Автор: Лифанов И.К.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика интегралы интегральные уравнения
ISBN: 5-88929-003-7
Год: 1995
Похожие
Текст
И.К.Лифанов
МЕТОД
СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
в математической физике, аэродинамике,
теории упругости
и дифракции волн
МОСКВА
ТОО'Янус"
1995
ИЗДАНИЕ ОСУЩЕСТВЛЕНО ПРИ ФИНАНСОВОЙ ПОДДЕРЖКЕ
РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
СОГЛАСНО ПРОЕКТУ N 95-01-02800
ББК В193.3
Л 64
УДК517.94
Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный
эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифрак-
дифракции волн).-М.: ТОО "Янус", 1995.-520 с.
ISBN 5-88929-003-7
Даны элементы теории решения сингулярных интегральных уравнений в классе
абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций, а также теории потенциала
простого и двойного слоев для уравнения Гельмгольца. На основе этих результатов
дано сведение широкого круга краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца,
а также задач аэродинамики, электротехники и теории упругости к краевым сингу-
сингулярным или гиперсингулярным интегральным уравнениям. Исследованы некоторые
свойства этих уравнений. Для сингулярных интегралов и сингулярных интегральных
уравнений приведены методы вычислений и численного решения (типа метода дис-
дискретных вихрей и интерполяционного типа) как в классе абсолютно интегрируемых,
так и в классе неинтегрируемых функций. На основе этих результатов было дано
математическое обоснование метода дискретных вихрей численного решения задач
аэродинамики. Даны примеры вычислений, приведено построение дискретных мате-
математических моделей для широкого круга задач: стационарных и нестационарных,
линейных и нелинейных, плоских и пространственных задач аэродинамики, включая
обтекание шюхообтекаемых тел (т.е. тел, имеющих острые кромки, углы). Кроме
этого, построены дискретные математические модели также и для некоторых плоских
задач теории упругости и электростатики, которые могут служить основой численного
эксперимента в этих прикладных областях. Приведены результаты расчетов конкрет-
конкретных задач.
Для специалистов по численному эксперименту в аэродинамике, теории упругос-
упругости, дифракции волн, а также математиков, занимающихся теорией и численными
методами в сингулярных интегральных уравнениях. Может быть полезна аспирантам
и студентам ВУЗов.
„1602010000-03,, . /ps „ v п . ,оос
л ооггпо " Без объявл. ч* И.К.Лифанов, 1995
22ii@3)
ISBN 5-88929-003-7
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Раздел I. Элементы теории сингулярных уравнений 10
Глава 1. Одномерные сингулярные интегралы 11
1.1. Функции, удовлетворяющие условию Гельдера на кривой и
понятие интеграла Коши 11
1.2. Предельные значения интеграла Коши 16
1.3. Представление интеграла Коши в окрестности узлов
кривой 17
1.4. Сингулярные интегралы, зависящие от параметра.
Формула Пуанкаре—Бертрана 19
1.5. Интеграл с ядром Гильберта 24
1.6. Сингулярные интегралы от неинтегрируемых функций 25
Глава 2. Одномерные сингулярные интегральные уравнения 29
2.1. Решение задачи Коши —Римана в классе абсолютно
интегрируемых и неинтегрируемых функций 29
2.2. Решение уравнений на кусочно-гладких кривых в классе
абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций 37
2.3. Уравнение на отрезке, системе отрезков 45
2.4. Уравнение на замкнутом гладком контуре и с ядром Гильберта 53
Глава 3. Сингулярные интегральные уравнения с кратными
сингулярными интегралами 59
3.1. Кратные интегралы типа Коши 59
3.2. Уравнения с кратными интегралами типа Коши 65
3.3. Уравнения с действительными постоянными коэффициентами на
произведениях отрезков и окружностей 77
3.4. Уравнения с кратными интегралами с ядрами Гильберта 83
Раздел II. Сведение краевых задач математической физики и
некоторых прикладных областей к сингулярным
интегральным уравнениям 92
Глава 4. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца.
Плоский случай 93
4.1. Некоторые сведения из теории потенциалов 93
4.2. Задача Дирихле 104
4.3. Задача Неймана 114
4.4. Узлы кривых и особенности решений 122
Глава 5. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца.
Пространственный случай 131
5.1. Некоторые сведения из теории потенциалов 131
5.2. Задача Дирихле 135
5.3. Задача Неймана 141
Глава 6. Стационарные задачи аэрогидродинамики. Плоский случай 158
6.1. К постановке задач аэродинамики в общем случае 158
6.2. Задачи для профиля, решетки профилей 159
6.3. Задачи для профиля при наличии эжектирования 164
6.4. Учет толщины профиля с помощью снесения граничных условий
на среднюю линию 168
6.5. Учет проницаемости поверхности тонкого профиля 173
Глава 7. Стационарные задачи аэрогидродинамики.
Пространственный случай , 175
7.1. О моделировании обтекаемого тела вихревой
поверхностью (слоем) 175
7.2. Бесциркуляционное обтекание произвольной
несущей поверхности 179
7.3. Стационарные нелинейные задачи 185
7.4. Циркуляционное обтекание крыла конечного размаха
прямоугольной формы в плане 190
4 : ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 8. Нестационарные задачи аэрогидродинамики 194
8.1. Пространственная нестационарная задача
аэрогидродинамики 194
8.2. Задача для профиля с угловыми точками 197
8.3. Линейная нестационарная задача для тонкого профиля. Гипотеза
Чаплыгина—Жуковского 199
8.4. Задача с жидкой границей 203
Глава 9. Нахождение аэрогидродинамических характеристик 207
9.1. Кинематические параметры. Пространственный общий случай 207
9.2. Плоский общий случай 213
9.3. Бесциркуляционное обтекание. Присоединенные массы 215
Глава 10. Некоторые задачи электростатики 218
10.1. Плоская основная задача электростатики 218
10.2. Одна смешанная краевая задача электростатики 222
Глава 11. Некоторые задачи математической физики 224
11.1. Парные сумматорные уравнения 224
11.2. Дифракция скалярной волны на плоской решетке.
Задача Дирихле и Неймана для уравнений Гельмгольца 236
Глава 12. Задачи теории упругости 243
12.1. Плоские задачи теории упругости 243
12.2. Контактная задача о вдавливании равномерно
движущегося штампа в упругую полуплоскость
с учетом тепловыделения 247
12.3. О вдавливании пары равномерно движущихся
штампов в упругую полосу 255
Раздел III. Вычисление значений сингулярных интегралов 259
Глава 13. Квадратурные формулы метода дискретных вихрей для
одномерных сингулярных интегралов 260
13.1. Метод регуляризации сингулярного интеграла 260
13.2. Сингулярный интеграл по замкнутому гладкому контуру и с
ядром Гильберта 262
13.3. Сингулярный интеграл по отрезку 268
13.4. Сингулярный интеграл по кусочно-гладкой кривой 277
13.5. Соединение квадратурных и разностных формул для
сингулярных интегралов на отрезке и с ядром Гильберта 282
13.6. Сингулярные интегралы, связанные с краевыми
задачами Лапласа и Гельмгольца 285
Глава 14. Квадратурные формулы интерполяционного типа для
одномерных сингулярных интегралов и операторов 292
14.1. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта 292
14.2. Сингулярный интеграл на окружности 297
14.3. Сингулярный интеграл на отрезке 299
Глава 15. Квадратурные формулы для кратных и многомерных
сингулярных интегралов 304
15.1. Квадратурные формулы для кратных сингулярных
интегралов типа метода дискретных вихрей 304
15.2. Квадратурные формулы для многомерных сингулярных
интегралов 308
15.3. Квадратурные формулы для сильно сингулярных
интегралов 315
15.4. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла крыла
конечного размаха 323
15.5. Примеры вычисления сингулярных интегралов 328
Глава 16. Доказательство формулы Пуанкаре-Бертрана
с помощью квадратурных формул 332
16.1. Одномерные сингулярные интегралы 332
16.2. Кратные сингулярные интегралы типа Коши 336
Раздел IV. Численное решение сингулярных интегральных
уравнений 340
Глава 17. Уравнения первого рода. Численный метод
типа метода дискретных вихрей 341
17.1. Характеристическое уравнение на отрезке 341
17.2. Полное уравнение на отрезке . 356
17.3. Уравнение на системе непересекающихся отрезков 361
17.4. Уравнение на окружности 366
ОГЛАВЛЕНИЕ-
17.5. Уравнение с ядром Гильберта 371
17.6. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа 379
17.7. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца 383
Глава 18. Уравнения первого рода. Интерполяционные методы 386
18.1. Об одном свойстве сингулярных интегральных
операторов 386
18.2. Общая схема построения численных методов
интерполяционного типа 391
18.3. Уравнения на отрезке и системе отрезков 392
18.4. Уравнения на окружности и с ядром Гильберта 399
18.5. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца 400
Глава 19. Уравнения второго рода. Интерполяционные методы 402
19.1. Уравнение с постоянными коэффициентами на отрезке 402
19.2. Уравнение с постоянными коэффициентами
на окружности 405
19.3. Уравнение с постоянными коэффициентами с ядром Гильберта 407
19.4. Уравнение с переменными коэффициентами на отрезке 409
19.5. Уравнение с переменными коэффициентами с ядром Гильберта 413
19.6. Примеры численного решения 415
Глава 20. Сингулярные интегральные уравнения с кратными
интегралами типа Коши 423
20.1. Характеристическое уравнение 423
20.2. Об одном интегро-дифференциальном уравнении 430
Раздел V. Дискретные математические модели
и примеры расчетов 433
Глава 21. Дискретные вихревые системы 434
21.1. Основные положения метода дискретных вихрей 434
21.2. Основные дискретные вихревые системы 436
Глава 22. Метод дискретных вихрей для плоских стационарных задач 444
22.1. Тонкий профиль, решетка профилей 444
22.2. Телесный и проницаемый профили 451
22.3. Профиль при наличии эжектирования внешнего потока 456
Глава 23. Метод дискретных вихрей для пространственных
стационарных задач 462
23.1. Прямоугольное крыло. Циркуляционное обтекание 462
23.2. Прямоугольное крыло. Бесциркуляционное обтекание 465
23.3. Плоское крыло произвольной формы в плане 469
23.4. Бесциркуляционное обтекание произвольной несущей
поверхности. Присоединенные массы 473
23.5. Стационарные линейные и нелинейные задачи 477
Глава 24. Метод дискретных вихрей в нестационарных задачах
аэродинамики 484
24.1. Линейная задача для тонкого профиля 484
24.2. Нелинейная задача для профиля 486
24.3. Пространственная нелинейная задача 491
24.4. Вопросы регуляризации в методе дискретных вихрей 494
Глава 25. Метод дискретных особенностей численного решения задач из
электродинамики и теории упругости 497
25.1. Плоская основная задача электростатики 497
25.2. Задачи из плоской теории упругости и теории штампов 498
Список литературы 505
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы при решении различных прикладных задач все
большее применение находят сингулярные интегральные уравнения [2,
18, 22, 32, 39, 42, 45, 119, 122, 127, 135, 141, 200, 201, 202, 211, 212,
214, 215, 232]. Следует отметить, что при аналитических исследованиях
в приложениях уже давно некоторые задачи стали сводить к сингуляр-
сингулярным интегральным уравнениям, так как для них в одномерном случае
удалось получить хорошую теоретическую базу (довольно полно она из-
изложена в монографиях [100, 201]). Для характеристических уравнений
была построена теория получения всех решений в классе абсолютно ин-
интегрируемых функций. Этот класс функций наиболее естественен для
прикладных задач.
Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений и
методы вычисления сингулярных интегралов начали развиваться значитель-
значительно позже теоретических исследований. Первые работы появились только в
30-х годах [143, 324]. Обзоры состояния численных методов решения этих
уравнений в различных работах [39, 76, 124, 170, 222, 286, 325].
Интересно отметить вообще тенденцию развития численных методов
решения интегральных уравнений. Наибольшее развитие численные ме-
методы получили для интегральных уравнений Фредгольма второго рода с
"хорошими" ядрами. Для таких уравнений были построены численные
методы: а) высокой точности, применимые к достаточно узким классам
уравнений, когда искомое решение интерполируется специальными мно-
многочленами или частичными суммами рядов из собственных функций со-
соответствующих операторов; б) основанные на применении к интегралу
квадратурных формул типа прямоугольников или аналогичных доста-
достаточно общих квадратурных формул с использованием одной сетки точек,
по которым такие квадратуры строились.
При построении численных методов для сингулярных интегральных
уравнений столкнулись со следующей проблемой. Сингулярный инте-
интеграл—это интеграл в обычном смысле расходящийся и понимается в не-
некотором специальном смысле. В силу этого математики посчитали, что к
таким интегралам нельзя применять квадратурные формулы типа прямо-
прямоугольников, и поэтому для сингулярных интегральных уравнений внача-
вначале начали развивать численные методы интерполяционного типа. Однако
такие методы практически не удается распространить на двумерные син-
сингулярные интегральные уравнения, которые естественным образом воз-
возникают в различных приложениях (в аэродинамике, электродинамике,
теории упругости) при решении пространственных задач. Но практиче-
практические задачи не могут ждать пока будет построена хорошая математиче-
математическая теория их численного решения. Их надо решать тогда, когда этого
требует жизнь. Поэтому в начале пятидесятых годов в работах по аэро-
аэродинамике, где сингулярные уравнения возникают при естественном моде-
моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем, с помощью эври-
ПРЕДИСЛОВИЕ
стических соображений и численных экспериментов на ЭВМ
С.М.Белоцерковским [25, 28] был создан метод дискретных вихрей чис-
численного решения соответствующих сингулярных интегральных уравне-
уравнений на отрезке (обтекание тонкого профиля) и на прямоугольнике
(обтекание крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане).
Идея метода дискретных вихрей состоит в следующем. Непрерыв-
Непрерывный вихревой слой, моделирующий несущую поверхность и след за нею,
заменяется системой дискретных вихрей. На несущей поверхности выби-
выбираются точки, называемые расчетными, в которых выполняется условие
непротекания (сумма нормальных составляющих скоростей, индуцируе-
индуцируемых вихрями, и набегающего потока равна нулю). Задача нахождения
неизвестных циркуляции дискретных вихрей сводится к системе алгеб-
алгебраических уравнений. Решение задачи не единственно и может иметь
особенности на кромках и изломах несущей поверхности. Нужный класс
решения определяется физическим содержанием задачи и выделяется
выбором взаимного расположения множества дискретных вихрей и рас-
расчетных точек (Б-условие метода дискретных вихрей). К тем кромкам, где
решение должно быть неограниченным, ближайшими располагаются
дискретные вихри, а к тем где оно должно быть ограниченным расчетные
точки. Кроме того, суммы, которыми заменяются сингулярные интегралы
в теории несущей поверхности, должны соответствовать главным значе-
значениям интегралов в смысле Коши. Для этого внутренние расчетные точки
должны лежать посередине между вихрями на поверхности (или стре-
стремиться к этим положениям). Именно в таком виде впервые был сформу-
сформулирован метод дискретных вихрей в 1955 г. в докторской диссертации
С.М.Белоцерковского [27], после чего началась систематическая реали-
реализация его в аэродинамике [28, 30—32, 39, 42, 45, 285]. Более подробно
идеи метода дискретных вихрей даны в гл. 22 и 23 этой монографии, а
геометрическое изображение взаимного расположения множеств дискрет-
дискретных вихрей и расчетных точек на рис. 22.1, 23.1, и 23.2. Так как по су-
существу метод дискретных вихрей использует вычисление сингулярного
интеграла с помощью специальных квадратурных сумм типа прямо-
прямоугольников, а при выборе класса решения не используется явное выделе-
выделение особенности на кромках, то он начал подвергаться критике [217].
Поэтому С.М.Белоцерковский совместно с Я.Е.Полонским привлекли
автора, в то время занимающегося общей топологией, к математическому
обоснованию основных идей метода дискретных вихрей, что и было сде-
сделано им в ряде работ [146, 147-157], завершившихся защитой в 1981 г.
докторской диссертации. После этого удалось перенести идеи метода
дискретных вихрей в теорию упругости и электродинамику [37, 38, 43,
70-97, 157]. Эти первые результаты были изложены в [39, 285].
Интересно отметить, что уже в этих первых работах и в последую-
последующих проявилось взаимное влияние прикладных задач и математических
исследований. Так задачи обтекания профиля с эжекцией [52,53] приве-
привели к необходимости рассмотрения для сингулярных интегральных урав-
уравнений решений в классе функций, имеющих в некоторой точке особен-
особенность вида l/(x-q), т.е. в классе неинтегрируемых функций. С другой
стороны, изучение такого класса решений привело к решению новой
прикладной задачи - организации безударного обтекания телесного про-
профиля с помощью отсоса внешнего потока [319,320]. Л.Н.Полтавский дал
[167] математическое обоснование метода дискретных вихрей в линейной
ПРЕДИСЛОВИЕ
нестационарной задаче для тонкого профиля и доказал [218] для этой
задачи гипотезу Чаплыгина-Жуковского-Кутта: интенсивность присоеди-
присоединенного вихревого слоя при подходе к той кромке, с которой сходит
вихревая пелена, обращается в нуль. Приняв эту гипотезу для тел с
углами, в работах [8, 40,44, 165, 166] удалось численно решить с по-
помощью метода дискретных вихрей задачу обтекания плохообтекаемых
тел. В этих же работах выяснилось, что метод дискретных вихрей—это
метод численного решения сингулярных (гиперсингулярных) интеграль-
интегральных уравнений, получаемых при решении краевой задачи Неймана для
уравнения Лапласа с помощью потенциала двойного слоя относительно
градиента скачка (скачка) этого потенциала на обтекаемой поверхности.
Результаты расчетов плохообтекаемых тел вместе с результатами книги
[39] опубликованы в USA [285].
В последнее время выяснилось [282], что аналогичные методы чис-
численного решения удается получить для гиперсингулярных интегральных
уравнений, получаемых при решении задачи Неймана для уравнения
Гельмгольца с помощью потенциала двойного слоя, а, следовательно,
численно решать задачи дифракции волн.
Таким образом, метод дискретных вихрей и метод дискретных осо-
особенностей (являющийся его обобщением) нашли широкое применение
при решении прикладных задач [18,28,32, 39, 42, 45, 86, 87, 90, 91]. Это
метод численного решения сингулярных интегральных уравнений и гра-
граничных интегральных уравнений теории потенциала для уравнения
Лапласа и Гельмгольца. Однако монографии [100, 201], в которых дано
хорошее изложение теории сингулярных интегральных уравнений, стали
библиографической редкостью, и в них нет решения этих уравнений в
классах неинтегрируемых функций. В литературе по аэродинамике нет
удобного изложения теории потенциала применительно к задачам аэро-
аэродинамики, а тем более получения сингулярных интегральных уравнений
в этой области как краевых интегральных уравнений теории потенциала.
Кроме того, появилось довольно много новых результатов теоретического
и вычислительного характера, которые опубликованы только в журналь-
журнальных статьях [282, 304, 315, 318, 319, 320, 322]. Эти моменты и явились
побудительными для написания данной монографии, которая состоит из
пяти разделов.
В первом разделе излагаются элементы теории сингулярного инте-
интеграла и сингулярных интегральных уравнений в классе абсолютно ин-
интегрируемых и неинтегрируемых функций. Рассмотрены также такие
уравнения с кратными интегралами типа Коши и Гильберта.
Во втором разделе даны элементы теории потенциала для уравнения
Гельмгольца. Показано, как задачи Дирихле и Неймана для уравнений
Лапласа и Гельмгольца сводить к сингулярным интегральным уравнени-
уравнениям. В плоском случае изучены особенности решения таких уравнений в
угловых точках. Целый ряд стационарных и нестационарных, плоских и
пространственных задач аэрогидродинамики сформулированы в виде
краевых задач и потом сведены к краевым сингулярным интегральным
уравнениям. Для этих интегральных уравнений указаны некоторые осо-
особенности их решений. Такой же путь проделан для ряда задач электро-
электростатики, для парных сумматорных уравнений и некоторых плоских за-
задач теории упругости.
ПРКЛИСЛОВИЕ
В третьем разделе даны методы вычислений различных одномерных
и двумерных сингулярных интегралов, встречающихся во втором разде-
разделе. Впервые излагаются квадратурные формулы типа дискретных вихре-
вихревых пар в плоском случае и замкнутых вихревых рамок в простран-
пространственном случае для сингулярных интегралов, встречающихся в задачах
дифракции волн. Приведены конкретные расчеты некоторых сингуляр-
сингулярных интегралов.
В четвертом разделе квадратурные формулы, полученные в третьем раз-
разделе, применены к численному решению сингулярных интегральных
уравнений первого и второго рода с постоянными и переменными коэф-
коэффициентами. При этом такие уравнения рассмотрены как для уравнений
с ядром Коши, так и с ядром Гильберта.
В пятом разделе на основе результатов третьего и четвертого разделов
даны дискретные математические модели задач аэродинамики, электродина-
электродинамики и теории упругости, рассмотренных во втором разделе, на основе кото-
которых можно проводить численный эксперимент в этих областях.
В заключении хочется выразить глубокую признательность
С.М.Белоцерковскому за то, что он обратил внимание автора на ту об-
область математики, которая затронута в этой книге, а также глубокую
благодарность В.А.Апаринову, Н.Г.Афендиковой, В.И.Бушуеву, В.И.
Гайдаенко, Ю.В.Ганделю, А.В.Двораку, В.В.Демидову, В.А.Зиберову,
С.И.Козлову, И.И.Лифанову, А.Ф.Матвееву, А.А.Михайлову, Н.М.Мо-
лякову, М.И.Ништу, Л.Н.Полтавскому, А.П.Ревякину, Е.Б.Родину,
А.В.Саакяну, М.М.Солдатову, И.Я.Тимофееву, С.В.Тицкому и С.Д.Ше-
пилову за предоставление теоретических и расчетных материалов и по-
полезные советы.
Раздел I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Многие прикладные задачи механики сплошной среды
(аэродинамики, теории упругости, электродинамики и других об-
областей) естественным образом сводятся к сингулярным интеграль-
интегральным уравнениям. При этом плоские задачи, которые часто явля-
являются хорошими модельными задачами, сводятся к одномерным
сингулярным интегральным уравнениям, для которых имеется до-
довольно полная, хорошо изложенная в монографиях [100,201] тео-
теория. Однако эти монографии, с одной строны, являются в на-
настоящее время библиографической редкостью, а с другой —они
содержат слишком обширный материал, в котором трудно ориен-
ориентироваться прикладнику. Поэтому в данной книге приводятся в
сжатом, доступном для прикладников виде, некоторые основные
сведения из теории одномерных сингулярных интегралов и урав-
уравнений с такими интегралами.
Глава 1
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. Функции, удовлетворяющие условию Гёльдера на кривой,
и понятие интеграла типа Копта
Ниже рассматриваются лишь линии, расположенные на
плоскости. Система координат OXY на плоскости предполагается
декартовой, правой. Под гладкими линиями понимаются простые
линии, т.е. те которые не пересекают сами себя.
Гладкой разомкнутой кривой (дугой) L называется линия,
которую можно описать параметрически следующим образом:
X=x(s), t/=t/(s), 5Л^5^56, A.1.1)
где sa и sb —некоторые постоянные, a x(s), у(s)—непрерывно
дифференцируемые функции на [sa,sb], причем производные
x'(s), y'(s) одновременно в нуль не обращаются. Различным зна-
значениям параметра s e[sa,sb] соответствуют различные точки кри-
кривой L.
Если через t=x(s)+ iy(s), где г —мнимая единица, обозначить
точки кривой L, то между t и s существует взаимно однозначное
соответствие.
Иногда кривую L, описанную выше, будем обозначать aby
где a=t(sa), b=t(sb).
Гладким замкнутый контуром L называется гладкая кривая,
у которой x(sb)=x(sa), y(sb)=y(sa) причем *'(sfc-0)=*'(sfl+0),
и уЧ55-О)=г/'Eй+О). Таким образом, в этом случае функции x(s),
y(s) и x'(s), y'(s) можно рассматривать как периодические с пе-
периодом T=[saysb]. Другими словами, гладкая замкнутая кривая
(контур) имеет непрерывно меняющийся орт касательной к точке
кривой, когда эта точка описывает кривую.
Гладкой линией (простой) называется совокупность конечно-
конечного числа замкнутых или разомкнутых гладких контуров, не
имеющих общих точек (в том числе и концов).
Кусочно-гладкой называется кривая, состоящая из конечного
числа гладких разомкнутых кривых, не имеющих общих точек, за
исключением, быть может, концов. Будем говорить, что эта кри-
кривая имеет только угловые узлы, если в каждом узле любые две
гладкие кривые сходятся под углом, отличным от нулевого, т.е.
узел не является точкой возврата.
12 Глава 1
Пусть L—простая кусочно-гладкая кривая, т.е. состоит из
конечного числа гладких разомкнутых кривых tf/0?, а&з,...,
ап^ап> расположенных так, что конечная точка каждой
предыдущей гладкой кривой совпадает с начальной точкой после-
последующей, которая имеет только угловые узлы. Тогда f201] для
любой пары точек th t2 на кривой L: выполняется неравенство
Koa(tbt2) < r[tht2) Z o(tht2), A-1-2)
где ст(^|, ^) —длина части кривой L, заключенной между точками
tj и t2, причем если L — замкнутая, то а^,^) обозначает мень-
меньшую длину; г^,^) = |*i - *г| —расстояние между точками ?/, и t2
на плоскости OXY; Kq не зависит от положения точек ?/ и t2 на
кривой L, при этом 0<К$ <1.
Заметим, что если кусочно-гладкая кривая L имеет только
угловые узлы, то для ее точек также выполняются неравенства
A.1.2).
Определение 1.1,1. Функция <р(?) переменной t (вообще го-
говоря, комплексной) удовлетворяет условию Я(ц) (условию Гёль-
дера степени ц ) на данном множестве Т значений этой перемен-
переменной, если для любых значений t\ и t2 из этого множества имеем:
Ш-*(фА\Ь-^, A-1-3)
где Лиц —положительные числа ( 0 < \х й 1).Постоянную А на-
называют коэффициентом, а ц —показателем условия Я(ц). Если
показатель ц нас не интересует, то будем говорить, что функция
<t(t) удовлетворяет условию Я (или принадлежит классу Я) на
множестве Г, и будем писать <р(?) е Я(ц) или <р(?) е Я .
Заметим, что если <р(?) е Я(ц), то \<p(t)\ e Я(ц).
Понятие условия Я естественно обобщается на случай функ-
функции нескольких аргументов. Функция ф(^,...,^п) удовлетворяет
условиям Я(ц1,...,цп) (или просто Я) на множестве Т перемен-
переменных tj, t2}..., tn ,если для любых двух точек (t{,...,t'n) и
(t{',...,t% ) из этого множества выполняется неравенство
где
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13
Из A.1.4) следует, что если <р(?)е#, то <р принадлежит
классу#(цд) по переменной tk, ?=1,...,я, равномерно относитель-
относительно остальных переменных. Верно и обратное.
В дальнейшем, говоря, что функция <f(ti,...,tn) удовлетворя-
удовлетворяет условию Я по каждой переменной в отдельности, будем пред-
предполагать, что условие удовлетворяется равномерно относительно
остальных переменных. Гладкая разомкнутая кривая L называет-
называется кривой Ляпунова, если производная t'(s) удовлетворяет усло-
условию #(<х) на [sa,Sfc]. В этом случае, как показано в [201], отно-
t-tQ t(s)-t(s0)
шение — = -^ *—- удовлетворяет условию #(а) по обеим
s-sQ s-Sq v '
переменным 5 и sq и не обращается в нуль на [ sa, s& ]. Последнее
следует из следующей леммы, доказанной там же.
Лемма 1.1.1. Пусть функция f(s) действительного перемен-
переменного 5, заданная на отрезке [sa,s&], имеет непрерывную на этом
отрезке п-ю производную f^n'(s) .Тогда функция
s,s0 e[sa,sb],
<5>
1. имеет непрерывными все частные производные (п - 1)-го по-
порядка, т.е.
= *-1;
OS OSq
2, если fln'(s) €//(ц) на [sats^]f то предыдущие частные произ-
производные принадлежат классу Щ\х) по обеим переменным, и имеет
место представление
ш
где 1 - ц < X = const < 1, &(so,s) е Н у ^ произвольно взято из
указанного промежутка.
Доказательство: Справедливость первого пункта следует из
следующих формул:
J4 Глава i
s 1
da = {s-so)jf[so + u{s-so)]iu, A.1.7)
0
где Л + / = n - 1.
Для доказательства второго пункта вернемся в A.1.8) к пе-
переменной а, получим (заменяя k на ?-1)
где k - 1 + / = я - 1, т.е. k + / = я.
Дифференцируя обе части по 5, полагая / ? 1, и снова воз-
возвращаясь к переменной интегрирования и, получим
1 }
Обозначая через <p(so,s) множитель при в A.1.9),
s-sQ
получим, что <p(so,s) еЩр) (так как fn{s) еН{\>) ) и
О
Из последнего следует формула A.1.6). Аналогично рас-
рассматриваются случаи k = п, I = 0 или k = 0, / = п.
Кривую L будем называть кусочно-ляпуновской, если все ее
гладкие части являются кривыми Ляпунова.
Определение 1.1.2. Функция <p(t) принадлежит классу
H*lq(t) €#*] на кусочно-гладкой кривой L, если она может быть
представлена в виде
О7ТНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 15
где <р*(?)е#о на L (Hq—это класс функций, принадлежащих
классу Н на каждой гладкой части кривой L) v^ = а^ -I- ф^,
О ^ otfc < 1, Cfc(?=l,...,p)—все узлы кривой L.
Если же хотя бы для одного k будет выполняться неравен-
неравенство ot? > 1, то будем писать <р(?) € #**. Без уменьшения общ-
общности можно считать, что <р(?) еН на L.
Напомним теперь определение сингулярного интеграла типа
Коши на кусочно-гладкой кривой.
Определение 1.1.3. Пусть точка to не совпадает ни с одним
узлом кривой L, т.е. является внутренней точкой. Опишем из to
как из центра окружность настолько малого радиуса s>0, чтобы
она пересекала L ровно в двух точках V и t", и обозначим через /
г <p(t)dt
дугу t't". Рассмотрим интеграл I ———. Если при е -> О этот
¦L\l 1~к
интеграл стремится к определенному пределу, то этот предел-и
называется главным значением интеграла по Коши:
/5Й* J^l* ъч. 0.1.11)
В [201] доказано, что класс Я* функций на кусочно-гладкой
кривой L инвариантен относительно операции взятия интеграла в
смысле главного значения Коши (сингулярного интеграла), т.е.
если <р(?) еЯ* на L, то Ф(^о) еЯ*на L.
Иногда в данной задаче целесообразно заменить кривую ин-
интегрирования L другой кривой L (сделать замену переменной в
сингулярном интеграле). При этом предполагается, что между
точками t гладких частей кривой L и точками X гладких частей
кривой Л можно установить взаимно-однозначное соответствие
t=t( X ) такое, что существует производная t'{x) = —, отличная
от нуля и принадлежащая классу Щ на Л. Пусть далее плот-
плотность (p(t) удовлетворяет условию Я в окрестности точки to
(отличной от узлов) и интегрируема на L. Тогда справедлива
формула [201]
A.1.12)
где
16
Глава 1
амз>
= t(xo) , tq —точка линии Л.
1,2. Предельные значения интеграла Копта
Для многих рассуждений при рассмотрении сингулярных ин-
интегральных уравнений и методов их численного решения большое
значение имеют свойства не только сингулярного интеграла Ф(^о)
на кривой L, но и интеграла Коши
Рис. 1.1. Выбор знаков "+" и "-" в окрестности
точки на кривой с заданным направлением.
Обозначим также для Ф(г)
где г—произвольная точ-
точка плоскости.
Пусть L —гладкая
разомкнутая кривая ab,
на которой задано на-
направление от а к 6, и
точка to отлична от а и Ь.
Часть плоскости в
окрестности точки to сле-
слева от нее при движении
от а к Ь пометим знаком
плюс, справа—знаком
минус (рис. 1.1).
(г), z-слева от t0,
ф~(*о) т Ит *(*) i г—справа от t0.
A.2.2)
Тогда для функции Ф(*), заданной формулой A.2.1), справедли-
справедливо утверждение: если <p(i) eH в окрестности точки to и интегри-
интегрируема на L, то
A.2.3)
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Л
Формулы A.2.3) справедливы и для случая, когда кривая
L—кусочно-гладкая, точка to отлична от узлов и на каждой глад-
гладкой части задано направление движения. Эти формулы A.2.3)
^называют формулами Сохоцкого—Племеля.
Иногда удобнее пользоваться формулами A.2.3) записанны-
записанными в виде
A.2.4)
Замечание 1.2Л. Если
точка to является угловой и
кривая L (рис. 1.2) состоит
из двух дуг at0 и t<Jb, то
формулы A.2.3) принимают
вид
Рис. 1.2. Кривая с угловой точкой.
Определение раствора угла.
A.2.5)
1.3. Представление интеграла типа Коши
в окрестности узлов кривой
Очень важным во многих вопросах является поведение инте-
интеграла Коши на концах кривой интегрирования.
Пусть в формуле A.2.1) кривая L есть дуга ab, а функция
<f{t) имеет вид
где с=а или с=6, <p*(i) eH на/,и v = a + ip.
Тогда для функции Ф[г) в окрестности точки с справедливы
следующие утверждения [201, §22]:
1) Если v= 0, то (<р*(?) = <р(*))
2-2775
18 Глава 1
A.3.2)
где знак минус для с=а и плюс для с=Ь. Под lnCz-c) понимаем
ветвь, голоморфную в окрестности точки с на разрезанной вдоль
L плоскости; Фо(^) голоморфна там же, и lim Фо(^) существует.
Z-+C
2) Если v = a + ip*0, то (z eL)
()
где знак плюс для с=а и минус—для с=6. При а = 0 функция
такая же, как в 1); при a > О
**%
, 0<a0<a, С>0 A.3.4)
3) Для точек io € ^ в окрестности точки с при v = 0 имеем
^4 - с) + Ф*(*о) - A3.5)
где Ф*(^0)€Я; функция 1п(^-с) непрерывно изменяется на L
(кроме точки с).
4) При v * 0 имеем
где при a = 0 функция Ф*(^о) берется из A.3.5) а при a > 0 она
имеет вид
еН в выбранной окрестности точки с, 0 < <хо < a .
Замечание 1.3.1. Если кривая L—кусочно-гладкая и в узле с
могут сходиться несколько гладких составляющих, то и функция
Ф(г) (г &L ), и функцияф(^о) (^о €^ ) имеют в точке с особен-
особенность того же типа [201, §26] (с соответствующим изменением
констант), что и в формулах A.3.2) —A.3.6).
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12
L Например, пусть кривая L со-
• стоит из двух дуг Lf^ac и L^cb
(рис. 1.3), и функция <р(?) имеет
вид A.3.1); причем <p*(t) = <p*(t) на
L/ и <p*(t) = <P2(t) на L2, ф*(^) и
Рис. 1.3. Кусочно-гладкая кривая L, Фг(^) удовлетворяют условию Н на
состоящая из двух гладких дуг. ц и ^ R окрестносги точки С-
Тогда в окрестности точки с вне L интеграл Коши A.2.1)
может быть представлен следующим видом:
^ ; 2isinv»t ()"
_ .^(c)-^;(c) _j_
v ; 2zsinv7t (^-c)v
A.3.7)
где Фо(^) при а = 0 такая же, как в A.3.2), а при а > 0—как в
A.3.3).
Для точек t0 eL в окрестности точки с функция Ф(*о) мо-
может быть представлена в виде
A.3.8)
где Ф*(^о) ПРИ а = 0 такая же, как A.3.5), а при <х>0— как в
A.3.6).
1.4. Сингулярные интегралы, зависящие от параметра.
Формула Пуанкаре—Бертрана
При рассмотрении сингулярных интегральных уравнений
приходится использовать одномерные сингулярные интегралы, за-
зависящие от параметра, и перестановку порядка интегрирования.
Вначале рассмотрим одномерные сингулярные интегралы,
плотность которых зависит от параметра Т :
20 Глава 1
; ; , (i.4.i)
где <р(*,т) удовлетворяет условию #(ц) по ? на L и условию
7/(v) по т на ограниченном множестве Т.
Справедлива следующая теорема [39, 285], уточняющая со-
соответствующий результат в [201].
Теорема 1.4.1. Функция Ф(<о,т) удовлетворяет условию.
H(y,v-s) на множестве LxT , где V—гладкая часть линии L, не
имеющая с ней общих концов, а 8 > 0 сколь угодно малое число.
Доказательство. В [201] показано, что Ф(*о,т) удовлетворяет
условию Н(v- е) при любом t$ eL .
Рассмотрим разность
I
Следуя [100], запишем
<t{t, т + h) - ф, т) = ф12 + Ф2,
Ф12 = [# х + А) - <р(<о, т + А)] - [ф^, т) - ф(^0, т)],
Поэтому
Так как ф(?,т) удовлетворяет условию Я(ц,у) на LxT, a
является ограниченной величиной на L', то
[t-tQ
. A-4.2)
С другой стороны, заметим [100], что
Из этих двух неравенств следует, что
где а —произвольное число в интервале от 0 до 1.
Если взять а = s/v, то полним
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 21
где s > 0 —сколь угодно малое число.
Из последнего неравенства для Ф|2 имеем
|Ф|2| — С\Щ рщЩ • A.4.3)
Из оценок A.4.2) и A.4.3) вытекает справедливость нашего
утверждения для функции ф(го,х)-
Теорема 1.4.2. Пусть L—гладкая замкнутая кривая, и функ-
функция cp(i,T|,...,Tw) удовлетворяет условию #(y,Vf,...,vm) на мно-
множестве LxT\x...xTm, где Тк —ограниченное множество перемен-
переменной %k (fc=l,...,m). Тогда функция
удовлетворяет условию /?(ц, v^ -sj,..., vm - sm) на LxT\x...xTm ,
где г^ —сколь угодно малое положительное число (k = l,...,m).
Если теперь L является отрезком, то справедлива следующая
теорема.
Теорема 1.4.3. Пусть функция <р(?,т) имеет вид
где 0<v<0 и ф*(*,т)е#(а,р) на множестве [a,b]xT (T-
ограниченное множество значений т ). Тогда функция
принадлежит классу Я(Х,р-е) для всех точек (*о,т) е[д,с]хГ,
где а < с < 6, 0< X < 1, s> 0—сколь угодно малое число.
Доказательство. Опять, как и в теореме 1.4.1, достаточно рас-
рассмотреть разность й(?о, х + А) - О(*о, t), которую аналогично
функции Ф(?о>т) представим в виде суммы П^ + ^2 •
Поскольку <р*(?, т) € #(<х, р) на [я, b] x Г и функция
(*о - #)V х I принадлежит классу Н на [а, с], находим
{(t-aY(to-t)
22 Глава!
Рассуждая аналогично для Л\2 ПРИ 0 < е ? р, получим
о
Два последних неравенства и вывод [201] о том, что функция
, т) удовлетворяет условию Н по t$ равномерно относительно
т еТ , завершают доказательство теоремы.
Замечание 1.4.1. Учитывая [201], теорему 1.4.3. можно об-
обобщить на случай, когда I —произвольная кусочно-гладкая кри-
кривая, а точка а является одним из узлов этой кривой, v = v\ + i>?2
@<v1<l).
Пусть функция <f(t,ti) на кусочно-гладкой кривой L с узла-
узлами ct,...,cn может быть представлена в виде
**№ A.4.6)
Тогда с использованием результатов для функции, зависящей от
параметра, можно показать справедливость следующей формулы Пу-
Пуанкаре—Бертрана перестановки порядка интегрирования [201]
A.4.7)
Замечание 1.4.2. Из последней формулы получается полез-
полезное следствие. Если функция K(t,t\) представима на ? в виде
К{Щ = ?Щ; Х<1, A:4.8)
ft-q
где функция y{t,t\) такая же, как функция m{t,t\) в формуле
A.4.6), то
Замечание 1.4.3. Если L—гладкий замкнутый контур, а
, то с учетом формулы
^=0 a410)
^ЛНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 23
получаем
Из формулы A.4.11) следует формула обращения интеграла
типа Коши для любого гладкого замкнутого контура L:
teL, A.4.12)
к eL, A.4.13)
I V~LQ
которая получается почленным умножением равенства A.4.12) на
—-——, интегрированием по L и применением формулы A.4.11).
Ttl t —• t§
Замечание 1.4.4. Напомним еще некоторые свойства гладкости
сингулярного интеграла F(tO), определяемого формулой A.1.11) в
зависимости от аналогичных свойств его плотности (f[t).
Одно из этих свойств дает известная теорема Племеля—
Привалова, пусть V является гладкой частью кусочно-гладкой
кривой L, не содержащей ее концов, и <p(t) €#(ц) на L. Тогда
граничные значения Ф4:(^о), Ф~(<о) и сам интеграл Ф(<о) удо-
удовлетворяет на Z/, кроме, может быть, сколь угодно малых окрест-
окрестностей концов L\ условию Я(ц) при ц< 1 и условию Я(ц - в)
при ц = 1, где 8 —сколь угодно малая положительная величина.
Если теперь кривая L—гладкая замкнутая и функция <р(?)
такова, что <p'w'(?) е#(ц), то производные порядка т граничных
значений Ф+(*о) > Ф~(*о) и интеграла Ф(?о) являются соответ-
свующими граничными значениями и значением интеграла
L Ь~*
Таким образом, сингулярный интеграл по гладкой замкнутой
кривой сохраняет характеристику гладкости функции <р(?), если
ц<1,инае>0 (сколь угодно малых) понижаем ее, если ц = 1.
24 . Глава 1
1.5. Интеграл с ядром Гильберта
Во многих теоретических и прикладных вопросах полезными
оказываются формулы обращения интеграла с ядром Гильберта
^-fctg^=^-<p(e)rfe = ^(eo), 60e[0,27t], A.5.1)
2п о 2
Ф(бо) = ~2jctg^f(e)d6 + С . A.5.2)
Эти формулы получаются [201] из формул A.4.12), A.4.13)
с учетом следующих соотношений
* = /*, tQ = l*°, A.5.3)
dt ie®dQ. 1 . в - 60
где i, ^о~~т°чки окружности радиуса единицы с центром в начале
координат.
Если принять во внимание равенство
tg^rfeo=O, A.5.5)
о 1
то получим, что равенство A.5.1) возможно только при условии
O, A.5.6)
о
а единственное решение уравнения A.5.1) выделяется заданием
значения интеграла от искомого решения
/ф(во>»о = 2*С , A.5.7)
* о
или значения его в некоторой точке.
Воспользовавшись формулой Пуанкаре—Бертрана для
окружности, а также соотношением A.5.4), получим аналог этой
формулы для интеграла с ядром Гильберта
A-5.8)
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 25
При этом использовали соотношения, во * 9j
A-5.9)
1.6. Сингулярные интегралы от неинтегрируемых функций
В аэродинамике, в задаче об отсосе потока с поверхности
профиля [52, 53, 318], приходится рассматривать сингулярные
интегралы на отрезке [а, 6], у которых плотность <р(?) имеет вид
— q
где q e(fl,6), <p*(?) eH* на [a, b], а также сингулярные интегра-
интегралы с ядром Гильберта, у которых плотность имеет вид
<p(t) = Actg^ + ^)> te[0,2n], A.6.2)
где q е [0,2я], a y(t) € Я на [0,2л;].
При моделировании обтекания профиля парами дискретных
вихрей [40] приходим к рассмотрению следующего сильно сингу-
сингулярного интеграла
]Щ A.6.3)
где g'(t) еЯ* на [а,Ь].
При исследовании задач об изгибе пластин с тонкими жест-
жесткими включениями и задач о контакте пластин и оболочек с ли-
линейными штампами [206, 207, 208] необходимо рассматривать ин-
интегралы вида
Т — t
где-тп - 1 < ReX* < -тп, -п - 1 < ReАГ < -п, и числа тип целые,
Фо(т)еЯ[-1,1].
2S Глава 1
Если плотность сингулярного интеграла имеет вид A.6.1)
или A.6.2), то для любого Ь$ф q интеграл естественным образом
понимается в смысле главного значения по Коши. Если же
^О = q, то получим интеграл вида A.6.3), который надо понимать
в смысле конечного значения по Адамару [5]
= ton
-*oJ s
где L* = L\O(t0,s), L=[a, b], O(^0,s) = (to -s,t0 + s).
Из формулы A.6.5) получаем, что
A.6.5)
+], F)
т.е. интеграл Ф^о) можно понимать как результат формального
интегрирования по частям. Интеграл Ф^о) называют регуляризо-
ванным значением интеграла A.6.3).
Здесь можно дать более общее определение.
Определение 1.6.1. Пусть функции fit) и git), заданные на
[а, Ь], таковы, что f'(t) е#(а), а первообразная Git) для функ-
функции git) или абсолютно интегрируема, или может быть представ-
представлена в виде
где q е(я,6), а функция <p(t) принадлежит классу Н на [а, 6].
Тогда будем полагать по определению
\f{t)g{t)dt = f(t)G(t)ba - J G{t)f'(t)dt, A.6.7)
a a
где интеграл справа или абсолютно интегрируемый, или пони-
понимается в смысле главного значения по Коши.
Заметим, что если функция Git) опять имеет неинтегрируе-
мую особенность, a f"(t) еЯ на [а, 6], то к интегралу справа в
A.6.7) опять применим формулу интегрирования по частям. Та-
Таким образом, под интегралом слева в A.6.7) будем понимать чис-
число, получаемое или непосредственным интегрированием (если
fit)git) интегрируемая), или в смысле главного значения по Ко-
Коши, или получаемое в этом смысле после применения конечного
числа раз формулы интегрирования по частям.
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2Z
Если q е(й,Ь), то так определенный A.6.7) интеграл:
1. не зависит от выбора первообразной для функции g(t);
2. обладает свойством линейности.
Для определения интеграла A.6.4) напомним, что интеграл
ь
l(X) = f(t-a)xf(t)dt A.6.8)
а
для Re А, <-1 определяется как аналитическое продолжение [101]
функции /(>,), являющейся аналитической при ReX>-l. Напом-
Напомним [101], что аналитическое продолжение интеграла 1{Х) можно
сделать, используя формулу
Ь
j(t-a)xf{t)dt= A.6.9)
-«
Г
где Я > -п -1, /^n*(i) e С[^,6] и интеграл справа уже является аб-
абсолютно интегрируемым.
Можно отметить, что формула A.6.9) эквивалентна форму-
формуле, полученной из A.6.8), применением п раз формулы интегри-
интегрирования по частям, хотя формула A.6.9) удобнее для рассмотре-
рассмотрения интеграла вида A.6.4). Если в интеграле A.6.4) заменить t
на г, то получим функцию &(z), которая при ReX+ или ReAT
больше -1, также понимается в смысле аналитического продолже-
продолжения. И тогда как показано в [255], эта функция при z -> ±1 ведет
A + z) * II A,» = minlRe X ,011 и как Огг 1 при z -> <х>.
Эта функция имеет на (-1,1), предельные значения, для которых
выполняются формулы Сохоцкого—Племеля A.2.3) или A.2.4).
Действительно, для этого достаточно заметить равенство
14 Т я- 4 4
1-Z 1 + Z ' Т-Z ITZ
и представить функцию Ф(г) в виде [255]:
2а.
Глава 1
ад-
где
+ <AZ) >
го-1
-i
A.6.11)
Расходящиеся интегралы в q(z) не зависят от z, и их регуля-
ризованные значения могут быть вычислены, как в A.6.8). Сле-
Следовательно, q(z) — аналитическая при z * ±1 функция, имеющая
в точках z = ±1 полюсы порядка тип, соответственно.
При этом, если обозначить р = max(m, n), то естественно
предполагать, что Фо(т) е#Ля,Ь] илифо(т) имеет т производных
в точке 1 и п производных в точке -1.
Глава 2
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Решение задачи Коши—Римана в классе абсолютно
интегрируемых и неинтегрируемых функций
В этом параграфе вначале, следуя [201], кратко изложим
решение задачи Коши—Римана для любой кусочно-гладкой кри-
кривой L в классе функций, которые в любой конечной точке могут
иметь только абсолютно интегрируемые особенности. Потом дадим
решение этой задачи [318] в классе функций, которые могут
иметь особенность вида it - q)'* в некоторой точке q кривой L, не
являющейся узлом этой кривой. В заключение изложим ее реше-
решение [255] на отрезке в классе функций, которые могут иметь не-
интегрируемые степенные особенности на концах отрезка.
Вначале рассмотрим однородную задачу Коши—Римана.
Задача. Найти кусочно-голоморфную функцию Ф(г) с гра-
граничной линией Ьг\ имеющую конечный порядок на бесконеч-
бесконечности, по граничному условию
где Git)—заданная на L функция класса Щ (см. §1.1), нигде на
L не обращающаяся в нуль.
Равенство B.1.1) должно быть соблюдено для всех обыкно-
обыкновенных точек линии L
Построим каноническое решение Xiz) задачи B.1.1), т.е. функции,
не обращающейся в нуль нигде вне L, кроме, быть может, бесконечно
удаленной точки; не обращаются в нуль также граничные значения этой
функции справа и слева во всех обыкновенных точках граничной линии;
функция 1/Х(г) также является кусочно-голоморфной.
Будем подразумевать под In Git) какое-либо определенное
значение, непрерывно изменяющееся на каждой из дуг Lq, L\,...,
*) Кусочно-голоморфной функцией с граничной линией L (следуя [100, 201]) бу-
будем называть функцию Ф(^), голоморфную в каждой конечной области на плос-
плоскости z, не содержащей линии L, непрерывно продолжимую на I слева и справа и
имеющую в узлах не более, чем абсолютно интегрируемые степенные особенности,
т.е. вблизи узлов удовлетворяет условию
—?—: й<1.
\z-<\a
3Q Глава 2
Lp. Так как по условию G(t) принадлежит к классу #о и нигде на
L в нуль не обращается, то и lnG(?) € Hq .
Обозначим через c\f C2,..., Сп все узлы линии L. При при-
приближении t к узлу Сь по одной из дуг Lj , имеющих концом точку
съ функция In G(t) стремится к определенному пределу, который
обозначим через In Gj(ck)f т.е. по определению
In Gj(ck)= lim In G{t) при t -> ck no Lj. B.1.2)
Рассмотрим теперь функцию
Из формул Сохоцкого— Племеля A.2.4) следует, что фикция
е^2' удовлетворяет граничному условию B.1.1) в обыкновенных
точках. Вблизи же узлов она ведет себя следующим образом.
На основании формулы A.3.2), вблизи узла с* , k = 1, 2,...,
п, будем иметь
y(z) = (ak + ip*)ln(* - ck) + yo{z), B.1.4)
где Yo(*) —функция, голоморфная в каждом из секторов, на ко-
которые разбивается окрестность точки с^ линией L, и стремящейся
к определенному пределу при z -> c^ по любому пути, не выхо-
выходящему из данного сектора, а
— +lnGAck)
«*+Ф*=Е Т^> B.1.5)
где сумма распространяется на все номера j дуг Lj, сходящихся в
Ck, причем верхние знаки соответствуют исходящим дугам, а ниж-
нижние—входящим.
Таким образом, вблизи узла с* имеем
(г) B16)
где функция ?2(г) голоморфна вблизи сь в каждом из упомянутых
секторов, стремится к определенным, отличным от нуля, пределам
при z -> с^ по любому пути, не выходящему из данного сектора.
Узлы с^ , для которыха^ —целые числа, называют особенными,
остальные числа—неособенными.
Пусть теперь П(г) обозначает рациональную функцию
-<*)**- B.1.7)
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21
где %k обозначают целые числа, подчиненные условиям [100, 201].
-1<а* + А.*<1; k = l,...,n. B.1.8)
В этом случае функция
X{z) = Ще^ = e^fl(z - ck)X" B.1.9)
представляет собой каноническое решение, так как нигде в нуль
вне L не обращается, кроме, может быть, бесконечно удаленной
точки; вследствие неравенства B.1.8) эта функция имеет степен-
степенные интегрируемые особенности в узлах так же, как и 1/Х(г);
граничные значения X+(t) и X~(t) , выражения для которых
будут даны ниже, нигде в обыкновенных точках линии L в нуль
не обращаются.
В этом классическом случае Х(г), вообще говоря, не вполне
определяется условиями B.1.8). Число Х^ , соответствующее узлу
С?, определяется однозначно лишь в случае, когдаа^ —целое чис-
число, в этом случае Х^ = -ос^ .
Для неособенных узлов числа Х^ определяются лишь с точ-
точностью до слагаемого ±1, а именно—можно выбрать Х^ либо
так, чтобы a? + Xfc<0, либо так, чтобы <х^ +А,?>0. Обычно эти
условия выбирают из тех или иных физических соображений при
решении конкретных прикладных задач.
Класс решений, ограниченных в узлах С/,..., cq, обозначается
, а число
п
? B.1.10)
называется индексом данного класса Цс\,...,сЛ. Это число не за-
зависит от выбора значений функции In G(t), лишь бы они непре-
непрерывно изменялись на дугах L&, составляющих L [201]. Причем
из формулы B.1.9) следует равенство
limz*X(z) = lf B.1.11)
Z-ЮО
а из формулы Сохоцкого—Племеля для граничных значений
функции X(z) в точках t§ кривой L получаем
ИЛИ
32
() fijfo)Ы ||^B.1.12)
где
Х(*о) = П(<оИ'Ь) BЛЛЗ)
а ветвь радикала, фигурирующего в формулах B.1.12), фиксиру-
фиксируется формулой
Так как для функции у(^о)» по аналогии с формулой A.3.5),
вблизи узла сь выполняется равенство
то
где (о(^о) ^ Яо, не обращающаяся в нуль на L, а
Таким образом, функция Х(^о ) принадлежит классу Я* на
L; она принадлежит классу Я в окрестностях узлов cj, C2,..., с^ и
обращается в них в нуль. В окрестностях особенных узлов она
принадлежит классу Я* (функция <p(i) e Я* в окрестности узла с,
если для сколь угодно малого е > о функция \t - с|Е<р(<) ) принад-
принадлежит классу Я в окрестности этого узла), оставаясь ограничен-
ограниченной. Такими же свойствами обладают функции Х+«о) и Х'Ио),
В [201] показано, что любое решение Ф(г) задачи B.1.1) из
данного класса h\c\,...,cq\ представляется в виде
Ф(г)=Х(г)Р(г), B.1.18)
где P(z)—произвольный многочлен.
Если требовать ограниченности Ф(-г) на бесконечности, то
вместо B.1.18) получим
Ф{г) = Х(г)Рш{г), B-1.19)
а если требовать обращения в нуль функции Ф(г) на бесконеч-
бесконечности, то
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 23
Ф(г) = Х(г)Ра8.1(г), B Л .20)
где Pm(z) — многочлен степени т.
Замечание 2.1.1. Следуя [201] союзной задачей к задаче
B.1.1) будем называть задачу
?+(*) = [G(*)]~ V(?). B.1.21)
Для обеих этих задач особенные и неособенные узлы совпа-
совпадают. Пусть опять С/,...,ст —неособенные узлы. Союзными клас-
классами этих задач будем называть классы h = Alq,...,^] и
Если через X(z) и Xf(z) обозначить канонические решения
классов h и h\ соответственно, для задач B.1.1) и B.1.21), то
между ними выполняется соотношение
X'{z) = C\X{z)\\ B.1.22)
где С —произвольная константа, которую можно брать, равную
1, а индексы этих решений связаны соотношением
«'=-». B.1.23)
Пусть теперь Cq eL не является узлом линии L, и надо най-
найти решение Ф(г) задачи B.1.1), которое в точке Cq имеет особен-
особенность 1/Сг - cq) и принадлежит тому же классу A(Ci,..., cqJ^.
Включим точку Cq в число узлов линии L. Ясно, что узел Cq
будет особенным, так как число ад, определенное по формуле
B.1.5), будет целым, более того, можно полагать <хд= 0. Для
этого узла cq выберем число Xq такое, что olq + Xq- -1, т.е.
А,д= -1. Тогда каноническое решение X\(z) того же класса
A(cj,..., Cq) имеет индекс aej=as+l и может быть представлено в
терминах X(z) из формулы B.1.9) следующим образом
iX(z). B.1.24)
Если требовать обращения в нуль на бесконечности решения
задачи B.1.1), то наиболее общий вид этого решения будет
2) Теперь под кусочно-голоморфной функцией будем понимать функцию, которая
может принимать в узлах кривой L конечные степенные особенности или нуль.
3-2775
Глава 2
Замечание 2.1.2. Если таких точек Р штук Cq ,...,cq , to
каноническое решение Xp(z) того же класса h(c\t...t cq) имеет
индекс ав р= ае + р и
Тогда общее решение задачи B.1.1), исчезающее на бесконечнос-
бесконечности, при выбранных точках Cq,...,cq будет даваться формулой
Ф{г) = Х(г)Рл+{р_х)(г). B.1.24^
Пусть теперь кривая L является отрезком [-1, 1]. Возьмем
argG(-l) = 8"", где в" €(-2я,0) (предполагаем, что функция G(t)
в B.1.1) удовлетворяет этому условию). Тогда функцию е1^',
где y(z) дана в B.1.3), можно представить в виде
*> ^), .*> = (г - ipsV'M, a
где А = [argG(i)j —приращение аргумента функции G(t) на
[-1, 1], когда t пробегает этот отрезок от -1 до 1; Г\(г), ^(г) —
функции, ограниченные в окрестностях точек -1 и 1, соответ-
соответственно. Следуя [209, 210, 255], рассмотрим функцию
Х(г) - (г + ir~V -
где [ ] обозначает целую часть числа, т и п—целые числа. Она
является решением задачи B.1.1); ведет себя, как OhIhF^) I
при z -> ±1, где -т -1 < Re X+ < -т, -п -1 < Re А, < -п, более
. [б~+д] 4 Л_ 9" , t x .
того, А, =< \-m-l, X = п-1,где{ }—дробная
2тс 2тс
часть числа, и как От*"*) при z -* оо
1
+ « + т + 2. B.1.27)
Функцию X(z) из B.1.22) также будем называть канониче-
каноническим решением для задачи B.1.1), так как она имеет заданные
особенности в точках -1 и +1 (т.е. в узлах кривой L). Используя
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЕЕ УРАВНЕНИЯ 25
теперь обобщенную теорему Лиувилля [100], так же, как в [100,
201], можно показать, что множество всех решений задачи
B.1.1), имеющих в заданном узле нуль или полюс не более за-
заданной величины (определяемых числами тип) и обра-
обращающихся в нуль на оо, будет задаваться формулой
<Цж) = X(z)
г*-д
B.1.28)
где г = -т -1, / = -п -1, Р*(г) обозначает премиальный многочлен степени
k (при ? < 0 считаем Pk(z) * 0). При ав < 0 должны выполняться
условия разрешимосга, связанные с требсжанием Ф(оо) = 0:
Р;> + Р;7 =0, У = 1,...,-ае, B.1.29)
где коэффициенты Руг, Ру/ определяются разложением
d (а Л оо р.
^; И>1, B.1.30)
- z)
Теперь рассмотрим неоднородную задачу Коши—Римана.
Задача. Найти кусочно-голоморфную функцию <b(z) с гра-
граничной линией L, обращающуюся в нуль на бесконечности, т.е.
Ф(оо) = 0 (именно эти функции нас интересуют), по граничному
условию
Ф+(*) = G(t)<b~{t) + g{t) на L, B.1.31)
где (КО и g(t)—заданные на L функщш класса Hq, G(t) * 0
на!.
Пусть X(z)—каноническое решение класса h(ci,...,cq) одно-
однородной задачи B.1.1) в классе абсолютно интегрируемых функ-
функций, т.е.
()
Тогда равенство B.1.31) запишется в виде
B.1.32)
x+(t)
36 Глава 2
Поэтому, используя первую формулу в A.2.4), получим: при
аэ > О решения данного класса, исчезающие на бесконечности,
даются формулой
где /e-i(^) —произвольный полином степени, не выше аэ-1
(Рж^1(г) з 0 при аэ= 0); при аэ< 0 решения данного класса, исче-
исчезающие на бесконечности, существуют тогда и только тогда, когда
соблюдаются условия
Q . ^ 0Лгт_и Bл
L Х \Ч
выражающие, что Ф(оо) = 0. При соблюдении этих условий реше-
решение (единственное) дается той же формулой B.1.33) при
*-i(*)=0.
Следует отметить, что решения, даваемые формулой B.1.33),
остающиеся ограниченными вблизи каких-либо неособенных уз-
узлов, не обращаются, вообще говоря, в нуль в этих узлах.
Если теперь требуется найти решения Ф(г) класса h(c\,...,cq)
задачи B.1.31) Ф(оо)=0, которое в точках сд^...уСд , отличных
от узлов кривой L, имеют особенность вида y\z~cQk)>
k=\,2,...,p, то они будут задаваться формулой
где Xp(z) дано формулой B.1.24); при аэ + р^О Р^р
произвольный полином степени аэ + (/? - О/(Рж+^_1)(г)= 0 при
ев + р = 0 ); при аэ + р < 0 единственное решение задается форму-
формулой B.1.35) при Pa+(p-Az)= 0 и выполнении условий
J^4tT = °' J = 0,1,...,-<в + р)- 1; Р = 0,1,... B.1.36)
L Хр\Ч
Пусть теперь в уравнении B.1.31) кривая L является отрез-
отрезком [-1,1]. Так же, как для задачи B.1.1) будем в этом случае
искать регйение задачи B.1.31) в классе кусочно-голоморфных
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3Z
функций Ф[г) , ведущих себя как Он1 + 2) I при г->±1, где
-т -1 < Re А,+ < -т , -п -1 < ReAT < -п, при заданных целых т и
п. Возьмем для построения такого решения каноническое решение
X(z), даваемое формулой B.1.26), однородной задачи B.1.1).
Тогда, в силу обобщенной теоремы Лиувилля [100], все требуе-
требуемые решения Ф(г) будут задаваться формулой
+Pr-l(l z) + Pl-i(i + 2) B.1.37)
A-,)' A + *)' J'
где числа г и I n многочлены P&-±(z), Pr_i(l - z), Pi-±(z) указаны
в B.1.28). Только теперь условия разрешимости задачи B.1.31)
при as < 0 будут иметь вид
- + P,v + A7=0, /=1,...,- а, B.1.38)
где числа Руг, Ру/ указаны в формуле B.1.30).
2.2. Решение уравнений на кусочно-гладких кривых в классе
абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций
Сингулярным интегральным уравнением на кривой L назы-
называется уравнение вида
К<р = й(*о)ф(*о) + M^lJ^ + Jk{tQ,tW)dt = f(t0) .
т L ° L
B.2.1)
Уравнение
К\ = аШ0) + ЩШ = f{to) B.2.2)
П1 L ®
называется характеристическим уравнением, а выражение
B.2.2t)
L
регулярной частью для Kq>.
Предполагается, что функции а(Ь$) и Ь(?()) удовлетворяют
условию Н на каждой гладкой составляющей кривой L, т.е. при-
38 ! Еоав&2
надлежат классу Я о на L и a2(t) - b2(t) ф О (т.е. a(t) ±b(t)*O
на L ). Причем, если су—узел кривой L, то не равен нулю предел
функции « (?) - b (t) при движении точки tfc. по любой из дуг
Lk> имеющей своим концом су. Функция k(t q , t) имеет вид
О ? X < 1, B.2.3)
где &*(?0,?) еЯ0 на L. Функция f(tg) также принадлежит классу
Яо на L.
Вначале дадим решение характеристического уравнения
(следуя [100,201]), с помощью сведения его к краевой задаче Ко-
ши—Римана.
Введем в рассмотрение кусочно-голоморфную функцию (см.
A.2.1))
^Z}~'bd^t-z ' B.2.4)
исчезающую на бесконечности. Воспользовавшись формулами Со-
хоцкого—Племеля и подставляя выражение для <р(<о) и
1
из них в характеристическое уравнение B.2.2), полу-
получим, что решение этого уравнения эквивалентно решению краевой
задачи Коши—Римана B.1.28) (с заменой t на ?q) b классе
функций Ф(г), исчезающих на бесконечности, где
Особенные и неособенные узлы, соответствующие получен-
полученной краевой задаче, будем теперь называть особенными и неосо-
неособенными узлами, соответствующими оператору К и уравнению
B.2.2). Неособенные узлы по-прежнему будем обозначать через
си—>Ст (тпйп). Индекс ев класса h(c\t...tcq) решения краевой
задачи B.1.28) будем называть индексом решения этого класса
для характеристического уравнения B.2.2).
Получив решение Ф(г) задачи B.1.28), по формуле
() пол)гчим решение характеристического
уравнения B.2.2).
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 32
Итак, получаем следующий результат.
При аэ^О все решения класса h = h(c\,...tcq) уравнения
К°<р = f даются формулой
где
функция X(z)—каноническое решение индекса as класса
к(с\}...,ся) соответствующей краевой задачи B.1.28), в которой
G(t) дается формулой B.2.5), a X+(t) и X~(t)—формулами
B.1.12), ^-х^о) обозначает произвольный многочлен степени,
не выше as-1 (Pe-i(?o)s Q ^ *= °)-
ТТрм аэ< 0 решение (единственное) существует при соблю-
соблюдении (необходимых и достаточных) условий
rtkf(t)dt B210)
^ дается той же формулой B.2.6), в которой Рш-1(*о) ¦ 0 .
Замечание 2.2.1. Из формул B.2.6), B.2.7) видно, что если
решение <р(^о) уравнения B.2.2) записать в виде
где
J:\t) = Z(t)/[^(t)-b2(t)\, B.2.12)
то это уравнение можно записать в виде [13]
Тогда решение B.2.6) запишется следующим образом
40 Глава 2
«KM = ьЪХь^ХШ+^НьК-М]' B214)
где
и -п(аэ) = 1 при аэ> 0, Tj(ae) = 0 при аэ < О , Pa-i(?o) —многочлен с
произвольными коэффициентами степени ее Л при ав > 1.
Уравнение относительно функции а>
L v
B.2.15)
называется союзным к уравнению B.2.3).
Из способа сведения характеристического уравнения B.2.2)
к краевой задаче Коши —Римана и в силу формул B.2.5) видно,
что получаемые краевые задачи для характеристических уравне-
уравнений B.2.2) и B.2.15) имеют союзные однородные задачи. По-
Поэтому, если для оператора •S?V(-) индекс равен аэ, то индекс
ев' оператора S#}{') равен аэ'=-аэ.
Заметим, что для оператора S^+? (•) при аэ > 0 собственны-
собственными функциями являются функции b(t)t , У = 0, 1,..., ев -1 и что
эти же функции являются собственными для оператора 5^ (•)
при аэ < 0 и У = 0, 1,..., |аэ| -1 (так как собственный индекс
ав'оператора5^~~?(•)равен -аэ).
Полезно отметить также, что решением уравнения
5i"t №))=lH*o) B.2.16)
при аэ ? 1 будет функция
^o) = 5itWf9 B.2.17)
при выполнении условий
|со(ж+)(^)^ = 0, У = 0, 1,..., «-1. B.2.18)
L
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ц
При аэ ^ 1 для уравнения B.2.13) встает вопрос о выделении
единственного решения. В силу формулы B.2.13) это можно сде-
сделать заданием значения решения в аэ различных точках кривой L,
но для приложений часто более полезны следующие условия вы-
выделения единственного решения [10,13]
)tUt=<Dh / = 0, 1,..., аз-1, B.2.19)
L
что подтверждает лемма.
Лемма 2.2.1. При ж>1 единственное решение уравнения
B:2.13) из формулы B.2.14) можно выделить с помощью задания
первых ае моментов функции cp(i) в виде равенств B.2.19).
Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют
такие два различных многочлена Рт-\д{?) и Pm-\^(t), что
ЩW) + *foyU2fo)] - B.2.20)
Из формул B.2.20) и B.2.19) следует, что
[ = о, у = о, 1,..., • -1,
Теперь рассмотрим уравнение
^o)^43(^o). <2.2.22)
Так как для исходного характеристического уравнения аэ ? 1,
то для уравнения B.2.22) его индекс аз' = -ав отрицателен, и ре-
решение этого уравнения единственно для любой гельдеровской
правой части при условии B.2.21). Но справа в B.2.22) стоит
собственная функция для оператора S (ю^ -1 и поэтому в силу
формулы B.2.17)имеем, что f(t) ¦ 0 на L, следовательно
ь(*о)^»-1,з(*о) я ° • Так как Ь(О—гельдеровская на L и b[t) * 0 на
L, то получим, что Рж-1,з(^о) ж 0 •
Впервые условия выделения единственности в виде B.2.19) для
произвольного индекса аэ > 1 для характеристического уравнения
B.2.13) первого рода на системе отрезков были сформулированы в
[150]. Для случая, когда L —отрезок [-1, 1], для характеристиче-
характеристического уравнения B.2.13) второго рода с переменными коэффициен-
коэффициентами лемма 2.2.1. была независимо доказана в [181, 194].
42 Глава 2
Теперь рассмотрим полное уравнение B.2.1). Будем предпо-
предполагать, что оно имеет единственное решение при ав= 0 и един-
единственное решение при выполнении условий B.2.19) для ав> О,
где числа ©у заданы; при ав < 0 оператор, стоящий в левой части
уравнения,B.2.1), однозначно обратим, и функция <р(?) является
решением этого уравнения при выполнении условий
Г 1
\[))x\ t>dt = O, j = O,1,...,H -1.
L J
B.2.23)
Для более детального изучения поведения решений полного
уравнения B.2.1) обычно его сводят тем или иным способом к
эквивалентному ему в смысле разыскания решений класса h урав-
уравнению Фредгольма 2-го рода. Различные способы такого сведения
указаны в [201]. Здесь укажем только способ, идея которого в
некоторых случаях была найдена Т.Карлеманом, И.Н.Векуа, а
для любой кусочно-гладкой L — Н. И. Myсхелишвили [ 201 ].
Запишем уравнение B.2.1) в виде
KW-&P- B-224)
Предположим, что функция k(t0 ,t) и f(t0) принадлежат к
классу #о на L. Так как решения уравнения B.2.1) будем искать
в классе Н*, то функция &<р также принадлежит классу Hq на
L. Поэтому и вся правая часть в B.2.24) принадлежит классу Н$ .
Решим теперь уравнение B.2.24) в классе h\c^...tcq\, считая пра-
правую часть как бы заданной функцией. Поэтому, учитывая форму-
формулы B.2.6) — B.2.10), видим, что решения уравнения B.2.1)
имеют характер доведения в узлах кривой L тот же самый, что и
решения соответствующего характеристического уравнения
B.2.2). Таким образом, для уравнения B.2.1) в классе решений
справедлив результат [201].
При ав^О уравнение B.2.1) эквивалентно {в смысле
разыскания решений класса h) уравнению Фредгольма
где
г {к)=*v
ОЛНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
причем ?*(•) определен формулой B.2.7), a /V-i(^o) обозначает
произвольный многочлен степени, не выше ав -1 ( Pm-t(to)ш 0 ).
Пригв < 0 уравнение B.2.1) эквивалентно (в том же смыс-
смысле) уравнению Фредгольма B.2.25) , где Рт-\((ъ)ж О, и совокуп-
совокупности дополнительных условий:
J z(t) { z(t) ' J °' lf-'* lm К2"
Замечание 2.2.2. Из формулы B.2.7) следует, что ядро в
уравнении B.2.25) может иметь абсолютно интегрируемые сте-
степенные особенности в узлах кривой L, такие же, какие имеет
функция Z(t). К таким уравнения применимы [109] все основные
теоремы Фредгольма, если их формулировать надлежащим обра-
образом. Это можно показать также путем приведения уравнения
B.2.25) к уравнению Фредгольма с ограниченным ядром с по-
помощью соответствующей замены переменной [201, §101].
Пусть теперь нам надо получить решение характеристическо-
характеристического уравнения B.2.2) класса Ьш,.„,сЛ, но имеющее в заданных
точках CQt,...,CQ , не совпадающих с узлами кривой L, особен-
t-CQk) i k = 1,...,р. Как следует из рассуждений,
приведенных при получении формулы B.2.6), такое решение бу-
будет даваться такой же формулой с заменой функции Z(^q) на
функцию Zp(*o), где
рМ B2.28)
а функция X (z) введена формулой B.1.24 ).
Для удобства формулировки общего результата дадим сле-
следующее определение.
Определение 2.2.1. Пусть точки Cqx,...,Cq лежат на кривой
L, попарно различны и не совпадают с узлами. Тогда скажем, что
функция <р(?) принадлежит классу H*|cq1,...,Cq ]на L, если она
имеет вид
fQk)\ B.2.29)
где функция \y(t) eH* на L.
Теперь для характеристического сингулярного уравнения
второго рода B.2.1) находим, что решения уравнения класса
44 Глава 2
h\c\,...yc€\ из множества функций #*(c^,...,cq I получаются по
формуле:
() *f fe*()()()B.2.30)
где, при ев + (р -1) ^ 0, ^>а+(р-1)(^) —произвольный полином степе-
степени <в + (р - 1) ( P^p-D^s 0яри ав+ р = 0); при аэ+ р < О
единственное решение задается формулой B.2.30) при
() s О W выполнении условий
1Уа°> УвО,1,...г(«+р)-1. B.2.32)
Этот результат естественным образом обобщается на полное
уравнение B.2.1).
Замечание 2.2.3. Формулу B.2.30) при as ? 0 можно запи-
записать еще в виде
фо) = Ф«Ы + ЬЪ)гр(^Рр_^0) + Pp_,(i0)], B.2.33)
где Pp-i(^o) ПРИ /?-1 ^0—многочлен степени р - 1, коэффици-
коэффициенты которого выражаются через некоторые интегралы от f(t) по
L, Pp-\(t) —произвольный многочлен степени р - 1, а Фд(^о) ~
абсолютно интегрируемое общее решение характеристического
уравнения класса Alq,...,^). При аэ< 0 формулу B.2.30) можно
записать в виде
Я>М = Ф*('о) + b*№^Vl('o) + *W-l>M] • B2.34)
где Pm+(p-i)(to) такой же, как и в формуле B.2.30).
Отметим также следующее. Из формул B.2.30) и B.2.31)
следует, что если в точке Cq при некотором k, k = l,...,p, коэф-
коэффициент Ь(^о) имеет нуль степени X > 0, то характеристическое
уравнение не может иметь в этой точке сингулярных решений
(т.е. решений класса Н*1сдА). С другой стороны, в [100] пока-
показано, что в точке cq коэффициент a(t) должен обратиться в нуль
для того, чтобы существовало сингулярное в этой точке решение.
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫ^ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ &
Это рассуждение показывает, что для сингулярных интегральных
уравнений первого рода на кусочно-гладкой кривой L или для
уравнений первого рода с ядром Гильберта сингулярные решения
можно строить для любой точки CQk или любого конечного числа
точек, отличных от узлов. При этом индекс решения увеличивает-
увеличивается на число точек сингулярности.
2.3. Уравнение на отрезке, системе отрезков
В приложениях, в частности, в аэродинамике, электродина-
электродинамике, а также теории упругости [7, 39, 119, 122, 202, 211, 212,
214, 215, 285] довольно часто рассматриваются сингулярные инте-
интегральные уравнения B.2.1), в которых L является совокупностью
раздельно лежащих гладких разомкнутых дуг L^ = аф^,
Р
k = 1,2,...,/?, т.е. L= [Jbk , Lkf]Lm = 0 при k*m. Направле-
Направлены
ние на каждой дуге Lk задано от а^ к b^ , k = 1,...,р.
Итак, рассматриваем уравнение
= fo(t), B.3.1)
т L гг0 L
где L такая, как указано выше. Концы а^ , Ь^ являются узлами
линии L, которые пронумеруем в каком-либо порядке и обозна-
обозначим через Ck , k = 1,2,...,2р.
Будем предполагать, что a(t), 6@, fit) и k(to,t) принадле-
принадлежат классу Н на L.
Напомним, что в краевой задаче Коши —Римана B.1.31), к
которой сводится соответствующее уравнению B.3.1) характери-
характеристическое уравнение, получается
Под In G(t) на Lj будем подразумевать любое значение, непре-
непрерывно изменяющееся на Lj. Числа yk , соответствующие концам
fy, даются формулой
где
ak+ifik=±±:\nG{ck), B.3.4)
46 ; Глава 2
причем верхний знак берется при с$ = uj , нижний—при % = Ьу,
а целые числа Xk подбираются согласно условиям
-\<ak+Xk <1, *= 1,2,...,2р, B.3.5)
если ищем решение в классе абсолютно интегрируемых функций.
Если же решение ищется в классе #** функций, т.е. которые
могут на концах иметь неинтегрируемые особенности, то для каждого
особенного узла надо указать целое число т^, такое, чтобы
ак + Xk = -mk (в классе абсолютно интегрируемых функций все
Щ - 0 ), а в неособенном узле надо указать единичный интервал
( -т^ - 1,~ш^ ), в котором должно лежать число а^ + Х^.
В классе абсолютно интегрируемых функций особенные кон-
концы Ck , т.е. концы, в которых а^ + Х^ = Rey^ =0 , характеризу-
характеризуются условием, что С(сь) —действительное положительное число
(так как в этом и только в этом случае а^ —целое число).
Особенные концы с^ , для которых не только Rey^ = 0, но и
у^ = 0, характеризуются условием G{c^) = 1, т.е. Ь[с^) = 0 .
Рассмотрим теперь характеристическое уравнение первого
рода
являющееся частным случаем уравнения B.3.1). В этом случае
a(to) ж 0, б(*о) ¦ 1, G(t) ш -1, g{t) = f(t). Следовательно, в дан-
данном случае можно взять lnG(t)mm. Для построения канони-
канонической функции X(z) воспользуемся формулой B.1.9)
{) [\{-ckf\ B.3.60
где
/ч 1 (]nG(t)dt I fiddt i& r dt ? b
L L ^
B.3.7)
Теперь получаем
Л/2
B.3.8)
цк*-ч.
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(гьЛ
причем под выражением — подразумеваем вет&ь, голо-
морфную на разрезанной вдоль Li =: tf/b/ плоскости, обра-
обращающуюся в 1 при z = оо , считая, что по определению
Таким образом,
где целые числа А^ подлежат подбору.
Заметим, что правая часть в B.3.9), каковы бы ни были це-
целые Хь , представляет собой функцию, голоморфную на разре-
разрезанной вдоль L плоскости, кроме, быть может, бесконечно уда-
удаленной точки (где она может иметь полюс), изменяющую знак
всякий раз, когда точка z переходит через линию L (под' этим
подразумевается, что X+(t) = -X~(t) во всех обыкновенных точ-
точках линии\?, так как X(z) — решение однородной задачи Коши —
Риманас (Щ = -1).
Из формулы B.3.9) следует, что каноническая функция
класса mq,...,c^j имеет вид
B.3.10)
где
q
(при q = 0 полагаем #j s I, а при q = 2р полагаем i?2 «1), под
\RAz)
радикалом I х '
подразумевается какая-либо ветвь, голоморф-
ная на разрезанной вдоль L плоскости. Причем разложение ее в
окрестности точки z = оо по убывающим степеням z имеет вид
48
Глава 2
zq p + Axzq p + A2Zq p +... B.3.12)
Поэтому порядок функции X(z) класса h[c\,...ycq\ на бесконеч-
бесконечности равен q - р, а, следовательно, индекс этого класса
ж =/>-<?. B.3.13)
Граничное значение, принимаемое функцией X(z) на L слева,
будем обозначать просто через
делению, полагаем
Поэтому
или , и, по опре-
B.3.14)
B.3.15)
Теперь, используя выводы для характеристического уравне-
уравнения, изложенные в формулах B.2.6) —B.2.10), можно сформу-
сформулировать следующий результат [201].
При гв = р - q ^ 0 , решения уравнения B.3.6) класса
h\C\y....Cq\ всегда существуют и даются формулой
B.3.16)
произвольный полином степени, не выше р - q - 1
(равный нулю при р = q).
При ае= ,р - q < 0 решение (единственное) класса
hlc\,...fCq\ существует тогда и только Ыогда, когда f(t) удо-
удовлетворяет условиям
B.3.17)
при соблюдении этих условий решение дается той же формулой
B.3.16) При Pp-q-i{t0) = 0 .
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 42
Из формулы B.3.16) видно, что функция fit) может при-
принадлежать классу Aiq,...yCgj, т.е. быть ограниченной в концах
С\,~-,Сд и иметь интегрируемые степенные особенности в других
концах.
Замечание 2.3.1. Как указывалось в предыдущем параграфе,
единственное решение в формуле B.3.16) можно выделить с по-
помощью задания значения решения ф^) в as= p - q различных
точках или (см. лемму 2.2.1.) заданием первых аэ моментов на L
решения. Но во многих прикладных задачах аэродинамики и
электродинамики [39, 84, 285] при ж = р, т.е. при ев равном
числу дут, известны не моменты решения на L, а значения инте-
интегралов от решения по составляющим дугам L, k = l,...,p. Поэтому
докажем следующую лемму.
Лемма 2.3.1, Для того, чтобы выделить единственное реше-
решение уравнения B.3.6) из класса Aq, т.е. из множества решений,
неограниченных на всех концах, достаточно задать равенства
ck, k =1,2,.. „p. B.3.18)
Доказательство: Предположим противное, т.е. что су-
существуют решения q>\(t) и Фг(^), 4>\{t) * Фг(^) на ^» каждое из
которых удовлетворяет равенствам B.3.18). Тогда ненулевая
функция Фз(^)= 9i(^)" Ф2^) является решением уравнения
B.3.6) при f(t) ш 0 и удовлетворяет равенствам
0, *=1,2,...,р. B.3.19)
Из последней системы равенств следует, что многочлен Pa_i(?)
степени, не старше (аэ-1), имеет ае корней, так как функция
/ о и \
I—1—L не меняет знака на каждой из дуг L^, k = 1,2,...,р. Сле-
довательно, P^i(t) ¦ 0 и Фз(^) ¦ 0, т.е. ф^(?) = ф2(^). Мы при-
пришли к противоречию, поэтому утверждение леммы справедливо.
Замечание 2.3.2. Более подробно остановимся на решении
характеристического уравнения на отрезке [-1, 1] оси ОХ в том
виде, в котором оно часто встречается в приложении
*пе(-1, 1). B.3.20)
4-2775
50
Глава 2
Из формулы B.3.13) получаем, что индекс решений этого урав-
уравнения может принимать значения аэ= 1; 0; -1. Поэтому, как сле-
следует из сказанного выше:
При аэ= 1 все решения уравнения B.3.20) (класса Aq) да-
даются формулой
h-4
B.3.21)
где С— произвольная константа, и
1
B.3.22)
-1
-
-X X-XQ
и единственное решение вида (класса А(-1))
при ае = 0 имеет единственное решение вида (класса АA)):
¦1
B.3.23)
B.3.24)
B.3.25)
B.3.26)
-Г
при а= -1 имеется единственное решение (класса
J\-4 f f{*)dx
при выполнении условия
В частности, если взять в B.3.21) f(x)m\, С = 0, то получим
решение
ф(^о) =
взяв в B.3.23) f(x) ¦ -1, получим
взяв в B.3.25)
B.3.27)
B.3.28)
-х , получим
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
51
<p(*0) = Vl-*8- B.3.29)
Используя теперь формулы B.2.30)— B.2.33), при наличии од-
одной точки сингулярности Xq e(-l, 1), найдем решения уравнения
B.3.18) из класса функций #*(*q) на [-1,1].
Решения класса Aq из множества функций H*(xq) даются фор-
формулой
i * Ji - х* [т - x^\f(x\dx
фЫ =—г.—Tt :J +
-i
х-х0
А + Вх
B.3.30)
1 е VI - X2 f(x\dx
1=Гг xi\x)ax +
9 J Y — Гл
X~X° ()
где A, B, C, Bf—произвольные константы; решения класса k(l)
из множества функций H*(xq\ —
1-% А
[ 1 + д:0 х0 - дг0
= _! (iZ^f Jl.+ *f(*)<** , Д /1 -^о . B.3.31)
решения класса А(-1,1) из множества функций H*(xq) —
\(x-xQ)f{x)dx
^4 f f{x)dx
J-
/T^g {¦ ^(хУж
J
B.3.32)
(^) Ц)
Наконец, рассмотрим характеристическое уравнение второго рода
с постоянными коэффициентами на простой разомкнутой дуге
L = аф\ следующего вида
52 Глава 2
B.3.33)
где а и Ь—действительные числа, 6*0, п±Ьф 0. Тогда
G(t) = (а- Ы) / (а + Ы), и поэтому In G(?) = 2* arg(fl + Ы). Следо-
Следовательно,
B.3.34)
Значение arg(# + 6i) будем выбирать, лежащим на (-тс,тс). По-
Поэтому число а = тс arg(<z + Ы) лежит в интервале (-1,1). Функ-
Функцию X(z) можно теперь записать в виде
X(z) = [z - ax)\z - b^ffziT , B.3.35)
где X} и А,2 принимают значения 0,±1 в зависимости от выбора
класса решения. Так как ctgcp имеет период тс, то можно полагать
ctgTcoc = - —, и поэтому выбирать а как корни уравнения
о
O. B.3.36)
Таким образом, если взять решение, обращающееся в беско-
бесконечность на обоих концах дуги, то надо взять -1 < а < 0, Х\= 0,
^2= -1, и поэтому индекс этого решения as = -(Xj 4- Х2) = 1, а
функция X(z) приобретает вид
Xi(z) = (z-ai)a{z-biyi-a. B.3.37)
Для решения, обращающегося в бесконечность в конце а\ и огра-
ограниченного в конце Ь\, надо взять -1< а < 0, Х\ = %2= 0- Поэтому
аэ = 0, а каноническая функция Xq(z) имеет вид
XQ(z) = (z - 4HB - «цР. B.3.38)
Для решения, ограниченного в обоих концах кривой, надо взять
0 < а < 1, Xj= 0, А,2= 1. Поэтому аэ= -1, а каноническая функ-
функция X_\(z) имеет вид
Х^(г) = (z - 4М* - ^iI1 • B.3.39)
Теперь по формулам B.2.6) —B.2.10) можно написать все реше-
решения уравнения B.3.33). Выпишем их в наиболее важном для при-
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 52
ложений случае, когда L= [-1,1] на оси ОХ, полагая а + Ь - 1,
т.е. для уравнения
ачЫ + ~ 1^^ = ГЫ' *о «(-1, 1). B.3.40)
TZ ^ X — Xq
При ав= 1; 0 все решения классов ho; h(i) уравнения B.3.40) да-
даются формулой
ф0) = af(x0) - Ав.(Ц №xdX_Xo) + ^.(^о) > B.3.41)
Ц xXo)
где А —произвольная константа при аэ= 1, А = 0 ярн аэ= 0, м
соо(^) = A + д:)аA~хр, B.3.42)
а число а является корнем уравнения B.3.36) и -К а < 0.
При «= -1 решение (единственное) существует при выпол-
выполнении (необходимого и достаточного) условия
, B.3.43)
= A +д:)аA-л:) ~а, 0 < а < 1, а—решение уравнения
B.3.36) и дается той же формулой B.3.41) при А = 0.
Замечание 2.3,3. Используя результаты в §1.1. для краевой
задачи Коши —Римана на отрезке в классе функций Н**, т.е. в
классе функций, которые могут иметь неинтегрируемые особен-
особенности на концах, можно строить решение уравнений B.3.20) или
B.3.40), имеющие на концах отрезка степенные особенности из
заданных интервалов (-я -1, -п) и (-W -1, -тя), где п и т—целые
числа [255].
2.4. Уравнения на замкнутом гладком контуре
и с ядром Гильберта
Рассмотрим уравнение
jf^ () B.4.1)
L
в котором L—простой замкнутый гладкий контур; a(t)y b(t) и
ДО принадлежат классу Н на L, a(t) ± Ь{?) * 0 на L.
Введем на L два узла с и С\. Направление движения на L
выберем от точки с через q так, чтобы каждая из двух областей,
54 Глава 2
на которые разбивается плоскость линией L, все время оставалась
с одной стороны. Функция G(t) = [a(t) - 6{^)]Д^) + *(*)] непРе~
рывна и не обращается в нуль на L.
Функция In G(t) выбирается так,
чтобы она непрерывно изменялась на
каждой из дуг щи с^с (рис. 2.1).
Выберем в качестве In G(c+0)
какое-либо определенное значение
(под G(c+0) обозначен предел, к ко-
Рис. 2.1. Введение дополнитель- ТОрОМу СТремИТСЯ фуНКЦИЯ G(t) При
ных узлов с и ci на гладкой стремлении t по L к с в отрицатель-
замкнутой кривой. ном направлении), и будем переме-
перемещать t, начиная с положения с, в по-
положительном направлении, изменяя In G(t) непрерывно, пока не
дойдем до точки q; при этом получим вполне определенное зна-
значение для In G(q-O). В точке q получим
а, +ф, ,±(ЫЩс, -0)-lnG(c +0)) = ^1^
B.4.2)
Так как на каждой из дуг сс\ и с\с можно выбирать произ-
произвольные ветви функции In G(t), непрерывно меняющиеся на этих
дугах, a G(t) непрерывна в окрестности точки С\, то возьмем
In G(q + О) = In G(q - 0). Поэтому получим, что otj + iPj = 0 .
Продолжая двигаться дальше по дуге С\С, получим в точке с
определенное значение In G(c - 0). Тогда в точке с имеем
= i-[argG(c ~ 0) - argG(c + 0)] = ^
B.4.3)
т.е. Р = 0, а—целое число, которое равно отношению прираще-
приращения аргумента функции G(t) при обходе по контуру L к 2тс. Та-
Таким образом, каноническая функция X(z), которая вместе с
функцией X~*[z) в точках контура L должна иметь только абсо-
абсолютно интегрируемые особенности, будет иметь вид
X{z) = {z-cf{z-cxfe«z\ B.4.4)
при X = -а .
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 55
Следовательно, для индекса ев функции X(z) имеем равенство
(см. 2.1.10)
ев = -Я=<х. B.4.5)
Ясно, что в точке с функция X(z) не имеет никаких особен-
особенностей, несмотря на внешний вид этой формулы [201]. Далее
решения уравнения B.4.1) получаются по формулам B.2.6) —
B.2.10).
Замечание 2.4.1. Если в уравнении B.4.1), в котором L —
замкнутый гладкий контур, считать #(to) и Ь(^о) константами, то в
силу формулы B.4.3) получаем, что а = 0. Таким образом, в этом
случае аз = 0 и, следовательно, уравнение B.4.1) имеет единственное
решение, которое получается по формулам B.2.6)—B.2.10).
Полное уравнение B.3.1) с помощью метода регуляризации
Карлемана—Векуа сводится к эквивалентному ему (в смысле
разыскания решений) интегральному уравнению Фредгольма 2-го
рода с непрерывным ядром.
Тесно связанным с уравнением B.4.1) на окружности являет-
является сингулярное интегральное уравнение Гильберта
2л
+|к(ео,в)ф(в)</б = f(eQ), B.4.6)
о
где полагаем я2@) - Ь2(б) * 0 , а (в), Ь(в), /*(в), К(в0, в) -
периодические функции с периодом 2% , принадлежащие классу
Н на [0, 2я ]. Это уравнение можно перевести в уравнение B.4.1)
на окружности с помощью формул A.5.3) и A.5.4). Однако
практически удобнее строить численный метод прямо для уравне-
уравнения B.4.6), поэтому приведем здесь кратко необходимые теорети-
теоретические сведения о нем, отослав за подробностями к [99].
Вначале рассмотрим характеристическое уравнение (т.е. по-
полагаем в B.4.6) Х(9о,б) S 0), индекс которого определяется по
формуле
2*
ае = 2ав*, as* = — f d argUe + ИЩ] . B.4.7)
Если аэ> 0, то характеристическое уравнение имеет as линейно
независимых решений, которые даются формулой
r{e) = V«2(e) + 62(e),
?(e) = Po + E(a* sin*e+
2л
' О
О
В формуле B.4.8) коэффициенты Ро> ak> fik » Л = 1, , аа* — 1, и
а« ~суть произвольные постоянные.
Если аэ= 0, то при cosa.o *0 решение единственно и дается
формулой B.4.8) в которой
Ро = Wfftfe . B.4.9)
2* Jz(e)
Если cosao=0, то Pq—произвольная величина, и решение
существует тогда и только тогда, когда
2я
Если ав< 0, то решение уравнения (единственное) дается форму-
формулой B.4.8) при /?(б) а 0 при условии, что функция /"(в) удо-
удовлетворяет -as условиям:
f 4^cos*6rf9 = 0, k = 0,1, ...-as* -1,
oZF>
ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2я.
57
B.4.11)
Используя метод Карлемана—Векуа [201], разрешая уравне-
уравнение B.4.6) относительно характеристической части, получим, что
это уравнение эквивалентно (в смысле разыскания решений) ин-
интегральному уравнению Фредгольма второго рода. При ав< 0 ре-
решение уравнения Фредгольма (Р* ш 0 ) будет решением исходно-
исходного уравнения при выполнении -ав условий:
?вовМ f(e)- /фтМтрт Le = о, * = од...,-.* -1.
о J
2л
2п
sin*6
А7М
Рассмотрим теперь более подробно характеристическое урав-
уравнение второго рода с постоянными коэффициентами
^^ fa)B.4.13)
Так как в этом случае величина а + ib является константой, то в
силу формулы B.4.7) ае* = аэ = О. Из формулы B.4.8) следует,
что а = arg (а + гб), tg<x0 = Ь/а , ( а Ф 0 ), cosa0 * 0, Г(б)» 0.
Будем полагать, что а + Ъ = 1. тогда Z(9) а 1,
, 2я
Таким образом, при a * 0 имеем
Ф(в0) =
B.4.14)
о о
То, что функция ф(в0), задаваемая формулой B.4.14), является
решением уравнения B.4.13), можно проверить непосредственной
подстановкой, с использованием формулы A.5.8).
При а = 0 получим cos ад = 0, и поэтому
Глава 2
~ J<Ke)ctg^rfe = fF0), B.4.15)
) = f J W**^* + С, B.4.16)
где С—произвольная константа, а функция <р(бо) является реше-
решением уравнения B.4.15) при выполнении условия
2*
2ft
Отметим, что если J/"F)de*0, то решение уравнения
О
B.4.15) можно получить (в классе функций, интегрируемых в
смысле главного значения по Коши) по формуле
««о) - f J Ae)ctg^</e0+с+f ctg^-J>(e)/e,
О О
B.4.17)
где точка Qq —произвольная фиксированная точка на [0, 2тс ].
Глава 3
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С КРАТНЫМИ СИНГУЛЯРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
В теории крыла конечного размаха было показано [47], что
стационарная линейная задача обтекания его идеальной жид-
жидкостью может быть приведена к решению следующего интеграль-
интегрального уравнения
f lJ{x0-xJ+(zQ-zf +xQ-x
C.0.1)
где [-6,b] с OX, \-l,l)<zOZ.
Если размах крыла намного больше его хорды |/» b |, то
для приближенного решения использовалось [47,334] уравнение
<30-2)
которое решалось в классе функций, удовлетворяющих условиям:
у(х, I) - у(х-1) - у(Ь, г) - 0, у(-6, г) = с», (з.О.З)
и при подходе точки М(х,у) к одному из ребер прямоугольника
ведут себя или как корень квадратный из расстояния до него, или
как единица, деленная на такой корень.
Однако теории уравнений вида C.0.1) и C.0.2) не было.
Интегралы, которые встречаются в этих уравнениях (кратные
сингулярные интегралы), рассматривались только на торах (на
произведении окружностей) [100]. Поэтому в работах [147, 148,
149] и были рассмотрены характеристические уравнения первого
рода с кратными сингулярными интегралами на прямоугольниках,
которые потом рассматривались и в других работах [И, 12, 14,
176, 220, 221, 257, 258, 260, 274-276, 309, 317 и т.д.]. В настоя-
настоящее время удалось построить [317] теорию некоторого широкого
класса уравнений с кратными сингулярными интегралами на про-
произведении кусочно-гладких кривых, которая и излагается в дан-
данной главе.
3.1. Кратные интегралы типа Копта
Пусть L/,...,Ln —кусочно-гладкие плоские кривые. Следуя
[100], назовем остовом топологическое произведение этих кривых
Глава 3
и обозначим его L, т.е. L = L/ x L^ х -х ^я- Возьмем функцию
ф(?) = q**1,...,**), заданную на остове L. Точку t = (t1y...,tn) назо-
назовем внутренней точкой ?, если точка tk не является узловой точ-
точкой кривой Lk , k = l,...,w. Пусть точка to — внутренняя точка ос-
остова L. В плоскости кривой Lk опишем окружность радиуса s^c
центром f* и через lk обозначим часть кривой Z,*, лежащую внут-
внутри этой окружности (е^ предполагается настолько малым, что
гладкая дуга lk оказывается разомкнутой).
Интегралом типа Коши (кратным сингулярным интегралом)
от функции фМ1,...,^1) по остову L в точке t0 = Uq,...,щ\ будем
называть предел
<p(t\...,tn)dtK..dtn /O4 4Ч
Д (ЗЛЛ)
где z\ ,...,sn стремятся к нулю независимо друг от друга
Указанный предел будем обозначать как
где (((-<о)) — (** — *i)—(*" "«о). dt-dt\..dt".
Так же, как и для одномерного сингулярного интеграла, дока-
доказывается, что Ф(^о) существует в точке ?0» если функция
<f(t) = ф!^1,...,^)удовлетворяет условию Я в некоторой окрестности
точки t0 = (to,...,to) остова L. С другой стороны, формула C.1.1),
дающая определение Ф(<о) i позволяет рассматривать кратный инте-
интеграл типа Коши как повторный интеграл, т.е. можно записать
<dt\...r)dty..dr dti
Lxx--*L \t ~ky.\t -t0) t t
C.1.3)
причем порядок интегрирования справа может быть произвольным.
Покажем это на примере функции двух переменных. Пусть
функция ф|?*,? I удовлетворяет условию //(щ,}^) на Lj x L2 •
IfРГТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
Введем обозначения [100]
Ф12 =
Оказывается, что
И2
Из последних двух неравенств имеем
f1
t -
C.1.4)
C.1.5)
Отметим тождество <р|?*, t 1 - см ?q, ?q) = Ф1 + Ф2 + Ф12 • Поэтому
Я\ * у [ dt г tp^dt f dt г tyjdt
C.1.6)
Все интегралы справа в формуле C.1.6) существуют или как
обычные несобственные интегралы, или как одномерные интегра-
интегралы типа Коши.
Формула C.1.3) позволяет перенести на кратные интегралы
типа Коши многие свойства одномерных интегралов типа Коши.
Из теоремы 1.4.2. вытекает следующая
Теорема 3.1.1. Пусть функция ф (^ ,..,?*) удовлетворяет усло-
условию i/(jii,...,|in) на w-мерном торе L = L\ x...x Ln (L\ ,..., Ln—
замкнутые гладкие кривые). Тогда сингулярный интеграл
о,-.,^о) принадлежит классуЯ(щ -е,...,цп -е) на L, гдее> 0
—сколь угодно малое число.
Доказательство проведем для двумерного случая. Приме-
Применяя формулу C.1.3), представим
следующим образом
?2
Глава 3
Ц 2
В силу теоремы 1.4.1 о сингулярных интегралах, зависящих от пара-
параметра, получаем, что wt*, t% I € Н{у.^ - s, ^) • Отсюда находим
Будем говорить, что функция <р(?) = «pit1,...,*11) есть функция
класса Н* на остове L = L\ x...x Ln (где L^, k = l,...,w—плоские
кусочно-гладкие кривые), если она имеет вид
где ф* еН на L; все узлы кривой L^ суть с* |i^ =l,...,m^ |и
Теперь теорема 1.4.3. и замечание 1.4.1. позволяют сформу-
сформулировать следующий результат.
Теорема 3.1.2. Класс Я* функций на остове L = L\ x...x Ln
с кусочно-гладкими кривыми L* (k = 1,...,») является инвари-
инвариантным относительно операции взятия кратного интеграла ти-
типа Коши, т.е. если функция ф@ принадлежит классу Н* на
L, то и Ф(*о) принадлежит этому классу на L.
Рассмотрим теперь вопрос о перестановке порядка интегри-
интегрирования в кратных интегралах типа Коши. При этом будем поль-
пользоваться формулой C.1.3), представляющей кратный интеграл
типа Коши как повторный.
Пусть
где L\ , L2 —кусочно-гладкие кривые, а
имеет вид
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
63
ft и - < г^ и - < Г'- йи - < Г" и -
C.1.8)
где <р*(^о^) удовлетворяет условию Я на L по to и t,
t ^V2)-точки на I, vi,A^,v? ,7?k ?0 и v^+
узлы кривой L, (i = 1, 2)—суть с! (^= 1,...,щ).
Представим /1т1, т2) следующим образом
; все
C.1.9)
В силу формулы Пуанкаре—Бертрана A.4.7) имеем
л
Подставим последнее выражение в формулу C.1.9), восполь-
воспользуемся выражением для \|/ и тем, что интегрирование по L/ и по
L 2 можно менять местами; Получаем
C.1.11)
64 Глава 3
1 2 1 2\ f if^M.^W
Воспользовавшись опять формулой Пуанкаре—Бертрана для
одномерных интегралов типа Коши, окончательно получим
(
. ff ««
А
Теперь легко методом математической индукции получить
формулу для перестановки порядка интегрирования в кратных
интегралах типа Коши любой размерности.
Теорема 3.1.3. Пусть функция <р(О является функцией
класса Н* на основе L. Тогда справедлива следующая формула
Пуанкаре—Бертрана перестановки порядка интегрирования в
кратных интегралах типа Коши
p=0V
где под dt^ k понимаем произведение dt, в котором вычеркну-
вычеркнуты сомножители на местах k\ ... kp, аналогично и для Lu ^ ,
причем если р = 0, то ничего не вычеркивается; запись т^1?...^
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ?>
означает, что вместо координат fo,...,t p надо поставить коорди-
координаты т*,...,т** (аналогично т^,....,k )•
Если L\ ,...,Ln—гладкие замкнутые кривые, a (wi ,...,in|
принадлежит классу Я на основе L , то, учитывая формулу
A.4.10), получим
C.1.14)
3.2. Уравнения с кратными интегралами типа Коши
Рассмотрим следующее сингулярное интегральное уравнение
второго рода с переменными коэффициентами с кратными инте-
интегралами типа Коши [39, 147 — 149, 285, 317] на остове Ц х hi
которое в развернутом виде можно записать так
т
г -г0
42
t\4 eLt, t2,tl eL2. C.2.2)
Естественным образом можно рассмотреть уравнения вида
C.2.1), C.2.2) от т переменных. Запишем только уравнение
вида C.2.1)
5-2775
66 Глава 3
n
В [39, 147—149, 285] достаточно подробно разобран случай
уравнения вида C.2.2), когда L\ = ?,2= Н» 1] и
^2(^0) s О, 6t|41 ¦ 62(^01 s * • В этом случае as \ и аэ 2
могут принимать значения только 1; 0; -1.
Для уравнений вида C.2.2) (особенно вида C.2.3)) встают
вопросы построения общего решения, условий выделения един-
единственного решения и условий существования решения при нали-
наличии отрицательных индексов. Вопросы эти даже в наиболее про-
простых случаях уравнений первого рода не являются простыми. Так
в [275] условия выделения единственного решения для уравнения
первого рода на квадрате содержат противоречие. В работах [275,
276] общее решение в этом случае, полученное последовательным
решением уравнения по каждой из переменных, обладает тем
свойством, что разным наборам произвольных функций, содер-
содержащихся в общем решении, может соответствовать одно решение.
Уравнения вида C.2.2) с переменными коэффициентами ранее
вообще не рассматривались. Чтобы избежать отмеченных выше
трудностей, мы считаем, что надо рассматривать произведение та-
таких одномерных сингулярных интегральных операторов, которые
имеют единственное решение. Для этого сделаем следующие заме-
замечания для одномерных сингулярных интегральных уравнений.
Будем рассматривать левую часть уравнения B.2.13) как ли-
линейный оператор S^'t (•) из банахова пространства X в банахо-
банахово пространство У на кривой L, причем эти пространства такие,
что оператор 5^ ? (•) является ограниченным в этой паре про-
пространств, т.е. 5^ \. (•) € Z(X, Y). Например, если L является
окружностью Г радиуса единицы с центром в начале координат,
то можно брать [201, 263] X = Y = Н$ , 0 < р < 1, с нормой
(или можно взять X = L \ Ы/ч|, Y = L \ {_>, л, [263, 308], или
X = L2,Y = L2 на Г).
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ fiZ
Если L=[-l,l], b(t) = b(t)i и ait), b(t) —вещественные функ-
функции, то X = L2j+),ty Y = L2^uty [263, 308]. В этом случае бу-
будем обозначать b[t) через Ь(О.
Теперь, основываясь на результатах §2.2., можно сформули-
сформулировать следующие утверждения [13, 195, 201].
Утверждение 3.2.1. Пусть аэ> 0. Тогда для любой функции
f еУ и произвольного упорядоченного набора чисел С*,
fc=0,l,..., ав -1 существует единственное решение системы равенств
) = Ck, k = 0,1,...,*-1,
L
которое получается по формуле B.2.14).
Из утверждения 3.2.1. следует, что если обозначить
*т\ (•)ОП€РатоР» стоящий слева в C.2.4), то s?\ (•) еЬ(Хл,Ут),
где Х# = X, Уа = Y х /2а, т.е. Fe является декартовым произве-
произведением пространства У и арифметического ав-мерного про-
пространства #а = {С, С =(С0,С1,...,Са_1)| с нормой
jjclj = д/Cq+...+C^.! . Для элементов / = (/",С) пространства Уа
по определению Я = J|/|y +|^|L • Поэтому оператор 5^"'
непрерывно обратим в паре пространств (Хв,Ув), т.к. Ха и
Ув —банаховы пространства [252].
Замечание 3.2.1. Если взять условия выделения единствен-
единственного решения при ав> 0 не в виде задания аэ первых моментов
решения, а в виде задания значения решения в аэ различных точ-
точках, то система равенств, выделяющих единственное решение, бу-
будет иметь вид
Rt(^)) ^) C.2.4,)
Поэтому вместо оператора 5^ (•) надо будет рассматривать
оператор 5^+/ (•) > П°Д которым надо понимать левую часть ра-
равенств в C.2.4t).
5*
?8 Глава 3
Утверждение 3.2.2. Пусть ае=О. Тогда для любой функции
f eY уравнение B.2.13) имеет единственное решение, которое
получается по формуле B.2.14). Поэтому оператор
*^о t (#) = *^01 (#) является непрерывно обратимым в паре про-
пространств (Xq,Y0), Хо=Х, Yo=Y.
Утверждение 3.2.3. Пусть ав< 0. Тогда для произвольной
функции f eY существует единственное решение
-i) уравнения
где gk(t) = tkb(t),k = 0,1,...,\ ав |-1.
Действительно, 5^ (&(?)) = О, k = 0,1,...,|аз|-1, и поэтому,
если сумму слева в C.2.5) перенести вправо и разрешить уравне-
уравнение относительно функции \|/(?), то она получится по формуле
B.2.14). Однако функция \|/(?) будет решением уравнения C.2.5)
только при выполнении системы равенств
М-1
C.2.6)
L
ИЛИ
yk\tj<u{-]{t)9k{t)dt =
*=0 L L
/ = 0,1,...,|«И,
которая имеет единственное решение. Если бы система C.2.7)
имела не единственное решение, то мы получили бы, что уравне-
уравнение C.2.5) при f[t) ш 0 имеет ненулевое решение. Но это приво-
дит к противоречию, так как в силу равенств 5
k = 0,1,...,|аэ|-1 и формулы B.2.14) получили бы v|/(i)sO. Сле-
Н
довательно, и ^у^^(^) ¦ 0 , поэтому и у^ = 0 , k = 0,1,...,|«|-1.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 62
Из утверждения 3.2.3 следует, что, если при аэ<0 обозначить
через S^l (•) оператор, стоящий слева в C.2.5), то
s?l (•) является непрерывно обратимым оператором в паре про-
пространств (Ха,Уа), где Хш = X х #ф, Уа = Y .
Замечание 3.2.2. Равенства C.2.6) похожи на равенства для
Ck, k = 0,1,...,ав -1 в равенствах C.2.4), которые можно перепи-
переписать так:
v=0
= 0,1,..., ае -1,
C.2.8)
где av—коэффициенты в многочлене P&-\{t) из B.2.14) при tv,
v= ОД,...,as- 1. Эти коэффициенты av выражаются однозначно с
помощью линейных соотношений через числа С^, k = 0,1,..., ав -1.
Теперь отметим, что если выражение в квадратных скобках в
[2.2.14] обозначить через 5^ ? (*)для аэ^О, а при аэ< 0—через
-)
}t (•) обозначить правую часть совокупности равенств
ру = jtiJ-\t)f{t)dt, У = 0,1,...,|
-1.
C.2.9)
то видно, что для любого индекса ее сингулярное интегральное
уравнение второго рода с переменными коэффициентами и- его
решение можно записать в виде
ЙШМ C-2.10)
<3211>
где
_1) при а>>0;
при ^=0;
as< 0. Из равенств C.2.10), C.2.11) следует соотношение
D2.мГ-фи- C-212)
Замечание 3.2.3. Возьмем в уравнениях C.2.4), C.2.5)
вместо функции f(tQ) функцию Щ1}Щ. Тогда решением будет
2Q Глава 3
функция ЩЦ,щ\, а решением исходного сингулярного инте-
интегрального уравнения B.2.2) или B.2.13) будет функция
При этом, если аэ>0, то вместо чисел С* в C.2.4) будут
функции Cfc^ob * = 0,1,..., аэ-1, а в формуле B.2.14), дающей
решение уравнения B.2.13), вместо многочлена Рев-lfco) будет
стоять функция
v=0
Таким образом, функция ^-1(^0^0) является многочленом степе-
степени ее Л по переменной tlQ1 коэффициенты которого являются
функциями от t% . Функции a v lift1, v = 0,1,,..., ее -1 однозначно
выражаются с помощью линейных равенств через функции
Если as < 0, то в равенстве C.2.5) вместо чисел у^ будут
функции Yfcuob ^ ^ 0,1, ,|аэ |-1, которые также однозначно вы-
выражаются с помощью линейных равенств через функции РД^оЬ
/ = 0,1,...,|<вИ:
j^J^^y^^yt1 =ру(^), У = 0,l,...,h|-l, C.2.13)
L
Заметим, что в равенствах C.2.13) функции Рд^о) тесно
связаны с функцией /Ш>*о)- Например, если /Uo,<o] принадле-
принадлежит классу Я на L\xL.2, то функции Руно) принадлежат классу
Я на /,2- Функции же СдНоКсвязаны с <xvl?o) и никак не связа-
связаны с функцией /*D^о) i так как s^\\ (Ab-i(^^o)) ^ 0 на Lt x L2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Ц
при любых функциях avl^o]. Поэтому в дальнейшем будем тре-
требовать от этих функций свойства, аналогичные свойству функции
to,to). Например, если Д4>*о) е#и,ц2 на Z^xL2, то
O е Нц2 на ^2 * Будем это в °бщем случае записывать так:
eY(L2), * = 0,1,..., а -1.
Возвратимся теперь к более подробному рассмотрению син-
сингулярных интегральных уравнений второго рода с переменными
коэффициентами с двухкратными интегралами типа Коши для
различных индексов (гв\,ав2) по переменным t1 и t2.
Теорема 3,2.1. Пусть щ>0, &2>0. Тогда уравнение
C.2.14)
которое более подробно записывается в виде
= С2,иD), т - 0,1
LXL2
r 2
где f{t\t2)*Y{LxxL2), CxM{t2) eY(L2), * = O,l,...,asrl,
m = 0,1,...,аэ2*1—произвольные числа, имеет
единственное решение
4U2M-) x5« ШЛ. C.2.16)
Более подробно равенство C.2.16) записывается в виде
v=0
72 Глава 3
ц=0
C.2.17)
°Чц » v = OA-.^aBj -1; ц = ОД,...,аэ2 -1 -числа.
При этом функции cc^vl^ob v= 0Д,...,«1-1, однозначно выра-
выражаются с помощью линейных равенств через функции
$ 2\C\k(t2))y Ь = 0,1,..., &л -1. Аналогично для
= 0Д>—>«2 в Числа ачц, v=0,l,...,ae1 -1;
\i = 0,1,..., as2 -1 однозначно выражаются с помощью линейных
равенств через числа С^т, k = 0,1,..., asj-1, w.= 0,1,,..,«2-1.
Доказательство сформулированной теоремы и других после-
последующих теорем этого параграфа достаточно наглядно и поэтому
не будем на них останавливаться.
Отметим, что число равенств C.2.5), выделяющих един-
единственную функцию ш,п, равно asj +аэ2 +аэ^аэ2- Соответствен-
Соответственно, столько же произвольных функций и чисел имеется в форму-
формуле C.2.17), дающей общее решение уравнения C.2.2) для аец > 0
и «2 > 0. При этом различным упорядоченным наборам функций
ai,v(*o) f v = 0Д,-,*1 -1, ащ4)> И = 0,1,-.,«2 -1 и чисел av^ ,
v = O,l,...,aej ~ 1; ц = 0Д,...,аэ2 - 1 соответствуют различные реше-
решения
Из теоремы 3.2.1 следует, что если при щ > 0, «2 > 0 опе-
оператор «y+ix5'+'2 принадлежит пространству Z(X,Y), где
X = Х(Ц х L2), Y = У(Ц х L2), то оператор
с(+) хс(+)
гДе X*t,*2 =Х(Ц xL2), a
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИZ3
v=0 ц=0
где У$ = ^(^2^ *i - У(А) • Следовательно, оператор
5 ^! х 5*1"'2 непрерывно обратим в паре просгрансга [Х* Шо; Уф. &>).
Сформулируем теперь кратко аналогичные утверждения для
различных других индексов.
Теорема 3.2.2. Пусть щ- 0, «2> 0. Тогда уравнение
C.2.14), которое в данном случае более подробно записывается в
виде
где Шо^о)» Q,wD)—произвольные функции, такие же, к&к в
C.2.15), имеет единственное решение, получаемое по формуле
C.2.16). Более подробно формула C.2.16) записывается в данном
случае в виде
C.2.19)
где функции <Х2,у(*оЬ И = 0,1,...,«2 ~^ однозначно выражаются с
помощью линейных равенств через функции ^ijCjJ' )Ь
т = 0,1,...,«2-1.
Аналогично рассматривается случай щ> 0, ав2= 0.
Теорема 3.2.3. Пусть щ=дВ2=0. Тогда уравнение
ш-20>
имеет единственное решение
U Глава 3
Теорема 3.2,4. Пусть »j= 0, «2< 0. Тогда уравнение
C.2.14), которое в данном случае более подробно записывается в
виде:
%
C.2.22)
где м^о,^о) —произвольная функция из У(Ь\ х I^), как в
C.2.15), имеет единственное решение
Более подробно равенство C.2.23) запишется в виде
а функции У2,цD) E^(^i) = ^(A) • Эти функции однозначно
выражаются с помощью линейных равенств через функции
C225)
Аналогично рассматривается случай щ< 0, as2= 0.
Теорема 3.2.5. Пусть щ> 0, ав|< 0. Тогда уравнение
C.2.14), которое в данном случае записывается в виде
C.2.26)
для произвольных функций п4^о) и Q,fe(^o)> таких же как в
C.2.15), имеет единственное решение
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ZS
C.2.27)
причем функция ад*1,^2) получается по формуле
v=0
C.2.28)
где функции alv(io)» v= 0,l,...,«j -1 однозначно выражаются
с помощью линейных равенств через функции 5^ 2lQiH^ )Ь
k = 0,1,...,ав! -1. Функции У2,цD)» У = 0,1,...,|ав2|- 1, аналогично
выражаются через моменты по t2 от функцииfl4,?о)> а числа
у2If и = (Ц...,«1 - 1 — через моменты от функций Ct^ШI,
Л = 0,1,...,Ф1-1.
Аналогично рассматривается случай щ<0,аэ2>0.
Теорема 3.2.6. Пусть щ<0, &2 >0. Тогда уравнение
C.2.14), которое в данном случае записывается в виде:
C.2.29)
для произвольной функции /№,2о) такой же, как в C.2.15)
имеет единственное решение
7fi : Глава 3
C.2.30)
При этом функция twtf1,*2) получается по формуле
а функции yi>v^o)^ У2,цD) и числа Учц> v= 0Д,...,Щ-1,
|л = ОД, , |ав21 — 1 однозначно выражаются с помощью линейных
равенств через моменты по i% , t$ от функции fl4,щ\, и, если эти
моменты равны нулю, то и все указанные функции и числа равны
нулю.
Замечание 3.2,3. Если в теоремах 3.2.1.—3.2.6. функции
и Cj-dtn, j = 1, 2; k = 0,1,...,аеу -1 (когда один из ин-
индексов или оба положительны) заменить на многочлены степени
rij - &j по переменной tJ, / = 1,2, то, как будет показано ниже в
§18.1, функции Ц*1,*2) и ymtV(tm), т = 1,2, v = 0,l,...,|«w|-l
(когда один из индексов или оба отрицательны) будут также мно-
многочленами соответствующих степеней по каждой из переменных.
В этом случае исходные уравнения эквивалентны системам линей-
линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих
многочленов, которые имеют единственное решение.
Замечание 3.2.4. Теоремы, аналогичные теоремам 3.2.1.—
3.2.6., можно сформулировать для уравнения C.2.3). Они будут
соответствующим образом более громоздкими.
Замечание 3*2.5. Пусть теперь рассматривается полное син-
сингулярное интегральное уравнение с кратными интегралами типа
Коши, т.е. уравнение вида
C.2.32)
Тогда с использованием приема И. Н. Веку а (посредством
разрешения этого уравнения относительно характеристической
части для данного индекса) оно может быть сведено к эквива-
эквивалентному ему (в смысле разыскания решений) интегральному
уравнения Фредгольма второго рода .
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 77
3.3. Уравнения с действительными постоянными
коэффициентами на произведениях отрезков
и окружностей
Теперь уравнение C.2.2.) запишется в виде
-At},t}\, C.3.D
где а\ -Ь\* 0, а\ +b\ = 1, k = 1,2, /" еЯ на Lj x L2 C-3.1).
Уравнение C.3.1), как аналогично и C.2.2), можно записать
в стандартном виде для уравнений с кратными интегралами типа
Коши [39, 170]
C.3.2)
Пусть L/ и L^—окружности единичного радиуса с центрами в
начале координат. В этом случае asj = as2=0 и поэтому, применяя
теорему 3.2.3. и формулу B.2.14), получим
йИЖ1
или
C.3.4)
78
Глава 3
единственное решение уравнения C.3.1).
Пусть теперь L\—окружность, Li —отрезок [-1,1]. Будем
вначале искать решение, имеющее по координате t2 индекс 1, т.е.
«1= 0, «2= 1. В этом случае уравнение C.2.14) запишется в виде
(см. теорему 3.2.2).
C.3.5)
Поэтому решение системы C.3.5) получится по формуле
C36>
ИЛИ
C.3.7)
где
= -[г(о2)ГA - о2)]~ , 0 > а2 > -1, а2
, а2+р2=-1.
Если ав|= as2= 0, то уравнение для нахождения решения запи-
запишется в виде C.2.20), а его решение получится по формуле C.2.21).
В данном конкретном случае решение будет получаться по
формуле C.3.7), в которой соj ^(?2) надо заменить на
о>5'fa) = (l -12\ 2(l + t2) 2, если решение по t должно быть
ограничено при t = -1, и выражение в квадратных скобках в
C.3.7) положить, равное нулю.
Если asj= 0, «2= -1, то решение уравнения C.3.1) лучше
искать из уравнения
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 72
которое разрешимо при любой функции fltl, t§ J из класса Н на L\ х L2.
Решение уравнения C.3.8) задается формулой
Н
Функция уD'*о)> получаемая по формуле C.3.9), будет
решением уравнения C.3.1) при указанных индексах только при
условии У2,о(^ ) s 0, т.е. при условии
1 flt\ ЛХйЛ
Щ'*Г ш0 C.3.10)
Пусть теперь Lj = L2 = [-1, 1 ]-
Решения уравнения C.3.1) для произвольных аъ, bk, удо-
0 0 0 0
влетворяющих условию а? - 6^ ^ 0, б^ + fejf = 1, k = 1,2, даны в
[39, 170]. Поэтому здесь на этом останавливаться не будем, а рас-
рассмотрим достаточно подробно случай й\ = пч = О, Ь\ = &2 = 1, т.е.
рассмотрим задачу обращения двукратного интеграла на квадрате:
где m1, i2 j —произвольная функция класса Яна[-1,1]х[-1,1].
Рассмотрим случай «j = «2 = 1. Тогда уравнение в теореме
3.2.1. запишется в виде
или более подробно
80
<"•»>
(')H
«¦
где СЛ?2) и Calf1) —произвольные функции класса Н на [-1,1],
С—произвольная константа, а решение уравнения C.3.12), а,
следовательно, и общее решение уравнения C.3.11), в классе
функций ylt1,*2), имеющих при подходе к внутренним точкам
ребер квадрата [-1,1] х [-1,1] не более 1/2 особенности, будет
задаваться формулой
, 1 с
2
i o 1 4 «
C.3.14)
Чтобы получить решение уравнения C.3.11), надо функцию
>*о)> найденную в формуле C.3.14), умножить на вес
ГЧГ
Таким образом, общее решение уравнения C.3.11) можно запи-
записать в виде
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
C.3.15)
где
Если ав|= О, ав2=: 1 и решение по t ограничено при t = 1,
тогда надо рассмотреть систему
аълаь2
C.3.16)
где fit ,r , С21 г 1 — произвольные функции класса Н на
[-1,1]х[-1,1] и [-1,1], соответственно, которая в операторном
виде запишется так:
Решение уравнения C.3.17) получится по формуле
а решение уравнения C.3.11) в этом случае будет:
C.3.18)
6-2775
22 Глава 3
Аналогичным образом рассматриваются случаи щ= 1, «2= О,
Щ~ а52= 0- Поэтому остановимся только на случаях aej = 0, «2= -1;
«!= 1, «2= 'U% «1= Ф2= "!•
Пусть asj й= 0, «2= -1, т.е. рассмотрим уравнение
или
1 [ I
C.3.20)
где искомые функции \|/{г,^ I и У21^ )•
Уравнение C.3.19), соответственно C.3.20), имеет решение
При Уг^М^О функция
°-з-22)
будет решением уравнения C.3.11) индекса щ =0, «2= -1.
Пусть теперь asj= 1, аэ2= -1, т.е. рассмотрим уравнение
или подробнее
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 83
где искомыми являются функции yii1,^2) и У21^о)» а TaK^e число
у, функции /*^о>*о) и ci(*o) заданы.
Уравнение C.3.23), соответственно C.3.24), имеет решение
C.3.25)
Наконец, рассмотрим случай aej= ав2= -1, т.е. рассмотрим
уравнение
или более подробно
Уравнение C.3.27) имеет единственное решение, которое по-
получается по формуле
6*
84 Глава 3
C.3.28)
Теперь видно, что из второго уравнения в C.3.28) однознач-
однозначно определяется У2\^1) > из третьего— у At I, из четвертого— у .
Если сравнить теперь формулы C.3.13) и C.3.28), C.3.15) и
C.3.27), то видна их симметрия, и можно сделать заключение
fe<+
<+> хS« С.)) = *(-> хS<-> (.). C.3.29)
Замечание 3.3.1. Из результатов, полученных выше для
уравнения C.3.11), видно, каким образом сформулировать и до-
доказать аналогичные результаты для уравнения
=f(
для любого натурального п.
3.4. Уравнения с кратными интегралами с ядрами Гильберта
В этом параграфе, следуя Лифанову И.И. [317], изложим
для уравнения с кратными интегралами с ядрами Гильберта ре-
результаты, аналогичные результатам для уравнений с кратными
интегралами типа Коши того же автора, помещенные в §3.2.
Вначале сделаем замечания для одномерных интегральных
уравнений с ядрами Гильберта
Если сравнить вид характеристического уравнения для
B.4.6) и вид его решения B.4.8), то видно, что их можно запи-
записать (достаточно) симметрично следующим образом [13,317].
Уравнение B.4.6) представим так:
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 85
Тогда для решения B.4.8) получим запись
<р(е0) = «,L+)(e0)?(e0) = . 1+)(ео
sinfee + Bfc cos feei +
+а Ла^» sinas*6 + Вф* cos fee И,
. = - Ja(e)sin«*erfe, в^ = 1 Ja(e)cos«*
() C.4.2)
а многочлен Р *(б) можно записать в виде
о ло
а(е) = й(в)ехр(-ц(в))/г(е).
Заметим, что оператор Г^ (ч*(б)) в уравнении C.4.1) огра-
ограничен из пространства Яр в Яр и из Li в Li функций, периоди-
периодических на отрезке [0, 2л ], т.е. г?+' eL(X>Y), где X = Y = Яр,
или Х=У= L^, или еще X = L (+ь v, а У = L (-), v.
Относительно уравнения C.4.1) справедливы следующие
утверждения [13, 100, 317], аналогичные утверждениям 3.2.1 —
3.2.3 для уравнения B.2.13).
Утверждение 3.4.1. Если аэ= 2аэ*> 0, тогда для любой функ-
функции f e У и произвольного упорядоченного множества чисел С*,
fe = 0,l,..., ав-1 существует единственное решение системы равенств
gg Глава 3
2*
О
2*
Ja^F)\|/F)sin?ed9 = c^+e*.t» * = 1»—» «*-1» C.4.3)
О
2*2*
J JcaW(e)?(e)p(eo)sin^(e - eo)rferf9o = с..,,
о о
Утверждение 3.4.1 показывает, что если мы обозначим через Г^ (•)
оператор, который стоит слева в C.4.3), то Г±? (•) е?,(Хв,Ув), где
Хш = X, Уа = У х R9, аэ = 2ав*. Следовательно, Г^ (•) непре-
непрерывно обратим в паре пространств ( Xm,Y9 ).
Утверждение 3.4.2, Пусть ав = 0. Тогда число ро (см.
B.4.9)) вполне определено, если coscto * 0 (определение ао см.
в B.4.8)). В этом случае для любой функции f eY характери-
характеристическое уравнение для B.4.6) имеет единственное решение и,
следовательно, оператор Г^ J (•) = Г^ J (•) непрерывно обратим в
паре пространств ( Xq , Yo ), Xq = X, Yo = У.
Если cosag = 0, тогда р0 является произвольным числом. В
этом случае для любой функции f e У и любого числа С су-
существует единственное решение у(в) = (\|/(в),у0), где у о —число,
системы равенств
2*
j4+)F)VF)rf6 = C. C.4.4)
о
Действительно, Г^ (уо) = 0, и, следовательно, если пере-
перенести уд вправо и решить полученную систему относительно
\|/(в), получим формулу C.4.2). Однако функция \|/(б) будет ре-
решением уравнения C.4.1) только при выполнении равенства
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
2*
JSL
C.4.5)
о
которое имеет единственное решение у q .
Из утверждения 3.4.2 следует, что если при cosao Ф О обо-
обозначить через Г^е' (•) оператор, стоящий слева в C.4.4), тогда
гЦ(*)е1(Х0,У0), где XQ=XxRlf YQ = YxRlf и он, опера-
оператор, непрерывно обратим в паре этих пространств.
Утверждение 3.4.3. Пусть аэ< 0. Тогда для любой функции
f е Y существует единственное решение ф(в) = I цг(в), Y о > • • • > Y У -i I
уравнения
У0
?
Ik
\ sin
Действительно, г?$ Юл*(вн = 0, где Оа*(в) обозначает вто-
второе слагаемое Ь(в){#} слева в уравнении C.4.6). Следовательно,
если перенести Q «.(в) вправо и решить уравнение для функции
\|/(в), то получим формулу C.4.2) с Р •(Qq)**O. Однако функ-
функция \|/(9) будет решением уравнения C.4.1) только при выполне-
выполнении следующей системы равенств
2д
= 0,
2*
= 0,
C.4.7)
2*2*
jj«
О О
sinае*(б -BQ)dBdeQ = 0 ,
88 Глава Я
которая имеет единственное решение.
Из утверждения 3.4.3 следует, что если мы обозначим через
*»б (#) оператор, стоящий слева в уравнении C.4.6), то
^ , где Хв = X х R9, a= 2ав*, Y*=Y и опера-
оператор г?У непрерывно обратим.
Теперь по аналогии с результатами в §3.2 введем операторы
« в (#) * Для Ф ^ 0 через Г^ (•) обозначим выражение в квадрат-
квадратных скобках в C.4.2), а для ае < О через Г^ (•) —совокупность
правых частей системы равенств, состоящей из уравнения
vM = rU№)) C.4.8)
и системы равенств C.4.7). Тогда для любого индекса ав сингуляр-
сингулярное интегральное уравнение второго рода с переменными коэффици-
коэффициентами с ядром Гильберта и его решение можно записать в виде
>o), C-4.9)
C.4.10)
где ч<в) = Ч'(в), /!(в) = (ДвIСЬ,^,...,С._1) при а > 0;
Щ = vF), /(в) = /-(в) при а = 0 и cosa0 *0и Щ = (цЩ, у0),
= (f(Q),C) при а=0и cosa0 = 0;
при
Из равенств C.4.9), C.4.10) следует соотношение
0
Теперь для уравнений C.4.3), C.4.4), C.4.6) можно сфор-
сформулировать утверждение, аналогичное утверждению 3.2.3 для
уравнений C.2.4), C.2.5). Для уравнения
) Ш12)
где
или
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ83
справедливы теоремы, аналогичные теоремам 3.2.1.—3.2.6, пред-
предполагая, что при аэ= 0 по одной из переменных выполняется
условие cosao^O, при котором имеется единственное решение
характеристического уравнения. Поэтому остановимся подробнее
только на уравнении C.4.12) в случае,
»01 = 1, которое в данном случае получит вид
л 2п2п Л2 л2 л2 л*4
31J Jct8—^—ct8—T~
B«J 0 0
О О
2тс2тс о о
—а- J Jctg^-^.e^e^e2 + Yl2 = с2(е^), C.4.i4)
\Zn) о о
SB
Если перенести вправо неизвестные функции и числа у2(во) > У
У 9 У2Ь У12 и воспользоваться тем, что интеграл от ядра Гильберта
равен нулю, то несложно заметить, что выполняются равенства
C.4.15)
У21 = ? Ь^У62' Тй - ? I С2(в1К • C416>
Теперь запишем систему C.4.14) следующим образом (при ука-
указанных выше ) yi(ej,), у2(в^), у ,Yi2, У21:
C4l7)
0
Тогда, рассматривая первое и второе уравнения как сингуляр-
сингулярные интегральные уравнения с. ядром Гильберта по переменной 0
относительно функции — Jctg —^яв^в к/6 , а третье и чет-
1 2Л
вертое—относительно функции — J We1, в2 Ив2 , получим
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ?1
X
2л л 2л
= - JL jf ctg^o [c2(e')- У12]л» + с.
C.4.18)
Теперь, решая систему C.4.18) относительно функции щд ,0г\,
получим
-у2(в1)-Г1(е2)-урв1
C.4.19)
или окончательно
2я2л
2я2л 11 7 О
C.4.20)
Отметим, что формула C.4.20) дает общее решение уравнения
f J Jctg^-ctg^^i^e^e^e^e1 = ^,e20).
0 0
C.4.21)
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
v^.e2) = c2(e1)+c,(e2)+с, C.4.22)
где интегралы от функций Qie1 J и Сцв2) равны нулю.
Раздел II
СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ И НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ОБЛАСТЕЙ
К СИНГУЛЯРНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В этом разделе для специалистов из некоторых прикладных об-
областей будет показано, как сводить к сингулярным интегральным
уравнениям различные задачи математической физики краевые
задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца: а также конкрет-
конкретные задачи из аэродинамики, электродинамики и теории упру-
упругости. Для математиков будут сформулированы задачи, которые
ждут своего решения и имеют большое значение для приложений,
особенно в аэродинамике.
Глава 4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЛАПЛАСА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
4.1. Некоторые сведения из теории потенциалов
В этом параграфе кратко изложим необходимые в дальней-
дальнейшем сведения из теории потенциалов для уравнений Лапласа и
Гельмгольца, отсылая же-
желающих ознакомиться с дока-
доказательствами приведенных
фактов к монографиям [48, 57,
135, 248].
Пусть ?/'—ограниченная
открытая область в R2, границу
которой обозначим через L
(рис.4.1.). Будем предпола-
предполагать, что L—простая замкнутая
кривая, принадлежащая классу
С2, т.е. функции, дающие па-
параметрическое представление
Рис. 4.1. Выбор Ф и
для замкнутой кривой v u
этой кривой, имеют непрерыв-
непрерывные вторые производные. Внешнюю к L область будем обозна-
чать
Известно [48, 57, 135, 248] , что функция
^1
D.1.1)
где М(х,у),Мъ{хъ,уо) — точки плоскости R2, М-
?ММ0 = MMq , тМщ = Wmmq удовлетворяет уравнению Лапласа
АG0=—f + ^" = 0, 1АЛ.2)
дх2 ду2
по координатам точки М при любой фиксированной точке Mq.
Функции
D.1.3)
D.1.4)
где k—комплексное число, такое, что Jm?^0, удовлетворяет
уравнению Гельмгольца
по координатам точки М при любой фиксированной точке Мо
(М Ф Mq). Здесь Щ'(кг) и щ'(кг) —функции Ханкеля нулево-
нулевого порядка.
Отметим, что в силу симметрии функций Uq(M,Mq) и
U{M, Мо) относительно точек М и Мо верно также, что они удо-
удовлетворяют уравнениям Лапласа и Гельмгольца, соответственно,
по координатам точки Mq при любой фиксированной точке М.
Из-за наличия логарифмической особенности при М = Mq
функции Uo(M,Mq) и t/(M,M<)) называют фундаментальным
решением уравнений D.1.2) и D.1.5), соответственно.
Напомним [225], что
)=/ои±зд D16)
где /0(г)(У()(г)) —функция нулевого порядка Бесселя (Неймана) и
= -С + ]Г1, *A) = -С, D.1.8)
С = lim У i- - Inn = 0.5772156649...,
где С—константа Эйлера и Ч^г) —пси-функция.
Интегралы
^о(мо) = \UQ(M,MQ)vo{M)dsM , Мо 0L, D.1.9)
I
fo) = J(/(M,M0)\|/(M)rf5M , Mq*L, D.1.10)
L
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 95
где usm —дифференциал длины кривой L в точке М, называются
потенциалами простого слоя для уравнений Лапласа, Гельмголь-
ца, соответственно, с плотностью \ро(М) , \у(М) .
Интегралы
dU°{?Mo) 1, D.1.11)
M
Пм
o)(M)dsM, M0eL, D.1.12)
L дПм
где пм — орт нормали кривой L в точке М, направленной в
D , называются потенциалами двойного слоя с плотностями,
до(М) у д{М), соответственно.
Отметим, что функции Vq{Mq} и Фо(^о) являются решени-
решением уравнения Лапласа вне L, а функции v(Mq) и <p(Mq) —
решения уравнения Гельмгольца. Поведение же этих функций на
границе области — на кривой L и при подходе к ней определяет-
определяется, в основном, имеющейся в функциях Uq(M,Mq) и U(M,Mq)
логарифмической особенностью. Однако из формул D.1.1),
D.1.3), D.1.4), D.1.6) - D.1.8) следует, что
С7(М,М0) = ?/0(М,М0) + F(M,M0), D.1.13*)
где F(M,Mq) —непрерывно дифференцируемая функция по ко-
координатам точек М и Mq, Поэтому все свойства будем формули-
формулировать для функций v{Mq) и <р(Мо), имея в виду, что аналогич-
аналогичные свойства выполняются и для функций ?>о(Мо) и Фо(^о) •
Замечание 4.4,1. Конкретизируем формулы D.1.11) и
D.1.12), беря С/(М,Мо) = -~Я^(*гММо). Напомним, что
м
, Мо) = gradM4/(M, Мо) =
дхt+ду;+ Л '
,Мо)) = ^(ЦМ,МормЧМ,Мо). D.1.13)
Поэтому получаем
2fi Глава 4
2* ^УЕМл 2* г* м
Теперь, если воспользуемся соотношениями [225]
D.1.17)
D.1.18)
-1
2A-bl
то формулы D.1.11) и D.1.12) будут иметь вид
L, D-1.20)
L ГММ0
D.1.21)
Утвержденне 4.1.1. Потенциал простого слоя v(Mq) с не-
непрерывной плотностью t|/(M) удовлетворяет условию Гёлдера
степени а для всех а из интервала @,1) во всей плоскости R2 и
для некоторой константы Са, зависящей от а и ?, где ||я||а/?2
определена в 3.2 и
И^ D123)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 2Z
Утверждение 4.1.2. Потенциал двойного слоя <p(Mq) с не-
непрерывной плотностью д(М) может быть непрерывно продолжен
из ?>(+) в D{+)vL = DU) и из Ф в Ф uL = ©('} с предель-
предельными значениями на L вида
У()D.1.24)
где интегралы существуют как несобственные и
^^ Km ф(М), MoeL.
Конкретизируя формулу D.1.24) получим
D.1.25)
Ф±(М0). -|pJ2)(^MMJ^^l,(M)^ ±\
MoeL. D.1.26)
Следствие 4.1.1. Для потенциала двойного слоя ф(Мо) с не-
непрерывной плотностью д(М) скачок предельных значений имеет
вид
Ф+(Мо)-ф-(Мо) = 0(Мо), M0eL. D.1.27)
Утверждение 4.1.3. Прямое значение потенциала двойного
слоя
^)idU№'MQ)() M0eL, D.1.28)
с непрерывной плотностью д(М)} удовлетворяет условию Ща)
на L для всех а € @,1) и
Ни* cM*j.> DЛ-29)
где Са — постоянная, зависящая от а и L.
Утверждение 4.1.4. Потенциал двойного слоя <р(М0) с плот-
плотностью д(М), принадлежащий к классу #(а) на L, 0 < а < 1
принадлежит Я в ©^ и в ©^ , причем имеют место оценки
7-2775
9S Глава 4
где Аа — постоянная, зависящая от а и L.
Теперь сформулируем результаты, относящиеся к дифференци-
дифференцированию потенциалов простого и двойного слоев [111, 135, 248].
Утверждение 4.1.5. Первые производные потенциала про-
простого слоя я(Мо) с плотностью \|/(М) € Н(а), 0 < <х< 1, на L
можно продолжить с сохранением принадлежности классу #(а)
из © в © и из Ю в ?)W , причем предельные значения
принимают вид
L
MoeLf D.1.31)
где интеграл существует в смысле главного значения Коши. Кроме
того, имеют место оценки
H sQIMLi- D-1.32)
где Са — постоянная, зависящая от а и L.
Замечание 4.1.2. Конкретизируя формулу D.1.31) для
функций () {)
^MOV(MO), MoeL. D.1.34)
Формула D.1.34) написана для функции Щ *\кгмМ\ с уче-
учетом соотношений D.1.16) - D.1.19).
Следствие 4.1.2. Для потенциала простого слоя v{Mq) с
плотностью \|/(М) е Н(а), 0 < а < 1 на L имеет место соотноше-
соотношение для скачка градиента потенциала
jra(b+(M0)- gradtT(Mo) = -пмМмо), MoeL. D.1.35)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 22
Гюнтер [111] показал, что для потенциала простого слоя с не
более, чем непрерывной плотность градиент на границе L, вообще
говоря, не существует. Однако для нормальной производной
можно доказать следующее утверждение.
Утверждение 4.1.6. Для потенциала простого слоя с непре-
непрерывной плотностью \\г(М) имеет место равенство:
дх)^(Мо) е dU(M,Mo) , _ 1 /
&*М0 { дпмо 2
где
to±h"Mo)
h>0
понимается в смысле равномерной сходимости, а интеграл в
D.1.36) — как несобственный интеграл.
Конкретизируя формулу D.1.36) для функций Uq(M,Mq) и
U(M,Mq) из D.1.4), получим
yo(M)dsM+-\
MoeL, D.1.37)
MoeL. D.1.38)
Следствие 4.1.3. Для потенциала простого слоя v(Mq) с не-
непрерывной плотностью у(М) нормальная производная терпит
разрыв
Теперь остановимся на производных потенциала двойного слоя.
Утверждение 4.1.7. Прямое значение потенциала двойного
слоя вида D.1.28) с плотностью д(М)еН(а) на L, 0<<х<1
представляет собой на L дифференцируемую функцию с произ-
производной, принадлежащей тому же классу i/(ot), причем
Г
100 Глава 4
• D-1.40)
где Са —постоянная, зависящая от а и L, a Gradcp —касатель-
—касательная составляющая вектора gradcp в точке М eL .
Утверждение 4.1.8. Первые производные потенциала двой-
двойного слоя <р(Мо) с плотностью д(М)еЩ(а), т.е.,
9х>9'у9г еН{а) на L, 0 <а< 1 могут быть продолжены равно-
равномерно из Ю< ' в & > и из ©<' в ©<~' с сохранением непрерыв-
непрерывности по Гельдеру; при этом предельные значения имеют вид
0) = k2jU(M,MofiMg(M)dSM -
-J[gradMot7(M,Mo))[Grad5r(M))«M]]d5M ±±
MoeL, D.1.41)
где второй интеграл существует в смысле главного значения Коши.
Кроме того, имеет место неравенства
:<¦> sOa||0|leL, D.1.42)
где С„ —постоянная, зависящая от а и L, и
sup
MeL MeL
|gradg>(M0) -
Отметим, что, еслиМое/,, то формула для grad<p(M0)
имеет вид D.1.41), где отсутствует слагаемое ± — Gradgf(M).
Гюнтер [111] построил примеры, показывающие, что для по-
потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью производные
на границе, вообще говоря, не существует. Однако нормальная
производная непрерывна на границе. Справедливо
Утверждение 4.1.9. Для потенциала двойного слоя <р(Мо) с
непрерывной плотностью д(М) имеет место равенство
i, D...43)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Щ1
в том смысле, что
ton ^М* М° ) ^М° Щ ) = О
А->0 дпМо дпМо
h>Q
Mo e L , равномерно по М$ на L.
Замечание 4.1.3. Конкретизируем формулу D.1.41) для
функций фо(Мо) и ф{М0). Для этого напомним формулу двой-
двойного векторного произведения из векторной алгебры [50]
ax(bxc) = Ь(а,с)-c(a,b). D.1.44)
и предположим, что кривая L задана параметрически х = x(t),
у = y[t), t e[0,/] , где /—длина кривой L. Так как пм мы пред-
предполагаем направленным в © , то, чтобы пара векторов хм,
«д/ > где тд/ —орт касательной к L в точке М, была правой, бу-
будем считать положительным на L обход по часовой стрелке.
Поэтому получим
тм =xfsi + #;7, % = -y'sl + x'J, D.1.45)
считая, что координаты точки М(х, у) зависят от длины s дуги
кривой L. Так как grad^ = g\ тд/ = g's^M » то с учетом формулы
D.1.44) и того, что для <ро(М) будет Л = 0 формула D.1.41) для
функции фо(Мо) приобретет вид
\
ГММ0
D.1.46)
Учитывая, что tMMq = (x0 - x)i +(г/о - y)j и формулы D.1.45),
формулу D.1.46) запишем следующим образом
grad<po>o) = U^y)\{XxI
L ГММ0
eL. D.1.47)
Отметим, что если Mq &L} to в формуле D.1.47) отсут-
отсутствует внеинтегральное слагаемое и gradq>o(Mo) совпадает с по-
122 EaaaaJ
лем скоростей вне L, которое возбуждается вихревым слоем ин-
интенсивности j(Mq) = <7$(М0) 1 расположенным на L [39, 139, 243].
Теперь конкретизируем формулу D.1.41) для функции
Фо(М), соответствующей функции U{M,М 0) = -—#j> '\krMMo j.
Для этого напомним, что
gradMoC/(M,М0) = {яB(ММо)
Поэтому, применяя опять формулу D.1.44), получим
o) = М2\H®(krMMo) nMg(M)dsM -
kiH?\krMMS
4 L \ гмм0
±1tMo^(Mo), M0eL. D.1.48)
Учитывая теперь формулы D.1.45) и D.1.47), формулу
D.1.48) запишем следующим образом
-Ц J;
±2^^ + y'osJ)9s{Mo) ,M0 eL. D.1.49)
Для нормальных производных потенциала двойного слоя бу-
будем иметь: для
или
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
I
для ф(М0)
= -^/Я?\krMMJpM,nMo)g(M)dsM -
«г „B)/.
x g's{M)dsM D.1.52)
или
й
D.1.53)
Замечание 4.1.3. Все результаты этого параграфа остаются
справедливыми и в том случае, если L состоит из конечного числа
непересекающихся простых кривых Lj,...,Lm класса С2 таких,
что ни одна из них не содержится внутри другой (рис. 4.2.). В
этом случае ©' ' = M^V ' , а О*' является связной областью.
*1
Замечание 4.1.4. Пусть теперь L есть гладкая разомкнутая
кривая ab (рис. 1.1.) с направлением от а к Ь (а и Ь —точки
плоскости, как и на рис. 1.2.). Если точка М не совпадает с од-
одним из концов кривой L, то через пм будем обозначать орт нор-
нормали к кривой L в точке М, направленный слева от кривой L
(см. 1.2.). Тогда можно определить функции Vq{Mq) , v(Mq) и
104
Глава 4
Рис. 4.2. Выбор ©( ) и ©(+) для контура, состоящего
из конечного числа замкнутых кривых.
Фо(Мо), Ф(Мо) как в формулах D.1.9) - D.1.12). В этом случае
формулы D.1.20), D.1.21), D.1.24) - D.1.27), D.1.31), D.1.33) -
D.1.39), D.1.41), D.1.43), D.1.46) - D.1.57) остаются справед-
справедливыми для любой точки Mq e L , отличной от концов.
4.2. Задача Дирихле
Рассматривать будем краевые задачи вначале для уравнений
Лапласа, а потом сделаем соответствующие замечания относитель-
относительно краевых задач для уравнений Гельмгольца.
Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию vo(M) e
eC2l©'"'J nCf ©'"'J , т.е. дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемую в ©*' и непрерывную на Ю^', удовлетворяющую уравне-
уравнению Лапласа D.1.2) в ©'', т.е. уравнению
ду2
дх2
и граничному условию
»b|i=f(Mob MoeL, D.2.2)
где f —заданная непрерывная функция.
Внешняя задача Дирихле. Найти функцию ^о(^) е
eC2]^R2 \ ©WJ nCf R2 \ ©v Л , ограниченную на бесконечности,
удовлетворяющую уравнению Лапласа в R2 \ ©'"' и граничному
условию D.2.2) на кривой L.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
Как показано в [57, 248] обе эти задачи имеют единствен-
единственное решение. При сведении этих задач к интегральным уравнени-
уравнениям обычно использовали [57, 248] потенциал двойного глоя, что-
чтобы получить интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В
[135] показано, что эти задачи и аналогичные для уравнения
Гельмгольца, также, как и задачи Неймана, можно свести к инте-
интегральным уравнениям первого рода, но делается замечание, что
эти уравнения, как правило, не используются в силу своей некор-
некорректности. Однако в связи с численными методами в аэродинами-
аэродинамике (метод дискретных вихрей) мы рассмотрим соответствующие
интегральные уравнения первого рода и в последующих главах
дадим устойчивые методы из численного решения. Итак, будем
искать решение задач Дирихле в виде потенциала простого слоя
= Т"J1
._,,.. - <L D.2.3)
rMM0
Функция Vq^Mq) будет решением этих задач, если функция
v|/0(M) будет решением интегрального уравнения
= /*(М0), MoeL, D.2.4)
L
которое получается в силу утверждения 4.1.1 о непрерывности
потенциала простого слоя на всей плоскости.
Рассмотрим частный случай, когда L является окружностью
TR радиуса R с центром в начале координат. В этом случае (так
как тм и /2/vf должны составлять правую систему, а пм должна
быть направлена во внешнюю сторону, то ориентация L идет по
движению часовой стрелки) уравнение D.2.4) получит форму
( dsM = -RdB )
-2я А I
— fln2i2sin-^Hv|/0(eWe = /'(e0), е0е[0,-2я1. D.2.5)
2* J 2 |
Так как определенный интеграл от периодической функции
не изменяется при сдвиге отрезка интегрирования на период, то
уравнение D.2.5) можно записать следующим образом
R2n 9 -61
| In 2/гsin-^ ч/0(9Уб = /*(бп)» е0 е[0,2я] • D.2.6)
27Г J 2 |
Запишем теперь уравнение Лапласа в полярных координатах
dvQ) I dvQ ( 7Ч
^L + —= 0 D.2.7)
106 Глава 4
Применив метод разделения переменных в полярных коор-
координатах [248], получим, что частными решениями для уравнения
Лапласа в круге D^ радиуса /? будут функции
*>оп(р,в) = ря(Д,"с5яв + Вп sin w6), p'* R ; D.2.8)
вне круга D# будут функции
^ ), p<R, я=0,1,2,... D.2.9)
Р
Теперь решение внутренней задачи Дирихле на круге, в ко-
которой функцию f(Mo) представим рядом Фурье
1 n=l
«о = - } We, ап = 1J /"(e)
bn=-]f{Q)sinnMQ, n = 0,1,2,... D.2.10)
будет иметь вид
^о(Р>6) = — + XI I (<2ncoswe + bnsinnej, V4.Z.11;
а решение внешней задачи Дирихле для круга будет иметь вид
6nsinw9). ^
В формуле D.1.39) скачка нормальной производной для
потенциала простого слоя для окружности /r дифференцирование
по нормали будет дифференцированием по р, т.е. эта формула в
данном случае получит вид
= -Ч/0(е), 6е[0,2я]. <4-2ЛЗ)
Следовательно, единственным решением уравнения D.2.6) при
выполнении условий
2* 2л
О D.2.14)
о о
является функция
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
D.2.15)
Полагая в D.2.6) /(во) = йп cosn60 + bn sin ибо, п = 1,2,..., получим
\|/0(в) = —(ап cos ив + bw sin яв).
Таким образом, возвращаясь к D.2.6), получаем соотношение
1 2? I 0 -в!
- J In\2R sin ° \an cos пв + Ьп sin яв)</6 =
% ' 2 '
= —(ancosnQQ+bnsinne0), n = 1,2,.... D.2Л6)
Если теперь продифференцировать соотношение D.2.16), то
получим соотношение [174]
1 2? в -в
— J ctg-^-— (ап cos nQ + bn sin w6)d9 =
27C 0 2
= ^nsinweo -fencosweo , n= 1,2,.... D.2.17)
Из приведенных выше в этом параграфе рассуждений следу-
следует, что если в уравнении D.2.6) функция /*(в) = -^- будет кон-
константой, то и \|/(б) (если существует) также будет константой. Из
выполнения равенств [225, 256]
% * 2? I ft -ftl
J lnjsinx\dx = -~ln2 , J In2i2sin^—-№ = 2n\nR D.2.18)
о о ' '
получаем, что при R * 1
Если R = 1 , a f(Q) —константа a * 0, то решения уравнения
D.2.6) не существует. Если же f(Q) а 0, то при R = 1 решением
этого уравнения будет произвольная константа.
Вернемся теперь к общему уравнению D.2.4). В силу фор-
формулы D.1.39) для скачка нормальной производной потенциала
простого слоя получаем: если для функции /"(Мо) и Уо!^) ин-
интегралы по контуру L равны нулю, то решение уравнения D.2.4)
(если оно существует) единственно.
108 ; Глава 4
Замечание 4.2.1. Если L — гладкая разомкнутая кривая и
на ней задана функция f(M$), то можно поставить задачу о на-
нахождении гармонической вне L функции Vq{M) , удовлетворяю-
удовлетворяющей на кривой L условию D.2.2). Если искать решение этой за-
задачи в виде потенциала простого слоя на кривой L, то, выполняя
граничные условия D.2.2), придем опять к уравнению D.2.4).
Пусть теперь L—такая кривая, что ее параметрическое пред-
представление х - x(s), у = y{s), где 5 —параметр длины дуги этой
сривой и se[0,/], / — длина кривой, производные x'[s) и y'(s)
принадлежат классу #(а) на [0, Л. Будем в этом случае говорить,
что L еЯ|(а). Если L — разомкнутая кривая, то уравнение D.2.4)
можно записать в виде
1 / 1
- — Jln|s0 - 4|/0(s)ds -fK(s,so)yo(s)ds = f(s0), sQ e[0,l],
n о о
D.2.20)
где
\K,q) \ _ > yt(,o)
Sq - S Sq - S
В силу леммы 1.1.1 функции X|(s,.So) и #i(s,So), а вместе с
ними и ^s,Sq), принадлежат классу #(а) на [0,Лх[0,Л, причем
rjE, Sq) ф 0 для любых s, Sq € [0, /]. Поэтому, если 0 < а < 1,
функция /C(s,so) = —In ^E,59) также принадлежит классу Н(а)
на [0,/]х[0,/].
Если теперь L — замкнутая кривая, то x(s), y(s) и их про-
производные являются периодическими функциями с периодом /.
Поэтому хх {sq + Z, Sq ) = ух (sQ + /, 50) = ц (sQ + /, 50) = 0 , и, следова-
тельно, функция lnrj^Sg) будет иметь особенность. В силу этого
представим теперь уравнение D.2.4) следующим образом
oE)d5 = /"N)» s0 ^[0,/],
D.2.21)
Е ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 109
где r\{s, sQ) = xf(s,50) + y\{s, sQ),
= /,, \_ ХЫ-4s)
^ I . I Sq — S Lit
2 — sin -**-
27C V 2
Отметим, что Xi(s,Sq)-+ x'(sq), ^(s^o) -> y'(so) при 5->Sq
И #{(s,S0)-*--.r'(s0), У1E,50)^-г/'E0) При 5->50+/. ПоЭТОМу
функция rjE,so) принадлежит классу Н(а) на [0,/]х[0,/] и не
обращается в нуль. Делая теперь в уравнении D.2.21) замену
переменной 5 = 8— , Sq = 90 — и обозначая — = /?, видим, что
2тс 2тг 2тг
уравнение D.2.21) можно записать следующим образом
— fh^sin-5-—|\|/0(eWe- fic(e,eoWo(eWe = /'@o),
2пЬ 2 i о
90 е[0,2тс], D.2.22)
:Я(а) на [0,2тс] х [0,2тс]
и является периодической.
Замечание 4.2.2. Так как для численного решения уравнения
1-го рода с логарифмической особенностью вида D.2.20) и
D.2.22) трудно построить устойчивый вычислительный метод, то
покажем, как перейти от этих уравнений к сингулярным уравне-
уравнениям. Предположим, что D.2.20), D.2.22) имеют единственное
решение. Продифференцируем первое уравнение по 50, а второе
— по 6 о , тогда они запишутся в виде
( \
_ 1 Г Wlrf5+Г K>Q(sf
D.2.23)
~ J?ctg^^4/o(eye + J кьо(в,ео)ц,о{в)с1в = г(е0),
п о о
eo6[O,27t], D.2.24)
110 Глава 4
Второе уравнение имеет решение с точностью до константы.
В первом уравнении решение имеет вид Ч/о(^)= [190],
где ч/оE) € Н(а) на [0, /], и относительно функции Vq(s) оно
также имеет решение с точностью до константы. Чтобы выделить
единственное решение, надо иметь интегральные соотношения для
\j/0(s) и фо!5) - Такие соотношения можно получить, если в уравнении
D.2.22) фиксировать значение 6q — положить его равным Gq € [0,2я]),
а в уравнении D.2.20) положить sq = Sq , Sq e @, /), т.е. к уравнению
D.2.23) надо добавить соотношение (sq фиксировано)
1 l l
~ т~ JInl5o - *|\|/оD*5 + JKis> so)vo{s)ds = f(k) > к € (°' 0.
^0 0
D.2.25)
а к уравнению D.2.24) надо добавить соотношение (8q фиксировано)
-? |in2i?sin\^L0(e)de + Г X'(e,eo)v|/O(e)rfe = f(%)t
47CJ | 2 | { V 7
ёО€[О,2тг]. D.2.26)
Обратимся теперь к уравнению Гельмгольца
Av(M) + K2v(M) = 0. D.2.27)
Внутренняя задача Дирихле для этого уравнения: найти
функцию v(M) еС2Ш^\г\Сш^\9 удовлетворяющую уравнению
D.2.27) для любой точки М eD и удовлетворяющую гранич-
граничному условию D.2.2) на L = ©W \ Ф .
Внешняя задача Дирихле: найти функцию
v(M)eC2(r2 \ D{m) \ n сЫ2 \ Ф), удовлетворяющую уравне-
уравнению D.2.27) для любой точки М ?© , условию на бесконеч-
бесконечности (условию излучения)
- ikv(M) = О-^- , гм -> со, D.2.28)
или
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
гм->со, D.2.29)
Оказывается [135], что фундаментальное решение D.1.3),
D.2.4) уравнения Гельмгольца удовлетворяет на бесконечности
условию D.2.28), D.2.29).
В [135] показано, что если Im&>0, то внутренняя задача
Дирихле имеет единственное решение. Для вещественных k
внутренние задачи разрешимы, вообще говоря, не единственным
образом — такие k, для которых решение не единственно, назы-
называют собственными.
Внешняя задача Дирихле имеет [135] не более одного решения.
Будем искать решение задач Дирихле в виде потенциала
простого слоя D.1.10)
Функция v(Mq) будет решением этих задач (на бесконеч-
бесконечности она удовлетворяет условию D.2.29)), если функция \|/(М)
будет решением интегрального уравнения
-1 \н^{Кгмм^{М)й8М = f(MQ), MoeL, D.2.30)
JL>
которое получается в силу непрерывности потенциала простого
слоя на всей плоскости.
Рассмотрим опять частный случай, когда L = Гд. Тогда
уравнение D.2.30) получит вид
^^^ = f(е0), ©0 6[0,2*]. D.2.31)
Запишем уравнение Гельмгольца D.2.27) в полярных коор-
координатах
1 д ( dv\ I ePv ,о (АОm
-— Ртг + т—5" + * v = ° • D.2.32)
рфЧ др) р2 5Э2
Применив метод разделения переменных в полярных коор-
координатах [248], получим, что частными решениями для уравнения
Гельмгольца в круге <DR будут функции
vn(p,e) = Jn(kp)(Ancosne + Bnsmn&), p<R; D.2.33)
вне круга ©# будут функции (удовлетворяющие условию
D.2.29) на бесконечности)
112
Глава 4
Bnsinne), p*R, n = 0,1,2,...
D.2.34)
Следовательно, если функция /(Mq) на окружности Гд
представлена рядом Фурье D.2.10), то решение внутренней зада-
задачи Дирихле для круга D# (предполагается, что число k не яв-
является собственным) будет иметь вид
D.2.35)
а решение для внешней задачи Дирихле для D# при выполнении
условия D.2.29) на бесконечности будет иметь вид
2 лл
D.2.36)
Так как в рассматриваемом случае дифференцирование по
нормали опять является дифференцированием по р, то для функ-
функции D.2.29) также справедлива формула вида D.2.13), и поэтому
единственным решением уравнения D.2.31) для заданной функ-
функции /(во), представленной рядом Фурье D.2.10), будет функция
aQ
Во + Y,Bn{an^osne + bnsinпв) ,
1 n=\ J
J'n{kR)
, /2 = 0,1,...
D.2.37)
Таким образом, как и в случае уравнения D.2.6), теперь
получаем соотношение
—
cos nQ
Ьп sin nQ)dQ =
= В^1 (ancosnQ0 -h bn sintiQq) f n = 0,1,... D.2.38)
Отметим, что в формулах D.2.35) - D.2.37) предполагается,
что число kR не является нулем одной из функций Jn(z) или
Hn(z), « = 0,1,...
Если воспользоваться соотношениями [225]
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Щ
= Jn(z)±iYn{z), D-2.39)
где Jn{zfYn{z)S —функции Бесселя( Неймана) порядка и,
я = 0,1,.-. и
л ( \п оо /лк f \2k+n
т м L| ? | + у v) z)
J{Z) + Ы
¦ <4-2-40)
где \|/(w + l) дано в D.1.8), то несложно показать, что при k ->0
получаем Вп -> , п = 1,2,...
Замечание 4.2.3. Как и в замечании 4.2.1. можно рассмот-
рассмотреть задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в случае, когда
L—гладкая разомкнутая дуга. При решении этой задачи с по-
помощью потенциала простого слоя опять придем к уравнению
D.2.30). Это уравнение в этом случае может быть записано в виде
D.2.20), а когда L замкнутая кривая, то в виде D.2.22) с заменой
в первом интеграле в этих уравнениях ln|so-s| на
2тс
я?(%,,|) и ?ln|2*sin^
— , соответственно. В общем, уравнение
D.2.30) может быть записано прямо в виде D.2.20) или D.2.22),
которые теперь будут иметь единственное решение для соответ-
соответствующих k.
Замечание 4.2.4. Продифференцировав по 00 равенство
D.2.38), получим
0
0 — 0
х cos— (ап cos W0 + Ьп sin nQ)dQ =
8-2775
114
= Bn1(-nansmnQQ + nbncosnQQ), n = 1,2,... D.2.41)
Если теперь k устремить к нулю, то равенство D.2.41) пе-
перейдет в равенство D.2.17).
4.3. Задача Неймана
Внутренняя задача Неймана. Найти функцию
Ф0(М) еС f ©I'M r*Cf©l"'J , имеющую на границе L области ©I'
нормальную производную (в смысле равномерной сходимости),
т.е. Фо(М) е R\ ©'' 1, которая удовлетворяет уравнению Лапласа
в ©'' и граничному условию
= f{MQ), MoeL, D.3.1)
где f —заданная непрерывная функция.
Внешняя задача Неймана. Найти функцию
Ф0(М) eF& R \©^1, удовлетворяющую уравнению Лапласа в
R \©'"', и удовлетворяющую граничному условию D.3.1) на
кривой L.
Как показано в [57], необходимым условием разрешимости
задач Неймана является выполнение равенства:
jf{M0)dsM = 0 . D.3.2)
L
Там же показано, что если L —достаточно гладкая кривая,
то решение внутренней и внешней задач Неймана определено с
точностью до произвольной постоянной при условии выполнения
равенства D.3.2).
Решение задач Неймана будем искать в виде потенциала
двойного слоя D.1.11)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
Функция Фо(М) будет решением этих задач (на бесконеч-
бесконечности эта функция ограничена), если функция до(М) будет ре-
решением интегрального уравнения
-J-T-Jsri ь—^кИ^м = г(м0), м0 €l.
дпМо 2п ? дпм \ tMMq )
D.3.4)
Так как в силу формулы D.1.27),
Фо(Мф) - Oq(Mq) = <7о(^о) 9 то решение интегрального уравне-
нияD.3.4) существует с точностью до константы.
Теперь в зависимости от решаемой физической задачи урав-
уравнение D.3.4) удобно бывает записать в одном из следующих двух
видов.
Например, в плоских стационарных задачах аэродинамики
достаточно знать производную по длине дуги от плотности потен-
потенциала двойного слоя (интенсивность вихревого слоя), и поэтому
уравнение D.3.4) запишем в виде
= f{M0), MoeL. D-3.5)
Если кривая L задана параметрически: х = x(s), у = y(s),
s e[O,Z], то уравнение D.3.5) принимает более простой вид
L ГММ0
D.3.6)
В плоских задачах дифракции электромагнитных волн, где
интерпретируется как плотность наведенных токов, а также
в нестационарных задачах аэродинамики [166] удобно получить
уравнение относительно #о(^0 • Для этого воспользуемся утверж-
утверждением 4.1.9 о непрерывности нормальной производной потенциа-
потенциала двойного слоя и внесем в уравнении D.3.4) знак нормальной
производной под знак интеграла. Получим
2П1 ГММ0
MQeL.
8*
±16 Глава j
Интеграл в уравнении D.3.7) имеет в точке Mq сильную
особенность вида -у, и поэтому его надо понимать в смысле ко-
.хг
нечного значения по Адамару [5].
Замечание 4.3.1. Пусть L — гладкая разомкнутая кривая.
Тогда можно сформулировать следующую краевую задачу Ней-
Неймана. Найти функцию Ф0(М), гармоническую вне L, ограничен-
ограниченную на бесконечности, имеющую равномерно непрерывные пре-
предельные значения Фо(Мо) и Фо(Мо) в точках кривой L и удо-
удовлетворяющую на L граничному условию D.3.1). Имеется в ви-
виду, что в точках Mq кривой L выбран орт йд/ нормали, который
непрерывно меняется при движении точки Mq по кривой.
Если искать решение сформулированной задачи в виде по-
потенциала двойного слоя, то опять придем к уравнению D.3.4),
соответственно, к уравнениям D.3.5; - D.3.7). Однако теперь
уравнение D.3.7) имеет единственное решение, обращающееся в
нули на концах кривой L (что следует из формулы D.1.27), а
уравнения D.3.5), D.3.6) эквивалентны уравнению D.3.7) только
при условии
I
Рассмотрим частные случаи.
1. Пусть L — отрезок [1, -1] оси ОХ плоскости OXY. Тогда
гмм0 = (*0 - ХУ > пм = пМ() = У , ds = dx , и уравнения D.3.5),
D.3.6) получат вид
а уравнение D.3.7) получит вид
D.3.9)
()
2. Пусть L = Гд —окружность радиуса R с центром в начале
координат. Тогда х = Я cos в , у = Я sin 6 , Пщ = cos9i + sin в/ ,
ds = -RdQ , 9 е [0,-27с] (напомним, что пм должна быть направ-
направлена во внешнюю область, а тд/ и йд/ должны составлять пра-
правый декартовый базис, поэтому TR пробегаем по часовой стрел-
стрелке), и уравнения D.3.5), D.3.7) получат вид
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Ц7
/(во), D.3.10)
Если функция /(во) представлена рядом Фурье D.2.10),
то, применяя опять метод разделения переменных в полярных ко-
координатах, получим, что решением с точностью до константы
внутренней задачи Неймана в круге <DR будет функция
^^ D.3.12)
М)= ^-^гт(ап
n=in R
а решением внешней задачи Неймана для круга <DR будет функция
00 1
jjK п sinw6). D.3.13)
п=1й Р
Поэтому, используя формулу D.1.27), получим, что решением с
точностью до константы интегрального уравнения D.3.11) будет
функция
Ё^ Ьп sin w9). D.3.14)
n=l П
Полагая теперь в D.3.11) /(во) = ^ncosn^0 +Ьпътп&0, получим
справедливость соотношения
1 2п 1
^ , 2eo
О sm
= -п(ап cos w90 + Ьп sin тгв0), D.3.15)
Замечание 4.3,2. Соотношение D.3.15) получается формаль-
формальным дифференцированием по во соотношения D.2.17).
Замечание 4.3.3. Если L—гладкая кривая класса #2@1), то
когда она разомкнута, уравнение D.3.6) приводится к виду
D.2.23), а когда она замкнутая, то к виду D.2.24). Причем в
этом случае регулярные ядра в этих уравнениях принадлежат
классу #(а)_ на [0,/].
US Глава 4
Если же кривая L будет принадлежать классу #з(а), т.е.,
x'"(s) и у'"($)еЯ(а) на [0,/], то уравнение D.3.7), когда L-
разомкнутая кривая, приводится к уравнению вида
, S0e(Q,l), D.3.16)
а когда L — замкнутая кривая, то к уравнению вида R = —
О sin
о
D.3.17)
в которых регулярные ядра принадлежат классу #(<х) на соответ-
соответствующем множестве.
Обратимся теперь к уравнению Гельмгольца.
Внутренняя задача Неймана, Найти функцию
ф(М) eWf ?^"'1 , которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца
D.2.27) и граничному условию
, M..L. D.з.18)
nM
где— f(Mo) — заданная непрерывная функция.
Внешняя задача Неймана» Найти функцию
Ф(М) ей! JR \©^ч , удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
в /?2 \ ?>'', условию излучения Зоммерфельда на бесконечности
D.2.28) или D.2.29) и граничному условию D.3.18).
Как показано в [135], если k не является собственным зна-
значением однородной внутренней задачи Неймана, то внутренняя
задача Неймана D.2.27), D.3.18) однозначно разрешима для лю-
любой непрерывной функции f(M).
Внешняя задача Неймана однозначно разрешима при любом
k и любой правой части.
Решение задачи Неймана будем искать в виде потенциала
двойного слоя D.1.12)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Щ
Mo «L, D.3.19)
который на бесконечности удовлетворяет условию D.2.29).
Функция Ф(М) будет решением обеих задач Неймана для
уравнения Гельмгольца, если функция д(М) будет решением ин-
интегрального уравнения (в силу непрерывности нормальной произ-
производной потенциала двойного слоя)
а г a „BV, v,.., =/Г(Мо); ЩеЬ
D.3.20)
Если к не является собственным значением внутренней задачи Ней-
Неймана, то [135] уравнение D.3.20) имеет единственное решение.
Если воспользоваться формулами D.1.52), D.1.53) нормаль-
нормальной производной потенциала двойного слоя, то уравнение D.3.20)
можно записать в следующем виде
ki г u{2)(h
1 гмм0
xg's(M)dsM = f(M0), MoeL. D.3.21)
или, если известно параметрическое представление кривой L, в
виде
x'x'Qs)g{M)dsM
MQeL. D.3.22)
Уравнения D.3.21), D.3.22) являются интегро-дифферен-
циальными. Если же в задаче надо знать только д(М), то бывает
удобнее от уравнения D.3.20) не переходить к этим уравнениям,
а, воспользовавшись непрерывностью нормальной производной
потенциала двойного слоя, внести знак нормальной производной
под знак интеграла и перейти к уравнению
120 Глава
D.3.23)
Если в последнем уравнении выполнить операции взятия
нормальных производных, то получим уравнение
-UKNJt(M0,M)g(M)dsM = /-(Мо), М0 eL . D.3.24)
L
где
KNJt(M0,M) = t
\rMM0 > nM ]{ГММО > пМс
тмм0
Щ '\krMMo)k
ГММ0
Интегралы в уравнениях D.3.23), D.3.24) надо понимать в
смысле конечного значения по Адамару [5], так как их ядра
имеют особенность вида т^м .
Замечание 4.3.4. Если L—гладкая разомкнутая кривая, то
можно сформулировать следующую краевую задачу Неймана для
уравнения Гельмгольца. Найти функцию Ф(М): удовлетворяю-
удовлетворяющую уравнению Гельмгольца вне L; условию излучения на беско-
бесконечности D.2.28) или D.2.29); имеющую равномерно непрерыв-
непрерывные предельные значения Ф+(Мо) и Ф~"(М0) в точках кривой L;
удовлетворяющую на L граничному условию D.3.18).
При решении сформулированной задачи с помощью потенциала
двойного слоя опять придем в уравнениям D.3.21), D.3.22) или
D.3.24). Причем в этом случае в уравнениях D.3.21), D.3.22) инте-
интеграл, содержащий g's может быть приведен к виду D.2.23), если
L—разомкнутая кривая, или к виду D.2.24) если L—замкнутая кри-
кривая. Уравнение же D.3.24) в указанных случаях может быть приве-
приведено к виду D.3.16) или D.3.17), соответственно.
Пусть теперь L = Г#. Записав уравнение Гельмгольца в по-
полярных координатах и применив метод разделения переменных,
получим, что если функция /*(Мо) на Г# представлена рядом
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
121
Фурье D.2.10), то решение внутренней задачи Неймана для круга
OR будет иметь вид
^а решение для внешней задачи Неймана для ©#, удовлетворяющее
условию излучения D.2.29) на бесконечности, будет иметь вид
®&±{ап cos «в + Ьп sin «в).
12) щ
<4-3.26)
щ
Поэтому, опять используя формулу D.1.27), получим, что
единственным решением уравнения D.3.23) (или D.3.24) в слу-
случае Ь = Гц для заданной функции /(во), представленной рядом
Фурье D.2.10), будет функция
2
n COS йв + Ьп sin Я®)'
„=1
Jn{kR)
Гп{Щ
, 11 = 0,1,...
D.3.27)
Теперь, как и в случае D.3.15), получаем справедливость со-
соотношения
.
. 2я
-— JKNk(QQf Q)(an cos яб + bn sin
4
o +fensin«e0), 11=1,2,...
D.3.28)
D-329)
0
Если опять воспользоваться формулами D.2.39) и D.2.40), то
\ 2R 4 о
можно показать, что при k -> 0 получаем Л„ -> , п = М,...
ш_
Глава 4
4.4. Узлы кривых н особенности решений
При исследовании интегральных уравнений задач Дирихле и
Неймана для уравнений Лапласа и Гельмгольца очень важно по-
понимать поведение решения в узлах граничной кривой. Воспользо-
Воспользовался в этих вопросах теорией сингулярных интегральных урав-
уравнений не удается, так как выделив в полученных граничных инте-
интегральных уравнениях сингулярные интегралы, получим, что
оставшаяся регулярная часть имеет неинтегрируемые особенности
в узлах кривой. Поэтому в данном случае лучше поступить сле-
следующим образом. Изучить поведение решения соответствующей
краевой задачи при подходе к углу кривой с одной и другой сто-
стороны. Воспользовавшись связью между предельными значениями
рещения краевой задачи (или их нормальных производных) и
плотностями потенциалов простого или двойного слоев, получить
особенности поведения решения граничных интегральных уравне-
уравнений в узлах.
Приведем здесь рассуждения по определению особенностей
поведения решения краевой задачи в узлах, сообщенные автору
Ю.В.Ганделем.
Пусть L—простая кусочно-гладкая кривая с конечным числом
угловых точек, причем все углы отличны от 0 и 2л . Ту часть плос-
плоскости, которая примы-
примыкает к кривой L вблизи
рассматриваемого угла,,
обозначим через Ю и
будем считать, что орт
нормали к кривой L
вблизи этого угла на-
направлен в область ©
(рис. 4.3).
Будем вначале
рассматривать урав-
уравнение Лапласа.
В прикладных
краевых задачах для
уравнения Лапласа,
как правило, гранич-
граничные значения искомой
функции (или ее производных) —сужение на границу некоторой
гармонической в рассматриваемой области функции (или соответ-
соответствующих ее производных). Поэтому без ограничения общности
можно считать, что на границе даны нулевые граничные условия.
Уточним постановку задачи об определении поведения реше-
решений в окрестности угловых точек плоской области D классиче-
Рис. 4.3. Кривая с прямолинейным углом а .
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
123
ских краевых задач Дирихле и Неймана. Предполагается, что ис-
исходная задача (внутренняя или внешняя) в области © имеет
единственное решение. Из дальнейшего изложения следует, что
корректная постановка задачи должна включать так называемое
"условие на ребре"—условие в угловой точке, которое обеспечи-
обеспечивает единственность решения.
Пусть часть границы области ©с/? —два отрезка, обра-
образующие угол с вершиной в точке О. Пусть далее Do —круг с
центром в точке О и радиуса Rq настолько малого, что пересече-
пересечение этого круга с областью D есть круговой сектор а# (а). При-
Приняв точку О за начало координат, введем полярные координаты
р и 0 в Rq -окрестности угловой точки О. Для точек внутри сек-
сектора имеем 0<р < Rq, 0<8<a.
Обозначим сужение решения краевой задачи в области б" на
замкнутый сектор вдо(а) через U:
I/ = t/(p,6), Oup?RQ, 0^6-Sa.
Рассмотрим вначале задачу Дирихле.
В этом случае функция U удовлетворяет следующим условиям
0<р<#0, 0<6<<х,
D.4.1)
D.4.2)
D.4.3)
Потребуем далее, чтобы выполнялось условие, которое назы-
называют "условием на ребре" (условие конечности энергии в окрест-
окрестности угловой точки)
< оо. D.4.4)
Jj|f/|2+|grad(/|2}rfa
Иными словами, сама функция U и ее первые производные
принадлежат L2l°i^(a)) или пишут U €^(<rj?0 (<*))-
В полярных координатах условие D.4.4) записывается так:
1?
J J
0 0
ьи
др
2 1
V
аи
дб
2
pdpdQ < оо.
D.4.5)
Ищем нетривиальные частные решения задачи D.4.1),
D.4.2) в виде произведения U = F(p)<B(9). Для этого запишем
уравнение Лапласа в полярных координатах (см. D.2.7)) и раз-
124 Глава 4
делим в нем переменные и граничное условие. Придем к краевой
задаче для функции Ф(в), 0 <> 9 й а :
Ф" + ЯФ = 0, 0<<р<а, Ф@) = Ф(а) = 0, D.4.6)
и уравнения Эйлера для функции F(p), 0 < р < Rq :
F" + ±-F'-\f = 0. D.4.7)
Р Р2
Проведя стандартные рассуждения [248] для уравнений
D.4.6), D.4.7), получим, что частными решениями исходной за-
задачи Дирихле D.4.0, D.4.2) будут функции
4.Р" + Я„Р~« sin^, я=1,2,... D4-8)
Выпишем составляющие градиента этой функции
ПП
ПП 4\
^ ^р Впр~^ L «в > D.4:9)
op a I I a
\dUn юг\ л ТТ D "Т
рота!
Поскольку J ри ^ pdp < оо лишь ц > 0 , то из формул
О
D.4.5) и D.4.9), D.4.10) следует, что Un(p,B) удовлетворяет
условию D.4.4) только при ?п=0, я=1,2,... Следовательно, реше-
решение задачи D.4.1) —D.4.4) будем искать в виде
sin^, D.4.11)
»=1 a
а для выполнения условия D.4.3) следует положить
ли
D.4.12)
п, л = и.-
a - ' a
Далее
dU ^ itn A ~z . яяв
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
125
COS-
а
и составляющие градиента ?/ могут неограниченно расти при
р -» О лишь при условии, что — < 1 (если А\ * О ), тогда
D.4.13)
\gradU\ --
--O
¦
^P
\
1
n
a
Отметим еще, что нормальная производная
eu
dnM
функции U
на сторонах угла представляется в виде
I dU\
=о
le=0 „=i
00
1СП
а
тг
¦А»ра .
поэтому
dU
_ а
при р->0,
D.4.14)
Отметим особо предельный случай, когда а = 2п (например,
когда © —внешность прямолинейного отрезка). В этом случае
00 -
^^p2sin—, D.4 Л 5)
n=l Z
, Р-»О,
D.4.16)
Следует подчеркнуть, что при ж а < 2я особенность нормы гра-
градиента U в углу слабее (см. оценку D.4.13)). Так например, если
© — внешность прямого угла (а = —), то
«d-L , Р->о,
D.4.17)
126
Глава 4
Замечание 4.4.1. Если 0 < а < п, то, как видно из формулы
D.4.13), не только сама функция С/(р,в), но и ее градиент не бу-
будут иметь особенностей в углу.
Замечание 4.4.2. Если условие D.4.4) ослабить и потребо-
потребовать лишь, чтобы U e LwSr^ (a)):
j j\U\2pdQdp
<<x>,
D.4.18)
О О
то единственности решений рассматриваемой задачи уже не будет.
В самом деле, функция
п п
р V _(jl| a
sm-
D.4.19)
a
гармонична в секторе вдо(а) и обращается в нуль на границе
сектора (при р = Rq и при <р = 0, <р = a ). Однако, имеем
2
J р « prfp= Jp <*rfp<
00
D.4.20)
2тс
при 1 > -1. Следовательно, при a > п функция С/(р, в), опре-
деленная равенством D.4.19), удовлетворяет условию
U е Ь2\о^0 (a)j. Итак, построено нетривиальное решение уравнения
Лапласа в секторе раствора a > тс, обращающееся в нуль на границе
сектора, причем квадрат модуля этого решения интегрируем.
Теперь рассмотрим задачу Неймана.
Действуя так же, как и для задачи Дирихле, выпишем част-
частные решения следующей краевой задачи в секторе grq(ol) :
O, О<р<До, 0<ф<а, D.4.21)
= о,
\_8U_
Р а ie=o
удовлетворяющие "условию на ребре" D.4.4)
ЯП
Un - А,р а cos .
о
1 ac/ A
= ~n!S" =0> D.4.22)
D.4.23)
Решение рассматриваемой задачи D.4.21), D.4.22), D.4.4),
удовлетворяющее условию
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 12Z
^Н =/"(в), 0<в<а, D.4.24)
имеет вид
* Л D.4.25)
где коэффициенты Ап определяются из условия D.4.24).
Ясно, что при я: < а ? 2тс (и только при таких углах раство-
ч аи 1 аи
ра) —- и —— могут неограниченно возрастать при р->0 и
dp p 99
выполняется оценка D.4.13).
Замечание 4.4.3. Отметим, что производная от функции
1/(р, 9) на границе сектора gRq (а), 9 = 0 и 9 = а по длине дуги
этой границы будет равна (параметр s определяет на этой части
границы направление движения от конца отрезка 9 = а,
0 й р < Rq через точку О к концу отрезка 9 = 0, (Ойрй Rq):
аи\ аи\ ^ттл --1, лп
= ~л,—А*р (-1) >
t\a D.4.26)
00
пп
= Ъ—AnPa '
Таким образом, из формул D.4.26) видно, что производная по длине
дуги на границе сектора в окрестности угла не имеет особенности, ес-
если 0 < а < тс и имеет особенность вида р*'а~~ , если п < а < 2я.
Более общие аналогичные исследования можно посмотреть в
работе [175] и в цитируемой там литературе.
Опираясь теперь на исследование особенностей решения
краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в
углах ограничивающей кривой, рассмотрим вопрос об особенно-
особенностях поведения решения соответствующих интегральных урав-
уравнений D.2.4) и D.3.5), D.3.7) в углах кривой интегрирования.
Пусть вначале L—простая кусочно-гладкая замкнутая кри-
кривая, и точка О этой кривой (рис. 4.4.) является угловой
(локально в ней сходятся два отрезка, составляющих по отноше-
отношению к внешней области Ю>+' угол раствора а).
Пусть во внешней области задана задача Дирихле для уравне-
уравнения Лапласа, в которой функция f(M), заданная на границе, яв-
является значением функции v(M), гармоничной по всей плоскости.
128
Глава 4
Рис. 4.4. Угол раствора а
на замкнутой кривой
Решение поставленной
задачи Дирихле будем ис-
искать в виде потенциала про-
простого слоя D.2.3). Эта
функция Vq(Mq) будет ре-
решением задачи Дирихле, ес-
если плотность \|/q(M) будет
решением интегрального
уравнения D.2.4). В этом
случае в силу непрерывности
потенциала простого слоя
функция ао(Мо) будет ре-
решением задачи Дирихле с
той же граничной функцией для обеих областей ©'+' и ©'"'. Так
как функция v(M) по построению является решением задачи Ди-
Дирихле в области ©'"', а решение внутренней задачи Дирихле
единственно, то v[Mq)- Vq(Mq) в области ©'"'. Поэтому
дУр(М0)
_ ду~(М0)
MoeL
D.4.27)
и, следовательно, нормальная производная функции а(М) в об-
области ©'"' особенностей не имеет. Теперь, учитывая результаты о
поведении нормальной производной решения задачи Дирихле в
углу, изложенные выше в этом параграфе, и формулу D.1.39)
для скачка нормальной производной потенциала простого слоя,
можно сформулировать следующие утверждения.
Утверждение 4.4,1. Пусть L—простая кусочно-гладкая
замкнутая крийая, образующая в точке О eL прямолинейный
угол раствора а по отношению к внешней области ©'"% и на
этой кривой задана функция f(M), являющаяся значением на
этой кривой функции U[M), гармонической по всей плоскости.
Тогда
!• если 0<<х<тс, то решение \у${М) интегрального уравне-
уравнения D.3.4) в точке О не имеет особенности;
2. если % < а < 2%, то решение ц?о(М) интегрального урав-
уравнения D.2.4) , если и имеет в точке О особенность, то особен-
особенность вида
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Ш
Утверждение 4.4.2. Пусть L—простая кусочно-гладкая ра-
разомкнутая кривая. Тогда
1. если точка А является одним из концов этой кривой (см.
рис. 1.З.), то решение ц*о(М) интегрального уравнения D.2.4),
если имеет в этой точке особенность, то особенность 1/р ' ;
2. если обозначить р = тах(а,2я - а), то решение v|/0(M) ин-
интегрального уравнения D.2.4), если имеет в точке О особенность,
то особенность вида 1/р '^ .
Обратимся теперь при тех же условиях к решению задачи
Неймана когда функция f(M), M eL, является нормальной
производной функции Ф(М), гармонической по всей плоскости.
Решение будем искать в виде потенциала двойного слоя D.3.3).
Эта функция Фо(М) будет решением рассматриваемой задачи,
если плотность до(М) будет решением интегрального уравнения
D.3.4) или D.3.7) (тогда производная gfc плотности будет ре-
решением уравнения D.3.5) или D.3.6)). В силу непрерывности
нормальной производной двойного слоя функция Фо(М) будет
решением задачи Неймана с той же граничной функцией для
обеих областей ©'+' и ©''. Так как функция Ф(М) является
решением задачи Неймана в области ©'"', а решение внутренней
задачи Неймана для уравнения Лапласа определено с точностью
до константы, то Фо(М) = Ф(М) + С\, М е©'"'. Следовательно,
функция Oq(M) , M eL , непрерывна на L, а нормальная про-
производная zr—~ у М eL , не имеет особенностей (не обращает-
дпм
ся в бесконечность) на L.
Пусть теперь точка О является вершиной прямолинейного
угла раствора а для области ©^. В этом случае в силу формул
D.4.25) и D.1.27) для плотности потенциала двойного слоя в
окрестности точки О имеем
00
—
= С2 + ? АгР а cos— - Ф-(МО) - D4.28)
а
9-2775
Глава 4
Следовательно, для производной функции <7о(^о) по длине дуги
в окрестности точки О получаем следующие утверждения.
Утверждение 4.4.3. Пусть L—простая кусочно-гладкая
замкнутая кривая, удовлетворяющая условиям утверждения 4.4.1.
Тогда из рассуждений, приведенных к формуле D.4.26) следует
1. если 0 < а < п , то решение g$s интегрального уравнения
D.3.6) в точке О не имеет особенности;
2. если п < а < 2%, то решение g'§s интегрального уравнения
D.3.6), если и имеет в точке О особенность, то особенность вида рп'а .
Утверждение 4.4.4. Пусть L—простая кусочно-гладкая
разомкнутая кривая. Тогда
1. если точка А является одним из концов этой кривой (см.
рис. 1.З.), то решение g$s интегрального уравнения D.3.6) , если
имеет в этой точке особенность, то особенность вида р' ;
2. если обозначить р = тах(а,27с - а), то решение g$s инте-
интегрального уравнения D.3.6), если имеет в точке О особенность, то
особенность вида р*/'3".
Замечание 4.4.1. Учитывая результаты [136, 175], можно
считать, что результаты для прямолинейных углов, сформулиро-
сформулированные выше, справедливы и для криволинейных углов.
Замечание 4.4.2. Теперь яс-
ясно, как определить возможную
особенность поведения решений
интегральных уравнений D.2.4)
или D.3.6) на одном из лучей в
точке О, если в этой точке схо-
сходятся более, чем два луча (рис.
4.5.). На лучах L\ и 1,2 надо
применять утверждения 4.4.1 или
4.4.3, полагая а = с*2 или
а = аз. На луче L$ надо приме-
применять утверждение 4.4.2. или
Рис. 4.5. Угол кривой, в которой . , , Л / \
сходятся три угла 4-4-4-. полагая р = тах(а2, а3).
Глава 5
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И
ГЕЛЬМГОЛЬЦА. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
S.I* Некоторые сведения из теории потенциалов
Пусть ©'' —ограниченная открытая область в R3, границу
которой обозначим через а (рис. 5.1). Будем предполагать, что
а —простая замкнутая по-
поверхность, принадлежащая
классу С2, т.е. функции,
дающие параметрические
представления этой поверх-
поверхности, имеют непрерывные
вторые частные производ-
производные. Подробнее см. [135,
§2.1. ].
Внешнюю к а область
будем обозначать ©'*'.
Известно [48, 57, 135,
248], что функция
Рис. 5.1. К постановке краевых задач для
замкнутой гладкой поверхности
EЛЛ)
где M(x,yyz)}
1 1
4* гмм0 '
—точки пространства /?3,
= ММо, гММо =\гММо\ = MMq удовлетворяет уравнению
Лапласа
_о__ _о__ _о__
E.1.2)
дх2 ду2 дг2 '
по координатам точки М при любой фиксированной точке
Функция
U(M,MQ) = -±
An r
мм0
где ?—комплексное число,
Гельмгольца
E.1.3)
удовлетворяет уравнению
132 Глава g
по координатам точки М при любой фиксированной точке Mq,
М Ф Mq . Интегралы
vQ(MQ) = jUQ(M1MQ)xVo(M)daMy MQea, E.1.5)
о
v{M) = J U(M, M0)v{M)doM, Mo <? a, E.1.6)
a
где daw —дифференциал площади поверхности a в точке М,
называется потенциалами простого слоя для уравнения Лапласа,
Гельмгольца, соответственно, с плотностью \|/q(M ) , \|/(M) •
Интегралы
^Н а, E-1.7)
on ' E18)
где пщ —орт нормали к поверхности а в точке М, направленной
в ©'', называются потенциалами двойного слоя с плотностями,
соответственно, дд(М),.
Отметим, что поведение функций vq(M) , v(M), Фо(М),
Ф(М) в пространственном случае такое же, как поведение анало-
аналогичных функций в плоском случае, т.е. все утверждения, сформу-
сформулированные в §4.1, справедливы и в данном случае с заменой L
на а . Поэтому только конкретизируем соответствующие формулы
для потенциалов простого и двойного слоев.
Используя формулы D.1.13), получаем, что формулы
E.1.7), E.1.8) для потенциалов двойного слоя будут иметь вид
E.1.9)
ГММ0
а ГММ0
E.1.10)
Формула D.1.24) для предельных значений потенциалов
двойного слоя будет иметь вид
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
гмм0
E.1.11)
± 1 (Мо),
о. E.1.12)
Формула D.1.31) для предельных значений градиента по-
потенциалов простого слоя будет иметь вид
а ГММО
М0ео, E.1.13)
J^^ (t (кгММо)у(М)с1*м Т
+1«МоЧ/(Мо), М0€а. E.1.14)
Следовательно, для предельных значений нормальной производной
потенциалов простого слоя получим (сравни D.1.37), D.1.38))
dv±(Mo) [(оо)
= -^г3 Vo(M)rfaM+
E.1.15)
, Моеа . E.1.16)
Формулу D.1.41) для предельных значений градиента потенциа-
потенциала двойного слоя запишем вначале следующим образом
gradO±(M0) = k2jU(M,M0)nM g{M)daM -
-J[Grad<7(M)(gradMot/(M, Mo), пм) -
а
-«M(gradMof7(M,Mo),Grad^(M))paM ±
134 Глава §
E.1.17)
Иногда полезно следующим образом записать формулу
E.1.17). Обозначим через (т1,Т2,йд/) правую тройку ортов в точ-
точке М поверхности а, составляющих базис, где орты х\ и ?2 ле-
лежат в касательной плоскости к поверхности а в точке М. Соот-
Соответственно, то>*20>Ям0) ~~в точке Mq. Тогда можно записать
Grad^(M) = ??j (М)т! + д$2 (М)т2 . E.1.18)
Теперь формулу E.1.17) для функций E.1.7), E.1.8) можно бу-
будет записать следующим образом
еа, E.1.19)
и2
k2 reikrMM°-
gradO±(M0) = —J nMg{M)daM
4% rMM0
±
2 ec, E.1.20)
Для нормальной производной потенциалов двойного слоя будем
иметь
E.1.21)
Ak - [(^>«м0Д"м.^)()]
k2 eikTM
E.,.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 135
Отметим, что интегралы в последних двух формулах надо
понимать в смысле главного значения по Коши.
В некоторых задачах аэродинамики и дифракции удобно
иметь выражение производной потенциалов двойного слоя через
их плотность. Для этого надо воспользоваться непрерывностью
этих производных и не пользоваться формулой D.1.41), а поме-
поменять местами знак интеграла и знак нормальной производной.
Получим для произвольной точки Mq пространства:
д
а ГММ0
E.1.23)
d dU0(M,M0)
E.1.24)
Интегралы в формулах E.1.23), E.1.24) являются сильно
сингулярными и их надо понимать в смысле конечной части по
Адамару [5] или в смысле обобщенных функций [101].
Замечания 4.1.3. и 4.1.4., соответствующим образом сформу-
сформулированные, справедливы и в пространственном случае.
5.2. Задача Дирихле
Последовательность рассмотрения задач будем делать, как и
в §4.2.
Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию
С/0(М) еС2[ ?)''1 nCf ©''J , удовлетворяющую уравнению Лапла-
Лапласа E.1.2) в ©'"', т.е. уравнение
дх2 ду2 dz2
E.2.1)
и граничному условию
vo(M)\a = f{M0), Моеа, E.2.2)
где /—непрерывная заданная функция.
136
Внешняя задача Дирихле. Найти функцию
^J(J , обращающуюся в нуль на
бесконечности, удовлетворяющую уравнению Лапласа E.2.1) в
R3 \©1' и граничному условию E.2.2) на поверхности а .
Как показано в [57, 248] обе эти задачи имеют единственное
решение.
Будем искать решение задач Дирихле в виде потенциала
простого слоя
f{ Moea, E.2.3)
который будет решением этих задач, если функция уо(М) будет
решением интегрального уравнения
ff^i^aM=A(M0), M0ea. E.2.4)
4*JC ГММО
Запишем теперь уравнение Лапласа E.2.1) в сферических
координатах (р,9,<р): х = pcosq>sin9, у = psin<psin8,
z = pcosG , 0<р<оо, 0 < в < тс, 0 < q> < 2я. Получим [57, 248]
E.2.5)
p р
Применив метод разделения переменных в сферических координа-
координатах [57, 248], получим, что частными решениями для уравнения
Лапласа в шаре ©д радиуса R будут функции
Щп(р, 9. ф) = Р%(9, Ф), Р ^ R . <5-2.6)
где
coee) E.2.7)
сферические функции порядка п, Апт, Впт —произвольные числа, а
Рп» = A-ц2)И/2рИ(ц), я-0,1,...; m-0,l,...,«, E-2.8)
присоединенные функции Лежандра,
уРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 13Z
полиномы Лежандра степени я, вне шара ?)# будут функции
Р-Я' я = 0,1,..., E.2.10)
Р
Теперь решение внутренней задачи Дирихле на шаре, в которой
фикцию /(Mq) представим рядом по сферическим функциям
n=0
где
Aim
Bnm
-Is
IFi
У«м(в,ч
будет иметь вид
- 00
00
> 2я8|и(
?)Р/Г (cos Q) cos ^Ф s^n QdQdip
и н2 ]
lly/гаи
f))P^ (cos 8) sin m<p sin BdQd<p
N1
2в+.1(я-т)!' "" [l,m>l,
. Ip™(cos6)cosmp, m = 0,i,-,n,
[Рп (сг
а решение внешней задачи Дирихле для шара будет иметь вид
•rt-ilfP** <5213)
В формуле D.1.39) скачка нормальной производной для по-
потенциала простого слоя в случае для сферы ог# дифференциро-
дифференцирование по нормали будет дифференцированием по р, т.е. эта фор-
формула в данном случае получит вид
o (p, 9, ф) дРр(р,е,ф)
dp dp
E.2.14)
13&
где 0 <> 9 й п, О й ф < 2я.
Следовательно, единственным решением уравнения E.2.4)
является функция
^аМ- E.2.15)
Полагая в E.2.4) /"(во,фО) = 7п(во,Фо), п = 0,1,2,..., полу-
полуE.2.4), получаем соотношение
чим ч/о^фJ1—гг~*л(в,ф)- Таким образом, возвращаясь к
Замечание 5.2,1. Из формулы D.1.39) для скачка нор-
нормальной производной потенциала простого слоя получаем, что ес-
если замкнутая поверхность а такая, что для заданной на ней
функции f{M) внешняя и внутренняя задачи Дирихле имеют
единственное решение, то и уравнение E.2.4) имеет единственное
решение.
Замечание 5,2.2. Если а —гладкая разомкнутая поверх-
поверхность и на ней задана функция /(Mq) , то можно поставить зада-
задачу о нахождении гармонической вне а функции Vq(M) , удовлет-
удовлетворяющей на поверхности а условию E.2.2). Если искать реше-
решение этой задачи в виде потенциала простого слоя на поверхности
а, то, выполняя граничные условия E.2.2), придем опять к
уравнению E.2.4).
Обратимся теперь к уравнению Гельмгольца
АЦМ) + 1С2ЦМ) = 0. E.2.17)
Внутренняя задача Дирихле для этого уравнения: найти
функцию t^M),eC2f?)WJnCf ?)''] , удовлетворяющую уравне-
уравнению E.2.17) для любой точки М еЮ^' и удовлетворяющую гра-
граничному условию E.2.2) на а = D^' \©'"'.
Внешняя задача Дирихле: найти функцию
vQ(M) e C2[li3 \ o(")j n C^R3 \ D^j , удовлетворяющую уравне-
уравнению E.2.17) для любой точки М g©^, условию на бесконеч-
бесконечности (условию излучения)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 132
pk,gradi<M)) - йЦМ) = of—1, rM -» со. E.2.18)
+ **| = V*2 + У2
где
или
(г } ( 1
—,gracfo(M)\ + ikv(M) = d— , rM ->оо,
и граничному условию E.2.2) на а = ©'' \ ©'"'.
Оказывается, что фундаментальное решение E.1.3) уравне-
уравнения Гельмгольца как функция точки Mq удовлетворяет на беско-
бесконечности условию E.2.18), а если в показателе экспоненты в
E.1.3) взять минус, то полученная функция по координатам той
же точки Mq будет удовлетворять условию E.2.19).
В [135] показано, что внутренняя задача Дирихле при
Imfc > 0, а внешняя задача Дирихле для любого k имеют един-
единственное решение.
Будем искать решение задач Дирихле в виде потенциала
простого слоя E.1.6)
v(MQ) = — f- \(M)daM . E.2.20)
4я * rMMQ
Функция v{Mq) будет решением этих задач (на бесконеч-
бесконечности она удовлетворяет условию E.2.19)), если функция у(М)
будет решением интегрального уравнения
1 *е~{кГмм°
—J \\r(M)d<jM = /"(Mq) , Mq ea , E.2.21)
которое получается в силу непрерывности потенциала простого
слоя во всем пространстве /?3.
Запишем теперь уравнение Гельмгольца E.2.17) в сфериче-
сферических координатах. Получим
1 е(. лоо\
2 "S4sine"S"l +
р sin 6 39 v 59/
v = 0 . E.2.22)
р2 sin2 в 5ф
140 Главаj
Применив метод разделения переменных в сферических ко-
координатах [57, 248], получим, что частными решениями для
уравнения Гельмгольца в шаре ©д радиуса R будут функции
^п(р,в,ф) = Лп(Муп(в,ф), P^*, E.2.23)
где У„(9,<р) —сферическая функция порядка я (см. E.2.7)), а
функция r\n(kp) —определяется равенством
/(*) E.2.24)
где /n+i/2(^p) —функция Бесселя, вне шара <DR решениями, удо-
удовлетворяющими условию E.2.19) на бесконечности, будут функции
vn(p,Q,<!>) = $(kp)Yn(Q,<t,), pzR, E.2.25)
где
^\) ^%() E.2.26)
и ЯяД/2(*р) ~~ функция Ханкеля второго рода.
Теперь решение внутренней задачи Дирихле на шаре Qr, в
которой функцию /"(Mq) представим рядом E.2.11) по сфериче-
сферическим функциям, будет иметь вид
k <5-2-27)
а решение внешней задачи Дирихле для шара ?)#, которое удо-
удовлетворяет условию E.2.19) на бесконечности, будет иметь вид
E2:28)
где сферические функции Yn(9,q>) имеют коэффициенты Апт,
Впт, определенные в формуле E.2.11).
Используя опять формулу D.1.9) для скачка нормальной
производной потенциала простого слоя для уравнения Гельмголь-
Гельмгольца на сфере ад в виде E.2.14), получим, что единственным ре-
решением уравнения E.2.21) на сфере aR будет функция
ЕадМ. E-2-29)
п=0
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
141
Bn=k
ч'п{Щ
Пп(Щ
Полагая в E.2.21) /(во,Фо) = Уд(во>Фо)> п = 0,1,..., полним
\|/@, ф) = BnYn(Q, ф). Таким образом, возвращаясь к E.2.21), по-
получаем соотношение
: R~ty /йЛ тЛ п = Л 1 E.2.30)
Лтг J
Можно показать, что при k -> 0 получаем Вп
R
Замечание 5.2.3. Для задач Дирихле для уравнения Гельм-
гольца справедливы замечания, аналогичные замечаниям 5.2.1 и
5.2.2 для задач Дирихле для уравнения Лапласа.
5.3. Задача Неймана
Внутренняя задача Неймана. Найти функцию
Фо(М)бС2№1пС[0'"ч, имеющую на границе а области
©'' нормальную производную (в смысле равномерной сходимос-
сходимости), т.е. Фо(М) € 9tf ?)'"'J , которая удовлетворяет уравнению
Лапласа E.2.1) в ?Л > и граничному условию
^м0
= /*(М0), M0€G,
E.3.1)
где f — заданная непрерывная функция.
Внешняя задача Неймана. Найти функцию
Ф0(М) е 9lf R3 \ ©'"Л , удовлетворяющую уравнению Лапласа в
R \ ©v ^, обращающуюся в нуль на бесконечности и удовлетво-
удовлетворяющую граничному условию D.3.1) на поверхности a .
Будем предполагать еще, что
jf(M)da = 0. E.3.2)
a _
В [57, 248] показано, что при условии E.3.2) внешняя зада-
задача Неймана имеет единственное решение, а внутренняя задача
имеет решение с точностью до константы.
142 Глава 5,
Решение задач Неймана будем искать в виде потенциала
двойного слоя
с
который будет решением этих задач, если функция до(М) будет
решением интегрального уравнения
^ J лГ171"WM)rf*M = f (Л*о), М0 е а.
^ ™M\rMM )
E.3.4)
Как и для уравнения D.3.4), для уравнения E.3.4) решение
существует с~точностью до константы.
В зависимости от решаемой прикладной задачи уравнение
E.3.4) удобно записать в одном из следующих видов. Если ре-
решаемую задачу удобно свести к нахождению плотности скачка по-
потенциала двойного слоя, то уравнение E.3.4) запишем в виде
, M0e a. E.3.5)
д д I 1 I /ел оо\
где ———— 1 дано в E.1.23).
0 д
Если задачу удобнее свести к нахождению grad^o(^) > т0
уравнение E.3.4) запишем в виде
g^{M) + A2g^2{M))daM=f{M0), MQ ее. E.3.6)
где А\ и Ai даны в формуле E.1.21).
Уравнения E.3.5), E.3.6) для замкнутой поверхности имеют
не единственное решение. Для выделения единственного решения
в E.3.5) надо задать значение до(М) в некоторой точке или за-
задать значение интеграла от <7о(^) по поверхности а. Для выде-
выделения единственного решения в E.3.6) надо использовать одно из
соотношений между gfax{M) и дЬ%г{М), гарантирующее, что эти
две функции являются составляющими
ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
Замечание 5.3.1. Уравнения E.3.5), E.3.6) можно написать
для любой кусочно-гладкой замкнутой поверхности а с сохранением
тех же условий единственности решения, а справа в них надо писать
Mq e a , за исключением точек нарушения гладкости.
Замечание 5.3.2. Пусть а —гладкая разомкнутая поверх-
поверхность. Тогда можно сформулировать следующую краевую задачу
Неймана. Найти функцию <Е>о(М), гармоническую вне а, убы-
убывающую на бесконечности, имеющую непрерывные предельные
значения Фо(М) и Фо(М) в точках поверхности а и удовлетво-
удовлетворяющую на о граничному условию E.3.1). Имеется в виду, что
в точках Mq поверхности а выбран орт нормали, который не-
непрерывно меняется при движении точки Mq по поверхности.
Если искать решение сформулированной задачи в виде по-
потенциала двойного слоя, то опять придем к уравнению E.3.4) или
уравнениями E.3.5), E.3.6). Только теперь уравнения E.3.4),
E.3.5) имеют единственное решение, обращающееся в нуль ла
границе поверхности а, а для уравнения E.3.6) надо находить
grad<7o(M) такой, чтобы до(М) также обращалась в нуль на гра-
границе поверхности а.
Рассмотрим теперь уравнения E.3.4), E.3.5) на сфере gr
радиуса R. Если функция ^(бо>Фо) представлена рядом E.2.11)
по сферическим функциям, то из метода разделения переменных в
сферических координатах получим, что решением с точностью до
константы внутренней задачи Неймана в шаре ©# будет функция
^^ E.3.7)
п=\П R
а решением внешней задачи Неймана для шара будет функция
оо л рП+2
Фо(рДф) = -1^^^(б,Ф). E.3.8)
Заметим, что в формуле E.3.8) суммирование идет от едини-
единицы, так как для функции /*(во,Фо) выполняется соотноше-
аиеE.3.2).
В силу формулы D.1.27) для скачка потенциала двойного
слоя имеем, что решением интегральных уравнений E.3.4),
E.3.5) с точностью до константы будет функция
E.3.9)
144 Глава g
Полагая в E.34), E.3.5) /*(во,Фо) = Уп(в0,щ)> n = 1»2,..м получаем
до(в,<р) = ~—7 г/?Уп(б,<р), и поэтому приходим к соотношению
1ЦН + 1J
dn J
д д ' 1 \Уп(в^акм =
E.3.10)
Обратимся теперь к уравнению Гельмгольца.
Внутренняя задача Неймана. Найти функцию
ф('М) e^lf ?)''], удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
E.2.22) в ?л' и граничному условию E.3.1).
Внешняя задача Неймана. Найти функцию
ф(М) e9U R \?)^'J , удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
E.2.22) в Л \©*', условию на бесконечности E.2.28) или
E.2.29) и граничному условию E.3.1).
Будем предполагать, что число k не является собственным
значением однородной внутреннй задачи Неймана. В этом случае
обе задачи Неймана имеют единственное решение.
Решение задач Неймана будем искать в виде потенциала
двойного слоя
E.3.11)
Функция Ф(Мо) будет решением этих задач (на бесконеч-
бесконечности она удовлетворяет условию излучения E.2.19)), если
функция д(М) будет решением интегрального уравнения
еа. E.3.12)
Для рассматриваемых k уравнение E.3.12) имеет единственное
решение для любой функции /"(Mq) , непрерывной на с [135].
Как и уравнение E.3.4), уравнение E.3.12) можно записать
в одном из следующих двух видов:
а
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
145
ИЛИ
ikrMMo)daM +
•a, E.3.14)
где
дано в E.1.24),
E.1.22).
Для уравнений E.3.13), E.3.14) справедливы замечания,
аналогичные замечаниям 5.3.1 и 5.3.2.
Рассмотрим опять уравнения E.3.12), E.3.13) на сфере <Хд,
когда функция /*(во,Фо) представлена рядом E.2.11) по сфериче-
сферическим функциям. Тогда решением внутренней задачи Неймана в
шаре ?)д будет функция
E315)
где функция т]п(йр) определена в E.2.24), а решением внешней
задачи Неймана для шара, которое удовлетворяет условию
E.2.19) на бесконечности, будет функция
Л(е>ф)> E.3.16)
'(kR)
где функция ^n\kp) определена в E.2.26).
Теперь в силу формулы D.1.27) для скачка потенциала
двойного слоя имеем, что единственным решением интегральных
уравнений E.3.12), E.3.13) будет функция
п=0
«w
E.3.17)
Теперь приходим к соотношению
д д
e~ikrMM«
Yn(Q,<f>)daRM = C?
и = 0,1,... E.3.18)
Если k->0, то соотношение E.3.18) переходит в соотношение
E.3.10).
10-2775
Глава 6
СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.
ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
6.1. К постановке задач аэродинамики в общем случае
Рассматривается стационарное и нестационарное обтекание
крыла (тела) произвольной формы в плане, движущегося в иде-
идеальной невязкой несжимаемой среде со средней поступательной
скоростью Uo (рис. 6.1).
Плотность ее р = р*, не изменяется при обтекании тела.
~J В задачах аэродинамики
форма тела и закон движе-
1 ния его считаются известны-
Y ми. Если тело упругое, то
предполагается, что задан и
закон деформации тела.
IIIZZIIZ Кроме того, естественно,
' считаются известными усло-
Рис. 6.1. К постановке задач в аэродинамике. вия> в которых совершается
движение (полет; тела.
Обычно это безграничная среда, возмущенная только телом. Од-
Однако могут рассматриваться и движения тела в возмущенной среде
(воздействие ветра, течений, турбулентности). В этом случае не-
неизвестными будут скорость V(x,y,z,t) = jY^V^Vjj, возмущенная
телом в среде, и давление P(x,y,z,t). Для определения четырех
неизвестных функций Vx , Vy , Vz и Р, имеем три уравнения Эй-
Эйлера и уравнение неразрывности [104].
Один из важнейший вопросов—граничные условия на по-
поверхности тела. Таковым является условие, определяющее задание
скоростей, возмущенных телом, на его поверхности. Если вяз-
вязкостью среды не пренебрегать, то таким условием явилось бы тре-
требование о "прилипании", т.е. на поверхности тела V=0. Для
идеальной невязкой жидкости граничное условие сводится к тре-
требованию о непротекании потока сквозь поверхность тела. Оно
формируется как условие обращения в нуль нормальной состав-
составляющей относительной скорости среды на поверхности тела
0, М(*,у,г)еа, F.1.1)
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Ш
где Пщ —орт нормали к поверхности а тела в рассматриваемой
точке M(x,y,z).
Заметим, что имеется класс задач, например, связанных с об-
обтеканием парашютов и крыльев—парашютов, когда поверхность
тела представляет собой тонкую ткань. Тогда поток может проте-
протекать сквозь поверхность тела, но закон протекания известен. Он
определяется экспериментальным пзггем и представляет собою со-
соотношение, характеризующее данный материал. Обычно он за-
задается в виде зависимости скорости протекания от перепада дав-
давлений на ткани.
Дальнейшее упрощение в постановке общей задачи связано
со следующим фундаментальным опытным фактом. При обтека-
обтекании тела возле него и за ним образуется аэродинамический след,
характеризуемый тем, что в нем наблюдается вихревое движение,
т.е. такое движение жидких частиц, при котором они не только
движутся поступательно и деформируются, но и вращаются. Вне
этой области течение оказывается безвихревым. Тогда вне тела и
следа за ним течение, возмущенное телом, можно характеризовать
не тремя неизвестными функциями Vx, Vy и Vz> а одной —
потенциалом поля скоростей <Ь{х, у, г, t), причем
VO = —г + —; +—k =V (ЬЛ.2)
дх ду dz
или
дФ дФ дФ
х " дх ' у " ду ' Уг ' дг ¦
В этом случае уравнение неразрывности превращается в
уравнение Лапласа
ДФ =
дх2 ду2 dz2
где Gj —след движущего тела. Так как физически ясно, что вдали
от тела а и его следа <5\ возмущенные скорости должны зату-
затухать, то для требуемого решения Ф(х,у,г,?) уравнения F.1.3)
должно выполняться условие
limVO=0, r = <Jx2 +у2 + z2 , F.1.4)
Г->00
для точек М{х, у, z), бесконечно удаленных от тела а и его следа о\.
При указанных выше условиях уравнения движения Эйлера
могут быть проинтегрированы и приводят к известному соотноше-
соотношению между давлением Р и производными от потенциала поля
10*
148 Глава g
скоростей Ф по координатам и времени—интегралу Коши —
Лагранжа
+ + o FЛ.5)
at 2 2 р
где VOTn —относительная, а V* —переносная скорости частицы
жидкости, р —плотность жидкости (она полагается постоянной),
Роо —давление на бесконечности, которое считается известным.
Таким образом, неизвестная функция P(x,yfz,t) также может
быть исключена из общей постановки задачи.
Следует отметить одну важную особенность общей постанов-
постановки задачи. При рассмотрении вихревого следа тела необходимо
учитывать те общие теоремы гидродинамики, которые пока не фи-
фигурировали в условиях задачи. Они вытекают из общих свойств
полей скоростей и тех уравнений которым эти поля должны удо-
удовлетворять.
Отметим их:
а) при установившемся движении вихри направлены по ли-
линиям тока;
б) при неустановившемся движении вихри, сошедшие с тела
(свободные вихри), движутся по траекториям жидких частиц
вместе с ними;
в) циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, не
пересекающему тело и его след или состоящего из одних и тех же
частиц жидкости во времени, со временем не меняется;
г) изменение циркуляции присоединенного вихря
(неподвижно связанного с телом) сопровождается сходом свобод-
свободного вихря, причем должно выполняться требование предыдущего
пункта;
д) так как вихревой след G| не несет, то при переходе через
него должны соблюдаться условия непрерывности давления и
нормальной составляющей к нему скорости:
F.1.6)
Индексы (+) и (-) относятся к разным сторонам поверхности aj.
Из теоремы Жуковского в малом [28] следует, что относи-
относительная скорость свободных вихрей равна нулю, т.е. они движут-
движутся вместе с частицами жидкой среды.
Физическое содержание задачи и выбирамый исследователем
уровень точности описания ее диктует еще один очень важный
этап в постановке задачи—выбор схемы обтекания. Основными
среди них являются следующие.
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Ш
а) Бесциркуляционное обтекание—когда вихревым следом
пренебрегают. Обычно применяется при анализе обтекания сильно
вытянутых тел, присоединенных масс и при колебании тел на
месте.
б) Циркуляцонное отрывное обтекание с удовлетворением
всем физически очевидным условиям, в том числе требованию о
конечности скоростей и давлений во всем пространстве. Сказанное
решающим образом влияет на выбор схемы обтекания. Например,
когда изучается обтекание тонкого крыла с острыми кромками
(передними, задними, боковыми), приходится допускать сход
свободных вихрей со всех кромок, и на всех кромках выставлять
условие Чаплыгина—Жуковского о конечности скоростей. В про-
противном случае на них скорости будут достигать бесконечно боль-
больших значений. Заметим, что при этом обычно даже при движении
крыла с постоянной скоростью получаются пульсирующие
(нестационарные) режимы обтекания.
в) Упрощенные схемы циркуляционного обтекания тел, в ко-
которых некоторые условия снимаются. Наиболее распространены
схемы, в которых не требуется конечность скоростей и давлений
на передних и боковых кромках тонких крыльев и на изломах
поверхности тела. В результате задача может решаться и как ста-
стационарная, причем свободные вихри сходят только с задней
кромки крыла.
Опыт использования подобных схем велик. Они приводят к
удовлетворительным результатам по суммарным эффектам, но дают
локально некорректные данные (вблизи острых кромок и изломов
картины давлений и скоростей описываются ими неправильно).
6.2. Задачи для профиля, решетки профилей
Рассмотрим плоскопараллельное обтекание изолированного
профиля установившимся потоком идеальной невязкой несжи-
несжимаемой жидкости, скорость которого Uo = uOxi + tiQyj . Сам про-
профиль считаем неподвижным. Под профилем понимаем цилиндри-
цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси OZ и на-
направляющей кривой L в плоскости OXY (рис. 6.2). Так как все
параметры набегающего потока и возмущенного не зависят от ко-
координаты г, то в дальнейшем профиль будем изображать только
кривой L в плоскости OXY. Если кривая L является простой ра-
разомкнутой (рис. 6.2 а), то такой профиль будем называть тонким,
а если кривая L является простой замкнутой кусочно-гладкой
(рис. 6.2 б), то такой профиль будем называть телесным. Так как
рассматриваем стационарную задачу, то следа за профилем нет, и
возмущенное течение будет потенциальным везде вне профиля L.
150
Глава 6
Обозначим через Ф = Ф(х,Й потенциал скоростей возму-
возмущенного течения, а через V = grad<I> —скорость этого течения в
Рис. 6.2.Разомкнутый (а) и замкнутый (телесный) F) профили
точке вне профиля или на его поверхности. Представим потенци-
потенциал скоростей в виде потенциала двойного слоя по профилю L с
плотностью д(М), т.е. в виде (см. D.1.20)).
для точек Мо(д:о»Уо) > не лежащих на I, и в виде (см. D.1.25))
^
± 1
() ()
F.2.2)
для точек Mq , лежащих на L.
При этом знак плюс (+) берется для значения потенциала,
получаемого при подходе к точке Мо с той стороны от профиля
L, куда направлен вектор пм, а знак минус (-)—для противопо-
противоположной стороны (см. рис. 6.3).
В формулах F.2.1), F.2.2) и далее в задачах о профилях
предполагаем, что L задана параметрически, как в замечании 4.1.3.
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Щ.
Обозначая g's(M) в формуле D.1.47) через у(М), получим,
что скорость V возмущенного течения теперь запишется в виде
F.2.3)
2Я L ГММ0
для точек Мо, не лежащих на профиле L, или в виде
ММ0
| + ^7)у(Мо) F.2.4)
для точек Mq профиля L.
Таким образом, видим, что поле скоростей для выбранного
нами потенциала такое же [39, 139, 243], как от распределенного
по профилю L вихревого слоя с распределенной интенсивностью
у(М) этого слоя в точке М eL .
С другой стороны, как следует из результатов §4.1, выбран-
выбранный потенциал в каждой точке М$ g L удовлетворяет уравнению
Лапласа, а скорости от него стремятся к нулю на бесконечности.
Таким образом, поле скоростей от вихревого слоя, расположенно-
расположенного на профиле L, удовлетворяет условиям F.1.2) —F.1.4) потен-
потенциального вне L течения идеальной невязкой жидкости, и оста-
осталось выполнить только граничное условие F.1.1) об обращении в
нуль нормальной составляющей относительной скорости частиц на
поверхности профиля (т.е. выполнить на поверхности профиля L
условие непротекания). Так как профиль L неподвижен, то
Готн=Г+Gо> F.2.5)
и поэтому задача о нахождении поля возмущенных скоростей бу-
будет решена, если у(М), М eL , будут удовлетворять равенству
VnMo = -tfnMo, MoeL, F.2.6)
или
().f{Moh
L ГММ0
_ F.2.7)
где f(M0) = UQnMQ.
Удобство моделирования профиля и вообще несущей поверх-
поверхности вихревым слоем при рассмотрении задач обтекания их по-
потоком идеальной невязкой жидкости понял еще Н.Е.Жуковский.
152 Глава fi
Это дает аэродинамику физически ясный образ для изучения та-
таких задач.
Теперь рассмотрим более подробно уравнение F.2.7) и осо-
особенности его решения для различных профилей.
Пусть вначале L—гладкая разомкнутая кривая, заданная пара-
параметрически х = x(t), у = y[t), t € [-1,1], т.е. функция
г'м = \xf2(t) + y'2(t) непрерьюна на [-1,1] и не обращается в нуль.
В этом случае уравнение F.2.7) может быть записано в виде
F28)
, t) = x{tQ) - x(t) , yS {to, t) = y(t0) - y{t) ,
Естественно, функции X2(to,t), #2(^0^) доопределить как
^о) = *'(*о), У2{*о>к) = У'{к) (см.A.1.5)), и поэтому
K{fa,to) = \, tQ e[-l,l]. Теперь уравнение F.2.8) можно предста-
представить в виде [170]
_L]уШ+ ]Ki(to,t)y(t)dt = f(tQ), t0 е[-1Д],
F-2.9)
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
153
Вид функций K2(tQ,t) и K^(tQft)позволяет утверждать, что
если x"(t),y"(t) eH на [-1,1], то Kifat) также принадлежит Я
на [-1,1] (см. [201] или лемму 1.1.1).
Если при этом x"(t) и y"(t) на всем отрезке [-1,1] по моду-
модулю малы (в смысле допустимой в данной задаче точности), то и
ядро K\{tQ,t) по модулю мало, и поэтому для нахождения инте-
интегральных характеристик достаточно рассмотреть уравнение
которое и называется уравнением тонкого слабоизогнутого профиля.
Напомним (см. §2.4), что уравнение F.2.9), а следовательно,
и F.2.7) для гладкой разомкнутой кривой имеет не единственное
решение. При этом из физики задачи получаем. Если точка 'А
является передней кромкой профиля L (см. рис. 6.3 а), то в об-
общем случае частица среды при плавном обтекании профиля
должна мгновенно повернуться вокруг этой точки, и скорость V
возмущенного потока должна стремиться к бесконечности вблизи
этого конца. На заднем конце профиля в точке В поток должен
плавно сходить, и поэтому скорость частиц, сходящих с верхней
стороны профиля L (обозначенной на рис. 6.3 а знаком "+"),
должна совпадать со скоростью частиц, сходящих с нижней сто-
стороны профиля, т.е. скорость потока должна быть в точке В ко-
конечной или, более точно, V*(B) - V~(B) —это и есть знаменитая
гипотеза Чаплыгина—Жуковского [38, 104, 243].
Из формулы F.2.4) сразу получаем, что
V+ - V~ - Ixfoi + УояАу{Мо) , и поэтому при подходе по L к
точке В величина y(Mq) должна стремиться к нулю.
Рис. 6.3. Стационарное обтекание разомкнутого гладкого профиля (а)
и замкнутого профиля с острой задней кромкой F)
Ш Глада л
Вывод 1. При плавном обтекании тонкого профиля L
(циркуляционная задача) надо взять решение уравнения F.2.9)
или (б.2.7), обращающееся в нуль в точке В. Такое решение
единственно (см. §2.4) и имеет вид
F.2.И)
где функция \|#(?) не имеет особенностей на L.
Если на стоящий на месте тонкий профиль набегают легкие
быстроменяющиеся порывы ветра, то можно считать, что вокруг
профиля нет циркуляции, т.е. интеграл от у(М) по профилю L
равен нулю (это же справедливо и для телесного профиля L)
[32,104]. При этом обе кромки профиля находятся в одинаковом
положении.
Вывод 2. Для бесциркуляционного обтекания тонкого про-
профиля решение у(М) обращается в бесконечность на обоих кон-
концах профиля, т.е. имеет вид
Y(*)= i\ F.2.12)
v 1 — t
и удовлетворяет условию
[№'<>¦ <6.2.,3)
Наконец, если поток так набегает на профиль, что происхо-
происходит плавное обтекание профиля и при этом и передняя кромка об-
обтекается плавно, т.е. скорость потока и на передней кромке ко-
конечна, то такое обтекание называется безударным. При этом
набегающий поток и профиль должны быть подстроены специ-
специальным образом друг к другу. На самолетных крыльях для этого
существуют предкрылки, с помощью которых профиль крыла
подстраивается под набегающий поток (процесс такого подстраи-
вания описан в [32]).
Вывод 3. Для безударного обтекания тонкого профиля решение
у(М) обращается в нуль на обеих кромках профиля и имеет вид
F.2.14)
ЯА ДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
155
Замечание 6.2.1. Пусть теперь тонкий профиль L является
простым кусочно-гладким (рис. 6.4 а) , и пусть точка К является
одной из угловых точек. Будем полагать, что локально этот угол
У
ПМ
м
в
о = к
Рис. 6.4.а Стационарное обтекание разомкнутого
кусочно-гладкого профиля (а) и прямого угла (б)
является линейным, и наибольший размер этого угла равен р,
п< р < 2тс. Тогда, как следует из результатов §4.4, (см. замечание
4.4.4), вихревая интенсивность у(М) имеет в точке К особен-
особенность вида p*'P-1, где р —расстояние от точки М до точки К.
При этом уравнение F.2.7) пишется для всех точекMq eL, за
исключением концов и узлов кривой L, а в уравнении F.2.9) ?q
не совпадает со значениями, соответствующими концам и узлам
кривой L. Функция f{t$) терпит разрыв первого рода в точке К,
а ядро Ki(tQ,t) имеет неинтегрируемую особенность в этой точке.
Пример 6.2.1. Пусть L является объединением отрезков [0,1] по
осям OY и ОХ (рис: 6.4 б), т.е. х = 0, у = -ty t €[-1,0] и х = t,
у = 0, t е [0,1]. Пусть U0 = i. Тогда f(tQ) = попМо = 1, *0 €(-1,0)
и /^о) = О> *0 е@,1).Рассмотрим ядра Kfat) и K\(tQ,t) в окрест-
окрестности начала координат, когда ?q е A,0), a t e @,1). Тогда получим
Теперь видно, что функция K(to,t) ограниченна в окрестности
точки О@,0), но не является непрерывной, а функция Ki(to,t)
неинтегрируема в окрестности этой точки. Решения же y(t) урав-
156
Глава fi
нения F.2.7) имеют в точке О для данного примера особенность
вида р'1/3.
Замечание 6.2.2. Если формально использовать уравнение
F.2.10) для слабоизогнутого профиля для профиля с закрылком,
т.е. когда закрылок [q,B] (рис.
6.5) отклонен на малый угол и
находится под малым углом
атаки, то получим, что в урав-
уравнении F.2.10) правая часть бу-
^ дет терпеть разрыв первого рода
х в точке q. Поэтому решение
y(t) этого уравнения будет
в
Рис. 6.5. Снесение граничных условий для
профиля с мало отклоненным закрылком
на прямую линию.
иметь в точке q логарифми-
логарифмическую особенность, что следует
из результатов §2.4.
Рассмотрим теперь об-
обтекание тонкого профиля L у земли (рис.6.6) потоком, парал-
параллельным земле. Тогда надо построить такой вихревой слой, чтобы
возмущенные им скорости удовлетворяли условию непротекания
на профиле и на земле. Так как рассматриваемый набегающий по-
поток не имеет нормальной составляющей на земле, то требуемый
вихревой слой будем строить следующим образом. Пусть уровнем
земли будет ось ОХ. Рассмот-
Рассмотрим профиль L\ в плоскости
OXY, симметричный профи-
профилю L относительно оси ОХ,
Если параметрическое пред-
представление для L будет
x = x(s), у = ф), se[Q,l],
то для L\ будет Х\ = x(s),
//7777777
У(М)
У\ = ~уE) • Расположим на
профиле L вихревой слой ин-
интенсивности y(s), а на про-
профиле L\—интенсивности -y(s). Тогда в силу формулы F.2.3)
скорость, возмущенная профилем L в точке Мо € L будет
Рис. 6.6. Стационарная задача обтекания
профиля у земли.
а скорость, возмущенная профилем L\ в точке Мо 0 L\, будет
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 15Z
F.2.t7>
Тогда для точек оси ОХ получим (Mq(Q,xq) )
V(M0) + Ц(М0) = ^|.м/У5)г у(^. F.2.18)
Таким образом, выбранный вихревой слой на профилях L и L\
дает возмущенную скорость, удовлетворяющую условию непроте-
непротекания земли. Следовательно, осталось выполнить условие непро-
непротекания на профиле L. Для этого функция y(s) должна быть ре-
решением уравнения
[vDso)> УЫ) + Ц(*Ы. *Ы)]йм0 = -^О^Мо i F.2.19)
т.е. уравнения
50 б @,7). F.2.20)
Уравнение F.2.20) также имеет бесконечно много решений, и
поэтому опять можно рассматривать циркуляционное, бесцирку-
бесциркуляционное и, если существует, безударное обтекание.
Наконец, рассмотрим решетку профилей, состоящую из си-
системы отрезков [-Ь,Ь] х у^ , где у^-Ы, k = 0,±1,±2,.., I—
фиксированное положительное число, а [-6,6]—отрезок оси ОХ.
Пусть набегающий поток будет плоскопараллельным неограни-
неограниченным. Поскольку при этом условия обтекания любого профиля
одни и те же, интенсивность вихревого слоя на профилях зависит
только от координаты л: и не зависит от у^, k = 0,±1,... Поэтому
условие непротекания достаточно выполнить на одном из профи-
профилей, например, для профиля, расположенного на оси ОХ. Если
через Vk обозначить скорость в точке Mq от &-го профиля, то
условие непротекания О-го профиля будет иметь вид
? 1 ,b). F.2.21)
158 Глава fi
Используя понятие комплексного потенциала [104], можно
показать, что
-cth?-(xn-x\. F.2.22)
ft=-oo (*b ~ Х) + Ук
Поэтому уравнение F.2.21) можно записать следующим образом
J_
2я
(xo-x)ctbj(xo-x)~-
функция K[xq,x) = = —
j
где функция K[xq,x) = = — является анали-
тической функцией. Для этого уравнения также можно искать
решения, соответствующие циркуляционному, бесциркуляционно-
бесциркуляционному и безударному обтеканиям.
Пусть теперь профиль L является телесным без острой
кромки, т.е. кривая L является простой замкнутой гладкой. Будем
полагать, что параметр t изменяется на отрезке [0,2тс]. Тогда
уравнение F.2.7) можно записать в виде
°sm
>~ . to-t '
2,ММ0 = Х2 ГО> Ч + У2 \10>г) • F.2.24)
Функция x2(tQ,t) и у2^0»^) терпят разрывы первого рода,
так как x2(tQ,t) ->2д:'(?о) при t -» t§ и i2(^0»^) ->-2x'(?o) при
i -> ^о + 2тс, но функция \мм непрерывна в точке t§ и не отоб-
отображается в нуль на [0,2тс], если x'(t) и y'(t) непрерывны на
[0,2тс] и г'м * 0 на[0,2я].
Рассмотрим функции
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ152
Так как 2cos ° ~ x'(tQ) -»2x'(tQ) для t-*t0 и
2cos ° x'(t0) -» -2х'(^) для t-*to + 2n, то функции
и Уз(^о^) непрерывны в точке ?q . Таким образом, уравнение
F.2.24), а, следовательно, и F.2.7) может быть записано в виде
О
^ F.2.26)
Г2,ММ0
л_ о.*)г,
2К Г2,ММОГМО
Если x"(t\y"(t) еЯна [0,2тс], то K^t) eH на [0,2я].
Если L имеет точки нарушения гладкости (острые кромки),
то (орт касательной) терпит в этих точках разрывы первого рода,
а ядро K\{tQ7t), как и в показанном выше примере, может иметь
в этих точках неинтегрируемые особенности.
Отметим следующее. Так как набегающий поток является по-
потенциальным во всей плоскости, то для любого телесного профиля
выполняется равенство
jf{M)ds = 0 F.2.27)
I
для правой части уравнений F.2.7), F.2.26), следовательно, бу-
будут выполняться равенства
160
0|
{x(sQ)-x(s)f
О. F-2.29)
Первое из них выполняется для любого s e[0,/], а второе—в том
случае, если tQ = —Sq для любого t.
Покажем еще, что для телесного профиля решение уравне-
уравнений F.2.7) определенно с: точностью до константы, т.е. что в
этом уравнении константа является собственным решением. Дей-
Действительно, пусть у(М) = С, а функция /"(Mq) отлична от нуля.
Тогда, как следует из- F.2.26), функция f(M$) принадлежит
классу Яна! (предполагаем, что х" и у" еН на L). Следова-
Следовательно, с точностью до константы уравнение D.3.4) для скачка
потенциала двойного слоя имеет гладкое решение, отличное от
нуля и не равное константе у(М) = g's(M), поэтому у(М) не мо-
может быть константой. Пришли к противоречию.
Таким образом, имеем равенство
L F.2.зо)
L ГММ0
Как показывают систематические расчеты для обтекания различ-
различных телесных контуров, равенства F.2.27), F.2.28), F.2.30) вы-
выполняются для любого замкнутого кусочно-гладкого контура.
Докажем теперь следующее утверждение.
Утверждение 6.2Л. Если телесный профиль моделирует-
моделируется вихревым слоем, то поле скоростей, равное сумме скоростей от
набегающего потока и возмущенных скоростей равно нулю внутри
профиля.
Доказательство. Как показано было в §4.3, решение внеш-
внешней задачи Неймана с помощью потенциала двойного слоя одно-
одновременно дает решение внутренней задачи Неймана для этого же
замкнутого контура с теми же граничными условиями. Но так как
в задачах обтекания /"(Mq) = -f^o^Mo > то решением внутренней
задачи Неймана будет также потенциал -Ф0(М) от набегающего
потока. Решения внутренней задачи Неймана могут отличаться
только на константу [57, 248] в классе абсолютно интегрируемых
функций, поэтому
ЗА АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Ш
Ф(М) = -Ф0(М) + С, М € ©°. F.2.31)
Следовательно,
gradO(M) = -gradO>o(M), М е 0°. F.2.32)
или
У(М) + G0(М) - 0, М е Ю° F.2.33)
что и доказывает утверждение.
Заметим, что равенство F.2.33) позволяет свести задачу
обтекания телесного профиля при моделировании его вихревым
слоем к интегральному уравнению Фредгольма второго рода от-
относительно интенсивности вихревого слоя у(М). Действительно,
переходя в равенстве F.2.33) к точкам профиля L, получим в
пределе @-(М0) = ЩМ0))
V-(M) + ЩМ) т 0 , MoeL. F.2.34)
Проектируя равенство F.2.34) на орт касательного вектора
т(Мо) = XQSi + y'QSj к L в точке Mq , получим, учитывая форму-
формулу F.2.4)
1 1 '
Ы ^ИММ /1Ы [М F-2.35)
/i(s0) = -UoxM(j.
Преобразуем функцию <оEО,5) следующим образом
2
s) = У2(зо,s) - y'{s0), x3(s0, s) = x2{s0, s) - x'(s0),
, 2M
Sq — S Sq — S
Формула F.2.36) показывает, что если x"(s) и y"(s) принадле-
принадлежат классу Я на L, то ядро соEо,50) также принадлежит этому
классу на L, и
11-2775
Так как
ЛЫ - "ВД*. « -gradO0E0)x(s0) = -
то выполняется равенство
= 0 . F.2.38)
L
Рассуждения, аналогичные рассуждениям при получении форму-
формулы v6.2.30), показывают, что константа является собственным
решением уравнения F.2.35), т.е. справедливо равенство
%4^=°- F239)
Пример 6.2*2. Пусть L будет окружностью единичного ради-
радиуса с центром в начале координат: х = coss , у = -sins, и набе-
набегающий поток имеет скорость Uo = i . Тогда уравнение F.2.26)
получит вид
-L Jctg^AE)rf5 = cos50, 50 е[0,2тс], F.2.40)
п о
а уравнение F.2.35) получит вид
1 1 2л
-^УЫ + т^ Jy(^ = sins0. F.2.41)
Как следует из формулы D.2.17) для уравнения F.2.40), а для
уравнения F.2.41) проверяется непосредственно, что решением
будет функция
C, F.2.42)
где С—произвольная константа.
Остановимся теперь на вопросах о выделении требуемого
решения в задачах обтекания телесных профилей.
Если телесный профиль L является гладким (не имеет ост-
острых кромок), то для установившегося обтекания должен выпол-
выполняться парадокс Даламбера [104, 243] об отсутствии циркуляции
вокруг такого профиля. Поэтому единственное решение уравнений
F.2.7) и F.2.35), требуемое в задачах обтекания, будет выде-
выделяться равенством
jy(s)ds = O. F.2.43)
ДДДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 1?3
А вообще для этих уравнений единственное решение можно выде-
выделить или заданием значения интеграла от решения
Jy(s)/s = C. F.2.44)
L
или заданием значения решения y(s) в некоторой точке М* на
кривой L, т.е.
() C. F.2.45)
Пусть теперь телесный профиль имеет одну острую кромку В.
При условии плавного обтекания относительные скорости частиц
среды при подходе к точке В сверху и снизу профиля (рис. 6.3 б)
должны быть равны (условие Чаплыгина—Жуковского), т.е.
Vo+th{sb ~~ О) = ^отнE? + О), а, следовательно, скорость должна
быть конечной. Однако в силу равенства F.2.34) и формулы
F.2.4) для любой точки телесного профиля можно записать
Vo+th(M0) = F0+TH- V-TH{MQ) =
= V+(M0) - V-(M0) = |Y(M0)i(M0). F.2.46)
Следовательно, из условия Чаплыгина—Жуковского в точке В
получаем, что конечное значение в этой точке должна иметь ин-
интенсивность вихревого слоя у(В). Пусть внешний угол в точке В
отличен от 2п, тогда в силу утверждения 4.4.4 функция
у(М) = g's(M) либо обращается в бесконечность, либо обращается
в нуль в точке В. Так как у(В) конечно, то получаем из
предыдущего у(В) = 0 .
Вывод. Условием плавного обтекания острой кромки В те-
телесного профиля является равенство
у{В) = 0 . F.2.47)
Решив уравнение F.2.7) при условии F.2.47), потом сможем вы-
вычислить циркуляцию, создаваемую профилем, и другие аэродина-
аэродинамические характеристики.
Если телесный профиль L имеет несколько острых кромок
(например, он является треугольником, ромбом или другой ана-
аналогичной фигурой), то единственное решение уравнения F.2.7)
можно выделить либо заданием значения интеграла от у(М) по L
(например, взять условие бесциркулярности F.2.43)) или ука-
указать, какая острая кромка обтекается плавно, т.е. на какой кромке
у(М) обращается в нуль.
11*
Ш
6.3. Задачи для профиля при наличии эжектирования
Отметим, что решения уравнения F.2.7) в предыдущем па-
параграфе в обоих случаях —разомкнутой и замкнутой кривой L —
ищутся в классе абсолютно интегрируемых на L функций. Однако
в аэродинамике появились задачи [52, 53, 314], когда решения
уравнения F.2.7) приходится искать в классе функций, имеющих
в некоторой точке (или в конечном числе точек) особенность, ко-
которая интегрируема только в смысле главного значения по Коши.
Такими задачами являются задачи на профиле, которые форму-
формулируются следующим образом.
Пусть в точке MQ{xQ,yQ} eL (хд=х^д)} Уо=У^о),
tg e@, /) (происходит эжектирование потока с внешней стороны
профиля (рис. 6.7), т.е. в точке Mq имеется устройство для вса-
всасывания внешнего потока внутрь оболочки профиля. Моделиро-
Моделировать эжектирование в точке Mq будем стоком интенсивности Q,
что согласуется с экспериментальными исследованиями [314]. По-
Поле скоростей от стока имеет особенность в точке Mq. Отсасыва-
Отсасывание потока внутрь оболочки профиля означает, что поле скоро-
скоростей, которое возникает в данной задаче, имеет особенность в точ-
точке Mq с внешней стороны профиля и не имеет особенности в
этой точке с противоположной стороны профиля. Если контур L
профиля является незамкнутой кривой, то внешней стороной
профиля будем называть ту сторону, на которой происходит
эжектирование потока. Профиль опять моделируем с помощью
вихревого слоя интенсивности у(М). Теперь условие непротека-
непротекания профиля F.1.1) получит вид
VnMQ = -VQnMQ - ТГопМо , F.3.1)
где V определена в F.2.3), F.2.4), пМо в D.1.45), а
2
MqM0
> h) = *(*о) - *(*о) - ViifQ'k) =
Так же, как и для <o(so,s) в F.2.35) можно показать, что если
x"(t),y"{t) еН на [0,/1, то функция УдпМо не имеет особенности
ДДДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ 1?5
в точке tg, более того, она принадлежит классу Я в окрестности
этой точки. Таким образом, и в этом случае функция у(М) является
решением уравнения F.27) или уравнений F.2.9), F.2.26), в кото-
которых правые части и регулярные ядра суть гладкие функции.
Посмотрим теперь, в каком классе функций необходимо ре-
решать эти уравнения в данной задаче. В окрестности точки Mq на
профиле со стороны, противоположной стороне размещения эжек-
эжектора, поле скоростей не должно иметь особенностей. Так как сум-
сумма нормальных составляющих скоростей от вихревого слоя и сто-
стока в окрестности точки Mq особенности не имеет с обеих сторон
профиля, то с требуемой стороны профиля не должна иметь осо-
особенности в окрестности точки Mq и сумма касательных состав-
составляющих этих скоростей. Следовательно,
VTMo+VQxMo=v(t), F.3.2)
где функция \j/(?) не имеет особенности в окрестности точки tg.
Но функция VqUm имеет вид
Q x'
т.е. такой, как и ядро в уравнении F.2.7). Поэтому, когда кривая
L разомкнута (тонкий профиль)
а когда L — замкнутая кривая (телесный профиль)
Если x"(t),y"(t) еН на [0,/], то функции ?>(Mq), 2)i(Mq) He
имеют в точке Mq особенностей.
Таким образом, касательные скорости от стока имеют в точке
Mq особенность, интегрируемую только в смысле главного зна-
значения по Коши. Поэтому функция Vxm с требуемой стороны
профиля должна иметь в точке Mq такое же представление, так
как функция \|/(i) в этой точке особенностей не имеет. Для каса-
касательных составляющих скоростей от вихревого слоя на профиле с
внутренней стороны (в силу формулы F.2.4)) имеем
166
Глава 6
2
Из формулы F.3.6) видно, что множитель при y(t) под интегра-
интегралом не имеет особенности при любом ?q , и, более того, если
x"(t),y"(t) еЯ на [0,/], то он также принадлежит этому классу.
Поэтому если возьмем функцию y(t), имеющую вид
когда профиль L тонкий, и
-ctg-
t-t
Q
F.3.7)
F.3.8)
когда L —телесный профиль (т^),^^) принадлежат классу Я
на [0,/]), то интеграл в формуле F.3.6) в точке Mq особенности
не имеет, и, следовательно, выполняется равенство F.3.2) с тре-
требуемой стороны профиля (рис. 6.7).
Таким образом, задача об эжектировании потока в точке
Mq на профиле требует решения уравнений F.2.7), F.2.9),
F.2.26) в классе функций вида F.3.7), F.3.8), имеющих в точке
Mq особенность, интегрируемую только в смысле главного зна-
значения по Коши. Такие решения этих уравнений, следуя [100],
были названы в §2.3 сингулярными решениями.
Рассмотрим частные случаи.
Пусть L = [-1,1] оси ОХ, и сток интенсивности Q помещен в
точку Xq e(-l,l). Тогда х = х, у = 0, #€[-1,1] параметрическое
задание отрезка, т.е. т = i, п = / . Пусть набегающий поток имеет
Рис. 6.7. Стационарная задача для профиля с эжекциеи внешнего потока.
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ ifiZ
угол атаки а, т.е. Uq = (cosai + sin oy')Uq . Следовательно,
= ^0 s^na > а Vq^Mq = 0, так как скорость от стока, поме-
помещенного на отрезок, в точках этого отрезка параллельна отрезку.
Поэтому уравнение F.3.1) получает вид
~1Г-\—— = -t/osi
sin а , х0 е (-1,1), х0 * xq , F.3.9)
т.е. имеет вид уравнения B.3.20), для которого выписаны сингу-
сингулярные решения в формулах B.3.30), B.3.31) и B.3.32), соот-
соответственно, для бесциркуляционного случая (если в B.3.30) по-
положить С = 0 ), циркуляционного и безударного, соответственно,
если в этих формулах положить f(xo) = -2(/osin<x. Анализируя
эти формулы (а также используя общую теорию решения сингу-
сингулярного уравнения на отрезке в классе сингулярных решений из
§2.4), можно сделать следующие выводы для тонкого профиля
при наличии эжектирования.
Для данного набегающего потока и данного тонкого профиля
можно определить интенсивность отсоса в точке Xq , при которой
осуществляется безударное обтекание, т.е. механического под-
страивания тонкого профиля под поток для организации безудар-
безударного обтекания можно избежать с помощью отсоса [170, 318, 319].
При циркуляционном обтекании тонкого профиля при нали-
наличии эжектирования циркуляция скорости вокруг профиля зависит
и от интенсивности отсоса и от места его расположения. Поэтому
можно рассматривать задачу об оптимальном выборе местополо-
местоположения и интенсиэности отсоса на профиле для замены механиче-
механического закрылка.
Пусть теперь L, как и в примере 6.2.2., является окруж-
окружностью единичного радиуса с центром в начале координат, и
Uq = г . Пусть в точке Sq помещен сток интенсивности Q , тогда
формула VqUm в F.3.1) получит вид
F-3.10)
Следовательно, уравнение F.3.1) запишется следующим образом
F.3.11)
fctgy(s)<fc cos50
4тг ^ 2 4тс
Заметим, что если обычно уравнение вида F.3.11) всегда рас-
рассматривалось при условии обращения интеграла от правой части в
нуль, то в данном случае это не так. Более -того, покажем, что ее-
ASS taasai
ли L—телесный кусочно-гладкий профиль, а точка Mq лежит на
гладкой части L, то справедливо равенство
so= — f F.3.12)
L
которое в случае F.3.10) очевидно выполняется. Действительно,
возьмем в точке Mq прямую линию Р, касательную к L, и нари-
нарисуем окружность с центром в точке Mq и такого радиуса R, что
кривая L лежит внутри этого круга. Тогда очевидно, что количе-
количество жидкости, которое входит в сток через ту половину окруж-
окружности, которая лежит с той же стороны от Ру что и кривая L,
равно — Q [173]. Следовательно, вся эта жидкость идет также и
через кривую L, что и доказывает формулу F.3.12). Таким обра-
образом, при наличии эжектирования на телесном профиле приходим
к необходимости решать уравнение F.2.7) в том случае, когда
интеграл от правой части не равен нулю.
Используя формулу B.4.17) для решения уравнения
F.3.11), когда интеграл от правой части не равен нулю, получим,
что решением уравнения F.3.11) будет функция
Из формулы F.3.13) видно—в ней имеются два независимых
параметра С и Q. Поэтому можно ставить задачи также с двумя
независимыми параметрами. Например, искать решение, обра-
обращающееся в нуль в заданной точке (плавное обтекание острой
кромки) и заданную циркуляцию скорости на профиле. Или най-
найти решение, обращающееся в нуль в двух различных точках —
плавное обтекание острой кромки и получение точки торможения
в заданной точке. Причем физически ясно, что если сток распо-
расположить очень близко от той точки, где надо создать точку тормо-
торможения, то интенсивность отсоса потребуется тоже незначительная
(при любой, сколь угодно малой интенсивности отсоса, скорости
от него в достаточно малой его окрестности довольно большие).
6.4. Учет толщины профиля с помощью снесения граничных
условий на среднюю линию
В последние время в аэродинамике [278, 322] для решения
задач обтекания телесных профилей иногда применяют следую-
следующий прием, который бывает полезным при наличии у профиля
острой кромки или когда его толщина мала. Идея этого приема
Я А ДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
169
заключается в следующем. Внутри профиля выбирается незамкну-
незамкнутая кривая L\, относительно которой телесный профиль L разби-
разбивается на два незамкнутых гладких контура 1+ и Г, располо-
расположенных, соответственно, "выше" и "ниже" кривой L\ (рис. 6.8.).
Рис. 6.8 Снесение граничных условий на среднюю линию
в общем случае (а); средняя линия является отрезком,
относительно которого профиль симметричен (б)
Если есть острая кромка у профиля L (на рис. 6.8 точка-В),
то она является общим концом кривых L+ , U, L\. Кривая Ц
такая, что нормаль к ней в каждой точке пересекается с кривыми
L+ и U только в одной точке, и тем самым устанавливается вза-
взаимно-однозначное соответствие между точками L\ и L", L\ и U.
Возможен и другой способ установления взаимно-однозначного
соответствия между указанными кривыми. Пусть параметрические
уравнения кривых L\, I+, 17, соответственно, имеют вид
* = **(*), t/ = t/±(^), ?е[-1Д]. Обозначим
орт внешней нормали к кривой L на кривых L , соответственно,
через п± ± . Тогда условие непротекания F.2.6) контура L запи-
м0
шем в виде
м*
где точки Mq eL+ и MQ eL берутся при одном значении па-
параметра ?о . Пусть точка Mq e L\ соответствует точкам М0 и
^0 ; пмо и тм0 ~°РТЫ ноРмали и касательной в точке Mq к
кривой L\, причем пщ направлен в одну сторону от L\ с n + .
Тогда можно написать равенства
170 Глава fi
тМо. F.4.2)
Теперь вместо поля скоростей V , возмущенного профилем
I, возьмем поле скоростей Т^, индуцированных вихревым слоем
интенсивности у(М) и слоем источников интенсивности ц(М),
расположенных на кривой L\, и потребуем, чтобы для поля ско-
скоростей Vi в точках кривой L\ выполнялись равенства F.4.1).
Так как в силу теорем §4.1 поле скоростей от потенциалов
двойного и простого слоев непрерывно вплоть до кривой, то ясно,
что при условии выполнения равенств F.4.1) для точек кри-
кривой L\, для точек кривых ?+ и U эти равенства будут выпол-
выполняться с достаточной степенью точности, если L+ и U достаточ-
достаточно близки к L\ [223, 278], что и подтверждают проведенные рас-
расчеты [278, 322].
Получим теперь уравнения для определения у(М) и ц(М)
на кривой L\. Поле V\ для точек L\ будет иметь вид
Vi{M0) = ± JE{MQ,t)y{t)dt + ± V J^)ln—l—rk dt,
F.4.3)
где Mq &L\, V —знак градиента,
Теперь равенства F.4.1) для точек кривой L\ запишутся так:
где V\ \Mq J —скорость поля в точке Mq со стороны я ± . Заменим
в равенствах F.4.4) векторы w±± их представлением согласно
F.4.2). Так какV( ) • пм = ^ ' ; V( ) • тм = °* ' ,то, восполь-
зсюавшись свойствами нормальных и касательных производных для
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ Ш
потенциалов двойного и простого слоев в точках кривой Ц их
расположения (см. §4.1), получим
где
Как следует из результатов §4.1 и §6.2, ядро у нормальной
составляющей скорости от вихревого слоя (у нормальной произ-
производной потенциала двойного слоя) в точках кривой L\ имеет син-
сингулярную особенность, а у касательной составляющей—не имеет,
а для ядер составляющих градиента потенциала простого слоя
имеем противоположную ситуацию. Поэтому система уравнений
F.4.5) является системой двух сингулярных интегральных урав-
уравнений относительно двух функций y(t) и \i(t). Однако иногда
удобнее перейти от системы F.4.5) к следующей системе
гмм0
2 _i ЛМр ГММО
Действительно, рассмотрим случай, когда контур L симметричен
относительно L], точки Mq и Mq являются точками пересечения
нормали кЦ в точке Mq с кривыми L+ и Г, соответственно.
172 Глава g
Тогда в равенствах F.4.2) с достаточной степенью точности
можно считать, что (см. рис. 6.8 6)
a+{tQ) = -a~{t0), b+{t0) = b~{t0) F.4.7)
и поэтому система F.4.6) приобретает вид
, t)nMoy{t)dt + b+y(t0)
Система F.4.8) уже является диагональной сингулярной инте-
интегральной, т.е. первое уравнение сингулярно относительно одной
функции, а второе—относительно другой.
Если в этой ситуации L\ —отрезок прямой, то, так как спра-
справедливы равенства
() ^° Мм €L F.4.9)
система F.4.8) распадается на два уравнения
F.4.10)
каждое из которых является сингулярным интегральным уравне-
уравнением второго рода на отрезке.
Решение всех приведенных в этом параграфе систем должно
выбираться из условия обращения возмущенной скорости на ост-
острой кромке в нуль и ограниченности во всех остальных точках.
Применим рассуждения^ [278], приведенные в данном пара-
параграфе к обтеканию эллипса, заданного уравнением
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
Щ
В этом случае Lj = [-1,1] на оси ОХ , а коэффициенты
зависят от коэффициента С, и, если их линеари-
линеаризировать по С, то система F.4.10) получит вид
_ _L^J Г?№ = Г^«»« , F.4.12)
sma'
где Uq = cosai + sin a/ . В [278] дано аналитическое решение этой
системы. Оно получено с помощью представления решения урав-
уравнений F.4.12) в виде рядов
Ц^' F413>
*=о
I - х1
VI- af
где Ть{х) = cos(&arccosx) —полиномы Чебышева 1-го рода и ис-
использованием соотношения [104]
f
cose0 - cos 9
В частности, решение
х = ±1, имеет вид
, k 0,l,...
sin90
), обращающееся в нуль в точках
2СA + С)
2
.4.15)
а решение у(лг) такое (чтобы при л: = 1 полная скорость потока
равнялась нулю) имеет вид
у(х) = -
F.4.16)
6.5. Учет проницаемости поверхности тонкого профиля
Как указывалось в §6.1, очень важно при исследовании па-
парашютов и дельтапланов учесть проницаемость тканей, из кото-
174 Глава fi
рых они сделаны. Поэтому теперь условие непротекания профиля
F.2.6) будет^заменеето на условие
VnMo+UnMo=W, MoeL, F.5.1)
где W^Mq) —местная скорость протекания (проницания) потока
через поверхность профиля по нормали п™ в точке Mq .
Чтобы замкнуть данную задачу, будем считать, что скорость
протекания зависит только от перепада давления на поверхности
[ 42, 228], т.е.
Имо) = /Ь(А^МО)). F.5.2)
Из теоремы Жуковского "в малом" [28] после линеаризации следует
Ap = pUy(M0), F.5.3)
где р —массовая среда, у —интенсивность вихревого слоя, моде-
моделирующего поверхность обтекаемого профиля. Таким образом,
выполняя граничное условие F.5.1) проницаемости профиля,
опять приходим к решению сингулярного интегрального уравне-
уравнения вида
^^i^^Wk^t^fito), tQ 6(-u).
F.5.4)
Функция f\(y(to)), вернее /о(Др(Мо)), обычно находится экспе-
экспериментально для данного исследуемого материал, из которого
сделан профиль. Можно выделить следующие три случая.
1) fi(y(to))~O, т.е., когда отсутствует протекание поверх-
поверхности, и уравнение F.5.4) принимает вид хорошо известный в
аэродинамике крыла [39, 104], т.е. вид F.2.9).
2) /i(y(^o)) = ^Y^o)» гДе а~~некоторая функция, характери-
характеризующая локальную степень протекания тела. Экспериментальные
данные показывают, что для парашютных тканей соотношение
F.5.2) достаточно хорошо описывается линейной зависимостью
[121]. Это обуславливает повышенный интерес к данному случаю.
3) /i(y(*o)) —нелинейная функция. Численно уравнение
F.5.4) тогда решают итерационно с помощью метода дискретных
вихрей (который будет описан далее). В монографии [42] приве-
приведены некоторые расчетные данные. Вопросы обоснования исполь-
использованной там расчетной схемы пока остаются открытыми.
Глава 7
СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
В этой главе будем предполагать, что набегающий поток и
след за телом, если он имеется, стационарны, т.е. не зависят от
времени.
7.1. О моделировании обтекаемого тела
вихревой поверхностью (слоем)
Как было отмечено в §6.2, для аэродинамика очень удобно пред-
представлять обтекаемую поверхность вихревым слоем в силу физи-
физической наглядности этого образа и возможности действовать с
дискретными вихревыми образованиями. На основе этих пред-
представлений в аэродинамике возник численный метод дискретных
вихрей (м.д.в), получивший к настоящему времени широкие при-
применения [18, 24, 28, 30, 31, 32, 39, 42, 45 и др.]. С другой сторо-
стороны, из постановки задачи обтекания тела идеальной невязкой не-
несжимаемой жидкостью, сформулированной в §6.1 для потенци-
потенциальных течений, видно, что это задача Неймана для уравнения
Лапласа. С помощью м.д.в. эта задача Неймана сводится, по су-
существу, к численному решению некоторого граничного сингуляр-
сингулярного интегрального уравнения 1-го рода, которое бывает довольно
трудно записать для пространственных задач, исходя только из
языка м.д.в. Поэтому покажем взаимосвязь градиента потенциала
двойного слоя по поверхности а и поля скоростей от вихревого
слоя, расположенного на этой же поверхности.
Итак, напомним формулы потенциала двойного слоя по по-
поверхности а для уравнения Лапласа и его градиента:
G.1.2)
gradMo -^— \[Gndg(M),nM
о JMM,
УМ 9
Мо «а, G13)
12fi_
gradMl UGrad^M), nM]
(, Мо еа.
Свойства функций Ф(Мо),
сформулированы в §4.1.
Введем обозначение
G.1.4)
grad<D(Mo)(
G.1.5)
Тогда тройка векторов Grad<7,
у , п является правой (рис. 7.1)
взаимноортогональной, и
|у(М)| = |Сгаёд<М)|. G.1.6)
Поэтому
] G.1.7)
- Gr&dg(M)
Рис. 7.1. Определение вихревого
вектора. Таким образом, при введен-
введенных обозначениях формулы G.1.3), G.1.4) получат вид
grad<D(Mo) = V(MQ) = j- J у х
- rMMо
rMMQj
da
M
±-
G.1.9)
Из формул G.1.5) и G.1.8), G.1.9) видно, что вектор у(М)
лежит в касательной к поверхности а в точке М еа плоскости, и
это множество векторов (у(М), М е а J таково, что оно индуцирует
во всем пространстве вне а поле скоростей 1^(Мо) по формуле
G.1.8), дающее в точке Mq e а разрыв касательных скоростей в на-
направлении, перпендикулярном вектору у(М) в этой точке, т.е.
G.1.10)
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
177
G.1.11)
Нормальная к а составляющая этого поля скоростей непрерывна
при переходе через точку поверхности а .
Таким образом, поле скоростей |у(М0)} обладает такими же
свойствами, как и поле скоростей, индуцированное вихревым
слоем (у(М), М еа\ , расположенным на поверхности а .
Покажем теперь, что из формулы G.1.8) получается извест-
известная формула Био—Саварра вычисления поля скоростей от эле-
элемента вихревой нити. Из формулы G.1.8) следует, что диффе-
дифференциал daM площади поверхности а в точке М е а индуциру-
индуцирует в точке Мо скорость
4тс
'мм.
Ida
м
G.1.12)
Пусть на поверхности а имеется система координат такая, что
она ортогональна в точке М, и одна из координат по направле-
направлению совпадает с направлением вектора у (М). Обозначим диффе-
дифференциал длины дуги по этой координате через ds, а по ортого-
ортогональному направлению dh. Тогда формула G.1.12) получит вид
[39, 139, 243]
4тс
G.1.13)
где r = y(M)dh, ds = y°(M)ds, у°(М)-орт вектора у(М). На-
Направление ds в формуле G.1.13) естественным образом получается
таким, что циркуляция вокруг него
о й
мм0
Рис. 7.2. Дифференциал скорости, ий-
.аудированный дифференциалом вихря
у
в соответствии с правилом правой
руки является положительной, что
« иллюстрируется рис.7.2.
Посмотрим теперь, каким
свойством должен обладать вих-
вихревой слой на поверхности а с
вихревым вектором у(М), чтобы
поле скоростей от него было по-
тенциальным. Пусть в каждой
точке М поверхности а даны два
ортогональных касательных орта
12-2775
1Z8 Глава 7
х\ и ?2 так, что тройка векторов (tj,T2»"m) —правая. Тогда
формула G.1.5) получит вид
у(М) = [~g'XtTifM -:9'%2*гм>*м\ = -^[чл^л*]~9к2\*гм>"м] =
= +9'г^хм ~ ^2Чм = Ут,Чм + Ух2Чм - G.1.14)
Из формулы G.1.14) получаем соотношения
7т2(М) = ^1(М), yXi(M) = -g'X2{M). G.1.15)
Итак, если вихревой слой у(М), Мео, дает потенциальное
поле скоростей, то должны выполняться условия
%2_ + ^-«0, G.1.16)
или, что интеграл по любому замкнутому контуру L на поверх-
поверхности а от вектора
У*(М) = Ух2Чм -Ух^ХМ* G.1.17)
равен нулю, т.е.
Jb(M>ZJ = 0. G.1.18)
I
Условие G.1.18) эквивалентно тому, что
jy.{M)ds= Jy,(M>/J, G.1.19)
где Ьщщ , Ьщщ —произвольные две различные кривые, сое-
соединяющие две различные точки М\ и М2 на поверхности а .
Из условия G.1.19) следует, что y*(M)ds является полным
дифференциалом некоторой функции д(М), а у. и -ут удо-
удовлетворяют соотношениям G.1.15).
Наконец, отметим, что из формул G.1.7) и G.1.15) следует
[] G1-20)
ИЛИ
^ ^ G.1.21)
Из формул G.1.7) и G.1.20), G.1.21) получаем, что в об-
общем случае Ст\,м и ^2,М неортогональны) надо брать
Г(М) = уь(М)Ч{м + уТ2(М)т2*м . G.1.22)
Заметим также, что выполняются соотношения
• G.1.23)
дАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 179
7.2. Бесциркуляционное обтекание
произвольной несущей поверхности
Во многих задачах аэродинамики обтекания тел идеальной
невязкой несжимаемой жидкостью можно считать, что за телом
нет вихревого следа или таковым можно пренебречь [32, 139,
166]. Например, это набегание легких быстропеременных порывов
ветра на тело; изучение присоединенных масс тела [166, 230] и
т.д. Таким образом, в таких задачах вихревым слоем будет моде-
моделироваться только обтекаемая поверхность, причем так, что цир-
циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему тело, рав-
равна нулю. Как известно [57, 243, 248], поле скоростей от потен-
потенциала двойного слоя по данной поверхности обладает таким свой-
свойством. С другой стороны, как показано в предыдущем параграфе,
вихревой слой, расположенный на поверхности а и удовлетво-
удовлетворяющий условию G.1.18), дает такое же поле скоростей, как и
потенциал двойного слоя от некоторой плотности д(М), распре-
распределенной по этой же поверхности.
Итак, бесциркуляционное обтекание произвольной несущей
поверхности а идеальной несжимаемой невязкой жидкостью
сводится к решению внешней задачи Неймана для уравнения
Лапласа с выполнением граничных условий на поверхности а .
Если искать решение задачи, т.е. потенциал возмущенной
скорости, в виде потенциала двойного слоя, то, выполняя гранич-
граничное условие E.3.1), получим уравнение E.3.4). При желании
решать это уравнение относительно скачка до(М) потенциала
двойного слоя, сведем это уравнение к уравнению E.3.5), для ко-
которого справедливы следующие положения.
1) Если поверхность а является простой разомкнутой по-
поверхностью, то уравнение E.3.5) имеет единственное решение,
обращающееся в нуль на границе поверхности. Причем, как сле-
следует из теории краевых задач [136, 280], оно обращается в нуль,
как -^p(M,L) , где L — граница а, точка М ее, p(M,L)— рас-
расстояние от точки М до границы L.
2) Если а —замкнутая гладкая поверхность, то уравнение
E.3.5) имеет решение с точностью до константы. Для выделения
единственного решения надо либо задать значение до(М) в неко-
некоторой точке, либо значение интеграла от до(М) по поверхности
а. Однако в задачах аэродинамики необходимо знать не функ-
функцию до(М)» а ее производные, и поэтому для выделения един-
единственного решения уравнения E.3.5) надо требовать условие
12*
180
Глава 7
М*
е<т
G.2.1)
где М* —произвольная фиксированная точка поверхности а, или
jgo(M)dcj = О . G2.2)
а
Так как в аэродинамике функция f(Mo) в граничном условии
E.3.1) имеет вид
f{MQ) = -UonMo, G.2.3)
то в случае, когда Uo является потенциальным полем, выпол-
выполняется условие E.3.2).
3) Пусть поверхность а является сложной поверхностью,
т.е. состоит из нескольких замкнутых и разомкнутых поверхно-
поверхностей, которые могут пересекаться по некоторым кривым или точ-
точкам (рис.7.3). Тогда условий вида G.2.1) или G.2.2), а также и
E.3.2) будет столько, сколько имеется замкнутых поверхностей,
т.е. условия вида G.2.2) и E.3.2) должны выполняться по каж-
каждой из замкнутых поверхностей или на каждой из замкнутых по-
поверхностей Gj надо выбрать по точке М* , в которых должно
выполняться условие G.2.1).
Если уравнение E.3.4)
сводить не к функции
до(М), а к ее частным про-
производным, то получим урав-
уравнение E.3.6). Однако коэф-
коэффициенты А\ и A*i в этом
уравнении довольно слож-
сложные, да и неизвестные функ-
функции д'от^М) и дЬх2{М) не
имеют хорошего физического
П
Рис. 7.3. Стационарное обтекание сложной
поверхности.
р ф
смысла. Поэтому в этом слу-
случае лучше получить инте-
тральное уравнение относительно составляющих вихревого векто-
вектора у(М). Тогда граничное условие E.3.1) получит вид
Ух,
(пмоуЧМугммо) (пмоу*гм>гммо)
'ммп
'мм.
Mq EG .
dcM=f{M0),
G.2.3)
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 181
Уравнение G.2.3) является сингулярным интегральным
уравнением, которое содержит две неизвестные функции ух (М)
и у%2(М). Однако для того, чтобы искомый вихревой слой давал
потенциальное поле скоростей, функции yXl(M) и уХ2(М) долж-
должны удовлетворять или соотношению G.1.16) или соотношению
G.1.19). Но для вычислительных процессов всегда предпочти-
предпочтительней интегральные соотношения, чем дифференциальные, по-
поэтому будем в основном использовать соотношение G.1.19).
Пусть теперь поверхность а является простой замкнутой
гладкой поверхностью. В этом случае скачок потенциала двойного
слоя определен с точностью до константы, а так как в аэродина-
аэродинамике требуются только его частные производные, то надо посту-
поступить следующим образом. Зафиксировать точку М* на поверх-
поверхности а, дополнить уравнение G.2.3) соотношениями G.2.1) и
G.2.4)
Заметим, что в соотношении G.2.4) достаточно брать кривые
^MJ4 и Lmj4 у состоящие из кусков координатных кривых, если
на поверхности а задана координатная сетка.
Пусть теперь поверхность с является простой гладкой
разомкнутой поверхностью, являющейся гомеоморфным образом
квадрата, т.е. она задана системой уравнений
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), Ойи, v<iy
которые осуществляют взаимно-однозначное непрерывное отобра-
отображение квадрата [ОД] х [ОД] плоскости O\UV на поверхность а в
пространстве OXYZ. Будем предполагать также, что в каждой
точке поверхности а существует касательная плоскость. Пусть
кривые 1(и,0)= {x(ufi\y[ufi\z{ufi)} и l\Q,v) = {*@,t>),y@,4*M}
лежат на границе а . Тогда, как следует из результатов §5.3., скачок
д(М) потенциала двойного слоя обращается на кривых I\ufi) и
L@,a) в нуль. Поэтому в этом случае не надо выбирать точку М*
(а если ее и выбирать, то она должна лежать на границе а ), а
просто использовать соотношение
Jy* (M)ds= Jy, (m)</J, G.2.5)
LM[O,v)M(u,v) LM{u,0)M(utv)
182
Глава
М(цО)
р
невырожденным образом
прямоугольника.
где под LM(Ofv)M(ufv)[^M(ufi)M(uv))понимаем часть координатной
кривой Ци, v), 0 <> и <> и / L(u, v), Ouv^v (рис. 7.4).
Если поверхность а такова, что одна система координатных
кривых замкнута, а другая —разомкнута, то точку М* надо вы-
выбирать на границе поверхности.
Если поверхность а является
сложной и содержит простые замк-
замкнутые и разомкнутые поверхности,
то на каждой из них надо поступать
!> v) I так, как это описано выше.
Иногда удобно свести задачу
обтекания поверхности а к инте-
интегральному уравнению Фредгольма
второго рода на основе потенциала
Af(o, v) ^^^>L Двойного слоя. Это можно сделать
0@,0) ' для замкнутых поверхностей. Дей-
Действительно, пусть а —простая замк-
Рис.7.4. Координатная система на нутая гладкая поверхность. Проводя
поверхности, являющаяся рассуждения, аналогичные рассуж-
рассуждениям при доказательстве утверж-
утверждения 6.2.1., получим, что между
потенциалом Ф(М) возмущенного потока и потенциалом Фо(М)
набегающего потока выполняется соотношение F.2.31) в области
©'"'. Так как потенциал возмущенного потока необходим с точ-
точностью до константы, то в равенстве F.2.31) можно положить
С = 0, и тогда для нахождения возмущенного потока можно рас-
рассмотреть внутреннюю задачу Дирихле для функции Ф(М), пред-
представленной потенциалом двойного слоя. Выполняя граничное
условие Ф(М) = -Ф0(М) , получим интегральное уравнение
Фредгольма второго рода относительно искомой плотности д(М)
потенциала двойного слоя [102, 103]. Однако после численного
решения этого уравнения для нахождения частных производных
дх и дх надо будет выполнить численное дифференцирование,
которое является неустойчивой операцией, что особенно чувстви-
чувствительно при наличии углов и ребер на поверхности а. Поэтому в
работах [133, 315] предложено было воспользоваться соотношением
F.2.32) для получения системы двух интегральных уравнений Фред-
Фредгольма второго рода относительно двух функций дх и дХ2, Дей-
Действительно, представив grad<&(M) в соотношении F.3.32) по форму-
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 183
ле E.1.19) и проектируя соотношение F.2.32) на вектора xj м ,
*2,М0 > ^0 € а у получим следующую систему уравнений [133, 315]
i A / \
— ' / A/f \ — -— ' (A/f \i \ ,
~~ Mq €<T,
G.2.6)
4^(^о)
з?
гмм0
t,ft = 1,2.
К системе уравнений G.2.6) надо добавить соотношение вида
G.2.4) при выбранной точке М*, которые обеспечат единствен-
единственность решения этой системы. В данном случае эти соотношения
будут иметь вид
jgr2idg(M)ds= Jgrad^MJdJ G.2.7)
или, учитывая наличие в системе G.2.6) только неизвестных
функций д'х (М) и д\ (М), соотношение G.2.7) надо записать в
виде
Если а является Ляпуновской поверхностью, то ядра
0^°(Мо,М) системы G.2.6) имеют слабую особенность вида
УГММО у так как Для таких поверхностей [135] скалярное произ-
произведение (гмМо'Ям) является величиной второго порядка малости
по отношению к г мм у а скалярные произведения (йд/'На/о) и
184 Глава 7
умМо'^ьМо)' уММ0>*ьм) являются величинами первого поряд-
порядка малости. Таким образом, для Ляпуновской поверхности а си-
система G.2.6) действительно является системой интегральных
уравнений Фредгольма второго рода со слабой особенностью, ко-
которая при условии G.2.8) имеет единственное решение.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть а —сфера единично-
единичного радиуса с центром в начале координат: х = cos<pcos\|/,
у = sin<pcos\j/, 2 = sinv|/, фе[0,2тс], \|/ е --,- ; и пусть
UQ = i , тогда -UQxiMo = sin<p0, -иох2$мо = cos<p0 sin \j/0 .
Имеется в виду, что tj м0 —орт касательной к кривой v|/ = \|/q , a
^2,М ~к кривой ф = фо в точке Мо(фо? Vo) • Заметим также, что
-UonMo = ~со8фсо5\|/. Беря в уравнении E.3.5) правую часть
f(M0) = -UQnMo = -соБфо cosi|/0 = У^Фо, ?о) > те- в виДе кон-
конкретной сферической функции первого порядка, из рассуждений
§5.3, проведенных при получении формул E.3.9), E.3.10), полу-
получим [168, 315]
о
д(М) = #(ф, \\f) = — cosф cos \|/. G.2.9)
Поэтому функции
cos\|/
^ = _3 ta?| G2,О)
являются точным решением системы G.2.6), удовлетворяющим
соотношению G.2.8).
Если воспользоваться вихревым представлением обтекаемой
поверхности а, то надо проектировать на вектора Tj м0 и ^
формулу G.1.9).
Получим следующую систему уравнений
- 2
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 185
еа
1,2.
MMq
К системе уравнений G.2.11) надо добавить соотношение
G.2.4), в котором вектор у*(М) находится по формуле G.1.22) в
общем случае, а если т^д/ и т^д/ —ортогональны и тройка век-
векторов Tj M, г2#м и Ядг —правая, то по формуле G.1.17).
Если а —единичная сфера с центром в начале координат и
Uo = i , то так как х^м и т^д/—ортогональны, то
3 3
7x2(9.v) = -^sin9, yX2(<p,\|/) = -cos<psin\t/.
7.3. Стационарные нелинейные задачи
В некоторых нестационарных задачах аэродинамики, напри-
например, при обтекании треугольных крыльев под малым углом атаки,
вихревой след за телом имеет следующую структуру [32]. Вблизи
тела он имеет форму, не зависящую от времени, а дальше от тела
имеет сугубо нестационарный вид.
Так как аэродинамические характеристики обтекаемой по-
поверхности существенно зависят только от ближнего вихревого
следа, то в этом случае можно рассматривать следующую нели-
нелинейную стационарную задачу.
Пусть на поверхность а\, форма которой не зависит от вре-
времени, набегает стационарный поток несжимаемой идеальной жид-
жидкости со скоростью {/o=gradttO> где Uq(M) —гармоническая во
всем пространстве функция. Пусть с кривой L на поверхности а\
сходит след, представляющий собой поверхность <72, форма раз-
разрыва касательных скоростей которой неизвестна и также не зави-
зависит от времени.
Если задача решается без привлечения теории пограничного
слоя, то обычно L —это или часть границы поверхности oj, или
часть угловой линии (например, ребра куба).
186 Глава 7
Требуется найти поле скоростей, возмущенных поверхностя-
поверхностями о\ и о2, которое предполагается потенциальным вне поверх-
поверхностей Of и а2. Тогда задача сводится к нахождению потенциала
Ф(М), удовлетворяющего уравнению Лапласа F.1.3) вне этих
поверхностей, и физическим условиям, сформулированным в §6.1.
Условию непротекания поверхности а\, т.е. условию
OMof(o), 0, G.3.D
Условию затухания возмущений на бесконечности
УФ(М)->0 при p[M,g{\Jg2)-*oo. G.3.2)
Условию отсутствия перепада давления на поверхности а2,
так как она не несет и подстраивается под поток, и перепада нор-
нормальных к о2 составляющих скоростей ее точек, т.е. нет стремле-
стремления к расслоению этой поверхности и образованию каверн. Таким
образом, на поверхности а2 должны выполняться условия
Р+(М) - Р~(М) = 0, Vj(M) = V^(M), М е а2. G.3.3)
Решение задачи G.3.1) —G.3.3) будем искать в виде потен-
потенциала двойного слоя, распределенного по поверхности о\ \Ja2»
G.3.4)
В этом случае условие G.3.2) и второе равенство в G.3.3)
выполняются автоматически. Выполнение условия G.3.1) приво-
приводит к следующему интегро-дифференциальному уравнению
G.3.5)
Для того, чтобы решить уравнение G.3.5) относительно
функции д\(М) на aj, надо знать функцию д2(М) на а2 и
уметь построить эту поверхность <52- Воспользуемся тем, что за-
задача стационарна, и на поверхности а2 нет перепада давления.
Как известно [173], в стационарных задачах траектории частиц
совпадают с линиями тока, т.е. линиями, скорость потока в каж-
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 187
дой точке которых касательна к этим линиям. Так как О2~это
след за телом, то эта поверхность состоит из траекторий частиц,
сходящих с кривой L, т.е. поверхность <*2 состоит из линий тока,
проходящих через точки кривой L. Таким образом, поверхность
а2 состоит из кривых, уравнения которых удовлетворяют соот-
соотношению [173]
dx _ dy dz
VX(M) Vy(M) V2(M)' <7AW
где dx, dy, dz—дифференциалы координат точки линии тока,
V = (v^(M),V^(M),V^(M)j —вектор скорости потока в точке М,
т.е. V(M) = Uq(M) + УФ(М). Но если мы построим поверхность
<У2 из линий тока, то условие непротекания G.3.1) будет выпол-
выполняться автоматически.
Осталось посмотреть, как выполнить условие отсутствия пере-
перепада давления G.3.3). Как известно [28, 173] , в потенциальных ста-
стационарных задачах давление р(М) в точке М выражается через ско-
скорость потока в этой точке с помощью формулы Бернулли
? = ?*>_И, G.3.7)
р р 2
где Ръ —давление на бесконечности набегающего потока, р —
плотность жидкости в точке М. Теперь отсутствие перепада дав-
давления G.3.3) в точке пелены запишется в виде
?ЦПО, G.3.8)
где V ±(М) = ЩМ) + grad±<B(M).
Поэтому в силу формулы дифференцирования потенциала
двойного слоя для уравнения Лапласа (D.1.41), k = 0) и выра-
выражения разности возмущенных скоростей в точке поверхности рас-
расположения плотности потенциала двойного слоя через вектор
вихря у(М) в этой точке G.1.10), формула G.3.8) получит вид
0. G.3.9)
Но, по определению, всегда у(М) ортогонален вектору пм
(см. G.1.5)) и [y(M),wM]±wM, а из G.3.9) следует, что
188Глава J
f 1 • Таким образом, все три вектора V(M), у(М),
Пм ортогональны вектору [у(М),ЛдЛ и потому лежат в одной
плоскости. Однако задача стационарная и поверхность о2 состоит
из линий тока, т.е. V(M)LnM в точках этой поверхности, и, сле-
следовательно, векторы V(M) и у(М) параллельны.. Эти же рас-
рассуждения показывают справедливость и обратного утверждения,
что если свободную вихревую пелену (след за телом) в стацио-
стационарной задаче выстроить так, чтобы векторы V(M) и у(М) были
параллельны, то на такой вихревой пелене перепад давления бу-
будет равен нулю.
Итак, для того, чтобы на свободной вихревой пелене отсут-
отсутствовал перепад давления, надо, чтобы она состояла из кривых,
начинающихся с точек кривой L, для которых должны выпол-
выполняться соотношение G.3.6) и соотношение
= ±=Il G310)
ух(М) уу(М) уг(М)'
= (ух{М),уу(М),у2{М)).
Осталось разобраться, как находить такую функцию д2{М),
чтобы выполнялось условие непротекания G.3.5) и на пелене <У2
отсутствовал перепад давления. Для этого заметим, что при вы-
выполнении условия G.3.6) и G.3.10) на вихревой поверхности G2
траектории частиц тока и вихревые линии совпадают. Следова-
Следовательно, на поверхности <J2 можно ввести такие координаты
($!,$2), что I = L(§1,0) = {m(§1,0),4i e@,/)}, где /-длина кри-
кривой L, кривые L(i>\y%2) при %\ фиксированном являются вихре-
вихревыми линиями и, следовательно, функция д2{М) = ^2(^1^2) 6у-
дет константой на кривой ^(^1,^2) ПРИ фиксированном §1» т.е.
функция д2^ь%2) является константой по ^ и имеет вид
Возьмем теперь две точки на поверхности <32: ^2(^1^2) и
Af](^,0) eL, т.е. точки, лежащие на одной вихревой линии. Рас-
Рассмотрим замкнутый контур, содержащий часть, начинающуюся на
одной стороне поверхности С2 в точке М2, с одной стороны,
ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 189
идущую по этой стороне по вихревой линии
константа, до точки Afi(§i,0), потом по поверхности gj и далее
по поверхности G2 так, что его последняя часть идет от точки
^ ¦ '"-N. ^l(?l»0) Д° ТОЧКИ ^2(^1»^2)
по вихревой линии ?(?1,^2) по
другой стороне поверхности
G2, (рис. 7.5), а вторая
часть—от точки М2 с той же
стороны поверхности G2 до
этой точки М2 с противопо-
противоположной стороны поверхности
Рис. 7.5. К определению скачка двойного СТ2 так, чтобы внутри контура
потенциала на пелене. МОЖНО было натянуть ОДНО-
связную поверхность, на которой функция Uq(M) + Ф(Мо) гар-
гармоническая. Тогда циркуляция скорости на этом контуре равна
нулю, и с другой стороны, равна
д\{М\)-д\ {М\)-\Ф+(М2)-Ф~{М2)\, т.е. имеем равенство (так
как Ф+(М2) - Ф"(М2) = д2(М2) = д2{Мх))
92\М\) = д\ \М\\ — д\ (МП, М\ &L, у/.o.iz)
где д\ [М\) —значение скачка потенциала на поверхности gj в
точке М\ при подходе к ней с той стороны, куда направлен век-
вектор пм к поверхности g2 в этой точке или с противоположной,
соответственно.
Таким образом, неизвестной функцией в уравнении G.3.5)
является только функция д^(М), а функция #2(^)опРеДеляется
через ее значения на кривой L.
Если поверхность Gj является замкнутой или содержит та-
такую поверхность, то функция дх в уравнении G.3.5) определена
с точностью до константы. Если поверхность о\ разомкнута, то
она определена однозначно. Неизвестной в этом уравнении яв-
является также поверхность G2, уравнение которой описывается си-
системой уравнений G.3.6), G.3.10).
Заметим также следующее. Так как при удалении точки от
вихревой поверхности скорость в этой точке, возбуждаемой этой
190 Глава 7
поверхностью, убывает обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния от поверхности, то при вычислении аэродинамических
характеристик несущей поверхности с заданной точностью по-
поверхность G2 достаточно знать в сфере достаточно большого ра-
радиуса с центром в точке на несущей поверхности. Вне этой сферы
поверхность <?2 можно строить, например, из вихревых линий,
направленных по потоку.
7.4. Циркуляционное обтекание крыла конечного
размаха прямоугольной формы в плане
Рассмотрим в этом параграфе задачу, являющуюся частным
случаем задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе.
Пусть крыло, заданное уравнением y-v^x.z), лге[~6,Ь],
z e [-1,1] (система OXYZ—правая) [32, 39], в котором все первые
и вторые частные производные функции v^x, z) непрерывны и до-
достаточно малы (т.е. тонкое крыло слабо изогнуто) по модулю на-
находится в стационарном потоке, имеющем скорость
Uq = cosai + sin a/ , где a —довольно маленький угол. Тогда, как
показывают эксперименты [47], с практической точностью можно
считать, что плена свободных вихрей лежит в плоскости OXZ и
занимает полосу
[Ь,-к») х [-/,/] = {М{х,у),х е[б,-к»),2 е[-1,1]}.
Таким образом, в целом задачу можно рассматривать как
стационарную, только теперь поверхность пелены свободных вих-
вихрей G2 известна.
Следующее упрощение, которое обычно делается [32, 47], со-
состоит в том, что в уравнении G.3.5) предполагают о\
(поверхность крыла), совпадающей с прямоугольником
[-6,6] х [-/,/] в плоскости OXZ (так как она слабо изогнута), и,
потому функция д\(М) есть функция двух переменных х> у, т.е.
В этом случае, естественно, линии тока и вихревые линии
являются лучами [MiF,*),M2(-H»,2)], и, поэтому плотность
92{М) потенциала двойного слоя на G2 будет зависеть от коор-
координаты г, т.е. ^(М) = 92{2) •
Формула G.3.12) получит теперь вид (рис. 7.6)
{) {). G.4.1)
АЭРОГИДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
191
Итак, уравнение G.3.5) получит вид
Рис. 7.6. Плотность скачка потен-
потенциала двойного слоя на пелене
свободных вихрей не зависит от
координаты г.
1 д
b I
+00
dx
хое(-Ь,Ь), zQ €(-/,/)• G.4.2)
Рассмотрим вначале уравнение G.4.2) относительно функции
gx(x,z). Пользуясь непрерывностью нормальной производной по-
потенциала двойного слоя и учитывая формулу E.1.23), его можно
записать в виде
'-Ь -J
+00
G.4.3)
Иногда уравнение G.4.3) удобнее рассмотреть относительно
производной д\х{х,г). Для этого, воспользовавшись результатами
§9.2 из [39], учитывая, что справедливы тождества
<7i(-M-0i(*,O-0i(*-O-°. *«В*Ь xe[-b,b], G.4.4)
и формула
192
Глава 7
dx
х0 - x
_
\(x0 - xf + (г0 - iff ' ' (*o - *? ho - *? + (*o - гJ '
запишем уравнение G.4.3) в виде
bl -' <--*- -x)dxdz
G.4.5)
G.4.6)
Опять учитывая тождества G.4.4), окончательно запишем
уравнение G.4.3) в виде [39, 47]
An
Xq-X
= f(xo,zQ),
G.4.7)
Замечание 7.4.1. Если рассмотреть бесциркуляционную за-
задачу в этом случае, то g\(b,z) «О, и, поэтому уравнение G.4.3)
получит вид [39]
а уравнение G.4.7) получит вид [39]
± f
G.4.8)
dxd!. fa, го),
xQe(-b,b), zoe(-l,l). G 4 9)
Если уравнение G.4.9)' проинтегрировать почленно по z и
учесть тождества G.4.4), то получим уравнение
xoe(-b,b), гое(-1,1). G.4.10)
ЗАДАЧИ АЭРОШДРОДИНАМИКИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ 193
Так как аналитически уравнение G.4.10) пока не решено, а
из теории краевых задач известно, что функция g'\fXyZ имеет вид
иЬ-.г2д/-г2п \\i(x,z), где \у(х, z) —функция класса Гельдера
на [-6,6] х [-/,/]> то в работах [39, 147—149, 161] была постро-
построена теория уравнений вида
х°
G.4.11)
для которых найдены все аналитические решения и показано, что
они имеют требуемый вид, дан численный метод решения этого
уравнения, аналогичный методу дискретных вихрей и дано мате-
математическое обоснование этого численного метода.
13-2775
Глава 8
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ
В этой главе будем рассматривать задачи, в которых или на-
набегающий поток нестационарен, или след за телом является не-
нестационарным, как, например, в задаче о мгновенном начале
движения тела с места с заданной постоянной скоростью.
8.1. Пространственная нестационарная нелинейная
задача аэрогидродинамики
Пусть несущая поверхность а\ (замкнута или разомкнута)
находится в нестационарном поле скоростей С/0(М,?) =
= gradtto(M, t), где функция и$(М,?) —гармоническая во всем
пространстве функция в любой момент времени. Пусть с кривой L
на поверхности cj сходит нестационарный след, т.е. поверхность
а2 разрыва касательных скоростей в любой точке которой в лю-
любой момент времени должны выполняться условия G.3.3) отсут-
отсутствия перепада давления и нормальных к G2 составляющих ско-
скоростей потока. Так как среда сплошная, то фактически мы пола-
полагаем, что в каждый момент т с любой точки M(s) кривой L, где
5—длина дуги на L, s e[0,/], сходит частица жидкости, на кото-
которой имеется разрыв касательных скоростей и которая в момент t
занимает положение M(s,x,t). Так как это частица жидкости, то
она движется со скоростью потока в данной точке M(s,t,?) в дан-
данный момент t. Таким образом, нестационарный след &2 в данный
момент t представляет собою поверхность, состоящую из точек
M(s, t, t), s е [О, /], 0 ^ т < t, движущихся со скоростью
Wm(s, t, ?)) потока в данный момент. Из этого следует, что для
нахождения поверхности <*2 достаточно решить следующую па-
параметрическую E, т —параметры) систему дифференциальных
уравнений для радиус-вектора r(s, т, t) точки М(s, т, t).
^-t=V(M{s,x,t)), se[0,t\, xe[O,t], tZx, (8.1.1)
при начальных условиях
F(s,T,T) = rM(s)) (8.1.2)
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ 135
т.е. в начальный момент схода ? = т точка М($,т,т) совпадает с
точкой M(s) кривой L.
Так как на поверхности G2 имеется разрыв касательных ско-
скоростей и выполняется условие непрерывности нормальной к &2
составляющей скорости потока, то поверхность а2 естественно
моделировать потенциалом двойного слоя. Следовательно, потен-
потенциал Ф(М<),?) поля возмущенных скоростей будем представлять
формулой G.3.4), в которой плотности g\(M,t)> gi{M}?) зависят
от времени и поверхность <Т2 тоже. Поэтому уравнение G.3.5) те-
теперь будет иметь вид
(8.1.3)
Для уравнения (8.1.3) справедливы те же замечания по
единственности определения функции g\(M,t), что и для уравне-
уравнения G.3.5).
Имея систему уравнений (8.1.1) —(8.1.3), можно определить
функцию g\{M,t) и поверхность а2 в момент t. Задача полнос-
полностью решена, если будет найдена еще функция g2{Mf t). Для этого
воспользуемся условием отсутствия перепада давления в точках по-
поверхности СХ2, но теперь надо воспользоваться вместо формулы Бер-
нулли G.3.7) формулой (интегралом) Коши—Лагранжа [173, 243]
?S&L-ZL*> (8.1.4)
р р 2 at
в области потенциального течения для вычисления давления в
данной точке.
Теперь условие отсутствия перепада давления в точке
M(s,x,t) поверхности С2 запишется в виде
1!^&+-У-)-±(ф+-Ф-)шО. (8Л.5)
2 V I dt\ I
Напомним [173, 243], что интеграл Коши—Лагранжа не за-
зависит от выбора системы координат, в которой течение является
потенциальным. Поэтому возьмем систему координат, связанную с
рассматриваемой точкой (т.е. точка M(s,x,i) будет являться нача-
началом координат в любой момент времени). В этой системе коорди-
координат скорость потока в данной точке равна нулю, т.е.
13*
196 Глава g
V + + V"
¦sO, а частная производная по t становится полной
2
производной, т.е. в формуле (8.1.5) второе слагаемое будет иметь
вид — (Ф+ -Ф~). Таким образом, скачок потенциала возмущен-
ных скоростей в точке поверхности <J2 не зависит от t и, так как
t > х , то получаем <72(^E»т^)) = #2(M(s,x,x)) •
Следовательно, значение функции gi достаточно знать в
точке М поверхности следа <*2 только в момент ее схода с соот-
соответствующей точки кривой L несущей поверхности aj, т.е. в точ-
точке M[s, х, т) . Осталось только выяснить, можно ли выразить зна-
значение функции g2(M(s,T,x)\ через значение функции д\ в этой
же точке. Для этого рассмотрим опять контур, изображенный на
рис. 7.5, где полагаем Mx(%\fi) = M{sXt), M2(^i,^2) = Аф,т,*).
Циркуляция скорости по этому контуру в момент t равна нулю и
имеет вид ^—
[gt(M{s, t, t)) - gi(M{s, t, *))] - g2(M{s,x,t)) +
(8.1.6)
M(s,xft)
В рассматриваемом классе задач аэродинамики (нет точечных
источников или стоков) скорости являются абсолютно интегри-
интегрируемыми функциями. Поэтому если точку M2(?j,§2) - M(s>x>t)
на рис. 7.5 устремить к точке M2(?i,0) = M(s,t,t), т.е. х к t, то
длина дуги кривой M{s, i, i), М(s> x, t) на поверхности а2 устре-
устремится к нулю, и поэтому в равенстве (8.1.6) интеграл обратится в
нуль при х —> t. Следовательно, в пределе
(8.1.7)
для любой точки M[sXt) = M\[s) кривой L схода следа.
В формуле (8.1.7) верхние индексы "+" и "-" имеют тот же
смысл, что и в формуле G.3.12).
Таким образом, функция g2{M,t) в уравнении (8.1.3) пол-
полностью определяется функцией gi(M,t) с помощью соотношения
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ 12Z
,т),т)- ^ (МE,т),т) = д^
(8.1.8)
а поверхность <У2 — системой уравнений (8.1.1), (8.1.2).
Замечание 8.1.1. Если кривая L является границей поверх-
поверхности а\, то рассматривая рисунок, аналогичный рис. 7.6, можно
показать также, что и в нелинейной нестационарной задаче вы-
выполняется равенство
g2(M{s, t, t)) = gi(M(s, t, tj). (8.1.9)
8.2. Задача для профиля с угловыми точками
В этом параграфе рассматривается задача, аналогичная зада-
задаче в предыдущем пункте, но для плоскопараллельного течения.
Поэтому речь будет идти не о несущей поверхности о\, а об обте-
обтекаемом контуре aj. След с*2 теперь будет сходить с некоторых
угловых точек контура <5\ (концы контура включаем также в уг-
угловые точки), и пусть точка М+(х+,у+) является одной из таких
точек. Тогда часть следа, сошедшая с точки М* к моменту време-
времени t, будет упорядоченной по моменту т схода с М* множеством
точек Mm(t,t) с координатами х = xj{t,т), у = у*(?,т), O^x^i,
и таким образом, является кривой. Дифференциальное уравнение
для определения траектории точки, сошедшей в момент т с точки
М*, будет иметь вид
2 (8,0
т, т), у*(т, т)) = г(х*, уф), t = т,
где У(дг*(^т),у#(^т))—скорость потока частицы жидкости, нахо-
находящейся в точке M<t(a:J>(i,T),t/»(i,T)), которая состоит из скорости
С/()(М*,?) набегающего потока и скорости Vpy индуцированной в
этой точке контуром aj и следом G2- Так как на кривой <У2
имеется разрыв касательных скоростей и выполняется условие не-
непрерывности нормальной к С2 составляющей скорости потока, то
контур G2 опять естественно моделировать потенциалом двойного
198 Глава ft
слоя. Так как и контур С| моделируется потенциалом двойного
слоя, то для скорости V(x+(tfx),y*(t9T)\ получаем формулу
V = U0(M.(t,x),t)+ jy{M,t)u(M.(t,x),M)dsM +
(), (8.2.2)
где E(MQ(xQjyQ)M^y))-^0^yl'^°'% ¦ При этом
2() ()
функции y(M,i) = ^|5(M,i), 8(t) = ^s(t), являющиеся распреде-
распределенными интенсивностями вихревых слоев на oj и О2» должны
удовлетворять условию непротекания контура а\
о,М(*, \i))nMQdsM = -LrowMo , Мо е ^ . (8.2.3)
2
Если в начале движения отсутствовала циркуляция скорости по
контуру, охватывающему тело и след, то это должно выполняться
в любой момент времени t, т.е.
Jy(M, t)dsM + |8(и>/5ц = 0 , (8.2.4)
где dsp означает дифференциал длины дуги на пелене.
Если воспользоваться выражением скорости через плотность
потенциала двойного слоя, то формула (8.2.3) получит вид
Мо eaj (8.2.5)
где do1M = daM, da2iM = ds» у 92 {M*{t, т)) = g2 (М*(т, т)) =
= д2 (т). Причем для плотности потенциала двойного слоя на кон-
контуре и пелене, т.е. для функции gi(M,t) и g2{M,t) опять выпол-
выполняется соотношение вида (8.1.7) или (8.1.9).
Замечание 8.2.1. Если рассмотреть обтекание профиля с
углами у земли, то, как и в §6.2, для обеспечения условия непроте-
непротекания земли (при ее моделировании прямой линией) достаточно сам
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ 122
профиль и его след моделировать вихревым слоем и взять симмет-
симметричный относительно земли их образ с расположением на нем вихре-
вихревого слоя с интенсивностями -у(М, t) и -8(т), соответственно.
Замечание 8,2.2. Если контур aj содержит замкнутый кон-
контур, то вопросы единственности решения для уравнения (8.2.3),
(8.2.5) надо рассматривать так же, как и в §6.2.
8.3. Линейная нестационарная задача для тонкого профиля.
Гипотеза Чаплыгина—Жуковского
В этом параграфе обтекаемый контур (профиль) aj является
слабоизогнутым, проектируется в отрезок [-1Д] оси ОХ и на него
набегает такой нестационарный поток под малым углом атаки a,
что с задней кромки этого профиля (х = 1) сходит пелена свобод-
свободных вихрей интенсивности 8(t)t движущихся со средней ско-
скоростью U$ по оси ОХ в положительном направлении. Если пред-
предположить, что (/q (величина скорости) является константой, не
зависящей от времени, то свободный вихрь, сошедший с профиля
в момент т < t, к моменту времени t пройдет расстояние U$(t - х)
и будет располагаться на оси ОХ в точке 1 + Uo(t - т). Это непо-
непосредственно можно получить и из уравнения (8.2.1), полагая в
нем V = UqI и r[x+yy^) = i . Далее для простоты будем полагать
(/q = 1 - При сделанных предположениях уравнение (8.2.3) полу-
получит вид [39]
j j «М* 2<чА, Ios(.u), (г„,
o-l-(*-T)
(8.3.1)
а условие (8.2.4) получит вид
1 t
jy(xtt)dx + J8(x)dx = 0 . (8.3.2)
-I о
Как и в [39] покажем, что система уравнений (8.3.1),
(8.3.2) имеет единственное решение. Из физических соображений
ясно, что уравнение (8.3.1) относительно функции y(x}t) при
данном t надо рассматривать в классе функций, обращающихся в
бесконечность в точке х = -1 и являющихся ограниченными в
точке х = 1 (поток должен плавно сходить с задней кромки, и по-
поэтому уA,?) не может быть неограниченной), т.е. уравнение
200
(8.3.1) надо рассматривать относительно функции y(x,t) как син-
сингулярное интегральное уравнение индекса ае=О . Поэтому, раз-
разрешая это уравнение относительно у(х, t), получим
После перестановки интегралов и упрощений (см. [39]) получим
y(x,t) - /l(^t) + -^—^----Ai-^-. (8.3.4)
Подставляя выражение для y(x,t) из (8.3.4) в уравнение
(8.3.2), после преобразований получим следующее интегральное
уравнение для b(t)
т =
(8-3.5)
Уравнение (8.3.5) имеет единственное решение, и, если пред-
предположить непрерывную дифференцированность функции f(xQ,t)
по t, то 8(i) = —j=J-, где \j/(i) —абсолютно непрерывная функция.
Таким образом, если функция f(xQ,t) удовлетворяет условию
Гельдера на множестве [-1,1] х [0, Г] и непрерывно дифференци-
дифференцируема по t на этом множестве, то система уравнений (8.3.1),
(8.3.2) имеет единственное решение.
Напомним теперь, что функция y(x,t) в уравнении (8.3.1)
является интенсивностью суммарного вихревого слоя на профиле,
состоящего из присоединенного вихревого слоя интенсивности
у+{х, t) и свободного вихревого слоя интенсивности у-(х, t), плы-
плывущего по местной скорости над профилем и переходящем в сво-
свободный вихревой слой следа за профилем интенсивности 8(т).
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ Щ
Причем ясно, что у(х,t) = y+(x,t) + j-(x,t), S(t) = lim j-(x,t). В
нестационарной задаче гипотезой Чаплыгина—Жуковского для
присоединенного вихревого слоя называют предположение об об-
обращении в нуль интенсивности присоединенного вихревого слоя в
той угловой точке профиля aj с которой сходит вихревая пелена
-свободных вихрей. В данной линейной нестационарной задаче ги-
гипотеза Чаплыгина—Жуковского состоит в условии y+(.*,?)s0
при t > О, что будет справедливо, если будет доказано равенство
8(*)=limy(*,i), t>0. (8.3.6)
Последнее равенство докажем, следуя работе [218]. Для это-
этого заметим, что из результатов гл. 1, следует обращение в нуль
при х->-\ функции fi(x,t) в равенстве (8.3.4). Рассмотрим те-
теперь интеграл
Введем функцию
х
1 [ . А( л п\
= , г < arcsin А(х, т, t) >,
vl ~ Wi- x + t [ 2J
A{x,t,t) =
±(t-x + \-x)
Проинтегрировав в 1\ по частям, получим
Vl + x Vl - x +1
202
Глава ft
Докажем, что второе слагаемое в (8.3.7) стремится к нулю
при х -> 1. Для этого заметим, что для заданного произвольного
числа s > 0 найдется такое число 82 > 0, что будет выполняться
неравенство
1
г j — - arcsin Л(л;, т, m;
f-52
dx
Запишем теперь A[xfx,t) в следующем виде
(8.3.9)
(8.3.10)
Теперь видно, что для т е[0, ?-62] можно взять такое число
*o(s), близкое к 1, что для всех х е(ло(в)д) величина A[x,x,t)
будет настолько близка к 1, что будет справедливо неравенство
1 *~г2Г* . ,, А1
—i . I -г -агс51пЛ(л:,т,п
JtVfTIVl-JC + i { L2 V ;J
-t]
(8.3.11)
Из формул (8.3.4), (8.3.7)-(8.3.9), (8.3.11) следует, что для за-
заданного числа s > 0 существует такое число хо(г), что лля всех
х е (xo(e),lj выполняется неравенство
= {| Т~~mcsinЛ(х,x,t) :
-Tl
dx
<8
и, следовательно, выполняется равенство (8.3.6).
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ 223
8.4. Задача с жидкой границей
Теперь будем предполагать, что несущая поверхность <tj про-
профиля совершает движение со скоростью G0 = и^(МуЬ)у М еа\, а
все пространство вне <tj заполнено идеальными невязкими несжи-
несжимаемыми жидкостями с постоянными (но различными) плотностями.
Для примера будем рассматривать случай входа клина в воду (рис.
8.1), т.е. имеется всего две среды: воздух и вода с шклностями р\ и
Р2 и разделяющей их поверхностью а2 (жидкой границей). Более
общая ситуация рассмотрена в
Pi [112]. Постановка задач гидро-
гидродинамики с жидкими границами
пм и исследование их основных
2 свойств были сделаны
Н.Е.Кочиным[139].
р Предполагается, что поле
2 скоростей вне поверхности
профиля а\, его следа (в
Рис. 8.1. К постановке задачи *aHHOM ^У4^ еГО Не бУДеМ
с жидкой границей. рассматривать) и поверхности
раздела а2 является потенци-
потенциальным с потенциалом Ф(М, t). Теперь условие непротекания
профиля а\ и его плавного обтекания запишется не в виде
G.3.1), а в виде
= по*мо = f(M0,t), Moeai. (8.4.i)
Условие затухания возмущений на бесконечности сохранит вид
G.3.2). На жидкой границе G2 должен отсутствовать перепад давле-
давления и нормальной к <У2 составляющей скорости движения точек сре-
среды, т.е. на <Т2 должны опять выполняться условия G.3.3).
Таким образом, опять имеем возможность моделировать по-
поверхности aj и G2 потенциалом двойного слоя, т.е. представим
потенциал скоростей в виде
204 Глава g
(8.4.2)
Тогда опять автоматически выполнится условие затухания
возмущений на бесконечности и непрерывности нормальной к а2
составляющей скорости. Условие (8.4.1) даст уравнение
Moealf (8.4.3)
для определения функции g\(M,t), так как уравнение поверх-
поверхности <5\ в любой момент времени считаем известным в силу из-
известности закона движения этой поверхности.
Для того, чтобы воспользоваться условием отсутствия пере-
перепада давления на поверхности о2, запишем более подробно фор-
формулу для интеграла Коши—Лагранжа для каждой из сред [173],
которая имеет вид
Pi I 2
где индекс i = 1,2 указывает, в какой среде лежит точка М,
fi{t) —одинаковы для всех точек области непрерывности потен-
потенциала Ф{, П|- — значение потенциала объемных сил в i-й среде,
например, потенциала силы тяжести, т.е. П = ду, а Т^ —скорость
частиц в ней.
Для точек свободной поверхности G2 условие отсутствия пе-
перепада давления запишется теперь в виде
(8.4.5)
Учитывая, что на бесконечности возмущения затухают и
предполагая, что уходя вдоль поверхности а2 в бесконечность,
будем иметь предельные значения для потенциала объемных сил,
т.е. существуют П1о2э00 и П2>С2эоо Сдля рис.8.1, предполагая, что
уравнение а2 есть у = 0, получим П{ о. «, = 0, i = 1,2 ), получим
Pl/i ~ Р1П1,С2,оо = р2/*2 - Р2П2,о2,оо • (8.4.6)
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ 205
Так как рассматривается только случай двух сред и потенци-
потенциал представлен формулой (8.4.1), то, вводя для точек кривой а2
обозначения (с учетом формулы D.1.46))
Ф1,2 = Ф11 Ц,2 = % ± -g'sxMo, М0ео2, (8.4.7)
и используя для точек этой кривой формулу
-V?, (8.4.8)
преобразуем формулу (8.4.5) к виду
0, Mo €G2. (8.4.9)
Заметим, что, если pj = р2, т.е. как для пелены свободных
вихрей в нестационарной задаче для профиля и нет объемных
сил, то с учетом формулы (8.4.8) получаем формулу (8.1.5).
Таким образом, из системы уравнений (8.4.3), (8.4.9) можно
найти функции gi(M,t) и #2(М,?). Неизвестной остается только
жидкая граница <т2, но так как она состоит из частиц среды, то ее
точки должны двигаться по местной скорости Va, т.е. уравнение
для нахождения кривой <т2 в момент t будет иметь вид (см.
(8.1.1), (8.1.2))
M0eo2, (8.4.10)
(8.4.11)
где ^(Mq) —радиус-вектора точки Mq кривой а2 в начальный
момент t = 0 .
В частности, для входа клина в воду (см. рис. 8.1.) сделаем
дополнительные предположения: плотность р\ воздуха будем счи-
считать равной нулю, плотность воды р2 = 1 и полагать воду невесо-
невесомой, т.е. П2 = 0. Тогда система уравнений, описывающих задачу,
будет иметь следующий вид.
Условие непротекания профиля а\:
206 LaaeaJ
(8.4.12)
Условие отсутствия перепада давления
(8.4.13)
Уравнение движения границы О2 по-прежнему имеет вид
(8.4.10), (8.4.11). К системе уравнений (8.4.10), (8.4.11),
(8.4.12), (8.4.13) полезно добавить уравнения для Ф" и Va:
-p{MQ,t), Moea2, (8.4.14)
Мо €<т2, (8.4.15)
где х = x(s), у = y(s), ( х0 = ф0), #о - И5о)) параметрические
уравнения кривых в\ и СГ2 по Длине дуги этих кривых.
Предполагается, что в нулевой момент времени (начальный)
значение Ф~(М0,0), Mq €02, известно.
Глава 9
НАХОЖДЕНИЕ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
В результате решения задачи обтекания поверхности crj надо
найти поле скоростей в пространстве и силы и моменты, возни-
возникающие на поверхности о\.
9.1. Кинематические параметры.
Пространственный общий случай
Пусть имеется поверхность а\ тела (т.е. aj —замкнутая по-
поверхность), заданная в неподвижной системе координат OXYZ в
момент t уравнением
F(M,*) = 0, (9.1.1)
которая движется со скоростью W(M, t), М еа\. Пусть имеется
еще набегающий поток, имеющий скорость UQ(M,t) =
= gradOo(M,i), где Ф0(М,?) —гармоническая во всем про-
пространстве функция.
Предполагается, что с некоторой кривой L на поверхности
Ст|, являющейся кривой нарушения гладкости этой поверхности,
сходит след, являющийся по-
поверхностью 02 разрыва каса-
касательных скоростей (рис. 9.1).
Поверхность с\ и ее
след <Т2 создают в про-
пространстве поле возмущенных
скоростей Ф(М,?), который и
х требуется, как правило, най-
найти, так как после этого можно
будет найти все аэрогидроди-
Рис. 9.1. Нестационарное обтекание куба. намические характеристики
Форма вихревой пелены при т=6 . Линия ДЛЯ поверхности О\, наиболее
схода L - совокупность всех ребер куба. важными ИЗ КОТОрЫХ ЯВЛЯЮТ-
ЯВЛЯЮТСЯ [32, 173] главный вектор R и главный момент М сил давле-
давления жидкости на поверхность G\.
Эти векторы определяются следующим образом [173]
Ш Глава <j
R = J p(M, ЩМ, t)daitM , (9.1.2)
М = - J^m4m x p(M,t)n(Mtt)doitM , (9л.3)
где р(М,?) —давление жидкости на поверхность aj в точке М в
момент t, n[M,t)— орт нормали в точке М к поверхности ъ\ в
момент i, f>f д/—вектор, направленный из точки МЦ} относи-
относительно которой ищется момент, в точку М. Давление р{М,?)
ищется по формуле (8.1.4) при отсутствии объемных сил, в кото-
которой под Ф в даннЪм случае надо понимать Ф(М,?) + Фо(М,?), а
под V —скорость V(M,?) + t/o(M,?) потока в рассматриваемой
точке в данный момент, V{M, t) = УФ(М, t).
Условие непротекания теперь примет вид
J^- = UQnM+WnM, Mealt (9.1.4)
который совпадает с G.3.1), если W(M,t)&0, т.е. поверхность
aj неподвижна, или с (8.4.1), если набегающий поток отсутству-
отсутствует, а поверхность а\ движется со скоростью W(M,t) = Uq .
Так как потенциал Ф(М,?) возмущенных скоростей должен
удовлетворять условиям: убывания возмущений на бесконечности
F.1.4); уравнению Лапласа F.1.3) вне с\1)<*2> условию отсут-
отсутствия перепада давления и нормальных составляющих скорости
на <У2 F.1.6); конечности скорости на кривой L схода следа &2
(гипотеза Чацлыгина—Жуковского), то его можно представить в
виде потенциала двойного слоя G.3.4) относительно неизвестных
функций gi(M,t) и g2(M,t). Для нахождения этих функций
имеем два уравнения, одно из которых получается подстановкой
формулы G.3.4) в (9.1.4) и которое имеет вид G.3.5), а другое
имеет вид (8.1.8). Для построения поверхности G2 следа исполь-
используются уравнения (8.1.1), (8.1.2).
Решать построенную систему уравнений можно или относи-
относительно самих функций д\(М,?) и д2(М,?) или относительно их
касательных градиентов Grad^(M,t), Grad<72(M>?) • Найдя эти
функции, найдем по формуле Коши—Лагранжа давление p(M,t)
НАХОЖДЕНИЕ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 209
в точках поверхности а\9 а. затем—по формулам (9.1.2), (9.1.3)
найдем векторы R и М .
Остановимся на особенностях вычисления
V+(MQ, t) + t/0+(M0, t) и Ф+(М0, t) + Фо (Мо, t) в точках замкну-
замкнутой поверхности <5\. Так как поверхность замкнутая, то
V~(MQ,t) + Go"(Mo,i) тождественно равна нулю на поверхности
<tj, т.е. внутри тела нулевое поле скоростей. Так как для набе-
набегающего потока Uq = Uq во всех точках поверхности <tj , то по-
получаем (с учетом формул G.1.7), G.1.10)):
V+(M0, t) + Щ(М0, t) = Grad^(Mo, t), Мо е at. (9.1.5)
Таким образом, Эля замкнутой поверхности cfj скорость
внешнего потока в точке Mq рявия касательному градиенту
плотности потенциала двойного слоя в этой точке.
Так как в формуле Коши—Лагранжа надо вычислять слагае-
fa )
)
мое —* '- для точек поверхности а\9 то для
ot
набегающего потока должно быть задано не только поле скоро-
скоростей С/0(М,?) = gradO0(M,?), но и сам потенциал Ф$(МУ?). Если
предположить, что в каждый момент ищем такой потенциал
Ф(М,t), что внутри aj в любой точке Ф(М,t) + Фо(М,t)sO, то
используя формулу скачка для потенциала двойного слоя, можно
получить для точек М$ е g\ равенство
Ф+(М0,*) + Ф5(М0,t) = g{M0,t), (9.1.6)
Однако, если задача решается относительно скачка потен-
потенциала g(Mo,t) = <7i(M0,?) для Мо ес^, то, так как он определен
с точностью до константы, в этом скачке может содержаться про-
произвольная функция, зависящая от времени. Поэтому вычисление
производной по времени будет в общем не определено. Поэтому
лучше воспользоваться формулой E.1.11), т.е. что
j{){t), М0 ea1(
а ГММ0
(9.1.7)
где a = a! Ua2 , g(M, t) = gx{M, t), M e aj и g(M, t) = g2(M, t),
M
14-2775
210 Глава g
В этом случае произвольное слагаемое, зависящее только от
t, в gi(Mo,t) не будет влиять на производную Ф+(М0,?)по t, так
как известна формула [248]
0, Мо eD+,
47cJ , -м, ~Я' Моеа,,
мм« -1, Мо eD\
(9.1.8)
для любой кусочно-гладкой замкнутой поверхности.
Так как зачастую [8, 32] задачи аэродинамики рассматри-
рассматривают в том случае, когда тело покоится, а на него набегает ста-
стационарный поток и нестационарность задачи возникает за счет
развития следа за телом, то применяют следующий метод на-
нахождения потенциала Ф+(М0,?) [8].
Рассмотрим следующие равенства для точки М<
Ф+(М0, t) = Ф+(М0, t) - Ф+(м? *) + Ф+(М^, *) =
= [ф-(м0> *) - ф
где Mq —некоторая фиксированная точка на aj, а
ф|М0,п = Ф{М0,п + Фо(Мо,И— потенциал потока в точке Mq в
момент t. Так как потенциал набегающего потока непрерывен на
а\, а потенциал возмущенных скоростей терпит разрыв, то фор-
формулу (9.1.9) можно записать в виде
ф+(м0, t) = [ф-(м0, *) - ф-(м5, «)] +
) (91Л0)
Так как внутри тела потенциал во времени не меняется (по усло-
условию) и потенциал набегающего потока не зависит от времени, то
dt dt
'*)-gi(MQ'*)] ^+(M0'^) (9.1.11)
dt dt
НАХОЖДЕНИЕ АЭРОгаЛРОЛИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
211
Для вычисления значения Ф (Л/0,п надо или воспользо-
воспользоваться формулой (9.1.7) (так как Фо(м<),и знаем) или, если
точка Mq такая, что луч из этой точки вне тела параллельный
оси ОХ не пересекает поверхность следа <Т2 (см. рис. 9.1), вы-
вычислить по формуле
^л W (9.1.12)
где Vx + Uqx —составляющая скорости потока по х в точках луча,
a Xq —координата по оси ОХ точки Mq .
Последний способ вычисления Ф"чМо,ине очень удобен в
том случае, когда поверхность о\ окутана следом так, что луч из
любой точки вне ее пересекает поверхность <У2- Тогда при инте-
интегрировании в формуле (9.1.12) надо учитывать эти точки пересе-
пересечения, так как потенциал возмущенных скоростей терпит в этих
точках разрыв, равный скачку потенциала возмущенных скоро-
скоростей, т.е. g2(Mft).
Пусть теперь поверхность а\ является разомкнутой дву-
двусторонней. Тогда в формулах (9.1.2), (9.1.3) интеграл надо по-
понимать следующим образом
jp+(M,t)n+(M,t)daifM + jp-(M,t)n-(M,t)dobM
(9.1.13)
М=-
\rMyM x p+(M,t)n+(M,t)doifM
{M,t)n (M,t)daiM
(9.1.14)
где о\ и в\ —разные стороны поверхности oj, а я и и —
орты нормальных векторов к этим сторонам. Если учесть, что
я"(М, t) = -n+(M, t), M е Ст4. (9.1.15)
14*
212 Глава g
для любой точки М гладкости поверхности cj, то формулы
(9.1.13) и (9.1.14) можно записать так
R = -\bp{M,t)n{Myt)d<5ifM, (9.1.16)
М = - JгмуМ х Др(М, t)w(M, i)rfaljM , (9.1.17)
где Ар(М, t) = р+(М, t) - р"(М, t), ЦМ, t) = я +(М, t).
Исходя из формулы Коши—Лагранжа, получим:
(9.1.18)
где V± —скорость потока в точке М с соответствующей стороны.
Разлагая разность квадратов в квадратных скобках в
(9.1.18), получим окончательное выражение для Ар(М,?) в сле-
следующем виде:
(9.1.19)
где
FGi (м0, t) = i[v +(м0, t) + F-(M0, t)] =
= UQ{MQ,t) + j~J y(M,i) x ^«-UM , Meau (9.1.20)
a y(M,t) определяется формулой G.1.5).
В некоторых задачах требуется знание не целиком векторов
R и М , а только некоторых их составляющих, которые носят
специальные названия [32]. Чтобы указать эти названия, введем
две декартовых системы координат. Связанная система координат
OXYZ , относительно которой тело неподвижно, и скоростная си-
система OX\Y\Z\, в которой ОХ\ направлена по скорости набе-
набегающего потока или в противоположную сторону движения тела,
ось OY\ лежит в плоскости OXY, системы OXYZ и OX\Y\Z\ —
одинаковой ориентации (обе правые или левые) (рис.9.2).
НАХОЖДЕНИЕ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
213
Тогда
проекции (R, i I = X,
= Z называют,
соответственно, продольной, нор-
а_ мальной и поперечной силами, а
$ () ()
проекции
Ir, k I = Z\ — силой лобового со-
сопротивления, подъемной и боко-
вой, и, наконец, проекции
Рис. 9.2. Связанная и скоростная
системы координат, а - угол атаки, Ш,k) = M2 -моментами крена,
р — угол скольжения. v '
рыскания, тангажа
Однако обычно рассматривают аэродинамические коэффици-
2
енты. Пусть q =
2
—скоростной напор, 5—некоторая харак-
терная площадь, /—характерный размер, тогда числа Сх = —,
qS
С-— С-— С -?±- С -^L с --^L называют
у " qS ' z~qS' х> ~ qS ' у" " <? f 2| " с/5 НаЗЫВаЮТ
коэффициентами продольной, нормальной, поперечной, лобового
Му
сопротивления, подъемной и боковой силами, а числа тх = —-~-,
qSL
МУ Mz
ти=~~77Г> wz =—~—коэффициентами момента крена, рыска-
9 qSl qSl
ния, тангажа.
9.2. Плоский общий случай
В этом случае поверхность а\ будет замкнутым контуром,
набегающий поток является плоско-параллельным, поэтому вы-
выражение для главного вектора R будет иметь такой же вид, как в
(9.1.2), главный момент М будет иметь составляющую только по
оси OZ, и, так как рассматриваемая система OXYZ левая (см.
рис. 9.2), то для вектора R и величины моментаМ$ будем иметь
формулы [173]
R=-jp(Mft)n(M,t)dGiM, (9.2.1)
214 Глава 3
Мо =
в,
(9.2.2)
где гМуМ = (х - хуI + (у - уу); , М(х, у), n = nj + ny]; формула
для вычисления давления по-прежнему имеет вид
?
при отсутствии объемных сил и постоянстве плотности. Поэтому в
формулах (9.2.1), (9.2.2) для вычисления p(Myt) в формуле (9.2.3)
надо брать Фп(М, t) и V^{M, t), имея в виду потенциал и скорость
потока в точке М контура aj при приближении к ней извне. Так как
контур aj замкнут, то для вычисления Vjj^Mq, t) =
= F+(Mo,i) + (/0+(М(),?) опять применяем формулу (9.1.5), где
Grad#(Mo,?) = 9s(^09^m0 > где производная по длине дуги, а
тд/0 —орт касательной к контуру а\ в точке Mq , т.е.
У+(М0,t) + G+(М0,t) = ^(Мо,i)xMo . (9.2.4)
А для вычисления Фп(^о^) = Ф+(^о>^) + Фо(^о»^) целесообраз-
целесообразнее воспользоваться либо формулой
с M.M.Q
и тем, что функция Oo(Mq,^) известна формулами (9.1.11), (9.1.12),
если Фп(М<),^) (те- потенциал потока внутри тела) не зависит от t.
Если задача стационарная, то производная по t обращается в
нуль, и вычисления становятся значительно проще.
Если кривая а\ является разомкнутой, то формулы (9.2.1),
(9.2.2) приобретут вид
R = - jAp(M,^(M,i)rf<r1M, (9.2.6)
Мо = J[(*-*y)/2y(M,*)-(y ^^
(9.2.7)
НАХОЖДЕНИЕ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 215
где Ap(Mft) опять определяется по формуле (9.1.19), в которой
VG(MQ,t) = U0(M0,t) + ± f (й> ~ У)г~ (*0 " *)Jg;(M,*)</ам ,
a rMM0
MQ eat. (9.2.8)
9.3. Бесциркуляционное обтекание. Присоединенные массы
При неустановившихся движениях тел важно знать аэродинами-
аэродинамические нагрузки не только в тех случаях, когда за телом развивается
вихревой след, но и тогда, когда этим следом можно пренебречь, в
частности, когда принимается бесциркуляционная схема обтекания.
Эта же схема используется при расчете присоединенных масс, кото-
которые выражают собой увеличение инерционных свойств тела [173]
(масс, моментов инерции и т.д.). Согласно этой схеме течение везде
вне тела принимается потенциальным, и считается, что вихреЬой след
за телом не образуется. Задача сводится к нахождению потенциала
течения, удовлетворяющего уравнению Лапласа вне тела и условию
непротекания поверхности тела.
В общем случае для движения твердого тела с поступатель-
поступательной скоростью Uq и угловой скоростью Q в безграничной не-
несжимаемой невязкой жидкости условие непротекания поверхности
тела можно записать в следующей форме
т=^- = пГп, (9.3.1)
дп
где
п = г соъпх + jcosny + k cosnz .
Здесь Ф —потенциал возмущенных скоростей, W —возмущенная
скорость, W* —невозмущенная скорость, п —орт внешней нор-
нормали к поверхности тела, гм —радиус-вектор точки, в которой
выполняется условие непротекания.
Записав векторы Uq и Й в координатной форме
]иОу + k UQz,
у
граничное условие (9.3.1) представим в виде
дФ
—
дп
дФ
— = UOx cos nx + UQv cos ny + UOz cos nz +
дп
216 Глава g
+&х{у cos nz- z cos ny) + Qy [z cos я* - x cos яг) +
+?iz(.rcosw# - у coswx). (9.3.2)
Тогда потенциал возмущенных скоростей запишем следую-
следующим образом
Ф = иОхФх + и0уФ2 + ?/0z<D3 +
6
^i, (9.3.3)
где коэффициенты f/^ = Uj(t) зависят только от времени, а мно-
множители Ф{ = Ф}(х,у,г) —только от координат точки.
Тогда выражения для сил и моментов, действующих на тело,
примут вид [27, 173]
6 JTT 6 6
х=-?^ ЁЁ
Y = -Z^*42 - I^6^il + Z^4^e, (9-3.4)
1 Z
4^
t=l oc t=l
t=l i=l
t=l al 1=1 1=1
где
НАХОЖДЕНИЕ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК * 217
Xij = -p J Ф; -^-rfa1M (9.3.5)
так называемые присоединенные массы.
Следует отметить, что во многих случаях при движении тел в
воде присоединенные массы и моменты инерции оказываются та-
такого же порядка, как масса и моменты инерции самого тела.
Как показано в [173], для присоединенных масс выполняется
свойство симметрии
Ч* = Л;Ь i,/ = l,...,6. (9.3.6)
Таким образом, вычисления коэффициентов Хц сводятся к
нахождению потенциала Ф;, удовлетворяющего уравнению
Лапласа вне тела и граничному условию (9.3.1) , в котором пра-
дФ{
вую часть надо заменить на —, которые определяются гранич-
граничим
ными условиями (9.3.2) и имеют вид
—^- = cosny —
дФ2 дФ3 /Ло^ч
= cosnx, —^- = cosny, —?- = cosnz, (9.3.7)
оп д
cosnx,
дпм опм
Ф4 5Ф5
= у cos nz - z cos ny t _ = zcosnx- xcosnz ,
дп
_ у cos nz z cos ny t _
дпм дпм
—2- = xoosny- ycosnx .
onM
Для примера, если поверхность <з\ —плоское крыло
(пластина), то, так как движения крыла, соответствующие скоро-
скоростям U\ у (/з и С/5 не возмущают среды, то
ф1 = ф3 = ф5 = 0, Ф = С/2Ф2 + иАФ± + С/бФ6 . (9.3.8)
Заметим, что, если aj—разомкнутая двухсторонняя поверх-
поверхность, то интеграл в (9.3.5) надо понимать также, как и при опреде-
определении векторов R и М в формулах (9.1.13), (9.1.14). Тогда, так
как в наших задачах нормальные к поверхности о\ составляющие
скоростей непрерывны, то формула (9.3.5) получит вид
p-dow, (9.3.9)
а, ШМ
где gi —скачок возмущенного потенциала Ф|- на поверхности
Глава 10
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
В этой и следующих главах, следуя, в основном, Ганделю Ю.В.
покажем, каким образом широкий класс краевых задач электроста-
электростатики и математической физики сводится к решению сингулярных ин-
интегральных уравнений.
10.1. Плоская основная задача электростатики
Эта задача характеризуется таким распределением зарядов
на (бесконечных) цилиндрических проводниках (образующие ци-
цилиндров параллельны одному направлению, пусть это будет ось
OZ декартовой системы координат), плотность которых q не за-
зависит ОТ Z.
Среда, в которой находятся проводники, предполагается од-
однородной и изотропной. Ее диэлектрическую проницаемость, как
обычно, обозначим 8 .
Пусть далее линии пересечения цилиндров с плоскостью
ОХУ—гладкие кривые о^ , k = l,...ym, среди которых могут быть
как замкнутые, так и разомкнутые. Обозначим Qk —полный за-
заряд, приходящийся на единицу длины вдоль оси OZ соответ-
соответствующего цилиндра, а через q^ = qk{x>y) —поверхностную плот-
плотность распределения зарядов на кривой а^ . При этом выполняет-
выполняется равенство
jdk =Q*, * = l,...,m. A0.1.1)
Основная задача электростатики проводников в рассматри-
рассматриваемом случае состоит в нахождении равновесного распределения
зарядов на проводниках (функций q^ = qk(x,у) > \Х>У) е &к >
Л=1,...,т), при котором поле внутри проводников отсутствует.
Эта задача цюжет быть сформулирована как внешняя краевая
задача теории потенциала [86, 87, 90, 97].
Ищется непрерывная вплоть до границы области, внешней по
отношению к системе кривых Gj,...,aw (рис. 10.1), функция
U = и[ху у), потенциал рассматриваемого электростатического по-
поля, удовлетворяющая в указанной области уравнению Лапласа
А(/ = 0, A0.1.2)
принимающая постоянные значения на кривых а^
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 219
Рис. 10.1. Проводники, на которых распределены заряды.
и\ск =С* ' *Я1.».,Я1, A0.1.3)
где константы Q нам неизвестны.
Кроме того, выполняются соотношения
-\^k=Qk, *-l т, A0.1.4)
эквивалентные A0.1.1.) и известные условия на бесконечности.
Теперь напомним понятие "точечного источника" плоского
поля (особенность двумерного электростатического поля). Это
равномерно заряженная прямая линия, параллельная оси OZ.
Пусть заряд, приходящийся на единицу длины, равен Q. Тогда
напряженность Е электростатического поля, созданного источни-
источником, расположенным в точке (х,у), в точке (*о»#о) определяется
формулой [87]
o tMMq
Учитывая, что в случае равновесного распределения зарядов
поле внутри проводника отсутствует,_а также непрерывность тан-
тангенциальной составляющей вектора Е [87], имеем известное гра-
граничное условие на поверхности проводника
JEJ =0, *=l,...,m A0.1.6)
Из принципа суперпозиции и A0.1.5) следует, что полное
поле Е = Е(хо,уо) у созданное рассматриваемым равновесным
распределением зарядов в точке (-Яо»Уо)> равно
220 Глава 10
= ? J
Граничное условие A0.1.6) приводит к системе сингулярных
интегральных уравнений
=0, Мо €ly, ; = l,...,m.
A0.1.8)
Действительно, записывая координаты точек М(х,у) и
Мо(#о>Уо) как функции длины дуги кривых оь у k - 1,...,т , за-
запишем уравнение A0.1.8) в виде
¦ ? j *М*. - ^ «М». - у
т.е. в виде частного случая систем уравнений вида F.2.7), кото-
которые были получены из других соображений. Поэтому, если кри-
кривая <jfc является гладкой разомкнутой кривой, то соответствующее
слагаемое можно записать в виде F.2.9), а если кривая а^ яв-
является гладкой замкнутой кривой,—то в виде F.2.26). Таким об-
образом, полагая для определенности а1,...,Ощ замкнутыми доста-
достаточно гладкими кривыми, а Ощ+\,„.9ат — разомкнутыми, запи-
запишем систему A0.1.9) в виде
L L^ ' ? J0, t)qk{t)dt
о г *=i о
т
т
? f KJtk(to,t)qk(t)dt = O, У = 1,..,т, A0.1.10)
0, y = m! + l,...,m, A0.1.11)
где t—параметр, описывающий кривые а^, k = 1,...,лг, a
Ху ^(io,t) —гладкие функции своих аргументов.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 221
Для выделения единственного решения системы уравнений
A0.1.10), A0.1.11) к ней надо добавить условия A0.1.0.
Выпишем в явном виде уравнения A0.1.10) в некоторых
простых частных случаях.
Пример 10.1« Пусть а\ —окружность радиуса R\ с центром в
начале координат, а2 —окружность радиуса /?2 с Центром в точке
@, Я), R\ + /?2 < Н - Запишем эти окружности следующим образом:
<*1 " *(ф) = #1<**<р> #(ф) = #1 sin9> <*2 " ^ф) = R2 COS91
= Я + /?2 ^ПФ • Тогда система A0.1.9), A0.1.1) будет иметь вид
о
[ ? [^jg2 sin(9p - ф) - fljff cosq>o]<72(q>)
0 (i?i coscpo - /?2 cos<p) + (l?i sin фо - /?2 sin<p - //)
A0.1.12)
о
{2r [Rjfy sin(90 - ф) + ^ЯсобфоЫф) rf «0
0 (i?2 соэфо - i?i sinф) + (Я 4- /?2 sinФо ~ ^1 s^nф)
2п 2я
J91(ф)^ф = Ql. J 92(а)Л2^Ф = 02 •
0 0
Пример 10.2. Пусть L^ —окружность радиуса R такая же,
как в предыдущем примере, a L^— отрезок прямой длины /, за-
задаваемый системой уравнений: л: = я + — ? , у = 6, ? ^[~U] • Тогда
получим систему
222 Глава 10
[I 2 Jsm<Po
= 0,
2* 1
f 9i(9)ltop = ft, J%Wx* = Q2 •
о -i
10.2. Одна смешанная краевая задача электростатики
В задачах электростатики [305—307] встречаются следующие
задачи для уравнения Лапласа со смешанными граничными усло-
условиями. Пусть а является кусочно-гладким простым замкнутым
контуром, который представлен объединением двух кривых а\ и
G2, т.е. а = G| U<*2» пересекающихся только по своим концам.
Требуется найти функцию <b{x, у), гармоническую внутри
контура и удовлетворяющую на контуре с следующим гранич-
граничным условиям
где функции /i(M0) известны и обладают на а^, t = 1,2 требуе-
требуемой гладкостью.
Решение этой задачи будем искать в виде
Ф(М0) = -Ь
1 д 1 A0.2.2)
н I д2{М) -In- ^а2,м •
2па2 ^м Гммо
Тогда выполнение граничных условий A0.2.1) приводит к
следующей системе двух интегральных уравнений относительно
двух неизвестных функций g\(M)f M eaj, и д2{М), Л
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 223
A0.2.3)
Предположим, что система уравнений A0.2.3) имеет единствен-
единственное решение (дх(М),д2{М)) в классе функций: д\(М), обра-
обращающихся в бесконечность на концах кривой а\ как обратная вели-
величина к корню квадратному их расстояния до этих концов; д2{М),
обращающихся в нуль на концах кривой <*2 по тому же закону. За-
Заметам, что первое уравнение в системе A0.2.3) имеет логарифми-
логарифмическую особенность на <s\. Как и в замечании 4.2.2., продифферен-
продифференцируем это уравнение по параметру. Тогда получим диагональную
систему двух сингулярных интегральных уравнений. Причем первое
уравнение будет иметь не единственное решение относительно функ-
функции д\(М). Для выделения единственного решения этой системы на-
надо к ней добавить интегральное соотношение для функций д\(М) и
д2{М), которое, подобно соотношению D.2.25), получается из пер-
первого уравнения в A0.2.3) фиксированием произвольного значения
параметра (точки) на кривой а\.
Глава 11
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
11.1. Парные сумматорные уравнения
Широкий класс смешанных краевых задач математической
физики приводит [80, 264, 270, 271] к парным сумматорным
уравнениям вида
00
nsinw*/) = 0, у еСЕ, A1.1.1)
00
ЬА0 + ?(* - sn)(^ cosny + яВЛ sinny) = /"(у), у е Е , A1.1.2)
т
где ?=
-гладкая функция при t/ eE = U[aA,p^], 6—
/г=1
константа и последовательность еп, п = 1,2,..., заданы, причем
еп-»0, при «->оо не медленнее, чем О(п~21. Коэффициенты
Aq, An, Bn> n = 1,2,..., подлежат определению.
Покажем (см. [80, 84]), как решение парных уравнений
A1.1.1), A1.1.2) можно свести к решению сингулярного инте-
интегрального уравнения на системе отрезков. Обозначим
00
у е[-п,п], (Н.1.3)
y у е[-п,п], A1.1.4)
аУ п1
В рассматриваемых задачах математической физики U(y),
у е [-тс, тс], — непрерывная функция, а
где q—расстояние от точки у до границы дЕ множества Е.
В силу уравнения A1.1.1)
F(y) = O, yeCE, A1.1.6)
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 225
а также
$ A1.1.7)
Добавим сюда еще соотношение
которое получается из A1.1.1) при у = тс и тогда A1.1.6) —
A1.1.8) заменят уравнение A1.1.1).
Из A1.1.4) с учетом A1.1.6) имеем при п eN
4, = -— [F(y)sinnydy, A1.1.9)
Вп = - — JF(y)cosnydy , A1.1.10)
а из A1.1.8), учитывая A1.1.9) и используя известное разложе-
разложение в ряд Фурье функции д(х) = х/2, х е [-тс, тс], находим
A1.1.11)
Таким образом, все неизвестные коэффициенты выражаются через
функцию F[y), у е Е, которую и надлежит определить. Отметим,
что и функция U(x) выражается непосредственно через F(y):
U(x)= \F(y)iyt г/е[-тс,тс],
-я
причем в силу A1.1.6), A1.1.7) U[x) —непрерывна.
Применим теперь к функции F(y), у е [-тс, тс], преобразова-
преобразование Гильберта для периодических функций
переводящие cos пу в sinnx, sin ny в cos я*. Из A1.1.4) с уче-
учетом A1.1.6) находим
пВп smпх) = J F(yjctgZ——dy.
A1.1.12)
15-2775
226 : ЕаашШ
Подставим в уравнение A1.1.2) вместо суммы
00
t cos nx + пВп sin nx) полученное представление A1.1.12, а
n=l
в остальных слагаемых левой части A1.1.2) заменим искомые
коэффициенты их выражениями через F(y), уеЕ (A1.1.9) -
A1.1.11)). После очевидных преобразований убеждаемся, что
функция F(y), у еЕ , удовлетворяет сингулярному интегрально-
интегральному уравнению
х еЕ,
A1.1.13)
1 X 1
где /C(*) = -ctg-
1 г х
Опишем класс функций, в котором следует искать решение
уравнения A1.1.13). Сужение функции F(y) на интервал (<х&,Р&)
обозначим Fk(y), т.е. Fk(y) = F{y\jakfiA ' В СИЛУ О1-1^)
где Uk(y), je[a^,p^] , непрерывные по Гельдеру функции. При
этом должны выполняться т дополнительных условий A1.1.7).
Характеристическое уравнение для A1.1.13) в указанном
классе функций при дополнительных условиях A1.1.7) одно-
однозначно разрешимо.
Замечание 11.1.1. о континуальном аналоге парных сумма-
торных уравнений A1.1.1), A1.1.2). Рассмотрим такие парные
интегральные уравнения [84]:
L ?(#>**<& = 0, х е СЕ , (А)
L J\Wftl + (*)У*Л ^()? (В)
-JL
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 22Z
т
где ?= \J(aktbk)f -со < at <bj <..< ат <Ьт <¦*», CE = R\E;
/"(л:), х еЕ t s(A,), X е/?,—заданные функции, причем
) при X -> оо, Q(X), X е R, —неизвестная функция.
Эти уравнения встречаются, например, в краевых задачах
электростатики и электродинамики в случае, когда граница—
уединенная решетка, состоящая из конечного числа плоских по-
полос. Обычно для решения этих задач бывает достаточно опреде-
определить значения интеграла
стоящего в левой части первого уравнения при х е Е.
Действительно, формально обозначим
и выведем сингулярное интегральное уравнение для функции
F(x), х еЕ у которую будем искать в классе функций, предста-
вимых в виде
F(x)= , • «И , х.Е,
где Ф(#), х еЕ ,—непрерывная по Гельдеру функция, причем в
силу уравнения (А)
F(*) = 0, xeCE, (С)
JF(x)dx = 0, * = l,...,w
Применяя к функции F(x), х е R , преобразование Гильберта
j
п J х-у
и учитывая, что
15*
H:eiXy -> 1-АегХу, а также (С), имеем
228 Глава 11
, xeR.
' E У ~~
Далее из представления для F(x), х е R , учитывая (С),
находим
keR.
Используя два последних соотношения, из уравнения (В)
получаем сингулярное интегральное уравнение, которому удо-
удовлетворяет функция F(y) , у еЕ ,
- У~Х Е
где ядро есть
1
т.е. с точностью до числового множителя —j= совпадает с пре-
У2
образованием Фурье функции s(X)signA,, X е R.
Напомним, что искомая функция ищется в указанном выше
классе и удовлетворяет условиям (D), что обеспечивает однозначную
разрешимость соответствующего характеристического уравнения.
После того, как функция F{y), у еЕ , будет найдена, иско-
искомая функция и[х) может быть вычислена по формуле
U(x)= JF(y)dy, xeR.
Замечание 11.1.2. Следуя работам [80, 84], покажем, как
ряд смешанных краевых задач для уравнения Лапласа и Гельм-
гольца можно свести к рассмотренным парным уравнениям.
1. Простейшим примером является следующая смешанная
краевая задача для уравнения Лапласа в круге:
Ди = 0, г<#, A1.1.15)
<=д=0, <реСЕ, A1.1.16)
5| A1.1.17)
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 222
где /*(ф), ф е Е , —заданная гладкая функция. Решение и = м(г,ф)
ищется в классе функций, дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых внутри круга и непрерывных вплоть до его границы.
Гармоническая в круге функция представляется в виде
Цг,ф) = Aq + ]П — i {An cosn<p + Вп sin mp),
а для определения неизвестных коэффициентов Aq} А^, Вп,
п eN, из краевых условий A1.1.16), A1.1.17) получаем пар-
парное сумматорное уравнение типа A1.1.1), A1.1.2):
00
Aq + ?(Ai cosжр + Вп sinmp) = 0, ф е СЕ ,
00
п=1
2. В качестве следующего примера рассмотрим задачу о ста-
стационарной среде между двумя бесконечными коаксильными ци-
цилиндрическими поверхностями в случае, когда на внешней по-
поверхности и на части внутренней, состоящей из конечного числа
продольных полос, поддерживается постоянная температура, а на
оставшейся части внутренней поверхности задан тепловой поток.
Пусть оси цилиндров совпадают с осью OZ декартовой си-
системы координат, а сечение плоскостью OXY—кольцо с внутрен-
внутренним радиусом R\ и внешним /?2 • Введем в плоскости сечения
полярные координаты г, ф. Внутренняя цилиндрическая поверх-
поверхность разбивается на две системы продольных полос
ir = Ri, ф € СЕ, z е Щ и [г = Jfy, ф е Е, z е Щ. R —множество
действительных чисел.
Ограничиваясь для простоты случаем, когда температура не
зависит от г, обозначим температурное поле между цилиндрами
и = Цг,ф), /?i < г < Jf?2 - Для его определения в рассматриваемом
случае имеем краевую задачу
Ам = 0, /?i<r</?2» A1.1.18)
«U2=0, A1.1.19)
«|r=/2i=0, ФбС?, A1.1.20)
— J =f(<p), <peE. A1.1.21)
230 Глава 11
Как и в предыдущем примере, /"—заданная гладкая функция,
а и = Цг,<р) ищется в классе дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемых внутри кольца и непрерывных до его границы функций.
Гармоническая внутри кольца функция, удовлетворяющая
условию A1.1.19), имеет вид
а для определения неизвестных коэффициентов А$, Лп, Вп,
neN, из граничных условий A1.1.20), A1.1.21) получаем
парное сумматорное уравнение типа A1.1.1), A1.1.2)
00
Aq+ Yi(Aicosn(P^BnsinfKf)-Of ф еСЕ ,
3. В качестве примера трехмерной смешанной краевой зада-
задачи для уравнения Лапласа рассмотрим задачу о стационарном
распределении температуры внутри конечного цилиндра в случае,
когда на части его боковой поверхности, состоящей из конечного
числа продольных полос, и двух основаниях, поддерживается за-
заданная температура, а на оставшейся части боковой поверхности
известен тепловой поток.
Ищется дважды непрерывно дифференцируемая внутри ци-
цилиндра и непрерывная вплоть до его границы функция
и - Цг,ф,г), удовлетворяющая условиям
r<R, 0<z<H, A1.1.22)
r<R> A1.1.23)
A1.1.24)
0<г<Я, Фе?. (И.1.25)
Ищем решение уравнения Лапласа A1.1.22), удовлетворяющее
условиям A1.1.23\ в виде
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 231
r<R, 0<z<H.
при этом щ(г,<р) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
k=0, r<R, (И.1.26)
и краевым условиям, вытекающим из A1.1.24), A1.1.25)
Ч\Г=К=О> Ч>еСЕ, A1.1.27)
| =^/*(ф)- Ф^- A1-1-28)
где функции Д(ф) —коэффициенты ряда Фурье
M^t, keN.
о я
Функцию w^ = щ(г,<р) ищем в виде
^(Г»Ч>) = 4о(г)
n=i
В силу A1.1.26) неизвестные функции *4я (r), k,n eN,
i = 1,2, и п = 0, i = 1, — суть (ограниченные в нуле) решения мо-
модифицированного уравнения Бесселя
Поэтому Щ*?(г) с точностью до постоянного множителя сов-
совпадают с модифицированными функциями Бесселя
)Ь+п
Таким образом, искомые функции щ(г,<р), keN, можно
представить в виде
JQ(nkr/H)
Uulr, ф) = —^9—'—т Аьп +
/H)
232 Глава
а подлежащие определению коэффициенты
neN, в силу граничных условий A1.1.27), A1.1.28) должны
быть найдены из парного уравнения
оо
Ak0 + Ti{Akn cos йф + Bkn sin mp) = 0, феС?,
n=l
(nkR/H)Jb(nkR/H)
J0{nkR/H) *0+?j nJn(nkR/H)
cos я<р + яБ^? sin яф) = /Цф), ф e ? .
Покажем, что это парное уравнение типа A1.1.1), A1.1.2).
Действительно, из рекуррентного соотношения для модифициро-
модифицированных функций Бесселя [21, 225]
имеем
(nkR/H)j'n{nkR/H) = {nkR/H)jn+t(nkR/H)
nJn(nkR/H) Sn' Bn -nJn(nkR/H) '
а из асимптотического равенства Jn(x) - [х/2)п/п\ при фиксиро-
фиксированном х * 0 и и -> оо следует, что гп = Oin).
4. К парному уравнению A1.1.1), A1.1.2) можно свести и
ряд смешанных краевых задач в плоском случае, когда искомое
решение—периодическая функция одной из декартовых коорди-
координат. Простейшей задачей такого типа является двумерная задача о
стационарном распределении температуры в однородном слое
между двумя параллельными плоскостями, когда на одной из них
и на периодически повторяющейся системе полос второй гранич-
граничной плоскости поддерживается заданная температура, а на
оставшейся части границы задан тепловой поток. Для определе-
определения температурного поля и = и(х, г), -oo<x<+oo, Ой z ? Н ,
имеем такую краевую задачу:
xeR, 0<z<H, (И.1.30)
A1.1.31)
A1.1.32)
хеЕ. (и.1.33)
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 233
Гармоническая функция, 2л -периодическая по х A1.1.30) и
удовлетворяющая условию A1.1.31), имеет вид
"(*¦z) = [} ~ ^) Л) + Ё S ^hn~ Z\\ cosnx + Bn smnx).
Из краевых условий A1.1.32), A1.1.33) при -г = 0 получаем
парное уравнение вида A1.1.1), A1.1.2) для определения неиз-
неизвестных коэффициентов Aq , Ап, Вп, я е N
х
А) + 2](Лг cos/m: + Bn sin пх) = 0, jc eС? ,
1
— А) + ^cihnHfnAn cosnx +
здесь 6 = 1/Я, sn = 1 - cthfltf =
5. В заключение приведем пример более сложной краевой зада-
задачи, которая сводится к системе двух парных уравнений рассматри-
рассматриваемого типа. Речь идет о смешанной краевой задаче для стациоТнар-
ного уравнения в слое, ограниченном "двойной решеткой": пусть слой
расположен между плоскостями z = ± Я/2 декартовой системы коор-
координат, а "решетки" состоят из периодически повторяющихся систем
полос (края которых параллельны оси OY), расположенных соот-
соответственно на верхней и нижней граничных плоскостях. Для про-
простоты остановимся на плоской задаче для уравнения Лапласа. Мате-
Математическая постановка задачи такова.
Ищется 2% —периодическая по х функция м = Цх, г),
и(х + 2тг, z) = и(х, z), х е R, \z\ < Я/2 , непрерывная вплоть до
границы и удовлетворяющая следующим условиям:
Д« = 0, |г|<#/2, A1.1.34)
^ и (П.1.35)
A1.1.36)
xeE2. (П.1.37)
и(х,-Н/2) = 0 , х еСЕ2, (И.1.38)
234 Глава Ц
Щ
где Ej = X(<Xt*>Pi*) i ~n < atl < Ptl <•••< аЦ < Pim< < п > п{х) у
х еЕ{ —заданные гладкие функции . Решение задачи ищется в
виде
00
и(х} z) = а0 + boz + ]? |(л nchnz + 6nshw^) cos ш: +
n=l
+(cnchnz + dnshnz) sin nxj , г < H/2
Из условий A1.1.35), A1.1.36) при z < H/2 получаем первое
парное уравнение
A1.1.39)
п) cosш: + п(Сп + Dn) sin nx] -
cos йж + (8^яСп + 8^«Dn) sin nx
] =
A1.1.40)
Аналогично при г = -Я/2 из условий A1.1.37), A1.1.38)
получаем второе парное уравнение
«О --%-+ ?[(А» " 5„)со8шг+ (СЯ - Dn)sin»«:] = 0, х еСЕ2.
п=1
00
Ь0 - Е[«(л» -Вп)сюпх + п(Сп -Dn)smnx]
A1.1.41)
[
*№п) cos ш: + (б^яСп + б?я?>п) sin ш;] = /^(х),
лге?2- A1.1.42)
где An = enchn Я/2, Вя = bnshn Я/2, Сп = cnch« Я/2,
Dn = dnshnH/2 , s'n = 1 - ШяЯ/2 , sJJ = сШяЯ/2 -1.
Покажем теперь, как систему парных сумматорных уравне-
уравнений A1.1.39), A1.1.40) и A1.1.41), A1.1.42) свести к системе
сингулярных интегральных уравнении. Действуя так же, как и
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 235
при сведении парного уравнения A1.1.1), A1.1.2) к сингулярно-
сингулярному интегральному уравнению, введем в рассмотрение две функции
4х)ж ЩК +Bn)sin«*-(Cn + Dn)cosHx], Ц < *,
A1.1.43)
(Н.1.44)
Из A1Л.39) и A1.1.41) находим
Ft(jc) = O, xeCEif i = l,2, A1.1.45)
и еще ( гп\ + т^ ) соотношений
Pi*
\ (И.1.46)
Через функции F{(x) x e Ej, * = 1,2 , выражаются все иско-
искомые коэффициенты %, Ь$, Ап, Вя, Cn, Dn, п е N , а для
определения этих функций получаем систему сингулярных инте-
интегральных уравнений.
Опуская простые, но довольно громоздкие преобразования,
приведем окончательный результат. Функции F{{x), i = 1,2 , ищем
в классе функций, представимых в виде
где Ф{(х) еН . При этом искомые функции Ft(x), г = 1,2 , удо-
удовлетворяют условиямA1.1.46) и следующей системе сингулярных
интегральных уравнений
= -fi(x), xeEit A1.1.47)
F
E2
236 Глава i\
-- [K2{x,y)Fx{y)dy = f2(x), xeE2, A1.1.48)
где
n=l
4e~2nH
~e
«2п-«й+*я -J—l^f-
Как следует из общей теории сингулярных интегральных
уравнений, в рассматриваемом классе функций и при выполнении
соответствующих дополнительных условий A1.1.46), характери-
характеристические уравнения однозначно разрешимы.
11.2. Дифракция скалярной волны на плоской решетке. Задачи
Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца
Рассмотрим еще два важных примера краевых задач матема-
математической физики, приводящих к парным уравнениям типа
A1.1.1), A1.1.2), а, следовательно, к сингулярным интегральным
уравнениям.
Эти задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в
пространстве в случае, когда границей является плоская решетка.
К этим двум краевым задачам сводятся как задачи дифракции
плоской монохроматической волны на плоской идеально прово-
проводящей решетке, так и задачи дифракции акустических волн на
"мягкой" и "жесткой " решетках.
И задача Дирихле, и задача Неймана, рассматриваемые в на-
настоящем параграфе, сводятся к смешанной краевой задаче для
уравнения Гельмгольца в полупространстве, парные уравнения
которой имеют вид A1.1.1), A1.1.2).
1. Постановка задачи Дирихле и вывод парных уравнений.
Пусть в плоскости OX'Y' декартовой системы координат
расположена решетка, образованная периодически повторяю-
повторяющимся (с периодом 21) системами полос, края которых парал-
параллельны оси ОХ':
{(*', у', z'): z' = 0, - оо < х9 < -и», у9 € СЕ'} ,
где ?'=Q?;., Я) =(a}.,ty), СЕ' = [-/,/] \ Е*, -/<aj<p{<..
< а'т < pJn < /. Пусть на решетку из полупространства z' > О
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 23Z
перпендикулярно к ней падает плоская монохроматическая волна
° • -iXz* ~% /
и = ге , де = со/с — волновое число, с — скорость света
(зависимость от времени дается множителем е" ).
Обозначим через uq сумму падающей и отраженной волн в
верхнем полупространстве, которая была бы там, если бы на всей
плоскости выполнялось первое граничное условие
"oUo = 0 > "о = к'**2' " iemz' = 2sinaffz', z' * 0 .
A1.2.1)
Полное поле в случае, когда на решетке оно обращается в нуль,
ищем в виде
_ Гг/Q + г/+, z > О,
I u~, z < 0.
Функции u+(y',z') и u~(y',zr) являются 21 -периодическими по у1:
A1.2.2)
и удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условиям сопряжения
A1.2.4)
(здесь использовано представление A1.2.1) для щ) , которые
вместе с A1.2.2) обеспечивают выполнение уравнения Гельм-
гольца для полного поля Аиполн+ гз #ПОЛ1= 0 всюду вне решет-
решетки. На решетке полное поле обращается в нуль:
= 0, у' еСЕ'. A1.2.5)
Кроме того, для обеспечения единственности решения рассматри-
рассматриваемой краевой задачи необходимо выполнение условия излуче-
излучения на бесконечности и условий Майкснера на ребрах решетки
[264, 271].
Решения уравнения Гельмгольца в верхнем (z' > 0 ) и ниж-
нижнем (z'<0) полупространствах, удовлетворяющие условиям пе-
периодичности, имеют вид
z' < 0 и z' > 0 ,
Ш
гДе Уп = y(nn/l) ~" asf2 > причем условия излучения буд)гг выпол-
выполнены, если ветвь радикала выбирать так, чтобы
Imyn<0 при п<дгЦ%у A1.2.6)
уп>0 при п>деЦъ.
Из A1.2.3), A1.2.5) видно, что функции и~(у',0) и
и+(у',0) совпадают при всех у' € [-/, /], отсюда следует, что
4^ = 4^*4t> я = 0, 1,2,...
В; = В%шВп, ii-lf2.
Таким образом, имеем
и* = ЛоИ*" + ? e^'Uco^ + Bnsin^.) , A1.2.7)
г' < 0 и z1 > 0,
откуда, используя граничное условие A1.2.5) на решетке, полу-
получаем уравнение
^ ^H, у'еСЕ'. A1.2.8)
а из условия A1.2.4) находим второе уравнение для определения
неизвестных коэффициентов в представлении A1.2.7) решения
рассматриваемой задачи
-гаМо + JTyJ Ancos^- + Bnsin^-J = aer, у' еЕ(>.
A1.2.9)
Введем безразмерные величины
у = ку'Ц , <ху = m'j/l, ру = тф}//, ав - 1<в/п = 2//Х ,
A1.2.10)
(Я ¦— длина волны падающего поля), тогда
причем ветвь радикала выбирается так, чтобы выполнялись усло-
условия A1.2.6) .
Введем ^ следующие обозначения: Е = \J Ej , Ej = (<*/,P/J у
= I—TC, 7CI \ E . —It < Oti < pi <...< (Хт < От < 7C .
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 23Й
Уравнения A1.2.8), A1.2.9) теперь примут следующий вид
00
= 0, уеСЕ. A1.2.11)
oo
+ ?яд/1 - (зв/п) (An cosny + Вп siany) = аэ, у е? .
я=1
A1.2.12)
Это уравнения A1.1.1), A1.1.2) при 6 = -ЙВ,
гп ^ 1 - ^-(фJ , причем вп = o(as^/B«J).
Как было показано в предыдущем параграфе, все искомые
коэффициенты Ant Bn, n eN и Aq выражаются по формулам
A1.1.9) —A1.1.11) через решение F(y), yeE, сингулярного
интегрального уравнения A1.1.13) , в котором следует положить
6 = -гаэ, f{x) = ae, гп =
причем выбор ветви радикала определяется условиями A1.2.6).
Кроме того, функция F(y) удовлетворяет соотношениям A1.1.7).
Условия Майкснера определяют поведение волнового поля и
его первых производных в окрестности края полосы. Из этих
условий следуют представления A1.1.14) для сужений функции
F(y) на интервалы Ej '.
2. Модельная задача для задачи Дирихле.
Рассмотрим функцию
[О,
[О, же [
Ее ряд Фурье имеет вид
9{x) = ~-fP^-cx>snx, xe[-n,n], A1.2.13)
4 п=1 п
так как [21]
П
где Ф\(г) —функция Бесселя, определяемая этим интегралом.
Дифференцируя A1.2.13) и применяя затем преобразование
Гильберта, находим
240 . Глава Ц
„=i 2«_J,V1-^
и поскольку [21] при* е(-1,1)
j_f t
2*
If* dt
-1.
то имеем
1 f i fl . t-x 1
nl Wlr-
A1.2.14)
Итак, из A1.2.13) следует
+fcos^o, хе[**]\(-1Д),. A1.2.15)
и, используя A1.2.14), получаем
T+ZA~8n)<I>lWcos7^ = /^(x), л:е(-1,1), A1.2.16)
где
4 + * 1 I
() х е[-1,1]. A1.2.17)
Окончательно получим следующий результат: последова-
последовательность Ло = 1/4, An = Ф\(п)/п, fin = 0, п eN , дает решение
парного сумматорного уравнения A1.1.1), A1.1.2) с правой час-
частью /(#).
Отметим еще, что решением соответствующего сингулярного
интегрального уравнения A1.1.13) в рассматриваемом случае яв-
является функция
3. Задача Неймана. Пусть на решетку
х' < +°°> У' еЕ' + 2nl> nez> z' =
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Jjil
из полупространства z9 > 0 перпендикулярно к ней падает плос-
плоская монохроматическая волна V.= ie'*332'. Обозначим через Vq
сумму падающей и отраженной волн в верхнем полупространстве,
которая была бы там, если на всей плоскости OX9Y9 выполняется
второе условие
= 0, VQ=2icos3Efz9, z'zO. A1.2.19)
Полное поле в случае, когда на решетке его нормальная про-
производная обращается в нуль, ищем в виде
k+FV>o,
ПОЯ~[1Г, *'<0.
Функции V+(y',z') и V~(y',z') являются 2/-периодическими
по у', удовлетворяют уравнению Гельмгольца при z' > 0 и
z' < 0 , соответственно, и условиям сопряжения
, у'еСЕ'. A1.2.20)
1г'=0
^Н ' У'еСЕ>- A1.2.21)
1г'=0 1г'=0
На решетке нормальная производная полного поля обра-
обращается в нуль:
дУ"
6VQ ^ dV+
п { дг'
г'=0 ч
¦ +
= 0, уеЕ'. A1.2.22)
Для обеспечения единственности решения рассматриваемой
краевой задачи необходимо еще выполнение условий излучения и
условий Майкснера [264].
Решение второй краевой задачи (как и в случае первой крае-
краевой задачи) ищем в виде
z' < 0 и z* > 0,
где уп определено в п.1 настоящего параграфа.
Из A1.2.20), A1.2.21) следует, что
А^^ггАХшАп, /1 = 0,1,2,...; В~=-В+шВП1 я = 1,2,... ^
Вводя безразмерные величины A1.2.10) и используя условия
A1.2.20) и A1.2.22), приходим к такому парному сумматорному
уравнению:
16-2775
242 Глава 11
Bnsinny) = i, у
л=1
или, полагая
Ло = ^ + г, A1.2.23)
получаем окончательно парное уравнение вида A1.1.1), A1.1.2)
00
Л6 + ?Dicosny + Bnsinny) = 0, у еСЕ ,
00
i КnBn sin«y) = -as,
где 6 = -fae, 8n = l-yl-(a^w) . Таким образом, задача Неймана
сведена к парному уравнению такого же вида, что и задача Дирихле.
Как показано в § 11.1, неизвестные коэффициенты Д^ ВПУ
п eN, в представлении для полей V и V+ выражаются по
формулам A1.1.9), A1.1.10) через функцию F[y)} yeE, кото-
которая удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению пер-
первого рода A1.1.13) с правой частью -/(#) = аэ, х еЕ , 6 = -ias,
гп = 1 - М - (а^я) , п eN у причем выбор ветви радикала опре-
определяется условиями A1.2.6). Кроме того, должны выполняться
условия A1.1.7) и A1.1.14). Коэффициент Aq A1.2.23) вычис-
вычисляется по формуле
Е
(здесь для нахождения А$ использована формула A1.1.11)).
Глава 12
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
12.1. Плоские задачи теории упругости
Следуя Солдатову М.М. [37, 38, 43], покажем, как плоские
задачи могут быть приведены к сингулярным интегральным урав-
уравнениям.
Основные соотношения плоской задачи теории упругости—
это формулы Колосова-Мусхелешвили [200, 215], которыми
определяются напряжения через аналитические в области D плос-
плоскости OXY функции комплексного переменного <р и \|/:
A2.1.1)
ау - ах + 2ixxy = 2 [z
Эти функции при отсутствии объемных сил удовлетворяют
однородному бигармоническому уравнению задачи, и остается
удовлетворить краевому условию на контуре L, ограничивающем
область D,
3%q{t)-W{t)-4{t) = fk{t)y teL, k = 1,2. A2.1.2)
Если условие A2.1.2) задано в перемещениях, то k = 1 и
3 - 4v для плоской деформации
3-v
+V
для плоского напряженного состояния
где V—коэффициент Пуассона, \х —модуль сдвига, I/, У—пере-
У—перемещения вдоль осей OX, OY , соответственно.
Если условие A2.1.2) задано в напряжениях, то k = 2 и
f + C2, 02.1.4)
°хр = <*х1 + тхут > <*ур = *xyl + aym»
где ох, Су, тХу — нормальные и касательные напряжения в ко-
координатах OXY, I = cos(h, х) = dy/ds, т = cos(h, у) = dx/ds —
соответствующие направляющие косинусы положительного на-
направления нормали к дуге ds, С-}— комплексная постоянная,
определяемая из условия, данного ниже.
16*
244 Глава \%
В A2.1.2) контур L обходится против движения часовой
стрелки для односвязной задачи и так, чтобы область D остава-
оставалась слева при движении по L для односвязной задачи. Для
функций <р(?), \\f(t) и <р'(?) и комплексно сопряженных функций
Щр), Tp^i) берутся предельные значения при движении точки по
D при решении внутренней задачи и предельные значения при
движении точки вне D при решении внешней задачи.
Аналитические функции <p(z), x\r(z) предлагается искать в
виде
A2.1.5)
где для вспомогательной фикции ®(t) получается из A2.1.2) ин-
интегральное уравнение
2да1
с комплексным параметром С, выбор которого позволяет приво-
приводить задачу к уравнениям различного типа.
При С = -а% > Л = 1,2 , приходим к интегральному уравнению
Фредгольма второго рода, принадлежащему Н.И.Мусхелишвили [200]:
Решение уравнения A2.1.7) методом механических квадратур
затруднительно [214, 215] из-за наличия собственной функции,
что приводит к определителю соответствующей системы линейных
алгебраических уравнений, равному нулю, и получению неустой-
неустойчивых значений искомой функции.
Аналогичные трудности имеют место и при сведении задачи к
другим регулярным уравнениям типа Мусхелишвили, Шермана—
Лауричеллы [215], там же рассматривались разные способы
устранения этого недостатка: фиксирование со в каких-либо точ-
точках и исключение соответствующих уравнений, использование по-
погрешности квадратурных формул для улучшения структуры ал-
алгебраических уравнений.
При С = 0 уравнение A2.1.6) становится вырожденным син-
сингулярным интегральным уравнением второго рода. Невырожден-
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 245
ное уравнение второго рода может быть получено, например, при
C = i. Здесь же будет исследовано приведение A2.1.6) к сингу-
сингулярному интегральному уравнению первого рода, которое воз-
возможно при С = а^ . В этом случае из A2.1.6) получим
A2.1.8)
Отметим, что уравнение A2.1.8) является уравнением с яд-
ядром Гильберта. Действительно, пусть D односвязна, и контур L,
ограничивающий ее, ляпуновский, т.е. его параметрическое урав-
уравнение x = x(Q), у = у(в) такое, что х'(В), у'(б) — гёльдеровские,
х'2(в) + у'2(в) * 0 на L. Имеем
Лт-^ (г-
т = х + iy, * = х0 + iy0, д:0 = д^в0), у0 = у@о), 8,в0 е[0,2тс].
A2.1.9)
Отметим, что функция ?jF,9o) — периодическая по 6 и 6q с
периодом 2% , /h(9o»Qo)= 0,5 и принадлежит классу Я на [0,2л].
Исследование свойств уравнения A2.1.8) проведем для слу-
случая, когда L—окружность. Она получит вид
2я
ee) = 2mfk(eQ), fe = 1,2 .
0 0
A2.1.10)
Для внутренней самоуравновешенной задачи в напряжениях
необходимо равенство нулю вектора сил и момента от внешних
нагрузок. Поэтому уравнение A2.1.10) должно быть дополнено
условиями на правую часть. Условие равенства нулю вектора
внешних сил требует однозначности /2F) > при наличии' которой
оно автоматически выполняется. В частности, для однозначности
функции /2 необходима ее периодичность на L , тогда
/2@) = 6B*). A2.1.11)
Из A2.1.10) видно, что условие A2.1.11) не накладывает
ограничения на функцию <о . Условие равенства нулю момента
внешних сил [214]
O A2.1.12)
246
на окружности приводит относительно функции со с использова-
использованием A2.1.10) для Щг = щ = -1 к соотношению
2*
-iR f [о>(б)е|в + со@)^~*е к/е = f f2(t)dt, t = Rel8 ,
0 L
в котором стоит слева чисто мнимое выражение для любого ш ,
поэтому и условие A2.1.12) не накладывает ограничения на <*>.
Продолжая исследование задачи на круге, видим, что одно-
однородное уравнение A2.1.10) (при Д «0) имеет собственные ре-
решения, вид которых устанавливается, например, из представления
со(8) рядом Фурье. Собственными функциями уравнений
A2.1.10) и A2.1.8) для k = 1,2 являются комплексная константа
<o = a + ib A2.1.13)
и при k = 2 функция
и{Ъ) = ще* A2.1.14)
для однородного уравнения A2.1.10), а для уравнения A2.1.8) —
функция ю(т) = Ш2Т 9 где й\ и п2 —произвольные константы.
Итак, уравнения A2.1.8) и A2.1.10) должны решаться со-
совместно с некоторыми дополнительными условиями, которые не
"пропускали" бы собственные функции A2.1.13), A2.1.14).
Этим свойством обладают следующие условия:
?^ = 0, * = 1,2, A2.1.15)
= 0,
Как дополнительные слагаемые левые части уравнений
A2.1.15) вводил в интегральное уравнение A2.1.7) Д.И.Шерман
[214] для обеспечения единственности решения. На окружности
условия A2.1.15) записывают следующим образом:
2я 2я
о о
A2.1.16)
и, следовательно, первому уравнению A2.1.16) не удовлетворяет
о в виде A2.1.13), а второму уравнению A2.1.16) не удовлетво-
удовлетворяет ш в виде A2.1.14).
Отметим еще/ что уравнение A2.1.10) обладает тем свой-
свойством, что интеграл по в от 0 до 2п от левой части равен нулю,
3/УДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
следовательно, и интеграл от правой части A2.1.10) должен быть
равен нулю
/ 0, A2.1.17)
о
что приводит к требованию равенства нулю интеграла как от дей-
действительной, так и от мнимой части функции /$. Условие
A2.1.17) при решении задачи в напряжениях определяет ком-
комплексную константу С2 в A2.1.4), а при решении задачи в пере-
перемещениях оно выполняется автоматически для функции f\, анали-
аналитической в области D и непрерывной на L. Условие A2.1.12), в
частности, для круга приводит к соотношению
J(fo sine-/}созвав = 0, h = fR + ifi- A2.1.18)
о
Для произвольного замкнутого гладкого контура L, интегри-
интегрируя A2.1.10) по в —параметру задания контура L , получим со-
соотношение
/Д(б)</в = 0 A2.1.19)
L
аналогичное условию A2.1.17) на круге.
Итак, вторая основная задача для области, ограниченной
замкнутым ляпуновским контуром L , сведена к интегральному
уравнению A2.1.8) и условиям A2.1.11), A2.1.12), A2.1.15),
A2.1.19), из которых определяется функция о , а в случае, когда
L — окружность, — соответственно, к A2.1.10) и A2.1.11),
A2.1.16)-A2.1.18).
Эти уравнения — сингулярные с .ядром Гильберта, что в об-
общем случае показывается аналогично тому, как это было сделано
для телесного профиля в § 6.2, а для уравнения на окружности
это видно из A2.1.10).
12.2. Контактная задача о вдавливании равномерно
движущегося штампа в упругую полуплоскость
с учетом тепловыделения
Следуя Саакяну А.В. [157, 231], покажем, как задачи,
сформулированные в §§ 12.2. и 12.3, приводятся к сингулярным
интегральным уравнениям.
Пусть по границе упругой полуплоскости с постоянной ско-
скоростью Vq , не превышающей скорости распространения волн Ре-
лея в полуплоскости, движется жесткий штамп с основанием про-
произвольной гладкой конфигурации, одновременно вдавливаясь в
нее под действием силы Р (рис. 12.1).
248
Глава 12
Предполагается, что между штампом и полуплоскостью имеет
место сухое трение, т.е. тангенциальные напряжения в зоне контакта
пропорциональны нормальному
давлению. Вследствие этого в зо-
зоне контакта будет выделяться
количество теплоты, пропорцио-
пропорциональное скорости движения
штампа, коэффициенту трения и
нормальному контактному дав-
давлению [6]. Неконтактирующие
части полуплоскости и штампа
предполагаются теплоизолиро-
теплоизолированными.
Выберем неподвижную си-
Рис. 12.1. Вдавливание равномерно СТеМУ ^ординат ОДУ, И по-
движущегося штампа в упругую ДВИЖНую систему OXY , жест-
полуплоскость ко скрепленную со штампом.
Очевидно, что связь между ними дается формулами х = х\ - V$t,
у = у\, и в подвижной системе координат зависимости искомых
величин от времени t не будет, т.е. рассматривается квазистацио-
квазистационарный случай. Тепловыделение в зоне контакта приводит к по-
появлению тепловых потоков с плотностями Q\(x) и Ог(^), на-
направленных соответственно внутрь полуплоскости и штампа и
связанных с контактным давлением р(х) соотношением
b A2.2.1)
где р —коэффициент трения. Согласно закону теплопроводности
Фурье имеем
V&W = (-1) Ч—j-—i * = 1>2,
где Х1 и ^2 —коэффициенты теплопроводности, а Т\{х,у) и Т2(х,у)
—температуры точек, соответственно, полуплоскости и штампа.
Предполагается, что деформация упругой полуплоскости не
вызывает изменения температурного поля. Тогда рассматриваемая
задача разделится на две: задачу определения температурного по-
поля и плоскую задачу теории упругости при наличии температур-
температурного поля. Перейдем к решению первой из указанных задач.
Предварительно построим функцию влияния для этой задачи,
т.е. построим решение задачи теплопроводности для упругой полуп-
полуплоскости, по теплоизолированной границе которой с постоянной ско-
скоростью Vq движется сосредоточенный источник с единичной плот-
плотностью теплового потока. Имеем уравнение теплопроводности
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 242
A2.2.2)
при граничных условиях
^^^--fefc-Vo*-*) A2-2.3)
при У1 = 0 и Г^,^,*) < оо при ух -» -оо. Здесь T{xbybt) -
температура точек полуплоскости, р, С8 и %\ —соответственно,
плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопровод-
теплопроводности материала полуплоскости, 8[х) —функция Дирака, ? —
координата точки приложения теплового источника в момент вре-
времени t = О.
В подвижной системе координат A2.2.2) и A2.2.3) получат вид
o, A2-2.4)
дх
-8(л-4) A2.2.5)
и Т[х, у) < оо при у -* -оо .
К полученной краевой задаче A2.2.4), A2.2.5) применим
комплексное преобразование Фурье по переменной х:
оЛ = 0. A2.2.6)
при
dy X
Т(у,а)<со при t/-»-oo
где a —комплексный параметр преобразования, аэ= pCs
r(t/,a) —трансформанта Фурье температуры Т(х,у), определяе-
определяемая формулой
T{y,a)=]T(x,y)eix«dx.
-со
Решая уравнение A2.2.6) при граничных условиях A2 2.7),
получим
250
Глава 12
О
где ц{а) = \<х + (аде. Функция т^(а) имеет точки ветвления
а = 0 и а = -ik в плоскости комплексной переменной а = а + h .
Для выделения однозначной ветви
этой функции необходимо плоскость а
разрезать по линиям, соединяющим
точки ветвления с бесконечно удален-
удаленной точкой и лежащим, соответствен-
соответственно, в верхней и нижней полуплоскости
(рис.12.2.). Такой разрез позволяет
выбрать однозначную ветвь корня,
удовлетворяющую условию т](а) -> |a|
при a -> ±00 вдоль вещественной оси.
Теперь построим функцию влия-
влияния для плоской задачи теории упру-
упругости при наличии температурного по-
поля, создаваемого движущимся сосредо-
сосредоточенным источником мощности 5,
когда по границе полуплоскости вмес-
вместе с источником тепла движутся сосредоточенные нормальная Р
и тангенцальная Q силы.
Имеем уравнение Ламе.в неподвижной системе 0{Х^{у при
наличии температурного поля:
Рис. 12.2. Комплексная
плоскость с разрезом, выде-
выделяющим единственную ветвь
функции л(а)•
1дхх
. 58
д2и
—компоненты
A2.2.9)
где C/(^i,«/i,i) и
л/ л dU dV
щх\,у\Л)=, + —объемное расширение, р—плотность, а и
v ; dxt дух
перемещения,
ц —коэффициенты Ламе, у = (ЗХ + 2ц)а^, а^ —коэффициент линей-
линейного расширения, T{x\,y\,t) —температура, определенная ранее.
Исходя из соотношений Дюамеля—Неймана
^ху ~"
at/ sf
—+ —
граничные условия запишем в виде
^--уТ = -P8(Xi - Vot - §),
A2.2.10)
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 251
ау>ах>хху-+° ПРИ У->-00.
Перейдем опять к подвижной системе координат, тогда урав-
уравнения A2.2.9) и условия A2.2.10) получат вид
vfL A2.2.11)
'ox ¦ ~ dxz ax
PiV
при у = 0, A2.2.12)
Дифференцируя первое из уравнений A2.2.11) по л:, второе
— по у и складывая, получаем уравнение относительно 0(х, у)
{X + 2h)V29 = РУ02 -^| + yV2r. A2.2.13)
дх
Применим к A2.2.11) —A2.2.13) обобщенное преобразование
Фурье, определяемое формулой
-00
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений по
переменной у относительно функций ?/(#,с), V(y,a), 6(y,а) с
граничными условиями, в которые перейдут условия A2.2.12). Най-
Найдем частные решения этой системы, удовлетворяющие полученным
граничным условиям (с учетом A2.2.10)), замечая, что обобщенное
преобразование Фурье температуры совпадает с комплексным преоб-
преобразованием Фурье U2.2.8), когда на действительной оси для функ-
функции tj(c) принимают значения ранее выбранной однозначной ветви
для т|(а). Однако для решения контактной задачи необходимо знать
только перемещения граничных точек полуплоскости, т.е. будем
брать СГ(О,а) и У@,а). Применив к С/@, а) и V@,а) обратное
преобразование Фурье, получим функции влияния U[xft) и V(x,0)
для плоской задачи теории упругости для полуплоскости от равно*
мерно движущихся сосредоточенных сил и теплового источника.
Воспользуемся теперь известными из теории обобщенных функций
[51] значениями интегралов
252
где С—некоторая постоянная, которая в теории обобщенных
функций принимается равной постоянной Эйлера, а в плоской за-
даче теории упругости для полуплоскости равна бесконечности,
так как система сил, приложенных к полуплоскости, неуравнове-
шена. Тогда функция влияния окончательно получит вид
р
U(x,0) = -TtvoV! — sign(* - ?) +
V(x,0) = -*v0v, ^si
^*^^' A2-2.14)
где
Перейдем теперь к решению контактной задачи. Очевидно,
что действие штампа на полуплоскость равнозначно приложению
к границе полуплоскости неизвестных нормального pfe) и тан-
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
223
генцального qfy контактных напряжений, а также теплового по-
потока Qi(^) распределенных по отрезку [-0,tf]. По принципу су-
суперпозиции для определения перемещений граничных точек по-
полуплоскости достаточно проинтегрировать выражения A2.2.14)
по § , заменяя Р на р(§), Q на qfe), S на Qt(^). Получим
U(X,O) = -7CV0VJ ±- J^>ign(x - %Щ + %¦ Jin *
-а
'
-а
а
- vt 1 Jini
Ji22(^ *)Qi{№ + C4 . A2.2.15)
№ -a
где C3 и С4 —некоторые бесконечные константы. Условия кон-
контакта выражаются равенствами
V(x,0) = f(x) - rf, 7i(*,0) = T2(x,0), |д:| < a, A2.2.16)
где f[x) —функция, описывающая основание штампа, d—осадка штам-
штампа, Т\ и Т2 —температуры полуплоскости и штампа, соответственно.
Предположим, что размеры штампа значительно превосходят
длину зоны контакта, вследствие чего для определения темпера-
температуры штампа его можно заменить полуплоскостью. Тогда темпе-
температура граничных точек штампа определяется формулой (Q —
некоторая, также бесконечная, постоянная)
Т2(х,0) = JL Jin \Х - 4 д^Ц + С5 , A2-2.17)
2 -а
Для температуры граничных точек полуплоскости из A2.2.8)
получим
7i(jtf>) = -J- } 1п|д: - s\Qx{s)ds -^-]r{s- x)Qt{s)ds + C6 ,
-a
-a
Н
A2.2.18)
254 ЕдакШ
Если вместо стационарного режима распределения темпера-
температуры в штампе и полуплоскости рассмотреть гармонический во
времени режим с частотой со и выделить волну, уходящую в бес-
бесконечность, то приравниваем температур штампа A2.2.17) и по-
полуплоскости A2.2.18) в зоне контакта в пределе ш ->0 получим
уравнение теплового контакта
2 -со
L jin|*-,foM*-f ja(»-*X&(*)*. A2219)
1 -а 1 -а
и условие, при котором бесконечные постоянные С$ и Q взаим-
взаимно уничтожаются
±] ±]ds. A2-2.20)
-а * -а
Исключая в A2.2.19) величину 0гE)» используя соотноше-
соотношение A2.2.1) и дифференцируя это уравнение по х, получим
hlh г 2Й* _ Wl г ?Й*+J_ f^-'Ww, - о.
J 5-JC 7CX2 J S-X Xi J ЙГ
S-X i
-a l -a
A2.2.21)
Подставляя далее выражение для перемещения У(х,0) при
q(x) = $p(x) в первое условие контакта A2.2.16) и дифференци-
дифференцируя по ху получим
A2.2.22)
К последнему уравнению следует добавить еще уравнение
равновесия штампа:
]p{x)dx=P. A2.2.23)
-а
Таким образом, получим систему сингулярных интегральных
уравнений первого и второго рода A2.2.21) и A2.2.22), которая
при условиях A2.2.20) и A2.2.23) имеет единственное решение.
Обезразмерим величины, входящие в полученную систему,
следующим образом
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
255
>,•(*), * = tf,
вводя для удобства новую функцию
окончательно получим следующую систему сингулярных инте-
интегральных уравнений
1
при условиях
1
A2.2.24)
A2.2.25)
-1
12.3. О вдавливании пары равномерно движущихся
штампов в упругую полосу
Пусть по краям упругой полосы толщины 2d под действием
сил Q с постоянной скоростью Vo, меньшей скорости распростра-
распространения волн Релея в упругой полосе,
движутся штампы, прижимаемые к по-
полосе усилиями Р (рис. 12.3.). Усилия Р
и Q приложены таким способом, что
главный момент, действующий на
штамп, равен нулю, т.е. штамп сколь-
скользит, не переворачиваясь.
Предполагается, что между штам-
штампом и полосой помимо нормального
контактного давления р(х) действует
также тангенцальное напряжение q(x),
подчиняющееся закону Кулона, т.е.
q[x) = fip(x), где р —коэффициент тре-
трения. При этих предположениях выведем
определяющие уравнения задачи.
Выберем неподвижную систему ко-
координат OX\f\ и подвижную систему OXY, жестко связанную со
Рис. 12.3. Вдавливание пары
равномерно двищущихся
штампов в упругую полосу
256 Глава Ц
штампом и определяемую формулами х = х\ - V^t, у = у\. В ви-
виду симметрии относительно линии у = -rf, будем рассматривать
только верхнюю половину полосы.
Воспользуемся результатами работы [231], где подобно тому,
как это было сделано в предыдущем параграфе, были получены
выражения перемещений и температуры граничных точек упругой
полосы, когда по ее краям с постоянной скоростью Vq движутся
сосредоточенные силы и тепловые источники. Полагая, что тепло-
тепловые источники отсутствуют, на основе принципа суперпозиции от-
отсюда можно непосредственно получить выражения вертикальной
компоненты перемещения граничных точек полосы при распреде-
распределенных нормальных и тангенцальных усилиях
1 а 1 а
V(x,0) = - jki(x - s)q(s)ds - - jk2(x - s)p{s)ds, A2.3.1)
где
-(
l + fcf Wa*2d)cA(afcid)|^ do,
KJU) = ^ft-fr) f
A =
f
2n J oA
-oo
4 =, 2
P P
X и ц —коэффициенты Ламе, а р —плотность материала полосы.
В зоне контакта имеем обычное условие контакта [279]
V(x,O) = f(x)-S, -a<x<a, A2.3.2)
где f(x) —функция, описывающая основание штампа, 8—мера
опускания штампа. Несмотря на то, что для штампов, показанных
на рис. 12.3, f(x) т 0 , для общности в дальнейшем f(x) оставим.
Функции K\(U) и ^2A/)представимы в виде
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
257
A2.3.3)
где
2*,*2*%М) - (l + *2 Ы«*2«0
th(ak2d)
-iaU
-da,
R2{U) =
th(ak2d)
signa
-da
— регулярные в окрестности нуля функции, Cq —бесконечная
константа. Нетрудно проверить, что и производные любого по-
порядка этих функций тоже регулярны в окрестности нуля.
Подставляя A2.3.3) в A2.3.1), а A2.3.1)—в условие контак-
контакта A2.3.2) и учитывая, что q(x) = Рр(х), получим
|п |тЬ[+?e°sign{* -s) - i^ - в)}<5)Л=
4*1*2-
Т
17-2775
258
Глава 1
R(U) = R2(U) -
P = ]p(x)dx .
A2.3.4)
-a
После дифференцирования последнего уравнения по х будем иметь
dR(x-s)~
i*
s-x Qx dx Jw
Переходя к безразмерным величинам
g =
уравнение A2.3.5) и условие A2.3.4) сведем к следующим:
rte - cWcWc = -?W A2.3.6)
Ч
l
-l
Затем
signa
*) - (
l +
A2.3.7)
Раздел И
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В этом и следующем разделе будут использованы результаты
по вычислениям значений сингулярных интегралов и численному
решению сингулярных интегральных уравнений, изложенных ар-
тором в работе [39].
Поэтому для целостности изложения результаты из этой ра-
работы будут сформулированы, но доказательства практически
опущены. Желающие их провести, могут воспользоваться упомя-
упомянутой работой*
17*
Глава 13
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
13.1. Метод регуляризации сингулярного интеграла
Одним из наиболее простых способов приближенного вычис-
вычисления сингулярного интеграла является его регуляризация
(выделение главной части).
Пусть
A3.1.1)
I * ~*°
тогда регуляризацией этого интеграла назовем представление его
в виде
(.3.1.2)
LttQ L ttQ
где L—кусочно-гладкая кривая.
В формуле A3.1.2) первый интеграл является сингулярным
и вычисляется аналитически, второй уже является регулярным,
если функция y(t) принадлежит классу #(<х), и к нему приме-
применимы известные методы [20]. При этом, обозначив
надо полагать (если у'(?) существует), что
^(Мо) = У'Ы- A3.1.4)
Представление A3.1.2) наиболее целесообразно использо-
использовать, когда L—гладкая замкнутая кривая, так как в этом случае
[100, 201]
-^- = *i, toeL A3.1.5)
или для интеграла с ядром Гильберта, так как в этом случае
tQ «[02»].
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 2S1
Если y(t) б Нг(а) на L, т.е. у'г'(*) е #(<х), г ? 1, то функция
F(Mo) принадлежит классу #r_j(a) на L (см. Лемму 1.1.1.), и
поэтому из стандартных оценок для регулярных интегралов [20]
автоматически получаются оценки для сингулярного интеграла с
потерей одного порядка в скорости сходимости квадратурных
формул к сингулярному интегралу. При более аккуратном учете
структуры функции F(t, to) можно получить более точные оценки
скорости сходимости [39, 234, 235, 272].
Если кривая L является кусочно-гладкой (например, разо-
разомкнутой), то, как правило, функция у(?) представима в виде
т(*) = ш(*Ы*Ь A3Л.7)
где функция Цг) не отрицательная и имеет интегрируемые осо-
особенности в узлах кривой L, а \|/(<) еЯ на L (см. § 2.2.). Тогда
вместо формулы A3.1.2) целесообразнее брать представление
JL* JL
В представлении A3.1.8) сингулярный интеграл, как прави-
правило, опять удается найти аналитически. Представления A3.1.2),
A3.1.6) и A3.1.8) используются, в основном, для получения
равномерных оценок, т.е. если обозначить
Ш\A3.1.9)
то оценивается max 1^(?<)), или max Rn(to), или
tL tlL
какого-то множества точек ?q на L.
Вообще оценка скорости приближения квадратурных формул
к сингулярным интегралам в равномерной метрике затруднена
тем, что сингулярный интеграл является неограниченным опера-
оператором [153, 174] в пространстве непрерывных функций.
С другой стороны, рассмотрим на кривой L простран-
пространство L^o , с нормой
V/2
<i3iio>
где \dt\ —дифференциал длины дуги на L.
Тогда сингулярный интеграл, записанный как
262 Глава 13
A3.1.11)
является оператором из пространства L^© в пространство
[106, 201, 263]. Если &(t) имеет вид
где с^, (k = l,...,m) —все узлы кривой L и -1 < а^ < 1, то сингу-
сингулярный оператор A3Л.11) является ограниченным из L^© в
^2,1/со на ^ [Ю6, 263]. Более того, если для сингулярного инте-
интеграла на замкнутой гладкой кривой L или для интеграла с ядром
Гильберта взять co(t) = 1, то норма этого оператора будет равна
единице. Норма этого оператора равна единице [15, 106, 263] и в
том случае, если L состоит из конечного числа отрезков числовой
оси ОХ и <Х?=±1/2, & = 1,...,т. Возьмем теперь
In(to) = /(со,ч/п;<о) • Тогда из сказанного выше следует, что
Ыь%^*<Ы')-ъ('%ъ. A3ЛЛЗ)
и поэтому оценка скорости сходимости /п(*о) и J(*o) B метрике
L2,i/a) сводится к оценке скорости аппроксимации функциями
?я(^) функции \|/(i) в метрике L^© .
13.2. Сингулярный интеграл по замкнутому гладкому контуру и
с ядром Гильберта
Вначале рассмотрим сингулярный интеграл
4<бЫ^Г' М^ A3.2.1)
L °
по окружности L единичного радиуса с центром в начале коорди-
координат, y(t) —функция класса Н на L. Выберем на окружности L два
множества точек (узлов): Е = {t^k = 1,...,я} и Ец =
= {*оь* = !»•• ,»} 7 таких что точки i*, k = l,...,n, разбивают
окружность на я равных частей, а точка t^ является серединой
дуги ift^+i \ где полагаем ?n+j = tj. В дальнейшем выбранные
таким образом множества Е и Е$ точек будем называть канониче-
каноническим разбиением окружности L.
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 2S2
Лемма 13.2.1. Для любой точки t0J- eEq выполняется
неравенство:
dt
A3-2-2)
где Ltk = tk+\ -tk, & = 1,...,я. Через of—1 (об(~11 обозначим
величину одного порядка малости с 1/я, т.е. в этом случае
справа в неравенстве надо мыслить величину вида В/п (Bs/n)}
где константа В(В^) не зависит от п. Константа В§ зависит
от параметра 8.
Так как L — окружность радиуса единицы с центром в нача-
начале координат, то можно написать
где 0? и QQk —полярные углы точек ^ и t^, k = 1,...,я, и по-
показать [39], что
^ ? + i«sin2«:=iic + ofi). A3.2.3)
Равенства A3.2.3) и A3.1.5) доказывайт справедливость не-
неравенства A3.2.2).
Замечание 13.2.1. Оказывается справедлива следующая
оценка
; = !,..,«.
A3.2.4)
Обозначим теперь
Справедлива следующая [39] теорема.
Теорема 13.2.1. Пусть y(t) удовлетворяет условию #(<х)
на L. Тогда выполняется неравенство
Для доказательства неравенства A3.2.6) достаточно заме-
заметить, что
264
Глава 13
*=1
Теперь надо воспользоваться неравенством A3.2.2) и ра-
равенствами
A3.2.7)
Г
-тМ_
Если теперь функция y(i) принадлежит классу H(q) (см.
определение 2.2.1. и формулу B.2.29)), т.е. имеет вид
где \|/(i) eH на L ,ъ q — некоторая фиксированная точка на L,
то, заметив равенство
9
получим справедливость следующей теоремы.
Теорема 13.2.2. Пусть y(t) принадлежит классу H{q) на
окружности L, а множества Е и Ец образуют каноническое
разбиение L, причем q еЕ$ при j = jq , тогда справедливо нера-
неравенство
l(toj)-Sn(tQj)\uQ(toj), j*jq, y = l,...,n. A3.2.8)
где величина щЬм] имеет вид
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 265
Несложно заметить, что величина 6|?(w) удовлетворяет нера-
неравенствам:
1 - в(*о/) * °/г4г)' Х* > °' A3.2.9)
для всех ^о/ е^ \ '> гДе /—сколь угодно малая окрестность точ-
точки <7> и
2. VA^.\U^.Unf * 1 1.^л A3.2.10)
j+lq
Ясно, что в неравенстве A3.2.9) точнее можно написать
Oi(rTa In я), а в неравенстве A3.2.10)- Q — ].
v ; V яа /
Замечание 13.2.2. Неравенство A3.2.6) остается справедли-
интеграла J ^ ' °'dt, если y(i,<b) €#(<x) на L, т.е.
вым и для
*
A3.2.11)
Замечание 13.2.3. Пусть теперь L\ является замкнутым про-
простым контуром Ляп)гнова. Тогда между точками т этой кривой и
точками t стандартной (единичного радиуса, с центром в начале
координат) окружности L существует такое взаимо-однозначное
соответствие т = t(t), что производная x'{t) = —принадлежит
классу //(р) и не обращается в нуль на L. Пусть теперь у(т) удо-
удовлетворяет условию Н[а) на L\. Рассмотрим теперь на окруж-
окружности L каноническое разбиение, образованное множествами Е и
?"()• Множества точек т$ =т(^), tk еЕ и то* =*(tok)> *0k e^0
назовем каноническим разбиением кривой L\. Тогда для инте-
интеграла /(т0) по кривой L\ возьмем квадратурную сумму 5ЦтОу)
вида A3.2.5) по множествам точек {т^,Л = 1,...,п} и
\xOj>J = If—f я} и преобразуем ее следующим образом
266
Глава 13
ir \ _ V Y^T^ATfe = Т
П[ °"" ft ** ~ *o, " ft
Atk
Так как
a it) eH(p) на L, то \*\ik)-x'
+ 4 fe -**| j • Таким образом,
, т.е.
Используя неравенство A3.2.4), несложно заметить, что
Поэтому из неравенства A3.2.11) и оценки для Sj получаем
справедливость соотношения
JO х>0- 03.2.12)
Пусть теперь кривая L является совокупностью р штук непересе-
непересекающихся замкнутых кривых Ляпунова L\,...,Lp и множества
Ет = {*k>k = «mli +1,..., Ят} И ?Ош = {^ОЛ»* = «тЧ +1,...,WW}
образуют каноническое JVm == пт - wm_i разбиение кривой Lm,
w = l,...,p, Hq = 0. Обозначим AT = min ^m и будем в даль-
нейшем предполагать, что Nm/N ? R <+со. Обозначим еще
1;p
где Дт? =т^+1-тл, * = 1,...,лр, *^й!,...,йр и
Ат^ =хпт_1+\'~^пту т = 1,...,р. Оказывается справедливой сле-
следующая теорема.
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 26Z
Теорема 13.2.3. Пусть у(т) удовлетворяет условию Н на
Р
кривой L. Тогда для любой точки т0/ е (j?om выполняется не~
равенство
*><>• <13213>
Теперь рассмотрим сингулярный интеграл с ядром Гильберта
^ 03.2.14)
О
где Yi(e) — функция с периодом 2л .
Учитывая равенство A.5.4), получим соотношение
^^iw*' A3215)
где L — окружность радиуса единица с центром в начале коорди-
координат, t = е*, t0 = е**, у ^8) = у{е*).
Пусть функция y(i) принадлежит классу Я на L, и мно-
множества ? = {**=**Ч* = 1,...,я} и
образуют каноническое разбиение L. Тогда, учитывая соотноше-
соотношения между tbfok) и в^(бо^), k sb l,...,n, получаем равенство
A3.2.16)
где Дб^ = 2п/п .
Так как левая часть равенства A3.2.16) хорошо приближает
п
левую часть A3.2.15), a ][]Yi@fc)A8fc хорошо приближает инте-
JU1
грал J yi(8)rf6, то получаем справедливость следующей теоремы.
о
Теорема 13.2.4. Пусть функция уг(в)еН на отрезке
[0,2тс] и имеет период 2п. Пусть точки Е = {в^,Л = 1,...,п} и
Ео = {во^,й = 1,...,я} выбраны на [0,2л] следующим образом:
268 Глава 13
= Qk + А/2, * = 1,..., я, т.*?. moww iA = <?*е* и fa = eie°*,
? = 1,...,я, образуют каноническое разбиение L. Тогда справед-
справедливо неравенство
где
*1
Отметим, что функции y(t) и у\(В) принадлежат одному
классу Я(Х), каждая на своем множестве.
13.3. Сишулярный интеграл по отрезку
Будем считать, что в сингулярном интеграле A3.2.1)
I, = [я,6] на действительной оси, а функция y(t) eH* на L, т.е.
имеет вид
где y(t) € Н(а) на [а,Ь], 0 < v, ц < 1.
Пусть точки to = a, t\,..., tn, tn+\ = Ь разбивают отрезок [а, 6]
на п + 1 равных частей длины А = , а точка ?л/ является
серединой отрезка \tj, iy+| I, / = 0,1,..., п. Будем говорить, что
точки множеств Е = {^,Л = 1,...,»} и Eq = Ш/,/ = ОД»- -»w} °б"
разуют каноническое разбиение отрезка [а,Ь] с шагом h.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 13.3.1. Для любой точки tOj- eE$ выполняется нера-
неравенство
r dt A A
A3.3.1)
В—некоторая константа, не зависящая от п.
Отметим здесь же, что имеет место неравенство
A3.3.2)
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
Лемма 13.3.2. Пусть теперь функция y(t) e Н(а) на
отрезке [я, 6]. Тогда для любой точки t$j eEq справедливо не-
неравенство:
;о(Аа|1пА|). A3.3.3)
/i-
а °/ *=1 * °^
Доказательство. Сделаем следующее преобразование
fc _ ri j. r2 . r3 . r4 A3.3.4)
ft = i| +1 j + У j +1\ .
Так как у@ удовлетворяет условию. #(<х) на [б, 6], то
//=о(Ла), /^С^А»), /,4=о(Ав).
Теперь, используя вторую формулу в A3.2.7), получим
k*j
Для Si получаем оценку
Aha
г dt
dt
\h
V+i
Так как для любых k и j имеем неравенство
A3.3.5)
то
ш_
An/
Подставляя теперь оценки для S\ и 52 в формулу для if, a
оценку для /|,...,/i4 —в формулу для Jj, получаем справедли-
справедливость леммы 13.3.2. Из неравенств A3.3.1) и A3.3.3) следует
справедливость следующей теоремы.
Теорема 13.3.1. Пусть функция y(t)eH(a) на отрезке
[а,Ь], и множества Е и Eq образуют каноническое разбиение
этого отрезка. Тогда для любой точки tOj- e Ео имеем
A3.3.6)
где
Наконец, докажем следующую теорему.
Теорема 13.3.2. Пусть y(t) eH* на отрезке [а,Ь]. Пусть
множества точек Е и Ео образуют каноническое разбиение
этого отрезка. Тогда справедливо неравенство
/ = 0,1,...,я, A3.3.7)
^удовлетворяет неравенствам:
а)для всех точек tQj e[a + S,b-5], где 8 > 0 —сколь угодно
малое число,
,<1: A3.3.8)
б) для
[а,Ь]
/•о
A3.3.9)
где
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
271
Доказательство. Можем написать
л
t-
k=\
Оценка для I*i получается с помощью неравенства A3.3.1).
Чтобы дать оценку для 1\, заметим вначале, что если y(t) e H*
на [а,Ь], то
A3.3.10)
Если теперь 1\ представить также, как в неравенстве
A3.3.4), то для /j получим
так как для любого / = 1,...,я имеем
-а tj-Ь ^
1.
2
A3.3.11)
A3.3.12)
Используем опять неравенство A3.3.10) и теорему о среднем
значении для несобственного интеграла [256], которая формули-
формулируется так: пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на [я,&],
причем f(x) ограничена, т.е. -со < т ? f(x) ? М < -ко, а д(х) не
меняет знака, тогда функция f(x)g(x) интегрируема, и
272
Глава 13
Ь Ь
jf(x)g(x)dx = \ijg(x)dx, m z \i <> M.
a a
При этом можно показать [39], что для слагаемых l\, if
также справедливы оценки вида A3.3.11), а для слагаемого l\ —
оценка вида
2ц
A3.3.13)
Вводя теперь обозначения ilUoy>а»Р)= (*0; ~ а) [о - ^0;) i
оценку для / можно записать в виде
/ й в(*0;) = в0(^0>,а,у,ц)о(|1пЛ|), A3.3.14)
где
*оу, v,!)*1""^ + r\(t0J Д + v,l +
0 < v, ц < 1.
Нетрудно проверить, что величина 6(?о/) в неравенстве
A3.3.14) удовлетворяет условиям A3.3.8) и A3.3.9).
Замечание 13.^.1. Фактически доказательство неравенства
A3.3.7) проводилось при условии, что 0 < v, ц < 1. Однако из про-
проведенных рассуждений можно получить следующие утверждения.
Если v*0, ц = 0, то выражение для eo|iOy,a,v,oJ будет
иметь вид
o/ > a, v,0) = 4(tQj, v,OJAa + 4(tQj,2vfi)hv +
о/Д + v,l)* , A3.3.15)
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 223
Если v= р, = 0, то величина 6Uo/) будет иметь вид правой
части неравенства A3.3.6).
Отметим еще следующее. Если функция y(i) имеет вид
где 0<v<l, 0<ц , \|/(?) принадлежит классу Я на [я,Ь], то
неравенство A3.3.8) выполняется для всех точек
tQj €[tf + S,6].
Замечание 13.3.2. В аэродинамике (см., например [28, 39,
146]) часто используется следующий выбор точек t^ и ?0/• Раз~
объем отрезок [я, 6] на п равных частей длины А, которые обозна-
обозначим А^, Л = 1,...,л. Точку, отстоящую от левого конца отрезка
Д? на h/A и лежащую на нем, обозначим ^, а точку этого от-
отрезка, отстоящую на ЗА/4 от левого конца, обозначим через %»
& = 1,...,п. Для описанного разбиения справедливы по [146] все
утверждения, приведенные выше для сингулярного интеграла на
отрезке [я,6]. Расчеты показывают (см.[28]), что последняя схема
дает лучшие результаты для модельных примеров, чем канониче-
каноническое разбиение.
Справедливо и более общее утверждение. Неравенства
A3.3.1), A3.3.3), A3.3.6) и A3.3.7) верны в том случае, когда
точки множеств Е = {tk,k = 1,...,и} и Eq = ноу,У = 0,1,...,ш не
образуют канонического разбиения отрезка, а удовлетворяют
условию
|; /| * > У =• 0,1,..., II - 1 ,
к -*оо = А/2, % = ^ +А/2, * = 1,
гдер| и Р2 —заданные числа.
Такое положение возникает в том случае (см. [147]), когда
мы желаем, чтобы какая-то фиксированная точка q € (а, Ь) нахо-
находилась в заданном положении по отношению к точкам разбиения,
например, чтобы точка q принадлежащая множеству Е или Е$
при любом /г.
18-2775
274 Глава lg
Покажем, как сделать, чтобы точка q E Eq при любом я.
Разобьем отрезок [я, 6] на я + 2 равные части точками ty,
k = 1,...,я + 1, *6 = а у t'n+2 = b> % -середина отрезка [t'k, t'k+i],
k = 0,1,..., я + 1. Пусть точка q лежит на отрезке \t'oj jt'oj Л-
Произведем сдвиг множества точек
{ty, к = 1,..., я + 1} UU6;, У = ОД,..., п + l| как жесткого целого так,
чтобы ближайший к точке q конец отрезка \t'oj , t*oj совпадал с
точкой q. Выбросим крайние точки из множеств
\t^yk = l,...,w + 1} и Ш);,/ = 0,1,...,я + l| с того края, в сторону
которого произошел сдвиг. Оставшиеся точки из сдвинутых мно-
множеств обозначим через t^ , k = 1,...,я и t$j, / = 0,1,...,я . Если из-
изначально точка q совпала с одной из точек ty, то исходные мно-
множества и обозначим через Е и Eq.
Аналогично строятся точки t^ и t$j и в том случае, когда
требуется, чтобы точка q& E .
При рассмотрении задачи обтекания профиля с закрылком мно-
множества Е и Eq выбираются так, чтобы точка q лежала при любом я
точно посередине между ближайшими к ней точками из Е и Eq .
Сделать это можно так. Пусть h = (b - я)/(я + 1). Точку, от-
отстоящую от А/4 вправо от точки q , отнесем к множеству Is о > а
отстоящую на А/4 влево—к множеству Е; остальные точки мно-
множеств Е и Eq выбираются с шагом А от выбранных. Это можно
сделать и описанным выше сдвигом точек канонического разбие-
разбиения с указанным шагом, причем сдвиг произойдет на величину не
более, чем А/4.
Сформулированные выше результаты для сингулярного ин-
интеграла на отрезке останутся верными и в том случае, если поме-
поменять местами точки множеств Е и Eq, т.е. подинтегральную
функцию брать в точках множества Eq , а вычислять интеграл в
точках множества Е.
Замечание 13.3.3. Все результаты справедливы и для функции
у <13-316)
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 2Z5
если функция чК*»т) ^Я на отрезке [а, 6] по обеим переменным,
а также, когда для построения суммы используются только точки
множеств Е или Е$. Например, если обозначить
A3.3.18)
a "i
то для модуля разности /у -S'nj справедливо неравенство вида
A3.3.7).
Пусть теперь функция y(t) принадлежит классу H*(cj) (см.
определение 2.2.1. и формулу B.2.29)), т.е. имеет вид
где функция \\r(t)eH* на отрезке [в,6], a q e(a,Ь) —фиксиро-
—фиксированная точка. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 13.3.3. Пусть функция y(t) e H*(q) на отрезке
[ау 6], и множества Е и Е$ выбираются так, что точка q при-
принадлежит множеству Е$ при любом п, q = ?q; • Тогда,
j*j4, A3.3.20)
где Qq(toj) = K7~*o; ^ro;)> a величина 0\toA имеет такие же
свойства, как в неравенстве A3.3.7). Поэтому для величины
Qqfooj) неравенство A3.3.8) выполняется для всех точек toj,
лежащих в множестве [а + 8,q - 8]\J\q + 8,Ь - 8], и выполняется
неравенство A3.3.9), в котором суммирование слева надо вести
по всем j ф jq.
Замечание 13.3.4. До сих пор мы рассматривали вычисление
сингулярного интеграла lifo} в том случае, когда точка ?q пРи~
надлежит кривой интегрирования. Однако в приложениях прихо-
приходится рассматривать и случаи, когда точка t§ не лежит на кривой
L. Например, в аэродинамике—вычисление поля скоростей в
жидкости, в упругости—вычисление поля напряжений не в гра-
18*
276 Глава 1g
ничных точках, в электродинамике —вычисление отраженного
электромагнитного поля в задачах дифракции и т.д.
Чтобы лучше понять особенности указанного вычисления инте-
интеграла /(i0), рассмотрим следующий модельный пример. Пусть
[й,6] будет отрезком [-1Д] на оси ОХ, а у(?) = 1 на [-1Д]. В этом
случае переменную ?.€[-1,1] будем обозначать через ху а
?0 = xq + iy$ у где г —мнимая единица. Тогда выражение для
получит вид
A^ \(XX\+i^
\Ш*хA3.3.21)
Пусть точка t$ лежит на оси OY. Тогда получим
xdx 1, 12 . 2
У о
для любого jjq
= 0, A3.3.22)
-1
= f _^L. = arctg-^l =2arctg—, A3.3.23)
liX2+yl УоЦ Уо
для любого уо ^ 0.
Из A3.3.23), видно, что
lim Im/(^o) = «; Hm lm l(to) =-it. A3.3.24)
Возьмем теперь на [-1Д] систему точек х^ =-\ + tk-
k = 1,... ,2т , h = 1//и и рассмотрим
A3.3.25)
Так как точки х^} k = 1,2,...,2ш , расположены симметрично
относительно начала координат, то Re52m(io) = 0» те- действи-
действительная часть интеграла /(?<>) точно вычисляется.
]?дАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 2ZZ
Для суммы Im5'2W(^o) отметим, что если h фиксировано
(т.е. и т фиксировано), а у -> О , то получаем
ton lmS2m{t0) = 0, A3.3.26)
так как при у$ -» 0 + О имеем
^j A3.3.27)
Для погрешности вычисления Im/(i0) можно получить сле-
следующую оценку
arctg , уи г- - arctg
arctg , yu r- + arctg
A3.3.28)
Из формулы A3.3.28) получается, что
Im/ft,) - Im52M(^)| ^ 4arctg-^-. A3.3.29)
Таким образом, при фиксированном шаге дискретизации отрезка
интегрирования в l{to) при вычислении ImS2m(*o) получаем тем
большую ошибку относительно Im/(?o)> чем ближе точка t$ к
отрезку интегрирования.
13.4. Сингулярный интеграл по кусочно-гладкой кривой
1. Пусть L является разомкнутой кривой Ляпунова, т.е. меж-
между точками т кривой L и точками t отрезка [а,Ь] существует
взаимо-однозначное соответствие т = x[t) такое, что производная
т'(?) = — принадлежит классу #(р) на [а, Ь] и не обращается в
(Л v
нуль на этом отрезке. В этом случае, как следует из леммы 1.1.1,.
функция
принадлежит классу #(Р) по обеим переменным на [а,Ь] и
обращается в нуль на этом отрезке.
278
Глава ta
Возьмем на отрезке [а,Ь] множества Е = {tk,k = 1,...,я} и
= {tQk,k = 0,1,..., я} ^образующие каноническое разбиение это-
этого отрезка с шагом А. Тогда скажем, что множества
зуют каноническое разбиение кривой L с шагом А. Введем еще
обозначения а =
.?&!*». где
[а), Ь=Щ и <
. Справедлива следующая теорема.
Теорема 13.4Л, Пусть y(t) принадлежит классу Н*на
разомкнутой кривой Ляпунова L и множества Ё = {т^,? = 1,...,я}
и Eqh = {xok,k = 0,1,...,я} образуют каноническое разбиение этой
кривой с шагом А. Тогда выполняется неравенство
где величина Цх^Аудовлетворяет неравенствам A3.3.8) и
A3.3.9). При этом величина в(хоу) определяется формулой
A3.3.14), если в ней заменить л(^о/>у^) на функцию
j, v, ц1 = тОу - а\ р - Toy и а—на число X = min(a, vp, ф).
Доказательство следует из формулы замены переменной в
сингулярном интеграле и суперпозиции функции класса Я [201].
Если v = 0 или ц = 0, то для величины в§тоу) в неравенстве
A3.4.1) надо произвести те же изменения, которые были указаны
в замечании 13.3.1. для величины oUoj) B неравенстве A3.3.14).
При рассмотрении только точек Toy, лежащих в окрестности,
скажем, конца а кривой L, неравенство A3.4.1) можно уточнить
следующим образом:
2v
A3.4.2)
КрАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 2Z2
2. Пусть теперь кривая L является кусочно-ляпуновской кри-
кривой, имеющей только угловые узлы, и состоит из / штук кривых
Ляпунова Lj,...,L/. На каждом из отрезков [<zm,bm], отобра-
отображающемся на кривую Lm , т = 1,...,/, возьмем каноническое раз-
разбиение с шагом hm, образованное множествами Ет =
= {*k>k = nm.t + 1,...,^} и ЕОт = {tQj,j = ят_! + 0,nm_i + 1,...
•'fhn}* по = 0 **. Обозначим
А= max Am.
m=l,...,/
и будем в дальнейшем предполагать, что hjhm <* R < +оо . В этом
случае и величина /г^/Атпри любых т,р = 1,...,/ остается огра-
ограниченной при h -> 0 . Обозначим теперь
=Z ^ ; = а1111111+аЯ2Я/
A3.4.3)
k = nm-\ +lf..-,«m» T0; =Tm(%)» J = пт-\ +0,...,Wm,
где xm(i)—отображение отрезка [вт,Ьт] на кривую Lw =5mfcm.
При описанных предположениях справедлива
Теорема 13.4.2. Пусть функция у(т) е Я* «й кривой L.
Тогда
/(тОу)-5(тОу)|<в(то/), У = ОА...,«i,iii+0,...f я/, A3.4.4)
гЭ^ величина Qycoj) удовлетворяет неравенствам:
1) Эля ec&r точек тоу , принадлежащих кривой V, являю-
являющейся частью L, не содержащей ее узлов вместе с некоторой их
окрестностью
б(т0у) й о(*^), 0 < ЗЦ < 1; A3.4.5)
2) Эля всех точек тоу, лежащих в окрестности узла 'а
' Это означает, что индекс ; , нумерующий точки множества Еот на кривой 1ОТ,
пробегают значения 0, 1, ..., Пт - rim.f.
ж.
Глава 13
(,1-V
, о
функция у(т) имеет в этой окрестности вид
7%
|т-3|
A3.4.6)
A3.4.7)
\|/(т) е Я(р), 0 < v < 1. Причем если v = О, тио правая часть
формулы A3.4.6) принимает вид
ММ)-
Наконец, отметим, что из A3.4.5) и A3.4.6) следует
справедливость неравенства
/=0
Заметим, что для функции у(т), принадлежащей классу Н*
на L, т.е. функции вида
(см. A.1.10)) всегда можно считать, что \|/(т) обращается в нуль
в узлах кривой L и принадлежит классу Н в окрестностях узлов.
Отметим также, что все дополнения, сформулированные пос-
после доказательства теоремы 13.3.2. относительно выбора сеток Е и
Ец и функции y(t,x), зависящей от параметра (см. A3.3.16)),
естественным образом обобщаются на рассматриваемый случай.
Выделим теперь два частных случая теоремы 13.4.2, которые
потребуются в дальнейшем.
Теорема 13.4.3. Пусть кривая L является объединением
отрезков [u,q\\J[qfb], a y(t) принадлежит классу Н* на L
(а < q <b). Множества Е = {tb,k = 1,...,я} и Eq =
= {tok>k = 0,1,...,я}, образующие разбиение отрезка [а,Ь] с шагом
h, выберем так, чтобы точка q лежала посередине между бли-
ближайшими к ней точками из множеств Е и Eq. Тогда
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 281
ь
У =
величина ©(fy/) удовлетворяет неравенствам:
1) б(*о;) < сЦй*1), 0 < ЗЦ ? 1, для всех точек
toj
2)
/=0
Теорема 13.4.4. Пусть функция )(t) принадлежит клас-
классу Н* на кривой L, которая является или объединением непере-
непересекающихся отрезков [ат, Ьт ], т = 1,...,/., или объединением
отрезков [am,qm], [qm,bm], qm е(ат,Ьт), т = %...,l. Если
выполняется первая возможность, то множества
Em = {tk>k = nm_i+l,...,nm} и EQm = {tokfk = nm^i+Of...tnTn} об-
образуют каноническое разбиение отрезка [ат,Ьт] с шагом hm,
ю = 1,...,/, Яо = О, если же выполняется вторая возможность,
то эти множества выбираются так, чтобы qm e Е$т. Тогда
где Atk=hm, k = пт^ +1,...,ят, /и = 1,...,/, и величина в|*о;)
удовлетворяет неравенствам:
1) в(*оу) ? о(ах*), 0 < А,! ^ 1, для всех точек
I
t0j e \J[am +8,6m -8], если выполняется первая возможность
I
для L, и toj e{J[am+b,qm-6]\J[qm+S,bm-S] , если выпол-
т=1
няется вторая возможность;
2) У]в(*О;)|А*О;| ^ ОшХ2 \, 0 < %2 ^ * » где Д^>У = *»» » У = ят-1
+0,...,пт , А = max Aw, и предполагаем А/Ат ? R <+со .
282 Глава 13
Замечание 13.4.1. Пусть на плоскости имеется произвольная
ляпуновская незамкнутая кривая L и на ней определена функция
у(?), принадлежащая классу Н*. Пусть на этой кривой выбраны
два множества точек Е = {t^k = 1,...,^} и ?<>* = {*0Ь
k = 0,1,...,я}, образующие каноническое разбиение с шагом h.
Тогда, если точка ?q приближается к кривой L по нормали к
точке ?о, лежащей вне некоторых окрестностей ее концов, то
рассуждениями, аналогичными рассуждениям в замечании 13.3.4.,
получим
|()()| f ±) A3.4.9)
ia ln±) .
Для вычисления Im/(io) также получаем, что 1т5п(^о) вы-
вычисляет ее с погрешностью, зависящей от h/p(to,L). Эта погреш-
погрешность может достигать величины
h/p(tQ,L) стремится к бесконечности.
когда соотношение
13.5. Соединение квадратурных и разностных формул для
сингулярных интегралов на отрезке и с ядром Гильберта
В аэродинамике [47, 281] приходится рассматривать интегро-
дифференциальное уравнение Прандтля, в котором имеется интеграл
A3.5.1)
где функция у '(?) принадлежит классу Н* на [я, 6], to e {а, Ь),
т.е. y(t) принадлежит классу Н* на [я, 6]. Такой же интеграл
встречается в плоских задачах дифракции Я поляризованной
волны на гладкой разомкнутой кривой [118, 122, 135].
Фактически к интегралу A3.5.1), если y'(t)eH* на [в, 6],
можно свести интеграл
IMJJMML A3.5.2)
который понимается в смысле конечного значения по Адамару
(см. A.6.5.)).
Интеграл вида A3.5.2) (см. также A.6.3)) естественным об-
образом возникает при сведении краевой задачи Неймана для урав-
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 283
'Я&ний Лапласа и Гельмгольца к интегральному уравнению с по-
помощью потенциала двойного слоя (см. §4.3.).
Представление интеграла /2(<о) по „формуле A.6.6) показы-
показывает, что он равен интегралу /(*о) при условии у (а) = у F) = 0.
Построим теперь квадратурно-разностную форму прибли-
приближенного вычисления интеграла A3.5.2). Пусть множества
Е = {tk,k = 1,--,я} и Eq = {tQk,k = 0,1,...,я} образуют канониче-
каноническое разбиение отрезка [я, 6] с шагом А. Результаты § 13.3. для
сингулярного интеграла по отрезку показывают, что для инте-
интеграла A3.5.2) в силу формулы A.6.6) естественно рассмотреть
квадратурную формулу
Сходимость квадратурной суммы A3.5.3) к сингулярному
интегралу A3.5.1.), а, следовательно, и к интегралу A3.5.2), ис-
исследована в § 13.3.
Построим теперь для интеграла A3.5.2) еще следующую
квадратурную сумму
= 0,1,..., я.
A3.5.4)
(где t$ = а , tn+i =6), которая получается следующим образом:
\ J(t)dt ^У y(t)dt A *?
a(t-t0J) k=O (tt) *0
-Wj-L-.^j-L-l.
Формулу A3.5.4) для «$21fy/1 можно эквивалентным образом
записать в виде
У = 0,1,...,я. A3.5.5)
Используя теперь формулы A3.5.3), A3.5.5) и результаты
§ 13.3, получим справедливость следующей теоремы.
284 Глава lj
Теорема 13.5.1. Пусть функция y(t) eH* на [я, 6], и точки
?о = а , t\,...,tn, tn+\ = Ь, разбивают отрезок [а,6] на п+1 равных
частей, a t^ является Серединой отрезка [^,^+i], k = 0,1,...,п.
Тогда для любого / = ОД,..., п выполняется неравенство
И A356)
где величина щ^оА обладает теми же свойствами, что и в теоре-
теореме 133.2.
Отметим, что квадратурные формулы вида 5*2 UqA можно
строить и для интеграла
)?№ (-3.5.7)
следующим образом. Представим
В последней сумме заменяем у^т~ '(tok) по разностной схеме
(у (^Ofe)~У ('о* ~l)J A • Продолжая этот процесс, получим
причем считаем, что у'т~ '(^оо)» ->У (^оо) = у(^оо) входят в coj^,
т.е. их не заменяем по разностной схеме (см. [177]).
При решении задачи Неймана для уравнения Лапласа на
замкнутом гладком контуре с помощью потенциала двойного слоя
в интегральном уравнении относительно скачка потенциала двой-
двойного слоя получаем интеграл вида (см. § 4.3.)
который надо понимать в смысле конечной части по Адамару или
в смысле определения 1.6.1. В смысле этих определений этот ин-
интеграл эквивалентно можно записать в виде
УРАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 285
/ГFО) = -2Jctg^—^-g'(e)dQ, 60 е [0,2я]. A3.5.10)
о
Пусть множества точек Е = {в^,Л = 1,...,я} и
?о = {&Ok>k = 1, •,«} выбраны на [0,2тс] как в теореме 13.2.3 и
функция G(9) е #j на [0,2я].
По аналогии с суммой 5*2 (fy/j Для интеграла /2(^0) > Для ин"
теграла /р(во) рассмотрим следующую квадратурную сумму
A3.5.11)
которую можно записать в виде
о V ^(М" gfoofe-iL,. 90ш - Qk Afl , 1 п
-^2-» ^ ^ 2 ok' "" "" '
A3.5.12)
полагая ^(в00) = д(вОп) •
Справедлива следующая теорема:
Теорема 13.5.2. При сделанных предположениях относи-
относительно функции д(в) и множеств Е и Eq выполняется неравенство
|/гК) - *Г,«(е0;1 * °(""а 1П П) A3513>
для всех У = 1,...,я .
13.6. Сингулярные интегралы, связанные с краевыми
задачами уравнении Лапласа и Гельмгольца
Как было показано во втором разделе, многие задачи аэро-
аэродинамики, а также теории упругости и дифракции сводятся к
краевой задаче Неймана. При этом, если желательно иметь еди-
единый подход получения интегральных уравнений для замкнутых и
разомкнутых кривых, то пользуются потенциалом двойного слоя,
расположенным на этой кривой. В результате приходят к урав-
уравнениям вида D.3.6) или D.3.7) для уравнений Лапласа или к
уравнениям вида D.3.22) или D.3.23) для уравнений Гельмголь-
Гельмгольца. В §§ 4.2. и 4.3. было показано, что интегральные уравнения
D.3.6), D.3.22) могут быть сведены к сингулярным интеграль-
интегральным уравнениям вида D.2.23) или D.2.24), а уравнения D.3.7),
D.3.23)—к сильно сингулярным уравнениям вида D.3.16),
D.3.17) в зависимости от того, замкнутая или разомкнутая кривая
286 Глава 13
L. Однако при решении конкретных прикладных задач такое све-
сведение делать нецелесообразно (оно необходимо для теоретических
исследований свойств интегральных уравнений), и поэтому жела-
желательно построить квадратурные формулы непосредственно для
сингулярных интегралов в уравнениях D.3.6) и D.3.22) и для
сингулярных интегралов в уравнениях D.3.7) и D.3.23), т.е. для
интегралов
J5
о Гммо
*.ЯД (*¦ Mo) = J*i(M> MQ)g>s{M)dsM + J K2(M, MQ)g{M)dsM,
. Ы\krMMf^m -У» + *к{'° 'X). (.3.6.2)
rMM0
K2(M, Mo) = -^-H$\kr
{L]A3.6.3)
и для интегралов
Интегралы /jsr,i,2(^o) и 1ы,Нл{к>Мо) более подробно напи-
написаны в уравнениях D.3.7) и D.3.24).
Так как несложно показать, что
1ы,нЛ°> мо) = lN,L,iiMo) > A3.6.5)
1Ы.НЛ{Ь Мо) = lN,L,i(Mo) , A3.6.6)
то подробные построения и рассуждения будем проводить для ин-
интегралов /лг,яд(*'Мо) и INtHa{k,M0).
Рассмотрим вначале интегралы с индексом 1 и для них квад-
квадратуры типа дискретных вихрей. Если кривая L задана парамет-
параметрически через длину дуги, то поступаем следующим образом.
Пусть множество Е = {M^k = 0,1,...,я,я+ 1} разбивает кривую L
на равные по длине участки дуги длины А, а точка
k = 0,1,...,л , длину дуги МкМь+х , к = 0,1,...,п, делит пополам.
Причем, если кривая L простая разомкнутая и ее концами явля-
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСЩ>5ТЦЫ% ВИХРЕЙ 2SZ
ются точки А и В, то будем полагать Mq = А, Мп+\ = В, а если
, кривая L является простой замкнутой, то Mq = Мп+\. В этом
случае вместо интеграла In,L,\ (^0/)» У = ОД,. •»я, будем брать
сумму
^и%^К*), A3.6.7)
если L — разомкнутая кривая , а если L—замкнутая кривая, то
суммирование по k от 0 до п. Оценка модуля разности
*AT,z,,l(MO;) ~ *SW,I,l(MO/), у = ОД,...,п, будет иметь вид A3.3.14),
если L — разомкнутая кривая (v=ja = 1/2) и вид A3.2.17), если
L—замкнутая кривая (имеется в виду, что L достаточно гладкая
кривая). Если же кривая L имеет угловые точки, то эти точки
надо отнести к узлам кривой L и рассматривать ее как кусочно-
гладкую кривую. Тогда точки М^ и Mqj надо выбирать, как в
теореме 13.4.2 , и оценка модуля разности получается по форму-
формуле A3.4.4).
Интеграл /лг,#,2(*>^0;)будем заменять суммой
или суммой
+±K2(Mk,M0j)g(s0k)h, A3-6.9)
k = i
если L — разомкнутая кривая, а если L—замкнутая кривая, то
опять суммирование идет по k от 0 до п (при этом полагаем
9{sQ-l) - 9{s0n) - Замечание об оценках модулей разности зцаче-
ний интегралов и сумм те же, что и в предыдущем случае.
Так как интегралы In,lAMq) и ^мЛМ^) шяются силь"
но сингулярными, то для них построим квадратуры вида A3.5.4).
При этом желательно использовать тот же принцип их получения.
288 : Глава lg
Квадратуры такого типа для ///^(Mq) получены в аэродинами-
аэродинамике [40, 165, 166] и получили название—дискретные вихревые па-
пары. Идея их построения основана на известном утверждении [173,
243] о том, что поле скоростей от потенциала двойного слоя по-
постоянной интенсивности по разомкнутой кривой (поверхности) L
для уравнения Лапласа равно полю скоростей от вихревой пары
( нити) той же интенсивности, расположенной на границе кривой
(поверхности). Это утверждение обобщается [282] на поле скоро-
скоростей от потенциала двойного слоя постоянной интенсивности по
разомкнутой кривой (поверхности) для уравнения Гельмгольца.
Рассмотрим поле градиента от потенциала двойного слоя для
уравнения Гельмгольца по разомкнутой кривой L с постоянной
плотностью д:
V = gradMo<I>(Mo) = VXJ + Ту, A3.6.10)
где
Ф(М0) = -IjJ JLflf \krMMQ)dsM, MoeR2\L.
Рассмотрим составляющую Vx этого поля
A3.6.11)
Из того, что функция Ханкеля является решением уравнения
Гельмгольца, т.е. *
krMMo)+k2H®(krMMo) = о,
следует (полагаем кгммп = z )
^\ а (я /о\. л
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
№2 °2(krMM0)y'dsM ¦
Для составляющей Уу аналогичными рассуждениями получаем
Подставляя полученные выражения для составляющих поля в
A3.6.10) и учитывая соотношение D.1.16)
представление A3.6.10) запишем в виде
F=i<
гмвм0
¦kr,
мвм0
-Щ \krMAM0)
2
ГМАМ0
A3.6.12)
Аналогично для поля скоростей от потенциала постоянной плот-
плотности по кривой L для уравнения Лапласа ( k = 0 ) получили:
V--9-
гмвм0
ГМАМ0
так как в силу формул D.1.17) - D.1.19)
A3.6.13)
19-2775
290
Глава 13
--L A3.6.14)
и формул D.1.6) - D.1.8)
lim^)(*rMMo)=O. A3-6.15)
Теперь для интегралов 1м91^1м^Л и /дг/^^Моу) возьмем
следующие квадратурные суммы, соответственно,
/6/(уо/ -yk+l) + XQj(
k=0
rM
A3.6.16)
Уб/(Уоу -
j = 0,1,...,и,
A3.6.17)
где Lm.m. —часть кривой L, заключенной между точками М^ и
Причем формулы A3.6.16), A3.6.17) имеют один и тот же
вид для замкнутых и разомкнутых простых кусочно-гладких кри-
кривых. Оценки для модулей разности /jv,L
имеют такой же вид, как в A3.5.13),
если контур L—замкнутый Ляпуновский и как в A3.5.6), если он
простой разомкнутый или кусочно-ляпуновский.
^рАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 221
В сжатом виде квадратурные суммы Ss,L2\Mojj и
можно записать в виде
A3.6.18)
J
= nMQj Zi 8radM0>&HAk\k> Moj)» A3.6.19)
где
A3.6.20)
19*
Глава 14
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО
ТИПА ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
И ОПЕРАТОРОВ
14.1. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта
Для построения квадратурных формул для интеграла
Шлл)
Напомним, что из D.2.17) следуют соотношения
1 2п G-G
JL jctg——5-sinwerfe = cosw60, n = 1,2,..., A4.1.2)
2л о 2
1 2? в-в
— jctg ° cos^erfe = ~sin^e0, w = o,i,... A4.1.3)
о
В тригонометрии известна формула
()
поэтому для любой периодической функции у(8) тригонометриче-
тригонометрический полином степени п
Уя(в) =
L,(efe)/f A4.1.5)
ой+1 2sin(e-efe)/2
удовлетворяет условию
Yn(efe) = y(e*), k = ox...,2n, A4.1.6)
если
7Т • 2й + 1 Л
Для этого достаточно заметить, что sin <х = 0 при
2* ' и Л< ^ I. sinBw + l)<x/2
я, 6 = 0,1,...,2я, lim
0
lim
а->0 sin а/2
fflA ЛРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА 233
Если теперь в A4.1.1) вместо функции у(б) подставить поли-
полином Уп(б) и полученную функцию обозначить через S(Qq) , то,
воспользовавшись равенствами A4.1.2) - A4.1.4) и равенством
— + cose+...+ cosn6 + i [sine+...+ sinn9] = - + 0j9+...+e"ie =
i\ e
2L 2
\
2sin6/2 2L 2 sin 6/2 J
получим для S(Qq) формулу
k=0
Отметим, что квадратурная формула A4.1.9.) точна для лю-
любого тригонометрического полинома степени я, так как в этом
случае уп(б) » у (в), и формула A4.1.9) дает точное значение ин-
интеграла /(в).
Пусть теперь функция у@) периодическая с периодом 2% и
принадлежит пространству Z/j» [0>2я], т.е. интегрируема на [0,2я]
с квадратом. Представим ее рядом Фурье
Тогда функция /(в0) имеет следующее разложение в ряд Фу-
Фурье (см. [174])
/FО) = 2я?]FЛ cos&e0 - ak sin*90). A4.1.10)
Отметим сразу, что из A4.1.10) следует
^llylL . A4.1.11)
Обозначим через Фп(б) сумму первых п членов ряда Фурье
для функции у (в), а для Фп(/(в)) —соответствующую сумму для
/(в0). Так как сингулярный интеграл по окружности сохраняет
гладкость своей плотности [100], то в силу A3.2.15) интеграл
294 ; Глава Ц
/(во) обладает теми же свойствами гладкости, что и функция
у(б). Следовательно, если функция у(в) € Нг(а) на [0,2я], т.е.
уМ(в) еН(а), то /(в0) еНг(а) на [0,2*].
Оценим точность квадратурной формулы A4.1.9). Имеем
/(80) - S(QQ) = Jctg—г-^[(у(в) -i
О
= /(во)-Фп(/(во))-
x[cte8*~e° ,
x[ctg 2 sin(e^eo)/2 J"
В [46, 203] показано, что в нашем случае
|у(б) - Фп(8)| <. C + In п)Еп A4.1.13)
для любого в из [0,2я], где Еп —наилучшее приближение функ-
функции у(в) полиномами степени п, т.е. Еп = inf max |у(в) - Рп(В)\,
где Pn(Q) —призвольный многочлен степени п , и
лг+а
где М—константа в условии Гёльдера для функции у ^F). Для
/(в0) - Фп(/(во)|, выполняется неравенство вида A4.1.13), так
как /(в0) е Нг(а).
Таким образом, из формул A4.1.8), A4.1.12) - A4.1.14)
получаем
для любого во € [0,2я].
Рассмотрим теперь формулу A4.1.9) в точках
ь+- у & = 0,1,...,2я если О^р^
п 2й+12я
ее» ^^Р^
2и + Г
A4.1.16)
КРДДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА 225
В этом случае точки 9<)m, m = 0,1,..,2п, являются корнями
функции cos (в^ -во), так как
cos—— F* -вОш) = с
2й + 1
Отметим, что
sin~Fb -6nJ = sin^-^^7c*0 A4.1.17)
для любых &,ш = 0,1,...,2л. Таким образом, в точках
2
В этом случае формула A4.1.15) принимает вид
A4.1.19)
ибо, как несложно показать,
*?- = О(\пп\ A4.1.20)
при /я = 0,1,...,2л.
Замечание 14.1. Из формул A4.1.2), A4.1.3) следует, что
оператор, ставящий в соответствие функции у(б) функцию /(во)
с помощью интеграла Гильберта A4.1.1): Г:у(в) -> /(во) > что ^У~
дем записывать в виде /(в0) = Г(у(в))), обладает следующим
свойством. Четные функции у(в) переводятся этим оператором Г
в нечетные и наоборот. Оказывается, что справедливы следующие
соотношения. Если у (в) является нечетной функцией, то
%(e)rfe = 2JJ^!^, (.4...2O
2
и
а если у(в) является четной функцией, то
fctg^Y(e)rfe = 2sineof f а
Д 2 w UJ cosв0-cos6
для любого в0 € [0,2тс].
22S Глава 14
Используя опять формулы A4.1.2), A4.1.3), получим соот-
соотношения (&q е[0,тг])
if cosnQdQ =_sin«e0 и = од A4.1.23)
п J cosGq - cos в sin 6q
if sinw6sine dQ = cosne0, it = 1,2,... A4.1.24)
n * cosOq -cos8
Сделаем теперь в равенствах A4.1.23), A4.1.24) замену пе-
переменной cose = х , cos6q = xq i 6,в0 е[0,7с], х,Хц е[-1,1]. Тогда
получим
1 f cos(n arccos x)dx sin(n arccos Xq)
- I H—T = ^7 \ ' w -At -, A4.1.25)
I T sin(n arccos x) ,
l VI - xr —± fdx
1 r sm(arccosx) t ч
— I * 1 = cos(narccosJtr0), n = 1,2,...
71 _l Xq-x .
A4.1.26)
Как известно [21], функция
Tn(x) = cos(«arccosx), я = 0,1,..., A4.1.27)
является многочленом степени п и называется многочленом Чебы-
шевва первого рода, а функция
» = t-, A4.1.28)
д,
sin(/2 arccos л:)
—гЬ Г' » = t-,
sin(arccos д:]
является многочленом степени й-1 и назывыается многочленом
Чебышева второго рода. Поэтому соотношения A4.1.25),
A4.1.26) можно записать так
п-ф-х2(х0-х)
A4.1.29)
A4.1.30)
ЙВДДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА 22Z
14.2. Сингулярный интеграл на окружности
Пусть функция y(t) принадлежит классу Яг(а)на окруж-
окружности L радиуса единицы с центром в начале координат. Рас-
Рассмотрим для нее следующий многочлен:
2п * 2п+1
J
(tЛ- 1± , A4.2.1)
(t-tk)t tk
т№ точки tb разбивают окружность L на 2й + 1 равных частей. С
помощью деления многочлена на многочлен несложно показывает-
показывается, что
yn{tk) = y{tk). k = 0,l,...,2n A4.2.2)
так как
J.2n+\ (л л. л. U Л А О
t \h t = tk> ft = 0,1,...,2
2/2 + 1 {t-tk)tntl [0, t = tM, m*k,
A4.2:3)
Последнее равенство следует также из соотношения
sinBw +1N/2 ,
—* и— = 1 + 2(cose+...
sine/2 n
sine/2
» +1 + **+...«« = Ц^~f
A4.2.4)
= **'
и формулы A4.1.16).
Из формулы A4.2.4) получаем
,,t A425)
sin(e-e,)/2 (t-tk)tntnk
Рассмотрим теперь сингулярный интеграл
J(*0) = Jy7^> A4.2.6)
где y(t) eHr(a) на окружности L. Обозначим через S(t0) функ-
функцию, получаемую из A4.2.6), если вместо y(t) в нее подставить
многочлен yn(t). Тогда, воспользовавшись равенствами
to, п ? 0, f = ^в ^ ^ = еМ0 f A4.2.7)
!
можно написать
L
In и \ ^
ет*~^2й + 1
1 (
1 ' 1
f 2n+l , ^2n+l 1
+n+n
0 ь 1
Глава 14
>
A4.2.9)
Заметим теперь, что, если y(t) e Hr(a) на L, то функция
У!(в) = y[eiQ) также принадлежит классу Яг(а). Далее из фор-
формулы A4.2.4) и A4.2.5) получаем
sin(e-eft)/2
2к
Поэтому
2я
2я + 1
A4.2.10)
A4.2.11)
о *=o
Используя теперь формулы A3.2.15), A4.1.15) и A4.2.11), по-
получаем справедливость неравенства
Найдем теперь корни функции (t$
$n+i
(Mil»
для чего заметим1
о-к) sin(eo-efe)/2
Следовательно, корнями рассматриваемой функции будут точки
*0т = expjвт и- * I, w = ОД,...,2п, т.е. tok делит пополам ду-
Поэтому для выбранных точек t$m будем иметь
ЙРАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА 292
m = 0,l,...,2n. A4.2.14)
Теперь, используя тождество
«V. i A A A
Ъьи 1 . Uu ¦— \/A}m 1 . „
7—7~ = ^<*g о + ^7*' A4.2.15)
ь* - tQm z z 2
можно написать
i Г2n А А 2л 1 О»
2
A4.2.16)
Окончательно, из формул A3.2.15), A4.2.11) и A4.1.19) получаем
1,...,2л. A4.2.17)
14.3. Сингулярный интеграл на отрезке
Обратимся теперь к интегралу /(ш,\|/,?0) по кусочно-гладкой
кривой L (см. A3.1.11)). Наиболее часто этот интеграл встреча-
встречается в случае, когда кривая L является отрезком [-1,1] и
o(t) = A + t)v(l - tf, 0 < |v|, |ц| < 1, y(t) e H(a). Одним из наи-
наиболее часто встречающихся способов построения квадратурных
формул для /(со,\|/,^о) является замена функции у(?)на интерпо-
интерполяционный полином yn(t) по системе многочленов Яп(?)
(я = 0,1,...), ортогональных на отрезке [-1,1] с весом ©(i). Обо-
Обозначим через tk (Л = 1,..,я) корни многочлена Pnip) (которые
попарно различны и лежат на (-1,1)) , а через yn(t) —многочлен
п d (А ,
A4.3.1)
который, очевидно, удовлетворяет условию
?иD) = Ч<*а). А = 1,.-,п, A4.3.2)
так как
Обозначим через S{t0) функцию /(со,\|/п,^о)» тогда получим
300 Глава 14
где введено обозначение
A4.3.4)
Пусть теперь fy/ (/ = 1,...,J?)—корни функции Qn(to). Тогда
формула A4.3.3) для S(t0) в этих точках получит вид
ik-1 n. A4.3.5)
В работе [ 137] доказано неравенство
-?п_, аA) A4.3.6)
ТС
с
где а(?)= |сэ(т)с/т, a En_\ —наилучшее приближение функции
\|/'(?) многочленами степени я-1. Поэтому, если функция
\|/(i) € Нг(а) на отрезке [-1Д], то Еп^ й Слп~г~а+ I, причем в
[128, 203] указаны точные константы в неравенстве для Еп_\. В
работе [246] показано, что S(tQm) = /((o,\|/,iOw)» когда \|/(?) яв-
является многочленом степени не более 2п.
В последнее время получены более точные оценки для этих
квадратурных сумм. Так в работе [194] показано, что, если
\|/(?) е#г(а), то при ?q б(-1Д) и достаточно больших п справед-
справедлива оценка
A4.3.7)
где <o*Uo) = «>u(*o) при ?0 е[0,1), e>"(tQ) = ov(t0) при ?0 е{-1>°] и
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА
301
со.
1
2М
п ри ц S1/2,
A-<б)"Г" при -1/2<ц<1/2,
(l — ^о)^ ПРИ -1<ц^-1/2,
1 при v^ 1/2,
2v-l
(l + ^o) 4 при -1/2<v<1/2,
(l + ?0)v при -l<v?-l/2.
Ранее [272] были получены для этой квадратурной суммы другие
оценки: если -1 < у,ц < 0, то для всех t$ е(-1Д) имеем
1
A4.3.8)
где у = max(v, ц); если же 0<у,ц, то для всех ?q e[-l,l] имеет
место также формула A4.3.8) , только в правой части нет множи-
множителя со(^о) •
2*-1
tu = COS П
* 2п
Если в качестве узлов взяты точки
kn
(k = 1,2,...,w) или tb = cos— (k = 0,1,...,я) , то получается сле-
следующая оценка
A4.3.9)
Отметим, что формула A4.3.7) более удобна по сравнению с
A4.3.8) тем, что не требует, чтобы v и ц были одновременно
либо отрицательны, либо положительны. При -l<v,n^-l/2
формула A4.3.7) дает более точную оценку. Однако, если
0>у,ц>-1/2, то формула A4.3.8) более удобна, так как во
многих задачах желательно, чтобы при этом функция
202
имела равномерную на [-1,1] оценку.
Формула A4.3.8) дает такую оценку при соответствующем а , a
A4.3.7)—нет. Действительно, пусть v=n = -l/4. Тогда в
A4.3.7) получаем, что умножение на ю"^) дает оценку
которая не ограничена на [-1,1]. При v, ц ? 1/2 преимущество
имеет формула A4.3.7).
Отдельно остановимся на случаях, когда чц = ±1/2, так как
они довольно часто встречаются в приложениях
1. Пусть v,\i = -1/2, т.е.
(I/2 A4.3.10)
Многочленами, ортогональными с этим весом на [~~1Д]> будут
многочлены Чебышева первого рода Tn(t) (см. A4.1.27)), а
функциями Qn(t) будут многочлены Чебышева второго рода, т.е.
в этом случае
ЛЧ A4.3.11)
см. A4.1.25).При этом в формуле A4.3.5) имеем
tb = cos it, k яв l,...,n;
n
iOy = cosmic, У = 1,...,11-1; A4.3.12)
n
2. Пусть v = \i =51/2, т.е.
(D(*) = Vl-i2 . A4.3.13)
В этом случае
{)
см. A4.1.26), ,
КРАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА
toj = cosj ,чя,
303
3. Пусть v = -1/2, ц = 1/2, т.е.
A4.3.14)
A4.3.15)
В этом случае
2k
An
% = cos 2(я + 1)*' ' = 1'"'" " A4.3.16)
Отметим, что для случая 1 в работе [235] для интеграла
/(ю.ЧЛ^о) предложена квадратурная сумма
и получена удобная оценка для всех t$ e [-1,1]
Inn
Is
2
A4.3.18)
Глава 15
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ
И МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
15.1. Квадратурные формулы для кратных сингулярных
интегралов типа метода дискретных вихрей
Рассмотрим кратный сингулярный интеграл типа Коши (см.
C.1.2))
1. Как и в главе 13, рассмотрение квадратурных формул для
интеграла /(?0) начнем в случае, когда остов L является тором,
т.е. произведением замкнутых кривых Ляпунова. Справедлива
следующая теорема.
Теорема 15.1.1. Пусть функция <р(?) еЯ на ш—мерном торе
L, и множества Ек = {*?,** = 1,...,я*}, Eok = {^,г* = l,...,rc*j
образуют каноническое разбиение замкнутой кривой Ляпунова
Lfc , k = l,...tm . Тогда для любой точки t$j = Iti- ,...,^. I тора L
справедливо неравенство
A5.1.1)
где Р > О, N = тах(я1,...,я$) и
< +оо при Л/' ->оо ,
М ^.1 im=i
Для доказательства рассмотрим случай m = 2 и Lj, L^ —
окружности радиуса единицы с центром в начале координат.
Можно написать
«.fly- '"o/jj
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
И
.2 Л
где
Воспользовавшись теперь результатами § 13.2., в сингуляр-
сингулярных интегралах, зависящих от параметра, получим
A5.1.2)
Так как N/щ й R + оо, k = 1,2 при N -> оо , то последняя
формула завершает доказательство теоремы 15.1.1. в рассмотрен-
рассмотренном частном случае. Замечание 13.2.3. об интегралах по ляпунов-
ским замкнутым кривым и неравенство A3.2.12) показывают
справедливость неравенства вида A5.1.2), а следовательно, и тео-
теоремы 15.1.1. в общем случае. При этом в неравенстве A5.1.2) оц
и <Х2 должны быть заменены с учетом гладкости кривых L\ и Z/j •
Отметим, что неравенство A3.2.13) показывает справедливость
теоремы 15.1.1 и в том случае, когда L^ , k = l,...,w , может быть
совокупностью непересекающихся замкнутых кривых Ляпунова.
2. Пусть теперь в кратном интеграле /(^о) остов L является
т—мерным параллелепипедом, т.е. L- L\x...xLm, где L^,
k = 1,..., т — разомкнутая кривая Ляпунова. Тогда справедлива
следующая теорема.
Теорема 15.1.2. Пусть функция <p(t) eH* на т — мерном па-
параллелепипеде L, множества Ek и Eok образуют каноническое
разбиение кривой L^ с шагом /^. Тогда для любой точки
tQj = (*q. ,—,*оу ) еЕ0 = EOix...xEOm справедливо неравенство
A5.1.3)
(Но/)) i=i(Ho/))
где величина 91 ^оу) обладает свойствами:
20-2775
306
Глава 15
1) для всех точек ?<)/ еЦх"х^т> гДе ^к ~часть кривой L ,
не содержащая концов этой кривой вместе с некоторыми их
окрестностями,
e^o/JsO^), Xt>0 A5.1.4)
2) для всех точек
t^) xi>o> A5L5)
;=0
где А = max^j,...,/^) и А/А$ ? /? < -но при А -> 0, k = l,...,/w .
Доказательство, Рассмотрим случай т = 2 , !*? = [0&,&&],
А = 1,2 являются отрезками действительной оси. Так как
еЯ* на L, то
4 N'iw
, k = 1,2, 0<vf, v§<l.
В силу теоремы 1.4.3. об интегралах, зависящих от парамет-
параметра, функция
имеет такой же вид, как и плотность сингулярного интеграла, ее
определяющего, т.е.
где
- 81Д2)» ^2 > 0 . Поэтому можем записать
ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
307
Учитывая теперь замечание 13.3.3. в конце §13.3 о функции
A3.3.16) и неравенство A3.3.7) совместно с неравенством
A3.3.14), получим
Воспользовавшись формулой A3.3.14) для ©mL I и
и соотношением h/h^ й R < +оо при h -> 0 , k = 1,2, получаем
справедливость неравенства A5.1.3).
3. Пусть теперь остов L является произведением кусочно-
ляпуновских кривых, имеющих только угловые узлы. Неравен-
Неравенство A5.1.3) с использованием неравенства A3.4.4) обобщается
естественным образом на этот случай.
4. Используя результаты §§ 14.1. и 14.2. для квадратур интер-
интерполяционного типа для сингулярного интеграла по окружности и с
ядром Гильберта, а также теорему 3.1.1 для кратного сингулярного
интеграла по тору, можно получить следующий результат.
Теорема IS.1.3. Пусть функция <f{t)eHr(X) на торе
Ek = u*ty = 1яП Eq
L\ хL2 = L, и множества E = u,
ik = l,...,Hfc} образуют каноническое разбиение окружности L^ ,
k = 1,2, радиуса единицы с центром в начале координат. Тогда
для любой точки i0;- = jtl. ,??. \mopa L справедливо неравенство
2mtj
2», +1 2«г +1
1пАГ
A5.1.7)
20*
308 Глава 1^
где т = {г\уГ2), X = (Xi,%2)> 8i u г2~произвольные сколь угодно
малые положительные числа, а N выбрано также, как в теоре-
теореме 15.1.1.
Доказательство этой теоремы почти повторяет доказательство
теоремы 15.1.1. с использованием оценок A3.2.4) и A4.2.17).
Причем понятно, как формулируется теорема 15.1.3. для произ-
произвольного числа сомножителей, т.е. для т - мерного тора.
Теорема, аналогичная теореме 15.1.3., справедлива и для мо-
модуля разности интеграла
2я2я д* _ ft! ft2 __ л2
= J f
0 0
A5.1.8)
и суммы
s(%\>%2)= A5.1.9)
? |li!k!L!ki f в? **
где точки в^ , в^. , г^ = 1,..., щ, k = 1,2, выбраны на
[0,2я] также, как и в § 14.1, т.е. будем говорить, что они обра-
образуют каноническое разбиение отрезка [0,2тс] для интеграла с
ядром Гильберта.
Отметим, что различного типа квадратурные формулы как
для одномерных сингулярных интегралов на окружности и с яд-
ядром Гильберта, так и для кратных таких интегралов получены в
работах [68, 71, 75].
В работе [274] для двукратного интеграла на прямоугольни-
прямоугольнике обобщена квадратурная формула вида A4.3.3) и получены
оценки вида A4.3.8) модуля разности этих интегралов и суммы.
15.2. Квадратурные формулы
для многомерных сингулярных интегралов
Рассмотрим сингулярный интеграл [191]
^u(x)dx, A5.2.1)
D Г
где
1) D — замкнутая ограниченная область на плоскости ?*2 с
границей, имеющей жорданову 2-мерную меру [256] , равную
нулю;
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 302
2) х = 1хг}х2) и xQ = (xq,Xq\ —точки области D, г = \х - у\,
а 6 = (х- y)jr —точка единичной окружности а в ?2;
3) плотность сингулярного интеграла и(х) абсолютно ин-
интегрируема на D и на любом замкнутом множестве F , лежащем
внутри D, удовлетворяет условию Я(ос);
4) характеристика f(xQ,Q) ограничена и при фиксированном
Xq непрерывна по в .
Если xq лежит внутри D, то интеграл A5.2.1) понимают в
следующем смысле
f l^%(x)dx> A522)
D\6(xo,s) Г*
где O^Xq} e) есть ^-окрестность точки х$.
В [191] показано, что для существования интеграла A5.2.1)
в смысле главного значения A5.2.2) необходимо и достаточно
выполнения условия
,6)rfa = 0. A5.2.3)
о
Рассмотрение квадратурных формул для интеграла A5.2.1) нач-
начнем в случае, когда D—прямоугольник | а1, Ь11 х | а2, б21 = I2 .
ПуСТЬ ТОЧКИ Xq = d ,х\,...,Х ,Х * = Ь И ТОЧКИ
Гоь...,#п„ образуют каноническое разбиение отрезка
\ak,bk , причем h/h^ ^ R < +оо при h -> 0 , где h = max{Ai,A2} ,
Для интеграла A5.2.1) рассмотрим следующую квадратурную
сумму
A5.2.4)
где
/ = f[xOk>XOm>Qij )>
31fl_
Глава
где ц и %2 — орты осей ОХ1 и ОХ , соответственно.
Определение 15.2.1. Характеристика f(xQ,Q) обладает свой-
ством /, если она нечетна относительно оси OXq или OXq , где
OXq задается уравнением xk = Xq , k = 1,2, т.е. если точки (х},хЛ
и (^2,Х2 I симметричны отноаггельно одной из этих осей, то
f{xo,Ql) = -f{xo,Q2), A5.2.5)
где 6^ = (xq -Х{)/\х0 -Х{\7 г = 1,2 , или f(xo,Q) нечетна относи-
относительно ТОЧКИ Xq = Ixq, Xq\ .
Справедлива следующая
Теорема 15.2.1. Пусть в интеграле A5.2.1) характери-
характеристика f(xQ,Q) обладает свойством I и непрерывно дифференци-
дифференцируема по декартовым координатам точек хр и в ее, а функ-
функция и(х) е#(а) на I . Тогда справедливо неравенство
где величина Ых^к> х^Лудовлетворяет соотношению
A5.2.7)
для всех точек #L, х$т, принадлежащих замкнутому мно-
множеству F , лежащему внутри прямоугольника I на ненулевом
расстоянии от его границы.
Действительно, рассмотрим модуль разности
- S(xok>
с km
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
311
с km
Чт\
¦fern
A5.2.8)
где
Г™" =
Чт = Dk> хот) <
Выражение для \Р преобразуем следующим образом:
t=0;=0ni;.
A5.2.9)
где TIjj —частичный прямоугольник из разбиения J , имеющий
своим нижним левым углом точку Mij = \x},xj).
Произведем теперь оценку каждой из сумм 1х.Р> X = 1,2,3
212.
Глава
2
2% A
—
r
= Aj2ha\ 64 + 8я[1п A - ln-У = dha\lnhfj,
A5.2.10)
где м - My й A>J2h(X , A — диаметр области интегрирования.
Потом получим
S Я
/0
1|/Z • ^
л ЗА . Д . ^
1 f dr г dr _
14 ' ^» I О I —
#2 #2
2 ЗаЛ° 4
+
21"аАа
A5.2.11)
где
< \r^m + h^2\ r^f1 й 3 при любых к, m, i, j.
Наконец, для \$Р будем иметь
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
313
A5.2.12)
Для исследования поведения разности 2^ заметим, что рас-
расположение точек Лид:),.Гу1 по отношению к каждой из точек
Mokm[xok>xOm) обладает следующим свойством: если считать
точку MQkm началом координат и мысленно провести через эту
точку оси, параллельные исходным осям координат, то для любой
точки Mjj, лежащей в окрестности точки М^т, существуют точ-
точки Мij в этой же окрестности, симметричные точке Мц относи-
относительно точки Мо?т, а также относительно каждой из осей. Так
как функция f(xQ,Q) обладает свойством /, то она принимает в
точках М\ и М2, симметричных либо относительно осей OXq
или OXq , либо относительно точки Мо , значения, равные по аб-
абсолютной величине, но разные по знаку. Итак, в рассматриваемом
случае получим
2^ =
A5.2.13)
где FJIm —множество всех частичных прямоугольников, таких, что
они лежат в 5 —окрестности О(8,М<)?т) точки Мо^щИ их левые
нижние концы образуют множество, симметричное относительно
самой этой точки и осей OXqA или ОХо„ . Поэтому
314
Глава 15
i
t=0
/=о
Я
г
«II
km
кт
A5.2.14)
s,*
L=
, max
В силу свойств функции /"(хо,в) получим
2P<>LCX
A5.2.15)
(ь-Щ
так как, проводя над последней суммой в формуле A5.2.14) рас-
рассуждения, аналогичные рассуждениям при вычислении yiP и
13^, имеем, что эта сумма имеет порядок А. Из полученных оце-
оценок для ijP , t = l,2,3, и для 2? вытекает справедливость нера-
неравенства A5.2.6).
Отметим, что неравенство A5.2.6) остается в силе, если вмес-
вместо прямоугольника I2 брать любую замкнутую ограниченную
(можно и неограниченную, но тогда надо оговаривать условие по-
поведения функции U на бесконечности ) область D на плоскости с
границей, имеющей двумерную жорданову меру, равную нулю.
При этом квадратурную сумму надо составлять следующим обра-
образом. Возьмем прямоугольник П, содержащий область D, и разо-
разобьем его параллельными осями координат прямыми с расстоянием
h между соседними по i-й , г=/, 2 координате на прямоугольни-
прямоугольники. Те прямоугольники, которые полностью вошли в область
D, перенумеруем и обозначим П^, i = l,...,n. Через Хщ обозна-
обозначим центр прямоугольника Щ, а через х+ —левый нижний угол
этого прямоугольника. По этим выбранным точкам и строится
квадратура.
Оказывается, если характеристика f(xQfQ) не обладает свой-
свойством /, то неравенство A5.2.6) может не выполняться при про-
произвольном соотношении между h\ и k^. Например, функция
Дх(),в) = cos2q> (где <р — полярный угол точки х относительно
точки .Tq ) не обладает свойством /, и для нее неравенство
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 315
A5.2.6) справедливо только при Aj=A2- Действительно,
cos2(<p + я/2) = cosBq> + п) = -cos2q>. С другой стороны, все точки
Му, лежащие в круге с центром в точке М^т, можно разбить
на пары, в которых одна точка будет получаться из другой пово-
поворотом на я/2 вокруг точки Mq^ .
Для функции f(xQ,&) я cos4q> похоже, что неравенство
A5.2.6) не будет выполняться и при h\ = h% = h .
Действительно,
j?2^Wd*2=0, A5.2.16)
k r
где К—круг радиуса J? с центром в начале координат. Возьмем
квадрат / , описанный около К, со сторонами, параллельными
осям координат. Будем брать разбиение /2 на квадратики со сто-
стороной h указанным выше способом так, что начало координат бу-
будет центром квадратика, его содержащего. Полагаем
Расчеты показали, что при h\ = jR/5 и при h^ = R/10 получаем
Vh =-8 + 0,552, Vh =-8 + 0,486.
Замечание 15.2.1. За точки х{ необязательно брать левые
нижние углы прямоугольника Пг или какой-нибудь другой угол.
Можно зад^ брать середину одной из сторон в прямоугольнике
П,, но одноименной для всех. Важно, чтобы точки Х{ обладали
одним из свойств симметрии относительно каждой из точек Xqj ,
указанных в свойстве / для характеристик.
15.3. Квадратурные формулы
для сильно сингулярных интегралов
При решении задачи Неймана с помощью потенциала двой-
двойного слоя получается сильно сингулярное интегральное уравнение
E.3.5) относительно плотности скачка потенциала двойного слоя,
которое в случае выполнения граничного условия на части плос-
плоскости OXY принимает вид
316 : Глава 15
Интеграл /(*о>#о) = l(Mo) в A5.3.1) понимается в смысле
конечного значения по Адамару [5J и определяется следующим
образом:
Ia W(Mo>V | [xQ - X)" +{Уо - У) |
A5.3.21
где 0(Мо,б) —окрестность радиуса 8 точки Mq (рис. 15.1).
Теорема 15.3.1- Инте-
О(М0,е) / грал A5.3.2) существует для
любой точки Мо ес'
р(М0,гра)>0, если функ-
/ Смо,е) J \ ) I ция ^(М) имеет первые
частные производные, удо-
удовлетворяющие условию
я(«).
Рис. 15.1. к определению гиперсингулярного Доказательство. В
интеграла на плоскости формуле A5.3.2) справа
сделаем следующие преобразования:
г у(М) - g(MQ) - д'х(М0)(х - xQ) - д'у{М0)(у -:
o\O(M0,s) rMM(
0
+
9(Мо)
о\6(М0,е) ГММО о\О(М0,е) гММ
J ?
J (
а\О(М0,е) ГММО
+ g{Mo)h{xo> Уо) + д'х(МоIз(*о> Уо) +
Так как первые частные производные функции д(М) при-
принадлежат #(а), то подынтегральная функция в /i(*o>#o) имеет
особенность вида г^?а A ^ а > 0), т.е. I\(xQ,yo) абсолютно ин-
интегрируем. Интегралы /з(*о,Уо) и 1а{хО>Уо) существуют как
сингулярные интегралы в смысле главного значения Коши [191].
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
317
Рассмотрим теперь ^(^O^o)» пеРеВДЯ в нем к полярным коорди-
координатам с центром в точке Мq :
2я р(ф) df, 2n
О е
2я
Таким образом, разность
A5.3.4)
не зависит от 8 , поэтому ее предел при s ^ 0 существует.
Замечание 15.3.1. Формула A5.3.4) показывает, что опреде-
определение сильно сингулярного интеграла 1(х$,уъ), данное формулой
A5.3.2), не зависит от выбора первообразной для функции ^
В дальнейшем предполагаем вы-
выполнение условия теоремы 15.3.1.
Рассмотрим теперь квад-
Of ратурные формулы для сильно
сингулярного интеграла
I(Mq) . Разобьем область а
на квадратики со стороной h и
возьмем только те из них, ко-
которые целиком принадлежат
Рис. 15.2. Вычислительная схема для ги- ° ¦ Пронумеруем их и будем
персингулярного интеграла на плоскости, обозначать Gj , i = 1,..., fl.
Разбиение на квадратики тт • •
F Центр Gj будем обозначать
MQi (рис. 15.2.). За квадратурную сумму 1п\М^Л для интеграла
будем брать сумму
dxdV /_! п A5 3S)
Верна следующая теорема.
Теорема 15.3.2. Для всех точек Mqj , р^Моу; гра| ^ 8 > О
справедлива оценка
A5.3.6)
если \д%х\ у 9ху\» \9уу\ - С, где С—некоторая константа.
318 Глава lfi
Доказательство. Согласно формуле AS.3.3) преобразуем
разность
l(MOj) - In(M0j) = t fMzAlHixdy = A5.3.7)
rMMQ
rMAf0/
i) J
где Ag(M,Мш) = ^(М) - g(MQi) -g'x{Moi)(x
Рассмотрим каждое слагаемое I^JMqA , k=\,2, 3 в отдельности.
Для /^(Моу) имеем
/luK).
4SK) 9K) A5-3.8)
Так как
\ A5-3.9)
где Л не зависит от точки и я, то с использованием полярных ко-
координат получим:
| ^L A5.3.10)
в силу того, что радиус описанной около квадрата су окружности
равен h42J2. Далее
ЦММО/ e\OjMMoj аДв М
A5.з.Ц)
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 212
где аДаЛ — круг с центром в точке МОу, описанный около a
(вписанный в а;), радиуса /?(й/2).
Рассмотрим теперь I^IMqA . Имеем
*=l
- g'x(M0j)± j
l
ГММ0/
A5.3.12)
Исследуем теперь каждое слагаемое в A5.3.12). Так как для
всех г * j справедливо неравенство
О < 9\ < rMoiMQj/rMMQj ^2, A5.343)
то для ^21^0;) имеем
АШп^ + 1пл], A5.3.14)
v h J
где В — наибольшее значение модуля вторых частных производ-
производных функции д{М).
Для исследования разности 7^ЛМоу|-/^2(Моу|заметим, что
A5.3.15)
для любого круга 5у с центром в точке Mqj и будем полагать его
радиус, равным 8/2. Если h существенно меньше 8/2, то рассмат-
рассматриваемое разбиение области обладает следующим свойством: или
точки Мщ и Мо; лежат на одной вертикали и тогда х^ = Хоу,
или для точки МQi существует такая точка Мо^ i что y<)t = Уоц »
*(Н - *0; = ~(щ "" 4j) г а тогда
320
Глава 15
J
A5.3.16)
rMM
0J
rMM
Qf
так как а^ и a^ симметричны относительно прямой у = yOj-. Из
последнего следует, что сумма тех слагаемых из I^UMqA, для
которых точки Mqj лежат в ay, равна нулю. Поэтому для ис-
исследуемой разности имеем
где В, —наибольшее значение д'х на a, a a* —круг радиуса R с
центром в точке Mqj , содержащий область a .
Таким образом, из A5.3.12), A5.3.14) и A5.3.17) следует, что
для всех точек Mqj таких, что р(Мо/;гр<т| > 6 > 0 .
Так как рассматриваемое разбиение а обладает аналогичным
свойством симметрии и относительно прямой х = Xqj , то и для
1п з I Mqj 1 справедлива оценка вида A5.3.18).
Теорема доказана.
Замечание 15.3.2. Если в теореме 15.3.2. потребовать, чтобы
9х и. д'у принадлежали классу #(<х) на a, то, как несложно за-
заметить, из рассуждений в теореме получим, что оценка в
A5.3.6) будет иметь вид ol ha In—J.
Замечание 15.3.3. Полтавский Л.Н. [171] улучшил оценку
A5.3.6) следующим образом. Пусть а —область с бесконечно
дифференцируемой границей Г, тогда, если д(х,у)~
Д>ОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
I, где \|f*x и \\fry e #(<x) на а, a ? 1/2, p(#, y) -
расстояние от точки Л/(дг, у) € а до гра , то имеет место оценка
A5.3.19)
Замечание 15.3.4. На рис. 15.2. к теореме 15.3.2. область <т
изображена в виде прямоугольника, однако из доказательства ее
следует, что она справедлива и для
любой области а плоскости OXY
с границей, имеющей жорданову
меру, равную нулю.
Замечание 15.3.5. Так как
рассуждения в доказательстве тео-
теоремы 15.3.2. имеют локальный ха-
характер, то она справедлива и в том
случае, когда а является поверх-
поверхностью в пространстве OXYZ, со-
составленной из плоских кусков. На-
пример, а —поверхность прямо-
угольного параллелепипеда или
любого многогранника.
Пусть теперь а —
равнобедренный треугольник ABC,
АВ = ВС . Разобьем каждую из его
сторон на одинаковое число равных
Рис. 15.3. Вычисление гиперсингу-
лярного интеграла
на равнобедренном
треугольнике при разбиении
его на подобные треугольники.
Расчётные точки берутся
на середине высоты
частей и соединим прямыми, параллельными сторонам, попарно
точки разбиения на разных сторонах треугольника. Получим раз-
разбиение ААВС на равные треугольники, ему подобные (см. рис.
15.3.). Через середины отрезков разбиения сторон АВ и ВС про-
проведем прямые, параллельные стороне АС} а через точки разбиения
этих сторон и точку В проведем прямые, перпендикулярные
стороне АС. Точки пересечения этих прямых возьмем за расчет-
расчетные точки Мо;, а соответствующие треугольники обозначим of-,
i = 1,...,я, т.е. точка Mqj лежит на середине высоты треугольни-
треугольника О}, поведенной к стороне, параллельной АС.
Теорема 15.3.3. Для построенного разбиения ААВС спра-
справедлива оценка A5.3.6), если через h обозначить наименьшую
длину частичных отрезков на сторонах ААВС.
Доказательство этой теоремы практически почти совпадает с
доказательством теоремы 15.3.2. Отличие будет только в доказа-
21-2775
322 Глава 15
•гельстве оценки для 1пцМцЛ, для чего заметим следующее. Для
точки Моу для каждой разности j/oi ~ Voj имеется множество
треугольников, образующих полосу, параллельную стороне АС, и
симметричная ей относительно прямой у = #о/ полоса, заполнен-
заполненная треугольниками разбиения а^ такими, что #Oi ~ Voj =
= -\У0ц ~"Уо/)- Поэтому в формуле A5.3.12) для /п3(Мо;) сла"
гаемые в /^JlMoyl и ^з(^0;) ВНУТРИ некоторой окрестности
точки Mqj взаимно уничтожаются, а вне этой окрестности будет
справедлива оценка вида A5.3.17) . Теорема доказана.
Замечание 15.3.6. Из доказательства теорем 15.3.2 и 15.3.3
следует, что они будут справедливы и в следующих случаях. Если
д(М) зависит только от х (от у), то разбиение должно быть из фи-
фигур, симметричных относительно прямых х = хщ ( у = у^ ), и точки
x0i (У(нХ 1=1,...,я, должны обладать свойством нечетности относи-
относительно этих прямых. В общем случае разбиение а надо строить из
фигур а,- и точки Мщ должны так быть выбраны на <*{, чтобы эти
точки и фигуры были симметричны относительно прямых, парал-
параллельных осям координат и проходящих через точки MOi.
Замечание 1S.3.7* Рассмотрим интеграл
[(*-*0J+(»-j,0J
где а —треугольник с координатами вершин @,0), II, V31, B,0) в
точке Mo(l,v3/2j. Точное значение его в этой точке равно 1.1257.
Вычислим его во квадратурной формуле вида A5.3.5) для
разбиения области, изображенной на рис. 15.3. Если расчетные
точки М(и лежат на серединах высот (см. рис. 15.3.), то при
разбиении на 100 частей и далее 1п(Мо) отличается от 1.1257 не
менее, чем в третьем знаке после запятой, а при отклонении рас-
расчетных точек от середины высоты уже на 0.01 значения 1п()
колеблются при увеличении п от 1.06 до 1.18
ДЮРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
323
15.4. Квадратурные формулы для сингулярного
интеграла крыла конечного размаха
Как было показано в § 7.4., задача циркуляционного ста-
стационарного обтекания крыла конечного размаха прямоугольной
<Ьормы в плане может быть сведена к интегральному уравнению
G.4.3) относительно скачка потенциала двойного слоя на крыле
или к уравнению G.4.7) относительно производной скачка потен-
потенциала двойного слоя по переменной х, т.е. относительно попереч-
поперечной составляющей вихревого слоя на этом крыле. При этом инте-
интеграл в G.4.7) получается из интеграла в G.4.3) с помощью инте-
интегрирования по частям по переменной х с учетом известной ин-
информации G.4.4) о поведении скачка потенциала двойного слоя
на части границы крыла. Запишем интеграл в G.4.7) в виде
dxdz,
A5.4.1)
где ст —часть плоскости OXZ , занимаемая плоским схематизиро-
схематизированным крылом, a y(xfz) = g{fX(x,z).
В силу результатов предыдущего § 15.3. получаем, что инте-
интеграл A(xq,Zq) существует для любой функции y(xfz) такой, что
yf2(xyz)eH(a) на а или, если а является прямоугольником
[-6,6] х [-/,/] ([-6,6] на оси ОХ, [-/,/] на оси OZ), то
y'2(x,z)eH* на а. Это утверждение можно доказать и непо-
непосредственно [39], если по аналогии с формулами A.6.5) и
A5.3.2) определить интеграл A(xo,zo) следующим образом:
8->0
я
2 г /
A5.4.1!
где O(s,*0) = {(*,*);|z - zQ\ < s}, I2q = c(]L2q , a L2q -прямая, за-
задаваемая уравнением z = z$, и
\\f(x,xQ,z,z0) =
Xp-X
21*
324
Глава 15
Если а является прямоугольником, то в силу определения
A5.4.1) интеграл A(xq,Zq) можно записать в виде повторного ин-
интеграла
Ъ I
-6
A5.4.2)
где
1 = 1 +
Если теперь во внутреннем интеграле в A5.4.2) провести ин-
интегрирование по частям, то получим
Sri т' ш ¦ л. **. ¦ ~ш~ 'w~л ш /a i
A5.4.3)
*\ \Zr\ - /М-Яп - ^
где К2{х,xQ, z, z0) = х0 - д: + ^х0 - л:) + (z0 - 2) .
В аэродинамике большой интерес представляют также области
а, которые ограничены прямыми г = -/ и 7 = /, а также графиками
функций #2 = *2(г) ^ *| = *i(*)» которые принадлежат классу #j
на [-/,/]. В этом случае интеграл A(xq,zq) опять будем определять
формулой вида A5.4.11) которая теперь получит вид
г2 (xzz
8
8->0
где D = [-Z,^o"
A5.4.4)
и
*
= J
Видно, что Л(д:о,го) существует, если функция
,Zo)/dz еН* на [-/,/] равномерно относительно jcq и
^о. Но такой критерий не очень удобен для проверки. Поэтому
рассмотрим одиц более частный случай области а, который тре-
требуется в задачах аэродинамики.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 225
Определение 15.4.1. Назовем область а канонической тра-
трапецией, если она ограничена прямыми z = -/, z = / и прямыми
*"(*) = tf° + *b°f x\z) = ax+zb\ x+(z)>x~(z). A5.4.5)
В дальнейшем, соответственно терминологии в аэродинамике
[34, 39, 47] будем называть x'(z) передней кромкой, a x*(z) —
задней кромкой.
Случай канонической трапеции сводится к прямоугольнику с
помощью отображения F прямоугольника D = [0,1] х [-/, /] плос-
плоскости OX Z на область а, которое определяется формулами
х = x(x\z) = x*[x+{z) - *"(*)] + x'{z\
При этом точка ^4>*о) перейдет в точку (^о^о)
Якобиан / отображения определяется формулой
J(z) = x+(z) - х-(ж) > 0, 2 е [Ч /]. A5.4.7)
Для канонической трапеции а интеграл
A(xq,zq) существует для любой функции y(xtz) такой, что
функция y'Jxlxi)z\z) eH* на прямоугольнике D.
Рассмотрение квадратурных формул для интеграла A(xq,Zq)
крыла конечного размаха начнем для прямоугольного крыла, ко-
который в этом случае записывается формулой A5.4.2). Пусть
точки Х\,...,хп и #00'-?01>"-'*0п образуют каноническое разбие-
разбиение отрезка [-Ь,Ь] с шагом h\, а точки z\,...,Zn и zqq,zq\,...
• -7zon —каноническое разбиение отрезка [-/,/] с шагом Й2-
Предполагаем, что h/h^ <> R <+со, ? = 1,2, А = max(Aj, A2) • При-
Применяя по координате х принцип построения квадратурных фор-
формул для сингулярного интеграла из § 13.3, а по координате z—
принцип построения суммы •S^fao/) B формуле A3.5.4), для
A{xq,Zq) рассмотрим следующую квадратурную сумму:
K2\xiyx0jyzk+lyz0m]
=:0 X0j
~ x
zQm " zk+\
326 Глава 15
K2[xi>x0j>2k>zQm)
2Qm -
hif A5.4.8)
где обозначено zq = -/, ?дг-И = ' •
Заметим, что формула A5.4.8) может быть записана в виде
S[*Oj>*0m) = Z ??(**>z0k) J —7
где функция К\(х,Xq,z,Zq) определена в A5.4.2).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 15.4.1. Пусть область о в A5.4.1) является
прямоугольником, и функция y(xt z) такова, что у'2(х,г) принад-
принадлежит классу Я* на а. Тогда для любой точки (*0;,г0тЬ
У = ОД,...,я; т = 0,1,...,N, выполняется неравенство
A5.4.10)
где величина б(*о/>2От) характеризуется соотношениями:
1) для всех точек Ixqj, z^j e [-b + 8, Ь - 8] х [-/ + 8, / - 8],
8 > 0 —сколь угодно малое,
в^оу,*^)*^), 0 <*!*!; A5.4.11)
2) для всех точек (*о/,гОт)
S Z^oy^Om^^^), 0<X2il. A5.4.12)
у=0 т=0
Доказательство. Перепишем формулу A5.4.8) следующим
образом
, г0т) = Ъ
i
A5.4.13)
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
32Z
Сравнивая теперь вид A5.4.13) для суммы 5(*o/'*Om) и ВИД
A5.4.3) для интеграла А\х^у2^тЛ1 а также применяя результаты
§13.3. и §15.1., получаем справедливость неравенства A5.4.10).
Пусть теперь областью интегрирования в интеграле A(xq,Zq)
(см. A5..4.1)) является каноническая трапеция а . Так как в силу
определения A5.4.4) в этом интеграле можно произвести инте-
интегрирование по частям, по переменной г, то справедливы следую-
следующие равенства
А{хо> zo) =
(zo-z)
1
{z0 -
K3(x\xlz,zQ)
где
4> ^o) - x{x\ г)] + (г0 - zf .
Пользуясь формулой A5.4.14) для случая канонической тра-
трапеции, построим квадратурную сумму следующим образом.
Возьмем точки х\,...ух\ и XQQ,XQi,...,xln, образующие кано-
каноническое разбиение отрезка [0,1] с шагом h\, а также точки
Zi,...,zN и zOq,Zqi,...,z0N, образующие каноническое разбиение
отрезка [-/, /] с шагом Й2. Предполагаем, что h/k^ ? R < +оо,
k = 1,2, А = max^, A2) ПРИ А ~> 0 .
Через #i,*(*u>**)> ^i,0feD0/fe^0fe) и BoiflkfaoiflkiZQb) обо-
обозначим точки канонической трапеции д, являющиеся образами
точек B\k(x\yzk)y B\Qk{xlzQk) и ^(^Ш^о^ соответственно,
328 Глава }g
прямоугольника D при отображении F, определяемом формулой
A5.4.6). По аналогии с суммой A5.4.8) рассмотрим сумму
()
р у
чг чг <f(xi>zok)
K3\xh x0j> zk+l>2Om) K3\xi>x0j> zk> zQm)
z0m - zk+i 20m ~ zk
A5.4.15)
которая является дискретным аналогом интеграла A(xo,Zq), дан-
данного'в формуле A5.4.14).
Если теперь записать сумму SlxQj,ZQm\ в виде, аналогичном
виду суммы Slxoj,ZQm\ "в формуле A5.4.13) и воспользоваться
представлением интеграла A{xq}Zq) в формуле A5.4.14), то уви-
увидим, что справедлива следующая теорема.
Теорема 15.4.2. Пусть область а является канонической
трапецией, и функция y(x,z) такова, что sf уЫ-г1,^*}] dz eH*
на прямоугольнике D = [0,1] х [-1Д] • Тогда для любой точки
\x0j,0m>20m) у J = Wt•• >я; т = 0,1,...,N , выполняется неравенство
|Л(*0;,0т> z0m) ~ S(x0jflm> z0m)\ * e(x0;,0m» z0m) = 6lD;>г0т) »
A5.4.16)
где величина 9i(^o/^Om) удовлетворяет неравенствам A5.4.11) и
A5.4.12).
Отметим, что формулу A5.4.15) можно записать так:
A5.4.17)
^2dz-
Zk (z0m - z) .
15.5. Примеры вычисления сингулярных интегралов
1. Справедливо равенство
. Xq - X
A5-5.1)
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
329
Произведено вычисление этого интеграла по квадратурной формуле
A5.5.2)
для равномерной схемы с шагом h = 2/(я +1). Результаты расче-
расчетов приведены на рис. 15.4 (сплошная линия—точное решение,
xx-h = 2/ii, 00-Л = 2/41.
/С*о)
2,0
1,0
-о,
8-0,
/
6-0
/
,4-(
),2/
z
/
/
0 0,2 0,4 0,6 0,8
-1,0
-з
0
Рис. 15.4. Вычисление сингулярного инте-
интеграла по равномерной сетке
2. Для интеграла вида
v 1
= 1
приведены расчеты по равномерной схеме: на рис. 15.5.
A5.5.3)
1,2 Х<Г °'044
0,8 ,
• о о о о о °
о
а
•
¦
1,6
1,2
0^
х(
¦
),6
-1,0 -0 6-0,2 00,2 0,6 10 -1'0 -°>б .2 0 0,2 0,6 1,0
Рис. 15.5. Вычисление сингулярного инте-
интеграла в A5.5.3) по равномерной сетке для
х0 =0.0441.
Рис. 15.6. Вычисление сингулярного
интеграла в A5.5.3) по равномерной
сетке для х0 =0.6 .
330
Глава 15
(сплошная линия—точное значение, хх - h = 2/9, 00— h = 2/17 )
для xq = 0.0441 и на рис. 15.6. (сплошная линия — точное значе-
значение, хх- 8 точек, 00- 16 точек) для хц = 0.6. При этом исполь-
использовалась формула
]' = 1,...,щ; т = 1,...,п2. A5.5.4)
При расчетах брали h\ = h2 = h .
3. Вычисление интеграла A5.5.3) по неравномерной сетке,
соответствующей рассматриваемой весовой функции, подтвердили
ее преимущество перед равномерной сеткой, показанное теорети-
теоретически. Использовалась квадратурная формула
2ni
-xiXzQm-zk)
2г-1
4тс
2я + 1
-sin
при
= п2 = п.
A5.5.5)
Вычисления, приведенные на рис. 15.7. (сплошная линия —
точное значение, , хх- 8 точек, 00- 16 точек), показали, что
^Ю A5.5.6)
для всех У и т.
Однако, когда весовая
функция неизвестна или
имеет сложный вид, то для
получения предварительной
информации предпочти-
предпочтительней равномерная схема.
1,2
0,8
-1,0 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6
Рис. 15.7. Вычисление сингулярного интеграла
в A5.5.3) по неравномерной сетке
Глава 1*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ПУАНКАРЕ—БЕРТРАНА
С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
16.1. Одномерные сингулярные интегралы
Напомним, что в § 1.4. была указана формула Пуанкаре-
Бертрана A.4.7) перестановки порядка интегрирования в одно-
одномерных сингулярных интегралах на произвольной кусочно-
гладкой кривой L:
dt [4{t,t)dx_t.t 4{t,x)dt
где функция <р(?,т) имеет вид A.4.6).
В этом параграфе дадим доказательство формулы A6.1.1)
для кусочно-ляпуновской кривой L, имеющей только угловые уз-
узлы, с помощью представления сингулярных интегралов квадра-
квадратурными суммами.
Пусть вначале L — отрезок кривой [а,Ь]. В этом случае фор-
формула A.4.6) получит вид
A6л.2)
где ф*(*,т) е #(а) на [а,Ь] х [а,Ь], vk,yikz0, k = 1,2, V! + v2 < 1,
И1+Ц2<1-
Рассмотрим интеграл
l) *Г^' ^е(«,6). A6.1.3)
а °а
Возьмем на отрезке [я,Ь] множества точек
Е = {xk,k = 1,...,я} и Eq = Itjj = 1,...,я|, образующие канониче-
каноническое разбиение отрезка [а, 6] с шагом А, чтобы точка ?q принад-
принадлежала множеству Е при k = &о
Рассмотрим суммы
332 Глава
где Atj = Дт* =й, *,/ = 1,...,я и
Учитывая формулы A3.3.14) и A6.1.2) , получим
;=1 с;
/.
y,V! + v2,\i
, Vj + V2,l
гЛ + Vj + v2,l + и + Ц2)Ф(|М)- A6.1.6)
Если теперь раскрыть скобки и учесть, что точка t§ фикси-
фиксирована в (я, 6), то увидим, что все полученные суммы будут по-
порядка h (X > 0 —некоторое фиксированное число), т.е.
Как показано в § 1.4 (см. также [201])
на [й,Ь]. Поэтому, учитывая, что точка ?q —фиксированная и яв-
является одной из точек т^, k = 1,...,я , получаем
Х{>0, A6.1.8)
где Х\ —фиксированное число.
Из формул A6.1.7) и A6.1.8) следует, что
х2>о, A6.1.9)
т.е.
lim En(to) = AUq) . A6.1.10)
я-»0
преобразуем теперь сумму БпЦд) следующим образом:
п п
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ПУАНКАРЕ-БЕРТРАНА
.222
7 Tp*ry'j>bk)?*t'j
Р (tj-k) Д (tj-ч) .
A6.1.11)
Раскрыв в ?>i(io) квадратные скобки и учтя замечания для суммы
и интеграла /у в формулах A3.3.17) и A3.3.18), получим
t-X
a a
A6.1.12)
Рассмотрим теперь Б„ (^o). Имеем
- tQ)
. A6.1.13)
з
-
Сумму Б^(^о) разобьем на два слагаемых, в одном из которых
суммирование проведем по точкам tj е Ча + to)/2,(b + to)/2\ = I, а в
другом—по остальным ?у, т.е.
Для D\ имеем в силу формулы A6.1.2)
так как 0^ va}\ia < 1.
A6.1.15)
Ш
По условию функция <р(?,?о) принадлежит классу Н(а) по t
на I , поэтому
Таким образом, для 15>n(?o) получаем
|z>4(*0)|so(a«). A6.1.16)
Заметим, что если а = 1, то E^fo) = O(A|lnA|). Для fi^fa)) имеем
от ^ A/
A6.1.17)
где т = min(^o, я - k^ - l), M = max(&o, я - Aj) -1).
Так как ^—фиксированная точка, то из я-»оо и т->оо
следует, что второе слагаемое в формуле A6.1.17) стремится к
нулю при п -> оо .Далее известна формула [262]
Поэтому
limfijtob)-*2. A6.1.19)
n-юо v 7
Теперь формулы A6.1.13), A6.1.16) и A6.1.19) показывают, что
o). <161-20>
Итак, формулы С16.1Л0) —A6-113), A6.1.16) и A6.1.20)
показывают справедливость формулы Пуанкаре—Бертрана для
сингулярного интеграла на отрезке.
Отметим, что в доказательстве основную роль играют точки
разбиения, лежащие в окрестности точки ?<>> вернее, взаимное
расположение точек т^ и tj в указанной окрестности. В силу это-
этого теперь видно, что аналогичное доказательство будет справедли-
справедливо и в том случае, когда L является кусочно-ляпуновской кривой,
имеющей только угловые узлы, в частности, для окружности.
Действительно, взяв две произвольные точки й\ и #2 на окруж-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ПУАНКАРЕ-БЕРТРАНА 335
яости (flj ф ?о>02 * *о) и считая их узлами, получим кривую, для
которой у нас доказана формула Пуанкаре—Бертрана. Для
окружности эту формулу можно доказать непосредственно, ис-
используя квадратурные формулы из § 13.2.
В дальнейшем потребуется представление квадратурными
суммами интеграла A(t0) no L = [fl,6] и обеих частей формулы
Пуанкаре —Бертрана в следующей ситуации.
Пусть множества Е = {т$,& = 0,1,...,п} и Eq = «у, / = 0,1,.,.,п}
образуют каноническое разбиение отрезка [я, 6] с шагом А. Будем
рассматривать интеграл A(?q) в точках 1$т = %т, т = 1,...,п , т.е.
a m
Аналогично возьмем сумму
(.6.1.22)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 16.1.1. Пусть функция <р(?,т) имеет вид A6.1.2)
яй [й,Ь]. Тогда
ИЫ - fin(^)| ^ в(тт), m = 1,...,^ , A6.1.23)
где величина 9(тт) удовлетворяет неравенствам A3.3.8) и A3.3.9).
Наконец, отметим, что формула Пуанкаре—Бертрана будет
верна и при замене функции <р(?, т) на функцию <р(?, т, ?) вида
A6.1.24)
где ф*(^,т,^)еЯ как функция трех переменных на области рас-
рассмотрения, причем множество значений параметра % —ограниченное.
Отметим, что точка % может быть точкой m-мерного пространства. В
этом случае формула Пуанкаре—Бертрана принимает вид
A6.1.25)
336 Глава 1fi
16.2. Кратные сингулярные интегралы типа Коши
Доказательство формулы Пуанкаре—Бертрана перестановки
порядка интегрирования в кратных сингулярных интегралах нач-
начнем с двумерного случая.
Пусть функция <p(to,t), где *o=(*o>*o)» * = (*1>*2)> опреде-
определена на L = Z,jxZ,2 и имеет вид C.1.8). Кривые L\ и /,2 —
кусочно-ляпуновкие, имеющие только угловые узлы. Покажем,
что в этом случае справедлива формула C.1.12).
1. Пусть L\ = [0j,6i], ?-2 = [Й2^] • Рассмотрим интеграл
На
отрезке \dp,bA возьмем множества Е? =мт? ,?^ = 1,...,Яр> и
E% = j ^ , jp = 1,..., Яр L образующие разбиение отрезка jtfp, 6^1
такие, что точка t? является одной из точек множества Ер,
р = 1,2 при kp = k®. Опять вводим сумму
. ч Щ Щ АГ. АГ
*М)~ **}*Лл а\л
Также, как и в § 16.1, с использованием формул A5.1.3) и
A5.1.16) получим, что
БЩП2D4)=АD4). A6.2.1)
Преобразуем теперь сумму БП)П214>*о)слеДУЮП1ИМ образом
ЯПКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ПУАНКАРЕ - БЕРТРАНА
337
+Atfn У At
},
A6.2.2)
где
;,=1;2=1
A6.2.3)
Раскрывая теперь квадратные скобки в S^ и пользуясь неравен-
to у to 1, получим для л^
lim
A6.2.4)
Для 5П2 будем иметь
22-2775
338
Глава 16
*2**2°
*2=1
A*2
/2
A6.2.5)
Из результатов § 16.1 видно, что
1 7 f I f
lim 5V, = -я I rfx I
1^2 J J
A6.2.6)
Для оценки 52 также, как при оценке
в § 16.1 разо-
разобьем сумму Рп , стоящую в фигурных скобках в формуле для
S , на сумму по точкам t> , входящим в окрестность Ol^o}, за-
замыкание которой не содержит точек п\ и а^, и сумму по точкам
t\ , не входящим в эту окрестность. Вспомним, что.
4-«i)'(bi-4
A6.2.7)
Поэтому получаем
.pf.pi^Ai^), p>0. A6.2.8)
Используя теперь оценки, приведенные в § 13.3 для сингу-
сингулярного интеграла на отрезке, получим
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ПУАНКАРЕ-ВЕРТРАНА 332
lim \sl й lim dhx In2 h) = 0, X>0. A6.2.9)
Из формул A6.2.5), A6.2.6) и A6.2.9) имеем
lim S =-n2\<h2\-± ' A6.2.10)
Аналогично доказывается, что
lim 5 ¦-^fo'f / Г . A6.2.11)
Hm 5 = тс4фD(^,4,^). A6.2.12)
Из формул A6.2.2) —A6.2.4), A6.2Л0) —A6.2.12) вытекает
справедливость формулы C.1.12) в данном случае.
Если теперь L\ и L.2 —произвольные кусочно-ляпуновские
кривые, имеющие только угловые узлы, то рассуждения, обоб-
обобщающие рассуждения § 16.1, показывают справедливость форму-
формулы C.1.12) и в этом случае. Ясно, теперь, что аналогичные рас-
рассуждения с естественными усложнениями выкладок показывают
справедливость и формулы C.1.13).
Отметим, что когда функция <р(?, т) имеет вид C.1.8), и точ-
точки т? , kp =1,...,Яр, и ?? , jp = 0,1,...,Яр, образуют канониче-
каноническое разбиение с шагом /L разомкнутой ляпуновской кривой Lp,
р = 1,2 , то
Lт1 тМ-Б izx T2^efx! тМ A6.2.13)
где величина вМ ,т^ J удовлетворяет неравенствам вида A5.4.11) и
A5.4.12). Это доказывается так же, как и неравенство A6.1.23).
22*
Раздел IV
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для численного решения сингулярных интегральных уравне-
уравнений очень важно иметь методы разного уровння точности и раз-
различной ширины применения. Поэтому в этом разделе вначале бу-
будут изложены подходы, основанные на квадратурных формулах
типа прямоугольников, которые могут быть применены к очень
широкому классу задач. Затем будут даны методы высокого
уровня точности, но црименимые в значительно более узких клас-
классах задач.
Глава 17
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
ТИПА МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
17.1. Характеристическое уравнение на отрезке
Рассмотрим характеристическое уравнение B.3.20)
а
Решения индекса аэ= 0,1,-1 этого уравнения задаются фор-
формулами B.3.21), B.3.23) —B.3.25), которые можно следующим
образом записать единой формулой
[ь
A7.1.2)
где V! = 1, v0 = v^ = 0
имея в виду аэ = 0 решение класса АF). Решение класса Ца)
рассматривать не будем, так как из приведенных рассуждений бу-
будет видно, что надо изменить в этом случае.
Пусть множества Е = {^,Л = 1,...,я} и Eq = (toy,У - 0,1,...,m
образуют каноническое разбиение отрезка [а, 6] с шагом h.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.1.1. Пусть функция f(t) принадлежит классу
ЩХ) на [а, Ь]. Тогда между решениями систем линейных алгеб-
алгебраических уравнений
У-1 п, A7.1.3)
342
Глава 17
/ = 0,1,...,я, A7.1.5)
и решениями <р(?) A7.1.2) индекса аэ= 0,1,-1, соответственно,
выполняется неравенство
в котором величина 6П(^) удовлетворяет неравенствам:
1) для всех точек t^ € [а + 8,6 - 8], где 8 > 0 —сколь угод-
угодно мало,
2) Эля всяг точек t^ € [a, 6]
x2>o.
A7.1.8)
Доказательство. Заметим вначале, что в силу результатов
о квадратурных формулах для сингулярных интегралов на отрез-
отрезке в § 12.3 системы A7.1.3) —A7.1.5) аппроксимируют уравнение
A7.1.1). Умножим обе части систем A7.1.3) —A7.1.5) на число
п , тогда для определителей преобразованных систем получим
эе =0,1,-1,
,4"»
1
'oi-'i
1
n"l
1
1
... " l
A7.1.9)
Для вычисления определителя Дд несложно получить [224]
следующим образом рекурентную формулу. Вычтем последнюю
РАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 343
строчку в определителе Ду из всех последующих и из каждого
столбца вынесем множитель l/(?on~^)> к = 19...,п, а из каждой
строчки — множитель tQn - t§m , m = 1,..., я -1. В оставшемся
определителе порядка п вычтем теперь последний столбец из всех
предыдущих, вынесем множители из каждой строчки и столбца и
разложим полученный после этих операций определитель по по-
последней строчке. Получим
f[(QnQm)(mn)
>) - т=1 аС1-1) A7.1.10)
0 ~ Д0
Теперь методом математической индукции несложно получить фор-
формулу для вычисления Ау и аналогичным образом вычислить Д^ ' и
Д\.{. Пол)гчается следующая общая формула [39, 224, 285]:
ПШ--Л) П П (ь-ь.)
(«) _
п-фе)
П
(
A7.1.11)
где %(х) = 1 при х > О и \{х) = О при х й О .
Если через A^l\ обозначить определитель, который полу-
получается из определителя Д^ вычеркиванием/—й строчки и Л—го
столбца, то аналогичным приемом получим формулу:
ДПМрМ! П
а(п) - аь.
A7.1.12)
344 Глава ij
Из формулы A7.1.11) видно, что DJ-e * О ПРИ любом л, и
поэтому к системам A7.1.3) —A7.1.5) можно применить правило
Крамера. Получим
t®^®*-*-1 ¦¦
A7.1.13) .
где
(
m*j
_ гМ 1 М) _ /я) kn . 6ч Л
''On "" lk
''On "" lk
- w wj tQ. _ tQQ
Далее, учитывая взаимное расположение точек канонического
разбиения, получаем
Tv4 D D Tv4 D D
(S
(
В [262] имеется следующая формула из теории гамма-
функции:
которую можно записать так:
m=l
Так как нас будет интересовать формула A7.1.15) с точ-
точностью до величины порядка я, то можно вместо п написать в ее
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
345
правой части (я +1). Тогда опять, учитывая взаимное расположе-
расположение точек канонического разбиения, получаем
\k I („) 1
A7.1.16)
Аналогичные рассуждения показывают, что для зе= 1,-1 имеем
A7.1.17)
Подставляя теперь формулы A7.1.16), A7.1.17) в формулу
A7.1.13) и пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, кото-
которые были проведены при доказательстве теоремы 13.3.2, получим
Л = 1,...,п, A7.1.18)
где величина |©ав(^)| удовлетворяет неравенствам A7.1.7),
A7.1.8). Теорема 17.1.1. доказана.
Замечание 17.1.1, Поясним смысл неизвестной уоп в системе
A7.1.5). Эта система без уоп переопределена (число уравнений
больше числа неизвестных) и, как правило, несовместима. С дру-
другой стороны, эта система должна аппроксимировать уравнение
A7.1.1), имеющее единственное решение индекса ав = -1 при вы-
346 Глава \?
полнении условия вида B.3.6). Поэтому уровень рассогласован-
рассогласованности системы A7.1.5) без уоп должен понижаться, и, следова-
следовательно, если эта система с уоп совместна, то lim уоп = 0 • Но это
Я->оо
надо доказать. Таким образом, уоя делает определенной систему
A7.1.5), и поэтому будем называть ее регуляризирующей пере-
менной. Для нахождения удя опять воспользуемся правилом
Крамера:
A7.1.19)
Таким образом, lim yon = 0 тогда и только тогда, когда ре-
Я->оо
шение индекса аэ = -1 для уравнения A7.1.1) существует. Следо-
Следовательно, поведение jQn при расчетах является индикатором ре-
решения индекса зв = -1.
Замечание 17.1.2. Во многих приложениях (в аэродинамике,
теории упругости, дифракции волн и т.д.) часто требуется вычис-
Ь
лить не саму функцию <р(?), а интеграл J \\/(t)q(t)dt, где
а
i|/(?) еЯ на [я,6]. Из неравенств A7.1.6) и A7.1.8) следует, что
для вычисления указанного интеграла можно воспользоваться
формулой прямоугольников по точкам fa, ? = 1,...,я, причем
брать в этих точках не функцию <р(?), а значение фп(^), т.е. вы-
выполняется неравенство
^tWdt-^bbnitfrzG^), Х3 >0. A7.1.20)
Замечание 17.1.3. Теорема 17.1.1. остается справедливой и в
том случае, когда функция f(t) не принадлежит классу Н на от-
отрезке [а, Ь], а принадлежит классу Я* , т.е. имеет вид
<171-20
где \|/(?) е Я на [а, Ь].
При этом теорема 17.1.1. для системы A7.1.3) остается спра-
справедливой при 0^v<l, 0<ц<1/2, для системы A7.1.4)—при
урДВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 34Z
О ? v, ц <Д, для системы A7.1.5) 0 ^ v, ц < 1/2 . То, что функ-
функции A7.1.2) будут решениями уравнения A7.1.1) при указан-
указанных в данном замечании ограничениях, следует из формулы Пу-
Пуанкаре — Бертрана.
Замечание 17.1.4, В задаче стационарного обтекания профи-
профиля с закрылком приходится рассматривать случай, когда функция
f{?) € Я на отрезках [a, q] и [<7,6] (а < q < Ь), и терпит разрыв
первого рода в точке q. Если при этом множества
Е = {tfr'k = 1,...,я} и Ео = |?о/,/ = ОД,...,п\ выбрать так, чтобы
точка q лежала посредине между ближайшими к ней точками из
множеств Е и Eq (cm. замечание 13.3.2), то теорема 17.1.1 оста-
останется справедливой, только неравенство A7.1.7) будет справедли-
справедливо для всех точек ?д € [а + 8, q - 8] \J[q + 8, b - 8]. Действительно,
для теоремы 17.1.1 важно было взаимное расположение точек t^ ,
k = 1,...,я и tQj , j = ОД,...,я , и чтобы для этих точек были спра-
справедливы квадратурные формулы для сингулярного интеграла на
отрезке, изученные в § 13.3.
Результаты § 13.3 и замечаний 17.1.3 и 17.1.4 данного пара-
параграфа позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 17.1.2. Пусть функция f(t) имеет вид
\ лц> A7.1.22)
где \\t(t) еЯ на [й,6], а < q < Ь, и пусть на отрезке [й,6] взяты
множества Е и Eq с шагом h = (Ь - а)/(п + 1) так, как это ука-
указано в замечании 17.1.4. Тогда:
1) при O^v, р<1 и 0^ц<1/2 между решением системы
A7.1.3) и решением{\1 Л.2) индекса зе=0 уравнения A7.1.1);
2) при Ой v, р, \х<1 между решением системы A7.1.4) и
решением A7М.2) индекса аэ=1 уравнения A7.1.1);
3) при 0 ? v, ц < 1/2, 0 й р < 1 между решением системы
A7.1.5) и решением A7.1.2) индекса ае=-1 уравнения A7.1.1)
выполняется соотношение A7.1.6), в котором величина Q(tk)
для всех точек tk e[0 + 8,<jr-8]U[<7 + 8,b-8], где 8>0 -сколь
угодно мало, удовлетворяет неравенству A7.1.7) и неравенству
A7.1.8) для всех точек tk e[a,b].
348 Глава i;
Отметим, что если f(t) терпит разрыв первого рода в точке q,
то она может быть представлена в виде A7.1.22), где р>0 —
сколь угодно мало. В этом случае решения A7.1.2) уравнения
A7.1.0 будут иметь в точке q логарифмическую особенность.
Однако расчеты показали, что хорошие результаты получаются,
если точку q сделать одной из точек tQj при j = jq и правую
часть в системах A7.1.3)— A7.1.5) брать следующим образом:
f(kj) ПРИ У * Jq > \fifojq - о) + f{tojq + 0^2 при ; = jq, где
fltOj + О! — односторонние пределы функции ffo) в точке q.
Из формулы A7.1.2) видно, что решение <р(?) индекса
аэ=1 уравнения A7.1.1) зависит от одной произвольной кон-
константы С, являющейся интегралом от этого решения по отрезку
[я, 6]. Но из формулы A7.1.2) видно, что константа, а, следова-
следовательно, и решение (p(i) будут однозначно определены, если задать
значение (p[q) в какой-нибудь точке q e(a,b). Чтобы найти чис-
численное значение этого решения из системы A7.1.4), надо найти
Сд, соответствующую константу, и подставить ее в последнее
уравнение этой системы. Нахождение Cq потребует дополнитель-
дополнительных затрат в вычислениях, особенно при наличии в уравнении ре-
регулярной части. Покажем, как обойтись без нахождения констан-
константы Cq, с использованием значения только <p(q).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.1.3. Пусть f(t) принадлежит классу Н на
[а,Ь], и пусть множества Е и Eq образуют каноническое раз-
разбиение отрезка [а,Ь] с шагом h. Обозначим через t^ ближай-
ближайшую слева к точке q e(a,b) точку множества Е. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
'" -¦
и решением <р(?) индекса аэ=1 уравнения A7.1.1)
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
A7.1.24)
выполняется соотношение A7.1.6).
Доказательство, Как и в теореме 17.1.1 можно показать,
что определитель системы A7.1.23) отличен от нуля, и применить
правило Крамера
Если обозначить через
для эе= 1, то можно написать
= 1,...,я; k*kq. A7.1.25)
первую сумму в формуле A7.1.13)
Используя рассуждения, приведенные при доказательстве форму-
формулы Пуанкаре—Бертрана, получим
A7.1.26)
Далее, учитывая что
bJ{tQ-a){b-to)dto _ / _
получим
Ш
А1/2
A71-27)
Учитывая формулы A7.1.26) и A7.1.27) и доказательство теоре-
**Ь1 17.1.1, получим справедливость теоремы 17.1.3.
250 ЕдашШ
Как было указано в § 6.3, задачу обтекания профиля с эжек-
тированием (всасыванием) воздуха в точке q e(a,b) надо решать
в классе H*(q) (см. определение 2.2.1) функций на [я, 6] т.е.
В последующих теоремах 17.1.4 и 17.1.5 будем брать мно-
множества Е и Eq так, чтобы заданная точка q лежала в множестве
Ео при j = jq.
Теорема 17 Л Л. Пусть функция f(t)eH на [а,Ь], и из-
известно значение \y(t) в точке q. Тогда между решением системы
линейных алгебраических уравнений
Щ(.7.1.28)
и решением <р(?) уравнения A7.1.1) вида B.3.31), в котором
В = yj(q- u)j{b - q)y\f(q), выполняется соотношение A7.1.6), в
котором величина в(^) удовлетворяет неравенству A7.1.7) для
всех tb е[а + 8,q - S]U[q + 8,6 - 8], 8 > 0, сколь угодно мало, и
неравенству A7.1.8).
Доказательство. Как и в предыдущих теоремах, показы-
показывается, что определитель системы A7.1.28) отличен от нуля при
любом п. Поэтому, применяя правило Крамера к этой системе,
получим
h2
A7.1.29)
Используя теперь доказательство теоремы 17.1.1 и формулы
Пуанкаре—Бертрана, получим
урдрНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 351
где величина в(^) удовлетворяет необходимым соотношениям.
диалогичным образом доказывается следующая теорема.
Теорема 17Л.5. Пусть функция f(t)eH на [а,Ь]. Тогда
между решениями систем линейных алгебраических уравнений
у=од'-'й; >'*'<' A71-30)
; = 1,...(И; j*jq, A7.1.31)
и решениями cp{i) уравнения A7.1.1), соответственно, вида
B.3.32) и B.3.31) выполняется соотношение вида A7.1.6) так-
также, как и в теореме 17.1.4.
Заметим теперь, что в теореме 17.1.4. можно полагать из-
известным значение искомого решения не в точке tj (перед точкой
tQj ), а в точке tj (за точкой t$j ). Расчеты, приведенные на
рис. 22.14, хорошо это подтверждают.
Так как функция \\f(t) принадлежит классу Я в окрестности
точки q> то системы в теоремах 17.1.4 и 17.1.5 можно составлять
следующим образом. Берем множества Е и Ец на отрезке [я, 6],
образующие его каноническое разбиение. За точку t$j берем лю-
любую ближайшую к точке q точку из множества Eq . Далее си-
системы имеют тот же вид. Оценки между точными решениями со-
соответствующего вида уравнения A7.1.1) и решениями систем со-
сохраняют свой характер.
Так как отсосов на крыле может быть несколько (п штук), то
естественно распространить сформулированные выше результаты на
численного нахождения решений уравнения A7.1.1) вида
,...,<7m — фиксированные точки в интервале (fl,b), a \y(t) —
Функция, принадлежащая классу Я в некоторых окрестностях
^ точек. В этом случае справедлива следующая теорема.
352
Глава 17
Теорема 17.1.6. Пусть функция f[t)eH на [а,Ь], и из-
известны значения функции \y(t) в точках q\,...,qm. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений и
и решением <f[t) уравнения A7.1.1)
L
A7.1.33)
A7.1.34)
выполняется соотношение A7.1.6), в котором величина в(^) удо-
удовлетворяет неравенству A7.1.7) для всех точек
tk е[а + 8,Gi -8]Ufal + 5^2 ~ 8]U...U[9m +8,6-8], 8 > 0 -доста-
-достаточно малое число, q\ < q<i <...< qm, и неравенству A7.1.8).
Отметим только, что точки tk, k = l,...fn и fy/» У = 0,1,...,й,
выбираются, как в теореме 17.1.4., если точки q^9...9qm находят-
находятся на равных друг от друга расстояниях, или как в замечании к
теореме 17.1.5. То, что функция A7.1.34) является решением
уравнения A7.1.1), можно проверить непосредственно.
Рассмотрим теперь уравнение A7.1.1) на отрезке [-&>&] сим-
симметричном относительно начала координат, т.е. уравнение
Все решения этого уравнения даются [100, 201] формулой
B.3.21) с соответствующими переобозначениями. Несложно заме-
заметить, что, если f(to) —нечетная функция, то любое решение урав-
уравнения A7.1.Г) является четной функцией, а если f(t0) —четная
функция, то решение этого уравнения будет нечетной функцией
только при С = 0 .
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 353
Указанный факт можно использовать для уменьшения вдвое
порядка системы линейных алгебраических уравнений, предназна-
предназначенной для численного нахождения решения уравнения A7.1.Г).
Теорема 17Л.7. Пусть f(t) eH на [-6,6] и является
четной функцией на этом отрезке. Тогда между решением си-
системы линейных алгебраических уравнений
у=1> > т> <17ЛЛ5)
где множества Е = \t^tk = l,...,2m + 1} и Eq =
j = 0,1,... ,2m +1} образуют каноническое разбиение отрезка
[-6,6] с шагом h и решением <f(t) уравнения A7.1. Г), получае-
получаемого при С = 0 (см. B.3.21)) выполняется соотношение A7.1.6).
Аналогично, когда f(to) —нечетная функция и я = 2т, то
надо брать систему
т
k=l
т_ i
A7.1.36)
Если желательно получить решение индекса 39= -1, то надо
рассмотреть систему
т
A7.1.37)
Как приложение теоремы 17.1.1 рассмотрим еще вопрос о
численном решении уравнения
A7.1.38)
-1 0
все решения которого даются формулой
К-1) = С2, ()
Покажем построение численного метода для нахождения ре-
решения этого уравнения, обращающегося на концах отрезка в
23-2775
224 Глава 17
нуль, что наиболее часто встречается в приложениях. Пусть точки
t\ = —1, ?2,...,?я,?я+1 = 1 разбивают отрезок [-1Д] на равные час-
части длины й, а точка ?0; является серединой отрезка
Теорема 17.1.8. Пусть функция f(to) принадлежит классу
Н на [-1Д]. Тогда между решением системы линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
A7.1.40)
и решением ц{?) уравнения A7.1.38), обращающегося в нуль на
концах отрезка [-1Д], выполняется соотношение
of-т) -
k = !' ¦'«' A7.1.41)
где X > 0.
Доказательство» Система A7.1.40) эквивалентна системе
, _ i n
1 = 0, / = я + 1,
где полагаем <pn(*oo) = <Pn(*0n+l) = ° •
Видно, что система A7.1.4Г) совпадает с системой A7.1.4)
при С = 0, и поэтому ее решение дается формулой A7.1.13) при
С = 0 и 5В=1. После этого, суммируя по переменному индексу
от 1 до k, получим
A7.1.42)
Воспользовавшись формулами A7.1.17), видим, что значения
Фп(*о*) аппроксимируют в точках % функцию <р(?), задаваемую
формулой A7.1.39) при С\ = С2 = 0. При этом выполняется
оценка A7.1.41).
Отметим, что выполняется равенство
j/рДВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 255
Заметим также, что из доказательства теоремы 17.1.8 следу-
следует, что система A7.1.40) невырождена и матрица, обратная к
матрице этой системы, определяется формулой A7.1.42). Невы-
Невырожденность матрицы системы A7.1.40) можно показать непо-
непосредственно с помощью признака Адамара невырожденности
определителя—модуль диагонального члена в каждой строчке
больше суммы модулей остальных членов этой строчки. Действи-
Действительно, имеем равенство
- I
A7.1.44)
Поэтому, если ?o/ €[^fe>?&+l]> TO ajk>®> ajj<^^ и
> 0. Следовательно,
A7-1.45)
Наконец, из равенства A7.1.45) получаем
<171-46>
Аналогично теореме 17.1.8 с использованием рассуждений, приве-
приведенных при доказательстве теоремы 17.1.1, доказывается следую-
следующая теорема.
Теорема 17.1.9. Пусть функция f(t)eH на [-1,1]. Тогда
между региением системы линейных алгебраических уравнений
A7.1.47)
и решением <р(?) уравнения A7.1.38), даваемым формулой
A7.1.39), выполняется соотношение A7.1.41).
23*
356 Глава 17
В работе [177] получено обобщение последнего результата на
уравнение
A7.1.48)
17.2. Полное уравнение на отрезке
Рассмотрим численное решение полного уравнения первого
рода на отрезке
dt | A72Л)
которое является частным случаем уравнения B.2.1). Будем
предполагать пока, что функции f(t) и K(tQ,t) принадлежат
классу Н на своих областях определения.
Разрешив уравнения A7.2.1) относительно его характеристи-
характеристической части, получим, что оно эквивалентно в смысле разыски-
разыскивания решений индекса зе заданного класса уравнению типа
Фредгольма второго рода вида B.2.25) ( см. также [100, 201] ), к
которому применимы все основные теоремы Фредгольма [109]. В
данном частном случае уравнение B.2.25) имеет вид
1
п L-1
-TJO
A7.2.2)
причем Т\ = п , То = Г_1 = 0 и при as=-l должно выполняться
условие
\RZ\{t)f{t)dt = Щ^КЩ^й^х. <17-23>
-1 -lV-1 /
Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.2.1. Пусть в уравнении A7.2.1) функции f(t) и
K(to,t) принадлежат классу Н на множествах [-1,1] и
[-1,1] х [-1,1], соответственно, и это уравнение имеет един-
единственное решение в соответствующем данному индексу ЗВ клас-
УРАВНЕЫИЯПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОЛ
357
се функций (для зе = 1 считаем заданным значение интеграла
от решения). Тогда между решениями систем линейных алгеб-
алгебраических уравнений
A7.2.4)
A7.2.5)
Yon
A7.2.6)
и соответствующими решениями уравнения A7.2.1) выполняет-
выполняется соотношение A7.1.6), в котором величина в(^) удовлетворя-
удовлетворяет неравенствам A7.1.7) и A7.1.8). Здесь множества
Е = {t^k = 1,...,я} и Eq = itQjyj = 0,1,..., m образуют каноническое
разбиение отрезка [-1,1].
Доказательство. В системах A7.2.4) —A7.2.6) оставим
слева слагаемые, соответствующие характеристическому сингу-
сингулярному интегральному уравнению, а все остальное перенесем
вправо. Используя результаты теоремы 17.1.1 получим, что рас-
рассматриваемые системы эквивалентны системам (аэ= 0Д,-1)
w=l
A7.2.7)
определение ^(аэ) см. A7.1.11).
Дальнейшее доказательство проведем более подробно для
зэ= 0, так как в остальных случаях оно аналогично. Из формулы
A7.1.18) видно, что если умножить обе части системы A7.2.75 на
358 Глава \j_
множитель ^(?fc) = (l-?fe) (i + t^) ' , потом произведение
на этот множитель обозначить через фЛ(^) и рассматривать вновь
полученную систему линейных алгебраических уравнений, то она
аппроксимирует интегральное уравнение Фредгольма второго ро-
рода с ограниченным ядром
а
1|W ,|« (.7.2.8)
Причем, как следует из формулы A7.1.18), порядок ап-
аппроксимации будет иметь вид
A7.2.9)
Из теории численных методов для интегральных уравнений
Фредгольма второго рода [128] с непрерывным ядром следует,
что порядок аппроксимаций фп(^) функции <р(?) такой же. Воз-
Возвращаясь теперь к функциям <р(?) и q>n(l&), получаем справедли-
справедливость сформулированной теоремы для зв= 0. Для аэ= 1 и аз= —1
она доказывается аналогично.
Замечание 17.2Л. Из доказательства теоремы 17.2.1 видно, что
она справедлива и в том случае, если ядро K{tQ,t) имеет вид
K\{tQ,t)l\tQ - t\a , где 0 й а < 1, a Ki{tQit) принадлежит классу Я
на прямоугольнике. В этом случае ядро N^{ttx) будет иметь такой
же вид, что показывается с использованием формулы Пуанкаре—
Бертрана перестановки порядка интегрирования и свойств сингуляр-
сингулярных интегралов. Поэтому с помощью перехода к итерированным яд-
ядрам можно получить уравнение Фредгольма второго рода с непре-
непрерывным ядром. Ясно, что все эти операции можно проделать и в
дискретном виде. Проведенное рассуждение показывает, что теорему
17.2.1 можно переформулировать для уравнения
урДВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 352
A7.2.10)
-1
где K(to,t) представляется в виде ^i(^o»^)/(^O ""*)» а ^(^о^о)* 0,
?0 € [-1,1], и принадлежит классу Н, как и функция /"(?).
Частным случаем уравнения A7.2.10) являются уравнения»
F.2.7), когда L—гладкая разомкнутая кривая (уравнение для не-
незамкнутого профиля), а также и уравнение A7.2.1). Процесс
приведения уравнения A7.2.10) к уравнению вида A7.2.1) в об-
общем случае показан в формулах F.2.8), F.2.9).
Для численного решения уравнения A7.2.10) методом, изло-
изложенным в теореме 17.2.1, не требуется переходить к сингулярному
интегральному уравнению вида A7.2.1), а рассматривать сле-
следующие системы линейных алгебраических уравнений (соответ-
(соответственно, для индекса аэ=0,1 или -1).
= f(toj), J = U,n, A7.2.11)
= /"(%), / = 1,..,»-1,
} = п, A7.2.12)
yon + YK(tontk)<Pn{tk)h = f(toA, j = 0,1 п. A7.2.13)
fei
Отметим, наконец, что указанный выше способ рассуждений позво-
позволяет перенести на уравнения A7.2.1) и A7.2.10) все замечания и
теоремы, сделанные для характеристического уравнения в § 17.1.
Замечание 17.2.2. Результаты Фредгольма [109, 223] спра-
справедливы и для системы интегральных уравнений второго рода,
если она имеет единственное решение, и ядра регулярны
(непрерывны). Поэтому сформулированные в данном параграфе
результаты справедливы и для системы сингулярных интеграль-
интегральных уравнений, если она имеет единственное решение данного ин-
индекса при соответствующих дополнительных ограничениях, и си-
систему линейных алгебраических уравнений для характеристи-
характеристической части можно обратить, аналогично тому, как сделано это
для одного уравнения.
Замечание 17.2.3. При рассмотрении стационарного обтека-
обтекания крыла бесконечного размаха с закрылком приходится рас-
рассматривать характеристическое сингулярное уравнение на отрезке
360 Глава 17
[0,1] в следующей ситуации (см. замечание 6.2.2.). Когда закры-
закрылок отклонен, то f(t) терпит разрыв первого рода в точке q
(точка отклонения закрылка); если закрылок не отклонен, то
f(t) € Я на отрезке интегрирования. Для конкретных расчетов
желательно иметь такой метод, который бы единым образом рас-
рассматривал оба эти случая. С другой стороны, при определении
шарнирных моментов в точке отклонения закрылка используются
только точки сетки, лежащие на закрылке. Поэтому, если закры-
закрылок мал (мал отрезок [^Д]), то на нем располагается мало точек,
и достигнуть удовлетворительной точности при определении мо-
моментов трудно. Желательно строить такой вычислительный про-
процесс, при котором число точек на отрезках [0,q] и [дД] было бы
одинаковым или почти одинаковым. Здесь удалось реализовать
следующую идею.
Берем отображение отрезка [ОД] на отрезок [—1,1], которое
было бы бесконечно дифференцируемым (хотя бы имело произ-
производные до порядка г > 2 и r-я производная ограничена), причем
первая производная в нуль не обращается, и при котором q пере-
переходит в точку О на [-1,1]. Теперь на отрезке [-1,1] берем равно-
равномерное разбиение с помощью множеств Е и Eq, при котором точ-
точка О является одной из точек множества Eq. Обратное отображе-
отображение распределит узлы сеток на [0,1] требуемым образом. Отобра-
Отображение можно взять следующее
+ т) A7.2.14)
1) + 2A-<7)'
где q e @,1), t e [0,1], т е [-1,1]. Видно, что t(-l) = 0, *(l) = 1,
t@) = q, 1*(т) > 0 для любого т е [-1,1].
Сделаем замену переменной, определяемую формулой
A7.2.14), в уравнении A7.1.1), а = 0 , 6 = 1. Получим уравнение
1
/К(то,т)ф(т)</т = f(z0), ф(т) = <р«т)), /(то) = ^(т0)),
-1
A7.2.15)
которое является уравнением вида A7.2.10). Для численного ре-
решения уравнения A7.2.15) в одном из требуемых классов реше-
решений надо взять соответствующую систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений 17.2.11)-U7.2.13).
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 3fil
Замечание 17.2.4. Используя результаты численного реше-
решения уравнения A7.1.38) и результаты этого параграфа, получим,
что для уравнения Прандтля
^-4*№Ь)-Л<Ь). toe(-i,t) A7.2.16)
надо рассмотреть следующую систему (см. A7.1.47)):
-a(toj)rn(tOj) = f(tQJ), j = 1,...,я . A7.2.17)
Между решением этой системы и решением уравнения Прандтля,
удовлетворяющим условию Г(-1) = С2, ГA) = Q + С2 , выполняет-
выполняется соотношение A7.1.41).
17.3. Уравнение на системе непересекающихся отрезков
Рассмотрим теперь случай сингулярного интегрального урав-
уравнения вида
{ t _ t = f(k) 1 A7.3.1)
где L является совокупностью / штук непересекающихся отрезков
[А\,В\],...,[A/,J5/]. Это уравнение может иметь (см. [100, 201])
индекс ае = -/,-/ + 1,... ,-1,0,1,...,/, определяемый количеством кон-
концов отрезков, в которых искомое решение ограниченно (см. § 2.3).
Для формулировок общих результатов, следуя § 2.3., перенумеру-
перенумеруем концы отрезков [i^Bj],...,^/,/?/] произвольным образом и
обозначим их Cj,C2,...,C2/. Через h\C\,...,cq\ обозначим, как и в
§ 2.3, класс решений индекса 3e = l~q уравнения A7.3.1), кото-
которые при f(t) еЯ на! ограничены в концах q,...,c^ и неограни-
чены в концах cq+^,..., С21 -
На отрезке [Аш,Вт] возьмем множества Ет = |^,
* = пт-\ + t» >пт} и ^0т = {^0;»У = wm-l + ^, Jiw_i +l,....Wm| , ко-
которые образуют каноническое разбиение (с шагом hm) этого от-
отрезка, да = 1,...,/, «о=О. Обозначим ?= |j?m , Ео = jj?Om и
362 Глава ^7
будем говорить, что множества Е и Ец образуют каноническое
разбиение кривой L, если выполняется соотношение
-^<Д<+оо, ю = 1,...,/, A7.3.2)
где h = max(/zf,...,A/), h -» 0 . Отметим, что соотношение A7.3.2)
означает, что числа щ и Nm = пт- пт_\, т = 1,...,/ при А -> О
являются величинами, отношение любых двух из которых есть
величина ограниченная. В дальнейшем соотношение A7.3.2) всег-
всегда будем считать выполненным.
Через P[q) будем обозначать множества точек fy/ * которое
получается из множества Ец выбрасыванием ближайших к кон-
концам с^+1,...,С2/.
Рассуждениями, аналогичными рассуждениям § 17.1., пока-
показывается справедливость следующих теорем.
Теорема 17.3.1. Пусть функция f(t)eH на L. Тогда
между решением системы линейных алгебраических уравнений
, A7.3.3)
и решением q(t) индекса зе>0 класса h(c\,...,cq\, удовлетво-
h(c\,...,cq\, удовлетворяющим условию
\ A7.3.4)
L
выполняется соотношение
к = \,...,щ, A7.3.5)
в котором величина в(^) удовлетворяет неравенствам:
I
1) для всех точек ?д е |J[Aw + 8, Дт - 8], 8 > 0 —сколь
угодно мало,
{) 0<X^l; A7-3.6)
2) Эля всех точек t^ eL
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 363
, о < Х2 й 1. A7.3.7)
Теорема 17.3.2* Пусть функция f(t) eH на L. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
и решением <р(?) индекса аз<0 класса A(cj,...,c<J, l-q = зе<0,
если выполняются условия
jt*R^(t)f(t)dt = 0, е = 0,1,...,-»-1, A7.3.9)
I
гдг ^^(i) — характеристическая функция класса A(q,..., cq j,
Rjt) = jRi(t)/R2(t) (см. B.3.16), B.3.17)Л выполняется соот-
соотношение A7.3.5). Здесь величина уг, s = QX-.-ae-l—peey-
ляризирующие факторы.
Достаточно подробное доказательство этих теорем в [155].
Замечание 17.3.1. Теоремы 17.3.1, 17.3.2 будут справедливы
и в том случае, когда функция f[t) eH* на L и может иметь об-
обращение в бесконечность порядка а е[0,1) в концах fy+j,...,C2/ и
порядка р, ре[0,1/2), в концах q,...,^. При этом под классом
Alq,...,^) надо понимать класс решений уравнения A7.3.1),
которые в концах q,...,c^ имеют особенность степени меньше
одной второй, а в концах c^+j,...,C2/—особенность степени, не
меньше одной второй.
Если функция f[t) кроме этого может иметь разрыв вида
|c-i|~v, v€[0,l), на некотором отрезке се[Лт,]?ш], то мно-
множества J?om и Ет на этом отрезке надо выбирать так, как указа-
указано в теореме 17.1.2. Если функция f(t) терпит в точке С разрыв
первого рода, то множества Еот и Ет на отрезке [Лда,/^] и
систему линейных алгебраических уравнений для точек из этого
364 Глава 17
отрезка целесообразно составлять так, как указано в дополнении
к теореме 17.1.2.
В задачах электродинамики [80, 84] и аэродинамики (бес-
(бесциркуляционное обтекание системы профилей) для уравнения
A7.3.1) удобнее требовать выполнения условий
Ck, * = 1,...,1и, т<1, A7.3.10)
на всех отрезках L^ из L, на которых решение неограниченно на
обоих концах. Как показано в лемме 2.3.1, система условий
A7.3.10) выделяет единственное решение уравнения A7.3.1).
Чтобы удобнее изложить дальнейшее, обозначим <рж(?) решение
индекса аэ на отрезке [-1Д] - Тогда системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений A7.1.3) —A7.1.5) можно единым образом запи-
записать так (аэ = 0,1,-1):
^{) ^)C1 A7.3.11)
k=\
где EJ^x) = 1 при х > 0 и ^(х) = 0 при х < 0 , и в системе A7.1.5)
точки tQj перенумерованы от 1 до w + 1. Причем при ?(аэ) = 0
(т.е. при аэ = 0 или зе = -1) последнее уравнение, являющееся
тождеством, рассматривать не надо.
Идея дальнейших рассуждений будет состоять в представле-
представлении уравнения A7.3.1) как системы сингулярных интегральных
уравнений на отрезке [-1,1] • Поэтому в соответствии с терминоло-
терминологией в теории таких систем [201] будем говорить, что решение
(р(?) уравнения A7.3.1) имеет индекс as = (a9i,...,a^), дВщ = 1,0,-1,
т = 1,...,/, если оно: не ограничено на обоих концах; не ограниче-
ограничено на одном конце; ограничено на обоих концах отрезка [Л^В^].
Будем это решение обозначать через фж(^). Рассмотрим отображение
дт{%) отрезка [-1,1] на отрезок [Л^, ?w], где
^У-Вт^т + ^±^, m = U.,l. A7.3.12)
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 365
Обозначим
Фа^) = Ф*(^еК Ви], Ut) = f(t)\t<AmtBm]m=i г A7.3.13)
Будем использовать равномерное разбиение на каждом из
отрезков [Л^Ди], !» = 1,...,/. На отрезке [^,Bm] выберем ка-
каноническое разбиение с шагом hm множествами Ет =
Тогда справедлива теорема.
Теорема 17.3.3. Пусть функция f(t) eH на L. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
k=i m,Qj Lm,k р=\ ь=\ bmy0j Lpyk
, т = 1,...,/ , A7.3.14)
и решением фж(^) уравнения A7.3.1), для которого известны
значения интегралов по тем отрезкам, составляющим L, на
которых оно имеет индекс 1, выполняется соотношение A7.3.5).
Доказательство этой теоремы проводится следующим обра-
образом. С помощью отображений A7.3.12) уравнение A7.3.1) можно
рассматривать как систему / сингулярных интегральных уравне-
уравнений на [-1Д], которая при соответствующих дополнительных
условиях (известно значение интеграла от решения на тех отрез-
отрезках из L, на которых решение не ограничено на обоих концах,
т.е. на которых оно имеет индекс 1). Следовательно, эта система
[201] эквивалентна системе интегральных уравнений Фредгольма
второго рода, которая также имеет единственное решение. Поэто-
Поэтому, повторив в дискретном виде процесс перехода к системе инте-
интегральных уравнений Фредгольма второго рода, получим, что си-
система линейных алгебраических уравнений A7.3.14) эквивалентна
системе линейных алгебраических уравнений для этой системы
интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Такой пере-
переход возможен в силу того, что разрешима система A7.3.11) при
любом аэ= 1,0,-1.
366 Гдава 17
Рассмотрим теперь полное сингулярное интегральное уравне-
уравнение первого рода на системе непересекающихся отрезков
Г ЧШ + J^Q, t)^t)dt = ffo). A7.3.15)
Для этого уравнения справедливы аналоги всех теорем, дока-
доказанных в этом параграфе для уравнения A7.3.1). При этом в
линейные алгебраические уравнения надо добавить суммы
в системы A7.3.3), A7.3.8); суммы
в систему A7.3.14). Если функции f(t) и K(tQ,t) принадлежат
классу Н на соответствующих множествах или K(to,t) имеет вид
^i(*o>*)/|*o ~*|a i 0<а<1, где K\[tQ9t)eH на LxL, то при
составлении систем линейных алгебраических уравнений по рав-
равномерным сеткам используются стандартные канонические раз-
разбиения отрезков [Ди,?ш], составляющих L. Если же f(t) может
иметь особенности, указанные в замечании 17.3.1., на каком-
нибудь из отрезков, то на этом отрезке равномерные сетки надо
выбирать так, как указано в этом замечании.
17.4. Уравнение на окружности
Рассмотрим характеристическое уравнение
A7.4.1)
в котором L является окружностью радиуса единица с центром в
начале координат. Пусть множества Е = fa, k = 1,..., я} и
Eq = Uqj, У = 1,..., т образуют каноническое разбиение окружности.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.4.1. Пусть функция f(t) eH на L. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 3SZ
где пь = tk+\ - tk; ?n+1 = t\, и решением уравнения A7.4.1)
A7.4.3)
выполняется соотношение A7.1.6), в котором величина
удовлетворяет неравенству
Q(tk)<o(l/nx)}, 0<Х<1. A7.4.4)
Доказательство* Система A7.4.2) совпадает с системой
A7.1.3), если в последней заменить h на а^ . Поэтому те же рас-
рассуждения дадут
±(± fah A7.4.5)
где bj = tOj+i - tOj-, k = 1,...,n, ?On+1 = i01.
Так как теперь L — окружность, то к изучению множителей
Iq[ n Iqqj придется подойти иначе, чем в теореме 17.1.1. На-
помним, что tk = е к t tok - е = е » fe = 1, •-, л.
Поэтому можно написать
р{п)
^и A7.4.6)
m=l
Так как точки t^ , & = 1,..., л, разбивают окружность L на равные
часта, а ^ является серединой дуги (?б+1>^)> то
9w - б^ = 2тс(т - Л)/л, вОт - б? = 2п{т - ?)/я + тс/« . Вводя теперь
•л
перенумерацию с учетом периодичности фушащи е , можно написать
¦ eim'2nln)'
fe=l' ' ' т=0
368 Глава 17
Для вычисления fjy заметим, что числа etm'2n/n f
т = ОД,..., я - 1 являются корнями я-й степени из числа г = 1, т.е.
р(») = lim 2—Zl = iim f]B _ вй»-2«/п\ = я A7.4.7)
1ft 1 *ip /
1>ft г-И г-1 ip
Для вычисления р\п} заметам, что числа вКФ«*-2Ф) f
/и = 0,1,..., й - 1, являются корнями й-й степени из числа z = -1, т.е.
dn) = lim ftf г - в<Ф+«-2Ф)) = ит(г« + Л = 2. A7.4.8)
Формулы A7.4.6) — A7.4.8) показывают, что
4") = -(t2, ±,fl.|I + o(I). (,7.4.9)
Аналогично можно показать, что
Из формул A7.4.5), A7.4.9) и A7.4.10) следует, что
Учитывая теперь формулы A3.2.4) и A3.2.6), видим справедли-
справедливость теоремы 17.4.1.
Аналогично доказывается следующая
Теорема 17.4.2. Пусть функция f(t) имеет вид
iT' A7.4.12)
где \\f(t) еН на L, 0 < v < 1, и пусть множества Eq и Е, обра-
образующие каноническое разбиение окружности L, выбираются
так, что точка q делит пополам дугу между ближайшими к ней
точками из Е и Eq. Тогда между решением системы линейных
алгебраических уравнений A7.4.2) и решением A7.4.3) выпол-
выполняется соотношение A7.1.6), в котором величина в(^) удо-
удовлетворяет неравенствам:
урДВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 362
1) для всех точек % eL\O(q,5), где O(q,b) являются 6-
окрестностью точки q, 8 > 0 —сколь угодно мало
0<Х1<1; A7.4.13)
2) для всех точек t^ eL
' 0<X2^l; A7.4.14)
При доказательстве теоремы 17.4.2 надо воспользоваться
формулами A3-4.5) и A3.4.6) для кусочно-ляпуновской кривой.
Аналогично теореме 17.1.5 с использованием результатов
теоремы 17.1.1 и неравенств A3.2.8) —A3.2.10) доказывается
следующая теорема.
Теорема 17.4.3. Пусть функция f(t)eH на L, и мно-
множества Е и Eq выбираются так, что q е Ец при j = jq. Тогда
между решением системы линейных алгебраических уравнений
=С' / = /?> A7.4.15)
и региением (^t) класса U на L уравнения A7.4.1)
l {
A7.4.16)
выполняется соотношение A7.1.6), в котором величина в(^)
удовлетворяет неравенствам A7.4.13), A7.4.14).
Для доказательства достаточно заметить, что, так как L —
окружность, то можно всегда считать jq = п .
Замечание 17.4.1. Если функция f[t) терпит разрыв первого
рода в точке q eLи принадлежит классу Я на множестве L\q,
то множества Е и Eq надо выбирать так, чтобы q e Eq при
J = jq, а систему линейных алгебраических уравнений составлять
следующим образом:
24-2775
370 Глава 17
=1" ¦"¦
A7.4.17)
Тогда теоретически можно показать, что |ф(^)-фп(^)|, где
I —решение уравнения A7.4.1), ведет себя также, как в теоре-
теореме 17.4.2, но расчеты показывают более хорошее совпадение.
Теперь рассмотрим полное уравнение первого рода на
окружности
L L
где функция f(t) еН на L, a Kfo,t) еН на L х L, или уравнение
где !С(*о,?) еЯ на I x L и К(*о,*ь) * 0.
Уравнения A7.4.18) и A7.4.19) эквивалентны соответствую-
соответствующим уравнениям Фредгольма 2-го рода. Если эти уравнения
имеют единственное решение, то и соответствующие уравнения
Фредгольма 2-го рода имеют единственное решение. Для числен-
численного решения этих уравнений в классе непрерывных функций
надо рассмотреть следующие системы линейных алгебраических
уравнений
A7.4.20)
или
У =
где точки tk, fe = l,...,n, делят окружность L на равные части,
4к делит пополам дугу ^^+l i ak = ^+1 - *ife • При этом предпо-
предполагается, что f(t) и K(tQ,t) или #(?o,?),JC(*o,*b)*O на L, при-
принадлежит классу Н на соответствующих множествах.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫ^ МЕТОД 3Z1
Если f{t) терпит разрыв первого рода в точке q, то надо
воспользоваться замечанием 17.4.1, Если же f(t) терпит интегри-
интегрируемый разрыв в точке q, то надо выбирать точки % и % так,
чтобы точка q делила пополам дугу между ближайшими к ней
точками из множеств 1: = {^,fe = 1,...,я} и Eq = {toktk = 1,...,я} .
При этом системы A7.4.20) и A7.4.21) сохранят свой вид.
Доказательство сходимости решений систем A7.4.20) и
A7.4.21) к решениям уравнений A7.4.18) и A7.4.19), соответ-
соответственно, производится также, как и для аналогичных уравнений
на отрезке, т.е. надо в дискретном виде повторить переход к си-
системам линейных алгебраических уравнений для соответствующих
интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Естественно, что
эти системы будут невырождены, начиная с некоторого щ.
Если надо найти решение уравнения A7.4.18), имеющее в
заданной точке q особенность вида \f[q — t), то точки t^ и t^
надо выбирать так, чтобы q-tok , и рассмотреть следующую
систему линейных алгебраических уравнений:
A7.4.22)
Замечание 17.4.2. Все результаты этого параграфа легко пере-
перенести на тот случай, когда L в уравнениях A7.4.1), A7.4.18) и
A7.4.19) является системой непересекающихся окружностей [155].
17.5. Уравнение с ядром Гильберта
Рассмотрим уравнение
J tg^Ke)rfe /-(e) A7.5.D
Выберем на отрезке [0,2я] точки % , k = 1,...,я, которые, ин-
интерпретируемые как точки единичной окружности L, разбивают ее на
я равных частей, вод , k = 1,..., л, делит пополам дугу в^+1 .
Напомним [100, 201 и § 2.4], что уравнение A7.5.1) имеет
Решение, принадлежащее классу Я при / € Я только при условии
24*
372 Глава 17
2*
J/-(e)</6 = 0. A7.5.2)
О
Для выделения единственного решения надо задать значение ре-
решения в некоторой точке, либо значение интеграла от решения
(последнее более часто встречается в приложениях). Поэтому,
если применить к численному решению уравнения A7.5.1) тот
подход, который был проведен для характеристического уравне-
уравнения на отрезке в § 17.1, то уравнение A7.5.1) надо заменить сле-
следующей системой линейных алгебраических уравнений:
е*)т=с- A7-5-з)
n
Система A7.5.3) переопределена. В силу выбора точек в^ и бд*
и нечетности функции ctg9 получаем
?®^ = 0, * = 1,...,я. A7.5.4)
Следовательно, сложив первые п уравнений в системе
A7.5.3) и учитывая равенство A7.5.4), получим
Поэтому система первых я уравнений из системы A7.5.3) вырож-
вырождена и в общем случае несовместна. Это же относится и ко всей
системе A7.5.3).
Естественно возникает мысль отбросить одно из первых
уравнений в системе A7.5.3). Тогда, как будет показано ниже,
получаем невырожденную определенную систему, но дающую
неустойчивый вычислительный процесс. Поэтому к системе
A7.5.3) применим метод регуляризирующих факторов, который
был нами использован для характеристического сингулярного
интегрального уравнения на отрезке в случае отрицательного ин-
индекса (безударное обтекание профиля или обтекание телесного
профиля с острой задней кромкой).
Справедлива следующая теорема.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 3Z3
Теорема 17.5.1. Пусть функция f(Q)eH на [0,2п],
ДО) = fBn), и для нее выполняется равенство A7.5.2). Тогда
между решением системы линейных алгебраических уравнений
.)— = ДвОм), т = \,...,п,
T-Z»n(e*)— = C, A7.5.6)
и решением <р(б) уравнения A7.5.1), задаваемым формулой [201
и §2.4.]
^g /(Qo)^Qo +с у A7.5.7)
: условии
С A7.5.8)
выполняется соотношение
гЭ^ Х = а е@,1], ^сле/ п—произвольно и /"(9) е#,, Я
п—нечетно и г'(в) еН(а).
Доказательство. Просуммировав первые я уравнений в
системе A7.5.6) и учитывая равенство A7.5.4), получим
4 tf (**)%' A7*5Л0)
Отсюда следует, что уоп -> 0 при я->оо тогда и только тогда,
когда уравнение A7.5.1) имеет решение.
Идея дальнейших рассуждений состоит в сведении системы
A7.5.6) к системе вида A7.4.2) для уравнения на окружности с
помощью равенства
2*. A7.5.11)
374
Глава 17
Умножим последнее равенство в системе A7.5.6) на (-f) и
прибавим ко всем первым п уравнениям. Учитывая равенство
A7.2.10), получим после умножения обеих частей на я
к'\
или
где
тп =
1,...,я, A7.5.11)
A7.5.12)
kmi
Система A7.5.12) совпадает с системой A7.4.2) и поэтому ее
решение дается формулой A7.4.5). В силу равенств A7.4.9) и
A7.4.10) в данном случае получаем равенства
1
A7.5.13)
, A7.5.14)
mmi "* km
где bm = 2л itotn/п . Таким образом, воспользовавшись равенства-
равенствами A7.5.4) и <17.5Л1), получаем
Теперь формула A7.4.5) получит вид
1 ^
,2 L*\
* m-1
— х
71
ffiДВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 3Z5
2i \-uwi/ • "¦" • V17.0.15/
Сравнивая формулы A7.5.7) и A7.5.15), видим справедли-
справедливость теоремы.
Замечание 17.5.1. Если вместо системы A7.5.6) рассмотреть
систему
)— = С, A7.5.16)
n
то аналогичные рассуждения показывают, что
A7.5.17)
Аналогично теореме 17.5.1 доказываются и следующие теоремы.
Теорема 17.5.2. Между решением системы линейных алгеб-
алгебраических уравнений
i(e*)Tec' A75л8)
и решением <р~(в) уравнения A7.5.1) для любой функции f(Q)
ф-(в) = -± Jctg^(eo)rfeo - ^ctgili JДв>/в + С.
A7.5.19)
выполняется соотношение
ч(в4), k = 1 «,
где величина ti(e^) удовлетворяет неравенствам A7.4.13) и
A7.4.14), в которых числа \\ и %2 определяются по свойствам
функции f(Q) также, как в A7.5.9). При этом точки в* и в^,
k = 1,...,я, выбираются так, чтобы при любом п иметь 6<)П = Я •
376 . Глава \7
Теорема 17.5.3. Пусть f(Q)eH на [0,2я], f(Q) = fBn) и
точки в^ и во^, fc = l,...,n, выбраны так, что 9^ = q,
q €[О,2тс]. Тогда между решением системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений
1 в бь 2л
Г On + у
A7.5.21)
<р(<7) известно, и решением Ф+(в) уравнения A7.5.1)
ф+(е) = "S
A7.5.22)
выполняется соотношение
^) k = !,...,«. A7.5.23)
Замечание 17.5.2, Решения систем A7.5.18) и A7.5.21), со-
соответственно, имеют вид
Qk~Q0m] 1 QOm-Qk
A7.5.25) .
Из формулы A7.5.24) видно, что получается ухудшение сче-
счета при рассмотрении системы A7.2.18) в точке q—окрестности
той точки, уравнение для которой выброшено, так как в общем
случае ]Г/-(еОш)— *0.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 3ZZ
Из формулы A7.5.25) получаем, что, если ф(^) = 0, тогда
при г\&) еЯ(а) на [0,2я]и я нечетном, в неравенстве A7.5.23)
справа будет стоять величина Ыri~r~a In n). Поэтому, если из-
известно значение <p(q), то лучше ввести новую функцию
ф(9) = ср{9) - <({q), для которой qi(q) = 0 .
Замечание 17.5.3. Если в уравнении A7.5.1) функция/*(9)
терпит интегрируемый разрыв в точке q, то, то как и для уравне-
уравнения на отрезке, можно систему линейных алгебраических уравне-
уравнений брать вида A7.5.6), только точки в^ и во& , k = 1,...,я, надо
взять так, чтобы точка q делила пополам отрезок между ближай-
ближайшими к ней точками из множеств Е и Ец .
Если же функция /"(б) терпит разрыв первого рода в точке
q е [0,2тс], то расчеты показывают, что лучше поступать следую-
следующим образом. Точки 8^ и 0q^ выбирать так, чтобы точка q была
точкой 60fc , и в системе A7.5.6) для первых п уравнений правую
часть брать следующим образом:
1) для уравнений с номерами т = 1,...,я, m*kqy справа
стоит ffiom);
2) в уравнении с номером т = kq справа стоит
Рассмотрим теперь уравнение
2л 2л
тг- f ctg^V^<Ke)rfe + f ^(eo,eWeWe = /Ye0) A7.5.26)
2tc
0
или уравнение
1 27 fl -й
I jt4i"Q,wiCt6 (Dit/jwU == /l"o) » \if.O.4i/
2ni 2
в котором Х(е0,80)^0 и 1С(во,в)еЯ на [0,2тс] х [0,2тс], функции
f(%) и Х(бо,в) —периодические по своим координатам.
Будем предполагать, что уравнение A7.5.26) имеет един-
единственное решение при дополнительном условии
378 Глава 17
Jic1(e)(p(e)de = c, A7.5.28)
о
где Kf(Q) еН на [0,2тг] —ненулевая функция. Если ядро Х(во,б)
удовлетворяет тождеству
2я
JK(eQ,Q)deQ = Of A7.5.29)
о
а правая часть—равенству A7.5.2), то равенство A7.5.28) должно
быть задано из некоторых дополнительных соображений, как это
делается в задачах аэродинамики или теории упругости.
Если же уравнение A7.5.26) однозначно разрешимо при лю-
любой правой части, то в качестве дополнительного условия следует
взять равенство
2% 2* 2п
J rf90 J Х(в0, в)<р(в>/в = J /^(во>/во, A7.5.30)
оо о
Численный метод для уравнений A7.5.26) или A7.5.27) надо
строить с учетом сделанных замечаний.
Таким образом, аналогом системы A7.5.6) для уравнения
A7.5.26) будет следующая система линейных алгебраических
уравнений:
*@О,»>в*Ые*)— = f(Q0m) ' т =
k=\ n
(*М*)
*=1 1 п
Если единственное решение уравнения A7.5.26) выделяется с
помощью условия <р(<7) = 0 , то для этого уравнения надо рассмот-
рассмотреть систему
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 2Z2
A7.5.32).
где точки в^ и вот выбраны также, как в системе A7.5.21). Си-
Системы A7.5.31) и A7.5.32) удобны тем, что с учетом разрешимос-
разрешимости систем A7.5.6) и A7.5.21) их можно эквивалентным образом
преобразовывать в системы линейных алгебраических уравнений
для интегральных уравнений Фредгольма второго рода, эквива-
эквивалентных уравнению A7.5.26) в классе непрерывных решений.
Таким образом, можно доказать сходимость решений систем
A7.5.31) и A7.5.32) к точному решению уравнения A7.5.26) с
теми же оценками, как и для характеристического уравнения.
Если в уравнении A7.5.26) правая часть терпит разрыв пер-
первого рода или имеет интегрируемый разрыв в точке q, то при со-
составлении системы A7.5.31) надо учесть замечание 17.5.3.
17.6. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа
Как было показано в § 4.2, задача Дирихле для кусочно-
гладкой кривой L с помощью потенциала простого слоя сводится
к интегральному уравнению D.2.4) первого рода с логарифми-
логарифмической особенностью. Пусть кривая L еН(а) (см. § 4.2). Тогда,
продифференцировав по длине дуги уравнение D.2.4), приходим:
1) к сингулярному интегральному уравнению D.2.23) перво-
первого рода с ядром Коши на отрезке, если L—разомкнутая кривая;
2) к уравнению D.2.24) первого рода с ядром Гильберта, ес-
если L — разомкнутая кривая.
Так как приведение продифференцированного уравнения
D.2.4) к виду D.2.23) или D.2.24) требует дополнительных за-
затрат, то лучше записать его в виде
()
A7.6.1)
где x = x(s), y = y{s)} xQ=x(s0), yo = y{so), параметрическое
задание кривой L.
Если кривая L—разомкнутая, то уравнение A7.6.1) имеет
вид A7.2.10), и так как его единственное решение выделяется с
помощью условия D.2.25), то индекс этого уравнения равен единице.
Поэтому в силу замечания 17.2.1 численное значение искомого реше-
решения получится из системы вида A7.2.12), т.е. из системы
380 Глава 17
1L(){)(), A7.6.2)
- *k)
где a>(sOw,s*)
271 (*0m**) +(У0тУ*)
У* = y{sk) i ^0m = 4?0m) , УОт = 2/(^0m) , гМЛМОу = [(^Ov - *kf +
+(z/qv ~ Vk ) » множества точек Е = {s^, Л = 1,..., nJ и
?"o = {sOm>m ~ 0,1,...,w} образуют каноническое разбиение отрезка
[0,Z], v—какой-нибудь фиксированный номер точки из мно-
множества ?о.
Если кривая L—замкнутая, то уравнение A7.6.1) имеет вид
A7.5.26), для которого единственное решение выделяется с по-
помощью условия вида A7.5.28). Поэтому численное решение этого
уравнения получится из системы вида A7.5.31), т.е. из системы
п
УОп + ЕС0E0»г'5*)ч/0пЫА5* = f'(s0m)> ТП = \,...,П,
k=l
) = f(sOv), A7.6.3)
где точки Sfr , k = 1,..., n, интерпретируемые как точки окруж-
окружности длины I с центром в начале координат, разбивают ее на
равные части, а точки SQm , m = 1,...,п , являются серединами этих
частей, уои — регуляризирующая переменная.
Задача Неймана, как следует из § 4.3, для кусочно-гладкой
кривой L с помощью потенциала двойного слоя сводится к инте-
интегральному уравнению D.3.6) относительно производной плот-
плотности потенциала или к интегральному уравнению D.3.7) относи-
относительно плотности потенциала.
Если кривая L—разомкнутая, то уравнение D.3.6) является
сингулярным интегральным уравнением на отрезке первого рода с
ядром Коши, для которого условие выделения единственного ре-
решения можно записать в виде
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 3S1
о
так как д{0) = g{t) = 0. Таким образом индекс уравнения D.3.6)
равен единице, и поэтому численное значение решения этого
уравнения с учетом обозначений в A7.6.2) можно находить из
следующей системы линейных алгебраических уравнений
п
^)f{)A f{) т = 1,..., П - 1,
0. A7.6.5)
Уравнение D.3.7) является гиперсингулярным интегральным
уравнением на отрезке, которое имеет единственное решение. Так
как интеграл слева в D.3.7) есть интеграл In,l,2{N) из A3.6.3),
то для численного решения этого уравнения воспользуемся квад-
квадратурной формулой A3.6.16). Для этого на отрезке [0,/] пара-
параметра 5 длины дуги кривой L возьмем два семейства точек
Sk=(k-l)h, k = 1,...,я + 1, А =//я и SQk=Sk+h/2, ? = l,...,n.
Для численного решения уравнения D.3.7) надо рассмотреть сле-
следующую систему линейных алгебраических уравнений
п
ХМ5<Ьи'5*) " шE0яр**+1)] 9пЫ) = f{s0m) > т = !>•• .,Я -
A7.6.6)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.6.1. пусть разомкнутая кривая L принадлежит
классу Я3(а)(см. § 4.3), a f(so)eH(a). Тогда между точным
решением g[s) уравнения D.3.7) и решением системы A7.6.6)
выполняется соотношение
И 0<К1. A7-6.7)
Доказательство можно провести следующим образом. При
условиях теоремы уравнение D.3.7) может быть записано в виде
Уравнения D.3.16). Последнее можно, разрешив относительно ги-
гиперсингулярной части, свести к эквивалентному в смысле на-
нахождения решений интегральному уравнению Фредгольма 2-го
рода с регулярным ядром. Этот процесс можно повторить в дис-
дискретном виде для системы A7.6.6), что продемонстрируем для
382 Глава 17
уравнения D.3.9). В этом случае система A7.6.6) имеет вид
A7.1.40) и дальше надо воспользоваться теоремой 17.1.8.
Если кривая L—замкнутая, то уравнение D.3.6) является
сингулярным интегральным уравнением первого рода с ядром
Гильберта, решение которого определено с точностью до констан-
константы. Для выделения единственного решения надо воспользоваться
равенством A7.6.4), которое справедливо в этом случае в силу
периодичности функции <7оE) • Из результатов §17.5. следует, что
для численного решения уравнения D.3.6) надо взять следующую
систему
0, A7.6.8)
где точки Sfr и од , k = l,...,n, выбраны также, как в A7.6.3).
Уравнение D.3.7) является гиперсингулярным интегральным
уравнением типа Гильберта, т.е. может быть приведено к виду
D.3.17). В данном случае это уравнение имеет решение с точ-
точностью до константы. Поэтому для выделения единственного ре-
решения надо или задать значение интеграла от решения или значе-
значение решения в некоторой точке.
Если задано значение интеграла от решения, то для числен-
численного решения уравнения D.3.7) надо рассмотреть следующую си-
систему линейных алгебраических уравнений
п
У On + ХИ%и>**) - ®{som>sk+i)] 9пЫ) = f{S()m) > » = %...,П.
k\
где 5п+1 = 5!.
Если задано значение решения в точке q е [0, /], то надо рас-
рассмотреть систему
п
У On + ХМ5^»'5*) - ®(^**+l)]fti(*ta) = f{s0m) > m = l»-ili •
М ]
A7.6.10)
где sn+l = st, gn(sQn) = g(q).
Для модуля разности значений точного решения уравнений
D.3.6) и D.3.7) и решения соответствующих систем A7.6.8), A7.6.9)
ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 382
0 A7.6.10) в точках Sq^ > fc = 1,..,л, справедливы такие же оценки,
jgjK для решений уравнения с ядром Гильберта в § 17.5, если кривая
L е Нз(а) • Доказательство этого утверждения проводится аналогия-
00 доказательству теоремы 17.6.1(см. [162, 165]).
Замечание 17.6.1. Если кривая L является кусочно-гладкой,
jof как будет показано ниже в численных экспериментах, множе-
множество Е- {sk,k = 1,...,я} надо выбирать так, чтобы узлы кривой
входили в это множество.
17.7. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца
В этом случае задача Дирихле для простого кусочно-
гладкого разомкнутого контура при любом k и для замкнутого
контура для k, которые не являются собственными значениями
для внутренней задачи Дирихле, сводится к интегральному урав-
уравнению D.2.30) первого рода с логарифмической особенностью,
которое имеет единственное решение. Продифференцировав урав-
уравнение D.2.30) по параметру Sq} получим уравнение (с учетом
формулы D.1.16))
50€[0,/]. A7.7.1)
Следовательно, если контур L разомкнут, то для численного
решения уравнения A7.7.1) надо рассмотреть систему
где W{s^sk)^~H^{kr^^m)km{sOmyskI &{sOm,sk) опреде-
определена в формуле A7.6.2) и точки s^ и sOm выбраны также, как в
системе A7.6.2).
Замечание 17.7.1. Численный эксперимент показывает, что в
системах A7.6.2) и A7.7.2) в последнем уравнении для вычисле-
вычисления интеграла с логарифмической особенностью лучше взять бо-
более точную квадратурную формулу.
Если контур L замкнут, то для численного решения уравне-
уравнения A7.7.1) надо рассмотреть систему
384 Глава 17
УОп
, A7.7.3)
где точки Sft и $от выбраны также, как в системе A7.6.3).
Задача Неймана, как следует из результатов § 4.3, для кусочно-
гладкой кривой L с помощью потенциала двойного слоя сводится к
интегро-дифференциальному сингулярному уравнению D.3.21) или к
гиперсингулярному интегральному уравнению D.3.24).
Если кривая L—разомкнутая гладкая, то уравнение D.3.21)
является уравнением типа уравнения Прандтля на отрезке
A7.2.15). Так как решение g{s)b этом случае обращается в нуль
на концах кривой L, то для численного решения уравнения
D.3.21) надо рассмотреть следующую систему (см. A7.2.17)):
Wi(Sn sA-=it.HB)(kr^M )
wl\sOm>sk)- . Щ \RrMkMQm)
'MkMOm
Мо, i A7.7.4)
где точки 5? , Л = 1,...,п + 1 и 5Om, тя = 1,...,я, выбраны также,
как в системе A7.2.16).
Для гиперсингулярного уравнения D.3.24) заметим следую-
следующее. Это уравнение имеет единственное решение, если кривая L —
простая кусочно-гладкая разомкнутая при любом числе k и если
эта кривая—замкнутая, то при числах k} не являющихся соб-
собственными для внутренней задачи Неймана. Как показано в [282],
в обоих этих случаях для численного решения уравнения D.3.24)
надо рассмотреть следующую систему
4iM**^(*..**w(*«). m=i »• (l7-7-5)
где
. sk) = A(sOm, sk+i) - A(sOm, sk) + B(sOm,sk),
^РАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД 2В5
, sk) = Ш
sk+l
J
B(sOm,sk) = k2 J
ft = l,...,» + l и 5om, т = 1,...,я, выбраны также, как в
A7.7.4), если кривая L — разомкнутая, и также, как в уравнении с
ядром Гильберта, если кривая L — замкнутая (sn+j = s^).
Замечание 17.7.,2. В работе [282] показано в численном экс-
эксперименте, что скорость сходимости решения системы A7.7.5) к
точному решению уравнения D.3.24) зависит от способа вычисле-
вычисления B{sOm, sk).
Замечание 17.7.3. Если кривая L—достаточно гладкая замк-
замкнутая, то уравнение D.3.24) является гиперсингулярным с ядром
Гильберта, и поэтому, чтобы доказать равномерную по точкам
%»> *и = 1,...,я сходимость численного решения к точному, надо
согласно § 17.5 рассмотреть следующую систему
УОп
25-2775
Глава 18
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
18.1. Об одном свойстве сингулярных интегральных операторов
В предыдущей главе были рассмотрены численные методы
типа дискретных вихрей для уравнения первого рода, которые
основывались на применении специальных квадратурных формул
типа прямоугольников к сингулярному интегралу. Однако эти
формулы, обладая большой общностью, имеют невысокую ско-
скорость сходимости. Для построения численных методов решения
сингулярных интегральных уравнений, скорость сходимости ко-
которых зависит от дифференциальных свойств регулярного ядра и
правой части, укажем некоторые свойства операторов
4tw<>) -
4t %f%
введенных в формулах B.2.13) и B.2.14).
Для этого введем вначале еще операторы
и присоединенные к последнему
Аналогично оператору S^J. (w(t)) введем оператор
<§М')) = ^ keL. A8.1.4)
Обозначим knAz) = рп{2) + *-тB ~ с) и §n.o(z) = РпB) > г^е
Pn{z) —многочлен степени я, ^-т{2"" с) = с-\{2"" с)~ +-•
...+с_т(г~с)""т, с &L. Функцию ?>n,m(z) будем называть обобщен-
обобщенным многочленом степени (я, т). Справедливы следующие теоремы.
Теорема 18.1.1. Пусть функции a[t) и b(t) —произвольные
функции класса Н на L. Тогда для любой функции %nym(z) вы-
выполняется соотношение
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
т{
{к), toeL. A8.1.5)
Доказательство, Рассуждения проведем для cog'. Рассмот-
Рассмотрим функцию Х(г)^т(г), где X(z) —каноническая функция ин-
индекса Зв для краевой задачи B.1.28), соответствующей уравнению
B.2.2). Будем в дальнейшем называть X(z) канонической функ-
функцией уравнения B.2.2) [201]. Так как X(z) аналитична вне L,
X±(i) € Я* на L и на бесконечности ведет себя, как г~"а, то су-
существует такая функция ?>п-эе,тB) > что функция Ф(*) =
= Х{2)$п,т{2)-$п-зе,т{2) аналитична вне L, Ф^еЯ* на I и
ф(г) -> 0 при \z\ -> оо . Тогда в силу формул Сохоцкого-Племеля
A.2.4) имеем
дфЧтЬфд
ш* x-t
Учитывая, что
[]^] из
формулы A8.1.6) получаем соотношение A8.1.5). Для получения
соотношения A8.1.5) с cdv^ надо рассматривать функцию
Х~\г) / ^т(г).
Из теоремы 18.1.1 следует следующая теорема.
Теорема 18.1.2 Пусть b(t) —многочлен степени I Тогда для
операторов 5^ (•) справедливо соотношение
4&М')) = &*.М ' « Т .i / -1. A8-1.7)
Теорему 18.1.2 можно следующим образом обобщить [189].
Пусть коэффициент b(t) представлен в форме b(t) = bi(t)-b\{t),
где bi(t) — полином степени /. Тогда для любого n^l±aemi вы-
выполняется соотношение
Соотношения A8.1.7) и A8.1.8) важны при построении чис-
численных методов интерполяционного типа для сингулярных инте-
интегральных уравнений второго рода. Из A8.1.8) следует, что если
правая часть в характеристическом уравнении B.2.2) представле-
представлена произведением функции b\(t) на обобщенный полином степени
25*
388 Глава 1ft
(я - ае,т), то решение этого уравнения также будет произведени-
произведением функции bj(i) на обобщенный полином степени (я, т)
(напомним, что Щ) = b/(i)bi(?) ).
Для сингулярного интегрального оператора второго рода с
действительными коэффициентами на отрезке [-1,1] информацию
о соотношениях A8.1.7) и A8.1.8) можно уточнить [322]. Под
таким оператором будем понимать оператор 5^ (у(^))» в котором
1 = [-1Д] на числовой оси, b{t0) = ib(t0) =
действительная неотрицательная на [-1,1] и может иметь нули не
целого пррядка на одном или обоих концах отрезка, Ьг(^о) —
ействительный многочлен степени г ? О (в дальнейшем будем
обозначать Ь(<о) через bfo)), a{t^) —действительная функция на
[—1,1] класса Н. Введем еще обозначение
Тогда справедливы следующие теоремы.
Теорема 18.1.3. Пусть pn(t) и qn^t) — произвольные дей-
действительные полиномы, соответственно степени п и я-аэ, где
я > г + Щ. Тогда существуют действительные многочлены qn^g^t) и
pn{t), соответственно, степеней я - ае и я такие, что
A8-1.9)
A8.1-10)
Полиномы qn^g^i) и pn(t) могут быть в явном виде выпи-
выписаны через коэффициенты многочленов pn(t), Gп-ж@' М^) и
моменты весовых функций W&\t) и Wy{t).
Теорема 18.1.4. Пусть W$(t)*0, W$(t)b0, абсолютно
интегрируемы на [-Щ> Рп~полиномы, ортогональные на [-1Д]>
с весом W?'(t), q^gg—полиномы, ортогональные на [-1Д]> с ве-
весом wQ(t). Тогда формулы A8.1.9) и A8.1.10) в теореме 18.1.3
получат вид
СРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 282
(«.lid
A8.1.12)
Из теоремы 18.1.3, следует, что если в характеристическом
уравнении B.2.2) на [-1,1] будет f(t0) = Ь{[*оУп-аЛ*о) f гДе
fn-adfa) —полином степени п-зе, то решением этого уравнения
будет полином степени п. Свойства операторов S} ', сформулиро-
сформулированные в теоремах 18.1.3 и 18.1.4, образуют основу построения
вычислительной схемы решения сингулярного интегрального
уравнения второго рода с действительными коэффициентами на
отрезке [-1,1]. Отметим, что для программной реализации на-
настоящей вычислительной схемы важное значение имеет конструк-
конструктивное доказательство теоремы 18.1.3, которое не только устана-
устанавливает, что операторы s\ ' преобразуют произведение весовой
функции на известный многочлен в новый многочлен, умножен-
умноженный на b\{to}} но и позволяет выписать последний многочлен в
явном виде.
Обратимся теперь к доказательству теорем 18.1.3 и 18.1.4 для
оператора Sj ' (доказательство для оператора S). ' аналогично).
Доказательство теоремы 18.1.3 для оператора SyK
1) Пусть аэ>0. Представим pn{t) как
)*n-a+i(*)» гДе Pa-i(*)—полином степени ав-1 и
—полином степени п - зе+1.
Тогда
где
390 Глава
я_1 *¦
2) Пусть ав=О. Тогда
где
3) Пусть аэ < 0 . Тогда рассмотрим сингулярное интегральное
уравнение индекса * = -аэ>0 класса А, союзного по отношению
к классу А, с вспомогательными условиями
— f tyW&q(t)dt = 0, v = 0,1,..., Ж-1.
m-i
Решение этого уравнения находится конструктивно [184] и
дает искомый многочлен <7П-Ж(*о), ае< 0 .
Доказательство теоремы 18.1.4. На основании 1-го критерия
ортогональности (см. [247]) следует, что теорема будет доказана,
если получим, что \w^\t)q^^t)Qm{t)dt = 0 для любого много-
-1
члена Qm(t) степени т < п - зе. Учитывая, что т + аэ< п, приме-
применяя свойство союзных сингулярных интегральных операторов
(см. [201]) и теорему 18.1.3, получим, что существует такой по-
полином pw+a5(i), для которого справедливо соотношение
-1 -1
-i -I
урДВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 321
18.2. Общая схема построения численных методов
интерполяционного типа
В этом параграфе напомним следующую схему приближенно-
приближенного решения уравнения
Л(ч>) = /\ A8.2.1)
где Л—линейный оператор, непрерывно обратимый в паре бана-
банаховых пространств (X, Y) [252]. Если имеется последователь-
последовательность уравнений
()Л <18-2-2)
где А^.Х -> У —линейные ограниченные операторы и
||А - А^ = рп -> О при п -> оо, тогда, начиная с некоторого wq
для всех п > щ операторы Л^ непрерывно обратимы в паре про-
пространств (X, YJ и выполняется следующее неравенство
llflU A8.2.3).
Для этих п решение уравнения
An(wn)=fn, fn-Y, 08.2.4)
единственно и удовлетворяет неравенству
'-'г-Iг A8-2-5)
Рассмотрим теперь полное сингулярное интегральное уравне-
уравнение B.2.1), которое с учетом обозначений параграфа 3.2 в виде
АШ=41Ш+№>?$(*№**=Ш • <18-2-6>
L
где определение \j/(i) и /(^0) дано в C.2.10), C.2.11). Возьмем
теперь уравнение
L A8.2.7)
где ядро Kik't) получается из ядра kfat) аппроксимацией его
обобщенными полиномами степени (п - ае, п), а если L = [-1,1] на
действительной оси, то алгебраическими полиномами степени
п - аэ по переменной. Будем предполагать, что кривая L и ядра
М таковы, что $K-Kn\x->Y ~*° при п^>со> где
Ш ^ Глава 1g
I
*n(v*(')) = jkn(tQ, t^\t)W{t)dt, X = Хя , У = Уж.
I
В этом случае
И
при я -> 0, и, следовательно, начиная с некоторого wq Для всех
п^щ, уравнение A8.2.7) имеет единственное решение для любо-
любого /еУ.
Если теперь рассмотреть уравнение
4.(?я)= $&Ы*Ь \К{кМ~Х^п№ = Д(*б), A8.2.8)
I
где /п(^о) получено из д^о) заменой ffo) на fn(to) таким же об-
образом, как knfat) из Л(^о,^), тогда для достаточно больших п
компонента 4tn(t) решения \j/n(i) этого уравнения есть полином
степени я, если L = [-1,1] или обобщенный полином степени (я, я)
в силу соотношения A8.1.7).
Уравнение A8.2.8) эквивалентно соответствующей системе
линейных алгебраических уравнений для коэффициентов решения
yn(t), которая имеет единственное решение. Близость функций
\|/(?) и yin(t) в норме пространства X может быть получена из
формулы A8.2.5).
Замечание 18.2.1. Как известно [153, 174], сингулярный ин-
интегральный оператор неограничен в равномерной метрике. Поэто-
Поэтому, чтобы получить оценку сходимости численного решения к
точному в равномерной метрике, можно поступить следующим об-
образом. От исходного уравнения A8.2.6) и приближенного урав-
уравнения A8.2.8) перейти к эквивалентным им интегральным урав-
уравнениям Фредгольма 2-го рода, операторы которых уже являются
ограниченными в равномерной метрике, и затем дать оценку раз-
разности точного и приближенного решений.
18.3. Уравнение на отрезке и системе отрезков
Рассмотрим вначале характерисгачекое уравнение на отрезке [-1Д]
И(Ч1), A8.3.1)
СРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 222
которое для данного индекса as запишем с учетом обозначений
§ 3.2 и § 8.2 в виде
4т)-$кш-л№- A8-з-2)
Здесь: для аз= 1
где
l
- \®\{t)y\?{t)dt = С; A8.3.3)
для зе=0
для ае=-1
oH(i) = >/l^7, Щ = у
и \y(t) является решением уравнения A8.3.1) тогда и только тог-
тогда, когда
уо= f^E?L = O. A8.3.4)
-iVi-*2
Построение численного метода более подробно проведем для
индекса аэ=1. Заменим функцию f(to) многочленом fn(to) сте-
степени я-2. Тогда решение 4fn(t) уравнения A8.3.1) будет много-
многочленом степени я-1 (см. теорему 18.1.3). Равенство многочленов
/п(^о) и *^ii (ч/п(^)) эквивалентно системе (я-l) равенств либо
относительно (я -1) коэффициентов при степенях переменной,
либо значений этих многочленов в (я -1) различных точках. Во
втором случае уравнение
которое имеет единственное решение, эквивалентно в смысле на-
нахождения решений системе я линейных алгебраических уравнений
= С, A8.3.5')
которая также будет иметь единственное решение.
394 Глава |g
Если многочлен 4*n(t) записан в виде интерполяционного
многочлена A4.3.1), то он однозначно задается п числами \|/п(^),
k - 1,...,п . Поэтому уравнение A8.3.5) эквивалентно уравнению
*с¦ <18А»
а система уравнений A8.3.50—системе уравнений
з& A8-37)
Близость функций v|/(i) и i|/n(?) в соответствующей метрике
будет оцениваться близостью квадратурной формулы Sq~t' (fn{t)) K
значению сингулярного интеграла S^t (f(t)). При этом желатель-
желательно, чтобы полученная система линейных алгебраических уравне-
уравнений A8.3.50 была бы похожа на систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений A7.1.4), получаемую в методе дискретных вих-
вихрей. Для этого достаточно вспомнить о квадратурной формуле ин-
интерполяционного типа для сингулярного интеграла на отрезке
[-1,1], полученной в § 14.3.
Таким образом, получаем справедливость следующей теоремы.
Теорема 18.3.1. Пусть функция f(t)eH на [-1,1]. Тогда
между региением системы линейных алгебраических уравнений
-^Уп{к)ак = c> A8.3.8)
где a^ - n/n ; t^ = cosB^ - l)n/Bn), k = 1,..., n; t$j = cos /я/я ,
У = 1,..., n - 1, г/ функцией
t-i
выполняется соотношение
A8.3.9)
A8.3.10)
^РАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ %&
где Rn{tk) —погрешность аппроксимации в точке t^ сингулярного
интеграла, стоящего во формуле A8.3.9), с помощью квадра-
квадратурной формулы интерполяционного типа, построенного по
точкам tQj , j = 1,..., п -1, § 14.3.
Замечание 18.3.1. Доказательство теоремы 18.3.1 дано с ис-
использованием однозначно разрешимых операторов. Доказатель-
Доказательство этой теоремы на основе идей доказательства теоремы 17.1.1,
т.е. чисто алгебраическое доказательство, дано в [39, 285].
Замечание 18.3.2. Как следует из п.2 в § 14.3 значение при-
приближенного решения фп(^) = Yn^Ol*"~ч) для УРавнения
A8.3.1) будет даваться формулой
ФпЫ = -
= 1,...,п, A8.3.11)
где 67-= — sin — , у = 1,...,я- 1. Причем, как следует из [246],
J п п
формула A8.3.11) дает точное значение решения <р(?) в точках
?д , если f(t) является многочленом степени не более 2(я - 1).
Аналогичными рассуждениями может быть доказана теорема о чис-
численном решении уравнения A8.3.1) для индексов ЭЭ= -1 и аэ= —1.
Теорема 18.3.2. Пусть функция f(t)eH на [-Ц]- Тогда
между решениями систем линейных алгебраических уравнений
^Г Ы У A8.3.12)
ak= -sinr -, tk=cos
n + 1 « + 1
sinr, tkcos
n + 1 « + 1 й +
B;-Ik
?^ f(oj) У-1..-..Я. A8-3.13)
An . 2 Лтс ,
w функциями y(t), соответственно,
396 Глава 18
A8.3.14)
A8.3.15)
)
выполняется соотношение A8.3.10) .
Заметим, что если требуется брать приближенное решение
как функцию от t, то надо воспользоваться формулой A4.3.1),
которая запишется в виде
где для теоремы 18.3.1
Pn(t) = Tn(t) = cos(warccosi)
и для теоремы 18.3.2
t ч . ч sin[( w +1) arccos t]
Pn(t) = Ц. (*) = L\ / A J
w w sm(arccosi)
для системы A8.3.12) й
Pit) Tn+l(t)-Tn(t)
для системы A8.3.13).
В некоторых прикладных задачах [28] приходится рассмат-
рассматривать решение характеристического уравнения, когда известно
его значение в некоторой точке q е(-1Д). В этом случае с по-
помощью рассуждений в понятиях операторов или алгебраических
рассуждений можно получить следующий аналог теоремы 17.1.3:
решение системы линейных алгебраических уравнений
ki 0J A8.3.16)
(где й?, tk, & = l,...,n и t§j, / = 1,...,я-1, определяется так-
также, как и в теореме 18.3.1, a kq —номер точки t^, ближайшей к
точке q), равномерно сходится к функции
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 32Z
В общем случае с учетом формулы A4.3.6) можно показать,
что, если функция f[t) обладает ограниченной второй производ-
производной, то |\|/п(^) - y{t}A будет величиной порядка п .
Наконец, если решение ищется в классе функций
ср(?) = w(t)/(q -1), \\f(t) = ^(l - t)/(l + t)u[t) и известно значение
u(q) в точке qe(-l,l), то справедлив также аналог теоремы
17.1.4, который состоит в следующем.
Между решением системы линейных алгебраических урав-
уравнений
1 Jk VJtu\au ./ ч 1 u(q)ab_
S.3.18)
(где а^, t^ и tOy определяются также, как и в системе
A8.3.13), jg —номер точки t$j, ближайшей к точке q,
V(t) = u(t)j(q -t) и функцией
выполняется соотношение (при достаточной гладкости функции
A8.3.20)
Можно также сформулировать аналоги теорем 17.1.5 и
17.1.6. Здесь, как и в замечании 17.1.2, отметим, что с использо-
использованием решений системы линейных алгебраических уравнений
1
A8.3.16) и A8.3.18) хорошо вычисляются интегралы J vffy${t)dt,
-1
где т|(^) —функция класса Н на [-1,1].
Все, сформулированные в этом параграфе результаты для
характеристического уравнения A8.3.2), справедливы и для пол-
полного уравнения первого рода A7.2.1), если оно однозначно раз-
разрешимо и если его можно записать в виде уравнения A8.2.6), т.е.
в том виде, когда его характеристическая часть становится одно-
однозначно разрешима также в соответствующих пространствах. В
этом случае справедлив аналог теоремы 17.2.1, для чего в системе
328 Глава \$
A8.3.8) в первых (я-l) уравнениях, а в системах A8.3.12) и
A8.3.13) во всех п уравнениях надо добавить слагаемое
где точки tOj- и ^ , а также коэффициенты а^ выбираются также,
как и для соответствующего характеристического уравнения.
В соответствии с замечанием 17.2.2 результаты, сформулиро-
сформулированные в этом параграфе для сингулярного интегрального урав-
уравнения на отрезке, справедливы для сингулярного интегрального
уравнения на системе L непересекающихся отрезков A7.3.1), а
именно справедлив аналог теоремы 17.3.3. Для формулировки
этого результата введем еще обозначение
) • 08.3.22)
На каждом из отрезков ЫщуДц] будем рассматривать не-
неравномерные сетки, состоящие из точек tmъ, k = 1,..., пт,
tm>k = 9m{xk) у гДе Tk —корни многочлена ^п,яот(т) из системы
ортогональных на [-1,1] с весом @»(T)i и точек tmQj,
/ = 1,...,ят-аг^, *т,о;=Й1|(*о/)' Где Тоу-корни многочлена
QaeL,n (T)» определенного через P»fn (T) равенством A4.3.4).
Теорема 18.3.3. Пусть функция f(t) eH на L. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
+ Zj—7 7 2*i Za 7 7
рфт
M = (J?m - Л„)^/2, ak = Q^>r
щей y\fa^t), определяющей решение <рг(?) на каждом из отрез-
ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 322
ков [Дя,Вш] выполняется соотношение A8.3.10), где
Rmn v-m,k) —погрешность аппроксимации сингулярных интегра-
интегралов на /, которые появляются в эквивалентном уравнении Фред-
гольма, в точке
18Д. Уравнение на окружности и с ядром Гильберта
Рассмотрим полное уравнение A7.4.18) первого рода на
окружности радиуса единицы с центром в начале координат при
условии, что его правая часть и регулярное ядро принадлежит
классу Я на окружности и оно имеет единственное решение в этом
классе функций. Из рассуждений § 18.2 следует, что, применяя к
интегралу на окружности квадратурную формулу A4.2.14) ин-
интерполяционного типа, получим численный метод решения урав-
уравнения A7.4.18), для которого вид системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений будет такой же, как и в методе типа дискретных
вихрей. Таким образом справедлива теорема.
Теорема 18.4.1 Пусть функции f(t0) и Kfat) принадле-
принадлежат пространству Нг(а) на окружности. Тогда между решени-
решением системы линейных алгебраических уравнений
A8.4.1)
где ak =2nitk/Bn + l), а точки tk и tOj, k,j = 0,1,...,2я, выбраны
также, как в формуле A4.2.14)), и решением уравнения
A7.4.18) справедливо соотношение вида A8.3.10), в котором
Замечание 18.4.1 Теорема 18.4.1 легко переносится на слу-
случай, когда L в уравнении A7.4.18) является системой непересе-
непересекающихся окружностей [155]. Отметим также, что доказательство
этой теоремы можно дать и алгебраическим путем [39, 285].
Обратимся теперь к полному уравнению Гильберта первого
рода A7.5.26). Сопоставляя квадратурные суммы для интеграла с
ядром Гильберта, данные в формулах A3.2.17) и A4.1.8), видим,
что квадратурная сумма A4.1.18) интерполяционного типа отли-
отличается от квадратурной суммы типа метода дискретных вихрей
A3.2.17) только тем, что в A4.1.18) всегда надо брать нечетное
число точек 9^ и 90m, k,m = 0,1,...,2л. Таким образом справедли-
справедлива следующая теорема.
400 Глава lft
Теорема 18.4.2. Пусть в уравнении A7.5.26) функции f(&Q)
и К(вОуб) — периодические и принадлежат классу #г(а) на
[0,2я], Тогда, если в системах линейных алгебраических уравне-
уравнений A7.5.31) и A7.5.32) число точек нечетно, то между их ре-
решениями и соответствующими решениями уравнения A7.5.26)
справедливо соотношение вида A8.3.10), в котором
18.S. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца
Рассмотрим интегральное уравнение D.3.20), к которому
сводится задача Неймана для уравнения Гельмгольца с помощью
потенциала двойного слоя в случае, когда кривая L является
замкнутой гладкой. Если в этом уравнении волновое число k не
является собственным для внутренней задачи Неймана, то оно
имеет единственное решение. Для построения чиеленного метода
запишем уравнение D.3.23), к которому сводится уравнение
D.3.20), в виде
Je)$(e)rfe = /"(во), в0 е[0,2тс], A8.5.1)
о
где
а х = х[в), у = у(в), в € [0,2гс], параметрическое представление
кривой L. Если кривая L является окружностью радиуса R с цен-
центром в начале координат, то будем обозначать ее через Гд. Тогда
соотношение D.3.29) можно записать в виде
2 71
J Kk,rR (90> Щап cos яв + bn sin nQ)dQ = A^{an cos яв + Ьп sin пв),
0
я = 0,1,..., A8.5.2)
где Ля определено в формуле D.3.27). Используя известные
[225] свойства цилиндрических функций, можно показать, что
\An\±C(R)/n, A853)
где константа C(R) зависит только от радиуса окружности. Из
формул A8.5.2) и A8.5.3) следует
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Теорема 18.S.1 Интегральный оператор на окружности,
стоящий в A8.5.1), является ограниченным из пространства
W\ [0|2я] в пространство Z,2[0,2tc] комплекснозначных функций.
Таким образом, если число k не является собственным для
внутренней задачи Неймана для окружности радиуса R, то инте-
интегральный оператор A8.5.2) является непрерывно обратимым в
tiape пространств ( W? \ЬЛ .
Отметим еще, что из леммы 1.1.1 следует теорема.
Теорема 18.5.2. Пусть кривая L такая, что функции х"Щ
и у"Щ принадлежат классу Н на [0,2л]. Тогда ядро
к(б0, е) = KkiL(QQ, е) - KkXy^ (в0> в) A8 5 4)
является регулярным, более того, принадлежит классу Н на [0,2тс].
Из теорем 18.5.1 и 18.5.2 следует, что, если число k не яв-
является собственным для внутренней задачи Неймана для кривой
L, то интегральный оператор A8.5.1) является ограниченным и
однозначно разрешимым, т.е. непрерывно обратимым в паре про-
пространств [ W? \^2) -
Запишем теперь уравнение A8.5.1) в виде
2* 2*
1^/Bя)(ео,еМвИ+ JK(OQ,Q)g{e)de = f(eQ), 80 е[0,2*].
о о
A8.5.5)
Если функции /"(в0) и К(во,О) по переменной во заменим
суммой первых (я + l) слагаемых их ряда Фурье, которые обо-
обозначим /я(в0) и Хп(во,б), то тогда,решением уравнения
2я 2я
|^,г//Bя)(ео,0ЫвИ+ JKn{Qo,O)gn{e)de = fn{eo), в0 е[0,2*].
о о
A8.5.6)
будет также тригонометрический полином я-степени, что следует
из соотношения A8.5.2), причем, начиная с некоторого я, реше-
решение будет единственное. Равенство A8.5.6.) будет эквивалентно
системе Bя + 1) линейных алгебраических уравнений относитель-
относительно неизвестных коэффициентов в многочлене gn(Q). Из результа-
результатов § 18.2 следует, что \\д - ^nl^i) -> 0 при я -> оо.
26-2775
Глам 19
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
19.1. Уравнение с постоянными коэффициентами на отрезке
Рассмотрим уравнение
где а и 6—действительные числа, 6*0, а2 +6 =1, и функция
/"(?) принадлежит классу Н на [-1,1]. Напомним кратко некото-
некоторые результаты (см. §'2.3, формулы B.3.36), B.3.41)-B.3.43),
а также [201]) для уравнения A9.1.1).
Индекс аэ этого уравнения принимает значения 1,0,-1, а со-
соответствующие решения имеют вид
аэ=-(а + р). A9.1.2)
Число а определяется равенством (см. B.3.36))
а + fectgTia = 0. A9.1.3)
При использовании представления A9.1.2) получаем, что сингу-
сингулярный оператор, стоящий слева в A9.1.1), является оператором
^t лУ^зв (*)•) • ^к указано в теореме 18.1.4, этот оператор пе-
переводит многочлены ортогональные с весом WJjJ'(f) в многочлены
ортогональные с* весом W^"^(i). В данном случае получаем, что
многочленами p^{t) (см. A8.1.11)) будут многочлены Якоби
?п (*) степени я, а многочленами q^-sdj) будут многочлены
^rPsB v) • ^ работе [301] дано уточнение формулы A8.1.11), а
именно там показано, что имеет место соотношение
Ь
A9.1.4)
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Поэтому, если функцию ffo) заменяем на многочлен /
степени п- зв, то решением уравнения A9.1.1) будет многочлен
yn(t) степени я, причем, используя формулу обращения для
уравнения A9.1.1), получим, что
Где Го = Т_\ = О, Т\ = -^(sinaTc). Из этой формулы обращения
следует, что оценку погрешности между функциями \|/(i) и yn(t)
можно получить в той метрике, в которой можно дать оценку
разности их представлений в формуле A9.1.5).
Для получения численного метода, в котором система линей-
линейных алгебраических уравнений будет похожа на соответствующую
систему в методе дискретных вихрей, проведем следующие по-
построения. Представим многочлен \|/п(?) интерполяционной фор-
формулой Лагранжа по корням многочлена /?'(*), т.е. в виде
получим
b
2 sin ok
Теперь видно, что рассматривая
$$
A9.1.7)
B точках
tQm, являющихся корнями многочлена
формулу
Pae (h) > получим
26*
404 Глава 19
Полагая в формуле A9.1.4) *о = *Jb замечаем, что коэффициент
0? в A9.1.8) можно записать в виде
Теперь отметим следующее. Если дВ= 0 и надо получить ре-
решение, ограниченное в точке 1 и неограниченное в точке -1, то
следует брать положительное число а, тогда р будет отрица-
отрицательным. Если аэ=1, то, беря а отрицательным, получаем и Р
отрицательным. В этом случае решение не единственное и выде-
выделять единственное решение будем с помощью задания значения
интеграла по [-1,1] от решения. Если 39=-1, то берем а поло-
положительным, тогда и р будет положительным. В этом случае ре-
решение единственное, но оно существует только при выполнении
равенства (см. B.3.43) или [201])
Г f\t)dt Q <х + р = 1. A9.1.10)
Г
i
Эти замечания и рассуждения в § 18.2 с использованием
формулы A9.1.8), аналогично, как в § 18.3, позволяет сформули-
сформулировать следующую теорему.
Теорема 19.1.1 Пусть функция f(t) eHr(a) на [-1,1]. Тогда
между решениями систем линейных алгебраических уравнений
±М m = U.,n, A9.1.11)
для 39=0,
пЫ«%=С, A9.1.12)
для ae= 1,
i^^ *-t....» + l. A9-1.13)
для 39=-1
и соответствующими решениями индекса зе уравнения A9.1.1)
выполняется соотношение A8.3.10), в котором Rn{h) ~~
урдВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 4fl?
погрешность в точках ?&, & = 1,...,п, представления точного
решения формулой A9.1.5), в которой fn-adto) интерпо-
интерполяционный многочлен Лагранжа по корням многочлена
Phe~*\to) для функции f(t0).
Замечание 19.1.1 Доказательство теоремы 19.1.1 можно
дать и чисто алгебраическим методом [39, 285], аналогично, как в
методе дискретных вихрей.
Сформулированные выще результаты для уравнения A9.1.1)
справедливы и для уравнения
= f(*o)> <19114)
в котором будем полагать, что функция Kfo, t) eH на
[-U] х [-1,1].
От уравнения A9.1.4) будем требовать однозначной разре-
разрешимости для решения индекса аэ= 1,0,-1 при соответствующих
дополнительных условиях на решение при аэ=1 и на функции
K(tQ,t) и f(t0) при зе=-1.
Системы линейных алгебраических уравнений для уравнения
A9.1.14) получаются из соответствующих систем характерис-
характеристического уравнения прибавлением члена
19.2. Уравнение с постоянными
коэффициентами на окружности
Рассмотрим уравнение
где а и Ь—действительные числа, 6*0, а +Ь =1, функция
f(t) €Я на L—окружности единичного радиуса с центром в на-
начале координат. Как следует из результатов § 2.4 (см. замечание
2.4.1), это уравнение имеет индекс аэ=О, т.е. однозначно разре-
разрешимо при любой правой части и его решение дается формулой
и, следовательно, в данном случае
406 Глава lfl
1- A9-2-3)
Из теоремы 18.1.2 получаем, что операторы Sft{(t), стоящие в
A9.2.1) и A9.2.2), переводят обобщенный многочлен степени
(я, я) в обобщенный многочлен той же степени. Поэтому,- если за-
заменим /*(^о) на обобщенный многочлен /^я(^о)> то решением бу-
будет также обобщенный многочлен степени (я, п), который обозна-
обозначим через <f>n(t). Возьмем этот обобщенный многочлен в виде
л 2п х2л+1 _ ±2п+\
где точки tk = еш*, Л = 0,1,...,2я , разбивают L на 2п +1 равных
частей. Воспользовавшись формулами A4.2.7) и A4.2.8), получим
где ак = 2ти^/Bя +1), к = 0,1,...,2я .
xex
Функция ^n+1 + ""^^tl"*1 имеет 2я + 1 корня tOm = *m x *
tf + bi R
pl i-—^1, m = 0,1,...,2n, где exp(f\|/) = (-e + bi)/(a + 6i). Так
как 6*0, то -n < \|/ < n , и, таким образом, fym ^ ^ Для любых
m и fe. Если йг = 0,то t|/ = 0 ив этом случае точка t§m делит по-
пополам дугу tmtm+i. Следовательно, в точках fym значения
$ot (<P»(*)) ^УДУ1 Даваться формулой A9.2.5), в которой отсут-
отсутствует второе слагаемое. Теперь из результатов § 18.2 и рассужде-
рассуждений, аналогичных рассуждениям в § 18.4, вытекает справедли-
справедливость следующей теоремы.
Теорема 19.2.1 Пусть функция f(t)eHr(a) на L. Тогда
между решением системы линейных алгебраических уравнений
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
A9.2.6)
и решением ср(?) уравнения A9.2.1), даваемым формулой
A9.2.2), выполняется соотношение
k = 0,i,...,2n. A9.2.7)
Рассмотрим теперь уравнение
^)ф(^Ль) A9-28)
L l Г° L
Будем предполагать, что это уравнение имеет единственное решение,
и возьмем для него систему линейных алгебраических уравнений
h
2п
1
A9.2.9)
Если функции f(t) и K(tQ,t) таковы, что flr'(t) и К} (^о,^),
Щ \to> t) принадлежат классу Н(а), соответственно, на мно-
множествах L и L х L, то между решением системы линейных алгеб-
алгебраических уравнений A9.2.9) и решением <р(?) уравнения A9.2.8)
также выполняется соотношение A8.2.7).
Замечание 19.2.1. Доказательство теоремы 19.2.1 можно
дать также на алгебраическом уровне [39,285].
19.3. Уравнение с постоянными
коэффициентами с ядром Гильберта
Рассмотрим характеристическое уравнение
2% -
где предполагаем, что а * 0 и а2 + б2 = 1. В этом случае, как по-
показано в § 2.4, уравнение имеет единственное решение, даваемое
формулой
Ф(е) = af(B) + — fctg^^ffeoWeo + ?- ff{Qo)dQo. A9.3.2)
2tc * 2 2tc ¦!
Уравнение A9.3.1) и его решение A9.3.2), используя обо-
обозначения § 3.4 и формулу B.4.14), можно записать в виде
408 Глава 19
4t A9-3.3)
№<> ¦ A9.3.4)
0
Из соотношений A4.1.2) и A4.1.3) получаем, что если А(в0) за-
заменим на тригонометрический полином fn(Qo) степени я, то реше-
решением уравнения A9.3.3) будет также тригонометрический поли-
полином <рп(8). Поэтому равенство тригонометрических полиномов
*0В vft»(®)) и fn{&o) степени п эквивалентно системе Bя + 1) ли-
линейных алгебраических уравнений. Для того, чтобы эта система
имела вид, аналогичный системе A7.5.6), произведем следующие
построения. Запишем тригонометрический полином <рп(б) в виде
где точки 6^, k = 0,1,...,2я , интерпретируемые как точки окруж-
окружности радиуса единица, разбивает ее на 2п +1 равных частей (см.
также A4.1.6)). Воспользовавшись равенствами A4.1.2) и
A4.1.3), получим
г$о Ш - -it^^^N 2^т+ A93-6>
^ as\n{2n + 1)(8а - Qk)/2 + bcoj2n + l)(8p -
Функция д sinB« +1) (90 - 9^ )/2 - 6 cosBw +1) F0 - 6^ }/2,
имеет своими корнями точки 60m = 6т + (п - 2\|/)/Bя +1), где
elv = -6 + ai, и так как 6*0, то 8от * 8^ для любых ти k. Ес-
Если <i = 0, то ц/ = 0 или тс, и точка 6отделит пополам дугу
8да8т+1, но тогда уравнение A9.3.1) переходит в уравнение
A7,5.1), и надо применить теорему 18.4.2. Так как в рассматри-
рассматриваемом случае а ф 0, то из результатов § 18.2 вытекает справед-
справедливость следующей теоремы.
Теорема 19.3.1. Пусть в уравнении A9.3.1) функция
f@)eHr(a) на [0,2л] и /"@) = fB%). Тогда между решением си-
системы линейных алгебраических уравнений
УЕДИНЕНИЯ ВТОРОГО РОЛА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 409
/и = 0,1,...,2п,
гд# точки вОт и 6^ указаны выше в этом параграфе, и решени-
решением <р{б) уравнения A9.3.1) выполняется соотношение A9.2.7).
Если теперь уравнение
Це0) - A Jctgiz^^rfe+|к(во,б)ф(б)</е = /(в0) A9-3.8)
0 0
имеет единственное решение, то между решением системы линей-
линейных алгебраических уравнений
w = 0,l,...,2n, A9.3.9)
и решением этого уравнения выполняется соотношение A9.2.7)
при условии, что /W(e0) и
Замечание 19.3.1 Алгебраическое доказательство теоремы
19.3.1 дано в [39, 285].
19.4. Уравнение с переменными коэффициентами на отрезке
Рассмотрим уравнение
П 1\ ^0 _j
Будем искать решение этого уравнения индекса дВ класса А,
которое будем представлять в виде <р(?) = <о^(^)\|/(^)и предпола-
предполагать, что уравнение
!
-1
имеет единственное решение, где
т единственное решение, где
яри ae>0 через ? j? (•) обозначен оператор, стоящий слева
2.4), Щ = ч$, f{to)=(f(to\Co,Ci,...,Cm_i)T;
в C.2.4),
при »=
при зе<0 через ?-?'(•) обозначен оператор, стоящий слева
в C.2.5) Щ = (^yo.".,T|«|-i)r, /fa») = f{t0) ¦
Опишем вычислительный метод, предложенный в [158] и по-
получивший развитие в [10, 11, 181, 188, 189]. Все эти работы яв-
являются обобщением результатов Д.Эллиота [295 — 297], которые
послужили основой большого числа публикаций (см., например,
[194-199, 298, 299, 310-312, 322]) по численному решению син-
сингулярных интегральных уравнений второго рода с переменными
коэффициентами на отрезке и окружности, носящих, как прави-
правило, сугубо теоретический характер. В таких работах за прибли-
приближение к решению исследуемого сингулярного интегрального
уравнения принимается точное решение некоторого приближенно-
приближенного уравнения. Однако алгоритм определения коэффициентов при-
приближенного уравнения либо не приводится, либо представляет со-
собой сложную вычислительную задачу. Предлагаемый вычисли-
вычислительный метод ставит своей целью довести приближенное решение
до числа. Он реализован на ЭВМ в виде программ на языке
ФОРТРАН-4 [187].
По целому числу п > г + Щ (напомним, что b(t) = b\{t)br{?),
где br(t) — многочлен степени.г, a fcj(?)—действительная неотри-
неотрицательная функция на [-1,1] и может иметь нули не целого по-
порядка на концах отрезка) построим на [~1Д] две сетки
En = {^i>^2>- >tn} c n различными узлами, отличными от нулей
Ь(?о), и ?b,n-ae= {*oi>*o2>-»>кп-аэ) с п"ае различными узлами,
отличными от нулей bfo) и узлов сетки Еп.
В [158] в качестве узлов сеток Еп и ?о,я-ж> соответственно,
использовались корни многочленовр„(?) е\р^\ш Яп-а?р) е{(?м|>
где JP^J—система многочленов, ортогональных на[-1,1] с весом
(-l)^WJkv?), a \Qm\ —система многочленов, ортогональных на
[-1,1] с весом (-l)aWJ^"'(t). При этом предполагалось, что коэф-
коэффициент при сингулярном интеграле является многочленом степе-
степени г, т.е. bfo) = br(to). Но так как p^(t) и <7п-ге@ являются, во-
вообще говоря, обобщенными многочленами Якоби и при вычисле-
вычислении их корней часто возникают затруднения, то в данном изложе-
урДЭНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Ш
Яии, также, как и в работах [10, И, 181, 188, 189, 322] не тре-
требуется, чтобы узлы сеток Еп и ?о,я-ае обязательно были корнями
многочленов р* и <7п-ж-
С коэффициента bfo) снимается также требование быть много-
многочленом, т.е. иметь нули на [-1,1] только целого порядка. Единствен-
Единственное требование, которое необходимо предъявлять к сеткам Еп и
?о,п-»> это то> чтобы их узлы, будучи узлами интерполяции много-
многочленов Лагранжа, обеспечивали аппроксимацию функций, входящих
в A9.4.2). В связи со сказанным, при построении Еп и ?о,я-ж до-
достаточно лишь учитывать характер поведения исходных данных в
уравнении A9.4.2) и вид нормированных пространств Хж и 7Ж, в
которых оно рассматривается. Чаще всего в качестве узлов сеток Еп
и ?о,п-ге берут корни многочленов Чебышева. Они легко вычисля-
вычисляются и приводят к малым константам Лебега. Если в качестве узлов
сеток Еп и ?о,п-ж взять корни многочленов р*(?) е \Р^ > и
Яп-зе^) е \Ом \ > соответственно, и положить б(*о) = br(to), т.е.
bj(<o) = 1, то вычислительная схема, которая будет описана ниже,
совпадает со схемой, предложенной в [158].
п
Пусть pn(t) = J"J(? - tk), % е Еп. В силу теоремы 18.1.3, по
заданному многочлену pn(t) найдем многочлен ^п„ж(^о) степени
п- дВ по формуле A8.1.9). Введем в рассмотрение функции
-1
и числа %k n, определяемые по формуле,
412 Глава 1g
Теперь относительно уравнения A9.4.2) сделаем следующие
предположения: b(t) = 6j(iNr(?), где 6ц(?) и br(t) описаны выше в
этом параграфе; k(tQ,t) = ™М(Ц); /(*) = &!(*)/*(^); введем
новую неизвестную функцию по формуле y(i) = W&'{t)u(t), где
W&'(t) введено перед теоремой 18.1.3. Поэтому уравнение
A9.4.2) запишется теперь в виде
#>(^ к е(-1Д),
A9.4.3)
где Sj ' и u{t) определяются аналогично, как в уравнении A9.4.2).
Из теоремы 18.1.3 следует, что если в уравнении A9.4.3)
функцию f*(to) заменить на многочлен -fn-gjfio) степени п- зе, а
функцию M{t,tQ) заменить на многочлен Мп.гв(^,^о) по перемен-
переменной ?о степени п- зе, то решением уравнения A9.4.3) будет мно-
многочлен un[t} степени п. Неизвестную функцию ип{?) будем искать
в виде
tk(K{k) () А}иу kn A9.4.4)
тогда
-i fe=l
Подставим A9.4.4) в уравнение A9.4.3) и потребуем выпол-
выполнения последней в узлах 1$,- сетки Eqh_3B
un(t)dt = f(toj),
tQj €?0,п-ж- A9.4.5)
Из результатов § 18.2 получаем справедливость следующей
теоремы.
Теорема 19.4.1 Пусть в уравнении A9.4.3), имеющем един-
единственное решение класса h индекса аэ, функции f(t0) и M{t$, t)
являются многочленами степени <>п- зе-1 по переменной t$.
урдрНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 413
fozda система метода коллокаций A9.4.5) однозначно разре-
разрешима при любом п > г + Н и определяет точное решение этого
уравнения
где числа un{t^)9 k = 1,...,л, находятся из системы A9.4.5).
Замечание 19.4.1 Если уравнение A9.4.3) имеет единст-
единственное решение и функции f(to) и M(?,?q) хорошо аппроксими-
аппроксимируются многочленами по переменной ?q, to система A9.4.5) имеет
единственное решение, начиная с некоторого щ > г + \Щ.
19.S. Уравнение с переменными
коэффициентами с ядром Гильберта
Рассмотрим уравнение
+ JlCF0,6)cp(e)rf6 = f(%), 60 е[0,2тс]. A9.5.1)
О
Будем искать решение этого уравнения индекса зе = 2аэ , где
аэ* определяется формулой B.4.7), которое будем представлять в
виде ср(б) = <ovj^(e)\|/(9), где (о^(в) определено в формуле C.4.2),
и предполагаем, что уравнение
/(во), в0 €[0,2Я].
A9.5.2)
имеет единственное решение, где
при аэ>0 через П^ (•) обозначим оператор, стоящий слева
в C.4.3),
при 35= 0 и cos а о Ф О
а при аэ= О и cosa0 = О через Г^ (•) обозначен оператор,
стоящий слева в C.4.4), Щ = (\у(в), у0), Дв0) = (/"(во), С);
414 Глава 19
при зе < О через гЦ? (•) обозначен оператор, стоящий слева
в C.4.6), ч/(в) = (ч/(е),у0,....УИ^), /(в0) = f{%).
Оказывается, что для операторов (см. C.4.1) и C.4.2))
A9.5.3)
справедлив результат, аналогичный результату для S^A (•), да-
даваемый теоремой 18.1.2.
Теорема 19.5.1. Если 6F) является тригонометрическим
многочленом степени I, то оператор r?L (•) переводит произ-
произвольный тригонометрический полином степени
п> тах(/± аэ*,2аэ*| в тригонометрический полином степени
зе.
Из теоремы 19.5.1 следует, что, если в уравнении A9.5.1)
или A9.5.2) функции Ь(во), f(%) и ^@о,в) являются тригоно-
тригонометрическими многочленами по 8q, то и его решение \|/(б) будет
тригонометрическим многочленом. Следовательно, численный ме-
метод для уравнения A9.5.2) будем строить следующим образом.
Заменим функции f(Qo) и Х(бо,б) тригонометрическими много-
многочленами fnsfio) и Кп-зе,п{®0>&) степени п-зе по переменной во
и степени п по в (предполагаем, что б(во) тоже тригонометриче-
тригонометрический многочлен степени /). Тогда, если функции/*(во) и Х(во,в)
являются Гёльдеровскими, начиная с некоторого п} уравнение
о
в0 е[0,2тс], A9.5.4)
имеет единственное решение, которое является тригонометриче-
тригонометрическим многочленом степени п. Следовательно, уравнение A9.5.4)
эквивалентно системе Bя + 1) линейных алгебраических уравне-
уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена \|/п(в).
Близость функций \|/(б) и v|/nF) в метрике пространства X (X
урдрНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 415
11ожет быть Up или Z/j) оценивается формулой A8.2.5), если в
пространстве можно оценить близость между функциями f(Qo),
Х(ео,в) и fn^Qo), Кп_ъп(в0,В). Если интеграл с ядром Гиль-
Гильберта от разности последних функций можно оценить в равномер-
равномерной метрике, то с помощью перехода к эквивалентному инте-
интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода можно дать оценку
близости в равномерной метрике и разности функций \|/(9) и
19.6. Примеры численного решения
На рис. 19.1 (сплошная линия—точное значение, ДА-Л = 2/11,
хх - h = 2/21, 00 - h = 2/41), приведено численное решение уравнения
(x)dx A9.6.1)
1
1
V
ч
ч
ч
Y
X
Рис. 19.1. Индекс аэ= 0 числен-
численного решения уравнения A9.6.1)
для равномерного разбиения.
Сплошная линия соответствует
точному решению, ДА — для
Л=2/11, хх-для Л*2/21,
оо -для А-^41 •
которое имеет точное решение
2
1
0.8 -0.6 -0.4 -0.2
i
1
• А.
/
Л
4*
и
Г*
У
х
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1
-2
-3
у(х) =
Рис. 19.2. Индекс аэ = 1 численного
решения уравнения A9.6.1) для
равномерного разбиения. Сплошная
линия соответствет точному решению,
АЛ -для /Ы2/11, хх-для Л=2/21,
оо -для Л=2/41.
A9.6.2)
41b Глава \Q
при равномерном разбиении. Видно, что при увеличении числа п
точек разбиения численное решение сходится к точному. Числен-
Численное решение находится из системы
, / = !,...,„, A9.6.3)
где х{=-1 + М, хы = *, + А/2, i = i,...,n, й = 2/(й + 1).
На рис. 19.2 приведено численное решение уравнения
A9.6.4)
которое имеет точное решение
х
A9.6.5)
при том же разбиении. Численное решение находилось из системы
= -тг, / = 1,...,я-1,
j - xi
^t> = 0, у = я. A9,6.6)
tl
Наконец, на рис. 19.3 ( при тех же обозначениях) приведено
численное решение уравнения
которое имеет точное решение
y(*) = Vl-
при том же разбиении. Оно находилось из системы
На рис. 19.4—19.6 (сплошная линия—точное решение, хх—
w = 10, oo — w = 20,) приведено численное решение тех же урав-
уравнений по неравномерной сетке, т.е. интерполяционным методом. В
этом случае решение у(х) представляется в виде со(.я)и(#), и си-
системы линейных уравнений составляются относительно значений
функций Ця:) в корнях соответствующих полиномов. Таким обра-
образом, для численного нахождения решения A9.6.2) рассматривает-
рассматривается система (рис. 19.4)
jrp/ВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ АН
У 1.0
0.8
0.6-
0.4-
0.2-
\
\
-1.0 -0.6 -0.2 0 0.2
0.6 1.0
Рис. 19.3. Индекс аЗ=-1 численного решения уравнения A9.6.1) для равномер-
равномерного разбиения. Сплошная линия соответствует точному решению,
М - для ft=2/li , +-ДЛЯ А-2/21, оо - для А-2/21.
1.2
0.8
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 19.4. Индекс 26=0 численного решения уравнения A9.6.1) для
неравномерного разбиения. Сплошная линия соответствует точному
значению функции у(х), где у(х)=т(х)и(х) и n(x
хх—для п-iO , ОО — для я«20 .
и j
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.8-0.6 -0.4 -0.2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
X
0 0.2 0Л0.6 0.8 1.0
-0.6
-0.*
-1.С
\
)
Рис. 19.5. Индекс 5В= 1 численного решения уравнения A9.6.4) для нерав-
неравномерного разбиения. Сплошная линия соответствует точному
значению функции и(х), где у(х)=в>(х)и(х) и <»(*) « (l-*2) ;
хх—для я=10 , оо — для п-20.
27-2775
418
Глава 1Q
" xi
2* 4тс . 2 * 2/-1
для численного нахождения решения A9.6.5) (рис. 19.5)
2i-l
ss COS-— П ,
2n
n
— X COS^-TC
n' 3 n
наконец, для численного нахождения решения A9.6.8) (рис. 19.6)
( у Kn(*i)*t =
Ы\ x0j - xi
л:,- = cos п ,
w +1
U i
Л 2
¦Mi
-1.0 -0.8-0.6-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 19.6. Индекс Ж= 0 численного решения уравнеия A9.6.7) для
неравномерного разбиения. Сплошная линия соответствует точному
значению функции Ц*), где y(x)~u(x)u(x) и »(*)*Vl-*2 ;
*хх- для я»10 , ОО - для д * 0.8 .
Расчеты проводились для я = 10, 20,30,40 и было обнаруже-
обнаружено, что \и(х{) - ^(д:,)! й 5 -10. На рис. 19.7 приведено сравнение
расчетов по равномерной (х) и неравномерной (о) схемам при
п = 30 для уравнения
A9.6.9)
Z Г
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
419
при f{xo) = -2л, ав= 0 и помещении расчетной точки в заданную
точку q = 0.8 (точку отклонения закрылка) в интервале интегри-
интегрирования. В точке q брали значение правой части, равное
-0) + fD+
i
У
1.0
0.5
0
\
VS.
X
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Рис. 19.7. Индекс 5В= 0 численного решения уравнеия A9.6.9) для
равномерного (х) и неравномерного (о) разбиения для я=30 и при
совпадении упомянутой точки с точкой д = 0.8 .
Y
3 0
?0
1.0
0
/
ч
ч
X
0.8
0.9
1.0
Рис. 19.8. Индекс аэ=0 численного решения уравнения A9.6.9) для
f(xo)=O, 0<л<0.8 и Дло)=-2х, 0.8<*<1 для равномерного (х) и
неравномерного (о) разбиений п»30 и при совпадении
упомянутой точки с точкой qm0.$.
27*
420 Глава 1<j
На рис. 19.8 приведено сравнение тех же схем, но при
О, 0<х<0Д
A9-610>
[-2*. 0.8<*<1.
Теперь рассмотрим решение характеристического сингулярного
интегрального уравнения второго рода с постоянными коэффициента-
коэффициентами
«у(*о) + ?Я^ = /(*<>)• A9.6.11)
В этом случае несложно найти точные решения, некоторые из ко-
которых приведены в табл. 1. Приведем также отдельные расчеты,
дающие возможность судить о надежности и эффективности полу-
получаемых результатов. Данные численных расчетов характеристиче-
характеристического уравнения сопоставляются с аналитическими решениями в
ряде случаев—табл. 2. В первой колонке приводятся порядковые
номера точек, в которые пересчитывалось решение по интерполя-
интерполяционной формуле Лагранжа. Точки располагались равномерно по
углу ср = arccos(~x), значения которого в градусах даны во второй
колонке. Приближенные значения координат на отрезке [-1,1]
приводятся в третьем столбце. В последних трех колонках пред-
представлены результаты сравнения расчетов с точными решениями
для трех вариантов уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассматривалась относительная погрешность А = 100%чур-ут ,
где Ур» Yt ~" соответственно рассчитанное и точное значение ре-
решения уравнения. Расчеты проводились при следующих значени-
значениях параметров уравнения.
1) Решение искалось в классе функций, не ограниченных при
х = -1 и ограниченных при дг = 1, я = 0, 6 = -0.5 , f(xo) * 1.
Точное решение имеет вид ут = 2A - х) "(\ + х)~ ".
2) Решение искалось, в классе функций, не ограниченных при
х в ±1, а = Ь яв -0.5, ffa) ш 1. Значение интеграла от решения
полагалось равным нулю, тогда точное решение имеет вид
ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
421
Таблица!
Класс
функций
неограни-
неограниченное
при х=-1
ограничен
ное при
Значение
правой
части
С
Сх0
Решение сингулярного
интегрального уравнения
-C-sign b-W(x)
-Csign b-W{x)(x+2a)
-Csign b-W(x)(x2+2ax+2a2)
U(x)dx
-2*Ca2/b
ограни-
ограниченное
при х=±\
С
CxQ
Csign b-W(x)(x+2<x+i)-G Sb*aW(x)
C-sign 6»W(jr)[j:(j:+2a+l)+2a(a+l)]-
к
C-sign 6-W^*)[x2(*+2a+l)+2ax(a+l)+
+2a(a+l)-4/3a(l-a2)]-C1 Ski*a W(x)
с
WixU-j-L (\-х)а(их)-*-а , tgiKx=-6/u , -1<а<0
неограни-
неограниченное
при х=±1
С(х-2а+\
-Csign b-W(x)
-2irCa(l-a)/6
W(x)= * 2 (\-x)a(Uxf'a у tgna=-b/a, 0<а<1
Глава |g
T аб л и ц а 2
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Ф
6.
12.
18.
24.
30.
36.
42.
48.
54.
60.
66.
72.
78.
84.
90.
96.
102.
108.
114.
120.
126.
132.
138.
144.
150.
156.
162.
168.
174.
X
-0.994522
-0.978148
-0.951057
-0.913545
-0.866025
-0.809017
-0.743145
-0.669131
-0.587785
-0.500000
-0.406737
-0.309017
-0.207912
-0.104528
0.000000
0.104528
0. 207912
0.309017
0.406737
0.500000
0.587785
0.669131
0.743145
0.809017
0.866025
0.913545
0.951057
0.978148
0.994522
Al
0.9 Е-14
0.2 Е-13
0.5 Е-14
0.1 Е-13
0.1 Е-13
0.1 Е-13
0.5 Е-13
0.5 Е-13
0.6 Е-14
0.1 Е-13
0.7 Е-14
0.6 Е-13
0.6 Е-13
0.6 Е-13
0.9 Е-13
0.5 Е-13
0.4 Е-13
0.8 Е-13
0.7 Е-13
0.1 Е-12
0.3 Е-12
0.8 Е-13
0.7 Е-13
0.1 Е-12
0.2 Е-12
0.1 Е-12
0.1 Е-12
0.1 Е-12
0.2 Е-12
А2
0.2 Е-12
0.1 Е-12
0.2 Е-12
0.3 Е-12
0.2 Е-12
0.3 Е-12
0.5 Е-12
0.7 Е-12
0.1 Е-11
-
-0.1 Е-11
-0.6 Е-12
-0.3 Е-12
•0.2 Е-12
-0.2 Е-12
-0.2 Е-12
-0.2 Е-12
-0.9 Е-13
-0.8 Е-13
-0.2 Е-13
-0.6 Е-12
-0.4 Е-13
-0.4 Е-13
-0.4 Е-13
-0.7 Е-13
-0.4 Е-13
-0.5 Е-13
-0.7 Е-1*
-0.1 Е-12
*3
-0.3 Е-10
-0.3 Е-10
-0.3 Е-10
-0.3 Е-10
-0.3 Е-10
-0.3 Е-10
-0.3 Е-10
-0.4 Е-10
-0.4 Е-10
-0.5 Е-10
-0.8 Е-10
-0.2 Е-09
0.2Е-09
0.6 Е-10
0.3 Е-10
0.2 Е-10
0.1 Е-10
0.6 Е-11
0.3 Е-11
0.1 Е-11
0.3 Е-12
0.1 Е-11
0.2 Е-11
0.3 Е-11
0.3 Е-11
0.4 Е-11
0.4 Е-11
0.4 Е-11
0.4 Е-11
3) решение искалось в классе функций, ограниченных при
хав±1, a = l/V2, 6 = -l/V2, f(xo) = jcq + 3/4-д:о -1/4. Вводи-
Вводилась одна регуляризирующая переменная. Точное решение
В точках, где решение обращалось в нуль, относительная по-
погрешность не рассчитывалась.
Приведем еще пример численного решения полного сингу-
сингулярного интегрального уравнения второго рода вида
¦ i
-1
A9.6.12)
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 423
где xq е(-1,1), |р| < 1, |Х| > 2. Решение искалось, не ограниченное
на обоих концах. Так как индекс уравнения A9.6.12) в искомом
классе решений равен 2, то для выделения единственного решения
были выбраны два дополнительных условия
1 1
fy{x)dx = %, \*i{x)dx = 0. A9.6.13)
-l -l
Точное решение уравнения A9.6.12) при условиях A9.6.13)
имеет вид
у(х)= Д—. A9.6.14)
ТаблнцаЗ
X
-0.6
-0.2
0.2
0.6
решение
1.250000
1.020620
1.020620
1.250000
расчет 1
1.253089
1.022388
1.021729
1.250308
расчет 2
1.262185
1.030875
1.024166
1.236262
расчет 3
1.250472
1.020959
1.020877-
1.250009
Результаты решения уравнения A9.6.12) приведены в табл.
3. В первом столбце даны значения координат точек, в которые
пересчитывалось решение. В последующих столбцах приводятся
результаты точного решения и трех примеров приближенного
расчета при следующих значениях коэффициентов X, р и коли-
количестве расчетных точек п :
1) р = 0.5, Я = 21, я = 20;
2) р = 0.5, Л «21, я = 10;
3) р = 0.5, Х = 3.0, я = 10.
Поскольку вид и регулярного ядра и правой части достаточ-
достаточно сложен и при X ->2 имеет'особенность, то это существенным
образом сказывается на точности расчетов при X, близких к 2.
Отметим, что для получения численных результатов высокой точ-
точности желательно иметь эффективную процедуру нахождения
корней многочленов Якоби при заданных показателях степеней а
Глава 20
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ТИПА КОШИ
20.1. Характеристическое уравнение
Рассмотрим численное решение уравнения (см. C.2.14))
которое при различных значениях индексов щ, щ расписано
более подробно в § 3.2.
Обобщим на это уравнение численные методы типа метода
дискретных вихрей. Основная идея доказательства сходимости
численных методов этого типа для характеристических одномер-
одномерных уравнений первого рода (и даже для уравнений второго рода
с постоянными коэффициентами) на окружности, отрезке и с яд-
ядром Гильберта состояла в непосредственном решении соответ-
соответствующих систем линейных алгебраических уравнений, т.е. нахо-
находилась обратная матрица к матрице системы. Так как оператор в
уравнении B0.1.1) является прямым произведением двух одно-
одномерных операторов, то естественно и метод типа метода дискрет-
дискретных вихрей для этого уравнения целесообразно строить так, что-
чтобы матрица соответствующей системы линейных уравнений была
некоторым прямым произведением соответствующих матриц в од-
одноименных случаях. Продемонстрируем эту идею на уравнении
(где Ц и Li —окружности единичного радиуса), которое имеет
единственное решение индекса аэ = (о,о), т.е. нулевого индекса по
каждой из перейенных. Пусть множества Е* = |^.,?г- = 1,...,я*J и
^0 = fflh> H = !»•••» п\ образуют каноническое разбиение окруж-
окружности Ц, i = 1,2. Справедлива следующая теорема [147].
Теорема 20.1.1. Пусть функция Щх, i2 J e Я на торе
LtxLq- Тогда между решением системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений
СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ КОШИ
B0.1.3)
и решением уравнения B0.1.2)
fffj <20Л.4>
выполняется соотношение
B0.1.5)
где величина Щ& , t\ 1 удовлетворяет неравенству
Х>0, N-
причем предполагается пг/Ы <> R < +оо .
Для числа X имеем:
1) X = а - 8 (где 8 > 0 —сколь угодно мало), если f e #(а)
на Ц х hi и а% = t% +1 - ^ яргг использовании квадратурных
формул типа метода дискретных вихрей]
2) Х = г + а - 8 , если /д* € #(а), k = 1,2 и а% = i
wp = 2/wp -ь 1, р = 1,2, wpt/ использовании интерполяционных
квадратурных формул.
и
Доказательство* Обозначим через М^ / матрицу, полу-
полученную из матрицы, определителем которой является определи-
определитель Ау в системе A7.1.3), заменой ^ на 4 и * на ^ * Тогда
определитель системы B0.1.3) запишется так:
mt =1 w2 =1
где д* —в степени пг, i = 1,2
426
Глава 20
M\J
On" t
Теперь, применяя для вычисления определителя
>'«2)
тот
же прием, что и для вычисления определителя
1) вначале вычитая последнюю матричную строчку из всех
предыдущих и вынося общие множители из матричных строк и
столбцов;
2) потом вычитая последний матричный столбец из всех
предыдущих и опять вынося общие множители в строчках и
столбцах;
3) наконец, раскладывая после этого полученный определитель
()
по последней матричной строчке, придем к определителю A
Продолжая этот процесс, вычислим Dfi ' ' (см. [39, 285]) увидим,
что при любых я1, п он отличен от нуля. Применяя теперь к си-
системе B0.1.3) правило Крамера решения систем линейных алгебраи-
алгебраических уравнений и вычисляя аналогичным образом вспомогательные
определители в этом правиле, получим [39, 285]
4 Ь
B0.1.8)
где 6^ = t*y +i - t*jk или b$jk = 2mtQjk/bmk + 1J, если такой вид
имеют а% , причем в последнем случае в B0.1.8) надо отбросить
величину OUST1 In2 ЛП (см. [39, 285]). Теперь результаты по
квадратурным формулам для кратных сингулярных интегралов
завершают доказательство теоремы 20.1.1.
(л1 п2)
Анализируя вид определителя А^ ', данный в формуле
B0.1.7), видим, что матрица системы B0.1.3) может быть запи-
записана некоторым удобным блочным видом. Чтобы иметь возмож-
ГДОГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ КОШИ 427
яость кратко записать системы линейных алгебраических уравне-
уравнений для сингулярных интегральных уравнений первого рода с
кратными интегралами типа Коши или с ядром Гильберта в раз-
различных случаях кривых (Lj —отрезки или окружности) и индек-
индексов решений, напомним следующие понятия [224].
Правым прямым произведением матриц А порядка т х т и В
порядка пхп называется клеточная матрица С = Ах*В , у кото-
которой клетка, стоящая в /-й строчке и в i-м столбце, определяется
так: Cji = CjiB.
Левым прямым произведением тех же матриц называется
клеточная матрица D = А* х В, у которой Dy = Abjj.
Отметим следующие свойства этих произведений:
Аналогичные свойства верны и для левого прямого произведения.
Для любого прямого произведения
Запишем теперь системы линейных алгебраических уравне-
уравнений A7.1.3) —A7.1.5) для характеристических уравнений на от-
отрезке и системы A7.4.2), A7.4.15) для уравнения на окружности
в матричном виде
$ B0.1.9)
B01л0>
где
» Д., =- — 9 ^,Л = 1,...,Я ,
'y-tifc-O'
428
Глава 20
причем точки по / там, где нумерация была с нуля, перенумеро-
перенумеровываем, начиная с единицы. Для интерполяционных методов надо
Фг заменить на
В свете последних определений система линейных алгебраи-
алгебраических уравнений B0.1.3) запишется в виде
Ml/
n\n2
B0.1.12)
причем пары (^i,^) берутся в лексикографическом упорядочении.
Теперь несложно обобщить на уравнение B0.1.1) первого
рода, когда Ц, L>2 являются отрезком или окружностью, все ре-
результаты главы 17. Например, пусть в уравнении B0.1.2) будет
L\ = L2 = [-1,1]. Тогда приближенные решения, например, индек-
индексов ае = @,1),@,~1),A,1),A,-1),(-1,-1)в методе типа метода дискрет-
дискретных вихрей надо находить из следующих систем линейных алгеб-
алгебраических уравнений
№ „И1 Г/У
м
о,*
хМ
Ctln4
B0.1.13)
B0.1.14)
г.ИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ КОШИ
429
B0.1.15)
B0.1.16)
B0.1.17)
тогда как решение индекса аэ=(О,О) надо находить из системы
вида B0.1.12).
Рассмотрим более подробно, например, систему B0.1.17):
Г0У~
У^ = 0,1,...,яр, р = 1,2, B0.1.18)
где У On1 On2 ' **tx On2 ' ^On112 ~ регуляризирующие факторы.
Для построения численных методов интерполяционного ти-
типа для уравнения B0.1.1) надо заметить, что на оператор, стоя-
стоящий слева в этом уравнении, переносятся результаты § 18.1, т.е.
например, решением уравнения (Ц и Ь± —отрезки)
B0.1.19)
в котором функция f j 2 D^р) является многочленом сте-
степени я1 - щ , я2 - а% по переменной ?q > ^0 » соответственно, бу-
будет многочлен ч/ 1
степени я1, я2 по переменным tx,
. Поэтому уравнение B0.1.19) будет эквивалентно соответ-
420
ствующей системе линейных алгебраических уравнений относи-
относительно коэффициентов этого многочлена \р i 2\t >t ), которая
однозначно разрешима, так как это уравнение имеет единственное
решение.
20.2. Об одном интегро-дифференциальном уравнении
В качестве приложения результатов предыдущего параграфа рас-
рассмотрим численное решение интегро-дифференциального уравнения
где хое{-Ь,Ь), zoe(-l,l), f(x,z)eH на [-&,6]x[-U]. Это
уравнение иногда используется [47] в аэродинамике для прибли-
приближенного вычисления аэродинамических характеристик тонкого
прямоугольного крыла конечного размаха при стационарном об-
обтекании.
В классе функций у(х, z), удовлетворяющих условиям
y{x,l)*y(x,-l)'y{b,z).O,
у'2{х,1) = <с, П(*-/) = оо, у(-М = со, <20-2-2>
которые требуются в аэродинамике, это уравнение эквивалентно
уравнению Фредгольма второго рода
B0.2.3)
Из замечания 17.2.4 следует теорема.
Теорема 20.2.1. Если уравнение B0.2.1), а, следовательно,
и уравнение B0.2.3), в требуемом классе функций имеет един-
г^НГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ КОПТИ 431
спгвенное решение, то между решением системы линейных алгеб-
алгебраических уравнений
«=!*=!
\XOj - Xi\zQm - Zk+t)
h = f\XQj,
/ = 1,...,я, т = 1,...,ЛГ, B0.2.4)
где х{=-Ь + Щ, /ц=2Ь/(п + 1), *oi = *i+^l/2, 1 = 1,..., я,
zk=-l + {k- \)h2, h2 = 2//ЛГ, г0* = ^ + А2/2, k = 1,...,JV ,
гдг+1=/ w решением y(x,z) уравнения B0.2.1) при условиях
B0.2.2) выполняется соотношение
B0.2.5)
где величина б(л^,20й) удовлетворяет следующим условиям:
1) для всех точек [х{, гоь) е [~Ь + 5, Ь - 8] х [-1, /]
Х{>0; B0.2.6)
2) для всех точек (x^Zq^) e[-b,b] x [-/,/]
п N
i=l ib=l
где h = max^, A2), h/hj <, R < +00, t = 1,2, при h -> 0.
Доказательство. Достаточно доказать, что система B0.2.4)
эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений, ап-
аппроксимирующей уравнение B0.2.3). Для этого систему B0.2.4)
запишем в виде
п N ии
1
1
x0j - xi \ z0m ~ zk z0m ~ zk+i
n N
432 Глава 20
- b
B0.2.8)
Матрица системы B0.2.8) относительно неизвестных, стоя-
стоящих слева, является прямым левым произведением невырожден-
невырожденных матриц Мух и М\у, где Мух —матрица системы A7.1.3),
а М\у —матрица системы A7.1.40). Разрешив эту систему отно-
относительно неизвестных, стоящих слева, и произведя соответствую-
соответствующие преобразования, придем к системе линейных алгебраических
уравнений, аппроксимирующих уравнение B0.2.3). Это уравне-
уравнение является уравнением Фредгольма второго рода. Так как из
физических соображений ясно, что в рассматриваемом классе
функций уравнение B0.2.1) имеет единственное решение, то и
уравнение v20.2.3) обладает этим свойством. Поэтому, начиная с
некоторых достаточно больших п и N, система линейных алгеб-
алгебраических уравнений B0.2.4) разрешима, а её решение сходится
к соответствующему решению уравнения B0.2.1).
Раздел V
ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
Во втором разделе было показано, как сводить к различным
сингулярным интегральным уравнениям некоторые задачи из ма-
математической физики, аэродинамики, электродинамики, теории
упругости. В четвертом разделе были даны методы численного
решения в основном для одномерных сингулярных интегральных
уравнений, для которых имеются математические обоснования.
Однако для многих уравнений, в особенности для двумерных, та-
таких математических обоснований нет. К настоящему времени это
сделано [171] в двумерном случае только для интегрального
уравнения бесциркулярного обтекания идеальной несжимаемой
жидкостью прямоугольного тонкого крыла. Но идея доказатель-
доказательства в этом случае основана на построенной теории обобщенных
операторов Фурье, которую в данной работе не предполагается
затрагивать. Поэтому для пространственных задач аэродинамики
строятся численные методы, в основном являющиеся обобщениями
на такие задачи численных методов, сделанных для плоских за-
задач. Такие численные методы решения и называют, на наш
взгляд, математическими моделями соответствующих прикладных
задач. Чтобы прикладникам было легче пользоваться соответ-
соответствующими математическими моделями, желательно их излагать
на языке, понятном для этих прикладников. Такой язык "метод
дискретных вихрей" был создан в аэродинамике [25 — 28], кото-
который получил к настоящему времени широкое применение и опи-
описывается ниже.
28-2775
Глава 21
ДИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
21.1. Основные положения метода дискретных вихрей
Метод дискретных вихрей численного решения задач дозву-
дозвуковой аэрогидродинамики заключается в следующем.
Крыло о и его след aj заменяем непрерывной вихревой по-
поверхностью, причем крыло а поверхностью из присоединенных
суммарных и свободных вихрей, неподвижно связанных с кры-
крылом, а след aj поверхностью из свободных вихрей, двигающихся
вместе с жидкостью по траекториям частиц. С помощью этого не-
непрерывного вихревого слоя найдем поле скорости V, для которо-
которого потенциалом будет функция ф(:г, у, z) и которое будет удовлет-
удовлетворять всем перечисленным в § 6.1.
Таким образом, задачу аэродинамики при решении ее вихре-
вихревым методом стремятся свести к нахождению интенсивности тако-
такого вихревого слоя, заменяющего крыло а и его след а\, чтобы
поле скоростей, индуцированное этим слоем, удовлетворяло всем
требованиям, указанным в § 6.1 требованиям.
Численная реализация всех условий краевых задач аэрогид-
аэрогидродинамики в методе дискретных вихрей осуществляется следую-
следующим образом.
Непрерывный вихревой слой заменяется системой дискрет-
дискретных вихрей так, чтобы в пределе при увеличении числа дискрет-
дискретных вихрей получить искомый вихревой слой. В качестве основ-
основного элемента рассматривается соответствующий изучаемому клас-
классу задач вихревой образ: в плоских задачах—вихревая нить бес-
бесконечного размаха; при изучении обтекания тонких крыльев на
малых углах атаки—косые подковообразные вихри; в общих не-
нелинейных пространственных задачах—прямолинейные вихревые
отрезки или замкнутые вихревые многоугольники (обычно—
треугольники или четырехугольники).
Индуцируемое ими поле скоростей вычисляется с помощью
формулы Био—Савара, которая гласит, что элемент ds вихревой
линии, имеющей циркуляцию Г, индуцирует в точке М$, распо-
расположенной на расстоянии от ds , определяемого вектором г , ско-
скорость, равную
dv = JL*L?-. B111>
4п г3
ДИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ 435
Направление ds должно быть принято таким, чтобы цирку-
циркуляция вокруг него в соответствии с правилом правой руки, была
положительна, что иллюстрируется рис. 7.2. Если начало элемен-
элемента ds помещено в точку М, то г = MMq . Обозначим через П
данный дискретный вихревой образ, имеющий по всей длине ин-
интенсивность Г (в силу известных теорем гидродинамики о вихре-
вихревых нитях [104, 173, 243], их интенсивность не должна меняться
по длине). Тогда поле скоростей, индуцированное этим вихрем,
определяется формулой
т-> Г г ds х г
V = -r\—T-- B1.1-2)
Получаемое поле скоростей удовлетворяет уравнению нераз-
неразрывности во всем пространстве (исключая сам дискретный
вихрь). Кроме того, скорости затухают при удалении от вихревых
элементов, обращаясь в нуль на бесконечном расстоянии от точек,
принадлежащих вихрям.
В стационарных задачах след продолжается от тела до беско-
бесконечности. В нестационарных он развивается—старые вихри сносятся
потоком, а новые сходят с тела. При этом конструирование вихревых
систем осуществляется с обязательным выполнением всех теорем о
сохранении вихрей в рамках выбранной схемы обтекания.
Поверхность тела в каждый момент времени заменяется сум-
суммарными вихрями, в которых нет деления на присоединенные и
свободные, причем положение их на теле фиксировано. Криволи-
Криволинейные свободные вихри аппроксимируются системами прямоли-
прямолинейных отрезков.
Число дискретных вихрей конечно, но может безгранично
увеличиваться. Это осуществляется по заданному алгоритму, ко-
который обеспечивает выполнение следующих требований, лежащих
в основе эффективности метода.
а) Размеры вихревых сеток вблизи тела по всем направлени-
направлениям должны быть примерно одинаковыми.
б) Точки, в которых удовлетворяются граничные условия о
непротекании {точки коллокации), должны лежать примерно в
центре вихревых многоугольников. Этим обеспечивается выделе-
выделение главного значения в интегралах типа Коши.
в) На границах тонких поверхностей и вблизи изломов по-
поверхности тела, где скорости могут обращаться в бесконечность,
выбор расположения вихрей и расчетных точек производится в
соответствии с выбранной схемой. Если ставится требование о ко-
конечности скоростей (условие Чаплыгина—Жуковского—Куштй
(Ч-Ж-Ю) на кромках и изломах, то на них (или ближе к ним)
ставятся точки коллокации (расчетные точки)—дискретный ана-
28*
436 - Глава 21^
лог условия (Ч-Ж-К). В противном случае на них ставятся вихри.
В дальнейшем это правило расположения дискретных вихрей и рас-
расчетных точек у кромок будем называть Ъ-условием метода дискрет-
дискретных вихрей, которое впервые было сформулировано в [27].
Важным этапом решения задач аэродинамики является по-
построение формы вихревого следа. В линейных стационарных и
нестационарных задачах она задается наиболее естественным об-
образом. В нелинейных—след выстраивается, причем при устано-
установившемся движении методом итераций, а при неустановившемся—
конструируется по временным шагам. Циркуляция первых дис-
дискретных свободных вихрей за телом вычисляется, а далее ойи
сносятся потоком, не меняя своих интенсивностей
Указанным способом удовлетворяются все условия постав-
поставленных задач аэрогидродинамики. Решение их сводится в общем
случае к осуществлению (итерации в пространстве и по шагам во
времени) следующих вычислительных операций:
а) решению систем линейных алгебраических уравнений, вы-
вытекающих из граничных условий на теле;
б) построению вихревого следа за телом.
21.2. Основные дискретные вихревые системы
Рассмотрим вначале поле скоростей от вихревого отрезка
А\А2 постоянной интенсивности Г с направлением от точки А\ к
точке А2. Произвольную точка А этого отрезка можно записать
0<t<l, B1.2.1)
где гЛ = О А, Т\ = OAj , ц2 = А^А2 и О—некоторая точка про-
пространства. Поэтому для элемента дуги ds будем иметь
ds = r12dt. B1.2.2)
Поместим теперь элемент ds в точку А. Тогда для вектора г
получаем
? = ?0 - ?А = г10 - Щ2, B1.2.3)
где Гц = ОМц , t\q = А\М§ . Заметим также, что
г=
ц2
+а
г12
ч2
B1.2.4)
Из формул B1.1.1), B1.2.2) —B1.2.4) получаем формулу для инду-
индуцированной скорости V в точке М$ от вихревого отрезка А\А2:
ДИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
437
[hi
г\2
3Л~
B1.2.5)
Первообразная для подынтегральной функции в формуле B1.2.5)
легко находится:
1
Ш
Г12а
+а
+a
B1.2.6)
или
у ^ Г
Г12 X f10
An г\2а
r12
П2
' r12
Г1оГ12
B1.2.7)
"hi • ho { hi • ho j
r20
Рассмотрим теперь различные частные случаи формул
B1.2.6) и B1.2.7).
Пусть в пространстве введена декартова система координат
OXYZ как на рис. 9.2, т.е. тройка векторов i , k , j —правая.
Рассмотрим частный случай, когда точка Mq и вихревой отрезок
лежит в плоскости OXZ, причем отрезок параллелен одной из
осей координат, например, А\А2 || OZ. В этом случае имеем
hi = (*2 - *t)b , По = (^о ~ ^i)« + (*o - ^i)* «
r\2 ~ (Z2 ~
r20 =
ПО • hi = (*2 - ^iX^O - *l) ,
и из формулы B1.2.7) получаем
(z0 -
ш
Глава 21
An Xn -:
B1.2.8)
Теперь рассмотрим прямолинейный вихрь полубесконечного
размаха, начинающийся в точке A\=(x\yy\}z\} и через точку
^2 = (Х2>У2>22) уходящий в бесконечность.
Тогда в формуле B1.2.1) параметр t будет изменяться от 0
до 4ч». Следовательно, в формуле B1.2.6) верхний предел будет
-и» , и поэтому при подстановке пределов получим
Г121
-r12j"
B1.2.9)
f = ЛЛ2_1Эо. i + Зо
An Ц2 • ot [_ rjo
Если же направление на вихре идет из бесконечности через
точку Л2 до точки Aj, то в формуле B1.2.2) для ds , надо по-
поставить знак минус, поэтому будем иметь
42 х *io L л По * 42
у =
B1.2.10)
An ri2-a [ rlo-r12J
Например, пусть вихрь начинается в точке A\(x\,Z\$fy и че-
через точку A2(#2,2i,0) уходит в бесконечность. Точка MQ^XQf2Qy0)
также лежит в плоскости OXZ. Тогда имеем: г12 = [х2 - x^)i ,
По = (^о - *\)г + (^о - ^l)* > П2 х По = У(*2 - ^i)(^o - ^l).
r12 = *2~*l (предполагаем x2>xt)f r12 -r10 = (^2 - ^i)(^o - *i),
1
An zQ-<
xQ-xt
B1.2.11)
Рассмотрим теперь прямолинейный вихрь бесконечного раз-
размаха. Будем полагать, что направление на вихре определяется па-
параметром в формуле B1.2.1), т.е. формула B1.2.2) сохраняет
свой вид. В этом случае пределы интегрирования в формуле
B1.2.5) будут -оо и +оо. Следовательно, из формулы B1.2.6)
при подстановке t = -со и t = +оо получим
ДИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
9-?-№&.. B1.2.12)
In ra
В формулах B1.2.1) и B1.2.3) под ?f2 можно понимать любой
вектор, направленный одинаково с направлением на вихре.
Например, пусть вихрь проходит через точку А\ = (х],2],0)
параллельно оси OZ и одинаково с ней направлен. За направ-
направляющий вектор fj2 возьмем вектор k . Скорость от этого вихря
будем подсчитывать в точке Мо = (хо,го,О). В этом случае
42 х 40 = -j\xo - х\) у а = {хо " х\) >
B1.2.13)
В задачах для телесного профиля потребуется случай, когда
А\ = (xi,0,yi), Ц2 = k и Мо = (д:о,О,^о) • Тогда r10 = [х0 - X\)i +
+(^о " У\)] у 42 х 'io = ~~j(xo ~ ^i)+ *(Уо - yi)> ^12 ' ^10 = ° • Таким
образом, получаем
у = ?i^i|izlfozfijy B1214)
Перейдем теперь к рассмотрению прямого и косого подково-
подковообразных вихрей.
Прямым подковообразным вихрем, следуя [28], будем назы-
называть (рис. 21.1, а) вихрь постоянной интенсивности Г, состоящий
из отрезка [Л1(дг1,г1,0),Л2(д:1,-г2>0)] и ДВУХ полубесконечных пря-
прямолинейных вихрей (Л^+оо) и (А2,+оо), параллельных оси ОХ,
Направление на этом вихре будем задавать вектором 7\2 и обо-
обозначать его П(Л1,А2). Найдем скорость V, индуцированную этим
вихрем в точке Mq = (xq,Zq,0) . не лежащей на вихре. Обозначим
через Vt2 у V\ и t^ скорости в точке Mq , индуцированные, соот-
соответственно, вихрями (^f,A2), (Aj,+oo) и (А2,-нх>) . Используя
формулыB1.2.8) - B1.2.10) получим
-г Г
*-- 1 .+ i
г0 -г2 г0- гх (х0 - хх \zQ - z2)
440
Глава 21
An
1 +
Zi+OO
B1.2.15)
Косой подковообразный вихрь (рис. 21.1,6) отличается от прямого
только тем, что отрезок [Л],^] не параллелен оси OZ, т.е.
А\ = (*1> гЬ°) > А2 = (^2» ^2>0) и ^2 ^ ^1 •
Пусть уравнение линии вихря (Aj, A2) будет
д:(г) = й + г-6, B1.2.16)
*i
A,
>-±
Ч>
Рис. 21.1. Прямой подковообразный вихрь (а); косой подковообразный вихрь (б);
замкнутая четырех угольная вихревая рамка (в).
т.е. Х\ = х(г^ = a + Z\-b, X2 = x[z2) = a + z2-b. Тогда имеем для
той же точки Mq = («о» ^о,0):
42 = (*2 " х\)г + {z2 -zi)k = (z2 -z{)bi+ (z2 - z{)k =
= (z2-zi)(bl+k), ЦО = (хо-х$ + (го-г1)к,
42 x По = 1[{х2 -Xi)(z0 -zl)-(xQ -xx\z2 ]
= M ~ *№o ~ «1) "(*o -*0]' ?12 = (*2 "
ДИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
441
П2 • ПО = (*2 "
Ч2 • ho = (*2 -
Отсюда по B1.2.7)
- х2)+(z0 - z2)].
1
2пЦхо,го)
B1.2.17)
где X(x0, z0) s x0 - a - zob ш х0 - x{zQ). Для вихрей
(А2,+<я) формулы сохраняются, поэтому имеем
-г Г
3 Аж
1
z0-
Ч
1
V(xo-*2J+(^O-*2J
(*o-*iJ
1 +
dxdz
3/2
B1.2.18)
Заметим, что, если & = 0, т.е. П^,^) —прямой подковооб-
подковообразный вихрь, то формула B1.2.18) совпадает с формулой B1.2.15),
так как в этом случае x(z) = Х\, X = Xq - х(г<)) = ^о ~ ^1 • Отметим
еще следующее. Если точка Mq лежит на линии отрезка [А\, А2], то
формулы B1.2.15) и B1.2.18) надо использовать в интегральной
форме, и получим, что
так как в этом случае или
—1 B1.2.19)
ZQ-Z2 Zq-Zi]
- х\ = 0 или xq - x\z) = 0.
Глава 21
Наконец, рассмотрим вихрь постоянной интенсивности Г,
имеющий вид контура прямоугольника в плоскости OXZ со сто-
сторонами параллельными осям координат (рис. 21.1,в). Пусть этот
вихрь своими угловыми точками имеет точки Aj = (дг^^Д)),
А2 = (*1>*2>0)' (г2 > *l) , А3 = {x2,z2,0) , (х2 > *i), АА = (x2,zhQ).
Направление на этом вихре зададим вектором \2 . Обозначим через
^12 > ^23 > ^34 и ^41 скорости, индуцируемые в точке Мо(хо>2О>О)
вихрями (Aj,^), (А2,Аз), (^3,^4) и (A4,Aj), соответственно.
Иоюльзуя формулу B1.2.7) (см. также B1.2.8)) и учитывая на-
направление вихрей, получим для скорости V, индуцируемой в точке
Мо всем вихрем, формулу
~ хг?
(х0 - xt)(z0 - z2)
(xQ -
Формулу B1.2.20) можно записать еще в виде
B1.2.20)
f = -7-L
1 ,
J(xQ-x2J+{z0-zf
dxdz
- «if + (^o - гJ
B1.2.21)
Замечание 21.2.1 Отметим, что формулы B1.2.15),
B1.2.18) и B1.2.21) являются частными случаями общей форму-
формулы [173, 243] для потенциала поля скоростей замкнутой вихревой
нити, которая гласит: потенциал скоростей замкнутой вихревой
нити L постоянной циркуляции Г совпадает с потенциалом
двойного слоя, расположенного на поверхности а, опирающейся
на контур L, постоянной плотности скачка д = Т (рис. 21.2).
Эта формула имеет вид
ПИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
443
B1.2.22)
L 'MM0
так как система координат левая.
Если контур L состоит из конечного числа прямолинейных
частей, то скорость F, индуцированная этой вихревой нитью,
представляется суммой скоростей от каждой их этих частей, кото-
которые затем вычисляются по одной из приведенных в этом парагра-
параграфе формул.
Замечание 21.2.2 Если поверхность а представляет собой
полосу плоскости OXZ, ограниченную прямыми х = Х\ и х = x*i
(x2>Xi), то формула B1.2.22) показывает: поле скоростей от
слоя диполей постоянной интенсивности Г, расположенных на этой
полосе, равно полю скоростей от системы двух вихревых прямоли-
прямолинейных нитей, расположенных на прямых х = х\ и х = х^ , имею-
имеющих циркуляции Г и-Г, соответственно, т.е. (рис. 21.3)
Рис. 21.2. Иллюстрация к формуле
Био-Савара
Рис. 21.3. Иллюстрация к формуле о связи
полей скоростей от замкнутой вихревой
нити постоянной интенсивности и потенциала
двойного слоя той же интенсивности по
поверхности, опирающейся на эту кривую
dx
2п [*о - *2 хо ~ х\ J * 2* i (х0 - х)г
При этом точка Mq{xq,0) лежит на оси ОХ.
B1.2.23)
Глава 22
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
ДЛЯ ПЛОСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
22.1. Тонкий профиль, решетка профилей
Как было показано в § 6.2, задача стационарного обтекания
слабоизогнутого тонкого профиля сводится к решению сингуляр-
сингулярного интегрального уравнения
?Я B2.1.1)
где /(#о) = ~~^0 ~**М 9 Uq —скорость набегающего потока, а
орт нормали к верхней стороне профиля в точке М(х$, у(*о)) » если
у = у(х) у х е (-6, 6), есть уравнение этого профиля.
Метод дискретных вихрей в данном случае состоит в сле-
следующем. Профиль заменяют вихревым слоем, который распола-
располагают на отрезке [-6,6] оси ОХ (рис.22.1,0 ). Его интенсивность не
зависит от координаты Z, и ее обозначают у(х). Условие о непро-
непротекании профиля выполняют в точках отрезка [-6,6], т.е. сумма
нормальных составляющих скорости в точках отрезка от вихрево-
вихревого слоя и снесенной в эту точку скорости набегающего потока в
точке профиля, проецирующейся в данную точку полосы, равна
нулю. Вихревой слой, моделирующий профиль, заменяется беско-
бесконечно длинными прямолинейными вихревыми шнурами постоян-
постоянной интенсивности Г^ , уравнение которых х = х^} х = -6 + kh,
h = 2&/(я +1), k = l,...,n, а граничное условие F.2.6) непротека-
непротекания профиля выполняется в расчетных точках х$т = хт + А/2 ,
ти = 0,1,...,я. Нормальная составляющая скорости, индуцирован-
индуцированной k-м вихрем в m-й расчетной точке, равна (см. B1.2.12))
Г у B2.1.2)
Нормальная составляющая Vm скорости от всей системы дис-
дискретных вихрей в m-й расчетной точке будет
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
445
-Ь
Рис. 22.1. Моделирование тонкого, слегка изогнутого профиля
вихревым слоем на отрезке [b,b] оси ОХ (а); взаимное расположение дикретных
вихрей и расчетных точек на [b,b] для циркуляционной задачи (б);
для бесциркуляционной задачи для профиля (в); для безударной задачи (г).
Рассмотрим циркуляционное обтекание профиля (рис.
22.1,6). В этом случае эксперимент показывает [28], что вихревая
интенсивность должна быть неограничена у передней кромки
(точка -Ь) и ограничена у задней кромки (точка 6). Следователь-
Следовательно, в силу Б-условия метода дискретных вихрей ближайшим к
передней кромке должен располагаться вихрь, а к задней кром-
кромке—расчетная точка, поэтому для расчетных точек надо брать но-
номера т = 1,...я. Выполняя в этих точках условие непротекания
F.2.6), получим систему равенств
V*=-UonM
om
или, учитывая формулу B2.1.2)
1 V Tk _тг»
B2.1.4)
B2.1.5)
Из результатов § 12.3, следует, что если взять
(уп —приближенное значение у ), то система линейных алгебраи-
алгебраических уравнений B2.1.5) аппроксимирует сингулярное инте-
интегральное уравнение B2.1.1).
В силу теоремы 17.1.1 получаем, что между решением си-
системы B2.1.5) и точным значением интенсивности у(х), не огра-
446 Глава 22
ничейной в точке -6 и ограниченной в точке 6, выполняются соот-
соотношения A7.1.6) —A7.1.8).
При бесциркуляционном обтекании (рис. 22.1,в), когда ин-
интенсивность у(х) не ограничена на обеих кромках, Б-условие тре-
требует, чтобы крайними к обеим кромкам располагались дискретные
вихри, т.е. в этом случае надо для расчетных точек брать
т = 1,...,я-1. Использование условия непротекания в этих точ-
точках даст пЛ уравнений для п неизвестных циркуляции дискрет-
дискретных вихрей. Получаем недоопределенную систему. Доопределяет-
Доопределяется эта система с помощью условия бесциркуляционного обтекания.
В результате этого получаем следующую систему линейных ал-
алгебраических уравнений
?г*< = *?, m = l,...«-l, ?г* = 0, B2.1.6)
и, следовательно, здесь применима теорема 17.1.1 при С=0.
При безударном обтекании (рис. 22.1,г), когда интенсивность
ограничена на обеих кромках, Б-условие требует, чтобы крайними
к обеим кромкам располагались расчетные точки, т.е. в этом слу-
случае надо для расчетных точек брать т = 0,1,...,я. Использование
условия непротекания в этих точках даст п+1 уравнений для п
неизвестных циркуляции дискретных вихрей. Получаем переоп-
переопределенную систему, причем, как правило, несовместную. Опре-
Определенной ее делаем с помощью введения регуляризирующего фак-
фактора у on (новой дополнительной неизвестной), т.е. рассматриваем
систему
?^, т = 0,1,...,я B2.1.7)
и, следовательно, здесь применима также теорема 17.1.1.
Таким образом, теорема 17.1.1 дает полное математическое
обоснование для тонкого профиля в стационарном безграничном
потоке. Эта же теорема дает обоснование Б-условия метода дис-
дискретных вихрей (дискретного аналога гипотезы Чаплыгина—
Жуковского—Купы), примеры численных расчетов в некоторых
конкретных случаях рассматривались выше рис. 19.1 — 19.3).
Отметим, что неравенство A7.1.20) показывает, что суммар-
суммарные аэродинамические характеристики по методу дискретных
вихрей находятся с любой наперед заданной точностью.
Важная особенность метода дискретных вихрей: вид функции
у(х), к которой должно приводить решение соответствующей си-
системы линейных алгебраических уравнений, определяется только
взаимным расположением дискретных вихрей и расчетных точек, а
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 44Z
0е задается априори. Это особенно важно, когда приходится решать
новые задачи аэродинамики, не исследованные еще математически.
Замечание 22.1.1. Если тонкий слабоизогнутый профиль мо-
моделировать не вихревым слоем, а слоем диполей, т.е. рассмотреть
бесциркуляционную задачу, и уравнение B1.1.1) записать в виде
(см. D.3.9))
B2.1.8)
где у(х) = д'{х), х е (-6, Ь), то численно его надо решать с по-
помощью метода дискретных вихревых пар, который состоит в сле-
следующем.
Возьмем точки х% = -b + (k - \)h , h = Щп, k = 1,...,я +1 и
точки XQm = хт + А/2 , т = 1,..., п . В каждой точке из пары точек
{xk>xk+l)> k = l,...yn, расположим по дискретному вихрю интен-
интенсивности ffc и -ffc, соответственно, Г^ = gn(xQk) (рис.22.2). Тог-
Тогда выполнение условия непротекания в точках ^оя*, *и = !»•••>я,
даст следующую систему линейных алгебраических уравнений
Vf ~тп тг* ^ л „ B2 19)
л=1
4 **+1 J 4 Г 4 4 1
Л, тп = 1,..., и .
Теперь из теоремы 17.1.8 следует, что значения Г$ = gn\Xok) > да-
даваемые системой B2.1.9), равномерно сходятся к значениям точ-
точного решения д(хо) уравнения B2.1.8), т.е. получаем математи-
математическое обоснование метода дискретных вихревых пар.
Если систему B2.1.9) преобразовать в систему B2.1.6), то
для интенсивностей дискретных вихрей Г^ получим формулу
г* =Ц -Г^-1 =9n{xok)-9n(xok)= )9n{xrx> k = l,...n + l,
x0k-\
где полагаем Xq_\ = -6 , #on+i = Ь, дп[х^\) =
B2.1.10)
448
-Глава У)
Замечание 22.1.2. Рассуждения, проведенные в предыдущем
замечании, показывают, что в методе дискретных вихрей, по которо-
которому написаны системы B2.1.4), B2.1.6), B2.1.7), можно брать
= !>.,я.
B2.1.11)
При таком подходе к рассмотрению Г^ становится ясно, что
в так понимаемом методе дискретных вихрей важно только вза-
Г -Г
1 л 1 л
п Т т
* Т *
Г -Г
-Ь=х
f3 -f
X3
-f
Рис. 22.2. Моделирование вихревого
слоя на профиле для бесциркуляци-
бесциркуляционной задачи дискретными вихре-
вихревыми парами
имное расположение множества
дискретных вихрей и расчетных
точек. Крайние дискретные вихри
могут, лежать и на концах профи-
профиля (острых кромках) (рис. 22.3.
для бесциркуляционной задачи и
сравни с рис. 22.1,в), причем
можно показать, что теорема
17.1.1 опять даст математическое
обоснование так понимаемого ме-
метода дискретных вихрей.
Замечание 22.1.3. Из си-
системы B2.1.5) видно, что метод
дискретных вихрей есть специфи-
специфический метод численного решения
соответствующих сингулярных
или гиперсингулярных (см.
B2.1.8)) интегральных уравне-
уравнений. Поэтому в дальнейшем в этом
разделе для задач аэродинамики
будем выписывать соответствую-
1 щее интегральное уравнение, опи-
Рис. 22.3. Моделирование бесцирку- сывать соответствующую систему
ляционной задачи с расположением nwrKnPTHbTV пИупей и ттигатъ тое-
дискретных вихрей на острых кромках Дискретных вихрей и писать тре
буемую систему линейных алгеб-
алгебраических уравнений.
^ Рассмотрим теперь тонкий
х профиль с закрылком (рис.22.4).
_ В этом случае нормальная состав-
Рис. 22.4. Модашрование тонкого ляющая скоросги набегающего по-
с закрылком; q - передняя точка тока к поверхности профиля тер-
закрылка пит в точке q отклонения закрыл-
закрылка разрыв первого рода. Поэтому в уравнении B2.1.1) правая
часть терпит разрыв первого рода в точке q, а функция у(х)
имеет в этой точке логарифмическую особенность. Используя
У\
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
замечание 17.1.4, видим, что найти интенсивность дискретных
вихрей в данной задаче можно следующими способами.
1. Дискретные вихри и расчетные точки расположить так,
чтобы точка q находилась посередине между ближайшими к ней
дискретным вихрем и расчетной точкой. После этого в зависимос-
зависимости от типа задачи рассмотреть одну из систем B2.1.4), B2.1.6)
или B2.1.7). В этом случае обоснование вычислительной схемы
дает замечание 17.1.4.
2. Расчеты показывают, что более точные результаты в
окрестности точки q получаются, если расчетные точки брать так,
чтобы точка q была одной из них, и в этой точке взять полусумму
у* (Я ~ 0) + V*(cj + 0) I / 2 нормальных составляющих скорости от
набегающего потока в точке слева и справа. Математического до-
доказательства этого факта пока нет.
3. Если надо, чтобы на закрылке и остальной части профиля
было по одинаковому числу вихрей (как, например, при подсчете
шарнирных моментов закрылка), то следует воспользоваться за-
замечанием 17.2.3.
Теперь рассмотрим обтекание стационарным плоскопарал-
плоскопараллельным потоком тонкого профиля, находящегося у земли (рис.
22.5). При этом профиль располагается, как и ранее, на прямой
у = О, а земля описывается прямой у = -Я. Метод дискретных
вихрей в данном случае применяется следующим образом [28]. На
профиле берем дискретные вихри и расчетные точки также, как и
ранее, еще берем дискретные вихри в точках А^ц = (л;?,-2#)на
плоскости OXY с интенсивностями Г^# = -Г^ для обеспечения
непротекания линии у = -Н . Выполняя условие непротекания в
расчетных точках и применяя формулу B1.2.14), получим, что
уравнение F.2.20) для профиля у земли, которое в данном кон-
конкретном случае примет вид
B2.1.12)
для циркуляционной задачи заменится следующей системой ли-
линейных алгебраических уравнений (рис. 22.5):
где а™ определено в B2.1.2), а
29-2775
450
_Едава22
Яго
х0т - хк
Г5
€0
Для бесциркуляционного и безударного обтеканий получим
системы, аналогичные системам A7.2.5) и A7.2.6), так как урав-
уравнение B2.1.12) имеет вид
уравнения A7.2.1). Таким
образом, теорема 17.2.1 дает
математическое обоснование
метода дискретных вихрей
для стационарного обтекания
профиля у земли.
При желании получить
более точные расчеты у кро-
кромок надо воспользоваться
интерполяционными метода-
методами, т.е. неравномерным рас-
расположением дискретных
-я
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\V tv\\\v\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
I' S> 8) 8) 8) 8)* I
Рис. 22.5 Система дикретных вихрей
и расчетных точек для профиля
вблизи земли
вихрей и расчетных точек. При этом лучше вначале расположить
профиль на отрезке [-1,1] с помощью замены переменной х = bt, a
потом воспользоваться результатами § 18.3.
Наконец, рассмотрим решетку профилей, состоящую из си-
системы отрезков [-6,6] х Vk > гДе Ук = ^ > * = 0,±1,...;/ > 0 —
фиксированное число, [-6,6]— отрезок оси ОХ. Как следует из
формул F.2.22) и F.2.23), задача обтекания плоскопараллель-
плоскопараллельным потоком этой решетки при моделировании поверхностей
профилей вихревым слоем сведется к решению следующего син-
сингулярного интегрального уравнения
1 Jy(*)cth^(*0 - x)dx = V*(x0),. <22.1.14)
-ъ
Теперь непрерывный вихревой слой заменим системой дис-
дискретных вихревых нитей, расположенных в точках (х±,уь), г =
-1,...,я, & = 0,±1,..., интенсивность которых равна rt* = у(х{)к, а
точки Х{ выбраны, как и в B2.1.5)). Условие непротекания бу-
будем выполнять в точках xoi=*j+A/2, *=0,1,...,я, на оси ОХ.
Тогда для циркуляционного обтекания уравнение B2.1.14) заме-
заменится следующей системой
B2.1.15)
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
для бесциркуляционного обтекания—системой
n
?г^ = 0, /«я B2.1.16)
для безударного обтекания—системой
,...,й. B2.1.17)
Теорема 17.2.1 дает математическое обоснование метода дис-
дискретных вихрей для решетки профилей.
22.2. Телесный и проницаемый профили
Пусть контур L обтекаемого профиля задается параметриче-
параметрически: x-x(t)y y~y(t), t e [0,/], и он находится в стационарном по-
потоке идеальной несжимаемой жидкости. Выполняя условие непро-
непротекания в точках Mq(xq, уо) = А^о(*(*о)» у(*о)) контура L, прихо-
приходим к уравнению (см. F.2.7))
B2.2.1)
Если контур L является гладким разомкнутым (см.
рис.6.3,я), то уравнение B2.2.1) является сингулярным инте-
интегральным уравнением первого рода на отрезке вида F.2.9), и,
следовательно, метод дискретных вихрей в этом случае строит-
строится следующим образом. На отрезке [0,1] параметра t берут кано-
каноническое разбиение, состоящее из множеств: Е = {t^fk = 1,...,я},
tk=kh, k = 1,...,я, й = //(я + 1), и EQ = {tom,m = O,l,...,»},
*0т = *т + А/2» т я 0,1,...,w. В точках М^=(^,^), k=1,...,n,
xk = *(^fe) i Ук = у(*л) контура L помещаем дискретные вихри ин-
интенсивности I*, а точки МОт(х^т,уът), т - 0,1,...,я,
Чт = 4^0m) i Уош = у(^)т) ^рем расчетными. Теперь также, как
для тонкого слабоизогнутого профиля, т.е. для уравнения B2.1.1)
в зависимости от рассматриваемой задачи: циркуляционной, бес-
бесциркуляционной или безударной (если она осуществима), уравне-
29*
452 Глава 32
ние B2.2.1) заменяем соответственно системой линейных алгеб-
алгебраических уравнений
Z^<oj^=/m, т=1,...,я, B2.2.2)
k=\
/-m, т=1,...,я-1, B2.2.3)
т=п,
л
Уоп + Х1*®* = fm > гп=ЪЛ>->п, B2.2.4)
где
27С С2 . /Г2 Г2
V^Om^+УОш^ 'rMkMOm
^От - *kf + (УОт - УлJ , /т = -ЩМОт)пмОт -
Система B2.2.2) дает решение уравнения B2.2.1), неограничен-
неограниченное на кромке профиля, соответствующей значению параметра t = 0.
Признаком существования безударного обтекания является стремле-
стремление к нулю при п -> оо регуляризирующей переменной уоп -
В рассматриваемом случае теорема 17.2.1 дает математиче-
математическое обоснование метода дискретных вихрей для гладкого разо-
разомкнутого профиля, описываемого системами B2.2.2) —B2.2.4).
Эти системы получаются из выполнения условия непротекания от
системы дискретных вихрей и набегающего потока в расчетных
точках, выбор которых диктуется Б-условием метода дискретных
вихрей.
Замечание 22.2.1. После решения систем B2.2.2) —B2.2.4)
можно находить все аэродинамические характеристики обтекае-
обтекаемого профиля, используя в дискретном виде соответствующие
формулы гл.9. При этом, если в этих формулах используется
функция у(х), то дискретизацию формулы удобнее проводить по
точкам М^и полагать у$ = у(^) = Ife/AS^ , где ДЗ^ —расстояние
на контуре L, а есл и используется функция g(t) (у = g's)> T0
дискретизацию формулы удобнее проводить по точкам
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 453
к
полагать д^ = V Г^ , так как #@)=0 в циркуляционной задаче и
в бесциркуляционной.
Замечание 22.2.2. Если контур ? является простым разо-
разомкнутым, но кусочно-гладким, то точки М^ расположения дис-
дискретных вихрей надо выбирать так, чтобы угловые точки контура
L входили в их число (рис.22.6).
Рис. 22.6. При моделировании тонкого
профиля с угловой точкой дискретный _ _,. _ _
вихрь помещается в эту точку Рис- 22j7* Система ДискРетных
J J вихрей и расчетных точек на
Пусть теперь контур L является замкнутом гладком профиле
гладким замкнутым (рис.22.7), т.е.
х@)=хA), у@)=уA) и орт касательного вектора непрерывен. Тог-
Тогда уравнение B2.2.1) является сингулярным интегральным урав-
уравнением с ядром Гильберта вида F.2.26). Его решение определено
с точностью до константы, которая определяется тем, что в аэро-
аэродинамике в этом случае рассматривается бесциркуляционная зада-
задача, и поэтому
jyds
= 0. B2.2.5)
L
Поэтому в соответствии с результатами § 17.5 для уравнения с яд-
ядром Гильберта метод дискретных вихрей в этом случае строится
следующим образом. На отрезке [0,/] теперь берем следующие два
множества точек: Е = \t^k = 1,...,п\ , t^ = (k ~ l)A , й=/,...,я,
h-l/n и Ео = [tQm, m = 1,..., w}, tQm = tm 4- A/2, /и=/,...,я. Теперь
опять в точках М^х^у^) помещаем дискретные вихри интенсив-
интенсивности Г^, а точки МОт(хОт,уот) берем расчетными точками.
Следуя результатам §17.5, уравнение B2.2.1) заменяем следую-
следующей системой линейных алгебраических уравнений:
B2.2.6)
где <о™ —такая же, как в системах B2.2.2) —B2.2.4).
4SL.
Глава
В этом случае также справедливы замечания 22.2.1., 22.2.2.
В качестве демонстрации замечания 22.2.2. для данного случая на
рис.22.8—22.11 приведены расчеты присоединенных масс для эл-
эллипсов и прямоугольников, выполненные Михайловым А.А. (см.
также [285])
1.5
1.0
0.5
1
2
-* —
1
%
У
ТьЛ
25
50
100
N
Рис. 22.8. Сходимость вычисления коэффициентов присоединенных масс
эллипса по числу дискретных вихрей. Сплошная и пунктирная линии
соответствуют вычисленным результатам и точному решению [230]
k
¦«мам*
У
lo
=^
*зз/
f
0.5
1.0
1.5
а/Ь
Рис. 22.9. Коэффициенты присоединенных масс для эллипса
ft
——
О
—*
т3:
*»
0 0.5 1.0 1.5 а/Ь
Рис. 22.10. Коэффициенты присоединенных масс для четырехугольников
дискретных вихрей для плоских задач
455
1.50
1.12
:
\
X
*х
0
1
h
Рис. 22.11. Действие экрана на присоединенные массы квадрата.
Вычисленные результаты и точное решение показаны
крестиками и сплошной линией соответственно [230]
Замечание 22.2.3. В соответствии с результатом, изло-
изложенным в замечании 13.3.4, при использовании метода дискрет-
дискретных вихрей с равномерным расположением дискретных вихрей
(по крайней мере по параметру) для произвольного контура L
надо следить за выполнением следующего положения. Различные
дискретные вихри не должны находиться ближе друг к другу, чем
расстояние от них до соседних к ним по кривой L (рис. 22.12).
Если такое происходит, то надо увеличивать количество дискрет-
дискретных вихрей и расчетных точек до тех пор, пока эта ситуация не
изменится.
Рис. 22.12.Пример слишком близкого расположения "далеких" дискретных вихрей
В силу последнего замечания, если телесный профиль имеет
"узкие" места (см. рис. 22.12) или острую кромку (см. рис. 6.8),
то возможно, что непосредственно применить метод дискретных
вихрей будет затруднительно—надо брать довольно большое чис-
число дискретных вихрей и расчетных точек. В этом случае иногда
более удобно воспользоваться методом снесения граничных усло-
условий на некоторую срединную поверхность (см. § 6.4.). Тогда за-
задача нахождения поля скоростей сводится к решению системы
двух сингулярных интегральных уравнений второго рода с пере-
переменными коэффициентами F.4.6) на отрезке относительно неиз-
неизвестных интенсивностей вихревого слоя (у(*))и потенциала про-
простого слоя (\x(t)), расположенных на этой срединной поверхности.
456 Глава %}
Причем, если профиль симметричен* а срединная поверхность
есть отрезок, то эта система распадается в систему двух независи-
независимых уравнений F.4.10), в одном из которых неизвестной функ-
функцией является y(t), а в другой— \i(t). Полученные уравнения
можно числено решать интерполяционными методами, изло-
изложенными в § 19.4. К сингулярному интегральному уравнению
второго рода F.5.4) сводится также задача для проницаемого
профиля (см. § 6.5). Примеры численного решения таких уравне-
уравнений даны в § 19.6 (см. также [322]).
22.3. Профиль при наличии эжектирования внешнего потока
Рассмотрим вопрос численного решения уравнения B2.2.1)
обтекания профиля при наличии в точке Mq этого профиля или
в нескольких точках эжекции внешнего потока, что математически
соответствует наличию в этих точках контура L профиля стоков
или источников. Как было показано в § 6.3, в этом случае уравне-
уравнение B2.2.1) надо решать в классе функций, имеющих в точках
размещения стоков (источников) неинтегрируемую особенность
вида i/x при х -> 0. Условие непротекания профиля, естествен-
естественно, теперь выполняется во всех точках профиля, за исключением
отмеченных точек.
Пусть теперь t в параметрическом представлении контура L
будет его длиной дуги. Тогда, если в точке Mq (соответствующей
параметру Q) размещен сток интенсивности Q, то, как следует из
формул F.3.2), F.3.6) —F.3.8), для интенсивности y(t) вихрево-
вихревого слоя, моделирующего в этом случае профиль, будет выпол-
выполняться соотношение
()() Q/*. B2.3.1)
Рассмотрим различные задачи с эжекцией для профиля и пока-
покажем, как в каждое из этих случаев применять метод дискретных
вихрей для их численного решения.
Пусть контур L профиля является гладким разомкнутым
(см. рис..6.7, а) и в точке Mq этого профиля размещен сток ин-
интенсивности Q. Возьмем на L каноническую систему дискретных
вихрей интенсивности Г^, &=1,...,и, расположенных в точках
Mb, k=\.,...,n, и расчетных точек Мот, т=0,1,...,я, так, чтобы
точка Mq была бы одной из расчетных точек М$т (рис. 22.13).
да ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ Щ.
Будем решать вначале цир- Мт
куляционную задачу. В этом слу-
чае в силу Б-условия метода дис-
кретных вихрей ближайшим к пе-
редней кромке должен распола-
располагаться дискретный вихрь, а к зад-
задней кромке—расчетная точка, т.е.
дискретные вихри располагаются в Рис 22.13Схемарасположения
точках Mk у k=\,...,ny а условие дискретных вихрей и расчетных
непротекания будем выполнять в
точках Мот, /ю=1,...,я, за исклю-
исключением точки Мот - точки расположения стока. Тогда условие
непротекания приводит к системе (п - 1) уравнений относительно
п неизвестных Г^,
k = 1,...,я. Если интенсивность стока Q известна, то в силу ра-
равенства B2.3.1) интенсивность одного из дискретных вихрей,
ближайших к точке М$т , можно считать известной, т.е. из-
известными можно считать
*Q = tomQ у B2.3.2)
или
Г
Тогда число неизвестных и число уравнений станут равными,
т.е. для циркуляционной задачи при наличии в точке Mq стока
известной интенсивности Q надо рассматривать следующую си-
систему линейных алгебраических уравнений
B2.3.3)
rMOmMQ
В этом случае результаты §17.2 дают математическое обосно-
обоснование выбранной расчетной схемы. Расчеты, проведенные по
предложенной схеме для случая тонкого профиля (пластины), т.е.
458 Глава 21
когда L является отрезком [0,1] на оси ОХ, показывают хорошую
сходимость приближенного решения к точному (рис. 22.14).
Рассмотрим теперь вопрос о безударном обтекании профиля,
изображенного на рис.22.13: для данного набегающего потока
найти такую интенсивность Q отсоса в точке Mq , чтобы интен-
интенсивность у(?) вихревого слоя была бы ограниченной на передней
и задней кромках. В силу Б-условия метода дискретных вихрей в
этом случае крайними к обеим кромкам профиля должны распо-
располагаться расчетные точки, т.е. надо брать т=0,1,...,я, но при вы-
выполнении условия непротекания надо пропустить расчетную точку
Mqm , точку расположения стока. Получаем систему п уравнений
с п неизвестными. Но интенсивность стока неизвестна, и получа-
получается, что неизвестных на единицу больше, чем уравнений. Поэто-
Поэтому опять один из ближайших к стоку дискретных вихрей выразим
с помощью соотношения B2.3.2) через интенсивность стока.
Окончательно надо рассматривать следующую систему:
w
т,
'Q
_ B2.3.4)
где теперь fm = -f/o(^Om)^M » a интенсивность Q является од-
одной из неизвестных величин.
Результаты § 17.2 и в этом случае дают математическое обос-
обоснование выбранной расчетной схемы.
Замечание 22.3.1. Из результатов § 2.2 в силу равенства
B2.3.1) получаем, что чем ближе точка Mq к передней кромке,
тем меньшая интенсивность отсоса в этой точке требуется для
обеспечения безударного обтекания. Продемонстрируем это в слу-
случае, когда L=[-b,b] на оси ОХ. Тогда требуемое решение
у(х) дается формулой [Mq = q)
у(х)= 2ylb2-x2 Uq-xo)f{xo)dxo
Следовательно, для интенсивности отсоса, обеспечивающего без-
безударное обтекание профиля, получаем
Я-= Bmfo-xW,)» 2 J?77f42l2a. B2.3.6)
2 IJ
к}ЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
459
Y +
вихрь
перед
источником
Рис. 22.14.Распределение интенсивности вихревого слоя на тонком профиле
(пластине) со стоком в точке Х\ для циркуляционной задачи. Пунктирная
и сплошая линии соответствуют точному и численному решениям
Замечание 22.3.2. На профиле можно расположить несколь-
несколько отсосов. Например, один достаточно большой известной интен-
интенсивности Q\ можно расположить на верхней стороне профиля,
ближе к задней кромке, а другой, неизвестной интенсивности
Ql —ближе к передней кромке. С помощью первого отсоса обес-
обеспечиваем увеличение подъемной силы, а с помощью второго—
безударное обтекание. Система линейных алгебраических уравне-
уравнений, обеспечивающая численное решение сформулированной за-
задачи, будет следующая
т
шф
B2.3.7)
Аналогичным образом можно рассмотреть циркуляционную
или безударную задачу при расположении на профиле несколь-
нескольких отсосов.
Наконец, представляется интересным построение вихревого
слоя, обеспечивающего бесциркуляционное обтекание профиля,
изображенного на рис.22.13, при заданной интенсивности Q отсо-
отсоса в точке Mq. В этом случае Б-условие требует, чтобы крайними
к обеим кромкам профиля располагались дискретные вихри, т.е.
условие непротекания надо выполнять в точках М
460 - Глава 2?L
т = 1,..., я - 1, w 5* Wq . Полагая интенсивность дискретного вихря
Гш известной, получаем (я - \) неизвестных и (п - 2) уравне-
уравнений. Дополняем эту систему с помощью дискретизации условия
бесцикуляционности. Таким образом, надо рассмотреть сле-
следующую систему
fe< = -ЩМОт)пМот - Q?»q - Гт<?со-о ,
Теперь рассмотрим случай, когда контур L профиля являет-
является замкнутым (см. рис.6.7, б) и в точке Mq на нем размещен
сток интенсивности Q. Возьмем на L систему дискретных вихрей
Г?, &=1,...,я, расположенных в точках М^, и расчетных точек
, т=1,...,я, так, чтобы точка Mq была бы одной из расчет-
расчетных точек МОт (рис.22.15). Если профиль имеет острую кром-
кромку, то в угловой точке располагаем дискретный вихрь.
Рис. 22.15.Схема расположения дискретных вихрей и расчетных точек
на замкнутом профиле с острой задней кромкой при наличии стока
Для практики наиболее интересен в этой задаче случай бес-
бесциркуляционного обтекания.
Пусть интенсивность Q стока известна. Проэедем следую-
следующие рассуждения. Если стока нет, то для решения методом дис-
дискретных вихрей надо рассматривать систему B2.2.6). Если сток
имеется, то при выполнении условия непротекания надо пропус-
пропустить расчетную точку стока. Число уравнений уменьшится на
единицу, но при этом один из ближайших к стоку дискретных
вихрей можно считать известным. Окончательно получаем, что
для рассматриваемого случая надо брать следующую систему
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 4fil
у on + gw = -щпМот - qs>iq - rmQ*zQ,
B2.3.9)
где jQn — регуляризирующая переменная.
Одной из интересных для практики задач является задача
получения точки торможения полного потока в заданной точке
Mj профиля с замкнутым контуром. Так как полная скорость по-
потока внутри профиля равна нулю, то интенсивность вихревого
слоя, моделирующего профиль, в точке торможения. Mj равна
нулю, т.е. выполняется равенство
у(<г) = 0. B2.3.10)
Поэтому дополнительно требуем, чтобы точка торможения
была бы точкой расположения дискретного вихря Тщ . Для со-
составления системы линейных алгебраических уравнений проведем
следующие рассуждения. При невыполнении условия непротека-
непротекания в точке расположения стока, число уравнений и число дис-
дискретных вихрей равны. Дискретный вихрь Тт = 0, т.е. известен,
и поэтому число неизвестных на единицу уменьшается. Однако
интенсивность Q стока неизвестна, и поэтому опять получаем, что
число неизвестных равно числу уравнений. Итак, для решения по-
поставленной задачи надо рассмотреть следующую систему [319, 320]:
Jk®1k=-UQ{Mom)nM(jm, m = \,...,n, m*mQ,
B2.3.11)
Причем в этом случае опять имеем: чем ближе сток расположен к
заданной точке торможения, тем меньшая интенсивность Q для
этого требуется.
Глава 23
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
23.1. Прямоугольное крыло. Циркуляционное обтекание
Рассмотрим прямоугольное крыло—пластину, лежащую в
плоскости OXZ и занимающую прямоугольник а = [-6,6] х [-/, Л.
Пусть имеется установившийся поток со скоростью
а = [-Ь,Ь] х [-/,/]. Если угол атаки достаточно мал, то можно счи-
считать [28], что след за крылом располагается в его плоскости и за-
занимает полосу а = [-6,6] х [-/, /]. Будем моделировать крыло и
след вихревым слоем. Если в соответствии с § 7.1 полагать tj = i,
?2 = k , n = У , то задачу для нахождения интенсивности вихрево-
вихревого слоя в силу формул G.1.14), G.1.15) и G.4.7) можно свести к
решению интегрального уравнения
' Ь1 гМ
XQ €(-Ь,Ь),
относительно составляющей по размаху вихревого слоя на крыле.
Числено рассматриваемая аэродинамическая задача была реше-
решена в [28] методом дискретных прямоугольных подковообразных вих-
вихрей следующим образом. Вихревой слой, моделирующий крыло и его
след, заменяем системой дискретных прямых подковообразных вих-
вихрей Uik = n(Aik, Aik+t) интенсивности rik = у(х{, zok Iц , где
= A(xifzk), х{=-1
4k = zk + A2/2 (рис.23.1).
Выполняя условие непротекания, от системы дискретных
вихрей и набегающего потока, в расчетных точках получим сле-
следующую систему линейных алгебраических уравнений
{
i=\k=\
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 463
m _ K2\xi>
ш« =
K2{xi>zk>x0j>zQm)
(xQj - Xi)(zQm - Zk) '
K2(x,z,x09Zq) = xQ -x + ij(xQ - *J + (г0 -zJ . B3.1.2)
Используя результаты § 15.4, видим, что система B3.1.2)
аппроксимирует интегральное уравнение B3.1.1). Эта система
получается из уравнения B3.1.1) следующим образом: уравнение
B3.1.1) берем в каждой расчетной точке
m = l,...,Af, потом к интегралу в уравнении применяем квадра-
квадратурную формулу A5.4.8).
Рис. 23.1. Схема расположения прямых подковообразных вихрей
(волнистые линии) и расчетных точек (х) для трехмерного
прямоугольного крыла для циркуляционной задачи
Заметим, что сечение вихревой схемы, изображенной на
рис.23.1, по расчетным точкам вдоль хорды крыла (параллельно
оси ОХ) дает вихревую схему для тонкого профиля в циркуляци-
циркуляционной задаче.
Теперь, эквивалентным образом преобразовывая систему
B3.1.2) для прямых подковообразных вихрей, можно показать
[39, 285], что она аппроксимирует:
1) интегральное уравнение, любое решение которого обра-
обращается в нуль на боковых кромках;
2) интегральное уравнение, любое решение которого обра-
обращается в нуль на задней кромке и в бесконечность—на передней
кромке крыла.
Действительно, запишем вначале систему B3.1.2) в виде
464
Глава 23
п N
V=lfl=l
- Xv
B3.1.3)
Используя теорему 17.1.8 и переходя к пределу при п, N ->оо,
О < R\ < n/N < /?2 < +00» получим, что система B3.1.3), а потому
и система B3.1.2) аппроксимирует интегральное уравнение
*t If f f у(^т)
2\y(x,z)dx = — I yi(zjZo) J J— 2 x
-6 Л -/ -Ь~/(г0-т)
Xq-X
- sign(x0 - х)
dxdx + AnU.,
dzQ
sign(*0 - x) =
Видно, что выполняются тождества
B3.1.4)
B3.1.5)
из которых следует
f
fy(
j
(x,l)dx=
-b -b
или
у(*,-/)-у(*,/)-О. B3.1.6)
Соотношения B3.1.6) и доказывают утверждение 1. Анало-
Аналогично доказывается и второе утверждение.
Таким образом, если система B3.1.2) для прямых подково-
подковообразных вихрей разрешима и последовательность ее решений
сходится, то в пределе эти решения дадут функцию у(х7 z) с тре-
требуемыми свойствами на кромках крыла. В следующем параграфе
будет показано, что эта система невырождена.
^} ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 465
23.2. Прямоугольное крыло. Бесциркуляционное обтекание
В этом случае циркуляция по любому контуру, охваты-
охватывающему крыло, равна нулю и, следовательно, для составляющей
y(.r, z) по оси OZ вихревого слоя, моделирующего крыло, должно
выполняться условие
Ъ
B3.2.1)
-ь
л
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Рис. 23.2. Моделирование подковообразными прямыми
дискретными вихрями в бесциркуляционной задаче
В [28] для численного решения этой задачи был применен метод
дискретных подковообразных вихрей, с помощью которого ранее там
же была решена циркуляционная задача. Теперь Б-условие требует,
чтобы крайними ко всем кромкам (в частности, к задней) ближай-
ближайшими располагались дискретные вихри (рис. 23.2), так как при под-
подходе к задней кромке у(х, z) в этой задаче также обращается в бес-
бесконечность. Поэтому дискретная вихревая схема в этой задаче бу-
будет иметь вид, изображенный на рис. 23.2, т.е. в каждом сечении
по расчетным точкам параллельно оси ОХ имеем дискретную
вихревую схему для бесциркуляционной задачи для профиля. По-
Поэтому, выполняя условие непротекания в расчетных точках
лф:Оу,2От), У = 1,...,п - 1; т = 1,:..,ЛГ, и учитывая в дискретном
виде соотношение B3.2.1), получаем, что для решения поставлен-
поставленной задачи надо рассмотреть следующую систему линейных ал-
алгебраических уравнений относительно неизвестных циркуляции
Г^, i = l,...,n, k = 1,...,ЛГ, дискретных вихрей
*=i
B3.2.2)
30-2775
466 Глава;
Эта система аппроксимирует систему'интегральных уравнений
(> () z0 €(Ч0-
-ь
Теперь опять с помощью эквивалентных алгебраических преобра-
преобразований можно показать, что система B3.2.2) аппроксимирует:
1) интегральное уравнение вида B3.1.4), и поэтому для его
решения опять выполняется условие B3.1.6);
2) интегральное уравнение, любое решение которого обра-
обращаемся в бесконечность на передней и задней кромках.
Так как система B3.2.2) определяет только составляющую
yz(x,z) по оси OZ вихревого слоя, а в бесциркуляционной задаче
надо знать и составляющую yx(x,z) по оси ОХ. этого слоя, то
можно воспользоваться соотношением G.1.16), которое в данной
задаче примет вид
»iM= *Гх{*>*) B3240
дг дх
Для бесциркуляционной задачи система интегральных урав-
уравнений B3.2.3) эквивалентна уравнению G.4.8)
'^' <23-2-4)
х0 €(-6,6), zQ е(Ч/)«
Найдя функцию g(x,z), в силу формул G.1.15) определим
сразу обе составляющие вихревого слоя на крыле по формулам
9х(*>*) = 1ж(*>*); #(**) = -4x{x,z). B3.2.5)
Последнее замечание в применении к непрерывному вихре-
вихревому слою приводит к следующей модели. Так как вихревой слой
имеется только на крыле, то удобно его аппроксимировать дис-
дискретными замкнутыми вихрями (рис.23.3) Щ,*,*=
c Циркуляцией gi>k = g{xoi,zQk),
состоящими из вихревых отрезков
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 467
( * = О,1,...,л, Л = 1,...,ЛГ. Из
рис.23.3 и дискретизации формул B3.2.5) видно, что
Рис. 23.3. Моделирование замкнутыми четырехугольными дискретными
вихревыми рамками в бесциркуляционной задаче
7,(
так как отрезок f^b^fc+l] входит в состав дискретных вихрей
Ro,i-\,k и По^^ с разными направлениями циркуляции на них—в
первой с отрицательным направлением (по отношению к оси OZ), a
во второй—с положительным направлением. Аналогично имеем
У*(
А2
При этом полагаем, что <7(*ot-i>*o*)= ^ ПРИ | = ® и * я t»->^ и
Ok-lM8® ПРИ * = 1 и t = O,l,...,n.
Из соотношений B3.2.6) и B3.2.7) следует
i=0
B3.2.8)
где /=0,1,...,п, т = 1,...,ЛГ.
Как следует из результатов § 7.4, функция g(xfz), являю-
являющаяся решением уравнения B3.2.4), обращается в нуль на всех
кромках крыла.
Граничное условие о непротекании крыла будем выполнять в
расчетных точках \XQj,2Qm\f j = 0,1,...,я, m = !,•.•,#> что дает
систему линейных алгебраических уравнений
30*
468 Гла^ 33
0,1,...,я, т = 1,...,ЛГ, B3.2.9)
где ш^1 —множитель при /Г в формуле B1.2.20) при х$ = *0.
*1 = *t> Х2 = */+11 *0 = 20т » z\=zk> Z2 = zk+\ -
Воспользовавшись формулой B1.2.21), систему B3.2.9)
можно записать в виде
л N ^ ^+i^i+i dxdz
У = 0,1,...,п, т = 1,...,ЛГ, B3.2.10)
Из результатов §15.3 следует, что система B3.2.10) аппроксими-
аппроксимирует интегральное уравнение B3.2.4).
Покажем, что система B3.2.10) является невырожденной, так как
для матрицы системы выполняется признак Адамара—модуль диаго-
диагонального члена в каждой строке больше суммы модулей остальных чле-
членов этой строки. Действительно, если [xif z^) * \Xj, zmj, то
a{? =-LYT— — чл->°> B3211)
г* x' [(x0j-Xi) +{*<*-*) J
а если i = j, k = m, то из формул B1.2.20) и B1.2.21) получаем, что
«Й = -L Y Т ** ш < 0. B3.2.12)
Л 4* J J Г, v2 , ,2l3/2
[() () J
,2l3
-*) J
Сумма всех элементов б^'/" строки (/,/») в матрице системы
B3.2.10) будет
Таким образом, из формул B3.2.11) —B3.2.13) получаем
?f <-*s=hsl- B3214)
ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 469
Неравенство B3.2.14) и означает выполнение признака Адамара.
Так как для любых чисел щ и fot- справедливо равенство
M. B3-2i5)
где полагаем 6n+j = 0, то система B3.2.2) эквивалентна системе
вида B3.2.10) и поэтому также невырождена.
Замечание 23.2.1. В работе [171] с помощью понятия обоб-
обобщенного оператора Фурье доказана следующая теорема.
Теорема 23.2.1. Если в уравнении B3.2.4) Ь = /, т.е. крыло
является квадратом, а в системе B3.2.9) h\ = А2, т.е. я = N, то
между решением системы B3.2.9) и единственным решением ин-
интегрального уравнения B3.2.4) выполняется соотношение
\9i,k -#oi>*o*)| = e(*ot>*o*) > *.* = t-...я. B3.2.16)
где величина 6(xot>?o&) удовлетворяет следующим условиям.
1) Для всех точек M^xq^zq^ , находящихся на расстоянии
8 от границы крыла
efo,^) <4n*T*V4"\ B3217)
где 0 < 8j < 1/4
2) Для всех точек М(хо,-,2оа)
? B3.2.18)
при п —» оо.
Замечание 23.2.2. Рассуждениями, аналогичными для рассуж-
рассуждений относительно системы B3.2.2), можно показать, что система
линейных алгебраических уравнений B3.1.2) для циркуляционной
задачи обтекания прямоугольного крыла также невырождена.
23.3. Плоское крыло произвольной формы в плане
В этом параграфе рассмотрим крыло конечного размаха
сложной формы в плане и схематизированный летательный аппа-
аппарат. Числено эта задача решена в [28] с помощью косых подково-
подковообразных вихрей.
Вначале возьмем плоское крыло, имеющее вид канонической
трапеции о (см. определение 15.4.1). Возьмем отображение F
прямоугольника D = [ОД] х [-/, /] плоскости OX Z на область а ,
определяемое формулой A5.4.6). На прямоугольнике D возьмем
каноническое разбиение на прямоугольники и канонические рас-
4Z?L
Глава
четные точки, определяемые точками Щ
B0ifik{xM>z0k)> а на крыле а-точки Bitk{xitk>zk)>
Bifik(xifik>zOk) и BM»(X<W'Z<*)' ЯВЛЯЮ1а»^ся образами точек
на прямоугольнике D (см. § 15.4). Через П# обозначим косой
подковообразный вихрь, у которого присоединенным является
вихрь \Bi,k>Bifk+i)> а интенсивность Г^ = У\х1,ок*zQk\J\zQkYH> где
J{zOk) —якобиан отображения F (см. A5.4.7)).
Выполняя условие непротекания крыла а в расчетных точ-
точках %0m(*0/,0fiP*0m)> У = 1, .,«, ш = 0,1,...,ЛГ (рис. 23.4) для
решения рассматриваемой циркуляционной задачи рассмотрим
следующую систему
"N-VL, У = !,..,«, m = 0,l,...,iST,
1
t=l Л-0
г0т -
i,*»BQjfim ) ~ y(xQj,<m " *t\* ) + B0m ~ zk ) »
^0/,0m,i = D; " ^)/(^0m) • B3.3.1)
Сравнивая выражение для ш^ в последней формуле с множите-
множителем при <plx\,ZQkYH в формуле A5.4.15), видим, что если функ-
функция djc^zWyljn^^L^!/^) такова, что дср/йг еЯ* на а, то си-
система B3.3.1) в силу теоремы 15.4.2, аппроксимирует сингуляр-
сингулярное интегральное уравнение
1 +
{ J(xo-xJ+(zo-zJ}
B3.3.2)
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 471
2
Рис. 23.4. Моделирование косыми подковообразными дискретными вихрями
в циркуляционной задаче обтекания крыла со стреловидной передней кромкой
Аналогично тому как и в § 23.1, можно показать [39, 285],
что система B3.3.1) метода косых подковообразных вихрей для
циркуляционной задачи обтекания канонической трапеции:
1) невырождена,
2) аппроксимирует интегральное уравнение, любое решение
которого обращается в нуль на боковых кромках,
3) аппроксимирует интегральное уравнение, любое решение
которого обращается в нуль на задней кромке и в бесконечность—
на передней кромке трапеции а .
Этим самым будет показано, что метод косых подковообраз-
подковообразных вихрей выделяет то решение уравнения B3.3.2), которое со-
соответствует физической картине рассматриваемой задачи.
Замечание 23.3.1. Если одна из боковых кромок трапеции а
вырождается в точку, т.е. поверхность а представляет собой тре-
треугольник, то аппроксимация квадратурными суммами в B3.3.2)
интеграла в B3.3.1) удовлетворяет соотношению вида A5.4.11), ft
будет ли выполняться соотношение вида A5.4.12), т.е. выпол-
выполняется ли интегральная сходимость, пока неизвестно.
Для решения бесциркуляционной задачи обтекания канони-
канонической трапеции а при использовании косых подковообразных
вихрей, как и в § 23.2, надо рассмотреть следующую систему ли-
линейных алгебраических уравнений [31, 32, 39, 284, 285]
B3.3.3)
Отметим, что для бесциркуляционной задачи уравнение B3.3.2),
дополненное условием
0, ze\-l
B3.3.4)
эквивалентно уравнению
IT
3/2
B3.3.5)
где
о
x
Рис. 23.5. Вихревая система для
схематизированного самолета
в циркуляционной задаче
д(х,г)= \y{x,z)dx. B3.3.6)
х-(г)
Z Уравнение B3.3.5) имеет един-
* ственное решение в классе абсо-
абсолютно интегрируемых функций,
которое обращается в нуль на всей
границе трапеции а.
Рассмотрим теперь стацио-
стационарную задачу обтекания крыла
конечного размаха сложной фор-
формы в плане и схематизированного
летательного аппарата (рис. 23.5).
Итак, несущая поверхность а ле-
лежит в плоскости OXZ и ее контур
состоит из отрезков. Прямыми,
проведенными через угловые точ-
точки контура поверхности а парал-
параллельно оси ОХ, разобьем поверх-
поверхность с на канонические трапе-
трапеции. Эти канонические трапеции
могут пересекаться только по бо-
боковым кромкам. Непрерывный
вихревой слой заменим теперь
дискретными подковообразными
вихрями. Если канонические тра-
трапеции не лежат друг за другом по
потоку, то ширина дискретных
вихрей на них может быть разная.
Если они лежат друг за другом по
потоку, то ширина дискретных
вихрей на них одинакова и линии
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 473
свободных вихрей совпадают (см. рис.23.5). При решении цирку-
циркуляционной задачи на каждой канонической трапеции взаимное
расположение дискретных вихрей и расчетных точек должно быть
таким, как на рис.23.4. Выполняя условие непротекания в расчет-
расчетных точках, получим систему п уравнений относительно п неиз-
неизвестных циркуляции дискретных вихрей (я—общее число дис-
дискретных вихрей на всей несущей поверхности). При решении бес-
бесциркуляционной задачи вихревой слой на поверхности а лучше
моделировать замкнутыми четырехугольными вихревыми рамками
аналогично тому, как это показано на рис.23.3. Подробнее об этом
будет сказано в следующем параграфе.
23.4. Бесциркуляционное обтекание произвольной несущей
поверхности. Присоединенные массы
Как уже отмечалось в § 9.3, в бесциркуляционных задачах вих-
вихревой слой возникает только на несущей поверхности. В общем слу-
случае несущая поверхность не является плоской, и поэтому моделиро-
моделировать вихревой слой подковообразными вихрями уже не представляет-
представляется возможным. К настоящему времени наиболее распространено [41,
285] моделирование вихревого слоя в пространственных бесциркуля-
бесциркуляционных задачах дискретными замкнутыми четырехугольниками и
треугольными вихревыми рамками. Выбор замкнутых вихревых ра-
рамок и расчетных точек лучше производить с помощью выбора соот-
соответствующей координатной сетки на всей поверхности а или отдель-
отдельных ее частей. Тогда четырехугольные дискретные вихревые рамки
(которые могут вырождаться в треугольные, как, например, на сфере
в ее полюсах, рис.23.6, а) составляются из кусков координатных ли-
линий, а расчетные точки выбираются в центрах по координатам) этих
вихревых рамок. Если поверхность а состоит из нескольких частей,
на каждой из которых имеется своя координатная сетка (рис.23.6, б),
то на линиях соединения этих частей вихревые рамки должны иметь
общие стороны.
"^ /Х/Х/Х/
/Х/Х/Х/1Х
/х/х/:
X
X
X
X
X
X
X
X
X
/х
X
Рис. 23.6. Схема разбиения замкнутой поверхности на ячейки
в методе замкнутых вихревых рамок для сферы (а); для куба (б);
474 Глава %}
Пусть имеется п дискретных замкнутых вихревых рамок ин-
интенсивности Г^, k = 1,...,я ив каждой из них выбрано по одной
расчетной точке М^, k = 1,...,я. Тогда, выполняя условие непро-
непротекания в расчетных точках, получим систему п уравнений отно-
относительно п неизвестных циркуляции Г,- вихревых рамок
|^=-t7o(MOm)«Mom, т = 1,...,я, B3.4.1)
где cojj^ —сумма нормальных составляющих скоростей в расчетной
точке Mqw от вихревых отрезков, составляющих k-ю вихревую
дискретную рамку. Если воспользоваться замечанием 21.2.1, то
видим, что Г^ есть скачок потенциала двойного слоя постоянной
интенсивности Г^ на поверхности <т^, ограниченной k-й рамкой.
Таким образом, система уравнений B3.4.1) должна аппроксими-
аппроксимировать сильно сингулярное интегральное уравнение
Теперь систему B3.4.1) можно представить в виде
B3.4.2)
МОт еа. B3.4.3)
В силу результатов § 15.3, строго доказанных для плоской по-
поверхности а, о квадратурных суммах для интеграла из уравнения
B3.4.2)) получаем, что для д^ надо брать условие
gk=9{MQk), * = l,...,/i. B3.4.4)
Пусть теперь поверхность а является простой незамкну-
незамкнутой (например, поверхность куба без одной грани), тогда урав-
уравнение B3.4.2) имеет единственное решение и, повторяя рассужде-
рассуждения, проведенные для системы B3.2.9), можно показать: если
выполняется условие
(«м>«мо)ммо -^"Мо.гмморм.гммо)> 0 B3.4.5)
для любых двух точек М и Mq на поверхности о, а также условие
* или ?0 B3.4.6)
{ЛЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 475
для любых т и k, где ds^ —дифференциал длины дуги в точке М на
контурах ?,? или L поверхностей а^ и а, направление на которых
задается формулой B1.2.22), тогда система уравнений B3.4.3) яв-
является невырожденной, т.е. однозначно разрешимой [113].
Пусть теперь поверхность а является простой замкнутой
(например, сфера, поверхность куба или любой другой гомео-
морфный, кусочно-гладкий образ сферы). Так как нормальная
производная от потенциала двойного слоя постоянной плотности
равна нулю для точек кусочно-гладкой замкнутой поверхности
[248], то система B3.4.2) в этом случае является вырожденной.
Напомним, что решение интегрального уравнения B3.4.2) в рас-
рассматриваемом случае определено с точностью до константы, при-
причем в задачах аэродинамики эта константа не существенна, т.е. ее
можно выбирать произвольно. Поэтому систему B3.4.1) преоб-
преобразуем следующим образом. Возьмем интенсивность одной из
вихревых рамок, равной нулю, например, Гя = 0 (расчеты пока-
показывают, что выбор этой рамки не влияет на результаты нахожде-
нахождения аэродинамических характеристик [166]). Тогда система
B3.4.1) при этом условии станет переопределенной и в общем
случае несовместной. Поэтому введем регуляризирующую пере-
переменную уоя и рассмотрим систему
То.+&*•:«-IS, « = 1,..,я. B3.4.7)
*=1
Как показано в [113], система B3.4.7) при выполнении
условий B3.4.5) и B3.4.6) является невырожденной.
По описанной методе, т.е. на основе решения системы
B3.4.7) в работе [166] была рассчитана присоединенная масса
Хб6 кУ*>а при вращении его относительно оси OZ. На рис. 23.7
изображена зависимость Х^ от числа вихревых рамок, модели-
моделирующих поверхность куба. Из графика видно, что начиная с чис-
числа рамок п = 250, значение Х$$ остается практически постоян-
постоянным, поэтому дальнейшее увеличение п не имеет смысла.
Замечание 23.4.1 Для системы B3.4.7) нет пока математи-
математических доказательств:
1) равномерной по расчетным точкам сходимости квадратур-
квадратурной суммы к значению интеграла в этих точках.
2) сходимости (в какой-нибудь метрике) решения системы к
соответствующему решению интегрального уравнения B3.4.2) при
Теперь рассмотрим случай, когда поверхность а может быть
сложной, как, например, на рис.23.8 без аз [321]. Вихревой слой,
476
Глава 23
50
Рис. 23.7. Вычисленные значения присоединенной массы куба, \q
в зависимости от числа вихревых рамок на поверхности куба
Рис. 23.8. Моделирование несущей поверхности замкнутыми дискретными
вихревыми рамками и косыми подковообразными дискретными вихрями
пелены свободных вихрей в линейной стационарной задаче
моделирующий поверхность а , заменяем опять системой дискретных
замкнутых вихревых рамок, причем на линии соединения состав-
составляющих поверхностей (<Т| и G2 на рис. 23.8) опять выполняется
условие стыковки вихревых рамок. Если одна из составляющих по-
поверхностей является замкнутой (а\ на рис. 23.8), то совокупность
столбцов матрицы в системе 23.4.1, соответствующих неизвестным
интенсивностям рамок на этой поверхности, является линейно зави-
зависимой. Поэтому опять применяем прием, примененный для замкнутой
поверхности. Интенсивность одной из вихревых рамок на поверх-
поверхности Gj полагаем равной нулю, и в систему вводим опять регуляри-
зирующую переменную уоп следующим образом [131].
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 477
п-1
*< = "К. w = t- >я . B3.4.8)
где
[О, МОт «о,,
Аналогичным образом поступаем, если имеется несколько разных
замкнутых и разомкнутых поверхностей.
23.S. Стационарные линейные и нелинейные
задачи аэродинамики
Под стационарными линейными задачами будем понимать
задачи, в которых пелену свободных вихрей можно считать за-
заданной, расположенной в некоторой плоскости, как, например, в
стационарной циркуляционной задаче для плоского крыла конеч-
конечного размаха (см. рис.23.1) или в задаче обтекания под малым
углом атаки самолета с телесным фюзеляжем, но плоскими кры-
крыльями (см. рис.23.8). В последнем случае пелена свободных вих-
вихрей (аз ) располагается в плоскости крыльев, а линией пересече-
пересечения этой пелены с летательным аппаратом является совокупность
задних кромок крыльев и часть линии пересечения фюзеляжа с
плоскостью OYZ, соединяющей задние кромки крыльев. Из усло-
условия отсутствия перепада на пелене аз следует, что вихревой век-
вектор на ней не имеет составляющей, перпендикулярной направле-
направлению набегающего потока. Численно эта задача решается следую-
следующим образом. Вихревой слой, моделирующий фюзеляж и крылья
al Ua2, заменяется системой дискретных замкнутых четы-
четырехугольных и треугольных вихревых рамок так, как это указано
в предыдущем параграфе. Свободная вихревая пелена аз заме-
заменяется подковообразными вихрями, состоящими из отрезка, ле-
лежащего на задней кромке крыла или на фюзеляже и совпа-
совпадающего с отрезком прилегающей к нему замкнутой вихревой ни-
нити несущей поверхности, и двух полубесконечных вихревых ни-
нитей, направленных по оси ОХ (рис.23.8). Интенсивность этих
подковообразных вихрей равна интенсивности прилегающей вих-
вихревой рамки, если этот подковообразный вихрь начинается от
задней кромки крыла, и разности интенсивностей прилегающих
двух замкнутых вихревых рамок, если он начинается от фюзеля-
фюзеляжа (рис.23.9). Выполняя условие непротекания в расчетных точ-
точках на фюзеляже и крыльях, приходим к решению системы вида
B3.4.8), Теперь со™ —это сумма нормальных составляющих без-
размерной скорости, индуцированной в расчетной точке
всеми дискретными вихревыми образованиями, имеющими интен-
интенсивность Г^. Решение этой системы линейных алгебраических
уравнений позволяет найти нагрузку Ар = 2\р" - Р)\Р^<Л на
крыльях и коэффициент давления р = 2ip+ - р^ J/fpC/^ 1 на фю-
фюзеляже в расчетных точках (здесь U^ и р^ —скорость и давле-
давление на бесконечности невозмущенного потока). Пример расчета
приведен на рис.23.10 и 23.11 [131].
Рис. 23.9. Пристыковка подковообразного дискретного вихря на фюзеляже
У*
T
Рис. 23.10. Продольные сечения 1 и 2, на которых
будет показано распределенное давление
Под стационарными нелинейными задачами будем понимать
задачи, в которых форма пелены свободных вихрей, сходящих с
тела, заранее неизвестна и определяется наряду с интенсивностью
вихревого слоя на несущей поверхности cj и пелене <*2 в процес-
процессе решения задачи. Теория таких задач изложена в § 7.3. Метод
численного • решения нелинейной стационарной задачи будет про-
продемонстрирован на примере обтекания поверхности, изобра-
J4ETOR ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 479
женной на рис.23.12, одновременно с выбираемой расчетной схе-
схемой, которая строится следующим образом [304].
Р
нижнее сечение 2
>> нижнее сечение 1
z=0
верхнее ссчснис 1
верхнее сечение 2
Рис. 23.11. Распределение давления на меридианах:
D —первый верхний, # —первый нижний,
А—второй верхний, ^ —второй нижний
г* Л-
Рис. 23.12. Пример используемой дискретной вихревой
структуры в нелинейной стационарной задаче
Проведем на поверхности <xj систему продольных и попереч-
поперечных линий. Соединив отрезками прямой соседние точки пересече-
пересечения этих линий, получим разбиение поверхности а\ на ряд четы-
четырехугольных или треугольных ячеек * ojf-9 i = l,...,N, где N—
общее число ячеек на а\. В центрах этих ячеек (точках пересече-
пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных отрез-
Ш Глава 23
ков) расположим расчетные точки Mq?, & = 1,...,ЛГ, в которых
будет выполняться условие непротекания G.3.1) (см. рис.23.12).
При таком разбиении поверхности gj линия L пересечения по-
поверхностей а\ и С72 разбивается на ряд отрезков Lj, / = 1,..., п с при-
прилегающими к ним рамками а^ , j = 1,..., п , п—число отрезков на L.
Еп
Г К"
Рис. 23.13. Схематизация самолета тонкими несущими поверхностями
Поверхность &2 разбиваем на полубесконечные области с^у ,
У = 1,...,я, образованные поперечными отрезками Lj и продоль-
продольными составляющими, выстраивающимися вдоль линий тока и
выходящими из концов отрезков Lj, / = 1,...,я. При этом по-
поверхность С72 разбивается на расчетный и полубесконечный
участки. На расчетном участке продольные составляющие вы-
выстраиваются по линиям тока с заданным шагом Я. На полубеско-
полубесконечном участке с*2 к этим построенным продольным составляю-
составляющим добавляются лучи, направленные вдоль вектора скорости на-
набегающего потока Uq . Для интенсивностей Г2у подковообразных
вихрей, которыми моделируется поверхность <Т2 (см. рис.23.12) и
интенсивностей Г^у прилегающих к ним дискретных вихревых
рамок выполняется соотношение
Г2у = Г1у, / = 1,...,я. B3.5.1)
?4ЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 481
в силу результатов § 7.3. Условие B3.5.1) вместе с выполнением
условий непротекания в расчетных точках Mqу, / = 1,...,я, ячеек,
прилегающих к линии L, обеспечивает выполнение условия Ч.-Ж.-К.
Если геометрия и интенсивность Г2/ подковообразных вих-
вихрей известны, то использование условия непротекания в расчет-
расчетных точках приводит к системе N линейных алгебраических
уравнений относительно величин Г1;-, k = l,...,N
N __ п
ZrW = -^о пМот - ?г2уш* , т = i,...,N. B3.5.2)
Рассмотрим процедуру построения продольных составляю-
составляющих подковообразных вихрей, совпадающих с линиями тока, учи-
учитывая их кривизну. Пусть требуется построить v-ю точку М%
линии тока с шагом Н в р-й итерации. При этом известно поло-
положение линии тока в (р - l) -ой итерации, а также (v -1) точка пе-
пелены О2 свободных вихрей, полученных в р-й итерации (см.
Z
рис.23.12). Вычисляется скорость Vj в точке M^Z\ OT вихревой
системы, полученной в (/?-l) итерации. Затем вычисляется ско-
скорость V) в точке r^p-i + Нт=т и строится единичный вектор
К-х |vi|
Vx
Vx
Vx
- + -
1.
V2\
v2
v2
B3.5.3)
Координаты v -й точки в р-й итерации будут определяться по
формуле:
гмР = гмР + v »
где N$ —единичный вектор, определяемый выражением
щ =
Здесь е —коэффициент релаксации @ < s < 1) (от которого зави-
зависит быстрота сходимости и устойчивость итерационной процедуры
31-2775
482 Глава ff
построения решения), определяемый в результате методических
исследований.
Численное решение задачи строится итерационным методом.
1) Вначале вычисляется матрица А системы B3.5.2) и обрат-
обратная ей матрица Л. Заметим, что эта матрица остается неизмен-
неизменной на любом шаге итерации.
2) Решается бесциркуляционная задача, т.е. решается систе-
система B3.5.2) в предположении, что T^j = 0, j = 1,...,я . Далее вы-
выстраиваются в нулевом приближении продольные составляющие
вихрей Г2у (например, вдоль скорости С/о набегающего потока).
Из полученного решения системы B3.5.2) и соотношения B3.5.1)
определяются значения Г2у .
3) Начинается внешний итерационный цикл. Так как вихревая
схема пелены <J2 на нулевом приближении известна, то вычисляются
коэффициенты <оу*, входящие в правую часть системы B3.5.2).
4) Начинается внутренний итерационный цикл. Используя
коэффициенты со у1 и значения Г2у, вычисляется вектор правых
частей системы B3.5.2). Решая эту систему, находим значения
Г2у. Используя B3.5.1), находим новые значения Г2у . Внутрен-
Внутренний цикл повторяется до сходимости результатов, т.е. до тех пор,
пока с заданной точностью значения Г2у не будут равны значени-
значениям T\j. Таким образом, после окончания внутреннего цикла по-
получается решение, в котором при заданной форме поверхности <У2
выполняются как условия непротекания на а\, так и условие
Ч.-Ж.-К. на линии L.
Проведенные методические исследования показали, что для
сходимости результатов обычно достаточно 10—15 внутренних
итераций.
5) После окончания внутреннего цикла с помощью B3.5.3) —
B3.5.5) выстраивается новое положение пелены G2- Начиная с
заданного шага внешнего итерационного цикла в расчетных точ-
точках Мот, т = 1,..., N у вычисляются распределенные нагрузки
Ар(М) = р~ - р+, а затем суммарные силы и моменты, действую-
действующие на поверхность aj. Внешний цикл повторяется до достиже-
достижения заданной точности в вычислении нагрузок.
В качестве примера использования изложенного численного ме-
метода рассматривался расчет аэродинамических характеристик схема-
схематизированного современного истребителя. Схематизация самолета,
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 483
осуществленная с помощью тонких базовых несущих поверхностей,
приведена на рис. 23.13, а результаты расчета вихревой структуры и
аэродинамических характеристик—на рис. 23.14—23.16.
1.2
0.8
0.4
0
-0.1
М .
\
/
/
/
\
/
5
!
к
у
/ \ ...
10
15
S V
/
20
25
10
-0.025
О
-0.025
Рис. 23.14. Вихревая модель для само-
самолета и построенный вихревой след,
полученный для угла атаки о=10в и -0.025
угла скольжения р=12° 0
-0.02S
Суа
1.6
—$- '
а=15°
-*—--к
1
г*-—\—
\
¦и Ю
1
а
Рис. 23.16. Соотношение между коэффи-
коэффициентом поперечной силы сг,
коэффициентом момента вращения тх ,
коэффициентом момента
рыскания т9 и углом скольжения р ;
Угол атаки а равен 10° и 15° -
Сплошная линия—вычисленные данные
и оо — экспериментальные данные
Рис. 23.15. Соотношение между коэф-
коэффициентом С а , коэффициентом
момента качки т2 и углом атаки а
для угла скольжения р = 0 . Здесь
сплошная линия — экспериментальные
данные и + — вычисленные значения
31*
Глава 24
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ
24.1. Линейная нестационарная задача для тонкого профиля
Теоретическая часть этой задачи изложена в § 8.3. Напом-
Напомним, что в этом же параграфе доказана гипотеза Ч.-Ж.-К. для
этой задачи об обращении в нуль интенсивности присоединенного
вихревого слоя на профиле в той точке, с которой сходит пелена
свободных вихрей. Из этого следует, что при дискретизации зада-
задачи в методе дискретных вихрей первый свободный дискретный
вихрь не надо сдвигать с профиля. Поэтому дискретную вихревую
схему будем строить несколько иначе, чем в [39, 285]. Пусть
профиль занимает отрезок [-1Д] на оси ОХ. Расположим дис-
дискретные вихри на нем в точках х\ = -1 + (г - 1)/г, h = 2/п ,
i = l,...,я + 1, а расчетные точки—в точках xqj = xj + /г/2 ,
У = 1,...,п . Так как предполагается, что свободные вихри, сходя с
точки х = 1, движутся в следе вдоль оси ОХ со средней постоян-
постоянной скоростью Uq, to изменение всего вихревого слоя будем на-
наблюдать через такие промежутки времени At, за которые свобод-
свободный дискретный вихрь проходит расстояние А, т.е. требуем вы-
выполнения равенства
U0At = hf B4.1.1)
и, следовательно, At = hjU^ . Для простоты будем полагать
Uq = 1. Поэтому координата свободного вихря, сошедшего с про-
профиля в момент ?s в расчетный момент tr будет равна
S,r=l + (tr-t5). B4.1.2)
Пусть циркуляция дискретного вихря в точке х^ в расчетный
момент г будет Г^г, а циркуляции свободных вихрей, сошедших к
этому времени с профиля, будут Л5, 5 = 1,...,г. Таким образом,
получаем, что Лг =ГЯ+^Г, г = 1,2,... Выполняя условие о непро-
непротекании профиля в расчетных точках хОу , j = 1,...,я получим си-
систему уравнений
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ 485
л+1 г-\
]Ггг>ш> + ][>5ш/г=-*7, /=1,...,я, г = 1,2,..., B4.1.3)
г=1 5=1
где ш| —нормальная составляющая скорости в расчетной точке,
индуцируемая вихрем единичной интенсивности, помещенным в
точке Х{, а со ^—вихрем единичной интенсивности, помещенным
в точке %sr.
В системе B4.1.3) неизвестными в расчетный момент г явля-
являются Г1Г, i = 1,...,я + 1, так как Aj,...,Ar_j, будут определены в
предыдущие расчетные моменты и потом с течением времени не
изменяются (это свободные вихри). Следовательно, в этой системе
п +1 неизвестных и п уравнений. Дополним рассматриваемую си-
систему уравнением, являющимся дискретным аналогом условия
Томпсона —неизменности циркуляции по жидкому контуру, охва-
охватывающему профиль и след. Если профиль начал двигаться из
состояния покоя, то это уравнение будет иметь вид
п+1 г-1
Ir<r + 2>,-0, r = 1,2,... B4.1.4)
i=l 5=1
Таким образом, для решения задачи надо рассматривать систему
уравнений B4.1.3) и B4.1.4).
Полагая Г^г = у;г/г, As = 8(ts)At и учитывая формулу
B1.2.13), эту систему уравнений можно записать в виде
f А -1 afeW . 2nV*
n+i r-\ B4.1.5)
2> Z
i=l s=l
В силу результатов о квадратурных формулах для сингуляр-
сингулярного интеграла на отрезке система B4.1.5) аппроксимирует си-
систему интегральных уравнений (8.3.1) и (8.3.2), которая имеет
единственное решение. Перепишем систему B4.1.5) в виде
; = 1,...,и, г = 1,2,...,
486 Глава 24
n+1 r-1
(^)Ai ' r = 1'2— B4.1.6)
t=l 5=1
Матрица системы B4.1,6) имеет такой же вид, как в бесциркуля-
бесциркуляционном обтекании тонкого профиля, и поэтому она разрешима
при любом г = 1,2,... Разрешая систему B4.1.6) и вспоминая, что
yn+lr=8(?r), a й = Д?, получим, что система B4.1.6) эквива-
эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений, которая ап-
аппроксимирует систему уравнений [39, 167, 285]
(t}
О4.1.7)
K(t,s) = f
f@±EI «И* ,
JV *-x l + (*-t)-*
B4.1.8)
Уравнение B4.1.8) имеет единственное решение, так как является
уравнением Вольтерра второго рода. В работе [167] доказана схо-
сходимость решения системы B4.1.6) к решению y[xf t), 5{t) си-
системы интегральных уравненийB4.1.7) и B4.1.8).
24.2. Нелинейная нестационарная задача для профиля
Будем рассматривать обтекание простого кусочно-гладкого
контура L, который может быть разомкнутым или замкнутым.
Так как рассматривается обтекание идеальной жидкостью, то мес-
места схода вихревых пелен будем считать фиксированными в неко-
некоторых его угловых точках (включая, возможно, и его концы).
Пусть это будут точки М*,...,Мр. Моделировать обтекаемый
контур L будем вихревым слоем.
Так как для линейной нестационарной задачи доказана гипо-
гипотеза Чаплыгина—Жуковского—Кутта (Ч.-Ж.-К.) [167, 218] —
присоединенный вихревой слой на обтекаемом контуре обращает-
обращается в нуль при подходе к точке, с которой сходит вихревая пелена
свободных вихрей—то будем считать, что эта гипотеза выполняет-
выполняется и в нелинейной нестационарной задаче. В силу этого контур L
будем заменять системой дискретных вихрей так, чтобы все угло-
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ
487
вые точки (а, следовательно, и точки M*,...,Ml) были бы точ-
точками расположения дискретных вихрей. Дискретные вихри, рас-
располагаемые в точках М*,...,Мр, будем считать свободными. Рас-
Рассматриваемую нестационарную задачу будем дискретизировать не
только по пространству, но и по времени. Пусть шаг по времени
будет Ат . Тогда в целом расчетная схема для нелинейной нестацио-
нестационарной задачи будет выглядеть следующим образом (рис.24.1).
В первый расчетный мо-
момент дискретные вихри рас-
располагаются только на конту-
контуре и их интенсивности неиз-
неизвестны. Выполняя условие
непротекания в расчетных
точках (которых на единицу
меньше, чем неизвестных
дискретных вихрей, если
контур простой разомкнутый
(рис.24.1, а) и которых
столько же, сколько дискрет-
дискретных вихрей, если контур по-
постой замкнутый (рис.24.1,
б)) и добавляя условие
Томпсона, получим систему
линейных алгебраических
уравнений (добавляя регуля-
ризирующую переменную,
если контур простой замкну-
замкнутый, чтобы число уравнений
и число неизвестных в систе-
системе линейных уравнений было
Рис. 24.1. Дискретная вихревая структура
по временным расчетным шагам для
пластинки с задней кромкой (а); для
квадрата и схода вихревых пелен со всех
углов (б); о—свободные дискретные вихри
одинаково), из решения которой найдем интенсивности дискрет-
дискретных вихрей на контуре.
Во второй расчетный момент свободные дискретные вихри
(располагающиеся в точках М*,...,Мр) сдвигаются в поток по
местной скорости v на величину |а|Дт без изменения своей цир-
циркуляции, которая уже известна. Таким образом, во второй расчет-
расчетный момент дискретные вихри неизвестной интенсивности распо-
располагаются на контуре и по одному дискретному свободному вихрю
известной интенсивности располагается вблизи каждой из точек
М*,...,Мр. Опять выполняя условие непротекания в расчетных
488 и Глава 24
точках и добавляя условие Томпсона, получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных циркуляции
дискретных вихрей на контуре, решая которую и найдем эти не-
неизвестные величины.
В третий расчетный момент опять все свободные дискретные
вихри сдвигаются по местной скорости v на величину \v\Ax, а на
контуре располагаются опять дискретные вихри неизвестной ин-
интенсивности, и весь вычислительный процесс повторяется. Такой
процесс повторяется до тех пор, пока не будут достигнуты жела-
желаемые результаты.
Для написания конкретного алгоритма введем следующие
обозначения. Через Г1Г, г = 1,...,/г, обозначим циркуляции дис-
дискретных вихрей на контуре вг-й расчетный момент, а через AV5,
v = 1,..., /?, s = 1,..., г - 1 — циркуляции свободных дискретных
вихрей, располагавшихся в точках М*,...,Мр, соответственно, в
5-й расчетный момент (Avs = Г^5, i = k\,...,kp где k\,...,kp —
номера дискретных вихрей на контуре, располагающихся в точках
М*,...,Мр в момент s). Тогда из условия непротекания контура в
расчетных точках и условия Томпсона о сохранении циркуляции
по жидкому контуру, охватывающему контур и след, получаем
следующую систему линейных алгебраических уравнений
п р г-\
rt^i = ~Uo(MOj) "Mo, - ZSAv* • <»;vs >
v=ls=l
i=l v=ls=i
где т]^ = 0, если,контур L—простой разомкнутый, и r\i = 1, если
L —простой замкнутый, со^ —нормальная составляющая скорости
V^ от дискретного вихря интенсивности единица, расположенного
в точке Mi на контуре L в расчетной точке MQj-, а ю^"
нормальная составляющая скорости V^ в той же точке Mqj от
свободного дискретного вихря интенсивности единица, располо-
расположенного в точке MyS в r-й расчетный момент, сошедшего с точки
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ
489
М*в s-н расчетный момент, s = 1,2,...,г-1. Для нахождения ра-
радиуса-вектора тмт точки Mjs получаем уравнение
i=l
:>"+is
r =
При этом предполагаем, что дискретный вихрь в точке своего
расположения индуцирует нулевую скорость.
Из рассуждений для бесциркуляционного обтекания контура
следует, что система B4.2.1) невырождена для любого г = 1,2,...
Если предположить, что след также является кусочной-
гладкой кривой, а распределенная интенсивность вихревого слоя
на нем принадлежит классу Н* на кривой расположения следа,
то тогда система B4.2.1) аппроксимирует при At -> 0, п~>со
(? —фиксировано) систему интегральных уравнений (8.2.3) и
(8.2.4), а система B4.2.2) —дифференциальное уравнение (8.2.1).
Однако строгих математических доказательств этих утверждений
о структуре следа, о поведении распределенной интенсивности
вихревого следа нет, также, как нет никаких математических до-
доказательств сходимости численного решения рассматриваемой за-
задачи к точному (если оно существует). Любое продвижение тео-
теории в этих вопросах было бы очень интересным и полезным. На-
Надежду на то, что такое продвижение теории возможно, дает об-
обширный численный эксперимент, проведенный многими исследо-
исследователями [18, 32, 39, 40, 42, 444, 45, 284, 285, 304, 319, 320].
Приведем теперь некоторые результаты, полученные на
основе описанной в данном параграфе математической модели.
Рис. 24.2. Симметричное нестационарное отрывное обтекание
квадрата (начальный период обтекания)
490
Глава 24
Рис. 24.3. Несимметричное нестационарное отрывное обтекание квадрата
/77777777/77777777/ 7777777777777777777 7777777777777777777
о
2 4
2
Рис. 24.4. Поле скоростей в случае нестационарного обтекания здания.
и соответствуют Т =0.5(а); Т =2.5F); Т =5.0(в);
изменение скорости потока в порыве (г).
На рис.24.2 и 24.3 представлено поле скоростей течения во-
вокруг неподвижного квадрата при симметричном (рис.24.2) и не-
несимметричном (рис.24.3) отрывном обтекании [285].
На рис. 24.4 представлено поле скоростей течения вокруг
здания в моменты времени т = 0,5; 2,5; 5,0.
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ
V
491
1
А
В
'о
о
о
^*-
о
В
I) L
о
1
1
С
ш
к
с
р
-2
А
1
Рис. 24.6. Распределение давления по по-
поверхности ромба: сплошная линия —
вычисленные значения и о—
экспериментальные данные [105]
Рис. 24.5. Распределение давления по
поверхности квадрата: сплошная ли-
линия—вычисленные результаты, • —
показывает экспериментальные дан-
данные [244] и о — экспериментальные
данные [105]
На рис.24.5 и 24.6 представлены распределения давления по по-
поверхностям квадрата и ромба, соотвественно.
24.3. Пространственная нелинейная нестационарная задача
Будем рассматривать теперь обтекание простой кусочно-
гладкой поверхности с, которая может быть разомкнутой или
замкнутой. Предполагаем, что вихревой след сходит с некоторой
кривой L на этой поверхности а, в точках которой происходит
нарушение гладкости (Z, может содержать и часть границы по-
поверхности а, если она разомкнута см. рис.6.1. и 9.1).
Заменим вихревой слой, моделирующий обтекаемую поверх-
поверхность и след, системой дискретных замкнутых четырехугольных и
треугольных (как, например, в полюсах сферы, см. рис.23.6, а)
вихревых рамок. Причем все кривые нарушения гладкости по-
поверхности а (т.е. и кривая L) должны являться линиями распо-
расположения сторон вихревых рамок.
Рис. 24.7. Получение первой сдви-
сдвинутой в поток дискретной вихревой
рамки
Рис. 24.8. Поле скоростей потока около куба
в плоскости OXY для т =6.
492
Глава 24
Рис. 24.9. Зависимость от Т коэффициента сопротивления Сх для куба
Стороны вихревых рамок, лежащих на поверхности сив
следе и примыкающих к кривой L, должны совпадать (см.
рис.23.8 и 23.9). В каждой из вихревых рамок на поверхности ст
выбираем по одной расчетной точке. Задача дискретизируется по
пространству и времени, как и в плоском случае.
В первый расчетный момент вихревые рамки располагаются
только на обтекаемой поверхности а . Выполняя условие непроте-
непротекания в расчетных точках, составляем систему линейных алгеб-
алгебраических уравнений для нахождения неизвестных циркуляции
рамок так, как это делалось в § 23.4 . Решив эту систему, найдем
эти циркуляции.
Во второй расчетный момент с каждого вихревого отрезка на
кривой L сходит в поток по местной скорости вихревая рамка,
интенсивность которой выражается через найденные на первом
шаге интенсивности вихревых рамок на поверхности с также,
как это делалось в пространственной линейной стационарной за-
задаче (см. § 23.5). Сдвиг рамки производится следующим образом.
В концах вихревого отрезка на L вычисляем скорость v по-
потока и сдвигаем точки, совпадающие с концами этого отрезка, по
направлению этой скорости на величину \v\At. Эти две сдвинутые
точки и две исходные точки являются вершинами сдвинутой рам-
рамки (см. рис. 24.7). На поверхности с берем ту же систему дис-
дискретных замкнутых вихревых рамок, но уже опять неизвестной
интенсивности. Выполняем опять условие непротекания в расчет-
расчетных точках с учетом свободных вихревых рамок известной интен-
интенсивности, находящихся вне поверхности а, получаем систему ли-
линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных
интенсивностей.
В начале третьего расчетного шага сдвигаем все свободные
вихревые рамки (их вершины) по местной скорости а на величи-
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ 423
ну \v\At и с каждого вихревого отрезка на L опять сдвигаем в по-
поток новые свободные вихревые рамки и т.д.
В качестве демонстрации изложенного подхода исследовалось
[8, 285] обтекание куба в случае, когда вектор скорости невозму-
невозмущенного потока v о нормален к одной из граней куба, а отрыв по-
потока происходит со всех его ребер. Расчет выполнялся с интерва-
интервалом безразмерного времени х = 0,25 . Результаты расчетов приве-
приведены на рис.9.1, 24.8, 24.9. На рис.24.10 —24.12 приведены ре-
результаты расчета обтекания конуса.
/.,-8 /-,-14
V t
2.0 _
1.0-
0.0
-1.0-
-2.0-
е = ю°
^2rJ 0.5 Lf"
?,=81,2= 14//
t,-«W
0.75 N
Рис. 24.10.Распределение давления вдоль сечения конуса плоскостью,
проходящей через ось симметрии (продольное сечение), при
бесциркуляционном осесимметричном обтекании. Ц(ь2) —число
продольных (поперечных) сечений конуса, 6 —полураствор конуса
Рис. 24.11. Пример построения вихревой пелены за конусом
при нестационарном осесимметричном обтекании
494
Глава 24
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 t
Рис. 24.12. Распределение давления вдоль продольного сечения при нестационарном
осесимметричном обтекании (т«&5) и сх в зависимости от т
24.4. Вопросы регуляризации в методе дискретных вихрей и
численном решении сингулярных интегральных уравнений
При рассмотрении сингулярных интегралов часто возникает
ситуация, когда плотность интеграла известна неточно. Это про-
происходит в случае, когда плотность получена измерением (ошибки
измерения) или при помощи каких-то вычислений (погрешности
вычислений). Хорошо известно [250], что операция вычисления
регулярных интегралов является устойчивой во всех наиболее
употребительных метриках, т.е малым изменениям плотности ре-
регулярного интеграла соответствуют малые изменения интеграла.
В работах [174, 263] показано, что сингулярные интегралы,
а, следовательно, и уравнения с ними, устойчивы в метрике 1,2
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ 42S
с соответствующим весом на данной кривой. С другой стороны,
Н.Н. Лузин в [174] построил пример такой функции /"(в),
п
J f{Q)dQ = 0 , которая непрерывна на [-тс, тс], имеет ограниченное
-я
изменение, а функция
l*<^* B4.4.1)
2% о 2
на всюду плотном в [~тс, я] множестве имеет бесконечные разрывы.-
Из этого примера следует, что сингулярные интегралы не-
неустойчивы в равномерной метрике, т.е. если f{%) является непре-
непрерывной функцией, мало отличающейся в равномерной метрике от
нуля, то у(8) может отличаться от нуля в этой метрике на сколь
угодно большую величину. Причем это справедливо для сингу-
сингулярных интегралов по любым кусочно-гладким кривым [39, 285].
Решения сингулярных интегральных уравнений выражаются
через сингулярные интегралы, и поэтому эти решения также не-
неустойчивы в равномерной метрике. В практических же задачах,
как правило, приходится численно решать сингулярные инте-
интегральные уравнения, у которых правые части и регулярные ядра
известны приближенно в равномерной метрике. Поэтому методы
численного решения этих уравнений должны быть устойчивы в
равномерной метрике ( так как практически требуется сравнивать
результаты в основном в этой метрике ). Такие решения можно
строить методом регуляризации по А.Н.Тихонову [250].
В.П.Маслов показал, что некоторая модификация регуляризации
А.Н.Тихонова, разработанная им для ограниченных операторов,
применима и к сингулярным интегральным операторам, являю-
являющимся неограниченными операторами в равномерной метрике С.
Однако разумное использование особенности в ядрах сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений позволяет применить наиболее про-
простой способ регуляризации численного решения, не использующий
явного построения регуляризирующего оператора. Впервые идея
такой регуляризации применительно к интегральным уравнениям
1-го рода с логарифмической особенностью была использована в
работах А.Н.Тихонова, В.И.Дмитриева и Е.В.Захарова [118, 249],
названная ими естественной регуляризацией или методом саморегу-
саморегуляризации. Потом было доказано [9, 39, 153, 178, 179, 285], что
метод дискретных вихрей как метод численного решения сингу-
сингулярных интегральных уравнений и его обобщения, изложенные в
предыдущих главах, также являются методом саморегуляризации
496 Глава 24
(естественной регуляризацией). Причем регуляризация получает-
получается за счет использования двух сеток, специальным образом распо-
расположенных относительно друг друга. Параметром регуляризации
является число п уравнений в системе линейных алгебраических
уравнений, которой заменяется исходное сингулярное интеграль-
интегральное уравнение.
Упомянутые доказательства о саморегуляризации проведены
для стационарных задач обтекания профиля. В нестационарных
задачах для профиля пока таких математических доказательств
нет. Более того, в нелинейной нестационарной задаче для того,
чтобы решение сходилось в численном эксперименте, приходится
учитывать следующую особенность этой задачи [32, 39, 285]. Из
формулы B1.2.14) следует, что при приближении точки к вихре-
вихревой нити, индуцируемые в ней скорости стремятся к бесконечно
большим значениям. В нелинейной нестационарной задаче такой
случай может встретиться. При этом решение на некотором отрез-
отрезке времени т может принять осцилирующий характер. Для сни-
снижения этих осциляций приходится искусственно ограничивать
скорости вблизи оси вихря.
Один из наиболее простых и удобных способов регуляриза-
регуляризации расчетов заключается в следующем. Пусть 8 —наименьшее
расстояние от расчетных точек до дискретных вихрей на профиле
(схема расположения расчетных точек и дискретных вихрей на
профиле может быть и не равномерной). Для выбранной вихре-
вихревой системы нельзя претендовать на правильное определение поля
скоростей внутри малого интервала 8 от оси вихря. Поэтому,
когда свободные вихри в процессе численного расчета подходят
друг к другу ближе, чем интервал 8 , на возмущенные скорости
следует ввести ограничения. Из формулы B1.1.1) следует, что на
оси вихревой нити возмущенные ею скорости равны нулю. Поэто-
Поэтому внутри окружности с центром на оси вихря и радиусом 8 поле
скоростей следует определять линейной интерполяцией между
значениями скорости на этой окружности и на оси вихря или про-
просто полагать равным нулю.
Расчеты показали, что в ряде случаев свободные вихри
"проскакивают" сквозь поверхность профиля, что является след-
следствием дискретности схемы по координатам и времени. Ликвиди-
Ликвидировать этот недостаток схемы удалось введением условия, соглас-
согласно которому "проскочивший" свободный вихрь на следующем ша-
шаге возвращается в первоначальное или близкое к нему положение.
Перечисленные приемы вычислений позволяют добиться устойчи-
устойчивых расчетов [32, 39, 285]. Математическое обоснование этих рас-
расчетов является пока нерешенной проблемой.
Глава 25
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В гл. 22 — 24 был изложен метод дискретных вихрей числен-
численного решения задач аэрогидродинамики — метод численного реше-
решения соответствующих сингулярных интегральных уравнений, ког-
когда неизвестные величины в соответствующих системах линейных
алгебраических уравнений трактуются как дискретные вихревые
особенности. Такая трактовка позволила построить метод дис-
дискретных вихрей численного решения нелинейных стационарных и
нестационарных задач аэрогидродинамики, в которых пока нет
соответствующих математических исследований вопросов един-
единственности, существования, сходимости. Поэтому целесообразно и
в других предметных областях (электростатика, дифракция элек-
электромагнитных волн, упругость) построить численные методы, в
которых неизвестные величины имели бы соответствующую физи-
физическую трактовку (дискретные заряды, токи, силы и т.д.). Такие
численные методы будем называть методами дискретных особен-
особенностей.
25.1. Плоская основная задача электростатики
В плоскости OXY имеется система гладких простых контуров
ст? , k = l,...,m (см. § 10.1), имеющих параметрическое представ-
представление xk =xk(tk), yk =yk{tk), tk e[ak'bk]> к -Длина дуги на
<j? , k = l,...,m . Будем считать, что первые Ш\ контуров являются
замкнутыми. Через <7fc=<7fc(^fc)> ^k e^k* обозначим поверх-
поверхностную плотность распределения зарядов на контуре ог^,
k = l,...,m , а через Q^ (см. A0.1.1))—полный заряд k-то конту-
контура. Функции qk(Mk) надо найти, а числа Q^ —заданы,
й = 1,...,»2. Эта задача сведена в § 10.1 к решению системы
A0.1.9) сингулярных интегральных уравнений при условиях
A0.1.1), выделяющих единственное решение этой системы.
Метод дискретных особенностей для этой задачи строится
следующим образом. На контуре а^ берем систему точек М^к ,
z'fc = 1,-.,#?, разбивающих его на равные по длине дуги (если
Gk —разомкнут, то М^\ и Мкп являются его концевыми точка-
498 Глава 25
ми). Средины этих дуг обозначим через M^oj. t jk = 1,---,Щ,
fc = l,...,mi, j'k = \,...,щ -1, k = гп\ + l,...,m. В точках М^ по-
поместим дискретные заряды Q^ x неизвестной величины, а условие
равенства нулю касательной составляющей вектора напряжен-
напряженности электростатического поля будем выполнять в точках
Mk,0jk • Тогда для определения неизвестных Qk,ik > Ч =1> •••>#&,
Л = 1,...,»г, надо рассмотреть следующую систему линейных ал-
алгебраических уравнений
т nk
OХГ 0 h =
т
^LQP,ip=Qp> р=т\+%.~,т, B5.1.1)
где ypfin у р= l,...,mj—регуляризирующие переменные, а
касательная составляющая вектора напряженности электростати-
электростатического поля в точке М«о/ » созданного зарядом единичной ве-
величины, помещенным в точке М^ л .
Результаты гл. 17 гарантируют сходимость решения системы
B5.1.1) к решению системы интегральных уравнений A0.1.10),
A0.1.11), дополненных условиями A0.1.1), в точках М&д/. >
k = l,...,mi, jk = l,...,nk Yik = mx +l,...,m, jk =\,...,nk -1.
25.2. Задачи из плоской теории упругости и теории штампов
Так как плоская задача упругости в § 12.1 была сведена к
интегральному уравнению первого рода с ядром Гильберта, то для
численного решения этого уравнения применим метод, развитый в
§ 17.5. Применение численного метода продемонстрируем на при-
примере уравнения A2.1.10), дополненного условиями A2.1.11),
A2.1.16)-A2.1.18), полагая ? = 2, т.е. as& = -l. Для этого за-
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ 499
пишем уравнение A2.1.10) и условие A2.1.16), выделив действи-
действительную и мнимую части. Получим систему уравнений
2г Г 6-9 1
J ©л(в) ctg——± - sin(e + в0) Ив +
о L J
In
+ \®i cos(e + eo)rfe = 2тс/}(е0),
0
2%
B5.2.1)
fa>Ltg^Y± + sin
0 L
2я 2тс
inF + 80)~U = 2nfR(Q0),
J
= 0, j(oT(e)de = 0 .
о о
2tc
J[a> л(в) sin(e) - ш 7 cos(e)]rfe = о,
0
где нижним индексом R обозначена действительная часть соответ-
соответствующей функции, а индексом /—мнимая.
Предположим вначале, что функции /"#F) и //(в) принад-
принадлежат классу Н на [0,2тс]. Возьмем точки 0^ и Gq^ , г = 1,...,'я,
такие же, как в теореме 17.5.1. Заменим теперь систему B5.2.1)
интегральных уравнений следующей системой линейных алгеб-
алгебраических уравнений
|СОВв0у=2я/>(в0у)|
32*
500 Глава 25
Рз sin60;- = -2nfR(e0j), j = l,.
= О . B5.2.2)
Здесь Pi, P2 > Рз ~~ регуляризирующие переменные, которые
делают эту систему совместной и невырожденной. При этом р^,
Р2 и Рз стремятся к нулю при п -> оо тогда и только тогда, когда
выполняются условия A2.1.17) и A2.1.18). Действительно, про-
просуммировав первые п уравнений в системе B5.2.2), а потом вто-
вторые п уравнений, получим
р1+а1р3=сс2, р2+азРз = а4, • B5.2.3)
где оц -> 0 при п -> оо, i = 1,2,3,4 . Если теперь первые п уравне-
уравнений умножить на cos9oy, / = 1,...,я, соответственно, а вторые п
уравнений—на sin6oy, / = 1,...,я, и просуммировать все 2п урав-
уравнений, то с учетом условия A2.1.18) получим
<*5Pl + <*6р2 + A + <*?)Рз = <*8. B5.2.4)
где а^ -> 0 при п -> оо, i = 5,6,7,8 .
Из системы уравнений B5.2.3) и B5.2.4) следует сделанное
выше утверждение относительно Pj,p2 и Рз .
Заметим, что регуляризирующие переменные можно вводить и
другими способами, но чтобы выполнялось условие их стремления к
нулю при п -» оо и чтобы система при этом была невырожденной.
Например, можно взять в первых п уравнений Р|, 6оур2 и боуРз у а
/) Рз -
в последующих п уравнениях— р|, \2п + 9оу)Р2 и
В задаче о нагружении сосредоточенными силами, равномер-
равномерно расположенными на окружности, функции //?(б) и //(б) в
точках расположения сил имеют разрывы первого рода. В этом
случае 0t- и боу выбираются так, чтобы точки разрыва являлись
расчетными точками боу и в них берется среднее арифметическое
односторонних пределов для /#(б) и //(в).
Если область имеет оси симметрии, то систему интегральных
уравнений B5.2.1) можно преобразовывать в систему сингулярных
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ 501
интегральных уравнений первого рода на отрезке. При этом часп>
или все интегральные условия на о будут удовлетворены. При чис-
численном решении этой системы на отрезке надо иаюльзовать резуль-
результаты §§ 17.1 — 17.3, причем выбор точек множества Е и Eq надо осу-
осуществлять в каждом уравнении по отношению к той искомой функ-
функции, относительно которой это уравнение сингулярно.
0.3
0.0
-0.3
47"
У \
' 3*/2
??100%
3
2
0.3
0.0
-0.3
.'! I. «i _*.
75
30
i\*
v
— к
30
Рис. 25.1. Вычисленные значения
функций <oR и coj для случая круга,
нагруженного двумя сосредоточенны-
сосредоточенными сбалансированными силами сжатия
Рис. 25.2. Вычисленные значения
функций со я и со 7 для случая трех
сосредоточенных сбалансированных
растягивающих сил
Таким образом, в общем случае для g>r и Ш/ надо брать свои
множества точек 0t- и 0Оу. Примеры численного решения системы
B5.2.2) при различных нагрузках даны на рис. 25.1 и 25.2.
Во всех случаях получен устойчивый счет и хорошая сходи-
сходимость при порядке системы N от 30 до ПО. Это подтверждается
также сравнением с точными решениями.
Аналогичным образом решаются задачи для любых одно-
связных и многосвязных областей, у которых контур состоит иа-
конечного числа замкнутых ляпуновских кривых. Для решения
надо знать только параметрическое задание контура области.
К решению сингулярного интегрального уравнения второго
рода на отрезке A2.3.6) с постоянными коэффициентами с до-
дополнительным условием A2.3.7) сводится задача о вдавливании
пары равномерно движущихся штампов в упругую полосу. Как
было показано в § 2.3, решение сингулярного интегрального
уравнения A2.3.6) может иметь особенность на концах интервала
(-1,1) следующего типа
502 Глава 25
где ср(^) —ограниченная функция, а число а определяется соот-
соотношением
peo + ctg7ia=O, 0>а>-1. B5.2.6)
Сингулярное интегральное уравнение A2.3.6) численно бу-
будем решать так, как показано в § 19.1, т.е. от этого уравнения пе-
перейдем к системе линейных алгебраических уравнений относи-
относительно значений функции <р(?) в соответствующих узлах:
B5.2.7)
Здесь tjf i = 1,...,я — корни многочлена Якоби Р?а' D) >
а Sj, j = 1,...,я - 1 —корни многочлена /^1^' (§)» Фг = ф(^) >
я,- в данном случае можно записать в виде
p(-a,l+a)/ ч
«i = ,* ^ ,(tt), г = 1,..,п, B5.2.8)
так как [21, 301]
Ф+a+р+^-Г^и • B529)
Для численных расчетов брались следующие значения кон-
констант: число точек п = 10, коэффициент Пуассона материала по-
полосы v = 0,31, коэффициент трения р = 0,27, а для отношения
скорости движения штампа к скорости распространения волн
Рэлея Vq/C2 и отношения ширины полосы к длине зоны контакта
dja бралось по несколько значений и в зависимости от них ис-
исследовалось распределение контактного напряжения. На рис.25.3,
25.4 (VQ/C2 =0,5; l-d/tf = l,5; 2-d/a = 3; 3 - d/a = 24 ) пред-
представлены графики контактного давления и функции <р(?). Значе-
Значения <р(-1) и <р(+1) представляют собой коэффициенты концентра-
концентрации напряжений, и из графиков рис.25.4 замечаем, что с увеличе-
увеличением толщины полосы коэффициенты концентрации напряжений
возрастают. Кроме того, замечаем, что при d/a = 24 функция
ф(^) почти совпадает с прямой, т.е. с решением аналогичной за-
задачи для упругой полуплоскости. Следовательно, для упругих
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ 503
полос, толщина которых превышает длину зоны контакта более,
чем в 25 раз, взаимодействием штампов можно пренебречь.
Следует отметить также, что величина d/a, выше которой
можно пренебречь влиянием второго штампа, зависит, хотя и не-
несущественно, от скорости движения штампа, и чем больше ско-
скорость, тем больше и эта критическая величина. На рис.25.5
(d/a = 100; 1- VQ/C2 = 0,01; 2-F0/C2=0,2; 3-V0/C2 )
представлены графики распределения контактного давления.
-1
-0.5
0.5
Рис. 25.3. Распределение тепла, вытекающего в полуплоскость
(сплошная линия) и в штамп (пунктирная линия) для уо/с2=0.5
Рис. 25.4. Распределение контактных давлений и их регулярных частей
для различных скоростей штампа: 1 — <//а=1.5 ; 2 — d/a-З; 3 — с//д=24
504
Глава 25
Рис. 25.5. Распределение контактных давлений и их регулярных частей
для различных скоростей штампа d/a=\00 :
1 ~ vo/c2=o.oi; 2- vo/Ci « о.2 ; 3- уо/Сз = 0.9
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абдулове С.К., Васильев В.Б. Об одной кубатурной формуле для многомер-
многомерного сингулярного интеграла по ограниченной м-мерной области // Докл.
АН Азерб.ССр.-1983.-т.39, №11.-с. 16-20
2. Абрамов Б.Д., Матвеев А.Ф. О редукции краевых задач теории переноса
нейтронов к сингулярным интегральным уравнениям. — Препринт ИТЭФ.—
М.-1987.-№46.-32 с.
3. Абрамовиц И., Стиган И. Справочник по специальным функциям. —М.:
Наука, 1979.-832 с.
4. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромаг-
электромагнитных волн на плоских металлических решетках // ЖТФ. —1962.—т. 32,
вып.4.-с.382-394
5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа. — М.: Наука, 1978.—353 с.
6. Александров В.М., Бабешко В.А. и др. Расчет термоупругих контактных дав-
давлений в подшипниках с полимерным покрытием. —В кн.: Контактные задачи
и их инженерные приложения. М.: Изд.НИИ маш., 1969.—с.78-85
7. Александров В.М., Сметания Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы на-
напряжений в упругих телах. —М.: Наука, 1993. —224 с.
8. Апаринов В.А., Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Михайлов А.А. Расчет
нестационарных аэродинамических характеристик тел при отрывном обтека-
обтекании // ЖВМ и МФ.-1988.-Т.24, № 1.-е. 1558-1566
9. Арсения В.Я., Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Об од-
одном способе регуляризации сингулярных интегральных уравнений первого
рода // Дифференциальные уравнения—1985. —т. 21, №3.—с.455-464
10. Афендикова Н.Г., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. К численному решению
сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта.—
Препринт / ИТЭФ-М.-1986.-№73.-21 с.
11. Афендикова Н.Г., Лифанов И. К. О сингулярном интегральном уравнении
второго рода с кратными интегралами типа Коши // Изв. вузов сер. Мате-
Математика. -1986. - №8. - с.3-9
12. Афендикова Н.Г. О численном решении сингулярных интегральных уравне-
уравнений. Канд. дисс., Москва, 1986.—99 с.
13. Афендикова Н.Г., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. О приближенном решении
сингулярных интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. —1987. —
т.ХХШ, №8.-с. 1392-1402
14. Афендикова Н.Г. Численное решение сингулярного интегрального уравнения
первого рода с кратным интегралом с ядрами Гильберта. // Известия вузов.
Математика. -1988. -№3. -с.3-8
15. Ахиезер Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов
// Изв. АН СССР. Математика-1945.-т.9.-с. 275-290
16. Бабаев А.А., Садырханов Р.С. Об одном квадратурном процессе для особого
интеграла и его приложения // Докл. АН СССР. —1974. —т.214.—с. 743-746
17. Бабенко К.И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // УМН. —1986.
т.41 №1.-с.743-746
18. Бабкин В.И., Белоцерковский СМ., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и не-
несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989, 208 с.
19. Бадеева В., Морозов В.А. Алгоритмы быстрого и ускоренного решения неко-
некоторых специальных систем линейных алгебраических уравнений // Числен-
Численный анализ на ФОРТРАНе. Вып. 20.-М.: МГУ, 1977.-С.80-88
20. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. —М.:
Наука, 1987.-600 с.
33-2775
506 ЛИТЕРАТУРА
21. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие транцендентные функции,
т. И.-М.: Наука, 1966.-296 с.
22. Белокопытова Л.В., Филыитинский Л. А. Двумерная краевая задача элек-
электроупругости для пьезоэлектрической среды с разрезами // —ПММ. —1979,
43, МЬ1.-с.138-143
23. Белоносов СМ., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье-
Стокса.-М.: Наука, 1985. -312 с.
24. Белоцерковский О.М., Белоцерковский СМ., Давыдов Ю.М., Ништ М.И.
Моделирование отрывных течений на ЭВМ. —М.: 1984. —122 с.
25. Белоцерковский СМ. Подковообразный вихрь при неустановившемся движе-
движении // ПММ.-1955. -т. XIX, вып.2.-с. 159-164
26. Белоцерковский СМ. Пространственное неустановившееся движение несущей
поверхности // ПММ.-1955.-Т. XIX, вып. 4.-С.410-420
27. Белои/ерковский СМ. Исследования по аэродинамике современных несущих
поверхностей. Дис. д-ра техн.наук. — М.: 1955
28. Белои/ерковский СМ. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке га-
за.-М.: Наука, 1965.-244 с.
29. Белоцерковский СМ. Расчет обтекания крыльев произвольной формы в плане в
широком диапазоне углов атаки // Изв. АН СССР, МЖГ.-1968.-№ 4
30. Белоцерковский СМ., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационар-
нестационарном потоке газа. —М.: Наука, 1971. —768 с.
31. Белоцерковский СМ., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летатель-
летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. —М.: Наука, 1975.—424 с.
32. Белоцерковский СМ., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тон-
тонких крыльев идеальной жидкостью. —М.: Наука. 1978. 352 с.
33. Белоцерковский СМ., Лифанов Ц.К., Ништ М.И. Метод дискретных вих-
вихрей в задачах аэродинамики и теория многомерных сингулярных интеграль-
интегральных уравнений //VI Международная конференция по численным методам в
гидродинамике. Сборник докладов. Тбилиси, —1978.—с. 30-34
34. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные
уравнения аэродинамики//Дифференц. уравнения. —1981. —т. XVII, № 9.—
с. 1539-1547
35. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К. О регуляризации численного решения
сингулярных интегральных уравнений и нелинейных задач аэродинамики //
Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложе-
приложения.-Новосибирск, 1978.-с. 173-179
36. Белоцерковский СМ. О методологии создания, проверки достоверности и
применения математических моделей в авиации // В кн.: Вопросы киберне-
кибернетики. Проблемы создания и применения математических моделей. —М.:
1983.-с. 3-20
37. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Солдатов М.М. Метод дискретных
особенностей в плоских задачах теории упругости // ПММ. —1988. — т.47,
вып. 5.-С.781-789
38. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Солдатов М.М. К численному реше-
решению задач теории упругости // ДАН СССР.-1984.-т.277, № 2.-C.323-327
39. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных ин-
интегральных уравнениях. —М.: Наука, 1985. —256 с.
40. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Михайлов А.А. Моделирование на
ЭВМ отрывного обтекания профилей с угловыми точками // ДАН СССР.—
1985.-t.285, № 6.-с. 1348-1352
41. Белоцерковский СМ. К созданию замкнутых моделей турбулентности при
отрывном обтекании тел и истечении струй // Труды ВВИА им.
Н.Е.Жуковского.-вып. 1313-1986.-с.3-27
42. Белоцерковский СМ., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследова-
Исследование парашютов и дельтопланов на ЭВМ. —М.: Машиностроение, 1987. —240 с.
ЛИТЕРАТУРА 5QZ
43. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Солдатов М.М. Метод дискретных
особенностей в плоских задачах теории упругости с негладкой границей //
ПММ.-1987.-Т.51, вып.2.-с.283-291
44. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Михайлов А. А. Расчет бесциркулярно-
бесциркулярного обтекания произвольных тел // Ученые записки ЦАГИ.--1987. —т.XVIII,
Nb5.-c.l-10
45. Белоцерковский СМ., Котовский В.Н.У Ништ М.И., Федоров P.M. Матема-
Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. — М.:
Наука.-1988, 232 с.
46. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1,11.-М,: Наука, 1962
47. Бисплингхофф Р.Л., Эгили X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. —М.: Ил,
1958.-800 с.
48. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. —М.:
Наука, 1981.-448 с.
49. Бойков И. В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на классах
дифференцируемых функций // Оптимальные методы вычислений и их
применение. —Пенза, 1985.-е. 3-13
50. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчис-
исчисления.—Харьков.: Высш. школа, 1986.—216 с.
51. Брычков Ю.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных
функций.-М.: Наука, 1977.-288 с.
52. Бушуев В.И., Лифанов И.К. К расчету аэродинамических характеристик ле-
летательного аппарата со струйно-эжекторной механизацией // Труды .XVII
чтений К.Э.Циалковского, Секция "Авиация и воздухоплавание". —М.:,
1983.-С.32-37
53. Бушуев В.И., Лифанов И.К. Численное решение сингулярных интегральных
уравнений в классе сингулярных функций и задача отсоса потока в аэродина-
аэродинамике // ЖВМ и МФ.-1986.-№10.-1572-1577
54. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракций. —М.: Наука,
1982.-272 с.
55. Васильев В.Б. Кубатурная формула для многомерного сингулярного инте-
интеграла и приближенное решение многомерных сингулярных интегральных
уравнений. Канд.диссерт. — Баку, 1985. —123 с.
56. Васильев Е. Возбуждение тел вращения. —М.: Наука, 1987. —271 с.
57. Владимиров В. С Уравнения математической физики.—М.: Наука. 1976.—528 с.
58. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. —М.: Наука,
1976.-320 с.
59. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.—М.: Наука, 1984.—296 с.
60. Воеводин В. В. Математические модели и методы в параллельных процес-
процессах.-М.: Наука, 1986. -296 с.
61. Воеводин В.В., Свешников А.Г., Тыртпышников Е.Е. Эффективный числен-
численный метод решения интегрального уравнения II рода в задачах электродина-
электродинамики // Вестник МГУ. Вычислит, и киберн.-1980.->й 1.-е. 14-26
62. Воеводин В.В., Тыртпышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми
матрицами. —М.: Наука, 1987. —320 с.
63. Вопросы кибернетики. Численный эксперимент в прикладной аэрогидродина-
аэрогидродинамике. -М.. 1986.-184 с.
64. Вопросы нестационарной аэродинамики. ВВИА. —1970, вып. 1286.—347 с.
65. Вычислительная гидромеханика и теплообмен, т.1. —М.: Мир, 1990, 384 с.
66. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р.Митры —М.: Мир,
1977.-485 с.
67. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений
методом механических квадратур//Дан СССР. -1968. -179, Jsfe2.-c. 260-263
68. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегра-
интегралов, 1//Труды Ин-та математики Болгар. АН-София, 1970,-т.11.-е. 181-196
33*
508 ЛИТЕРАТУРА
69. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравне-
уравнений, II // Известия вузов. Математика. —1971. —№12.—с.28-38
70. Габдулхаев Б.Г., Душков П.Н. О прямых методах решения сингулярных ин-
интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика. —1973.—
№7.-с.12-24
71. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных инте-
интегралов // Изв. вузов. Математика. — 1975.— №4.—с.3-13
72. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение многомерных сингулярных инте-
интегральных уравнений, I // Изв. вузов. Математика. — 1975. — №7.— с.30-41
73. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение многомерных сингулярных инте-
интегральных уравнений, II // Изв. вузов. Математика. — 1976. — №1.—с.30-41
74. Габдулхаев Б.Г., Онегов Л. А. Кубатурные формулы для сингулярных инте-
интегралов // Изв. вузов. Математика.— 1976. —№7.—с. 100-105
75. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и
прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений // Итоги науки и техники. Математ. анализ, т. 18. — М.: ВИНИ-
ВИНИТИ АН СССР.-1980.-с.251-307
76. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.—
Казань: Казан.ун-т.-1980.-232 с.
77. Габедава Г.В. Приближенное решение уравнения теории крыла методом Буб-
нова-Галеркина // Тр.мат.ин-та АН ГССР.-1974.-т.44.-с.52-56
78. Гагу а И.Б. О некотором применении кратных интегралов типа Коши //В
кн.: Исследования по современным проблемам ТФКП. М.: Физматгиз. —
1960.-С.345-352
79. Гандель Ю.В. К вопросу о решении одного класса парных уравнений матема-
математической физики // Харьков, университет. —1980, Деп. ВИНИТИ
13.04.81.-.Nb 1659-81.- 9 с.
80. Гандель Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач мате-
математической физики // ТФФА и их приложения, Харьков, Вища школа.—
1982.-МЬ38.-с.15-18
81. Гандель Ю.В., Логвинов Ю.И. О приближенном решении некоторых крае-
краевых задач теории теплопроводности // Харьков, университет. —1982, Деп.
ВИНИТИ. -№ 1834-ИД-83.-31 с.
82. Гандель Ю.В., Галина А. В. О решении одной смешанной краевой задачи тео-
теории потенциала в полосе // Харьков, университет. —1982, Деп. ВИНИТИ.—
№ 6198-82.-14 с.
83. Гандель Ю.В., Забуга Т.А. Численный метод дискретных особенностей в за-
задачах дифракции волн на решетках // Харьков, университет, деп. Укр.
НИИНТИ.-1983.-№ 1286 УК.-83.-31 с.
84. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингуляр-
сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков // ТФФА и их прило-
приложения, Харьков, Вища школа. —1983, —№ 40.—с.33-36
85. Гандель Ю.В., Полянская Т.Е. Обоснование метода дискретных особенностей
для систем сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся сме-
смешанные краевые задачи математической физики // Харьков, университет,
Деп. Укр. НИИНТИ.-1984.-МЬ 720 -Ук-84.-34 с.
86. Гандель Ю.В., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Численное решение смешан-
смешанных краевых задач математической физики, сводящихся к сингулярному ин-
интегральному уравнению на системе отрезков. —Препринт \ ИТЭФ, —№
174.-М.-1984.-55 с.
87. Гандель Ю.В., Лифанов И.К. О приложении идей метода дискретных вихрей
к задачам электродинамики // Научно-методические материалы по числен-
численным методам, Москва, ВВИА им. Н.Е.Жуковского.— 1985.—с.3-13
88. Гандель Ю.В., Полянская Т.С. Системы сингулярных интегральных уравне-
уравнений некоторых смешанных краевых задач математической физики // ТФФА
и их приложения, Харьков. —1985. — вып.43. —с.33-42
ЛИТЕРАТУРА 502
89. Гандель Ю.В., Логвинов Ю.И. О численном решении методом дискретных
особенностей некоторых смешанных краевых задач стационарной теплопро-
теплопроводности // Вестник Харьков.ГУ, Jsfe 277, Пробл.управления и механики
сплошных сред. —1985. — с.78-85
90. Гандель Ю.В., Лифанов И.К. О решении сингулярных интегральных урав-
уравнений задачи Робена // ТФФА и их приложения, Харьков, Вища школа.—
1986.-вып. 46.-С.18-21
91. Гандель Ю.В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики
// Вопросы кибернетики, ВК-124. М.: 1986.-с. 166-183
92. Гандель Ю.В., Логвинов Ю.И. Сингулярное интегральное уравнение одной
смешанной краевой задачи // Тезисы докладов III Всесоюзного симпозиума
"Метод дискретных особенностей в задачах математической физики и его роль
в развитии численного эксперимента". Харьков. —1987. —с.51-53
93. Гандель Ю.В., Наумов А.И., Соломенцева Н.И. Численное решение сингу-
сингулярного интегрального уравнения одной задачи дифракции на круговом ци-
цилиндре // Науч.-метод, материалы: Численные методы в сингулярных инте-
интегральных уравнениях и их приложения, ВВИА им. Н.Е.Жуковского. —М.: —
1986.-c.7-12
94. Гандель Ю.В. Прямой численный метод решения сингулярных интегральных
уравнений на всей оси // Тезисы докладов II Всесоюзного симпозиума "Метод
дискретных особенностей в задачах мат.физики". — Харьков, 1987.—с.49-51
95. Гандель Ю.В., Соломенцева Н.М. Численное решение системы сингулярных
интегральных уравнений на всей оси // Харьков .университет, 1987, Деп.
Укр. НИИНТИ.-17.03.87. -12 с.
96. Гандель Ю.В. Численное решение сингулярных интегральных уравнений не-
некоторых краевых задач математической физики // Тезисы докладов Рес-
публ.науч.конф. "Дифференц. и интегр. уравнения и их приложения".—
Одесса.-1987.-с.59-60
97. Гандель Ю.В., Литвяков В.Н. Численное решение модельных задач электро-
электростатики методом дискретных особенностей // Методы и алгоритмы парамет-
параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (четвертый вы-
выпуск).-М., МГЗПИ. -1987. - с.60-74
98. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.:Наука, 1967.-576 с.
99. Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. —М.: Физматгиз, 1958. —544 с.
100. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.-М.: Наука, 1977.-640 с.
101. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.—
М.: Гостехиздат, 1958.-440 с.
102. Головкин В.А., Головкин М.А., Тюрин В.М. Расчет нестационарного и от-
отрывного обтекания тел идеальной несжимаемой жидкостью // Специальное
издание ЦАГИ, ЛИИ. -1980
103. Головкин В.А. у Головкин М.А. Численное решение задачи о нестационарном и
отрывном обтекании тел произвольной формы идеальной несжимаемой жид-
жидкостью // Сб. докл. на VI межд. конф. по численным методам в гидродина-
гидродинамике. Тбилиси, 20-25 июня 1978.-т.П, 1978
104. Голубев В.В. Лекции по теории крыла.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.-480 с.
105. Горлин СМ. Экспериментальная аэродинамика.— М.: Высшая школа, 1970
106. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных
интегральных операторов. —Кишинев: Штиинца, 1973. —426 с.
107. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы
их решения.-М.: Наука, 1971.-352 с.
108. Гренандер У., Сеге Г. Теплицевые формы и их приложения. — М.: ИЛ,
1961.-308 с.
109. Гурса Э. Курс математического анализа, т.Ш. Ч.2-М.-Л.: ПТИ, 1934.-320 с.
НО. Гусейнов А.И.> Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений. —М.: Наука, 1980.—416 с.
510 ЛИТЕРАТУРА
111. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам мате-
математической физики.-М.: ГИТТЛ. 1953.-416 с.
112. Дворак А.В. Численный метод решения задач гидродинамики с жидкими граница-
границами // Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского.-Москва, 1986, вып. 1313.—с.281-291
113. Дворак А.В. Невырожденность матрицы дискретных вихрей в задачах про-
пространственного обтекания // Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского. —Москва,
1986, вып. 1313.-С.441-453
114. Джваршейшвили А.Г. Граничные свойства двумерного интеграла типа Коши
// Изв. вузов Математика.-1978.-МЬ 6.-С.63-72
115. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений при-
приближенными проекционными методами // ЖВМ и МФ. —1979.—т. 19,
№5.-с.1149-1161
116. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений колло
кационными методами // ЖВМ и МФ.-1981.-Т.21, №2.-с.355-362
117. Джишкариани А.В. К вопросу приближенного решения одного класса сингу-
сингулярных интегральных уравнении // Труды Тбилис.матем.ин-та. — 1986.—
Т.81.-С.41-49
118. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Дифракция плоского электромагнитного поля
на идеально проводящей полосе, погруженной в слойную среду // Изв. АН
СССР, Физика Земли. -1967.-№5. - с.62-70
119. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах
электродинамики. — Москва: Изд-во МГУ, 1987. —168 с.
120. Ефремов И.И. О приближенном решении сингулярного интегрального уравнения
теории крыла.—В кн.: Динамика систем твердых и жидких тел. Тр. семинара по
динамике Ин-та механики АН УССР, 1965.-Киев, 1966.-С.76-81
121. Ефремов И.И. Обтекание тонкого проницаемого профиля потоком несжи-
несжимаемой жидкости. — Прикл. механика. —1978. — № 14.
122. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. —М.:
Радио и связь, 1982.-184 с.
123. Иванов В.В. О приближенном нахождении характеристических чисел и всех
решений сингулярных интегральных уравнений // Материалы научно-
тех.конференции.-Киев: АН УССР.-1960.-с.47-65
124. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному реше-
решению сингулярных интегральных уравнений. —Киев: Наук.думка, 1968.—288 с.
125. Какичев В.А. Граничные свойства интеграла типа Коши многих переменных
// Учен.зап.Шахт.пед.ин-та.-1959.-т.2.-вып.6.-с.25-90
126. Какичев В.А. О регуляризации сингулярных интегральных уравнений с яд-
ядрами Коши для бицилиндрических областей // Изв. вузов. Математика.—
1967. -N» 7F2). -с.54-64
127. Каландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. — М.:
Наука, 1973.-304 с.
128. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.—
М.-Л.: ГИТТЛ, 1952.-696 с.
129. Карпенко Л.Н. Про зображення функций за допомогою многочленив Якоби та
обчисления деяких интегралив типу Коши // ВисникКиивського универси-
университету . Сер.мат.та механики. — 1971.—№ 13. — с.74-79
130. Келдыш М.В., Седое Л.И. Эффективное решение некоторых краевых задач
для гармонических функций // ДАН СССР.-1937.-XVI, № 1.-С.7-10
131. Ковалев Е.Д., Лифанов И.К., Михайлов А.А., Ништ М.И., Поликарпов
Г. Г. Численный метод расчета летательного аппарата с телесным фюзеляжем
// ЖВМ и МФ.-1989.-Т.29, № 4.-С.589-597
132. Коган Х.М. Об одном сингулярном интегродифференциальном уравнении //
Дифференц.уравнения.-1967. -т.Ш, № 2.-С.278-293
133. Козлов СВ., Лифанов И.К., Михайлов А.А. Интегральное уравнение Фред-
гольма 2-го рода для вихревого слоя на замкнутой поверхности и его числен-
численное решение // ДАН СССР.-1991.-т.316, № 6.-с. 1344-1348
ЛИТЕРАТУРА Щ.
134. Колесников Г. А. Метод расчета распределения циркуляции крыльев малого
удлинения // В кн.: Теоретические работы по аэродинамике, М., 1967
135. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния.—
М.: Мир, 1987.-311 с.
136. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с
коническими угловыми точками // Тр.Моск.мат.об-ва. —1967, 16.—с. 209-292
137. Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов //В
кн.: "Численные методы решения диф. и инт. уравнений и квадратурных
формул".-М.: Наука, 1964.-С.64-74
138. Котоеский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование на
ЭВМ стационарного и нестационарного обтекания телесных профилей и решеток
идеальной несжимаемой жидкостью // ДАН СССР.-1980.-т.252, Mb 6.
139. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, чЛ-П.—
М.: Физматгиз, 1963
140. Крикунов Ю.И. Дифференцирование особых интегралов с ядром Коши и од-
одно граничное свойство гомоморфных функций // В кн.: Краевые задачи
теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казан.ун-та.—
1962.-С.17-24
141. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравне-
ния.-Л.: ГИТТЛ, 1950.-280 с.
142. Курант Р. Уравнения с частными производными. —М.: Мир, 1964. —832 с.
143. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
// Тр. ЦАГИ.-1932.-ВЫП.118.-С.З-56
144. Лаврентьев М.А., Келдыш М.В., Маркушевич А.И., Седов Л.И., Лотов
А.В. Труды ЦАГИ. Сборник статей по вопросам удара о поверхность воды.—
1935. вып. 152
145. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного пере-
переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.
146. Лифанов И. К. f Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных
вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ. —1975.—
т.39, >Jb 4.-C.742-746
147. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и крат-
кратными интегралами типа Коши // ДАН СССР.-1978.-т.239, Mb 2.-С.265-268
148. Лифанов И.К. Формула Пуанкаре-Бертрана и сингулярные интегральные
уравнения с кратными интегралами типа Коши // ДАН СССР. —1978.—
т.243. МЬ1.-с.22-25
149. Лифанов И.К. О формулах обращения многомерных сингулярных интегралов
// ДАН СССР.-1979.-т.249, Mb 6.-с. 1306-1309
150. Лифанов И.К. Топология кривых и численное решение СИУ-ий первого рода
//IV Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям.—
1979.-С.82-85
151. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей // ПММ.-1979.-т.43, Mb 1.-C.184-188
152. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей для крыла бесконечного размаха
и уравнении Прандтля для крыла конечного размаха // Изв. вузов. Мате-
Математика.-1980.-Mb 6.-С.44-51
153. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения син-
сингулярных интегральных уравнений первого рода // ДАН СССР. —1980.—
т.255, Mb 5.-с. 1046-1-50
154. Лифанов И.К. Квадратурные формулы и формула Пуанкаре-Бертрана для
сингулярных интегралов // Сиб.мат.журн. —1980. t.XXI, Mb 6. —с.46-60
155. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений
// Дифференц. уравнения.-1981.-t.XVII, Mb 12
156. Лифанов И.К. О приближенном вычислении многомерных сингулярных ин-
интегралов // Семинар ин-та прикл. мат-ки им. И.Н.Векуа, Доклады.—
1981.-Mb 15.-C.13-16
512 ЛИТЕРАТУРА
157. Лифапов И.К., Саакян А. В. Метод численного решения задачи о вдавлива-
вдавливании движущегося штампа в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения
// ПММ.-1982.-Т.46, Mb 3.-C.494-501
158. Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Приближенное решение сингулярного инте-
интегрального уравнения на отрезке с переменными коэффициентами. Препринт
/ ИТЭФ-185.-Москва.-1983.-17 с.
159. Лифанов И.К.у Матвеев А.Ф. О сингулярном интегральном уравнении на
системе отрезков // Теория функций, функциональный анализ и их прил.—
1983.-вып. 40.-с. 104-110
160. Лифанов И.К Численное решение одномерных сингулярных интегральных
уравнений // Дифференц. уравнения. —1984. —т.ХХ, Mb 1.—с.68-73
161. Лифанов И.К О произведении одномерных сингулярных интегральных опе-
операторов // Теория функций, функциональный анализ и их прил. —1984. —
вып.42.-с.67-71
162. Лифанов И.К Численное решение сингулярных интегральных уравнений
Гильберта с сильной особенностью // Оптимальные методы вычислений и их
применение. — Пенза. —1985.—с.38-44
163. Лифанов И.К Система ингегро-дифференциальных уравнений отрывного обтекания тел
// Труды ВВИА им.Н.Е.Жуковского.-1986.-вьш.1313.-с.41^418
164. Лифанов И. К. у Моляков Н.М. О численном решении сингулярного инте-
интегрального уравнения второго рода // Труды ВВИА*им. Н.Е.Жуковского.—
1986. - вып. 1313. -с.465-475
165. Лифанов И.К, Михайлов А.А. Математические вопросы расчета безотрывного обтека-
обтекания тел // Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского. -1986. - вып. 1313. -с.454^64
166. Лифанов И.К. у Михайлов А.А. К расчету безотрывного и отрывного обтека-
обтекания тел // Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского.-1986.-вып. 1313.-с. 137-145
167. Лифанов И.К. у Полтавский Л.Н. Линейная нестационарная задача для про-
профиля и уравнения Абеля // Вопросы кибернетики. Численный эксперимент
в прикладной аэродинамике. — М.. 1986.—с.23-46
168. Лифанов И.К. Сингулярное интегральное уравнение первого рода задачи
Неймана // Дифференц.уравнения.-1988.-т.ХХ1У, Mb 1.-С.110-115
169. Лифанов И.К О вычислении скоростей в методе дискретных вихрей //
ДАН СССР.-1990.-т.313, Mb 6.-C.1399-1402
170. Лифанов И.К у Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и сингулярные инте-
интегральные уравнения // Сб.: Вычислительные процессы и системы (под ред.
Марчука Г.И.), М.: Наука.-1990.- вып.7.-с.94-273
171. Лифанов И.К у Полтавский Л.Н. Обобщенный оператор Фурье и его приме-
применение в обосновании метода дискретных вихрей // Матем. сборник.—
1992.-183. Mb 5.-е. 79-114
172. Лифанов И.К О построении следов в методе дискретных вихрей // ДАН
России.-1993.-т.ЗЗО, Mb 5.-C.574-578
173. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. —М.: Наука, 1978. —736 с.
174. Лузин Н.Н, Интеграл и тригонометрический ряд.—М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.—552 с.
175. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. —В кн.: Итоги науки и тех-
техники. Серия: Современные проблемы математики // 1988.—т.27.—с. 131-228
176. Мастяница B.C. О некоторых алгоритмах вычисления сингулярных интегра-
интегралов и их приложении к приближенному решению сингулярных интегральных
уравнений. — Канд.дисс. — Минск. —1984. —108 с.
177. Матвеев А.Ф. Приближенное решение некоторых сингулярных интегро-
дифференциальных уравнений.—Препринт / ИТЭФ37. —Москва, 1992.—32 с.
178. Матвеев А.Ф. О саморегуляризации задачи вычисления сингулярных инте-
интегралов с ядрами Коши и Гильберта в метрике С —Препринт / ИТЭФ-165.—
Москва, 1982.-37 с.
179. Матвеев А.Ф. Об устойчивом в метрике С приближенном решении сингу-
сингулярных уравнений, разрешимых в замкнутой форме. —Препринт / ИТЭФ-
13.-Москва, 1983.-27 с.
ЛИТЕРАТУРА
180. Матвеев А.Ф. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с рав-
вернутой правой частью. -Препринт/ИТЭ<М2.~ Москва, 1984.-27 с.
181. Матвеев А.Ф. О приближенном решении сингулярных интегральных урав-
уравнений прямым методом с произвольным выбором точек коллокации.—
Препринт / ИТЭФ-181.-Москва, 1985.-19 с.
182. Матвеев А.Ф. О прямом методе механических квадратур приближенного
решения сингулярных интегральных уравнений с комплекснозначиыми коэф-
коэффициентами на отрезке. —Препринт / ИТЭФ-35. — Москва, 1986. —17 с.
183. Матвеев А.Ф. Прямые методы приближенного решения сингулярных инте-
интегральных уравнений с произвольным выбором коллокационных точек.—
Препринт / ИТЭФ-42.- Москва, 1986.-13 с.
184. Матвеев А.Ф. О построении решения сингулярного интегрального уравнения с задан-
заданным порядком на бесконечности.-Препринт / ИТЭФ36-94.-Москва, 1986.-12 с.
185. Матвеев А.Ф. О построении приближенных решений сингулярных интегральных
уравнений второго рода.-Препринт / ИТЭФЗ&-35.-Москва, 1988.-11 с.
186. Матвеев А.Ф., Моляков Н.М. Метод численного решения задачи обтекания
тонкого слабоизогнутого профиля в стационарном потоке. — Препринт / ИТ-
ЭФ-88.-Москва, 1988.-39 с.
187. Матвеев А.Ф., Моляков Н.М. Применение прямого метода механических
квадратур для решения сингулярных интегральных уравнений с ядрами Ко-
ши.-Препринт / ИТЭФ-103.-Москва, 1988.-37 с.
188. Матвеев А.Ф. Приближенное решение сингулярного интегрального уравне-
уравнения на отрезке. // Докл. АН СССР.- 1988.-t.298, >Ь 2.-С.281-285
189. Матвеев А.Ф. О построении приближенного решения сингулярного иитегршвжжо
уравнения второго рода // ДАН СССР, 1989.-т.За7.-с.1ОШ0бО
190. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов.—М.: Мир,
1974.-328 с.
191. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравне-
уравнения. - М.: Физматгиз, 1962. -256 с.
192. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. —М.: Наука, 1979.—224 с.
193. Мокин Ю.И. О двух моделях стационарного движения заряженных частиц в
вакуумном диоде // Мат.сб.-1978.-106A48), Mg 2F).-c.234-264
194. Мусаев Б.И. Приближенное решение полного сингулярного интегрального
уравнения на отрезке // Инст.кибернетики АН АзССР, Баку. —1985.—34 с,
Деп. в ВИНИТИ, 23.10.85, М* 7377-85
195. Мусаев Б.И. О приближенном решении сингулярных интегральных уравне-
уравнений. - Препринт \ Ин-т Физики Ан АзССР.-Баку, 1986.-Me 17-48 с.
196. Мусаев Б.И. К приближенному решению сингулярных интегральных уравне-
уравнений // В сб.: Сингулярные интегральные операторы, Азерб.гос.ун-т, Баку,
1986.-С.ЗЗ-61
197. Мусаев Б.И. О приближенном решении сингулярных интегральных и ин-
тегро-дифференциальных уравнений // В сб. Сингулярные интегральные
операторы, Азерб.гос.ун-т, Баку, 1987.—с.77-90
198. Мусаев Б.И. К вопросу обоснования метода механических квадратур для
полного сингулярного интегрального уравнения на отрезке.—Препринт / Ин-
т Физики АН АзССР.-Баку, 1988.->fe -1.-22 с.
199. Мусаев Б.И. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений
при отрицательном индексе методом механических квадратур // Докл. АН
СССР.-1988.-т.298, Mb 2.-C.286-290
200. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теорнн
упругости. —М.: Наука, 1966.— 707 с.
201. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука,
1968.-512 с.
202. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических
структурах. — Киев: Изд-во Наукова Думка, 1989.—256 с.
203. Натансон ИЛ. Конструктивная теория функций.-М.-Л.: ГИТГЛ, 1919.-688с.
514 ЛИТЕРАТУРА
204. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. — М.: Изд. АН
СССР, 1947.-260 с.
205. Онегов Л.А. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с ядрами
типа Гильберта // Изв.вузов. Математика.-1978.-.Nbl.-с.81-87
206. Оншцук О.В.> Попов Г.Я, О некоторых задачах изгиба пластин с трещинами
и тонкими включениями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.—
1980.->6 4.-с.141-150
207. Оншцук О.В., Попов Т.Я., Процеров Ю.С. О некоторых контактных задачах
для подкрепленных пластин // Прикл.математика и механика. —1984.—т.48,
вып. 2.-С.Э07-314
208. Оншцук О.В., Попов Г.Я., Фаршашп П.Г. Об особенностях контактных уси-
усилий при изгибе пластин с тонкими включениями // Прикл.математика и ме-
механика. -1986.-т.50, вып.2-с.293-302
209. Оншцук О.В., Фаршашп ИГ. Об одном методе решения интегральных уравнении с
неподвижной особенностью в ядре, характеристическая часть которых сводится к свертке
Меллина // Респ.науч.конф. Дифференц. и интегр. уравнения и их приложения:
Тездосл. -Одесса ОГУ, 1967.-т.2-с.4344
210., Оншцук О.В., Попов Г.Я., .Фаршашп П.Г.т Задача об изгибе прямоугольной
пластинки с линейной опорой, выходящей одним концом на защемленную
границу // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела.-1988.-№ 6.-С.160-168
211. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений
около трещин в пластинах и оболочках. —Киев: Наук, думка, 1976.—443 с.
212. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интеграль-
интегральных уравнений в двумерных задачах дифракций. —Киев: Наукова Думка,
1984.-344 с.
213. Парийский B.C. Экономические методы численного решения уравнений в
свертках и систем алгебраических уравнений с теплицевыми матрицами. —М.:
ВЦ АН СССР, 1977.-75 с.
214. Партой В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. —М.:
Наука, 1977,-312 с.
215. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. —М.:
Наука, 1981.-688 с.
216. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука,
1965.-128 с.
217. Поляков Н.Н. Об интегральном уравнении теории несущих поверхностей //
ВестнЛГУ, Математика. Механика. Астрономия.-1973.-№ 7.-С.115-121
218. Полтавский Л.Н. К условию Чаплыгина-Жуковского в линейной нестацио-
нестационарной задаче для профиля // Труды ВВИА им.Н.Е.Жуковского. —1986.—
вып.1313.-с.419-423
219. Полянская Т.С. К решению сингулярного интегрального уравнения на систе-
системе отрезков // Теория функций, функциональный анализ и их прил. —
1985.-вып.44.-с.84-87
220. Полянская Т.С. О сингулярном интегральном уравнении с кратными инте-
интегралами типа Коши // Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особен-
особенностей...". Тезис»! докладов, Харьков, 1985.-С.98-99
221. Полянская Т.С. Численное решение сингулярных интегральных уравнений с
кратными интегралами типа Коши и Гильберта методом дискретных особенно-
особенностей // Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особенностей...". Тезисы
докладов, Харьков, 1987.-с. 150-151
222. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения. В кн.: Итоги науки и тех-
техники. Серия: Современные проблемы математики. —1988.—т.27.— с.5-130
223. Привалов И.И. Интегральные уравнения.-М.-Л.: ОНТИ. 1935. -248 с.
224. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.: Наука, 1967.-384 с.
225. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специ-
Специальные функции. — М.: Наука. 1983. — 750 с.
ЛИТЕРАТУРА
226. Пыхтеев Т.Н. О вычислении коэффициентов и оценке погрешности интерпо-
интерполирования квадратурными формулами для простейшего интеграла типа Коши
и сингулярного интеграла по разомкнутому контуру // ЖВМ и МФ.—
1972.-t.12, МЬЗ
227. Развитие теории контактных задач в СССР.-М.: Наука, 1976, 494 с.
228. Pax матулин Х.А. Обтекание проницаемого тела. // Вестник МГУ.
Физ.Мат.Серия.-1950.-МЬ 3
229. Ревякин А.П. Линеризация по толщине в нелинейных задачах аэрогидроди-
аэрогидродинамики // Труды ВВИА им.Н.Е.Жуковского.-1983.-вып. 1311
230. Риман И. С. у Крепе Р.Л. Присоединенные массы тел различной формы в пла-
плане // Тр.ЦАГИ-1947.-вып.635
231. Саакян А. В. Построение функций влияния для упругой полосы от движу-
движущихся по ее краям с постоянной скоростью сосредоточенных сил и тепловых
источников // Докл. АН АрмССР.-1978.-т.67, Mb 2.-С.78-85
232. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. —Киев:
Наукова думка, 1981.— 324 с.
233. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических урав-
уравнений.-М.: Наука, 1976.-352 с.
234. Саникидзе Д. Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с
суммируемой плотностью методом механических квадратур //
Укр.мат.журн.-1970.-22, Mb 1.-C.106-114
235. Саникидзе Д. Г. О равномерной оценке приближения сингулярных интегралов
с Чебышевской весовой функцией суммами интерполяционного типа // Со-
Сообщения АН Груз.ССР.-1974.-т.75, Mb 1.-С.53-55
236. Сарен В.Э. О сходимости метода дискретных вихрей // Сиб.мат.ж.—
1978.-t.XIX, Mb 2.-C.385-395
237. Сафронов И.Д. К приближенному решению сингулярных интегральных
уравнений // ДАН СССР.-1956.-т.Ш, Mb 1.-37-39
238. Сахнович Л.А. О подобии операторов // Сиб.мат.ж. —1972.—т. 15, Mb 4.—
с.868-883
239. Сахнович Л.А. Об интегральном уравнении с ядром, зависящим от разности
аргументов // Матем.исследов.-1973.-т.8, Mb 2B8).-с. 138-145
240. Сахнович Л.А. Об одном методе обращения теплицевых матриц // Ма-
тем.исследов.-1973.-Mb 4C0).-с. 180-186
241. Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке //
УМН.-1980.-Т.35, Mb 4.-C.69-129
242. Сеге Г. Ортогональные многочлены. —М.: Физматгиз, 1962
243. Седов Л.И. Механика сплошной Среды, ч.И.-М.: Наука, 1973.-584 с.
244. Случайновская З.П. Распределение давления на поверхности прямоугольного,
трехгранного и полукруглого цилиндров и их аэродинамические коэффициен-
коэффициенты // Сб.научных тр. Ин-та механ.МГУ, М., 1973, Mb 24
245. Солдатов ММ. Метод дискретных особенностей в плоских и пространствен-
пространственных задачах теории упругости // Вопросы кибернетики. Численный экспе-
эксперимент в прикладной аэродинамике. —М., 1986.—с. 141-165
246. Старк И. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши // Ра-
Ракетная техника и космонавтика. —1971. —Mb 9. —с.244-245
247. Суэтин П.К. Классические ортогональные полиномы.—М.: Наука, 1980,364 с.
248. Тихонов Л.Я., Самарский А.А. Уравнения математической физики.—М.:
Наука, 1966.-724 с.
249. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Методы расчета распределения тока в системе
линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы // Вычис-
Вычислительные методы и программирование. Вып. 10. — Изд-во МГУ. —1968.—с.3-8
250. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. —М.:
Наука, 1979.-288 с.
251. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электродинамике. —1970
252. Треногий В.А. Функциональный анализ.-М.: Наука. -1980.-496 с.
516 ЛИТЕРАТУРА
253. Тумашев Г.Г.У Ильинский Н.Б. Об одном приложении сингулярного интегро-
дифференциального уравнения в теории фильтрации // Изв.вузов. Матема-
Математика.-1967.-№ 7.-с. 100-103
254. Фан Ван Хап. О применении метода замены интеграла конечной суммой к
приближенному решению сингулярных интегральных уравнений //
Вестн.МГУ, Сер.1. Математика, механика. —1969. —№ 3
255. Фаршашп П.Г. Решение краевых задач для бигармонического уравнения при наличии
линейных дефектов внутри области.—Кандлисе.—Одесса. —1989. —149 с.
256. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
т.И-М.: Физматгиз, 1959.-808 с.
257. Хайруллина A.M. О прямых методах решения двумерных сингулярных инте-
интегральных уравнений первого рода // Казан.ун-т, Казань, 1984, 24 с, Деп. в
ВИНИТИ 28.03.84, № 1702-84
258. Хайруллина A.M. Обоснование метода коллокаций для многомерных сингу-
сингулярных интегральных уравнений первого рода при отрицательных индексах
// Казан.ун-т, Казань, 1985, 11 с, Деп. в ВИНИТИ 07.06.85, № 3975-85
259. Хайруллина A.M. Сходимость проекционных методов как следствие сходи-
сходимости метода механических кубатур // Казан.ун-т, Казань, 1985, 12 с, Деп.
в ВИНИТИ 16.07.85, № 5078-85
260. Хайруллина A.M. Приближенное решение многомерных сингулярных инте-
интегральных уравнений, Канд. д исс. — Казань, 1986
261. Хапаев М.М. О численном обращении интегральных операторов 1-го рода
типа потенциала простого слоя//Дифференц.уравнения. —1982. XVIII, М?
3.-е. 498-505
262. Харди Г. Расходящиеся ряды.-М.: ИЛ. 1951.-504 с.
263. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций,
сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения //
Тр.Тбил.мат.ин-та АН Гр.ССР.-1957.-т.ХХШ .-с.3-158
264. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.-428 с.
265. Худяков Г.Е. Исследование аэродинамических характеристик цилиндров квадрат-
квадратного сечения // Научн.тр.Ин-та механ.МГУ, М.-1973.-No 24.-C.61-67
266. Цеирхо В.А. О методе коллокаций решения интегральных уравнений первого
рода со слабыми особенностями в случае разомкнутых контуров // Обрат-
Обратные задачи и интерпретация геофизических наблюдений. —Новосибирск. ВУ
СО АН СССР, 1983.-С.82-94
267. Чаплыгин С.А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие
тела (к теории аэроплана). Избранные труды. Механика жидкости и газа.
Математика. Общая механика. —М.: Наука, 1976.—с.97-130
268. Чаплыгин С.А. Результаты теоретических исследований о движении аэропла-
аэропланов. Избранные труды. Механика жидкости и газа. Математика. Общая ме-
механика.-М.: Наука, 1976.-с. 131-141
269. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч.1,П. — М.: Наука, 1976
270. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана_гильберта в теории дифракции и
распространения электромагнитных волн. —Харьков: Изд-во Харьк.ун-та,
1971.-400 с.
271. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Маслов С.Л., Сологуб В.Г. Дифрак-
Дифракция волн на решетках. —Харьков: Изд-во Харьк.ун-та, 1973.—288 с.
272. Шешко М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного инте-
интеграла // Изв.вузов. Математика.-1976.-№ 12.-С.108-118
273. Шешко М.А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных
уравнений // ДАН БССР.-1977.-t.XXI, Jsfe 12.-с. 1067-1069
274. Шешко М.А. О сходимости кубатурных процессов для двумерного сингуляр-
сингулярного интеграла // ДАН БССР.-1979.-т.23, Nb 4.-C.293-296
275. Шешко М.А. Двумерные сингулярные интегральные уравнения первого рода
с ядрами Коши // Дифференц.уравнения.-1981.-т.17, № 8.-С.1518-1521
ЛИТЕРАТУРА 51Z
276. Шешко М.А. Интегральные уравнения, содержащие кратные интегралы с
ядрами Коши // Дифференц.уравнения. —1986.—т.22, № 3. —с.523-538
277. Шешко М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с
ядром Гильберта // ДАН БССР.-1987.-t.XXXI, № 12.-с. 1077-1080
278. Шипилов С.Д. Применение сингулярных интегральных уравнений второго
рода к расчету давления на профиле умеренной толщины // Труды ВВИА
им.Н.Е.Жуковского. -1986. - вып. 1313. -с.476-487
279. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости.-М.: ГИТТЛ. 1949.-270 с.
280. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных
уравнений.-М.: Наука, 1973.-232 с.
281. Эшли X., Лендал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппара-
аппаратов.—М.: Машиностроение, 1969. —318 с.
282. Anfinogenov A.Yu. and Lifanov I.I., On numerical solution of integral
equations of planar and spatial diffraction. Russian J. Numer. Anal. Math.
Modelling A992) 7, 387-404.
283. Bearman P.W. and Obasaju E.D. An experimental study of pressure
fluctuations on fixed and oscillating sgudresection egliuders // journal Fluid
Mechanics-1982-V.119
284. Belotserkovsky S.M., Study the unsteady aerodynamics of lifting surfaces using
the computer. Ann. Rew. Fluid. Mech. -1977-№> 9, p. 469-494.
285. Belotserkovsky S.M. and Lifanov I.K., Method of Discrete Vortices. CRC
Press, 1993-452p.
286. Borja M., Brakhage H. Uber die numerische Behandlung der
Tragflachengleichung // Z. angew. Math, und Mech.-1967.-v.47.
Sonderheft.-p. 102-103
287. Bottcher A. Silbermann B. Invertibility and Asymptotics of Toeplitz matrices.—
Berlin: Academii-Verlag, 1983
288. Brent R.P., Gustavson F.G., Yun D.Y.Y. Fast solution of Toeplitz systems of
equations and computation of Pade approximants // J. Algorithms. —1980.—
l,-p.259-295
289. Brent R.P.y Luk F.T. A systolic array for the linear-time solution of Toeplitz
system of equations // J. of VLSI Comput. Syst.-1983.-V.I, Ш,-р.1-22
290. Chaloupka #., Meckelburg H.-J. "Improved hing-freguency current
approximation for curved conducting surfaces" // AEU. —1985. —V.39.—
Mb4.-p.245-250
291. Colberg M.A. The Numerical Solution of Cauchy Singular Integral Equations
with Constant coefficients // Journal of Integral Equations. —1985. —V.9,
№1,-p.127-151
292. Delves L.M. The numerical evaluation of principal value integrals // Computer
Journal.-1968.-V.10, №4,-p.389-391
293. Dmovska R., Kostrov B.V. A chearing crack in a semi-space under plane strain
conditions // Arch. Mech. Stoso.-1973.-V.25, JMb3,-p.421-440
294. Elliott D. Orthogonal polynomialle associated with singular integral equatons
// Univ. of Tasmania Maths. Dept. Tachnical Report, May.-1980.-№144
295. Elliott ?>., Some aspects of numerical analysis of singular integral equations.
SIAM J. Numer. Anal.-1982.-Ы> 9, V.9, p. 41-54.
296. Elliott D.y Orthogonal polynomials associated with singular integral equations
having a Cauchy kernel. SIAMJ. Numer. Ляд/-1982, v.13, №6, p. 1041-1052.
297. Elliott D., The classical collocation method for singular integral equations.
SIAM J. Numer. Anal. -1982, v.19, Mb4, p. 816-832.
298. Elliott D., Rates of convergence for the method of classical collocation for
singular integral equations, SIAM J. Numer. Anal—1984, v.21, №1.
299. Elliott D., A comprehensive approach to the approximate solution of singular
integral equations over the arc (-1, 1). /. of Integral Equations and
Applications-1989, v.2, №1, p.59-94.
SIS ЛИТЕРАТУРА
300. Erdogan F.E., Gupta G.D. On the numerical solutions of singular integral
equations // Quart. Appl.Math.-1972.-V.29, >fe4,-p.525-534
301. Erdogan F.E., Gupta G.D. and Cook T.S., The numerical solutions of singular
integral equations.// In: Method of Analysis and solutions of Crack Problems.
Leyder: Noordhoff intern. Publ.-\973, p. 368-425.
302. Ervin V.J., Kieser R. and Wendland W.L. Numerical approximation of the
solution for a model 2-d hypersingular integral equation // Bericht N 26, 1990,
Univ. Stuttgart, Math.Inst.A, 15p.
303. Falkner V.M. The solution of lifting-plane problems by vortex-lattice theory.
Report and Memoranda, 1947, № 2591
304. Gaidaenko V.I. and Lifanov I.K. On the mathematical model for nonlinear
stationary aerodynamic problems. Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling—
1993.-V.8, №4, p.285-296.
305. Hartmub Strese, Remarks concerning the boundary element method in potential
theory. Appl. Math. Modelling-1984. -V8,-p.40-44.
306. Hartmut Strese, A new simple method for improving the Boundary Element
Method. Engineering Analysis -1985. - V.2, J* 1, - p.26-30.
307. Hartmut Strese, BEM 82: Numerical experiences and new facilities. Engineering
Analysis-1986.-V.3, №2,-p. 105-110.
308. Hunt R., Muchenhoupt B. and Wheeden /?., Weighted norm inequalities for the
conjugate function and Hilbert Transform. Trans. Amer. Math. Soc. -1973. -
V.176,-p.227-251
309. Ioakimidis N.I. and Theocaris P.S., On the numerical evaluation of Cauchy
principal value integrals. Rev. roum. sci. techn. Ser. mec. appl. —1977.—V.22,
№6.-p.803-818.
310. Junghanns P. and Silbermann В., Zur Theorie der Noherungsverfahren fur
singulare Integralgleichungen auf Intervallen. Math. Nachr.-1981, -v. 103,
p. 199-244
311. Junghanns P. and Silbermann B.t Local theory of the collocation method for the
approximate solution of singular equations. Integral Equations and Operator
Theory-1984. -v.7, p.791-807.
312. Junghanns P. and Silbermann В., Numerical Analysis of the Quadrature
Method for Solving Linear and Nonlinear Singular Integral Equations. -Karl-
Marx-Stadt, 1988.
313. Kieser R.t Schwab C. and Wendland W.L. Numerical evaluation of singular and
finite-part integrals on curved surfaces using symbolic manipulation. — Preprint
/ 92-2, Univ.Stuttgart, Mathem.Inst.A., 1992.-28 p.
314. Koening D.G., Falarski M.D. Aerodynamic characteristics of large-scale, model
with a swept and augmented jet flat // NASA TMX 62029. -1972
315. Kozlov S.V., Lifanov I.K. and Mikhailov A.A., A new approach to
mathematical modelling of flow of ideal fluid around bodies. Sov. J. Numer.
Anal. Math. Modelling-1991. V.6, Ш,- 209-222.
316. Krenk 5. On the guadrature formulas for singular integral equations of the fisrt and
the second Kind // Quarterly of Appl. Math.-1975.-V.33, №3.-p.225-232
317. Lifanov LI. and Lifanov I.K., Boundary value problems and singular integral
equations with one-dimensional and multiple integrals. Sov. J. Numer. Anal.
Math. Modelling—1991. -V6, J*l. -43-60.
318. Lifanov I.K., Singular solutions of singular integral equations and flow ejecting
for an arbitrary contour. Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling—1989. V.4,
№3.-p. 239-252.
319. Lifanov I.K., Mikhailov A.A. and Titsky S.V., Mathematical modelling of
airfoil flowing control by ejection. Sov.J.Numer.Anal.Math.Modelling-i99Q.
V.5, Ш.- 209-220,
320. Lifanov I.K., Mikhailov A.A. and Titsky S.V., External flow entrapment and
boundary layer separation control for thick airfoil. Sov. J. Numer. Anal. Math.
Modelling-1991. V.6, Mb4.-p.325-334.
ЛИТЕРАТУРА 512
321. Lifanov I.K., Mikhailov A.A. and Skotchehko A.S., On developing
mathematical model for simultaneous calculation of aherodynamics and radar
characteristics of bodies of complex shapes. Sov. J. Numer Anal. Math.
Modelling-1991. V.6, №6,-р.497-514.
322. Lifanov I.K., Matveev A.F. and Molyakov N.M., Flow around permeable and
thick airfoils and numerical solution of singular integral equations. Russian J.
Numer. Anal. Math. Modelling-1992. -V.7, >fc2.-p. 109-144.
323. Mastroianni G. and Prossdorf S. A quadrature method for Cauchy integral
equations with weaky singular perturbation kernel // J. of Integral equation
and applications.-1992.-V.4, Jsfe2.-p.205-228
324. Multhopp #., Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflugeln.
Luftfahrtforschung -1938. -V.15, №4,-p. 153-169
325. Pro ssdorf S. and Silbermann B.t Numerical Analysis for Integral and Related
Operator Equations. Acad. Verl.Berlin, 1991.-544 p.
326. Schwab C. and Wendland W.L. On numerical cubatures of singular integrals in
boundary Element methods.-Preprint / 91-3, Univ. Stuttgart, 1991.-39 p.
327. Spence D.A. The Lift on a Thin Aerofoil with a Let-Augmented Flap // The
Aeronautical Quarterly. -1958. -V.9, №3. -p.287-299
328. Stewart C. On the numerical evalution of singular integrals of Canchy type //
J.Soc. Jnd. and Appl. Math.-1960,-V.8, №2
329. Thamasphyros G.J. and Theocaris P.S. On the convergence of a Gauss
quadrature rule for evalution of Cauchy type singular integrals // Bft.—
1977.-V.17, Mb4, p.458-464
330. Theocaris P.S. Chrysakis A.C., Ioakimidis N.I. Cauchy type integrals and
untegral equations with logarithmic singularities // J.Eng. Math. —1979.—
V.13, >fel,-p.63-74
331. Tricomi F.G. On the finite Hilbert transformation // Quart J.Math.- 1951. -
V.2, №7. -p.199-211
332. Thamasphyros G., Theocaris P. Equivalence and Convergence of Direct and
Indirect Methods for the numerical solution of Singular Integral Equatios //
Computing.-1981.-V.27, NH,-p. 71-80
333. Weighardt K. Uber die Auftriebverteiling des einfachen Rechtecktfugets uber
die Fliete // Z.angew.Math.-1939. -V.19, >Jb5.-p.257-270
334. Weissinger J. The lift distribution of swept-back Wings.-NASA, TM, 1947,
1120
335. Wendland W.L. Boundary Element Methods for Elliptic Problems. - In book:
Mathematical Theory of Finite and Boondary Element Methods // A.H.Schat,
y.Thomee, W.Wendland, Birkhauser Verlag. -1990. -223-268
Научное издание
Иван Кузьмич Лифанов
Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент
(в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн)
Редактор Т.Г.Борисова
Сдано в набор 20.04.95. Подписано в печать 02.08.95. Формат 60x88/16.
Бумага офсетная N 1. Гарнитура "Петербург". Печать офсетная. Физ.печ.л. 32,5.
Тираж 1000. Заказ N 2775
ТОО "Янус". Лицензия на издательскую деятельность ЛР N 063974 от 22.03.95
Оригинал-макет изготовлен в издательстве на компьютерной редакционно-изда-
тельской системе Балаболиным В.Н., Платоновым В.Л.
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ
140010, Люберцы, Октябрьский пр-кт, 403