Текст
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
КУЙБЫШЕВСКИЙ ордена ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени АКАДЕМИКА С. П. КОРОЛЕВА
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
КУЙБЫШЕВ 1988
Министерство высшего и среднего специального образования
РСФСР
Куйбышевский ордена Трудового Красного Знамени авиационный
институт имени академика С.П.Королева
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЭДКА
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Утверждено
редак ем онно-и э дате л ьски м
советом института
в качестве
методических указаний
для студентов
Куйбышев 1988
ЭДК 51(07)
Методические указания содержат примеры и задачи для
проведения практических занятий и самостоятельной работы
студентов по следующим разделам линейной алгебры с прило-
жениями к аналитической геометрии: линейные уравнения и
системы двух линейных уравнений на плоскости и в пространст-
ве, линии и поверхности второго породка. По каждой теме при-
ведены типовые задачи, подробно рассмотрено их режение.
Методические указания предназначены для студентов
вечернего отделения КуАИ.
Составитель Л.Г. 3 у б р и н а
Рецензенты: В.И.И щ е н к о 9
О.С.И в а н о в а
В.С.Г а н и е в,
I. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ
В декартовых координатах каждая прямая на плоскости задается
уравнением первой степени относительно текущих координат х и у .
И, обратно, всякое линейное уравнение определяет прямую. Уравнение
вида А х + В у.+С~О называется обфм уравнением прямой в плоскости .
Уравнение прямой, разреженное
относительно ty. , называется урав-
нением с угловым коеффицсентом:
где угловой козффигмент
cL ~ угол наклона прямой к оси
О'*- (рис.1), параметр равен
величине отрезка СВ, отсекаемого
прямой от оси Оу .
Уравнение прямой, проходящей
через данную точку (эе{,у<)
и имепцей угловой козффидаент К.
находится по формуле
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки fl (ix{,yf)
V.- У/ '
Один из смежных углов у между прямыми и
вычисляется по формуле
ta у = .
J / + К,- К*
Условием параллельности двух прямых является равенство их угло-
вых коэффицентов ~ .
Условием перпендикулярности двух прямых является соотношение
к, • Кх - - у или К1= ~ '
Приведем примеры решения некоторых задач.
3
I. Построить прямую /, X - у — э = О.
Ре в е н и в. Для построения прямой достаточно знать координаты
двух любых точек прямой. Пусть X а О, тогда из уравнения прямой
найдем = - 3. Если 0, тоХ = 1,5. Через полученные точки
Д (0;- 3) и 8 (1,5; 0) проводим прямую (рис.2). Точки А и В
явыапы точками пересечения данной
прямой с координатными осями.
2. Через точку Г7^(2;- I) про-
вести прямую параллельно прямой
2 ос + Зу -3 = о.
Решение. В задаче дана
точка на искомой прямой, поэтому
для нахождения ее уравнения можно
воспользоваться формулой
у - Cfr = к ( ос - X,),
где угловой коэфф* if* ант К прямой
неизвестен. Его найдем из условия
параллельности двух прямых. Найдем
сначала угловой коэффирент !<f
данной прямой, разрешая ее уравнение относительно
- у X + У , отсюда Kf - - .
Угловой коэфф*iffент параллельной прямой тот же самый
9
2^
Подставляя в уравнение y-yz =/< (oe-^X значение и координа-
ты точки (2;- I), найдем уравнение параллели к данной прямой
+ ) = - ifoe-z; или
3. Найти точку В • симметричную точкс^(-2;4) относительно
прямой - 8 - О.
Ранение. Симметричные точки д
А и В расположены на одном перпенди-
куляре к данной прямой на одинаковом Q
расстоянии от нее (рис.З). Угловой коэф-
фидент данной прямой Kf « - 3. Угловой
коэфф*if*ант перпендикулярной к ней прямой ^В
4
Уравнение* перпендикуляра АВ к данной прямой найдем по формуле;
у ~ 4/ ~ 6х + 2) или ос — Зу + 14 - О
Найдем теперь точку С пересечения данной прямой с перпендикулярной
прямой, реыая совместно их«уравнения
(3 х + #-8=О,
t x-3j+tt=(2 ,
отсюда эс = I, у . 5; 0(1,5).
Точка 0 является серединой отрезка п о . Зная координаты точек
ZI и С , ИЗ формул
X _2ЕлДЬ , и =
лс~ Z 7 Z
находим координаты искомой точки В
y = х = Ч ;5= 6 ,Итак,В(4;6).
J > Д ' А
4. На плоскости тстрмъъ прямые м определить их угловые
коэфф* щенты :
I) т-2.у-6=о, 2) 2х+Зу+6 = О,
3) Зос + у- О,
5) 1у. + 3 = О, б) -X =0,
7) ^-О.
Ответ. I) • 2)К=-|= ; 3) К=-3 ; 4) К не суцествует;
5) К » 0; 6) К не существует; 7) К « 0 .
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку /4 (2,3) и
наклоненной к оси Ох под углом I) » 135°; 2) оС я 0°; 3) <£- = 90°.
О т в е т. I) = 2) = 3 ; 3) х ~ 2, .
6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат
и образующей с осью Ох углы I) </. = 45°; 2) ©С » 180°; 3)<Z = -60°.
Ответ. 1)^-Х; 2) ^ = 0; 3) -/з X .
7. Дана прямая + Составить уравнение прямой, про-
ходящей через точку А (2,1): I) параллельно данной прямой; 2) пер-
пендикулярно данной прямой.
Ответ.
I) 2, 'x-h Зу — 7 - О
2) 3 т - 2 О.
2-72G1
5
8. Точка, двигаясь равномерно и прямолинейно, эа 4 с, перемести-
лась из положения А (6,-7) в положение В (-4*5). Где находилась
точка в момент времени £ = 2 с.?
Ответ. С (1,-1).
9. Даны вернины треугольника А (-2,0), В (2,6), С (4,2).
Составить уравнения:
I) стороны ДС ; 2) медианы вМ ;
3) высоты ; 4) прямой БЕ , параллельной стороне АС .
О т в е т. I) Х-Зч+2 = 0;2) 5х-Ц-
3) Зх-<.^--Г2=<?;4)
10. Луч света направлен по прямой Ях_3^_/2=£2. Дойдя до оси
абсдесс, он от нее отразился. Определить точку встречи луча с осью
Ох и уравнение отраженного луча.
Ответ. /3(6,0),
II. Даны уравнения двух сторон прямоугольника X = О,
Qi-Uy+f 5"~ О м уравнение одной из его диагоналей 7-ЭС+ y-15=Q.
Найти вериины прямоугольника.
О т в е т. (2,1), (4,2), (-1,7), (1,8).
12. Найти цроекдо точки Р (-6,4) на прямую ^Х-5"у+3 = ^.
Ответ. (-2,-1).
13. Найти точку 3 , симметричную точке А (1,4) относительно
прямой Я X - 3 у - 3 = О.
Ответ. /3 (5,-2).
I)
2)
3)
4)
14. Определить угол
+ О ,
Зх-2^+7 = 0 ,
К-9.у-Ч- О,
Зх+2^-/= О,
Ывжяу Двумя прямим :
3« + 2</ = <2 ;
2 х + 3^ - 3= (Э ;
2х-Ъ = О;
5Чс -2 3= 42.
2) 3) ^0-
16
11'
6
2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
В декартовых координатах каждая плоскость ведается уравнением
первой степени относительно текущих координат X , , X • И, об-
ратно, всякое линейное уравнение определяет плоскость в пространстве
Уравнение вида /4xt fiyt С it+0 = О называется общим уравнением
плоскости в пространстве.4 Вектор /V С) перпендикулярен
плоскости и называется нормальным вектором плоскости (рис.4).
Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку %), перпен-
дикулярно вектору MCA)R>)C)
имеет вид
Угол между двумя плоскостями
^С^тЧ^-О *Лхх+Вдч+фи^=0
вычисляется по формуле *
(У,Х) А.-А^/З.-^+С,-^ Р"='4'
Условием параллельности двух плоскостей является коллинеарность
их нормальных векторов
Л/ II Л/
Условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство
нулю скалярного произведения их нормальных векторов
111,1 Д’0-
15. Построить плоскости, заданные уравнениям
D Ух + ^у + Зг-Г^^) =
Ремени е. Из данного уравнения видно, что пяоскость не
проходит через начало координат = О ). Чтобы построить эту
плоскость, можно найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях коор-
динат. Найдем точку пересечения плоскости с осью Оэс , для этого
примем в данном уравнении = 0 и
X = 3. Аналогично, если X 3 0 и
а 0, тогда
*
« 0, то = 7,5; если
X s 0 и у = О, то X = 5. Плоскость, проведенная через най-
денные точки <3,0,0), ^(0; 7,5; 0), М/0,0,5), будет
искомой. Прямые ♦ Л1, Мэ являются сяеданк данной
плоскости в координатных плоскостях (рис.5).
2. Плоскость параллельна оси 02 » так как уравнение плоскости
Зх + 2,^ -6 = 0 не содержит члена с координатой 2 ( С = 0).
Найдем точки пересечения данной плоскости с осями координат Ох и
°? : Н, (2,0, 0) и Л/£(0,3,0). Следом данной плоскости в плос-
кости является прямая MtM# а в плоскостях x0g и # Ofc -
прямые, параллельные оси О % и проходящие через точки и
(рис.6).
16. Даны точки (3,0,-4) и /^/г (4,5,-8). Написать уравне-
ние плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору
мгк. м
Решение. Точка г!* лежит в искомой плоскости, поэтому
для нахождения уравнения плоскости воспользуемся формулой
Д(х-х<) + + о. _ ____________
В качестве нормального вектора плоскости примем вектор J\/= /У(
(рис.7). Подставляя в уравнение плоскости координаты точки /V[*
и координаты нормального вектора Л/ = М -4), получим
уравнение искомой плоскости:
илм х +
8
Р. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
(3,0,-4) и (4,5,-8) перпендикулярно плоскости
Р е и е н и е. Уравнение искомой плоскости, проходящей через
точку (3,0,-4), находим в виде Д (х-3)+О,
Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен вектору
данной плоскости и вектору MtM(I»5,-4) (рис.8).
Поэтому в качестве нормального вектора /У, можно принять векторное
произведение двух векторов и •
= - f / i -t- 7 "b G К .
Подставляя координаты нормального вектора Д/у (-11,7,6) в уравне-
ние Af+ , получим уравнение искомой плос-
кости + + G(Z + 4)^O или jfx - 7^-62-67-б>.
18. Указать особенности в расположении относительно системы
координат, построить плоскости и определить их нормальные векторы:
I) 2 ОС + Z - 6 - о ; 2) + й =
3) 4) Яос-^-Я^О ; 5)Х=0.
Ответ.
I) плоскость общего положения ; Д/ ;
2) плоскость параллельна оси О'Х. 7 О, У,-2.);
3) плоскость параллельна плоскости -хО-2 , Л/( О, Ч, О);
4) плоскость проходит через начало координат, -2);
5) плоскость у Ог } О, О).
3-7261
9
19. Вычислить объем гмрашды, ограниченной плоскостью
_ За,- 12- О и координатными плоскостям.
Ответ. 16 куб .ед.
20. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
Md.2,-2) и имеет нормальный вектор Л/ (1,-3,2).
6 т в ы т. Х-3ч + 2. 2+3= О .
21. Составить уравнение плоскости, проходящей через т*0Ч*У
М(3,4,-5), параллельно двум векторам О. (3,1,—I) и % (1,-2,1).
‘ответ. х + Чу + ¥% -t- IS - О.
22. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
М(3,0,4), М1(5,2,6)и Мэ(2,3,-3).
'Ответ. fx-З О.
23. Составить уравнение плоскости, которая проходит:
I) через точку Мх(2,1,-3) параллельно плоскости хб^;
2) через точку /^|t(T,-3,4) параллельно плоскости
3) через точку Мх (4,5,6) параллельно плоскости ^0% ,
Ответ. I) t 3-0^2) x-f 0; 3) - 5 = О.
24. Составить уравнение плоскости, которая проходит:
I) через ось Ох и точку Мх(4,-1,2);
2) через ось 0i и точку Мх(3,1,-1);
3) через ось Оч и точку (2»-2,3).
Ответ. 1)Ц+£=0; 2) Х-3^=0; З)3х-2*=О.
25. Составить уравнение плоскости, которая проходит:
I) через точки (7,2,-3) и f*1t(5,6,-4) параллельно оси Ох-
2) через точки (3,-2,5) и ^(2,3,1) параллельно оси 0%,
0 т в е т. I) + S’ £ +/0= 0 ; 2) 5" Х + -13- О .
26. Определить, при каких значениях и m следующие пары
уравнений будут определять параллельные плоскости:
I) 2.ос +-Сч+32-5= О 7 mос - 6ч-6 2 + 2.= О;
2) о, fLoc.-5у--Съ - О.
О т в е т. I) {, = 3, т = 4; 2) О, - 3, щ > - .
27. Определить, при каком значении Z следующие пары уравнений
будут определять перпендикулярные плоскости: _
I) Зх-^ч+€«-3=0, х + 'Зу + 21И-Я=О-,
2) 5"х+ ч - Зэе - 3= О , 2.x+£^-3,зь+/ = 0.
Ответ.!) I = 6; 2) £ = - 19.
10
28. Определить двугранные углы, образованные пересечением сле-
дующих пар плоскостей:
D + , З-х-б'у-1=О‘}
2) ос-^|/2'+ 1-1 = О , ос + ^/2 - 2 + 3= О->
3) 'х + Ъу-Зъ + Ч-О, те.- 3 = О.
О т в е т. I) и ; 2) И ; 3) и H-anudr
Z Z 3 3 Гт
29. Составить уравнение плоскости, которая проходит через нача-
ло координат параллельно плоскости 5*х — С - 8- О.
Ответ. + — О.
30. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку
^(1,2,-2) параллельно плоскости
Ответ. + i + / =
31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M^I.It-2) перпендикулярно двум плоскостям 2х-2 + /-О и 00+2^=Л
Ответ. 2,-эс- ^ + ^2+^=0.
3. СИСТЭЛА ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ уравнений в пространстве
Общими уравнениями прямой в пространстве называется уравнения
(A* + + CxTfc+®2=0,
если не выполняются условия —- =
Ах /Эя. Сг
Прямая здесь задана как пересечение двух плоскостей.
Если известна одна точка (хх и ^прямой и направляпф'й
вектор ♦ то прямая в пространстве может быть' определена
каноническими уравнениями (рис.9)
ч-^__ .
m v И Р
Обозначив буквой £ каждое из равных отношений в канонических
уравнениях получим -V Т" i = /
II
Эти уравнения называются параметрическими
М,
Р и с. 9. уравнениями прямой.
Канонические уравнения прямой, про-
ход яцей через две данные точки
и ”« я-х,_ у-к, _ z-г,
Пусть даны две прямые в пространстве каноническими уравнениями:
g-gy g-»„.
'*’/ nt Pt * *4 n,. pz
Угол между двумя прямыми в пространстве вычисляется по формуле
се-/- п< п,т р.-рь
1 Тх| 'Jrf+nf+pf ‘ \lrf+r£ + p*'
Условием параллельности двух прямых в пространстве является
коллинеарность их направляющих векторов
Условием перпендикулярности двух прямых в пространстве является
равенство нулю скалярного произведения их направляющих векторов
ИЛИ + Л 'р2=О.
Пусть даны прямая X- ОС, ц-ц,_ % - %,
*Л р
и плоскость Д ОС + /3^ + £ J? + = О
Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
- Ат + Вп+Ср
7 ffl’ISl '
12
Усломе параллельности прямой м плоскости
= O Ат + Вп+Ср = О.
Усжоме перпендикулярности прямой и плоскости
Л/ I/ S илм ~т~ *^" = ~р '
32. Написать канонические уравнеюя перпендикуляра, опушенного
иэ точки (1,-2,3) на* плоскость Vxj-W + 2 £ —3 = 0.
Р е е н и е. Нормальный вектор // (4,-1,2), перпендикуляр-
ный данной пл о ск оста, параллелен искомой прямой (pic.10). Поэтому
его можно считать направляпдим векто-
ром этой прямой Подставляя коор-
динаты точки М^(1,-2,3) и координаты
направяжцего вектора У (4,-1,2) в
канонические уравнения прямой
m п р
получим искомые уравнения прямой
33. Найти точку пересечения прямой -2L м плоскос-
ти 2х + Зу + 2-/=0. 1-2 6
Р е е н и е. Чтобы найти точку пересечения Р прямой и
плоскости, надо ремть совместно их уравнения (рис.II). Для этого
сначала приведем канонические урав-
нения прямой к параметрическому виду
Отвода foe. = 1 + I ,
к =-<-
(«= fi-£
Подставляя х , у , 2 в уравнение
плоскости, получим
4-7261
13
Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты
Х= 2. , у = -7-2 = -3, *= 6 НЛП Р (2,-3,б).
34. Пр»вести к каноническому виду обцие уравнения прямой
[З'Х+Zy- 5*Х -4= 0.
Реиение. Чтобы перейти от обцих уравнений прямой к ее каноничес-
ким уравнениям
-x-'Xt _ 2-Х/
m п Р
надо на прямой найти какую-нибудь точку
определить ее направжяпций век-
тор 'Sfm и р)- Точку М1 находят так: задают
произвольно/ например, % » 0 и из обцих
уравнений прямой находят
] о:-2у -4= о,
ХЪК+Zu-H = о,
отсюда X. 2, I или М, (2,1,0).
Напра вл лоций вектор £ прямой перпендикулярен
нормальным векторам /V^(I,-2,3) и Л£(3,2,-5)
можно веять вектор
данных плоскостей (рис. 12). Поэтому в качестве
Тогда канонические уравнения данной прямой примут лид
Ч ’ 14 8 «" ~д7"~ у" “ V ’
35. Составить канонические уравнежя прямой, проходящей через
точку М. (2,0,-3) параллельно:
1 7 Х-/_ Х +
I) вектору 5 (2,-3,5); 2) прямой -->
3) оси ох ; 4) оси Ои ; 5) оси 0<£ .
Ответ та 'X-l - « - ^ + 3 , ,, .
Ответ. I) —-------------, 3) t --%---Q-,
Л) 5- -1 > 4) ~о---1 О >
’О Q 1 ‘
14
36. Составить канонические уравнения пряной, проходящей черве
точку NJI.-5.3) и образувщвй с осям координат углы 60°, 45°,
120°. 1
Ответ.
□е—/ ^ + 5* 95-^3
/ = vr“= -i '
37. Написать уравнение пряной, проходящей черен две точки
r*T{f-I,2,3) и М&(2,6,-2). Найти направляющие кожнусы пряной.
О т , . = ijLl;
38. Через точки (-6,6,-5) и 12,-6,1) проведена пряная.
Найти точки пересечения етой пряной с координатным плоскостям.
0 т в е т. (9,-4,0), (3.0.-2), (О,2,-3).
39. Привести к каноническому виду общие уравнения пряных:
f fax-3u’3fc=3,
1,(Я'Х+ у - 8 = о ; + « = з.
°””-
40. Написать канонические уравнения пряной, проходящей через
точку (2,0,-3) параллельно пряной:
f3oe-u-<-2^-7=(9
\ 2 +3 =0.
Ответ. Т—£ — </ —
-£ ~ У “ У *
41. При какой значении т пряные
и (ос^+^-в-О параллельны?
Ответ. ХИ > 3.
42. При каком значении К71 пряные
□е- <+ii,
ljb= Y-6-t
Ответ. Ш =
эе-у_ 4+1- 4-2.
и —зперпендикулярны?
2.
43. Найти острый угол нейду прямым*
15
!0Cs-S + 3-£,
,« = 3- ±
Ответ. I) 60°;
2) 45°.
X x - i 4- 2 -t,
°! ±
* = -3+ ± .
И
44. Опредеаить косинус угла между прямым:
f Х-Ч-5" — О X- 7 _ W-t-t- я.
(£х+#-2£ ~Ч=О И 6 " з -2
Ответ. eot> i/ - + -~~т
1 2.1 Х-И _ «У-Д-^ч-З
45. При каком значении Ки прямая n^- - j “ параллель-
на плоскости
Ответ, т » - 3. + if/
46. Выяснить, лежит ли прямая ^ = 1-4/ в плоскости
ЗХ + 2у- 3=0. (%=-3+^
Ответ. Прямая лежит в плоскости.
47. Найти угол между прямой и плоскостью:
Z) , «» + ¥-<( = «>.
Ответ. I) 0°; 2) 45°.
48. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости S’x—2
Ответ. ^1.
5" 2-
49. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М, (3,4,0) и прямую X= У + 2
‘ 1 Я
Ответ. С =. 0,
50. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М< (3,4,5) перпендикулярно прямой .
л 2- — У $
Ответ. +^-15'=0. гос_3^+^
51. Доказать, что прямые Х~<- 4 + tL~ it-S и =
2 “3 Ч
лежат в одной плоскости и составить уравнение этой плоскости.
Ответ. 2х — 16 1 3 % + 3 1 = О.
16
52. Найти проекдо точки М<(4,-5,1) на плоскость х+2а-%-3*0
и вы<м сжить расстояше от точки до плоскости.
Ответ. P(S,-1f О) , </ = /Г.
53. Найти точку Р , симметричную точке Q. (1,3,-4) относи-
тельно плоскости Зх+у. ~2z=-O.
Ответ. Р (-5,1.0). г
Ivf I*** ,
54. Найти проекфю точки на прямую J^ =
п [1- 2+Хб .
Ответ. Г (3.-2.4).
55. Вычислить расстояние о/ от точки Л/ (1,-1,-2) до прямой
'Х.+З _ 4±i- 8
з “ уГ"’ -2. ‘
Ответ. (X = 7. „ л
vf г fx ~ Z t
56. Даны уравнения движения точки Л/(3^2) : --3 + ;н/
Определить расстояние о/ , которое пройдет S’-'i.
эта точка за промежуток времени от *6 « 0 до 7.
От вв т. о| = 21. * Х
4. ЛИНИИ ВТОРОГО поредкл
4.1. Окружность
Каноническое уравнение окружности cj^bht^m в точке
и радиусом R амевт вид 'X ~ ‘ ~ частности, если
центр окружности лежит в начале координат, т.е. Х^ = = 0, то ее
уравнение примет простейяий вид wX- fc*' °
Общее алгебраическое уравнение второй степени
Д<эе1+ В> 'х-ч -*• £ Ч* + Я)х + £ и + F о
определяет уравнение окружности, если т(=С»/3=0- Следовательно,
общее уравнение окружности имеет вид:
А Ау2-^ ©ос. + Е^. + F = О.
Разделив это уравнение на Д и выделив полные квадраты по X
и по , приведем его к каноническому виду.
57. Составить уравнение окружности,если точки Д (3,2) и ^(136)
являются концами одного из диаметров окружности.
Реш е н и е. Каноническое уравнение окружности имеет вид
17
5-7261
(х-Л0) +
где координаты центра (_ и радиус К
0пока неизвестны (рис.13). Найдем координаты
. фнтра окружности как координаты середины отрез-
ка 43
X = ,ХА~^ XJ3 - _ J
Радиус p, определим по формуле расстояния
n то <*W двумя точкам
Рис. 13.
д=/ё!/= = /(3-0+62-*/ =2&.
Таким образом, искомая окружность имеет уравнение
58. Привести к каноническому виду общее уравнение окружности
+ • Найти центр и радиус окружности.
Р ет1 е н и е. Разделим все члены данного уравнения на 2.
u*- f-x + 2ч.-ь 1= О.
Сгруппируем*члетш, содержащие только X и только , и дополним
их до полных квадратов
х) + ('Лгу)+
р- S х + (|)7- (%} + [ /+*y+J- i+i-O.
л™, (ж-з) + (?+Yy= Л-.
Таким образом, уравнение окружности приведено к каноническому виду,
ее центр Q (-| , -l), а радиус .
59. Построить окружности. Записать уравнения полуокружностей,
расположенных в верхней, нижней, правой и левой полуплоскостях сис-
темы координат х 0 и
; 2)
О т в в т. I) = ^ = -^<3-^ х= /9
2) ^=/i5---xF у = -х=-
18
60. Построить окружности. Зашсать уравнения полуокружностей,
расположенных в верхней и нижней полуплоскостях относительно горизон-
тального диаметра окружности г
I) (x.-lf'-F 2) -X -« (^-3) -ДУ.
о » в в т. i) f ^=-А- fa-а?;
2) ^ = 3-«1^Я5’-х1', у = .
61. Составить каноническое уравнение окружности, если:
I) окружность проходит через начало координат, и ее центр сов-
падает с точкой Q (6,-8);
2) окружность проходит через точку А (5,-8),и ее центр находится
в точке С, (0,4);
3) окружность проходит через точки О (0,0), А (2,0), R (0,4)
4) окружность касается оси Очс. в начале координат и пересекает
ось Оу в точке А (0,10).
Ответ. , ,
D ( х - 6) + (У + 8) = <ОО
2) Xх + (у- -9) =^6 9 ?
з) ;
4) 'X*'+ ( у- sf = 2 5.
62. Найти центр и радиус каждой из следущих окружностей:
I) хг+уг+- бу-3-0; 2) +
5) ЗхХ+зУ-^х+ /5-=^; б) ЯхМ/+ ?х-Зу-2= О-
Ответ.
I)C(-2,3), 2) C(£>l), >
3) t(-2,o)} 2; 4) С.Со,3},
5> й=-ф-; 6’
63. В точке А (0,3) провести касательную к окружности
Х*-<- 2 X - 3 = О.
Ответ. - 3«+9= 0.
19
64. Найта точки пересечен я прямой и окружности
I) = , •х*Ч-ух--</х--Г2.= О;
2) х + = о, 5" X = О.
О т в е т. I) (2,4); (-2,0)} 1) (О, О) } (- f
65. Показать, что прямая касается окружности
^х. -1=0. Найти точку касания.
4.2. Эллипс
Каноническое
г
уравнение эллипса имеет вид
г
большая ось эллипса; - малая ось эллипса;
- расстояние между фокусам; где начало
координат ; 0 - центр симметрии эллипса;оси координат - оси симмет-
рии эллипса; /у (-С,О) и Р2(С,0) - фокусы эллипса;/7J ,
Я2 (а,О) (О~$) %В2 (О,&) - вершины эллипса (рис. 14)•Вели-
чина £ = — < J называется эксцентриситетом эллипса. Он характе-
ризует форму (вытянутость) эллипса.
Окружность можно считать
частным случаем эллипса, у кото-
рого а- £ , следовательно, С » О
*s=o. г 1
66. Дан эллипс $1. + 2-5ч-№>.
Найти:
I) его полуоси; 2) координа-
ты вериин и центра; 3) координаты
фокусов; 4) эксцентриситет;
5) построить эллипс.
№
Р и с. 14.
Р е е н и е. Разделив все члены данного уравнения на 225, при-
ведем уравнение эллипса к каноническому виду _ и. —- у
25- <3 ‘ '
I) Иэ уравнения следует, что больиая полуось ОС • 5,
малая полуось = 3.
20
2) Вершины эллипса (-5,0), Д^(5,0), [if (0,-3),/3^(0,3);
цэнтр эллипсе 0 (0,0). __________,
3) Из формулы С.9"^ас — находим С.= /й-б'—З = ' •
Следовательно, (-4,0) и fy (4,0) - фокусы эллипса.
4) Эксцентриситет эллипса £ я Л- я -Д < -/ .
5) Построим эллипс (рис.15).
67. Составить уравнение
эллипса, если эксцентриситет
, а малая ось равна 12.
^Решение. По условию
задачи ,К • I2.Hof3l
поэтому имеем систему уравнений
л~ 5 >
v= 6,
К. *1 Л
С — Л. — о
Отсюда имеем
(С“ Г*0* ’
К= б,
1^.Л~ 3 6 . Тогда Ct « 10, € » б.
Следовательно, каноническое уравнение эллипса принимает вид
-3^- + •
UQ 36
68. Дан эллипс Y6. Найти:
I) его полуоси , 2) координаты вервин и центра,
3) координаты фокусов, 4) эксцентриситет,
5) построить эллипс.
О т в е т. I) а ’ 4, € - 2; 2) А< (-4,0), (4,0),
ч , ч (°>-2). в*
^^13,6)^^
2, 2 *
69. Построить эллипс S-x М—~ / . Найти его фокусы и эксцентри-
ситет.
Ответ. F1 (-3,0) и /^(3,0), f = .
70. Найти каноническое уравнение эллипса, зная, что:
I) фокусное расстояние равно 8, малая полуось равна 3;
21
2) болымя полуось равна 6, эксцентриситет £ > 0,5;
3) расстояние между фокусам равно 12, а эксцентриситет ;
4) расстояние одного из фокусов эямпса до концов его больной
оси равно I и 7.
Х* с/ ПС1 и- J
0» е I) 7 ;
loo > 16 т
71. Составить уравнение эллипса, если известны:
I) точка (-1^1) эллипса и его малая полуось > 3;
2) точка /*| (2,-2) эллипса и его больная полуось а. = 4.
0 т в е т. !) — +-= -i , 2) ^+-^7=^.
3 6 9 ’ 16
72. Определять эксцентриситет эллипса, если его малая ось видна
ив фокусов под углом в 60°.
Ответ. £ - УТ
с ” а ’
73. Найти точки пересечения прямой X-f-iw-7-Ои эллипса
У^+Чи-- 15.
0 т в е т. (4, / ) и (3,2).
X
4.3. Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
Xя- „ 7
----- I а* 1 '
At I - - действительная ось гиперболы;
“ мнимая ось гипвРболы- х х X
I - ~ расстояние между фокусам, где С -Л ;
оси координат являются осями симметрии гиперболы, начало координат - .
ее центром симметрии. Гипербола пересекает ось абсщсс в точкахА^(г %°)
и О) • которые называются ее вершинами. Фокусы гиперболы имеют
координаты и (С, о) . Для построения гиперболы целесооб-
разно построить точки и прямоугольник со сторо-
нами ^Lcl н %-£ , параллельными координатным осям и с центром в
начале координат. Его диагонали у- — являются асимптотами
22
гиперболы, т.е. прямьвм, к которым неограниченно приближаются ветви
гиперболы (рис.16). Эксцентриситет гиперболы £=-^- > / характери-
зует ее форму.
Если (X — £ , то гипербола называется равносторонней, ее канони-
ческое уравнение имеет вид х1- <Х~ • Гипербола, которая опре-
деляется уравнением — i , называется сопряженной к гиперво-
ле — * Ев ввРиины 11 фокусы лежат на оси Оу Грис. 17).
Рис. 16.
Рис. 17.
74. Дана гипербола = У4(4 , Найти:
I) полуоси; 2) координаты вершин и центра;
3) координаты фокусов; 4) эксцентриситет;
5) уравнения асимптот; 6) уравнение сопряженной гиперболы;
5) построить данную и сопряженную гиперболы.
Решение. Разделив все члены уравнения на 144, приведем
данное уравнение гиперболы к каноническому виду
9 ГС 1 ‘
I) Из уравнения следует, что действительная полуось О. = 3,
мнимая полуось = 4. Действительная ось гмперболы и ее фокусы рас-
положены на оси О'Х .
2) Вершины гиперболы At (-3,0) и Дл(3,0); центр гиперболы
О (0,0). 1 1 2. /------г __________
3) Найдем С по формуле С — ; С— =у9+16—5*
Следовательно, координаты фокусов /- о) и /-у (О).
4) Эксцентриситет гиперболы У .
23
5) По формулам U — находим уравнения асимптот гипер-
6) Уравнение сопряженной гиперболы — —f- -у— = 7 .
7) Для построения гиперболы через точки Аг , ДЛ , Ц1 (0,-4) и
6Х (094) проводим прямые, параллельные координатным осям» Получим
прямоугольник. Его диагонали х являются асимптотами гипер-
болы. Построим их. Затем через вераины At и А^ проводим ветви дан-
ной гиперболы, приближая их к асимптотам. Сопряженная гипербола отме-
чена пунктирной линией (рис.18).
75. Составить каноническое
чаем систему уравнений;
уравнение гиперболы, если она
проходит через точку И* (-5,3),
а ее эксцентриситет равен
Р е и е н и е. Каноническое
уравнение гиперболы имеет вид
£ L
аЛ ?
где полуоси а и £ неизвестны.
Точка (-5,3) лежит на гипер-
боле, следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению гиперболы
т.е. JL- J . По условию
оЛ в1
задачи £ - ~ - У? ° Отсюда полу-
Решая эту систему, получим
некие гиперболы
Тб "
(X - IG . Следовательно, искомое урав-
76. Дана гипербола X ~ = • Найти :
I) полуоси;
2) координаты вернин и центра;
3) координаты фокусов;
24
4) эксцентриситет;
5) уравнения асимптот;
б) уравнение сопряженной гиперболы;
7) построить данную и сопрвежую гиперболы.
Ответ. I) 2) (-4.0). Ах(4,0), 0(0,0);
О Е=<;
з>^=±Хх; И-а.+ ^.=у.
Ха ц2, j
77. Построить гиперболу ~д~~• Н****1 99 эксцентриситет,
уравнения асимптот и угол между асммптотавм.
Ответ, с _ . и-• U>~ cmda — •
78. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что:
I) расстожие между верпннавм равно 8, фокальное расстояние
равно 10;
2) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку
N, (9,-4);
3) расстояние между фокуса» равно 6, эксцентриситет £= у ;
4) действительная ось равна 16, эксцентриситет £- £ ;
5) уравнение асимптот u = те и расстожие между фокуса»
равно 20. Ответ. I) " 3 г " ,.г
3) i- 4) г! -
5) 36 W
79. Составить уравнение гиперболы, проходящей через две точки
(6,-1) и М, (-8, 21/2).
Ответ. Xх иг _ J
ЪО_~ *8
80. Найти точки пересечения прямой Q-те. О и гиперболы
Ответ. (6,2) и (Т’~з )•
25
4.4. Парабола
Каноническое уравнение параболы имеет вид ~ 2(р>0\
где р - расстояние от фокуса до директрисы параболы. Начало коор-
динат 0 является верниной параболы, а ось абсцюс - ее осью симмет-
рии. Координаты фокуса р , уравнение директрисы параболы
• (рис.19). Эксцентриситет параболы £ - I.
Рассмотрим параболы, заданные уравнениями u^~-ZpX- рис.20,а;
— % - рис.20,б; ос5=- " рис.20,в.
На рис.20,а парабола симметрична
относительно оси б)х и направлена в
отрицательную сторону. На рис.20,б\ в
осью симметрии является ось
(рис.20,6,в). Координаты фокусов для
этих случаев следующие: Р(-? -
см.рис.20,a; F(&, - см.рис.20,б;
F (<>>-•£) ~ см.рис. 20, в.
Уравнения директрис имеют сле-
дующий вид: х= £ - рис. 20,а;
Рис. 20.
26
81. Построить параболу Найти координаты фокуса и
уравнения директрисы.
Решение. Осью симметрии данной параболы является отрица-
тельная полуось , вершиной - начало координат О . Сравнивая
уравнение =-^Хс уравнением параболы у = , находим,
что параметр данной параболы р » 2. Фокус имеет координаты
а директриса определяется уравнением * X = I.
Для построения параболы найдем несколько ее точек, придавая
значения X равные: О, -I, -4. Тогда парабола и прохо-
дит через точки (0,0), (-1.2), (-1,-2), (-4,4), (4,-4) (рис.21).
82. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку
pl* (1,-2) и симметрична относительно оси Оц. Написать ее уравне-
ние, найти фокус и директрису.
Решение. Данная парабола симметрична относительно
проходит через точку с отрицательной ординатой, поэтому ее уравнение
имеет вид . Подставляя координаты точки (1,-2) в это
уравнение, получимя Чр • Р~^ • Следовательно, искомое урав-
нв и , фокус параболы р(О * тг) , директриса
Р и с. 22.
83. Даны параболы I) X-
2.
4) = X . Для каждой из них
относительно координатных осей;
рисы; построить параболу.
Ответ. I) р = 4, р
2) 3)ХХ=6у;
найти параметр р ; расположение
координаты фокуса; уравнение доСрект-
(0,2), и s - 2;
2) /0-2,
3) р . 3,
О р.1,
F (-1.0). V. - I;
F М). у
F й.о). г
_3. .
а,9
84. Нашсать каноническое уравнение параболы, если
I) парабола симметрична относительно положительной полуоси Ох,
и расстояние от фокуса до директрисы равно 6;
2) парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через
точку А (-2.4);
3) парабола симметрична относительно оси О и и проходит через
точку Д (1,4);
4) фокус параболы находится в точке р (0,2).
Ответ. I) 2)
85. Найти точки пересечения парабол м = Х и х = у1. Сделать
чертеж. ®
Ответ. (0,0) и (1,1).
я. .
86. Найти точки пересечения параболы и s и прямой
2.x + # - Ч ~ О 4
Ответ. (1,2) и (4,-4).
4. 5. Преобразование уравнения линии второго порядка
к каноническому виду
Общее ураяиение линии второго порядка имеет вид
А ос/ч-Дху+ + £у.
где коэф({И1><внты А , Й и С одновременно в нуль не обращаются.
Если в уравнении коэф^идеент /3 = 0, то оно имеет вид
Л хг+ С^2, -t- S) ос -ь + F —О.
Это уравнение приводится к каноническому виду методом выделения
полных квадратов аналогично тому, как это делалось выше для окружнос-
ти.
87. Привести к каноническому виду уравнение линии второго по-
рядка и построить кривую
i G х1- 9 ^2'-
28
Решение. Группируем члены, содержащие только X и толь-
ко у , вынося коэф$И1><енты при х2 и с^2, за скобку
6$) - 1G1 - О.
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:
1G (хг- Ч"х.+ — 9 (бу+9-9)—
1G ('V-if- 6^ - 9(у+3)г + ЗУ-Гб7=0;
16 L'x-l/ - 9(у+3)2 = W •
&- 6/4-3)* 7
в 46 ~ •
Итак,данная линия второго по-
рядка есть гипербола с полуосями
CL =3, S =4. Центр гиперболы
находится в точке С (2,-3)
(рис.23).
88. Упростить уравнение и по-
строить кривую
+• б^-^/З = zZ
Решение. Так как член
с отсутствует, то надо выделить
полный квадрат только по у :
JYyV +- /3-0)
3(tf+l)2*- 5т 10 = О-,
3(^.ff~-5(x+-2);
Рис. 23.
Отсюда следует, что данная линия есть парабола с вершиной в
точке Е> г-2,-1). Ось симметрии параболы параллельна оси О ос. .
Парабола направлена в отрицательную сторону оси Оэс. (рис.24).
89. Привести к каноническому виду уравнение линии второго яо-
рядка, построить кривые:
D д»1- ^«4-32.^- 367 - О',
29
2) + +9 = 0;
3) +Y9 = O;
4) / б Xх- - /^ + /99= 0-
5) /С«Х+Х^*+ЗЛх-/^у-2^=^
6) 4 ,xz- Яъ-ц-ь ¥-0-
Ответ. 1)1^).-ДсгхД 2)X^-\l^=7..
5)^4+Z^t 6) ^-</=1^-3).
5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЦЦКА
5.1. Канонические уравнения поверхностей
Поверхность второго порядка задается в декартовых координатах
уравнением второй степени
С%~+$)ху. + £ + /у? + С~х + + Къ + L~ О.
Общее уравнение сферы получается при Л — В — С #= О } Q — E-F-О :
Лх1+ Аух+А'^1'+ G-x-t Ну+ K'z-t- L -О.
Делением на коэф^игхент Д и выделением полных квадратов по X ,
, GS оно приводится к виду
(Х-Хо) + C^-^O) = ZZ}
где - радиус сферы, а ( ) - координаты центра.
В частности, каноническое уравнение сферы полу-
чается в том случае, когда начало координат находится в центре сфе-
ры (табл.).
30
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Название поверхности Каноническое уравне- ние поверхности Вид поверхности
Сфера z Z 1 пъ = к. (x*j Z
'Х У / J
Эллипсоид 2- * 2L. 4- У. (- .зЬ, — 7 а* Г с*” 1 2 С
Р и
*
Однополостный гиперболоид 1 2- 2 1 /
х ИМ •»
Двуполостный гиперболоид + г'>„ II 1 w~~ 2
х
Конус Z л я. * йЬк
У
31
Название поверхности Каноническое уравне- ние поверхности Вид лове] лености
Эллиптический параболоид nr* иг1 (р>О > <£>О) IJ
X
Гиперболический параболоид ( седло ) •X2, 2 (р>О9^>о) о I1 \ JC
/ 1 \ \ 1 1 \
9^ X
90. Установить вид поверхности X + и построить ее.
Решение. Данное уравнение определяет круговой параболоид с
вершиной в точке (0,0,4). Рассмотрим селения данной поверхности коор-
динатные плоскостями и плоскостями „параллельными координатным плдс-
костям.
I) Сечение плоскостью хОч' £ = 0) '
Получив "окружность в плоскости
динат и радиусом 2. г^. __
2) Сечение плоскостью = 0) ’
Эта кривая
точке <0,0,4) и
с центром в начале коор~
. - Ч-Ъ
плоскости с вершиной в
является параболой в
осью симметрии О % , ветвь параболы направлена вниз.
3) Сечение плоскостью чО% ( ОС = 0) ;
* (.У ~
Это - парабола в плоскости О %. с вершиной в точке (0,0,4),
ось симметрии параболы - отрицательная полуось О £ .
4) Сечение плоскостями, параллельными плоскости ос. Оч. :
Ъл/и3-=^--^ , л
Получим множество окружностей, центры которых имеют координаты (0,0,л)
и радиусы /Л - А? .
32
Таким образом, исследуемая поверхность является параболоидом
вращения, расположение которого показано на рис.25.
91. Установить вид поверхности
Р и с. 25
и построить ее
I) 2^- £
Q 5
2> 'X®' + и % = 44L
3) ~
4,^+^.+f=/;
5) А+-У-.-3_-_у.
Ч Ч ~ *’
6) tf*'- % +2 .
Ответ. .:) однополостный гиперболоид с осью Оу ;
2) круговой параболоид с верикной в начале координат и осью О %'.
3) гиперболический параболоид;
4) эллипсоид с полуосями <Х=» 2, 3, С « 2;
5) двуиолостный гиперболоид;
6) круговой параболоид с вершиной в точке (0,0,-2) и осью О % .
92. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнениями
I) XZ-t- Ц'+Ч:*'- + Чу. ~ Ч%~ 7-= О,
2) ое*Ч- ^4- «*+ Ч'Х. - + ~ 5" - О .
Ответ. 1) С (I.-2.2), £= 4; 2) С f-2,3,-^), £ = .
93. Сфера проходит через точку И (4,2,2) и имеет центр в точке
(2(1,-1,-1). Составить ее уравнение^
Ответ. fr--+yL+ ( у+ =• 27.
94. Составить уравнение сферы, если известно, что точки
и /3 ^,-1,3) являются концами одного из ее диаметров.
Ответ, (те-4^4-2)*-= 38.
33
5.2. Цминдрические поверхности
Уравнение с двумя переменными вида F в пространствен-
ной системе координат определяет гялиндрическую поверхность с образую-
щими, параллельными оси 0 % ♦ т.е. оси отсутствующей координаты.
Аналогично, уравнение р^^^О^у^^определяет 1><линдрическую
поверхность с образующими, параллельным оси Оу. (оси Ozz ). Напри-
мер, на рис.26?27^ 28 изображены эллиптический, гиперболический и па-
раболический делиндры, заданные своими каноническими уравнениями:
У"2 „ я2 V2 2 »
95. Установить вид поверхнос-
ти, заданной уравнением
2. £ - X + 1=0,
и построить ее.
Решение. Данное уравне-
ние не содержит у , поэтому оно
определяет 1>«линдр с образующими,
параллельными оси Оу . Его нал-
равляпцая ; О,
СЧ-О
«*и
34
есть парабола на плоскости xOg с вершиной в точке (0,0,-1), нагь
равленная в положительную сторону оси Ох . Таким образом, данная
поверхность является параболическим хщлиндром (рис.29).
96. Установить вид по-
верхности и построить ее:
2)
3) = о;
X У
4)
5) X1- Ч X - ъ = О.
X
Р и с. 29.
Ответ. I) круговой делиндр с образующим, параллельными оси
Ой ; 2) гиперболический чииндр с образующим, параллельным оси
Ох ; 3) круговой 1щлиндр с образующим, параллельным оси 0% ;
4) параболический делиндр с образующим, параллельным оси О % ;
5) параболический делиндр с образующим, параллельными оси Оу •
5.3. Поверхности
вращения
Чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением
линии , лежащей в плоскости мОй ♦ вокруг оси Оч ♦
° < *
нужно в уравнении этой линии координату у , одноименную с осью
вращения Оу ♦ оставить без изменения, а координату % заменить на
X2 • Искомое уравнение поверхности вращения будет иметь вид
F ( % , * - О.
Аналогичные правила имеют место и по отношению к поверхностям,
полу* энным вращением плоских линий вокруг других координатных осей.
97. Гипербола вращается вокруг оси О £ • Соста-
<3 16 '
вить уравнение поверхности вращения.
Решение. Чтобы написать уравнение поверхности, полученной
от вращения данной гиперболы вокруг оси 0^ , следует в уравнении
35
гиперболы переменную Z , соответствующую оси вращения, оставить
без изменения. Вторую же переменную в уравнении гиперболы за-
менить на ± w2'* • Тогда уравнение поверхности вращения запишет-
ся следующим образом :
Итак, искомая поверхность является однополостным гиперболоидом
вращения (рис.30).
98. Составить уравнение поверхности.
Рис. 30.
образованной вращением данной линии вокруг
указанной оси:^ 2
I) эллипса 2^. •+ вокруг оси Оу ,
2) прямой вокруг оси Оъ ;
3) параболы с/ вокруг оси О Ч .
1 v X Д °
Ответ. I) X . Ч________i, g - 7 - эллип-
оА V оУ ~ 7
соид вращения;
2) $£ - круговой конус;
2 2
3) X + "Z = Ч - круговой параболоид.'
99. Построить тело, ограниченное поверхностями
I) Л^=3-£ , % = 0 (рис.31);
2) Х1- у , = 0, X = 0, £ = 4, = I (рис.32).
35
Библиографический список
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.-
М.:Наука, 1971.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.-М.:
Наука, 1975.
Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей матема-
тики /Под ред. Г.И.Кручковича.-М.:Высжая школа, 1970.
37
СОДЕРЖАНИЕ
I. Линейное уравнение на плоскости............................ 3
2. Линейное уравнение в пространстве.......................... 7
3. Система двух линейных уравнений в пространстве............ II
4. Линии второго порядка..................................... 17
4.1. Окружность........................................... 17
4.2. Эллипс........................................... 20
4.3. Гипербола............................................ 22
4.4. Парабола............................................. 26
4.5. Преобразование уравнения линии второго порядка
к каноническому виду....................................... 28
5. Поверхности второго порядка............................. 30
5.1. Канонические уравнения поверхностей.................. 30
5.2. 1>линдрические поверхности........................... 34
5.3. Поверхности вращения................................. 35
Библиографический сгшсок..................................... 37
38
Составитель Лилия Григорьевна 3 у б р и н а
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРОКА
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Редактор Т.Н. П а й к и н а
Техн.редактор Н.М. К а л е н ю к
Корректор О.Ю.Н е и а ш е в а
Подписано в печать 22.06.88. Формат 60x84 I/I6.
Бумага оберточная белая. Печать оперативная.
Усл.п.л.2,3. Уч.-изд.л. 2,0. T.I000 ©кз.
Заказ № 7261. Бесплатно.
Куйбышевский ордена Трудового Красного Знамени авиационный
институт имени академика С.П.Королева, г.Куйбшев, ул.Моло-
догвардейская, 151.
Типография имени В.П.Мяги Куйбышевского полиграфического
объединения, 443099, г.Куйбыпев, ул.Венцека, 60.