/гФ?(х„, уп, h),
wn+i = vn-tn+i, vo = O,
Уп+i = un+\ + vn+\-
Эти два алгоритма — естественные аналоги алгоритма (в) из
примера 2.4. Алгоритм I приводит к последовательности
') См. сноску на стр. 82.

98 Гл. 3. Задачи Коши
численных процессов, образующих опять только а,-.£,-последо-
вательность, в то время как алгоритм II приводит к желае-
желаемому результату, ибо дает ^-/.-последовательность. Экспери-
Экспериментальное подтверждение этого факта будет дано в п. 3.3.3
(ср. с примером 3.3).
Очевидно, эту идею можно использовать и в многошаговых
разностных методах.
3.3.2. Формулы Рунге — Кутта третьей степени. Среди одно-
шаговых формул наиболее важными являются формулы типа
Рунге — Кутта. Особенно часто используются формулы четвер-
четвертой степени. Однако в связи с тем, что их вывод связан
с громоздкими алгебраическими выкладками, мы рассмотрим
основные идеи на примере формул третьей степени.
Пусть в C.3.1)
Ф[(х, у, h) = w[kl + w2k2+w3k3 C.3.23)
и
k\ = f(x, У),
k2 = f(x + a2h, y + fcAhk\), C.3.24)
k3 = f(x + a3h, y+ pj. /г/г, + р3.2hk2),
где W\, w2, w3, a2, p2, i. аз, Рз, i> Рз, 2 — константы, которые сле-
следует определить так, чтобы C.3.1) было формулой третьей сте-
степени. Для этого необходимо, чтобы тейлоровский ряд для у,
задаваемый в виде у = у (х) + ИФ) (х, у(х), И), и точное реше-
решение у дифференциального уравнения C.2.1) совпадали в точке
х + h вплоть до членов третьего порядка для всех ie[0, a].
Разлагая C.3.24) в ряды, получаем
«з^ + Фз, 1+Рз.2> / j^) + C.3.25)
I) f ]
а разложение решения C.2.1) в ряд Тейлора имеет вид
dx Oy ' dy' Ox Oy ' \ Oij
^ + -f ^ + /ffi2l + .... C.3.26)
dy' Ox Oy ' \ Oij I J v

§ 3.3. Общие одношаговые методы
99
Сравнивая соответствующие коэффициенты, получаем
W, + Wo + W?i =1,
(Z2o!'2 + O.LiW3 = 1 /2,
Pa. |Ы»2 + (Рз. i+P3.2)^= 1/2,
2"a2lW2 + Ta3a'3== 1 6'
a3 (p3i ,
>3 = 1 '3,
C.3.27)
Р2,,Рз,2^3= 1/6.
Отсюда
а2= Рг, I, ал — Рз.1 + Рз, 2 C.3.28)
и C.3.27) можно переписать в виде
Рз, i + Рз, 2 = ai, а^2 + азш3 = 1/3, C.3.29)
Рассмотрим последние три уравнения как систему линейных
уравнений относительно w-> и wv Решение этой системы суще-
существует тогда и только тогда, когда выполняется равенство
do СЦ
= 0.
C.3.30)
0 а2р3, a - 1 /6
а2 B - За2) Рз, 2 = а3 (а, - а2). C.3.31)
Отсюда мы определим вначале а2, а3, $2,\, Рз,1 и Рз,2 так, чтобы
Следовательно,
a:: = Рз, i + Рз, 2, C.3.32)
а2 B — За2) Рз,2 = а5 (а3 — а>),
а т.'|, ш2, ш3 тогда можно будет найти из системы
О>Р3, оК>з= 1/6,
а2сг>2 + а3ш3 = 1 /2, C.3.33)
W\ + W2+ W3 — 1.
Очевидно, что формулы Рунге — Кутта третьего поряд-
порядка обладают^ некоторой неоднозначностью. Однако все они

100
Гл. 3. Задачи Коши
удовлетворяют требованиям определения 3.6 для р = 3. Более
того, если правая часть f(x, у) из C.2.1) имеет необходимую
степень гладкости, то C.3.23) будет определять регулярные или
вполне регулярные разностные формулы третьего порядка. По-
Поэтому, в частности, справедливы теоремы 3.7 и 3.8 или 3.9
и 3.10 (см. п. 3.3,1).
3.3.3. Формулы Рунге — Кутта четвертой степени. Эти фор-
формулы получаются аналогично предыдущим, если в C.3.1) по-
положить
Ф)(х, у, h) =
kt=f(x, y\
w2k2 + w3k3+
k3 = f (x
a3h, у
o,A, у
р3.2hk2),
p4> 2hk2 + p4i 3hk3).
C.3.34)
C 3 35)
Как и в п. 3.3.2, можно вывести некоторые соотношения
между коэффициентами a;, p,-;., wt и получить класс формул,
каждая из которых может обладать в различных ситуациях
теми или иными преимуществами. В табл. 3.6 приведены коэф-
коэффициенты наиболее часто используемых формул этого типа,
Таблица 3.6. Формулы типа Рунге—Кутта
w2
ws
a2
«3
a4
Рз,.
Рз,2
P.,2
P,,3
Стандартная фор-
формула Рунге—Кутта
1/6
1/3
1/3
1/6
1/2
1 2
1
1/2
0
1/2
0
0
1
Формула
трех восьмых
1/8
3/8
3/8
1/8
1/3
2/3
1
1/3
— 1/3
1
1
-1
1
Формула Гилла
1/6
i-A-1/^2)
1
1/6
1/2
1/2
1
' 1/2
y(VT-i)
1 - l/V~2
0
~ i/V~2~
1 + 1.Г2

§ 3.3. Общие одношаговые методы 101
В практической работе особенно популярна стандартная фор-
формула Рунге — Кутта. Формулу Гилла можно модифицировать
так, чтобы число необходимых ячеек оперативной памяти
машины, требуемых в течение одного шага расчета, умень-
уменьшилось от пяти, фигурирующих в стандартной формуле1),
до трех. По этой причине некоторые авторы предпочитают эту
формулу. Однако аналогичное преобразование можно выполнить
и в стандартной формуле. Разные авторы выбирают тот или
иной метод вычисления в зависимости от того, насколько быстро
формула накапливает ошибки. По нашему мнению, выбор опти-
оптимальных формул типа Рунге — Кутта остается неопределенным,
и использование их зависит сегодня в основном от опыта и
мастерства вычислителя.
Если исходное дифференциальное уравнение удовлетворяет
соответствующим требованиям, то общая теория сходимости
и устойчивости, изложенная в п. 3.3.1, применима также к фор-
формулам Рунге — Кутта четвертого порядка.
Аналогично можно построить формулы высших степеней.
Мы уже видели, что формулы третьей степени требуют трех-
трехкратного вычисления правой части дифференциального уравне-
уравнения, а формулы четвертой степени — четырехкратного (ошибки
в этих случаях имеют порядок О (/г3) и О (/г4) соответственно).
Можно однако показать, что формулы степени >4 требуют
га-кратного вычисления правой части, где п больше степени.
Так как основная часть расчетов приходится на счет правой
части уравнения, то отмеченный выше факт имеет далеко
идущие следствия. С другой стороны, необходимо учитывать,
что увеличение степени формулы допускает использование боль-
большего шага /г, так что суммарные затраты на расчеты могут
оказаться меньшими для формул более высоких степеней,
В качестве примера приведем формулу шестой степени2):
8
Ф)(х, у, h)= 2 Wikh
41 А 216 27 272
27 216 41
= f(x,y),
1
') См., например, Фокс [1962].
2) См. Хутья [1956], [1957].

102 Гл. 3. Задачи Каши
~
*4 = Л * + j A, y + jh{ki-3k2 + 4*3)j,
*s = f [x + 1 /г, г/ + 1 /г (- 5*, + 27*2 - 24*3 + 6*4)),
/ 2 1
/j6 = NJC + -±-/2i ^+ ^-A B21*, -981*2 + 867*3- 102*
k7 = f (x + ! А, г/ + 1 A(-783*, + 678*2-472*3-66*4 + 80*5 + 3*6)J,
*8 = f (* + A, ^ + 1A G61*, - 2079*2 + 1002*з +
+ 834*,, - -
В настоящее время известен целый ряд формул Рунге—
Кутта разных степеней. Выпишем формулу Куртиса
9
((х, у, /г)= 2 wtkh
),
щК у + S р;. ;А*,|, / = 2, .... 9,
имеющую седьмой порядок. Куртис стремился уменьшить коли-
количество числовых коэффициентов для минимизации ошибки при
счете приращения Ф^(х, у, /г):
ш, =0,0828197487 51604, ш2 = 0, ш3 = 0,
ш4 =-0,36863 7449144996, ш5 = 0,87915 25661 45933,
ш6 =0,93562 45024 55636, ш7 =-0,68795 46460 63510,
ш8 =0,67995 35487 78272, w9 =- 0,52095 82709 22938,
ct2 =0,42, а3 = 0,73333 33333 33333, а4=1,1, а5 = 0,324,
а3 =1,05119 68524 56495, а7 = 0,425, а8 = 0,6625, а9=1,
p2il = 0,42, p3l , = 0,09312 1693121693, Р3,2 = 0,64021 16402 11640,
Р4,1 = 0,275, Р4,2 = О, р4,3 = 0,825,
P5,i= 0,21876 37289 25620, р8,,= 0,05003 06422 90032.
Рз,2= 0. Ре, 2= 0,
р5,3= 0,17255 97223 14050, p8i3 = -0,06435 96373 93189,
p5i'4= -0,0673234512 39669, р8,4= -0,3578162183 47324,
Р6,,= 0,02359 98359 88451, р8,5= 0,7090100986 82619,
Р6,2= 0, Р8,6= 0,46652 07685 22251,-

3.3. Общие одношагпвые методы
103
рб,з= 0,22212 79855 93890,
рб,4= 0,16577 52438 16764,
р6>5= 0,63969 37870 57389,
р7,, =■ 0,26737 41657 83190,
Р7.2= 0,
Р7,з= 0,27189 95637 38261,
р7 4= -0,25206 61599 66467,
Р7>5= -0,032103127647024,
Р7,6= 0,16989 5558092040,
Q
Рв, 7 =
Ра. 1 =
Р9. 2 ==
Рэ,з =
Р^ =
Ро, 6 =
Рэ,7 =
Рэ,8 =
-0,14088 56537
-0,22378 91449
0,
-0,33670 12842
-0,02080 06514
0,97586 60212
0,47649 31417
0,57543 61490
-0,44050 42313
54389,
15950,
03139,
80783,
09408,
01405,
66571,
77513.
6(
3
10<
6
КГ5
6
3,
КГ6
б
3
ю-7
6
-т
J
1ГГ8
•
\
\
\
\
-V
\
(
\\"
1 \
\
\
Ц-
\3^
■f
\
\
\
_>'
\
ч
q
\
Ь
\
\
Ч
•
*.
ч
Ъ' ^
А
—т£
Г
у
]
10
Ю2
3 6 Ю3
6 Ю4
©
Рис. 3.3. Ошибки численного решения дифференциального уравнения
у' = х (х + 2) i/ + (х + 3) if, г/ A/2) = —8/5 по формулам Рунге-Кутта
различных степеней
1) \lh 3) стандартный метод Рунге — Кутта 3-й степени
2) ошибка 4-й степени
метод Хутья 6-й степени —

P II с. 3.4. Ошибки при решении дифференциального уравнения у'=х (х + 2) у3+
+ (х + 3) у2, у A/2) = — 8/5 по разным формулам Рунге—Кутта
1) l/fr 3) стандартная формула Рунге —Кутта -—■
2) ошибка формула Куртнса

10"
10"'
10"
кг
10"
10""
.4
/ [
A.
.q
Л /V
\/
Ю'1
10
10"
10'
Рис, 3.5. Ошибки при решении дифференциального уравнения у'=х (х+2)
+ (х + 3) (/2,г/A/2)= -8/5 методом Рунге - Кутта
1) 1/Л 3) алгоритм 1
2) ошибка алгоритм II
стандартная формула -

106 Гл. 3. Задачи Коши
Пример 3.3. Решить на отрезке [1/2, 1] дифференциальное
уравнение
' ( 2)" ( 3J
с начальным условием г/A/2)= —8/5; точное решение имеет вид
- _ 2
tJ~ х(х + 2) '
На рис. 3.3 приведена погрешность в точке х=1 в зависимости
от 1//г при решении этого дифференциального уравнения по
стандартным формулам Рунге — Кутта третьей и четвертой
степеней и по формулам Хутья шестой степени. Рисунок пока-
показывает, что вычислительная работа сводится к минимуму в слу-
случае формулы шестой степени. На рис. 3.4 и 3.5 для сравнения
даны ошибки стандартной формулы четвертой степени и фор-
формулы Куртиса в зависимости от 1//г. Решение дифференциаль-
дифференциального уравнения выполнялось двумя способами — по алгоритмам I
и II, приведенным в п. 3.3.1 для стандартной формулы Рунге —
Курта четвертой степени. Результаты полностью подтверждают
теоретические прогнозы.
£> 3.4. Системы дифференциальных уравнений.
Уравнения высших порядков
Ради простоты мы рассматривали методы численного реше-
решения дифференциальных уравнений первого порядка. Обобщение
на системы уравнений первого порядка не дает ничего нового.
Достаточно интерпретировать у в соответствующих формулах
как вектор, а соответствующие функции как вектор-функции.
Например, общая разностная формула для системы
yW'=fW(Xt yW, у®, ..;, у(П),
C.4.1)
JrV _ Ar) ( A) B) <г)\
у — / \х > у . у у )
может быть записа-на в виде

§ ЗА. Системы дифференциальных уравнений 107
Стандартные формулы Рунге — Кутта четвертой степени имеют
вид
з
/= 1, 2 г,
■/«> = »<*> 4- А I ± Ш + i- ш + ± wo + ± W'i , C.4.с
1 3 г о 6 о ч /
где
ud) = fit) ( +Lh u(l) + I hk(l) hw + - /г6(гI
Гj
Теоретические выводы относительно этих формул совпадают
с результатами, установленными ранее для одного уравнения.
В частности, остаются справедливыми теоремы 3.1—3.4 для
разностных формул и теоремы 3.7 — 3.10 для формул Рунге —
Кутта. Такое положение сохраняется также для уравнений
высших степеней, разрешенных относительно старших произ-
производных, так как их можно записать в виде систем уравнений
первого порядка.
Поэтому мы рассмотрим здесь только частный случай — урав-
уравнение г-го порядка, не содержащее явно производных более
низкого порядка. В этом случае можно значительно упростить
формулы за счет того, что не требуется вычислять производные
низкого порядка. Однако такие формулы оказываются непри-
непригодными из-за накопления ошибок. Этот факт мы проиллю-
проиллюстрируем примером.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
yM^f(x,y). C.4.5)
Общая разностная формула 6-го порядка для его решения
может быть записана в виде
к к
21 «Mfn+v = hr 2 Pv/ (*n+v. Упъ)- C.4.6)
v-0 v-0
Как и в § 3.2, будем говорить, что формула C.4.6) имеет
степень р ^0, если для любой достаточно гладкой функции у(х),
удовлетворяющей C.4.5), выполняется соотношение
21 ауу (х + vA) - hr 2 IW'1 (a- + vh) = О (hp+r). C.4.7)
V-0 v-0

108 Гл. 3. Задачи Коши
Мы будем также говорить, что формула устойчива в смысле
Дальквиста, если все корни £г полинома
p(S)=SavSv C-4.8)
таковы, что |£/|^ 1 и кратность корней, для которых |£г|=1,
больше г.
Теорема 3.11. Пусть правая часть дифференциального
уравнения C.4.5) определена, непрерывна и удовлетворяет усло-
условию Липшица по у {с константой, не зависящей от х) в области
0^х<а, —оо<г/<оо. Пусть у(х) будет решением этого
уравнения на отрезке [0, а], где оно имеет непрерывные произ-
производные вплоть до порядка р + г. Пусть задана разностная
формула степени р^г, устойчивая в смысле Дальквиста, и уп
будет решением разностного уравнения
Sctv^+v = /zrSpv/(^+v>^+v) + 6n, n = 0, 1, ..., N-k. C.4.9)
v-=0 v=0
Тогда для любого достаточно малого h
sup\yn- y(xn)\^hl-rKiQ + К2(КзПР + b/hr), C.4.10)
п
где
8= max \ yv - у (vh) \, 6= max | 6„ |, C.4.11)
0 к\ 0 Nk
yv у ()
v-0, ..., к-\ л = 0, .... N-k
а Кь /Сг> Кз~ константы, зависящие только от коэффициентов
данной формулы, уравнения C.4.5) и длины отрезка интегри-
интегрирования, но не от h.
Из этой теоремы следует, что формула C.4.6) для реше-
решения C.4.7) формирует ct^L-последовательность численных процес-
процессов. С другой стороны, если преобразовать заданное уравнение
в систему уравнений первого порядка и затем применить или
общую разностную формулу, или формулу типа Рунге — Кутта,
то мы получим а,-/,1-последовательность. Ясно, что формулы
типа C.4.6) более подвержены ошибкам округления, несмотря
на то, что они требуют значительно меньшего числа операций
по сравнению с формулами, полученными заменой C.4.5) систе-
системой уравнений первого порядка.
Пример 3.4. В качестве простой иллюстрации рассмотрим
дифференциальное уравнение
У"=-У C.4.12)
на отрезке [0, 1] с начальными условиями
г/@) = 0, г/'@)=1. C.4.13)

§ 3.4. Системы дифференциальных уравнений
109
Решим его, используя вначале формулу Штёрмера
Уп+3 - 2Уп+2 + Уп+1 = 12" Н2 A3-С2 -
а затем после перехода к системе
У' = z, z' = - у
+
-4-14)
C.4.15)
формулу Адамса — Башфорта (см. табл. 3.2, формулу 3).
В табл. 3.7 приведены результаты расчетов для различных
значений /г, причем соответствующие начальные условия взяты
из точного решения; связь между погрешностью и числом узлов
на отрезке [0,1] отражена на рис. 3.6. Видно, что поведение
погрешности достаточно хорошо согласуется с теоретическими
выводами.
Таблица 3.7. Численное решение дифференциального уравнения C.4.12)
по формулам Штёрмера и Адамса — Башфорта
50
100
200
500
1 000
5 000
20 000
Формула Штёрмера C.4.14)
Численное
решение
0,841 471 630
0,841 474 255
0,841 485 559
0,841 560 911
0,841 824 485
0,850 540 022
1,000 039 200
Ошибка
—0,000 000 645
-0,000 003 270
-0,000 014 574
—0,000 089 926
-0,000 353 500
—0,009 069 037
-0,158 568 215
Формула Адамса— Башфорта
(таблица 3.2, формула 3)
Численное
решение
0,841468 503
0,841 470 673
0,841 470 951
0,841 471 005
0,841471021
0,841471 194
0,841471884
Ошибка
0,000 002 482
0,000 000 312
0,000 000 034
-0,000 000 020
—0,000 000 036
-0,000 000 209
—0,000 000 899
Тот факт, что формулы типа C.4.6) более чувствительны
к ошибкам округления, чем формулы, получающиеся при пере-
переходе от C.4.5) к системе уравнений первого порядка, вероятно,
уменьшает их практическую применимость. С другой стороны,
формулы C.4.6) имеют обычно более высокую степень по срав-
сравнению с теми, которые получаются при переходе от C.4.5)
к системе. Возникает естественный вопрос, нельзя ли исполь-
использовать оба эти обстоятельства и найти такие формулы для реше-
решения систем дифференциальных уравнений первого порядка,
которые были бы применимы к системам дифференциальных
уравнений первого порядка, возникающим из уравнения C.4.5)
при соответствующем исключении лишних переменных в каждой
из формул типа C.4.6). Использование формулы C.4.5) в этих
целях (если это возможно) приводит тотчас к а,-/,-последова-

110
Гл. 3. Задачи Коши
тельностн численных процессов, так как теорема 3.1 остается,
очевидно, справедливой и в том случае, когда мы решаем
системы дифференциальных уравнений первого порядка так,
что для каждого уравнения этой системы используется другая
формула типа C.2.6). При этом, хотя в качестве числа рг
1-ю
140
Ю4 540
Рис. 3.6. Зависимость погрешности при численном решении дифференциаль-
дифференциального уравнения C.4.12) от длины шага h
1) \jh i) погрешность C.4.15)
2) погрешность 5) иак.чои теоретической кривой
3) погрешность C.4.14) для a2-L-последовательности
6) наклон теоретической кривой для a,-Z. последовательности
фигурирующего в этой теореме, необходимо взять min pit где
р. _СТепени отдельных формул, это обстоятельство здесь не-
несущественно, так как речь идет об ошибках округления, а не
метода, как в случае системы дифференциальных уравнений.
Иными словами, указанную выше проблему можно сформу-
сформулировать следующим образом. Дана формула C.4.6). Спраши-
k k
вается, существуют ли полиномы p(£)=2av£V и cr(£)=2Pv£V
V—0 v=0

§ 3.4. Системы дифференциальных уравнений 111
на произведениях р(£)= р, (£)... рД£) и а(£) = а, (£) . . . af(Z;),
такие, что
A) полиномы рг и а,- имеют вещественные коэффициенты,
B) степень полинома рг больше или равна степени поли-
полинома ah
C) каждый из полиномов р,- устойчив в смысле Дальквиста
(см. определение 3.2).
Легко устанавливается, что указанные ограничения выпол-
выполняются всегда, когда полином р имеет по крайней мере г — 1
вещественных корней, отличных от +1. В том случае, когда
число вещественных корней, отличных от +1, меньше г—1,
отмеченные выше ограничения выполняются тогда и только
тогда, когда число пар комплексно сопряженных корней поли-
полинома а не больше числа вещественных корней полинома р,
отличных от +1, плюс число пар комплексно сопряженных
корней полинома р.
Проиллюстрируем вышеизложенное на следующем примере.
При мер 3.5. Рассмотрим так называемую формулу Цовелла
Уп+, ~ 2у„м + у„ = ^ /г (.С, + 1 О/С, + \О C-4.16)
для решения дифференциального уравнения
//" = /(*, У)- C.4.17)
Эта формула имеет порядок 2 и степень 4 и потому будет
подходящей с точки зрения асимптотической точности. Далее,
пусть даны система уравнений
'/' = Я (х, II, z),
z' = f (х, у, z)
и разностные формулы
'5-^24 ,
-I [ а(х и z )\
_ 1 , /6-V24 , .
zn+\ ~Zni2"\5 I/5T"' ^x"+i' Уп+1> zn+
<-V24)f{xn,yn,zn)).

112
Гл. 3. Задачи Коши
Применяя формулы C.4.19) к системе
z' = f(x, у),
C.4.20)
эквивалентной C.4.17), получим систему разностных уравнений,
равносильную C.4.16). Однако в то время, как численный
2*10"'
fxto
5*Ю"г
2х10"г
!хЮ"г
5*10
?х1Л
1^Ю 3
2x10""
1x10 4
WO'5
ZxiO
1Х10
2xJ0
ixio7
2x!0'8
—
с
i
f-
/
, J
TV
—A
У
/
7*
/
/
У
G]
,/
r __
s^
/^
1
/
1 /~
/
у
1
lx|03
1"IO5
Рис. З.7. Зависимость ошибки при численном решении дифференциального
уравнения C.4.12) от величины шага h
1) 1/Л 4) ошибка по C.4.19)
2) ошибка 5) наклон кривой, соответствующей
3) ошибка по C.4.16) теоретической a2-L-последовательности
6) наклон кривой, соответствующей теоретической a,-L-последовательности
процесс, относящийся к C.4.16), образует (^-последовательность
численных процессов, численные процессы, соответствующие
C.4.19), образуют (^-последовательность.
Совпадение теоретических выводов с экспериментом иллю-
иллюстрируется рисунком 3.7, на котором изображена погрешность,
возникающая при решении уравнения у" = — у, у{0) = 0, у'{0) — 1
по формулам C.4.16) и C.4.19).

§ 3.5. Оценки погрешности 113
Отметим в заключение, что для повышения численной устой-
устойчивости указанной выше формулы можно воспользоваться
процедурой, предложенной в п. 3.3.1. Для этого необходимо
выписанные выше формулы переписать для системы уравнений
и затем построить алгоритм, аналогичный алгоритму II, п .3.3.1.
§ 3.5. Оценки погрешности
3.5.1. Введение. В одношаговых методах требуется полу-
получить оценку одного шага в виде
\y(xo + h)-y(xo + h)\^Lhp+\ C.5,1)
где у обозначает точное, а // — приближенное решение исход-
исходного дифференциального уравнения в точке x — xo + h с общим
начальным условием у0 в точке х = х0; L— константа, завися-
зависящая от поведения правой части уравнения и искомого реше-
решения в окрестности точки {х0, у0) (см. п. 3.3.1).
Для многошаговых разностных методов оценка одного шага
должна пониматься в более общем смысле: соответствующее
приближенное решение должно совпадать с точным в k пре-
предыдущих точках (см. п. 3.2.2).
Оценку одного шага можно использовать для получения
оценки на всем отрезке интегрирования. Для этого следует
только точно оценить накопление ошибок, возникающих на
отдельных шагах (см., например, п. 3.2.2 и п. 3.3.1) Такой
подход подразумевает решение разностного уравнения, правая
часть которого представляет собой погрешность отдельного
шага. Если для константы L мы получим оценку, равномерную
на всем отрезке интегрирования, то это будет так называемая
априорная оценка, не использующая результат численного
интегрирования. В п. 3.2.2 и 3.3.1 мы воспользовались такими
оценками для доказательства сходимости в теоремах 3.1 и 3.7.
Вообще говоря, оценки этого типа по большей части неудовле-
неудовлетворительны и вряд ли пригодны для практических расчетов.
Очевидно, мы можем значительно улучшить оценки, учиты-
учитывая всю имеющуюся в нашем распоряжении информацию
относительно рассматриваемой задачи, в том числе и инфор-
информацию, полученную в процессе расчетов. Эти так называемые
апостериорные оценки становятся эффективными лишь тогда,
когда они получены на самой вычислительной машине. Конечно,
наравне с другими ошибками должны учитываться и ошибки
округления.
Однако даже апостериорные оценки являются в общем
неудовлетворительными и приводят к задачам, которые остаются

114 Гл. 3. Задачи Коши
пока нерешенными. В настоящее время можно только рас-
рассматривать более ограниченные классы задач и искать более
эффективные апостериорные одношаговые оценки. Одна воз-
возможная процедура этого типа будет использована в п. 3.5.2
при оценке ошибки метода Рунге — Кутта. Одновременно мы
продемонстрируем построение апостериорной оценки на основе
одношаговой оценки.
Неудовлетворительность строгих оценок приводит нас к так
называемым асимптотическим оценкам. Хотя они и не дают
гарантированных пределов погрешности, однако очень близки
к этим пределам. На практике знание асимптотической оценки
часто используется не только для вычисления погрешности,
но также для автоматического выбора параметров формулы,
например величины шага разностной сетки.
3.5.2. Оценки погрешности метода Рунге — Кутта. Построим
оценки для стандартной формулы Рунге — Кутта четвертого
порядка из табл. 3.6, используя оценку для отдельного шага.
Следуя Бибербаху [1951], имеем
I е(лг0, г/о. h)\ = \y(xo + fi)-y{xo + h)\s^ ^—^—- /г5,
где у {х0 +/?) — точное решение дифференциального уравнения
C.2.1) с начальным условием у(хо) = уо, а у (хо + h) — прибли-
приближенное решение, полученное за один шаг по стандартной
формуле Рунге — Кутта. Бибербах предполагал, что правая
часть C.2.1) и ее производные вплоть до четвертого порядка
удовлетворяют в области | х — х0 \ ^ а, \ у — у0 \ ^ b следующим
условиям:
. N
\f(x, y)\<M,
дх ду
М
k~l
aM<b, aN<\,
Обозначение е(хй, г/0. h) Д^я погрешности метода на одном
шаге указывает на зависимость ее от величины шага h и
начального условия. Оценка Бибербаха получена из разложе-
разложения решения в ряд Тейлора и оценки остаточного члена через
значения производных от правой части дифференциального
уравнения.
Вейвода [1957], получая оценку аналогичным способом,
принял во внимание производные на порядок более высокие,
чем у Бибербаха. В литературе можно найти и другие резуль-
результаты этого типа. Мы приведем здесь оценку погрешности метода
Рунге —Кутта, учитывающую тот факт, что правая часть f(x, у)

§ 3.5. Оценки погрешности 115
уравнения C.2.1) есть аналитическая функция обоих аргумен-
аргументов.
Обозначая снова через е(х0, у0, h) ошибку метода для
шага А и начального условия у{хо) — уо, имеем
е (х0, у0, h) = y(xQ + h)-y0-± [kx (А) + 2k2 (A) + 2k, (A) + k< (A)],
kt (A) - h{ (x0, y0), k2 (A) = hf[xa + \h, yo + jk^ (A)),
h, yo + k3(h)).
Если f(x, у) аналитична, то e(x0, y0, h) будет голоморфной
функцией комплексной переменной А. Тогда
[dke(x0, y0, A)/dA%=0 = 0, Л = 0, .... 4,
так как эти условия положены в основу метода, описанного
в п. 3.3.3.
Теорема 3.12. Пусть правая часть f(x, у) дифференциаль-
дифференциального уравнения C.2.1) будет голоморфной функцией двух (ком-
(комплексных) переменных для \x — xo\^.R и | у — у0 \^-^-
где М — константа, такая, что
max \f(xo + h, yQ + hf(x0, yo) + l)-f{xo, y
|Л|<«
Тогда для | А |< R
\e{x0, y0, A)|<-^-.
Доказательство. Предположим сначала, что х0 = О,
#о = О, /@, 0) = 0 и что существует R, такое, что
max \f(x, (/)|<1.
I г/К Л/2
Тогда
Л,(Л)=А/(О, 0) = 0 C.5.2)
и в силу хорошо известной леммы Шварца (см., например,
Сакс, Зигмунд [1952])
max\k2{s)\ = max s/hfs, 0) <-£-/?. C.5.3)
|s|<fl ls!<« \2 ' A
Далее,
'AR> C.5.4)
max | k3 (s) | = max "
2

116 Гл. 3. Задачи Коши
так как, снова в силу леммы Шварца,
max \f(x, 0)|<р, 0<p<;i. C.5.5)
Iff К ЯР/2
Аналогично,
max \kA (s)|</?. C.5.6)
Обозначив точное решение уравнения C.2.1) через y(h),
покажем, что
max | у (А) |< \ /?р, 0<р<1. C.5.7)
1ЛКЯР г
В самом деле, так как г/'@) = /@, 0) = 0, то неравенство C.5.7)
остается справедливым и для малых значений р. Пусть р* обо-
обозначает наибольшую нижнюю границу множества всех значе-
значений р, для которых C.5.7) не выполняется, и предположим,
что р*< 1. Однако по C.5.5)
max |г//(г)|^р, Р<р\
и потому
«р* р*
max |г/(Л)К max | t/(z) \dt < R\ max
0
Затем выберем е так, чтобы 0 <е = р*A — р*)/2, и покажем, что
max |
|Л|<«(Р*+Р)
Это и есть требуемое противоречие. В самом деле,
«р* н (Р*
max
|Л|<«(Р*+г)
Р
г г
г/(Л)|< max |/(г) | Л+ max | г/'(г)
J |Z|<( J, |г|<;
и потому C.5.7) доказано.
Однако в силу соотношений C.5.2) — C.5.4), C.5.6) и C.5.7)
max \е(х0, у0, Л)|</?.
1Л1
Применяя лемму Шварца к функции е(х0, уй, /г)//г4, мы теперь
получаем
|е(дс0, у0, Л) |< Л5//?4.

§ 3.5. Оценки погрешности 117
Переход от предположения
max \f(x, г/)|<1
к предположению
max | f (x,
\y\<RM/2
можно осуществить подстановкой z — My. Наконец мы придем
к общему случаю, применив последнюю оценку к дифферен-
дифференциальному уравнению с решением
Hl) = y{xo + l)-yo-f(xo, УоI-
В качестве примера применения теоремы 3.12 рассмотрим
ошибку, возникающую при решении уравнения
\f~-y C.5.8)
с начальным условием г/@)=г/0>0. Мы должны найти R и М
так, чтобы
max \l-yoh\^M. C.5.9)
|Л|<«
|
Полагая, например, R = 3/2 и М = 6г/0. получим по теореме 3.12
МО, Уо, Л)|^ ^
Мы должны еще определить ошибку полного решения (сум-
(суммарную ошибку). Это можно сделать точно так же, как в п. 3.3.1.
Однако соответствующие оценки будут неудовлетворительными.
Вместо этого подсчитаем верхнюю и нижнюю грани реше-
решения для того, чтобы получить наилучшую возможную оценку.
Предположим сначала, что ошибка округления отсутствует.
Тогда, определяя верхнее решение в виде
y(xM) = y{xi) + -^{kl + 2k2 + 2k3 + k4) + e*(xi, yith), C.5.10)
где
, e"(xh yh h)^\e{xh yh h)\,

118 Гл. 3. Задача Коши
и, аналогично, нижнее решение в виде
y(xM) = y(xl) + j(kl + 2k2 + 2k? + ki)-e*(xh yh h), C.5.11)
получим
W<te)<D
Это неравенство легко проверяется, так как из того, что ,)
>y{xt), следует, что у{хих)>у(хм). Аналогичный результат
получается для нижнего решения.
До сих пор мы предполагали, что все арифметические опе-
операции точны, т. е. ошибки округления отсутствуют. Но для
того, чтобы получить реальную оценку, необходимо учесть
ошибку округления. Для этого построим верхнюю и нижнюю
грани ошибки. Основная идея этого подхода была изложена
в п. 2.4.3; он дает надежную оценку ух {xt + К) < у2 (xt + h) для
у {xt + h) — результат, который может быть получен в случае
точных расчетов. Естественно выбрать в качестве верхнего
решения верхнюю грань, т. е. положить у{Х[ + h) = у2{х{ + h).
Аналогично в качестве нижнего решения возьмем нижнюю
грань, т. е. y{xt + h) = y_x {xt + h).
В заключение, вычисляя «гарантированную» погрешность,
покажем, как влияют ошибки округления на ошибку метода.
Пример 3.6. Уравнение C.5.8) с начальным условием
г/@) = 0,9 было решено на машине LGP 30 с фиксированной
запятой и шагом А = 0,1. В табл. 3.8 представлены верхнее и
нижнее решения, вычисленные по формулам C.5.10) и C.5.11)
соответственно, без учета того факта, что числа представляются
неточно. Следующие две колонки содержат верхнюю и ниж-
нижнюю грани решений в указанном выше смысле, а последняя
колонка дает точное решение уравнения. Как видно из таблицы,
счет верхнего и нижнего решений без учета ошибок округления
получается неточным (ср. л: = 15,0).
3.5.3. Асимптотические ошибки. Наконец рассмотрим асим-
асимптотические оценки численного решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений, основываясь на
идеях, изложенных в п. 2.6.1. Пусть t/v обозначает приближен-
приближенное решение дифференциального уравнения C.2.1) в точке
х — хп = nh, полученное либо с помощью разностной формулы,
либо с помощью одношаговой формулы степени р (см. § 3.2
и 3.3). Используя методы, аналогичные тем, которые применя-
применялись при доказательстве теорем 3.1 и 3.7 (см. также Хенрич
[1962]), легко показать, что при некоторых предположениях

§ 3.5, Оценки погрешности
119
Таблица 3.8. Оценка погрешности метода Рунге — Кутта
X
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
Ошибка округления
не учитывается
нижняя
оценка
0,330 658 442
0,121 483 337
0,044 632 764
0,016 397 996
0,006 024 592
0,002 213 422
0,000 813 203
0,000 298 765
0,000 109 762
0,000 040 323
0,000 014 811
0,000 005 437
0,000 001 994
0,000 000 730
0,000 000 264
0,000 000 094
0,000 000 030
0,000 000 008
0,000 0Э0 000
верхняя
оценка
0,331 525 656
0,122 121 398
0,044 984 860
0,016 570 702
0,006 104 011
0,002 248 481
0,000 828 252
0,000 305 093
0,000 112 382
0,000 041 394
0,000 015 244
0,000 005 613
0,000 002 064
0,000 000 757
О,СОЭ 000 274
0,000 000 097
0,000 000 032
0,000 000 008
0,000 000 000
Ошибка округления
учитывается
НИЖНЯЯ
оценка
0,330 658 434
0,121 483 328
0,044 632 755
0,016 397 987
0,006 024 583
0,002 213 412
0,000 813 194
0,000 298 756
0,000 109 753
0,000 040 314
0,000 014 802
0,000 005 428
0,000 001 985
0,000 000 719
0,000 000 255
0,000 000 084
0,000 000 021
0,000 000 000
-0,000 000 010
верхняя
оценка
0,331 525 661
0,122 121 407
0,044 984 869
0,016 570 712
0,006 104 021
0,002 248 491
0,000 828 261
0,000 305 103
0,000 112 392
0,000 041 403
0,000 015 255
0,000 005 622
0,000 002 074
0,000 000 766
0,000 000 284
0,000 000 108
0,000 000 042
0,000 000 018
0,000 000 009
Точное
решение
0,331 091 497
0,121 801 155
0,044 808 362
0,016 484 075
0,006 064 152
0,002 230 877
0,000 820 694
0,000 301 916
0,000 111 069
0,000 040 860
0,000 015 032
0,000 005 530
0,000 002 034
0,000 000 748
0,000 000 275
0,000 000 101
0,000 000 037
0,000 000 014
0,000 000 005
относительности гладкости правой части дифференциального
уравнения погрешность метода имеет вид
-o(hp), C.5.12)
где г) зависит от точки хп, но не от h.
Полагая в теореме 2.3 ф (/) = ц (хп)(xjj)p, мы найдем для
\ = п и с = 2, что
„(Л/2) ,,(Y \ — * Л/(Л) ,/А/2)\ _|_ п lhP\ СЧ ^ 1 41
Учп У\ п)~~ ор 1 \Уп Учп )*°\п) \о.О.Ю)
или, пренебрегая членами высших порядков,
yTy(X){y(*
C.5.14)
Это и есть оценка погрешности для хорошо известной фор"
мулы Рунге — Кутта.

120 Гл. 3. Задачи Коши
Оценка C.5.14) асимптотическая; поэтому ее нельзя считать
гарантированной и можно лишь использовать для оценки пове-
поведения действительной ошибки метода. Зачастую эта оценка
дает удовлетворительные с практической точки зрения резуль-
результаты.
Сделаем еще одно замечание. Так как формула C.5.14)
получена для ошибки метода без учета ошибок округления, а,
как отмечалось в § 3.2 и 3.3, соответствующие численные про-
процессы образуют (^-последов ате льность, то влияние ошибок округ-
округления растет с уменьшением h. Поэтому метод деления шага
пополам для оценки ошибок будет неприемлемым, если в про-
проводимом расчете превалируют ошибки округления. Следует об
этом помнить, применяя на практике этот метод.

Глава 4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ф 4.1. Введение
В этой главе мы изучим методы численного решения крае-
краевых задач. Ограничимся линейными задачами, т. е. будем пред-
предполагать линейными как дифференциальное уравнение, так и
краевые условия. Термин «краевая задача» используется для
двухточечной краевой задачи, граничные условия которой за-
заданы в двух крайних точках отрезка интегрирования.
Между задачей Коши и краевой задачей имеется суще-
существенное различие. Прежде всего, задачи с начальными усло-
условиями имеют единственное решение для очень широкого класса
нелинейных уравнений, в то время как существование и един-
единственность решений краевых задач доказаны только для ли-
линейных и некоторых связанных с ними типов нелинейных урав-
уравнений.
Другие отличия будут указаны ниже, когда мы будем рас-
рассматривать численные процессы для решения краевых задач
в смысле определения 2.1, т. е. процессы, пригодные для не-
непосредственного использования на машинах. Как и в случае
задачи Коши, численные решения краевых задач дают некото-
некоторую информацию относительно неизвестной функции или ее
производных (часто нас интересуют первые или вторые произ-
производные функции, а не сама функция). Наконец, должен быть
указан алгоритм, с помощью которого можно определить иско-
искомое решение с заданной точностью.
Решения краевых задач можно получать двумя различными
способами. Во-первых, как и в случае задач Коши, исполь-
используются методы, для которых основной информацией служат
значения искомой функции или ее производных в узлах сетки,
покрывающей заданный отрезок. Это — метод сеток или метод
конечных разностей (последний термин не совсем удачен). В этом
случае алгоритм представляет собой некоторый интерполяцион-
интерполяционный метод, за исключением некоторых специальных случаев.
Во-вторых, решение можно искать в виде линейных комбинаций
априори заданных функций, определяемых так называемыми
вариационными методами; в этом случае коэффициенты линей-
линейных комбинаций находятся численно. Алгоритм, очевидно, сво-
сводится к последовательному решению линейных задач.

122 Гл. 4. Краевые задачи
В обоих случаях мы приходим к системам линейных алгеб-
алгебраических уравнений. Таким образом выбор численного метода
невозможен до тех пор, пока не указан метод решения этих
систем уравнений. Только после этого численный процесс опре-
определен и можно исследовать его поведение, например устойчи-
устойчивость в смысле определений гл. 2. Это одна из причин, по ко-
которой мы ограничиваемся линейными задачами — нелинейные
задачи могут привести к системам нелинейных уравнений. Ана-
Анализ решений таких уравнений гораздо сложнее по сравнению
с линейными уравнениями, численное решение которых хорошо
изучено.
Как отмечалось выше, эта глава посвящена анализу метода
сеток и вариационному методу, широко использующимся на прак-
практике. Мы обсудим численную устойчивость некоторых алгорит-
алгоритмов для решения систем линейных уравнений, а также вопросы
оптимизации при выборе сеток или базисных функций для ва-
вариационного метода.
Наконец в § 4.2 мы изучим методы сведения краевых за-
задач к задачам Коши, а именно метод комбинации решений и
методы факторизации. Соответствующие задачи с начальными
условиями можно решать методами гл. 3.
Большая часть этой главы посвящена изучению решений
самосопряженного уравнения второго порядка
(p(x)y>(x)Y-q(x)y(x) = f(x) D.1.1)
на отрезке [а, Ь] с краевыми условиями
у„ D,1.2)
y2, D.1.3)
где р(х), q(x), /(х) — ограниченные функции, удовлетворяющие
на [а, Ь] условиям р(х)^ ро>О, q(x)^0 и ah р(- — неотрица-
неотрицательные числа, такие, что аг + Р,->0, /= 1, 2. Всякий раз, когда
это необходимо, на функции р(х), q(x), f(x) могут быть нало-
наложены дополнительные ограничения, гарантирующие требуемые
свойства решений уравнения D.1.1).
Часто результаты, полученные для краевых задач D.1.1) —
D.1.3), можно перенести на аналогичные задачи для уравнений
высших порядков, например, на уравнение четвертого порядка
(р (х) у" (х) )"-{q (x) if ух) У + г (х) у (х) = / (х), D.1.4)
заданное на отрезке [а, Ь] с краевыми условиями
ylt у'(а) = Ьи

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 123
ИЛИ
£/"(a) = Hi, p(a)y'"(a)-q(a)y>(a) = vl,
у"(Ь) = )ъ, P(b)y'"(b)-q(b)y'(b) = v2, { ЛЬ)
которые отвечают условиям Дирихле и Неймана соответственно
для дифференциального уравнения с частными производными
второго порядка. Мы предполагаем, что функции р(х), q(x),
т(х) и f(x) ограничены и удовлетворяют условиям р(х)~^ ро>О,
q(x)^0, r(х)^0; дополнительные предположения будут сфор-
сформулированы там, где это необходимо.
§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши
4.2.1. Метод комбинации решений. Простейший метод све-
сведения краевой задачи к задаче Коши иллюстрируется следую-
следующим примером. Пусть требуется найти решение дифференциаль-
дифференциального уравнения второго порядка D.1.1) с краевыми условиями
Вместо этого мы решим то же самое уравнение с начальным
условием y(a) = yt, а второе условие — значение у'(а) — выберем
произвольно. Решая эту задачу численно каким-нибудь мето-
методом, пригодным для решения задач Коши, получим значение
у(Ь) на другом конце отрезка [а, Ь]. Ясно, что это значение
не будет, вообще говоря, удовлетворять условию в точке Ь. Ре-
Решим вторую задачу Коши, выбрав другое значение у'(а). Иско-
Искомое решение можно теперь выразить в виде линейной комби-
комбинации этих двух решений, и оно будет удовлетворять второму
краевому условию у(Ь) = у$. Эту технику можно применить
даже в случае нелинейных уравнений. Однако искомое реше-
решение уже не будет линейной комбинацией двух решений; при-
придется решить несколько задач с начальными условиями и по-
получить решение исходной краевой задачи с помощью интерпо-
интерполяции или экстраполяции, используя соответствующие значе-
значения у(Ь). Естественно, что в случае нелинейных уравнений
требуется каждый раз доказывать сходимость этой процедуры.
Рассмотренный метод часто оказывается численно неустой-
неустойчивым. В самом деле, значение у(Ь) должно быть вычислено
с большой точностью, так как у(Ь) может стать очень большим,
если отрезок [а, Ь] или коэффициент q(x) велики. Желательно
поэтому выполнять вычисления на машине с плавающей запя-
запятой. В этом случае вычисление линейной комбинации будет
включать в себя вычитание чисел с одинаковыми порядками и
почти равными мантиссами, так что многие или почти все зна-

124
Гл. 4. Краевые задачи
чащие цифры мантиссы-результата будут потеряны, что приве-
приведет к потере точности. Счет на машине с фиксированной запя-
запятой имеет дополнительные трудности.
Пример 4.1. Решить уравнение
(A +х)у'(х)У - by (x) = jtcosjtx-
л2A +x)]sinnx
с краевыми условиями г/@) = 0 и //A) = 0; точным решением
будет г/= sin jut. Расчеты были проведены на машине LGP30
методом Гилла (см. п. 3.3.3) для Ъ = 100 и 500, h = 0,025
с г/'@) = 0,1. Результаты представлены в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Решение краевой задачи примера 4,1
методом комбинации решений
X
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,400
0,425
0,450
0,475
0,500
0,525
0,550
0,700
0,725
0,750
0 775
0,800
0,825
0,850
0,875
0,900
0,925
0,950
0,975
1,000
У (х)
6 = 100
0,000 000 0
0,078 458 6
0,156 433 3
0,233 443 6
0,309 014 6
0,951 049 6
0,972 361 4
0,987 668 6
0,996 885 1
1,000 011
0,997 006 7
0,987 768 9
0,808 982 7
0,760 268 2
0,706 888 0
0,649 385 3
0,588 370 3
0,523 412 2
0,454 656 4
0,383 3913
0,309 762 4
0,234 357 8
0,156 948 0
0,078 810 1
0,000 000 0
Ь = 500
0,000 000 0
0,078 458 4
0,156 432 7
0,233 4427
0,309 013 0
0,951007 5
0,972 248 7
0,987 202 8
0,997 262 1
1,005 031
1,002 786
0,985 721 0
0,857 734 3
0,970 003 2
1,374 171
1,576 256
0,000 000 0
0,000 000 0
0,000 000 0
0,000 000 0
9,700 032
7,724 099
0,000 000 0
0,000 000 0
0,000 000 0
точное решение
0,000 000 0
0,078 459 1
0,156 434 5
0,233 445 4
0,309 017 0
0,951 056 5
0,972 369 9
0,987 6883
0,996 917 3
1,000 000
0,996 917 3
0.987 688 3
0,809 017 0
0,760 406 0
0,707 106 8
0,649 448 0
0,587 785 2
0,522 498 6
0,453 990 5
0,382 683 4
0,309 017 0
0,233 445 4
0,156 434 5
0,078 459 1
0,000 000 0

.? 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 125
Эти результаты показывают, что решение, полученное для
Ь = Ю0, в целом приемлемо в том смысле, что числа, фигури-
фигурирующие в расчетах, соответствуют величине мантиссы. Однако
при Ь = 500 ситуация меняется — решение, как мы видим,
становится совершенно неудовлетворительным на второй поло-
половине отрезка интегрирования.
Тем не менее метод комбинации решений не следует без-
безоговорочно забраковывать. В некоторых случаях численная не-
неустойчивость будет незначительной и метод может оказаться
пригодным. Однако в приложениях всегда следует принимать
во внимание его неустойчивость.
4.2.2. Простая факторизация для уравнения второго по-
порядка. Этот метод был предметом исследований многих авто-
авторов (Гельфанд, Локуциевский [1953], Марчук [1958], [1961],
Ридли [1957]). Он заключается в сведении краевой задачи к та-
таким задачам Коши, решения которых образуют устойчивый
численный процесс для методов, развитых в гл. 3.
Рассмотрим решение дифференциального уравнения D.1.1)
с краевыми условиями D.1.2) и D.1.3); функции р(х), р' (х), q(x),
f (x) предполагаются при этом непрерывными и удовлетворяющими
условию q(x)~^z qo>O на [а, Ь]. Известно, что эта задача имеет
единственное решение, обладающее двумя непрерывными произ-
производными. Метод простой факторизации включает в себя сле-
следующие шаги (удобно рассмотреть отдельно случаи а^О и
а, = а2 = 0):
Случай I, (Х!>0. Решить дифференциальные уравнения
ф' + Ф2/р = <7 D.2.1)
с начальным условием ф(а) = $1р(а)/а1,
z' + cpz/p = f D.2.2)
с начальным условием ,г(а) = YiP (#)/ai и
z/p D.2.3)
с начальным условием D.1.3). Конечно, уравнение D.2.3) сле-
следует решать справа налево. Решение последней задачи Коши
и есть искомое решение поставленной краевой задачи D.1.1) —
D.1.3).
Теорема 4.1. Дана краевая задача D.1.1) — D.1.3) с а, > 0.
Пусть функции ф(х), z(x), y(x) будут решениями задач D.2.1) —
D.2.3) с соответствующими начальными условиями; функция
<р (х) имеет в случае ф(а)>0 положительную нижнюю грань

126 Гл. 4. Краевые задачи
фо=тт(ф(а), У poqo) на [а, Ь] {при ф(а) = О функция ф(лг)
имеет нижнюю грань ф0 = У poqo the YiolPo на [а + е, b] для
всех е>0), а функция у{х), имеющая на [а, Ь] две непрерыв-
непрерывные производные, представляет собой решение поставленной
краевой задачи.
Доказательство. Мы докажем, что решение D.2.1)
с начальным условием ф(а) = Pip(a)/a, ограничено и потому су-
существует всюду на [a, b]. Действительно, так как ф'« '
то ф(лг) имеет на [a, b] верхнюю грань; нижняя грань ф есть
определяемое как решение уравнения
ф' + Ф2/ро = <7о
с ф(а) = ф(а) = Pip(a),'cti. Это решение имеет вид
/ \ _ ф (а) V <7о 'Ра + °r> 1Ь У qo/po {х — а)
У^о/Ро +PoI(P(a)thVr?o/Po (x-a)
Очевидно, что функция ф(лг) ограничена и монотонна, ее ниж-
нижняя грань легко вычисляется в обоих случаях (ф(а)>0 и ф(а) = О).
Решения D.2.2) и D.2.3) существуют, так как эти уравнения
линейны.
Далее, докажем, что решение у{х) уравнения D.2.3) удо-
удовлетворяет D.1.1). Так как функции ф, z, p имеют на [а, Ь] не-
непрерывные производные первого порядка, то у{х) имеет на [а, Ь]
непрерывную производную второго порядка. Дифференцируя
D.2.3) и используя D.2.1) и D.2.2), получим
{py')'-q>'y-(fy' = z'
или
{ру'У ~{q- ц>2/р) У-Ч> {zip + (fylp) = f - (fzjp
и, следовательно, D.1,1).
Граничное условие D.1.3) выполняется по предположению.
Для проверки условия D.1.2) достаточно рассмотреть D.2.3)
в точке а вместе с начальными условиями для функций ф и z;
на этом заканчивается доказательство теоремы 4.1.
Мы рассмотрели метод факторизации в предположении, что
с^Х). Случай ах = 0 и а2>0 легко сводится к предыдущему,
если поменять ролями концы отрезка. Остается рассмотреть
Случай II, a1 = a2 = 0. Теперь необходимо изменить урав-
уравнения D.2.1) — D.2.3). Будем решать уравнения
г|/ + <7i]r = 1/р D.2.4)

,? 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 127
с начальным условием ф(а) = 0,
h D.2.5)
с начальным условием u(a) = Yi/Pi и
W-yp = u!p D.2.6)
с начальным условием у(Ь) = у21$2- Следует отметить, что урав-
уравнение D.2.6) опять интегрируется справа налево.
Теорема 4.2. Пусть дана краевая задача D.1.1) — D,1.3)
с а, = а2 = 0. Тогда существуют функции ij)(x), и(х), у(х), яв-
являющиеся решениями задач Коши D,2.4)— D.2.6) с соответ-
соответствующими начальными условиями; функция i|)(x) имеет поло-
положительную нижнюю грань г|H = VVQuPo the YQq/P0 на [а + е, Ь]
для всех е>0 (где р(х)^.Р0, i?(x)<Q0), а у(х), имеющая
на [а, Ь] две непрерывные производные, является решением по-
поставленной краевой задачи.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.1.
Г-лавное преимущество метода простой факторизации заклю-
заключается в том, что решения уравнешш D.2.1) — D.2.6) устойчивы
по отношению к постоянным возмущениям; поэтому в силу
теорем 3.4 и 3.10 сильно устойчивые разностные методы и
вполне регулярные общие одношаговые методы образуют для
соответствующих начальных задач (^-последовательности чис-
численных процессов па интервале [а, оо). Поэтому потеря знача-
значащих цифр вследствие округления не зависит от длины отрезка
[а, Ь], как это было в методе комбинации решений.
Теорема 4.3. Пусть функции р(х) и q(x) таковы, что
Ро^ Р (х) ^ Ро> 0, Qo ^ Ц(х) > <7о> 0 «я интервале [а, оо). Тогда
решения уравнений D.2,1) и D,2,4) с начальными условиями
ф(а)>0 и г|)(а)>0 устойчивы по отношению к постоянным воз-
возмущениям. Кроме того, если <$(х) и i|)(x) имеют положитель-
положительные нижние грани на [а, оо), то решения уравнений D.2.2) и
D.2.5) с произвольными начальными условиями устойчивы
по отношению к постоянным возмущениям. Наконец, если
функции р(х), <f(x) и г|)(х) имеют положительные нижние грани
на (— оо, Ь], то решения D.2.3) и D.2.6) с произвольными на-
начальными условиями устойчивы по отношению к постоянным
возмущениям.
Доказательство. Утверждение будет доказано лишь
для уравнения D.2Л), так как для D.2.4) оно проводится ана-
аналогично, а другие рассматриваемые уравнения линейны.

128 Гл. 4. Краевые задачи
Устойчивость решения D.2.1) по отношению к постоянным
возмущениям будет установлена, если мы изучим устойчивость
по отношению к постоянным возмущениям тривиального реше-
решения уравнения
f = — 2yt/p - f/p D.2.7)
с начальным условием t(a) — O. Итак, мы должны показать,
что для каждого е>0 существует такое б>0, что если | ^01<б
и |б(х)|<б, то решение дифференциального уравнения
Г = — 2ytlp-t2lp + b{x) D.2.8)
с начальным условием t(a) = t0 удовлетворяет неравенству
\t(x)\<e для всех х.
Выберем е, 0<е<1, и пусть
. / 1 2(PoPo
6 = mm е,
Il6 Я
16 Р\
где фо = т1п(ф°, 1) и ф° есть нижняя грань ф из теоремы 4.1.
Если решение уравнения D.2.8) для этого значения б не удо-
удовлетворяет условию \t(x)\<e для всех х, то мы можем найти
точку а', такую, что t(a') = qQpue,l{2PQ) и \t(x) |<цорое1BРо) для
х е [а, а').
Решение уравнения D.2.8) удовлетворяет соотношению
X X
- J [24(s)lp(s)]ds х 2 -|[2ф(о)/р(о)]а'а
t(x) = toe a +\(b(s)-^)e * ds,
а
откуда для х = а'
и потому
max
2(foPo r I ' 2<foPo r I -' ( 2<foPo Yr2 P° S ' 2<fr>Po
Мы пришли к противоречию, теорема доказана.
Замечание. Одно из предположений теоремы 4.3 требует,
чтобы ф(а)>0 и г|)(а)>0, хотя метод простой факторизации
применим даже в случае нулевых начальных условий. Однако
это предположение не ограничивает общности, ибо в случае
нулевых начальных условий функции ф и г|з, как это уже было
показано, имеют положительные нижние грани на [а + е, Ь)
независимо от величины Ь, а так как устойчивость зависит

§ 4,2. Сведение краевой задачи к задаче Коши
129
от поведения функции на бесконечности, то наши выкладки
следует провести на [а + е, оо).
Для иллюстрации метода простой факторизации рассмотрим
Пример 4.2. Найти решение уравнения
(A + х) у'У — by = jtcos ях — [b + п2(\ + х)] sin их
с граничными условиями г/@) = 0 и у{\) = 0; точным решением
будет г/= sin jut. В табл. 4.2 приведены результаты счета для
b = 500 на машине LGP 30 по методу Гилла с шагом h = 0,025.
Сравнение результатов с примером 4.1 показывает преимущество
метода простой факторизации.
Таблица 4.2. Решение краевой задачи примера 4.2 методом простой
факторизации
и
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0 125
0,150
0,175
0,200
0.225
0,250
0,275
0,300
0,325
0,350
0,375
0,400
0,425
0.450
0,475
у (х)
0,000 000 0
0,078 439 7
0,156 415 8
0,233 428 0
0,309 001 8
0,382 670 0
0,453 978 4
0,522 487 6
0,587 775 4
0,649 438 7
0,707 097 4
0,760 396 5
0,809 007 3
0,852 630 1
0,890 996 2
0,923 869 1
0,951 046 1
0,972 359 6
0,987 678 0
0,996 907 1
Точное
решение
0,000 000 0
0,078 459 1
0,156 4345
0,233 445 4
0,309 017 0
0,382 683 4
0,453 990 5
0,522 498 6
0,587 785 2
0,649 448 0
0,707 106 8
0,760 406 0
0,809 017 0
0,852,640 2
0,891 006 5
0,923 879 5
0,951 056 5
0,972 369 9
0,987 688 3
0,996 917 3
X
0,500
0,525
0,550
0,575
0,600
0,625
0,650
0,675
0,700
0,725
0,750
0,775
0,800
0,825
0,850
0,875
0,900
0,925
0,950
0,975
У (х)
0,999 989 7
0 996 907 3
0,987 678 4
0,972 360 1
0,951 046 8
0,923 870 0
0,890 997 1
0,852 630 9
0,809 008 1
0,760 397 4
0,707 098 5
0,649 440 2
0,587 777 9
0,522 491 7
0,453 984 1
0,382 677 7
0,309 0119
0,233 441 0
0,156 430 9
0 078 456 7
Точное
решение
1,000 000 0
0,996 917 3
0,987 6883
0,972 369 9
0,951 056 5
0,923 879 5
0,891006 5
0,852 640 2
0,809 017 0
0,760 408 0
0,707 106 8
0,649 448 0
0,587 785 2
0,522 498 6
0,453 990 5
0,382 683 4
0,309 017 0
0,233 445 4
0,156 434 5
0,078 459 1
4.2.3. Аддитивная факторизация. Укажем другой метод фак-
факторизации дифференциального оператора. Ограничимся уравне-
уравнениями с постоянными коэффициентами, поскольку для линей-
линейного уравнения второго порядка общего вида этот метод бо-
более сложен и требует большей памяти по сравнению с методом
простой факторизации.

130 Гл. 4. Краевые задачи
Рассмотрим уравнение
y"-qy = f{x) D.2.9)
с краевыми условиями D.1.2) и D.1.3), где <7 = const>0, a/(x)
дифференцируема на отрезке [а, Ь].
Найдем решения м, и у, уравнений
с начальными условиями
а1и'1(а)-^1и1 (а)= - Yi>
a2v[ (b) + р2и, (b) = у2 + а2«; F) + р2и, (b).
Вначале определим функцию ии интегрируя уравнение слева
направо; используя полученные значения ии найдем функцию vu
интегрируя справа налево.
Рассмотрим теперь разность //i = U| — и\. Легко проверить,
что она удовлетворяет D.2.9) и граничному условию в точке Ь;
в точке а мы имеем
аху[ (а) - р,г/! (а) = а,^ (а) - $lv1 (a) + у,,
т. е. граничное условие удовлетворяется с погрешностью
а,у, (а) — PjW, (а). Эту невязку будем корректировать с помощью
итераций. В целом метод описывается следующим образом:
Теорема 4.4. Построим последовательность функций ис и
v{, i=l, 2, ..., удовлетворяющих дифференциальным урав-
уравнениям
i =
f
D.2.10)
и начальным условиям
ахи\ (а) - р^, (а) = - у, + а^ (а) - р^._, (а),
a2v'{ (Ь) + $2vt (Ь) = Y2+ а2и'{ (Ь) + %и{ (Ь),
полагая v0 = 0. Тогда при i —> оо последовательность yt = у; — ы;
сходится к решению краевой задачи D.2.9), D.1.2), D.1.3).
Доказательство. Легко проверяется, что функции yL
удовлетворяют D.2.9) и условию D.1.3), а в точке а
^J'i (а) - Р,^ (а) = у, + а, К (а) - »;., (а)] - Р, [vt (a) - «<_, (а)].
Пусть к1, = ь\ - y,-_i, zt = Ut — tii-i, r = 2, 3, ....

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 131
Функции wt и zt удовлетворяют уравнениям
w'i ~~ YЯ wi — 0>
}' ~qzi = 0
с начальными условиями
Так как wt(a) = е~л qib a)Wi (b), zt(b) = е~л q (h~aJ(-(a) и неравенство
I (P/ — ai VЦ )/(Pt + aiVa ) I ^ 1 выполняется для i = 1, 2, то легко
видеть, что ш(-(а) и w\ (а) стремятся к нулю при г->оо; поэ-
поэтому tji сходится к точному решению поставленной краевой
задачи.
Скорость сходимости определяется множителем е~2 q {Ь~а) и
поэтому будет, как правило, очень большой, так что для по-
получения желаемой точности достаточно сделать несколько
итераций.
Скорость сходимости возрастает с увеличением длины от-
отрезка [a, b], a построенные уравнения пригодны с точки зре-
зрения численной устойчивости.
4.2.4. Составная факторизация. Применение метода простой
факторизации к D.2.3) или D.2.6) требует интегрирования
справа налево. Вследствие этого значения функций ф, z и
■ф, и необходимо хранить в памяти машины. Теорема 4.5 позво-
позволяет обойти это неудобство.
Теорема 4.5. Пусть даны краевая задача D.1.1) — D.1.3)
с ctjX) и решения ц> и z уравнений D.2.1) и D.2.2) с соответ-
соответствующими начальными условиями. Пусть Q{x, t) и у(х, t)
являются решениями уравнений
^-=-7UQ(x'^ D-2Л1)
l=-ff Q(x, t) D.2.12)
для фиксированного значения хе[а, Ь] на отрезке х ^ t ^ b
с начальными условиями
Q(x, x)= 1,

132 Гл. 4. Краевые задачи
Тогда функция у (х, Ь) имеет две непрерывные производные и
является решением поставленной краевой задачи.
Доказательство. Достаточно доказать, что функция
у(х,Ь) удовлетворяет D.2.3) с начальным условием D.1.3).
Так как
t
-jly(s)/pis)]ds
Q(x, /) = e *
то
dQ <f(x)
дх р (х)
ъ
Q(x, t)
y{x, b)= - I jjfiQix, t)dt + y(x, x), D.2.13)
x
и, следовательно,
£W_ (lVL*£.dt+*y{XtX)s.
p (x) J p (t) dx dx a y ' '
dx i/v'V) u> p(x) J p(t) dx
x
Ь
В силу D.2.13) это уравнение эквивалентно D.2.3). Так как
U> а2ср F) + р2р F)
ИЛИ
и D.2.3) выполняется в точке Ь, функция у (х, Ь) удовлетворяет
граничному условию D.1.3).
Теорема 4.6. Пусть дана краевая задача D.1.1) — D.1.3)
с а, = а2 = 0, а функции г|з, и являются решениями D.2.4) и D.2.5)
с соответствующими начальными условиями. Пусть R(x, t) и
у (х, t) суть решения уравнений
=
dt
ду u(t) n , , ,. n , _4
дГ=~Ъ(')Р(ОЯ{х' t] D'2Л5)

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши
133
на отрезке x^.t^.b для каждого фиксированного значения
хЩа, Ь] с начальными условиями
R(x, х) = 1,
у(х, x) = ^R(x, b).
Тогда функция у (х, Ь), имеющая две непрерывные производ-
производные, является решением задачи D.1.1) —D.1.3).
Метод составной факторизации не требует интегрирования
в двух направлениях, как в методе простой факторизации.
Поэтому соответствующие задачи Коши можно интегрировать
одновременно. Начальные условия для D.2.12) и D.2.15), т. е.
константы интегрирования, можно добавить потом, ибо они
относятся только к простым квадратурам. Ясно, что решение
системы четырех дифференциальных уравнений дает только
одно значение искомого решения у(х). Этот метод требует также
значительно больше машинного времени, чем метод простой
факторизации, хотя в обоих случаях требования к объему па-
памяти почти одинаковы. Он особенно удобен тогда, когда нас
интересуют лишь немногие значения у (х), но с большой точностью.
Дифференциальные уравнения метода составной факториза-
факторизации пригодны для практического численного решения, так как
если их продолжить на отрезок бесконечной длины, то они
останутся устойчивыми по отношению к постоянным возмуще-
возмущениям. Ввиду того что уравнения D.2.11) и D.2.14) близки к урав-
уравнениям D.2.1), D.2.2), D.2.4), D.2.5) метода простой факториза-
факторизации, это утверждение очевидно. Решение уравнений D.2.12)
и D.2.15) находится при помощи простых квадратур, для ко-
которых потеря точности вследствие округления пропорциональна
длине отрезка (независимо от направления интегрирования).
Как правило, это обстоятельство не приводит к значительным
трудностям.
Пример 4.3. Требуется решить краевую задачу примера 4.2
методом составной факторизации.
Результаты счета на машине LGP 30 для b = 500 и h = 0,025
и 0,0125 даны в табл. 4.3.
В заключение рассмотрим другой вариант факторизации,
при котором требования к памяти остаются такими же, как
при составной факторизации. Он представляет собой неболь-
небольшую модификацию метода простой факторизации; поэтому ог-
ограничимся краевыми условиями с а,>0 и а2>0.
Пусть ф и z — решения уравнений D.2.1) и D.2.2) с соответ-
соответствующими начальными условиями в точке a, a <p* и г*— функции,

134
Гл. 4. Краевые задачи
Таблица 4.3. Решение краевой задачи примера 4.3
методом составной факторизации
X
0,5
0,8
0,825
0,925
у(х)
h = 0,023
0,999 969 4
0,522 488 4
0,233 442 4
h = 0,0123
1,000 002
0,587 779 8
точное решение
1,000 000 0
0,587 785 2
0,522 498 6
0,233 445 4
фигурировавшие в методе простой факторизации, т. е. ф* и г*
суть решения уравнений
Ф*' - Ф*7р = - Я
г'' - (f'z'lp = /
с z'(b) = у2р(Ь)!а2 соответственно.
Искомое решение удовлетворяет тогда одновременно двум
уравнениям
Вычитая, получим
t/ + q>*y!p = z'/p.
Для того чтобы найти значение у в точке х, достаточно ре-
решить D.2.1) и D.2.2) на [а, х] и соответствующие уравнения
для ф* и 2* на [х, Ь]. Требования к памяти остаются такими же,
как и в случае составной факторизации, но число операций
значительно уменьшается.
4.2.5. Численная устойчивость методов сведения краевых
задач к задачам Коши. Выше мы изучали некоторые свойства
дифференциальных уравнений, важные при решении краевых
задач. Нам приходилось численно решать уравнение

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 135
Для простоты представим себе, что это уравнение мы решаем
методом Рунге — Кутта, приводящим к алгоритму
yn+i = yn + №f(xn, yn, h),
т. е. на самом деле мы пользуемся формулой
Уп + }гФ;(хп, уп, h) + Qn.
Изучая численную устойчивость, мы должны выяснить, какое
влияние на результат оказывают возмущения 9„. Это влияние
обусловлено двумя факторами:
1) величиной |9„| (локальные погрешности),
2) накоплением всех 9„.
Пусть счет идет с плавающей запятой. Тогда ошибка 9„ при
достаточно малом h имеет обычно величину порядка | уп \• 9.
Это значит, что если решение уравнений слишком велико по
абсолютной величине, то влияние ошибок округления тоже бу-
будет большим.
Если сравнить теперь метод комбинации решений и метод
факторизации, то в первом из них уп может быть очень боль-
большим, а в случае факторизации все решение ограничено. Отсюда
вытекает принципиальная разница между этими двумя мето-
методами, связанная с паведением локальных ошибок. При накоп-
накоплении ошибок ситуация аналогична и зависит от устойчивости
решения по отношению к постоянным возмущениям. В случае
фиксированной запятой положение дела не меняется. Измене-
Изменение уп приводит к выбору таких масштабных множителей, при
которых локальная ошибка становится большой.
На практике решения краевых задач сравнительно слабо за-
зависят от изменения входящих в них параметров; зачастую
эти параметры известны неточно вследствие того, что сформу-
сформулированная задача является некоторой абстрактной моделью
действительной ситуации.
С этой точки зрения численный метод будет пригодным,
если процесс решения с возмущениями можно понимать как
решение без возмущений первоначальной задачи, но с изме-
измененными входными параметрами, причем эти гипотетические
возмущения малы. Для оценки этих последних возмущений
требуется выяснить:
1) величину локальных возмущений процесса,
2) способ преобразования локальных возмущений в пара-
параметрические.
Можно сказать, что факторизация представляет собой удоб-
удобный метод в указанном выше смысле, а метод комбинации
решений — неудобный.

136 Гл. 4. Краевые задачи
Мы не будем касаться далее этой проблематики, отметим
лишь, что методика исследований различна в обоих случаях.
По этому поводу см. Бабушка [1968а], Тауфер [1966], [1968],
Абрамов [1965] и др.
4.2.6. Простая факторизация для уравнения четвертого по-
порядка. Идеи метода факторизации можно использовать также
и при решении уравнений более высоких порядков, однако
вычисления становятся более сложными. По этой причине мы
не будем подробно описывать этот метод, а лишь продемон-
продемонстрируем его на уравнении четвертого порядка.
Рассмотрим решение дифференциального уравнения D.1.4)
с граничными условиями
г/"(а) = ц„ p(a)y'"(a)-q{a)y'{a) = vu
на [а, Ь], где р, р', р", q, q', r, / — непрерывные функции и
/?(*)!> ро>О, q(x)^0, r(x)^0 на [а, Ь]. Такой выбор краевых
условий в точке а упростит в дальнейшем наши выкладки.
Так как краевые условия в точке b несущественны для метода,
они взяты в наиболее простой форме.
Теорема 4.7. Пусть ц>(х), ■ф(х), z(x) и у(х) будут реше-
решением системы дифференциальных уравнений
Ф' - 2-ф + Ф2/р = q, D.2.16)
$" + (<№/pY + tf/P=r, D.2.17)
z" + (q>z/pY + фг/р = / D.2.18)
с начальными условиями
ф(а) = ij)(a) = г|/(а) = 0, г(а) = ц]р (a), z'(a) = v,-
« уравнения
у — — у +—у = —- D.2.19)
с начальными условиями у(Ь) = у2, у'(Ь) — д2 соответственно1);
здесь функции р, q, r суть коэффициенты дифференциального
уравнения четвертого порядка D.1.4).
Тогда решение последнего уравнения имеет четыре непре-
непрерывных производных на [а, Ь] и представляет собой решение
поставленной краевой задачи.
') Задача Коши для последнего уравнения должна решаться справа
налево.

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 137
Доказательство. Легко показать прямой подстановкой,
как это было сделано для уравнения второго порядка, что
функция у(х) есть, решение поставленной краевой задачи. Не?
обходимо еще доказать, что решение системы нелинейных уравт
нений D.2,16) и D,2,17) при заданных начальных условиях
существует на всем отрезке [а, Ь]. Это вытекает из лемм 4,1
и 4,2 следующего раздела,
4.2.7. Устойчивость системы уравнений, входящей в метод
простой факторизации для уравнения четвертого порядка').
Для иллюстрации применимости метода простой факториза-
факторизации к уравнениям четвертого порядка исследуем устойчивость
системы D.2.16) —D.2.19) по отношению к постоянным возму-
возмущениям, как это было сделано в п. 4.2.2 для уравнений вто-
второго порядка." В случае уравнения четвертого порядка такое
исследование более сложно, и потому мы ограничимся частным
случаем, когда коэффициенты р, q, r обладают специальными
свойствами (см. D.2.22) в теореме 4.8).
Так как устойчивость решения уравнения D.2.19), решаемого
справа налево, будет изучена отдельно в конце этого пункта,
мы начнем с устойчивости решений q>(t), -ф(/), %(t), z(t), v{t)
системы
q/ = - ф2/р + 2-ф + q,
Х' = г-г|г7р, D.2.20)
z' ~ — q>z/p + v,
v' = f - фг/р
с начальными условиями
г@) = г0, о@) = о„. D.2.21)
Очевидно, эти решения совпадают с решениями системы
D.2.16) — D.2.18) при соответствующих начальных условиях.
Теорема 4.8. Пусть коэффициенты p(t)^ р, > 0, q(
г (^)>0, f(t) будут кусочно непрерывными ограниченными функ-
функциями, такими, что
\im p (t) = Ро> 0, Umq{t) = qo^O, lim r (t) = ro>O2). D.2.22)
') По просьбе авторов этот раздел был любезно написан И. Вркочем.
2) Эти соотношения можно заменить неравенством г (t) ~^rQ > 0; частное
сообщение И. Тауфера.

138 Гл. 4. Краевые задачи
Будем предполагать, что t — О не является точкой разрыва
функций р, q и г. Тогда решения q>(t), -ф (/), %(t), z(t), v(t) си-
системы D.2.20) с начальными условиями D.2.21) устойчивы по
отношению к постоянным возмущениям.
Доказательство. Проанализируем сначала решение
системы трех уравнений
г|/ = % - фф/р, D.2.23)
%'-г- tf/p
с начальными условиями
ф@) = 1|)@) = х@) = 0. D.2.24)
Оставшиеся два уравнения рассмотрим позже.
Доказательство теоремы дадим в виде нескольких лемм.
Прежде всего покажем, что решения ф, г|з, % системы D.2.23)
и D.2.24) положительны, т. е. что ф(^)>0, i\>(t)>0, %(t)>0
для ^>0. Введем в D.2.23) новую независимую переменную
D.2.25)
Так как р>р,>0, то переменная т(^) будет расти монотонно
и т(^)->оо при t->oo. Далее, пусть
), q'(x)=q(t(x)), Г (х) = г (t(x)), {А'2Щ
где ^(т) — обратная к x(t) функция. Тогда ф*, ф*, %" будут
решениями системы
Фг = - Ф2 + 2р*г|> + p*q\
У = РЩХ-П, D-2.27)
Эти нелинейные уравнения сведем теперь к системе линей-
линейных уравнений более высокого порчтка, положив
так что
~, 4> = "f. Х = -5Г. D.2.28)
("<p(T)dT ((f(x)dx
ь , и = С%(х)е° , D.2,29)

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Кпши 139
где СфО — произвольная постоянная. Функции л-(т), г/(т), и (т)
суть решения уравнений
х" = p'q*x + 2р*у,
у' = р*и, D.2.30)
и" = (р*г*у х + 2p'r*xr + p*q'u.
Так как каждое решение D.2.27) дает в силу D.2.29) некоторое
решение D.2.30), то обратное утверждение будет верно, если
только решения D.2.30) удовлетворяют дополнительному условию
и' @) х@)-и @) х' @) - г' @) р' @) х2 @) + у2 @) = 0.
Начальные условия D.2.24) предполагают, что
х@) = 1, х'@)=г/@) = и@) = 0, ы'@) = р*@)г*@) D.2.31)
(очевидно, что подходящим выбором константы С из D.2.29)
можно всегда добиться выполнения условия х@)=1).
Система дифференциальных уравнений D.2.30) с начальными
условиями D.2.31) эквивалентна системе интегральных уравнений
x? = j p* (s) q* (s) x (s) ds + 2 J p* (s) у (s) ds,
о o"
т s X s
x = 1 + J J p* (a) q' (a) x (a) dads+ 2 J J p' (а) г/ (a) da ds,
0 0 0 0
t
у = J p* (s) u (s) ds, D.2.32)
0
u = J r* (s) p* (s) x (s) ds + J f p* (a) 9* (a) u (a) da ds +
T s
+ j J /?•(<!)/■• (a)*'(a)dads.
о о
о о
Лемма 4.1. Если функции p(t), q(t), r (t) удовлетворяют
предположениям теоремы 4.8, то х(т)>1, х'(т)>0, г/(т)>0,
н(т)>0, «г(т)>0 <Эля т>0, где х{х), у (г), и (г) —решения
системы D.2.32). Поэтому
г>^2 для t>0,
где ф@. tyU), %(t) — решения системы D.2.23) с начальными
условиями D.2.24).
Лемма 4.2. Пусть p{t), q(t), r (t) удовлетворяют пред-
предположениям теоремы 4.8, и пусть задана константа М, такая,

140 Гл. 4. Краевые задачи
что p(t)^M, q(t)^.M, r(/)<M. Тогда решения ф, -ф, % си-
системы D.2.23) с начальными условиями D.2.24) ограничены:
г 1]/2
Ф (t) < А = М1'2 [М + 2 У G2 + М2\ ,
где константа G есть решение неравенства
G > — М1/2(М + 2 /G2 + М2)'/2 + 2Af уТ. D.2.33)
Pi
Доказательство. Пусть
(g) |@, (g)
[о, |] [о, ц
Первое уравнение системы D.2.23) дает
q/ @ < - ф2 (t)/M + 2В (|) + Af для / s [0, |].
Поэтому в силу D.2.24)
Ф (/) < М w У2ВЦ) + М для / € [0, |]. D.2.34)
Докажем теперь соотношение
В (|) < Vg2(D + AM\ D.2.35)
С учетом равенства R2(t) = i|J@ + X2(O система D.2.23) дает
ЯЯГ = - ф^7р + X (г + г|з - г|з2/р) < Х (^ + Ф ~ ^/^)-
Очевидно, что для ty~^2M
R'<Q. D.2.36)
.Неравенство D.2.35) справедливо для В(£)<!2М. Если В (g) >
> 2ЛJ, то определим Г и Г* так, чтобы
*гИП = 2М, ф @ > 2М для t<=(t*,t"), ip(H = fi(s)-
По D.2.36) имеем Яг<0 для ^ е (Г, Г*) и потому
В (I) = ф(Г) < /ц,2(fs*) + х2(П< /^2(П + tfW)
Предположим теперь, что G(g)>G. Тогда можно найти
такое \*, что
G(r)=G, G(l)>G для |>Г- D.2.37)
Поэтому
x(D = G(r). D.2.38)
Докажем далее, что
И<2Л/. D.2.39)

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коиш 141
Допустим, что
1р(£*)>2М. D.2,40)
Выберем t{ так, чтобы
2Af для
В силу D.2.36) имеем тогда
откуда
G2 (Г) = X2 (Г) < G2 (Г) + 4М2 - -ф2 (Г) < G2 (Г).
Это неравенство выполняется в силу D.2.40), а соответствующее
противоречие доказывает неравенство D.2,39).
Рассмотрим в плоскости г|з, % прямоугольник с вершинами
Р, = [0, G], Р2 = [0, G-0/2], Р3 = [2Л1, G-6/2], Р4=[2М, G],
где
0 = G - £ И*'2{М + 1/2
В силу D.2.37)-D.2.39) точка [г|з(|*), х(Г)] лежит на сто-
стороне РХР^. В силу леммы 4.1 и D.2.36) для t е [0, ^*] кривая
ГФ(О> х@]д°лжна иметь точку, общую или с Р2Р3, или с Р3Р4-
Рассмотрим первый случай. Допустим, что существует t3,
0 < ^3< I*. такое, что
X@>G-e/2,
для /e(^3, g*). Используя эти неравенства, а также p
D.2.34) с £ = £* и второе уравнение D.2.23), найдем, что
^@>G--e/2- — 2M3/2
и по D.2.35) с £ = £*
г|/ @ > G - 0/2 - — М3'2(м + 2 l/rG2 + 4M2)'/2 = 0/2 D.2.41)
Р\
для t ^ (t3, £*). Последнее уравнение системы D.2.23) теперь
дает х'^М. Так как
!*
X (Г) - X Сз) = 0/2 = J X' Л < М (Г " t3),
то

142 Гл. 4. Краевые задачи
Отсюда и из D.2.41) имеем теперь
и
а по D.2.33) и лемме 4.1 1|)(|*)>2M. Это неравенство про-
противоречит D.2.39), и потому первый случай отпадает.
Итак, на [0, |*] кривая [iJ>@> х@] должна иметь общую
точку со стороной /V3-»' Строго говоря, существует такой от-
отрезок
[*3-Д*. t3], 0<t3-M<t3^l\
что
%(t3)> O-Q/2, t(O-2M, D.2.42)
2M D.2.43)
для t^[t3 — At, t3]. Поэтому опять
i|/ (t3) > G - 6/2 - ~ 2M3/! (M + 2 Yg2 + AM2f = 6/2 > 0,
в то время как неравенства D.2.42) и D.2.43) дают it/(y<0.
Исключение второго случая и доказывает нашу лемму.
Замечание. Предположение D.2.22) до сих пор не ис-
использовалось. Поэтому мы можем применить леммы 4.1 и 4.2
для доказательства теоремы 4.7.
Сформулируем две леммы для случая постоянных р, q, r.
Система D.2.23) имеет тогда особую точку
(Fo = />V.G7 + 2 1^V\ %=VpT, %0 = r(q + 2Vp^). D.2.44)
Лемма 4.3. Пусть р, q, r — такие константы, что р>0,
q^O, л>0; тогда особая точка D.2.44) системы D.2.23) устой-
устойчива по отношению к постоянным возмущениям.
Доказательство. Положим ф = <р — ф0, -ф = ч^ — г|H>
Х = Х —Хо и приведем систему D.2.23) к виду
= — j ФоФ
D.2.45)
Характеристическое уравнение линейной части этой системы
таково:

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 143
По критерию Гурвица все корни имеют отрицательные веще-
вещественные части. В статье Цай Суй-линя [1961] построена поло-
положительно определенная форма V второго порядка, производная
которой по полю (это касается линейной части системы D.2.45))
удовлетворяет условию
av
В некоторой окрестности точки ф = ■$ = % = 0 производная по
полю отрицательно определена по отношению ко всей си-
системе D.2.45). Теорема 6 Вркоча [1962] гарантирует тогда
устойчивость решения ф = ■§ = % = 0 системы D.2.45), а именно
устойчивость особой точки D.2.44) системы D.2.23).
Асимптотическое поведение решений qp(O> i|)@> %@ системы
D.2.23) в случае постоянных коэффициентов составляет содер-
содержание леммы 4.4.
Лемма 4.4. Пусть р, q, r —такие константы, что р>0,
0, r>0. Пусть qp(O> 1]з@, %(t) будут решениями системы
D.2.23) с начальными условиями
Ф(*О)>О, -ф(д>0, %(tQ)>0, pr
где tQ^0 произвольно. Тогда q>(t), ^(t), %(t) сходятся к особой
точке D.2.44).
Замечание 1. Если jc(t), у (г), и(х) — решения системы
D.3.20), соответствующие в силу D.2.25) и D.2.28) решениям
ф@, ^(t), %(t), то начальные условия для q>(t), ty{t), %(t) экви-
эквивалентны неравенствам
х(то)>О, х'(то)>О, у(то)>О, «(то)>О, и'(то)>О. D.2.46)
Для т>т0 имеем
х(т)>х(т0), х'{%)>0, у{х)>0, и{%)>0, и'(т)>0, D.2.47)
что легко проверить по D.2.30)
Замечание 2. Пусть q>(t), -ф(/), %(t) соответствуют реше-
решениям х(т), у (г), и (г) системы D.2.30). Функции ф@, ty{t), %@
представляют решение системы D.2.23) тогда и только тогда,
когда
и' (т0) х (т0) - и (т0) х' (т0) - ргх2 (т0) + у2 (т0) = 0. D.2.48)
Это условие выполняется тождественно, если оно справедливо
хотя бы в одной точке.
Доказательство. Чтобы доказать сходимость функ-
функций qp, iM, %, необходимо явно решить систему D.2.30). Имеем

|44 Гл. 4 Краевые задачи
q, r' = r. Пусть *,(т) = *(т), х2{ч) = х'(т), щ(х) = и
и через м(т) обозначено решение {лсi (т), *а(т), #(
Если q Ф 2 I^pr, то мы получим пять линейно независимых
решений;
иA)-{1, 0, -q/2, О, 0},
u'21-{l, -pi'2(q + 2V7ryi2L_Vpy, ~ril2(q + 2Vp^12,
2pr + q Yp7) • exp {- pu2(q + 2 Ур1)ч2{х - т0)},
U<3)={1, -/2(^^ J
2pr - q Vpr ] • exp {-pm(q ~ 2 \rp7)x'2{x - т0)},
-qyPr).exp{p'"(q-2
2pr + q Yp7) ■ exp {p>/2(q + 2 Vp~7)m (x - x0)}.
Решение u (т) уравнений D.2.30) с начальными условиями
D.2.46) можно записать в виде
5
u= 2c,u">.
i=\
Если с5 ф 0, то
Ф
1~~-*1Ж~==^ D.2.49)
. , ч и, (т) «|5> (т)
X 00 =
л:, (т) лгр' (т)
для т->оо, и по D.2.26) то же самое справедливо для qp(O,
■ф@. х@- Функции xf^ix), х{^{х), у{5)(х), и(,5)(т) являются компо-
компонентами решения иE) (т). Заметим, что решение u(S| (т) растет
быстрее, чем другие и(!) (т).
Для доказательства того, что с5 ф 0, найдем вектор с*, пер-
перпендикулярный векторам и1' (т0), иB) (т0), иМ|(т0), иD) (т0). С точ-

# 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Каши 1 15
ностью до постоянного множителя вектор с* определяется
единственным образом в виде
(-7 + 2^)'/2 2 (? + 2У77)'/2 1
7
<? ' ц Y7
Ясно, что скалярное произведение (с*, и(т0)) вектора с* и век-
вектора начальных условий и(т0) (см. D.2.46)) положительно; по-
поэтому
(С*, U (То) ) = (с*, 2 СМ1) (То)) = СЬ (с\ U's» (То) ),
т. е. с5 ф 0.
Переходя к пределу, легко проверить, что с5 ф 0 даже при
q = 2Ypr. В силу D.2.25) и D.2.26) соотношения D.2.49) дока-
доказывают тогда утверждение и лемму. Асимптотическое поведение
решения в случае непостоянных коэффициентов описывается
в лемме 4.5.
Лемма 4.5. В предположениях теоремы 4.8 решения си-
системы D.2.23) с начальными условиями D.2.24) сходятся к точке
D.2.44), где р, q, г следует заменить на р0, q0, r0 из D.2.22)
соответственно.
Доказательство. В силу лемм 4.1 и 4.2 решения qp (t),
, %(t) всегда лежат в области &(t):
Докажем, что для любого е>0 существует такое tQ, что
|Ф(О-Фо1<е, |-ф(О--фо|<е, 1х(О-ХоК«5 D.2.50)
для t^z t0, гдефо, ifo, Хп связаны с р0, q0, r0 соотношениями D.2.44).
По лемме 4.3 особая точка D.2.44) системы уравнений
D-2.51)
устойчива по отношению к постоянным возмущениям. Следо-
Следовательно, можно так выбрать 6) > 0 и 6j">0, что каждое ре-
решение ф, ip, % системы
Ф' = —Ф2//»о + 2ф + 9о + /?ь
V = X - Ф-Ф/Ро + /?2, D.2.52)

146
Гл. 4. Краевые задачи
удовлетворяет условиям
I Ф @ — Фо I < е,
для t^to\ если только
в, 1х(О-Хо1<е D.2.53)
Пусть фь
виям
|,| i=l, 2, 3.
— произвольные числа, удовлетворяющие усло-
услоS IXХКб >2^
lq>i-<Pol<y6], j у
Пусть ф, ty, х будет решением системы D.2.51), причем р0, q0, rQ
следует заменить на рь qu л,, задаваемые по D.2.44) через
Фь 'Фь Xi c начальными условиями
где фо, -фо, Ха лежат в области Д(рь qu rx):
0<Ф<Л, 0<i|)<B, 0<х<С, Р,г,
По лемме 4.4
lim ф(О =
Поэтому существует число Т (сри -ф,, х,, ф0, -ф0» Хо). такое, что
6
—Ф1
ДЛЯ
t>tf+TD>v
Хо).
Так как объединение всех областей Д(Рь <7i> ri)> задаваемых
различными наборами ф,, if], xi. удовлетворяющими указанным
выше предположениям, ограничено, и в силу того, что фь if,, Xi
устойчивы (см. лемму 4.3), можно выбрать Т независимо
от ф;, -ф,, хь фо, ■$<), Хо так, что
для t^tf + T.
По теореме о непрерывной зависимости решения от пара-
параметра можно найти число б!>2)>0, не зависящее от фь ifi, Хь
Фо- Фо, Хо. такое, что
:-U, D.2.54)

$ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коиш
147
для t = tf + T. Функции ф, ■$, х будут решениями системы
D.2.52), если р0, q0, r0 заменить на рх, qh rx\ возмущения Rt
удовлетворяют условиям \Ri\<bz\ и начальная точка ф(^о2)) =
= Фо> ФЮ = ^о- %(to)) = %o лежит в области А(ри qu гх).
Пусть
(S>", 6f). D.2.55)
Выберем 6>0 так, чтобы для точки ф(ро + 6, q0, ro + 9),
■ф(Ро + 6. <7о> ло + 6). х(Ро + 6. <7oi ro + 6). соответствующей по
D.2.44) точке (po + Q, q0, ro + Q), выполнялись неравенства
<7о.
<7o.
D.2.56)
Выберем теперь такое t0, что
i<min po. —
q(t)e=[qo-B,
r(t)(=[ro-Q,
D.2.57)
D.2.58)
для t^tQ — T. На отрезке [0, t0— T] решения <p(t), -ф(/), %(t)
системы D.2.23) при условиях D.2.24) не могут выходить из об-
области A (t) (см. леммы 4.1 и 4.2).
На отрезке [^0 — 7\ ^о] функции ф@. *ф @. х@ представляют
собой решения уравнений
По D.2.57) и D.2.58)
<б2,
P (Po + 6)

148 Гл. 4. Краевые задачи
для f«=[fo-7\ t0]. По D.2.54) (в силу D.2.55))
' + 9. <7о. го+ 9) |<у б,,
Ь в, <7о, го+9) |< у б,,
9, </о. г0+9) |<уб,
для t = t0 — Т + Т = t0. (Заметим, что по D.2.58) /S.(to — T)cz
<=MpQ + Q, q0, ro + 9).)
Из последнего неравенства и D.2.56) следует, что
1ф('о)-фоКб|, |-ф(д--фо|<б„ 1х(^о)-Хо1<й|- D.2.59)
На полуинтервале [t0, оо) функции ф@, it>@. х@ будут реше-
решениями системы D.2.52) для
По D.2.57) и D.2.58) для всех этих выражений снова имеем
i?;|<62, /=1, 2. 3. В силу приведенных выше оценок D.2.59)
и D.2.58) неравенства D.2.50) становятся очевидными.
Устойчивость рассматриваемых решений устанавливается
в лемме 4.6.
Лемма 4.6. В предположениях теоремы 4.8 решения cw
стгмы D.2.23) с начальными условиями D.2.24) устойчивы
к постоянным возмущениям.
Доказательство. Так как особая точка D.2.44) системы
D.2.51) устойчива к постоянным возмущениям (см. лемму 4.3),
то для произвольного е>0 существуют такие б'1', бУ, что
для t ^г ^0, если
I ф (t0) - Фо К ti\ I * (to) - % К б'."- I X (^о) - Хо К б!"
и если ф, if, % суть решения D.2.52) для возмущений \ Rt\ <
<б21), /= 1, 2, 3. (Заметим, что 6(i" < е/2.) По лемме 4.5 реше-
решения ф (t), -ф @. х@ уравнения D.2.23) с условиями D.2.24) схо-
сходятся к точке D.2.44). Поэтому существует число /„, такое, что
^i" D.2.61)

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коми
149
для t^st0. Далее, пусть для
D.2.62)
1С
Так как решения зависят непрерывно от параметра, то
для 0 ^ t ^ t0, если
1Ф@)-ф@)|<б!2),
и ф, ф, х суть решения системы
D.2.63)
х@)-х@)К6
где
|/Ы<в?, /«■ 1, 2, 3.
Рассмотрим
б| = min (тг1^1. б® j, 62 = min (у (
Если
, 6
f
1х@)-х@I<б„ |/?,|<
то по D.2.63) и D.2.64)
<|6iI)<e, 1 -ф СО — -Ф СО
D.2.64)
D.2.65)
D.2.66)
для 0<^<^0. По D.2.63) и D.2.61)
|Ф('о)-Фо|<б(.1). |*(^-*о|<б(Л
В силу D.2.65), D.2.62) и D.2.64)
<
Со) Хо
.,, Р-Ро
w
PPU
<б«>
. D.2
D.2
.67)
.68)

150 Гл. 4. Краевые задачи
Функции ф(^), ^(t), %(t) можно рассматривать как решения
системы
ф' = - Ф2/Ро+ 2-ф + qo+ Д, + ф2 £^f"+ q- q0,
Из D.2.67), D.2.68) и D.2.60) следует, что
^e, | х @ — Хо К 4"
для t^t0. Поэтому по D.2.61)
|ф@-ф@Ке. | -ф @ — -Ф (О I < e, \%(t)-x(t)\<B D.2.69)
для ^>^0-
Неравенства D.2.66) и D.2.69) обеспечивают устойчивость
по отношению к постоянным возмущениям решений (fit), ip(t), %(t)
первых трех уравнений системы D.2.20), т. е. системы D.2.23).
Устойчивость последних двух уравнений системы D.2.20) рас-
рассматривается в лемме 4.7.
Лемма 4.7. Рассмотрим два линейных дифференциальных
уравнения
r=-fi + r). ч'=-7&- D-2>70)
где р, q, r удовлетворяют условиям теоремы 4.8, а ф, -ф — реше-
решения системы D.2.23) с начальными условиями D.2.24). Решения
| = г) = 0 системы D.2.70) устойчивы к постоянным возмуще-
возмущениям.
Доказательство. По лемме 4.5 и в силу предположений
теоремы 4.8 функции ф/р, if/p сходятся к (ра/ра>0, /0
соответственно. Заменив в D.2.70) ф/р, if/p на фо/ро>
получим систему характеристических уравнений, корни которой
имеют отрицательные вещественные части. Следуя Цай Суй-
линю [1961], построим положительно определенную форму вто-
второго порядка V, такую, что
Очевидно, существует достаточно малое число б|>0, величина
которого зависит от коэффициентов V, так что если произволь-

§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Коши 151
ные функции K{(t), x2(t) удовлетворяют неравенствам
|х,@Ке„ |х3@1<е„ D.2.71)
то форма
|^| D.2,72)
будет отрицательно определенной.
Систему D.2.70) можно переписать в виде
Ра ' \ Ро
Пусть х, = qpo/po — ф/р и х2 = itio/po — it>/P- Так как функции ф/р,
сходятся, то существует такое tQ, что D.2.71) будет выполняться
для t^t0.
В силу D.2.72) производная от V отрицательно определена
по отношению к системе D.2.70).
Если система D.2.70) изучается только для t^t0, то по
теореме 6 Вркоча [1962] решение | = г) = 0 устойчиво к посто-
постоянным возмущениям. По теореме о непрерывной зависимости
решения от параметра легко проверяется, что решение | = г\ = 0
устойчиво даже в том случае, когда система D.2.70) исследуется
на всем луче t^O.
Закончим теперь доказательство теоремы. Обозначим через z, v
решения последних двух уравнений системы D.2.20) с началь-
начальными условиями z@) = z0, v@) = v0t а решения возмущенной
системы
z' = - -J z + v + Rz,
обозначим через z, v. Разности \ = z — z, r\ = v — v являются
тогда решением возмущенной системы
~

152 Гл. 4. Краевые задачи
и решения г, и соответствуют решениям ^ = г[ == 0. Ясно, что
устойчивость решений г, и к постоянным возмущениям экви*
валентна устойчивости рещений i^r)=*Q,
Замечание. Доказательство теоремы 4.8 использует произ*
водную произведения рг (см. систему уравнений D,2.30)). Однако
можно перейти от системы D.2.23) к системе D.2.32), не исполь-
используя производной от рг, так что рг может быть и недифферен-
цируемым.
Устойчивость D.2.19) теперь легко проверяется, ибо функции qp
и г|) имеют положительные нижние грани (не зависящие от Ь)
на каждом отрезке [а + е, Ь], где е — произвольное положитель-
положительное число. Этот результат следует непосредственно из леммы 4.5
и того, что ф и г|з положительны.
4.2.8. Факторизация системы уравнений. Краевую многото-
многоточечную задачу для системы дифференциальных уравнений можно
записать в виде
где у(х) и Ь(х) суть n-мерные векторы. В точках xh i = 1, ..., s,
заданы определенные условия. Для такой общей задачи, которую
мы не будем подробно рассматривать, существует метод факто-
факторизации, удобный в смысле изложенного в п. 4.2.5. Подробнее
см. Тауфер [1966].
§ 4.3. Метод конечных разностей
4.3.1. Введение. Для решения краевых задач часто исполь-
используется метод конечных разностей. Мы опишем вначале его
применение к самосопряженным дифференциальным урав-
уравнениям второго порядка D.1.1) с краевыми условиями D.1.2)
и D.1.3).
Нас будут интересовать значения самого решения у(х).
Пусть п — целое число и h = {b — а)/п; определим (п+1)-мерный
вектор
у
(Ь)},
соответствующий точкам xk = a + kh, fe = 0, 1, ..., п. Метод
конечных разностей заключается в нахождении матриц АЛ, ВЛ

4.3. Метод конечных разностей 153
порядка п+\ и (п + 1)-мерного вектора gh, таких, что
Л| = оA) для /г-01), D.3.1)
причем Ал, Вл и gft не зависят от ул. Цроцесс построения Ал,
Ва» £л и их зависимость от функций р{х), q(x) и /(*) должны
быть сравнительно простыми. Ясно, что вектор ел будет зави-
зависеть от ул.
Обозначим через у л = {у0 уп} решение системы уравнений
Алул - Bhgll = 0. D.3.2)
Этот вектор можно интерпретировать как приближенное реше-
решение поставленной краевой задачи, так как погрешность аппрок-
аппроксимации Лл==Ул~Ул есть решение системы Алч)л = ел и потому
в некоторой норме ул —> ул.
Иногда нас интересует не само решение, а, например, зна-
значения его производных или z(х) = р (х) у'(х). Система D.3.1)
в этом случае должна быть построена для вектора zft. Вообще
предпочтительнее строить систему D.3.1) прямо в терминах
искомых величин, вместо того чтобы искать вектор уЛ и вычи-
вычислять с его помощью вектор zh; последняя процедура, как пра-
правило, приводит к потере точности.
Основная задача метода конечных разностей состоит в по-
построении наиболее подходящих матриц АЛ, ВЛ и вектора gh.
При их выборе следует учитывать не только сходимость к нулю
ошибки % и простоту счета, но также численную устойчивость
метода, предназначенного для решения системы D.3.2). На прак-
практике часто берут gh = ih, за исключением первой и последней
компонент, определяемых краевыми условиями, и полагают
ВЛ = I; матрица же АЛ получается заменой производных раз-
разностными отношениями. Однако этот способ не всегда будет
наиболее эффективным.
Заметим наконец, что деление отрезка [а, Ь] на равные
интервалы не является обязательным.
4.3.2. О некоторых интегральных тождествах, используемых
при решении самосопряженных дифференциальных уравнений
второго порядка. Изучим теперь некоторые свойства уравне-
уравнения D.1.1). С этой целью будем предполагать, что функции
р(х)> ро>О, q(x)^0 и f(x) непрерывны на [а, Ь]. Построим
тождества Марчука.
') На этой стадии определение используемой нормы не имеет значения.

154
Гл. 4. Краевые задачи
Теорема 4.9. Пусть у(х) — решение уравнения D.1.1) и
a^xk_i ^=xk_]/2<xk< xk+]/2^xk+] ^ b — заданные точки отрезка
[а, Ь]; тогда справедливы следующие тождества:
fc+l/2
xk+i xk J
xk
dx
p(x)
xk-l
dx
p(x)
ft-1/2
k+i x
dx
k + \ ■! PI
dx x.
[q(t)y(t) + f(t)]dt
j
p(x)
fc+l/2
xk
Xk X
dx
J p(x)
pUfc~l)y'Ufc-l) =
[q(t)y(t)
= O, D.3.3)
Xk-U2
Г dx
J p{x
p(x)
y{xk)-y{xk.x)-
xk x
dx
xk-i
xk-i
Доказательство. Пусть
z(x) = p(x)y'(x).
D.3.4)
D.3.5)
Интегрируя D.1.1) в пределах (xk_U2, xk+Xj2) и (xk_l/2, x) соответ-
соответственно, получаем
ft+l/2
2 (**+i/?)-2 (**-!/?) = j [q(x)y(x) + f(x)]dx, D.3.6)
[q(x)y(x) + f(x)]dx. D.3.7)
fc-l/2

# 4.3. Метод конечных разностей 155
Разделив D.3.7) на р (х) и снова интегрируя в пределах (xk_u xk),
найдем, что
у(хЛ-у(х. ,) = г(х„ ..„) ~ + -тт lq(t)y(t) + f(t)]dt
Xk-\ Vl Xfc-l/2
D.3.8)
и, следовательно,
20w) =
Г x/
г
J
Xk-\ Xk-\j2
D.3.9)
Отсюда следуют формулы D.3.4) и D.3.3), если положить
xk-w = xk-\ B D-3.9) и подставить z из D.3.9) в D.3.6) с подхо-
подходящим ВЫборОМ Xfr.
Тождества теоремы 4.9 были впервые доказаны Г. И. Мар-
чуком [1961]. Они пригодны для построения матриц АЛ, ВЛ и
вектора gh. Ясно, что при q(x) = 0 выбор АЛ и gh обус-
обусловливается формулой D.3.3) с ВЛ = 1; в этом случае век-
вектор sh в D.3.1) тождественно равен нулю. Следовательно, уЛ = уЛ.
Этот факт впервые был отмечен А. А. Самарским (см. Самар-
Самарский, Тихонов [1959]).
Тождества Марчука связывают значения решения в точках
xk-i, xk, xk+l. Как отмечалось ранее, нас часто интересует не
само решение у (х), а значения z(x), определяемые соотноше-
соотношением D.3.5). Поэтому удобно иметь аналогичные тождества
для z(x).
С этой целью предположим, что q(x)^ qo>O и (f(x)/q(x)Y
являются непрерывными функциями на [а, Ь]. Разделив D.1.1)
на q(x) и продифференцировав, получим уравнение

156 Гл. 4. Краевые задачи
После некоторых несложных преобразований первое тождество
Марчука можно представить в виде
xk+\
J q(x)dx-[z(xk)-z(xk.1)] J q(x)dx-
xk-i x\
Xk Xk + \ Vl/2
J q(x)dx J </(*)<** J y[§rf*-
Vl *fc Vl/2
x« ^fc+1 x
X
+ J ^U)rfx J <7(*)d* J fw^-
*'* Vi V1/2
"-ft ^fr+i x*>+i xk
f ^U)dje J f(jc)djc + J q(x)dx J f(x)dx = O. D.3.11)
xk
Учитывая тот факт, что z{x) непрерывно зависит от f(x)
и q(x), легко проверить, что D.3.11) применимо не только при
дополнительных предположениях о том, что q(x)^ qo>O и
(f (x)/q(x))' непрерывны на [а, Ь], но даже при исходных допу-
хк хк+,
щениях. Если оба интеграла q(x)dx и q(x)dx равны
xk-\ xk
нулю (при q(x)^0 это возможно только в случае, если q(x) — 0
на всем интервале (xk^u xk+l)), то тождество D.3.11) становится
бессмысленным. В этом случае, как легко проверить (см. D.3.5)),
zUfc+,)-zUft)= J f(x)dx,
D.3.12)
■2(л:й_.)= j f{x)dx.
xk-l

§ 4.3. Метод конечных разностей 157
Аналогичное тождество для D.3.10) получается из D.3.4):
[г
[г
q(x) dx
- \ q(x)dx j ~dt- J f(x)dx]+f(xk.l); D.3.13)
xk-\ xk-\ xk-\
xk xk
здесь мы предполагаем, что q(x) dx> 0. Если q(x)dx = 0,
xk-\ xk-\
то
z'(**-i) = /(**-i)- D-3.14)
Все эти результаты можно сформулировать в виде теоремы:
Теорема 4.10. Пусть у(х) — решение уравнения D.1.1),
a ^Xk-\ ^ Xk-\n<Xu < Jtfe+i/2^ Jtfe+i ^ Ъ — заданные точки на от-
отрезке [а, Ь] и z (х) — р (х) у' (х). Тогда применимы тождества
D.3.11) —D.3.14) при условии, что д(х)ФО на [xk^u xk+x],
q(x) = 0 на [xk-u xk+l], ц{х)Ф® на [xk.u xk] u q(x) = 0 на
[-■^а-ь *k] соответственно.
Эти тождества мы будем использовать в дальнейшем для
построения схем метода конечных разностей.
4.3.3. Метод конечных разностей для самосопряженного диф-
дифференциального уравнения второго порядка. Займемся теперь
построением матриц АЛ, ВА и вектора gh из п. 4.3.1. Основная
идея предлагаемого подхода состоит в вычислении интегралов
тождеств D.3.3), D.3.4), D.3.11) и D.3.13) с помощью подходя-
подходящих квадратурных формул. Вектор еЛ, и, в частности, его за-
зависимость от параметра h, будет характеризовать точность
построенных разностных формул. Всюду мы предполагаем
функции р (х), q(x), f (x) достаточно гладкими.
Хорошо известно, что при этих предположениях существует
единственное решение дифференциального уравнения D.1.1)
с граничными условиями D.1.2) и D.1.3), кроме того случая,
когда Р[ = р2 = Ц (х) — 0- Не теряя общности, мы опустим этот
случай, ибо он легко сводится к одной из рассматриваемых
задач.
В самом деле, если р, =р2 = q(x) = 0, то мы имеем уравне-
уравнение
(p(x)y'y = f(x)

158 Гл. 4. Краевые задачи
с граничными условиями
У'(а) = У1/*ь У'(Ь)=у2[а2. D.3.15)
Решение, содержащее произвольную аддитивную константу,
существует тогда и только тогда, когда
ь
\\(x)dx = p (b) Y2/«2 - Р (a) Yi/ai. D.3.16)
а
Поэтому граничные условия D.3.15) можно, например, заме-
заменить на
когда решение задачи будет единственным для любой непре-
непрерывной функции /. Так как / удовлетворяет D.3.16), то реше-
решение модифицированной задачи тоже будет решением, точнее
одним из решений, данной задачи.
Рассмотрим вначале метод конечных разностей в случае,
когда требуется определить значения самой искомой функции
в заданных точках. Мы рассмотрим некоторые конкретные ме-
методы построения матриц АЛ, ВЛ и вектора gh.
Пусть xk = a + kh, хк+и2 = а+ (k+ 1/2) h для k = 0, . .., п,
А = (ft - a)fn.
I. Предположим, что вторая производная р (х) и первые
производные q{x) и f(x) удовлетворяют условиям Липшица.
Как известно из теории дифференциальных уравнений, первая
производная функции q(x)y(x) в этом случае тоже удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица. Пусть
Г ^Ц«_*^, D.3.17)
J P (*) P (хк+ш)
•ft
*ft+l/2
| [? U) у (x) + /U)]rfx~/z [?(**) У (**)+/(**)], D.3.18)
Y«0. D.3.19)
Xk Xk+\I2
Подстановка этих и аналогичных выражений для интегралов
в пределах (хк.и хк), (xk, xk+l) в тождество Марчука D,3.3) дает
- р (*fc-i/2) У {Xk-i) + \р (Xk-ip) + p (Xk+42) + h2q (xk)] у (л:4) -
- р (хк+1Р) у (хы) = - h2f (Хк) + О {h% D.3,20)

<$ 4.3. Метод конечных разностей 159
Если условиям Липшица удовлетворяют только первые произ-
производные р (х), q(x) и f (х), то остаточный член в D.3.20) будет
О (/г3).
Граничные условия D,1.2) и D,1-3) преобразуем, используя
D,3.4), двумя различными способами, зависящими от квадра-
квадратурных формул,
I,. Предположим, что первые производные р (х), q(x) и f (х)
удовлетворяют условиям Липшица. Тогда, полагая
[' dx
X,
dx
р (х) р (х0) '
перепишем D.1.2) и D.1.3) в виде
- «, [У (*i) - У Uo)] + hfry (x0) = - AYl + О (/г2), D.3.21)
и
- «2 [У (хп) - у (*„.,)] - /гр2г/ (дс„) = - hy2 + О (/г2) D.3.22)
соответственно.
12. Второй способ приводит к аппроксимации более высо-
высокого порядка. Пусть вторая производная р (х) и первые произ-
производные q(x) и f (х) удовлетворяют условиям Липшица. Пусть
х,
Г dx h
J р (х) р (х|/2)
х0
X, X
dX f [q (t) y(t) + f (t)]dt « \ h2—±— [q (x0) у (хп) ■
откуда
~ T77T IP (*i/2) [ #(*i) ~ У (*o)] - 4" A2? (-^o) У Uo) I + PiAy (x0) =
P \Xo) i. * J
= — YjA—jr-4—г / (^o) + О (/г3) D.3.23)
с аналогичным выражением для граничного условия в точке
х-Ь.

160 Гл. 4. Краевые задачи
Уравнения D.3.20) — D.3.23) определяют теперь матрицы АЛ,
Вл и вектор gh. В случае 1Ь очевидно, имеем
- а, + ЛЭ, -а, 0 ... 0 0
-р{хи2) p{x\i2)+p(xzi2) + h2q(x\) -р(хзГ2) . .. О О
а в случае 12 первая строка матрицы АЛ будет иметь вид
Аналогичный вид имеет последняя строка, а все остальные
остаются без изменения. В случае I, ВЛ = I и
), ..., -А2/(*„_,),
в случае же 12 первая компонента gA равна, очевидно,
Компоненты остаточного вектора sh = {ег}, г = 0, ..., п, будут
иметь следующий порядок:
|е, | = О(Л") для i= 1, . .., п- 1,
|е/| = О(/г2) в случае I, для / = 0, /г,
18/1 = О (/г3) в случае 12 для ; = 0, п.
Если <х|=а2 = 0, то е{ = 0 для / = 0, п.
Как показано в п. 4.3.1, ошибка дискретизации % есть ре-
решение системы А/гг)Л = гЛ. Вектор x\h можно переписать в виде
ЛА = еоА;'{1,0,0, ...,0} + Аа'{0, е,, .... е„-,, 0} +
+ епАл'{0, ...,0, 1}.
В п. 4.3.5 будет показано, что
НА;1 {0, 1, .... 1, 0}1с = ОA//г2)')
и
Iaa'o, о, .... o}fc = o(i/A), ||а;,'{0 о, 1}|с =
Итак, в случае I, имеем ||% ||с = О (/г) и в случае 12 || % ||с = О (/г2).
') Символ || |1С обозначает норму, вычисляемую как максимум соответ-
соответствующих величин.
2) Заметим, что |AJj'{1 0 0}| не равна о (\/1г).

ff 4.3. Мст(м) конечных разностей 101
Из сказанного вытекает, что при а, ^= 0 необдуманная за-
замена граничного условия (см. случай 1Ь) может явиться при-
причиной уменьшения точности. Практические следствия этого
явления будут рассмотрены в п. 4.3.6.
Отметим, наконец, еще один важный факт. В реальных
расчетах наибольшие трудности вызывает решение линейных
алгебраических уравнений с матрицей А/г. В п. 4.5.1 мы пока-
покажем, что эта задача становится относительно простой, если АЛ
имеет трехдиагональныи вид. Именно такой вид имеет полу-
полученная выше матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти про-
простой метод построения другой трехдиагональной матрицы, для
которой остаточный вектор ед будет иметь (по параметру К)
более высокий порядок, ибо тогда те же самые вычислитель-
вычислительные методы дадут значительно более высокую степень точно-
точности.
В п. 4.3.2 мы отмечали, что при q (х) = 0 можно получить
еЛ = 0, т.е. точное решение. Ниже мы покажем, что даже
в общем случае остаточный член можно уменьшить до вели-
величины 8Л=О(/г6) (см. также Самарский и Тихонов [I960]).
II. Далее, предположим, что четвертая производная р (х) и
третьи производные q (х) и f (x) удовлетворяют условиям Лип-
Липшица. Действуя как и раньше, заменим интегралы в тождестве
Марчука следующими приближенными квадратурными форму-
формулами:
k
Г
J
р (х) ~ 6 П [р
k
J [q(x)y(x) + f (x)] dx « h\q{xk)y{xk) + f (xk) +
xk-\p
^ ) - 2<7 (xk) у (xk) + q (xk^) у
i [f (xk+i) ~ 2f (xk) + f U*.,)]}, D.3.25)
1 \
~7TTZ—Г w l-^ft/ У V-^fc/ + / \xk) + 'J l<7 \xk+\) У \Xk+\) + I \Xk+\)\i ( ■
D.3.26)

162 Гл. 4. Краевые задачи
Тогда
У Ua-i) [ — Pft-1/2 + -24 Л29 (**-i) + 48
+ у (хм) [-pk+U2+^ h2q (xk+l) + 1 h*,,k+ll.>q
11
[i l(^^Tiy)]} D.3.27)
где
A-1/2
(-Vl)
Аналогичным образом следует переписать краевые условия.
Как видно из формулы D.3.27), Ah и ВЛ будут трехдиагональ-
ными матрицами, если для простоты положить а|=а2 = 0. Так
как [[ *)й ||с = О (/г1), то точность имеет порядок /'Л Эффект та-
такого улучшения схемы будет продемонстрирован на примгре
в п. 4.3.6.
В случае трехточечных формул более высокая степень точ-
точности может быть получена при условии, что функции р, q и /
достаточно гладки. Это объясняется тем, что интегралы тож-
тождества Марчука, не содержащие у(х), можно вычислить с про-
произвольной точностью. С другой стороны, выражения, содержа-
содержащие у{х), можно аппроксимировать более точно, так как неко-
некоторые свойства производных из D.1.1) определяются значениями
у{х). По мнению авторов, этот подход более эффективен по
сравнению с другими подходами, опирающимися на так назы-
называемые формулы повышенного порядка точности, рекомендуе-
рекомендуемые в литературе; см., например, Коллатц [1960], Вазов,
Форсайт [1960].
До сих пор мы имели дело с приложением метода конеч-
конечных разностей к задачам, в которых нас интересуют значения
самого решения. Наше исследование базировалось на тожде-
тождестве Марчука (теорема 4.9). Аналогичный подход можно при-
применить для построения конечно-разностных методов, если нас
интересуют производные от решения. В этом случае можчо

jjt 4.3. Метод конечных разноией lf>3
использовать тождества теоремы 4.10. Мы рассмотрим здесь
только простейшую ситуацию, аналогичную случаю I. Предпо-
Предположим, что вторые производные q{x) и f (х) и первая произ-
производная р (х) удовлетворяют условиям Липшица. Интегралы,
фигурирующие в теореме 4.10, будем теперь вычислять с по-
помощью следующих квадратурных формул:
xk+i
f q{x)dx~ hq{xk+]/2), D.3.28)
xk+i
q(x)dxj -?ftdt~O, D.3.29)
Xk+\/2
—7~ dx « h—7-Ч , D.3.30)
,' p (x) p (Xl;) '
ЛТ1
j f{x)dx**hf(xMI2). D.3.31)
x\
Предполагая, что q (x) ^ qa > 0, легко получаем уравнения
4xk-m) ^{xk+V2) P{xk)}~Vk> q{xk+U2)
= - h \ \ й+1<% - \ R~iU\ + О (/г4). D.3.32)
\<7(%H/2) Q(xk-\I2))
Граничное условие, например D.1.2), можно переписать сле-
следующим образом:
ai ~гт — Pi — , ! а = Yi. D.3:33)
р(а) g (а)
Это условие снова можно представить в двух видах.
Ii. Пусть первая производная р и вторые производные q
и / удовлетворяют условиям Липшица; тогда в точке х0 = а имеем
J q (x) dx « hq (x0),
D.3.34)
{/(x)d.t-/i/a-0),
-V,,
Х[ X
{ q{x)dx[-^grdt~O, D.3.35)
11*

164 Гл. 4. Краевые задачи
и по D.3.13)
Аа' fef - т<к)[z {Xi)~z {Хо) ~hf {Xo)]=
Граничное условие в точке х = b получается аналогичным
образом.
12. Пусть вторые производные q и f и первая производная р
удовлетворяют условиям Липшица. Записывая
J
hq(xU2),
D.3.37)
]f(x)dx~hf(xm),
и вспоминая, что ^-(jc)>0, получаем
to - P (' (V7 V
D.3.39)
Общий вид матриц АА, ВА и вектора gA теперь очевиден.
Далее, как и в первой части, можно показать, что || % 11с= О (h)
или II % lie = О (^2) Для случаев Ii и 12 соответственно.
Одна из физических интерпретаций уравнения D.1.1) состоит
в том, что это уравнение описывает диффузию или процесс
теплопередачи. В случае диффузии с осевой, цилиндрической
или. сферической симметрией уравнение D.1.1) можно записать
в виде
где
а = 0 для декартовых координат,
а= 1 для цилиндрических координат,
а = 2 для сферических координат.
Результаты пп. 4.3.1—4.3.3 применимы и в этих случаях.
4.3.4. Другой подход к построению конечно-разностных
формул. В предыдущем разделе теоремы 4.9 и 4.10 использо-
использовались для построения разностных формул. Ясно, что этот
подход имеет большие достоинства. Во-первых, численное инте-

$ 4.3. Метод конечных разностей 165
грирование, как правило,— более точная операция, чем числен-
численное дифференцирование. Во-вторых, тот факт, что известные
функции р(х), q(x) и f{x) менее гладки, чем решение у(х),
можно обойти подобно тому, как это делается при вычисле-
вычислении интегралов Фурье методом Файлона [1928]. Однако в боль-
большинстве случаев используется другая техника, основанная на
аппроксимации производных конечными разностями. Иногда
эта процедура приводит к формулам п. 4.3.3.
Для уравнения D.1.1) применение этой процедуры дает сле-
следующие формулы:
I. Полагая
) [У()()\ () <4340)
[p{x)y'{xMI2)-p{xk^2)y'{Xk_ll2)} D.3.41)
и подставляя в D.1.1), получим
- Р (*fc-i/2) У (х^) + \Р (-V1/2) + Р (xk+V2) -
- Р (xk+m) У {xk+l) = - A2/ (xk) + О (h4). D.3.42)
II. Переписывая D.1.1) в виде
py" + p'y'-gy = f D.3.43)
и полагая
ц" (хь) *» -гц- [y{xk_\) — 2y{x/t) + r/(x4+1)], D.3.44)
)], D.3.45)
Р'(xk) ^~[р(хш) - р(**_,)!, D.3.46)
получим из D.3.43)
— У (Xk-x) [Р (х^ fe+l 4 ^—) + у (xk) [2p (xk) + h2q] —
-j/fe+i)(pfe)+P 4p(**-i j= -h2f{xn) + OUi% D.3.47)'
Мы видим, что формулы D.3.42) и D.3.20) совпадают, в то'
время как D.3.47) отличается от них. Можно показать, что при
достаточно гладких р, q и f мы получим сходящуюся процедуру;
если же р(х) разрывна, то метод будет расходящимся (см.
Самарский, Тихонов [1961]).
Посмотрим теперь, как переписываются краевые условия
D.1.2). Обычно используются следующие три формулы:

166 Гл. 4 Краевые задачи
I. Если
У (Xl) - У I
У
то условие D.1.2) принимает вид
X ly (xi) - у (х0)] ~ Pi# (*о) = Yi + О (h). D.3.48)
II. Полагая
где у{х„\) обозначает значение решения в точке a — h, и исполь-
используя условие D.3.42) или D.3.47) в точке х = х0, получим из D.3.42)
-=Y,+ £%{X°\+O{h*). D.3.49)
Будем предполагать, что функция р(х) определена не только
на отрезке [а, Ь], но и на отрезке [a — h, b + h], где она должна
удовлетворять тем же самым предположениям относительно
гладкости.
III. Аппроксимируя t/(xQ) разностным выражением второго
порядка
У \Хо) ~ jit
(не вводя фиктивного значения у{х^)) и используя D.3.42) для
k= 1, найдем, что
Конечно, исходную задачу D.1.1) с краевыми условиями
D.1.2) и D.1.3) можно переписать многими различными спосо-
способами. Выбор формул во многом зависит от интуиции и способ-
способности понять специфические свойства рассматриваемой задачи.
При этом существенно, чтобы расчеты могли быть выполнены
с желаемой точностью для наибольшей возможной величины
шага /г, чтобы они требовали наименьших усилий и были бы
к тому же надежными. Неудачный выбор разностной схемы
может дать требуемую степень точности только при очень ма-
малых /г, но при этом будут расти ошибки округления, в резуль-

§ 4.3. Метод конечных разностей 167
тате чего эту схему нельзя будет использовать для вычислений.
Проблема оптимизации разностных схем обсуждается в после-
последующих параграфах этой главы.
4.3.5. Сходимость метода конечных» разностей.
Определение 4.1. Матрицу А = {а;, J, i, k=l,...,n,
будем называть неприводимо диагонально преобладающей, если
аи>0, aLj^.O для i¥=j,
n
Sau>0 для i = l, 2, ..., п, D.3.51)
п
2 a/o k > 0 для некоторого /о D.3.52)
fc-i
и матрица А неприводима. Матрица А называется приводимой,
если можно переставить индексы 1, 2, ..., n e последователь-
последовательности р,, ..., рг, ст,, ..., оп_г так, чтобы ар 0 = 0 для
v= 1, 2, ..., г, ц= 1, 2, ..., гс-г.
Теорема 4.11. Пусть \ = {хи ..., хп} —решение системы ли-
линейных алгебраических уравнений
Ах = г D.3.53)
(г = {гь ..., г„}) с неприводимо диагонально преобладающей
матрицей, и пусть у = {у\, ..., уп} —решение той же самой
системы с другой правой частью s = {su ..., sn}:
Ay = s. D.3.54)
Тогда если |r,-|^s,- для всех i, то |х,-|^г/г для 1=\, ..., п.
Доказательство. Обозначим через z = {z,, .... г„} ре-
решение системы
Az = t, t = {/,, ..., tj, t,^0, D.3.55)
и докажем, что zt > 0. Если это не так, то z/ = min (г, г„) < 0.
I. Если при этом / неравенство D.3.52) выполняется, то
п п
2 aUkzk < г/ 2 aUk < 0,
ft-i k=\
т. е. мы пришли к противоречию.
II. Предположим теперь, что для этого / неравенство D.3.52)
не выполняется; тогда по D.3.51)
п п п
tj = 2 ajjkzk = 2 ahk (zk - Zj) + z, 2 a,ik

168 ■ Гл. 4. Краевые задачи
и так как оба слагаемых не положительны, то
п. п
2а;л = 0. 2 a/, k (zk - zj) = 0.
*=i ft-i
Следовательно, для всех тех &, для которых a/, j =^ 0, выпол-
выполняется равенств-! zk = z}, и приведенный выше результат при-
применим для любого /г, такого, что zk = Zj. В силу предположения
о неприводимости матрицы А все zk равны между собой.
По D.3.52) при / = /0 получаем противоречие, и потому 2,^0
для i = 1, . . ., п..
Утверждение теоремы следует теперь прямо из этого резуль-
результата. Действительно, величины zt = yt — Xf или zt = yt + xt пред-
представляют собой решения систем уравнений с правыми частями,
удовлетворяющими неравенствам ti = si — rl~^Q или ti = si + ri^O
соответственно. Однако, как только что было показано, z(-^0
и потому ]хг]^г/г, что и требовалось доказать.
• Используем теперь теорему 4.11 для доказательства сходи-
сходимости приближенных решений предыдущих разделов. Докажем
лишь сходимость метода конечных разностей для D.3.20) —D.3.22),
так как техника доказательства других случаев совершенно
аналогична. Доказательство основывается на идее, предложен-
предложенной Гершгориьым [1930].
Пусть z(x), a^x^b, обозначает вспомогательную функцию,
удовлетворяющую дифференциальному уравнению
{pz?)'-qz = —\
с краевыми условиями
o,z'(e)-p1z(a) 1,
Далее, пусть уЛ и уй обозначают (п +1)-мерные векторы точного
и приближенного решений (см. п. 4.3.1) соответственно, а
Лл = Ул~Уй обозначает вектор ошибок.
В силу предположений относительно D.3.20) — D.3.22) имеем
АЛ щ = еЛ,
eh = {O(h2), О (/г4) O{h\ O(h2)}
и
ЕА = {О(А), О (/г2) О (/г2), О (/г)}.
Легко проверить, что матрица Ал удовлетворяет при с^ Ф 0,
a2 ^ 0 предположениям теоремы 4.11, и потому для достаточно
малого "li ииеет место равенство r\h = О (hzh).

4,3. Метод конечных разностей 169
Предположения теоремы не выполняются при а( = О пли
а2 = 0. Однако поскольку в этом случае известны зчач^чия у (а)
или у(Ь), в матрице АЛ можно отбросить перв ю или послед-
последнюю строку и столбец, и мы снова придем к матрице, удовлет-
удовлетворяющей предположениям теоремы 4.Ц. Конеч-ю, мы дэлжкы
отбросить также первую или последнюю компоненты вектсртв
sh и £л. Например, при aj = a2 = 0 имеем r\h = О (h2zh).
Доказательство сходимости метода завершено. Отметим, что
эти результаты приводят нас к выводам, изложенным в п. 4.3.3.
Аналогично доказывается
Теорема 4.12. Пусть д.:я кра°вой зада-ш D.1.1) — D.1.3)
вторая производная р(х) и первые прэизводчы" q (х) и fix)
удовлетворяют условиям Липшица и р(х)^ ро>'О и q(x)>r>
на [а, Ь]. Тогда {в максимальной норме) погп-шность % при-
приближенного решения, полученного по формула:,'. > 4.3.20) — D.3.2?\
имеет порядок O(h). Если же краевые условчя гапчса-'ы в виде
D.3.23), то погрешность имеет порядок O(h2). Если четвертая
производная р (х) и третьи производные q (x) и f (x) удовлетво-
удовлетворяют условиям Липшица, то ошибка приближенного решения,
полученного по D.3.27) для сц = а2 = 0. имеет порядок О (!г4).
Замечание. Системы уравнений, соответствующие D.3.20) —
D.3.22) или D.3.23), можно решить для любого зчпчлния /г,
в то время как в случае D.3.27) мы должны ограничиться ма-
малыми h.
Аналогичные результаты можно получить относительно при-
приближенных решений уравнений, содержащих производные от
искомых функций.
В теореме 4.12 предполагается, что все функции достаточно
гладки. Необходимо подчеркнуть, что сходимость имеет место
при гораздо менее ограничительных предположениях; например,
метод, соответствующий системе D.3.20), будет сходиться, если
q и f непрерывны, а р имеет непрерывную первую производную.-
Однако в этом случае скорость сходимости будет, очевидно,
отличаться от той, которая установлена в теореме 4.12. В об-
общем случае, когда функции р, q к f недостаточно гладки,
лучше отправлятьея прямо от тождества Марчука и использо-
использовать квадратурные формулы подходящего порядка (в зависи-
зависимости от поведения этих функций). Таким способом можно
решать задачи даже с разрывными функциями р, q, f.
4.3.6. Примеры. Рассмотрим дифференциальное уравнение
y"-(l+2{g2x)y = 0 D.3.56)
С точным решением у (х) = 1/cos x,

170
Гл. 4. Краевые задачи
Пример 4.4. Пусть вначале краевые условия имеют вид
y@)=l, */(l)=l/cosl. D.3.57)
В табл. 4.4 представлены приближенные решения, соответ-
соответствующие D.3.20) для h = 1/20, 1/40 и D.3.27) для h = 1/20,
и точное решение. Очевидно, D.3.27) дает лучшие результаты
при одинаковых «вычислительных» затратах.
Таблица 4.4. Решение краевой задачи для уравнения D.3.56) и
краевых условий D.3.57) по формулам D.3.20) и D.3.27)
X
0,05
0,10
0,13
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Решение уравнений
D.3.20)
Л = 1/20
1,001330 92
1,005 182 03
1,011594 45
1,020 65137
1,032 469 67
1,047 205 85
1,065 06102
1,086 288 35
1,111202 29
1,140 190 73
1,173 731 02
1,212 411 67
1,256 960 62
1,308 284 07
1,367 518 95
1,436 106 76
1,515 897 30
1,609 209 08
1,719 501 92
D.3.20)
D.3.27)
для
Л= 1/40
1,001 242 47
1.005 002 58
,011 327 88
1,020 299 24
,032 033 51
1,046 687 08
1,064 46137
1,085 609 82
,110 447 16
1,139 361 76
1,172 83185
1,211 447 05
1,255 985 54
1,307 35617
1,366 65159
1,435 319 40
1,515 218 50
1,608 771 19
1,719 188 82
h = 1/20
1,001250 72
1,005 019 69
1,011354 50
1,020 336 13
1,032 081 55
1,046 747 39
1,064 535 81
1,085 699 81
1,110 554 57
1,139 488 87
1,172 981 44
1,211 622 69
1,256 143 29
1,307 453 20
1,366 694 92
1,435 318 09
1,515 184 59
1,608 721 11
1,719 146 14
Точное решение
1,001 251 303
1,005 020 918
1,011 356 443
1,020 338 845
1,032 085 024
,046 751602
,064 540 183
,085 704 428
,110 559 407
,139 493 927
,172 986 787
,211 628 314
,256 149 167
1,307 459 260
1,366 701 125
1,435 324 200
1,515 190 208
1,608 725 810
1,719 149 169
Пример 4.5. Рассмотрим теперь краевые условия
г/'@) = 0, //'(!) = —tg 1/cos 1.
D.3.58)
В табл. 4.5 приведены приближенные решения, полученные
по формуле D.3.20) для одной и той же краевой задачи, запи-
записанной в виде D.3.21), D.3.22) и D.3.23). Ясно, что неудачное

§ 4.3. Метод конечных разностей
171
представление граничных условий в случае D.3.21) привело
к значительной потере точности.
Таблица 4.5. Решение краевой задачи для уравнения D.3.56) и
краевых условий D.3.58) по формулам D.3.20), D.3.21) и
D.3.20), D.3.23) соответственно
X
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Решение уравнений
D.3.20), D.3.21)
D.3.20), D.3.23)
для
Л =1/20
1,1255128
,128 340 7
,134 046 2
,142 7163
,154 478 0
,169 502 3
,188 009 8
,210 278 8
,236 655 3
1,267 566 2
,303 537 6
1,345 217 8
1,393 409 1
1,449 110 4
1,513 574 7
1,588 390 8
1,675 597 7
1,777 849 9
1,898 663 0
Л = 1/20
0,997 739 34
1,001 491 74
1,007 799 14
1,016 740 23
1,028 432 11
1,043 030 34
1,060 735 13
1,081 798 42
1,106 533 12
1,135 325 15
1,168 649 62
1,207 092 20
1,251 377 35
1,302 406 92
1,361 312 40
1,429 528 44
1,508 895 95
1,601 811 83
1,711450 63
Точное решение
1,001251303
1.005 020 918
1,011356 443
1,020 338 845
1,032 085 024
1,046 751 602
1,064 540 183
1,085 704 428
1,110 559 407
1,139 493 927
.1,172 986 787
1,211628 314
1,256 149 167
1,307 459 260
1,366 701 125
1,435 324 200
1,515 190 208
1,608 725 810
1,719 149 169
Пример 4.6.' Это тот случай, когда нас интересуют не
сами значения у(х), а значения производной. Рассмотрим снова
дифференциальное уравнение D.3.56) с граничными условиями
D.3.57).
В первом столбце табл. 4.6 даны приближенные значения
t/(x), полученные по D.3.20) для /г= 1/20 при помощи формулы
с центральными разностями. Второй столбец дает значения у'{х),
вычисленные по D.3.32) с краевыми условиями в виде D.3.39).

172
Гл. 4. Краевые задачи
Последит: столбец содержит результаты, полученные по D.3.32)
для граничных условий D.3.36), и точное решение.
Таблица 4.6. Решение краевой задачи для у' (х) для уравнения D.3.56) и
краевых у слон ш D.3.57) по формулам D.3.20) или D.3.32), D.3.39)
или D.3.32), D.3,36) соответственно
X
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0;30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0.G0
f,ri5
0.70
0,75
0,80
0.85
0,90
0,05
Решение уравнений
D.3.20)
D.3,32), D.3.49)
D.3.32). D.3.36)
D.3.32), D.3.36)
для
h •=■ 1/20
0,051 820 3
0,102 6130
■ 0,154 693 4
0,208 752 2
0,265 544 8
0,325 913 5
0,ХЮ825€ -
0,4ГI 412 7
0,539 023 8
0,025 2873
0,722 209 4
0,832 296 0
0,958 724 0 ■
1,105 583 3
1,278 226 9
1,483 783 5
1,731 923 2
2,036 046 2
2,-115 1664
Л- 1/2П
0,049 е,53 23
0,100 342 87
0,152 308 10
0,206 236 70
0,262 879 08
0,323 074 88
0,387 785 18
0,458 132 73
0,535 453 48
0,621 363 98
0,717 851 33
0,827 395 36
0,953 137 45
1,099 118 30
1,270 619 02
1 474 660 76
1,720 753 62
2,022 04790
2,397 155 36
h = 1/20
0,249 304 39
0,300 436 15
0,353 368 40
0,408 827 11
0,467 619 98
0,530 665 60
0,599 029 35
0,673 968 69
0,756 991 65
0,849 933 69
0,955 060 66
1,075 208 87
1,213 979 00
1,376 009 27
1,567 367 67
1,796 126 66
2,073 224 70
2,413 790 87
2,839 240 33
h =. 1/40
0,144 546 53
0,195 552 93
0,248 088 02
0 302 859 75
0,360 648 05
0,422 332 74
0,488 927 69
0,561 623 62
0,641843 25
0,731 313 56
0,832 116 26
0,947 050 77
1,079 353 17
1,233 415 77
1,414 924 09
1,631 443 11
1,893 227 82
2,214 470 70
2,615 277 67
Точное решение
0,050 104 325
0,100 838 444
0,152 851 576
0,206 832 923
0,263 534 572
0,323 798 214
0,388 587 500
0,459 028 469
0,536 461 347
0,622 508 369
0,719 164 314
0,828 919 527
0,954 930 122
1,101 257 742
1,273 213 929
1,477 865 138
1,724 790 580
2,027 249 050
2,404 028 266
Пример 4.7. В качестве второго варианта определения у'
рассмотрим D.3.56) с краевыми условиями D.3.58).
В первых двух столбцах табл. 4.7 приведены результаты,
полученные при Л = 1/20 из D.3.20) и D.3.21) и из D.3.20) и
D.3.23) соответственно, причем производная вычислялась с по-
помощью центральных разностей, а значения решения в точках
х = 0,05 и х — 0,95 не использовались. Третий столбец содержит
результаты, полученные из D.3.32) с граничными условиями
D.::-.':Аз) пли D.3.39), а в последнем столбце опять приведено
точное решение.

§ 4.3, Метод конечных разностей
173
Таблица 4.7. Решение краевой задачи для г/ (х) для уравнения D.3.56) и
краевых условий D.3.58) по формулам D.3.20), D.3.21) или D.3.20), D.3.23)
или D.3.32), D.3.36) соответственно
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Решение уравнений
D.3.20), D.3.21)
D,3.20), D.3.23)
D.3.32), D.3.36)
для
ft= 1/20
0,085 334
0,143 756
0,204 318
0,2E7 860
0,335 318
0,407 765
0,486 455
0,572 874
0,668 823
0,776 516
0,898 715
1,038 926
1,201 656
1,392 804
1,620 230
1,894 591
2,230 653
—
А=1/20
0,100 589
0,152 476
0,206 330
0,262 902
0,323 031
0,387 681
0,457 981
0,535 269
0,621 166
0,717 671
0,827 278
0,953 148
1,099 351
1,271215
1,475 835
1,722 834
2,025 547
—
А- 1/40
0,050 206 6
0,101043 7
0,153 161 1
0,207 248 8
0,264 059 3
0,324 435 0
0,389 339 9
0,459 900 3
0,537 456 3
0,623 629 6
0,720 413 6
0,830 296 1
0,956 428.5
1,102 864 4
1,274 9017
1,479 584 1
1,726 452 1
2,028 698 1
2,404 993 4
То^НОС 0 6Г1ГС ИИе
0,050 104 325
0,100 838 444
0,152 851576
0,206 832 923
0,263 534 572
0,323 798 214
0,388 587 500
0,459 028 469
0,536 461347
0,622 508 369
0.719 164 314
0,828 919 527
0,954 930 122
1,101257 742
1,273 213 929
1,477 865 138
1,724 790 580
2,027 249 050
2,404 028 266
Пример 4.8. Рассмотрим уравнение
с краевыми условиями
2'@)=1,
и точным решением
= (l+2tgzl)/cosl
D.3.59)
D.3.60)
z (х) = sin jc/cqs2 x;
требуется определить приближенные значения
2/(jC)/(l+2tg2JC).

174
Гл. 4. Краевые задачи
В первом столбце табл. 4.8 выписаны значения z'(\ + 2tg2.v),
вычисленные по D.3.20) и D.3.23) с h = 1/20 с использованием
центральных разностей. Во втором столбце представлены ре-
результаты, полученные по D.3.32) и D.3.36) для h = 1/20; в
третьем столбце дано точное решение.
Таблица 4.8. Решение краевой задачи для z'/(l +2tg2 х) для
уравнения D.3.59) и краевых условий D.3.60) с помощью
формул D.3.20), D.3.23) или D.3.32), D.3.36) соответственно
X
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Решение
D.3.20)
D.3.23)
ft = 1/20
_
1,006 2879
1,012 675 5
1,021740 4
1,033 601 2
1,0484172
1,066 393 6
1,087 789 4
1,112 926 9
1,142 204 7
1,176 115 1
1,215 266 7
1,260 414 9
1,312 504 2
1,372 725 2
1,442 595 2
1,524 074 9
1,619 736 9
—
уравнений
D.3.32)
D.3.36)
1ЛЯ
ft = 1/20
1,001242 47
1,005 182 03
1,011594 45
1,020 65137
1,032 469 67
1,047 205 85
1,065 061 02
1,086 288 35
1,111202 29
1,140 190 73
1,173 73102
1,21241167
1,256 960 62
1,308 284 07
1,367 518 95
1,436 106 76
1,515 897 30
1,609 299 08
1,719 50192
Точное решение
1,001 251303
1,005 020 918
,011356 443
,020 338 845
,032 085 024
,046 751602
,064 540 183
,085 704 428
,110 559 407
,139 493 927
,172 986 787
,211 628 314
,256 149 167
,307 459 260
,366 701 125
,435 324 200
,515 190 208
,608 725 810
,719 149 164
Отметим, что значения z'/( 1 + 2 tg2x), вычисленные прямо
по D.3.32) и D.3.36) или с помощью центральных разностей по
D.3.20) и D.3.23), отличаются очень слабо. Но в других слу-
случаях эта разница может оказаться гораздо более заметной,
например когда функции р, q и / недостаточно гладки.
4.3.7. Метод конечных разностей решения самосопряженных
краевых задач для дифференциальных уравнений более высо-
высокого порядка. Мы опишем метод доказательства сходимости

§ 4.3. Метод конечных разностей 175
конечно-разностных схем для самосопряженных положительно
определенных задач. Основное отличие от техники, использо-
использованной в предыдущем разделе для уравнений второго порядка,
заключается в том, что принцип максимума, игравший там
существенную роль при доказательстве сходимости, здесь уже
неприменим. *
Для простоты рассмотрим краевую задачу для уравнения
четвертого порядка, записанного в самосопряженной форме
(р (х) у" (х))" - (q (х) у' (х))' + г(х)у (х) = f (x).
Конечно, проблемы, возникающие в связи с применением
метода конечных разностей для этого уравнения, будут более
сложными, чем в случае уравнений второго порядка. Помимо
того, что принцип максимума здесь не работает, имеются и
другие трудности при -формулировке краевых задач в терминах
производных искомого решения. При q(x) — 0 мы имеем пол-
полную аналогию с процедурой, развитой для уравнения второго
порядка. Конечно-разностные формулы получаются из интеграль-
интегральных тождеств, аналогичных тождествам Марчука. Выкладки
сильно упрощаются при q(x) = 0. Ограничимся поэтому только
этим случаем. Следует, однако, заметить, что такое упрощение
несущественно и общий случай (в том числе и сходимость) мо-
может быть легко исследован.
Рассмотрим решения уравнения
y")" + r(x)y = f(x), р(х)>ро>О, г(х)> 0 D.3.61)
на отрезке [а, Ь] для краевых условий общего вида
у(а) = а, у'(а) = р, D.3.62)
у(а) = а, у"(а) = р, D.3.63)
у"(а) = а, (р(*)у"(*));=а = р, D.3.64)
записанных для точки х = а. Мы рассмотрим случаи, когда
некоторые из этих условий заданы при х = а, а остальные —
при х = Ь. Случай, когда краевые условия D.3.64) заданы на
обоих концах отрезка и одновременно г(х) = 0, мы исключим
из рассмотрения так же, как для уравнений второго порядка.
Установим вначале тождество, аналогичное интегральному
тождеству Марчука из теоремы 4.9, методом, несколько отли-
отличающимся от того, который был изложен в п. 4.3.2. С этой
целью в окрестности точки х — 0 рассмотрим уравнение
(p(x)f(x))" = F(x), D,3.65)

176 Гл. 4. Краевые задачи
Проинтегрировав два раза и разделив на р (х), получим
dL <
о
Два последующих интегрирования дают
X X
J ^-dt + d J
О
t
+ j^-dtj(t-s)F(s)ds = O. D.3.67)
о о
Полагая теперь x = xk, xk = kh, k = — 2, — 1, ..., 2, получаем
пять уравнений; исключив из них константы сь d\, с, d, при-
приходим к искомому разностному уравнению для y(xk):
I Z (Xj) _ Z (Хд) \ 1 / Z (Хд) _ Z(X-j) \ 1
V, Yo
I Y, Yo / h + 6l/Yl - 6O/Yo I Yo Y_, / h + yYo - б.,
)-y(^+i). /=-1,0,
xi+l
J p(x) flXf °' J P(x) ax'
., /у_
где
xi+\
Q(x) = h-\x\, R(x) = xQ(x),
t
^f~dt\(t-s)F(s)ds +
0 0 .
xi t xi+\ t
+ 2/ ^dtj(t-s)F(s)ds- J *!j±zLdtj(t-s)F(s)ds.
0 0 0 0
Выражение D.3.68) аналогично тождеству Марчука. Полагая
F(x) = f(x)-r(x)y(x)
и заменяя в нем интегралы подходящими квадратурными фор-
формулами, мы будем получать различные схемы метода конечных
разностей,

§ 4.3. Метод конечных разностей 177
Рассмотрим одну возможную схему. Пусть первые три про-
производные р (х) и первые производные г(х) и / (х) удовлетворяют
условиям Липшица. Тогда каждое решение у(х) дифферен-
дифференциального уравнения D.3.61) имеет пять производных, удовле-
удовлетворяющих условию Липшица. *
Полагая
д£ «О,
/=0 ~ - т» U (х0) - г (х0) у (х0)]
/х \
и заменяя х0 на xt, получим из D.3.68) разностную формулу
Р (*;_,) Z (*Ь1) - 2р (Xt) Z (Xi) + p (Xi+l) Z (Xi+i) =
= -h*[f(xi)-r(xi)y(xi)] +
которую можно переписать в виде
Р (xi-i) У (**-2) - 2 [р (х^) + р (*,)] у (л;,-_,) +
+ [р (xt-i) + 4p (jcf) + p {xi+i)] у (xt) -
- 2 [р (х{) + р (хш)] у(хш) + р (хш) у (х1+2) =
= W [f (xt) - г (Xt) у (х,)] + О (Л6). D.3.69)
Уравнение D.3.69) расписывается в каждой точке xh i = 2, ...
. ..-, п — 2. В точках г" = 0, 1 и i = n— \, n разностные уравне-
уравнения получаются из краевых условий, аппроксимацию которых
мы рассмотрим позже. Опять существует большое число раз-
различных вариантов. Поскольку мы не собираемся детально
исследовать эту задачу, то ограничимся приведенным выше
приближением. Вместо интегральных тождеств при формули-
формулировке краевых условий мы используем следующий прямой
метод:
I. Граничное условие D.3.62). Пусть две произвол-
ные у(х) удовлетворяют условиям Липшица на [a — h, a + h].
Тогда
у(хо) = а, D.3.70)
у (*_,) = у (*,) - 2«ft + О (л9). D.3.71)
Фиктивное значение у{х.{) .можно исключить, используя D.3.69)
при i— 1.

178 Гл. 4. Краевые задачи
II. Граничное условие D.3.63). Если три производ-
производных у(х) удовлетворяют условиям Липшица на [а — h, a + h], то
У(хо) = а, D.3.72)
у (*_,) = 2а - у (xi) + рА2 + О (Л4). D.3.73)
Снова j/(jc-i) можно исключить с помощью D.3.69) при /=1.
III. Граничное условие D.3.64). Пусть три производ-
производных у (х) и первая производная р(х) удовлетворяют на
[a — 2h, a + 2h] условиям Липшица. Тогда
D.3.74)
- у <х,2) + 2у (*_,) - у (Хо) = у^у [- А2ар (х0) + p/i3] + О (А4).
D.3.75)
Значения у(х^) и у(ж-2) исключаются с помощью D.3.69) при
1 = 0, 1.
Рассмотрим теперь проблему сходимости. Для простоты вы-
выберем некоторую основную комбинацию краевых условий.
Будем действовать точно так же, как в п. 4.3.1. Уравнение
для погрешности имеет вид
где
8ft = {8o. e,, ..., е„_„ е„}
и порядки величин | е/1 = О (Л6), / = 2, ... , п — 2, и в; 7 = 0, 1,
«—1, п, зависят от краевых условий. Рассмотрим условия
D.3.62) - D.3.64) отдельно.
I. Краевые условия D.3.62) заданы на обоих
концах [а, Ъ]. Тогда
eo = en = O, е, = е„., = О (Л3) D.3.76)
и вектор ошибок % = {r)i, •••. Л/г-i} должен удовлетворять си-
системе уравнений
= «*. «Л = К .... е„_,},- D.3.77)
где В^" = {Ь'Д} —симметричная пятидиагональная матрица с эле-
элементами
V?\ = 2р (х0) + 4р (Xl) + р (х2) + h*r (Xl),
b\-\ = Р ixi-) + 4Р (xi) + Р (*ы) + h*r Ю- i = 2, ..., п-2,
^1,, „_, = Р (^.2

§ 4.3. Метод конечных разностей 179
Для произвольного вектора и = {ии и2, ..., «„_,} суммирование
дает
л-1 п-\
(Bmu, и) - J z]p (*,) +1 ф К) +1 z£p К) + Л< 2 г (Х|) «?,
D.3.78)
где
2,- = -ut.i + 2ut-ut+i,
«_,=«!, Ип+1=И„-1, «0 = «« = 0.
По предположению р(х)^ ро>О и потому
(Bk1]u, u)>(Cu, u), D.3.79)
где С —матрица, полученная из Вк при г(хг) = 0 и р(х{) = ро.
Докажем теперь, что
(Си, ^
В самом деле, из D.3.78) следует, что
(
Ясно, что
_ 1 _ 1
ui — ~yzo. un-i у2„
и потому
(Си, u)>Y'A3[max(^l, -^l^)]2. D.3.81)
Так как
i-i
- а, «= 2 z'(^' ~i) + Y 2°'' У = 2, 3, .... я - 2, D.3.82)
то
«J<Y'73(Cu, и), D.3.83)
и требуемое неравенство доказано.
Неравенство D.3.80) приводит нас к следующему резуль-
результату:
Теорема 4.13. Пусть три производных функции р(х) и
первые производные функций г (х) и f (x) удовлетворяют усло-
условиям Липшица на [а, Ь]. Обозначим через % = {т)ь ..., iv,}
погрешность конечно-разностного решения дифференциального

180 Гл. 4. Краевые задачи
уравнения D.3.61) с граничными условиями D.3.62), когда ре-
решение получается по формулам D.3.69) —D.3.71). Тогда
О (Л3/2), D.3.84)
'n~2 „2 2 \1/2
»-2
2 2 \ '/z
Tl/ + ^- + J^L) <0(Л). D.3.85)
Доказательство. Пять производных у(х) удовлетворяют
условиям Липшица на [а, Ь]. Очевидно, это решение можно,
продолжить за пределы отрезка [а, Ь] без дополнительного
требования гладкости. Поэтому можно воспользоваться оцен-
оценкой D.3.71). В силу неравенства D.3.80)
2|r1JI Ш,
и потому
Так как
е, = О (Л3), е„_, = О (Л3), ej = О (Л6), / = 2, . . ., п - %
то мы получаем D.3.84) и затем D.3.85).
В заключение заметим, что для указанной выше краевой
задачи можно более детально исследовать обратную матрицу
(В/,11) , учитывая свойства соответствующей функции Грина.
Этот анализ, например, дает тах| у\{ \ = О (Л2). См. также Хао-
Шоу [1963].
II. Граничные условия D.3.63) заданы на обоих
концах [а, Ь]. Вектор погрешности % = {т]], ..., цп-\) конечно-
разностного решения удовлетворяет системе уравнений Bj%}ft=eft,
где е„ = {е„ ..., е„_,}, е, = О (Л4), еЛ_, = О (Л4), е, = О (Л6), i = 2,...
. .., п — 2, а В/,21 отличается от В/,11 только элементами левого
верхнего и правого нижнего углов:

§ 4.3. Метод конечных разностей
18!
Матрица В/, симметрична и
По аналогии с D.3.79) можно получить, что
(Вк21и, u)>(C,u, u),
D.3.86)
где матрица С! совпадает с В/,21 при г(*,) = 0 и p(xi) = po.
Легко доказывается, что
где
D =
2-1 0 0 ... О'
-1 2-1 0 ... О
0-1 2 -1 ... О
так что
. О 0 0 0 ... 2_
(C,u, u) = po(Du, Du).
Для обратной матрицы D = {dit j}, i,j=l, ..., п — 1, имеем
D.3.87)
Полагая Du = y, получим после небольших упрощений
п-1 п-1
i=l t-l
п-1
и\ < у'п S У)
и аналогичные выражения для «„_,. Далее,
/-/+1
п-1
и2 < у"п? S У2-
D.3.88)
D.3.89)
D.3.90)
D.3.91)

182 Гл. 4. Краевые задачи
Если учесть, что h = (b — a)/n, то
(С,и, и)>у"'/г3[п1ах(_2тах Jut\, 1тг>1
Продолжая аналогичные выкладки дальше, как в случае I,
придем к неравенствам D.3.86) и D.3.92). Тем самым доказана
Теорема 4.14. Пусть три производные р(х) и первые про-
производные г (х) и f(x) удовлетворяют условиям Липшица на
[а, Ь]. Обозначим через % = {Л1, • ••, Лп-i) погрешность конечно-
разностного решения уравнения D.3.61) с граничными условиями
D.3.63), когда решение получается по формулам D.3.69), D.3.72)
и D.3.73). Тогда
max max | л, I, ^, 1^±L < W) D.3.93)
1 2,..., «-2 ' Я А /
''ra_ZL2 „2 „2 \'/2
< 0 (h312). D.3.94)
Но в отличие от теоремы 4.13 на этот раз точность повы-
повысить невозможно.
III. Граничные условия D.3.64) заданы при х = а,
а D.3.62) —при х = Ь. Вектор ошибки % = (ло. •••. Лга-i) ко-
конечно-разностного решения будет удовлетворять системе урав-
уравнений Bjf\ = «ft, где еЛ = {е0, .... ега_,}, е. = О (Л4), г = 0,1,
еп1 = О(/г3), е;. = О(/г6), / = 2 п -2, и В^ = [bf) есть сим-
симметричная пятидиагональная матрица с элементами
b??t = р (*,_,) + 4р (xt) + p (xi+i) + h4r {xi), i = 2, ..., n - 2,
bfM =-2[p(Xi) + p(xi+l)], i=i, .... n-2,
bll}i+2 = P (Xl+i), С = 0 П - 3,
L3I .{) + 2p (xn) + h4r (*„_,).
Легко проверить, что
(Bk3Iu, u) = % zip {Xl) + -i 22np (jcn) + Л4 ^] r (jc,) «?.
j=l i=0
Как и выше,
(BL31u, u)>(C2u, u), D.3.95)

§ 4.4. Оптимизация разностных формул h83
где С2 получается из В/?1 при г(л:;) = 0, p(xt) = p0. Снова можно
показать, что
(С2и, и)>у*Л3Гтах( тах \и1\>^шЩ2 D-3-96)
L \t-0, .... п-2 h?u Ц
Теорема 4.15. Пусть три производных р(х) и первые про-
производные г(х) и f(x) удовлетворяют условиям Липшица. Обо-
Обозначим через r\h = {т]0 Лп-i} погрешность конечно-разностного
решения уравнения D.3.61) с граничными условиями D.3.64)
при х = а и D.3.62) при х = Ь, когда решение вычисляется по
формулам D.3.69)-D.3.71), D.3.74) и D.3.75). Тогда
max/ max К I. %Й < О (Л), D.3.97)
\<=0 п-2 А' /
ft-2
2
4-2
В этом случае повысить точность также невозможно.
Замечание. Если D.3.61) аппроксимировать иначе, на-
например, используя D.3.69) и по-разному записывая краевые
условия D.3.62) и D.3.63), то и тогда мы не получим более
высокого порядка асимптотической точности. Для краевого
условия D.3.64) другие способы аппроксимации могут дать по-
погрешность О (Л2), даже если использовать D.3.69). По этому
поводу см. Хао-Шоу [1963].
§ 4.4. Оптимизация разностных формул для
уравнений второго порядка
4.4.1. Введение. В п. 4.3.1 мы определили метод конечных
разностей как процесс построения и решения системы линейных
алгебраических уравнений вида D.3.2). В частности, решение
этой системы дает приближенные значения искомого решения
в узлах сетки. Из изложенного в § 4.3 мы знаем, что системы
конечно-разностных уравнений можно строить различными спо-
способами. Возникает вопрос, существует ли строгая математиче-
математическая процедура для оценки различных схем, оптимальных в том
или ином смысле. Прежде всего отметим, что разностные фор-
формулы D.3.20) и D.3.27) используют значения f(x) только в узлах
сетки. Однако, как мы уже знаем, можно взять другие разно-
разностные схемы, использующие иные свойства функции /, например
ее первые производные в узлах сетки и т. U,

184
Гл. 4. Краевые задачи
В этом разделе мы ограничимся уравнением второго порядка
(p(x)y'Y-q(x)y' = f(x) D.4.1)
с граничными условиями
у{а) = у{Ь) = 0. D.4.2)
На заданной сетке xk = a + kh, k = 0, 1, ..., п, n = (b — a)/h,
будем рассматривать формулы, содержащие только значения
f(xk), k = 0, I п; с другой стороны, значения функций р(х)
и q(x) могут фигурировать в промежуточных точках, как это
было, например, в случае D.3.27). Всюду будем предполагать,
что f(x) непрерывна на [а, Ь].
Пусть С — пространство всех непрерывных функций, опре-
определенных на [a, b], Eh — векторное пространство размерности
п+ 1 и г|зЛ — линейное отображение пространства С в Eh, такое,
что для feC
*J = {f(a), f(a + h), .... f(b-h),
Для краткости мы будем иногда писать \h вместо г|эй/. Пусть
максимальная норма в Eh обозначается символом | |. Конечно-
разностный метод мы определим по аналогии с п. 4.3.1, т. е.
как процесс построения матриц АЛ и ВЛ, таких, что решение
системы уравнений
h D.4.3)
будет давать приближенные значения искомого решения у(х)
в точках xk, k = 0, 1, .... п.
Пригодность конечно-разностной схемы D.4.3) будем оцени-
оценивать с помощью погрешности, возникающей за счет замены
исходной задачи D.4.1) и D.4.2) задачей D.4.3). Рассмотрим
гильбертово пространство Я, все элементы которого являются
непрерывными функциями. Если y = A~lf, feff, представляет
точное решение исходной задачи, то у(х) — непрерывная функ-
функция и потому отображение Ch
есть линейное отображение пространства Я в Еп. В соответ-
соответствии с предыдущими результатами пригодность D.4.3) будет
оцениваться по величине нормы отображения Ch.
Очевидно, что это есть оптимизация по f(x), т. е. по правой
части уравнения D.4.1). Другой подход состоит в том, что мы
можем рассматривать оптимизацию метода по коэффициентам
р (х) и q(x) из D.4.1). Такие задачи носят совершенно и '
характер и здесь рассматриваться не будут.

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 185
Заметим, что пригодность конечно-разностного метода, оце-
оцениваемая по величине нормы СЛ, зависит лишь от матрицы
/г2Ай'Вй, но не от каждой из матриц Aft, Bft в отдельности.
Следовательно, с точки зрения оптимизации конечно-разностный
метод можно, очевидно, изучать в виде^
Ун = г'Х D-4-4)
где Zft1 есть квадратная матрица порядка п+ 1. Так как Ъ'н
обозначает матрицу /г2Ал'Вл, то нет необходимости требовать
существования обратной матрицы. С практической точки зрения,
конечно, очень важно, чтобы метод с некоторыми оптимальными
свойствами можно было записать в виде D.4.3), так чтобы воз-
возникающие матрицы имели наиболее простой вид. Ясно, что под-
подходящее разложение матрицы Ъ~н из D.4.4) может приводить
иногда к более простым матрицам в D.4.3).
4.4.2. Об оптимальных конечно-разностных схемах. Пусть
Я — гильбертово пространство, вложенное (топгл эгически) в про-
пространство С (с максимальной нормой) непрерывных функций.
Обозначим через Hh подпространство всех функций, обращаю-
обращающихся в нуль в точках xk = a + kh, k = 0, 1, ..., п, через Ял —
ортогональное дополнение Ял в Я и через Ph или р£ — проек-
проекторы Я на Hh или Ял" соответственно1).
Покажем, что любые две функции /, е Я^, /2 е Я^, прини-
принимающие одинаковые значения в точках xk, k = 0, I, ..., п, то-
тождественно совпадают на всем отрезке [а, Ь]. В самом деле,
в этом случае функция f\ — f2 обращается в нуль в точках xk
и, следовательно, /i — f2^Hh. Но так как /,—/2еЯ^-, то
f\ — f2- Поэтому пространство Ял будет самое большее размер-
размерности п+1; мы будем предполагать, что его размерность в точ-
точности равна п+1. Таким образом, пространство Ял будет изо-
изоморфно (п + 1)-мерному пространству Eh и отображение г|зл из
п. 4.4.1 будет изоморфным отображением пространства Ял на Eh.
Обозначим обратное отображение Eh на Я^ через г|^' и введем
Определение 4.2. Будем говорить, что матрица °Zll
является оптимальной матрицей конечно-разностной схемы для
') Норму и скалярное произведение в Н будем обозначать через
и ( ) соответственно.

186 Гл. 4. Краевые задачи
задачи D.4.1) и D.4.2) в пространстве Н, если
1М%Ч)/| = inf 1MQ4)/!
Sup ..,.. ни sup .... ,
fe=H II' II fsH 11/11
где операция inf относится ко всем матрицам Q порядка (п+ 1).
Это определение обеспечивает минимальную погрешность
в наиболее неблагоприятном случае.
Свойства пространства Нн позволяют нам определить ма-
матрицу °Q~' уравнением
Теорема 4.16. Матрица °Q~' будет оптимальной матрицей
конечно-разностной схемы для задачи D.4.1) и D.4.2) в про-
пространстве Н. Если Zft — произвольная оптимальная матрица !),
то
1(^'-^Ч)"=кИ>»Г>. D.4.5,
ll/ll
Доказательство. Пусть g e Hh и
a_inf зцр
a-ini sup
Очевидно, что Q Чл§ = 0 И потому а^|г|зЛЛ 'РЛ|. Далее, пусть
geW. Тогда ОЧл^лЯ = О ДЛЯ любой матрицы Q. Следова-
Следовательно,
к,Л- - Q-4J - sup
Так как %/4~'g = Q~'i|3ftg для любой функции g^fii, то
а это означает оптимальность матрицы °Q '. Наконец, из ра-
равенства а = |г|зЛЛ~1 Ph\ следует D.4.5).
Сходимость оптимальной конечно-разностной схемы устана-
устанавливается в следующей теореме:
Теорема 4.17. Пусть пространство Н таково, что
■ф/Д~'РЛ| = 0 D.4.6)
') Мы не гарантируем единственности оптимальной матрицы.
2) Символ | | обозначает норму отображения из Я в Е/,.

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 187
и °Z'h обозначает последовательность оптимальных матриц ко-
конечно-разностных схем для задачи D.4.1) и D.4.2) в простран-
пространстве Н. Тогда
lim | фАА"' - °Z*4a I = О.
Доказательство очевидно.
Вообще говоря, построение оптимальных матриц °Zft' является
довольно трудной задачей. Поэтому на практике предпочтитель-
предпочтительнее использовать асимптотически оптимальные или почти опти-
оптимальные матрицы, определяемые ниже.
Определение 4.3. Будем говорить, что последователь-
последовательность матриц Zft1, h = (b — а)/п, п=\, 2, ..., характеризующих
конечно-разностные схемы для задачи D.4.1) и D.4.2) в про-
пространстве Я с условием D.4.6), будет асимптотически оптималь-
оптимальной последовательностью матриц в пространстве Н, если
)'). D-4.7)
Это определение означает, что
\ {UA-'Ph\). D.4.8)
"
Ясно, что для любой матрицы Q
и так как в Я выполняется D.4.6), то в случае асимптотической
оптимальности погрешность стремится к оптимальной погреш-
погрешности при h—>0. Аналогично теореме 4.17 имеет следующее
утверждение:
Теорема 4.18. Пусть Z~h\ h = (b — a)/n, n = \, 2, .... обо-
обозначает последовательность матриц, асимптотически оптималь-
оптимальных для задачи D.4.1) и D.4.2) в пространстве Я. Тогда
Доказательство вытекает из D.4.8).
4.4.3. Построение асимптотически оптимальной последова-
последовательности матриц. Это построение можно выполнить, опираясь
на следующий результат:
') Иногда удобно заменить свойство асимптотической оптимальности
менее жестким требованием: например, в правой части условия D.4.7) можно
записать О (| ■фдЛ/5/! |). В этом случае мы будем говорить о почти опти
мальных методах.

[88 Гл. 4. Краевые задачи
Теорема 4.19. Имеется краевая задача для самосопря-
самосопряженного уравнения второго порядка D.1.1) с краевыми усло-
условиями у(а) = у(Ь) = О, символически записанная в виде
Ay = f. D.4.9)
Пусть A = B + L, где
By = f D.4.10)
— другая краевая задача для самосопряженного уравнения вто-
второго порядка типа D.1.1) с теми же самыми краевыми усло-
условиями. Пусть А~\ LA~\ В1, B~lL и (l + B~lL) —непрерывные
отображения Н в себя, Вд1 — последовательность матриц, для
которых г|злВ~'Рй = °Вй'г|зй, и Lft — последовательность матриц,
таких, что матрицы I + Вл'Ьл регулярны. Пусть, наконец,
D.4.11)
D.4.12)
D.4.13)
D.4.14)
D.4.15)
Тогда для достаточно малых значений h, матрицы
образуют асимптотически оптимальную последовательность для
задачи D.4.9) в пространстве Н.
Предварительно докажем такой вспомогательный результат:
Лемма 4.8. Пусть V — линейное отображение банахова
пространства X в банахово пространство Y и для каждого (/еУ
существует такое хе X, что
\\x\\<N\\y\\
\W(x)-y\\<q\\y\\, 0
Тогда для произвольного i/еУ уравнение V(x) = y имеет
решение х е X, такое, что
Доказательство. Лемма легко доказывается методом
последовательных приближений (см. Канторович и Акилов [1959],
гл. XIV).

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 189
Доказательство теоремы 4.19. I. Пусть
Ch = ^hA~xPi - (I + "Bft'Lft)"' °Bft4ft-
Имеем
a-x = {i + b-xlVbt\
и в силу свойств °Вй'
Поэтому
ch = ^ (/
и, следовательно,
)
Ch = (I +°BftlLft) [(I + °
= (I + "Bft'Lft)"' ФлВ'1 foft'M* - Рл L - P^
Таким образом,
| Cft| < |(I + 0Вл'ЬЛ)"' | [ | флВ-1 fe
II. Докажем, что последовательность |A+°Вй1Ьй) | есть
равномерно ограниченная последовательность чисел, после чего
утверждение теоремы будет следовать сразу из D.4.11) и
D.4.12). В силу леммы 4.8 достаточно доказать, что
^(Z + B-'LyVktf D-4-16)
и
1A +0Bft'LftHft(/ + £r'L)"V - 11 < q< 1. D.4.17)
Ho D.4.16) есть прямое следствие D.4.15). Далее,
= [(I
B~lL) V,
и D.4.17) следует теперь из D.4.13) и D.4.14).

190 Гл. 4. Краевые задачи
Замечание. Условия D.4.13), D.4.14) и D.4.17) можно
заменить требованием, чтобы матрицы (l + 0В^1Ь/1) были равно-
равномерно ограниченными по h. В некоторых случаях предпочти-
предпочтительнее дать прямое доказательство этого свойства, не завися-
зависящее от неравенств D,4.13), D,4.14) и D.4.17).
Заметим также, что первая и последняя строки матриц
A+0Вл'Ьй) °Bft' состоят из нулей.
4.4.4. Оптимальные схемы в пространстве W2K В этом раз-
разделе Н — гильбертово пространство W^ всех непрерывных функ-
функций, первые производные которых квадратично интегрируемы
на [а, Ь]; скалярное произведение определим равенством
ъ
(и, v)= J u'(x)v'(x)dx + u(a)v(a). D.4.18)
а
Под производной функции h (x) мы понимаем функцию g(x),
х
для которой h(x)= g(x)dx + const. Ясно, что пространство Я
а
вложено в С.
Рассмотрим структуру пространства Нн. Даны функция
ge Hh и произвольная функция z(x) с компактным носителем
в (х{, х1+1) и квадратично интегрируемыми первыми производ-
производными; в силу определения н£
J g'(x)z'(x)dx = 0. D.4.19)
Используя известные результаты, полученные применением
вариационных методов к теории дифференциальных уравнений
(см., например, Михлин [1957]), имеем g"(x) = 0 на любом
интервале (xh xi+l). Следовательно, g(x) кусочно линейна и
в силу непрерывности полностью определяется своими значе-
значениями в точках xk, k = 0, 1, ..., п. С другой стороны, легко
проверить, что если g(x) непрерывна и линейна на каждом
интервале (xh xi+l), то (g, v) = 0 для любой оеЯ4. Отсюда
прямо следует, что пространство Hh имеет размерность п+1,
т. е. выполняются i редположения п. 4.4.2.
Пусть
Ау = (р (х) yj -q(x)y = f (x). D.4.20)

§ 4.4. Оптимизация разностных формул
191
Предположим, что р(х) ^ р0>О, q(x)^O и первые и вторые
производные р a q соответственно непрерывны на [а, Ь]. Пред-
Предположим, наконец, что feff4, Тогда, по предположению,
f(xk) = O. Следовательно, для xk<x<xk+i
\f'{t)dt
<\\f\\Vh.
Отсюда следует, что D.4.6) применимо в указанном выше
случае.
Рассмотрим сначала частный случай q(x) = 0, т. е. краевую
задачу
B (()')' f(x), y(a) = y(b) = O. D.4.21)
Из условия f(x)^Hh вытекает, что / кусочно линейна. С по-
помощью теоремы 4.9 можно теперь проверить, что решение
D.4.21) удовлетворяет системе уравнений
где
k= 1, 2 /i-l,
h
—— ^
'k+l/2 X
k+i
P(x)
dx
TUT
D.4.22)
Yfe
3 1 /
= T + ~2hF pk+W J
1 1
P(x)
xk
dx-
xk-\/2 I, x
I
xk-i
'ft
.I=|__1_^_1/2 J
* *ft-l/2 /, * ~*ft-l/2
)dx,
D.4.23)
Xft+I
V/+i ="g + /? ^fe+i/2 J
*ft+I/2
1 +
d.v.

192
Гл. 4. Краевые задачи
Следовательно,
-°Вл'=/г2
" 1
— Pl/2
0
0
оптимальная :
0
/?1/2+ /?3/2
— РЗ/2
0
X
" .0
'0
0
0
0
матрица
0
- /?3/2
Рз/2 + ру
0
Y(.)
YB)
0
0
0
0
Y2'>
Y22)
0
0
I
0
0
Y32)
0
0
такова:
0 ...
0 ...
— Р5/2 • . .
0 ...
... о -
... 0
... 0
v(n-l)
■ ' " 'л
... 0
т
D
D
-1
X
D.4.24)
Здесь обе квадратные матрицы имеют порядок п+ 1. Из тео-
теоремы 4.11 следует, что первая матрица существует. Отметим
также, что \£> = -| + О (h), 'у£>, = j +О(Л), vj$, = 4 + О (h), и
потому для достаточно малых h все vj^i» \f\ у£1\ положи-
положительны.
Таким образом, метод конечных разностей, определяемый
системой D.4.22), будет оптимальным методом для решения
краевой задачи D.4.21) в выбранном пространстве Я, а его
сходимость обеспечивается теоремой 4.17.
Рассмотрим теперь построение асимптотически оптимальной
схемы для общего случая D.4.20), когда q(x)^0. В соответ-
соответствии с теоремой 4.19 представим оператор А из D.4.20) в виде
А = В + L, где
Ву = (р(х)у')', Ly=-q(x)y.
Легко проверить, что операторы A'1, LA~\ В'1, B~XL, (/ + B~lL)
осуществляют непрерывные отображения пространства Я в себя.
Предварительно (см. D.4.21)) построим оптимальную ма-
матрицу °Вл', удовлетворяющую требуемым предположениям.
Полагая
(jc0) 0 0 0 ... 0
0 q(xi) 0 0...0
0 0 q(x2) 0 ... 0 , D.4.25)
U=-
_ 0 0 0 O...q(xn)_

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 193
можно проверить, что предположения теоремы 4.19 выпол-
выполняются. В самом деле,
так что равенство D.4.11) выполняется.*Тогда, как это следует
из теории дифференциальных уравнений, если [еЯ и y = A~lf,
то
\(q(x)y)"\<D\\f\\
и потому
| ^hB~lPhLA~l | < D'h2. D.4.26)
С другой стороны, функция
| х — Xi для Xi < х < xt + /г/2,
^ ~ 1 *г+1 — х для *г + Л/2<*<*г+1, t = 0, 1, ...,«— 1,
является элементом пространства Hh и ||ф|р=& — а. Откуда,
используя элементарные свойства D.4.20), получаем, что
|г|зЛЛ"'ф| ~^Cxh и |г|зЛЛ"'Рй |^С,/г. Таким образом, в силу D.4.26)
соотношение D.4.12) оказывается справедливым. Так как
■фл'ЬлгЬл — P/1L = 0,
то выполняется и D.4.13).
Оператор (/ + B~lL.) можно записать в виде
(/ +B"'L)"'=/ + /?, D.4.27)
где в силу высказанных выше предположений (и в согласии
с теорией интегральных уравнений) оператор R осуществляет
непрерывное отображение пространства L2 в Я. Можно, сле-
следовательно, написать
Легко показать, что | z | < Са/г | u U если z = PhL^~hxи; аналогич-
аналогичная оценка получается для второго слагаемого. Отсюда сле-
следует справедливость D.4.14). Наконец, D.4.15) вытекает из
D.4.27) и свойств оператора R.
Далее, докажем, что матрица I+ °Ba'L/1 —неособая. Если бы
она была особой (см. D.4.24) и D.4.25)), то матрица
1 0 0 0...0
-pU2+h2q(x0) Y</> Pll2+P3/2+h2q(xl)y^ -p3/2+h2q(x2)y^ 0.. .0
0 0 0 0...1.
I О Чаи ТО

194 Гл. 4. Краевые задачи
была бы тоже особой. Легко проверить, что это предположе-
предположение неверно для-достаточно малого h.
Из теоремы 4.19 теперь вытекает, что последовательность
матриц (l + °Bft'Lft) °Bft' образует асимптотически оптимальную
последовательность, т. е. что система
[Pk-w ~ ^Ч*-.?(**->)] Ук-\ ~ К-1/2 + Pk+U2+ ЛЧ4) q{xk)] yk +
дает асимптотически оптимальный метод решения1).
Замечание. Правые части систем уравнений стандарт-
стандартных и оптимальных схем имеют существенно различный вид.
Например, в случае очень простой краевой задачи
уравнение D.3.20) имеет вид
2), k=\, 2 п- 1,
в то время как система описанного выше оптимального метода
дает
-Уи-1 + %Ук -yk+\ = -\h2[f (хк_{) + 4/ (xk) + f (xk+l)],
Другими словами, f(xk) в правой части оптимальной схемы
заменяется на интегральное среднее -^- f f(x)dx, а сам инте-
xk-t
грал вычисляется по формуле Симпсона. Нетрудно показать
для каждого конкретного случая, что система D.3.20) не будет
ни оптимальной, ни асимптотически оптимальной.
Из сказанного вытекает, что проблема выбора конечно-
разностной схемы, которая давала бы точное решение уравне-
уравнения, содержащего только производную наивысшего порядка /,
является основной в теории оптимальных методов. Вполне
естественно поэтому требовать, чтобы использование таких раз-
разностных схем приводило к методам, обладающим многими по-
') Как и раньше, ун = {Уа Уп) обозначает приближенное решение.
См. D.3.2).

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 195
лезными свойствами даже для более общих уравнений. Эти
соображения следует всегда учитывать при выборе тех или
иных разностных схем.
4.4.5. Некоторые основные положения теории преобразова-
преобразований Фурье. Преобразования распределений и дискретные пре-
преобразования Фурье. В п. п. 4.4.2 и 4.4.3 мы изучали проблемы
построения оптимальных и асимптотически оптимальных ко-
конечно-разностных схем, а в п. 4.4.4 —частную проблему опти-
оптимизации таких схем в пространстве W^- В последнем случае
асимптотически оптимальной является трехточечная схема, т. е.
схема с трехдиагональной матрицей. Рассмотрим теперь ана-
аналогичную задачу в пространстве wf, />1, функций с квадра-
квадратично интегрируемыми /-ми производными,
Основные результаты п. 4.4.3 были получены методами,
опирающимися на знание точных решений поставленных или
упрощенных краевых задач для уравнений с правыми частями
специального вида. Следуя этой процедуре, рассмотрим построе-
построение оптимальных схем для уравнения
Важную роль при этом будут играть теория распределений и
их преобразования Фурье. Мы предполагаем, что читатель об-
обладает некоторыми сведениями из теории распределений (за
деталями можно обратиться к книге Гельфанда и Шилова [1959]);
теория дискретных преобразований Фурье (в полном объеме)
развита в книге Бабушки [1959].
Пусть S обозначает пространство всех произвольное1 число
раз дифференцируемых комплекснозначных функций, опреде-
определенных в интервале (— оо, оо), таких, что для любой функции
ipeS и целых q^O, &>0 существует такое число Cqtk, что
Будем говорить, что последовательность функций ф„(л;) схо-
сходится к ф(л:) в S, если для любых двух неотрицательных целых
чисел q, k существует число Cq,k, не зависящее от п, такое,
что
и если ^(х) сходится к <pq(x) равномерно на любом компакт-
компактном множестве.
Обозначим через S* пространство всех линейных функцио-
функционалов над S. Элементы пространства S' называются распре-
распределениями. Под сходимостью в S* мы будем понимать слабую

196 Гл. 4. Краевые задачи
сходимость. Как обычно, локально интегрируемую функцию /,
растущую при |л;|->оо не быстрее, чем полином, мы будем
связывать со следующим функционалом над S:
оо
(/, Ф)= jf{x)<f(x)dx.
— оо
Если ф е S, то
оо
F4{o) = $(o) = J <p(je)e<°*djee=S.
— оо
Преобразование Фурье Ff распределения feS' определяется
теперь равенством
(Ff, 1|>) =
Далее обозначим через ® пространство всех бесконечных
последовательностей а = {..., а_ь а0, аь ...}, таких, что для
каждого аеб существует целое q и константа С, такие, что
\аа\<С(\п?+\).
Сходимость в <&> определим следующим образом: а(п)->а,
/г->оо, если а<£>—>ат>т= ...,—1, 0, 1, ..., и если суще-
существуют целое q и константа С, не зависящие от п, такие, что
Если ае<£, то дискретное преобразование Фурье этого эле-
элемента определяется соотношением
Можно показать, что ряд сходится в S* и пространство <3 изо-
изоморфно пространству всех распределений с периодом 2я (см.
Бабушка [1959]).
4.4.6. О проблеме оптимальных конечно-разностных схем
для бесконечных интервалов. Рассмотрим оптимальные конечно-
разностные схемы для уравнения у"=f, рассматриваемого
на интервале (— оо, оо), в специальном классе функций, ра-
растущих при \х |->оо не быстрее, чем полином. В качестве узлов
сетки выберем точки Xk = k, k = ..., — 1, О, 1, ....
Пусть V® обозначает пространство функций g(x), опреде-
определенных на (— оо, оо) с квадратично интегрируемыми производ-

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 197
ными порядка I, которые удовлетворяют следующему условию:
оо
f
для каждой функции v(x) с квадратично интегрируемыми про-
производными порядка I, такой, что v(xk) = 0, k= ..., — 1,0, 1
Очевидно, функции пространства Уг непрерывны и растут
не быстрее, чем полиномы.
Пусть, наконец, SoczS обозначает подпространство всех
функций из S, обращающихся в нуль в точках xk.
Лемма 4.9. Если g e vl\ то
o*Fg(o) = (-l)' S а//а, | |ау|2<оо.
Доказательство. Пусть z e So. Тогда по предположе-
предположению
Отсюда, используя теорию распределений, имеем
и потому
gB;>= Е aj6(x-j)s=S-
/--00
(где б (л:) обозначает функцию Дирака), и ряд сходится в S*.
Таким образом,
(-l)lo2'Fg(o)= S а/1*.
/--оо
Пусть
[ 0 для \х\>\.
Очевидно, |(x)e=S; следовательно,
т-99

198 Гл. 4. Краевые задачи
/+1/2
так что по неравенству Шварца | aj |2^С | gV)(x) fdx, откуда
/+1/2
/-1/2
следует утверждение леммы.
Пусть теперь функции fel/2 с: S и yeS таковы, что у" = f.
Так как / непрерывна и растет с увеличением | jc | не быстрее,
чем полином, то и у(х) имеет те же самые свойства. Пусть
у = {..., jf(-l), у@), у{\), ...},
f = {...,/(-l), /@), /A), ...}.
Тогда каждой функции g(x), непрерывной на ( — оо, оо) и ра-
растущей при | л: [ —> оо не быстрее, чем полином, соответствует
вектор ge6.
Пусть
оо _.„2«-И> * ,2 <Л-1> X
h(x)= У- =%тгг = ~-Чг ——V D.4.29)
sm.jJ
Эти формулы легко проверяются, если использовать теорию
разложения аналитических функций на элементарные дроби
(см., например, Сакс и Зигмунд [1952]).
Из D.4.28) и D.4.29) следует, что функции g(~x) и h(x) яв-
являются тригонометрическими полиномами с периодом 2я.
Теорема 4.20. Пусть f e= Vf, у е= S*, у" = f, тогда
g (х) <&~у + h (х) &~\ = 0 '). D.4.30)
Доказательство. I. Пусть
G(x) = g(x)Fy + h(x)Ff.
Так как функция g(x)/x2 дифференцируема произвольное число
раз и y" = f, то можно написать
В точке х = 0 функция
') Можно умножать распределение на функции g и Л, ибо ощ
производное любого порядка,

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 199
и все ее производные вплоть до порядка 21 — 1 обращаются
в нуль; поэтому
II. Имеем
оо
S O(jc-2jw)-0.
В самом деле, так как
/=-оо
квадратично интегрируема, то"
/=—оо п— — оо
= ("!)'
/=-оо \„=_оо
Однако в силу D.4.28) и D.4.29) для хф2пк (k — целое) имеем
оо оо
*(*) "V 8(*)
(Х-2ЛПJ1
П=-°°
Легко проверяется, что функция
k (x - 2пп)
имеет производную любого порядка, а это значит, что она тож-
тождественно равна нулю. Утверждение доказано.
III. Мы уже видели, что функции g(x) и h(x) представляют
собой тригонометрические полиномы с периодом 2я. Поэтому
пусть
g(x)= 2 c^einx, h(x)= S с(?е1пх.
Введем следующие обозначения:
УЛх)= S c^y(x-n), hl{x)= S c»/(jc-n).

200 Гл. 4. Краевые задачи
Как следует теперь из теории преобразований Фурье,
G(x) = Fz, z{x) = yl{x) + hl{x).
Если положить
то
Я (JC) = с^г.
IV. Очевидно, что z(x) — непрерывная функция, растущая
не быстрее, чем полином. Пусть
причем интеграл существует, так как z(x) дифференцируема
любое число раз и растет не быстрее, чем полином. Кроме того,
zh—*z в S*, a zh—>г в <S. По теории преобразований Фурье
F?h-+Fz в S*. Аналогично по теории дискретных преобразова-
преобразований Фурье ^rzh -*■ <&~z-
Положим Zh = Fz и докажем теперь, что
оо
S Zh (х - 2лп) = dTz.. D.4.31)
Установим вначале сходимость в S* ряда D.4.31). Для этого
достаточно показать, что для каждой функции ф е S суще-
существует предел
I N \
Zft(jc), S <р(* + 2ял) .
\ n--JV /
I
lim Zft(jc),
Пусть г|з е S такова, что /"^ = ф. Тогда, используя теорию
преобразований Фурье, получаем
Zh(x), S <t(x + 2nn)\ = 2n(zh{x),$(x) S eta««). D.4.32)
n—JV
Однако . .
()$( ) ( ,
а=-Ы I \a--N
так как гй(л:) имеет любое число производных и растет не бы-
быстрее, чем полином, и поэтому zh (x) г|з(х) е S. Из равенства
lim S е"г2ппж= S в(*-л)
N ->о° n—-N rt--oo

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 201
вытекает, что
/ N \ °°
Hm 2 e-l2*«\ zh(x)$(x) = 2 zh{n)^{ti). D.4.33)
N\N I
Чтобы установить D.4.31), мы должны теперь показать, что
если ф е S и £ = F4, то
оо / оо \
2 £(—n)zft(n) = ( 2 Zh{x-2m), <р(*) .
П=—оо \rt=—оо /
Однако по D.4.32) и D.4.33)
оо \ оо
2 Zh(x-2m), q>(x) = 2я 2
=— оо / rt=—
\П=— оо / rt=—оо
и так как £(— /г) = 2яг|з(/г), то D.4.31) доказано.
V. Имеем
( 2 Zft(jc-2nn),q> (*)) = ( 2
\rt=»— оо / \п=—о
Так как фЛ е S, то из доказанного в п. II следует, что <&~zh =0.
В силу того что u?~za->c?~z при /г->0, теорема доказана.
Из теоремы 4.20 прямо вытекает, в каком виде следует
брать конечно-разностные уравнения для функций у и f при
условии, что / е vV.
Укажем теперь некоторые конкретные разностные схемы
для 1=1 и 1 = 2.
Случай 1=1.
g(x) =
■ а х
sin4-
4sin2-|-
18ШТ/
По теории преобразований Фурье и теореме 4.20 имеем раз-
разностную схему
у (п - 1) - 2у (л) + у (п + 1) = | [/ (п - 1) + 4/ (я) + / (п + 1)],
построенную в п. 4.4.4.

202 Гл. 4. Краевые задачи
Случай 1 = 2.
Отсюда следует схема
у {п - 2) + 2у (п -. 1) - Ъу (п) + 2у (п + 1) + у (п + 2) =
= ± [f (п - 2) + 26/ (л - 1) + 66/(л) + 26/(« + 1) + /(л + 2)]. D.4.34)
4.4.7. Об оптимальных схемах в пространстве f
В п. 4.4.4 мы рассмотрели оптимальные решения для самосо-
самосопряженного уравнения D.4.21) в пространстве №<2'> функций,
имеющих квадратично интегрируемые первые производные. Изу-
Изучим теперь оптимальные решения дифференциального уравнения
y" = f D.4.35)
с краевыми условиями
0, D.4.36)
когда правая часть уравнения принадлежит пространству
функций с квадратично интегрируемыми вторыми производными,
для которых скалярное произведение определяется равенством
ь
(и, v) = J u"v" dx + u (a) v(a) + u (b) v (b).
a
В п. 4.4.3 мы обсудили получение .асимптотически опти-
оптимальных схем из . оптимальной конечно-разностной схемы для
простого дифференциального уравнения. Поэтому ограничимся
оптимальной схемой для уравнения у" = \ в пространстве Wfh
Не ограничивая общности, можно положить а = 0, Ь = п.
Лемма 4.10. Пусть fe^1 ортогональна всем функциям
из Wf\ обращающимся в нуль в точках x = k, k = 0, I, ..., п.
Тогда f(x) и ее вторые производные непрерывны на [0, п] и

§ 4.4. Оптимизация разностных формул 203
Заметим, что на каждом интервале (k, k+l) функция f(x)
является полиномом степени три или меньше. Это следует
из ортогональности и легко проверяется, например, вариацион-
вариационными методами.
Доопределим теперь функцию f(x) из леммы 4.10 следую-
следующим образом:
на отрезках [— п, 0] и [п, 2/г]
|2/@)/(-*) для-/г<*<0,
Г(Х) \2/(л)-/B/г-*) для /г<*<2/г; DЛ-37)
на интервалах (— оо, — п] и [2/г, оо):
,_П(п) + Г(п)(х + п) для *<-/г,
i(x)-\f B/г) + /' B/г) (х - 2/г) для х ^ 2/г. D-4>38)
Тогда по лемме 4.10 функция /(*), определенная на (— оо, оо),
имеет две непрерывные производные, причем вторая производ-
производная квадратично интегрируема на ( — оо, оо) и /е]/®,
Далее, пусть у(х) определена на (— оо, оо), удовлетворяет
уравнению y" = f и условиям у{0) = (п) = 0. Ясно, что такая
функция существует и будет единственной. . Тогда по D.4.34)
имеем для k = 1, 2, .... /г — 1
= ± U (k - 2) + 26/ (k - 1) + 66/ (k) + 26/ (k + 1) + / (k + 2)},
если k= 1, 2 /г-1 и у@) = у(п) = 0;
y(-i)=-y(i) + /(O).
D.4.39)
y(n+l)=-y(n-l) + f(n),
/() = 2/@)-/A)' D.4.40)
/ (/г+1) = 2/(/г)-/(/г-1),
так как из D.4.35) следует D.4.40), а D.4.39) вытекает
прямо из D.4.37) и уравнения у"' = / с краевыми условиями
@) () 0

204
Гл. 4. Краевые задачи
§ 4.5. Решение систем уравнений, возникающих
в методе конечных разностей
4.5.1. Метод исключения Гаусса для уравнений второго
порядка. Во введении к этой главе мы отмечали, что конечно-
разностные уравнения сами по себе не определяют еще числен-
численный процесс. Он определяется лишь после выбора метода
решения систем уравнений. Эти методы можно разделить на
две большие группы —конечные и итеративные. Конечные методы
дают требуемое решение после конечного числа операций,
а итеративные методы порождают последовательность прибли-
приближенных решений, сходящихся к точному решению (конечно,
без учета ошибок округления). Итеративные методы приво-
приводят к бесконечному численному процессу, и для получения
точного решения требуется «бесконечное число» арифметических
операции. С другой стороны, конечные методы, как правило,
налагают большие требования к общему оперативной памяти
вычислительной машины.
Мы займемся исследованием численной устойчивости двух
конечных методов — методов исключения и окаймления — и уста-
установим их связь с методами факторизации из § 4.2. Будем
предполагать, что функции р(х), q(x) и f(x) удовлетворяют
условиям п. 4.2.2. Мы укажем на аналогию с методом аддитив-
аддитивной факторизации, который, как было установлено, относится
к числу итеративных методов.
Дальнейшее обсуждение итеративных методов проводится
в гл. 5, посвященной решению краевых задач в пространстве
нескольких измерений.
Различные конечно-разностные схемы, применяемые для
решения краевой задачи D.1.1) —D.1.3), описанной в § 4.3,
дают системы линейных уравнений с трехдиагональными матри-
матрицами. Рассмотрим метод исключения Гаусса для таких матриц,
предполагая их симметричными:
aQ
b\
0
bo
a.
0
0 .
bl ■
0 .
.. 0
.. 0
.. a
Х0
n лп — _sn —
D.5.1)
Матрицы из § 4.3 являются неприводимо диагонально преобла-
преобладающи ми,, откуда следует, что они положительно определенные,
и потому можно применять метод исключения Гаусса. Исключе-

§ 4.5. Решение Ионечно-разностных уравнений
205
ние дает
О ... О
ь, ... о
_О О О ... dn__xn_ _с„_
x0
Со
С\
где
■ = а, —
*?-.
Q =gi~
di-i
dQ = aQ,
Co = go-
D.5.2)
D.5.3)
D.5.4)
Неизвестные xt определяются из D.5.2) по рекуррентной фор-
формуле
<м, хп = ^, D.5.5)
di
IT
причем вычисление проводится от i = n до /= 1. Таким образом,
для трехдиагональных матриц метод исключения Гаусса сво-
сводится к счету по трем рекуррентным формулам.
Рассмотрим теперь численную устойчивость системы D.3.20)
как функцию числа точек разностной сетки. С этой целью
установим некоторые аналогии между методом Гаусса и мето-
методом простой факторизации:
Теорема 4.21. Систему п линейных уравнений D.3.20) —
D.3.22) требуется решить методом исключения Гаусса, используя
рекуррентные соотношения D.5.3) —D.5.5). Определим вели-
величины q)j, zh уi для aj>0 и г|з,-, иь yt для a, = 0 соотношениями
с,- = — hzh
/ = 0, 1, ..., п — 1,
/ = 0, 1, ..., п,
i= 1, • ••> n— 1,
D.5.6)
D.5.7)
соответственно1) (а, входит в краевое условие D.1.2)). Тогда
с увеличением числа узлов сетки величины qp;, zh yt и ty{, uh y{
l) Величины dv ct и xt вычисляются из соответствующей системы
с помощью соотношений D.5.3) — D.5.5).

206 Гл. 4. Краевые задачи
сходятся к решениям (-4.2.1) —D.2.3) и D.2.4) —D.2.6) соответ-
соответственно, т. е. эти величины суть приближенные решения уравне-
уравнений метода простой факторизации.
Доказательство. Мы рассмотрим лишь случаи ctj >0,
а2>0 и а, = 02 = 0, так как остальные доказываются совершенно
аналогично.
При а,>0, а2>0 система D.3.20) —D.3.22) дает для элемен-
элементов D.5.1) следующие выражения:
ai = Риц2 + Pi-w + ЛЧ> ' = !> ■ • • > п ~
gt=-h2fh ■ i=\ n-\, D.5.8)
причем первая и последняя строчки изменены для того, чтобы
получилась симметричная матрица.
В случае а! = а2 = 0 матрица D.3.20) приводима, т. е. уо
и уп можно найти из первого и последнего уравнений соответ-
соответственно; их значения подставляются затем во второе и пред-
предпоследнее уравнения. Таким образом,
8х = - h2h -p,«-g-. *„-, = - л%_, + /v,/2f
и система не содержит элементов с индексами 0 и п.
Применяя D.5.3) —D.5.6) в первом случае, получим для qpi(
zh yt рекуррентные соотношения
2 о
Р + Ч Р + P + h2<t ' ^
которые можно переписать в виде
Ui У1 + 1 РШ,2+^'-
где /= 1, ..., n— 1.
') Для краткости мы пишем рк вместо /»(*ft) и т. д.

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 207
Легко видеть, что эти формулы представляют собой при-
приближенное решение системы уравнений D.2.1) —D.2.3) метода
простой факторизации. Эти формулы принадлежат классу общих
одношаговых формул (некоторая модификация метода Эйлера),
описанных в § 3.3. Сходимость гарантируется теоремой 3.7.
Аналогично при а, = с^ = 0 имеем
_Л"!=_Л2£ ";->/2ft «w
" P/-1/2-
Ц1=Г„Е.„Г, ■ -.. ф[[ .= 1 n_t)
откуда
где /=1, .... n— 1. Теперь легко установить сходимость.
Эти результаты не изменятся, если D.3.21) и D.3.22) заме-
заменить краевыми условиями типа D.3.23).
Численная устойчивость метода исключения Гаусса для
системы D.3.20) устанавливается в теореме 4.22.
Теорема 4.22. Решение системы D.3.20) — D.3.22) методом
Гаусса приводит для а = A, 1, ...) или а~(— 1, —1, ...) и
Ь = (\, 1, ...) к ^-[^-последовательности численных процессов,
параметром которых служит число узлов сетки п.
Доказательство. Рассмотрим одновременно с D.5.3) —
D.5.5) уравнения
х( = (с, - bfxf+i)/d{ + йзп+i-i, хп = cjd

208 Гл. 4. Краевые задачи
иными словами, предположим, что счет dt, сь xt сопровождается
ошибками округления, а коэффициенты и правые части вычи-
вычисляются точно. Полагая
di -d, = tt, ct-c, = w{, xt-x{ = vit
получим следующие рекуррентные соотношения:
<4'5-9)
D.5.10)
„ Widi-Citi + biWi-bidiVi+i , ж
' "" d(d+ti) °3n+W>
D.5.11)
_ wndn — cntn . »
" dn(dn + tn) 2n+u
определяющие численный процесс для th wt и vt и тривиальное
решение при условии, что все бг равны нулю. По определению
^-^-последовательности мы должны доказать, что
-<Кп2,
и и и
где
достаточно мало (и может зависеть от п).
Займемся вначале формулой D.5.9) и докажем по индукции,
что если 6^-jPo/n3 при р{х)^р0>0, то |^|^2/б. Очевидно,
для i = 1 это утверждение справедливо. В силу D.5.6) или D.5.7)
\bi/d{\^.\ и d{^p0>0 для i<n. Отсюда по D.5.8)
I'll
б
</с«2,
б =
б
max
1....,
■п2
Zn
1 °t
б
0,1
По предположению | ^_, + ^_, | ^ ро/2, и потому
Следовательно, |^-|^2/б при условии п^2. Это ограничение
на п не уменьшает общности. Для достаточно большого п имеем
dn +tn\>r- независимо от п.

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 209
Итак, мы не только доказали указанную выше оценку для
| tt |, но установили также, что вычисление tt образует Pj-L-no-
следовательность.
Возвращаясь к D.5.10), докажем сначала, что \ci\^.A/i,
причем константа А не зависит от / и п. Этот результат сле-
следует непосредственно из второго соотношения D.5.6) или D.5.7).
В самом деле, в первом случае мы имеем даже |с;|^Л//г,
так как h = (b — а)/п; в силу того что г|э обращается в нуль
в точке а, мы должны рассмотреть во втором случае сходи-
сходимость ^ к функции -ф в окрестности точки а и использовать
теорему о среднем, так как производная от г|э положи-
положительна. Вне этой окрестности используется ранее доказанное
утверждение.
Таким образом,
откуда
где M = 4A/pQ+\, и потому, как и раньше, | даг-1^ /<Г/б, где
к = ш.
Наконец, D.5.11) можно переписать в виде
w.d. + (b.x... — c,\t. b. I t,
V- = x ' ' ' l-!—k L у 1 L.
1 d[(di + ti) d; l+l\ dt + i
Отсюда следует, что
где постоянная М\ не зависит от / и п. Учитывая, что для
достаточно больших значений п начальное условие удовлетво-
удовлетворяет неравенству | vn \^.КоП2Ь с Ко, не зависящим от п, находим
по индукции
К(
где постоянная К\ не зависит от / и п. На этом заканчивается
доказательство теоремы 4.22.
Заметим, что в действительности метод исключения обра-
образует <х2-последовательность.
Сравним теперь теоретические выводы из теоремы 4.22
с результатами машинных расчетов. В следующих четырех
примерах решения краевой задачи D.1.1) —D.1.3) с граничными
условиями а = 0 и b = 1 коэффициенты и константы таковы;

210
Гл. 4. Краевые задачи
Пример 4.9.
Пример 4.10.
р(х)ш= 1, q(x) = 0, f(x)~0, a1
Пример 4.11.
Yi =
Пример 4.12.
р(х)= 1, <7(^)
_г,
г» ios
5x10"
•МО'*
1М0'6
s*tn 7
IU
"... -7
МО'
5x10"
240"*
ixirr»
—/:—
у
—гт-
у
А
/
CD j
/у
/
х '
/
f
1 ')
/
У
/©
10f 126151 201 301 401 601 8011001 1501 2001 3001
Рис. 4.1. Ошибки округления процесса исключения для системы D.3.20)
в примере 4.9 для точки х= 1/2
1) число узлов сетки 3) погрешность при счете на машине EPOS
2) погрешность округления 4) погрешность при счете на машине Урал 1
5) теоретический наклон Pj-t-последовательности
Коэффициент q(x) в последнем примере не удовлетворяет
указанным выше предположениям; он неограничен в окрест-

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений
211
ности точки х = 0; однако, как видно из результатов счета,
это обстоятельство не вызвало никаких затруднений.
Численное решение системы 4.3.20 было получено методом
исключения по рекуррентным формулам D.5.3) —D.5.5) на
машине Урал 1 (фиксированная запятая) для различного числа
узлов сетки. Пример 4.9 просчитывался также на машине EPOS
(плавающая запятая).
Рис. 4.2. Ошибки округления процесса исключения для системы D.3.20) из
примера 4.11 в точке х= 1/2
1) число узлов сетки
2) ошибка округления
3) ошибка округления фактических расчетов
4) наклон теоретической кривой
Э2-£-последовательности
X ошибки округления для исходного
уравнения
О то же для
уравнения
модифицированного
Ошибки округления процесса исключения для примера 4.5
иллюстрируются рис. 4.1 (используется логарифмическая шкала).
Очевидно почти полное соответствие между действительными
ошибками округления и теоретической ^-Ь-последовательностью.
Заметим, что все ошибки одного знака. Соответствующие ошибки
округления численного процесса для примера 4.11 отражены
на рис. 4.2 (используется равномерная шкала). В этом случае
вычисление коэффициента 2 + 10/г двумя способами приводит
к различным ошибкам округления для различных значений h.
При счете с фиксированным h эти погрешности постоянны, а по-
потому имеют разные знаки и довольно большую дисперсию. Если
учесть этой провести расчеты для уравнения у"—A0 + е„)у= 1,
то мы снова получим довольно хорошее совпадение с теорети-
теоретическими прогнозами. Ошибки округления для этого модифи-
модифицированного уравнения, а также для уравнений примеров 4.9

212
Гл. 4. Краевые задачи
и 4.10 приведены на рис. 4.3, из которого видно, что характер
ошибок округления остается одинаковым во всех случаях.
На рис. 4.4 (с равномерными масштабами) отражены ошибки
округления примеров 4.11 (модифицированное уравнение) и 4.12.
1*Ю"'
5x10*
2*Ю
1М0
5к*г'
2x10"'
■ "КГ7
5x10 *
"»
2x10
1*КГ
2*10"
1*10"
(б)
/
/
:
у
V" """
/
. i
f
/
■'□
/
■f'
/
/
1
—у
—L
i
X
J
(—
1 ■» У
л /
26
76 101 151 201 300 401
Рис. 4.3. Ошибки округления процесса исключения для системы D.3.20) из
примеров 4.9—4.11 в точке х= 1/2
1) число узлов 4) ошибки для примера 4.9
2) ошибка округления 5) ошибки для примера 4.11 (модифицированное уравнение)
3) ошибки для примера 4.10 6) наклон теоретической кривой fe-I-последовательности
Заметен разброс точек, который в случае примера 4.12 обусло-
обусловлен тем, что функция q ф const и вычислялась на ка кдом
шаге с погрешностью, меняющей знак, в то время как для
примера 4.11 дисперсия невелика (все ошибки одного знака),
поскольку была исключена систематическая погрешность. Однако
характер {^"^последовательности сохраняется, как это видно

§ 4.8. Решение конечно-разностных уравнений
213
из рис. 4.5, на котором локальные экстремумы отмечены
кружками.
В теореме 4.22 мы доказали, что обычный процесс исклю-
исключения Гаусса D.5.3) — D.5.5) образует ^^--последовательность,
если а = (— 1, — 1, ...), Ь = {\, 1, ...). Покажем теперь, что,
1-10
6*10 8
г*ю"8
-2«Ю*
-6*10"*
-1x10'
-240"
-3*10'
-440"'
Рис. 4.4. Ошибки скругления процесса исключения для системы D.3.20) из
примеров 4.11 и 4.12 в точке х= 1/2
1) число узлов 3) ошибки для примера 4.1J (модифицированное уравнение)
2) ошибка округления 4) ошибки для примера 4.12
изменив D.5.3), можно получить PpL-последовательность или
даже ^-/--последовательность, е>0.
Подставим вначале в D.5.3) выражения D.5.8):
-
(l)
30
V
\
-л)
И/
zoo
/41
\ 0
3(
V ji
»\ л
—У
1
\
\
\
/1
|\Л А /л
\ 1\м
\| V
?0 v| 4C
1
|
1
\ /\
\/\
i /
j
I
ю /
/
s/
f \CV
'■•= 1 п- 1, D.5.12)

214
Гл. 4. Краевые задачи
ИЛИ
и
d\ = Р3/2 + Рт
n-l = Pn-3/2+
Положим
а1 =
4^ Д^ а2>0,
D.5.13)
51 76 Ю1 151 201 300 40<
1*10
Рис. 4.5. Ошибки округления процесса исключения для системы D.3.20) из
примеров 4.11 и 4.12 в точке дс = 1/2
1) число узлов
2) ошнбка округлення
3) погрешности для примера 4.11 (модифицированное уравнение)
4) погрешности для примера 4.12
+ положительная погрешность
О отрицательная погрешность
© положительная, локально максимальная погрешность
О отрицательная, локально максимальная погрешность
Формулу D.5.12) с помощью D.5.13) перепишем в виде
"'"""'— +А2<7„ г=1 п-1, D.5.14)
1/2

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 215
при этом
сто = Л2р1/26,/а1 для а,>0, D.5.15)
ох => Рг-1/2 + h2ql для а, = 0 D.5.16)
И
on = hpn_m~ "~'^т'/2 . D.5.17)
Положим
an = dn. D.5.18)
Соотношение D.5.4) и D.5.5) оставим без изменения, положив
только
dt = ot + р(+1/2 для i = 1, ..., п — 1
и
Теорема 4.23. Решение системы D.3.20) —D.3.22) методом
Гаусси по формулам D.5.4), D.5.5), D.5.8) и D.5.14) образует
^-^последовательность при а = (—1, —1, ...), Ь = A, 1, ...).
Доказательство. I. Из D.5.14) —D.5.16) очевидно, что
<тг^0 для всех i. Будем считать в дальнейшем, что с^>0, так
как случай <тг = 0 для 0^г^/0 исследуется совершенно ана-
аналогично. Легко проверить, что можно положить
D-5-19)
где |0;|<;С0, 0 достаточно мало, а С не зависит от п.
Обозначим
dt--at = k,, i=\ п. D.5.20)
Тогда для t=l, ..., п—\ получим
= о h2
1 4i
(a<-i
откуда

216 Гл. 4. Краевые задачи
Пусть Р= max p{x), Q= max q{x)\ докажем по индукции,
xs[a,ft] хЩа.Ь]
что для достаточно малого 0
| Я,- К D {Р + ih2Q) 0 для i=l п-1, D.5.22)
а Z) не зависит от п.
Очевидно, что D.5.22) выполняется при t = 0 или 1. Далее,
[i-\)h2 +
е
Выберем D^C; тогда при достаточно малом 0 (а, следова-
следовательно, и Я,-) выражение в квадратных скобках будет отри-
отрицательным и
^р < DP + DQ (i - 1) h2 + Ch2qt.
Так как |^,|<Q и C^D, то неравенство D.5.22) доказано.
Учитывая неравенство | i |< 1/Л, приходим к заключению, что про-
процесс вычисления <т,- образует ^-последовательность. (Из D.5.17)
следует, что и | Я„/0 | ограничено независимо от п.)
II. Рассмотрим теперь D.5.4). Из D.5.8) и D.5.4) получаем,
что в D.5.10)
leKCfa.,, Л) в
для 1= 1 п-1 и |02„!<С (С и С" не зависят от п).
Далее,
2 Z D.5.23)
и р= min \p(x)\, и потому из D.5.10) следует, что для
хе[а,Ь]
1= 1, . . ., П- 1
* + 0С*|с(-_,|, D.5.24)
где С* не зависит от п. Аналогично
bi D.5.25)

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 217
Из D.5.6) —D.5.8) вытекает, что
6'-> <*,_,-Vi «pi-.
и 1Ы<Я, «=1 «-!■
Тогда для достаточно малого 0
+ o>,_, - ш, dl-1~'j{-1 + 2С**Л0 + C** (d,_, - ft,.,) 9 .
Отсюда, как и выше, можно доказать, что процесс вычисле-
вычисления с, образует ^-последовательность, так как |^-К#0.
III. Совершенно аналогично (как в теореме 4.22) можно
доказать, что процесс вычисления xt образует PrL-последова-
тельность.
Теорема доказана полностью.
На рис. 4.6 и 4.7 показаны ошибки округления при числен-
численном счете примера 4.9 для исходной и модифицированной схем
(машина ZUSE 23, плавающая запятая).
Рассмотрим теперь еще один вариант метода исключения.
Преобразуем соотношение D.5.14) другим способом, записав
gg+/iV /1"L D526)
Счет будем проводить по следующим формулам:
©, = ©,_1-Я,,-_1, р,- = ©;-©;_,, D.5.27)
т( = Рг+^<-1> я,- = лг_1— xh ло = О,
<т,- = ю,- + л,-
с начальными условиями D.5.15) или D.5.16), а <т„ будем вы-
вычислять по D.5.17). Формулу D.5.4) с учетом D.5.9) можно
переписать в виде
*Л^ <4528>
/-1/2
Счет проведем по формулам
Ем = , fl'C-'~' +Wi, rf = rf_, — ь-i,
стМ+РМ/2
ti = rl-ri_l, 5, = /, +Ем. D.5.29)

ю
кг
1
0
—~
с
0°
0
0
0
0
с
0
i»
if
в
f
/
/
/
/
0
0.
0
0
I
§
Рис. 4.6. Погрешности округления процесса
исключения для системы D.3.20) из примера 4.9
в точке х = 1 /2
1) число узлов 3) наклон теоретической кривой
2) ошибка округления Р2"£-последовательности
Ю'
—
1
0
0
-f
о
n
°o /
0
0 cP '
о
/°
/
0
0
<
0
0
n
Oo
Рис. 4.7. Ошибки округления процесса исклю-
исключения в модифицированной форме примени-
применительно к системе D.3.20) из примера 4.9 в
точке х= 1/2
1) число узлов 3) наклон теоретической кривой
2) ошибка округления Рг^чюследовательностн

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 219
Аналогично имеем
причем счет по этой формуле будем вести, как в D.5.27)
и D.5.29).
Теорема 4.24. Решение системы D.3.20)-D.3.22) (г. е.
вычисление xt) методом Гаусса по формулам D.5.27) — D.5.30)
образует ^-Ь-последовательность для а = (—\, — 1, ...), Ь =
= A,1, ...) и любого е>0.
Отметим, что при анализе устойчивости речь идет только
о вычислении величин xt и в теореме ничего не говорится
об устойчивости счета вспомогательных величин.
Доказательство. Проанализируем формулы D.5.27).
Имеем
iQ-il^C (С не зависит от /). •
Далее,
а, = Vi - *<-i + vftea,., - х^де, | Yp | < с,
р, = - Кх ~ ?{?Л-.в + ^.es,., - v.vfte + о (е2),
т, = - yfth-fl + y^lM-x - V.vftfl + о @2).
я, - й,_, = - т,- + О (92),
ffi-^ +
Положим
Тогда
а также
at = ai-\ ~ ~ir

220 Гл. 4. Краевые задачи
Совершенно аналогично
с- = <;_, - <-А-М-х + Pi-y2) - ь%+в;., + о о2),
|в", | < с._,0 max((ГцС,,,, Л2/.).
Представим себе, что в D.5.30) использованы a't и с\ и что счет
выполняется точно. Получим теперь (с точностью до величин
порядка О (б2)) точное решение возмущенной системы линейных
уравнений, причем возмущения диагональных элементов равны е*,
а в правой части — е**,. Посмотрим, какое влияние на решение
будут иметь эти возмущения.
I. а,>0. Из теоремы 4.21 следует, что |е*|<;СЛ2 и
||
II. а, = 0. По индукции легко получить, что |е*|^С//2,
|е"|<С//2.
Так как решение х{ ограничено, то достаточно выяснить только
вклад е** (с другой константой С).
В первом случае можно доказать точно так же, как это
было сделано в п. 4.3.5, что возмущение есть величина порядка
С*0 и С* не зависит от Л.
Во втором случае положим (см. п. 4.3.5) zA = (lg2,
Ig3, ..., lg(n+l)). Аналогично тому, как это было сделано
в п. 4.3.5, устанавливается, что возмущение имеет порядок
01g-7- (вплоть до О@2)). Примем во внимание теперь то, что
в D.5.30) счет выполняется не точно, а с возмущениями двух
типов:
(а) вместо a't и с\ при счете используются 5. и с:,
(б) аналогично для at и ct
х\ = хш ~ (xlidi ~ г«)/E« + Ри
где
|еП<С0тах(|<х,|, |с,|
Теперь можно написать, что
здесь е**** имеет такой же порядок, что и е***. Так как | ст(. |< C/i
и I ct I ^ l/i, то легко получить, что возмущение е**** имеет вели-
величину порядка 0 lg 1/Л. Доказательство закончено.
Пример 4.13. Как и в приведенных выше примерах, поло-
положим а = 0, Ь=\, p(x)=l, q{x) = 0, f(x) = O, a1 = v1 = p2 = 0,
аг = р1 = \г=1- Счет проводится на м&щинах Минск 22 и

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений
221
ICT 1905. В табл. 4.9 приведены ошибки округления в точке
х= 1 для разных Л; вычисления проводились с помощью обыч-
обычного метода Гаусса, образующего {^"^-"Последовательность, и
модифицированного метода, приводящего к ре-/,-последователь-
ности с е>0.
Таблица 4.9. Ошибка округления в точке х = 1 для примера 4.13
по различным схемам исключения
1/А
10
50
100
200
400
800
1600
3 200
6 400
12 800
25 600
Обычный процесс исключения;
P--L-последовательность
ICT I905
2,328 —10
1,979 —9
1,362 —8
3,399 —8
1,620 —7
8,139 —7
3,328 —6
1,343 —5
5,180 -5
2,044 —4
8,204 —4
Минск 22
—8,940 —8
— 1,281 —6
—7,241 —3
—2,437 —5
— 1,122 —4
—4,339 —4
— 1,593 —3
—6,536 —3
—2,743 —2
— 1,001 -1
_4,774 —1
Модифицированный про-
процесс исключения;
PE-L -последовательность
1СТ 1905
1,455 —11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Минск 22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.5.2. Метод окаймления для уравнений второго порядка.
Будем решать систему D.5.1) методом окаймления (Фаддеев
и Фаддеева [1963]). Пусть X\%k, ..., Xk, k ~ решение подсистемы
из k уравнений с k неизвестными, полученной из заданной си-
системы вычеркиванием последних п — k строк и столбцов, так
что решением полной системы из п уравнений будет xUn, .... хп,п.
Введем в качестве вспомогательных переменных решения qu k
соответствующих систем уравнений с правыми частями, заме-
замененными на отрицательные значения первых k элементов
'в (k + 1)-м столбце матрицы исходной системы, которые опре-
определяются рекуррентными формулами
?*.*=
bk
, k = 2 n, </,., = -•?-, D-5.31)
i,k = qk,k<!i,H-\> i=l, ■.., п-\, b = i + l п. D,5,32)

222 Гл. 4. Краевые задачи
Решение системы D.5.1) методом окаймления состоит в счете
по двум рекуррентным формулам
Sk~bk-\Xk~\,k~\ , П £\ IA Г ОО\
**-*= a +h a • * = 2, .... я, *ы = -^> D.5.33)
ak + bk-\qk~\,k-\ a\
xi.k = xi,k-\ + Xk,k<li,k-u t=l, •••» я-1, k = i+\,..., n. D.5.34)
Методы окаймления и составной факторизации связаны между
собой так же, как методы исключения Гаусса и простой фак-
факторизации:
Теорема 4.25. Пусть требуется решить систему D.3.20) —
D.3.22) методом окаймления D.5.31) —D.5.34). Определим пере-
переменные ф(, zh Q,, k, yu k для а, > 0 и и{, i|>,, /?,, k, yu k для а, = О
следующими соотношениями:
_ Рып _ ~hzk
4k'k Pkii2 + h(ti ' кЛ Pkv2 + hVk ' D.5.35)
V*'* Р*+1/2 + л/Ф* ' *'* Vhi/2 + r D.5.36)
<7t, ft = ^?t. ft> *<\ ft = Hi. ft-
Тогда с увеличением числа узлов сетки величины %, zt,
Qt.k> Di.k u %. Щ> Rt.k, Ht.k сходятся к решениям уравнений
D.2.1), D.2.2), D.2.11), D.2.12) и D.2.4), D.2.5), D.2.14), D.2.15)
с соответствующими начальными условиями, т. е. они пред-
представляют приближенные решения уравнений метода составной
факторизации.
Доказательство. Легко проверить, что
Qk.k=- bkldk, xk,k = ckldk, D.5.37)
где ck и dk заданы соотношениями D.5.3) и D.5.4), если си-
система D.5.1) решается методом исключения Гаусса. Из этого
тотчас следует, что q>k, zk и tyk, uk совпадают с одноименными
величинами, определенными в D.5.6) и D.5.7) соответственно; их
сходимость к решениям D.2.1), D.2.2) и D.2.4), D.2.5) уже была
доказана в теореме 4.21,

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 223
Для остальных величин из D.5.32) —D,5.36) получаем
п — Pk+U2 п
hzk
k-\
p —
(, ft-i,
У{, k = У{. k-\ ~г~п z~h Rt- *-'
соответственно, откуда
Очевидно, что это — одношаговые формулы для решения урав-
уравнений метода составной факторизации, и утверждение теоремы
следует теперь из теоремы 3.7. Численная устойчивость метода
окаймления изучается в следующей теореме:
Теорема 4.26!). При решении системы D.3.20)-D.3.22)
метод окаймления образует для а = A, 1, •••) или а=
= (—1, —1, ...) и Ь = A, 1, ...) ^'^-последовательность чис-
численных процессов, если в качестве параметра взять число узлов
сетки.
Доказательство. Наряду с точными решениями рекур-
рекуррентных соотношений D.5.31) —D.5.34) рассмотрим приближен-
приближенные решения qktk, quk, xk,k, xiik, определяемые формулами
-bk
b
= - — + б
a
a\
,,„
Qt.k = Qk.kQi.k-\ + f>i.k, k = i+l, .... n,
- _ Sk-bk-\*k-\,k-\ „ ~ _ 8\ fl
xk,k—a +b—5 Ht,t, Xi — — + »u,
X{. k = X{. k-i + xk, kqt, k-i + 9«. ь k = i+l n.
Если обозначить
Qk, k — qk, k — tk, k> Яг, k — Qi. k = ti. kf
xk, k ~ xk, k = %
') Подобно тому, как это сделано в теореме 4.22, здесь тоже можно
видоизменить алгоритм так, что мы получим ^-последовательность, е > 0.
(Ср. с теоремой 4.24.)

224 Гл. 4. Краевые задачи
то для погрешностей получим уравнения
и 4 ЬЬ (и 4 Ьк-\*к-\,к-\ | , х /л г ооч
М*, к = -д[ bk-ih-u ft-i - + в*, ft. D.5.38)
"ft \ "ft + 6ft-Hft-i,ft-i /
. _ Vft 6ft-i*ft-i,ft-i
"ft"*, * — ^ d +6 /
"* "ft + oft-irft-i,ft-i
-/ ftt-iHt-i.t-i^l - rf +6 %''fe"' |+ 9fe,fe, D.5.39)
'*. * = (<7ft. ft + '*. ft) h. ft-i + '*. kit. ft-i + ^, *, D.5.40)
Щ, ft = «г, ft-i + "ft, ft^«, ft-i + U. k-iXk. ft + "ft, Л ft-i + 9*. ft- D.5.41)
Если сравнить теперь D.5.38) и D.5.39) с D.5.9) и D.5.10), то
мы придем к оценкам
для всех достаточно малых 6 = maxF(-ift, 9,,Д где константа М
не зависит от k и п. Из первых соотношений D.5.35) и D.5.36)
следует, что \qk,k + 4,ft 1^1 Для всех достаточно малых значе-
значений б; следовательно, по D.5.40)
Наконец, используя второе соотношение D.5.37) и оценку для ck
из доказательства теоремы 4.22, получим из D.5.41), что
Щ, k |<| щ, *_, | + M3k6 + M2k26 (^ + ЛШ) + б,
k = i+l п — 1,
и
I Щ, п I < I Щ. п-\ I + М3«S + Al2n26 (Af4 + A^nS) + б
для достаточно малых значений Л.
На этом заканчивается доказательство теоремы 4.24. Как
и в случае гауссова метода исключения, можно доказать, что,
во-первых, метод окаймл'ения образует р2"^"послеД°ваТельность
даже для граничных условий D.3.23) и, во-вторых, он образует
даже а2-последовательность.
Для сравнения теоретических результатов с реальными рас-
расчетами рассмотрим
П р и ме р 4.14. Пусть требуется решить методом окаймления
систему конечно-разностных уравнений D.3.20) для задачи
у"=\,
Расчеты с различным числом узлов сетки были выполнены
на машинах Урал 1 (с фиксированной запятой) и EPOS (с пла-

i*KTs
5*КГ4
2^10 "*
то'4
МО
2*Ю
1*10
5*IO
i 2*10
I МО
5*10
2*10"'
1*КГ7
5*10""
2*10"
1x10"
У
/
/
V л
/
/
С 5V
^-V-
/
/
/ s
У | +
/ +>
/ J\ v'
у .
/ /
JJ Г 1
/
/ +
/
/
1 1 1 1
/ /
И"—
_7+
У А
V
k
—if—
/
Г
■
40
101
201 301 401 501 701 1001
2001 3001 5001
9001
©
Рис. 4.8. Ошибки округления при численном решении системы D.3.20) ме-
методом окаймления для примера 4.13 в точке * = 1/2
1) число узлов 4) погрешности при счете на машине Урал 1
2) ошибка округления 5) наклон теоретической кривой
3) погрешности при счете на машине EPOS р2-£-последовательности

226 Гл. 4. Краевые задачи
вающей запятой). Ошибки округления, т. е. разность между
точным и численным решением данных систем линейных урав-
уравнений в точке *=1/2 показаны на рис. 4.8; заметно хорошее
совпадение с теоретической кривой ^'^последовательности.
4.5.3. Разностная аддитивная факторизация. Метод аддитив-
аддитивной факторизации, описанный в п. 4.2.3 применительно к крае-
краевым задачам для дифференциальных уравнений, можно исполь-
использовать для решения конечно-разностных уравнений.
Пусть требуется решить разностное уравнение
k=\,...,n-l, h = (b-a)/n, D.5.42)
где q — константа; краевые условия запишем в виде
/=1.2. D-53)
Такие краевые условия соответствуют D.3.21) или D.3.23).
Теорема 4.27. Пусть р — корень квадратного уравнения
х2 — B + qh2) * + 1 = 0, удовлетворяющий условию О < р < 11).
Обозначим через и^ и v£ решения разностных уравнений
<. = Р< + Р2/г%/(! - Р2)- * = 0, .... я - 1,
Dl5-44)
ЧСУО-р2). k = n-\ о,
с /о = 0 и краевыми условиями
где vf> = Q. Тогда разности y(t) = v(i) — u(i) сходятся при i-+oo
к точному решению задачи D.5.42), D.5.43).
Доказательство. Для k=\, 2 п— 1 формулы
D.5.24) дают
следовательно-, у@ в силу ограничений на р удовлетворяет за-
заданному разностному уравнению.
') У этого уравнения такой корень существует, и притом только один.

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений
227
Легко проверяется, что у@ удовлетворяет второму краевому
условию D.5.43). Вместо первого краевого условия имеем
|tf> - М</> = Я, -(l-h/p)(,«-> -,«>).
Таким образом, если мы докажем, что (v(ol~l) — v(ol)) -* 0 при
г—>оо, то теорема будет доказана. Но
^
К""
и потому
,2п
1-Цг/р l-Hl/P
D.5.45)
1-ЦгР 1-Ш
Отсюда следует требуемое утверждение.
Так как р< 1 для любого п, то последовательность числен-
численных процессов, определенных с помощью D.5.44), образует
{^-последовательность, в которой параметром служит п — число
узлов сетки. Но так как Птр„=1, то эта последовательность
не может быть Po-L-последовательностью.
Ввиду того что левая часть неравенства D.5.45) значи-
значительно меньше единицы, если h не слишком мало, скорость
Таблица 4.10. Решение краевой задачи методом аддитивной факторизации
0,00
0,05
0,10
0,15
0,45
0,50
0,55
0,85
0,90
0,95
1,00
Ч
1-е прибл,
1,051798 542 3
0,918 501595 7
0,803 370 935 0
0,703 816120 3
0,326 855 438 9
0,287 659 895 4
0,252 436 699 7
0,084 267 573 5
0,057 591 670 4
0,029 711579 9
0,000 000 000 0
2-е прибл.
1,000 129 1181
0,874 061915 9
0,765 161.106 7
0,670 976 422 5
0,313 907 643 7
0,276 663 7113
0,243 144 712 3
0,081 863 092 3
0,056 0181214
0,028 933 558 2
0,000 000.000 0
3-е прибл,
1,000 000 3219
0,873 951 1412
0,765.065 861 1
0,670 894 562 9
0,313 875 368 8
0,276 636 301 1
0,243 121 550 2
0,081 857 098 7
0,056 014 199 0
0,028931618 8
0,000 000 000 0
4-е прибл,
1,000 000 000 8
0,873 950 865 0
0,765 065 623 6
0,670 894 358 9
0,313 875 288 4
0,276 636 232 8
0,243 121492 5
0,081857 083 7
0,056 014 189 2
0,028 931 613 9
0,000 000 000 0
5-е прибл,
1,000 000 000 0
0,873 950 864 3
0,765 065 623 1
0,670 894 358 4
0,313 875 288 0
0,276 636 232 6
0,243 121 492 3
0,081 857 083 7
0,056 014 1891
0,028 931 613 9
0,000 000 000 0

228
Гл. 4. Краевые задачи
сходимости итерационного процесса будет очень большой. Для
иллюстрации этого факта рассмотрим
Пример 4.15. Пусть требуется решить дифференциальное
уравнение у" — 9у=1 с краевыми условиями г/@)=1, г/A) = 0.
Для h = 0,05 получаем разностное уравнение yk+l — 2,0225г/А +
+ Ук-\ = 0,0025. Результаты расчетов приведены в табл. 4.10.
4.5.4. Метод исключения для дифференциальных уравнений
четвертого порядка. Указанный выше подход к изучению чи-
численной устойчивости метода исключения Гаусса в случае ко-
конечно-разностных схем для дифференциальных уравнений вто-
второго порядка легко переносится на уравнения четвертого по-
порядка. Мы снова воспользуемся связью между методами
исключения и простой факторизации и предположим, что
функции р, q, г и / удовлетворяют условиям п. 4.2.6. Поэтому
мы опять ограничимся краевым условием D.3.64), заданным
в точке а, и краевым условием D.3.62), заданным в точке Ь,
и будем иметь дело с уравнением D.3.61), для которого раз-
разностная схема была выписана ранее. Аналогично можно рас-
рассмотреть другие случаи.
В п. 4.3.7 было показано, что применение метода конечных
разностей для решения уравнений четвертого порядка приводит
к системам линейных алгебраических уравнений с пятидиаго-
нальными матрицами. Рассмотрим систему
Ах = g,
где А —пятидиагональная симметричная матрица
~а, 6, с, 0 0 ... 0 0 0 ~
Ьг а2 Ьг с2 0 ... 0 0 0
А =
с, ... О • О
0
_0 0 0 0
g — известный, a x«-искомый
О ... с„_2 &„-1 ап_
вектор. Методом исключения
после i шагов придем к матрице
~tx sx cx 0 0 ...
0 t2 s2 c2 0 ...
... 0
... 0
... 0
',
S,
ct
щ
ьм
С{
Ьм
Щ+2
0
См
ът
0
0
ст
0 ...
0 ...
0 ...

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 229
о о
*Г С
а следующий шаг дает
о
*Г С *Г >С
*{+1 = Щ--^, Щ+\ = fl;+2- 77 • %i = ii+i—^' D.5.46)
Исключая и1+и получаем
где «, = &,, ^^flj. t2=a2-b2ljal.
Таким образом, процесс исключения приводит нас к двум
рекуррентным соотношениям. Продолжая исключение для пра-
правой части и вычисляя х{ с помощью обратной подстановки,
получаем два рекуррентных соотношения
dl+2 = gi+2-j^dM--^di, di=gu d2 = g2--^-gu D.5.48)
_ dt-s.xl+l-ctxl+2
Xt- {{
где d{ есть правая часть после исключения.
В случае III из п. 4.3.7 имеем
а{ = Pt-2 + 4Pi-i + Pt + h4r,_u i = 3 n - 1,
ax = Pi + h4r0, a2 = 4pi + p2 + h4rlt
an = tPn + 4pn-i + Pn-2 + h4rn-u
bi=-2(Pl.l + Pi), i = 2, ..., n-1, bi=-2plt D.5.50)
Сг = Рг, i= 1, ..., n-2, gt = h*f,.u i = 3 л - 2,
g, = «4/0 + Л2а,р0 + h%, g2 = Л4/, - h\Po,
gn-i = h4fn-2 - <hPn-\> gn = #V, + 2d2 (pn_, + pn) - 2Лр2р„.
Связь между процессом исключения и простой факторизацией
устанавливается в следующей теореме:
Теорема 4.28. Пусть А — пятидиагональная симметричная
матрица, задаваемая формулой D.3.69), а величины th sh d{, xt
определяются соотношениями D.5.46) — D.5.49). Пусть
t{ = p{ + h(fh t=l, ..., л-1, /„ = 2р„ + лф„,
s{= — 2pi - Лф,- + л2\|з„ г = 1, ..., л — 1,
dt = h2zit i=\ л -2, dn.x = h2zn4 -а2р„_,,
dn = h2zn + fti а2р„_, + гаг (рп_{ + pn) -
*i = &. »=1 П.

230 Гл. 4. Краевые задачи
Тогда уравнения метода исключения D.5.46) — D.5.49) дают
приближенное решение системы дифференциальных уравнений
метода простой факторизации 44.2.16) — D.2.19), а величины <р,-,
■ф,, zh yt сходятся к решениям q>, i|>, z, у уравнений простой
факторизации при п->оо.
До казательство. Прежде чем подставлять /,, s{, d{ и х{
в соответствующие уравнения, выведем некоторые формулы
с точностью до членов четвертого порядка по h'
444
Pi \ Pi Pi Pi Pi
^4W^4
Pi \ Pi Pi I \ pi p\
JPL__^l+_^)+o(hs).
\ Pi Pi Pi I
Подставляя в D.5.47) и D.5.46) и опуская члены более высо-
высокого порядка, получаем после некоторых преобразований
Pi+2 Pi
Цф4
Рш Pi+i Pi+i Pi
D-5.51)
^4
Pi I \ Pi Pi
4+**L). D.5.52)
Pi Pi I
Даже если бы разложения были выписаны только до членов
порядка Л2, то и в этом случае в силу свойств одношаговцх
формул § 3.3 ф| сходились бы к решению.D,2.16)v .

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений
Для того чтобы установить сходимость ^ к решению D.2.17),
вычислим Фг+2 — Фг из D.5.52) и сравним результат с D.5.51).
Итак,
\ РМ РМ Pi j
откуда следует сходимость. Ясно, что начальные условия
Ф, = hh0, ф, = h\, ^ = Л2 (г, + ■■£^г) "
сходятся к соответствующим начальным условиям в методе
простой факторизации.
Используя разложение вплоть до членов второго порядка
и подставляя их в D.5.48) и D.5.49), получаем
,1,2 Л: Ь+1гМ ,
т" " / D2 I
Г
Pi
= h^- (yi+2 - Ум) + h*(^-- ^^ + ^ (yi+l - yMj)
Pi \Pt Pi Pi J
с начальными условиями
Zi = °iPo + ЛР1 + Л2/р,
(Л2„ + g а2р„_, + 2а2(р„_,
«-1 ~ агР«-1 ~ Sn-Wn) = аг - 2Лр2 + О
Отсюда следует сходимость z{ и у{к решениям уравнений
D.2.18) и D.2.19) метода простой факторизации с соответствую-
соответствующими начальными условиями. . _ _ .
Численная устойчивость метода исключения рассматривается
в следующей теореме.

232 Гл. 4. Краевые задачи
Теорема 4.29'). Численный процесс решения D.3.69) ме-
методом исключения по формулам D.5.46) — D.5.49) образует
как функция параметра n = (b — a)/h для а = A, 1, ...) или
а = (— 1, — 1, ...) и Ь = {\, 1,...) ^-^последовательность.
Доказательство. Пусть xit ait yt и т^ обозначают воз-
возмущения величин tt, s{, dt и х{ и удовлетворяют следующим
уравнениям:
2 2
D-5.53)
y-
где
а константа Af не зависит от г и п.
Рассмотрим вначале первые два уравнения D.5.53), и пусть
%i = Tj + ah а р{ = тг+1 — тг. Сохраняя только линейные части,
получаем
n+i
D.5.54)
«+1 / '«+1
') Как и в случае дифференциальных уравнений второго порядка, здесь
можно улучшить алгоритм так, чтобы получить ре-последовательность, е > 0.

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений 233
вводя новые обозначения Xl = %{+i — %{, Yl = pi — pi.u придем
к соотношениям
2
н+\ I н
,2 \ „ / „2
2~
2
'«+1
откуда
Ум - 2
2
4+1
) (|) .+ .... D.5.55)
Далее, вычисляя Хм из D.5.54) и складывая с D.5.55), по-
получаем
i St + 1 + si+\ci+\ _ 2st+\ + cl+\ _ ,
V
= Y i —
2Ti+1
Если теперь использовать выражения для величин sh tt и ct
с учетом членов более высокого порядка, то мы найдем, что
Хм =
где Ff ограничены для всех i, j и п,
|Д,.|<М26, б =
a Af i и Af2 не зависят от inn.
Как и прежде, из последнего уравнения следует, что для
достаточно малого б (зависящего от п) Х{ образуют рг£,-после-
довательность. Так как в этом случае Y{ образуют рг£-после-
довательность, то |4 и рг образуют р2"^"послеДовательности,
а т{ и о{ образуют р3'^"послеДовательности; доказательство
можно продолжить по индукции. Существенно, что %t образуют
р2-^-последовательность.
Численную устойчивость других двух уравнений D.5.53) мы
не будем исследовать детально. Заметим только, что т; и о{

234
Гл. 4. Краевые задачи
2»105
!»Ю*5
5*106
2*10 6
S*10'7
2*1O'7
l*10
2*1O'8
IMC8
5*Ю'9
2*10-'
1*|Л 9
It
1
I
—i
r
A
]
1
\ /
<
i
i
;
Ы
у
1
}
—
)
26 51 76 101 151 201 251
P не. 4.9. Ошибки округления процесса исключения для системы примера 4.16
в точке х = 1/2
1) число узлов 2) ошибка округления
3) наклон теоретической кривой $t-L-последовательности
□ ошибки для краевых условий A)
О ошибки для краевых условий B)
встречаются лишь в виде сумм т,- + ah образующих р2"
доватёльность. Так как с?, = /г22,, то для у{, снова используя
и tit получаем
+ члены более высокого порядка + возмущения,
откуда следует, что yt образуют р2"^"послеД°вательность.

§ 4.5. Решение конечно-разностных уравнений
235
Таким образом, для % находим
+ члены более высокого порядка + возмущения.
Правая часть опять имеет порядок п2б и, следовательно, %
образуют р4-А-последовательность.
S«10"
l»10"
S*KT
Ь*КГ
1*10 '
1*10'
. л
1
—;
л
—7
Л
—-1
У
j
\
—/—
/
(з)
7 -
Ю1
201 301 401 S01
1001 1501 2001
Рис. 4.10. Ошибки округления численного процесса решения системы из
примера 4.16 методом окаймления в точке * = 1/2
1) число узлов 2) ошибка округления
3) наклон теоретической кривой (J<-L-последовательности
□ ошибки для краевых условий A)
О ошибки для краевых условий B)
В заключение укажем, что изменение доказательства с ис-
использованием некоторых более тонких рассуждений позволяет ут-
утверждать, что метод исключения образует (^-последовательность.:

236 Гл. 4. Краевые задачи
Аналогичные утверждения можно доказать и для других типов
краевых условий.
Пример 4.16. Решить методом исключения краевую за-
задачу

используя разностное уравнение
г/«+2 - 4г/г+1 + 6г/, - 4y{-i + у{-2 = Л4,
с двумя вариантами краевых условий
0) У-\ = Уо = Уп = Уп+\ = О,
B) Уо = Уп = О, уг = У-1, Уп-1 = Уп+1-
Расчеты были проведены на машине Урал 1 для п = 26,
51, 76, ..., 276. На рис. 4.9 показана ошибка округления при
вычислении у A/2), а также наклон теоретической р4-/,-после-
довательности; при этом заметно хорошее совпадение экспери-
экспериментальных результатов с теоретическими.
Для сравнения ошибок округления пример 4.16 был пере-
пересчитан на машине Урал 1 методом окаймления. Но из
рис. 4.10 видно, что в обоих методах поведение ошибок
округления одинаково (как и для уравнения второго порядка).
§ 4.6. Вариационные методы
4.6.1. О проблемах оптимальной аппроксимации. Рассмотрим
краевую задачу для обыкновенного дифференциального урав-
уравнения
Ay = f D.6.1)
с однородными краевыми условиями. Будем предполагать, что
единственное решение у0 существует. Если приближенные ре-
решения таких задач ищутся в виде линейных комбинаций ли-
линейно независимых функций
то возникают два основных вопроса, касающихся оптимально-
оптимального выбора
A) констант c"j, если функции <р/,„ заданы,
B) функций <р/,„.
A) Будем предполагать, что искомая функция у0, так же
как и функции <p/>rt, принадлежит некоторому гильбертову про-

§ 4.6. Вариационные методы 237
странству Н. Рассмотрим задачу оптимального выбора с^,
при котором погрешность уо — уп будет" минимальной. Мы
исследуем также те свойства, которыми должны обладать функ-
функции ф/, „ для того, чтобы г/„-*г/0 в И ПРИ п-+оо.
B) Что касается выбора ф/, „, то мы будем предполагать,
что функция / из D.6.1) принадлежит Ни а оператор А'1, пе-
переводящий у0 в /, непрерывен и линеен. Обозначим через В
оператор, который переводит приближенное оптимальное реше-
решение в функцию /. Иными словами, будем рассматривать про-
проблему выбора функций ф/, „, /= 1 п, которые приводят
к оператору А'1 — В с минимальной нормой.
Мы будем заниматься проблемами оптимизации только в
указанном выше смысле вне их связи с проблемами численной
реализации оптимальных аппроксимаций. Устойчивость этих
процессов будет обсуждена в § 4.7. В гл. 5 мы применим эти
результаты к краевым задачам для дифференциальных урав-
уравнений с частными производными.
4.6.2. Некоторые основные результаты о положительно опре-
определенных краевых задачах для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений*). Приводимые ниже основные результа-
результаты, касающиеся решений самосопряженных положительно опре-
определенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений, легко переносятся на системы уравнений и общие
самосопряженные задачи. Мы не будем давать доказательств
этих утверждений, так как они легко получаются методами
функционального анализа. (См., например, Михлин [1957].)
Рассмотрим 2m, m^l, линейных форм от переменных %it
i=l 2m,
Lf] Aг hm), Lf (h hm), / = 1 2m. D.6.3)
Пусть Q будет линейным многообразием всех функций v(x),
a^x^b, у которых существуют все производные на [a, b ];
через D(L)czQ обозначим линейное многообразие таких функ-
функций из Q, для которых
L\a)(v(a), v'{a) i/2* (a)) = О,
Lf (v (b), v' (b) vBm~X) (b)) = 02), D.6.4)
/= 1 m.
') Для упрощения выкладок некоторые утверждения даны значительно
в более слабой форме.
2) Ради простоты мы будем часто записывать D.6.4) в виде L(u)=0.

238 • Гл. 4. Краевые задачи
Пусть А — оператор, отображающий D (L) в пространство
квадратично интегрируемых функций L2, обладающий следу-
следующими свойствами.
Если v, w e D (L), то
ь ь
A) J (Av) wdx = J (Aw) vdx; D.6.5)
a a
B) существуют константы с и С, не зависящие от v, та-
такие, что
Если Л обладает этими свойствами, то задачу
Ay = f,
мы будем называть самосопряженной положительно опреде-
определенной задачей, характеризуемой оператором А порядка 2т и
краевыми условиями L с правой частью /. Всюду в дальнейшем
мы будем рассматривать задачи, характеризуемые операторами
порядка 2т, т~^\, и там, где это не приведет к недоразуме-
недоразумению, порядок оператора указывать не будем.
Для простоты будем использовать следующие обозначения:
ь ь
J uvdx = (и, v), J (Аи) vdx = [и, v]A,
а а
(и, и) = || и ||2, [и, и]л = | и \\, D.6.7)
ь
\(Au)(Av)dx = {utv)A, {и, и}л = |1«||л.
а
По D.6.5) и D.6.6) операции [и, v]A, {и, v}A в D(L) суть ска-
скалярные произведения. Полные оболочки1) D(L) с нормами | \А
или || | |д, в которых определения скалярных произведений
[и, v]A или {«, v}A введены непрерывным образом, будут обозна-
обозначаться через ££(Ya, L) или S£(A, L) соответственно. Очевидно,
эти гильбертовы пространства таковы, что
31 (A, L)cz&(YA, L)c=L2. D.6.8)
') Наименьшие полные или линейные множества М => А называются
полными или линейными оболочками А соответственно. См., например, Кол-
латц [1964].

§ 4.6. Вариационные методы 239
Из результатов функционального анализа следует, что
уо^З)(У А, L) будет решением задачи, характеризуемой опера-
оператором А с краевыми условиями L и правой частью /, если для
каждой функции «e^(yO4, L)
[г/о, u]A = (f, и). D.6.9)
Теорема 4.30. Существует вполне непрерывный оператор
A~l(L), отображающий L2 в £%{УА, L), такой, что
. [A-HL)f, u]A = (f, и) D.6.10)
для любой функции u^D (L).
Методами функционального анализа можно легко показать,
что если существует классическое решение в 3)(YA , L), то оно
тождественно совпадает с указанным выше решением.
Самосопряженная положительно определенная задача, ха-
характеризуемая оператором А и краевыми условиями L, будет
называться регулярной, если оператор Л (L) осуществляет не-
непрерывное отображение пространства L2 в 3> (A, L).
Теорема 4.31. Дана самосопряженная положительно
определенная задача, характеризуемая оператором А и крае-
краевыми условиями L. Тогда существует счетное множество не-
неотрицательных собственных значений Я,-, Kl+x>Kh /=1, 2
и соответствующая им система собственных функций ф/ в L2
задачи
Аи = Ки D.6.11)
с краевыми условиями D.6.4). Если u^L2, то
ОО
и- 2ф|(Ф/, и) D.6.12)
и ряд сходится в L2. Если u^.S8{~\f A , L), то ряд D.6.12) схо-
сходится в 3>{VA~, L) и
ОО
\u\\ = ^h(<pi, иJ. D.6.13)
Эти результаты следуют из хорошо известных теорем.
Определение 4.4. Рассмотрим две самосопряженные
положительно определенные задачи, характеризуемые опера-
операторами Ai и А2, и соответствующие краевые условия L, и L2.
Будем называть эти две задачи подобными, если
A) 3(VA~U L,) = S(/^, L2)
— здесь равенство понимается в теоретико-множественном
смысле;

240 Гл. 4. Краевые задачи
B) существуют линейные непрерывные операторы Р\ и Р2,
отображающие L2 в L2 так, что для каждой функции /eZ,2
АР (La) Pxf = ЛГ1 (L,) f, A;1 (L,) P2f = A? (L2) f.
Заметим, что из D.6.6) вытекает существование таких кон-
констант с, и Си что
ММл^С.Мл,. D.6.14)
Теорема 4.32. Даны две подобные самосопряженные по-
положительно определенные задачи, характеризуемые операто-
операторами А\ и А2, и краевые условия L] и L2 соответственно;
пусть Я,, ], Я,!. /+1 Ж/ и Ч/. Я,2>/+1 >Я2,у, / = 1, 2, .... бг/дг/г
собственными значениями задач
Aiy = Яг/, Л2г/ = Яг/
с краевыми условиями L, гг L2 соответственно. Тогда сущест-
существуют постоянные с2 и С2, такие, что
СгЯ2, у<Я1,у<С2Я2, у. D.6.15)
Определение 4.5. Две регулярные самосопряженные
положительно определенные задачи, характеризуемые опера-
операторами А} и А2 и краевыми условиями L] и L2, будут назы-
называться вполне s-подобными (s — положительное целое), если
A) SB (Au Ll) = SB(A2, L2);
B) существуют постоянные с3 и С3, такие, что для любой
функции и^З>(Аи L,)
\u\\Ai; D.6.16)
C) существуют линейные непрерывные операторы Pi и Р2,
отображающие пространство -
«SL,; || и ||s2 = / [Ws)f + и2] dx< ool
# = Е
в LBS), такие, что для любой функции
А2' (L2) Р,/ = ЛГ1 (L,) f, A;1 (L,) Р2/ = Л!1 (L8) /.
4.6.3. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве
Sfi{\f~A, L). Дана самосопряженная положительно определен-
определенная задача, характеризуемая оператором А и краевыми усло-
условиями L. Рассмотрим последовательность функций
; L), /=1, 2 я, я-1, 2, ....

§ 4.6. Вариационные методы 241
и пусть un = {uUn, ..., «„,„}. Мы будем писать ип^^(УА, L),
если все компоненты и„ принадлежат 2$(У~А, L).
Положим уо = A~l (L)f. Функция
гл, = 2сГ«/,„ D.6.17)
называется п-й оптимальной аппроксимацией у0 в 3)(УА, L)
по отношению к и„, если для любого набора п чисел du..., dn
\Уо— 2
I ы
г/о
— 2 cf/«/,n
/1
D.6.18)
Теорема 4.33, Функция уп, определенная с помощьюD.&Л7),
будет п-й оптимальной аппроксимацией у0 = Л (L)/ в 3'(УA, L)
по отношению к ип тогда и только тогда, когда
S сГк.я, «*.п]л = (/, «*.«), *-!,..., п. D.6.19)
£сл« функции И/,„, /=1, ..., я, линейно независимы, то си-
система линейных уравнений D.6.19) имеет одно и только одно
решение.
Доказательство. Ясно, что оптимальная аппроксима-
аппроксимация уп является ортогональной проекцией у0 на линейную
оболочку Ш(и„)с=^(У~А, L) функций «,,„, ..., «„,„,■ откуда
следует, что
\Уп> Ч1,п\а=\Уо, И/.я]д, /= 1, .... п,
однако (см. D.6.9))
\Уо, «/.п]л = (/, и/.п).
Если функции «/,„, /= 1, ..., п, линейно независимы, то,
как следует из D.6.6), матрица системы D.6.19) будет положи-
положительно определенной. Теорема доказана.
В практических расчетах нахождение оптимальных аппрок-
аппроксимаций г/п> начинается с решения системы D.6.19). Эта система
линейных уравнений появляется в том случае, если поставлен-
поставленная краевая задача решается методами Ритца или Галеркина
(см. Михлин [1957]). Мы будем рассматривать и„ и uUn, ...
..., «„,„ как координатный вектор и координатные функции
соответственно. Сходимость процесса аппроксимации рассмат-
рассматривается в следующей теореме:

242 Гл. 4. Краевые задачи
Теорема 4.34. Пусть заданы функции ultn^3)(YA, L,),
/=1, ..., п, п=\, 2, ..., со следующими свойствами:
A) функции ulin, /=1, ..., п, линейно независимы для лю-
любого п\
B) для любой функции w^33(Y~A, L) и е> 0 существует та-
такое N{w, е), что для n^N найдутся коэффициенты а!<п, / =
= 1, ..., п, для которых
Если
п I
о»-S а,.пи,,Л <е. D.6.20)
1=1 \а
£
представляет собой оптимальную аппроксимацию искомого
решения уо= A~l(L)f, то уп-+у0 в &(Va, L).
Доказательство очевидно; отметим только, что выполнение
условия B) необходимо проверять лишь для функций w^&(L),
так как &(L) есть всюду плотное множество в 3)(\/A, L).
На практике функции и!>п обладают часто другим свойст-
свойством. Если пг<п, то существуют коэффициенты c/im, {, /= 1, ...
. .., т, /=1, ..., п, п = 2, 3, ..., такие, что
п
«/,ш = 2с|1Л1,Л,». /=1, ...,т. D.6.21)
Если последнее условие выполняется, то величины е„ = | у0 — уп \А,
п=\, 2,..., образуют невозрастающую последовательность.
4.6.4. О применении метода оптимальной аппроксимации
к одной конкретной задаче а пространстве SB (У A, L). Пусть
требуется решить дифференциальное уравнение
-((l+x)y/)' = f(x) D.6.22)
на отрезке [0,1] с краевыми условиями
у@) = уA) = 0. D.6.23)
Очевидно, что это самосопряженная положительно определен-
определенная и даже регулярная задача.
Легко проверяется, что
1
[и, V]A= \f{\+x)u'v'dx. ■ D.6.24)
о

§ 4.6. Вариационные методы
243
Таким образом, 3){\fA, L) будет множеством всех функций
v(x), непрерывных на [0, . 1], удовлетворяющих условию
и@) = иA) = 0 и имеющих первые квадратично интегрируемые
производные в смысле теории распределений.
Рассмотрим четыре системы координатных функций:
I.
I _ 1
Л """*• """*• л + 1
О для
"/,« =
D.6.25)
для
:л+1 '
л+1 '
Очевидно, эта система функций удовлетворяет всем требованиям
теоремы 4.34 относительно краевой задачи, характеризуемой
оператором D.6.22) и краевыми условиями D.6.23). В этом
случае система D.6.19) теоремы 4.33 имеет следующий вид:
~ A + f h) с<«> + 2 A + Щ 4"» -. A + ■§-а)с»=/<«>,
D.6.26)
здесь
- B - 4 AJ'cJft + 2 B - h) c<»> = /<»>;
1
! 1 и (С и \ f(") U I" / y\ f I y\ А у
tl + 1 J
Значения оптимальных аппроксимаций в точке
выражаются формулой
*(*/)= 2 с}я>и/, „(*/) = с/я>.
D.6.28)
Сравнивая систему D.6.26) с конечно-разностной системой
D.3.20), видим, что их матрицы тождественно совпадают. Пра-
Правые части этих систем различаются только членами порядка h.
Если D.6.22) имеет более общий вид, то матрица системы D.6.19)
не будет совпадать с матрицей конечно-разностной системы, но
отличие между ними будет составлять величину порядка h.

244 Гл. 4. Краевые задачи
Эти замечания отражают тесную связь между конечно-разност-
конечно-разностными методами п. 4.3.3 и оптимальной аппроксимацией.
II.
Ul, 2п+2 = 5C/I '*)•
2п+2,2п+2 ^{х-\), S=l, ..., П,
Выбор такой системы базисных функций приводит к методу,
родственному методу конечных разностей. Этот метод,- исполь-
используемый часто на практике в особенности при решении уравне-
уравнений с частными производными, известен под названием метода
конечных элементов.
III.
Uj,n(x) = s'm}nx, /=1, 2, ..., п, «=1, 2, ... . D.6.29)
Вновь можно легко показать, что эта система функций
удовлетворяет всем условиям теоремы 4.34. Элементы матрицы
системы D.6.19) имеют вид
/, m uk, п]а — g
4 t я , j — к,
l
(/. "/. n) = J / W sin Jnx dx. D.6.30)
о
IV.
uj,n(x) = (\-x)xl, /=1, 2, .... я, n= 1, 2, ... . D.6.31)
Очевидно, эта система удовлетворяет всем условиям теоремы
4.34. Коэффициенты матрицы системы D.6.19) таковы:
г, „ 1 I* (/+D(fe+l)-l Jk-l
14 п, uk,n\A j + k-\ j + k j + k+l
' k> i=1' 2
1
/. «/,„)= lf(x)(l-x)xJdx.

§ 4.6. Вариационные методы 245
Указанные выше базисные функции используются в кон-
конкретных расчетах. Естественно поэтому возникает вопрос о «сте-
«степени пригодности» систем координатных функций. Наиболее
подходящим критерием может служить, очевидно, требование
минимизации вычислительной работы, приводящей к результату
с требуемой точностью. Однако этот критерий непосредственно
использовать трудно. Поэтому мы будем измерять работу чис-
числом координатных функций, требуемых для достижения задан-
заданной точности. Хотя эта точка зрения не учитывает вычисли-
вычислительную работу, связанную с расчетом матриц Грамма, так
как при этом системы с трехдиагональной и полной матрицами
считаются эквивалентными, она тем не менее во многих случаях
может оказаться весьма полезной.
4.6.5. О выборе оптимального базиса в пространстве
3) {УA, L). Пусть дана система линейно независимых коорди-
координатных функций «/, „&25(УЛ, L), и пусть символом В (A, L, и„)
обозначен оператор, относящий п-й оптимальной аппроксима-
аппроксимации искомого решения yo = A~1(L)f функцию /gL2 (в смысле
теоремы 4.33).
Мы будем изучать теперь оператор
R (A, L, ип) = А-ЦЪ)-В(А, L, и„),
связывающий погрешность приближенного решения у0 с функ-
функцией /. По теореме 4.30, R (A, L, и„) — вполне непрерывный
оператор, отображающий L2 в Si{}f A, L). Обозначим его норму
через \R(A, L, и„)|д. Будем называть вектор °и„ = {@)ии„, ...
• • • > @)"п. п) оптимальным координатным вектором, если для
всех координатных векторов \п<^.3(УА, L)
\R(A, L, °и„)|д<|Я(А L,
Теорема 4.35. Пусть дана самосопряженная положительно
определенная задача, характеризуемая оператором А и крае-
краевыми условиями L. Вектор °и„ = {°«1,„, .... °«л,п) будет оп-
оптимальным координатным вектором, если линейная оболочка
°и1, п> /= 1 п> равна линейной оболочке первых п соб-
собственных функций задачи
Аи = Хи D.6.33)
краевыми условиями
L (и) = 0. D.6.34)

246 Гл. 4. Краевые задачи
Доказательство. Обозначим через А^Аг^ ..
и Фь .... фп собственные значения и собственные функции
задачи D.6.33) для краевых условий D.6.34); собственные функ-
функции ортонормированы в L2- Пусть <pn = {<pi, ..., <р„} и пред-
предположим, что / е L2. Тогда по теореме 4.31 t
в 3(У~А, L). Легко проверить, что
оо
R{A,L,<pn)f = 2 17 (Фм f)<Pi>
и потому
Далее, пусть' дан координатный вектор vn^3t(Y~A, L),
n+l
vn = {wi.n» •••> un.n}- Тогда существует функция ву = 2 а/ф/.
такая, что
[йу. v},n]A = 0 для /= 1, 2, .... п, || ш ||=1,
и потому
л+1 п+1
i? (A, L, vn) 2 А/а/фу = 2 а/ф/.
Следовательно,
, l, Vn)
t
n
2 a/*7
/1
Отсюда вытекает утверждение теоремы.
Очевидно, что при любом выборе координатного вектора и„
\R(A, L, ujl^-^-, D.6.35)
причем равенство достигается в случае оптимальных коорди-
координатных функций. Конечно, при счете конкретных задач, харак-

§ 4.6. Вариационные методы 247
теризуемых оператором А и краевыми условиями L, нахождение
оптимальных координатных функций практически невыполнимо,
так как для этого потребуется больше усилий, чем для решения
самой задачи. Тем не менее теорема 4.35 дает критерий для
подходящего выбора координатных функций.
Определение 4.6. Дана самосопряженная положительно
определенная задача, характеризуемая оператором А и краевыми
условиями L. Будем говорить, что функции u!tn^3(V~A, L)
образуют почти оптимальную систему координатных функций
относительно данной задачи, если существует такая постоянная
О 0, не зависящая от п, что для любого п
| R(A, L, и„) |д < С inf _ \R (A, L, vj \А,
(У )
где и„ = {«,,„, .... «„,„}.
Построение системы почти оптимальных координатных функ-
функций рассматривается в следующей теореме:
Теорема 4.36. Даны две самосопряженные положительно
определенные задачи, которые характеризуются операторами Ах
и А2, краевыми условиями 1^ и L2 и которые подобны в смысле
определения 4.4. Функции «/,„, /= 1, ..., п, п= 1, 2 ..., обра-
образующие систему почти оптимальных координатных функций
для задачи, характеризуемой Ах и Lu будут также почти опти-
оптимальной системой координатных функций для задачи, характе-
характеризуемой А2 и L2.
Доказательство. Пусть Я^^Я^г^ ... и Я2,1<Д2,2s** . . .—
собственные значения задач
\ = X\U, A2u = X2u
для краевых условий 1^ и L2 соответственно. По теореме 4.35
inf \R(AU L,, Vn)fi,= 1 ,
inf_ \R{A2,L2,yn)fAt = -J—.
Обозначим через P (Au un) и P(A2, un) проекторы 35{УАХ, Lj
и 3>(V~A2, L2) соответственно на Линейную оболочку функций
«i,n. •••> «n,n- Тогда, очевидно,
7? (Л,, L,, и„) = [/ -P{AU un)]V(Li),
2, L2) uj = [/ - Р (А2, и„)] Д

248 Гл. 4. Краевые задачи
Но для ge&iYAi, L^ имеем
|[/-Р(Л2, и„)]g\Ai>\[I-P(А, и„)]g\А.
Поэтому, в силу того что задачи подобны,
| [/ - Р (А,, и„)] g \Ai < С, | [/ - Р (А2, и„)] g \A
и
\R(AU L,, и„)|Д1<С, supi \[I-P(A2, un)]AJl(U
Из A2l(L2)Pif = AJ1{Li)f следует теперь, что
\R(AU L,, uJI^Cl^CA,, L2) uJI^JIP,!!,
откуда
\R(AU L,, и„)|Д1<С;|7?(Лг, L2, и„)|Дз.
Так как функции «1>п, ..., «„,„ образуют почти оптималь-
оптимальную систему координатных функций по отношению к задаче,
характеризуемой оператором А2 и краевыми условиями L2) то
и, следовательно,
\R(A,LU uJI*.
Таким образом, по теореме 4.32
\R(Ab Luun)f.
Используя теоремы 4.35 и 4.36, можно строить почти опти-
оптимальные системы координатных функций. Покажем, например,
что координатные функции D.6.29) представляют собой почти
оптимальную систему координатных функций по отношению
к задаче, характеризуемой уравнением D.6.22) —D.6.23).
Очевидно, эта задача подобна дифференциальному уравнению
-/' = / D.6.36)
с краевыми условиями
г/@) = </A) = 0. D.6.37)
Но координатные функции D.6.29) суть собственные функции
дифференциального уравнения
с краевыми условиями

§ 4.6. Вариационные методы 249
по теореме 4.35, эти функции оптимальны и, следовательно,
представляют собой почти оптимальные координатные функции
по отношению к задаче, характеризуемой уравнением D.6.36),
D.6.37). Следовательно, по теоргмг 4.36 они будут также почти
оптимальными функциями для задачи, характеризуемой D.6.22)
и D.6.23).
Заметим, что система координатных функций D.6.25) является
оптимальной системой для задачи D.6.36) и D.6.37) и что си-
система D.6.31) будет почти оптимальной для задачи D.6.22)
и D.6.23).
4.6.6. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве
31 (A, L). Пусть даны регулярная самосопряженная положи-
положительно определенная задача с оператором А и краевыми усло-
условиями L и последовательность функций
u,,n^3S(A, L), /=1 п, п=1, 2
Далее, пусть
yo = A-l(L)f, /eL,.
Тогда
Уп-2*Г\п D-6.38)
мы будем называть (для заданного п) п-й оптимальной аппро-
аппроксимацией искомого решения у0 в 3S(A, L) по отношению к и„,
если для каждой последовательности п чисел d\ dn
/ = 1 I \А / = 1 I IA
Теорема 4.37. Функция уп будет п-й оптимальной аппро-
аппроксимацией в 3> (A, L) решения у0 = Л (L) / тогда и только
тогда, когда
2 с/п> {и, > uk Л = (/' Auk ). D.6.40)
Если функции ulifl, /=1, 2, ...,«, линейно независимы, то
система линейных уравнений D.6.40) имеет одно и только одно
решение.
Доказательство. Очевидно, оптимальная аппроксима;
ция уп есть ортогональная проекция решения у0 на линейную
оболочку Ш (и„) с: 3> (A, L) функций иип «„,„. Поэтому
{Уп, и/. п)а = {г/о. и/. Л. /=1,2 п.

250 Гл. 4. Краевые задачи
Однако
{г/о. «/, „}д = (Лг/о, Аи,, „) = (/, Аи,, „).
Если функции «/,„,/'= 1 п, линейно независимы, то матрица
системы D.6.40) будет положительно определенной; отсюда сле-
следует утверждение'теоремы.
В практических расчетах оптимальной аппроксимации сле-
следует отправляться от решения системы D.6.40). Заметим, что
она совпадает с системой линейных уравнений, возникающей
при решении поставленной краевой задачи методом наименьших
квадратов в L2 (см. Михлин [1957]).
Сходимость процесса рассматривается в следующей теореме;
Теорема 4.38. Рассмотрим функции и,,п^£8(А, L), обла-
обладающие следующими свойствами:
A) для любого п функции и,,п, /= 1 п, линейно не-
независимы;
B) для любой функции f ^ L2 и е > 0 существует N (/, е),
такое, что при n^N найдутся коэффициенты а,,п, j= 1 п,
для которых
Если
i
есть оптимальная аппроксимация искомого решения у0, то
Уп~+Уо в ЗЦА, L).
Доказательство. Утверждение теоремы следует из не-
непрерывности оператора Л (L), отображающего пространство L2
в 31 {A, L).
4.6.7. О другом оптимальном свойстве метода оптимальной
аппроксимации в пространстве 3){А, L). В предыдущем разделе
мы построили метод оптимальной аппроксимации в 3){А, L).
Продемонстрируем теперь другой подход к проблеме оптимиза-
оптимизации, приводящий к тому же самому методу.
Дана регулярная самосопряженная положительно определен-
определенная задача, характеризуемая оператором А и краевыми уело-
-виями L. Выберем фиксированное дгое(а, Ь). Тогда G(f) =
= (A~l (L) /) (х0) есть линейный функционал в L2. Пусть заданы
линейно независимые функции ии „ ^.3){А, L), /=1 п,
и последовательность у, (/) = (/, Аи,,п). Функционалы ф, непре-

§ 4.6. Вариационные методы 251
рывны. и линейны в L2. Обозначим через WI линейную оболочку
функционалов ф/, /=1, ...,«, и будем искать оптимальную
аппроксимацию функционала G(f) в Ж так, как это было
сделано в п. 2.6.1.
По теореме 2.4 такая оптимальная аппроксимация суще-
существует; если записать ее в виде
то по теореме 2.4
/_1 < /.»/•
где g реализует G (/) по теореме Рисса.
Но так как
Шк,п, g) = «*, л (•*<>).
то
D.6.41)
В силу того что матрица системы D.6.41) положительно опреде-
определена, константы с(,п) можно вычислить. Полагая с(п) = [с\а\ ...г с%)}
и и„(х0) = {«1,„{х0), ..., «„,„(х0)}, мы найдем, что c(n) = Q"'un{x0),
где Q — матрица, обратная к {{«*,„, «/, п}д}-
Используем указанную выше оптимальную аппроксимацию
для нахождения решения в том случае, когда правая часть
f€=L2. Если f={(/, AuUn) {f, Aun.n)}, то ') Фо(/) = с<«) • f, откуда
в силу симметричности Q
Но так как Q 'f — вектор, полученный при решении системы
D.6.40), то фо(/) = уп{х0), где уп есть n-я оптимальная аппрокси-
аппроксимация решения yo = A'1(L)j в 28 (A, L).
4.6.8. О выборе оптимального базиса в пространстве.28(Л, L)*
Рассмотрим вопрос о выборе оптимального базиса подобно тому,
как это было сделано в п. 4.6.5. Пусть задана система линейно
независимых координатных функций ujin^3>(A, L), /= 1, ..., п,
п= 1, 2, ..., и пусть символ С(А, L, и„) обозначает оператор,
').з-Ь обозначает обычное скалярное.произведение^вектороа а ц Ь. 4

252 Гл. 4. Краевые задачи
относящий п-й оптимальной аппроксимации (в смысле п. 4.6.6)
решения уо = A'1 (L)f функцию /eL2.
Рассмотрим теперь оператор
Г (Д L,un) = A-i(L)-rC{A, L, и„),
связывающий погрешность приближенного решения у0 с функ-
функцией fei2' В противоположность тому, как это было в п. 4.6.5,
мы имеем теперь при любом выборе координатных функций
uUn> • • •> Un,n
sup 11 Г (Л, L, и„)/||л=1.
В самом деле, для произвольного координатного вектора и„
можно выбрать такую функцию /, что С (A, L, и„) / = 0. Но в этом
случае Т (A, L, и„) / = A'1 (L) / и, следовательно, 11Т (A, L, и„) f\\A=
Будем поэтому искать оптимальные координатные функции,
предполагая, что / лежит в некотором подпространстве L2.
С этой целью рассмотрим самосопряженную положительно
определенную задачу, характеризуемую оператором 5 порядка 2s
и краевыми условиями L , и предположим, что правые части /
лежат в 3${Ys, L[sl). Оператор Т {A, L, и„) будет теперь вполне
непрерывным оператором, отображающим SJ(]As, L[sl) в 3) {A, L).
Обозначим норму этого оператора через ||7"(А L, и„)||^].
Будем говорить, что вектор °un = {°«ljn, ..., \,Je^(A L)
является оптимальным координатным вектором в S8\Ys, L[sl),
если для всех координатных векторов у„е^(Д L)
\\Т(А, L, Ч)Пл]<1|ПА L, vjlft1.
Теорема 4.39. Дана регулярная самосопряженная поло-
положительно определенная задача, характеризуемая оператором А
и краевыми условиями L. Функции °uUn °«т„е^(Л, L)
будут оптимальными координатными функциями e3{Ys, L[sl),
если линейная оболочка функций °uUn, ..., °«„,„ совпадает
с линейной оболочкой функций A'(L)i|^, i= I, ..., п, где iff,
/= 1, ..., п, суть первые п собственных функций задачи
Su = Ku D.6.42)
с краевыми условиями
L[sl(«) = 0. D.6.43)
Доказательство. Пусть Я-j ^ Я2 ^ ... будут собствен-
собственными значениями, a ipi, ifo, ...—собственными функциями за-

§ 4.6. Вариационные методы
253
дачи D.6.42), ортонормированными в L2 с краевыми усло-
условиями D.6.43). Запишем
Тогда
Так как
h /=1, .... п.
\Т(А, L, nn)f\\A = \\f-AC{A, L, и„)/||,
AC {A, L,uJ/=i
то по теореме 4.31 имеем
Поэтому
11Г (Л, L, un)
(/.
Полагая
{Aw, Av/) = 0, /=!,...,«,
n+l
f = Aw =
найдем теперь, что
/= 1
Л+1
/=i
Пусть задан координатный вектор vn = {vu ..., vn}
Тогда существует функция
л+1
W =
такая, что
'
, L).
л+1 «*" л„+, л ^ а, . '
Zj ty/ Zj а/Л/ + ал+1Лл + 1
откуда непосредственно вытекает утверждение теоремы.
По аналогии с определением 4.6 имеем теперь
Определение 4.7. Дана регулярная самосопряженная
положительно определенная задача, характеризуемая оператО'

254 Гл. 4. Краевые задачи
ром Аи краевыми условиями L. Будем говорить, что функции
Uj,n^.3){A, L) образуют почти оптимальную_систему коорди-
координатных функций для данной задачи в 3){Ys, L ), если су-
существует константа С > О, не зависящая от п и такая, что для
любого п
11Г (Л, L, и„) | |И < С inf 11Г (A, L, vj | |Ы.
TBs4«,L)
Теорема 4.40. Даны две вполне s-подобные, в смысле
определения 4.5, регулярные самосопряженные положительно
определенные задачи, характеризуемые операторами At и А2
и краевыми условиями 1^ и L2 соответственно, и две подобные
самосопряженные положительно определенные задачи, характе-
характеризуемые операторами S и Z порядка 2s и краевыми усло-
условиями L[sl и L соответственно. Если функции И/,„,/= 1, ...,«,
п= 1,2, ..., образуют почти оптимальную систему координатных
функций для задачи с оператором А\ и краевыми условиями 1^
в <2^(]/Ts, L[sl), то они будут также почти оптимальной систе-
системой координатных функций для задачи с оператором А2 и
краевыми условиями L2 в 3){YZ , L ).
Доказательство. Пусть
"•s, 1 ^ "% 2 ^ . . . > Лг_ 1 ^ Яг. 2 ^ . . .
будут собственными значениями задач
Su = lsu, Zu = Xzu
с краевыми условиями
соответственно. По предположению (см. теорему 4.39 и опре-
определение 4.7) имеем для любой функции /е<Э^(|^5, L )
ь
\\f-AxC{Au Lu un)£^^
Поэтому из определений 4.4 и 4.5 следует, что
Г"
и потому (если положить A2A\l(Li)/ = g)
\\g-A2C{Au L,, uB)
и
U-MC(А2, Lj, ujgU<С"\g\
Утверждение доказано,

§ 4.7. Устойчивость'численных процессов 255
4.6.9. Заключительные замечания. До сих пор мы ограничи-
ограничивались краевыми задачами для одного дифференциального
уравнения. Перефразировка всех теорем для общих самосопря-
самосопряженных положительно определенных или регулярных самосо-
самосопряженных положительно определенных задач совершенно оче-
очевидна и предоставляется читателю. Естественно, мы можем
применить указанную выше технику даже в том случае, когда
класс функций, в котором выполняется оптимизация, отличается
от использованного выше; для оптимизации в 3(У~А, L) и
35{А, L) мы рассмотрели L2 и 3{\fS, L[sl) соответственно (см.
также Бабушка, Соболев [1965]).
Мы ограничились лишь неоднородными уравнениями с одно-
однородными краевыми условиями, так как задачи с неоднородными
краевыми условиями легко сводятся к уже исследованным.
Очевидно, что успешное или неудачное применение указан-
указанного выше метода оптимальной аппроксимации сильно зависит
от выбора координатных функций. Скорость сходимости и прак-
практическая осуществимость соответствующих численных расчетов
обусловлены главным образом этим выбором. Сформулирован-
Сформулированные в этом параграфе теоремы могут служить хорошим руко-
руководством при построении систем координатных функций с точки
зрения улучшения' скорости сходимости в предположении, что
правые части могут быть относительно негладкими. Надежность
соответствующих алгоритмов обсуждается в следующем пара-
параграфе.
§ 4.7. Устойчивость численных процессов решения
краевых задач методом оптимальной аппроксимации
4.7.1. Численная устойчивость методов § 4.6. Если предпо-
предположить, что координатные функции известны, то применение
метода оптимальной аппроксимации к решению самосопряжен-
самосопряженной положительно определенной краевой задачи для дифферен-
дифференциального уравнения порядка 2т можно разбить на три после-
последовательных этапа:
A) определение коэффициентов и правых частей систем ли-
линейных уравнений D.6.19) или D.6.40);
B) решение этих систем линейных уравнений;
C) вычисление оптимальных аппроксимаций в заданных
точках.
Для большинства задач наибольшие трудности вызывает вто-
второй этап. Решение системы линейных уравнений может ока'
заться затруднительным, например, в том случае, когда ее по-
порядок довольно велик. Продемонстрируем эти обстоятельства

256 Гл. 4. Краевые задачи
на примере, используя метод оптимальной аппроксимации в
&{Y~A, L) для решения задачи D.6.22) и D.6.23) из п. 4.6.4
при /(*)= 1.
Пример 4.17. Системы линейных уравнений D.6.19) для
координатных функций D.6.29) и D.6.31) соответственно были
решены для п = 2, 3, ... на машине Урал 1 (с плавающей
запятой).
Обращение матрицы было выполнено методом исключения,
точнее методом квадратного корня (Фаддеев и Фаддеева [1963]).
Обозначим через Gj „ и G2 „ матрицы n-го порядка этих систем
уравнений, а через Gi,n и G2,n — матрицы, полученные указан-
указанным методом обращения (символ ~ означает, что матрицы были
получены в результате реализации численного процесса на вы-
вычислительной машине). Для этих приближенных матриц вычи-
вычислялись контрольные матрицы Ri>n = Gi,nGT,'n и R2, „= G2, „GF.'n
соответственно для оценки точности матриц 6Г,'П и бг.'п. Зна-
Значения диагональных элементов контрольных матриц Ri, „ и R2, „
приведены в табл. 4.11 и 4.12 соответственно для различных
значений п.
В этих таблицах представлен результат использования двух
различных систем координатных функций. Системы сильно раз-
различаются, когда мы находимся на пределе вычислений. Чис-
Численный процесс обращения матрицы G2, „ обнаруживает симп-
симптомы неустойчивости, и потому такую систему координатных
функций не следует применять на практике. Неустойчивость
обусловлена тем, что координатные функции D.6.31) «почти»
линейно зависимы для больших значений п. Тем не менее
влияние неточности в cjn), т. е. в решении системы уравнений,
на значения оптимального приближения
Уп2Г1.п
может убывать.
Эти выводы можно наглядно продемонстрировать на примере
решения указанной выше задачи для двух систем координатных
функций. В табл. 4.13 и 4.14 представлены значения оптималь-
оптимальных приближений при х = 1/2 для различных значений п и ба-
базисных функций D.6.29) и D.6.31) соответственно вместе с точ-
точным значением у A/2). Рисунок 4.11, построенный с помощью
табл. 4.11 и 4.12, показывает изменение точности результата
с увеличением значений п. Мы видим, что погрешность метода
больше ошибки округления; общая же погрешность (разность
между вычисленным и точным значениями) убывает. Следова-

§ 4.7. Устойчивость численных процессов
257
Таблица 4.11
0,999 999 998
0,999 999 998
0,999 999 998
0,999 999 996
0,999 999 998
0,999 999 992
Диагональные
координатных
я = 10
1,000 000 000
0,999 999 998
1,000 000 000
0,999 999 982
0,999 999 986
0,999 999 982
0,999 999 992
0,999 999 992
0,999 999 996
0,999 999 998
элементы матрицы Ri „ для
функций D.6.29)
п-М
0,999 999 990
0,999 999 992
0,999 999 996
0,999 999 974
0,999 999 974
0,999 999 982
0,999 999 988
0,999 999 983
0,999 999 992
0,999 999 992
0,999 999 988
0,999 999 986
0,999 999 994
0,999 999 992
п-25
0,999 999 956
0,999 999 964
0,999 999 976
0,999 999 840
0,999 999 904
0,999 999 885
0,999 999 920
0,999 999 924
0,999 999 942
0,999 999 962
0,999 999 958
0,999 999 956
0,999 999 970
0,999 999 970
0,999 999 966
0,999 999 968
0,999 999 968
0,999 999 980
0,999 999 978
0,999 999 982
0,999 999 972
0,999 999 978
0,999 999 982
0,999 999 978
0,999 999 982
тельно, погрешность растет и существует оптимальное значение п,
для которого погрешность будет наименьшей. Это значение п
и максимально возможная точность зависят от выбора коорди-
координатных функций.
Пример координатных функций D.6.31) ясно показывает, что
случайная неточность промежуточных результатов может тем
не менее приводить к относительно точным окончательным ре-
результатам.
Однако следует по возможности избегать использования таких
процессов и отдавать предпочтение процессам, устойчивым на
всех этапах. Поэтому мы будем рассматривать задачи о выборе
координатных функций, приводящих к численно устойчивым
процессам. Более точно, мы будем оперировать последователь-

258
Гл. 4. Краевые задачи
Таблица 4.12. Диагональные элементы матрицы R2, „ для координатных
функций D.6.31)
п-2
п=4
0,999 999 998 0,999 999 998 0,999 999 912
1,000 000 024
1,000 000 002
1,000 000 002
0,999 999 986 0,999 999 524
0,999 991 178
1,000 258 460
0,999 641418
1,000 000 024 0,999 961854
0,999 952 316
,001 843 92
0,985 519 410
,062 011 72
0,952 880 86f
0,986 938 47
,003 967 28
-4,830 932 62
10,063 659 8
-20,601 562 6
15,670 898 6
0,808 593 750
1,835 937 48
0,751 953 126
ностями численных процессов, возникающих в результате при-
применения метода оптимальной аппроксимации с п координат-
координатными функциями
и определять условия, при которых достигаются c^-L-последо-
вательности численных процессов для наименьшего возможного
значения k (см. также Мих-
лин [1963, 1966] и Михлин,
Смолицкий [1965]).
Главное преимущество
метода оптимальной аппрок-
аппроксимации состоит в том, что
Таблица 4.14. Значение г/„A/2)
п-ой оптимальней аппроксимации
в @ (у A, L) для координатных
функций D.6.31)
Таблица 4.13. Значение уп(\/2)
п-ой оптимальной аппроксимации
(V, L) для координатных
функций D.6.29)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14
24
25
Точн. реш.
уа С/2)
0,086 004 092
0,087 986 577
0,084 355 593
0,084 275 231
0,085 112 547
0,085 169 560
0,084 869 483
0,084 858 029
0,085 002 641
0,085 011 275
0,084 980 736
0,084 958 344
0,084 964 990
0,084 962 5007
п
1
2
3
4
5
6
7
Точн. реш.
УЯ (V2)
0,083 333 333
0,085 877 842
0,084 971937
0,084 944 924
0,084 961 469
0,084 969 659
0,085 047 848
0,084 962 5007

§ 4.7. Устойчивость численных процессов
259
удачный выбор координатных функций может дать относительно
высокую степень точности для малых значений п. Однако,
вообще говоря, мы должны решать тогда системы линейных
уравнений с «полными» матрицами. На практике лучше всего
искать решения полученных систем тем или иным прямым
методом исключения. Мы будем рассматривать только такие
численные процессы.
V
ю
Рис. 4.11. Значения n-ой оптимальной аппроксимации в & (VA, l) для ба-
базисов D.6.29) и D.6.31) в точке х = 1/2
1) п
2) значение n-ой аппроксимации
3) базис D.6.29)
4) базис D.6.31)
5) точное значение
При рассмотрении рис. 4.11 бросается в глаза то, что ба-
базисные функции D.6.31) дают лучший результат (счет с доста-
достаточным числом значащих цифр), хотя базис D.6.29) почти опти-
оптимальный. Это не случайно и связано с выбором пространства,
используемого при оптимизации. Выше мы рассматривали про-
пространство L2 и правую часть уравнения вкладывали в это
пространство. Проблемы, связанные с выбором пространства,
очень важны для практических расчетов. (По этому поводу см.
Бабушка [1968].) С точки зрения численного счета базисные
функции D.6.31) очень неудобны. Эту трудность можно преодо-
преодолеть, взяв в качестве базисных примитивные функции полино-
полиномов Лежандра. Коэффициенты матрицы Грамма можно под-
подсчитать с помощью устойчивых рекуррентных соотношений для
этих полиномов.

260 Гл. 4. Краевые задачи
4.7.2. О некоторых основных свойствах метода исключения
Гаусса. Пусть Ь = {61; ..., Ьп} есть n-мерный вектор-строка,
ЦЬ|Р=2&г и |b|= max \bt\. Если | bt \^\ с{ |, то мы будем
1-1 1 = 1 П
писать Ь=С с.
Пусть А = {а,-, у}, /, /= 1, ..., п, — симметричная положительно
определенная матрица порядка п. Обозначим через Amm и Атах
наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А,
а через || В||= УА,т*Д —евклидову норму матрицы В (В* —транс-
—транспонированная матрица В). Наконец, для В = {£,-,,} и С = {сг,/}
запись В^С означает, что
I Ьи , |<!сг,,|, г, /= 1, ..., п.
Будем теперь решать методом Гаусса (без выбора главного
элемента) систему п линейных алгебраических уравнений с сим-
симметричной матрицей Ах = Ь, где
А = {а,-. j}, х = {*,}, b = {6y}, i, j= 1, ..., п.
Процесс исключения распадается на три этапа:
П) последовательное построение матриц *[А] = {kaLу}, i, j=k,
k + 1, ..., п, порядка n + \ —k, J[A] = А, и треугольной матрицы
m { } i> { / !
mi,i=\, D.7.1)
Ч- = Ч-,ь D.7-2)
B) последовательное построение векторов k[b] = {kbj}, k= 1, ...
..., n, j=-k, k+l, ..., n, ![Ь] = b, где
. = Jb._muiJbl Dj3)
C) обратный ход, включающий в себя следующие элемен-
элементарные операции:
xl. s+i = xi, s~xi+\+s ah i+i+s> xi,o= bj, Xj=— . D.7.4)
'ai, i
Если предположить, что
то в силу известных теорем теории матриц имеем
Р < II *[А] || < а, || Ми II < /о / VT, II *[b] || < о,

S 4.7. Устойчивость численных процессов 261
Отсюда сразу следует, что
|Ч/1<{. i, j = k, k + l, ..., п, k=\, 2, .... п,
\kbi\<j, l = k,...,n, \x,\<l, /=1 n,
U/.sK-j. s = 0, ...,«-/-1, / = «- 1, ..., 1.
Исследуем теперь метод Гаусса с фиксированной запятой
(в смысле гл. 2), т. е. будем предполагать, что все вычисления
проводятся с постоянным числом знаков справа от запятой.
Например, мы можем достичь этого, располагая запятую в раз-
разрядной сетке машины в требуемой позиции независимо от по-
порядка матрицы или вводя специальные масштабы для величин
nil. h которые тогда заменятся на mi.i = {Y§lVa)mi,i- В ре-
результате мы можем добиться, чтобы абсолютные значения всех
чисел были меньше 1. При счете с плавающей запятой выбор
масштабных множителей осуществляется «автоматически». Сле-
Следуя изложенному в гл. 2, заменим уравнения D.7.1) —^4.7.4)
уравнениями
т. ,= 'а, /a, ; + 6</»>, is, ! = \ r i,j=l,...,n, i>j, D.7.5)
М*Ч = %.1-*и\, + *$1.и W>/\ \t = %,P D.7-6)
l+1Bi = lBi-mi,ilB, + ^ui, lbi = 1bi, i>j, D.7.7)
y = y y la 4- ft(x) 7 = if)
I. s+I Л1. s A/+!+s "/, l+l+s ^ I. s+V Л/, О "/'
s = 0, ..., Я-/-1, j = n- 1, .... 1, D.7.8)
Теорема 4.41. Пусть |б(гт)|<6, |б^,м|<6, 1в^
f\+i\<6. |б/х>1<б, Ь<Сф\ С = р5/20, е< 1/4. Тогда
\lflii~mii\<B< \'uii~laii\<B> \IBi~lbi\<B
6
\х,-х,\<г, ||х-х||<е.
Доказательство1) I. Так как || *[A]|l<a< 1/2, то
|^аг/]<а< 1/2, и поэтому мы можем предположить, не теряя
общности, что |*S(i,|<l, Выражения D.7.5) и D.7.6) можно
переписать в виде
!) Это доказательство принадлежит Унлкннсону [1963].

262 Гл. 4. Краевые задачи
Итак, мы видим, что вторую матрицу 2[А] = {%,/} можно
рассматривать как результат точного исключения, применен-
примененного к возмущенной матрице А + Ф2. Повторение этой процедуры
дает
Матрица ФА приведена в табл. 4.15 (так как она симметрична,
то выписана только половина элементов).
Очевидно, что
IIФ* II < Се.
Введем обозначения
(А)к = {aL/}, i, /=1, 2, ..., k-l,
(A)ft = {а,-,/}, i=\,...,k-\, j = k, k+ 1, ..., n,
■ (b)* = {*!>. '=!> .••. k-l,
(Ъ)к = {Ь,}, i = k, ..., n.
Если
то легко проверить, что
* _
Действительно, *[А] (y)ft = ■* [b] для b = Ay, и потому (Ъ)к =
= {0, ..., 0}, откуда следует (см. D.7.3)), что Jbj = O для
/= 1, ..., k— 1 и указанное выше неравенство. Следовательно,
*[
*[А]) <У>* = ((А + ФА) у, - Ay2)ft,
где
<У1>* = <У2>А = <У>*.
Итак,
II *[А] - *[А] II < 10Се/р3, | %ш, - *а,,
Так как
Ч/>Р.
то
. _ . ^ 20Се

©
g
S
о.
«
*
_■ I
X II 4?
I i
+ si ^
— О _l_
Ю
+
II
(N
^^.
II
+
w
г ё"
О
I
si e ' e +
o<« S*i S*i
•o <o <o

264 Гл. 4 Краевые задачи
II. Мы имеем
*[Ь]=*[А]<у>*. у-А-'Ь.
Рассуждая как раньше, можно доказать, что
Чь] = *[а + ф*Ку,>*,
где
y, = (A + Oftr'(b + /U
Aft<Ce/rt2{0, 1, ..., k-l, k-l, ...,k- I),
так что
II Aft IK Се,
и потому
III. Как и выше, можно проверить, что
(А + Ф„)х = Ь + Д„ + в, x = {i,, ..., хп},
в< Сеп~2{п, | m2li |и + и — 1, | m3,! |и+ | m3,2 |(п — l) + n — 2, ...
••-, \тпЛ\п + \тп,2\{п- 1)+ ... +1}.
Но мы можем записать
Мд = Мд+Ф,
так что
ЦМА1К2/у%
и потому
Следовательно,
||в||<2Се//р,
и поэтому
||х-х|К6Се/р3,
откуда непосредственно следует, что
Теорема доказана.
Всюду мы предполагали, что суммируемые величины равно-
равномерно ограничены для п— 1, 2, ..., так что теорема применима
также в случае счета с плавающей запятой.
Естественно, что в случае счета с плавающей запятой можно
значительно изменить предположения теоремы 4.41. Например,

§ 4.7. Устойчивость численных процессов 265
если Xmax<p, ^min > <7> то в теореме 4.41 можно записать
$ = Y<]lp и т. д. Проверка этого условия очевидна в силу сле-
следующих соображений. Анализ процесса счета с плавающей
запятой для метода исключения показывает, что умножение
строк или столбцов на произвольный ненулевой множитель не
изменяет относительной погрешности всего расчета. Поэтому
относительная точность расчета с плавающей запятой для си-
системы линейных уравнений Ах = а и системы DAD,y = Da,
х = О[у, где D и D[ — диагональные матрицы, будет одинаковой
(см. Бауэр [1962]). Это обстоятельство полезно учитывать,
изучая метод исключения при счете с плавающей запятой.
Утверждение теоремы 4.41, касающееся оценки констан-
константы С как функции р, можно уточнить. Однако применение
теоремы 4.34 требует оценок, зависящих только от п, а их
нельзя улучшить теми методами, которые использовались при
доказательстве. Ниже мы увидим, что указанная оценка хорошо
согласуется с экспериментом.
Отметим один частный случай метода исключения Гаусса,
включающий выбор главного элемента. Опыт авторов говорит
о том, что для положительно определенных матриц выбор глав-
главного элемента не приводит к увеличению точности. Поэтому
в связи с значительным увеличением требуемого машинного
времени эта модификация метода Гаусса не кажется нам вы-
выгодной (см. Бауэр [1961]).
Проиллюстрируем это заключение конкретным примером.
Пусть требуется вычислить решение системы линейных урав-
уравнений D.6.19) для координатных функций D.6.29) и D.6.31)
(см, также D.7.1)). Системы уравнений
Gi,nx = y, G2,nx = y
будем решать методом исключения. Вектор у таков, что
х = {1, 1, ..., 1},
Расчеты были выполнены на машине ZUSE 23 с плавающей
запятой:
A) без выбора главного элемента,
B) с выбором главного элемента,
C) с выбором наименьшего элемента на главной диагонали.
В табл. 4.16 приведены значения Д • 109, где Д = max| xt — xt |
для указанных выше Glin и G2,n.
4.7.3. Численно оптимальные системы координатных функ-
функций. В п. 4,7.1 мы рассмотрели на примере влияние выбора
координатных функций на численную устойчивость процесса

266
Гл. 4. Краевые задачи
Таблица 4.16. Влияние того или иного выбора главного
элемента на метод исключения для матриц G1>n и G2, n
G2.10
Gl,15
Gl,20
G2.20
Gl 25
Gi,3o
G2.30
Максимальная погрешность X 10э
без выбора
3
2877378
4
9433011
4
48314172
6
9773882
6
138I509
главный элемент
выбирается
4
6047831
4
30303751
7
27127885
5
4753633
6
27474452
выбирается
минимальный
элемент на глав-
главной диагонали
3
5306487
4
6778272
4
30155188
6
18234285
6
51992609
исключения. Обсудим теперь вопрос о таком выборе координат-
координатных функций, при котором минимизируется объем вычислений.
Определение 4.8. Будем говорить, что функции и,,„, ...
..., и„, „ е= 36 (У А, L), о,, „ »„, „е= ® (А, L) образуют численно
оптимальную систему координатных функций в 3${YA, L) и
3$(А, L) соответственно, если они удовлетворяют условиям тео-
теорем 4.34 и 4.38 и если существуют константы 0<р<оо,
0<а<оо, не зависящие от п и такие, что
= {[uLn,
НА = {{vLn, vj<n}A}, a
соответственно, где
i, /= 1, ..., п.
Теорема 4.42. Пусть системы функций uLn и vLn будут
численно оптимальными системами координатных функций
в 3)(]/A, L) и в 2)(A, L) соответственно. Предположим, что
при счете с фиксированной запятой численные процессы для
определения коэффициентов [uLn, uj<n]A и {vLn, vJt n}A, {f, И/, „)
и (f, Avhn) образуют OQ-L-последовательности, Если уп =

§ 4.7. Устойчивость численных процессов 267
а п
= 2 с(,л)и, „ и уп = 2 d^v. n —оптимальные аппроксимации
в £2>(Y~A, L) и в 3(A, L) решений самосопряженной положи-
положительно определенной задачи и регулярной задачи, характери-
характеризуемой оператором А, краевыми условиями L и правой частью f,
то численные процессы вычисления c(j* и df* соответственно
методом Гаусса с фиксированной и плавающей запятой обра-
образуют а^Ь-последовательности. Далее, если I И/, „ (*0) | ^/С (К не
зависит от п) и процесс вычисления значений uiin(x0) образует
aQ-L-последовательность, то процесс вычисления уп{х0) образует
п
а2Л-Ь-последовательность, а если S "/ «(^о)^^ (^ не зависит
от п), то процесс вычисления уп(х0) образует а2-Ь-последова-
тельность.
Доказательство. Значения с!га) и dSV вычисляются из
систем уравнений D.6.19) и D.6.40), которые можно переписать
в виде
G^cW-b,, D.7.10)
H^dw-b2. D.7.11)
Очевидно, что подходящим выбором масштабных множи-
множителей можно добиться выполнения всех условий п. 4.6.2 и тео-
теоремы 4.41.
В силу предположений относительно численных процессов
нахождения коэффициентов [uUn, И/,„]Л и {vt,„, vjin}A можно за-
заменить системы D.7.10) и D.7.11) системами
(Gj4 + AGA)c('I1 = b1 + Ab1> D.7.12)
(H,, + AH,,)d(n) = b2 + Ab2 D.7.13)
соответственно, где
| ДЬ, ||< Qg/rt3'2, II ДЬ
Матрицы AG^ и ДНЛ можно считать симметричными. По-
Поэтому погрешности в коэффициентах матриц из D.7.10) и D.7.11)
приводят к ошибкам порядка Q'/n в с(п) и d(n) соответственно.
Так как конкретные расчеты образуют а2-£-последовательность,
достаточно доказать утверждение теоремы в предположении,
что

268 Гл. 4. Краевые задачи
Но в этом случае результат следует непосредственно из
теоремы 4.41, а последняя часть теоремы есть следствие того
факта, что (по теореме 4.41) не только | с<.га) — cjra) I < е, но и
у с<д> _ с<»> ||< е.
Аналоги"ный подход пригоден даже тогда, когда отыски-
отыскиваются оптимальные аппроксимации в &(А, L).
Теорема 4.42 справедлива также в случае счета с плавающей
запятой.
Построение численно оптимальных систем координатных
функций можно осуществлять, используя следующий результат.
Теорема 4.43. Даны две подобные в смысле определе-
определения 4.4 (или s-подобные в смысле определения 4.5) положи-
положительно определенные {или регулярные) задачи, характеризуемые
операторами А\ и А2 и краевыми условиями L\ и L2 соответ-
соответственно. Тогда система И/, „, /= 1, ..., п, п = 1, 2, ..., численно
оптимальная в 3)(rf Ax, Li) и 3)(AU Lq), будет также численно
оптимальной в 3)(yrA2, L2) и £&{А2, L2) соответственно.
Доказательство. Так как
п
(=1
W/, п
2
А,
ТО
Л, = inf Ji=L
то доказательство следует теперь почти непосредственно из
D.6.14). Утверждение об оптимальной аппроксимации в &(А, L)
доказывается точно так же.
Аналогично тому, как это было сделано при построении
систем почти оптимальных координатных функций, мы обра-
обратимся к теореме 4.43 и будем использовать в качестве коорди-
координатных функций для задачи, характеризуемой оператором Д
и краевыми условиями Li, собственные функции подобной за-
задачи, характеризуемой Л2и L2, ортонормированные в =Э*(]Л42, L2)
или 3 (А2, L2). Как следует из результатов §4,6, система коор-
динатньтх функций будет одновременно почти оптимальной и
численно оптимальной.

§ 4.7. Устойчивость численных процессов
269
Заметим, что при счете с плавающей запятой точность
остается неизменной, если использовать в качестве координат-
координатных функций ортогональную систему собственных ненормиро-
ненормированных функций подобной задачи. Это прямое следствие ре-
результатов, полученных при изучении метода Гаусса в вычисле-
вычислениях с плавающей запятой (см. конец п. 4.7.2).
5*10"
г*ю
2«IO s
1*10
>
—X7—
Щ
J
/
/
к x
©
X
/
-V
CO
/
X
x
©
/* X
X X
X ,
xj£—
X /
/X)
©
X
x
ю
is го
15 го
ю
го
ю ts zo
Рис. 4.12. ОшиОки округления для диагональных элементов матрицы
1) число уравнений 4) г. D, 4) — 1
2) ошибка 5) г, F, 6)- 1
3)г1|ПA. 0-1 !
7) наклон теоретической кривой
i.-последовательности
Пример 4.18. Для задачи, характеризуемой уравнениями
D.6.22) и D.6.23), в качестве координатных функций выберем
функции
■sin/it*, D.7.14)
«/,„ =
in
представляющие почти оптимальную и численно оптимальную
систему. При счете с плавающей запятой можно использовать
координатные функции
/, „ = sin/я*.
D.7.15)
Хотя эта система не является численно оптимальной в смысле
определения 4.7, она оказывается эффективной при счете с пла-
плавающей запятой и эквивалентной численно оптимальной си-
системе D.7.14).

я
270 Гл. 4. Краевые задачи
Приведем в заключение некоторые численные результаты
для задачи D.6.22) и D.6.23), полученные с использованием
координатных функций D.7.15). Расчеты выполнялись на ма-
машине Урал 1 с плавающей запятой. На рис. 4.12 представлены
значения величин
г,,„0. 1)-1, /",,„D, 4)-1, г11ВF, 6)-1, г,.„(8, 8)-1,
где через rUn(i, }), i, /=1 п, обозначены элементы конт-
контрольной матрицы R|,ra. Мы видим, что теоретические выводы
относительно а2-/.-последовательности процессов подтверждаются
численными результатами.

Глава 5
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 5.1 Введение
В теории линейных дифференциальных уравнений эллипти-
эллиптического типа основную роль играют краевые задачи. Требуется
определить решение дифференциального уравнения внутри об-
области, на границе которой заданы краевые условия. Как
с теоретической, так и с вычислительной точек зрения даже
для обыкновенных дифференциальных уравнений такие задачи
гораздо более сложны, чем задачи Коши. Это связано с тем,
что численное решение задач с начальными условиями, как
правило, приводит к рекуррентным формулам, а численное ре-
решение краевых задач приводит к системам алгебраических
уравнений с соответствующим различием в необходимом объеме
вычислений. Для уравнений с частными производными увели-
увеличение размерности задачи приводит к дополнительным труд-
трудностям.
Типичной задачей теории линейных уравнений с частными
производными эллиптического типа в случае двух независимых
переменных является краевая задача для уравнения второго
порядка:
д I , ч ди\ , д I , ч ди \ , д
р(х, г/)>ро>О, р(х, y)q(x, y)-t2(x, г/)>ро>О, г(х, у) > О,
в ограниченной области Qc=£2 со следующими условиями на
границе Г области Q:
а(х, y)u + b(x, y)j^ = g(x, у), E.1.2)
где а(*, у)>0, Ь(х, г/)>0, а(х, y) + b(x, y)>C>0, g(x, y)-
функция, определенная на Г, а ди/дпс — производная по конор-
мали, определяемая формулой

272 Гл. 5. Эллиптические уравнения
Здесь cos и* и cos пу — направляющие косинусы внешней нор-
нормали. Очевидно, что при р(х, y) = q(x, у) и t(x, y) = 0 напра-
направление конормали совпадает с направлением нормали.
Дифференциальное уравнение E.1.1) записано в самосопря-
самосопряженном виде. В приложениях часто бывает, что р(х, у) = q(x, у),
t{x, y) = 0; например, в задачах о стационарной теплопередаче
предположение р{х, y)=q(x, у) означает, что среда изотропна.
В связи с этим мы будем рассматривать только следующий
важный частный случай дифференциального уравнения:
д I I \ ди (х, у) \ , д I , х ди (х, у) \ , ч «,i ч
E.1.3)
Что касается краевых условий, то условия E.1.2) охваты-
охватывают большинство практических задач. Мы будем обращать
особое внимание на случай Ь{х, у) = 0 и предполагать, что
область определения Q ограничена, а ее граница состоит из
конечного числа достаточно гладких взаимно непересекающихся
кривых.
Частные случаи краевых условий E.1.2), когда Ь = 0 или
а = 0 или а>0, Ь > 0, часто называют соответственно усло-
условиями Дирихле, Неймана и Ньютона в точке {xs, г/Jer; их
называют также краевыми условиями первого, второго и
третьего рода. Соответствующие краевые задачи известны под
теми же названиями.
Далее, мы только что говорили об уравнениях второго по-
порядка. На практике часто встречаются уравнения более высо-
высокого порядка. Рассмотрим, в частности, бигармоническое ура-
уравнение
д*и(х, у) д*и(х, у) д<и{х, у) __.. , ,_ . .
дх* ^г дх2ду* + ду* ~'{Х> У)> &.1Л)
для которого краевые условия могут быть записаны различ-
различными способами. Для существования единственного решения
уравнения четвертого порядка необходимо иметь два краевых
условия, например, и{х, y) = g\ и "g*' y) =g2 для (х, г/)еГ.
Мы будем изучать также некоторые другие частные виды
краевых условий.
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений высокого порядка, исходные задачи можно переформулиро-
переформулировать для систем дифференциальных уравнений с частными
производными. Например, в математической теории упругости

§ 5.1. Введение 273
часто встречается система
д
IF
д (ди , dv \ , д2и , д2и _ t , .
E 15
+ )+ ^ + f^x у^
и, например, такие краевые условия:
"(*. y) = g\. v{x, y) = g2
для {х, 1/)еГ.
Bee указанные выше задачи —это задачи так называемого
самосопряженного положительно определенного типа, теория
которых детально развита методами функционального анализа
(см., например, Михлин [1957]). В приложениях, однако, мы
часто встречаемся с «неклассическими» задачами. К примеру,
задача может описываться уравнением второго порядка вида
E.1 3), но требуется определить не само решение, а его первые
производные. В таких ситуациях следует поступать подобно
тому, как мы это делали в гл. 4, и переписать дифференциаль-
дифференциальное уравнение в терминах искомых величин. В результате мы
приходим к таким задачам, для исследования которых тре-
требуются некоторые специальные методы. В качестве иллюстра-
иллюстрации рассмотрим простейший случай задачи Дирихле для урав-
уравнения
и краевые условия и {х, у) = 0 для {х, у) е Г. Пусть требуется
найти функции Р(х, г/) = -р- и Q (х, у) = -^~. Легко проверить,
что для их определения, если предполагается, что область Q
односвязна, следует решать систему уравнений
■£(Р(*. У)Р) + ~^{р(х, y)Q) = f(x, У), -^ =4? E-1-6)
с краевыми условиями
Р{х, у) cos пу — Q {x, y)cosnx = 0
для {х, 1/)еГ, где cosnx, cos пу — направляющие косинусы
внешней нормали. Теоретическое изучение задач этого типа
требует новых методов, отличных от указанных выше (см.,
например, Векуа [1959]). В этой книге мы не будем рассмат-
рассматривать численное решение таких задач.
Основные методы решения дифференциальных уравнений
эллиптического типа аналогичны методам, приведенным в гл. 4.

274 Гл. 5. Эллиптические уравнения
Это конечно-разностные и вариационные методы, детальное
исследование которых будет дано ниже. Конкретная реализа-
реализация численных методов ограничена быстродействием и объемом
памяти машины.
§ 5.2. Метод конечных разностей
5.2.1. Введение. Основные идеи, лежащие в основе метода
конечных разностей, совершенно аналогичны тем, которые были
развиты в § 4.3. Вместо искомой функции и (х, у), определен-
определенной в Q, отыскивается вектор и„, компонентами которого
являются значения и(х, у) в узлах сетки. Этот вектор опреде-
определяется уравнениями, аналогичными разностным уравнениям
D.3.2), и потому задачи сводятся к аналогичным зада-
задачам п. 4.3.1. На практике реализация этой процедуры выгля-
выглядит, конечно, сложнее; одна из характерных ее особенностей
состоит в том, что если мы даже ограничимся регулярными
узлами, то и тогда возникнет большое число возможных ва-
вариантов по сравнению с одномерными задачами. Например,
можно использовать квадратную, треугольную или гексагональ-
гексагональную сетки, и каждая из них будет иметь свои собственные до-
достоинства. Мы сосредоточим свое внимание на квадратных ре-
регулярных сетках, хотя в отдельных задачах важную роль
играют и нерегулярные сетки.
Далее, в отличие от одномерного случая узлы сетки редко
могут попадать на границу области. Как будет показано ниже,
это обстоятельство приводит к многочисленным новым пробле-
проблемам. Гладкость решения зависит не только от гладкости коэф-
коэффициентов дифференциального уравнения, его правой части и
краевых условий, но также от гладкости самой границы. На
практике указанные величины бывают, как правило, достаточно
гладкими, а граница области определения часто имеет угловые
точки.
Как и в случае краевых задач для обыкновенных уравнений,
скорость сходимости конечно-разностных методов определяется
порядком аппроксимации дифференциального уравнения и за-
записью краевых условий. В общем случае утверждение о схо-
сходимости может быть получено аналогично тому, как это сде-
сделано в теореме 4.11 (см. п. 4.3.5).
5.2.2. О конечно-разностном методе для самосопряженного
уравнения второго порядка в случае квадратной сетки. Мы
рассмотрим здесь технику интегральных тождеств для решения
краевых задач E.1.3). Нам придется несколько изменить вывод

§ 5.2. Метод конечных разностей 275
интегральных тождеств, чтобы преодолеть трудности, обусло-
обусловленные тем, что в двумерном случае полная система частных
решений не будет конечной.
Пусть задана область Q и квадратная сетка с узлами
(*ь Уэ)> xk = &Л, ys = sh, k, s = .. ., — 1, 0, 1, .... Пусть точка
(■**> ys) будет такой, что (см. рис. 5.1)
Rk,s = E[x, у; |*
Выберем в Rks функцию, которая обращается в нуль на гра-
границе Rk, s, имеет скачки производных на отрезках xk.x ^ х < xk+u
y = ys и x = xk, ys-i^y^ys+u а в переменных х, у имеет вид,
описанный в п. 4.3.2. Итак, пусть
v(x, y) = —P(x, y)Q(x, у), E.2.1)
где
* xk+i xk+i
р{ \— f dx / Г dx
И{Х' У)~ J р(х, у)/ J р(х, у) '
х xk
<ys+u E.2.2)
X Xk
= J JWy)l J p{x*y) '
xk-\ xk-\
E.2.3)
dy
P (x, y) '
\> E.2.4)
«s-i Vs-l
Jtfe_,<Jt<Jtfe+1, Уз-\<:У<Уз- E.2.5)
После умножения на v{x, у) и интегрирования уравнения
Ж И*' y)w) + ~dj(P{x' У)^у-)~г^ y)" = fix- У) E-2-6)
по Rk, s имеем
J f [/(х, y) + r (x, у) и] v dx dy. E.2.7)
4,s

276
Гл. 5. Эллиптические уравнения
После небольших упрощений, включающих интегрирование по
частям, получаем тождество
"s+1
dx
Q{xk-u y)u{xk.u у) I J
p{xy)
4
xk+i
-Q{xk, y)u{xk, y)\ \j
+ Q(xk+u y)u(xk+u y) I J
xk-i
xk+i
4
xk+i
J
«s+l
P{x, ys+i)u(x, ys+\)I \
P (x, y)
«s+l
-P(x,ys)u(x,ys)[l/j
"a
dy
Vs
«s-l
P (x, y)
+ P(x, y-s;-i)u(x, г/*-])/ J p(x,y
Vs-l
+ J J k (x, у) и {x, y) + / {x, y)] v {x, y) dx dy =
+ J [^.(!/)-Ян(!/)]^+ J [vsMx)-Vs-i(x)}dx, E.2.8)
xk-\
где
f i
= J u^
x, y)
x
l \
dx
xk
ч
Vk
I \ f I \ dP (X, y) , / Г
v/U)= J u(x, y)—Jy-^dy/ J
dy

§ 5.2. Метод конечных разностей
277
Далее, используем подходящую квадратурную формулу для
вычисления интегралов E.2.8) и положим
"R
\
4-х
dx__ h
Р (X, У) Р (Xft-l/2- У)
■ J
dy
р(х, у) ~ р(х, ys+U2) '
где
Пренебрегая двойными интегралами от правой части как
величинами более высокого порядка по отношению к членам,
Рис. 5.1, Схематический вид квадратной сегки
стоящим в левой части уравнения, и предполагая, что вторые
производные р(х, у), первые производные f(x, у), г(х, у) и
третьи производные и (х, у) удовлетворяют условиям Липшица1),
получим соотношение
~ Р *-1/2, А-1,4 ~~ Pfe+1/2, sUk+\. s ~ Pk, s-\l1Uk.s-\ ~ P г. s+l/2Uk, s+l "*"
+ lP*-l/2. , + P«+1/2, , + Pk. s-W + P,, ,+ 1/2 + ^k, s] 4. . =
E.2.9)
') Насоторые предположения относительно гладкости можно ослабить;
мы этим вопросом заниматься не будем.

278 Гл. 5. Эллиптические уравнения
Заметим, что это уравнение может быть справедливым даже
без предположения, что RkiS<=Q. Достаточно, например, если
E
E
[x,
[x,
У,
У,
Xf
X
= xk
x^
» У s
=; *ft+l> У —
-\<У<У
ys]
S+\]
c=Q,
как легко проверить с помощью формулы Тейлора. Мы будем
рассматривать E.2.9) вместе с членом О (Л4) или без него как
разностное уравнение для точки {xk, ys).
Легко видеть, что третьи производные функции и (х, у),
являющейся решением E.2.6), будут удовлетворять внутри
Рис. 5.2. Конечно-разностная схема для квадратной сетки
области Q условиям Липшица, если вторые производные р(х, у),
г(х, у) и f(x, у) обладают тем же самым свойством (см., напри-
например, Агмон, Дуглис, Ниренберг [1959]); если только первые
производные / удовлетворяют условиям Липшица, то этого
недостаточно.
Перепишем соотношение E.2.9) в удобном виде, отбросив
остаточный член (см. рис. 5.2):
р (А') [и (О) - и (А)] + р (В') [и (О) - и (В)] + р (С) [н (О) - и (С)] +
+ n(D')[u(O)-u(D)]=-h2[f(O) + r(O)u(O)]. E.2.10)
Замечание. Используя другие квадратурные формулы,
можно построить формулы, включающие в себя, кроме указан-
указанных, еще значения и{х, у) в точках (хш, ys+/), i, /= ± 1; это

§ 5.2. Метод конечных разностей 279
будут так называемые девятиточечные схемы. Например, если
р(х, у) = 1, r{x, y) = 0, f{x, г/) = 0, то
20uk, s - 4 (uk, s+\ + «*, s-i + «ft-i, ^ + «ft+i, s) ~
- («*+,. s+\ + «ft-i, ,+i + «*+,, _, + «*_,.,_,) = О (Л8).
Как правило, разностные схемы строятся путем замены
производных разностными отношениями.
В качестве физической интерпретации рассмотрим задачу
о стационарном переносе тепла. В этом случае интегральное
тождество связано с балансом тепла в элементе RktS. Что же
касается построения разностных схем, то интегральные тожде-
тождества иногда оказываются более предпочтительными, в частности
для не очень гладких функций р{х, у), г(х, у), f{x, у) и и{х, у).
5.2.3. О конечно-разностных методах для самосопряженного
уравнения второго порядка в случае треугольной сетки. Пусть
область определения Q покрыта узлами сетки
k, s= .... - 1, 0, 1, ....
Пусть Sk, s c= Q, где Sk, s — правильный шестиугольник с центром
в точке (х^}, у\, вписанный в круг радиуса Л, вершины кото-
которого совпадают с узлами сетки (см. рис. 5.3). Мы снова будем
отправляться от разностной схемы, полученной из интегрального
тождества. По аналогии с п. 5.2.2 построим функцию v(x, у),
обращающуюся в нуль на границе шестиугольника Sk, s и ПРИ"
нимающую в его центре значение — 1. Делается это следующим
образом. На линии отрезка y = ys, ^ ^x^.xks\v положим
Js) (s)
xk+l xk+\
-0(x, y)= f
Js)
На других диагоналях шестиугольника функция v(x, у) строится
аналогично, поскольку дифференциальное уравнение E.2.6) инва-
инвариантно относительно поворота. Например, на линии отрезка
х = gcos-g- + xks), у = \sin -=- + ys, О^^^Л, положим
(
xf + I cos -3-, ys + I sin -3-) =
h
= Г U I Г
J p^ + icosf y^lsm^jl

280
Гл. 5. Эллиптические уравнения
Построение v(x, у) в треугольнике, образованном диагоналями
шестиугольника Sk s и его границей, мы опишем лишь для
угла (*<*>, yt), (x£i'\ ys+l),(xt"> ys+i) (Рис 5.3). Для */,
V
Н
положим
v{x, у)
2 (у - у,)
Используя снова инвариантность уравнения относительно пово-
поворота, построим v(x, у) в оставшихся треугольных областях.
* -Л I/
Рис. 5.3. Схематический вид треугольной сетки
Умножение E.2.6) на v(x, у) и интегрирование по Sk,s дает,
как в п. 5.2.2, тождество, подобное E.2.8).
Предполагая, что первые производные f{x, у) и г{х, у), вто-
вторые и третьи производные р (х, у) а и {х, у) соответственно удо-
удовлетворяют условиям Липшица, и заменяя интегралы подходя-
подходящими квадратурными формулами, мы получим для точки (х<£\ у^

§ 5.2. Метод конечных разностей
281
разностное уравнение
р[#±41, h±y~L) [и(,<*> у$)- и
r(s)
У.) - и (xl-}\
/ xis) + x(s-l) + t
+ pi
> у,)]
О
Рис. 5.4. Конечно-разностная схема для треугольной сетки
Это же разностное уравнение (без остаточного члена) можно
переписать в следующем виде (см. рис. 5.4):
р (А') [и (О) - и (А)] + р (В') [и (О) - и (В)] + р (С) [и (О) - и (С)] +
+ p(D')[u(O)- u(D)] + p(E')[u(O)- u(E)] + p(F')[u(O)-u(F)] =
5.2.4. О простейшей формулировке краевых условий Дирихле
для уравнения второго порядка. В отличие от одномерного
случая применение конечно-разностных методов в случае двух
измерений приводит к новой важной задаче —выбору узлов

282 Гл. 5. Эллиптические уравнения
сетки, в которых необходимо вычислять приближенное решение
задачи. В каждом узле следует выписать соответствующее раз-
разностное уравнение. Очевидно, невозможно выписать разностные
уравнения во всех выбранных узлах. Поэтому в оставшихся
узлах следует использовать краевые условия. В связи с этим
узлы сетки, в которых находится приближенное решение, необ-
необходимо разбить на две группы. Это, во-первых, узлы Q ,
в которых расписывается разностное уравнение, аппроксими-
аппроксимирующее дифференциальное, и, во-вторых, Г (Qw) — узлы, в кото-
которых записывается краевое условие. Метод, с помощью которого
выбраны последовательности Q(h) и r(Q(h)), зависит от заданных
краевых условий и способа их аппроксимации. Ради простоты
мы ограничимся квадратной сеткой; треугольные сетки можно
исследовать аналогичным способом.
Прежде чем выбрать последовательности Q( и Г(й( ), введем
некоторые понятия и терминологию. Два узла сетки мы будем
называть соседними, если они расположены друг от друга на
расстоянии h. Узел (хр, yq) e Q будем называть существенно
внутренним, если отрезки хр-х < x< xp+i, y = yq и х = хр, yq-\<^
лежат в Q. Совокупность всех существенно внутрен-
внутрену ур
них узлов будет обозначаться через °Q(h. Далее, символ !Q(
будет обозначать совокупность всех узлов, лежащих в Q. Харак-
Характер задачи и свойства формулы E.2.10) позволяют ввести есте-
естественное ограничение: °Q(ft) ci Q(h) ci lQlh\ Для того чтобы полу-
получающаяся система линейных алгебраических уравнений обладала
некоторыми важными для последующего исследования свойст-
свойствами, будем предполагать, что h, соответствующая сетка и Q( '
таковы, что для любых двух узлов (хр, ^)ей|В и (xk, г/5)е£2(
существует конечная последовательность узлов (xt, yj) e Q(h),
i = mu .... nit, j = nu...,nt, ml = p, nl = q, mt = k, nt = s,
произвольные последовательные члены которой являются сосед-
соседними узлами, соединенными отрезками, лежащими в Q. Нако-
Наконец, пусть r(Q(h)) будет совокупностью всех узлов (хр, yq),
таких, что либо (хр, yq) ф. Q(h> и имеет по крайней мере одну
соседнюю точку, лежащую в Q( ', либо (хр, j,)eQ и суще-
существует соседний узел (xk, (/s)eQ|(l) с отрезком, соединяющим (хр, yq)
и (*ь ys) и пересекающим границу Г.
Для уравнения E.2.6) рассмотрим краевое условие Дирихле
простейшего вида:
u(x,y) = g(x, у), (х, г/)еГ. E.2.12)

§ 5.2. Метод конечных разностей 283
Выберем произвольную последовательность Q(ft), такую, что
aQ,ih) ci Q(hl ci 'q', и предположим, что функция р (х, у) опреде-
определена в некоторой окрестности Q множества Q. Пусть ф(лг, у) —
непрерывная функция, определенная в Q и такая", что ф(лг, у) =
= ё(х, у) для (х, у)еГ, и h настолько мало, что r(Q(")cQ.
Во всех точках (хр, yq) e Q(h) запишем теперь уравнение E.2.10),
полагая в каждой точке (xk, ys), соседней с {хр, yq) и лежащей
в r(Q(h)), u(xk, ys) = 4>(xk> Уз)- Таким образом мы использовали
самым простым способом краевые условия в точках r(Q(h)).
Отметим здесь, что множества узлов Q(h) и r(Q(h)) пересекаются.
Тогда узлы, находящиеся в пересечении этих множеств, в соот-
соответствии со сказанным выше, должны рассматриваться как
лежащие в Q( для соответствующих уравнений и принадлежа-
принадлежащие r(Q(h)) для всех остальных уравнений. Такая процедура
дает неприводимо диагонально преобладающую систему линей-
линейных алгебраических уравнений, решение которой при /г->0 схо-
сходится к решению исходной задачи Дирихле. При достаточно
гладких функциях р(х, у), г(х, у), }(х, у) и g(x, у) скорость
сходимости будет O(h). Существуют аппроксимации краевых
условий, при которых скорость сходимости будет О (h?)
(см. п. 5.2.5); однако на практике указанная выше аппроксима-
аппроксимация используется чаще, поскольку соответствующие уравнения
выписываются проще.
Поскольку существует известный произвол в выборе Q(h),
напрашивается вопрос, любое ли из этих Q( годится для наших
целей. Очевидно, что предыдущая простая аппроксимация
краевых условий не увеличивает скорости сходимости всюду
в Q. Можно, однако, ожидать, что подходящим выбором Q(h)
удастся улучшить сходимость в точках, расположенных не очень
близко от границы Г.
Продемонстрируем, насколько важен выбор Qih\ на следую-
следующем примере:
Пример 5.1. Решить задачу Дирихле для уравнения Аы = 0
в единичном круге Q = E[x, у; х2 + у2<1] с краевым условием
g (cos в, sin в) = sin 4в, 0 < в < 2я.
Точным решением этой задачи является
и(х, у) = Аху(х2-у2).
Так как д*и/дх* = д*и/ду4 = 0, то легко проверить, что E.2.9)
не содержит члена вида O(h4). Поэтому ошибки могут возни-

284 Гл. 5. Эллиптические уравнения
кать только из-за аппроксимации краевых условий. Очевидно,
что решение симметрично относительно четырех осей. В окрест-
окрестности Г положим
g-(r cos в, rsine) = sin46, 0<в<2я.
Рисунки 5.5, а — д соответствуют различным множествам
узлов Q"", а табл. 5.1 содержит значения приближенного реше-
решения в точках 1 — 10. Как отмечалось ранее, скорость сходимости
может увеличиваться только внутри Q; поэтому результаты
следует сравнивать лишь в этих точках. В той же таблице даны
точное решение и то решение, которое часто используется на прак-
практике, ибо оно гарантирует скорость сходимости порядка О (h2),
если краевые условия расписывать по схеме Коллатца
(см. п. 5.2.5). Таблица 5.1 ясно показывает влияние выбора Q(h)
на точность результатов в точках 1 —10. Очевидно, самые
непригодные результаты получаются для Й(й) = °Q<h\ в то время
как результаты рис. 5.5,5 относительно хороши и (в данном
случае) сравнимы с результатами, полученными по схеме Кол-
Коллатца.
Эти выводы совершенно естественны, так как приближенное
решение, использующее множество узлов Q(h) можно интерпре-
интерпретировать как решение задачи Дирихле в почти круговых обла-
областях (указанных для частных случаев на рис. 5.5). Но если
Оц = Е [г, t; 0 < / < 2п, г < 1 — ц (/)], то решение и задачи Дирихле
можно записать, отбрасывая члены более высокого порядка
по ц, в виде
и (г, /) = ио(г, t) + v(r, t),
где «0 —решение в единичном круге, т. е. когда ц = 0, a v(r, t) —
решение задачи Дирихле в единичном круге с краевыми усло-
условиями
(-■£+4?)
Столбец д табл. 5.1 содержит результаты для того случая,
когда \i(t) часто меняет знак и потому функция v(r, t) очень
мала внутри Q. В столбце а отклонение от круговой области,
характеризуемое функцией ц(/), имеет постоянный знак, a v(r, t)
достигает относительно больших значений.
5.2.5. Другие формулировки краевого условия Дирихле.
В предыдущем разделе было отмечено, что если соответствую-
соответствующие функции достаточно гладки, то аппроксимация краевых
условий может оказать сильное влияние на скорость сходимости.

V
0
-
1
4
No
)
:
N,
/
;
-
/
4
"■■««
; 1
ч
>
i
4
>
!
/
A
7
2
9
Ь
us
/
8
3
N
. /
\
Ю
6
V
4
\
./
/
\
\
A
14 1
t
J
/
/
/
!\
У
Д
/
*\
Ч
/
^1
>
/
s
/
s
/
ч
1
\
У
у
4
чТ
7
2
^1
42
t^
9
i
>
8
i
1С
/
Г
\
/
\
1
/
/
/
/
..
1
■1
I,
I.
V
\
\
f
\
г
1
\
л
\
7
4
/
ч
4,
f
4
_
4
{
—■>
-J
>
iZ
*
1
•ч.
Г*
/
{
г
9
b
/
8
3
\
4
Ю
6
" 1
\
\
/
/
\
A
л
„\
7
X
/
/:
J'
\
\
\
/
Л
-
■-
\
0
/i
/6 3 — -
^ :
-47 - -
: :_" z
^4
чТ
ч
-J /
\
0
|6| 1
r.
У
r
\
/
\
i
t
./
Рис. 5.5. Варианты выбора й"" для примера 5.1

Таблица 5.1. Результаты примера 5.1
Узел
Приближенное решение для случая
Точное решение
Приближенное
решение с крае-
краевыми условиями,
записанными
по Коллатцу
(см. 5,2,5)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,002 045 969 43 0,001 446 725 32 0,001 940 584 82
0,019 393 967 8
0,067 483 008 4
020 475 940 55 0,014 471 109 6
0,'
0,072 209 816
0,010 213
0,071511 678
0,216 174 472 8
0,028 480 883 41
0,164 399 314 1
0.060 620 155 95
0,309 469 820 8
13 0,050 778 512 8
600 87 0,007 229 770 44 0,009 714 804 62
17 0,050 611 804 2
0,152 205 878
0,020 216 037 6
0,116 874 642
0,043 225 396 8
0,221 543 192
0,067 989 634 6
0,202 705 950
0,027 289 108 6
0,158 163 218
0,058 796 259 8
0,302 928 058
0,001911785 9
0,019 150 948 2
0,068 116 195 4
0,009 525 840 52
0,066 734 579 4
0,204 130 798
0,026 413 504 6
0,152 153 906
0,055 489 209 2
0,280 554 158
0,001 801 364 42
0,018 018 169 2
0,063 196 739 4
0,009 002 297 04
0,063 039 047 6
0,190 102 112
0,025 155 407 2
0,145 546 394
0,053 530 743 2
0,273 353 192
0,001 639 232 293
0,016 392 322 93
0,057 373 130 25
0,008 196 161 465
0,057 373 130 25
0,172 119 390 8
0,022 948 252 10
0,132 777 815 7
0,049 176 968 79
0,252 441773 1
0,000 464 831 220
0,015 268 159 870
0,058 897 309 350
0,006 972 468 320
0,058 565 594 750
0,177 270 079 300
0,023 315 970 200
0,136 529 944 100
0,050 521821600
0,259 730 832 00

§ 5.2. Метод конечных разностей 287
Рассмотрим теперь аппроксимации, гарантирующие скорость
сходимости 0{h2). Ограничимся квадратными сетками.
Вычисление интегралов тождества E.2.8) с помощью под-
подходящих квадратурных формул дает различные конечно-раз-
конечно-разностные схемы, одна из которых была рассмотрена выше. Вывод
тождества E.2.8) основывался на предположении, что Rkt sczQ
(см. рис. 5.2). Мы предположим также, что (xk, ys)^Q, но
Rksc£Q (см. рис. 5.6) и поступим затем, как в п. 5.2.2. Как и
там, можно построить функцию v(x, у), обращающуюся в нуль
на границе Rks[}U и имеющую разрывы производных на от-
отрезках *<X<Xft+1, y = ys И X = Xk, Уз-1<У<:Уз+\-
Умножая E.2.6) на v(x, у) и интегрируя по Rk,s[]&, получим
тождество, аналогичное E.2.8). Вычисляя интегралы в предпо-
предположении, что f(x, у), г(х, у) и вторые и первые производные
и(х, у) и р(х, у) соответственно удовлетворяют условиям
Липшица, получим
, ys))p(xk+U2, ys)
= Yh(**+i - x) If (xh, ys) + r (xk, ys)и(xk, ys)} + О (h2). E.2.13)
Запишем E.2.13) только для случая, изображенного на
рис. 5.6; вид этого соотношения в других случаях очевиден.
В общем случае для любой точки (хк, ys) eГ@Q<h)), (хк, у3)ф.Т
мы получим разностное уравнение, которое (без остаточного
члена б (И2)) можно переписать в виде (см. рис. 5.7)
р (А') [и (О) - и (Л)]Д, + р (В') [и (О) - и (В)]/Я2 +
+ р (С) [и (О) - и (С)]Дз + р (D') [и @) - и (D)]A4 =
| E.2.14)
Сравнивая рис. 5.2 и 5.7, видим, что последнюю сетку можно
использовать даже тогда, когда точка (jck, ys) существенно
внутренняя.
Построим теперь разностные уравнения для задачи Дирихле,
полагая Q( ) = °Q< ' и используя E.2.10) (или, что то же самое,
используя E.2.14) с Я/ равными 1) для всех точек й(й) и E.2.14)
в граничных точках {хк, у5)A'")

288
Гл. 5. Эллиптические уравнения
Эти уравнения содержат, конечно, значения искомого реше-
решения на r(Q(h)), которые на самом деле заданы краевым усло-
условием. Для значений решения мы получили неприводимо диа-
диагонально преобладающую систему линейных уравнений.
В п. 5.2.7 мы покажем, что если соответствующие функции
достаточно гладки, то скорость сходимости решения этой
системы к искомому решению имеет порядок О (Л2). Заметими
что скорость сходимости
не будет меняться, если
правые части в E.2.14),
соответствующие гранич-
граничным точкам, положить
равными нулю.
Р и с. 5.6. Вид квадратной сетки возле
границы
Рис. 5.7. Конечно-разностная
схема в окрестности границы
Существуют, конечно, и другие способы аппроксимации
краевого условия Дирихле. Например, пусть ЛеГ(й ), Аф.Т
(см. рис. 5.8). В этом случае существует узел С, соседний
с А и такой, что С ф.0*; следовательно, прямая АС пересекает
границу Г в некоторой точке С, расстояние которой от точки А
равно oh, <т<1. Далее, пусть h будет настолько малым, что
точка В, соседняя к точке А, которая лежит на противополож-
противоположной стороне от С, будет внутренней точкой. Линейная интер-
интерполяция по известным значениям u(C) = g(C) и и(В) дает в А
значение
Используя это соотношение вместо E.2.13), мы снова придем
к неприводимо диагонально преобладающей системе, для ко-

§ 5.2. Метод конечных разностей
289
торой скорость сходимости будет иметь порядок О (Л2), если
соответствующие функции достаточно гладки. Эта аппроксима-
аппроксимация краевых условий, предложенная Коллатцем [1960], имеет
некоторые недостатки по сравнению со схемами E.2.13) или
E.2.14).
В обоих случаях усилия, затрачиваемые на построение
системы уравнений, одинаковы. Однако техника интерполиро-
интерполирования Коллатца приводит к несимметричной, а E.2.13) —к сим-
симметричной системе уравнений. С точки зрения процесса реше-
А В
6h
а
/
/
\
N
/
\:
х'
Ч
У
\
/
\
»--
\
*«J
/
13
\
-«,
/
8
И
\
1*4
/
4
S.
г
5
9|Ю
15
\
16
у
1
11
17
у
К
17
>—j
1Z)
18,
/
Г
\
1
/
Рис. 5.8. Линейная интерполяция
в (крестности границы
Рис. 5.9. Нумерация узлов
в примере 5.2
ния этот факт весьма важен. Опыт показывает, что более
точные результаты получаются тогда, когда разностная система
уравнений сохраняет основные свойства исходной задачи, такие,
как самосопряженность и т. п. Для иллюстрации этих фактов
рассмотрим
Пример 5.2. Пусть требуется решить задачу Дирихле
в круговой области, как в п. 5.2.4. На рис. 5.9 изображена
сетка и точки сетки Т(п(Н)), по которым расписываются раз-
разностные уравнения E.2.14).
В табл. 5.2 представлены приближенные значения иь по-
полученные из разностных уравнений с записью краевых условий
в виде E.2.14) и по методу Коллатца; в ней же дано точное
решение.

290
Гл. 5. Эллиптические уравнения
Узел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Таблица 5 2
Приближенное ре-
решение с краевыми
условиями вида
E.2.14)
0,321637 742
0,174 693 864
0,466 093 044
0,081 432 626
0,232 682 408
0,471 080 294
0,813 510 028
0,029 077 821
0,093 048 101
0,203 522 844
0,372 035 696
0,609 920 912
0,005 815 795
0,023 263 183
0,058 159114
0,116 325 172
0,203 610 734
0,326 114 070
Результаты примера 5.2
Приближенное ре-
решение с краевыми
условиями, записан-
записанными по Коллатцу
(см. п. 5.2.5)
0,342 895 460
0,200 828 402
0,545 811 230
0,089 896 042
0,257 502 380
0,516 408 528
0,857 490 728
0,031 890 752
0,102 081 788
0,222 876 548
0,404 829 772
0,658 205 358
0,006 370 304
0,025 481218
0,063 663 815
0,127 092 254
0,221828 654
0,355 392 596
Точное решение
0,322 265 625
0,175 781 250
0,468 750 000
0,082 031250
0,234 375 000
0,474 609 375
0,820 312 500
0,029 296 875
0,093 750 000
0,205 075 925
0,375 000 000
0,615 234 375
0,005 859 375
0,023 437 500
0,058 593 750
0,117 187 500
0,205 078 125
0,328 125 000
5.2.6. О формулировке краевых условий общего вида. Пусть
задано краевое условие
«+£-«•
Снова ограничимся квадратными сетками. Будем предпо-
предполагать, что граница Г области й образована конечным числом
гладких кривых, а через cosnx и cos пу обозначим направляю-
направляющие косинусы внешней нормали. Положим й(й) = °Q(h). Во всех
узлах й(й) запишем разностное уравнение E.2.10), а в точках
Г (й(й)) — разностное уравнение E.2.14). Некоторые из этих
уравнений содержат значения искомого решения на Г. В проти-
противоположность задаче Дирихле эти значения теперь неизвестны.
По этой причине построим дополнительные разностные урав-
уравнения для всех тех точек, в которых прямые сетки пересекают
границу Г. Если такая точка совпадает с узлом, мы должны
записать в качестве дополнительных те уравнения, в которых
встречаются эти точки. Такие уравнения получаются, как и
раньше, с помощью функции v(x, у), которая в нашем случае
отлична от нуля на границе Г,

§ 5.2. Метод конечных разностей
291
Умножая E.2.6) на v(x, у) и интегрируя по Rkt S[]Q, по-
получим, используя подходящую квадратурную формулу для
случая, изображенного на рис. 5.10, соотношение
/- \ /- \ , и (xk, У?) -"и (■*• Us) [xk + x \ ,
а(х, ys)u{x, ys) + ^^j ^-р^—2~, уsj cos пх +
+ \Ы(хк, ys+i)-u(xk, ys)]p(xk, уs+ip)cosny =
= g(x, ys) + O(h), если cos ny < 0, E.2.15)
a (x, ys) и (x, ys) + — ft' У'}~\Х' Уз Р
xk-
y\ cosnx =
= jlu (xk, ys) - и (xk, ys-i)] P (xk, Vs-ift) cos ny =
= g (x, ys) + О (h), если cos ny ^ 0.
Заметим, что если, например, cosny^.0 и граница пере-
пересекает прямую х = хк в точке (xk, у), где y — ys = Xh, 0<Я<1,
Рис. 5.10. Квадратная сетка для Рис. 5.11. Квадратная сетка для рас-
расписывания краевых условий писывания краевых условий общего вида
общего вида с использованием линейной интерполяции
то необходимо заменить в E.2.15) выражение -^[и{хк, ys+i) —
— u(xk, ys)]p(xk, Узл-хр) выражением ^ [«(**, y)-u(xk, ys)]X
X p\Xk, ys 2 У ) ■ Случай cos ny ^ 0 аналогичен.
Соответствующая система линейных алгебраических урав-
уравнений не будет, вообще говоря, диагонально преобладающей.
Однако если cos nx ф 0, то исключение неизвестных значений
приближенного решения в нерегулярных узлах дает неприво-
димо диагонально преобладающую систему. Очевидно, что слу-

292 Гл. 5. Эллиптические уравнения
чай а = г = 0 здесь должен быть исключен. Соответствующие
уравнения для cosnx = 0 получаются предельным переходом.
Различные подходы к аппроксимации краевых условий
основаны на линейной интерполяции. Для простоты рассмотрим
лишь случай а = 0. Обозначим через А узел границы r(Q(h))'
через С — точку пересечения нормали к Г, проходящей через А,
с самой границей Г, а через В' — ближайшую точку пересече-
пересечения этой нормали и какой-нибудь прямой сетки (рис. 5.11).
Обозначая через а @^а^л/4) угол между нормалью и осями
х или у, заменяя ди/дп разделенными разностями, получим
lp{C) = g{C).
Наконец, используя линейную интерполяцию для исключения
и (В'), мы придем к уравнению
Для этой схемы получаем такой же порядок точности, как
и при использовании соотношения E.2.15).
Но в этом случае задача, вообще говоря, является более
сложной — требуется достаточная гладкость границы, коэффи-
коэффициентов и решения. Тем не менее в некоторых специальных
случаях, например для прямолинейных границ, существуют
относительно простые аппроксимации, обеспечивающие скорость
сходимости порядка О (Л2) (см., например, Витасек [1957]).
При сравнении аппроксимации краевых условий типа Ней-
Неймана с аппроксимацией условий типа Дирихле возникает
естественный вопрос, нельзя ли сформулировать краевые усло-
условия, используя идеи п. 5.2.4. Иными словами, можно ли за-
заменить исходную область Q другой областью, граница которой
была бы образована линиями сетки, и перенести каким-нибудь
способом краевые условия на эту границу. Не доказывая схо-
сходимости, продемонстрируем аппроксимацию этого типа на
примере.
Пример 5.3. Решить краевую задачу для уравнения
Аи = 6 в области, полученной удалением правильного шести-
шестиугольника из единичного круга (рис. 5.12), когда на границе
шестиугольника рассматривается краевое условие Дирихле и
однородное условие Неймана на окружности. Пусть условие
Дирихле будет таким, что в полярных координатах точное реше-
решение задачи имеет вид
и (г, ф) = (г3 — г) sin Зф.

§ 5.2. Метод конечных разностей
293
Эта задача будет решаться конечно-разностным методом
в треугольной сетке с размером ячейки h для /Г1 = 8, 12, 16,
Рис. 5.12. Схема для примера 5.3
20, 24, 28. На рис. 5.12 изображены два варианта замены
области определения. Условие Неймана с помощью принципа
отражения преобразуется в разностное уравнение
причем
и(А) = и(С), и(Е) = и(А), u(D) = ±[m
10
1<Г2
N
?
4
1
\
\
1
X
?x
X
8 К го 24
Рис. 5.13. Величина погрешности
в зависимости от способа аппрокси-
аппроксимации области определения
1) 1/Л
2) погрешность конечно-разностного решения
Д —способ а) аппроксимации сетки
в соответствии с рис. 5.12
□ — способ б) аппроксимации сетки
в соответствии с рис. 5.12
3) наклон O(h)
Погрешности приближенного решения во внутренней точке М
в зависимости от h приведены на рис. 5.13 для обоих случаев.
Скорость сходимости имеет порядок О (И).

294 Гл. 5. Эллиптические уравнения
5.2.7. О сходимости конечно-разностных методов. Харак-
Характерная особенность предыдущих систем уравнений состоит в том,
что они неприводимо диагонально преобладающие и потому
имеют единственное решение. Мы не будем рассматривать слу-
случай, когда одновременно а = 0в E.1.2) и r(j,i/) = O в E.1.3).
Ограничимся квадратными сетками и дадим доказательство
сходимости, аналогичное приведенному в п. 4.3.5.
Теорема 5.1. Даны уравнение E.1.3) и краевые условия
E.1.2) с а= 1 и Ъ = 0, функция ф(л:, у), удовлетворяющая усло-
условию Липшица в окрестности Г, такая, что q>(x, y) = g(x, у) на Г,
и функции р(х, */)>/?о>О, r(x, у) и f(x, у), определенные
в некоторой окрестности Q zd Q, третьи, вторые и первые про-
производные которых соответственно удовлетворяют условиям
Липшица в Q. Пусть три производных решения и(х,_у) этой
краевой задачи удовлетворяют условиям Липшица1) в Q. Тогда
максимальная норма погрешности x\h приближенного решения,
полученного из системы разностных уравнений п. 5.2.4, будет
иметь порядок О {К).
Доказательство. Пусть V— область с границей, обра-
образованной конечным числом непересекающихся кривых, имеющих
производные произвольного порядка, и такая, что Q с У с Q.
Очевидно, такая область существует всегда. Рассмотрим в V
вспомогательную функцию, представляющую собой решение
дифференциального уравнения
%)г{*'у)г=-1' E216)
которая удовлетворяет на границе условию
z{x,y)=\. E.2.17)
Как следует из теории дифференциальных уравнений, z (x, у)
имеет три производных, удовлетворяющих условиям Липшица
в Q. Предположим вначале, что Q(h) = °Q(h); в этом случае до-
доказательство совершенно аналогично проведенному в п. 4.3.5,
только вместо вспомогательной функции z(x) необходимо исполь-
использовать функцию z(x, у).
Если же Q(/1) Ф °Q(/1), то функцию и (х, у) продолжить на
( ) не так легко. Эту трудность можно обойти следующим
образом. Будем предполагать, что (xk, ys) е Г(Q(h)), (xk, ys) ф Qw
и что (xk, ys) имеет одну и только одну соседнюю точку на Q(/1>
') См. сноску на стр. 277,

§ 5.2. Метод конечных разностей 295
скажем (xk+l, i/JgQ. Разложим решение и(х, у) в этой точке
в ряд Тейлора, сохраняя члены третьего порядка, и предпо-
предположим формально, что в (xk, ys) решение и(х, у) совпадает
с этим полиномом. Тогда для точки (хк+и ys) можно написать
разностное уравнение E.2.9) с остаточным членом О (Л4). В силу
того, что и(х, у) и ф(л:, у) гладки, будем иметь
и (хк, ys) - ф(хк, ys) = О (h). E.2.18)
Если точка \xk, ys) имеет в Q(/1) несколько соседних точек или если
(*k> ys) е Г1 (Q(/l)) П й(Л), то можно формально предположить, что
функция u(xk, ys) многозначна. Далее доказательство сохра-
сохраняется в прежнем виде.
Действуя так же, как и раньше, можно установить схо-
сходимость конечно-разностного метода для краевых условий,
указанных в п. 5.2.5.
Теорема 5.2. В предположениях теоремы 5.1 максималь-
максимальная норма погрешности r\h приближенного решения, получен-
полученного из системы разностных уравнений п. 5.2.5, имеет поря-
порядок O(h2).
Эти теоремы основаны на предположении, что три производ-
производных искомого решения удовлетворяют условиям Липшица. Легко
доказать, что сходимость имеет место для более слабых пред-
предположений, если и(х, у) предполагать непрерывной только в Q;
конечно, в этом случае скорость сходимости уже не будет
иметь порядок О (/г2). В общем случае сходимость следует почти
непосредственно из того факта, что рассматриваемые области
представляют собой так называемые устойчивые области (см. Ба-
Бабушка [1961]), обладающие следующим свойством: для любого е
существует функция ve, являющаяся решением уравнения E.1.3)
в некоторой окрестности Q, где \и — уе|<е. В силу предполо-
предположений теоремы 5.1 относительно коэффициентов три производ-
производных ve(x, у) удовлетворяют в Q условиям Липшица. Если
ve(x> У)~ искомое решение, т. е. если в краевых условиях за-
заменить g(x, у) на vE(x, у), то скорость сходимости конечно-
разностного метода будет иметь порядок 0{h) или О (/г2). Так
как система разностных уравнений неприводимо диагонально
преобладающая, то эта модификация краевых условий при-
приводит к ошибкам меньше е во всех точках сетки. Сходимость
тем самым доказана.
Теорема 5.3. Даны дифференциальное уравнение E.1.3)
и краевые условия E.1.2), причем а(х, у) и г(х, у) одновре-
одновременно в нуль не обращаются. Пусть три производных и(х, у)

296 Гл. 5. Эллиптические уравнения
удовлетворяют условиям Липшица в Q. Предположим, что
существует решение z(x, у) уравнения
удовлетворяющее на Г краевому условию
а(х, y)z(x, у)+ди(дХ;У) ^h(x, у)>\, (х,
а его три производных удовлетворяют условиям Липшица. На-
Наконец, пусть р(х, у)_^ро>О или г(х, у)>0 и f(x, у), соответ-
соответственно, имеют в й вторые и первые производные, удовлетво-
удовлетворяющие условиям Липшица. Тогда максимальная норма по-
погрешности % приближенного решения, полученного из системы
разностных уравнений п. 5.2.6, имеет порядок 0(h).
Доказательство. Теорема легко доказывается методами
п. 4.3.5.
Заметим, что предположения теоремы 5.3 более ограничи-
ограничительны по сравнению с предположениями теорем 5.1 и 5.2,
так как требуют существования функции z(x, у) с предписан-
предписанными свойствами.
5.2.8. Конечно-разностные методы решения самосопряжен-
самосопряженных краевых задач для уравнений более высокого порядка.
До сих пор мы изучали конечно-разностные методы для урав-
уравнений второго порядка. Для уравнений более высокого порядка
эти задачи много сложнее, и большая часть из них вплоть до
сегодняшнего времени не имеет удовлетворительной теории.
В случае уравнений второго порядка мы уже видели, что
переход от одномерных задач гл. 4 к двумерным приводит
к некоторым трудностям при формулировке краевых условий,
возникающим тогда, когда краевые условия содержат произ-
производные по направлению нормали или конормали. Краевые
условия для уравнений четвертого порядка всегда содержат
производные, вследствие чего появляются некоторые осложне-
осложнения для областей общего вида. С другой стороны, в практике
задачи для уравнения четвертого порядка часто содержат гра-
границы, совпадающие с линиями сетки. В этом случае разност-
разностные методы становятся более простыми и можно применять
идеи п. 4.3.7. Мы ограничимся иллюстрацией основных идей
для квадратных областей в случае бигармонического уравнения.
Пусть требуется решить неоднородное бигармоническое урав-
уравнение
/, д = |1 + ^> E.2.19)

§ 5.2. Метод конечных разностей 297
в области
Q = E[x, у; \х\<1, \у\<1]
с краевыми условиями
и(х, y) = q(x, у), E.2.20)
ди(х, у) , ч /г _. _.,..
—dJTL = 8(x, У) E.2.21)
для (х, у) е Г. Пусть h = 1/га, *ft = 6/г, r/s = s/г, 6, s = —п — 1,...
.. ., п+ 1. Обозначим через Й(Л) или Q|ft) множества всех точек,
расстояние от которых до Г есть по крайней мере h или
равно h соответственно. Если пять производных и(х, у) удо-
удовлетворяют условиям Липшица, то для всех точек Q(/1) — п\Н)
20uft, s - 8 (uk+u s + uk-u s + uk, s+i + uk, ^ +
+ 2 (uk+u s+1 + uk-u s+l + uk+u ^i + uk.u s.{) +
+ (Uk+2,s+Uk-2.s+Uk,s+2 + Uk,s-2) = h4fk,s+O(h6), E.2.22)
а краевые условия можно записать как в п. 4.3.7 (см. D.3.70)
и D.3.71)).
Если три производных и(х, у) удовлетворяют в окрест-
окрестности Q условиям Липшица, то имеем
rt, E.2.23)
s) + O(h3). E.2.24)
Подобные уравнения можно записать для всех точек Г и
исключить фиктивные значения и(х, у) вне Q, используя E.2.22)
даже в точках Q(ift), пренебрегая, конечно, остаточными чле-
членами О (/г6) или О (/г3). Эта процедура приводит к положительно
определенной системе линейных уравнений, решение которой,
как мы сейчас покажем, сходится к решению поставленной
задачи.
Как и раньше, обозначим через % = {4k, Л погрешность при-
приближенного решения. Очевидно, если (xk, i/JeQ — Qi , то
20т]й, s - 8 (тц+1, s + Tift-i, s + ■Цк. s+i + Щ, s-i) +
+ 2 (rifc+i, s+i + Ш-\, s+i + Лб+i, з-i + Лй-ь s-i) +
+ (л*+г, * + Л*-а, s + Л*. s+? + % s-г) = О (Л6). E,2.25)

298 Гл. 5. Эллиптические уравнения
Если (xk, ys)^^, например, если k = n— 1 и — (п — 2
<1я — 2, то из E.2.22)— E.2.24) мы получаем, что
21ть_1, ^ — 8 (цп-2, s + Цп-и s+i + Лп-i, s-i) +
+ 2 (л„-2. ,+1 + Цп-2. s-l) + (Ля-3. * + Ля-1. ^+2 + Ля-1. ,-2) = О (Л3). E.2.26)
Уравнения для других точек ОAЛ) строятся аналогично.
Обозначим через А„ матрицу системы для погрешности r\h.
Суммирование по частям дает
(Aft4ft, Чй) = S z?./+ 2 л?у
''1 <
Ль / = 0 для (xh у,) е Г.
Далее, если обозначить через Сл матрицу разностных уравне-
уравнений E.2.9) для уравнения Ды = / (т. е. для р=1 и г = 0 в й)
и однородных краевых условий Дирихле, то легко проверить
что
(С*Чл, Cftiift)= 2 г} ,. E.2.27)
(»J.»,)sl!(»)
Так как матрица СЛ имеет очень простой вид, все ее собствен-
собственные векторы и собственные числа можно выписать в явном
виде. Действительно, векторы i)ftm- ')= {л^^}. гДе
<V* = h sin \nm A + *Л) sin у и/ A + sh),
m, 1=1, 2, ..., 2n-l, *,'s=-(n-l), ..., (n-1),
представляют собой ортонормированные собственные векторы,
отвечающие собственным значениям
я(т, » = 2 ^- cosyш/г —cos{
Пусть
Сл1 = {ak, s, p.qi, k, s, p, q = - (я - 1), .. ., (n - 1).
Тогда, если р a q фиксированы и
afi'q) = {ak.s.p.q}, k, s=-(n-l), .... (n-1),
то вектор а<р- в) будет, очевидно, решением системы уравнений
СЛа<Р- «' = у(Р. «),
где yd». e> = {yjf-/>}, ^%">=1 для k = p, s = q и ^%в> = 0 в про-
противном случае.

§ 5.2. Метод конечных разностей < 299
Но, используя выражение
а(р, q) _ V мр, eWm, I)
Jm*. m, I 'Л
m, J
и равенство
IV/ I IV Q 1/Л *** Л(т2 + /2) •
имеем
(«<"•«», «(p' «>)=2 «• fJ < ^'S <m2+/2г2 < ж.
m, I m, I
причем у не зависит от h.
Полагая С/,% = z, z = {2г, Д, получаем
откуда
(Aft4ft, %)>/г2у[тах( max 1лР,,1, т max hi./
L (ft) (Л)
E.2.28)
и, как в 4.3.7,
max/ max \ч„ „\> Т max I Лг /1W 0 (h).
Аналогично, в силу того что
1 ^ Y
имеем
-8- 2 4/.
сиуN111
( 2 <,+Т 2 <Л»
откуда
<, + 1Г 2 ЛЬУ'ЧО^). E.2.29)
Теорема 5.4. Пусть пять производных решения и(х, у)
уравнения E.2.19) с краевыми условиями E.2.20) и E.2.21)
удовлетворяют условиям Липшица в Q. Обозначая через

300
Гл. 5. Эллиптические уравнения
% = {%,Л. k, s= — n, ..., п, погрешность конечно-разностного
решения краевой задачи в Q, полученного из E.2.22) и E.2.25),
имеем
щ,s = 0 для (xk, ys)^T,
max/ max
\(*„. u.\ ^ в"
rip,,
-r max
(*/• v<)e s
. /
(*<• »/) '
<0(Л), E.2.30)
О(/г1/2). E.2.31)
Мы ограничились рассмотрением краевых условий только
одного типа. Тот же подход можно использовать при доказа-
доказательстве сходимости и для других краевых условий. Далее,
мы изучали частный вид дифференциального уравнения и спе-
специальные области определения. Если уравнение более сложное,
а граница области образована линиями сетки, сходимость и
скорость сходимости можно установить аналогичным способом.
§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений,
соответствующих дифференциальным уравнениям
второго порядка
5.3.1. Введение. Будем обозначать приближенные значе-
значения ит,п искомого решения в N узлах одной буквой, нумеруя
компоненты решения в первой стро-
строке сетки слева направо, затем во
второй строке и т. д. (см. рис. 5.14).
В результате мы получим JV-мер-
ный вектор и, для которого соот-
соответствующая система конечно-раз-
конечно-разностных уравнений может быть
записана в виде
Au = b. E.3.1)
Здесь А — квадратная матрица по-
порядка N, a b определяется правой
частью дифференциального уравне-
уравнения и краевыми условиями.
Конечно-разностные уравнения
для задачи Дирихле имеют вид
Рис. 5.14. Нумерация узлов
E.2.9), а краевые условия — вид E.2.14). Если мы хотим
использовать краевые условия E.2.15), то должны предпола-
предполагать, что неизвестные значения решения в точках границы Г

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 301
уже исключены, так что остаются лишь значения решения
в узлах сетки, как для задачи Дирихле (см. стр. 291). Выше
было показано, что матрицы А для обоих типов краевых усло-
условий будут неприводимо диагонально преобладающими, их диаго-
диагональные элементы положительны, а остальные неположительны.
Следовательно, эти матрицы положительно определены, а в слу-
случае краевых условий Дирихле даже симметричны.
Для бигармонического уравнения мы знаем только, что ма-
матрица симметрична и положительно определена. Как будет по-
показано ниже, этогарантирует сходимость некоторых методов,
однако такие системы детально не исследовались.
Для дифференциального уравнения второго порядка эллип-
эллиптического типа матрица конечно-разностных уравнений может
быть записана в виде
~АМ А],2 0
**2» 1 ^^2»2 ^^2»3
А =
о
43.2 rt3,3
0
0
А3.4
... 0
... 0
... 0
E.3.2)
_0 ... 0 "-N,N-1, Ajv,jv_
где Аг, i — квадратные матрицы порядка nt (он определяется
числом узлов в /-й строке), так что 2"< = N. Итак, А — трех-
диагональная блочная матрица, элементы A;, t которой явля-
являются неприводимо диагонально преобладающими матрицами,
а элементы А{^, 1ф\, суть матрицы с хотя бы одним нену-
ненулевым элементом в каждой строке.
Методы решения систем конечно-разностных уравнений, свя-
связанных с эллиптическими уравнениями второго порядка, изу-
изучены довольно хорошо (см. Варга [1962]), и мы не будем де-
детально рассматривать их в этой книге. Однако мы обратим
внимание на проблему их численной устойчивости и выведем
оценки скорости сходимости основных итерационных методов,
рассмотрим метод исключения и лишь некоторые наиболее важ-
важные типы итерационных методов. Заметим, что рассматриваемые
итерационные методы можно использовать также для решения
систем уравнений, возникающих в одномерных задачах гл. 4.
5.3.2. Метод исключения. Этот метод можно применить
или к элементам, или к блокам. По сути дела, в последнем
случае получаются те же самые рекуррентные формулы, что и
в гл. 4. Мы будем оперировать с диагональными блоками —за-
—задача по сравнению с одномерным случаем более сложная.
Теорема 5.5. Решение систем конечно-разностных урав-
уравнений для эллиптических уравнений второго порядка методом

302 Гл. 5. Эллиптические уравнения
исключения приводит для «=A, 1, ...) или а = ( — 1, — 1, ...)
и Ь = (\, 1, ...) к fi^L-последовательности численных процес-
процессов.
Доказательство. В гл. 4 мы детально исследовали про-
процесс исключения Гаусса для трехдиагональной матрицы. Этот
анализ позволил не только установить, что процесс образует
^-^-последовательность, но также и описать характер потери
точности на различных стадиях расчета.
Не вдаваясь в полное описание процедуры, проведем рас-
рассуждение, совершенно аналогичное тому, которое было изло-
изложено в п. 4.7.2.
Пусть, в отличие от п. 4.7.2, || В || обозначает норму матрицы
как норму отображения конечномерного пространства, причем
норма вектора определяется так: | b | = max j b{ |. Остальные
обозначения п. 4.7.2 сохраняются. Система конечно-разностных
уравнений для задачи Дирихле имеет Bм + 1)-диагональную
матрицу, где п = О (l/h).
Пусть 0<р0<р(х, г/)<1/5, \g{x, у) |< 1/2, \f{x, y)Kpo/2D2,
| h |^1, где D — диаметр области Q. Легко проверить, что
матрицы *[А], k=\,..., N, являются симметричными, непри-
водимо диагонально преобладающими, так что
| kat, 11 < 1 для i, I > £,
kai,i>0, kau г<0 для /, />£, i ф I,
kau i = 0 для \l — i\>n,
kat i ^ 0 для любого I ^ k,
Так как абсолютные значения всех участвующих в расчете
величин меньше единицы, то применима техника п. 4.7.2 без
каких-либо предположений относительно собственных значений
матрицы А (см. стр. 260); в нашем случае эти предположе-
предположения заменяются предположением, что матрица диагонально
преобладающая, и ограничениями, налагаемыми на функции
р, g и f. Единственное отличие состоит в том, что теперь мы
имеем дело с матрицей-строкой. Легко проверить (см. п. 4.7.2),
что численное решение, полученное методом Гаусса, есть точное
решение системы уравнений

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 303
где
' п п п-\ ... 1 О О ... О
п п п п-\ ... 1 О ...О
га—1 п п п п— 1 .. . 1 ... О
_ О ... О 1 ... п-\ п п
вл,<2б/г2{1, 1 1},
а б — погрешность элементарной операции.
Очевидно, ||Фл,|К2б/г2 и |вл,|<26/г2, так что
и - и = А~'вд, - (I + А^Фл,)"' А-'ФууА-'Ь -
Так как || А~' | < C/h2 и |A~'b|<C, причем С не зависит от /г,
то утверждение теоремы доказано. Можно показать, что рас-
рассматриваемый процесс образует а4-Ь-последовательность.
Итак, устойчивость метода исключения гарантирована; по
числу уравнений он сравним с одномерным случаем. Метод
принадлежит классу прямых (неитерационных) методов и потому
экономит машинное время. С другой стороны, он предъявляет
большие требования к памяти машины и потому вопрос о его
практическом значении остается открытым. По мнению авторов,
метод можно эффективно использовать для решения систем
конечно-разностных уравнений в тех случаях, когда объем
памяти машины достаточно велик.
5.3.3. Итерационные методы. Суть любого итерационного
метода состоит в построении рекуррентной последовательности
векторов u(ft), сходящейся к точному решению системы E.3.1),
т. е. к А~'"Ь. Каждый вектор u(ft) есть функция некоторого
фиксированного числа предыдущих векторов, а также матрицы А
и правой части Ь. Если эта зависимость линейная, то процесс
называется линейным итерационным процессом. Линейный ите-
итерационный процесс первой степени, когда u(ft) зависит только
от предыдущего вектора, можно записать в виде
+ Mftb, E.3.3)
причем матрицы НА и МА зависят лишь от А и Ь. Очевидно,
должно выполняться равенство Hft + MftA=I. Если реальные
расчеты не укладываются в схему E.3.3), то следует детально
изучить устойчивость процесса даже тогда, когда модель оказы-

304 Гл. 5. Эллиптические уравнения
вается удобной с точки зрения сходимости. В том случае, когда
матрицы НА и МА не зависят от k, итерационный процесс
U№+D = Hu<*> + Mb E.3.4)
будет называться стационарным. Эти основные понятия принад-
принадлежат Вазову и Форсайту [1960].
Мы будем исследовать сходимость и устойчивость итерацион-
итерационных методов. Дадим сначала
Определение 5.1. Пусть А,,- — собственные значения ма-
матрицы Н. Тогда р(Н)= max \Kt\ мы будем называть спек-
1 = 1, ..., JV
тральным радиусом Н.
Для векторов мы будем использовать следующие нормы:
, ||jc||c = max| jc, |,
первая из них — обычная евклидова норма, а вторая — макси-
максимальная норма п. 4.3.3. В соответствии с нормами векторов
введем нормы матриц как отображений конечномерного про-
пространства, определяемые соотношением
Всякий раз, когда у символа нормы отсутствует нижний индекс,
будем подразумевать одну из введенных выше норм. Очевидно,
JV
|| Н ||с = max 2 I ht t\ и || Н || = р (Н Н"), где Н* — транспонирован-
i i=i
ная матрица Н. Если Н симметрична, то ||Н||2 = р(Н). Для
обеих норм р(Н)^||Н||. После приведения Н к жордановой
форме, легко проверить, что если р(Н)<1, то существуют по-
положительные константы К и y<1> такие, что ||Hm||<KY"-
Сформулируем теперь основную и хорошо известную теорему
сходимости:
Теорема 5.6. Если Н + МА = 1, то для сходимости ста-
стационарного итерационного процесса к решению уравнения E.3.1)
необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство можно найти в любой книге; см., например,
Варга [1962].
Важная проблема, возникающая при исследовании итера-
итерационных методов, связана с выяснением их скорости сходи-
сходимости, Ниже мы покажем, что величина р(Н) дает об этом

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 305
некоторую информацию. В качестве характеристики скорости
сходимости тех или иных итерационных методов мы выберем
величину ||Нт||2. Следуя Варге [1962], введем
Определение 5.2. Пусть ||НШ||2<1 для некоторого
целого-т; тогда
будет называться средней скоростью сходимости для m итера-
итераций матрицы Н.
Если /?(НГ)</?(Н21), то мы будем говорить, что m итера-
итераций с матрицей Н2 сходятся быстрее, чем m итераций с мат-
матрицей Н].
Исследование ||Нт||2 для одного значения m представляет
собой довольно трудную задачу, если учесть к тому же, что
у несимметричной матрицы даже для конечного m может иметь
место неравенство ||Нт||2>1, хотя р(Н)<1. Поэтому введем
асимптотическую скорость сходимости
Roo(H)=\\m^R(Hm).
Варга [1962] доказал, что если р(Н)<1, то ROO{H)= - lnp(H).
Следовательно, можно оценить скорость сходимости с помощью
величины р(Н). Если p(Hj)<p(H2) или, что то же самое,
/?ОО(Н1)>/?ОО(Н2), то будем говорить, что матрица Hj имеет
асимптотически более высокую скорость сходимости, чем ма-
матрица Н2. Это говорит о том, что после достаточного числа
итераций разность между приближенным и точным решениями
будет уменьшаться быстрее в случае итераций с матрицей Нр
Однако это понятие не содержит никакой информации о на-
начальной стадии итерационного процесса.
Теорема 5.7. Если р(Н)<1, то стационарный итерацион-
итерационный процесс E.3.4) устойчив.
*
Доказательство очевидно, если использовать неравен-
неравенство \\Hm\\<K\m.
Очевидно, для конечно-разностных уравнений величина р(Н)
будет зависеть от размера ячеек сетки; она будет стремиться
к единице при h—>0. Мы будем исследовать этот предел для
каждого метода.
Прежде чем переходить к анализу устойчивости итерацион-
итерационных методов для конечно-разностных уравнений, рассмотрим
конкретные вычисления, использующие стационарный итера-
итерационный процесс E.3.4). Другая интерпретация итерационного

306 Гл. 5. Эллиптические уравнения
метода состоит в том, что матрица А разлагается в сумму
А = А, + А2.
Тождество
AjU + A2u = b
приводит тогда к итерационному методу
причем Н = — AT Аг и М = АГ . Практическое значение этой
техники определяется тем, насколько легко могут быть решены
системы уравнений с матрицей А]. Будем предполагать, что эти
системы можно решить последовательным исключением отдель-
отдельных неизвестных в их естественной последовательности, начиная
с первого. Для этого можно потребовать, чтобы А] была ниж-
нижней треугольной матрицей с ненулевыми диагональными эле-
элементами. Разложим матрицу А в сумму
A = E + F + G,
где Е — строго нижняя треугольная матрица, т. е. треугольная
матрица с нулевыми диагональными элементами, F—диаго-
F—диагональная матрица с ненулевыми элементами и G — произвольная
матрица. Тогда схема вычислений принимает следующий вид:
Учитывая структуру матрицы Е, можно сказать, что это явная
формула для вычисления компонент вектора и№+1), иными сло-
словами — это покомпонентный итерационный метод.
Устойчивость решения конечно-разностных уравнений в слу-
случае задачи Дирихле для уравнения второго порядка рассматри-
рассматривается в следующей теореме:
Теорема 5.8. Последовательность численных процессов
решения конечно-разностных уравнений для задачи Дирихле,
т. е. систем E.2.9) и E.2.14), произвольным сходящимся поком-
покомпонентным итерационным методом E.3.5) не может образовы-
образовывать при а = {\, 1, ...), Ь = {\, 1, ...) или а = { — 1, —1, ...),
Ь = {1, 1, ...) ^.^-последовательности для k<2.
Доказательство. Теорема будет доказана, если для
произвольной системы мы найдем начальный вектор иA) и по-
последовательность векторов-возмущений 6(ft), || 6(ft)|^ Q6 так, чтобы
|| u(ft) - u(ft) ||с > Кб/h2, где
Н- Ь) -Н 6'
(А)

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 307
Итак, пусть и^0) будет решением уравнения Au = 6j, где
j = {l, 1 1} и А —матрица системы конечно-разностных
уравнений для сетки с шагом h. Рассматриваемое уравнение дает
приближенное решение дифференциального уравнения E.1.3)
с правой частью б//г2 и нулевыми граничными условиями.
Пусть E.3.5) будет покомпонентным итерационным методом
для решения уравнения E.3.1), когда b = 0, 6(W = F~'6j для
всех k и uA) = uf>. Тогда
(*+» =
и потому и№) = и^0) для всех k.
Но E.3.6) есть приближенное решение итерационного про-
процесса
для которого lim u(ft) = 0. Мы должны получить теперь оценку
для ||u(ft)-u(ft)|lc- Так как
|| U7» - U(ft) ||c = j| UJ0) _ „<*> ||c ^ | || U(O) |c _ || U№) ||c |f
то II u№) — u(ft) |L> "п'Ций'Цс Для достаточно большого k. Легко
получить оценку для и^'. Мы знаем, что решение ил уравнения
дает приближенное решение дифференциального уравнения
E.1.3) при f=l и нулевых краевых условиях. Обозначим точ-
точное решение этой задачи через «0. Положив е = ||«в||с/2, мы
найдем по теореме сходимости, что || uft — и0 ||с < е = || и0 ||с/2 для
достаточно малого h. Но так как и^' = 6иЛ//г2, то Ци^Цг^
^II "о 11с б/2/г2, и теорема доказана.
Исследуя устойчивость конкретных итерационных методов,
мы покажем, что они не хуже, чем (^-/--последовательности;
это необходимое условие для хорошего итерационного метода.
5.3.4. Итерационный метод Якоби. Пусть А = {а{,/}, а,л=И=0,
/, /= 1, 2, ..., N. Через и^ и br обозначим r-е компоненты век-
векторов u(ft) и b соответственно. При заданном u(ft) компоненты
вектора и№+1) определяются формулой
r-\ N
2 S а,.в<» = йг, r=l, .... N. E.3.7)

308 Гл. 5. Эллиптические уравнения
Итак, (k+ l)-e приближение вычисляется последовательно, при-
причем на одном шаге обращается в нуль остаток в r-м уравне-
уравнении за счет изменения r-й неизвестной, а остальные неизвест-
неизвестные берутся из предыдущей итерации.
В целях дальнейшего изложения мы приведем метод к виду
E.3.4) и разложим матрицу А в сумму
A = P + D + Q. E.3.8)
Здесь D — диагональная матрица с элементами а{, {, Р — строго
нижняя треугольная матрица с элементами аи t (i > /) и Q —строго
верхняя треугольная матрица с элементами а-и ,• (/</).
Систему E.3.7) можно теперь записать в виде
Pu(W + Du№+1) + Qu№) = b
или
u(ft+l> = _ D-l (p + Q) u(ft) + D-lb E>3 9)
Так как — D~ (P +Q) +D~ A= I, то для сходимости метода
необходимо и достаточно, чтобы абсолютные значения всех
собственных чисел матрицы Н = — D~ (P+ Q), т. е. корни урав-
уравнения
det(P + a,D + Q) = O, E.3.10)
были бы меньше единицы.
В общем случае корни уравнения E.3.10) найти не так
просто. По этой причине часто бывает удобно использовать
различные достаточные условия сходимости, например, условие,
сформулированное в теореме 5.9:
Теорема 5.9. Если К —непривод и мо диагонально пре-
преобладающая матрица, то итерационный метод Якоби сходится.
Доказательство. См., например, Варга [1962].
Отметим, что симметричность и положительная определен-
определенность матрицы не гарантируют сходимости этого метода.
Для краевых условий Дирихле оценка асимптотической
скорости сходимости соответствующих матриц итерационного
метода в функции шага сетки h дается в теореме 5.10.
Теорема 5.10. Пусть задана система конечно-разностных
уравнений E.2.9) «'E.2.14) задачи Дирихле для эллиптического
уравнения E.1.3). Тогда для матрицы Н итерационного метода
Якоби р(Н)<1— Mh2, причем константа М не зависит от h.
Доказательство. Покажем вначале, что если ц()
наименьшее собственное число А, то ц(А)^С/г2 и константа С

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 309
не зависит от h. Так как матрица А является симметричной
и положительно определенной, то ц(А)= inf (Аи, и)/(и, и).
и ф О
Пусть областью определения решения будет прямоугольник,
стороны которого совпадают с линиями сетки. Тогда
s-l /--1
(AU, U) = S 21 [0,41/2, k + AVl/2, k + Pt. А+1/2 + Pi, ft-1/2 + ^i, k) Ui,k~
~ /'«■ + 1/2, kUi+\, k ~ P1-112, kUi-\,k ~ Pi. ft+l/2U«, k+i ~ Pi, k-\j2Ul, k-\\ Ui, k'
где uOtk = u,,0 = us,k = u{,r = 0. Очевидно,
s-lr-1
(AU,U)>2 Si[p/+1pfft(«lfft-«l+1>ft)Ui
- "i. *+i)u<.ft + P/. *-i/2(ui.ft - «i. *-i
s-l
V-l r-2
23 Pt, k+1i2 (U,k- U ш) U. k+ Jip (U, ш ~ U ) U
s-l s-2
r-1
s-l r-1 r-1 s-l
= 23 23 p, k+m(ui k+i~ui kf+ 23 23 avi/2 *K+i *-«, AJ>
[s-l r-1 r-1
2j 2> (Ui, k+i - Ui, kY + 2j
< = 1 ft=O ft = l
r-1 s-l
Но выражение в квадратных скобках есть не что иное, как
значение (Аи, и) для задачи Дирихле в случае уравнения
Лапласа, а собственные числа матрицы Ао этой задачи легко
вычислить явно. Таким образом, для наименьшего собственного
числа ц(А0) матрицы Ао имеем ц(А0)^ C\h2, где константа С\
зависит только от размеров заданного прямоугольника. Итак,
/»\ -с (Аи, и) -v. -с (Аои, и) ^ „, 9
и (А) = inf-^т——т-^- Do inf \ ' ^Ch2.
^v ' (и, и) -^ г» (и, и) -^
Далее, докажем полученную выше оценку для области
общего вида. В узлах области Q уравнения E.2.9) расписываются
в точках Q \ а краевое условие — в точках r(Q(W), если соот-
соответствующая точка не лежит на Г; по E.2.14) левая часть этого
краевого условия имеет следующий вид (см. рис. 5.7):
?(S')и(В)-^р(С)и{С)-^-р{D') и (D); E.3.11)

310
Гл. 5. Эллиптические уравнения
здесь по крайней мере одно, а не все одновременно положи-
положительные числа %t, /=1..., 4, меньше единицы, а символ [ ]
обозначает целую часть.
Мы определим дополнительную систему уравнений с ма-
матрицей Aj в наименьшем прямоугольнике, стороны которого обра-
образованы линиями сетки и который содержит внутри себя Q,
Ж
с
О
пшмнш
* X
А Л
D
L,
Рис. 5.15. Построение дополнительного уравнения в окрестности Q(ft)
следующим образом (если опустить правые части, которые
несущественны в нашем случае):
A) во всех точках Q( ' сохраняется исходное уравнение;
B) во всех точках Г (Q( *) выражение E.3.11) заменяется выра-
выражением
[р (А') + р (S') + р (С) + р (£>')] и(О)-р (А') и(А)-р (В') и (В) -
-p{C')u{C)-p{D')u{D);
C) в случае, отраженном на рис. 5.15, в точках, находя-
находящихся вне Q или даже в точках, принадлежащих Г, которые
являются соседними для узлов Q, полагаем
[Зр0 + р (А')\ и(О)-р (А') и (А) - Рои (В) - Рои (С) - рои (D);
и во всех других таких случаях поступаем аналогично;
D) в оставшихся точках полагаем
На границе этого прямоугольника неизвестные ulik обра-
обращаются в нуль. Матрица А! обладает теми же свойствами,
что и конечно-разностные уравнения для задачи Дирихле,
за исключением того, что коэффициент р является разрывным
на Г (что не существенно в нашем случае), и удовлетворяет
условию
(A,u, u)>po(Aou, u),

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 311
где Ао — матрица, соответствующая уравнению Лапласа в рас-
рассматриваемом прямоугольнике. Следовательно,
а С зависит от размеров прямоугольника.
Но \i(A)^\i(A\), так как (i(A]) = inf -г-'"' " ; здесь символ inf
относится ко всем векторам, определенным в узлах прямоуголь-
прямоугольника, в то время как \i (A) = inf "' "' относится только к век-
векторам, определенным в узлах Q. Для точек Й( уравнения си-
си((Л))
стем с матрицами А и Aj совпадают, тогда как в точках
диагональный элемент матрицы Aj меньше такого же элемента
матрицы А. Поэтому \i(A)^Ch2 и С не зависит от h, так как
размеры наименьшего прямоугольника, содержащего Q, имеют
положительные нижние оценки.
Рассмотрим теперь оценку для р(Н), соответствующего ма-
матрице Н итерационного методаЯкоби. ТаккакН = — D~ (P + Q) =
= — D~'A+I, то задача на собственные числа для матрицы Н
Hu = A,u
эквивалентна задаче
Au = (l-A,)Du.
Но наименьшее собственное число этой задачи удовлетворяет
условию
(A )
откуда следует, что
l-^max=l-
что и доказывает теорему 5.10.
Теорема 5.11. Решение конечно-разностных уравнений
для задачи Дирихле, т. е. уравнений E.2.9) и E.2.14), итера-
итерационным методом Якоби образует а2-Ь-последовательность чи-
численных процессов для а = A, 1, ...) или а = ( —1, —1, ...)
и Ь + A, 1, ...).
Доказательство. Одновременно с E.3.9) рассмотрим
последовательность уравнений
~(*+0 = _ D-i (p + Q) -(» + D-ib + b(»f
причем ||6(ft)||c<6. Так как каждая строка рассматриваемых си-
систем конечно-разностных уравнений имеет только пять ненуле-
ненулевых коэффициентов, то мы можем предполагать, что величины
ошибок округления не зависят от h.

312 Гл. 5. Эллиптические уравнения
Если положить u(ft) - u(fe) = t№), то
и теперь требуется оценить векторы t(ft). В силу того, что на-
начальный вектор можно выбрать произвол A)
Определим последовательность векторов
чальный вектор можно выбрать произвольным, положим tA) = 0.
где j = {l, I, •-., 1}. Очевидно, что все компоненты векторов z(ft)
неотрицательны и || z<*> ||c <||z<ft+1) ||c, ибо -D~'(P + Q) есть ма-
матрица с неотрицательными элементами. Покажем теперь, что
все компоненты векторов z(ft) — | t(ft)| неотрицательны; здесь | t(i) | =
= {Ujft)|}. Действительно, утверждение справедливо при k=\\
если z№) — | t(ft | есть неотрицательный вектор, то
также будет неотрицательным вектором. Так как векторы z'ft)
сходятся монотонно к решению u(/,0) уравнения Au = D6j, то
легко показать (см. доказательство теоремы 5.8), что Hu/fllc^
^ Mdlh2, а константа М не зависит от h. Доказательство на
этом заканчивается.
Заметим в заключение, что метод итераций Якоби не является
самым удобным для расчетов на вычислительных машинах,
так как, во-первых, он требует одновременного хранения в па-
памяти векторов u(ft+1) и u(ft), и, во-вторых, его скорость сходи-
сходимости, определяемая величиной /г2, мала. Главная причина,
по которой мы провели указанный выше анализ, состоит в том,
что этот метод служит основой для изучения других методов,
в частности метода верхней релаксации. Точно таким же путем
мы можем выполнять итерации Якоби для блочных матриц и
вычислять одновременно щ компонент вектора и, например,
с помощью метода исключения для системы с трехдиагональ-
ной матрицей. Для рассматриваемых конечно-разностных урав-
уравнений этот метод тоже сходится со скоростью, определяемой
теоремой, аналогичной теореме 5.10.
5.3.5. Итерации Гаусса — Зейделя и верхняя релаксация.
В обозначениях п. 5.3.3 компоненты u\k+l) итераций Гаусса —
Зейделя определяются формулой
2 ar iuf+^ + ar Xft+1)+ S аг ,и?>=Ь, г= 1, ..., N. E.3.12)
(И ' ' i-r-j-l

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений 313
Здесь в противоположность E.3.7) новое приближение r-й не-
неизвестной в г-м уравнении вычисляется с использованием
в качестве (г—1) первых компонент вектора его новых значе-
значений вектора и№+1). Вследствие этого мы снова имеем соответ-
соответствие между г-м уравнением и r-й неизвестной и, кроме того,
некоторый циклический порядок вычисления компонент «<*:+1).
Мы выписали уравнения E.3.12), предполагая этот циклический
порядок совпадающим с естественной нумерацией неизвестных.
Если бы мы вычисляли компоненты в ином порядке или пере-
перенумеровали неизвестные, то получили бы метод, отличный от
E.3.12); такие варианты метода Гаусса — Зейделя мы не будем
рассматривать.
Метод верхней релаксации получается из итераций Гаусса —
Зейделя введением параметра ©. Для этого определим
ы(*+1) = ©«№+!) + A - ©) Ы<*>, E.3.13)
а вспомогательная компонента «J.ft+1) получается в результате
одного шага итерации Гаусса — Зейделя, т. е. удовлетворяет
уравнению
г-1 N
Tl n /((*+!) 4- л й(*+1) 4- T1 п н№) /) (^ Ч 14Л
ZJ "r ;"j T a^ rUp. T ^J Ur ;И\ — Or. ^O.O.l^iJ
(=1 ' ' (=Г+1 '
Параметр © вводится для увеличения скорости сходимости
итерационного процесса. Этот метод был предложен Фран-
келом [1950] и Янгом [1954] и обобщен другими авторами.
Основные результаты изложены в работе Варги [1962] и будут
использоваться нами в последующем изложении.
Исключая вспомогательные переменные п(гш) из E.3.13) и
E.3.14), можно переписать формулы верхней релаксации в тер-
терминах компонент u\k):
1-1
JV
+ 2 ar,iu? = br' r=l,...,N, E.3.15)
Так как при © = 1 получаются итерации Гаусса — Зейделя,
то мы будем исследовать оба метода одновременно. В терминах
матриц метод верхней релаксации выглядит так:
(p+-i-D)u<ft+1> + [(l --^-) D + Q] u<*> = Ь
или
= Н (©) и* + (Р + \ d)"' Ь,

314 Гл. 5. Эллиптические уравнения
где
Этот итерационный метод сходится тогда и только тогда,
когда р(Н («>))< 1, иными словами, когда абсолютные значения
всех корней уравнения
меньше единицы.
В практической работе более удобно использовать достаточ-
достаточные условия сходимости, например условия, сформулированные
в двух следующих теоремах.
Теорема 5.12. Если матрица А — неприводимо диагонально
преобладающая, то итерации Гаусса — Зейделя сходятся.
Доказательство. См. Варга [1962].
Теорема 5.13. Если матрица К — симметричная, неособен-
неособенная и все ам >0, то метод верхней релаксации сходится тогда
и только тогда, когда А положительно определенная и О < со < 2.
Доказательство. Теорема 5.13 является несколько ме-
менее общей, чем теорема Островского [1954] для частного слу-
случая ©=1, доказанного Райхом [1949]. (Доказательство тео-
теоремы 5.13 см. в работе Варги [1962].)
Эти две теоремы обеспечивают сходимость метода верхней
релаксации для рассматриваемых систем конечно-разностных
уравнений, в том числе и для бигармонического уравнения.
По сравнению с итерационным методом Якоби метод верхней
релаксации имеет то преимущество, что требуется хранить
в памяти только один вектор-приближение, так как старые
компоненты можно тут же заменить новыми.
Как было отмечено ранее, главная цель введения пара-
параметра © состоит в улучшении скорости сходимости. Хотя метод
верхней релаксации сходится для относительно широкого класса
матриц, можно достичь заметного увеличения скорости сходи-
сходимости подходящим выбором © только для матриц специального
типа. Для изучения этой проблемы введем
Определение 5.3. Матрица В будет называться слабо
циклической индекса 2, если существует матрица перестано-
перестановок Т (т. е. квадратная матрица, все элементы которой равны О,

5.3. Решение конечно-разностных уравнений
315
за исключением одного элемента, равного 1, в каком-нибудь
одном столбце или строке), такая, что ТВТ* имеет вид
Го в,,2]
I в2,, о J •
Здесь нули обозначают квадратные матрицы.
Определение 5.4. Матрица А будет называться 2-цикли-
ческой, если матрица якобиевых итераций В= — D~'(P + Q),
соответствующая А, является слабо циклической индекса 2.
Определение 5.5. Будем называть 2-циклическую матри-
матрицу А согласованной, если для а=^0 все собственные числа
В (а) = — <zD~ P —- D~ Q не зависят от а. В этом случае мат-
матрица В также будет согласованной.
Системы конечно-разностных уравнений для эллиптических
уравнений второго порядка имеют, как легко видеть, 2-цикли-
Рис. 5.16. Перенумерация узлов
Рис. 5.17. Схема умножения
компонент'вектора и
ческие согласованные матрицы. Применение матрицы ТАТ* пред-
представляет собой перенумерацию неизвестных и соответствующее
изменение порядка уравнений. Если перенумеровать значения
искомого решения, как показано на рис. 5.16, то матрица А
будет 2-циклической. Для проверки того, что А будет также
согласованной, мы используем произвольное собственное число Я
матрицы В и соответствующий собственный вектор и. Умноже-
Умножение компонент вектора и, соответствующего узлу (/A, kh), на а'~к
(см. рис. 5.17) дает вектор и (а), который будет собственным
вектором В (а) для собственного числа К так как матрица В (а)

316 Гл. 5. Эллиптические уравнения
связывает только неизвестные, соответствующие узлам, которые
являются соседними для одной точки сетки. Таким образом,
К не зависит от а. Для согласованной 2-циклической матрицы
связь между собственными числами итерационной матрицы В
метода Якоби и матрицей Н (©) метода верхней релаксации
устанавливается в следующей теореме:
Теорема 5.14. Пусть к —согласованная 2-циклическая
матрица с ненулевыми элементами аи,-, /=1, ..., N. Если
© Ф О, "л (<о) есть ненулевое собственное число матрицы Н (со),
а К удовлетворяет уравнению
fo(©) + ©- 1]2 = ti(<o)(o2A2, E.3.16)
то X будет собственным числом соответствующей итерационной
матрицы метода Якоби В= —D~'(P + Q). Обратно, если К —
собственное число матрицы В и г\(а>) удовлетворяет E.3.16),
то tj (со) будет собственным числом Н (со).
Доказательство. См. Варга [1962],
Таким образом, при ©=1 имеем г\(\) = К2. Вообще, соотно-
соотношение E.3.16) позволяет нам решить задачу об оптимальном
выборе ©. Для относительно широкого класса систем уравне-
уравнений, включающего рассматриваемые нами конечно-разностные
уравнения, имеем следующее утверждение:
Теорема 5.15. Пусть все собственные значения Kt матрицы В
вещественны и по абсолютной величине меньше единицы. Тогда
значение ©, для которого р(Н ((о)) = тах| %(©) |, будет мини-
i
мальным и определяется формулой
E.3.17)
Н KPt)) = ,_maxw | лг (<oopt) | = coopt-1 = j^^ggj- • E-3.18)
Доказательство. См. Варга [1962].
Отсюда непосредственно следует, что 1< ©opt < 2 и потому
Р(Н(Юор0)<1.
Важный практический аспект приложения метода верхней
релаксации касается выбора параметра ©opt. Рис. 5.18, отра-
отражающий зависимость р(Н (©)) от ©, показывает, что в точке ©opt
производные кривой слева и справа равны бесконечности и
единице соответственно, так что желательно оценить ©opt сверху.

§ 5.3. Решение конечно-разностных уравнений
317
Удобный прием, приводящий к удовлетворительной оценке
для ©opt, состоит в том, что, начиная с ©=1, используется
процесс
где р(НA)) = р2(В), y<w = u<ft+1)-u<ft), а затем используется E.3.17).
(См. также Вахспресс [1966] и Хагеман, Келлог [1968].)
Метод верхней релаксации может привести к значительному
увеличению скорости сходимости, поскольку р(В)<1-М/г2
влечет р(Н (©opt) )^ 1 — M\h, a Mi не зависит от h.
Теорема 5.16. Решение конечно-разностных уравнений
задачи Дирихле методом верхней релаксации, т. е. решение
системы E.2.9) и E.2.14), образует при а=A, 1, ...) или
а = ( —1, —1, ...) и Ь = (\, 1, ...) щ-Ь-последовательность
численных процессов в максимальной норме.
Доказательство. Так как все элементы матрицы
+ ^ DJ~' [Q + (l ~"^)D] неотрицательны для 0<©<1,
то доказательство совпадает с доказательством теоремы 5.11.
Рис. 5.18. Зависимость р(Н (а)) от а
Если ©>1, то матрица Н(©) перестает порождать неотри-
неотрицательные элементы и исследование устойчивости становится
более сложным; мы не будем обсуждать здесь этот вопрос.
Отметим еще, что итерации Гаусса — Зейделя, так же как
метод верхней релаксации, можно применять к блочным матри-
матрицам. Теоремы 5.14 и 5.15 остаются справедливыми, но В сле-
следует, конечно, интерпретировать как матрицу блочных итера-
итераций метода Якоби, Этот метод используется довольно часто.

318 Гл. 5. Эллиптические уравнения
9
§ 5.4. Вариационные методы решения краевых
задач
5.4.1. О проблеме оптимальной аппроксимации. В гл. 4 мы
изучили некоторые экстремальные .свойства положительно опре-
определенных краевых задач и некоторые численные методы, осно-
основанные на этих свойствах. Хотя развитая там техника отно-
относилась к решению краевых задач для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, очевидно, она применима и в более общих
случаях. Теоремы § 4.6 легко переносятся на многомерные
задачи и могут быть использованы для выбора координатных
функций. Мы не будем рассматривать здесь эти вопросы.
Конкретный выбор подходящих координатных функций на-
наталкивается, естественно, на некоторые трудности, так как даже
для относительно простых уравнений определение собственных
функций краевой задачи в более сложной области представ-
представляет собой нетривиальную задачу. Очевидно, что лишь в ис-
исключительных случаях удается отобразить заданную область
определения на область специального вида, например круг или
квадрат, для которых собственные функции некоторых типов
краевых задач уже известны.
5.4.2. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа
методом оптимальной аппроксимации в 3>{YA , L). Рассмотрим
решение уравнения
Д« = /
с краевым условием « = 0 на Г. Пусть ®(L)') обозначает ли-
линейное многообразие всех функций, обращающихся в нуль на Г
и имеющих в Q непрерывные производные второго порядка.
Пространство &>{Y~A~, L) будет полной оболочкой &>(L), если
скалярное произведение определить следующим образом:
и dv , ди d
В п. 4.6.4 было показано, что в случае краевой задачи для
обыкновенного дифференциального уравнения подходящий вы-
выбор координатных функций приводит к методу оптимальных
аппроксимаций в 3){У~А, L), совпадающему по существу с ме-
методом конечных разностей.
') Как и в п. 4.6.2, условие « = 0 на Г мы будем записывать в виде
L (и) = 0.

§ 5.4. Вариационные методы решения краевых задач
319
Будем предполагать, что граница области Q образована ли-
линиями сетки. Тогда, очевидно, что 'Q(W = °Q(« (см. п. 5.2.4).
Покажем, что при соответствующем выборе координатных функ-
функций даже в двумерном случае метод конечных разностей со-
совпадает с методом оптимальной аппроксимации в Q){\f A , lA
Начнем с треугольной сетки. В качестве координатных функ-
функций выберем функции vkt s(x, у), соответствующие одному узлу
Ifa-i.iM
Рис. 5.19. Линии уровня Vk, s U. У)
(xki ys) сетки, описанному в п. 5.2.3 (р = 1, г = 0); метод конеч-
конечных разностей совпадает тогда с методом оптимальной аппро-
аппроксимации в @){Y A , U в том смысле, что система линейных
уравнений для определения коэффициентов с/п) (см. § 4.6) бу-
будет иметь ту же самую матрицу, что и метод конечных разно-
разностей, а правые части будут отличаться членами более высокого
порядка.
Рассмотрим теперь квадратную сетку. В качестве коорди-
координатных функций выберем функции vki s(x, у), соответствующие
одному узлу (xk, ys) сетки, линии уровня которой показаны
на рис. 5.19; снова метод конечных разностей будет совпадать
с методом оптимальной аппроксимации в 3(YA , t) в том же
смысле, что и в случае треугольной сетки.
5.4.3. Метод Канторовича. В § 4.6 было установлено, что
метод оптимальной аппроксимации в 3b{\ A, L) состоит в ми-
минимизации разности
I
ио(х, У)-
%
(х, у)

320 Гл. 5. Эллиптические уравнения
где ио(х, у) — точное решение поставленной задачи. Если область
определения имеет специальный вид, например будет прямо-
прямоугольником, то можно выбрать последовательность функций
Vi(y) и минимизировать выражение
E.4.1)
ио(х, y)-^
в классе всех функций ср^х, для которых
Таким образом, поставленную краевую задачу можно свести
к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений и решить методами гл. 4. Эту же технику можно
применить для вывода часто встречающихся на практике урав-
уравнений, которые получаются иным способом.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу об изгибе балки.
Соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение
получается из E.4.1) при п= 1 и подходящем выборе функ-
функции Wj (у). В качестве точного решения задачи об изгибе балки
выберем решение соответствующей двумерной краевой задачи
математической теории упругости. Наиболее важный вопрос
состоит в выборе функции Vj(y). Задача оптимального выбора
функции Vj(y) снова может быть сформулирована по аналогии
с рассмотренными ранее случаями оптимизации (см. Бабушка
и Прагер [1960], Бабушка [1962]).

Глава б
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Как и в предыдущих главах, мы ограничимся линейными
задачами, так как общей теории нелинейных уравнений пока
не существует, хотя метод конечных разностей можно приме-
применять во многих отдельных случаях. Вообще говоря, трудности,
возникающие при численном решении дифференциальных урав-
уравнений параболического типа, не отличаются от трудностей,
с которыми мы сталкиваемся в случае эллиптических уравне-
уравнений. Единственное отличие состоит в том, что уравнения пара-
параболического типа содержат одну независимую переменную,
а именно время, по отношению к которой задача носит харак-
характер задачи с начальными условиями, в то время как по всем
другим независимым переменным она имеет характер краевой
задачи. В связи с этим соответствующие разностные схемы
будут рекуррентными по временной переменной, и можно ска-
сказать, что методы численного решения параболических уравне-
уравнений лежат на границе между методами решения задач с началь-
начальными условиями и краевых задач.
§ 6.1. Конечно-разностный метод
для одномерных задач
6.1.1. Разностные уравнения. Пусть R — множество точек
(х, t), такое, что 0<л:<1, 0<t<T, и пусть в R дано диффе-
дифференциальное уравнение
L(u;x,t) = f(x,t), F.1.1)
где
L(u;x,t) = c(x, t)%—§;(p(x,t)%) + q(x,t)u;
пусть, кроме того, задано начальное условие
u(x,'0) = g(x), 0<х<1, ' F.1.2)
и краевые условия
«((U) = Y@)(a u(l. f)-YA)C). 0<t<T, F.1.3)

322 Гл. 6. Параболические уравнения
в случае первой краевой задачи (Дирихле) или
l°(u; 0 = Y°@. /A)(«; 0 = YA)@. 0<f<7\' F.1.4)
где
/«» (и; t)=-p(О, 0 а» (°' ° + р«» @и@, t), 0<t<T,
в случае второй (Неймана) или третьей (Ньютона) краевых
задач. Будем предполагать, что функция р(х, t) непрерывна
в R и непрерывно дифференцируема по х в R, q(x, t), c(x, t)
и f(x, t) непрерывны в R,
0<р0<р(х, t)^plt О<со<с(.х, 0<с,, „...
g(jc) непрерывна на отрезке [0, 1], р(/) @. Yw @. ' = 0* 1, непре-
непрерывны на отрезке [0, Г] и либо
для второй краевой задачи, либо
для третьей краевой задачи.
Покроем область R прямоугольной сеткой, образованной
точк.ами (xk, t[), xk = kh, t[ = lx, k = 0, 1 n, 1 = 0, 1, ..., r,
h= 1/n, х = Т\т. Система разностных уравнений для F.1.1) вы-
выводится из интегрального тождества по аналогии с п. 4.3.2.
Заменяя в тождествах Марчука D.3.3) и D.3.4) функцию f(x)
на с(х, t)-jr- — f{x, t) и интегрируя в пределах ^ и th получим
'/ '/ .
f U (Xk+l, t) — U (Xk, t) ,, f U (Xk, t) — U (Xk-l, t) ,,
_ dt — :—'- dt =
J xk+l J xk
h-\ f dx *i-i [ dx
J p{x,t) J p(x,t)
xk . xk-i
'• Xk+V2 U Xk+l
= \dt \ K{u\x,t)dx+\——^ f -/V f K(u;s,t)ds-
J J J k+l J P \X, I) J
'"' J jjiwk шп
Vl/2
xk
J K{u; s, t)ds, F.1.7)

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 323
где
К (и; х, t) = q(x, t)u + c(x, t)-%j--f(x, t) и
tl-1
t,
= J -~ [« (xu t)-u (Jco> 0- J ~j) J К (и; s, t) ds\,
J p(x. t)
F.1.8)
и аналогичное уравнение имеем при х— 1.
Вычисляя интегралы в F.1.7) и F.1.8) с помощью квадра-
квадратурных формул
A-а) Ф (*,_,)],
/-1
(здесь a, 0< a <: 1, —параметр)
xk+i
dx h С dx
Г _rf
' J Ф
J ф(л:) dx « ЛфЦ), / -^^У" / *(s)ds - 0,
ft-1/2
Xk*l
Г d
J Ф
xk
J Ф(
*n-i
X
Xk+ll2
X
Xk-1
\
" ФК-1/2)
. xk-m
xo
Ф л»,

324 Гл. 6. Параболические уравнения
получим для приближенных значений и£> функции u(xk, t^ си-
систему разностных уравнений
k=\, 2 n-1, /=1,2 г, F.1.9)
где
>, («<<>) = [ас (х4, 0 + A - а) с (*4, *,_,)] ^^ -
- -§- [р (xk.l/2, t{) «<», - [p(xk_1/2, t{) + p (хм/£)] u
Начальные условия принимают следующий вид:
uf = g{xk)> k = 0> 1 я. F-1.11)
а краевые условия записываются так:
«<« = Y«»(y, ")» = Y(I)('z). /=L 2 r- FЛ-12)
для первой краевой задачи и
Лс^ ^ ';) + у h A - а) / (х0, fw) +
+ aY@)W + (l-a)Y@)(^-.), j
')+Ad«)/(* ') +
/=1,2 r,
где
l ua)-u(bl)
£• ? КО = у ^ [ас (xo, U) + A - а) с (х0, /,.,)] ° T° -
-a[p(x1/2, tl)U-^-
I
- A - a) [p (xm, /,_,
| l , F.1.14)
U(l-U _ Ud-D

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 325
1
i: ? Ю = jh[ac(xn,tl) + (l-a)c (*„, *,_,
« [р (xn-v2, U) "" ,"-
( /) " "-'
+ у
. У «j? + ~ Л A - а) ц (хя. *,_,) ««{-«
для второй и третьей краевых задач.
Разностные уравнения F.1.9)— F.1.14) записаны несколько
иначе, чем в гл. 4, где соответствующие разностные операторы
действовали на точное решение дифференциального уравнения
с остаточными членами в правых частях. Это объясняется тем,
что в случае параболических уравнений следует различать по-
порядок аппроксимации в случаях а =1/2 и а Ф 1/2. Наконец,
изучение сходимости конечно-разностных методов становится
более сложным и требует более точных оценок остаточных чле-
членов. Эти оценки будут приведены в теоремах 6.1 и 6.2.
Использование других квадратурных формул для вычисле-
вычисления интегралов в F.1.7) и F.1.8) дает аналогичные схемы.
Поэтому в дальнейшем мы будем иметь дело только с F.1.9)
и соответствующими краевыми условиями, поскольку исследо-
исследование других схем, полученных из тождеств F.1.7) и F.1.8),
проводится аналогично.
Полагая а = 0 в F.1.9) и F.1.13), получим так называемую
явную формулу, позволяющую вычислять значения искомой
функции и<р на /-м временном шаге по известным значениям
на (/— 1)-м шаге. Соответствующий численный процесс опреде-
определяется прямо формулой F.1.9); в этом несомненное преимуще-
преимущество явного метода. С другой стороны, в п. 6.1.2 будет пока-
показано, что для сходимости процесса необходимо наложить неко-
некоторые ограничения на относительные величины временного шага т
и пространственного шага Л, и это иногда может привести
к значительным осложнениям. Полагая в F.1.9) а= 1, мы полу-
получим формулу, свободную от этого недостатка, которая, однако,
будет уже неявной, т. е. для вычисления uf на 1-м временном
шаге, необходимо решить систему п — 1 или п + 1 линейных
уравнений; следовательно, численный процесс, приводящий
к искомому решению, будет более сложным по сравнению
с явной формулой. При а = 1/2 мы также получаем неявную
формулу, но без ограничения на относительные величины про-
пространственного и временного шагов; это хорошо известная
формула франка — Николсощ.

326 Гл. 6. Параболические уравнения
Далее, рассмотрим локальную точность операторов из F.1.9)
и F.1.13), т. е. погрешности, возникающие в том случае, когда
эти операторы действуют на точное решение дифференциаль-
дифференциального уравнения F.1.1) с соответствующими краевыми усло-
условиями.
Теорема 6.1. Пусть и(х, t) —решение дифференциального
уравнения F.1.1) с начальным условием F.1.2) и краевыми
/с- 1 о\ /с 1 а\ дс да д2р д3и -.
условиями F.1.3) или F.1.4); пусть -^-, -^-, -^ и -^ удо-
удовлетворяют в R условиям Липшица по х, и пусть с, q, p@), рA), р,
-£- и -^- удовлетворяют в R условиям Липшица по t. Тогда
существуют функции v{(t), / = 0, 1-, удовлетворяющие условиям
Липшица и такие, что
La?t («(xk, U)) = o.L {и; xk, U) + A - a) L (u; xk, /,_,) + O(x + h\
k= 1, 2 n- 1, 1=1, 2 r,
'?(«(*, U)) = \h[a.L(u; i, /,) + (l-a)L(U; i, /,_,)] +a/O («; /,)+
+ A - a)/<'> (и; /w) - [00,@ + A - a) 0| (/w)] h2 + 0 (xh) + О (Л3),
/ = 0, 1, 1= 1, 2 r.
Теорема 6.2. £сли выполняются предположения теоремы 6.1
, дс да ав(°) арО Зр дгр д2и
и, кроме того, функции -^, -£-, -^-, ^-, ¥, ¥ и ж
удовлетворяют условию Липшица по t, то существуют функ-
функции vt(t), i = 0, 1, удовлетворяющие условию Липшица и такие,
что
L№(u(xk, tt))=±L(w, xk, td + jLiu; xk, /ы) + О(т2 + Л2),
k=\, 2 п- 1, /=1, 2 г,
U:т/2) («И, tt)) = у Л [1L (и; i, ti) + jL (и; i, /,_,)] +
+ О(т2Л) + О(Л3), / = 0,1, /=1,2 r.
Замечание. Из теории дифференциальных уравнений
известно, что решение будет иметь требуемую степень глад-
гладкости, если заданные начальные и краевые условия достаточно
гладки, а в точках @, 0) и A, 0) выполняются некоторые
условия,

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 327
6.1.2. Сходимость метода конечных разностей. Пусть и(х, f)
будет решением дифференциального уравнения F.1.1) с началь-
начальным условием F.1.2) и краевыми условиями F.1.3) или F.1.4),
и пусть через uf обозначено решение разностных уравнений
F.1.9) с начальными условиями F.1.11) и краевыми условиями
F.1.12) или F.1.13). Получим теперь оценку для разностей
^ = uf— u{xk, t^, для которых по теоремам 6.1 и 6.2
1ТЛО = ъ1-1)> *"!• 2 "-1- /=1' 2 г' FЛЛ5>
т,(о) = о, 6 = 0, 1 п,
л(« = т,(» = 0 /=12 г F.1.16)
"о "п • ' ' • • •' »
или
цо, а) до») = e(W) + а6« + A - а) 6«-»,
F!17)
/=1,2 г,
где
е<:> = О(т + Л2), *=1, 2 я-1, / = 0,1 г-1,
ejj) = О (тЛ) + О (Л3), e<J> = О (тА) + О (Л3), 1 = 0, 1 г —1, F-1.18)
/ = 0, 1, / = 0, 1 г,
или для а = 1/2
е« = О(т2 + Л2), Л=1, 2 я-1, / = 0,1 г-1,
е(« = О(т2Л) + О(Л3), е« = О(т2Л)+О(Л3), / = 0, 1 г-1, С6-1-19)
bf=vi(tl)h2, 1 = 0, 1. / = 0.1 г.
Мы должны оценить решение в зависимости от величины
правой части. Эти оценки мы установим в нескольких теоремах
только для наиболее сложного случая третьей краевой задачи.
Как следует из доказательства этих теорем, они будут спра-
справедливыми также и для других краевых задач с некоторыми
ограничениями, указанными ниже.
Теорема 6.3. Пусть коэффициенты заданного дифферен-
дифференциального уравнения и краевые условия удовлетворяют нера-
неравенствам F.1.5) и F.1.6), и пусть
а = 0, а г\^> представляет решение F.1.15) с произвольным
начальным условием tj® и краевыми условиями F.1.17), в

328 Гл. 6. Параболические уравнения
которых bf* = О, / = О, 1, / = О, 1, ..., г. Тогда существует по-
постоянная Мь не зависящая от h и т, такая, что
max I
ft-O, 1, ...,/.'
, I p(v)I I p(v)I ,
UV. max \^\,ЩА +
^M, max max , , |
v=O, 1 l~l V h 4-1.2 n-l
+ max |т|»>| F.1.21)
4 = 0, 1, .... n1 '
(Эля / = I, 2, ..., r.
Доказательство. Перепишем F.1.15) и F.1.17) в виде
Л _ JL P
A2
=1, 2 я-1, /=1,2 г, F-1.22)
(О /,_ т 2р (x1/2, ff.,) + 2/ф (/,_,) + йу (х0< /,_,) \
о "I1 А2 (/) /Ло
А2 ,)
I 2т Р(ХЧ2<<1-^ «-и ■ 2т e(/-i) /=19 г F 123)
Аналогичные выражения выписываются на другом конце.
В силу F.1.20) утверждение теоремы становится теперь оче-
очевидным.
Опираясь на теорему 6.3, можно доказать, что рассматри-
рассматриваемая разностная формула сходится при а = 0. Но для того
чтобы получить возможную оценку погрешности, необходимо
улучшить оценку F.1.21).
Теорема 6.4. Предположим, что коэффициенты заданного
дифференциального уравнения удовлетворяют условиям глад-
гладкости теоремы 6.1 и выполняются сооотношения F.1.5), F.1.6)
и F.1.20). Пусть а = 0, i\® будет решением разностного уравне-
уравнения F.1.15) с начальным условием F.1.16) и краевыми усло-
условиями F.1.17), a ef = O для k = 0, 1, ..., п, I = 0, 1, ..., г- 1.
Тогда существует постоянная М2, не зависящая от h и т,
такая, что
max |#|<А1. max max(|&&v)|, |6(,v)|).
fc~0, 1, ...,n' ' v=0, 1, ..., l-\
Для доказательства теоремы 6.4 и дальнейших исследова-
исследований нам потребуются две леммы,

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач
329
Лемма 6.1. Если выполняются неравенства F.1.5), F.1.6)
и F.1.20), а для дискретных функций %f и ц^ — неравенства
\r\f\<%fK k = 0, I, .... п, и
k=l, 2, . ,., п-\, 1=1, 2, .... г, i = 0, 1, то
|Т1("|^%f> k = 0, \, ..., п, I = 1, 2, ..., г.
Доказательство. Эта лемма прямо следует из F.1.20)
и соотношений, аналогичных F.1.22) и F.1.23).
Лемма 6.2. Пусть коэффициенты дифференциального урав-
уравнения удовлетворяют условиям гладкости теоремы 6.1 и выпол-
выполняются неравенства F.1.5) и F.1.6). Для 1 = 0, 1, ..., г пусть
cpf будет решением системы уравнений
Р (**-1/2. '/) ф"-1 - [К**-1/2. '/) + Р
=1. 2 «"
F.1.24)
h
F.1.25)
Тогда существует постоянная М3, не зависящая от h и т и
такая, что
max
max
*«=!, 2, ..., п
„(О _
Фа
ф*-1
М3 max A6« \, \ 6«> |),
max
=о, 1, ....
^Мзтах
Доказательство. Легко проверить, что решение си-
системы F.1.24) с краевыми условиями F.1.25) можно записать
в виде
v-l

330 Гл. 6. Параболические уравнения
где
Утверждение леммы теперь очевидно.
Доказательство теоремы 6.4. Выберем фиксирован-
ное /, 1^/<г, и положим
6?= max Uv)|, 8?'= max
v-o, l,.... г-i v-o, i,..., г-i
Пусть %w будет решением системы
7(о) = о, Л = О, 1 п.
Тогда по лемме 6.1
так что достаточно оценить у}£>. Пусть %^ = ф^ + Ир£\ где ф^
удовлетворяет разностному уравнению F.1.24) с краевыми
условиями -
— уравнениям
h {') Фа"ф&"
= - (т hc {х»»'-
т hc {х»»'-') т+ т
Теорема 6.3 дает оценку для решения последней системы. По
лемме 6.2 существует такая константа М4, что
max |4f |<М4тах(|6(»|, |9f|)..
Поэтому снова в силу леммы 6.2 и определения чисел 6г утвер-
утверждение теоремы будет справедливым.
Сходимость разностного метода при а = 0 рассматривается
в следующей теореме;

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 331
Теорема 6.5. Предположив, что коэффициенты диффе-
дифференциального уравнения и краевые условия удовлетворяют усло-
условиям гладкости теоремы 6.1 и неравенствам F.1.5), F.1.6) и
F.1.20). Пусть и обозначает решение дифференциального урав-
уравнения F.1.1) с начальным условием F.1.2) и краевыми усло-
условиями F.1.4), и пусть uf> будет решением разностного уравнения
F.1.9) с начальным условием F.1.11) и краевыми условиями
F.1.13). Тогда при а = 0 существует постоянная Мь {не завися-
зависящая от h и т), такая, что
\uf-u(xk, tl)\<M5(t + h2).
Доказательство. Так как погрешность т^ = и^ —
— u(xk, t[) удовлетворяет F.1.15) —F.1.17), то утверждение тео-
теоремы следует прямо из теорем 6.1, 6.3 и 6.4.
Рассмотрим сходимость метода при а= 1/2 и а= 1; оба случая
можно проанализировать одновременно. Мы снова получим
оценки для решения F.1.15) при соответствующих краевых усло-
условиях. Основная идея нашего подхода, восходящего к М. Лизу
[1959], [1960], была развита А. А. Самарским [1961а], [19616],
[1962а]. Прежде чем переходить к основным теоремам, дока-
докажем несколько лемм.
Лемма 6.3. Пусть р (х) — произвольная функция, опреде-
определенная на отрезке [0, 1], a yk и zk — произвольные дискретные
функции, определенные для k = 0, 1, ..., п. Тогда
F {Р (**-i/a) Ук-i ~ [Р (Vi/j) + P OW)] Ук + Р (**+i/s) Уш) Ч =
F.1.26)
Доказательство. Равенство F.1.26) проверяется сум-
суммированием по частям.
Лемма 6.4. Пусть g(t) — непрерывная функция с непре-
непрерывной производной на [0, Т] и g(t)^go>O, lg'@Kgi-
Тогда для произвольной дискретной функции у(Л и произволь-
произвольного а, 1/2 <а< 1,
.1.27)

332 Гл. 6. Параболические уравнения
Доказательство. В силу предположений относительно g
)]1/2. FЛ.28)
т
Отсюда следует, что
,)]'/2. F.1.29)
Неравенства F.1.28) и F.1.29) дают теперь
<Ba- l + a|t)
откуда вытекает F.1.27).
Лемма 6.5. Пусть коэффициенты р(х, t) и pw@ диффе-
дифференциального уравнения и краевых условий удовлетворяют не-
неравенствам F.1.5) и F.1.6). Тогда для произвольной дискретной
функции %<£>
{%fJ<M6D(%V), F.1.30)
где М6 — постоянная, не зависящая от h и т, и
« _ у«
^1
F.1.31)
Доказательство. Утверждение леммы легко доказы-
доказывается применением неравенства Шварца к тождеству
к <п <п п. а\ а\
у@ = — у«) -I у@ .
*.4 2 *0 2 А"
v=l v=ft+l
Теорема 6.6. Предположим, что коэффициенты дифферен-
дифференциального уравнения и краевых условий удовлетворяют усло-
условиям гладкости теоремы 6.1 и выполняются неравенства F.1.5)
и F.1.6). Пусть x\f обозначает решение F.1.15) для произволь-
произвольного начального условия г\^ и краевых условий F.1.17) с bf = О
(/ = 0, 1), и пусть 1/2^а<1 1. Существует константа М7, такая,
что
max hi0 К
*-о, 1, ■
г-i / n-i \ 11/2
[
V-Q \ Ц-\

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач
333
Доказательство. Умножим F.1.15) для k= 1, 2, ..., п— 1
последовательно на h(r\f — njjf"") и просуммируем от k=\ до
k = n— 1. Применяя лемму 6.3 к результирующему тождеству
и используя краевые условия F.1.17), получим
(l-a)c(jc0, *,-,
ti(/
°
° ° J
где D^ =
/tiw-ti('-1)\2I
Jcn> /,) + A - a) с (jcn> /,_,)] ( '" T'" j j + aD«> =
= (l-a)D«-')+Q« + /?«, F.1.32)
f) (cm. F.1.31),
- т Л N К. *д € + 0 - «
Начнем с оценки для /?(П. В силу условий гладкости, нало-
наложенных на р и р@, а также в силу неравенств F.1.5) и F.1.6)
все предположения леммы 6.4 выполнены. Поэтому
±Bа-
R(/-l) I
F.1.34)

334
Гл. 6. Параболические уравнения
Чтобы оценить Qw, рассмотрим очевидное неравенство
2/y + \v2
uv \
F.1.35)
справедливое для любого у>0. По F.1.35)
*. 'К
ч - щ
«-1) \2
)
^g.
Продолжая аналогичные выкладки для оценки оставшихся вы-
выражений в F.1.33), получим
- a) с (jcft> /M
т Л [ac (xn, t,) + A - a) C(jcn> /,_,)] [ " T " ~J j +
^ra f t Л WJ+
*-i
n-l
откуда по F.1.30)
° ° j
')_.»-i)V
+ - h [ac (jc, *,) + A - а) с Un, /,_,)] ( ■ ТЛ" J j +
Afe( 1 - a) tDC-" + Af 10tA
n-l

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач
335
Выведем, наконец, оценку для правой части F.1.34). Из не-
неравенства F.1.35) сразу следует, что
hca Го
a-DI2.
1
т Л [ас (хп,
-a)c (хп, /,_,
F.1.37)
Подставляя F.1.34), F.1.36) и F.1.37) в F.1.32), получим
Так как [A + аМ,,т)/A -аМ,,т)]'<Л: ехрBаМмГ) для / =
= 0, 1, ..., г, где К — не зависящая от т константа, то
Отсюда, а также из леммы 6.5 вытекает утверждение теоремы.
Теорема 6.7. Пусть в предположениях теоремы 6.6 т^
будет решением уравнения F.1.15) с начальным условием
F.1.16) и краевыми условиями F.1.17) с е^ = 0, k = 0, 1 п,
1 = 0, 1, .... г— 1, и пусть 1/2<!a<:i. Тогда существует кон-
константа М14, такая, что
М
, (v) 12 I , (v) 12
Oo I Oi
max
6(v+l)_6(v)
Т:
F.1.38)
Доказательство. Пусть
где (f>f — решение уравнения F.1.24) с краевыми условиями
F.1.25) (см. лемму 6.2). Для доказательства неравенства F.1.38)
достаточно получить оценку ijjW, используя теорему 6.6 и
лемму 6.2. Делается это так же, как и при доказательстве
теоремы 6.4; единственное отличие состоит лишь в том, что

336 Гл. 6. Параболические уравнения
правые части краевых условий для функций ф^ зависят от верх-
верхнего индекса.
Оценим теперь погрешность рассматриваемых разностных
формул для 1/2 ^а^1. Так как в этом случае погрешность
удовлетворяет уравнениям F.1.15) с краевыми условиями F.1.17)
и F.1.18) или F.1.19), то из теорем 6.6 и 6.7 сразу же вытекает
Те о р е м а 6.8. Предположим, что коэффициенты дифферен-
дифференциального уравнения и краевых условий удовлетворяют усло-
условиям гладкости теоремы 6.1 и выполняются неравенства F.1.5)
и F.1.6). Пусть и(х, t) обозначает точное решение дифферен-
дифференциального уравнения F.1.1) с начальным условием F.1.2) и
краевыми условиями F.1.4), ukl) — соответствующее приближен-
приближенное решение и 1/2^а^1. Тогда существует константа уИ15,
такая, что
\uf-u(xk, *,)|<М15(т + Л2).
Если к тому же выполняются предположения теоремы 6.2 и
а = 1/2, то
\uf-u(xk, ^)|<М16(т2 + Л2),
где М16 —постоянная.
Настоящий раздел был целиком посвящен вопросам сходи-
сходимости приближенного решения третьей краевой задачи для диф-
дифференциального уравнения F.1.1). Все доказанные выше теоремы
остаются справедливыми и для других краевых условий и их
произвольных комбинаций, например в том случае, когда на
одном конце отрезка записывается краевое условие первого типа,
а на другом конце — условие третьего типа; исключение соста-
составляет лишь вторая краевая задача. Это связано с методом
доказательства, а именно с использованием решения «стацио-
«стационарной задачи» (см. лемму 6.2), ибо такие решения не суще-
существуют для второй краевой задачи.
Этот раздел мы закончим сравнением полученных резуль-
результатов. Для явной формулы сходимость была доказана только
в предположении, что связь между шагами по временной и
пространственной переменным описывается неравенством F.1.20).
Для сходимости существенно, чтобы это неравенство было вы-
выполнено; мы проиллюстрируем это обстоятельство простым при-
примером.
Пусть требуется найти по явной разностной схеме прибли-
приближенное решение первой краевой задачи для уравнения F.1.1)

§ 6.1. Конечно-разностный метод для бдномерных задач 337
с нулевыми краевыми условиями и с = р=\, q = 0. Тогда легко
проверить, что при произвольном v>0 функция
будет решением системы F.1.9) и I ojj» I ^ 6n~v. Но при т/Л2 > 1/2
и достаточно большом п
откуда
4т . о /. 1 \ п
I -> оо при h -> 0.
В некоторых случаях неравенство F.1.20) может оказаться
слишком ограничительным: оно не позволит сделать много
шагов по времени. В частности, это особенно заметно тогда,
когда размер сетки меняется; для того, чтобы уменьшить
вдвое пространственный шаг, мы должны уменьшить временной
шаг в четыре раза.
Напротив, неявные формулы при а^ 1/2 не налагают ника-
никаких ограничений на относительные величины пространственного
и временного шагов сетки. Наиболее удобна для практических
расчетов формула Кранка — Николсона (а= 1/2) с погрешностью
порядка т2 + Л2; шаг по времени можно брать значительно боль-
большим, чем в случае явной формулы.
6.1.3. Некоторые вопросы численной устойчивости. Рассмо-
Рассмотрим вначале явную разностную формулу (а = 0). Как мы уста-
установили в п. 6.1.1, соответствующий численный процесс описы-
описывается формулой
„(/) = — р (**-'/» *'-'> „A-1) +
f(xk>ti-i)
„„_„ , T
k+l
k=\, 2 я-l, /=1, 2 r, F.1.39)
с начальным условием
«f = gD *»0, 1 n, F.1.40)
и краевыми условиями
'/). '=!■ 2 г, F.1.41)

338 Гл. 6. Параболические уравнения
для первой краевой задачи или формулой
„со- A - -М./^ь.) ^,) (о,,)) „
"о ~V А2 с(х0, /,_,) /"о
2т р(*1/2, /,.,) f(x0, <,_,) _2т Y° (< м)
"*" А2 с (*„ /,_,) И1 "•" т с (*„. //-,) "*" А с (х0> /,_,) '
/=1, 2 г, F.1.42)
и аналогичными условиями на другом конце отрезка для
третьей краевой задачи.
Теорема 6.9. Пусть коэффициенты дифференциального
уравнения и краевых условий удовлетворяют неравенствам
F.1.5) и F.1.6), x = O(h2), и пусть выполняется неравенство
F.1.20). Тогда численный процесс решения дифференциального
уравнения F.1.1) по явным разностным формулам F.1.39),
F.1.40) и F.1.41) или F.1.42) образует а2-Ь-последовательность
для а = A, 1, ...) или а = ( — 1, —1, ...) и Ь = {\, 1, ...)
с числом узлов п в качестве параметра по пространственной
переменной х, причем в качестве нормы вектора решения на
1-м временном шаге берется максимум абсолютных значений
компонент.
Рассмотрим теперь неявные разностные формулы и детально
исследуем формулу Кранка —Николсона (а =1/2). Во многих
приложениях этой формулы максимальная скорость сходимости
для наименьшего числа узлов достигается в том случае, когда
порядок шага т выбирается таким же, как и порядок h (см.
теорему 6.8). Итак, пусть
т = соЛ. F.1.43)
Перепишем систему F.1.9) с соответствующими краевыми
условиями в матричной форме:
A(V) = B(V-1) + (f(') + f(bl)), /=1. 2 г,
где
Aw = A(c<n + C(|-I)) + P(l). /= 1, 2 г,
в«> = А (с«> + С(Ь1>) - Р('-", /=1,2 г.
Здесь Cw —диагональная, a Pw — трехдиагональная матрицы
(/ = 0, 1, ..., г), вид которых меняется в зависимости от типа
■краевой задачи, а и(/) и f{l) — векторы.

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 339
Для первой краевой задачи
Ij — \Ck, m], г — \pk, tn),
где
cik,k = c(xk' '/)• k=l> 2 "-L
P£* = P(**-i/2. O + P^W ti) + h2<l(xk, '/). FЛ.44)
*=1, 2 я-1,
P2! *+i = Pi'li. * = - P OW '/)• * = 1. 2 n - 2,
т. е. матрицы имеют порядок (п — 1),
„(I) — <UW „(I) „(I) l
u [ul , w2 , . . . ип_,|,
«W ff(« fit) Hi) 1
I = l/l » /2 » • • •• 'n-lj
суть (п—1)-мерные векторы, где
fk=h2f(xk, td, к = 2,Ъ я-2,
Для третьей краевой задачи матрицы
порядка (п+1) снова определяются формулами F.1.44), а
р$!рЫ 'О + л^Ч^ +
2L.. „
в то время как векторы
!# = {«(», М«
1 I'O » '1 In]
имеют размерность nil и
ff = fiaf(xk,tt), k~l, 2 я-1,

340 Гл. 6. Параболические уравнения
Численный процесс построения искомого вектора и('>, / =
= 1, 2, ..., г, получается в нашем случае следующей рекур-
рекуррентной процедурой. Предполагая вектор и(Ь1) известным, вы-
вычислим v(/) по формуле
v(H = B(Vbl)+f(') + f('-1); F.1.45)
искомый вектор и{1) является решением системы уравнений
A(V> = v</). F.1.46)
Этот процесс повторяется, пока / не станет равным г. Таким
образом, основная часть численного процесса получается мето-
методом, используемым для решения системы F.1.46).
В гл. 4 было показано, что устойчивость численного про-
процесса решения систем такого вида методом исключения сильно
зависит от величины правой части. В силу того, что это, ве-
вероятно, будет справедливым и для других методов, введем
множество $ допустимых правых частей системы F.1.46) и
предположим, что метод решения этой системы выбран.
Численный процесс F.1.45) и F.1.46) дает векторы v(/)
и и{1), причем
~(« = B<»~</-» + f(/) + f(/-» + 6m FM7)
тах|б1"| </CiS и б — погрешность элементарной операции,
а матрица В('> является трехдиатональной.
Далее, мы должны решить систему
A*'>u<'> =v<'>. F.1.48)
Пусть Z — множество векторов у, таких, что у = {0A), О (Л),...
..., О (Л), 0A)} и у = {О(Л), О (Л), ..., О (Л)} для первой и
третьей краевых задач соответственно, что согласуется с харак-
характером соответствующих правых частей, и пусть v(/) e 2. Чи-
Численное решение F.1.48) дает вектор и('\ удовлетворяющий
уравнению
A<'>u<') = v<'> + r<'>. F.1.49)
Предположим, что для остатка г(" справедливо неравенство
^j</C2-^-. F.1.50)
Подставляя F.1.47) в F.1.49), получаем
А</>-</> = в<*>-</-1> + ,(» + ,«-» + д(й> F.1.51)
где
4

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 341
Таким образом, приближенное решение удовлетворяет выра-
выражению F.1.51), представляющему собой одно из разностных
уравнений, рассмотренных в п. 6.1.2. Из теоремы 6.6 в этом
случае сразу же следует, что для достаточно малого б
Мы должны еще проверить, что \{l) e 2. Это легко сделать
по индукции, ибо vA) = BA)u@) + fA)+f@) + 6A)<=2;, -это сле-
следует из вида матрицы В и векторов f, а также из того, что б
можно сделать как угодно малым. Итак, мы получаем сле-
следующий результат:
Теорема 6.10. Пусть коэффициенты дифференциального
уравнения и краевых условий удовлетворяют предположениям
теоремы 6.6 и т = соЛ. Тогда численный процесс решения диф-
дифференциального уравнения F.1.1) по формуле Кранка— Никол-
сона образует $2+р-Ь-последовательность численных процессов
для а = {\, 1, ...) или а = ( — \, — 1, ...) и Ь = (\, 1, ...) по
параметру п—l/h, если система уравнений F.1.46) решается
методом, для которого при любой правой части из множества 2
справедливо неравенство F.1.50).
Теорема описывает устойчивость формулы Кранка — Никол-
сона в предположении, что для выбранного метода известно
асимптотическое поведение остатков, возникающих при реше-
решении системы F.1.46).
Рассмотрим теперь вопрос о поведении остатков. Предпо-
Предположим, что мы будем решать систему F.1.46) с правой частью,
принадлежащей' множеству 2, методом исключения Гаусса, и
рассмотрим в качестве примера первую краевую задачу.
В п. 4.5.1 мы видели, что решение системы F.1.46) с трехдиа-
гональной матрицей методом исключения включает в себя по-
построение трех рекуррентных соотношений:
h>q(xt, f<) - H'l-^i'/)Г t ,- = 2, 3, ...,«-1, F.1.52)
i ( ]( ) ( v t,),
ct =vf+ P(^"№ f/) C|-lt i = 2, 3, .... «-I. F.1.53)
cx -
± + ^3.uvlit i = n~2,n-3, .... 1, F.1.54)
= Cn-±.

342 Гл. 6. Параболические уравнения
Для того чтобы исследовать поведение разности А(/)и(/) —
— A(/)u(/), оценим di — di, Ci — Ct и uf — uf, где йь ct и uf
удовлетворяют уравнениям
h2q{xt, t,)- [p{Xi-^tt)]2 +6{> г = 2, 3, ..., л-1, F.1.55)
+ h2q(xu t
«»-w. r = 2, 3, .... «-1, F.1.56)
+ 6 F 157^
"«-1=-|гГ + б2«-ь »e«-2, n-3, .... 1,
с v(/)ej, |бг|^/С56 и /С5, не зависящим от h. Легко прове-
проверяется по индукции, что
/=1, .... я-1, F.1.68)
причем константа /С6 не зависит от /г. Но как следует из F.1.52)
и F.1.55), при достаточно малом б верхняя оценка для <?г — d;
определяется решением фг из рекуррентного соотношения
+ K5b, i = 2, 3, .... л-1, Ф, = в,
а константа /С7 не зависит от /г. Поэтому
F.1.59)
В силу F.1,5.8) и F.1.59) и так как v(l)eJ, а с,- ограничены,
имеем
|С|-С,КЗДЙ

§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 343
Далее, пусть последовательности d., c(, uf определяются
формулами
/.'/) + **- 1~д!* , г = 2, 3, ..., rt-1, F.1.61)
= vf + 6п_ш + йг63„_2_г + р (xt_1/2, ^)бз«-1-* -
-'(*£Т'/)г'-" '-2. 3,..., я-1, F.1.62)
F.1.63)
Сравнение соотношений F.1.61)-F.1.63) с F.1.55)-F.1.57)
дает di = dl и uf = uf. Далее, сравнивая F.1.61) -F.1.63)
с F.1.52) —F.1.54), видим, что и(/) есть точное решение урав-
уравнения
(A^ + O'V'W' + s^
где Ф(/) — диагональная матрица с элементами порядка 0F),
a sw — вектор с компонентами того же порядка О F). Так как d£
и p{xi-i/2, U) ограничены и выполняется неравенство F.1.59),
имеем
|| A(/)i(/) - A(Ou(/) || < || Ф(/) || || и(;) || +1| s(/) ||.
Но в силу F.1.60), u(/) = u(/) + О F), так что при достаточно
малом б
l^Vto . F.1.64)
где константа Ки не зависит от Л, так как и(/) ограничено.
Из теоремы 6.10 и оценки F.1.64) следует, что решение
первой краевой задачи для F.1.1) по формуле Кранка— Никол-
сона методом исключения Гаусса приводит к р2-^"последова-
тельности численных процессов.
Проиллюстрируем это заключение простым примером.
Пример 6.1. Решить дифференциальное уравнение
(l)t2t, 0<x<l,0<t<T, F.1.65)

S44
Гл. 6. Параболические уравнения
с начальным условием
и{х, 0) = 0,
и краевыми условиями
и@, 0 = «A. 0 = 0, 0<t<T,
используя формулу Кранка — Николсона и метод исключения
Гаусса. Зависимость ошибок округления от величины шага h
представлена на рис. 6.1 для трех точек области, в которой
ь
г
ю-6
5
2
г)
V
1
г
ю"'
(
136
2
Ю
Ю"'
*
s aagggg
10"'
—
Рис. 6.1. Зависимость ошибок округления от шага интегрирования при
решении F.1.65) по формуле Кранка — Николсона
1) I/A'
2) ошибка округления
3) наклон теоретической кривой р3 ^.-последовательности
отыскивалось решение. Видно, что экспериментальные и теоре-
теоретические результаты хорошо согласуются между собой.
Другие неявные формулы можно проанализировать анало-
аналогичным способом. Заметим, однако, что результаты могут зави-
зависеть от относительных величин пространственного и временного
шагов.

§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач 345
В заключение подытожим полученные выше результаты.
Мы видели, что явные формулы дают ^-/--последовательности,
а схема Кранка — Николсона в комбинации с методом исклю-
исключения Гаусса дают {^-/--последовательности численных процес-
процессов. Это говорит о том, что оба метода ведут себя одинаково
по отношению к ошибкам округления. Но основное преимуще-
преимущество формулы Кранка — Николсона состоит в том, что она
требует гораздо меньшего машинного времени. Явную формулу
можно использовать только в том случае, если выполняется
неравенство F.1.20). Тогда этот метод требует ОA//г3) операций
для вычисления решения при t = Т, в то время как схема
Кранка — Николсона требует только ОA//г2) операций для дости-
достижения того же временного уровня, поскольку в этом случае
достаточно положить х = О (h), а число операций, которое тре-
требуется в случае метода исключения Гаусса для системы п
линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, имеет поря-
порядок п (см. F.1.62)-F.1.54)).
§ 6.2. Конечно-разностные методы
для двумерных задач
6.2.1. Построение, сходимость и численная устойчивость
некоторых простых формул. Рассмотрим вкратце применение
конечно-разностного метода к решению линейного дифферен-
дифференциального уравнения параболического типа в случае двух про-
пространственных переменных для первой краевой задачи (Дирихле).
Пусть заданы область Q с простой достаточно гладкой гра-
границей Г в плоскости переменных (х, у) и дифференциальное
уравнение
Ки; х, у, t) = f{x, у, t), (x, y)EQ, *e@, T), F.2.1)
где
L {и; х, у, 0 =
/ ,ч ди д I , ,ч ди \ д I , ,ч ди
c{xyt){p{xyt))[p{xyt)
с начальным условием
и(х, y,0) = g(x, у) для (х, г/)е=О F.2.2)
и краевым условием
и(х, y,t) = y(x, у, t) для (х, у) е= Г, t е= @, Т). F.2.3)
Предположим, что функция р(х, у, t) является непрерывной и
непрерывно дифференцируемой в Q X @, Т), а функции с(х, у, t),

346 Гл. 6. Параболические уравнения
q(x, у, t) и f(x, у, t) непрерывны в Q X (О, Т),
О < р0 < Р (*,«/, *Х Pi, О < q(х, у, t) < <7i, О < с0 <с {х, у, t)
g(x, у) непрерывна в Q и у(х, у, t) непрерывна в Гх[О, Т).
Мы уже указывали на аналогию между разностными урав-
уравнениями для параболических дифференциальных уравнений
с одной пространственной переменной и обыкновенными диф-
дифференциальными уравнениями. Аналогичное утверждение можно
высказать и относительно параболических и эллиптических урав-
уравнений от двух пространственных переменных.
Как и в п. 5.2.5, построим на множестве Q прямоугольную
сетку с шагом h и положим &(Л) = °&(Л). Таким образом, сетка
составлена из узлов Q№) и T(Q{h>), где п(Н) — множество узлов
(xk, ym), таких, что все их четыре соседа лежат в Q, a T(Qh))
образована оставшимися узлами Q (см. стр. 282). Разделим
отрезок [О, Т] на г частей длины т, так что т = Т/г, и обо-
обозначим точки деления через th 1 = 0, 1, ..., г. В дальнейшем
мы будем оперировать с узлами (xk, ym) и (xk, xm, tt).
Применяя ту же технику, что и в § 6.1, и используя раз-
разностные уравнения, построенные в § 5.2 для дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа,
мы получим для приближенных значений решения в узле
(*ь Ушу h) разностные уравнения
(xk, yJeQ(W, 1=1, 2, .... г, F.2.4)
где
„(/) _ „(Ы)
ym, tt) + {\-o)c{xk, ym, fM)] k'mr k'm -
> Ут>
Ут+1,2> '/) "
> Ут> tl) + P(Xk-ll* Ут> *[) + Р(Хк> Ут+1,2> '/) +
(^ Ут, ',.,) "I';,'» m + P (xk_m, ym, tt_{
Ут, ^_,

§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач 347
начальное условие
и?- = 8 (**. Ут)< (**. Ут) е Qw U r(Q(A)) F.2.5)
и краевые условия
'*. t« J = лЛ. t (v; *fc. ymo. у. (*v О s г (q<">),
(**.• Ут„)^Г' /=1, 2, .... г. F.2.6)
Линейный оператор U, х имеет вид:
„(/) _ у „(/) _ у „(/)
Здесь узлы (Xkt, ymi) расположены по соседству с точкой (xk , ут ),
a %i равны нулю '). если (xk{, ут[) ф. О(Л); остальные Хг — неотри-
неотрицательные коэффициенты, определяемые соотношениями E.2.14),
т. е. они зависят от значения функции р в окрестности точки
К' У т.' '/)» И
2х
независимо от /г и т.
Оператор Лл,г имеет вид
4
коэффициенты ^ снова определяются по E.2.14), точки (хк>, утЛ
лежат на пересечении линий сетки, проходящих через узел
(xk, г/т) и границу Г на расстоянии от lxk, г/т), меньшем /г,
и £4 = 0, если такая точка пересечения отсутствует.
При а = 0 мы получаем явную формулу, по которой можно
вычислить значения искомого решения, зная его значения на
предыдущем временном шаге. Хотя эта формула удобна
с вычислительной точки зрения, но так же, как и в одномерном
случае, для сходимости явной формулы необходимо наложить
некоторые ограничения на относительные величины временного
и пространственного шагов. Неявная формула, получаемая
при а= 1, свободна от этого недостатка. Однако в этом случае
определение и^т на одном временном шаге требует решения
краевой задачи для двумерного разностного уравнения, что
приводит к значительному увеличению числа арифметических
■) По определению множества Г(й(Л)) существует по крайней мере одно
такое значение <".

348 Гл. 6. Параболические уравнения
операций. Эта трудность частично обходится с помощью метода
переменных направлений, рассматриваемого ниже.
Рассмотрим теперь сходимость конечно-разностных методов,
определяемых соотношениями F.2.4) — F.2.6) для а = 0 и а= 1.
Легко проверить, что если решение и(х, у, t) уравнения F.2.1)
с начальным условием F.2.2) и краевыми условиями F.2.3) до-
достаточно гладко, то
L(h!x(u(xk, ym, t)) = aL(u; xk, ym, tt)+{l-a) L(u; xk, ym, *,_,) +
+ 0{x+h\ (xk,ym)<=QW, /=1,2 r,
K. t (" К- Угщ''/) = \ t (y; xv ym.i tt) + о (л2),
), /-1,2,..., г,
так что погрешность т^ m = uf m — и (xk> ym, t^ удовлетворяет
соотношениям
» 1=1, 2, ..., г,
Следующие две леммы позволят вывести оценки для реше-
решения системы F.2.7).
Лемма 6.6. Если а = 0 или а=1 и для произвольной
дискретной функции ц^т
/=1,2,..., г, F.2.8)
и если к тому же при а = О
А2 ^4р, + А2?,' '
ТО
!!£>„,< max @, ^J
Г (Л)
еде (xk, ym, tt)^ Q"<A> X (О, Т] ы Г<Л> — множество узлов (xk, ym, tt),
для которых (xk, ym) е= Г (Q(«), / = 0, 1, ..., г, или {хк, ym) s Q<ft)
/ 0')
Точки Г(Л) Мы будем называть р-граничными узлами.

§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач 349
Доказательство мы проведем только для случая а = 0,
так как при а = 1 оно совершенно аналогично.
Неравенства F.2.8) можно переписать в виде
m ^ х Р (Хк+Ч2> Ут> U-l) „(W) т Р (*&-■/,> Ут> (t~l) „(/-1) ,
с {xk, ym, U_x) Цк- m+I + W с (Ч, y
F.2.10)
По F.2.9) коэффициент при Ц%~^ неотрицателен. Предполо-
Предположим, что ■n(£>>mo = maxT)W/n = Al.
При q(xka, ущ, ^о_,) ф 0 имеем по F.2.10)
что невозможно при М > 0.
Если же <7(аг^, ^ ^_,) = 0, то, как следует из F.2.10), ц ~
= М во всех узлах, фигурирующих в F.2.10). Применяя это
рассуждение последовательно ко всем узлам, мы либо дойдем
до узла, в котором q ф 0, либо до р-граничного узла, и лемма
будет доказана.
Лемма 6.7. Пусть при а = 0 и а = 1
/=1,2, ...г,
I < „ I < Xgj m. (Ч, Ут) s Q<» U Г (Q(»)f
при этом F.2.9) будет справедливым при а = 0. Тогда
U Г (Q»), / - 0. 1..... г.
Доказательство. Утверждение вытекает непосредст-
непосредственно из предыдущей леммы.
Теорема 6.11. Пусть и(х, у, t) будет решением диффе-
дифференциального уравнения F.2.1) с начальным условием F.2.2)
и краевым условием F.2.3), и пусть в Q X [0, Т] функции
!■ % % %■ % Ш « •■ * «•■& д£уЭоелетеорЯЮт усМеиЮ

350 Гл. 6. Параболические уравнения
Липшица по х, у и t соответственно. Пусть, далее, Q, f(x, у, t),
а также начальное и краевое условия будут такими, что в
Q X [0, Т] функции ^, gp, ~ удовлетворяют условию Лип-
Липшица по х, у и t соответственно.
Предположим, что существует функция w (x, у, t) той же
степени гладкости, что и, являющаяся решением задачи
L(w; х, у, 0=1, {х, у, t)<=QX[0, Т\,
w(x, у, 0=1, (*, у, 0еГх[0, Т],
и пусть w (х, у, 0) будет произвольной неотрицательной функ-
функцией, ограниченной в п.
Наконец, обозначим через uf m решение уравнений F.2.4) —
F.2.6) при а = 0 или а = 1 и предположим, что F.2.9) выпол-
выполняется при а = 0.
Тогда существует константа М, не зависящая от h и х
и такая, что
\u(xk,ym,tl)-u<j>m\<iM{T + h'), (jtft,ym)eQ№', /=1,2, .... г.
Доказательство. Пусть у}?m = M{w{xk, ym, tt). Подхо-
Подходящим выбором константы Afi, не зависящим от h и т, можно
в силу леммы 6.7 добиться того, чтобы у}£ т мажорировали
погрешность г$ т (см. п. 4.3.5).
Аналогичные утверждения можно получить для других за-
задач, если краевые условия сформулированы так, что выпол-
выполняются условия леммы 6.7. Простота приведенного выше дока-
доказательства обусловлена тем, что решения рассматриваемых
разностных уравнений удовлетворяют принципу максимума (см.
лемму 6.6). Аналогичное доказательство мы уже использовали
в § 6.1. Коснемся здесь не только случаев а = 0 и а=1, но
также и случая а = 1/2 (схема Кранка — Николсона), когда
принцип максимума не работает. Мы используем здесь технику,
которую нельзя перенести на многомерные задачи, ибо она за-
зависит от неравенства F.1.30), неверного в двумерном случае.
В двумерном случае схема Кранка — Николсона, соответст-
соответствующая а = 1/2, обычно изучается методом Фурье разделения
переменных. Предполагается, что коэффициенты дифференциаль-
дифференциального уравнения не зависят от t, а краевые условия однородны
(см., например, Рихтмайер [1957]). Оценки, полученные разде-
разделением переменных, даются, естественно, в эйлеровых нормах;
их интерпретация в максимальных нормах изменяется незначи-
незначительно. Мы не будем рассматривать здесь эти задачи.
В заключение рассмотрим вкратце вопрос о численной устой-
устойчивости указанных выше формул. Как и в одномерном случае,

§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач 351
численный процесс решения F.2.1) по явной формуле образует
а2-/,-последовательность численных процессов по параметру 1//г,
если x=O(h2) и выполняется неравенство F.2.9). Для неявной
формулы, если численный метод решения краевой задачи на
1-ом временном шаге приводит к остаткам порядка /гр, мы по-
получим рр+2-/,-последовательность численных процессов по пара-
параметру 1//г. Эти два утверждения можно доказать методом, ко-
который был применен в теореме 6.11, если воспользоваться
введенной выше вспомогательной функцией w (х, у, t). Поэтому
мы должны предположить, что такая функция существует.
Однако численные процессы решения краевых задач для дву-
двумерных конечно-разностных уравнений, как правило, требуют
значительного числа арифметических операций; в частности,
это касается метода исключения Гаусса. Поэтому указанный
выше неявный метод обычно заменяют другим, основные идеи
которого описаны ниже.
6.2.2. Методы переменных направлений. В последнее время
многие исследователи пытались использовать тот факт, что
системы алгебраических уравнений с трехдиагональными матри-
матрицами легко решаются (см. гл. 4), например, методом исключе-
исключения Гаусса. При этом основная цель состояла в построении
численного метода для решения уравнения F.2.1), который
сочетал бы преимущества неявной формулы, т. е. независи-
независимость сходимости от отношения временного и пространственного
шагов, с методами, приводящими к трехдиагональным матрицам
для систем линейных уравнений. Иными словами, процесс ре-
решения краевой задачи для двумерного конечно-разностного
уравнения по неявной формуле п. 6.2.1 заменяется последо-
последовательным решением систем линейных уравнений с трехдиаго-
трехдиагональными матрицами.
Основная идея построения формул этого типа, принадле-
принадлежащая Писмену и Рекфорду [1955], состоит в следующем.
В дополнение к приближенному решению «JPm на временном
шаге t = th 1=1, ..., г, вычисляется приближенное решение
ut+m2) на промежуточных временных шагах t = tl+lji, причем
для вычисления и^+^2) по uf m используется другая формула,
чем для вычисления и%+£ по и%+^2). На промежуточных вре-
временных шагах расписываются по возможности самые простые
формулы, например, такие, которые приводят к системам уравне-
уравнений с трехдиагональными матрицами.
Для решения очень простой задачи
ди д2и , д2и , ч о п . , ^ „

352 Гл. 6. Параболические уравнения
где S — квадрат, с начальным условием
и(х, у, 0) = g(x, у), (x, y)s=S,
и краевыми условиями
и(х, 0, *) = «(*. 1, 0 = и@, у, 0 = "A, У, 0 = 0, 0<t<T,
метод Писмена и Рекфорда включает в себя следующие фор-
формулы. Приближенные значения uf^ m и uf+^2) искомого решения и
в узлах (xk, ym, t[) и (хк, ут, ^+1/2) соответственно получаются
из систем уравнений
^=w мет. - 2ыгг+«та)+
i-2<)m + <V-1). F.2.11)
/+1/2) \ 4-
Л. J-(u(l+i) _ 9m(' + 1) + „W + D 1 (fi 2 1
2ЛН ft, W+l ZUk,m^Uk,m-l) yv-t-
ДЛЯ
А, /и =1,2 rt-1, / = 0, l,...,r-l
и
<m = ^(^. 0«). *• m = °. L •■•. ».
"o, m "л, m "ft, 0 "ft, л u> «i '« 1, z, ..., rt i,
7 — 1 1 A
Таким образом, чтобы вычислить ы^+^/2) по F.2.11) и «^+^) по
F.2.12), необходимо решить п— 1 трехдиагональных систем
уравнений с /г—1 неизвестной. Сходимость не зависит от от-
относительных величин пространственных и временных шагов.
Эти формулы были модифицированы Яненко [1960], Дьяко-
Дьяконовым [1962] и Самарским [19626]. В рассматриваемом случае
эти авторы предложили такой вариант:
u(i)
Кт=ьмет.-
ЛП ft, m+1 Z"ft, m ^ "ft, m-
0^ (/+1/2)

§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач 353
для k, m= 1, 2 п — 1; / = 0, 1 г — 1; 1/2<а< 1; снова
относительные величины временного и пространственного шагов
не ограничиваются.
Если, в частности, область определения решения не является
квадратом, то теоретическое исследование метода становится
более сложным. Главные трудности обусловлены аппроксима-
аппроксимацией неоднородных краевых условий. В связи с тем, что эти
вопросы полностью еще не решены, мы не будем вдаваться в
подробности, а обратим внимание на тот факт, что сравни-
сравнительно хорошие результаты были получены Самарским [19626]
с помощью формул типа F.2.13) при а= 1.

БИБЛИОГРАФИЯ
Абрамов А. А. [1965]: Transfer of boundary conditions for system of ordi-
ordinary linear differential equations, Proceedings of IFIP Congress, p. 420.
Агмон С, Дуглис А., Ниренберг Л. (Agmon S., Douglis A.,
Nirenberg L.) [1959]: Estimates near the boundary for solutions of
elliptic partial differential equations satisfying general boundary condi-
conditions, Interscience Publishers, New York (Русский перевод: Агмон С,
Дуглис А., Ниренберг Л., Оценки решений эллиптических урав-
уравнений вблизи границы, ИЛ, М., 1962.)
Бабушка И. (В a busk a I.) [1959]: The Fourier transform in the theory
of difference equations and its applications, Arch. Mech. Stos., 11, 349—
381.
[1961]: Устойчивость областей определения по отношению к основным
задачам теории дифференциальных уравнений в частных производных,
главным образом в связи с теорией упругости, Czech. Math. /., 11,
76—105, 165—203.
[1962]: Die Stabilitat mit Riicksicht auf das Definitionsgebiet und die
Frage der Formulierung des Plattenproblems, Apl. Mat., 7, 463—467.
[1963]: Оптимальные формулы квадратур, ДАН СССР, 149, 227—230.
[1965]: Uber optimale Formeln zur numerischen Berechnung linearer
Funktionale, Apl. Mat., 10, 441—443.
[1966]: Uber die optimale Berechnung der Fourier'schen Koeffizienten,
Apl. Mat., 11, 98—106.
[1968]: Problems of optimization and numerical stability in computations,
Aplikace Matematiky, 1.
[1968a]: Problems of optimization and numerical stability in computation,
Apl. Math., 13, 3—26.
[19686]: Uber universal optimale Quadratur Formeln, Aplikace Matema-
Matematiky, 2, 304—338, 388—404.
Бабушка И., Прагер М. (Prager M.) [I960]: Reissnerian algorithms
in the theory of elasticity. Bull. Acad. Polon. ScL, Ser. Sci. Techn., 8,
411—417.
Бабушка И., Прагер М., Витасек Э. (Vitasek E.) [1963]: Nume-
rische Stabilitat von Rechenprozessen, Wiss. Z. Techn: Hochsch. Dresden,
12, 101—110.
[1964a]: Numericke feseni diferencialnich rovnic, SNTL, Praha.
[19646]: Замыкание вычислительных процессов и метод прогонки, ЖВМ
и МФ, 4, 351—353.
[1965]: Stability of numerical processes, Proc. IFIP.
Бабушка И., Соболев С. Л. [1965]: Оптимизация численных методов,
Apl. Mat., 10, 96—130.
Бабушкова P. (Babuskova R.) [1963]: Eine Bemerkung zur Tscheby-
schef fschen Approximation der Function sin x/x, Wiss. Z- Techn.

Библиография 355
Hoschsch. Dresden, 12, 111 —112.
[1964]: Uber numerische Stabilitat einiger Rekursionformeln, Apl. Mat., 9,
186—193.
Бауэр Ф. Л. (Bauer F. L.) [1961]: Influence du choix du pivot sur l'erreur
d'arrondi, 1-er Congr. Assoc. Franc. Cal. Grenoble, 14—16 Sept. 1960,
145—150.
[1962]: Optimal scaling of matrices and the importance of the minimal
condition, Preprint Techn. Hochsch. Miinchen, Math. Inst.
[1965]: Numerische Abschatzung und Berechnung von Eigenwerten nicht-
symmetrischer Matrizen, Apl. Mat., 10, 178—190.
Бахвалов H. K. [1968]: Об оптимальных методах решения задач, Aplikace
Matematiky, 2, 27—28.
Беллман P. (Bellman R.) [1953]: Stability theory of differential equa-
equations, McGraw-Hill, New York.
Бибербах Л. (Bieberbach L.) [1951]: On the remainder of the Runge-
Kutta formula in the theory of ordinary differential equations, Z. Angew.
Math. Phys., 2, 233—248.
Бондаренко П. С. [1962]: Исследование численных алгоритмбв прибли-
приближенного интегрирования дифференциальных уравнений методом ко-
конечных разностей, изд-во Киевского ун-та (на украинском языке).
В а з о в В. Р., Форсайт Г. Е. (W a s о w W. R., F о г s у t h e G. Е.) [I960]:
Finite-difference methods for partial differential equations, J. Wiley &
Sons, Inc., New York, London. (Русский перевод: В а з о в В., Фор-
Форсайт Г., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в
частных производных, ИЛ, М., 1963.)
Варга Р. С. (V а г g a R. S.) [1962]: Matrix iterative analysis, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey.
Вахспресс Е. Л. (Wachspress E. L.) [1966]: Iterative solution of elliptic
systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J.
В ей вод а О. (Vejvoda О.) [1957]: Die Fehlerabschatzung der Runge-Kutta
Formeln, Apl. Mat., 2, 1—22.
Веку а И. H. [1959]: Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М.
ВитасекЭ. (VitasekE.) [1957]: Vliv formulace okrajovych podminek na-
rychlost konvergence pfi fesenf parcialnich diferencialnich rovnic metodou
sfti, Apl. Mat, 2, 163—183.
[1965]: Stability of numerical processes, Apl. Mat, 10, 130—146.
Витушкин А. Г. [1959]: Оценка сложности задач табулирования, Физмат-
Физматгиз, М.
Воеводин В. В. [1967]: Об асимптотическом распределении ошибок округ-
округления при линейных преобразованиях. Журнал вычисл. матем. и татем,
физики, 7, 965—976.
Вркоч И. (Vrko6 I.) [1962]: Устойчивость при постоянно действующих
возмущениях, Casopis pest, mat., 87, 325—358.
Гаучи В. (Gautschi W.) [1961]: Recursive computation of certain inte-
integrals, /. Assoc. Comput. Mach., 8, 21—40.

356 Библиография
Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. [1953]: Метод прогонки для
решения разностных уравнений, препринт, см. также приложение к кни-
книге Годунова С. К. и Рябенького В. С. «Введение в теорию разностных
схем», Физматгиз, М., 1962.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. [1959]: Обобщенные функции, вып. 1, М.
Гершгорин С. (Qerschgorin S.) [1930]: Fehlerabschatzung fflr das
Differenzenverfahren zur Losung partieller Differentialgleichungen, Z.
Angew. Math. Mech., 10, 373—382.
Дальквист Г. (Dahlquist Q.) [1956]: Convergence and stability in the
numerical integration of ordinary differential equations, Math. Scand.,
4, 33-53.
[1959]: Stability and error bounds in the numerical integration of ordi-
ordinary differential equations, Trans. Roy. Inst. Technol. Stockholm, Nr. 130.
Дьяконов Е. Г. [1962]: Разностные схемы с расщепляющимся оператором
для многомерных нестационарных задач, ЖВМ и МФ, 2, 549—568.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. [1959]: Функциональный анализ в нор-
нормированных пространствах, Физматгиз, М.
Коллатц Л. (Collatz L.) [I960]: The numerical treatment of differential
equations, Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg.
[1964]: Funktionalanalysis und numerische Mathematik, Springer-Verlag,
Berlin, Gottingen, Heidelberg. (Русский перевод: Л. Коллатц, Функ-
Функциональный анализ и вычислительная математика, «Мир», М., 1969.)
Крюкеберг Ф. (Krflckeberg F.) [1968]: Bemerkungen zur Intervall-
Analysis, Aplikace Matematiky, 13, 152—153.
Кулидж А. С (Coolidge A. S.) [1932]: A quantum tnechanics treatment
of water molecules, Phys. Rev., 42, 189—209.
Куртис (Curtis) [1967]: The Runge-Kutta process of 7-th order (частное
сообщение).
Лиз М. (Lees M.) [1959]: Approximate solution of parabolic equations,
/. Soc. Indust. Appl. Math., 7, 167—183.
[I960]: Apriori estimates for the solutions of difference approximations
to parabolic equations, Duke Math. /., 27, 297—311.
M a p ч у к Г. И. [1958]: Численные методы расчета ядерных реакторов, Атом-
издат, М.
[1961]: Методы расчета ядерных реакторов, Госатомиздат, М.
Михлин С. Г. [1957]: Вариационные методы в математической физике,
ГИТТЛ, М.
[1963]: Variational methods of solving linear and nonlinear boundary
Value problems, Differential equations and their applications, NCSAV, Pra-
Prague, 77—92.
[1966]: Численная реализация вариационных методов, М.
Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. [1965]: Приближенные методы реше-
решения дифференциальных уравнений, изд-во «Наука», М.
Мур P. (Moore R.) [1966]: Interval analysis, Prentice-Hall.
[1968]: Practical aspects of interval computations, Aplikace Matematiky,
13, 52—92.

Библиография 357
Н и к е л К. (Nickel К.) [1966]: Uber die Notwendigkeit einer Fehlerschran-
kenarithmetik fur Rechenautomaten, Num. Mat., 9, 69—79.
[1968J: Bericht fiber neue Karlsruher Ergebnisse bei der Fehlererfassung
von numerischen Prozessen, Apt. Mat., 13, 2, 168—174.
Островский А. М. (Ostrowski A. M.) [1954]: On the linear iterative
procedures for symmetric matrices, Rend. Mat. e Appi, 13, 140—163.
П и с м е н Д. В., Р е к ф о р д X. X. (P e а с e m a n D. W., R а с h f о r d H. H.,
Jr.) [1955]: The numerical solution of parabolic and elliptic differential
equations, /. Soc. Indust. Appl. Math., 3, 28—41.
Прагер М., Витасек Э. (Prager M., Vitasek E.) [1963]: Stability of
numerical processes, Differential Equations and their Applications, NCSAV,
Prague, 77—92. •
Pafix E. (Reich E.) [1949]: On the convergence of the classical iterative
method of solving linear simultaneous equations, Ann. Math. Statist., 20,
448—451.
Рендел И. Б., Ривс Р. Ф. (R a n d e 1 s I. В., Reeves R. F.) [1958]:
Note on empirical bounds for generating Bessel functions, Comm. ACM, 1,3.
Ридли E. K. (Ridley E. C.) [1957]: A numerical method of solving second-
order linear differential equations with two-points boundary conditions,
Proc. Cambridge Philos. Soc, 53, 442—447.
Рихтмайер Р. Д. (Richtmyer R. D.) [1957]: Difference methods for
initial-value problems, Interscience Publischers, Inc., New York, London.
(Русский перевод: Рихтмайер Р. Д., Разностные методы решения
краевых задач, ИЛ, М., 1960.)
Сакс С, 3 н г м у н д A. (Saks S., Z у g m u n d A.) [1952]: Analytic func-
functions, Polsk. tow. mat. Warszawa, Wroclaw.
Самарский А. А. [1961а]: Априорные оценки для решения разностного
аналога дифференциального уравнения параболического типа, ЖВМ и
МФ, 1, 441—460.
[19616]: Априорные оценки для разностных уравнений, ЖВМ и МФ, 1.
[1962а]: О сходимости однородных разностных схем для одномерных и
многомерных параболических уравнений, ЖВМ и МФ, 2, 603—634.
' [19626]: Об одном экономном разностном методе решения многомерного
параболического уравнения в произвольной области, ЖВМ и МФ, 2.
Самарский А. А., Тихонов А. Н. [1959]: Об одной наилучшей одно-
однородной разностной схеме, ДАН СССР, 124, 779—784.
[I960]: Об однородных разностных схемах высокого порядка точности,
ДАН СССР, 131, 514—517.
[1961]: Об однородных разностных схемах, ЖВМ и МФ, 1, 5—63.
Стиган И. А., Абрамович М. (Stegun I. A., Abramowitz M.)
[1957]: Generation of Bessel functions on high-speed computers, Math.
Tables Aids Comput., 11, 255.
Стюарт-Линн М. (Stuart-Lynn M.) [1964]: On the round-off error in
the method of successive over-relaxation, Math. Сотр., 18, 36—49.
Тауфер И. (Taufer J.) [1966]: On factorization method, Aplikace Mate-
matiky, 11,427—452.

358 Библиография
[1968]: Faktorisierungsmethode fur ein Randwertproblem eines Linearen
Systems von Differentialgleichungen, Aplikace Matematiky, 2.
Уилкинсон Дж. X. (W i 1 k i n s о n J. H.) [1963]: Rounding errors in algeb-
algebraic processes, London, H. M. S. O.
[1965]: The algebraic eigenvalue problem, Oxford Univ. Press, London.
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. [1963]: Вычислительные методы ли-
линейной алгебры, Физматгиз, М., 1960.
Фай л он Л. Н. Г. (Filon L. N. Q.) [1928]: On a quadrature formula for
trigonometric integrals, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 49, 38—47.
Ф о к с Л. (F о х L.) [1962]: Numerical solution of ordinary and partial diffe-
differential equations, Pergamon Press, Oxford.
Франкел С. П. (F r a n k e 1 S. P.) [1950]: Convergence rate of iterative
treatments of partial differential equations. Math. Tabl. Aids Comput., 4.
Фриш И., Каутский Я. (F r i s I., Kautsky J.) [1964]: Округление и
некоторые псевдооперации на вычислительных машинах, Препринт
ОИЯИ, Дубна.
X а г е м а н Л. А., К е л л о г Р. Б. (Н a g e m a n L. А., К е 11 о g R. В.) [1968]:
Estimating optimum overrelaxation parameters. Math. Сотр., 22, 60—67.
Хао-Шоу (Нао-Sou) [1963]: Однородные разностные схемы для уравне-
уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами, ЖВМ и МФ, 3.
X е н р и ч П. (Н е п г i с i P.) [1962]: Discrete variable methods in ordinary
differential equations, J. Wiley & Sons, Inc., New York, London.
Хутья A. (Hut a A.) [1956]: Une amelioration de la methode de Runge-Kut-
ta-Nystrom pour la resolution numerique des equiations differentielles
du premier ordre, Ada Fac. Rer. Nat. Univ. Comen., 1, 201—224.
[1957]: Contribution a la formule de sixieme ordre dans la methode de
Runge-Kutta-Nystrom, Ada Fac. Rer. Nat. Univ. Comen., 2, 21—24.
Цай Суй-линь (Cai Sui-Lin) [1961]: Формула функций Ляпунова
системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
коэффициентами и ее некоторые приложения, Sci. Sinica, 10, 286—300.
Шенкс (Shanks) [1966]: Solutions of differential eguations by evaluations
of functions, Math. Сотр., 20, 21—38.
Штеттер X. Дж. (S t e 11 e r H. J.) [1964]: Stabilizing predictors for weakly
unstable correctors, Preprint, Techn. Hochsch. Mflnchen, Math. Inst.
Янг Д. (Young D.) [1954]: Iterative methods for solving partial differential
equations of elliptic type, Trans. Amer. Math. Soc, 76, 92—111.
Яненко H. H. [I960]: Об экономных неявных схемах (метод дробных ша-
шагов), ДАН СССР, 134, 1034—1036.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамов А. 136, 354
Абрамович М. (Abramowitz M.) 34,
357
Агмон С. (Agmon S.) 278, 354
Акилов Г. П. 188, 356
Бабушка И. (Babuska I.) 13, 34, 62,
63, 136, 195, 196, 255, 259, 295, 320,
354, 355
Бабушкова P. (Babuskova R.) 31, 354
Бауэр Ф. Л. (Bauer F. L.) 13, 265,- 355
Бахвалов Н. К. 62, 355
Беллман P. (Bellman R.) 72, 355
Бибербах Л. (Bieberbach L) 114, 355
Бондаренко П. С. 5, 13, 355
Вазов В. P. (Wasow W. R.) 162, 304
355
Варга Р. С. (Varga R. S.) 301, 304,
305, 308, 313, 314, 316, 355
Baxcnpecc E. Л. (Wachspress E. L.)
355
Вейвода О. (Vejvoda О.) 114, 355
Векуа И. Н. 273, 355
Витасек Э. (Vitasek E.) 13, 34, 292,
354,355
Витушкин А. Г. 63, 355
Воеводин В. В. 13, 39, 355
Вркоч И. (Vrkoc I.) 143, 151, 355
Гаучи В. (Qautschi W.) 31, 355
Гельфанд И. М. 125, 195, 356
Гершгорин С. (Gerschgorin S.) 168,
356
Дальквист Г. (Dahlquist Q.) 13 70 83
356
Дуглис A. (Douglis A.) 278, 354
Дьяконов Е. Г. 352, 356
Зигмунд A. (Zygmund A.) 61, 115, 198
357
Канторович Л. В. 5, 188, 319, 356
Каутский Я. (Kautsky J.} 30, 358
Келлог Р. Б. (Kellog R. В.) 358
Коллатц Л. (Collatz L.) 162, 238, 284,
289, 356
Крюкеберг Ф. (Krflckeberg F.) 41, 356
Кулидж А. С. (Coolidge A, S.) 31,
356
Куртис (Curtis) 356
Лиз М. (Lees M.) 331, 356
Локуциевский О. В. 125, 356
Марчук Г. И. 125, 153, 155, 158, 162,
169, 176, 322, 356
Михлин С. Г. 190, 237, 241, 250, 258,
273, 356
Мур P. (Moore R.) 5, 41, 65, 356
Никел К. (Nickel К.) 5, 41, 357
Ниренберг Л. (Nirenberg L.) 278, 354
Островский А. М. (Ostrowski A. M.)
314, 357
Писмен Д. В. (Peaceman D. W.) 351,
357
Прагер М. (Prager M.) 13, 34, 320, 354,
357
Райх Е. (Reich E.) 314, 357
Рекфорд X. X. (Rachford H. H., Jr.)
351, 357
Рендел И. Б. (Rendels I. В.) 34, 357
Ривс Р. Ф. (Reeves R. F.) 34, 357
Ридли Е. К. (Ridley E. С.) 125, 357
Рихтмайер Р. Д. (Richtmyer R. D.)
357
Сакс С. (Saks S.) 61, 115, 198, 357
Самарский А. А. 155, 161, 165, 331,
352, 353, 357
Смолицкий X. Л. 258, 356
Соболев С. Л. 5, 62, 63, 255, 354
Стиган И. A. (Stegun I. A.) 34. 357
Стюарт-Линн М. (Stuart-Lynn M.) 357
Тауфер И. (Taufer J.) 136, 137, 152,
357, 358

360
Именной указатель
Тихонов А. Н. 155, 161, 165, 357
Уилкинсон Дж. X. (Wilkinson J. Н.)
5, 13, 22, 25, 261, 358
Фаддеева В. Н. 32, 72, 221, 256, 358
Фаддеев Д. К. 32, 72, 221, 256, 358
Файлон Л. Н. Г. (Filon L. H. Q.) 58,
165,358
Фокс Л. (Fox L.) 67, 358
Форсайт Г. Е. (Forsythe Q. Е.) 162,
304, 355
Франкел С. П. (Frankel S. Р.) 313,
358
Фриш И. (Fris I.) 30, 358
Хагеман Л. A. (Hageman L. А.) 358
Хао-Шоу (Нао-?ои) 180, 183, 358
Хенрич П. (Henrici P.) 5, 13, 70, 118,
358
Хутья А. (НиТа А.) 358
Цай Суй-линь
150, 358
(Cai Sui-Lin) 143,
Шенкс (Shanks) 358
Шилов Г. Е. 195, 358
Штеттер X. Дж. (Stetter H. J.) 85, 358
Янг Д. (Young D.) 313, 358
Яненко Н. Н. 352, 358

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамса — Башфорта формула 67
Адамса — Мултона формула 67
Аддитивная разностная факториза-
факторизация 226
— факторизация 129, 130, 227
Алгоритм 63
Апостериорная оценка погрешности
65
Аппроксимация функционала 57
Априорная оценка погрешности 65
Асимптотическая оценка погрешности
54, 55, 118
— скорость сходимости итерационно-
итерационного метода 305
Асимптотически оптимальная после-
последовательность матриц 187
Вариационные методы 236
решения краевых задач 318
Внутренний узел 282
Вполне регулярная общая одношаго-
вая формула 96
— s-подобные регулярные самосопря-
самосопряженные задачи 240
Выбор главного элемента 265
Вычисления с фиксированной и пла-
плавающей запятой 36
Галёркина метод 241
Гарантированная погрешность 118
Гаусса — Зейделя итерационный ме-
метод 312
г — для эллиптических урав-
уравнений 312
Гаусса метод исключения 260
для уравнений второго по-
порядка 204
четвертого порядка
228
эллиптического типа
301
Гилла формула 100
Глобальная численная устойчивость
42
Глобальные свойства алгоритма 64
Дискретное преобразование Фурье
195
Итерационная матрица Якоби 316
Итерационные методы 303
— — для эллиптических уравнений
305
— — линейные стационарные 304
Итерационный метод Гаусса — Зей-
Зейделя 312, 317
покомпонентный 306
Якоби 307
Канторовича метод 319
Квадратная сетка конечно-разност-
конечно-разностного метода 274
Квадратурная формула 323
— ■*- Симпсона 58
Ковелла формула 111
Коллатца метод 289
Конечно-разностный метод для дву-
двумерных задач 345
обыкновенных уравнений
152
— — — второго порядка 157
— — четвертого порядка
174
одномерных задач 321
эллиптических уравнений
274, 296
Краевые условия Дирихле 281, 284
— для уравнений второго по-
порядка 281
общего вида 290
Кранка — Николсона формула 325
Критерий Гурвица 143
Критическая погрешность 42
Линейный итерационный процесс 303
первой степени 303
Локальная численная устойчивость
42
Локальные свойства алгоритма 64
Марчука тождества 153
— — для уравнений второго поряд-
порядка 153, 155
— четвертого порядка 176

362
Предметный указатель
Матрица метода верхней релаксации
316
— неприводимо диагонально преоб-
преобладающая 167, 314
— нижняя треугольная 306
— перестановок 314
— слабо циклическая 314
индекса 2, 314
— согласованная 315
— якобиевых итераций 315
Метод Адамса — Башфорта 85
— аддитивной факторизации 129,
130, 227
— верхней релаксации 312
— Галёркина 241
— Гилла 124
— исключения Гаусса 204, 232, 260,
301, 343, 351
для уравнений второго по-
порядка 204
четвертого порядка
228
— Канторовича 319
— Коллатца 289
— комбинации решений 123
— конечных разностей — см. Конеч-
Конечно-разностный метод
— наименьших квадратов 250
— окаймления 204, 222
для уравнений второго порядка
221
— оптимальной аппроксимации 249,
250, 258 _
в^ (УA, L) 240, 249, 318
— переменных направлений 348, 351
— Писмена и Рекфорда 351
— предиктор-корректор 85
— простой факторизации для урав-
уравнений второго порядка 125
— четвертого порядка 136
— разностной аддитивной фактори-
факторизации 226
— Ритца 241
— сведения краевых задач к задаче
Коши 123
— Симпсона 58
— составной факторизации 131, 222
— Файлона 58, 165
— факторизации 135, 152, 204
— Эйлера 207
Модификация метода простой факто-
факторизации 133
Неприводимо диагонально преобла-
преобладающая матрица 167, 314
Неустойчивый численный процесс 13
Неявная разностная формула 68
— формула конечно-разностного ме-
метода 325
порядка k и степени /— 1, точ-
точная на £ процентов 89
Нижняя треугольная матрица 306
Нистрёма формула 84
Общая одношаговая формула 93
вполне регулярная 96
— регулярная 94
степени р 94
— разностная формула 67
k-то порядка 68
Оптимальная аппроксимация функ-
функционала 57, 59
— квадратурная формула 57
— матрица конечно-разностной схе-
схемы 185
— неявная формула 88
— явная формула 89
Оптимальные конечно-разностные
схемы 185, 196
— разностные формулы 86, 185, 196
Оптимальный координатный вектор
245, 251, 252
Оптимизация 10
— конечно-разностных методов 183,
190, 202
— общей разностной формулы 86
Оценка погрешности апостериорная
априорная 65
асимптотическая 55, 118
формулы Рунге — Кутта чет-
четвертой степени 114
Погрешность гарантированная 118
— дискретизации 71
— критическая 42
— округления 37
Подобные самосопряженные задачи
239
положительно определенные
краевые задачи 239
Покомпонентный итерационный ме-
метод 306
Последовательность численных про-
процессов 20
Постоянные возмущения 78
Почти оптимальная система коорди-
координатных функций 247, 254
Практическое значение а*-/--последэ-

Предметный указатель
863
вательности численных процессов
24
pft-L-последовательности чис-
численных процессов 25
Преобразование Фурье распределе-
распределения 196
Приводимая матрица 168
Простая факторизация для уравне-
уравнений второго порядка 125
четвертого порядка 136
Равномерная устойчивость 24
Разностная формула неявная 68
степени р 68
Распределение 195
Регулярная общая одношаговая фор-
формула 94
— самосопряженная положительно
определенная краевая задача 239
Решение уравнений численного про-
процесса 20
Ритца метод 241
Рунге — Кутта формула 98
третьей степени 98
четвертой степени 100
шестой степени 101
Самосопряженная положительно оп-
определенная краевая задача 238
Связь метода исключения Гаусса с ме-
методом простой факторизации 205,
229
— — окаймления с методом состав-
составной факторизации 222
Сильно устойчивая разностная фор-
формула 79
Система координатных функций почти
оптимальная 254
Скорость сходимости метода верхней
релаксации 317
Слабо циклическая матрица 314
Согласованная матрица 315
— 2-циклическая матрица 315
Соседние узлы 282
Спектральный радиус 304
Средняя скорость сходимости итера-
итерационного метода 305
Стандартная формула Рунге — Кутта
100
Стационарный итерационный процесс
305
Строго верхняя треугольная матрица
Строго нижняя треугольная матрица
306, 308
Сходимость аддитивной разностной
факторизации 130, 226
— итерационного метода 304
Гаусса — Зейделя 314
Якоби 308
— конечно-разностных методов 167,
179, 182,294,327,348
— линейного стационарного итера-
итерационного метода 304
— метода верхней релаксации 314
переменных направлений 349
— общей одношаговоЙ формулы 93
— оптимальной аппроксимации 242,
250
— разностных формул 68
— формулы Рунге — Кутта 114
Счет с плавающей запятой 36
фиксированной запятой 36
Тождества Марчука 153, 175, 322
для уравнений второго порядка
153, 155
четвертого порядка 176
Треугольная сетка конечно-разност-
конечно-разностного метода 279, 319
Трех восьмых правило 100
Устойчивость алгоритма 64
— в смысле Дальквиста 70, 108
— итерационного метода 304
— метода исключения 303
— к постоянным возмущениям 78
— разностных формул 76
— численного процесса 13
Формула Адамса — Башфорта 67, 109
— Адамса — Мултона 67
— Гилла 100, 101
— Ковелла 111
— Кранка — Николсона 325, 337 341,
350
— Куртиса 102
— Милн — Симпсона 67, 84
— Нистрёма 67, 84
— Рунге — Кутта 98, 100
— Симпсона 58, 194
— Штёрмера 109
2-Циклическая матрица 315

364
Предметный указатель
Численная устойчивость 10, 23, 46,
255, 337
аддитивной факторизации 130
глобальная 42
— — итерационного метода Гаусса —
Зейделя 314, 317
Якоби 308
конечно-разностных методов
327
липшицевского типа 22
локальная 42
метода исключения 205, 232,
301
окаймления 223
переменных направлений
349
простой факторизации 127,
137
общей одношаговой формулы
93, 108
разностной формулы 76, 82
— — оптимальной аппроксимации
265
равномерная 23
решения численного процесса
22
составной факторизации 131
формулы Рунге — Кутта 95, 97
Численно оптимальная система коор-
координатных функций 266
Численный процесс 20
Штёрмера формула 109
Явная разностная формула 68
— формула для конечно-разностного
метода 325
Якоби итерационный метод 307
(а, Ь) -липшицевски устойчивое ре-
решение 22
(а, Ь) -устойчивое решение 22
(а, Ь) -L-устойчивое решение 22
л-я оптимальная аппроксимация 241,
249
р-граничные узлы 348
(^-последовательность численных про-
процессов 23
а*-/.-последовательность числен-
численных процессов 24
a* (Pft)-/.-последовательность 39
Pit-L-последовательность численных
процессов 24

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 5
Из предисловия 7
Глава 1. Введение 9
§ 1.1. Оптимизация 10
§ 1.2. Численная устойчивость 10
§ 1.3. Возможность и надежность 11
Глава 2. Устойчивость численных процессов и оптимизация вычислений 13
§ 2.1. Устойчивые и неустойчивые численные процессы . . • . . 13
§ 2.2. Устойчивость численных процессов 20
§ 2.3. Приложения 25
2.3.1. Устойчивость процесса в примере 2.26 25
2.3.2. Счет в примере 2.2а 30
2.3.3. Счет в примере 2.3 . 4 30
2.3.4. Счет в примере 2.1 31
2.3.5. Счет в примере 2.4 34
§ 2.4. Некоторые проблемы численной устойчивости 36
2.4.1. Вычисления с фиксированной и плавающей запятой 36
2.4.2. О максималистском и статистическом характере оши-
ошибок округления 38
2.4.3. Практическое значение понятия ад (Рд)^-последова-
тельности *. 39
2.4.4. Локальная и глобальная устойчивость ........ 41
2.4.5. Итерационные процессы и численная устойчивость . . 46
§ 2.5. Асимптотические оценки и численная устойчивость .... 53
2.5.1. Асимптотическая оценка погрешности численного про-
процесса '..... • 53
2.5.2. Асимптотические оценки и численная устойчивость . . 55
§ 2.6. О некоторых проблемах оптимизации 57
2.6.1 Оптимальная аппроксимация функционалов в гильбер-
гильбертовом пространстве 57
2.6.2. Об оптимальной квадратурной формуле 57
Глава 3. Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 63
§ 3.1. Введение ; 63
3.1.1. Вводные замечания 63
3.1.2. Оценки ошибок; ;....:; 65
§ 3.2. Разностные методы ... 66
3.2.1. Общая разностная формула , 67
3.2.2. Сходимость разностных формул .,. 68
. . 3.2.3. Устойч.ив.ость. разнрстиьщ форцул .......... 76

366 Оглавление
3.2.4. Некоторые наиболее употребительные разностные
формулы 83
3.2.5. Пример 85
3.2.6. Оптимальные разностные формулы 86
§ 3.3. Общие одношаговые методы "93
3.3.1. Сходимость и устойчивость общих одношаговых ме-
методов 93
3.3.2. Формулы Рунге — Кутта третьей степени 98
3.3.3. Формулы Рунге —Кутта четвертой степени 100
§ 3.4. Системы дифференциальных уравнений. Уравнения высших
порядков 106
§ 3.5. Оценки погрешности 113
3.5.1. Введение 113
3.5.2. Оценки погрешности метода Рунге — Кугта 114
3.5.3. Асимптотические ошибки 118
Глава 4. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений - 121
§ 4.1. Введение 121
§ 4.2. Сведение краевой задачи к задаче Кошн 123
4.2.1. Метод комбинации решений 123
4.2.2. Простая факторизация для уравнения второго порядка 125
4.2.3. Аддитивная факторизация 129
4.2.4. Составная факторизация 131
4.2.5. Численная устойчивость методов сведения краевых
задач к задачам Коши 134
4.2.6. Простая факторизация для уравнения четвертого по-
порядка 136
4.2.7. Устойчивость системы уравнений, входящей в метод
простой факторизации для уравнения четвертого по-
порядка 137
4.2.8. Факторизация системы уравнений 152
§ 4.3. Метод конечных разностей 152
4.3.1. Введение 152
4.3.2. О некоторых интегральных тождествах, используе-
используемых при решении самосопряженных дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка 153
4.3.3. Метод конечных разностей для самосопряженного диф-
дифференциального уравнения второго порядка 157
4.3.4. Другой подход к построению конечно-разностных фор-
формул 164
4.3.5. Сходимость метода конечных разностей 167
4.3.6. Примеры 168
4.3.7. Метод конечных разностей решения самосопряжен-
самосопряженных краевых задач для дифференциальных уравнений
более высокого порядка 174
§ 4,4. Оптимизация разностных формул для уравнений второго
Порядка ,.,......,,,,,.,. 183

Оглавление 367
4.4.1. Введение 183
4.4.2. Об оптимальных конечно-разностных схемах .... 185
4.4.3. Построение асимптотически оптимальной последова-
последовательности матриц 187
4.4.4. Оптимальные схемы в пространстве W^ • ..... 190
4.4.5. Некоторые основные положения теории преобразова-
преобразований Фурье 195
4.4.6. О проблеме оптимальных конечно-разностных схем
для бесконечных интервалов 196
4.4.7. Об оптимальных схемах в пространстве W*£> .... 202
§ 4.5. Решение систем уравнений, возникающих в методе конеч-
конечных разностей 204
4.5.1. Метод исключения Гаусса для уравнений второго по-
порядка 204
4.5.2. Метод окаймления для уравнений второго порядка 221
4.5.3. Разностная аддитивная факторизация 226
4.5.4. Метод исключения для дифференциальных уравнений
четвертого порядка 228
§ 4.6. Вариационные методы 236
4.6.1. О проблемах оптимальной аппроксимации 236
4.6.2. Некоторые основные результаты о положительно оп-
определенных краевых задачах для обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений 237
4.6.3. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве
3(V~A, L) 240
4.6.4. О применении метода оптимальной аппроксимации к
одной конкретной задаче в пространстве 21 (У A, L) 242
4.6.5. О выборе оптимального базиса в пространстве
3 (VI, L) 245
4.6.6. О методе оптимальной аппроксимации в пространстве
31 (A, L) 249
4.6.7 О другом оптимальном свойстве метода оптимальной
аппроксимации в пространстве 3 (A, L) 250
4.6.8. О выборе оптимального базиса в пространстве 3 (A, L) 251
4.6.9. Заключительные замечания 255
§ 4.7. Устойчивость численных процессов решения краевых задач
методом оптимальной аппроксимации 255
4.7.1. Численная устойчивость методов § 4.6 255
4.7.2. О некоторых основных свойствах метода исключения
Гаусса 250
4.7.3. Численно оптимальные системы координатных функций 235
Глава 5. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными эллиптического типа 271
§ 5.1. Введение 271
§ 5.2. Метод конечных разностей 274
5.2.1. Введение 274
5.2.2. О конечно-разностном методе для самосопряженного
уравнения второго порядка в случае квадратной сетки 274

368 Оглавление
5.2.3. О конечно-разностных методах для самосопряженного
уравнения второго порядка в случае треугольной сетки 279
5.2.4. О простейшей формулировке краевых условий Дирихле
для уравнения второго порядка 281
5.2.5. Другие формулировки краевого условия Дирихле . . 284
5.2.6. О формулировке краевых условий общего вида . . . 290
5.2;7. О сходимости- конечно-р>азяостных методов 294
5.2.8. Конечно-разностные методы решения самосопряженных
краевых задач для уравнений более высокого порядка 296
§ 5.3. Решение конечио-разностиых уравнений, соответствующих
дифференциальным уравнениям второго порядка 300
5.3.1. Введение 300
5.3.2. Метод исключения 301
5.3.3. Итерационные методы ■ 303
5.3.4. Итерационный метод Якоби 307
5.3.5. Итерации Гаусса — Зейделя и верхняя релаксация. . 312
§ 5.4. Вариационные методы решения краевых задач 318
5.4.1.- О проблеме оптимальной аппроксимации 318
5.4.2. О решении задачи Дирихле для уравнения _Лапласа
методом оптимальной аппроксимации в 3) (У A, L) . . 318
5.4.3. Метод Канторовича 319
Глава 6. Дифференциальные уравнения с частными производными пара-
параболического типа . . 321
§ 6.1. Конечно-разностный метод для одномерных задач 321
6.1.1. Разностные уравнения 321
6.1.2. Сходимость метода конечных разностей 327
6.1.3. Некоторые вопросы численной устойчивости 337
§ 6.2. Конечно-разностные методы для двумерных задач 345
6.2.1. Построение, сходимость я численная устойчивость не-
некоторых простых формул . • .... 345
6.2.2. Методы переменных направлений 351
Библиография 354
Именной указатель 359
Предметный указатель 361
И. БАБУШКА, Э. ВИТАСЕК. М. ПРАГЁР
Численные процессы решения дифференциальных уравнений
Редактор Д. Ф. Борисова. Художник Л. Г. Ларский
Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор Я. Д. ТолстЯкова
Сдано в производство Ю/П 1969 г. Подписано к печати I8/VII 1969 г. Бум. для глуб.
печ. бОхЭО'/к-П.б бум. л. Усл. неч. л. 23. Уч.-изд. л. 19,55. Изд. № 1/498?. Цена Г р. 59 к.
Зак. 78
Издательство *Мир», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29