Основы расчета и конструирования машин и аппаратов пищевых производств - Соколов В.И.

1 Общие сведения о конструировании деталей и узлов

2 Основы расчета машин и аппаратов пищевых производств

4 Аппараты с медленно вращающимися органами

Автор: Соколов В.И.

Теги: общее машиностроение технология машиностроения пищевое производство машиностроение конструирование издательство машиностроение

Год: 1983

Похожие

Расчеты и задачи по процессам и аппаратам пищевых производств

Процессы и аппараты пищевых производств

Основы автоматизации технологических процессов пищевых производств

Основы конструирования. Том 1

Текст

В. И. Соколов
ОСНОВЫ РАСЧЕТА
И КОНСТРУИРОВАНИЯ
машин
и аппаратов
пищевых
производств
Допущено Министерством
высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебника
для студентов втузов,
обучающихся по специальности
^Машины и аппараты пищевых производств»

МОСКВА
« МАШИНОСТРОЕНИЕ »
1983
ББК 36.81
С 59 ч
УДК 621.01.001 : 663/665.3.010 (075.8)
Рецензенты: кафедра «Процессы и аппараты химической технологии»
МИХМа и канд. техн, наук В. И. Рачков
Соколов В. И.
С59 Основы расчета и конструирования машин и аппара-
тов пищевых производств: Учебник для втузов по спе-
циальности «Машины и аппараты пищевых производств».—
М.: Машиностроение, 1983. — 447 с., ил.
В пер.: 1 р. 40 к.
Изложены методы расчета и принципы конструирования основных дета-
лей и сборочных соединений пищевых машин и аппаратов. Рассмотрены вопросы
надежности, технологичности конструкций и технико-экономических обосно-
ваний, Приведены элементы теории пластин и оболочек, прикладной теории
колебаний, выбор параметров и особенности конструирования емкостных и
теплообменных аппаратов роторных, пульсационных и вибрационных машин.
2901020000-154
038 (01)-83
154-83
ББК 36,81
6П8
© Издательство «Машиностроение», 1983 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс «Расчеты и конструирование машин и аппаратов пище-
вых производств» является одним из завершающих при подго-
товке инженера-механика пищевой промышленности. Этот курс
посвящен вопросам оптимального проектирования, динамики,
прочности, устойчивости и надежности основных узлов типового
оборудования пищевых производств. Для учебника по данному
курсу были отобраны наиболее компактные инженерные методы,
требующие минимального времени для изучения, но применимые
для решения достаточно сложных, задач. При изложении мате-
риала по расчету и конструированию узлов принята следующая
классификация пищевого оборудования.
1. Неподвижные емкостные и'.-теплообменные аппараты.
2. Аппараты с медленновращающимися рабочими органами.
3. Ротационные машины с быстровращающимися дисками и
роторами.
4. Пульсационные (поршневые) машины, рабочие органы ко-
торых совершают возвратно-поступательные движения.
5. Вибрационные машины.
При расчете неподвижных емкостных и теплообменных аппара-
тов основой для инженера-механика является теория пластин и
оболочек. Аппараты рассмотрены как сочетания этих элементов.
Для неподвижных емкостных и теплообменных аппаратов ха-
рактерными являются расчеты на устойчивость, особенно актуаль-
ные при действии внешнего давления. Основой для этих расчетов
послужила теория устойчивости стержней, подвергающихся осе-
вому сжатию.
Расчет аппаратов с медленновращающимися рабочими орга-
нами основывается на данных курса «Детали машин». Особен-
ностью расчетов этих аппаратов являются расчеты бандажей на
прочность как колец, подвергаемых несимметричному нагруже-
нию, и расчеты бандажей и роликов на контактную прочность.
Для дисковых машин характерным является расчет на проч-
ность быстровращающихсд дисков, основанный на теории упру-
гости. Кроме того, для дисковых машин рассмотрены расчеты
на виброустойчивость жестких валов с учетом их массы приме-
нительно к требованиям проектирования перемешивающих ус-
тройств.
1* 3
При расчете роторных машин использованы данные из теории
пластин, оболочек и быстровращающихся дисков с учетом того,
что роторы одновременно нагружены силами инерции, возника-
ющими при их вращении, и давлением находящейся внутри них
жидкости. Для роторных машин приведен использованный для
быстровращающихся дисков расчет по механическому критерию
прочности, а также расчет индекса производительности центро-
бежных разделительных машин.
Расчет пульсационных машин почти полностью основан на
изучаемых ранее курсах «Сопротивление материалов», «Детали
машин», «Теория машин и механизмов».
При изучении вибрационных машин рассмотрены задачи ди-
намики этих машин и их расчет, основанный на теории колебаний.
В учебнике также проанализированы основы конструирования
деталей и узлов оборудования, изложены общие вопросы мето-
дологии проектирования машин и аппаратов, снижения металло-
емкости конструкций, обеспечения достаточной прочности и же-
сткости и др.

ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КОНСТРУИРОВАНИИ
ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ
§ 1. ЗАДАЧИ КОНСТРУКТОРА ПИЩЕВОГО ОБОРУДОВАНИЯ
По характеру воздействия на обрабатываемый продукт пище-
вое оборудование принято разделять на аппараты и машины (781.
В аппаратах происходят физико-механические, тепловые, диф-
фузионные, химические, биохимические, электрические и другие
процессы.
В машинах технологические процессы происходят вследствие
механического воздействия на обрабатываемый объект. Эти про-
цессы называют механическими.
Деление технологического оборудования на машины и аппа-
раты является условным. Имеются машины, в которых меха-
ническая обработка сочетается с нагревом, охлаждением, массо-
обменом, химическими реакциями, и трудно иногда установить,
какие процессы являются преобладающими. Поэтому термину
«технологическая машина» придают расширенное значение, по-
нимая под этим любое техническое устройство, предназначенное
для осуществления технологического процесса.
Машины и аппараты пищевых производств во многом сходны
с оборудованием химических и смежных отраслей промышлен-
ности.
В процессе технического развития отдельные машины и аппа-
раты пищевой промышленности находили применение в других
отраслях. Например, широко используемые в молочной промыш-
ленности жидкостные сепараторы для отделения сливок от молока
получили распространение в пищевой, химической и других
отраслях промышленности. Центрифуги, широко известные в са-
харной промышленности, используют в химической промышлен-
ности. Пластинчатые теплообменники, эффективно работающие
в химической промышленности, применяют в молочной промыш-
ленности.
Изготовлению машин и аппаратов предшествует их конструк-
торская разработка.
Широкая специализация и кооперация предприятий при соз-
дании данного аппарата или данной машины, участие в процессе
конструирования многих организаций обусловили необходимость
единого порядка для оформления чертежей.
Государственным Комитетом СССР по стандартам создана
единая система конструкторской документации ЕСКД, представ-
5
ляющая собою комплекс государственных стандартов, устанавли-
вающих взаимосвязанные правила и положения о порядке раз-
работки, оформления и обращения конструкторской документации.
Для обозначения стандартов принята следующая структура:
ГОСТ 2.000—00, где ГОСТ — государственный стандарт; 2 —
класс стандарта (ЕСКД); 0 — классификационная группа стан-
дартов; 00 — порядковый номер стандарта в группе; 00 (после
тире)—год регистрации стандарта [1].
Стандарты, входящие в комплекс ЕСКД, подразделены на
10 групп.
Группа 0—Общие положения (ГОСТ 2.001—70).
Группа 1 —Основные положения (ГОСТ 2.101—G8;
ГОСТ 2.109—73 и др.).
Группа 2 — Классификация и обозначение изделий в кон-
структорских документах.
Группа 3—Общие правила выполнения чертежей
(ГОСТ 2.301—68; ГОСТ 2.308—79; ГОСТ 2.309-73 и др.).
Группа 4 — Правила выполнения чертежей изделий машино-
строения и приборостроения (ГОСТ 2.401—68; ГОСТ 2.402—68;
ГОСТ 2.403—75 и др.).
Группа 5 — Правила обращения конструкторских докумен-
тов — учет, хранение, дублирование, внесение изменений
(ГОСТ 2.501—68; ГОСТ 2.502—68; ГОСТ 2.503-74).
Группа 6 — Правила выполнения эксплуатационной и ре-
монтной документации (ГОСТ 2.601—68; ГОСТ 2.604—68;
ГОСТ 2.606—71 и ГОСТ 2.607—72 и др.).
§ 2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ
ОБОРУДОВАНИЯ
Одной из целей методологии конструирования является на-
копление и упорядочение эмпирических и аналитических методов
конструирования.
Конструирование всегда связано с необходимостью принимать
решения на основе критериального, волевого и случайного вы-
бора. Наиболее целесообразным является критериальный выбор.
В условиях недостаточной полноты комплекса критериев произво-
дится волевой выбор, являющийся вполне осознанным и ответ-
ственным действием.
Конструированию машин должно предшествовать прогнозиро-
вание. Наиболее распространенными методами прогнозирования
являются следующие: метод экстраполяции, основанный на ис-
пользовании накопленного опыта и преимущественно применяе-
мый при краткосрочном прогнозировании; метод экспертных
оценок, заключающийся в использовании мнения группы специа-
листов-экспертов; этот метод носит субъективный характер, по-
этому его используют при отсутствии достаточно систематизиро-
ванной информации или при зависимости научно-технического раз-
6
вития в основном от принимаемых решений, а не от технических
возможностей; метод моделирования, основанный на использова-
нии для анализа моделей, созданных на базе теории подобия.
Прогнозирование конструкций машин может включать рас-
смотрение функционального назначения машин, основные техни-
ческие и экономические параметры, возможные компоновочные
схемы, новые материалы и виды заготовок, новую технологию
изготовления деталей и узлов и др. Возможно прогнозирование
и отдельных параметров машины, например массы. Вопрос об
ограничении массы машины часто возникает на начальной стадии
проектирования, тогда производится анализ подобных конструк-
ций и выявляется зависимость массы от главных параметров ма-
шины. Устанавливается возможность снижения массы в резуль-
тате усовершенствования методов расчета и конструирования,
технологии изготовления, применения более совершенных ма-
териалов.
В процессе создания конструкций большую роль играет метод
аналогий, позволяющий переносить ряд свойств одних объектов
на другие.
Процесс создания конструкции должен протекать в соответ-
ствии с требованиями технического задания.
При конструировании в последнее время получил широкое
распространение системный подход (анализ и синтез систем).
Основными задачами системного подхода являются исследования
специфических связей, установление закономерностей, присущих
отдельным типам систем, и разработка на этой основе, определен-
ных методов их описания и изучения. Итогом системных разра-
боток является непосредственное изложение того или иного метода
решения специальных задач.
При конструировании машина или аппарат рассматриваются
как системы. При использовании системного подхода обращается
внимание на структуру объекта (системы) и свойства его частей,
проявляющиеся в их взаимосвязи. Одной из главных особенностей
системного подхода является то, что органической его частью
является логико-методический анализ.
Одним из главных вопросов системного анализа является вы-
бор соответствующего критерия, позволяющего установить пред-
почтительный вариант конструкции при решении миоговариант-
ных задач. При этом, однако, возникают трудности с переводом
остальных критериев в класс ограничений. Работу целесообразно
проводить в два этапа: определить параметры, которые обеспе-
чивают заданные характеристики объекта; улучшить конструкцию
по отдельным характеристикам или по одной, принятой за кри-
терий оптимальности.
При конструировании деталей, из которых состоят машины
и их сборочные единицы, имеют место два процесса (протека-
ющих параллельно, последовательно и чередуясь): расчет и
изображение конструкции.
7
Рис, 1. Схема взаимосвязей между исходными данными, учитываемых при конструиро-
вании детали
Основным направлением конструирования является оптими-
зация. В области оптимизации можно отметить два основных
требования: получение желаемого эффекта при минимальных
затратах; получение максимального эффекта при использовании
заданных ограниченных ресурсов. Использование критериев ми-
нимальных затрат или максимального эффекта позволяет произ-
водить оптимизацию,
Между исходными данными, служащими основой конструиро-
вания детали, существуют взаимосвязи, подлежащие учету
(рис. 1).
Взаимосвязь I—Л. Повышение компактности при уменьшении
затрат труда и средств при сборке, техническом обслуживании
и ремонте достигается выполнением требований компоновки сбо-
рочной единицы.
Одним из направлений удовлетворения требований компо-
новки сборочной единицы является разработка конструкции де-
талей малых габаритных размеров из высокопрочных материалов.
Взаимосвязь I—III. Уменьшение затрат труда и средств для
компоновки сборочной единицы в отношении технического обслу-
живания и ремонта связано с выбором положения детали, соответ-
ствующего наиболее благоприятному нагрузочному режиму.
Взаимосвязь I—IV. Удовлетворение требований компоновки
сборочной единицы в части компактности с использованием мало-
габаритных деталей из высокопрочных материалов и применением
упрочняющей технологии.
Взаимосвязь I—V. Сокращение числа циклов нагружения для
уменьшения усталостных повреждений и увеличения долговеч-
ности детали.
Взаимосвязь II—IV. Обеспечение достаточных размеров опас-
ного сечения детали; при этом особое внимание следует уделять
конструкции соединения, а не конструкции самой детали, входя-
щей в соединение.
Взаимосвязь II—V. Повышение долговечности, снижение за-
трат труда и средств при техническом обслуживании и ремонте.
8
Рис. 2. Схема взаимосвязей между
основными параметрами конструк-
ции детали
Повышение долговечности
детали можно достигнуть
уменьшением шероховато-
сти поверхности, в кото-
рой возникают усталост-
ные повреждения. Такие
детали после механической
обрабоки подвергают по-
лированию.
Взаимосвязь III —IV,
Повышение статической
прочности вследствие увеличения размеров детали с учетом
наибольших пиковых нагрузок.
Взаимосвязь III—V, Эта взаимосвязь имеет одностороннее
направление, так как долговечность детали определяется внеш-
ними нагрузками, зависящими от условий эксплуатации.
Взаимосвязь IV—V. Классификация условий эксплуатации
и поиск решений, позволяющих обеспечить необходимую проч-
ность и долговечность в данных условиях эксплуатации.
Применительно к типовым деталям, изготовляемым методами
холодной обработки, в процессе конструирования определяют
следующие основные параметры: форму, материал, конструктор-
ские базы, размеры, массу, шероховатость поверхностей
(рис. 2) [73].
Взаимосвязь VI—VIII. Обеспечение требований к форме де-
тали, обусловленных компоновочным решением сборочной еди-
ницы, прочностными расчетами, возможностями обработки про-
грессивными методами при минимальных затратах труда и средств
на изготовление.
Взаимосвязь VII—X. Выбор материала, обусловленный слу-
жебным назначением детали при обеспечении ее надежности и
минимальных трудовых и денежных затрат на изготовление и
ремонт. Снижение массы детали требует применения материалов
с соответствующими прочностными характеристиками и наимень-
шей плотностью.
Взаимосвязь VII —XII, Выбор материала в зависимости от
служебного назначения детали. Для обеспечения этого устанав-
ливают минимальные параметры шероховатости поверхности.
Для получения требуемых параметров шероховатости поверх-
ностей, например шлицевого отверстия, используют термообра-
ботку, которая приводит главным образом к более равномерной
структуре и необходимой твердости материала детали.
Взаимосвязь VIII—XL Обеспечение определенного положения
детали в сборочной единице базированием.
9
Взаимосвязь IX—X. Проведение расчетов на прочность и
определение компоновочных решений сборочной единицы для
определения размеров детали с учетом компактности.
Взаимосвязь ХИ—XL Определение служебного назначения
детали в зависимости от шероховатости ее поверхностей, которая
зависит от класса точности и метода обработки. Следует отметить,
что при конструировании детали необходимо учесть и требования
производства, включая вопросы взаимозаменяемости, унификации
деталей, технологии изготовления и др.
Основными требованиями, предъявляемыми при выборе ма-
териала детали, являются обеспечение прочности, долговечности,
заданной массы, шероховатости, унификации, условий термо-
обработки и др.
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Высокое качество машин и их эффективность в большой сте-
пени зависят от организации процесса проектирования. Тради-
ционное проектирование характеризуется недостаточным анали-
зом и учетом взаимосвязей между узлами и деталями машин.
Применение ручного способа расчета практически исключает
возможность анализа возможных вариантов конструкции.
Усложнение задач конструирования современных машин ока-
залось в противоречии с устаревшими непроизводительными
методами конструирования. Это противоречие возможно устра-
нить только в результате внедрения системы автоматизированного
проектирования машин (САПР), САПР основана на широком
использовании системного подхода при постановке задач и ре-
шения их математическими методами с использованием ЭВМ,
Важным этапом САПР является расчет конструкций, на осно-
вании которого производят выбор оптимального варианта. Напри-
мер, проектируя центробежный жидкостной сепаратор для вы-
бора наиболее выгодного варианта конструкции, необходимо про-
ведение гидравлических, прочностных, энергетических и других
расчетов с учетом экономии конструкционных материалов и за-
трат на изготовление машины и ее эксплуатации.
Существовало мнение, что инженерные расчеты выполняют
вспомогательную функцию при конструировании. Для современ-
ного специалиста проведение расчетов является важнейшим эле-
ментом создания оптимальной конструкции. Инженерные расчеты
не могут быть сведены только к получению цифровых данных.
Инженерный расчет должен начинаться с выполнения этапа
«осознание цели». Для результатов расчетов крайне важны пра-
вильно выбранные требования к конструкции и условия эксплуа-
тации изделия. Следует отметить, что на первых этапах расчета
могут иметь место непредвиденные обстоятельства, заставляющие
производить повторные расчеты и уточнения.
ю
Рис. 3. Схема многоопорной балки:
4 — нагружение; б — неизвестные реакции опор
Часто одним из главных моментов расчета являются теорети-
ческие построения, связанные с понятием модели, разработка
которой составляет один из основных элементов инженерного
расчета. Важным видом моделей являются математические мо-
дели. Их разделяют на детерминированные, вероятностные (слу-
чайные) и эвристические.
Детерминированная модель позволяет прогнозировать будущее
оригинала при наличии достаточной исходной информации о прош-
лом объекта.
Вероятностная модель, независимо от количества информации
о прошлом объекта, прогнозирует только вероятность наступле-
ния определенных событий в будущем.
Эвристические модели относятся к области гипотез и- догадок
и строятся на основе активного поиска.
Как указывалось выше, автоматизированное проектирование
при решении задач создания оптимальных конструкций требует
наличия строгих аналитических зависимостей. В действительности
часто имеются эмпирические закономерности, которые непригодны
для достижения данной цели.
Следует отметить, что при использовании ЭВМ можно столк-
нуться с хорошо и плохо обусловленными задачами. Даже наличие
точной математической модели может не гарантировать успеха
применения ЭВМ.
Результаты машинного расчета могут даже не соответствовать
физическому смыслу задачи. В этом случае для исходного объекта
необходимо подобрать новую математическую модель, облада-
ющую лучшими вычислительными качествами. Для примера рас-
смотрим определение реакций многоопорной балки, нагруженной
произвольной нагрузкой (рис. 3). При малой жесткости балки
и при выборе реакций опор в качестве неизвестных (рис. 3, о, б)
получим систему алгебраических уравнений:
6цХ1 4" б12Х2 -j- • • • 4- 6inA4 + Sjp = 0;.
4" 4- • • • + ^nn^n 4- $np0-
Эта система оказывается трудно разрешимой, так как детер-
минант системы близок к нулю и результаты расчетов могут
оказаться либо неточными, либо неверными.
Задача окажется разрешимой, если перейти к системе, пока-
занной на рис. 4, в которой искомыми будут опорные моменты
11
Рис. 4. Схема многоопорной балки, разде-
ленной на участки
и детерминант системы ока-
жется больше нуля [35].
Если задача недостаточно об-
условлена, то для ее расшифровки необходимы дополнитель-
ный анализ и введение в задачу дополнительных условий.
Отметим, что получаемые на ЭВМ результаты могут иметь
большой разброс из-за внутренних погрешностей машинного
счета, обусловленных округлением в ЭВМ значащих цифр. В этом
случае говорят о неустойчивости численных алгоритмов. Факторы,
влияющие на, устойчивость и обусловленность задачи, исследуют
с помощью так называемых численных экспериментов. В этом
случае производится повторение вычислений по одной и той же
программе, но с различной точностью.
Как было отмечено выше, разработка оптимальной конструк-
ции требует рассмотрения нескольких вариантов. Понятие опти-
мальной конструкции, однако, носит относительный характер
и точность его определения зависит не только от математических
методов расчета, но и от уровня методологических разработок.
Для решения задач проектирования оптимальных конструкций
машин необходимо рассматривать совместно все требования и
взаимосвязи.
Рис. 5. Схема взаимосвязей между основными требованиями эксплуатации и произ-
водства
12
Рис. 6. Этапы проектирования
оптимальных конструкций
Схема взаимосвязей
между основными кате-
гориями требований
эксплуатации и произ-
водства, предъявляе-
мых к конструкции ма-
шины, показана на
рис. 5. Для формализа-
ции задачи требуется
знать закономерности,
характеризующие со-
держание взаимосвя-
зей, что на практике мо-
жет оказаться затрудни-
тельным и потребовать
специальных исследова-
ний. В ряде случаев
задача упрощается
вследствие уменьше-
ния менее существенных
требований к конструк-
ции и числа взаимосвя-
зей. При этом уменьша-
ется точность решения.
Систему автоматизи-
рованного проектиро-
вания машин строят
с учетом единой системы
конструкторской доку-
ментации, единой си-
стемы технологической подготовки производства и автомати-
зированной системы управления производством.
Этапы проектирования оптимальных конструкций машин при
разработке САПР, приведены на рис. 6.
Наибольшего внимания требует этап формализации связей,
часто связанный с необходимостью проведения научных исследо-
ваний для выявления закономерностей этих связей.
§ 4. РАЗРАБОТКА КОНСТРУКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ
Основные стадии разработки конструкторской документации
на изделия всех отраслей промышленности регламентирует
ГОСТ 2.103—68.
Сначала разрабатывают техническое задание. Оно устанавли-
вает основное назначение, технические характеристики, пока-
13
затели качества и технико-экономические требования, предъяв-
ляемые к разрабатываемому изделию, выполнение необходимых
стадий разработки конструкторской документации и ее состав,
а также специальные требования к изделию.
После утверждения и согласования технического задания раз-
рабатывают техническое предложение, документы которого должны
содержать технические технико-экономические обоснования целе-
сообразности разработки документации изделия на основании
анализа технического задания и различных вариантов возможных
технических решений, сравнительные оценки решений с учетом
конструктивных и эксплуатацаионных особенностей разрабаты
ваемого и существующих изделий, а также патентных материалов.
На основании утвержденного технического предложения раз-
рабатывают эскизный проект. Документы эскизного проекта
должны содержать принципиальные конструктивные решения,
дающие представление об устройстве и принципе работы изделия
а также данные, определяющие назначение, основные параметры
и размеры разрабатываемого изделия.
После рассмотрения и утверждения эскизного проекта при-
ступают к разработке технического проекта. Его разрабатывают
для выявления окончательных технических решений, дающих
полное представление об устройстве разрабатываемого изделия.
В его документах должны быть исходные данные для разработки
рабочей документации на опытный образец, установочную серию
и установившееся серийное или массовое производство. Эта до-
кументация разрабатывается с учетом испытаний макетов, опыт-
ного образца и опытной партии.
Современная машина является итогом деятельности конструк-
торов нескольких поколений. При выборе параметров новой
машины должен соблюдаться принцип конструктивной преем-
ственности. При проектировании должны учитывать предшеству-
ющий опыт машиностроения.
При создании возможных конструктивных решений полезны
различные рекомендации:
1) использование принципа действия систем, встречающихся
в природе;
2) использование известных конструкций без изменения кон-
структивных характеристик;
3) получение желаемого действия путем приспособления из-
вестной конструкции к новым условиям;
4) исследование замысла, который в условиях прошлого вре-
мени не удалось реализовать;
5) приведение в движение неподвижных элементов и фикси-
рование подвижных;
6) исключение некоторых элементов путем объединения раз-
личных функций в одном элементе;
7) рассмотрение прочности элементов и возможной целесооб-
разности ее изменения;
14
8) разделение деталей на части для улучшения изготовления
и применения различных материалов;
9) разделение деталей на части и исключение тех частей, кото-
рые вызывают различные трудности.
Начинающим конструкторам свойственна ошибка, заключа-
ющаяся в стремлении расположить одновременно все элементы
конструкции. Часто после получения задания, которое определяет
целевое назначение и характеристики проектируемого агрегата,
сразу вычерчивают конструкцию целиком с изображением всех
элементов. В этом случае конструктор по существу преждевре-
менно вычерчивает сборочный чертеж машины технического или
рабочего проектов. Вероятность рационального конструктивного
решения в этом случае будет мала.
Разработку технического предложения, если это предусмотрено
техническим заданием, или эскизного проекта следует начинать
с выбора рациональных кинематических схем, правильных раз-
меров' и формы деталей и определения целесообразного их взаим-
ного расположения.
При выполнении технического предложения или эскизного
проекта разрабатывают варианты возможных решений, устанав-
ливают особенности этих вариантов (ГОСТ 2.118—-73 и 2.119—73)
и выбирают наиболее рациональные.
Однако уже при эскизном проектировании требуется прове-
дение расчетов на прочность и жесткость хотя бы ориентировоч-
ных и приближенных. Целиком полагаться на расчеты нельзя.
В ряде случаев детали бывают сложными и следует учитывать
требования технологии машиностроения.
При эскизном проектировании необходимо также стремиться
к наибльшей унификации и стандартизации элементов. Требуется
учитывать условия работоспособности агрегата, обеспечение сма-
зывания, возможности монтажа и способы повышения долговеч-
ности и т. д.
При разработке эскизного и технического проеков необходимо
руководствоваться единой системой конструкторской докумен-
тации ЕС КД.
Рассмотрим пример проектирования центробежного водяного насоса (рис. 7).
Привод одноступенчатого насоса — от асинхронного двигателя GV = 30 кВт,
п ~ 2950 об/мин). Окружная скорость лопастного колеса 35,5 м/с, расчетное
давление 0,5 МПа, подача 0,04 м3/с. Насос имеет два симметрично расположен-
ных патрубка (выходных), каждый площадью 4-10"3 м2 148].
Расистом определены число изогнутых лопастей — 8, профиль проточной
части лопастного колеса, сечения выходных отводов по углам окружности. Срок
службы задан 10 лет при двухсменной работе.
При безремонтной эксплуатации номинальная долговечность L ~ 10-365 X
X 24 = 87 600 ч. С учетом коэффициента выходных дней 0,7 и коэффициента
сменности 0,66 расчетная долговечность U — 0,66-0,7-87 600 40 000 ч.
Принимаем в качестве опор вала лопастного колеса шариковые подшипники,
смазывание которых по сравнению с подшипниками скольжения более простое.
Опоры воспринимают осевую силу от давления рабочей жидкости на лопастное
колесо, радиальную силу, обусловленную действием силы тяжести лопастного
15
Рис. 7. Схема насоса (к конструктивному примеру)
колеса и вяла, и центробежную силу, возникающую вследствие неуравновешен-
ности (статической) лопастного колеса. Массу лопастного колеса принимаем
на основании предварительных конструктивных данных тк — 4 кг, массу вала
с присоединенными к нему деталями та — 2 кг.
Примем значение остаточного дисбаланса /?С1 = 510 г-мм, тогда неуравно-
вешенная центробежная сила колеса
Рц = DCT(o2 = 510-10"6-3102 = 49Н,
где (о — частота вращения колеса, ю = лл/ЗО = 3,14-2950/30 — 3,14-2950/30 =
= 310 с'1.
Максимальная радиальная сила, действующая на лопастное колесо в пло-
скости расположения ее центра масс Р = + Рц — 4-9,81 + 49 — 88 Н.
Нагрузка на ближайший к лопастному колесу подшипник
7?! = Р (1 + 7/Lo). (1)
где / — расстояние от центра масс лопастного колеса до передней опоры; Lo — рас-
стояние между опорами.
Нагрузка на второй подшипник
Р2 - Л - Р - P//Lo. (2)
Отношение Ljl целесообразно принимать э пределах 1,5...2.
Принимая 1,5, на основании формул (1) и (2), получаем
7?l = 1,6GP - 1,66-49 82 Н; Р2 = 0,66-49 = 32.2 Н.
Считая массу вала распределенной одинаково между подшипниками, имеем
R\= +
/?; = 82 —К 9,81 ^93Н; /^ = 32,24-9,81 ~ 43Н.
Для унификации оба подшипника принимаем одинаковыми по конструктив-
ному исполнению, однако, учитывая меньшую нагруженность заднего подшип-
ника, фиксируем его для восприятия осевых сил.
На тыльную сторону открытых лопастных колес действует полное гидро-
статическое давление, обусловленное давлением на выходе (0,1 МПа).
Давление на диск со стороны лопастей изменяется по квадратичному закону,
начиная от вакуумметрического во всасывающем патрубке до 0,1 МПа на выходе
колеса. Результирующая осевая сила, направленная в сторону всасывания,
достигает значения примерно 9800 Н. Компенсировать силу можно установкой
закрытого двухдискового лопастного колеса с двусторонним уплотнением и вве-
дением разгрузочных отверстий между полостями всасывания и нагнетания
(рис. 8).
16
Рис. 8. Лопастное колесо центробежного насоса с уравновешенной осевой силой
Рис. 9. Схема расположения опор вала
Рис. 10. Севанитовое уплотнение
Если диаметры уплотнений одинаковы, а суммарная площадь разгрузочных
отверстий не менее площади кольцевого зазора в уплотнении, будет обеспечена
гидростатическая уравновешенность.
Диаметр уплотнения £>у принимаем 130 мм, радиальный зазор ОД мм,
число разгрузочных отверстий 8., Тогда 0,785rcd2 > 0,lnZ)y, откуда d >
> 0,05Dy 2,5. Принимаем с запасом d = 5 мм.
Диаметр вала лопастного колеса принимаем d = 40 мм. Используем в ка-
честве опор радиальные однорядные шариковые подшипники легкой серии № 208
(ГОСТ 8338—75). Находим динамическую грузоподъемность подшипников
(ГОСТ 18855—73), с учетом полученной долговечности подшипника с вероят-
ностью отказа 10 % L' — 40 000 ч. Применим формулу по ГОСТ 8338—75
/ WnL' у/л
\ 106 /
/ 60-2950.40 000 \ 7з
\ Юб )
1785 Н,
где Р — эквивалентная динамическая нагрузка (равна наибольшей радиальной на-
грузке на подшипник). Н; п — частота вращения внутреннего кольца подшипника
(равна частоте вращения вала), об/мин.
Полученное значение динамической грузоподъемности меньше допускаемого;
поэтому выбранные подшипники обладают большим запасом долговечности.
Рассмотрим опоры. При выбранном 1,5 расстояние между опорами,
определяется вылетом центра масс лопастного колеса I относительно передней
опоры. Величина I зависит от размещения уплотнений между передним под-
шипником и гидравлической полостью насоса. Принимаем длину уплотнения
равной 45 мм, а расстояние между центром масс лопастного колеса и торцом
уплотнения 10 мм. При ширине подшипника 18 мм общая длина вылета I =
— 45 + 10 + 9 — 64 мм и расстояние между опорами Lo = 1,5/ ~ 100 мм.
На основании данного этапа проектирования изготовляют эскизный чертеж
(рис. 9).
Надежность насоса в основном зависит от уплотнения, которое отделяет
гидравлическую полость от полости подшипников.
Не допускается проникание воды из гидравлической полости в масляную.
Для этого устанавливают два уплотнения, одно — со стороны подшипника и
другое — со стороны насоса, и разделяют их промежуточной камерой. В ответ-
17
Рис. 11. Варианты торцового уплотнения
ственпых случаях применяют торцовые уплотнения, которые не требуют пери-
одической подтяжки и обладают способностью прирабатываемости.
Со стороны подшипника применяют севапитовое уплотнение (рис. 10) с эла-
стомерной манжетой, охваченной браслетной пружиной.
Основное достоинство торцовых уплотнений — компенсация износа тру-
щихся поверхностей вследствие перемещения уплотняющего диска в осевом на-
правлении под действием пружины.
Торцовое уплотнение может быть выполнено в виде диска 4 с севанитовым
уклонением 2 (рис. 11, а). Подвижная часть уплотнения состоит из шайбы 5,
которая с помощью венца приводится во вращение. Зубчатый венец нарезан на
внутренней стороне кольца разгрузочного уплотнения лопастного колеса. Опира-
ющаяся на торец лопастного колеса пружина постоянно прижимает шайбу к не-
подвижному диску. Резиновая манжета 6 является вторичным уплотнением,
воротник которой той же пружиной через гильзу 7 прижимается к шайбе 5.
Стык распорной втулки и лопастного колеса уплотнен прокладкой 8.
Промежуточной камерой служит полость 3 между севанитовым уплотне-
нием и стенкой диска 5. На фланце диска имеется отверстие 9, а на корпусе
отверстие 10, сообщающееся через отверстие 11с атмосферой.
Анализ этого уплотнения показал, что при демонтаже лопастного колеса
пружина будет выводить уплотняющую шайбу 5 из зацепления с ним и вытал-
кивать манжету 6, в результате чего уплотнение распадается. Кроме того, за-
труднен монтаж лопастного колеса и уплотнения.
В новом варианте выполнения торцового уплотнения (рис- 11,6) па зубча-
том венце лопастного колеса установлен кольцевой стопор 13, фиксирующий
в осевом направлении в колесе уплотняющую шайбу 14. Ступица лопастного ко-
леса имеет удлинение 12, на котором установлена манжета вторичного уп-
лотнения. В данном варианте монтаж и демонтаж узла облегчены по сравнению
с предыдущим вариантом.
В новом варианте торцового уплотнения (рис. 11, в) шайба 15 подвижного
уплотнения приводится во вращение шлицами, нарезанными на ступице лопа-
стного колеса. В этом случае конструкция более компактна.
Внимание конструктора должно быть направлено на крепление подшипни-
ков и лопастного колеса на валу. Надежность установки подшипников на
валу зависит от их затяжки в осевом направлении. Передний подшипник затяги-
вают колпачковой гайкой крепления лопастного колеса на буртик вала чефез
распорную втулку, задний — гайкой крепления приводного фланца через его
ступицу. Передача крутящего момента от электродвигателя осуществляется
через шлицевую втулку.
18
Рис. 12. Схема разборки вала
Подлежат специальной проработке при конструировании сборка и раз-
борка конструкции. В рассматриваемом примере порядок сборки и разборки
связан с установкой подшипников на валу и в корпусе. Возможны две основные
схемы.
Согласно первой схеме, подшипники установлены в корпусе с натягом, а на
валу — по плотной посадке. При разборке сначала с вала снимают приводной
фланец, затем извлекают вал из внутренних отверстий подшипников вместе
19
Рис. 13. Насос с масляной П L’.'iv/v 1 о Ю:
1 — подпружиненный разбрызгиватель; 2 — отражательные диски; 3 — кожух; 4 —
сетчатый фильтр; 5 — пакет шайб; 6 — пружина; 7 — стержень; 8 — шайба; 9 — кол-
пачок; 10 — корпус
с лопастным колесом, передвигая его вправо (рис. 12, п). Возможно сначала
снимать с вала лопастное колесо и извлекать вал из подшипников, передвигая
его влево за приводной фланец (рис. 12, б).
Основным недостатком рассмотренной схемы является отсутствие посадоч-
ного натяга по внутренним отверстиям подшипников. При длительной эксплу-
атации возможно ослабление посадочных поясов под действием радиальных
усилий. Более целесообразно применение посадки скольжения по наружным
поверхностям подшипников, где
давление от радиальных нагрузок
в 2 раза меньше.
Согласно второй схеме (рис.
12, в) подшипники устанавливают
на валу с натягом и при разборке
извлекают из корпуса вместе
с валом. Эта схема более рацио-
нальна, чем рассмотренная выше.
Следующим важнейшим этапом
является обеспечение смазывания
трущихся деталей машин. В ре-
зультате правильного выбора их
смазывания уменьшаются потери
энергии на трение, износ трущих-
ся поверхностей и предохранение
их от заедания, задиров и кор-
Рис, 14. Насос с отводами уменьшен-
ного размера:
/ — переходник; 2 — крепежные от-
верстия
20
510
Рис. 15. Насос (сборочный чертеж)
розии, а также повышаются надежность и долговечность. В рассматри-
ваемом конструктивном примере подшипники насоса работают при незна-
чительных нагрузках и сравнительно высокой частоте вращения. Благодаря
наличию воды в гидравлической части стенки корпуса масляной полости
хорошо охлаждаются. Исходя из этого целесообразно применение смазочной
системы с разбрызгиванием при использовании жидкого масла малой вязкости.
При конструировании масляной системы необходимо устранять барботаж
и вспенивание масла, которые ведут к перегреву и изменению свойств масла.
Следует предусматривать резерв масла на длительный срок работы.
Подшипники должны быть защищены от избыточного смазывания, причем
на шарики и сепараторы не должны попадать масляные брызги. Для устранения
попадания масляных брызг подшипники защищают отражательными дисками.
Необходимо также обеспечить регулярную умеренную подачу масла к подшип-
никам. Введение простейшего масляного насоса связано с появлением лишних
трущихся деталей и, кроме того, привод насоса будет мешать разборке вала.
Более целесообразным является установка на валу откидного подпружиненного
разбрызгивателя 1 (рис. 13). При конструировании смазочной системы необхо-
димо также предусмотреть вентиляцию масляной полости, спуск и заливку масла
и контроль его уровня.
После рассмотренной проработки конструкции можно возвратиться к во-
просу уменьшения радиальных размеров насоса. На рис. 14 представлена кон-
21
Рис. 16. Шатуны:
а, б — работающие на изгиб; в — работающие на сжатие
Рис. 17. Рычаги:
а, б — работающие на кручение и изгиб; в — работающие на изгиб
струкция насоса, отличающаяся большей компактностью. Лопастное колесо
выполнено коническим, отвод смещен в сторону и приближен к корпусу насоса.
Данный насос, очевидно, целесообразно крепить переходником 1 непосред-
ственно на корпусе приводного фланцевого электродигателя.
Конструктор не должен упускать из вида долговечность конструкции. В рас-
смотренном примере долговечность объекта (насоса) зависит главным образом
от срока службы торцового уплотнения и коррозионной стойкости лопастного
колеса, корпуса и других деталей, соприкасающихся с водой. Большое значение
имеет правильный выбор материалов и способов обработки деталей. Окончатель-
ный вариант конструкции насоса представлен па рис. 15.
На данном примере схематично показан ход процесса кон-
струирования. Если учесть, что для окончательной отработки
конструкции часто необходима экспериментальная проверка раз-
работанных вариантов и данные эксплуатации промышленных
образцов машин, то станет очевидным, насколько ответственным
и многосторонним является процесс конструирования.
При конструировании следует стремиться к снижению мате-
риалоемкости и повышению надежности конструкций.
Снижение материалоемкости. Различают структурную и удель-
ную материалоемкость. Структурная материалоемкость позво-
ляет исследовать рациональность выбранной номенклатуры ма-
териалов, возможность исключения дорогостоящих и дефицитных
материалов, использования стандартных профилей проката и т. д.
Удельная материалоемкость (т. е. на единицу технико-экономи-
ческих характеристик) необходима для сравнения машин одина-
кового эксплуатационного назначения, но различной мощности,
разной производительности и др.
К основным направлениям снижения материалоемкости можно
отнести следующие: снижение массы, повышение коэффициента
22
Рис, 18, Схема изгибающих моментов вала:
а—в — эпюры; г—е — консольное свободное и зафиксированное опирание вала
использования материала, выбор рационального материала, уни-
фикацию деталей и узлов.
Снижение массы. Один из основных способов уменьшения
массы конструкций — рациональное нагружение деталей, когда
напряжения будут одинаковые в каждом сечении детали по ее
продольной оси и в каждой точке этого сечения. Это возможно
только при некоторых видах нагружения, когда нагрузку воспри-
нимает все сечение детали (растяжение—сжатие).
При изгибе, кручении и сложных напряженных состояниях
напряжения распределяются по сечению неравномерно.
В качестве примера рассмотрим шатун, в котором возникает
дополнительный изгиб вследствие внецентренного приложения
нагрузки (рис. 16, а) и асимметрии его сечения относительно
направления действия сил (рис. 16,6). Это ведет к увеличению
площади сечения шатуна, а, следовательно, и его массы. Рацио-
нальная конструкция шатуна с симметричным сечением относи-
тельно направления действия сил, показанная на рис. 16, в,
работает только на сжатие. В этом случае его масса будет наи-
меньшей.
Возможны случаи нагрузок, когда, например, рычаг работает
на кручение и изгиб (рис. 17, а, б) вследствие смещения пло-
скости действия сил. Рычаг рациональной конструктивной формы,
не подвергающийся кручению, показан на рис. 17, в.
На рис. 18 приведены наиболее распространенные случаи
изгиба валов, которые можно рассматривать как изгиб консоль-
ной балки, или свободно опертой, или с заделанными концами.
23
Рис* 19, Шнековый аппарат с нерациональной схемой нагружения
Из сопоставления приведенных случаев изгиба валов вытекает
преимущество двухопорных валов по сравнению с консольными
с точки зрения возникающих изгибающих моментов. При защем-
лении концов вала, что в некоторой степени достигается приме-
нением роликовых подшипников и усилением стенок корпуса,
обеспечивается уменьшение максимального значения изгибающего
момента по сравнению со свободным опиранием вала с помощью
шариковых подшипников.
В ряде конструкций имеет место дополнительное нагружение
отдельных деталей и узлов в результате выбора нерациональной
схемы действия сил. Рассмотрим случай, типичный для пищевого
оборудования (рис. 19), когда шнек аппарата приводится во вра-
щение от электродвигателя через червячный редуктор 1 и цепную
передачу 2. При данной схеме нежесткий корпус нагружен силой,
возникающей в приводе. При деформации корпуса витки шнека
касаются стенок последнего, что приводит к возрастанию крутящего
момента и, следовательно, дополнительных нагрузок. Для избежа-
ния заклинивания необходимо увеличение жесткости корпуса и,
следовательно, массы. Разгрузка конструкции от дополнительных
нагрузок достигается применением редуктора /, соосно уста-
Рис. 20. Шнековый аппарат с рациональной схемой нагружения
24
Рис. 21. Способы уменьшения массы цилиндрических деталей
новленного на торце корпуса, через который шнек приводится
во вращение от фланцевого электродвигателя (рис. 20, б).
Эффективным способом снижения массы деталей является
удаление части металла, например, по внутреннему диаметру
втулки (рис. 21, а) и особенно по внешнему (рис. 21, 6).
Alaccy деталей также, можно заметно снизить введением гал-
телей и скосов на участке сопряжения стенок деталей, а также
заменой плоской стенки конусообразной.
В ряде случаев удается уменьшить массу деталей в резуль-
тате удаления металла из менее нагруженных зон сечения. На-
пример, применяя полые валы. При отношении внутреннего
диаметра d деталей полого профиля к диаметру наружному D,
равному 0,9, моменты сопротивления и инерции полого профиля
увеличиваются соответственно в 4, 5 и 10 раз по сравнению с де-
талью сплошного профиля той же массы; при d,:D = 0,95 моменты
сопротивления и инерции увеличиваются соответственно в 6
и 20 раз (рис. 22).
Повышение коэффициента использования материала. Способы
повышения коэффициента использования материала разнооб-
разны; замена поковок литыми
заготовками, получения заготовок
с помощью горячей или холодной
штамповки и др.
(Грогрессивным направлением
в создании высокотехнологич-
ных конструкций, обеспечива-
ющих существенную экономию
Рис. 22. Зависимость момента сопротивления,
момента инерции и наружного диаметра
цилиндрических деталей одинаковой массы
от отношения d/Dz
J, D — соответственно момент инерции,
момент сопротивления и наружный диаметр
Деталей полого сечения; Д, Ц/о, — то же
сплошного сечения
металла, является применение стандартных и специальных про-
филей проката, особенно облегченных.
Выбор рационального материала. Конструктор имеет возмож-
ность выбрать при проектировании разные материалы, обеспечи-
вающие примерно одинаковые эксплуатационные качества дета-
лей, по различные по стоимости и трудоемкости обработки.
Использование легированных сталей, особенно при изготовле-
нии машин и аппаратов, работающих в коррозийных и агрессив-
ных средах, обеспечивает снижение расхода металла.
Часто вместо дорогих легированных сталей применяют более
дешевые низколегированные стали. В последнее время расши-
ряется применение биметалла. Например, корпуса аппаратов
иногда изготовляют из коррозионно-стойкой стали малой тол-
щины, но при усилении элементов аппарата углеродистой сталью.
Большое внимание следует уделять экономии цветных металлов
и сплавов, так как их производство требует особенно больших
затрат труда и средств. Для экономии цветных металлов можно
предусмотреть, например, изготовление элементов червячных
зацеплений из стали с закрепленной насадкой бандажей из
бронзы.
Большие перспективы экономии черных, цветных металлов
и сплавов открываются с увеличением производства и расширения
применения в пищевом машиностроении пластических масс.
Наиболее эффективна замена пластмассами латуни, бронзы,
свинца и других черных, цветных металлов и сплавов, корро-
зионно-стойкой стали. Себестоимость изделий при этом снижается
в 5—8 раз.
В пищевом машиностроении широкое применение находят
пластические массы для изготовления деталей машин и аппаратов,
трубопроводов.
Во многих случаях пластмассы успешно заменяют металлы;
благодаря их использованию снижается не только масса конструк-
ций, но и повышаются эксплуатационные качества машин и аппа-
ратов. Применение пластмасс дает экономический выигрыш
в результате упрощения технологии их переработки с использо-
ванием менее сложного и недорогого оборудования, небольшой
трудоемкости изготовления и более высокой производительности.
Отметим некоторые особенности конструирования деталей из
пластмасс. Наиболее распространенным способом образования
пластмассовых резьб является прессование и литье под давлением.
Этими методами получают резьбы любого профиля с шагом не
менее 0,7 мм. При проектировании деталей из пластмасс необ-
ходимо учитывать их низкую контактную прочность, очень малое
сопротивление сдвигу, склонность к ползучести при длительных
нагрузках, потерю прочности при повышенных температурах и т. д.
Унификация, деталей и узлов. Конструкторская унификация
способствует рациональному сокращению числа объектов одина-
кового функционального назначения.
26
Рис. 23. Узел редукционного клапана (К'—
детали под ключ):
а — деталей с различными размерами под
ключ; б — деталей с одинаковыми размерами
под ключ
Благодаря унификации раз-
меров достигается значительное
сокращение расхода материалов
и увеличение выпуска продук-
ции на единицу производствен-
ной площади и оборудования.
Например, после унификации
трех размеров под ключ редукционного клапана (рис. 23, а)
требуется ключ одного размера (рис. 23, б). В пищевой промышлен-
ности подлежат унификации теплообменники, приводы мешалок,
дозирующие устройства, выпарные установки, сепараторы и т. д.
Повышение надежности. Повышение надежности машин яв-
ляется общей технической задачей, которая должна решаться на
всех этапах проектирования, изготовления и эксплуатации. По-
вышение надежности позволяет увеличить период работы машины
между ремонтами и уменьшить число ремонтов за время службы
машины.
Повышению надежности конструкций способствует увеличение
прочности, жесткости, применение самоустанавливающихся узлов,
точность центрирования, устранение деформаций при затяжке,
равномерное нагружение опор.
Увеличение прочности. Детали, подвергающиеся действию
изменяющихся во времени нагрузок, разрушаются при напряже-
ниях, значительно меньших предела прочности материала при ста-
ционарном нагружении. Этот фактор имеет большое значение для
современных машин, работающих при значительном числе циклов
нагружения. Поданным статистики к основным причинам повреж-
дений и аварий машин можно отнести усталостные явления.
Поэтому проблема сопротивления усталости является первосте-
пенной для увеличения прочности элементов машин.
Сопротивление усталости деталей значительно снижается, если
имеются резкие переходы, входящие углы и др. Чем резче переход
и больше перепад сечений, тем выше местное максимальное напря-
жение. Следует отметить, что концентрация напряжений, вызван-
ная фактором формы, усиливается технологическими факторами,
например, вследствие перерезания волокон на участках переходов
при горячей обработке детали вследствие литейных дефектов и т. д.
Пластические деформации металла при циклических нагруз-
ках, следуя с большой частотой одна за другой и меняя направле-
ние, постепенно расшатывают структуру материала и приводят
к усталостному разрушению.
Следует отметить, что сопротивление усталости в большей
степени зависит от состояния поверхности и снижается при грубой
27
а) б) 3) г) 3) е) ж)
Рис. 24. Ступенчатые валы:
а, б — с острыми углами на переходном участке; t? — с коническим сопряжением; г-ж —
с галтелями
механической обработке поверхности. Сопротивление усталости
уменьшается также в прессовых и клепаных соединениях с вы-
сокими напряжениями смятия на посадочных поверхностях, осо-
бенно в интервале напряжения до 0,4 МПа.
Физические основы явлений усталости еще не изучены в до-
статочной степени. Поэтому конструктор должен знать и приме-
нять зарекомендовавшие на практике технологические и конструк-
тивные способы повышения сопротивления усталости. В ряде
случаев возможно снизить циклические нагрузки с помощью по-
вышения упругости деталей в направлении действия нагрузок
и введения упругих связей между деталями, передающими и
воспринимающими нагрузку.
Если в соединениях, работающих при циклических нагрузках
повысить упругость болтов, уменьшаются силы, действующие на.,
болты, и интервалы между экстремальными значениями нагрузки.
Введение упругих муфт между деталями, воспринимающими
циклический вращающий момент, снижает амплитуду цикла
напряжений. Замена подшипников качения подшипниками сколь-
жения в шатунно-кривошипном механизме приводит к снижению
пиковых нагрузок, благодаря амортизирующему действию мас-
ляного слоя.
При конструировании деталей, испытывающих действие пере-
менных нагрузок, необходимо стремиться к уменьшению концен-
траций напряжений. Напри-
мер, резьбовые отверстия целе-
сообразно заменять гладкими.
На участках расположения кон-
центраторов напряжений сле-
дует увеличивать сечение дета-
ли, что понижает номинальные
напряжения.
Значительное уменьшение
концентрации напряжений во
Рис. 25. Узлы установки шарикоподшип-
ников на валах с галтелями
28
Рис. 26, Способы повышения прочности прессовых соединений
входящих углах ступенчатых деталей можно достигнуть введением
плавных сопряжений и галтелей (рис. 24). На рис. 25 показаны
способы перекрытия галтелей при установке шарикоподшипников.
При наличии отверстий концентрация напряжений умень-
шается в результате увеличения сечений деталей на участке рас-
положения этих отверстий, скругления кромок отверстий и т. д.
На рис. 26 показаны способы повышения прочности прессовых
соединений путем увеличения диаметра посадочной поверхности
(рис. 26, е), введения разгружающих выточек в ступице (рис. 26,д)
и на валу (рис. 26, г), уменьшения толщины ступицы в направле-
нии к ее торцовой части (рис. 26, в), выполнения поверхности
вала выпуклой в условиях линейного или плоского контакта
(рис. 26, б), накатывания разгружающих кольцевых канавок
у торцов соединения (рис. 26, а).
Пищевое оборудование характеризуется широким примене-
нием резьбовых и фланцевых соединений. Недостаточная проч-
ность этих соединений может привести к авариям и отказам в ра-
боте, т. е. понизить надежность конструкций. Поэтому при кон-
струировании должно уделяться надлежащее внимание прочности
этих соединений.
Для обеспечения правильной работы резьбовых соединений
необходимо устранить силовые факторы, вызывающие изгиб
и срез резьбы. На рис. 27 приведены примеры увеличения проч-
ности резьбовых соединений.
Увеличение жесткости. ^Жесткость — это способность системы
сопротивляться образованию деформаций.
Основными способами увеличения жесткости деталей и узлов
являются: возможное исключение изгиба с заменой его сжатием
или растяжением, введение связей между участками наибольших
деформаций для деталей, работающих на изгиб, целесообразная
расстановка опор, увеличение сечений и усиление участков пере-
хода от одного сечения к другому, применение конических и свод-
чатых форм.
Рассмотрим возможное исключение изгиба с заменой его сжа-
тием или растяжением на примере литых кронштейнов (рис. 28).
В случае кронштейна (рис. 28, б) стержни работают преимуще-
ственно на растяжение—сжатие, тогда как кронштейн на рис. 28, а
подвергается изгибу. Кронштейн становится более прочным и
29
Рис. 27. Способы увеличения прочности резьбовых соединений:
а, б — крепление консольного стержня к корпусу; в, г — крепление литой стойки к кор-
пусу; д, е — крепление к диску детали, находящейся под действием центробежных сил;
Ж, з -— крепление фланцевого соединения, передающего вращающий момент; и, к —
крепление кронштейна
жестким, если его стержни соединить сплошной перемычкой
(рис. 28, в). Кронштейн, показанный на рис. 28, г, менее жесткий,
чем кронштейн на рис. 28, б, из-за наличия горизонтального уча-
стка, работающего на изгиб.
На рис. 29, а показано нагружение цилиндрической оболочки
осевой силой. Нагрузка вызывает прогиб днища. Она передается
оболочке через ее сопряжение с днищем (деформации показаны
штриховой линией). Система является не жесткой. При замене
цилиндрической оболочки конусообразной, стенки последней при
действии осевой силы работают преимущественно на сжатие.
Рис. 28, Схема литых кронштейнов при различных видах нагружения
30
Рис, 29. Схема нагружения различных оболочек осевой силой
На рис. 29, д—з показаны конструктивные элементы, для по-
вышения жесткости которых введены кольцевые пояса жесткости.
Верхний пояс жесткости 1 работает на сжатие, а нижний пояс 2
на растяжение. В усиленных конструкциях введены элементы:
ребра, цилиндры и конусы, воспринимающие усилия сжатия.
На рис. 30, а показана схема деформации стенок цилиндри-
ческого аппарата, нагруженного внутренним давлением. Участки
наибольшей деформации следует укреплять элементами, работа-
ющими на растяжение: обечайку — кольцом 1, днище — анкер-
ным болтом 2.
Повышению жесткости способствует рациональная расста-
новка опор, например, возможно большее сближение опор (рис. 31).
Для увеличения жесткости, широко применяют ребра жестко-
сти. Рассмотрим использование ребер жесткости различной формы.
Деталь с работающим на растяжение ребром 1 (рис. 32, а) на
участке перехода двух сечений весьма невыгодна по прочности
Рис. 30. Цилиндрический аппарат:
а — нагруженный внутренним давлением;
б — усиленный элементами жесткости

31
Рис* 31. Увеличение жесткости конструк-
ций уменьшением пролета между опорами:
а — нерациональная конструкция; б —
рациональная конструкция
и жесткости. Если удалить
ребро 1, ю жесткость детали
увеличится (рис. 32, б). Для
увеличения жесткости целесо-
образно устанавливать ребра
а) или располагать их так,
чтобы они работали на сжатие (рис. 32,в). Короткие ребра
(рис. 32, д, е) ослабляют перегородку цилиндрической де-
тали, которая нагружена поперечной силой Р или изгибающим
моментом М. Более рациональны ребра постоянной высоты
(рис. 32, ж) или расширяющиеся к месту заделки (рис. 32, з).
Наибольшей прочностью и жесткостью обладают конструкции
с гофрированной перегородкой (рис. 32, и) и перегородкой короб-
чатого сечения (рис. 32, к), усиленные внутренними поперечными
ребрами. Наличие редких ребер у консольной корпусной сфериче-
ской детали (рис. 32, л) ведет к уменьшению жесткости. Если
стенки (рис. 32, м) можно расширить в пределах габаритных раз-
меров, то целесообразнее удалить ребра жесткости. Увеличить
жесткость можно продольными ребрами (рис. 32, н) или вафель-
Рис. 32. Влияние формы и расположения ребер на прочность деталей
Рис. 33. Кольцевые ребра жесткости для
деталей типа дисков и днищ
ними. (рис. 32, о). Высокой
прочностью и жесткостью об-
ладает деталь с гофрирован-
ными стенками (рис. 32, п).
Лля увеличения жесткости
деталей типа дисков и днищ
целесообразно вместе с пря-
мыми ребрами применять коль-
цевые ребра (рис. 33). Увели-
чению жесткости кольцевых
ребер способствует увеличе-
ние их высоты, расположение
их по радиусу, где угол
Емкостные аппараты, имеющие прямоугольную форму, обладают
малой жесткостью. Для увеличения их жесткости применяют
поперечные перегородки жесткости. Большой жесткостью обла-
дают овальные, эллиптические и особенно цилиндрические аппа-
раты. Для жесткости днищ цилиндрических аппаратов большое
значение имеет их форма. Плоские днища — менее жесткие,
вогнутые — более жесткие. Однако последние, вызывают распор
обечайки при наличии внутреннего давления в аппарате и заметно
уменьшают его рабочий объем. Выпуклые и конические днища
в противоположность вогнутым уменьшают радиальные деформа-
ции аппарата. Увеличение жесткости аппаратов из пластмасс свя-
зано с рядом особенностей. Для уменьшения прогиба плоских кры-
шек и стенок применяют диаметральное и диагональное расположе-
ние ребер жесткости, причем последнее более технологично. При
большой длине стенок аппаратов и наличии верхней отбортовки
применяют вертикальные ребра, которые в сочетании с буртом
и днищем образуют жесткие рамы прямоугольного сечения.
Применение самоустанавливаемых узлов. В подвижных соеди-
нениях, когда возможны перекосы и смещения деталей, необходимо
обеспечить относительную свободу для самоустанавливаемости
деталей и узлов.
Рис. 34. Способы самоустанавливаемости подвижных соединений
2 Соколов В. И.
33
Рис. 35. Вал, установленный в корпусе на подшипниках качения:
а — с номинальными размерами деталей; б — с размерами деталей, имеющих зазоры
на еамоустанавливаемость
Если, например, опорная шайба подпятника жестко уста-
новлена в корпусе, то вследствие неизбежных в системе перекосов
пята будет контактировать с шайбой краями (рис. 34, а). Это явле-
ние исключено при установке шайбы на сферической опоре
(рис. 34, б). При жесткой установке длинного вала (рис. 34, в)
вследствие изгиба и перекоса этого вала возникают повышенные
контактные напряжения, ухудшающие условия работы подшип-
ника. Избежать этого можно, установив вал на сферических
опорах, обеспечивающих еамоустанавливаемость подшипников
(рис. 34, г). В шариковых радиальных подшипниках изгиб
вала, как известно, ведет к перекосу и односторонней нагрузке
шариков. В результате уменьшается их долговечность. Во избе-
жание этого подшипник помещают в сферическую обойму или
Рис. 36. Схема центрирования конструк-
ций при снижении температурных де-
формаций:
а — по наибольшему диаметру; б — по
промежуточному диаметру; а — по наи-
меньшему’ диаметру
Рис. 37. Схема центрирования узлов при
уменьшении числа центрирующих поверх-
ностей:
а — по двум поверхностям; б — но одной
поверхности
34
Рис. 38. Схема центрирования фланцевых соединений:
<2, б — по внутреннему бурту; в — по наименьшему диаметру (фланец со сквозной про
точкой); г — по наружному бурту
заменяют шариковым двухрядным сферическим подшипником при
условии, что на него не должны действовать значительные осевые
силы.
При конструировании необходимо предусматривать зазоры
на самоустанавливание и отклонения размеров. В качестве при-
мера приведем установку вала в корпусе на подшипниках качения.
В варианте (рис. 35, а) размеры взаимного расположения вала,
подшипников и корпуса приняты номинальными. В варианте
(рис. 35, б) имеются зазоры т на посадочной поверхности корпуса
под плавающий подшипник, h — на посадочной поверхности
корпуса, k — в резьбе под крепежную гайку, п — на посадочной
поверхности вала под плавающий подшипник.
Точность центрирования. Для повышения точности центриро-
вания при снижении влияния температурных деформаций детали
целесообразно центрировать по минимальному диаметру, допу-
скаемому конструкцией (рис. 36). В этом случае максимальный
зазор при посадке частично уменьшается. Если узел состоит из
Рис. 39. Центрирование резьбовых соединений с введением дополнительных центри-
рующих поверхностей:
а> в, $ — нецелесообразное; б, г, е — целесообразное
2* 35
Рис, 40. Центрирование пружин
нескольких концентрических деталей, то следует уменьшать число
центрирующих поверхностей (рис. 37). Цилиндрические фланцы
обычно центрируют внутренним буртиком, расположенным на
одном из них (рис. 38).
Резьбовые соединения не обеспечивают удовлетворительного
центрирования вследствие зазоров в резьбе и отклонений среднего
размера резьбы. Поэтому при центрировании резьбовых соедине.
ний вводят дополнительные центрирующие поверхности (рис. 39)-
Рис. 41. Схема к определению зазора ме-
жду поверхностями деталей, смежными
с центрирующими поясками и витками
пружин
Рис. 42. Деформирование деталей:
а, г, е, э — значительное; б, в, д, ж, и-
незначительное
36
рис. 43. Узел крепления лопасти к ло-
пастному колесу центробежного насоса:
а — крепление не затянуто; б — крепление
затянуто
В пищевом оборудовании
широко применяют пружины,
например, в клапанных раз-
ливочных устройствах. Цен-
трирование пружин должно
осуществляться с обоих тор-
цов по внутренней поверхности
витков (рис. 40, а). При расположении пружин в охватываю-
щих деталях (гильзах, стаканах) центрирование производят
по наружной поверхности (рис. 40, б). Для обеспечения центри-
рования по всей длине окружности витков высота центрирующего
пояска должна быть d > h > l,5d (рис. 40, в—д). Зазор между
поверхностями деталей, смежными с центрирующими поясками
и витками пружины, должен составлять 0,3 ... 0,5 мм (рис. 41).
Устранение деформаций при затяжке деталей. Для повыше-
ния надежности конструкций необходимо исключать деформации
при затяжке. При креплении шпильками тонкостенных выпуклых
крышек их верхняя часть подвергается изгибу (рис. 42, а), ко-
Рис. 44, Схема зубчатой передачи с равномерным и неравномерным распределение
нагрузок на опоры
37
Рис. 45. Схема выравнивания нагрузок на
подшипники
торый можно устранить, если
поместить шпильки в жесткие
трубы (рис. 42, б) или исполь-
зовать ребра жесткости (рис.
42, в). При креплении пальца
в двух проушинах в нем возни-
кает изгиб (рис. 42, е), при кре-
плении в одной проушине изгиб
не возникает (рис. 42, ж).
При установке прокладки по всей ширине фланцевого соеди-
нения деформации не возникают (рис. 42, з, и).
В отдельных случаях вводится ограниченная деформация де-
талей для увеличения жесткости крепления. Например, при
креплении лопасти к лопастному колесу центробежного насоса
торцы лопастей выполняют конусообразными (рис. 43). При
затяжке они плотно прилегают к лопастному колесу.
Равномерное нагружение опор. Равномерное нагружение опор
непосредственно влияет на надежность узлов оборудования.
Например, в зубчатой передаче (D^Dy & 4) нагрузка PL на малое
колесо больше нагрузки Р.2 на большое колесо (рис. 44, а). По-
этому левый подшипник нагружен в 2,5 раза больше, чем правый.
Одинаковая долговечность подшипников обеспечивается, если
в правой опоре применить подшипник меньшего диаметра
(рис. 44, б). Если необходимо сохранить подшипники одинако-
вого диаметра, то следует сдвинуть зубчатые колеса к правой
опоре (рис. 44, з). В этом случае нагрузка на подшипники также
будет одинакова. На рис. 44, а показана Jнерациональная
схема установки диска компрессора: основной подшипник наг-
ружен большой радиальной Nr и осевой Рй силами, в то время
как на задний подшипник действует небольшая радиальная сила.
В улучшенном варианте (рис. 44, д) осевая сила Р2 воспринима-
ется недогруженным задним подшипником. В другой конструк-
ции (рис. 44, е) вал установлен на подшипниках разных диаме-
тров, которые подобраны в соответствии с действующими на них
нагрузками.
В конструкции опор (рис. 45, а) наибольшая часть нагрузки
приходится на правый подшипник, расположенный в плоскости
стенок корпуса. Вследствие податливости ступицы второй под-
шипник нагружен незначительно. В конструкции опоры (рис. 45, б)
нагрузка подшипника выравнена в результате укрепления стенки
корпуса второй перегородкой.

г Л А В A 11
ОСНОВЫ РАСЧЕТА МАШИН И АППАРАТОВ
ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ
§*5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Надежностью называют свойства объекта выполнять заданные
функции при постоянстве эксплуатационных показателей в задан-
ных пределах в течение требуемого промежутка времени.
Надежность объекта должна прежде всего обеспечиваться на
стадии проектной разработки. В этом случае возможно исключе-
ние значительных затрат, необходимых для корректирования
проекта, когда его недостатки выявляются только в период изго-
товления, монтажа оборудования или его эксплуатации.
Следует иметь в виду, что затраты на восстановление работо-
способности ряда групп машин превышают стоимость выпуска
нового оборудования.
При изучении надежности технических устройств рассматри-
ваются самые разнообразные объекты — машины, сооружения,
аппаратура и т. д. Для машиностроения объект рассмотрения
называют изделием. В зависимости от поставленной задачи изде-
лием может быть отдельная деталь, кинематическая пара, узел,
агрегат, машина в целом или система машин. Решение задачи по
повышению или оценке надежности сложной машины обычно
включает рассмотрение ее элементов, отдельных узлов и агрега-
тов.
Изделия разделяют на восстанавливаемые (имеется в виду
потребителем) и невосстанавливаемые. Сложные изделия, состоя-
щие из многих элементов, чаще всего являются восстанавливае-
мыми.
Рассмотрим основные термины и определения по надежности
оборудования (ГОСТ 13377—75).
Работоспособность — состояние изделия, при котором оно
способно выполнять заданные функции.
Исправность — состояние изделия, при котором оно соот-
ветствует основным и второстепенным требованиям, нормативно-
технической документации.
Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспо-
собности изделия.
Отказы в основном связаны с разрушением деталей или их
поверхностей. Отказы могут быть полными (опасные и безопас-
ные) или частичными, когда сохраняется возможность частичного
39
использования изделия. По характеру проявления отказы делят
на внезапные (поломка) и постепенные (изнашивание, коррозия
и т. д.), устранимые и неустранимые.
Отказы делят на приработочные в начальной стадии эксплуата-
ции при нормальной эксплуатации и износовые.
Надежность изделия включает понятия безотказности и дол-
говечности.
Безотказность — свойство изделия сохранять работоспособ-
ность без вынужденных перерывов на протяжении заданной
наработки.
Долговечность — свойство изделия сохранять работоспособ-
ность до предельного состояния с требующимися перерывами
для технического обслуживания и ремонтов.
Ремонтопригодность — свойство объекта, заключающееся
в приспособленности изделия к предупреждению и обнаружению
и устранению отказов и неисправностей с помощью технического
обслуживания и ремонтов.
Сохраняемость — свойство изделия сохранять эксплуатацион-
ные показатели и после срока хранения и транспортирования
изделия.
К показателям безотказности относятся вероятность безотказ-
ной работы, интенсивность отказов, наработка до отказа и па-
раметр потока отказов.
Вероятность безотказной работы Р (I) статистически опреде-
ляется отношением числа объектов, безотказно проработавших
к моменту времени t, к числу объектов, работоспособных в началь-
ный момент времени t — 0.
Интенсивность отказов X (t) — вероятность отказа невос-
станавливаемого изделия за единицу времени (если отказ до
этого не наступил).
Средняя наработка до отказа и наработка на отказ-средние
значения наработки перемонтируемых изделий и наработки ре-
монтируемых изделий между отказами;
Параметр потока отказов со (/) — плотность вероятности
возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определяемая
для рассматриваемого момента времени.
К основным показателям долговечности деталей, узлов и агре-
гатов относят средний ресурс, гамма процентный ресурс, срок
службы.
Средний ресурс — средняя наработка до предельного состоя-
ния.
Гамма процентный ресурс — наработка, в течение которой
объект не достигает предельного состояния с заданной вероят-
ностью у процентов.
Срок службы — календарная длительность эксплуатации изде-
лия до предельного состояния или списания.
Основным комплексным показателем надежности сложных
систем является коэффициент технического использования, кото-
40
рый представляет собой отношение продолжительности наработки
изделия к сумме продолжительностей наработки и простоев для
ремонта и обслуживания.
Надежность должна рассматриваться в вероятностном аспекте,
так как внезапные отказы при эксплуатации оборудования обус-
ловлены комбинацией случайных факторов.
Приведем некоторые понятия теории вероятности, используе-
мые при оценке надежности оборудования.
В качестве параметров распределения или характеристических
величин большое значение имеет математическое ожидание ц
и дисперсия D£, характеризующая разброс возможных значений
случайной величины | относительно ее среднего значения. В ка-
честве меры рассеяния используют также среднеквадратичное
отклонение, обозначаемое о, равное ]/ D|.
Для дискретной случайной величины g, принимаемой с вероят-
ностями Pi значения хг (i = 1,2, 3, ..., п), математическое ожида-
ние определяется равенством
S XtPi,
а дисперсия
(^- М£)2Л.
Вероятность того, что £ примет значения, меньшие некото-
рого числа х,
Фун кцию F (х) называют функцией распределения случайной
величины £, a dF (x)/dx = f (х)— плотностью вероятности; иногда
ее обозначают через р (х). Для непрерывной случайной величины
среднее значение и дисперсия
МВ = j xf (х) dx; Ds = J (х — М|)2 f (х) dx.
На практике математическое ожидание часто обозначают
через р, поэтому в дальнейшем будем использовать это обозначе-
ние и о, так как в ряде задач удобно применять понятие среднего
квадратичного отклонения, а не дисперсии.
Вероятность нахождения величины £ в интервале х0 < £ < хп
f (х) dx F (хп)
F (х0).
41
Любая функция плотности распределения вероятности должна
удовлетворять условию нормировки, которое для непрерывной
f (х) имеет вид
4-00
| f (х) dx — 1.
В технических приложениях большое значение имеет нормаль-
ное распределение
I
2
е
Х0
х—
а
2
(3)
—оо
С помощью преобразования z = (х — р)/о нормальное распре-
деление приводится к стандартному табулированному виду
Ф (г0) =
Значения плотности вероятностей и функции распределения
для стандартного закона приведены в приложениях 1, 2.
Совокупность всех возможных значений случайной величины
называют генеральной совокупностью G.
В том случае, когда оценку параметров некоторого стати-
стического распределения производят на основании выборок,
число приведенных испытаний п называют объемом выборки.
Используя значения xf(r =1, 2, ..., п) случайной величины,
можно получить выборочное среднее значение и выборочное сред-
неквадратичное отклонение (эмпирический стандарт для данной
выборки S)
I "
х = — S Xi, (5)
s = ]/ <*-*»•• (6)
Величину п — 1 называют числом степеней свободы.
Если определены средние выборочные значения х и S, то для
данного уровня значимости а (называемого степенью риска)
при нормальном распределении можно определить границы до-
верительного интервала, в котором находится истинное значение
математического ожидания с вероятностью, равной 1 — а по
формуле
Значения приведены в приложении 3 распределения
Стьюдента в зависимости от значений а и числа степеней свободы
f — п — 1.
42
Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения
находят по формуле
LtS < ст < L2S, (8)
где Z.J и — коэффициенты (см. приложение 2) для различных чисел степеней
свободы п, — 1 и различных значений величины 1 — а, называемой доверитель-
ной вероятностью или надежностью оценки.
Применим аппарат теории вероятности для решения задач по
надежности изделий.
Предположим, что в начальный момент времени работает No
изделий, а к концу времени t будет исправных изделий Na и от-
казавших УУ0ТК. Если /Уо достаточно велико, то статистическая
оценка вероятности отказов
Q (/) — ^Отк.^о,
(9)
а вероятность безотказной работы
Р (/) = NJNO = 1 - Nom/N0 = 1 - Q (/). (10)
Из уравнений (9) и (10) следует, что
P(t) + Q(t) = 1.
Производная от функции вероятности отказов во времени
называется плотностью вероятности отказов:
f ___ dQ (/) _ 1 dWoTK _ dP (t) /1 H
dt ~ /Vo dt ~ dt * '
На основании последнего выражения находим вероятность
отказов и вероятность безотказной работы:
t
Q (/) = J f (/) dt-
о
t оо
Р (f) I - Q (/) = 1 - J f (/) dt - J f (/) dt.
о t
Интегрируя выражение (11), получаем функцию распреде-
ления.
Интенсивность отказов X- (t) представляет собой число отказов
в единицу времени, отнесенное к числу изделий, находящихся
в данный момент в эксплуатации,
X (/) = dN07К/Ntt dt.
(12)
Умножая dP (t)ldt на и учитывая уравнения (10) и (12),
получаем
dP (t)tdt = — Р (t) k ((),
43
откуда в результате преобразований и интегрирования имеем
t
dP {t)iP (t) -- — X (/) dt\ In P (/) - — j X (/) dt\
о
t
— J X (/) dt
P(t)^e ° (13)
В том случае, если агрегат работает без специального резер-
вирования (т. е. введения дополнительных средств сверх необ-
ходимых для выполнения заданных функций), его рассматривают
как систему, состоящую из последовательно соединенных эле-
ментов. Отказ одного из них влечет отказ всей системы. Для
определения вероятности безотказной работы системы необхо-
димо найти произведение вероятности безотказной работы элемен-
тов (в случае их независимой работы):
Рст (Z) = Л (0 р2 (0 р3 (t) ... рп (().
При одинаковой надежности п элементов
ЛДО = /<(/)•
Экспоненциальный закон надежности. Для периода нормаль-
ной эксплуатации машин характерно отсутствие отказов, связан-
ных с износом деталей и наличие внезапных отказов. Последние
обусловлены многими случайными факторами и имеют постоян-
ную интенсивность, независимую от продолжительности эксплуа-
тации изделия:
X (/) = X — 1Дср = const,
где /Ср — средняя наработка на отказ (обычно в часах).
В данном случае формулы (13) и (11) примут вид
р (/) = е““;
f (/) = ,
где / — время наработки.
Предположим, что средняя наработка до отказа каких-либо
изделий tcv — 1000 ч, тогда вероятность работы аналогичных
изделий при t = 100 ч будет равна 0,905, а при t = 2000 ч ве-
роятность работы составит 0,135 [80]. При продолжительности
работы 1000 ч (/ср = t) вероятность безотказной работы будет
0,368.
В том случае, если существует сравнительно малая вероятность
отказов, т. е. при Р (/) -* 1, интенсивность отказов A, (i) практи-
чески равна плотности вероятности отказов. В этом случае воз-
можно использование экспоненциального закона для определения
не только внезапных отказов, но и постепенных.
44
Нормальное распределение времени безотказной работы. Для
описания отказов, вызванных износом деталей, в теории надеж-
ности применяют нормальное распределение. В этом случае
плотность распределения вероятности
ДО
1— е- ('-'ср)2/2<г2
а |Л 2л
(14)
где /ср и о — независимые параметры распределения.
a«]/S(/>-W- О-
Как видно из формулы (14) максимум функции определяют
величиной математического ожидания, а ширина петли характе-
ризуется величиной о2.
В теории надежности находит практическое применение так
называемое правило трех сигм, согласно которому вероятность
того, что нормально распределенная случайная величина примет
значение из интервала от р—За до р + За равна 99,73 %.
Для вероятности отказов и вероятности безотказной работы
имеем
—оо
оо
р (/) = J f (t) dt.
t
Используя формулу (14) и подставляя в нее
(/ — /ср)/а,
(15)
получаем
ОО X3
О
Последний интеграл вычисляем с помощью приложения 1.
Пример. Необходимо определить вероятность безотказной работы машины
в течение 875 ч. Было установлено, что продолжительность безотказной работы t
машины является нормально распределенной случайной величиной, /ср — 300 ч
и о — 50 ч.
По формуле (15) находим
х = (875 — 800)/50 = 1,5.
Из данных приложения 2 находим Ф (1,5) — 0,933. Искомая вероятность
Р (0 (/> 875) = 1 — 0,993 = 0,067, т. е. 6,7 %.
Иногда необходимо определить наработку на отказ Т при
заданных вероятности безотказной работы и значениях /ср и а.
45
Это выполняют с помощью квантилей нормального распределения
uv, выбираемых по данным приложения 1. В этом случае
* **ср 1
где — квантиль нормального распределения, т. е. корень уравнения для
ср
'л> ~ ГгЯ J "
—оо
Приведем некоторые выборочные значения &р.
Порядок квантилей .......... 0,5 0,7 0,8 0,9 0,9999
Значение квантилей........ 0,0 —0,524 —0,840 — 1,280 —3,70
Пример. Необходимо определить продолжительность работы с вероятностью
0,9, если ten = 800 ч и о = 50 ч. Искомая величина (I — /С1))/о = —1,28;
t = -50-1,28 + 800 = 726 ч.
Логарифмически нормальное распределение. Закон логариф-
мически нормального распределения описывает в лучшей сте-
пени, чем закон нормального распределения, результаты испы-
таний на усталость.
Плотность распределения вероятности наработки имеет вид
0,4343 -
(И К 2л ’

(16)
2
где 1g t0 ~ (s 1g Zx)/^.
Математическое ожидание
М| = ^е11510’.
В данном случае дисперсия
Dt = (М£)2 [(MS//0)
Вероятность безотказной работы определяют, используя дан-
ные приложений 1, 2, 3 для нормального распределения и при-
меняя преобразование
Р (t) = 1 - Fq (х)/о,
где х = (1g t — 1g f0)/o.
Распределение Вейбулла. Вероятность безотказной работы
с применением распределения Вейбулла определяют по формуле
при t > 6
р ну= е-
где б, t0 и т — константы (параметры распределения).
В дальнейшем ограничимся случаем, когда 6 = 0.
Интенсивность отказов
(17)
Плотность вероятности отказов
, у'»//"1
' °
о
46
Преимущество закона распределения Вейбулла в том, что он
может принимать различный вид вследствие изменения значений
параметров. Так, при т = 1 закон Вейбулла превращается в экс-
поненциальный закон, при т > 1 он может быть близок к закону
нормального распределения, а при т = 2 получают так назы-
ваемое распределение Релея.
На практике получил широкое распространение графический
метод выявления закона распределения случайной величины по
эмпирическим данным. Экспериментальные данные наносят на
соответствующие координатные сетки [26]. В дальнейшем про-
веряют допустимость того или другого теоретического закона
распределения. Если даже окажется возможным линейно интер-
полировать экспериментальные данные, то необходимо опреде-
лить наибольшее отклонение D, рассчитав критерий согласия
Колмогорова по формуле D |/ К (здесь К — общее число экспе-
риментальных отметок).
Если D V К < 1, то экспериментальное распределение соот-
ветствует принятому закону распределения.
Отметим, что непосредственное применение законов распре-
деления сроков службы нельзя считать основным методом для
решения задач надежности, так как закон выбирают формально
по внешним признакам и без учета процесса формирования от-
каза [53].
Рассмотрим пример определения вероятности безотказной
работы сложной системы. Пусть требуется определить вероят-
ность Р безотказной работы промывателя и доверительные интер-
валы среднего времени безотказной работы узла аппарата [261.
Промыватель представляет собой пропеллерную диффузорную
мешалку и состоит из основных узлов: электродвигателя, привода
мешалки, перемешивающего устройства и корпуса. В свою оче-
редь, перемешивающее устройство возможно разбить на два
основных узла: узел, содержащий сальниковую набивку, и узел
нижнего подшипника.
Для решения задачи можно использовать данные пробега обо-
рудования и ремонтные карты [26].
В этой работе приведены характеристики неисправности за
календарный год, наработка после последнего ремонта, принятые
меры по устранению неисправности с указанием даты.
На основании указанных данных составим вариационный ряд
промежутков времени безотказной работы подшипниковых узлов.
48 77 78 88 96
154 174 185 216 234
243 255 399 433 438
458 541 595 808 855
47
Рис. 47. Доверительные границы вероятности безотказной работы
Для выявления закона распределения времени безотказной
работы подшипникового узла, составим табл. 1 [35], в которой вве-
дены следующие обозначения: х( —вариационный ряд наработок
между отказами; п,— наблюдаемые числа появления наработок
между отказами; Нt — суммы частот наработок; п — число опытов.
На вероятностную координатную сетку нанесем значения хг
(ось абсцисс) и 1 — Я/n (ось ординат). Зависимость (рис. 46)
между указанными значениями можно считать линейной [26].
Определяем наибольшее отклонение = 0,15. Если вели-
чина Dv\' п ~ 0,15 /20 < 1, то закон распределения времени
исправной работы является нормальным.
Пример. Необходимо определить среднее время безотказной работы. Дове-
рительные границы средней наработки до отказа ТСр промывателя
1 Д
л < ГСр < Г2; Гер = — 2 - 318 ч.
“ £-1
Доверительные границы можно определять по формуле (7):
Ti — Т'ср — St(x/]/ ft , = ТСр £taJVft '
Таблица 1
Значения величин для определения вероятности
безотказной работы промывателя
xi }Ч Hi Hi/n 1 — Hj/n V xi ni HVn 1 — Ht/n V
48 1 1 0,05 0,95 243 1 11 0,55 0,45
77 1 2 0,10 0,90 255 1 12 0.60 0,40
78 I 3 0,15 0,85 399 1 13 0.65 0,35
88 1 4 0,20 0,80 433 1 14 0,70 0,30
96 1 5 0,25 0,75 438 1 15 0,75 0,25
154 1 6 0,30 0,70 458 1 16 0,80 0,20
174 1 7 0,35 0,65 541 1 17 0,85 0,15
185 1 8 0,40 0,60 595 1 18 0,90 0,10
216 1 9 0,45 0,55 808 1 19 0,95 0,05
234 1 10 0,50 0,50 855 1 20 1,00 0,00
48
Среднеквадратичное выборочное отклонение определяем по формуле (6):
/ 20
s - V ™ '•
Определяем значения 7\ и Га. Задаваясь уровнем значимости а = 0,9 по
данным приложения 3 находим для числа степеней свободы (20 — 1) = 19 ta
= 1,73.
Следовательно,
7\ = 318 — 178-1J3//20 = 246 ч;
Та = 318 + 178* 1,73/К20 = 390 ч.
Таким образом, доверительные границы среднего времени Тср безотказной
работы подшипникового узла при а — 0,9 246 < Тср < 390.
Определим доверительные границы для вероятности безотказной работы
подшипникового узла за время t:
Pi (/) < Р (t) < Р2 (/).
Сначала определим доверительный интервал для среднеквадратичного от-
клонения по формуле (15). По данным приложения 2 находим коэффициенты Lx
и Ь2 для числа степеней свободы 19 и для значения доверительной вероятности
1 — сс = 1 — 0,9 0,1; = 0,84 и L2- 1,27.
Следовательно, верхнее и нижнее значения среднеквадратичного отклонения
ос = L2S = 1,27-178 = 246;
он = = 0,84-178 = 150.
Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения 150 <1 178 <
< 246.
Выражение для верхних значений вероятности безотказной работы под-
шипникового узла за время t имеет вид
t _ {t-T^
1 С 2а2
Р2(0 \ е в dt,
У2жгв j
—-оо
После замены / на (/— 7\)/ов получим
it—T,
Для первой точки при i = 77 ч
(t _ г2)/ав = (77 _ 390)/246 = —1,28; (t + Та)/4 = 1,64.
По данным приложения 1,
Ф (77—390)/246 сП (—1,27) - 0,9032.
Аналогично производим расчет для других значений t.
Для нижних значений вероятности безотказной работы
I—t х
Р, (/) = 1/|/'2л \ e 2 rfx-z Ф (/— Г1)/оп.
—oo
49
Для — 77 ч нормальное распределение
Используя данные приложения 2, находим Ф (1,13) — 0,85.
На рис. 47 показаны доверительные границы вероятности без-
отказной работы для различных значений t
Надежность систем с резервированием
Прогнозирование надежности оборудования пищевых про-
изводств на стадии проектирования имеет большое значение.
Чаще всего представляется возможным производить рациональ-
ный выбор того или иного варианта проекта и планировать ре-
монтное хозяйство проектируемого предприятия.
Не только поточная линия, но любая машина и аппарат яв-
ляются сложными системами. Их надежность определяется на-
дежностью составляющих элементов.
Если система состоит из ряда элементов, отказ одного из
которых приводит к отказу всей системы, то соединение элементов
системы называют последовательным (рис. 48).
Если отказы отдельных элементов являются независимыми, то
вероятность безотказной работы системы из i последовательных
элементов
(18)
Вероятность безотказной работы системы, состоящей из по-
следовательных элементов, меньше вероятности безотказной ра-
боты отдельных элементов.
Если, например, для одного элемента Рг = 0,99, то для си-
стемы из десяти последовательно соединенных таких элементов
РР" = 0,99*° = 0,9.
При последовательном соединении элементов интенсивность
отказов суммируют. Это следует из следующих соображений.
Если X,- (/) = Х(- (интенсивность отказов i-ro элемента), то для
системы
,1 Я Кг У । W
P(t) = e ° 1 , Р(/)=е 1
где t будет одинаково для всех элементов; X, — const; i — 1.п.
Следовательно, надежность системы с последовательным соеди-
нением элементов уступает надежности самого ненадежного эле-
мента. Надежность сложной системы можно повысить путем
уменьшения количества составляющих ее элементов и увеличения
их надежности.
50
Рис. 48. Последовательное соединение эле-
ментов
Рис. 49. Параллельное соединение системы
Одним из распространенных ме-
тодов повышения надежности си-
W)
стемы является резервирование, под
которым понимают повышение надежности объекта введением
избыточности, т. е. введением дополнительных средств и возмож-
ностей сверх минимально необходимых для выполнения объектом
заданных функций.
Часто применяют постоянное резервирование, т. е. такое, при
котором резервные элементы находятся в одинаковом рабочем ре-
жиме с основными (нагруженный резерв). В этом случае резерв-
ные элементы подключают параллельно основным (рис. 49).
Вероятность отказа основных и резервных элементов
QCT(0•-•= Q1 (ОQ2(t) ... Qn(0
где Qi (/) — вероятность отказа i-го элемента.
Тогда вероятность безотказной работы данной системы
п п
Рс„е (/) = 1 - П Qi (0 1 - П [ 1 - Pi (01, (19)
i—1 4 — 1
где Pt (t) — вероятность безотказной работы t-го элемента.
При проектировании систем с постоянным резервированием
отказ одного или нескольких элементов не может влиять на
работу всей системы. При постоянном резервировании отсутствует
необходимость в кратковременных остановках системы, однако
постоянно включенный резервный элемент расходует свой ресурс
надежности наравне с основным рабочим элементом.
Пусть имеется система, состоящая из двух равнонадежных
параллельно включенных элементов, причем вероятность без-
отказной работы каждого из них характеризуется уравнением
Pt (t) = e“w. (20)
Тогда вероятность безотказной работы системы с учетом урав-
нений (19) и (20) будет иметь вид
Р (0 --= 1 - (1 - e“w )2 = 1 - I + 2e-w — e~2W = 2ew — е~2М.
Откуда плотность распределения вероятности отказа
f (/) = А [ 1 _ р (/)] = 2Хе-ы - 2%e-2W.
51
На основании
системы
^2 Ср
формулы (7) среднее время безотказной работы
оо
= J t - 2^е-ш) dt - 3/2%.
(J
Среднее время безотказной работы одного нерезервируемого
аппарата
со ею
/1Ср - J t— dt - — Л [ /e-w dt -= 1Д.
О о
Таким образом, выигрыш надежности Gi(1) по среднему вре-
мени безотказной работы Z2cp в случае системы из двух парал-
лельно работающих аппаратов по сравнению с £1ср /2ср^1ср =
= 3/(2Х) : 1/Х = 3/2.
Как следует из выражения (20) и рассмотренного выше при-
мера, безотказная работа системы, состоящей из параллельно
соединенных элементов, повышается с увеличением числа этих
элементов. Однако резервирование приводит не только к услож-
нению системы и, следовательно, к возрастанию первоначальных
затрат, но и к увеличению эксплуатационных расходов. Поэтому
необходимо стремиться к повышению надежности при определен-
ных экономических затратах.
Более целесообразно обеспечивать резервирование опреде-
лящих элементов машин, но не самих машин. Например, часто
выгоднее в ответственных узлах машин использовать двойную
смазочную систему, двойные и тройные уплотнения и т. д.
В тех случаях, когда нельзя применить параллельную работу
элементов, следует воспользоваться резервированием, замещением
или замещением с неиагружеиным резервом. В этом случае ре-
зервные элементы включают в функцинирование объекта вручную
или автоматически только при отказе основных. Для резервных
элементов сохраняется технический ресурс.
Пример. Необходимо определить вероятность безотказной работы системы:
поточно-технологической линии очистки и подготовки зерна к помолу (рис. 50)
[Ю].
Пусть заданы следующие значения вероятности безотказной работы.
Порядковый номер элемента линии I 6 7 8 9
Вероятность безотказной работы элемента
линии Pi ........................... 0,95 0,95 0,99 0,96
Воспользовавшись выражениями (18) и (20), определим вероятность без-
отказной работы участков линии за некоторый интервал времени: вариант I
(рис. 50, б) — без резервирования (позиции 6, 7, 8, 9) вариант II (рис. 50, б) —*
с общим резервированием по отдельным участкам). Вероятность безотказной
работы участка при варианте / — — Р^Р^Р^Р^Р^ — 0,95-0,95’0,95-0,99 X
X 0,96 = 0,815; при варианте II— Рц— Р$ [1 —(1 —Р^Р^] Р$ —
= 0,95 [1 — (1 — 0,95-0,95*0,99)2 ] 0,96 = 0,902; при варианте III — =
[1 — (1 _р7)2]2 [1™(1_р8)2] о,95 [1 -(1 — 0,95)2]2 X
X [1 — (1 —0,99)2] 0,96 = 0,910.
52
Рис. 50. Схема к расчету надежности неточно-технологической линии очистки и подго-
товки зерна к помолу:
а — технологическая; б — структурная; б, г — участки структурной схемы с однократ-
ным, двукратным резервированием; д> е — общее и раздельное резервирование: / —
емкость для неочищенного зерна; 2 — дозаторы; 3 — смеситель; 4 — нория; 5 — авто-
матическое массоизмерительное устройство; 6 — зерноочистительный сепаратор; 7 —
триер; 8 — пневмотранспорта а я магистраль; 9 — аппарат для скоростного кондицио-
нирования; 70 — моечная машина; 7 7 — влагосниматель; 72 — увлажняющая машина;
/<3 — бункер для отволаживання зерна; 74 — электромагнитный сепаратор; 75 — обо-
ечная машина; 76 — пневмосепаратор; 77 — камнеотборочная машина; 78 — щеточная
машина
В качестве других методов повышения надежности систем
благодаря избыточности мож о привести следующие виды резерви-
рования: режимное или нагрузочное — использование возмож-
ности объекта воспринимать дополнительные нагрузки (снижение
допустимой частоты вращения, давления и т. д.); временное
резервирование — использование избыточного времени для вос-
становления технических характеристи ^профилактики и ре-
монта) .
Прогнозирование надежности функционирования оборудования
На стадии проектирования необходимо стремиться не только
оценить надежность оборудования, но и выбрать наиболее целе-
сообразный с точки зрения надежности вариант конструкции.
53
При конструировании машин и аппаратов обычно необходимо
учитывать механическую прочность, экономические показатели,
физико-химические факторы, параметры, влияющие на функцио-
нирование оборудования.
В теории надежности нередко используют метод аналитиче-
ского прогнозирования, который основывается на применении
зависимостей функции случайных аргументов. Благодаря работам
И. Б. Жилинского [25] этот метод успешно применяют при проек-
тировании технологического оборудования.
Метод аналитического прогнозирования особенно эффективен,
когда существует возможность получить аналитическое выраже-
ние функции распределения F (у) от случайных величин А\,
Х2, ..., Хп по их плотностям вероятности ср (.ху), ср (х2), ..., ср (х,().
Пусть существует связь между случайными величинами:
аргументом X и функцией Y в виде Y ~ f (X). Допустим,’.что
распределение случайной величины X задано своей плотностью
распределения ср (х) или своей функцией распределения F (х).
Требуется найти функцию распределения F (у) или плотность
вероятности распределения ср (у).
Для искомой функции распределения
У
F[y = f(x)\-= J 4>(y)dy=P\Y<y} = Р {f(X)<y\.
Выражение для функции распределения функции случайного
аргумента X
Х1
Р (У) = Ф W dx.
*mln
(21)
Воспользуемся известным понятием обратной функции f 1 (у).
Если у = f (х) = х4, то х — у1 (у) = х. Тогда уравнение (21)
примет вид
Г1 (</)
F (#) — I Ф (х) dx.
Дифференцируя уравнение (21) по параметру (переменному)-
получаем выражение для плотности вероятности ср (у) распреде-
ления функции / (х) случайного аргумента:
Р’ (у) = ф (у) = ф ЕГО/)]] [Г1 №•
Полученное уравнение применимо для закона распреде-
ления монотонной функции случайного аргумента.
54
Введем понятие показателя надежности R (у) по величине у
[24, 25]:
уП1ях дсп
R (у) == J ф (у) ^у
l/min доп
ИЛИ
Я (у)-
У min доп
— 00
4“ОО
ф (у) dy ~ J Ф (у) dy.
!/max доп
1
Если агрегат не будет надежен, то
<2 (У) = 1 — R (У)-
При рассмотрении надежности оборудования часто исполь-
зуют закон нормального распределения. Условно обозначим
нормальные законы распределения, которые зависят от матема-
тического ожидания nii и среднего квадратичного отклонения
через Ф,- (х(, mL, ст;).
В теории вероятностей рассмотрены задачи по нахождению
закона распределения функции, определяемой суммой случайных
величин с заданными законами распределения. Такого рода задачи
носят название задач о нахождении композиции законов распре-
деления.
Композицию законов распределения находят с помощью опе-
рации, называемой сверткой и обозначаемой знаком *.
Композиция нескольких нормальных распределений в резуль-
тате свертки приводит также к нормальному распределению.
Таким образом, композиция двух нормальных законов с введе-
нием операции свертки имеет вид
Ф1(*1, tn\, Oi) * ср2(х, т, о) — <р(х, т\ тг, /01 + 02). (22)
При новом нормальном распределении математическое ожида-
ние будет представлять собой сумму математических ожиданий
исходных распределений компонентов, а дисперсия (при незави-
симых и 1а)
Dg = D|x + D|2.
В ряде случаев вместо нахождения распределения функции
Достаточно найти главные характеристики распределения: мате-
матическое ожидание М| и дисперсию DIj.
Данный вопрос достаточно просто решается при линейной
комбинации независимых случайных величин:
п
Y = У Oj = const;, Ь = const.
55
В этом случае
п
МУ = 2 агМХг + ь-
1
п
DF — S с$ПХ(.
г —1
Если имеет место нормальное распределение для линейной
функции случайных аргументов, то плотность вероятности этой
функции
__ (!/-МУр
1
Ф (у) - 1/9- е J
ву У 2л
Пример [24]. Расположенная в аппарате с псевдоожиженным слоем зер-
нистого материала труба подвергается абразивному изнашиванию со средней
постоянной скоростью МХЭ — Хэ = 2 мм/год.
С внутренней стороны труба подвергается коррозии от воздействия актив-
ной среды со средней постоянной скоростью МХК = Хк = 1 мм/год, не завися-
щей от времени. На основании экспериментальных данных по определению
износа известны среднеквадратичные отклонения скоростей изнашивания оэ —
= ок = 0,1 мм/год. Износ трубы линейно зависит от времени L Толщина трубы
s = 13 мм. Отклонение в сторону уменьшения толщины s трубы после прокатки
(из условий прочности и жесткости предельной толщины стенки трубы) назна-
чено равным 0,1 мм.
Приняв распределение случайных независимых величин нормальным, необ-
ходимо построить кривую надежности трубы во времени.
Решение. Уравнение износа трубы за время работы t
А - 6Э/ + SKf + s0. (23)
Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной
величины Л следующие:
М (Д) = X9t + XKt + s0 = 3i -j- 0,1;
(24)
= + :=y~2t2- 10-2 = 0.14 k. (25)
Значения M (А) и ад,
следующие:
рассчитанные по формулам, для четырех значений t
Л год.........................
М (А), мм.....................
Од, мм .......................
1 2 3 4
3,1 6,1 9,1 12,1
0,141 0,282 0,423 0,564
56
Рис. 51. Кривая надежности
На основании уравнении (22), (23),
(24), (25), получим выражение для плот-
ности вероятности износа А:
ехр
1Р(1)
f ™[Л-3*-0ЛР 1
0,04Z2
0,14 1Л2я
С помощью данного уравнения можно получить выражение для (pj (А) при
t = 1; 2; 3; 4.
Найдем критическую толщину стенки трубы sKp, являющуюся критерием
отказа. Допустимый износ
Адоп S — $кр —
откуда
s А sitp -J- s0.
Для расчетов по уравнению (15) определим нормированную случайную вели-
чину для каждого времени t: zi~--------Используя приведенные выше дан-
ные для МА и рассчитаем величину Fb(z.^ = 1 —(здесь z, — функ-
ция Лапласа).
Безотказную работу трубы определим по формуле
р (^ - 1 - Fo (Z/).
С учетом приведенных выше данных для Мд и о получим значения для сле-
дующих величин:
ti . . 1 2 3 3,5 4
Zf 48 13,5 2,12 2,12 —3,9
fo(z) 0 0 0,017 0,922 1
Р(/) 1 1 0,983 0,078 0
На рис. 51 приведена кривая надежности, построенная по вычисленным
данным, По кривой можно определить ресурс трубы до заданного уровня надеж-
ности, например надежности 0,95 соответствует наработка £ — 3,15 года.
Зависимость надежности от распределений характеристик
прочности и напряжений
При проектировании обычно используют коэффициент запаса
прочности. Однако по этому коэффициенту невозможно судить
о вероятности отказа элемента конструкции. Существует убежде-
ние, что отказ детали можно предотвратить, назначая соответству-
ющее значение коэффициента запаса прочности. Однако вероят-
ность отказа может колебаться в широких пределах при одном
и том же коэффициенте запаса прочности.
В настоящее время накоплены значительные данные о рас-
пределениях характеристик прочности и напряжений. Устано-
влено, что предел прочности на разрыв, предел текучести и предел
выносливости часто имеют нормальное распределение. Однако
при нормальном распределении случайная величина принимает
57
значения, лежащие в пределах от —оо до +<х>, в то время как
отрицательные значения пределов прочности не имеют физиче-
ского смысла. Если коэффициент вариации (о7р) меньше 0,3, то
вероятность появления отрицательных значений ^предела проч-
ности весьма незначительна.
Для распределений напряжений не представляется возможным
привести такое же обобщение, хотя некоторые нагрузки и имеют
почти нормальное распределение.
Рассмотрим вероятность безотказной работы при нормальном
распределении разрушающих и действующих напряжений.
Плотность нормального распределения разрушающих напря-
жений и действующих имеет вид
_ 4 (*1-Мстраз)г
а (хх) = 7. -z е Dapa3
Р»" 17 К 2лОеграз
(х2—Ma)2
2D<J
у 2лйо'
где Мараз и Мег—математические ожидания случайных величин праз и Оараз
и Dg — дисперсии.
Рассмотрим сначала простой случай, когда действующие на-
пряжения являются детерминированной величиной, а разруша-
ющие — случайной. Используем нормированное отклонение
(хх — М<7раз)/(и Dopa3). (2/)
Если для разрушающего напряжения вероятность ненадежной
работы мала, то ораз можно принять в качестве допускаемого
[о], тогда
[о] = Мараз — гх V D<ypa3. (28)
Значения zx, соответствующие заданным вероятностям без-
отказной работы, находим по данным таблицы нормального рас-
пределения с математическим ожиданием, равным нулю и диспер-
сией, равной 1.
Вероятность безотказной работы
Р = 1 - Р,
где Р — вероятность разрушения (отказа).
Было установлено 123], что при определении допускаемого
напряжения целесообразно ввести показатель уровня надеж-
ности п0:
Р — 0,1я»,
откуда
— 0,I"».
58
Значения вероятности безотказной работы при различных
значениях п0 следующие:
Ио ...................... 1 2 6
Р ....................... 0,9 0,99 0,999999
В результате изучения возможности применения аппрокси-
мации стандартного отклонения как функции надежности полу-
чено
П о гО.вз
n0 —0,Зе ,
откуда для условия 2 < па < 10
z « 1,6«о’6.
Тогда из последнего уравнения (28) получим
[о] = Мо1)аз (1-1,6^'6VoPa3). (29)
где V<j аз — коэффициент вариации прочности;
у ____ К Рораз
°раэ МОрад
За основу оценки качества материала принимают коэффициент
вариации прочности. Для металлов значения этого коэффициента
колеблются в пределах 0,25...0,2. Малые значения этого коэффи-
циента указывают на высокое качество материала. Значения,
указываемые в стандартах прочности материалов, отличаются от
средних значений, определяемых статистически, поэтому
Офаз = WW 0фаз,
где b — коэффициент, учитывающий отклонения от среднего значения.
Как известно, допускаемые напряжения
[ст] = СТраз/ц,
где п — запас прочности или коэффициент безопасности.
Из последних двух формул получаем
[о] — ЬМОраз/п.
Учитывая уравнение (29), найдем значение запаса прочности
^/(1 — 1,6/го6^араз)-
Коэффициент запаса прочности п зависит от надежности Р —
— 1 —0,1п0 и качества материала, оцененного коэффициентом
вариации , а также способа определения значения страа.
Ниже приведены значения коэффициента запаса прочности,
при показателе надежности п0 = 6:
................ 0,025 0,04 0,063 0,1
п ..................... 1,1 1,24 1,43 1,9
Расчеты проведены при одинаковом значении b, Р = 0,999999
И при различном качестве материалов.
59
Наиболее целесообразное использование конструкционных
материалов при конструировании оборудования возможно лишь
при достаточно полной информации о плотности распределения
прочностных свойств. При расчетах и конструировании необхо-
димо стремиться к получению этой информации для эффективного
использования вероятностных методов определения критических
и допускаемых состояний. Применение математической статистики
для определения и контроля конструкционных характеристик
должно являться важным элементом процесса конструирования.
Рассмотрим определение вероятности безотказной работы при
нормальном распределении разрушающих и действующих напря-
жений.
Введем случайную величину Y = страз — о. Из теории вероят-
ностей известно, что случайная величина Y имеет нормальное
распределение, если страа и о распределены по нормальному
закону, с математическим ожиданием
МУ = Мора:, — Мст
и дисперсией, в случае независимых случайных величин страз
и ст, равной
DK = Dopa3 + Dct.
Случайную величину У = страз — ст можно связать с вероят-
ностью безотказной работы детали следующим образом:
где г = (у ~ МУ)/ОУ, о* = ОУ.
Нетрудно видеть, что oydz = dy.
При у = 0 нижний предел интеграла будет иметь вид
__ О —МГ _ —Мораз -I- Мст
1 “ lYDY l/DOpaa+Do '
При у -* 4-оо верхний предел z 4~<», тогда
оо
I e-ZV2 dz-
2я Afff J -Л!<г
|Л£)Сра3-гОст
(30)
(31)
Величина Z = (У — МУ)/]/ОУ является нормированной слу-
чайной величиной, распределенной по нормальному закону.
Вероятность безотказной работы можно найти с помощью данных
приложения 1 функции нормального распределения.
Уравнение (30) обычно называют уравнением связи.
60
Формулу (31) можно представить в следующем виде:
- / МаРаз — Ма \
Пример [30]. Известно, что напряжение, имеющее место в узле машины,
имеет нормальное распределение, причем Мо = 350 МПа, j/Do = 40 МПа.
В результате воздействия различных факторов и колебаний температуры харак-
теристика прочности материала является случайной величиной с нормальным
распределением при Мораз — 820 МПа и КМораз = 80 МПа.
Коэффициент запаса прочности обычно определяют как отношение средней
прочности к среднему напряжению: МОраз/Мо — 820/350 — 2.34.
Нижний предел интеграла для вычисления вероятности безотказной работы
узла
Мстраз - Мо 820 — 350 — 470
1 ~ ~ К Dopas + Do ~ \Г402 + 802 89>44
По данным приложения 1 для нормального распределения находим =
0,9999999.
Предположим, что вследствие плохой термической обработки и больших
колебаний окружающей температуры среднее квадратичное отклонение проч-
ности узла увеличивается до 150 МПа при сохранении прежнего значения коэф-
фициента запаса прочности.
Из уравнения (30) находим
820- 350 470 _
21 V402+ I502 155>24
Тогда вероятность безотказной работы узла будет 0,99877 (см. приложение 1).
Таким образом, увеличение дисперсии прочности привело к снижению надеж-
ности узла.
Коэффициент запаса прочности
П — М<Траз/(Ма).
Коэффициенты вариации прочности и напряжения
Гстраз ~ Ц^с?раз/(^Ч^ра.з)>
Vo = J/'Dd/(Ma).
Тогда формула (30) примет вид
__________________________Mapaa/Ma — 1
1— K{Dapa3/(Ma)2] + [Da/(Mo)2l
п — 1
Приведем без вывода формулу для определения нижнего пре-
дела вероятности безотказной работы, полученную с помощью
неравенства П. Л. Чебышева, когда неизвестны законы распре-
деления прочности и напряжений [30];
61
перекрытия
Рис, 52. Плотности распределения напря-
жений и предела прочности Ораз
а — область перекрытия распределений
напряжения и предела прочности; б — оп-
ределение вероятности безотказной работы
Рассмотрим общее выраже-
ние для вероятности безотказ-
ной работы, когда известны
распределения напряжений и
предела прочности.
ПуСТЪ fg (Xj) — плотность
распределения напряжений и
/д — плотность распре-
деления предела прочности.
Вероятность безотказной ра-
боты элемента
J? Р (Ораз > О') —
= Р [(<7раз — О) > 01.
Область перекрытия распределений напряжения и предела
прочности (рис. 52, а, б) заштрихована и характеризуется опре-
деленной вероятностью отказа. Величина fg (хг) dx1 является
вероятностью того, что некоторое значение напряжения распо-
лагается в малом интервале шириной dxt:
Р (о"(> — dxt!2 < о <: с0 + dxj/2) = /о (о0) dxv
Вероятность превышения предела прочности ораз некоторого
значения напряжения о0
ио
Р (сГраз > Оо) = f f Ораз (Xl) dx2.
Со
Если напряжение и предел прочности являются независимыми
случайными величинами, то вероятность того, что напряжение о
примет значение в интервале от ст0 до о0 + dxx и характеристика
предела прочности будет больше о0, будет иметь вид
со
[ L, (x2)dx2.
J р do
do
Вероятность превышения предела прочности араз напряжения
о\ т. е. вероятность безотказной работы элемента, имеет вид
(33)
Рассмотрим графический метод определения вероятности без-
отказной работы при эмпирических распределениях напряжения
и предела прочности, когда нет оснований для принятия допуще-
Рис. 53. Зависимость G от Н
Рис. 54. Эмпирические функции распределения:
а — напряжения; б — предела прочности
ния о каком-либо конкретном распределении напряжения или
предела прочности, но имеется достаточный объем эксперимен-
тальных данных.
Обозначим
оо
! ^араз :== 1 (^Ораэ);
°ораз
Со
н j /о (*1) d*i Рс Ы-
о
В этом случае dH ~ fG (х^ dx^ Значения Н расположены
в интервале (0—1).
Подставив полученные значения Си Н в формулу (33), найдем
Из последней формулы следует, что вероятность безотказной
работы элемента равна площади, расположенной под кривой зави-
симости G от Я (рис. 53). Располагая данными о прочности и напря-
жении, можно найти значения ^араз (^ораз) и Fo (а0) и, следова-
тельно, величины С и Я. В результате построения зависимости G
от Я и измерения площади под кривой определяем вероятность
безотказной работы элемента.
Пример [30]. Было проведено десять измерений напряжения детали (табл. 2).
На основании полученных данных произведена оценка распределения напря-
жений (график функции (x-J на рис. 54, а). Было также получено 14 значений
предела прочности детали (табл. 3), на основании которых построен гра-
фик функции ^(Траз (рис. 54,6). На основании найденных двух функций
определяем значения G и И для различных напряжений о0 (табл. 4).
Вероятность безотказной работы определяем площадью, ограниченной кри
вой (j ~ f (Н) (рис. 55) и равной 0,9878.
63
Таблица 2
Значения напряжений и эмпирической функции
распределения F(J (а0)
№ измерения МПа № измерения О0, МПа К
1 207,5 0,10 6 275 0,6
2 236 0,2 7 292,5 0,7
3 245 0,3 8 300 0,8
4 262,5 0,4 9 337,5 0,9
5 1 265 0,5 10 375 1,0
Примечание. Под эмпирической функцией распределения имеется
в виду функция, построенная на основании опытных данных.
Таблица 3
Значения предела прочности и эмпирической функции
распределения Fo раз (о0раз)
№ измерения ^Ораз’ МПа Г°раз (а°Раз) № измерения °0раз’ МПа ^ра.з °Раз)
1 338 0,07 8 370 0,57
2 343 0,14 9 • 371 0,64
3 354 0,21 10 373 0,71
4 359 0,28 11 382 0,78
5 360 0,35 12 385 0,85
6 360 0,43 13 400 0,93
7 368 0,50 14 420 1,0
Таблица 4
Значения функций Н Fa и G - 1 — FQ ((Jo)
<Л), МПа н G Go, МПа Н G
0 0 1,00 350 0,96 0,81
100 0 1,00 360 0,98 0,67
150 0 1,00 370 0,99 0,42
200 0,07 1,00 380 0,995 0.22
250 0,31 1,00 390 1,00 0,12
300 0,77 1,00 400 1,00 0,05
320 0,87 0,98 410 1,00 0,02
330 0,90 0,95 420 1,00 0,01
340 0,94 0,90
64
рис. 55. К определению вероятности безотказной
работы детали
Пример [30]. Известно, что напряжение
в детали имеет экспоненциальное распределение
0 при 0 Xi < 100
*1—100 о,?. |
/Q v 1 Л wo -р к
ТОО е при х, >. GO. L__.................I
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Н
Известно, что прочность детали имеет рас-
пределение Вейбулла. Прочность материал! детали — более 150 МПа. Распре-
деление прочности имеет параметры: 6 — 1с0, 6 = 200, £ ~ 2.
Подставив значения этих параметров в следующую формулу:
найдем платность распределения прочности (х2 > 150):
/ 150 у (Х2—150 у
(Y ч _ 2 (*2 — 150) I, 200-150 } 2(%2— 150) I 50 I
аРаз(2' (200— 150)2 е “ 502 е
Функции распределения напряжения и прочности
gQ—100
Fo (Qfl) = 1 __ е~ 100 ;
_ Рораз~150 V
^араз (аораз) — 1 — е 50
Таблица 5
Значения напряжений а0, Н и G
МПа II •г 6' во, МПа н G
100 0 1,0000 320 0,8892 0,0000
120 0,1804 1,0000 340 0,9093 . 0,0000
140 0,3288 1,0000 360 0,9259 0,0000
150 0,3935 1,0000 380 0,9392 0,0000
160 0,4512 0,9600 400 0,9502 0,0000
180 0,5496 0,6978 420 0,9593 0,0000
200 0,6321 0,3679 440 0,9667 0,0000
220 0,6988 0,1408 460 0,9727 0,0000
240 ЛГЛ 0,7534 0,0390 480 0,9777 0,0000
260 Лол 0,7981 0,0080 500 0,9817 0,0000
280 0,8348 0,0011 520 0,9850 0,0000
300 0,8647 0,0001
3 Соколов в. и.
65
Таким образом,
_ |%раз~~150У
G == ] /страз (%з) ^2 = 1 — Fapag (аора8) = е к so J
аораз
Go Сто”—100
Н = J to (*0 dxi = Fa (<ТО) = 1 — е 100 .
о
Вычисленные для различных значений а0 значения И и G приведены
в табл. 5. После построения кривой зависимости G = f (Н) (рис. не приводим)
находим вероятность безотказной работы детали, которая будет равна 0,6093.
Основы оптимального конструирования
В ряде случаев подвергают анализу уже полученные конструк-
тивные решения и уточняют их определенные характеристики.
Такие задачи анализа систем успешно решают с помощью ЭВМ.
Создание оптимальной системы должно сопровождаться раз-
работкой вариантов, подвергаемых в дальнейшем соответству-
ющему анализу.
При конструировании простых объектов сразу определяют
оптимальные параметры и, в частности, надежность объекта.
При оптимальном проектировании существенным является
выбор критерия оптимальности. Часто за этот критерий прини-
мают условие обеспечения минимальной массы конструкции, что
особенно важно при изготовлении конструкции из дефицитных
материалов.
Рассмотрим, например, работу детали, находящейся в состо-
янии ползучести. Это может быть деталь из стали, нагретая до
высокой температуры, или деталь из полимерного материала,
работающая при комнатной температуре. Деформации в данном
случае изменяются по закону а = kdddt (здесь а и 8 — соответ-
ственно нормальное напряжение и относительная деформация;
k — коэффициент пропорциональности.
При достижении деформации предельного значения деталь
выходит из строя и ее необходимо заменить. Обозначим предель-
ное значение относительной деформации детали через е*. Пред-
положим, что деталь работает на растяжение. Найдем площадь
сечения растягиваемой детали исходя из заданной продолжи-
тельности эксплуатации.
Пусть стоимость детали пропорциональна площади ее сечения
F. Продолжительность эксплуатации детали 0 зависит от сече-
ния F, т. е. 0 = 0 (F). Приведенные затраты на заменяющую
деталь уменьшаются с увеличением 0 и будут пропорциональны
величине F/(l + £нп)° (здесь Ет — нормативный коэффициент
приведения затрат к базисному году, который принят равным
0,08). Например, при разрушении конструкции через 10 лет
убытки будут в (1 + £нп)10 = 2,16 раза меньше ее убытков в на-
чале эксплуатации. Стоимость следующей заменяющей конструк-
66
ции составит aF/(l + f^n)20 (здесь а — коэффициент пропорци-
ональности), а стоимость элементов, используемых в заменах,
z = a [F + F/(\ + £нп)е + F/(l + £нп)20 + F/(l + £нп)30 + •••]•
(34)
При использовании этой формулы для суммы геометрической
прогрессии получим
z = й£/(1 -(1 + £нп)-01-
Оптимальная площадь сечения F будет соответствовать мини-
мальному значению г.
Функция г определяет цель, которую ставит перед собой
конструктор, поэтому ее называют целевой функцией. Условие
z -» min является критерием оптимальности. Помимо целевой
функции критерий оптимальности еще содержит информацию
о максимальном и минимальном значении этой функции.
Можно выделить две задачи оптимизации: получение жела-
емого эффекта при минимальных затратах и максимального
эффекта при использовании заданных ограниченных ресурсов.
Предельное значение относительной деформации детали за
всю продолжительность эксплуатации при dzldt = const в* —
= Qdz/dt.
Учитывая, что о = P/F = kdzldt, получаем
0 = aF,
где а = &*k/P.
Подставляя 0 в уравнение (34), получаем
aF
1 - (I + £нп)~а/г
->-min.
Из условия dz/dF — 0 найдем трансцендентное уравнение
с учетом In (1 + £„„) « £Гш при £нп < 1
(aF£Hn — 1) (1£nn)aF = 1.
Откуда определяем оптимальную площадь F [56].
Оптимизация, рассматриваемая как рациональная процедура,
возможна лишь тогда, когда существуют различные варианты
и принятые критерии выбора. Рассмотрим задачи оптимизации
конструкции.
Пусть задана целевая функция
Требуется установить значения параметров хг, х2, ..., хп,
когда целевая функция и достигнет максимального или минималь-
3* 67
ного значения при ограничениях, накладываемых равенствами;
Ср! (Xi, х3,
или неравенствами
Фа Их- 1 ... t / > t-'gi
Фд(Ч» ^*2’ *’’’ *^п)
где т — число ограничений, т > 0; п — число переменных, в > 1.
Если задан вид целевой функции и и известны постоянные bi
и С,, то подобные задачи оптимизации с ограничениями называют
математическим программированием. Если целевая функция и
функции ограничения являются линейными, то задачи програм-
мирования называют задачами линейного программирования.
Часто отсутствуют ограничения (т — 0) и оптимальное значение
целевой функции можно найти достаточно просто методами опре-
деления экстремальных значений функции:
ди'дх-i — 0; ди!дхй = 0; ди!дхп = 0. (35)
Решая полученную систему уравнений, получаем х{, х3, ..., хп.
4
§ 6. РАСЧЕТ ПЛАСТИН
Пластиной называют плоское тело, ограниченное двумя по-
верхностями, расстояние между которыми мало по сравнению
с размерами самих поверхностей. Срединная поверхность пла-
стины, т. е. поверхность, равноудаленная от наружных поверх-
ностей, представляет собой плоскость. Этим пластины отличаются
от оболочек, у которых срединная поверхность не плоская.
Многие детали пищевых аппаратов и машин имеют форму
круглой или кольцевой пластины. В качестве примеров можно
назвать плоские днища и крышки резервуаров, фланцы труб,
днища роторов центрифуги и т. д.
Инженерная теория изгиба пластин широко представлена
в работах [15, 19, 49, 64, 751. В основу этой теории положены
следующие два допущения.
1. Точки, расположенные на некоторой прямой, перпендику-
лярной к срединной поверхности до деформации, остаются на
прямой нормальной к этой поверхности после деформации плас-
стины (гипотеза прямых нормалей Кирхгофа).
2. В плоскостях, параллельных срединной плоскости, нор-
мальные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с напря-
жениями изгиба.
68
рис, 56. Схема круглой пластины
Рис. 57. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогиба
Изгиб круглых пластин, нагруженных симметрично
При изгибе пластин, наибольший прогиб которых существенно
меньше толщины, пренебрегают радиальными перемещениями
точек срединной плоскости.
Примем систему координат таким образом, чтобы плоскость
XOY совпадала со срединной плоскостью пластины, начало коор-
динат 0 совместим с центром неизогнутой пластины (рис. 56).
Из рис. 57 видно, что tg <р = ±dw!dr или с учетом направления
оси z и малости угла <р,
Ф = —dw/dr. (36)
На изогнутой срединной поверхности пластины возьмем произ-
вольную точку А (рис. 58) с координатной г и проведем через нее
нормаль к поверхности. Также
проведем нормаль и через бли-
жайшую точку А', характеризуе-
мую радиус-вектором r~\-dr. Длина
дуги АА' будет dr, а угол наклона
этой нормали будет ф + ^ф.
На основании принятого до-
пущения о недеформируемости
срединной поверхности (деформа-
ции в остальных слоях пластины
пропорциональны расстоянию z
от срединной поверхности) для
двух ближайших точек А и В
(рис. 59) на расстоянии от средин-
ной поверхности и на расстояниях
г и г 4- dr от оси z относительное
Удлинение волокна АВ в радиаль-
ном направлении
ег=(Д'В'— AB)IAB=zdqldr. (37)
Рис. 58. Изогнутая срединная поверхность
пластины
69
Рис. 59. Схема угловых деформаций
в различных сечениях цилиндрической пластины
Рис. 60. К расчету элемента пластины
Относительное окружное удлинение в точке В можно опре-
делить, сравнивая длину соответствующих окружностей до и после
деформации:
— [2л (г + zcp) — 2лг]/2лг = zcp/r. (38)
Вырежем из пластины бесконечно малый элемент двумя диа-
метральными (под углом dp) и двумя концентрическими сечениями
с радиусами г и г + dr (рис. 60). Выделенный элемент расположен
на расстоянии z от срединной поверхности. Относительным удли-
нениям ег и соответствуют нормальные напряжения ог и о(,
связь между которыми (деформациями и напряжениями) опре-
деляют по обобщенному закону Гука:
et = ot/E — [ior/E; = <jr/E — рл/Е, (39)
где <rr, <3t — напряжения, действующие в радиальном и окружном направле-
ниях; Е — модуль продольной упругости; р. — коэффициент Пуассона.
При совместном решении уравнений (39) с учетом выражений
(37) и (38) получим следующие выражения для напряжений:
(-Г + W
(41)
Кроме нормальных напряжений на гранях, принадлежащих
цилиндрическим сечениям выделенного элемента и
В2В2ДаЛ2, в общем случае имеют место и касательные напряжения.
Любое радиальное сечение пластины (например, яв-
70
Рис. 61. Схема действия внутренних силовых факторов
а — элемент пластины; б — векторный треугольник
на элемент пластин:
ляется плоскостью симметрии, следовательно, в этих сечениях
касательные напряжения отсутствуют.
Переходя от нормальных напряжений <тг и ot к изгибающим
моментам Мг и Mt, отнесенным к единице длины соответству-
ющего сечения, получаем
-E-s/2 +s/2
Мг — | <yrz dz; Mt — j 07Z dz. (42)
—s/2 —s/2
Подставляя в эти выражения значения <тг и <Jt из уравнений
(40) и (41) и интегрируя, имеем
М, — D (dq/dr + рф/г); (43)
Mt = D (ф/г + pd<p/dr), (44)
Es3
где D = -----цилиндрическая жесткость пластины.
1 Z- ( 1 •’* р “ I
Сравнивая уравнения (43) и (44) и уравнения (40), (41) и под-
ставляя в них значение D, получаем
<jr = 12Mzz/sP; ot = \2Mfz/s3. (45)
Наибольшие нормальные напряжения будут при z = s/2.
Поэтому
(<Tr)max = ± 6Mr/s2; (a,)max = ± QMt/s2. (46)
На рис. 61, а приведена схема действия на выделенный элемент
внутренних силовых факторов (изгибающих моментов и попереч-
ных сил).
71
Используя условие равновесия этого элемента, составляем
уравнение моментов относительно оси у.
(Mr + dMr) (г + dr) dp — Mrrd$ — 2 (Mtdr sin dp/2) +
+ Qrdpdr/2 + (Q + dQ) (r + dr) dfidr/2 — 0. (47)
На рис. 61, б показаны векторы моментов Mt, которые отло-
жены на перпендикулярных линиях к плоскости их действия.
Проектируя векторы на направление оси у (отрезок Ьс), получаем
искомый результат. Отбросив в последнем уравнении величины
высшего порядка малости, после алгебраических преобразований
получим
Мг 4- rdMJdr — Mt Н~ Qr — 0. (48)
Подставляя значения Мг и Mt из формул (43) и (44), получим
о(£+-54-*)—(«)
Используя тождество
d2cp , 1 dtp ф _ d / dtp ф \
17^ +V — ) (50)
й учитывая, что (<рг) = г + <р, уравнение (49) можно
представить в виде
<51>
Для выяснения смысла выражения в квадратных скобках
уравнения (51) сложим почленно уравнения (43) и (44), в резуль-
тате получим
Mr + Mz = D(r(l+p)^ + (l+p)^
или 1
=D (т + 4) = ° 4 4 w- <S2i
1 ( ПЛ’ \ Uvf r / /
Расчет круглых осесимметричных пластин
по методу начальных параметров
Интегрируя уравнение (51) получаем
D 4 7Д = — j <2 (И (53)
Для получения обобщенного решения этого уравнения восполь-
зуемся методом, предложенным С. Н. Соколовым [65, 19], который
является вариантом метода начальных параметров.
Пластину, подвергаемую сложному нагружению, разделяют
на участки, границы между последними выбирают в тех точках,
где приложены силы и моменты или где начинается распределен-
ная нагрузка. Когда последняя изменяется скачкообразно, ее
72
Рис. 62. Круглые пластины с различными видами нагрузки:
а — сплошная: б — с отверстием
представляют в виде суммы двух нагрузок, действующих до
наружного края пластины.
Произвольные постоянные интегрирования по участкам сво-
дят к начальным параметрам, количество которых не превышает
трех. В качестве этих параметров принимают прогиб w и изгиба-
ющие моменты М.г и Mt в центре сплошной пластины или на
внутреннем контуре кольцевой пластины.
Для облегчения нахождения постоянных интегрирования ис-
пользуют метод выравнивания произвольных постоянных интег-
рирования по участкам.
При расчете элементов пищевого и химического оборудования,
которые могут рассматриваться как круглые пластины, можно
рекомендовать метод расчета, разработанный С. Н. Соколовым
как наиболее экономичный при решении сложных задач. Опре-
деление постоянных интегрирования возможно при любом числе
участков, на которые разбивают пластину. Однако уже при
Двух-трех силовых участках расчет будет громоздким, так как
требуется составить и решить системы [из соответственно шести
и девяти уравнений. Метод С. Н. Соколова позволяет значитель-
но упростить расчеты.
Пусть на круглую пластину действуют следующие силовые
факторы: момент т (Н-м/м), равномерно распределенный по
73
окружности радиуса ах (рис. 62, а); кольцевая сила Р (Н), равно-
мерно распределенная по окружности радиуса а2; нагрузка q
(Па), равномерно распределенная по кольцу, ограниченному
радиусами as и а4, и неравномерно распределенная по кольцу,
ограниченному радиусами «4 и а5, и изменяющаяся по закону
<7о (р“ — а!) (здесь q0 — постоянный коэффициент, Н/м4; р —
текущий радиус (а5 > р > г).
В данном случае пластинка имеет пять участков.
Рассмотрим последовательно части пластинки, вырезанные
цилиндрическими сечениями и принадлежащие I—VI участкам.
Значения поперечной силы Q (г) для пяти участков:
I при 0 < г с Q = 0;
II при а4 < г -< а2 Q — 0;
III при а2 < г С а.л Q = — /э/(2лг);
После интегрирования правых частей этих уравнений получим
следующие выражения для пяти участков:
/ j Q (г) dr « С4;
II J Q (г) dr - С4 + С2;
III (Q(/-)(/r = C2 + ^lnr--^
In 4” С3;
IV | Q (г) dr == С2 -h Inr - In 4- —
2 2 2
—Г—/1П/-4-Vlna3 + C4;
2
VjQdr = C, + 4lnr-^.ln0, + ^-^--
In о 1 1
---4----Г!п/+~1пйз + Лб------16----— +
+ ~+ (54)
где Сг ... Сб — постоянные интегрирования.
74
При интегрировании введены постоянные члены, содержащие
абсциссу граничного сечения Этим достигается равенство зна-
чений С4 = С3 — С4. Из сопоставления уравнений (52) и (53)
следует, что
(Mr + M/)/(l+p) = -jQ(r)dr.
Однако для участка I было получено Q (г) dr — С1; поэтому
(Мд + MZI)/(1 + fl) = Q. (55)
Учитывая равенство (55), напишем для граничного сечения
участков II и III
Ci Ч- С2 — С2 — 2Л ^2 ~Ь
Следовательно, С4 = С3.
Аналогично устанавливаем, что С3 = С4—С5. При определении
величины С4 учитываем условие г ~ 0 и Mr = Mt = MQ. Тогда
из уравнения (55) имеем
С4 = 2М0/(1 + р).
Выражение I Q (г) dr при г аг будет равно изгибающему
распределенному моменту т. Так как значения выражения | Q(r)dr
для участков / и 11 отличаются на величину С2, заключаем, что
С» = т.
Таким образом, уравнение для участка IV может быть напи-
сано в виде
п 1 d , . 2Л4О > , Р 1 Р 1
D -~dr W = Т+Г + т + S r - TST|п~
^.1паз+4.
Произведем интегрирование полученных дифференциальных
уравнений для каждого участка, предварительно умножив левые
и правые части полученных уравнений на г и подставив найденные
значения постоянных первого интегрирования С4. В результате
получим для следующих участков:
I при 0 < г < д4
D^r - М0г2/(1 + р) + Ср,
II при а4 < г < аъ
О<рцг = Mor /(1 ф- р) (rnf /2)С2>
III при а2 < г с а3
С<Ршг= Л10г2/(1 -'г Ц) -г (mr2/2) (1 — a2i/r)
+ [Рг2/(8л)] (-1 - InA2) + Сз,
(56)
(57)
(58)
75
IV при fl3 < г « а4
Рфгут = Mor2/(1 + р) + тг" (1 “ Qi/r2) +
t 2 \ 2 3 2
+ [РЛ(8я)1 (4/? - 1 - tn а) + Jg. + In + cl; (59)
V при а4 с г < Я
4 9 2 9
дг4 <7«з , W | Лз ,
16 16 "г 8 П г2 +
Как и при первом интегрировании для выравнивания произ-
вольных постоянных интегрирования, в уравнения для участков
III—V введены постоянные члены, содержащие абсциссу гранич-
ного сечения.
Учитывая, что при г — 0 <рг = 0, из уравнения (56) получаем
Ci ~ 0.
При г = Й! ф; = фц, и, следовательно, Рф^ = Рфц^,
714 0а1 _ М0а21 1 1 m„2 I г'
1 + р ~ 1 + р ' 2 та' г С2’
откуда
Сг = —mcfi/2.
Далее, аналогично приравнивая для граничных сечений соот-
ветствующих участков углы поворотов ф^4 = ф; и, следова-
тельно, £>ф:_1О!._1 = РфА-к найдем остальные постоянные
интегрирования
Сз = Р«з/8л; С4 — —qa^/16; С'5 — дйа$! 48.
Подставив в уравнения (56)—(60) значения постоянных ин-
тегрирования C'i и разделив левые и правые части полученных
уравнений на г, получим выражения для углов поворота Рф.
Для участка V уравнение будет наиболее общим, учитывающим
все указанные выше нагрузки. Углы поворота любого участка
можно найти, не учитывая члены уравнения, содержащие на-
грузку, действующую за пределами данного участка. Уравнение
для Рф будет иметь вид
Рф = М0Г/(1 + р) + /ПГффт + ЯгффР + + <7оТ51|’<№> (61)
где фф — функции безразмерного аргумента сц/г — приведены в табл. 6.
76
Таблица 6
Выражения для сопровождающих функций

77
Подставляя значения <р для участка V в. формулы (45), (46)
с учетом выражений для (см. табл. 6), получаем
Mr — Afo + mtyrrn + -РфгР + qr“^rq + qo^rq,', (62)
Mt = Mo tn^tm + P^tp + qr2^tq-\- q^tqo’ (63)
Значения функций и ф/i приведены в табл. 6.
Подставляя уравнения углов поворота ф( — <pv Б уравнения
прогибов для соответствующих участков, производим интегриро-
вание, а затем выравнивание произвольных постоянных интегри-
рования C'i по участкам и, выражая их через начальный пара-
метр — прогиб в центре пластины ш0, — получим для участка V
Dw = Dw0 4- г2 -j- тг2^,п -4- Pr2qwP -f- qr^wq + • (64)
Выражения для фшг- приведены в табл. 6.
Функции называемые С. Н. Соколовым сопровождающими,
легко подсчитывают для любых значений Л и представляют в виде
таблиц.
При расчете кольцевых пластин обобщенные уравнения изме-
няются за счет начальных параметров, причем члены, учитыва-
ющие влияния нагрузок, остаются без изменений.
В случае кольцевой пластины (рис. 62, б) необходимо рас-
смотреть сначала участок I.
Для участка I уравнение (53) примет вид
D т i (65)
После интегрирования и несложных преобразований получим
Dtp = Ayr/2 + By/r, (66)
где /Ij и By — постоянные.
Подставляя значение ф в уравнение (36) и интегрируя это
уравнение, найдем
Dw = Axr2/4 + In г + Су, (67)
где Cj — постоянная интегрирования.
На основании выражений (52) и (65) с учетом постоянного зна-
чения Ау на всем участке имеем
Л = (МГо + М?0)/(1+р).
Подставляя в уравнение (66) значения г =
чаем
(68)
Го И ф — ф0, полу-
Д = Офого - А^0/2. (69)
Решая уравнения (43) и (44) относительно ~~ и приравни-
вая их правые части, найдем
£)ф = (Mt - р.ЛД) г/(1 ~ и2), (70)
78
или для начального сечения (г = г0 и <р — <р0)
£<ро = (М/о - ИМ,0) г0/(1 - р2). (71)
Подставляя значения Аг и Dtp из уравнений (65) и (71) в урав-
нение (69), получаем
2
р -'W/o — Л4го-|-Л1/0 Гр /7о\
В1 = 1-р» г° - 1 + ^ ~Т• <72>
Величину С\ находим из уравнения (67), используя его для
начального сечения и подставляя в него значения и из
уравнений (68) и (72):
п п,„, мг0+м1й r20 iMt0-iMrGr20 Mra+Mi0
С1 = -----~ ------1+и--------2" 1п'«•
’ Z
Полученные из уравнений (68) и (69) значения Аг и Bi под-
ставляем в уравнение (66). Дифференцируем это уравнение по г.
Имея теперь выражения для <р и —и подставляя их в уравне-
ния (47) И (48), получаем в сокращенном виде
Мг — Л4гОфгг + М/оФгЛ (73)
Л4^ = Л4гОфгг 4-Л4/Оф«- (74)
Подставляя в уравнения (66) и (67) значения Д1, С1( по-
лучаем
П<р = М гОгффг + М ,огфф<; (75)
Dw = Dw0 + + М tor^wi. (7 6)
Таким образом, для кольцевой пластины уравнения (61)—(63)
примут вид (без учета нагрузки V участка)
Мг = Л1гОф„ + Л4/Офг/ н- /пфгот + РфгР 4- <7Г2ФГ?; (77)
Mt = Мгоф/г + №оф« + + Рф/р + qrtyt<f, (78)
Dq> = /Игогффг + Л4/Огфф/ + тг^т 4- РгффР + qr3^; (79)
Dw = Dw0 4- Мгог2фа,г + M/Qr2tywt + + Pr2tymP + qr^. (80)
Значения функций фЛ,., фг/, фр, фр, ффг и другие приведены
в работе [151.
Приведенные уравнения (77)—(80) для Mr, М(, Dtp и Dw
составлены для четырех участков. Если заданная нагрузка будет
действовать вплоть до края пластины (см. рис. 62), то вводя ком-
пенсирующую нагрузку обратного направления на интервале
г ~~ ^4, можно составить соответствующие уравнения и для уча-
стка V, которые будут аналогичны выражениям для участка IV.
Эти выражения в данном случае используют для нагрузки q
в заданном направлении на интервале г — а3 и обратном направле-
нии на интервале г — at.
79
*^2
Рис. 63. Схема к расчету приварен-
ного к наружному цилиндру дни-
ща с действующим на него осевым
усилием Р внутреннего цилиндра:
а — конструктивная; б — расчет-
ная; в — эпюра изгибающих мо-
ментов
При использовании вы-
веденных уравнений будем
считать, что моменты /Щ.
и Mt положительны, если
они вызывают растяжение
в нижней зоне пластины.
Если пластина имеет
ступенчатый профиль при
условии, что срединная
поверхность ее является
плоскостью симметрии, то
д) расчет ее производят как
круглой пластины, состоя-
щей из кольцевых участков, имеющих различную толщину, посто-
янную в пределах данного участка. При расчете необходимо исполь-
зовать уравнения совместности угловых перемещений (<р; — фг+1),
условия равновесия на радиусах сопряжения кольцевых пластин
различной толщины (ЛЦ = Л1Г (г-ю) и равенство прогибов
кольцевых участков пластин различной толщины на радиусах
их сопряжения = ш/+1).
Пример 1. Требуется определить угол поворота опорного сечения и наиболь-
шее нормальное напряжение для нагруженной распределенным моментом М
кольцевой пластины толщиною s, наружный радиус которой R и внутренний г0.
Уравнения (77)—(79) для данного случая при Мг0 = 0 примут вид
Мг— М(^гГ, D(f =
Для определения Mt используем условие, согласно которому Мг = М
при г ~ тогда
М = Mn^rt (ra/R),
откуда
.. М
10 ~ 'I’rz (ro/R)
Таким образом,
_ Af-фгг (г/Д) . „ _ (r/R) .
г ~ (ro/R) ’ ‘ ‘ Vrt (ro/R) ’
Пер = MR •
(ro/R)
Из табл, 6 имеем
(rl0R) = 0,5 (1 - Ц);
tyrt(r/R) = 0.5 (1 -X2);
(r/R) = 0,5 (1 + К2);
(ra/R) = {1/12 (I - р2)]) [(1 - р) + Xg (1 + р)],
где Л = r/R, Хо = r0/R.
80
Следовательно,
откуда
Мг = ЛГ(1 - Х2)/(1 - %2);
Mz = 7W(1+%2)/(1-X2);
Оф - MR -j-fj-Lpj- [(I -io + ’» (I + и>]-Щг1
* D(l -Xg) \ I +ц d 1 -Ц )
Наибольшие значения моментов
(4)max = ^(i-^)/(i-^o) =
(^)max = M ([ + !)/(! -^2) = 2M/(1 -д2)ф
На основании уравнения (46)
(Щ™х = 12Л4/Р2(1-^)]-
Пример. Требуется по данным Кошелева И. В. найти напряжения в плоском
днище, которое приварено к внешнему цилиндру. Днище воспринимает осевое
усилие от внутреннего цилиндра (рис. 63, а).
На рис. 63, б показана расчетная схема пластины. Давление на пластину
внтуреннего цилиндра обозначено через Р.
Используем для данного случая уравнения (62), (63) в виде
Мг = Л40 — Л40 ~ Рф/р.
Находим по табл. 6 формулы для сопровождающихся функций и подста-
вляем вместо Х2 отношение RjR — %2-
Для определения Мо используем условие Мг = 0 при г = 7?, тогда
Мо = Р/8л [(1 — р) (1 — ?ф — (I + Ю In Ml-
Подставляя выражение 7И0 и сопровождающие функции в уравнения для Мг
кМ(, получаем для участка между цилиндрами при Ri^ г R
Мг = Р
Mt = />[(( — (1) (1 _Х2) + ([ +.U) 1п^]/8л.
Для внутреннего участка можно применить те же уравнения, но исключив
вторые слагаемые правых частей равенств. На рис. 63, в построены эпюры из-
гибающих моментов. Как следует из этих эпюр, любое сечение внутреннего уча-
стка испытывает наибольшие напряжения, и для него справедливо следующее
равенство:
(^'Мшах — (^i)max = COHSt.
Наибольшие напряжения на этом участке
(°7)тах — dz*3P [(1 — р) (I — А,|) — (1 р) In 1/"4.
Расчет круглых пластин, подвергаемых растяжению
Круглые пластины, нагруженные распределенными симметрич-
ными нагрузками, действующими в плоскостях, параллельных
срединной плоскости, испытывают растяжение или сжатие.
81
Рис. 64. Схема к расчету радиальных переме-
щений пластин
Для определения радиального пе-
ремещения точки, отстоящей на рас-
стояние гот нейтральной поверхности
в направлении г (см. рис. 67), имеем
и|г = tg ср«<р и wraax/mIn = scp/2.
Выделим из пластинки, нагруженной только распределенным
моментом т, элементарный нижний слой (рис. 64). Нормальные
напряжения в этом слое на основании формул (49)
ог = ±6Mr/s2;
<jt = ±6AJz/s2.
В пределах малой толщины выделенного слоя эти напряжения
можно считать постоянными.
На основании формул (61)—(63), (77)—(79) получим следующие
выражения нормальных напряжений:
для сплошной пластины
ог -= <уа ф Од/ф,т; (81)
= о0 + M’/ml (82)
Еи/( 1 — р2) = о0г/( 1 - р) + (83)
для кольцевой пластины
ог = <т,оф„ -ф о/0фгг + о-Л,фгт; (84)
ог = ог0ф/г + 4- оЛ,ф/т; (85)
Еи/(1 — р2) = ал(/ффГ + (86)
где ад, = бпг/s2 — нормальное напряжение в элементарном нижнем слое от дей-
ствия распределенного момента т.
Если пластина подвергается осесимметричному растяжению
(сжатию), то вычисленные по приведенным формулам напряжения
и радиальные перемещения можно распространить на все слои
пластины независимо от координаты г.
Полученные выше выражения можно использовать для опре-
деления напряжений <зг и ot, если диск с отверстием подвергается
действию внутреннего давления р (внутренний радиус диска г0
и наружный R).
Для рассматриваемого случая уравнения. (84)—(85) примут
вид
ог = ог0ф,г + о/0фг/; (87)
О'/ = ог0ф/г + а/0Ф«- (88)
Величина ог0 известна — это внутреннее давление р. Для
нахождения неизвестного значения о/0 используем известное усло-
вие (стг)г=& — 0.
82
Тогда можно записать
О = ~ptyrr (r0/R) 4- 0/0%; (Го/R),
откуда
Ct, = P^rr (г0/R)/tyrt (r0/R).
(89)
Подставляя в уравнения (84)—(88) О/0 и значения сопровожда-
ющих функций из табл. 6, получаем
Найдем напряжения ст, и о/ и перемещение и в общем случае,
когда действуют внутреннее сжимающее давление р± и наружное
растягивающее р2.
При (or)r=r0 = — Pi и (<yr)r=R = рг уравнение (84) примет
вид
— P-i = — (Го/R) + tf/оФгг (r0/R),
откуда
Pltyrr (folR) — Рг
Фг/ {r^R)
(92)
Уравнение для определения перемещений будет иметь вид
£«/( 1 — |л2) = ог0гфФГ + o/0n|v
(93)
Подставляя в уравнения (84)—(85) и (93) <тг0 — ~Pi и получен-
ное значение о/0, а также выражения для сопровождающих функ-
ций из табл. 6, после преобразований получим
В толстостенном цилиндре, имеющем днища, которые воспри-
нимают внутреннее давление, появляется напряжение <т2. Однако
напряжения о, и ot в этом случае определяют по формулам, ана-
83
логичным формулам для дисков с отверстием. Наличие напря-
жения незначительно влияет лишь на радиальное перемещение:
, 1-ц ZVo + ₽2Ro , . 1-J-p (Pj+p2)K2^ 1 н
“ “ ~Е + ~~~V'
Для расчета пластин ступенчатого профиля и пластин со
сложным нагружением целесообразно применение ЭВМ.
§ 7. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Оболочкой называют тело, ограниченное двумя близкими
криволинейными поверхностями, расстояние между которыми
мало по сравнению с размерами самих поверхностей.
Преимущества оболочки как конструктивного элемента реали-
зуются в том случае, когда ее стенка работает на растяжение
(сжатие) в условиях безмоментного напряженного состояния
или состояния, близкого к безмоментному.
Безмоментная теория оболочек вращения
Безмоментное состояние оболочки конечной толщины суще-
ствует при следующих условиях: оболочка имеет плавную форму
без разрывного изменения радиусов кривизны; закрепление краев
оболочки не приводит к возникновению реактивных сил, имеющих
значительные поперечные составляющие, и реактивных моментов;
сосредоточенные силы или моменты отсутствуют, нагрузки яв-
ляются равномерными или плавно изменяющимися.
В местах резких переходов, жестких закреплений и контурных
нагружений возникают напряжения изгиба, иногда достигающие
больших значений, но имеющие явно выраженный локальный
характер. Вследствие последнего обстоятельства напряжения
изгиба в оболочках часто не учитывают, имея в виду, что местные
пластические деформации не снижают ее несущей способности.
Рис. 65. Схема к определению мембранных напряжений в оболочке:
а — оболочка; б — элемент стенки; в — часть оболочки
84
рис. 66» Схема действия усилий на элемент
оболочки
В зонах оболочки, удаленных
от точек приложения сосредото-
ченных сил и моментов или от
мест с нарушенной силовой или
геометрической непрерывностью,
напряжения точно можно опре-
делить по безмоментной теории.
По схеме расчета осесиммет-
ричной оболочки рассчитывают цилиндрические обечайки, сфе-
рические, эллиптические и конические днища емкостных и теп-
ловых аппаратов, обечаек и крышки роторов, центрифуг и сепа-
раторов и т. д.
Выделим из рассматриваемой оболочки (рис. 65) элемент по-
верхности двумя смежными меридиональными сечениями и двумя
сечениями, нормальными к меридиану. Обозначим радиусы кри-
визны дуги меридиана и сечения, перпендикулярного к дуге
меридиана, через рт и о(, толщину стенки через s и размеры
элемента в меридиональном и окружном (кольцевом) направлениях
через dsm и dst.
На гранях элемента возникают напряжения от и ot. Первое
напряжение от называют меридиональным напряжением. Второе
напряжение называют окружным напряжением. Напряжения
°т и ot, умноженные на соответствующие площади граней эле-
мента, дадут силы amsdst и <ytsdsm (рис. 66). Равнодействующая
этих сил (рис. 66) в направлении, нормальном к поверхности
элемента,
ab - be dOt = ог dsms dst!pt.
Равнодействующая усилий amdsts в направлении, нормальном
к поверхности элемента, будет omdstsdsnlpm.
Сумма этих равнодействующих уравновешивает силу, дей-
ствующую по нормали к поверхности элемента, приложенное
к элементу,
р ds. dsm = <ут dst dsms/pm о. dsm ds^s/p^
откуда
<WPm + Oj/pz Pls. (97)
Полученное уравнение (97) называют уравнением Лапласа.
Этого уравнения недостаточно для определения двух функций
напряжений и, и ст. Для получения второго уравнения отсечем
коническим нормальным к меридиану сечением часть оболочки
(см. рис. 65, в) и отбросим нижнюю часть. Действие отсеченных
стенок заменим действующими в меридиональном направлении
Упругими силами:
om2npzs (sin а)2 — рл (pz sin а)2 = 0.
(98)
85
Из уравнений (97) и (98) находим
°т = PPf/(2s); (99)
oz -= [ppz/(2s)j (2 - pz/p„,). (100)
Для цилиндрического сосуда р, = г (здесь г — радиус со-
суда), рт — оо. Следовательно,
от = pr/(2s); (101)
ot = pr/s. (102)
Для конического сосуда радиус кривизны окружного сечения
Pt — RK/cos а (здесь RK — радиус основания конической обо-
лочки; а — половина раствора конуса).
<Ут = p/?K(2scos а); (ЮЗ)
<7/ - p7?K/(scos а). (104)
Сопоставив полученные формулы, легко увидеть, что при оди-
наковом давлении, диаметрах сосудов и толщине стенок макси-
мальное нормальное напряжение сферической оболочки в 2 раза
меньше нормального напряжения цилиндрической, а конической
больше в 1/cos а.
Определим напряжения в эллиптическом днище. Пусть полу-
оси эллипса будут равны D/2 и И. Радиусы кривизны эллипсоида
в произвольной точке характеризуются уравнениями
= +ysin20)’/‘;
/?,= /?<,/(! 4-TSin20),/s,
где 0 — угол между нормалью и осью вращения; Ro = (P/2)j/" 1 -j-y — радиус
кривизны в вершине (при 0=0); у= ЦР/2)2 — Н'г}!№ — параметр, опре-
деляющий форму эллипса.
Подставляя значения рт и pz в уравнения (99, 100), получаем
рР (1 + у)1/д
4s (1 4-ysin20),/г
(Ю5)
с . (106)
4s (I-4-у sin2 0) z*
Определим радиальное перемещение образующей цилиндри-
ческой оболочки, находящейся под действием внутреннего да-
вления.
На основании обобщенного закона Гука относительное удли-
нение стенки в окружном направлении
Абсолютное удлинение радиуса оболочки
^2P=^r{ct~ \ют)1Е.
86
Подставляя в эту формулу ог из уравнения (101) и а1П из урав-
нения (Ю2), получаем для цилиндрической оболочки
б2рц = [prV(Es)] (1 -р/2).
Используя уравнения (99) и (100) и учитывая формулы (103)
и (104), получаем
для сферического сегмента
6Zf,c = [pp2/(2/Ts) ] (1 — ц) sin а; (107)
для конической оболочки
а2Рк = [р^/(£з)](1 -(Li/2)(l/sina), (108)
где й — половина угла раствора при вершине конической оболочки и кониче-
ской поверхности, ограничивающей сферический сегмент.
Значения углового перемещения краев цилиндрической и сфе-
рической оболочек равны нулю. Поворот образующей конической
оболочки приведем без вывода:
61Рк = — PRK cos 0/(2s sin213)£,
где ₽ — угол между образующей конуса и нормалью к его оси.
Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном
нагружении (моментная теория)
В местах сопряжения и закрепления оболочек, а также при-
ложения внешних окружных нагрузок возникают деформации
изгиба.
При соединении различных оболочек сваркой сопряжения
листов выполняют в стык. В местах сопряжения оболочек различ-
ной толщины или не имеющих общей касательной, также возни-
кает деформация изгиба.
Если материал является хрупким и нагрузки на оболочку
имеют циклический характер, то напряжения, обусловленные
этой деформацией, могут быть опасными, и их следует учитывать.
Следует иметь в виду, что при двухосном однозначном напря-
женном состоянии при отношении окружных и меридиональных
напряжений, близком к единице, возможно хрупкое разрушение
металла. Поэтому в каждом конкретном случае следует учитывать
местные напряжения изгиба и определять их возможное значение,
а также оценивать характер их влияния на конструкцию.
Для понимания характера работы симметричной оболочки
вращения под действием симметричных нагрузок нет необходи-
мости рассматривать разные типы оболочек. Достаточно рассмо-
треть работу длинной круговой цилиндрической оболочки, к краю
которой приложены равномерно распределенные изгибающие мо-
менты Мо и поперечные силы Qo (рис. 67), приходящиеся на еди-
ницу длины окружности срединной поверхности цилиндра.
Выделим из цилиндра полоску единичной ширины.
87
Рис. 67. Цилиндрическая оболочка, нагруженная распределенным изгибающим мо-
ментом к поперечной силой:
а — схема нагружения края оболочки; б — полоска, выделенная из цилиндра; в —
диаметральное сечение деформированной оболочки; г — схема действия усилий на се-
чение полоски
Обозначая через у радиальное перемещение полоски, найдем
относительную деформацию растяжения полоски в окружном
направлении:
г — [2л (г + у) — 2лг]/2лг = у/г.
Окружное напряжение в срединной поверхности
а = £е — Еу/г,
Е — модуль упругости при растяжении материала оболочки, Па.
Окружные растягивающие усилия Т\., приходящиеся на еди-
ницу длины полоски, имеют составляющую
T^^EysIr (109)
и составляющую, обусловленную наличием растягивающей осевой
силы Тх,
(ПО)
Равнодействующая этих усилий, направленная по радиусу,
R = 27ф/2 = <р (Eys/r + ц7\). (111)
Следует отметить, что фг = 1.
Из последнего уравнения следует, что равнодействующая
противодействует прогибу полоски и пропорциональна этому
прогибу. Так как соседние полоски препятствуют деформациям
изгиба боковых граней, жесткость каждой полоски при изгибе
будет больше жесткости обычной, свободно опертой балки.
| Относительное удлинение полоски при ее изгибе в направле-
нии оси цилиндра согласно обобщенному закону Гука
eme-(amo-a/o|x)/E,
в окружном направлении
е<о = (% “ <Wl)/£ “= °-
В этой формуле индекс 0 означает, что рассматриваются напря-
жения и относительные деформации, обусловленные только из-
88
гибом полоски. Удлинение ₽./, должно быть равно нулю, так как
перемещение в окружном направлении исключено из-за наличия
соседних полосок. Тогда
°7в = Н<Ч <112)
и, следовательно,
р — _ 1,2^ — gmo „ gnto
'то~ Е U ' > £7(1 — р2) — Е' ’
где Е' = £/(1 — р2).
Таким образом, изгиб полоски следует рассматривать как
изгиб свободной балки, но Е' > Е. Окружное напряжение
на боковых гранях полоски согласно уравнению (112) состав-
ляет около 30 % напряжений^ит„ (для стали) и имеет тот же
знак.
Из курса сопротивления материалов известно дифференциаль-
ное уравнение, связывающее прогиб балки и распределенную
нагрузку,
EJdty/dx* = q (%). (113)
Это уравнение можно применить и для изгиба полоски, вы-
деленной из цилиндрической оболочки. Силой, действующей
на полоску, будет непрерывно распределенная сила сопротивления
7? со стороны соседних полосок при давлении внутри оболочки р
и усилии рсрг. Подставляя в уравнение (113) вместо q (х) значе-
ние R и вместо модуля упругости при растяжении Е величину Е',
получаем
E'J&yldx* = —R =- — [Eys/r2 + (p7\/r) — р].
Знак минус в правой части равенства указывает на то, что
направление силы сопротивления R противоположно направле-
нию прогиба полоски.
Подставляя в последнее уравнение значения Е' и R из урав-
нения (111) и учитывая, что J — s3/12; D = 8) > полу-
чаем
Ddiy!dxi = —Eyslr2 — yTjr + p, (114)
где D £s2/[12 (1 ---p2)l (115)
цилиндрическая жесткость оболочки при изгибе.
Уравнение (114) можно записать в следующем виде:
^У. ' JL (116)
dxi т У rD -f- D ,
где р = j/[3(l -p2)]/(rss2) (117)
Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения
(116). Решение уравнения представим в виде суммы общего реше-
ния однородного уравнения:
>+4^-0, (И»)
и частного решения с правой частью уравнения (116).
89
Решение однородного уравнения (118) имеет вид
/т Ал?
у = Се •
Подставляя это выражение в левую часть уравнения (118),
найдем характеристическое уравнение
А4 + 4₽4 = О,
откуда
= у/--4[34.
Используя правила извлечения корней из отрицательных
и мнимых чисел, находим модуль числа k:
|fe| =/4^.
Аргумент числа k будет равен аргументу подкоренного числа,
деленному на показатель корня, т. е. (л + 2лл)/4. Таким образом,
k является комплексным числом:
, 4/7тм/Л я + 2да , . л4-2лп\
k - - у 404 (cos —----i sin —-----),
Заменяя п значениями 0; 1; 2; 3, находим четыре корня харак-
теристического уравнения:
#1 ~ Р + Рг> ^2 ~ 4"
ka — —[3 — ₽i; - Р — [31.
Тогда общее решение однородного уравнения (118) примет вид
у _ С,.****» ' + сЛ’+14 ' + + С,еМ>'
или
у ~ е“^ (Сае£&х + С3е-''&х) + е₽х ((^е^ + С^х), (119)
где Ci, С2, Са, С4 — постоянные интегрирования, являющиеся комплексными
величинами.
Закон распределения поверхностных нагрузок р и Тх опре-
деляет частное решение уравнения (116).
В практике поверхностные нагрузки чаще всего постоянны,
иногда изменяются по линейному или квадратичному закону.
Тогда для у получим следующее выражение:
»-v(-’^+-§-) = (',-eT')-s-- <120>
Выражение (119), представляющее собой общее решение урав-
нения (118), не очень удобно для практического использования.
Для определения постоянных интегрирования необходимо исполь-
зовать граничные условия на краях оболочки. При жестко за-
деланном крае необходимо соблюдать следующие условия: у — 0
и dyldx — 0 (рис. 68, а).
90
Рис. 68. Опирание и сопряжение краев оболочек
При шарнирном опирании края оболочки (рис. 68, б) у — О
и d2y!dx2 = 0 (так как Мх = 0).
Если край оболочки нагружен заданными силой Qtl и момен-
том Мо (рис. 68, г), то исходя из уравнения для балки
d2yldx2 = M/EJ, (121)
для оболочки напишем
Dd2y!dx2 = Мй\ Dd?y!dx2 = ф0. (122)
При сопряжении цилиндрической оболочки с оболочками дру-
гих типов (рис. 68, д, е, ж) для каждого края сопрягаемых оболо-
чек необходимо выполнить по два условия: равенство радиальных
перемещений у или равенство окружных деформаций; равенство
углов поворота нормали <р; равенство моментов /VI m и Л40; равен-
ство составляющих внутренних сил
(— Тт cos 0 + Q sin 9)да = QOl(,
где Тт — меридиональная сила; Q04 — краевая сила.
При сопряжении цилиндрической оболочки с плоским днищем
(рис. 68, ж) граничные условия упрощаются, вследствие допуще-
ния о нерастяжимости срединной поверхности пластины. Первое
Условие сопряжения принимает вид у0 = 0.
Рассмотрим расчет длинных цилиндрических оболочек.
На основании формул Эйлера показательные функции можно
заменить на тригонометрические:
е2Ф = cos <р + i sin <р; е~‘9 — cos ср — i sin <р.
Тогда выражение (119) можно записать в следующем виде:
у = (Л1 sin рл; + А2 cos ₽х) +
4- (Л3 sin + Л4 cos ₽.т) 4- у,
г-Ге Д2; да< — новые постоянные интегрирования, являющиеся действи-
тельными величинами.
91
Рис. 69. Сопряжение цилиндрической
оболочки с плоским массивным дни-
щем:
а — схема цилиндра с днищем; б
эпюра прогибов; в — эпюра и т
х t
У начала координат вто-
рым слагаемым можно пре-
небречь, так как постоянные
А3 и Ai Должны быть очень
малы, иначе с увеличением х
будут неограниченно возра-
стать перемещения у. Следо-
вательно,
у = е-6* (Аг sin р.г +
+ Л2 cos flx) + у, (123)
где Я1 и Ла — постоянные интег-
рирования, определяемые по гра-
ничным условиям при х — 0.
Для определения длины I
оболочки, при которой ее
jr 6)

2,51-10'^
можно рассматривать как длинную оболочку, примем допустимую
погрешность расчета, равную 5 %. Учитывая, что функции типа
sjn и е-₽х cos рХ) а также их производные при [Зт > 3
принимают значения, меньшие 0,05, приходим к выводу, что
оболочку возможно рассматривать в качестве длинной оболочки,
если р/ 3s 3 или I 2,5 |/ rh.
При проведении расчетов длинных цилиндрических оболочек
целесообразно постоянные интегрирования выражать через не-
которые начальные параметры.
Рассчитаем длинную цилиндрическую оболочку, нагруженную
внутренним давлением р, краевыми заданными моментом Л1о
и силой Qn, величина Тх является постоянной величиной и не
зависит от х.
Граничные условия;
х — 0; d2y/dx2 = Ma/D;
х =-- 0; dsytdx3 = Qo/D,
Используя уравнение (123), по граничным условиям опре-
деляем постоянные интегрирования
А = -М0/(2Р₽а);, А2 = Л40/(2ОД + Q0/(2Pp3).
Тогда уравнение радиальных перемещений будет иметь вид
У = е~ <cos ~ sin + 2Дрз е cos 0х + у- <124)
92
Используя уравнения (123) и (124), находим угол наклона
нормали ф и внутренние нагрузки 714х, Mt, Tt:
Ф == cos ₽х - е4* (cos ₽х + sin рх); (125)
Мх = D S (cos 0х + sin 0х) + Т е’ Sin (126)
Му = рМ/, (127)
Q = D g = - 2 М^е4* sin рх + Qoe-P* (cos рх - sin рх) + D.g;
(128)
Tt = + рТх = 2гр2 [Moe“p¥ (cospx - sin рх) 4-
+ е4 х cos рх j + pj. (129)
Пример [8]. Определить напряжения и деформации в тонкостенном цилин-
дре с массивным днищем при действии внутреннего давления р (рис. 69, а).
Граничные условия для жестко заделанного края оболочки
(у).<=о = 0; (d(//dx)x=o = 0-
Осевое усилие определяем из условия
—Тх2лг + рпг? = 0,
откуда
Тх = рг/2.
Учитывая граничные условия и используя уравнения (124) и (125), получ, ем
два уравнения:
А1° г 1 ( пг _ ,, PL\ - О'
2РР2 1 2DP 4 V 1 2 ) Es ~и’
М» Qo _ л
Е>Р 2£>₽« ~ U’
решив которые найдем
*“'2?(1-4); Q. = -f(i--£-) U30)
Из уравнений (124), (126), (129) и (130) находим
- Н/2)[1 - е-^(sinрх +cospx)}; (131)
Мх = 2p" (1 ~ (C0S РХ ~ 51П ^Х)’ = ^Л ’ (132)
Tt = pr [I — (1 — |х/2)е-(sinрхcosрх)1 • (133)
93
Рис. 70. Сопряжение цилиндрической оболочки с немассивным плоским днищем:
G — расчетная схема; б — нагрузки в сопряжении
На рис. 69, б, в показаны эпюры у, Мх и Tf, построенные при г — 100s;
р — 0,3 и
0 = ^[3(i —= 12,85 1/г.
Находим усилия и напряжения растяжению, возникающие в месте жестко
заделанного края оболочки,
Тх = 5> 103ps Н/м; Tt = 1,5- 10> Н/м;
?= 1,54/э + 0,5р = 2,О4р МПа;
<т( = —к + ~ = 0,46р 4- 0,15р = 0,61 МПа;
оэкв = [(°х “ °/)I 2 + - °/)2 + (°г ~ °2)) = 1-82Р МПа.
Пример [8]. Определить напряжения в цилиндре, рассмотренном в преды-
дущем примере в предположении, что дншце имеет толщину, соизмеримую с тол-
щиной стенки цилиндра.
Мысленно отделяем днище от цилиндра (рис. 70) и принимаем точку пере-
сечения О срединных поверхностей за точку сопряжения.
Условие совместности деформаций цилиндра и днища следующие:
(ФоЦ)ж=о = - (Фо); ^=о==°- 034)
На рис. 70 указаны принятые за положительные направления отсчета углов.
Перемещения цилиндра на основании уравнений (124) и (125)
(м _ _(И«_ + + I [______Н \ РГ2 .
- 2BS02 2О(Зэ \ 2 / Es ’
I , __ 44о Qo
(Фоц)л=о - др 2Рр2 ’
Угол поворота нормали края днища определяем, как и в примере на с. 80
Фоди= р1{/+и) (^--Л4о)-
94
Уравнения совместности деформаций после подстановки в них значений пере-
мещений примут вид
_М0_ Qt_ /_____________(£\_Р± = ().
2D02 2003 2 ) Es
/Ио Qo Mor рг*
Dp 2Dp* ~ DiU + Ю Wl+pi)-
При числовых значениях s= 1 см; s— 4 см; г= 100 см; р. = 0,3; Е =
-= 2-105 МПа получаем
Р у/ = 1,285- КГ’ 1/м;
Езя
D = -T5VT-----Н- = °’1832-i0’ Н “!
12(1— р“)
Di = 64D;
Л10 = 31,2- 10"3/v5 Н-м/м;
Qo= —43,5рг Н/м.
При абсолютно жестком днище М,\ = 2,57-10"3/х2 Н-м/м.
На рис. 71 приведены эпюры изгибающих моментов. Максимальные напря-
жения в центре днища
0,175рг26 егс МГ1
оу — ot =-----т---= 6,56/5 МПа.
S1
Максимальные напряжения в цилиндре около края
ох =, 4. <3123-1?У-1 e о,5р 4- 18,72р — 19,22р МПа;
<jt = it 4- 2,03-12^f2-£ = 0,15р 4- 5,62р = 5,77р МПа.
Для решения практических задач найдем перемещения края
Длинной цилиндрической оболочки под действием распределенных
единичных сил и моментов. Обо-
значим через 6П и 612 углы пово-
рота края оболочки от действия
единичных изгибающего момента
и поперечной силы в направлении
Действия изгибающего момента;
через 622 и б»1 перемещения края
оболочки от действия единичных
момента и силы в направлении
Действия поперечной силы.
еис. 71. эпюра изгибающих моментов в дни-
и цилиндре сосуда
95
Таблица 7
Значения единичных перемещений для непологих оболочек ср > 30°
Пара- метр Цилиндр Конус /> .. п Усеченный конус \И X Мо Мс Оа Сфера 0
Ч 1
Радиус кривиз- ны Г *0 Rc
а 1 sin ф sin ф sin ф
ь 1 sin ф sin ф sin ф
Используя уравнения (124) и (125), для длинной цилинд-
рической оболочки получаем
^ll ~ "fJD~ ’ ®12 = = 2(32П ~ 20 ’ (^5)
622 = ё12/|3 = бп/2Р; 0 = ^3(1-^)/^.
Применение моментной теории к расчету сферических
и конических оболочек
Выше было рассмотрено решение краевой задачи для цилин-
дрической оболочки с постоянной толщиной стенки. Точные
решения краевой задачи для оболочек вращения, имеющих дру-
гую форму, представляются весьма сложными. Для сферической
оболочки задача решается с помощью гипергеометрических рядов,
которые крайне медленно сходятся, причем значения первых
членов значительно превос-
ходят полное суммарное зна-
чение членов всего ряда.
Существуют строгие до-
казательства большого сход-
ства решений краевой задачи
любой непологой оболочки
вращения (если половина
Рис, 72. Схема конической оболочки
96
центрального угла конического сечения оболочки лежит в пре-
делах 30—90°) с решениями краевой задачи цилиндрической
оболочки. На этом основан приближенный метод решения краевой
задачи П. Л. Пастернака для непологих оболочек вращения.
Полученные им результаты для непологой сферической оболочки
приведены в следующих формулах для единичных перемещений:
6П == 1/рО; 612 = ба1 = 6иа/2р;
б22 = б12^/р -- биа&/2р2, (136)
где Р = у , при р -= 0,3
р- 1,285//^/?; D = £s3/[12(l — р2)],
при р = 0,3 D — £s/10,92
[здесь Rc, а, b — радиусы кривизны (табл. 7); s — толщина стенки оболочки].
Для пологих сферических оболочек при определении единич-
ных перемещений края оболочки следует вводить следующую
поправку:
вцнс = бис/^ 11 ^12нс — б22цс — ^ггс^р
где Fj =-^(0,5-p)ctg<₽; И7г= 1 - 0,5 ^-ctgcp.
В общем случае методы расчета конических оболочек, учиты-
вающие возникающие в их поперечных и продольных сечениях
изгибающие моменты, являются сложными и трудоемкими.
Для широкого края конической оболочки можно достаточно
просто получить перемещения 6цк, бщк и б^к, если приложен-
ную к краю силу Н спроектировать на нормаль п — п к обра-
зующей конической оболочки (рис. 72). Приняв Н — 1Н и исполь-
зуя формулы (136), получаем
с 1 с s _ sin ф ___________ 611К Sin ф
11К -= ’ °12К - О21К - ;
д _ sin2 <р _ бхзк sin <р _6цк51п2ф
V—
где — характеристика конической оболочки;
д 4 / 3(1—р3) . „ 1,285.
’ п₽ (37)
Вк — цилиндрическая жесткость оболочки;
£s3 Es5
DK = [2 (1 — р3) ’ ПРИ ~ Dr ~ 1 оэ92 ‘ (1'38)
Полученные формулы справедливы для конических оболочек,
когда угол ср не слишком мал, так как при вычислениях по при-
веденным формулам допускается погрешность порядка l/'s/Rctgq>
4 Соколов В. И. 97
по сравнению с единицей. В тех случаях, когда угол мал
погрешность выходит за допустимые пределы, необходимо вво-
дить поправку для оболочек 6[)к = 8и/х\.
Определение напряжений на краю конической оболочки произ-
водят несколько иначе, чем для цилиндрической оболочки [38].
Спроектируем силу И, действующую в направлении радиуса
в нормальной к оси оболочки плоскости, на направление обра-
зующей конической оболочки (см. рис. 72):
Н cos ф = 7\. (139)
Полное краевое меридиональное напряжение
оу1 = TJs ± 6Л10/$2, (140)
где Л10 — распределенный изгибающий момент, приложенный к краю оболочки.
Для определения полных окружных напряжений на край
конических оболочек необходимо определить боковые усилия Т21
Эти усилия приближенно могут быть найдены так же, кая
и усилия для цилиндрической оболочки. “
Как следует из уравнения (109), окружное усилие на краю
Т2 = Eysfr. (141)'
Прогиб на краю оболочки
Используя последнее выражение и формулу (141), имеем
В случае пологих конусов, т. е. когда угол <р мал, в это урав-
нение вводят поправку v2;
= + (ИЗ)
где = 1 — 0,195 |Лs/p ctg <р.
Окружной момент М2 на краю для конических оболочек
у/, (144)
где vx == 1 + 0,195 J/"s/p (4 — ц) ctg <p.
Полное краевое окружное напряжение в случае конических
оболочек
Для усеченного края меньшего основания конической обо-
лочки усилия 7\ и Тг определяют ио формулам (139) и (142), а мо-
мент М2 по следующему уравнению:
рЛ4й — 0,272s cos <pn/v3, (146)
где v3 = 1 — 0,195 Кs/p( 1 — p)ctg <р.
98

§ 8. ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Основные понятия
Процесс изменения параметра, который характеризуется
многократным поочередным возрастанием и убыванием во вре-
мени, называют колебательным процессом, или колебаниями,
а соответствующий параметр — колеблющейся величиной.
Колебательные процессы, происходящие в механических си-
стемах, называют механическими колебаниями. Последние и пред-
ставляют интерес при расчетах и конструировании машин пище-
вых и смежных производств. В тех случаях, когда колебания
имеют относительно малую амплитуду и не слишком низкую ча-
стоту, применяют термин «вибрация», являющийся почти синони-
мом терминов «механические колебания» или «колебания механи-
ческой системы».
Совокупность методов и средств для уменьшения вредного
воздействия вибрации, воспринимаемой защищаемыми объектами,
называют вибрационной защитой. Совокупность технологических
приемов, основанных на целенаправленном использовании вибра-
ции, называется виброобработкой, а использование вибрации
для перемещения материалов называется вибротранспортирова-
нием [13). Для обеспечения способности технологического обору-
дования выполнять свои функции, а также сохранять прочность
в условиях вибрации необходимы расчеты на виброустойчивость
и вибропрочиость.
Одним из основных признаков колебательной системы является
число степеней свободы системы, т. е. число независимых число-
вых параметров, однозначно определяющих конфигурацию си-
стемы в любой фиксированный момент времени t. Для механи-
ческой системы под конфигурацией понимают положение всех
точек системы в пространстве. ► •
Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней
свободы. В последнем случае множество степеней свободы может
быть либо счетным либо континуальным (распределенные ^си-
стемы) .
Если в реальной системе заменить распределенную массу
конечным числом сосредоточенных масс, то будем иметь систему
с конечным числом степеней свободы. Если полная механическая
энергия системы при колебаниях остается постоянной, то систему
называют консервативной. В противоположном случае системы
являются неконсервативными. Частным случаем последних яв
ляются диссипативные системы, когда полная механическая
энергия при любом движении автономной системы (системы, в ко
торых колебания происходят за счет энергии внутренних источ-
ник* >в либо сообщений при начальном возмущении) уменьшается.
Механические колебания принято классифицировать на сле-
дующие типы колебаний: собственные, вынужденные, параметри-
ческие и автоколебания.
4*
99
Рис. 73, Круговая диаграмма:
а — схема; б —амплитуда колебаний
и фаза ф
Собственными (или сво-
бодными) называют колеба-
ния, возникающие в изоли-
рованной системе вследствие
внешнего возбуждения, вы-
зывающего у точек системы
начальные отклонения от положения равновесия, продолжаю-
щиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил,
восстанавливающих равновесие.
Вынужденными называют колебания, которые происходят под
действием заданных внешних периодических сил, которые дей-
ствуют независимо от колебаний в системе. Характер процесса
зависит не только от свойств системы, но и в большей степени от
внешней силы.
Параметрические колебания отличаются от вынужденных ха-
рактером внешнего воздействия. Они вызываются периодическим
изменением извне какого-либо физического параметра системы
(например, массы), однако при вынужденных колебаниях зада-
на сила или какая-либо другая величина, совершающая ко-
лебания, а параметры системы остаются постоянными.
Автоколебаниями (или самовозбуждающимися колебаниями)
называют колебания, происходящие от входящего в систему
источника энергии неколебательной природы. В системе отсут-
ствуют внешние периодические воздействия.
Классификацию колебаний принято также проводить по виду
деформаций упругих элементов. Например, различают продольные,
поперечные и крутильные колебания.
Если любые значения колеблющейся величины повторяются
через равные промежутки времени, то их называют периодиче-
скими. Простейшими периодическими колебаниями являются
гармонические колебания, описываемые уравнением
и (t) = A sin (at + <р),
(147)
где А — амплитуда колебаний; <в = 2.ч/Г — угловая (циклическая частота ко-
лебаний), (здесь Т — период колебаний, т. е. время одного цикла); <р—
начальная фаза; t — текущее время.
Величину, обратную периоду колебаний, называют частотой
колебаний
/ = 1/7.
Частота колебаний измеряется в герцах (I гЦ соответствует
одному циклу изменения величины за 1 с).
Гармонические колебания можно графически представить с по-
мощью круговой диаграммы (рис. 73, с). В данном случае с по-
стоянной угловой скоростью W вращается на плоскости вектор
100
длиной А. Угол <р характеризует начальное положение вектора.
Проекция вектора на ось ординат характеризуется уравнением
(147)-
При гармонических колебаниях скорость и ускорение изме-
няются также по гармоническому закону:
п ~ — соЛ cos («^ <г); (148)
ад ——со2A sin (at -ф- ср), (149)
Амплитуда скорости равна соЛ, амплитуда ускорения сА4.
В технической литературе и, v и w называют соответственно
виброперемещением, виброскоростью и виброускорением.
Уравнение (147) часто используют в следующем виде:
и (/) = Л cos (at + ср), (150)
где ф = ф---g---начальная фаза.
При сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми
частотами получим колебания той же частоты
Аг cos at + Л2 cos + ф] = Л cos (at 4- у),
где At и Л2—амплитуды колебаний соответственно первой и второй систем;
у — фаза результирующих колебаний.
Амплитуду Л и фазу у результирующих колебаний можно
получить с помощью круговой диаграммы (рис. 73, б)
А — ] А7 -(- Л2 • (- 2Л1Л2 cos ф;
® У “ Al + As cos ф
Свободные колебания
В теории колебаний широко применяют уравнение Лагранжа,
которое является наиболее общей формой дифференциальных
Уравнений движения. Данное уравнение основывается на прин-
ципе наименьшего действия, согласно которому при колебаниях
системы разность средней кинетической энергии и средней потен-
циальной энергии достигает наименьшего значения на той траек-
тории, по которой в действительности будет происходить движение
системы от одного положения к другому.
Введем понятие обобщенных координат, под которыми будем
подразумевать независимые величины, задавая которые можно
полностью определить положение системы.
101
назность кинетической и потенциальной энергий, выраженная
через обобщенные координаты, называется функцией Лагранжа:
L(q, q, t) — T — U, (151)
где q — обобщенная координата; t— время; Т, U — кинетическая и потен-
циальная энергия системы.
Для нахождения траектории колеблющейся системы требуется
найти минимум следующего выражения:
^2
J — | L (q, q, i) dt.
Рассмотрим движение системы за время t. В каждый момент
времени при истинном движении удовлетворяются уравнения
движения и уравнения связей. Наряду с истинным движением
рассмотрим совокупность бесконечно близких движений, для
которых уравнения связей удовлетворяются благодаря выбору
обобщенных координат, а уравнения движения не удовлетво-
ряются. Соответствующие приращения обобщенных координат
будем называть вариациями обобщенных координат и обозначать
через б^, ..., 6qn [52]. На концах временного отрезка (4, 4)
движение варьировать не^будем, т. е. в моменты времени 4 и 4
б<7,- = 0.
При варьировании траектории q (/) интеграл, обозначенный
через J, будет изменять свои значения; его вариация
Будем считать вариации обобщенных координат функциями
времени, за исключением моментов времени 4 и 4- Тогда
б^ = л (/) и 6J= J т)(0 +— т)(/)] dt.
t,
Интегрируя второй член выражения в квадратных скобках
по частям и учитывая, что т) (4) = г] (4) =- 0, находим
или
Необходимым условием экстремума J является 8J = 0. В ва-
риационном исчислении доказывается (основная лемма), что это
102
условие достигается, если выражение в квадратных скобках в по-
следнем уравнении будет
<152)
dq dt \ dq / '
Полученное выражение в рассматриваемом случае является
уравнением Лагранжа,
Для консервативной системы с учетом выражения (151) уравне-
ние Лагранжа примет вид
(153)
dt \ dq / dq dq ' '
Считая перемещения q малыми, выражение для кинетической
энергии одной материальной точки будет иметь вид
T=-^-aq2. (154)
Входящий в это выражение множитель а называют инерцион-
ным коэффициентом (иногда его называют обобщенной или при-
веденной массой).
При линейных упругих характеристиках механических систем
потенциальная энергия при малых перемещениях
U =cq‘42, (155)
где с — обобщенный коэффициент жесткости или квазиупругий коэффициент.
Подставляя в уравнение Лагранжа (152) выражения для кине-
тической и потенциальной энергий из выражений (154) и (155),
получаем основное дифференциальное уравнение свободных коле-
баний
aq -j- cq ~ 0 (156)
В зависимости от вида механической системы можно получить
последнее дифференциальное уравнение другим путем, который
иногда может быть более удобным.
Уравнение (156) представим в следующем виде:
7-|-co2V-0, (157)
где ад — постоянная, зависящая от свойств системы,
а =]/с/т (158)
(здесь tn — масса системы).
Решение последнего уравнения
q Ci sin at + С.> cos at,
гДе Cj и C2 — постоянные интегрирования.
Данное выражение можно представить в виде
q = A sin (at + <р0). (159)
103
Рис. 74. Колебательная система:
« с последовательным соедине-
нием элементов; б — с параллель-
ным; в — с параллельно-последо-
нательным
Рис. 75. Схема к определению при-
веденной жесткости пружин
Из начальных условий находим постоянные = vjp-, С2 == q0,
в результате
q = (/о cos со/ 4- у-sin <&t-
Из тех же начальных условий
<4 У<7о + «о/“2;
Фо = arctg Wo/t’o,
где А ~ амплитуда колебаний; ф0 — начальная фаза.
Как следует из уравнения (159), движение является гармони-
ческими колебаниями. Колебательный процесс периодически во-
зобновляется, когда аргумент u>t -у ф0 (фаза) увеличивается па 2л:
(nt + Фо + 2л — со (t + Т) + фр,
откуда Т = 2л!р. Следовательно, в единицу времени число коле-
баний
f = ЦТ =<о./(2л).
Таким образом, со 2л/. Следовательно, со есть число колеба-
ний в течение 2л секунд. Эту постоянную называют угловой часто-
той свободных колебаний, или частотой свободных колебаний, или
собственной частотой.
Вопрос об эквивалентных или приведенных значениях масс и
коэффициентов жесткости колеблющихся систем возникает в сле-
дующих случаях: при определении жесткости последовательно
или параллельно соединенной группы упругих элементов при при-
ведении массы и жесткости элементов системы к определенным
элементам или точкам без изменения расчетной модели; при при-
ведении параметров, что связано с упрощением расчетной модели
иногда весьма грубым приближением.
Суммарная жесткость с параллельной группы упругих эле-
ментов (см. рис. 74, б) равна сумме жесткостей составляющих ее
элементов:
с
i=i
104
Рис. 76. Колебательная систе
ма масс - пружина
Суммарная гибкость
] х последовательной
группы упругих эле-
ментов (рис. 74, а) равна
сумме гибкостей l/ct
входящих в нее эле-
ментов:
1/с = У 1/сг.
1=1
Найдем приведен-
ную жесткость с„р пружины, устанавливаемой на конце кон-
соли балки (рис. 75) так, чтобы действие данной пружины было
равноценно действию действительно установленной пружины
жесткостью су. Балка <3 совершает малые колебания вокруг шар-
нира 1 141.
Для обеспечения равенства собственных частот действительной
и приведенной систем должно иметь место равенство потенциаль-
ной энергии деформации пружин при допускаемом связями (шар-
нирном) перемещении балки:
суху/2 -= сПр^р/2,
где ху, ХцР — деформации действительной и приведенной массы пружины при
малом повороте балки.
Так как ху/хпр = /у//пр, находим спр =-су1у/1пр-
При приведении точечной массы ту, находящейся в точке 2,
к точке 4 равенство собственных частот действительной и приве-
денной систем обеспечивается при равенстве кинетической энер-
гии:
ШуХу/2 — ШпрХпр/2,
откуда
^пр '--- 771у/у//др
Пример. Требуется привести к массе т массу инерционных элементов и
к жесткости пружины с, все упругие элементы, а также определить частоту соб-
ственных колебаний системы.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы (рис. 76). В зацеплении
находятся зубчатая рейка 1, шестерни 2, 3, 4 и зубчатая рейка 5, опирающаяся
на рычаг 6. Шестерни и шарнир рычага 6 имеют неподвижные оси и угловые
Упругие элементы. Рычаг 6 и рейка 7 оперты на пружины.
Обозначим через xi, <р, линейные и угловые сдвиги элементов при малом
перемещении системы, тогда
I I = >21 ФгI == Л» I Фз I = | ф41 --= | I = 4 I Фе I-
105
Суммарная кинетическая энергия системы
тлрЛ1 _ т1*1 . , J$3 , ЛФ4 . тз*1 , ^бФб , т61т^б
2 —' 2^2' 2'2 ‘ 2 “** 2 ' 2 ’
откуда
mnP — mt + т5 4- тн 4- ~ 4- 4- А 4- А
6 Г2 'з г4 *6
пр*1 _ СР
2 “ 2
Суммарная потенциальная энергия системы
s2<f2 , 53(РЗ , S4<P4 , Сб'еФб
2 "г 2 ‘ 2 + 2
где s2, s3, s4 — угловые жесткости соответствующих элементов.
Откуда (4]
/2
Опр - С14- с6 -у 4- -у 4- —2- 4- •
*6 г2 г3
Частоту собственных колебаний системы определяют по уравнению (158).
Свободные колебания при наличии сил сопротивления
жидкости
Если учесть силы вязкого сопротивления, то дифференциальное
уравнение движения груза будет иметь вид
— сх — Ьх — тх
или
х 4- 2их -4 (о2х = 0, (160)
где = п — коэффициент демпфирования; w=prc/m — собственная ча-
стота соответствующей консервативной системы.
Обычно при неравенстве ®2 > п2 общее решение уравнения
(160) имеет вид
х — ae~ni sin (l/a2 — пЧ 4- <р0)- (161)
Из полученного уравнения видим затухающий характер про-
цесса. Постоянные а и <р0 находят из начальных условий.
Из последнего выражения видно, что частота колебаний
<о' = у й)2 — п2.
Эта величина мало отличается от частоты незатухающих колеба-
ний той же системы, но лишенной демпфирования.
Решение уравнения (160) может иметь вид
х — e~ni (Су COSwV 4“ С2 sin a>'xt). (162)
Постоянные интегрирования Сг и С2 находят из начальных ус-
ловий задачи.
106
рис. 77- Схема мешалки
Пример [57]. Требуется определить зависи-
мость частоты крутильных колебаний вала мешалки
от вязкости жидкости, а также продолжительность
времени, за которое амплитуда колебаний вала
мешалки уменьшится в 10 раз после мгновенной
остановки электродвигателя, если угловая ско-
рость при равномерном вращении вала перед оста-
новкой составляла Q. Массой вала по сравнению
с массой лопастей можно пренебречь. Момент
инерции массы лопастей J — 0,5 кг-м2. Диаметр
вала d = 0,005 м, длина вала 0,5 м. Коэффициент
момента при наличии сил вязкого сопротивле
ния движению лопастей а = 1,2 Н-м-с, Коэффи-
циенты уравнения (160): л = 1,2/2-0,5 = 1,21; со2
= 4,43 с-1, ю'= l/4,432 — 1,22 — 4,25е~1 (рис. 77). Тогда решение уравнения
свободных колебаний (162) будет иметь вид
ф = е 1,2< (Ci cos 4,25/ + С-2 sin 4,25/).
Из начальных условий определяем постоянные интегрирования С± и С2
при / = 0 ф = фо (фо — угол скручивания вала при его равномерном вращении)
<р = 0.
При равномерном вращении вала с угловой скоростью £1 угол скручивания
ф0 = —ай/с.
Исходя из начальных условий имеем С2 = 0; Cj = —ай/с.
Тогда уравнение движения примет вид
Ф = - ) е~1,я cos 4,25/.
Время /', в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз,
определим из условия е-1,2*' = 0,1. Откуда / = 1,9 с.
В качестве примера колебаний с затуханием можно привести
систему, груз и пружина которой снабжены демпфирующим уст-
ройством, представляющим собой жестко скрепленный с грузом
диск, помещенный в сосуд с жидкостью.
После каждого периода колебаний Т амплитуда колебаний
уменьшается в отношении
e~nt _ е«/
e-n(t+T) с •
Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, следующих
Друг за другом через период, называется логарифмическим декре-
ментом затухания:
X = 1пе^ nt.
Логарифмический декремент затухания употребляется в каче-
стве параметра, характеризующего затухание колебаний.
Показатель затухания п характеризует затухание колебаний
в единицу времени, а логарифмический декремент — затухание
колебаний за один период.
107
К затухающим колебаниям неприменимы термины «амплитуда»
и «период». Эти термины имеют определенный смысл для гармони-
ческих колебаний, которыми не являются колебания с затуха-
нием. В последнем случае под амплитудами обычно понимают наи-
большие значения, которых достигает соответствующая величина
(смещение, скорость, ускорение) в течение условного периода за-
тухающих колебаний. Под последним принято понимать время,
за которое отклонения в одну и ту же сторону дважды достигают
максимальных значений. Процесс колебаний с затуханием не
является периодическим, так как через одинаковые промежутки
времени не повторяется предыдущее состояние системы.
Вынужденные колебания
Часто колебательная система совершает колебания под дейст-
вием некоторой переменной во времени вынуждающей внешней
силы. В этом случае, очевидно, частота колебаний будет зависить
от частоты изменений вынуждающей силы. Такие колебания, свя-
занные с действием вынуждающих сил, называют вынужденными
колебаниями.
Частота колебаний системы определяется частотой изменений
действующей на нее внешней силы.
Пусть на балке установлен электродвигатель (рис. 78). При
вращении его ротора, имеющего эксцентриситет (его центр масс
С не лежит на оси вращения), возникнет центробежная сила инер-
ции Кин. Вертикальная составляющая периодически изменяется.
Переменная сила Fx и является вынуждающей силой, наибольшее
значение которой называют амплитудой вынуждающей силы.
Когда центр масс ротора находится в положении С2 и С3, вер-
тикальная составляющая Fx центробежной силы инерции имеет
наибольшее значение. Когда.центра масс находится в положении
С- и С4, Ft 0. На рис. 78 показано изменение силы во времени
или, что то же самое, от положения ротора.
Вынужденные колебания устанавливаются не сразу. Сначала
система, получив некоторое отклонение, совершает помимо вы-
Рис. 78. Вынужденные колебания балки:
а — с установленным на ней электродвигателем; б — диаграмма вынужденных коле-
баний
108
нужденяых и свободные колебания. Однако эти колебания обычно
затухают и остаются только вынужденные.
Рассмотрим вынужденные колебания при отсутствии сил со-
противления. Пусть на систему действует вынуждающая внешняя
сила Рх, изменяющаяся по синусоидальному закону. Этот случай
наиболее часто встречается на практике:
Рх = PosinQ(, (163)
где рд — амплитуда внешней силы; й — круговая частота изменений внешней
силы.
На колеблющуюся массу в данном случае действуют следующие
силы: сила инерции Fllri — тах и внешняя сила Рх, возбуждающая
вынужденные колебания.
Если обозначить через бп перемещение, вызванное единичной
статической силой, действующей по направлению колебаний, то
перемещение при колебаниях
-г - би (Л.п + Рх)
или с учетом уравнения (163)
> = 6U (пгах + sin QZ). (164)
Пользуясь круговой диаграммой (см. рис 73) и учитывая, что
точка Л4 движется по окружности с угловой скоростью Q, на осно-
вании уравнений (149) и (147) при <р0 — 0 запишем уравнение
(164) в виде
A sin Й( — 6и ( Мт sin Q( + Рп sin Q(),
откуда найдем амплитуду вынужденных колебаний с учетом по-
следнего равенства
<165»
Из уравнения следует, если значение круговой частоты воз-
мущающей силы приблизится к значению круговой частоты соб-
ственных колебаний конструкции со, то амплитуда вынужденных
колебаний будет стремиться к бесконечности. Это явление назы-
вают резонансом, а совпадение частот является условием возник-
новения резонанса.
Уравнение (165) можно преобразовать следующим образом:
л _ Ро611
1 — Йа/со2 ’
Из уравнения (158) имеем
со2 = cirri — Е’Хбцтг),
Подставляя со2 в уравнение (165), получаем
А = j — и»/®« •
Произведение ЬиР0 является перемещением от действия стати-
ческой силы (амплитуды гармонической силы Ро). Обозначая
109
Рис. 79. Векторная диаграмма:
а — первоначальное положение;
б — положение после поворота на
угол л/2 -+• Ф
6иР0 =- ^ст> запишем по-
Дейстбительная следнее уравнение следу-
~pj-------* ющим образом
ти)2Хо ~ 1 — (Й/ыР (166)
или
А = Лст₽, (167)
6) где
0 = -п—А-42.-- (168)
у Р —отношение амплитуды динамиче-
ского смещения А к статическому смещению Лст — называют
коэффициентом усиления (коэффициентом динамичности).
Из уравнения (166) следует, что при й'ы < 1 амплитуды поло-
жительны (докритическая область), а при ЙФо > 1 отрицательны
(закритическая область).
На основании уравнения (147) имеем
—.'1 sin (Ш + ср) = A sin (Qi ф- <р ф- л).
Следовательно, отрицательная амплитуда равноценна положи-
тельной, отличающейся по фазе на л от рассматриваемого колеба-
ния.
Это значит, что при й/о>> 1 движения находятся в противо-
положной фазе движениям при й/(о < 1. Когда й/w > 1, центр
масс находится ниже (когда сила направлена вниз) положения рав-
новесия, а при й/и < 1 —выше положения равновесия.
Определение коэффициента динамичности имеет большое зна-
чение для прочностных расчетов. При колебаниях элементов кон-
струкций число циклов загружения велико, в связи с чем часто
необходимо производить расчет деталей на сопротивление уста-
лости .
Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний с учетом сил
вязкого сопротивления
тх. -(-• Ьх ф- сх Ро sin Й/. (169)
Построим векторную диаграмму амплитудных значений сил
этого уравнения (рис. 79, а). Каждый из четырех векторов запи-
шем комплексным числом. Если перемещение обозначено комплекс-
ным числом г, то первая производная его будет х = iQx, а вторая
х ~ —й2х. Пусть Р' комплесное число, выражающее вектор воз-
мущающей силы. Тогда уравнение (169) примет вид
— тй2л ф- iQbx Ф- сх — Р'
или
(—шЙ2 + (Й b + с) х = Р’,
НО
откуда получим комплексную амплитуду
х ~ — т№ + iQb + с
В теории колебаний используют понятие динамической жест-
кости системы, представляющей отношение амплитуды силы к
к комплексной амплитуде перемещений, равное выражению в зна-
менателе правой части уравнения комплексной амплитуды
О = —tnO.2 + iQb + с.
Обратную величину
W =-------1------
— mQ2 + iQb -J- с
называют динамической податливостью.
Отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы
к комплексной амплитуде скорости при установившихся вынуж-
денных колебаниях называется механическим импедансом системы.
Рассмотрим определение формулы для комплексной ампли-
туды виброскорости. При этом учитываем, что
= iQ/4.
Умножим и разделим это выражение на гЙ, в результате полу-
чим
Ar = —QM/iQ.
После преобразований и использования выражения для А
получим выражение для комплексной амплитуды виброскорости
А---------~
Знаменатель правой части полученного выражения и является
механическим импедансом или комплексным сопротивлением си-
стемы. Комплексное число Р' можно сделать действительным чис-
лом, повернув диаграмму по часовой стрелке на л/2 -|- <р (рис. 79,
б). Тогда Р' — Ро, а х можно представить в виде a + bi:
_________Ро________Ptl (— mQ2~p с) — iQb _
Х (—mQ2 + с) + (—mQ2 -Т с) -р iQb (— mQ2 + с) —• iQb
= [(— жО» + *)*4-0*й*] ~
Действительная часть полученного комплексного числа выра-
жается длиной отрезка а, а отрицательная мнимая — длиной
отрезка Ь. Тогда модуль х
*=„ ,_„a,+%-+-(№l =
=__________р*________
К(— та2 + с)2 + Q2b2 ’
111
и соответственно
tg ф — а/= Й6/(с — mQ'2).
Учитывая, что и = ]/ dm и, следовательно, с — а^т, выраже-
ние для х0 представим в виде
х -----------Р°-
К (Яй2 — Л!Й2)2 + Q2b2
Введем в последнюю формулу безразмерную характеристику
демпфирования
(170)
После преобразований получим
Если учесть, что Р1(6П - Яст (здесь Лст — перемещение, ко-
торое получила бы масса если на нее будет действовать статиче-
ская сила Ро), и ввести коэффициент динамического усиления р,
получим
х0==хотр (171)
где
Коэффициент р показывает, во сколько раз амплитуда вынуж-
денных колебаний больше статического перемещения, вызванного
максимальным значением вынуждающей силы. Коэффициент р
зависит от отношения й/ круговых частот вынуждающей силы и
свободных колебаний без затухания, и кроме того, от безразмерной
характеристики коэффициента демпфирования у, которая в боль-
шинстве случаев мала.
Зависимость Р от отношения й/со при различных коэффициен-
тах (рис. 80, а) показывают, что демпфирование значительно сни-
жает амплитуды в области, близкой к резонансу, и мало влияет
на амплитуду, когда частота вынуждающей силы отличается от
частоты собственных колебаний системы.
При резонансе
₽рез=1/Т- (173)
Коэффициент динамического усиления р не стремится к бес-
конечности ни при каких значениях частоты изменений й. Этим
отличается полученный здесь результат от результата при рас-
смотрении вынужденных колебаний без затухания. Как видно из
рис. 80, '1, максимум коэффициента динамического усиления не-
112
Рис. 80. Зависимости динамического коэффициента 3 и коэффициента передачи силы 01
от отношения й/(о при различных значениях коэффициента 7
сколько смещен от значения Q/<o = 1. Однако это смещение мало
и приближенно можно определить |ЗреЛ, подставляя <о = Q в фор-
мулу (172).
Введем в уравнение (171) коэффициент у, тогда
te гЬ - =___yQ ю
1—02/0)2
Сдвиг фаз изменяется от нуля при малых частотах вынуждаю-
щей силы до л при частотах вынуждающей силы, значительно
превышающих частоту собственных колебаний. При Q — со (ре-
зонанс) колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на л/2.
Если у = 0, то сдвиг фаз сразу изменяется от нуля до л при
оз = Q
Определим силу, действующую на основание, на котором рас-
положена колеблющаяся система,
.V = Fx + Wx.
Подставляя в последнее уравнение значения Fx = сх —
~ 1/бцЛ sin ср; Wx = b Ох0 cos <р (х0 — A; b — a., k — 1/6п),
получаем
N — Д sin <р -|-aQ4 cos <р. (174)
ИЗ
Подставляя в уравнение (174) значение ср — Ш —ф, получаем
это уравнение в следующем виде:
Л' = 4 [sin (2/ — ф) 4- 6naQ cos (2/ — ф)].
Используя уравнения (171) и (170), имеем
N — $Р» sin (Qt — ф) Q cos (Q/ — ф)].
Исследуя полученное уравнение на экстремум, приходим к за-
ключению, что максимум значения силы N имеет место при
Qi —ф = arctg <о/уЙ.
Учитывая это, получаем максимальное значение силы, пере-
дающейся основанию при колебаниях,
(175)
Таким образом, сила Nraax больше силы Рп не в 0 раз, как это
должно быть при отсутствии сил сопротивления, а в Pi раз, причем
рг = р/ "Гф уф/о7Я (176)
(здесь рх называют коэффициентом передачи силы).
На рис. 80, б представлены кривые зависимости коэффициента
передачи силы от отношения 2/а> при различных значениях у.
Из этой зависимости видно, что все кривые проходят через точку,
имеющую абсциссу V 2 и ординату — единицу. При 9/ to < J/2
затухание играет положительную роль, снижая коэффициент [\.
Гели QZо > р'2, то увеличение затухания ведет к возрастанию
рх. Таким образом, при работе конструкции в резонансной обла-
сти сила, передающаяся основанию, возрастает вследствие зату-
хания.
На рис. 81 представлена система с гидравлическим амортиза-
тором. В данном случае сопротивление движению поршня про-
порционально первой степени скорости. При колебаниях основа-
нию передаются две силы: сила упругости пружин и сопротивле-
ние жидкости, внутри которой совершает колебательные движе-
ния поршень.
При высокой частоте возмущений имеют место высокие ско-
рости и, следовательно, большие силы сопротивления жидкости.
Неблагоприятное действие затухания можно избежать, если
пружины выполнить менее жесткими, что соответствует некото
рому перемещению максимума абсциссы Q/ и вправо (см. рис. 80)-
Пример. Определить амплитуду вынужденных колебаний, вызываемые
вибратором. Вибратор состоит из двух дисков, вращающихся в вертикальной
плоскости в противоположных направлениях с постоянной скоростью (рис. 82).
Вибратор установлен посредине балки. Частота вращения дисков 600 об/мин.
С дисками связаны неуравновешенные грузы, симметрично расположенные
относительно вертикальной оси zz. При вращении дисков возникают центробеж-
ные силы инерции PQs, проекция на ось гг которых будет равна 2/Д12 sin ЙА
114
р&г PQ2
рис. я1- Система с гидравлическим амортизатором
рис, R2. Схема установки вибратора на балке
Величина 2Р = 4,5 кг-м. Масса сосредоточенного груза в середине балки
составляет 459 кг, статический прогиб балки Аст= 0,025 см. Массой балки
можно пренебречь и принять, что демпфирование эквивалентно действию на
середину балки силы, пропорциональной скорости и равной 180 Н при скорости
1 см/с. Определить также амплитуду вынужденных колебаний при резонансе
и = £2.
Определяем квадрат круговой частоты вынужденных колебаний системы:
Q2 = л2н2/302 — л.3-6002/302 — 400л2 рад2/с3.
Единичный прогиб балки в месте установки вибратора
6П = (0,025-10~2)/459-9,81 = 0,556-10-’ м/Н.
Квадрат собственной частоты колебаний системы
о2 = 1/(0,556-10"’-459) = 39 200 рад3/с3.
Находим коэффициент демпфирования по формуле (170)
180 д/ 0,556-10“’ п юс
Y=-or V —4-5Г— = 0-196-
Прогиб балки при статическом приложении силы
Асг = 2PQ26n = 4,5-400-3,143-0,556-10'’ « 0,001 м.
Амплитуду вынужденных колебаний системы найдем из уравнения
=------------- ---------------------— - = 0,0011 м.
f \ 39 200 / + ’ 39 200'
Амплитуду вынужденных колебаний системы при резонансе найдем из фор-
мулы (167):
Лреэ == Лст/у = 0,001/0,196 = 0,0051 м.
Колебания систем с несколькими степенями свободы
Для механических систем с несколькими степенями свободы
Уравнение Лагранжа (152) запишем в виде
dL d / dL \ _ л
dqt dt \ <3<?i /
где ' = 1, 2, ..., п.
115
<₽
Рис. 83. Балка, несущая две сосредоточеннее
массы:
а — схема балки; б — расчетная схема; в —
эпюры изгибающих моментов от единичных сид
В том случае, когда потенциаль-
ная энергия U не зависит от q. по-
следнее уравнение принимает вид
dt k dqt ) dot U-
Из курса теоретической механики известно, что при малых
колебаниях системы относительно положения равновесия при на-
личии нескольких степеней свободы ее кинетическую и потенци-
альную энергию можно выразить через обобщенные координаты
следующим образом:
S S
= т X S а)кй$к''
i-\ k--\
s s
где /=1,2, ...,s; k = 1, 2, ..., s; ajk = адх — инерционные коэффициенты;
Cjit = Chj — квазиупругие коэффициенты (коэффициенты жесткости).
Определим частоту собственных колебаний двух систем
(рис. 83). Принимаем, что моменты инерции масс зубчатых колес
и валов малы по сравнению с моментами инерции дисков и ,/2.
Жесткости валов при кручении соответственно равным сх и сг,
а передаточное число зубчатой передачи и — z2/zx (здесь zx и г2 —
число зубьев колес).
Введем следующие обозначения: <рх—угол поворота левого
диска; <р2 — угол поворота правого диска; <р{ — угол поворота
колеса /; фг —угол поворота колеса 2.
В данном случае имеются три независимые координаты:
q!ty\\ ф2; Ф2 (ф! определяют с помощью передаточного числа и че-
рез <рг).
Кинетическая и потенциальная энергии системы
Т •= J 1ф1/2 J2фг/2;
U = С] (ф1 — )2/2 + с2 (ф2 — фг)2/2.
Между углами поворота шестерен существует зависимость
в виде
ф! = —ф2«-
Используя уравнение Лагранжа (177), получаем
дТ 2 фУ1 . d / дТ \ _ .. .
2 ’ dt \ dq>i / ъ
5(7-1/) , .
ар, = —с2(ф1 + мф2).
не
Следовательно, первое уравнение из системы уравнений Лаг-
ранжа
ЛФ1 -Hi (Ф1 4- и$) = 0.
Аналогично получим второе уравнение:
d / дТ \ д(Т — U) 7 - , . . п
FT (1фГ) ~ - С2 ~ '= °’
Так как Т не зависит в данном примере от <р2, то дТ/дцк — О,
п третье уравнение будет иметь вид
uci (<pi 4- uq4) 4 с2 (ф2 ~ фг) 0.
Из этого уравнения найдем
, ucicpi — сйфа
' u2ci + с2
С помощью этого выражения исключим фг из первых двух
уравнений Лагранжа:
ЛФх 4---т~г— 4’1 4-----£~z-— Фг — 0; I
1 + Сг 1 1 Ci«2 сг г |
г , сгс2и , CiC2u2 n i (178)
Уоф° 4--9—i Ф1 4"---9—।---Фг — I
1 Ciu2 + c2 1 с,и2 + «г ]
Решение будем искать в форме
ф1.2 = Ф1.2 cos («/ 4- °0-
Подставляя значения ф1>2 в уравнения (178), получаем систему
из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти
уравнения допускают решение, если определитель системы равен
нулю. В этом случае получаем уравнение частот системы
,>^-(^4-Л) д-с-| ^°>
L Т V2 J
откуда собственные частоты колебаний
о. .. ' JiUz + J2
0), = U, <ю2 — I/ —---------j—
1 z У C1U2 + Сг J1J2
Подставляя приведенные выше выражения для кинетической
Г и потенциальной U энергии в уравнение (177), находим систему
однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами:
п
^^j-rCuqj^Q (i- 1, 2, . . ., n; a.s -=ajt\ ctj c}i). (179)
Фактическое составление системы уравнений (179) при рас-
смотрении конкретных задач необязательно проводить по схеме
‘Лагранжа Существует большое число задач па колебания, когда
Целесообразнее применять более непосредственные способы, на-
нример прямой и обратный |52].
117
Рис. 84. Многомассовые системы:
а — система, для которой действующие на груз силы упругости выражены мере
три перемещения: Х[_р Х( и б — система, для которой моменты от сил упругости
действующие на любой диск, определяют через три угла поворота: Ф/ и ф^
в — балка, несущая п масс
Согласно прямому способу мыс пенно отделяем массы от упру
гой системы. Для каждой массы записываем дифференциальны
уравнения движения, заменяя действия упругих связей их реак
циями.
Прямой способ для простейшей системы эффективен тогда
когда упругие силы и силы сопротивления можно просто выра
зить через характерные перемещения и скорости. Прямой спосос
удобен, например, для исследования свободных и вынужденны)
колебаний систем, показанных на рис. 84, а, б.
Приведенные системы относятся к многомассовым системам.
Упругие силы, действующие на !-й груз, при свободных комбина-
циях выразим через перемещения xt_lt xit х1+1, а их моменты лрг
вынужденных колебаниях —через углы поворота tp/.j, ip, и <р/+1.
Согласно обратному способу рассмотрим безмассовую систему,
находящуюся под воздействием сил инерции отдельных сосредото-
ченных масс, выраженных через обобщенные ускорения. На
рис. 85, в в качестве простейшего примера применения обратного
способа показана система (R' — сила действия груза на пру-
жину). Проекция R’ на ось х будет R'x Р — тх. В данной си-
стеме упругим скелетом является пружина
Рис. 85. Простейшие схемы динамических
систем с одной степенью свободы:
а — безмассовая линейно-упругая пружина;
б — одномассовая (масса т закреплена на
пружине); в — система по обратному спо-
собу (#' — сила тяжести груза на пружину*
проекция которой на ось к будет R'
-= Р — тЯ); г — одномассовая система по
прямому способу
118
б)
рис. Дзухмассовая система
Обратный способ удобно применять для исследования свобод-
ных и вынужденных колебаний балочных систем с сосредоточен-
ными массами (рис. 84, в).
При составлении системы уравнений по прямому способу ац =
-- 0 при г =# /, а по обратному Сц — 0 при i =f= j. Следовательно,
при использовании прямого способа вместо системы уравнений
(179) получаем
МН* I! = 0 (/ = 1- 2, . . s). (180)
£=1
При применении обратного способа
t (j = l, 2, . . s). (181)
k=-i
В этих уравнениях вместо ац вводим а,- с одним индексом, так
как отпадает необходимость во втором индексе; вместо вводим с,-.
Специально выбирая обобщенные координаты, выражениям
для кинетической и потенциальной энергии можно придать кано-
ническую форму. Данные координаты (/ — 1. 2, ..., s) носят
название нормальных, или главных, обобщенных координат.
В этом случае
7-1/2 I аД/; t/= 1/2 £ с& (182)
f=l у-1
Уравнения Лангранжа примут простой вид
a^-|-c& = 0 (/ —1, 2, ..., s). (183)
Интегрирование каждого уравнения производят независимо от
Других. Однако без специального анализа трудно указать, какие
кинематические характеристики являются нормальными коорди-
натами.
В качестве примера рассмотрим двухмассовую систему (рис. 86), в которой
и с2 — жесткость пружин; иц и ~ массы грузов; хг и х2 — перемещения
119
(184)
(185)
(186)
(187)
При колебаниях системы в пружинах возникают усилия = CjXj и Л'2
= с2 (ха — хх). Следовательно, потенциальная энергия системы
С1*‘ г ' С2 (*2 — Xi)2
2 2
Кинетическая энергия системы
_ т]Х'
2 2 ’
Для данного случая уравнения (184) примут вид
г = 1йц4 + «12^iX2 + <izix^24- а224
U “Г [ Iх? + c12*lx2 -I- c2lX2Xl + C22Xil
Сравнивая уравнения (184)—(187), получаем значения коэффициентов
an = mt; а12 — а21 — 0; а22 — т2\
Сц = Q 4* С2> = С21 = —С2; 4'22 = С2.
Уравнение (179) для данного случая будет иметь вид
а11*1 4*J й1зХа 4“ 4“ С^2х2~ 0;
(188)
^21-^1 4“ ^22-^2 Т* ^21^1 4" £ааХ2 ~
Учитывая значения коэффициентов, входящих в последние уравнения,
окончательно найдем
WjXj 4* (с± + с2) хх — с2х2 = 0;
/п2х2 — с2х1 + с2х2 = 0. (189)
Воспользуемся теперь прямым способом. При колебаниях системы на первую
массу действуют сила натяжения первой пружины и сила натяжения второй
с2 (х2 — хх). Следовательно, уравнение движения первой массы
—<Т*1 4- с2 (х2 — xj = mjXi.
Вторая масса находится под воздействием силы натяжения второй пру-
жины с2 (х2— хх). Тогда уравнение движения будет иметь вид
4’2 (Х2 — Х2) — /712Х2.
Полученные уравнения совпадают с уравнениями (189).
Здесь обобщенные координаты выбраны так, что выражение кинетической
энергии не содержит произведений скоростей (ххх2).
Рассмотрим обратный способ. Первая пружина нагружена силой
—mtxL— m2x2, вторая — силой — т2х2.
Удлинение первой пружины
Xi = (—miXi — m2x2)/Ci. Общее удлинение обеих пружин х—(—/njXi —
— m2x2)/Ci 4- (•— m2x2)/c2.
В данном случае нет совпадения с результатом, полученным с помощью
основного способа, так как выражение для потенциальной энергии содержит
произведение Х;Х2.
Полученные уравнения по прямому и обратному способам соответствуют
сокращенным записям (180), (181).
120
Энергетический метод определения частоты собственных
колебаний
В практических случаях часто приходится сталкиваться с не-
обходимостью определения частоты собственных колебаний си-
стем, имеющих несколько независимых перемещений. Примером
системы с несколькими степенями свободы может служить балка,
массы отдельных частей которой в действительности или условно
считаются сосредоточенными в отдельных точках.
Для полного определения конфигурации такой балки в любое
мгновение времени требуется задать прогибы под каждой массой.
Положение прочих точек балки определится обычными статиче-
скими приемами. Системы, имеющие несколько степеней свободы,
соответственно обладают и несколькими частотами собственных
колебании
Как было показано, выше, определение частот собственных ко-
лебаний уже для системы с двумя степенями свободы сопряжено
с трудоемкими численными расчетами, так как требует решения
уравнения четвертого порядка. Для системы с п степенями сво-
боды уравнение частот оказывается 2п порядка.
Наибольшее практическое значение имеет низшая, или основ-
ная, частота собственных колебаний, которая в большинстве слу-
чаев должна быть достаточно большой по сравнению с частотой
вынужденных колебаний.
Низшая частота может быть определена с помощью прибли-
женных методов, из которых наиболее распространенным является
метод Рэлея. Предположим, что затухание колебаний отсутствует.
На основании закона сохранения энергии полагаем,-что в любой
момент времени сумма кинетической энергии Т и потенциальной
энергии U, накапливаемой системой за счет динамической дефор-
мации, есть величина постоянная:
Е __ Т + U = const.
На рис 87, а показана балка с двумя сосредоточенными мас-
сами т1 и в двух положениях: статического равновесия при
t = и когда динамическая деформация балки максимальна
(Pj = Рипах И у2 ="= рггаах) При t = /j (J = О,
— Ti + 0 = Тгаах;
при / = Т. = О
£а = 0 + U2 = {/.пах-
Так как Е — const, £i = £2 и, следовательно,
Т — U
1 шах — шах*
Пусть балка несет п масс, а статические прогибы под действием
сил тяжести грузов будут р3, у.,, ..., уп-
Потенциальная энергия t/nwx может быть выражена через ра-
боту внешних сил. Под внешними силами здесь имеют в виду силы
инерции. Они возрастают одновременно с увеличением деформа-
121
Рис. 87. Двухмассовая система
ции системы от нуля до максимального значения. Поэтому работу
этих сил в соответствии с теоремой Клапейрона можно выразить
площадью треугольника:
г/ F ин 1 maxj/i max । F ин 2 тахУ 2 max , i ин п таЛ max
^тах — 2 ~ ' 2 ’ * * * '* 2 *
Расстояния центров масс от положения равновесия в любой
момент времени в процессе колебаний на основании уравнений
(147)
yt = Ai sin (со/ 4~ <р); у2 = А2 sin (®/ + ф);
Уп = Ап sin (at + ср).
Следовательно, скорости масс будут
v-i = Л1 и cos (at + ф); v2 == Л2® cos (at + ф);
vn = Ап a cos (at 4- ф).
Максимальные значения этих скоростей имеют вид
max — Лх®, V2 max = Лд®, . . Vn ]Пах = Лп®.
Когда массы проходят через положение равновесия, и, следо-
вательно, когда скорости их достигают максимума, кинетическая
энергия системы
7’тах = ®2/2(т1Л? + т2Л1+--. + тпА2п), (190)
где At = yi max,
В момент максимального отклонения масс от положения рав-
новесия кинетическая энергия системы (в данном случае балки)
будет равна нулю, но в этот момент потенциальная энергия дости-
122
raeT максимального значения. На основании соотношения ЕК1М1 —
можно написать
i—n 1=п
Fин i max.Vi шах СО2 VI ,2
/ I ~ 2 -----~ "2" 2j fniAi’
•=1 i=i
откуда
(191)
Для использования этой формулы необходимо знать форму
упругой линии балки. Она может быть определена только в резуль-
тате точного решения, связанного с громоздкими выкладками.
Небольшие погрешности имеют место при замене действительной
упругой линии балки упругой линией, получающейся при при-
ложении к балке статических сил, равных силам тяжести закреп-
ленных на ней масс, т. е. сил tn^g, m2g и т. д.
Заменяя в уравнении (191) силы инерции силами mtg и сохра-
няя для статических прогибов те же обозначения у{ = Ait полу-
чаем следующее приближенное выражение для частоты:
/1--п
g S
I/ > (192)
1=1
для распределенной массы
где т —. масса единицы длины в произвольном сечении балки.
Пример. Требуется, пользуясь энергетическим методом, проверить балку
на Резонанс. На двутавровой балке (ГОСТ 8239—72) установлены две машины:
первая имеет массу 1525 кг и вторая — массу 2240 кг (рис. 87, б).
—1 п^еРвая машина имеет части, вращающиеся с частотой вращения п =
—(550 об/мин.
Решение. Применительно к данному случаю формулу (192) запишем
1!лследующем’_виде:
/~„ wiVi 4~
1 / 2 I 2 ’
— масса соответственно первой и второй машин; у, — статический прогиб
тичесТе»^'стг|новки пеР«ой машииы П°Д действием сил тяжести обеих машин; -- ста-
обеи» ” прогиб а месте установки второй машины также под действием сил тяжести
123
Определяем у1 и yt:
У1 = бцгад + 612m2g;
У 2 ~ ^22т2§ + &21mlg>
где 6П — прогиб в первом сечении (место установки первой машины), вызванный
единичной силой, приложенной в этом сечении; 622 — прогиб во втором сечении
(место установки второй машины), вызванный единичной силой, приложенной
там же; 612 — прогиб в первом сечении, вызванный единичной силой, приложен,
ной во втором сечении (612 = 621).
Значения единичных прогибов находим по методу Мора с применением
правила Верещагина:
£/6u = Vg-0,715-1-2/3-0,715+1/20,715-2,5-2/3-0,715 = 0,595;
£Ж2 = 1/3-0,86-2-2/3-0,86 + ‘/г-О.вб- 1,5-2/3-0,86 = 0,858;
£/612= 1/2-0,715-1-2/3.0,43 + 0,43-l(o,43 + -’—-77—-4-3 ) +
+ 1/2(0,86 -0,43)+ 1/2-0,86-1,5-2/3-0,43 = 0,644.
При f = 2,1- 10й Па и J = 5,5-10"6 m4
!“-таиг'5’1ЯГ,,'В;
’""тет--5Я1Г*
Таким образом,
$4 = 5,15-10“81525-9,81 + 5,56- 10“8-2240-9,8l = 19,97.10“4 м;
z/2 = 5,56-Ю~8 1525-9,81 + 7,43-10~8 2240-9,81 = 24,69-I0’4 м.
Определяем низшую частоту собственных колебаний балки по формуле (192):
\f 9,81 (1525-19,97-10“4+ 2240'24,69-К)"4)
ы~ V 1525 (19,97 10"4)2 + 22 240 (24,69-10'4)2 ~ Ьо’° Рад/С’
Согласно условию задачи частота вращения п = 550 об/мин. В таком случае
круговая частота возмущающей силы □ = лп/30 = (3,14-550)730 = 57,6 рад/с.
Резонанс колебаний в данном случае отсутствует, однако значения со и И
настолько близки, что необходимо изменить жесткость балки.
Критические угловые скорости валов при отсутствии сил
сопротивления
В пищевой промышленности применяют большое число машин
с быстрсвращающимися узлами и деталями (центрифуги, сепара-
торы, измельчители и т. д.).
Опыт показывает, что вращающиеся валы машин при опреде-
ленной угловой скорости, называемой критической, становятся
динамически неустойчивыми. При этой скорости возможны боль-
шие прогибы валов и даже их разрушение.
Критической угловой скоростью вала называется такая угло-
вая скорость, при которой упругие восстанавливающие силы,
возникающие при прогибе вала, уравновешиваются силами инер-
ции сосредоточенных масс при их вращении вокруг линии под-
шипников.
124
рис. 88. Схемы положения центра масс
диска, насаженного на вал:
а — невращающегося; б — вращающегося
со скоростью, не превышающей критиче-
скую; в — вращающегося со скоростью,
превышающей критическую; г — схема
к расчету вертикального вала
Пусть имеется вертикальный вал, на который в среднем сече-
нии насажен с эксцентриситетом е диск массой т (рис. 88, а).
При вращении вал изогнется, а его изогнутая ось будет вра-
щаться вокруг оси подшипников с угловой скоростью Q.
Обозначим прогиб вала в месте, где установлен диск, через г.
Тогда центробежная сила инерции диска, вызывающая этот про-
гиб (рис. 88, б)
= mQ2 (е + г). (193)
Со стороны вала на диск будет действовать восстанавливаю-
щая сила упругости
Fупр — Г/^и>
где 6П — прогиб вала в среднем сечении его от действия единичной силы.
Приравнивая РШ1 и Fyup, получаем
mQ2(e -|- г) = г/би.
Приравнивая Fa„ силе упругости вала FyBT, и решая получен-
ное уравнение относительно г, окончательно получаем
г =е/(1 — <o2/Q2).
Из последней формулы следует, что при вращении вала со
скоростью, значительно превышающей критическую; Q > Пкр,
г стремиться к е, тогда центр масс приближается к оси вращения,
а изгнутая ось вала вращается около этой оси.
Из уравнения (158) следует, что критическая угловая скорость
вала совпадает с угловой частотой свободных колебаний вала
с Диском:
йкр = <0 = V 1/Мп) .
125
Если угловая скорость вала превышает критическую, то про,
гибы вала вновь оказываются конечными, но они имеют знак, про,
тивоположный знаку начального эксцентриситета. Центр масс
диска в этом случае будет ближе к оси вращения, чем центр вала
(рис. 88, е?).
Центробежная сила инерции диска Лвн при вращении его со
скоростью выше критической
ЕИ[Г = mQ2 (г — е).
Решая последнее уравнение относительно г, найдем
Г ~ I /тби — Я2 ’
Учитывая, что величина 1/т8п является квадратом круговой
частоты свободных колебаний вала, запишем последнее равенство
в виде
г — е/(м3/й2 — 1).
Из полученного равенства следует, что при й)2/й3-> 1 прогиб
вала стремится к бесконечности.
Приведенные рассуждения сделаны без учета сил сопротивле-
ния (сил аэродинамического сопротивления, сил трения в опо-
рах и т. д ).
Рис. 88, б, в показано расположение диска, вращающегося
с угловой скоростью, меньшей критической и превышающей кри-
тическую. }1а рис. 88 приняты следующие обозначения: S — центр
масс диска; — точка пересечения оси подшипников со средин-
ной плоскостью диска; О—точка пересечения изогнутой оси
вала со срединной плоскостью диска. Если Й = 0, то точки О и 01
совпадают (рис. 88, а). При Q < QKp точка О находится на одной
прямой между точками и S (рис. 88, б). При Q > <Знр точка S
лежит на прямой между точками 0 и Ох (рис. 88, в).
Если угловая скорость вала меньше критической, то вал дина-
мически устойчив В этом случае, если увеличить прогиб вала,
а затем устранить причину увеличения этого прогиба, то вал воз-
вратится в первоначальное положение. Это произойдет благо-
даря тому, что силы упругости будут возрастать больше центро-
бежных сил.
Когда угловая скорость вала совпадает с критической ско-
ростью, вал динамически неустойчив. В этом случае при устране-
нии причин, вызывающих прогиб, вал не возвращается в исходное
положение.
Устойчивость вала при скорости, большей критической, обус-
ловлена кориолисовым ускорением, которое появляется при
перемещении центра масс диска 5 в радиальном направлении от
точки 0]. Тогда точка 5 начинает двигаться в направлении, пер-
пендикулярном к радиусу, и приходит в конечном итоге в поло-
жение по другую сторону от точки О.
126
рабочая скорость вала должна значительно отличаться от
критической. Обычно принимают Й < 0,7Йкр или Й>1,3йкр.
Р Если критическая скорость вала превышает рабочую угловую
скорость, то вал называют жестким', в противном случае его
называют еиоким.
При пуске машины частота вращения гибкого вала может
иметь критические значения. Для уменьшения наибольших про-
гибов валов необходимо стремиться к быстрому прохождению
их через положение, при котором возможен резонанс, или
предусматривать специальные демпфирующие устройства. Если
вал расположен горизонтально, то он вращается относительно
оси, изогнутой в результате изгиба, вызываемого действием силы
тяжести диска вала.
При различных жесткостях вала при изгибе в двух направ-
лениях, например при наличии шпоночных канавок, его движение
неустойчиво, если значение угловой скорости будет промежуточ-
ным между значениями круговых частот свободных колебаний
вала в плоскостях наибольшей и наименьшей жесткости. Кроме
того, вал будет динамически устойчив и при критической скорости
второго порядка, которую определяют по формуле
2 2
Р — 1/
Крп-У 2^ + ^)'
Когда жесткости вала прн изгибе в обоих направлениях мало
отличаются друг от друга, то = w и, следовательно,
^крп = “/2.
Пример. Определить критическую скорость вертикального вала с укреплен-
ной на нем деталью, имеющего частоту вращения п = 320 об/мин; масса детали
120 кг; диаметр вала d == 5 см (рис. 88, г).
Критическая угловая скорость
ы = ИГ/(6цт),
где — прогиб под действием единичной силы, приложенной в месте закрепления
Детали; т —- масса детали. .
Единичный прогиб
_ а2/?2
011 - 3EJ (а + Ь)
Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение для 6и,
имеем
611 ~~ 3(0,8+ 1,7)2-I0u-3,14 0.054 = °’402-10 • м/Н'
Следовательно,
“ = V 122-0,402.10'5 = 45,4 раД/С‘
127
6)
Рис. 89. Схема горизонтального вала с дву-
мя дисками:
а — невращающегося; б — вращающегося
Выше был рассмотрен случай,
когда на вал насажен один диск.
Однако валы часто имеют две и
более детали. Например, на при-
водном валу молочных сепараторов
закреплены винтовое колесо и
корпус ведомой полу муфты.
Рассмотрим вал, несущий не-
сколько дисков. Из условия упру-
гого равновесия изогнутого вала определим критические скорости
вращения. Вал нагружен центробежными силами
тцокрП, т2(ОкРГ2, . , тпа>2^гп.
Прогибы вала
Г1 — №1<0КрГ1Йц -|- /712<Л>крГ2б12 4“ ’ ’ •
Г2 = /П1С0крГ1б21 + 4------4- тпй)кРгп62п;
(194)
Гп — ГП1ЫкрГ16п1 4~ • • 4-
В том случае, когда определитель, составленный из коэффи-
циентов системы, равен нулю, полученная система уравнений до-
пускает для г{ (здесь rt — прогиб вала для i-ro диска) отличные
от нуля решения:
— 1
2 s
ГЛ2СОкр612
Ш2<1)Крб2‘2 — 1
.2 к
ЩгтЧ)|<рО]п
/ИдМкрбзп
= 0. (195)
HljWKpSnl ГД2®крбп2 • • • — 1
Развертывая определитель, получаем уравнение, из которого
определяем критические скорости вала. Так, при наличии двух
дисков получим (влияние эксцентриситетов дисков не учитываем)
(6nniia>KP— 1) (622ffl2®KP — 1) — б?9т|Пг2£Окр — 0. (196)
Из данного уравнения находим два значения критической ско-
рости, соответствующие двум формам ее упругой линии.
Критические скорости вала, несущего несколько дисков, равны
собственным частотам колебаний изгиба того же вала при условии
отсутствия вращения вала.
128
Критическая угловая скорость валов при наличии сил
сопротивления
При наличии сил сопротивления характерные точки: центр
масс диска, точки пересечения изогнутой оси вала и оси подшип-
ников со срединной поверхностью диска не лежат на одной пря-
мой.
На рис. 90 показано расположение указанных точек при на-
личии силы сопротивления, направленной в сторону, противопо-
ложную движению диска.
Сила сопротивления
Г-айт, (197)
где й — угловая скорость вала; г — динамический прогиб вала.
Сила сопротивления W при равномерном вращении должна
уравновешиваться составляющей центробежной силы, приложен-
ной к центру масс диска S',
= mQ2p,
где р — радиальное отклонение центра масс диска от оси вращения вала.
Указанная составляющая возникает именно тогда, когда точки
01( О и S не лежат на одной прямой.
Спроектируем на оси х и у силы, действующие на вращающуюся
с постоянной угловой скоростью систему, причем ось х совместим
с направлением действия силы упругости вала Кг, а ось у — с на-
правлением силы сопротивления W:
—Кг + cos ф = 0;
—ctQr + mQ2p sin <р = 0,
(198)
(199)
где К — сила, вызывающая прогиб вала, равный 1 м, причем К ~ 1/бц (здесь
бц— прогиб, вызванный единичной силой); ip — угол, образованный осью х
и линией, соединяющей точки 0г и S; а — коэффициент сопротивления.
Из геометрических соображений имеем (см. рис. 89)
р sin ф = е sin ф; р cos ф = г е cos ф.
Подставляя р sin и р cos ф из последних уравнений в выра-
жения (198) и (199), получаем
—Кг + mQ2 (г + е cos ф) = 0; (200)
—arQ + mQ2e sin ф = 0,
откуда
sin ф = aQr/(mQ2e);
cos ф — (Кг — mQ2r)/(mQ2e). (201)
₽ис- 90. Схема действия сил на вал, вращающийся
при наличии сил сопротивления
5 Соколов В. И.
Тогда
sin x|?/cos — tg^ = а£2г/(Д — n?Q2)r = y£J/<o/(l — Qa/«2),
где у — безразмерная характеристика демпфирования.
Складывая sin2 ф и cos2 Ф> из уравнения (201) имеем
( кг» \2 (Кг — mQ-rf _ .
mQse ) 1 (тй2е)2
Тогда динамический прогиб вала с учетом Л7т = <о2
К(<о2 Й8) т'Ч а-'Р*' ' V J
Принимая йкр = Q = ш, получаем
r= = JL. (2оз)
аса а у v '
Полученное значение амплитуды при резонансе может быть
принято наибольшим.
С увеличением рабочей скорости И динамический прогиб будет
уменьшаться, стремясь к пределу. Для определения динамического
прогиба уравнение (202) с учетом у = а/(/дь>) будет иметь вид
г= . е........ —. (204)
Из полученного выражения следует, что при £2 -> оо г ->с.
Таким образом, предельное значение амплитуды колебаний равно
эксцентриситету массы диска. Найдем теперь условие, при кото-
ром динамический прогиб г при переходе через критическую ско-
рость не будет превышать величину е. Подставляя в уравнение
(203) г = е, получаем е — т<ы!а и а = т&. Этому условию соот-
ветствует неравенство у 1
Влияние размеров роторов на критическую угловую скорость валов
Приведенные выше уравнения для определения критической
скорости валов и динамического прогиба были получены в пред-
положении, что диск посажен на вал в середине пролета или его
масса сосредоточена в одной точке.
В действительности диски и роторы, которые вращаются
вместе с валом, имеют определенные размеры и форму, обуслов-
ленную их технологическим назначением; расположение их на
валу может быть различным.
Некоторые детали выполняют в виде дисков (например, диско-
вые пилы для разрезания мясных туш или диски распылительных
сушилок). Другие детали имеют форму длинной трубы (роторы
трубчатых сверхцентрифуг и т. д.).
Естественно, что реальное выполнение роторов должно су-
щественным образом отражаться на зависимостях, служащих для
13о
91. К определению гироскопического
момента:
ираиХающинся вал с консольно укре-
%7яньш ротором; б — к определению ра-
диуса Р
$2/
“)
\г<
определения критической ско
роста вала и
прогиба.
Рассмотрим
рая состоит из вертикального
вала, вращающегося в двух
опорах, и ротора, закреплен-
ного на конце консольного
участка вала (рис. 91, а).
При вращении вала ось ротора составит
Б точке О ось вращающегося ротора пересекается с вертикалью
(ось Zi). Точку О можно принять за неподвижный центр вращения
динамического
систему, кото-
0’
вертикалью угол ср.
ротора.
Найдем суммарный момент центробежных сил инерции, кото-
рые действуют на отдельные элементы ротора относительно оси Oylt
нормальной к плоскости рисунка и проходящей через неподвиж-
ный центр О.
Введем следующее обозначение: г — отклонение от оси центра
масс ротора при вращении вала; р — расстояние от вертикали до
любой точки ротора; k — расстояние от точки О до центра масс
ротора О; dm — элемент массы ротора, находящийся на расстоя-
нии р от оси z±z.
Примем систему координат Oxyz, вращающуюся вместе с рото-
ром. Начало этой системы координат совпадает с центром масс
ротора. Оси хх, уу, zz являются главными осями инерции ротора.
Расстояние от вертикали (первоначальной оси вала) до эле-
мента массы ротора (см. рис. 90).

с
р — k sin ср -f- z sin ср т- х cos ср.
Центробежная сила инерции (рис. 90), действующая на данный
элемент массы рогора,
— dmQ2p.
Ордината элемента массы dm (рис. 91, б)
2л = k cos ср + z cos ср — х sin ср.
Тогда момент силы dFm относительно оси, проходящей через
точку 0 параллельно оси иу и перпендикулярно плоскости чер-
тежа,
dM — dFxyZx — dFwll {k cos nQ? (k cos ср z cos ср — x sin cp) (ft sin 4
4- z sin cp + x cos <p).
5*
131
Суммарный момент центробежных сил инерции, действующих
на элементы ротора,
т
/И = j Q2 (k cos ф + z cos tp — х sin ф) (k sin ф 4- z sin ф 4- x cos ф) dm.
о
После интегрирования и преобразований окончательно найдем
М = Q2 (k2m cos ф sin ф 4- Jx sin ф cos ф — Jz sin ф cos ф),
где Jх и Jz — моменты инерции массы ротора относительно осей хх и zz;
т
J к Jy = j (у2 + 22) dm;
О
т
Jz = J (x2J-y2)dm.
о
Если при малости угла ф принять sin ф да ф и cos ф да 1, то
последнее выражение для М можно представить в виде
Л1 = —[k2m + (Jx - А)] да [k2m + (Jx - J2)] Й*ф.
Преобразуем полученное уравнение, в результате получим
М — Q2mkkq> 4“ (Jx — Jz) й2ф
или
М — Q2mrk 4- (Jx — Jz) йгф.
Из рассмотрения последнего уравнения следует, что момент
сил инерции, действующих на ротор в плоскости zO'x, включает
момент центробежной силы инерции ротора QJmrk и гироскопиче-
ский момент
Mr = (Jx - Jz) фОг. (205)
Прогиб конца вала (точнее, отклонение от оси z^ центра масс
ротора при вращении)
г = 6итй2 (г 4- е) 4- б12 (Jx — Jz) й2 (ф 4- Фо),
откуда
_ 4~ би (Jx ~~ Jz) ^2фо
1 — бцтй3 — 612 (Jx — Jz) й2ф/г ' >
Учитывая, что фй — г и, следовательно ф/г = i/k, приравни-
ваем знаменатель последнего уравнения (206) нулю и находим
критическую угловую скорость вала
^.р=1/ ----------------;----- (207)
Г 6ц/71 4" 612 (Jx — Jz)
Полученное уравнение свидетельствует о том, что критическая
угловая скорость вала существенно зависит от соотношения между
моментами инерции Jх, Jz. Если Jх > Jz, то критическая скорость
меньше скорости при наличии сосредоточенной массы, при Jx = Л
и Jz > Jх критическая скорость больше.
132
Последнее уравнение (207) удобно применять, когда определе-
ние величины k не представляет трудностей, например при вычис-
лении критической скорости вращающегося вала сепаратора
в предположении, что вал достаточно жесткий, горловая опора
является упругой; при этом величина k примерно равна длине вала.
Для валов на двух опорах с консольным участком, несущим
на конце диск, величину k приближенно можно принимать равной
длине консоли.
В других случаях для определения критической угловой ско-
рости вала нужно составить уравнения прогиба и угла поворота
вала, вызванных действием центробежной силы инерции и гиро-
скопического момента:
Г = бпШЙкрГ — $12 (Л — /х)^кРф;
ф = 621тйкрГ — 622 (Jz — J х) Пкрф,
где 6ц it 621— прогиб и угол поворота под действием единичной силы; и 62'2 —
прогиб и угол поворота под действием единичного момента.
Рассуждая, как и ранее, получим
(бц622 — 622) m(Jz — Jх) ^кр -р — $22 (JZ — JД] О* - 1 = 0,
Из последнего уравнения находим критическую угловую ско-
рость вала так называемой прямой синхронной прецессии. В этом
случае угловая скорость диска по значению и направлению равна
угловой скорости изогнутой оси вала. Может наблюдаться и об-
ратная несинхронная прецессия, когда последнее условие не
выполняется.
При обратной прецессии изогнутая ось вала вращается в сто-
рону, противоположную вращению диска. Более подробно это
явление рассмотрено ниже.
ГЛАВА III
ЕМКОСТНЫЕ И ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
§ 9. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
КОНСТРУИРОВАНИЯ ЕМКОСТНЫХ И ТЕПЛООБМЕННЫХ
АППАРАТОВ
Выше было отмечено условное деление пищевого оборудования
на машины и аппараты. Было указано, что в аппаратах происхо-
дят процессы, связанные с воздействием на обрабатываемый объект
теплового или другого поля.
Для механика-конструктора важна и другие особенности аппа-
ратов, а именно отсутствие движения (в особенности быстрого)
основного рабочего органа машины, обусловливающего возник-
новение различных динамических эффектов.
При конструировании емкостных и теплообменных аппаратов
внимание конструктора должно быть сосредоточено на обеспече-
нии функционирования аппаратов, прочности и жесткости их эле-
ментов, устойчивости и способности сохранять свою форму при
эксплуатации; условий, ограничивающих не только потери про-
дукта, но и потери тепловой или электрической энергии; на вопро-
сах коррозии рабочих поверхностей и т. д.
На рис. 92 показана установка для непрерывного уваривания
кондитерских масс. Она состоит из трех аппаратов: I — подогре-
вателя, предназначенного для подогрева продукта; II — вакуум-
аппарата для выпаривания продукта; III — сепаратора, пред-
назначенного для улавливания частиц уваренной массы, уноси-
мых вторичным паром.
На рис. 93 изображен котел-подогреватель для обработки
жидких и полужидких продуктов типа томатного пюре, фрукто-
вого сока и т. д.
Приведенные аппараты представляют собой сочетание различ-
ного типа оболочек: цилиндрических, конических, сферических и
т. д. Эти оболочки чаще всего подвергаются воздействию внутрен-
него или внешнего давления, высоких или низких температур.
Аппараты соединены с другими трубопроводами, к ним присоеди-
нены различные приспособления и приборы, что необходимо учи-
тывать при конструировании.
В пищевой промышленности широкое распространение полу-
чили емкостные аппараты, в частности резервуары (танки) для
хранения пищевых жидкостей, которые изготовляют цилиндриче-
ской или прямоугольной формы. В молочной промышленности,
например, применяют вертикальные алюминиевые резервуары
134
вместимостью 2; 4; 6; 10; 20 м3 и горизонтальные вместимостью 20
и 30 м3. Наружная поверхность корпусов резервуаров выполнена
с теплоизоляцией, защищенной стальным кожухом. Назначение
теплоизоляции — предотвращение повышения температуры мо-
лока более чем на 1 °C в течение 12 ч при перепаде температуры
молока и окружающей среды около 20 °C [69].
К числу основных вопросов проектирования аппаратов отно-
сится выявление оптимальной конструктивной формы и наивыгод-
нейших размеров принятой конструкции.
Наиболее распространенной формой корпусов аппаратов яв-
ляется цилиндрическая. Днища аппаратов выполняют плоскими,
коническими, сферическими и эллипсоидальными в зависимости
от их назначения и технических условий. Крышки выполняют
той же формы, что и днища; исключение составляет коническая
крышка. Пространственные (не плоские) днища и крышки эконо-
мичнее плоских.
Размеры аппаратов, работающих под внутренним давлением,
зависят в основном от требуемого объема. В ряде случаев выбор
размеров аппаратов производят с учетом использования металла
меньшей массы при заданных объеме и рабочем давлении.
Рис. 92. Установка для непрерывного уваривания кондитерских масс:
' — наружный клапан; 2 — рубашка; 3 — нижний стальной конус; 4 — верхний вну-
тренний клапан; 5 — змеевик; 6 — конусная медная чаша; 7,8 — нижняя и верхняя
ооечайки вакуум-аппарата II; 9 — штуцер для подачи сиропа; 10 — штуцер для спуска
конденсата; 11 — кран для выпуска воздуха; 12 — манометр: 13 — предохранительный
»пмПан’ 14 ~ соединительный трубопровод; 16 — съемная крышка; 16 — медный зме-
евик; 17 — стальной корпус; 1Я, 19 — штуцеры; 20 — смотровые окна; 21 — тяги для
„??ПЛ6НИЯ вакуум-аппарата; 22 — вакуумметр; 23 — трубка для подачи греющего
"ара; 24, 25 — краны
135
Рис. 93. Котел-подогреватель периодического действия;
/ — медная полусферическая чаша; 2 — паровая рубашка; 3 — затвор на штуцере;
4 — кран для спуска конденсата; 5 — труба для отвода конденсата; б — стойки для
крепления котла; 7, 9 — пустотелые цапфы; 8 — обечайка; 10 — червячная пара для
опрокидывания котла; 11 — манометр; 12 — предохранительный клапан; 13 — кран
Еще в 1883 г. В. Г. Шухов определил оптимальные размеры
вертикального цилиндрического резервуара с плоским днищем.
Объем металла в вертикальном резервуаре со стенкой постоянной
толщины
А = л г Д + 2яг6Н, (208)
где №Д — объем металла днища и покрытия; 2лтб// — объем металла корпуса;
г—радиус резервуара; А — суммарная толщина днища и покрытия; б—тол-
щина стенки корпуса; Н — высота корпуса.
Подставляя в уравнение (208)
г = \/VjnH
136
(здесь V — объем резервуара), получаем
А = VMH + 26.]/Vytf.
Приравнивая нулю первую производную dA/dH, определяем
минимум объема металла в зависимости от высоты резервуара
dA с УА о
dH ~ ° V И Н2 ~ U’
откуда _____
VS/H = 6 J/л VH .
Тогда наивыгодпейшая высота резервуара
В формуле V ЫН — 6 1/nVH левая часть равенства характе-
ризует объем металла днища и покрытия, правая — половину
объема металла, необходимого для изготовления корпуса [38].
Современные методы проектирования аппаратов основываются
на оптимизации соотношений взаимосвязанных величин. В каче-
стве примера рассмотрим решение задачи о изготовлении бака
наибольшей вместимости из квадратного металлического листа со
стороною 2а. В качестве ограничения примем условие о допусти-
мости удаления (по углам листа) квадратов со стороною х. При
изготовлении бака производят загибание краев шириною х и
сварку сопрягаемых кромок.
Помимо этих критериев, вытекающих из обоснования возмож-
ностей изготовления, существует критерий, обусловленный тех-
нической и экономической целесообразностью — наибольшая вме-
стимость бака.
В данном случае
Ф — х/2а.
Связывающим параметром является вместимость бака. Кон-
структорскую задачу можно записать следующим образом:
<р = х/а -> оптимум;
V — х (я — 2х)“ -> максимум.
Обозначим длину, ширину и высоту бака через х, у, г. Задача
сводится к определению максимума функции
V = хуг
при условии
ху + xz + yz — а = 0 (х > 0; у > 0; г > 0). (209)
Согласно методу отыскания условного максимума составим
вспомогательную функцию
F (х, у, X) = хуг + X (ху + хг + у г — 0).
137
После получения частных производных вспомогательной функ-
ции приравняем их нулю:
yz -ф А (у п~ 2) — 0; хг + А (х 2) — 0; ]
Xf/ + Mx + Z/) = O. | (21°)
Для решения системы четырех уравнений (209) и (210) с че-
тырьмя неизвестными умножим первое из уравнений (210) на х, вто-
второе на у, третье на г и сложим их. Учитывая равенство (209),
найдем X = Зхуг/2а. Подставляя значение А. в уравнение (210),
получаем
yz I1 2)] ===0;
[1 ~ + ^)] = 0;
ху р = 0-
Учитывая, что х, у, г не равны нулю, из последних уравнений
получаем
Зх/2а (у + г) = 1; Зу/2а (х + г) — 1, Зг/2а(х + у) — 1.
На основании первого и второго уравнений получаем х— у,
а из второго и третьего у == г. Тогда из уравнения (209) имеем
х = у = z — ]/а/3. Полученное уравнение дает условный мак-
симум функции V ~ хуг. Таким образом, оптимальный объем
бака является кубом со стороною z ~ У а/3.
В других случаях критерием качества разработанной на стадии
проектирования конструкции аппарата могут быть минимальные
затраты на конструкционные материалы и эксплуатационные рас-
ходы, обусловленные, например, необходимостью компенсации
тепловых потерь в окружающую среду.
Пусть полные затраты (руб.) включают затраты на конструк-
ционный и термоизолирующий материал С„, затраты на подвод
тепловой энергии в аппарат Сп затраты па компенсацию тепловых
потерь Ст. Выражение для целевой функции в данном случае
будет иметь вид 125]
С = СМ4 С„ + Ст. (211)
Для цилиндрического аппарата с плоскими днищами
См — [2лг2 2лгэ] сы$м; (212)
С и — [2№ 2nrs] c„s„; (213)
Ст := [2№ -|- 2лгв] AfcTTpfe, (214)
где г, h — радиус и высота цилиндрического сосуда, м; см — стоимость единицы
объема листового материала, руб/м3; sM, sn — толщина стенки аппарата и слоя
термоизоляции, м; Сц — стоимость единицы объема термоизолирующего мате-
риала, руб/м3; !Xt— разность температур, °C; и t2 — температура жидкости
в аппарате и окружающей среды, К; ст — стоимость единицы потерянной тепло-
138
вой энергии, руб/ккал; тр — продолжительность эксплуатации аппарата, год;
ъ _ коэффициент теплопередачи от жидкости, находящейся в сосуде, к окружа-
ющей среде, Вт/(м2-К).
Учитывая, что объем цилиндрического сосуда V = пгЧг, полу-
чаем h = V7(nr2). Коэффициент теплопередачи находим из извест-
ного выражения
' 4-+^- + -г-+'г-
«1 «2 /-М Хц
где «1 и а,— коэффициенты теплоотдачи соответственно от горячего тепло-
носителя к холодному, Вт/м'К; хп — коэффициенты теплопроводности, т. е.
количество теплоты, перенесенного через материал стенки аппарата и термо-
изоляции, Вт/(м-К).
Коэффициент теплопередачи можно также определить по фор-
муле
k = 1/(4 + sn/Xn), (216)
где
л==^- + чг + -г-’ <217)
0-1 ctg Лм
Примем экспоненциальный закон распределения надежности
функционирования аппарата
Тр = 1/(0 (—1П ЛтИпдопЕ (218)
где <а — параметр потока отказов конструкции 1/ч; Рт1П доп — минимально
допустимое значение вероятности безотказной работы за данный интервал вре-
мени.
Подставляя в выражение для целевой функции значения
Сы; Сп и С.: и используя уравнения (211)—(214), получаем
С (%лг2 + sMCM + (2№ -г sucn +
+ (2лг2 _|_ 2L) (-‘П Р.П1П доп) ХП .
1 \ 1 г / ' т w (ЛцА + sn)
Находим частные производные от целевой функции, прирав-
ниваем их нулю и решаем полученную систему уравнений:
дС _ (Л„г L е I - е I Д/р (~~|п Рпип доп) ?Ч1 1
дг - (4Ш- f2 Ц5„СМ -г SUCD Г- ДГСТ o(xnA + sn) ]•
Приравняв gC'gr нулю, получим
r^W/2n
и
(2яГ2 л. 2LA Гс ф. мсдп ,(т1п доп) (-П 1 = 0
dsn \ 1 г ) L 1 ’ <0(7vn4 + sn)2 J
Окончательно находим
s„ = VХс (~1пР^пДоп) _ ЛХ1р
Г £ii W
139
Пример. Задано: V~ 1000 м3; ст = 1,433-Ю« руб/Дж; сп = 150 руб/м3-
Д/=100°С; sM = 0,01 м; Хп = 0,1163 Вт/(м-К); 'Рга1п доп = 0,95; 1М ~
= 46.52 Вт/(м-К); а1= 1163 Вт/(м3-К); а2 = 23,26 Вт/(м2-К); <о = 1,389 х
X 10"8 I/с. Необходимо определить геометрические параметры аппарата.
Радиус аппарата и высота:
г = 1000/2л = 5,4 м; h = = 10,8 м.
л-5,42
Толщина слоя термоизоляции
1/™ *ЛЗЗ [—In 0,95] Л1|СО
sD- J ЮО J50 • 13g9 -0,1163
- 0,1163 + ^26 + w) = °’064 “ °>00051 = °’0588-
Полученные параметры являются оптимальными с точки зрения затрат.
Следует отметить, что в данном примере для упрощения не учитывались
затраты, обусловленные обслуживанием аппарата, амортизационными отчисле-
ниями, профилактическим ремонтом.
Рассмотрим определение оптимальной обеспеченности конст-
рукции, т. е. оптимальной вероятности того, что конструкция не
разрушится за срок эксплуатации. Пусть требуется определить
оптимальное значение толщины стенки s цилиндрического корпуса
аппарата. Разрушение происходит при условии s < s' (здесь s' —
требуемое значение толщины стенки из условия прочности).
Будем считать величину s детерминированной, a s' случайной.
Примем, что величина s' подчиняется нормальному закону
распределения (случайный характер толщины стенки связан,
например, со свойствами материала, но не с нагрузками). Тогда
вероятность неразрушения конструкции
s (х—Ms')*
P(s'<s) = -^J=^je dx-ЫД (219)
где Ms' — математическое ожидание величины s'; Ds' — дисперсия случайной
величины sj.
Затраты на конструкцию представим в виде суммы первона-
чальной стоимости конструкции Со и ожидаемых потерь от ее
разрушения (руб.). Математическое ожидание потерь (1 — Р) Сх.
Будем считать начальную стоимость конструкции пропорцио-
нальной толщине стенки аппарата. Тогда общие затраты на соз-
дание конструкции
С = BsJ + (1 — Р) Съ
где В —коэффициент пропорциональности.
Найдем минимум последнего выражения известными методами:
~ = В ds'/dP - = 0. (220)
140
Дифференцируем уравнение (219) по s*:
_ _ ' е 2 к D
/ 2nDs'
ds/dP --= V 2nD$' е 2 Гэг .
Подставляя ds'idP из последнего уравнения в уравнение(220),
получаем
В И2л" <те~ - Сг = 0, (221)
где ___
T = (s-Ms')/Ds'. (222)
Пример. Допустим, что выход конструкции из строя связан с затратами,
равными 100 тыс. руб. при В = 10 тыс. руб.; Ms' = 0,01 м; Ds' — 0,001 м.
Подставляя эти величины в уравнение (221), получаем у — 4,072. Этому соот-
ветствует вероятность нсразрушения конструкции Р я* 1. Требуемую толщину
стенки определим из уравнения (222)
з = 4,072 0,001 + 0,01 = 0,014 м.
Этот пример расчета является простейшим случаем. В более сложных слу-
чаях определение производной недостаточно, и приходится прибегать к матема-
тическому программированию, что не меняет сущности расчета.
§ 10, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КОРПУСА ВЕРТИКАЛЬНЫХ
АППАРАТОВ
В пищевой промышленности так же, как и в химической, ши-
роко применяют емкостные и тепловые аппараты с цилиндриче-
скими корпусами.
К таким аппаратам относятся различные танки и сосуды,
предназначенные для хранения пищевых жидкостей и проведения
технологических процессов при внутреннем избыточном давлении,
например, для отстаивания, брожения и др. К таким аппаратам
можно отнести танки для хранения молока, бродильные чаны, за-
квасочники, дозаторы и др.
Особенностью многих аппаратов является то, что усилия,
действующие на стенки сосуда, обусловлены главным образом
гидростатическим давлением жидкости и, следовательно, зависят
от напора.
Если давление в какой-либо точке на внутренней поверхности
сосуда превышает 0,07 МПа без учета гидростатического давления,
то при проектировании сосудов необходимо выполнить ряд требо-
ваний, предусмотренных нормами Госгортехнадзора.
Цилиндрические аппараты могут иметь вертикальное и гори-
зонтальное исполнения. Предпочтение необходимо отдать верти-
кальным аппаратам, так как в них исключены дополнительные
напряжения при изгибе, возникающим в корпусе при действии
силы тяжести аппарата и находящейся в нем среды.
141
При давлении в аппарате менее 10 МПа цилиндрические обе-
чайки выполняют из пластичных материалов, в основном из листов
вальцовкой с последующим соединением стыков преимущественно
сваркой. При соединении стыков из медных и латунных листов
применяют также и пайку. После соединения стыка сваркой или
пайкой цилиндрические обечайки подвергают технологической
правке (калибровке).
При давлении среды менее 0,8 МПа цилиндрические обечайки
могут быть выполнены литыми совместно с днищем из хрупких
материалов (чугун, бронза, кварцевое стекло и др.). Вэтом случае
допускается последующая обработка внутренней поверхности.
Цилиндрические обечайки можно также выполнять из стальных
труб с базовым наружным диаметром до 720 мм.
При конструировании сварных и паяных обечаек необходимо
учитывать следующие рекомендации:
листы желательно выбирать больших размеров для того, чтобы
общая длина швов была наименьшей;
при раскрое следует добиваться наименьшего числа продоль-
ных швов, которые в горизонтальных аппаратах не следует распо-
лагать в нижней части обечайки при ограниченной доступности
для осмотра;
не следует выполнять отверстия в обечайке в сварных швах,
особенно продольных.
Если на жидкость действует дополнительное давление р0 (Па),
то наибольшее давление
Р = Ро +
где Н — высота цилиндрического сосуда (точнее, уровня жидкости в сосуде), м;
g — ускорение свободного падения, м/с8; рж — плотность жидкости, кг/м3.
Таким образом, уравнение для определения окружного напря-
жения ot (Па) по безмоментной теории оболочек примет вид
а = рг . Ро + gp>i<# г
‘ S S
Меридиональное напряжение от определяют из уравнения
(101). В данном случае оно в 2 раза меньше окружного напряже-
ния. Если цилиндрический сосуд опирается нижней частью, то
меридиональное напряжение равно нулю.
Напряжение в стенке сосуда в радиальном направлении обычно
принимается равным нулю.
При получении расчетных формул для пластичных материалов
можно исходить из теории наибольших касательных напряжений,
согласно которой эквивалентное напряжение
°ЭКВ ~ -- Тз-
В данном случае Gj = и о3 » 0, следовательно,
at = P0+gp>Kffgr<[gK
где [о] —допускаемое напряжение на растяжение.
142
Для сварных сосудов, наиболее часто используемых, в по-
следнюю формулу вводят коэффициент прочности сварного шва <р
и следующие обозначения: D — внутренний диаметр сосуда; с —
прибавка на коррозию; s и s' — соответственно полная и расчет-
ная толщина стенки. В результате получают выражение для ра-
диуса срединной поверхности обечайки: гср = ID + (s — с)1/2,
причем исполнительная толщина стенки s = s' + с.
V Тогда на основании уравнения (223) получим
5 = ------F С. (223)
2ip [о] — р 1 ' >
Данная формула рекомендована ГОСТ 14249—80 при условии
(S — c)/D <0,1.
Прибавка к толщине стенки на коррозию для аппаратов из
углеродистых сталей составляет 1—3 мм в зависимости от агрес-
сивности обрабатываемой среды, срока службы аппарата и его
размеров. Для отожженной прокаленной меди при s — 6 мм и
алюминия при s < 8 мм с = 0,5 ... 1 мм.
Коэффициент прочности в зависимости от вида сварного шва
следует принимать (р — 0,7 ... 1,0.
§ И. СОПРЯЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОРПУСОВ
АППАРАТОВ С ДНИЩАМИ
Как уже было указано выше, в местах сопряжения или за-
крепления оболочек возникает краевой эффект. Он выражается
в том, что кроме меридиональных и окружных усилий, определяе-
мых по безмоментной теории оболочек, возникают еще изгибающие
моменты, поперечные силы, а также меридиональные и окружные
усилия, обусловленные местным изгибом оболочек.
Рассмотрим физические причины возникновения краевого эф-
фекта. Важнейшей причиной краевого эффекта является стеснен-
ность свободы деформаций оболочки, соответствующей мембран-
ным напряжениям. Другой причиной появления местных сил, рас-
пределенных по окружности, является перелом образующих эле-
ментов, оболочек. Краевой эффект может также возникнуть
вследствие разрыва непрерывности силовых воздействий в смеж-
ных областях.
Для решения задачи о краевом эффекте могут быть использо-
ваны методы строительной механики: метод сил или метод пере-
мещений (деформаций).
В местах возникновения краевого эффекта оболочку рассе-
кают плоскостью, нормальной к ее оси так, что образуемая вслед-
ствие этого основная система представляется состоящей из двух
оболочек. К ним прикладывают заданные нагрузки, а в месте се-
чения — усилия, определяемые по безмоментной теории, а также
неизвестные усилия, требующие определения: меридиональные
моменты и поперечные силы. Затем составляют обычные канониче-
ские уравнения метода сил.
143
Рис. 94. Схемы перемещений краев обо-
лочек I и II под действием силовых
факторов:
а — внутреннего давления; б — единич-
ных изгибающих моментов: в — единич-
ных поперечных сил
Рассмотрим сосуд, состоя-
щий из двух сопряженных обо-
лочек (рис. 94). Допустим, что
обе оболочки, составляющие
сосуд, деформируются под действием приложенных к ним
внешних сил независимо друг от друга. Обозначим радиаль-
ное перемещение края оболочки I через 62р1 и поворот его
через б1рТ, а радиальное перемещение и поворот края обо-
лочки !1 соответственно через 62/)П и 61р1 (рис. 94, а). В связи
с тем, что в общем случае радиальное и угловое перемещения
края оболочки / не равны соответствующим перемещениям
края оболочки //ив действительности обе оболочки не могут
деформироваться независимо друг от друга, в краевых сече-
ниях появятся обратные по направлению внутренние радиальные
поперечные силы (рис. 94, б) Qu и Qo и изгибающие моменты Л40
(рис. 94, в). Очевидно, что радиальные перемещения и углы пово-
рота сечений в месте сопряжения двух оболочек, образующих
сосуд, равны между собой.
На основании этого можно написать систему уравнений в сле-
дующей канонической форме:
61 j IЛ40 -f- 612 iQo + 61РI = бц нМо бы nQo 4* ^ip 11;
621 jMo -г S221Q0 + $2? i 621 nAfo4“ S22 hQo +$2рЦ, (224)
где 622, 6al, — радиальные перемещения и углы поворота краев оболочек 1
и И соответственно под действием единичных сил и моментов (рис. 94, в).
Поперечные силы, усилия и нагрузки, направленные по ра-
диусу от оси оболочки и вызывающие ее растяжение, считаются по-
ложительными. Обратное направление поперечных сил, усилий и
нагрузок (к оси оболочки) будет отрицательным.
144
Изгибающие моменты в кольцевых сечениях оболочки, направ-
ленные наружу и вызывающие растяжение внутренних волокон и
сжатие наружных волокон, считаются положительными.
Если в результате решения канонических уравнений знак не-
известного усилия получится положительным, то это означает,
что действительное направление усилия совпадает с принятым
в расчетной схеме. Деформации, возникающие в результате воз-
действия радиальных сил, будем считать положительными в том
случае, если эти силы направлены от оси обечайки или днища и
вызывают их растяжение.
Угловые деформации положительны, если изгибающие моменты
вызывают растяжение внутренних волокон элемента сосуда или
наружных волокон второго элемента сосуда.
При расчете сосудов сначала необходимо составить выражения
для перемещений от внешних сил и изгибающих моментов, прило-
женных к краю оболочки. Затем следует подставить значения этих
перемещений в уравнения на стр. 144, из которых определяют
Qo и Мо. После этого можно- перейти к определению напряже-
ний, действующих в меридиональном и кольцевом сечениях,
приведенными выше способами.
Предположим, что имеется симметричная обечайка, нагру-
женная внутренним давлением, заделанная по контуру.
В этом случае канонические уравнения метода сил будут иметь
вид
6ЦМО + 612Q0 + б1р = 0;
б-21Л1о + 622Qo + 62р = 0.
Решая данную систему уравнений, получаем
» < _ 62//>12 — 615622 .
Мо ''---ГД-----х2~ ’
1°22 — °12
ЯЛ Л X <225)
О — — OapQil _
1®22 ~^?2
Подставляя в полученные формулы значения перемещений
соответственно для цилиндрической обечайки, сферической и ко-
нической и используя данные табл. 7, получаем:
для цилиндрической обечайки
МОц = 0,256prs; (226)
Qon = О,ббОр \/ rs;
для сферической обечайки (/? = 2г)
Aloe — $№2prs\
Qoc = 0,272p]/T7^; (227)
Для конической обечайки
Л40к = 0,01p/?s sin <р;
Qok = 0,8р J/7T (228)
145
Рис. 93. СхемЫ к расчету узла сопряжения цилиндрической и сферической оболочек:
а — заданная система; б — основная система
Рассмотрим совместную работу цилиндрического сосуда и
сферического днища.
На рис. 95 представлены схемы заданной системы и основной.
На край цилиндрической оболочки действует меридиональное
осевое усилие, определяемое по мембранной теории оболочек,
где arHU — возникающее в цилиндрической оболочке мембранное меридионалыкЯ
напряжение.
Кроме А\ц к краю цилиндрической оболочки приложены кра^|
вой изгибающий момент Л1о и поперечная сила Qo.
На край сферической оболочки действуют также аналогичные
краевые изгибающий момент Мо и поперечная сила Qo, но направ-
ленные в противоположную сторону.
Действующую на край сферической оболочки меридиональную
мембранную силу
А\с = <W
разложим на две составляющие, направленные вдоль и перпенди-
кулярно оси цилиндрической оболочки. Составляющая силы А\с>
направленная перпендикулярно оси цилиндрической оболочки,
является распорным усилием:
= A\c cos р = Л\ц etg р.
(229)
146
Для рассматриваемого случая канонические уравнения метода
сил будут иметь вид
бццЛ!,) “I - — —бПс.Ио ^12С lQ|| I Яо),
бгщЛ^О “Н ®22Д*?Ч 4‘ ^4рц — 621cMq — §220 (Со “Н ‘^о) 4“ ^spc- (“' ^0)
Из полученных уравнений находим
AJ0 = —5Лац7/0/(6ц„ + 611с). (231)
При проектировании цилиндрических сосудов, имеющих сфе-
рические днища, рекомендуют принимать параметры обеих сопря-
женных оболочек таким образом, чтобы мембранные окружные
напряжения были одинаковыми в обеих оболочках. Это возможно
ПрИ уСЛОВИИ р = 2г, 5ц = Sc И ф — 30 .
Тогда коэффициент затухания для сферической оболочки
1 ' /X
или при Ц ~ 0,3
₽ = 1/(1,1 I/rs). (232)
Пользуясь данными табл. 7, найдем отношение перемещений:
612С бис Рд sin ср 3/-Q- )•/•“ 0,5 _ 1
612Ц “ 611Ц Рс >1 1 1 1
Следовательно,
Находим отношение
Следовательно,
бцс — I 2 6цц, ,б12г = 612ц-
Тогда
Подставляя полученные значения перемещений и используя
формулы из табл. 7, после преобразований окончательно имеем
Л10 = 0,139рг ]/Уз,
Qo = 0,368рг.
Из формулы (127) следует, что о2 = роц. Согласно энергетиче-
ской гипотезе прочности эквивалентное напряжение
оэкв = У 01 — oio2 + of, (233)
или
Оэкв = Ох |/'1 - Ц 4- рЛ
где р. —. коэффициент Пуассона; при ц = 0,3 о^кв = 0,896<7[.
Таким образом, поправка, обусловленная окружным изгиба-
Ю1ЦИМ моментом, мала, и ею можно пренебречь. Расчетными яв-
147
Ряс. 96. Схемы к расчету перемещений элементов узла:
а — основная система; б — реакции от единичного поворота; в — реакции от единичного
смещения; г — реакции основной системы нагрузок
ляются меридиональные напряжения в зоне сопряжения цилин-
дрической и сферической оболочек:
ai = Мо -ф
На основании уравнения (231) получим
°'1 = Р [o,834(r/s)2 -j-r/2s] =рг/(2$)(1 4- 1,668 |/r/s). (234)
В той же точке в окружном направлении
„ _ Гг ( „ 6Л1в 0,46рг [ 4 Г !
(72^_г+|Х~^- S—г т +
+ 0,3 • 0,84 1/ -0,21 V ’ (235>
С> f о о “ о
где Т2 — окружное усилие на краю оболочки.
По гипотезе прочности наибольших касательных напряжений
Рэкв = O'max ~ «пПп = оу + <Т2 = 1,05pr/S ]/r/S .
Рассмотрим важный для практики случай, когда сопряжение
цилиндрической обечайки со сферическим неотбортованным дни-
щем усилено кольцом (рис. 96). Примем размеры сечения кольца
следующие: 2/гХб/г; радиус сферы R — 2r, sc = sz, <р = 30°.
Решать данную задачу проще по методу перемещений, исполь-
зуя условные равенства внешних реактивных сил нулю, которые
действуют на сопрягаемые оболочки и кольцо в области возникно-
вения краевого эффекта. В месте сопряжения налагается условное
защемление системы от поворота и смещения. Канонические урав-
нения метода перемещений будут иметь вид
бац 4 Да12 ф- Мо = 0;
6a2i 4* 4- S Qe ~ О,
где 0 и А — неизвестные угол поворота узла и радиальное смещение узла в пло-
скости, нормальной к оси оболочки; = 1/6гд — единичные силовые коэффи-
циенты, представляющие собой сумму внешних реактивных сил, вызванных
148
циничными смещениями и поворотами (б^ ~ единичные перемещения);
ул ___суммы внешних реактивных моментов и поперечных сил, действующих
К защемленных краев сопрягаемых элементов от внешней нагрузки.
У Силовые коэффициенты
#н = #иц ~г #пс Н- #ик = 1/бцц + 1/бцс + 1/6цн;
#22 #22ц + #220 + #22к = 11Фбгц + 1 /^22с +
#12 = #21ц + #J2C "1“ #12к ~ 1/612Ц ~Ь 1/^120 -|’ О-
Значения 5(Ь. для цилиндра и сферы получают по
табл. 7 и уравнений (135), (136).
Для определения 611к рассмотрим кручение кольца постоянного
поперечного сечения равномерно распределенными по его оси мо-
ментами Мк (рис. 97, а). Ширина кольца Ь, внутренний его ра-
диус Г1, наружный г2, текущий г. В процессе деформации попереч-
ное сечение кольца поворачивается на угол 9 (рис. 97, б), отно-
сительное удлинение волокна на радиусе г и напряжение:
е = 0z/r; а = EQzlr.
(237)
(238)
(239)
данным
При равновесии половины кольца на пего действует сумма
моментов от нормальных усилий, действующих в поперечном
сечении и взятых относительно оси хх,
Откуда
+*/2 Q
( [ £4 |пА
J J Г 12 п
-h/2 г0
0 — 12M/£sk In R/ro
Сумма проекций на диаметр кольца элементарных пар сил,
скручивающих полукольцо, равна вектору с модулем Л1К- 2/?0.
Подставляя в формулу для Означение пары сил, удерживающих
в равновесии полукольцо, прило-
женной к каждому торцу и Л1 =
= 2/?0/2 = Мк7?о, получаем
0= 12^k/?0/£sk In —.
Го
Принимая приближенно In R/r0 &
Ь/Rfl и учитывая, что момент инер-
ции сечения кольца J — Ь&/12, окон-
чательно получим при = 1
д _ *о 12-Rg
El х Es^b ’
где 7?, = Го)/2ф
кручению-.Кольц,гвая п^стина,
подвергающаяся
cxo>LfCX€Ma Действия' крутящих моментов; б —
ема сечения, повернутого на угол 6
149
При принятых размерах сечения 2s X 6s и Ro = r0 + 3s; Ь
= 6s; sK — 2s
о 12 (г + 3s)2 = (r-|-4s)2 _ (r+_3s)3
°L1K £(2$)36s “ 4£s4 ~ 43,7s£> '
Перемещение
бмк определяют, используя формулу (96),
б2гк = (г + 3s)2/(12£s2).
Подставляя значения единичных перемещений в уравнения
(237) и (239), получаем
аи « 1,285 + 0,91 -!> D Д- =
у rs у rs V I •'jS)
. , L U w, / v I £ j X X/
У rs (r + 3s)2 J У rs
- 4,25 + 8,15 —4- 12 ( =
(rs)3/2 (rs>3/3 (r + 3s)”
__ 19 4___2__ l i о Es2
’ (rs)3-'2 H1J(r + 3s)2'
Единичные перемещения 612ц и 612с противоположны по знаку,
и по данным табл. 7 их значения равны. В связи с этим на осно-
вании уравнения (136) имеем а12 = 0.
Найдем
X Л1о = Л40ц ф- Л40с ~Ь 3'4К;
X Qo — Qt>n 4 Qoc -l_ Qoh,
где Л10Ц и Л40с; Q0IJ и Qoc — соответственно краевые изгибающие моменты и
поперечные силы в жестко защемленных по краю цилиндрической и сферической
оболочках, определяемые из уравнений (226) и (227), Л10С = 0,442prs и Qoc =
= 1,61р Уrs .
Для жестко защемленного кольца нагруженного внутренним
давлением р
Л4ок = 6, Qo« -- psK = 3ps.
Направление A1OII совпадает с 0, а направление Л1оо проти-
воположно ему, поэтому
Мо — ТИоц —' jWOc = 0,256prs — 0,082prs — — 0,174prs.
Аналогично получаем
L Qo = ~ Соц — Qoc — Qok = — 0,660/7 Уrs — 0,272р )/ rs — 2ps ==
— — ( 1,204/7 ]/rs 4 2ps) — — 1,204p У rs (1 4- 1,66 ]/rs/r).
Из уравнений (236) с учетом а12 = 0 получаем
л Zj Мо 0,3465prs Угз
4 “ ап У2О *
150
Подставляя значения D — Es3l [12 (1 —ц)21 и принимая
„ = 0,3, найдем
? 0-l,72p(r/s)3'2/£.
Из второго уравнения системы (236) найдем, приняв для упро-
щения г + 3s № г, _
1,634-^ н-шфд.
Е s 1+10,57 Ks/r
Полный меридиональный момент, приложенный к краю цилин-
дрической оболочки,
Л1щ = МйЦ -[• йццб + Л.
Подставляя в это уравнение значения величин, полученных по
приведенным выше уравнениям, после преобразований получаем
Л11ц = О,256р«+ l,285D//rs4- 1,72-Р (r/s)3/2/£ -ф
+ 2^D -1,165pr2/(£s) - .
14- 11,65 у sjr
Аналогично определяем меридиональный момент для сфери-
ческого днища.
§ 12. ДНИЩА АППАРАТОВ
Выпуклые днища
Как следует из формул (99) и (100), с точки зрения экономии
материала наиболее целесообразной формой элементов аппаратов,
работающих под давлением, является сферическая форма.
Однако, исходя из требований технологии соответствующих
процессов, аппараты выполняют в виде цилиндрических корпусов
с днищами и крышками, имеющими сферическую, эллиптическую,
плоскую и торосферическую форму (днище состоит из двух частей
сферы и тора) (рис. 98).
В сферическом днище напряжения без учета краевого эффекта
= £/?/(2s).
Оптимальное значение отношения высоты днища Н к радиусу
Цилиндрической обечайки примерно должно быть равно 1/2,
Тогда эпюры мембранных напряжений будут иметь вид, показан-
ный на рис. 98, а.
Мысленно отделив сферическое днище от обечайки, можно оп-
ределить действие на цилиндр меридиональной силы Тч0, ради-
альная составляющая которой (распорная сила) вызывает изгиб
Цилиндрической стенки. Для уменьшения этого воздействия не-
обходимо установить на краю цилиндрического корпуса специаль-
ное массивное кольцо. Невыполнение этого требования может при-
вести к возникновению опасных напряжений. Для исключения
151
т=рЛ
h 2
рО\
г
£_
2 8 Р°т
P
2
_ pR 5 „
г^Т,п~Т 16
в =37
P
S)
a)
возможности воздействия распорной силы
применяют эллиптические и торосфери-
ческие днища (рис. 98, б, в).
I
рР рР
4
Рис. *)8. Типы выпуклых днищ.:
а — сферическое; б — эллиптическое; в — торосфериче*
скос; г — эпюры изгибающего момента Mi и окружной
силы Тг в месте сопряжения днища с корпусом
№
T-JM
'т
^8°
Найдя меридиональный момент для сферического днища, легко
определить и краевые меридиональные напряжения. При уста-

новке кольца жесткости в месте сопряжения цилиндрического
корпуса со сферическим днищем, возникают локальные напря-
жения, иногда превышающие мембранные напряжения более чем
в 4 раза.
При конструировании емкостной и тепловой аппаратуры не-
обходимо уделять внимание вопросу уменьшения местных напря-
жений в местах сопряжения корпуса аппарата с днищем.
На рис. 98, б приведены эпюры напряжений в месте сопряже-
ния корпуса с днищем рассчитанных по мембранной теории оболо-
чек (днище эллиптическое, HD = 1/2; у = 3; Rlt = D).
В месте перехода от днища к цилиндру радиальная составля-
ющая меридиональной силы равна нулю. Однако в этом месте
окружное напряжение о, согласно формуле (99) равно—pD!2s.
Окружные напряжения в этом же месте в цилиндрической стенке
равны pD!2s. Следовательно, мембранные окружные усилия в месте
сопряжения корпуса и днища изменяются разрывно. Это относится
к окружной деформации. Так как в действительности такой разрыв
деформации не может быть в месте сопряжения оболочек, к без-
моментному состоянию добавится изгиб стенки.
Торосферическое днище как и эллиптическое, не передает
на цилиндрическую оболочку радиальной нагрузки от возника-
ющей в нем мембранной меридиональной силы. Найдем мембран-
152
Рис, 99. Расчетные модели выпуклых днищ:
а _ эллиптическое; б полусферическое; л — торосферическое
ные напряжения в торосферическом днище. Обозначим радиус
кривизны сферической части днища через R, радиус тороидального
закругления через а, угол наклона нормали на границе между
сферической и тороидальной частью днища через 6. Условием
плавности перехода от сферической части к тороидальной явля-
ются следующие равенства:
(R — a) sin 0О — D/2 — а;
R — (7? — a) cos 90
V ~ D/2 ’
где v = H/D/2.
При заданных величинах a, D и v определяют R и 0О. На-
3
пример, если v = 1/2 и а = D/8 R = -т-D; sin 0ft — 0,6. Обычно
задаются а = D/8.
Радиусы кривизны тороидальной части днища
г> „. о _ £>/2 —а(1 —sin0)
Rm — а, Rt — sin е
Используя уравнения (99) и (100), получаем выражения для
мембранных напряжений:
sin0);
о, = ога (2 - .
' т \ a sin 0 /
Для сферической части R,n — Rt = R
от = ot = p7?/(2s).
На рис. 98, а—в приведены эпюры Tt и Тт при v = —
и а = 0/8.
Как следует из приведенных эпюр мембранных напряжений
в переходных точках днища, окружные напряжения имеют раз-
рывы, что обусловливает наличие изгиба стенки и, следовательно,
искажение приведенной эпюры напряжений.
Используя приведенные выше канонические уравнения ме-
тода сил, получаем, что в месте сопряжения Л40 = 0 и Qo =
~ —рг/8рр.
153
Таблица 8
Значения напряжений в зонах перехода цилиндрического корпуса
в эллиптическое и сферическое днища в зависимости от их
геометрических характеристик
Напряжения в сечении стыка Отношение т и
ю о 1.5/0.75 2/1.6 со оо сч 3/2,1 3.5/2,75
«о 0,75 0,44 0 —0,44 —0,1,25 —2,06
0,65 0,83 1,9 1,43 1,83 —
0^2 max 1,03 1,07 1,13 0,19 1,28 —
Примечание: в числителе приведены значения отношения т, в знаме-
нателе — отношения Sjj/S}.
На основании формулы (126) имеем
= —-^-e-^sinpx.
На рис. 98, г показаны эпюры краевого момента и усилия Т2
в переходной зоне. Из приведенных выше рассуждений следует,
что плавный переход значительно снижает местные напряжения.
Максимальные напряжения в этом случае
6М1 6 0,040рг Л 14С рг г
~ P2as2 “ U’Д *
Для сферического днища без переходной зоны максимальные на-
пряжения равны [prls]/r/s].
Приведенный выше анализ свидетельствует, что характер
перехода от цилиндрического корпуса к днищу, а также форма
днища определяют напряженное состояние корпуса и днища в об-
ласти их сопряжения.
Значение и распределение местных напряжений обусловлены
изменением кривизны меридионального сечения и значениями пе-
реходных радиусов закругления.
Примеры рекомендуемых на основании расчетов и опыта эк-
сплуатации соотношений размеров корпусов и днищ приведены
в работе [56].
При конструировании емкостей и тепловой аппаратуры сле-
дует выполнять сварные швы вне зоны действия краевого эффекта.
Это необходимо во избежание суммирования краевых напряжений
с напряжениями (остаточными), возникающими в сварном шве
и околошовной области.
Длину переходов должны назначать из условия исключения
наложения напряжений соседних зон с краевыми эффектами.
Радиусы сопряжений необходимо выбирать таким образом, чтобы
154
переходы были плавными, обеспечивающими наименьшие значе-
ния краевых напряжений (табл. 8).
Из приведенных данных следует, что ’при отношении длины
большой полуоси эллиптического днища к длине малой т 2
напряжения в цилиндрическом корпусе по значениям близки к мем-
бранным 156].
Наиболее выгодными с точки зрения материалоемкости явля-
ются стандартные эллиптические днища с отбортовкой, благодаря
форме и геометрическим соотношениям которых краевой момент
не передается на цилиндрическую обечайку.
Радиус кривизны в вершине эллиптических днищ R равен
внутреннему диаметру днища D, и высота выпуклой части
днища И == 0.25D.
Как следует из формулы (100), максимальными напряжениями
являются окружные при 0 — 0. Определяя параметр у =
(£)/2)2 — (0.25Р)2 „ .
=' (О 25D)2—~ = 3 и подставляя это значение в формулу
(106), а также 0 = 0 и рассматривая радиус кривизны срединной
поверхности днища Я; = D + s/2, получаем
1
_ p(D + sR)(\ 4-3) 2 _ pD-±ps/2
G‘----------Ts ---2? '
Применяя гипотезу прочности наибольших касательных на-
пряжений и учитывая, что третье главное нормальное напряже-
ние щ можно принять равным нулю, можем написать
(240)
откуда толщина стенки эллиптического днища
s =____________________________PR___
2[о]—0,5р"
Эта формула согласно ГОСТ 14249—80 при Н — 0,25 D
_ PRP
1р 2 [о] <р — 0,5р ’
гДе Rp —. радиус кривизны в вершине (R = D); ср — коэффициент прочности
сварного шва.
Данная формула применима для расчета полусферических
Днищ, нагруженных внутренним давлением при Rp — D/2.
Исполнительная толщина стенки днища = slp + с (здесь
с — прибавка к расчетной толщине для компенсации коррозии).
Если длина цилиндрической отбортованной части днища
(Рис. 99, а, б) для эллиптического днища 1г > 0,8/. D ($j — с),
Для полусферического днища /х > 0,3/Z) (% — с), то толщина
155
Рис. 100. Зависимость коэффициента Р
от pi fa]
обе-
стенки должна быть не меньше
толщины цилиндрической
чайки.
Радиус кривизны в вер-
шине днища Я = В2/4//, для
эллиптических днищ R =D при
Н — 0,25£>, для полусферических днищ/? = 0,5D при Я = 0,5£>.
Для торосферических днищ, нагруженных внутренним давле-
нием, в ГОСТ 14249—80 приведена следующая формула для оп-
ределения толщины стенки в краевой зоне:
с _ PD^.
2<р [а] ’
(241)
si (31Д + с)>
где — наружный диаметр днища (рис. 99, в); — коэффициент, который
определяют по рис. 100 в зависимости от типа днищ.
Для торосферических днищ
параметров R, Dlt гх приняты
в зависимости от соотношения
следующие типы днищ:
A R^D1
В R « 0,9Dx
С R ж 0,8£>х
гх > 0,095В!;
> 0,170£>х;
гх 0,150Dx.
[Л, В, С — соответственно верхняя, средняя и нижняя кривые
(рис. 100)].
Расчетные формулы, рекомендуемые ГОСТ 14249—80, приме-
нимы при соблюдении следующий условий:
для эллиптических днищ
0,002 < (sx — с)/£) <0,1; 0,2 « HID < 0,5;
для торосферических днищ
0,002 « (sx — c)/D «0,1.
Конические днища аппаратов
Аппаратуру с коническими днищами применяют в пищевой
промышленности для облегчения выгрузки сыпучих тел или сгу-
щенных продуктов из аппарата под действием сил тяжести
(рис. 101).
В качестве примеров можно привести днища различного типа
отстойников бродильных чанов, разварников и т. д. Конические
днища применяют преимущественно в цилиндрических (сварных,
кованых и литых) аппаратах вертикального исполнения. Кони-
ческие днища отличаются от других неплоских днищ меньшей
компактностью. В процесс изготовления этих днищ входит валь-
156
Рис. 101, Бункер для приема и коагуляции крови и шлама:
коническое днище; 2 — лапа; 3 — цилиндрический корпус; 4 — коническая крышка
Цовка с последующей отбортовкой большого диаметра конуса под
Цилиндр. При больших размерах днищ их изготовляют состав-
ными.
При изменении диаметра трубопровода применяют конические
переходы от цилиндрических частей одного диаметра к цилиндри-
ческим частям другого.
157
Рис. 102. Соединение обечаек:
а — конической и цилиндрической; б — конической и цилиндрической обечаек с укреп-
ляющим кольцом; в — конической и цилиндрических обечаек с тороидальным переходом-
г — по меньшему диаметру
При изменении диаметра трубопровода применяют конические
переходы от цилиндрических частей одного диаметра к цилиндри-
ческим частям другого.
При выполнении днища коническим для облегчения выгрузки
осадков угол, дополняющий половину угла раствора конуса,
должен быть больше угла естественного откоса осадка, который
обычно колеблется в пределах 35—50°.
Угол раствора конуса конических днищ в основном принимают
равным 60° или 90° и только иногда он составляет 150°. При об-
работке вязких жидкостей и суспензий и склонных к налипанию
влажных порошкообразных и кусковых материалов рекоменду-
ется угол принимать равным 60°, при невязких жидкостей и су-
хих порошкообразных и кусковых материалов рекомендуется
угол принимать равным 90°.
Высота конических днищ обычно невелика, и давления газа
над уровнем жидкости значительно больше гидравлического дав-
ления. Поэтому конические днища рассчитывают по наибольшему
диаметру на условное давление, принимаемое равным сумме ра-
бочего и гидравлического давлений в нижней части конуса.
На основании уравнения (97) для конической обечайки имеем
= PPt/s-
Напряжение а, является наибольшим. В данном случае, как и
в предыдущем, считают, что имеет место плоское напряженное
состояние. Наименьшее главное нормальное напряжение Щ
принимают равным нулю. По теории наибольших касательных
напряжений
Ъкв = — 0 =- рр,/$; оЯКЕ = [о].
Радиус кривизны срединной поверхности конической оболочки
в широкой части (р,)ор = D/(2 cos а) + s/2. Подставляя (р?)ср
в последнее уравнение и решая полученное равенство относительно
158
тоПщины стенки $, а также учитывая коэффициент прочности свар-
ного шва, получаем
5"-2гХР=7 <М2>
Si Гэ S + С.
Эта формула рекомендаована ГОСТ 14249—80.
Для смягчения воздействия на сопрягаемые элементы распор-
ных сил и снижения краевых напряжений конические днища ча-
сто соединяют с цилиндрическими корпусом с помощью усилен-
ной переходной части (рис. 102).
Исполнительная толщина переходной части (ГОСТ 14249—80)
с
W 2[<7]ф2— р ’
(243)
*$2 — 8зд Д' С,
где Pi — расчетный коэффициент формы,
(3j — max {0,5, (244)
(здесь х — отношение допускаемых напряжений первого участка переходной
части к напряжениям второго участка).
Толщина стенки второго участка переходной части должна
соответствовать условию

Расчетные длины переходной части аг и а2 определяют
с учетом протяженности зоны краевого эффекта по формуле
(рис. 102, а)
Й1 = 0,7 1/(si - с); а2 0,7 1/ —(-3—с)-,
1 ’ г cosaf 1 п * ’г cosa2
При соединении конической обечайки с цилиндрической и
укрепляющим кольцом при ах < 60° и (sj — с) > (s2 — с)
(рис. 102, б) площадь поперечного сечения кольца должна быть
Достаточной для восприятия распорной силы и краевых усилий.
Для определения площади сечения кольца ГОСТ 19249—80 ре-
комендует следующую формулу:
. _ pD2 tg а
8[а]кФаЯ
/, Рл + 0,25
V 0 + 0,25 /’
159
где [о ]к и <ра% — соответственно допускаемое напряжение и коэффициент проч-
ности сварного шва для укрепляющего кольца при расчетной температуре; R.
и р — коэффициент формы, ’
При применении укрепляющего кольца необходимо проверить
прочность сварного шва по формуле
2Х^4Лк/£>,
где У/;—суммарная ширина несущих сварных швов между укрепляющим
кольцом и обечайкой.
Часто применяют соединение конической и цилиндрической
обечаек с помощью тороидального перехода (рис. 102, в), который
уменьшает краевые напряжения. Толщина стенки переходной
части при условии < 70° и 0 < r/D < 0,3
с — PD^3
R 2[а]фЛ— р'
где р3= max (0,5; 0; 0Т}, 0, следует определять по формуле
0,028 4г 1/ —аг
Dr s — с
К cos а
При соединении штуцера или внутреннего цилиндрического
корпуса с конической обечайкой (рис. 102, г) толщина стенки
при условии а < 60° и s2 рг + с
_ рР04
2[а]гфк—р’
где 04 = max {1; 0Н}
И
Ри -0,4 X
* s2 —
X ------ I/ —----!—------р I/ 1 + х -1——.
\s2 — с / г (s3 — с) cos а. г \s2 — c/
Приведенные формулы применимы при условии а с 70°; r/D
< 0,3.
Сварной шов, соединяющий коническое днище с цилиндриче-
ским корпусом, не должен быть расположен в зоне краевого эф-
фекта.
При работе аппарата в сварных швах не должно возникать
дополнительных напряжений от изгиба, в связи с чем не допуска-
ется сварка днищ внахлестку; рекомендуется сварка листов сты-
160
косыми швами равной толщины. Для доведения толщины цилиндри-
ческой отбортовки до толщины обечайки часто производят ме-
ханическую обработку внутренней стороны с углом скоса 1 : 3.
Плоские днища аппаратов
Эти днища применяют в аппаратах, работающих под малым
иПи атмосферным давлением, например в заквасочниках для при-
готовления чистых культур молочнокислых бактерий. В аппаратах,
работающих под большим давлением, плоские днища выполняют
массивными.
Плоские днища рассчитывают как круглые сплошные пла-
стины, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой.
Максимальное напряжение пластины, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой и свободно опертой, по периметру
при |л = ОД <ттах — 9,9p/?a/8s2. В то же время для сферической
оболочки наибольшее мембранное напряжение сг|11ах = pR (2s).
Следовательно, при одинаковых толщинах сферического и пло-
ского днищ, нагруженных одинаковым давлением р, отношение
максимальных напряжений составит 2,5^/s.
В месте сопряжения цилиндрического сосуда и плоского днища
имеет место большой изгибающий момент. В этом случае, напри-
мер при Rls = 15, местные напряжения в 10 раз превышают зна-
чения мембранных, однако в месте сопряжения сосуда со сфериче-
ским днищем это превышение является четырехкратным и может
быть снижено благодаря плавному переходу от корпуса к днищу.
Таким образом, плоские днища нецелесообразно применять
в аппаратах, работающих под давлением. При необходимости
допускается применение плоских неотбортоваиных круглых днищ
при условии, что днище будет приварено внутри сосуда или ап-
парата. Днище к корпусу приваривают двусторонним швом
со скосом его кромок. Допускается также односторонний шов
со скосом кромки днища и проваром на всю толщину днища.
Плоские круглые днища чаще всего применяют в вертикаль-
ных аппаратах, установленных на сплошном основании и работа-
ющих без давления или под налив.
Используя уравнения (61)—(63) для случая действия на пла-
стину только равномерно распределенной нагрузки, получаем
выражения для изгибающих моментов и углов поворота;
Mr = Мо + pr4?rq\
Mt = Mo + qr^tq\
O(p + <?гыи-
При свободном опирании пластины по контуру можно исполь-
зовать краевое условие М.г = 0 при г = R и, подставляя в урав-
6 Соколов В. И. 161
Рис. 103. Типы плоских днищ (крышек):
а —• привариваемое с одной стороны (тип 1); б — кованое днище с цилиндрическим уча-
стком (тип 2); в — днище с отбортованными краями (тип 3); г — приварное штампован-
ное (тип 4); д —• крышка, присоединенная к обечайке с обеих сторон по всей толщине
(тип 5); е — плоское днище, зажатое между фланцами (тип 6); м — днище, привари-
ваемое к обечайке с обеих сторон по всей толщине (тип 7); а — днище, привариваемое
к обечайке с одной стороны (тип 8); и — днище, присоединенное на болтах к флаицу
(тип 9)
нение (62) значение сопровождающей функции фг<7 (см. табл, 6)
с учетом л3 = 0/г = 0, получаем
откуда
м _ <(3+^
---------16----•
к
Подставляя в уравнения (62) найденное выражение Л1о, а
также значения сопровождающих функций и (см. табл. 6),
получаем выражения для МГ и Mt, из анализа которых видно,
что изгибающие моменты достигают максимума в центре днища при
г = 0, т. е. Л4шах = Мо. Максимальное напряжение
(оДпах — (°/)max = g^2 (3 Ц) pR\ (247)
При жестком закреплении пластины по контуру можно ис-
пользовать краевое условие <р = 0 при г = R и аналогичным об-
разом доказать, что наибольшее напряжение будет на краю
пластины:
(Отах = 3p/?2/(4s2).
Рассуждая так же, как и при расчете сосудов, и применяя
гипотезу прочности наибольших касательных напряжений, эк-
вивалентное напряжение приравниваем допускаемому. Если для
обобщения вместо числового коэффициента, зависящего от спо-
соба опирания пластины, в формулу (247) для напряжения (оДпах
подставить коэффициент А, а вместо R подставить D/2, то полу-
чим следующее условие прочности:
A\pD2/(4s2) < (сг 1.
162
Тогда толщина днища с учетом прибавки к толщине на корро-
зию ____
sx = KDVpIte] + с. (248)
В связи с тем, что в реальных конструкциях характер за-
крепления не может быть точно отнесен к одному из двух крайних
рассмотренных случаев, рекомендуется на основании опыта при-
лимать коэффициент К в зависимости от конкретной конструктив-
ной схемы днища. Например, для плоских днищ, привариваемых
к обечайке с одной стороны (рис. 103, а), К = 0,45 при (s — с)/
/(S1 с) < 0,5 и /( - 0,38 при > 0,5; DR = D. Для ко-
ваных днищ с цилиндрическим участком (рис. 103, б) при /ix
5» /D (s - с) Л' = max }о,45 (1 - 0,23 ; 0,35}; при Л±<
< l/'D(s- c) К = max }0,47 (1 - 0,23 ; 0,40j; DK = D - rB.
Для кованых днищ (рис. 103, г) при (s — с) | (Sj — с) 0,5
Л' = 0,41; при ($ — с) | («х — с) 0,5; DR = D К = 0,38.
Для днищ с отбортованными краями (рис. 103, в) при /гх
5» I/D (s — с) К — шах '0,45 ( 1 — 0,23 }}; 0,35}; при /ix<
< |/D (з - с) К —max jo,41 (1 -0,23 £5^); 0,40}; DR = D - rB.
Для крышек (рис. ЮЗ, д) К — 0,40; DR = D3.
Для крышек (рис. 103, е) К — 0,41; DR = DCTt.
Для плоских днищ, привариваемых к обечайке с обеих сто-
рон по всей толщине (рис. 103, ж), при (s — с) | (Sx — с) < 0,5
Л = 0,41 и при (s — с) | (sx — с) 0,5 К = 0,38; — D.
Для плоских днищ, приваренных к обечайке с одной стороны,
(рис. 103, к), К = 0,53.
Значения коэффициента К, приведенные выше, а также для
других случаев и условий закрепления днищ регламентирует
ГОСТ 14249—80. В этом ГОСТе рекомендуется, для плоских
крышек с дополнительным краевым моментом (рис. 103, и) коэф-
фициент %! определять по следующей формуле:
Д1 = 0,41]]/
1 341 (Оз/Рсп — О
D3/ Осп
где if = i _|-2——; Ro — реакция прокладки.
0,785^
Если днище или крышка ослаблены одним или несколькими
отверстиями, то коэффициент К должен быть умножен на коэффи-
циент ослабления Ло.
Коэффициент ослабления для днищ и крышек с одним отвер-
стием

6*
163
Рис. 104. Схема плоского днища с отверстиями
Коэффициент ослабления дЛя
днищ и крышек с несколькими от-
верстиями (рис. 104)
/ »-S(W)3
где Од — расчетный диаметр днища; d — диаметр отверстия днища или крышки,
мм; 2d; — max {(dx-p d8); (62 + Z>3)}.
Величины [сг], ср и с принимают в соответствии с
ГОСТ 14249—80.
§ 13. УКРЕПЛЕНИЕ ВЫРЕЗОВ ОТВЕРСТИЙ
В аппаратах необходимо предусматривать отверстия для при-
соединения трубопроводов, установки лазов, смотровых люков,
загрузочных и разгрузочных приспособлений и т. д.
Например, отверстия в испарителе вакуум-выпарной устано-
вки производства сгущенного
лабляют стенку и служат
концентраторами напряже-
ний. В связи с этим реко-
мендуют для укрепления
вырезов и отверстий приме-
нять специальные кольца,
привариваемые к стенке ап-
парата и патрубку, или
усиливать патрубки.
При укреплении выре-
зов (рис. 106) напряженное
состояние в области выреза
выравнивается и снижается
концентрация напряжений.
Степень концентрации на-
пряжений у неукрепленных
круговых вырезов определя-
ется геометрическими соот-
ношениями между размерами
отверстия и аппарата. Так,
для цилиндрических оболо-
чек концентрация напряже-
Рис. 105. Испаритель вакуум-выпар-
ной установки для производства сгу-
щенного молока с сахаром:
1 — патрубок; 2 — смотровые люки;
3 — манометр; 4 — люк
молока с сахаром (рис. 105) ос-
164
Рис. 106. Укрепление круговых вырезов корпусов аппаратов:
а — примыкающим патрубком; б — примыкающим патрубком со сваркой всей поверх-
ности; в — примыкающим патрубком и накладкой; г, ж -- сварным кольцом и при-
мыкающим патрубком; д — сквозным сварным патрубком; е — примыкающим патруб-
ком с коническим переходом; з — сквозным патрубком и сварным кольцом; и — свар-
ным коническим патрубком
ний в области круговых вырезов возрастает с увеличением
отношения радиуса выреза к радиусу обечайки и уменьше-
нием отношения толщины стенки обечайки к ее радиусу.
Укрепления можно разделить на две основные группы: с па-
трубками, примыкающими к корпусу (рис. 106, а, б, в, и),
ис патрубками, пропущенными (сквозными) через стенку корпуса
(рис. 106, д, з). Последние более эффективны, так как усилива-
ется поверхность корпуса, для которой характерна наибольшая
коцентрация напряжений. Укрепляющее действие примыкающего
патрубка снижается по мере увеличения толщины стенки корпуса
сосуда.
Укрепления вырезов сварным кольцом и примыкающим патруб-
ком, сквозным патрубком к сварным кольцам (рис. 106, г, ж, з)
являются предпочтительными, так как сварку производят вне
зоны наибольших напряжений.
Соединения (рис. 106, б, в), в которых патрубок прилегает
к стенке выреза не по всей поверхности, не рекомендуют приме-
нять при циклических нагрузках.
Укрепление отверстий рассчитывают при проектировании со-
судов, работающих под давлением. В основу расчета положен
метод, основанный на предельных нагрузках. Площадь продольного
сечения выреза компенсируется применением накладок или усилен-
ных патрубков.
Расчет укреплений отверстий на основе этого метода может
быть применен для сосудов и аппаратов, выполненных из
материалов, хорошо работающих в упругопластической и пласти-
ческой стадиях при заданных температурах. Условием примени-
мости данного метода расчета является работа аппаратов при
165
ции, разрушение их не должно
Рис. 107. Укрепление отверстия утолще-
нием стенки штуцеров и накладным
КОЛЬЦОМ
нагрузках, не вызывающих
усталостные разрушения. Со-
суды и аппараты, укрепление
вырезов и отверстий которых
рассчитывают с использова-
нием этого метода должны быть
безопасными при эксплуата-
сопровождагься аварией.
В табл. 9 через s обозначена исполнительная толщина стенки,
через dv, D, DK — соответственно расчетный диаметр отверстия,
внутренний диаметр цилиндрической обечайки или выпуклого
днища, внутренний диаметр конической обечайки (перехода
или днища) по центру укрепляемого отверстия. Отверстия в кра-
евой зоне обечаек и днищ не допускаются.
Согласно ГОСТ 24755—81 вырезы для многих отверстий не
требуют укрепления в виде усиленного штуцера или накладного
кольца, если при заданном диаметре ослабление стенки сосуда
полностью компенсируется общим утолщением стенки сосуда
с учетом технологических, эксплуатационных и других требова-
ний.
К таким отверстиям можно отнести небольшие одиночные от-
верстия, диаметр которых
d07? = 0,4 (s — с),
где Dp — расчетный диаметр, для цилиндрической обечайки Dp = D для ко-
нической Dp == D1;/cosa, для сферических и торосферических днищ Dp~ 2R-
Если стенки аппарата имеют избыточную толщину, то при
укреплении отверстия (при отсутствии усиленного штуцера и
Таблица 9
Условия применения формул для расчета укрепления отверстий
(ГОСТ 24755-81)
Параметр Цилиндри- ческие обе- чайки Конические обечайки (переходы и днища) Эллиптиче- ские Днища Сферические и торосфер.1 ческие днищз
Отношение диаметров dp/D<l,0 dp>DK gC 1,0 dp/DC0,5 dp/Ds£0,5
Отношение толщины стен- ки обечайки или днища к диаметру s/Ds^O,! п О’1 cos а s/D<0,l s/D С 0,1
166
накладного кольца)
условие [79]:
(рис. 107) должно быть соблюдено следующее

(249)
где Fq — площадь сечения стенки сосуда, участвующая в укреплении; F' —
площадь, подлежащая компенсации.
На основании рис. 107 имеем
F' — [d -j- 2с — 0,4 l' Dp (s — c)sp,
Fo = 2LP (s — sp — c),
где Sp — расчетная толщина стенки; Lp — расчетная ширина кольца стенки,
участвующая в укреплении в области действия краевых напряжений,
Z,p = ]/ Рр (s — с).
Подставляя в неравенство (249) значения F', Fo и решая по-
лученное уравнение относительно d, получаем формулу для оп-
ределения допускаемого диаметра d0, отверстия, не требующего
дополнительного укрепления,
4 = 2
L \ sp
— 0,875^ Dp(s — с) — с]
(250)
При укреплении отверстия штуцером условие укрепления
имеет вид
где F{ — площадь сечения стенки штуцера, участвующая в укреплении.
Подставляя в это условие значения Fo, F', F' и Lp, получаем
2[]/F>p(s - c) + $i- slp-c] + 2ZX (sx - sxp - с) +
-|- 2Z2 (sx — 2c) [d 2c — 0,4 J/Z)p(s — c)] sp, (251)
где sx— исполнительная толщина стенки штуцера; slp — расчетная толщина
стенки штуцера; 1Х и /2 — исполнительные длины участков штуцера.
Расчетные значения частей штуцера определяют как меньшее
из двух значений или по рис. 108:
внешней части
Zx = 1,25 V(d + 2с) (sx — с) ;
внутренней части
Z2 = 0,5 K(d + 2с) (sx — с).
Из неравенства (251) с учетом уравнения (250) после преобра-
зования и введения допускаемых напряжений получим условие
укрепления
[Gip + s sp — с) ($Хр — sXp — с) 4- Z2p (sx — 2с)] хх +
+ /£)р (s — с) (s — 0,875sp - с) > + с) $р,
где и = Одоп/адоп 1 (здесь сгдоп и одоп —допускаемые напряжения для мате-
риала штуцера и обечайки).
[67
Рис. 108. Способ определения зоны укрепления около штуцера произвольной формы
Рис. 109. Укрепление отверстия утолщением стенки или накладным кольцом
При отсутствии штуцера укрепление отверстия накладным
кольцом проверяют по условию (рис. 109)
/+ 5 — Т) (х252р 4- 5 - 0,875/?) > (d/2 4- с) ,»р,
где s2[) — расчетная толщина накладного кольца.
Условие укрепления отверстия штуцером и накладным коль-
цом имеет вид
Fo + F' 4- F2 > F',
где F2 — площадь сечения укрепляющей накладки.
Рассмотренный метод укрепления вырезанного отверстия,
широко применяемый при расчетах аппаратов, обладает сущест-
венными недостатками, хотя и имеет теоретическое и экспери-
ментальное обоснования [80]. Условия укрепления отверстий
связывают между собой толщину, длину укрепления штуцера,
толщину и ширину накладного кольца. Для определения одного
из этих параметров необходимо задаться тремя остальными, что
ведет к многозначным результатам. Однако этот метод остается
широко распространенным, и на его данных базируются требова-
ния ГОСТ 24755—81.
Изложенная методика может быть применена при расчете укреп-
лений вырезов в стенках сосудов, изготовляемых из материалов,
хорошо работающих в упругопластической стадии при заданной
рабочей температуре, а также в случае, когда нагрузки не при-
водят к усталостным разрушениям материала конструкции. Дан-
ная методика может оказаться неудовлетворительной в тех слу-
чаях, когда сосуды и аппараты изготовлены из хрупких матери-
алов, имеют хрупкие покрытия, выполненные из пластических
материалов, работающих при низких температурах или нагруз-
ках, приводящих к усталостным разрушениям материала кон-
струкции.
В настоящее время имеются другие методы расчета укрепления
отверстий, отличающиеся от рассмотренного метода. Один из
способов расчета соединения штуцера с цилиндрическим аппа-
ратом разработан ЛенНИИхиммашем 1801. На расчетной схеме
168
рис ПО- Угловые о и линейные координаты
точек обечайки штуцера
этого способа (рис. I10) показана
неподвижная плоскость 7\, прохо-
дящая через оси обечайки и штуцера,
и подвижная плоскость Т2, проходя-
щая через ось штуцера и образую-
щая угол ю с неподвижной плоско-
стью 7\. Угол а и координаты Н и х
определяют положение любой точки
обечайки штуцера. Эксперименталь-
ные данные свидетельствуют о том,
что максимальные напряжения конструкции имеют место у свар-
ного шва при • й = 0°, а при 0° < ® с 60° напряженное со-
стояние обечайки в качественном отношении оказывается близ-
ким к напряженному состоянию осесимметричной цилиндри-
ческой оболочки.
Составляя уравнения совместности деформации края штуцера
и обечайки в точке О и решая их, определяем значения толщины
стенки обечайки и штуцера в зоне концентрации напряжений:

где D nd — внутренние диаметры обечайки и штуцера; [о] 1,5г|а-3; [о]' =
— 1,5 1)0' (здесь т) — известный коэффициент, учитывающий классы и условия
Рис. Ш, Способы укрепления отверстий в цилиндрических обечайках:
G — укрепление нс требуется при sK < s; < sT; б — утолщением штуцера при $к < s;
$1 5т; ° ~~ утолщением обечайки сварным кольцом при sK > $; г — сварной обечай-
кой при Sj > sT; д — совместным утолщением штуцера и обечайки сварным кольцом
при $1 ~>^т; е — сварной обечайкой при < sy
169
Рис, 112. Определение коэффициента концентрации напряжений kQ у выреза в цилин-
дрической обечайке:
а — зависимость от отношения d!D', б — зависимость поправочною коэффициента k
от отношения толщины стенки sR к диаметру обечайки Г)х
эксплуатации оборудования; ат и а' — пределы текучести материалов обечайки
и штуцера).
SK )> !
При Sj с $т (здесь
При sK < $! (здесь $! — толщина стенки обечайки) укрепления
отверстия не требуется, и в дальнейшем принимают sK = sr Если
Sj, то необходимо произвести утолщение стенки штуцера до Sy.
. > sT — фактическая толщина стенки присо-
единенного к обечайке патрубка)
в укреплении отверстия нет необ-
ходимости, и принимают sx = sT.
Однако производят утолщение стенки
штуцера до sx, если sx > sT.
Ширина усиленной части обе-
чайки L и протяженность усилен-
ной части штуцера I обусловлены
Рис. 113. Сопряжение корпуса с патрубком
170
I
зоной краевого эффекта и приближенно определяются с по-
мощью формул
L — VDsK; I — У (d ф- Sj) Sj.
В этих зонах не должны иметь место другие концентраторы
напряжений и факторы, вызывающие краевой эффект днища, флан-
ца, опор и т. д.
Усиленную часть обечайки рекомендуется выполнять в виде при-
варенных к ней сварного кольца или части обечайки, исходя из эко-
171
Рис. 115, Бобышка для крепления смо-
трового стекла у испарителя вакуум-
выпариой установки
комических и технологических
(при данном значении d/D)
соображений. В этом случае
обеспечивается более надежное
соединение штуцера и обечайки
: рациональных сварных стыко-
возможно и использование
вых швов вместо швов внахлестку при^применении накладок.
Способы укрепления вырезов отверстий в цилиндрических
обечайках показаны на рис. 111.
Коэффициент концентрации напряжений в круговых вырезах
обечаек сосудов можно приближенно определять с помощью гра-
фиков, построенных теоретически и на основании эксперименталь-
ных данных (рис. 112, а, б). Наибольшее напряжение в зоне
концентрации (точка А, рис. ИЗ) для кругового выреза, подкреп-
ленного патрубком в цилиндрическом сосуде, под действием
внутреннего давления
о -ka р {D 4 S1)
vniax — >
где аа — коэффициент концентрации напряжений; k — поправочный коэффи-
циент; D — диаметр обечайки; s — толщина стенки обечайки; р — давление.
Иногда укрепление отверстия осуществляют путем совмеще-
ния укрепляющих колец с фланцами. Такие совмещенные фланцы
называют бобышками, и их приваривают к аппарату (рис. 114,
115). Недостатком бобышек является большая толщина, а также
опасность прилипания и обрыва шпилек при демонтаже.
§ 14. КОЖУХОТРУБЧАТАЯ ТЕПЛООБМЕННАЯ АППАРАТУРА
В пищевой промышленности широко применяют аппараты для
нагревания, охлаждения или выпаривания многих видов сырья,
полуфабрикатов и продуктов.
Современные теплообменные аппараты должны обеспечивать
передачу требуемого количества тепла от одной среды к другой
с получением необходимых конечных температур и при возможно-
сти большой интенсивности теплообмена.
Для осуществления длительной работоспособности в процессе
эксплуатации при обработке среды, загрязненной или выделяю-
щей отложения на стенках аппарата, необходимо производить
периодические осмотры и очистку поверхностей [42].
Аппараты должны обладать достаточной прочностью и иметь
возможно малые габаритные размеры. При конструировании необ-
ходимо находить оптимальные решения, учитывающие требования
обеспечения возможности разборки рабочей части аппарата и
герметичности системы каналов, возможно высоких коэффициен-
тов теплопередачи за счет повышения скорости движения рабочей
172
рис. Ив. Кожухотрубчатый теплооб-
ценный аппарат
среды при минимальных ги-
дравлических потерях в ап-
парате. В пищевых и хими-
ческих производствах до
70 % теплообменных аппа-
ратов применяют для сред
жидкость — жидкость и пар — жидкость при давлении до
1 МПа и температуре до 200 °C. Для указанных условий
разработаны и серийно изготовлены теплообменные аппараты
общего назначения кожухотрубчатого и спирального типов.
В последнее время получают распространение пластинчатые
теплообменные аппараты общего назначения. Одним из пре-
имуществ трубчатых теплообменных аппаратов является про-
стота конструкции. Однако коэффициент унификации узлов
и деталей размерного ряда этих аппаратов, являющийся от-
ношением числа узлов и деталей (размеры одинаковы для всего
ряда) к общему числу узлов и деталей данного размерного ряда,
составляет примерного, 13. ВДо^же^время этот^коэффициент при-
менительно к пластинчатым теплообменным аппаратам составляет
0,9. Удельная металлоемкость кожухотрубчатых аппаратов(в 2—3
раза больше металлоемкости новых пластинчатых аппаратов.
В пищевой и смежных отраслях промышленности нашли ши-
рокое применение горизонтальные кожухотрубчатые теплообмен-
ники (рис. 116).
По трубному пространству горизонтальных теплообменников
проходит теплоноситель /, а по межтрубному пространству, раз-
деленному двумя перегородками на три секции, теплоноситель II.
При конструировании кожухотрубных идругихтеплообменных
аппаратов необходимо учитывать, что для тепловой обработки
пищевых продуктов важнейшими факторами являются темпера-
турный режим и общая продолжительность теплообмена. В связи
с этим необходим обоснованный выбор скорости движения про-
дукта.
Конструкция теплообменного аппарата зависит от тепловой
нагрузки, параметров теплоносителей (температуры, давления)
и их агрегатного состояния, физико-химических свойств теплоно-
сителей, их расхода, степени загрязненности и других факторов.
Режим работы теплообменного аппарата и скорость движения
теплоносителей необходимо выбирать таким образом, чтобы от-
ложение загрязнений на стенках происходило возможно медленнее.
Например, если охлаждающая вода отводится при температуре
45—50°, то на стенках теплообменного аппарата интенсивно оса-
ждаются растворенные в воде соли.
Для выбора допускаемых напряжений материала стенок аппара-
тов, а также для вычисления температурных напряжений с до-
173
рис. 117. Трубные решетки:
а — приваренная к корпусу; б— зафиксированная между фланцами; в— присоединен
ная к фланцу кожуха на болтах
статочной для практики точностью среднюю температуру стенки
определяют по формуле
/сР=ах+4)/2,
где /х и tr — температура стенки со стороны соответственно холодного и горячего
теплоносителей;
tr Т — k А/ср/аР = Т — q/ar;
t -J- k A^Gp/c&x = t -j- t//ocx
(здесь T — средняя температура горячего теплоносителя, градус; t—средняя
температура холодного теплоносителя, градус; аг и ах — коэффициенты тепло-
отдачи горячего и холодного теплоносителей к стенке, Вт/(м2-К); k — коэффи-
циент теплопередачи в Вт/(м2'К); q — удельная тепловая нагрузка в Вт/(м2-К).
При конструировании следует обоснованно решать вопрос о на-
правлении теплоносителей в трубное или межтрубное простран-
ство. Например, теплоносители, загрязненные и находящиеся под
давлением, обычно направляют в трубное пространство. Насы-
щенный пар лучше всего подавать в межтрубное пространство, из
которого легче удалить конденсат. Чистка трубного пространства
(в котором вероятнее всего будут выпадать загрязнения) легче,
а живое сечение для прохода теплоносителя меньше. Вследствие
этого в трубном пространстве можно обеспечить теплоносителю
более высокие скорости и, следовательно, более высокие коэффи-
циенты теплоотдачи.
К основным элементам теплообменных аппаратов относятся
трубные решетки, трубные пучки, плавающие головки, сальни-
ковые уплотнения и др.
Рис. 118. Способы крепления труб в трубных решетках:
а, б — развальцовкой; в — сваркой; г — пайкой; д — склейкой
174
рис. 119. Соединение труб с трубной решеткой
с помощью сальников
Трубные решетки представляют
собой перегородки, отделяющие
трубное пространство от межтруб-
ного. В трубных решетках закреп-
ляют блоки, трубки теплообменных
аппаратов. Существуют различные
способы крепления трубных реше-
ток (рис. 117). Конструкция узла
соединения трубок с трубными решетками должна обеспечивать
достаточную плотность и прочность соединения.
Чаще всего применяют способ закрепления стальных труб мето-
дом развальцовки (рис. 118, а, б). При этом способе в отверстие
доски устанавливают конец трубы, который расширяют, обкаты-
вая его роликами инструмента, называемого вальцовкой. Про-
точка канавок на образующих поверхностях отверстий’в досках
и разбортовка концов труб на конус (рис. 118, б) способствуют
увеличению сопротивления разрушению соединения труб и досок.
Рис. 120. Линзовые компенсаторы:
о — схема крепления па теплообменнике; б — сварная линза из двух штампованных
частей; в — линза, изготовленная из тора (три части) и двух колец: а — плоское кольцо,
приваренное к отбортованным частям кожуха; д — тор с щелью, приваренный к кожуху:
а — многоволновый компенсатор; 1 — линза; 2 — кожух теплообменника
175
Рис. 121. Теплообменники:
а, б — с сальниковыми компенсаторами на
фланце кожуха; в — с сальниковыми ком-
пенсаторами в кожухе; / — кожух; 2 —
сальниковый компенсатор: 3 — фланец ко-
жуха; 4 — фланец крышки; 5 — трубная
решетка; 6 — крышка; 7 — уплотняющее
кольцо
Для обеспечения высокой
плотности соединения и на-
дежности трубы приваривают
(рис. 118, в), хотя при этом
способе замена труб затруд-
нена. В аппаратуре из меди
применяют пайку и заливку
концов труб мягким припоем
трубы из полимерных материалов, то соединение их с трубными
(рис. 118, а). Если применяют
досками производят с помощью склейки (рис. 118, а).
При соединении труб из хрупких материалов или при необхо-
димости температурной компенсации применяют соединение с по-
мощью сальника (рис. 119), обеспечивающего независимое рас-
ширение каждой трубы. Такое соединение целесообразно при не-
большом числе труб.
Если температурные напряжения, возникающие в стенках
теплообменника или трубках, оказываются большими, то необ-
ходимо предусматривать температурную компенсацию.
В аппаратах в основном применяют гибкие компенсаторы (лин-
зу, сильфон, мембрану), которые устанавливают между частями
аппарата, имеющими различную температуру, и сальниковые ком-
пенсаторы, допускающие свободные относительные перемещения
отдельных частей аппаратов.
Для круглых элементов аппаратов, диаметр которых превышает
100 мм, обычно применяют линзовые компенсаторы, состоящие из
одной и более линз (рис. 120). Линзы выполняют штампованными
или из кольцевого тора, выполненного с прорезью, разрезанными
или сварными волнообразной формы. Их изготовляют также из
176
(2'2. Узел соединения трубной ре-
рлтКи с крышкой и кожухом тепло-
обме»ноГО аппарата:
. расчетная схема узла и его эле-
Л нтов; <5 — расчетная схема трубной
М₽шетки, рассматриваемой как равно-
Eadho нагруженная пластинка, лежа-
щая на упругом основании
кольцевой пластины, при-
варивая ее к отбортованным
частям корпуса. Одна линза
компенсирует небольшие
температурные деформации
(4—5 мм), набор линз (не
более четырех) позволяет
компенсировать деформации
до 15 мм.
Линзовые компенсаторы
применяют в вертикальных
и горизонтальных аппаратах
и трубопроводах при избы-
- точи ом давлении, составляю-
щим не более 1,6 МПа. При
значительно больших дав-
лениях (более 1,6 МПа)
в теплообменной аппаратуре
применяют сальниковые ком-
пенсаторы. Однако сальни-
ковые компенсаторы могут
пропускать рабочую среду,
что требует их периодиче-
ское регулирование, в связи
с чем сальниковые комлен-

датпппшнпшшш

б)
саторы применяют для аппаратов с малыми диаметрами.
Сальниковые компенсаторы (рис. 121) выполнены с мягкой
набивкой из неметаллических материалов в виде шнура или колец
соответствующего профиля, а также в виде стандартных манжет
из кожи, резины, пластика и других материалов. Теплообменные
аппараты обычно являются статически неопределимой системой,
что обусловливает сложность их механического расчета.
При разработке наиболее оптимального метода расчета тепло-
обменных аппаратов возникла необходимость рассмотреть расчет
жесткости трубных решеток при изгибе, напряженного состояния
перфорированных плит трубных решеток, допускаемых напряже-
ний.
При механическом расчете теплообменный аппарат разделяют
на простейшие элементы: крышку, трубную решетку с трубным
пучком, фланец, представляющий собой кольцо прямоугольного
сечения (рис. 122, а), кожух рассматриваемый, как цилиндриче-
ская оболочка.
177
Рис. 123. Схема для определения диаметв
окружности, вписанной в максимальную (и?*
трубную зону с'
Трубную решетку с трубным
пучком представим в виде пла-
стины, лежащей на упругом ос-
новании и нагруженной как рав-
номерно распределенным давле-
нием, так и сосредоточенными
краевыми силовыми факторами
(рис. 122, б). Из уравнений равновесия и условия совме-
стности деформаций определяем силовые факторы, возникаю-
щие при взаимодействии указанных выше элементов. Совме-
стная работа упругого кольца и осесимметрично нагружен-
ной оболочки может быть рассмотрена без сложных зависи-
мостей, однако изгиб трубной плиты, лежащей на двухмодуль-
ном основании, характеризуется сложными зависимостями.
Следует отметить, что цилиндрическая жесткость трубной ре-
шетки зависит от .вида перфорации. На жесткость трубной решетки
влияет также вид обработанных концов труб (развальцованных
или сварных). Цилиндрическая жесткость плиты с равномерной
и часто выполненной перфорацией меньше цилиндрической жест-
кости D сплошной плиты:
- фО; ф < 1,
где ф — коэффициент, характеризующий влияние перфорации.
При известных значениях ф легко определяют деформации пер-
форированной плиты с помощью зависимостей, характеризующих
деформации сплошной плиты. Однако единого определения не
имеется. Наиболее простая из известных зависимостей ф от ди-
аметра трубы имеет вид ф = d7/3.
Экспериментально установлено, что жесткость решетки с валь-
цованными концами труб может быть определена по формуле
= Ф (1 4 0,ld/sp),
где sp — толщина трубной решетки.
Определение напряжений изгибу в перфорированной плите
является сложным. Необходимо учитывать концентрацию напря-
жений у отверстий и напряженное состояние плиты, обусловленное
процессом развальцовки концов труб и совместной работой ре-
шетки и концов труб.
На основании экспериментальных исследований можно сде-
лать вывод, что для определения напряжений в трубных плитах
необходимо скорректировать напряжения в сплошной плите, вводя
коэффициент прочности решетки
% = GP -
где tv — шаг расположения отверстий в решетке; — диаметр отверстий в ре-
шетке.
178
РИС. <24- зависимость ft от А' и В’
При экспериментальных ис-
следованиях установлено, что
уменьшение толщины трубных
решеток возможно при пласти-
ческих деформациях в элемен-
тах теплообменника. Однако
упругое основание сдерживает
развитие пластических дефор-
маций в плите. Это не снимает
необходимости знать допусти-
мые пластические деформации.
В связи с тем, что теплооб-
менные аппараты работают в
различных периодически пов-
торяющихся тепловых режи-
мах, можно ожидать разруше-
ния трубных решеток при де-
формациях, значительно мень-
ших деформаций при одно-
кратном нагружении. Опасные
деформации зависят от числа
циклов нагружения, т. е. от числа режимов. Если отсутствуют
экспериментально установленные зависимости допускаемых зна-
чений деформаций от числа режимов, то может быть рекомен-
дована следующая зависимость:
[в] с 1,3 [о]/Е,
где [о] — допускаемое напряжение, МПа; £ —модуль продольной упругости
материала при растяжении, МПа.
Толщину трубной решетки обычно назначают из конструк-
тивных соображений, но она во всех случаях не должна быть
меньше толщины, определяемой по расчету круглых пластинок,
Sp 5» 0,5De I/ (рт — рх)/\а] + с, (252)
где рт и рм — расчетное давление в трубном и междутрубном пространствах;
De — диаметр окружности, вписанной в максимальную беструбную зону
(рис. 123); D Еmax {£>£;[а] —допускаемое напряжение; с — прибавка
на компенсацию коррозии (ОСТ 26 1185 -82).
Для многоходовых аппаратов толщина трубной решетки (по
трубному пространству) без учета прибавки на коррозию к рас-
четной толщине в сечении канавки должна быть равна или бо-
льше I/ фр или I — }/ Т" ("Г— 1) (здесь tn — шаг располо-
жения отверстий в зоне паза, мм; tp — шаг расположения отвер-
стий в решетке, мм).
179
рис. 125. Расчетная кривая усталости для углеродистых сталей (до температуры 380 °с)
При конструировании теплообменной аппаратуры необходимо
стремиться, чтобы в местах крепления трубной решетки к фланцу
или кожуху не создавалась большая концентрация напряжений.
Если эффективный коэффициент концентрации напряжений ka <
<1,7 и теплообменные аппараты работают под давлением не
более 6,4 МПа и перепаде температур менее 40 °C (что характерно
для пищевой промышленности), то применяют упрощенный расчет
аппаратов, при этом (а — <72)/sp < 3 [здесь а и аг — внутренний
радиус кожуха и расстояние от оси кожуха до оси наиболее уда-
ленной трубы; Sj, — толщина трубной решетки (OCT 2G 1185—811)
(253)
где sK — толщина стенки кожуха; т|т и т|м — коэффициенты влияния давления
на трубную решетку,
<4
. г {4т — 25,-)*
Пт — 1 " о-------- и 1]м — I---------у
4Д|
(здесь 4Т и sT — наружный диаметр трубы и толщина стенки труб; I — число труб);
Д = / (А', В') определяют по рис. 124:
Л' = ШтЬг: (254)
(здесь р0— приведенное давление; [аа ] — амплитуда напряже-
ний материалов для труб, решетки, МПа, [аа] определяют по
рис. 125; — коэффициент жесткости перфорированной трубы,
значения которого в зависимости от % следующие:
Т|т......... 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,70 0,75 0,8 0,85
тр,......... 0,2 0,15 0,2 0,25 0,30 0,37 0.44 0,51 0,59 0,60
180
Приведенное давление
Pq — ^о) ' &Т (4 4) Д' (Лт ' I 4“ /^СрН"^П (^п 4"
4- 0,5^)1 Рт — Мм — 1 + тСр 4- mn (mD 4- 0,Зр/гр)] рм,
0,15({dT-sT4. , ,
где «ср ==---- 2-----’ Юк’ ~ температурные коэффициенты линейного
а1
расширения материалов кожуха и труб, К"1, /к, tr, f0—средняя температура стенки
кожуха, стенки труб и сборки аппарата, °C (tQ ~ 20 °C); тп — относительная ха-
рактеристика беструбпого края, та = а/а^, ky— модуль упругости основания
(системы труб), ky — ЕТ (Т)7- — iqM)/j (здесь I — половина длины труб); kp и k4 —
коэффициенты изменения жесткости системы труба—кожух.
Для теплообменных аппаратов с неподвижными трубными ре-
шетками kp = kq -- 1, для аппаратов с компенсатором на кожухе
, I , Лв£и«К , > 1 51 (^КОМ 4<Ом) 4<SK
V-1+-/£—’ = 1-----------Ош---------’
где Ек — модуль продольной упругости материала кожуха; Е>Ком и <4ом — на-
ружный и внутренний диаметры компенсатора; sK — толщина стенки кожуха,
= ^ком^ком^к'^ком^кои
(здесь Еком — модуль продольной упругости материала компенсатора, бком —
толщина стенки; п — число линз (волн) компенсатора; Лк — определяют в за-
висимости от отношения Рком = ^ко.м'Е'ком, значения Рк()м следующие:
₽ком.......... 0,51 0,53 0.55 0,57 0,59 0,61 0,63 0,65
Лк ............. 23,4 29,0 35,9 44,8 56,0 70,3 88,8 113
рвом.......... 0,67 0,69 0,73 0,73 0,75 0,77 0,79 0,82
Лк ............. 145 187 245 324 436 597 834 1451
При расчете теплообменных аппаратов необходимо проверить
условие прочности крепления труб в решетке:
| Абгг j [Л')т. р, (255)
где Мт. — осевое усилие в трубе; [;V).r. р — допускаемая нагрузка на соединение
трубы с решеткой, причем при развальцовке [Л']т. р — d-clR [?],
(здесь 1Н— глубина развальцовки труб; [?] — допускаемая нагрузка на еди-
ницу условной поверхности соединения трубы с решеткой (МПа), значения ко-
торой для гладко завальцованных труб q — 14,7; для завальцованных в пазы
<1 ~ 29,4 МПа; и завальцованных с отбортовкой q — 39,2 МПа.
Допускаемая нагрузка на соединение трубы и решетки, вы-
полненного сварным и сварным с подвальцовкой,
[Л/]т.р= min {[о]т; |<т]р|;
<р0= min {0,5; (0,95 —0,2 1g Л/Д,
где 6 — высота сварного шва в месте сварки трубы с решеткой; N — число цик-
лов нагружения за расчетный срок службы (рекомендуется принимать М —
== 20 000," если это число циклов не задано).
Для случая развальцовки со сваркой
[ЛЧт.р ^dTlB[q] 4- l,946<p0min |[ЦТ][Ц]Р).
181
Осевое усилие кожуха
---(256)
Осевое усилие трубы
— “У l(W« ~ 11тРт) +• /2Ро1> (257)
где А = У «/(у z + kq), г = ] •
Трубы теплообменных аппаратов должны быть проверены на
прочность по известной формуле
.____1^1
rt (dr— sT) sT T*'
Устойчивость труб теплообменных аппаратов проверяют по
следующей формуле:
<ртл (dr -sT)Sr < [(rk’ <258)
где фг— коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при продольном
изгибе, определяемый по рис. 126 и зависящий от коэффициента X, характеризую-
щего приведенную гибкость трубы с учетом условий ее опирания,
Х=.-1,з1/Izk-Jp—
Г Ет Uf — St
[здесь 1р = I — расчетная длина аппаратов без перегородок в кожухе, /р =
— max {/sr; 0,7/^} (12ц и 1хц — максимальные пролеты трубы между перегород-
ками или между решеткой и перегородкой)].
Толщина трубной решетки теплообменных аппаратов с П-об-
разными трубами, плавающей головкой и компенсатором на пла-
вающей головке
5₽=тг У +с>
где р = max {]рм | рт |; (рт — рм)}.
При конструировании трубчатой теплообменной аппаратуры
большое значение имеет правильное расположение труб в трубных
решетках. При расположении труб в трубных решетках по вер-
шинам равносторонних треугольников (рис. 127) удается равно-
мерно расположить на данной площадке трубной решетки наи-
большее число труб. При расположении по вершинам квадратов
межтрубное пространство более доступно
для очистки.
Зазор между трубами принимают при
расположении по треугольникам б ==
•= 0,866/ — с!0, при расположении гю
Рис. 126. Зависимость срт f (Л)
127. Схема расположения
•’ трубной решетке ка-
^оризатора вакуум-выпарного
аппарата
квадратам 6 = t — d
(здесь t — шаг между
трубами; do-—диаметр
трубного отверстия в
решетке).
Комбинированное
расположение приме-
няют в многоходовых
теплообменниках для
облегчения размещения
перегородок.
При расположении
трубной решетки по
вершинам треугольни-
ков сечение трубного
пучка вписывается в
правильный шести-
угольник. Если необхо-
димое число труб в
пучке превышает 127,
то в сегментах между крайними рядами труб и кожухом следует
дополнительно располагать трубы. Дополнительное число разме-
щаемых по сегментам труб составляет 10—18 % числа труб,
расположенных в пределах
наибольшего шестиугольника.
Плавающие головки полно-
стью отделяют пучок труб от
0 7 6 5
Рис. 128. Теплообменник с малогабаритной плавающей головкой:
{ — кожух; 2 — фланец кожуха; 3 — фланец днища аппарата; 4 — фланец головки;
— днище головки; 6 — днище аппарата; 7 — трубка; 8 — трубная решетка
^Ис* 129. Теплообменники с плавающей головкой:
Диаметр0СТ0ЯИНЫМ П0 ДлИНе аШ1аРата диаметром; б — с перемещенным по длине аппарата
183
Рис. 130. Теплообменник «труба в трубе»:
1 — внешняя труба; 2 - внутренняя труба; 3 •- штуцеры с накидными гайками
кожуха, в результате чего не возникают термические напряжения.
Наиболее распространенная конструкция плавающей головки,
применяемая для теплообменников, работающих под давлением
до 20 МПа, показана на рис. 128. Диаметр трубной решетки та-
кой плавающей головки должен быть меньше внутреннего диа-
метра кожуха для облегчения извлечения трубчатки из кожуха.
Для уменьшения размеров плавающей головки изменена конст-
рукция уплотнения и уменьшен диаметр окружности расположе-
ния болтов.
Теплообменники с постоянным диаметром по всей длине удобны
при сборке. Сборка теплообменников с переменным по длине диа-
метром (рис. 129) затруднена, так как плавающую головку (по
габаритным размерам) в собранном виде невозможно поместить
в кожух без трубчатки. Теплообменники с постоянным диаметром
не имеют этого недостатка, так как плавающую головку можно
собирать и разбирать вне и внутри кожуха, Кроме того, теплооб-
менники с постоянным диаметром по длине предпочтительнее
теплообменников с переменным диаметром потому, что при очистке
их межтрубного пространства не приходится разбирать плаваю-
щую головку.
Для эффективной работы теплообменника желательно, чтобы
средняя часть была выполнена с наименьшим диаметром; при этом
обеспечивается наибольшая скорость продукта и, следовательно,
создаются оптимальные условия для теплопередачи. Это и явля-
ется причиной изготовления теплообменников с переменным
диаметром по длине. Однако уменьшать диаметр средней части
аппарата имеет смысл лишь при значительных размерах плаваю-
щей головки. При применении малогабаритной плавающей головки
отпадает необходимость в изготовлении теплообменников пере-
менного диаметра. Малогабаритная плавающая головка свободно
располагается и в наименьшем сечении кожуха.
184
131. Схемы компенсации теплового
расй«Рения наРУжн0Й ст€нки
В пищевой промышленности
применяют также теплообмен-
ники «труба в трубе» (рис. 130).
Преимущество таких теплооб-
менников заключается в воз-
можности! создания полного противотока при высоких ско-
ростях теплоносителей в трубном и межтрубном простран-
ствах, даже' при; их малых расходах. При повышенных ско-
ростях и наличии противотока обеспечивается значительный ко-
эффициент теплопередачи и, следовательно, уменьшается расход
металла на единицу передаваемого тепла в 1 ч. Однако теплообмен-
ники такого типа имеют большие габаритные размеры по сравне-
нию с кожухотрубчатыми.
Температурные напряжения в теплообменниках «труба в трубе»
определяют по методике, аналогичной методике определения этих
напряжений в кожухотрубчатых теплообменниках. Различие за-
ключается в том, что в теплообменниках «труба в трубе» вместо
корпуса и трубок рассматривают наружную и внутреннюю трубы.
В пищевой промышленности широко применяют аппараты
с рубашечной поверхностью теплообмена. В этих аппаратах техно-
логический процесс может осуществляться под давлением (авто-
клавы), под разрежением (вакуум-аппараты) и при атмосферном
давлении (открытые варочные котлы).
В замкнутое пространство между аппаратом и рубашкой по-
даются теплоносители. Рубашка может быть доведена или не дове-
дена до верхнего фланца аппарата. Обычно верхний край рубашки
расположен выше уровня среды внутри аппарата. Пар подается
через верхний штуцер, конденсат удаляется в нижней части
аппарата. При необходимости охлаждения среды в аппарате ох-
лаждающий агент вводится снизу, а удаляется в верхней части.
В этом случае обеспечивается постоянное заполнение рубашки
жидкостью.
Крепление рубашки к аппарату может быть разъемным и не-
разъемным. Разъемное крепление применяют при необходимости
в периодических осмотрах наружной поверхности аппарата и при
невозможности применения сварки корпуса аппарата с рубашкой,
например в чугунных аппаратах или из цветных металлов и спла-
вов.
Для компенсации теплового расширения в соединении стенок
аппарата применяют линзовые компенсаторы. В этом случае па-
трубки выполняют длинными и малой жесткости (рис. 131). Ру-
башка находится под действием давления р2, развиваемого в про-
странстве между рубашкой и аппаратом и вызывающего растя-
жение ее стенок, а корпус аппарата — под действием внешнего
Давления, равного р2 — pv
J85
Рис. 132. Аппарат с У-образ
ной рубашкой:
а — с коническим сопряженн.
ем; б — с кольцевым сопрд*
жением
В пищевой промыщ.
ленности чаще приме-
няют аппараты с U-об-
разной и цилиндри-
ческой рубашками
(рис. 132).
Расчет этих аппара-
тов может быть раз-
личным. Рассмотрим
особенности расчета ап-
паратов с (Лобразной
рубашкой. Обозначим
через pt и рг расчетные
давления в сосуде и
рубашке.
При расчете аппа-
ратов на внутреннее
давление при рг > 0 за расчетное давление для рубашки прини-
мают р2, а для сосуда рг. Внешнее расчетное давление в зоне
рубашки р2 или р2 — рг. При pj < 0 при расчете на наружное
давление за расчетное давление для сосуда принимают | /?х |, а
в зоне рубашки р2 + | рг |.
Направляющие спирали, применяемые в зоне рубашки для
интенсификации теплообмена, можно рассматривать как кольца
жесткости, если шаг спирали не превышает 0,3£>! (здесь Dr —
внутренний диаметр сосуда).
При расчете днища рубашки отверстие диаметром d± не учи-
тывают.
При проектировании аппаратов с рубашкой следует рассчиты-
вать сопряжение рубашки с корпусом. Различают сопряжения ко-
нические и кольцевые.
Рассмотрим расчет конического сопряжения (рис. 133).
Допускаемое избыточное давление для рубашки,, рекомендуе-
мое стандартом СЭВ 3650—82
_ 2(а]2(«2-с)фр2 в
IP2j~ D3 + (s2--c) А ’
(259)
где s2 — исполнительная толщина стенки цилиндрической обечайки рубашки;
[оЗа — допускаемое напряжение материала стенки рубашки; — коэффициент
прочности сварного продольного шва рубашки; D2 — внутренний диаметр ру-
башки; А и В — коэффициенты осевого усилия и конического сопряжения.
186
Рис. I33* Коническое сопряжение аппарата с рубашкой
Коэффициенты осевого усилия и конического сопряжения
А - (DjD2 - d])/D22;
В = 2 1/ 3s~c min {х4; х2; х3|,
7 ^2
где
1 е \ 4 cos а ' '1 /
Хг — 1 1 + <Рл, fz',
3 13 1 \ р4 cos а 1 '4
(здесь а — угол конического сопряжения; фЛ] и <р/?г — коэф-
фициенты прочности сварного шва аппарата и рубашки; е — коэф-
фициент, учитывающий расстояние от корпуса до рубашки;
X — коэффициент длины сопряжения; х — коэффициент, харак-
теризующий прочность корпуса сосуда по сравнению с прочностью
рубашки.
Коэффициенты е, X и х можно определить по .следующим
формулам:
в— 10У D2{s2 — с);
% = У 2 « + 0,45р; а =45°;
х= 1 25 |<т|1 (S1 ~ (S1 ~ сГ х
[я] г (за — с) У D% (sa — с)
у [1/1 । 1/1 ।
Х [ г 2 [<у]1 (S — с) V “Г 2 [<у]1 (S1 —- с) J ’
где 1а — расстояние от середины стенки рубашки до наружной стороны стенки
г | 0 5s
аппарата; р = -8 ——-X..... (здесь г0 — внутренний радиус кривизны отбор-
V Dt (аг — с)
товки для конических сопряжений); fi, /2, /3 и /4 — коэффициенты прочности, оп-
ределяемые по рис. 134 при а = 45°.
187
2Р
Рис. 134, Коэффициенты прочности в зависимости от вспомогательных параметров:
а — /1 = f (X, х); б — /2 = f (р, в); в — f3 — I (р. е); г — ft = / (р, в)
Толщина стенки конического сопряжения должна быть равна
или больше талщины стенки сопряжений цилиндрической ру-
башки.
Рассмотрим кольцевое сопряжение рубашки с корпусом.
Допускаемое избыточное давление в рубашке
[рг] = [о_о] УР,,/М0 (№ 4- Мг + Мз),
188
рис. 135. Кольцевое сопряжение аппарата с рубашкой
где [а0 ]—допускаемое напряжение для кольцевого сопряжения;
»- rh~° -
К D1 (31 - С)
М*=^
м (s2 - с) ф/t, Рг(Зг-с) .
2 ' 2MoWo Dr (st-с) ’
М3 = min{Q№; Мг (1 4-2М)};
<?о = -°1Ф/?г/(2^Фр„)
(здесь hB — исполнительная толщина кольца; Ьо — ширина кольца (рис. 135);
Qo — геометрический параметр кольца; |ос ] — допускаемое напряжение для ма-
териала кольца; фр0 — коэффициент прочности сварного радиального шва в
кольце сопряжения).
Высота кольца (рис. 135)
h0K = V'Di ($i — с) max {f/ \рМ0 — Af2)/(1 + <2)1
j/"piMi — Mi — М2 -f- M% — M j;
hf> ^OR + C>
где
n =----------
[ff!o фр»
При наличии в последней формуле отрицательного радикала со-
ответствующий член при определении максимума не учитывают.
Расчетные коэффициенты прочности сварного шва для колец
(рис. 135, а, б, в)
1; о
Ф«1 - / а \2 ;
thT)
Для колец (рис. 135, е)
I Фг«
44 ~ I 0; 0 ’
где <рг1 — коэффициент прочности сварного кольцевого шва рубашки.
189
Рис. 136. Сосуд с цилиндрической рубашкой:
а — с коническим сопряжением; б — с кольцевым сопряжением
Аппараты с U-образной рубашкой подвергают расчету на
нагрузку от действия силы тяжести.
Осевое усилие от действия на сосуд и рубашку силы тяжести
аппарата Gr и силы тяжести находящейся в нем среды G2:
+G2 опоры на сосуде;
—Gj опоры на рубашке.
С учетом осевого усилия и избыточного давления в рубашке
производят проверку несущей способности аппарата:
, 4Г ! j
fP»] р
где Гри 1 —допускаемое значение избыточного давления для конического сопря-
жения для кольцевого сопряжения.
Конические сопряжения рубашек аппаратов с цилиндрической
рубашкой (рис. 136) удовлетворяют условиям прочности, если
толщина стенки сопряжения равна толщине стенки цилиндриче-
ской обечайки рубашки, а также
/0 < 1,8 |/Z)2 ($2 — с).
При кольцевом сопряжении рубашки с корпусом высота по-
следнего
h0R = У
Ло max |s8; Аад + с}.
190
Тип 7
Рис. 137. Схема опирания ап-
парата:
а — на лапы; б — типы лап
Важными конструк-
тивными элементами
емкостей и тепловой
аппаратуры являются
опоры, например лапы
(рис. 137). Конструкция и размеры лап стандартизованы, их
выбирают в соответствии с ОСТ 26-665—79.
Нагрузка на одну опору
Q = T^G/n + %2Л1/(Р + 21,),
где 0 — сила тяжести аппарата, включая и находящуюся в нем среду; п — числа
лап, выбираемое по конструктивным соображениям; М — момент внешних на-
грузок, задаваемый перед расчетом, МН-м; и Х2 —- коэффициенты, зависящие
от числа лап; при п = 2 h, = \> - 1; при п = 3 = I; Ла = 1,3; при п — 4
Xj = 2; Х2 = 1; I, — плечо нагрузки Q относительно срединной поверхности кор-
пуса, /х —
6 + f max + «о +
2
(здесь b— величина, показанная на рис. 137, б), м; /тах — максимальный зазор
между аппаратом и подпорной рамой, м (рис. 137, a); s0 — толщина стенки ап-
парата в конце срока его службы.
В соответствии с РТМ 26-319—79 обязательным элементом
проверки правильности выбора опор является определение мак-
симальных значений мембранного напряжения ога в стенке кор-
пуса аппарата от действия основных нагрузок и реакции опоры
и напряжения при изгибе от действия реакции опоры сги:
<7т — °7n0 ± k\Ql\lDSf),
сги = kQljhsQ,
где Сто — меридиональное напряжение в стенке аппарата, равное pD/ls^,
— коэффициенты, определяемые по рис. 138, а, б для лап типа 1.
191
Рис. 138. Кривые для расчета опор:
а — -- f (V); б — kz =- f (у)
Затем проверяют условие
прочности
0,8 аи
/4
(260)
где от — значение предела текучести материала стенки при расчетной темпера-
туре; А = 1 для условий эксплуатации и А = 1,2 при транспортировании и
гидроиспытаниях.
Если условие (260) не выполняется, то требуется применить
накладной лист, располагаемый на корпусе аппарата под лапой и
служащий для увеличения области местных нагрузок. В этом
случае необходимо воспользоваться методом расчета, приведенным
в РТМ 26-319—79.
Наряду с рассмотренными выше лапами в пищевой промышлен-
ности широко применяют и другие виды опор (РТМ 26-111—77
и РТА') 26-110—77), например трубчатые, на которые опирается
горизонтальная цистерна для молока (рис. 139).
При конструировании опор горизонтальных аппаратов следует
проверить стенку корпуса на устойчивость в местах опирания.
Критическая нагрузка Ркр может быть приближенно найдена
при рассмотрении опоры аппарата как круговой арки постоянного
сечения с шарнирно опертыми концами, находящейся под дей-
ствием равномерно распределенной нагрузки (рис. 140):
= ~ О’ (261)
192
Рис, 139. Горизонтальная цистерна
ДЛЯ молока на трубчатых опорах
Рис. 140. Схема к расчету стенки
корпуса на устойчивость в местах
расположения опор
В приведенном уравнении J — момент инерции поперечного
сечения полоски листа шириной, равной ширине опоры и кольца
жесткости, если последнее имеется. Момент инерции берется от-
носительно оси, параллельной оси аппарата, проходящей через
центр масс сечения.
Действительную нагрузку, приходящуюся на 1 см длины опор-
ной поверхности, находят делением реакции опоры аппарата на
проекцию дуги опорной поверхности на хорду;
при а = 120°
Рл = PK$R sin а/2);
(262)
Рд = P/(0,866D).
(263)
Действительная нагрузка
должна быть меньше допустимой:
Рд -- Р
(264)
где т — запас устойчивости, который рекомендуется принимать равным 5.
Пример. Произвести прочностной расчет выпарного аппарата (рис. 141)
на рабочий режим, по данным теплового и конструктивного расчетов.
Исходные данные следующие:
6* = 2а = 2а = 1800 мм — внутренний диаметр кожуха;
01 = 870 мм — расстояние от оси кожуха до оси наиболее удаленной теплообмен-
ной Трубы;
7- = 2/ = 2500 мм — длина теплообменных труб;
rf-r = 38 мм — наружный диаметр труб;
= 2,5 мм — толщина стенок труб;
i = 740 — число труб;
= 47 мм — шаг расположения отверстий в решетке;
do = 39 мм — диаметр отверстия в решетке для труб;
6 = 8700 кг—масса аппарата;
М = 10 000 — число теплосмен, которое может иметь место в течение всего срока
службы аппарата;
Рк~ 1,18 МПа — расчетное давление в междутрубном пространстве;
Рт = 0,5 МПа — расчетное давление в трубном пространстве;
= 25 °C — разность температур кожуха греющей камеры и трубок;
7 Соколов В. И. 193
Рис. 141. Схема к расчету проц
пости выпарного аппарата
ат = ак = 1,2-10-? 1/град. — Ко_
эффициент линейного расширения
материалов труб и кожуха-
Бр = Б-г = Бк = 1,9- 10s МПа
модули продольной упругости ма-
териалов решетки, труб и кожуха
(углеродистая сталь при темпера-
туре до 100 °C);
[о] = 134 МПа — допускаемое на-
пряжение для углеродистой стали
ВСтЗ при температуре 100 °C;
De = 100 мм — диаметр окружно-
сти, вписанной в максимальную
беструбную площадь;
ф = 0,9 — коэффициент прочности
сварных швов.
с = 1 мм и с = 4 мм — прибавка
к толщине на компенсацию корро-
зии для стенки цилиндрической
обечайки греющей камеры, а также
конического днища и обечайки и
крышки аппарата;
dn = 450 мм — диаметр отверстия
в крышке аппарата.
от = 200 МПа.
Решение. По формуле
(224) определяем толщину стенки
цилиндрической обечайки греющей
камеры:
г- =0,001 + 0,00985 м = 10 мм.
Предполагая, что обечайка соединена с жестким фланцем, определим мест-
ное меридиональное напряжение у заделанного ее края. Аналогично рассуждая,
как в примере на стр. 93, и пользуясь формулой (226) для Мо, имеем

2,04-1,18.0,9
0,009 х
= 216,6 МПа.
Полученное местное напряжение превышает допустимое напряжение для дан-
ного материала: 221,9 МПа > 134 МПа.
Имеются сведения о возможности повышения значений допускаемых напря-
жений для местного напряжения в 1,3 раза [47 ]. В данном примере можно принять
[с]тп= 134-1,3 = 174 МПа. И при этом значении допускаемого напряжения тол-
щина стенки обечайки греющей камеры является недостаточной.
Опуская определение местного окружного напряжения, которое по значению
меньше меридионального, и применяя гипотезу наибольших касательных напря-
жений, устанавливаем, что ах = Оэкв- Приравнивая Cj допускаемому напряже-
нию и решая полученное равенство относительно толщины стенки и вводя в урав-
нениё-коэффициент прочности и прибавку к толщине стенки на коррозию, полу-
2,04рг
2,04-1,18-0,9
174-0,9
-[-0,001 =

= 0,0138-}-0,001 =0,01.
чаем
194
0,5-1,8
Толщину стенки цилиндрической обечайки аппарата определяем по той же
(Ьормуле, но при другом значении прибавки к толщине стенки на коррозию:
’ 2 04 0 5 0 9
s ,= + 0,004 = 0,0059+0,004 = 0,0099 « 10 мм.
174 0,9
Для аппарата используем эллиптическую крышку, толщину стенки которой
находим по формуле (240) (Rp = D)
pRp J-/- 0,5-1,8 ППП4 —
Sk ~ 2[о]ф —0,5p + 2-134 0,9 +0,5-0,5 + 0,004
= 0,00372 + 0,00400 = 0,0072 « 8 мм.
При проверке по формуле (250) установлено, что необходимо укрепить вырез
отверстия в крышке, В связи с элементарностью расчет укрепления не приводим.
Толщину стенки конического днища определяем по формуле (242):
s _ рР 1 — 0’5' 1’8______1_ _ о 0049'
2 [а] <р — р cosa ~ 2-134-0,9 — 0,5 0,76 ’ ’
Sx = s + с — 4,9 + 4 «а 9 мм.
Коническое днище целесообразно применить с торообразным переходом.
Испольнительную толщину стенки тороидального перехода конической обечайки
определяем по формуле (245).
Производим расчет трубной решетки. Определяем вспомогательные величины:
коэффициенты влияния давления на трубную решетку (см’ стр. 180)
i (+г - 2sT)2 = 1- 740- (38-2-2,5)* = Q ?34;
Т|т —
4а1
Нм =
4-870s
________«2=0647
4о2_____4-870* U’°
Модуль упругости основания (системы труб)
= £т(т]т-Пм) = 1.9-Ю» (0,734- 0,647) = 13 224
*у I 1250,
Приведенное отношение жесткости труб к жесткости кожуха
ky^l — (г)т — Пм)«1 (0,734 — 0,647) 870 - -
Р £KsK IEksk - зл - 15 “0,и0-
Относительная характеристика беструбного края
тн = alar = 900/870 = 1,035,
mcp = <115.740. (38-2,5)t = OJ848
Приведенное давление
Po = м Д/fey/ + [и]т -— I + map + /Пд (mn + 0,5)] — [т)щ — 1 + mep +
+ mn (mD + 0,3p)] pM = 10-5-1,2-25-13,224-1250 + (0,734 — 1 + 0,1848 +
+ 1,035 (1,035+ 0,5)] 0,5- [0,647— 1 +0,1848 +
+ 1,035 (1,035 + 0,3-5,05)] 1,18 = 2,730 МПа.
Коэффициент ослабления трубной решетки
Фр = I — do/ip = 1 — 39/47 = 0,17.
По кривой (см. рис. 125) определяем допускаемое значение амплитуды услов-
ных упругих напряжений при числе циклов нагружения, равном 10 000, за рас-
четный срок службы аппарата [<га ] = 280 МПа.
7*
195
По данным на стр. 180 при фо =
= 0,734.
Тогда коэффициенты
Л' -- Ро
2 [<та] фр
В' = -2М. = .
f СПт) находим значение ф0 = 0,49 при т,т
SK
_ 2,730
2 280 - 0,17 °’0286’
°’49'1250 = 40,83.
(265)
15
(266)
По рис. 124, а находим значение = 0,07 соответствующее полученным зна-
чениям А' и В'.
Толщину трубной решетки определяем по формуле (253);
Л«к 0,07-15
зр —-----------------------
Т)т - Ом 0,734 — 0,647 12>069-
лринимаем sp = 12 мм.
Толщину трубной решетки проверяем по формуле (252);
s= 0,5L> )/ —T[oi^tl = 0,5'0,l V ^ЛМ’0~ ” 0,0035 м = 3-6 мм-
Осевое усилие в кожухе по формуле (256)
*.—(*-- .-0,9= (0.5 _ » !27,10=Н.
Осевое усилие в трубе согласно формуле (257) может быть определено после
нахождения коэффициента f2 и г:
z = 43’7 = Г 5к 13 - 43,7
2 В' Lsp (Пт + Чи) J ~ 40,83
L 12 (0,734 + 0,647) J ’ ’
тогда
ft = У~г/(Уг + 1) = vz0,793/(/0J93 + 1) = 0,485.
Осевое усилие в трубе
па\
Nt = ~~ [(ЛмРм — ПтРт) + f 2Р0] =
3140 872
= ~ ~ (0,647-1,18 — 0,734-0,5] + 0,485-2,73 = 5,525- 10s//.
740 1
Проверяем прочность трубы по формуле (258):
Nti __ 6,44-103 _
п(+ —sT)sT 3,14 (0,038- 0,0025)-0,0025 ’
Рассчитываем опоры (лапы) (см. стр. 191)'.
По требованиям монтажа необходимо установить опоры с вылетом b = 230 мм.
В соответствии с условиями монтажа и эксплуатации аппарата принимаем
число лап п — 4. Предварительно выбираем опору по ОСТ-26-665—79, имеющую
размеры: b — 230 мм; h = 360 мм; fmax = 60 мм; G — 87 000. Н.
Определяем плечо нагрузки по следующей формуле (принимаем s0 = зк);
I . & + /max + So 23 + 6,0+1,5 ,
С1 — — — - — —— 1 D, Z CM,
Нагрузка на одну опору
Q = KtGIn = 2-87 000/4 = 43500 Н.
196
Нагрузка допустима для выбранной опоры (допустимая нагрузка 6300).
Определяем соотношение параметров аппарата и опоры:
D 1800 .n h 360 _ „
7 = ^ = ППГ=60: 7Г = Т8оо=0’2-
(267)
Напряжение от действия внутреннего давления
pD 1,8-1,18
атв=^Г^ЮТ-==35’4МП%
Максимальное мембранное напряжение от основных нагрузок и реакции
опоры определяем по формуле
<тт = Ото ± - 35,4- Ю6 ± 4|5о°лп11^2 = (35,4 Ю« ± 163- 10») Н/м*;
(^т)тах =51,7 МПа; (C0n)mln — 19,1 МПа,
Коэффициент kt — 1 определяют по рис. 138, а. Максимальное напряжение
при изгибе от реакции опоры определяем по формуле (см. стр. 191):
, Qli 0,67-43500-0,152 _ _ ... , _ _
= k* = 0,36-0,015* ’ = 54’7' ’° Н/М = 547 МПа'
Коэффициент /г2 = 0,67 определяют по рис. 138, б. Условие прочности по фор-
муле (260)
f + / 51’7 У + £1£. -4’7-0,248 < 1. (268)
\ ат / т 1,2 от \ 200 /1,2 200 ’ {
Таким образом, условие выполнено и, следовательно, опора выбрана пра-
вильно.
§ 15. РАСЧЕТЫ АППАРАТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Элементы тонкостенных конструкций (стержни, пластины,
оболочки) могут разрушаться в результате потери устойчивости.
Под потерей устойчивости следует понимать резкое качественное
изменение характера деформации элемента конструкции, происхо-
дящее при определенном значении нагрузки.
Обычно упругая система, потерявшая устойчивость, переходит
к некоторому новому положению устойчивого равновесия, от-
личающемуся от первоначального. Этот переход в подавляющем
большинстве случаев сопровождался существенными перемеще-
ниями, нарушающими возможность нормальной эксплуатации
конструкции в связи с возникновением больших пластических де-
формаций или приводящими к полному разрушению конструк-
ции. При потере устойчивости тонкостенной конструкцией нор-
мальные и касательные напряжения в ее поперечных сечениях
могут быть значительно ниже предела текучести.
Нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости,
называют критической. Например, прямолинейная форма равно-
весия сжатого стержня устойчива только в том случае, если
сжимающая стержень сила меньше критической. При силе,
большей критической, стержень изгибается и прямолинейная фо-
рма равновесия перестает быть устойчивой. Тонкостенная ци-
197
Рис. 14?. Цилиндрическая оболочка, нагруженная в осевом на.
f правлении
линдрическая оболочка, нагруженная внешним
\ давлением, способна потерять устойчивость.
j При этом круговая форма ее поперечного се-
} чения может перейти, например, в овальную,
и оболочка сплющивается, хотя напряжения
в стенках оболочки могут быть меньше предела
упругости.
Резкий «хлопок» в момент потери устойчи-
\ вости сопровождается возникновением трещин
) или появлением значительных пластических
/ деформаций. Это вызовет потерю несущей спо-
собности оболочки.
Рассмотрим замкнутую круговую цилин-
дрическую оболочку длиной L, шарнирно
опертую по торцам. Пусть оболочка подвер-
гается сжатию вдоль образующей силами Nlt равномерно
распределенными по периметру сечения оболочки (рис. 142).
Пусть поверхность оболочки остается осесимметричной и по-
сле выпучивания, которое имеет волнообразный характер. Тогда
радиальные прогибы у оболочки будут зависеть от координаты,
совпадающей с осью оболочки, и характеризовать положение
данного нормального сечения. Критическое напряжение в стенке
оболочки определяют из условия равновесия внутренних усилий
оболочки в момент потери устойчивости, когда появляется новая
форма равновесия, отличающаяся от первоначальной — прямо-
линейной.
Напряженное состояние оболочки при потере устойчивости из
безмоментного переходит в моментное и, следовательно, претер-
певает качественный скачок.
Оболочка подвергается изгибу под действием постоянных сил
сжатия Nlt а не поперечной нагрузки.
При выпучивании появляется нормальная составляющая сил
Nd2y!dx2 (здесь у — радиальный прогиб оболочки).
Используя уравнение (114) без членов, учитывающих внутрен-
нее давление, и вводя в качестве дополнительной поперечной на-
грузки указанную нормальную составляющую, получаем
Dd'iy!dxi — NyFyldx2 + Esy/r2 = 0. (269)
Принимаем выражение для прогиба
у = f sin tn nx!L, (270)
где m — число полуволн изогнутой поверхности по образующей оболочки; L —
длина оболочки.
198
На основании уравнений (269) и (270) получим формулу
для верхнего критического напряжения;
__ A/i _ т. / m2n2 Е L \
У* ” ~ “ U \sLt~ ' RW ’
Исследуя это выражение на минимум, получаем значение т
для соответствующего минимального критического напряжения!
L
т~ л V RW '
Тогда действительное значение верхнего критического напря-
жения
qB — 1 - £ _L •
7 К3(1-н2) /?’
при р — 0,3
оа = 0,605£ 4-'
С увеличением отношения s/R повышается вероятность началь-
ных прогибов и снижается среднее значение реальных критических
напряжений. Поэтому на основании экспериментальных данных
вместо постоянного числового коэффициента в расчетные формулы
для критического напряжения вводят переменный коэффициент
3,5)/ s/R. Тогда получим уравнение
Действующая на оболочку в осевом напряжении критическая
сила
N — 2nqRs = rns2Rs/R. (271)
Для очень гибких элементов (например, для длинных тонких
стержней) потеря устойчивости начинается с упругой деформации.
Для элементов, обладающих большой жесткостью при действии
больших нагрузок, характерны только пластические деформации
или хрупкое разрушение без явлений потери устойчивости. Ме-
жду указанными двумя предельными случаями лежит переходная
область, важная для практики, но трудно рассчитываемая, когда
потеря устойчивости начинается с упругопластической деформа-
ции.
Существует почти единое мнение, что для очень гибких эле-
ментов коэффициенты запаса прочности (устойчивости) должны
быть больше коэффициентов запаса прочности жестких элементов.
Обоснованием для такого заключения является то, что гибкие эле-
менты по сравнению с жесткими более чувствительны к малым
199
л ——
Рис. 143. Зависимости критической нагрузки F от гибко-
сти элемента й,
неточностям1, связанным с технологией из-
готовления или нагружением конструкции.
Кроме того; для гибких элементов превы-
шение критической нагрузки влечет за собой
более значительные деформации, чем для
жестких элементов.
Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения:
[F] —допускаемая осевая сжимающая сила данного элемента!;
[F ]Е, [К]р — допускаемые усилия из условий устойчивости в пре-
делах упругости и прочности; X — гибкость элемента.
Критические нагрузки FE и Fp имеют следующие особенности:
при X -> О Fp < FE\
при X -> оо Fp > Fe.
Зависимость критической нагрузки F от гибкости элемента X
для практических случаев показана на рис, 143.
Кривая 1 характеризует зависимость разрушающей нагрузки
гибкости X, когда разрушение сжимающего элемента является
следствием потери устойчивости. Когда разрушение обусловлено
явлением пластичного или хрупкого разрушения зависимость
F = f (X) представляется прямой ?, параллельной оси абсцисс.
В данном случае разрушающая нагрузка не зависит от гибкости
элемента.
Для промежуточной области, когда разрушение является
следствием и частичной потери устойчивости элемента и накопле-
нием повреждений в материале элемента, зависимость F от X
можно представить в виде кривой 3. Для данного случая рекомен-
дуется следующая зависимость между допускаемой для данного
элемента осевой силой F и допускаемыми осевыми усилиями из
условий устойчивости в пределах упругости и прочности [49].'
ifi- ,/_Л । • *272’
V in* + mi
Данное уравнение является простейшей интерполяцией с пра-
вильными асимптотами между двумя крайними случаями: по-
терей устойчивости в пластической области или упругой.
При таком подходе в результате получается допускаемое уси-
лие, всегда меньшее одного из двух значений; [Л1/; или [К1Е.
Это условие получается при X — 0 If] = [FL; при X = оо I/7] —
= IF]B.
Расчет на общую устойчивость элементов, подвергаемых осе-
вому сжатию, можно производить аналогично расчету на проч-
200
ность с введением коэффициента снижения допускаемых напряже-
ний <р. В этом случае
[F]=<p(F]p. (273)
Откуда с учетом уравнения (272)
1
Ф = —г — - — —.
/м»
При расчете на устойчивость цилиндрических обечаек, под-
вергаемых осевому сжатию, допускаемое осевое сжимающее уси-
лие из условия прочности [F]p = л (D + s—с) (з —с) i al.
Допускаемое осевое сжимающее усилие в пределах упругости
определяют из условия устойчивости!
[F]£l = min([F]£j; [F]£,), (274)
где [Д]£ и [Т]£ —соответственно допускаемые осевые сжимающие усилия,
определяемые из условий местной и общей устойчивости в пределах упругости.
Значение [F]Е получим, разделив силу W из уравнения (271)
на запас устойчивости nyi
fly Г
Подставляя в последнее выражение R =Dl2 и вводя к тол-
щине элементов поправку на коррозию, после преобразований
получаем формулу, рекомендуемую ГОСТ 14249—80,
[f,= 31°-1Q6£ £)2 |~ 10Q(^-g) j2 у 100 , (275)
Значение [F]£j определяют на основании формулы Эйлера
из теории продольного изгиба. Это условие можно записать
в. виде
[£]£ = —C)(s —с)£ \2
2 Л-у \ X /
Гибкость X определяется из выражения
2,83/пр
D-Hs-c) ’
где /Пр — приведенная длина элемента, которую принимают в зависимости от
схемы опирания концов оболочки.
Для рабочих условий пу =- 2, 4 допускаемая сжимающая сила
IF) --- л (D -h s — с) (s — с) [ с] min [<рх; ср2|;
где коэффициенты фц и фг определяют по рис. 144.
201
Рис, 144, К расчету на устойчивость цилиндрических обечаек,
сжимающим усилием:
нагруженных осевым

Если обечайка нагружена изгибающим моментом, допускае-
мое значение последнего определяют по формуле того же вида,
что и для осевой силы;
причем
1Л1] = - [ЛПр ------------,
[МК = 4 = -з4 [£]£..
Рассмотрим устойчивость кольца, сжатого радиальной рас-
пределенной нагрузкой q.
Когда равномерно распределенная нагрузка достигает некото-
рого значения, круговая форма кольца становится неустойчи-
вой, кольцо деформируется и принимает неустойчивую форму
(рис. 145, а).
Рассмотрим элемент деформируемого кольца длиною ds, вы-
деленный из кольца. Местный радиус кривизны элемента обозна-
чим через р. Предположим, что радиус кривизны о близок к пер-
воначальному радиусу кольца R. На концах элемента действуют
нормальные силы, поперечные силы и изгибающие моменты. Обоз-
начим нормальную силу до потери устойчивости через NB, а после
202
рис. 145. Схема кольца, потерявшего
устойчивость:
а — схема нагружения; б — схема дей-
ствия усилий на элемент кольца
потери устойчивости через No +
ц- N (здесь N — сила, появив-
шаяся при изгибе кольца)-.
Поперечные силы Q и Q + dQ
и изгибающие моменты /VI и
М 4- d.M (рис. 145, б).
Проектируя равнодействующую распределенной нагрузки
qds на биссектрису угла dtp и нормальные силы Мо в докритическом
состояний, получаем
Nodq> — qds -- 0.
Учитывая, что ds - Rdy, ' из последнего равенства найдем
Спроектируем силы, действующие на элемент после потери
устойчивости, на биссектрису угла dq, в результате получим
qdS + dQ — (<V0 + N) ds/p = 0.
Подставляя значение Mu из предыдущего равенства, после пре-
образований имеем
/ 1 ! \ .1 dQ л-
q\ R р / + R ds pR ' V
где х — ----j — изменение кривизны кольца при его деформации,
Уравнение моментов всех сил относительно точки О имеет вид
Е т„ = dM + dNR = 0. (276)
Сумма моментов всех сил относительно края участка ds
Е тА = d.U Q ds = 0.
Моменты равнодействующей распределенной нагрузки пре-
небрегаем как бесконечно малой величиной второго порядка,
тогда
^- + Q = 0. (277)
С учетом уравнения (276) получаем
Q = dNR/ds, (278)
откуда dM — —Qds.
На основании уравнений (276)—(278) получаем
du 1 d3M 1 dM _ n
q ds + R ds3 'r R3 ds —
203
Интегрируя последнее уравнение, находим
(279)
Из курса сопротивления материалов известно изменение изги-
бающего момента от кривизны:
M = -----(280)
где ЕJ — жесткость при изгибе.
На основании уравнения (280) уравнение (279) можно записать
в следующем виде:
d2n/ds3 + &2x —CiRi'EJ, (281)
I qR
гд k ~ W + "ЁТ • (282)
Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем
х = c\Rlk?EJ + с.. sin ks + с3 cos ks.
При увеличении переменной s на величину 2nR функция х
не изменится. При этом ks должна измениться на величину, крат-
ную 2л:
k (s + 2л7?) — ks == 2лп,
где п — целое число.
Решая уравнение (282) относительно q и подставляя kR = п,
найдем
?кр = _ 1) EJ!R\
Минимальное значение <?кр, отличное от нуля, будет иметь
место при п = 2:
7кр = ‘2>EJ!Ri.
Если рассматривается цилиндрическая оболочка длиною /,
подвергаемая внешнему давлению р, то в уравнение нужно под-
ставить q —phi вместо EJ цилиндрическую жесткость - .
12 (1 р. )
1огда получим выражение для критического давления
(я2 — 1)п3Е
Ёкр 12 (I _ Р) •
Откуда наименьшее значение при п = 2
р
Ёир '= 4(1 _ |А2) (sW
или при р = 0,3
ркр = 0,27 Е (s/R)3.
Выражая значение R через D и вводя добавку к толщине стенки
аппарата на компенсацию коррозии, получаем выражение для
204
рис. 146. Схемы смятия кольца*.
— с образованием трех волн; б — с об-
разованием четырех волн
допускаемого внешнего давле-
ния для длинных оболочек:
2,2 10-ef Г 100 (з —с) 13
Рдоп Пу [ D J ’
(283) 0)
где Е в МПа.
На основании полученной формулы рассчитывают на устойчи-
вость длинные цилиндрические оболочки, для которых не сказы-
вается влияние заделки краев и отношение длины оболочки к диа-
метру.
Коэффициент запаса устойчивости (ГОСТ 14249—80) рекомен-
дуется принимать при расчете сосудов по критическим напряже-
ниям в пределах упругости пу = 2,4 для рабочих условий; пу =
= 1,8 для условий испытаний и монтажа.
Из уравнения (283) получим необходимую из условий устой-
чивости цилиндрической оболочки толщину стенки
S = Т/°>453/гу + (284)
где р — расчетное давление.
Для недлинных оболочек критическое давление зависит не
только от свойств материала, но и от отношения s/D и отноше-
ния LID.
Для верхнего критического давления рЕ при допущении, что
прогибы и изгибающие моменты на концах цилиндра отсутствуют,
получаем выражение
, \2 '
Г +
12(1 —ц2)
л4/?5
Л2/?2
, (285)
где п — число волн, образующих при потере устойчивости оболочки (рис. 146).
Некоторому значению п соответствует наименьшее значение
критического давления.
Учитывая, что (л7?2/л£) 1, из условия минимизации послед-
него выражения при и =0,3 получим п ж 2,7 [/RIL у" R/s-
Подставляя п в уравнение (285), умножая полученное выраже-
ние на эмпирический коэффициент 0,69 для перехода к нижнему
значению критического давления, а также подставляя R = D/2,
получаем выражение для допускаемого внешнего давления, дей-
ствующего на цилиндрическую обечайку,
, . 18 Ю-° ,, D Г 100(з —с) Vi/ 100(s—с)
~ Гу b Т [ D J I D
(286)
205
Рис. 147. Номограмма для расчета на устойчивость в пределах упругости цилиндричс'
ских обечаек, работающих под наружным давлением
Сопоставляя уравнения (286) и (283), получаем значение LID.
Если в данном конкретном случае LID будет больше найденного
значения, то сосуды рассчитывают как длинные, если меньше, то
как средние по уравнению (286).
Из уравнения (286) можно определить толщину стенки ци-
линдрической средней длины обечайки, подставляя р =[р]Е,
D г «у р L 1 о,4
S — 100 L~18“ Ю-«£ D J ' C‘
Область применения формул для расчета обечайки средней
длины определяется условием
(287)
206
ouc 148- Примеры использования номограммы
по рис. Н7:
, _ определение расчетной толщины стенки; 2 —
Определение допускаемого наружного давления;
? Т определение допускаемой расчетной длины;
О — начало отсчета; • — промежуточные точки;
S __ конечный результат
Подставляя в уравнение (287) от-
ношение (s—c)/D из уравнения (284)
и принимая rty = 2,4, получаем ус-
ловие применения формулы расчета
обечаек средней длины, не требую-
щее предварительного знания тол-
щины стенки: _____
4 <9,21 У -~еЕ . (288)
D ’ т р ’
Формулы (283) и (286) согласно ГОСТ 14249—80 объединены
в одну формулу:
. . 18-10-’£ D Г 100(s-с) Vl/ lOO(s-c)
№ = —7ТУВГ— -Г L---------D----J V ------D-----’ (289>
где Bt = min { 1,0; 8,15 (/ |QQ (f- cf
Таким образом, производят расчет оболочки большой и сред-
ней длины и находят наименьшее значение допускаемого давления
из условия устойчивости в пределах упругости (рис. 147, 148).
Согласно ГОСТ 14249—80 при определении расчетной длины
обечайки I или L длину примыкающего элемента /3 следует опре-
делять по формулам:
для выпуклых днищ:
13 = Н/3',
для конических днищ без отбортовки:
/3 — £>/3tg а;
для конических днищ с отбортовкой
D -)
3tga ]•
/3 -= max г sin а;
Если разрушение цилиндрической оболочки, подвергаемой
внешнему давлению, может оказаться следствием потери устойчи-
вости оболочки за пределом упругости или в пределах упругости,
то допускаемое наружное давление определяют по формуле, полу-
чаемой аналогично формуле (272),
(290)
где 1р]р и [р 1г — соответственно допускаемые наружные давления из условий
прочности и устойчивости в пределах упругости, МПа, причем
__ 2(a](s-c)
Wp ' р + (s _ С) •
(291)
207
ГОСТ 14249—80 регламентирует следующий порядок определе-
ния толщины стенки обечайки, нагруженной наружным давле-
нием. Приближенно определяют толщину стенки обечайки:
= max КГ*; J.Iff.
I luJ J
s Sjtj -f- c.
Коэффициент k% определяют по номограмме, приведенной на
рис. 147. Далее вычисляют значения допускаемого наружного
давления из условий устойчивости в пределах упругости по фор-
муле (289) и из условий прочности по формуле (291). По этим
данным производят проверку обечайки на допускаемое наружное
давление по формуле (290).
Рассмотрим совместное действие сжимающей оболочку осевой
силы и внешнего давления. Зависимость между параметрами
р/[р] и F/{F] графически изображается некоторой ломаной
линией. Подобные диаграммы устойчивости при комбинированных
нагрузках всегда обращены выпуклостью наружу от начала
координат. Точки А на оси ординат F/IF] и В на оси абсцисс
р/[р] соответствуют верхним критическим значениям осевой
сжимающей силы и внешнего давления, расположенных отдельно.
Уравнение прямой линии, соединяющей точки А и В, имеет
вид
-Д_ _l _С_ _ 1
[р] т [Н
Для случая, когда обечайка работает под совместным дей-
ствием давления, сжимающего усилия и изгибающего момента,
получим
+ _Х_ + = 1
[р] И1 r [М]
Из расчетных формул следует, что с уменьшением длины
обечайки жесткость ее увеличивается. Отсюда вытекает целесо-
образность для увеличения жесткости аппарата устанавливать
кольца жесткости вместо увеличения толщины стенки (рис. 149.)
Допускаемое внешнее давление для обечайки с кольцами
жесткости можно определять по тем же формулам, что и для глад-
кой обечайки, вводя в правую часть формул для множи-
тель — коэффициент жесткости обечайки в степени 0,75 для обе-
чаек средней длины и в первой степени для длинных обечаек 154].
Коэффициент жесткости обечайки представляет собой отно-
шение эффективного момента инерции J кольца с присоединенной
оболочкой к моменту инерции Jo гладкой оболочки толщиной s
и длиной, равной расстоянию I между кольцами жесткости.
Момент инерции гладкой оболочки
/(S — С)3
« 12(1— ji2)
208
H b a b a b a b
Рис. 149. Аппарат с цилиндрической обечайкой, усиленной кольцами жесткости
Эффективный момент инерции
г _ I 1 । z>2 'Woib (s — с)
" 10.9 +JK*re Лк + ,эф(5_с) ,
гдее — расстояние от центра масс сечения кольца до срединной поверхности обе-
чайки; I — расстояние между кольцами жесткости (осями); Ак — площадь по-
перечного сечения кольца; /эф — эффективная длина стенки обечайки, включае-
мой в расчетное поперечное сечение кольца жесткости; JK — момент инерции
поперечного сечения кольца жесткости.
Эффективная длина стенки обечайки
-1---------цг—еТ К-1- 1 -1
Jk +---36--
где t — ширина кольца.
С целью унификации расчета ГОСТ 14249—80 как и для глад-
ких оболочек рекомендует обобщенную формулу, аналогичную
формуле (289). Однако в формулу вводят коэффициент жесткости
обечайки
k=V .
Г I (s — с)а
При конструировании аппаратов, усиленных кольцами же-
сткости, их разбивают по длине на ряд коротких обечаек. Тол-
209
Рис. 150. Зависимость к опре.
делению коэффициента kk
щину стенок аппарата
или расстояние между
кольцами жесткости оп-
ределяют по заданному
расчетному давлению р
с помощью номограмм
(см. рис. 147 и 148)
с заменой длины I рас-
стоянием между коль-
цами Ь.
Для определения
размеров сечения ко-
лец жесткости при дей-
ствии на обечайку внешнего давления ТОСТ 14249—80 рекомен-
дует определять расчетный эффективный момент инерции кольца
жесткости по следующей формуле:-
_ 0,lpDs/i пу h
Р ~~ Е ~2А Й6'
Коэффициент /?5 находят по рис. 150.
Вычисленное по последней формуле значение Jp должно быть
меньше значения 7эф, найденного с учетом совместной работы
кольца и участка
li = min {Zx; t -ф-1,1 I 'D(s — с ),
где t — ширина поперечного сечения кольца жесткости.
Профиль кольца жесткости выбирают методом последователь-
ных приближений при выполнении условия J ,/р.
После определения размеров кольца производят проверку
допускаемого давления по условию
р = min j [р )х; 1р|2},
где fpij и [р]2 —соответственно допускаемые значения наружного
давления, определяемые из условия устойчивости всей обечайки
и между двумя кольцами жесткости, причем
где [р ]ip и [р]ХЕ — допускаемые значения наружного давления из условий проч-
ности и устойчивости всей обечайки;
г„1 _ 2 [a] (s — с) + 2Ак[о]к,/1 .
l₽bp “ D \~s-c)------------------’
1810-6£ Р Г 100/г(з — с) 12 -1 / 100/г(з—с)
kB.ny L । D j У D
210
здесь B2=minj
сти обечайки, /г —
1,0; 8, 15-^- |/
-1 / iW \
V h (s - с)3 /
D
100* (s — с)
k — коэффициент жестко-
Допускаемое наружное давление, определяемое из условия
устойчивости обечайки между кольцами жесткости при длине
обечайки / ~ Ь, должно соответствовать [р] из уравнения (290).
Вместо [/Др из формулы (291) допускается подставлять следу-
ющую величину.
_ 2 [or] (s — с) 2 +
'Р'2р~ D + (s^c) J +Х2 ’
&2
%n ~ D (s — с)
Далее определяют допускаемое давление между двумя коль-
цами [,л1.2д с заменой I = Ь. Затем вычисляют допускаемое давле-
ние для обечайки между двумя кольцами жесткости:
(А
[Р]гр
Усиление обечаек кольцами жесткости вызывает возникновение
местных напряжений в месте установки колец. Поэтому рекомен-
дуется устанавливать кольца только на обечайках, изготовлен-
ных из пластичных материалов. В этом случае пластические де-
формации в зоне колец жесткости заметно не снижают несущей
способности обечайки.
Расчет конических обечаек на устойчивость при нагружении
их внешним давлением проводят так же, как и цилиндрических
с введением приведенных значений диаметра и длины;
(293)
где 1р]р—допускаемое давление из условий прочности
[Р1р - “
2 [Д fa — с)
Dv.
+ <Sk ~
I₽]e — допускаемое давление из условий устойчивости в пределах упругости,
_ 1810е/? De Г 100fa-c)-2 i/ 100fa-c)
ппВг lK I. DE J V De
Эффективные размеры конической обечайки
&е — max
D+Dr .
2 cos «1 ’
E 2 sin eti ’
0,31 (£> I Dt) ]/4±-^tgaJ.
Cub LC-J r bpj u )
211
Рис. 151. Зависимость к определению коз*,
фициента k
Коэффициент определяют по
формуле
Bi — min I 1,0; 8, 15 х
I 1Е
у 1/___________
z' V 100(sK-c)'
Толщину стенки эллиптичес-
ких и полусферических и торо-
сферических днищ, нагруженных наружным давлением, пред-
варительно определяют по следующим формулам:
$1Д—тах{ 51Р0 |/
PR
2[о] J ’
М 5? Sln + с,
где R — радиус кривизны в вершине днища по внутренней поверхности, мм,
Пу — коэффициент запаса устойчивости; р — расчетное наружное давление, МПа;
[ст] —допускаемое напряжение при расчетной температуре, МПа; k — коэффи-
циент, предварительно принимаемый равным 0,9 для эллиптических днищ и
1,0 для полусферических; для эллиптических и полусферических днищ k опреде-
ляют по рис. 151, который для торосферических принимают равным 1; sx— ис-
полнительная толщина стенки.
После предварительного определения толщины стенки х1Л вы-
числяют допускаемое наружное давление
где
Ир
(294)
1/iJ =
г , 26-io-»£
100 (S1 — с) -|2.
kR J ’
R + — с)
Пример. Требуется определить толщину стенки сварного вертикального
цилиндрического аппарата, внутри которого создается вакуум, а в рубашке —
избыточное давление. Обечайка изготовлена из легированной стали и работает
при температуре 150 °C (£ = 185-Ю3 МПа; от = 210 МПа; р, = 0,3)
Давление в рубашке составляет 0,6 МПа, вакуум в аппарате незначителен —
10 Па. Внутренний диаметр D = 0,2 м, высота L — 2,4 м.
Расчетное наружное давление
р = (0,6 + 0,1)10» = 0,7-10» Па = 0,7 МПа.
Находим значение коэффициентов
ь, = W = 0,7-10” _ „ 78.
1 2,4-10-6.5 10-®-185-10s ’
k3 = L/D = 2,4/0,8 = 3.
212
1,1 0,7-Юв0,8 ЛЛЛ,._
- 0,0014/ м.
По номограмлЛ (см. рис. 147) определяем k2 = 2,9, тогда = k2D'10 4 —
2,9 0,8'10-2 = 0,023.
Кроме того, находим
s«^ 2 210 10й
Примем максимальное значение толщины стенки, т. е. 23 мм + I мм = 24 мм.
Определим допускаемое давление из условия устойчивости в пределах уп-
ругости по формуле (289), но сначала найдем
0,8 I
100 0,023 /-min {1,0; 1,569).
Минимальное значение равно 1.
, I8 10-«£- D ‘100(s-
= --------------------------£
18-IO'*.185-10е 0,8
2,4-1,0 ‘ 2,4
Допускаемое давление из условия прочности находим из уравнения
2[a](s—с) 2 210-106-0,023
0,8 + 0,023
давление
11,74
Bi = min
1,0; 8,15-
100 (s —с)
D
2,5
— 6,48 МПа.
D + (s - c)
Находим допускаемое наружное
[P]p
[P] =
- 11,74 МПа,
= 5,67МПа.
На основании произведенной проверки толщину стенки можно уменьшить.
§ 16. НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ЕМКОСТНЫХ
И ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
's-
при проектировании аппаратов необходимо максимально учи-
тывать надежность узлов и их долговечность. Конструируя аппа-
рат, необходимо принимать во внимание предупредительные меры,
обеспечивающие длительную безотказную работу его узлов и эле-
ментов.
Однако конструируя первый аппарат, нельзя предусмотреть
все возможные варианты нарушения работы в части выполнения
рабочих функций и целостности его узлов и деталей. Только
испытания и наблюдения серийно выпускаемых аппаратов по-
зволяют заметно повысить надежность вновь создаваемых образцов.
Поэтому конструктор должен руководствоваться накопленными
экспериментально данными по эксплуатации первоначально вы-
пущенных аппаратов.
Например, при определении ресурса работы теплообменников
важно определить продолжительность их работы до очередного
ремонта. В простейшем случае может идти речь о длительности
эксплуатации, до удаления различных отложений на стенках
труб теплообменников, что ухудшает способность передавать
тепло от одной среды к другой.
213
Рис. 152. Диаграмма циклической деформации
Для прогнозирования надежности
функционирования теплообменника необ-
ходимо воспользоваться статистическими
методами обработки результатов испыта-
ний имеющихся аппаратов. В простейших
случаях может оказаться эффективной
комбинаторно-матричный метод полного
перебора вариантов состояния объекта.
Метод основан на построении прямоугольной матрицы, по осям
которой отложены дискретные значения плотности вероятности
факторов, определяющих процесс.
В конечной стадии расчета строят диаграмму зависимости
надежности аппарата во времени.
Другим аспектом проблем надежности и долговечности яв-
ляется ресурс работы материала, из которого выполнены рабочие
органы. В данном случае необходим учет накопленных данных
по вопросам длительной прочности аппаратов и механики раз-
рушения. В ряде случаев длительную прочность следует рассма-
тривать с позиций усталостного разрушения материала, имеющего
место при циклическом нагружении.
В других случаях необходимо учитывать явления, протека-
ющие при нагружении, которое зависит от температуры, энтропии
и других параметров.
Важнейшим вопросом при конструировании является опре-
деление ресурса аппарата. Этот вопрос должен рассматриваться
дифференцированно. Аппарат может разрушаться вследствие по-
вреждений при циклическом нагружении.
Аппарат может разрушиться и при постоянном режиме нагру-
жения в результате чрезмерного развития деформаций материала,
из которого он выполнен. Это имеет место для металлов при вы-
соких температурах, а для пластических масс при нормальной тем-
пературе. Аппараты, нагруженные внутренним давлением, чаще
подвергаются действию переменной нагрузки низкой частоты.
Нестационарный характер нагрузки обусловлен периодическими
пусками и остановками аппаратов на очистку и ремонт, пери-
одичностью технологического процесса и т. д.
Большое число циклов нагружения испытывает, например,
теплообменный аппарат за срок его службы.
При анализе концентрации напряжений при расчете сосудов
на малоцикловую долговечность указывают на наличие в корне
надреза нагруженного образца контролируемой деформации.
Окружающий надрез материал работает в упругой области и испы-
тывает меньшие напряжения. В местах сопряжений цилиндри-
ческих штуцеров с обечайками аппаратов резкие изменения
деформаций существуют в ограниченных зонах внутри области
с менее высокими уровнями концентрации напряжений, что также
214
мОжно отнести к контролируемой деформации и так называемому
«жесткому нагружению».
При расчете долговечности в условиях жесткого нагружения
часто используют зависимость Коффина — Менсона [17]
// М — с,
где N — число циклов до разрушения; sp — пластическая деформация за цикл;
с — постоянная величина, принимая с погрешностью в сторону запаса,
(здесь ф — относительное сужение образца материала при разрушении, %)
Амплитуда пластической деформации
е = Lin 100 -
₽ ЧУN 100 — ф
Конструкционные стали и другие сплавы представляют собой
мелкокристаллические конгломераты. При деформации конгло-
мерата вследствие неоднородности строения материала уже на
ранних стадиях процесса образуются пластические деформации
отдельных кристаллов. Неоднородная пластическая деформация
проявляется в несовершенной упругости, ведущей к гистерезису
при циклическом нагружении металла (рис. 152).
Диаграмма зависимости между условными напряжениями о
и размахами деформаций при образовании первого цикла нагру-
жения свидетельствует о гистерезисе деформаций, характеризу-
емом широтой петли 8Р, т. е. удвоенной амплитудой пластической
деформации. Амплитуда условных напряжений есть До, Значе-
нию сг0 соответствует упругая деформация яе.
Для использования зависимости Коффина —Менсона при рас-
чете на малоцикловую усталость обечаек аппаратов, нагруженных
давлением, Ленджер предложил связать число циклов до разру-
шения с условным напряжением аи (см. рис. 152). Последнее рас-
сматривается как произведение амплитуды деформации па модуль
упругости при растяжении:
<уа^Е^Е-^ + Е^~ =Е^ + <уа,
где е — размах деформации; — пластическая составляющая деформации;
8У — упругая составляющая деформации; Дсгй — амплитуда действительных
напряжений.
Общая деформация
“< = ‘- + >«-775 ‘"То^г + тг- <295»
Поскольку величина оа при конечном числе циклов N всегда
больше предела выносливости при бесконечном числе циклов
с запасом, можно заменить па на о_д.
215
Тогда выражение деформации примет вид
1 1 100 , а_!
— 4 ° ЮО — тр ~Ё~ ’ (296)
Умножив левую и правую части последнего уравнения на мо-
дуль упругости материала Е, получим выражение для амплитуды
приведенных условных упругих напряжений
Е , юо ,
any = 7W + О 1- (297>
Полученная зависимость соответствует кривой усталости для
случая симметричного цикла напряжений с контролируемой де-
формацией. С ухудшением пластических свойств материалов
условный предел выносливости ал уменьшается. Поэтому высоко-
прочные и хрупкие материалы обладают более низким пределом
выносливости.
Если разделить оау на коэффициент запаса прочности по
напряжениям п„, то получим выражение для допускаемой ампли-
туды приведенных условных упругих напряжений
где N — допускаемое число циклов нагружения.
Если применяют коэффициент запаса прочности по числу
нагружений nv, то последняя формула будет иметь вид
|о“' = 4-/С1яТ1пт^*+о-- (299)
При проектировании нагруженных внутренним давлением
аппаратов на заданную долговечность обычно используют экспе-
риментальные кривые малоцикловой усталости, построенные по
данным испытаний большого числа образцов различных мате-
риалов на изгиб и растяжение сжатие при одноосном нагружении.
В результате группирования результатов испытаний строят кри-
вые малоцикловой усталости материалов, используемых для
проектируемых аппаратов. Принимая двукратный коэффициент
запаса по напряжениям и десятикратный по долговечности, на
основании упомянутых выше кривых строят кривые допускаемых
деформаций и напряжений.
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что не-
зависимо от марки материала (сталей, сплавов титана) при V «
«3...4104 значение деформаций при разрушении одинаково.
Формулы (298) и (299) и кривые допускаемых напряжений следует
использовать для оценки прочности элементов аппаратов при
раздельном или совместном действии циклических, механических
и термических напряжений при условии, что рабочая температура
не вызывает изменения механических свойств материала или
ползучесть.
216
РИС 153. Характеристика изме-
нения нагрузки во времени
н
Из
Время
Н,
Н,
н
н3 -

__ Время
ЛН
Размах
нагрузки
(второго типа)
заметное повышение запаса

Одной из трудно-
стей, возникающих при
анализе• малоцикловой
усталости, является
оценка прочности при
асимметричных циклах
напряжений. Однако
результаты исследова-
ний показывают, что
в упругопластической
области нет существен-
ной разницы между ре-
зультатом действия от-
нулевого цикла напря-
жений и знакоперемен-
ного. Поэтому при
оа > от асимметрию ци-
кла можно не учитывать.
В других случаях при
расчетах без учета асим-
метрии циклов имеет
место более высокий за-
пас прочности. Для ма-
териала, предел текуче-
сти которого по значе-
нию близок к пределу
прочности, получается
Однако для большинства аппаратов пищевой промышленности, ко-
торые выполнены не из высокопрочных сталей, допустим расчет на
малоцикловую прочность по симметричному циклу напряжений.
Для проведения расчета на малоцикловую усталость необхо-
димо иметь характеристику изменения нагрузки Н во времени
(рис. 153). Для упрощения расчетов эпюры циклов напряжений
принимают в виде прямоугольников (рис. 153). Число циклов
определяют при постоянной нагрузке или если одна нагрузка
может иметь в одном главном цикле (пуск в эксплуатацию и оста-
новка) несколько второстепенных целых циклов. При сложном
напряженном состоянии в расчетах на малоцикловую усталость
часто рекомендуется использовать теорию наибольших касатель-
ных напряжений, согласно которой текучесть материала насту-
пает при <Уэ — di —• о3 — От (здесь ст* и а3 — максимальное
и минимальное напряжения в рассматриваемой точке).
В упругопластической области деформаций указанную раз-
ность напряжений Oj и а3 называют интенсивностью напряже-
ний а13.
217
Расчетная амплитуда условных напряжений
~ (®max ®njln)/2 — Ав/2. (300)
Далее определяют интенсивность напряжений ст1г; аВ1> о
в различных плоскостях и значения Ац2/2 и Аа3/2.
Амплитуда условных напряжений для каждого цикла
<то = ~ шах {| Ао! — А(т2 | А<т, — А<г3[; | Ао2 — Ас, |),
где Ка — эффективный коэффициент концентрации напряжений,
Ao = 1 + g («с — 1)
(здесь g — коэффициент чувствительности к концентрации напряжений, 0 <
а~ — теоретический коэффициент концентрации).
Учитывая, что элементы большинства аппаратов находятся
в плоском напряженном состоянии и, следовательно, ц3 =о,
условие можно записать в виде
~ ~2 l(°))max (^l)mln] Ко‘,
° а — ~2~ [(°г)тах (^ajmln]
~ ~2~ l(°l °2)niax (°Т ®г)т1п1
По амплитудам условных упругих напряжений с помощью
расчетных кривых усталости определяют допускаемое число
циклов напряжения.
Если известны механические характеристики материала, то
по формулам (298) и (299) определяют допускаемую амплитуду
условных упругих напряжений [ста1 или допускаемое число цик-
лов напряжения [/V]. Значения [N1 и 1оа] могут быть опреде-
лены с помощью расчетных кривых усталости для соответству-
ющих материалов (см. рис. 125).
Наибольшие напряжения в зоне концентрации для кругового
выреза цилиндрического корпуса, находящегося под давлением
и подкрепленного патрубком (см. рис. 112),
O'max — kcco^max.j
где о'тах — напряжение в цилиндрической стенке сосуда вдали от источника
концентрации напряжении; аа — коэффициент концентрации, определяют
по рис. 112, б; k— поправочный коэффициент, k определяют по рис. 112, а.
Пример. Требуется определить ресурс аппарата, находящегося под внутрен-
ним давлением. За один цикл нагружения давление изменяется от 0 до р
и снова до нуля.
Следовательно,
Olmin ~ °2mln = (°Т — Os)mln = 0.
В результате расчета определены напряжения (МПа) днища и обечайки:
..................... —165/248,5 —272,6/322,6
о2 ................. —227,9/—103,9 —362,8/—184,2
— о2 .................. 62,9/352,3 90,2/506,8
а'цпр...................... —114/176 —181,5/253
218
Примечание. В числителе приведены данные для наружной поверх-
ности, в знаменателе—для внутренней поверхности.
1 Определяющим в расчете является напряженное состояние в крайних во-
10Кнах внутренней поверхности цилиндрической обечайки.
На кривой усталости (см. рис. 153) для оа = 250 МПа устанавливаем ресурс
аппарата в циклах нагружения N = 1,4-Ю4.
При неустановившихся режимах повторно-статических на-
гружений может быть использован принцип линейного суммиро-
вания усталостных повреждений. Этот принцип заключается
в следующем. Пусть напряжения и число циклов, соответству-
ющих данному уровню напряжений, меняются ступенчато; при
этом предполагается, что известны диаграммы циклической проч-
ности и число циклов до разрушения при данном напряжении.
Располагая этими данными, можно установить, что при ам-
плитуде напряжения оа] разрушение произойдет после циклов
изменения напряжений, при напряжении ая2 —после jV2 циклов
и т. д.
Если tij — число циклов нагружения на Z-м режиме при экс-
плуатации с амплитудами sai и — циклическая долговечность,
получаемая при регулярном нагружении, определяемом по кри-
вой усталости по амплитуде напряжений аа. f-го режима, и k —
число режимов нагружения, то условием неразрушения конструк-
ции будет
k
Е nt \Ni-=ap,
i=l
где ap — корректирующее значение суммы относительных долговечностей, ар =
= 0, 1 ... 1.
Пример. Необходимо проверить прочность и долговечность корпуса аппа-
рата, изготовленного из углеродистой стали, от = 240 МПа и ав = 450 МПа.
Число циклов при переменных нагружениях п2 = 5-104 и л3 = 2,5-103.
В одной из точек на внутренней поверхности корпуса действуют следующие
напряжения от различных факторов:
Фактор: O1J О]3
давление . . 100 50 —20 50 70 120
охлаждение и нагрев . . . . . 420 370 —20 50 390 440
тепловыделения . . . . 620 570 —20 50 590 640
Интенсивность напряжений при термоциклах сг13 = 0, ст28 = 32, Щ3 = 32,
а при тепловыделениях о12 = 0, о23 = 52; crrj = 52; при расчетных значениях оа
при термоциклах а23 = 16; = 16 и при тепловыделениях о28 = 26 и а23 = 26.
Циклическая долговечность Л'2 = 8-Ю4; Л'3— 104, тогда п2/М2 = 0,63,
лэ/М3 = 0,25, a ^nt/Ni = 0,88, следовательно, конструкция удовлетворяет ус-
ловиям прочности.
Часто наблюдаются разрушения аппаратов вследствие ползу-
чести материалов, из которых они изготовлены. Ползучестью
материала называют явление изменения во времени напряжений
и деформаций, возникающих при нагружении деталей, если на-
грузки даже остаются постоянными.
219
Для стальных и чугунных деталей ползучесть будет суще-
ственна при повышенных температурах (около 300 °C). Для ме-
таллов, имеющих низкую температуру плавления (алюминий,
дуралюминий), полимерных материалов (пластмассы) ползу-
честь заметна при нормальной температуре.
Расчеты деталей на ползучесть чаще основываются на резуль-
татах экспериментального исследования ползучести материалов
при одноосном растяжении постоянной во времени нагрузкой.
На рис. 154 представлена кривая ползучести нагретого об-
разца. Тангенс угла наклона касательной к кривой на рис. 154
с осью абсцисс выражает в масштабе скорость деформаций, рав-
ную скорости деформации ползучести,
di ~ dt •
В первой стадии ползучесть протекает с постепенно уменьша-
ющейся скоростью, во второй — скорость минимальная и не
изменяется во времени, а в третьей стадии она возрастает.
Наиболее изученной является степенная зависимость мини-
мальной скорости деформации ползучести от напряжения:
Ccmlu = ^B, (301)
где В = —— — функция времени (рис. 155).
di
При наличии кривых ползучести при определенной темпера-
туре и различных напряжениях устанавливают значения В и п.
На рис. 155 представлены зависимости функций Q и В от t.
Установлено, что с увеличением продолжительности нахожде-
ния металла в нагретом состоянии вследствие постепенного осла-
бления границ зерен имеет место переход от вязкого разрушения
металла к хрупкому (явление охрупчивания материала).
Рассмотрим ползучесть цилиндрического корпуса аппарата-
Для упрощения предположим, что в результате действия
давления внутри цилиндра возникают только окружные напря-
жения
о = pr/s,
где р — внутреннее давление; г — радиус цилиндра; s — толщина стенки.
220
Относительная деформация цилиндра за время dt в окружном
направлении
2л (г -j- dr) — 2лг dr
£/ 2яг г
Скорость деформации
I dr
г dt •
Учитывая формулу (301), получаем
± * =в(ГГ-)".
Г dt \ S /
Предполагая, что в начале процесса ползучести радиус ци-
линдра и толщина его стенки были г0 и se, из условия несжима-
емости материала получим
2nr0L.s0 — 2nrLs,
где L — высота цилиндра.
Откуда
S = roso/r.
Подставляя из последнего выражения значение $ в формулу
(302), получаем
г dt \ roso j
ИЛИ
г dt \ sr§ / r^n
где o/() = ргй/% — первоначальное окружное напряжение в стенке сосуда.
Принимая В независящей от времени, разделяя переменные
и интегрируя левую часть равенства в пределах от г = г0 до г =
-- оо и правую от 0 до tn продолжительности службы аппарата,
имеем
оо
(302)
га ° О
ИЛИ
_ 1 I 1 _ б }nf
2п°о + 2пг2п { ,о) п‘
Откуда
2п(о/0)пВ
221
Следует учитывать, что цилиндр работает в условиях слож-
ного напряженного состояния, поэтому согласно работе [31]
коэффициент
п+1
Вх = 3 2 В.
С учетом этой формулы, выражение (303) примет вид
Данное выражение для tn можно получить непосредственно.
Пример. Необходимо определить время, вязкого разрушения цилиндриче-
' ского аппарата из оргстекла. Задано R — 10 см, s = 1 см, р = 2 МПа, п = 1,76,
В = 1,2-10~18,8/3600 (Па)~п с“!;
о „ 1,76+1 / 2-10е-0,1 \1Л6 1,210—18,8
2.1,76-3—— (-оДГ-) •—3600—
= 1134-10° с = 3,15-Ю6 ч.
Выше был принять вязкий характер разрушения при малых
скоростях деформирования, например у нагретых металлов. Для
поликристаллических металлов и сплавов при низких темпера-
турах и высоких скоростях деформирования разрушение является
хрупким. В качестве эквивалентного напряжения целесообразно
принимать максимальное главное напряжение.
Процесс хрупкого и вязкохрупкого разрушения рассматри-
ваем как процесс возникновения и развития трещин в условиях
ползучести. Предполагаем, что развитие трещин не влияет на
деформацию ползучести.
Л. М. Качанов [31] вводит понятие сплошности ф, характери-
зующее развитие трещин (поврежденность материала). Если в на-
чальный момент времени ф = 1, то с течением времени ф убывает,
и в момент хрупкого разрушения ф = 0.
Зависимость сплошности от максимального главного напря-
жения имеет вид
d^/dt = —Л (Отах/ф)"1. (305)
где А, т — постоянные для данного материала при соответствующей температуре.
В качестве эффективного напряжения принимаем отношение
Ошах/ф, причем для цилиндрической обечайки on]ax (при t = 0)
= P^0/(2so).
Тогда из формулы (305) получаем
фтс(ф= — Acfidt. (306)
222
рис. 150. Диаграмма длительной прочности
Интегрируя последнее выражение и
учитывая, что при t = 0, ф — 1, найдем
время хрупкого разрушения [31]:
(307)
х'р (т+1)Аа^
Выше было рассмотрено определение
времени вязкого и хрупкого разрушений. Последняя формула
для хрупкого разрушения аналогична формуле, долговечности
при вязком разрушении. Обе формулы в логарифмических
координатах 1g а0 и 1g t* дают прямые АВ и CD, имеющие раз-
личный угол наклона к осям координат (рис. 156). Между ука-
занными прямыми имеется участок смешанного разрушения ВС.
В данном случае одновременно протекают процессы ползу-
чести и трещинообразования.
Установим продолжительность вязко-хрупкого разрушения
цилиндрического аппарата, находящегося под действием внутрен-
него давления, с учетом изменения площади меридионального
сечения стенки в процессе ползучести материала.
После интегрирования левой части уравнения (302) в пределах
от г0 до текущего значения радиуса цилиндра г, а правой в пре-
делах от 0 до t сопоставляем полученный результат с уравнением
(304), с учетом того, что максимальное главное напряжение в ци-
линдре в данный момент времени t есть щ, получаем
Of — <Jto (1 —
Подставляя эту величину в формулу (306), имеем
ф'л dq •= -ЛоГо (1 - W». JTmln dt.
Интегрируя последнее уравнение при t — 0 и ф = 1 и с учетом
формулы (307) для хрупкого разрушения, получаем
‘ у—>»>/»_ л
л— ® р L - ^в.р / J
Полагая ф = 0, получаем время вязкохрупкого разрушения
t —I
*р — ‘в. р
1 -
п — т tp
ч ^в. р
где t* — время чисто хрупкого разрушения; т — постоянная для материала
при i — const.
223
Данная формула справедлива при tp < /в, р и при окружных
напряжениях в начальный момент времени, меньших следующей
величины-
о‘о —
2п {т 4- ’) А
.3 2 В (s — tri) -
п—т
При окружных напряжениях, больших этой величины, разру-
шение является вязким.
Значения эмпирических коэффициентов В, п и т в зависимости
от вида применяемого материала следующие:
Винипласт .................
Оргстекло..................
Капрон ....................
п- 1
В (м2/Н) 4 п
3,31-Ю'1’ 1
5,28-10-23 1,76
1,28-10"16 1,5
т
1,56
4,39
3,7

Г Ji А В A IV
АППАРАТЫ С МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИМИСЯ
РАБОЧИМИ ОРГАНАМИ
§ 17. ШНЕКОВЫЕ ПРЕССЫ
Как было указано выше, разделение технологического обору-
дования на аппараты и машины является условным.
Имеется большое число аппаратов или машин, рабочий орган
которых совершает медленное вращение. Из всего многообразия
этого оборудования следует выделить два вида аппаратов (машин),
имеющих наиболее общее значение для отраслей пищевой про-
мышленности — шнековые прессы и аппараты с медленно враща-
ющимися барабанами. В этих аппаратах производится'“механи-
ческая, тепловая, химическая или физико-химическая обработка
сыпучих пищевых продуктов. Для этих видов аппаратов общим
является необходимость обеспечения медленного вращения рабо-
чих органов. И в одном и в другом случаях, почти так же, как
и для емкостной и тепловой аппаратуры, не стоят на первом плане
вопросы, связанные с вибрациями, с переходом рабочих органов
через критические режимы.
В то же время эти виды оборудования имеют четкую специ-
фику, требующую различных подходов при конструировании.
Шнековые прессы нашли широкое применение в пищевой про-
мышленности; их используют либо для отжима жидкой фазы от
сырья, либо для придания продукту определенной формы, либо
для уплотнения продукта для лучшей транспортабилыюсти.
Отжимные шнековые прессы используют для обезвоживания
обессахаренной свекловичной стружки — жома для уменьшения
энергозатрат при последующем его высушивании. Кроме того,
их применяют для отделения сока от мезги, при обработке овощей
и фруктов, для отделения жира от мясной шквары и в других
случаях.
Прессы уплотняющего и формующего действия применяют
в макаронном производстве.
Для шнековых прессов характерны относительно высокое
Давление в рабочем пространстве 2,5—7,5 МПа и большая про-
должительность непрерывного процесса. Частота вращения
шнеков незначительна и составляет 2—15 об/мин. Медленное вра-
щение шнека производят с помощью понижающей системы зубча-
тых передач.
8 Соколов В. И.
225
Рис. 157. Горизонтальный пресс ПСЖ-57:
1 — электродвигатель; 2 — маховик; 3 — коммуникация; 4 — сепаратор; 5, 18 и 19 —
трубы для отвода жомопрессовой воды; 6 — смотровой люк; 7 — щнек; 8 — корпус;
9 — сито цилиндрическое; 10 — витки шнека; 11 — обечайка; 12 — шпилька; 13 —
пружина; 14 — гайка; /5. 16 и 22 — опоры; 17 — ситчатый конус; 20 — полый конус;
21 — цилиндрическое колесо; 23 — редуктор
Большое давление в рабочем пространстве обусловливает
использование методов расчета оболочек по моментной теории
с учетом их перфорации и укрепления бандажами.
Пресс для предварительного отжима жома (рис. 157) имеет
корпус, внутри которого прикреплено латунное сито и вращается
чугунный двухзаходный шнек с прерывистыми витками лопастей.
Степень отжатия жидкой фазы от жома регулируется изменением
радиального зазора между цилиндрическим ситом и шнеком
на выходе отжатого жома из пресса. Это регулирование произ-
водится с помощью пружин [43].
В последнее время создаются новые конструкции шнековых
прессов для отжима сусла из виноградной мезги.
В создаваемых шнековых прессах большого диаметра наблю-
дается недостаточное прессование внутренних слоев продукта,
в связи с чем в ряде конструкций устанавливают специальные
рыхлители.
Наличие давления и характер его изменения вдоль пресса
определяют характер протекания процесса прессования. Скорость
прессования зависит от давления и в то же время влияет на харак-
тер изменения давления в каналах, образованных шнеком. Уси-
лия, необходимые для передвижения прессуемой массы, зависят
от содержания жидкой фазы.
226
Рабочее пространство шнекового пресса состоит из активной
зоны, в которой создается давление, и пассивной зоны, имеющей
запорное устройство для создания сопротивления движению
массы.
Зависимость давления в прессуемой массе рх определяют
раздельно для промежуточных витков по формуле
Рх = Ро^Ах,
где — давление в начале винтового канала; х— расстояние по оси шнека;
А — постоянный коэффициент.
Для концевого витка в аналогичную зависимость вводят
параметры торцовой части.
Двухшнековый пресс (рис. 158) включает два шнека, устано-
вленные на одной оси и имеющие разное направление вращения.
Один из них прессующий, другой транспортирующий. Поступа-
ющая из бункера мезга сначала попадает на транспортирующий
шнек, а затем на прессующий, который продвигает ее в камеру
давления, ограниченную последним витком шнека.
В последнее время внедряются более эффективные шнеково-
эксцентриковые прессы [27 ]. Особенностью этих прессов является
сочетание транспортно-нагнетательной функции шнекового
механизма с прессующим эффектом во взаимно перпендикулярном
направлении эксцентрикового устройства (рис. 159). Эксцентри-
ковые устройства расположены за транспортирующим шнеком
и прессующим. Для сохранения последних витков транспортиру-
ющего шнека установлены неподвижные радиальные лопасти.
При вращении эксцентриков создается радиальное давление,
интенсифицирующее процесс.
Эффективность эксцентрикового механизма значительно
превышает эффективность промежуточных витков шнека, и ее
можно сопоставить с эффективностью концевых витков. Прессу-
емая масса после сжатия в эксцентриковом механизме продви-
Рис. 158. Двухшнековый пресс Т1-ВП0-Ю:
1 — гидрорегулятор; 2 — кронштейн; 3 — регулировочный конус; 4 — кожух; 5 —
цилиндр; £ — прессующий шнек; 7 — вал; 8 — транспортирующий шнек; 9 — бункер;
Ю — корпус пресса; 11 — редуктор; 12 — электродвигатель; 13 — рама; 14, 15, 17,
20 — патрубки; 16 — сборник; 18 — бандажи; 19 — барабан
8* 227
Рис. 159. Пресс для плодово-ягодного сырья
гается через вторую решетку в полость прессующего шнека, где
ее захватывает винтовая лопасть заборного витка. Устанавлива-
емый после прессующего шнека эксцентрик создает повышенное
давление в пассивной зоне.
Напряженным узлом шнекового пресса является перфориро-
ванный барабан. При его расчете на прочность следует учитывать
переменное во времени давление внутри барабана по его длине
и при его вращении.
Барабаны представляют собой перфорированные цилиндри-
ческие оболочки. Обозначим степень перфорации цилиндрической
оболочки через
k = dis',
где d — диаметр отверстий; s' — расстояние между центрами соседних отверстий.
Приняв, что ось Оу параллельна образующей цилиндра, най-
дем коэффициент запаса прочности обечайки по предельному
равновесию (рис. 160):
п = [аг (1 — k)]/cf(,
где а? — предел текучести материала стенки; <Т/ — окружное напряжение в стен-
ке сплошной обечайки.
Расчет обечаек по предельному равновесию не всегда возмо-
жен. Это относится к случаям, когда может быть хрупкое раз-
рушение или переменный режим нагружения при работе детали.
Будем считать, что отверстия расположены по вершинам
эавносторонних треугольников и степень перфорации k > 0,35.
Предположим, что напряженное состояние цилиндрической обо-
лочки подобно напряженному состоянию прямоугольной перфо-
228
Рис. 160. Перфорированный элемент оболочки
рированной пластинки, растяги-
ваемой одновременно в направле-
ниях осей Ох и Оу. Следовательно,
результирующие напряжения мо-
гут быть подсчитаны алгебраиче-
ским суммированием напряжений
при растяжении пластинки в на-
правлениях Ох и Оу. В зависимости от того, с каким из направ-
лений Ох или Оу ориентации рядов отверстий совпадает обра-
зующая цилиндрической обечайки, опасными могут быть точка
1 либо точка 2. Напряженное состояние в указанных точках
одноосное.
Напряжения в точках 1 и 2
оу = (£>о “Ь А^о) з" А
(308)
где — мембранное окружное напряжение, действующее в направлении оси Ох;
о,, — мембранное меридиональное напряжение, действующее в направлении оси Оу;
Во, С0) Dq, Ео, Fa, Go — коэффициенты, зависящие от материала обечайки
и степени перфорации, значения этих коэффициентов при р = 0,3 приведены
в табл. 10.
При расположении отверстий по вершинам треугольников
в стенке обечайки жесткость стенки определяют по приведенным
значениям упругих постоянных Е' и р'.
В направлении оси Ох
Е’х = £/(А + pBi).
В направлении оси Оу постоянные
Е^Е/(Л; + рВ'); (310)
= (С' + ир')/(д; + ув'у). . (зп)
Таблица 10
Коэффициенты к расчету перфорированных оболочек
Коэффи- циент Степень перфорации k
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Л 0 -0,1275 — 0,1133 -0,0973 -0,0793 — 0,0559 — 0,0402 — 0,0225 -0,0086
Во — 0,0057 — 0,0150 -0,0341 — 0,0520 — 0,0688 — 0,0844 — 0,0989 — 0,0123
Со — 0,0262 -0,0393 — 0,0524 — 0,0657 — 0,0786 0,917 0,1049 0,1180
Со 1,250 1.459 1,667 2,000 2,500 3,333 5,000 10,000
Со -18,815 — 17,257 — 17,490 -19,042 -22,220 — 28,218 —41,080 — 79,171
Го 0,8479 0,9071 0,9752 1,0544 1,475 1,2587 13,937 1,5612
— 25,96 -24,15 -24,31 -25,66 — 28,06 — 31,62 -36,70 — 43,95
ЛХ 1,090 1,196 1,372 1,665 2,184 3,221 5,895 18,247
1,082 1,181 1,348 1,625 2,105 3,035 5,332 —
В'Х’ By 0,129 0,219* 0,337 0,499 0,734 1,108 1,801 3,570
С’ у 0,076 0,131 0,210 0,334 0,561 1,074 2,693 12,198
D' 0,829 0,769 0,737 0,749 0,834 1,058 1,601 3,220
229
Рис, 161. Секция рабочего цилиндра шнекового
пресса
Значения коэффициентов А'х, А’у,
В'у, С', Df при ц = 0,3 приведены
в табл. 10.
Приведенный модуль продольной
упругости Е при больших значе-
ниях радиусов барабанов r/(/?s)<
< 0,18 (здесь г — радиус отверстия;
R — радиус барабана; s — толщина
стенки)
Е‘ - Е (1 — с)*(1 + 4с3),
где с — FJF (здесь Fo и F — площади соответственно всех отверстий перфориро-
ванной оболочки и срединной поверхности сплошной оболочки).
Пример. Необходимо рассчитать перфорированный барабан шнекового
пресса для отжима влаги из сырого жома сахарной свеклы. Стенки рабочего ци-
линдра (рис. 161) образованы из сит, собранных по длине пресса в отдельные
секции. Сита разделяют на наружные толщиной s = 12 мм и прикрепляемые
к ним внутренние толщиной = 0,9 мм. Наружные сита выполнены перфориро-
ванными по треугольной сетке с шагом t = 30 мм, диаметр отверстий d = 20 мм.
Внутренние сита имеют частую перфорацию, диаметр и шаг отверстий — перемен-
ный по длине цилиндра. Максимальное давление в рабочем цилиндре составляет
МПа.
Средний радиус наружного цилиндра равен R = 360 мм. Наружный цилиндр
выполнен из стали 1X13 (предел текучести от ~ 410 МПа) [58].
Вследствие малой жесткости внутреннего сита можно считать, что давление
р =1 1 МПа передается только на наружное сито. Степень перфорации k —
= 20/30 0,666.
Мембранные напряжения для сплошной цилиндрической оболочки
I 0,36 ТСЛ ЛЛТТ . I 0,36 _ 77 мп
~ 0,012 54 МПа> °т 2 0,012 7 ЛП
Напряжения в точках 1 и 2 найдем по формулам (308) и (309), подставив в них
постоянные из табл. 16.
О! - (3,333 + 0,0402-28,218) вх —
(А. 0,402-28,218)^ = 154 МПа,
= 766 МПа.
Из приведенного расчета следует, что напряжения в точке 2 превышают пре-
дел текучести материала, в результате требуется увеличить толщину стенки.
Экспериментально полученная зависимость максимальных значений давле-
ния на стенки цилиндра пресса от расстояния приведена на рис. 162 [27].
Цилиндрический барабан рассчитывают как оболочку с бандажами по момент-
ной теории обоолочек.
Расчет на прочность прессующих и нагнетательных шнеков производят по
условной схеме. Виток шнека представляют как круглую пластину, жестко
закрепленную по внутреннему контуру и нагруженную равномерным распреде-
ленным давлением.
Найдем выражения для изгибающих моментов Мг и ЛЦ, которые возникают
в месте закрепления пластины.
230
Рис. 162- Зависимость максимальных значений давления в цилиндре пресса от рас-
стояния:
1 — Р = 3,0 МПа; 2 — Р == 4 МПа; 3 — Р = 5 МПа
Рис. 163. Расчетная схема витка шнека
Распределенная нагрузка (давление) равна р, коэффициент Пуассона для ма-
териала пластинки 0,3, отношение внутреннего радиуса пластинки к наружному
0,5 (рис. 163).
Поскольку задано отношение r^/R, воспользуемся табл. 6 сопровождающих
функций. Перепишем для этого случая уравнения в следующем виде:
4“ 4“ Р^гр 4”
Mt = Mr$tr + + P^tp +
Dw + дг>фф?.
Выписываем из табл. 7 формулы для сопровождающих функций и подсчиты-
ваем соответствующие коэффициенты при Хо = rjR = 0,5 и = 1:
Фгг (0,5) = 0,625; фг< (0,5) = 0,375; . '
фгр (0,5) = 0,096; фГ(? (0,5) = 0,0902;
%, (1) == -0,3297; (1) == 1,099;
Ффр (0 — 11,ф<7 0) = 6.
Используя далее граничные условия при г — R; Мг = 0 и при г = г0; <р = 0,
имеем два уравнения
0 = 0,625Л1Г( -ф 0,37544, о -ф 0,0926р — 0,0902р/?2;
0 = О,3297МГо -ф 1,099 -ф О- рг3.
Из второго уравнения получим зависимость между М, и МГо:
Mt = 0,344 ; Mr = 0,174р/?2; М, = 0,05244рЯ2.
Mta = 0,05244рЯ2.
Наибольшие напряжения на внутреннем крае
стГо ==6-0,174pD2/(4s2),
где D = 2R.
231
§ 18. РОТАЦИОННЫЕ АППАРАТЫ С МЕДЛЕННО
ВРАЩАЮЩИМИСЯ БАРАБАНАМИ
В пищевой промышленности широко применяют машины,
основной рабочий орган которых барабан совершает медленное
вращательное движение (частота вращения 0,5—5 об/мин). К ним
следует отнести сушильные барабаны, барабанные смесители,
вращающиеся печи, шаровые мельницы, известегасильпые ба-
рабаны (на сахарных заводах и т. д.).
Барабанный смеситель (рис. 164) непрерывного действия для
глянцевания или обсыпки карамели сахарным песком имеет
барабан преимущественно цилиндрической формы и длиной, зна-
чительно превосходящей его диаметр.
Внутри барабана могут быть расположены насадки для пере-
сыпания продукта (как это имеет место в сушилках) и жестко
соединенные с барабаном транспортирующие винтообразные по-
верхности, как в диффузионных аппаратах. Размеры барабана
и форма внутренней насадки определяются технологическим
процессом, протекающем в барабане. Корпусы барабанов вы-
полнены из листовой низкоуглеродистой стали. Толщина стенки
обычно принимается равной 0,005—0,0011 диаметра барабана.
Барабаны имеют бандажи, служащие для передачи нагрузки
от действия сил тяжести барабана и обрабатываемого продукта
на ролики опорных станций. Одна из этих опорных станций
должна иметь устройство, препятствующее осевому перемещению
барабана. Барабан приводится во вращение с помощью зубчатого
венца, связанного с шестерней вала редуктора. В ряде случаев
опорные ролики могут являться фрикционным приводом.
Рис. 164. Барабанный смеситель УК Г-3 непрерывного действия:
1 — стойки; 2, 14, 15 — рукоятки; 3 — загрузочный конус; 4 — ось; 5, 5. 13 — пере-
городки; 6 — бандажи; 7 — уплотняющие кольца; 9 — венцовая шестерня; 10 — ци-
линдрическая обечайка; 11 — барабан; 12 — разгрузочный конус; 16 — роликовые
опоры; 17 — электродвигатель; 18 — редуктор; 19 — промежуточная шестерня; 20 —
упорные ролики; 21 — станина
232
Бандажи имеют обычно прямоугольное, квадратное или короб-
чатое сечение. В некоторых конструкциях бандажи насаживают
в горячем состоянии на соединенные с барабаном кованые горло-
вины или крепят к фланцу барабана. При больших размерах
барабана целесообразно свободное крепление бандажей; бандажи
надевают на чугунные башмаки (20—25 шт.), под которые под-
кладывают подкладки. В случае свободной посадки бандажей
на барабаны предусматривают температурные зазоры. При про-
ектировании барабанных аппаратов необходим расчет прочности
бандажей.
Бандажи выполняют из сталей Ст5, Стб, 40, 45, ролики — из
менее прочных материалов, чаще из чугуна.
При проектировании опорных станций следует учитывать,
что подшипники роликов работают в тяжелых условиях. При
наклонном расположении барабанов следует учитывать осевую
силу барабана
U = Р sin а.
Эта сила должна восприниматься, например, для легких бара-
банов опорными роликами с ребордами или упорными роликами.
Расчет опорных колец (бандажей). В мясной, молочной и дру-
гих отраслях пищевой промышленности применяют опорные
кольца (бандажи) в тех случаях, когда оказывается необходимым
приводить во вращение горизонтальные цилиндры, не имеющие
валов (барабанные сушилки, шаровые мельницы, маслоизгото-
вители и т. д.).
Если представить бандаж как круглую раму с замкнутым
контуром, то для его расчета можно применить метод сил. Со-
гласно методу сил при расчете статически неопределимой системы
намечается основная статически определимая система, получа-
емая из заданной схемы рамы путем удаления всех лишних связей.
Действие отброшенных связей заменяется неизвестными силами.
Затем находят перемещения, вызванные нагрузкой и каждой
неизвестной силой, направленной вдоль отброшенной связи.
После этого составляют уравнения, в которых перемещения вдоль
отброшенных связей приравнивают нулю. Из полученной системы
уравнений, называемой канонической, определяют неизвестные
силы.
Если замкнутый контур рамы разрезать в каком-либо месте,
то это будет равносильно снятию трех внутренних связей и система
станет статически определимой. Так как внутренние связи пре-
пятствуют взаимным перемещениям, их иногда называют взаим-
ными связями. Усилиями во внутренних связях являются нор-
мальная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент в дан-
ном сечении М.
Если контур нагруженной рамы разрезать, то два образовав-
шихся сечения, примыкающих одно к другому, переместятся
друг относительно друга. Эти взаимные перемещения можно
233
Рис. 165. Схемы к расчету бандажа:
а — произвольный контур; б — схема
нагружения бандажа; в — условная схема
нагружен ил бандажа
представить состоящими из пе-
ремещения по горизонтали, по
вертикали и углового переме-
щения.
в) Написав выражения для
этих взаимных перемещений и
приравняв их нулю на основании того, что в действительности
никакого разреза рамы нет, легко получить каноническую систему
уравнений для данного замкнутого контура.
Если обозначить через б1р, 62р, б3с, перемещения вдоль от-
брошенных связей, вызванные действующей на раму нагрузкой,
и через (t, k = 1, 2, 3) — перемещения в тех же направлениях,
вызванные единичными нагрузками, действующими в направле-
нии отброшенных связей, а через Хг, Х2, Х3 — силы, заменяющие
действие отброшенных связей, то каноническая система уравнений
для замкнутого контура будет иметь вид
Л'16п + Х2612 + А3б13 + 61р — 0;
Выбор основной системы и направлений лишних неизвестных
должен быть таким, чтобы каноническая система уравнений имела
возможно более простой вид. С этой точки зрения часто бывает
выгодно переносить лишние неизвестные в так называемый упру-
гий центр. Рассмотрим подробнее последнее понятие.
Перенос системы сил, приложенных в данном сечении, может
быть произведен по правилам теоретической механики в любую
точку плоскости; при этом необходимо только обеспечить, чтобы
234
силы передавались на систему не в новой ее точке, а в старой.
Это достигается введением дополнительного стержня (вообража-
емого), жесткость которого равна бесконечности.
Предположим, что имеется некоторый произвольный контур
с заделанными концами (рис. 165, а). Отбросим левую заделку
контура и приложим три неизвестных силовых фактора Хх, Х2,
Х3, заменяющих действие на раму отброшенных связей. Допустим,
что эти силовые факторы нам известны, и равны каждый единице.
Определим перемещения свободного конца рамы под действием
каждого единичного силового фактора. При этом воспользуемся
интегралом Мора:
Из приведенных данных видно, что
где Д — момент инерции контура относительно оси г; J2 — момент инерции кон-
тура относительно оси //; L — длина контура; — статический момент контура
относительно оси г; S2 — статический момент контура относительно оси у; J12 —
центробежный момент инерции контура относительно yz.
Если система неизвестных сил будет перенесена в центр масс
системы, то 613; 623 будут равны нулю. При направлении сил Л\,
Х2, Х3 по главным осям инерции системы перемещения 612 не будет.
Точку, в которую нужно перенести лишние неизвестные для
того, чтобы все побочные перемещения 612, 613, 623 обратились
в нуль, называют упругим центром масс рамы.
Перейдем к расчету бандажей. Рассмотрим наиболее часто
встречающийся случай, когда бандаж несет нагрузку от действия
веса барабана с его содержимым. Обычная схема нагрузки кольца
показана на рис. 165, б.
Примем действующее на нижнее полукольцо давление, изме-
няющееся по следующему закону:
р == q sin (ф — я/2) = —q cos ф.
235
Общая вертикальная нагрузка кольца пусть будет Р. Давле-
ние на элемент кольца с центральным углом
pRdty —qR cos
Найдем теперь реакции опорных роликов, пользуясь усло-
виями статики
Р = — 2Т cos а; (312) Т - —P/(2cos а). (313)
Разрежем кольцо по сечению пт, к концам разреза мысленно
прикрепим две фиктивные невесомые бесконечно жесткие балочки
и на концы этих балочек в центр кольца перенесем силы реактив-
ного воздействия одной части кольца на другую (рис. 165, в).
В месте разреза кольца необходимо приложить продольную
силу Хх. Причем сила Хг действует не только на правую часть
кольца, но и на левую в противоположном направлении.
В месте разреза необходимо также приложить изгибающий
момент А3 к правой и левой частям кольца с противоположными
знаками. Поперечная сила Х2 в рассматриваемом сечении отсут-
ствует, так как нагрузки симметричны относительно сечения.
Перенося продольную силу Ах в центр кольца, необходимо в соот-
ветствии с правилами теоретической механики приложить к кон-
цам фиктивных балочек пары сил, равные X^R (здесь R — радиус
кольца). Таким образом, получим статически определимую коль-
цевую раму, в центре которой действуют продольные силы Ах
и изгибающие моменты Х3 = Аз + X\R, передающиеся на раму
через фиктивные балочки.
Нетрудно видеть, что указанные силовые факторы оказались
перенесенными в упругий центр кольца.
Каноническая система уравнений для данного случая имеет вид
АХ6ХХ 4- 6Хр — 0;
А3633 4- бзР = 0,
где 6ц — взаимное перемещение сечений в горизонтальном направлении, вызван-
ное единичными силами; 633 — взаимное угловое перемещение сечений от единич-
ных пар.
Из полученных уравнений находим
Ах — ~6ip/6xi;
(314)
(315)
—бзр/633.
Перейдем к определению перемещений 6Хр, 63р, 6П, 633. Пере-
мещение 6Х1 определим с помощью интеграла Мора, пренебрегая
влиянием продольных и поперечных сил,
2л
би == j MiR dq/EJ. (316)
о
236
Для нахождения единичного момента 7ИХ вместо силы
лриложим единичную силу. Момент Мг для любого сечения кольца
с направляющим углом ср
АД = 1 (7? — 7? cos ф) — 7? = —7? cos ф.
Подставляя в уравнение (316) и, производя интегрирование,
имеем
2Л
~ f R3 cos3 ср t/ф nR3
= ] еТ =~ЁГ-
и
Перемещение б33 найдем из выражения
2Л
639 — j АД/? dvflEJ.
о
Если единичный момент М3 равен единице, то
633 == j Д dq>/(EJ) — 2nR/(EJ).
о
Определим перемещения 61р, используя следующее уравнение:
6Хр = j MPM,R dqijE.J.
о
Это перемещение можно представить состоящим из перемеще-
ния б;р, вызванного распределенной нагрузкой, и перемещения бД,
обусловленного действием сосредоточенных сил Т. Для нахожде-
ния момента в данном сечении кольца от распределенной радиаль-
ной нагрузки напишем выражение для элементарного момента
указанной нагрузки в данном сечении кольца с направляющим
углом ф. Для этого давление на элемент кольца с центральным
углом <й|) умножим на плечо R sin (ф —i|>), в результате получим
dM.p- — —qR cos ф7? sin (ф — ф).
Момент от распределенной нагрузки в данном сечении кольца
МР' — f — qR соэфД Э1п(ф — =~ qR2 ~ •
(317)
Относительное перемещение 6Д, вызванное действием распре-
деленной нагрузки,
в;„ = 2 j
л/2
Момент от распределенной нагрузки действует на участке
кольца при я/2 < ф < Зл/2, момент от сосредоточенных сил Т
237
действует на участке при L < ф < 2ла. В любом сечении кольца
при а < <р < 2л. момент от сосредоточенных сил Т
Мр» — —TR sin (ф — а).
Относительное перемещение 6ip, вызванное действием сосредо-
точенных сил Т,
Л
Г TR TRS
J sin (ф — a)R2 cos ф б/ф — - -pj- (л — а) sin а.
а
Таким образом, полное перемещение 61р определится при
суммировании 6JP и 6ТР:
s„ _ в;, + в;, - -
77?3
-=^~ (л — а) sin а.
Подставляя б1р и 6П в уравнение (314), найдем продольную
силу
V Т < ч
----— (л —a) sin а.
Перемещение 63р также представляем состоящим из перемеще-
ния 6зР, вызванного распределенной нагрузкой и перемещения 6зр,
вызванного действием сосредоточенных сил Т.
Перемещение 6зР найдем из выражения
г МП'М.
&зР = 2 —R dq>.
л/2
Подставляя в последнее уравнение значение М’р, получаем
л/2
Аналогично найдем перемещение
Л
6з₽ — —2 j TR sin (ф — a) R dq> = 2TR2 cos (л — а).
а
Полное перемещение
63р = qR3 f-|- л 4- 2) + 2Т^2С08(л — а).
Подставляя б3р и 633 в уравнение (315), получаем значение
момента
V' / 1 , о\ 2TR2 „ ,
Аз ~ 2л/? ( 2 31+ 2) 2л/? C0S
ИЛИ
l)-^-[cos(n-a)b
238
Для того чтобы получить значение момента в сечении кольца
fnn, необходимо из значения Х'з вычесть значение пары —
== Я?— + (л - a) sin а:
Х3 = ~~ л — 1 ) + [ 1 + cos а — (л — а) sin а].
Таким образом, подставив значение Т из выражения (313),
окончательно получим
(318)
Х3 = —— (4- л — 1 ^) — „ —- [1 - I- cos а — (л — a) sin а]. (319)
3 л \ 8 / 2л cos а 11 ' ’ J '
Давление барабана на бандаж обычно изменяется по синусо-
идальному закону. Давление равно нулю на горизонтальном
диаметре, а на вертикальном достигает максимума: р ~ —q cos ф.
Давление на элементарную дугу кольца с центральным углом dtp
будет Т?<7 cos <р chp. Вертикальная его проекция будет равна
Rq cos2 ср dtp.
Из условия статики имеем
з
Р = I /?</cos2 ф dq> = Pq -5-; q — 2p/(nR). (320)
(p —-
Подставляя значение q в уравнения (318), (319), получаем
+ Z (л — a) tg а
V Г 2 1 I 1 I I
Л3 - --------—-------г 4- -х--------(л — а) tg а
J л |_ л 4 1 2 cos а 2 v & □
(321)
(322)
Момент от распределенной нагрузки найдем из уравнения
(317), подставив в него значение q из уравнения (320):
Мр ’=---— (COS ф 1--— sin л) .
Напишем выражение изгибающих моментов для сечений левой
половины кольца с направляющим углом ф:
при 0 < ф < л/2
М - Х8 + XxR (1 - cos ф); (323)
при л/2 < ф < а
M = X3 + XrR (1 - cos ф) + Мр; (324)
при а < ф < л
М — Х3 + X±R (1 — cos ф) -Ь Л4р — TR зш.(ф — а). (325)
239
180
Рис. 166. Эпюра моментов, изгибающих бандаж
Подставляя значения А\ и Л'3 формул (321) и (322) в уравне-
ния (323)—(325), определяем изгибающий момент в любом сечении
бандажа.
Пример. Требуется рассчитать бандаж барабанной сушилки, причем нагрузка
на бандаж составляет Р = 127 530 Н; средний диаметр бандажа 2 R.
Подставив указанные значения в формулы (321), (322), (313) получим X, =
= Xft = 407,1 Н; Х3 = 13 3220 Н; Т = — Р/(2 cos а) = 73 575 Н.
Полагая ф = 0,10, .... 180°, легко найдем значения изгибающих моментов
в рассматриваемых сечениях. Значения изгибающих моментов (Н-м) в зависи-
мости От <р следующие:
ф 0 10 20 30 40 50 53,5
м 1332,2 1283,2 1137 895,7 520 169,7 0
ф . . . . . 60 70 80 90 100 НО 120
м —296,3 —810,3 —1357,7 — 1924,7 —2363,2 —2619,3 —2111,1
ф 130 140 150 160 170 180
м —531,7 2303,4 6335,7 1773,6 —1120 —2042,4
Из эпюры изгибающих моментов (рис. 166) видно, что наи-
большие по модулю напряжения имеют место в местах касания
бандажа роликов.
Максимальные напряжения в сечениях бандажа
ст = MIW,
где IF — момент сопротивления сечения бандажа.
Запас прочности бандажа определяют с учетом предела вы-
носливости или малоцикловой усталости. Характеристики цикла
нагружения находят па основании эпюры изгибающих моментов
по максимальному и минимальному напряжениям.
240
Ряс. 167. Опорные и упорные ролики:
/ — бандаж; 2 — ролик
По формуле (313) определяют реакцию опорных роликов.
Сила, сдвигающая ролик в горизонтальном направлении,
S — Т sin q> = Р tg ф/2.
Сила, прижимающая подшипник ролика к раме,
Т cos ф == Р/2.
Обозначим силу натяга всех болтов, крепящих подшипник
к раме, через Ро, коэффициент трения корпуса подшипника
о раму — через /. Упорные болты (рис. 167) или стяжные для
регулирования и перемещения подшипников опорных роликов
по горизонтали будут воспринимать усилия
F - Р tg ф/2 - / (Р0/2 + К),
где Л — сила натяга всех болтов, крепящих подшипник к раме.
Полагая, что болты незатянуты (/ — 0), найдем
F = [Р (1g ф — 1) 1/2.
При ф = 60° реакция 'Г имеет умеренные значения и обеспечи-
вается необходимая устойчивость барабана. При применении
фрикционного привода реакцию Т требуется увеличить, вследствие
чего угол ср должен составлять 90—100°.
Опорные ролики в ряде случаев выполняют двойными для
уменьшения нагрузки на ролик (рис. 168).
Максимальные контактные напряжения, возникающие в мате-
риале бандажей и роликов, определяют на основании теории
Герца:
„ _ п до i / р El ^1 + ^2
i"ax — ’ V 1 £i + EF RiR2 ’
где Pj — усилие на единицу длины контакта, Н/см; Rt и R2, — соответ-
ственно радиусы бандажа и ролика и модули упругости их материалов.
241
Рис. 168. Двойные опорные ролики
Рис. 169. К расчету контактирующих цилиндров
При работе барабанных аппаратов, опирающихся на ролики,
в материале бандажей и роликов возникают контактные напряже-
ния. Если принять, что между снимаемыми цилиндрами отсут-
ствует трение, то можно считать, что в точках контакта будут
действовать лишь нормальные давления.
При взаимном нажатии двух цилиндров, радиусы нормальных
сечений которых и с параллельными образующими при
равномерно распределенной нагрузке q площадка контакта будет
иметь форму прямоугольников (169). Ширина последнего может
быть определена по формуле, полученной на основании решения
Г. Герца:
6^215 1 / а 1/£а
О 2,10 у <7|/7?1+ l/R2
Наибольшее напряжение сжатия, действующее в точках оси
площадки контакта,
о„1ах- 1,27 -f- = 0,418
Как показывает анализ напряженного состояния, опасная
точка находится на вертикальной оси (соединяющей центры
нормальных сечений цилиндров) на глубине, равной 0,4 ширины
площадки контакта. Главные напряжения в этой точке
(J1— Ojl&Omax, О'о — 0,288сУ1Т1ах> ™ -0.780(ТтаХ.
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
^шах — 6,3(Jniax«
242
На основании полученных формул можно сделать заключение,
что контактные напряжения не являются линейной функцией
нагрузки. С возрастанием последней они незначительно увеличи-
ваются и в основном зависят от упругих свойств материалов. Это
обусловлено увеличением размеров площадки контакта с возраста-
нием нагрузки. Применяя энергетическую теорию прочности,
можно получить эквивалентное напряжение в опасной точке:
ЭКВ — 0>6crmax.
Ширина бандажа
Ь — Tlq.
Значение q рекомендуется принимать от 10е Н/м для быстро-
ходных барабанов и до 2,4-106 Н/м для барабанов, вращающихся
с частотой 3—4 об/мин.
Если при проверке значения отах будут высокие, то ширину
роликов увеличивают.
ГЛАВА V
РОТАЦИОННЫЕ МАШИНЫ
§ 19. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
С помощью машин производится изменение формы, свойств,
состояния и положения обрабатываемого продукта.
Современная машина состоит в основном из питающих уст-
ройств, исполнительных механизмов с рабочими органами, при-
водного механизма, а также устройств для управления, регу-
лирования, защиты и блокировки. Исполнительный механизм
включает ведомое звено, с которым соединены рабочие органы,
и ведущее звено, связанное с приводным механизмом.
Машины пищевых производств приводятся в движение в основ-
ном индивидуальными электродвигателями.
Особенностью машин является наличие движущихся рабочих
органов, непосредственно воздействующих на обрабатываемый
продукт. Особенностью аппаратов является наличие рабочей
камеры, в которой производится воздействие на продукт для
изменения его свойств.
Указанное различие машин и аппаратов, как уже указывалось
выше, является условным. Некоторые машины по указанному
делению могут быть отнесены к аппаратам, а аппараты — к ма-
шинам.
С точки зрения курса «Расчет и конструирование машин и ап-
паратов пищевых производств» машины наиболее общего назначе-
ния и имеющие широкое распространение в различных подотрас-
лях пищевой промышленности, можно разделить на ротационные,
пульсационные и вибрационные.
В ротационных машинах рабочие органы совершают враща-
тельное движение с большой частотой вращения, благодаря
которому осуществляется технологический процесс.
Для примера на рис. 170 приведен общий вид молотковой
дробилки, относящейся к ротационным машинам.
В пульсационных машинах рабочие органы — это обычно
поршни, совершающие возвратно-поступательное движение
с невысокой частотой и воздействующие при этом на соответству-
ющую среду или обрабатываемый продукт.
В вибрационных машинах рабочие органы совершают высоко-
частотные колебания, благодаря которым происходит изменение
свойств обрабатываемых продуктов.
244
Необходимо учитывать отличие машин от автоматов. Послед-
ние являются машинами, которые самостоятельно производят все
рабочие и холостые (вспомогательные) движения рабочих циклов,
включая и управление этими циклами. Основное назначение
автоматов в пищевой промышленности — осуществление вспомо-
гательных операций: наполнение тары продуктом, расфасовка
и упаковка продукта, изготовление тары и т, п.
Если при конструировании машин пищевых производств необ-
ходимо комплексно решать вопросы, связанные с физико-хими-
ческими и микробиологическими процессами, прочностью, же-
сткостью и устойчивостью элементов машин, а также со свой-
ствами материалов, из которых выполнены рабочие органы ма-
шин, то при конструировании автоматов главной задачей является
оптимальный выбор кинематических схем приводов, обеспечива-
ющих заданное движение соответствующих элементов автоматов.
Таким образом, можно сделать вывод, что задачи расчета
и конструирования деталей и узлов машин пищевых производств
значительно отличаются от задач расчета и конструирования
автоматов.
Советские ученые — механики И. И. Артоболевский и А. Н. Бо-
голюбов указывали на то, что тенденции последних десятилетий
в разработке промышленного оборудования выдвигают на первое
место ротационные машины, обладающие высокими технико-
экономическими показателями. В пищевой промышленности такие
машины получили большое распространение. Продукция сахарной
и молочной промышленности, обрабатывается на центробежных
роторных машинах. Широкое распространение получили центро-
бежные насосы, компрессоры, дисковые измельчители и т. д.
~1350
^970
Рис. 170. Молотковая дробилка:
1 — вентилятор; 2 — молотки; 3 — стержень; 4 — диски; 5 — вал; 6 — подшипники;
7 — сито
245
800
1080
Рис. 171. Диеновая лила:
1 — электродвигатель; 2 — ограждение; 3 — диск; 4 — устройство для зажимания
кости; 5 — вал; 6 — подшипник вала; 7 - - гибкая передача; 8 — стол; У — станина;
10 — кожух
Поэтому в настоящем курсе сделан акцент на расчет и кон-
струирование ротационных машин, требующих высокой под-
готовки специалиста при их конструировании.
В пищевой промышленности широко применяют разнообраз-
ное оборудование, имеющее быстровращающиеся рабочие органы.
С точки зрения расчета и конструирования машины с быстро-
вращающнмися исполнительными деталями и узлами можно
условно подразделить на дисковые (или простейшие) и роторные.
Дисковые машины конструктивно более просты по сравнению
с роторными. Основным рабочим органом этих машин, выполня-
ющим определенный технологический процесс, является диск или
набор дисков простого или сложного профиля, лопасти, крыль-
чатки,' ножи и т. д.
На рис 171 показана простейшая дисковая машина — цир-
кульная пила, применяемая на мясокомбинатах для отпиливания
рогов или распиливания костей. Рабочим органом ее является
пильный диск с заточенными или разделенными зубцами. Пила
приводится во вращение от электродвигателя через ременную
передачу. Быстровращающиеся дисковые ножи устанавливаются
в различных агрегатах пищевой промышленности, например
в комбинированной резательной машине, применяемой в овощных
линиях консервного производства. К дисковым машинам может
быть отнесена молотковая дробилка, показанная на рис. 170
и применяемая в пищевой промышленности для измельчения су-
хого зерна, костей, соли, сахара и др. Основным рабочим органом
молотковой дробилки является набор дисков, несущих стальные
молотки-бнчи, которые при вращении дисков производят измель-
чение продукта.
246
Тру
247
К дисковым машинам можно отнести дезинтеграторы, эмуль-
серы, центробежные насосы и воздуходувки, центробежные сита
применяемые в крахмало-паточном производстве и т, д.
Представителем роторной машины является осадительная цен-
трифуга со шнековой выгрузкой для разделения крахмального
молочка (рис. 172). В этой центрифуге рабочим органом является
быстровращающийся ротор, в котором имеется шнек, выгружа-
ющий осадок и имеющий частоту вращения, немного отличаю-
щуюся от частоты вращения основного ротора. В роторе проис-
ходит технологический процесс разделения крахмального молочка.
§ 20. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРОСТЕЙШИХ
БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Для определения напряжений щ и at и радиального пере-
мещения и в быстровращающихся дисках применимы уравнения
(80)—(83). Рассмотрим сначала сплошной диск.
На выделенный бесконечно малый элемент диска, толщиной dx
и высотой и шириной, равными единице, действует сила инерции
(рис. 173) у = p£fx<02A.> (326)
где р — плотность материала диска; а> — угловая скорость диска; х — радиус
выделенного слоя (г — текущий радиус)
Уравнение для радиального напряжения запишем в следу-
ющем виде: г г
Ог = - [ ptoMrm (4) dx = — \ M’rrn (4) dx~
Zft f о
Выше было получено
ЛП (—) = 75- £(1 + и) ± (1 ~ I*) j
тогда г
—+ н) + (1 -И) yr] xdx = '
= [(1 + + (1 + |*) )] ,
где X = г01г.
Обозначим
т 4Vw.^=-4l2(l + H)(l -*2)±(1 -Н)(1 -V)].
Т огда °
°г = о'/оФгг + ОщФг/ -г рю2г2фга; (327)
oz = + oZ0i|>„ + Р©2г2ф/О. (328)
Учитывая граничные условия для быстровращающегося диска
с отверстием ог0 = 0 и (о»г=н = 0 и значения фгг (r9/R) (см.
табл. 6), имеем
0-о,4(1 -Щ) -Щ*![2(1+й(I-,
+ (329)
248
Рис. 173. Схема к расчету быстровращающегося диска
рис. 174. Схема нагружения диска усилиями, равномерно распределенными по кон-
центрическим сечениям
Очевидно, что <т<0 будет больше малого значения оу
Подставляя в уравнения (327) и (328) значения сопровожда-
ющих функций и значение ota из последнего уравнения, полу-
чаем
.-(?-)']•• (330)
°, _ 1±е , + у...у - (i)1 + (Л.)*]; (331)
Определим радиальное перемещение и на основании уравне-
ния (183) имеем
Г
I f “И2- = WK + 07о''М’ф* - “аР J (у-) dx,
где
После интегрирования и подстановки значений сопровожда-
ющих функций %, и найдем выражение, из которого опре-
делим увеличение наружного радиуса диска, которое важно
в практических расчетах,
А/? = -^[(1-р)4-^-(3+р)]. (332)
Соответствующие уравнения для сплошного диска можно
получить, если в уравнениях (327), (328) принять ог0 = о;0 = о0
и учесть, что фгг + фг). ~ 1, тогда для ог
ог = сто + Р©2Г2фг(0 (0).
полагая X = 0, получаем
Ф га =----g- [2 (1 4" р) ± (1 — и)J •
/О)
Используя условие (ог)г=я = 0, найдем
о0 = рю2/?2 ( . (333)
Полагая в уравнении (332) г0 — 0, определим
АТ? = (1 — р) р«2/?2/4£. ' (334)
Диски ряда машин, помимо собственной инерционной на-
грузки, испытывают еще нагрузку от присоединенных деталей.
249
Например, в молотковых дробилках центробежные силы инерции
молотков передаются через стержни дискам, нагружая их на
радиусе установки стержней. Распределяя эту нагрузку равно-
мерно по окружности указанного радиуса, можно принять, что
кроме центробежных сил инерции на диск действуют также ра-
диальные усилия, равномерно распределенные по концентриче-
ским кольцевым сечениям радиусов г,-, причем на единицу длины
окружности приходится сила Я;. При рассмотрении диска только
под действием этих усилий (рис. 174) можно применить уравнения
(81) и (82), в результате получим
"г = Orotrr + + "J" bi (335)
= °ro4'fr ~Г °7o'|5iZ 4~ ~ Ф/т; (336)
] _“Г H 7“ (337)
где <jn и (Цо — напряжение в точках на внутренней цилиндрической поверхности
диска при г = г0.
Таким образом, расчет дисков, нагруженных радиальными
усилиями, равномерно распределенными по концентрическим
окружностям, можно достаточно просто производить с помощью
сопровождающих функций.
При расчете дисков молотковых дробилок распределенная
нагрузка от действия сил инерции молотков
Н = тй(о2гц/2л;гк mka?l2n, (338)
где т — масса одного молотка; k — число молотков; гц — радиус центра масс
молотков; гк — радиус расположения оси молотков.
При расчете молотковых дробилок необходимо определить
местные напряжения у отверстий в дисках, через которые про-
ходят оси молотков.
Для определения коэффициента концентрации напряжений
можно воспользоваться [40] следующей формулой:
___(°Дшах о d ffr
к <ц b а,
где аг и сц — радиальное и окружное напряжение в сплошном диске в точке,
соответствующей точке на окружности отверстия, ближайшей к центру вала,
I^dmax — окружное напряжение в точке на окружности отверстия, ближайшей
к центру вала; d— диаметр отверстия; Ь— расстояние между краями отверстий
по окружности, на которой расположены центры отверстий.
Ось молотков рассчитывают как многопролетную балку, на-
груженную сосредоточенными силами между опорами. Число
опор принимается на единицу большим числа дисков. Сосредото-
ченная сила, действующая между опорами,
= тдт2гц.
При конструировании необходимо назначать жесткие допуски
на посадочные отверстия дисков, молотков и на диаметры деталей,
охватываемых отверстиями.
250
Для уменьшения ударной нагрузки молотков, воспринимаемой
всей машиной, молотки должны подвергаться уравновешиванию
на уДаР- Исходя из этого необходимо соблюсти следующее условие:
г2 = 1с,
г — радиус инерции молотка относительно оси подвеса; I — расстояние от оси
подвеса молотка до его рабочего конца; с — расстояние между центром масс и
осью подвеса молотка.
Для прямоугольного молотка с одним осевым отверстием
квадраты радиусов инерции относительно центра масс и оси
подвеса молотка определяют по следующим формулам:
г2с (а2+ &2)/12; г2~г2-1~с2,
где а и b — длина и ширина молотка,
Считая, что точка приложения удара расположена на конце
молотка, найдем / — с ф-0,5а. Расстояние от оси подвеса до
центра масс молотка с (а2 ф- Ь2)/6а.
Если диски и оси молотков могут быть изготовлены из обычных
конструкционных сталей, то молотки могут быть выполнены из
легированной термически обработанной вязкой износостойкой
стали, например марки ЗОХГСА.
Силу Ед перенесем параллельно ее первоначальному направле-
нию в срединную плоскость диска, одновременно приложив
к нему момент, равный произведению силы Ед на плечо I.
В результате диск можно приближенно рассматривать нагру-
женным по окружности следующими силовыми факторами: ра-
диальными распределенными силами Н, действующими в его сре-
динной плоскости; изгибающими распределенными моментами
т = HI, действующими в радиальных плоскостях диска (/ —
расстояние от центра масс пальца до срединной поверхности диска).
Применяя принцип независимости действия сил, определяем
напряжение от каждого из этих факторов в отдельности.
Находим напряжения в диске от действия распределенных
сил Ht i-ro ряда молотков, равномерно распределенных по окруж-
ности радиуса г{ и лежащих в срединной плоскости диска. Со-
гласно уравнениям (335) и (336) эти напряжения
*
(ог)и = (Огфнфгг ф- (а^)нФ^ + у У, #4™; (339)
1
k
— (Ог0)нф/г + (^Го)иФы + 7 У Hitytm- (340)
1
251
Напряжения в диске, обусловленные действием изгибающих
моментов Mi, определяют на основании первых двух уравнений
(49), (77) и (78):
___ , k
(о;)™ = У т^гт\ (341)
1
k
^t)m = %, - ©>4^ + 4" У, т^‘'»• (342)
1
§ 21. РАСЧЕТ ДИСКОВ ДЕЗИНТЕГРАТОРОВ,
ЭМУЛЬСОРОВ, ДИСМЕМБРАТОРОВ И Т. Д.
Многие машины пищевой промышленности имеют диски, на
боковой поверхности которых по концентрическим окружностям
закреплены пальцы или другие детали.
В качестве примеров можно привести дисковый измельчитель
для зерен кукурузы (рис. 175). Этот измельчитель имеет вращаю-
щийся диск, несущий конические пальцы, которые расположены
по концентрическим окружностям, причем каждый ряд пальцев
входит между двумя рядами пальцев неподвижного диска, закреп-
ленного на крышке машины.
Рис. 175. Дисковый измельчитель
252
Рис. 176. Дезинтегратор:
. л _ соответственно левый и правый приводные валы;
2 — кожух; 3. 4 — соответственно левый и правый ди-
ски с пальцами
2 3
Исходный
материал
Другим примером являются диски
дезинтеграторов, применяемых для из-
мельчения твердых продуктов (рис. 176).
Два диска дезинтегратора вращаются
в разные стороны. Расположенные по
концентрическим окружностям цилин-
дрические пальцы одного диска входят
между двумя рядами пальцев другого
диска. Диски, нагруженные боковой на-
грузкой, применяют также в эмульсорах
ударного действия для получения неко-
торых пищевых эмульсий и в других
машинах и аппаратах. Рассмотрим расчет на прочность вращающе-
гося диска, Набоковой поверхности которого укреплены пальцы.
При вращении диска действующие на пальцы центробежные
силы инерции дополнительно нагружают диск. Возникающие при
этом напряжения суммируются с напряжениями от действия сил
самого вращающегося диска.
Примем, что нагрузка на диск от действия силы инерции
пальцев распределяется равномерно по окружности радиуса г
(рис. 177) и ее величина, отнесенная к единице длины,
Н; = F^a/(2nrt),
где kn — число пальцев.
Имея в виду, что распределенные силы, отнесенные к единице
длины окружности расположения пальцев Hlt Н2, Н3 и распре-
деленные моменты тъ т2, т3 действуют соответственно на ра-
диусах rlt г2, г3, суммируем соответствующие напряжения, опре-
деляемые из уравнений (339)—(342), в этом случае применим
принцип независимости действия сил, что является приближе-
нием, так как при изгибе диска силы дают изгибающие моменты, не-
сколько разгружающие диск
k
= К)н + (<*,)« = + «М’н + Ао2фгш+ У
1
(343)
k л
°t=(<ь)н++ У (— +
1 1
(344)
253
где
Рис, 177. Схема действия усилий на диск
с пальцами
Рис. 178. Диск четырехрядного дезинте-
гратора
<+=Ь)и + -^; (345)
°7о — (ст/0)7/ . (346)
В выражениях (345), (346) сг,0 и azo являются напряжениями
в сечении при г = г0.
Пример. Требуется определить запас прочности для диска четырехрядного
дезинтегратора, снабженного двумя рядами пальцев (рис. 178). Масса пальца
0,5 кг. Диск вращается с частотой вращения п = 700 об/мин. Материал диска —
Ст 30. Предел текучести материала <гт = 220 МПа. Наружный радиус диска
R — 40 см, внутренний г„ = 4 см. Радиус окружности, по которой расположен
первый ряд пальцев, принять равным наружному радиусу диска гг = R, число
пальцев первого ряда 30, радиус окружности расположения пальцев второго ряда
г2 = 280 мм. Число пальцев 22. Расстояние по нормали от центра масс пальца
до срединной плоскости диска I = 5,5 см.
Угловая скорость
со = лп/30 = (3,14-700)/30 = 73,5 рад/с.
Подставляя в уравнения (330) и (331) для ог и значения со = 73,5 с-1;
р = 7800 кг/м3; R = 40 см; |Л = 0,3; г0 = 4 см, получаем
28,4 (1 ~ + 0,001 ); (347)
= 28,4 Q 3,6г2+ 0.01) . (348)
Распределенную радиальную нагрузку центробежных сил инерции паль-
цев первого ряда определяем по формуле (339):
Ях = 1,8-10“3-0,5-7002-З0 = 13 000 Н/м.
Распределенные моменты от действия сил инерции пальцев первого ряда
т2 == 13 000-0,055 == 720 Н-м/м.
Соответственно для второго ряда пальцев
Н2 = 1,8-10'3-0,5-702-22 = 9000 Н/м;
т2 = Н21 = 9000-0,055 = 500 Н-м/м.
Напряжения находим для следующих значений отношения r/R: 0,1;
0,25; 0,7; 1. Результаты вычисления ог и О/ (МПа) по формулам (347), (348) во
254
рис. 179. Расчетная схема диска
вращающемся диске без боковой
нагрузки следующие:
r/R
0,1 (г= 4) . . . 0 5,611
0 25 (г = 10) . . 2,238 3,22
0 7 (г = 28) . . 1,42 2,135
|’О (г — 40) . . 0 1,261
Определим напряжения в диске от действия центробежных сил инерции,
развиваемых массами пальцев при вращении диска.
Расчетная схема диска для определения напряжений, обусловленных дей-
ствием на диск центробежных сил инерции пальцев, показана на рис. 179.
Рассмотрим радиальные напряжения в нижних точках диска по внешней тор-
цовой поверхности (г = R). Для определения этих напряжений можно исполь-
зовать уравнение (343); кроме того, их значения легко можно определить по из-
вестным величинам Hi и т,:
(Vr)r~R
Hi . 6/711
~ S I* s2
13 000 6-720
0,0I22 + o,oi22
= 31,08.10s МПа
(из рис. 179 видно, что момент в нижних точках вызывает растяжение).
Запишем
„. . / ''о \ I / 9000 6-500 X / ri X
31,08-10 - <т/о4’г1 R ) Н- ( 0 012 0 0122 ) IVm R )
(распределенный момент т2 вызывает в рассмотренных точках сжатие, поэтому
перед соответствующим членом уравнения стоит знак минус).
С помощью формул для сопровождающих функций (см. табл. 7) определяем
значения сопровождающих функций:
Тогда последнее уравнение примет вид
31.08-10® = а^-0,49 — 200,5-0,82- 10s,
откуда получаем значение окружного нормального напряжения для нижних
точек внутренней торцовой поверхности диска при г = rfl:
<jf0 — 95 МПа.
В дальнейшем вычисляем напряжения <т, и Ст/ для тех же нижних точек диска,
но лежащих на разных радиусах.
При т = 0,10 м
X = г Jr = 0,04/0,1 = 0,4.
С помощью формул для сопровождающих функций (см. табл. 7) находим для
данного значения X = 0,4
ф» (0,4) = 0,58; ф„ (0,4) = 0,42.
Затем подставляем эти значения в уравнения (343) и (344), в результате
получаем
(<Jr),=0,t = 95-10й-0,42 = 40 МПа;
(^)г=о,1 = 95’ 10е• 0,58 = 55 МПа.
255
При г = г2 = 0,28 м (справа от места приложения нагрузок)

Ч-»-1»-.О,4вв + (-®- - да) -27.# МП»;
<«;>«.<, = 9S- W-0-S1 + (S - (™)-0,3 - 40,96 МПа
При г = R = 0,4 величина (аг) была определена выше:
(ог)г—оз = 31,08 МПа.
Для определения (о'/)г=0>4 находим значения сопровождающих функций, вхо-
дящих в уравнения (343) и (344),
♦,,(4«)-0.5;».(^)-0.4Л; ^(^)-0.3;
. 0 ОС 1Лв Л Г I / 9000 6-500 ) л 470 . / 6'720 I
(О/)г=0,4 - 95.10 -0,о + “ож) 0,478 + W +
+S)0,3 == 47,75 МПа-
Найдем суммарные напряжения при выбранных значениях г, складывая на-
пряжения ог и О/ (МПа), приведенные выше, и найденные при различных г (см).
Суммарные напряжения будут следующие:
r/R: аг, МПа <St, МПа
0,1 (г = 4) . . 0 100,6
0,25 (г= 10) . . 42.24 58,2
0,7 (г = 28) . . 29,2 43,1
1,0 (г= 40) . . 31,1 49,0
Из этих данных видно, что максимальные значения напряжений получают
на наименьшем радиусе диска.
Принимаем гипотезу наибольших касательных напряжений и учитываем,
что Oj = at, о3 = О, находим коэффициент запаса прочности
ат/(О/)тах = 220,0/100,6 = 2,2.
Отметим, что на напряжения значительно повлияла боковая нагрузка,
обусловленная действием сил инерции пальцев диска.
Стержни дезинтеграторов изготовляют из материалов, обла-
дающих большой твердостью и высокой ударной вязкостью.
Наибольшее применение для них находит хромокремнистая сталь
40ХС. Наряду с легированной применяют углеродистые стали 30,
,50. Сталь 50 подвергается закалке при температуре 820 °C с после-
дующим охлаждением в воде и затем отпуску с нагревом до темпе-
ратуры 630 °C и постепенным охлаждением в печи в течение 2 ч.
Иногда прибегают к наплавке стержней из углеродистых сталей
твердыми сплавами. Долговечность стержней составляет примерно
1200—1600 ч.
§ 22, РАСЧЕТ ДИСКОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
(РАСПЫЛИТЕЛЬНЫХ СУШИЛОК И ДР.)
Расчет диска даже постоянного сечения представляет собой
сложную задачу. Однако на практике встречаются диски сложного
профиля, например диски распылительных сушилок, колеса цен-
тробежных насосов и т. д.
Для расчета быстровращающихся дисков сложных профилей
возможно применить метод трех усилий.
Диск, рассматриваемый в условиях плоского напряженного
состояния, разбивают на участки постоянной толщины.
Рассмотрим два произвольных смежных участка п и п + 1
(рис. 180). На единицу длины окружности приходятся радиальные
усилия: Nn_lt приложенное к внутреннему контуру n-го участка;
Nn, приложенное к наужному контуру n-го участка и внутрен-
нему контуру (п + 1)-го участка.
Хотя резкое изменение толщины диска на границах п и (и +
+ 1)-го участков приводит к скачку радиальных и окружных
напряжений, усилия N и радиальные перемещения здесь не
изменяются. Основываясь на равенстве радиальных перемещений
в смежном сечении п и (л + 1) участков, напишем условие совмест-
ной работы этих участков (рис. 180)
б/i, п— lA'n- I “|- п 4~ бппА/п 6,2, п-1-1 Д (349)
гДе6п,п_1И бпп — радиальные перемещения наружного края п-го участка под
действием единичных радиальных усилий, приложенных к внутреннему и наруж-
ному краям га-го участка; 6' п и 8'п п_ц — радиальные перемещения внутреннего
края (п ])-го участка под действием единичных радиальных усилий, прило-
женных к внутреннему и наружному краям (п 1)-го участка; Дп и Д'( — ра-
диальные перемещения наружного края n-го участка и внутреннего края
(и1)-го участков, вызванные действием центробежных сил инерции па материал
Диска.
9 Соколов В. И.
257
Таблица 11
Радиальные перемещения диска
Схема нагружения
Перемещения
Схема нагружения
Перемещен и я
Примечание. 6Н и 6К—перемещения от единичных радиальных усилий
в начале и в конце участков, м; Лн и Дк — перемещения от центробежных сил
в начале и конце участков, м; Е—модуль продольной упругости, МПа; з— толщина
диска, м; р, — коэффициент Пуассона; А и В — коэффициенты соответственно
для начала и конца участка; а и Ь — индексы, указывающие место приложения
единичного усилия; ю — индекс, отражающий инерционное воздействие, k —
= ро>2 (здесь w — угловая скорость, м/с; р — плотность материала диска, кг/м8).
ложена сила Н = 1 (см. рис. 170). Для определения перемеще-
ния наружного края воспользуемся уравнениями (335)—(337). Из
уравнения (335) найдем ст?0, используя условие (аг)г=я = 0,
0 = — Г 1 ^в!^’
откуда
.. _ 1 Ч’тг (го/^)
'°' « Фг/Оо/Я)
С учетом последнего равенства из уравнения (337) получаем
irrp- = - (£)+т'К (т):
«!> - •
Аналогично находим перемещение наружного края сплошных
дисков, заделанных по внутреннему контуру.
258
Таблица 12
Значения коэффициентов в формулах для определения
радиальных перемещений диска
~Аа ~Ва ль в'ь
0,00 1,300 0 2,000 0,700 0,175 0,700 0,175
0,05 1,305 0,005 2.005 0.705 330,17 0,177 0,697 0,174
0.10 1,320 0,020 2,020 0,720 82,675 0,183 0,689 0,171
0.15 1,346 0,046 2,046 0,746 36.842 0,193 0,676 0,165
0,20 1,383 0,083 2,083 0,783 20,800 0,208 0,658 0,158
0,25 1,433 0,133 2,133 0,833 13,375 0,226 0,635 0,149
0.30 1,498 0,198 2,198 0.898 9,342 0,249 0,607 0,138
0,35 1,579 0,279 2,279 0,979 6,910 0,276 0.576 0,126
0,40 1,681 0,381 2,381 1,081 5,331 0,307 0.541 0,114
0,45 1,808 0,508 2,508 1,208 4,249 0,342 0,503 0,100
0,50 1,967 0,667 2,667 1,367 3,475 0.381 0,463 0,087
0,55 2,167 0,867 2,867 1,567 2,902 0,424 0,420 0,073
0,60 2,425 1,125 3.125 1.825 2,467 0,472 0,375 0,060
0,65 2,763 1,463 3,463 2,163 2,128 0,523 0,329 0,047
0,70 3.222 1,922 3,922 2,622 1,859 0.579 0,282 0.036
0,75 3,871 2,571 4,571 3,271 1,642 0,639 0,235 0,026
0,80 4,855 3,555 5,555 4,255 1,464 0,703 0,187 0,017
0,85 6,507 5,207 7,207 5,907 1,317 0,771 0,140 0,010
0,90 9,826 8,526 10,526 9,226 1,193 0,843 0,093 0,004
0,95 19,813 18,513 20,513 19,213 1,089 0,919 0,046 0,001
1,00 — — •— — 1,000 1,000 0 0
Радиальные перемещения края диска под действием центро-
бежных сил инерции определяем по формулам (332) и (334). Фор-
мулы перемещений и численные значения коэффициентов, входя-
щих в эти формулы, приведены в табл. 11, 12.
Используя формулы из табл. 11 и преобразовывая уравнение
(349) трех усилий, окончательно получим
Nn^Ba + N„ (Вь-^аЛ- Nn+i ~АЬ = роЛЛ (Aa - Ba)
ИЛИ
«- (В*....+*.W. - C, ^,1 -
~ rn+l * P®s'‘rn ((A»)rn. (350)
Приведем полученные после преобразований формулы для
коэффициентов:
Аа (М — В । - ’
Ва (X) = —2V/(1 — V);
Ab (X) = 2/(1 - X2);
259
D /0 \ _ I ~ Ц + (I + H-) .
----1^2—’
ЛП)(Л) = 4(1-ИЧ-^);
iW
где X = rt-ilrt.
Каждое уравнение (350) включает три неизвестные величины.
Известные усилия на внутреннем и наружном контурах диска
входят в первое и последнее уравнения (350), число которых
меньше числа участков на единицу.
Если найдены радиальные усилия, то можно определить ра-
диальные и окружные напряжения. Первым этапом расчета этих
напряжений является определение напряжений при усредненных
толщинах участков по следующим зависимостям:
^гн^-NilSi\ (351)
Orbt -= Ni-i/st, (352)
°tbt == [огНг — у.~ ('ТГ')] /^г‘ ("гГ") ’
(353)
= <Гг(^г Ь (стг) ~l (j—) > (354)
где arni и О>6; — радиальное напряжение па наружном и внутреннем контурах;
^tbj, GtHj — окружное напряжение на внутреннем и наружном контурах; ipij —
сопровождающие функции, выражения для которых приведены в табл. 6.
= - [2 (1 + р) (1 -V) ± (1 -fl) (1 - V)] 4 (355)
fw
Вторым этапом расчета является «сглаживание» напряжений
в сечениях, в которых в реальных конструкциях диска нет резких
изменений толщин.
В результате деления радиальных усилий на текущую толщину
диска в сечениях вновь определяем радиальные напряжения.
Для выравнивания окружных напряжений целесообразно
воспользоваться формулой линейной интерполяции
= <т;6г+1 = ч- (s„. - «О 1 . (356)
i+1 i
Расчет дисков переменного профиля целесообразно произво-
дить на ЭВМ.
Алгоритм расчета напряжений в дисках. После расчленения
диска на кольцевые участки в исходные данные введем массивы
радиусов концов участков, толщин диска на внутренних и наруж-
ных контурах участков. Затем последовательно вычислим коэффи-
260
Рис. 181. Схема диска ступенчатого
профиля
циенты уравнений (350) и
найдем корни уравнений
полученной системы с по-
мощью специальной проце-
дуры решения ленточной си-
стемы линейных уравнений,
входящей в математическое
обеспечение ЕС ЭВМ. Далее
определяем радиальные и окружные
напряжения на внутреннем и наружном контурах участков с по-
мощью уравнений (351)—(355).
Затем рассмотрим все стыки участков. При наличии одинако-
вых толщин соприкасающихся участков в каком-либо стыке про-
изводится «сглаживание» напряжений. Степень приближения
решения увеличивается с увеличением числа расчетных участков.
Рекомендуется число участков принимать равным 25—30, но и при
числе участках 8—10 результаты расчета получаются вполне
удовлетворительные.
При ручном расчете после разделения диска на ступени по-
стоянной толщины для каждой ступени определяют значения
аргумента и по ним с помощью данных табл. 12 находят коэффи-
циенты Л и В и составляют уравнения трех усилий для каждой
пары смежных участков. После решения полученной системы
уравнений находят усилия A/i( а затем радиальное напряжение
= y4/Sj.
Далее каждый участок рассчитывают как диск с известными
граничными радиальными напряжениями.
Пример (рис. 181). Определить эквивалентное напряжение на внутренней
расточке диска, частота вращения которого 3000 об/мин.
Учитываем, что наибольшие напряжения во вращающемся диске возникают
у центрального отверстия.
Дано: га = 14 см; г2 = 20 см; г2 = 40 см; (на рисунке /ц) = 9 см;
s2 (на рисунке й8)=3 см; ц=0,3 az<i = —5 МПа; = 10 МПа; р = 7850 кг/м3.
Диск состоит из двух участков постоянной толщины.
Распределенное радиальное усилие в начале первого участка
N = -5-10®-0,09 = -45- 10е Н/м;
' о
в конце второго участка
М, = 10-106-0,03 = 30-10® Н/м.
Применяя уравнение (350), находим усилие на стыке участков
OBU + Mi ( - Мг2 v- >1!, = kr2s (Аш-Ба)
\ Sa /
где
, 7850- 3,142-30002 „ ...
k — ~--------------—— = 77 • Ю7.
30г
261
Значения коэффициентов Аа, Аь, Л® и Ва, Вь и определяем
табл. 12 в зависимости от X.
по данным
= rtlrt'.t для участка:
I при г = 14 и 20 см
II при г = 20 и 40 см
Х= rtlrt+t для участка:
I при г = 14 и 20 см
II при г = 20 и 40 см
Аа АЬ л(й
.— —~
—1,967 2,667 3,475
Ва Вь в»
—1,922 2,622 0,579
30, Ю4--^-2,667 =
V ,V0
откуда
Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнение (350), полу-
чаем
45 !04 • 1,922 + Ni (2,622 + • 1,967) —
\ и, ио /
= 77-10’-0,22-0,09 (3,475— 0,579),
= 113-10* Н/м.
Радиальное напряжение в конце первого участка
ИЗ-104 1ОСМ„
% = -оЖ = 12-5МПа-
Будем рассматривать первый участок в качестве самостоятельного диска.
С помощью уравнения (335) находим окружное напряжение на расточке.
Значение сопровождающих функций определяем при Л = 0,7 и ц = 0,3. Учиты-
вая т = г, ио, = 12,75 МПа, находим
Ог = Огофгг + + £г2фЛ(1);
12,75 10е = — 5- 10е-0,745 + at<> 0,255 — 77-107 0,22-0,232,
откуда а(° — 93,3 МПа.
Следовательно, на внутреннем контуре диска имеем следующие значения
главных напряжений:
щ — 93,3 МПа; ог = 0; а8 = —5 МПа.
По критерию максимальных касательных напряжений
оэкв =~ f7i'— «з — 98,3 МПа.
Важным показателем прочности быстровращающихся дисков
является предельная частота вращения, при которой материал
диска разрушается.
Если диск выполнен из низкоуглеродистой стали, диаграмма
растяжения которой имеет участок текучести при постоянном
напряжении, то предельную частоту вращения дисков достаточно
просто определяют с помощью теории предельного равновесия
[32]. Так как большинство быстровращающихся дисков ротацион-
ных машин выполнены из сплавов, диаграмма растяжения которых
не имеет четкого участка текучести, полагаем, что потеря несущей
способности дисков происходит тогда, когда нормальные (окруж-
ные) напряжения в диаметральном сечении достигают значения
временного сопротивления ои. В этом случае возникновение пла-
262
Рис. 182. Схема к определению запаса прочно-
сти по разрушиощим оборотам
Рис. 183. Схема нагружения элемента диска
этических деформаций сопровождается перераспределением на-
пряжений и их выравниванием в указанном сечении. При этом
предполагается, что толщина дисков равномерная (не имеется
резких переходов и сужений) и отсутствуют значительные кон-
центрации напряжений.
Предположим, что окружные напряжения в любом сечении
превышают радиальные, тогда в случае предельного состояния
(г) = ав (Л),
где ов — предел прочности материала.
Если диск нагрет неравномерно, то огв изменяется в зависимости
от радиуса сечения г.
При известном законе распределения температуры в диске
и зависимости ов от температуры легко построить зависимость
ов(г) от радиуса.
Рассмотрим равновесие половины диска при предельной ча-
стоте вращения (рис. 182). При этом будем учитывать действие
на наружном контуре диска радиальных напряжений о,
обусловленных наличием лопастей, пальцев или других кон-
структивных элементов, испытывающих воздействие центробеж-
ных сил инерции. Напряжения на внутреннем контуре от натяга
в диске, имеющем отверстие, к моменту разрушения обычно сни-
маются.
Приравниваем нулю сумму проекций сил на вертикальную ось.
Сначала найдем центробежную силу инерции, действующую на
массу половины диска. На бесконечно малый элемент, выделенный
из диска (рис. 183) двумя диаметральными сечениями под углом
dtp и двумя концентрическими сечениями с радиусами г и г + dr,
будет действовать центробежная сила инерции
dj ~ рю2 d<pr2b dr. (357)
Проекция центробежной силы инерции dj на горизонтальную
ось
dC = рю2 dyr2b dr sin ср. .(358)
263
R
где J о — j r2b dr — момент инерции
Го
Рис. 184. Конический диск (поперечное со
чение)
Центробежная сила, стремя-
щаяся оторвать одну половину
диска от другой,
л Д
С = р®2 j sin<р dtp jbr dr = 2p(OpJ0>
0 f о
(359)
половины диаметрального сечения диска
относительно его оси; Шр— предельная частота вращения диска.
Сумма проекций сил К, приложенных к наружному контуру
диска, на вертикальную ось
К — J Crbfio sin q>R dtp = 2arob0R. (360)
= о
Силы С и К, стремящиеся оторвать одну половину диска от
другой, будут уравновешиваться внутренними силами сцепления
между молекулами материала диска, сумма которых
R
Л',== 2 | ств (/j b dr.
Го
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (без учета
усилий на внутреннем контуре от натяга), но при наличии напря-'
жений на наружном контуре (см. уравнение 338)
9 2bnm„„r,.nk <
+ МяГ = 2 J <Щг) fr dr, (361)
Го
где Ьй — толщина диска па наружном контуре.
н
Учитывая, что [ bdr -- F, т. е. площади полусечения диска,
Го
получаем
wp^l/——k~ <362)
V pJ„ + /ИдГср
(учитывая, что на каждую лопасть, палец и т. д. действует
центробежная сила инерции Гд).
Учитывая, что |/ Jo/F = I — радиус инерции половины диа-
метрального сечения диска, получаем предельную окружную
скорость диска для случая, когда нет напряжений на внутреннем и
наружном контурах
vp = (»PR == (R/i) ]/ Op/р,
где — наружный радиус диска.
264
На основании этого уравнения можно написать следующее
[v] =- vp/kv = R/i y^op/k^P, (363)
где _ запас прочности диска по скорости.
Обозначив ар/(и-гр) — N и R/i — А, можем записать N — А2.
Применим полученные формулы для определения предельной
окружной скорости дисков постоянной толщины.
Половина диаметрального сечения диска с отверстием в цен-
тре будет иметь форму прямоугольника.
Радиус инерции площади половины диаметрального сечения
[ dr г———— _______________
== - ]/ з4тД> - VТ <*г + Kr° T '
Следовательно, _____________
vp^-- 1,23 У -(] _^ + а2) ,
где а = r0/R.
Для сплошного диска постоянной толщины г0 = 0; а = 0 и,
следовательно, предельная окружная скорость
vp = 1,23 V оо/р.
Пример. Необходимо произвести расчет конического диска (рис. 184):
р = 7800 кг/м3; [о] — 230 МПа.
Площадь полусечения
F _ £ + h = °’04 + °’08 0|23 = 0,0138 м»;
расстояние от центра инерции трапецеидального сечения до его наибольшего
основания
Уг
b + 2bt и 0,08 + 2-0,04
3(6 + 61)Й“ 3 (0,08 + 0,04)
0,23 = 0,102 м.
Момент инерции сечения относительно главной оси параллельной оси диска
/г3 (fe2++ &|) 0,233(0,08+ 4-0,08.0,04 +0,042)
/о = '---36(6 + 6з)---=------------3(0,08 + 0,04)------- =58,58-10 м .
Момент инерции сечения относительно оси диска
Jx =- 58,58- !0~6 + 0,0138 (0,102 + 0,02)3 = 207,55-10'* м4;
/а = Jx/F = 207,55/0,0138 = 151 • 10-4 м2;
i = 0,0131 = 0,123 м;
r , 1 |/ 230Л0«
[Ш] = ОД23 К "7800-= 1380 раД/С'
В данном примере определение момента инерции полусечения диска не пред-
ставляет трудностей.
265
о
Рис. 185. Диск распылительной сушилки
Однако при произвольном очертании профиля диска момент
инерции полусечения точно определить довольно сложно. В данном
случае можно воспользоваться следующим приближенным мето-
дом.
Разделим данную фигуру на полоски линиями, параллельными
оси, относительно которой нужно определить момент инерции.
Ширину полоски b выбираем малой по сравнению с размерами
фигуры.
Тогда каждую из этих полосок можно принять за прямоуголь-
ник с высотой t и переменной шириной Ь. Момент инерции каждой
такой полоски относительно оси х
~ + аЧЬ.
Так как высота полосок t мала, слагаемым t?b/\2 можно пре-
небречь по сравнению с attb.
Тогда полный момент инерции фигуры
Jx -
Пример. Необходимо определить частоту вращения диска, соответствующую
состоянию предельного равновесия диска распылительной сушилки для сушки
молока (рис. 185).
Диск выполнен из стали, для которой <JT = 500 МПа. Принимаем (пг)г=Го =
= 0. Диск снабжен шестью дюзами, каждая массой 0,05 кг.
Решение. Определяем момент инерции половины площади сечения диска
относительно оси симметрии ОО. Разделяем площадь полусечения на 17 участков.
Площади участков, расстояния от их центров масс до оси ОО и произведения пло-
щадей на квадраты расстояний до оси приведены в табл. 13.
Складывая значения \Faz, получаем момент инерции половины площади се-
чения диска относительно оси ОО:
Jo = 11,932-IO'6 м4.
Суммируя данные второй графы табл. 13, получаем площадь полусечения
F = 29- Ю"4 м2.
Расстояние от центра масс каждой дюзы до оси ОО составляет 10,6 см.
266
Таблица 13
Значения величин для определения J 0
Участок Площадь участка, см2 Расстояние от центра до оси ОО, см S ’<3 <1 Участок Площадь участка, см£ Расстояние от центра до оси ОО, см S м" а AFa2, см4
1 0,44 12,4 156 68,5 10 1,2 9,2 85 102
2 0,45 11.4 130 58,5 11 1.5 8,3 69 ЮЗ
3 0,75 10,3 106 79,5 12 1,5 7,3 53 79,5
4 1,2 9,2 85 102 13 1,55 6,3 40 62
5 0,6 8,4 70 42 14 1,65 5,3 28,2 46,6
6 0,3 7,5 56 18,8 15 1,95 4,2 17,8 34,8
7 0,44 12,4 156 68,5 16 5 3,2 10,9 54,5
8 0,45 Н,4 130 58,5 17 9,3 2,2 4,85 45
9 0,75 10,3 106 79,5
Определяем предельную угловую скорость диска
500-10е-29-10"4
О)р =
7850-11 932 10-» | 6 °'05-»'106 3808 РаД/С'
b5Jo
Определяем предельную частоту вращения диска, учитывая,
что сор — лпр/30, откуда
пр -ЗОсОр/л-30-3808/3,14 - 36400 об/мин.
Если принять запас прочности по скорости равным четырем,
то допускаемая частота вращения
[лт] — 36400/4 =9100 об/мин.
В дисках, имеющих сложный профиль с областями резкого
повышения температуры и концентрации напряжений, радиальные
напряжения могут заметно превышать окружные напряжения при
рабочей угловой скорости. С увеличением угловой скорости на
некотором радиусе гс возникают пластические деформации, кото-
рые при дальнейшем увеличении угловой скорости распространя-
ются на всю область, заключенную между радиусами гс и R.
Рассмотрим предельное равновесие при разрушении диска по
цилиндрическому сечению радиуса гс, обусловленному наличием
отверстий в полотне диска и местным его сужением (рис. 186).
Предположим, что па радиусе гс расположены центры отверстий
Диаметром d.
Обычно принимают, что по поверхности разрушения напряже-
ния равны пределу прочности материала.
267
Рис. 186. Разрушение диска по цилиндрическому сечению
В данном случае внутренние силы диска
R л
^i = 2 J j ав('с)Ьс(1 - ) rc sin <pd<p.
В последнем члене правой части равенства учтено ослабление
диска с помощью множителя: 1 — zdl(2ягс)(здесь г — число отвер-
стий). После интегрирования членов правой части равенства и
учета внешних воздействий на диск при <тв (г) = ов = const,
получим
^ро)рУ0 -j = 2oBF го-вГср^с (1 — 2л7
Откуда
(364)
Обычно расчет проводят для различных значений гс, а для
оценки прочности принимают наименьшее значение сор.
Для многих центробежных машин лопасти дисков расположены
на боковой стороне.
При расчете жесткость лопасти на растяжение не учитывают и
лопасти рассматривают как присоединенные массы. Диск рассчи-
тывают обычным способом с введением приведенной плотности
материала:
2лМ(г) ]’
где йл— коэффициент, зависящий о г расположения лопастей (при одностороннем
расположении лопастей k — 1, при двустороннем k = 2); z— число лопастей;
Fm — площадь поперечного сечения лопасти.
268
Рис. 187. Центробежный насос:
а — с двухопорным валом; б -- с консолытым валом
Момент инерции площади половины диаметрального сечения
диска относительно оси вращения (см. формулу (359)).
ъ
Jo- \r2b(f)dr.
а
Выше были рассмотрены расчет и конструирование рабочих
органов быстроходных дисковых машин. Конструирование этих
узлов целиком подчинено технологическому назначению машины
с учетом прочностных возможностей.
Другие узлы данных машин, хотя и в меньшей степени, но
также зависят от технологического назначения машины.
При рассмотрении общих принципов конструирования выше
указывалось, что с точки зрения жесткости и прочности конструк-
ций междуопорное расположение рабочего органа выгоднее кон-
сольного. Однако использование консолей часто приводит к более
простым, компактным и удобным для сборки конструкции и ее
эксплуатации решениям, чем применение двухопорного располо-
жения конструкций.
В качестве примера на рис. 187 изображена конструкция
центробежного насоса с двухопорной и консольной установкой
вала колеса. При консольной установке вала обеспечивается
доступность к колесу и гидравлической полости насоса, улуч-
шается эксплуатация насоса и упрощается конструкция. При
двухопорной установке опоры центрируются независимо одна от
Другой через стык корпусных деталей.
269
Рис. 188. Вал мясорезательной машины с серповидными ножами:
а — расположение ножей на валу и усилие, действующее на серповидный нож; б —
вал машины
Например, дисковые серповидные ножи машины для тонкого
измельчения мяса (рис. 188) могут быть расположены между опо-
рами в соответствии с производственными требованиями.
Следует, однако, отметить, что окончательное решение о распо-
ложении опор необходимо связывать с технологическими функ-
циями данной машины и требованиями эксплуатации.
Наиболее простые конструктивные решения получаются при
непосредственной установке рабочего органа на валу электро-
двигателя, как это имеет место в конструкции эмульсера, приме-
няемого при производстве сметаны, а также в центробежных
насосах и др.
Непосредственная установка рабочего органа машины на валу
электродвигателя возможна только при относительно небольшой
мощности машины, безударных нагрузках, отсутствии динамиче-
ской неуравновешенности ротора и выполнении других требо-
ваний.
Имеются машины, в которых применяют только консольное
расположение ротора.
К дисковым машинам условно можно отнести машины, рабочие
органы которых, хотя и имеют простейшую форму, но не являются
дисками, например приведенная выше машина для тонкого измель-
чения мяса.
§ 23. АППАРАТЫ С МЕХАНИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИМИ
УСТРОЙСТВАМИ
Существует большое число аппаратов, в которых можно вы-
делить два важных комплекса деталей: корпус, являющийся верти-
кальной или горизонтальной емкостью, снабженной штуцерами,
опорными лапами, поверхностями теплообмена, и механическое
перемешивающее устройство (рис. 189). В механическое перемеши-
вающее устройство входят одна или несколько мешалок, вал
с опорными устройствами, уплотнением и приводом.
В зависимости от положения в пространстве оси сосуда разли-
чают вертикальные и горизонтальные аппараты. Однако исполь-
270
, пропеллерные или винтовые
pl(C 189. Аппарат с лопастной мешалкой:
. _ мотор-редуктор; 2 — зубчатая муф-
‘ g _ продольно-свертная муфта; 4 —
Уплотнение вала; 5 — отражательная пере-
осодка; 6 — лопастная мешалка; 7 —
труба передавливания; а — корпус апла-
рата
зование горизонтальных аппа-
ратов связано с повышенными
затратами,что и обусловливает
их более редкое применение.
Наиболее распространены
в промышленности аппараты
с одним механическим переме-
шивающим устройством (МПУ),
расположенным по оси корпуса.
Находят широкое примене-
ние вертикальные аппараты
с переносными, вертикальными
или наклоннымиМПУ (рис. 190)
или со свободной установкой
АШУ на дополнительные под-
шипники (рис. 191). Имеются
также аппараты с шарнирно
закрепленным валом мешалки.
Мешалки разделяют на ти-
хоходные (рамные, якорные
и частично лопастные), частота
вращения вала которых — до
1 об/с, и быстроходные лопа-
стные (см. рис. 189), турбинн
и специальные, частота вращения которых 1—-50 об/с [301.
Валы аппаратов с механическими перемешивающими устрой-
ствами бывают сплошные и полые. Валы изготовляют полыми,
если они выполняют дополнительную функцию подводящей
магистрали. Валы могут быть постоянного сечения и, реже,
переменного.
Наименее долговечным узлом МПУ являются подшипники вала
(в основном подшипники качения), надежность работы которых
в большой степени зависит от условий смазки и защиты от воздей-
ствия коррозионных и абразивных сред,
Для обеспечения указанных условий подшипники устанавли-
вают в специальные опорные стойки, отделяемые от реакционного
объема аппарата уплотнением вала. Вследствие этого консольные
валы имеют большой вылет-—до 50—100 диаметров вала, что
обусловливает незначительную жесткость таких валов. В резуль-
тате часто возникают высокие напряжения в материале вала и
большие деформации вала из-за инерционных и гидродинамиче-
ских нагрузок, что приводит к выходу из строя уплотнения и
подшипников.
271
Важнейшим узлом МПУ аппаратов, работающих под избыточ-
ным давлением, являются уплотнения. Распространенные простые
по конструкции и в обслуживании, но недолговечные сальниковые
уплотнения вытесняются торцовыми уплотнениями. Однако и эти
уплотнения могут быть достаточно перспективными при условии
незначительного биения динамически или статически изогнутого
вала.
Привод вращающейся мешалки в основном электрический,
обычно состоящий из электродвигателя, редуктора и соединитель-
ных муфт. Часто применяют мотор-редукторы.
При шарнирном закреплении валов, особенно в аппаратах под
налив (в которых нет потребности в торцовых уплотнениях), валы
мешалок соединяют с валом редуктора с помощью универсальной
шарнирной муфты. Следует отметить, чтс надежность привода
непосредственно зависит от податливости соединения вала ме-
шалки с валом привода.
Перемешивающие устройства должны обладать высокой проч-
ностью, жесткостью, виброустойчивостью, герметичностью, изно-
состойкостью и коррозионной стойкостью. Недостаточная жест-
кость вала аппарата часто приводит к выходу из строя уплотнений
или к механическому изнашиванию элементов привода из-за малых
зазоров между вращающимися и неподвижными деталями. При
нестационарном вращении валов с МПУ возникают динамические
прогибы, которые должны быть строго учтены с помощью инже-
нерных расчетов. При проекта- zz/zzzz-
ровании валов различного обо-
рудования, в том числе и ус- \ W / /
тройств для механического пе- \ ь-//
Рис. 190. Аппарат с переносным МПУ:
1 — перемешивающее устройство; 2 — корпус
Рис. 191. Аппарат с перемешивающим устройством на поворотной платформе:
1 — корпус; 2 - поворотная платформа; 3 — токоприемник; 4 — мотор-редуктор;
5 — подшипники
272
Рис. 192. Расчетная схема консольного
кокдев >1ми подшипниками (опоры вы-
Рис. 193. Расчетная схема однопролетного вала с
несены за пределы рабочего объема аппарата)
достаточно правильный выбор расчетных схем для различ-
ных вариантов закрепления вала в подшипниках. Обычно ис-
пользуют в качестве шарнирно неподвижной опоры радиальный
шарикоподшипник, воспринимающий радиальную и осевую на-
грузку. Такой же подшипник, воспринимающий только радиаль-
ную нагрузку и имеющий возможность несколько смещаться
в осевом направлении, применяют в качестве шарнирно подвижной
опоры. Середина подшипника совпадает с центром опорного шар-
нира (рис. 192). Место расположения жесткой заделки вала тихо-
ходного планетарного редуктора совпадает с плоскостью крепления
редуктора к опорной стойке МПУ.
Шарнирно-подвижной опорой можно считать концевой под-
шипник вала, если его длина меньше или равна диаметру вала.
273
Если два участка вала соединены продольно-свертной муфтой,
вал считается неразрезным.
Шарнирно-неподвижной опорой считается соединение кон-
сольного вала мешалки с валом привода с помощью универсальной
шарнирной муфты.
В расчетах МПУ массы мешалок, дисков, пакета железа ротора
электродвигателя можно считать сосредоточенными в их центрах
масс, вследствие незначительного гироскопического момента.
В некоторых случаях для увеличения жесткости и несущей
способности вала в одной опоре устанавливают два подшипника
качения. Соответствующий анализ показал, что для консольных
валов с такими опорами незначительное увеличение жесткости
связано с резким увеличением (в 3—5 раз) реакций в сдвоенных
подшипниках по сравнению с одиночными. Больший эффект
по повышению жесткости системы эта конструкция опор дает для
однопролетного вала (рис. 193). Однако нужно иметь в виду, если
расстояние между сдвоенными подшипниками будет больше двух
диаметров вала, то такие опоры можно считать заделками.
Таким образом, переход к применению в опоре двух подшипни-
ков может превращать статически определимый, самоустанавли-
вающийся вал в статически неопределимую систему, характери-
зующуюся меньшей надежностью. Такой результат получается и
при применении многопролетных валов.
Наибольшее распространение среди консольных валов получил
вал, изображенный на рис. 192, а среди однопролетных — вал
на двух шарнирных опорах (рис. 193).
Результаты наблюдений свидетельствуют о том, что область
надежной эксплуатации валов перемешивающих устройств лежит
главным образом ниже первой критической скорости и реже в про-
межутке между первой и второй критическими скоростями.
На основании этого можно заключить, что определение крити-
ческих скоростей для типовых схем представляет наибольший
интерес.
Критические скорости валов мешалок с учетом их массы
Рассмотрим однопролетный вал длиною L, несущий две массы
т1 и т2, расположенные на расстоянии и Z2 от левой опоры.
Сосредоточенные массы и т2 делят вал на три участка:
1 — 0 < z с а; 2 — а < z с ах\ 3 — щ < z < 1 (здесь a, alt
а2 — относительные длины участков):
а =- Z/L; ах = LJL\ а2 = Z2/L; z — z/L. (365)
Если масса единицы длины вала есть т, то на нее при вращении
вала будет действовать центробежная сила инерции, равная
та2 у (здесь у — прогиб вала в данном сечении).
В местах расположения масс и т2 будут действовать внешние
нагрузки, обусловленные возникновением сосредоточенных цен-
тробежных сил инерции, которые обозначим через Fx (zx) и F.a (zx).
274
При прогибе вала будут возникать силы упругого сопротивления
этому прогибу. Как известно из курса сопротивления материалов,
при наличии непрерывно распределенной нагрузки q имеет место
зависимость
d2M
dz* ~
где М — изгибающий момент.
Так как изгибающий момент
окончательно получим
(366)
Очевидно такова будет и непрерывно распределенная по стержню
упругая реакция. Эта формула выражает названную реакцию
независимо от причин, вызвавших изгиб стержня. Следовательно,
она применима и в нашем случае.
Тогда можно написать дифференциальное уравнение равнове-
сия вращающегося уравновешенного вала с дополнительными
нагрузками от сосредоточенных масс:
£./4г - - F, (zt) -| • FJcr). (367)
d2i
Учитывая соотношения (365) и вводя обозначение а4 =
= UnuiPHEJ), представим уравнение (367) в виде
у" - <х*у = К (г) + /2 (г), (368)
где
h (z) = L4FX (zj)/£J; l2 (г) = L4F2 (z^EJ. (369)
Решение дифференциального уравнения (367) проводится для
указанных трех участков: при 0 с z а; при а с z < ay, при
аг < г < 1. В результате получаем связанные уравнения для ylt
z/г и у3. Постоянные интегрирования определяем из граничных
условий. При z = 1 для последнего участка у2 (z)z=i ~ 0;
y'i (z)^i = 0.
Переписывая дважды уравнение для у3 с учетом граничных
условий, приведенных выше, и учитывая соотношения (365),
получаем систему из двух уравнений для у3 (1) = 0 и у"3 (1) — 0,
которую из-за громоздкости не приводим.
Условие, при котором прогибы вала не равны нулю, что имеет
место при совпадении рабочей угловой скорости <в с одной из
критических угловых скоростей, записываем в виде равенства
нулю определителя упомянутой выше системы двух уравнений.
Данное решение пригодно для вычислений на ЭВМ. Для прак-
тических расчетов рекомендуется пользоваться графиком а =
~ f (Ltnv), (здесь /пп = mup/(mBL); /п!!р— суммарная приведен-
275
Рис. 194. Корень частотного уравнения:
а — для консольного вала; б — для одпонролетного
ная масса деталей в пролете; L — длина пролета; m„ — ~^-d2pn —
масса единицы длины вала; d—диаметр вала; р— плотность
материала вала (рис. 194).
Приведенную массу деталей на валу целесообразно определять
раздельно для каждой детали.
Ранее была получена формула для приведения точечной массы,
находящейся на двухопорном валу с консолью. Для определения
приведенной массы мешалок введем понятия относительных
координат центра масс детали в пролете и консоли: Ц — 1-JL',
lu = hilLi и относительных длин консоли L, = LJLi и пролета
L = L/Llt
[здесь длина Li, L2, L—длина соответственно консоли, консольного вала
и однопролетного вала, (см. рис. 192 и 193)}.
Тогда приведенная масса каждой i-й детали на валу:
в пролете
-2 .
np« miylt,
на консоли
где у/. f (I,) и yiti —1 (in; L) — безразмерные значения динамического про-
гиба однопролетного и консольного валов.
Определение и у^. рекомендуется согласно РТМ 26-01-72—78
производить с помощью кривых, приведенных на рис. 195.
276
Рис. 195. Безразмерный динамический прогиб:
— консоли вала; б — одно пролетного вала
Суммарная приведенная масса деталей мешалки (кг):
консольного вала
"д "1Д
™пр Zj пр "С Zj пр>
i=l i—\
однопролетного вала
пл
= £ /и,- пр, (370)
1—1
где Яд — число-деталей в пролете; п1д—число деталей на консоли.
После определения приведенной массы деталей находим отно-
сительную массу:
консольного вала
^пр —
однопролетного вала
==
где тв — линейная масса вала, кг/м; mD — -2-d2pB (здесь d — диаметр вала,
Рв — плотность материала вала).
Как было указано выше, с помощью кривых 04 — f (wnp)
(см. рис. 194) определяем корень частотного уравнения =
~ f (mnpL), соответствующий первой критической скорости
вала, а затем и критическую скорость'вала:
консольного
<01 = (af/L?) V ЕЛтв, (371)
однопролетного
=[(a1/L)2], ЕЛт3, (372)
где 7 — момент инерции сечения вала.
277
Рис. 196. К Расчету коэффициен
приведения распределенной массы вал»
к сосредоточенной массе мешалки: *
а — схема аала с распределенной и
сосредоточенной массами; б — схема
невесомого вала с приведенной сосре-
доточенной массой F
Анализ различных кон-
структивных схем валов
приводит к выводам, что
показанных на рис. 192, 193
в группе консольных валов, а также показанных на рис. 192, 193
наибольший коэффициент а, и, следовательно, максимальная
критическая скорость будут у однопролетного консольного вала
с жесткой верхней опорой, а минимальная у однопролетного
вала (см. рис. 193) на шарнирных опорах.
Между этими двумя схемами валов находится схема однопро-
летного консольного вала с шарнирными опорами.
Сравнение производится в данном случае по <о1(р валов с одина-
ковыми /ипр и т}.
Механическим перемешивающим устройством с однопролетным
шарнирно закрепленным валом с консолью следует отдавать пред-
почтение при конструировании наиболее надежных аппаратов.
В данной статически определимой системе менее сказываются
дефекты производства и влияние распределения рабочих нагрузок
по несущим элементам. Условия сборки облегчены, так как оба
подшипника вала установлены в одной опорной стойке, в резуль-
тате легко обеспечить соосность расточек под подшипники.
Кроме того, подшипники редуктора освобождены от воздей-
ствия нагрузок, связанных с монтажными перекосами вала ме-
шалки.
Следует отметить дефектность конструкции мешалок, когда вал
соединен с тихоходным валом редуктора с помощью продолыго-
свертной муфты.
В данном случае возникают большие инерционные и ги-
дродинамические нагрузки, передаваемые от главного вала
на подшипники и зубчатые передачи редуктора. В этом случае
наблюдаются частые поломки редукторов
Рассматривая однопролетные валы с концевыми подшипниками,
следует отдавать предпочтение валам на двух шарнирных опорах.
Для таких систем в основном определяющей характеристикой
является прочность вала при заданном крутящем моменте, а не
виброустойчивость (см рис. 192 и 193).
В связи с тем, что в формулу (371) — (372) входит момент инер-
ции, при расчете валов перемешивающих устройств необходимо в
начале приближенно определить диаметр виброустойчивого вала.
Распределенные и сосредоточенные массы при этом приводятся к
одной точке невесомого вала.
От действительной схемы весомого однонролегного вала с кон-
солью (рис. 196, а) следует перейти к расчетной схеме (рис. 196, б)»
278
приняв для определения приведенной массы следующее выра-
жение:
mnp = т} + qmL2, (373)
где q — коэффициент приведения.
Напишем условие
где coJ(i — критическая скорость
невесомого вала (рис. 196, •');
со1а = со1б,
реального вала; — критическая скорость
М.16 =
3EJ
(эт| -J- qmL^)
где kg — жесткость невесомого вала; lL и L% определяем по рис. 196.
На основании формул (374), (371) имеем
(374)
(375)
откуда
а2 =
3
(376)
и
(4 + *) «I'
Из формул (371), (372) определяем значения k — mdfmL,)
Приводя сосредоточенные массы т; на валу с помощью коэффи-
циента q; в одну точку и определяя суммарную сосредоточенную
массу
Щ = L2/Ev
"*пр = т + + Я<т1<
запишем уравнение (374) с учетом формулы (376) в следующем
виде:
/ Е/>| со
“г f
где т) — 3/а2 — характеристика условия закрепления вала.
В качестве условия отсутствия опасных прогибов вала прш
нимают следующие:
®«:0,7<щ; 1,3®( < <й с 0,7ог.
После преобразований последнего уравнения получим
dl -2fqL~d2 - -т^
Лрв
откуда
d = |/ qfL^ + У (qfbtf + ,
гДе f = 16ршаЕ|/г]Е при В — 0,7 (для жесткого вала); величину q принимают
Для консольного вада равной 0,25, а для однолролетного 0,5.
279
Формулу для определения d можно записать в виде
где Дх = O,25qfL'fa Аа — втпр/А/ярв — для консольного вала; Дх = 0,5f La-
Да = 8mnp/-i//npB — Для однопролетного вала.
Полученное и округленное значение d чаще всего удовлетво-
ряет условиям виброустойчивости.
Если d, вычисленное по приведенной выше формуле, не
удовлетворяет условию о> < 0,7со1т то величина d изменяется,
а расчеты повторяют вплоть до удовлетворения последнего усло-
вия.
Пример. В РТМ 26-01-72—75 приводится расчет жесткого консольного вала
(постоянного сечения) мешалки. Задано: длина стального вала L2 = 2,95 м,
длина консоли Lt = 2,45 м, координата центра масс мешалки llt = 2,45 м,
масса мешалки тп — 13,6 кг, частота вращения вала п = 160 об/мин.
Для расчета на виброустойчивость определяем относительную длину кон-
соли £х = LjLz = 2,45/2,95 = 0,83 и относительную длину пролета L =
= (4 — HJ/H = 0,5/2,45 = 0,2.
Далее находим коэффициент, учитывающий условия закрепления вала:
т) = 3LX = 2,5,
и относительную координату центра масс мешалки:
= 2,45/2,45 = 1.
По значениям /1г- и Д по графику определяем безразмерный динамический
прогиб вала в центре масс мешалки (рис. 195, а):
У it = f Gii) Ь) =- 1 •
Для нахождения безразмерного коэффициента f, учитывающего приведенную
массу вала, определяем угловую скорость вала
яп 160-3,14 1 с -г -1
°^1о ==- ~^=16’7(; ‘
Тогда
l6pR<o27.f
16-7,85-103-16,72-2,452
2,5-2,2-10“
== 3,6-10-*.
Приведенная масса мешалки
, = 13,6 кг.
“пр ‘и
В данном случае гпцпр равна суммарной приведенной массе мешалки.
Определим
Дх = 0,25-/-L2 = 0,25-3,8-10-1-2,452 = 5,68- 10"V;
Д-2
8mapfLi __ 8-13,6-3,8-10-4-2,45
- лрв 3,14-7,85-103
= 0,041-10“*м4.
Тогда расчетный диаметр вала
= у Дх -р у Д2 + Л2 = 0,052 м.
280
Принятый диаметр вала (0,065 м) больше расчетного (0,052 м).
Относительная масса мешалки
йпр = ; mB = -J- d2pB = -^11 (65- 10~3)27,R5-103 = 26,
13,6
тп1’-26^4Г = °-2[КГ'
С помощью графика определяем корень частотного уравнения (см. рис. 212,а)
dj — /(mnp; L) = 1,5.
Так как момент инерции сечения
J —»-87,5'Ю-8М4,
Ь4
то первая критическая угловая скорость вала
/ ai \2 л / EJ / 1,5 \2 Ч Л 2,2-1011-87,5-КГ*8
W4=(lt) V---------эд-------
= 32,0с-1.
Условие виброустойчивости
(й/®! < 16,7/32,0 = 0,5 < 0,7.
При проектировании механических перемешивающих устройств
важным является расчет на жесткость и прочность. Жесткость и
прочность валов определяются значением динамических нагрузок,
к которым относят, во-первых, центробежные силы инерции,
действующие на сосредоточенные и распределенные массы деталей
и вала, вращающихся с некоторым смещением относительно оси
подшипников и, во-вторых, нагрузки, обусловленные сопротивле-
нием перемешивающих сред. В аппаратах, в которых перемешива-
ются жидкие среды, необходимо учитывать гидродинамические
поперечные нагрузки тогда, если имеются местные сопротивления,
например трубы передавливания отражательной перегородки,
гильзы термометра и змеевики, расположенные вне зоны вращения
мешалки и т. п.
Рассмотрим расчет аппаратов, не имеющих местных сопротив-
лений, и расчет аппаратов с четырьмя отражательными перегород-
ками. Прежде всего
требуется определить
максимальное смещение
оси вала Л (z) от оси
вращения, обусловлен-
ное наличием зазоров
Рис, Ю7, Схема однопролет-
ного вала с консолью с распре-
деленными и сосредоточенными
массами в пролете и на кон-
соли
281
Рис. 198. Начальные смещения поперечных сечений вала и центров сосредоточенных
масс
(люфтов) Аа и As в подшипниках. Для нового аппарата Аа и А£
принимают согласно нормативным данным на подшипники. Смеще-
ние А (г) произвольного сечения вала от оси вращения вследствие
зазоров ДА и Ай найдем для максимального смещения точки
закрепления мешалки от оси подшипников (рис. 197).
Смещение для консольного однопролетного вала
А (г) = (Д^+Лб)г _ (377)
Смещение для однопролетного вала
А (г) = — л^Де)г +' Аа. (378)
При расчете на жесткость необходимо учесть и смещения,
обусловленные начальной изогнутостью осевой линии вала, возни-
кающей при его изготовлении и монтаже. Смещение А (?) удобно
характеризовать радиусом ев вращения точки закрепления рабо-
чего органа, определяемым по формуле sz = е.вУ1г Рекоменду-
ется принимать кривую начальной изогнутости, расположенной
в одной плоскости, что является наиболее неблагоприятной для
вала, и описываемой той же закономерностью, что и упругаялиния
вала при колебаниях основного тона, т. е.
£(z)=-eBy (z),
где — биение конца вала, определяемого по справочным данным, у (z) —
отношение прогиба у (г) к прогибу ув точке приведения.
Рассмотрим вопрос о получении уравнения упругой линии
вала у (z), когда функция у (г) заранее неизвестна и ее определение
достаточно сложное. В связи с этим обычно задаются приближен-
ной формой упругой линии, отвечающей граничным условиям
(рис. 198),
^(z)|z=o=y(z)[2=/1 =0; y"(z)|z=o = y"(^)lz=L = O. (379)
282
Рекомендуют форму упругой линии принимать подобной той,
которая имеет место при статическом изгибе вала, нагруженного
сосредоточенной единичной силой в сечении ее приведения.
Форму упругой линии для консольного вала можно описать
следующей зависимостью:
у (2)=(2/Лг+3/122 ~23)1 (380)
для пролетного вала
у (z) = sin nzIL.
Следовательно, суммарное начальное смещение вала от оси
вращения
Z (?) = А (?) + е (?).
Далее необходимо учесть эксцентриситеты е, сосредоточенных
масс относительно оси вала. Рекомендуется et = КГ®/^(м).
Исходя из понятия приведенной силы можем написать
Pi пр == Pi У (гД (381)
где Pi — сила, действующая на массу mt. Pi = mi^et (здесь et — эксцентри-
ситет массы).
Подставляя значение Pi из последней формулы в выражение
(381), получаем
Pi up ~ npw &i up,
где тлр i — приведенная масса массы mt.
Из уравнения (381) получим
£i пр et/(y (?х)).
Приведенный эксцентриситет массы рабочего органа будет
Ej, так как место приведения совпадает с точкой закрепления
детали.
Динамический прогиб вала
Сир
Ув (W1/C0)3 — 1 •
При наличии п сосредоточенных масс
п
mi lipCj пр
=' «пр *" Ав +
где
С Пр.= eiVei’ } ,.
«Ц пР ^ггцу2 (zt). f;
Суммарное смещение оси вала от оси его вращения в произволь-
ном сечении = , i.'?ro -jh ;
А (?)-//(?)+-.А (?) (?), (382)
где у (г) = улу (г) —динамический прогиб вала в произвольном сечении.
283
Ao,ММ
Рис. 199. Резонансные кривые вала с мешалкой, вращающейся;
/ — в глицерине; 2 — в воде; 3 — в воздухе
Суммарное смещение оси вала от оси его вращения в точке
приведения масс
Л — Ув Т- е1 4" ев + Ав.
Суммарный изгибающий момент находят от действия i-x
сосредоточенных центробежных сил рабочих органов и распреде-
ленных вала:
Pt = (z,);
= qmL^A. (383)
Далее производят расчет вала на сопротивление усталости по
известным формулам сопротивления материалов.
После назначения прибавки на коррозию и износ окончатель-
ное значение диаметра вала округляется до ближайшего размера
в соответствии с ОСТ 26-01-1225—75, ОСТ 26-01—75.
В ряде случаев диаметр жесткого вала, рассчитанный из усло-
вия виброустойчивости, оказывается слишком большим. Это
влечет за собой увеличение затрат на изготовление и эксплуатацию
не только вала, но и сопрягаемых с ним узлов и деталей аппарата.
Существует возможность применения гибких валов, имеющих
меньший диаметр и работающих в закритическом режиме. Однако
при исследовании аппаратов с устройствами для механического
перемешивания установлено, что применение гибких валов допу-
стимо при обеспечении следующих условий. В аппарате должны
отсутствовать местные сопротивления. Аппарат должен быть
заполнен перемешиваемой средой на высоту, равную не менее
половины его диаметра, и снабжен отражательными перегород-
ками. Гибкие валы не следует применять для лопастных мешалок
и при наличии нижнего пропеллера, когда отсутствуют отража-
тельные перегородки.
284
При применении гибких валов желательно использование
ограничителей колебаний при резонансе, например, в виде конце-
вого подшипника с зазором в паре трения. Этот зазор должен соот-
ветствовать допуску прогибов в уплотнениях аппарата или до-
пуску угла поворота вала в подшипниках.
Рабочие скорости валов при отсутствии перемешиваемой среды
должны иметь следующие пределы: l,3©i < со < 0,7gj2 В пере-
мешиваемой среде со = (1,3—1,5) сщ.
При вращении рабочего органа в жидкости гидродинамические
силы, воздействующие на него и на вал, приводят к существенному
изменению амплитудно-частотных характеристик упругой системы
по сравнению с характеристиками, получаемыми при вращении
в воздухе.
На рис 199 представлены кривые изменения амплитуд колеба-
ний в зависимости от частоты вращения вала с мешалкой в глице-
рине, воде и воздухе. Как следует из приведенных кривых движе-
ние вала в перемешиваемой жидкости протекает в режиме прямой
синхронной прецессии до начала области неустойчивого вращения
С увеличением угловой скорости вала выше некоторого порогового
значения сон при со > сдп амплитуды колебаний вала плавно или
резко возрастают до недопустимых значений. Значение пороговой
скорости (£>н, при которой начинается возрастание амплитуд коле-
баний, может быть больше и меньше первой критической скорости
вала.
При установке в аппарате отражательных перегородок или
создании условий для уменьшения окружной составляющей
скорости жидкости можно увеличить
Как видно из рис. 199, амплитуды колебаний даже при со = <»(.
могут оказаться безопасными для работоспособности уплотнения.
ГЛАВ! VI
РОТОРНЫЕ МАШИНЫ
§ 24. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РОТОРНЫХ МАШИН
Основными представителями роторных машин, применяемых
в пищевой промышленности, являются центробежные машины для
разделения жидкостей — центрифуги и' сепараторы.
Рабочим органом центрифуг и сепараторов является ротор,
в котором осуществляется разделение продуктов с помощью воз-
действия на них центробежных сил. Центрифуги и сепараторы
можно отнести к классу аппаратов, так как они имеют рабочие
камеры, в которых производится воздействие на продукт с целью
изменения его свойств Однако эти камеры находятся во враща-
тельном движении с высокой частотой вращения.
Роторные машины имеют особенности, присущие машинам и
аппаратам. На современном техническом уровне они представляют
собой весьма сложные агрегаты.
Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахара имеет
ротор, подвешенный на вертикальном валу и опирающийся в верх-
ней части на специальную опору (рис. 200). Во вращение ротор
приводится от вертикального двигателя специальной конструкции.
Центрифуга работает циклично и полностью автоматизирована.
Центрифуги находят большое применение не только в сахарной
промышленности, но и в крахмало-паточной промышленности
для отделения крахмала от соковой воды и других отраслях.
К роторным машинам относятся центробежные жидкостные
сепараторы, широко применяемые в пищевой промышленности.
Их используют в частности для отделения сливок от молока и
загрязнений от молока.
В настоящее время центробежные жидкостные сепараторы
получили еще большее распространение в пищевой промышлен-
ности. Их применяют для осветления пивного сусла и готового
пива, фруктовых соков, дрожжевого сусла, различных вин, для
рафинации растительных масел, очистки какао и т. д.
Исходя из сказанного выше, следует сделать вывод о необходи-
мости подробного рассмотрения вопросов расчета и конструирова-
ния центробежных разделительных машин — центрифуг и сепара-
торов, учитывая их конструктивную сложность, напряженность
рабочих узлов, подвергающихся большим динамическим воздей-
ствиям, а также опасность неправильной эксплуатации и ошибоч-
ных расчетов и конструирования их узлов.
286
Исходными характеристиками при выборе конструкций центри-
фуг и сепараторов являются их назначение и требуемая произво-
дительность при заданной степени разделения. Основной зависи-
мостью для ориентации в вопросах производительности центро-
бежных машин является
Q с 2. (384)
осадительных
; £ — индекс
где с характеристика разделяемости продукта (например для
центрифуг скорость осаждения частиц твердой фазы в поле тяжести^
производительности центрифуг.
Рис. 200. Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахара
287
Для расчета У, необходимо знать фактор разделения центри-
фуги, равный отношению ускорения поля центробежных сил со2г
(здесь го — угловая скорость ротора; г — радиус ротора) к ускоре-
нию свободного падения £ и площадь осаждения.
Для цилиндрического ротора осветляющей центрифуги, на-
пример трубчатой (рис. 201), индекс производительности
У, — 2rtrLro2r/g' = 2№ro2£/g, (385)
где L — длина ротора; g — ускорение свободного падения; го — угловая ско-
рость; г — радиус ротора.
Параметр У, является важнейшей характеристикой разделяю-
щей способности осадительных и фильтрующих центрифуг. Однако
в общем случае его определение не так просто, как в рассмотрен-
ном случае применительно к цилиндрическим роторам.
Выделим из нецилиндрической рабочей поверхности ротора
центрифуги элемент поверхности dF, расположенный на расстоя-
нии г от оси вращения (рис. 202). Так как данная поверхность
не является цилиндрической, направление силовых линий поля
центробежных сил не совпадает с направлением нормали к поверх-
ности разделения. В связи с этим целесообразно учитывать вектор-
ный характер действующих сил, а фактор разделения центрифуги
Fr также считать величиной векторной.
Для выделенного элемента поверхности элементарный индекс
производительности
d =; (Fr dF) Fr cos a dF.
Отметим, что dF рассматриваем здесь как направленный эле-
мент поверхности.
Для'всей рабочей поверхности ротора индекс производительности
= jj(Fr, dF).
F
Если поверхность осаждения ограничена одной или двумя
плоскостями, перпендикулярными к ее оси, то она является
замкнутой.
288
Применим для вычисления 2 теорему Остроградского—Гаусса
60 J/ согласно которой поток вектора через замкнутую поверх-
ность равен объемному интегралу от дивергенции вектора:
[( (FrJ>) = [ j I divFrdV,
F J у
где dV — элементарный объем,
Как известно в цилиндрической системе координат дивергенция
вектора А
где Аг, Afn А; - проекции вектора Л на направления г, ср, г.
Учитывая, что вектор фактора разделения центрифуги имеет
радиальное направление и, следовательно, Fr№ = Frt = 0, а поток
вектора Г г через плоскости, ограничивающие поверхность осажде-
ния, перпендикулярные к оси z, равен нулю, получаем
г or \ 3 / g
Тогда
V V
Учитывая, что j Ч dV — V (замкнутому объему), получаем
J v
2 = 2oFV/g,
где V — объем, ограниченный рабочей поверхностью ротора и секущей пло-
скостью одной или двумя.
Полученную формулу можно сформулировать в виде следую-
щего правила [63]: для любой рабочей поверхности ротора центри-
фуги, ограниченной хотя бы одной плоскостью, нормальной к оси z,
индекс производительности разен объему, ограниченному этой
поверхностью и плоскостью, умноженному на 2aF/g.
Для цилиндрического ротора с радиусом г и длиною L объем
цилиндра равен 2nrL. Умножая этот объем на 2<o2/g’, получаем
приведенное выше выражение для 2-
Из выражения для индекса производительности цилиндриче-
ского ротора следует, что высокая производительность центрифуги
может быть достигнута в результате повышения окружной скорости
ротора и его длины. Однако из конструктивных соображений длина
ротора лимитирована. Повышение окружной скорости ротора
ограничено его прочностью. Решение задачи по преодолению
Данного противоречия оказалось возможным после изобретения
конструкции ротора, имеющего внутри пакет конических тарелок.
Поток разделяемой жидкости-движется от периферии ротора к его
оси вдоль конических поверхностей тарелок (рис. 203), образую-
Ю Соколов в. И. 289
щих пакет. Так как зазор между тарелками крайне мал (0,5 мм),
пакет имеет в своем составе довольно большое число тарелок.
Индекс производительности для рабочей поверхности,осажде-
ния, образованной внутренней поверхностью одной тарелки, будет
равен объему усеченного конуса, ограниченного тарелкой, умно-
женному на 2со3/п. Объем такого конуса при внутреннем и наруж-
ном радиусах тарелки 7?mln и /?тах и высоте Н, угле наклона а
образующей конической поверхности к оси вращения
। / /?2 R R2 . R . \
у __ 1 / 'max 'max 'min 'min i
к 3П\ tga ~ tga /
При наличии в роторе пакета тарелок в количестве п индекс
производительности такого ротора
У = - /ад. (386)
Помимо конических тарелок применяют также спиральные
вставки (рис. 204). Как известно, спиральная поверхность описы-
вается уравнением
’ г — 1(р/2л при 0 с z < Н,
где / — шаг спирали,
290
Объем, ограниченный й-витком спирали,
2лЛ н
2п (Л-1) О
Тогда индекс производительности спиральной центрифуги
при наличии п витков
2-S,+-+St+-+S.“^x
х (Vi + • • ’ -j- Vk Н- • • • -г V п),
или
V=^L^i/2W> (387)
В пищевой промышленности применяют так называемые ло-
пастные центрифуги, ротор которых имеет фильтрующие лопасти.
Форма этих лопастей обеспечивает непрерывное движение продукта
к периферии ротора под действием составляющих центробежных
сил инерции, причем это движение происходит одновременно
с процессом фильтрования продукта через фильтрующие поверх-
ности лопастей (рис. 205).
Рассмотрим лопасть, описываемую уравнением г = йеа<₽. Объем,
ограниченный лопастью,
Ч>2 Н Фг
V = 1 j I г2 dip rfz = Яе2й<р = Ц(^-«1)2.
Ф, 0 <р,
Сечение этого объема заштриховано на рис. 206.
Индекс производительности лопастной центрифуги
S2®2 ,, 2ш2Яг / d2 d2\
где z — число лопастей.
Конструируя центрифуги и сепараторы, необходимо стремиться
к достижению наибольшего значения индекса производительности
центрифуги.
Конструкция центробежных разделительных машин в большой
степени зависит от применяемого способа выгрузки из ротора
продуктов разделения. Эти машины по способу выгрузки разде-
ляют на машины с ручной выгрузкой осадка, шнековой, пульси-
рующими поршнями, инерционной, ножами и скребками, гравита-
ционной и гидравлической (через сопла).
Способ выгрузки продуктов разделения из
роторов в большой степени определяет и кон- // ///
струкцию роторов. В простейшем случае, когда /' / А'
применяется ручная выгрузка или периоди- г//
Рис. 206. Лопасти центрифуги 'г
10* 291
ческая с помощью ножей, скребков и других механизмов
ротор может иметь простые формы, например цилиндриче-
скую, коническую, и плоские днища. Ротор может быть комбини-
рованным и состоять из цилиндрических, конических и плоских
элементов.
Однако современные требования, предъявляемые к центробеж-
ным машинам: высокий индекс производительности или большая
вместимость ротора при непрерывной или автоматической выгрузке
сгущенных продуктов — обусловливают значительное усложнение
конструкции роторов.
Расчет на прочность роторов современных центробежных машин
для разделения продуктов часто является сложным и весьма
ответственным. Это связано со сложной конфигурацией роторов и
высокими инерционными нагрузками на их элементы, восприни-
мающими, к тому же, и значительные гидравлические давления.
§ 25. РОТОРЫ ЦЕНТРИФУГ И СЕПАРАТОРОВ,
РАСЧЕТЫ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
В пищевой промышленности часто используют центрифуги
с перфорированными роторами (рис. 207).
Цилиндрические роторы обычно состоят из обечайки, днища,
имеющего в центре втулку для закрепления ротора на валу,
бортового кольца (в некоторых конструкциях бортовое кольцо
отсутствует).
Обечайка ротора выполнена из листового проката. Края листа,
соединенного в кольцо, сваривают газовой сваркой или чаще
электродуговой.
Днища роторов часто выполняют в виде цельной отливки или
поковки. В некоторых случаях днище состоит из двух частей -
литой или кованой ступицы и собственно днища, изготовленного
из листа. Днища обычно имеют отбортованный край для соедине-
ния с обечайкой.
Борт чаще изготовляют из листового проката с отогнутым
краем для присоединения к обечайке. Обечайки выполнены из
углеродистой стали, а также из
коррозионно-стойкой и легиро-
ванной.
Большой практический инте-
рес представляют центрифуги со
шнековой выгрузкой (рис. 208),
ротор которых состоит пз кони-
ческой обечайки и двух днищ,
присоединенных к фланцам на
болтах. Днища выполнены за
Рис. 207. Перфорированный цилиндриче-
ский ротор подвесной центрифуги
292
Рис. 208. Конический ротор центрифуги со шнековой выгрузкой:
1 — левое днище; 2 — коническая обечайка; 3 — правое днище
одно целое с полыми цапфами. Оба днища имеют расположение
по окружности отверстия для отвода из ротора продуктов раз-
деления. Роторы центрифуг со шнековой выгрузкой могут быть
выполнены цилиндро-конической формы.
Для осветления и разделения высокодисперсных жидких
неоднородных систем в пищевой промышленности широко приме-
няют сверхцентрифуги, частота вращения ротора которых состав-
ляет 15—17 тыс. об/мин, что достигается в некоторых конструк-
циях благодаря уменьшению диаметра ротора.
Увеличение индекса производительности до возможного макси-
мального значения обеспечивается благодаря выполнению ротора
трубчатой формы.
Наиболее высоким ин-
дексом производительности
характеризуются тарельча-
тые сепараторы, разновид-
ность ротора которых пока-
зана на рис. 209.
Ротор сепаратора для
обработки молока (рис. 210)
состоит из цилиндрического
корпуса 5 и днища с ко-
нусным гнездом в центре.
На корпусе установлен та-
р ел кодер жатель 4, имеющий
форму воронки и служащий
тора Ротор тарельчатого сепара-
293
Рис. 210. Ротор сепаратора для обработка молока
для укрепления в роторе пакета конических тарелок 3. Пакет
прижимается к тарелкодержателю ребрами конической крышки
ротора 2. Для плотного соединения крышки ротора с корпусом
служит зажимная гайка 1.
При каждой очистке этого ротора от накапливающегося
внутри осадка требуется его разборка.
Если концентрация твердой фазы центрифугируемой суспензии
велика и свободное пространство ротора может быстро запол-
няться осадком, применяют машины, из роторов которых осадок
удаляется без прекращения их работы.
Рассмотрим расчет роторов, сепараторов и центрифуг на
прочность.
Основной деталью роторов является цилиндрическая или
коническая обечайка.
При расчете на прочность обечайку следует рассматривать
как оболочку, находящуюся под действием радиальной инерцион-
ной нагрузки, вызванной массой обечайки при вращении.
Если внутри ротора находится жидкость, то на стенку обечайки
дополнительно действует также и гидростатическое давление,
обусловленное вращением этой жидкости.
Не учитывая пока наличия краевого эффекта у мест сопряже-
ния обечайки с днищем или другими деталями, произведем ее
расчет.
Найдем давление на стенку от действия слоя жидкости, вра-
щающегося с ротором, пренебрегая при этом действием сил тя-
жести.
Пусть наружный радиус слоя жидкости равен г0, внутренний
rlt высота его И.
На бесконечно тонкий цилиндрический слой жидкости радиуса
г действуют радиальные силы (рис. 211, а)
dp — 2лгН(>ж<й2гйг,
где рж — плотность жидкости, кг/м®.
Относя dp к единице поверхности элементарного слоя радиуса
г, получаем
dp = pma>2rdr.
294
Рис. 211. Схема к расчету ротора, заполненного жидкостью
Интегрируя левую часть полученного равенства от нуля до р
(здесь р — давление на расстоянии г от оси ротора), а правую
часть от Гт до г, находим
р=[ржсо2(г2-Н)]/2. (388)
Подставляя в последнее равенство вместо г величину г0, опре-
деляем давление жидкости на стенку ротора:
Ро = [ржй>2(^-^)]/2.
Умножим и разделим правую часть последнего выражения
на г2, получим
р0 = PhW2, (389)
где о — окружная скорость; Т—степень наполнения ротора, определяемая
по выражению ip = (г% — г|)/г§.
При расчете роторов сепараторов величину ф приближенно
можно принимать равной единице.
Давление жидкости на стенки роторов может достигать боль-
ших значений. Например, в роторах больших молочных сепарато-
ров это давление более 2 МПа.
^[Рассмотрим цилиндрическую обечайку как безмомептпую тон-
костенную оболочку, не учитывая напряжений, вызываемых
краевым эффектом. В этом случае, как указывалось ранее, радиаль-
ным напряжением можно пренебречь. Окружное нормальное
напряжение будет равно сумме напряжений от действия на обе-
чайку давления жидкости р0 и сил инерции массы обечайки.
Первую составляющую, обусловленную действием давления
Ро, найдем по формуле (97), подставляя в нее р из уравнения (389).
Вторую составляющую определим из уравнения (329) (прини-
мая r0/R х 1). Таким образом, суммарное окружное напряжение
в цилиндрической обечайке
•” + рж(Л’ ,(*•+!)„„ (390)
£ О \ /
где X — рж.'р; По = t)2p (здесь р — плотность материала ротора).
295
Для определения меридионального напряжения найдем полное
давление жидкости, действующее на днище ротора,
Р = J ’У1 ~ 2лг dr = яР«^2/о4,2/4.
Г>
Меридиональное напряжение
_ _ Р _ Рж«М* _ _ П)И>2
°т~ 2nr0s “ 8s "°0 8s •
(391)
Из уравнений (390) и (391) видно, что щ > ат.
Применим при расчете цилиндрической обечайки теорию проч-
ности наибольших касательных напряжений. В нашем случае
01 = о/, ст3 = о,п; а3 = 0.
Следовательно, оэкв = оу. Подставляя в это равенство at из
уравнения (390) и решая полученное равенство относительно
величины, характеризующей предельную линейную окружную
скорость, обечайки ир, при которой эквивалентное напряжение
в опасной точке будет равно пределу текучести материала, по-
лучим "
_ л / g*
‘•’р — I/ ржМ> , п ’
* 2s -t"p
где ат — предел текучести материала обечайки.
Обозначим отношение рж/р через Л, а коэффициент запаса
прочности через п, тогда из последнего уравнения найдем толщину
стенки
______ гоХфстр
2 (ат/я — pw2) — 2 ([<т] — о0) ’
где а0 = ру2 = р (лпГо/30)3.
Толщина стенки может быть определена по следующей формуле:
_ г,Л1|>
2[Ne/n —1] ’
(392)
где Ne = стт/(у2р) п. (393)
Рассмотрим расчет тонкостенной конической обечайки
(рис. 211, б). Применим к рассматриваемому случаю уравнение
Лапласа, подставляя в него вместо р условную величину, равную
сумме давления жидкости р0 и распределенных сил инерции q.
Эти составляющие определяют различным образом. Гидростати-
ческое давление жидкости на радиусе х найдем .на основании урав-
нения (388), в которое подставим вместо г0 радиус х данного нор-
мального к оси сечения оболочки,
p = ^(x2-d).
296
Нормальные к поверхности стенки составляющие сил инерции
(отнесенные к единице площади), возникающих в стенке обечайки
на радиусе х,
q = spw2x cos а.
Подставляя в уравнение Лапласа р и q и учитывая, что р( =
= x/cos а; рт — °о, окончательно получим
0,5ржм2 (%2 — г2) к + sp<o2x2 cos а
s cos а
Меридиональные напряжения от найдем, приняв, что его осе-
вые составляющие уравновешивают суммарное давление жидкости
р на площадь круга радиуса х:
Р = оот cos a2n.xs.
Полное осевое давление жидкости Р определим так же, как и
для случая цилиндрической обечайки:
ПР^1(Х2_Г2)2.
Таким образом,
m ' 8xs cos а
Найдем максимальное значение напряжений при х = Р:
0,5рж©2 (R2 — г2) R 4- spco2/?2 cos а
(^)max SCOSa ’
i ОтМах— 8 cos aRs
Учитывая, что больше от, и применяя теорию прочности
наибольших касательных напряжений, получаем
0,5ржю2 (R2 — г2) R 4- spa2/?2 cos а
s cos а
Решая полученное уравнение относительно s, после преобразо-
вания найдем
s _ RH'<tq
2 cos а ([ст] — во)
Следует иметь в виду, что в полученной формуле коэффициент ф
является условной величиной, а не степенью заполнения ротора,
как в цилиндрическом роторе.
Назовем отношение величин ор/ри2 критерием прочности
роторов (здесь ор — напряжение в стенках ротора при разру-
шении).
В общем случае под разрушением роторов будем понимать
нарушение их целостности.
297
Для разрушения быстровращающегося тела требуется север-
шить работу
А = opS//2,
где S — площадь, образующаяся при разрушении; I — смещение отделяющейся
части, когда значение напряжения не равно нулю.
Работу можно также определить по следующей формуле:
А = OpVx/2,
где V-i — некоторый объем.
Работа А совершается вследствие изменения кинетической
энергии вращающегося тела при его разрушении.
Для осуществления разрушения необходимо, чтобы изменение
энергии при разрушении вращающегося тела | Д(7| А.
Изменение энергии при разрушении вращающегося тела
АД -= ти2/2 = рУаУ2/2,
где т, и v — соответственно масса, объем и линейная скорость отделив-
шейся части ротора; р — плотность материала ротора.
Приведенное выше условие перепишем в виде
OpVi/2 — ри2Уг/2 < О,
откуда
ffp/(po2) < = f (|3), (394)
где f (3) — функция, характеризующая соотношение геометрических размеров
тела, при данных условиях нагружения ротора.
В выражение для Ne входит отношение <тр/р, которое называют
удельной прочностью. Для выяснения физического смысла этой
характеристики материалов рассмотрим прочность тонкого вра-
щающегося кольца. Для этого воспользуемся уравнением (390)
для случая, когда в роторе отсутствует жидкость и, следовательно,
ф = 0. Тогда
= Оо = 02р.
Учитывая, что в данном случае имеет место одноосное напря-
женное состояние, условие прочности для вращающего кольца,
нагруженного силами инерции,
ff3KB = O/ = y2PS&0'p, (395)
откуда
ор/(и2р) « 1
или
ffp/p « у2. (396)
На основании последнего выражения можем сделать вывод, что
удельной прочностью материала является квадрат окружной
скорости вращающегося тонкого кольца, выполненного из этого
материала, при которой происходит его разрушение.
Днище и борт цилиндрических роторов рассматриваем как
сплошную и кольцевую пластину постоянной толщины, шарнирно
298
оттертую по наружному контуру и нагруженную гидростатическим
давлением, обусловленным вращением жидкости в роторе
Р <7о (р2 —
где qa = ы-рж/2 (здесь <а — угловая скорость ротора; рж — плотность центри-
фугируемой жидкости); а,ц — внутренний радиус жидкости, находящейся в ро-
торе; р — текущий радиус (R > р > щ).
Значения Mr, Mf, <р и w для сплошного днища определяем по
формулам (61)—(64) и (77)—(80).
Для кольцевого борта из уравнений (77) и (78) получим
Мг = ЧД, +
Mt = Л4Гоф,г -j-
где и ф^о — сопровождающие функции (см. табл. 7);
ф =1/96 [5,3 —Ш 19,8- 15,9X2 + 1,4Х4 + 7,8Х4 |пХ21 >.
ф/1?о = 1/96 [2,5 -12 [11,4 - 7,512 + j (414 + 7 8Х2 ,n }
Пример. Необходимо найти напряжения на внутреннем и внешнем кон-
турах борта ротора центрифуги, обусловленные действием на борт давления
жидкости во вращающемся роторе, если диаметры борта соответственно равны
360 и 250 мм, и толщина стенки борта «б = 8 мм, рж = 1,2-103 кг/м3; частота
вращения ротора 3200 об/мин. Из формул табл. 6 находим значения сопровож-
дающих функций. Учитывая, что при гй -= R, Мг = 0 для 1 = Rt/R0 = 1 фгг =
= 1,0; фг/ = 0; фг<,0 = 0, тогда
Откуда Мг =0.
Так как при г = R\ Мг = 0. для X = Х4 = RJR -- 0,125/0,18 = 0,695
фг/ = 0,258; фГ0о = 0,0064
и, следовательно,
(Л4г)г=Л = /И/0 -0,908 - 0.0064 = 0,
откуда
Mto = 0,0248<?0/?*.
Подставляя Л4Го и в выражения для Мг и М{, получаем
Мг = 0,0248^/? *фг/ —
М( — О,024870Я*фщ — ?ог‘фц?0.
Найдем значения изгибающих моментов для внутреннего контура:
г = > X = Х4 = = 1; фг< = 0; Ф/1 = 1;
Фг<?0 = 0; Ф^ = 0;
(Л4г)г=д0 = 0; = 0,0248^*.
Напряжения на внутреннем контуре
6(Л4/)г=/?0 q0Rl
(<Тг)г=Д0 = 0; (<т<)г=д0 = ±-----g----— 0,174 —•
+ Зб
299
Учитывая, что qQ — ржо8/2, получаем
(^t)r=Ri> — i 123 МПа.
Аналогичным способом получаем для наружного контура
(pr)r—R — 0; (&t')r=R — ± МПа.
Определим радиальные и угловые деформации цилиндрической
и конической (при наибольшем радиусе) обечаек.
Найдем радиальное перемещение края цилиндрической обо-
лочки, вызванное действием центробежных сил инерции.
Согласно обобщенному закону Гука относительное удлинение
в окружном направлении
8/ = (<Т; - №т)/Е.
Известно, что относительное удлинение радиуса окружности
равно относительному удлинению этой окружности, поэтому
абсолютное удлинение в окружном направлении
&R = = R(ot — ц<ут)/Е.
Так как для вращающейся цилиндрической оболочки ат = О,
то после подстановки в последнее равенство oz из уравнения (329)
(при r0/R « 1) получим перемещение края цилиндрической обо-
лочки в радиальном направлении под действием единичных сил;
62СЦ = рсдаЕ.
Аналогично найдем радиальное перемещение края цилиндри-
ческой оболочки от действия давления жидкости.
Подставляя в уравнение для AR, и аЛ1 из уравнения (390)
и (391), после преобразований получаем
Л — х Г । I RW? (1 9Т \ 1 .
°2р ц — °2с ц [ 1 Г 1-----4“ ) J
Учитывая, что давление жидкости и интенсивность центробеж-
ных сил инерции не меняется вдоль образующей оболочки, по-
лучаем
^Гсц ~ = 0"
Для конической оболочки приведем соответствующие значения
перемещений без вывода [54]:
б2ск = Р®2£3/£;
61СК = (з + ц) рсо2/?2 ctg q>/£;
6«--iSrav{<4-*>-2<2- и)Ш+н[ 1 -2(£)']);
о _ Р>КР21? ctg ф Г9 _
lp к sE sin <р [ \ R / J ’
где <р — угол между образующей и нормалью к оси конуса; г0 — радиус мень-
шего основания конуса.
300
рис. 212. Расположение отверстий в стен-
ке ротора:
___ по вершинам квадратов в шахматном
порядке; б — по вершинам равносторон-
них треугольников
Рассмотрим особенности рас-
чета перфорированных роторов.
Роторы фильтрующих цен-
трифуг представляют собой
перфорированные оболочки ци-
линдрической или конической
формы. Наличие перфорации
существенно изменяет закон
распределения напряжений, об-
условливая концентрацию их у отверстий и снижая жесткость
оболочек по сравнению с жесткостью сплошных оболочек.
В соответствии с ОСТ 26-01-1271—81 перфорированные и ко-
нические элементы роторов центрифуг рекомендуются рассчи-
тывать как эквивалентные сплошные элементы, имеющие приве-
денные физические характеристики — плотность, модуль упру-
гости, коэффициент поперечной деформации. Методика’ расчета
применима для элементов из пластичных материалов и элементов
с перфорированными отверстиями малого параметра r2/(7?s) < 0,02
(здесь г — радиус отверстия; R — радиус средней поверхности
элемента ротора; s — толщина стенки элемента) при степени перфо-
рации с = к, 0,2 (здесь То — плошадь всех отверстий перфо-
рированного элемента; F — площадь срединной поверхности
сплошного элемента).
Степень перфорации при рассмотрении отверстий по вершинам
квадратов в шахматном порядке (рис. 212, а) с — 0,785
(здесь t — расстояние между центрами отверстий). При располо-
жении отверстий по вершинам равносторонних треугольников
(рис. 212, б) с = 0,907 (d/7)2. Приведенную плотность (кг/ма)
материала элемента ротора определяем по формуле рп = р (1 — с)
(здесь р — плотность материала ротора).
Коэффициент ослабления
срс = 1 — d/t.
Толщина стенок цилиндрического и конического элементов
2(Ма]-Осп) ' ’
________________________
п,к 2 (fe [а] — Поп) cos а ’
где k = <рс, если <рс < <р, (здесь ф— коэффициент прочности сварного шва)
= ф при ф < фс ...
301
Перфорация обечайки роторов центрифуг существенно влияет
на ее деформации. Опытным путем установлено, что с увеличением
перфорации радиальные деформации цилиндрических обечаек
весьма заметно возрастают, причем больше при шахматной раз-
бивке отверстии, чем при квадратной,
Для определения деформаций цилиндрических обечаек нужно
рассматривать их как сплошные, но в расчетные уравнения под-
ставлять условные значения модуля упругости материала £'
и коэффициента поперечной деформации р'.
Эти постоянные определяют [62 ] с помощью следующих урав-
нений:
с, _ 5000£
С ' s/&(21,6s/fe — 941р.+ 4300) ’
22,4s//+ 981J1+190 / 850р + 203 \
И 2l,Gs/l + 941р. + 4300 1 \Д 81,5р + 3760 Л К >'
где k = d/s (здесь d — диаметр отверстий перфорации; s —- шаг отверстий);
sib и sll — геометрические характеристики перфорации.
Как показали другие экспериментальные исследования, при
малой степени перфорации цилиндров и размещении отверстий по
вершинам равносторонних треугольников, квадратов или в шах-
матном порядке жесткость их не зависит от характера располо-
жения отверстий.
Введем следующие обозначения: R — радиус срединной по-
верхности цилиндра; г —• радиус отверстий; s — толщина стенки
цилиндра; Fo — суммарная площадь всех отверстий перфориро-
ванного цилиндра; F — площадь срединной поверхности сплош-
ного цилиндра, из которого выполнен перфорированный; с —
= Fo/F (предполагается, что с < 0,2).
При расчете на жесткость цилиндрических перфорированных
обечаек роторов их рассматривают как сплошные фиктивные
обечайки, для которых приведенный модуль упругости первого
рода различный в осевом направлении и окружном.
При большом радиусе цилиндра его можно считать практи-
чески изотропным, а приведенные значения модулей упругости
Е{ и Е'2 можно определять как для перфорированной пластины:
£' = £(!— с)3 (1 + 4с3),
где Е — модуль упругости первого рода для материала перфорированной
обечайки.
Однако этот расчет можно производить при соблюдении условия
г2/Rs < 0,018 (р = 0,3).
При с < 0,2 приведенные значения коэффициента Пуассона
совпадают со значением р для материала цилиндра.
302
Наибольшие напряжения на контуре отверстий цилиндра для
некоторых двух точек А и В определим по формулам А. И. Лурье
с учетом влияния степени перфорации (при расчете по допускае-
мым напряжениям) и при р = 0,3:
<гд = 1/г [3<т3 — ctj + 0,65r2/(5o2 —
— 1/г [Зоу — ст2 -f- 0,65r2/(<jj — g^/Rs,
где z = 1 — с; ffj и а2 — меридиональное и окружное напряжения в фиктив-
ном сплошном цилиндре.
§ 26. РАСЧЕТ СОПРЯЖЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ РОТОРОВ
ЦЕНТРИФУГ
Рассмотрим быстровращающийся ротор центрифуги, заполнен-
ный жидкостью (рис. 213). Под действием центробежных сил
инерции собственной массы и гидростатического давления
жидкости, вращающейся вместе с ротором, его элементы будут
деформироваться.
Если представить эти элементы не связанными между собой,
то под действием заданных нагрузок деформация их будет раз-
лична (рис. 214). Например, край цилиндрического элемента
ротора будет иметь смещение вдоль радиуса параллельного кру-
га не на одинаковую величину с краем конического. Угловые
перемещения краев будут также различны.
В действительности элементы ротора соединены в одно целое
и их деформации у мест сопряжения будут одинаковы. Поэтому
здесь возникнут системы равномерно распределенных сил и мо-
ментов. Последние будут вызывать деформации краев, обеспечи-
вающих непрерывность ротора в сечениях сопряжений.
Будем считать, что цилиндрическая часть роторов является
настолько длинной, что взаимным влиянием краевых сил и мо-
ментов в местах сопряжения I и 11 можно пренебречь (рис. 213).
Определим значения сил и моментов оболочек в местах их
сопряжений.
В сечении узла / на край цилиндрической оболочки действуют
меридиональное осевое усилие (рис. 214, а, б), определяемое по
мембранной (безмоментной) теории оболочек, Л'ц = <т,пцз
(здесь сттц — мембранное меридиональное напряжение в цилин-
дрической оболочке; s—тол-
щина оболочки), неизвестный
меридиональный изгибающий
момент Л40, возникающий в ре-
зультате упругого взаимодей-
ствия соединенных между со-
бой элементов (рис. 214, а);
Рис. 213. Цилиндро-конический рогор
с плоским днищем
303
Рис. 214. Схема действия в местах сопряжения элементов ротора:
а — краевых поперечных сил и изгибающих моментов; б — усилий, определяемых по
безмоментной теории
неизвестная краевая сила Ро, возникающая в результате упругого
взаимодействия соединенных между собой элементов.
К краям конической оболочки приложен такой же изгибаю-
щий момент и краевая сила, но имеющие противоположное на-
правление.
При рассмотрении действия силы на коническую оболочку
ее удобно разложить на меридиональное усилие конической обо-
лочки = A^/sin ф; усилие, нормальное оси (рис. 214) Нр —
= Лгп etg ф.
Усилия Уц, Л'’к и Нр можно считать известными, так как их
определяют с помощью мембранной теории оболочки.
Если поперечная сила цилиндрического элемента Q,, -= Рй,
то конического QK = Ро 4- Яр (рис. 214, а).
В сечении сопряжения II к краям цилиндрической оболочки
приложены неизвестные краевые силы Р'о и моменты М'а. Сила Р'а
будет создавать дополнительный изгибающий момент P{sl2, при-
ложенный к краю днища, который можно не учитывать из-за
его малости.
Краевые моменты и силы Мо, PQ, Mq и Pi являются «лишними»
неизвестными величинами статически неопределимых систем. Для
их определения составим для сечения каждого сопряжения кано-
нические уравнения метода сил:
для узла /
6ц цМ) 4“ 612 Ц-^0 + 61С ц + 61Р ц = ' 1
= 6ц к АД + 612 к (Р о + 77р) + 61с к + 6ipK; ।
621 цЛ40 I- 622 ЦРО 62с ц ~|- 62рц = б21 кЛ4о -|- | (397)
+ 622 к (Д) Нр) + 62с к + 62р к; I
304
для узла //
611 цЛ1о 4" 612 цРо + 61с ц + 61р л =
~ 6и дЛ4о + 612 д^о + 61с д + 61р д;
621 цМо + 622 цРо + 6’2 ц 4" 62р ц =
= б21 ДЛ4(| -J- бззд/’о 4- б2с д + 62р ц>
(398)
где бцц, бцк. бцд— угол поворота краевого сечения элемента ротора (цилин-
дрического, конического плоского), вызванный действием распределенного еди-
ничного момента Мо = I в направлении действия этого момента; о12Ц, 612К, б12д —
угол поворота краевого сечения соответствующего элемента ротора, вызванный
действием распределенной поперечной единичной силы в направлении действия
момента; 622Ц, 62ак. 622д—радиальное перемещение от единичной силы по
направлению действия силыР0, 621ц, б211!, б21д— радиальное перемещение крае-
вого сечения элемента роторов по направлению действия силы Ро, вызванное
действием единичного момента Л4С = 1 (на основании теоремы о взаимности работ
б21=б12); бц-ц, б1ск> 6КД — угол поворота краевого сечения элемента ротора,
обусловленное действием центробежных сил инерции массы элемента в на-
правлении момента Af0; б1рц, б1рк, 61рд — угол поворота краевого сечения эле-
мента в направлении действия изгибающего момента Мп от действия гидроста-
тического давления центрифугируемой жидкости; 62сЦ, 02сн, б2сд — радиальное
перемещение краевого сечения элемента в направлении действия силы Ро, вы-
званное действием центробежных сил инерции на элемент ротора; <52рц, 62рк.
62рд— радиальное перемещение, вызванное давлением центрифугируемой жидко-
сти; М'а и — краевые распределенные изгибающие моменты и силы, возни-
кающие в местах сопряжения элементов роторов вследствие совместной их
деформации.
Значения единичных перемещений, а также перемещений от
нагрузок для конической и цилиндрической оболочек приведены
в табл. 14. Эти значения получены на основании уравнений, при-
веденных в гл. II.
Найдем угловое перемещение края днища, вызванное действием
распределенного единичного момента, приложенного по'внешнему
контуру днища.
Днище рассматриваем как кольцевую пластину постоянной
толщины, опертую по внешнему контуру. При определении де-
формации влиянием ступицы днища можно пренебречь.
Используя условия (Mr)r~R = 1 и (Л4,.)г-а — 0> на основании
уравнения (77) можем записать
1 = М/Офг/ («//?),
где а — радиус центрального отверстия ступицы под вал.
Из последнего уравнения находим
Л4/о - 1/[фг/ (а//?)].
Подставляя Л4/о в уравнение (79), найдем
Ф =
R (a/R)
D qrt(a/R)
Определим угловое перемещение края днища, обусловленное
действием на днище гидростатического давления центрифугируе-
мой жидкости (рис. 215).
305
Таблица 14
Единичные перемещения и перемещения, вызванные действием нагрузок
Схема элемента ротора
Перемещения края элемента ротора под действием
единичных нагрузок центробежных сил гидравлического давления
быЦ = 0,425-Ю’10 612Ц — 0,166-10-10 б,гц-0,128- 10-ю 61СЦ = 0 басц = = 4,1-10-М/? бтдц — 0 62рц -= [0,0638 10-8фо2/?2/з] (4 — 0, Зф) дгрц = 0.123-10-8^2^2/5
Широкий край: S А 1 . О11К — О11К г- 1 У sinф 612к — б2,к — ; 612к = Ksin <р = И’ьШф; Рц -фц б'2си = $»4-Ц Шарнирное опирание по широкому краю: 61РК = О,51-1О-8Х X — (т„//?)»); 5 S1D ф 1 х 1 дгрк = 0,256-10"3 X И S Sin ф Н'-ш
Продолжение табл. 14
Схема элемента ротора
Перемещения края элемента ротора под действием
единичных нагрузок центробежных сил гидравлического давления
Узкий край: 611H 611Ц г ? У sin <pvs 612К — 611ц j v3 б22к = ^sin Ф • Ъ 2P* v3 /ч Л f s sin ф v2 = 1 — 0,195 1/ ctg <p г Гй 1 . M 1 nr 1 fS Sin Ф . v3 ~ 1 -j- 0,195 1/ ctg ф ’ Го 61СК = 13,2-10-’ X X О3 Ctg Ф Шарнирное опирание по узкому краю: 61рк = 0,0624 Ю-’t)2/? sin ф х £12 D2 6’ =0,231- Ю-8^—X 2РК ssintp 4-(тУ]
£ J2-I0-11/? (1 — 0,65e) быд- s3e О?2Д= 12 бгед — = 0,703- —
Примечания. 1. При определении коэффициентов принимают |Л = 0,3; Е = 2-105 МПа; рц =* )/ —
= 1,285/у
2. Окружная скорость v — a>R;
3. т|з= 0,5; 8 — 0,99.
в).
Рис.^215. Схема нагоужения днища роторов гидростатическим давлением при действии:
й — нер1вномерн° распределенной нагрузки; б — двух ступеней равномерно распреде-
ленной нагрузки; в — трех ступеней равномерно распределенной нагрузки
Согласно уравнению (79) имеем
L>cp = + Л110прф/ - qr^^.
Так как при г — г0, МгЛ = 0, уравнение (79) при г = R при-
мет вид
Чо = 0 = М/Офл (r0/7?) - q.R* фг?9 (г0/£),
откуда
м*. = (ajR)/ (гс/₽) ]. (399)
Перепишем уравнение для 7)<р
Оф = ?0/?5 (й4/2?Ж/ (г0/#)| %г (г0//?) - (ajR), (400)
где на основании уравнении (60)
= I1 — 2М [3 —(1,5 4- к2 — 3 1п^)])
(здесь л4 = ajr).
t аудированные значения сопровождающих функций фг?,
Фф, приведены в табл. 15.
308
Таблица 15
Значения сопровождающих функций при действии на круглый
плоский элемент давления жидкости
1 ♦не».
0,00 0,05521 0.02396 0,01042 0,00174
о.ю 0,05320 0,02490 0,00982 0,00159
(1,20 0,04764 0,02184 0,00829 0,00125
0,30 0,03956 0,01758 0,00627 0,00085
0 10 0,03020 0,01291 0,00423 0,00050
0,50 0,02081 0,00850 0,00249 0.00025
0.60 0,01250 0,00486 0 00121 0,060097
0 70 0,00611 0,00224 0,000451 0.000О271
0,80 0.00208 0,000717 0,000103 0,0000041
0,90 0,000295 0,000095 0,000007 0,0000001
1.00 0,00000 0,000000 0,000000 0,0000000
Определение значений функций данной таблицы так же, как и получение
формулы (400) и пример расчета, выполнены И. В. Кошелевым.
Пример. Необходимо определить угол поворота наружного края плоского
днища цилиндрического ротора центрифуги. Наружный радиус днища R =
= 900 мм, внутренний г0 = 770 мм, толщина днища а = 30 мм, радиус внутрен-
него слоя продукта в роторе а4 = G30 мм, плотность центрифугируемого про-
дукта ри! = 1650 кг/м3, модуль продольной упругости материала днища Е ~
— 2,1 105 МПа, угловая скорость ротора ы = 75,36 рад/с.
Находим значения сопровождающих функций, пользуясь данными табл. 6,
r.,/R = 0,1; а4//? = 0,7; qrf(/0/R) = 0,4950;
Фг,0 (п/Я) - о,0611; (rOlR} = 0,3918;
%q0 (ri/R) = 0,000451.
Определим значение цилиндрической жесткости
О1.1 П11, Л AQ3
D = £s3/12 (1 - Я = ’ u - = 5,2-10? Па м»
1( 1 — U»о }
и величину
ржй>а 1650-10»-75,36*
Тогда из уравнения (400) получаем значение угла поворота края днища:
-"4ло'^6 |'451г-0’3918' 0’000451 I =234,10’* рад.
Уравнения (397) и (398) можно значительно упростить. При
рассмотрении расчета на прочность цилиндрических обечаек ро-
торов было установлено, что угловые перемещения по краю от
Действия центробежных сил инерции и гидростатического давле-
ния отсутствуют, т. е. 63о.д = 61Г)Ц = 0. Такое же заключение
309
(402)
можно сделать и о радиальных перемещениях точек на внешнем
контуре плоского днища от гидростатического давления центри-
фугируемой жидкости. Гидростатическое давление действует нор.
мально к поверхности дыища и, следовательно, 63рд = 0.
Вполне очевидно, что силы Ро, приложенные по внешнему коп-
туру днища, не вызовут угловых перемещений края последнего
так же, как изгибающие моменты Мо пе приведут к радиальным
перемещениям точек на контуре, т е. 6ц = 631 = 0
На основании этих соображений уравнения (397) и (398) за-
пишем в следующем виде с учетом принятого выше правила зна-
ков (гл. II) и направления усилий (см. рис. 214):
|“ 61» 'о == — бц к^О Ч~ (^о + Нр) ^12 к — ^1с к — ®1^к
^21 Ц^О “Г ®22 Ц-^0 + ^2 СЦ F = б2, к^О — ®22 к (Д> 4“ 4 ’
4 ^2 СК + ^2 /ж’»
(401)
бц цЛ1о — ^:2ц^*о — — Sii дЛ4о (- 61рд;
б л цЛ4о — 622 Q “Г б2 сц -|- б2 ри = 622 дРо 4“ ®2 сд-
На практике перемещение 622д/% за малостью может прини-
маться равным нулю, что упрощает приведенные выше канониче-
ские уравнения метода сил.
Из уравнений (401) находят значения краевых моментов и
краевых поперечных сил, схема действия которых показана на
рис 214.
Большинство роторов центрифуг представляет собой цилин-
дрические обечайки с плоским днищем и бортом либо сочетания
цилиндрических и конических участков при наличии плоских
днищ или бортов.
Расчет роторов центрифуг необходимо начинать с выбора до-
статочно простой расчетной схемы, учитывающей, однако, действи-
тельную работу конструкции и основные требования, предъяв-
ляемые к ее расчету и прочности. Рассчитывать подробно необхо-
димо наиболее напряженный узел ротора. Так, например, при
использовании цилиндрического ротора с плоским днищем и бор-
том нужно рассматривать сопряжения обечайки с днищем, так
как здесь напряжения будут больше, чем в месте сопряжения
борта и обечайки. К такому выводу легко прийти, если учесть,
что радиальные деформации цилиндрической обечайки всегда
больше радиальных деформаций дисков и деформация кольцевого
днища всегда превышает деформации сплошного днища.
ЗЮ
Уравнения (401) можно упростить. На основании данных
табл. 7 и используя соотношения между S^K и 6^ц, получаем
р. - - 4=г м. + ^ (₽. Т Ир) - S, „ - «!
у ollj tj> Z-p
бцц р + g _ биц М _ 61^ {р н + g
2Р ₽ц 2₽ 2^ysintp р р
2₽М0 + Ро =-----+ Ро + Нр - 2^D ск + 6, рк);
]/ sin <р
(Ж + Ро = (Шо - —JX-------------^=- 4- (б3 ;Ж - б2 рц) 2P3D.
У sin <р У sin ср
Из приведенных выше уравнений получаем
Д|_______2РгО (61 ек 4 61 рк) — Рр . 1
2Р / 1 + ) !
\ И51П(Р / _ ' (403)
р ___ (6г рк — бгрц) 2р8Р — Рр/Уsin <р ,
1 + l/j/"sin <р
Уравнения (402) также несколько упрощаются с учетом со-
отношения, справедливого для длинных цилиндрических оболочек
(см. табл. 14);
^22 Д 612 цФ ~ 6ц Ц/(2Р2).
На основании этого переписываем уравнения (402) в виде
6ц Ж - Ро = - пМо +А рд;
2jy“ -----Т’о + §2 ец 4" в» вд — 62 сд.
Из последних двух уравнений находим значения
М' - 261 РД 4 2р (6г д + 6г рц — ^2 <?д) .
° 6ц ц 4 26Пд
Р'о = 2₽ [Л40 (ёп Д/8П I( h 1) - 6, Рд/6П Ц1.
В обечайках центрифуг абсолютное значение суммарных ок-
ружных напряжений (сумма краевых окружных и мембранных
окружных напряжений) редко превышает мембранное окружное
напряжение и лишь на весьма коротком участке обечайки. По
мере удаления от края краевые окружные напряжения быстро
затухают, незначительно отклоняясь от значения мембранного
окружного напряжения в большую сторону. В связи с этим при
расчете роторов центрифуг большое значение имеет определение
311
суммарных меридиональных напряжений, значение которых мо
жет значительно превосходить значения окружных напряжений
Будем называть зоной влияния края участок обечайки, на
тяжении которого суммарные меридиональные напряжения п
вышают мембранные окружные напряжения. Соответствующий
анализ показывает, что краевой эффект в обечайке ротора зависит
от совместного влияния плотности центрифугируемого продукта
окружной скорости ротора, мембранных напряжений и соотно-
шения между толщинами элементов ротора. Окружные мембран-
ные напряжения будут меньше у ротора, окружная скорость ко-
торого, а также плотность продукта, отношение толщины днища
и обечайки будут большими. При определенных условиях крае-
вой эффект может отсутствовать.
Рассмотрим определение 7И0 «Дв наиболее важных случаях
расчета центрифуг.
Большой интерес представляет расчет конических роторов
осадительных центрифуг со шнековой выгрузкой. Ro многих
случаях конический участок ротора соединен с цилиндрическим
с помощью фланцев. Примем, что фланец у широкого края кони-
ческого участка ротора полностью исключает возможность поворо-
та края ротора, однако может деформироваться в радиальном нап-
равлении иод действием центробежных сил инерции.
Если принять, что сила (Ра + Нр) направлена к оси ротора,
а момент Л40 вызывает сжатие внутренних волокон, то для данного
случая уравнения (402) и (398) будут иметь вид
— 6Пк М0 - б12к (Т’о Нр) 4* *4 КЦ 4"" 4 ри.=
“ 6]2 кЛ4о — 622к 4~ р) 4* *4 ск 4* рк ” ^22ф^0 4~ б2 еф,
где 622ф — радиальное перемещение внутреннего торца фланца
под действием единичных радиальных сил; 62Сф — радиальное
перемещение внутреннего торца фланца, находящегося под дей-
ствием центробежных сил.
С помощью расчета можно показать, что величина 62афРппо
сравнению с величиной ба2сф незначительна, и ею можно пре-
небречь. Учитывая это и заменяя сумму Ро + Нр = Q, перепи-
сываем последние уравнения в следующем виде:
— кМ) — 612 kQ 4* ск + \рк = 0;
— 612 ИЛ4О — 622 KQ -(- 62 с,, -ф 6? рк = 622 сф-
Принимая во внимание соотношения между 611и, 612к и 6221(
(см. табл. 14), имеем (учитываются значения р для конуса)
— 6ц КА4О — 6n к sin q, -J- 6j CI. 4- 6lpK = 0;
- би к sin <₽ - бн к Q 4- 62 CK 4 б2 рк - 62 сф = 0.
312
Из последних уравнений получаем
Я = 261ск + 261рк-Д(6гск + 62),к-бгсф)!; (404)
Q - Д - p^ + ^jK _ м 1 . (405)
* sin <р [ би к 9 J ' '
Принимая р. = 0,3, Е = 2-105 МПа и используя выражение
(см. табл. 14)
бп .= 0,0425-10-91/ А ₽= 1,285 |/5^,
’ S' у Sin ф г къ
получаем ______
м, = 47,06.10» У [б, „ + 6, „ - ggL. (6,. +
+ б2 рк — б2 сф) j;
Q ~~7~- 23,5- 10s ] (6Х ск + 61 рк) - Мр ,
У Ri sin q> L г к
(406)
Для конических роторов промышленных центрифуг величины
61ск и 61рК малы по сравнению с величинами (1,285/|/ Rs sin <р) 62ск
и (1,285/р Rs sin q?) 62рк и при приближенных расчетах ими можно
пренебречь. Тогда уравнение (406) примет вид
Мо = 47,06. 109 V. S-S^ /Д 4- 62 рК - 62 сф)1,
* Lr flssm ф J
или
Мо = 0,605.10“ (6г ск д_ 6г рк _ g2 сф). (407)
После определения краевого момента Мо необходимо найти
значения кольцевых усилий 7\ и Т2 по формулам (139) и (142).
После этого определяют напряжения в конической оболочке по
приведенным выше уравнениям.
При расчете сопряжения цилиндрической обечайки с плоским
Днищем производят проверку прочности днища. Толщиной днища
задаются в начале расчета, принимая ее не менее 1,5 толщины
обечайки.
Напряжения, возникающие в днище ротора, при его враще-
нии вместе с жидкостью обусловлены действием гидростатического
Давления жидкости, центробежных сил инерции на днище, крае-
выми силовыми факторами Ро и Л40.
Наибольший окружной момент в днище (в данном случае коль-
цевая пластина оперта по внешнему контуру и на нее действует
нагрузка, изменяющаяся по параболическому закону) будет иметь
место при г = г0.
313
Рис. 216. Ротор, состоящий из двух конических обечаек
Примем, как и при определении угловой деформации края
днища, схему нагружения в виде двух ступеней (в общем случае п
ступеней) равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 215).
Напряжениями, вызванными действием силы Ро, можно пренебречь
из-за их малости. Воспользуемся уравнениями (399) и (401),
учитывая, что Мг„ = 0 и краевой момент /Ио приложен к краю
днища, получим
- Мо = (r0/R) - p^^/R) - PiR2^rll(r2/R),
откуда
м = PiR^rq (rj/R) + PiR^m (s2/R) - мо
фг/ (ra/R)
Принимая рг = pmax/4, где р2так — ржу2ф/2 и подставляя эти
значения в последнее уравнение, имеем
м о, 125РжуЧ^3 fr/R) + Фг? (Га//?)]
'° ^rt(r0/R)
Находим значение наибольших растягивающих напряжений,
складывая растягивающие напряжения от изгиба пластины мо-
ментом Mt„ и растягивающие напряжения ст, от действия центро-
бежных сил инерции. Растягивающие напряжения определяют
с помощью уравнения (329), в которое подставляют р = 0,3:
_ 6 ( 0,125Хо0ф/?2 [rtlR) + rpr<7 (fz/R)—Л4и "] ,
1 JmaX - ।{ro/R} j +
+ 0,825 [1 +0,212 (/-<дао0,
где <т0 = ри2; X = рж/р.
Пример. Требуется определить наибольшие напряжения в роторе шнековой
центрифуги для обработки крахмального молочка с частотой вращения п =
= 1350 об/мин, Ротор состоит из двух конических участков, соединенных между
собой жестким фланцем. Размеры ротора указаны на рис. 216.
Упорный подшипник расположен со стороны узкого края обечайки. С по-
мощью уравнений (398) определим значения Мо и Q у соединения более длин-
ного конического участка ротора с фланцем.
Линейная скорость на максимальном радиусе конической обечайки
v = (OR = гсп/г/30 = 3,14-1350-0,25/30 = 35,30 м/с.
314
Перемещения от единичных нагрузок определяем, пользуясь приведенными
в табл. 14 формулами:
в1сК= 13,2-10 8v-2c tg <р = 13,2-10'«-35,302 0,072 = 11,8-10“6 рад;
62 ₽к = 4,1 • Ю~мя = 4,1 • I О"8 35,30s .0,25=12,810-® м.
При расположении упорного подшипника со стороны узкого края обечайки
Й! рк = 0,51 • !0-8v~2 (2 - (гл/К)2] = 0,5- 10-’35,302Х
X SS р - <’ ,от'25)’1 = 2М ,0" р“:
v2R2
62 Рк = 0,256-10’8 ----[1 - (rv/RV] = 0,256- Ю’8Х
rt siri (р
Х^’оГо°9972-1’ ~ = 10,7-10-® м.
VI j VIО * VI > -.7 <71
При определении 62сф учитываем, что Яф = 293 мм, гв = 258 мм и Зф = 25 мм.
С помощью уравнения (332) находим
«2сф = io-м/г ю,7 + з,з (г0//?)2 ] =
= 10“8-35,302-0,293 [0,7 + 3,3 (0,258/0,293)2] = H.8-I0-8.
Подставляем значения найденных перемещений в уравнение (404)
Мо = 47,06-109/О’997^0.:008* [н ,8.10-®’+ 20,6- Ю’8 —
’ ----(12,8-10~8+ Ю,7-Ю’6- 11,8 10"*)] = 163H-M/M.
/0,25-0,008-0,997
Значение М„ найдем по приближенной формуле (407):
М9 =0,605-10“ 0.0082ttU(12,8+ 10,7— 11,8) Ю~6 = 183 Нм/м.
и}
Полученная разница вполне допустима для инженерных расчетов. Подстав-
ляя численные значения в уравнения (407), находим поперечную силу
_ 2«57
® ~ /0,25-0,008 0,997
23,5-Ю2]/ 0,00^9°’"7[||,8- 10’8 +
-ф 20,6 Ю-6) 4- 1630] = 9 900 Н.
Определяем мембранные напряжения ot и <Ут по формулам (394) и (395),
Учитывая, что
q< —°83’9д37'106 - [0,0638-0,25-0,424 + 0,008-0,997] =
= 18,4-10° Па — 18,4 МПа;
0,1275-35,ЗМ03-0,25-0,4242 nnlneT, n п мп
От = —------------—„ „ -7----—— = 0,9- 10е Па — 0,9 МПа
т 0,008-0,997
315
или
Находим значение кольцевого момента М2 на основании уравнения (I44).
Л12 = О, ЗЛ70 + 0,34 cos cpsQ^-
Л12 = 0,3-163+ 0,34-0,072-0,008-99-102-0,97 == 50,4 Н-м/м.
Найдем значение кольцевого усилия Тг. Подставим в уравнение (143) зна-
чение 622, в результате имеем
= + =-^-612ц(м<,+Ху *Р- q).
Подставляя в это уравнение значение б12Ц, получаем
т - Es R (м । п\
12 R зг-6О,5-Ю4 \‘ ° + 1,285
или
Т2 = 3’31;10' (Л40 + 0,78/Rs Q) = [- 163 +
+ 0,78/0,25-0,008-9900] = 75000 Н/м.
Определим напряжения:
Щ = <Тт Щ 6/He/s2 — Q cos <p/s;
gi=°’9 •,oe+S - "'oS—=(o’9+15’3 - °'o9>!oe=
= 16.1-106 Па;
o2 = ot ± б/Ик/s2 - 7^/s;
a2=18,4-106 + - ^22°. = (18,4+ 4,73-9,3) 106 = 14-1O6 Па.
Таким образом, суммарные меридиональные напряжения являются наиболь-
шими. Найденные значения напряжений в обечайке ротора позволяют повы-
сить его частоту вращения.
§ 27. ПРОЧНОСТЬ РОТОРОВ СВЕРХ ЦЕНТРИФУГ
Роторы сверхцентрифуг являются самой ответственной деталью
машины. Высокая частота вращения требует большой прочности.
Необходимо иметь в виду, что разрушение ротора может при-
вести к тяжелым последствиям, так как он обладает при вра-
щении большим запасом кинетической энергии.
Как было отмечено, наиболее напряженными деталями рото-
ров сверхцентрифуг являются корпус, крышка (кожух), соедини-
тельное кольцо. В роторах с автоматической выгрузкой осадка
имеются и другие напряженные детали.
Обечайки роторов центрифуг выше рассматривались как тонко-
стенные оболочки. Цилиндрический корпус роторов сверхцентри-
фуг можно рассматривать аналогичным образом лишь в опреде-
ленных случаях. Для ряда быстроходных машин цилиндрические
корпусы нужно рассчитывать, как толстостенные трубы и быстро-
вращающиеся диски.
316
рис- 217. Бесконечно малый элемент стенки
ротора
Предположим, что ротор не за-
полнен жидкостью и вращается с уг-
ловой скоростью ®. Рассмотрим на-
пряженное состояние быстровраща-
ющегося цилиндрического корпуса.
Учитывая объемное напряженное
состояние быстровращающегося цилиндра на основании закона
Гука, запишем выражения для окружной, радиальной и осевой
деформаций:
г( — и!г — (oz — рсгг — ]ioz)/E; (408)
er = du/dr = (<уг — — y.crt)/E;
(409)
ег = (о. — ро'; — poQ/f.
(410)
Умножив равенство (408) на гЕ и произведя его дифференци-
рование по г, получим
Е du/dr—<zt ф- г drsjdr — ц(о, ф- оу) —- p.r (dar/drdOz/dr). (411)
Рассматривая равновесие бесконечно малого элемента, выде-
ленного из стенки толстостенного быстровращающегося цилиндра
(рис. 217), можем записать
orrb ф- d (<5rrb dfp) — arbd dip — 2otb dr sin (</cp/2) ф-
ф- p®2 dtprb dr —0.
Учитывая, что 2 sin (dcp/2) a? dip, найдем
d (arr)/dr — at ф- p®2r2b = 0;
или
a, — at rdajdr ф- p®M = 0. (414)
Из уравнений (409) и (411) находим
(oz — or) (1 -|- p) ф- r dajdr — p r (dar/dr ф- dajdr) — 0.
Подставляя в последнее равенство dvjdr из уравнения (410)
и складывая полученную зависимость с выражением (408), полу-
чаем
d (_ar + uf)/dr = —pr®2/[g (1 — ц.)]. (412)
После интегрирования последнего уравнения найдем
<гг ф- — —pr2®2/ [2g (1 — ц)1 ф- С1г (413)
где — постоянная интегрирования.
В результате совместного решения уравнений (412), (414)
окончательно получим
317
После интегрирования получим радиальное напряжение
а = А.;__£2
2 л- г2
3 — 2ц „ п
- —оагг.
8 {1 — pi) ‘
Из уравнений (414) и (415) получим
1 + 2ц 0 ,
а = -9-1 __ с- -
2 г2
(415)
(410)
Л,-2
Находим постоянные интегрирования Cj и С2, используя гра-
ничные условия (щ).=Г(, = (or)r=R = 0 и подставляя их Б урав-
нения (416) и (415). Окончательно имеем
р(02 3—2ц 2 2
а'—ГТ^ R +го +
п2.2
R г0
г3
1 2ц _2
3 — 2ц Г
__ р(02 3 — 2 р.
°г “ ~’8 Г - jT
р2_2
ffi । 2 К г0 2
К - го-------------------Г
(417)
(418)
Осевое напряжение <jz находим из уравнения (410), используя
для торцовых сечений граничные условия J a_dF = 0:
^=^1^7^ +Го-2г2). (419)
Обычными методами определения максимума функции легко
доказать, что наибольшее значение щ меньше любого значения гт,.
Максимального значения главное нормальное окружное на-
пряжение достигает на внутренней поверхности корпуса при
г = г0. Подставим в уравнение (417) г - г0 и введем обозначение
а = г0/7?> после преобразований получим
Если р ~ 0,3, то перепишем последнее уравнение, заменив
в нем иг0 = и (здесь v — окружная скорость на внутреннем ра-
диусе цилиндра):
aJ <3’43 + °-583«2)-
Радиальное напряжение щ в данном случае равно нулю.
Если ротор заполнен жидкостью, то кроме указанных выше на-
пряжений возникнут также напряжения от действия гидростати-
ческого давления вращающейся жидкости. Определим эти напря-
жения для корпуса, как для толстостенного цилиндра, находя-
щегося под действием внутреннего давления.
В данном случае окружные напряжения достигают наиболь-
шего значения на внутренней поверхности корпуса ротора. Их
находят из уравнения (95), в котором принимаем р3 = р0 и р^ — 0,
o't =
рЛ i R-
R2 F "Г г2
л 'о \ г0
318
Подставляя в последнюю формулу значения р0 из уравнения
(389) и ra/R = а и принимая ф = 1, перепишем его в виде
1 +»2
°* 2 1 — аа '
Наибольшее суммарное окружное напряжение
Ъ -F ст? -g- (33.4 I - 0.583d2) -I- 4^S- • <42°)
Напряжение ст, в радиальном направлении, возникающее от
действия гидростатического давления, имеет максимум на внутрен-
них волокнах стенки ротора, где оно равно давлению Ро. Напря
жение ст, находят из уравнений (389) при ф = 1:
о; = р0 —ржи2/2. (421)
Рассмотрим состояние корпуса ротора, когда в наиболее напря-
женных его точках возникает текучесть материала (расчет по опас-
ной точке). Учитывая уравнения (391), (420), (421) и пренебрегая
напряжением ог, возникающим под действием сил инерции вра-
щающегося цилиндра, а также полагая, что > ст„г > ст,, полу-
чим
С'экв — О1 СТЧ = СТ^ СТ, — СТТ.
Подставляя в последнее уравнение af и стг из уравнения (420),
получаем
^(3,43+ 0,583^1+^4^+
Из последнего равенства определим предельную окружную ско-
рость цилиндра:
V --4и3 1++ (422)
1 3,43 + 0,583а3 4- 2ла2 - - — -(- 2U*
1 — а2
где X = р!И/р.
Если л = 0,1273, то уравнение (422) примет вид
1 rJ - А I/ П । _1_ Л.2
а V р 3,43 4- 0,583а2 + 0,2546+Т--+а2 -|- 0,2546а2
1 — а3
или
. -+/++). («ч
где — запас прочности обечайки по скорости.
Произведем расчет цилиндрического вращающегося ротора,
заполненного жидкостью по предельному равновесию. Так же,
как и в расчете диска произвольного профиля, применим условие
пластичности Треска, Сен-Венана.
Предположим, что при пластическом состоянии цилиндриче-
ского ротора так же, как и при упругом, останется справедливым
319
неравенство <т, > <тг > стг. Тогда = ст( и сг3 = <уг и условие
пластичности Треска, Сен-Венана примет вид .
(У^ - (jj. - Огр.
На’основании последнего уравнения и выражения (412) мо-
жем написать
dajdr + pw2r = о Jr.
Интегрируя это выражение, получаем
о, = ат In г — ри?г212 + С.
На наружной поверхности при г = R ог — 0, поэтому из по-
следнего уравнения следует, что
О = от In R — рм2/?2/2 + С,
откуда
С — ры2Я2/2 — от In R;
аг = стт In (r/R) + рог (R2 — r2)/2.
На внутренней поверхности стенки при значении г = г0
стг = —ржиа/2.
Поэтому
—Рж®“Го/2 = от In (го//?) + р® (R —Л))/2
или
от 1п(/?/г0) = ржсЛо/2 + р®2 (R2 — г%)/2.
Имея в виду, чтоrjR = аи ог0 = ии решая полученное урав-
нение относительно v, находим
-1/рт 2 In (1/а) ,425.
Vt V р (1/а>-!+&.)•
Если % = 0,1273, то
____ т/'ёт 4,605 In 1/а
Ут— V ~ 1/а3-0,873
или
ит = V"Orf 2 (а)/Р- (426)
Из уравнений (423), (424), (426) следует, что
fi (а) = Ррр/от =• 1 /Nep; (427)
f2 (а) — v^p/Of. ---= l/NeT, (428)
где Nep — критерий прочности, соответствующий разрушению материала в наибо-
лее напряженных точках стенки ротора; NeT — критерий Ньютона, соответствую-
щий предельному равновесию цилиндрического ротора.
320
Таблица 16
Значения критерия прочности
а Ь — (1 — а)/а Толстостенная оболочка Тонкостенная оболочка Ne = 1/Ц («1
по допускаемым напряжениям Ne = 1/fi (а) по допускаемым нагрузкам Ne = 1//2 (а)
0,98 0,0204 4,25 4,13 4,15
0,96 0,0417 2,7 2,6 2,54
0,94 0,0638 2,21 2,13 2,00
0,92 0,0870 1,98 1,855 1,72
0,90 0.111 1,865 1.725 1,575
0,88 0,1365 1,81 1,64 1,47
0,86 0,1629 1,78 1,59 1,395
0,84 0,1905 1,775 1,567 1,339
0,82 0,2195 1,795 1,549 1,291
0,80 0,25 1,815 1,545 1,256
0,78 0,282 1,86 1.559 1,231
0,74 0,351 1,97 1,581 1,18
0.70 0,429 2,115 1,635 1,146
0,65 0,539 2,35 1,735 1,12
0,60 0,666 2,67 1,869 1,096
0,5 1 3,64 2,26 1,065
Как следует из формулы (363) прочность быстровращающихся
дисков также характеризуется критерием Nep. Если скорость
диска или ротора следует увеличить без уменьшения его проч-
ности, то необходимо для диска использовать более прочный
материал, исходя из условия <тр11 (pxuf) = сг₽3 Цр^) (здесь индексы
1, 2 соответствуют характеристикам материала и скорости пер-
вого и второго дисков).
Задаваясь значениями а и рассчитывая соответствующие зна-
чения функций /у (а) и fz (а), а также р, можно составить таблицу
значений критерия Ньютона Ne (табл. 16).
В табл. 16 приведены значения Ne = \/fi (ос), вычисленные для
различных а с помощью формул (393), (427) и (428), которые
получены при расчете цилиндрического ротора как тонкостенной
и толстостенной оболочки.
Из табл. 16 следует, что выражения /у (а) и (а) представляют
собой функции, имеющие максимум. Таким образом, при расчете
по предельному равновесию (по допускаемым нагрузкам) предель-
ные скорости оказываются выше предельных скоростей, получен-
ных при расчете по допускаемым напряжениям.
Напишем выражение для допускаемой окружной скорости,
вводя в уравнение (426) коэффициент K,v (запас прочности по ско-
рости). Тогда уравнения (424) и (426) примут одинаковый вид:
|’|=тЫ/¥^- (429)
И Соколов В. И.
321
Из последнего уравнения находим
/ (а) — (о)2 №up/orT-
Безразмерный комплекс величин v2p/oT — N представляет
собой обратную величину приведенного выше ротационного кри-
терия прочности
Ne = ]/N = \/f (а).
Обозначим отношение толщины стенки цилиндра к внутрен-
нему его радиусу через р. Учитывая, что наружный радиус У =
= гй + s, получаем
а = raIR = r0/(r0 + s) = 1/(1 + s/r0),
откуда
1 = a aslrQ.
Следовательно,
P = s/r0 — (1 — a)/a.
По данным табл. 16 построены кривые зависимости (рис. 218)
Ne = f (р). (430)
Из табл. 16 и рис. 218 видно, что если значение критерия Нью-
тона превышает 2,5, то расчет обечайки можно производить как
тонкостенной оболочки, так как значения р, соответствующие зна-
чениям критерия Ньютона, во всех случаях получаются близ-
кими по значению. При значениях критерия Ньютона меньше
1,54 нельзя обеспечить необходимую прочность ротора из данного
материала при любой толщине стенки ротора.
При определении толщины стенки ротора необходимо прежде
всего вычислить значение критерия. При выполнении ротора из
стали по уравнению (393) получаем следующие выражения для
критерия:
Ne = 1,16- 101 [<т]/(г2«2)
или
Ne= 1,27-1 (Г6 [о]/(сЛ£),
где [ст] в МПа; г0 в м; п в об/мин; ш в рад/с.
Если полученное значение Ne будет более 2,5, то толщину
стенки следует определить по формуле (392) или по рис. 218 для
тонкостенного цилиндра. Когда значение критерия Ne меньше 2,5,
применимо выражение р — s/r9 для толстостенных цилиндров.
При выполнении стенки обечайки из хрупкого материала расчет
производят по допускаемым напряжениям, а из пластичного
материала — по допускаемым нагрузкам.
Для лучшего использования материала, из которого изготов-
лена обечайка, необходимо стремиться к тому, чтобы критерий
322
рис. 218. К определению толщины стенки цилин-
дрического ротора по критерию прочности:
I — расчет по теории толстостенных цилиндров по
попускаемым напряжениям; 2 - расчет по теории
толстостенных цилиндров по предельному равнове-
сИК). j — расчет по теории тонкостенных цилиндров
Ньютона был больше 2,5, что практи-
чески можно осуществить, подбирая
материалы с высокой удельной проч-
ностью <гт/р. К таким материалам от-
носятся различные стеклопластики,
сплавы алюминия и титана.
Приведенные на рис. 218 зависимости
свидетельствуют о том, что увеличение
толщины стенки цилиндрического ро-
тора не всегда ведет к повышению его прочности. Критическому
значению критерия Ne — 1,77 соответствует критическое значе-
ние отношения толщины стенки корпуса к внутреннему радиусу
корпуса s/r0 = 0,175, a Ne = 1,54 соответствует отношение
s/r0 = 0,2275.
Если толщина стенки соответствует отношению Р, которое
больше критического, то прочность стенки будет меньше проч-
ности стенки при ее критическом значении. В данном случае при
увеличении толщины стенки корпуса больше критической необ-
ходимо уменьшать окружную скорость ротора.
Например, значению критерия Ne — 2 по допускаемым напря-
жениям (см. рис. 218) соответствует отношение s/r0 = 0,0825,
однако этому же значению Ne соответствует отношение s/rQ =
= 0,37.
Следовательно, прочность стенки цилиндрического корпуса,
имеющей толщину $ = О,О0825го из — 0,377 г0, одинакова.
Эти рассуждения приводят к выводу, что при заданном мате-
риале ротора максимальная частота вращения цилиндрического
корпуса достигается при толщине стенки, равной критическому
значению.
Критическая толщина стенки цилиндрического ротора может
быть найдена по рис. 218. Так, при расчете по несущей способ-
ности s„p = 0,2275 Го, а по допускаемым напряжениям зкр =
= 0,175 го.
При значении критерия Ne < 1,54 для пластичных материалов
и Ne < 1,77 для хрупких нельзя обеспечить необходимую проч-
ность ротора независимо от толщины стенки.
Из уравнения (393) с учетом от/к-----[о] находим допускаемую
окружную скорость ротора
[у] = ]/ [O]/Ne р .
Из полученного уравнения следует, что допускаемая окружная
скорость цилиндрического ротора зависит от отношения допускае-
мого напряжения данного материала него плотности. Отношение
И* 323
Пр | p называют удельной прочностью материала. Для быстровра-
щающихся роторов сверхцентрифуг выгодно применять материалы
с наибольшими значениями удельной прочности.
В небольших роторах ухудшаются условия разделения не-
однородных систем вследствие больших скоростей перемещения
жидкости. Небольшие объемы роторов неудобны при накоплении
осадка. Поэтому размеры роторов выбирают исходя из требований
не только прочности, но и технологических.
Следует отметить, что принимать толщину стенки цилиндриче-
ского ротора, равной критическому значению, следует лишь
при необходимости получения максимальной окружной скорости
ротора. Если не требуется обеспечение максимальной окружной
скорости, то толщина стенки должна соответствовать условию Ne >
> 2,5.
Полученная выше формула (396) может быть применена и для
расчета конической части ротора сепараторов. Толщину стенки
этой конической части выполняют переменной (она уменьшается
к более узкой части крышки). Точный расчет такой оболочки сло-
жен. Однако, как показала экспериментальная проверка [62],
с достаточной для практики точностью можно использовать фор-
мулы, полученные для конических оболочек постоянной толщины.
Расчет конических крышек роторов производят по формуле
для s, приведенной на с. 297.
§ 28, НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ УЗЛОВ
В приведенных выше расчетах на прочность роторов центро-
бежных машин используют значения пределов текучести материа-
лов.
При расчете таких ответственных узлов, какими являются ро-
торы указанных машин, необходимо иметь в виду, что предел те-
кучести материала имеет некоторое рассеяние и может отклоняться
от среднего значения до 20 %. Следует также помнить, что ротор
даже простейшей конструкции работает в условиях переменных
во времени напряжений вследствие периодических пусков и оста-
новок. В связи с этим, рассчитывая роторы центробежных машин,
необходимо учитывать не предел текучести материалов, а предел
выносливости в малоцикловой области нагружения. В этом слу-
чае необходимы экспериментальные данные по разрушению ро-
торов при различном числе циклов нагружения.
Для получения кривой малоцикловой усталости достаточно
произвести разрушение образцов, выполненных из того же мате-
риала, что и ротор. При этом’влияние’концентрации напряжений
и абсолютных размеров ротора учитываются соответствующими
коэффициентами, которые устанавливают па основании испытаний
ограниченного числа образцов.
При расчете прочности роторов из нового материала следует
получить на основании данных испытаний лабораторных образ-
324
цов без концентраторов напряжений кривую усталости отах — W
для вероятности разрушения Р — 0. Затем построить зависимость
а0—A—o'max с помощью кривой усталости при вероятности раз-
рушения Р = 0 и по этой зависимости найти ресурс ротора с уче-
том действующих в нем напряжений.
Обычно стремятся к приближению условий испытания образ-
цов к условиям работы самого ротора.
Определение ресурса ротора сепаратора на основании расчета
на прочность при малом числе циклов нагружения рассмотрим с уче-
том данных В. В. Андреева.
Требуется определить ресурс ротора молочного сепаратора
СОМ-З-ЮОО, выполненного из алюминиевого сплава АВТ-1.
Было произведено разрушение около 100 образцов, вырезан-
ных из прессованной заготовки на разрывной машине, оборудо-
ванной специальным реверсивным устройством.
При одном и том же уровне напряжений получаемые экспери-
ментально значения долговечности имеют большой разброс. Это
следует объяснить влиянием многих факторов на процесс устало-
стного разрушения. К этим факторам относятся помимо концен-
трации напряжений и влияния размеров детали состояние ее
поверхности, технология изготовления, характер нагружения,
степень ассиметрии цикла нагружения и т. д.
К факторам, обусловливающим рассеяние результатов испыта-
ний, следует также отнести микроструктуру материала, форму
и ориентировку зерен, искажение кристаллической решетки
и т. д.
Для испытаний на усталость характерен большой разброс экс-
периментальных точек. В связи с этим для достоверного опреде-
ления предела выносливости необходимо испытание большого
числа образцов с последующей статистической обработкой резуль-
татов, что является трудоемкой задачей.
Обычно предполагают, что при относительно невысоких зна-
чениях напряжений существует некоторое число циклов, завися-
щее от напряжения, которое обозначают NOs с нулевой вероят-
ностью разрушения.
На графиках приводят значения точечных статистических
оценок вероятности разрушения — частот разрушения (доли раз-
рушившихся образцов при данных условиях). При росте числа
испытаний отклонение частоты от вероятности разрушения умень-
шается по абсолютному значению. Однако для редких событий
с меньшими значениями частот в среднем требуется большое число
испытаний для достижения такой же степени приближения частот
к вероятности.
Поэтому данные экспериментов позволяют рассчитать зависи-
мости максимальных напряжений от числа циклов при вероят-
ности разрушения более 1 %.
Для нулевой вероятности кривые получены другим методом
с использованием порогов чувствительности по циклам N0o при
325
Рис, 219, Функция распределения пределов прочности алюминиевого сплава
Рис. 220. Функции распределения долговечности плоских полированных образцов из
алюминиевого сплава
различных максимальных напряжениях и порогов чувствитель-
ности по пределу прочности ав0.
Учитывая недостатки приведенного точечного метода оценки
вероятности разрушения образцов, более целесообразно в ряде
случаев использовать для определения средних статистических
значений доверительные интервалы, в которых находят с задан-
ной вероятностью необходимые величины.
При определенных частотах вращения ротор сепаратора мо-
жет оказаться работающим в упругопластической области де-
формирования, что иногда приводит к разгерметизации ротора.
Данное явление является недопустимым в условиях эксплуатации.
В связи с этим расчет на прочность ротора следует производить
так, чтобы"напряжения’огаах^= оУ1,Е не превосходили порогового
значения предела текучести сгт0 и материал ротора работал бы
в области усталостного разрушения, когда пластические де-
формации относительно малы.
В качестве условной границы, разделяющей переходную и уста-
лостную области разрушения, можно принять резкое изменение
характера экспериментальной зависимости остаточного сужения
образцов от числа циклов.
Величину NOa называют порогом чувствительности по циклам.
Анализ экспериментальных данных приводит к заключению,
что х — 1g (Уг — NOa) подчиняется нормальному закону распре-
деления.
Для получения полной кривой усталости, начиная с первого
полуцикла нагружения, проводились разрушения стандартных
образцов с отношением длины к диаметру, равным 5. При статиче-
ских испытаниях на разрыв рассеяние рассматриваем не по цик-
лам, а напряжениям.
Учитывая принципиальное отличие статических испытаний
от усталостных, примем во внимание, что при испытании на раз-
рыв образец проходит первый полуцикл при пульсирующем ре-
жиме нагружения. Будем рассматривать при статических испыта-
ниях на разрыв рассеяние по пределу прочности ор или пределу
текучести.
32S
Рис. 222. Кривые усталости плоских полированных образцов из алюминиевого сплава,
соответствующие различной вероятности разрушения
Для практической обработки данных, подчиняющихся нормаль-
ному логарифмическому закону распределения, удобно исполь-
зовать вероятностную сетку. На ней строим ряд прямых на осно-
вании данных о разрушении образцов из сплава АВТ-1 :
1g (°в — °во) = х = х — ups (здесь ов0 -— напряжение, соответ-
ствующее порогу чувствительности; х — математическое ожида-
п
ние, принимаемое при большом числе испытаний п : х -- S х/п;
s — среднее квадратичное отклонение случайной величины; «р —
квантили нормальной случайной величины (х — x)/s.
Нулевой вероятности разрушения образца соответствует wp
оо [1g (<тв — ов0)] — со, так как 1g (<тв — ов0) = х — ups. Сле-
довательно, ств — СВ0 — О и Щ = ав0.
На рис. 219 представлена зависимость вероятности разруше-
ния образцов от случайной величины 1g (ов — ав0), из которой
видно, что распределение х = 1g (ов — ов0) подчиняется нормаль-
ному закону и, следовательно, ов0 = 293 МПа является порогом
чувствительности.
Далее на основании кривых распределения долговечностей
(рис. 220) и кривой распределения пределов прочности образцов
(рис. 221) строят кривую
усталости в координатах
Qmax — N при различных
вероятностях разрушения
(рис. 222).
Как следует из рис. 223,
для образцов из алюминие-
вого сплава АВТ-1 при ци-
клическом нагружении, на-
чиная с определенного зна-
Рис. 223. Значения относительных
сужений поперечного сечения образ-
цов из алюминиевого сплава при
циклическом нагружении
327
Рис. 224. Кривые усталости алюминиевого
левой вероятности разрушения
сплава для различных нагружений при ну-
Рис. 225. Номограмма для определения по допускаемым напряжениям ресурса роторов
из алюминиевого сплава
чения числа циклов (в данном случае N = 5-103), предел ог-
раниченной выносливости становится практически постоянным.
Это свидетельствует о том, что результаты, полученные при по-
стоянной амплитуде напряжений (мягкое нагружение) будут спра-
ведливы и для постоянной амплитуды деформаций (жесткое на-
гружение), когда разрушение носит чисто усталостный характер.
Следовательно, начиная с определенного значения циклов при
расчете деталей на прочность можно использовать закономерности,
справедливые для усталости материалов.
Если при нулевой вероятности разрушения свойства материа-
лов не влияют на коэффициент концентрации напряжений, как
это имеет место для сплава АВТ-1, то на основании эксперименталь-
ной кривой (см. рис. 222) с нулевой вероятностью разрушения
можно найти по порогу чувствительности и пределу текучести со-
ответствующую долговечность и далее построить семейство кри-
вых усталости для различных коэффициентов концентрации на-
пряжений аа (рис. 224).
По горизонтальным разрезам кривых усталости построена
номограмма аа —N—сгэкв (рис. 225) для нулевой вероятности
разрушения.
По максимальным номинальным напряжениям"аякв для сте-
нок ротора сепаратора и по теоретическим коэффициентам кон-
центрации напряжений аа можно по рис. 224 определить ресурс
ротора.
Однако такой расчет ресурса ротора может приводить к погреш-
ностям, так как в области < 103 накопление пластических
деформаций может происходить при напряжениях ниже предела
текучести.
328
Рис. 226. К расчету малоцикловой прочности при различных циклах напряжений и де-
формаций:
а — симметричный; б — асимметричный; в — диаграмма предельных амплитуд
По данным, основанным на испытании образцов из большого
числа сплавов, связь полной упругопластической деформации
с числом циклов до разрушения можно представить в виде единой
по структуре приведенной выше зависимости [см. уравнение (297) ].
Указанная зависимость справедлива при жестком симметрич-
ном нагружении. Асимметричный цикл изменения напряжений,
имеющий место при работе центробежных машин, заменяют сим-
метричным с амплитудой напряжений и статическим напряже-
нием а,„ (рис. 226, а — в). На этом рисунке приведены три линии
(/, 2 и 3, называемые параболой и линиями Гудмана и Зодербер-
гера), по которым может быть определена долговечность при на-
личии статического напряжения.
Аналитически эти три зависимости могут быть записаны в виде
= о_1 (1 — (<тт/сгЕ)2];
оа = и — ];
(Та = СТ_1 (1 ,
Для сталей и алюминиевых сплавов экспериментальные точки
лежат между параболой и линией Гудмана; в результате при
расчетах можно принимать в сторону запаса модифицированное
условие Гудмана. Согласно этому условию первоначально при по-
строении кривой 2 на рис. 226 a_i принималось равным одной
трети от ов (здесь сгв принято на основе экспериментальных данных
при симметричном цикле).
Коэффициент асимметрии цикла
— emln^emax ’= (8т &р)/(&т 4“ ®s) = (^ту (^г<у)До'ту 4~ ^ау)'
где emin, етах, 8т. — соответственно минимальная, максимальная и средняя
деформации цикла; еа — амплитуда деформаций.
На основании последнего уравнения можем написать
(1 4- г)/(1 — г) = оту/оцу = от/оц.
329
На основании последних двух уравнений получаем

Г)а °-1
Заменяя последний член уравнения (297) на оа из последнего
равенства, получаем выражение для асимметричного цикла.
Исходя из того, что при асимметричном цикле суммарная пла-
стическая деформация до разрушения уменьшается на величину ер
(рис. 226), в знаменатель первого члена уравнения для асимме-
тричного цикла вводят дополнительное слагаемое (1 + г)/(1 — г).
После введения в это уравнение соответствующих запасов проч-
ности по напряжениям па и числам циклов nN и корректировки
числового коэффициента окончательно получаем для жесткого
нагружения следующие выражения:
, 2,3£ , 100 .
1 I г' S то____т1-> Н~
«а (4 [-V]'” -I- °°
100
100 —ф
(431)
______2,3£_______
4(«л/^)т + т=7
По критерию разрушения при мягком нагружении аналогично
получаем следующие выражения:
1,15Л£ 1— г 2; 100 ,
TpvF g "г na(H.^,2±zJ:
r , , 1,15Л£
°’ "(W
кД a2100 r ff-i
2 “o'S 100-ipB + , o_i , 1+r ’
1 + -^у + т=7
(432)
где [o'] — амплитуда местных напряжений; о j — предел усталости при сим-
метричном цикле растяжения-сжатия; с>[ — предел прочности; г, г' — коэф-
фициенты асимметрии циклов напряжений и деформаций; А, т—характе-
ристики материала; ф, фв — относительное сужение и относительное, равномерное
сужение поперечного сечения образца; q — коэффициент чувствительности ма-
териала к концентрации напряжений (q < 1).
При 700 МПа < ав < 12001'МПа ср, = 0,54 — 2. 105 <тв/ст/,
т = 0,36 — 2-105 ав; при Птах < <т0,2 г' = г = (а^ах — 2<то')/<4ах
(здесь Отах — максимальные местные циклические напряжения).
Полученные выражения для [оа ]' называют формулами Лен-
жера—Шнейдеровича—Махутова.
Для зон повышенной концентрации характерны режимы на-
гружения, близкие к жесткому, а для зон с отсутствием повы-
шенной концентрации напряжений характерны режимы, близкие
к мягкому.
330
Рис. 227. Изменение напряжений во 7/5^
времени в наиболее нагруженной точке
контура разгрузочного окна
п « 3456
Для деталей роторов цен-
тробежных машин режимы
жесткого и мягкого нагру-
жений можно считать пре-
дельно возможными. Исходя
из этого рекомендуют определять допускаемое число цик-
лов нагружения роторов с помощью последних четырех формул
и принимать наименьшее значение циклов, полученных по ука-
занным формулам.
С учетом анализа малоцикловой прочности ротора примени-
тельно к стали 07Х16Н6 (ГОСТ 5632—72) и местных напряжений
можно рекомендовать для данного случая определять ресурс ра-
боты ротора по уравнениям (431), (432). Для 07Х16Н6 стали
ов = 1200 МПа, = 360 МПа, ф = 17 - 45 %.
Различные конструкции центрифуг и сепараторов характери-
зуются различными циклами нагружения роторов. Например,
сепараторы для отделения сливок от молока работают длительное
время без остановок. Режим нагружения роторов этих сепараторов
обусловлен пусками и остановками их дня осмотра, профилакти-
ческого ремонта, мойки, чистки и т. д. В связи с этим число цик-
лов нагружения таких машин за период эксплуатации незначи-
тельно. Цикл нагружения является пульсирующим. Саморазгру-
жающиеся сепараторы характеризуются частой сменой циклов
нагружения. Наибольшая нагрузка ротора имеет место при раз-
делении, когда на стенки ротора воздействуют внутреннее гидро-
Рие. 228. Роторы саморазгмужающихся сепараторов:
а — с наружным поршнем; б — с внутренним поршнем
331
6, мп a.
б)
Рис. 229. Изменение меридиональных напряжений в сечениях основания ротора сепа-
ратора по атапам его работы:
а — с наружным поршнем, п — 6200 об/мин; (для точек / —5 на рис. 228); б — с внут-
ренним поршнем п — 4700 об/мин; (/ — на контуре разгрузочного окна; 2 — в проточке
основания у затяжного кольца; 3 — в зоне цилиндрического и конического перехода)
статическое давление центрифугируемого продукта и центробежные
силы инерции ротора.
При выгрузке сгущенной фазы и открывании соответствующих
щелей нагрузка снижается вследствие уменьшения давления жид-
кости внутри ротора. После закрытия щелей и с момента начала
загрузки ротора разделяемым продуктом нагрузка возрастает до
момента заполнения ротора. Достигнув максимального значения,
нагрузка сохраняет это значение до начала выгрузки сгущенного
продукта.
На рис. 227 представлена циклограмма изменения напряже-
ний во времени наиболее нагруженной точки контура разгрузоч-
ного окна ротора,саморазгружающегося сепаратора (361.
Для точного представления о циклическом изменении напря-
332
жений в стенках ротора иногда необходимо провести исследование
с помощью описанного ниже метода оптического моделирования.
В качестве примера приведем результаты такого исследо-
вания саморазгружающихся сепараторов, роторы которых схема-
тически представлены на рис. 228. Наиболее напряженной де-
талью ротора является основание, в сечениях и точках которого
наблюдались характерные циклы изменения напряжений
(рис. 229, а, б).
За периодработы роторов напряжения изменяют значения с раз-
личными характеристиками и амплитудами цикла.
В зонах концентрации напряжений, определяющих прочность
конструкции в целом, на контуре разгрузочных окон и в зоне
кольцевых подрезов под уплотнительные прокладки в роторах
двух типов наибольшие напряжения стабильны по значению.
§ 29. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ И НАДЕЖНОСТЬ
РОТОРОВ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ УЗЛОВ
В предыдущих разделах при расчете на прочность узлов и
деталей оборудования использовали условие прочности
<Ъкв < Lcr],
где стэкв — эквивалентное напряжение в опасной точке детали; [о] —допу-
скаемое напряжение.
При расчете на прочность быстровращающихся узлов, в част-
ности роторов сепараторов и центрифуг, необходимо учитывать
требования обеспечения максимальной надежности конструкции
при заданных затратах материала.
Переменные напряжения в роторах центрифуг и сепараторов
определяются цикличностью работы этих машин, чередованием
загрузки, периодом центрифугирования и выгрузки продукта,
колебаниями рабочих частот вращения роторов, случайным не-
равномерным распределением продукта по стенкам роторов и дру-
гими факторами.
Основным и определяющим фактором, характеризующим не-
равномерность нагрузок па элементы роторов данных машин, сле-
дует считать изменения при работе центробежных машин частоты
вращения роторов. Например, причинами изменения частоты вра-
щения ротора в подвесных центрифугах для отделения патоки от
сахара при выгрузке продукта являются периодические остановки
ротора. В сепараторах с периодической выгрузкой сгущенного
продукта при выгрузке заметно снижается частота вращения ро-
торов. Периодические остановки сепараторов для чистки роторов
и осмотров, неравномерная подача продукта, колебания напря-
жения в электросети также являются причинами изменения ча-
стоты вращения ротора.
Высказанные соображения позволяют заключить, что напря-
женное состояние роторов в основном определяется частотой вра-
щения.
333
Запишем выражение (430) в виде
Ne т- f (₽).
Вероятность неразрушения быстровращающегося ротора бу-
дем рассматривать исходя из условия
<tp/v2,o > f (р)
или
tfp — /pf Ф) > 0.
где Ср — напряжение, при котором происходит разрушение материала ротора.
Примем для упрощения, что величины р и / (|3) являются де-
терминированными, а предел прочности материала ар и окружная
скорость ротора и—случайными независимыми величинами.
Обозначим
I = Ор ~/рГ Ф)-
Пользуясь известными из теории вероятностей зависимостями,
можем написать выражения для математического ожидания Mg
и среднеквадратичного отклонения 5 случайной величины g:
М [ор - v2pf ф)] = ар — pf ф) V2',
Si -- УХн-рУШ2^
где S-р—дисперсия характеристики ( прочности ор; —дисперсия квад-
рата скорости.
Предположим, что имеет место нормальное распределение
прочности материала и квадрата окружной скорости ротора. Тогда
случайная величина g будет также подчиняться нормальному за-
кону распределения с математическим ожиданием g и средне-
квадратичным отклонением S5.
Вероятность неразрушения ротора можно выразить через:
Г
Если z = (х — то S^dz = dx. При х — 0 нижний пре-
дел интеграла для z имеет вид
г, = (0 -g)/Ss - фр - pf ф)?1//^р+ P2/2(P)52J.
При х-> -фоо верхний предел г2-> 4-оо, и тогда
R = -4= Г е-г2/2 dz.
/2л J
—21
Величина Z = (g — g)/S5 является нормированной случайной
величиной, распределенной по нормальному закону, благодаря
чему R можно определить с помощью таблиц функции нормального
распределения.
334
Последнее выражение можно представить в виде
R = 1 - ф Г^P-Р/Ф)^
или
__ ро2 [ffp/(pt>a) — / ф)]
j/s2p + pV2(p)S2„2
(433)
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что значе-
ния v2 и ор задаются в начале расчета как средние значения проч-
ности ор и окружной скорости ротора. Обозначим ар/рб2 = Ne.
Величина Ne может быть вычислена по значениям стр и и2, причем
для определения v2 необходимо иметь опытные данные по распре-
делению окружных скоростей ротора. Как было показано ранее,
условием разрушения являются Ne < f (|3). Критерий, при ко-
тором происходит разрушение, обозначим через Nep.
После преобразований уравнения (433) получим
7? = 1 — Ф
Величина SOp/pUp — среднее квадратичное отклонение критерия
прочности Ne, обусловленное только рассеянием характеристики
прочности (при v = const и р = const). Следовательно
‘^Ney “ '“’ор/Р^'~
(здесь индекс у — показывает условный характер величины 5иеу т. е., что эта
величина вычисляется при потоянных v и р)
Учитывая, что S^/po3 есть коэффициент вариации квадрата
скорости ротора Vvt, окончательно получим
^=1 - ф[--------r Ne-Nep
| ]/4ey+(NepM2 j
или
R = 1 - Ф f----Ne/Nep- 1-----1. (434)
| /s2Ney/Nep + V2„, J
Для приближенных расчетов можно принимать v2 — ир
(здесь ир—заданная рабочая окружная скорость ротора).
Пример. Требуется определить вероятность неразрушения цилиндрического
ротора сепаратора из стали 07Х16Н6. Частота вращения ротора 4400 об/мин;
предел текучести материала <гт = 9-108Па; плотность материала ротора р =
= 8- 10s кг/м®; диаметр ротора 600 мм. Среднее квадратичное отклонение пре-
дела текучести 5от=9-107 Г1а; среднее квадратичное отклонение квадрата ско-
рости Spi = 4-10s,
335
Решение. Окружная скорость ротора v = 3,14-4400 0,345/30 = 138 м/с
Определяем критерий прочности ' '
Nep = 9-108/(1382-8-103) = 5,9.
Принимая значение коэффициента запаса прочности равным 2, найдем зна-
чение критерия прочности:
Nep = 5,9/2 = 2,97.
Данному значению критерия прочности соответствует величина р (см
рис. 218), равная 0,035. Следовательно, толщина стенки ротора з = 0,035-0,345 =
— 0,0115 м = 11,5 мм.
Коэффициент вариации квадрата скорости ротора
Vvt = 4-103/1383 = 0,21.
Определяем отношение
S0J)/pv2Nep 9-10’/(1382-8-103-2,97) =0,19,
тогда
Из табл. 2 для нормального распределения находим
R = 0,999999.
Предположим, что в результате усталостных явлений напряжение при
разрушении снизилось до значения 4,5-10® Па. Тогда нижний предел интеграла
ДЛЯ
гг = — (4,45/2,97 — 1)/Ио,19а+ 0,212 ас _ 2,359.
В этом случае вероятность неразрушения ротора
R = 0,9908.
Предположим, что вследствие изменения режима работы сепаратора коэф-
фициент вариации квадрата скорости увеличился в 2 раза, тогда с учетом перво-
начального значения напряжения при разрушении
21 = — 1/|/0,412 —|— 0,192 „ _ 2,2417
и вероятность неразрушения R = 0,9875.
Рассмотрим случай, когда неизвестны законы распределения
прочности материала ротора и квадрата окружной скорости ро-
тора.
Приблизительная оценка надежности робаты ротора может быть
произведена с помощью неравенства П. Л. Чебышева, согласно ко-
торому вероятность того, чго появление отклонения случайной
величины £ от математического ожидания М£ на величину, боль-
шую или равную kS± (здесь Sg —среднее квадратичное отклоне-
ние k — любое заданное положительное число) удовлетворяет
неравенству
Найдем для ряда значений k следующие значения Р.
k.............. 2,5 3,0 4,0 5,0
Р................ 0,75 0,889 0,8375 0,96
336
Приведенное выше уравнение означает, что с заданными вероят-
ностями будет выполняться неравенство, из которого можно по-
лучить оценку интервала. В этом интервале будут находиться зна-
чения случайной величины с заданной вероятностью. При этом
границы указанного интервала
Вшах % t Ч- |mtn Л? | — kS.
Минимальное значение предела прочности материала ротора
TJniln ~ " бр Sp/?,
где 5ц — среднее квадратичное отклонение предела прочности.
Учитывая условие
ор ~ 62pNe,
напишем выражение для напряжения
T|min y2pNe — kSOp.
Из этого выражения получим
ilmin = y*pNe(l - kV<jp):
Найдем значение напряжений в стенке ротора, используя
выражение для критерия прочности, соответствующего некоторому
безопасному значению отношения s/R„,
ст Nepi>2p,
где п2 — случайная величина, a Nep— фиксированная.
Максимальное значение напряжений
?max Nepoap -|- £р2 №£ 5„»,
где S.,z — среднее квадратичное отклонение квадрата скорости.
Коэффициент запаса прочности ротора
o2pNe — kSn
п = Щглп _ 2_______рр
imax Nepv2p + /<р NepSC2 •’
или
— S°T?
Ne — k
П —-------------T7—1--
Neo
Nep ф k ==- Sv
Vv2 — коэффициенты вариации для op - S /стр) и для
(435)
Nep 11 ф ’
где V и
Р
= Si^2)-
Пример. Необходимо определить запас прочности ротора при вероятности
неразрушения его 0,96. Задано Ne — 5,4; Nep = 2,12; Va = 0,017; Vv2 — 0,05.
Подставляя заданные значения в формулу (435), найдем
5,4 (1 -4 0,0476)
П~ 2.12 (1 -ф4-0,09) - '
357
Для расчета коэффициента вариации квадрата скорости необ-
ходимо иметь экспериментальные данные о распределении значе-
ний частоты вращения ротора. При этом вычисляют следующие
значения:
vn = S vl I Mit
L—l I i—1
где vt, Ati — наблюдаемые значения скорости и продолжительности их сохра-
нения; п — целое положительное число.
Рассчитав значения у4 и v2 (при п =4; 2), получим
Если необходимо учесть изменение напряжений в роторе, обус-
ловленное не только колебаниями окружной скорости, но и коле-
баниями давления разделяемого продукта на стенки ротора вслед-
ствие изменения степени наполнения объема ротора при работе
машины или влияния других переменных факторов, то при рас-
чете следует учитывать распределение во времени значений на-
пряжений в стенках ротора.
В этом случае для грубой оценки статического запаса прочности
также применимо неравенство П. Л. Чебышева.
Если законы распределения случайных величин (разрушаю-
щих и максимальных напряжений) известны, то расчет может быть
выполнен более точно. В данном случае разрушающие и действую-
щие в роторе напряжения считают достоверными на основании пре-
дыдущего опыта или испытаний.
При нормальном распределении случайных величин статиче-
ский запас прочности зависит только от уровня значимости q.
При этом имеем
«(?) -= (П - 4- wU9S-),
где Ui_q — односторонний квантиль доверительной вероятности (при непрерыв-
ной функции распределения величины | квантиль ир порядка Р есть такое
число, для которого вероятность неравенства Е, < иргравна Р).
Пример. Необходимо определить запас прочности по последней приведенной
выше формуле.
Определим статический запас прочности стального ротора сепаратора при
вероятности его неразрушения 0,95. Среднее значение предела выносливости
материала, из которого изготовлен ротор, составляет 420 МПа, а среднее ква-
дратичное отклонение предела выносливости материала Sn — 20 МПа. Среднее
значение переменных напряжений в стенке ротора 100 МПа, a St = 5 МПа.
Вероятности неразрушения 0,95 соответствует квантиль ир= 1,64, тогда
п = (420 — 1,64-20)/(100 + 1,64-5) = 3,578.
Запас прочности для более высокого уровня значимости q = 0,01 и, следова-
тельно, вероятности неразрушения ротора Р ~ 1 — 0,01 — 0,991 при опреде-
лении значения квантиля цр = 2,33, будет
п = (420 — 2,33-20)/(100 — 2,33-5) = 3,344.
Выше были рассмотрены методы расчета на прочность элемен-
тов быстровращающихся узлов, дисков, цилиндрических, кони-
ческих и плоских элементов роторов, центрифуг и сепараторов.
338
Современные быстровращающиеся роторы пищевого оборудо-
вания имеют сложную конструкцию, различные отверстия, обус-
ловливающие концентрацию напряжений. Расчетные методы мо-
гут оказаться или слишком сложными с применением ЭВМ или
ненадежными. Поэтому на стадии проектирования новых кон-
струкций ответственных быстровращающихся узлов может ока-
заться полезным метод фотоупругости на моделях из оптически
чувствительного материала с применением «замораживания», ко-
торый позволяет оценивать напряженное состояние конструкции.
Указанный метод, также называемый поляризационно-опти-
ческим методом, основан на свойстве некоторых прозрачным
оптически изотропных материалов (например, материалов на ос-
нове фенольных эпоксидных смол) становиться при деформациях
под действием нагрузки оптически анизотропным. Значение двой-
ного лучеприломления прямо пропорционально напряжениям
в рассматриваемой точке модели; его измеряют числом полос ин-
терференции при просвечивании модели поляризованным светом.
Преимущество метода состоит в том, что на определенных
этапах конструирования, когда необходимо в первую очередь
установить зоны действия максимальных напряжений и качест-
венно и количественно оценить напряженное состояние в важных
сечениях детали, вместо конструкций испытывают модели из лег-
ких оптически чувствительных материалов.
Поляризационно-оптический метод имеет важное значение при
исследовании напряженного состояния быстровращающихся уз-
лов с постоянной угловой скоростью, Этот метод имеет преимуще-
ство по сравнению с методом электротензометрии, применяемый
при испытаниях вращающихся конструкций. Для метода электро-
тензометрии требуются специальные токосъемники. Деформации
возможно измерить в ограниченном числе точек.
Для исследования напряженного состояния ротора изготов-
ляют его модель из оптически чувствительного материала.
Модель нагружается центробежными силами инерции на спе-
циальной установке с термостатом, позволяющим проводить про-
цесс «замораживания» напряжений. Затем «замороженную» мо-
дель разрезают по наиболее характерным сечениям и точкам для
проведения оптических измерений и расчета напряжений.
На рис. 230 приведена картина полос интерференции в днище
ротора центрифуги с шнековой выгрузкой осадка, полученная
Б. Ф. Гусаковым поляризационно-оптическим методом. В резуль-
тате анализа и обработки полученных данных установлен коэффи-
циент концентрации напряжений у окон в днище, равный 2,5 ...
... 3,0.
Поляризационно-оптический метод наиболее целесообразен
Для изучения напряженого состояния роторов сепараторов слож-
ной конструкции. Схема модели ротора сепаратора и эпюры на-
пряжений в основании ротора при частоте вращения п =
= 3000 об/мин, построенные по данным, установленным Б. Ф. Гу-
339
Рис. 230. Картина полос интерференции
Рис. 231. Модель ротора сепаратора
саковым с помощью поляризационно-оптического метода, показаны
на рис. 231 и рис. 232.
Из приведенных эпюр напряжений видно, что наиболее опас-
ные сечения имеют место в зонах D—Е (ап1 = 452 МПа) и зоне
А'—В' (а( =257 МПа).
При конструировании роторов сепараторов необходимо учи-
тывать наличие концентраторов напряжений в виде каналов,
отверстий, проточек, разгрузочных окон и т. д. Расчетные методы
в этом случае крайне сложны. Поэтому применение поляриза-
ционно оптического метода позволяет определять напряжения
на моделях в зонах концентраторов в точке, что важно при высо-
ких значениях градиентов напряжений, действующих в корпус-
ных деталях роторов.
При конструировании роторов сепараторов необходимо уде-
лять большое внимание характеристикам материалов, из которых
выполнены роторы. Как было указано выше, оценку прочности
роторов сепараторов производят по основному напряженному
состоянию (без учета концентраторов напряжений) и местным на-
пряжениям.
Применяемые для изготовления роторов высокопрочные стали
и сплавы титана в основном обладают высокими прочностными ха-
рактеристиками и ограниченной пластичностью. На основании
этого при оценке прочности роторов сепараторов и других быстро-
ходных роторных машин необходимо учитывать линейную меха-
нику разрушения. Необходимость учета последней обусловлена и
характером аварийных разрушений роторов.
Исследования показали, что разрушение обычно возникает
у конструктивных концентраторов напряжений, где образуется
трещина. Как известно, в вершине трещины происходит пластиче-
ская дефромация. Для жестких сталей пластическая деформация
340
a)
Рис. 232. Эпюры напряжений в основании ротора при п = 3000 об/мин;
а — меридиональных; б — кольцевых
охватывает сравнительно узкий слой металла, примыкающий
к трещине.
В настоящее время широко используют понятие «вязкости раз-
рушения», которое правильнее следует называть термином «тре-
щиностойкость». Эта характеристика связана с реальной опасно-
стью возникновения неожиданных хрупких разрушений, нежела-
тельных для центробежных машин.
Исследования, проведенные НИИХИ1ММАШем, показали, что
трещины появлялись в местах образования дефектов вследствие
изнашивания деталей при воздействии обрабатываемого продукта.
Эти дефекты возникали на стенках каналов для вывода сгущенного
продукта. Было установлено, что одним из путей повышения на-
дежности сепараторов является применение для роторов материа-
лов, имеющих высокую сопротивляемость распространению
трещин. Рассмотрим некоторые вопросы современной механики
разрушения материалов в результате образования трещин. Пусть
пластина единичных размеров находится под действием растягива-
ющих напряжений о. В соответствии с законом Гука для одно-
осного напряженного состояния можно написать de =da!E (здесь
Е—модуль продольной упругости, е — относительное удлинение).
Элементарная работа упругой деформации
dw =<Jde, — odo'E,
следовательно,
i
w = j ado IE — o2/(2£).
о
Предположим, что в пластине раскрылась клиновидная тре-
щина длиною I. В области площадью /М напряжения снимутся,
и вследствие этого уменьшится энергия на величину ^Ё~ЕЛ.
341
Одновременно увеличится энергия в связи с образованием свобод,
ной поверхности образующейся трещины. Увеличение энергии
при образовании свободной поверхности будет равно 2у/. j
(здесь у — работа, необходимая для образования единицы свобод-
ной поверхности).
Ич энергетического баланса получим
о - ]/ уЕ/1.
Принимая форму трещины эллиптической, Гриффитс получил
формулу для объемного напряженного состояния
о = У 2Еу![л1 (1 — ц2)].
Так как трещина окружена тонким пластически деформиро-
ванным слоем, обычно под величиною у понимают эффективную
работу разрушения, включая и работу, затрачиваемую на пласти-
ческую деформацию. Последнее выражение перепишем в виде
<т У nl — У 2£у/(1 — р2) = const = kc.
Параметр k(. — а У я1 (при плоском напряженном состоянии klc)
рассматривают как характерную константу материала, носящую
название коэффициента интенсивности напряжений. Ее можно
трактовать как силу, расширяющую трещину. Трещина начнет
увеличиваться, если ke достигнет критического значения, харак-
терного для данного материала.
Интенсивность напряжений в вершине трещин, характеризуе-
мая множителем о У'я.1, имеет значение для оценки не только
разрушения при статическом нагружении, но и разрушения
при переменных нагрузках.
С инженерной точки зрения существенное значение имеет хруп-
кость материала. Способность материалов сопротивляться разви-
тию трещин называют трещиностойкостью (часто вязкостью раз-
рушения).
Коэффициент интенсивности напряжений /гс, определяемый
для эксплуатационного уровня напряжений, можно представить
как отношение предела трещиностойкости материала J к коэффи-
циенту запаса по пределу трещиностойкости.
Предел трещиностойкости материала
Jn=^kc У1 -- (!о)7ов)2,
где [а]' — допускаемое напряжение для зон концентрации напряжений; <тв
временное сопротивление материала.
Для определения наибольшего значения коэффициента У
для условий эксплуатации, вместо приведенной выше формулы
применяют следующую формулу.
kc — 1,13 [of У
342
Таблица 17
Коэффициент запаса прочности и трещиностойкости
дЛЯ различных материалов
Показатель Сталь Сплав Л Гб
09Х15Н8Ю 07Х16Н6 0ЭХ25Н5М?
Допускаемые л ап ряже- 600 600 330 410
ияя для зон концентрации [ст]', МПа Критическая длина тре- 2,3 7,7/4,2 50 15,4/19,8
ЩИНЫ /)1р, мм Коэффициент запаса: прочности для зон 1,83 1,83 1,65 2,2
концентрации пв прочности по крити- 1,28 1,60/1,73 1,63 1,87/1,94
ческим напряжениям разрушения п0 трещиностойкости т 1,51 2,78/3,77 7,06 3,92/4,4
Примечание. В числителе даны значения для поковок, в знамена-
теле — для штамповок.
Приравнивая правые части последних двух формул, получаем
критический размер трещин
I — _А_______!_ Г1 — / V]
п₽ [а]' 1,13гя L k crB / J *
Коэффициент запаса на трещиностойкость
т — Ь /кр/^0’
НИИХИММАШем проведено сопоставление коэффициентов
запаса прочности для различных материалов, применяемых для
изготовления роторов сепараторов, с коэффициентами запаса
на трещиностойкость (табл. 17).
Механические характеристики указанных материалов сле-
дующие.
о, МПа 6, % ф kt, МН/м3/2
Сталь:
09Х15Н8Ю........... 124,5—125,8 8,3—11,6 27,3—30,5 102
03X25H3M2 ........... 62,4—68,7 20,2- 24,6 67,0—70,9 162,5
07Х16Н6 ................ 120 12 58 120
Титановый сплав АТ6 . . 90 8 20 109
Как следует из табл. 17, для стали 03Х25Н5М2 при наличии
Дефекта размером 1 мм коэффициент запаса не уменьшается.
Значительно коэффициент запаса снижается при наличии трещины
У стали 09X15Н8Ю.
Таким образом, критерием выбора материала для роторов се-
параторов должен быть klc (kc) — критический коэффициент ин-
тенсивности напряжений.
343
Рис. 233. Эпюры пластических (остаточных) деформаций при различных частотах вра-
щения роторов сепараторов:
a ~ СДС 633 К-1; б — СОС 501 К-5; 1 —~ крышка; 2 — затяжное кольцо; 3 — осно-
вание; 4 — дюзы; 5 — круговые каналы; 6 — при 4340 об/мин; 7 — при 6000 об/мин,
8 — при 6525 об/мин; 9 — 6100 об/мин; /0 — при 7000 об/мин; И — при 7500 об/мин,
J2 — при 8000 об/мин; — при 8500 об/мин; 14 — при 9000 об/мин- 15 — при
10 300 об/мин
Для корозионно-стойких сталей k}e 93 МНм3/2, для тита-
новых сплавов й1с 109 МН;м3/2. Постоянную Л1с определяют
в соответствии с рекомендацией СЭВ 3642—72.
Коэффициент запаса прочности по отношению к критическому
напряжению разрушения при наличии трещин может быть оп-
ределен из параметрического уравнения
m2/«o= (n'a — 1)/(пв‘ — п0).
Наличие дюз и меридиональных круговых каналов для вы-
вода разделяемого продукта в роторах современных непрерывно
действующих сепараторов обусловливает наличие концентрации
344
•раблида 18
Коэффициенты запаса прочности по предельному равновесию
и разрушению
Сепаратор Сталь '’ll л0,2 ”р *0,2 “ = (лн>2 •=(Пр/«н)2
СОС 503К-3 СОС 501К-5 09Х15Н810 03Х25Н5М2 6890 6100 12 500 9 000 14 600 10 300 3,3 2,18 4,45 2,85
напряжений в этих зонах. Это обстоятельство заставляет приме-
нять для изготовления роторов высокопластинные стали.
Представляет интерес анализ прочности роторов сепараторов
марок СДС 633К-1 и СОС 501 К-5, выполненных из высокопластич-
ной коррозионно-стойкой стали типа 03Х25Н5М2. Данная сталь
относится к аустенито-ферр итному классу и обладает высокой
пластичностью: относительное удлинение при разрушении 6 >
>20 %, а относительное поперечное сжатие образцов ф > 50 %.
Для высокопрочных сталей, применяемых в сепараторостроении,
6 « 12 %; ф « 35 %.
На основании исследований НИИХИММАШа 121] было уста-
новлено, что пластические деформации в зонах концентрации
в 3—5,8 раза превышают деформации в общих зонах (рис. 233).
Однако снижения несущей способности роторов не наблюдается.
Следовательно, при применении высокопластичных сталей до-
пускается образование пластических деформаций в зонах концен-
трации напряжений, что позволяет снизить коэффициенты запаса
прочности благодаря резерву пластичности материала.
Значения коэффициентов запаса прочности по предельному
равновесию k02 и разрушению kp, а также предельная /?02, но-
минальная п„ и разрушающая /1р частота вращения роторов сепа-
ратора СОС 503К-3, выполненных из сталей двух марок, при-
ведены в табл. 18.
§ 30. КОНСТРУИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ УЗЛОВ
РОТОРНЫХ МАШИН
Конструкции центробежных машин определяются не только
индексом производительности, но прежде всего технологическим
назначением, заданной производительностью и способом выгрузки
продуктов разделения.
Наиболее крупными в пищевой промышленности являются
центрифуги для отделения патоки от сахара. При требуемом зна-
чении индекса производительности они должны обеспечивать вы-
сокую производительность 1000 т сахарного утфеля в сутки. Предъ-
является требование, чтобы выгрузка сахара из ротора произво-
дилась механически, при минимальном повреждении кристаллов.
345
Рис. 234. Подвесная центрифуга
Эти требования обусловили создание вертикальных подвесных
центрифуг с ротором вместимостью не менее 1500 кг утфеля,
с нижней выгрузкой продукта при значительно сниженной окруж-
ной скорости (рис. 234). Центрифуга состоит из ротора 3, закреп-
ленного на вертикальном валу с помощью ступицы с ребрами,
между которыми имеются полости для выгрузки сахара. Вал
свободно подвешен в верхней точке подвесного устройства 2,
которое позволяет ему вместе с подшипниками отклоняться от
вертикального положения. Ротор приводится во вращение от
электродвигателя 1, жестко закрепленного на вертикальных
стойках. С помощью эластичной муфты вал ротора соединен с ва-
лом электродвигателя.
Основными узлами подвесных центрифуг являются ротор, вал
ротора, электропривод, станина.
Ротор центрифуги (рис. 235) изготовляют сварным диаметром
1 ... 1,37 м. После сварки ротор подвергают специальной термо-
обработке. Диаметр ротора принимают из следующих соображе-
ний: при большем диаметре в роторе легче разместить механиче-
ский выгружатель и другие устройства. Однако при увеличении
диаметра повышается его момент вращающихся масс mD2 (здесь
т —масса вращающегося ротора; D —средний диаметр ротора)
346
рис. 235. Ротор подвесной центрифуги:
. — бортовое кольцо; 2 — обечайка; 3 —
днище; 4 — ступица; 5 — ребра
й возрастают напряжения в стен-
ках- На сахарных заводах необ-
ходимо соблюдать расстояние
между балками 1750 мм, которое
должно совпадать с расстоя-
нием между осями соседних
центрифуг. Поэтому подвесные
центрифуги устанавливают
близко друг относительно друга
на усиленных металлоконструк-
циях (рис. 236).
Роторы большегрузных цен-
трифуг, предназначенных для
обработки утфеля первого про-
дукта, имеют частичную пер-
форацию (в верхней и нижней
частях ротора). Благодаря этому
увеличивается фильтрующая ос-
нова и достигается лучшее рас-
пределение утфеля по высоте
ротора при загрузке.
Значительный момент инер-
ции загруженного ротора и обеспечение большой скорости при
разгоне до рабочей скорости обусловливают необходимость
применения мощных электродвигателей. Обычно применяют
привод от отдельного электродвигателя, вал которого соединен
с валом ротора эластичной муфтой.
Одним из типов приводов для большегрузных центрифуг яв-
ляется двигатель постоянного тока, позволяющий получать раз-
личные скорости, которые требуются для загрузки, центрифугиро-
вания и выгрузки. Вертикальное расположение ротора и верхняя
подвеска обеспечивают достаточно простую выгрузку осадка из
ротора, которая может осуществляться с помощью механизиро-
ванного скребка под действием силы тяжести осадка и вручную.
Устройство центрифуги обусловливает наличие верхней опоры
(рис. 237, а). Осевые усилия, от действия силы тяжести вала и
укрепленного на нижнем конце его ротором, воспринимаются
упорным подшипником. Опоры установлены в гильзе, имеющей
в верхней части сферическую поверхность, последняя расположена
в гнезде корпуса. Между корпусом и гильзой установлен рези-
новый амортизатор. Последний позволяет валу с ротором откло-
няться от вертикального положения вследствие его деформаций.
При другом конструктивном исполнении верхней опоры
(рис. 237, б) корпус шарикоподшипникового узла находится в гнез-
347
Рис. 236. Общий вид установки подвесных центрифуг
де опоры с коническим резиновым амортизатором. Два радиальных
и один упорный шарикоподшипники смонтированы в корпусе.
Между корпусом и неподвижной чашей установлены два рези-
новых амортизатора. В опоре имеется сферическая опорная по-
верхность гнезда. В результате при колебаниях возникают допол-
нительные силы трения в опорной поверхности, способствующие
уменьшению амплитуды колебаний вала. Корпус, внутри которого
помещены шарикоподшипники, верхней шаровой поверхностью
установлен в гильзе опорной конструкции. В верхней части уста-
новлена резиновая муфта. Конструкции опоры подвесных центри-
фуг обеспечивают возможность углового отклонения вала ротора.
При конструировании подвесных центрифуг подлежат расчету
ротор на прочность и вал на критическую скорость и прочность.
Расчет вала подвесных центрифуг является специфичным.
После загрузки ротора продуктом всегда имеет место его не-
уравно! ешенность из-за неравномерного отхода жидкой фазы от
твердой. Кроме того, загрузка ротора сахарным утфелем или дру-
гим продуктом производится на ходу, поэтому имеют место коле-
бания переменной массы — ротора и наполняющего его продукта.
При этом скорость ротора не является постоянной. После запол-
нения ротора продуктом через стенки ротора уходит жидкая
фаза, и следовательно, масса ротора с продуктом уменьшается во
времени.
348
Рис. 237. Верхняя опора подвесной центрифуги:
а — центрифуги ФПН-125; б — опора центрифуги ФПН-1221 Л-1; / —- защитный кожух;
2 — гайка; 3 — пробка; 4 — коробка для масла; 5 — заборная трубка; 6 — корпус
подшипников; 7 — манометр; 8 — гайка поджатия амортизатора; 9 — коническая
втулка; 10 — шпонка; 11 — специальный болт- 12 — корпус; 13 — крышка; 14 —
тормозной шкив; 15 — резиновая муфта; 16 — наружная шлицевая втулка; 17 — вну-
тренняя шлицевая втулка; 18 — ленточный тормоз; 19 — резиновый амортизатор; 20,
21 — масленки; 22 — вал; 23 — корпус; 24 — резиновая муфта; 25, 27 — резиновые
амортизаторы; 26 — корпус подшипников
При загрязнении фильтрующего сита отход жидкой фазы из
ротора может быть несимметричным, вследствие чего возникает
изменяющаяся во времени неуравновешенность ротора.
Выше были перечислены только некоторые факторы, обуслов-
ливающие сложность задачи колебаний вала с ротором подвесных
центрифуг. Для получения приближенного инженерного резуль-
тата упростим условия задачи. Обозначим (рис. 238) через L —
расстояние от центра масс ротора до шарнирной опоры или до
неподвижной точки, вокруг которой вращается система; через / —
расстояние от середины резинового буфера до шарнирной опоры;
через ф —угол отклонения оси вала от вертикали; через k —
жесткость резинового буфера; через G — силу тяжести ротора.
Следует иметь в виду, что резиновый буфер, применяемый
в системе подвески валов подвесных центрифуг, имеет нелинейную
характеристику (линейные закономерности, используемые при
расчете металлических деталей, при больших деформациях ре-
349
о
,ч>
Рис. 238. Схема к расчету критической окружной
скорости вала подвесной центрифуги Ой
зины перестают быть справедливыми)
Однако вследствие близкого располо-
жения буфера к опоре малые пере-
мещения позволяют приближенно счи-
тать характеристику буфера линейной.
Вал буфера будем считать абсолютно
жестким.
В связи с большими размерами ро-
тора подвесной центрифуги необходимо
учитывать начальный угол перекоса
ротора. Применяя принцип Даламбера,
запишем уравнение моментов всех сило-
вых факторов, которые действуют на
вращающуюся систему (без учета силы
сопротивления резинового буфера) от-
носительно оси, перпендикулярной
к плоскости чертежа и проходящей
через точку О,
— Jx) Й2 (<р + <Ро) — kl2<f + GL((> = О,
откуда
(Ро^2(^х — Л)
43kl* — GL — (Jx — Ji) й3
Приравнивая нулю знаменатель правой части последнего вы-
ражения, находим критическую скорость вала центрифуги
Йкр = V (kP - GL)/JX - Jv (436)
Экспериментально установлено, что критическая частота вра-
щения подвесных центрифуг часто близка к частоте враще-
ния, при которой производится загрузка ротора продуктом
(250 об/мин). При загрузке продуктом наиболее вероятны дисба-
ланс ротора, а следовательно, и большие значения угла отклоне-
ния ротора.
При срезе осадка (на малой частоте вращения ротора), воз-
можно появление автоколебаний под влиянием постоянно дей-
ствующих факторов, не обладающих свойствами периодичности
[70]. Для снижения амплитуды автоколебаний необходимо увели-
чить жесткость системы и уменьшить частоту вращения при срезе и
подаче ножа.
Амплитуду колебания вала подвесной центрифуги с учетом
сил сопротивления можно определить тем же способом, что и ам-
плитуду колебаний валов сепараторов.
Эксцентриситет масс подвесных центрифуг может быть очень
большим из-за неравномерного распределения центрифугируе-
мого продукта в роторе. В связи с этим верхнюю опору вала кон-
350
струируют таким образом, чтобы обеспечить, по возможности,
демпфирование.
При малом значении коэффициента демпфирования и неравно-
мерной загрузке ротора центрифугируемым продуктом ампли-
туда вынужденных колебаний от дисбаланса бывает очень боль-
шая, когда угловая скорость вала приближается к критической.
Конструкция опор подвесных центрифуг должна обеспечивать
работу машины в закритической области. Машина с жестким ва-
лом (рабочая угловая скорость ниже критической) может быть не-
оправданно громоздкой.
§ 31. ВЛИЯНИЕ ЖИДКОСТИ В РОТОРЕ
НА КРИТИЧЕСКУЮ УГЛОВУЮ СКОРОСТЬ ВАЛА
Наличие жидкости во вращающихся роторах влияет на кри-
тическую угловую скорость вала (621.
Для упрощения предположим, что вал имеет две опоры, рас-
положенные по обе стороны ротора, ось ротора при вращении
будем считать параллельной первоначальной оси вала. В этом
случае поверхность слоя жидкости в роторе можно принять ци-
линдрической с осью симметрии, совпадающей с осью вращения.
Таким образом, наличие жидкости в роторе увеличивает неуравно-
вешенность системы.
Найдем центр масс сечения слоя жидкости в роторе, нормаль-
ного к оси ротора. Введем следующие обозначения: 7? —радиус
ротора; г0 —внутренний радиус цилиндра, образованного слоем
жидкости при вращении ротора вокруг оси; г — прогиб вала;
1] — расстояние от центра масс сечения слоя жидкости до оси вра-
щения ротора (рис. 239).
На основании правила определения координат центра масс
фигур можно записать
л (У?2 — г2) т] — лг2г — л/оО,
откуда
Коэффициент заполнения ротора
ф=(^-гМ2-
Тогда
т) = г/ф. (437)
Динамический прогиб вала
г — (е + г) +
где ту — масса ротора; т2 — масса жидкости; е — эксцентритет массы ротора.
351
Рис. 239. Схема к определению центра инерции сб»1еь
ния слоя жидкости, вращающейся вместе с роторов
Подставим в последнее уравнение
значение т) из формулы (437), получим
г-~ 6nmjQJ (ег) -j- 6цт2Й3г/ф.
Масса жидкости
т2 =
где V — вместимость ротора (условно считаем его полностью заполненным
жидкостью), рж — плотность жидкости.
Тогда
г = Sju/tZjQ3 (е + /) + 5п/НфР2г, (438)
где п?ф = Трж — фиктивная масса жидкости, полностью заполняющей ротор.
Из последнего уравнения (438)
г ~ &umS^el(l — бц/77^2 — бц/ПфУ2), (439)
Угловую критическую скорость вала ротора находим, исходя
из условия, что г-> сю, когда знаменатель уравнения (439) равен
нулю,
^кр — V l/№i (^i ^ф)]-
Вводя угловую критическую скорость вала ротора без жидко-
сти, уравнение (439) представим в виде
г = e/(u)a/Q2 — 1 — /Пф/тх).
Следовательно, при скорости вала ниже критической центр
тяжести жидкости смещается, в результате чего понижается крити-
ческая скорость и увеличивается динамический прогиб вала. Даже
при небольшом количестве жидкости в роторе (при условии, что
слой жидкости является сплошным) необходимо при определении
критической скорости вала считать ротор целиком заполненным
жидкостью.
При вращении вала со скоростью, превышающей критическую,
ротор поворачивается «легкой» стороной в сторону, противопо-
ложную оси его вращения, т. е. эксцентриситет становится отри-
цательным (см. рис. 236) Уравнение (439) для этого случая при-
мет вид
г = бцЯ/jQ2 (г — е) 4-
откуда
г = 611/rtlQV/(611m1Q2 + 6пгИфЙ2 — 1)
или
г = е/(1 + Шф/гпг —1W2/Q2).
Из последнего уравнения следует, что при работе в закрити-
ческой области наличие жидкости в роторе положительно влияет
на работу машины, уменьшая динамический прогиб вала.
352
Рис. 2 40. Осадительная центрифуга со шнековой выгрузкой
Следовательно, заполнение жидкостью вращающихся роторов
целесообразно после перехода вала через критическую скорость.
В пищевой промышленности широко распространены непре-
рывно действующие осадительные центрифуги со шнековой вы-
грузкой (рис. 240).
Сплошной ротор этой центрифуги состоит из двух частей.
В роторе расположен барабан, несущий спиральную ленту, за-
крепленную на стойках кругового сечения. В цилиндрической
части спираль одноходовая, а в конической двухходовая. Барабан
насажен на вал, проходящий через полые цапфы ротора. Ротор
вращается с меньшей или большей скоростью, чем барабан.
Постоянная разность скоростей шнека и ротора обеспечивается
с помощью специального редуктора.
Наиболее важным узлом осадительных центрифуг со шнеко-
вой выгрузкой являются редукторы, обеспечивающие медленное
вращение шнека относительно
ротора.
Первыми и наиболее рас-
пространенными до последнего
Рис, 241. Шнековая осадительная центрифуга для разделения крахмальных суспензий:
nQ = 1200 об/мнп; — 1150 об/мин; Fr — 600; / — шнек; 2 — наружный барабан
ротора; 3—6 — зубчатые колеса редуктора (т = 5 мм), термически обработанные; 7 —
электродвигатель
Рис. 242. Схема ступенчатой 2Н-К передачи в конструкции планетарного редуктора ме-
ханизма привода шнековых осадительных центрифуг:
/ — наружный барабан ротора; 2 — шнек; 3 —♦зубчатые колеса; 4 — водило; 5 — электроз
двигатель
12 Соколов В. И.
353
Рис. 243-хОсновные схемы вертикальной системы сепараторов:
с — с винтовой передачей, усилия от винтового колеса инерционные, они вызваны дви-
жением жидкости, и воспринимаются упругой горловой опорой и осевой пружиной у
нижней опоры; б — с винтовой передачей усилия, которые воспринимаются горловой
опорой; е — усилие от винтового колеса не передается веретену; г — вращение веретена
осуществляется с помощью гибкой передачи
времени были двухрядные зубчатые редукторы с подвижными
осями, выполненные с внешним или внутренним зацеплением.
Редуктор с внешним зацеплением (рис. 241) отличается недолго-
вечностью зубчатых колес, которые передают большие окружные
усилия при высоких относительных окружных скоростях в зацеп-
лении. В ряде редукторов эвольвентное зацепление было заме-
нено на зацепление. Новикова, что привело к повышению КПД
редуктора, уменьшению износа зубчатых колес и повышению
скорости ротора в 1,5 раза.
В дальнейшем были разработаны конструкции двухрядовых
редукторов шнековых осадительных центрифуг крахмального
производства с использованием внутреннего эвольвентного за-
цепления.
Обладая значительно более высоким КПД, эти редукторы
требуют повышенной точности изготовления колес. В последнее
время все большее распространение в конструкциях механизмов
привода шнековых центрифуг находят редукторы планетарного
типа, в которых усилия передаются при низких окружных отно-
сительных скоростях зубчатых колес.
Планетарные редукторы шнековых осадительных центрифуг
имеют передаточное отношение: 0,98 ... 0,97 и высокий КПД 0,998.
Планетарная передача с тремя подвижными основными звеньями
стала исходной при создании редукторов механизма привода шне-
ковых центрифуг. Так как ориентировочные значения передаточ-
ных отношений такой передачи находятся в интервале 0,9 ... 0,6
вместо требуемого 0,98 ... 0,97, то прибегают к последовательному
соединению передач по схеме, показанной на рис. 242.
Наиболее распространенными в пищевой промышленности и
сложными машинами являются жидкостные сепараторы, расчет
роторов которых на прочность был рассмотрен выше.
354
Рис. 244. Сепаратор с шестеренчатым цилиндрическим приводом
Рис. 245. Сепаратор с приводом через коническую передачу
Рис. 246.
Сепаратор с безверетенным приводом
К основным узлам сепараторов помимо роторов относятся
система вала с опорами, привод и станина.
Схемы вертикальной системы сепараторов в значительной
степени определяют работоспособность и долговечность этих
машин (рис. 243). Схемы (рис. 243, а, б) различаются между собой
расположением упругих связей, воспринимающих усилия от
винтового колеса инерционных сил ротора и сепарируемой жидко-
сти. Во всех схемах применена упругая горловая опора. В ряде
случаев используют упругие связи, воспринимающие осевые
усилия. Пружины в этом случае расположены под нижним под-
шипником, а в других схемах они размещены в горловой опоре
в сочетании с радиальными упругими связями. Особенностью
схемы (рис. 243, в) является то, что винтовая шестерня (на рисунке
не показана) смонтирована не на веретене, а на полом валу, свя-
занном со станиной. Вращение от этого вала передается веретену
с помощью кулачкового зацепления в подпятнике. При таком
выполнении вертикальной системы усилие от винтового колеса не
передается веретену, а полюс зацепления винтовой передачи яв-
ляется фиксированным.
Вертикальная система сепаратора (рис. 243, г), в которой вра-
щение веретена осуществляется с помощью гибкой передачи,
обусловливает установку на веретено массивного ведомого шкива.
Винтовая пара является специфичной для сепаратора и ее ис-
пользуют для приводов мощностью до 30 кВт. Отличительной
особенностью винтовой пары является профиль зуба, шестерни
и колеса, который позволяет при работе иметь не линию контакта,
как в червячной, косозубой, цилиндрической и других видах
зубчатых зацеплений, а точку.
12*
355
356
Благодаря этому обеспечивается постоянство зацепления при
отклонении веретена, несущего ротор и шестерню, от геометриче-
ской оси. Центр зацепления у винтовой передачи является «блу-
ждающим».
Недостатком винтовой передачи является ограниченное зна-
чение передаваемого ею крутящего момента независимо от модуля
и размеров зубчатых колес. Эта ограниченность обусловлена до-
пустимым давлением,, возникающим в точке зацепления винтовой
пары
Разработка приводов сепараторов высокой мощности ведется
в направлении создания шестеренчатых цилиндрических приво-
дов (рис. 244). конической передачи (рис. 245), а также безвере-
тенных приводов (рис. 246), когда электродвигатель па аморти-
заторах встраивают в станину, а ротор сепаратора устанавливают
на консоли электродвигателя. Наиболее перспективными для се-
параторов высокой мощности в настоящее время являются при-
воды с гибкой передачей. На рис. 247 представлен сепаратор
большой производительности, в котором крутящий момент от
вала электродвигателя и фрикционной центробежной муфты
передается через ведущий шкив ведомому с помощью клиновых
ремней.
Совпадение собственных частот колебаний ротора сепаратора
с частотой возбуждения от электродвигателя ведет к своеобраз-
ному резонансу.
§ 32. КРИТИЧЕСКИЕ УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ ВАЛОВ
СЕПАРАТОРОВ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПОР
Предположим, что на конце консольного участка жесткого
вала (рис. 24b) укреплен ротор сепаратора. Рассмотрим момент,
когда ось вращающегося вала находится в плоскости Ог. Пусть
центр масс ротора находится в точке М (рис 249). Будем учиты-
вать наличие только статической неуравновешенности ротора.
Возможным перекосом оси ротора относительно оси вала прене-
брегаем, так как для сепараторов этот перекос практически незна-
чителен.
Вибрация вала сепаратора происходит при наличии сил со-
противления, которые примем пропорциональными скорости дви-
жения. К вращающемуся ротору приложен гироскопический
момент 1см. уравнение (205) ].
М, = (Л - Л)
Центробежная сила инерции ротора Fun — mQ2p направлена
по нормали, соединяющей центр масс ротора и ось zz.
Пренебрегаем силами трения ротора о воздух и учитываем
только силы сопротивления, возникающие при круговом движе-
нии подшипника вала горловой опоры. Естественно, что значение
этих сил сопротивления зависит от конструкции горловой опоры.
357
Рис. 248. Расчетная схема вала сепаратора
Рис. 249. Схема действия сил на вал сепаратора при наличии сил сопротивления
В случае применения пружин она меньше, чем при использовании
резинового кольца.
Сила сопротивления W приложена к центру масс сечения вала
и направлена в сторону, противоположную движению вала.
На рис. 248 и 249 эта сила приложена в точке / параллельно оси уу.
В связи с тем, что при вращении вал отклоняется от оси zz,
пружины горловой опоры деформируются. Обозначим силу реак-
ции опоры через F и жесткость упругой опоры через k, тогда
F - —kr.
Используя принцип Даламбера, ротор можно рассматривать
находящимся в равновесии под действием сил Д1Н, W, F и гиро-
скопического момента Мг.
Приравниваем нулю сумму моментов всех силовых факторов,
действующих на систему относительно осей уу и хх. Принимая
W = aQr и cos а л? 1, получаем
У, Шу — (Jx — J2) <pQ2 + mQ2pL cos a — kra = 0; (440)
— mQ2pL sin a — aQra = 0. (441)
Как следует из рис.. 248 и 249,
р sin a = е sin ф;
р cos a — rv + е cos ф,
где е — эксцентриситет масс ротора; гг — радиальное смещение (амплитуда)
центра масс ротора.
Подставляя значения р sin а и р cos а в уравнения (440) и
(441), получим
(Jx — Jz) Q2cp + (/у + e cos ф) — kra — 0; (442)
mQzLe sin ф — aQra = 0.
359
Из последнего уравнения, учитывая г = ryalL, получим
sinif = aQra/(mQ2Le) = aQ,a2rJ{m^2eL2). (443)
После преобразований уравнения (442) имеем
(J,. — J2) Й2ф + mQ2LrL + tnQPLe cos if — kza — 0.
Примем вал сепаратора абсолютно жестким (см. рис. 248), тогда
фЛ = rj.
Следовательно,
(Jx — Л) О2ф + /пЙ2£2ф + mQ2Le cos if — kra = 0.
Учитывая, что Jx + mL2 = (здесь J1 — момент инерции
массы ротора относительно оси уу), запишем последнее равенство
в следующем виде:
(Д — 72)Й2ф + mQ2Le cos if — krra2/L — 0
или при ф = rJL
(Ji — Jz) Q2rx + mQ2L2B cos if — kryi2 = 0,
откуда
cos if = lki\a* - (Jr - Jz) Q2rL ]/(mQ2L2e). (444)
Так как sin2if + cos2 if — 1, на основании уравнений (443) и
(444) можно записать
/ aQa2 V_2 । Г ka1 — (Л — Z2) й2
тй2е£2 ) Г1 ' L «Й2еЛ2 J ’
откуда
тй%£2
РЛ[Ла2 - (Jx - Jz) й2]2
(aQu2)2.
(445)
Если силы сопротивления отсутствуют, т. е. а = 0, то ампли-
туда
Г1 = mWeL2! {ka2 - (- Л) &3 L (446)
В этом случае гх оо, когда знаменатель уравнения (446)
равен нулю, т, е.
ka2 — (Ji - Jz) Q2 = О,
откуда критическая угловая скорость вала сепаратора
QKp = KWi-Aj- (447)
Из выражения (447) имеем
ka2^^Jy-JzY (448)
Подставляя значения ka2 из уравнения (448) в формулу (445)
получаем
____________mQ2eL2
Г1 и [(Л-Л)(<р-П5)Г + («Оа2Г'
При работе вала при критической скорости Q = QKp последнее
равенство примет вид
__ mfiKpcL2 _ е La (44д,
Г1 “ аа2 — у а2 ’ k ’
где у — коэффициент демпфирования.
359
!5
2 i Ь
7 6
а)
Рис. 250. Вертикальный вал сепаратора для об-
работки молока:
а — общая схема; б — схема расположения пру-
жин в горловой опоре; 1 — вал; 2 — вертикаль*
ная пружина; 3 — крышка горлового подшип-
ника; 4 — корпус; 5 — горизонтальная пружина;
6 — винт; 7 — колпачок; 8 — шестерня веретена

вала через критическую
у ведет к уменьшению
Полученная формула отражает
влияние на амплитуду rt коэффи-
циента демпфирования у и соот-
ношения размеров L и а при переходе
скорость. Повышение коэффициента
амплитуды В связи с этим
в ряде конструкций сепараторов применяют резиновые эле-
менты ^горловой опоры, для которых значение коэффициента у
велико.
Найдем теперь жесткость /гоп пружинной горловой опоры
жидкостного сепаратора.
Наиболее распространенным типом упругой опоры горлового
подшипника является опора, показанная на рис. 250. В кор-
пусе на шести пружинах установлена обойма шарикоподшип-
ника.
Для анализа работы упругой опоры сепараторов рассмотрим
систему, состоящую из массы tn, находящуюся под воздействием
радиально расположенных п пружин, лежащих в одной,плоско-
сти (рис. 251) и образующих соответственно углы аг с осью х
(рис. 252) и имеющих коэффициенты жесткости ct.
Пусть произвольное направление у образует угол ср
с осью х.
360
Рис. 251. Масса т под действием п пружин
Рис. 252. Перемещение массы т в упругом поле, создаваемом действием п пружин
При малом перемещении точки вдоль оси у, приведенный
коэффициент жесткости системы пружин
п
с<р= 2 Ci cos2 (а/-ь ф);
i— 1
п п
с =’ L ci (cos2cp cos2a; + sin2 а,: sln2<p) - 2 S c( cos a; sin at cos S cicos «j sin a, = 0.
1 = 1 ; 1
Рассмотрим случай четырех пружин (рис. 252). Напишем
дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной
точки массы т вдоль оси х. Пусть точка прикреплена к пружинам
длиною /, имеющим одинаковую жесткость с с предварительным
натягом Л.
При конечном перемещении точки, равном х (отрезок От),
на нее будут действовать четыре упругие силы, причем
Л = с (6/ + А),
где 6/ — удлинение пружины вследствие перемещения точки
б/= 1/Р~+х2-1.
Проекция упругой силы на ось х
Flx — — с (И/2 + — I + A) cos a,
где
cos a — х/у I2 -I- x~.
Нетрудно видеть, что Fr — F3 и, следовательно,
Лх = = ~сх [1 - (/ - A)///
361
Соответственно проекции на ось х сил F2 и
F2x = — С (х — A); F„x = — с (х + А).
Дифференциальное уравнение колебаний массы т
4
тх = Rx = j Лх (450)
или
тх = —2сх [!—(/ — \}ll/ Р + №] — 2сх =
= 2сх [2 - (/ - А)// •
Как следует из полученного выражения, восстанавливающая
сила зависит от перемещения х. Для суждения о напряженном
состоянии системы находят обобщенный коэффициент жесткости,
который определяют, дифференцируя обобщенную силу Rx по х.
В данном случае
сх -dl^~ = —Зс Г1 - - fт г~| . (451)
dx (_ 2 {I2 -|- х2 — lx)1-3 J ' >
Определим сх при малых перемещениях. В последнем уравне-
нии имеем х — 0, тогда с — 1,5.
Для типового случая шести пружин аналогичным путем полу-
чим тот же результат.
Можно доказать, что при трех, четырех, шести и более пру-
жинах одинаковой жесткости, расположенных симметрично, при
малых отклонениях вала, приведенный коэффициент жесткости
упругого поля не зависит от угла а, т. е. в положении равновесия
упругое поле однородно.
Предварительный натяг пружины влияет на коэффициент
жесткости упругого поля. Если предварительный натяг А пружины
будет неодинаковым, то могут возникнуть опасные колебания,
называемые параметрическим резонансом.
Величину с выбирают таким образом, чтобы отношение угло-
вой рабочей скорости к критической Q/QKp4.
Иногда применяют упругую опору при относительно неболь-
шой жесткости вала, тогда следует учитывать и его деформацию.
Для определения критической скорости, имеющего упругую
горловую опору, можно воспользоваться выражением (207),
учитывающим влияние гироскопического эффекта.
При работе машины в закритическом режиме в момент пере-
хода через критические скорости возникают большие перемещения
вала, отрицательно влияющие на работу машины.
Как указывалось выше, пружины, применяемые в опорах
жидкостных сепараторов, подвергают предварительному натяже-
нию. В этом случае упругая опора представляет собой демпфер
критических режимов, в котором происходит автоматическое изме-
нение жесткости системы.
362
Рис. 253. Схемы и определению
моментов количества движения ро-
тора. при повороте вокруг осей
Рассмотрим определе-
ние амплитуд колебаний
и критических скоростей
сепараторов другим мето-
дом. Предположим, что
вал сепаратора является
жестким. Ротор сепара-
тора имеет статическую
неуравновешенность, вы-
званную неточностью изготовления и балансировки вала. Эта не-
уравновешенность задана смещением центра масс ротора на малое
расстояние е—эксцентриситетом, от геометрической оси вращения.
Для упрощения будем считать ротор динамически уравновешенным.
Проекции кинетического момента ротора на неподвижные
декартовы оси координат, которые проходят через его центр
масс, вычисленные с точностью до величин первого порядка ма-
лости включительно, имеют следующий вид (рис. 253):
Кх = ДР 4- (452)
Kv = Jxa — (453)
' (454)
Координаты упругой опоры сепаратора
= у!а-, а = х/а.
Координаты центра масс ротора
ус = РЛ; хс = clL.
Если точка оси вала, находящаяся в плоскости упругой опоры,
получит малые смещения х, у по осям неподвижных осей, то коор-
динаты центра масс ротора примут следующие значения:
хс = хЫа 4- е cos at-,
ус = уЫа 4- е sin at.
При отклонении ротора от оси г при вращении возникают
реакции упругой опоры Fx = —сх л Fy = —су. При колебаниях
вала будут возникать в упругой опоре силы трения вязкой среды,
соответственно равные пх и пу (здесь п — коэффициент пропор-
циональности).
Применяя известную из курса теоретической механики тео-
рему об изменении кинетического момента, напишем дифферен-
циальные уравнения малых колебаний вала:
JYx + А ay + аагх -f- са2х = meal a2 cos at-,
Jxy — Дых + aa-y + са2у = meala2 sin at,
де Д = Jx -J- ML2.
363
Умножая второе уравнение на i и суммируя два уравнения,
получаем
А (х 4- it/) 4 Дм (—xi t/) 4- а«2 (х A it/) + с«2 (х A iy) =
= nieala2 (cos at 4- i sin co/).
Вводя комплексную подстановку 0 = x 4- iy и учитывая, что
a (cos at 4- i sin at) = aue,wf,
получаем
0 — dcoO,-4-2«0 )- A30 =- h<ilMt a-, (455)
где
al2/J0 — 2n; ca2H0 = k2; JXU1 — d; meal/J0 = h.
Частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям,
находим в виде
О = aeiat.
Производя подстановку последнего выражения в уравнение
(455), найдем
—a2aeiat A ada2eiai 4- 2naiaeib3i 4- k2a&iat = heiata2.
Откуда после сокращения всех членов на е'и|/ получим комплекс-
ную амплитуду вынужденных колебаний:
а — ha2/[k2 — <о2 (1 — d) A 2nail. (456)
Найдем отдельно вещественную и мнимую части комплексной
амплитуды вынужденных колебаний. Из уравнения (456) имеем
_________Лй>2 /г2 — со2 (1 — а) — 2nai
а 1гг — со2 (I — d) 4 2nct>i /г2 — (1 — d)— 2/twt ’
Соответственно вещественная и мнимая части:
Re- to2[fe-w2(i-d)] .
Х (U) ^2 _ + 4п2(й2 ’
Jrn (а) = -Та-----ГП-
' ’ fe2 — со2 (1 — d) 4- 4п2со2
Из теории комплексных чисел известно, что если задано комп-
лексное число г = й 4 ib, то при изменении знака перед i полу-
чается комплексно-сопряженное число г* = а 4- ib. Произведе-
ние комплексного числа на число, сопряженное с ним, является
положительным вещественным числом
zz* — а2 4- Ь2.
По определению модуль числа z
| z \ ~ У zz* — |/z а2 Ь2.
364
На основании этих положений и уравнения (456) находим
модуль амплитуды смещения центра масс ротора:
т/"/г3со4 ([/г2 — <о3 (1 — а)]3 + 4пгг„2]_/ио3____________
а°^ V [^-0)2(1 -d)]2 + _ w2 (1 _ ^Г+ 4„-2и2 ‘
Переходя к отрицательным значениям смещения А = a0/h и
вводя обозначения v — n/k и у — окончательно получим [32]
А - г . (457)
К[1 — Тг(1 — d)l2 + 4vV
Резонанс наступает при равенстве нулю знаменателя в послед-
ней формуле.
Если пренебречь трением вязкой среды, то критическую ско-
рость определим из выражения
1 — у2 (1 — d) = О,
откуда
у = /1/(1 -d) -
Подставляя значения у и d, получаем
со = k!V hUh ~ Л) = / W(4 - Л) • (458)
При подстановке в формулы (457) и (458) значений, входящих
в них, имеем ранее полученные уравнения (447) и (448).
Однако следует заметить, что данные формулы для определения
критических режимов справедливы тогда, когда вал сепаратора
является достаточно жестким, а упругая опора сконструирована
таким образом, что наклон вала не вызывает действия реактивных
упругих моментов. Последнее условие с приближением может
быть принято в случае схемы установки
вала по рис. 246. Если вал не явля-
ется достаточно жестким и необходимо
учитывать его изгиб под действием
динамических нагрузок, задача услож-
нится вследствие учета упругих мо-
ментов сил реакции вала и опоры.
Даже при жестком вале, но при наличии
вертикальных пружин в горловой опоре
(см. рис. 243, 6) необходимо учитывать
указанные упругие моменты.
Рассмотрим общий случай опре-
деления собственных частот колебаний
вращающегося вала без учета сил
Рис. 254. Схема к определению частоты колебаний
вала сепаратора
365
сопротивления. Предположим, что срединная плоскость диска или
ротора машины может отклоняться от первоначального положе-
ния (рис. 254). Пусть ось Oz подвижной системы координат Охуг
совпадает с осью отклоненного положения вала машины. Углы,
определяющие отклонения оси Oz от вертикали в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях, обозначим через а и р.
Прогиб сечения крепления ротора к валу сопровождается
поворотом этого сечения и, следовательно, поворотом ротора.
Для получения дифференциальных уравнений колебаний для
случая, показанного на рис. 254, воспользуемся теоремами о ко-
личестве движения и моменте количества движения.
Проекции на неподвижные оси Ох и Оу геометрической про-
изводной от количества движения диска равны проекциям на те
же оси сил, действующих со стороны вала,
~ (тх) = — (kux — /е1га);
~ (ту) = —(kny — Д2р).
Проекции на те же оси геометрической производной от момента
количества движения равны моментам сил, действующих на диск
со стороны вала,
d (Др ф- JzQa)/dt = Мх = —(—k21y ф- 622р);
d (Jxa — Jz£lfi)/dt = Му = — (k21x ф- fe23a).
В этих выражениях kn, kl2 = /г21 и k22 — коэффициенты жест-
кости вала, соответствующие силовым и моментным реакциям
в точке посадки детали.
В последних уравнениях производные от Дйр и Дйа с точ-
ностью до малых величин второго порядка равны проекциям
на ось Ох (см. рис. 253, а) и ось Оу (см. рис. 253, б) отклоненного
вследствие изгиба вала вектора момента количества движения
диска при вращении его вокруг оси Oz.
Из последних формул получим систему дифференциальных
уравнений колебаний вала:
тх ф- &пх— kl2<x — 0;
ту + kny — ^120 = 0;
ДР -}- J— k2iy ф- /?220 “ 0;
Да — ДИр — k2ix ф- Д2а = 0.
Введем комплексное смещение zx = х ф- iy\ z2 = а ф- i’p. Пре-
образуем нашу систему к виду
mzy ф- 622Zj — 62jZ20. (459)
Аналогично получим
Дг2 — iJ£lz2 ф- feuz2 — 612Zj — 0. (460)
366
Решение системы соответствующее колебаниям системы с ча-
стотой X будем отыскивать в виде
.= CteiU; z2 = сгчш.
Подставляя значение гг и z2b уравнения (459) и (460), получаем
—mqX2ezw + — X21c2e'u = О
или
—mctf kZ2cY — /г21с2 = 0.
Кроме того,
—Jx<?2X2elW Х/г£2сгеш + й1гг2е‘w — — 0
или
-JХ</zQc2 —— ^12^1 —“ 0*
Составляем определитель системы:
I—тХ2 Д fe2a &21 (461)
|—/г1г —JxX“ Д </zQX Д .
Нетривиальные решения системы уравнений (459) получим,
приравнивая нулю определитель системы (461), тогда уравнение
собственных частот колебаний вала примет вид
X4 — (JZUX) ЙХ (X2 — /г22/т) 4- (&2з/т Д ku/Jx) X2 —
— (Й22^Л —' — 0.
(462)
Кроме вынужденных колебаний, обусловленных неуравнове-
шенностью ротора, с частотой вращения вала и возникают коле-
бания с частотой, близкой к собственной частоте X. Даже при
прохождении критической скорости колебания вала имеют ком-
бинационный характер.
При рабочей скорости ротора в этих сепараторах колебания
вала также являются комбинационными. Особенно значительны
колебания с частотой X при условии X — п<ч (здесь п — целое
положительное число).
Обозначив через Хо = k.ti!tn, из уравнения (462) получим
о (V-?.g)(V-4)
- h x(V-^)
(463)
На рис. 255 приведена зависимость частоты X собственных
колебаний вала от угловой скорости Q в неподвижной системе
координат для молочного сепаратора ОСТ-3.
Функции X = f (Q) соответствуют четыре ветви, расположен-
ные кососимметрично относительно осей Q и X, поэтому можно
рассматривать правую или верхнюю полуплоскость. Частотам
собственных колебаний певращающегося вала соответствуют
точки пересечений ветвей кривой с осью X.
367
Рис. 255 . Частотная характеристика молоч-
ного сепаратора -ОСТ-3
Проведя на рисунке луч
А — й, можно получить значение
критической скорости прямой пре-
цессии, соответствующее точке
пересечения ветви кривой с лу-
чом. Это значение критической
скорости совпадает с найденным
выше элементарным путем значе-
нием критической скорости. Если
провести луч А = — й до пере-
сечения с ветвями кривой A=f (й),
то можно получить значения кри-
тической скорости обратной пре-
цессии, соответствующие точкам
пересечения луча с указанными
ветвями. Представляют интерес и точки пересечения ветвей кривой
А = f (й) с лучами А = пЙ (здесь п — целые или дробные числа)
для нелинейных упругих характеристик. Исследования, прове-
денные Ю. М. Полищуком [62 ] в области изучения колебаний
вала сепаратора с упругой опорой, привели к выводу, что для
ряда жидкостных сепараторов критические режимы наблю-
даются при А — — Й; А = —й/3.
Аналитически резонансные угловые скорости можно опреде-
лить, подставив в уравнение (463) А = до. При этом уравнение
становится биквадратным и, следовательно, легко разрешимым.
Наблюдения показывают, что вблизи рабочих скоростей роторов
ряда сепараторов наблюдаются недопустимые вибрации, которые
можно объяснить совпадением собственных частот колебаний
вращающегося вертикального вала с частотой вынужденных
колебаний, обусловленных вращением горизонтального вала
электродвигателя. Для иллюстрации данного положения на ча-
стотную характеристику сепаратора СОМ-3-1000 (рис. 256) была
нанесена прямая, параллельная оси и отстоящая от нее по оси А
на расстояние, соответствующее частоте возмущений от электро-
двигателя, равной 142 рад/с. Эта прямая располагается достаточно
близко от нижней ветви частотной характеристики в зоне рабочей
скорости сепаратора, т. е. в этой зоне собственная частота коле-
баний ротора близка к частоте колебаний электродвигателя.
Исходя из того, что нижняя ветвь частотной характеристики
является пологой кривой и расположение ее по оси А зависит
незначительно от изменения жесткости горловой опоры, стано-
вится понятным, почему для ряда сепараторов обнаруживается
явление повышенных колебаний ротора па рабочем режиме.
Для предотвращения указанного явления требуется отстройка
собственной частоты колебаний вертикального вала от частоты
368
Рис. 256. Зависимость частотных характеристик сепаратора от соотношения моментов
инерции ротора
возбуждений электродвигателя. Это осуществимо изменением или
угловой скорости двигателя и горизонтального вала или параме-
тров вертикальной системы: жесткости горловой опоры, геометри-
ческих размеров вертикального вала и др. Для выяснения влия-
ния соотношения между моментами инерции ротора осевого и
полярного Г. М. Чергештовым были построены частотные харак-
теристики для ротора сепаратора СОМ-3-1000 с соотношением
моментов инерции JJJZ = 1; 1 :2 и 1/2.
Как видно из частотных характеристик (см. рис. 256), изме-
нение соотношения моментов инерции ротора вызывает изменения
характера кривых X = f (со). Для сплюснутого ротора, у которого
полярный момент инерции больше экваториального, кривые
X = f (со) являются более выпуклыми. Для вытянутого ротора,
когда отношение полярного момента инерции к экваториальному
меньше единицы, кривые являются более пологими. Для сплюс-
нутого ротора вторая критическая скорость прямой прецессии
при определенных значениях JjJz отсутствует, для вытянутого
ротора эта скорость может находиться в зоне, близкой к рабочей
скорости сепаратора.
Большое значение при конструировании и эксплуатации се-
параторов имеет определение значений давления на упругую гор-
ловую опору и шарнирную нижнюю опоры вала. Отбросив мыс-
ленно вал и заменив его действие искомой реакцией /?1(
369
составим дифференциальные уравнения движения упругой опоры:
ту = ~су + 7?iZ/; mz — - cz + RAz, (464)
где т — масса той части опоры подшипника, которая не вращается вместе
с валом, но совершает вместе с ним колебательные движения.
Ищем решение данных уравнений в виде
у — г cos (со/ — а); г = г sin (со/ — а),
где г — амплитудное значение колебаний вала в месте установки горловой
опоры.
Подставляя значения у и z в уравнение (464), получаем
Ry = (с — тсо2) г.
Подставляя г из уравнения (446), после преобразований полу-
чим
D (с — mco2) meL2
1 ~(Л-^)[1-(Йк/«)2Г
Из полученного уравнения следует, что при отсутствии сил
сопротивления в закритической области, реакция упругой опоры Rt
уменьшается с увеличением угловой скорости со. Кроме того,
динамическая составляющая упругой опоры будет равна нулю
при неуравновешенности вала, если масса невращающихся ча-
стей опоры удовлетворяет равенству
с = тсо2.
Таким образом, подбором массы невращающихся частей
опоры т можно влиять на уменьшение реакции опоры. Из послед-
ней формулы также следует, что реакция упругой опоры воз-
растает с увеличением ее жесткости. Следовательно, для снижения
на опору, вызванного
силами при рабочих
расположенных в заре-
области, необходимо
давления
упругими
режимах,
зонансной
снижать жесткость упругой опоры.
Определение давления ротора на
упругую опору с учетом доми-
нирующих сил в опоре позволяет
установить влияние этих сил на
значение давления на опору.
На рис. 257 приведены постро-
енные на основе такого расчета
зависимости реакции упругой
опоры от угловой скорости вала
при различных значениях v =
= n/k (k=e R с/Jo). По осп абсцисс
Рис. 257. Зависимость реакции упругой опоры
от окружной скорости вала при различны*
значениях V
Рис. 258. Зависимость реакции шарнирной опоры от yt
а — центр масс расположен посередине между опорами; б — центр масс расположен
консольно
отложены значения у = calk, а по оси ординат RJmek2. Как видно
из зависимости, давление на упругую опору возрастает с увеличе-
нием коэффициента демпфирования. Это давление увеличивается
также в зарезонансной зоне пропорционально увеличению ча-
стоты вращения вала, что не наблюдается при малом значении
коэффициента демпфирования. Таким образом, установка демп-
ферных устройств у горловой опоры сепараторов нецелесообразна.
Естественное демпфирование достаточно для снижения резонанс-
ных амплитуд при малых значениях собственной частоты коле-
баний. Увеличение коэффициента v ведет к значительному умень-
шению амплитуд только в зоне резонанса.
Результаты анализа давления на шарнирную опору приве-
дены на рис. 258. Здесь по оси абсцисс отложены значения у =
= <а/А, по оси ординат значения RJmek2. Кривые построены для
различных значений отношения f = LI а. Из рисунка видно, что
относительное давление на шарнирную опору явноузависит от
относительного расположения центра масс ротора Ыа и неуравно-
вешенности ротора. Давление на шарнирную опору в зарезонанс-
ной зоне незначительно зависит от трения вязкой среды в упру-
гой опоре, поэтому на рис. 258 представлены кривые для одного
значения коэффициента трения v = 0,1.
Исследования показывают, что действие динамической не-
уравновешенности на давление на шарнирную опору пропорцио-
нально разности между центральным экваториальным Jx и по-
371
лярным J2 моментами инерции. Поэтому целесообразно при кон-
струировании стремиться к понижению этой разности. Из рисунка
видно, что при заданной неуравновешенности ротора давление
на шарнирную опору уменьшается при удалении центра масс
ротора от шарнирной опорной увеличении L. Кроме того, при
7 « 4 давление лишь незначительно превышает их предельные
значения при неограниченном возрастании частоты вращения
вала.
Для уменьшения давления на опоры рабочие скорости сепа-
раторов целесообразно устанавливать в зоне, превышающей
более трех-четырехкратного значения первой критической ско-
рости, но далекой от второй критической скорости, обусловленной
изгибом вала. Важным обстоятельством является то, что наиболее
нагруженной из опор является шарнирная. Динамическая не-
уравновешенность в несколько раз интенсивнее статической и,
кроме того, увеличивает давление на шарнирную опору. На
основании этого следует, что для обеспечения наибольшей долго-
вечности сепараторов должна особо тщательно осуществляться
динамическая балансировка роторов.
Сепараторы и центрифуги относятся к наиболее сложным и
ответственным машинам пищевых производств. Метод их расчета
и конструирования в той или иной мере применим и к другим
роторным машинам. Динамический расчет роторных машин на
стадии проектирования сводится к получению следующей инфор-
мации: напряжений в роторе, расположения критических ско-
ростей; амплитуд колебаний ротора и опор, динамических на-
грузок в опорах, давлений на фундамент или корпус машины.
Информация, получаемая из расчета, должна дать полное пред-
ставление о прочности и надежности основных узлов машины и
виброактивности роторов, измеряемой динамическими нагрузками
на опоры.
§ 33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА ОПОРЫ
РОТАЦИОННЫХ МАШИН СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Помимо несоосности роторов возникновению дополнительных
динамических нагрузок на опоры способствуют следующие фак-
торы: 1) остаточная неуравновешенность ротора после баланси-
ровки; 2) неуравновешенность ротора в результате разбаланси-
ровки при эксплуатации; 3) погнутость вала и анизотропия
жесткости ротора; 4) овальность цапф в подшипниках скольже-
ния и др.
Все эти факторы могут существенно повысить динамические
нагрузки на опоры.
Снижение этих нагрузок достигается путем понижения коли-
чественных характеристик случайных факторов q*, что связано
с повышением класса точности, или изменения функциональной
зависимости между А*,- и qt, что обусловлено изменением упруго-
инерционных характеристик системы.
372
В обоих случаях при конструировании необходимо оценить
эффективность мероприятий, снижающих нагрузки на опоры.
Для такой оценки требуется: установить факторы, обусловлива-
ющие нагрузки Ri одной частоты; выявить зависимость qt = f (Ri)
до осуществления соответствующего мероприятия: назначить
верхние пределы допусков и рассчитать нагрузки Rit соответ-
ствующие этим пределам; просуммировать для каждой частоты
случайные векторы и вычислить их модули; определить для каж-
дой частоты снижение уровня суммарных нагрузок до и после
мероприятий.
В ряде случаев вследствие сложности и трудоемкости опреде-
ления закона статического распределения случайных факторов
(нагрузок) можно ограничиться при расчетах упрощенным ме-
тодом.
Например, рассмотрим вероятностную оценку уровня дина-
мических нагрузок на опору турбогенератора общепромышлен-
ного применения [32].
Результаты измерений уровней нагрузок на данную опору
десяти серийных турбогенераторов следующие.
Агрегат................................ 1 2 3 4 5
Вибронагрузки на вторую опору (Н) при частоте
колебаний, Гц:
50....................................1960 890 380 1200 950
100 ................................... 380 620 1240 310 500
Агрегат .................................. 6 7 8 9 10
Вибронагрузки на вторую опору (Н) при частоте
колебаний, Гц:
50 .................................. 3900 2750 520 1550 2100
100 ................................... 550 980 440 280 1560
В табл. 19 приведены допускаемые значения параметров,
влияющих на работу агрегата.
По приведенным максимальным значениям допусков рас-
считаны по детерминированной методике максимальные значения
нагрузок, которые могут быть вызваны этими отклонениями
(табл. 19).
Динамические нагрузки, вызванные вращением генератора,
рассчитывали по упрощенной методике в предположении, что
генератор расположен на двухопорном валу. Центробежная сила
инерции ротора генератора на основании формулы (167)
Гин =
где р — коэффициент динамичности системы; Р — 1/[ 1 — (<окр/а>)2]; е — эксцен-
триситет массы.
Динамическая нагрузка на опору
Re* = J/2 = GreM2g.
373
Таблица 19
Значения нагрузок q* и R* на опору (вторую) турбогенератора,
вызванные различными факторами
Фактор Че **
при частоте, Гц
50 100 50 100
Остаточная неуравновешен- ность е, мкм Разбалансировка Е, мкм Погнутость Д, мкм Температурный эксцентриси- тет бт, мкм Угловая несооспость м/м Анизотропия жесткости ас, % Овальность цапф (£>тах — £*inln)> МКМ 3/1 6/3 3/1 5/2 0,05/0,02 2,1/0,5 10/5 1050 2100 1050 1750 1500 430 1500
Примечание. В числителе даны значения параметров в соответствии
с общепромышленными требованиями, в знаменателе — в соответствии с повы-
шенными требованиями.
В рассматриваемой задаче пусть 0 = 2,8, о)кр/® — 0,8. Ве-
личины Re, Rl и Rf,T находили по формулам, аналогичным фор-
муле (314). Величины Rp, R,r, Ra и RD определяли на основании
нормативных данных, приведенных в работе [32].
Так как эти случайные отклонения являются постоянными
некоторое время и меняют направление при вращении ротора,
среднее значение вектора случайной нагрузки будет равно нулю
(не смешивать со средним значением модуля вектора). В этом
случае максимальное возможное значение случайного отклонения
будет равно За (на основании правила За). Возможно любое
значение отклонения, однако с большой вероятностью (88,9 %)
значение, лежащее на верхней границе интервала равного Зщ
можно считать максимально возможным. В результате на осно-
вании заданных значений максимальных отклонений можно
определить о для каждой из слу-
чайных величин, которое будет со-
ставлять 1/3 максимально допусти-
мого значения отклонения.
Таким образом, при вероятности
более 88,9 % можно найти пара-
метры работы турбоагрегата.
Рис. 259. Статистическая и теоретическая функ-
ция распределения нагрузок
374
Более точным является статистический расчет на основании
функции распределения случайных отклонений. Так как эта
задача в общем виде решается весьма сложно, на практике изго-
товляют промышленный образец машины и проводят его испыта-
ния. Для рассматриваемого случая на основании испытаний 10 об-
разцов турбоагрегата получены опытные данные.
На основе экспериментальных данных построены кривые
(рис. 259).
Для рассматриваемого случая при частотах 50 Гц для нагру-
зок принята функция распределения Релея, которая имеет вид
—*2/2оп
/-’(х)=1 — е , при х5»0,
где ag — параметр распределения Релея, называемый круговым рассеянием.
/?* Оо IR) М 17?]
Суммарные нагрузки (Н) при частоте колебаний, Гц 50 4000/1800 1330/600 1680/760 880/400
100 1750/810 580/270 730/340 380/180
Примечание. В числителе приведены данные нагрузок в соответствии
с общепромышленными требованиями, в знаменателе — в соответствии с повы-
шенными требованиями.
Как следует из приведенных выше данных, о0 = 1330 Н.
На основании построенных зависимостей статистической функции
распределения нагрузок Ф (7?) и теоретической F (R) находим
максимум модуля разности между функциями D. Как видно из
рис. 259, D = 0,16. Далее определяем К — D / п (здесь п —
число испытаний, число экспериментальных образцов).
По данным приложения 3 находим Р (X) = 0,96.
Для частоты 100 Гц аналогично находим D = 0,24; X = 0,76 и
Р (X) = 0,61. Так как Р (X) для обеих частот достаточно велика,
заключаем, что гипотеза о согласии опытных данных с теоретиче-
скими не опровергается.
Далее решаем задачу определения оценок и доверительных
интервалов искомых числовых характеристик. Следует отметить,
что при небольшом числе испытаний (в данном случае 10) экспе-
риментальный материал в определенной степени носит случайный
характер. Вычисленные на основании этих данных числовые
характеристики также являются случайными.
Оценка математического ожидания
I— 1
При действии закона Релея оценка кругового рассеяния
о0 = £/1,253 « 0,в£.
375
Для частоты 50 Гц в результате вычислений по приведенным
выше данным имеем
Я = 162 Н и о0 = 130 МПа.
Доверительный интервал кругового рассеяния является не-
симметричным:
Р (Yi, er сга < уа6ь}
где Р — доверительная вероятность, т. е. вероятность того, что интервал со
случайными концами (ylt п0, t8Jq) перекроет неизвестную величину оо; у,
коэффициенты, определяемые с помощью данных в работе (72].
Доверительный интервал математического ожидания
Р < М 17? 1 с Тя7?= [3.
Для рассматриваемого примера из таблиц работы 172} при
доверительной вероятности [3 — 0,95 находим = 0,688, у2 =
= 1,826.
Истинные значения кругового рассеяния и математического
ожидания
90 < о0 < 238; 112 < М |7?| «: 297.
Таким образом, с вероятностью fl возможные значения, ко-
торые сможет принимать 7?, имеют пределы
0 «. /? < Зу.2Й0; 7?max = Зу-Л = 7 100 Н.
Аналогичные вычисления произведены для нагрузок при ча-
стоте 100 Гц.
R Оо М ]7?] Р0 7?гчах
Нагрузки (Н) при частоте колебаний, Гц 50 1620 1300 1120; 2970 90; 2380 7100
100 080 540 470; 1240 370; 98и 2940

ГЛАВА VII
ПУЛЬСАЦИОННЫЕ (ПОРШНЕВЫЕ)
МАШИНЫ
К пульсационным (поршневым) машинам следует относить
машины, рабочим органом которых является поршень. К этим
машинам принадлежат поршневые компрессоры и насосы, гомо-
генизаторы, различные шприц-машины и др. По конструктивному
исполнению наиболее сложными являются поршневые компрес-
соры, которые представляют основной элемент холодильных уста-
новок.
На рис. 260 изображен вертикальный двухцилиндровый ам-
миачный компрессор АВ-75 с частотой вращения вала 720 об/мин.
Два вертикально расположенных цилиндра компрессора объеди-
нены в блок, представляющий собой общую чугунную отливку.
С помощью фланца блок крепится к картеру. В ряде конструкций
в расточках цилиндров установлены съемные цилиндровые гильзы.
В цилиндрах компрессора расположены поршни, входящие в ме-
ханизм движения поршневого компрессора, служащего для пре-
вращения вращательного движения коренного вала в возвратно-
поступательное движение поршней. Механизм движения также
включает коленчатый вал, шатуны, поршневые пальцы. На ша-
тунных шейках вала крепят шатуны, соединяющие коренной вал
с nopj ин ем.
Для подвижного соединения шатуна с поршнем служит порш-
невой палец. Для уплотнения зазора между зеркалом цилиндра
и поршнем на последнем устанавливают уплотнительные кольца.
Ответственными элементами конструкций холодильных ком-
прессоров являются сальники. Сальник хвостовика коренного
вала предотвращает утечки холодильного агента и масла из
картера в атмосферу.
Наравне с тепловыми расчетами компрессоров большое место
занимает их динамический расчет, с помощью которого опреде-
ляют значения и направления сил, действующих на рассчиты-
ваемые детали. При этом учитывают, что компрессор может рабо-
тать в различных режимах: наибольшей разности давлений, когда
детали кривошипно-шатунного механизма и поршневой группы
нагружены максимальными силами от разности давлений, дей-
ствующих на поршень; наибольшей мощности компрессора, когда
силы от разности давлений, действующих на поршень, достигают
377
Вода
378
Рис. 261. К расчету шатуна:
а, б — распределение нагрузки в поршневой голооке шатуна при растяжении и сжатии;
6 — распределение нагрузки в кривошипной головке шатуна
максимального среднего значения за цикл; наибольших кратко-
временных нагрузок, создаваемых пробным гидравлическим да-
влением при испытании деталей компрессора.
Ответственной частью поршневых компрессоров являются кри-
вошипно-шатунные механизмы, на которые действуют цикличе-
ски изменяющиеся силы от давления газа, силы инерции и трения
движущихся частей. Для прочностных расчетов определяют
максимальные значения указанных сил за цикл, в связи с чем
строят диаграммы сил на основе индикаторных диаграмм [67 J.
При конструировании компрессоров большое внимание уде-
ляют уравновешиванию сил инерции и расчету маховика. Пос-
ледний сводится к определению его массы.
Важной деталью кривошипно-шатунного механизма яв-
ляется коленчатый вал, расчет прочности и жесткости которого
освещен в работе 167 I.
379
Рис. 262, Схема дей-
ствия на кривошипно-
шатунный механизм си-
лы Р
Рис. 263. К определе-
нию эквивалентных масс
шатуна
До последнего времени
для расчета коленчатого
вала применяли графо-
аналитические методы, од-
нако в последнее время
широко используют рас-
четы на ЭВМ [67).
Ответственной деталью
кривошипно-шатунного ме-
ханизма является шатун
(рис. 261), предназначен-
ный для соединения ко-
ренного вала с поршнем
или крейцкопфом. Верх-
ние головки шатунов вы-
полнены неразъемными, и
в них запрессовывают
бронзовые втулки, нижние головки имеют горизонтальный или
косой разъем. В нижней головке шатуна расположены вкладыши
подшипников с баббитовой заливкой.
Шатуны выполняют из углеродистых сталей 35, 40 и 45, при
серийном производстве штамповкой (сечение тела шатуна дву-
тавровое), при индивидуальном — точением (сечение круглое).
При конструировании шатунов стремятся обеспечить их устой-
чивость при продольном изгибе, высокую прочность при знако-
переменных нагрузках и минимальную массу. При расчете ша-
туна необходимо учитывать силы, действующие при работе нагру-
женного компрессора, и силы инерции поступательно движущихся
частей при холостом ходе компрессоров, имеющих большую
частоту вращения.
Рассмотрим силы, действующие на кривошипно-шатунный
механизм компрессора. К этим силам относятся силы от давления
газа, силы инерции и силы трения движущихся частей.
Сила от давления газа, действующая на поршень,
Н -- Рк^К Ря^Ъ'
где рк и рв, FK и FB — соответственно давления и площади поршня
со стороны крышки цилиндра и вала.
Суммарная сила, действующая в направлении оси цилиндра
(рис. 262),
Р —Л-F FnH+Rn, (465)
где Rn, Гин — силы трения и инерции поступательно движущихся частей.
Массу шатуна тш, совершающего сложное движение, условно
заменяют двумя эквивалентными массами, расположенными на
осях головок шатуна (рис. 263),
^йи. в := L-> ^ш, н ==
380
Рис. 264. Зависимость силовых факторов от угла заделки а для сечения заделки при
нагружении поршневой головки шатуна:
а — растягивающей силой; б — сжимающей силой
Тогда можно считать, что к верхней головке шатуна приложена
сила инерции
Pj~~ (mUJ. в + ти) dvjdt^ — D -j- mn) R&2 (cos a + R cos 2a/L),
где mn. »u — соответственно масса и скорость перемещения поршня.
На поршневую головку шатуна действуют переменная по
значению и направлению сила R и постоянное давление со стороны
втулки. Если шатун растянут, то нагрузка на его головку прак-
тически равномерно распределяется по верхней половине
(см. рис. 261, а). Если шатун сжат, то нагрузка распределяется
по нижней половине по косинусоидальному закону (см.
рис. 261, б). В обоих случаях опасным сечением является сечение
III—III в месте перехода стержня в головку.
Рассматривая головку как кривую балку, заделанную в ука-
занном сечении и нагруженную, как показано на рис. 261, в,
можно найти изгибающий момент Ма и нормальную силу Na
в заделке (рис. 264).
Напряжение в заделке
о = Has = (Na + 6Ma/s),
где «— ширина; s — толщина стенки головки.
Давление между головкой и втулкой
Атах ~Ь (^ВТ - С*г) г _
’ i_____________________\ . 1 /^+4
£2 |/-4
где Атах — натяг при посадке втулки в головку; авт, аг — коэффициенты ли-
нейного расширения материалов втулки (бронза) и головки (сталь); Тг— тем-
«.381
пература нагрева головки; ц — коэффициент Пуассона; Dlt d, dw — обозначе-
ние диаметров (см. рис. 261, а); — модули упругости материалов втулки
и головки.
Постоянное растягивающее напряжение от внутреннего да-
вления р определяют по уравнению Лапласа:
d — pdltys).
Головка нагружена асимметричным циклом напряжений с ам>
плитудой и средним напряжением
оа — (dp — ост)/2, ат = (dp ост)/2 о.
Стержень шатуна разрушается обычно от усталости по сред-
нему сечению /— I или минимальному II— II.
Напряжение растяжения в .минимальном сечении
Ср — min>
где /min — площадь минимального сечення.
В связи с наличием эксцентриситета сжимающей нагрузки
и прогибом от центробежных сил, нормальных к оси стержня,
в среднем сечении последнего, кроме сжатия, имеет место изгиб.
Суммарное напряжение рассчитывают по полуэмпирической фор-
муле
= - /? - ^Ин [-А- + 0,000526 — I ,
L /ср /« J
где Jx — момент инерции среднего сечения шатуна относительно оси дас; I —
указано на рис. 261, я; /Ор — площадь среднего сечения стержня.
Рис, 265. Зависимость силовых факторов в среднем сечении нижней крышки кривошип
ной головки шатуна от угла заделки а
Рис. 266. Виды деформаций поршневого пальца:
а — при изгибе в продольном направлении; б — срезе; в — при овализацни
382*
Ряс. 267. Схемы нагружения поршне-
вого пальца к расчету:
а — на изгиб и срез; б — на овализа-
ЦИЮ
Рис. 268. К расчету поршня и порш*
некого пальца
Кривошипные головки ша-
туна обычно разрушаются
от усталости. На рис. 265
приведены значения силовых
факторов для расчетной схе-
мы, представленной на рис. 261, а
[67 ]. В данном случае Р —
сила от давления газа на крышку в начале всасывания;
Р да (m„ + тЕ!.Е) Р^ (1 + PiL) + тш.-цР®2.
Важной деталью является поршневой палец, соединяющий
шатун с поршнем. Поршневой палец испытывает сложную де-
формацию, которую условно разделяют на деформацию при изгибе
и срезе (рис. 266). В зависимости от конструкции различают
плавающие пальцы/свободно перемещающиеся в верхней головке
шатуна, бобышках поршня, и закрепляемые в поршне.
В плавающих пальцах напряжения изменяются почти по сим-
метричному циклу. Расчетную нагрузку определяют из выраже-
ния (465):
Р = Л + Fm.
Напряжения в пальце находят согласно рис. 267.
Напряжение при изгибе в продольном направлении
аи = ^Р (/ ф- 2b — 1,5a)/[l,2d3 (1 —a4) J,
где d и di — наружный и внутренний диаметры пальца; а = djd.
В сечении между бобышкой поршня и головкой шатуна опре-
деляют напряжение среза
х — 0,85Р (1 + а + a2)/[d'2 (1 — «4)1-
Следует отметить, что для прочности пальца имеет большое
значение чистота обработки внутренней его поверхности.
Важным узлом компрессоров являются поршни (рис. 268),
которые бывают дисковые, проходные и тронковые, или непроход-
383
ные. Дисковые поршни применяют в крупных крейцкопфных
компрессорах, когда по обе стороны поршня расположены рабочие
объемы цилиндра. Проходные поршни, применяемые в бескрейц-
копфных прямоточных компрессорах, отличаются тем, что в го-
ловке поршня вместо донышка установлен всасывающий клаиан,
а на боковой поверхности головки выполнены канавки для уста-
новки уплотняющих колец.
Тронковые, или непроходные, поршни применяют в малых
и средних непрямоточных компрессорах, получивших распро-
странение в пищевой промышленности. Расчет тронкового поршня
рассмотрим на следующем примере.
Пусть требуется проверить прочность торцовой стенки поршня компрессора
(см. рис. 268) [18]. Заданы радиус контура заделки торцовой стенки г2 = 0.038м,
толщина стенки » = 0,01)8 м, наибольшая разность давлений, воспринимаемых
стенкой, Др = 1,66-10s Па, коэффициент Пуассона материала поршня р — 0,20.
Торцовую стенку рассчитываем как заделанную по контуру пластину (ф = 0
при г = R). Максимальное давление нагнетания рп — 2,2 МПа.
Тогда
Мг = (7/16) [R2 (I + р) - г2 (3 + р)
М, = (9/1б) [R»(i 4-н)-т2(!+3|1)].
Значения Мг и Mt при г = R и г — О’
(Л4г)г=/? = — <7^г/8; = —p.?R78;
(Alr),=. = (Mz)r=r, == (1 + р) qR2/16.
Наибольшие напряжения, возникающие на краю пластинки,
(<Тг)г=/? = ± = р (о-г)г=р.
В нашем случае
а =—0,75Др^/з2 = — 0,75-1,66-Ю«0,0382/0,0082 = 28,1 МПа;
at = ро> = 28,1 -0,26 = 7,31 МПа;
ог = —рн — 2,2 МПа.
Эквивалентное напряжение в алюминиевом поршне по энергетической ги-
потезе прочности
<т8 = К’1/2 [(28,1 —7,31)2+ (7,31 —2,2)^+ (2,2-28,1)» =
= 23,8 МПа.
Допускается для алюминиевых поршней [а] 30 ... 40 МПа.
Необходимо также провести расчет уплотняемых разъемов.
Плотность в разъеме обеспечивается затяжкой болтов силой,
необходимой для обжатия прокладки (или другого уплотняющего
элемента) и сохранения необходимого давления на прокладку
при действии внешних сил [06 ].
Ответственной деталью является сальник. Здесь необходимо
определить число и характеристики пружин, устанавливаемых
для обеспечения герметичности сальника при определенной гра-
нице давления па графитовые кольца.
384
Рис. 269. Крутильные колебания кривошипного шатунного механизма поршневых
машин:
а упрощенная схема механизма; б — связь горизонтальных перемещений поршня
и углов поворота диска; в — эквивалентная система; г — схема простейшего кривошипло-
шатунного механизма; д — эквивалентная схема кривошипно-шатунного механизма:
е — схема, состоящая из двух дисков
Для поршневых машин, имеющих кривошипно-шатунный меха-
низм, специфичным является возможность возникновения пара-
метрических колебаний. В данном случае параметры механиче-
ской системы (жесткость или масса) не остаются неизменными,
а,являются некоторыми заданными периодическими функциями
времени. При нарушении состояния равновесия системы возни-
кают упомянутые выше колебания. С одной стороны, их нельзя
назвать свободными, так как система неавтономна и испытывает
заданное внешнее воздействие в виде изменения параметра. С дру-
гой стороны, колебания не являются вынужденными, так как
внешнее воздействие не проявляется в виде заданной силы. Эти
колебания, называемые параметрическими, в зависимости от
свойств системы и характера изменения ее параметров могут иметь
ограниченные или возрастающие во времени пиковые значения;
последний случай называют параметрическим резонансом.
Рассмотрим задачу о крутильных колебаниях кривошипно-
шатунного механизма, применяемого в поршневых компрессорах
и насосах и других машинах (рис. 269) 152]. Предположим, что
в данной системе обладают массой только диск /, полярный мо-
мент инерции которого J, и поршень 4, масса которого гп, Пред-
положим, что вал 2 закреплен одним концом и может только
закручиваться. Диск 1 и поршень 4 связаны длинной жесткой
тягой 3. Поршень 4 может перемещаться в горизонтальном напра-
13 Соколов В. И. 335
Йис. 270. Результаты решения
уравнения Матье для двух различ-
ных комбинаций а и q
а — при а = 1,0; б при дч= 1,2;
6 — часть диаграммы, относацаяся
к малым значениям q
влении в цилиндре 5. При
совершении диском сво-
бодных колебаний вокруг
положения равновесия в
движение будет приво-
диться и поршень 4, влия-
ние инерции которого оп-
ределяется энергетическим
методом.
Закон свободных коле-
баний диска имеет вид
<р = a sin pt,
где <р — угол поворота диска
в процессе колебаний; р — соб-
ственная частота системы; а —
амплитуда крутильных колеба-
ний диска.
Если максимальная уг-
ловая скорость диска фтах=
— ар, то максимальная ки-
нетическая энергия диска
Т\ = Jq>mar/2 = J (apf/2.
Как следует из рис. 269, б, углу поворота диска <р соответствует
горизонтальное перемещение точки ‘М ftp sin а (здесь г —радиус
диска). Полагая, что шток 3 достаточно длинный, можно принять
перемещение поршня 4 равным той же величине:
х = г<р sin а.
Скорость поршня 4 и ее максимальное значение соответственно
равны
х = гф sin a; xmax = rap sin а.
Максимальное значение кинетической энергии поршня
Т2 = mXmZX/2 — m (rap sin a)2/2.
Максимальное значение кинетической энергии системы
Т = Tt + Т2 = (ар)2/2 [J + mr* (1 —cos 2сс)/2].
Откуда можно определить приведенный момент инерции диска:
J' == J + (mr2/2) (1 —cos 2а).
Тогда вместо системы, изображенной на рис. 269, а, можно
рассматривать эквивалентную систему, показанную на рис. 269, в.
386
Последнее выражение свидетельствует о том, что влияние сил
инерции поршня 4 на процесс колебаний системы зависит от
угла а.
Рассмотрим простейший кривошипно-шатунный механизм
(см. рис.. 269, г). Обычно массу шатуна заменяют двумя массами,
из которых одна тх вращается вместе с кривошипом, другая /п2
движется вместе с поршнем. Тогда можем перейти к схеме, изобра-
женной на рис. 269, д. В этом случае кривошип с присоединенной
частью массы шатуна заменяют диском с полярным моментом
инерции, равным J 4- т^. Суммарная масса поршня с присоеди-
ненной массой будет т т2. Далее от последней схемы, пере-
ходим к схеме на рис. 269, е, в которой имеются два диска, у од-
ного момент инерции Jm, а у другого J', вычисляемый с помощью
выражения:
J’ — J + тгг2 4- [(т 4- m2)r2] (1 —cos 2®/)/2. (466)
Для некоторого момента времени О углы поворота дисков
(pi = <р2 и относительный угол поворота ср = ф2 — ср, а момент
сил упругости вала с (ф.2 — <Pi), где, учитывая моменты инерции
дисков нашей схемы, получим
С (ф2 - Ф1) = ^'фь —С (фг — Ф1) => Лпфа-
Если разделить первое уранение на Д а второе на Jm и вы-
честь первое уравнение из второго, то получим
—(С/Г 4- C/Jm) (ф2 — ф1) = ф2 — фр
Вводя в уравнение относительный угол поворота дисков ф =
= ф2 — Ф1, получаем
ф 4- С (Д + Jm) ^J'Jm = 0.
Подставляя в это уравнение J' из уравнения (466), имеем
ф 4- С [ Т + г 1Jm д[1- 1 1 __ п (т 4- т2) г2 о Я ? —i— cos 2со/ 1 (467)
где Л =J 4- т±г2 + (/п 4- тг) г212
— среднее значение приведенного момента инерции.
- Так как 1(т 4- т2) r2l/2J0 < 1, можно принять
---- 1 г-------~ 1 + И+.^8 cos 2<о/.
Тогда уравнение (467) будет иметь вид
Ф 4- с [1/Jm 4- 1/JO 4- (т 4- rn2) г2 cos 2<о//(2J§) 1 ф = 0.
Введем обозначения:
= Т, £1 = [с (Уо 4- Jт) ]/Jq JjTfif
q^[c(m^mt)r2]l4J2.
13*
387
Последнее уравнение преобразуем к виду
cPtfldx2 + (а — 2q cos 2г) <р = 0. (468)
Данное уравнение имеет вид известного уравнения Матье.
Результаты решения уравнения Матье для двух различных
комбинаций й и <7 представлены на рис. 270, а, б и получены с по-
мощью электронной аналоговой машины. В первом случае колеба-
ния возрастают, т. е. система неустойчива, во втором случае
остаются ограниченными (хотя параметр системы одинаков).
В практических случаях важно знать границы между обла-
стями устойчивых и неустойчивых решений.
Окончательные результаты представляют в виде диаграммы,
построенной в плоскости параметров а и q (51 I и имеющей назва-
ние диаграммы Айнса — Стретта. Часть этой диаграммы отно-
сится к малым значениям а и q.
Если изображающая точка, характеризуемая параметрами а
и q, находится в пределах заштрихованной части поля, система
устойчива. Па диаграмме указаны точки 1 и 2, соответствующие
параметрам = 1; =0; а2 = 1,2; q2 = 0,1
Точка 1 характеризует неустойчивый режим, точка 2 —устой-
чивый. Полная диаграмма Айнса —Стретта изображена на
рис. 270. в. Диаграмма Айнса — Стретта полностью освобождает
от выполнения операций по решению уравнения Матье.

ГЛАВА VII1
ВИБРАЦИОННЫЕ МАШИНЫ
§ 34. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Важной отличительной особенностью вибраций как одного
из видов механического воздействия является возможность пере-
дачи энергии системе большой удельной мощности при малой
амплитуде ее смещения за период колебаний.
Вибрация является наиболее эффективным средством управле-
ния динамическим состоянием систем при выполнении различных
технологических операций в разных дисперсных системах.
Вибрация обеспечивает интенсивное движение дисперсных
частиц друг относительно друга в объеме системы с резким увели-
чением скорости движения каждой частицы в отдельности относи-
тельно центра масс системы.
В пищевой промышленности вибрационные и импульсные воз-
действия эффективно используют для ускорения образования
различных пищевых масс, например мри просеивании и сепари-
ровании, для уплотнения в разделительных и сортирующих ма-
шинах, мойке, транспортировании, измельчении, формовании
и дозировании в ориентирующих и сушильных машинах и т. д.
Вибрация интенсифицирует промессы тепло- и массообмена
в результате быстрого увеличения поверхности, взаимодействия
участвующих в процессе компонентов, повышения скорости кон-
вективной диффузии.
Для многих технологических процессов пищевой промышлен-
ности вибрация может играть роль единственного определяющего
средства осуществления заданной технологии, например при
транспортировании, уплотнении, разуплотнении (разрыхлении),
сепарации и т. д.
Большое значение с точки зрения эффективности технологи-
ческих процессов имеют характер и параметры вибрационных
воздействий [17, 18].
§ 35. РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННЫХ МАШИН
Наиболее широко применяют вибрационные машины, работа-
ющие в режиме прямолинейных параметрических гармонических
колебаний, когда рабочий орган машины совершает прямолиней-
389
ные гармонические колебания, направленные под углом к его
продольной оси с амплитудой А и частотой <о, по закону
Л = A sin cot,
где <а — угловая частота колебаний рабочего органа.
Рабочий орган может быть расположен с некоторым наклоном
под углом а.
Так как колебания рабочего органа происходят под углом р
к его продольной оси, то горизонтальная и вертикальная соста-
вляющие соответственно равны:
х — A cos (а + р) sin cot;
у = A sin (а + Р) sin
В результате обрабатываемой среде сообщаются импульсы
во взаимно перпендикулярных направлениях.
Вертикальная составляющая колебаний, суммируясь с силами
поля тяжести, обусловливает переход обрабатываемой среды в со-
стояние псевдоожижения или при соответствующем значении
сообщаемой среде энергии в состояние виброкипения.
Например, интенсификация технологических процессов пище-
вых производств (смешивание, диспергирование и другие), осуще-
ствляемых в установках типа виброконверторов или цилиндри-
ческих барабанах, достигается при эллиптических колебаниях
рабочих органов, когда все точки рабочего органа описывают
одинаковые эллиптические траектории. При этом колебания
формируются в результате сложения двух взаимно перпендику-
лярных гармонических колебаний с одной частотой и некоторым
сдвигом фаз
£ = В sin (tof -ф у);
г) = A sin cot,
где у — начальная фаза колебаний.
В данном случае наличие двух независимых составляющих
рабочего органа позволяет получить различные режимы вибро-
обработки и повысить их эффективность.
В последнее время появились вибрационные машины, работа-
ющие в режиме полуволновых произвольных прямолинейных
и эллиптических гармонических колебаний, когда рабочей частью
траектории рабочих органов является положительная часть гар-
моники, имеющая удвоенную частоту.
Многообразие конструктивных разновидностей вибромашин
различного назначения обусловливает специфические требования
в устройству, конструктивному выполнению и эксплуатационным
характеристикам их привода — вибровозбудителя. Привод вибро-
машин сообщает им энергию, потребную для преодоления вну-
тренних потерь и выполнения полезной работы, обеспечивает
пуск и ввод в технологический режим.
330
Рис. 271. Расчетная схема колеба*
ния вибрационной машины
рис. 272. Векторная диаграмма
n^ni)2Sin ut
1*0
tilt—tp
1т+м)Дю?
<X(jA
Наиболее распространенными '^промышленности являются
инерционные вибраторы, в которых вынуждающая сила создается
вследствие вращения одной или нескольких масс. Создаваемая
этими вибраторами вынуждающая сила может быть вращающейся
или направленной.
Примерами вибраторов с вращающей вынуждающей силой
являются вибраторы типа дебаланса, в которых источником силы
является неуравновешенная масса: вибраторы' для создания эл-
липтических и бигармонических эллиптических колебаний.
Направленное действие вынуждающей силы осуществляется
двумя спаренными дебалансными вибровозбудителями, синфазно
и синхронно вращающимися с одинаковой угловой скоростью.
Направленная вынуждающая сила может быть получена от одного
дебалансного вибратора, если его шарнирно подвесить с помощью
коромысла в виде маятника. Коромысло расположено между
двумя пружинами для обеспечения устойчивого положения.
Для создания направленной вынуждающей силы, изменя-
ющейся по бигармоническому закону, применяют два спаренных
еамобалластных вибратора, один из которых вращается с удвоен-
ной по отношению к другому скоростью.
Рассмотрим колебания вибрационной машины массой М
(на рис. 271 mJ, с центробежным вибровозбуждением, когда вы-
нуждающей силой являются центробежная сила или ее проек-
ция на определенное направление. При равномерном вращении
неуравновешенных элементов — дебалансов, амплитудное зна-
чение вынуждающей силы
Fa =тога>2,
где т0 — масса дебалансов; г—эксцентриситет массы дебалансов относительно
оси вращения; ы — частота колебаний вынуждающей силы, равная угловой ско-
рости вращения дебалансов.
Дифференциальное уравнение движения данной системы с уче-
том уравнения (169) будет иметь вид
(Л1 + /п) х + сх + ссх — /иго2 cos оД. (469)
Пусть перемещение
х — Л cos Joi —ф). (470)
391
+ т) £й2Л. Возмущающая
углом гр к перемещению
Рис. 273. Схема центробежной системы:
а — рабочий орган приводится в движение ви-
бровозбудителем с круговой вынуждающей си-
лой; б—рабочий орган приводится в движение
вибровозбудителем, генерирующим направлен-
ную вынуждающую силу; / — рабочий орган;
2 — вибровозбудитель
Отложим это перемещение в виде
ректора (рис. 272), направленного
вертикально вверх и изображенного
пунктирной линией. Сила упругости
х61Х (здесь 6ХХ — перемещение уп-
ругих связей под действием единич-
ной силы), имеющая амплитуду Л/6И,
направлена в сторону, противопо-
ложную перемещению. Сила сопро-
тивления имеет амплитуду ах и на-
правлена под углом л/2к силе уп-
ругости. Сила инерции тх направ-
лена под углом л/2 (в сторону вра-
щения) относительно силы сопро-
тивления и имеет амплитуду (М +
сила mraz sin о/ направлена под
в сторону вращения A cos (ы/ —гр).
Из закона Ньютона следует, что сумма всех четырех сил в лю-
бой момент времени должна равняться нулю и, следовательно,
сумма вертикальных и горизонтальных проекции всех векторов
сил должна равняться нулю, т. е.
(tn + /И)И«)24- /Wrcosip — А = 0; (471)
m со2 simp = аыЛ. (472)
Из уравнений (471) и (472) находим значения
А • 9
„п„ .Г, 1 А - -W ^1 (т f0 _ А (р2 - (0«) .
4 “ 511 <?со2г qa»r '
аыЛ асоА (т + М) _ _ ш>А ______________________ 2пА (473)
Sirup тш2г ~ тш2? т f М " aArq (44 -j- tn) " wrq ’
где р — собственная частота колебаний системы, р =
—= с; 2п = сс/(т-|- М).
m-Р М 1
Используя формулу sin3 ip + cos2 ip = I, находим
A2 (p2—co2)2 4nM3 .
й2а>42 со2г2ра ’
откуда
A - qa2r <474)
pr4n.2<il2 ( (p2 — <oa)
511 (« I- M) ’
392
Угол сдвига фаз между перемещением системы и перемещением
дебаланса вибратора найдем из уравнения
Тр Я, = sin^ = 2пЛдт2г = 2пт ,
" cos ф wrqA (р2 — «*) (рг — в3) ’ ' '
Учитывая, что ось вращения дебаланса вибратора совершает
колебания и перемещается на величину х, получаем ускорение х;
сила инерции массы дебаланса т будет отличаться от центро-
бежной силы инерции массы в ее относительном движении. На
возбужденную колебательную систему будет действовать выну-
ждающая сила
F ~ тг<г? cos at — тх.
Дифференцируя дважды уравнение (473), получаем
х = —A cos (at —-ф) ®2.
Амплитудное значение силы F (см. 272)
F„ = та’У cos ф + тАа1. (476)
Подставляя значение cos ф из формулы (470) в уравнение
(476), имеем
л
° qt.j-r 1
Усилие R, передаваемое на возбужденную колебательную
систему, найдем с учетом сдвига фаз на угол л/2 между силой Fo
н силой сопротивления IJ7 = ааА,
R = у р0 + W2,
или
R = VAW + ш»? + 4n2A,
Г [ q J Ш + М
После подстановки в это уравнение значения амплитуды коле-
баний А из уравнения (474) получаем
Rmrtf (477)
' I 4Ао2 + (ра — со2)3 1 1
Для уменьшения конструктивной сложности и размеров вибро-
возбудителей, регулирования или стабилизации режимов вибра-
ций рабочих органов машин, уменьшения передаваемых на опор-
ные конструкции вредных вибраций применяют динамическое
управление вибрацией.
Рассмотрим динамическое управление траекторией вибрации
на примере центрированной системы (рис. 273, а) рабочий орган
7 которой с помощью вибровозбудителя 2 приводится в колеба-
тельное движение. В данной системе через центр масс рабочего
органа постоянно проходят равнодействующие упругих и дисси-
пативных сил, приложенных к рабочему органу. Совместим с глав-
ными осями жесткости оси х и у.
393
Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид
(/т^+Лф) х -ф схх ф ахх = тог(л2 cos со/;
(тг -ф Мо) у -ф суу 4- аиу == morco2 sin со/.
Перемещения х и у выразим уравнениями
х = Ах cos (со/ — фя); у = Ау sin (со/ — фу).
Рассуждая так же, как и в рассмотренном выше случае, по
уравнениям (474) и (475) получим
Л = wir
* у <»>’ + (₽“ -«>’)'
д _________.
У /4п>Ч(^-со2)’
tg^x=-^2; fg4, = 4^2’
РХ - & Ру — ®
2л — х 9п — у
^Пх м + т ’ Z •" т + М •
учетом уравнения (477) имеем
Rx = mrco2
i /~4«>г+[(Рх-(•-<?) “212
V 4nrco2 + (р2 — со2)2 ’
D 2 1 /4"« + К “ (1 ~ “1
W m/-C,)2 I / -JL---.
V 4п,;оУ + (р2 — со2)2
В данном случае точки рабочего органа описывают эллипти-
ческие траектории с полуосями эллипса Ах и Ау. Из получен-
ных уравнений следует, что если настройка системы вдоль обеих
осей координат одновременно дорезонансная или зарезонансная,
т. е. (рх — ы2)/(р‘у — со2) > 0, точки рабочего органа движутся
в направлении вращения дебаланса. Если (р2 — со2)/(ру — со2) <
< 0, т. е. настройка вдоль одной оси дорезонансная, а вдоль дру-
гой зарезонансная, точки движутся в направлении, противополо-
жном вращению дебаланса.
Траектории точек рабочего органа будут круговыми при
Рх ± РУ со и при со - I (р2х — р2у)!2. В первом случае направ-
ление движения совпадает с направлением вращения дебаланса,
во втором — направление движения является противоположным
вращению дебаланса.
Если рабочий орган совершает эллиптические колебания,
то оси элиптической траектории не параллельны осям координат.
При этом рабочий орган перемещается в направлении вращения
дебаланса при фр — фх < л/2 и противоположном — при фр*—
— фх > л/2. При (фр — фх) = л/2 эллиптическая траектория
становится прямолинейной.
394
Рис. 274. Линейная система с одной степенью свободы:
1 — пружина; 2 — тело массой т; 3 — направляющие; 4 —
демпфер; 5 — неподвижная стойка
В случае центрированной системы, когда
рабочий орган 2 приводится в движение ви-
бровозбудителем /, генерирующим направ-
ленную вынужденную силу (рис. 273, б) и вынуждающая сила
направлена к оси Ох под углом а (оси Ох и Оу совпадают с глав-
ными осями жесткости и главными осями сопротивления), диффе-
ренциальные уравнения движения имеют вид
(т -ф т0) х -ф Ьхх -ф ахх = mora2 cos a cos at,
(rrii -ф m0) у -ф Ьуу -ф а.уУ — m0ra2 sin a cos at.
Выражения для амплитуд колебания Ах и Ау будут отли-
чаться от выражений (474) тем, что уравнение для Ах надо ум-
ножить на cos а, а для Ау —• на sin а.
При фж = фу рабочий орган движется прямолинейно, при
фж ¥= фф совершает амплитудные колебания: против часовой стрел-
ки при < Фу и по часовой стрелке при фж > фу.
Если Ах — Ау и Ф„ — фж = л/2, то рабочий орган совершает
круговые колебания. На основе анализа работы центрированных
систем можно отметить следующее: возможно изготовить центри-
рованные системы, которых под действием вибровозбудителя на-
правленного действия рабочий орган будет колебаться вдоль
прямолинейной траектории, расположенной под любым углом
к направлению воздействия вынуждающей силы, в том числе и
перпендикулярно, а также по эллиптической траектории с рас-
положением под любым углом ее оси к направлению воздействия
вынуждающей силы и по круговой траектории.
Также возможно изготовить центрированные системы с виб-
ровозбудителем кругового действия при совершении колебаний
рабочим органом по прямолинейной траектории с различным углом
наклона к главным осям жесткости и сопротивления, по элипти-
ческим и (круговым) траекториям с различным углом наклона
оси траектории.
При конструировании вибрационных машин определение мощ-
ности, потребной для поддержания вибрации рабочего органа,
имеет немаловажное значение. Учитывая, что факторы, определя-
ющие рассеяние энергии при колебаниях, не являются стабиль-
ными и изменяются в широких пределах, рассмотрим данную
задачу упрощенно для линейной системы с одной степенью сво-
боды (рис. 274).
Пусть система совершает колебания под действием вынужда-
ющей силы
F' = Р sin at.
(478)
395
Источник энергии развивает в данный момент времени мощ-
ность, равную произведению вынуждающей силы и скорости коле-
баний:
N = Fy.
В течение одного периода для поддержания колебаний потре-
буется мощность
2Л/й>
J Fydt. (479)
о
Из формулы (164) имеем
у — —A м cos (Й/— <р). (480)
Подставляя в уравнение (479) значения F и у из уравнений
(478) и (480), получаем
— лРЛ sin ф,
где Л и ср — соответственно амплитуда и угол сдвига фаз, которые определяют
по формулам (474) и (475).
Найдем среднюю мощность, которую развивает источник
энергии,
,, I г, я 1 P'nOdn
^СР ““ ~2л Т 8Ш ф = -у- т _|_4пй2 =
P0Q sin 2<р
~ 4m (со2 - Q2)"
Правая часть полученного равенства достигает максимума
при sin 2ф — 1 и Й < w или при sin 2ф = —1 и й > <о. Этим
двум условиям соответствует ф,„ = л/4 и фя = Зл/4.
Максимальное значение средней мощности вибровозбудителя
Мер max = Ро 4т (ф2 _ Q2) 2И (481)
Полученное выражение применяют в конструкторской прак-
тике для различных случаев, так как оно найдено как первое при-
ближение независимо от характера закона рассеяния энергии.
§ 36. КОНСТРУКЦИИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
Центробежное генерирование одночастотных вынуждающих
воздействий может быть получено различными способами. Рас-
смотрим эти способы па примере дебалансных вибровозбудителей,
когда дебалансы вращаются равномерно или синхронно.
По схеме на рис. 275, а работает вибратор типа дебаланса
(рис. 276), корпус которого с помощью болтового соединения при-
креплен к рабочему органу вибрационной машины. Вал 4 этого
вибратора установлен в роликовых подшипниках 3, расположен-
ных в корпусе 2. Дебалансные диски 1 с регулированными гру-
зами закреплены на консольных кольцах вала. Привод произво-
396
Рис. 275. Схема генерирования одночастотных вынужденных воздействий:
а—в — круговой равномерно вращающемся вынуждающей силы; г—е — синусоидально
изменяющейся; д — вокруг двух параллельных осей; з — эллиптической вынуждающей
силы вокруг одной оси двух дебалансов с различными статическими моментами
дится с любого конца вала от электродвигателя через муфту,
клиноременную передачу и т. д.
Вибратор (рис. 277), с помощью которого может быть получена
направленная прямолинейно вынуждающая сила благодаря ра-
венству кинетических моментов дебалансов, или эллиптическая
возмущающая сила при отсутствии указанного равенства.
Валы вибратора 4 и 6 вращаются в подшипниках, располо-
женных в корпусе 2, и соединены зубчатыми колесами 1 и 5.
Благодаря последним обеспечивается синхронное вращение валов
в противоположные стороны. Дебалансы 3 и 7 расположены на
консольных концах валов. Вал 6 соединен с электродвигателем
с помощью карданного вала. Вибраторы данной конструкции чаще
всего устанавливают попарно по бокам грузонесущего органа и
соединяют карданным валом.
397
В качестве вибровозбудителей на бункерах широко используют
мотор-вибраторы (рис. 278), снабженные секционным дебалансом,
имеющим два поворотных элемента на приводном валу. На кон-
сольной части приводного вала установлен ротор электродвига-
теля. Вибратор к машине крепится с помощью кронштейнов.
С помощью спаренных мотор-вибраторов может быть получена на-
правленная возмущающая сила.
Помимо центробежных вибровозбудителей применяют также
электромагнитные, эксцентриковые, гидравлические и другие
вибровозбудители.
Важнейший деталью дебалансного вибровозбудителя является
дебаланс. Обычно дебаланс имеет призматическую форму, его
масса
т0 = pbS,
где р — плотность материала дебаланса; Ь — толщина дебаланса; S — площадь
его поперечного сечения.
Рис. 278, Мотор-вибраторы:
а — несимметричной конструкции: б — симметричной конструкции; 9 — подшип-
ники; 2 — корпус вибратора; 3 — приводной вал; 4 — статоры электродвигателей;
5 — ротор электродвигателя; 6 — поворотные элементы; 7 — корпус дебалансов; 8 —
приводной вал с двумя консольными концами; 10 — неподвижный дебаланс; 11 — по-
движный дебаланс
398
Рис. 279. Дебалансы:
а, 6 — раздвижные; б — с двойным эксцентриком; в — со ступенчатым регулированием;
г — с накладной частью; д — раздвижные с возможностью поворота одной части отно-
сительно другой; е — самовыдвигающийся
Таким образом, статический момент массы дебаланса (иногда
называют его кинетическим)
mor = pbSr,
где S, — статический момент площади поперечного сечения дебаланса отно-
сительно оси, проходящей через ось вращения и перпендикулярной радиус-век-
тору центра площади дебаланса.
Дебалансы разделяют на нерегулируемые (неподвижно
закрепленные на валу), регулируемые и самоустанавливаю-
щиеся.
Регулируемый дебаланс (рис. 279, а) состоит из двух частей,
закрепленных на валу посредством клеммного соединения. При
повороте одной части относительно другой изменяется суммарный
статический момент массы. Регулируемый дебаланс может быть
выполнен также в виде обода 1, подвижно установленного на
эксцентричной втулке 2, неподвижно закрепленной на валу
(рис. 279, б). Обод фиксируется на втулке с помощью винта. Для
ступенчатого регулирования статического момента массы в отвер-
399
45°
Рис, 280, Способы против самоотвинчивания
резьбовых соединений при вибрации;
а — стопорением при помощи отгибной шайбы;
б — разрезной контргайкой, заклинивающей-
ся в основной гайке по конической поверх-
ности
стия диска 2, посаженного на валу,
вводят необходимое количество
стержней 1 (рис. 279, <?). Для ре-
гулирования момента к основной
массе дебаланса может быть при-
креплена корректирующая масса.
. Самовыдвигающийся дебаланс
(рис. 279, е) выступает из кор-
пуса при превышении номиналь-
ного значения центробежной силы,
которая действует на подвижную
часть 3 поджатия пружины 6,
зажатой между закрепленной на
валу частью 4 и стаканом 7.
Натяжение пружины регулируют
завинчиванием гайки 8 на шпильке 5. Данная конструкция деба-
ланса облегчает пуск, начинающийся при малом значении mt,r.
Последняя величина также становится минимальной во время
выбега при приближении машины к резонансу.
Надежность дебалансных вибровозбудителей зависит от под-
шипников, так как последние воспринимают вынуждающую цен-
тробежную силу.
Для предупреждения недопускаемого разогрева подшипников,
влекущего преждевременный их износ, необходимо стремиться
к небольшим диссипативным сопротивлениям вращению. Такие
сопротивления характерны для подшипников качения. Рекоменду-
ется применение консистентных смазочных материалов, хорошо
работающих при высоких температурах, или жидкой смазки.
Так как в большинстве случаев приводные электродвигатели
жестко связаны с колеблющимися частями и работают в тяжелых
условиях, рекомендуется применять наиболее выносливые асин-
хронные электродвигатели специальной конструкции.
При вибрации уменьшаются силы трения, поэтому возможно
нарушение самоторможения в неподвижных соединениях деталей,
особенно резьбовых. Рекомендуется в вибрационных машинах
и вибрирующих узлах гайку стопорить с помощью отгибной шайбы
(рис. 280, а) и применять разрезную контргайку, заклинивающуюся
в основной гайке по конической поверхности (рис. 280, б) [4].
Надежность работы вибрационных машин в значительной сте-
пени зависит от конструкции упругих элементов, качества их из-
готовления и монтажа.
Часто упругие элементы устанавливают в вибромашинах для
усиления или стабилизации колебаний рабочих органов. Эти упру-
400
тренним; в — закрытым;
г — трубчатым; д — открытым, установленным на несущем каркасе из прокатных
профилей; / — лоток; 2 — внутренний несущий каркас; 3 — внешний несущий каркас
гие элементы также применяют в качестве виброизоляторов.
Наиболее распространены металлические, резиновые и в виде упру-
гой оболочки. Одним из важнейших свойств упругих элементов
является диссипация энергии колебаний, происходящая вслед-
ствие потерь энергии внутри материала деформируемого тела и
при контактировании последнего с сопрягаемыми узлами.
Упругие элементы, обеспечивающие усиление или стабилиза-
цию колебаний рабочего органа вибромашин, должны иметь низ-
кое значение коэффициента поглощения, свидетельствующее о ми-
нимальной диссипации в них энергии.
При резонансных колебаниях заданной частоты линейной си-
стемы с одной степенью свободы амплитуда колебаний
.4 ж 2л#С1/ф,
Следует учитывать также, что часть колебаний, превративша-
яся в тепловую энергию в упругом элементе, пропорциональна
ф. При высоких значениях ф и плохой теплоотдаче возможен пере-
грев упругих элементов и выход их из строя, что особенно возмо-
жно при выполнении их из резины. При плохих условиях тепло-
обмена в металлических упругих элементах с повышением темпе-
ратуры уменьшается модуль упругости материала и, следовательно,
снижается жесткость упругих элементов. Следует отметить труд-
ность определения диссипативных характеристик. Колебания усло-
вий сборки и регулирования в ряде конструкций могут приводить
к нежелательным изменениям коэффициентов поглощения.
Вибрация является наиболее эффективной формой механиче-
ского воздействия на различные дисперсные системы и может
401
Рис. 282. Горизонтальные вибрационные конвейеры с электромагнитными и центро-
бежными вибровозбудителями:
а, б — подвесные; в, г — опирающиеся
быть успешно использована для интенсификации технологических
процессов пищевых производств. К этим процессам относятся тран-
спортирование сыпучих компонентов, дозирование, просеивание,
измельчение, сушка и т. д. При проектировании и эксплуатации
вибрационных машин основное внимание уделяется приводу.
Рабочие органы вибрационных машин в зависимости от назначе-
ния имеют различное устройство и конструкцию.
Дозирующие рабочие органы в основном по конструктивному
исполнению аналогичны транспортирующим органам. Транспорти-
рующие органы часто выполняют другие функции, например
рассев, сушку, охлаждение, обезвоживание и другие операции.
Такие рабочие органы включают устройства для загрузки и
выгрузки приспособление для установки привода и крепления
упругих элементов и т. д. Для перемещения материалов верти-
кально вверх применяют винтовые желоба. На рис. 281, а показана
402
Рис. 283. Инерционные вибрационные грохоты:
1 — мотор-вибратор; 2 — виброизолирующая упругая подвеска; 3 — короб; 4 — сито;
5 — еамобалансный вибратор; 6 — реактивная масса; 7 — основные упругие элементы;
8 — дебалансный вибратор
конструкция с наружным лотком, укрепленным на внутренней
несущей колонне, и с внутренним лотком, открытым для доступа
и укрепленным на наружной несущей колонне (рис. 281, б).
На рис. 282 показаны схемы вибрационных конвейеров с электро-
магнитными и центробежными вибровозбудителями, выполненными
подвесными (рис. 282, а, б) или опорными (рис. 282, в, г). В по-
следнем случае имеется опорная рама.
В вибрационных машинах с длинными грузонесущими орга-
нами устанавливают несколько вибровозбудителей.
Для просеивания и сортирования различных пищевых продук-
тов по крупности и плотности, а также для промежуточного от-
деления различных фракций (нежелательных примесей, зерна,
риса и т. и.), для разделения по размерам таких продуктов, как
огурцы, лимоны, рыба, используют виброгрохоты и сепараторы,
по конструктивному исполнению и динамическому устройству
аналогичные вибрационным питателям и конвейерам. Особенно-
стью виброгрохотов и сепараторов является конструкция рабочего
органа, выполненного наклонным, ~с круговыми колебаниями
(рис. 283, а, д), горизонтальным с двумя самосинхронизирующи-
403
Рис. 284. Зависимость скорости транспортирования от частоты колебаний
Рис. 285. Схема колебательной системы ьиброцентрифуги с осевыми колебаниями ро-
тора от эксцентрикового привода
мися мотор-вибратор ами, совершающими прямолинейные колеба-
ния (рис. 283, б). Применение нежестких пружин для подвески
или опирания обеспечивает отсутствие передаваемых усилий на
несущую конструкцию.
На рис. 283, г приведена схема вибрационного грохота на
виброизоляции с применением реактивной массы. Вибрационные
машины, в которых возникают большие переменные нагрузки,
работают в зарезонансной области, их устанавливают на виброизо-
ляции с реактивными массами. При проектировании виброма-
шин необходимо правильно выбрать режим колебаний ее рабочих
органов. Рассмотрим, например, определение режима работы виб-
рационных транспортирующих и транспортно-технологических
машин.
Скорость вибротранспортирования рекомендуют определять
с помощью следующей зависимости:
V — V.yk,
где гц — скорость эталонного продукта; k — экспериментальный коэффициент
транспортабельности продукта (17 J.
Зависимость скорости транспортирования эталонного сыпу-
чего продукта (слоем толщиною до 50 мм) при горизонтальной уста-
новке вибромашины и угле вибрации 20° от частоты колебаний при
различных амплитудах колебаний приведена на рис. 284. Из
приведенных кривых видно, что чем больше амплитуда колебаний,
тем быстрее при более низких частотах достигаются экстремаль-
ные скорости транспортирования.
Представителем новых вибрационных машин являются центри-
фуги с вибрационной выгрузкой осадка. Эти машины по ряду удель-
ных показателей — металлоемкости, энергозатратам и другим
превосходят центрифуги других типов. Эти центрифуги при зна-
чительном повышении эффективности центробежного фильтрова-
ния характеризуются эффективной вибрационной выгрузкой осад-
404
ка из ротора. В этих машинах комплексно решена проблема
использования поля центробежных сил и вибраций для разделения
неоднородных систем и обеспечения вибротранспортирования
осадка внутри быстровращающегося ротора.
Расчет вибрационных центрифуг рассмотрим более подробно,
по сравнению с предыдущими вибрационными машинами в связи
с их большей сложностью.
Выгрузка осадка из ротора конической формы осуществляется
переносными силами инерции, которые возникают при осевых,
крутильных или сложных колебаниях ротора.
Современные вибрационные центрифуги отличаются направ-
лением колебательного движения ротора и способом возбуждения
колебаний, т. е. конструкцией виброиривода. Используют центри-
фуги с вертикальным и горизонтальным расположением ротора.
Осевые колебания ротора обеспечиваются чаще эксцентриковым
и реже инерционным самобалансным приводами.
Колебательная система (рис. 285) с эксцентриковым приводом
включает ротор центрифуги массой mlt который упруго связан со
станиной массой т2 с помощью упругой связи с12 и с эксцентрико-
вым приводом с помощью упругой связи с01. Станина центрифуги
песет эксцентриковый привод с автономным приводом и упруго
связана (с2) с опорой фундаментной рамы.
С помощью эксцентрикового привода возбуждаются колебания
ротора с частотой, близкой резонансной частоте колебательной
системы центрифуги, и с амплитудами, необходимыми для вы-
грузки осадка 1661.
Связь между амплитудой колебаний ротора и амплитудой
станины Л2 при определенном выборе параметров колебательной
системы выражается зависимостью
Лх/Л, = (&2 — n72p3)/mjp2,
где р — угловая скорость эксцентрикового вала; kt~ приведенный коэффициент
динамической жесткости упругой связи.
При k2 -*0, т. е. при малой жесткости опорных виброизоля-
торов,
Лх/Л2 = —тг!тг. (482)
Применение эксцентрикового привода колебаний вибрацион-
ных центрифуг дает возможность получить устойчивую амплитуду
осевых колебаний ротора при изменении внешних параметров, но
обусловливает возникновение больших динамических нагрузок при
переходных режимах работы центрифуги.
В вибрационной центрифуге с инерционным возбуждением
осевых колебаний (рис. 286) параметры колебательной системы
подбирают таким образом, чтобы частота вынуждающей силы была
близка к собственной частоте колебаний ротора при превышении
в несколько раз резонансной амплитуды осевых колебаний рото-
ра и амплитуды колебаний корпуса центрифуги.
405
Рис. 286. Схемы колебательных систем виброцентрифуг с инерционным возбуждением
осевых колебаний:
а — центрифуга «Ведаг» (ФРГ); б—центрифуги ВГ-1 (СССР) и фирмы «Зибтехник» (ФРГ)
Рис. 287. Схема центрифуги с крутильными колебаниями ротора
Главным недостатком центрифуг с осевыми колебаниями ро-
тора является неравномерное воздействие инерционных сил на
осадок по длине ротора вследствие его конусности. Отношение
вибрационного ускорения к центробежному уменьшается с увели-
чением радиуса вращения, так как
z = Ар2 sin 6/со3г,
где Ар2 sin 0 — вибрационное ускорение осевых колебаний; ы2г — центробеж-
ное ускорение; ггащ г бпах — радиус вращения.
Фактор разделения этих центрифуг мал из-за необходимости
повышения вибрационного ускорения с увеличением центробеж-
ного ускорения. Повышение вибрационного ускорения затруднено
вследствие сложности конструктивного решения данной задачи.
Указанные выше недостатки не имеют вибрационные центри-
фуги с крутильными колебаниями ротора (рис. 287). Корпус виб-
ратора этих центрифуг одновременно является приводным шки-
вом, и на нем жестко закреплен ротор 1. Корпус вращается вокруг
неподвижной оси 6 и шестерней. Вращающиеся сателлиты 4 имеют
неравномерные грузы 5, которые возбуждают переменный по зна-
чению и направлению крутящий момент, обусловливающий коле-
бания скорости вращения корпуса вибратора совместно с ротором.
Центрифуги с ускорением крутильных колебаний, достаточ-
ных для выгрузки осадка, могут иметь фактор разделения 500 ...
... 1000.
Вибрационные центрифуги, в которых осуществляются кру-
тильные колебания, чаще всего проектируют с колебательными
системами с упругими связями между элементами для обеспечения
около резонансного режима работы. К колебательной системе
предъявляются требования создания большой амплитуды коутиль-
ных колебаний роторам и минимальной амплитуды колебаний при-
водного шкива. Первое требование обусловлено необходимостью
обеспечения режима разделения продукта и его выгрузки, а
второе тем, что большие амплитуды крутильных колебаний при-
водного шкива вызывают повышенный износ приводных ремней
и передаются на электродвигатель.
406
Рис. 288. Схема и формы собствен-
ных колебаний трехмассовой ко-
лебательной системы
Рассмотрим двухмассо-
вую колебательную кру-
тильную систему. По ана-
логии с формулой (482)
можем написать соотноше-
ние между амплитудами
колебаний обеих масс:
<7л/<7ог = (483)
J; J2
<h Чг I1
где <7о1 и qw— амплитуды крутильных колебаний масс, рад.; и J2 — при-
веденные моменты инерции масс ротора и шкива, кг-м2.
Из формулы (483) следует, что амплитуды колебаний масс
обратно пропорциональны их моментам инерции и направлены
в противоположные стороны. Легко получить форму колебаний
двухмассовой системы, откладывая соответствующие для масс от-
носительные амплитуды су0 , р02 в зависимости от положения рас-
сматриваемого сечения системы. Эта форма имеет один узел ко-
лебаний, т. е. сечение торсиона, не участвующее в процессе коле-
баний. Для того, чтобы амплитуда колебаний шкива q^, была малой,
необходимо по уравнению (483) значительно увеличить массу
шкива J2. Следовательно, выбор двухмассовой колебательной
системы центрифуги требует изменения большой балластной массы
шкива. Избежать этого можно присоединением к шкиву, напри-
мер, маятникового или линейного динамического гасителя коле-
баний. В результате получается трехмассовая колебательная
система (рис. 288).
Рассмотрим вал со свободными концами, нагруженный диска-
ми, моменты инерции которых J2, Jn. Жесткости участков
вала между дисками i и i + 1 (рис. 288) — S;.
Обозначим через q, текущие углы поворота соответствующих
масс, рад; — амплитуды крутильных колебаний соответству-
ющих масс, рад. Кручение участка вала i будет определяться
разностью (<7(-+i — р;) углов поворота двух смежных дисков и
крутящий момент, действующий на участок,
нр — $1 (?i i7i+l)-
Кинетическая и потенциальная энергии диска

U — ~2~ «Р ~~ Ji л) — "2“ $1 (jl — Ji+lY-
407
Кинетическая и потенциальная энергии всей системы
т = S Л = S
U = Sdtli-q^y/2.
Воспользуемся уравнением Лагранжа:
d дТ дТ , ди
dt dqt dqt ' dqt “ '
В случае вала со свободными концами, несущего п дисков,
дТ , . . d дТ ... дТ „
dqt dt dqi " ’
— Qi) + (<7; — 7;+1).
Следовательно, получим n уравнений вида
JiQi + $/ (?, — 7/+3) - SZ-1 (7,^ - 7j.) = 0. (484)
Решение' будем искать в форме
q =, qoi cos (со/ + а),
где <о — частота собственных колебаний системы; а — угол сдвига фаз коле-
баний; I — время.
Тогда
7; = —и27о; cos (со/ 4- а).
Подставляя значения 7, и q, в уравнения (484), получаем
—J firc/oi cos (со/ -j- а) • j- Si (qo, —• 7о (t 4-1)) cos (со/ -ф а) —
—Si-i (7о (с-i) — 7о>) cos (со/ -ф а) = О,
откуда
—со2/iq0i -|- S, (уы — 7о (i+i)) — Si—i (70 (г—i) — 7ос) = 0.
Это уравнение можно записать в следующем виде:
7ос (со2/i — Si — Si^\) 7о 7о <с—o-Sc—1 — 0; (/=1,2... /г).
Получена система однородных и линейных уравнений с п
неизвестными. Каждое уравнение будет состоять из трех членов,
за исключением первого и последнего, так как
S;-i = 50 —0; Sn = 0; q0 («-j-ij = 0-
При наличии трех дисков имеем
7oi Ui®2 *^1) 4~ — 0;
7о1^с 4“ 7о2 2®2 — ^2 —' ^i) 'F = 0;
/02^2 4* 7оз (Т з®2 — 52) — 0.
(485)
408
Уравнения имеют решение при q'0l = q,-r2 = qa3 = 0. Это озна-
чает, что недеформированное состояние системы соответствует
отсутствию колебаний.
При (?01, «/иг, не равных нулю, уравнения допускают ре-
шения, если определитель этой системы будет равен нулю:
Развертывая определитель, после преобразований получаем
J— [(/ 1А -|- J2J3) 51 + (ЛА 1/3) 5g] Ис 4*
4~ (/I 4_ /2 4" /3) 515гИс -= 0.
Полученное уравнение частот имеет один из корней ю? — 0,
когда <7С1, <7о2, (/оз не равны нулю и решение системы уравнений
будет при </01 — <7ог — </оз> что соответствует синхронному враще-
нию всех масс.
Сократив последнее уравнение на Юс, получим
J(А/з^с — [(/ 1Л + ЛЛ) 5, 4- (J1J2 4* J 1^3) 52] (Ос +
+ (Л + Л + Л)5152-0. (486)
Полученное уравнение является частотным уравнением трех-
массовой системы.
При резонансе с первой собственной частотой крутильных коле-
баний системы жесткости и моменты инерции масс можно вы-
брать такими, чтобы шкив, момент инерции которого равен </2,
располагался в зоне узла колебаний, т. е. таким образом, чтобы
он не совершал колебания, а концевые массы ротора (момент инер-
ции J ) и гасителя (момент инерции /3) колебались бы в проти-
вофазе.
Соотношение жесткостей и 32 моментов инерции системы
при <?02 = 0 найдем из системы уравнений (485), опа распадается
на три независимых уравнения:
(Si — со/./1) <7oi = 0; (487)
’ 51</01 — 52<7оз = 0; (488)
(5г — Юс/з) (/оз = 0. (489)
Из уравнений (487) и (489) при q01 и qa3, не равных нулю,
имеем
Si — <01/1 = 0; Sn — Юсг/з’—О; cl>ci = Si/Ji, 0)^5 — S%/J3-
Приравнивая правые части, получаем
или SI/S2=Ji/J3. (490)
409
Рис, 289. Схема виброцентрифуги с кинематическим возбуждением крутильных колебаний
Из уравнения (488) имеем
—Sj/S3 — <7оз^оУ’
Из последних двух уравнений найдем
—~ (491)
Следовательно, при соблюдении соотношения (490) амплитуды
свободных колебаний трехмассовой системы с первой собственной
частотой обратно пропорциональны моментам инерции концевых
масс и не зависят от момента инерции шкива, расположенного
в зоне узла колебаний. При этом также безразличны параметры
передачи и момент инерции вращающихся частей двигателя.
Из уравнения (490) находим
Sj = S2J j/ Js.
Подставляя Si в уравнение (486), после преобразований полу-
чаем
_ (Л + 2Л + J3) 5га2 .(Л + ЛЯ-Л.) 52 = о.
Корни данного частотного уравнения после преобразований
найдем в виде
2 (А Т" 2Ji 4- Ja} 4~ (Ji -Т J з) $2
®с 1Л =-----------2ЛЛ------------
откуда первая и вторая собственные частоты
COcl — S2/J3, Wc2 = [>§2 (/1 + /2 -J- •/з)]/^2^3-
Таким образом, можно сделать вывод, что центрифуга с кру-
тильными колебаниями ротора должна иметь минимум три колеб-
лющиеся массы с рабочим резонансным режимом (для трехмассо-
вой системы), близким к первой собственной частоте.
Регулирование амплитуды крутильных колебаний ротора
вс ледствие изменения частоты возмущающего момента требует при-
менения вариатора в приводе центрифуги или источника электро-
410
энергии с регулируемой переменной частотой питания электродви-
гателя.
О. Т. Стороженко разработал конструкцию вибрационной цен-
трифуги (рис. 289) с кинематическим возбуждением крутильных
колебаний, в которой амплитуда колебаний ротора достаточно
просто регулируется изменением возмущающего момента. Филь-
трующий ротор 1 этой центрифуги закреплен на полом валу 3.
Вал вращается в подшипниках 2, 5, установленных в неподвижном
корпусе. Ведомая вилка механизма кинематического возбуждения
колебаний закреплена на ступице 7, которая опирается на под-
шипники 6, установленные на консоли вала 3 [66].
Ротор центрифуги упруго соединен с механизмом кинематиче-
ского возбуждения крутильных колебаний с помощью торсиона 4,
установленного внутри полого вала.
Механизм кинематического возбуждения колебаний состоит
из соединенных последовательно двух универсальных шарниров
неравных угловых скоростей. Вилки 8 и 10 промежуточного вала 9
установлены во взаимно перпендикулярных плоскостях. На по-
лом валу 17, вращающемся в подшипниках корпуса 14, установ-
лен диск линейного антивибратора 15.
Ведущая вилка механизма кинематического возбуждения кру-
тильных колебаний и сменный шкив 12 клиноременной передачи
закреплены на ступице 13, установленной на подшипниках 11
консольного полого вала антивибратора.
В полом валу 17 установлен торсион 16. При смещении валов
3 и 17 кинематический механизм передает движение вращения
неравномерно за один оборот, совершая периодически два пол-
ных колебания, пропорциональные смещению валов ротора и
антивибратора.
Описанная конструкция, содержащая три массы, которые со-
единены между собой торсионами, имеет регулируемое при работе
возбуждение колебаний и один двигатель, энергия которого рас-
ходуется на вращательное движение, и возбуждение колебатель-
ного процесса в системе.
ГЛАВА JX
ВИБРАЦИОННАЯ ЗАЩИТА
§ 37. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВИБРОЗАЩИТЫ
Возникающая при работе машин вибрация может быть опасна
для технических объектов и человека. Вибрация обусловливает
знакопеременные напряжения в деталях машин, ведущие к накоп-
лению повреждений в материале и, следовательно, к появлению
усталостных трещин и разрушению.
Вибрация может вызывать относительные смещения сопряжен-
ных поверхностей в соединениях конструктивных элементов, и при-
водить к нарушению функционирования машины (к отказам).
Снижение интенсивности колебаний объекта достигается умень-
шением уровня механических колебаний, вызываемых данным
объектом, т. е. снижение виброактивности объекта (источника)
изменением конструкции объекта. Этот метод называют внутрен-
ней виброзащитой объекта. Для снижения уровня вибрации иног-
да присоединяют к объекту механические системы, называемые ди-
намическими гасителями колебаний. Часто между объектом и
источником возбуждений устанавливают дополнительную систе-
му, защищающую объект от механических воздействий, называе-
мую виброизоляцией.
Как. показано выше,- с увеличением эксцентриситета вращаю-
щихся масс возрастают амплитуды колебаний валов, а следова-
тельно, и динамические усилия, воспринимаемые опорами и дру-
гими деталями. Поэтому эксцентриситет ограничивают в той или
иной степени в зависимости от окружной скорости деталей и узлов
оборудования и точности их изготовления. Так как энергия виб-
рации возрастает пропорционально квадрату частоты колебаний,
по отношению к быстроходным машинам предъявляют более жест-
кие требования.
Детали, вызывающие вибрацию, можно разделить на две
группы: детали грубых механизмов и тяжелые детали точных ме-
ханизмов. Для каждой группы устанавливают определенный до-
пуск на смещение центра масс детали в зависимости от окружной
скорости (рис. 290).
' Допустимое смещение центра масс детали может определяться
и требованиями, которые предъявляют к технологическому про-
цессу, выполняемому на данной машине. Например, допустимая
неуравновешенность приводов молочных сепараторов определя-
ла
Рис. 290. Зависимость допустимого сме-
щения центра масс от окружной скорости:
1 — деталей грубых механизмов; 2 —
тяжелых деталей точных механизмов
ется условием обеспечения не-
обходимой степени обезжири-
вания молока. При выборе
допускаемой неуравновешенно-
сти роторов сепараторов не-
обходимо также учитывать
биение в винтовой передаче
и допуск на межцентровое, рас-
стояние, которое для молочных о,гю3 о,б но3 2 « б но'’ 2 п, об/мин
сепараторов составляет 0,1 мм.
Обеспечение допустимого смещения центров масс вращающихся
деталей и узлов достигается балансировкой на специальных уста-
новках.
Если колебания обусловлены работой находящихся вблизи
мощных низкочастотных компрессоров, то целесообразно объеди-
нение машины (по две) при жесткой синхронизации, исключающей
возможность биения.
При возможности возникновения резонансных колебаний сле-
дует изменять окружную скорость машины с учетом определен-
ных технологических требований. Для уменьшения колебаний при
прохождении через резонанс стремятся к быстрому пуску и тор-
можению машин, что может быть обеспечено при использовании
механического или электрического тормоза.
При выполнении некоторых технологических процессов воз-
никает неуравновешенность вращающихся узлов машин, которую
невозможно устранить балансировкой; Например, при обработке
сахарного утфеля в центрифугах'вследствие его неравномерного
распределения в роторе возникает значительный дебаланс.
Рис. 291. Упругая опора
Рис. 292. Виды расцентровок роторов
перед соединением полу муфт:
а — радиальная (осевая); б — торцовая
(угловая)
413
X
Рис. 293» Радиальная нессосность валов:
а — расчетная схема; б — к определению соотношений между координатами центров
полумуфт; о — схема действия нагрузок в плоскости сочленения полумуфт
То же происходит и при центрифугировании других продуктов.
На рис. 291 показана конструкция упругой опоры, большая
податливость которой обеспечивается благодаря применению
упругого стакана. Иногда для опирания ротора применяют не
одну упругую опору, а две [32]. j
Рассмотрим в качестве примера влияние на виброактивность
несоосности соединения роторов,
Как известно, правильность соединений вращающихся деталей
подвергается строгому контролю. Расцентровку роторов1 опреде-
ляют по расхождению кромок полумуфт перед затяжкой соедини-
тельных болтов (рис. 292). Расцентровка может быть радиальной,
когда имеет место радиальное смещение осей р, и торцовой (угло-
вой), при которой образуется угловое смещение поверхностей
полумуфт на угол ср = (а — Ь)Ю. Отметим, что во многих рота-
ционных машинах при эксплуатации не наблюдалась значитель-
ная вибрация после ремонта, связанного с разъединением полу-
муфт.
Пусть имеются два ротора, соединенных жесткой муфтой,
с радиальной несоосностью р (рис. 293, а). Для упрощения пре-
небрегаем массой роторов [32].
Для валов 1 и 2 связь между прогибом v и углом поворота ср
в точках О и 03 и силой Р и моментом Л!п действующих в тех же
точках, представим в виде
и, = 81ПР ср = 621Р -ф 622М,
где би!, 6/12 — единичные перемещения концевых сечений валов.
414
Пусть Oxyz — неподвижная система координат, причем ось
г совмещена с линией опоры, а ось х с линией несоосности
(рис. 293, б). Обозначим через координаты точек 0it а через
рг; 0 углы поворота полу муфт и концевых сечений валов вокруг
соответствующих осей.
Координаты связаны зависимостями
х2 = х, 4- р cos 0; у2 = уу + Р sin 0; ф2 = ф,р2 = (492)
На рис. 293, в представлена схема, на которой произведена
замена воздействия одного вала на другой нагрузками. Запишем
xi = бцЛ + х2 — р = —6нпЛх + 612цЛ4(4
У[ = &l\lPy — 6i2lMx, t/2= —SllII-Ру — 612цЛ1х;
(493)
= —82цРу -j- 622144я, ф2 — —^2iiiPу 82щЛ4х;
ai — §2i\Px + ^221^, р2 “
Решая систему уравнений (493) с учетом (492), имеем
Рх = —Ар (cos 0 — 1); Мх = —Bp sin 0;
Ру = —Лр sin 0; Му = Bp (cos 9 — 1), (494)
где А и В — функции единичных перемещений.
Если роторы вращаются с постоянной угловой скоростью со
при 0 = Ы, то величины Рх и Му слагаются из динамической и
статической составляющих [см. уравнение (494)1.
Для динамических составляющих имеем
Р,.„ — —Лр cos со/; Л4г.„ = —Bp sin со/;
Рул — —Лр sin со/; Муя = Bp cos со/.
Из этих уравнений видно, что радиальная несоосность обуслов-
ливает возникновение возмущающих силы и момента, действую-
щих в плоскости сочленения полумуфт. Эти возмущающие факторы
вызывают и действие динамических реакций опор.
Рис. 294. Компенсаторы:
/ — 3 — соединения, компенсирующие несоосность и угловые перемещения; 4—6 — шли-
цевые муфты с эвольвептпым зубом
415
Рис. 295. Соединение несоосных валов:'
л —шлицами, нарезанными на приводном валу (нецелесообразное); б — удлинением
хвостовика приводного вала (приводит к биению); я — с помощью переходной втулки,
насаженной на шлицы валов (более рациональное); г —удлинением шлицевой втулки;
г — при помощи валика-торсиона со шлицами (наилучшая компенсация); е —с помощью
шлицевой втулки.
К аналогичному заключению легко прийти, рассматривая уг-
ловую несоосность. Проведя тот же анализ с учетом сил инерции
роторов, можно показать различия между вынужденными коле-
баниями, вызванными несоосностью валов и вынужденными коле-
баниями, обусловленными неуравновешенностью дисков.
При двух массах амплитуды колебаний диска и амплитуда воз-
мущающей силы Р неограниченно возрастают не при первой кри-
тической скорости вала, а при второй. В качестве компенсато-
ров несоосности и угловых перекосов в соединении (рис. 294)
часто применяют шлицевые муфты с эвольвентным зубом.
Пример соединения валов шлицами, нарезанными непосред-
ственно на приводном валу, показан на рис. 295, а. Компенсирую-
ющая способность этого соединения невелика и определяется
только смещением шлицев в пределах зазора между гранями шли-
цев. Компенсирующая способность соединения увеличивается при
установке между валами шлицевой переходной втулки, свободно
посаженной на шлицы в обоих валах (рис. 295, в).
416
Рис, 29f>. Опора
J
Наиболее целесообразна кон-
струкция, в которой компенсато-
ром служит длинный шлицован-
ный валик-торснон (рис. 295, д).
Понижение виброактивности ро-
тационных машин [32]. Вибро^
активность можно снизить изме-
нением размеров ротора, применяя
специальные подшипники и упру-
гие опоры, и уменьшением абсо-
лютных значений факторов, являющихся причинами виброактивно-
сти, т.е. повышением точности изготовления, балансировки монта-
жа. Выше подробно был рассмотрен вопрос о применении упругой
горловой опоры центробежных жидкостных сепараторов. Конструк-
ция указанной опоры, предусматривающая использование набора
пружин, является отработанной и апробированной как в пи-
щевой отрасли промышленности, так и в других отраслях.
В настоящее время известны и другие конструкции упругой
опоры.
Упругие опоры значительно разгружают подшипники, что
особенно важно для валов, у которых дисбаланс возрастает при
эксплуатации по сравнению с допустимым уровнем. Важным явля-
ется то, что упругие опоры изолируют вал или ротор от корпуса
машины. Мягкая пружинная подвеска вала позволяет вращаться
вокруг его главной оси в рабочем диапазоне, расположенном выше
первой (или первых двух) критической частоты вращения.
Демпфирующие устройства, вводимые иногда в систему, зна-
чительно уменьшают амплитуды колебаний вала при увеличении
частоты его вращения. Основная задача заключается не столько
в ограничении амплитуд колебаний, сколько в изоляции несбалан-
сированных сил корпуса. Демпфирование может увеличить степень
передачи возбуждающей силы от вала корпусу, и оно целесооб-
разно при прохождении системы через резонанс.
Широкое распространение в промышленности получила упру-
гая опора в виде упругого кольца, снабженного радиальными
равномерно чередующимися наружными выступами. Внутренние
выступы воспринимают давление от обоймы подшипников, а
наружные передают это давление на жесткий корпус. Для пред-
отвращения проворота упругого кольца под действием момента
сил трения при конструировании предусматривают закрепление
стопорной прокладки на внешнем кольце подшипника.
Применяют также упругие опоры, состоящие из двух жестких
колец 1 и 2, связанных между собой криволинейными упругими
элементами 3, образованными сквозными пазами 6, выполненными
по двум концентрическим окружностям (рис. 296). Перемычки 4
и 5 присоединяют упругие элементы к жестким.
14 Соколов в. И. 417
Рис* 297. Амортизирующая опора трояко дойной центри-
фуги
Известны также конструкции упругих
опор, представляющих собой специальные
упругие подшипники. Наружное кольцо
такого подшипника выполнено упругим и
имеет выступы для опирания на корпус ро-
торной машины и сквозные пазы под вы-
ступами^
§ 38. ВИЬРОИЗОЛЯЦИЯ
! Работа ряда пищевых машин сопровож-
дается вибрацией, устранить которую демп-
фированием или уравновешиванием трудно.
В таких случаях полезно применение вибро-
изоляцнонных амортизирующих средств, с по-
мощью которых можно уменьшить влияние
вибрации машины на основание или наобо-
рот, снизить влияние вибрации основания
на машину. Уменьшения вибрации достигают
установкой между машиной и основанием
упругих прокладок.
Когда на виброизоляторах устанавли-
вают агрегат, являющийся источником ви-
брации, виброзащиту называют активной.
Амортизаторы существенно уменьшают динамическую составля-
ющую сил, передаваемых неуравновешенной .машиной на опор-
ную конструкцию. Если механизм защищают от внешних возму-
щений, то такую виброзащигу называют пассивной.
Виброизоляторы помещают непосредственно под корпусом
изолируемой машины или под жестким основанием (или замени
ющим его фундаментом). На основании устанавливают изолиру-
емую машину. Основание необходимо тогда, когда корпус машины
не обладает достаточной жесткостью или конструктивно трудно
разместить виброизоляторы без основания, или когда массу
изолируемого объекта целесообразно увеличить для уменьшения
амплитуды колебаний.
При конструировании основания изолируемого агрегата не-
обходимо, по возможности, сокращать расстояние между его цен-
тром масс и линией действия возмущающей силы, при этом умень-
шается амплитуда колебаний машины при вращении.
Коммуникации, соединяющие изолируемую машину с другими
агрегатами, должны быть гибкими, а их жесткость значительно
ниже жесткости виброизоляторов.
Необходимо учитывать, что удаление виброизоляторов от
центра масс изолируемого агрегата в вертикальном и горизонталь-
ном направлениях увеличивает частоту собственных колебаний
418
2 — упругая подкладка; б — трехслойная подкладка; в трехслойный буфер; г —
пружинный амортизатор с битумной массой; д — виброизоляторы дробилки; 1, 3 —
рифленые стальные пластины; 2 “ вулканизованная резина; 4 — корпус; 5 — битум-
ная масса; 6 — пружина; 7 — верхняя плита
агрегата. Виброизоляторы чаще всего располагают под основа-
нием машины, причем в одних конструкциях виброизоляторы ра-
ботают на сжатие, а в других на растяжение.
Если в изолируемом агрегате преобладают горизонтальные
возмущающие силы, то иногда прибегают к подвешиванию машины
на стержнях.
На рис. 297 показана амортизирующая опора трехколонной
центрифуги TH-1000. Станина машины с укрепленными на ней
кожухом, приводом и ротором подвешена на тягах к трем стой-
кам, которые укреплены на фундаментной плите. Тяги на концах
снабжены сферическими кулачками, опирающимися на сфериче-
ские гнезда колонки и станины |39]
Иногда для подвешивания применяют н< стержни, а цепи
(лабораторные центрифуги).
При конструировании виброзащиты необходимо учитывать
требования монтажа и эксплуатации. Простейший способ виброза-
щиты — установка машины на сплошную подкладку из резины,
войлока или пробки. Недостаток этого способа заключается в воз-
14* 419
можности разрушения изолирующего слоя при попадании на него
смазочных материалов. Более целесообразно применяют упругие
подкладки из прессованных пробковой крошки, пенькового во-
локна и пластмассы. В такой подкладке куски пробки соединены
длинными волокнами, а пластмасса предохраняет пробку от дей-
ствия смазочных и других материалов. Подкладка с рифлеными по-
верхностями для увеличения трения (рис. 298, а) состоит из двух
упругих пластин 1 и 3, между которыми установлена сменная
стальная пластина 2, служащая для регулирования положения
машины по высоте.
Трехслойную подкладку или буфер (рис. 298, б, в) выполняют
из двух стальных полос или колец 4 и 5, соединенных слоем вул-
канизированной резины 6. Одна из полос или колец соединена со
станиной! машины, другая свободно расположена на основании или
прикреплена к фундаменту.
Наиболее просты с точки зрения изготовления пружинные
амортизаторы, широко применяемые в пищевой промышленности.
Внутреннюю часть пружинного амортизатора (рис. 298, г) зали-
вают битумной массой с низкой температурой плавления. Приме-
нение битума способствует повышению демпфирующей способ-
ности конструкции.
На рис. 298, д показан виброизолятор дробилок для кости,
применяемых на мясокомбинатах. Рама дробилки соединена бол-
тами с крышкой амортизатора. Последняя опирается на пружины,
расположенные в телескопических корпусах. Нижний конец
пружины расположен на неподвижном основании, связанном
с жестким каркасом. Для предварительного сжатия пружин слу-
жат болтовые стяжки? Число и размеры пружинных амортизато-
ров устанавливают расчетом. /
При расчете виброизоляции требуется установить основные
параметры виброизоляции; определить размеры упругих элемен-
тов виброизоляторов; проверить частоты собственных враща-
тельных колебаний изолируемого агрегата; проверить амплитуду
вынужденных колебаний изолируемого агрегата и вычислить воз
мущающие силы, передающиеся на опорную конструкцию.
На основании формул (175) и (171) при у = b<оби и вводя обоз
начение п = Ы2т, получаем амплитуду силы, передаваемой н
неподвижный объект
„ = Рс Ко>2 +
а рЪ2 — Q2 + 4riW ’
В то же время, амплитуда установившихся вынужденных ко.
баний с затуханием на основании формул (171) и (172) с учет
значения коэффициента демпфирования у и введения величинь
v Т’о
А о ~> =~ «
т ]Л(<*2 — Q2)- + 4/гЧ22
420
При силовом гармоническом возбуждении
Р (Г) = Ра sin Ш; « (/) « 0.
Целью виброзащиты может являться уменьшение амплитуды
силы 7?0, передаваемой на неподвижный объект, и пи уменьшение
амплитуды установившихся вынужденных колебаний источ-
ника Хо.
Степень реализации цели виброзащиты характеризуется зна-
чениями безразмерных коэффициентов виброизоляции
К;{ == Р0; К.х = сХй!Ри.
Вводя безразмерные параметры z — Q/roK и у = b/(2j/ ст),
получаем
_ -|/ 1 и <?222 . __ 1
R [ о _22)2 4-4Т^’ - /(1_^24.4^2 •
Условия эффективности виброзащиты по критериям Хя и Хк
характеризуются неравенствами
Л7«1.
Так как KR и Кх являются функциями частоты, говорят об эф-
фективности виброзащиты на данной частоте z или в заданном
частотном диапазоне гг < z < za.
Анализ приведенных неравенств позволяет сделать следующие
выводы: 1) эффективность виброзащиты по критерию Кк < 1
обеспечивается при любом уровне демпфирования в частотном диа-
пазоне г 2, причем в данном случае эффективность тем выше,
чем слабее демпфирование; эффективность достигает максимума
при у — 0, т. е в случае идеально упругого виброизолятора;
2) в диапазоне z ]/2 эффективность вчброзащиты по критерию
Кх < 1 также обеспечивается при любых значениях у.
§ 39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ [14]
Для проектирования виброизоляции машины, которая подвер-
гается действию периодической возмущающей силы, необходимо
знать массу машины, коорди-
наты ее центра масс, окружную
скорость основных узлов маши-
ны, число циклов возвратно-
поступательного движения де-
талей, интенсивность нараста-
ния и убывания скорости основ-
ных узлов при пусках и оста-
новках машины, характеристики
Рис. 299. Схема установки агрегата на
виброизоляторах:
1 — изолируемый агрегат; 2 — виброизо-
ляторы
421
возмущающих сил и моментов. Необходимо также иметь
чертежи машин, поддерживающей конструкции и др. На
рис. 299 приведена схема установки, расположенной на вибро-
изоляторах. При проектировании последних необходимо стре-
миться к тому, чтоб точка, через которую проходит равно-
действующая реакция всех виброизоляторов при одинаковой их
деформации (центр жесткости), лежала на одной вертикали с цент-
ром масс установки. Расстояние между центром жесткости и цент-
ром масс должно быть наименьшим. Для выбора параметров виб-
роизоляторов нужно определить моменты инерции масс Jx,
Jy, Jz изолируемого агрегата относительно его главных централь-
ных осей инерции.
Обозначим:
х0, Уо< го — перемещения центра масс машины вдоль соответ-
ствующих осей неподвижной системы (начало координат рас-
положено в точке первоначального положения центра масс си-
стемы) ;
Ф.т, Фу| Фг — угловые амплитуды колебаний центра масс ма-
шины вокруг координатных осей х, у, г;
/Сгг, Кво ^.-сь Хп- — жесткости виброизолятора соот-
ветственно в горизонтальном, вертикальном направлениях или
в направлениях осей Ох, Оу, Oz.
KtfX, К^у, К^а — угловые жесткости системы (всех виброизо-
ляторов) относительно осей соответственно Ох, Оу, Oz.
т—масса машины, устанавливаемой на виброизоляторах
(включая и массу основания);
Jx, Jy, Jz — моменты инерции машины относительно или
в направлениях осей соответственно Ох, Оу, Ог;
A;, Bi, С} — координаты средней точки i-ro виброизолятора
по осям соответственно Ох, Оу, Ог;
Рх, Ру, Pz — упругие восстанавливающие силы, действующие
на машину при колебаниях вдоль осей соответственно Ох, Оу, Oz;
Мх, Му, Мг —упругие восстанавливающие моменты, дей-
ствующие на машину при колебаниях вокруг осей соответственно
Ох, Оу, Oz.
Машина, установленная на виброизоляторах, может рассмат-
риваться как твердое тело.
Если центр жесткости системы не находится ни на одной из
главных центральных осей инерции и ни на одной из плоскостей,
образованных этими осями, виброизолированная машина является
системой с шестью степенями свободы.
Свободные колебания этой системы описываются шестью диф-
ференциальными уравнениями, зависимыми друг от друга:
'М.+ 2^к = 0; (495)
*=i
(t=l,2, ...6; аи—ац; —
где qt — обобщенные координаты; a;;, Kij—постоянные коэффициенты.
422
Таблица 20
Значения коэффициентов в дифференциальных уравнениях
свободных колебаний системы
к ai А! с X У 2 •ж т2
1 X т а11 0 0 0 Й51 Йв1
2 У т 0 й22 0 й42 0 й62
3 Z т 0 0 йзз «43 й63 0
4 <Рх Jx 0 °24 Й34 й44 й54 йв4
5 Ф4Г Jy ais 0 й35 й46 Й6Б °6в
6 Jz aie й2« 0 й4в «66 йвв
Общие интегралы этой системы могут быть представлены в виде
Qi — L cos (Q/ — фф (i — 1,2, . .. п), (496)
/=1
где — собственные частоты системы; Aij, <р;— постоянные интегрирования.
Из начальных условий и дополнительных соотношений, свя-
зывающих амплитуды колебаний координат по каждой из соб-
ственных частот, могут быть определены постоянные интегри-
рования.
При подстановке соответствующих значений в формулу (495),
будем иметь в виду, что в каждом из шести дифференциальных
уравнений количество членов будет неодинаковым и в общем слу-
чае менее семи. Для примера напишем первое дифференциальное
уравнение, подставляя в него qx s= х из уравнения (496) и учиты-
вая, что аг = т (здесь т —масса изолируемого объекта):
т^ха^О.2 + аь1 ф- ав1 -= 0,
где а51 — коэффициент угловой жесткости системы, принимаемой во внимание
при ее повороте вокруг оси у; а61 — аналогичный коэффициент, учитываемый
при повороте вокруг оси г.
Величина о51 характеризует момент сил упругости вертикаль-
ных реакций виброизоляторов относительно оси у, а величина
а61 — момент этих сил относительно оси г.
При движении объекта вдоль оси х не будут возникать упругие
силы реакций вдоль осей у и х и моменты вокруг оси z.
Аналогичный анализ можно провести и для других пяти диф-
ференциальных уравнений. Результаты этого анализа приведены
в табл. 20.
423
Собственные частоты представляют собой н еотр и цател ь н ые
корни стемы характеристического в развернутом виде уравнения, будет: которое для нашей си-
аох %</ °02 <₽ох Ч’ог
сх — та = и° “11 8= 0 0 0 Й51 _ о61
0 “«22 = о ~ а42 0 «6 2
0 0 С z — mo)2 = й43 «63 0
с — «24 °34 — J о“с^2 = - °64 -°64
«16 0 ~ °35 — й45 Р + = 0°. 2 ~ — £7__ о о
«16 «26 0 “°4в ~ «56 /+<7-^г«г = =nz w Л
(497)
В определителе (497) для соответствующих столбцов условно
показаны амплитуды поступательных аОж, аОу, аОг и вращатель-
ных Фо? колебаний, совершаемых машиной, установлен-
ной на виброизоляторах,
п п п
Ax=ZiAx<-; К« = £Ayt; A2-ZJA2/.
<=i t=i i=i
Элементы данного определителя представляют собой соответ-
ствующие статические жесткости, за исключением диагональных
элементов; аи; a2i; азя; ... ам. Эти элементы являются динамиче-
скими жесткостями.
Как уже указывалось, динамическая жесткость есть отношение
гармонической силы (момента) к вызываемому перемещению.
Значения элементов определителя следующие:
II п
— £ Ав/ — /тио2; <122 = азз ~ Z1 АГ( — таг',
i= 1 t=i
«44 - S (Аг/В?) -)- £ (кг1./(?) - Jx(О2;
<=1 <—1
п п
= 2 (Ав.К?) -}- U (Аг.-Л?) - JyU>2;
£—1 £ — 1
п 3
«66 = L (Аг<4<) + Z' (Ав,-В?) — J2а>2;
£—1 £=1
П П
аы — «is Z (Ав<А4); «2в — «62 — Ъ (Arji4z);
i=i i=i
424
и п
аы = #ie = S a3i ~ ai3 — (KriBiY
С-1 £=1
п п
й43 = a2i — (KriCty, а35 = й53 •= 2 (Кг;Лг-);
1=1 1=1
п 3
«45 = «54 = S (A’zM.B,); aif> = аи = — S К,AQ;
1=1 1=1
3
й50 = й(15 — — X (КвгДСД-
> = 1
Развертывая определитель (497), получаем частотное уравне-
ние в виде многочлена по степеням ш:
Л>1а - Л>10 + К2(08 - + К40)4 + К5®3 + К6 -= О, (498)
где Ко, Ki ... Ко — постоянные коэффициенты.
Корни полученного уравнения с^, со2> •••> (1,б соответсвуют
шести значениям круговых частот собственных колебаний вибро-
изолированной системы.
Для решения уравнения (498) рекомендуется применение
ЭВМ.
Для независимости друг от друга колебаний виброизолиро-
ванной системы по каждой из обобщенных координат необходимо
выполнение условия:
й15 = а16 = й21 = tz26 = а81 = а35 = й45 = а64 = а63 = — 0.
(499)
Эффективная виброизоляция обеспечивается при упругом под-
весе системы с раздельным возбуждением колебаний.
Условия (499) дают девять зависимостей для Зга координат:
Л; В; С при п = 1,2 ... п (здесь п — число виброизоляторов, на
которых смонтирована установка).
В большинстве случаев имеет место симметрия упругих свойств
виброизоляторов относительно осей, параллельных оси г, т. е.
K-xl = Kyi-
Для виброизоляторов одного и того же типа можно принять
Кх1 = КУ1 = Жг,
где р — постоянный коэффициент.
Учитывая последние два соотношения, приходим к выводу,
что в равенствах (499) остается только шесть условий, при которых
обеспечивается раздельное возбуждение колебаний,
п п п
^КВ1А^0- 2КВ1Д = 0;
£'-^1 1 = 1 1
п п п
% КвЛВ^О; ^/<в.А1С^0- (500)
1 i=i 1
425
Схему виброизоляции, когда выполнены все шесть условий
п
(500) и также условие У KBi, обычно называют рацио-
1=1
нальнпй.
В данном случае частотные уравнения получают путем при-
равнивания нулю каждого диагонального элемента определителя
(497). Тогда будем иметь
(501)
(502)
- S ^<7«: (503)
= Ija \ 1 1 / / (504)
<4 = У K,iC2i + S / 7„; \ 1 1 / (505)
— ( Zj Kxi "Г ZZ’ KyiCi j / J z* \ 1 1 / / (506)
В том случае, когда частота и собственных колебаний вибро-
изолированной установки значительно меньше частоты Q выну-
жденных колебаний, уравнения (165) можно переписать в виде
A =POW1—=Р,/т^.
Данное выражение свидетельствует о том, что амплитуда
колебаний А уменьшается с увеличением частоты колебаний воз-
мущающей силы и массы т установки.
Амплитуды поступательных колебаний вдоль соответствую-
щих осей и вращательных вокруг этих осей на основании уравне-
ния (166) при i = х, у, г
Ai = 6г = Мг/(Л (Й2), (507)
или более точно,
Д __ ___Д________________Мг_____
*' mW - Ki ’ Oi ~ Ji Й2 - Kvi ’
где г; — радиус инерции машины.
426
Рис. 300. Схема машины, установленной
на виброизоляторах при наличии двух
плоскостей симметрии
Наибольший практический
интерес представляет случай,
когда машина имеет две плос-
кости симметрии (рис. 300).
Тогда должны соблюдаться сле-
дующие равенства:
П п
Е(*зА)^0; WW;
1=1 (‘-I
E(Wi) = 0;
1=1
Ё(ЗД) = о.
4=1
В связи с этим будут равны
нулю следующие элементы оп-
ределителя (497):
«15 = «50 «16 = йв1; «г4 = «42;
«94—«43; «45—«54; «46—«64’ «Б6«6С-
Тогда вновь получаемый определитель будет равен нулю, если
будут равны нулю два его минора:
«22 «24
«42 «44
«11 «15
«51 «55
(509)
(5Ю)
Развертывая определитель (509), получаем уравнение
(Ё ) I Е КуЛ + Ё -
\i=l J 1=1 /
/ ” \2
-(SWi) =0,
или после преобразований
Ё Kyi Ё - Ё KyiJx^ - Wi? Ё КУЛ -
1 = 1 1 = 1 1 = 1 4=1
П
— mo? Е AziBi |- tnJхы = 0.
i=i
Учитывая формулы (502) и (504); после преобразований нахо-
ходим
СО (сО<рх ф" Щу) СО ф- COyCOq,^ Papb 0, (51 1)
427
где коэффициенты связи
ра = 2- KytAilm-, (512)
п
— 2 KytAi/Jх- (513)
4 = 1
Определив корни уравнения (511), находим две связанные ча-
стоты колебаний вдоль оси Оу и вокруг оси Ох:
“12 == у ± Ч — Шфх)2 + 4рйр* j . (514)
Из определителя (510) с учетом формул (501) и (505) полу-
чим
«4 — («ад + <щ) W2 + (£>^<£>х — рср</ •= 0, (515)
где коэффициенты связи
Рс = £ KsiAilm\ (516)
i—1
п
\Ч=^Х1А,иу. (517)
Определив корни уравнения (514), находим частоты колебаний
вдоль оси Ох и вокруг оси Оу:
“34 J/ -у j/®* + ± — Иад)2 + 4®cpd] . (518)
Связанные частоты колебаний со12 и cd.J4, заданные уравнени-
ями (514) и (518), можно определить простым и наглядным гра-
фическим способом с помощью круговой диаграммы, аналогичной
кругу напряжений Мора (рис. 301).
Приведем две перпендикулярные, одна относительно другой,
оси У рарь [см. уравнения (512) и (513) и со]. Отложим на оси ш
значения частот несвязанных колебаний и со(Д и получим то-
чки Л и В. В этих точках восстановим перпендикулярные линии,
равные отрицательному и положительному значениям выражения
У papft. Затем, взяв за центр середину отрезка АВ, проведем
окружность через точку Р. Абсциссы точек D и Е пересечения
?
окружности с осью qj определяют взаимосвязанные частоты (Di2-
Чем больше отрезок ВР, характеризующий связанность, тем
больше расстояние между точками D и Е, т. е. шире область ме-
жду низшей и высшей из связанных частот. Для дальнейшего ана-
лиза примем во внимание, что
J/papfr = 2 (KytA^yrnJy, (519)
I — 1
п
У НДЧ = 2 yxiAi)/y mJ у. (520)
4=1
428
жду частотами устраняется и о о.ч о.8 tz 1.6_____________2.0
частоты <оГ2 и W34 совпадают с не-
зависимыми частотами ыу и (и>чх '
и соответственно с частотами и cu(fy. Физически это означает, что
оба касательных движения, например в плоскости гу, переходят
только в продольное колебание с частотой w., вдоль оси у или
только во вращательное колебание с частотой со^. вокруг оси х.
Если изолируемая система подвергается периодическому воз-
буждению от другой системы, частоты которых расположены в зна-
чительном числовом диапазоне, то стремятся к тому, чтобы наи-
более опасные частоты собственных колебаний изолируемой си-
стемы были близки по числовым значениям.
Для облегчения определения частот сложных колебаний в пло-
скостях xOz и yOz можно воспользоваться диаграммой (рис. 302),
линии которой представляют собой решения уравнения частот при
различных параметрах изолируемой системы. Группы кривых
соответствуют различным значениям A\/mlJy. Для определения
максимальной частоты сложных колебаний используют группу
кривых /, а для определения минимальной частоты группу кри-
вых 2.
Четыре значения частоты собственных сложных колеба-
ний системы находят поочередным рассмотрением плоскостей
симметрии zOx и yOz. Независимую частоту собственных верти-
кальных колебаний находят по формуле (503), а частоту враща-
тельных колебаний — вокруг оси по формуле (506).
429
Рис, 303. Схема к расчету частоты собственных колебаний машины, установленной на
виброизоляторах
Рис. 304. Схема установки сепаратора на виброизоляторах
Рассмотрим применение диаграммы для определения частот
собственных сложных колебаний.
Пример. Требуется определить частоты собственных колебании установленной
па четырех амортизаторах машины (рис. 303) при ы, = 67,5 рад/с; радиусы
инерции ix = 0,171 м; ty = 0,237 м; (г = 0,186 м; Jx = 2,5 кг-м2; Jy—
= 4,94 кг-м2; Jz = 3,04 кг-м2; <2=0,3 м; 6 = 0,15 м; с = 0,2 м; У, Хг =
= 40 Н/м; >Х=60 Н/м; 2Х = 35 Н/м; m = 87 кг.
Решение. Находим выражения
У JxZKy/(m%K.j/b = V (2,5-35)/(87-40)/0,15 = 1,066; (521)
a -= Vm/Tx = 0.3 V87/2,5 « 1,75. (522)
Из диаграммы (см. рис. 302)
,‘b(dzVnJxim «2,3 или 0,45;
откуда
“шах = 136 рад/с; wmin = 26,7 рад/с.
Далее
= рЛ4,94-60/87.40/0,2 = 1,45
a ]fm/Ty = 0,3 V87/4,94 =1,27.
Из диаграммы (см. рис: 302)
<а/Со1г ^Jylm = 2,5 или 0,6,
откуда
®тах = 143 рад/с; <Н[п<п «34,2 рад/с. (523)
Частоту ыфг определим по формуле (506), учитывая, что жесткости вибро-
изоляторов в горизонтальном направлении различны:
= К(4,60 0,152Н- 4,.35 0,22)/3,04 = 190 рад/с.
Значения частот собственных колебаний системы (рад/с)
сог = 67,5; о>фХ — 190; i = 136; 1
о>2 = 26,7; <йз = 143; <04 == 34,2. I
430
Если виброизоляторы расположить в плане асимметрично от-
носительно центра масс, то для сохранения прежних значений
частот собственных колебаний необходимо, чтобы жесткость каж-
дого виброизолятора была пропорциональна приходящейся на не-
него нагрузке, т. е.
= В./Вр (525)
Рассмотрим влияние различных факторов на критическую
скорость сепаратора при установке его на пружинных виброизоля-
торах. Ввиду большой сложности анализа колебаний работающего
сепаратора, установленного па пружинных опорах рассмотрим
данный вопрос с грубыми допущениями.
Предположим, что центры масс и жесткости сепаратора, уста-
новленного на пружинных опорах, совпадают, а вертикальная
ось z совпадает с главной осью инерции сепаратора. При составле-
нии дифференциальных уравнений движения будем учитывать
только угловые перемещения ротора и сепаратора относительно
горизонтальной оси Ох. Для упрощения примем, что моменты инер-
ции ротора и J, равны. Обозначим через <рх угловую коорди-
нату перемещения ротора (рис. 304) и через ср угловую координату
перемещения корпуса сепаратора. Углы фх и ср будем отсчиты-
вать от положения статического равновесия. Тогда при вращении
ротора уравнения движения для массы ротора и сепаратора
будут иметь вид
йЧ)хф1 + ^//2(ф — cpi); (526)
тф •— —k!l~ (ср — cpi),
где /' — момент инерции сепаратора относительно оси х; £ —• угловая же-
сткость системы пружинных опор; т — масса ротора сепаратора; k — жесткость
упругой опоры вала сепаратора; ф — расстояние от шарнирной опоры вала до
центра масс ротора.
После преобразования уравнений (526) имеем
Ф1 = —4>i(k/(LJx) -L. йфх/4) ф k(f/(LJxy,
ф = — k<p/(L?m) -j-
Ф1 I- <VPi. — bq 0;
или
ф ф сер — е(фх = 0,
где
at - k/(PJx) -ф /гфХ; b = Ш2А);
с d = A/(Z2/n); с — d.
Частное решение системы дифференциальных уравнений имеет
вид
Ф1 = A sin ф — В sin a>t.
431
Подставляя и ср в систему дифференциальных уравнений
(526), получаем систему алгебраических уравнений
А (а — со2) —ВЬ — 0;
—Ас + В (с — со2) — 0.
(527)
Значения А и В будут отличаться от нуля, если определитель
системы (527) будет равен нулю. Раскрывая этот определитель,
получаем уравнение собственных частот сепаратора
о»1 — со2 (а + с) 4- с (« — Ь) =0,
откуда
2 а + с _ | Л(а + с)а
Ш1,2 = —+ у — с (а — Ь).
После преобразований
2 а 4-с , ~iA(a — c)2 , ,
(01,2 р- + У .
Подкоренные выражения, входящие в последнее уравнение
положительны, и оба корня со? и всегда действительны. Не-
трудно доказать, что корни тоже положительны. Таким образом,
имеем две собственные частоты системы. Соответствующие числовые
расчеты показывают, что значение и сепаратора на виброизоля-
торах меньше значения критической скорости по формуле (447).
При колебаниях машины, установленной на виброизоляторах,
определенную роль играет демпфирование, в основном влияющее
на амплитуду вынужденных колебаний в резонансной зоне.
В качестве примера рассмотрим уравнение, в которое введены
п
демпфирующие силы У! Drly,
i=\
Му ф- S Driy 4- £ Kriy = —rmQ2 cos (Q/),
I 1 I 1
откуда
rm^IM - V - (528)
(jd D"'
(1 — I]2) +—--------T]2
M V kri
где т| = Q/w — отношение угловой частоты вынужденных колебаний системы
к угловой частоте собственных колебаний машины.
432
Рассмотрим факторы, которые способствуют уменьшению ди-
намических нагрузок, передаваемых установленной на вибро изоля-
торах машиной фундаменту.
Как следует из приведенных выше данных, сила, передаваемая
нгГ фундамент и обусловленная деформацией виброизоляторов,
пропорциональна амплитуде колебаний и ограничена некоторым
пределом. Демпфирующая сила, пропорциональная скорости,
ограничивая резонансные амплитуды колебаний, может дости-
гать нежелательно больших значений при рабочей скорости.
Если Ci = 0 и 0, то машина имеет две плоскости
симметрии, усилия вдоль оси Ог отсутствуют, так как амплитуда
колебаний в этом направлении равна нулю. Усилия, передавае-
мые на фундамент, по другим направлениям уменьшаются с умень-
шением дисбаланса (г/н).
Момент, действующий вокруг оси Oz, можно полностью ис-
слючигь совмещением оси ротора с центром масс машины. Если
этого сделать нельзя, то можно уменьшить указанный момент,
снизив жесткость виброизоляторов в горизонтальном направлении
и увеличив момент инерции Jz машины.
Возникновение моментов вокруг осей Ох и Оу можно избе-
жать совмещением центра масс корпуса машины с плоскостью
действия дисбаланса вращающихся частей ротора (10 — 0).
При наличии трех плоскостей симметрии (2Х = S —
— 0), а также при /0 — 0, — /2 0 усилия, передаваемые на
фундамент, действуют только в горизонтальной плоскости, причем
усилие
= .= пиП2/П — (Q/w)2], (529)
где со — частота собственных колебаний машины в горизонтальной плоскости.
Наиболее желательным является расположение центра масс
машины в плоскости нижних точек крепления подвесок к вибро-
изоляторам. Остающиеся при этом горизонтальные усилия можно
снизить уменьшением частоты собственных колебаний машины.
При наличии одной плоскости симметрии (при А = 0 и /о —
-- 0) вокруг горизонтальных осей не возникают моменты, дейст-
вуют лишь момент вокруг оси Ог и усилия в горизонтальной пло-
скости.
Жесткость виброизоляторов. Жесткость виброизолятора в оп-
ределенном направлении — это величина, обратная перемещению
в том же направлении под действием единичной силы, т. е.
ki = 1/8,
Чаще всего виброизоляторы устанавливают параллельно. В
этом случае суммарная жесткость виброизоляторов равна сумме
жесткостей отдельных элементов:
Л п
k - s i/б;-
/=1 <=1
433
Например, для двух виброизоляторов, установленных парал-
лельно,
k — + kn.
В случае последовательного расположения элементов вибро-
изоляции суммарная деформация их равна сумме деформаций от-
дельных элементов. Следовательно, общая податливость соеди-
ненных последовательно виброизоляторов (величина, обратная
жесткости) равна сумме податливости (6;) отдельных элементов
11k = S l/kh
i=t
откуда (530)
£ = 1 I S
/ z-i
Для двух виброизоляторов, установленных последовательно,
k = 1/(1/^ + 1/£.,).
При параллельно-последовательном соединении нужно сум-
мировать жесткости соединенных параллельно элементов, а затем
суммировать податливость элементов, соединенных последова-
тельно.
Для этого случая получим
k = + kJ + 1/£3].
Рассмотрим определение жесткости отдельных элементов опор,
например пружинных виброизоляторов.
Осевая жесткость винтовой пружины
kB ~ Gd/(8ic3), (531)
где й — модуль сдвига; с — отношение среднего диаметра D пружины к диа-
метру d прутка (рекомендуется с — 3,5 ... 8); i — число рабочих витков.
При I < 7 число нерабочих витков; рекомендуется принимать
равным 1,5 виткам (на оба торца пружины), а при i > 7 равным 2,5.
Высота ненагруженной пружины
Lo = it + 2d, (532)
где t—шаг пружины (принимают t = 0,250 ...0,50);
t = d + 12PD3/d*G + (0,001 ... 0,002), (533)
где P — статическая нагрузка на одну пружину.
В случаях, когда рассчитываемая пружина должна работать
на сжатие, отношение высоты ненагруженной пружины к среднему
диаметру рекомендуется принимать равным 2.2
Жесткость цилиндрической пружины в направлении, пер-
пендикулярном к ее оси,
йг =3,5М/(1,3 +/Л'О2), (534)
434
где kB — жесткость пружины в направлении ее оси; L = Lo — Д — высота
пружины в смонтированном состоянии (Д — осадка зиброизолятора под дей-
ствием статической нагрузки); и — коэффициент, зависящий от деформации
пружины.
При L/D < 6 коэффициент и = 1 — Д/О,7£о.
Из условия прочности диаметр прутка пружинного виброизоля-
тора
d = у8PDk/(n [т)|, (535)
где [т] — допускаемое напряжение при сдвиге; k — коэффициент, учитывающий
кривизну прутка, k — (4с -(- 2)/(4с — 3); в предварительных расчетах прини-
мают k = 1,3.
Рассмотрим расчет резинового виброизолятора. Усилия и де-
формации для резинового элемента связаны нелинейной зависи-
мостью
Р = Ek'л (d2 - df) А/[4(Л - А)],
где Е — модуль продольной упругости; k' — коэффициент формы, зависящий
от отношения площади опорной поверхности к площади свободной боковой
поверхности; d и d± — соответственно наружный и внутренний диаметры вибро-
изолятора; h — высота виброизолятора.
Коэффициент формы
k' 1 + т (d —dj/flh) = 1 + mk0.
В этом уравнении коэффициент т = 0,49 ... 4,67 зависит от
степени наполнения резины сажей и крепления резинового эле-
мента по торцам;
/г0 = (d — di)/(4/i).
Модуль продольной упругости резины примерно в 6,5 раза
превышает модуль сдвига и зависит от сорта резины. На рис. 305
приведена зависимость модуля продольной упругости от твердости
(в условных единицах). Модуль упругости резины зависит от
относительной деформации, что, однако, можно не учитывать,
если эта деформация незначительна
Разделив уравнение для Р на А, найдем жесткость виброизоля-
тора в направлении его оси:
. ЙВ = Р/Д =£^(d2-d?)/[4/r(l -е)|,
где е = А//г — относительная деформация.
Сила, возвращающая стержень в исходное положение,
Рх = Р sin ср « Рср.
Тогда жесткость виброизолятора в горизонтальном направле-
нии
kT — Рх/х — Pit.
Расчет виброизоляции. При проектировании виброизоляции
прежде всего следует определить массу изолируемой системы.
435
Рис. 305. Зависимость модуля продольной
упругости резины от ее твердости
Рис. 306. К определению коэффициентов
внутреннего трения
Как показано выше, если вращающиеся массы велики по сравне-
нию с общей массой машины, то частота собственных колебаний
может приближаться к частоте вынужденных колебаний. Поэтому
для многих машин отношение массы вращающихся частей к массе
неподвижных частей составляет часто несколько процентов. Для
основных типов центрифуг, например, рекомендуют это отношение
принимать в пределах 0,05... 0,15.
Не менее существенным является выбор отношения частоты
вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний в верти-
кальном направлении. Это отношение рекомендуют принимать не
менее четырех. После того как установлена частота собственных
колебаний, определяют жесткость всех виброизоляторов в верти-
кальном направлении
kz = ти>2г, (536)
где т — масса системы; tt>z — угловая частота собственных колебаний машины
по оси Ог.
Затем определяют размеры основания и компонуют машину
с приводом на нем.
Задавшись числом виброизоляторов п и найдя статическую
нагрузку на один элемент, определяют его размеры на основании
условий прочности, а затем и параметры, характеризующие его
жесткость (на основании ранее найденного коэффициента £z).
Напряжения в элементе виброизоляции определяют при на-
грузке, в 1,5 раза превышающей статическую. Элементы вибро-
изоляции располагают в плоскости хОу симметрично относительно
плоскостей хОг и уОг.
После размещения элементов виброизоляции подсчитывают две
независимые частоты собственных колебаний и две частоты свя-
занных колебаний. Значения этих частот должны быть по крайней
мере в 2,5 раза меньше частоты вынужденных колебаний.
При расчете виброизоляции рекомендуют амплитуды колеба-
ний центра масс машины определять по формулам, справедливым
436
для машины с тремя плоскостями симметрии [см. уравнения (167),
(168)1:
z0 ~ Pt/imcrt — Л,); х0 = Рх/(т<Лх — kx);
Уо = Ру/(та>2 * 4 * * * В - kJ; Фг = ~ k^)',
фх — Л4*/(й)ф4,7хРх ^<(х) 1 фг; — Мy!(,(&tyyJу Уцу)-
Рекомендуется определить амплитуды колебаний г, х, y,i —
точки машины по формулам
2.- '= У 4 + 4 фХ< h 22оФ^х< cos (ф1 - ф5) |-
+ 2zotpxayi cos (4'j — ф8) + 2q>y4>xax,ayi cos (ф6 - хр6),
Xi — 4 “I фг/аг/ + 4%a~yi + 2^офраг/ COS (фа — Фй) +
4- 2х0фг^-cos (фг — ф4) -t- 2(f>y(p2aziayi cos(^4 — фь)’
Ус — l/'Уо 4 фха21 4 ф'гах( 4 2Уофхаг/ cos (фз — фз) 4
4 2yn(f>zaxi cos(4’3 - ф4) 4 2фхфг a2iaxi cos (ф5 - ф4).
Если значения г, х, у будут более допустимых, то увеличивают
т и гх, гу, rz машины путем введения основания при неизмен-
ных собственных частотах и производят новый расчет.
Для уменьшения амплитуды колебаний машины в пуско-
остаповочном режиме требуется определить коэффициент вну-
треннего трения материала виброизолятора по рис. 306 в зависи-
мости от соотношений е/щ2 и zraax/z0 (здесь е — скорость нара-
стания (убывания) частоты вращения ротора машины при пуске,
рад/с2; zmax — допустимая амплитуда колебаний заданной точки
машины при ее пуске (остановке) в направлении оси г.
В заключение целесообразно определить вертикальную и
горизонтальную составляющие динамической нагрузки на осно-
вание, передаваемые через виброизоляцию. При этом можно также
с приближением использовать формулы, полученные для машины
с тремя плоскостями симметрии.
Пример. Необходимо рассчитать виброиэоляцию под центрифугу типа АГ-2000
(рис. 307).
Задано: масса центрифуги /Пц — 15700 кг; масса привода mu = 2600 кг;
масса циклона 710 кг, частота вращения ротора 600 об/мин, масса вращающихся
частей 6000 кг, диаметр ротора 2 м, динамическая нагрузка, возникающая при
вращении ротора 47 500 Н.
Решение. Задаемся отношением массы системы к массе вращающихся
частей т'/Пвр =. 10. Тогда масса системы
т = mBp/0,1 = 6000 '0,1 — 60 000 кг.
437
Рис. 307. Схема уста-
новки центрифуги на
виброизоляторах (О, А,
В, Ct D — центры масс
соответственно системы,
центрифуги, привода,
основания, циклона)
Задаемся отношением частоты Q вынужденных к частоте (о собственных
колебаний. Примем Q/coz — 5,5, тогда
<аг= (600-3,14)/(30-5,5) = 11,4 рад/с.
Жесткость виброизоляторов по формуле (536) k = 60 000’ 11,42 = 7,7 X
X 10е Н/м.
Масса основания
60 000 — 15 700 — 2600 — 710 = 41 000 кг.
Принимаем, что основание опирается на шесть пружинных подставок, каж-
дая из которых имеет четыре пружины.
На каждую пружину действует статическая нагрузка
Р = (60 000-9,81)/24 = 2,45-104 Н.
Пружины выполнены из стали 60С2А,для которой допускаемое напряжение
при сдвиге [т] = 5-Ю8 Па.
Принимая средний диаметр пружины £> = 0,160 ми4 = 1,3, определяем,
диаметр прутка пружины по формуле
d = рr8PDkin [т]
d = уЛ(8-2,45-104-0,16 1,3)/(3,14 5- Ю8) = 0,0294 м.
Принимаем d — 0,030 м — 30 мм.
Жесткость одной пружины в вертикальном направлении
^ = (7,7 106)/24 = 3,2’106 Н/м.
Число рабочих витков в пружине определим по формуле (531), причем с =
= £>/</= 5',35; G = 7,85-1010 Н/м; i = (7,85-1010-0,03)/(8 3,2 10*-5,35’) =
= 6,06 « 6.
438
Шаг пружины по формуле (533)
2 45 1Л4-П 163
^°'03+12 oW.siHo40 +0-00' -0,050 м.
Высота ненагруженной пружины по формуле (532)
4 = 0,05-6 + 2-0,03 = 0,36 м.
Осадка пружины под действием статической нагрузки
8-2,45 10“ 6-0,16s
7,85- Ю^-О.ОЗ4
= 0,076 м.
Жесткость пружины в
горизонтальном направлении по формуле (534)
3,5-3,2-10’
1 — 0,076/(0,7-0,36)
1,3 + (0,36 — 0,076)/0,162
Ю8 Н/м.
Координаты центра масс системы
41 000 (—2,32) 4- 15 700 (-1,70) 4-710 (-1,6) + 2600 (-4,55)
х = “—--------------------—боооб ——------------------------= " °’22 м:
41 000 (-0,01)+ 15 700 0,11 + 710 (—2,43) + 2600 (-0,5)
у ~ -——---------------— боооб------------------------~ = “°’°28 м>
41 000 (—0,5) + 15 700 • 1,1 + 710 (—0,8) + 2600-0,27
2 =----------------------60000----------------------= ~°’°5 “•
Пружинные подставки располагаем симметрично относительно осей осно-
вания.
Моменты инерции:
основания
4п = 6,35-10 кг-м2; Jya = 7,17-104 кг-м2; Jг0 = 13-104 кг-м2;
центрифуги
4ц = 0,96-104 кг-м2; 4д = 0,98-104 кг-м2; 4Ц = 1,25-104 кг-м2,
Пренебрегая за малостью моментами инерции привода и циклона, найдем
моменты инерции всей системы:
4 = 6,35-104 + 0,96-104 + 4 ! 000 (0,5 — 0,05)* + 15 700 (1,1 — 0,05)2 +
4-710(0,8 — 0,05)2 + 2600 (0,27 + 0,05)2 = 10,2-104 кг-м2;
4 = 7,17-1044- 0,98-104+ 41 000 (0,5—0,05)* + 15 700 (1,1 + 0,05)*
+ 710 (0,8 — 0,05)* + 2600 (0,27 + 0,05)2 = 11,1-104 кг-м2;
7= 13-104+ 1,25-104+ 15 700 (2,22 — 1,7)2 + 710-2,532 + 2600 (4,55
— 2,22)2 = 16,5-104 кг-м2.
Находим частоты собственных колебаний по формулам (501)—(506):
<о2 = «)2 (24-1,76-105)/60000 = 70,4 рад2/с2;
<р2х = (3,2.105-1,82-24 + 1,76-105-0,952-24)/(10,2-104) = 280 рад2/с2;
= (1,76-105-0,952-24 + 3,2-10s-1,6-1б)/(16,5-104) = 152 рад2/с;
со2г = (1,76- 105-1,62-16+ 1,76 1,82-24-105)/(16,5-104) = 127 рад2/с2.
439
Для определения частот связанных колебаний находим коэффициенты связи
по формулам (512) и (513):
Ца = 11,76-10’ (—0,95) 24]/60 ООО = —66,7 Н/(кг-м2);
|_ij = (1,76-10s (—0,95) 24/(10,2-104) = —39,2 Н/(кг-м2).
Две частоты связанных колебаний вдоль оси Оу и вокруг оси Ох найдем по
формуле (514):
ш‘2г = (70,4 + 280)/2 + К [(70,4 — 280)2 4- 4-66,7-39,2] =
— 350 ± 234/2 рад2,'с2.
Определим коэффициенты связи и у,/ по формулам (516) и (517):
|ЛС = ]1,76-10е (—0,95) 24J/60 000 = —66,7 Н/(кг-м2);
ц.я- = (1,76-10* (—0,95) 241/11,1 10* = -36 Н/(кг-м2).
По формуле (518) находим частоты колебаний:
й>24 = (70,4 152)/2 ± /[(70,4— 152)2 + 4-66,7-36] =
= 222 ± 127/2 рад2/с2.
Найденные частоты собственных колебаний значительно меньше частоты
вынужденных колебаний:
йа = (3,14-600)2/30 _ 3948.
Определим амплитуду поступательных колебаний центра масс системы по
формулам типа (507) с учетом динамической нагрузки, равной 47 500 Н
и. = 0; ау = ах = 47 500 /(60 000-3948) = 2,01 -10~4.
Далее найдем возмущающие моменты.
При направлении силы вдоль оси Оу
Мх = —47 500-1,5 = — 71 000 Н-м; Мд = 0;
Мг = 47 500 (2,22 — 1,7) = 24 600 Н-м.
При направлении силы вдоль оси Oz.
Мх = 47 500-0,1 = 4750 Н-м;
Му = -47 500 (2,22 - 1,7) = —24 600 Н-м; Мг = 0.
Углы поворота по формулам (507)
<рх = —71 000/(10,2-10* • 3948) = - 1,9-104 рад; <р9 = 0;
Уг = 24 600 (16,5-104• 3948) = 0,37-10’4 рад.
Если определить амплитуду колебаний точки с координатами —0,6; 0;
2,6, то наибольшее смещение в этом случае равно 232 мкм.
Динамическая нагрузка на несущую конструкцию.
вертикальная составляющая
р _______________________ 500_____н
Рг 3948/130-1 “ 600 Н’
горизонтальная составляющая
440
ПРИЛОЖЕНИЯ
Нормальное распределение Ф (z0) => 1 /2л j е СЮ П риложение 1
<0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,7514 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0.6103 0.6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0.6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0.6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0.7357 0,7389 0,7422 0,7434 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0.7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0.8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0.8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0.8438 0,8461 0,8485 0,8508 0.8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0.8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0.8907 0.8925 0,8944 0,8962 0,8980 0.8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0.9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0.9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0.9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0.9564 0,9573 0,9582 0,959) 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1.9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0.9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2.0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0.9909 0,9911 0.9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0.9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0.9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0.9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0.9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9072 0,9973 0.9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,997'8 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0.9985 0,9985 0,9986 0,9986
441
Приложение 2
Множители Li и L^, определяющие доверительный интервал
для среднего квадратичного отклонении
1 Сс
0,10 0,05 0,025 0,01
1 0,61 7,96 0,51 15,9 0.45 31.9 0.39 79.8
2 0,66 3,08 0,58 4.42 0,52 6,28 0,47 9.88
3 0,69 2,27 0,62 2,92 0.57 3,73 0,51 5,11
4 0,72 1,94 0,65 2.37 0,60 2,87 0,55 3,67
5 0.74 1,76 0.67 2.09 0,62 2,45 0.58 3,00
6 0,75 1,65 0.69 1.92 0,64 2.20 0.60 2,62
7 0,76 1,57 0.71 1.80 0,66 2,04 0,62 2,38
8 0,77 1,51 0.72 1,71 0,68 1,92 0,63 2.20
9 0,78 1,47 0,73 1,65 0,69 1,83 0,64 2,08
10 0,79 1,43 0,74 1,59 0.70 1,75 0,66 1,98
12 0,80 1,38 0,76 1,52 0,72 1,65 0,68 1,83
15 0,82 1,32 0,77 1,44 0,74 1.55 0.70 1.69
20 0,84 1,27 0,80 1,36 0,77 1,44 0,73 1,56
30 0,86 1,21 0.83 1,27 0,80 1,34 0,77 1,42
40 0,88 1,17 0.85 1,23 0,82 1,28 0,79 1,34
60 0,90 1,14 0.87 1,18 0,85 1,22 0,82 1,27
120 0,93 1,09 0.90 1,12 0.89 1,14 0,87 1,17
Приложение 3
Значения ла при проверке нормальности распределения
р р р
0,30 1,000 I 0-80 0,5441 1,60 0,0120
0,35 0,9997 0.85 0,4653 1,70 0,0062
0,40 0,9972 1 0,90 0,3927 1,80 0,0032
0,45 0,9874 0,95 0.3275 1,90 0,0015
0,50 0,9639 1,00 0,2700 2,00 0,0007
0,55 0,9228 1,10 0,1777 2,10 0,0003
0,60 0,8643 1,20 0,1122 2,20 0,0001
0,65 0,7920 1,30 0,0681 2,30 0
0,70 0,7112 1.10 0,0397 2,10 0
0,75 0,6272 1,50 0,0222 2.50 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альтшуллер Г» С. Алгоритм изобретения. М.: Московский рабочий,
1973. 201 с.
2. Барановский Н. В., Коваленко Л. М., Ястребенецкий А. Р. Пластин-
чатые и спиральные теплообменники. М.: Машиностроение, 1973. 288 с.
3. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика
в примерах и задачах. Т. 3. М.: Наука, 1973. 488 с.
4, Бауман В. А., Быховский И. И. Вибрационные машины и процессы
в строительстве. М.: Высшая школа, 1977. 255 с.
5. Бендат Д. Ж-, Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов.
М.: Мир, 1974. 464 с.
6. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей
машин: Справочник. — М.: Машиностроение, 1979. 702 с.
7. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.
336 с.
8. Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин. М.: Машино-
строение, 1973. 456 с.
9. Вайнберг А. А., Котляр Л. И. Технологическая эффективность обору-
дования зерноперерабатывагощей промышленности. М.: Колос, 1975. 239 с.
10. Вайнберг А. А., Котляр Л. И. Эксплуатационная надежность обору-
дования зерноперерабатывающих предприятий. М.: Колос, 1980. 303 с.
11. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем/Под
ред. чл.-кор. АН СССР В. В. Болотина, М,: Машиностроение, 1979. 350 с.
12. Вибрации в технике: Справочник. Т. 3. Колебания механизмов, конструк-
ций и их элементов/Под ред. д-ра техн, наук проф, Ф. М. Диментберга и д-ра
техн, наук проф. И. С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980, 544 с.
13. Вибрации в технике: Справочник. Т. 4. Вибрационные процессы и ма-
шины/Под ред. д-ра техн, наук проф. Э. Э. Лавендела. М.: Машиностроение,
1981. 509 с.
14. Вибрации в технике: Справочник. Т. 6. Защита от вибрации и ударов/
Под ред. чл.-кор. АН СССР К. В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. 456 с.
15. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Машиностроение,
1956 . 419 с.
16. Гальденблат И. И., Бажанов В. Л., Копнов В. А. Длительная прочность
в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248 с.
17. Гончаревич И. Ф., Урьев Н. Б., Талейсник М. А. Вибрационная тех-
ника в пищевой промышленности. М.: Пищевая промышленность, 1977 ' 278 с.
18. Гортинский В. В. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих
предприятиях. М.: Колос, 1973. 295 с.
19. Грач С. А, Расчет круглых пластин. Фрунзе. Изд-во, Мектеб, 1979.
246 с.
20. Гусаков В. Ф. Исследование напряжений в деталях роторов самораз-
гружаюшихся сепараторов в зависимости от режима работы. — В кн.: Обору-
дование для разделения жидких неоднородных систем и очистки жидких смесей.
М.: НИИХИММАШ, 1975, с. 255—260.
21. Гусаков Б. Ф., Кутепов С. М. Экспериментальное исследование проч-
ности роторов центробежных сепараторов из двухфазной стали. — В кн.: Воп-
росы прочности в химическом машиностроении, Мл НИИХИММАШ, 1973,
с. 112—117.
22. Гуль В. Е. Структура и прочность полимеров. М.: Химия, 1978. 327 с.
443
23. Дитрих Я- Проектирование и конструирование. Системный подход.
Мир.: 1981. 454 с.
24. Жилинский И. Б. Основы надежности и долговечности. — Тр. МИХМа,
1976. 154 с.
25. Жилинский И. Б. Надежность оборудования химических производств. —
Тр. МИХМа, 1979. 43 с.
26. Зубова А. Ф. Надежность машин и аппаратов химических производств.
Л.: Машиностроение, 1978. 214 с.
27. Иваненко А. В.» Китиашвили А, Н. Шнеково-эксцентриковый пресс.
Одесса ОЦИНТИ, 1978. 3 с. (информ, листок).
28. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях
машин. М.: Машиностроение, 1981, с. 224.
29. Канторович 3. Б. Основы расчета химических машин и аппаратов, М.;
Машгиз, 1960. 743 с.
30. Капур К-. Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. М.:
Мир, 1980. 350 с.
31. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. Мл Наука, 1974. 311 с.
32. Кельзон И. И. Роторные машины. Мл Машиностроение, 1978. 325 с.
33. Когаев В. IL Расчеты на прочность при напряжениях, переменных
во времени. Мл Машиностроение, 1977. 232 с.
34. Кудрявцев И. В., Наумченко Н. Е. Усталость сварных конструкций.
Мл Машиностроение, 1966. 250 с.
35. Колесников Л. А., Муленко А. К-, СыроватскиЙ И. С. Применение
вычислительной техники в инженерных и экономических расчетах. — Тр. Харь-
ковского авиационного института им. Н. Е. Жуковского, 1978. 64 с.
36. Кондратьев А. Р. Исследование прочности ротора центробежного само-
разгружающегося сепаратора. — Тр. ВНИЭКИПРОДМАШ, 1976, вып. 46,
с. 95—107.
37. Кондратьев А. Р., Гаденин М. M.t Махутов Н. А. Методика оценки мало-
цикловой прочности элементов ротора центробежного сепаратора. Тр. ВНИ-
ЭКИПРОДМАШ. 1980, вып, 540, с. 18—BO-
SS. Лессиг И. Н., Лилеев А, Ф., Соколов А. Г. Листовые металлические
конструкции. Мл Стройиздат, 1970. 488 с.
39. Ликучев В. Г. Расчет частот собственных колебаний и амплитуд выну-
жденных колебаний трех колонных центрифуг. — Химическое и нефтяное ма-
шиностроение, 1967, № 1, с. 5—11.
40. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. Мл
Машиностроение, 1975. 399 с.
41. Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов. Мл Машиностроение, 1980, с. 151.
42, Маслов А, М. Аппараты для термообработки высоковязких жидкостей.
Л л Машиностроение, 1980. 208 с.
43. Машины и оборудование для прессования в сахарной промышленности/
М. У. Канцельсощ Ю. Ю. Дербенев, Э. В. Островский, А. Н. Степанов. Мл,
Машиностроение, 1980. 240 с.
44. Милованов В. И. Повышение долговечности малых холодильных ком-
прессоров. Мл Пищевая промышленности, 1980. 200 с.
45. Мильченко А. И., Барановский В. М., Приманенко В. П. Новый руко-
водящий технический материал по расчету вертикальных валов аппаратов с ме-
шалками.— Химическое и нефтяное машиностроение, 1980, № 6, с. 9—11.
46. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. Мл Наука,
1972. 328 с.
47. Нормы расчета на прочность элементов реакторов, парогенераторов,
сосудов и трубопроводов атомных электростанций, опытных и исследователь-
ских ядерных реакторов и установок. Мл 1Металлургия, 1973. 408 с.
48. Орлов Л. И. Основы конструирования. Кн. 1. Мл Машиностроение,
1977. 623 с.
49. Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении.
Т. 2/Под ред. С. Д. Пономарева. Мл Машгиз, 1958. 973 с.
50. Основы расчета и конструирования машин и автоматов пищевых про-
изводств/Под ред. А. Я. Соколова. Мл Машиностроение, 1969. 639 ст
444
51. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука,
1971. 240 с.
52. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Ма-
шиностроение. 1976. 320 с.
53. Проникав А. С. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1978. 591 с.
54. Рачков В. И., Курылев В. Ф., Сорокина И. В. К расчету обечаек с коль-
цами жесткости на устойчивость. — Химическое и нефтяное машиностроение,
1973, № G, с. 3—5.
55. Рейтман М. И. Залог прочности. М.: Стройиздат. 1978. 136 с.
56, Самсонов Ю. А. Прочность судовых ядерных реакторов. Л.: Судострое-
ние, 1970. 262 с.
57. Светлицкий В. А., Стасенко И. В. Сборник задач по теории колебаний.
М.: Высшая школа, 1979. 368 с.
58. Сергеев С. В. Расчеты на прочность деталей машин пищевых производств.
Машиностроение, 1969. 144 с.
59. Серенсен С, В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность: Справочное пособие. М.: Машинострое-
ние, 1975. 488 с.
60. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. И. М.: Наука, 1974, 655 с,
61. Соколов В, И. Центрифугирование. М.: Химия, 1976, 408 с.
62. Соколов В. И. Основы расчета и конструирования деталей и узлов пище-
вого оборудования. М.: Машиностроение, 1970. 424 с.
63. Соколов В, И., Соколов Н. В. Обобщение понятия индекса производи-
тельности центрифуг. — Прикладная химия, 1980, № 10.
64. Соколов С. Н, Расчет круглых и кольцевых пластинок постоянной и
переменной жесткости. — В кн,: Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958,
вып. 3. с. 58—66.
65. Справочник по крахмало-паточному производству. М.: Пищевая про-
мышленность, 1978. 431 с.
66. Стороженко О. Т., Мухин И. Н. Кинематическое возбуждение крутиль-
ных колебаний ротора виброцентрифуги. Химическое машиностроение, 1979,
№ 159, с. 3—6.
67. Тепловые и конструктивные расчеты холодильных машин/Под ред.
Н. Н. Кошкина. Л.: Машиностроение, 1976. 464 с.
68. Тимошенко С. П., Войнов скин-К ригер С. Пластинки и оболочки. М.:
Физматгиз, 1963. 460 с.
69. Томбаев II. И. Справочник по оборудованию предприятий молочной
промышленности. М.: Пищевая промышленность, 1972. 543 с.
70. Тондл А. Автоколебания механических систем. М.: А1ир, 1979. 429 с.
71. Устройство и эксплуатация оборудования предприятий пищевой про-
мышленности'Под ред. А. И. Драгилева. М.: Пищевая поомышленность, 1979.
302 с.
72. Хейнекен JL Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее при-
ложения. М.: Наука, 1974, 472 с.
73. Чернов Л. Б. Основы методологии проектирования машин, М.: Маши-
ностроение, 1978. 152 с.
74. Черепанов Г\ П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
640 с.
75. Чижевский К* Г. Расчет круглых и кольцевых пластин. Л.: Машино-
строение, 1977. 182 с.
76. Школьник JK М. Методика усталостных испытаний: Справочник. М.:
Металлургия, 197<^, 302 с.
77. Шор Я. Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и контроля надежно-
сти. М«: Сов. радио, 1968. 284 с,
78. Шувалов В. Н. Маш ины-автоматы и поточные линии. Л.: Машинострое-
ние, 1973. 543 с.
79. Шувалов В. Н. Качество и эффективность технологических машин. Л.:
Изд-во ЛГУ. 1977. 160 с.
80. Яковенко М. М., Медведев Б. Г. Расчет основных элементов машин и
аппаратов химических производств. Изд-во Пензен, политехи, ин-та, 1978. 80 с.
445
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................... 3
Глава I
Общие сведения конструирования деталей и узлов........................ 5
§ 1. Задачи конструктора пищевого оборудования.................... 5
§ 2. Общие методы конструирования оборудования.................... 6
§ 3. Использование системы автоматизированного проектирования 10
§ 4. Разработка конструктивных решений........................... 13
Глава II
Основы расчета машин и аппаратов пищевых производств................. 39
§ 5. Элементы теории надежности................................. 39
Надежность систем с резервированием............................ 50
Прогнозирование надежности функционирования оборудования , . 53
Зависимость надежности от распределений характеристик проч-
ности и напряжений............................................. 57
Основы оптимального конструирования............................ 66
§ 6. Расчет пластин 68
Изгиб круглых пластин, нагруженных симметрично.........., . 69
Расчет круглых осесимметричных пластин по методу начальных
параметров............................................. 72
Расчет круглых пластин, подвергаемых растяжению. ..... 81
§ 7. Расчет оболочек..................................... 84
Безмоментная теория оболочек вращения.................. 84
Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном нагружении
(моментная теория)..................................... 87
Применение моментной теории к расчету сферических и кони-
ческих оболочек........................................ 96
§ 8. Основы прикладной теории колебаний ......................... 99
Основные понятия....................................... 99
Свободные колебания.................................... 101
Свободные колебания при наличии сил сопротивления жидкости 106
Вынужденные колебания.................................. 108
Колебания систем с несколькими степенями свободы....... 115
Энергетический метод определения частоты собственных колебаний 121
Критические угловые скорости валов при отсутствии сил сопро-
тивления ..................................................... 124
Критическая угловая скорость валов при наличии сил сопроти-
вления ...................................................... 129
Влияние размеров роторов на критическую угловую скорость
валов......................................................... 130
Глава III
Емкостные и теплообменные аппараты................................. 134
§ 9. Простейшие задачи оптимального конструирования емкостных
и теплообменных аппаратов..................................... 134
§ 10. Цилиндрические корпуса вертикальных аппаратов ..... 141
§ 11. Сопряжение цилиндрических корпусов аппаратов с днищами 143
446
§ 12. Днища аппаратов.............. . ................. 151
Выпуклые днища................................................ 151
Конические днища аппаратов.................................... 156
Плоские днища аппаратов ...................................... 161
§ 13. Укрепление вырезов отверстий.............................. 164
§ 14. Кожухотрубчатая теплообменная аппаратура.................. 172
§ 15. Расчеты аппаратов на устойчивость......................... 197
§ 16. Надежность и долговечность емкостных и теплообменных
аппаратов .................................................... 213
Г л а в а IV
Аппараты с медленно вращающимися рабочими органами. . . . ... 225
§ 17. Шнековые прессы....................................... 225
§ 18. Ротационные аппараты с медленно в решающимися барабанами 232
Глава V
Ротационные машины ............................................ 244
§ 19. Общие сведения ...................................... 244
§ 20. Расчет на прочность простейших быстровращающихся дисков
постоянной толщины............................................. 248
§ 21. Расчет дисков (дезинтеграторов, эмульсоров, дисмембраторов
и т. д.) с консольными устройствами............................ 252
§ 22. Расчет дисков произвольного профиля (распылительных су-
шилок и др.)................................................... 257
§ 23. Аппараты с механическими перемешивающими устройствами 270
Критические скорости валов мешалок с учетом их массы. . . 274
Г л а в а VI
Роторные машины........................................... 286
§ 24. Основные характеристики роторных машин................ 286
§25. Роторы центрифуг и сепараторов, расчеты их на прочность . . . 292
§ 26. Расчет сопряжений элементов роторов центрифуг......... 303
§ 27. Прочность роторов сверхцентрифуг...................... 316
§ 28. Надежность и долговечность быстровращающихся узлов . . 324
§ 29. Вероятность разрушения и надежность роторов быстровра-
щающихся узлов................................................. 333
§ 30. Конструирование основных узлов роторных машин............. 345
§ 31. Влияние жидкости в роторе на критическую угловую скорость
вала.......................................................... 351
§ 32. Критические угловые скорости валов сепараторов и конструи-
рование опор............................................... 357
§ 33. Определение динамических нагрузок на опоры ротационных
машин статистическим методом .............................. 372
Глава VII
Пульсационные (поршневые) машины................................... 377
Глава VIII
Вибрационные машины................................................ 389
§ 34. Общие сведения........................................... 389
§ 35. Расчет вибрационных машин ............................... 389
§ 36. Конструкции вибровозбудителей............................ 3°6
Глава IX
Вибрационная защита ........................*.................. 412
§ 37. Основные методы виброзащиты ............................. 412
§ 38. Виброизоляция............................................ 418
§ 39. Определение параметров виброизоляции..................... 421
Приложения......................................................... 441
Список литературы.................................................. 443