Г. Н. Яковенко
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИ
РЕШЕНИЯМИ:
СОФУС ЛИ И ДРУГИЕ
ш
Москва
Физматкнига
2006

ББК 22.21
Я 47
УДК 517.91.1(075.8)
Я47 ЯКОВЕНКО Г. Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными
решениями: Софус Ли и другие. — М.: Физматкнига, 2006. — 112 с. ISBN 5-89155-142-Х
Книга предназначена для интересующихся применением теории групп к исследованию
дифференциальных уравнений. В конце XIX века была поставлена задача обобщить понятие
фундаментальных решений линейных систем дифференциальных уравнений на нелинейные. В
наиболее полном виде задача была решена Софусом Ли и опубликована в 1893 году. В данной
книге содержится авторизованный перевод доказательства теоремы Ли с комментариями и
обобщениями. Приводятся также результаты современных исследований фундаментальных
решений, в том числе и результаты автора. В приложении стереотипно воспроизведена 24
глава книги Софуса Ли 1893 года.
ISBN 5-89155-142-Х
9
© Г. Н. Яковенко, 2006

Оглавление
Введение 4
§ 1. Теорема Софуса Ли 7
§ 2. Группы, допускаемые групповыми системами 30
§ 3. Фундаментальная система решений в широком смысле 47
§ 4. Эквивалентность дифференциальной и конечной моделей
систем типа «вход—выход» 64
Список литературы 67
Приложение
24 глава книги Софуса Ли [27] 69

Введение
Понятие системы фундаментальных решений первоначально
было введено для линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений (точка — производная по t)
x = A(t)x, xGRn. (0.1)
Общее решение системы (0.1) выражается формулой
п
х = Ф(у7^)с, (0.2)
где Ф(;у, ..., z) — матрица фундаментальных решений: п её столбцов
y(t), -.., z(t) — решения системы (0.1), удовлетворяющие
единственному требованию — линейной независимости начальных условий
y(tQ), ..., z(/0); с El Rn — столбец произвольных постоянных. Этот
факт — решения x(t) системы (0.1) при любых начальных условиях
x(t0) определяются решениями, соответствующими конечному
числу п наборов начальных условий y(t0), ..., z(/0), и формулой
(0.2) — называется также принципом суперпозиций.
Естественно поставить вопрос о принципиальной возможности
построения для нелинейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
i = «p(*, х), xERn (0.3)
формулы т
х = Ф(£ГТ*,с1,...,сЛ) (0.4)
определяющей общее решение x(t, с) системы (0.3) через т в
некотором смысле различных частных решений y(t), ..., z(t) — создания
принципа суперпозиций для нелинейных систем. Если для
конкретной системы (0.3) принципиальная возможность есть, то следующим
вопросом является выработка алгоритма для построения формулы
(0.4).
Далее приводится почти дословный перевод из первоисточника
|27, 765—804]. В цитате формулируется результат и дается
историческая справка. «Недословность» оправдана, во-первых, тем, что
переводимая цитата находится в [27] после введенных определений,
различных формул и доказанных результатов, здесь же она
предшествует им, во-вторых, в переведенном тексте согласуются
обозначения с обозначениями, которые используются в этой работе.
Обратим внимание на то, что титульным автором [271 обозначен
С. Ли, но текст составлен Г. Шефферсом.
4

«...Система (0.3) эквивалентна линейному дифференциальному
уравнению в частных производных
£ + J,p'(*,*)£ = 0 (0.5)
с первыми интегралами w(t, х) системы (0.3) в качестве
неизвестных функций. Результат о фундаментальных решениях
формулируется следующим образом. Общее решение системы (0.3) тогда и
тЬлько тогда представимо формулой (0.4), когда уравнение (0.5)
имеет вид
£ + 2У(0*4» = о, (о.б)
где Хк — операторы:
**-5#<*>1?' к = ТГг' (0'7)
i = \
для которых выполняется
г
[Xk>Xl\=2C{lXj, С£,= const, (0.8)
1 = 1
\Xk, Xt] — коммутатор.
Первым вопрос о совокупности обыкновенных дифференциальных
уравнений, обладающих фундаментальными системами решений,
поставил Вессио (Vessiot Е. [28], Comptes Rendus Т. CXVI (1893),
S. 427, 959, 1112). Гулдберг обобщил вопрос: он не ограничился
рассмотрением обыкновенных дифференциальных уравнений
(Guldberg А., там же S. 964, [24]). Оба автора не сумели
обнаружить, что все уравнения (0.3), эквивалентные (0.6) —(0.8),
обладают фундаментальными системами решений. Пробел в их
исследованиях заключается в ограничительном предположении: любая
формула (0.4) для системы (0.3) следует из единственной формулы
введением новых постоянных как функций от исходных с1, ..., сп.
Наиболее общий ответ (тогда и только тогда) о совокупности
уравнений с фундаментальными решениями: системы (0.3), порожденные
(0.6) —(0.8), — был дан Ли. (См. также: Sophus Lie, Uber
Differentialgleichungen, die Fundamentalintegrale besitzen. Leipziger
Berichte 1893. S. 341). Уравнение (0.6) при условии (0.8) появилось
в работах Ли в начале восьмидесятых годов XIX века. В своей теории
интегрирования дифференциальных уравнений, допускающих инфи-
нитезимальные преобразования (S. Lie, Allgemeine Untersuchungen
ber Differentialgleichungen, die eine continuirliche endliche Gruppe
5

gestatten. Math. Ann. Bd. 25, S. 71 — 151. Vgl. auch Gesellsch. d.
Wiss. zu Cristiania 1882, N 10 u. 21), Ли развил теорию
интегрирования для систем (0.3), эквивалентных (0.6)—(0.8) (Math. Ann. а.
а. О. S. 124-130)...»
В восьмидесятых годах XX века интерес к нелинейным системам
с фундаментальными решениями — нелинейному принципу
суперпозиций возобновился [1, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 20, 22, 23, 25, 26, 29]:
обсуждаются формулировка теоремы С. Ли и новые объекты ее
приложения. В настоящей работе приводится по возможности близкое
к оригиналу [27] доказательство теоремы Ли (§ 1), намечаются
другие подходы к доказательству (§2), даются алгоритмы построения
формулы (0.4) для общего решения, работоспособность которых
иллюстрируется примерами. Классическое понятие фундаментальной
системы решений расширяется и обобщается (см. § 3, § 4).
В приложении стереотипно воспроизведена 24 глава книги Софуса
Ли [27].
Функции, участвующие в дальнейших построениях, считаются
достаточно гладкими. Рассуждения, определения, утверждения —
локальны: справедливы в некоторой области пространства состояний
или пространства {время—состояние}.
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту 05-01-00940 и Совета
Программ поддержки ведущих научных школ по гранту НШ-2094-
2003.1.
6

§ 1. Теорема Софуса Ли
Главным действующим лицом настоящей работы является система
обыкновенных дифференциальных уравнений
г
к = 1
где на место uk(t) могут быть подставлены произвольные функции
независимой переменной t, а функции у1к{х) удовлетворяют
некоторым условиям, в формулировке которых участвуют операторы
** = 2>*<*>у' k=~r- <L2>
i = \
Условия следующие:
1. |2:с*ЛГА = 0, с* = const 1 => {с* = О, к = 177}; С1-3)
2. rank ||<pi(*)|| = min(n, г); (1.4)
3. [*А, *J = 2 С^, С{7 = const (1.5)
y = i
где [^ Xt | — коммутатор:
lJft, Xt] = I (*tV/(*) -Х^Ц^.
Система (1.1) при условиях 1—3 появилась в классической теории
Ли [27, 9—13, 16—18] и интерпретируется следующим образом.
Операторы (1.2) — базис r-мерной алгебры Ли. При ик = const и
начальных условиях х(0) = х0 решения системы (1.1) — однопараметриче-
ские подгруппы r-параметрической группы преобразований х0+^>х
*0 = O(t/\...,t/,xJ,...,*S) (1-6)
(vk — групповые параметры). Повидимому, система (1.1), в которую
на место ик дозволяется подставлять произвольные функции uk(t),
впервые рассматривалась С. Ли в начале восьмидесятых годов XIX
века (см. цитату из [27] во введении). Отметим, что, несмотря на
допущение о произвольности функций uk(t), часть из них может
быть фиксирована, например, ul(t) = 1 или uJ(t)=0. Функции
7

9J(x), соответствующие uj{t) = 0, вводятся в (1.1) —(1.5) для
придания операторам (1.2) права называться базисом алгебры Ли.
Определение 1.1. Система (1.1) при условиях (1.3)—(1.5) и
произвольных функциях uk(t) в правой части называется групповой
системой (ГС). Групповые системы, для которых дополнительно
выполняется г = п (матрица ||ф£(х)|| — квадратная неособенная)
называются L-системами (Ли-системами, ЛиС) [14].
Групповые системы тесно связаны с понятием фундаментальных
решений системы
i = «p(*, х), хе Rn (1.7)
Определение 1.2. [27, с. 792-793]. Система (1.7) называется
системой с фундаментальными решениями (СФР), если ее общее
решение выражается формулой т
х = Ф(у^Гг,с\ ...,с"), (1.8)
где Ф( •) — фиксированная функция своих аргументов, ск —
произвольные постоянные, y(t), ..., z(t) — т частных решений системы
(1.7) с начальными данными y(t0) = у0, ..., z(tQ) = z0. Решения
должны удовлетворять условию
det
дФ'(у0 z0, с)
(1.9)
*=0,
в остальном произвольны. Частные решения y(t), ..., z(t), для
которых выполняется (1.9), называются фундаментальными решениями
системы (1.7).
Условие (1.9) в [27] отсутствует, но, во-первых, (1.9) должно
выполняться для того, чтобы по определению общего решения любым
начальным данным x(t0) = х0 при помощи (1.8) можно было
поставить в соответствие постоянные ск, во-вторых, как показывают
примеры 1.1 — 1.5, при фиксированной функции Ф() в (1.8) некоторые
наборы частных решений y(t), ..., z(t) не удовлетворяют (1.9) и не
определяют общего решения (типичный случай: y(t) = ... = z{t)).
Аналогичная ситуация имеет место для линейных систем: условие
(1.9) является единственным ограничением на частные решения,
образующие фундаментальную матрицу. Условие (1.9) определяет
открытое множество D С Rmn+n в пространстве переменных х, у, ..., z
На самом деле, (1.9) накладывает условие на у, ..., z, с, но формула
(1.8) индуцирует это условие на переменные х. Так как формула
(1.8) определяет общее решение, то при некоторых наборах
постоянных ск должно выполняться каждое из равенств: х = у, ..., х = г.
т. е. справедливы следующие условия
{х = у} OD^O, ..., {x = z} HD^O. (1.Ю)
8

Использование одной и той же буквы Ф для обозначения формул
(1.6) и (1.8) носит неслучайный характер: в § 3 показывается, что
при понимании фундаментальных решений в более широком по
сравнении с определением 1.2 смысле (см. определение 3.1)
уравнения (1.6) могут быть приняты за основу формулы (1.8) для общего
решения.
При доказательстве теоремы о СФР используется следующее
утверждение, которое, по существу, вводит определение СФР,
эквивалентное определению 1.2.
Лемма 1.1. Система (1.7) является системой с фундаментальными
решениями в смысле определения 1.2 тогда и только тогда, когда
(тп + п) -мерная система
х = <р(г, х)
: > т подсистем, (1.11)
z = <p(t, z)\
где функции <р(-,-)> определяющие правые части подсистем,
совпадают с функциями в правой части (1.7), допускает п независящих
от переменной t первых интегралов
wk(x,y,...9z) = ck, к = Т7Я (1.12)
удовлетворяющих условию
det
dwk(x, у, ..., z)
дх1
^0. (1.13)
□ Условие (1.9) дает возможность разрешить уравнения (1.8)
относительно произвольных постоянных ску что приводит к первым
интегралам (1.12) системы (1.11). С другой стороны, в силу условия
(1.13), уравнения (1.12) разрешимы относительно переменных х1,
что приводит к уравнениям (1.8) в определении 1.2. Матрицы,
участвующие в условиях (1.9) и (1.13), взаимно обратны, поэтому
выполнение одного из условий влечет выполнение другого. ■
Следующая теорема определяет связь между ГС, введенной
определением 1.1, и СФР из определения 1.2.
Теорема 1.1 [27, с. 799]. Система (1.7) является системой с
фундаментальными решениями в том и только в том случае, если
система (1.7) есть групповая система (1.1):
{(1.7) есть СФР}<=>{(1.7) есть ГС}, (1.14)
причем числа л, г, т из соотношений (1.1), (1.7), (1.8) связаны
неравенством
тп*?г. (1.15)
9

□ Доказательство: {(1.7) есть СФР}=>{(1.7) есть ГС}.
Введем операторы дифференцирования функции w(x, у, ..., z) по
/ в силу подсистем системы (1.11)
X(t, х) = J) «р'(*, х) ±
t-i дх
Za,z)=2V'a^77
Эг*
1 = 1
В скобках у операторов X(t, х) и т. д. указаны переменные,
которые участвуют в определении оператора. Оператор
дифференцирования функции w(x, у, ..., z) по t в силу системы (1.11) запишется
следующим образом:
U{U *, у, ..., z) = X{U х) + Y{U У) + .- + Z(t, z). (1.17)
Уравнение
U{U х, у, ..., z)w(x, у, ..., z) = 0 (1.18)
является условием того, что функция w(x, у, ..., z) — независящий
от t первый интеграл системы (1.11). В операторах (1.16), (1.17) и
в уравнении (1.18) дифференцирование по переменной t отсутствует,
поэтому к объектам (1.16) —(1.18) можно относиться как к
семействам операторов или уравнений, параметризованным t. Выделим в
семействе операторов (1.17) базис — такие операторы
Uj(x, у, ..., z) = U(tp х, у, ..., z) =
= X(tj х) + Y(tp у) + ... + Z(tp z) = (1.19)
= Xj(x) + Yj(y) + ... + Zj(z)y j = 177,
что выполняется:
{£ У (U х, у, ..., z)Uj(x, у, ..., z) =0}=>{А' sO} (1.20)
— линейная несвязность операторов Up
s
U(t, х, у, ..., *) = £ "'С' *' У, ...» *)*//*. У, ...» 2) (1.21)
— базисность операторов £/., wy() — некоторые функции,
вследствие (1.20) разложение (1.21) — единственно.
10

Так как геометрически оператор (1.17) представляется как
(тп + п)-мерный вектор {тп + п — порядок системы (1.11)), то
базис (1.19) содержит конечное число операторов: s ^ тп + п. Далее
будет уточнено: $ ^ тп. Предполагается, что в множестве
D С Rmn+ny в котором по предположению {(1.7) есть СФР} с учетом
леммы выполняются условия (1.10) и (1.13) (возможно при
некотором сужении £>), один и тот же набор tv ..., ts определяет базисные
операторы (1.19).
Покажем, что функции иу(#) в (1.21) могут зависеть только от
переменной /. Операторы, входящие в (1.19), записываются с учетом
(1.16) следующим образом:
Xj(x) = X(tJt х) = £ <р'('у. *) ^7 = £ ф) -£>
i=\ i=\
Yj(x) = Y(tp у) = J «p'(*, у)-^ = 2ф) j~, (1.22)
Zj(x) = Z(tp z)=2 Vl(t, z) j- = 2 ф) y,/=U.
i=\ i=\
Условие (1.20) линейной несвязности операторов (1.19) при
помощи функций Фу(-) = фЧ(/>) допускает эквивалентную запись
rank |||9J(x)||||Vj(y)||...|l4>j(^)ll| =*. О-23)
а условие (1.21) базисности: система
/' = !
S
2^(зО = «рЧ'.зО. (1.24)
2 uJiplj(z) = <р1((, z), i = 1, Л,
/ = 1
состоящая из тп + п уравнений, относительно s неизвестных uJ
имеет единственное решение. В |27, с. 797] считается, что вид
системы (1.24) делает очевидным независимость функций uJ(t) от
переменных х, у, ..., z. Не исключено, что очевидность основана
на, в общем случае, неверном факте: несвязность операторов
Uj (см. (1.19), (1.20)) влечет несвязность по отдельности
операторов Xj и т. д.
11

Нижеследующие рассуждения являются домыслом переводчика и
толкователя, подтверждающим независимость uJ(t) от х, у, ..., z. Для
нахождения и* нужно выделить из матрицы
\щш\\ф)\\---щш\
один из ранговых миноров (см. (1.23)) и решить соответствующие
этому минору 5 уравнений из совокупности (1.24) относительно s
неизвестных uj. Множество D С Rmn+n^ в котором по предположению
выполняются условия (1.9), (1.13) и (1.23), пересекается с
подпространством {х = у} (см. (1.10)). Подстановка х = у в (1.23) приводит
к результату
rank 11|ф<(у)||||<р<(у)||...||ф)|| | = rank | ||<pjO0||...||<pj(z)|| [ = s,
т.е. при выборе рангового минора можно ограничиться подматрицей
\\\\ф)\\---\\ф)\\\\,
что приводит к виду минора | г|/(у, ..., z) | и к системе уравнений
s J
2^(y,-.,z) = V{^y,-,z), / = 177, (1.25)
/ = J
где V(*> У, •••> z) — соответствующие минору функции в правой
части системы (1.24). Независимость функций ^{у, ..., z),
V(*> у, ..., z) от переменных х приводит к выводу, что единственное
решение uJ(t, у, ..., z) системы (1.25) также не зависит от х. Для
обоснования того, что решение и* не зависит и от других переменных
у, ..., z, рассмотрим два возможных варианта.
1. При построении рангового минора — коэффициентов в системе
(1.25) — не использованы элементы одной из матриц
НфуООН» •••» Нфу(2)Н> например, ||<pjO0||, тогда переменные у
отсутствуют в коэффициентах и правой части системы (1.25), а
следовательно, и в решении и*.
2. Если элементы одной из матриц, например, ||<pj(z)||,
присутствуют в ранговом миноре, заменим эти элементы на одноименные
элементы матрицы ||<pj(x)||, что в силу (1.10) не нарушит ранговость
минора и исключит переменные z и из коэффициентов, и из правой
части системы (1.25), и из решения и*.
Окончательно — функции uJ(t) в (1.21), (1.24) могут зависеть
только от переменной t, а вследствие (1.24), система (1.7) обязана
иметь вид s
*i = 2 фК*)и*(0> 1=17л,
k = \
совпадающий с видом системы (1.1).
12

Введение базиса (1.19) дает возможность эквивалентно заменить
зависящее от t уравнение (1.18) системой независящих от t уравнений
Uj(xy у, ..., z)w(x, у, ..., z) =0, у = 1, s. (1.26)
Действительно, из определения (1.19) операторов U • следует:
{U(t, х, у, ...,z)w(x,y, ...,z) =0}=>{Uj(x, у, ..., z)w(x, у, ..., z) =0},
а из свойства (1.21) базисности:
{Uj(x, у, ..., z)w(x, у, ..., z) = 0} => {U(t, х, у, ..., z)w(x, у,..., z) = 0}.
Для определения количества функционально независимых решений
системы (1.26) ее требуется пополнить [9, 10, 12, 13, 19]: вычислить
все коммутаторы [£/у, Ut]9 линейно несвязанные с базисными (1.19)
добавить к (1.19), а к системе (1.26) — соответствующие уравнения;
вновь вычислить коммутаторы и т. д. Процесс пополнения
завершается, когда после очередного шага система (1.26) останется неизменной,
т. е. все вновь вычисленные коммутаторы линейно (возможно с
переменными коэффициентами) выражаются через уже присутствующие в
системе операторы. Интегральный базис — максимальный по
количеству набор функционально независимых решений — полной системы
Uk(x, у, ..., z)w(x, у, ..., z) = 0, к = 1, г (1.27)
(.v ^ г ^ тп + п) содержит тп + п — г функций [12—14] (из
количества тп + п переменных х, у, ..., z вычитается количество г
уравнений) — первых интегралов системы (1.11). Следуя предположению
{(1.7) есть СФР} и утверждению леммы, считаем, что у системы
(1.11) существует по крайней мере п функционально независимых
вследствие (1.13) первых интегралов (1.12), независящих от ty т.е.
должно выполняться неравенство тп + п — г^ п, совпадающее с
требуемым утверждением теоремы неравенством (1.15). Из
результата тп ^ г и способа построения полной системы Uv ..., Ur для
количества s операторов в базисной системе (1.19) следует указанное
ранее неравенство s ^ г ^ тп.
Операторы US+{J ..., Ur, вычисленные в процессе пополнения,
имеют такую же структуру
Uj(x9 у, ..., z) = Xj(x) + Yj(y) + ... + Zj(z), j = s+l9r9 (1.28)
как и базисные операторы U{, ..., Ur. Этот факт следует из
индуктивного характера построения операторов (1.28): каждый оператор
£/6 + 1, ..., Ur есть результат вычисления коммутатора двух операторов
Uj = \Uk, Ut\, k,l<j9 с меньшими номерами, а строение (1.16),
(1.17), (1.19) исходных базисных операторов приводит к
следующему виду коммутатора
I"*. "Л = Г**. xil + 1у*> у/1 + - + lz*> z/b О-29)
13

Полнота системы операторов Uv ..., Ur и соответствующих
уравнений (1.27) означает, что при некоторых функциях С1и(х, у, ..., z)
выполняется
г
[Uk, U,} = 2 аи(х, у, .... z)Ut, k,l = ~r. (1.30)
(=1
Докажем, что для функций Си(х, у, ..., z) выполняется
CkI = const. С учетом (1.16), (1.17), (1.19), (1.28), (1.29) условие
(1.30) полноты можно записать следующим образом:
\XvXl]=JiCiu(x,y,...,z)Xi,
i = \
г
[yk,Yt]=2Cikl(x>y z)Y„
(1.31)
1 = 1
\Zk, ZJ = 2 С'Дх, у, ..., z)Z., *, I = 1, г.
i = l
С использованием обозначений <pj(x), <pj(>0, •••» 4>j(z) Для
коэффициентов операторов Х{, ..., Zr свойство полноты (1.30) системы
(1.26) и системы операторов Uv ..., Ur запишутся так
rank
\\ф)\\\\ф)\1-Л\ф)\\
(1.32)
— линейная несвязность;
г
2 С*/(*, У, -, «Moo = riiix),
1 = 1
^^^..„^(^да,
(1.33)
i = \
2 С£,(х, у, ..., z)^'(z) = 9iz(z), k,l=Ur
/=l
— замкнутость относительно коммутирования, ф{/() —
коэффициенты в операторах [Xk, Xt\y [Yk, У7], ..., [Zk, Zz]. Как и в случае с
uf(i) (см. (1.24)), в [27, с. 796] считается, что вид системы (1.33)
делает доказываемое утверждение (Clkl = const) очевидным. Подобно
ситуации с uJ(t), приведем домысел, подтверждающий результат
Clkl = const, i, к, 1=1, г. Во-первых, обосновывается, что ранговый
14

минор в матрице, определяющей условие (1.32), можно составить из
элементов подматрицы
H4>jO0l|...||«pj(*)ll
, откуда и из (1.33)
следует независимость Clkl от переменных х. Другие переменные в
случае вхождения в ранговый минор, например, из группы z1, ..., zn,
заменяются одноименными переменными из группы х\ ..., хп, что
последовательно обосновывает независимость Clkl и от этих
переменных. Зависимость Clkl от переменной t исключилась при переходе от
оператора (1.17) к системе базисных операторов (1.19). Утверждение
{(1.7) есть СФР}=>{(1.7) есть ГС}
теоремы полностью доказано: система (1.7) имеет структуру (1.1)
(us+l = О, ..., иг = 0); как следует из (1.32), (1.31) и Clkl = const, для
операторов (1.2) выполняются условия (1.3) —(1.5).
Доказательство: {(1.7) есть ГС}=>{(1.7) есть СФР}.
Рассмотрим результат «тиражирования» системы (1.1)
*' = 2>Н*)«*(0, i = i,i,
к = \
(1.34)
\ т подсистем
k = \
Выбор числа т в (1.34) подчинен требованию (1.15) теоремы.
Системе (1.34) ставятся в соответствие операторы
1/к(х, у, ..., z) = Хк(х) + Ук{у) + ... + Zk(z), к=\7~г, (1.35)
где Xk(x) — операторы (1.2), а другие операторы строятся
аналогично- п п
ук = 2 ч*<у> Ь •••• z*= 2 <{z) Ь k = hr- (L36)
i = l
дУ
Коммутаторы операторов (1.35) обладают специальной структурой
(1.29), и вследствие того, что операторы (1.2) и (1.36) по
отдельности удовлетворяют условию (1.5), этому же условию (1.5)
удовлетворяют и операторы (1.35). Условие (1.3) в определении групповой
системы выполняется по построению. Условие (1.4) с учетом (1.10)
и (1.15) в данном случае принимает вид равенства
rank
Il4>j-(30ll...|l«pj(*)ll
= r,
(1.37)
15

которое накладывает ограничения на выбор частных решений. Таким
образом, при выполнении для частных решений условия (1.37)
система (1.34) является групповой, вследствие чего операторы (1.35) и
соответствующая система уравнений
Uk(x,y,...,z)w = 0, к = ТГг (1.38)
— полные системы. Интегральный базис
wl(x, у, ..., z), ..., wN(x, у, ..., z)
системы (1.38) содержит N = га/г + п — г ^ п функций: из
количества га/г + п переменных х, у, ..., z вычитается количество уравнений
г [12—14], неравенство N> п есть следствие выбора (1.15) числа га.
Операторы (1.35) есть базис для оператора U дифференцирования
функций /(х, уу ..., z) по t в силу системы (1.34):
i=l к=\ °х 1 = 1 *=1 d:v
-+£ £ «pi(*)«*(o 77=£ и*(о^+£ uk(t)Yk+...
...+£и*(024=£и*(о^,
& = 1 к=\
поэтому решения системы (1.38) являются первыми интегралами
системы (1.34). Покажем, что возможно построение интегрального
базиса wlj ..., wN системы (1.38), п < N функций в котором
удовлетворяют условию (1.13) леммы.
Составим полную вследствие (1.5) систему
Uk(y,...,z)w = 0, к = ТГгу (1.39)
определенную укороченными по сравнению с (1.35) операторами
Uk(y, ..., z) = Yk(y) + ... + Zk(z), к = й~г,
где Yk, ..., Zk — операторы (1.36). Полная система (1.39) с учетом
(1.15) имеет в интегральном базисе
wl(y, ...,z),...,^(b...,z) (1.40)
N = mn — г ^ 0 функций, которые, во-первых, не содержат
переменных х, во-вторых, функционально независимы, в-третьих, любое
другое решение w(y, ..., z) системы (1.39) является функцией от них.
По построению (см. (1.35)—(1.40)) решения
wl(y, ..., z), ..., wN(y, ..., z)
16

системы (1.39) являются также решениями системы (1.38) и могут
быть приняты как часть функций
wn+l(y, ..., z) = w\y, ..., z), ..., wN(y< ..., z) = w~N(y, ..., z)
(N = n + N) в интегральном базисе системы (1.38). Дополнительная
часть функций
wl(x9y9...9z)9...9wN(x9y9...9z) (1.41)
в интегральном базисе обязана зависеть от переменных х: решение
w(y9 ..., z) системы (1.38), независящее от х9 есть функция от (1.40),
что противоречит присутствию w(y9 ..., z) в интегральном базисе.
Последнее рассуждение расценивается в [27, с. 798] завершающим
доказательство: {(1.7) есть ГС}=>{(1.7) есть СФР}. На самом деле,
требуется доказать более жесткое условие (1.13), которое, оставаясь
в рамках |27|, доказать не удалось. Доказательство: {(1.7) есть
ГС}=>{(1.7) есть СФР}, основанное на симметриях в системе (1.1),
приведено в § 2 (см. теорему 2.1). ■
Доказательство теоремы 1.1 содержит алгоритм построения для
конкретной групповой системы (1.1) функции (1.8), определяющей
общее решение при помощи частных (сохранена исходная нумерация
формул).
Алгоритм 1.1. Для вычисления формулы
т
х = Ф(уГ^19с19...9с»)9 (1.8)
определяющей общее решение
* = Ф0>(0> •••> z(0> с\ ..., с11)
системы (1.1) через т частных
y(l),.-,z(t)9
требуется:
1. сопоставить системе (1.1) «растиражированную» систему
г
*'' = Е<Р*(*)"*('), i = T7n,
k:1 (1.34)
^=2:4>i(y)«*(o.i
k=i
\ т подсистем,
17

в которой число га ^ 1 добавленных систем должно удовлетворять
неравенству тп ^ г;
2. составить систему
Uk(x, у, ..., z)w = Oy k = Y7r, (1.38)
для нахождения первых интегралов системы (1.34), где Uk —
операторы (см. также (1.36))
Uk(x, у, ..., z) = Xk(x) + Yk(y) + ... + Zk(z), к = 177; (1.35)
3. выбор интегрального базиса первых интегралов
wl(x, у, ..., z), ..., мЛ(дс, у, ..., z), N = тп + п — r^ п
подчинить условию
det
4. решить систему
dwK(x, у, .... z)
дх1
1,к = \
^0;
(1.13)
z) =с1' ..., ю,1(дс, у, ..., z) = сп
относительно переменных х, что и приводит к формуле (1.8).
Другие алгоритмы построения формулы (1.8) приведены в
следующих параграфах.
Пример 1.1. Автономная система
i = «p(x), x<=Rn (1.42)
при условии отсутствия в области рассмотрения особой точки
удовлетворяет требованиям (1.3)—(1.5) определения 1.1: в (1.1) г=1,
u[(t) = 1. Неравенство тп ^ г = 1 выполняется при га ^ 1.
Рассмотрим вариант m = 1, хотя, как показывают дальнейшие примеры,
другие варианты (га > 1) могут упростить построение формулы (1.8).
Следуя алгоритму 1.1, для 2/г-мерной системы
* = <р(*)> У=Ч>(У) (I-43)
вычисляется интегральный базис
wl(x,y),..., w2n-[(x,y), (1-44)
удовлетворяющий условию (1.13). Решение
х = Ф(у, с1,..., с»)
системы
о>Ч*> )0 = с1, ..., w,l(*, У) = сп
относительно х определит зависимость общего решения х(1, с) от
одного частного y(t). Проиллюстрируем работу алгоритма на примере
18

линейного осциллятора х + х = 0. Уравнения (1.43) в этом случае
имеют вид
х1 = дГ, у1 = yL,
Р=-х\ у2 = -у\ <М5)
и вследствие предположения об отсутствии в области рассмотрения
особой точки, выполняется
(У1)2+(У*)2*0. (1.46)
Три первых интеграла системы (1.45) проще всего найти
«переходом-возвратом» к полярным координатам
Уравнения
х1 = Г COS ф,
х2 = г sin ф,
Ф= 1,
г = 0,
У = Я cos ф,
у1 — R sin ф.
ф= 1,
к = о.
обладают очевидными первыми интегралами г, гр — ф, Я, которые в
переменных х, у представляются функциями
^C0S(^"9) = W^v = c'
£ sin (яр -у)= *>;-*У с2, (1.47)
* 0О2 + (Г)2
г2=(у)2+(у2)2 = сЗв
Решение первых двух уравнений относительно дс1, х2 приводит к
выражениям
х1 = Ус1 — у2с2,
1 XI 9 1 (1-48)
общего решения л:(*, с) через любое частное >>(*)• Предположение
(1.46) гарантирует выполнение неравенства (1.9) в определении 1.2.
Достаточная легкость, с которой найдены первые интегралы (1.47) и
формула (1.48) для общего решения, скорее отражает специфику
объекта Зс + х = 0 и не свойственна произвольной линейной
системе — известна трудность вычисления для линейных систем
независящих от / первых интегралов. За счет увеличения количества
привлекаемых частных решений можно в линейном случае получить
общее решение, минуя построение первых интегралов. Традиционное
представление
Л Л.1 ,Л (л
х \ _\у z
х2 - [у2 Z2
Ссг\ 0'«>
19

общего решения x(t, с) через фундаментальную матрицу содержит
два линейно независимых решения y(t), z(t) (в (1.34) m = 2). Для
вычисления (1.49), следуя алгоритму 1.1, требуется добавить к
системе (1.45) уравнения для z. В интегральном базисе первых
интегралов 6-мерной системы находится пять функций. Две из них
должны совпадать с результатом разрешения (1.49) относительно с1, с2.
Обратное разрешение относительно х\ х2 приводит к (1.49) (см.
также пример 1.4).
Теорема 1.1 утверждает, что неавтономная система (1.7) является
системой с фундаментальными решениями (СФР) тогда и только
тогда, когда она имеет специальный вид (1.1) при достаточно жестких
требованиях (1.3) —(1.5), предъявляемых к правой части. С
поверхностной точки зрения представляется, что приобщение произвольной
неавтономной системы к СФР может произойти известным процессом
«автономизации» — замены системы (1.7) автономной системой
у= 1, i = 9(>,)X)) xG Rn (1.7')
Но «чуда» не происходит из-за того, что системы (1.7) и (1.7') не
эквивалентны: функция x(t) из решения x(t), y(t) системы (1.7')
гарантированно удовлетворяет системе (1.7) только тогда, когда
решению л-(/), y(t) соответствуют начальные данные x(/0)=x0,
У(*о) = *о- Пример для сомневающихся:
Уравнения:
х = 2xt
■
к = 2ху,
Решения:
х = х0 е«-'оК'+'о>
y=t-t0 + y0,
х = *0е<'-'оХ'-'.+2*>>.
Сравнение двух функций x(t) приводит к выводу, что они
совпадают только при у0 = t0.
Следующий пример показывает, что проверка системы вида (1.1)
на принадлежность к групповым системам вызывает определенные
трудности. Трудности вызваны тем обстоятельством, что некоторые
операторы (1.2) вводятся для справедливости условия (1.5), в
системе (1.1) им соответствуют значения wy = 0, т.е. функции ^(дс),
определяющие эти операторы, фактически в (1.1) отсутствуют и
подлежат восстановлению. Процесс пополнения есть алгебраическое
пополнение |19], более жесткий процесс по сравнению с процессом
просто пополнения, описанном при переходе от системы (1.26) к
системе (1.27). При алгебраическом пополнении отбрасываются только
те операторы, которые линейно с постоянными коэффициентами
выражаются через уже присутствующие, и процесс может не
закончиться за конечное число шагов.
20

Пример 1.2. Рассматривается скалярная система
x = u(t) + хр, х GR1, (1.50)
где р ^ 0 — натуральное число. Если в (1.50) и — фиксированная
постоянная, то, следуя примеру 1.1, для вычисления общего решения
требуется первый интеграл ip(x) — у(у) = с (ip(x) = \ dx/(u +
+ хр)) системы х = и + хр, у=и + ур разрешить относительно
деде = ip_I(ip(;y) + с), где ip"J(-) — функция, обратная к гр(-).
При р = 0 система — групповая: в (1.1) п= 1, г= 1, у1(х) = 1,
ul(t) = u(t) + 1. Неравенство (1.15) выполняется при т = 1. По
алгоритму 1.1 решаем очевидный первый интеграл х — у = с системы
х = u(t) + 1, y=u(t) + 1
относительно дс, приходим к выражению для общего решения
х = у + с
через произвольное частное у.
При р 2* 1 уравнению (1.50) соответствуют два оператора
*.=£. х>=хРЬ (L51)
удовлетворяющих при любых значениях р^ 1 условиям (1.3), (1.4),
а выполнение условия (1.5) существенно зависит от значения числа
р. При р=\ условие (1.5) удовлетворяется с постоянными1*
С[2=1, т.е. в (1.1): /г=1, г = 2, а для числа т в (1.15) можно
положить т = 2. По алгоритму 1.1 строится система (1.34)
х = u(t) + дс,
y=u(t)+y,
z = u(t) + z,
вычисляется гарантированный теорией, зависящий от дс, первый
интеграл
x — z
w = = с,
y-z
удовлетворяющий (1.13) при у ^ z (первый интеграл w = х/у
очевиден для системы в переменных х = х — z, у = у — z), формула (1.8):
х = z + с(у — z)
— результат разрешения w относительно х (см. также пример 1.5 и
пример 4.2 в |17]). Для частных решений y(t),z(t) условие (1.9)
выполняется в предположении у0 ^ z0 несовпадения частных
решений y(t), z(t).
*' Здесь и далее приводятся только ненулевые постоянные С£/ при к < I.
21

В случае р = 2 уравнение (1.50) — частный случай уравнения
Риккати, которое рассматривается в следующем примере 1.3. Как в
общем, так и в частном случае (1.50), уравнение Риккати —
групповая система (1.1) с г = 3.
При р^З уравнение (1.50) групповой системой не является, т. е.
в процессе алгебраического пополнения системы операторов (1.51)
их нельзя погрузить в конечномерную алгебру Ли. Коммутатор
i_a_
дх'
х2 = [х.,х2]=рХр-
операторов (1.51) при р^ 3 линейно независим от них. Дальнейшее
коммутирование приводит к операторам вида asxsd/dx, в частности,
к операторам
Х4={Х3,Х2)=рх^-1^,
Х5 = [Х4,Х2] = -р(р - 2)х3<"-'> ±
При s>5
где обозначено
Х,= [Х,_1,Х2] = а,х**±
ks = (s-2)(p-l),
а,= (-1УрПЬ„
1=5
bl = (l-4)(p-2) + l-5.
Вследствие р ^ 3, 1^5 для сомножителей Ь{ выполняется bt > 0,
для коэффициентов as: as ф 0, т. е. все операторы Xj явно
представлены в последовательности Xv Х2, ..., Xs, ..., и, так как показатель
степени ks = (s — 2)(р — 1) у xks при s 2* 3 строго и неограниченно
возрастает, операторы Xv Хг, ..., Xs, ... линейно независимы и не
могут быть погружены ни в какую алгебраически полную систему,
содержащую конечное количество операторов. Таким образом, в
данном случае процедура алгебраического пополнения за конечное
число шагов не завершается.
Пример 1.3. Уравнению Риккати [3, 4, 17, 21, 22, 23, 25, 26, 29]
х = ul(t) + 2u2(t)x + u3(t)(x)2 (1.52)
соответствуют операторы (1.2)
*.=£.*2-2*£. *з=(*)2£ (L53)
22

удовлетворяющие условиям (1.3) —(1.5) (в (1.5) С{2 = 2, С23=1,
С2з = 2). Уравнение (1.50) при р = 2 — частный случай уравнения
(1.52): в (1.52) u[(t) = u(t), u2(t) = 0, u3(t) = 1. Оператор X2 (в
индексации (1.53), не совпадающей с индексацией в (1.51)) вычисляется
при алгебраическом пополнении: Х2 = [Х{, Х3]. Дальнейшие
результаты в этом примере справедливы и для уравнения (1.50) при р = 2.
Уравнение (1.52) — групповая система при п = 1, г = 3. Следуя
алгоритму 1.1, полагаем т = 3 и сопоставляем уравнению (1.52) систему
(1.34)
х = ul(t) + 2u2(t)x + u3(t)(x)2,
hl = u\t) + 2u\t)vl + u\t){vl)\ (1 M)
v2 = и1 (0 + 2u2{t)v2 + u3(t)(v2)2,
b3 = ul(t) + 2u2(t)v3 + u3(t)(v3)2.
Требование (1.4), эквивалентное условию (1.37), накладывает
следующее ограничение на выбор частных решений vl(i), v2(t), v3(t) в
(L54): - . . 2.
1 2v[ (v[)2\
= 2(v[ - v2)(v2 - v3)(v3 - v[) =* 0, (1.55)
det
1 2v2 (v2)2
1 2v3 (v3)2
т. е. частные решения vl(t), v2(t), v3(t) должны быть разными.
Составляем полную систему (1.38)
dw . dw . dw . dw л
°x dv dv dv
dw . i dw . 2^1 ъ dw л
(1.56)
dv dv
ил dv dv dv
для нахождения первых интегралов. Интегральный базис первого
уравнения очевиден:
у[=х — v\ y2 = x — v2, y3 = x — v3, (1-57)
т. е. любое решение первого уравнения должно иметь вид
F(yl, Уг-> У3)- Подстановка в оставшиеся уравнения приводит к
системе для функции F(yl, у2, у3).
л dF . 2 &F i 3 &F n
ду1
дул
ду3
ду dy dy
(1.58)
23

Интегральным базисом первого уравнения в (1.58) являются
функции
j=h
z2 = ^
(1.59)
У У
т.е. любое совместное решение первых двух уравнений в (1.56)
должно быть функцией <J>(z!, z2), подстановка которой во второе
уравнение системы (1.58) дает следующий результат:
(1.60)
zi(zi_l)^ + z2(z2_1)ao=0e
dz1 dz2
Обозначение
dz
делает очевидым решение уравнения (1.60)
Ф = ip(z!) — ip(z2) =ln
z-\
mm
т. е. интегральный базис решений системы (1.56) и первых
интегралов системы (1.54) представим функцией
ф
z'-l
'*2-1
Возврат при помощи (1.59) и (1.57) к исходным переменным
приводит к первому интегралу системы (1.54)
3 2
V —V
= С,
(1.61)
который является ангармоническим соотношением для четырех
решений уравнения Риккати (1.53). Решение уравнения (1.61)
относительно х приводит к формуле (1.8) для общего решения
cvl(v3-v2)-
2, 3
■и (и -
■v >
c(v —v ) -
■(.va
V)
(1.62)
Vй
Формула определяет частные решения при значениях постоянных:
при с = 1, v2 при с = 0, vl при с = оо. Уход постоянной с на
бесконечность можно миновать переходом к иной прозвольной
постоянной а, например,
а-2
с = 2
a-V
С постоянной а формула (1.8) принимает вид
2{a-2)v\vl-v2) - (а - 1)и2(и3-v1)
X =
2(a-2)(v*-v2)-(a-l)(v3-vl)
(1.62')
24

при соответствии: v1 при а = 1, v2 при а = 2, v3 при а = 3. Проверка
показывает, что требование (1.55), предъявляемое к частным
решениям, гарантирует для (1.62') выполнение условия (1.9) в
определении 1.2.
Пример 1.4. Линейная однородная система [4, 5]
к = A(t)x, х е R"
в координатной записи
имеет вид (1.1):
х1 = ^а){1)х\ /=1,л,
j = i
(1.63)
(1.64)
{a\(t), ..., <(/)} = W(t), ..., ur(t)}, r = n
= „2
0
0
= ll«pi(*)ll.
(1.65)
0 x1 0 x"
Системе (1.64) соответствует n2 операторов (1.2)
x'k = xl—k, k,i = TTTi.
K dxk
для которых при |x| ^ 0 выполняются условия (1.3)—(1.5): в (1.4)
rank ||ф£(х)|| = п *= г = п2;
в (1.5)
a'p=l WW
Cv""' = 6^6'61 - 6? 6'6' = const,
6^? — символ Кронекера. Так как в (1.64) г = /г2, то для выполнения
неравенства тп ^ г = п2 можно принять т = п. Следуя алгоритму
1.1, добавим к системе (1.64) п экземпляров аналогичных систем
где к — номер экземпляра. С использованием обозначения
V(v„ -.., va) = \\v'k\\
(1.66)
25

для матрицы, столбцы которой — решения системы (1.64) (или
(1.63)), систему (1.66) можно записать в виде
V = A(t)V. (1.67)
Для выполнения требования (1.13) алгоритма 1.1 предполагаем,
что решения v{(t), ..., vn{t) линейно независимы, т. е. справедливо
неравенство
det V^O (1.68)
Первые интегралы w(x, v) системы (1.63), (1.67),
удовлетворяющие (1.13), найдем, минуя составление уравнений (1.38). Для
матрицы W, обратной к К, с учетом (1.67) и (1.68) выполняется
WV = E,
WV + WV=WV + WAV=(W+WA)V = 0, (1.69)
W=-WA.
Из уравнений (1.63) и (1.69) следует
j-t(Wx) = Wx + Wx = -WAx + WAx = 0,
т. е. матрице W(v) = V~l(v) соответствует n первых интегралов
W(v)x = c (1.70)
системы (1.63), (1.67). Интегралы (1.70) определяют выражение
x=V(vl,...9vn)c (1.71)
общего решения системы (1.63) через матрицу, столбцы которой
линейно независимые частные решения v{(t), ..., vn{t), —
фундаментальную матрицу системы (1.63). Другая запись общего решения
(1.71) через частные vt(t)
x(t) = Vl(t)cl + ... + vn(t)cn. (1.72)
Пример 1.5. Линейная неоднородная система [3, 4]
x = A(t)x + b(t), xGRn (1.73)
также имеет вид (1.1):
{а}(0, ..., <(0, *!(0, ..., bnn(t)} = {u\t), ..., W(t)}, r = n2 + n,
с1 0 хп 0 1 01
0 х1 0 хп0 1
= Нф£(*)Ц.
26

Операторы (1.2), соответствующие системе (1.73), есть
совокупность операторов (1.65) и
х.=± ; = Т7^. (1.74)
дх1
Совокупность (1.65), (1.74) удовлетворяет условиям (1.3)—(1.5)
во всем пространстве Rn. Так как в (1.73) г = п2 + /г, то для
выполнения неравенства тп ^ г = п2 + п можно принять т = п + 1 и,
следуя алгоритму 1.1, добавить к системе (1.73) п + 1 экземпляр
аналогичных систем
vt = A{t)vt + 4(0, I = 6Гл, (1.75)
где / — номер экземпляра. Вычтем экземпляр vQ = A(t)vQ + b(t) из
других систем совокупности (1.73), (1.75). Переменные
х = х — v0, vk = vk — vQ, к=\,п (1.76)
удовлетворят системе
x = A(t)x, v = A{t)vk, k = l,n,
совпадающей с системой (1.63), (1.67) из предыдущего примера 1.4
и поэтому обладающей общим решением (1.72)
x(t)=vl(t)cl+... + va(t)cn.
Возврат (1.76) к исходным переменным определяет формулу
x = v0+(vl- v0)sl + ... + (va - v0)c\ (1.77)
где vQ, ..., vn — решения системы (1.73), на которые наложено
единственное ограничение: соответстующие решения vk = vk — v0,
к = 1, /г, однородной системы х = A(t)x должны быть линейно
независимы.
Системе (1.73) при любых функциях alk(t), bl{t) соответствует
(п2 + п)-мерная алгебра Ли с базисом (1.65), (1.74). Специализация
функций alk(t), bl{t) может привести к операторам (1.2),
принадлежащим подалгебре меньшей размерности, и к упрощению формулы
(1.77) для общего решения. Так, например, однородной системе
(1.63) соответствует /г2-мерная подалгебра с базисом (1.65), ее общее
решение выражается и по формуле (1.77) с (п+ 1) частным
решением и по формуле (1.72), в которой п частных решений.
Пример 1.6. Рассмотрим еще один пример ухода в подалгебру.
Система [3, 4, 27J
xl=x2u(t) +b\t), (1 78)
i2=-xlu(t) +b2(t)
27

— частный случай системы (1.73) при специализации
aj=0, а2 = 0, a\=u(t), a2 = -u(t), (1.79)
в результате которой системе (1.78) соответствует 3-мерная алгебра
Ли с базисом
X 0 = х г — х ~, Xt = г, Х2= т (1.80)
0 дх1 дх2 1 дх1 1 дх2
(в (1.5) Cq, = 1, Cq2 = — 1) — подалгебра 6-мерной (г = п2 + п)
алгебры с базисом (1.65), (1.74). Общее решение системы (1.78) пред-
ставимо формулой (1.77), содержащей три частных решения, но,
благодаря специализации (1.79), потребное количество частных
решений можно уменьшить. Так как для (1.78) выполняется п = 2,
г = 3, в неравенстве тп ^ г полагаем т = 2. Следуя алгоритму 1.1,
добавляем к системе (1.78) системы
yl = fu(t)+bl(t), (181)
y2 = -y[u(t) + b2(t)
z[ = z2u(t) +b\t), /j 82)
z2 = -z[u(t)+b2(t)
и вычитаем уравнения системы (1.82) из соответствующих
уравнений систем (1.78), (1.81). Приходим к системе уравнений для
переменных х1 = х1 — z\ у1 = у1 — zl
x[=x2u(t), yi = y1U(t), (1.83)
х2 = — x[u(t), у1 = — y[u(t).
Очевидно, что множества независящих от / первых интегралов
w(x) у систем х = ф(дс) и х = y(x)u(t) (х G Rn, u(t) — скалярная
функция) совпадают, поэтому система (1.83) обладает первыми
интегралами (1.47) системы (1.45):
~1 9 ~9 9 '
o-V+o-V
(?)2+(?)2
и аналогичным (1.48) общим решением
х = ус1 — yV ,
~2 —1 2 | —2 1
х — ус +ус,
28

где уЧОчЗ^СО —: любое нетривиальное ((у1)2 + (у1)2 ^ 0) решение
системы у1 = у2, у2 = — у1. Возврат к исходным переменным приводит
к общему решению
x' = Z1 + (/-zV-0'2-zV, /184ч
2 2 I / 1 1\ 2 /2 2\ 1 Vх'" V
х = zz + (у1 — zl)<r — (у — zz)cS
где {У(0» )>2(0Ь (z40> z2(0} — любые два несовпадающих
решения системы (1.78):
(У1)2 + (У2)2 = (У - z1)2 + (/ - z2)2 * 0.
В отличие от [3, 4, 27], где выражения общего решения через два
частных нелинейны, формула (1.84) — линейна.
29

§ 2. Группы, допускаемые групповыми системами
В параграфе подвергается сомнению мысль: «Этот вопрос (системы с
фундаментальными решениями) не имеет прямого отношения к
допускаемой группе...» [3, с. 34; 4, с. 1141. Допускаемая группа —
группа симметрии — переводит решения системы
дифференциальных уравнений в ее же решения и поэтому является естественным
«размножителем» решений. Если допускаемая группа просто транзи-
тивна, то ее уравнения определяют формулу (1.8) для общего
решения в определении 1.2: требуется одно частное решение, групповые
параметры играют роль произвольных постоянных.
Следующее определение конкретизирует, в каком смысле
понимается далее термин «группа симметрии» для групповой системы (1.1).
Определение 2.1 [16,21]. Группа
х = ф(х, х1,..., т"), х, x(ERn (2.1)
преобразований пространства состояний х G Rn называется группой
симметрии по состоянию (допускаемой группой) системы (1.1),
если она допускается системой (1.1) при любой специализации
функций uk(t). Другими словами, замена переменных х<-*х,
определяемая (2.1), переводит систему (1.1) в систему
г
*' = 2>*(*)и*(0, 1 = 17^,
с такими же функциями ф£(') в ПР^В0И части, как и в (1.1).
Соответствующие группе генераторы
, I, 1=1, Р
т = 0
называются операторами симметрии по состоянию. Из
определения 2.1 следует, что при любой специализации в (1.1) функций
uk(t) преобразования группы (2.1) переводят решения системы (1.1)
в ее же решения. Следующая теорема доказывает, основываясь на
симметриях в системе (1.1), утверждение
{(1.7) есть ГС}=*{(1.7) есть СФР}
теоремы 1.1.
Теорема 2.1. Групповой системе (1.1) можно поставить в
соответствие просто транзитивную группу симметрии по состоянию, уравне-
Л = 2 4(*)
i = \
д
а\(х) =
ЭФ'и, т)
дт'
30

ния которой выражают общее решение системы через одно или
несколько частных решений.
□ Рассмотрим отдельно три варианта взаимодействия между
числами п и г в (1.1).
1. г = /г. В этом случае система (1.1) по определению 1.1
называется L-системой. В отличие от других групповых систем (г *=■ п) п-
параметрическая группа (1.6), соответствующая алгебре Ли с
базисом (1.2) — просто транзитивна. Следствием просто транзитивности
является существование также /г-параметрической взаимной группы
[13, § 30]
х = Ф(х, т\ .... т"), x,xGRn (2.2)
— преобразование, принадлежащее одной из групп, перестановочно
с любым преобразованием из другой группы. Операторы
л х^ i/ \ д i, ч дФ (х, т)
дхг 'v ' дх1
, £, /= 1, г = /г, (2.3)
х = 0
взаимной группы (2.2) удовлетворяют условиям (1.3) — (1.5), причем
с такими же постоянными C{z в (1.5) [13, § 30]. Для операторов
(1.2) и (2.3) справедливо
[^,^1=0, к,1=\7п. (2.4)
Оператор X дифференцирования функции w(x) по t в силу
системы (1.1) выражается через (1.2) следующим образом:
п п
X = £ <pi(*)n*(0 V7 = 2 **(')**. (2.5)
поэтому с учетом (2.4) при любых функциях uk(t) выполняется
равенство
п
[X, At] = ^ uk(t) [Хк, At] = 0, *, I = 17я,
которое является условием того, что группа (2.2) есть группа
симметрии системы (1.1) при любой конкретизации функций uk(t) [9—
11, 13, 16, 18, 27]. Подстановка любого частного решения x(t)
системы (1.1) в уравнения (2.2) группы симметрии определяет также
решение
системы (1.1). Так как (2.2) — просто транзитивная группа,
решение (2.6) при различных параметрах т является общим.
Согласование обозначений — в (2.6) y(t)^>x(t), x(t)^>x(t), с—>т —доказы-
31

вает формулу (1.8). Неравенство (1.9) следует из (2.3) и (1.4):
det
ЭФЧлг, т)
дт
т = 0
= det \\аЦх)\\*0.
Условие (1.15) теоремы 1.1 также выполнено — в (1.1) и (2.6):
га = 1, г = п.
2. г < п. Полная, вследствие (1.5), система
Xkw = О, к = \7~г (2.7)
где Хк — операторы (1.2), обладает непустым интегральным базисом
w\x), ..., wn~r(x). (2.8)
На основе (2.5) и (2.7) делается вывод, что функции (2.8) —
первые интегралы системы (1.1) при любых функциях uk(t):
Xw = J Ч>£(*)"*(0 fr = £ «*(0**«» = 0.
Неособенная замена переменных
У = /(х), ..., / = /(*),
z1 = аух(х), ..., zn_r = шп"г(х)
существует и приводит систему (1.1) к виду
(2.9)
z' = 0, /=l,n-r,
причем уравнения для переменных у — L-система в соответствии с
определением 1.1. На практике переход (1.1)—>(2.9) осуществляется
в два шага. На первом — произвольное невырожденное
преобразование vl = г/(х), i = 1, г, zl = wl(x), I = 1, n — г придает системе (1.1)
вид
k = i
zl
(2.10)
:0, /=1,П-Г,
причем при любой фиксации zl = с1 функции ylk(v, с) удовлетворяют
условиям (1.2) —(1.5) с совпадающими постоянными CJkl в (1.5), что
дает возможность сделать второй шаг [9, § 16.11] — заменой
переменных у = y(v, z), z = z исключить переменные z из правой части:
32

(2.10)—> (2.9). Система (2.9) допускает /г-параметрическую группу
симметрии
у = Ф(у, т1, ..., тг), у, yGRr,
zl = zl + т'+/,
I = 1, n — r,
(2.11)
параметры т , ..., т соответствуют аналогично предыдущему
пункту L-системе для переменных у. Наличие (или отсутствие)
симметрии — факт инвариантный, поэтому при возврате у, z—>х к
исходным переменным группа (2.11) перейдет в
/г-параметрическую группу симметрии х = Ф(х, т) системы (1.1), на основе
которой, подобно пункту 1, строится общее решение (1.8),
удовлетворяющее (1.9). Как и п. 1 условие (1.15) выполняется: га=1,
п > г. Ситуации с симметриями в пунктах 1 и 2 отличаются
следующим образом. При г = п вся совокупность преобразований
симметрии — /г-параметрическая группа (2.2), которой соответствует
/г-мерная алгебра Ли с базисом (2.3). При г < п множество
преобразований симметрии имеет функциональную мощность: в (2.11)
можно было бы в качестве преобразований симметрии для z взять
zz =/z(z, т1, ..., тп), где fl — произвольные функции,
удовлетворяющие групповым аксиомам. Выше приведен один из вариантов
построения для системы (1.1) при г < п /г-параметрической группы
симметрии.
3. г > п. На основе системы (1.1) создается система, состоящая из
га подсистем (в (1.34) и (2.12) по разному понимается «га
подсистем»)
*' = 2 ф£(*)"*>
k = \
У1 = ^^У)ик,
k = \
z' = 2?£(z)k*, *=l,n
k = i
га подсистем
(2.12)
Если выбор числа га подчинить требованию г ^ га/г, то система
(2.12) удовлетворит условию одного из предыдущих пунктов 1 или
2, вследствие чего система (2.12) допускает группу симметрии
(Ф(х, у, .... Z, х1, ..., хт»)\
^
Z
Фу(х, у, ..., Z, х1, ..., хтп)
ФЛх, у z, т\ .... хтп)
(2.13)
33

Уравнения х = Фх() в (2.13) после переобозначений
Ф—>ФХ, х—>х, у—*х, у^*у, с—>т
решают задачу построения формулы (1.8) для общего решения:
т
x = <i>(y,y,...,z,ci,...,c"tn)
(2.14)
«Перебор» произвольных постоянных с\ £= 1, тп > п, в (2.14)
устраняется следующим образом. Так как для просто транзитивной
группы (2.13) справедливо неравенство
det
ПН*
II II дгк \
' ,,,,
1 **** 11
^ О, £ = 1,п, Л=1,/лп,
то для функций Ф = Фх выполняется
I эф1" I
rank
/г, £=1,п, £=1,га/г>/г.
Параметры т*1, ..., т*п, соответствующие ранговому минору,
примем за произвольные постоянные xki = с1, i: = 1, /г, для остальных —
положим Т; = 0, i^kt. По построению функция
m
*(0 = ф = фх(у(0. КО. •••> *(0. с1. — ^п)
является общим решением системы (1.1) и удовлетворяет условию
(1.15) теоремы 1.1. ■
Доказательство теоремы 2.1 содержит алгоритм построения для
конкретной групповой системы (1.1) функции (1.8), определяющей
общее решение при помощи частных.
Алгоритм 2.1. Для вычисления формулы (сохраняется исходная
нумерация формул) т
х = Ф(£^,с1,...,с"), (1.8)
определяющей общее решение
m
x(t) = Фх(у(0> •••>*(*)> с\ ..., сп)
системы (1.1) через т частных
У(0, •••>*(*)
требуется:
1. г = /г ((1.1) — L-система).
34

а) Вычислить взаимную к (1.6) группу
х = Ф(х, т\ ..., тп), x,xGRn (2.2)
— группу симметрии по состоянию системы (1.1). Для вычисления
нужно составить систему (2.4) для коэффициентов а1(х) операторов,
принадлежащих соответствующей (2.2) алгебре Ли. Система (2.4),
разрешенная относительно производных, имеет вид
где ||^pf(x)|| — матрица, задающая правую часть L-системы (1.1),
Н'Ф/Ч*)!! — ей обратная: ||ipf(x)|| = ||^(х)||-1. Линейно
независимые решения alk(x), i, к = 1, п системы (2.4) или ее следствия (2.15)
определят базис (2.3) алгебры Ли, по базису вычисляются уравнения
просто транзитивной группы (2.2). Иногда удается построить группу
симметрии, минуя системы уравнений (2.4) или (2.15), например,
исходя из физических или геометрических свойств процесса,
моделируемого системой (1.1) (см. пример 2.2).
б) Переобозначение у—>х, х—>5с, с—>т в (2.2) приводит к
формуле (1.8) с одним частным решением.
2. г < п.
а) Составить при помощи операторов (1.2) систему
Xkw = О, к = 177, (2.7)
и вычислить п — г ее независимых решений
wl(x),...,wn-r(x) (2.8)
— интегральный базис первых интегралов системы (1.1).
б) Неособенной заменой переменных
vl = vl(x), ..., vr = vr(x),
z{ = w\x), ..., zn~r = wn~r(x)
придать системе (1.1) вид
г
v' = 2 ?(v' z)"*> i = *'r'
*=i (2.10)
i' = 0, /=l,/i-r,
Второй заменой переменных
У = yl(v, z), ..., / = /(v, z),
zl=zl, ..., zn~r = zn-r
35

исключить переменные z из правой части:
yi = lL фИ>0"*> ' = Ь г>
к = \
(2.9)
;/ —
О, 1=1, п-г.
в) Вычислить для системы (2.9) группу симметрии по состоянию
у = Ф(у, х1, ..., тг), JjGi?r,
V = zl + тг+/, I = l,n-r,
(2.11)
— преобразования для переменных у вычисляются в соответствии с
п. 1 (уравнения для у в (2.9) — L-система), преобразования для z —
очевидны.
г) Вернуться в (2.9) к переменным х, что приводит к просто
транзитивной группе симметрии (2.2), а после переобозначений у—>х,
х—>х, с—>т к формуле (1.8) с одним частным решением.
3. г > п.
а) Подчинить выбор числа т ^ 2 требованию г ^ тп и поставить
в соответствие системе (1.1) систему
*f' = 2 ф£(*)"*
к=\
у' = 2,УкМик>
к=\
т подсистем
(2.12)
б) Система (2.12) является групповой и удовлетворяет условию
одного из предыдущих пунктов 1 или 2, что дает возможность
вычислить для (2.12) просто транзитивную группу симметрии
(фх(х, у, ..., Z, т1, ..., Хта>)
ф
Z
V /
Фу(х, у, ..., z, т1, ..., ттп>
Ф_(х, у, ..., Z, т1, ..., т
/пп)
(2.13)
в) Переобозначение
Ф-*Ф х-
>х,
►х,
приводит к формуле (1.8) для общего решения:
т
х = Ф(у, J,'..., z, с1, ..., cmn)
(2.14)
36

с т частными решениями. Для полного совпадения (2.14) и (1.8)
можно согласовать количество произвольных постоянных с:
оставляем произвольными те постоянные (перенумерацией можно добиться,
что это с1, ..., сп), для которых выполняется (1.9), остальные
постоянные полагаем с1 = О, i> п.
В пунктах 1 и 2 построенная формула (1.8) для общего решения
содержит одно частное. Если по некоторым соображениям
желательно, чтобы в (1.8) было т> 1 частных решений, то надо сопоставить
системе (1.1) систему (2.12) и далее действовать в соответствии с
пунктом 3 алгоритма 2.1.
Пример 2.1. Убедимся в том, что группа симметрии по состоянию
уравнения Риккати (см. пример 1.3)
х = ul(t) + 2u2(t)x + u3(t)(x)2
тривиальна, т. е. содержит только тождественное преобразование
х = х, или, другими словами: для генератора группы
А=а(х)^- (2.16)
4 ' дх
выполняется а(х) = 0. Условие [Хк, Л] = 0 на коэффициент а(х)
оператора симметрии (2.16) (см. (2.4) и (1.53)) приводит к
уравнениям
|^ = 0, 2х^--2а = 0, (х)2¥--2ха = 0,
дх ' дх ' v ' дх
из которых и следует доказываемый результат: а(х) = 0.
Для сопоставления уравнению Риккати просто транзитивной
группы симметрии добавляем, следуя п. 3 алгоритма 2.1 (г>/г), два
уравнения, приходим к L-системе
х1 = u\t) + 2u2(t)xl + u3(t)(x1)2,
х2 = u\t) + 2u2(t)x2 + u\t)(x2)\ (2.17)
x3 = ul(t) + 2u2(t)x3 + u3(t)(x3)2
с операторами (1.2)
3 3 3
ЛГ1 = уА v=2Yx'—, Х3 = У(х)2-^ (2.18)
1 A dx' 2 А дх1 3 -Л дх1 v '
и с подлежащим вычислению оператором симметрии
л-j «'00 Л (2л9)
;=1
37

Условие (2.4) связывает коэффициенты операторов (2.18), (2.19) и
после раскрытия приводит к системе уравнений
да1 . да1 . да1 А i о о
—г + —2+Т~з = 0' 1=1,2,3,
а*1 дх2 дх3
х1Ц + хг^ + хзЦ=а^ (2.20)
дх1 дх2 дх3
дх дх дх
Система (2.20) состоит из трех подсистем, каждая из которых
содержит только одну искомую функцию я', вследствие чего переход к
системе (2.15) нецелесообразен. Решение каждой из подсистем
аналогично решению системы (1.56). Первое уравнение имеет общее
решение а1 = Fl{yv, у2), где у1 = х1 — х1, у2 = х2 — х3. Подстановка в два
оставшихся уравнения приводит к системам для F'(yl, у2)
(У)25+(У)27Т=2(1-6?)У^
ду ду
(б3 — символ Кронекера). Подстановка общего решения
Fl = yo'(z), где z = у1/у2, первого уравнения во второе приводит к
уравнениям для Ф'(2)
(2-1)^ = 2 4(1-^)Ф/-Ф/, /=1,2,3. (2.21)
Рассмотрим уравнение для Ф3:
-т— = г Ф •
</z z— 1
Его общее решение
ф6
z-\
с возвратом к переменным х1, х2, х3 определяет функцию я3(х) в
операторе (2.19):
а\х) = /03(z) = с3 -^- = с3 -^ = с3 С2-*'"*2-*3), (2.22)
z— 1 У —У х —х
с3 — произвольная постоянная. Интегрирование уравнений (2.21)
при £=1,2 приводит к функциям
а\х)-с1^-хУ-х1\ а\х) = г(хЪ-х])(х\-х1)
2 3 ' " VA/ ^ 3
X —х х —х
38

— результату циклических перестановок индексов 1, 2, 3 в (2.22).
Проведенные вычисления позволяют сделать вывод: система (2.17)
допускает однопараметрические группы симметрии по состоянию с
генераторами
А = с1А{ + с2Л2 + с3Л3, (2.23)
где обозначено
и2-*1)**3-*1) а
(2.24)
1
л —
Л2
А —
л3
(х3-
Ос1-
х2-хъ
-*W-
*3-х'
-хЫх2-
J J1
-х2)
-х3)
Эх1'
а
Эх
а
1,.з-
Коммутатор [Лр Л^] двух операторов симметрии также оператор
симметрии |9—11, 13, 16, 18, 27], а значит принадлежит совокупно-
з _
сти (2.23), и для него должно выполняться [Лр Лк] = 2 С^Л^ т. е.
/=i
совокупность (2.23) — 3-мерная алгебра Ли с базисом (2.24).
Алгебре соответствует 3-параметрическая группа симметрии, которая
любое частное решение системы (2.17) «тиражирует» в общее
решение этой системы. Для построения общего решения уравнения Рик-
кати — одного из уравнений системы (2.17) — достаточно знать од-
нопараметрическую подгруппу группы симметрии. Для удобства
дальнейшего сравнения вычислим подгруппу, соответствующую
оператору Л3 в (2.24). Система для нахождения уравнений (2.1) группы
£?il О ^-П clz3 _(xl-x3)(x2-x3) ~iym_Yi
dx "~U' dx "~U' dx - J1_J2 > X{V)-X
достаточно просто интегрируется (третье уравнение с учетом первых
двух — с разделяющимися переменными) и приводит к неявно
заданным уравнениям (2.1) группы
;з-х' хз-х1 х
~3 2 3 2е*
х —х х —х
Решение последнего равенства относительно х3 приводит к формуле
х3 = ^1и3-^2)-^3-х1)> (225)
е~х(х-х2)-(х-х1)
совпадающей с формулой (1.62) с точностью до обозначений
vl = xl, х = х3, с = е~х. Таким образом, каждая из трех формул
39

(1.62), (1.62'), (2.25), во-первых, задает общее решение уравнения
Риккати (1.52) через три частных, во-вторых, определяет группу
симметрии «растиражированной» системы (2.17), т. е. формулы
(1.62), (1.62'), (2.25) имеют ярко выраженный симметрийный
характер (см. начало § 2).
Пример 2.2. Точка движется в плоскости (х2, х3) под действием
силы F, перпендикулярной скорости v, (см. рис. 2.1). Анализ
показывает, что при таком движении скорость v не меняется по величине.
Введение переменной х1 — угла между осью х2 и направлением
скорости v — и выбор масштабов для х2, х3, F приводит к уравнениям:
< » \ (\ О 0 \ /l
W
)
и
COS X
sin X
О cos х1 —sin х1
О cos х2 cos x1
u\
1
V°/
(2.26)
л-зА
Проверка условий (1.3) —(1.5) показывает, что система (2.26) есть
L-система со структурными постоянными С312= 1, С23 = — 1 (см.
сноску на стр. 21). Геометрический смысл переменных х1 в (2.26) (см.
рис. 2.1) позволяет «угадать»
гарантированную теоремой 2.1 и
алгоритмом 2.1, п. 1 (г = п) 3-параме-
трическую группу симметрии
х1 = х1 + т1,
х2 = х2 cos т1 — х3 sin т1 + т2,
х3 = х2 sin т1 + х3 cos т1 + т3.
5 (2-27)
РИС. 2.1 Параметры т2, т3 определяют сдвиг по
«циклическим» координатам х2 и х3;
при повороте плоскости (х2, х3) вокруг
начала координат на угол т1 такой же угол требуется добавить к
координате х1. Уравнения (2.27) решают задачу построения для системы
(2.26) общего решения при любой функции u(t): нужно в (2.27)
подставить произвольное частное решение системы (2.26). Групповые
параметры т1, т2, т3 играют роль произвольных постоянных.
Пример 2.3. Рассмотрим случай, когда известен лишь «осколок»
системы (2.26). Системе
х1 = и, х2 = cos х1
соответствуют в (1.1) (и1 = и, и2=\) матрица
»*''« = (J J*'
(2.28)
40

и операторы (1.2)
*i =
дх1
v 1 д
Хэ = cos л: —~,
z дх2
для которых не выполняется условие (1.5). Добавив к Xv Х2
коммутатор
X, = \Х<, ХЛ = —sin х1 —~,
6 дх2
приходим к эквивалентной (2.28) групповой системе (1.1) (п = 2,
г = 3)
-fi °, ° .1^
10 cos xl —sin xl\
v°/
(2.29)
удовлетворяющей условиям (1.3)—(1.5) (в (1.5) С\г=\, С23 =
= — 1) — к системе (2.26) без третьего уравнения. Система (2.29)
соответствует п. 3 алгоритма 2.1 (г>п), добавляем к ней такую
же систему, приходим к групповой системе (2.12)
(и\
1
1 0 0
0 cos х1 —sin х1
1 0 0
0 cos у1 —sin у1
А
1
V0/
(2.30)
Для того, чтобы выполнялось условие (1.4), предполагаем х10 ^ у10,
что гарантирует для любых значений t выполнение неравенства
Применяем алгоритм 2.1, п. 2. Первый интеграл w = х1 — у1
системы (2.30) очевиден. В результате замены переменных
г,'=*\ v2 = x2, v3 = y2, v4 = xl-yl (2.32)
система (2.30) принимает вид (2.10)
'10 0
(V\
0
Ь4 = 0.
COS X
.1 л.4
—sin X
10 cos (v — v ) —sin (v — v ) I
1
v°/
Еще одна замена переменных (неособенная вследствие (2.31),
(2.32))
-Ц (v4 - v2 cos v4), z4 = v4 (2.33)
z> = t,\ z2 = v2, z3--
41

приводит к системе (2.9)
&\
и \
1
COSZ
sin z
(l О 0 ^
О cos z1 —sin z1
О sin z1 cos z1
1
(2.34)
24 = 0,
у которой первые три уравнения совпадают с //-системой (2.26).
Система (2.34) допускает группу симметрии по состоянию (2.11)
(см. (2.27))
zl = z1 + х1,
zz= z2 cos т1 — z3 sin т1 + т2,
z3 = z2 sin т1 + z3 cos т1 + т3,
"4 4 | 4
Z = Z + Т .
Возврат в уравнениях группы при помощи (2.32), (2.33) к
переменным дс1, х2, у1, у2 определит группу симметрии системы (2.30).
Ограничимся первыми двумя уравнениями
х1 = х1 + х\
^2 2 1
xL = X cos т1
{у2-*2 cos (х1-у1)} + т2.
(2.35)
sin (х — у )
Уравнения определяют общее решение x(t, т1, т2) системы (2.28)
через любые два ее частных xl(t), x2(t) и yl(t), y2(t),
удовлетворяющих (2.31). Групповые параметры т1, т2 в (2.35) играют роль
произвольных постоянных. Громоздскость формул (2.35) по сравнению с
(2.27) объясняется правилами игры, навязанными определением 1.2: в
правую часть формулы (1.8) имеют право входить только частные
решения системы (1.7). Ослабление определения 1.2, проведенное в § 3,
позволяет для построения общего решения системы (2.28) добавить к
ней одно уравнение — третье уравнение в системе (2.26) — и
воспользоваться формулой (2.27), которая выражает общее решение обеих
систем (2.26), (2.28) через три функции xl(t), x2(t), x3(t) — частные
решения системы (2.26), в отличие от четырех функций xl(t), x2(t) и
У(0» У2(0 в уравнениях (2.35).
Пример 2.4. Автономная система (см. пример 1.1)
i = «p(x), xSERn (1.42)
есть объект одного из пунктов 1 или 2 алгоритма 2.1 (I = г ^ п). В
соответствии с алгоритмом вычисляется группа симметрии по
состоянию
£ = Ф(х, т1, ..., тп), х, х (Е Лп, (2.2)
42

которая и превращает частное решение x(t) в общее x(t). К примеру,
для нахождения группы симметрии при п = 1 можно составить
систему (2.15)
da _ 1 dy(x)
dx <р(х) dx '
ее общее решение: а(х) = С<р(х), оператору симметрии Л =
= <р(х)д/дх соответствует группа симметрии по состоянию
Зс = v~l(v(x) + т)
(v(x) = [ —гх> v~4) — функция, обратная к v(x), предполагается
отсутствие в области рассмотрения особой точки).
Для автономной системы (1.42) возможен иной по сравнению с
привлечением системы (2.15) путь построения группы симметрии по
состоянию. Любой системе (1.7) обыкновенных дифференциальных
уравнений соответствует коммутативная просто транзитивная
группа симметрии с генераторами
п
At = 2 a\(t, х) —-, 1=1, п,
i = \
где матрица \\a\{t, х)\\ является обратной к матрице Якоби
\\dwl(t, х)/дл:*||, построенной по произвольному интегральному
базису первых интегралов wl(t, х), ..., wn~l(t, х), wn(t, х) [9, § 8.3,
лемма; 18, § 2, теорема 2.2, идея доказательства приведена при
доказательстве теоремы 2.2]. Интегральному базису первых интегралов
автономной системы можно придать вид
wl(x), ..., wn~l(x), wn(x) — t
из которого и следует независимость от переменной t операторов
симметрии (2.3) и группы симметрии по состоянию (2.2), что дает
возможность использовать уравнения группы в качестве формулы
(1.8) для построения общего решения. Как и в примере 1.1, проил,-
люстрируем построение группы симметрии, следуя вышеуказанному
пути, для линейного осциллятора
■ 1 2 * 2 1
X = X , х — —х.
Переход к полярным координатам х1 = г cos <р, х2 = г sin <р
определяет уравнения ф = 1, г = 0 для которых интегральный базис г,
Ф — t первых интегралов нужного вида очевиден. Возврат к исходным
переменным приводит к первым интегралам
2
wl = in г = lnV(x1)2+(x2)2, w2 = arctg —x-t.
43

Первым интегралам соответствует матрица Якоби
Эо/
1
OcV + Oc2)2
х-х2 х{
и обратная ей матрица коэффициентов операторов симметрии
КМ» -£-/
По операторам симметрии
л 1 д . 2 д , 2 д . 1 Э
1 Эх1 дх2 2 Эх1 Эх2
вычисляется группа симметрии по состоянию
х1 = ех (xl cos т2 — х2 sin т2),
Зс2 = ех (х{ sin т2 + х2 cos т2),
на основе которой строится общее решение x(t) как функция одного
частного x(t). Отметим, что формула для общего решения,
полученная здесь, и формула (1.48) совпадают с точностью до обозначений
для произвольных постоянных: с1 = ех cos т2, с2 = ех sin т2.
В приведенных в этом параграфе примерах формула для общего
решения строится на основе группы симметрии, причем в примерах
2.1 и 2.4 построенные формулы совпадают с точностью до
преобразования произвольных постоянных с формулами, вычисленными в
примерах 1.1 и 1.3 при помощи алгоритма 1.1. В следующей теореме
доказывается, что эти совпадения не случайны. Сохраняется
нумерация введенных ранее формул.
Теорема 2.2. Пусть система
x = <p(t,x), x£Rn (1.7)
является системой с фундаментальными решениями в соответствии с
определением 1.2. Тогда система
х = <р(*, х)
у = ^у)\ (ЦП
: У т подсистем \l-lls
z = ip(t, z)J
допускает коммутативную /г-параметрическую группу симметрии по
состоянию
х = Ф(х, у, ..., z, т\ ..., тп), у = у, ..., z = z, (2.36)
х, х, у, у, z, z, G R'\
44

которую можно положить в основу для формулы (1.8), выражающей
общее решение 5с системы (1.7) через частные x(t), y(t), ..., z(t).
□ Лемма 1.1 утверждает, что системе (1.7) с фундаментальными
решениями соответствуют п независящих от переменной t первых
интегралов
wk(x,y9...9z) = ck9 * = 17й, (1.12)
системы (1.11). Первые интегралы (1.12) удовлетворяют условию
det
dwk(x, у, ..., z)
дх1
0. (1.13)
Покажем, что вследствие наличия первых интегралов (1.12),
удовлетворяющих условию (1.13), система (1.11) допускает
коммутативную /г-параметрическую группу симметрии по состоянию
(2.36), которой соответствует абелева алгебра Ли генераторов с
базисом
п
At = 2ai(x,y,...,z)-^-, 1 = Т7Л. (2.37)
1 = 1
Введем обозначения х1к = dw/dxk и а\ для элементов матрицы
обратной к ||и£||, т. е. выполняются равенство
£*M = *i (2.38)
i = l
и следствие из него
(v — одна из переменных х\ У, ..., zk). Составим уравнение
£ **«. *> g + £ **«. у) fr + - + 2 **<<. *) g = °>
£ = 1 / = 1 ^ £ = 1
которому удовлетворяют независящие от г первые интегралы (1.12).
Продифференцируем составленное уравнение по х1, полученный
результат умножим на a^aL просуммируем по индексам i : и /, с учетом
(2.38) и (2.39) приходим к равенству
£ **«. *> ^+£ **«.*>5+-+£ ^с *> 5=£*? £•
45

Полученное равенство можно записать в коммутаторном виде
[U, Лр] =0, р = 17Я (2.40)
где An — операторы (2.37), U — оператор дифференцирования
функций а\(х, у, ..., z) по t в силу системы (1.11) (см. (1.16),
(1.17)). Из (2.40) и следует, что группа (2.36), соответствующая
операторам (2.37), является для системы (1.11) группой симметрии
по состоянию [9—11, 13, 16, 18, 27]. Для доказательства абелевости
алгебры Ли с базисом (2.37) и коммутативности соответствующей
группы (2.36) следует обосновать равенство [9, § 13.7]
[Ла,Лр]=0, а, р = Т7^. (2.41)
Для обоснования умножим тождество
а*; = д*Ц= э V \
дхк дх1 [ дхкдх1)
на а]а1аап, просуммируем по г, к, /, с учетом (2.38), (2.39) получим
равенство
" ( . да' ,да1\
которое эквивалентно (2.41) ■.
46

§ 3. Фундаментальная система решений в широком смысле
Системы с фундаментальными решениями в смысле определения 1.2
являются групповыми, и в формуле (1.8) для общего решения
содержится тп ^ г подлежащих вычислению скалярных функций: г —
количество параметров в соответствующей системе (1.1) группе (1.6),
т — количество частных решений в формуле (1.8), п — порядок
системы (1.1) и количество скалярных функций в каждом частном
решении. В настоящем параграфе вводится определение
фундаментальных решений в более широком по сравнению с определением 1.2
смысле: в формулу для общего решения подставляется одно частное
решение некоторой системы дифференциальных уравнений, не
обязательно совпадающей с исходной (1.7) или с результатом (1.11) ее
«тиражирования». Для групповых систем эта вспомогательная
система является L-системой по определению 1.2 порядка г, и в формулу
для общего решения требуется вычислить и подставить минимальное
по сравнению с определением 1.2 количество г скалярных функций.
Как видно из приведенных ниже примеров, определенный произвол
в выборе системы дает возможность упростить ее и/или формулу для
общего решения. В §2 основой для формулы (1.8) общего решения
являлась группа симметрии по состоянию (2.1), в настоящем же
параграфе основа — взаимная к (2.1) группа сдвигов (1.6) вдоль
решений.
Рассматривается система дифференциальных уравнений
х=у(х,и), х££", и£Ег, (3.1)
которую вместо переменных и1, ..., иг могут быть подставлены
произвольные функции независимой переменной t: uk(t), к = 1, г.
Системы в §§1,2 частные случаи (3.1): линейное вхождение
переменных ик в правую часть (3.1) приводит к системе (1.1);
специализация и1 = t, ик = const, к ^ 1, определит систему (1.7);
специализация ик = const, Л=1,г, — автономную систему (1.42). Ситуацию
фундаментальной системы решений для дифференциального объекта
(3.1) будем понимать следующим образом. По уравнениям (3.1)
строятся вполне определенным способом (возможно неоднозначно) и
независимо от конкретных функций uk(t): формула
х = Ф(у, с1, ..., сп), vSEEm, (3.2)
и система дифференциальных уравнений
v = $(v, и), v^Em, (3.3)
которая, в частности, может совпасть с системой (3.1).
47

Определение 3.1 [17]. Уравнения (3.1) называются системой с
фундаментальными решениями в широком смысле (СФРШ), если
общее решение системы (3.1) при конкретных функциях uk(t)
представляет формула (3.2), в которой с1 — произвольные постоянные,
v(t) — любое решение системы (3.3) с начальными данными из
некоторой области W С Rm (функции uk(t) в (3.1) и (3.3) совпадают).
Функции v(t) = (vl(t), ..., vm(t)) — фундаментальная система
решений в широком смысле.
Понимание фундаментальной системы решений в смысле
определения 1.2 — несколько решений системы (3.1) подставляется в
формулу вида (3.2) — частный случай определения 3.1: несколько
решений системы (3.1) есть одно решение системы (3.3), состоящей из
нескольких экземпляров системы (3.1) (см. (1.11)).
Пример 3.1. Автономная система обыкновенных
дифференциальных уравнений х = <p(x), х Е Rn, с общим решением х = Ф(*, с)
погружается х = <р(х)и, х Е Rn, и Е R1 в систему (3.1). Формула (3.2):
х = Ф(у, с), уравнение (3.3): v = u(t).
Рассмотрим варианты построения для групповой системы (1.1)
фундаментальной системы решений в широком смысле. Результатом
построения является пара: одно из представлений группы (1.6),
связанной с системой (1.1), и r-мерная {и Е Rr) система (3.3). Пара
строится неоднозначно, но согласованно: выбор одного из элементов
пары делает однозначным выбор другого. Уравнения (1.6)
представляют группу с точностью до диффеоморфизма параметров v*-*v.
Опишем три способа построения уравнений (1.6) по функциям
*£(*) [9].
а) Находится общее решение системы (1.1) при произвольных
ик = const и при начальных данных х(0) = х0. Общее решение имеет
вид
х = Ф(ш\ ..., tur, х10, ..., xg).
Далее полагается vk = tuk — канонические параметры первого рода.
б) Для каждого оператора Хк из (1.2) вычисляется
соответствующая однопараметрическая группа х = Фк(х0, vk) и строится их
суперпозиция
х = ФДФ^О.^ФДхо, v1)...vr-V) = Ф(*, х0), (3.4)
vl — канонические параметры второго рода.
в) Привлекаются г операторов (в отличие от ||ф£(х)|| в (1.1),
ll<P*(v)H в (3.5) — квадратная матрица)
г
48

для которых выполнены условия, аналогичные (1.3)—(1.5):
1.2. det||9i(i;)||*0; (3.6)
з. [Vk9Vt]=2ciiVp (зл)
y = i
где Cjkl — те же постоянные, что и в (1.5). Уравнения (1.6)
находятся как решения вполне интегрируемой в силу (1.5) и (3.7)
системы
^Т = Ь|(Ф)#). *=17Я ФЫ=*0) (3.8)
где Ф/*(*) — функции из (1.1), ||^(f)|| — матрица, обратная к
||#(v)|| (см. (3.6)):
2й>Ж(г/) = &1, (3-9)
/ = 1
параметры v0 в (3.8) соответствуют в (1.6) тождественному
преобразованию. Варианты построения функций ylk{v) рассмотрены ниже.
Способ в) вычисления уравнений (1.6) группы является
исчерпывающим: все представления (1.6) группы есть результат решения
системы (3.8) при разных матрицах ||^(v)||, удовлетворяющих
условиям (3.9), (3.6), (3.7).
Теорема 3.1 [17]. Групповая система (1.1) при условиях (1.3) —
(1.5) обладает фундаментальной системой решений в широком
смысле (см. определение 3.1). К общему решению приводит
формула x(t) = <£>(v(t), с), в которой вектор-функция Ф(-,-) — одно
из представлений группы (1.6) с заменой х10 = с\ z=l,n, а
v(l) — любое решение (с начальными данными v(0) из некоторой
области V С Ег) системы
^ = 2 9/4^(0, i = Vr, (ЗЛО)
/=i
где функции 9/(f) удовлетворяют условиям (3.6), (3.7) и
определяют при помощи (3.9), (3.8) группу (1.6).
□ Пусть v(t) — некоторое решение системы (3.10). Убедимся с
учетом (3.8) —(3.10) в том, что при любых функциях uk(t) вектор-
функция x(t) =Ф(г>(г), с) — решение системы (1.1), в которую под-
49

ставлены такие же функции uk(t), как и в (ЗЛО):
ф'=£ ?т ^ = £ 9''(ф)й(го;р>к(о =
= 2ч>/,(ф)аХ(0 = 2ч>/,(ф)и/(0.
/,y = i /=1
Покажем, что х(г) = Ф(г>(г), с) — общее решение системы (1.1).
Вследствие того, что параметры v0 соответствуют тождественному
преобразованию (ФЧ^о* с) = с')> пРиходим к результату
det
ao(v0, с)
а^
1,
а для некоторой области К, содержащей t>0, при v(0) Е К
выполняется
det
ЭФ0/(0), с)
Эс*
*0,
т. е. при v(0) Е V система дс0 = Ф(г>(0), с) разрешима относительно
постоянных ск т.
Построение для конкретных уравнений (1.1) фундаментальной
системы решений требует знание неоднозначной, но согласованной
информации: формулы (1.6) и системы уравнений (3.10), которые
определяет матрица ||4>/(v)||. Если известна формула (1.6),
вычисленная, например, способами а) или б), то матрицу ||<j>j(v)|| можно
построить следующим образом [9]. Замкнутость множества
преобразований (1.6) относительно суперпозиций
х = Ф(Ф(х0, Vi)v2) = (Ф(х0, 4>(vp v2)) (3.11)
порождает функции <&l(vv v2), по которым и вычисляется матрица
Н#(«)Ц:
•P',(v)
dv'
(3.12)
v0 соответствует тождественному преобразованию.
Соотношения (1.6) и (3.10) можно согласовывать и в обратном
порядке: по уравнениям (1.1) с учетом свойств (1.3)—(1.5) строятся
квадратная матрица ||ф/(^)|| удовлетворяющая требованиям (3.6),
(3.7), и уравнения (3.10); формула (1.6) вычисляется с учетом (3.9)
50

как решение системы (3.8). Все матрицы, удовлетворяющие
условиям (3.6), (3.7) при одних и тех же постоянных CJkn связаны
диффеоморфизмом v*^>v в уравнениях (3.10):
k=l \v(S)
Приведем некоторые способы вычисления функций y\{v) [9].
1. Находится решение Wl(t, v) системы
г
w* = а* + 2 c|y.wV, ж(0) = о,
где Cf. — структурные постоянные из (1.5), г/ — произвольные
параметры, и полагается tylk(v) = Wl(l, v) (индекс к определяется 6J..
Решение в виде ряда приведено в [13, с. 65, (14.6)]. Матрица
||ф|(г;)|| определяет систему (3.8), а обратная к ней || Ф/'(г011 ~~
уравнения (3.10). К такой же матрице ||ф/'(^)|| приводит следующее
построение [6]. Рассматривается аналитическая функция
-1
ад = ^т=1-^ + 1г2
и матрица Н = \\hlk(v)\\ с элементами hlk{v) = 2 Clklvl. В качестве
матрицы Цф/Ч^ОЦ принимается функция В(Н) от матрицы Я. По
сравнению с другими матрицами, удовлетворяющими условиям
(3.6), (3.7) с одинаковыми постоянными Clkl, про матрицу ||<Р/(г;)||,
построенную в этом пункте, говорят, что она имеет канонический
вид. Даже для сильно разреженных трехмерных матриц Clkl
вычисления, приводящие к каноническому виду, как правило, являются
трудоемкими, а результат ||9J(f)|| — громоздким.
2. Если в (1.1) выполняется п > г, то полная в силу (1.3) —(1.5)
система Xkw = 0, к = 1, г (Xk — операторы (1.2)), имеет п — г
функционально независимых вследствие (1.4) решений wl(x), ...,
wn~r(x)) — первых интегралов (при любых функциях uk(t)) системы
(1.1). Диффеоморфизм (дс1, ..., xn)++(vl, ..., vr, ад1, ..., адп_г)
приводит систему (1.1) к нужному виду (3.10)
г
1=1
ад* = 0, к = 1, п — г,
51

постоянным wk в системе для v можно придать любые числовые
значения. Условия (3.6), (3.7) для матрицы ||ф/Ч^^)Н выполнены
вследствие того, что при диффеоморфизмах сохраняются условия
(1.3) —(1.5) (ср. с п. 2 алгоритма 2.1).
Следующие два способа сводят случай п< г к случаю п ^ г, что
дает возможность применить способ 2.
3. Пусть в (1.1) п < г. Находим наименьшее, число т, для которого
выполняется N = тп ^ г, и для переменных х1, ..., xN строим
систему, составленную из т экземпляров системы (1.1)
г
V = y2vit(x)uk(t), j=UN=mn, (3.13)
k = i
при j ; G [In + 1, (/+ l)n] для функций ф{(х/п+1, ..., x(/+1)n)
выполняется ф{() = ф{~/п(')- Если N ^ г, применяем алгоритм пункта 2.
Условие (1.5) для системы (3.13) выполняется с теми же
постоянными Clkl, что и для (1.1), а для соблюдения условия (1.4) требуется
аккуратно локализовать множество значений переменных дсу,
j = I, N. В частности, при xln+l = xl (типичный случай: х*' = О,
у = 1, N) rank| ф{(х) | = п, а не г, как требует (1.4) (ср. п. 3
алгоритма 2.1).
4. Переход от системы (1.1) к системе (3.13), для размерности
которой выполняется N> г, можно также осуществить по принципу
построения продолженной группы — в (3.13):
ф«+'(*)=£х"+'^, 1 = 1771, (3.14)
и т.д. Как и в случае 3, условие (1.5) для расширенной системы
выполняется автоматически, а для выполнения условия (1.4)
требуется или локализация значений переменных дсу, или
сингулярность — невыполнение рангового условия (1.4) — «погасить»
сингулярным преобразованием переменных (см. пример 3.4).
На основе приведенных в этом параграфе результатов
сформулируем алгоритмы построения формулы (3.2) для общего решения
системы (3.1) и построения системы (3.3), частное решение
которой подставляется в (3.2), т. е. алгоритмы реализуют систуацию
фундаментальной системы решений в широком смысле (см.
определение 3.1).
Сохранена изначальная нумерация формул.
Алгоритм 3.1.
1. Системе (1.1) ставится в соответствие одно из представлений
х = Ф(у,х0) (1.6)
52

группы сдвигов вдоль решений системы (1.1) (при различных
функциях uk(t)). Два способа — а) и б) — построения формулы (1.6) по
матрице ||ф£(х)|| приведены выше (см., например, (3.4)).
2. Замена х10 = с1 в (1.6) приводит к формуле
х = Ф(ь, с) (3.2)
для общего решения.
3. Замкнутость
х = Ф(Ф(х0, Vi)v2) = (Ф(х0, Ф(*р v2)) (3.11)
относительно группового умножения порождает функции Ф1(у{, v2),
по которым вычисляется квадратная неособенная матрица || ф/(г>) || с
элементами
$(v)=.
(3.12)
v0 соответствует тождественному преобразованию.
4. Подстановка в (3.2) частного решения системы
г
^ = 2uOV(0, i = T7, (зло)
где 9z'(f) из (3.12), реализует задачу построения общего решения
системы (1.1).
Алгоритм 3.2.
1. По матрице ||ф£(х)|| или только по постоянным С\к из (1.5),
соответствующим матрице ||ф^.(х)|| (см. (1.1)—(1.5)), строится
квадратная неособенная матрица ||ф/(х) ||. Способы 1—4 приведены выше (см.,
например, добавление в способе 4 к системе (1.1) уравнений (3.14)).
2. Матрицы ||ф£(х)|| и ||^(v)|| = ||4>£(v)||-1 определяют вполне
интегрируемую систему уравнений
^ = 2ф/ЧФ)^), < = ГЯ ф(*0)=*о. (3-8)
dv /=1
решением которой является одно из представлений
х = Ф(у, х0) (1.6)
группы сдвигов вдоль решений системы (1.1) и формула
х = Ф(у,с) (3.2)
для общего решения системы (1.1).
53

3. Матрица ||ф/(^)Н> вычисленная в п. 1, задает систему
г
^ = 2#0V(0, *" = Т77, (зло)
частное решение которой, подставленное в (3.2), решает задачу
построения общего решения системы (1.1).
Пример 3.2. Рассматривается линейная система (А — числовая
матрица
x = u°(t)Ax + u(t), xGRn, u°GRl, uGRn. (3.15)
Введение в систему функции u°(t) (в традиционном варианте
и° = 1) вычислений не усложняет. Система (3.15) имеет вид (1.1),
ей соответствуют операторы (1.2)
п
В соответсвии с алгоритмом 3.1 по каждому из операторов
строится однопараметрическая группа преобразований
А ° 1
x = eAvxQ, x = x0 + v, ..., x = x0 + vn
(exp(^v°) — матрица фундаментальных решений системы х = Ах).
Суперпозиция (3.4) приводит к уравнению
x = eAv°x0 + v, хеДп, v°GRl, vE:Rn
(п + 1)-параметрической группы и к формуле (3.2)
x = eAv°c0 + v, хеДп, v°eR\ v^Rn, (3.16)
участвующей в построении общего решения системы (3.15). Для
вычисления системы (3.10) составим суперпозицию (3.11) двух
преобразований с параметрами v^, v{ и у%, vv из которой найдем закон
умножения преобразований
ф<> = V0 + v0y ф = eAv°2V^ + у^ ф Vp V2 е Д".
По формуле (3.12) вычисляется матрица
119^)11 =
1 0
Av Е\\
(Е — единичная матрица) и система уравнений (3.10)
t»° = H°(0. v°GRl,
v = u°(t)Av + u(t), ve/г".
(3.171
54

Окончательно: для построения при конкретных функциях u°(t),
u(t) общего решения системы (3.15) нужно взять любое решение
системы (3.17) и подставить его в формулу (3.16) (п решений
системы к = Ах уже «запаяны» в матрице exp(Av0)).
Пример 3.3. Частным случаем системы (3.15) являются
уравнения (см. пример 1.6)
x = u°(t)y + ul(t),
y=-u°(t)x + u2(t),
для которых матрица exp(Av°) имеет вид
eAv =
cos v° sin v°
—sin v° cos v°
Для построения общего решения при заданных функциях u°(t),
u[(t), u2(t) нужно в формулу (3.16):
х = с{ cos v° + с2 sin v° + v1,
у = —с1 sin t>Q + с2 cos v° + v2,
подставить произвольное решение системы (3.17):
1
= v2
0 О
1 О
-Vol
u°(t)
u\t)
u\t)
Отметим «экономность» фундаментальной системы решений:
требуется знать три скалярные функции v°(t), vl(t), v2(t), а не четыре
или шесть, как предлагается в [3].
Пример 3.4. Уравнению Риккати (см. примеры 1.3 и 2.1)
х = u\t) + 2u2(t)x + u\t)(x)2
соответствует матрица в (1.1)
||Ф/(х)|| = ||1 2х х2\\
и операторы (1.2)
(3.18)
(3.19)
*i ~ аР *2 - 2х
дх> *з-0) а*'
(3.20)
удовлетворяющие условиям (1.3)—(1.5). Следуем алгоритму 3.2.
Уравнение (3.18) — система (1.1) с п < г (п = 1, г = 3).
Воспользуемся для создания квадратной матрицы ||ф/(^)|| способами 3, 4. Три эк-
55

земпляра уравнения (3.18) приводят к системе (3.10) с матрицей
(способ 3)
1 2vl (v1)2'
IWOOII
1 2v2 (v2)2
1 2v3 (v3)2
(3.21)
Вследствие равенства
det||9J(v)|| = 2(vl - v2)(v2 - v3)(v3 - vl)
матрица ||ф/Ч^)Н на множестве
М = {vl ^ v2, v2 ^ v3, v3 ^ v1}
(3.22)
удовлетворяет условию (3.6) ((3.7) выполняется автоматически), и
на ее основе можно решить вопрос о фундаментальной системе
решений. Подстановка матрицы (3.19) и матрицы 11^/(^)11» обратной к
(3.21), в соотношение (3.8) приводит к вполне интегрируемой
системе
дх
(лг-Лс*-*3)
at;1
дх
(x-VKjc-v1)
dvz
дх
cWx*2-*1)'
(*-vl)(jc-v2)
(3.23)
dv3
(v3-vl)(v3-v2)'
дЛя решения которой из Первого уравнения с разделяющимися
переменными находим
2 1 2
JC — V __ V — V
3 — С 1 3
X—V V —V
иЛи после разрешения относительно х
„ з, 1 2Ч г, 1 д
СУ {у —v) — v{v —V)
c(v —v ) — (v —i» )
(3.24)
где с — «функция-постоянная» c(v2, v3). Подстановка (3.24) в два
других уравнения приводит к результату dc/dv2 — 0, дс/dv3 = 0 т. е.
(3.24) — решение системы (3.23) с произвольной постоянной с. Для
сопоставления уравнения Риккати (3.18) и группы преобразований
(1.6) нужно выразить с в (3.24) через х0 и значения параметров
v0 Е М (см. (3.22)), соответствующих тождественному
преобразованию. Например, при fo = 0, Vq=1, v30 = —l группа (1.6) задается
соотношением (3.24), где с = (1 — х0)/(1 + дс0). Общее решение
56

уравнения (3.18) при конкретных функциях ul(t) есть результат
подстановки в (3.24) любого решения системы (3.10), в которой
матрица || ф/Ч^)П определена выражением (3.21), а начальные данные
удовлетворяют условию v(0) G М (см. (3.22)).
Отметим, что три разных способа (в примерах 1.3, 2.1 и 3.3)
приводят с точностью до обозначения для произвольной постоянной
и нумерации частных решений к одной и той же формуле (1.62)
для общего решения — следствию ангармонического соотношения
(1.61).
Рассмотрим другой по сравнению с (3.21) вариант вычисления
матрицы ||ф/(^)||. Следуя способу 4, продолжим операторы (3.20) на
производные у = х, z = y = x (см. (3.14)). По коэффициентам ylk
продолженных операторов строим систему (1.1)
х = ul(t) + 2u2(t)x + u3(t)(x)2,
y = 2u2(t)y + 2u3(t)xy,
z = 2u2(t)x + 2u3(t)((y)2 + jcz),
удовлетворяющую при уч*0 (det||4^111 = 2.У3) условиям (3.6), (3.7).
He меняя первого уравнения и не нарушая условий (3.6), (3.7),
сделаем в области, не содержащей множества {у^О}, диффеоморфную
замену переменных
vl = x, v2 = \ny, v3 = z/(2y).
У системы (3.10) в переменных vl
{,i = ul{t) + 2u2(t)v{ + u\t)(vl)\
v2 = 2u2{t)+2u\t)v\ (3.25)
h3 = u3(t)ev\
во-первых, упростились два последних уравнения, во-вторых,
условия (3.6), (3.7) выполнены при любых значениях v1, t>2, v3:
de\\\ylk(v)\\ = 2 exp (v2) (сингулярность скомпенсировала
сингулярность). Подставляем в (3.8) матрицу (3.19) и матрицу ||Ч^(гО||,
обратную к матрице ||%(f)|| коэффициентов при ul(t) в (3.25).
Приходим к вполне интегрируемой системе
дх л дх I дх , i42 -V2
—7=1, —-2 = * — v, ~^=(х — v)ev,
OV OV OV
общим решением которой является функция
х = v1 + —Ц ev\
(3.26)
57

При с = 1/х0 функция (3.26) определит группу преобразований
(1.6) с тождественным преобразованием, соответствующим г/= 0,
i: = 1, 2, 3. Отметим, что формула (3.26) и система (3.25) создают по
сравнению с (3.24) и (3.21) более простую для реализации ситуацию
фундаментальной системы решений: во-первых, формула (3.26)
проще, чем (3.24), во-вторых, требуется знать любое одно решение vl(t)
уравнения Риккати (3.18), по которому решения v2(t) и v3(t)
находятся из (3.25) квадратурами.
Пример 3.5. Системе [3, 4] (см. также пример 1.5)
х{ = u{(t)xl + u3(t)x2 + u5(t),
(3.27)
х2 = u4(t)x{ + u2(t)x2 + u6(t)
соответствуют операторы (1.2) (см. (1.65), (1.74))
А. = X г, л2 = X ~, Ai = X г,
1 дх1 L дх2 6 дх1
(3.28)
V — v1 ^ V — д V — д
дх дх дх
Проверка показывает, что условия (1.3) —(1.5) удовлетворены, т. е.
операторы (3.28) — базис 6-мерной алгебры Ли. Следуем алгоритму
3.1. По каждому оператору вычисляем однопараметрическую
группу — растяжение или сдвиг, — строим суперпозицию (3.4)
х1 = xl0ev + xL0v6ev + t/\
х2 = xl0v4evl + x2(v3v4 + l)ev2 + v6.
Результатом перемножения (3.11) двух преобразований
(3.29)
являются функции Ф1(у{, t>2), по которым в соответствии с (3.12)
находится матрица ||<p/(t;)||, определяющая уравнения (3.10)
(вычисления опущены):
vl = ul(t) + u3(t)v\
b2 = ul(t)-u3(t)v4,
h3 = {u{(t) - u2(t) + 2u3(t)v4}v3 + u3(t), (3 m
b4 = u4(t) + {u2(t)-ul(t)}v4-u3(t)(v4)\ V" }
v5 = ul(t)v5 + u3(t)v6 + u5(t),
b6 = u4(t)v5 + u2(t)v6 + u6(t).
58

Общее решение системы (J.27) при конкретных функциях
ul(t) — u6(t) задает формула (в (3.29) сделана замена х0 на с)
х1 = с1/ + cV/ + v5,
(3.31)
в которую подставляется произвольное решение v(t) системы (3.30).
Интегрирование (3.30) сводится к нахождению функций v5(t),
v6(t) из двух последних уравнений, совпадающих с исходной
системой (3.27), и вычислению v4(t) из четвертого уравнения —
уравнения Риккати. Функции v[(t) — v3(t) при известной функции v4(t)
находятся квадратурами, т. е., по существу, требуется знать три
функции v4(t) — vb{t).
Пример 3.6. Уравнение осциллятора с внешним воздействием
u(t) и частотной модуляцией о>(г)
x + a>2(t)x = u(t) (3.32)
представляется в виде системы (х1 = х)
х{ = х\
(3.33)
х2=-ш2(0*! + и(0-
Система есть частный случай уравнений (3.27) при следующей
специализации функций ul(t):
и1=0, и2 = 0, и3= 1,
(3.34)
и4 = -ш2(0, и5 = 0, u6 = u(t).
т.е. система (3.33) имеет вид (1.1), и явно из набора (3.28) в ее
уравнениях участвуют операторы (1.2)
X — г2 — у — г1 -iL у — д
Этот набор не удовлетворяет условию (1.5), но вычисляя
коммутаторы и добавляя независимые к Х3, Х4, Х6, можно поставить в
соответствие системе (3.33) минимальную по размерности алгебру Ли,
образованную в обозначениях (3.28) базисом
Х3, Х4, Х6, [Х6, Х3] = Х5, [Х4, Х3] = Х{ — Xv
Алгебра является 5-мерной подалгеброй 6-мерной алгебры с базисом
(3.28), что дает возможность использовать результаты, полученные
5<>

в примере 3.5. Базисный оператор Х{ — Х2 связывает групповые
параметры vl и v2: v2 = —vl, что приводит к формуле (в (3.31)
принимается v2 = — vl)
х1 = с V1 + cVe""' + v5,
(3.35)
х2 = clv4evl + c2(v3v4 + l)e~vl + v6.
и к системе уравнений (в (3.31) подставляется (3.34), принимается
v2 = —у1 и отбрасывается совпадающее с первым второе уравнение)
• 1 4
V = V ,
h3 = 2v3v4+l,
Ь4 =-o2(t) - (v4)\ (3.36)
ifi = -a>2(t)v5 + u(t).
Таким образом, для получения общего решения x(t, с1, с2)
уравнения (3.32) при конкретных функциях u(t), u>(t) нужно знать одно
решение v5(t) этого уравнения (два последних уравнения в (3.36)
эквивалентны (3.32) или (3.33)) и решение v4(t) уравнения Риккати
v4(t) = —о>2(/) — (f4)2. По функции v4(t) квадратурами
вычисляются vl(t), v3(t), — и делается подстановка в первое уравнение
формулы (3.35): х = xl(t, с1, с2).
Докажем результат, следуя которому общее решение системы
(1.1) строится с использованием симметрии по состоянию (см.
определение 2.1), а ситуация общего решения понимается в широком
смысле (см. определение 3.1).
Теорема 3.2. Пусть для системы (1.1) выполняются условия
(1.3) —(1.5) и г > л. Тогда добавлением к (1.1) уравнений
г
*п+' = 1,Ч>1+'(х)ик, 1=1, г-п, (3.37)
можно добиться погружения групповой системы (1.1) в класс L-сис-
тем (см. определение 1.1), т. е. для системы (1.1), (3.37)
справедливо:
а) выполнены условия (3.6), (3.7), причем постоянные CJkl в (3.7)
те же, что в (1.5);
б) система (1.1), (3.37) допускает /--параметрическую группу
симметрии по состоянию (2.1) (в (2.1) п = р = г).
60

Общее решение исходной системы (1.1) определяется
уравнениями группы (2.1), в которые подставлено любое решение системы
(1.1), (3.37).
□ а) Пусть в некоторой системе (3.10) для функций ylk(v),
к, I = 1, г выполнены условия (3.6), (3.7), причем CJkl в (1.5) и (3.7)
совпадают. Для того чтобы в результате замены переменных
х1 =Ф1(у), i = 1, п, система (3.10) перешла в (1.1), требуется
справедливость равенства
ч>1(*) = 1 ?г #(»>• 1 = ^ к = ~г* (3-38)
разрешив которое относительно дФЧдь1 (см. (3.6)), приходим к
вполне интегрируемой в силу (1.5), (3.7) системе (3.8) без учета
в (3.8) начальных данных. Вследствие (1.4), (3.6) и (3.8)
выполняется: rank ||дФl/dvl||, поэтому отображение v—>х{, ..., хп
определяемое решением х = Ф(г>) системы (3.8), может быть дополнено
до диффеоморфизма v <-> х1, ..., хп, хп+{, ..., хГ, который при
помощи соотношения, аналогичного (3.38), определит систему (3.37).
Диффеоморфизм в (3.10) сохраняет условия (3.6), (3.7) с теми
же постоянными С{г
б) L-система (1.1), (3.37) допускает просто транзитивную группу
симметрии по состоянию (2.2) (см. теорему 2.1, пункт 1
доказательства), которую можно взять за основу при построении общего
решения системы (1.1). ■
Пример 3.7. Один из вариантов погружения уравнения Риккати
(3.18) в /,-систему (2.17) и вычисления общего решения (2.21) на
основе группы симметрии приведен в примере 2.1: в качестве
дополняющих до L-системы уравнений (3.37) привлекаются еще два
уравнения Риккати. Второй вариант приведения к L-системе основан на
уравнениях (3.25), которые в результате переобозначения
переменных принимают нужный вид
i1 = ul(t) + 2u2(t)x{ + u3(t)(x{)2,
x2 = 2u2(t)+2u3(t)x\ (3.39)
x3 = u3(t)ex\
Первое уравнение является исходным уравнением Риккати, два
других есть уравнения (3.37), дополняющие до L-системы. Решение
системы (2.15) приводит к операторам симметрии
1 дх1 дх2 Эх3 2 дх2 дх* 6 дх3
61

по которым вычисляется 3-параметрическая группа симметрии по
состоянию
х1 = х1 + —^ ех\
1 -т JT
х2 = х2 - 2 In (1 - х1*3) + х2, (3.40)
1 —Т X
Подстановка одного решения системы (3.39) в первое уравнение
группы (3.40) приводит к общему решению x = xl(t, х1) уравнения
Риккати.
Обсудим еще один алгоритм [22, 23, 25, 29] построения общего
решения системы (1.1) как функции (1.8) нескольких ее частных,
т.е. в рамках определения 1.2. Идея алгоритма заключается в
следующем. Матрица ||ф£(х)|| в (1.1) определяет некоторое
представление (1.6) /--параметрической группы (см. алгоритм 3.1 п. 1).
Конкретизация функций uk(t) в (1.1) однозначно задает путь
v(t) в этой группе, который вычисляется как решение системы
г
^ = 2^(«)и'(0, v(0)=v0, (3.41)
1 = 1
где начальные данные vQ соответствуют тождественному
преобразованию (матрица ||ф/'(х)|| вычисляется в соответствии с
алгоритмом 3.1 п. 3). Подстановка v(t) в (1.6) определяет общее решение
л: = Ф(г>(0, х0) системы (1.1). Алгоритм [22, 23, 25, 29] предлагает
идентифицировать единственный путь v(t), минуя составление и
решение системы (3.41), а именно, непосредственно из уравнений
(1.6), записав их для такого количества т частных решений
у(1)=Ф(у{1),у0)л
т, (3.42)
z(t)=<b(v(t),z0)l
чтобы из системы (3.42) определился путь v(t). К примеру, при
выполнении в (1.1) п = г для однозначного нахождения пути
v(t) = F(y(t), у0), достаточно одного частного решения y(t) =
= Ф(у,У0).
Формула для общего решения примет вид
*(0 = <t>(F(y(t), у0), х0) = Ф*(К0, х0). (3.43)
62

Предложенный в [22, 23, 25, 29] алгоритм достаточно изящен, но
он вступает в противоречие с определением 1.2: подстановка в
(3.43) другого частного решения z(t) изменит входящие в (3.43)
начальные условия у0, что изменит формулу Ф*(*, •) для общего
решения.
63

§ 4. Эквивалентность дифференциальной и конечной моделей
систем типа «вход-выход»
Рассмотрим задачу из теории управления, близкую к вопросу о
фундаментальной системе решений: об эквивалентности
дифференциальной и конечной моделей систем типа «вход—выход» [15].
Входом в дифференциальную систему
х=<р(х, и), xGRn, uGRr, x(0)=x0 (4.1)
считается вектор-функция u(t), выходом — решение x(t). Под
конечной системой понимается функциональная зависимость
* = Ф(1;,х0) (4.2)
между значениями входа v и выхода х.
Определение 4.1 [8, 15]. Системы (4.1) и (4.2) называются
эквивалентными, если существует такой оператор К, работающий
независимо от начального состояния х0, что при согласовании входов
и (О ■
К(и(П)
vU)
х=у(х, и)
~~Г~
-X(t)
Х-Ф(и, JC0)
Рис. 4.1
v(l) = K(u(l)), u(t) = K~l(v(t)) выходы x(t) у систем при любых
начальных состояниях х0 совпадают (см. рис. 4.1).
Определению 4.1 удовлетворяют дифференциальная система (1.1)
при условиях (1.3) —(1.5) и конечная система (1.6), представляющая
связанную с (1.1) группу. Роль оператора К играет система (3.10)
при начальных условиях v(0) = vQ — параметры v0 соответствуют
в (1.6) тождественному преобразованию. Все примеры, приведенные
в § 3, иллюстрируют эквивалентность для групповых систем. В
частности, дифференциальной модели (3.27) в примере 3.5
эквивалентна конечная модель (3.29), а роль оператора K(u(l)) = v(l) играет
система (3.30), которую требуется решить при фиксированных
начальных условиях v(0) = 0.
64

При определенных условиях, наложенных на системы (4.1) и
(4.2), справедливо обратное утверждение: из факта эквивалентности
следует вид (1.1) системы (4.1) и свойства (1.3)—(1.5).
Теорема 4.1 [15J. Пусть системы (4.1), (4.2) эквивалентны в
смысле определения 4.1 и выполнены условия:
а) 3v0, Vx0, Ф(х0, v0) = х0;
б) Vw, Зи, ф(х, и) = -ф(х, и);
в) {Vx0, Ф(х0, v) = Ф(х0, v*)} =* {v = V*}.
Тогда конечная система (4.2) представляет группу преобразований
пространства состояний х; решения дифференциальной системы (4.1)
при и = const — однопараметрические подгруппы этой группы, т. е.
система (4.1) — групповая в смысле определения 1.1.
□ Покажем, что в условиях теоремы конечная система (4.2)
удовлетворяет аксиомам группы. Существование тождественного
преобразования следует из условия а). Докажем, что для каждого
преобразования найдется ему обратное. Пусть vx задает в (4.2)
преобразование х0—>х{ пространства Rn. Пусть для некоторой функции
v(t) выполняется: v(0) = t>0, v(T) = vr Вследствие эквивалентности
систем (4.1) и (4.2) решения системы (4.1), в которую подставлена
функция u(t) = K~l(v(t)), реализуют на отрезке 0 ^ t ^ Т то же
преобразование х0—>хг В силу условия б) теоремы существует такая
функция w*(/), что справедливо ф(х, u*{t)) = —<р(х, u(t)). По
свойствам дифференциальных уравнений решения системы (4.1), в
которую подставлено u*(t) на том же отрезке 0 ^ t ^ Т реализуют
обратное преобразование х{ —>х0. Вследствие эквивалентности систем (4.1)
и (4.2) параметры v* = v*(T), где v*(l) = К(и*(1)), определяют
преобразование обратное к исходному: Ф(х!, v*) = х0. По условию в)
теоремы значения v* определяются по v однозначно. Аналогичными
рассуждениями доказывается, что множество преобразований (4.2)
замкнуто относительно операции суперпозиции. Двум
последовательным преобразованиям с параметрами v{ и v2 ставим в
соответствие функции vx(t) и v2(t): , v2(0) = v0, v{(T) = vv v2{T) =vv
Вычисляем: ux{t) = K~l(v{(t)), u2(t) = K~l(v2(l)). «Сочленяем»
функции, т. е. на отрезке 0 ^ t ^ 2Т определяем функцию
К(0 при O^t^T,
"з(') = \u2{t-T) при T<t^2T.
Решения дифференциальной системы (4.1), в которую
подставлена функция и3(1), на отрезке 0 ^ t ^ 2Т реализует суперпозицию
преобразований (4.2) с параметрами . v{ и v2. Возврат —
65

v3(l) = K(v3(t)) — определит параметры v3 = v3(2T), которые при
подстановке в (4.2) реализуют то же преобразование. На
основании условия в) теоремы делаем вывод, что переход
vp v2~>уз = ^(vi» уг)> однозначен. Остается убедиться в том, что
система (4.1) имеет вид (1.1), и выполнены условия (1.3)—(1.5).
Если в (4.1) и = const, то оператор К есть функция
v(t) = K(t. и), К(0. и) = v0. В силу эквивалентности систем (4.1)
и (4.2) справедливо х(1) = Ф(х0, K(t. и)) — общее решение
системы (4.1) при постоянных и. Подставив Ф(х0, K(t. и)) в систему
(4.1) и положив г = 0, получим
У=1
где обозначено
dK}(t,u)
<Ру(*о) =
dvJ
fJ(u) =
at
t=0
Таким образом, система (4.1) имеет вид (1.1). Свойства (1.3)—(1.5)
устанавливаются подобно тому, как в локальной теории Ли
вычисляется связь между конечными уравнениями группы и
дифференциальными уравнениями для однопараметрических подгрупп [9]:
тождество
Ф(Ф(х0, v,), v2) = Ф(х0, Ф(ь{ v2))
дифференцируется по v2, затем полагается v2 = 0. Для функции Ф
получаем систему вида (3.6), для этой системы пишутся условия
интегрируемости — вследствие этих условий функции <pj(x) должны
удовлетворять свойству (1.5). Свойства (1.3), (1.4) есть следствия
условия в) теоремы.
Совокупность утверждений теорем 4.1 и 1.1 дает возможность
сформулировать следующий результат. ■
Теорема 4.2. Пусть дифференциальная система (4.1)
эквивалентна по определению 4.1 конечной системе (4.2). Тогда система
(4.1) — система с фундаментальными решениями в смысле
определения 1.2.
□ Действительно, из факта эквивалентности по теореме 4.1
следует вид (1.1) системы и свойства (1.3) —(1.5), что влечет по теореме
1.1 ситуацию фундаментальной системы решений. ■
66

Список литературы
1. Алексеева Т. А. Уравнения Абеля второго рода, обладающие
полуфундаментальной системой решений //Сборник научных трудов, т. 8. — Орёл: ОГТУ, 1996. —
С 54- 63.
2. Зайцев В. Ф. Обобщения и аналоги уравнения Ермакова //Моделирование
процессов управления и обработки информации. Межвед. сб. науч. тр. /МФТИ. М., 1996.
С. 170-173.
3. Ибрагимов 77. X. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. 48 с. (Новое в
науке и технике. Сер. «Математика и кибернетика»; № 8).
4. Ибрагимов Н. X. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных
уравнений и принцип инвариантности в математической физике //УМН РАН. 1992. Т. 47,
вып. 4 (286). С. 83-144.
5. Ибрагимов Н. X. Алгебра Вессио—Гулдберга—Ли и ее использование при
интегрировании нелинейных уравнений //Современный групповой анализ: Межвед. сб.
науч. тр. /МФТИ. М., 1993. С. 23-28.
6. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972. 336 с.
7. Киряков 77. 77., Сенатов С. И., Яхно А. 77. Приложение симметрии и законов
сохранения к решению дифференциальных уравнений. Издательство СО РАН,
2001. — 192 с.
8. Месарович М., Тахакара Я. Общая теория систем: Мат. основы. М.: Мир, 1978.
312с.
9. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,
1978. 400 с.
10. Олвер 77. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям /Пер. с
англ. М.. Мир, 1989. 639 с.
11. Павловский Ю. 77., Яковенко Г. Н. Группы, допускаемые динамическими
системами //Методы оптимизации и их приложения /Новосибирск: Наука, 1982. С. 155—
189.
12. Чеботарёв 77. Г. Теория групп Ли. Изд. 2-е, стереотипное. М.: Едиториал
УРСС, 2003. -г- 400 с.
13. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947. 330 с.
14. Яковенко Г. Н. Траекторный синтез оптимального управления //Автоматика и
телемеханика. № 6. 1972. С. 5—12.
15. Яковенко Г. 77. Об эквивалентности математических моделей типа
«вход-выход» //Кибернет. и вычисл. техн. /Киев, 1982. Вып. 54. С. 15—20.
16. Яковенко Г. Н. Симметрии по состоянию в системах с управлением
//Прикладная механика и математика: Межвед. сб. науч. тр. /МФТИ. М., 1992. С. 155—176.
17. Яковенко Г. Н. Фундаментальные решения с точки зрения теории управления
//Современный групповой анализ: Межвед. сб. науч. тр. /МФТИ. М., 1993. С. 90—
117.
18. Яковенко Г. Н. Групповые свойства динамических систем. Конечномерный
случай /МФТИ. М. 1994. 140 с.
19. Яковенко Г. Н. Полнота и алгебраическая полнота систем операторов
//Некоторые проблемы математики и их приложения к задачам физики и механики: Межвед.
сб. науч. тр. /МФТИ. М., 1995. С. 213-220.
20. Яковенко Г. Н. Принцип суперпозиций для нелинейных систем: Софус Ли и
другие. МФТИ. М., 1997. 96 с.
21. Яковенко Г. Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы с
управлением — сравнительный групповой анализ //Электронный журнал
«Дифференциальные уравнения и процессы управления». — 3, 2002. —С. 40—83.
(http://www.ncva.ru/journal)
67

22. Anderson R. L. A nonlinear superposition principle admitted by coupled Riccati
equations of the projective type //Lett. Math. Phis. 4. 1—7 (1980).
23. Anderson R. L., Harnad J., Winternitz P., Systems of ordinary differetial
equations with nonlinear superposition principles //Phisica 4D, 164—182 (1981).
24. Guldberg A. Sur less equations differentielles ordinaire qupossddent un systdme
fundamental d'integrales 11С r. Acad. sci. Paris. — 1893. — T. 116. — P. 964.
25. Harnad J., Winternitz P., Anderson R. L., Superposition principles for matrix
Riccati equations. Preprint CRMA-1024 (1981), to appear J. Math. Phis. 24, (1983).
26. Ibragimov N. H. Introduction to modern group analysis. Ufa: TAU, 2000. 116 p.
27. Lie S. Vorlesungen liber continuerliche Gruppen mit geometrischen und anderen
Anwendungen /Bearbeitet und herausgegeben Georg Scheffers. Leipzig: Druck und Verlag
von B. G.Teubner, 1893. 805 c.
28. Vessiot E. Sur une classe d'dquations diffdrentielles //Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. — 1893. — T. 10. — P. 53.
29. Winternitz Pavel. Lie groups and solutions of nonlinear differential equations
//«Lecture Notes in Phisics» , 189. Nonlinear Phenomena, Proceedings, Oaxtepec, Mexico,
1982. Edited by К. B. Wolf, Springer, 1983. P. 263-371.
68

Über Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 765
Kapitel 24.
Über Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen.
Dieses letzte Kapitel steht mit den vorhergehenden Kapiteln dieser
Abteilung in keinem näheren Zusammenhang, sondern behandelt
wesentlich andere Probleme, aber ebenfalls Anwendungen der Gruppentheorie.
In den „Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten
infinitesimalen Transformationen" hatten wir uns die Aufgabe gestellt,
zu zeigen, dass sehr viele der alten classischen Integrationsmethoden
von Differentialgleichungen ihren Ursprung darin haben, dass die
betreffenden Differentialgleichungen bekannte infinitesimale
Transformationen oder bekannte Gruppen von Transformationen gestatten. Man
kann nun einen höheren Standpunkt einnehmen und zeigen, dass
andere classische Methoden, die ausserhalb des damaligen Kreises von
Theorien stehen, doch von einem anderen Gesichtspunkte aus
betrachtet mit dem Gruppenbegriff in enger Beziehung stehen.
Zunächst werden wir nun ein specielles Problem, das der
Integration der Riccati'schen und der Verallgemeinerung der Riccati'schen
Gleichung in Zusammenhang mit dem Gruppenbegriff besprechen, alsdann
zu Systemen von linearen Differentialgleichungen aufsteigen und zum
Schlüsse die allgemeinste Classe von Differentialgleichungen bestimmen,
die von dem hier einzunehmenden Standpunkt aus mit der
Gruppentheorie in sehr enger Beziehung steht. Es sind dies die
Differentialgleichungen, deren allgemeinste Lösungen sich als Functionen einer
Anzahl irgend welcher Particularlösungen ausdrücken lassen.
Wir gelangen dadurch zu einer sehr wichtigen Classe von
Differentialgleichungen. Handelt es sich nämlich um die Integration eines
vollständigen Systems, das bekannte infinitesimale Transformationen
zulässt, so erfordert die Lösung dieses Problems, die von Lie zuerst
und allgemein entwickelt worden ist*), die Integration solcher Hülfs-
gleichungen, die sämtlich die Form besitzen, auf die wir hier werden
geführt werden.
Hieraus erhellt, dass die Betrachtungen des gegenwärtigen letzten
Kapitels von grosser Bedeutung für die Integrationstheorie
überhaupt sind.
Noch bemerken wir, dass wir die in den „Vorlesungen über
Differentialgleichungen" entwickelten Theorien hier nicht gebrauchen,
also auch nicht als bekannt voraussetzen.
*) Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine continuier-
liche endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. Bd. 25, S. 71—151.

766
Kapitel 24, § 1.
mation.
§ 1. Die Riccati'sche Differentialgleichung.
Diffe^tiai- Vorgelegt sei in zwei Veränderlichen o und z eine gewöhnliche
SSeäS? Differentialgleichung erster Ordnung von der Form:
co und z. Jm
(l) f^A + Ba + Co*,
in der A, Bf C Functionen von z allein bedeuten. Wir bezeichnen
jede solche Differentialgleichung als eine Riccati'sche Differentialgleichung.
'edlirtet* Wenn wir z als die Zeit deuten und unter co die gewöhnliche
Punktcoordinate auf einer Geraden verstehen, so haben wir
anzunehmen, dass jeder Punkt (co) der Geraden mit der Zeit 2 seine Lage
auf der Geraden ändert. Die Gleichung (1) sagt aus, dass die Coor-
dinate & in dem auf den Augenblick z folgenden Zeitelemente dz den
Zuwachs
(2) da = (A + Ba + Ca>2)dz
erfahren soll. Da dies Increment quadratisch in co ist, so folgt, dass
Transfer- ö *m Zeitelement dz eine infinitesimale projeetive Transformation
erfährt (vgl. § 1 des 5. Kap.). Diese infinitesimale projeetive
Transformation von <d hat das Symbol:
Uf=(A + Bm + Ca?)£.
Alle Punkte der Geraden werden also während der Zeit dz projeetiv
unter einander vertauscht. j
Nun sollen A, B, C Functionen von z sein. Diese Coefficienten j
im Symbol £//* ändern sich also mit der Zeit z. Mithin haben wir|
uns vorzustellen, dass die Punkte (co) der Geraden von Moment zu
Moment in anderer Weise projeetiv unter einander transformiert
werden, derart, dass sie zur Zeit z während des nächsten Zeitelementes
dz gerade die infinitesimale Transformation Uf erfahren.
Die Gleichung (1) integrieren, heisst, co so als Function von z
und einer Constanten zu bestimmen, dass -j- den vorgeschriebenen'
Wert erhält. Den gesuchten Aasdruck für co können wir uns daherI
so entstanden denken: Wir betrachten im Augenblicke z = 0 etwa
einen Punkt (co0) der Geraden, führen auf ihn die von Moment zu
Moment sich ändernde infinitesimale projeetive Transformation Uf aus.
Zur Zeit z wird er dadurch eine gewisse Lage (co) auf der Geraden |
erreichen, die eine Function von z und der beliebig gewählten
Constanten co0, eben die gesuchte Function ist. Die Aufeinanderfolge von
mit der Zeit veränderlichen infinitesimalen projeetiven Transforma-

Die Riccati'ßche Differentialgleichung.
767
tionen ist aber, da alle projectiven Transformationen eine Gruppe
bilden, einer einzigen projectiven Transformation äquivalent. Das
Integrationsproblem kommt also darauf hinaus, diese äquivalente
Transformation nach Ablauf der Zeit z zu bestimmen. Wäre die
infinitesimale projective Transformation nicht mit der Zeit veränderlich, so
würde die fortwährende Ausübung von Uf eine eingliedrige projective
Gruppe erzeugen. Wenn aber A, B, C Functionen von z sind, so ist
dies nicht mehr der Fall.
Dennoch können wir einige Sätze, die wir früher abgeleitet haben,
hier verwerten: Jede endliche projective Transformation von ro0 in ro
hat, wie wir wissen (vgl. § 2 des 1. Kap.) die Form
Mithin hat die allgemeine Lösurjg der Riccati'schen Gleichung (1)
die Form:
/qn _ oc(z)(o0+ß(z)
und es würde zur vollständigen Integration darauf ankommen, die
noch unbekannten Functionen a, ß} y, d von z zu bestimmen, deren
Determinante aä — ßy sicher nicht identisch Null ist.
Legen wir nunmehr z und co eine andere geometrische Deutung &lsvg*0"a
unter, z sei Abscisse und co Ordinate in der Ebene. Jede Particular- *? der
Ebene.
lösung co = cd(z) der Riccati'schen Differentialgleichung stellt alsdann
eine Curve in der Ebene dar. Die Parallelen z = Const. werden von
allen oo1 Integralcurven in Punktreihen geschnitten. Dadurch wird
jedem Punkt (co) auf einer der Parallelen ein bestimmter Punkt (cd)
auf jeder anderen Parallelen zugeordnet, nämlich der Punkt, in dem
die durch ersteren gehende Integralcurve die andere Parallele trifft.
Alsdann führt die infinitesimale projective Transformation Uf die
Punkte der Ebene in einander derart über, dass die Punkte jeder der
Parallelen in die zugeordneten Punkte der benachbarten Parallelen
übergehen. Diese Transformation der Punktreihe auf einer Parallelen
in die zugeordnete auf der benachbarten ist projectiv, wie aus der
Form (2) des Incrementes von co beim Übergang von z zu z + dz
hervorgeht.
Man sieht dies auch aus der Form (3) der allgemeinen Lösung
von (1). Geben wir darin z einen bestimmten Wert, so giebt (3) die
Ordinate co des Punktes der Parallelen (z), der dem Punkte (a>0) auf
der Aufangsparallelen, d. h. auf der co-Axe zugeordnet ist. Diese
Zuordnung (3) aber ist projectiv. Da bei projectiver Zuordnung das

768
Kapitel 24, § 1.
Doppel Verhältnis von vier Punkten ungeändert bleibt, so folgt also,
dass vier "beliebige Integrälcurven alle Parallelen z = Const in je vier
Punkten schneiden, die sämtlich dasselbe Doppelverhältnis besitzen. Oder
DoPpeiverh.auch: Sind (x)l9 <ö2, co3, o4 vier Particularlösungen der Riccati'selten
^^^-Differentialgleichung (1), so ist ihr DoppelverMltnis
{(o. OoOqOJ = —- - : — *
©8 — co2 a>8 — a>4
von z unabhängig, also eine Constante.
Eme^ Angenommen, es sei eine Particularlösung & = u von (1) bekannt.
lösung Alsdann kennen wir eine Integralcurve o = u(z). Von jenen oo1
einander projeetiv zugeordneten Punktreihen auf den Geraden z=Const.
wissen wir dann das Eine, dass die Punkte, in denen die bekannte
Curve die Parallelen trifft, einander zugeordnet sind. Diese Punkte
lassen sich nun sämtlich durch eine geeignete auf jeder der Parallelen
projeetive Coordinatenänderung, bei der z ungeändert bleibt, in das
Unendlichferne verlegen, nämlich durch diese:
(4) o'=-J—,
denn für o = u giebt sie o'= oo. Führt man diese neue
Veränderliche <o statt o ein, ohne z zu ändern, so wird die Zuordnung der
Punkte auf den Geraden z = Const. nach wie vor projeetiv sein, da
die Coordinatenänderung (4) auf jeder dieser Geraden projeetiv ist.
Es wird also an die Stelle von (1) wieder eine Differentialgleichung
zwischen & und z treten, deren Integrälcurven die Parallelen 8 = Const.
wieder in projeetiven Punktreihen schneiden. Aber bei diesen
Punktreihen wird jetzt das Unendlichferne auf allen Geraden z *= Const. sich
entsprechen. Es liegen also nur noch lineare Transformationen vor.
Die Zuordnung der Punkte einer Geraden z = Const. zu denen der
benachbarten wird also durch eine infinitesimale in co' lineare
Transformation
ü'f= (A(s) + Fto-O ^
vermittelt (vgl. § 1 des 5. Kap.). Durch Einführung von a> geht
demnach die Riccati'sche Differentialgleichung (1) in eine von der
besonderen Form
(5) g-4(,)+ ,(,)*
fahrung auf über, also in eine lineare Differentialgleichung, die man bekanntlich
eine lineare , , . » s\ t t • ± • a
Diffgi. durch zwei successive Quadraturen integriert.

Die Riccati'sche Differentialgleichung.
769
Dies Ergebnis können wir rechnerisch Terificieren, denn nach
(4) ist
dm 1 /dm du\
Hz (co — w)2 \dz dz)'
Nach Voraussetzung soll o -die Gleichung (1) erfüllen und
insbesondere u Particularlösung von (1), also
sein, sodass kommt:
Mithin wird
Da nun
co = u -\—-,
ist, so erhalten wir schliesslich
£? C-(B+2uC)<o',
also die erwartete lineare Differentialgleichung zwischen co' und z.
Wir formulieren somit den — längst bekannten —
Satz 1: Kennt man von einer Riccati} sehen Differentialgleichung
eine Particularlosung, so findet man die allgemeine Lösung durch zwei
successive Quadraturen.
Nehmen wir an, es seien zwei Particularlösiingen u und v der 7^\ar
Riccati'sehm Gleichung (1) bekannt. Alsdann kennen wir von der oben ^J^"
besprochenen projeetiven Zuordnung der Punkte der Geraden z = Const.
das Eine, dass gewisse Punktepaare auf allen Geraden # = Const.
einander entsprechen. Es sind dies die Punktepaare, die von den Inte-
gralcurven a> = u(z)) o = v(z) auf den Geraden ausgeschnitten werden.
Wir wählen nun auf jeder Geraden z = Const. eine neue Coordinate
co' so, dass co' = oo jedesmal den einen und ra'= 0 jedesmal den
anderen dieser beiden Punkte darstellt, und zwar können wir dies
bekanntlich durch, eine auf jeder Geraden projeetive Coordinatenänderung
erreichen (nach § 1 des 5. Kap., S. 125). Auf allen Geraden
gleichzeitig erreichen wir es, wenn wir
(6) m=^rz
setzen. Denn für co = u wird co'= <x>, für co = t; wird co'=0.
Durch Einfuhrung dieser neuen Veränderlichen co' geht aus der
Riccati'schen Gleichung (1) eine neue Differentialgleichung zwischen
Lie, Continuierliche Gruppen. 49

770
Kapitel 24, § 1.
Zurück-
ftihrung
auf eine
co und z hervor, deren Integralcurven in der (c/, #)-Ebene alle
Geraden z = Const. in projectiven Punktreihen schneiden, bei denen die
unendlichfernen Punkte einander sowie die Schnittpunkte mit der Axe
ra'= 0 einander entsprechen. Hier tritt also an die Stelle des
Symbols TJf dieses (vgl. § 1 des 5. Kap.):
Vermöge (6) geht mithin die Riccati'sche Differentialgleichung in eine
lineare homogene
auf eine <*<0 i/„\'
lin. homog. "TT = A\Z)0)
Diffgl. aZ
über, deren Integration bekanntlich nur noch eine Quadratur verlangt.
Wir überlassen es dem Leser, durch Einführung von co vermöge (6)
die Gleichung (1) in eine lineare homogepe zwischen co' und z
umzuwandeln, und formulieren nur das — längst bekannte — Ergebnis:
Satz 2: Kennt man von einer Biccati'sehen Differentialgleichung
zwei Particularlösungen, so findet man die allgemeine Lösung durch eine
Quadratur.
particuiar- Sind endlich drei Particularlösungen u, v, w von (1) bekannt, so
bekannt! kennen wir die Zuordnung gewisser Punktetripel auf den Geraden
z = Const. Da eine projeetive Transformation völlig bestimmt ist,
sobald drei gegebenen Punkten drei andere gegebene Punkte entsprechen
(siehe Satz 1, § 1 des 5. Kap.), so ist in diesem Falle die ganze
projeetive Zuordnung bekannt, d. h. alle Integralcurven ergeben sich ohne
Quadratur. In der That, wenn co die allgemeine Lösung ist, so ist
nach dem Früheren
co — u w — u n ,
Const.
G> — v w — v
und hieraus lässt sich co sofort berechnen. Also gilt der bekannte
Satz 3: Kennt man von einer Biccaü9sehen Differentialgleichung
drei Particularlösungen, so findet man die allgemeine Lösung ohne jede
Quadratur.
Unsere begrifflichen Darlegungen zeigen, dass de* innere Grund
für die Sätze 1, 2, 3 darin liegt, dass die Riccati'sche
Differentialgleichung projeetive* Zuordnungen zwischen den Punktreihen auf den
Geraden z = Const. herstellt. Umgekehrt ist jede Differentialgleichung
den , x
Tz " *("> *)>
deren Integralcurven die Geraden e = Const. der (o, «)-Ebene in

Die Riccatf sehe Differentialgleichung.
771
projeetiven Punktreihen schneiden, eine Riccati'sche, denn es muss das
Increment
d(o = <p(p, z)dz
für co projeetiv, d. h. g> eine ganze Function zweiten Grades in o sein,
deren Coefficienten noch z enthalten können. Wir sprechen dies so
aus *) :
Satz 4: Liegt eine continuirliche Schar von oo1 einfach aus^dehntmjnee™™*
Mannigfaltigkeiten vor, deren Elemente projeetiv auf einander hezogenmc™£acho
sind, so findet man die oo1 Mannigfaltigkeiten, die von einander
zugeordneten Elementen erzeugt werden, durch Integration einer Riccati'sehen
Differentialgleichung.
1. Beispiel: Je vier Orthogonal cur ven der Geraden einer abwickel- Beispiel©.
baren Fläche schneiden bekanntlich auf allen Geraden Punkte mit
demselben Doppelverhältnis aus. Die Orthogonalcurven stellen also
projeetive Beziehungen zwischen den Punkten aller Geraden der Fläche
her, werden daher durch eine Riccati'sche Differentialgleichung
bestimmt.
2. Beispiel: Ist auf einer Fläche eine Schar von oo1 geodätischen
Linien bekannt, so weiss man, dass je zwei ihrer Orthogonalcurven
auf allen oo1 Linien gleichlange Bogen abschneiden. Bezeichnen wir
die Bogenlänge auf den geodätischen Linien mit a, so werden durch
die Orthogonalcurven solche Zuordnungen der Punkte (co) der
geodätischen Linien hergestellt, dass sie die Form &''= co + Const. erhalten.
Die oo1 Orthogonalcurven werden daher durch sine Riccati'sche
Gleichung (1) bestimmt, bei der das Symbol Uf die Translation in & ist,
sodass die Differentialgleichung die Form hat
Eine Quadratur giebt also die gesuchten Curven**). Ist insbesondere
eine Orthogonalcurve schon bekannt, so findet man alle ohne jede
Quadratur.
3. Beispiel: Die oo1 krummen Haupttangentencurven einer
Regelfläche schneiden die Geraden der Fläche bekanntlich in constanten
•) So viel wir wissen, kommt dieser Satz zuerst bei Bonnet vor, erst
später bei Clebscil. Darboux hat zuerst die Idee gehabt, die Betrachtungen
auf n Dimensionen auszudehnen; er hat sich aber darauf beschrankt, nur einige
darauf bezügliche Sätze abzuleiten. (Siehe Comptes Rendus 1880.)
**) Von Interesse ist es übrigens, zu bemerken, dass man dieses Ergebniss
auch durch eine ganz andere Betrachtung durch Aufsuchung de9 Integrabilitäts-
factors bestimmen kann.
49*

772
Kapitel 24, §§ i, 2.
Doppelverhältnissen. Daher werden sie durch eine Riccati'sche
Differentialgleichung bestimmt*). — Wenn man insbesondere eine
Regelfläche dadurch herstellt, dass man durch die Punkte einer Raumcurve
nach irgend einem Gesetze Geraden in den zugehörigen Schmiegungs-
ebenen zieht, so besitzt die Regelfläche die Raumcurve zur Haupt-
tangentencurve. Daher sind alle Haupttangentencurven nach Satz 1
durch zwei successive Quadraturen zu bestimmen.
§ 2. System von zwei linearen Differentialgleichungen.
Szweriil°n ^*r w°Uen nun die Riccati'sche Gleichung (1) auf ein System
hom.Diffgin.|;ow zwei simultanen linearen homogenen Differentialgleichungen
zurückführen. Zu diesem Zweck führen wir zwei Veränderliche x und y ein,
indem wir
«-■*.
x
setzen und uns im Übrigen die Verfügung über x und y9 die wir wie
o als Functionen von z auffassen, vorbehalten. Es ist
also nach (1):
xda> dy dx
Tz x dz & dz9
"it-yiz-^ + zvy + w
oder, wenn wir unter k(ß) eine willkürlich gewählte Function von s
verstehen:
x^-AX-Xy)-y{%; + (B-X)x+Cy)~0.
Da nun das Verhältnis von y und x einer Function cd(z) gleichgesetzt
war, so können wir unter x eine beliebige Function von 0 verstehen,
insbesondere eine, welche die zweite Klammer in der letzten Gleichung
zum Verschwinden bringt. Dann muss notwendig die andere Klammer
auch Null sein. Es giebt demnach zwei Functionen x und y von z9
deren Verhältniss — die Riccati'sche Differentialgleichung (1) erfüllt,
und die selbst den beiden Differentialgleichungen genügen:
ig- a* +iy.
*) Zuerst von Bonnet ausgesprochen.
(?)

System von zwei linearen Differentialgleichungen. 773
Wenn x und y dieses simultane System erfüllen, so ist cd = ~ eine
so
Lösung der Riccati'schen Gleichung (1).
Diese — übrigens längst bekannte — Ersetzung der Riccati'schen
Differentialgleichung (1) durch das simultane System (7) kommt im
wesentlichen darauf hinaus, dass die eine Veränderliche o durch zwei
homogene Veränderliche x, y ersetzt worden ist. Ist x1} yx ein parti-
culares Lösungensystem von (7), so ist auch cx19 cyx ein solches,
wenn c irgend eine Constante bedeutet. Sind x19 yx und x2) y2 zwei
Particularsysteme, sodass — und — sich nicht auf dieselbe Constante
. . x% y%
reducieren, so ist:
x = clx1 + c2r2, y = clyi + c2y2
das allgemeine Lösungensystem, denn es enthält zwei wesentliche
willkürliche Constanten c1,c2. Alsdann ist
Wi + e%y% _ yt + *y2
die allgemeine Lösung der Kiccati'schen Gleichung. Sind k1)x2)x3}x4l
vier Werte der Constanten, zu denen die Lösungen c^, a>2, co3; co4
gehören, so ist offenbar:
(»! G>2 ©3 ttj = (»4 K2 X3 X4),
also constant, was wir früher anders bewiesen haben.
Wir wenden uns zur geometrischen Deutung des Systems (7), Geom.
das wir von jetzt ab so schreiben wollen: d Systems.
(8) g-«« + fcr, U-y* + »ir.
Hierin bedeuten a, ß, y, d gewisse Functionen von z allein.
Es mögen x, yy z gewöhnliche Punktcoordinaten im Räume sein.
Alsdann stellt jedes Lösungensystem
(9) x = x1(z), y = yx(?)
von (8) eine Curve in diesem Räume dar. Wir nennen sie eine In- i^s«*1-
\ / curvo.
tegralcurve. Deren giebt es insgesammt oo2:
(10) x = c1x1+c2x29 y = c1y1 + c2y2.
Die oo2 Curven werden die Ebene z = z0 in ihren oo2 Punkten, ebenso
eine allgemeine Ebene z = Const. in ihren oo2 Punkten schneiden.
Sie stellen mithin eine Zuordnung der Punkte dieser beiden Ebenen zu
einander her. Um ihren Ausdruck zu finden, wollen wir annehmen, die
particularen Lösungen x19 y1 und x%9 y2 nehmen für Z = Z0 die Werte

774
Kapitel 24, § 2.
%i°> Vi0 una" #2°> V2° arL Auch soll (x°9 y°) der Schnittpunkt der
Ebene z = z0 mit der Curve (10) sein. Wenn wir dann aus
x° = c^0 + c2x2°, f = c^0 + ^2°
die Werte von ct und c2 berechnen und in (10) einsetzen, so erhalten
wir x und y offenbar ausgedrückt in der Form:
x = X(z)x« + (i(z)y0, y = q(z)x° + o(z)y°.
Hiermit ist der dem Punkte (x°f y°) der Ebene z = z0 entsprechende
Punkt (x, y) der allgemeinen Ebene (z) bestimmt. Die Zuordnung
Lin. hom. zwischen den Punkten beider Ebenen ist nach (10) eine lineare homo-
Trf. N '
gene Transformation. Hieraus folgt: Alle Integralcurven, die von den
Punkten einer Geraden der Ebene z = z0 ausgehen, treffen jede Ebene
0 = Const. in einer Geraden. Diese 00 * Integralcurven erzeugen also
Regeifiäche eine Begelfläche, deren Geraden in den Ebenen z = Const. liegen. Wir
curven. nennen sie eine integrierende Begelfläche. Da ferner bei einer linearen
homogenen Transformation in x, y das Wertepaar x = y = 0 invariant
bleibt, so ist die #-Axe selbst Integralcurve. Da endlich bei linearer
homogener Transformation das Unendlichferne sich entspricht und
da alle Ebenen z = Const. eine unendlichferne Gerade gemein haben,
so können wir noch sagen: Die unendlichferne Gerade der Ebene
z = Const. ist Integralcurve. Sie gehört übrigens allen oo2 oben
erwähnten Regelflächen an, da jede Gerade einer dieser Flächen die
unendlichferne Gerade der Ebene z = Const. schneidet Alle
Integralcurven, die von den Punkten eines Kegelschnittes der Ebene
z = z0 ausgehen, treffen jede Ebene z = Const. in den Punkten eines
Kegelschnittes, denn bei jeder projectiven Transformation geht
Kegelschnitt in Kegelschnitt über, u. s. w.
Angenommen, wir kennten alle erwähnten oo2 Regelflächen, so
sind uns natürlich alle ihre Schnittcurven, d. h. alle Integralcurven
bekannt. Dies ist auch dann noch der Fall, wenn wir nur oo1
Regelflächen kennen, die nicht jede Ebene z = Const. nur in einem
Strahlenbüschel schneiden. Denn die oo1 Geraden dieser Regelflächen in der
Ebene z = Const. werden sich je oo2 Punkten treffen, die
Schnittlinien der oo2 Regelflächen sind demnach alle oo2 Integralcurven.
Kennen wir oo1 Regelflächen, die jede Ebene z = Const in einem
Strahlenbüschel schneiden, die also nur eine Curve gemein haben, so
können wir auch dann noch die in ihnen gelegenen Integralcurven,
also alle 002 Integralcurven, und zwar durch Quadratur, bestimmen.
Fassen wir nämlich eine dieser Regelflächen ins Auge. Sie wird
die Ebene z = z0 in einer Geraden g0) die Ebene z = Const.
allgemein in einer Geraden g schneiden. Die oo1 Punkte der Geraden g

System von zwei linearen Differentialgleichungen. 775
sind denen der Geraden g0 vermöge der in der Fläche verlaufenden
Integralcurven projectiv zugeordnet. Mithin bestimmen sich die oo1
Integralcurven in der Fläche durch eine Riccati'sche Gleichung, nach
Satz 4 des § 1. Es sind uns aber schon zwei dieser Curven bekannt;
nämlich einmal die unendlichferne Gerade aller Ebenen z = Const.
und dann die allen oo1 Regelflächen gemeinsame Curve. Nach Satz 2
des § 1 finden wir also alle oo1 Curven durch eine Quadratur.
Wir wollen nun insbesondere die oo1 Regelflächen bestimmen,Die; »cgci-
welche die z-Axe enthalten, die ja Integralcurve ist. du™h d-
Bekanntlich geht aus dem simultanen System (8) die
ursprüngliche Riccati'sche Gleichung wieder hervor, wenn man die
Differentialgleichung für die Function
X
aufstellt. Deuten wir dies geometrisch: In der Ebene z = z0 legen
wir durch die z-Axe eine Gerade, deren Winkel mit der x-Axe die
Tangente cd(#0) habe. Dadurch wird dann auch in jeder Ebene
z = Const. die zugeordnete Gerade durch die z- Axe festgelegt, deren
Winkel mit der #-Axe die Tangente &(z) hat. Alle diese Geraden
bilden eine Regelfläche von Integralcurven. ra und z lassen sich als
die Coordinaten dieser Geraden auffassen.
Die Integration der ursprünglichen Riccati'schen Gleichung kommt
also factisch darauf hinaus, alle die #-Axe enthaltenden von
Integralcurven des Systems (8) gebildeten Regelflächen zu finden. Die
vollständige Integration des Systems (8) verlangt alsdann, wie wir
bemerkten, noch eine Quadratur (mit einer willkürlichen Constanten
im Differential), um die Integralcurven in einer solchen Regelfläche
zu bestimmen. Die Riccati'sche Gleichung ersetzt also nicht
vollständig das simultane System (8). Wir erkennen dies auch daraus, dass
bei seiner Bildung eine ganz willkürlich wählbare Function X(z)
auftrat. Die zum Systeme (8) gehörige Riccati'sche Gleichung ergiebt
sich übrigens wegen:
dm xdy — ydx
dz x?dz
in der Gestalt:
(11) g _,, + (* _«)«,_£„».
Dass die Differentialgleichung für die Regelflächen, welche die
z-Axe enthalten, gerade eine Riccati'sche sein muss, ist auch
begrifflich zu erklären: Fassen wir in allen oo1 Ebenen z = Const. alle oo1
Strahlenbüschel ins Auge, die von der z-Axe ausgehen. Ihre Strahlen
sind einander durch das System (8) wegen (10) projectiv zugeordnet.

776
Kapitel 24, § 2.
Zusammengehörige Strahlen bilden eine der fraglichen Regelflächen.
Nach Satz 4 des § 1 bestimmen sie sich* aus einer Riccati'schen Gleichung.
2wrf "un* Betrachten wir jetzt das nicht homogene, aber doch lineare System:
Diffgl11- / dx . n .
— «s + ßy + y,
(12)
dz
{^ = yx + öy + *>,
in dem a, ß, y, d, v\y & gegebene Functionen von z bedeuten. Dies
System wird durch oo2 Integralcurven im Räume (x, y} z) integrirt.
Die Integralcurve, welche die Ebene z = z0 im Punkte (aP, y°) schneidet,
treffe die allgemeine Ebene z = Const. im Punkte (x} y). Dadurch
wird eine Zuordnung der Punkte der Ebene z — Const. zu denen der
Ebene z = z0 hergestellt. Die Art dieser Zuordnung erkennt man
sofort. Die Integralcurve geht nämlich dadurch hervor, dass man
beständig auf den Punkt (x} y, z) eine infinitesimale Transformation
ausübt, bei der die Coordinaten x, y die Incremente
dx = (ax + ßy + y)d0> dy = (y# + dy + %)dz
erfahren, wenn z das Increment dz erhält. Von Ebene zu Ebene
werden sich diese Incremente ändern, da z variiert. Aber immer liegt
eine infinitesimale lineare Transformation in x} y vor. Wenn man
aber unendlich viele infinitesimale Transformationen der linearen Gruppe
in x, y ausübt, so ist das Ergebnis einer einzigen Transformation
der linearen Gruppe, also wieder einer linearen Transformation in x, y
äquivalent. Mithin drücken sich die Coordinaten x, y des Punktes, in
dem die durch den Punkt (x°} y°) der Ebene z = zQ gehende
Integralcurve die Ebene (z) schneidet, in der Weise aus:
x = qx° + af + r, y = <px° + il>f + %.
Dabei aber sind die Coefficienten 9, tf, t, <p, rl>} % gewisse uns
unbekannte Functionen von z.
Man sieht, auch jetzt sind die Beziehungen zwischen den Punkten
der Ebenen z = Const. lineare, aber nicht mehr homogene. Es ist
also wieder die unendlichferne Gerade der Ebenen 0 = Const. eine
Integralcurve, nicht aber die #-Axe. Wieder erzeugen alle
Integralcurven, die von den Punkten einer Geraden in der Ebene z — z0
ausgehen, eine Regelfläche. Kennen wir oo1 dieser Regelflächen, die sich
nicht nur in einer Curve schneiden, so kennen wir alle oo2
Integralcurven als ihre Schnittlinien.
deri^tegril? Eine solche Regelfläche können wir uns in der Form geschrieben
renden <. -,
Regeiflach. denken

System von zwei linearen Differentialgleichungen. 777
(13) y = XX + V}
in der A und v noch unbekannte Functionen von z sind. Es folgt
hieraus durch Differentiation nach z:
^ — A — — x — — — = 0
dz dz dz dz
Tragen* wir hier die Werte (12) ein, so erhalten wir:
yx + dy + # — X{ax + ßy + v) — *jj; — äJ = 0'
(13) ist eine von Integralcurven gebildete Regelfläche, sobald die letzte
Gleichung vermöge (13) identisch besteht, d. h. sobald
y-«l-J* ö-ßX *-,!_*:
' dz v dz
ist. Dies aber sind für A, v die beiden Differentialgleichungen:
(14)
S = r + (*-«)A--/U2,
d^ = b — nX + <$i/-/5Ai/.
Hat man dies simultane System integriert, so sind auch unsere
Regelflächen (13) und damit auch alle Integralcurven von (12) gefunden.
Insbesondere ist nun die erste Gleichung (14) eine Riccati'sche in
A und 0t. Ist sie integriert, so setzen wir den Wert von A in die
zweite Gleichung (14) ein und erhalten dadurch eine lineare Gleichung
in v und 0, deren Integration zwei successive Quadraturen erfordert.
Die Integration des simultanen linearen Systems (12) ist also auf die
Integration einer Biccatüschen Gleichung und zwei successive Quadraturen
zurückmführen.
Die soeben benutzte Reduction rührt von d'Alembert her. Ihr -ßeduction
von
innerer Grund ist dieser. Die unendlich ferne Gerade der Ebenen d'Aiembert.
z = Const. ist gemeinsame Integralcurve. Da in jeder Ebene die
unendlichfernen Punkte als die Richtungen der Geraden
y = Xx + v
charakterisiert werden können, diese aber durch A bestimmt werden,
so folgt: Die oo1 Richtungen A in jeder Ebene z = Const. sind auf
die in der Ebene z = z0 projectiv bezogen. Man findet demnach nach
Satz 4 des § 1 alle einander zugeordneten durch Integration einer
Riccati'schen Gleichung. Es ist das die erste Gleichung (14).

778
Kapitel 24, § 8.
§ 3. Verallgemeinerung der Riccati'sehen Differentialgleichung,
System von drei linearen homogenen Differentialgleichungen.
Es liegt eine weitere Verallgemeinerung des Systems (12) äusserst
nahe. Anstatt nämlich wie dort den Grössen dx, dy die Form der
Incremente von x7 y bei einer infinitesimalen linearen Transformation
zu geben, erteilen wir ihnen die Form der Incremente bei einer
infinitesimalen projectiven Transformation überhaupt. Wir betrachten
also das simultane System:
(15)
^ = A + Cx + Dy + Hx* + Kxy,
d£ = B + Ex + Gy + Hxy + Ky\
in dem A, B} C, Z>, E} G, H, K gegebene Functionen von z
darstellen sollen.
7eSccatT- ^r nennen jedes derartige System eine Verallgemeinerung der
sehen ^^'Biccati'sehen Differentialgleichung.
Zunächst wollen wir einmal wieder z als Zeit, x,y als Punktcoor-
dinaten in der Ebene deuten. Alsdann stellen die Gleichungen (15)
eine infinitesimale projeetive Transformation
Uf= (A + Cx + Dy + Hx* + Kxy) |£ +
+ {B + JEx + Oy + Exy + Kf) |£
dar, die vom Moment z an im nächsten Zeitelement dz auf die Punkte
der (x,y)-Ebene ausgeführt wird. Ein Punkt, der zu einem
bestimmten Anfangsaugenblick z = z0 etwa die Lage (x0, y0) hat, wird durch
die continuierliche Ausführung solcher mit der Zeit z veränderlicher
infinitesimaler projeetiver Transformationen Uf im Verlaufe der Zeit
z in eine Lage (x} y) gebracht. Die Gleichungen (15) integrieren,
heisst, diese Lage (x, y) durch x0, y0 und z ausdrücken. Da die
Aufeinanderfolge einer Reihe von projectiven Transformationen einer
ebenfalls projectiven Transformation äquivalent ist, so folgt, dass sich x, y
linear gebrochen durch x0, y0 ausdrücken werden. Das allgemeine
Losungensystem von (15) hat somit die Form:
Alx0 + Bty0 + fi _A2x0 +B2y0 + C%
X — Asx0 + B3y0 + Cz> y Ä,x0 + BzVo + Ob9
in der die A, B, C noch unbekannte Functionen von z sind. x0, y0
spielen die Bolle der Integrationsconstanten.

Verallgemeinerung d. Riccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 779
Deuten wir nunmehr x, y, z als gewöhnliche Punktcoordinaten
im Räume, so stellen diese Gleichungen, wenn man x0, y0 in ihnen
bestimmt wählt, sodass sie ein particulares Lösungensystem
repräsentieren, eine Curve im Räume, eine Integrälcurve dar, die vom Punkte in»eg*ai-
(xo> I/o) der Ebene z = z0 ausgeht, Alle oo2 Integralcurven schneiden
die Ebenen z = Const. in allen ihren Punkten und stellen also
Zuordnungen zwischen den Punkten dieser Ebenen her. Die Form der
letzten Gleichungen zeigt, dass diese Zuordnungen projediv sind.
Auch jetzt bilden, da hiernach jeder Geraden der Ebene z = z0
eine Gerade jeder der Ebenen z = Const. entspricht, alle
Integralcurven, die von den Punkten einer Geraden der Ebene z = zQ
ausgehen, eine integrierende Regelfläche, die jede Ebene z = Const. in einer Inrtee^e"
Geraden schneidet. Es wird aber jetzt — sobald in (15) die Functionen Reßelfläcbe
H und K nicht beide identisch verschwinden — die unendlichferne Gerade
der Ebenen z = Const. nicht mehr als Integrälcurve aufzufassen sein,
denn bei einer allgemeinen projectiven Transformation entspricht die
unendlichferne Gerade nicht sich selbst.
Wenn eine integrierende Regelfläche von vornherein bekannt i^m^ch^e^?i"
etwa diese: bekannt.
y = lx + v,
bei der A, v bekannte Functionen von z sind, so können wir das
jetzige System (15) auf ein lineares zurückführen. Alsdann nämlich
sind die Geraden
y — kx — v = 0
der Ebenen z = Const. einander vermöge der infinitesimalen
projectiven Transformationen Uf zugeordnet. Durch geeignete projective
Coordinatenänderung in jeder der Ebenen können wir diese Gerade
ins Unendlichferne verlegen. Eine solche Coordinatenänderung ist diese:
x = 1 , y = =
y — Xx — v1 J y — Ix — v
Führen wir also statt x, y diese Veränderlichen x', y in das System
(15) ein, so muss bei dem hervorgehenden System die Zuordnung
der Punkte der Ebenen z = Const. überall linear sein, indem die
Regelfläche
y = Xx + v
nunmehr ins Unendlichferne x=oo9 y = co versetzt worden ist.
Dann aber liegt wieder der zuletzt in § 2 besprochene Fall vor: Uf
wird linear, und das System in x9 y, z ist linear. Wir überlassen es
dem Leser, dies zu verificieren. Man hat «dabei zu beachten, dass

780 Kapitel 24, § 3.
y = Ix + v eine integrierende Regelfläche von (15) sein soll, also
vorauszusetzen ist, dass die Gleichung
B + Ex + Gy + Hxy + Ky* = l(A +Cx + Dy + Rx* + Kxy) +
+ l'x + •
vermöge y = Kx + v identisch bestehe für alle Werte von z und x.
Das System (15), die Verallgemeinerung der Riccati'schen Diffe-
▼on8td™i rentialgleichung, wollen wir nun auf ein System von drei linearen homo-
nDiffhi™' #ewcw Differentialgleichungen durch ein Verfahren zurückführen, das
analog der Reductionsmethode der Riccati'schen Differentialgleichung
auf zwei simultane lineare homogene Differentialgleichungen ist. Wir
führen nämlich statt x} y drei homogene Veränderliche x1} x2} xB ein,
deren Verhältnisse
#3 *^8
seien. Dann ist:
dxt dxs 2 dx
X*~dz~~Xi~d7"ssX* dz~'
dx2 dXz __ 2 dy
» dz X* dz —X* dz~
Setzen wir hierin die Werte (15) ein, so kommt:
Xs^ — Xi-jj~ = Ax£ + Cxxxz + Dx2xz -f Hxx2 + Kxtx2}
**Ji -x* S " Bx* + Ex*x* + Gx*x> + Hx*x* + Kx*-
Da wir bisher nur über die Verhältnisse von xu x2, x$ verfügt haben,
so können wir unter Einführung einer beliebigen Function X(js)
festsetzen, dass
d£ = Axi + (C-X)xi + Dx>
sein soll. Dann wird
und
i
Wir erhalten also dann ein System von drei linearen homogenen
Differentialgleichungen von der# allgemeinen Form:

Verallgemeinerung d. Riccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 781
(dxt | ,
| ~fa — «11*1 "t" «12*2 "T «13*3 >
(16) \ -ji = «21*1 + «22*2 + «23*3 7
dx3 . .
~fa «81*1 T* «32*2 "T «33*3-
Ist das System integrabel, so gilt dasselbe vom System (15), aber
nicht umgekehrt, denn ist (15) integriert, so kennt man nur die Ver-
OH sc
hältnisse — und — als Functionen von 0, kennt also
xs xt
x1 = qx} x2 = Qy, X3 = Q
bis auf die noch unbekannte Function q von #. Um diese zu
bestimmen, setzen wir diese Werte in eine der Gleichungen (16) ein. Dies
liefert für q eine lineare homogene Differentialgleichung, aus der sich
also q durch eine Quadratur bestimmt.
Wir wollen uns nun weiterhin mit dem homogenen System (16)
und seiner Integration beschäftigen.
Soeben hatten wir xt) x29 x3 als homogene Coordinaten in der
Ebene z = Const. vermöge
— = x, —- = y
**"3 «*/8
eingeführt. Also das dem homogenen Coordinatensystem zu Grunde
liegende Dreieck hatten wir in specieller Weise gewählt. Nichts aber
hindert uns nun, wo wir zu dem System (15) doch nicht zurückkehren
wollen, bei dem vorgelegten System (16) xlf x2} xs als irgendwelche
homogene Coordinaten in den Ebenen 0 = Const. zu betrachten, also
das Coordinatendreieck in jeder Ebene beliebig zu wählen. Wir
werden später durch passende Wahl der Coordinatendreiecke öfters
Vereinfachungen erzielen.
Ist #/, x2} x3' ein particulares Lösungensystem von (16), so
ist auch
X^ = Ci X^ , X2 = Cj X2 y #3 — C^ Xq
ein solches, wenn q eine beliebige Constante bedeutet. Sind
*» = */, *« = */', *< = */" (i = 1, 2, 3)
drei particulare Lösungensysteme, doch so, dass zwischen ihnen keine
Gleichungen
ax^+bx^'+cx^'^O,
ax2 + bx2"+ cx2'"= 0,
«*3'+ 6*3"+ cx3" '= 0
mit constanten Coefficienten a, b9 c bestehen, so ist:

782
Kapitel 24, § 3.
ah* lö- (17) Xi = e1xi + c2#/'+ CoXi'" (i = 1, 2, 3)
sungensyst.
dur^i^reidas allgemeinste Lösungensystem, ausgedrückt durch drei beliebige par-
auegedr. Uculare.
Wenn wir wieder wie früher als Integrationsconstanten die
Anfangswerte xx°9 x2°, x3° von x19 x29 #8 in der Ebene z = z0 wählen, so
haben wir aus den Gleichungen (17) nach der Substitution z = z0 die
Constanten c19 c2} c9 zu berechnen und dann in (17) einzusetzen.
Dadurch ergeben sich die Integralgleichungen in der vorauszusehenden
Form einer linearen homogenen Transformation:
Xi = f*($)x* + fa(*)x* + fiB(zW (i — 1, 2, 3).
Es ist zu beachten, dass sich die Begriffe Tntegralcurve und par-
ticulares Lösungensystem jetzt nicht mehr decken, weil für die Integral-
curve nur die Verhältnisse von x19 x29 xz in betracht kommen. Die
Gleichungen
xx = Xx (z)9 x2 = k2(z), x9 = X3(z)
stellen eine Integralcurve dar, sobald die aus ihnen sich ergebenden
Werte der Verhältnisse von -=-*, -=-*, -r1 den durch (16) bestimmten
Werten dieser Verhältnisse gleichkommen. Es existiert alsdann ein
gewisses particulares Lösungensystem
x1=q11(z)9 x2=q12(z)9 xz=qXz{z).
Die unbekannte Function q"von z bestimmt sich aus einer der
Gleichungen (16) durch eine Quadratur.
Obgleich unsere geometrische Interpretation hiernach keine
vollkommen bestimmte ist, so wird uns gerade diese Vieldeutigkeit
späterhin von Vorteil werden.
inS^rti Angenommen, eine Integralcurve
curve sei t / \ / \
bekannt. Xt= A[Z)X39 X2= (JL\Z)X$
sei bekannt Sie trifft die Ebenen z = Const in zugeordneten Punkten.
Diese Punkte sind die Mittelpunkte von Strahlenbüscheln in den Ebenen
z = Const., und die Büschel sind einander projectiv zugeordnet.
Hieraus folgt nach Satz 4 des § 1, dass sich die Regelflächen, welche die
gegebene Integralcurve enthalten, aus einer Riccati'schen Gleichung
oder — bei homogenen Coordinaten — aus einem System von zwei
linearen homogenen Differentialgleichungen bestimmen lassen.
In der That kann man dies auch rechnerisch einsehen: Wir wählen
in der allgemeinen Ebene z = Const. ein neues Coordinatensystem

Verallgemeinerung d. Riccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 783
(Vi: V2: Vs) so> dass die Ecke yx = y2 = 0 auf der gegebenen Integral -
curve liegt. Die dazu nötigen Formeln haben allgemein die Gestalt:
(18) yk — #*ia;i + ^kiX2 + tl>kSx3 (Je = 1, 2, 3),
in der die ipy Functionen von z bedeuten. Insbesondere sollen nach
unserer Voraussetzung yx und y2 für xx = A#3, x2 — fta?3 Null sein.
Wir wählen daher die ip so als Functionen von z, dass erstens
natürlich ihre Determinante
ist und dass zweitens
*^21 + f*#*2 + #28 = 0
wird. Führen wir die neuen Coordinaten (18) in das System (16) ein,
so nimmt es zunächst die allgemeine Form an:
(19)
Aber jetzt ist 2/1= y2 = ^ eine Integralcurve, d. h. es ist ftia = fl23 —0,
sodass das transformierte System die Form hat:
^ = Ai»i +Ai^jt
Die beiden ersten Gleichungen bilden ein System für sich. Sie
bestimmen die durch die bekannte Integralcurve gehenden
integrierenden Regelflächen und werden durch eine Riccati'sche Gleichung und eine
Quadratur erledigt, während die letzte Gleichung noch zwei
Quadraturen verlangt.
Sind zwei Integrälcurven bekannt: inSreii-
/ N / x curven seien
Xx = A\JS)X^9 X2 = R/V^S? bekannt.
Xl = *(*)«*, #2 = *(*)**>
so sind wieder die Strahlenbüschel in den Ebenen z = Const., deren
Mittelpunkte auf einer der beiden Curven liegen, einander projeetiv
zugeordnet, sodass sich die integrierenden Regelflächen durch eine der
Curven nach Satz 4 aus einer Riccati'schen Gleichung bestimmen.
Hier ist uns aber eine dieser integrierenden Regelflächen schon bekannt,

784
Kapitel 24, § 3.
nämlich die, welche die beiden Curven enthält. Nach Satz 1 des § 1
ergeben sich daher die Regelflächen durch die Curven vermöge je
zweier successiver Quadraturen. Damit sind alsdann auch alle In-
tegralcurven gefunden, als Schnitte dieser Flächen. Die Bestimmung
aller Lösungen des Systems (16) erfordert also nur noch eine letzte
Quadratur.
Rechnerisch führt man diese Reduction durch, indem man solche
neue homogene Coordinaten yl9 y29 y8 in den Ebenen z = Const.
vermöge eines Gleichungensystems (18) einführt, dass die Ecken der
Coordinatendreiecke: yx = y2 = 0 und yx = yz = 0 auf den gegebenen
Integralcurven liegen. Man wird also in (18) die ^y, deren Determinante
nicht Null sein darf, irgendwie so als Functionen von e wählen, dass
<^31+T#32 +^33 = °
wird. Das durch Einführung von yXi y29 ys alsdann hervorgehende
System (19) besitzt die Integralcurven yx = y2 = 0 und yx = yz = 0,
sodass 018 = 023 = 0, sowie ßX2 = /J32 = 0 wird. Es hat also die
Form:
-ji = ßuyi>
^ = ßnVi +ß*&y*-
Die erste Gleichung wird durch eine Quadratur integriert, alsdann die
zweite und dritte durch je zwei successive Quadraturen, das ganze
System also durch fünf, wie wir vorhersagten.
Drei Sind drei Integralcurven bekannt, die nicht derselben integrieren^
curven seienden Regelfläche angehören, so können wir die Ecken der
Coordinatendreiecke (jfx: y2: yz) in ihre Schnittpunkte mit den Ebenen z = Const.
verlegen. Dadurch erhält das System eine Form (19), in der die drei
Curven:
yi=V2 = 0> & = & = <>; * —!fi —0
Integralcurven sind. Es wird also die Gestalt haben:
dy* = R » dV* = R *, dy* = R *i
und ist durch drei von einander unabhängige Quadraturen zu integrieren.
Dies folgt auch rein begrifflich, denn nach Satz 2 des § 1 erfordert

Verallgemeinerung d. Riccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 785
die Bestimmung der durch die erste der drei Curven gehenden
integrierenden Regelflächen nur eine Quadratur, ebenso die der durch $ie
zweite gehenden Regelflächen, denn jedesmal sind uns zwei der
Regelflächen schon bekannt Die Schnittcurven der Regelflächen sind die
Integralcurven. Die Lösungen des Systems ergeben sich also durch
noch eine dritte Quadratur.
jEs möge eine integrierende Eegelfläehe R^wacS
(20) x3 = X(z)xl + (i(z)x2
bekannt sein. Sie schneidet die Ebenen z = Const. in Geraden, deren
Punkte einander projectiv zugeordnet sind vermöge der in der
bekannten Regelfläche gelegenen Integralcurven. Diese oo1
Integralcurven findet man mithin nach Satz 4 des § 1 aus einer Riccati'schen
Gleichung oder einem System von zwei linearen homogenen
Differentialgleichungen. Dies verificiert man sofort, wenn man (20) in die
beiden ersten Gleichungen (16) einsetzt. Sind die in der gegebenen
Regelfläche verlaufenden Integralcurven gefunden, so greifen wir zwei
unter ihnen heraus und machen sie zu den Curven y1 = y2 = 0,
yx = yz = 0 im neuen Coordinatensystem. Dadurch kommen wir auf
das vorletzte Problem zurück, dessen Erledigung noch fünf
Quadraturen erforderte.
Sind zwei integrierende Regelflächen bekannt: zrS^m^
#3 = K*)Xl + f*te)3*> bekannt.
x3 = 6(z)xl + r(z)x2i
so kennt man von den in jeder derselben verlaufenden Integralcurven,
deren Bestimmung zunächst auf die Integration Riccati'scher
Gleichungen zurückkäme, je eine, nämlich die Schnittlinie beider Flächen.
Nach Satz 1 erhalten wir durch je zwei successive Quadraturen alle
in den beiden Fällen verlaufenden Integralcurven. Damit sind dann
offenbar alle integrierenden Regelfläcben bekannt, also überhaupt alle
Integralcurven, sodass die vollständige Integration des Systems (16)
noch eine fünfte Quadratur verlangt.
Sind drei integrierende RegelfläcJien bekannt, die nicht sämtlich D^J**r-
durch dieselbe Curve gehen, so kennen wir auch drei Integralcurven, be^J^t
die nicht sämtlich in derselben Regelfläche liegen. Die Integration
erfordert also nach dem Früheren drei von einander unabhängige
Quadraturen.
Die drei soeben betrachteten Fälle stehen den vorher untersuchten
insofern dualistisch gegenüber, als an Stelle der Punkte in den Ebenen
z = Const. hier die Geraden in den Ebenen treten. Integralcurve und
Lie, Continuierliohe Gruppen. 50

786
Kapitel 24, § 3.
integrierende Regelfläche sind in diesem Sinne zu einander dualistisch.
In der That kann man dieser Auffassung dadurch einen Ausdruck
geben, dass man in den Ebenen z = Const. homogene Liniencoordina-
ten ul9 u2} uB einführt, indem man die Invarianz von:
uxxx + u2x2 + uzxz — 0
verlangt. Man gelangt alsdann, indem man nach den integrierenden
Regelflächen fragt, zu einem System von drei linearen homogenen
Differentialgleichungen in uu u29 us. Wir wollen es aber bei dieser
Andeutung bewenden lassen.
ReKemfiche Kennt man eine integrierende Begelfläche und eine nicht in ihr ge~
Regelfläche
und oiii«
Iiitegr.il
3iirvo sei«
bekannt.
und oine iegene Integralcurve, so führt man neue homogene Coordinaten yx^y^y%
curvo 8oienjn <}en Ebenen e = Const. vermöge (18) derart ein, dass die eine Ecke
V2 = V$ = 0 auf der bekannten Integralcurve und die Seite yx = 0
des Coordinatendreiecks eine Gerade der bekannten Regelfläche wird.
Alsdann nimmt das System (16) eine neue Form (19) an, in der
offenbar, da y% = y$ = Q Integralcurve ist, ß2l = ßu = 0 und, da
yx = 0 integrierende Regelfläche ist, ß12 = ßl3 = 0 wird. Somit hat
es die Form:
dz — Pnyi»
7& — AiÄ + ßntftf
dz
dy{
Die erste Gleichung integriert sich durch eine Quadratur. Die beiden
letzten werden durch eine Riccati'sche Gleichung und eine Quadratur
erledigt.
Bisher haben wir nur solche von Integralcurven erzeugte Flächen
betrachtet, welche eine Ebene z = Const. und mithin alle Ebenen
inte- z = Const. in Geraden schneiden. Wir wollen allgemein eine von
^mche16 Integralcurven erzeugte Fläche eine integrierende Fläche nennen.
^läche^f?' Nehmen wir an, es sei uns eine integrierende Fläche bekannt,
bekannt- welche die Ebene 0 = z0 in einer Curve c0 schneidet, die keine
infinitesimale projective Transformation in sich gestattet, die also keine
selbstprojective Curve ist (vgl. § 4 des 3. Kap.). Alsdann schneiden
die Ebenen 0 = Const. die Fläche in bekannten Curven c, die
ebenfalls nicht selbstprojectiv sind, da sie aus der Curve c0 durch
projective Transformation oder durch in xl} x2, xz lineare homogene
Transformation hervorgehen. Es giebt nun keine continuierliche Schar

Verallgemeinerung d. ßiccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 7 87
von projectiven Transformationen Tu T2, Ts ..., die c0 in eine Curve
c überführen, denn sonst würde c0 bei T{~lT%, T{~lTz... invariant
sein, mithin eine infinitesimale projective Transformation gestatten.
Die demnach nur in discreter Anzahl vorhandenen projectiven
Transformationen, die c0 in c überführen, kann man direct bestimmen. Es
ist dies nur ein Eliminationsverfahren. Diese Transformationen
enthalten in ihren Coefficienten im allgemeinen z als Constante. Eine
der Transformationen muss nun genau mit der übereinstimmen, die
der durch das System (16) zwischen der Ebene (z0) und der Ebene
(z) hergestellten entspricht. Da die Auswahl nur unter einer discreten
Anzahl stattfindet, kann man sie in jedem Falle durch Verification
finden. Alsdann ist die durch die Integralcurven zwischen den Ebenen
z = Const. vermittelte projective Beziehung bekannt. Daher lassen duIr"^*r;l
sich auch die Integralcurven ohne Quadratur durch ausführbare Opera- {q"}™"
tionen finden. tiouen
Man kann dies auch so entwickeln:
Dass die Curven c durch projective Transformation — also durch
in xl} x2, #3 lineare homogene Transformation — aus c0 ableitbar
sind, kann folgendermassen ausgesprochen werden: Es lassen sich in
allen Ebenen # = Const. solche neue homogene Coordinaten y1} y2J y3
einführen, dass die Curven c sämtlich dieselbe Gleichung wie cQ
besitzen. Dies gilt übrigens auch dann, wenn die Curve c0 selbst-
projeetiv ist, eine Annahme, zu der wir nachher übergehen.
Wir können also das Gleichungensystem (18) zur Einführung
neuer Coordinaten ylf y2, yz so wählen, dass die Curven c in allen
Ebenen z = Const. dieselbe — mithin von z freie — Gleichung
erhalten:
n(!fi, ft, 2/3) = °-
Das System (16) geht somit bei Einführung von yu y2, y9 in ein
System (19) über, das die integrierende Fläche co = 0 besitzt. Es
ist daher
dz
vermöge (19) und ct> = 0, oder also es ist:
2 (ßkiffi + &2J/2 + ßnyz) djh - 0
1
vermöge ra = 0. Dies lässt sich auch so aussprechen: Die Curve c
oder o = 0 gestattet die infinitesimale projective Transformation
60*

788
Kapitel 24, § 3.
(21) 2 Gfoyi + ß**y* + fay*)fr>
1
wenn ^- mit g> bezeichnet wird. Dies widerspricht der
Voraussetzung, solange nicht alle ßy = 0 sind. Das neue System (19) hat
also die einfache Gestalt:
^i=0 ^ = 0 ^ = 0
dz 'dz ' dz
und ist sofort integriert. Wir finden also nicht nur die Integral-
curven, sondern auch die Lösungen des Systems ohne jede Quadratur
durch ausführbare Operationen.
B}° ^: Betrachten wir nunmehr die Annahme, dass die Curven cn, c, in
denen die bekannte integrierende Fläche die Ebenen z = Const. trifft,
selbstprojectiv sind. Nach Theorem 7, § 4 des 3. Kap., lassen sie sich
auf typische Formen zurückführen. Wir wollen die einzelnen Fälle
besprechen:
CeineStinf° Gestattet c0 nur eine infinitesimale projective Transformation, so
proj Trf. kann sie auf ejne der beiden Formen
y — e* = 0, y — xa = 0
in nicht homogenen Coordinaten x, y gebracht werden. Also folgt,
wenn wir diese Gleichungen homogen schreiben: In dem vorliegenden
Falle dürfen wir annehmen, das System (16) sei schon auf eine solche
Form (19) gebracht, dass es die integrierende Fläche
y±
cj = y2 — y3eyi = 0
oder:
o = yr'fhyf-1 — 1 = 0
besitzt. Die frühere Überlegung zeigt wieder, dass alsdann die Curve
co = 0 die infinitesimale projective Transformation (21) gestatten muss.
Da sie nur eine gestattet, ist diese leicht aufzustellen. Wir haben
dies in nicht-homogenen Coordinaten in § 4 des 3. Kap., S. 81, ge-
than. Danach gestattet
y — e* = 0
diese:
p + yr,
also gestattet
o = y2 — y^% — 0
als allgemeinste infinitesimale lineare homogene in yl} y2} y3 diese:

Verallgemeinerung d. Riccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 789
(Vgl. die Tafeln in § 1 des 19. Kap., S. 503). q und 6 können irgend
welche Functionen von z bedeuten. Vergleich mit (21) giebt die
Werte der ßy. Das System (19) hat daher sicher die Form
angenommen :
-/;--** + **»
Die Integration dieses Systems verlangt nur die Auswertung der
Integrale über Qtlz und ödz.
Die Curve ferner
y — xa = 0
gestattet, sobald, wie angenommen werden niuss,
«+-1, 0, \, 1, 2
ist, die infinitesimale projective Transformation
xp -f ayq,
mithin gestattet die Curve
co = yray*ysa~'1 — 1=0
als allgemeinste infinitesimale lineare homogene Transformation in
Vi, %, 2/3 diese:
sodass der Vergleich mit (21) zeigt, dass im vorliegenden Falle das
System (19) die Gestalt hat:
Die Integration erfordert nur die beiden Quadraturen Jgdz und Jödz.
Dass wir in diesen Fällen mit Quadraturen auskommen, hätten
wir auch ohne Rechnung einsehen können: Die Curven c sind pro-
jectiv auf einander bezogen vermöge der auf der bekannten
integrierenden Fläche gelegenen Integralcurven. Diese Integral curven
bestimmen sich also nach Satz 4 des § 1 durch eine Riccati'sche Gleichung.
Aber wir sehen aus Theorem 7, § 4 des 3. Kap., dass die Curven c
singulare Punkte enthalten, die einander entsprechen. Der Ort dieser-
singulären Punkte ist also eine bekannte Integralcurve, gelegen auf der
integrierenden Fläche. Die in Rede stehende Riccati'sche Gleichung

790
Kapitel 24, §§ 3, 4.
ist mithin nach Satz 1 des § 1 durch zwei Quadraturen integrierbar.
Hat man dadurch alle Integralcurven auf der Fläche gefunden, so
bestimmen je zwei derselben eine integrierende Regelfläche. Die Schnitte
dieser Regelflächen sind alle oo2 Integralcurven.
meh^r^inf Wenn die Curve c0 mehr als eine infinitesimale projective Trans-
proj. Trf. formation in sich gestattet, so ist sie nach Theorem 7 eine Gerade
oder ein Kegelschnitt. Auch dann bestimmen sich die auf der
bekannten integrierenden Fläche gelegenen Integralcurven aus einer
Riccati'schen Gleichung. Wir kennen aber von vornherein keine
einzelne Integralcurve auf der Fläche, da die Geraden und Kegelschnitte
keine singulären Punkte haben, d. h. keine Punkte, die bei allen
infinitesimalen projectiven Transformationen der Geraden oder
Kegelschnitte in sich in Ruhe bleiben. Ist c0 eine Gerade, so ist die
bekannte Fläche eine Regelfläche. Diesen Fall haben wir schon
besprochen.
Es erübrigt also nur noch der Fall, dass die gegebene integrierende
c" schlim01 *^äche die Ebenen z = Const. in Kegelschnitten schneidet. Wir können
die Kegelschnitte c sämtlich durch Einführung passender homogener
Coordinaten yl9 y2, y3 iu den Ebenen z = Const. auf die Form
co = 2/i2 — 2y2y3 = 0
bringen. Es soll cd = 0 eine integrierende Fläche vorstellen, d. h. es
muss -=- = 0 sein vermöge cd = 0 und vermöge des Systems (19).
Dies ergiebt ohne Mühe, dass das System (19) die Form annimmt:
(22)
1S? — (* + *)& + A»* + ß»v»>
^= A,K +2«ys.
Wir wissen, dass die Punkte der Kegelschnitte projectiv auf einander
vermöge der Integralcurven bezogen sind und diese Integralcurven sich
daher aus einer Riccati'schen Gleichung bestimmen. Um die Gleichung
zu erhalten, führen wir eine Grösse u als Coordinate der Punkte der
Kegelschnitte
Vi — 2y2y8 — 0
ein, indem wir setzen:
sodass auch

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 791
Vi = 2wy3
ist. Nach (22) wird nun aus
^i — „ dJL _l » *ü
dz ~ u dz "■" yi dz'
wenn y2 = \iyx und yx = 2uy3 eingesetzt wird, worauf sich yt forthebt,
die Differentialgleichung für u:
ßis = 0» -Q> + ßltu> + ±ß„ + *L.
Es ist dies in der That eine Riccati'sche Differentialgleichung für u.
Also hat sich ergeben: Goaamt-
0 ergcoms
Satz 5: Wenn von dem simultanen System b.ei4hok-
^ = /*«(*)!& + MO* + 0« (*)%
(fc-1, 2, 3)
eine integrierende Fläche
F(*, *, *)-0
Vi/3 2/3' /
belcannt ist, so erfordert die Integration nur Quadraturen in allen Fällen
mit Ausnahme der beiden, in denen die integrierende Fläche die Ebenen
z = Const. in Kegelschnitten oder Geraden schneidet. In diesen beiden
Fällen kommt die Integration auf die einer lliccati'sehen Gleichung und
auf Quadraturen zurück.
Wir könnten noch eine Reihe ähnlicher Probleme erledigen, indem
wir z. B. annehmen, dass ausser einer integrierenden Fläche eine ln-
tegralcurve bekannt sei, oder drgl. Aber wir verzichten darauf, weil
die Betrachtungen keine neue Schwierigkeit darbieten.
Als Grundlage diente uns bei den durchgeführten
Integrationsvereinfachungen stets der Umstand, dass die Ebenen z = Const. durch
die Integralcurven projeetiv auf einander bezogen waren, dass also mit
dem System die allgemeine projeetive Gruppe der Ebene in enger
Beziehung stand.
§ 4. Systeme von Differentialgleichungen mit
Fundamentallösungen.
Zunächst wollen wir hervorheben, dass sich die im vorigen
Paragraphen entwickelte Methode auf eine allgemeine Kategorie von Systemen
von Differentialgleichungen ohne Mühe ausdehnen lässt.
Liegt das System von n simultanen Differentialgleichungen ^*8Diffgin.n
(23) ^ = ijifo ..*.,*) (i-l,2..n)

792
Kapitel 24, § 4.
in x1.. xn} z vor, so können wir z als die Zeit, als Punkt-
coordinaten in einem Räume von n Dimensionen deuten. Alsdann
wird der Punkt (xx.. xn) vom Moment z an im nächsten Ze^element
infinitesimal transformiert, indem xx..xn die Incremente erfahren:
dxi = rjifa .. xn} z)dz (i = 1, 2 .. n).
Diese infinitesimale Transformation hat das Symbol:
n
Yf=^jrii(x1..xn, *)J£
i *
und enthält # als willkürlichen Parameter, stellt also unendlich viele
infinitesimale Transformationen in xx.. #„ dar.
Im vorigen Paragraphen lag nun der Fall vor, dass diese
unendlich vielen infinitesimalen Transformationen Tf einer Gruppe, und zwar
der linearen homogenen Gruppe in xx.. xn angehören. Wir deuten
später in einigen Beispielen an, dass sich die Betrachtungsweise des
v?Jühcreili0r vorigen Paragraphen auf alle Systeme (23) ausdehnen lässt, bei denen
gratioiis- die Yf sämtlich, d. h. bei beliebiger Wahl des Parameters z, einer end-
metüodcii. iicfien continuierlichen Gruppe in xx.. xn angehören.
Diese Kategorie von Systemen (23) besitzt noch eine merkwürdige
Eigenschaft: Beim System von drei in xl9 x29 xz linearen homogenen
Differentialgleichungen sahen wir, dass sich das allgemeinste
Lösungensystem (x) durch drei beliebig gewählte particulare Lösungensysteme
(st), (tf"); 0'") in der Form
Xi = cxXif+ c2Xi"+ czxl" (i = 1, 2, 3)
mit willkürlichen Gonstanten cl} <%, cs ausdrückt. Etwas Analoges
gilt von der soeben definierten Kategorie von Systemen (23). Auch
bei diesen lässt sich das allgemeine Lösungensystem (x) aus einer
Anzahl particularer Lösungensysteme (#W) .. (#M) mit willkürlichen
Constanten at..an herstellen:
Xi = q>i(x^ .. xnM, . ., x^ .. xnW, ax.. a»)
(» —1, 2..w).
Um dies zu zeigen, sowie um ferner zu zeigen, dass die obige
Kategorie von Systemen die allgemeinste ist, bei der eine solche
Darstellung des allgemeinen Lösungensystems existiert, legen wir uns das
folgende Problem vor:
Ap?obieäes Gesucht wird die allgemeinste Form eines Systems von n simultanen
Differentialgleichungen

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 793
dem die Eigenschaft zukommen soll, dass das allgemeine Lösungensystem
xx.. xn aus m allgemein gewählten partictdaren Lösungensystemen
#1 = ^lW; • • #n = Xn& (& = 1, 2 . . w),
die also Functionen von z sind, durch ein Formelsystem
(25) Xi = q>i{x^ .. xnM, .. */*>.. xn™, ax.. an)
(i= 1, 2..w)
ro# n {notwendig wesentlichen) willkürlichen Constanten darstellbar Sei» ' Fuuda-'
Ein solches System heisst ein System mit Fundamentallösungen. i™un«eü.
Bei einem solchen System liefert die Auflösung der Gloiehuugen1^81"™11111^
J O O dor Form
(25) nach at.. an Gleichungen von der Form mit°Fumia
(26) Ji{x^ . . XnW, . ., #/'"> . . xjm\ X{ ..#„) = üi l^gen
(i= 1, 2 ..n).
Daher können wir sagen: Sobald
(27)
*,(1> • ■ *.««,
Xx . . xn
irgend welche (m + 1) Lösungensysteme der Differentialgleichungen
(24) bilden, ist jede der Functionen Jx..Jn, die hinsichtlich xx.. xn
von einander unabhängig sind, eiue Constante. Dies drückt sich
dadurch aus, dass identisch
4 \?*i{k) dz "• h dxn<*> dz J^
dJ, dxt dJ; dxn
dxx dz ^ ^ dxn dz
(»—1, 2..n)
sein muss, sobald die Systeme (27) die Differentialgleichungen (24)
erfüllen. Also folgt, da die Gleichungen (24) gerade die hier
auftretenden Differentialquotienten nach z liefern, aber die Anfangswerte
der Systeme (27) durch keinerlei Relation verknüpft sind:
Es müssen für nm + n Veränderliche (27) und die eine
Veränderliche z identisch die n Relationen bestehen:
(28)
{%== 1, 2 .. n),
wie auch die wm-f «-f 1 Veränderlichen gewählt sein mögen. Dabei
bedeuten rj^ .. qwW natürlich die Functionen qt .. iy», nachdem in

794
Kapitel 24, § 4.
ihnen die Veränderlichenreihe xx . . xn durch x^k) . . #„<*> ersetzt
worden ist.
Es liegt nun nahe, das Symbol zu benutzen:
Wenn wir darin überall x1..xn durch x£*>.. xj® ersetzen, so sei es
mit YWf bezeichnet. Alsdann können wir die Bedingung (28) so
aussprechen: Es muss
rw Ji + ywa +.. + mr, + rji = o
(»—1, 2..n)
sein. Oder auch endlich: Die lineare partielle Differentialgleichung
(29) Uf = Tüf + YMf H (- T^/* + Yjf = 0
muss n von einander hinsichtlich xx..xn unabhängige Lösungen Jx..Jn
besitzen, die frei von z sind.
Des Späteren wegen heben wir hervor: Wenn umgekehrt die
Gleichung (29) n solche Lösungen besitzt, so folgt rückwärts, dass,
sobald die nm-\-n Veränderlichen (27) irgend welche m-f- 1
Lösungensysteme des Systems von Differentialgleichungen (24) darstellen, für
sie Jx.. Jn constant, d. h. unabhängig von z werden.
Nun tritt z in der linearen partiellen Differentialgleichung (29)
gar nicht als Veränderliche, nach der differenziert wird, auf. Ferner
soll z nicht explicite in Jt. . Jn vorkommen. Wenn wir also der
Veränderlichen z in (29) irgend einen constanten Wert beilegen, so muss
die hervorgehende Gleichung immer noch die n Lösungen Jx..Jn
besitzen.
Indem wir z eine Reihe bestimmter Werte erteilen, können wir
mithin aus (29) eine Anzahl linearer partieller Differentialgleichungen
mit den nm + w unabhängigen Veränderlichen (27) ableiten, die
Jx..Jn als Lösungen besitzen müssen. Sicher können wir so nur
eine endliche Anzahl von einander unabhängiger Gleichungen erhalten.
Denn z. B. s von einander unabhängige besitzen höchstens, nämlich
wenn sie ein vollständiges System bilden, nm + n — s gemeinsame
von einander unabhängige Lösungen. Da aber deren n existieren,
so muss sein:
n^ + n — s}> n,
also:
$<^nm.
Nehmen wir an, dass wir durch Einsetzen bestimmter Werte von
z7 etwa der Zahlen zx ..ZS} in (29) gerade s von einander unabhängige

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 795
Gleichungen erhalten, so ist also s höchstens gleich nm. Der Aus-
druck Yf sei, wenn darin 0 = za gesetzt ist, mit Yaf bezeichnet. Wir
haben nun die s Gleichungen:
(30) Uaf= Ya^f + Ya^f + • • + TJ^f +Yaf=0
(tf = l, 2..*),
und die allgemeine Gleichung (29) mit beliebigem z muss eine Folge
von diesen sein. Zu beachten ist, dass die linke Seite von (30) von
B vollkommen frei ist.
Die Functionen Jx.. Jn sollen den Gleichungen (30) genügen.
Sie erfüllen daher auch die durch Klammeroperation aus ihnen
hervorgehenden:
(31) (U„Ut) = 0 (6, r = l, 2.. 5).
Da aber Y^f nur x^K.x^ enthält, so ist:
(32) (UaUt) = (Y„WYt(l)) + • • + (Fo(w>r,(M)) + (Y0Yt).
Entweder sind nun die Gleichungen (31) von den Gleichungen (30)
abhängig oder nicht. Alle unabhängigen fügen wir zu (30) hinzu,
und bilden abermals durch die Klammeroperationen neue Gleichungen,
von denen wir die von den bisherigen unabhängigen zu (30)
hinzufügen u. s. w. Angenommen, wir kommen dazu, dass sich im ganzen
r von einander unabhängige Gleichungen ergeben, so ist r eine
endliche Zahl, da r <^ nm sein muss. Nach (32) ist jede dieser r
Gleichungen — unter denen sich also auch die Gleichungen (30) selbst
befinden — von der Form:
(33) Vxf= X^f + • • + Xao»Y + Xxf = 0
(A = 1, 2..r).
Sie bilden ein r-gliedriges vollständiges System, da die
Klammeroperation keine neuen Gleichungen liefert. Es ist also allgemein:
r
1
oder:
(Xj»XM + • • + (XpoXW + (XiXJ =
=£>!*^(2W+ • • + X,™f+ Xrf)
1
oder einzeln:

796 Kapitel 24, § 4.
r
(Xa»>3;W) =2****W (* - 1, 2 .. m),
1
r
1
Die i>x/i* werden zunächst gewisse Functionen aller nw + w
Veränderlichen (27) sein. Weil nun jede der m + 1 letzten Relationen nur
eine Reihe von n Veränderlichen enthält, so schliessen wir, wie bei
früheren ähnlichen Gelegenheiten (vgl. z. B. § 3 des 15. Kap., S. 382),
dass die ^y von allen nm -\- n Veränderlichen frei, also bloss
Constanten Cxfiv sind, sodass sich ergiebt:
r
(34) (XiXß) =^jcXtirX,f (i, ,t = 1, 2 .. r).
1
Dies aber sagt nach dem Hauptsatze aus, dass Xxf.. Xrf eine r-gliedrige
Gruppe in xx.. xn erzeugen, bei der r <£ nm ist.
Da die s Gleichungen (30) unter den r Gleichungen (33)
enthalten sind, so folgt, dass Uxf.. U8f sich durch Vxf. .Vrf linear
ausdrücken:
r
Uaf=2xoQVvf (ff = l, 2..s).
1
Hierin sind die %„Q vorerst Functionen der nm~\-n Veränderlichen (27).
Aber diese Forderung zerfallt wegen der Formen (30) und (33) von
Uaf und VQf in die m + 1 einzelnen:
r
W=2*»W (t - 1, 2 .. m),
1
r
1
und zeigen, dass die %aq nur Constanten sind. Es ist somit
r
(35) Y0f=^j>ConsLXQf (ff = 1, 2 .. s),
i
d. h. Yxf.. Y,/* gehören der Gruppe Xxf..Xrf an.
Die Gleichung (29) ist nach Voraussetzung bei irgendwie
gewähltem z eine Folge der Gleichungen (30). Es ist daher auch
Uf=a>lUxf+~ + mJI9f,
und da hieraus sofort einzeln

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 797
T»f== «^»H 1- a.YPf (* — 1, 2.. m),
Yf^^YJ + .. + a>,Y.f
folgt, so beweist man sofort, dass co4.. co, von den wm-f-w
Veränderlichen (27) frei, also Functionen von z allein sind, denn z tritt ja noch
in TJf auf. Also ist:
r/-=o1(*)r1/-+.. + *,(*)£/•
oder nach (35):
(36) Tf= Z1(z)X1f+ ■ ■ + Zr{z)Xrf.
Hierin sind Zx{z) . . Zr(z) Functionen von z allein.
Allgemein wird Xjf die Forin haben:
Xjf=^}U^ ■ ■ *.) H (i = 1, 2 .. r),
1 *
sodass, wie wir sahen, X1f.. Xrf eine r-gliedrige Gruppe erzeugen.
Mithin giebt (36):
d. h.:
r
1
Setzen wir diesen Wert in das simultane System (24) ein, so gelangen
wir zu dem Ergebnis:
Damit das System (24) die zu Anfang angegebene Eigenschaft ^J?™d^eern
besitze, muss es jedenfalls die Form haben: Systeme
(37) % - Z^tuix) + ■ • + Zr(*)M*)
(*=1, 2..n),
in der Zx.. Zr Functionen von z allein und die jj# solche Functionen
von xx. . xn allein sind, dass die r infinitesimalen Transformationen
^/•=Jji*(*)g (j = l,2..r)
eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. Ferner muss dabei r^nm sein.
Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so hat auch das
System (37) die verlangte Eigenschaft. Wählt man nämlich die Zahl

798
Kapitel 24, § 4.
m hinreichend gross, so besitzt die Gleichung (29) oder, wie sie jetzt
lautet, die Gleichung
1
sicher wenigstens eine Reihe von n von einander hinsichtlich xx.. x»
unabhängigen Lösungen Jx..Jn) die frei von z sind. Denn die
Gleichungen
(38) Xj»f+.. + X/»)f+X,f-0 tf-l, 2..r)
sind bei passend gewähltem m von einander unabhängig. Zur
Begründung dieser Behauptung dient genau die Entwickelung, die in
§ 3 des 15. Kap., S. 387 für die dortigen Wjf=0 gegeben wurde.
Wir dürfen uns daher darauf beschränken, auf jene Stelle
zurückzuverweisen. Wir haben nun ein r-gliedriges vollständiges System
(38) in nm + n Veränderlichen vor uns, da die Relationen (34)
bestehen. Es besitzt nm + n — r, also bei genügend grossem m
mindestens n gemeinsame Lösungen, unter denen n von einander
hinsichtlich unabhängig sind: JX..JH. Wären sie nicht hinsichtlich
xx. ,xn von einander unabhängig, so gäbe es Lösungen, die von x1..xn
ganz frei sind, also das System
(39) Xf»f+-. + Xfi»f-0 0'=l»2..r)
erfüllten. Sobald nun m hinreichend gross gewählt ist, ist auch dieses
System r-gliedrig, sodass es genau n Lösungen weniger als (38) besitzt.
Aus diesen n Lösungen von (38), die (39) nicht erfüllen, lässt sich also
keine von xx.. xn freie herstellen. Sie sind daher in der That von
einander gerade hinsichtlich Xx .. Xn unabhängig. Aus der Existenz
dieser Lösungen
Ji(*i{l) • • **™> • • •> xi{m) • • x*(m)> *i• • *»)
(i = 1, 2 .. n)
folgt, wie schon oben (nach (29)) bemerkt wurde, dass die
Differentialgleichungen (37) die verlangte Eigenschaft besitzen.
Die soeben gemachten Bemerkungen können auch so
ausgesprochen werden: Bei vorgelegter Gruppe Xx f.. Xrf eines Baumes von
n Dimensionen besitzt stets eine hinreichend grosse Anzahl (m + 1) von
Punkten (#(1)) .. (xW), (x) mindestens n Invarianten, die in xx.. xn von
einander unabhängig sind. Wir erinnern hierbei daran, dass wir schon
in § 2 des 4. Kap. solche Invarianten bei der speciellen linearen
Gruppe der Ebene betrachtet haben.

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 799
Wir sind zu dem Theoreme gelangt:
Theorem 44: Damit das System von n simultanen Differen- ^IVd?*
tialgleichungen: Fundamt.
dx. tallösgn.
-^ = rn(x1..xn) (i=l, 2..n)
in x1..xn} z die Eigenschaft besitze, dass das allgemeine
Lösungensystem xx .. xn aus einer gewissen Anzahl m von
allgemein gewählten particularen Lösungensystemen
xi = xi{k)> xn = #n(A) (fc = 1, 2 .. m)
durch ein Formelsystem:
Xi = (piixj» .. xP\ .., x^.. xjm\ a, .. an)
0* = 1, 2 ..n)
mit n willkürlichen Constanten al..an darstellbar seiy ist not-
wendig und hinreichend^ dass es die besondere Form habe:
(f-1, 2..n),
in der Zx. . Zr Functionen von z allein und die §,-,• solche
Functionen von xx..xn allein sind7 dass die infinitesimalen
Transformationen
^/W^ffc^ (j-l,2..r)
eiwe r-gliedrige Gruppe erzeugen.
Auch haben wir gesehen, dass die Zahl m die Ungleichung
erfüllt
Das System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen, von dem
wir ausgehen, ist äquivalent der linearen partiellen Differentialgleichung
|£+ fll(*l • • *n, *) |~ + • • + Ifcfe . . Xn, 8) |£ — 0.
Eine lineare partielle Differentialgleichung
I«o(«i •• *b> *) gi + «lfe ••«■>*) g^- + • '
df
ist also dann und nur dann eine solche mit Fundamentallösungen,
wenn sie auf eine derartige Form gebracht werden kann:

800
Kapitel 24, § 4.
(41> $J+2^w5f-o,
i
dass Xtf..Xrf eine r-gliedrige Gruppe in xx..xn allein erzeugen.
Da jedes System von simultanen gewöhnlichen Differentialgleichungen
beliebiger Ordnung mit einer linearen partiellen Differentialgleichung
von der Form (40) äquivalent ist, so erhellt hieraus die Tragweite
unseres Theorems*).
Lie hat im Jahre 1884 in seiner Integrationstheorie der
Differentialgleichungen, die infinitesimale Transformationen gestatten**), eine
grosse Integrationstheorie gerade für die Differentialgleichungen von
der Form (41) entwickelt***).
Auf Gleichungen von dieser Form reduciert Lie alle
Hülfsgieichungen, die man bei der Integration eines vollständigen Systems mit
bekannten infinitesimalen Transformationen erledigen muss.
Andererseits reduciert er aber auch die Integration einer Gleichung von dieser
Form (41), sobald sie gewisse bekannte Integralgleichungen besitzt,
auf die Erledigung eines vollständigen Systems mit bekannten
infinitesimalen Transformationen.
Wir kommen hiermit auf die Bemerkungen zurück, mit denen
wir die „Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten
infinitesimalen Transformationen" abschlössen. Es wird beabsichtigt,
diesen Zusammenhang an anderer Stelle ausführlich darzustellen.
*) Lie hatte schon 1884 die Differentialgleichungen von der Form (41)
betrachtet. Vessiot hat zuerst die Frage nach allen gewöhnlichen
Differentialgleichungen aufgestellt, die Fundamentalsysteme besitzen (Comptes Rendus
T. CXVI (1893), S. 427, 959, 1112). Guldberg hat alsdann die Frage
verallgemeinert, indem er sich nicht auf gewöhnliche Differentialgleichungen
beschränkte (Ebenda S. 964). Aber beide Autoren gelangen nicht zu allen
Lieschen Differentialgleichungen (41), die offenbar Fundamentalsysteme besitzen. Ihre
Untersuchungen weisen daher notwendig eine Lücke auf. Diese besteht darin,
dass sie implicite eine wesentliche Beschränkung machen, nämlich die, dass das
allgemeinste Formelsystem
Xi » 9;(*i(1). . *,« . ., *™ .. x}m\ a1 .. an)
(t-1, 2..n)
aus einem solchen System durch Einführung von Functionen der Constanten
ax. .an als neuen Constanten hervorgehen soll. Die allgemeine, oben vorgetragene
Lösung ist von Lie gegeben worden. (Siehe auch: Über Differentialgleichungen,
die Fundamentalintegrale besitzen. Leipziger Berichte 1893, S. 341.)
**) Sophus Lie, Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen,
die eine continuirliche endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. Bd. 25, S. 71—151.
Vgl. auch Gesellsch. d. Wies, zu Christiania 1882, Nr. 10 u. 21.
***) Math. Ann. a. a. 0. S. 124—130.

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 801
Handelt es sich um die Integration einer Differentialgleichung: Integration
* o o eine8 gy8t
r mit Funda-
(41) K+^(W=0, —~
1
bei der die
n
(42) Xif=^lli{xl..x.)lL
eine r-gliedrige Gruppe erzeugen, oder um die Integration des
äquivalenten Systems
dx
(43) -^ = Z^luix) + • • + Zr(e)U*)
(»-1, 2..«),
so können wir z als die Zeit, %1. ,xn als gewöhnliche Punktcoordi-
naten in einem Räume Bn von n Dimensionen deuten. Jedes
Lösungensystem
(44) Xi = <pi(z) (i— 1, 2..n)
giebt alsdann die Bahn eines Punktes. Gehen wir von einem Punkte
(Xj° . . Xn) zur Zeit zt = z0 aus, so wird er vermöge (43) eine Curve
durchlaufen. Hat er im Momente z die Lage {xx . . xn) erreicht, so
wird er nämlich im nächsten Zeitelement dz die Bewegung:
dXi = {Z,{z)lu{x) + - - + Zr(z)t,(x))dz
(i= 1, 2 . .«)
erfahren. Es wird also auf den Punkt zur Zeit z im nächsten
Zeitelement dz die infinitesimale Transformation
Yf=2/Zj(e)Xjf
ausgeführt, die der Gruppe Xtf.. Xrf angehört, da z die Rolle einer
willkürlichen Constanten spielt. Das Integrationsproblem deckt sich
also damit, dass die Endlage (xx .. xn) eines Punktes zur Zeit z
gefunden werden soll, der zur Zeit z0 die Lage (x2°.. xn°) hatte und
einer fortwährend sich ändernden infinitesimalen Transformation Uf
der Gruppe Xtf . . Xrf unterworfen wird. Diese infinitesimalen
Transformationen erzengen eine endliche Transformation der Gruppe
XJ^Xrf.
Wir können auch von folgender Deutung Gebrauch machen:
x1..xn} z geien gewöhnliche Punktcoordinaten in einem Räume iJ«+i
von n + 1 Dimensionen, z = Const. stellt eine Schar von oo1 ebenen
Mannigfaltigkeiten Mn dieses Raumes dar. Jedes Lösungensystem (44)
Lie, Continnierliche Gruppen. 51

802 Kapitel 24, § 4.
^ur™*1" definiert eine Integrälcurve im B»+i, die mit jeder Mn einen Punkt
gemein hat. Die Punkte der oo1 Mn sind hierdurch einander
zugeordnet und zwar die Punkte (z) und (z + dz) zweier unendlich
benachbarter Mn durch die infinitesimale Transformation Uf9 die Punkte irgend
zweier Mn durch endliche Transformationen der Gruppe Xtf.. Xrf.
Es handelt sich darum, diese Zuordnung aller Mn in endlicher Form
auszudrücken, denn kennen wir sie allgemein, so sind alle Integral-
curven als Orter entsprechender Punkte bekannt.
rende8Maü- ^ e*ne von Intyralcurven erzeugte Mannigfaltigkeit, eine integrie-
sifhollnntren^e Mannigfaltigkeit M, von vornherein bekannt, so schneidet sie jede
Mn in einer gewissen bekannten Mannigfaltigkeit p. Diese ft
entsprechen einander in den verschiedenen Mn. Wenn nun eine f& keine
infinitesimale Transformation der Gruppe Xxf.. Xrf gestattet, so giebt
es auch nur eine discrete Anzahl von Transformationen der Gruppe
X1f.. Xrf, die eine f& in eine andere ft überführen. Dann also ist die
Zuordnung zweier beliebiger Mn bekannt und die Integration durch
ausführbare Operationen ohne jede Quadratur geleistet
Anders verhält es sich, wenn eine f& infinitesimale
Transformationen der Gruppe Xxf..Xrf zulässt. Alsdann wird man darauf
ausgehen, die auf M gelegenen Integralcurven zu bestimmen. Dies
führt bei Einführung geeigneter Coordinaten für jede
Schnittmannigfaltigkeit ji auf ein System von Differentialgleichungen analog (43),
aber in weniger Veränderlichen. Dabei kommt alsdann nur noch die
Untergruppe von Xxf..Xrf in betracht, die eine p in sich
transformiert.
Beispiele. Beispiele hierzu enthält der vorige Paragraph. Zum Schlüsse
wollen wir noch einige andere Beispiele kurz andeuten.
1. Beispiel: Liegt die Differentialgleichung
§7 + Z&)p + Z2(0)q + Z8(g) (yp - xq) - 0
in x, y, z vor, so ist die Gruppe
Xxf==p, X2f=q7 Xsf=yp-xq
die Gruppe der Bewegungen in der (xy)-Ebene. (Vgl. § 3 des 4. Kap.)
Sind xf y, 0 gewöhnliche Punktcoordinaten im Räume, so sind die
Mn hier die Ebenen z = Const. Jede Ebene z = Const. ist auf jede
andere Ebene z = Const durch eine Bewegung bezogen. Die einzigen
ebenen Curven, die Bewegungen gestatten, sind die Geraden und Kreise.
Sobald also eine Integralgleichung
F(x, y, *) - 0

Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 803
als bekannt vorliegt derart, dass sie für z = Const. weder eine Gerade
noch einen Kreis vorstellt, so ist die Integration ohne weiteres geleistet.
Sind zwei particulare Lösungensysteme
* — %(*)> V = **(*)
gegeben, so ist die Integration ebenfalls geleistet, denn sie stellen
zwei Curven dar, die jede Ebene z = Const. in zwei Punkten treffen.
Da bei Bewegungen die Entfernungen ungeändert bleiben, so ist also,
wenn x} y ein allgemeines Lösungensystem bedeutet, für jedes z
notwendig
0 — Vif + (y — ^)2 = Const.,
(x — <p2)2 + (y — tl>2)2 = Const.,
und hieraus lassen sieh x und y berechnen.
2. Beispiel: Liegt die Differentialgleichung
Wz +Zi(*)(^3 — %) + ^W(Vi- *ift) + ^a(s)(*ift— ff2Pi) = 0
vor, so deuten wir #1? #2, #3, z als Coordinaten eines ii4. z = Const.
definiert eine ebene dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit M.3. Die
Integralcurven ordnen die Punkte dieser oo1 M.d einander zu und zwar
vermöge der Transformationen der Gruppe der Dotationen um den
Anfangspunkt
xi'9'6 xzV%t xslh xilh> xiP2 x2lh
im dreifach ausgedehnten Baume. Die Punkte X\ Xi£ X-> = 0 der
Jf3 sind einander zugeordnet, d. h. xx = x2 = x3 = 0 ist ein parti-
culares Lösungensystem. Wenn ferner
xi = Vi(*)> x2 = ^0); xz = %i(?)
(•-1,2, 3)
drei particulare Lösungensysteme und
ij 2 ? 3 ein beliebiges
Lösungensystem sind, so ist, da auch diese Gruppe der Rotationen die
Entfernungen ungeändert lässt,
(xx — (fif + (x2 — fa)2 + 03 — %t)2 = Const.
(•-1,2,3),
und hieraus lässt sich das allgemeine Lösungensystem x19 x2, x3
berechnen. Die Gruppe der Rotationen um den Anfangspunkt lässt
die Kugeln um diesen invariant. Daraus schliessen wir: Der Kugel
Xl \ X2 i~ XS === ^
in einer M9 entspricht in jeder Ms eine Kugel mit derselben
Gleichung. Mithin ist
61*

804
Kapitel 24, §4.
&i T x2 T" ^3
ein Integral. Der ganze BA zerfällt somit in oo1 bekannte dreifach
ausgedehnte integrierende Mannigfaltigkeiten
xi + x22 + #s2 = Const
Man wird versuchen, auf einer derselben alle Integralcurven zu
bestimmen. Sie besteht aus oo1 Kugeln in den oo1 Mannigfaltigkeiten
z = Const. Die Punkte dieser Kugeln sind einander zugeordnet
vermöge der Gruppe der Rotationen. Durch Einführung passender Coor-
dinaten auf den Kugeln, indem man die Minimalgeraden der Kugeln
als Coordinatenlinien benutzt, kann man das System von
Differentialgleichungen, welches die auf der Mannigfaltigkeit
xi + #22 + x* ==1 Const.
liegenden Integralcurven bestimmt, auf zwei Riccati'sche
Differentialgleichungen reducieren, was wir nicht weiter ausführen wollen. Wenn
eine integrierende Mannigfaltigkeit
F(x19 x2, a?„ z) = 0
bekannt ist, die für z = Const. nicht solche Kugeln darstellt, so ist
die Integration durch ausführbare Operationen ohne jede Quadratur
zu leisten.
Diese Beispiele, zusammen mit den im vorigen Paragraphen
gegebenen, mögen zur Erläuterung der Integrationsmethoden der hier
besprochenen wichtigen Kategorie von Differentialgleichungen genügen.