Теория рассеяния: Квантовая теория нерелятивистских столкновений - Тейлор Дж.

Автор: Тейлор Дж.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика квантовая физика издательство мир практическая физика теория рассеяния
Год: 1975
Похожие
Квантовая теория рассеяния
Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике
Общие принципы квантовой теории поля
Квантовая физика
Текст
                    SCATTERING THEORY
THE QUANTUM THEORY
ON NONRELATIVISTIC COLLISIONS
John R- Taylor
University of Colorado
Boulder, Colorado
JOHN WILEY & SONS, INC.
NEW YORK LONDON SYDNEY TORONTO 1972

Дзк. Тейлор
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Квантовая теория
нерелятивпстских столкновений
Перевод с английского
А. С. ЖУКАРЕВА
Под редакцией
проф. А. М. БРОДСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1975

УДК 539Л .01
Книга американского физика-теоретика Джона Тейлора посвящена
систематическому изложению современной нерелятивистской квантовой теории од-
нокапалыюго и многоканального рассеяния. Книга представляет собой учеб-
ник, в котором подход на основе временного формализма, позволяющий
глубоко понять многие физические выводы теории рассеяния, удачно сочетается
с использованием стационарного формализма как метода практического
расчета результатов столкновений.
Книга предназначена лля научных работников, аспирантов и студентов,
приступающих к углубленному изучению нерелятивистской квантовой теории
рассеяния.
Редакция литературы по физике
20402 — 057
Т . ( . 57 — 75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет
собой учебник, предназначенный для научных работников и
студентов, приступающих к углубленному изучению
нерелятивистской квантовой теории рассеяния. Знакомство с
нерелятивистской теорией рассеяния в объеме настоящей книги полезно
и, более того, необходимо для всех, занимающихся теорией
элементарных частиц, ядерной физикой, физикой атомно-мо-
лекулярных явлений, физикой плазмы, физикой твердого тела,
а также физической и химической кинетикой.
Изучение процессов рассеяния всегда было важнейшим
составным элементом квантовой теории. В последние десятилетия
нерелятнвистская квантовая теория рассеяния выросла в
отдельный обширный раздел теоретической и математической
физики, в котором рассматриваются математический аппарат
и разнообразные общие приемы, используемые в различных
конкретных приложениях. В связи с этим появилось несколько
руководств, в которых суммируются результаты общей теории
рассеяния, не входящие в стандартные курсы квантовой
механики1). Однако до настоящего времени еще нет достаточно
краткого и в то же время в должной степени исчерпывающего
учебника, в котором последовательно излагался бы
формальный аппарат современной теории рассеяния. Настоящая книга
в значительной мере восполняет указанный пробел.
Важной и крайне ценной специфической особенностью
книги является рассмотрение временного формализма теории
рассеяния и выяснение его связи со стационарным
формализмом. Только овладев временным формализмом, который обычно
опускается в стандартных курсах квантовой механики, можно
достаточно глубоко понять многие физические выводы теории
рассеяния. В процессе рассмотрения временного формализма
*) Можно указать, в частности, книги: Д. И. Базь, Я. Б. Зельдович,
A. AI. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой
механике, изд-во «Наука», 1971; Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц,
изд-во «Мир», 1969; В. де Альфаро, Т. Редже, Потенциальное рассеяние, изд-во
«Мир», 1906; М. Гольдбергер, У<. Ватсон, Теория столкновений, изд-во «Мир»,
1967.

6
Предисловие редактора перевода
автору пришлось использовать в довольно широком объеме
математические понятия и теоремы функционального анализа,
включая теорию гильбертова пространства, свойства
операторов в этом пространстве, представления о сильной и слабой
сходимости и т. п. Все эти понятия и теоремы, еще недавно
считавшиеся многими физиками излишними, весьма удачно
интерпретируются автором на своеобразном «физическом» уровне.
Следует, однако, иметь в виду, что соответствующее изложение
в книге носит нестрогий характер и что более точные
формулировки следует искать в цитируемой специальной
математической литературе.
Заметим, что большая математическая строгость нужна
здесь не только для того, чтобы не шокировать
пуристов-математиков. Из-за ее отсутствия автор допускает ряд неточностей
и принимает без критики результаты некоторых недостаточно
достоверных работ при изложении отдельных пунктов теории
многочастичного рассеяния. Тем не менее автор предложил
одно из наиболее полных и одновременно современных
описаний формальной постановки весьма сложной задачи
многочастичного рассеяния из числа имеющихся в учебной литературе
по физике.
В заключение надо отметить несомненные методические
достоинства книги. В ней тщательно отобран и удачно изложен
материал, после изучения которого можно непосредственно
переходить к чтению оригинальной журнальной литературы по
рассматриваемой проблематике.
Существенно дополняют и поясняют основной текст хорошо
подобранные упражнения и графические иллюстрации. В число
разобранных примеров применения теории входят важные
реальные физические задачи из ядерной физики и теории атомно-
молекулярных соударений. Есть все основания считать, что
книга Тейлора будет встречена с интересом многими
читателями— не только физиками-теоретиками, но и
экспериментаторами, а также специалистами из смежных физике областей,
в которых используется квантовомеханическая теория
рассеяния.
В процессе перевода были исправлены замеченные
опечатки. Предметный указатель составил А. С. Жукарев.
А. М. Бродский

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга предназначена для всех тех изучающих физику,
кто желает получить прочные знания основ нерелятивистской
квантовой теории рассеяния. Она рассчитана на читателя, уже
знакомого с основными принципами квантовой механики
и имеющего предварительное знакомство с теорией рассеяния
в объеме общего университетского курса. Я надеюсь довести
изучающих атомную и ядерную физику до такого уровня, на
котором они смогут начать чтение оригинальной литературы
и ломать голову над реальными задачами с полным
пониманием основополагающих принципов. Изучающим физику
высоких энергий я попытался обеспечить необходимую основу для
дальнейшего изучения релятивистских проблем.
Что касается отбора материала, то представляется
необходимым объяснить здесь лишь один пункт—решение исключить
из рассмотрения релятивистскую теорию рассеяния. Многое
привело меня к этому решению. Нерелятивистская теория
столкновений широко применяется для описания процессов при
низких энергиях в атомной и ядерной физике и в физике эле-
ментарных частиц; она достаточно разработана, чтобы
составить содержание целой книги. Основные законы
нерелятивистской квантовой механики полностью поняты, и, в резком отличии
от релятивистского случая, нерелятивистская теория рассеяния
представляет собой логически полное и замкнутое построение.
Кроме того, существуют многие важные свойства, общие для
нерелятивистской и релятивистской теорий. (Например, обе
теории формулируются на языке унитарного оператора
рассеяния S.) Из-за этого первая теория является великолепным
введением в последнюю, и везде, где только можно, я излагал
материал так, чтобы подчеркнуть его применимость как в
релятивистской, так и в нерелятивистской областях.
Что касается моей трактовки предмета, то возможны два
замечания. Во-первых, читатель обнаружит, что я все время
старался излагать тему с помощью простейшего подходящего
примера (наиболее сложный атомный процесс, обсуждаемый
сколько-нибудь подробно,^рассеяние электрона на атоме
водорода; выбранный для обсуждения поляризационный
эксперимент—рассеяние частицы со спином 7а на бесспиновой мишени;

8
Предисловие автора
первые две трети книги вообще полностью посвящены простому
случаю одноканального рассеяния). Я поступал так потому, что
считаю наилучшим способом изучения теории рассеяния тот, при
котором все основные понятия — оператор 5, сечения, Г-матрица
и т. д. — становятся привычными в простейшем контексте. После
того как эти понятия действительно хорошо усвоены, их
распространение на более общие ситуации обычно не встречает
затруднений и часто может быть предоставлено самому читателю.
Из такого подхода следует, что в книге охватывается материал
не столь обширный и общий, как в большинстве книг на данную
тему [1—3], и потому, возможно, она не столь пригодна для
наведения справок активным исследователем. Я надеюсь, однако,
что такая книга может оказаться более полезной для тех, кто
изучает предмет и кому обычно приходится прилагать для этого
большие усилия. Во-вторых, читателю придется проявить
большее, по сравнению с традиционным, внимание к
нестационарному подходу. Исторически теория рассеяния развивалась
в конце 20-х и в 30-е годы с использованием формализма не
зависящих от времени стационарных состояний рассеяния. Этот
формализм был должным образом обоснован только в конце
50-х годов с развитием реалистической нестационарной теории.
Теперь, однако, можно излагать теорию рассеяния гораздо
более удовлетворительным образом, начиная с нестационарного
формализма и используя его для определения всех основных
понятий, и только после этого вводить стационарную теорию
как средство для вычислений и установления определенных
общих свойств.
За исключением нескольких глав, книга рассчитана на
систематическое чтение от начала до конца, и я надеюсь, что
читатель изберет именно этот способ1). Я также надеюсь, что
читатель постарается решить если не все, то большую часть
из немногих задач, которые приводятся в конце каждой главы.
Большинство из них прошло проверку в трех последовательных
группах студентов Колорадского университета. Они
предназначены для того, чтобы читатель мог совершенствовать свое
понимание только что изученного материала, а также для
ознакомления с некоторыми важными обобщениями, не
разбираемыми в тексте.
Многие коллеги и друзья помогли мне при написании этой
книги. Особой благодарности заслуживают проф. Томас
Иордан, проф. Майкл Уипман, Райнер Розич и Дэвид Гудмансон,
1) Исключение составляют главным образом гл. 7, 14, 15, 20 и 21.
Читатель может пропустить или отложить рассмотрение части или всего
материал а этих глав; это не повлияет серьезно на понимание им последующего
материала.

Предисловие автора 9
каждый из которых прочитал большие разделы рукописи и
сделал многочисленные полезные предложения и замечания.
Также заслуживают благодарности Мартин Идальго, Алан
Хант, Райнер Розич и Роберт Стольт, которые выполнили
расчеты для нескольких графиков и таблиц. Я благодарен проф.
Полю Мэтьюсу за гостеприимство в Имперском колледже, где
я начал серьезно работать над этой книгой, и нескольким
коллегам по Имперскому колледжу и Колорадскому
университету— Кеннету Барнсу, Уэсли Бриттину, Крису Зафиратосу
и многим другим —за неоценимые беседы и поддержку. Больше
всего я хочу поблагодарить свою жену Дебби. Она не только
терпеливо вынесла три года наших авторских мучений
наиболее подобающим для жены образом; она отредактировала всю
рукопись и дважды ее перепечатала.
Джон Р. Тейлор

Моей жене
ВВЕДЕНИЕ
В квантовой физике наиболее важным экспериментальным
методом является эксперимент по рассеянию. Справедливость
этого утверждения становится ясной даже при самом
поверхностном обзоре современной физики. В атомной физике
открытие Резерфордом атомного ядра основывалось на его изучении
рассеяния а-частиц мишенью из золотой фольги.
Существование энергетических уровней атома было установлено в опыте
Франка и Г^рца опять-таки при наблюдении рассеяния
электронов на парах ртути. В ядерной физике первое ясное
свидетельство о структуре ядра было получено из наблюдения
Резерфордом процесса рассеяния
a + [4N-*p + l70.
При изучении же элементарных частиц эксперимент по
рассеянию не только доставляет экспериментальные данные, но и
служит основным способом получения самих частиц, как,
например, в реакции рождения пиона
Инструментом для анализа экспериментов по рассеянию
служит теория рассеяния. При обсуждении теории рассеяния
удобно представлять себе различные возможные подразделения
всей темы. Во-первых, существуют нерелятивистская и
релятивистская теории; эта книга, как указано в предисловии,
ограничивается первой из них. Во-вторых, существуют одноканаль-
ная и многоканальная части теории. Наконец, в-третьих,
существуют нестационарная и стационарная ее части. Эти
подразделения определили построение данной книги.
Прежде чем описывать наш подход к изучению одноканаль-
иого и многоканального рассеяния, мы должны коротко
обсудить определение этих двух понятий. В большинстве
столкновений существует множество различных наборов частиц,
которые могут появляться в конечном состоянии. Например, при
бомбардировке атомов азота а-частицами возможны
различные конечные конфигурации:
a + 14N~»a+l4N
Р + 170
a + a + I0B
и т. д.

12
Введение
Каждый возможный набор частиц в конечном состоянии
называется каналом, а процесс указанного вида — многоканальным
столкновением. Существуют, однако, простые процессы, в ко-
торых имеется в точности один канал. Два примера таких
одноканальных процессов — это низкоэнергетическое рассеяние
электронов на протонах и рассеяние нейтронов на а-частицах.
В любом из них может происходить только упругое рассеяние:
е + р-+е+ р
и
п + а-+ п + а.
Понятие однокаиального процесса на самом деле всегда
представляет собой некоторую идеализацию. Если, например,
увеличить энергию нейтрона при столкновении с а-частицей до
значения, большего приблизительно 20 МэВ, то нейтрон может
разрушить а-частицу. При рассеянии электрона на протоне
также всегда существует возможность рождения
низкоэнергетических фотонов при любой начальной энергии.
Следовательно, ни один из примеров не является истинно одноканаль-
ным столкновением. И все же существует множество процессов
(включая и два указанных примера), которые при правильно
поставленных условиях можно с хорошей степенью точности
рассматривать как одноканальные столкновения. В рамках
нерелятивистской квантовой механики рассеяние одной частицы
на фиксированном потенциале и рассеяние двух частиц друг на
друге представляют собой вполне последовательные модели
одноканальных систем.
Формализм для однокаиального рассеяния, конечно,
намного проще, чем для общей многоканальной задачи. В то же
время он включает в себя почти все основные понятия, которые
используются в общей задаче. Поэтому, прежде чем переходить
к многоканальной задаче, мы тщательно изучим одноканальное
рассеяние. А именно: после гл. 1, посвященной математическим
вопросам, рассматриваются все аспекты однокаиального
рассеяния (в гл. 2—15) и лишь затем, в гл. 16—21, проводится
аналогичное изучение многоканальной задачи. (В гл. 22 мы
рассматриваем специальный вопрос о рассеянии
тождественных частиц.)
Наше другое главное разделение теории рассеяния — это
разделение ее на нестационарную и стационарную части. В
первой из них имеют дело с зависящей от времени волновой
функцией, которая описывает развитие столкновения в том виде, как
оно происходит на самом деле. Задолго до начала
столкновения и после того, как столкновение полностью закончится, уча*
ствующие в рассеянии частицы ведут себя в точности, как
свободные частицы, и, следовательно, соответствующие волновые

Введение
13
функции имеют такое же поведение, как и волновые функции
свободного движения. Оказывается возможным связать эти
волновые функции, являющиеся по существу волновыми
функциями свободного движения до и после столкновения, с
помощью некоторого унитарного оператора, называемого
оператором рассеяния S. На практике все измерения производятся
над частицами до и после столкновения. (Даже самые
медленные столкновения длятся обычно намного меньше 10~10 с.)
Можно, следовательно, сделать вывод, что вся относящаяся
сюда экспериментальная информация (по крайней мере при
рассмотрении экспериментов по рассеянию) содержится в од-
ном операторе S. В частности, все экспериментально
измеренные сечения рассеяния можно выразить через матричные
элементы оператора S.
Стационарный формализм возникает (во всяком случае,
в своей простейшей форме) из разложения подлинных,
зависящих от времени волновых функций по так Называемым
стационарным состояниям рассеяния, которые представляют собой
просто подходящие собственные функции гамильтониана. Этот
формализм полезен главным образом как способ выполнения
фактического расчета оператора рассеяния (или
соответствующей ему амплитуды рассеяния) и для установления большого
числа его общих свойств.
Естественный (хотя и не отвечающий истории) порядок
изложения теории рассеяния состоит в том, чтобы начать с
нестационарного формализма, использовать его для определения
оператора рассеяния S и сечений рассеяния и только после
этого развивать стационарный формализм как
вычислительную технику. Именно такому порядку следует изложение в
данной книге, содержание которой можно резюмировать
следующим образом:
Предварительные сведения из математики гл. 1
нестационарная гл. 2—7
одноканальная
/ \
/ стационарная гл. 8—15
Теория рассеяния
\ нестационарная гл. 16—17
многоканальная
\
стационарная гл. 18—21
Изменения, необходимые для рассмотрения тождественных частиц—гл. 22.
Описанный только что в общих чертах порядок изложения
материала отнюдь не совпадает с тем порядком, в котором

14 Введение
происходило развитие теории рассеяния. Исторически она
первоначально развивалась — по аналогии с теорией связанных
состояний— вокруг стационарных состояний рассеяния, т. е. с
использованием стационарного формализма. Лишь позднее была
развита нестационарная теория, призванная дать надлежащее
обоснование уже полученным результатам.
Именно традиционный подход, начинающийся со
стационарной теории, излагается в большинстве элементарных курсов
квантовой механики. Так, после рассмотрения задачи о
рассеянии одной частицы на фиксированном потенциале читатель,
несомненно, становится знакомым с «волновой функцией
рассеяния» -ф^ (х), определяемой как решение стационарного
уравнения Шредингера с граничным условием
фр+(х)-7^^(2яГэл{е£рх + /(Я,В)4:-}.
(Здесь и везде далее в этой книге мы используем единицы,
в которых й = 1.) Говорят, что эта волновая функция
представляет стационарный падающий пучок частиц с импульсом
р и сферически расходящуюся рассеянную волну с амплитудой
/(£,8). Такая интерпретация сразу приводит к знаменитому
результату для дифференциального сечения
do рассеянный поток/телесный угол \t(p с\\ р
<Ш начальный по ток/ площадь ''' * ''*
Хотя этот подход приводит к правильным результатам (во
всяком случае, при правильно поставленных условиях) и,
несомненно, приемлем в качестве первоначального введения к теме,
он все же существенно неудовлетворителен. Волновая
функция, зависящая от одной переменной х, должна представлять
состояние одной частицы, а не пучка частиц, как это объявляется.
Поскольку, далее, функция ^ (х) не нормируема, она вообще
не может представлять какое-либо состояние. Более того,
функция фр" (х) является собственной функцией гамильтониана и,
следовательно, соответствует стационарной ситуации — в
полную противоположность любому реальному столкновению,
протекающему, естественно, во времени. Наконец, при подсчете
рассеянного и начального потоков совершенно игнорируется
интерференция этих двух волн.
Тем не менее нет никакой случайности в том, что
традиционная аргументация приводит к правильному ответу.
Фактически все приведенные выше возражения можно снять, а
желаемые выводы обосновать, если построить нормированный,
зависящий от времени волновой пакет, беря суперпозицию
волновых функций фр"(х) с подходящими импульсами р. Другими

Введение 15
словами, традиционный стационарный подход можно
обосновать, если использовать его как этап построения
нестационарного формализма. Эта совершенно законная процедура
действительно предлагается в более строгих учебниках квантовой
механики. Однако в этой книге мы будем следовать
альтернативному и более естественному подходу: мы начнем с реалисти^
ческого нестационарного формализма и будем вводить
стационарную теорию только тогда, когда она окажется нужной в
качестве вычислительного аппарата. По-видимому, единственное
достойное сожаления следствие такого подхода состоит в том,
что читателю, знакомому с традиционной трактовкой через ста^
ционарные состояния ф?(х), придется подождать до гл. 10;
лишь там он встретится со знакомыми основными
положениями.
В заключение несколько кратких замечаний по поводу
обозначений. Для векторов, представляющих состояния квантово-
механической системы, мы используем дираковское
обозначение кет-векторов |\|>), |^) и т. д. Хотя в такой системе
обозначений заключены некоторые несомненные неудобства, она часто
дает преимущество в ясности. Например, обсуждавшаяся выше
волновая функция \|£ (х) заменяется компактным символом
|р+У Кроме того, эта нотация дает нам возможность
использовать греческие буквы |ф), \ф), ... исключительно для
собственных, нормируемых векторов, а несобственные векторы —
плоские волны |р), собственные состояния момента количества
движения |Е,/,т), состояния рассеяния |р+) — обозначать
соответствующими собственными значениями (латинский алфавит).
Мы стараемся обозначать операторы и матрицы заглавными
буквами, а числа — строчными. Типичный оператор
обозначается через Л, а его собственные значения через а. Операторы
положения и импульса одной частицы обозначаются буквами
X и Р, а соответствующие собственные значения — буквами х
и р. При обсуждении двух частиц с операторами положения
Xi и Х2 и операторами импульса Pi и Р2 наше правило
вынуждает нас использовать следующее необычное обозначение: X,
X — операторы положения центра масс и относительного
положения частиц; Р, Р — операторы полного и относительного^им-
пульсов. Эти операторы имеют собственные значения х, х, р, р.
Не приходится и говорить, что неизбежны исключения из
нашего общего правила: строчные буквы а и р мы используем
для обозначения матриц Паули и матрицы плотности,
прописную букву Е — для собственных значений энергии и некоторые
другие.
Для слишком часто используемых букв мы прибегаем к
помощи различных видов шрифта. В частности, все унитарные

16
Введение
(и антиунитарные) операторы обозначаются рубленым
шрифтом. Оператор рассеяния обозначается через S, а его
собственные значения через s; R — это операторы вращения, D —
смещения, Р — оператор инверсии, Т — обращения времени и т. д.
Заслуживает упоминания еще одно соглашение
относительно операторов. Мы будем иметь дело как с задачами», в
которых импульс сохраняется (например, рассеяние двух
взаимодействующих друг с другом частиц),так и с задачами,в
которых импульс не сохраняется (например, рассеяние одной
частицы на фиксированном потенциале). Для операторов
столкновения в этих двух типах систем оказывается удобным иметь
различные обозначения. Так, оператор S для систем, в которых
импульс не сохраняется, мы обозначаем через S, а для систем,
в которых импульс сохраняется, используем полужирный
готический шрифт: ®.
Наборы векторов состояния |\р) мы обозначаем прописными
рукописными буквами. Так, гильбертово пространство всех
векторов состояния (данной системы) мы обозначаем через Ж,
а различные нужные нам подпространства через 3$, 3)9 Я и 9>.
Наконец, векторы в реальном трехмерном пространстве (R3)
обозначаются, как обычно, полужирными буквами. Величина
произвольного вектора а обозначается через ae-slal (в случае
вектора положения х мы используем букву г —|х|).
Единичный вектор в направлении а обозначается символом а = а/а.
Единичные векторы по трем координатным осям записываются
как Ь 2, 3.

ГЛАВА t
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
Одна из основных целей этой книги состоит в том, чтобы
показать, что квантовая теория рассеяния н£ так уж трудна, как
это обычно считается. Одним из главных средств, ведущих
к данной цели, будет использование несколько более
утонченного математического аппарата по сравнению с используемым
во многих руководствах. По этой причине первая глава
посвящена краткому обзору математического аппарата, который
будет применяться во всех остальных главах1).
По современным стандартам обсуждаемый математический
аппарат не представляется слишком уж утонченным, и для
многих читателей большая часть настоящей главы окажется не
более чем обзором знакомого материала. Однако несколько
понятий, в частности понятия изометрического оператора и
сходимости (оба понятия имеют в теории рассеяния
первостепенное значение), могут оказаться новыми для многих читателей.
Мы начнем с беглого обзора теории гильбертовых
пространств, разложений по собственным векторам и
подпространств. Затем мы сделаем обзор некоторых свойств
операторов, уделяя особое внимание унитарным и изометрическим
операторам. В конце главы мы обсудим важное понятие
сходимости векторов и операторов. Мы сосредоточим внимание на
формализме для простейшей из всех систем, а именно системы
из одной бесспиновой частицы, движущейся в поле
фиксированного потенциала. Аппарат для обращения с более
сложными системами будет вводиться позднее по мере
необходимости.
Читатель, который уже хорошо знаком со всем этим
материалом, может без какого-либо ущерба пропустить данную
главу.
*) Большую часть материяла этой главы можно найти в нескольких кии-
гах по квантовой механике (например, в [4, 5] и особенно в [6]).
(На русском языке читатели могут ознакомиться с излагаемым
математическим аппаратом в книгах по функциональному анализу, см., например:
Функциональный анализ, под ред. С. Г. Крейна, из-во «Наука», 1972 г., а
также в первой главе книги: И. //. Боголюбов, Л. А, Логунов и И. Т. Тодоров,
Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля», изд-во «Наука»,
1969 г. — Прим. ред.)

18
Гл. /. Сведения из математики
§ 1. Гильбертово пространство векторов состояния
Состояния одной бесспиновой части-цы описываются
волновыми функциями ф(х), удовлетворяющими условию
Jd3x|o[)(x)P<oo. (1.1)
Каждую волновую функцию ф(х) можно рассматривать как
величину, определяющую координаты бесконечномерного
вектора состояния |\|>). Из любых двух таких векторов (ф) и \ф)
можно образовать линейные комбинации а|ф) + й|у) и
скалярное произведение (-ф| f)= \ d3n|) (х)" <j> (x). Норма, или
длина, вектора определяется как ||^Ц = + (^|^)7'-
Если ввести эти определения, то система всех векторов
состояния одной частицы образует линейное векторное
пространство особого вида, которое известно как гильбертово простран-
ство1). Фактически, это общая черта всех квантовомеханиче-
ских систем. Точная природа волновых функций зависит от
свойств рассматриваемой системы, но в любом случае
волновые функции определяют гильбертово пространство, для
которого мы используем общий символ Ж. Гильбертово
пространство для упоминавшейся выше одной бесспиновой частицы
обозначается символом ^ = 2?2(R3) и представляет собой
пространство всех квадратично-интегрируемых по Лебегу2) функций
\|>(х) от переменной х из вещественного трехмерного
пространства R3. Для системы из N различных бесспиновых частиц
имеем 5?1 (R3iV) — пространство всех
квадратично-интегрируемых функций \|)(xi xN) от N координат Х|, ..., xN. Для
одной частицы со спином s (не имеющей каких-либо других
степеней свободы) имеем (2s + 1)-мерное гильбертово
пространство всех (25+ 1)-компонентных спиноров3).
Важное свойство любого квантовомеханического
гильбертова пространства Ж состоит в том, что в нем имеется счетный
1) В данном случае точнее говорить о комплексном сепарабельном
гильбертовом пространстве. Для полноты отметим, что оно определяется как
комплексное линейное векторное пространство, в котором введено обычное
скалярное произведение (ty\<t>), в котором существует счетный ортонормирован-
ный базис и которое обладает свойствами сходимости, обсуждаемыми в § б
настоящей главы. Более подробно эти вопросы рассмотрены в [6].
2) Функция квадратично-интегрируема по Лебегу, если для нее выполняется
условие (1.1), где интеграл понимается как интеграл Лебега. Точная природа
такого интеграла — это вопрос технический, который не должен особенно
беспокоить читателя, незнакомого с теорией интегрирования по Лебегу.
3) В математической литературе название «гильбертово пространство»
часто резервируется для бесконечномерных пространств. В физике обычно
допускаются как конечномерные, так и бесконечномерные гильбертовы
пространства. Мы будем следовать традиции, принятой в физике.

§ 1. Гильбертово пространство
19
ортонормированныи базис. Иначе говоря, существует
некоторая система векторов 11), |2), ... в Ж, таких, что
<n'i*> = *rt'ii, (1-2)
и любой вектор !ф) из Ж можно представить в виде
разложения *
1Ф> = £фЛ!л>. (1.3)
п
Коэффициенты разложения $п можно рассматривать как
координаты вектора |ф) в этой координатной системе или как
представление, определяемое векторами |1), |2), .... Согласно
(1.2), эти коэффициенты равны
*ж = <яЦ>>. (1-4)
Наблюдаемым в кваитовомеханической системе
соответствуют эрмитовы операторы, собственные векторы которых
образуют (в обсуждаемом здесь смысле) базис гильбертова
пространства Ж Существуют некоторые наблюдаемые (например,
гамильтониан простого гармонического осциллятора), у
которых собственные векторы образуют ортонормированныи базис
точно такого вида, как описанный выше. К сожалению,
большинство наблюдаемых не обладают этим свойством.
Фактически многие наблюдаемые, такие, как операторы положения X
и импульса Р одной частицы, а также гамильтониан свободного
движения Н° = Р2/2т вообще не имеют собственных векторов
(т. е. в 36 не существует «ограниченных» собственных векторов
этих операторов). Фон Нейман показал, однако, что для целей
квантовой механики подходящим обобщением базиса
собственных векторов является спектральное разложение и, далее, что
спектральное разложение действительно существует для
каждого самосопряженного оператора1). По этой причине в
квантовой механике всегда считается, что наблюдаемые
соответствуют самосопряженным операторам.
Формализм спектрального разложения в том виде, как он
был развит фон Нейманом и другими, не получил широкого
распространения среди физиков, которые предпочитают
формализм Дирака. В работе последнего наблюдаемая, или
самосопряженный оператор, трактуется как если бы ее собственные
f) Определение самосопряженного (или «гипермаксимального»)
оператора—вопрос чисто технический, и нет нужды здесь его рассматривать. Для
широкого класса операторов самосопряженность эквивалентна более
знакомому понятию эрмитовости (или «эрмитовой симметричности», или
«симметричности»). Однако в общем случае самосопряженность является более
сильным свойством (т. е. самосопряженность включает в себя эрмитовость, но не
наоборот). Рассмотрение этих вопросов и вопроса о спектральном разложении
см. в. [б].

20
Гл. 1. Сведения из математика
векторы были базисом в Ж. Это достигается введением
понятия «неограниченных векторов». [«Ограниченный» вектор —
это вектор в ЖЛ т. е. нормируемый вектор, или вектор конечной
длины. Неограниченные векторы имеют бесконечную длину —
см. (1.5)—и не принадлежат к 34S] Так, например, несмотря
даже на то, что для оператора положения X не существует
ограниченных собственных векторов, мы вводим
неограниченные собственные векторы | х), удовлетворяющие равенствам
Х|х)=х|х) и обладающие свойствами, как можно более
близкими свойствам (1.2) — (1.4) ортонормированного базиса.
Условие нормировки этих векторов следующее:
<х'|х) = 63(х'-х), (1.5)
а разложение любого ограниченного вектора |г|?) имеет вид
1Ф>==$Л>Их)|х>.
Коэффициент разложения \|i(x) представляет собой обычную
координатную волновую функцию, которая, согласно (1.5), есть
скалярное произведение
*(х) = <х|ф>. (Кб)
Отсюда становится ясным, в каком смысле tp(x) можно
рассматривать как координату вектора |\|?) в некоторой особой
координатной системе в 3(6, г именно в представлении, в котором
оператор X диагоналей.
Аналогично мы вводим собственные векторы импульса | р),
которые мы нормируем согласно условию (р' I р) = б3 (р' — р).
Для любого | ф) величина (pli|>) есть просто волновая функция
вектора 11|>) в импульсном пространстве, которую мы часто
будем записывать в виде г|>(р), когда не будет опасности спутать
ее с координатной волновой функцией я|?(х). При выбранной
нами нормировке координатная волновая функция для |р)
есть
<x|p> = (2*rVp'\
В этой книге мы будем использовать дираковские
неограниченные векторы. Однако нелишне еще раз подчеркнуть, что
только ограниченные векторы [векторы из Ж) представляют
физически реализуемые состояния. Неограниченные векторы,
такие, как |р), не представляют физических состояний и имеют
значение только в качестве объектов, по которым можно
разложить ограниченные векторы. Это различие особенно важно в
теории рассеяния, где некоторые результаты, которые,
очевидно, должны быть справедливыми для физических векторов
состояния, тем не менее не справедливы для неограниченных
векторов. Например, главный результат теории рассеяния со-

§ 2. Подпространства 21
стоит в том, что задолго до начала столкновения и по
прошествии длительного времени после его окончания поведение
любого вектора, представляющего процесс эволюции
столкновения, в точности совпадает с поведением вектора состояния
свободной частицы. Этот результат не справедлив, если применить
его к неограниченному собственному, состоянию рассеяния1).
§ 2. Подпространства
Подпространством 9* гильбертова пространства Эв
называется любое подмножество, которое само обладает всеми
свойствами гильбертова пространства. В частности, если |ф)
и \ф) принадлежат ^, то а\у) + Ь\ф) тоже принадлежит У.
Подпространства играют важную роль в квантовой механике.
Например, если гамильтониан Н некоторой системы имеет
собственное значение £, то множество всех векторов,
представляющих состояния с энергией Е (т. е. множество всех [if),
удовлетворяющих уравнению Н\^) = Е\\р) для фиксированного £),
является подпространством.
Мы будем говорить, что вектор |^) ортогонален
подпространству ^, если он ортогонален каждому вектору из У, т. е.
если (^|*|>) = 0 для всех |г|э) из 9>. (Например, в реальном
векторном пространстве R3 единичный вектор 3, направленный
вдоль оси 2, ортогонален подпространству, определяемому
плоскостью х — у.) Легко видеть, что множество всех векторов,
ортогональных к подпространству ^, само является
подпространством, которое мы называем ортогональным дополнением У
подпространства 9>\
9>L = {\ф) из Ж\ | Ф) ортогонален £>}.
(Например, ось z — это ортогональное дополнение плоскости
х — уъ R3.) Мы пишем <3£ = ^Ф^1, и, как легко можно
проверить, каждый вектор |t|A из 36 можно однозначно
представить в виде |ф) = |0)+|х)> где вектор |^) принадлежит
подпространству &, а вектор \х)— подпространству 071.
Поскольку оба подпространства 9> и 9> сами могут быть
расщеплены таким же способом, мы вводим более общее
обозначение
*) В гл. 10 мы подробно обсудим, в каком смысле применяется так
называемое асимптотическое условие к неограниченным собственным состояниям.
Здесь мы хотим только подчеркнуть, что оно неприменимо к неограниченным
векторам в том виде, в каком оно применяется к ограниченным векторам, н
что пет никакой причины, по которой эта применимость имела бы место.

22
Гл. 1. Сведения из математики
которое означает, что подпространства 9*\ взаимно ортогональны
и что каждый вектор |ф) из 36 можно представить в виде
1*> = 1+1>+.--+1+л>-
где каждый вектор |^) принадлежит подпространству У{.
В этом случае мы говорим, что 36 является прямой суммой
подпространств 9>и ♦ ■ ♦ Уп.
Важный пример прямой суммы появится у нас при
обсуждении одночастичного рассеяния в гл. 2. Мы обнаружим, что
соответствующее гильбертово пространство <3# = Sr^R3)
можно разложить следующим образом:
где 91 — подпространство состояний рассеяния, a
9S—подпространство связанных состояний (т. е. & есть подпространство,
составленное из произвольных линейных комбинаций векторов
связанных состояний). Это означает, что каждое состояние
рассеяния ортогонально любому связанному состоянию и что
наиболее общее состояние частицы представляет собой
суперпозицию одного вектора состояния рассеяния из Я и одного
вектора состояния из &.
§ 3. Операторы и обратные операторы
Читатель, несомненно, знаком с понятием линейного
оператора, который можно определить следующим образом:
Линейный оператор А в пространстве 36 сопоставляет
каждому вектору |ф) из некоторой совокупности
векторов в 36 единственный вектор Л|гь), причем таким
образом, что А(а|ф) + Ь\ф)) = aA\i\>) + ЬА\ф) (при любых
комплексных а и ft).
Часто полезно наглядно представлять себе линейный оператор
А как отображение векторов |-ф) из 36 на их
векторы-изображения |\|/) = А |ф), тоже из 36 (фиг. 1.1),
Как показано на фиг. 1.1, оператор определяется не
обязательно для всех |ip) из Ж Например, в пространстве !?2(Rl)
одной бесспиновой частицы, движущейся в одном измерении,
оператор положения X определяется как оператор умножения
координатной волновой функции на х: X\ty) =\-ф')ч где
1|/(*) = хф(д:). Но функция ty'(x) определяет некоторый
вектор в ^(R1), только если \ dx\ ф'(*)Р < °о. Поэтому
оператор X определен только на тех векторах |г|Л из S2{Rl),
которые обладают дополнительным свойством \ dxx2\$(x) f < оо,

§ S. Операторы и обратные операторы
23
и фактически нет какого-либо полезного способа
распространить его определение на любые другие векторы. По этой
причине удобно ввести название область определения 3){А) опе-
08/гасть
определения
Г ШЛ)
Область^
значений
Фиг. 1.1. Оператор А отображает определенные векторы | ф> на их
изображения А | ф).
Те векторы | ф), для которых определены А | ф>, составляют область определения
оператора А\ систеыа векторов-изображений А \ ф) представляет собой область значений
оператора А.
ратора А для множества векторов, на которых определен
оператор А. Легче работать, очевидно, с операторами, у которых
область определения совпадает со всем пространством Эв\ од-
*—Л\у1>>=А\4»
Фиг. 1.2. Если оператор А отображает два различных вектора на один и
тот же вектор-изображение» то для А не существует обратного оператора
нако многие важные операторы не обладают этим
желательным свойством {).
По-видимому, ясно, что, вообще говоря, не любой вектор
|\j/) из Ув будет вектором-изображением некоторого |tp) при
!) Пример, показывающий, какого типа неприятности могут возникать в
случае, когда операторы не определены для всех векторов |ф), доставляет
определение суммы (А + В) двух операторов: (А + В) |ф> = А |-ф) + Я|ф). Это
определение имеет смысл только в том случае, когда |t|)> принадлежит как
области определения А, так и области определения В. Может случиться, что
таких векторов не существует (кроме нуль-вектора). Только если и А и В
определены на всем пространстве Жу можно быть уверенным, что подобных
проблем не возникнет. Здесь мы не будем явно беспокоиться об этих
проблемах. Мы упоминаем о них только для того, чтобы подчеркнуть резкое
различие между операторами, определенными повсюду, и теми, которые определены
не на всем пространстве,

24
Гл. 1. Сведения из математики
действии оператора Л. По этой причине мы вводим название
область значений Я(А) оператора А для множества векторов-
изображений, на которое отображает оператор А.
Вообще оператор может отображать два различных вектора
на один и тот же вектор-изображение; скажем, |ф)=?Ч^), но
А |г|?) = А \ф) =|хУ В этом случае, очевидно, не существует
единственного вектора, из которого образуется (х) при
действии оператора Л, и мы говорим, что для А нельзя
определить обратный оператор (фиг. 1.2). С другой стороны, может
случиться при данном операторе Л, что
если |*> Ф \ф), то Л |ф> ФА\Ф). (1.7)
Здесь каждый вектор |\|/\ из 94(A) является изображением
единственного вектора |\|>) из 2){А)\ |г|/) = Л |\|?). В этом
0(A)
Я(А)
Фиг. 1.3. Оператор А отображает 2>{А) па &{А)\ обратный оператор А ]
отображает Ж (А) снова на Ю(А).
случае мы определяем обратный оператор Л-1 соотношением
Л-1|1|)/)=|^) [для |>|/) из 5?(Л)]. Используя это определение,
легко проверить, что Л-1 — линейный оператор, определенный
на подпространстве Я (Л) и отображающий 32 (Л) обратно на
2>(А) (фиг. 1.3).
Ввиду линейности оператора Л мы можем переписать
условие существования оператора Л-1 (1.7) в виде
если |х>=И=0, то А\х)фО. (1.8)
В словесном выражении условие (1.7) означает, что оператор
Л производит взаимно однозначное отображение 3)(А) на
Л(А)%
§ 4. Унитарные операторы
Несомненно, привычным для читателей примером
оператора, для которого существует обратный оператор, является
') Имеется некоторая путаница в терминологии для обратных операторов.
Наше определение совпадает с используемым математиками и некоторыми
физиками. Однако некоторые физики резервируют термин «обратный оператор»
для тех случаев, когда А~] определен на всем пространстве Ж т. е. когда

§ 4. Унитарные операторы
25
унитарный оператор. Унитарный оператор можно определить
следующим образом:
Унитарный оператор в пространстве Ж — это
линейный оператор U, который отображает все пространство
Ж на все пространство Ж и сохраняет норму, т. е.
Ф([}) = Я([)) = Ж и || U+II = 11 ф|| для всех | ф>.
Легко видеть из определения, что для унитарного
оператора существует обратный оператор, определенный на всем
пространстве^. Поскольку || иф 11 = 11 ф ||, условие (1.8) выполнено и
оператор U"1 существует; поскольку 31 (U) = 3£, обратный
оператор определен всюду на пространстве Ж.
для.
каждого \$>
существует
еоинственое
изображение
\f'>
Фиг. 1.4. Если оператор U унитарный, то для каждого нормированного
вектора | ф> существует единственный нормированный вектор-изображение | г|>),
и наоборот.
Мы выбрали данное определение унитарных операторов
из-за того, что оно в наибольшей степени соответствует их
роли в квантовой механике. Это можно проиллюстрировать на
примере оператора временной эволюции U (0- Читатель,
наверное, сразу вспомнит, что эволюция во времени любой
системы определяется (в шредингеровской картине квантовой
механики) уравнением Шредингера
Для консервативных систем (которые мы только и будем
рассматривать) гамильтониан Н не зависит от tt и общее решение
уравнения Шредингера имеет вид
l*,>=U(/)l*>-^""|i|>>.
Из основной теоремы о линейных операторах следует, что,
поскольку оператор И самосопряженный, оператор эволюции
U (/) унитарен ([6], стр. 52). Оператор эволюции отображает
вектор состояния для нулевого момента времени (т. е. ]ф)) на
соответствующий вектор в момент времени t.
Калсдый
век!Г/ир\<р'>
■— есть и
поражение од/шгп-
единственного
i<f»

26 Гл. 1. Сведения из математики
Возвращаясь к нашему определению унитарного оператора,
мы можем интерпретировать унитарность оператора эволюции
следующим образом (фиг. 1.4). Тот факт, что U (/) определен
на всем пространстве Ж, означает, что для каждого состояния
|\р) при / = 0 существует единственное состояние |ij/) =
= U(0I^)> B которое переходит начальное состояние. Тот
факт, что для U (0 существует обратный оператор, определен-
ный на всем пространстве Ж, означает, что для каждого
состояния \ф') в момент времени t существует состояние \ф) =
= U (t)~lW) ПРИ * = О, из которого возникло состояние |^').
Наконец, тот факт, что U (0 сохраняет норму, просто
отражает то соглашение, что все состояния представляются
нормированными векторами из Ж.
Если мы раскроем условие || U^ll = ll^||, записывая его в виде
(-ф | U+U 1i|>) — (ф IФ), и применим известный прием, вводя
сначала |ф) = |ф + 1х)| а затем \^>) = \ф) +i\%)> T0 мы найдем, что
{ф\и*[М%) = {ф\х) [для всех \ф) и |х> из Ж].
Итак, из факта сохранения нормы оператором U следует, что
UfU=I. (1.9)
Этот результат вместе с условием #(U) = 5# приводит также
к равенству UUf=K Мы можем убедиться в этом, если
умножим (1,9) на U; тогда получим UU+U = U и, следовательно,
UU+(U I*»— UI ♦> [для всех | я|)> из Ж].
Когда | ф) пробегает пространство Жл то же самое происходит
и с UI4>) [именно здесь мы используем условие Я(\})~Ж]. Мы
можем, следовательно, переписать последнее уравнение в виде
UUf 1110=1tf> [для всех | ф'> из Щ%
что и требовалось получить.
Легко видеть, что два условия, UU=UU — I,
характерны для унитарного оператора и потому могут при желании
использоваться как альтернативное определение. Как мы
тотчас убедимся, оба условия необходимы; оператор может
удовлетворять соотношению QfQ = l, но не быть унитарным.
§ 5, Изометрические операторы
Более общими, чем унитарные операторы, являются так
называемые изометрические операторы. Важное значение этих
операторов определяется тем, что меллеровские волновые
операторы Q±, которые будут играть центральную роль в нашем

§ 5. Изометрические операторы
27
описании рассеяния, оказываются изометрическими
операторами. Определение изометрического оператора таково:
Изометрический оператор на Ж есть линейный оператор
Я, который определен на всем пространстве^и сохраняет
норму.
То есть £>(С1) = Ж и ЦЙя|?|| = Ц\\ для всех |г|>).
Это определение отличается от определения унитарного
оператора только в следующем: мы не требуем, чтобы оператор
Q отображал все пространство Ж на все пространство Ж.
Вообще говоря, 52(Q) ф Ж.
Любой унитарный оператор является, очевидно,
изометрическим, В конечномерном пространстве справедливо также
обратное утверждение1). Однако в бесконечномерном
пространстве оператор может быть изометрическим, но не быть
унитарным, как показывает следующий пример. Пусть |1),
|2), ... — ортонормированный базис в бесконечномерном
гильбертовом пространстве Ж. Определим линейный оператор Я
так, чтобы Q|l)=|2), Q|2>=|3), и вообще
Q|n> = |*+1>. (МО)
Ясно, что это равенство определяет оператор Й на всем
пространстве Ж и что Я сохраняет норму; следовательно, Я —
изометрический оператор. Однако оператор Я не отображает Ж
на все пространство Ж (он пропускает вектор |1), фиг. 1.5)
и, следовательно, не унитарен.
Из-за условия ||Я\|?|| = ||\|>|| вектор Q|\J)) не может
обращаться в нуль, если не обращается в нуль вектор |я|?). Таким
образом, для Я существует обратный оператор Я-1, который
в общем случае, однако, не определен на всем пространстве Ж
Это ясно из фиг. 1.5, где Я"1|2)= |1), Q-113>= |2> и т. д., но
оператор Я-1 просто не определен на векторе |1). Поскольку Я
сохраняет норму, мы можем вывести, точно так же как и для
унитарных операторов, что ЯЯ=1. С другой стороны, как
мы увидим, в общем случае равенство ЯЯ = 1 не
выполняется.
Читатель, который прежде не встречался с изометрическими
операторами, по-видимому, почувствует некоторое неудобство.
Ему, возможно, кажется, что если оператор Я дает взаимно
*) Для доказательства этого утверждения нужно только выбрать
ортонормированный базис, в котором Q представляется п Х^-матрицей (Q). А1ы
увидим, что для изометрического оператора выполняется соотношение Й'Й =
= 1, и потому для матрицы (Q) имеем (Q) +(Q) = 1. Это означает, что
матрица (Й), будучи несингулярной, имеет обратную матрицу (Qy и,
следовательно, что (Q) (Q) += I. Таким образом, (Q)—в конечномерном
пространстве унитарная матрица, a Q — унитарный оператор.

28
Гл. /. Сведения из математика
однозначное линейное отображение, то его область значений
должна быть столь же широкой, как и его область
определения, а именно все пространство 36. Это правильно, если
пространство 36 конечномерное, но неправильно, когда
пространство 36 бесконечномерное, потому что бесконечную систему
можно взаимно однозначно отобразить на подходящее свое
собственное подмножество (как на фиг. 1.5).
Кроме того, читатель можег почувствовать искушение
считать, что из условия Q й=1 должно автоматически
следовать равенство QQ — 1 и, следовательно, унитарность
оператора Q. Это второе ощущение также основано на опыте работы
Фиг. 1.5. Схематическое пояснение изометрического оператора fl,
определенного равенством (1.10).
с конечномерными пространствами, где, как мы уже сказали,
изометрический оператор всегда унитарен. Различие между
конечномерными и бесконечномерными пространствами можно
уяснить, если вновь рассмотреть пример изометрического
оператора, показанный на фиг. 1.5. Пусть 36 трехмерно, и мы
отображаем оператором й вектор |1) на вектор |2), а [2) на |3).
Условие Q+Q = 1 означает, что ортогональные векторы
должны отображаться на ортогональные же векторы, и потому мы
вынуждены отобразить вектор |3) снова на вектор |1). Таким
образом, область значений должна быть всем пространством 36,
Только в случае бесконечномерного пространства 36 можно
продолжать отображение \п) на |я+1) до бесконечности и,
следовательно, никогда не вернуться к вектору |1).
Для изометрического оператора существует простое
соотношение между обратным Q"1 и сопряженным Q
операторами. Мы можем записать условие Q Q=l в виде
Q+(fl|i|>» = |*> [для всех |ф> из Щ.

§ 6. Сходимость векторов 29
Если подставить сюда Q|t|)) = |tf>), то мы сможем заключить,
что для любого |tf>) из 91 (Q)
Qf\ ф) = й'1\ф) [для всех | ф) из 5Z(Q)].
Если, с другой стороны, вектор \Ф) ортогонален
подпространству 52(Q), то мы находим, что
{ф [Q щ>)в 0 [для всех | ф) из Щ
и, следовательно,
<Ф 1^+1 0> = О [для всех | ф> из 5»],
или Qf[^) = 0. Итак,
+ | Q"1 на подпространстве Я(0),
I 0 на подпространстве 5Й (Q) .
В примере, представленном на фиг. 1.5, это означает, что
выполняется соотношение Qt|l)=0, которое ясно показывает,
что QQf ф 1.
§ 6. Сходимость векторов
Теперь мы обратимся к важнейшему вопросу о сходимости
векторов и операторов. В теории рассеяния мы будем иметь
дело с векторами \-tyt) и операторами Ati зависящими от
непрерывной временной переменной /, и с их пределами при
*-*±оо. Мы начнем с обсуждения вектора \yt) и введем
следующее определение:
Векторы \ty) сходятся к предельному вектору |ф) при
t—> oo тогда и только тогда, когда 1)
Н<-ф11-7Т=*0. (1-Й)
Согласно этому определению, утверждение |ф|)-Нф) просто
означает, что ]ф<) становится близким к |ф) (в том смысле,
что длина вектора \ty)—|ф) стремится к нулю).
Наше определение сходимости можно интерпретировать
следующим образом: если |t|>*)—►!*!>), то ПРИ '->о° состояние,
представляемое вектором \tyt), становится физически
неотличимым от состояния, представляемого вектором |г|з), Для
понимания того, в каком смысле сказанное справедливо, мы
заметим, что физическое состояние, представляемое любым
1) Символ || ф — Ф\\ означает норму вектора | *ф> — \Ф). Точнее было бы
использовать громоздкое обозначение |[ |т|>) — \Ф)\\, но опасность
возникновения путаницы при опускании кет-символов представляется малой.

30
Гл. L Сведения из математики
вектором |ф), полностью определено, если мы измеряем числа
K^l1!5)! Для все* нормируемых векторов |^). (Число |(0|^)|2
представляет собой не что иное, как так называемую
вероятность перекрывания, т. е. вероятность обнаружить систему, про
которую известно, что она находится в состоянии |ф), в
состоянии |^). Несложно проверить, что измерение этих чисел
для всех |^) определяет |\|>) с точностью до обычного
произвольного фазового множителя.) Из неравенства Шварца 1)
далее следует, что
\<ф\Ъ)-(Ф\*)Ы(Ф\(Ш-\*))1
<Ж-НЪ-+Н. (1-12)
-!1+*-Ф1|,
поскольку 1М| = I. Стоящее справа в (1.12) число не зависит
от конкретного выбора рассматриваемого вектора \ф) и
стремится к нулю при /—*оо. Таким образом, беря / достаточно
большим, мы можем достичь того, что разность между (0|г|>*) и
(ф\ур) для всех нормированных \ф) станет меньше любого
наперед заданного е. Именно в этом смысле состояния \tyt) и |\|?)
становятся экспериментально неразличимыми.
В теории рассеяния мы будем иметь дело с двумя
нормированными векторами |г|>,) и |i|>])f первый из которых
представляет действительное состояние двух (или более)
сталкивающихся частиц, а второй описывает некоторое возможное
движение тех же частиц при отсутствии каких-либо сил между
ними. Мы докажем, что при f->oo, т. е. через большой
промежуток времени после столкновения, разность |Ф,)—• |*ф?)
стремится к нулю (и аналогичный результат при /->—оо). Мы
будем записывать этот результат в виде
И>,)-г>=Ч+?>.
Это означает, что через большой промежуток времени после
(и задолго до) столкновения действительное движение частиц
физически неотличимо от движения двух свободных частиц.
На практике определение (1.11) не дает нам полезного
критерия сходимости данного вектора \ipt). Ведь невозможно
определить, действительно ли ||ф* — ф|| -*0, не зная заранее
вектора |ф). Аналогичная ситуация существует в теории
вещественных или комплексных чисел, где некоторая функция at
стремится к пределу а, если \at — a|->0 при f-><x>. Как
читатель, возможно, помнит, простейший критерий сходимости
функции — это так называемый критерий Коши, согласно
которому функция at имеет предел тогда и только тогда, когда
*) Неравенство Шварца здесь имеет вид
К*!Х>1<1!*11- IIх 1.

§ 6. Сходимость векторов
31
I a* — аН-*0 при < и /'-*оо. Оказывается, аналогичный
критерий действует и в гильбертовом пространстве1). Вектор |i|?*)
имеет предел тогда и только тогда, когда ||ф| — ijy ||-*0 при t
и /'-> оо.
Мы будем использовать этот критерий в следующей
специфической форме: вектор |г|^), сходимость которого мы желаем
установить, будет записываться в виде интеграла
t
\b)=\dx\^). (1.I3)
О
Согласно критерию Коши, этот интеграл сходится, если
$dT|#t>Uo
\t II
при t и f'—юо. Это условие, несомненно, выполняется, если2)
v
t
при / и <'-*оо. Далее, согласно критерию Коши для
вещественных чисел, последнее соотношение выполняется тогда и
только тогда, когда
ОО
$ ЛII *,«<«>. (1.14)
О
т. е. когда этот интеграл сходится. Таким образом, для
установления сходимости интеграла от вектора в формуле (1.13)
достаточно показать, что интеграл от скаляра в (Ы4)
сходится.
Одно заключительное замечание о сходимости векторов. Из
неравенства (1.12) ясно, что если |^^)—*|Ф)» то (0|^)-*(^|*|Л
для любого фиксированного \<f>). Другими словами, если |^)
сходится, то сходится и его проекция на любое фиксированное
*) Одна из аксиом, определяющих гильбертово пространство, состоит в
том, что последовательность, удовлетворяющая критерию Коши, сходится.
Нечего и говорить, что нельзя получить что-то задаром, просто определяя
гильбертово пространство как пространство, в котором действует критерий
Коши, — при этом задача просто преобразуется в другую. Показывая, например,
что S^R3) является гильбертовым пространством, мы должны будем
показать, что для функций в 2г(&*) из критерия Коши в самом деле следует
сходимость.
2) Из ( неравенства треугольника || ф + Ф || ^ || ф || -f |] Ф || следует, что
;S*T...|<j.

32
Гл. L Сведения из математики
направление. В бесконечномерном пространстве обратное
утверждение неверно1). Даже если существует предел
величины (тМ^<) для любого фиксированного \ф)у все равно вектор
\tyt) может не иметь предела. Это легко понять на следующем
примере. Если I ф*)= U°(OI+>a*-i*'Mii>>, где Я°=Р*/2т —
гамильтониан свободной частицы, то |ip<) описывает движение
свободно распространяющегося волнового пакета. Его центр
движется через пространство с некоторой средней скоростью, а сам
он расширяется. Таким образом, его волновая функция (x|i|>f)
в любой фиксированной точке в конечном счете стремится к нулю
и, следовательно, стремится к нулю {Ф\$г), перекрывание
вектора |i|>/) с любым фиксированным вектором \ф)2):
(тЧ^)->0 [для любого фиксированного \ф)]. (1.15)
Тем не менее норма ||^|| равна ||ф/|| = ||я|з|| = I, т. е.,
несомненно, не стремится к нулю. В литературе вектор \$t),
удовлетворяющий (1.15), называется иногда слабо сходящимся
к нулю3). Таким образом, мы можем сказать, что если вектор
|ф<) сходится, то он сходится слабо, но обратное утверждение
неверно. В этой книге мы не будем явно использовать термин
слабая сходимость. Нам, однако, потребуется понимание
разницы между сходимостью вектора |^) и сходимостью его
компонент (f\yjpt) для всех |^У
§ 7. Операторные пределы
Мы будем говорить, что оператор At имеет предел Л, если
для каждого |ф) вектор At\ty) имеет предел
^♦>-^-Ч*>-Л1+>.
Легко проверить, что определенный таким способом оператор
А является линейным оператором. В этом случае мы пишем
либо At-*А, либо А = limdf.
При обращении с операторными пределами необходимо
проявлять крайнюю осторожность. Многие выводы, которые
*) Легко видеть, что в конечномерном пространстве (например, в
пространстве R3) обратное утверждение справедливо.
2) Нетрудно строго доказать этот результат. Например, если
рассматривать случай, когда и <р(х) и ф(х) имеют оба гауссову форму, то явно известно
поведение и°(/)|Ф) при /-*оо как Г*(г, и легко показать, что (Ф|г|?<)
стремится к нулю как Г^г. Таким образом устанавливается этот результат для
гауссовых пакетов или для конечных линейных комбинаций гауссовых
пакетов. Для завершения доказательства нужно только заметить, что каждую
функцию из &2(R*) можно с любой степенью точности аппроксимировать
суммой гауссовых функций.
3) В этом случае сходимость (в нашем смысле) называют сильной
сходимостью.

Задачи
33
кажутся совершенно очевидными, на самом деле
несправедливы. Например, если At-+At то совершенно необязательно,
чтобы At-> A \ если, кроме того, Bt —► В, то отсюда еще не
следует, что AtBt-+AB. Важный пример такого рода
несообразностей появится ь гл. 2, где мы введем меллеровские
волновые операторы Q± как пределы некоторого унитарного
оператора при f-^Too. Хотя естественно ожидать, что предел
унитарного оператора будет унитарным оператором, на самом
деле это не так. Если
U/l *>-tt£>q 1+> [*ля всех I ^> из 5»].
то ||й\|)[| = limll 1)*\|>|| = ||ф|| и оператор Q будет по меньшей
мере изометрическим, удовлетворяющим соотношению Й+Й=1
(см. задачу 1,3). Однако даже несмотря на то, что 1Ы1? = 1,
невозможно установить, выполняется ли равенство QQ+ = 1,
т. е. унитарен ли оператор Q. В гл. 2 мы покажем явно, что
в общем случае оператор Q не унитарен и QQ ф 1.
Задачи
1.1. Область определения £)(А) линейного оператора А является по
определению подпространством [т. е. если |ф) и \<р) принадлежат 2>(A)t то и
<*№) + Ь\ф) при любых комплексных числах а и b принадлежит Ф(А)\
Покажите, что и область значений Я(А)—подпространство. (Здесь мы не
делаем различия между замкнутым подпространством и произвольным
подпространством, или линейным многообразием.)
1.2. Пусть вектор |ф) представляет любое состояние одной частицы, а
вектор |фр) — состояние, полученное при nepeiioce неизменной частицы на
вектор р. Это означает, что для волновой функции состояния |-фр) в
обычном пространстве имеет место соотношение фр (х) «* ф (х — р), а для
волновой функции в импульсном пространстве — соотношение фр (р) — схр (— /ррХ
ХФ(р). Убедитесь в справедливости этих утверждений и затем докажите,
что для любого фиксированного вектора \ф) перекрывание (Ф\ фр\
приближается к нулю при р^-оо, однако | фр) не стремится при этом к нулю.
Объясните этот результат словесно. (Ваше доказательство должно быть возможно
более строгим. В процессе доказательства, несомненно, станет ясным, почему
этот результат справедлив.)
1.3. Покажите, что || ф* || -> |[ф|| при f-> оо, если при этом [ фД-> | ф>.
Покажите следующее: если \Jt — унитарный оператор, который стремится
к пределу il (т. е. \Jt | ф>-> Q | ф) для всех | ф) из Щ> то оператор Q —
изометрический.
2 За к, 396

ГЛАВА 2
ОДНОЧАСТИЧНЫЙ ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ
В этой и следующей главах мы обсудим простейший из всех
процессов рассеяния — упругое рассеяние бесспиновой
частицы на неподвижной мишени. Конечно, ни одна реальная
мишень не бывает совершенно неподвижной. Тем не менее наш
формализм все же дает приближенное описание эксперимента,
в котором одна легкая частица медленно рассеивается на
тяжелой мишени (как, например, при рассеянии медленного
электрона на тяжелом атоме). Кроме того, существует тесная связь
между рассеянием одной частицы на фиксированном
потенциале и рассеянием двух частиц друг на друге (обсуждаемым
в гл. 4). Однако главная причина, по которой мы изучаем этот
простейший из процессов, состоит в том, что он дает
возможность ввести на элементарном уровне большинство основных
понятий, встречающихся во всех задачах теории рассеяния:
оператор рассеяния S, меллеровские волновые операторы Й±,
сечение и Г-оператор. Эти понятия настолько важны, что
заслуживают тщательного изучения при минимальном
количестве несущественных усложнений. Как только мы до конца
разберемся с ними в простейшем случае, мы сможем, как
правило, достаточно быстро и легко провести их обобщение на
более сложные ситуации.
Как обсуждалось во введении, рассматриваемый формализм
теории рассеяния мы будем основывать на анализе
нестационарного вектора состояния, который описывает реальное
движение частицы во время процесса рассеяния. В настоящей
главе мы увидим, как по существу свободное движение
частицы задолго до столкновения можно посредством унитарного
оператора рассеяния S прямо связать со свободным
движением через большой промежуток времени после столкновения.
В следующей главе мы покажем, каким образом
экспериментально измеряемую величину — дифференциальное сечение —
можно выразить через матричные элементы оператора S.
§ 1. Классическое описание рассеяния
Нестационарное квантовое описание рассеяния имеет
естественную и поучительную параллель в классической механике,
и мы начинаем с краткого описания этой классической теории.

§ L Классическое описание
35
На фиг. 2.1 изображена типичная классическая картина
рассеяния, которую мы можем представлять себе как рассеяние
электрона на некотором неподвижном атоме. Траекторию
можно грубо разделить на три части:
1) почти прямолинейная орбита, вдоль которой электрон
приближается к атому, пока не достигает области
взаимодействия с атомом;
2) очевидно, очень сложная орбита во время
взаимодействия и
3) некоторая другая приблизительно прямолинейная орбита,
вдоль которой электрон удаляется.
Аут- асимпгпопю^,
И и -in хшияшита
Орбита
Х(0
sAmom-juuutotit.
Приблизитоль- \
ные границы \
области \
взаимодействия
Фиг. 2.1. Типичная орбита рассеяния.
Хотя эти три части траектории определены только грубо,
один вопрос вполне ясен. Размеры области взаимодействия,
конечно, не превышают нескольких атомных диаметров, и по-
тому на практике эта область совершенно ненаблюдаема. Все,
что будет видно в камере Вильсона, пузырьковой камере или
в любом другом приборе, используемом для наблюдения
события,— это пара прямолинейных следов, соответствующих
свободному движению до и после столкновения.
Следовательно, занимаясь поисками математического описания процесса
рассеяния, мы должны попытаться (насколько это возможно)
исключить из рассмотрения конкретные детали орбиты вблизи
атома-мишени и сосредоточить внимание на связи между
асимптотическими траекториями свободного движения до и после
столкновения !).
*) Конечно, в классической механике можно обсуждать процесс типа
рассеяния кометы на Солнце, в котором все части орбиты, несомненно,
наблюдаемы. Мы, однако, интересуемся атомными и субатомными процессами, где
такой возможности наблюдения нет.

36
Гл. 2. Одночастичный оператор рассеяния
Чтобы сделать эти представления точными, мы должны
ввести некоторые обозначения. Через х(/) мы обозначим
истинную орбиту рассеянного электрона, получаемую при
решении уравнения Ньютона mx = — VV для приложенного
потенциала V(x). Тот факт, что до столкновения электрон
движется по существу как свободная частица, означает, что при
/->—оо орбита х(*) асимптотически приближается к
некоторой орбите свободного движения:
х (/) ,-»_«,» хин (/) = аин + v„„* (2.1)
с какими-то а„н и vHH. [Записывая х(/)-*у(/), мы
подразумеваем | х(/) — у (0 |->0»] Аналогично после столкновения
х (0 -г^+г* хаут (0 ^ ааут + vayT/. (2.2)
Асимптотические орбиты хин(/) и хаут(0» которые
удовлетворяют уравнению движения свободной частицы, называются
начальной и конечной асимптотами (или ин- и аут-асимптотами)
истинной орбиты х(/) при рассеянии. Что касается наблюдений,
то орбита рассеяния будет полностью охарактеризована, как
только станут известны ее две асимптоты. И если для любой
данной начальной асимптоты хин(0 мы сможем подсчитать
соответствующую конечную асимптоту хаут(0» т° задача
рассеяния для всех практических целей будет полностью решена.
Для сравнения с квантовомеханическим случаем мы
отметим некоторые свойства, которых можно ожидать из
соотношения между ин- и аут-асимптотами. Во-первых, можно не
без оснований ожидать, что соотношение будет взаимно
однозначным или, точнее говоря, что любые шесть вещественных
чисел (аин, vHH) будут представлять некоторую возможную
ин-асимптоту и определять единственную соответствующую
аут-асимптоту, задаваемую шестью числами (ааут, vayT), и
наоборот. Во-вторых, хотя мы заинтересованы главным
образом в ин- и аут-асимптотах, мы должны осознавать, что
соотношение между ними определяется истинной орбитой, т. е.
это соотношение имеет вид
хнн(0-*х(0->хаут(0
или
ин-асимптота —► истинная орбита -> аут-асимптота.
Каждой ин- или аут-асимптоте, которую разумно ожидать,
будет соответствовать орбита х(0. С другой стороны, не
следует думать, что каждая орбита х(/) определяет ин- и аут-
асимптоты— просто потому, что для потенциала общего вида
будут возникать некоторые локализованные орбиты
(соответствующие квантовомеханическим связанным состояниям) и ча-

§ 1. Классическое описание
37
стица на такой орбите никогда не покинет область действия
потенциала, т. е. никогда не будет двигаться свободно. Поэтому
мы должны ожидать два вида орбит: орбиты рассеяния и
локализованные орбиты. Для орбит рассеяния должны
существовать как ин-, так и аут-асимптоты:
ин-асимптоты -> орбиты рассеяния -> аут-асимптоты;
орбиты рассеяния вместе с локализованными орбитами
должны исчерпывать все возможные орбиты системы.
Сколь разумными ни казались бы все эти свойства, мы
должны понимать, что они есть, конечно, не у всех
потенциалов. Если потенциал не убывает достаточно быстро на
бесконечности, то даже при движении в дальних областях
поведение частицы отличается от поведения свободной частицы и у
Ин- acumnmoma
Фиг. 2.2. При достаточно сильных потенциалах притяжения прилетающая из
бесконечности частица может быть захвачена на спиральную орбиту и
никогда не освободится.
орбит рассеяния нет асимптот. (Кулоновский потенциал
представляет собой хорошо известный пример потенциала, для
которого состояния рассеяния никогда не приближаются к
асимптотам, соответствующим свободному движению.) Если
потенциал притяжения слишком велик на малых расстояниях
(скажем, V = —1/г3), то прилетающая из бесконечности частица
может быть захвачена на спиральную орбиту и никогда не
освободится; таким образом, у орбиты, у которой ин-асимптота
заведомо существует, может вообще не быть аут-асимптоты,
и наоборот (фиг. 2.2).
Хотя не наше дело обсуждать здесь подробно, для каких
потенциалов в классической теории рассеяния эти трудности
обнаруживаются, а для каких нет, важно отдавать себе отчет
в том, что такие трудности могут проявиться. Те же проблемы
встречаются и в квантовой теории рассеяния. Они
представляются гораздо менее значительными, если их ожидать и знать
наперед, что их происхождение легко понять (даже в
классической теории). В частности, мы должны быть готовы к тому,
что только для некоторого специального класса потенциалов
с хорошим поведением наша теория рассеяния будет разви-

38
Гл. 2. Одночастичный оператор рассеяния
ваться гладко, без каких-либо трудностей. К счастью, мы
обнаружим, что в этот класс входят все сколько-нибудь
интересные потенциалы 1).
Прежде чем перейти к квантовой теории рассеяния — одно
заключительное замечание. Условие асимптотически
свободного движения математически выражается предельными
формулами (2.1) и (2.2), которые, как мы утверждали, должны
выполняться при t—*oo. Это, конечно, не означает, что на
самом деле асимптотически свободного движения придется ждать
бесконечное время. Совсем наоборот: даже для очень
медленной частицы (например, для теплового нейтрона), налетающей
на мишень больших размеров (на какую-нибудь большую
молекулу), полное время столкновения обычно не превышает
10~10 с. Это означает, что если / = 0 в середине процесса
столкновения, то для времен, меньших t ж —10~10 с и больших
t » +10-10 с, движение экспериментально неотличимо от
свободного движения, т. е. на практике t становится
«бесконечным» при t zz ±Ю"10 с.
Тем не менее в соответствующее математическое
предложение входят пределы при *->±оо. Причина этого
заключается в том, что для любой данной орбиты не существует,
вообще говоря, какого-либо конечного момента времени, после
которого функция х(/) точно равна хаут(0- (Для
определенности мы рассматриваем движение вдоль аут-асимптоты.)
Скорее, дело в том, что наши измерительные приборы имеют
некоторый предел разрешения, и существует конечный момент
времени, после которого разность между х(/) и хаут(/) уже
не разрешается нашими приборами. Но это как раз и
подразумевается в математическом пределе (2.2): для любого е>0
(степень разрешения) существует такой момент времени f0. что
разность х(/) — хаут(0 становится меньше е для любого
момента времени t, более позднего, чем /о.
При обсуждении квантовой теории рассеяния мы установим
пределы, аналогичные (2.1) и (2.2). Их мы должны будем
интерпретировать точно так же: для моментов времени, которые
на некоторую малую величину (обычно 10~10 с или меньше)
отличаются в ту или другую стороны от момента соударения,
движение экспериментально неотличимо от свободного
движения.
]) В интересах точности мы должны признать, что по отношению к
классической теории рассеяния мы допустили слишком упрощенное описание.
Даже для потенциалов «с хорошим поведением» могут существовать
исключительные орбиты, для которых есть ин-асимптота, но нет аут-асимптоты или
наоборот. В квантовой теории рассеяния такого не случается, и поэтому здесь
нет необходимости заниматься этим вопросом (см. [3], гл. 5),

§ 2. Квантовое описание
39
§ 2. Квантовое описание рассеяния
Рассеяние в квантовой механике описывается в полной
аналогии с классическим формализмом, изложенным в общих
чертах в § 1. Вместо классической орбиты х(0, удовлетворяющей
уравнению Ньютона, мы теперь имеем вектор состояния |\|^),
удовлетворяющий нестационарному уравнению Шредингера
Как говорилось в гл. 1, общее решение этого уравнения имеет
вид I ifr> = U (01 ф) = е~'я'[ ф), где 11(0—-так называемый
оператор эволюции, а |г|э) — любой вектор в соответствующем
гильбертовом пространстве Ж Мы примем классическую
терминологию и будем называть решение U (011Л орбитой, хотя,
конечно, оно не является больше орбитой в реальном
пространстве R3. Каждую орбиту U(0|4>) можно однозначно
идентифицировать с помощью фиксированного вектора |i|)),
представляющего собой не что иное, как вектор состояния в момент
В этой главе мы рассматриваем одну бесспиновую частицу
в поле фиксированного потенциала. Поэтому Ж оказывается
пространством i?2(R3), в котором волновые функции \|>(х) =
s=(x|i|)) зависят от единственной переменной х. Гамильтониан
Н имеет форму # = //°+V, где Н° — гамильтониан свободной
частицы, Я0 = P2/2m, a V — потенциал. Мы будем пока
предполагать, что потенциал локален, т. е., что V — функция
только положения частицы. Предположения относительно
функции V(x) будут обсуждены ниже.
Пусть орбита U(0|ip) описывает эволюцию некоторого
эксперимента по рассеянию. Это означает, что если вернуться
назад к какому-либо моменту времени задолго до
столкновения, то U(Ol^) будет волновым пакетом, локализованным
вдали от рассеивающего центра и, следовательно, будет
свободным волновым пакетом А движение свободной частицы
определяется оператором свободной эволюции U°(0 =<?~'я°',
и мы, следовательно, ожидаем, что при f->—оо
U(0I*>t^+U°(/)I1W (2.3)
для некоторого вектора |фИн). [Как обсуждалось в гл. 1, § 6,
предел (2.3) просто означает, что разность этих двух
векторов стремится к нулю, т. е. что истинное состояние U (01^)
становится экспериментально неотличимым от свободно эво-

40 Гл. 2. бдночастичный оператор рассеЛииЛ
люционирующего состояния U°(0 |г|)Ин)')■] После
столкновения частица снова движется вдали, и аналогично мы
ожидаем, что
UWM-pf^UVOhM (2.4)
для некоторого ^аутУ Эти два предела аналогичны
классическим пределам (2.1) и (2.2), и по аналогии с классической
терминологией мы назовем асимптотически свободные орбиты
(2.3) и (2.4) ин- и аут-асимптотами истинной орбиты
U (/)|ф). Классические орбиты можно идентифицировать
фиксированными числами (аии, vHH) и (ааут»Уаут). Подобно этому,
удобно помечать квантовые асимптоты (2.3) и (2.4)
фиксированными векторами |г|эИн) и |^аутУ То, что пределы (2.3) и
(2.4) действительно справедливы (для соответствующих
орбит), будет показано в § 3.
Как и в классическом случае, мы не ожидаем, что у каждой
орбиты U (01^) будут асимптоты. Мы ожидаем вместо этого
только то, что будут обязательно существовать определенные
орбиты рассеяния, которые имеют асимптоты, и что состояния
рассеяния вместе со связанными состояниями будут
образовывать пространство Ж всех состояний. Этот результат будет
обсуждаться в § 4.
В заключение этого параграфа мы обсудим условия,
которым должен удовлетворять потенциал V(x), чтобы получалась
физически разумная теория рассеяния. Как говорилось в § I,
результаты теории рассеяния, конечно, не справедливы для
всех возможных потенциалов. Например, если V(\) не
убывает достаточно быстро при х—► со, то частица не будет
вести себя как свободная даже в далеких от центра
областях.
К сожалению, условия, при которых были доказаны
некоторые из главных результатов, имеют довольно сложный вид,
причем в разных доказательствах используются различные
условия. Кроме того, система условий, необходимых и
достаточных для получения всех результатов, неизвестна. Мы будем
довольствоваться здесь тем, что сформулируем простую
систему из трех условий, при которых можно доказать все
необходимые результаты. Эти условия применяются к
центральному потенциалу У (г). Первое условие накладывает
ограничения на поведение V(r) при г->оо, второе ограничивает
поведение потенциала в начале координат, а третье
ограничивает его поведение в промежуточной области. Эти условия
*) Строго говоря, мы должны только ожидать, что (2.3) выполняется с
точностью до фазового множителя. Однако мы докажем, что это соотношение
в действительности выполняется точно.

§ 2. Квантовое описание
41
имеют следующий вид [запись V(r)~0(n>) означает, что
| у (г) | ^ с\г\р для некоторой константы с]1):
I. V (г) ~ О (г~3~с) при /•-► оо (для некоторого е > 0),
II. V (г) = О (r-3^+ е) при г-»0 (для некоторого е > 0),
III. V(r) непрерывен при 0 < г < оо, за исключением, быть
может, конечного числа точек, в которых имеются
ограниченные скачки.
Эти условия можно грубо перефразировать следующим
образом: I. На бесконечности потенциал V(r) убывает быстрее,
чем г-3. II. В начале координат потенциал V(r) менее
сингулярен, чем г~\ ПК В промежуточной области потенциал V(r)
имеет «разумно гладкое» поведение.
Формулируя точные утверждения в § 3 и 4, мы будем (для
простоты) предполагать, что выполняются перечисленные
выше условия. Следует подчеркнуть, однако, что многие
результаты, несомненно, можно доказать и для потенциалов
более общего вида. В частности, определенно нет никакой
необходимости, чтобы потенциал был сферически-симметричным.
Все результаты можно доказать, например, для рассеяния на
нескольких фиксированных силовых центрах (этот случай
служит простой моделью рассеяния частицы на нескольких
мишенях), а также для зависящих от спина и других
нелокальных потенциалов (см, гл. 5).
Тем не менее общие черты наших трех условий дают
четкие указания на то, для какого вида потенциалов можно
построить теорию рассеяния. Этим условиям удовлетворяют почти
все потенциалы, представляющие всеобщий интерес: потенциал
рассеяния электрона на жестком атоме, прямоугольная
потенциальная яма, потенциал Юкавы и т. д. Условие I исключает
любые потенциалы (в том числе кулоновский потенциал),
которые убывают на бесконечности медленнее, чем г~3.
Фактически ни один из главных результатов теории рассеяния не
выполняется для кулоновского потенциала2). Условие II
исключает любые потенциалы, которые в начале координат
имеют более сингулярное поведение, чем г~\ Такие
потенциалы иногда называются сингулярными потенциалами. От-
талкивательные сингулярные потенциалы можно включить в
теорию рассеяния, хотя они и требуют совершенно особого
') Я глубоко благодарен д-ру Уолтеру Хунцикеру за помощь при отборе
этих условий из разбросанных источников; см. [7—11].
2) О методах трактовки кулоновского потенциала см. гл. 14,

42
Гл. 2. Одночастичный оператор рассеяния
подхода1). Для сингулярных потенциалов притяжения
существуют трудности, до некоторой степени аналогичные тем, которые
обсуждались в § 1 для классических спиральных орбит.
Итак, основные результаты теории рассеяния имеют место
для широкого класса «разумных» потенциалов, включая те
центральные потенциалы, для которых выполняются
сформулированные выше условия I — III, но напрочь исключая куло-
новский потенциал и сингулярные потенциалы притяжения.
В оставшейся части этой главы мы будем принимать (для
простоты), что потенциал V удовлетворяет условиям I—III.
§ 3. Асимптотическое условие
Мы сначала установим, что каждый вектор из Ж
(имеющий смысл либо |1|>ин), либо |\|?аут)) представляет асимптоту
некоторой истинной орбиты, т. е. что для каждого вектора
|гр1Ш) из 96 существует решение U (0|Ч>) уравнения Шредин-
гера, асимптотически стремящееся к свободной орбите
и°(0|фин) при <->—оо; подобное утверждение справедливо
и для каждого вектора |г|заут) при t->+oo. Этот результат
известен как асимптотическое условие.
Асимптотическое условие. Если потенциал V удовлетворяет
условиям, обсуждавшимся в § 22), то для каждого |\|)ш,) из 36
существует некоторый вектор |г|?), такой, что
U(0l+>-U°(0l*H«>-r?=*0;
аналогичное утверждение справедливо и для каждого |^аут)
из Ж при /-* +°°'
Доказательство. Умножая предыдущее соотношение на
унитарный оператор U (0 » мы можем переписать желаемый
результат в виде
I *> - U (/)* U0 (0 | *„„> -7^^* 0. (2.5)
В такой записи ясно, что мы должны доказать только одно:
для каждого |i|>hh) вектор U (t)f U° (t) |фйн) имеет предел. Дока-
!) При обсуждениях радиального уравнения Шредингера название
сингулярный потенциал часто используется для потенциала, более сингулярного,
чем г-2 при г = 0. Однако в обшем трехмерном анализе процесса рассеяния
трудности начинаются уже с г~*1*. См. [!1] и цитированную там литературу.
2) Как станет ясно ниже, наше доказательство, в сущности, справедливо,
только если интеграл \ d3* | К (х) |2 в (2.8) сходится. Фактически
асимптотическое условие можно доказать даже при более слабых условиях; см. [11].

§ 3. Асимптотическое условие
43
зательство проводится с помощью следующего приема: про-
изведеиие U Uu записывается в виде интеграла от его
производной
-27 U (/)f U° (t) = ieiHt (H - Я0) e~im = i\J (tf VU° (t).
Отсюда получаем
U (tf U° (0 НО = I *.„> + i \ dxU (т)+ KU0 (т)! t,IH>, (2.6)
О
где желаемый предел существует тогда и только тогда, когда
интеграл в правой части сходится при t-+—оо. Как
говорилось в гл. 1, § 6, достаточное условие этого имеет вид
о
\ rfT|U(T)+VU0(T)T|>H1,l|<oo,
— оо
или ввиду унитарности оператора U
о
$<*t||VU°(t)i|UI<oo. (2.7)
— оо
На минуту ограничимся векторами, у которых волновые
функции имеют гауссову форму
<жЦО = *-,Х-а№,
где центр пакета а и его ширима \ произвольны. Для этих
гауссовых волновых функций действие оператора свободной
эволюции U°(t) из (2.7) известно в явном виде1):
I (* IU» (т) 14U Р = (1 + ~щгУУ1 ехр [- v (l 7»/аЛаЕ» ] -
Таким образом, на появляющуюся в (2.7) норму можно
наложить следующее ограничение:
II KU° (т) фин |р= \ d*x IV (х) р (l + ^|г)_,/'ехр[- |2 + 7viV]<
<[5^|1/(х)|2](1 + ^-Г/'. (2.8)
*) Этот результат цитируется почти в любом учебнике квантовой
механики; см. книгу [4], стр. 75, задача 6.

44
Гл. 2. Одночастичный оператор рассеяния
где интеграл от |V(x)|2, несомненно, сходится при условиях
предыдущего параграфа. Вводя это ограничение в (2.7), мы
найдем, что
о г/ о
\dxWV4*)bJ<[]<Px\V(x)?Y\dT(l + -£p)~*U<oo.
— оо —оо
Итак, известное расплывание по закону /_s/» гауссова
волнового пакета гарантирует сходимость интеграла в (2.6), а с
ним и вектора U (/)+U°(/) Ц>и1!>, что и требуется в (2.5) *).
Это завершает доказательство для любых гауссовых
волновых функций с любой шириной, а потому и для любых
конечных линейных комбинаций таких гауссовых функций.
Читатель с нематематическим складом ума может счесть это
доказательство достаточным. Для склонных же к математике
мы оставляем завершение доказательства в качестве
упражнения: надо показать, что поскольку любой вектор из 36 можно
с произвольной степенью точности аппроксимировать конечной
суммой гауссовых функций, то результат фактически
справедлив для любого |фин) из 36 (см. задачу 2Л).
Такой же анализ приложим при /-v-f°°- QED2)
Асимптотическое условие гарантирует, что любой вектор
|фин) из 36 является фактически ин-асимптотой некоторой
истинной орбиты U(0|4'V Более того, из доказательства ясно, что
истинное состояние |г|>) системы при / = 0 линейно связано с
ин-асимптотой |i|nm), именно:
|*>=lim UU)+U0(OI^„„> = Q+|a|)H„).
Аналогично для истинного состояния |ф) при £ = 0, которое
разовьется в аут-асимптоту |^аут)> имеем
I ф>= Hm U (0+U°(0 !ФаУт>^а-! Фаут>-
f->+oo
Эти два оператора Q±, определяемые как пределы
0±—lim U(/)+U°(f),
*->.:£ оо
*) Вообще говоря, подынтегральное выражение сходится гораздо
быстрее, чем /~3'2. Дело в том, что в нашем доказательстве использовано только
расплывание свободных волновых пакетов. Волновой же пакет общего вида
расплывается и движется. Как расплывание, так и движение приводят к
обращению в нуль величины [|Уи°фин||, причем влияние движения обычно
оказывается доминирующим.
2) От латинского Quod Erat Demonstrandum — что и требовалось
доказать. — Ред.

§ 3. Асимптотическое условие
45
называются меллеровскими волновыми операторами1), Они
представляют собой пределы одного унитарного оператора и
потому (см. гл. 1, § 7) являются изометрическими
операторами; последний результат мы вскоре используем. Их важное
значение должно быть ясно: действуя на любой вектор из <9#,
они приводят к истинному состоянию при i = О, которое
возникло бы из асимптоты, соответствующей (или перешло бы
в асимптоту, соответствующую) исходному вектору.
Высказанное утверждение символически проиллюстрировано на
фиг. 2.3.
Ин-асимптота UVJW
—£ *-
Аут - асимптота U\t) \ %ут>^
^ [ f > ~ Л_ | йу^>\ /^OpfamQ\){i)\if >
Фиг. 2.3. Классическое представление о роли меллеровских операторов.
На практике ускоритель и коллиматоры формируют
некоторый определенный начальный волновой пакет |^ин)= |^),
а измерительная аппаратура строится так, чтобы
детектировать определенную аут-асимптоту, |t|)ayT) = |x). По этой
причине обычно бывает удобным ввести следующие
дополнительные обозначения:
Q+ !£>= \Ф+) [для любого | Ф)]
и
Q- 1Х> ^1 Х-> [Для любого | х)1-
Вектор |^+) представляет истинное состояние системы при
t = 0, если ин-асимптотой |^ин) был вектор \Ф)\ вектор |х~)
представляет истинное состояние при t = О, если бы
аут-асимптотой |фаут) стал вектор |х).
*) Обращаем внимание на выбор нижних индексов ± у операторов Q±,
являющихся пределами произведения U U0 при / -» + оо. Причина этого
внешне неестественного выбора обнаружится, когда мы будем обсуждать
стационарный формализм теории рассеяния.

46
Гл. 2. бдночастичный оператор рассеяния
Эти различные обозначения можно резюмировать
следующим образом:
0 1
ин-асимптота -Л 1
1 ^ин) —■*
1*) —
истинное
состояние
при t = Q
1х-)
J <— аут-асимптота
ч— 1 *аут)
^1х>
В связи с составлением этой таблицы может оказаться
нелишним напомнить читателю, что во всей этой главе мы
обсуждаем векторы, которые представляют эволюцию
действительного акта рассеяния (либо асимптотически, либо при всех
значениях времени). Поэтому все векторы в этой таблице и
в остальных случаях являются нормированными
ограниченными векторами в пространстве Ж
§ 4. Ортогональность и асимптотическая полнота
Мы видели, что каждый вектор в Ж (обозначаемый по
смыслу (фии) или |^аут)) сопоставляется ин- или
аут-асимптоте некоторой истинной орбиты 11(/)|ф). Теперь мы должны
рассмотреть обратный вопрос: определяет ли каждый вектор
|\|>) из Эё некоторую орбиту 11(/)|ф), имеющую ин- и аут-
асимптоты? Точно так же, как в классическом случае, ответ
на этот вопрос, вообще говоря, отрицателен. Обычно
гамильтониан // = Я°+К имеет какие-то связанные состояния, а если
|^) —связанное состояние, то орбита 11(0 10) описывает
стационарное состояние, в котором частица остается
локализованной в области действия потенциала и, следовательно, никогда
не движется как свободная.
Ситуация аналогична той, которая* возникает в
классической задаче, и мы можем резюмировать результаты, которые
можно ожидать, следующим образом: каждая орбита,
имеющая йН-асимптоту, должна также иметь аут-асимптоту, и
наоборот; а система всех состояний, имеющих асимптоты
(состояния рассеяния), вместе со связанными состояниями
должна образовывать Ж — пространство всех состояний. Мы
получим эти результаты в два этапа. Сначала докажем теорему
ортогональности, которая утверждает, что любое связанное
состояние ортогонально ко всем состояниям, имеющим ин- или
аут-асимптоты. Чтобы сформулировать этот результат, мы
введем еще некоторые обозначения. Обозначим через 3$ под-

§ 4. Ортогональность и асимптотическая полнота 47
пространство, образованное связанными состояниями. Далее
заметим, что любое состояние, имеющее ин-асимптоту, задается
вектором вида |г|?)= Q+|i|>hh). Эти векторы составляют область
значений оператора Q+. Обозначим эту область значений
через 52+, и, следовательно, 32+ является множеством всех
состояний, имеющих ин-асимптоты. Аналогично через 0£^ будет
обозначена область значений оператора Q_, и 91- является
множеством всех состояний, имеющих аут-асимптоты. Теперь мы
в состоянии сформулировать теорему ортогональности.
Теорема ортогональности. Если потенциал V удовлетворяет
нашим обычным предположениям1), то $2+_L.$ и i35L_L#.
Доказательство. Рассмотрим случай 5?+. Предположим, что
|я|>) принадлежит подпространству 52+ [т. е. что орбита
U (01*) имеет ин-асимптоту U°(0|*hh), где |ф)= Я+|фин)],
и что вектор \ф) представляет некоторое связанное состояние
и удовлетворяет уравнению #|^)=£"|^). Мы должны
доказать, что (^|if)= 0.
Скалярное произведение (ф\^) можно вычислить в любой
момент эволюции соответствующих орбит, т. е.
(ф\у) = (ф\[) (*)+U (t) Iф) [для любого /]. (2.9)
Если положить t большим и отрицательным, то U(/)|ty)
будет представлять состояние, в котором частица движется в
удаленной области, тогда как состояние U {t) \ф) всегда
локализовано в области действия потенциала. Это означает, что
перекрывание двух названных состояний стремится к нулю. Но,
согласно (2.9), это перекрывание не зависит от t и,
следовательно, на самом деле всегда равно нулю.
Эту аргументацию можно, отправляясь от (2.9), записать
подробно следующим образом:
<^|*> = ^<^|U(0l*> = Hme'«<*IU°(/)|*B«>-=0.
Второе равенство следует из соотношения U |ф)—► U0 |*фин)»
а последнее равенство — из результата (1.15),
обсуждавшегося в гл. 1, § 6. Q. E. D.
Теорему ортогональности доказать легче, чем наш второй
результат—асимптотическую полноту. Это утверждение
состоит в следующем: система всех состояний, имеющих ин-
асимптоты, в точности та же, что и система всех состояний,
имеющих аут-асимптоты, т. е. 52+ = 52_; кроме того,
подпространство 52± вместе с подпространством связанных состояний
& образует все пространство Ж Поскольку, как мы знаем,
1) Из доказательства будет ясно, что фактически этот результат
справедлив при любых условиях, при которых выполняется асимптотическое условие,

48
Гл. 2. Одночастичный оператор рассеяния
подпространства &± ортогональны подпространству 33, то это
означает, что Ж должно быть прямой суммой 9i± и 38. Если
записать соотношение Ж = & © 52, которое просто определяет
Я как подпространство всех векторов, ортогональных 38, то
можно сформулировать искомый результат в виде простого
утверждения.
Асимптотическая полнота. Теория рассеяния будет
называться асимптотически полной, если 32+ = #L = 52, или
словами:
Все состояния,
имеющие
ин-асимптоты
[ Все состояния,
< имеющие
( аут-асимптоты
Все состояния, орто-
| тональные
связанным состояниям
Доказательство того, что для подходящих потенциалов
теория рассеяния является асимптотически полной, оказывается
)чень трудным, и мы отсылаем интересующегося читателя к
юответствующей литературе1). Мы просто примем, что для
пирокого класса потенциалов, включая и те, которые удов-
зетворяют условиям из гл. 2, § 2, асимптотическая полнота
хействительно имеет место.
При использовании асимптотической полноты наше
описание процесса рассеяния становится почти полным. Его можно
)езюмировать следующим образом: что касается истинных ор-
)ит системы, то их гильбертово пространство 26 разделено на
цве ортогональные части — подпространство связанных
состояли 38 и подпространство состояний рассеяния 52. Для каждого
ф) из 52 орбита 11(0|ф) описывает процесс рассеяния, для
юторого существуют ин- и аут-асимптоты
1 U(0U>> —
-*и°(01Фин> 1
—оо г
Г>и0(')Ц>аут>.
Каждый вектор |^Ип) (или |^аут)) из Ж соответствует
н- (или аут-) асимптоте одной истинной орбиты U(Ol^),
меллеровские операторы Q+ отображают каждый вектор
фин) (или |граут)) из 36 на соответствующее состояние рассея-
ия |ф) из 52:
1ф> = 0+|Фин> = а-1Ф.,т>.
(2.10)
х) В доказательствах используется стационарный формализм,
изложений в гл. 8 и 10; см. [8, 10].

§ 4. Ортогональность и асимптотическая полнота 49
Как мы уже отметили, меллеровские операторы суть
операторы изометрические. Это означает, что каждому
нормированному вектору |г|)ЙЯ) или |фаут) из Ж отвечает единственный
нормированный вектор |г|з) из 31. И наоборот, каждому
нормированному вектору |\J)} из 91 отвечают единственные
нормированные асимптоты |i|3hh) и |i|)ayT). Эта ситуация
схематически представлена на фиг. 2.4.
С помощью фиг. 2.4 мы подчеркнем два момента, которые
могут потребовать разъяснений. Во-первых, из фиг. 2.4
ясно видно (и это мы фактически доказали), что каждый
вектор из Ж может быть какой-нибудь ин- или аут-асимптотой.
Фиг. 2.4. Меллеровские операторы &± отображают ин- и аут-асимптоты,
представленные векторами | г|?нн> и | «фаут)» на истинную орбиту | ф).
Теперь, когда мы уже имели случай обсудить связанные
состояния, читатель, вполне возможно, задался вопросом: как
же может вектор связанного состояния |^>) представлять
свободную асимптоту? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно
вспомнить смысл асимптот. Утверждение, что вектор |^>)
представляет некоторую возможную ин-асимптоту, например,
означает, что если умножить |^) на свободный оператор эволюции
U°(0 и взять / большим по величине и отрицательным, то
вектор U°(0l^) будет весьма похож на некоторую истинную
орбиту рассеяния. Далее, свободный оператор эволюции может
действовать на все состояния; в частности, для него не имеет
никакого значения тот факт, что |^) — собственное состояние
полного гамильтониана H°+V. Поэтому в рассматриваемые
моменты времени (большие и отрицательные t) вектор U°(0 \ф)
в самом деле представляет свободное движение частицы вдали
от области действия потенциала и, как таковой, законно
является ин-асимптотой. Именно по этой причине все векторы в Ж
могут представлять ин- или аут-асимптоты.
Во-вторых, поскольку меллеровские операторы
отображают пространство Ж (представляющее асимптоты) на
подпространство 91 (представляющее орбиты рассеяния), эти
№аут>

50 Гл. 2. Одночастичный оператор рассеяния
операторы изометрические, но, вообще говоря, не унитарные.
В особом случае, когда гамильтониан Н не имеет связанных
состояний, соотношение Ж = $ ф Я превращается в ^ = ^
и тогда операторы Q± унитарны. В общем же случае они не
унитарны, причем количество связанных состояний служит
мерой их отклонения от унитарности. Возможно, следует
подчеркнуть, что этот факт ни в каком смысле не должен вызывать
удивления или беспокойства. Требуется только одно: чтобы
операторы' Q± взаимно однозначно отображали асимптоты на
состояния рассеяния, а для этого достаточно, чтобы они были
изометрическими.
§ 5. Оператор рассеяния
До сих пор мы выражали истинное состояние рассеяния
при t = 0 через любую из его двух асимптот. Наша конечная
цель состоит в том, чтобы выразить аут-асимптоту через ин-
асимптоту, не обращаясь к экспериментально неинтересной
истинной орбите, и теперь мы можем это сделать. Поскольку
оператор Q- изометрический, соотношение |ф) = £2_|фаут) из
(2Л0) можно обратить. Ввиду того что Q^Q_=1, мы просто
умножим слева на й^:
|*аут> = 01|Ф) = 010+|*ня>.
Если мы определим оператор оассеяния равенством1)
S = Q^Q+,
то обращенное соотношение примет вид
(2.11)
-Фаут) *= S | 4>hii>,
что и является искомым результатом.
Оператор рассеяния S выражает |*фаут) непосредственно
через |\|)ин); если частица влетает в область столкновения,
имея ин-асимптоту |гЬин), то удаляется она из этой области,
имея аут-асимптоту [ фаут) = S |гринУ Поскольку наблюдаемо
только асимптотическое свободное движение, вся имеющая
экспериментальный интерес информация содержится в одном-
единственном операторе S. Если мы знаем, как подсчитать S,
*) Следует упомянуть, что в литературе встречается и другое
определение оператора рассеяния. S«Q+^1 Причины существования этого
определения главным образом исторические, н у нас не будет случая его
использовать,

§ В. Унитарность
51
то задача рассеяния решена. Нет необходимости объяснять,
почему проблема подсчета S будет занимать несколько глав
этой книги, начиная с гл. 8.
С помощью S можно подсчитывать вероятности для
различных экспериментов по рассеянию. Частица выходит из
ускорителя, двигаясь свободно вдоль ии-асимптоты U°(0l4O>
где 1 tfitu )=|^) характеризует ускоритель. Экспериментальное
оборудование для счета частиц настроено на некоторую
определенную аут-асимптоту, задаваемую, скажем, соотношением
|^аут)=|хУ Отсюда интересующая нас величина — это
вероятность того, что частица, влетающая в область
столкновения с ин-асимптотой \ф), будет наблюдаться вылетающей
с аут-асимптотой |хУ Чтобы оценить эту вероятность, мы
заметим, что истинное состояние при t = 0, которое возникнет
из ин-асимптоты |^), есть \ф+) = £2+|Ф), тогда как истинное
состояние при / = 0, которое перешло бы в аут-асимптоту |х)>
есть |х—) = Й-|х)- Поскольку требуемая амплитуда
вероятности есть не что иное, как скалярное произведение истинных
состояний в любой данный момент .времени (например, при
t = 0), то искомая вероятность равна
™(х^ф) = \(х~\Ф + )\2 = \(х\^я+\ф)\2==\(х\$\ф)?.
Амплитуда вероятности процесса (х+-ф) в точности равна
5-матричному элементу (x(S|0).
На практике даже величина м(х*-ф) не наблюдается
непосредственно; это происходит потому, что нельзя на деле
образовать или распознать однозначно определенные волновые
пакеты |^) и |хУ Однако, как мы покажем в гл. 3, величина,
которая является экспериментально наблюдаемой, —
дифференциальное сечение — может быть выражена непосредственно
через матричные элементы оператора S.
§ в. Унитарность
Важное свойство 5-оператора, которое мы можем
немедленно доказать, состоит в том, что он унитарен.
Справедливость этого утверждения следует прямо из асимптотической
полноты и определения S = Q1Q+. Меллеровские операторы
Й+ и Q_ — это изометрические операторы, отображающие Эв
на подпространство Я состояний рассеяния. Это означает, что
оператор Q+ — линейное, сохраняющее норму отображение 2в
на 32, тогда как Q-—тоже линейный и сохраняющий норму
оператор (в подпространстве 52), но он отображает 91 обратно на
Ж (фиг. 2.4). Отсюда немедленно следует, что оператор 8

S2 Гл. 2. Однонастичный оператор рассеяния
линеен, сохраняет норму и отображает Ж на 9в, т. е. что S —
унитарный оператор.
Простота этой аргументации не должна приводить к
ошибочному мнению, будто этот результат тривиален. Наиболее
трудную работу при доказательстве выполняют, конечно, тогда,
когда доказывают асимптотическую полноту. В частности,
существенный элемент представленной аргументации — то, что
Q+ и Q- отображают Ж на одну и ту же область значений
91 — никоим образом не является тривиальным свойством.
Нетрудно понять важнее значение унитарности оператора
S. Ин- и аут-асимптотам системы сопоставляются векторы из
Зв, и они связаны друг с другом посредством 5-оператора:
1+аут) — S |\|?ин). Факт унитарности оператора S означает,
что для каждого нормированного вектора [грин) существует
единственный нормированный вектор |^аут), и наоборот,
а также (в силу линейности оператора S), что соответствие
между |\J)Hh) и |г|>аут) сохраняет суперпозицию, т. е. если
|г|5ип) =а|йш> + Ь|Хин), ТО |фУат) = а|?аут) + &1Хаут).
Мы увидим позже, что понятие S-оператора обобщается на
более сложные процессы — упругое рассеяние двух частиц
(гл. 4 и 5) и многочастичные процессы, включающие в себя
произвольные реакции (гл. 16). Соответствующий S-оператор
существует и в релятивистской квантовой теории поля, а в
недавних попытках построить релятивистскую теорию рассеяния,
основанную непосредственно на свойствах оператора S (так
называемая аналитическая теория 5-матрицы), существование
S принимается в качестве фундаментального постулата1). Во
всех случаях значение оператора S одно и то же: он
отображает ин-асимптоту любой орбиты рассеяния прямо на
соответствующую аут-асимптоту. Можно ожидать, что во всех случаях
оператор S будет унитарным2).
Факт унитарности оператора S имел огромнейшее значение
для развития теории рассеяния в последние годы. Из самых
*) См., например, [12].
2) Возможно недоумение относительно статуса унитарности S. Ввиду ее
простой интерпретации часто можно слышать заявление, что унитарность
«очевидна». Но если оператор S «очевидно» унитарен, то не без оснований
можно спросить, почему же затрачивается так много энергии на
доказательство этого утверждения Этот явный конфликт является, конечно, только
вопросом о точке зрения. Если выбрать предположение, что S-оператор
существует и обладает двумя упомянутыми выше свойствами, то и в самом деле его
унитарность становится «очевидной». Именно этой точки зрения
придерживаются в аналитической теории S-матрицы, и она совершенно разумна. Если же
стремиться доказать унитарность S в рамках некоторой заранее выбранной
динамической теории (такой, как нерелятивистская шредингеровская теория с
определенным потенциалом), то доказательство может оказаться очень трудным;
в нашем случае так оно и есть.

Задачи
53
общих соображений ясно, что любая попытка подсчитать
оператор S значительно облегчается, если известно, что он при-
надлежит к весьма узкому классу унитарных операторов.
Именно унитарность играла первостепенную роль при
использовании дисперсионных соотношений (см. гл. 15). Мы
будем обсуждать простой пример такого рода приложений
в связи с оптической теоремой в гл. 3.
Наша следующая задача состоит в том, чтобы выразить
через S величину, которая действительно измеряется, —
дифференциальное сечение. Ее мы рассмотрим в гл, 3.
Задачи
2.1. (Задача с математическим уклоном.)
а) В гл. 2, § 3 асимптотическое условие было доказано для вектора
[\|)ин), волновая функция которого имеет гауссов вид. Покажите явно, что
это условие выполняется для любой конечной суммы таких векторов.
б) Известно, что любой вектор в i?2(£?3) можно сколь угодно хорошо
аппроксимировать конечной суммой гауссовых векторов, т. е. для любого |ф)
и для любого е>0 существует конечная сумма \Ф) гауссовых векторов,
такая» что IItj? — 0|| < е. Используя этот факт, докажите асимптотическое
условие для любого вектора |фии).
2.2. Докажите асимптотическое условие для одпочасгичиого оператора
потенциальной энергии вида V= |C> (£|, где |£) — некоторый фиксированный
вектор в одночастичном гильбертовом пространстве. (Это так называемый
сепарабельный, или факториз.уемый, потенциал. Он представляет собой
первый встречающийся у нас пример «нелокального» потенциала. Иначе говоря,
этот потенциал не является просто функцией оператора положения, или,
эквивалентно, его матричный элемент (х'|К|х) не пропорционален &(х' — х).
Фактически (x'|V|x) = £(x') £(х)*, и именно этим соотношением часто
определяется сепарабельный потенциал. Найдено, что расчеты с сепарабель-
ным потенциалом великолепно согласуются с экспериментом в некоторых
проблемах ядерной бизики низких энергий, особенно в трехнуклонной задаче.
См. [13], стр. 75—79.) Предположите, что волновая функция для вектора |£)
имеет гауссов вид.
2.3. Из того, что меллеровскне операторы имеют вид Q = lim U (/)"4l°(0i
где произведение U*U°унитарно, следует, что QfQ = 1 и что меллеровскне
операторы являются изометрическими. Если бы мы могли для написанного
выше равенства записать ему сопряженное (т. е. если бы оператор ft* был
равен lim U ^U), то отсюда следовало бы, что QQ = 1 и оператор Q был бы
унитарным, что, как мы знаем, неверно. Покажите на примере, что фактически
для U fU не существует предела для всех векторов из Ж. (Указание: мы
знаем, что унитарность Q нарушается из-за связанных состояний.)

ГЛАВА 3
ВЫРАЖЕНИЕ СЕЧЕНИИ ЧЕРЕЗ S-МАТРИЦУ
Введя S-оператор, мы смогли связать асимптотическое
свободное движение частицы, покидающей область соударения,
непосредственно с ее асимптотическим, свободным начальным
состоянием. В частности, вероятность того, что частица,
влетающая в область соударения с ин-асимптотой |^>), будет
наблюдаться вылетаклцей из этой области с аут-асимптотой |х),
выражается через соответствующий S-матричный элемент:
w(x<-j>) = (x\S\<l>)\>.
К сожалению, несмотря на то что мы успешно исключили
из рассмотрения все подробности, касающиеся ненаблюдаемой
истинной орбиты, мы все еще не пришли к величине, которая
поддается непосредственному измерению. Это связано с тем,
что волновые пакеты |^) и |х) нельзя на практике однозначно
идентифицировать (хотя в принципе это возможно).
Практически относительно начального состояния \ф) мы знаем только
то, что оно представляет собой волновой пакет, положение
и импульс которого определены достаточно хорошо. Что же
касается конечного состояния, то мы определяем только то,
находится или нет направление движения вылетающей частицы
в некотором элементе телесного угла dQ. Характер измерения,
производимого над вылетающей частицей, учесть нетрудно:
вместо ш(х«— ф) мы должны только подсчитать вероятность
w(dQ<-$) того, что направление движения в аут-состоянии
находится внутри элемента телесного угла dQ. Если мы не знаем
точную ин-асимптоту \Ф), то мы должны затем усреднить эту
вероятность по всем допустимым состояниям |^). Именно
такой процесс усреднения приводит к понятию
дифференциального сечения — основной темы этой главы.
Читатель, знакомый с элементарными рассмотрениями
вопроса о сечениях, сочтет, возможно, предлагаемый анализ
неоправданно громоздким. Причина состоит в том, что в
элементарных подходах всегда используются плоские волны, а это,
как признается в большинстве учебников, можно должным
образом обосновать, лишь перестраивая плоские волны в
подходящие волновые пакеты. Оказывается, при «построении подхо-

§ L Сохранение энергии
55
дящих волновых пакетов» требуется известная осторожность,
и именно этому процессу посвящена основная часть настоящей
главы. Не из капризного желания строгости беремся мы за
всю эту трудную работу. Определив сечение с помощью
волновых пакетов, мы значительно продвинемся в понимании его
смысла. В частности, мы ясно увидим пределы его полезности
и применимости.
Прежде чем перейти к обсуждению сечения, удобно
установить два важных свойства 5-оператора: сохранение энергии
и представление S с использованием амплитуды рассеяния.
Эти два результата будут обсуждаться соответственно в § 1
и 2. Затем в § 3 начнем обсуждение сечения с краткого
описания простого классического эксперимента. В § 4 и 5 обсудим
квантовомехаиическое сечение и выведем его выражение через
амплитуду рассеяния. В § 6 докажем оптическую теорему —
важный результат, который прямо следует из унитарности S
и нашего выражения сечения через амплитуду.
§ 1. Сохранение энергии
Одно из наиболее важных свойств S-оператора состоит
в том, что он сохраняет энергию. Свойство это более тонкое,
чем можно было бы ожидать. Поскольку гамильтониан Н не
зависит от времени, энергия, 'конечно, сохраняется, и
математическое ожидание Н для любой истинной орбиты остается
постоянным. Однако 5-оператор производит отображение
асимптотически свободных орбит, которые соответствуют состоянию
частицы только тогда, когда частица находится далеко от рас-
сеивателя и потенциал на нее не действует. Но ведь в
асимптотических состояниях вся энергия — это попросту кинетическая
энергия, и мы должны, следовательно, ожидать, что S будет
коммутировать с оператором кинетической энергии Я0, а не
с //. Именно это мы теперь и докажем.
Существенным шагом при доказательстве оказывается так
называемое соотношение переброса для меллеровских
операторов:
HQ± = Q±H«. (3.1)
Эти важные соотношения доказываются с помощью
следующих манипуляций (поддающихся строгому обоснованию, как
легко может убедиться читатель, склонный к математике):
e^Q± = е«^ [iim ешге~шч~\ = Iim \eiH i*+«e-w/j =
= [Iim eiH <*+<>£-<*• (t+/> j еш*% = а^еш\

56 Гл. 3. Выражение сечений через S-матрицу
Дифференцируя но т и полагая т = 0, мы получаем требуемый
результат.
Ввиду того что меллеровские операторы изометричны и
удовлетворяют равенству Q Q = 1, мы можем переписать
соотношения переброса в виде
Qf±tfQ±==tf°. (3.2)
Это позволяет нам интерпретировать Q± как операторы,
которые при действии на полный гамильтониан И приводят к
свободному гамильтониану Я0. Это ясно демонстрирует уже
известный нам факт, что в общем случае меллеровские операторы
не могут быть унитарными. Действительно, если бы они были
таковыми, то из (3.2) следовало бы, что Н и IP имеют один
и тот же спектр, а поскольку у tf° нет связанных состояний, их
не могло бы существовать и у Н. Таким образом, операторы Q±
могут быть унитарными только в том случае, когда у
гамильтониана // нет связанных состояний в точном соответствии с тем,
что мы видели в гл. 2.
Теперь очень просто доказать, что S коммутирует с Н°\
применим два раза соотношение переброса:
S/f°= Q+_Q+H°= Qi#Q+ = H°Q+_Q+ = tf°S. (3.3)
Этот результат выражает сохранение энергии в эксперименте
по рассеянию. Среднее значение начальной энергии для ин-со-
стояния |^ин) равно математическому ожиданию:
Начальная энергия = (^ин \ Н° \ \|>нн).
Аналогично среднее значение конечной энергии для
соответствующего аут-состояния | траут)= S | фин) равно
Конечная энергия = (tpayT | Н° | я|>аут) = <фин | S+//°S | фйн>.
Эти два значения энергии равны друг другу, потому что,
согласно (3.3), //° = Sf//°S.
Как известно каждому изучающему квантовую механику,
удобный способ использовать тот факт, что оператор S
коммутирует с наблюдаемой Н°9 состоит в выборе базиса из
собственных векторов этой наблюдаемой. Конечно, для свободного
гамильтониана Н° не существует ограниченных собственных
векторов. Однако, как обсуждалось в гл. 1, мы последуем
обычной и удобной практике разложения по «неограниченным
собственным векторам», которые мы трактуем (насколько это
возможно) как обычные векторы. Удобно выбрать в качестве
собственного вектора #° собственный вектор импульса jp),

§ I. Сохранение энергии
it
пространственная волновая функция которого представляет
собой плоскую волну
<х|р> = (2яГ'"е(Р-*
с нормировкой (р' |р)=б3(р/ — р). Этот вектор удовлетворяет
уравнению
Я°!р) = ^-1р) = £,1р),
где мы ввели обозначение
Ср 2т
для энергии свободной частицы с импульсом р.
Мы будем записывать матричные элементы оператора S
в импульсном представлении в виде (p'|S|p) и часто будем
ссылаться на величину {'р' |S |p)} как па «S-матрицу». Важно
помнить, что точно так же, как вектор |р\ не представляет
физически реализуемого состояния, так и (p'|S|p) не является
амплитудой какого-нибудь физически реализуемого процесса.
Значение «состояний», представляющих собой плоские волны,
состоит в том, что они образуют удобный базис для
разложения ограниченных состояний:
1+>-5*7>+(р)1р>-
Точно так же физическое значение матричных элементов с не*
ограниченными векторами,(р' |S| p), состоит в соответствующем
разложении матричного элемента {% |S \<f>) с ограниченными век*
торами, или, что эквивалентно,в разложении волновой функции
аут-состояния г|заут(р) через ^Ш1(р):
+аут (Р) — J rfV <P IS | pO фян (pO (3.4)
Несмотря на эти оговорки, удобно тем не менее наглядно
представлять себе (p'[S|p) как амплитуду вероятности того, что
ин-состояние с импульсом р переходит в аут-состояние с
импульсом р'.
Поскольку S коммутирует с Н°, его матричные элементы
в импульсном пространстве удовлетворяют равенству
0*=<р' 1[Я°, S] |р> = (£р, -£р)<р' |S |р>.

53 Гл. 3. Выражение сечений через S-матрицу
Отсюда следует, что величина (p'|S|p) равна нулю, исключая
случай Ер, = Ер, и, следовательно,
<р' IS | р) = 6 (Ер, — Ер) X (все остальное). (3.5)
Эта запись выражает в импульсном пространстве факт
сохранения энергии.
§ 2. Г-матрица на энергетической
поверхности и амплитуда рассеяния
Для дальнейшего исследования структуры S-матрицы в
импульсном пространстве удобно ввести еще один оператор R,
определяемый соотношением S=l+#. Оператор R
представляет, очевидно, разность между фактическим значением S
и его значением в отсутствие всех взаимодействий (а именно
S= 1). Поскольку S коммутирует с Я0, то тем же свойством
обладает и R. Следовательно, подобно величине (р' |S |р)
[см. (3.5)], в матричном элементе (р'|/?|р) содежится
множитель &(Ер, — Еру Мы записываем его в виде
<р'1R IР) = - 2я» (Ер, - Ер) t (р' «- р), (3.6)
где множитель — 2ni введен для удобства последующего
изложения1). Для S-матрицы отсюда получаем
<р' | S | р) = бз (р' - р) - 2шЬ (Ер, - Ер) t <p' <- р).
(3.7)
Легко понять смысл обоих слагаемых в этом разложении
S-матрицы. Первое слагаемое б3 (р' — р) представляет собой,
очевидно, амплитуду вероятности того, что частица пройдет
силовой центр без рассеяния. Отсюда второе слагаемое —
амплитуда вероятности того, что частица действительно рассеется.
Но когда частица рассеивается, ее импульс изменяется, а ее
энергия остается той же. Поэтому во втором (соответствующем
рассеянию) слагаемом (3.7) должна сохраняться энергия, но
не отдельные компоненты импульса. Это означает, что в
данном слагаемом должна содержаться дельта-функция от
энергии и никаких других дельта-функций. Другими словами, мы
ожидаем, что множитель t(p'<—p) будет гладкой функцией
своих аргументов. Можно показать, что для широкого класса
потенциалов /(р'<-р) действительно оказывается аналитиче-
*) Не существует всеобщего соглашения по поводу определения /; можно
встретить определения, отличающиеся множителями 2 и я. Основная причина
сделанного выбора состоит в том, что в борцовском приближении (гл. 9)
*(р'*~р) точно совпадает с (р' \ V | р) (без каких-либо дополнительных
множителей) .

§ 2. Т-матрица на энергетической поверхности
59
ской функцией своих переменных. Здесь мы просто примем,
как совершенно разумное, предположение, что /(р'«~ р) есть
по меньшей мере непрерывная функция своих аргументов1).
Из-за множителя 6(£р, — £р) в (3.7) величина t(p'<^p)
определена только при Е , = Eif\ т. е. в пространстве перемен-
ных р' и р функция t(p'<~ p) определена только на
«поверхности» р'2 = р2. По этой причине t(p'<^p) называется Г-матри-
цей на энергетической поверхности.
Поскольку Г-матрица на энергетической поверхности
определена только при р' =р2, она, очевидно, не определяет оператор Г,
матричным элементом которого является f(p'«— р). (Чтобы
определить оператор, нужно задать матричные элементы для всех
р' и р.) Однако, как мы увидим в гл. 8, можно и удобно
определить оператор Г, матричные элементы которого <р'|7Чр)
совпадают с *(р'«-р), когда2) р'2 = р2. Матрица (р'\Т \р)
определена для всех р' и р и называется Т-матрицей вне энергети*
ческой поверхности. Пока речь идет о наблюдениях в экперимен-
тах по рассеянию, достаточно иметь дело только с Т-матрицей
на энергетической поверхности, потому что, зная только ее, мы
уже в состоянии определить 5-матрицу посредством (3.7). С
другой стороны, Т-матрица вне энергетической поверхности оказы*
вается полезной при расчетах. В частности, она удовлетворяет
важному уравнению Липпмана—- Швингера, которое мы будем
обсуждать в гл. 8—103).
Г-матрица на энергетической поверхности тесно связана
с амплитудой рассеяния. Фактически функция
Мр'«-р) = -(2л)2т/(р'ч-р)
(3.8)
1) Следует подчеркнуть, что этот результат весьма нетривиален и связан
с короткодействующим характером сил. Если бы силы были достаточно даль-
недействующими (например, кулоиовскими), то все частицы рассеивались бы
и (р' | S | р) не имела бы структуры (37). Результат (3.7) [включая гладкое
поведение t (p' <- р)] является простейшим примером так называемого
кластерного разложения S-матрицы, которое играет важную роль в
релятивистской теории рассеяния.
2) Изложение здесь до предела упрощенное. На самом деле мы
определим оператор Т(г), зависящий от комплексной переменной z. Если положить
г = Е + it (E — вещественное) и устремить е -* 0, то матричный элемент
<р' | Г (2; + *'0) [ р) в частном случае Ер, = Ер = Е совпадает с / (р' ч- р).
3) Следует также отметить, что в данный момент мы обсуждаем не что
иное, как рассеяние одной частицы на фиксированном потенциале (которое,
как мы увидим в гл. 4, тесно связано с рассеянием двух частиц друг на
друге). Когда мы перейдем к обсуждению процессов с участием трех или
более частиц (скажем, рассеяние нейтрона на дейтроне), мы обнаружим, что
в различных приближениях многочастичную Г-матрицу на энергетической
поверхности можно записать через некоторые двухчастичные матрицы вне
энергетической поверхности.

60
Гл. 3. Выражение сечений через S-матрицу
как раз и есть амплитуда в элементарной теории рассеяния,
где / определяется как коэффициент при расходящейся волне
в стационарных состояниях рассеяния, как это обсуждалось
во введении. Поскольку мы еще некоторое время не будем в со*
стоянии доказать утверждение (3.8), примем его в качестве
нашего определения амплитуды рассеяния. В гл. 10 мы
покажем, что это определение совпадает с принятым в
элементарной теории.
Читатель вправе недоумевать, зачем мы доставляем себе
лишние хлопоты и используем обе функции *(р'<-р) и/(р'ч-
+-р)> различающиеся только тривиальной константой — (2я)2/п.
Из двух причин первая — это традиция: в литературе по теории
рассеяния обе функции появляются с более или менее
одинаковой частотой. Вторая причина состоит в том, что на самом
деле удобно использовать обе эти функции. При обсуждении
связи с Г-матрицей вне энергетической поверхности (что мы
сделаем в гл. 8) удобно использовать *(р'«-р)* Функция же
f(p'-*-p) удобнее при обсуждении сечения, которое, как мы
покажем в гл. 3, § 5, равно в точности do/dQ~\ /(p'«-p) |2,
Излишне говорить о том, что нет необходимости запоминать
все основные формулы в записи через одну и через другую
функции. Просто надо помнить разложение (3.7) S-матрицы
через *(р'«-р) (в сущности, один коэффициент — 2л/) и
определение (3.8) амплитуды /(р'«-р) через *(р'«-р). Из них
можно, очевидно, вывести разложение S-матрицы через
амплитуду
<Р' IS | р> = бз (р' _ р) + ^ б (£,. - Ер) f (p' - р), (3.9)
но нет никакой нужды заучивать этот результат наизусть.
§ 3. Классическое сечение
Установив сохранение энергии и представление S через
Г-матрицу на энергетической поверхности или через
амплитуду, мы можем теперь вернуться к главному предмету этой
главы —к сечению рассеяния. Сначала кратко обсудим
понятие сечения для очень простого классического процесса — для
рассеяния точечной частицы на неподвижном твердом теле
(фиг. 3.1). Мишень помещается в некотором держателе, и по
ней выпускается снаряд. Мы можем измерить импульс
снаряда, когда он приближается к мишени (пусть это будет р0),
и еще раз, когда он удаляется. С другой стороны, мы не можем
измерить микроскопические величины для этого события. В
частности, мы не можем измерить прицельный параметр р,
который определяется как расстояние (вектор) по перпендику-

§ 3. Классическое сечение
61
ляру от выбранной подходящим образом оси, проходящей
через мишень, до линии начальной траектории (фиг. 3.1). Наша
задача состоит в том, чтобы, располагая этими фактами,
получить максимум информации о мишени.
Прежде всего заметим, что из пролета одного-единствен-
ного снаряда мало что можно узнать. Если снаряд вылетает
с импульсом, отличным от ро, то мы знаем только то, что он,
должно быть, поразил мишень; если же он вылетает с
неизменившимся импульсом, то мы знаем, что он пролетел мимо
мишени.
Предположим, однако, что мы в состоянии повторять этот
эксперимент многократно, каждый раз с одним и тем же на-
.Прицельный параметрр
V, £.
Ось
Фиг. 3.1. Рассеяние точечной частицы с начальным импульсом р0 и прицель-
ным параметром р на неподвижном твердом теле в классической механике.
чальным импульсом, но со случайными прицельными
параметрами. Если производить эксперимент с достаточной частотой,
то можно реалистически говорить о числе ппад снарядов,
падающих на единичную площадку, перпендикулярную р0. Мы
можем, далее, утверждать, что число частиц, попадающих
в мишень, в точности равно произведению япад на площадь а
поперечного сечения мишени, нормального к вектору р0. Так
как можно распознать попавшие в мишень частицы по факту
их рассеяния (т. е. по изменению направления их движения),
то мы записываем соотношение
ЛГркс^Яаад*. (ЗЛО)
где через Л^расс обозначено полное число рассеянных частиц.
Поскольку и tfpacc и лпад можно измерить, это соотношение
дает нам возможность найти сечение рассеяния о на мишени1).
*) Некоторым читателям может показаться подозрительным тот факт, что
мы обсуждаем (и будем продолжать обсуждать) сечения, выражая их через
полное число рассеянных частиц, а не через рассеянный поток. Л^ожно,
конечно, использовать любой способ, потому что поток — это просто полное
число частиц, деленное на полное время. Предпочтительное использование
потока — историческая случайность, связанная с использованием плоских волн
(для которых только и имеет смысл поток). При использовании же волновых
пакетов, каждый из которых описывает один отдельный снаряд, естественнее,
очевидно, просто считать частицы.

62
Гл. 3, Выражение сечений через S-матрицу
Фактически можно получить намного больше информации,
потому что мы можем подсчитать количество рассеяний в
любом данном направлении. Если обозначить через Л/расс(А^)
число частиц, рассеянных в телесный угол ДЯ, то
МрйСС№0)=ПайДр{Ьй)9
(3.11)
где величина а(АЙ) есть не что иное, как сечение той части
мишени, которая рассеивает в телесный угол AQ (фиг. 3.2);
<г(ДЯ)
Фиг. 3.2. Сечение a(AQ) представляет собой площадь той части мишени,
которая рассеивает частицы в телесный угол ДЙ,
его можно измерить, используя это соотношение. Если
телесный угол АЙ мал (равен dfi), то o(dQ) пропорционально JQ,
и обычно пишут
a(rfQ) = |£rfQ, (3.12)
где da/dQ^ так называемое дифференциальное сечение; в нем
содержится наиболее подробная информация, которую можно
получить этим способом.
Прежде чем перейти к обсуждению соответствующих
квантовых проблем, задержимся, чтобы сделать три замечания.
Первое: очевидно, существенно, чтобы падающие частицы
выпускались с действительно случайными прицельными
параметрами, так чтобы мы могли спокойно говорить об
однородной плотности падающих частиц япад. Второе: нет, к счастью,
необходимости посылать частицы с равномерной плотностью
по всему бесконечному фронту; требуется только одно: чтобы
они падали с равномерной плотностью на площадь, большую
по сравнению с размерами мишени (частицы с достаточно
большими прицельными параметрами не рассеиваются и
потому не входят в Л/расс). Третье: дифференциальное сечение
рассеяния в направлении вперед — величина неопределенная,
потому что нельзя отличить частицу, рассеянную в
направлении вперед (что бы это ни значило), от частицы, вообще не
испытавшей рассеяния»

§ 4. Определение сечений
63
§ 4. Определение сечения в квантовой механике
В квантовой задаче рассеяния падающий снаряд
приближается к мишени, имея определенную ин-асимптоту |я|5ин),
которую мы будем идентифицировать при помощи ее волновой
функции в импульсном пространстве фин (р) = (р | фии).
Соответствующая КОНеЧНаЯ ВОЛНОВая фуНКЦИЯ ^|>аут(р) = (Р l^ayr)
определяет вероятность того, что через большой промежуток
времени после столкновения импульс частицы окажется
равным р; эта вероятность равна ну (d3p «-i|>HK) = d3/? |i|>ayT(p) p.
Вероятность того, что импульс вылетающей частицы будет
где-то внутри элемента телесного угла dQ около направления
р, получается интегрированием по всем |р|:
оо
w (dQ ч- фнн) = dQ J рЧр | г|>аут (р) f,
о
где, как обычно, р=рр1)-
Во многом аналогично классическому случаю этот
результат приносит мало пользы при изучении одного-единственного
события: ведь точное ин-состояпие |^ин) нам неизвестно2).
Мы знаем только то, что волновая функция ^mi(p) имеет
хорошо выраженный максимум вблизи некоторого значения ро;
и точно так же, как в классическом случае, мы должны бра1Ъ
среднее по большому числу экспериментов, в которых имеется
эта неполная информация.
Ускоритель, естественно, не производит многократно в
точности один и тот же волновой пакет. Однако доставим себе
удовольствие и вообразим, что мы смогли все устроить так, что
частицы образуются в виде волновых пакетов, различающихся
только случайными поперечными смещениями перпендикулярно
вектору ро- Вообразим последовательность экспериментов с ий-
состояниями |i|?hh), |^р), где \фр) — состояние, полученное за
счет перемещения неизменной частицы, находившейся в
некотором определенном состоянии \ф), на расстояние р, т. е. состояние
[^определяется волновой функцией3) ф9(р) — е-*р'*ф(р). Мы
*) Пределы 0 и оо в этом интеграле отражают тот факт, что мы
интересуемся не величиной вектора р, а только его направлением. Величину
вектора р измерить, конечно, можно, но она фиксирована законом сохранения
энергии и потому не интересна при наблюдениях.
8) Вдобавок величина w(dQ -*-1|)ин) является только вероятностью. Это
дополнительное усложнение характерно для кваитовомеханических задач.
Впрочем, для настоящего обсуждения вероятностная природа величины
w (dQ -<- ярин) не представляется особенно существенным пунктом; главное
заключается в нашем незнании состояния |т|5Лн).
3) Напомним, что оператор смещения на вектор р есть ехр (—*Р*Р);
его действие на волновую функцию в импульсном пространстве сводится
к умножению ее на ехр(—/Qp). См. нашу задачу 1.2 или книгу [4], стр. 652.

64
Va. 3. Выражение сечений через S-матрицу
предположим, что вектор \Ф) один и тот же во всех случаях,
а смещения р распределены случайным образом в плоскости,
перпендикулярной вектору Ро. Это соглашение о случайных
поперечных смещениях волнового пакета ^(р) соответствует
случайному распределению прицельных параметров в нашем
классическом обсуждении, и мы можем говорить о смещении р
как о прицельном параметре (фиг. 3.3).
Если мы повторяем эксперимент достаточно часто и при
этом случайные смещения оказываются равными р(, Рг» • • ■ >
то полное число наблюдаемых актов рассеяния в телесный
к°а)\Фр>-*
Фиг. 3.3. Два падающих волновых пакета | Ф) и \.Ф0) отличаются друг от
друга смещением па расстояние р в направлении, перпендикулярном к
векторам, изображающим средние значения их импульсов.
угол dQ будет просто суммой отдельных вероятностей w (dQ «-
*~т\>):
При достаточно большом числе событий сумму можно
заменить интегралом
ЛГрасс (dQ) = \ <*2Р*падШ (dQ «- *р),
где ппад — плотность падающих частиц. (На деле этот интеграл
берется по площади конечных размеров, но много большей
размеров мишени. Однако, поскольку для достаточно большого р
вероятность рассеяния равна нулю, интеграл с тем же
результатом можно взять по всей плоскости.) Ввиду случайного
распределения векторов pi плотность ппад однородна, и ее можно
вынести за знак интеграла, что дает
^расс (dQ) = /1„ад \ d>9w (dQ <- ф9).
Мы видим, что число актов рассеяния пропорционально лПад,
как и следовало ожидать, и, сравнивая это с классическим
результатом (3.11), приходим к следующей записи:
N^c(dQ)^nliaAo(dQ<-<i>)t
(3.13)

§ 4. Определение сечения
65
где
a (rfQ <- ф) = J </2рш (<*Q <- фр). (3.14)
Это выражение для o(d£l+-<j>) можно интерпретировать двумя
способами. Очевидно, мы ввели его как соответствующее
среднее по всем р значения вероятности ay(dQ<-<£p) того, что
падающий пакет фр будет рассеян в телесный угол rfQ. Иначе,
мы можем рассматривать его как поверхностный интеграл по
плоскости, перпендикулярной ро, в котором каждый элемент
площади d2p входит с весом w(dQ<^-<f>9). С этой точки зрения
становится ясно, что o(dS}+- ф) есть просто эффективная
площадь поперечного сечения, связанная с создаваемым мишенью
потенциалом, на котором рассеиваются волновые пакеты Фр
(со случайными р) в телесный угол dQ. В частности, в
классическом пределе оу(<2Й«~0р) принимает значения 0 или 1 и
интеграл включает только точно ту площадь, с которой
происходит рассеяние в телесный угол dQ.
Мы найдем, что если только волнозая функция имеет
достаточно большой пик вблизи среднего значения импульса р0, то
сечение a (dQ «—</>) не зависит от каких-либо особенностей
поведения <£(р), за исключением самого значения р0. Мы можем, еле*
довательно, написать в№&*-ф)= o(dQ+-p0) для функции
Ф{р)> имеющей достаточно большой пик вблизи ро. Этот
результат позволяет нам отбросить нереалистическое предположение
о том, что ускоритель всегда производит точно одинаковые
волновые пакеты ф{р) (не считая случайных поперечных
смещений). Если ускоритель производит волновые пакеты, различные
как по форме, так и по прицельному параметру, то мы должны
усреднять по обеим этим характеристикам. Если, однако, все
пакеты имеют вполне заметные максимумы вблизи одного и того
же импульса р0, то усреднение по прицельному параметру
приводит к результату, не зависящему от формы пакетов.
Дальнейшее усреднение по форме пакетов уже" ничего не меняет.
Стоит, наверное, еще раз заострить внимание на том, как
мы приходим к формуле (3.14) для сечения. Эксперимент
состоит из последовательности независимых столкновений между
одной частицей и одним фиксированным рассеивающим
центром, причем у падающих волновых пакетов случайные
прицельный параметр и форма. Как мы уже сказали, сечение
o(dQ«-£) — это просто подходящим образом усредненная по
прицельным параметрам и по форме пакетов вероятность
widQ-^r-ф). На практике это усреднение достигается двумя
путями: за счет использования пучка из большого числа
частиц и за счет наличия большого числа рассеивающих центров
3 Зак. 396

66 Гл. 3. Выражение сечений через S-матрицу
в одной сложной мишени. Если рассеивающие центры в
мишени либо частицы в пучке распределены равномерно, то
наше требование об однородном распределении прицельных
параметров выполнено. Впрочем, для выполнения всех условий
нашего идеализированного определения сечения необходимо,
чтобы каждая падающая частица рассеивалась отдельно и не
более чем на одном центре. Для этого пучок должен быть
достаточно слабым, чтобы падающие частицы не
взаимодействовали друг с другом; мишень должна быть настолько тонкой,
чтобы многократное рассеяние было пренебрежимо малым,
а распределение рассенвателей должно быть таким, чтобы не
было когерентного рассеяния на двух или более центрах.
Реализуются ли на самом деле эти условия применимости
формул (3.13) и (3.14) — это вопрос, который должен
исследоваться в каждом отдельном эксперименте. Как известно,
существует много экспериментов, в которых описанные условия
выполняются очень хорошо, и мы теперь сосредоточим
внимание на таких экспериментах1). Итак, мы приступаем к
вычислению сечения, определенного формулой (3.14).
§ 5. Вычисление квантовомеханического сечения
Наконец у нас имеются все результаты, чтобы выразить
наблюдаемое сечение
о (ДО <- ф) = J d2pw (dQ «- *р) (3.14)
через амплитуду рассеяния. Мы нашли, что вероятность
w(dQ^<f>9) в (3.14) равна
оо
w (dQ «- fp) = d& 5 P2dp | фаут (р) Р, (3.15)
о
где направление вектора р совпадает с направлением
наблюдения, а \|>аут (р) — волновая функция аут-состояния,
соответствующего ин-состоянию | г|)|ш^ = | </>р). Согласно (3.4),
Фаут(р)=5^У<р|8|р/>*ин(р')
или, если заменить матричный элемент (p|S|p')ero
разложением (3.9) через амплитуду,
Ф.ут (Р) - Фин (Р) + 2^Г J dY6 (Ер - Вр.) f (р +- р') +п (р'). (3.16)
*) Известным примером, в котором эти условия не выполняются, является
эксперимент Дэвиссона — Джермера. В нем размеры падающего волнового
пакета сравнимы с расстоянием между рассеивающими центрами 8 мишени,
и частицы рассеиваются когерентно на нескольких центрах.

§ 5, Вычисление сечения
67
Здесь первое слагаемое представляет прошедшую без
рассеяния, а второе — рассеянную волну. В нашем случае tj>HH(p) =
Теперь мы вводим существенное ограничение, состоящее
в том, что мы исключаем из наблюдения направление вперед,
т. е. мы требуем, чтобы направление наблюдений р не попадало
в область, близкую к р0, где функция ^(р) отлична от нуля. При
этом условии первое слагаемое в (3.16) равно нулю, и мы
можем написать
если только р не попадает в ту, близкую к р0, область, где
падающая волна не обращается в нуль.
Мы теперь готовы к решительному шагу и подставляем (3.17)
в (3.15), а результат в (ЗЛ4). Это дает
оо
О
X \ d?p'b (Ер - Е„) f (р <- р') е-**ф (р') X
X \ сРр»6 (Ер - Ер») f (р *- р'Т е*"*"ф (р"Г, (3.18)
где дополнительный интеграл по р" проистекает от записи
№аут(р)|2 в виде произведения функции фаут(р) на ее
комплексно сопряженную.
Полученное сложное выражение легко упрощается. Сначала
мы замечаем, что
\(Рре№-Р') = (2пур(р'±-р»)9 (3.19)
где, поскольку интеграл по р берется в плоскости, нормальной
к ро, в двумерной дельта-функции появляются проекции р' и р"
на эту плоскость. [Например, если вектор р0 направлен вдоль
оси z, то 62(р'± — рХ) равна просто Ь{р[ —р")Ъ{р'2 — /#).]
Затем мы переписываем вторую дельта-функцию из (3.18),
зависящую от энергии, в виде 1)
й {Ер* - ЕР") = 2/nfi (р'2 - р"2). (3-20)
*) Отметим, что мы воспользовались первой б-функцией б (£ — £') для
того, чтобы переписать 6(Е— £") в виде 6(£" — £"). Напомним также, что
б (ах) = lal"1^^). По поводу этого и других свойств дельта-функции см,
задачу 3.2.
3*

58
Гл. 3. Выражение сечений через S-матрицу
Дельта-функция (ЗЛ9) уже приводит к тому, что составляющие р'
II р", перпендикулярные р0, равны между собой. Мы можем,
следовательно, заменить аргумент в (3.20) на (p{j2 — Pif2), где
pj — это компонента вектора р' вдоль р0. Следовательно, действие
цельта-функции (3.20) приводит к соотношению р\ = ± р". Если
только волновые функции <j> в (3,18) отличны от нуля в
достаточно узкой области, то точки р{ = — р\[ не дают вклада в
интеграл и совместное действие дельта-функций (3.19) и (3.20)
приводит просто к соотношению
*(pi-Pl)*(*,-V)--£<W-p''>-
Используя эту дельта-функцию в (3.18), мы получаем
o(dQ4_^) = ^^2d/,^3p,J_6(£p_£p,)|f(p<_p0^(p0pi
О ll
(3.21)
а если использовать последнюю дельта-функцию для
интегрирования по р> то выражение (3.21) переходит в следующее:
v(dQ^f) = dQ\d*p'-t |f(p«-p')#(p')P, (3.22)
W |р1 = |рЧ
Мы подходим теперь к последнему и решающему шагу. Если
область, в которой ^>(р') заметно отлична от нуля, настолько
дала, что /(р«-р') изменяется в этой области незначительно, то
лы можем заменить /(р«-р') и (р'/р\\) их значениями при р' = ро.
Это дает
a(dQ^^) = dQ|/(p^p0)FjdVl^(p,)P
1ЛИ
= dQ|/(p*-Po)P, (3.23)
ютому что последний, оставшийся интеграл есть просто норми-
ювочный интеграл для волновой функции ф.
Как и ожидалось, этот результат явно не зависит от формы ф,
!сли ф(р) заметно отличается от нуля лишь в малой области
(близи ро, и мы, следовательно, обосновали запись о(й&+-ф)
\ виде o(dQ <- ро). Как и в классическом случае, мы определяем
Шфференциальное сечение выражением
a (da ^ р0) = — (р «- р0) dQ,
де 1р 1 = 1 Pol» а направление вектора р совпадает с направле-
[ием наблюдения, вблизи которого взят телесный угол dQ. При

§ 5. Вычисление сечения
69
таком определении наш результат принимает вид:
(3.24)
Ja(p-Po) = lf(P*-Po)l2.
da
Этот хорошо известный результат приводится во всех
элементарных учебниках; мы цитировали его в введении1).
Результат (3.24) выражает наблюдаемое дифференциальное
сечение через матричные элементы оператора S и представляет
собой центральный результат этой главы. Наша главная
оставшаяся задача для одночастичного рассеяния — создать способ
действительного подсчета S через V. Прежде чем мы возьмемся
за эту задачу в гл. 8, опишем в гл. 4—7, каким образом наш
формализм можно распространить на случай двухчастичного
рассеяния (включая рассеяние частиц со спином), и обсудим те
общие свойства S-оператора и амплитуды рассеяния, которые
следуют из различных возможных принципов инвариантности.
В оставшейся части настоящей главы мы сделаем несколько
замечаний относительно результата (3.24) и его вывода, а затем
используем этот результат для доказательства оптической
теоремы.
Во-первых, теперь мы можем точно выяснить, что
скрывается за утверждением: волновые пакеты Ф(р') должны иметь
«достаточно большой пик» в импульсном пространстве. Это
требование, в сущности, дает нам возможность вынести множитель
f (Р*~р') в (3.22) за знак интеграла и получить (3.23), т. е.
амплитуда /(р«— p') должна быть практически постоянной в той
области, где ф{р') заметно отлична от нуля. Из того, что функция
/(р*~р') непрерывна, в то время как ф(р') можно выбрать
отличной от нуля в произвольно узкой области, следует, что
в принципе указанное требование всегда выполнимо. Выполнено
ли оно на деле — это вопрос, который должен решаться в
каждом конкретном эксперименте. Возможно, что при некоторых
значениях энергии f(p<— р') может быстро меняться (явление,
которое обычно связывают с резонансами), в то время как
ширина падающего пакета может быть большой (за счет ширины,
присущей источнику, за счет уширения, вызываемого движением
как источника, так и мишени и т. д.). В этом случае наш ответ
(3.24) может оказаться вообще не относящимся к делу. С
другой стороны, при обычных условиях требования, при которых
') Как подчеркивалось ранее, мы еще не показали, что определенная в
(3.8) амплитуда f(p <-р0) фактически совпадает с амплитудой, используемой
в традиционном описании через стационарные состояния рассеяния. Результат
(3.24) можно рассматривать как подтверждение того факта, что эти
амплитуды совпадают с точностью до фазы. В гл. 10 мы покажем, что они
совпадают точно.

70
Гл. 3. Выражение сечений через S-матрицу
результат (3.24) обоснован, как правило, выполнены; этот
вопрос мы подробно обсудим в гл. 10. Здесь мы только отметим,
что амплитуда f(p^-p') тесно связана с преобразованием Фурье
потенциала V(x) (см. гл. 9). Таким образом, согласно
известному свойству преобразований Фурье, можно ожидать, что из
условия существования острого пика у волновой функции в
импульсном пространстве, в отличие от поведения /(p-<-p')i
вытекает требование, чтобы координатная волновая функция была
отлична от нуля в области, широкой по сравнению с областью
действия потенциала V(x). To есть размеры падающего
волнового пакета должны быть большими по сравнению с размерами
области действия потенциала мишени. Это условие, так же как
и другие условия, обсуждаемые в гл. 10, обычно выполняется.
Во-вторых, должно быть ясно, что в нашем расчете
существенно использовано то обстоятельство, что в определяемое
телесным углом dQ направление наблюдения не включается
направление вперед (т.е. р=^ро). Это было необходимо для того,
чтобы исключить вклад первого слагаемого в (3.16)—
нерассеянной волны. Легко видеть, что если бы направление р0 входило
в область определения dQ и, следовательно, в (3.16)
присутствовала бы иерассеянная волна, то интеграл по р в (3.18)
расходился. Мы приходим к выводу, что точно так же, как в
классическом случае, дифференциальное сечение в направлении вперед
не имеет смысла непосредственно наблюдаемой величины1).
В-третьих, ввиду соотношения do/dQ = |f\2 ясно, что
прямо измерить можно, вообще говоря, только модуль
амплитуды /. Позже мы увидим, что существуют различные методы
измерения самой амплитуды /, но они предполагают хотя бы
частичное знание лежащих в основе процесса взаимодействий.
В заключение прокомментируем альтернативные выводы
результата (3.24). Наше отношение к любым методам, в которых
используются плоские волны, по-видимому, уже ясно. Такие
методы никогда нельзя рассматривать как удовлетворительные
с точки зрения физики, однако в качестве первоначального пути
к правильному ответу они, очевидно, играют важную роль.
В другом возможном подходе используют те же самые
начальные волновые пакеты, что и наши, но конечное состояние
анализируют, исходя из его координатной волновой функции.
Читатель заметит, что мы определили сечение через вероятность
того, что конечный импульс находится в конусе, определяемом
телесным углом dQ в импульсном пространстве. Но ведь для
1) Это не значит, что ему нельзя придать математический смысл — такое
возможно. В большинстве случаев амплитуда оказывается непрерывной вблизи
направления вперед. Амплитуда рассеяния вперед является, следовательно,
величиной вполне определенной, причем сечение рассеяния вперед можно Н3т
мерять путем экстраполяции..

§ 6. Оптическая теорема
71
многих экспериментов (например, для тех, в которых
используются счетчики частиц) естественнее было бы такое
определение, в котором используется вероятность частице находиться при
t —> оо где-то внутри конуса, определяемого телесным углом dQ
в координатном пространстве. Хотя эти две точки зрения
фактически эквивалентны, вывод, основанный на втором подходе (т. е.
использующий координатные волновые функции), имел бы,
очевидно, некоторые преимущества. Мы опишем в общих чертах
такой вывод в гл. 10. Стоит, впрочем, отметить, что рассмотрение
в импульсном пространстве, проведенное в этой главе,
немедленно обобщается на релятивистские задачи рассеяния, что
не имеет места для любых других методов, основанных на
координатных волновых функциях (роль которых в релятивистской
квантовой механике вообще не вполне ясна).
§ 6. Оптическая теорема
Установив выражение (3.24) для сечения, мы можем
доказать теперь так называемую оптическую теорему.
Соответствующая формула прямо следует из унитарности оператора S и есть
не что иное, как диагональный матричный элемент уравнения
S+S=l. Поэтому, если подставить S = 1 -f R в уравнение S+S = I,
то мы найдем, что R + R* = — R*R. Если теперь перейти к
матричным элементам и ввести полную систему состояний |р")
в правой части, то получится
<р'1 Я 1р> + <р IД1 р7=- J rfV(P"l R\ р7<р"1 Л1 р>. (3.25)
Далее, согласно (3.6) и (3.8),
\p'\R\p\ = -2nib(EP>-Ep)t(p'+-p) = 1L-6(Ep>~Ep)f(p'<-p).
Подставляя это выражение в (3.25), мы можем сократить общую
дельта-функцию и получить
/(p'«-p)-f(p^pT =
= lkSdV'6(£P-V)f(р"«-р'П(р"<-р). (3-26)
где, конечно, ЕР' = ЕР. В заключение мы можем, если захотим,
положить р' = р и использовать дельта-функцию в правой
части для выполнения интегрирования по радиальной
переменной р" (см. задачу 3.2). Результат имеет вид
Im/(p^p) = £$rfQF4f(p"«-p)P (3.27)

72
Гл. 3. Выражение сечений через $-матрицу
или
(3.28)
Im/(p^p) = ^-a(p),
4л
где через <т(р) обозначено полное сечение рассеяния частицы
с начальным импульсом р:
a(p)=$d£V-g-(p'<-p).
Оптическая теорема утверждает, что мнимая часть
амплитуды рассеяния вперед /(р«-р) пропорциональна полному
сечению а(р).
Оптическая теорема приводит к большому числу полезных
следствий. Во-первых, она ясно показывает, что в общем
случае амплитуда не может быть чисто вещественной и что
вблизи направления вперед в амплитуде имеется положительная
мнимая часть —два удивительно полезных сведения.
Во-вторых, мы уже отмечали, что измерение do/dQ определяет,
вообще говоря, только |/|, однако, используя оптическую теорему,
удается измерить отдельно Im/ и, следовательно, Re/ в
направлении вперед 1).
Третье и важное применение теорема находит при
использовании дисперсионных соотношений. Как покажет обсуждение
в гл. 15, дисперсионные соотношения выражают вещественную
часть амплитуды в виде интеграла от ее мнимой части. Если мы
воспользуемся оптической теоремой, то сможем выразить
амплитуду рассеяния вперед в виде интеграла от полного сечения и
получить соотношение, которое можно прямо проверить в
эксперименте. Важность соотношений такого рода состоит в том, что
оно выполняется независимо от конкретных деталей
взаимодействий (которые часто неизвестны) и связывает величины,
которые могут быть непосредственно измерены.
Наконец, как мы увидим в гл. 17, оптическая теорема
обобщается на многоканальные задачи. Фактически выполняется
именно соотношение (3.28), если амплитуда в левой части
берется как амплитуда упругого рассеяния вперед, а сечение в
правой части является полным сечением упругого и неупругого
рассеяния. Есть все основания считать, что такое же соотношение
выполняется в случае релятивистского рассеяния, поскольку оно
связано только с унитарностью S. Далее, существует
экспериментальный факт, что полное сечение рассеяния элементарных
частиц, по-видимому, становится постоянным при очень высоких
1) Измерение a (р) определяет Im/(p«-p). Измерение dofdQ{p<^p)
(путем экстраполяции к направлению вперед) определяет | f (р <- р) |. Отсюда
можно рассчитать Re/(p<-p) с точностью до знакт.

Задачи
73
энергиях, а также, что при упругом рассеянии появляется острый
пик вблизи направления вперед. Из оптической теоремы следует,
что Imf(p<— р) должна расти как р при р —► оо и,
следовательно, что упругий пик вперед в дифференциальном сечении
da/dQ должен возрастать по меньшей мере как р2, —
предсказание, которое хорошо подтверждается экспериментом 1).
Задачи
3.1. Мы видели, что S коммутирует с #°, и утверждали, что отсюда
следует сохранение энергии, поскольку
<ФИ11|"0КИн> = (Фаут1Я°|Фаут>. 0-29)
если |фаут) =S |\|)ип). Для понимания высказанного результата нужно
проверить, что эти два математических ожидания в самом деле являются
правильными выражениями для энергии в ий- и аут-состояниях. С данной целью
предположите, что потенциал V зависит от времени и, следовательно» что
энергия не сохраняется. Убедитесь, что если только V имеет достаточно хорошее
поведение, то все еще справедливо доказательство из гл. 2, § 3 того, что
U (t) | ф)->-ио (t)\ ФН1!/ауТ) при t~+ + 00. Затем покажите, что для любой орбиты
рассеяния истинная энергия (т. с. математическое ожидание оператора И)
стремится к (фип|//0|фин) или к (t|)ayT|tf°|i])ayT) при t -> Too. Это означает,
что независимо от того, сохраняется энергия или пет, данные два
математических ожидания действительно являются энергиями ин- и аут-состояний и что
(3.29) выражает сохранение энергии при столкновениях. [В действительности
строгое получение этого результата требует гораздо больших хлопот, чем он,
по-видимому, того заслуживает; главное — понять смысл соотношения (3.29).]
3.2. Чтобы освежить в памяти сведения о дельта-функциях, покажите,
делая подходящие замены переменных, что
а) Ь(ах)=*\аГ1 6{х),
оо
б) J dpg(p)6(Ep-Ep,) = y.g(p').
о
[Первое равенство было использовано в (3.20); второе — для выполнения
интегрирования в (3.26) при доказательстве оптической теоремы.]
*) Физик, работающий в области высоких энергий, возможно, предпочел
бы видеть этот результат в форме утверждения для da/dt, где t — квадрат
передаваемого импульса: t — —(р'— р)2. Поскольку do/dt ~ p-2da{dQt
максимум в do/dt стремится к фиксированной высоте при £-»-оо.

ГЛАВА 4
РАССЕЯНИЕ ДВУХ БЕССПИНОВЫХ ЧАСТИЦ
В гл. 2 и 3 мы довольно полно описали рассеяние одной
бесспиновой частицы с использованием оператора рассеяния S и
амплитуды /. Теперь мы пойдем дальше и покажем, что
развитый формализм уже достаточен, если сделать некоторые простые
обобщения, для описания ряда более общих и более интересных
процессов: упругого рассеяния двух бесспиновых частиц,
рассматриваемого в этой главе, и упругого рассеяния двух частиц
со спином, рассматриваемого в гл. 5. В данный момент мы
рассматриваем только рассеяние двух различных частиц; особые
проблемы, связанные с тождественными частицами, мы
откладываем до гл. 22 (к которой читатель при желании может перейти
сразу после гл. 5).
Основная цель настоящей главы состоит в установлении
известного результата, что упругое рассеяние двух частиц,
наблюдаемое в системе их центра масс, есть «то же», что и рассеяние
одной частицы на фиксированном потенциале. В качестве
необходимого введения мы сначала опишем математическую связь
гильбертова пространства двухчастичных состояний с двумя
пространствами одночастичных систем.
§ 1. Двухчастичные волновые функции
Состояния системы из двух различных бесспиновых частиц
представляются волновыми функциями *ф (хь х2), зависящими
от положений х{ и х2 этих двух частиц. В частном случае
такие функции имеют вид произведения ty(xh х2) = j> (x}) %(х2У,
соответствующий такой функции вектор состояния мы будем
обозначать через \\р) =|^) ®|х)- Здесь, конечно, |ф) — это вектор
в двухчастичном гильбертовом пространстве <3#, тогда как |^>)
находится в одночастичном пространстве Эё\ первой частицы,
а [х) — в соответствующем пространстве Ж2 второй частицы.
Это произведение векторов представляет двухчастичное
состояние, в котором первая частица находится в состоянии |^), а
вторая— в состоянии |х). Два важных свойства произведения
векторов (их оба легко проверить, используя соответствующие
волновые функции) состоят в следующем. Во-первых, если

§ 7. Волновые функции
75
{\n)i} и {|m)2} —ортонормированные базисы в одночастичных
пространствах Ж\ и Ж2% то произведения
1">1®|ап>2 [п, т=1, 2, 3, ...]
образуют ортонормированный базис в двухчастичном
пространстве Ж. Во-вторых, скалярные произведения удовлетворяют
соотношению
«*' I ® <х'1) (1^> ® I х»=(Г\ Ф)(%'\ %)■
В том случае, когда пространство Ж можно построить таким
способом из произведений векторов, находящихся в двух
меньших пространствах Ж\ и <9#2, мы говорим, что Ж представляет
собой тензорное произведение Ж\ и Ж2, и пишемх) Ж =
= Ж\ ® Ж2- Важно помнить, что это уравнение не означает, что
каждый вектор из Ж представляется в виде произведения; оно
означает только, что пространство Ж натянуто на произведения
векторов, т. е. что каждый вектор можно выразить в виде суммы
произведений векторов. (Это становится совершенно ясно при
рассмотрении волновых функций. Очевидно, не каждая функция
г|)(х{, х2) есть произведение одночастичных функций.)
Тензорное произведение возникает тогда, когда система
имеет две или больше независимых степеней свободы. Еще один
пример — это гильбертово пространство одной частицы со
спином s, для которого
Ж = 5^Простр ® Жспнн,
где Жфостр есть просто i?2(R3), пространство обычных волновых
функций, тогда как ЖСтт есть (2s + 1)-мерное спиновое
пространство. Это означает, что векторы в Ж задаются функциями
фт(х), зависящими от координаты х и от индекса т (как,
например, от собственного значения оператора 53), которым
отмечается некоторый базис в пространстве Жстт- В этом случае
обычно сгруппировывают такие функции, образуя (2s +
^-компонентные спинорные волновые функции.
Мы можем рассматривать Ж\ ® Ж* как представление Ж
в виде произведения. Важен следующий факт: данное
пространство можно представить в виде произведения многими
различными способами. Например, каждую волновую функцию i|>(Xj, x2)
можно переписать в виде функции от широко используемых
координат центра масс (ц. м.) и относительных координат; мы их
') Мы не приводим формального определения тензорного произведения,
которое имеет довольно сложный и не очень наглядный вид. Для наших целей
всегда будет достаточно рассматривать дв\ ® 2&2 как пространство,
определяемое волновыми функциями, которые можно построить из произведении
волновых функций: одной из &х и другой из 362.

76
Гл. 4. Две бесспиновые частицы
обозначим соответственно
-^ тх\{ +т2х2
nil + т2
И
Х= Xj — Х2.
Очевидно, пространство функций ^(х, х) можно натянуть на
функции, имеющие вид произведений </>(х)х(х). Поэтому его
можно записать как
36 = 36 \ ® ^2 ==: <5^ц. м ® ЗёОГЦу
где 5^ц. м и 5^отн— пространства волновых функций, зависящих
соответственно от координат центра масс х и от относительных
координат х. Мы увидим, что для многих целей это второе
представление 36 в виде произведения удобнее, чем первое.
Точно так же, как некоторые векторы из 36 = 36\ ® 362
являются произведениями векторов, так и некоторые операторы
являются произведениями операторов. Фактически, если А и
В — любые операторы, действующие соответственно в
пространствах 36\ и Жъ то мы можем определить оператор (Л ® В),
действующий в пространстве 36, соотношением
(А®В)(\ф)®\х)) = А\ф)®В\х). (4.1)
В частности, все основные динамические переменные
двухчастичной системы суть операторы вида Л®1 или I ®В. Например,
оператор импульса первой частицы на двухчастичном
пространстве 36 определяется через соответствующий оператор на 36\\
Р,(на Ж)=Р{ (на 5»,)® 1 (на 362)у
т.е., действуя на двухчастичный вектор |£) ®|х)» он заменяет
\ф) на Pi|£), а |х) оставляет неизменным. [По отношению
к координатной волновой функции ф(хьх2) в этом
определении просто подразумевается, что вместо Pi берется хорошо
известный оператор —(Vi.J Аналогично оператор импульса второй
частицы имеет вид
Р2(на <9#)=1(на ^)®Р2(на 502).
Как и следовало ожидать (поскольку они относятся к различным
степеням свободы), любые два оператора Л®1 и 1 ®В
коммутируют, что можно прямо проверить, используя (4.1).
(Характерным и хорошо известным примером служат операторы
импульса —/Vj и — *V2-)
На практике обычно нет необходимости отличать Л®1 от А,
и мы будем писать просто А. Точно так же 1®В будет
сокращенно записываться как В, и, следовательно, произведение Л® 5,
которые есть не что иное, как (Л®1)(1®£), будет сокращенно

§ /, Волновые функции 77
записываться в виде АВ. Однако, когда мы захотим подчеркнуть
то обстоятельство, что оператор имеет вид произведения, мы
будем возвращаться к записи в виде тензорного произведения.
В свете этих представлений можно теперь рассмотреть двух-
частичный гамильтониан и соответствующий оператор эволюции.
Гамильтониан имеет вид
где (ввиду того, что мы будем предполагать взаимодействие
локальным и трансляционно инвариантным) потенциал V является
функцией только относительной координаты Xj — х2 = х» Как
известно, удобно переписать Н через операторы полного и
относительного импульсов:
Р = Р, + Р2
и
р_ т2Рг — ffliPg
»?i + т7 '
которые, конечно, представляют собой импульсы, сопряженные
операторам положения центра масс и относительного
положения
/И] + т7
И
X = Х| — Xg.
Из этих четырех операторов Р и X действуют только в
пространстве <ЖЦ. м, тогда как Р и X действуют только в
пространстве Жни- Используя эти операторы '), получаем
Н = Ш + [ш + V (х)] ^ я*« + Н™> <4-3>
где М-~ полная, а т — приведенная массы:
1 ■ ■* mi-\- mi
При записи в форме (4.3) гамильтониан И оказывается,
очевидно, суммой двух слагаемых, одно из которых действует
только в пространстве <Э#Ц М1 а другое в 3#0тн- Эти два слагаемых
коммутируют (ведь они действуют в разных пространствах), и
1) На самом доле мы должны были бы записывать оператор V в виде
функции V(\) оператора X. Однако он определяется как оператор, который
умножает координатную волновую функцию на (числовую) функцию
V(x), а поскольку обычно именно так его себе и представляют, то мы избегаем
педантической записи V(X), предпочитая выглядящую более естественно
запись V(x).

78
Гл. 4. Две бесспиновые частицы
потому оператор эволюции можно представить в виде
произведения следующим образом х)\
U (t) = e~im = е~'(я«- м+яотН) * =
_ е~ш*. и*е-шотн* = е"ш^ «' ® е~ш°™*. (4.4)
Последнее выражение приведено здесь для того, чтобы
подчеркнуть, что U (0 имеет вид произведения двух операторов
эволюции, один из которых действует в пространстве 3@ц. м, а другой
в <5#оти- Этот результат означает, что понятия координаты центра
масс и относительной координаты независимы. В частности,
поскольку слагаемое //ц.м равно как раз Р2/2Л1, центр масс
движется как свободная частица с массой М, Поскольку Яотн имеет
такой же вид, как гамильтониан одной частицы с приведенной
массой m в поле фиксированного потенциала V, то эволюция
в пространстве 3@0тп будет близко походить на эволюцию,
обсуждавшуюся в гл. 2 и 3. Этот вывод имеет решающее значение для
упрощения задачи двухчастичного рассеяния, и из него вытекает
знаменитая связь между этой задачей и рассеянием одной
частицы на фиксированном потенциале2).
В заключение отметим, что точно так же можно факторизо-
вать и свободный оператор эволюции:
и°(<)аГш = Г№^вв",я^. (4.6)
Конечно, U0 (0 можно представить также в виде
и»(0-ехр(-/^-*)вехр(-«-А/)
в соответствии с представлением Яв в виде произведения
<?#i®<?#2' Этот второй результат выражает тот очевидный факт,
что две невзаимодействующие частицы движутся независимо.
Подобный результат, очевидно, не имеет места для полного
оператора эволюции U (/).
1) Напоминаем, что операторная экспонента ехр (А + В) не равна
произведению ехр {А) ехр (В), если Л и В не коммутируют.
а) Просто предположив, что И имеет вид (4.2), мы затушевали тот факт,
что этот изящный результат обусловлен только галилеевой инвариантностью.
Аргументация здесь такова: очевидно, любой гамильтониан И можно
записать в форме (4.3), если допустить, что V — произвольный оператор.
Трансляционная инвариантность требует, чтобы V коммутировал с Р, в то время как
инвариантность относительно галилеева преобразования скорости требует,
чтобы V коммутировал с X (см. [6], стр. 124). Это означает, что V действует
только, в пространстве Эвот, а отсюда следует факторизация (4.4). Связь
(4.4) с галилеевой инвариантностью в особенности заслуживает внимания,
потому что в релятивистской квантовой механике не существует представления
в виде произведения, аналогичного (4.4).

$ 2. S-оператор
79
§ 2. Двухчастичный S-оператор
На первый взгляд двухчастичная задача рассеяния кажется
сильно отличающейся от задачи рассеяния одной частицы на
фиксированном потенциале. [Например, эти две задачи
формулируются в совершенно различных гильбертовых пространствах:
i?2(R6) и i?2(R3) соответственно.] Однако с помощью
установленных выше результатов мы можем теперь
продемонстрировать, что в определенном смысле эти две задачи эквивалентны.
Орбита нашей двухчастичной системы имеет общий вид
U(0|^)» гДе |ф)—любой вектор в двухчастичном
пространстве <3#. В точности, как в одночастичном случае, мы ожидаем,
что будут существовать некоторые орбиты рассеяния,
описывающие движение двух частиц далеко друг от друга при f-*=Foo,
и что орбита U (0 № ведет себя подобно некоторой свободно
эволюционирующей орбите
Как и в одночастичном случае, это ожидание оправдывается, и
его можно точно сформулировать в форме двух результатов:
асимптотического условия и асимптотической полноты.
Асимптотическое условие утверждает, что каждый вектор
|фин) из Зё представляет собой ин-асимптоту некоторой истинной
орбиты U(0 |ф):
и(01*>-гг^и°(/)1Ы
(аналогично для аут-асимптот). Для доказательства этого
утверждения мы должны, как и прежде, доказать, что для каждого
вектора | фии) вектор U (/)f U° (t)| фин) имеет предел, или
эквивалентно, что оператор U(0+U°(0 сходится. С этой целью мы
подставляем выражения (4.4) для U и (4.5) для U0 в
произведение UfU°. Мы замечаем, что как в U, так и в U0 первым стоит
один и тот же множитель ехр(—/Яц. м0- В произведении UfUQ
эти два множителя сокращаются, и мы приходим к простому
результату:
U (if U° (/) = 1ц. м ® (еш°™*е-1Н™*\
где через 1Ц. м обозначен единичный оператор в пространстве 5#ц.и.
Этот оператор имеет предел тогда и только тогда, когда он
есть у второго сомножителя. Более того, математическая
структура этого второго сомножителя в точности такая же, как у
соответствующего оператора для одночастичной системы с
гамильтонианом
#ог„ =-£ + V (X) ^ Я°0тн + ^Х).

80
Гл. 4. Две бесспиновые частицы
Поэтому, если мы сделаем те же предположения относительно
1/(х), что и в гл. 2, то второй сомножитель будет иметь предел,
который мы обозначим символом Q+, и желаемый результат
будет установлен. Истинная орбита, для которой ин-асимптотой
был вектор |\рИн)> определяется соотношением
|ф)= lim U(0fU°WI*-H> =
= (1ц.м®^ + )1^н) = Й+!Фин). (4.6)
Соответствующий результат, очевидно, выполняется для любого
|фаут)» и наше доказательство асимптотического условия
завершено.
Мы ввели символы fi± для двухчастичных меллеровских
операторов, действующих в двухчастичном пространстве Ж =
«= i?2(R6). Они имеют простую форму
где
Q = lim е1Иот»'е-ш<)°™'.
Операторы Q± действуют в пространстве <9&0т.» = <2>2(К3), и
структура их в точности совпадает со структурой меллеровских
операторов для рассеяния одной частицы па фиксированном
потенциале. Простая форма операторов Й± есть, конечно, прямое
следствие представления (4.4) оператора эволюции в виде
произведения. В частности, множитель 1Ц. м в ii± отражает тот факт,
что центр масс движется как свободная частица и не
рассеивается.
Для доказательства асимптотической полноты мы перенесем
сюда прямо соответствующие одночастичные результаты. При
условиях на потенциал V, указанных в гл. 2, мы приходим к
следующим выводам: во-первых, орбиты, имеющие ин-асимптоты,
в точности те же, что и орбиты с аут-асимптотами (т. е. JJ+ и Я-
отображают Ж на одну и ту же область значений 52), и,
во-вторых, прямая сумма пространства состояний рассеяния 31 и
пространства связанных состояний 38 представляет собой все
пространство Ж.
Отсюда сразу следует, что
— унитарный оператор, отображающий любой вектор | фин) из Ж
на соответствующий вектор 1фаут) = ®| Фин)- Согласно (4.7), он
имеет простую структуру:

§ 3. Сохранение энергии-импульса и Т-матрица
81
где оператор S = QlQ+ действует в пространстве З^отн и
является в точности одночастичным S-оператором, вычисленным по
гамильтониану Я0Ты-
§ 3. Сохранение энергии-импульса и Г-матрица
Из выражения ®=1Ц> м <8> S сразу видно, что ®
коммутирует с оператором Р (который действует только в пространстве
Эбц. м) и, следовательно, полный импульс сохраняется1). Точно
как в одночастичном случае, ® коммутирует с Я0 и энергия
сохраняется. Из факта сохранения энергии и импульса следует, что
матричные элементы
<Pl> P2|<2|Plj P2>
содержат множители
где £,1 = p^/2mI и т. д.
Как и прежде, удобно выразить этот матричный элемент
через Г-матрицу на энергетической поверхности. В связи с этим
мы сначала заметим, что собственный вектор | р,, р2) импульсов
Pt и Р2 является также собственным вектором полюго и
относительного импульсов Р и Р. Мы можем, не опасаясь путаницы,
записать его в виде
I Pi. рг)=1Р> р) = 1р>®1рХ
где, само собой, р = р, + р2 и P^(^2pi — т^Цщ + т2)- [Это
соответствует тождествам
gl <Pi-x,+Pi»Xi) = ^М<р*х + р>х) ^ gfjT'JTgfpx
для волчовых функций.] Если затем записать G5 в виде 1Ц>М ® S,
то сразу станет ясно, что
<Pi,p;i®IPi. P2> = (P/, p'l (lu.M®S)|p, р> = б3(р' —p)<pMS|p>.
Ввиду того что структура оператора S точно совпадает со
структурой одночастичного 5-оператора, для его матричных элементов
осуществляется знакомое разложение
<р'| S |р> = б3 (р' - р) - 2»в (Ер< - Ер) t (р' *- р). (4.8)
1) Этот результат, как нетрудно проследить, восходит к условию
трансляционной инвариантности системы, что мы обсудим в гл. 6.

82
Гл. 4. Две бесспиновые частицы
Объединяя два последних равенства, мы получаем желаемый
результат:
| <р;. P2i«ip,. p2>=*8(p;-p,)«s(Pi-p2)- i
-2«6(е^-е^)хйз(^р;-2р()^р'^р)- (4,9)
Здесь первое из двух слагаемых — амплитуда вероятности того,
что каждая частица пролетит не рассеиваясь; второе —
амплитуда вероятности того, что обе частицы действительно рассеются.
Во втором слагаемом отражено сохранение полной энергии и
полного импульса; отдельные же компоненты относительного
импульса, конечно, не сохраняются.
Как и в случае одночастичного рассеяния, удобно определить
амплитуду рассеяния
/(р'«-р) = -(2я)2т/(р'«-р),
где на этот раз m обозначает приведенную массу двух частиц.
Здесь уместно пояснить наши обозначения. Читатель,
вероятно, заметил, что мы использовали полужирный шрифт для
операторов Q± и @, огносящихся к трансляционно-ипвариантной
двухчастичной задаче, обычный, светлый шрифт — для
соответствующих операторов Q± и S, описывающих относительное
движение. Операторы Q± и ® действуют в полном пространстве
ggж З?2 (R6), и их матричные элементы содержат функцию
63(р'— j^? описывающую сохранение импульса. Операторы Q±
и S действуют в пространстве <Ж0Тн = i?2(R3) и имеют в
точности структуру соответствующих одночастичных
операторов.
Во всей книге мы будем использовать полужирный шрифт
для операторов столкновений Q± и ® трансляционно-инва-
риантных систем. Эти операторы сохраняют полный импульс, и
их матричные элементы содержат множитель б3 (р' — р).
Набранные обычным, светлым шрифтом операторы Q± и S будут
относиться либо к относительному движению
трансляционно-ипвариантной системы (®= 1ц. M®S и т.д.), либо к движению
системы в поле фиксированных потенциалов. Поступая так, мы
гарантируем, что структура операторов Q± и S будет всегда
одна и та же; в частности, их матричные элементы не будут
содержать дельта-функции, отвечающей сохранению общего
импульса. В любом случае Г-матрица на энергетической
поверхности *(р'-«-р) определяется выражением (4.8) (или его
многоканальным аналогом) и не содержит каких-либо дельта-
функций.

§ 4. Сечения в различных системах 83
§ 4. Сечения в различных системах отсчета
Сечение двухчастичного столкновения можно определить
в различных системах отсчета. В большинстве экспериментов
частица-мишень вначале покоится, и определяемая этим условием
система называется лабораторной системой отсчета (л-система).
Для теоретических целей наиболее удобна система, в которой
покоится центр масс (точнее, равно нулю математическое
ожидание полного импульса); эта система называется системой
центра масс (^-система). В некоторых ситуациях (например, при
рассмотрении молекулярных столкновений в газе) подчас
выбирают систему отсчета, в которой обе частицы движутся с
произвольными импульсами.
Сечение можно определить так, что число частиц, рассеянных
в любой элемент ДЙ телесного угла, определится знакомой нам
формулой (3.11) во всех системах отсчета, т. е.
JVpicc(AQ«-pi, p2) = /W(Pi, РаМДО«-Ри Рг)> (4.10)
где начальные импульсы pi и р2 двух частиц выписаны для того,
чтобы указать явно систему, в которой измеряются все
величины.
Сначала мы рассмотрим данное столкновение в одной
определенной системе, например в ^-системе. Если мы повторим
столкновение много раз при одних и тех же условиях, как
обсуждалось в гл. 3, то число рассеянных в любой телесный угол
ДЙ частиц будет пропорционально плотности падающих частиц
ппад. (В классическом случае это очевидно, для квантового
случая мы это докажем в гл. 4, § 5.) Таким образом, в этой системе
мы можем использовать (4.10) для определения сечения а(ДО«-
*-р|7 р2)-
Определив сечение в ^-системе условием, что в ^-системе
выполняется соотношение jVpacc = Япад<7, рассмотрим ту же самую
последовательность столкновений с точки зрения наблюдателя,
находящегося в некоторой другой системе отсчета. Для
определения того, что же видит этот новый наблюдатель, мы должны
рассмотреть, каким образом входящие в (4.10) величины
преобразуются при переходе от одной системы к другой. Импульсы,
которые наблюдатель О в ^-системе называет р{ и р2 (при этом,
конечно, р2 = —р^, будут вторым наблюдателем С названы
р[ и р'г Аналогично элемент телесного угла, называемый ДЙ
наблюдателем О, называется ДЙ' наблюдателем 0'л
(Символом ДЙ мы указываем как величину телесного угла, так и
направление, около которого он определен. Вообще говоря, эти
два наблюдателя, выполняя измерения, найдут различными
величину и направление.) Однако действительное число отсче-

84
Га. 4. Две бесспиновые частицы
тову регистрируемых в любом реальном телесном угле, должно,
конечно, получиться одним и тем же у любого из
наблюдателей. Это означает, что
"pacc^'^-P;. tf) =tfp.ee (*>*" Р.- Р->)
для любых двух наблюдателей О и 0\ т. е. величина Мрасс
инвариантна.
Преобразование плотности падающих частиц мпад
выполняется несколько более хитроумно. Мы предположим сначала,
что как в первой, так и во второй системе импульсы частиц до
столкновения р' и р^ коллинеарны (как это имеет место, в
частности, в л-системе). Тогда, как легко видеть, полное число
падающих частиц, пересекающих единичную перпендикулярную
начальному импульсу площадку, будет одним и тем же при
подсчете в каждой системе. То есть плотности падающих частиц,
с точки зрения наблюдателей О и О', одинаковы:
«„ж. р;)вли.д(р,. р2)- (4.1D
Если мы рассматриваем систему отсчета, в которой две частицы
сближаются под углом друг к другу, то не сразу ясно, что еле*
дует понимать под плотностью падающих частиц яП;1Д в этой но-
вой системе. Однако отражение импульса показывает, что
естественно определить /2ПлД как плотность частиц, падающих па
площадку, перпендикулярную относительному движению снаряда и
мишени. При таком определении величина гспад(р', р^) точно
совпадает с исходной п„ад(рь Рг)- То есть при подходящих
определениях равенство (4.11) выполняется для любых
наблюдателей О и 0\
Ситуация теперь следующая: в ^-системе мы так определили
сечение, что число рассеянных частиц дается соотношением
Npacc = ппада, а величины /Vpacc и лпад инвариантны при
измерениях во всех системах отсчета. Отсюда немедленно следует, чго
мы можем определить сечение в любой системе так, чтобы
jVpacc = ппаяс и чтобы при этом способе определения сечение
принимало одно и то же значение во всех системах:
а(Дй'+-р;, р;)«а(ДО«-рь р2),
т. е. чтобы сечение a(AQ-<-pj, р2) было инвариантом.
Дифференциальное сечение определяют, рассматривая малый
телесный угол dQ и полагая

§ 5. Сечение в ц-системе
85
Дифференциальное сечение, следовательно, неинвариантно,
потому что неинвариантен телесный угол dQ. Очевидно, что
(do\'/Ja\
\ <Ш ) UQ )
(4.12)
Задача расчета дифференциального сечения в одной системе по
заданному его значению в другой является, следовательно, чисто
кинематической задачей расчета dQ/dQ''. Например, в
эксперименте интересуются обычно сечением в л-системе, тогда как
рассчитывать сечение удобнее всего, как мы увидим, в ц-системе.
Простым упражнением является проверка того, что эти сечения
связаны соотношением
( da\ =Л*2Л (1+2Лсо5ец.м + Л»)а/' и ]Ъ
\dQjMa \dUJa.u ПН-^соБвц. м| ' ^'10'
где X = m\/m2 — отношение масс снаряда и мишени, а Эц. м—
угол рассеяния в ц-системе.
В заключение отметим, что все сказанное остается в силе,
если рассматривать наблюдателей, связанных преобразованием
Лоренца. Поэтому наши выводы о том, что при подходящих
определениях сечение a(AQ-<-pi, рг) инвариантно, в то время
как do/dQ преобразуется по формуле (4.12), справедливы и
при релятивистском рассеянии.
§ 5. Сечение в системе центра масс
Расчет сечения через Г-матрицу на энергетической
поверхности или через амплитуду аналогичен соответствующему од-
ночастичному расчету, проведенному в гл. 3, и нет
необходимости проводить его во всех деталях. Легче всего выполнить
его в ц-системе и по следующей простой причине: в ц-системе
распределение полного импульса имеет резкий пик вблизи
нуля, так что измерять pi — это все равно, что измерять
относительный импульс р. (Еслир = 0, то р! = — Р2 —р) Далее,
сечение связано с вероятностью того, что после столкновения
pi будет находиться внутри некоторого dQ\ поскольку же <35
имеет вид 1ц. M®S, это есть вероятность того, что р будет
находиться внутри некоторого dQ, а эту последнюю легко
подсчитать. В ц-системе эти две величины одинаковы.
Вероятность того, что через большой промежуток времени
после столкновения относительный импульс р будет находиться
внутри некоторого dQ, равна
оо
w (dQ «-1«») = dQ $ d3p \p2dp\ фаут (P, P) P. (4.14)

86
Г л 4. Две бесспиновые частицы
(Заметим, что мы интегрируем по всем р, потому что для нас
не интересно мерить полный импульс в конечном состоянии.)
Используя разложение (4.9) S-матрицы, мы можем записать
функцию граут через грин в виде
Фаут (Р, Р) = Фнн (Р, Р) + "з^Г J d2P'6 (ЕР - Е^ f <Р ^ Р'> +ии (Р, р')-
(4.15)
(Отметим тривиальную зависимость от полного импульса р,
вытекающую из факта сохранения импульса.)
Волновая функция ин-состояния в типичном процессе
столкновения, наблюдаемом в ^-системе, имеет вид ^i(Pi)^*2(P2)-
Здесь ф[ (pi) — волновая функция налетающей частицы в момент
ее появления из ускорителя или коллиматоров; ^(Рг) — такая
же функция мишени. Обе имеют отчетливые максимумы в
импульсном пространстве: ф\ вблизи некоторого р0, а ф2
вблизи —р0.
Чтобы определить сечение, мы повторяем эксперимент
много раз со случайным распределением падающих частиц
в плоскости, перпендикулярной р0. То есть мы берем
<ЫР. Р) = #Р(Р, Р)-«-'р'р1Л(Р|)&(Р2), (4Л6)
где р принимает случайные значения pi (i= 1, 2, ) в
плоскости, перпендикулярной р0. После многих таких
экспериментов число частиц, рассеянных в телесный угол dQ, будет, как
и прежде, равно
* расе {dQ *-*)=£» (rfQ <- *Р|) = я.1« 5 <*>pw (dQ +- фр).
i
Как и ожидалогь, эта величина пропорциональна лиад, и ее
можно записать в виде
JVpacc {dQ <-ф) = niia,o [dQ <- ф),
где
a(dQ<-^)= J d-gw [dQ ч- ф9).
Подставляя сюда (4.14) — (4.16) и выполняя затем подсчет,
почти полностью тождественный проделанному в гл. 3, § 5, мы
приходим к ответу (который читателю следует проверить;
см. задачу 4*2):
a {dQ +-ф) = dQ |f (р <- р0) |2 (4.17)
(где р лежит внутри dQ), если только начальные волновые
функции ^i(pi) и ^(Рг) отличны от нуля в достаточно узкой
области вблизи р0 и — р0 и если телесный угол dQ не берется
в направлении вперед относительно р0

Задачи
87
Как и в гл. 3, этот ответ не зависит от точной формы
начальной волновой функции ф и пропорционален dQ. Мы
можем, следовательно, записать его в виде
о (rfQ <- р0) = -g- р <- Ро) rfQ.
[В ^-системе мы опускаем второй аргумент ро в выражении
a(dQ^-po, — ро) ] Для дифференциального сечения в ^-системе
мы находим отсюда выражение
-Й-(Р*-Ро) = 1НР^Ро)Р, (4.18)
где ро и р — начальный и конечный импульсы налетающей
частицы, измеренные в ц-системе.
Этот результат завершает наше доказательство того факта,
что двухчастичное рассеяние, рассматриваемое в своей системе
центра масс, эквивалентно задаче рассеяния одной частицы
с приведенной массой т на фиксированном потенциале V.
Вкратце: двухчастичный оператор рассеяния имеет вид ® =
= 1ц. m®S, где S (оператор рассеяния, связанный с
относительным движением) есть не что иное, как S-оператор
эквивалентной одночастичной задачи. Дифференциальное сечение в
ц-системе задается обычной одночастичной формулой (4.18).
А сечение в любой системе отсчета можно вычислить из сечения
в системе центра масс, если воспользоваться соотношением
(4.12). Итак, решение двухчастичной задачи сводится к расчету
амплитуды f соответствующей одночастичной задачи,
поставленной для относительного движения.
Задачи
4.1. Получите выражение дифференциального сечения в лабораторной
системе через дифференциальное сечение в системе центра масс [(см. (4.13)].
4.2, а) Дайте подробный вывод выражения дифференциального сечения
в ц-системе через амплитуду, т. е выпишите подробности расчета, ведущего
от (4.14) к (4.18), [Основные различия между этим расчетом и расчетом
в гл. 3, § 5 — дополнительная переменная р и интеграл \ d3p (они должны
удерживаться в продолжение всего вашего расчета н в конце обратиться в
нормировочный интеграл). Кроме того, случайные смещения частицы 1
приводят к множителю ехр (— Jp'Pi) в (4.16), тогда как куда приятнее было бы
иметь множитель ехр (— ip • p); последний легко получить, если выразить
pi через р и р.]
б) Покажите явно, что должен получиться тот же самый ответ, если
трактовать частицу 1 как «мишень», а частицу 2 — как «снаряд», т. е. если
случайным смещениям подвержена частица 2. (На практике при получении
сечений существенно обычно и то и другое сразу. Пучок состоит из многих
частиц, что проводит к усреднению по прицельным параметрам частицы I;
мишень также состоит из многих частиц, что приводит к усреднению по
придельным параметрам частицы 2.)

ГЛАВА 5
РАССЕЯНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
В этой главе мы обобщим наше описание рассеяния, чтобы
включить в рассмотрение частицы со спином. Важность такого
обобщения станет ясной» если вспомнить, что более половины
всех частиц, ядер и атомов действительно имеют ненулевой
спин *).
При переходе от бесспиновых частиц к частицам со спином
мы должны предвидеть два очевидных усложнения.
Во-первых, гильбертово пространство частиц со спином сложнее»
потому что оно должно описывать как спин, так и
пространственные степени свободы. Во-вторых, гамильтониан может
зависеть от спина и содержать члены типа спии-орбиталыюго
взаимодействия электрона с ядром или тензорного
взаимодействия между двумя нуклонами. Несмотря па эти очевидные
усложнения, мы увидим, что формализм для описания частиц
со спином можно построить в точности, как для бесспиновых
частиц, и по следующей простой причине. Важнейшее
обстоятельство, которое позволяет нам создать теорию рассеяния,
состоит в том, что до и после столкновения частицы
пространственно разделены и не взаимодействуют. Данное
обстоятельство в такой же степени справедливо для частиц со спином,
как и для бесспиновых частиц, безотносительно к тому, зависят
ли взаимодействия от спина или нет.
Теория рассеяния, построением которой мы теперь
занимаемся, отличается от соответствующей теории для
бесспиновых частиц только в одном важном отношении. Вместо одной
амплитуды и одного дифференциального сечения в бесспино-
*) Тем не менее создается такое впечатление (по меньшей мере частично
оправданное), что усложнения, связанные со спином, несущественны для
главного русла теории рассеяния. Читатель, у которого создалось такое мнение»
может пропустить или отложить часть материала, связанного со спином, а
то и весь этот материал — это не повлияет серьезно на его понимание
последующего (впрочем, такую процедуру вряд ли можно рекомендовать, потому
что некоторые из лучших иллюстраций общих принципов появляются в
формализме рассеяния со спином). Названный материал содержится в гл. 5,
в последних двух параграфах гл. бив гл. 7.

§ L Гильбертово пространство
89
вом случае теперь будет большое число амплитуд и сечений,
по одному на каждый возможный выбор начальных и
конечных спиновых состояний.
§ 1. Гильбертово пространство для частиц со спином
Гильбертово пространство, соответствующее одной частице
со спином s, представляет собой тензорное произведение
Ж == 5^Простр ® ^спин»
где 5^простр есть пространство ^2(К3) обычных волновых
функций, а 5^спин есть (2s + 1)-мерное спиновое пространство. В
качестве базиса h 5^СПИн обычно используют собственные векторы
| пг) третьей компоненты оператора спина
S3 [m) = m ' m)t
причем m пробегает значения от —5 до s с целочисленным
шагом. Произвольный вектор |х) из <9#Сшш можно разложить
следующим образом:
IX>- t tm\m). (5.1)
m——л
В связи с этим разложением стоит, может быть, подчеркнуть,
что, несмотря на существование ровно (2s+1) базисных
состояний |т), частица со спином имеет тем не менее бесконечно
много различных спиновых состояний, соответствующих
бесконечному числу возможных комбинаций (5.1).
Спиновое состояние |х) в (5.1) однозначно определяется
коэффициентами Хт, которые удобно сгруппировать в (2s +
Покомпонентный спинор
^5
Х^=
-Х- J
Фактически при обсуждении спина часто удобно не делать
различия между абстрактным вектором |х) и представляющим
его спинором % и рассматривать их оба как одно и то
же1). В этом случае операторы в пространстве <9#Спин
1) Конечно, всегда можно встать на ту точку зрения, что вектор
состояния— это и есть волновая функция (или в настоящем случае спинор). Однако
обычно предпочтительнее отличать их друг от друга и рассматривать вектор
состояния как величину, представленную волновой функцией. Тем не менее
при обсуждении спина часто удобно допускать, чтобы это различие было
несколько затушеванным.

90
Гл. 5. Две частицы со спином
рассматриваются как (2s + 1)-мерные квадратные матрицы.
Например, мы можем записывать оператор спина для частицы со
спином {/2 в виде S = а/2, где аь сгг, <*з— обычные спиновые
матрицы Паули.
Базис в пространстве Ж можно построить, исходя из любых
баз ИСОВ В <л?простр И отрсшш* Удобный базис задается, например,
собственными векторами операторов Р и 5з:
|р, m) = |p)®|m),
представляющими собой произведения собственных векторов
импульса |р) из <9#Простр и собственных векторов \гп) оператора
53, которые принадлежат пространству ЗвСтт-
Гильбертово пространство двух различных частиц со
спинами 5i и S2 является, конечно, произведением Ж = Ж\® <3#2
двух одночастичных пространств, каждое из которых само
имеет вид произведения только что описанного типа.
Пространственные волновые функции имеют вид фт1т,(Х|, x2); как
и в бесспиновом случае, удобно переписать пх в форме
функций ^mimj(x, x) от координаты центра масс х и от
относительной координаты х. Ввиду того что эти функции можно,
очевидно, представить в виде линейных комбинаций произведений
типа j>{x)Xmimi(x)t мы можем рассматривать пространство Ж
как прямое произведение Ж = Ж^ м ® <?#отт где Жя м
описывает только движение центра масс, тогда как Жо™ описывает
относительное движение, включая спины обеих частиц.
Пространство Ж0Тп само можно рассматривать как произведение
двух пространств, одно из которых связано с относительной
координатой х, а другое — со спинами обеих частиц.
В качестве базиса в спиновом пространстве мы можем
использовать либо собственные векторы 1ть т2) двух z-компо-
нент, либо собственные векторы \stm) полного спина и его
г-компоненты. Они связаны между собой соотношением
\s, m)~ Yi \Щ* m2){sls2m]m2\sm),
где {s\S2m\m2\sm} — обычный коэффициент Клебша — Гор-
дана1). Когда мы не захотим связывать себя конкретным
выбором базиса, мы будем использовать символ Ц) для
обозначения любого удобного выбора. На практике под £ обычно
подразумевают либо (m\>m2), либо (s, m), причем в любом случае
£ принимает (2s i + 1) (2s2 + 1) различных значений. Произ-
1) Фазовые множители в коэффициентах Клебша — Гордана (известных
также как вигнеровские коэффициенты, или коэффициенты векторного
сложения) мы будем выбирать в соответствии с общепринятыми обозначениями
Кои дона и Шортли (см. [14] или [4]).

§ 2. $-оператор для частиц со спином
91
вольное спиновое состояние двух частиц можно представить
в виде разложения
Оно полностью определяется числами х^> которые можно
сгруппировать в спинор х» (2s i + l)(2s2 + 1) компонент которого
образуют столбец.
Любому базису {(!)} в спиновом пространстве отвечает
несколько базисов в полном пространстве ^ив пространстве
относительного движения 3#отн. Наиболее важный базис в Ж
состоит из собственных векторов импульса, которые мы
записываем (без серьезной опасности что-либо перепутать) в одной
из двух форм:
IPl. Р2, £> = 1Р, Р, £>,
где, как обычно, р и р —полный и относительный импульсы.
Соответствующие базисные векторы в 9@отн суть просто векторы
|р, |), через которые мы можем записать | р, р, |) в виде
I P) ® I р, I).
§ 2. S-оператор для частиц со спином
Отвлекаясь от того факта, что гильбертово пространство
стало чуть сложнее, чем прежде, мы можем далее строить
формализм для описания рассеяния, точно как в случае
бесспиновых частиц. Орбиты имеют обычный вид U(OI^), где |г|>) —
любой вектор из только что описанного пространства Ж
Оператор эволюции U (0 определяется гамильтонианом
с тем же самым Я0, как и в случае бесспнновых частиц:
Типичными примерами взаимодействия V являются нуклон-ну-
клонное взаимодействие вида
V - V{ (г) + S{ • S2V2 (г) + Si. xS2 • xV, (г) (5.2)
(вспомним, что х = х1— х2 и г = | х |) или спин-орбитальное
взаимодействие электрона в атоме или нуклона в ядре
V = Vx(r) + L.SV2{r). (5.3)
Во всех случаях, зависит ли V от спинов или нет, ожидают, что
V будет стремиться к нулю, когда две частицы движутся
независимо. Таким образом» в случае потенциалов (5.2) и (5.3)

92
Гл. 5. Две частицы со спином,
мы ожидаем, что коэффициенты Vi(r) будут достаточно быстро
стремиться к нулю при г —► оо.
Используя ту же аргументацию, что и в случае
бесспиновых частиц, мы можем теперь доказать асимптотическое
условие, которое утверждает, что каждый вектор |\|?шт) из Ж
соответствует ин-асимптоте некоторой истинной орбиты U (/) |ф):
UWI+>-7y^>U°(0l*B->.
Как и прежде, это справедливо, когда вектор
t
U(tf U°{/)UUH*„«> + t\dxU(т)+ VU0(т) НО
О
сходится. И как прежде, достаточно доказать, что интеграл
о о
\ йт IIU (т)+ VU0 (т) фн„ 11= \dx || VU° (т) Ч>11Н ||
— оо —оо
сходится. Оператор эволюции U °(т) (который ничем не
отличается от соответствующего оператора для бесспиновых
частиц) удобным для нас образом разводит две частицы, когда т
становится большим. Следовательно, если потенциал V в
достаточной степени короткодействующий, этот интеграл на
самом деле сходится и асимптотическое условие выполняется —
все, как прежде.
Даже если бы было возможно точно перечислить все
взаимодействия Vf для которых одновременно имеют место и
асимптотическое условие, и асимптотическая полнота, то делать это
было бы, наверное, не очень интересно. Здесь мы
довольствуемся утверждением, что оба эти результата, несомненно,
имеют место при всех «разумных» потенциалах, и в
дальнейшем сосредоточим внимание именно на таких потенциалах.
(Как обычно, при этом исключается из рассмотрения кулонов-
ский потенциал.) Таким образом, меллеровские операторы
й± существуют как пределы U (t) U0 (0 и отображают
каждую ин- или аут-асимптоту |фин) или |г|)аут) на
соответствующее истинное состояние \\р) при t — 0. Оператор <5 = Q^Q+
унитарен и отображает каждый вектор |^ин) непосредственно
на соответствующий вектор |^аут).
Точно как в случае бесспиновых частиц, 5-оператор имеет
структуру
®=1U.„®S, (5.4)
где 1п. м относится, конечно же, только к движению центра
масс, в то время как Ф действует в пространстве относительного

§ 3. Амплитуды и матрица амплитуд
93
движения, включающем спины обеих частиц. Этот результат
можно рассматривать как сведение задачи двух частиц к
эквивалентной квазиодночастичной задаче, а именно к рассеянию
одной частицы со спином S\ на фиксированной мишени со спи-
ном s2.
§ 3. Амплитуды и матрица амплитуд
По тем же причинам, что и прежде, оператор ® сохраняет
энергию и импульс, и его матричные элементы можно
разложить на два слагаемых:
<р;. p;>ri«iPp р,> 1>=б3(р^р-)6Ч^-р.)6^-
- 2я/б (£ е\ - £ £,) б3 (Z Р{ -Ep,)t (P'f Г <- р, D
[ср. (4.9) для бесспиновых частиц]. Первое слагаемое в (5.5)
представляет собой амплитуду вероятности того, что рассеяния
не произойдет; оно оставляет неизменными как импульсы, так
и спины. Второе слагаемое сохраняет энергию и полный
импульс, однако оно может, вообще говоря, связывать состояния
с различными относительными импульсами и с различными
спинами. Точно как прежде, Г-матрица на энергетической
поверхности прямо сопоставляется с оператором S для
относительного движения; именно если мы подставим (5.4) и (5.5)
и выделим дельта-функцию от полного импульса в виде
множителя, то найдем
<р', g'l Sip, » = №(р'-р)6Г1-2яЮ(£,*-Я,)/(р', 6'«-р, I).
Г-матрица на энергетической поверхности пропорциональна
амплитуде рассеяния, которую мы определим, как обычно,
соотношением
f(p', Г«-Р, Ю = -(2л)2т/(р', Г«-Р, |).
Точно как в случае бесспиновых частиц, мы можем теперь
выразить сечения в ц-системе через амплитуду. Однако вместо
одного дифференциального сечения, которое было в случае
бесспиновых частиц, мы находим теперь бесконечное число
дифференциальных сечений, потому что частицы могут
сталкиваться, находясь в любом спиновом состоянии |х), и можно
(по крайней мере, в принципе) измерить число частиц,
появляющихся в телесном угле dQ и находящихся в любом данном
спиновом состоянии |х'). Сначала мы рассмотрим случай, в
котором частицы вступают в столкновение, находясь в одном из
базисных спиновых состояний |g), и подсчитаем число частиц,
появляющихся в телесном угле dQ, находясь в базисном

94
Гл. 5. Две частицы со спином
спиновом состоянии |£'). [Напомним, что через | обозначен
любой удобный базис в спиновом пространстве, например £ =
= (mbtti2).] В этом случае расчет, идентичный проделанному
в гл. 4» § 5, дает
-Ц-(Р', Г*-Р, 1)=1/(р'. 6'*-Р, DP.
что есть дифференциальное сечение в ^-системе при
наблюдении рассеянных частиц, движущихся в направлении р' со
спинами, даваемыми вектором |£'), если начальные частицы имели
относительный импульс р и спины |£).
Таким же образом можно оценить сечение при наблюдении
произвольного конечного спинового состояния |х'),
возникающего из любого начального спинового состояния |х). Если
\x)-Zxi\l)
и если аналогично представить |х')> то мы можем рассчитать
нужный S-матричиый элемент по формуле (5.5) и,
следовательно, найти соответствующее сечение в ^-системе, которое,
как легко видеть, равно (см. задачу 5.1)
-g-(p', х'<-р, х)-
Ц'. I
2X/(p',i'*-p,ux*
Этот результат выражает сечение в случае произвольных
спинов (|х')*~1х)) через амплитуды [(2sx + 1) (2s2 + 1)]2
базисных процессов (IS')4"|6))- Его форма наводит на мысль
переписать базисные амплитуды в виде
/<р'> £'«-Р. D = h' (р'«-Р)
и затем 'рассматривать их как элементы матрицы амплитуд
W«-p)-{/t'e(p'«-p)>.
[В литературе эту матрицу часто обозначают символом
М(р\ р).) Наш результат можно теперь записать в
компактной форме1)
-£-<р'. х'-р, x) = h'fF(p'+-p)x\\
(5.6)
1) Я предпочел использовать обозначение % F%, а не <х'1Лх>. чтобы
подчеркнуть точку зрения на F как на матрицу, а на х и %' — как на спиноры,
имеющие вид столбца. Этот результат включает как частный случай сечение
| ft't I2 базисного процесса (р', £' <- p. S)i поскольку спинор для базисного
состояния ||> состоит из I на |-м месте и нулей на всех остальных местах.

§ 4. Суммирование и усреднение по спинам §5
из которой ясно, что вся информация относительно рассеяния
двух частиц содержится в матрице F (р'«— р), так же как в
случае бесспиновых частиц вся информация содержалась в
единственной амплитуде /(р'«— р).
Чтобы освоиться с понятием матрицы амплитуд, полезно со-
средоточить внимание на каком-либо конкретном примере,
простейший из которых — рассеяние частицы со спином 7г на
бесспиновой мишени. Этот пример охватывает такие важные
процессы, как рассеяние электронов на атомах, имеющих
нулевой спин, нуклонов на бесспиновых ядрах и большое число
процессов с элементарными частицами, среди которых важнее
всего рассеяние пионов на нуклонах. Поскольку спин одной из
частиц равен нулю, спиновое пространство всей системы
оказывается просто двумерным спиновым пространством
падающей частицы, имеющей спин 1/г. Мы используем обычный,
связанный с оператором 5з базис, в котором базисные векторы | +)
и |—) принадлежат собственным значениям т = ±Ч2-
Согласно формуле (5.6), рассеяние определяется 2Х2-матрицей
амплитуд:
"*~»»-0-tf«-p> /-<р'-р>> (57>
Элемент fm'm (p'«-p) есть амплитуда вероятности того, что
начальная частица с импульсом р и г-компонентой спина т
рассеется в направлении р' и будет наблюдаться с z-компонентой
спина т'. (По понятным причинам f+- и /_+ называются
амплитудами с переворотом спина, а /++ и f__ — амплитудами
без переворота спина.) Наиболее общие начальное и конечное
спиновые состояния задаются двухкомпонентнымн спинорами
X и х'> и, согласно (5.6), амплитуда вероятности наблюдать
соответствующий процесс (р', %'<-[>, х) равна просто числу
х'^р'^-р)*.
§ 4, Суммирование и усреднение по спинам
В принципе результат последнего параграфа дает все
необходимое для рассмотрения упругого рассеяния двух частиц
со спином. Если мы в состоянии рассчитать матрицу амплитуд
^(р'*-р) (скажем, любым методом из гл. 8—14), то мы
сможем предсказать сечения для всех возможных спиновых
состояний х и Х- С другой стороны, если мы можем наблюдать
сечения для достаточно большого числа различных спиновых
состояний х и х'> то возможно измерить матрицу амплитуд

96
Гл. 5. Две частицы со спином
с точностью до неопределенного общего фазового
множителя *).
На практике ситуация не столь проста. В большинстве
реальных экспериментов падающие частицы не находятся все
в одном определенном начальном спиновом состоянии х» а
рассеянные частицы регистрируются счетчиками, которые не
способны отличать друг от друга различные конечные спиновые
состояния %'. Легче всего эти осложнения преодолеваются
в общем виде, если использовать матрицу плотности квантовой
статистической механики (обсуждаемую в гл. 7). Впрочем,
в некоторых простых (и часто встречающихся) ситуациях столь
же удобен более элементарный метод усреднения по начальным
и суммирования по конечным спиновым состояниям, который мы
теперь и опишем.
Начнем с рассмотрения случая (представляющего в
сущности наиболее обычную экспериментальную ситуацию), когда
частицы в начальном пучке и в мишени полностью неполяри-
зованы, т. е. вместо того, чтобы всем находиться в некотором
определенном спиновом состоянии, частицы имеют спины,
ориентированные совершенно случайно. В гл. 7 мы покажем,
что пучок или мишень, в которых частицы ориентированы
случайно, не отличаются от пучка и мишени, в которых частицы
равномерно распределены по (2s+1) состояниям любого
удобно выбранного ортонормированного базиса. (Например,
пучок случайно ориентированных электронов неотличим от
пучка, в котором у 50% электронов спин направлен вверх,
а у остальных 50%—вниз.) Пока мы просто определим непо-
ляризованный пучок или мишень как такие, в которых (2s + 1)
состояний |m), m = —s, ..., s, заняты одинаковым
количеством частиц.
Рассмотрим эксперимент, в котором неполяризованный
пучок частиц со спином s{ падает с относительным импульсом р
на неполяризованную мишень из частиц со спином $2.
Вообразим, что мы подсчитываем число частиц, появляющихся внутри
телесного угла rffi вблизи р' и находящихся в некотором
определенном базисном спиновом состоянии !£') —1ть т£). Ввиду
того что в пучке частицы равномерно распределены по (2si + l)
базисным состояниям \tnx) и аналогично распределены час-
!) Смотри задачу 5.3. Как и в случае бесспиновых частиц, общую фазу
можно измерить, но для этого недостаточно простого измерения do/dh в дан-
ном направлении, (Например, измерение полного сечения дает возможность
полностью определить амплитуду рассеяния вперед с помощью оптической
теоремы. Если предположить, что при низких энергиях только несколько
парциальных волн дают вклад в сечение, то, подгоняя do/dQ при всех углах под
экспериментальные значения, мы обычно получаем возможность определить
амплитуду в худшем случае с конечным числом неопределенностей.)

§ 4. Суммирование и усреднение ПО спинам 97
тицы мишени по их (252+1) состояниям \т2), доля
столкновений, в которых начальное спиновое состояние является
каким-либо определенным состоянием Ц)= [tnumi), точно равна
l/(2$i + 1) (2s2 + 1). Поэтому, если полная плотность
падающих частиц равна лпад, то для столкновений, в которых
начальное спиновое состояние есть ||), плотность падающих
частиц равна просто naajl/(2si -f- 1) (2s2-j- 1). Вклад этих
столкновений в число регистрируемых рассеянных частиц равен,
следовательно,
Поскольку полное число отсчетов есть сумма вкладов от
различных начальных состояний, то полное число отсчетов
получается суммированием выражения (5.8) по всем |, т. е. полное
число отсчетов можно записать в виде
где
•ж** 6'*-р>-
1 V1 da
(2s, + l)(2s,
ТТУ X ffiW' £'*~Р» %) [ин-спины неполяризованы]-
Видно, что это последнее выражение есть эффективное сечетте
рассеяния из состояния с начальным импульсом р в конечное
состояние с импульсом р' и конечным спиновым состоянием
IV), если начальные пучок и мишень неполяризованы\ видно,
что оно представляет собой усредненное по начальным спинам
g значение сечения базисного процесса (р', £'<-р, £).
Рассмотрим далее дополнительную ситуацию, в которой
начальные частицы поляризованы (все находятся в некотором
определенном спиновом состоянии), но мы используем
нечувствительные к спину детекторы, которые считают все
появляющиеся частицы, независимо от их спинового состояния. Если
начальное спиновое состояние есть одно из базисных состояний
|£), а плотность падающих частиц равна яПад, то число частиц,
появляющихся в телесном угле dQ вблизи р' в любом
определенном спиновом состоянии |g'), равно, конечно,
«п.ж-^(р'.Г<-р,6)Л>.
Так как наши счетчики регистрируют все частицы независимо
от их спинового состояния, полное число отсчетов получается
4 За к. 396

98
Гл. 5. Две частицы ей спином
суммированием этого выражения по всем £'. То есть полное
число отсчетов можно записать так:
П'"д-З5"(р'*-Р» ®dQ>
где
% (р'«- Р, 5) = У ~ (p'> f - Р, I) [аут-спины не 1
aw ^ aw [контролируются]
— эффективное сечение, соответствующее начальному
спиновому состоянию |£), если мы используем нечувствительные
к спину детекторы для подсчета конечных частиц. Таким
образом, сечение в случае нечувствительных к спину счетчиков
получается из базисного сечения (р', £'<— р, £) суммированием по
конечным спинам £'. Очевидно, не играет существенной роли
то обстоятельство, что наши начальные частицы находятся в
одном из базисных спиновых состояний ||); если вместо этого
они находятся в произвольном состоянии, задаваемом
спинором %у то мы можем определить соответствующее сечение для
процесса (р'«-р, %), которое получается суммированием по
всем £' сечений процесса (р', I' <-р> %).
На практике в эксперименте наиболее общего вида
используются полностью неполяризованные начальные частицы и
нечувствительные к спину счетчики. В этом случае мы можем
немедленно объединить предыдущие рассуждения и получить
эффективное сечение в виде
-Й-(р'*-р)= (25l+i)1(252+i) ZZ^S-(p''^p^>
[ин-спины неполяризованы, ] ,~ ~,
аут-спины не контролируются]' * '
Это сечение обычно называют сечением для неполяризованных
частиц. Его получают из сечения базисного процесса (р', £'«—
<—р, |) усреднением по начальным спинам £ и суммированием по
конечным спинам £'.
В обсуждавшемся выше примере рассеяния частицы со
спином lk на бесспиновой частице различные сечения могут быть
все выражены через четыре базисные амплитуды: f++, /+_, /L+,
/ Так» сечение для неполяризованных частиц (5.9) равно
Отсюда становится ясным тот важный факт, что, пока мы
используем только неполяризованные пучки и нечувствительные
к спину методы регистрации, единственная величина, которая

§ 5. Ин- и аут-спиноры
99
имеет отношение к делу, и единственная измеримая величина —
это указанная специфическая комбинация всех четырех
амплитуд. Понятно, что для получения более полной информации об
амплитудах (о величинах отдельных амплитуд или об их
относительных фазах) мы должны использовать поляризованный
пучок или какой-нибудь чувствительный к спину метод
обнаружения частиц. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 7.
§ 5- Ин- и аут-спиноры
Используя результаты последних двух параграфов, мы
можем дать полезную альтернативную интерпретацию матрицы
амплитуд ffp'^-p). С этой целью мы рассмотрим частицы,
падающие на мишень в некотором определенном спиновом
состоянии, которому мы теперь сопоставим нормированный
спинор хин; через хин выразим второй спинор
Хаут=/7(р'^р)хн
(5.11)
Покажем следующее: хаут — эт° как раз тот самый
ненормированный спинор, который сопоставляется вылетающим
с импульсом р' частицам, если начальный импульс был равен
р, а начальному спину соответствовал спинор хин. Чтобы
убедиться в этом, сосредоточим внимание на тех частицах,
которые появляются с импульсом р'. Результат (5.6) для сечения
(р/»Х/<_Р»Хип) можно переписать в виде
^(p\x'^P,x™)=\x'fF(p'<-P)x™?=\x'fxayj?,
который показывает, что вероятность обнаружить среди частиц,
вылетающих в направлении р', частицы со спином %'
пропорциональна |xfXayTl2 ПРИ любом х'- Однако, согласно
элементарным принципам квантовой механики, это просто означает,
что хаут есть истинное спиновое состояние этих частиц1).
') Незачем и говорить, что сходство между уравнением (5.11), хаут =
*=* ^Хин» и хорошо знакомым результатом |г}>аут) = S |фИн> не случайно.
Фактически, если отвлечься от нужных для согласования множителей 2я1* и
дельта-функций, матрица ^(р'^р) является оператором, который получается
из S-оператора при ограничении его области действия подпространствами,
определяемыми импульсами р и р'. Таким образом, совершенно законно
представлять себе (5.11) как выражение основного результата |фаут> =Б|фжн>.
Причина, по которой мы не вывели результаты данного параграфа с этой
точки зрения, состоит в том, что на этом пути трудно следить за
нормировкой хаут. (Ведь спинор хау1 не нормирован, даже если нормирован хия0
4*

100
Гл. 5. Две частицы со спином
Спинор хаут не нормирован; действительно,
Ихаут12=Е1хГГ=2:11/|ч(р'-р)хГ12=
v v T
= £-ж<р'>^р-хвн)-
V
В последней сумме мы узнаем сечение процесса (р' -*— р, хин),
которое измеряется при использовании нечувствительных
к спину счетчиков, регистрирующих все частицы независимо от
их спинового состояния. Таким образом, в результате мы
просто получаем
И/т
у у*у f 2= — (р' *- рг ^ин) [аут-спины не контролируются].
(5-12)
В заключение резюмируем основные результаты этой главы.
В § 3 мы показали, что если спины двух сталкивающихся
частиц равны Si и 52, то вместо одной амплитуды /(р'«-р), кото*
рую мы имели в случае бесспиновых частиц, теперь мы имеем
матрицу амплитуд F(p'«-p) из [(2s{ + I) (2s2 + I)]2 базисных
амплитуд /и(р'«-р). Сечение любого процесса (р', %'*-р,%)
с произвольными начальными и конечными спиновыми
состояниями х и у! равно \xfF%\2\ здесь же как частный случай
содержится сечение \frt\2 базисного процесса (р', £'«-р, £)♦
В § 4 мы получили сечения для экспериментов, в которых
используются неполяризованные пучки или используются
детекторы, которые не могут различать спиновые состояния.
Наконец, мы показали следующее: если частицы до столкновения
находятся в спиновом состоянии хин и имеют относительный
импульс р и если после столкновения они наблюдаются с
импульсом р', то спиновое состояние этих частиц после
столкновения определяется уравнением %гу1~ Р(р'+-р)%"н> При этом
спинор хаут нормирован так, что величина Ихаут112 как раз
равна сечению (5Л2) появления этих частиц с импульсом р'
независимо от спинового состояния.
Задачи
5.1. Используя разложение (5.5), запишите разложение произвольного
S-матричного элемента(р,, р£, x'l^lPi» P2» X) по величинам %'f F {р'<- р) %.
Выведите отсюда выражение (5.6) для сечения процесса (р', %' <-р, %) через
матрицу амплитуд F(p'<-р). (Очевидно, нет смысла воспроизводить те
громоздкие подробные выражения, которые вы уже получили в случае бес-
спиновых частиц. Соль в том, чтобы понять, как изменяется расчет при
отличных от нуля спинах)

Задачи
101
5.2. а) Предположим, что взаимодействие двух частиц с неравным нулю
спином от спина не зависит. Покажите, что матрица амплитуд имеет вид
F (р' <- Р) *=/ (Р' <~ Р) Л где ' — единичная матрица в спиновом пространстве»
а / — амплитуда, которую мы получили бы для двух бесспиновых частиц при
том же самом гамильтониане. (Это означает, что при расчете амплитуды
можно просто игнорировать спины.)
б) Покажите, что в таком эксперименте после любого столкновения
частицы оказываются с теми же спинами, которые были у них до столкновения,
и что экспериментатор, не имея чувствительных к спину счетчиков, не может
получить какие-либо свидетельства того, что частицы вообще имеют спин.
(Это совершенно противоположно ситуации при зависящих от спина
взаимодействиях, когда некоторые начальные спиновые состояния могут привести
к асимметриям в распределении вылетающих частиц. Эти асимметрии могут
быть обнаружены даже без чувствительных к спину детекторов.)
5.3. Рассмотрите рассеяние частицы со спином ]/2 на бесспиновой
мишени. Покажите явно, что, измеряя дифференциальное сечение (р7, %' <- pt х)
для достаточно большого числа различных спиновых состояний % и х' (и Для
данных р и р'), можно измерить все четыре элемента матрицы амплитуд
f(p' <- р) с точностью до одного общего фазового множителя. Покажите,
что в общем случае требуется 10 измерений (в предположении, что все 4
элемента матрицы F независимы), и опишите какую-нибудь подходящую
последовательность измерений.
5.4. а) Сформулируйте и докажите оптическую теорему для частиц со
спином. (Повторите доказательство для бесспиновых частиц из гл. 3, § 6 и не
забудьте учесть произвольное начальное спиновое состояние х)
б) Покажите, что для рассеяния частицы со спином 72 на бесспиновой
мишени оптическая теорема позволяет измерять Im f++, Im f— и две другие
величины, зависящие от /+ - и /_ + (здесь все / суть амплитуды рассеяния
вперед).

ГЛАВА 6
ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ И ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ
В этой главе мы обсудим применение принципов
инвариантности к теории рассеяния, изложенной в предыдущих главах.
Мы обнаружим, что инвариантность системы при любой из
возможных операций симметрии (вращения, пространственная
инверсия, обращение времени и т. д.) накладывает жесткие
ограничения на возможный вид амплитуды рассеяния.
Например, из инвариантности относительно вращений следует, что
амплитуда для двух бесспиновых частиц Др'<-р) зависит только
от величины импульса р и от угла между р и р' и что
Ир'<— Р> можно разложить в широко известный ряд по
парциальным волнам.
Результаты этой главы имеют огромное практическое
значение, потому что они позволяют получить определенную
информацию о форме амплитуды без какого-либо расчета. Но,
пожалуй, наибольшая их важность — в их совершенно общем
характере. Данные результаты вытекают только из
предполагаемых принципов инвариантности и совершенно не зависят от
точной формы гамильтониана (да и от самого факта
существования гамильтониана тоже). Поэтому все результаты этой
главы переносятся в любую теорию, в которой существует
S-оператор и в которой применимы соответствующие принципы
инвариантности. Особенно важную роль они сыграли в
релятивистской теории рассеяния, в которой имеются надежные
свидетельства в пользу существования различных симметрии (по
крайней мере в некоторых системах), но неизвестна точная
природа фундаментальных взаимодействий.
§ 1. Трансляционная инвариантность
и сохранение импульса
Мы начнем обсуждение принципов инвариантности с того,
что заново установим сохранение импульса непосредственно
из трансляционной инвариантности. Этот вывод будет
прототипом последующего обсуждения всех других принципов
инвариантности.

§ L Трансляционная инвариантность
103
Перенос любой системы как целого на вектор а описывается
унитарным оператором трансляции, или смещения:
D (а) = *-'■*, (6.1)
где р — оператор полного импульса системы. Сказанное
означает, что если система находится в любом состоянии |г|>) и
затем смещается как целое на вектор а, то в результате она
переходит в состояние1) D (а) | ф). Динамика называется трансля-
ционно инвариантной, если гамильтониан не изменяется при
любом смещении. В этом случае D(a)f HD (а) = И и Н
коммутирует с операторами смещения.
Вернемся теперь к нашей двухчастичной системе с
гамильтонианом tf = #°+V и отметим, что Н° автоматически
коммутирует с D(a). Поэтому если система трансляционно
инвариантна, то операторы трансляции коммутируют как с //, так
и с //°, из чего следует, что они коммутируют с меллеровскими
операторами Й±:
D (a) Q± === D (a) [lim elHte-*m\ = [\\m е*ше-™*1] D (a) = Q±D (a).
Это означает, что операторы смещения коммутируют с
оператором ® = QtQ+ и, следовательно, что <3=D+3D. Беря
матричные элементы от обеих частей предыдущего равенства, мы
получаем (х1®1 0) —(XdI ® lfa>). П№ через | <j>o) обозначено
смещенное состояние D]<f>). Данный результат говорит о том, что,
как и следовало ожидать, трансляционная инвариантность
приводит к равенству вероятности для любого процесса (х«-^)
с вероятностью для соответствующего процесса со смещенными
состояниями (хо<— фо).
Чтобы установить сохранение импульса, нужно только
вернуться к выражению D(a) = exp(—/а • Р). Поскольку оператор
® коммутирует с D(a) при любом а,_он должен коммутировать
и с оператором полного импульса Р: [Р, ®] = 0. В частности,
если взять матричные элементы в импульсном пространстве от
этого уравнения, то мы найдем, что
<р'-рК...'1«Ч...> = о.
Таким образом, матричные элементы оператора © в
импульсном пространстве равны нулю, если только начальный полный
1) Именно этот результат мы использовали в случае одной частицы
(гл. 3, § 4) при смещении падающего волнового пакета на р. Общий случай
рассмотрен, например, в [4], стр. 652. Возможно, полезно напомнить о том, что
Для одной частицы выражение (6.1) в координатном представлении принимает
вид D (а) *=ехр ( — а- V); отсюда очевиден ряд Тейлора для представления
функции ф (х — а) через ф (х).

104 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
импульс не равен конечному, т. е. полный импульс сохраняется,
и, следовательно, 5-матрица содержит знакомый множитель
в3(р'~р).
§ 2. Инвариантность относительно вращений
и сохранение момента количества движения
Действие любого вращения на квантовомеханическую
систему описывается унитарным оператором вращения R. Если
мы в качестве параметра для описания вращения на угол а
по часовой стрелке относительно направления и выберем
вектор а = 011, то соответствующий оператор вращения будет
иметь вид1)
R(a) = e-<"\ (6,2)
где J — оператор полного момента количества движения. Как
и в случае трансляционной инвариантности» динамика
называется инвариантной относительно вращений, если
гамильтониан И коммутирует со всеми операторами вращения R (a).
В большинстве задач (хотя и не во всех), имеющих
физический интерес, динамика является инвариантной относительно
вращений2).
Если мы опять рассмотрим нашу двухчастичную систему
и предположим инвариантность относительно вращений, то мы
можем показать (используя ту же аргументацию, как и выше),
что R(a) коммутирует с Q± и, следовательно, с <3._JaK как это
справедливо при любом а, то ® коммутирует с J и полный
момент количества движения сохраняется.
Мы знаем, что двухчастичный оператор рассеяния имеет
вид произведения 2> —1u,Mig)S, и не удивительно, что
интересные следствия инвариантности относительно вращений можно
обнаружить при рассмотрении именно оператора S,
связанного с относительным движением. Чтобы убедиться в этом, мы
*) Читатель, возможно» лучше знаком с параметризацией вращения с
помощью углов Эйлера, при которой оператор вращения записывается в виде
R (ф, 9, г|>) «■ ехр (— /фГ3) ехр (— &Г2) ехр (—/ф73)
(или в виде, слегка отличающемся от этого, сообразно способу определения
углов Эйлера). Тем не менее для наших целей параметризация (6.2) более
компактна и удобна.
2) Утверждение о том, что все изолированные системы инвариантны
относительно вращений системы как целого, является в современной физике одним
из тех утверждений, которые вызывают, в сущности, меньше всего сомнений.
Однако часто удобно рассматривать часть системы как «внешнюю» и
фиксированную, и тогда инвариантность относительно вращений (вращений
остальной части системы) не имеет места. Например, рассеяние электрона на
фиксированной кристаллической решетке не инвариантно относительно вращений.

§ 2. Инвариантность относительно вращений
105
должны только вспомнить элементарный результат, что
полный момент количества движения является суммой момента
количества движения центра масс и внутреннего момента
количества движения. В случае двух частиц это просто означает,
что
j==ji + j2=xxp + xxp + s1 + s2=xxp + j
(Si и S2 — операторы спина двух частиц). Здесь оператор XX Р
есть момент количества движения центра масс; он действует
только в пространстве 5#ц. м> связанном с движением центра
масс. В то же время J — это оператор внутреннего момента
количества движения, который действует только в
пространстве относительного движения <3#0тн- Очевидно, что ®= 1ц м ® S
коммутирует с полным моментом J тогда и только тогда, когда
S коммутирует с внутренним моментом J1). Следовательно,
нет никакого смысла обсуждать в дальнейшем двухчастичный
оператор ©, и мы можем ограничиться рассмотрением
оператора S для относительного движения. Так как этот последний
ничем не отличается от S-оператора эквивалентной одночас-
тичной задачи, мы для простоты почти все оставшееся
обсуждение проведем, используя терминологию одночастичного
рассеяния.
В заключение этого параграфа мы вернемся к операторам
вращений R (а) и рассмотрим частный случай, когда обе
частицы бесспиновые. Тогда условие, что гамильтониан Н
коммутирует со всеми вращениями, приводит просто к требованию,
чтобы потенциал V был сферически симметричным, т. е. был
функцией только от г: V{x)=V(r). Если V действительно
сферически симметричен, то S коммутирует со всеми
вращениями R HS = RfSR (S есть 5-оператор либо для одной
частицы в поле фиксированного потенциала, либо для
относительного движения двух частиц). Беря матричные элементы в
импульсном пространстве от этого уравнения, мы находим, что
<p'|S|p> = <p^|S|pR),
где pR —импульс, получающийся из р при вращении R.
Подставляя это соотношение в определения (3.7) и (3.8) амплитуды
рассеяния, мы находим такой же результат для /(р'<— р):
f(p'<-p) = f(p'R+-pR)
[R-инвариантность]. (6.3)
1) Поскольку представление в виде произведения @ = 1ц.м® S следует,
в сущности, из галилеевой инвариантности (см. последнее примечание в гл. 4,
§ 1), то то же можно сказать и о полученном общем результате.

106 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
(Здесь, как и в других местах, мы указываем в скобках
условия, при которых результаты имеют место; сейчас это
инвариантность относительно вращений.) Это соотношение означает,
как в общем-то и следовало ожидать, что инвариантность
относительно вращений приводит к равенству амплитуд любого
процесса (р'<-р) и процесса (Pr^P^) с состояниями,
подвергшимися вращению.
Результат (6.3) означает, что амплитуда f(p'«-p), которая
априори является функцией пяти переменных, а именно р и
направления вектора р' (вспомним, что| р 1 = 1 р' I), в действительности
зависит только от двух переменных, в качестве которых мы
выберем энергию Ер и угол рассеяния 6 между р и р'. Для
доказательства этого утверждения мы должны пока за-ь что для любых
двух процессов (р'«— р) и (р'<— р), происходящих при
одинаковых энергиях и с одинаковыми углами рассеяния,
соответствующие амплитуды равны друг другу:
/<P'«-P) = f(p'<-P). (6.4)
Согласно (6.3), это равенство определенно выполняется, если
можно найти такое вращение R, которое одновременно
переводит р в р и р' в р'. Так как возможность этого очевидна *), со*
отношение (6.4) выполняется и /(р'<— р) в самом деле является
функцией только от Ер и 8. Таким образом, для рассеяния двух
бесспиновых частиц, взаимодействующих посредством
сферически симметричного потенциала, мы можем написать
/(P'*-P)=f(£p.e)
[R-инвариантность]. (6.5)
На практике это означает, что не произойдет никакой
потери общности, если предположить, что начальный импульс
р направлен вдоль оси z\ и далее, что если р направлен вдоль
оси zy а р' в направлении (9, ф), то амплитуда зависит от
энергии и 6 и не зависит от азимутального угла <р.
х) Например, пусть Rt — некоторое вращение, переводящее рвр, (Такое
вращение существует, потому что ( р | « | р |.) Выполнив вращение R], мы
замечаем, что начальные импульсы совпадают, тогда как конечные импульсы
отличаются не более чем вращением R2 относительно начального направления
(потому что углы рассеяния одинаковы). Поскольку это вращение К2 не
изменяет начального импульса, то комбинация R = RjRi лгреводит р и р'
одновременно в р и р',

§ S. Разложение no парциальным волнам 107
В дальнейшем мы увидим, что простота результатов (6.3)
и (6.5), применимых для бесспиновых частиц, в некотором
смысле обманчива. Соответствующий результат для частиц со
спином оказывается гораздо сложнее1).
§ 3. Разложение по парциальным волнам
для бесспиновых частиц
В этом параграфе мы изучим более глубоко следствия
инвариантности относительно вращений в случае бесспиновых
частиц. В частности, мы установим, что инвариантность
относительно вращений приводит к хорошо известному разложению
по парциальным волнам.
Мы видели, что инвариантность относительно вращений
означает, что S коммутирует с оператором J, который для
бесспиновых частиц есть просто L (орбитальный момент одной
частицы или орбитальный момент относительного движения
двух частиц). Мы уже знаем, что S коммутирует с Н°. Далее,
для одной бесспииовой частицы (или эквивалентно для
относительного движения двух бесспиновых частиц) три оператора
H°t L2, L3 образуют полный набор коммутирующих операторов,
соответствующих наблюдаемым величинам2), и, следовательно,
в представлении, определяемом этими наблюдаемыми,
оператор S диагоналей. Базисные векторы указанного
представления, имеющие вид «сферических волн», мы обозначим через
|£,/,т), где Е, /(/+1), т —это собственные значения
операторов /У0, L2, L3 соответственно. Им отвечают координатные
волновые функции
<х|£, /, т) = 1!(^У±П(рг)У?(х) [p-(2m£)v'l (6.6)
Здесь мы ввели функцию Риккати — Бесселя ji(z) = zji(z), где
ji(z)~ обычная сферическая функция Бесселя, г YT (\) —
сферическая функция, у которой под аргументом х
подразумеваются углы (9, ф), определяющие направление вектора х
1) Дело в том, что из инвариантности относительно вращений
непосредственно вытекает только то, что вероятности процессов (р'<-р) и (р^ <- pR)
должны быть равны друг другу и что соотношение (6.3) должно выполняться
лишь с точностью до фазового множителя. То обстоятельство, что равенство
(6.3) на самом деле выполняется точно, представляет собой упрощение,
свойственное случаю бесспиновых частиц; когда же частицы имеют спин,
приходится беспокоиться о дополнительных фазовых множителях; см. (6.36).
2) То есть существует ортоиормированный базис, каждый вектор которого
одновременно является собственным вектором всех этих трех операторов и
однозначно определяется их соответствующими собственными значениями.

108 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
в сферической системе координат1). Условие нормировки имеет
вид
(Е\ /', tn' \Е, /, m) = б (£' - Е) 5п6^т. (6.7)
Следует учитывать, что ввиду наличия б-функции в условии
нормировки базисные векторы |£,/, т) являются
неограниченными векторами. Подобно плоским волнам |р), эти векторы не
представляют физически реализуемых состояний; их значение
состоит в том, что они образуют базис, по которому могут быть
разложены реальные физические состояния.
Поскольку оператор S коммутирует с операторами Н°
и L, постольку 5-матрица в представлении моментов
количества движения диагональна, т. е. записывается в виде
<£', V т' | S | Е, /, т) = б (£' - Е) 6n6m-ms, (£). (6.8)
То, что числа S/ (Е) в действительности не зависят от т (как
это и отражено в нашей символике), немедленно следует из
теоремы Вигнера — Эккарта. Однако этот факт можно
доказать и непосредственно, если заметить, что, поскольку
оператор S коммутирует с L, он коммутирует с повышающим и
понижающим операторами L±. Поэтому L_SL+ = SL_L + . Беря
матричные элементы этого равенства, мы находим после
несложных преобразований, что
<...,m+l|S |...,m+l> —<...,m|S|...,/n>,
т. е. что рассматриваемый матричный элемент не зависит от т.
Число Si(E) в правой части (6.8)—не что иное, как
собственное значение оператора S, отвечающее собственному
вектору |£, /, т). Ввиду унитарности оператора S каждое из его
собственных значений по модулю равно единице и может быть
записано в виде экспоненты от чисто мнимого числа. Поэтому
мы можем переписать (6.8) следующим образом:
<£', /', т' IS | Я, /, т) - б (£' - Е) 5г/бт^<6/ {Е\
(6.9)
где множитель 2 введен для того, чтобы вещественное число
б/(£) точно совпало с общепринятым выражением для
фазового сдвига (мы покажем это в гл. 11). Пока мы примем (6.9)
за определение фазового сдвига 6i(E). Следует отметить, что
(6.9) определяет величину б/(£) только с точностью до
произвольного слагаемого, кратного числу я.
■) Мы используем определения функций Бесселя и сферических функций,
принятые в книге [41 (дополнение В). Выбор фазового множителя в волновой
функции (66) целиком дело соглашения. Множитель il введен для удобства
обсуждения инвариантности при обращении времени.

§ 3. Разложение по парциальным волнам
109
Моментный базис {|£, /, т)) и импульсный базис (|р)} суть
те два базиса, которые неоценимо важны для разложения
асимптотических свободных состояний. (Когда частицы имеют
спин, в каждом представлении существует, конечно, несколько
возможностей, сообразно различным возможным выборам
спинового базиса.) Значение моментного базиса, или «базиса
парциальных волн», состоит в том, что он диагонализирует
оператор S. Это означает, что такие свойства, как унитарность,
имеют, как мы только что видели, особенно простое
выражение в этом базисе. Значение импульсного базиса состоит в том,
что амплитуда/(р'«—р), определенная в этом базисе,
непосредственно сопоставляется, как мы уже видели, наблюдаемому
сечению
Перейти от одного представления к другому можно,
используя подходящую матрицу перехода; в рассматриваемом
случае *)
(р|£,/, т) = (т/7Г1/2б(£р^£)УГ(р). (6.10)
Если, например, мы желаем выразить величину (p'fSlp)
[или, лучше, амплитуду f(p'<-p)] через матричные элементы
парциальных волн, то поступаем следующим стандартным
образом. Так как амплитуда / пропорциональна матричным
элементам оператора S —1, мы в дальнейшем будем работать
с оператором S—• 1 вместо оператора S. Прежде всего
запишем:
<p'|(S-l)|p>~^e(Epr-E„)/(p'«-p). (6.11)
Это просто знакомое разложение 5-матрицы, записанное через
амплитуду /. Чтобы перейти к матричным элементам в базисе
парциальных волн, введем в левую часть (6.11) полную
систему состояний |£, /, т) следующим образом:
= \dE%(p'\($-l)\E9l9m) (Е, I, т I р>.
1,т
Далее, вектор \Е, /, т) является собственным вектором
оператора (S — 1), и, следовательно, можно вместо этого оператора
написать соответствующее собственное значение (s; — 1).
Каждый из получающихся двух сомножителей представляет собой
просто матрицу перехода (6.10), и после простых
преобразований левая часть (6.11) приводится к виду
= -^б(Е0.- Ер)£ Y?(р')[в,(Ер)-l\Y? <p)\ (6.12)
I, т
') Это выражение следует из хорошо известного разложения (11.12)
плоской волны через сферические функции и функции Бесселя.

110 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
Сравнивая выражения (6.11) и (6.12), получаем искомый
ответ
/(Р'<-Р) = f Z Y?(РОIs/(EP) -l]Y?(p)\
При выборе вектора р по оси z отлична от нуля только
функция Y°i(p), и мы можем переписать предыдущее выражение
в виде 1)
оо
[(£Р,е)^/(Р^р)-^^(2/ + 1)[8/(£Р)-1]РЛсозе), (6.13)
/=0
где функция
Я/(созе)-(^-г)/,гие,ф)
— полином Лежандра, а 9 — как всегда, угол между
векторами р' и р. Обычно вводят парциальную амплитуду, которую
определяют следующим образом:
(6.14)
t(E)-*'iE)-1-
jM*)— 2ip ~
2ЛАВ) . Й, . . 1
e ' — 1 e l sin fy
2tp ~ p
Используя ее в (6.13), получаем
/(£, 8)= D (2/ + l)f/(£)P/(cos8).
(6.15)
Это так называемое разложение по парциальным волнам для
„полной" амплитуды /(£\ 9), которая тем самым выражается
через парциальные амплитуды fi(E), Разложение (6.15) можно,
конечно, обратить. Действительно, используя хорошо известное
свойство ортогональности полиномов Лежандра, находим
fi(E)=±\d(cosв)f (В, в)Pt(cos9). (6.16)
-J
Последние два результата проясняют то обстоятельство, что
знание парциальных амплитуд fi(E) [или эквивалентно фазо-
1) Эквивалентный вывод этого результата следует из теоремы
сложения для сферических функций
J] Kf ip'j УГ IP}* - -^^- Я, (cos
Q)
^см. [4], стр. 496).

§ 3. Разложение по парциальным волнам
Ш
вых сдвигов 6/(£)] при всех / несет с собой знание полной
амплитуды }{Еув) и наоборот1).
Ряд по парциальным волнам (6.15) для амплитуды /(£*, 9)
приводит к двойному ряду для дифференциального сечения
(laldQt = \\\2 в виде суммы произведений полиномов Лежандра.
Если проинтегрировать его по всем углам, то свойство
ортогональности полиномов Лежандра приведет к обращению в нуль
всех смешанных членов, так что полное сечение будет равно
о (Р) = Z от/ (р),
ГДО -2й
al(p)^4n(2l+\)\fl(p)? = 4n(2t+\)^^.
Ввиду того что |sin6|^l, максимальный вклад любой
парциальной волны в полное сечение определяется соотношением
а,(р)<4я —-г-.
Это неравенство часто называют унитарной границей, потому
что оно вытекает из вещественности б/, которая в свою очередь
отражает свойство унитарности оператора S. Парциальное
сечение достигает своей унитарной границы тогда и только тогда,
когда фазовый сдвиг равен нечетному кратному л/2 —такая
ситуация часто связана с наличием резонанса (см. гл. 13).
Отметим, что из унитарной границы парциальных сечений нельзя
извлечь каких-либо сведений о полном сечении, потому что при
подстановке этого соотношения в ряд a = 2j<Tf мы приходим
к тривиальному результату а(р)^оо.
По-видимому, главное значение ряда по парциальным
волнам вытекает из того, что при низких энергиях только
небольшое количество фазовых сдвигов bi{E) отлично от нуля (мы
убедимся в этом в гл. 11). Тогда бесконечный ряд (6.13)
превращается в конечную сумму и дает полезное представление
амплитуды /(£,0) через небольшое количество вещественных
параметров. Такая параметризация особенно привлекательна,
потому что вещественность фазовых сдвигов автоматически
гарантирует ее согласованность с унитарностью оператора S. Вдоба^
вок она доставляет средство измерения фазы амплитуды
рассеяния f наряду с ее абсолютной величиной. В простейших случаях
найдено, что при очень низких энергиях дифференциальные се-
]) Возможность разложения f в ряд по полиномам Лежандра стала ясной
уже из вывода [см. (6.5)] о том, что амплитуда / есть функция только Е и 6,
Расчет же, который приводит от (6.10) к (6Л5), был необходим для того,
чтобы установить связь (6.14) коэффициентов разложения fi(E) с 5-матрич-
|шми элементами в базисе парциальных волн (или с фазовыми сдвигами)т

112 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
чения становятся изотропными (в системе центра масс). Эго
показывает, что при таких энергиях амплитуда f не зависит от
6 и отличен от нуля только фазовый сдвиг, соответствующий
/ = 0. Ряд по парциальным волнам (6.13) вырождается тогда
в следующую функцию:
f(E> е) = ^(^а°(£)- 0 = у^М£) sin8j(£).
В этом случае измерение дифференциального сечения do/dQ =
= |/|2 определяет sin6o с точностью до знака, и мы можем
найти саму амплитуду f с точностью до единственной указан-
ной неоднозначности.
§ 4. Четность
В дополнение к инвариантности относительно вращений
многие системы инвариантны относительно преобразования
инверсии. Читателям известны, конечно, процессы (со слабыми
взаимодействиями), в которых инвариантность относительно
инверсии нарушается. Тем не менее существует обширная группа
процессов (электромагнитные и сильные взаимодействия), по-
видимому, строго согласующихся с инвариантностью
относительно инверсии. В этом коротком параграфе мы изучим
следствия инвариантности относительно инверсии для бесспиновых
частиц. К более интересному случаю частиц со спином мы
вернемся в гл. 6, § 6.
Инверсия определяется как изменение направления всех
трех координатных осей. Точнее, оператор инверсии Р для
любой системы определяется как такой (единственный, если не
говорить об общем фазовом множителе) оператор, который
изменяет знаки всех координат и импульсов, но оставляет
неизменными все угловые моменты (и природу самой системы!). Здесь
нас интересует система, состоящая из двух бесспиновых частиц,
для которой (как и при изучении вращений) необходимо
рассматривать только пространство относительного движения.
В этом случае из определения оператора Р следует, что
Р|х>-т||-х> и Р|р> = л1-Р>. (6.17)
где г\ — неопределенное число с модулем 1. Поскольку
оператор Р всегда содержит произвольный общий фазовый
множитель, мы можем переопределить его так, чтобы 1)
Р|х> = 1 —х> и Р|р>Н-р>. (6.18)
1) Похоже, следует подчеркнуть, что здесь мы обсуждаем системы, в
которых частицы не могут рождаться или уничтожаться. Если частицы могут
рождаться или уничтожаться (кая это обычно имеет место в релятивистской
квантовой механике), положение усложняется. В нашем случае будет послет

§ 5. Обращение времени
113
Для волновых функций это означает (если символ вектора
Р1Ф) сократить до [ *ф?)), что i|>p(x) = i|)(—х); аналогичное
соотношение имеет место и для волновой функции в
импульсном пространстве.
Динамика инвариантна относительно инверсии тогда и
только тогда, когда оператор Р коммутирует с
гамильтонианом Н или, что эквивалентно, когда У(х) = У(—х). [Это
условие автоматически выполняется, когда потенциал V (х)
сферически симметричен.] Отсюда, как и при обсуждении
вращений, получаем, что из инвариантности относительно инверсии
вытекает коммутативность Р с S, и, следовательно, S = P*SP.
Если | <j>) и | ^') — два состояния с определенной четностью
Р|#>«=Р1#> и Р|Л=р'1П
то (<£'l S |<£) = 0, если не выполняется равенство р = р', т. е.
четкость сохраняется. В более общем виде для любых
начальных и конечных состояний имеет место равенство (</>/|S|<£) =
= (^p|S|^p>. В частности,
<p'|S|p> = <-p|S|-p>,
и, следовательно, для амплитуды получается очень
естественный результат
f (р' *-" Р) — / (~ р' * Р) [Р-инвариантность]. (6.19)
Этот результат ясно показывает, что инвариантность
относительно инверсии выполняется автоматически, если наша
система (состоящая из двух бесспиновых частиц) инвариантна
относительно вращений. Это происходит потому, что вращение
на угол п относительно направления, перпендикулярного к р
и р', переводит р в — р и р' в — р', поэтому инвариантность
относительно вращений влечет за собой (6.19). Однако в
общем случае инвариантность при вращении и инвариантность
при инверсии совершенно независимы.
§ 5. Обращение времени
До сих пор мы обсуждали операции симметрии трех
типов: смещения, вращения и инверсию; все они представляются
довательным ограничиться системой, компоненты которой фиксированы. Тогда
равенства (6.17) выполняются, причем в них входит единственное
фиксированное число т], которое можно включить в определение оператора Р. В реляти*
вистском случае происходят переходы между системами, в которых количество
частиц и их вид различны. Результат (6.17) по-прежнему выполнится, но
числа т| могут быть различными для разных типов частиц. Поскольку
переопределение оператора Р изменяет все множители т) на одинаковую величину,
нельзя (вообще говоря) исключить все эти множители. В этом случае
отношение чисел г\ для двух различных частиц (относительная внутренняя
четность) имеет физический смысл,

114 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
унитарными операторами. Теперь мы должны обсудить
симметрию, которая не задается унитарным оператором, —
обращение времени. Для того чтобы понять смысл обращения времени,
нужно небольшое отступление для обсуждения некоторых
общих свойств операторов симметрии.
Теорема Вигнера и антиунитарные операторы. Действие
преобразования, относительно которого система инвариантна,
на векторы состояния любой квантовомеханической системы
определяется фундаментальной теоремой Вигнера1). Теорема
Вигнера устанавливает, что любая симметрия задается
унитарным или антиунитарным оператором, действующим в
пространстве Ж. Точнее, если симметрия переводит каждое
состояние |i|>) в преобразованное состояние (tj)'), то либо можно
выбрать произвольную фазу в состоянии |г|/) так, что
HO^UI*) [для всех |г|))],
где U — унитарный оператор, либо можно подобрать фазы так,
что
|ф/)=У¥|ф> [Для всех Ц>>],
где W—антиунитарный оператор, который мы вскоре
определим. Эти две возможности исключают друг друга: для
каждой заданной симметрии осуществляется только одна. Но
в том и другом случае оператор определяется однозначно, за
исключением неизбежного общего произвольного фазового
множителя.
С теоремой Вигнера связаны различные критерии, которые
определяют, является ли данный оператор симметрии
унитарным или антиунитарным. Применение этих критериев
показывает, что смещения, вращения и инверсия задаются
унитарными операторами (результат, который мы уже использовали),
а обращение времени задается антиунитарным оператором2).
1) Эта теорема была впервые сформулирована Вигнером в начале
тридцатых годов (см, [15], приложение к гл. 20). Она обсуждается в книге [4]
(теорема III, стр. 633) и в книге [5] (стр. 226).
2) Это можно показать различными способами. Например, можно
рассмотреть основное коммутационное соотношение [Xit Pj] = idij. По
определению действие оператора обращения времени Т таково, что Т ХТ~Х и Т РТ=
s^s — Р. Поэтому если подействовать на основное коммутационное
соотношение слева оператором Т и справа оператором Т, то в левой части
изменится знак. А раз так, то в правой части тоже должен измениться знак,
т. е. должно быть T+tT = —t. Такое равенство, очевидно, не может
выполняться, если оператор Т унитарен, однако оно выполняется, если оператор Т
антиунитарен, как вскоре мы сможем убедиться. Альтернативный и более
общий критерий следует из того факта, что спектр гамильтониана И
ограничен снизу, но не сверху (см. [6], стр. 126).

§ 5. Обращение времени
115
Для обсуждения инвариантности при обращении времени мы
должны сделать краткий обзор свойств антиунитарных
операторов. Последние определяются следующим образом:
Антиунитарный оператор W представляет собой
взаимнооднозначное отображение пространства Эё на
пространство Эёу которое сохраняет норму и является
антилинейным, т. е.
W(a| ф> + Ь\ ф)) = а*\Ы\ ф> + 6*W| ф).
Это определение отличается от определения унитарного
оператора только в том, что здесь оператор W антилинеен.
Некоторые из свойств антилинейных операторов
усматриваются довольно просто. Например, легко видеть, что
произведение двух антилинейных операторов представляет собой
линейный оператор, тогда как произведение одного линейного
и одного антилииейного операторов антилинейно.
Единственная трудность при изучении антилинейных
операторов возникает в связи с дираковским обозначением
матричных элементов. Эти обозначения построены так, что для ли-
нейного оператора А величину (^|Д|\|)) можно рассматривать
двумя способами:
(ф\А\Ъ) = (Ф\(А\Ъ)) = ((ф\А)\у),
где бра-вектор (Ф\А по определению соответствует кет-вектору
Ат\ф). Мы подчеркнем это обстоятельство, если перепишем
указанное тождество, используя принятое математиками
обозначение ( , ) для скалярного произведения:
(ФI А \ ф> = <*, Лф> = (А>, ф>. (6.20)
К сожалению, если оператор А антилинеен, то эти
альтернативные точки зрения на величину (^|Л|\|>) перестают быть
эквивалентными. Ведь не может же существовать оператор
А , удовлетворяющий зторому равенству в (6.20). (Это легко
понять. Величина (ф^А^) антилинейна по |\|э), тогда как
величина {А ф, ф) должна быть линейна по |ф), каким бы ни был
оператор Л+.) Вместо определения
(Ф, Дф) — (А*фу ф) [А — линейный оператор]
для оператора Af в случае антилииейного оператора
сопряженный оператор определяется соотношением
{ф> Аф) = {А*ф, ф/ [А — антилинейный оператор]» (6.21)

116 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранений
(Легко проверить, что тем самым действительно определяется
некоторый оператор Af и что А антилинеен.) Если мы
желаем применять дираковские обозначения и в случае
антилинейных операторов, то нужно отличать друг от друга величины
(^|(Л|^|))) и ((#H)|t|)). Мы будем придерживаться
следующего правила: всегда, когда нам случится обсуждать
антилинейные операторы, будем использовать более точное
обозначение (ф, Aty), принятое математиками.
Вернемся к антиунитарному оператору W. Пользуясь
определением (6.21) сопряженного оператора W+, а также
условием, что оператор W сохраняет норму и отображает Ж на все
пространство 36, легко показать, что
wfw=wwf=i.
Эти равенства отличаются от таковых для унитарного
оператора, U+U = UU+—1, только тем, что операторы W и W сами
по себе антилинейны. Произведение их, конечно, линейно.
Обращение времени. Установив основные свойства анти-
унитарпых операторов, вернемся к интересующему нас
примеру— к оператору обращения времени Т. По определению
он изменяет знаки импульсов и спинов всех частиц, оставляя
неизменными их координаты. По теореме Вигнера оператор Т
должен быть антиунитарным. В случае одной бесспиновой
частицы отсюда следует, что (после соответствующего выбора
произвольного общего фазового множителя, возникающего при
действии оператора Т) выполняются соотношения Т|х) = |х)и
Т|р) = |—Р>. Если представить произвольный вектор 11|)) в виде
разложения
\$)=\d3xty(x)\x) (6.22)
и вспомнить, что оператор Т антилинеен, то для вектора T|i|>
найдем
| ц>т)-Т| я|>>-Т $ЛпИх)| х>= \ <Р*+(хГТ| х) =
= Jd3Jc^(x)*|x). (6.23)
Сравнивая выражения (6.22) для \ур) и (6.23) для |ifT), мы
видим, что действие оператора Т (в случае одной бесспиновой
частицы) приводит просто к замене координатной волновой
функции на ее комплексно сопряженную
iMxJ = + W'-

§ 5. Обращение времени 117
Следует отметить, что операция комплексного сопряжения
волновой функции в одном представлении не тождественна,
вообще говоря, соответствующей операции в другом
представлении. Например, легко видеть, что в импульсном пространстве
<Мр) = +(-рЛ
т. е. комплексное сопряжение функции гр(х) эквивалентно
комплексному сопряжению волновой функции в импульсном
пространстве плюс одновременное изменение знака импульса р.
Инвариантность относительно обращения времени означает,
что оператор Т коммутирует с гамильтонианом И (и
автоматически коммутирует с Я°):ТЯ==ЯТ. (Для одной бесспиновой
частицы, движущейся в поле локального потенциала, отсюда
просто вытекает требование, чтобы потенциал V был
вещественным. Но это является также условием того, чтобы
гамильтониан Н был эрмитовым. Таким образом, в
рассматриваемом случае Т-инвариантпость выполняется
автоматически1).) Ввиду антиунитарности оператора Т это означает, что
(Обратите особое внимание на перемену знака, происходящую
из-за соотношения Т/ = — /Т.) Следовательно,
TQ± = T[ lim е""е-'**J«=[ Hm е-<"*е1"°']Т=а*Т (6.24)
или, поскольку T+T=l,
Q± = TfQTT.
Итак, действие оператора Т на меллеровские операторы сводится
к замене Q+ на Q_ и наоборот.
Из (6.24) следует, что
TS = TQ*Q+ = Q+TQ+ = Q+Q-T = S+T (6.25)
или
S = TfS+T,
!) Такой вывод получился из-за того, что мы ограничились рассмотрением
локальных потенциалов Простым примером взаимодействия, не инвариантного
относительно обращения времени, является взаимодействие заряженной
частицы с фиксированным внешним магнитным полем. Т-инвариантность
нарушается также в случае комплексных потенциалов, которые иногда
используются в качестве модельных для упругой части многоканального рассеяния,
но это связано с чрезмерным упрощением (по крайней мере в отношении
I-инвариантности). Отсюда не следует, что Т инвариантность обязательно
нарушается в реальной многоканальной ситуации,

118 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранения
т. е. оператор Т заменяет S на его обратный оператор, S+.
Беря матричные элементы от этого равенства (и прибегая к
принятому математиками обозначению, чтобы избежать хлопот с
антилинейными операторами), находим х)
(х, st)=(х, t+s+t»=<тх, sfT^>* - <хт, sVT)'
или
(х\$\Ф) = (Ф1\$\х1)
[Т-инвариантность]. (6.26)
Результат показывает, что, как и следовало ожидать,
инвариантность относительно обращения времени влечет за собой
равенство вероятностей w(%+- ф) и ш(</»т-<—хт)процессов, в
которых начальное и конечное состояния подверглись
преобразованию обращения времени и поменялись своими ролями.
В частности, в случае одночастичного рассеяния результат
(6.2С), если записать его в импульсном представлении, дает
<p'lS|p> = <-piS|-p'> (6.27)
или эквивалентно
f(p'«-p) = f(—Р< р') [Т-инвариантность] (6.28)
для амплитуды. Как и при обсуждении сохранения четности,
этот результат автоматически следует из инвариантности
относительно вращений (читатель может проверить). Происходит
это потому, что у всех частиц спины равны нулю. Однако в
общем* случае, как мы увидим, Т-инвариантность совершенно не
связана с инвариантностью относительно вращений.
§ 6. Принципы инвариантности для частиц
со спином в импульсном базисе2)
Проанализируем теперь ситуацию для частиц со спином
аналогично тому, как это было сделано в предыдущих пяти
параграфах для бесспиновых частиц. Основные аргументы
остаются теми же. Например, если динамика инвариантна
относительно вращений, то оператор рассеяния S коммутирует
с операторами вращений, и, следовательно,
<XlS|^> = (xR|St^)- (6.29)
[) При выводе второго равенства вспомните, что для антялинейного
оператора (%, Т+,ф) = (Тх, ф)* в противоположность обычному результату {%> i4"Nj>)a«
= {A%,i)p) для линейных операторов.
2) Читатель, который сочтет усложнения за счет спина неинтересными или
несущественными, может без опасений пропустить последние два параграфа
этой главы.

§ 6. Импульсный базис 119
(Как обычно, достаточно рассмотреть относительное
движение.) Однако ситуация усложняется, если мы пытаемся
рассчитать состояние ]ф#)> получающееся в результате вращения,
исходя из начального состояния \Ф). Например, в случае
бесспиновых частиц собственные состояния оператора импульса
преобразуются при вращениях, согласно очевидному правилу:
pj|p)^=jpRV т. е. в результате вращения базисного вектора,
соответствующего импульсу р, получается не что иное, как
базисный вектор, соответствующий повернутому импульсу pR.
Однако если мы рассмотрим собственное состояние импульса
|р,£) для относительного движения двух частиц со спином, то
вращение R переводит р в pR и одновременно преобразует
спиновое состояние. Поэтому для базисного вектора общего
вида \?Л) в результате вращения получается состояние
R |р, £), которое представляет собой определенную линейную
комбинацию (2s| + 1) (2s2 + 1) базисных векторов | pR> £'},
а формула (6.29) в общем случае оказывается довольно
сложной, если записывать ее через базисные амплитуды /^(р'«-р)-
Наша задача в оставшейся части главы — найти практичные
способы выражения тех ограничений, которые накладываются
па амплитуду инвариантностью относительно симметрии R, Р
и Т. Как и в случае бесспииовых частиц, есть два основных
подхода к этой задаче; в одном из них используется импульс*
иое представление, а в другом — моментное представление (или
разложение по парциальным волнам).
Действие операторов симметрии. Наша первая задача —
описать действие различных операторов симметрии на
базисные спиновые состояния, так что естественно начать с
рассмотрения (2s\ + 1) (2$2-+- 1)-мерного спинового пространства
самого по себе. Преобразование произвольного спинового
состояния |х) при каком-либо вращении R мы записываем
в виде
lx>-*|xR) = R,lx\
где мы временно ввели символ R3 для унитарного оператора
вращения, действующего только в спиновом пространстве:
р5(а) = г/а8
(здесь S — оператор полного спина). Если {\1)} — некоторый
базис в спиновом пространстве, то результат дейстзия
оператора R5 на базисные векторы можно записать в виде
R,li> = Hli/>(riRJi). (6.30)
I

120 Гл. в. Принципы инвариантности и законы сохранения
Он просто показывает, что (как мы уже знаем) в
произвольном базисе оператор R$ задается унитарной матрицей,
составленной из величин (£'|R5|£).
Для вращений относительно оси z и для состояний,
являющихся собственными состояниями оператора S3, например для
состояния |s, /п), получается простой результат (он
понадобится нам в дальнейшем):
R5M)|s, m> —*-**■! s, m) = e-iam\s, m>. (6.31)
To есть вращение относительно оси z просто изменяет фазу
собственного состояния оператора 53. Вращение общего вида
будет, конечно, смешивать различные собственные состояния,
как в формуле (6.30).
Теперь можно определить действие вращения R на полный
вектор состояния. В случае, например, собственного состояния
импульса | р, 1) — \ р) ®| I) оператор R переводит | р) в |р^),
а вектор | £) преобразует согласно формуле (6.30). Поэтому
R|P.» = R(IP>®l6» = |PR>®|;i6/><riRfIE> =
-$|pR.S')<riR,IS>.
В случае вращения общего вида приходим, как и ожидалось,
к линейной комбинации векторов I pR, |'\.
Легко определяется результат действия дискретных
операторов Р и Т. Поскольку оператор Р коммутирует со всеми
угловыми моментами, он оставляет все спиновые состояния
неизменными, а так как оператор Р меняет знаки всех импульсов
на противоположные, то
P|p,6>H-P,S>. (6.32)
Оператор обращения времени меняет знаки всех угловых
моментов на противоположные. При обычном выборе
дополнительных условий можно показать, что в результате действия
этого оператора, например, на собственные состояния \s,m)
полного спина получаем 1)
Т|5, m> = (— \)s-m\s, -m) (6.33)
и, следовательно,
T\p}sttn) = {-irm\-pf s, -щ). (6.34)
х) Следует подчеркнуть, что фазовый множитель является здесь по
существу предметом соглашения, как за счет произвольного общего фазового
множителя, связанного с оператором Т, так и за счет того обстоятельства, что
относительная фаза различных векторов \stm) —сама предмет соглашения.
Дальнейшее обсуждение (6.33) содержится в задаче 6.3.

§ 6. Импульсный базис
121
Инвариантность относительно вращений. Теперь,
рассматривая рассеяние двух частиц и предполагая инвариантность
относительно вращений, мы замечаем, что ввиду равенства
S = RfSR имеет место равенство
<р', П S |р, £> = <р', Г |R+SR| p, £> [при любом R]. (6.35)
Так как вращением R любой данный вектор р всегда можно
направить вдоль оси z, этот результат дает нам возможность
выразить амплитуды с произвольными р через амплитуды,
о которых начальный относительный импульс направлен вдоль
оси г. Другими словами, без существенной потери общности
мы можем считать, что вектор р параллелен вектору 3.
Зафиксировав направление р вдоль вектора 3, мы можем
записать матрицу амплитуд в виде
F(p'+-p) = F(EpiQ,<v) [p = 3 ир'=(0>Ф)].
Ограничимся теперь рассмотрением случая, когда базисные
спиновые состояния ||) являются собственными состояниями
оператора S3. Они будут иметь вид либо | = (s, m), либо £ =
= (т|,ш2). и в дальнейшем для определенности положим
|==(51т). В этом случае мы можем использовать
инвариантность относительно вращений вокруг оси г для определения
зависимости каждой амплитуды от азимутального угла qp.
Чтобы понять, как это сделать, заметим, что вращение вокруг
оси z оставляет спиновые состояния (s, m) физически
неизменными; это утверждение составляло содержание (6.31).
Таким образом, если рассматривать процесс (р', s', m'«- p,s,m)
(где вектор р направлен вдоль оси z) и выполнять вращение
вокруг оси z, то при этом вращении изменяется всего лишь
одна величина — азимутальный угол ф конечного импульса.
Так как система инвариантна относительно вращений, это
означает, что сечение процесса (р', s\ m'-«-p, st m) не должно
зависеть от угла ф. Следовательно, в соответствующую
амплитуду зависимость от ф входит только в виде фазового
множителя, который мы можем определить следующим образом:
конечный импульс р', направление которого определяется углами
(0, ф), можно преобразовать в вектор р", имеющий
направление (9,0), путем вращения вокруг оси 3 на угол —ф. В
подробной записи из (6.31) имеем
R (- фЗ) | р', s't т') = **»'ф | р", s', т')у
тогда как, поскольку вектор р направлен вдоль оси г,
R(—фЗ) |р, 5, т) = еш*\ р, s, т>.

\l22 Гл. 6. Принципы инвариантности и Законы сохранения
Подставляя эти выражения в (6.35), мы находим
<р', s\ m' | S | p, s, m) = e* (m~m/) * <p", s\ m' IS | p, s, m)
и соответствующее соотношение для амплитуд
U-. *■, (£-е- ф)=е' (m-m', 'U «» <*. е. 0)- (6.36)
Таким образом, инвариантность относительно вращений
полностью фиксирует зависимость элементов матрицы амплитуд
F(E, 0, ф) от угла <р. Задача расчета F сводится к задаче
расчета [(2si — l)(2s2 + 1)]2 функций, зависящих только от £ и 8.
Мы можем проиллюстрировать этот результат на важном
примере рассеяния частицы со спином У2 на бесспиновой
мишени, обсуждавшемся в гл. 5. В этом случае спиновое
пространство представляет собой двумерное пространство с
базисными векторами |+) и | —), связанное с падающей частицей,
спин которой равен Уг» а матрица амплитуд F(p'«— p)
является 2 X 2-матрицей с элементами f++, /+_, /_+, /__. Если
мы направим р вдоль оси z, то матрицу F(p'+-p) можно будет
записать в виде F(E, 0, ф), и тогда соотношение (6.36)
показывает, что в наиболее общем виде, допускаемом
инвариантностью относительно вращений, матрица F представляется
следующим образом:
/а(Е9 0) Ь(Е, В)е-(»\ t
F (Е, 0, ф) = ^(£ ,ф j [R-инвариантность]. (6.37)
Таким образом, рассеяние полностью определяется четырьмя
комплексными функциями а, Ьу с, d, зависящими от Е и 0. Из
инвариантности относительно вращений нельзя извлечь каких-
либо дополнительных сведений об этих функциях.
Инверсия. Предположим, далее, что наша система
инвариантна относительно вращений и инверсии (это, мы полагаем,
имеет место в любом процессе, в котором несущественны
слабые взаимодействия), и для простоты продолжим обсуждение
рассеяния частицы со спином У2 на бесспиновой мишени.
В этом случае оказывается, что только две из четырех функций
а, 6, с, dy входящих в выражение (6.37), действительно
независимы. Чтобы убедиться в этом, мы рассмотрим сначала
процесс (р', /п'«-р, пг), в котором вектор р направлен, как и
прежде, вдоль оси 3, а р' находится в полуплоскости ф = 0
(фиг. 6.1). Действие одного оператора инверсии приводит к
замене р и р' на — р и — р', что неудобно ввиду нашего
соглашения оставлять начальный импульс направленным вдоль
оси Ъ. Чтобы обойти это затруднение, объединим инверсию
с вращением на угол я относительно оси у\ в результате такой

§ б. Импульсный базис
123
операции направления импульсов вновь совпадают с
первоначальными. Совместное действие операторов Р и R(я2)
эквивалентно отражению в плоскости xz, которое мы обозначим 1)
через M2 = R(rt2)P. Поскольку оператор Р оставляет спин
инвариантным, в то время как вращение R (я2) приводит к
изменению знака его третьей компоненты, инвариантность
относительно М2 должна приводить к связи двух процессов
(р', /гс'-<-р, т) и (р', —m'««-pt —/п). Поэтому из четырех
априори независимых процессов (р', ±<-р> ±) фактически будут
независимыми только два. Для проверки этого утверждения
Фиг. 6.1. Если начальный и конечный импульсы р и р' лежат в плоскости
xz, то вращение на угол я относительно оси у приводит к замене их
знаков на противоположные.
Совместное действие такого вращения и инверсии оставляет оба импульса неизмененными.
поступим аналогично предыдущему, взяв в качестве исходного
пункта равенство
S = MjSM2 (6.38)
и перейдя в нем к матричным элементам.
Для того чтоы найти результат действия отражения М2 на
состояния |р, т), нам нужно знать результат действия
вращения R(jt2) на спиновое состояние \т). Как уже обсуждалось,
последнее приводит к замене т на —т, и можно показать, что
в действительности
R (л2) | т) = (—l)-"11 — т) (6.39)
и, следовательно, что R(n2)| p, m) = (— \)s~m I — р, — т) (если
вектор р находится в плоскости xz). (См. задачу 6,3.) Объединяя
этот результат с формулой (6.32) для оператора инверсии,
находим
М2|р, т> = (-1Гт|р, -т)
') Буква М в обозначении Мг происходит от английского слова mirror^
зеркало.

124 Гл. 5, Принципы инвариантности и законы сохранения
(опять-таки для любого вектора р, находящегося в плоскости xz)>
Поэтому, беря матричные элементы от равенства (6.38), находим,
что
<р', m'\ S| p, m> = (_ir'-"V, -m^Slp, -m>.
Соответствующие соотношения для амплитуд имеют вид /-н-=/
и /н_ = — f~+, а для функций ау b, c% d, введенных в (6.37),
имеем а = d и & = —с. Подставляя эти соотношения в
выражение (6.37), мы находим наиболее общий вид матрицы
амплитуд F, допускаемый инвариантностью относительно вращений и
инверсии:
F (£,е,Ф) =
/ а (£,8) 6(£,8)е-'П
= {-Ь(Е, в)^ а(£,в) J [R-иР-инвариантность]. (6.40)
В этом случае матрица амплитуд определяется ровно двумя
комплексными функциями от Е и 6 1).
Из (6.40) ясно, что сечение процесса с участием
определенных спиновых состояний может зависеть от азимутального
угла ф. Если, например, мы рассматриваем поперечно
поляризованный в направлении оси х падающий пучок, которому
соответствует начальный спинор
то сечение образования частиц с той же самой поляризацией
равно
■^(р',Х^Р,х) = 1х^ХР = |а|2-2(1тай*)81пф + 16|28т2ф.
Это совершенно противоположно результату, получающемуся
в случае бесспиновых частиц, когда из инвариантности
относительно вращений вытекает независимость сечения от угла ф.
Различие проистекает, конечно, из того, что любая поперечная
поляризация частиц со спином определяет выделенное
азимутальное направление—в случае бесспиновых частиц такое
невозможно. С другой стороны, по-видимому, ясно, что сечение для
неполяризованных частиц со спином не должно зависеть от ф,
потому что в этом случае не может быть какого-либо выделен-
1) В литературе используется несколько обозначений для функций а и Ь.
Наиболее популярны обозначения g и —ih\ Гольдбергер и Ватсон [2]
применяют обозначения f и g sin 0.

§ 6. Импульсный базис
125
ного азимутального направления. Это подтверждается
выражением (6.40), из которого мы находим
= |а(£,6)р + |6{£,9)р
[ин-спины не поляризованы, аут-спины не контролируются].
Альтернативный подход. Тот подход, который мы до сих пор
использовали, не очень удобен для обсуждения Т-инвариантно-
сти, так как оператор Т соотносит процессы (р', %' <-р, х) и
(— Р> Хт < Р> Хт) (гАе через хт обозначен спинор, получаемый
из х ПРИ обращении времени). Если мы хотим связать
последний процесс с таким процессом, в котором начальный импульс
направлен вдоль оси г, то мы должны выполнить вращение,
которое теперь зависит от р'. Вместо того чтобы заниматься этой
задачей, мы разовьем альтернативный подход. Для простоты
продолжаем обсуждать частный случай рассеяния частицы со
спином 1/2 на бесспиновой мишени.
Прежде всего отметим, что некоторые простые
преобразования позволяют нам переписать (6.40) в виде
/1 0\ / 0 — sincp — /coscp\
r v V0 \) V —smq> + *cos<p О /
или
F(p'+-p) = a(EpyQ)I + ib(Ep, в)п-о
[R-и Р-инвариантность],
(6.41)
где / — единичная 2 X 2-матрица, п — единичный вектор в
направлении п = рХр'[т. е. п — единичный вектор нормали к
плоскости рассеяния; п = (—sinqp, cosq), 0)], а через а обозначены три
матрицы Паули
a' = (i о)- °2 = С о)- СТз=(о -[)■
Такая форма матрицы амплитуд F подсказывает следующую
альтернативную аргументацию. Любую 2 X 2-матрицу можно
представить в виде линейной комбинации трех матриц Паули и
единичной матрицы. Таким образом, мы, несомненно, можем
записать (при любых р' и р)
F (р'«- р) = a (p'f р) / + ф (р', р). а (6.42)
с некоторыми функциями а(р', р) и MP» p) (i — 1, 2, 3).

126 Гл. в. Принципы инвариантности и законы сохранения
(В общем случаемы можем разложитьFпо [(2s\ + l)(2s2 + I)]2
соответственно выбранным матрицам. Очевидно, ввиду простых
свойств хорошо знакомых матриц Паули особенно легко
рассматривать случай частиц со спином 1/2.) Чтобы определить
характер коэффициентов аир, мы должны, конечно,
посмотреть, как ведет себя F при вращениях, которые мы теперь
рассматриваем. Как обычно, обозначаем результат вращения R
следующим образом:
P^>PR и %^%R = RS%>
где, поскольку нам теперь удобно работать со спинорами,
через R, обозначена (2s{ + l)(2s2+ 1)-мерная матрица вращения
в спиновом пространстве. (Здесь мы временно опять допускаем
произвольные спины.) Как мы видели в гл. 5, амплитуда общего
процесса (р', х'«-~Р» х) равна x'fF (р'«-р)х> и из инвариантности
относительно вращений следует, что
x'V(p'^P)x=XRt^(P«*-PR)xB
при любых х и %'- Отсюда вытекает соотношение
f(p'-p)-Rif(p;-p»)R,
[R-инвариантность], (6.43)
которое представляет собой не что иное, как обобщение на
частицы со спином результата / (р'«- р) = / (pR <- pR),
полученного для случая бесспиновых частиц.
Подставляя разложение (6.42) в это соотношение, находим:
а(р', р)/ + /Р(р\ р)-сг = а(Р;, Pr)/ + W(Pr> Pr) ' (R>R*)-
При преобразовании а-+ Rs<rRs три матрицы Паули преобразуются
друг через друга так же, как преобразуются компоненты вектора
при вращении, т. е. Rja,R, = Of/(R)a/f где через О обозначена
вещественная ортогональная 3 X 3-матрица вращения. Таким
образом, сравнение коэффициентов в написанном выше тождестве
показывает, что a(p', p) = ct(pR, pR), т. е. а —скалярная функция
от р' и р; в то же время функция P(pR, pR) должна
сопоставляться Р(р', р), подобно испытавшему вращение вектору, т. е.
р — ковариантная векторная функция от р' и р.
Мы уже знаем, что инвариантная относительно вращений
функция от р' и р фактически зависит только от Ер и 8
[см. (6.5)], поэтому можем сразу записать, как и ожидалось,
а(р', р) = а(£р, в). Чтобы найти общий вид векторной функции Р,
замечаем, что три вектора рХр' = п> р' + Р и p'.— р образуют

# в. Импульсный базис
127
ортогональную систему и могут, следовательно, быть
использованы для разложения любого вектора. Поэтому
(KpVp)-&n + c(p' + p) + d(p'--p), (6.44)
где величины Ь, с и d могут, конечно, зависеть от р' и р.
Далее, поскольку относительно вращений р является векторной
функцией от р' и р, постольку вращение векторов р' и р должно
приводить к тому же результату, что и преобразование самой
функции Р при вращении. Отсюда вытекает, что величины 6, с
и d инвариантны, и, следовательно, они зависят только от Ер
и 9. Таким образом, возвращаясь к (6.42), находим наиболее
общий вид F, допускаемый инвариантностью относительно
вращений:
F (Р'«-Р) = л/ + Фп + с(р' + р) + <*<р' - р)] а (6.45)
[R-инвариантность],
где четыре коэффициента a, bt с и d суть произвольные
функции £р и 6 [и некоторые линейные комбинации четырех функций
ау Ьу с, d, введенных в (6.37)].
Если четность — хорошее квантовое число, то аргументация,
аналогичная той, которая использовалась при получении
формулы (6.43), показывает, что
f(p'-p) = P^(~p'< p)Ps
и, следовательно (так как Р не изменяет о),
р(р', р)=р(-р',-р).
Поэтому если четность — хорошее квантовое число, то
коэффициенты с и d в (6.44) должны обращаться в нуль, и формула
(6.45) сводится к ожидаемому результату (6.41).
Наконец, из Т-инвариантности следует, как легко видеть,
соотношение
Р(р', Р) = ~Р(-Р, -Р')
(см. задачу 6.4 и вспомните, что оператор Т приводит к
изменению знака а). Отсюда вытекает требование, чтобы
коэффициент d в (6.44) обращался в нуль; и, следовательно, в
наиболее общем виде, допускаемом инвариантностью относительно
вращений и обращения времени, матрица F записывается так:
F (р'«- р) = а/ + i [bn + c(p' + р)] • а (6.46)
[R-и Т-инвариантность].
Из сравнения этого результата с формулой (6.41)
становится ясно, что в случае рассеяния частицы со спином 7г на

128 Гл. 6. Принципы инвариантности и законы сохранений.
бесспиновой мишени инвариантность относительно вращений и
инверсии автоматически влечет за собой инвариантность
относительно обращения времени; однако обратное утверждение
(т. е. что R и Т-*Р)* неверно. Позже мы увидим, что этот вьь
вод характерен только для рассмотренного частного случая, а
вообще же обращение времени и инверсия друг от друга
совершенно не зависят.
Аналогично можно проанализировать общий случай двух
частиц с произвольными спинами, но анализ оказывается здесь,
естественно, гораздо более сложным (см. задачу 6.5).
§ 7. Принципы инвариантности для частиц
со спином в моментном базисе
Как и при рассеянии бесспиновых частиц, альтернативный
способ использовать инвариантность относительно вращений
основывается на рассмотрении 5-матрицы в базисе момента
количества движения. В настоящем случае из инвариантности
относительно вращений вытекает, что оператор рассеяния S для
относительного движения коммутирует с оператором полного
момента количества движения J = L+S1 + S2. Чтобы
воспользоваться этим обстоятельством, мы выберем базисные векторы ка*
собственные векторы операторов J2 и J3« Построение этих
векторов производится стандартным способом. Мы исходим из
собственных векторов |s, m) полного спина и образуем их
произведения на собственные векторы орбитального момента |£, /, /л):
| £, /, 5, mh ms) = | £, /, rrti) ® | s, ms).
Затем мы „объединяем" I и 5, образуя векторы
|£, /, 5, /, m)= 2 \EJt s, mhms)(tsmlms\jm)1 (6.47)
mr ms
где (lsmitns \jm) — соответствующие коэффициенты Клебша —
Гордана.
Так как оператор S коммутирует с J, его матричные
элементы в этом базисе имеют вид
<£', Г, s\ /', пС | S | £, I, s, u пг) - 6 (£' - Е) *пЪт.т*\.<ш „ (Е)
[R-инвариантность]. (6.48)
Мы получили аналог результата, выражаемого в случае
бесспиновых частиц формулой (6.9), и по тем же самым причинам, на
которые мы ссылались при выводе этой формулы, числа s{Vt ls (E)
не зависят от т. Данный вывод означает, что для системы,
инвариантной относительно вращений, оператор S диагоналей по

$ ?. Моментный базис
i2d
переменным £, /', пг и при данных значениях Е и /' определяется
не зависящей от пг матрицей S7'^), составленной из чисел
s{Vf ls (£). Столбцы матрицы Sf (E) индексируются парами
чисел (/, s) в начальном состоянии, строки — соответствующими
парами (/', s') в конечном состоянии; размерность матрицы
равна в точности числу различных значений / и s, которые могут
давать вклад в (6.47) при данном /.
Как и в бесспиновом случае, унитарность оператора S
особенно наглядна в этом представлении. В действительности, как
легко проверить, из унитарности просто следует, что каждая
матрица S/ (Е) унитарна. В частном случае 5i = s2 = О эта
матрица одномерна и сводится к привычной exp[2i6z(E)].
Легко изучить следствия Р- и Т-инвариантности. Хорошо
известен результат действия Р на собственные состояния
орбитального момента:
Р|£,/,т> = (-1)'|£,/,т).
[Он следует из тождества КГ(— х) = (— 1)' Y? (х).] Поскольку
оператор Р оставляет спины неизменными, мы имеем
Р|£,/, s,/\m) = (-l)'l £,/,*,/, m\
т. е. базисные векторы углового момента суть собственные
векторы оператора Р четности (—\)1. Если динамика Р-инвариантна
и S, следовательно, коммутирует с Р, то оператор рассеяния S
не может связывать состояния с различной четностью. Таким
образом, те матричные элементы, у которых разность V—I
равна нечетному числу, должны обращаться в нуль. В
частности, если предположить существование инвариантности
относительно инверсии и вращений, то мы получим просто
si's'.is№) = 0 при нечетном (/' — /) [R- и Р-инвариантность].
Из-за этого соотношения количество элементов в каждой
матрице $*{Е) уменьшается приблизительно вдвое.
Действие антилинейного оператора обращения времени Т
таково:
Т| £, I, s, и т) = {-\)1~т\ Еу /, 5, /, - т)
(см. задачу 6.7). Поскольку из Т-инвариантности вытекает
(в точности, как прежде) равенство {% \ S | <f>) = ^т | S J xT), то
матричные элементы для процессов
(E\l'9s',j'9m'«-E,l,s,j7m) и (£,/,s, jy—m<-E', Г, s', \\—m')
равны друг другу с точностью до множителя (—ijj-j'-wm-wi'. Если
мы предположим также существование инвариантности
относительно вращений, то матричные элементы будут отличны от нуля
5 За к. 306

130 Va. 6. Принципы инвариантности и законы сохранений
только при (£', /', т!) = (£, /, т) и не будут зависеть от т. Для
матрицы $>(Е) этот результат приводит к соотношению
si's\ is (E) — s{$, I*? (Е) IR" и Т-инвариантность],
которое означает, что матрица S'(£) симметрична.
Итак, инвариантность относительно вращений приводит
к тому, что при данных Ей/ рассеяние определяется матрицей
SHE). Инвариантность относительно вращений и инверсии
приводит к тому, что равны нулю те элементы матрицы S', для
которых разность V—/ равна нечетному числу. Инвариантность
относительно вращений и обращения времени приводит к тому,
что матрица Sj симметрична.
Мы можем опять проиллюстрировать наши результаты на
простом примере рассеяния частицы со спином 7г на бесспиио-
вой мишени. Поскольку в этом случае спин существует только
у одной частицы, для получения полного момента / нужно просто
сложить спин s = 7г с орбитальным моментом /. Возможные
значения / равны полуцелым числам 72, 3/2i .... каждое из которых
возникает из двух возможных значений /, а именно / ± 7г- Таким
образом, инвариантность относительно вращений приводит
к тому, что для каждого значения / рассеяние определяется
унитарной 2 X 2-матрицей S'(£). Ввиду того что два значения /,
соответствующие / = / ± 7г> отличаются друг от друга на
единицу, инвариантность относительно инверсии означает, что оба
недиагональных элемента матрицы S' равны нулю. Тем самым
S'— это диагональная унитарная матрица, которую
можно, следовательно, представить в виде
, лч о V-/-+'/.
S;=H , [R- и Р-инвариантность]. (6.49)
V 0 e2i6-J+-l = j-%
Поскольку диагональная матрица, несомнено, симметрична, мы
снова убеждаемся в том, что инвариантность относительно
вращений и инверсии приводит к инвариантности относительно
обращения времени. Очевидно, что этот результат имеет место
только потому, что размерность матрицы S' равна двум; в
общем же случае Р и Т совершенно независимы.
Связь между импульсным базисом и базисом момента
количества движения можно установить стандартным способом, хотя
вообще она довольно сложная. Для нашего примера рассеяния
(спин 1/г) — (спин 0) расчет, совершенно аналогичный
проделанному в гл. 6, § 3, приводит к выражению амплитуд через
матричные элементы в базисе момента количества движения.
В случае максимальной симметрии (вращения и инверсии) для

Задачи
131
амплитуды без переворота спина получаем выражение
а (Я, 9) = Z [(/ + 1) f + (Я) + If; (Е)] Pt (cos 9) % (6.50)
тогда как для амплитуды с переворотом спина имеем
Ь (Е, 9) = £ [/+ (Е) - /Г (£)] sin ЪР\ (cos 9). (6.51)
Здесь мы ввели парциальные амплитуды
2/б{ (Е)
//(£)= * 2/p"] [p-(2mE)IA].
причем ff = f\±4\ а через Р, (z) обозначена производная от
полинома Лежандра Р/(г) (см. задачу 6.9).
Как и в случае бесспиновых частиц, эти ряды по
парциальным волнам особенно полезны при низких энергиях, когда, как
правило, отличны от нуля только фазовые сдвиги 6^
соответствующие малым значениям L Например, в рассеянии пионов на
нуклонах можно получить хорошее описание экспериментальных
данных вплоть до энергий порядка 200 МэВ, если предположить,
что все фазовые сдвиги с / ^ 2 равны пулю. При этом
амплитуды а и b выражаются через три вещественных параметра
6,+, б/" и 6Г.
Задачи
6.1. а) Используя определение антиунитарного оператора W, покажите,
что
в противоположность результату (1)Ф, иа|)) = {Ф, ф) для унитарных
операторов).
б) Покажите, что WfW = 1 и, следовательно, что WW+=L
(Посмотрите еще раз доказательство соотношения UU **= I, проведенное в гл. 1, § 4.)
в) Покажите, что оператор комплексного сопряжения координатной
волновой функции антиунитарен.
6.2. Рассмотрите рассеяние двух бесспиновых частиц, когда их
гамильтониан не обязательно инвариантен относительно вращений.
а) Покажите, что инвариантность относительно преобразования РТ (пол*
иого отражения) приводит к тому, что 5-матрица в импульсном пространстве
оказывается симметричной.
б) К каким следствиям для б'-матрицы в базисе момента количества
движения \Е,1, т) приводит инвариантность относительно преобразования РТ?
Чтобы ответить ма этот вопрос, вам потребуется показать, исходя из
определения (6.6) для вектора \Е, I, m), что
Т | Е, U т) =- (—\)1~т | Е, /, - т). (6,52)
Вспомните, что Yf = (— \)т Yfm.
5*

132 Гл. 6, Принципы инвариантности и законы сохранения
в) Если S-оператор представляется симметричной матрицей в одном
представлении, то будет ли то же самое иметь место в любом другом
представлении? Ответ обсуди ге.
6.3. Чтобы разобраться в хлопотном вопросе о фазовых множителях,
возникающих при действии различных операторов симметрии, рассмотрите одну
частицу со спином 7г- В этом случае принятые нами соглашения просто
означают, что спин задается обычными матрицами Паули.
а) Проверьте справедливость равенства (6.39) R (я2) | /и)—(—l)s~ml—/л).
б) Очевидно, имеет место соотношение Т | ±)*= т\± | Ф), где х\± —
некоторые фазовые множители. Используйте тот факт, что оператор Т изменяет
знак любого спинового состояния на противоположный (скажем, состояние,
в котором направление спина совпадает с положительным направлением оси х,
преобразуется в состояние, в котором направление спина совпадает с
отрицательным направлением оси х) для доказательства соотношения т]+ = —г]_.
Покажите, что можно так подобрать общий фазовый множитель для
оператора Т, чтобы выполнялось равенство (6.33): Т | т) «■ ( — l)s~m | — т).
в) Означают ли результаты, полученные в пунктах а) и б), что операторы
R (л2) и Т в сущности тождественны друг другу?
6.4. Инвариантность относительно обращения времени приводит к
равенству S-матричных элементов и, следовательно, амплитуд рассеяния для
процессов
(р7. X <- Р. %) и (— р, %т +~ - р'. Хт)»
где Ху358 Т$Х ~ обращенный во времени спинор, полученный из %.
а) Дайте вывод соотношения F (р «- р) = lfsF (— р < р/) Ts.
б) Покажите, что при рассеянии частицы со спином 7а на бесспиновой
мишени коэффициент Pip', р) из (6.42) удовлетворяет равенству (i (р'т р) =
= — Р(— р, — р'), если имеет место Т-инвариаптность; выведите отсюда
выражение (6.46) для матрицы амплитуд. (Вспомните, что оператор Ts антиу-
нитарен и что он удовлетворяет равенству Т^аТ^ = —а. Может сказаться
полезной запись величины % F% в виде {%', F%).)
6.5. В случае рассеяния частицы со спином ]/2 на бесспиновой мишени
2 X 2-матрица амплитуд F была записана в виде разложения по четырем
независимым матрицам / и о. Для инвариантной отосительно вращений
системы это разложение приводит к выражению (6.45) с четырьмя
независимыми скалярными амплитудами. Выполните соответствующий анализ для
рассеяния (спин 1/г) — (спин 7г) (например, для рассеяния нейтронов на
протонах), действуя в следующей последовательности ').
Сначала следует представить матрицу амплитуд F в виде разложения
по 16 независимым матрицам. Эти последние удобно выбрать в виде
произведений матриц I \ <J ' и I \ о*2\ относящихся соответственно к
частицам 1 и 2. Тогда получаем
F^al + fl^ + y^ + e^Wp
(по повторяющимся индексам производится суммирование). Покажите, что из
R-инвариантности вытекает, что а — инвариантная скалярная функция отр'
г) Классическими работами по этому вопросу являются статьи [16, 17].
Скалярные амплитуды, которые вы получите, называются параметрами Волъ-
фенштейна.

Задачи
133
и р, что Pi и уг определяют векторные функции, а е^ является тензором.
Используйте тот факт, что пространство R3 натянуто на три вектора
п == р X р'» Q = р' — Р и к =■ р' + Pi чтобы выразить fy, у* и £// через
произведения п, q и к со скалярными коэффициентами. Покажите, что в
случае одной только R-инвариантности остаются независимыми 16 амплитуд,
в случае R- и Р-инвариантнссти их 8, при R- и Т-инвариантности имеем 10,
я при R-, Р- и Т-инвариантности 6 независимых амплитуд. [Если частицы
тождественны (например, при рассеянии протонов на протонах), это последнее
число уменьшается до 5, как мы увидим в гл. 22.]
6.6. Покажите, что унитарность оператора S приводит к тому, что опре«
деляемая (6.48) матрица Sj(£) оказывается унитарной. (Любое
доказательство, не укладывающееся в несколько строчек, будет слишком длинным.)
6.7. Покажите, что при наших условиях на фазовый множитель действие
оператора обращения времени на собственные состояния оператора момента
количества движения выражается формулой
Т | Я, /, 5, у, т> - (—1 )'~т | Е, /, s, U - «>•
Преобразование состояния |£, /, т\), задаваемого орбитальным моментом,
описывается формулой (6.52), а преобразование спинового состояния |s, тй) —
формулой (6.33). Интересующие пас состояния можно записать с помощью
коэффициентов Клебша — Гордана в виде (6.47). Для дальнейшего вам
понадобится только знать, что коэффициенты Клебша — Гордаиа (при
соглашениях, принятых в книге Кондона и Шортли) вещественны и что для них имеет
место соотношение
(/, $, тг т$ |/, т) — (—1 )'-'-* (/, $t — тг — ms | /> — го>.
6.8. Предполагая инвариантность относительно вращений, обсудите вопрос
о форме матрицы S*(£) рассеяния (спин 1/2) — (спин 1/г)- Объясните, каким
образом нумеруются строки и столбцы этой матрицы. Изучите дополнительные
следствия прч инвариантности относительно инверсии, обращения времени и
того и другого вместе. В частности, подтвердите результаты задачи 6.5.
6.9. Используйте методы, развитые в гл. 6, § 3, для вывода разложений
по парциальным волнам (6.50) и (6.51) амплитуд рассеяния (спин 1/г) —
(спин 0), если предполагается выполнение R- и Р-инвариантности. Вам,
очевидно, потребуются коэффициенты Клебша — Гордана (lsmtm9\jm) t с
помощью которых от / и 5 = V* переходят к полному моменту /:
«5 *= + -£ т* = — у
1 ^ 2 \ 2l+\ J \ 21 + 1 J
l~l — j ~\2l+\ ) V 21 + 1 )

ГЛАВА 7
ЕЩЕ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ
В данной главе 1) мы обсудим еще две темы, связанные с
рассеянием частиц со спином. В § 1—3 мы опишем формализм
спиновой матрицы плотности, который дает наиболее
удовлетворительный метод обработки экспериментов с участием неполя-
ризованных пучков и мишеней. Затем в § 4 и 5 обсудим, каким
образом используется квантовое число спиральности, которое
определяется как проекция спина частицы на направление ее
движения. Мы увидим, что из-за инвариантности спиральности
относительно вращений (в отличие от z-компоненты спина)
базис собственных состояний спиральности значительно удобнее
более привычного базиса собственных состояний оператора S3«
§ 1. Поляризация и матрица плотности
В гл. 5 мы обсуждали измерение сечений в случае полностью
неполяризованных частиц и установили, что если желательна
полная информация об амплитудах рассеяния, то необходимо
производить эксперименты с поляризованными частицами. К
сожалению, получить полностью поляризованное состояние очень
трудно, и в большинстве экспериментов можно в лучшем случае
надеяться на получение мишени и пучка, находящихся в
известных состояниях с частичной поляризацией. Например, если
попытаться сориентировать частицы мишени (имеющие спин 5 и
магнитный момент ц), помещая их в магнитное поле В, то при
любой температуре Т частицы распределятся по (2s + 1)
состояниям \т) в соответствии с множителем exp(m[iB/kT) в
распределении Больцмана. Усиливая поле В или понижая
температуру Г, мы можем увеличить относительную долю частиц,
находящихся в единственном наинизшем состоянии; тем не менее
в каждом из (2s + 1) состояний всегда будет какое-то число
частиц. С описанием таких ситуаций еще можно справиться с
помощью усреднений по спиновым состояниям (в основном для
этого применяется формализм гл. 5, § 4), но в общем такое
J) Всю эту главу можно пропустить без серьезного ущерба для понимания
последующих глав.

§ 1. Поляризация и Mutpuii,a пЛотндсти
135
усреднение может превратиться в очень громоздкую процедуру.
К общей задаче несравненно лучше подходить, используя
аппарат квантовомеханической матрицы плотности, который мы
опишем в настоящем параграфе.
Как читатель, вероятно, помнит, про квантовомеханическую
систему говорят, что она находится в чистом состоянии |\р), если
известно, что эта система находится в состоянии, определяемом
каким-то вектором |if). С другой стороны, если мы знаем только,
что с вероятностью о>< система находится в одном из различных
состояний |г|з'), то мы говорим, что эта система находится в
смешанном состоянии, которое удобно характеризовать самосопря*
женным оператором плотности
p-£f*il *'><+'I, (7.1)
где весовые множители w{ удовлетворяют равенству 2 Щ = U
а векторы \ф) предполагаются нормированными (хотя и не
обязательно ортогональными). Так как среднее значение результата
большого числа измерений наблюдаемой А в состоянии |\|>f)
равно {ф\А \ф), то соответствующее среднее значение для
смешанного состояния с весовыми множителями W\ равно
]С о;* (V I Л! ф')- Эта величина при помощи некоторых простых
преобразований сводится к хорошо известному выражению
{A)0=SpA?.
(7.2)
Символ Sp указывает здесь на вычисление следа, т. е.
SpB^£(rt|B|rt>
П
в любом ортонормированном базисе {\п)}. В частном случае,
когда система действительно находится в чистом состоянии |ф),
имеем
р—I Ф)(Ф I [чистое состояние]
и, конечно,
<Л>Р ^ Sp Лр = <ф | Л | ф>.
Как легко проверить, необходимым и достаточным условие^
того, что оператор плотности р представляет чистое состояние,
является выполнение равенства р2 — р. Вопрос о том, в каком
состоянии находится система — в чистом или смешанном,-^
однозначно определяется видом оператора плотности р этой
системы, Если для двух систем операторы плотности р

136
Гл. 7. Частицы со с Пином
тождественны» то все возможные измерения над системами
дадут тождественные результаты, и наоборот1).
Легко показать, что для оператора плотности, определенного
выражением (7.1), выполняется равенство Spp = 1. Однако
часто оказывается удобным ослабить это условие нормировки и
использовать оператор р из (7.1), умноженный на произвольную
константу. В этом случае величина {А)9 равна
Если мы рассматриваем в качестве нашей системы частицу
со спином s (и временно игнорируем ее степени свободы в
обычном пространстве), то по отношению к любому ортонормирован-
ному базису оператор р становится (2s + 1)-мерной матрицей,
которую называют матрицей плотности. Если частица находится
в чистом состоянии |х), то р = |x)(xl» чт0 соответствует матрице
плотности для полностью поляризованного пучка или полностью
поляризованной мишени. Другой крайностью является матрица
плотности для полностью неполяризованиой частицы. В гл. 5 мы
определили систему неполяризованных частиц как такую
систему, в которой каждое из (2s + I) состояний любого ортонор-
мированиого базиса оказывается равнозаселеппым. Матрица
плотности, описывающая такую ситуацию, равна просто
P = Sl7TTlm><m| = I7tr/' (7'3)
где / — (2s + 1)-мерная единичная матрица. То есть матрица
плотности для неполяризованиой системы кратна единичной
матрице в согласии с общим выводом о том, что матрица плотности
р = cl соответствует системе, состояние которой совершенно
неизвестно.
Тот факт, что результат (7.3) не зависит от выбора ортонор-
мированного базиса, вызывает удовлетворение, так как мы,
разумеется, хотим, чтобы наше определение неполяризованиой
системы было не зависящим от базиса. (Это означает, например,
что неполяризованиыи пучок электронов можно рассматривать
как состоящий из частиц, 50% которых имеет спин,
направленный вверх, а 50% —вниз, или, альтернативно, как состоящий из
частиц, 50% которых имеют спин, направленный вправо,
а 50% —влево; любая точка зрения приводит к одной и той же
матрице плотности и, следовательно, соответствует одной и той
же экспериментальной ситуации.) Тем не менее едва ли можно
считать естественным определение неполяризованиой системы
]) Мы игнорируем известные усложнения, возникающие из наличия
правил суперотбора.

§ J. Поляризация и матрица плотности
137
как такой системы, в которой в (2s + 1) состояниях некоторого
базиса находится по одинаковому количеству частиц.
Применительно к любой типичной экспериментальной системе (пучок
частиц, вылетающих из циклотрона, газ атомов мишени и т. д.)
гораздо естественнее было бы определить неполяризоваиную
систему как такую, в которой спины ориентированы случайным
образом. Мы можем теперь показать, что эти два определения
в действительности эквивалентны. Характерное свойство системы
со случайно ориентированными спинами состоит в том, что
вращение всех спинов не должно влиять на измерение любой
зависящей от спина наблюдаемой. Это означает, что для
соответствующей матрицы плотности выполняется соотношение р =
= Rs+pRs, где Rs — символ (2s + 1)-мерной матрицы
произвольного вращения. Далее, из теории группы вращений известно
(лемма Шура), что единственными (2s -J- 1)-мерными
матрицами, коммутирующими со всеми матрицами вращения,
являются матрицы, кратные единичной. Поэтому р = с/, и,
принимая во внимание нормировку, мы видим, что матрица р как раз
вида (7.3). То есть наши два определения неполяризованной
системы приводят к одной и той же матрице плотности и,
следовательно, полностью эквивалентны (что и утверждалось заранее
в гл. 5, § 4).
Подведем итоги. Матрица плотности для частицы со
спином s есть (2s + 1)-мерная эрмитова матрица р,
нормированная обычно так, чтобы Sp p = 1. Матрица плотности,
соответствующая полиостью поляризованной частице, характеризуется
свойством р2 = р; для полностью неполяризованной частицы она
имеет однозначный вид р = (2s + 0~1 Л а любая матрица р, не
обладающая пи тем, ни другим из этих свойств, соответствует
частично поляризованному состоянию.
Для частицы со спином */г формализм матрицы плотности
принимает особенно простой вид. Матрица плотности
оказывается эрмитовой 2 X 2-матрицей и потому выражается через
три матрицы Паули и единичную матрицу:
р=*Я(1+я.а) (7.4)
с вещественными коэффициентами А, и л. Так как у матриц
Паули след равен нулю, то Sp р = 2Л, причем К = ]/2, если мы
хотим, чтобы матрица р была нормированной. Вещественный
вектор я (который часто обозначается через Р) называется
вектором поляризации. Он обладает следующими свойствами
(которые читателю поручается проверить самому).
1) Вектор я равен удвоенному среднему значению спина,
т. е. я = (а)р и, следовательно, 0^|n|^lf

138 Гл. 7. Частицы со спином
2) Если |я|= 1, то р представляет полностью
поляризованное чистое состояние, которое является собственным
состоянием проекции спина на направление вектора я.
3) Если я —0, то частица полностью не поляризована.
4) Если 0<|я|< 1, то частица находится в частично
поляризованном состоянии.
Ввиду этих простых свойств часто оказывается удобным для
описания спинового состояния частицы со спином 7г
использовать вектор поляризации я, предпочитая его как спинору, так
и матрице плотности.
Обобщение формализма матрицы плотности на случай двух
частиц со спинами s\ и s2 производится непосредственно. Так как
детально мы будем рассматривать только один пример такого
формализма, а именно рассеяние (спин х/2) — (спин 0), то
ограничимся указанием, что в общем случае размерность матрицы
плотности р равна, очевидно, (2s i + 1) (2s2 + 1).
До сих пор мы игнорировали степени свободы частиц,
связанные с обычным пространством. Если движение частиц в обычном
пространстве описывается чистым состоянием \ф) (в
пространстве 5#npocTp)i в то время как по спинам частицы находятся
в смешанном состоянии, которое описывается оператором
плотности р (действующим в пространстве ^спин). то можно,
естественно, построить соответствующий полный оператор плотности,
а именно оператор (\ф){ф\)®р. Впрочем, на практике столь же
удобным оказывается гибридное описание, в котором
используются вектор \ф) и матрица р. В теории рассеяния фактически
существующее начальное состояние является обычно смешанным
состоянием как по отношению к пространственным, так и по
отношению к спиновым степеням свободы. Однако мы уже описали
соответствующий процесс усреднения по начальным
пространственным волновым пакетам и знаем, что для вычисления
сечений необходимо только рассмотреть собственные состояния
импульса. Их мы идентифицируем вектором lph p2) вместе с
соответствующей спиновой матрицей плотности р.
§ 2. Матрицы плотности начального
и конечного состояний
Теперь вернемся к задаче рассеяния. Мы видели в гл. 5, § 5,
что если частицы в начале столкновения имели относительный
импульс р и находились в чистом спиновом состоянии Хин и если
мы наблюдаем, что после столкновения они летят в
направлении р', то спиновое состояние после столкновения описывается
спинором
%шГ*=Р (р'«-р)3&».

§ 2. Матрицы плотности
№
Если || Хин II — Ь то спинор Хаут нормирован на вероятность того,
что частицы вылетают в направлении р' (независимо от их
спина). Таким образом, если до столкновения частицы находятся
не в чистом спиновом состоянии Хин, а в смешанном состоянии
с матрицей плотности ])
то соответствующая матрица плотности в конечном состоянии
для частиц, вылетающих в направлении р', равна
Раут = Е ю, | Х1аут) <Xjy.T | = I w,F | xiH) (Xi„ | ^
или
I Раут=/?(р/*-Р^Рн^ Р'-Р^ | (7.6)
Поскольку спиноры Хаут не нормированы, постольку не
нормирована и матрица раут- Для величины Sp pnyT существует про-
стая интерпретация. Мы видели, что величина Нхаут112 есть просто
сечение процесса, в котором частицы, имевшие до столкновения
относительный импульс р и спин Хкп* после столкновения
наблюдаются вылетающими с относительным импульсом р' и с любым
спином. Это утверждение составляло содержание формулы
(5.12), которую мы переписываем в виде
-25Г(р' *" Р' *ин) =" *аУт "2 = Z & 'Ха^ (*»ут I ^ =
г
= Sp| Хаут) (Хаут I [аут-спины не контролируются].
Соответствующее сечение для случая смешанного начального
состояния, определяемого матрицей плотности (7.5), получается
усреднением этого выражения по начальным спинам с весовыми
множителями Wf.
-g"(p'<-p, Рин) = £>/-^(Р'<-Р, х£н)-
i
= 5>,sP|xiyT)<xiyT|
i
l) Пурист может не без оснований возразить, что если я желаю
рассматривать р как матрицу, то я должен использовать запись XX+ вместо дн-
раковской записи |х) (х[- Мне представляется, что в нашем случае ясность
обозначений Дирака перевешивает эту небольшую непоследовательность.

140
Гл. 7. Частицы со спином
или
-^-(Р'«-Р, pHH)=SppayT
[аут-спины не контролируются].
(77)
Итак, спиновая матрица плотности раут = FpmiF содержит
всю информацию, относящуюся к эсперименту с начальным
относительным импульсом рис начальными спинами,
определяемыми матрицей рин. Нормировка этой матрицы SppayT
определяет полное число частиц, вылетающих в направлении
р' с любым спином. А результат измерения любой величины,
зависящей от спина этих вылетающих частиц, равен {А)&ут =
= 5р(Лраут)/5р рауТ) для любого зависящего от спина
оператора А.
В следующем параграфе мы применим эти результаты к
рассеянию (спин 7г) — (спин 0). В этом случае нам уже
известны общие выражения для марицы р„„ через вектор
поляризации Лин и для амплитуды F [(7.4) и (6.41)
соответственно]. Следовательно, можно выписать соответствующую матрицу
раут и потому выразить сечение и поляризацию в конечном
состоянии лаут непосредственно через начальную поляризацию
Лии» Мы применим полученные результаты для обсуждения
двух экспериментов. В первом из них амплитуды известны, и
измерение сечений используется для определения исходной
поляризации яИц. Во втором амплитуды неизвестны, и мы
обсуждаем тщательно подобранную последовательность
экспериментов, которые необходимы для измерения амплитуд.
§ 3. Поляризационные эксперименты при рассеянии частицы
со спином Чг на бесспиновой мишени
При рассеянии (спин 7я) — (спин 0) наиболее общий вид
матрицы амплитуд F, согласующийся с инвариантностью
относительно вращений и инверсии, есть (6.41 )1):
F(p'*-v) = a{Q)I + lb(Q)n-o,
где п — единичный вектор нормали к плоскости рассеяния
(п = рХрО- Начальное спиновое состояние (чистое или
смешанное) можно задать вектором поляризации яИн, через
который начальная матрица плотности выражается в виде
Рин—уП +Яик**1-
1) Везде в этом параграфе мы опускаем переменную В в функциях а(Е,§)
и т. д.

§ 3. Поляризационные эксперименты 141
Согласно (7.6), спиновая матрица плотности для тех частиц,
которые вылетают в направлении р', следовательно, равна
Раут = ^(р'^р)Рин^(р'*-р)* =
= у (а + ibn • а) (1 + *ин • о) (а* - ibmn • от). (7.8)
Используя тождество
(u-a)(v-a) = U'V + /(iiXv)'a
и записывая несколько строчек алгебраических
преобразований, мы можем представить (7.8) в виде
раут = |( \а Р + | 6 Р + 2 Imaft*n • *HiI)[l +яаут • a], (7.9)
где вопрос о точной форме вектора лаут пока остается открытым.
Согласно результатам предыдущего параграфа, сечение
рассеяния в направлении р' при любом конечном спине равно
просто величине SppayT. Поскольку у матриц Паули след равен
пулю, эта величина в точности совпадает с выражением,
стоящим в круглых скобках в (7.9), которое мы перепишем в виде
-35-<Р'«-Р, ^ин) = [ I a (9) |2 + I 6 О) |21 [ 1 + v (9) n - JtHlf]
[аут-спины не контролируются], (7.10)
где введена функция v(9) [обозначаемая часто через Р(8) или 5(8)]
, 2ЫаЬ*
В частном случае неполяризованного начального пучка
(яшг = 0) это сечение сводится к величине
-g-(P'^P> ^н = 0)==|а(9)|2 + |6(в)Р
[ин-спины неполяризованы, аут-спины не контролируются],
что в точности совпадает с сечением, выведенным в гл. 6, § б
при помощи элементарной процедуры усреднения по
начальным и суммирования по конечным спинам.
Если начальный пучок поляризован (яин^0), то величина
<v(8)n-*HB~v(9)|n;llll|cosq>

ш
Гл. 7. Частицы сб citunOM
в формуле (7.10) приводит к зависимости сечения от
азимутального угла <р в виде cosq)1). Если амплитуды а и Ъ (и,
следовательно, функция v) известны, то измерение этого сечения
дает возможность определить п-яи„ и, следовательно, лпн. Если
же известна начальная поляризация яин> то указанное
измерение дает возможность определить функцию v, рассматривая
которую вместе с функцией (|а|2 + |6|2), мы получаем две из
трех величин, необходимых для определения амплитуд а и Ь
(с точностью до их общего фазового множителя).
В качестве первого примера приложения этих идей
рассмотрим измерение поляризации образующихся в р-распаде
электронов при наблюдении их рассеяния на заряженных ядрах2).
Такие электроны обычно релятивистские, но ведь и зависящие
от спина эффекты, которые мы желаем обсудить, проявляются
только при релятивистских энергиях. Впрочем, анализ
поляризации производится по существу одинаково как при
релятивистских, так и при иерелятивистских энергиях.
Поскольку взаимодействие электронов с ядрами известно
(кулоновское), соответствующие амплитуды можно рассчитать
явно. (В релятивистском случае этот расчет был впервые
выполнен Моттом, и потому указанный процесс известен как
моттовское рассеяние.) Поэтому функции a, b и, следовательно,
v известны. Это означает, что измерение сечения (7.10) дало
бы нам возможность определить п • я„н и, следовательно, яНП.
Сразу возникает трудность из-за того, что в р-распаде
рождаются продольно поляризованные электроны, т. е. вектор
поляризации я этих электронов параллелен их импульсу р: в
каком бы направлении ни происходило рассеяние, величина
п-Яип все равно равна нулю и желаемый эффект пропадает.
Эту трудность можно преодолеть, если изогнуть электронный
пучок на 90° при помощи электрического поля. Такое
преобразование не влияет на спины3), и мы получаем в
результате поперечно поляризованный пучок, направление
импульса которого совмещаем с осью 3, а направление
поляризации— с осью 2 (фиг. 7.1). На пути электронов помещается
1) Утверждая это, мы предполагаем следующую геометрию: вектор р
направлен, как обычно, вдоль осн 3, а вектор яин лежит в плоскости yzy и его
направление определяется полярным углом а. Тогда
п • яин = [ яин | sin a cos <p.
2) Эксперимент, описанный здесь в сильно упрощенной форме, был
выполнен Гринбергом и др [18] Заинтересованный читатель может найти в этой
работе дальнейшие подробности и литературу.
3) Вообще говоря, следует принять во внимание то. что быстро
движущиеся в электрическом поле электроны испытывают действие магнитного
поля. Поэтому их спины слегка прецессируют.

§ 3. Поляризационные эксперименты
143
кусочек золотой фольги, и рассеяние наблюдается при помощи
двух тождественных счетчиков. Последние расположены в
плоскости xz на равных расстояниях от мишени и под равными
углами влево и вправо от начального направления пучка.
Число отсчетов в каждом счетчике пропорционально сечению da/dil
и равно, согласно (7.10),
iV-ndQ(k|2 + |6|2)(l+vn^HH).
(Здесь п — полное число падающих электронов, умноженное
на число ядер мишени, приходящихся на единичную площадь
^*— Левый счетчик
J) регистрирует
I NL частый, с
— з
Правый счетчик
регистрирует
~^~Nk частиц с
Фиг. 7.1. Кобальтовый источник испускает при р-распаде продольно поляри*
зованные электроны.
Эти электроны поворачиваются на 93° электрическим полом и образуют поперечно
поляризованный пучок. Идентичные счетчики, расположенные под равными углями относительно
направления падающего пучка, измеряют лево-правую асимметрию е^Л^—ЛГ/^ДЛ^ + Л^).
фольги, a dfi — телесный угол, охватываемый каждым
счетчиком.) Так как оба счетчика расположены под одним и тем
же полярным углом 8, разница между ними только в том, что
нормали к плоскости рассеяния nL и п^ направлены для них
противоположно: nL = — nR = 2. (Вспомните, что п = рХ р'.)
Поэтому последний член в выражении для N имеет
противоположные знаки для NL и NR. В частности, если образовать
отношение, характеризующее асимметрию в = (NL — NR) /
l(NL + NR)t то все другие множители сокращаются и мы
получаем
g-^ + ^=v(6)2^HH. (7.11)
Поскольку функция v(6) известна и поскольку мы условились,
что вектор Яин направлен вдоль оси 2, измерение асимметрии е

Кобальтовый источник

144
Гл. 7. Частицы со спином
дает возможность определить начальную поляризацию
электронов 1).
В этом примере эксперимент по рассеянию электронов на
ядре, в котором амплитуда F известна, был использован для
измерения начальной поляризации электронов. Ситуация
оказывается более сложной в том случае, когда амплитуда
неизвестна (как, например, в ядерных столкновениях), и мы
желаем использовать экспериментальные данные для ее
определения. В качестве примера такого процесса рассмотрим
рассеяние протонов на бесспиновом ядре, например на ядре
атома углерода.
Первое затруднение, с которым мы встречаемся в этом
втором примере, состоит в том, что из циклотрона выходит не-
поляризованный пучок протонов. Мы уже указывали, что при
таких обстоятельствах (и при отсутствии чувствительных
к спину счетчиков) из единственного эксперимента по
рассеянию можно найти только сечение для неполяризованных
частиц |а|2 + |Ь|2. Чтобы получить дополнительную информацию,
мы должны уметь преобразовывать первоначально неполяри-
зованный пучок в поляризованный.
Решение этой задачи основывается на следующем факте:
даже если первоначалыю пучок был иеполяризованпым, после
столкновения он оказывается поляризованным. Чтобы
убедиться в этом, нам потребуется выражение для конечной
поляризации Лаут, которое мы не стали расписывать в (7.9) Его
легко получить в частном случае яин — 0, потому что тогда
рин = 7г/ и, следовательно,
Раут = Fp^F* = у (а + Ibn • о) (а* — ib*n • о) =
= y(|a[2 + |6(2)[l+v(e)ii.a] [лин = 0],
где, как и прежде, v = (2Imab*)/(|a|2 + |6|2). Отсюда сечение
для неполяризованных частиц Sp раут равно (|а|2 + |6|2) (как
мы уже знаем), а конечная поляризация равна
*ayT = v(9)n [*„ —0J.
Таким образом, рассеивая пучок неполяризованных протонов,
мы можем получать протоны с поляризацией v(9)n2). Их
можно затем использовать во втором эксперименте по рассеянию,
где падающие протоны уже будут поляризованными.
1) Ввиду того что измеренное число е пропорционально величине
v(9)|jThh|, функцию v(8) часто называют поляризационной анализирующей
способностью мишени.
2) По этой причине функцию v(8) называю! иногда поляризационной
способностью рассеивателя.

§ 3. Поляризационные эксперименты
145
Типичный эксперимент по двойному рассеянию показан
схематически на фиг. 7.2 1). Пучок неполяризованных протонов
рассеивается на угол 9i мишенью из углерода и выходит
с поляризацией v(9i) 2. (В качестве плоскости рассеяния мы
выбираем плоскость, нормальную к оси 2.) Затем эта
поляризация детектируется при втором рассеянии точно тем же
методом, какой был описан выше в связи с рассеянием
электронов. Одинаковые счетчики расположены под равными углами
Поляризация >>($)2
после первого
рассеяния
Начальный
пучок неполя-
ризованныа:
протонов
Фиг. 7.2. Неполяризованные протоны рассеиваются на углеродной мишени,
образуя протоны с поляризацией v(9i)2.
Эти поляризованные протоны падают затем на вторую углеродную мишень, которая
используется для анализа поляризации при помощи измерения получающейся лево-правой
асимметрии. Эксперимент выполняется так. как показано на фигуре: оба рассеяния
происходят в одной и той же плоскости.
02 влево и вправо от второй мишени; и, применяя выражение
(7.11)» г = ч(в)2* яИН, к этому второму столкновению (для
которого лш = у (6i)2), получаем выражение для измеряемой
асимметрии в виде
e = ^^=v(e2)v(e,). (7.12)
Выбирая, в частности, 92 = в] = 0, мы можем измерить
величину v(8) с точностью до знака, поскольку в этом случае
v(0)= ±el/*2). Зная величину v(8i) при одном фиксированном
1) Здесь представлен в сильно упрощенном виде эксперимент Чемберлена
и др. [191.
2) Неопределенность в знаке при таком определении функции v(9)
возникает из-за гого, что мы используем один и гот же процесс рассеяния и
для создания поляризации, и для ее измерения. Поэтому функция v(9)
появляется дважды в выражении асимметрии (7.12), и ее знак не может быть
определен. Один из способов обойти это затруднение — замена второй мишени
на такую, для которой амплитуды (и, в частности, величина v) уже известны.

146
Гл. 7. Частицы со спином
угле 8h мы должны затем только менять угол 62 и
использовать (7.12) для измерения v для всех углов.
Итак, располагая вначале неполяризованным пучком,
можно путем экспериментов по однократному и двойному
рассеянию определить величины (|я|2 + |Ч2) и (Iniaft*). Для
определения амплитуд а и b по отдельности (с точностью до
неуловимого фазового множителя) требуется знать еще одну
какую-нибудь величину. Нетрудно убедиться в том, что из
эксперимента по двойному рассеянию нельзя получить каких-
либо дополнительных сведений. (Например, изменяя плоскость
второго рассеяния, мы не добудем никакой новой
информации.) Мы должны, следовательно, перейти к эксперименту по
тройному рассеянию, который можно поставить следующим
образом. Первое рассеяние приводит к поляризации протонов,
второе рассеяние (в котором начальный пучок поляризован)
есть интересующий нас эксперимент, а третье рассеяние
используется для анализа конечной поляризации, возникающей
при втором рассеянии. Несколько утомительный расчет
показывает, что, измеряя асимметрию рассеяния влево и вправо
при последнем столкновении, мы можем определить
относительную фазу двух функций а ± ib. Знания этого фазового угла,
а также величин (М2 + 1Ч2) и Imab*, полученных из
однократного и двойного рассеяния, достаточно для определения
амплитуд а и & по отдельности (исключая их общий фазовый
множитель). Полученные результаты можно затем сравнить
с амплитудами, рассчитанными в предположении о какой-либо
конкретной форме взаимодействий.
§ 4. Формализм спиральностей
В заключительных двух параграфах кратко рассмотрим
вопрос об использовании спиральных состояний в теории
рассеяния. Мы будем здесь предполагать несколько большее
знакомство с группой вращений, чем в остальных разделах этой
книги. Читатель, незнакомый с ее свойствами, может либо найти
их в стандартных учебниках [20, 21], либо просто опустить эти
параграфы.
Спиральность X частицы определяется как проекция спина
частицы на направление ее импульса. Базис одночастичных со-
Например, если мы заменим вторую мишень мишенью из гелия, то результат
(7.12) для асимметрии примет вид
e-vHe(e2)vc(e,),
где функция Уне для рассеяния протона на гелии известна. Отсюда очевидна
возможность полностью определить функцию vc для рассеяния протона на
углероде.

§ 4. Формализм спиральностей
147
стояний, зависящий от р и X, обладает несколькими
преимуществами в сравнении с базисом, зависящим от р и m
(собственное значение оператора S3). Как мы уже упоминали, спи-
ральность Я в отличие or m не изменяется при вращениях, что
существенно упрощает анализ инвариантности относительно
вращений. Поскольку оператор спиральности SP можно
переписать в виде J-P (ведь L-P равно нулю), он легко
определяется в релятивистском случае, когда отдельное
определение операторов L и S гораздо труднее. В случае частиц с
нулевой массой покоя существуют только два спиновых состояния
(Х=±$), из которых с необходимостью реализуется только
одно (как у нейтрино). В такой ситуации спиральность—
единственный естественный описатель состояний. Именно в
релятивистской области формализм спиральностей обладает
наибольшими преимуществами, и поэтому главная цель
настоящего изложения — облегчить читателю последующее изучение
релятивистского случая.
Для каждого значения импульса частицы р существуют
2s + 1 собственных значений оператора спиральности S « р,
а именно Х = —s, ..., +s. Ясно, что пространство всех одно-
частичных состояний можно натянуть на собственные векторы
|рД) импульса и спиральности с таким же успехом, как и на
собственные векторы |р, ш) импульса и оператора 53. При
построении спирального базиса единственной неоднозначностью
оказывается неизбежная неоднозначность в выборе фазового
множителя для векторов |рД). Обычно он выбирается
следующим образом. Рассмотрим сначала состояния, в которых
направление импульса р совпадает с положительным
направлением оси г, т. е. р —3; для этих состояний спиральность
совпадает с оператором S3, и потому можно выбрать состояния
|рД) точно совпадающими с обычными собственными
состояниями оператора 53, для которых фазовые множители
выбираются обычным образом, т. е.
IP, Я> = | р> ® 1 S3 = Я> [р = 3].
Затем мы замечаем, что произвольный импульс р с
направлением (8, ф) всегда можно получить из импульса,
направленного по оси z, путем вращения. Правда, такое преобразование
можно выполнить несколькими способами, простейший из
которых— поворот на угол 0 относительно оси,
перпендикулярной векторам 3 и р (фиг. 7.3). В качестве параметров этого
вращения удобны углы Эйлера, которые мы определяем так,
чтобы
R(<P, б, ф) = *-*'*-«>'*-<♦'• (7.13)

148 Гл. 7. Частицы со спином
(мы используем так называемое «активное» определение» при
котором производится врашение самой системы, а не
координатных осей). Тогда описанному вращению будет
соответствовать оператор R (ср, 0,—<р) (фиг. 7.3). Поскольку спиральность
не изменяется при вращениях, мы можем теперь определить
состояние |рД) как получающееся при действии оператора
R (ф, 9» —ф) на состояние | рЗ, X) с импульсом, направленным
вдоль оси zx)\
|р, A,> = R(q>, 0, -<р)|Д X) [р = (8, Ф)]. (7Л4)
С помощью такой процедуры получаем вполне
определенный ортонормированный базис для состояний одной частицы,
\
Фиг. 7.3. Импульс р можно получить из импульса рЗ при помощи вращения
на угол 8 относительно оси перпендикулярной к векторам р и 3.
Оно эквивалентно трем гюследоиательным вращениям; на угол —Ф относительно оси 3, на
угол в относительно оси 2 и на угол ф относительно оси 3. Этому вращению соответствуют
углы Эйлера (Ф, в. —Ф).
векторы которого удовлетворяют равенству
<р', Г|р, Л> = б3(р'~р)влЧ-
Отсюда можно немедленно построить двухчастичный базис из
произведений
IPl, *,>®|Р2, Я2>. (7Л5)
Однако мы заинтересованы главным образом в описании
относительного движения, или, что эквивалентно, состояний в си-
■) Подчеркнем, что угол — <р первого вращения -- целиком дело
соглашения. Ведь оператор R (ф, 9, ф) перевел бы вектор рЗ в вектор р при любом
значении угла ф; использование различных ф привело бы просто к
различным фазовым множителям в состоянии |рД). Выбор tf =*—<р наиболее
обычен и удобен.

§ 4% Формализм спиральностей 149
стеме центра масс (^-система), для которых pi = —р2, а для
таких состояний существует более удобный базис. Дело в том,
что состояния (7.15) определяются двумя отдельными
вращениями (по одному на частицу), в то время как для частного
случая pi = —р2 мы можем определить эквивалентное
состояние при помощи одного-единстзенного вращения. Поэтому
сначала определяем состояние относительного движения, в
котором относительный импульс направлен вдоль оси 3:
IP, К ^) = lp)®|S(31) = Xi)®|5!i2) = -^) [p = 3]. (7.16)
В ^-системе это выражение представляет состояние, в котором
первая частица движется вверх вдоль оси z с импульсом р,
в то время как вторая частица движется вниз вдоль оси z
с импульсом —р. Знак минус в последнем множителе в (7.16)
стоит потому, что спиральность второй частицы равна —Sj\
так как ее импульс направлен вдоль вектора —3. Состояние
общего вида (для относительного движения) с произвольным
относительным импульсом р получается теперь путем
подходящего вращения:
|р, Ah *2> = R(q>f в, -<р)|рЗ, А„ А2> [р = (в, q>)]t (7.17)
где теперь R — двухчастичный оператор вращения,
определяемый полным моментом количества движения двух частиц.
Векторы (7.17) определяют состояния (относительного
движения), в которых спнральности частиц равны Х\ и Я2, а их
относительный импульс равен р (т. е. в ц-системе обе частицы
имеют равные по величине и противоположно направленные
импульсы Р| = р и р2 = — р). Эти векторы нормированы так,
что
<Р', к'и л£|р, я„ a,2>=63(p'-p)\;^2.
Они образуют ортонормированный базис для относительного
движения, альтернативный базису |р,ть т2), который
использовался ранее. В спиральном базисе мы можем, конечно,
представить 5-матрицу в виде разложения
(Р\ М, ЯНS|p, Аь А2) = й3(р'-р)вл;хД^2 +
+ ^а^'~£Л^Р'' «>««-р. К U (7.18)
а сечение в ^-системе для случая, когда в рассеянии участвуют
частицы с определенными значениями спнральности, равно
просто
"wo"vp', Ai, Ai«-p, Ab А2) = |/(р', Ai, Ai«-p, А], А2) I2,

150
Гл. 7. Частицы со спином
Предположим теперь, что наша система инвариантна
относительно вращений. Чтобы использовать это свойство, мы,
естественно, обращаемся к базису из собственных векторов
момента количества движения. Именно здесь выявляются
преимущества спирального базиса. Так как операторы
спиральности S(1) ■ Р и — S(2) • Р суть скаляры, они коммутируют с
оператором J, и, следовательно, можно так выбрать полный набор
коммутирующих операторов, соответствующих наблюдаемым,
чтобы включить в него как операторы J2, J3, так и операторы
спиральности двух частиц. А именно можно выбрать базис
(для относительного движения) в виде {|£\ /, тДьЯг)}» так что
переходы между этим базисом и импульсным базисом
(|рДь >i2/} можно будет выполнять без каких-либо
коэффициентов Клебша — Гордана для связи спинов и орбитальных
моментов.
В этом месте мы сошлемся на стандартный результат
теории группы вращений и сразу выпишем выражение состояния
момента количества движения через состояния с определенным
импульсом:
|£, /, т, к x2)=[mp{^uf\d%RU(^ е,-<р)*|Р, к х2),
(7Л9)
где Rm\(<p, В, а|)) —элементы (2/+ 1)-мерной матрицы
вращения с углами Эйлера (ф, в, \р) (см. гл. 7, § 5), где X =
== Xi—Х2 и где вектор р имеет направление (9, ф) и
фиксированную абсолютную величину (2тЕ)4*. Вектор (7.19)
является собственным вектором операторов энергии, полного
момента количества движения и двух операторов спиральности.
Он нормирован так, что1)
<£', j't т\ ^, М\Е, /, ш, А,,, Ля> =
= *iE'-E)6n!b>m^kfa (7.20)
Используя определение (7.19), мы можем выписать матрицу
преобразования, которое переводит состояния | pt ць М-2^ с
импульсом р и спиральностями ць ц2 в состояние |£", /, /ЛД1Д2):
(р, ЦЬ u-2|£\ /, m, A,b h) —
= (трГУ> 6 (Ер - Е) 6^,6^ (^-f RL (ф, 9, - ФГ. (7.21)
!) Утверждение о том, что вектор (7.19) —собственный вектор операторов
энергии и спиральности, следует из того факта, что он представляет собой
суперпозицию векторов, которые все являются собственными векторами one*
раторов энергии и спиральности, принадлежащими одним и тем же
собственным значениям. Утверждение, что он — собственный вектор операторов
J2 и /3, следует из (7.26); нормировка этого вектора следует из (7.27).

§ 4. Формализм спиральностей
151
В частности, для бесспиновых частиц \ = 0 и / совпадает с
орбитальным моментом: / = /. В этом случае множитель
(-^y'RUf, 8, -фГ
превращается в сферическую функцию УГО, ф) и (7.21)
сводится к формуле (6.10) для матрицы (р|£, /, ш) в случае двух
бесспиновых частиц.
Имея матрицу перехода между двумя нашими базисами,
мы готовы к использованию инвариантности относительно
вращений. В базисе момента количества движения 5-матрица
диагональна по Е% j и m и потому имеет вид
(£', /', т', %!\, A,2|S|£, /, т, Хи Д^} —
= 6(E'-E)6nbm>ms[, , (£),
т. е. при данных £, /, т рассеяние определяется унитарной
матрицей Sj(£), у которой строки и столбцы индексируются
начальными и конечными значениями спиральностей (>Л, Лг) и
(Я,!, Я2). Как обычно, вводим парциальную амплитуду
г/ ip, Х1V *ЧЛ2
и теперь мы можем выразить полную амплитуду через
парциальные амплитуды, точно следуя процедуре,
использовавшейся в гл. 6, § 3 для бесспиновых частиц. Таким образом,
имеем
<р\ K'h «|(S-l)|p, К h) =
~-dsr*(Ep'-EAfto', Ль ««-р. Л„ Л2). (7.22)
Вводя полный набор состояний \Ef /, mf \хи \i2) впереди и после
множителя (S — 1) в левой части, мы можем сразу заменить
матричный элемент оператора (S — 1) в моментном базисе
произведением 2ip на парциальную амплитуду (умноженным
еще на соответствующие дельта-функции). Как и для
бесспиновых частиц, сумма в левой части сводится к сумме произведений
чисел f['> . . на два множителя, каждый из которых есть
12* 12
просто матрица преобразования (7.21). Простые алгебраические
преобразования сводят эту величину к виду
«= f- б (£р. - Ер) £ ZL+L R'mX, {ф', в', - Ф'Г X
/. т
X^.^(fp)R^(9. в, -<р). (7.23)

152
Гл. 7. Частицы со спином
Теперь выбираем начальный импульс р вдоль оси г (и о
дальнейшем углами 9, ф задаем направление вектора р'), и тогда
последний множителе в (7.23) равен просто 6mV Сравнив )я
(7.22) и (7.23), получаем искомый ответ
где мы переписали амплитуду f(p't Xu й.2«-р, Я,ь Л2) в виде
функции от (£, 6, ф) для того случая, когда начальный
импульс направлен вдоль оси г. Поскольку функции RL/ (ф, 9, — ф)
табулированы [см. (7.25) и последующие замечания], этот ряд
нисколько не сложнее, чем обычный ряд по парциальным
волнам (6.15) для бесспиновых частиц: /=£ (21 + 1) fiPh В
частном случае, когда спины частиц равны нулю, мы должны только
вспомнить Рсю(ф, 8, — ф) = Pi (cos 9), чтобы убедиться, что ряд
(7.24) совпадает с рядом по парциальным волнам (6.15).
Читатель, выполнивший задачу 6.9, несомненно, обнаружит,
что вывод разложения полной амплитуды в ряд (7.24) по
парциальным спиральным амплитудам для частиц с
произвольными спинами значительно легче, чем соответствующий вывод
в простейшем частном случае (для рассеяния частицы со
спином 7г на бесспиновой мишени), если используется базис, свя*
занный с оператором 53. Если вспомнить, что в этом базисе
задача прогрессивно усложняется по мере возрастания спинов,
то замечательное превосходство формализма спиральностей
(по крайней мере, для этой частной задачи) станет совершенно
очевидным.
Если читатель желает глубже изучить формализм
спиральностей, то самое лучшее, что он может сделать, — это
прочитать основополагающую статью Якоба и Вика [22]. Несколько
простых дополнительных вопросов содержится в задачах.
§ 5. Некоторые полезные формулы
Здесь мы собрали те формулы с матрицами вращения,
которые требуются в § 4 и в задачах к данной главе. Более
полное собрание формул можно найти в книгах [4],
дополнение С; [5], гл. 32 и 34 [21], гл. 4 и [20], гл. 4.
Матрица вращения Р*(ф, в, \р), обозначаемая часто через
Р*у определяется соотношением
Rmm'(<P, 9, ij>) —</, m|R(ep, 9, ^)|/, m'}?

§ 5. Полезные формулы
153
где R (ф, 6, ф) — унитарный оператор вращения (7.13) на углы
Эйлера ср, 9, ф. Он зависит от углов ф и if тривиальным
образом, и мы можем написать
RLi-fo, e, я|0 = е~'(фт+фт'^(е), (7.25)
где
Поскольку при наших соглашениях оператор i^ задается
чисто мнимой матрицей, матрица г->(9) (часто обозначаемая
через dj вещественна. Можно выписать явные выражения для
матрицы г->'(8); ее элементы приводятся в виде таблиц (см. любую
из указанных выше книг). В практических расчетах с
состояниями определенной спиральности (см. задачи 7.4—7.7)
использование матрицы rj вместо матрицы R', естественно,
удобнее.
Для доказательства того факта, что состояния !£,/,тДьЯ2)
[см. (7.19)] — собственные состояния операторов у и /3,
удобно переписать (7.19) в виде
2л я 2я
(£, и m, A„ Я2> = const $<*p jjsin9d9 Jd+RJUfo, 9, ф)*Х
0 0 0
XR(9> 8, Ч>) | рЗ, К Яа>. (7.26)
Это инвариантный интеграл группы вращений. Отсюда
немедленно следует, что состояние \Е, /, mtX]tX2) преобразуется при
«ращениях, подобно состоянию с определенными значениями /
и пг, т. е. что оно есть состояние с определенными / и т.
Нормировка состояний \ЕУ /', ту %\Лг) следует из группового
соотношения ортогональности
-я л 2л
J dq> J sin QdQ^dq R!mh (ф, в, if)* r£v (Ф, в, г|>) =
(JO О
__16Л2
Оно эквивалентно следующему соотношению:
J sin 6 dB r'mK (в)' г& (8) = ^ в/г. (7.27)
О
из которого легко получить нормировку (7.20) (см. задачу 7.4).
Чтобы связать собственные векторы спиральности и
полного момента |£, /, тДьЯ2) с более привычными собственными
векторами орбитального момента и спина, разложим произведе-

154
Гл. 7. Частицы со сгШном
ние двух матриц г->(0) н rs(9), используя ряд Клебша — Гор-
дана:
' г-«-(е) С ш-(е)=? ^smm* |/m'> <'sm'm* I lm'i) r-U <e>-
s $ ' ' *
Используя стандартные тождества для коэффициентов
Клебша — Гордана *), мы можем переписать это выражение в виде
Г*т'(9)Гк< (8) = ^ %+Т {lSmims 1/Ш) Х
X<^m>:|/^>^(e), (7.28)
где, конечно, гщ^т — ms и m/ = m' — mi. Именно эта
форма разложения наиболее удобна в обсуждаемом контексте
(см. задачу 7.6,6).
Задачи
7.1. Спиновая матрица плотности электрона равна р =* Va (1 +я-о).
Покажите, что <s)p = у2л, что | я | < 1 и что | я | = 1 тогда и только тогда,
когда электрон находится в чистом состоянии, являющемся собственным
состоянием проекции спина на направление вектора л.
7.2. Если в рассеянии участвуют частицы в определенных спиновых
состояниях, то сечение не обязательно инвариантно относительно вращений,
даже когда взаимодействия инвариантны. (Ведь спины могут создавать
выделенные направления.) Сечение же для неполяриэованных частиц
инвариантно (если только инвариантны взаимодействия), т. е.
do , , . do / t ч [ин-спипы неполяризованы, аут-спины
d& ^ p^ e dQ КРй^^а) Не контролируются].
Докажите это, записывая сечение для неполяриэованных частиц в виде
Sp раут = Sp FpmFf, где рин = (2s + 1)~ /. и замечая, что F (p^ <~ pR) =*»
«= HF (р' <-. р) R+t где R— унитарная матрица вращения.
7.3. Рассчитайте конечную поляризацию яаут для рассеяния частицы со
спином 1/г на бесспиновой мишени, выразив ее через амплитуды а и Ь и через
начальную поляризацию ЯнН; другими словами, рассчитайте величину яаут,
в формуле (7.9). Проверьте, сводится ли ваш ответ к равенству лаут — vn>
когда яНн = 0.
7.4. Проверьте нормировку (7.20) состояний |Я,/,т, А,]Д2), определенных
в (7.19) [используйте соотношение ортогональности (7.27)1.
7.5. Оператор инверсии изменяет знак спирзлыюстей на противоположный,
потому что он изменяет направление импульсов, но оставляет неизменными все
*) См. [4], стр 1056, формула (С. 13)- Потребуется также соотношение
[там же, формула (С. 65)]
'mm
= (—\\т~т' г!
\ 1) г-т, -т'*

Задачи
155
угловые моменты. В простом случае рассеяния частицы со спином 5 на
бесспиновой мишени это означает, что величина Р|рД) пропорциональна
|—р, —Л), а величина Р\ £, /, т, X) пропорциональна | £, /, т, —X).
Действительно, можно показать (как легко проверить читателю, привычному к
обращению с матрицами вращения), что
Р|£, /, т. Х) = (-\)1-*\Е% /, щ, -Я,).
Используйте этот результат и факт унитарности оператора S для
исследования структуры матрицы Sj(£) в спиральном базисе при рассеянии (спин 7г) —
(спин 0), если система инвариантна относительно инверсии. Покажите, что
S3 есть 2 X 2-матрица с элементами вида
и
где б^. — некоторые вещественные числа (зависящие, конечно, от Е).
7.6. (Для читателя, знакомого с матрицами вращения.) Собственные
векторы спиральности, естественно, выражаются через более привычные собствен*
ные векторы оператора S3 и наоборот. Рассмотрите рассеяние (спин s) —
(спии 0) и проделайте следующее:
а) Покажите, исходя из определения (7.14), что
где матрица r*(G) определена в (7.25).
б) При помощи этого результата покажите, исходя из определения (7.19),
что
| £, /, т. %) = £ (|ЙТ У'' Е' '' '■ m) {i$0X ' W-
[Для этого следует скомбинировать две матрицы вращения г* и г* в одну
матрицу г1, используя (7.28). Интегрирование по углам приводит затем к
состоянию |£, /, mly т,).]
в) Используйте результат, полученный в пункте (б), для отождествления
в случае рассеяния (спин 1/2) — (спин 0) чисел 6^. введенных в задаче 7.5,
с фазовыми сдвигами из формулы (6.49). (Обратите особое внимание на то
обстоятельство, что в задаче 7.5 S^ — это матрица в спиральном базисе,
строки и столбцы которой нумеруются значениями Я, = ±7г, тогда как в гл. 6,
§ 7 матрица S' относится к базису {\E,ltj,m)} и ее строки и столбцы
индексируются значениями / = / ± 7г.)
7.7. Докажите, что инвариантность относительно обращения времени
(плюс инвариантность относительно вращений) приводит к тому, что матрица
S' (£) в спиральном базисе оказывается симметричной. [Следует установить
лишь то, как действует оператор Т на собственные векторы момента
количества движения и спиральности. Если вы для простоты рассмотрите рассеяние
(спин s) — (спин 0), то этот результат можно будет объяснить из задачи 7.6,
б) по известному действию оператора Т на вектор | £,/,/, т); см, задачу 6.7.]

ГЛАВА 8
ГРИНОВСКИЙ ОПЕРАТОР И Г-ОПЕРАТОР
В предыдущих главах мы описали нестационарные
столкновения, в которых две частицы рассеиваются упруго — так
называемые одноканальные процессы. Сначала столкновения
были описаны с помощью оператора S. Затем матричные
элементы оператора S были представлены в виде разложения
через амплитуду рассеяния, и дифференциальное сечение было
выражено через эту амплитуду. В заключение мы изучили
большое число общих свойств амплитуды» которые следуют из
принципов инвариантности, и обсудили некоторые проблемы,
возникающие при измерении сечений для частиц со спином.
Главная задача, не рассмотренная еще в одноканальном
рассеянии, состоит в том, чтобы построить методы реального
расчета амплитуды при заданном взаимодействии. Все такие
методы связаны с так называемой стационарной теорией
рассеяния, которая и будет предметом изучения в следующих
нескольких главах. Формализм стационарной теории базируется
на двух операторах и на так называемых стационарных
состояниях рассеяния. Этими двумя операторами являются гринов-
ский оператор G(z) и Г-операгор Т(г)\ их мы будем изучать
в гл. 8 и 9. Стационарные состояния рассеяния, обозначаемые
|р±), соответствуют элементарным «волновым функциям
рассеяния», для которых часто используется обозначение ф*(х);
их мы изучим в гл. 10—12.
В настоящей главе мы введем операторы G(z) и T(z) и
установим их роль в теории рассеяния. В § 1 и 2 мы определим
оба оператора и обсудим их математические свойства. В § 3
и 4 покажем, как операторы столкновений £1± и S
выражаются через Q(z) и T(z). В частности, мы найдем, что Г-мат-
рица на энергетической поверхности выражается через
оператор Т(z) посредством важного тождества
/(р/4-р)-Пт<р'|Г(Яр + /в)|р>. (8.1)
е->Э
Подчеркнем, что наш порядок изложения материала
выбран так, чтобы как можно лучше объяснить природу
операторов G(z) и T(z) (и в дальнейшем стационарных состояний
рассеяния |р±)); он ни в коей мере не следует историческому

§ I. Гриновский оператор
157
развитию стационарной теории рассеяния. В частности, мы
введем оператор T(z) с помощью определения (8.8), не делая
какой-либо попытки мотивировать этот шаг; затем мы установим
разнообразные математические свойства оператора Т(г), и
только после этого «откроем» соотношение (8.1) между
матричными элементами оператора T(z) и Г-матрицей на
энергетической поверхности. Как мы укажем в дальнейшем, оператор
T(z) был первоначально введен в теорию рассеяния совсем
другим путем.
Для простоты мы будем иметь дело главным образом с
рассеянием одной частицы на фиксированном потенциале
(которое, конечно, эквивалентно рассеянию двух частиц друг на
друге), и основная часть обсуждения будет посвящена
частицам без спина. Большинство результатов (хотя и не все)
обобщается совершенно непосредственным образом.
§ 1. Гриновский оператор
При математическом изучении самосопряженных
операторов, по-видимому, наиболее важен и единствен в своем роде
так называемый гриновский оператор, или резольвента ]) G(z).
При рассеянии одной частицы нас интересуют
самосопряженные операторы Н° = Р2/2т и Н = Н° + V\ соответствующие
гриновские операторы определяются так:
I 0*(г)ш*(г-№>Г1.\
| G(z)^{z-H)-{ I
при любом г, вещественном или комплексном, при котором
указанные обратные операторы существуют.
Чтобы понять название «гриновский оператор», мы
предположим на минуту, что эти обратные операторы в самом деле
существуют и определены повсюду в гильбертовом
пространстве Ж (Мы увидим, что это заведомо имеет место, когда
1гп2^=0.) В этом случае из определения ясно, что, например,
(z-//°)G°(z)=l.
Перейдем теперь к матричным элементам этого уравнения
в обычном пространстве. В координатном представлении
оператору Н° соответствует — V2/2m, т. е.
<х|Я°Ц,>«—11<хЦ>>.
') Название «резольвента» более популярно в математической литературе.
Однако иногда это название используется в несколько ином смысле.

158
Гл. 8. Гриновский и Т-операторы
и наше уравнение принимает, следовательно, вид
{ш + г) <х' G° & I х') = б3 (х - х').
Таким образом, матричный элемент свободного гриновского
оператора Gd(z) в обычном пространстве есть функция Грина
дифференциального оператора \(V /2m)-\-z]. Точно так же
матричный элемент оператора G(z) есть функция Грина оператора
[(V2/2m)-V(x) + 4
Гриновские операторы существуют не при всех значениях г.
Например, если Еп — любое ограниченное собственное
значение оператора И, то существует вектор (регулярный
собственный вектор \п))> для которого
(£я-Я)|л> = 0.
В согласии с нашим обсуждением в гл. 1, § 3 это означает, что
не существует обратного оператора (Еп— Н)~К Иначе говоря,
оператор G(z) не определен при значениях г, равных любому
собственному значению Еп.
Чтобы детальнее разобраться в поведении оператора G(z)y
когда z приближается к какому-либо собственному значению,
предположим на минуту, что гамильтониан Н имеет чисто
дискретный и невырожденный спектр. (В теории рассеяния не
бывает гамильтонианов с чисто дискретными спектрами.
Однако мы можем взять в качестве примера гамильтониан
одномерного простого гармонического осциллятора.) Если через
{\п)} обозначить ортонормироваиный базис из собственных
векторов, отвечающих энергиям Еп> то 1 = 2 I я) (п I и
G(z) = (z~H)-ll=Y,T^' M
П
Легко видеть, что при любом z, не равном какому-либо соб-
егвениому значению, этот оператор вполне определен на всех
векторах |ф) из Ж [То есть G(z)\^) является вполне
определенным вектором, находящимся в пространстве Ж] Мы можем
продвинуться еще дальше, если введем определение:
Про оператор G(z) будем говорить, что он является
аналитической (операторной) функцией комплексной пере-
менной 2, если числовая функция {x\G(z)\^) анали-
тична при всех |х) и j^)1)-
1) Существует несколько различных определений аналитического
оператора. К счастью, для ограниченного оператора (каковым и является
гриновский оператор) все они эквивалентны друг другу.

$ I. Гриновский оператор
159
Поскольку матричный элемент
есть, очевидно, функция, аналитическая при г Ф £ь Е2, ...'), то
оператор G(z)—аналитическая функция от z при всех гф
Ф Еи £2i ■. - • Кроме того, при z = Еп этот матричный элемент
имеет простой полюс с вычетом (xl^X^K)» и потому
естественно говорить, что оператор G(z) имеет простой полюс, вычет
в котором является оператором \п)(п\ (представляющим собой
просто проекционный оператор на n-й энергетический
уровень).
Рассмотренный пример показывает, что знание при всех z
гриновского оператора G(z) для гамильтониана Н
эквивалентно знанию полного решения соответствующей задачи на
собственные значения. (Этот вывод справедлив и в общем случае.)
Гриновский оператор G(z) аналитичен при всех значениях 2,
кроме тех, которые совпадают со спектром гамильтониана Я
(в рассмотренном случае спектр предполагался чисто
дискретном; тогда он представляет собой, вообще говоря, некоторое
множество вещественных чисел). Для каждого дискретного
собственного значения оператор G(z) имеет полюс, положение
которого точно совпадает с этим собственным значением, и
вычет в котором определяет соответствующий собственный вектор
(или подпространство собственных векторов, когда спектр
вырожден).
Если гамильтониан Н имеет непрерывный спектр (что
всегда имеет место в теории рассеяния), то и в этом случае
гриновский оператор сингулярен при соответствующих значениях
переменной. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим свободный
гриновский оператор G°(z). Разложение по собственным
векторам момента количества движения [£,/, т), аналогичное
разложению (8.2), имеет вид
О I, m
ИЛИ
СО
<х1^(*)1*>=$т^(Е<х1* /, m)(Ef /, т|ф>). (8.3)
1) Это аргументируется так: I) каждый член ряда аналитичен при г Ф Еи
Е2, ...; 2) при значениях г в любой малой окрестности точек £ь с2, ...,
исключая сами эти точки, ряд сходится равномерно; 3) поскольку равномерно
сходящийся ряд аналитических функций сам является аналитической
функцией, утверждение доказано.

160 Гл. 8. Гриновский и Т-операторы
Пока значение z не равно положительному вещественному
числу» знаменатель в этом интеграле в нуль не обращается.
Легко видеть, что в этом случае матричные элементы, а
следовательно, и оператор, являются вполне определенными и
аналитическими функциями. Однако эти аналитические функции
имеют разрез вдоль вещественной оси от 0 до оо. То есть
значение функции (xl^°(2)l^) в любой точке Е0 > О при
приближении к этой точке сверху (г = £,0-|-Ю) отличается от
z-плоскость
Ep + iO
Е0 - Ю
Фиг. 8Л. Матричные элементы (х|С°(г)|ф) и, следовательно, оператор G0 (г)
аналитичны при значениях z, не лежащих на положительной вещественной
полуоси.
Так как значения этих величин при стремлении г к Еь±10(Еь>Ъ) отличаются друг от
друга, положительная вещественная ось представляет собой разрез.
значения функции в той же точке при приближении к ней снизу
(z = Eo — iO) (фиг. 8.1). Таким образом, из (8.3) следует1)
(xlG0(£o + iO)^>-(xlG°(£o-«)|t|)) =
= J dE Е0-Е + Ю ~~ £0 _ £ - /0 J I Lj ' • ' ) =
о
= -2*и£<х|£0, /, т)(Е0у I, тЦ>),
lt m
так как множитель в круглых скобках равен просто
произведению (—2ш) на 6(Е — EQ) (cm. [4], стр. 469). Еще раз видим,
что знание гриновского оператора при всех z эквивалентно
полному решению задачи на собственные значения для
соответствующего гамильтониана. Оператор G°(z) аналитичен во
всех точках 2, кроме тех, которые лежат в спектре
гамильтониана #°. При непрерывном спектре сингулярность в этих
последних точках представляет собой разрез, и скачок функции
!) Отметим, что здесь и во всех остальных местах любое выражение,
содержащее аргумент х ± Ю, понимается в том смысле, что его следует
вычислить при х ± ie с е > 0 и затем перейти к пределу г -* 0.

1. Гриновский onepatop
161
G°(z) на этом разрезе при Е > О равен просто произведению
(—2ш) на оператор
£|£, /, т><£, /, т|
/, т
[который является (неограниченным) проекционным
оператором на состояния с энергией Е].
Рассмотренные два примера показывают, чего следует
ожидать в общем случае. В частности, мы могли бы применить
такую же аргументацию к гамильтониану Н типичной
задачи рассеяния, когда существуют связанные состояния при
Ей Е2, .. ♦ ♦ меньших нуля, и существует непрерывный спектр,
простирающийся от 0 до со. По-видимому, ясно, что в этом
z-плоскость
Фиг. 8.2. Гриновский оператор G (г) аналитичеп в г-плоскости, за исключе*
нием полюсов в точках 2=»£lt £2, ..♦, соответствующих связанным
состояниям, и разреза от 0 до со.
случае оператор G(z) аналитичен во всех точках, за
исключением точек 2 = Ei, £2, ..., в которых имеются полюсы,
соответствующие связанным состояниям, и разреза от 0 до оо
(фиг. 8.2) J).
Знание оператора G(z) при всех значениях z эквивалентно
полному решению задачи на собственные значения для
гамильтониана //. Не приходится и говорить, что найти G{z) в такой
же степени трудно, как и решить задачу на собственные
значения, так что вообще не стоит рассчитывать найти оператор
G(z). По этой причине полезно иметь уравнение, которое
связывает неизвестный оператор G(z) с каким-нибудь известным
оператором. Обычно в качестве этого последнего выбирают
свободный гриновский оператор G°(z). Уравнение,
связывающее G и G0, называется уравнением для резольвенты, или
уравнением Липпмана — Швингера для оператора G (z). Оно
выводится из простого операторного тождества
А~х = ВГХ + В"х {В — А) А~~1.
1) Мы не претендуем на то, что доказали этот результат; мы только
показали его правдоподобность. Для доказательства сначала следует показать,
что спектр имеет описанный вид (см., например, [23, 24]), а затем обратиться
к стандартным теоремам теории спектральных разложений,
G Зак. 396

162
Гл. 8. Грановский а Т-операторы
Если положить А = z — И и В = г — Я0, то это тождество
принимает вид
G{z) = GO(z) + G°(z)VG(z) (8.4)
или, если мы заменим А и В друг на друга,
~" (8.5)
G(z) = G°(z) + G(z)yG°(z).
Можно показать, что для значений г, не относящихся к спектру
гамильтониана Н, любое из этих уравнений характеризует G{z)\
т» е. если мы найдем оператор, удовлетворяющий какому-нибудь
из этих уравнений, то он в самом деле будет гриновским
оператором ]) G(z) = (z— Я)-1. Мы увидим, что указанные два
уравнения образуют один из краеугольных камней стационарного
формализма рассеяния.
Свободный гриновский оператор G°(z) известен, конечно,
в явном виде. В импульсном представлении, например, он
диагоналей и характеризуется уравнением
G»(z)\ р>«(*- ЯГ1! Р)= j=e-\ P>. (8.6)
Оно, очевидно, позволяет вычислить матричные элементы опера-
тора G°{z) в любом другом представлении. Например, в гл. 10
мы используем (8.6) для вычисления матричных элементов в
координатном представлении (т. е. функции Грина) (х| G°(z) |x')>
В заключение этого параграфа, посвященного определению и
общим свойствам грииовских операторов, мы заметим, что ввиду
равенства Я = Я* легко убедиться в том, что 2)
G(z*) = [G(z)]\ (8.7)
и аналогично для G°(z). Это важное тождество показывает, что
значение функции G в точке г* совпадает со значением
сопряженной функции в точке г.
§ 2. Г-оператор
В теории рассеяния удобно ввести еще один оператор Т(г),
который определяется через G(z):
T(z) = V + VG(z)V. (8.8)
1) Ясное обсуждение этого и некоторых других свойств оператора G(z)
можно найти у Фаддеева [10], гл. 2.
2) Обычно мы будем использовать запись О (г) для обозначения
оператора, сопряженного оператору G{z)\ аналогично в виде f(z)* будем писать
функцию, комплексно сопряженную числовой функции /(z). Впрочем» иногда
мы будем добавлять скобки, как в (87), чтобы подчеркнуть содержание
записи.

§ 2. Т-оператор
163
Ясно, что, будучи аналитической функцией от z, оператор T(z)
обладает теми же свойствами, что и G(z): т.е. оператор T(z)
аналитичен при всех значениях г, не относящихся к спектру
гамильтониана Н. Когда z приближается к энергии связанного
состояния, Т(г) имеет полюс при энергиях связанных состояний,
а на положительной вещественной полуоси Г (г) имеет разрез.
Важное тождество, связывающее операторы Г, G и G0,
получается при умножении (8.8) слева на G0:
G°T = (G° + G°VG)V
или
G°(z)T(z) = G(z)V9
(8.9)
так как, согласно уравнению Липпмана — Швингера,
(G°+G°VG)=G. Аналогично, умножая справа, мы находим
Т (z) G0 (г) = VG (г).
(8.10)
В качестве первого применения этих тождеств мы можем
найти выражение оператора G через Т. Согласно уравнению
Липпмаиа — Швингера, G — G° + G°VG. Поэтому, заменяя VG
на TG0, мы находим, что
G (г) = G° (z) + G° (г) Т (г) G0 (г).
Это означает, что знание Т приводит к знанию G. Так как,
очевидно, справедливо и обратное (по определению оператора Т)у
то содержащаяся в Т информация в точности эквивалентна
информации, содержащейся в G.
Уравнение Т = V + VGV определяет оператор Т через
неизвестный гриновский оператор G. Если мы используем тождество
(8.9) для замены GV на G°T, то мы получаем уравнение
T(z) = V + VG«(z)T(z),
(8.11)
выражающее Т через известный оператор G0. Это уравнение из-
вестно как уравнение Липпмана — Швингера для оператора T(z)\
оно служит отправным пунктом во многих методах расчета Т.
В частности, если потенциал V достаточно слабый, то мы
можем надеяться получить надежное решение путем итераций,
отправляясь от так называемого борновского приближения Т « V.
Вводя это условие в правую часть уравнения (8.11), мы
получаем в качестве второго приближения Т ж V + VG°V;
продолжая эту процедуру, мы приходим к бесконечному ряду
Т = V + VGW + VG°VG°V + .... (8.12)
6*

164
Гл. 8. Гриновский и Т-операторы
Этот ряд (который может как сходиться, так и расходиться)
называется борновским рядом; он будет изучаться в гл. 9.
В заключение отметим, что тождество (8.7) для G приводит
к соответствующему результату для Т:
T(z*) = [T(z)]\ (8.13)
§ 3. Связь с меллеровскими операторами
В этом и в следующем параграфах определим место
операторов G(z) и T(z) в теории рассеяния. А именно: мы получим
выражения для меллеровских операторов Q± и для оператора
рассеяния S через G(z) и T(z). Хотя мы заинтересованы
главным образом в изучении S-оператора, будет поучительным и
полезным обсудить сначала меллеровские операторы.
Вспомним, что если частица влетает в область столкновения
с ин-асимптоты, которой соответствует нормированный вектор
|\|>ин) = \ф)9 то ее истинное состояние при / = 0 находится
следующим образом:
I ^> = Й+! *яв> = 0+| ф)шш\ ф + ) [если | фин>Н *>].
Аналогично, если аут-асимптоте должен был бы соответствовать
вектор |фаут) —|0). то истинное состояние при * = 0 должно
было бы определяться соотношениями
| ♦> = Q-1 Ьут) - Й-1 Ф) -1Ф -> [если | фаут> = | ф)].
Меллеровские операторы были определены как пределы
произведений U(*)+U°(f) при /-►qioo. В процессе доказательства
существования этих пределов мы переписали произведение U+U°
в виде интеграла от его производной, что привело к результату
(который мы записываем для Й_)
|f->«G_|#=liinUW+U0(/)|*>~
оо
= 1 *Ж \ dT\J(x)fV\J°(x)\ ф). (8.14)
о
Мы нашли, что этот интеграл был не только сходящимся, но и
абсолютно сходящимся, т. е. если заменить подынтегральное
выражение его нормой, то интеграл остается сходящимся. Далее,
не вызывает особого труда проверить, что если интеграл вида
оо
\ dT\tyx) абсолютно сходится, то он удовлетворяет тождеству
о
оо оо
\ dx\ фг> = Iim \ dxe-Ч tK>. (8.15)

§ 3. Связь с меллеровскими операторами
165
где символ е \ 0 подчеркивает то, что величина е стремится
к нулю, оставаясь все время положительной. Это тождество
легко понять. Множитель е-гх приблизительно равен единице при
малых значениях т(т<С 1/е), а при больших т(т^, 1/е) он
приводит к резкому уменьшению подынтегрального выражения. Но,
поскольку интеграл сходится, вклад от достаточно больших т
всегда незначителен. Поэтому если выбирать е достаточно
малым, то обрезающий множитель е~ъх не изменит значения
интеграла. (Читатель легко может восполнить подробности этой
аргументации; см. задачу 8.1.) Используя указанное тождество,
мы можем переписать результат (8.14) в виде
сю
|*—>ЕзQ_| # = |#> +/Hm{ dxe^\J(r)fV\J°(x)\f). (8.16)
е + 0 J
В соответствующем выражении для \ф +) = Q+|0) интеграл
берется от 0 до — оо, и потому обрезающий множитель следует
взять в виде е+гх (е > 0).
Прежде чем перейти к применениям этого результата,
сделаем несколько замечаний. Во-первых, полученный результат
обоснован постольку, поскольку первоначальный интеграл (8.14)
обладал требуемыми свойствами сходимости. Поэтому
соотношение (8.16) выполняется строго, и, в частности, указанный предел
существует для всех ограниченных1) векторов \ф). Во-вторых,
полезность полученного результата в следующем.
Первоначальный интеграл (8.14) сходится, но только за счет сравнительно
слабых осцилляции, связанных с распространением волновых
пакетов. С другой стороны, интеграл (8.16) сходится экспо-
иенциалыю. Конечно, такая экспоненциальная сходимость
достигается ценой необходимости иметь дело с пределом е|0.
Однако эту цену стоит заплатить. В частности, мы обнаружим,
что с помощью (8.16) можно заменить ограниченный вектор
\<р) на неограниченный вектор |р), соответствующий состоянию
плоской волны. Такая замена оказывается существенным
шагом при обсуждении стационарных состояний рассеяния
в гл. 10.
Наконец, мы можем интерпретировать выражение (8.16),
замечая, что, грубо говоря, оно отличается от (8.14) заменой
потенциала V на потенциал2) Ve~el4 (Записывая |т|, мы
охватываем как Q+, так и Q_.) Поэтому можно рассматривать
эквивалентность (8Л4) и (8.16) как выражение того факта,
что эволюция любой данной орбиты рассеяния не изменилась
1) Строго говоря, мы должны были бы сказать, что он существует для
всех векторов \ф) из области определения Я.
2) Это утверждение не совсем справедливо» потому что изменение
потенциала V приведет к изменению также и (t)r

166
Гл. 8. Грановский и Т-операторы
бы, если бы нам пришлось заменить V на Ve~efT| при
достаточно малом е. Но именно этого и следовало ожидать: ведь
для любой данной орбиты падающая частица движется в конце
концов настолько далеко, что потенциал никак не может
повлиять на ее движение. Поэтому для любой данной орбиты мы
можем выбрать е настолько малым, что потенциалы V и
Ve~e|t| не будут существенно различаться вплоть до времени,
когда вид потенциала оказывается совершенно безразличным.
Вывод о том, что мы можем развивать теорию рассеяния,
заменив потенциал V на Vfe~fi|t| известен как адиабатическая
теорема; она иногда служит отправным пунктом для
приближения, которое в большей степени, чем наше, базируется на
стационарном формализме рассеяния.
Возвращаясь к нашему главному расчету, подставим в
(8.16) полную систему состояний |р):
|f->«Q_|*>-
оо
= \<f) + l\im\(Pp\ dx[e-"U(xfV\Ja(xj\\p)(p\i>). (8.17)
т О
Далее, свободный оператор эволюции U°(t), действуя на
вектор |р), дает просто множитель ехр(—iEpx). Таким образом,
стоящий в подынтегральном выражении оператор в скобках
можно заменить на
[...] = ехр[— l(Ep-iz-H)T)V
и выполнить интегрирование по т:
оо
$ dT[...] = -i(Ep-ie-H)-lV = -iG(Ep-U)V.
о
(Из-за обрезающего множителя вклад от верхнего предела
интегрирования обращается в нуль.) Подставляя полученное
выражение в формулу (8.17), получаем
\<!>-)^Q-\<l>) = \j>) + \im\d*pG(Ep-iB)V\p)(p\<j>). (8.18)
Точно такой же анализ приводит к соответствующему
выражению для |^+). Поскольку здесь обрезающий множитель
имеет вид е+вт, аргумент гриновского оператора равен Ер + is:
|*+)«Q+I *> = !>> +lira \d*PG(Ep + it)V\p){p\<l>). (8.19)
Заметьте, что в этих выражениях для меллеровских операторов
знаки слагаемого ±te совпадают со знаками ±, стоящими в

$ 4. Связь с оператором рассеяния
16?
качестве нижних индексов у Q±. В действительности такой
выбор нижних индексов первоначально был сделан в
соответствии с этими выражениями.
Мы вернемся к этим формулам, выражающим Q± через
G(z), в гл. 10, где они будут играть существенную роль при
обсуждении стационарных состояний рассеяния. Здесь же лишь
заметим, что, поскольку мы могли бы заменить множители GV
в (8.18) и в (8.19) на G°T, мы сумели выразить меллеровские
операторы Q+ как через G(z)t так и через Т(z). Сейчас наша
главная цель состоит в том, чтобы выразить через T(z)
оператор рассеяния S. Эту задачу мы выполняем в § 4, используя
ту же самую технику, что и в настоящем параграфе.
§ 4. Связь с оператором рассеяния
Выразив Q± через Т(г), мы можем теперь сделать то же
самое для оператора S^Q-Q-h Мы могли бы использовать
результаты (8.18) и (8.19), полученные для Q±, но столь же
легко сделать это и исходя непосредственно из первых
принципов. Расчет оказывается, к сожалению, несколько
беспорядочным, однако результат имеет исключительно важное
значение. Нашим исходным пунктом служит уравнение
<XISI*>=<XIQ-Q+I*>- Пт(х\(ешне-Ш)(е'"<'е-™*П\Ф). (8.20)
Порядок, в котором выполняются предельные переходы
/->+оо и /->—оо, не имеет существенного значения (в чем
легко может убедиться заинтересовавшийся этим вопросом
читатель). В частности, мы можем перейти к обоим пределам
одновременно, т. е. можем положить V = —/ и просто считать
/->-f-oo. Тогда получаем
<х |S| #« lim <x \[eiH4e~2iHieim]\ ф).
Далее применим известный прием, записывая это выражение
в виде интеграла от его производной. В нашем случае
-JL [,..] = _i {е1ннуе-2инешч + eime-2wtyeiH4^
Это дает
<ХIS|*>=<jc!#>-/$ *<%!{...}|#>«
О
оо
«=<х1*>-Л1т{Ле-<<х1{...>!#),

168
Гл. 8. Грановский и Т-операторы
где введение обрезающего множителя оправдывается как и в
предыдущем параграфе. Если теперь заменить ограниченные
векторы |х) и \ф) на собственные состояния импульса |р') и
|р), то свободные операторы эволюции в подынтегральном
выражении упрощаются, и мы получаем
оо
<p'|S|p) = a4p'-p)-nim $ <tt<p'|{ye'<V+*P+tt-«0< +
О
+ e'(v+^+*-*«)V}ip>-
+ G(£pi+^+/e)^}iP>.
Если затем мы заменим VG на Г<?° и GV на G°7\ то свободные
гриновские операторы, действующие на собственные состояния
импульса, можно заменить их собственными значениями:
X<P/ir(^i^+/e)|p).
Наконец, в величине, стоящей в фигурных скобках, мы узнаем
одно из стандартных представлений дельта-функции: {...} —
= — 2таЬ{Ер> — Ер). С учетом этого находим
<р' |S| p) = i>4p'-p)-2ni6(Ep>-Ep)\im(p' \T(Ep+ie) |p>.
е*0
(8.21)
Это один из главных результатов стационарной теории
рассеяния. Сравнивая его с разложением матричного элемента
(p'|S|p) через Г-матрицу на энергетической поверхности
<р' IS | р> - «■* (р' - р) - 2ш6 (Ер> ~EP)t(p'+- p),
мы видим, что
t(p'+-p) = \im(p'\T(Ep + ie)\p)^
-tf\T(Ep + iO)\p)
\ЕР. = ЕР1 (8.22)
где мы снова использовали запись f(E + iO) для обозначения
предела величины /(Е + /е) при е|0. Это показывает, что
Г-матрица на энергетической поверхности *(р'^-р), которая
определена только при ЕР' = ЕР, является фактически частным

§ 4. Связь с оператором рассеяния
169
случаем матричного элемента оператора T(z) между
состояниями с импульсами р' и р, отвечающими значениям z =
= £Р + Ю и EP'~EV. По этой причине величина (р'| 7(z) |р)
известна как Г-матрица вне энергетической поверхности.
Следует подчеркнуть, что эта матрица является в двух отношениях
более общей, чем /(р'«—р). Во-первых, переменная z есть про*
извольное комплексное число, не связанное ни с р', ни с р.
Во-вторых, сами по себе р' и р совершенно не зависят здесь
друг от друга. Просто так уж случается, что при |р'| =
= |р| и г = £р + Ю матрица вне энергетической поверхности
точно совпадает с *(р'*-р).
Сделаем несколько замечаний, предназначенных для
читателя, который прежде не встречался с Г-матрицей вне
энергетической поверхности. Во-первых, тот факт, что величина
(р' | Г (г) | р) определена и отлична от нуля при Е0< ф Еру
может на первый взгляд показаться удивительным, так как
отсюда может возникнуть впечатление, что нарушается закон
сохранения энергии. Однако сохранять энергию должен опера-
тор рассеяния S. Матричные элементы (р |S|p), несомненно,
равны нулю при Ер>фЕр\ это гарантируется дельта-функцией
Ь{Ер' — Ер) в формуле (8.21). Поскольку эта дельта-функция
равна нулю при ЕР' ф Еру постольку нет никакой причины для
обращения в нуль в этих точках величины (р' \Т(ЕР + i0)\ p),
и она действительно в них в нуль не обращается.
Во-вторых, разумен вопрос: зачем мы вообще заботимся об
определении Г-матрицы вне энергетической поверхности, если
физическим смыслом обладает именно 5-матрица, а она,
согласно (8.21), зависит в действительности только от значений
Г-матрицы на энергетической поверхности? Иначе говоря, мы,
очевидно, могли бы, не изменяя результат (8.21) прибавить
к Г-матрице вне энергетической поверхности абсолютно любую
функцию от р', р и z, если только эта функция обращается
в нуль на энергетической поверхности. Другими словами,
продолжение Г-матрицы на область вне энергетической
поверхности определяется почти полностью произвольно. Поэтому
возникает вопрос: зачем нам заботиться об этом определении?{)
Ответ состоит, коротко говоря, в следующем: оказывается
полезным определить Г-матрицу вне энергетической
поверхности, и удобным определением является как раз то
определение, которое сформулировано выше. При таком определении
Г-матрица вне энергетической поверхности оказывается
1) И действительно, существует направление (связанное с так называемой
аналитической теорией S-матрицы), представители которого утверждают, что
в разумной физической теории должны фигурировать только величины на
энергетической поверхности. Приведет ли такой подход к полной и
удовлетворительной теории рассеяния — пока неясно.

170
Гл. 8. Грановский и Т-операторы
могущественным средством для расчета амплитуд рассеяния и
для установления их общих аналитических свойств.
Нестрогое объяснение таково: S-матрица (р' |S| p) есть
чрезвычайно сингулярная функция своих аргументов из-за двух
дельта-функций, стоящих в (8.21). Г-матрица вне
энергетической поверхности (р'IГ (z) | р) является гладкой функцией
своих аргументов и удовлетворяет уравнению, которое легко
исследовать (уравнению Липпмана — Швингера). Последнее есть
интегральное уравнение для величины (р' \Т [z)\ p):
<р' \Т(г)\ р) =<р' IV\ р) + \ <рр" ШХШ{р^Т(г)\ р). (8.23)
Обсуждать его, не обращаясь к значениям матричного элемента
(p'\T(z)\p) вне энергетической поверхности, невозможно.
Действительно, зная, что мы заинтересованы в получении Г-мат-
рицы на энергетической поверхности, мы можем прямо поло-
жить | р' | = | р I И2 = £р + Ю. Тогда в левой части уравнения
получаем как раз требуемую Г-матрицу на энергетической
поверхности. Однако интеграл в правой части берется по всем
значениям аргумента р". Поэтому если мы желаем
рассматривать (8.23) как интегральное уравнение для Г-матрицы, то по
меньшей мере должны решать его для функции <р' \T(Ep+iO)\ р)
при всех значениях р' и только после этого положить |р'| = |р|.
Таким образом, любой подход к Г-матрице на основе
уравнения Липпмана — Швингера по крайней мере приводит к
обсуждению такой Г-матрицы «наполовину вне энергетической
поверхности» 1).
Другое применение Г-матрица вне энергетической
поверхности найдет тогда, когда мы будем обсуждать
многочастичное рассеяние. Оказывается, что имеющая физический смысл
Г-матрица на энергетической поверхности для многочастичных
процессов при использовании различных приближений может
быть связана с определенными двухчастичными ^-матрицами
вне энергетической поверхности. Например, при рассмотрении
рассеяния одной частицы а на связанном состоянии (be) двух
частиц Ь и с мы увидим, что амплитуду можно приближенно
записать в виде взвешенной суммы амплитуд, относящихся по
отдельности к рассеянию а на Ь и а на с. Однако при
рассеянии частицы а на частице Ь (находящейся в связанном состоя-
]) Отсюда понятно, почему мы рассматриваем величину (p'|^(z)lp) при
Ер, Ф Ер, но не понятно, почему нас интересуют комплексные значения г,
т. е. можно было бы попытаться оставлять z всегда фиксированным при
значении ЕР + Ю. Однако величина Т(Е + Ю) имеет смысл предельного
значения T(z) при стремлении z к вещественной оси в точке Е сверху. Поэтому
при строгом обсуждении уравнения Липпмана — Швингера мы должны
сначала работать с комплексными z и затем переходить к этому пределу.

Задачи
171
нии с частицей с) энергия и импульс могут забираться
частицей с, и наоборот. Поэтому здесь потребуются двухчастичные
амплитуды вне энергетической поверхности.
В заключение не мешает повторить еще раз то, что было
сказано в начале этой главы: наш способ введения Г-матрицы
вне энергетической поверхности — сформулировать
определение T=V-\-VGV на пустом месте и затем «открыть» его
связь с Г-матрицей на энергетической поверхности,
несомненно, никак не отражает того пути, на котором это понятие было
впервые открыто. Исторически теория рассеяния развивалась
(по аналогии с теорией связанных состояний), используя
стационарные «собственные функции рассеяния», которые
изучаются в гл. 10. Г-матрица вне энергетической поверхности была
введена именно через них. Эти собственные функции
удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера, которое в свою
очередь приводит к уравнению Липпмана — Швингера для 7\
Таким образом, в историческом плане уравнение Липпмана —
Швингера для Т рассматривается как отражение уравнения
Шредингера для собственных функций рассеяния.
Задачи
8.L Докажите тождество
0 0
со со
если известно, что \ </т || фт || <со. (Запишите интеграл \ в виде суммы
о
Т ос-
интегралов \ + \ ; выберите число Г настолько большим, чтобы интеграл \
о г т
был малой величиной и в левой и в правой частях тождества. Затем выбе-
т
рите число е настолько малым, чтобы значения двух интегралов \ были
о
близки.)
8.2. Рассмотрите сепарабельныЙ потенциал
где ]£) —нормированный вектор, определяемый своей волновой функцией в
импульсном пространстве £(р).
а) Покажите, что Т(г) выражается в явном виде следующим образом:
т(*\ я !£)(£!
1 W™ 1-ЛД(г)'

172
Гл. 8. Гриновский и Т-операторы
где
A(z) -« I G° (г) | 0 - J 43/> '2^'2 .
[Указание: сначала используйте определение Т = V+ V6V, чтобы показать:
Г = а(2)|£) (£|, где а(г)—некоторое число. Затем используйте уравнение
Липпмана — Швингера Т = V + VG^T для нахождения а(г)]
б) Покажите, что борновский ряд для Т сходится к правильному ответу
при малых X, а при больших % расходится.
в) Рассматривая полюсы оператора T(z)t покажите, что при данном
потенциале V либо существует одно связанное состояние» либо связанных
состояний не существует.
г) Найдите парциальные амплитуды в том случае, когда функции £(р)
сферически симметрична (т. е. когда \Q —собственный вектор оператора Lt
принадлежащий собственному значению нуль).

ГЛАВА 9
БОРНОВСКИЙ РЯД
В гл. 8 было показано, что Г-матрица на энергетической
поверхности f(p'<— p) есть просто предельное значение при
z->Ev-\-iQ матричного элемента оператора T(z) по
состояниям с импульсами р' и р. В настоящей главе мы обсуждаем
важный метод реального расчета оператора T{z) — так
называемый борновский ряд. Как упоминалось в гл. 8, этот ряд
получается при попытке решить уравнение Липпмана — Швин-
гера Т = V + VG°T с помощью итераций, если в качестве
первого приближения использовать борновское приближение T&V.
После одной итерации мы приходим ко второму борновскому
приближению TzzV+VG°Vf а конечный ответ представляет
собой борновский ряд
T(z)=V + VG«(z)V + VG»(z)VG°(z)V + .... (9.1)
Подчеркнем, что борновский ряд не всегда сходится и что с еще
меньшим основанием мы можем ожидать настолько быстрой
сходимости, чтобы уже первые одно-два его слагаемых давали
разумное приближение. Впрочем, бывают обстоятельства
(особенно высокие энергии или слабые потенциалы), при которых
этот ряд в самом деле сходится, причем сходится очень быстро.
Именно поэтому рассматриваемый метод приобретает свое
важное значение.
Борновский ряд имеет многочисленные и разнообразные
приложения. В теоретическом плане его можно использовать
для установления некоторых общих свойств амплитуды
рассеяния— и тогда, как правило, достаточно самого факта
сходимости ряда. Его можно использовать и как практический
метод расчета амплитуд — и тогда ряд должен сходиться
настолько быстро, чтобы важно было только очень малое число
его членов. В большинстве случаев даже вычисление второго
члена оказывается фактически настолько громоздким, что
метод применяется только тогда, когда доминирует один
первый член — борновское приближение !). При некоторых
!) Важным исключением является борновский ряд в квантовой
электродинамике, где техника диаграмм Фейнмана приводит к практической
возможности расчета нескольких членов ряда.

174
Гл. 9. Ворновский ряд
взаимодействиях (например, в атомной физике) возникают
ряды, сходящиеся так быстро, что уже одно борновское
приближение находится в превосходном согласии с экспериментом.
Существуют и совершенно противоположные ситуации, главным
образом в физике сильных взаимодействий, когда почти ничего
не известно о сходимости борновского ряда, и борновское при*
ближение используется просто потому, что нет какой-либо
практически реализуемой возможности расчета.
В настоящей главе мы обсудим некоторые общие условия
сходимости борновского ряда. В качестве конкретных примеров
мы рассмотрим две простых модели. В § 3 мы обсудим
рассеяние двух нуклонов, взаимодействующих между собой
посредством потенциала Юкавы, а в § 4 — рассеяние электрона на
атоме (причем атом рассматривается как статическое
распределение заряда, определяющее тот потенциал, который действует
на электрон). В заключение, в § 5, мы обсудим интерпретацию
борновского ряда с помощью диаграмм Фейнмана.
Дальнейшее обсуждение борновского ряда и некоторых его
обобщений (вариант для парциальных волн, борновский ряд для
искаженных волн, вариант для многоканального рассеяния,
и т. д.) будет проведено в нескольких последующих главах.
§ 1. Борновский ряд
Для того чтобы лучше понять значение борновского ряда,
полезно ввести в виде множителя перед потенциалом некоторый
параметр X и вместо истинного гамильтониана H==H°-{-V
рассматривать семейство гамильтонианов Н = #° + МЛ Число
% (вещественное, чтобы гамильтониан И был эрмитов1)), может
рассматриваться как параметр, определяющий силу
взаимодействия, иначе говоря, как константа связи, значение которой
в фактически интересующей нас задаче равно Я=1.
Операторы G(z) и T(z) наряду с зависимостью от z оказываются
теперь и функциями от X, но мы не будем указывать эту
зависимость в явном виде.
Борновский ряд возникает из предположения о том, что
оператор T(z) можно разложить в ряд по степеням X:
оо
Т{г)= Z XnT{n)(z). (9.2)
л=0
!) Позже нам представится случай обсуждать комплексные значения X,
при которых оператор Н° + XV уже не является гамильтонианом какой-либо
физической системы, хотя в математическом смысле остается вполне
определенной величиной. Мы будем называть вещественные значения X «физическими
значениями», а комплексные значения «нефизическими». Сейчас мы
рассматриваем только физические значения.

§ 7. Борновский ряд 175
Подставляя это разложение в уравнение Липпмана — Швин-
гера
T = XV + XVG°T (9.3)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X
слева и справа, мы находим соотношения П°> = О, T^—V и
Следовательно, ряд по степеням X (9.2) принимает вид
Т (г) = XV + X2VG* (z)V+ ... (9.4)
и при истинном значении X = 1 переходит в обсуждавшийся
выше ряд (9.1).
Другой путь к тому же ответу состоит в том, чтобы
переписать уравнение Липпмана —Швингера (9.3) в виде
(1 -XVG°)T = XV.
Из такой записи ясно, что задача нахождения Т эквивалентна
задаче получения оператора, обратного оператору (1—XVG0).
Если этот обратный оператор существует, то решение для Т
имеет вид
В частности, если мы предположим, что этот обратный
оператор может быть разложен в биномиальный ряд:
(1 - XVG0)"1 = 1 + XVG0 + (XVG0)2 + ... ,
то мы вновь придем к борновскому ряду (9.4).
Из разложения в ряд оператора T(z) мы немедленно можем
выписать соответствующий борновский ряд для величины,
имеющей первостепенное значение, — для Г-матрицы на
энергетической поверхности:
t(p'+-p) = (p'\T(Ep + iO)\p) =
= HP'\V\p) + V(p'W<P(Ep + tQ)V\p) + ...
Этот результат имеет, конечно, непосредственный физический
интерес, и мы должны теперь рассмотреть следующие важные
вопросы, касающиеся полученного ряда. Сходится ли ряд?
В частности, сходится ли он при значении Х= 1, которое
соответствует истинному гамильтониану H = H°+V? Сходится ли
он достаточно быстро, чтобы служить полезным методом для
расчета?
Прежде чем точно ответить на эти вопросы, мы сделаем
два замечания относительно того, чего можно было бы здесь

176
Гл. 9. Борковский ряд
ожидать. Борновский ряд — это ряд по степеням оператора
XVGQt и как можно догадаться, он должен сходиться в том
случае, когда указанный оператор «мал» (в каком-то подходящем
к случаю смысле). Во-первых, отсюда вытекает, что сходимость
должна быть хорошей при достаточно малых X— результат,
который мог бы уточнить представление о том, что ряд должен
сходиться при слабых потенциалах. Во-вторых, оператор
G°(z) = (2 — Я0)-1, очевидно, «мал» (в некотором смысле)
тогда, когда z принимает большие значения^ и мы можем
догадываться, что ряд (9.5) должен хорошо сходиться при
достаточно больших значениях энергии Ер. Эти представления
точно формулируются в следующих утверждениях, каждое из
которых применимо к любому потенциалу V,
удовлетворяющему рассмотренным в гл. 2, § 2 условиям [т. е. У = 0(г-ч*+е)
при малых г, 1/ = 0(г-3~е) при больших г, а при
промежуточных значениях г потенциал V должен быть
кусочно-непрерывной функцией]. Доказательства этих утверждений, которые
оказываются довольно сложными, интересующийся читатель
может найти в литературе !).
Сходимость при слабой связи. Для любого потенциала V
существует некоторое число Я, > 0» такое, что
борновский ряд (9.5) сходится к точной Г-матрице на
энергетической поверхности при всех значениях р и р', если
только |Х|<Я. Чем меньше А, тем быстрее сходится ряд,
и при достаточно малых X доминирует один только
первый член (борновское приближение).
Этот результат имеет значительный теоретический интерес.
Например, он гарантирует существование бесконечного
множества потенциалов (а именно потенциалов, получаемых при
умножении любого V на достаточно малое число X), для
которых амплитуда выражается в виде борновского ряда. Однако
при заданном потенциале V полученный результат
практически бесполезен, если только случайно не окажется, что его
можно применять при значении X=lf соответствующем
истинному взаимодействию. В связи с этим следует упомянуть о том,
что для достаточно малых значений X, таких, что сходимость
имеет место при всех энергиях, при рассеянии на потенциале
XV не возникает связанных состояний. Переходя к обратному
утверждению, мы видим, что если при рассеянии на данном
потенциале существует связанное состояние, то соответствую-
1) Довольно полное рассмотрение можно найти в книге Ньютона [3] в
разделах 9.1 и 10.3 Можно также прочитать первоначальную статью Клейна
и Земаха [25]. Важное условие ограниченности интеграла (10.64) (из книги
Ньютона), несомненно, выполняется при условиях, упомянутых выше.

§ 2. Борновское приближение
177
щий борновский ряд, несомненно, не сходится при всех
значениях импульсов1).
Сходимость при высоких энергиях. Для данного
потенциала V существует некоторое значение энергии Я, такое,
что при энергиях, больших Е, борновский ряд сходится
для значения Х= 1, соответствующего истинному
взаимодействию. Чем выше энергия (сверх £), тем быстрее
сходимость, и при достаточно больших Е доминирует
борновское приближение.
Главное практическое значение этого второго результата
состоит в том, что при достаточно больших энергиях для
любого данного потенциала борновское приближение, несомненно,
надежно. Единственная оговорка такова: «достаточно большие
энергии» могут оказаться настолько большими, что наше
описание системы с помощью потенциала станет нереалистическим
(например, ввиду наступления релятивистских эффектов).
§ 2. Борновское приближение
Только что сформулированные два результата гарантируют
существование многочисленных ситуаций, в которых
борновский ряд сходится, и, мало того, сходится настолько быстро,
что важное значение имеет только его первый член. Если
ситуация именно такова, то Г-матрица на энергетической
поверхности равна (мы возвращаемся к значению Я=1,
отвечающему истинному взаимодействию)
'(p'+-p)~'(1'(p'«--p) = <p'IVIp).
Следовательно, для амплитуды имеем
f(p/<~p)«f,1)(p,^P) = -(2n)2m(p'|V|p) =
или
Г" (р' «- р) = - -£ J rf3**"'4 '*v (*) •
(9.6)
!) См. [3], стр. 138. В общих чертах причину этого можно понять из
следующего. Если гамильтониан имеет вид H = H" + XqV и существует
связанное состояние при значении энергии, меньшем нуля, то оператор Т(г) имеет
полюс при z = E0t X = Ко. Это значит, что ряд по степеням Д., по всей
видимости, не может сходиться по крайней мере при z = Е0, X = V Можно
показать, что ситуация не может улучшиться при перемещении z в окрестность
нуля и, следовательно, что ряд расходится на некотором интервале выше
Е — 0 (при К = Xq). Таким образом, если борновский ряд действительно
сходится при всех значениях энергии (0 ^ Е < оо)? то связанные состояния
существовать не могут.

178
Гл. 9. Борковский ряд
В этом последнем выражении мы ввели вектор q = р' — р,
импульс, передаваемый налетающей частице мишенью. Его
называют передаваемым импульсом. По величине он равен (фиг. 9.1)
о - 9
<7 = 2p$iny.
Борновское приближение (9.6) является, несомненно,
исключительно важным приближенным выражением для
амплитуды. Возможно, наиболее замечательное его свойство в том,
что оно зависит от импульсов р и р7 только через их разность
q = p' — p; т. е. борновское приближение является функцией
4
Фиг. 9.1. Передаваемый импульс q=mp' — p.
только передаваемого импульса. Действительно, с точностью до
численного множителя амплитуда /(1)(р'^~р) оказывается
просто преобразованием Фурье потенциала, взятым при равном q
значении аргумента. Для любого данного потенциала расчет
амплитуды в борновском приближении сводится к простой
задаче оценки такого преобразования Фурье.
Если потенциал сферически симметричен, то
интегрирование по углам в борновском приближении легко выполняется и
мы получаем
оо
/<'>(p'«-p) = _2m$ r*dr^V(r). (9.7)
О
В следующих двух параграфах мы произведем оценку этого
интеграла и обсудим его для различных конкретных
потенциалов. А сейчас мы перечислим некоторые важные обшие
свойства, которыми обладает любой сферический
потенциал.
Амплитуда рассеяния вперед. Если р' = р, то q = 0 и,
следовательно,
fin (р +- р) = — 2m J г2 drV (r), (9.8)
о

$ 2. Ворновское приближение
179
т. е. амплитуда рассеяния вперед имеет фиксированное
значение, не зависящее от энергии1). Это свойство усматривается
из фиг. 9.2, где показано сечение в борновском приближении
для потенциала Юкавы [см. (9.13)]
1/(г) = 1£_.
Нулевая энергия* При нулевой энергии q = 0. Поэтому ам*
плитуда /''Чр'^-Р) опять-таки дается выражением (9.8) и не
зависит от Э, т. е. рассеяние (в борновском приближении)
становится изотропным при низких энергиях (фиг. 9.2). То же
Нулевая энергия
Промежуточные
энергии
Фиг. 9.2. Типичное поведение дифференциального сечения в системе центра
масс в борновском приближении [см, (9.13)].
справедливо и для полной амплитуды /(р'^р). Впрочем, это
свойство амплитуды /W не находит широкого применения, так
как при низких энергиях борновское приближение, вообще
говоря, несостоятельно.
Пик вперед. Когда величина q становится большой,
борцовская амплитуда (9.7) стремится к нулю, что ясно ввиду
как множителя q в знаменателе, так и осциллирующего
множителя sin ^г в числителе. Поскольку
q = 2p$in^,
1) Как обычно, мы считаем, что потенциал Уведет себя как 0(г'ъ~Е) при
г -»- оо? так что интеграл (9.8) имеет конечное значение. Отметим, что, если
потенциал V убывает медленнее, чем г-3 (как, например, в том случае, когда
V — кулоновский потенциал), то этот интеграл расходится и амплитуда
рассеяния вперед бесконечна.

180
Гл. 9, Борновский ряд
это означает, что при высоких энергиях (когда борновское
приближение, несомненно, справедливо) амплитуда убывает при
увеличении угла 8 от 0 до л. Чем выше энергия, тем быстрее
убывает амплитуда, пока в конечном счете остается один только
узкий пик в направлении вперед (фиг. 9.2).
Унитарность. Это свойство борновского приближения
требует комментария. Мы видели, что амплитуда /(1)(р/_>р) про-
порциональна матричному элементу (p'|V|p)> a так как
потенциал V эрмитов, то амплитуда рассеяния вперед в борнов-
ском приближении вещественна1). Согласно оптической
теореме, мнимая часть амплитуды рассеяния вперед
пропорциональна полному сечению, и поэтому амплитуда никогда не
бывает вещественной, за исключением того случая, когда
никакого рассеяния вообще не происходит. Так как оптическая
теорема выполняется вследствие унитарности оператора S,
указанное очевидное противоречие обычно формулируется как
утверждение о том, что борновское приближение нарушает
унитарность.
Прежде всего, мы замечаем, что легко выясняются истоки
этого очевидного противоречия. Борновский ряд выражает f
в виде ряда по степеням Л, начинающегося с линейного члена
Xft]\ Из оптической теоремы
Im/(p«-p)—^jdOI/P
ясно, что мнимая часть амплитуды рассеяния вперед порядка
Я2. Поэтому совсем не удивительно, что при подсчете ампли-
туды / только до порядка X мы полностью упускаем ее мнимую
часть.
Для того чтобы лучше понять ситуацию, мы перепишем
борновский ряд в виде ряда для 5-оператора
S=1+*S(I) + *2S<2)+ ....
Подставляя его в условие унитарности S+S=l и производя
перегруппировку слагаемых, мы находим соотношение
l+)i[S,l|4S,,|] + ^[8(,,tSt" + 8(2)48,2,]+ ... -1. (9.9)
1) Общий результат заключается, очевидно, в том, что амплитуда
t^(p' *~р) эрмитова в смысле соотношения (9.10). Для простоты мы
сосредоточили внимание на амплитуде рассеяния вперед, для которой эрмитовость
эквивалентна вещественности. Если потенциал сферически симметричен, то из
(9.7) ясно, что амплитуда /(1)(Р/ч_Р) вещественна при всех значениях р'
и р. Тем не менее общий результат состоит в том, что в борновском
приближении амплитуда эрмитова.

§ 2. Борновское приближение
181
Оно может выполняться только тогда, когда по отдельности
равны нулю все коэффициенты перед Xt X2, ... . В частности,
рассматривая коэффициент перед X, мы находим
или, если перейдем к матричным элементам (не забудьте
множитель / в разложении оператора S через /),
Р(р«-р')* = /<п(р'^р). (9.10)
Полагая р' = р, мы видим, что вследствие унитарности бор-
новская амплитуда рассеяния вперед должна быть
вещественной. И наоборот, если выполняется соотношение (9.10), то
условие унитарности (9.9), очевидно, выполняется по крайней
мере до величины порядка X.
Беспокойство возникает тогда, когда мы рассматриваем член
порядка X2 в (9.9), Очевидно, что если величина S<!> отлична от
нуля, то S(2' также должна быть отличной от нуля, для того
чтобы коэффициент перед X2 обращался в нуль. Борновское же
приближение состоит в том, что мы пренебрегаем членом S(2) и
членами более высокого порядка в разложении оператора S.
Но если взять величину S(2) равной нулю, то коэффициент
перед X2 в (9.9) не может быть равным нулю, и мы находим,
что взятое до членов порядка X2 наше приближение нарушает
условие унитарности. Такая ситуация, в сущности,
неудивительна.
Истинный 5-оператор унитарен и удовлетворяет условию
унитарности (9,9) во всех порядках по X. Однако если мы
берем приближенное выражение для S, пренебрегая членами
порядка X2, то это приближенное выражение удовлетворяет,
вполне естественно, условию унитарности только до порядка X.
Конечно, если борновский ряд сходится быстро, то
отброшенные члены малы, и нарушение соотношения (9.9) оказывается
также малым.
Мы видим, что наше очевидное противоречие свелось к
следующему в общем-то неудивительному утверждению: если
борновский ряд сходится медленно и если мы пренебрегаем всеми
членами, кроме первого, то наше приближение оказывается
плохим и, в частности, оно не будет удовлетворять условию
унитарности. Однако мы можем превратить этот результат
в полезный критерий с помощью следующего замечания: если
найдено, что борновское приближение серьезно нарушает
унитарность, то это приближение, несомненно, ненадежно.
Указанный критерий наиболее полезен при рассмотрении борнов-
ского ряда для парциальных волн, и мы откладываем даль
нейшее обсуждение этого вопроса до гл. 11.

182
Гл. 9. Борновский ряд
§ 3. Потенциал Юкавы
В качестве первого приложения борновского ряда мы
рассмотрим потенциал Юкавы
V(r) = y^~. (9.11)
На основании своей мезоннои теории Юкава предложил этот
потенциал в качестве модельного потенциала для нуклон-нук-
лонного взаимодействия. Этот потенциал появляется также
и в атомной физике» где он служит простой моделью для
экранированного кулоновского поля, создаваемого атомом. Однако
наиболее тщательно он был исследован в качестве модельного
потенциала для ядерных взаимодействий, так что сначала мы
обсудим его именно в этом контексте.
Преобразование Фурье (9.7) легко выполняется для
потенциала Юкавы, и мы получаем борновское приближение в виде
f,,,(p'<-P)=1F|p- (9Л2)
где, конечно, q = 2р sin (0/2). В действительности именно из
этого результата можно сделать вывод о применимости
потенциала Юкавы (9.11) для описания взаимодействия нуклонов
друг с другом. Борновская амплитуда (9.12), к которой
приводит потенциал Юкавы, точно совпадает с борновской
амплитудой, получаемой при рассмотрении взаимодействия нуклонов
посредством скалярного мезонного поля, если р, отождествить
с умноженной на с массой мезона и если y пропорциональна
квадрату константы связи мезон-нуклонного взаимодействия
(если в качестве указанного мезона берется пион1), то
ц ~ 140 МэВ/с и у~ — 2с/3). Так как при таких значениях \х
и у борновское приближение, несомненно, недостаточно (как мы
увидим позже), указанное совпадение может показаться не
слишком веской причиной для рассмотрения потенциала
Юкавы. Тем не менее имеются серьезные основания считать, что
потенциал Юкавы дает разумную модель по крайней мере для
дальнодействующей части ядерного взаимодействия.
Сечение в системе центра масс, соответствующее
борновской амплитуде (9.12), равно
da 4у2/п2
dQ ~ (n2+4/?2sin29/2)2
(9.13)
*) Потенциал Юкавы соответствует скалярному мезону, в то время как
пион в действительности является псевдоскалярным мезоном.
Соответствующий псевдоскалярный эквивалент потенциала Юкавы приводится, например,
в книге [26], стр. 317, формула (74).

§. 3. Потенциал Юкавы
183
Именно это сечение было изображено на фиг. 9.2; оно
обнаруживает все общие свойства борновского приближения,
обсуждавшиеся в § 2. Сечение рассеяния вперед (6 = 0) имеет
величину 4y2m2/[iA, не зависящую от энергии; сечение при
нулевой энергии не зависит от 9. При увеличении энергии сечение
как функция угла В убывает все более и более быстро, и при
рУ&у, остается только пик вперед, имеющий угловую ширину
~ц//).
Чтобы получить лучшее приближение для амплитуды и
составить некоторое представление о надежности первого
борновского приближения Р\ естественно попытаться подсчитать
второй борновский член /(2), который, согласно (9.5), имеет вид
р (р' *- р) =* — (2л)2 m <p' I VG° (£, + /0) V | р>
или, если ввести полную систему состояний |р"\
Ptf «-р) = -{2пУ m \ <ty> <"''/р'^!7 ю'Р> • ^)
Матричные элементы потенциала V — это просто
преобразования Фурье функции V(x); мы уже вычислили их при
рассмотрении первого борновского приближения. Поэтому остается
юлько выполнить интегрирование по р". К сожалению, это
интегрирование оказывается обычно весьма громоздким. Для
потенциала Юкавы ответ можно выразить через элементарные
функции (см. [3], стр. 291), но, поскольку получающееся
выражение не особенно проясняет обсуждаемый сейчас вопрос, мы
рассмотрим только специальный случай рассеяния вперед,
когда р' = р. В этом случае простое интегрирование (задача 9.1)
приводит к выражению
ИР-Р)=7^. (9.15)
Если мы ожидаем, что борновское приближение будет
надежным, то должно, конечно, выполняться соотношение
|р>| <^ |[0)|. и наоборот, если амплитуда /<2> гораздо меньше
амплитуды /(1), то представляется по меньшей мере
правдоподобным, что борновское приближение хорошее. Таким образом,
разумный, хотя и не строгий, критерий справедливости
борновского приближения состоит в том, чтобы подсчитать
отношение |/(2)/f(1,| и сравнить его с единицей. Для потенциала Юкавы
мы находим из (9.15) и (9.12) (при 8 = 0), что это отношение
равно
J_l_ ._Y« [6 = 0]. (9.16)
:(1)
((i* + V)V.

184
Гл. 9. Борковский ряд
В случае нуклон-нуклонного взаимодействия1) у~—2с/3,
т ~ 500 МэВ/с2 и \i ~ 140 МэВ/г. Таким образом, при нулевой
энергии, например, отношение |/<2)//(,)|, взятое для амплитуд
рассеяния вперед, равно приблизтельно 2,5. Это означает, что при
нулевой энергии борновское приближение почти несомненно
оказывается безнадежно плохим, а борновский ряд расходится.
При возрастании энергии отношение |/(2)//(1)| [см. (9.16)]
неуклонно улучшается. Однако оно не будет в достаточной степени
малым по сравнению с единицей до тех пор, пока не будет
выполняться соотношение р2 » ц2, а в этом случае нуклоны имели
бы релятивистские энергии и описание с помощью
нерелятивистского потенциала почти несомненно стало бы нереалистическим.
Чтобы выполнить соответствующую проверку при 9 ф 0,
необходимо подсчитать f<2)(p'«-p) при произвольных р и р'.
Следует, однако, подчеркнуть, что простое сравнение амплитуд /<*>
и /<2> есть, во всяком случае, только очень грубый критерий
сходимости всего ряда. (Например, могло бы случиться так, что
амплитуда /<2) была малой по сравнению с /<1>, но тем не менее
третий член /(3) оказался большим.) Для целей проверки
бессмысленно, конечно, проявлять большую заботу о точной оценке /<2> —
любая грубая прикидка отношения |/<2>//(1,| послужит не хуже.
Существуют несколько способов оценки этого отношения; один
метод упоминается в задаче 10.2. Здесь же мы просто
утверждаем, что независимо от того, используем ли мы точный вид
амплитуды /(2) или любую разумную оценку этой амплитуды, мы
получаем для любого угла 8 по существу тот же самый
результат, что и указанный в (9.16) для направления вперед. Таким
образом, при низких энергиях (р < ц) грубый критерий
справедливости борновского приближения для потенциала Юкавы
имеет вид
pjp < 1 [низкие энергии, р < \х], (9.17)
а при высоких энергиях имеем вместо этого2)
р^Ч < 1 [высокие энергии, р> р]. (9.18)
Этот результат означает, в частности, что в задаче нуклон-
нуклонного рассеяния прямое применение борновского
приближения (9.12) едва ли имеет какой-либо смысл. В дальнейшем,
однако, выяснится, что борновское приближение может ока-
') Вспомним, что т — это приведенная масса, которая в случае нуклон-
нуклонного рассеяния равна половине массы нуклона.
2) Это условие обычно записывают с добавочным множителем In (2р/ц)
(см. задачу 10.2). При любом разумном значении энергии этот множитель,
очевидно, мало что меняет,

§ 4. Рассеяние электронов на атомах
185
заться полезным для расчета парциальных амплитуд с
большими / даже тогда, когда его нельзя использовать для расчета
полной амплитуды. Используемое именно таким способом бор-
новское приближение действительно сыграло важную роль
в анализе нуклон-нуклонного рассеяния [17].
§ 4. Рассеяние электронов на атомах
Обсудив одну задачу, в которой прямое применение
борцовского приближения оказывается невозможным, мы приступаем
теперь к обсуждению другой задачи, в которой такое
применение, несомненно, возможно, — задачи о рассеянии электронов на
атомах. Фактически здесь мы имеем дело с многочастичной
задачей, относящейся к тому типу задач, который мы рассмотрим
в гл. 16—22. Выясняется, однако, что мы получаем разумную
приблизительную картину упругого рассеяния (т. е. рассеяния,
при котором мишень остается в своем основном состоянии), если
мы рассматриваем служащий мишенью атом как фиксированное
распределение заряда р(х). В таком «статическом» приближении
(называемом также «приближением одного состояния», см.
гл. 19, § 3) падающий электрон движется в поле
фиксированного потенциала
K(x) = ~eJdVT^1- (9.19)
и упругое рассеяние можно изучать с помощью уже развитых
методов. В этой простой модели не учитывается, очевидно,
возможная деформация, или поляризация, атома налетающим
электроном, а также не допускаются неупругие процессы (при
которых мишень переходит в возбужденное состояние или
ионизируется). В этой модели игнорируются также «обменные»
эффекты, связанные с неразличимостью падающего и атомных
электронов.
Если мы сначала рассмотрим рассеяние электронов на атоме
водорода, то в указанном приближении плотность заряда
мишени равна
р(х) = е{6*(х)-|<Мхт.
Дельта-функция представляет здесь заряд точечного ядра, а
второе слагаемое соответствует распределению заряда связанного
электрона, причем через ^(х) здесь обозначена волновая
функция основного состояния атома водорода:
где а — боровский радиус (а = \/те2). Соответствующий
потенциал (9,19), сферически симметричный и, конечно, не завися-

186
Гл. 9. Ворновский ряд
щий от спина, имеет вид
У(г) = _е2[(1 + 1)е-2г/а]. (9.20)
Теперь мы можем перейти к расчету амплитуды для этого
потенциала. В частности, мы можем попытаться использовать
борновское приближение, которое при помощи элементарного
интегрирования выражается следующим образом:
fu»(p^p) = _2m^^riiMlV(r) = 2aTA±^. (9.21)
о
Следует подчеркнуть, что это выражение для амплитуды
упругого еН-рассеяния является аппроксимацией в двух отношениях.
Во-первых, исходя из потенциала (9.20), мы рассчитали не
точную амплитуду, а только борновское приближение. Во-вторых,
потенциал (9.20) представляет собой всего лишь приближенную
модель мишени, которая в действительности является
двухчастичной системой. Любое расхождение между результатом (9.21)
и экспериментом может отражать недостаточность какого-либо
из этих приближений или их обоих.
Для выяснения вопроса о справедливости борновского
приближения мы должны, согласно предыдущему параграфу,
оценить величину второго члена борновского ряда /<2>. В настоящем
случае мы можем получить грубую оценку, если аппроксимируем
наш потенциал юкавским
V(r)= Y-V-
Если y — —е2 и М- ~ 1/а» то этот кжавский потенциал имеет
такую же сингулярность при г = 0 и такое же качественное
поведение, как и потенциал (9.20). Для юкавского потенциала
у нас уже есть грубый критерий справедливости борновского
приближения. При низких энергиях это соотношение (9.17):
которое, очевидно, не выполняется, поскольку а = 1/те2. При
высоких же энергиях условие сходимости выражается
соотношением (9.18):
I ут | _ е^
\ Р \ Р
т.е. должно быть ра^> L Это-условие требует, чтобы длина
волны падающей частицы была много меньше боровского
радиуса, т. е. чтобы энергия намного превышала 10 эВ. Таким
образом, у нас есть все основания надеяться на то, что амплитуда
(9.21) окажется надежной при энергиях, превышающих 100 эВ
или около того.
е2та < 1,

§ 4. Рассеяние электронов на атомах
187
К сожалению, в обычных условиях водород не встречается
в виде атомов, и для измерения сечения рассеяния электронов
на атомном водороде приходится использовать атомный пучок,
состоящий из диссоциированных молекул водорода. Из-за малой
интенсивности таких пучков все измерения становятся очень
трудными, и сечение упругого еН-рассеяния при интересующих
нас энергиях до сих пор не измерено.
Для сравнения нашей теории с экспериментом мы должны
рассмотреть в качестве мишени такой элемент, который в
обычных условиях существует в виде атомов. Простейшим из таких
элементов является гелий. В статическом приближении мишень
из гелия рассматривается как фиксированное распределение
заряда» имеющее вид
9(x) = e{W(x)~\d%\<f>(x, х2)?-\(Рх}\ф(х{, x)pjf
где <HXj, x2) — двухэлектронная волновая функция основного
состояния. В этой формуле первое слагаемое соответствует
заряду ядра, а второе и третье слагаемые представляют собой
плотности зарядов имеющихся двух электронов. Точный вид
волновой функции ф(х\, X')) не известен. Однако существуют
несколько способов, с помощью которых ее можно получить
в хорошем приближении. Например, если выполнить
вариационный расчет основного состояния гелия, используя пробную
функцию
Ф(хг, x2) = x(Xi)x(x2),
где
Х(х) — а (ла3Г,/з (e~zr'a + $e-2zr<a),
то наилучшая оценка энергии, только на 1,5% отличающаяся
от ее экспериментального значения, достигается при
следующих значениях параметров: а =1,48, р = 0,61, z=l,45.
Используя эту пробную функцию, мы можем рассчитать плотность
заряда атома р(х), соответствующий потенциал V{x) и,
наконец, борновское приближение
/ Ф <- Р; 2з a [J* {4z2 + q2a2)2 -t-
^ 27 (922 + <?2а2/2 ^ 2 (16** + qW? J * \**^)
Оценка, аналогичная той, которая была получена выше для
водорода, показывает, что борновское приближение (9.22)
должно стать надежным при энергиях свыше приблизительно
100 эВ. Это предсказание оправдывается хорошо, что видно из
фиг. 9.3, где борновское приближение сравнивается с
экспериментально измеренными сечениями при энергии 500 эВ. Можно
видеть, что согласие оказывается превосходным при всех углах,

188
Гл. 9. Борновский ряд
за исключением малой окрестности вблизи направления вперед.
(По-видимому, не следует принимать слишком всерьез еще
меньшее расхождение вблизи направления назад, где величина
сечения крайне мала и имеются только данные старых измере-
+
/0-го
90*
&
№°
Фиг. 9.3. Сечение упругого рассеяния электронов на гелии при энергии 500 Эв.
Кривая изображает борновское приближение (9.22). Экспериментальные точки взяты нэ
статей 127,28] и изображаются соответственно значками X и +.
ний Хыога с соавторами1).) Совершенно отчетливое
расхождение в области вблизи направления вперед (при 9 <С 15°)
объясняется за счет деформации атома падающим электроном и в
меньшей степени за счет обменных эффектов. В нашем
статическом приближении мы полностью пренебрегаем и тем и другим.
1) В действительности неучет многочастичных эффектов при рассмотрении
<?Н-рассеяиия в пределе высоких энергий оказывается неоправданным. [См. по
данному вопросу статьи: А. М. Бродский, В. В. Потапов и В, В. Толмачев,
ЖЭТФ, 58, № 1 (1970); Г. В, Дубровский, А. В. Богданов, ЖЭТФ, 64, № 5
(1973).] — Прим. ред.

§ 5. Диаграммы Фейнмана
189
§ 5. Интерпретация борновского ряда
с помощью диаграмм Фейнмана
Борновскому ряду для S-матрицы (p'|S| p) можно дать на-
гляную интерпретацию, при которой /г-й член ряда
рассматривается как амплитуда вероятности события, состоящего в том,
что «переход» (р'«— р) совершается через последовательность
(я—1) «промежуточных», или «виртуальных», состояний
(р'<— кп~]+- ... <г- к] <— р); удобно сопоставлять таким
процессам широко известные диаграммы Фейнмана. Эта
интерпретация возникает естественным образом при альтернативном
выводе борновского ряда с использованием представления
взаимодействия. Ввиду того что и этот альтернативный вывод и
вытекающая из него интерпретация сыграли важную роль в
недавней истории теории рассеяния (нерелятивистской и
релятивистской), мы посвятим последний параграф настоящей главы
их обсуждению.
До сих пор мы работали исключительно в так называемом
шредингеровском представлении квантовой механики. В этом
представлении векторы состояния, описывающие изменяющуюся
систему, изменяются со временем согласно уравнению Шредин-
гера с гамильтонианом Я; основные же динамические
переменные X, Р и S от времени не зависят. Выполняя зависящее от
времени унитарное преобразование, мы можем изменить такую
ситуацию и получить новое «представление» квантовой
механики. В частности, если Я = Я°-[- V, то представление
взаимодействия, или дираковское представление, определяется
следующим унитарным преобразованием векторов и операторов:
l+*>i-*w*l+>>*
AI(t) = e^9tAs(t)e'i«§i9
где индексом / отмечается представление взаимодействия и где
мы временно добавили индекс 5 величинам, записанным в
представлении Шредингера. Физическое состояние, которое в
шредингеровском представлении обозначалось через |Ф)з, в
представлении взаимодействия обозначается через |ф)ь
соответственно символ физической наблюдаемой А8 заменяется в
представлении взаимодействия на Л/. Поскольку для любого
матричного элемента выполняется равенство
К* I Л/1+>/ = *<* MsH>>fi,
оба представления, очевидно, всегда приводят к одинаковым
физическим предсказаниям.
При переходе к представлению взаимодействия мы выделили
в виде множителя связанную с Н° зависимость векторов состоя-

190
Гл. 9. Борковский ряд
ния от времени. Таким образом, если по какой-либо причине
величина взаимодействия V пренебрежимо мала, то вектор
состояния в представлении взаимодействия остается постоянным.
В теории столкновений это означает, что при движении
рассеянной частицы за пределами области взаимодействия, когда
потенциал V никак на нее не воздействует, векторы состояния
в представлении взаимодействия стремятся к константам
|^оо)/- В действительности, если мы запишем соотношения
то выясняется, что (в том случае, когда \ty)s представляет
собой состояние рассеяния) пределы [Ф^^У в представлении
взаимодействия являются не чем иным, как ин- и
аут-асимптотами |tt>„H)s и |г|5аут)в в шредингеровском представлении. Таким
образом, в представлении взаимодействия столкновение
описывается вектором |\1>/)ь имеющим следующее простое поведение.
Задолго до столкновения вектор |г|)*)/ получается из некоторого
фиксированного предельного вектора \ty_Xi)}= |^„„)s»
изменяться он начинает только во время столкновения частиц; а
после того как столкновение закончилось, этот вектор стремится
к некоторому другому предельному значению \^x)i = |фаут)в|).
Оператор эволюции, описывающий развитие системы от
момента времени to до момента времени t, в шредингеровском
представлении имеет вид
Us(Mo)-e-«™-4
Следовательно, в представлении взаимодействия он равен
U7 (U tQ) = ^Vw «-4r<*«.. (9.23)
Из только что сказанного ясно, что 5-оператор равен просто
предельному значению оператора эволюции2)
■S = U,(oo, -оо). (9.24)
1) Представление взаимодействия оказывается столь явно естественным и
удобным способом описания одноканального рассеяния, что у читателя может
возникнуть недоумение: почему же мы не использовали его раньше? Причины
этого состоят в следующем: 1) не существует удобного обобщения
представления взаимодействия на случай многоканального рассеяния и 2) в
релятивистской квантовой механике есть основания сомневаться в самом
существовании представления взаимодействия.
2) Здесь мы весьма беспечно отнеслись к различным предельным
переходам. В действительности оператор Uj{t,t0) имеет искомый предел только
тогда, когда мы сначала берем его матричный элемент по ограниченным
состояниям |х) и \ф) (т. е., предел (9.24) понимается как слабый операторный
предел). В правильной форме (х | S | Ф) = lim {% | \Jf(it (Q) \ Ф) результат (9.24)
точно совпадает с пределом (8.20), который использовался для выражения
величины (р' [ S |р) через матричные элементы оператора Т(г\,

§ 5. Диаграммы Фейнмана 1§1
Таким образом, любой удобный метод расчета оператора
1ЫМо) должен приводить к определению оператора
рассеяния S. В частности, сейчас мы убедимся в том, что процедура,
широко известная как нестационарная теория возмущений,
приводит к борновскому ряду для оператора S.
Оператор эволюции \Ji(tttQ)y определенный формулой
(9.23), удовлетворяет следующему дифференциальному
уравнению:
где, конечно,
ViW^eWVe-w (9.25)
(V — обычный потенциал в шредингеровском представлении).
Интегрируя по t и используя тот факт, что U/(*o, 'o)= 1» мы
получаем интегральное уравнение
t
to
Если взаимодействие равно нулю, то U/ == 1. Таким образом,
при достаточно слабом взаимодействии есть основания
надеяться на то» что удастся решить это уравнение с помощью
итераций, если в качестве нулевого приближения принять
значение U/ = l. Такая процедура приводит к следующему
разложению:
t t т'
Uy </, to) = 1 - i\ diVj (т) + (- if \ dx' \ dxVj (t') Vj (t) + ... .
и и и (9.26)
Если мы теперь положим /=оо, /0 = — оо, [чтобы перейти к
оператору S = U/(°o, — со)], возьмем матричные элементы и с
помощью (9.25) выразим Vj(t) через V> то получим
оо
<р'| SI P) = W - Р) -/ \ <W leiEP'xVe-(£"'\ p) +
— оо
+ (_,-)2 \dx' \dx{pf\eiE^Ve^mx^We-iE^\p)^
= 63^_pJ+(p/|SU)|p) + ^|S(2)|p>+ _ я (9e27)
Этот результат мы будем называть разложением S-матрицы
в ряд теории возмущений1). Первый член этого ряда — уже из-
]) Мы не собираемся создавать впечатление о каком-то существенном
различии между разложением (9.27) и обычным борновским рядом — в
действ и те лыюсти они эквивалентны друг другу. Но пока мы не установила их
эквивалентность, удобно называть их по-разному.

192
Гл. 9. Ворновский ряд
вестная нам величина, соответствующая процессу, в котором
никакого рассеяния не происходит; она равна амплитуде
вероятности того, что частица пройдет через область
взаимодействия прямолинейно, без рассеяния. Доказательству того, что
последующие члены ряда точно воспроизводят соответствующие
члены борновского ряда, мы предпошлем обсуждение их
физической интерпретации.
Член первого порядка (p'|S(1)|p) в разложении (9.27)
представляет собой интеграл по всем значениям т от матричного
элемента
— / (р' | ехр (/£р'т) V ехр (— iEpx) | р).
Естественно интрепретировать его как амплитуду следующего
процесса. Частица в состоянии |р) распространяется свобод! о
до момента времени т. (Этому процессу соответствует
множитель ехр(—/£Рт|р).) В момент времени т частица испытывает
однократный толчок за счет потенциала V и мгновенно
перебрасывается в конечное состояние |р'). (Этому процессу
соответствует множитель —iV.) Затем частица удаляется, опять
двигаясь свободно. (Этому процессу соответствует множитель
(р' |ехр(*'£р'т).] Такую последовательность событий можно
схематически проиллюстрировать пространственно-временной
диаграммой на фиг. 9.4. В конечном счете, поскольку момент
времени т не является измеримой величиной, соответствующий
вклад в 5-матрицу получается интегрированием указанной
амплитуды по всем значениям т.
Для интерпретации члена второго порядка в разложении
в ряд теории возмущений (9.27) мы вводим полную систему
состояний |к), представляющих собой плоские волны:
оо X'
<р' | S'2' | р) = (- if \ их' \ dx $ d VV*' <Р' | V | k> X
— ОО —00
Х<Г'Е*(т'~т)(к \V\ p)<T'V. (9.28)
Подынтегральное выражение в (9.28) можно интрепретировать
как амплитуду такого процесса, в котором частица
распространяется свободно в начальном состоянии |р) до момента
времени т; затем она перебрасывается потенциалом V в
«промежуточное состояние» |к), находясь в котором, она
распространяется свободно в промежутке времени между т и т'; в момент
времени т' частица снова подвергается воздействию
потенциала V, переходя на этот раз в конечное состояние |р')? и
в этом состоянии она удаляется из области взаимодействия,
двигаясь как свободная частица (фиг. 9.4). Поскольку ни
моменты времени т и т', ни импульс к в промежуточном состоянии
не наблюдаемы, соответствующий вклад в «S-матрицу получается

§ 5. Диаграммы Фейнмана
193
интегрированием по всем значениям т и т, таким, что
— оо < т ^ т' < оо, и по всем импульсам к.
У читателя не должно возникнуть каких-либо трудностей
при обобщении этого обсуждения на произвольный член ряда
п-го порядка. Но прежде чем продолжить обсуждение, мы
вернемся к вопросу об эквивалентности разложения в ряд теории
возмущений (9.27) и борновского ряда. Эту эквивалентность
Фиксированный
/ центр сил
Первый порядок
Время
Пространство
Второй порядок
Фиг. 9.4. Схематическая интерпретация членов ряда теории возмущений для
5-матрицы.
легко установить. Согласно (9.27), член первого порядка в раз-
ложении в ряд теории возмущений равен
оо
<р'-|S«>| р>«-/ \ dxe1 (V-£p) * у |у | р) =*
— оо
= -2л;а(£^-£р)<р'|К|Р>.
Полученное выражение точно совпадает с вкладом в матричный
элемент (p'|S|p) от первого члена борновского ряда
<(1)(р'*-р) = <р'1Пр>
при разложении
<Р'! SI р> = 6> (р' - р) - 2шб (£„< - Ер) t (p' *- р).
При рассмотрении члена второго порядка мы должны
проявить известную осторожность. Дело в том, что, записывая
соотношение (9.28) для матричного элемента (p'|S(2,|p), мы
беспечно игнорировали важный вопрос о сходимости
появляющихся интегралов; в действительности интеграл по т от -оо
до т' лишен точного смысла. Однако читатель без труда
убедится, что если бы мы использовали ограниченные начальные
и конечные состояния, то интеграл оказался бы сходящимся и
не изменялся бы при введении теперь уже знакомого нам
обрезающего множителя ехр(+ет). В такой записи мы можем
7 Зак. 39в

194
Гл. 9. Ворновский ряд
возвратиться к неограниченным состояниям. Интеграл по т
равен в этом случае
J dxe'1
-<(*р-£*+/с)т =
JPk-W
Ep-Ek + /0 •
(9.29)
интегрирование по т' приводит к 2я6 {Ер* — Ер), и мы получаем
ответ в виде
<р' | S» | р) - - Ы6 {Е, - В,) \ <Pk ^-1£1У -
= - 2ju6 (£р» - Ер) <р' | VG0 (Ер + i0) V | р>, (9.30)
что в точности совпадает с вкладом от второго члена борнов-
ского ряда Л2' = VG°V, как и ожидалось. Легко видеть, что
I /Р'-кз
1(з)(р'-*-^)- k~—<w
L У*'
I \р=к0
Фиг. 9.5. Фейнмановская диаграмма для величины /*3) (р' <- р).
член м-го порядка анализируется совершенно аналогичным
образом, и мы приходим к выводу, что и на самом деле
разложение в ряд теории возмущений (9.27) точно совпадает с борнов-
ским рядом.
Теперь стало популярным рассматривать диаграммы типа
изображенных на фиг. 9.4 в качестве алгебраических символов,
которые в действительности являются членами борновского
ряда для матрицы /(р'«-р). В таком виде мы можем записать
«уравнения», подобные показанному на фиг. 9.5 для члена
третьего порядка
*<3)(р'«- Р)«<Р' I VG« (Ер + Ю) VG* (Вр +10) V | р) -
-)Л*2)*Л1 {Bp-Eki + iQ){Ep-Eki + iO}
(9.31)
Диаграмма на фиг. 9.5 служит просто альтернативным
символом для выражения (9.31) —символом, который интерпретирует
это выражение как амплитуду процесса, состоящего из трех
последовательных взаимодействий частицы с потенциалом, в
промежутках между которыми частица распространяется
свободно, находясь последовательно в промежуточных состояниях
к] и кг. После выполнения интегрирования по временным пере-

§ 5. Диаграммы Фейнмаиа
195
менным [как в формуле (9.29), например] множители вида
exp [—iEk (т' — т) ], соответствующие свободному
распространению промежуточного состояния к, оказались замененными на
множители I/(Ер — Ek + Ю). Таким образом, в выражениях
(9.30) и (9.31) свободному распространению промежуточного
состояния к соответствует знаменатель (Ер — Ек + Ю). По этой
причине множитель 1/(Ер— Е^ + ДО) [или, в более общем
смысле, оператор G°(£p-fW0)] часто называют свободным
(нерелятивистским) пропагатором.
Использование диаграмм типа фиг. 9.5 с целью
представления членов борновского ряда для амплитуды рассеяния
впервые было введено в. квантовой электродинамике Фейнманом, и
потому такие диаграммы называются фейнмановскими
диаграммами. Легко составить систему правил, с помощью которых от
любой диаграммы нетрудно перейти к явной записи
соответствующего члена ряда. Действительно, сравнение фиг. 9.5 и
формулы (9.31) показывает, что следующая система «фейнма-
новских правил» сразу приводит к правильному выражению для
матрицы t<n](pf <г-р)\
1) нарисовать соответствующую диаграмму Фейнмана с п
«вершинами» (т. е. с п взаимодействиями с потенциалом);
2) для каждой вершины записать множитель (kr+! | V | кг)
(считая р —к0 и р' = к„);
3) для свободного распространения в каждом промежуточном
состоянии к = кь ..., k„-i записать множитель
\/(Ep-Eh + iO)-
4) проинтегрировать по всем промежуточным импульсам к1? .. „
.. ., к„-].
В настоящем случае (при рассеянии одной нерелятивист-
ской частицы) структура борновского ряда слишком проста,
чтобы такого рода рецепт оказался особенно полезным. Однако
в многочастичных процессах и еще в большей степени в
квантовой электродинамике борновский ряд гораздо сложнее, так
что использование соответствующих фейнмановских правил
приводит к очень большим упрощениям. Не будет преувеличением
сказать, что без помощи фейнмановских диаграмм оказались
бы невозможными многие достижения, полученные в процессе
драматического развития квантовой электродинамики в
пятидесятые годы.
Фейнмановские диаграммы настолько стали частью
мышления каждого физика, что теперь часто слышишь, как
представляемые ими процессы обсуждаются так, как будто они
происходят на самом деле. Поэтому в заключение стоит напомнить,
что эти диаграммы — не более чем интерпретация (хотя и очень
убедительная) членов некоторого специфического ряда, в
который разложена амплитуда рассеяния. Согласно правилам

196
Гл. 9. Борновский ряд
квантовой механики, распространение вектора состояния
описывается полным оператором эволюции U (t) при всех значениях
времени. Картина свободного распространения [описываемого
оператором U°(0L прерываемого последовательными ударами
со стороны потенциала V, возникает в результате
специфического метода решения, а именно в результате разложения
оператора U (0 в ряд по степеням потенциала 1Л В частности, если
борновский ряд расходится (что, несомненно, может иметь
место), то не остается каких-либо оснований предполагать, что
отдельные члены этого ряда и соответствующие им диаграммы
вообще будут иметь какой-либо физический смысл.
Задачи
9.1. Рассчитайте первое и второе борцовские приближения для юкавского
потенциала \е~иГ/г. При расчете второго члена борновского ряда вы можете,
если хотите, ограничиться рассмотрением амплитуды рассеяния вперед.
(Общий случай амплитуды рассеяния на произвольный угол вы можете найти у
Ньютона [3] на стр. 291.)
9.2. Рассчитайте первое борновское приближение для сферической
потенциальной ямы
I 0, г^>а.
Покажите, что оно обладает всеми характерными свойствами,
обсуждавшимися в тексте.
9.3. В гл. 11 мы увидим, что при низких энергиях амплитуда рассеяния
становится изотропией; это свойство, как мы уже видели, справедливо и для
борновского приближения Однако для многих потенциалов борновское
приближение при низких энергиях отличается по величине от точной амплитуды
на несколько порядков Означает ли этот факт, что для таких потенциалов
изотропность борновского приближения при Е = О чисто случайна? (Ответом
будет «нет». Почему?)

ГЛАВА 10
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ РАССЕЯНИЯ
В начале гл. 8 было высказано утверждение о том, что
стационарный формализм рассеяния связан с использованием двух
операторов G(z) и T(z) и стационарных состояний рассеяния.
Указанные операторы были рассмотрены в гл. 8 и 9;
стационарные состояния рассеяния рассматриваются в настоящей
главе.
Стационарные состояния рассеяния суть неограниченные
собственные векторы гамильтониана H = H°-\-V\ они
обозначаются через | р +) и | р —). В частности, волновая функция
(х|р +) есть не что иное, как известная из элементарной теории
столкновений волновая функция задачи рассеяния, которая
часто обозначается через ife* (x):
Амплитуду рассеяния можно выразить через |р+) или |р—)
[например, с помощью соотношения (10.1)], и потому любая
возможность вычисления векторов |р±) приводит к некоторому
методу расчета амплитуды. Такие методы разделяются на две
(тесно связанные друг с другом) категории: в одних
используются интегральные уравнения, в других—дифференциальные
уравнения. Интегральный метод основывается на том факте, что
волновые функции <х|р±) удовлетворяют интегральным
уравнениям, тесно связанным с уравнением Липпмана — Швингера
для оператора T(z). Дифференциальный метод использует тот
факт, что векторы |р±) являются собственными векторами
гамильтониана Я, и, следовательно, волновые функции (х|р±)
удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера. При
расчете амплитуды с помощью интегральных уравнений мы
приходим по существу к тем же результатам, к которым
приводит и уравнение Липпмана — Швингера, обсуждавшееся в
главах 8 и 9. С другой стороны, использование
(дифференциального) уравнения Шредингера приводит к подлинно
альтернативному подходу. На практике этот подход оказывается наиболее
полезным в задачах со сферически симметричным потенциалом,
так как в этом случае волновая функция может быть
разложена по собственным функциям момента количества движения,

198
Гл. JO. Стационарные состояния рассеяния
и уравнение Шредингера сводится к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такой подход будет рассмотрен в
гл. 11 и 12.
В настоящей главе мы определим стационарные состояния
рассеяния и обсудим некоторые их общие свойства. В первых
двух параграфах мы даем определения и некоторые основные
уравнения для векторов | р ±). В § 3 мы используем
интегральные уравнения, которым удовлетворяют волновые функции
(х|р±), для доказательства асимптотического выражения
(10.1) и в конце параграфа устанавливаем связь с
традиционным подходом, основанным на этом свойстве. В § 4 мы
используем волновую функцию (х|р+) для описания процесса
столкновения в обычном пространстве, что дополняет описание в
импульсном пространстве, обсуждавшееся в гл. 3, и позволяет
глубже изучить условия, при которых могут быть измерены
сечения.
§ 1. Определение и свойства
стационарных состояний рассеяния
Время от времени мы уже использовали символ |^±) для
обозначения векторов, получающихся в результате действия
операторов fi± на любой ограниченный (нормируемый) вектор \ф).
Смысл обозначения |^+), например, состоит в следующем:
если при некотором столкновении ин-асимптоте сопоставляется
вектор |фин)=|0), то истинное состояние при / = 0
описывается вектором |tj))=|^+). Теперь мы введем два
неограниченных вектора |prh), связь которых с плоскими волнами |р) в
точности аналогична связи векторов \ф±) с вектором |^):
ip±>«Q±|p>. (10.2)
Чтобы понять смысл этого определения, рассмотрим орбиту,
ин-асимптоте которой соответствует вектор \ф)у и разложим
этот вектор |^) по плоским волнам:
\4>)=\d*pt(v)\p).
В этом случае истинное состояние при / = 0 имеет вид
IФ +> = й+1 *>= J(Ppt(v)Q+ Ip>-J(РрФШр +>. (Ю.З)
Другими словами, разложение истинного состояния \Ф+) по
векторам |р+) выглядит точно так же, как разложение
соответствующей ему ин-асимптоты \ф) по векторам |р). [Именно этот

§ 1. Определение и свойства
196
смысл вкладывается в определение (10.2) неограниченного
вектора |р+)«] Аналогично, если орбита имеет аут-асимптоту
\x) = \d*p%(p)\p),
то истинное состояние при t = 0 имеет вид
1Х->-5<*3РХ<Р)1р->. (Ю.4)
Ввиду этих двух результатов неограниченные векторы |р±)
приобретают первостепенное значение. Они оказываются теми
векторами, по которым естественно разлагать истинное
состояние при / = 0, откуда выявляется связь этого состояния с
разложениями ин- и аут-асимптот по плоским волнам.
Мы уже говорили о том, что векторы |р±) являются
собственными векторами полного гамильтониана Я. Для
доказательства этого утверждения мы должны только вспомнить
важные соотношения переброса (3.1)
из которых следует, что
Я| р ±>= Я£2±| p) = Q±H°\ p)= EPQ±\ p)
или
I #|р±) = £р|р±>, I
т. е. как |р+\ так и |р—) оказываются собственными
векторами гамильтониана Я, причем собственное значение, которое
получается при действии Я на I p ±), совпадает с собственным
значением» которое получается при действии Я° на | р), а
именно Ep*=p2f2tn Это означает, что волновые функции (х| р±)
удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера
(которое доставляет одну из возможностей реального расчета ста*
ционарных состояний рассеяния).
В свете этих результатов интересно обсудить еще раз
асимптотическое условие. С точки зрения физики связь между
ограниченными векторами |^+) и 1^) состоит в том, что при f-*
-*— оо свободная орбита U0 (01 f) является асимптотой истинной
орбиты U(*)l*+>:
U (01 Ф +) >• LI0 (01 Ф) [при любом ограниченном [ ф}]. (10.5)
Что касается неограниченных векторов |р+) и |р), то мы уже
видели, что они являются собственными векторами Я и Я0,
принадлежащими одному и тому же собственному значению Ер.
Отсюда следует, что
U(/)|p+) = e-|V|p+>

200 Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
И
U°(0IP> = e-'V|p>,
т. е. |р+) и |р) по отношению к соответствующим операторам
эволюции оказываются стационарными состояниями, и,
очевидно, соотношению (10.5) они не удовлетворяют.
Объяснение полученного результата, самого по себе
довольно удивительного, состоит в следующем. Ограниченные векторы
из (10.5) можно разложить по векторам |р+) и |р), откуда
получается
U (0 \ d*pj> (р)( р +>- U0 (/) \ (Ррф (р)| р)
или
J &РФ (Р) [U (01 Р +>] - J (Ррф (Р) [U0 (01 р>1. (10.6)
Мы видим, что векторы | р +) и | р) в действительности
удовлетворяют асимптотическому условию» если они «размазаны» с
помощью интеграла \d3p<f>(p) по ограниченным состояниям. Но
неограниченные векторы имеют физический смысл только тогда,
когда они размазаны по ограниченным состояниям; поэтому мы
можем сказать, что они на самом деле удовлетворяют в этом
смысле асимптотическому условию. Тем не менее если мы попы-
таемся избавиться от размазывающего интеграла в соотношении
(10.6) и обсудить неограниченные волновые функции сами по
себе, то они не будут сходиться; но поскольку они не
представляют какого-либо реального физического состояния, постольку
в действительности не существует каких-либо причин, по
которым они должны были бы сходиться ]).
Коль скоро эта ситуация совершенно понятна, безопасно и
удобно говорить о векторе ]р+) как об истинном состоянии при
t = 0, в которое перешло начальное состояние |р), а о векторе
|р—) —как об истинном состоянии, которое перейдет в
конечное состояние |р).
Плоские волны |р) образуют ортонормированный базис в
гильбертовом пространстве д@, построенный из собственных
векторов оператора Н°. Ввиду того что операторы Q± отображают
1) Для читателя, знакомого с леммой Римана — Лебега, может
оказаться полезным провести аналогию с тем результатом, в котором
утверждается, что (для разумно выбранных функции Ф)
<1рФ{р)еЧ"->0 [/-*сэ].
На языке, который использовался выше, мы можем сказать, что при /->Ьо
функция е**1 стремится к нулю, если она размазана с помощью \ &рФ (р).
Тем не менее сама по себе функция eiJ>t к нулю не стремится.

§ 2. Уравнения для векторов
201
3% на подпространство состояний рассеяния 9ЧУ мы ожидаем, что
векторы |р+) (или |р—)) будут заполнять все
подпространство 91. В самом деле, мы уже видели в (10.3), что любое
состояние рассеяния можно разложить по векторам |р+)> а
поскольку выполняются соотношения
(P,+ Ip+) = (P,IS++Q+Ip> = (p'|p> = 63(p'-P),
векторы |р+) в действительности образуют
ортонормированный базис в подпространстве 91. Из соотношения
3£ = 52©#,
где подпространство Я натянуто на связанные состояния
(например, па состояния \п))> выясняется тот факт, что
стационарные состояния рассеяния |р+) вместе со связанными состоя-
ниями \п) образуют ортонормированный базис в пространстве
Э&. (Конечно, тот же самый результат имеет место и для
векторов |р—).) Всю эту ситуацию можно резюмировать,
записывая следующие тождественные представления единицы:
1 = \ (Рр\ Р>(Р 1= \ #р\ р +><р+ | + £ | п)(п | =
п
= $<*эр1р-Хр-1 + Х>><л|.
п
Существование двух различных базисов из собственных
векторов гамильтониана Н (один из которых связан с векторами
| р+>, а другой с | р—)) отражает тот хорошо известный факт,
что спектр положительных энергий гамильтониана Н сильно
вырожден.
§ 2. Уравнения для векторов, соответствующих
стационарным состояниям рассеяния
В гл. 8, § 3 было показано, что для любого ограниченного
вектора \ф\ можно следующим образом выразить векторы
|^±) == £!±|<£) через |^>) и гриновский оператор:
| ф ±> = | *> + J d*pG (Ер ± 10) V | р)<р| *>. (10.7)
Если мы разложим \ф±) и |^) по импульсным волновым
функциям ^(р) = (р|^), то это соотношение примет следующий
вид:
\d*pj>(V)\p±) = \dW(p)[\p) + G(EF±iO)V\?)].

202 Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
Поскольку это равенство выполняется при любой функции Ф(р)7
мы приходим к выводу, что х
|p±>-|p> + G(E,±/0)V|p>. (10.8)
Смысл этого важного результата требует специального
комментария. Как принято в настоящей книге, мы не делали каких-
либо попыток строго обосновать наше обращение с
неограниченными векторами. Если исходить из формулы (10.7),
полученной в гл. 8, то из нашей аргументации соотношению (10.8)
можно придать только следующий смысл: когда правая и левая
части (10.8) размазаны с помощью операции \d3p<f>(p),
получающиеся ограниченные векторы равны друг другу [т. е.
выполняется соотношение (10.7)]. Однако главная польза
обсуждаемого соотношения (и аналогичных соотношений, получаемых
ниже) состоит в том, что для соответствующих волновых
функций они выполняются как уравнения в обычном смысле
[например, для волновой функции (х|р±) выполняется уравнение
Липпмана — Швингера (10.13)]. Доказательство того, что эти
уравнения действительно выполняются в требуемом смысле,
заинтересованный читатель найдет в дополнительной
литературе [10]. Мы будем продолжать обращаться с неограниченными
состояниями, не пытаясь делать это строго.
Соотношение (10.8) можно использовать, чтобы установить
выражение для У-матрицы на энергетической поверхности через
векторы 1р+) или |р—>. Так как мы уже знаем, что /(р'<-р)
и (р' | Т (Ер + /0) | р) — это одно и то же, начнем с рассмотрения
вектора
T(Ep±iO)\p) = [V + VG(±)V]\p) = V[\+G(±)V]\p).
Используя (10.8), получаем отсюда важные тождества1)
T(Ep±i0)\p) = V\p±). - (10.9)
Умножая первое из них на бра-вектор (р'|, мы находим2)
(10.10)
ttf*-P)=W\v\p+).
1) Следует подчеркнуть важное значение того, что в этих соотношениях
сохранен аргумент (Е ± Ю) Часто можно встретить соотношение (10.9),
записанное в виде Т\р) = V|p+), причем объявляется, что оно определяет
оператор Т. Ясно, однако, что (10.9) определяет действие оператора T(E±i0)
только fta те векторы | р), v которых р = (2тЕ)Ч*.
2) Из (10.9) ясно, что (р' | Т(ЕР + Ю) | р) = (р' | V | р -f ) при любом р';
это означает, что матричный элемент (р' | V \ р+) является альтернативным
выражением для Г-матрицы «наполовину вне энергетической поверхности?.

§ 2. Уравнения Зля векторов
203
Чтобы получить эквивалентное выражение, зависящее от |р—),
мы используем тождество (8.13), T(z) + = T(z*), и перепишем
второе тождество в (10.9) (заменив р на р') в виде
<р'|Г(£„' + /0)-<р'-|1Л
Это сразу приводит к искомому ответу
<(p'^p)=<p'-!VIp>. (io.li)
Полученные результаты позволяют выполнить расчет
амплитуды рассеяния исходя как из стационарных состояний |р+;,
так и из |р —).
Возвращаясь к выражению (10.8) для векторов |р=Ь), мы
замечаем, что, как и в случае Г-оператора в гл. 8, § 2, удобно
заменить здесь явное выражение через G(z) неявным
выражением через G°(z). Эту замену легко выполнить в два этапа:
сначала заменить GV на G°7\ а затем, используя тождества (10.9),
перейти от Г|р) к V\p ±). В итоге получаем
|p±> = |p> + G°№,±/0)K|p±>. (10.12)
Это уравнение, которое является, конечно, интегральным
уравнением для волновой функции (х|р±>, называется уравнением
Липпмана — Швингера для векторов |р±).
Можно подчеркнуть сходство уравнений Липпмана —
Швингера для С, Г и |p±)i если расположить их последовательно
друг за другом:
(1_G°10G = G0,
(l-VG°)T = V,
(1 _C°K)|pr±=>-=|p>.
В частности, если мы будем решать последнее уравнение с
помощью итераций, то получим борцовский ряд для вектора |р + ):
IP + > = IP> + G°V|P>+ ... .
Если затем мы используем соотношение (10.10) для расчета
Г-матрицы на энергетической поверхности, то получим ряд
'<P'*-P) = <P'|VIP> + (P'|VW|P>+ ... ,
который точно совпадает с борновским рядом, следующим из
итерационного решения уравнения Липпмана — Швингера для
Т(г).
Последний результат проясняет то, что не следует ожидать
из уравнения Липпмана — Швингера для векторов |р±)
какого-либо результата, который нельзя было бы получить из
соответствующего уравнения для Т(г). Впрочем, мы установим,

204
Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
что некоторые результаты выражаются более компактно через
| р ±), и что, используя векторы | р ±), мы можем добиться
лучшего понимания различных результатов. Например, мы
можем рассматривать уравнение Липпмана — Швингера для
|р+) как выражение вектора |р+) в виде суммы «падающей»
плоской волны |р) и «искаженной» волны G0V|p+),
получающейся под действием потенциала. Борновское приближение
<(P'«-P)«<P'|V|P>
равносильно простому пренебрежению влиянием этого
искажения в точном выражении (р'1V \ р +) (т. е. замене | р +) «| р)).
§ 3. Стационарные волновые функции
Из уравнения Липпмана — Швингера для |р±) следует, что
волновые функции (х|р±) удовлетворяют интегральному
уравнению
(x\p±) = (x\p)+\dh'(x\G*(Ep±iO)\x')V(x')(x'\p±). (ЮЛЗ)
В настоящем параграфе мы используем это уравнение для того,
чтобы выяснить поведение волновых функций при больших г;
в частности, мы установим хорошо известный результат (10.1),
выражающий то обстоятельство, что на больших расстояниях
волновая функция (х|р+) представляет собой сумму плоской
волны и уходящей сферической волны.
Для того чтобы использовать уравнение (10.13), мы должны
вычислить гриновскую функцию <х \G°(z)\ х'>. Эта функция,
вероятно, уже известна читателю, да и рассчитывается она
довольно легко. Мы знаем, что
о°(*>1р>«7^Нр>-
Отсюда, вводя полную систему состояний |р) в искомый
матричный элемент в координатном базисе, мы находим, что
(x\G«(z)\x')=\d>p(x\G4z)\v)(v\x') = j^\dip **Тер1 -
Если мы выберем направление вектора (х — х') в качестве
полярной оси, то показатель экспоненты становится равным
ip\ х — х' |cos9, интегрирование по углам выполняется и мы
получаем
<x|G°(*)|x')^4n,-lx>T\p<*P —
z-Ep
im i- n*"» !*-*'!
2л21 x - x' I
SnptP X-X'

§ 3. Стационарные волновые функции
205
Последний интеграл можно вычислить с помощью контурного
интегрирования. Сначала мы замечаем, что значение интеграла
не изменяется, если замкнуть контур интегрирования с помощью
большого полукруга в верхней полуплоскости комплексной
переменной р (фиг. 10.1а). Это значение равно по теореме Коши
произведению 2ш на сумму вычетов во всех полюсах, находя*
щихся внутри контура интегрирования. Подынтегральное
выражение имеет два полюса, расположенные в точках p = ±{2mz)if*\
р-плоскость
/
- х г - плоскость
\
f
-(2тг)Ь
(S>
Фиг. 10.1. а — плоскость переменной интегрирования р из формулы (10.14);
6 — плоскость переменной г.
из них внутри контура находится только тот, которому соответ*
ствует значение + (2mz)lt* (определяемое как корень, имеющий
положительную мнимую часть). Имеем, следовательно,
(xlG°(z)[xO--^exp^
(10.15)
Чтобы использовать полученный результат в уравнении
(10.13), мы должны найти значение функции Грина (x\G°(z) \x')
при z = Ep±:i0 (где р опять-таки имеет положительное
вещественное значение). Соответствующие квадратные корни
гЬ(2тг)1/» отмечены на фиг. 10.1. Когда z приближается к
вещественной оси в точке Ер > 0 сверху, мы имеем (2тг)'^-* -\-р;
если же z приближается к этой точке снизу, то (2mz)'/a—►—р.
Следовательно, соответствующие корни равны
[2m(£p±/0)]I/f—±р.
Подставляя эти результаты в (10.13), находим
(x|p±) = (x|p)--g- jdV e^x7|' Г(х')<х'|р±>. (10.16)
Теперь исследуем поведение волновой функции при
больших г. Для простоты мы предположим, что К(х)=0 при
значениях rt превышающих некоторое число а [хотя в действительно*

206
Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
сти наши результаты справедливы для всех потенциалов,
удовлетворяющих условию V=0(r~3-e) при г—►оо]. В таком
случае подынтегральное выражение отлично от нуля только при
г' < а, и при больших г мы можем разложить | х — х' | в ряд по
степеням отношения (r'jr):
|x-X'| = (x^-2x.x' + x'2)'/l = r[l-^ + 0(^)2].
Выражение (10.16) принимает теперь вид1)
<x|p±> = <x!p>-^|^5rfVexp(T/px-x,)^(x,)(x'|p±)X
Х[1 + 0(£+^1)]__ (10Л7)
-*(2яГ1Л [е** — (2л)2т(± рх \V |p ±> -Ц^] . (10.18)
Ввиду равенства — (2л)2 m (p' | V\ p +)= f (р' *-р) мы можем
переписать полученное выражение (в случае вектора | р -)-))
следующим образом:
<х 1р +> т^Г V*^'' [е'р'х + / к* *~ р) -тг] • <10-19>
Мы пришли к хорошо известному результату, который уже
записывался выше [см. (10.1)]. Он устанавливает, что наше
определение амплитуды /(р'«-р) через матричный элемент (p'tSlp)
в сущности полиостью совпадает с традиционным определением
через асимптотическую форму стационарной волновой функции
рассеяния.
Хорошо известна интерпретация асимптотической волновой
функции как суммы «падающей» плоской волны и сферически
расходящейся рассеянной волны; она лежит в основе той точки
зрения, согласно которой волновая функция (х|р+) описывает
бесконечный установившийся поток частиц, рассеянных на
потенциале V. Из формулы (10.18) ясно, что волновая функция
(х|р—) есть сумма плоской волны и сходящейся сферической
волны и что прямого физического смысла она не имеет.
В этом месте может оказаться полезным кратко изложить
логическую сторону подхода, основанного на волновой функции
(х |р+). В этом подходе начинают с поисков стационарного
состояния с энергией £р, определяемого граничным условием
(10.19) (как указывалось во введении, из интерпретации такого
состояния немедленно следует соотношение do/dQ = |/|2). Стан-
1) Поправочный член порядка а/г появляется при замене -знаменателя
|х — х'| в (10 16) на г; второй же поправочный член, имеющий порядок
ра2/г, появляется при замене exp {ip | х — xr J) на ехр [/ (рг — рх • x')j.

§ 4. Координатное описание
207
дартным образом дифференциальное уравнение Шредингера
вместе с граничным условием преобразуется в интегральное
уравнение, которое представляет собой не что иное, как
уравнение Липпмана — Швингера (10.13). Затем повторяется анализ,
с помощью которого от уравнения (ЮЛЗ) приходят к выводу
(10.18), и отсюда устанавливается соотношение / = — (2я)2 X
Xm(p'l^|P+)' Из этого результата и из уравнения Липпма-
иа — Швингера можно теперь воспроизвести все результаты,
полученные в настоящей главе и в предыдущих двух главах.
В заключение, может быть, стоит еще раз сформулировать
точку зрения на состояния |р±)> которая принята в настоящей
книге: эти состояния являются неограниченными собственными
векторами полного гамильтониана Я, по которым могут быть
разложены ограниченные состояния рассеяния. Разложение
истинного состояния рассеяния |ф) при t = 0 по векторам |р+)
имеет такой же вид, как разложение ин-асимптоты |^ин) по
векторам |р), т. е. если
|*ян>-^Р^(р)1р). (Ю-20)
то
|+>=$<Рр*(р)|р+>. (10.21)
Аналогичным образом, разложение |ф) по векторам |р—)
имеет такой же вид, как разложение соответствующей аут-
асимптоты по векторам |р) [см. (10.4)].
Особенно важное значение состоянии | р+) (по сравнению
с состояниями 1р—)) вытекает из того факта, что в реальных
экспериментах именно ии-состояние |фпп) существенно
отличается от нуля в весьма малой области значений импульса; другими
словами, функция ф(р) в разложении (10.20) резко
локализована вблизи некоторого значения импульса р0. В пределах
справедливости этого положения разложение (10.21) показывает,
что неограниченное состояние |ро+) можно рассматривать как
предельный случай ограниченного вектора |\|>) и что некоторые
сведения о свойствах |\|>) можно извлечь непосредственно из
свойств |ро+). (Все это, конечно, служит оправданием
исторически сложившегося подхода.) В равной степени состояние |i|>)
может быть разложено по векторам |р—); однако в этом
случае, поскольку коэффициенты разложения не локализованы в
узкой области значений импульса, неограниченные векторы
|р—) не имеют столь тесной связи с истинным состоянием |ф).
§ 4. Координатное описание процесса рассеяния
Наше описание в гл. 3 эксперимента по рассеянию было по
существу описанием в импульсном пространстве. В частности,
сечение было определено через число NpaCC{dQ) частиц, конеч-

208
Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
ные импульсы которых лежат в конусе, определяемом телесным
углом dQ. Ясно, однако, что во многих экспериментах
(например, в таких экспериментах, в которых используются счетчики)
более естественным было бы такое определение, в котором
фигурировало бы число частиц, имеющих конечные координаты
внутри конуса dfi. Несмотря на то что эти два определения
фактически эквивалентны друг другу (при соответствующих
условиях), очевидно, было бы неплохо выполнить анализ
непосредственно с помощью координатных волновых функций, и именно
этим мы теперь займемся. Полученные результаты покажут
полную эквивалентность указанных двух подходов.
Начнем с обсуждения движения частицы до столкновения.
Вектор U (0 |*|з) описывает движение при всех значениях /, но,
поскольку
и(/)1Ф)-г^*и0(/)|О.
существует момент времени /0 (а именно тот момент, в который
реально начинается столкновение), вплоть до которого истинное
движение оказывается экспериментально неотличимым от
движения, описываемого вектором 1)°(0|фипУ Как и прежде, мы
разложим вектор |фИп) по плоским волнам:
Ю=$<*3/^(р)1р>.
где функция ^>(р) заметно отлична от нуля только в узкой
области вблизи среднего значения импульса р0* вдоль которого мы
направляем ось 3. Следовательно, для всех практических целей
волновую функцию частицы в любой момент времени до
столкновения можно считать равной
фии(х, 0^(х|и°(/)|*ин> = (2лГ,/,5^(р)г'(Р'х"£','). (Ю.22)
Она представляет собой, конечно, свободно движущийся
волновой пакет, описываемый почти в любом учебнике квантовой
механики. В частности, в течение коротких интервалов времени
волновой пакет *|?Ин(х, i) движется как твердое тело со скоростью
v0 = p0/m— этот результат наиболее легко устанавливается
путем разложения величины Ег вблизи среднего значения
импульса р0. Так как <Э£удр —p/m = v, то
Яр = Яо + Уо-(р-р0) + о(-^-)=-Яо + Уо-р + о(^)
(где £0^ЯРо). Подставляя это разложение в (10.22), мы
получаем
г|>ин(*> 0 = (2*rV*' \(Ррф(р)е*-ь-"*[1 + о(^)] =
^е'*Ч„„(х- vo*. 0)[l +0(j^)l (10.23)

§ 4. Координатное описание
209
где через Ь обозначен начальный размер падающего волнового
пакета (фиг. 10.2). (Мы рассмотрели движение минимального
пакета, т. е. такого пакета, для которого АхАр ~ 1 или
Ар ~ 1/&1).) Этот результат ясно показывает, что, пока
(i/mb2)<ti I, значение функции ф«я(х,/) точно совпадает (если
отвлечься от фазового множителя) с ее значением при t — 0
для такого волнового пакета, который смещен как твердое тело
на вектор v0/. Конечно, при достаточно большом значении /
условие (t/mb2) < 1 непременно нарушается и, как хорошо
известно, волновой пакет расплывается.
Фиг 10.2. До столкновения (при /<0) волновой пакет приближается к
мишени со скористью v0.
Размеры мишени о. размеры волнового пакета Ь л расстояние d от мишени до счетчика
должны удовлетворять условиям a^b^d. (См. (10.28).J
Для определенности мы теперь предположим, что падающий
пакет движется так, что при / = 0 он должен достичь
плоскости, в которой находится мишень. Это означает, что функция
Ч?1ш(х, 0) сосредоточена в плоскости 2 = 0.
Незадолго до момента времени /= 0 волновой пакет
начинает испытывать действие потенциала и его истинная орбита
и(0|ф) начинает отклоняться от ин-асимптоты U°(/) |фИн).
Начиная с этого момента времени мы должны использовать
истинную волновую функцию, которая равна просто
♦ (х, /) - <х | U (01 *>« $ <?Pt (Р> е-*Ер* (х | р +>,
так как
Поскольку наша цель — найти вероятность обнаружения
частицы на большом расстоянии от мишени, мы должны оценить
величину \р (х, /) при />0 и больших г. Но при достаточно
больших г мы можем заменить волновую функцию (х|р+) ее
асимптотическим значением [при этом, согласно соотношению
1) Для простоты мы предполагаем, что пакет имеет более или менее
сферическую форму. При желании нетрудно ввести различие между его
протяженностью b, (вдоль импульса р0) и его шириной Ь± (в перпендикулярном
к р0 направлении).

210
Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
(10.17), должны выполняться неравенства г»а и г^>ра2]. Мы
получаем
Ч> (х, t) ~^-> (2яГ7, \ <?рф (р) e'iEp' [е-«рх + / (рх *- р) 41] -
-+и„(х. 0 + 1|.расс(х,0. (Ю.24)
Первое слагаемое точно равно той волновой функции, которая
описывала бы движение частицы в отсутствие какой-либо
мишени; другими словами, первое слагаемое соответствует
нерассеянной волне. Второе слагаемое представляет рассеянную
волну, и мы поступим с ним следующим образом. Сначала мы
предположим, как это было в гл. 3, что амплитуда меняется медленно
по сравнению с волновой функцией ^>(р) и вынесем
функцию { из-под знака интеграла. (Согласно проведенному в гл. 3,
§ 5 обсуждению, это возможно, когда размеры падающего
волнового пакета намного превышают размеры мишени, т. е. при
Ь » а.) Мы находим
фрасс(х, /)- (2пГ''Пр^Ра)\а3рф(р)е1^-ЕЛ (10.25)
Далее, поскольку функция ф(р) заметно отличается от нуля
только при значениях аргумента, близких к вектору р0, который
параллелен оси 3, мы можем приближенно представить
произведение рг в виде
pr = P-3r + o(*f).
Подставляя это выражение в (10.25), получаем
W*. <)-'(*V-*4.fr*' Ф + О^)]. (Ю.26)
Таким образом, величина рассеянной волны в произвольной
точке х равна просто произведению (f/r) на величину
нерассеянной волны на оси координат в точке гЗ (если только г/р0Ь2<^ 1)1),
Мы приходим к заключению, что через большой промежуток
времени после столкновения волновая функция выглядит так,
как показано на фиг. 10.3. Существует нерассеянный волновой
пакет, центр которого находится на расстоянии v0t позади
мишени, и рассеянная волна, отличная от нуля внутри сферической
поверхности радиуса v0t.
1) Этот результат вызывает большое удовлетворение в двух отношениях.
Во-первых, ясно, что при f<0 функция фрасс(х,/) тождественно равна нулю
(как и должно быть), потому что функция фян(гЗ, 0 (при г >■ 0) несомненно
равна нулю до тех пор. пока падающий пакет не достигнет плоскости мишени.
Во-вторых, функция г^расс(х, t) равна нулю при всех t, если функция \|"ин(х, t)
равна нулю на оси координат. В этом проявляется следующий совершенно
естественный результат: если волновой пакет минует мишень, то рассеяния не
происходит.

$ 4. Координатное описание
211
Если только счетчик не находится на пути нерассеянного
пакета (т. е. при d sin 6 » b), то вероятность регистрации его
отсчета равна
оо
w (da +- Ф) = dQ J r2 dr\ фрасс (х, t) Г
о
или с учетом (10.26)
w (dQ «- ф) = dQ \f (р «- ро) Р ^ dr | фин (г§, 0 f, (10.27)
— оо
где телесный угол dQ. берется вблизи направления импульса р,
а нижний предел в интеграле можно положить равным —оо,
4Р:
Фиг. 10.3. После столкновения (при t > 0) нерассеянный волновой пакет
продолжает двигаться со скоростью р0; рассеянная волна распространяется
во все стороны, оставаясь отличной от нуля внутри сферы радиуса v0t.
потому что точкам на отрицательной части оси z соответствуют
такие значения времени, при которых функция фИн(х, 0 равна
нулю.
Чтобы получить сечение, мы должны, как обычно, повторить
эксперимент много раз, используя такие падающие волновые
пакеты, которые смещены в поперечном направлении по
случайному закону. При смещении на величину р соответствующая
координатная волновая функция фин(х, /) становится равной
Фнн(х—р, 0- Подставляя ее в (10.27), мы получаем сечение
в виде
о {dQ +- ф) = С d2pw (dQ «- ф^) =
00
= dQ | / (р *- ро) р J ^2p J rfr f фИ11 (гЗ - р, *)Р =
— оо
= dQ) f (р *-р0) Р J dH | фив (х, t) р = dQ\ f (p <-р0) Р,
что подтверждает наши ожидания.

212
Гл. 10. Стационарные состояния рассеяния
Представляет некоторый интерес суммировать все те
различные условия, при которых такое описание эксперимента по
рассеянию оказывается справедливым. Прежде всего замечаем, что
в том случае, когда счетчик находится на расстоянии d,
продолжительность эксперимента / по порядку величины равна d/v0.
Поэтому интересующие нас условия выглядят следующим обра-
зом:
1) волновой пакет (10.23) не расплывается при t/mb2 <c 1 или
d < рф2\
2) асимптотический вид волновой функции (х|р+) использует*
ся в (10.24) при а < d и р0а2 < d\
3) амплитуда / выносится из-под знака интеграла в (10.25)
при а < Ь\
4) величину р в (10.26) можно заменить на р-3 при d ^ р0Ь2\
5) нерассеянная волна не измеряется при b <k d sin в и,
следовательно, при b <c d.
Собирая все эти условия вместе, мы находим
a<b<d<pQb2 (10.28)
и
Роа? < d.
На практике эти условия почти неизменно выполняются.
Например, если электрон с энергией 10 эВ (р ~ 1010 м-1), колли-
мированный через щель шириной 1 мм (b ~ 10~3 м),
рассеивается на атоме (а ~ Ю~10 м) и детектируется на расстоянии
1 м от мишени (d ~ I м), то указанные неравенства принимают
вид
10~,0< 10-3< 1 <104
и
10~10< 1.
Задачи
10.1. Для случая рассеяния одной бесспиновой частицы на потенциале
V(x), инвариантном относительно обращения времени (т. е. вещественном),
докажите соотношения
Т|р ±>=| — р =Р>
или, в записи с помощью волновых функций, соотношения <х|р±)*=*
*= (х| —р^). [Повторите гл. б, § 5 и, в частности, вспомните формулу (6.24).]
10.2. Борновское приближение получается при записи
/<1>'<-р)-<р'1ЧР+>~<Р'1Пр>.
Поэтому критерием его справедливости может служить то, что вектор 1 р+)
не отличается значительно от вектора |р). Если записать матрицу *(р/ц~Р)
через волновые функции:
/(Р' ч-р) = (2лГэ/' J А»-'Р',жК(х)<х|р +>,

Задачи
213
то мы видим, что указанный критерий состоит реально в следующем: волновая
функция (х | р -f) должна мало отличаться от плоской волны (х | р) в той
области, где потенциал V(x) имеет заметную величину Грубым выражением
этого критерия могло бы стать требование, чтобы второй член борновского
ряда для функции (х | р + ) был гораздо меньше первого в области действия
потенциала V(x):
|<ж|СМ£р + Ю)К|р>|<|<х|р>|.
Наконец, поскольку потенциал V(x) обычно принимает наибольшее значение
в начале координат, мы получаем очень грубый критерий, полагая х=*0 в
написанном выше неравенстве.
а) Покажите, что для центрального потенциала указанный критерий
принимает вид
J drb-S'^Vir)
<1-
б) Примените это неравенство к прямоугольной потенциальной яме с
шириной а и глубиной W Сформулируйте критерий, применимый при высоких
энергиях, и покажите, что при та2Уц < 1 борновское приближение будет
хорошим приближением при всех энергиях.
в) Покажите, что в случае потенциала Юкавы полученное условие при-
ближенно воспроизводит грубые критерии (9.17) и (9.18). [Отметьте, однако,
дополнительный множитель In (\i — 2/р)/ц. Этот множитель появился бы в
соотношении (9.18), если бы мы использовали амплитуду рассеяния на
произвольный угол.]
10.3. Дайте альтернативный вывод результата t (р' <- р) = (р' | V | р +)
согласно следующим указаниям:
1) запишите соотношения
<р' 18| р)-<р' 1а!.0+ |р> -<р' -I р+>;
ге выражения (10.8) для векторов I p ±>
рез <р' +1 и <р; [;
что
<р'| S | р> = б* (Р'- Р) - 2я/« (£р, - £р) <Р'| К | р+>.
2) используйте выражения П0.8) для векторов I p ±), чтобы выразить
вектор <р' — | через <р' + | и (р' [;
3) покажите, что

ГЛАВА II
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
В настоящей главе и в гл. 12 мы продолжаем обсуждение
стационарных состояний рассеяния, но ограничиваемся рас-
смотрением только сферически симметричных потенциалов.
В этом случае векторы |р + ) могут быть разложены по
собственным векторам углового момента, которые мы обозначаем
через |£, /, т+). (Конечно, существует и соответствующее
разложение вектора |р—) по состояниям |£,/, m—), однако у нас
не возникнет потребности его обсуждать.) Волновая функция
(х|£, /, т-\-) представляет собой произведение сферической
функции УГ(х) на радиальную волновую функцию tyi,P(r)t ко*
торая удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера
(обыкновенному линейному дифференциальному уравнению
второго порядка). Мы найдем, что асимптотический вид
волновой функции ур(,Р(г) непосредственно связан со сдвигами фаз
рассеяния. Отсюда вытекает простой и плодотворный метод рас*
чета и анализа амплитуд рассеяния. Именно ему — так
называемому методу парциальных волн — посвящены ближайшие
две главы.
Материал распределяется между гл. 11 и 12 следующим
образом. Гл. 11 содержит общее введение в метод парциальных
волн, а также формулировку большинства важных результатов
и доказательства многих из них. В гл. 12 излагается главным
образом важная математическая техника, в которой
допускается, чтобы переменная р (величина импульса налетающей
частицы) становилась комплексной переменной, а амплитуда
рассматривалась как аналитическая функция от р. Эта техника
приводит к простым доказательствам некоторых результатов,
сформулированных в предыдущей главе. Она дает также
введение в некоторые важные новые представления: связь между
связанными состояниями, резонансами и полюсами амплитуды
рассеяния и важное понятие дисперсионного соотношения.
§ 1. S-матрица для парциальных волн
В гл. 6, § 3 мы обсудили рассеяние двух бесспиновых
частиц, взаимодействие между которыми было инвариантным
относительно вращений, и нашли, что S-матрица диагональна в

§ 1. S-матрица для парциальных волн
215
базисе собственных векторов |£, /, m)f
(Е\ l\ m'|S|£, /, m) = 6(E/^E)6rlbm>tn$i(p).
Из унитарности оператора S следует, что число Si(p) [которое
теперь удобно рассматривать как функцию от р = (2тЕ)\ а не
как функцию от Е] по модулю равно единице и может быть
записано в виде
*i(p) = e ' >
Это выражение определяет фазовый сдвиг 8i(p) с точностью до
слагаемого, равного произведению я на произвольное целое
число. Эту неоднозначность мы будем называть
неоднозначностью по модулю я в 6i(p).
Используя матрицу преобразования
<р|Я, /, т) = (трГ1/2б(£Р-£)УГ(р), (11.1)
мы можем перейти от момеитного базиса к импульсному
базису. В частности, для амплитуды f{p'<-p) получаем разложение
/ (р'- Р) = Z (2/+!)//(/>) Л (Р'-Р), (П.2)
где fi(p) — парциальная амплитуда:
''<р)=-4//г- ?-*—
Ряд по парциальным волнам (11.2) для амплитуды/(р'«—р)
приводит к двойному ряду для дифференциального сечения
do/dQ =\f\2. При интегрировании этого двойного ряда по всем
углам смешанные члены обращаются в нуль, и полное сечение
выражается в виде
sin2 di (p)
где
а, (р) = 4я(2/ + 1)1 f, (р) Р — 4я (2/ + 1)
Максимальный вклад в полное сечение от любой парциальной
волны определяется „унитарной границей"
, ч^ 4я(2/ + 1) /tl A,
°i(p)<——2 (П.4)
Сечение Qi(p) достигает этой границы тогда и только тогда,
когда фазовый сдвиг 6/ равен нечетному кратному л/2.

216 Гл. 11. Стационарные состояния для парциальных волн
§ 2. Радиальные волновые функции
для свободного движения
В настоящей главе мы будем интересоваться свойствами
волновых функций (х|£, Um-\-) и в качестве необходимого
введения сделаем сначала краткий обзор свойств «свободных»
волновых функций (х|£, /, т). Последние являются, конечно,
произведениями сферических функций Yf (x) на функции от г Если
мы запишем эти произведения в виде (Ifr) //(r) Y? (х), то
радиальная волновая функция у (г) будет удовлетворять
радиальному уравнению Шредингера для свободного движения:
[Ж-^Ч^ + Р'Ь^О Ь-^гпЕП (11.5)
Радиальное уравнение Шредингера для свободного
движения есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение
второго порядка и потому имеет два линейно независимых
решения, из которых физический смысл имеет только то, которое
обращается в нуль в начале координат. При г—►О
центробежный член /(/+ 1)/г2 преобладает над энергетическим членом р2
и решения указанного уравнения ведут себя как решения
соответствующего уравнения с р = 0, а именно как комбинации из
r/+i и r-it Таким образом, физически приемлемая волновая
функция однозначно определяется как функция, которая ведет себя
как г'+1. Это, конечно, функция Риккати — Бесселя jt(pr):
оо
где ji(z)—сферическая функция Бесселя, а 1\{г)~- обычная
функция Бесселя 1). Точное поведение функции /, в начале
координат, очевидно, таково:
?'<*>= (2/'+1)» П + 0(г2)] [z-0]. (11.7)
Можно показать, что
оо
\ dr]i (p'r) hipr) = -J-5 (р' - р),
о
1) Резюме свойств функций Бесселя содержится в книге [4], стр. 488.
Доказательства всех использованных здесь свойств можно найти в книге
Ватер на [29].

§ 2. Радиальные функции для свободного движения 21?
-*-!
а отсюда легко доказать, что правильно нормированной
волновой функцией (х|£Д т) является та, которая приведена в
формуле (6.6), а именно
<х|£, U m) = il(^f)4,ljl(pr)Y;(x), (11.8)
где фазовый множитель il — целиком дело соглашения.
Для последующего нам потребуются некоторые свойства
общего решения радиального уравнения свободного движения
(11.5). Что касается поведения в начале координат, то мы
замечаем, что любое решение, не совпадающее с функцией Рикка-
ти — Бесселя }\{рг), ведет себя как г~{ при г-+0. В качестве
второго решения удобно выбрать функцию Риккати — Неймана
п((рг)[):
й £ (z) = znt (z) - (-1)' (^L)l/l /_,- % (z) =
(-2У2)*(2/-2«-1)Н и (U g)
Поведение этой функции в начале координат имеет вид
Mz) = z-'(2/-l)M[l+0(e2)J [z-+0]. (НЛО)
При г-+оо центробежный член в радиальном уравнении
стремится к нулю и решения ведут себя так же, как решения
соответствующего уравнения с / — 0, а именно как комбинации
функций е±1?Т. Если решения имеют действительно такое
поведение, то они не совпадают ни с ]\> ни с щ, а являются
функциями Риккати — Ганкеля hf (pr):
А*(г) = А,(г)±Й(г).
Можно показать, что эти функции имеют следующий
асимптотический вид:
^М-в^-'^+оОг')] [г-*оо], (11.11)
из которого можно немедленно получить соответствующие
результаты для функций ji и nt. Например,
?, , hiw-hTiz)
/<(*) = 27 =
==s\n(z—-^l7ij + 0(z^1) [z->ooy оставаясь вещественным].
1) При записи в виде ряда приняты обозначения: {—2п — 1)!1
= (—1) "/(2/1 — 1)1! и (—1)1! = 1.

218 Гл. 11, Стационарные состояния для парциальных волн
Аналогичный результат (в котором синус заменен на косинус)
получается и для функции nt(z).
Следует подчеркнуть, что для функций /, /1 и ^
существуют разные соглашения о фазовом множителе и разные
обозначения. Мы следуем соглашениям, принятым в книге [4], удоб-
ство которых состоит в том, что в этом случае соотношения
между четырьмя функциями Риккати /, п и А4 в точности
аналогичны соотношениям между тригонометрическими функциями
sin z, cos z и e±iz. Действительно, при / = 0 функции Риккати
являются просто тригонометрическими функциями, что можно
видеть из табл. 11 Л, в которой мы приводим функции Риккати
при / = 0, 1,2.
Таблица 111
Функции Риккати
;V(2)
Al(«)
hf(2)
/»Г (2)
/=Ю
sin z
COS 2
el>
е-1*
l=*\
1 .
— sin z — cos z
z
1 r •
— cos z + sin z
z
(l+i_yU~*/2)
(l_l)e-'U-«/2)
;=2
( 3 Л ■ 3
1 —5— 11 sin z cos г
I -j— 1J cos z H sin г
(■+"-■?•)•"—
o-f-?)<-"--"
Табл. 11.1 показывает, что выполняются следующие
полезные тождества (которые можно проверить непосредственно из
определений):
Ы-г) = (-1)ж//(*)>
*/(-*) = Ы)Ч (г),
Кроме того, при вещественных значениях аргумента функции
//(*) и fii(x) вещественны, в то время как
[ft* (*)Т = 1ч (х) [при вещественных х].
В заключение вернемся к состояниям | £, /, пг) и отметим
разложение собственного состояния импульса | р) по состоя-

§ 3. Состояния рассеяния
219
ниям \E,l, m)> Используя матрицу преобразования (11.1), мы
можем немедленно записать это разложение в виде
| р) = $ dE £ | Е, U т) {Е% /, т \ р) = (трГ^ £ | Ер, /, т) Y? (р)\
Умножая его на бра-вектор (х|, получаем соответствующее
разложение для волновых функций
<xlpKi)Vl^I'''Wyr«C<p7=
l.m
= (2nrv,-^^(2/+l)/7HpOP/(x-p), (11.12)
которое есть не что иное, как хорошо известное разложение
плоской волны по сферическим функциям [из которого в
действительности и выводится формула (11 Л)].
§ 3. Состояния рассеяния для парциальных волн
Векторы \Е, /, т) являются собственными векторами
углового момента и свободного гамильтониана Я0. Теперь
определим соответствующие собственные векторы |£Д га+> углового
момента и полного гамильтониана И. Связь между векторами
\E,ltm+) и \Е91,т) в точности аналогична связи между |р+)
и |р), а именно
|£, /, m+) = Q+|£, /, ту
В том же самом грубом смысле, как в случае I р+) и [ р), мы
можем считать вектор |£, /, ?п-\-) истинным состоянием при
t = 0, возникающим из ин-состояиия \Е,1,т). Из соотношения
переброса HQ+ = Q+H0 следует, что вектор |£", /, т+)
представляет собой собственный вектор гамильтониана Я,
отвечающий энергии £, а так как Q+ и L коммутируют друг с
другом, он оказывается также собственным вектором операторов
L* и Lv
Волновая функция (х|£, /, /я+) имеет, конечно, вид
произведения сферической функции УТ(х) на функцию от г. По
аналогии с выражением (11.8) для свободной волновой функции
записываем это произведение следующим образом1):
<х<£, /, m+) = il(^fjb.p(r)Y?(*). (П.13)
1) Строго говоря, в обозначение радиальной волновой функции следует
ввести индекс +. т е использовать запись ^ (г). Но, поскольку у нас не
возникнет нужды в обсуждении соответствующих состояний \Е,1,т—), мы
опускаем этот индекс.

220 Гл. It. Стационарные состояния для парциальных волн
Отсюда видно, что при К = 0 функция thl/7(r) точно переходит
в ]i{pr). Функция it>/lP(r) определяется (с точностью до
нормировки) радиальным уравнением Шредингера
вместе с граничным условием ^/tP(0) = 0. Записывая это
уравнение, мы ввели следующее удобное обозначение:
I U(r)~2mV(r). I
Из условия нормировки
<£', /', т' + \Е, /, т+) = 6(Е'-Е)6п6т>т
следует, что
оо
J ^лР<(')Члр(г) = у6(/>' -Р) (П.14)
0
и по этой причине мы будем говорить о функции фЛ р(г) как
о нормированной радиальной функции, когда нам потребуется
отличить ее от других волновых функций.
Вероятно, наиболее важное свойство радиальной волновой
функции \|?/,р(0 состоит в том, что ее асимптотический вид при
г-*оо просто связан с парциальной амплитудой fi(p) или с
фазовым сдвигом б/(р). Чтобы убедиться в этом, сначала
разложим волновую функцию (xlp+) (поведение которой при
г-*оо мы уже знаем) по волновым функциям парциальных волн
(х|Я, /, пг+). Из соответствующих определений ясно, что
разложение вектора |р+) по векторам |£, /, т+) имеет такой же
вид, как разложение |р) по векторам |Я, /, т) (убедиться в этом
можно с помощью простого умножения последнего разложения
на Q+). Аналогичное утверждение справедливо и для
соответствующих волновых функций, и из (11.12) сразу следует, что
<xlp+) = (2nrVi-^5](2Z+l)z4/.pWPi(i-p). (11-16)
Далее, из соотношения (10.19) мы знаем, что при больших
(х I р +> -^^ (2яГ*' |>- + f (pi *- р) j eipr]
или, если подставить разложения (11.12) для плоской волны и
(11.2) для амплитуды,
<* I P +> Т^* (2*rVl ~ £ (2/ + 1) [i'h (pr) + pft (p) eif") Pt (i ■ p).

§ 3. Состояния рассеяния
221
Сравнивая это соотношение с (11.15), приходим к выводу, что
*/. р (Г) -7^ U (РГ) + Pfi (P) * ipr~ln/2\
т. е. получаем искомый ответ.
Последний результат можно переписать в различных
полезных формах. Если вспомнить, что h? (z)-*exp/(z — Уг'я), то мы
можем представить его в наводящей на размышления форме
+|.рИ-
h (pr) + pfi (p) fit (pr),
(11.16)
т. е. из-за того, что потенциал является в достаточной степени
короткодействующим, радиальная функция \|>,, р(г) ведет себя
при /•—► оо как решение радиального уравнения для свободного
движения. Определенная комбинация таких решений, а именно
комбинация ji + pffi* соответствует хорошо известному виду
е** + !(рх+-р)~-
полной волновой функции (х|р+). Слагаемое U
соответствует «волновой функции налетающей свободной частицы»,
угловой момент которой равен /, а слагаемое pffi* соответствует
рассеянной уходящей волне.
С другой стороны, если мы заменим функцию ji(pr) ее
асимптотической формой s\n(pr — lf2ln)> а вместо величины pft
подставим выражение e^'sin 6/f то после несложных
преобразований получим
+|. р (г) —> *"/«" sin [pr - j In + 6, (/>)].
(11.17)
Запись в такой форме проясняет смысл названия фазовый сдвиг.
При больших г истинная радиальная функция tyi,P(r)
пропорциональна свободной радиальной функции
7i (/>')-» sin (рг— у/тс),
однако ее осцилляции сдвинуты по фазе на величину 6i(p). Это
важное свойство (которое часто используется для определения
фазового сдвига1)) проиллюстрировано на фиг. ПА, где
1) Из (11.17) величина б/ определяется с точностью до той же самой
неоднозначности по модулю я, которая имеет место 5 нашем определений аз
соотношения S/ = ехр (2/6*).

222 Гл. //. Стационарные состояния для парциальных волн
изображены s-волновые (/ = 0) радиальные функции в случае
прямоугольной потенциальной ямы.
Поскольку кинетическая энергия частицы внутри
прямоугольной потенциальной ямы, изображенной на фиг. 11.1,
превышает соответствующую кинетическую энергию во внешней
области» волновая функция на выходе из ямы опережает по фазе
волновую функцию свободного движения. Поэтому потенциал
притяжения «затягивает волновые функции внутрь» и
приводит к положительному фазовому сдвигу. Аналогично отталки-
вательный потенциал «выталкивает волновую функцию наружу»
и приводит к отрицательному фазовому сдвигу. Этим
представлениям придается точный смысл в гл. 11, § 7.
Фиг. 11.1. Радиальная s-волновая функция в случае прямоугольной
потенциальной ямы, соответствующей притяжению.
/ — свободная волновая функция, равная sin рг\ 2~истинная волновая функция,
пропорциональная при г > а функции sin(pr + 0).
Запись (11.17) подсказывает также простой метод реального
расчета фазового сдвига. Радиальное уравнение интегрируется
по г, начиная с г = 0 (либо аналитически, либо численно),
причем граничное условие состоит в том, что волновая функция
обращается в пуль при г = О, а нормировка выбирается в
любом удобном виде. Образуемое таким способом решение
пропорционально функции tyi,v(r)> IIa больших расстояниях оно
ведет себя как
const X sin (pr — y in + */) •
Поэтому мы должны только выполнить интегрирование до
точки, достаточно удаленной от области действия потенциала,
и затем сравнить полученную фазу с фазой свободной волновой
функции [которая определяется выражением sin(pr — 1/21л)].
Ясно, что радиальное уравнение Шредингера обеспечивает
самосогласованную схему расчета и анализа парциальной
амплитуды и фазового сдвига. Действительно, если бы мы
пожелали, то смогли бы полностью обособить эту схему от
реалистического трехмерного анализа, на основе которого она возникла.
В этом случае процесс столкновения мыслится как процесс, про-

§ 4. Уравнение Липпмана — Швингера
223
исходящий в одном-единственном состоянии углового момента.
Если переписать асимптотическое выражение (11.16) [полагая
7=(/г+ — /г-)/2/ и p// = (s/- l)/2/] в виде
Флр(г)-^у[АГ(рг)-8/(р)А/+(рг)], (11.18)
то первое слагаемое можно интерпретировать как сферическую
волну, движущуюся внутрь по направлению к началу
координат, а второе слагаемое — как уходящую рассеянную волну.
Коэффициент S/ = ехр(2/6/) служит мерой воздействия мишени,
а то обстоятельство, что действие потенциала не может
приводить к рождению или уничтожению частиц, ограничивает
влияние мишени изменениями фазы уходящей волны (и не
допускает изменения ее абсолютной величины). Именно по этой
причине | $;| = 1, а фазовый сдвиг bt веществен.
§ 4. Уравнение Липпмана — Швингера
для парциальных волн
Прежде чем мы начнем изучать радиальное уравнение Шре-
диигера, полезно отметить, что мы можем преобразовать это
радиальное уравнение вместе с граничными условиями в одно
интегральное уравнение для функции ф,, р(г). Сделать это
можно двумя способами. С одной стороны, мы замечаем, что
функция г|5/т р (г) есть не что иное, как радиальная часть
волновой функции стационарного состояния \Е, /, т+), которое
удовлетворяет уравнению Липпмана — Швингера:
|£, /, щ+)=\Еу /, m) + G»(E + iO,V\E, /, m +>. (11.19)
Так как и G°(z) и V инвариантны относительно вращений,
соответствующее уравнение для волновой функции содержит общий
множитель Y? (х), который можно сократить, получая в
результате
\P(r)=1(pr)+\ dr'Glp{r, r')U(r')$[p(r').
(11.20)
Читателю предлагается проверить самостоятельно (см. задачу
11.2), что в этом уравнении
0°,P(r, O — ^UprjViprJ, (11.21)
где через г< и г> обозначены соответственно меньшая и
большая величины из г и г' (и, как и выше, U == 2mV).

224 Гл. 11. Стационарные состояния для парциальных волн
С другой стороны, мы можем исходить из радиального
дифференциального уравнения вместе с граничными условиями
ф;|Р = 0 при г = 0 и ф/|Р-> // + pf[ht ПРИ г-*0^ привлекая
стандартную теорию обыкновенных дифференциальных
уравнений. Такой подход гарантирует, что дифференциальное
уравнение вместе с граничными условиями эквивалентно
интегральному уравнению вида (11.20), в котором функция Грина (11.21)
есть просто та функция Грина, которая воспроизводит требуемые
граничные условия *).
Иногда мы сочтем удобным записывать интегральное
уравнение (11.20) в операторных обозначениях следующим образом:
+/.р =-// + <??.//+,.,. И»-2*)
Какой бы способ получения этого уравнения мы ни выбрали,
оно оказывается, очевидно, вариантом уравнения Липпмана —
Швингера, относящимся к парциальным волнам. Поэтому
многие из результатов, обсуждавшихся в связи с полным,
трехмерным уравнением Липпмана — Швингера, имеют
соответствующие аналоги в случае парциальных волн. Например, если мы
разложим результат
/(p'«-p) = -(2n)2m<p'IV|p+>
по парциальным волнам, то сразу получим (читателю следует
проверить это)
fi{p)^-^\drh(pr)U(r)^pir).
(11.23)
Борновский ряд для fi(p) получается при решении
уравнения Липпмана — Швингера для парциальных волн с помощью
итераций. В операторных обозначениях, использованных в
уравнении (11.22), это дает
•) Процедура перехода от дифференциального уравнения вместе с
граничными условиями к интегральному уравнению состоит в следующем:
1. Записываем радиальное уравнение в виде
V'-[/(/rt0 -Р*]*-Р(0*-
2. Рассматривая правую часть как источник, «решаем» это уравнение с
помощью стандартной техники функций Грина (см. [30], гл. V или [31], гл. 3).
Так как источник имеет вид £/(г)ф, в результате получается интегральное
уравнение для функции if».

§ 4. Уравнение Липплшна — Шватера 22£
Если использовать выражение (11.23), то отсюда следует
fi(p) = -j.{\drjlul + \drjlUGl pUJt+ ...).
Конечно, полученный ряд в точности совпадает с тем, который
мы получили бы, производячразложение полного борновского
ряда
f(p'*-p) = -(2n)2m((p'\V\p) + (p'\VG°V\p) + ...)
по парциальным волнам. Поэтому многие из наших замечаний
относительно сходимости полного ряда остаются в силе и для
/ранни а
унитарного круга
Вещественная ось
Фиг. 11.2. Унитарный круг.
Обратите шшмлние па то, что а том случае, когда становятся возможными «с упругие
процессы, точка, изображающая амплитуду упругого рассеяния, движется внутрь
унитарного круга (см. гл. 17).
варианта, относящегося к парциальным волнам. Например,
можно ожидать, что борновское приближение
Mp)«-^ Jdr/it/J, (11.24)
окажется хорошим приближением при высоких энергиях и при
слабых потенциалах. Как и в случае полной амплитуды,
существуют определенные условия, при которых борновское
приближение оказывается недостаточным; бывает даже и так, что бор-
новский ряд расходится. Важная новая возможность состоит в
следующем: даже если борцовское приближение оказывается
бесполезным при рассмотрении полной амплитуды, оно может
быть хорошим приближением при рассмотрении некоторых
значений /. В дальнейшем мы вернемся к этим вопросам.
В заключение настоящего параграфа заметим, что борноз-
ское приближение (11.24) всегда вещественно. Поскольку
точная амплитуда
М/>) = уЛт6, (11.25)
* З.-jx. с9б

226 Гл. 11. Стационарные состояния для парциальных волн
вещественна только тогда, когда величина 6t мала (по
модулю я), то необходимое условие применимости борновского
приближения состоит в том, чтобы фазовый сдвиг был малым (по
модулю я). Ввиду того что из-за унитарности оператора S
амплитуда ft имеет вид (11.25), этот критерий есть в сущности не
что иное, как сформулированное для парциальных волн условие
из гл. 9, которое состоит в следующем: борцовское приближение
может оказаться приемлемым только тогда, когда оно не
нарушает в значительной степени унитарность.
Рассмотренная ситуация иллюстрируется на фиг. 11.2, где
изображен «унитарный круг» — геометрическое место тех
значений парциальной амплитуды, которые согласуются с
унитарностью. Точное значение величины pf( изображается точкой на
унитарном круге, в то время как борновское приближение —
точкой на вещественной оси. Поэтому очевидно, что борновское
приближение может оказаться приемлемым только тогда, когда
величина pfi (как вычисленная точно, так и вычисленная в бор-
новском приближении) изображается точкой, лежащей вблизи
начала координат.
§ 5. Свойства парциальной амплитуды
Мы начинаем изучение парциальной амплитуды и фазового
сдвига с краткого обзора их общих свойств, опуская на этой
стадии все формальные доказательства.
Амплитуда и фазовый сдвиг определяются радиальной
волновой функцией ф/(Р(г), которая в свою очередь определяется
радиальным уравнением Шредингера
Здесь, как и прежде, t/(r) = 2mV(r)\ кроме того, мы ввели
параметр А, характеризующий силу взаимодействия, и
предположили, как обычно, что потенциал V удовлетворяет условиям:
I. у(г) = 0(г-3-е) при г-юо,
П. V{r) = 0(r~"<>+*) при г-» О,
III. V{r) непрерывен при 0 < г < оо, за исключением,
возможно, конечного числа точек, в которых имеются
конечные разрывы.
Как и ранее, некоторые результаты можно доказать при
несколько более слабых условиях1). Новым будет то, что для
получения некоторых результатов мы должны будем сделать более
1) В действительности все полученные в настоящей и в следующей
главах результаты, для которых мы не делаем в явном виде более жестких пред-

§ 5. Свойства парциальной амплитуды
227
жесткие предположения относительно потенциала V.
Например, пороговое поведение (11.28), устанавливаемое ниже, имеет
место при всех значениях / только тогда, когда V(r) убывает
при г—► оо быстрее любой степени 1/г; следовательно, этот
результат не выполняется для потенциалов такого типа, как
атомный поляризационный потенциал 1/г4.
Прежде всего мы замечаем, что если в радиальном
уравнении потенциальный член XU(r) при всех значениях г намного
меньше члена {[/(/ + l)/'2] — р2}, то это уравнение является по
существу радиальным уравнением для свободного движения.
В этом случае мы должны ожидать, что функция tyilP(r) мало
отличается от функции ji(pr), связанной со свободным
движением, и, следовательно, амплитуда }i(p) близка к нулю.
Отсюда вытекает несколько важных выводов.
При Я—* О (т. е. при ослаблении потенциала) амплитуда
fi(p) стремится к нулю, а фазовый сдвиг 6,(р) стремится к
целому кратному я. Аналогично, при высоких энергиях (для
данного потенциала и для данного значения /) амплитуда U(p)
стремится к нулю1), а фазовый сдвиг 6/(р) к целому
кратному я. Мы увидим, что присущая фазовому сдвигу
неоднозначность по модулю л может быть устранена при помощи
требования, чтобы величина 6/(р) была непрерывной функцией,
стремящейся к нулю (а не к пп) при р-*оо. Кроме того, если
это требование наложено, то фазовый сдвиг обращается также
в нуль (а не в мл) при Л—► ().
При /—юо (для данного потенциала и при данной энергии)
мы имеем аналогичный результат: /,—► () и б/—* пп. Этот вывод
легко понять, рассматривая член /(/ + 1)/2тг2 как отталкива-
тельный «центробежный потенциал». Чем больше /, тем более
отталкивательным становится этот центробежный барьер и тем
меньше шансов имеет налетающая частица (имеющая данную
энергию) проникнуть в ту область, где действие истинного
потенциала V(r) становится ощутимым. Из этой аргументации
положении, оказываются справедливыми и при более слабых условиях:
Г. V = О(г~2-*) при г-* оо,
II'. У = 0{г-*+*) при г-*0,
III. Такое же, как и выше.
Польза от данного замечания не слишком велика, так как формализм
парциальных волн получает свое физическое подтверждение из нестационарной
теории (гл. 2—5), когда эти более слабые предположения недостаточны.
J) Действительно, из-за множителя \/р в нашем определении амплитуды
U — (1/р)е*6 sin б совершенно очевидно, что fr->0 при р-+оо. Интересен
вывод о том, что также и р]\ — е sin6->-0. С этой точки зрения лучше было
бы определить /< без введения множителя 1/р. Однако по другим причинам
удобно включить этот множитель в определение, и в дальнейшем утверждение
о том, что парциальная амплитуда стремится к нулю при р-*-ооу мы всегда
будем понимать в том смысле, что pfi^hQ.
8*

223 Гл. И. Стационарные состояния для парциальных волн
можно даже получить грубую оценку максимального
значения /, при котором фазовый сдвиг 6/ еще имеет заметную
величину. Если радиус действия потенциала, связанного с
мишенью, равен приблизительно а, то высота центробежного
барьера на границе области действия потенциала равна, грубо
говоря, /2/2ша2. [Мы пренебрегаем разницей между /(/+1)
и /2.] Если энергия намного меньше, чем указанная высота
барьера, то частица едва ли сможет проникнуть через барьер
п подвергнуться действию потенциала. Таким образом, при
l2/2ma2 > £ = p2/2m, или при
/>ра, (11.26)
все фазовые сдвиги должны быть малыми !).
При выполнении любого из указанных выше условий
(малые X, большие р или большие /) влияние потенциала
оказывается слабым и мы можем ожидать, что борновское
приближение будет надежным. В частности, даже при таких энергиях,
когда борновское приближение для полной амплитуды
f(p'<-p) оказывается бесполезным, оно тем не менее
должно быть хорошим при значениях /, превышающих
некоторое /0- В этом случае вклад в амплитуду f(p'«—р) от всех
парциальных волн с / > /о может быть найден с помощью
вычисления полного борновского приближения /(h(p'«-p) и
последующего вычитания из него борцовских вкладов от
парциальных волн с / = 0, 1, ..., /0- Вклад от низших
парциальных волн рассчитывается при этом с помощью некоторой более
точной процедуры или определяется подгонкой под
экспериментальные данные. Этот последний способ использовался,
например, при анализе фазовых сдвигов в нуклон-нуклонном
рассеянии [17].
Для анализа поведения амплитуды fi(p) при низких энергиях
удобно рассмотреть уравнение Липпмана — Швингера для
функции tyiP:
оо
W)=Mp')+$ dr'Glp(r, r')U(r')^p(r').
О
Из определения (11,21) и из разложений (11.7) и (НЛО) для
функций / и п при малых значениях аргумента ясно, что при
малых /; (и при фиксированных г и г')
и/.*Лг» т ) р-ю+ 2/ + 1
1) Существует также и известная классическая аргументация: при
классическом описании столкновения прицельный параметр равен р = 1/р\ если он
превышает радиус действия потенциала а (1>ра), то частица проскакиваед
мимо мишени и не рассеивается.

§ 5. Свойства парциальной амплитуды
229
т. е. функция Грина становится не зависящей от р. Возвращаясь
к уравнению Липлмана — Швингера, видим, что при р~+0
зависимость радиальной волновой функции tyi,p(r) от р будет
иметь точно такой же вид, как у функции ]i(pr)t а
именно р:~1
Теперь мы рассмотрим амплитуду
// (Р) =• - jt \ dr]t (pr) U (г) ф,. р (г). (11.27)
О
Если потепцизл обращается в нуль при г, больших некоторого а
(как, например, в случае прямоугольной потенциальной ямы),
то при /.?-►() мы можем заменить функции ]i и г|:7, Р их
разложениями при малых о (одинаково пропорциональными /;'+1)
и получить формулу
(11.28)
ft (p) -i^o'> - aiP11
где (ь - некоторая константа, известная как длина рассеяния,
(Фактически величина at имеет размерность длины только при
/ — _- 0; тем не менее для простоты мы будем использовать
название «длина рассеяния» для всех значении /.)
Нел и область действия потенциала простирается до
бесконечности, то эти рассуждения требуют большей аккуратности.
Даже при малых р вклад в интеграл (11.27) дают области
больших значений г, при которых мы не можем использовать
разложения функций ji(pr) и tyi,v(r) для малых значений
аргумента. Мы найдем, что если только потенциал V(r) убывает
быстрее любой степени 1/г (скажем, потенциал Юкавы), то
результат (11.28) остается в силе. Если потенциал V убывает
как 1/г\ то соотношение (11.28) не требует изменений при
/^(v — 3)/2 (см. гл. 12, § 6). Мы увидим также, что в
некоторых исключительных случаях длина рассеяния щ может быть
бесконечной, и тогда скорость убывания правой части в
соотношении (11.28) уменьшается.
Принимая временно результат (11.28), мы видим, что при
приближении переменной р к пороговому значению р = 0 все
парциальные амплитуды, за исключением s-волновон
амплитуды, обращаются в пуль, причем, чем больше значение /, тем
быстрее стремится к нулю соответствующая амплитуда. Этот
факт подтверждает наше заявление о том, что при низких
энергиях следует рассматривать только небольшое количество
парциальных воли. В частности, при очень низких энергиях
заметно отличается от нуля лишь s-волновая амплитуда,
которая стремится к постоянному значению —До- Следовательно,

230 Гл. //. Стационарные состояния для парциальных воли
полная амплитуда также стремится к той же самой константе
f(p/-p) = S(2/+Ijf:(p)^(cos6)^:^>-a0, (11.29)
т. е. при низких энергиях дифференциальное сечение
оказывается чисто s-волновым и изотропным, имеющим значение
doldQ = а^
Поскольку амплитуда f/ = (l/p)*'e'sin6/ ведет себя как —щр21
при р-^0, постольку sin 6^ обращается в нуль по закону p2z+1.
Поэтому фазовый сдвиг стремится к числу, кратному л,
следующим образом:
Mp)-^*™-a/P'+I (П.ЗО)
(отсюда ясно, что длина рассеяния щ всегда является
вещественной величиной). Мы уже говорили о том, что
неоднозначность по модулю л, содержащаяся в нашем определении
фазового сдвига, может быть устранена при помощи требования,
чтобы при высоких энергиях величина б/ стремилась к нулю
(а не к пп). Если такое требование поставлено, то в общем
случае фазовый сдвиг б/ не обязательно равен нулю при
нулевой энергии. Наоборот, мы увидим в гл. 12, что, согласно
теореме Левинсона, разность 6/(0) — б/(оо) равна просто
произведению л на число л/ связанных состояний с угловым
моментом /. Поэтому если принять значение б/(оо) равным нулю, то
М0) = п,я. (11.31)
Мы увидим, что этот результат имеет место для любого
локального потенциала, удовлетворяющего нашим обычным
предположениям, с единственным исключением: если s-волновая длина
рассеяния бесконечна, то для / = 0 результат (11.31)
заменяется на бо(0) = {п0 + xk)n.
Поучительно рассчитать амплитуду и фазовый сдвиг в
случае каких-либо потенциалов, для которых существует точное
решение, и рассмотреть полученные результаты в свете
предшествующего обсуждения. Два таких потенциала (твердая
сфера и прямоугольная потенциальная яма) предлагаются в
задачах в конце настоящей главы. В частности, результаты для
прямоугольной потенциальной ямы были использованы для
изображения на фиг. 11.3 фазовых сдвигов б/(р) и
парциальных сечений ot(p) при ( = 0, 1, 2 и 3 в случае ямы с
глубиной Vot определяемой соотношением (2ma2V0)'^ = 4,8 (где а —
ширина ямы). Это конкретное значение глубины ямы было
выбрано таким образом, чтобы существовали два связанных
состояния при / = 0 и по одному при 1=1 и / = 2. Эта яма
недостаточно глубока для получения связанного состояния с
/ se 3, и потому связанных состояний с />3 не существует.

р, в ед. f/a
Фиг. 11.3» Фазовые сдвиги 6. (р) и парциальные сечения о^р) для прямоугольной потенциальной ямы с глубиной К0>
определяемой соотношением (2rna2VQ) h ** 4,8.

232 Гл. П. Стационарные состояния для парциальных волн
Некоторые характерные особенности изображенных кривых
заслуживают комментария.
1) В соответствии с теоремой Левинсона 6о(0)=2л; и
6i(0) =62(0) = я, тогда как б3(0) —0. Как
обсуждалось выше, все пороговые значения парциальных сечении
равны нулю, исключая случай s-волны, для которой
соответствующее значение со(0) « 45ла2 находится далеко
за пределами фигуры.
2) Можно видеть, что в согласии с пороговым поведением
(11.30) фазовые сдвиги при нулевой энергии становятся
с ростом / все более гладкими функциями. Так, при
0 ^ ра ^< 1 одно только сечение а0 составляет более чем
90% от полного сечения; в интервале 1 <: ра <С 2 то же
самое справедливо в отношении суммы Go + ai + а2. Эти
интервалы хорошо соответствуют грубым оценкам (11.26)
тех максимальных значений /, до которых парциальные
волны дают существенный вклад в полное сечение.
3) При высоких энергиях фазовые сдвиги стремятся к пулю.
При ра = 10 все фазовые сдвиги оказываются меньше 60°
и с ростом величины ра неуклонно убывают; при ра = 50,
например, все они становятся меньше 15°.
4) Приблизительно при ра = 2,7 s-волповой фазовый сдвиг
проходит через л и соответствующее сечение а0
обращается в нуль. Это происходит потому, что радиальная
волновая функция внутри ямы испытывает ровно па одну
осцилляцию больше, чем соответствующая свободная
функция. Вне ямы обе эти функции ведут себя одинаково
и потому неразличимы. При указанной энергии
потенциал вообще никак не влияет на рассеяние волны с / = 0.
Для определенных потенциалов обсуждаемое явление
может происходить при значении энергии, более близком
к пороговому значению, когда все другие сечения oi
(I > 0) еще пренебрежимо малы. В этом случае при
указанной энергии вообще не происходит никакого
рассеяния. Этим объясняется известный эффект Рамзауэра —
Таунсенда, состоящий в том, что некоторые газы
оказываются совершенно «прозрачными» для электронов,
имеющих определенную энергию.
5) Вблизи ра = 2,6 фазовый сдвиг волны с / = 3 быстро
возрастает, проходя через л/2, а соответствующее
сечение а3 имеет острый пик. Мы обсудим это резонансное
явление в гл. 13, где увидим, что оно тесно связано со
следующей особенностью потенциала: глубина потен*

§ 6. Регулярное решение
233
пиальнои ямы почти достаточна для образования связан-
ного состояния с / = 3.
§ 6. Регулярное решение
Для облегчения дальнейшего обсуждения радиального
уравнения и парциальной амплитуды удобно ввести новую радиаль-
п\ю волновую функцию f р(г), которая отличается от функции
i|-'. ;,(г) своей нормировкой.
Вспомним, что функция t|?/, p представляет собой (если
отвлечься от дополнительного множителя л и проч.) радиальную
часть волновой функции нормированного состояния |£Д w-f-У
Это обстоятельство отражается в условии нормировки (11-М)
по
$4гф/1Р,(г)*г|>,.р<г) = -5-6(р'-р),
О
п ми можем говорить о функции $t,p(r) как о нормированной
радиальной функции. Граничные условия, определяющие
функцию \\*;. },(г) как решение радиального уравнения, состоят в
следующем: if/, р = 0 при г = О (или, что эквивалентно, \\)tt v —►
—►const X/f при г—►О) и H^p—bji + pf'ti't при г-*оо.
Выясняется, что с математической точки зрения удобнее обсуждать
решение, определяемое граничными условиями в одной точке.
Именно но этой причине мы определяем функцию ф{,р(г) как
такое решение, которое при г—*0 ведет себя в точности как
функция ji(pr):
В этом определении не вводится какого-либо коэффициента
пропорциональности; таким образом, в указанном определении
содержится требование о том, чтобы функция ф обращалась
в пуль при г = 0, а также фиксируется нормировка
функции ф]).
При таком определении функция ф1,Р(г), которая
называется регулярным решением, оказывается, очевидно,
вещественной, поскольку вещественны как граничные условия, так
и само радиальное уравнение. Ясно, что функция ф{,р(г)
пропорциональна функции tyitp(r) и что она может быть исполь-
1) .Мы используем запись Ф-*-} в смысле ф/]-*-\. В математической
литературе- v:о условие часто заппеывается в виде Ф ~ /; однако многие физики
пр;.: иснользовазлш записи Ф ~ / подразумевают, что отношение Ф/] стремится
к не ко троп (точно не определяемой) константе.

234 Гл. //. Стационарные состояния для парциальных волн
зована для расчета амплитуды с таким же успехом, как и
функция t|^,p(r). Преимущества, получаемые при использовании
функции £/, р(г), обнаружатся в следующих двух параграфах.
§ 7. Метод переменной фазы
Б качестве первого приложения регулярного решения <f>i,P(r)
мы обсудим так называемый метод переменной фазы1). Как
средство расчета и анализа фазовых сдвигов этот метод
представляет собой важную альтернативу прямому интегрированию
радиального уравнения Шредингера. Здесь мы даем только
краткое введение в метод и для простоты ограничиваемся
рассмотрением s-волн. (Более подробное рассмотрение содержится
в книге [32]2).)
Для любого данного потенциала V(r) мы прежде всего
вводим новый потенциал Vp(r), который определяется как
потенциал, получаемый путем обрезания функции V(r) при г = р
(фиг. 11.4), т. е.
^(ГИ 0, г>р.
Обозначим s-волновое регулярное решение для истинного
потенциала V через ф(г) (мы опускаем индексы / = 0 и р), а для
обрезанного потенциала Vp —через £р(г). Через б мы
обозначим s-волновой фазовый сдвиг для истинного потенциала V,
а через б(р) —то же для потенциала Vp.
Функция б(р) является фазовым сдвигом для потенциала,
обрезанного при г = р. В частности, если р== 0, то после
обрезания никакого потенциала не остается, и потому число 6(0)
равно целому кратному я. Неоднозначность, свойственную
фазовому сдвигу, мы устраним теперь, принимая по определению
6(0) = 0. С другой стороны, при р-»оо обрезанный потенциал
Vp становится все ближе и ближе к истинному потенциалу V,
и мы можем видеть, что величина 6(р) приближается к
истинному фазовому сдвигу 6:
Теперь мы построим дифференциальное уравнение для
величины 6(р), которое позволит нам воссоздать функцию б(р),
исходя из ее значения в начале координат (при равном нулю
аргументе), и определить ее значение на бесконечности (т. е.
интересующий нас истинный фазовый сдвиг). При любом р
!) Его называют также методом фазовых функций или фазовым
методом. — Прим. ред.
2) См. также книгу В. В Бабикова «Метод фазовых функций в кванто-
вр£ механике», М., «Наука», 1968. — Прим. ред.

§ ?. Метод переменной фазы
235
обе функции ф(г) и фр(г) определяются одним и тем же
граничным условием при г = О и удовлетворяют одному и тому же
дифференциальному уравнению при 0 ^ г ^ р. Следовательно*
*(г)-*р(г) [0<г<р].
(Тот же результат не справедлив для нормированных
волновых функций \р и грр, потому что их нормировка в любой точке г
зависит от значений потенциала во всех точках.) При
значениях аргумента» превышающих г = р, указанные две функции,
конечно, отличаются друг от друга. В частности, функция <f>Q(r)
У (г)
Ур(г)
Фиг. 11.4. Обрезанный потенциал Кр (г).
удовлетворяет свободному (с / = 0) радиальному уравнению и
потому может быть записана в виде
^PW-a(p)sin[pr + 6(p)I [г>р], (11.32)
где a(p) —некоторый коэффициент.
Обе функции ф(г) и ф9(г) непрерывны; так как они
совпадают при г ^ р, мы можем предельное значение функции ф(г)
при приближении к точке г = р слева приравнять предельному
значению функции фр(г) справа. При этом получаем
*(p) = a(p)sin[pp + 6(p)]. (11.33)
Точно так же мы можем приравнять друг другу в точке г = р
производные от функций ф(г) и Фр{г), откуда найдем
ф' (p) = pa(p)cos[pp + d(p)]. (11.34)
Тождества (11.33) и (11.34) выполняются при любом вы*
боре р, и мы можем заменить теперь р на т. Нетрудно далее
подставить эти два тождества в радиальное уравнение Шре-
дингера, исключить величину а (г) и получить
дифференциальное уравнение
*'W = -yt/(r)sin2br + e(r)]. (П.35)

'23т Га. //. Сто'{попарные состояния для парциальных волн
Это s-волновое фазовое уравнение, оно лежит в основе метода
переменной фазы.
Используя фазовое уравнение, нетрудно проверить, что если
только при г->оо потенциал V(r) ведет себя как 0(г_1~£), то
функция б (г) действительно имеет предел при г~->оо и что
этот предел равен искомому фазовому сдвигу.
Подведем итоги. Мы определили функцию 6(г) как фазовый
сдвиг» соответствующий потенциалу Vy обрезанному в точке г.
Радиальное уравнение для функции ф(г) —линейное
дифференциальное уравнение второго порядка — приводит к
нелинейному фазовому уравнению первого порядка для функции б(/).
Это уравнение вместе с граничным условием1) 6(6) =0
определяет функцию б (г). Предел функции б (г) при г—► оо равен
как раз искомому фазовому сдвигу.
Тот факт, что фазовое уравнение нелинейно, может на
первый взгляд показаться обескураживающим, однако па самом
деле это не так. Во-первых, ясно, что при численном
интегрировании нелинейность не имеет никакого значения; в то же
время имеются два заметных преимущества: уравнение
первого порядка, и оно непосредственно дает фазовый сдвиг
(в противоположность волновой функции)2). Во-вторых,
обнаруживается, что даже в теоретических проблемах работать
с фазовым уравнением легко. Как мы сейчас покажем, это
уравнение приводит к удивительно прозрачным доказательствам
некоторых важных результатов.
Фазовое уравнение ясно показывает, каким образом
потенциал приводит к истинному фазовому сдвигу б = б(оо), если
отправляться от начального условия 6(0) = 0. Производная
<У(г) равна просто произведению потенциала на некоторую
отрицательную величину
-jsin2[pr + 6{r)].
Таким образом, та область, в которой потенциал носит
характер притяжения, дает положительный вклад в фазовый сдвиг,
') В действительности это граничное условие имеет весьма утонченный
характер. Поскольку в общем случае потенциал V(r) бесконечен при г = 0,
ил фазогюго уравнения ясно, что производная 6'(г) остается конечной при
г = 0 только потому, что обращается в нуль величина 6 (г) и, следовательно,
обращается в пуль стоящий в правой части уравнения, синус. Для
практической работы с фазовым уравнением вблизи г = 0 мы должны провести
отдельное исследование функции б (г) в окрестности этой точки. Оказывается,
что функция 6 (г) убывает быстрее, чем по линейному закону. Таким образом,
при г->0 мы можем заменить фазовое уравнение следующим: 6'(г) я*
« —(l/p)U(r) sin2pr.
2) Как подчеркивается в книге [32], для выполнения численного расчета
фазовых сдвигов с помощью фазового уравнения вполне достаточно простого
арифмометра.

§ 7. Метод переменной фазы
237
в то время как область отталкивательного потенциала дает
отрицательный вклад. В частности, если потенциал повсюду
притягивателъный [У{г)^Щу то он приводит к положительному
фазовому сдвигу, в то время как полностью отталкивательныи
потенциал [V(r) ^ 0] приводит к отрицательному фазовому
сдвигу — этот результат мы сформулировали, забегая вперед,.
в связи с фиг. 11.1.
Второй результат, который почти немедленно следует из
фазового уравнения (см. задачу 11.6), состоит в том, что если
для двух потенциалов V\ и V2 выполняется условие
Vl(r)^V2(r) [при всех г],
то при всех г имеем в,(г)<82(г) и, в частности,
6,<б2. (11.36)
Еще один важный результат касается пределов нулевого
потенциала и высокой энергии. Заменяя V на XV и интегрируя
фазовое уравнение от нуля до бесконечности, находим
6 = —у \drU(r)s\n2[pr + d(r)l (11.37)
о
Если па время предположить, что в начале координат
потенциал V(r) имеет менее сингулярное поведение, чем 1/г, то
использовать этот интеграл станет особенно легко, потому что
мы можем получить удовлетворительную оценку, просто
опуская сомножитель sin2[/?r + 6(г)]:
00
\b\<\j\\dr\U(r)\.
и
Ясно далее, что
б >0 [при Л->0 или р—► оо].
Если при г—► () потенциал V(r) ведет себя как 1/г или хуже, то
мы должны быть более аккуратными, так как множитель
<,\п2[рг + 6(г)] в интеграле (11.37) необходим для обеспечения,
сходимости при г = 0. Однако не представляет большого труда
показать, что результат остается в силе.
Последний иллюстрирует привлекательную сторону метода
переменной фазы, а именно то, что в этом методе работают
непосредственно с фазовым сдвигом, который определен без
обычной неоднозначности по модулю я. Таким образом, из (11,37)
ясно не только то, что амплитуда мала при малых К или при:
больших р, но также и то, что аналогичное утверждение
справедливо по отношению к фазовому сдвигу. В частности, мы уже
обосновали высказанное ранее утверждение о том, что если

238 Гл. //. Стационарные состояния для парциальных волн
фазовый сдвиг выбрать равным нулю (а не пп) в пределе
высокой энергии, то он окажется равным нулю (а не пп) также
и в случае нулевого потенциала.
Метод переменной фазы, который без труда
распространяется на произвольные значения углового момента, может
быть использован для получения альтернативных доказательств
почти всех стандартных результатов, касающихся
парциальной амплитуды. В некоторых случаях (особенно в трех
приведенных выше примерах) эти доказательства и проще, и
понятнее, чем более привычная аргументация [32].
§ 8. Итерационное решение уравнения
для регулярной волновой функции
Главное преимущество работы с регулярной волновой
функцией ф1,Р(г) проявляется тогда, когда мы переходим от
радиального дифференциального уравнения вместе с граничными
условиями к интегральному уравнению и пытаемся решить его
с помощью итерации. Стандартные методы приводят к
следующему интегральному уравнению для функции ф[,Р(г) '):
г
Ь. р (г) = /, (Pr) + b\dr' glt р (г, г') U (г') *,, р {г'), (11.38)
О
где
*/. р ('• '') = j- [/, (pr) A, (pr') - At (pr) I (pr')] (11.39)
— функция Грина, отвечающая наложенным на функцию ф^р
граничным условиям, и где мы опять заменили V на XV.
Важно отметить следующее обстоятельство: эта новая
функция Грина равна нулю при г'> г, таким образом, область
интегрирования в уравнении (11.38) ограничивается сверху
значением г' = л (Интегральные уравнения, обладающие таким
свойством, называются уравнениями Вольтерра.) Указанное
свойство отражает тот факт, что функция ф1у р определяется
граничными условиями, поставленными в одной-единственной
точке г = 0. Отсюда следует, что мы можем решить уравнение
для функции </>/, р с помощью итераций, независимо от силы
1) Прямым дифференцированием легко проверить тот факт, что любое
решение уравнения (11.38) действительно удовлетворяет радиальному уравнению.
[При этом оказывается полезным тождество (dj/dr) п — / {dnfdr) = p\ см.
(12.16).] Используя установленные ниже ограничения, мы можем проверить
также и то, что решение удовлетворяет правильным граничным условиям.
Строго говоря, функции Грина gi, p следовало бы приписать индекс 0, так
как она является функцией Грина свободного гамильтониана.

§ 8. Итерационное решение для регулярной функции 239
потенциала (такое утверждение определенно несправедливо для
функции %, р). Сформулируем этот важный результат в виде
теоремы.
Теорема. Интегральное уравнение (11.38) для функции
<f>itP{r) может быть решено с помощью итераций при любом
значении Я., т. е. при любом Я решение выражается в виде
сходящегося степенного ряда (в котором временно опускаем
индексы / и р)
ф(г)=£Щ{П)(г), (11.40)
где
Ф{0)(г) = 1,(рг)
И
г г гп
^{r)=\dr'g{r,r')U{r')j>^{r')=\drn \ drn-x ...
0 0 0
г,
... \ drlg{r, rn)U(rn)g(rn, ra.x)...U{rS](prx). (П.41)
0
Доказательство. Мы будем рассуждать в следующем
порядке. Сначала используем интеграл (11.41), чтобы определить
функцию <}>in)(r). Установив, что это определение вполне
удовлетворительно (т. е. что указанный интеграл существует), мы
покажем, что ряд 2^п^(п)(г) сходится и что этот ряд можно
использовать для определения функции Ф(г). В заключение
убедимся в том, что полученная функция действительно
удовлетворяет исходному интегральному уравнению. Чтобы
избежать усложнений, связанных с использованием общих функций
Риккати — Бесселя, рассмотрим только случай / = О, когда
]о(рг) = sin рту а функция Грина r0tP(ry rf) равна просто
p~l sin p(r — г'). Общий случай оставлен читателю в качестве
упражнения (задача 11.7).
Для случая / = 0 интеграл (11.41), определяющий функцию
Ф{п)(г)у равен
Vn4r) = -jr\drn\drn-{:.. \drxX
0 0 0
Xsin/?(r — rn) U (rn) sin p(rn — гп-{) ... U (r}) sin prt. (11.42)
Входящие сюда интегралы вполне определены, конечно, при
всех значениях переменных интегрирования, за исключением,
возможно, соответствующих нижних пределов, г{ = 0, когда
функции U(rj) могут обращаться в бесконечность. Для

-2-10 Гл. II. Стационарные состояния для парциальных волн
проверки сходимости этих интегралов используем следующие
ограничения для синусоидальных функций:
|sinpr,Kprlt
|sinp(ir2 —r,)Kpr2>
|sinp(r —гЛ)|<рг.
[Позже мы вернемся и уточним ограничения на функцию
sin p (г — гп).] Отсюда получаем
\*{n4r)\^pr\drn\ dra-x ... \ dr{\U(rn)ra... U{r})ril (11.43)
0 0 О
Если только в начале координат потенциал V ведет себя как
0(г~2^г) (такое требование слабее, чем то предположение,
которое мы использовали с самого начала), то эти интегралы,
несомненно, сходятся, и, следовательно, функция </><">(г)
определена полностью.
Чтобы установить сходимость ряда 21<пФ{"\ мы замечаем,
что интеграл в соотношении (11.43) пробегает «треугольную»
область
0<г,<г2< ... <rn<r.
[Это отражает тот факт, что интеграл в уравнении для ф(г)
берется от нуля до г, а не от нуля до бесконечности.]
Подынтегральное выражение в (11.43) является простым
произведением П| £/(г<)г,-1 и потому не изменяется при любой переста-
i
повке переменных г*. Существует п\ таких перестановок, каждой
из которых соответствовала бы своя область интегрирования
■0 ^ Tj ^ ... ^ ot ^ г. При сложении всех этих областей мы
приходим к «квадратной» области {0 ^ r{ ^ г}, в которой каждая
из переменных г{ независимо пробегает значения от нуля до г.
Следовательно, интеграл (11.43) равен взятому с
коэффициентом 1//г!, аналогичному интегралу, вычисленному по всей
этой большей области. Таким образом,
г Г г
I Ф{П) (г) I< ^ РГ S drn \ dr«~\ • • • \ *г* ЦI U (г,) г, | =
0 0 0 *
«-S-prRrfnlt/CrOrjlj <
f^-j^pran [при всех г и р], (11.44)

§ 8. Итерационное решение для регулярной функции 241
где а = \dr\U(r)r\. Подставляя полученное неравенство в ряд
О
£},пф{п), мы находим, что
оо I оо
£Щ{ПЧг)\<рг£ -^~prel*l, (11.45)
Ф(г)\^
п=0
«=0
т. е. мы показали, что ряд для функции <f>(r) мажорируется
рядом для функции e|XaL Поскольку последний сходится при
всех /., то же имеет место и для первого. Кроме того, так как
мажоранта не зависит от г и р (за исключением тривиального
множителя рг), видим, что ряд ф = 2^"^(7|> сходится
равномерно при значениях гирв любых конечных интервалах.
Остается показать, что функция ф(г) удовлетворяет
исходному интегральному уравнению (при / = 0)
г
ф (г) = sin рг + А $ dr' sin р (г - г') U (/-') ф {г').
о
Если мы подставим ряд ф =^Кпф(11) в интеграл, стоящий в
правой части, то сможем переставить суммирование и
интегрирование (так как ряд сходится равномерно1)) и получить в
правой части выражение
sin рг + А £ Хп Г-1 J drf sin р (г - г') £/ (г') *<я> (г')1.
Из определения (11.42) функции ф'^п) ясно, что выражение в
квадратных скобках [...] равно просто функции ф(п+1\ Таким
образом, правая часть оказывается равной
sin рг + А £ АУ+" (г) = I (r). QED
Разложение волновой функции ф(г) по степеням потенциала
(какой бы ни была его величина) будет служить основным
средством исследования в оставшихся параграфах настоящей
главы и в следующей главе. В заключение этого параграфа мы
*) Некоторая осторожность требуется при рассмотрении начала координат,
где функция U{г) может обращаться в бесконечность. Однако, записывая ин-
8 Г
$ + $•""
теграл в виде \ + \, аккуратный читатель может проверить законность ука*
о е
заикой перемены порядка суммирования и интегрирования^

242 Гл. П. Стационарные состояния для парциальных волн
заметим, что нам потребуется более аккуратное по сравнению
с (11.45) ограничение на функцию ф(г) и выполним
соответствующую оценку.
Читатель, вероятно, помнит, что при установлении
ограничений на функции ф{п) и ф мы использовали неравенство
|sinx|<Jt [*>0].
Хотя это ограничение вполне подходит при малых х, оно
оказывается слишком расточительным при больших х, когда
лучше использовать неравенство |sinx|^l. Комбинируя эти две
оценки, получаем ограничение, достаточное при всех
значениях х:
ls,n*l<TT7 [х>°1 (1Мб)
где р—некоторая константа, точное значение которой для нас
не важно Правая часть полученного неравенства является
монотонной функцией от х, и неравенство остается
справедливым, если мы заменим х в правой части на любое число,
большее х.
Возвращаясь к выражению (11.42) для функции ф{п\ мы
применим теперь улучшенную оценку (11.46) к первому
синусоидальному множителю и получим
Isinpfr —гя)|< -j+pf
Используя для остальных множителей прежние оценки, мы
получим те же самые результаты от (11.43) до (11.45), но
множитель рг везде будет заменен теперь на множитель
0рг/(1 4- рг) В частности, опенки (1144) и (11.45) для 5-вол-
новых функций ^<п) и Ф принимают вид
1Г(г)КР
рг ап
\+рг л! •
(П.47)
Читатель может установить соответствующие результаты при
произвольном / с помощью указаний, приведенных в
задаче 11.7.
§ 9. Функция Иоста
Установив разложение регулярной функции Ф^Р(г) в
степенной ряд, теперь покажем, как получить соответствующее
выражение для амплитуды. С этой целью надо, очевидно,
исследовать поведение функции ф[щ р при больших г.
При г—► оо функция фг р должна приближаться к некоторой
комбинации решений свободного радиального уравнения, на-

§ Р. Функция Иостй
&43
пример к комбинации ah +bfi+. Вспоминая, что функция ф[тР
вещественна, и, вводя для удобства множитель i/2, мы можем
записать это условие следующим образом:
Ь. „(г)-TTZ* |[ftlp- К (Рг) ~ ft{РУК 1РГ)\ (11 -48)
где коэффициент /i(p) называется функцией Моста1). Далее,
регулярное решение ф1§ р пропорционально нормированной
функции t[Vr р. имеющей, согласно (11.18), асимптотический вид
+/. р ^ ~Ftr^> Т [*Г № ~ s/ (P) &t (Pr)]-
Сравнивая эти два соотношения, видим, что
(11.49)
(11.50)
Результат (11.50) показывает, что функция Иоста равна
просто отношению двух решений ф и tf. Выражение (11.49) для
S-матрицы ясно показывает, что величина st(p) по модулю
равна единице (т. е. S — унитарный оператор). Далее»
поскольку s, = exp(2t'6f), ясно, что фазовый сдвиг равен просто
взятой со знаком минус фазе функции Иоста, т. е.
. (п\ 'tin*
*'(р) = -7Ж
*,.p<'Wi<P>*/.,<r)- |
Л(p) = lЛ(p)te~'в'",,.
(11.51)
Выразив S-матрицу (или фазовый сдвиг) через функцию
Иоста, мы должны теперь найти явное выражение функции
■flip) через функцию <f>i,P(r). Для этого возвращаемся к
интегральному уравнению
г
Ь. р (г) = I, (Рг) + Я 5 dr> gti p (г, r') U (г') фи р (г').
о
Записывая равенство у = (//2) (А^ — Л+), находим из (11.39)
St. р <г> г') = W № (Рг) К (РО - К (Рг) К (Рг')\
]) Встречаются определения, отличающиеся различными комбинациями
множителей />,яи L Наше определение выбрано так, чтобы при V = 0
выполнялось тождество /i(p) =1. Важнее другое: функция, которую мы обозначаем
через /{(р)л раньше обычно обозначалась через /i{—p). Наше обозначение,
следующее книге [3], гораздо удобнее.

£44 Гл. //. Стационарные состоя* и. ля парциальных болн
Отсюда ясно, что при г->оо
Ь. р (г) -* ^ | Г1 + у \ dr'kt ipr') U S) ф,ш р (г')1 А," (рг) -
-[...ГА? (Рг))
Сравнивая эту формулу с (11.48), мы видим, что функция Иоста
выражается в виде
/l(p)=l+j\drktipr)U(r)fitP(r)t
(11.52)
что и является искомым выражением.
Нетрудно проверить, что интеграл в (11.52) сходится.
Например, в случае / = 0
/o(p)=i+^\dre^U(r)<j>0iP(r),
О
и с учетом оценки (11.47) находим
\/0(p)-i\^^*ai\j\\dr\U(r)\Tf-r. (11.53)
О
(Напомним, что а и р — просто константы, фактические
значения которых нас не интересуют.) Этот интеграл, несомненно,
сходится как при г-0, так и при г-> оо.
Оценка (11.53) позволяет нам доказать следующий важный
результат: функция Иоста при переходе к пределам ?-.—*0 или
р —► оо стремится к значению ^,(/?)= 1, соответствующему
случаю свободного движения:
fi(p)-»l [при К—►О или уу-юо].
(Случай / > 0 рассматривается в задаче 11.8.) Этот
результат приводит к уже известному нам выводу о том, что при
X—►О или при р->оо величина 8|-*1 (или амплитуда />—►О).
Доказательство при К—>0 немедленно следует из соотношения
(11.53). В случае р-*оо имеются две возможности. Если в
начале координат потенциал менее сингулярен, чем 1/г, то мы
можем опустить множитель рг/(1 -\-рг) в (11.53) и получить
сю
Шр)-\\<№*-аА±\\йг\и (г)\.
1 р 7
Отсюда ясно, что функция /о(р) стремится к 1 при р-*<х>,
причем соответствующая разность стремится к нулю как 1/р.

§ 10. Борновский ряд
245
Если при г—>0 потенциал ведет себя как 1/г или хуже, то
мы не можем позволить себе опустить множитель prj(\-\-pr)
в (11.53), так как остающийся интеграл оказался бы
расходящимся. В этом случае с помощью представления интеграла
[ в виде \ + \ можно показать, что при р->оо разность
п О I
■/о(р)— 1 обращается в нуль по закону 1/р11, где ц > 0 — неко-
торое число (см. задачу 11.8).
Существование разложения функции ф, р в степенной ряд
приводит к существованию соответствующего разложения
функции Поста, которое немедленно получается при подстановке
оо
ряда ф = Е'-пФ{п) в выражение /= 1 + {Xjp) \ h+U<f>. Перестав-
о
ляя порядок суммирования и интегрирования1), находим:
Л(р)=1+ £я7(Лр), (11.54)
п=*1
где
/(/:) = (1/р- \ fi*U<f>in i}; легко показать, что этот ряд схо-
и
дится при всех значениях X. В заключительном параграфе
настоящей главы мы используем полученный степенной ряд для
функции Поста /i{p) и ряд (11.40) для функции ф,р(г) при
анализе борцовского ряда для парциальных волн.
§ 10. Борновский ряд для парциальных волн
Разложения функций <£/, р(г) и /i(p) по степеням потенциала
сходятся при всех значениях вещественного параметра связи X.
В действительности никакие рассуждения в последних двух
параграфах не зависели от факта вещественности величины X,
и степенные ряды для функций ф и / на самом деле сходятся
при всех значениях X — вещественных или комплексных.
Конечно, комплексные значения X пе соответствуют какой-либо
физической проблеме, потому что при комплексных X
гамильтониан H°-\-XV оказывается неэрмитовым; они соответствуют,
однако, вполне определенной математической задаче
(уравнение Шредингера является вполне определенным
дифференциальным уравнением даже при комплексных Я), и наш
результат говорит о том, что эта математическая задача имеет реше-
]) Опять, если мы позаботимся об окрестностях точек г = 0 и оо по
отдельности, то указанное изменение порядка суммирования и интегрирования
обосновывается равномерной сходимостью ряда ^).пф(п\

£4) Гл. 11. Стационарные состояния для парциальных волн
ния в виде степенного ряда при всех значениях л. Но степенной
ряд g(k) — Yj^ng{n) сходится при всех к тогда и только тогда,
когда g(k)—аналитическая функция при всех Л.
Следовательно, наш результат означает, что функции ф и / являются
аналитическими функциями комплексной переменной % при всех
значениях к, т. е.'они являются целыми функциями от к. Мы
даже можем обратить это утверждение и сказать, что причина
сходимости при всех к рядов для функций ф и / состоит в том,
что обе эти функции были со специальным расчетом выбраны
в виде целых функций по к.
Рассмотрим теперь соответствующие разложения в ряд
нормированной волновой функции \|>/, р(г) и 5-матрицы для
парциальных волн Si(p). Мы видели, что
и
отсюда видно, что каждая из функций \р и s представляет со*
бой отношение двух целых функций от а1). Таким образом,
обе они являются аналитическими функциями от к, если только
знаменатель /((р) отличен от нуля. Далее, поскольку /i(p) = 1
при к = 0, несомненно, существует некоторая область вблизи
л = 0, в которой /((р) не обращается в нуль и в которой
функции \}з и s аналмтичны. Это в свою очередь означает, что i}> и 8
могут быть разложены в степенной ряд по к в некоторой
окрестности точки к = 0, т. е. борновские ряды для парциальных волн
для функций \р и s сходятся при достаточно малых к (тем самым
доказан один из результатов, предсказанных в гл. И, § 5).
С другой стороны, при ^0 функция Иоста может иметь
нули, и обычно она их имеет. В соответствующих точках обе
функции \р и s имеют полюсы. Если мы обозначим через ко =
= keiB тот нуль функции^, который расположен ближе всего к
началу координат (при данных / и р), то, согласно хорошо
известной теореме о круге сходимости, имеет место следующая
]) В случае функции s следует проявить известную осторожность.
Результат 8 {к) = \4 {к)] // {к), где мы выделили явно зависимость от Я, но опустили
переменные / и р, выполняется при вещественных к. Но если функция /(X)
аналитична по к (что и имеет место в действительности), то функция [/(к)]*
неаналитична, тогда как К(А*)]* представляет собой аналитическую функцию
(мы будем обсуждать эти утверждения в гл. 12). При вещественных к
последние две функции одинаковы, и мы можем с таким же успехом написать
8(к)=*[/(к*)]*//[к). Это подходящее определение функции s (А) при
комплексных к, и именно в этой форме функция s(k) является отношением двух
целых функций от А.

§ 10. Борновстй ряд
247
ситуация (фиг. 11.5): внутри круга |Я|<СЯ оба борцовских ряда
для функций ф и$ сходятся, а при |Я| > Я оба эти ряда
расходятся. В случае истинного потенциала (т. е. при Я = 1) борнов-
ские ряды сходятся тогда, когда точка Я = 1 принадлежит кругу
Проведенное обсуждение выявляет преимущество
использования регулярного решения ф и функции Иоста/: степенные
ряды для функций ф и / в отличие от рядов для функций \|> и s
сходятся при всех значениях Я. Это обсуждение иллюстрирует
I у,-плоскость
\ J ^-Физичеспая
\ / область
Фиг. 11.5. Комплексная плоскость параметра связи X.
Точка Я, изображает тот нуль функции /, который расположен ближе всего к началу
координат.
также удивительную полезность допущения комплексных
значений параметра Я, который априори веществен. Например,
причина, по которой борновский ряд для функции ф сходится при
значениях Я, меньших Я, состоит в том, что функция *|> анали-
тична при всех X, вещественных или комплексных, таких, что
|Я|<Я; причина, по которой этот ряд расходится при
значениях X, больших X, состоит в том, что функция, г)? имеет
особенность в точке Лго, расположенной где-то на окружности \Х\= Я.
В действительности этой точке Яо всегда соответствует
комплексное число. (Мы увидим, что функции if и s не могут иметь
особенностей на вещественной оси.) Таким образом, только уходя
от вещественных, «физических», значений Я, раскрываем мы
«причины» сходимости борновского ряда при |Я|<Я и
расходимости его при | Я| > Я.
В заключение заметим, что теперь мы в состоянии доказать
еще один результат, предсказанный в гл. 11, § 5, а именно
утверждение о том, что борновский ряд для парциальных волн
(при истинном значении Я = 1) сходится при достаточно
высоких энергиях Для доказательства нужно только показать, что
при значениях р, больших некоторого /?, не существует нулей
У функции /t{p) внутри единичной окружности |Я|— 1 или на
самой этой окружности. Но из соотношения (11.53) становится

248 Гл. П. Стационарные состояния для парциальных волн
ясным не только то, что при р —► оо функция /dp) сходится к
единице, но и то, что указанная сходимость равномерная при
значениях д внутри любой конечной области. Поэтому
существует некоторое значение импульса р, такое, что при всех X
внутри единичного круга \fi{p)\>xk (например), если только
р 5> р, и требуемый результат доказан.
Задачи
11.1. Радиальную волновую функцию ф/, р{г) следует в действительности
отмечать индексом +» так как она является радиальной частью функции
(х|£, /, т-\-). Обозначьте временно через ф* р (г) радиальные волновые
функции, соответствующие векторам |£,/, т±) [обе функции определяются
согласно формуле (11.13)] и докажите равенство
(Используйте инвариантность относительно обращения времени.) Заметьте
следующее: так как функция Ф+ имеет вид произведения некоторой константы
на вещественную функцию от г, то это равенство означает, что функции ф+ и
i|r пропорциональны друг другу.
11.2. Покажите, чю уравнение Липнмапа — Шинмгера (11.19)
| Е, I, т + ) =- | Е, /, m) + G°{E + iQ)V\Et I, m + )
для вектора \Е, /, т-\-) эквивалентно интегральному уравнению (11.20) для
радиальной волновой функции
*=7+$о?.„*/+.
где Glp(r, г') = - (1/р) Uipr^hf (/">)•
Существуют несколько способов доказать это утверждение. Требуется,
очевидно, выразить функцию Грина (x|G(e)|x'> в виде суммы общего типа по
сферическим функция*!
£ Y?G)F]{rt r')Y?(Zy
l,m
(где функция Fj зависит от z и отличается от интересующей пас функции
G] р некоторым постоянным множителем). Один из способов получить
искомое выражение состоит в том, чтобы ввести полную систему состояний |£\/,
т) в искомую функцию Грина и затем действовать во многом аналогично
гл. 10, § 3. [После несложных манипуляции вы придете к интегралу вида
) dp p2-2mz '
— оо
В этом интеграле невозможно замкнуть контур интегрирования ни в верхней,
пи в нижней полуплоскости, потому что функция / распространяется
неограниченно во всех направлениях. Однако если вы представите ту функцию /,
у которой аргумент имеет большее значение, в виде / = (Л"1" — h~)/'2i, то
вы сможете преобразовать оба слагаемых по отдельности.]

Задачи
243
11.3. а) Разложите векторы |р') и |р + ) по парциальным волнам и
введите эти разложения в выражение — (2л)2 т(рг \ V | р + ) полной амплитуды.
Сравнивая полученный результат с рядом по парциальным волнам,
подтвердите равенство /,(р) = — (1/р2) \ dr /jt/ф^ А, предложенное в формуле
(11.23).
6) Диалогичным образом покажите, что разложение по парциальным
волнам борновского ряда для полной амплитуды содержит борновскнй ряд
для парциальной амплитуды.
11.4. Так называемая твердая сфера — потенциал V(r)y бесконечный при
г < о. м равный нулю при г ^ а — представляет собой простои пример
потенциал;', для которого задача рассеяния решается полностью. (Такой потенциал
и действительности не относится к «разумным потенциалам» в нашем обычном
смысле. Он эквивалентен граничному условию, состоящему в том, что волно-
«aji функция обращается в нуль при г — а.)
а) Найдите амплитуду fi(p) для этого потенциала.
0) Покажите, что при низких энергиях амплитуда fi{p) имеет указанный
в тексте вид —счр21 и, в частности, что s-волповая длина рассеяния а0 равна
радиусу сферы а.
Прием, о помощью которого решается эта (и следующая) задача,
состоит \\ том, чтобы заметить, что при V — 0 функция яр должна быть
некоторой линейной комбинацией свободных решений (например, вида а}1 -f M*)
и что точный вид этой комбинации может быть установлен из известных
асимптотических выражений (11.16) и т. д.
Результат пункта «б» позволяет нам интерпретировать s-волпоиую длину
рлечч'мип'л при любом потенциале как радиус «эквивалентной при низких
энергиях пир дон сферы», т. е. такой твердой сферы, которая воспроизводит рас-
co/iiiik- при низких энергиях на данном потенциале.
11.5. и) Покажите, что в случае прямоугольной потенциальной ямы
глубиной Vq и шириной а амплитуда равна
ч = _L Pi *Аа>]' (ра) ~~ ki' (fea) / (ра^
'*Ур} р kf [ka) h (pa) - pi (ka) h' {pa) '
где мы использовали сокращенные обозначения / и h для фугкцлй jt(z) и
//* (г); где /' и) — dj/dz и где k = {р2 + 2mV0)^2 — значение импульса внутри
ямы.
б) Покажите, что в общем случае при р~>0 имеем //(Р)-*^0^" > а при
р -> ос имеем ,^(р)->0.
в) Рассмотрите подробно случай / = 0, Покажите, что существуют такие
исключительные значения величины 1/0, при которых амплитуда f0{0)
обращается в бесконечность, и что эти значения соответствуют таким глубинам
потенциальной ямы, при которых появляется повое связанное состояние.
г) При низких энергиях доминируют s-волны, поэтому приближенно
имеем / (р' <- р) « г0 {р\ Сравните точную амплитуду при низких энергиях
с борцовским приближением, полученным в задаче 9.2, и покажите, что бор-
нозскос приближение оправдывается при низких энергиях только в случае не
слишком глубокой ямы. Сравните ваши результаты с критерием, полученным
в задаче 10.2, б).
11.6. Используйте метод переменной фазы для доказательства следующего
утверждения: если два потенциала связаны неравенством V\(r) ^ V2(r) при
всех г, то их 5-волповые фазовые сдвиги удовлетворяют неравенству 6j ^ oy
Первый шаг состоит в доказательстве того, что при малых г имеем
о.(г) ^62(г). Для этого вы можете предположить, что при малых г потен-

250 Гл. И. Стационарные состояния для парциальных волн
циалы имеют вид V->arv, и в этом случае мы имеем 6(г) ->—aprv+V(\ + 3),
Затем покажите, что кривые Ь\(г) и 62(г) не могут пересекаться. Проще всего
это сделать, предположив, что они пересекаются при некотором значении г,
11.7. Чтобы установить факт существования и свойства регулярного
решения 4>t, р(г) и^ функции Иоста А(р) для произвольных /, нам нужны оценки
для функций ji{x) и т. д., аналогичные оценке (11.46) для функции /0 = sin jc.
Поведение этих функций при малых и больших х определяется формулами
(11.7), (11.10) и (11.11).
а) Используйте эти результаты плюс тот факт, что указанные функции,
несомненно, непрерывны при всех х, для того, чтобы показать, что
|?/W|<const(-ri7y+I
И
|rtx(x)|<const(T-^r)
и, следовательно, что
|в|.„(г, ,')|<const(T^)'+,(Tfl^)-' [r>n
б) Установите для произвольного / теорему, рассмотренную в гл. 11, § 8:
для любого потенциала регулярное решение ф может быть найдено с помощью
итераций.
11.8. а) Используйте результаты задачи 11.7, чтобы показать, что при
любом I для функции Иоста справедлива та же оценка, что и полученная для
s-волновой функции Иоста, а именно оценка (11.СЗ). (Заметьте, что разным /
соответствуют разные константы 0.)
б) Если при г = 0 потенциал V(r) менее сингулярен, чем 1//\ то из
результатов гл. 11, § 9 следует, что при высоких энергиях ti<p) -> 1, причем
раз ость /\{р)—\ стремится к нулю как \/р. Предположите вместо
этого, что V(r) = 0(/-2+n) (0 < т) < 1) *), и покажите» что разность Л(р) — 1
при р->-оо стремится к нулю как р'1*. [Запишите интеграл из соотношения
оо I оо оо
(11.53) в виде \ = \ + \. Слагаемое \, как и прежде, стремится к нулю
0 0 1 1
1
как \/ру тогда как относительно слагаемого \ можно показать, что оно об-
о
ращается в нуль по закону 1/р71.]
') Это предположение согласуется, конечно, с нашим обычным условием
V ir) — 0(r-va+e) при г->0.

ГЛАВА 12
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПАРЦИАЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ
В конце предыдущей главы мы пришли к выводу о том, что
полезно допустить, чтобы априори вещественный параметр X
мог пробегать всю комплексную плоскость. Аналогичным
образом мы теперь импульс р будем считать комплексной
переменной. Переменная р имеет физический смысл абсолютной
величины импульса налетающей частицы; отсюда вытекает требова*
ние, чтобы она была вещественной положительной величиной.
Тем не менее величина р входит в радиальное уравнение Шре-
дингера — или, что эквивалентно, в интегральное уравнение для
функции 4>i,p(r)— как простой параметр, который в равной
мере может быть комплексным. С помощью изучения свойств
радиального уравнения и его решений при комплексных
значениях р мы установим множество физически интересных
результатов. В действительности изучение амплитуд рассеяния как
аналитических функций от комплексных импульсов оказалось
одним из наиболее плодотворных подходов в современной
теории рассеяния.
§ 1. Аналитические функции одной комплексной
переменной
Для начала сделаем краткий обзор некоторых важных
свойств аналитических функций. Говорят, что функция f(z)
является аналитической (или голоморфной, или регулярной)
функцией комплексной переменной z в некоторой области R, если
функция f(z) дифференцируема в каждой точке области R.
(Например, функция sin z аналитична всюду, функция l/z ана-
литична во всей плоскости, за исключением точки z = 0, в
которой она имеет полюс.) Из простого требования
дифференцируемое™ следует удивительное множество результатов,
наиболее важным из которых является теорема Коши: интеграл
^dzf(z) по любому замкнутому пути (в области
аналитичности) равен нулю. Теорема Коши приводит к следующим
дальнейшим выводам:
1) Аналитическая функция фактически имеет производные
любого порядка.

252 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
2) Она может быть разложена в степенной ряд вблизи
любой точки в области аналитичности.
3) Если функция f(z) аиалитична во всех точках, кроме
конечного числа полюсов, то интеграл kdzf(z) по
любому замкнутому пути равен произведению 2.-й на сумму
вычетов в тех полюсах, которые находятся внутри
контура интегрирования.
Важное свойство аналитических функций состоит в
следующем: если две аналитические функции совпадают друг с другом
на произвольной части какой-либо кривой, то они должны сов-
падать зсюду. Это означает, например, что если функция j\(z)
(а) (8)
Фиг. 12.1. а — сбласть R, содержащая кривую Г; б — дне различные, по
перекрывающиеся области /?2 и R2-
определена па кривой Г, в то время как функция /2(г)
аиалитична в области Я, включающей кривую Г (фиг. 12.1, а), и если
fi(z) = f2(z) на Г, то мы можем рассматривать функцию /2(г)
как однозначное аналитическое продолжение функции f\{z) на
область R, Аналогично если функции f\{z) и f2(z) апалитичпы
в различных, но перекрывающихся областях R] и/?2 (фиг. 12.1,6)
и если /i(z) = /2(£) на пересечении R\ Л /?2, то каждая функция
дает однозначное аналитическое продолжение другой функции,
и мы имеем в действительности единственную функцию,
аналитическую во всей объединенной области R\ U /?2.
Если функция f(z) аналитична в некоторой области /?, то
функция [f(z)]* не является, вообще говоря, аналитической1).
Однако функция
g(z) = lf(z*)Y
аналитическая (что легко проверить прямым расчетом ее
производной) в области R*, получаемой при комплексном
сопряжении точек области R (фиг. 12.2).
1) Рассмотрим, например, аналитическую функцию г и комплексно
сопряженную ей функцию г*. Если функция г* должна быть аналитической, то она
должна иметь производную, т. е. отношение (z* — zftfiz — г0) должно иметь
единственный предел при г->г0. Но если разность z— гс вещественна, то это
отношение всегда равно единице, в то время как при чисто мнимой разности
z — z0 это отношение равно —1. Следовательно, функция г* не
дифференцируема.

§ /. Функции одной комплексной переменной
253
Это последнее замечание приводит нас к принципу
отражения Шварца: если функция f(z) аналитичпа в области R,
включающей некоторый участок вещественной оси (как на фиг. 12.2),
и если на этом участке функция f{z) вещественна, то функция
R
Фиг. 12.2. Если функция f {z) аналитичпа в области R, то функция g (г) =
= [f(z4)}* аналнтич-на в области R\
f(z) может быть продолжена па область R*y причем имеет
место соотношение
М*) = [/СОГ (12-1)
дл;? всех z из R и /?*. (То есть значение функции / в любой
точке z равно комплексно сопряженному значению этой
функции в точке z*,) Доказать этот результат легко. Из
вещественности фхнкции f(z) при вещественных z вытекает, что (12.1)
-,*•
р - плоскость
•Р
Фиг. 12.3. Функция Иоста аналитичпа при Im p > 0 и вещественна на
мнимой оси.
Согласно принципу Шварца, t (p) = [t i—P*)]*i
выполняется на вещественной оси. Так как в обеих частях
равенства (12.1) стоят аналитические функции, то оно
выполняется при всех z из их общей области аналитичности, и его можно
использовать для продолжения функции f(z) на всю область R*.
Принцип отражения Шварца играет важную роль в теории
рассеяния, причем иногда он появляется в слегка
замаскированной форме. Например, мы найдем, что функция Иоста /(р)
всегда аналитична в верхней полуплоскости {1тр>0} и веще-

254 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
ственна на мнимой оси (фиг. 12.3). Делая подстановку p = ip\
мы можем применить принцип Шварца и заключить, что
/(р)=[/(_р*)]\
Изучаемые в теории рассеяния функции обычно появляются
в виде сумм или интегралов от других функций, и нам
понадобятся критерии для установления аналитичности этих сумм и
интегралов. В заключение этого параграфа сформулируем два
таких критерия, которых будет достаточно для наших целей.
Ряды аналитических функций. Если 1) функции /(I)(z),
/(2)(z), ... все аналитические в области R и 2) ряд
f(z)=ir(z)
равномерно сходится на /?, то функция f(z) аналитична
в области /?. (Этот хорошо известный результат
доказывается почти в любом учебнике математического анализа;
см., например, [33], стр. 95.)
Интегралы от аналитических функций. Если 1) при
каждом фиксированном значении г из некоторого
интервала [а, Ь] функция g(z, r) аналитична по z в некоторой
области R и 2) функция g(z, r) непрерывна по переменным
z и г в области R X [я, b]t то функция
ь
f(z)= \drg(z,r)
а
аналитична в области /?.
Этот второй результат доказывается, например, в книге [33]
на стр. 99. Для наших целей понадобится несколько обобщить
его в трех направлениях. Во-первых, нижний предел в
интересующих нас интегралах обычно будет равен г = 0, а
подынтегральное выражение, которое будет содержать множитель
V(r), может в этой точке обращаться в бесконечность.
Во-вторых, верхний предел в интеграле может быть бесконечным.
В том и другом случае указанный вывод остается в силе, если
только мы можем установить равномерную сходимость
интеграла в его граничных точках. В-третьих, указанный вывод,
очевидно, не изменяется, когда подынтегральная функция
претерпевает конечное число скачков по переменной г, так как при
этом интеграл может быть разбит на конечную сумму
слагаемых, каждое из которых удовлетворяет поставленным
условиям.

§ 2. Регулярное решение
255
§ 2. Аналитические свойства регулярного решения
Теперь мы возвращаемся к радиальному уравнению Шре-
дингера
[£—^-"М + о'И-О;
где мы вернули параметру связи X его истинное значение Л, = 1.
Предположим теперь, что р — произвольное комплексное число.
В комплексной плоскости р отношение к физической задаче
имеют только те точки, которые находятся на положительной
вещественной полуоси (р^О); по этой причине мы говорим о
положительной вещественной полуоси как о физической
области.
Мы ищем решение <l>i,p(r), которое в начале координат
ведет себя как ji(pr). Как и прежде, дифференциальное
уравнение вместе с граничным условием эквивалентно интегральному
уравнению
г
-t>i,p{r) = U(pr)+\ dr'gu p(r, r')U(r')tLp{r'), (12.2)
О
где
Si.P(r> '') = j [Ji (рг) Л, (рО-Л, (рг) Л (ргО].
Из определений степенных рядов (11.6) и (11.9) для
функций / и п легко видеть, что свободное решение ji(pr) и функция
Грина gi,p(rtrf) определены и в действительности аналитичны
при всех значениях р. Покажем теперь, что то же самое
справедливо и по отношению к регулярному решению 4>i,v{r).
Теорема. При любом р (вещественном или комплексном)
уравнение (12.2) может быть решено с помощью итераций, и
соответствующее решение <£/, Р(г) является целой функцией от р.
Доказательство. Доказательство того, что решение ф может
быть получено с помощью итераций, почти идентично
соответствующему доказательству из гл. 11, § 8 для физического
случая р ^ 0. Единственная разница состоит в точной форме
используемых неравенств. Чтобы понять, как возникает это
различие, достаточно опять рассмотреть случай / = 0. Как и при
выводе выражения (11.42), s-волновое решение имеет вид
Е^>(0>где
Г ГП Г2
*{n)ir) = -pr\drn\ drn-x... \dr{X
0 0 0
Xsinp(r — Of/(rJsin/?(rn— /•„-,) ... U(г,)sinpr{. (12.3)
Мы напоминаем, что при вещественных положительных р
ограничения на синусоидальные функции были получены с помощью

255 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
использования одного из двух неравенств, более аккуратное из
которых имело вид |sinx|< px/(l + х). При переходе к
комплексным аргументам возникает существенно новое
обстоятельство: функция sin z растет как ^iImzl, когда величина Im z
становится большой, все равно положительной или
отрицательной. Поэтому при произвольных z соответствующее неравенство
имеет вид
IsinzKp-fi^-e"»*! (12.4)
и из выражения (12.3) следует, точно как прежде, что
1*(П)<г)1<Ртч^е1,трг|-£' (12-5)
оо
где а = \ dr\U (г) г |.
о
Точно так же, как в случае р ^ О, отсюда следует, что ряд
ф = Х^(п) сходится и что он удовлетворяет исходному
интегральному уравнению. Чтобы убедиться в том, что этот ряд
определяет аналитическую функцию, прежде всего заметим, что
неравенство (12.5) гарантирует равномерную сходимость при
значениях р из любой ограниченной области. Таким образом,
функция ф аналитична при всех значениях р, если только анали-
тичны отдельные слагаемые ф^п\ Мы уже знаем, что член
нулевого порядка </>(0) = ji(pr) аналитичен по переменной р.
Аналитичность члена я-го порядка
г
ф(я> (Г)= -i-J dr' sin p (r - r') U (rf) ф{п~" (г')
0
следует по индукции, если использовать критерий, приведенный
в конце предыдущего параграфа. QED
Мы можем рассматривать этот результат с двух
дополнительных точек зрения. С одной стороны, мы можем сказать, что
регулярное решение </>/, Р(г) уравнения (12.2) существует и ана-
литично при всех комплексных значениях р и что при
возвращении к физической области переменной р (р ^ 0) функция
Ф^р(г) сводится к имеющему физический смысл решению,
обсуждавшемуся в предыдущей главе. С другой стороны, было
показано следующее: имеющее физический смысл решение
Ф1,р(г) с /?>0 имеет (единственное) аналитическое
продолжение в комплексную плоскость р, причем полученная в
результате этого продолжения функция по-прежнему удовлетворяет
(теперь уже комплексному) радиальному уравнению Шредин-
гера.
Для последующего заметим, что ограничение (12.5) на
функцию ф(п) приводит к соответствующему ограничению на функцию

§ S. Функция Моста и S-матрица
257
ф. При произвольном / (случай />0 рассматривается в
задаче 12.1) указанное ограничение имеет вид
1*ЛрМ|<У/(Т^^)'+>т'Ч (12.6)
где у/ — некоторая константа. Множитель [рг|'+1 отражает тот
известный факт, что при малых z функция jt(z) ведет себя как
zl+l, в то время как множитель е1 Im fr' соответствует
экспоненциальному росту функции ji(z)-+$in(z— ifalri), когда величина
| Im 2: | становится большой.
Опять-таки для последующего заметим, что при переходе от
любой точки р к точке —р радиальное уравнение Шредингера
(которое зависит только от р2) не изменяется. Поэтому мы
можем ожидать, что существует некоторое простое соотношение
между решениями ф^р и ф^ _р. Действительно, как было
отмечено в гл. 11, § 2, свободное решение удовлетворяет
соотношению
h(-pr) = (-i)1+]h(pr).
Поскольку мы также знаем, что #/(—рг) = (—I)1 fti(pr), отсюда
вытекает, что
ft,-,(r, r') = gLp(r9 г')
и, следовательно, что функция ФиР(г) преобразуется точно так
же, как свободное решение:
*!.-„ W =(-!)' + •*,, „(Г).
§ 3. Аналитические свойства функции Иоста
и S-матрицы
Установив аналитические свойства волновой функции ф^ Р(г),
мы можем теперь продолжить обсуждение функции Иоста /i(p)
и в конечном счете 5-матрицы $i(p).
Функция Иоста / связана с ф соотношением (11.52):
оо
Л(р) = l + ±.\drkf (pr)U(r) ф,, р (г). (12.7)
О
В гл. И, § 9 мы видели, что этот интеграл сходится при
физических значениях р ^ 0. Теперь покажем, что тот же интеграл
определяет (единственное) аналитическое продолжение
функции /i(p) по крайней мере на часть комплексной плоскости.
9 Зак. 396

258 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
Мы уже видели, что в том случае, когда переменная р
становится комплексной, функция <f>i,v{r), вообще говоря, растет
экспоненциально при больших г, а именно, как е1 lm рг'. Функция
Риккати — Ганкеля fit (рг) при больших г ведет себя
как ехр/(рг — 72^), и потому ее величина равна e~Im рг,
т. е. она растет экспоненциально при Im p < 0, но убывает
экспоненциально при Imp > 0. Поэтому при обсуждении интеграла
в определении (12.7) функции f мы должны ожидать резкого
различия между верхней и нижней полуплоскостями. В нижней
полуплоскости интеграл в общем случае будет экспоненциально
расходиться, в то время как в верхней полуплоскости рост
функции ф компенсируется убыванием функции /г+ и интеграл
сходится.
Чтобы придать этим соображениям точную форму, мы
подставим в (12.7) ограничение (12.6) на функцию ф и
соответствующее ограничение на функцию Н+:
1^>1<еЛттетГ«-1трг
(см. задачу 12.1), после чего находим
оо
\Мр)-Ч<*щ- $dr|y(r)|Ti^e<Hmpl-imp.r. (12.8)
о
Как и предсказывалось, при Im p > 0 экспоненциальные
множители сокращаются, и ограничение оказывается тем же самым,
что и при значениях р из физической области. Поэтому
указанный интеграл сходится при всех значениях р в верхней
полуплоскости. Легко проверить, что этот интеграл удовлетворяет
условиям теоремы из гл. 12, § 1 и что, следовательно, функция
fi(p) аналитична в верхней полуплоскости {Im/?>0}1). При
Im/?<0 интеграл (12.8) расходится на своем верхнем пределе,
если только мы не накладываем более жестких условий на
скорость убывания потенциала при г—►оо.
К сожалению, та область, в которой, как мы показали,
функция fi(/?) аналитична, а именно область {Im/?>0}, не
включает в себя физическую область —положительную
вещественную полуось. Однако нетрудно проверить, что интеграл (12.7)
непрерывен в области {Imp^O}2). Таким образом, имеющая
1) Мы не можем сказать, что функция 4 аналитична в замкнутой
полуплоскости {Im p ^ 0}, так как бессмысленно говорить об аналитичности в
замкнутой области.
2) Для доказательства этого утверждения мы должны только заметить,
что условия теорем в конце гл. 12, § 1, несомненно, гарантируют
непрерывность и что интеграл в определении функции / (р) действительно
удовлетворяет этим условиям в области {Im p ^ 0},

§ 3. Функция Поста и S-матрица
259
физический смысл функция Иоста /iip) (при вещественных
положительных р) непрерывно связана с аналитической в области
{Im р > 0} функцией # (р).
Итак, делая только наши обычные предположения
относительно потенциала (стр. 226), мы можем установить следующие
свойства функции Иоста /iip)\
физической является область {вещественные р^О),
функция /i{p) непрерывна в области {Imp^O},
функция fi{p) аналитична в области {Imp>0}.
Прежде чем обсуждать соответствующие результаты для
величины Slip)t мы должны доказать еще одно свойство функции
/iip)f а именно то, что функция /iip) вещественна при
значениях аргумента р, расположенных на мнимой оси. Наше
доказательство основывается на обсуждении принципа отражения
/7- плоскость
-р р
Фиг. 12.4. Непрерывный переход от точки р к точке —р.
Шварца в гл. 12, § 1. Мы рассматриваем физическую
функцию Иоста / = 1 + il/p) \ h+ U<t>, где р ^ 0, и исследуем ее
изменение, когда непрерывно переходим от точки р к точке —р
(фиг. 12.4). Мы уже отмечали, что
*/.-рМ«(-1)'+1*/.р(г).
Легко также проверить, что (при вещественных р)
ЬГ(-рг)=(-\)'ЬГ(ргГ.
Подставляя эти соотношения в интеграл, входящий в
выражение функции /iip), и вспоминая, что функция <f>itV{r)
вещественна при вещественных /?, находим, что
М-р)=1Ыр)Г, (12.9)
т. е. при непрерывном переходе от точки ру лежащей на
положительной вещественной полуоси, к точке — р функция /iip)
9*

260 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
заменяется на комплексно сопряженную функцию1). Мы можем
записать этот результат в виде
Л(Р) = [Л-РХ (12.10)
и в этой форме, согласно обсуждению в гл. 12, § 1, полученный
результат должен выполняться при всех значениях р (из
области аналитичности). В частности, при чисто мнимых значениях
р функция /i(p) оказывается вещественной.
Теперь мы можем рассмотреть 5-матрицу, которая при
значениях р из физической области задается соотношением
Мр)«=-777?р fo>°]- <12Л1>
В такой форме функция s/(p), несомненно, неаналитична,
потому что неаналитична функция /*(/?)*. Однако вспоминая, что
переменная р вещественна, и используя тождество (12.9), мы
можем переписать соотношение (12.11) следующим образом:
В любой из этих эквивалентных записей величина &i(p)
является отношением двух аналитических функций. К сожалению, в
знаменателе стоит функция, аналитическая при ImpX), в то
время как в числителе стоит функция, аналитическая при
1тр«<0. Таким образом, нам пока вообще не удалось
установить какой-либо области аналитичности для функции S/(p).
Несмотря на этот довольно неутешительный результат, мы
обнаружим, что у нас уже достаточно информации для
доказательства нескольких полезных результатов с помощью одной только
аналитичности функции / в области {Imp>0}. Если же мы
желаем установить аналитичность функции S/(p), то должны
расширить область аналитичности функции / в нижнюю
полуплоскость, а для этого нужно поставить более жесткие
ограничения на поведение потенциала при г-*оо.
Прежде всего мы замечаем, что для таких потенциалов,
которые тождественно равны нулю, начиная с некоторого
расстояния г = а (как, например, в случае прямоугольной
потенциальной ямы), переменная в интеграле (12.7), определяющем
функцию 'flip)у в действительности пробегает значения от нуля
х) Этот результат легко понять, если вспомнить, что функции / и /*
являются коэффициентами при падающей и уходящей волнах в
асимптотическом разложении (11.48) функции ф. Замена р' на —р приводит к тому, что
падающая и уходящая волны меняются ролями, и потому функции f и /*
заменяются друг на друга.

§ 3. Функция Моста и S-матрица
261
до а. Таким образом, расходимости при больших г не
проявляются. Легко видеть, что в этом случае функция Л(р) в том
виде, как она определяется формулой (12.7), аналитична при
всех значениях р. Это означает, что при всех р величина
$Лр) — ?Л—P)fti(p) представляет собой мероморфную
функцию [т. е. аналитическую во всех точках, за исключением
возможных полюсов, в которых ^z(p) = 0]. К сожалению,
потенциалы, тождественно равные нулю при больших г, не играют
важной роли в физике1), и мы должны рассмотреть другие
случаи.
Если при больших г потенциал убывает экспоненциально,
V=0(e-^r) (например, потенциал Юкавы), то исследование
неравенства (12.8) показывает, что и на этот раз интеграл,
определяющий функцию Л (р), сходится и представляет собой
аналитическую функцию в той части нижней полуплоскости, где
Imp>—jx/2 [т. е. там, где экспоненциальное убывание
потенциала U(г) может скомпенсировать экспоненциальное
возрастание множителя ехр(2| \mp\r)]. Таким образом, при
потенциалах, убывающих по экспоненциальному закону, функция /i(p)
аналитична в области {Imp >—ц/2}, а функция s*(p) меро-
морфна в полосе {jui/2 > Imp > —ц/2}.
Многие потенциалы V(r) представляют собой аналитические
функции от г в области {Rer>0} и удовлетворяют нашим
обычным предположениям на любом луче г = peiB в этой
полуплоскости2). Такие потенциалы мы будем называть просто
аналитическими. Свободная волновая функция ]i(pr) аналитична
при всех г; и нетрудно показать, что для таких потенциалов
функция <f>itV{r) (в том виде, как она определяется обычным
рядом из интегралов) аналитична при Re г > 0 и что она
удовлетворяет обычному ограничению (12.6). Следовательно, мы
можем продолжить функцию /i(p) в нижнюю полуплоскость
следующим образом: сначала мы выбираем какую-нибудь
точку р на положительной мнимой полуоси; тогда в интеграле,
определяющем функцию Л(р)> мы можем сместить путь
интегрирования на линию г =в peiQ:
^(р)=1+| J drh + Uj> (12.12)
о
*) Потенциалы, встречающиеся в атомной физике, обычно ведут себя как
l/rv при г->-оо, а сильные взаимодействия между элементарными частицами
описываются экспоненциально убывающими потенциалами наподобие
потенциала Юкавы.
2) Очевидным примером может служить потенциал Юкавы уе~^г/г.
Отметим, что в левой полуплоскости {Re г < 0} он не удовлетворяет нашим
обычным предположениям, так как при г^-оо он возрастает, если Rer<0,

262 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
(фиг. 12.5,а). Этот новый интеграл имеет точно такой же вид,
как и исходный (12.7), за исключением того, что вещественная
переменная г стала здесь равной г = peiQ. Те же доводы, что и
прежде, гарантируют, что он является аналитической функцией
г-плоскость
р-плоскость
р-плоскость
(а)
(б)
Фиг. 12.5. а — переменная интегрирования в исходном интеграле для
функции fi(p) пробегает значения от 0 до оо; в интеграле (12.12) переменная
интегрирования пробегает значения от 0 до оо е1^\ б — функция (12.12) ана-
литйчиа в области {im {ре1 )>0}, т. е. в верхмей полуплоскости
относительно показанной наклонной прямой; в — объединение всех таких областей
при изменении угла 6 в пределах — я/2 < 8 < я/2 представляет собой всю
плоскость, разрезанную вдоль отрицательной мнимой полуоси.
в области lm{peiQ)> О, показанной на фиг. 12.5,6. Итак, мы
имеем два интеграла, (12.7) и (12.12), которые определяют
аналитические функции в перекрывающихся областях {Imp>0}
и {lmpeiQ >> 0}. Поскольку эти две функции совпадают на
neper-плоскость
±
Фиг. 12.6. Альтернативный контур для интеграла (12.12), если потенциал V (г)
аналитичен в области {Rer>a}.
сечении указанных областей,
нием другой. Таким образом,
жена в область, показанную
справедливо при любом G из
ходим к выводу о том, что в
функция fi(p) может быть
плоскость, за исключением,
полуоси (фиг. 12.5,в). В за
каждая из них служит продолже-
функция fi(p) может быть продол-
на фиг. 12.5,6. Поскольку все это
области —я/2 < G < я/2, мы при-
случае аналитического потенциала
продолжена на всю комплексную
возможно, отрицательной мнимой
ключение отметим, что на самом

§ 3. Функция Моста и S-матрица
263
деле несущественно, будет ли потенциал аналитическим во всей
области {Rer>0}. Так, если бы потенциал V{r) был
аналитическим в области {Re г > а) (например, некоторый
неаналитический короткодействующий потенциал плюс имеющий l/rv
хвост), то мы могли бы прийти к тем же самым выводам, ис^
пользуя контур фиг. 12.6.
Если потенциал является одновременно и аналитическим, и
экспоненциально убывающим (как, например, потенциал
Юкавы или сумма потенциалов Юкавы), то мы можем объединить
выводы последних двух абзацев и заключить, что функция fi(p)
аналитична в области, показанной на фиг. 12.7, а, и что она
вещественна на мнимой оси от точки —i[i/2 до +/оо. Природа
р-плоскость
1ё.
~2
- плоскость
2
(а)
(S)
Фиг. 12.7. а — область аналитичности функции Иоста для потенциала юкав-
ского типа в том случае, когда этот потенциал аналитичеы и мажорируется
экспонентой; б — соответствующая область, в которой функция 8, (р) меро-
морфна (т. е. аналитична во всех точках, кроме полюсов).
сингулярностей на отрицательной мнимой полуоси зависит от
точного вида потенциала.-Например, если V — потенциал
Юкавы ye-vr/r, то функция ?i{p) имеет точки ветвления при /? =
= —ф/2, —tji, .... В случае чисто экспоненциального
потенциала V = уе-»г функция ?i(p) имеет полюсы при р = —i[i/2,
—i\iy ... (см. задачу 12.2). При любом таком потенциале
S-матрица Si(p) = fi(—р)//[(р) мероморфна в области, показанной
на фиг. 127,6, и вещественна на интервале между точками
±фУ2 на мнимой оси1).
В заключение остановимся на двух замечаниях.
Во-первых, мы уже видели, что, несмотря на то, что функция fi{p)
аналитична в верхней полуплоскости при любом потенциале V,
удовлетворяющем нашим обычным условиям, мы должны сде-
') Следует упомянуть о том, что, установив эту область аналитичности,
мы оказываемся почти готовыми к тому, чтобы написать так называемое
дисперсионное соотношение для парциальной амплитуды, которое представляет
собой чуть большее, чем простое приложение теоремы Коши к функции
/'(Р) = fsKP) — \]/2ip. Однако мы откладываем обсуждение дисперсионных
соотношений до гл. 15.

2б4 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
лать некоторые дополнительные предположения, чтобы
продолжить функцию flip) в нижнюю полуплоскость. Следует
подчеркнуть, что почти любой потенциал, встречающийся на практике,
допускает продолжение в нижнюю полуплоскость. Выражаясь
нестрого, мы можем сказать, что любой «разумный» потенциал
обладает этим свойством, и в дальнейшем часто будем
ограничиваться рассмотрением потенциалов, «разумных» в этом
смысле. Во-вторых, следует отметить, что в некотором смысле
аналитические свойства функции //(/?) в нижней полуплоскости
(когда функция может быть продолжена в эту область)
оказываются менее существенными с точки зрения физики. Дело в
том, что указанные свойства в области {lmp<iO} оказываются
в высшей степени чувствительными к малым изменениям
потенциала на далеких расстояниях. Например, мы видели, что
функция Иоста для широкого класса потенциалов (например,
для юкавских потенциалов) имеет сингулярности на
отрицательной мнимой полуоси. Однако если бы мы обрезали такой
потенциал в некоторой точке г — а, то все эти сингулярности
исчезли бы [потому что в случае любого обрезанного
потенциала fi(p)—целая функция]. Но если выбрать величину а очень
большой (скажем, 10 км), то станет ясно, что разница между
этими двумя потенциалами будет совершенно ненаблюдаемой.
Ясно, что в этом смысле сингулярности функции fi{p) в случае
первого потенциала не имеют важного значения с точки зрения
физики (дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в
задаче 12.2).
§ 4. Связанные состояния и полюсы 5-матрицы
После трех параграфов утомительной математики мы можем
теперь приступить к сбору урожая физически интересных
результатов. Первым из них является замечательная связь между
связанными состояниями при данном потенциале и полюсами
соответствующей S-матрицы, расположенными в полуплоскости
{Im/?>0}.
Чтобы понять эту связь, напомним определение функции
Иоста через асимптотическое поведение волновой функции:
ft. р (г) -* 4 fo (р) ь~ <>") - ft (- р)ht (/"Я • <12-13>
Если переменная р уходит вверх с вещественной оси, то это
выражение не всегда остается в силе, потому что функция
fii—р) не обязательно имеет аналитическое продолжение в
этой области. Однако временно предположим, что потенциал
имеет такой вид, что указанное продолжение существует. Мы

§ 4. Связанные состояния и полюсы S-матрицы
265
предположим также, что в некоторой точке р (Imp>0)
функция Иоста обращается в нуль: ^(р) = 0. В этом случае
ft.p(r)^^-ft(-p)fit(pr). (12.14)
Далее, при г-> оо имеем
ht{pr)-*e±i[pr-lnl2).
Таким образом, если Imp>0, то при г-*оо функция к*
экспоненциально убывает, в то время как функция к"
экспоненциально возрастает. Из (12.13) следует, что в общем случае функция
ф содержит как возрастающую, так и убывающую компоненты.
Но в точке р, где функция / обращается в нуль и выполняется
(12.14), функция ф оказывается чисто убывающей. Ввиду того
что функция </>/, р(г) при г = 0 обращается в нуль, а при
г—► оо экспоненциально убывает, она представляет собой
нормированное решение радиального уравнения Шредингера (в
котором положено р = р, а угловой момент равен /). Это
означает, что у гамильтониана существует ограниченное собственное
состояние с энергией р2/2пг и с угловым моментом /.
Поскольку все собственные значения гамильтониана Н
вещественны, величина р должна быть в действительности чисто мнимой,
т. е. р = ia (а>0), а энергия связанного состояния равна
—а2/2т.
Наоборот, если у гамильтониана Н существует связанное
состояние с энергией —а2/2ш и угловым моментом /, то в точке
р = ia решение ф, р должно быть экспоненциально убывающим
и, согласно соотношению (12.13), величина /(ia) должна
равняться нулю.
Если функция fi(—р) также аналитична в точке р = р = ia,
то мы можем равным образом сказать, что связанные
состояния соответствуют полюсам функции Si(p) = /i(—p)/fi(p)-
В самом деле, мы можем понять полученный результат
непосредственно, если вспомним, что величина si(p) есть просто
коэффициент, определяющий соотношение между уходящей и
падающей волнами в волновой функции ф. В области lmp>0
уходящие волны убывают при г->оо, тогда как падающие
волны возрастают. Но при значении аргумента, отвечающем
связанному состоянию, функция ф должна быть чисто убывающей,
поэтому отношение Si(p) должно быть бесконечным.
Для того чтобы изложить эти выводы более точно, мы
должны, к сожалению, ввести дополнительные обозначения. Прежде
всего запишем два новых решения радиального уравнения,
К* р(г)> определенных условием

266 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
Таким образом, функции х* СУТЬ те решения радиального
уравнения, которые при г-*оо оказываются соответственно
чистыми уходящими и падающини волнами. Вообще говоря, они
не равны нулю при г = О и не пропорциональны физическим
функциям рассеяния г|) или ф 1).
Интегральное уравнение для функций %± имеет вид
оо
%T.p(r) = bt(pr)-\ dr'gup{r, r')U(r')x£p(r'),
Г
где, как и прежде, функция g выражается формулой (11.39).
Это уравнение может быть решено с помощью итераций точно
так же, как в случае функции ф. Единственное различие
состоит в том, что теперь переменная интегрирования пробегает
значения от г до оо, так что экспоненциальный рост функции /г*
в нижней и в верхней полуплоскостях может привести к расхо-
димостям. В качестве простого упражнения читатель может
проверить, что при наших обычных предположениях о потенциале
V функция х*р (0 существует и непрерывна при всех
значениях р из области {Imp^O} и аналитична в области
{Im/?>0}. Для функции х" имеет место идентичный результат,
если верхнюю полуплоскость заменить на нижнюю. Если при
больших г на потенциал наложены дополнительные
ограничения, то оба решения могут быть продолжены на более широкие
области, точно так же, как в случае функции fi(p).
По меньшей мере при вещественных р (когда оба решения
у~ существуют) можно, конечно, представить регулярное
решение ф в виде разложения по этим двум решениям х±» записывая
его, например, в следующей форме: ф = а%~ — &х+-
Рассматривая разложение функции ф при больших г, мы можем
отождествить коэффициенты а и Ъ с функциями Иоста (умноженными
на i/2), откуда получаем
^р(') = у[ЗД*ГР(')-Л(-р)Х/ТрИ]. (12.15)
Теперь мы должны ввести вторую часть наших
дополнительных обозначений, а именно вронскиан, который для любых двух
функций а (г) и р(г) определяется следующим образом:
W (а, р) = а (г) р' (г) - а' (г) р (г) = det (^,) ,
где через а' обозначена производная da/dr. Если эти две
функции линейно зависимы, то W(a, p)=0, и наоборот. Если эти
1) Эти решения % часто обозначаются слишком перегруженной буквой / и
называются решениями Иоста.

§ 4. Связанные состояния и полюсы S-матрицы 267
две функции удовлетворяют одному и тому же радиальному
уравнению (свободному уравнению или полному уравнению, в
каждом случае при заданных / и р), то легко проверить, что
dW/dr = а$" — а"р = 0, т. е. в этом случае вронскиан не
зависит от г. Таким образом, например, вронскиан для функций
ji(pr) и щ(рг) равен константе, и поэтому его можно вычислять
при больших г, когда известный асимптотический вид
указанных функций приводит к результату
^(//. А|)=-Р. . (12Л6)
Так же находим, что
Если теперь использовать тождество (12.15) для вычисления
вронскиана от функций ф и %+, то найдем с учетом равенства
W(%+,t) = V> что
W(%\ t) = pft(p)
или
Ш=т*№гЬ.рУ
(12.17)
Поскольку ф — целая функция по переменной р, а
х+—аналитическая функция в области {Imp>0}, это соотношение может
быть продолжено в верхнюю полуплоскость, и мы сразу
приходим к следующему результату. Функция Иоста /i(p)
обращается в нуль в некоторой точке р (Imp > 0) тогда и только тогда,
когда выполняется равенство W(%+, ф)=0, т. е. /;(/?) = 0 тогда
и только тогда, когда регулярное решение ф^р пропорционально
экспоненциально убывающему решению %£р(г):
<t>i,p(r) = W.p(r)
и, следовательно, когда оно приводит к ограниченной
собственной функции гамильтониана. Таким образом, в точности, как и
предсказывалось, функция /i(p) может обращаться в нуль в
области {lmp>0} только на мнимой оси, причем она
обращается там в нуль тогда и только тогда, когда р = ia, где
—а2/2т есть энергия связанного состояния с угловым
моментом /.
Справедливость полученного результата совершенно не
зависит, очевидно, от возможности продолжения в область
{Imp>0} также и функции /i(—p). Однако в том случае,
когда такое продолжение оказывается возможным и точка р = i<x
попадает в область аналитичности функции ft{—р\ величина
Л(—ia) не может равняться нулю [будь она равной нулю, из

268 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
тождества (12.15) следовало бы ф н= 0, что невозможно]. Отсюда
вытекает, что в этом случае функция s, (/?) = //(—р)\/Ар)
имеет полюс при значении переменной р = ia, соответствующем
связанному состоянию.
Следует подчеркнуть, что, в то время как соответствие между
связанными состояниями и нулями функции fi{p) всегда в силе,
соответствие между связанными состояниями и полюсами
функции Si(p) зависит от возможности продолжения функции //(—р)
до точки р = ia. Тем не менее почти всегда о результатах
настоящего параграфа говорят как о соответствии между
связанными состояниями и полюсами функции Slip). Такое положение
дел связано с двумя причинами. Во-первых, при
рассмотрении полной амплитуды (в противоположность случаю
парциальной амплитуды) не возникает усложнения за счет
возможных сингулярностей функции //(—р) и связанные состояния
(как мы увидим в гл. 15) действительно всегда находятся во
взаимно однозначном соответствии с полюсами амплитуды. Во-
вторых, в релятивистской задаче рассеяния существование
функции Slip) не вызывает сомнений, тогда как совсем не ясно,
всегда ли можно определить функцию Иоста.
В заключение этого параграфа мы получим результат,
который понадобится нам в дальнейшем. Мы покажем, что нуль
функции flip) при значении аргумента, соответствующем
связанному состоянию, всегда простой. Для доказательства этого
утверждения напомним, что если //(р) = 0, то в этой точке, р,
мы имеем ф = Х%+ (где, очевидно, КФО). Легко показать (см.
задачу 12.3), что при выполнении равенства ^(р) = 0
оо оо
4£<*>Ч *#,(г)*,.,(г)-*$ *[#,<'>]■.
о о
Так как эта величина определенно не равна нулю, нуль
функции /dp) должен быть простым.
§ 5. Теорема Левинсона
Установив, что при данном потенциале существует взаимно
однозначное соответствие между нулями функции Иоста /г в
области {Im/7>0} (причем все эти нули — простые) и
/-волновыми связанными состояниями, мы оказались почти
готовыми доказать теорему Левинсона. Но прежде мы должны
получить еще два результата.
Во-первых, мы докажем, что функция Иоста не может
иметь нулей на вещественной оси, за исключением, быть может,
начала координат. Для доказательства нужно только отметить,

§ 5. Теорема Левинсона
269
что при вещественных р выражение (12.15) функции ф через
функции %± можно записать в виде
^ = у[Л(р)х--Л(рГх+].
Поэтому если f i(p)= О при вещественных /?, тоЛ(/?)* = 0, и
все решение тождественно равно нулю. Однако из граничного
условия
ясно, что, за исключением точки р = 0, решение ф не может
быть тождественно равным нулю; отсюда и вытекает требуемый
результат. Исключительный случай ^(0) = 0 мы будем
обсуждать в гл. 12, § 7.
Во-вторых, при р —► оо в любой части области {Im p ^ 0}
функция Иоста стремится к единице. В гл. 11 мы видели (§ 9
и задача 11.8), что это утверждение, несомненно, справедливо
при физических значениях р и что разность fi(p)— 1 в самом
деле обращается в нуль как 1//Я, где ц > 0. Неравенство (12.8)
показывает, что при любом р из области {Imp^O} функция
Иоста удовлетворяет тому же самому ограничению, что и
использованное при обсуждении физического случая ограничение
из гл. И, § 9. Поэтому тот же самый результат имеет место
всюду в области {Imp ^ 0}:
/t (р)—\ = О (—^ [равномерно в области {Im p>0}, т]>0].
(12.18)
Отсюда немедленно следует, что существует некоторый радиус
}р| = р, за которым функция /i(p) не имеет нулей в области
{Imp^O}. Поскольку аналитическая функция может иметь
только конечное число нулей внутри любой окружности
конечного радиуса, мы заключаем, что функция /i(p) имеет не более
чем конечное число нулей в-области {Imp^O}1); т. е. суще-
*) Используя эту аргументацию, нужно быть достаточно внимательным
при рассмотрении значений переменной, близких к вещественной оси, для
которых аналитические свойства функции Иоста в случае произвольного
потенциала нами не установлены. Дело в том, что аналитическая функция (не
равная тождественно нулю) может обращаться в нуль только конечное число раз
в любой замкнутой ограниченной области внутри своей области
аналитичности. Таким образом, могло бы оказаться, что функция ti(p) имеет
бесконечную последовательность нулей в области (Im р > 0} (на мнимой оси,
конечно), накапливающихся в точке р = 0. Однако функция /i{p) непрерывна
в области, включающей вещественную ось. Поэтому приЛ(0) =5^0 такая
последовательность нулей, очевидно, невозможна. В особом случае *^(0) == 0
нам понадобится следующий результат из гл. 12, § 7: если при р = 0
функция /i(p) обращается в нуль, то обращение в нуль происходит либо по

270 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
ствует только конечное число связанных состояний с угловым
моментом /.
Теперь мы готовы установить теорему Левинсона.
Теорема Левинсона. Для любого сферически симметричного
потенциала (который подчиняется нашим обычным условиям)
фазовый сдвиг &i(p) удовлетворяет соотношению
6,(0) —6/(00) = П/Я,
где через щ обозначено число связанных состояний с угловым
моментом /. Это утверждение выполняется всегда, кроме того
р-плоскость
Фиг. 12.8. Контур, используемый при доказательстве теоремы Левинсона.
исключительного случая, когда s-волновая функция Иоста
обращается в нуль при пороговом значении аргумента, /0(0) = 0; в
этом случае указанный результат выполняется для значений
/ > 0, а при I = 0 мы имеем
6о(0)-60(оо) = (/1о + 72)я. (12Л9>
Доказательство. Здесь мы предположим, чтоЛ(0)=И=0, а к
специальному случаю //(0) = 0 мы вернемся в гл. 12, § 7*
Рассмотрим интеграл
в котором контуром является полуокружность бесконечно
большого радиуса, показанная на фиг. 12.8, а через / обозначена
производная df/dp. Подынтегральная функция //(р)/// (р) ана-
литична внутри указанного контура и на самом контуре,
исключая точки, в которых функция fi(p) имеет простые нули; в
каждой из этих точек подынтегральное выражение имеет полюс
линейному, либо по квадратичному закону. Это означает, что в окрестности
точки р = 0 указанная функция отлична от нуля и что и на этот раз
последовательность нулей, накапливающихся в точке р я» 0, оказывается невозможной.

§ 6. Пороговое поведение и приближение эфф. радиуса 271
с вычетом, равным единице. Поэтому, согласно теореме Коши,
имеем
1 = 2л1п1. (12.20)
С другой стороны, мы можем переписать интеграл / в виде
оо
I=§d\n/l(p)= J dinft(p), (12.21)
—оо
так как из (12.18) ясно, что вклад от большого полукруга
равен нулю. Далее, на положительной вещественной полуоси
Л(р) = 1Л(р)1е"'в/(Р) Ь>°1
и, следовательно,
1пЛ(р) = 1п|//(р)1-й/(р).
На отрицательной вещественной полуоси мы используем
соотношение /i(—p) = fi(p)* и получим
In Л (- р) = In | Л (р) | + й, (Р) [р > 0].
Подставляя эти результаты в интеграл (12.21), находим, что
вклады от вещественных частей при интегрировании по
положительной и отрицательной полуосям взаимно сокращаются и
рассматриваемый интеграл равен
оо
/ = —2i J dbt (р) = 216, (0) - 6, (оо)]. (12.22)
о
Сравнивая (12.20) и (12.22), мы приходим к требуемому
результату. Не считая исключительного случая, когда//(0) = 0,
наше доказательство полностью завершено.
§ 6. Пороговое поведение и приближение
эффективного радиуса
В настоящем параграфе мы обсудим поведение парциальной
амплитуды вблизи порога р = 0 и дадим доказательства
некоторых результатов, сообщенных заранее в предыдущей главе.
Парциальная амплитуда выражается так:
fi{P>- 2iP ~2W7IF) • (12'23)
Для произвольного потенциала это выражение может бИть
использовано только на вещественной оси, потому что только
здесь определены одновременно обе функции /i(p) и /*(—р).
Тем не менее этого окажется достаточно для доказательства
наиболее интересного с точки зрения физики результата, а

272 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
именно характерного для большинства случаев поведения
амплитуды fi(p) при р-*0, если при этом переменная р
принимает только физические значения. Впрочем, если потенциал
мажорируется экспонентой, то обе функции /i(p) и ft(—р) ана-
литичны в некоторой полосе, расположенной по обе стороны
от вещественной оси, и мы можем использовать выражение
(12.23) во всей окрестности точки р = 0. При этом
рассмотрение значительно упрощается; в частности, в этом случае для
амплитуды fi(p) будет существовать разложение в степенной
ряд вблизи точки /7 = 0.
Начнем с того, что подставим выражение (12.7) для
функции fi(p) в числитель формулы (12.23). После несложных
преобразований мы получаем выражение
оо
о
в котором из-за равенства ф/f = о|э читатель распознает давно
известный нам результат
оо
Ш= jt\ drU{pr)U{r)b.Ar)-
0
Мы знаем, что при вещественных р обе функции у и <f>
ограничены согласно неравенствам
I U (pr) \*\ф,.Р(г)\< const (jfjf)'*1.
Следовательно, в некоторой окрестности точки р = 0
оо
|^^|<тж^5 *|^>|(тЫи+8' (12-24)
0
если только отлична от нуля величина /i(0).
Сначала предположим, что потенциал мажорируется
экспонентой. В этом случае мы можем просто опустить знаменатель
(1 -\-pr)2l+2 в формуле (12.24) и получить соотношение
оо
0
которое устанавливает следующее поведение амплитуды:
fl(p) = 0(p*1) [p-+Q]. (12.26)

$ 6. Пороговое поведение и приближение эфф. радиуса 273
Ввиду того что вблизи точки р = 0 функция ft(p) аналитична,
она может быть разложена в степенной ряд, низший член
которого должен иметь вид О (р21):
ft(p) = -alp» + blp^+ ...,
где щ — некоторая конечная константа (возможно, равная
нулю), в которой мы узнаем введенную ранее длину рассеяния.
Это разложение — тот самый результат, который был
предсказан соотношением (11.28). Мы видим, что он имеет место для
любого мажорируемого экспонентои потенциала, если только
/<(0) =И= 0. Ясно, что при ^(0)= 0 длина рассеяния aL будет
бесконечной; к этой ситуации мы вернемся в гл. 12, § 7.
Если наш потенциал не мажорируется экспонентои, но
вместо этого удовлетворяет условию
Пг) = 0(-^) [г-*оо],
то интеграл в соотношении (12.25) сходится только при 2/ + 2 <
<v—1. Таким образом, при /<(v — 3)/2 результат (12.26)
все еще выполняется. Но при /> (v —3)/2 мы должны
вернуться к неравенству (12.24) и для обеспечения сходимости
сохранить знаменатель (1 + Рг)2/+2- Разбивая интеграл на
сумму \ + \ ♦ мы находим, что вместо (12.26)
о 1
U (р) = О (pv-з) [р~>0, />fv — 3)/2].
Установив основное пороговое поведение амплитуды fi(p),
мы можем продолжить обсуждение ее разложения в степенной
ряд в этой точке. Конечно, разложение в степенной ряд
существует только тогда, когда вблизи точки р = 0 амплитуда fi(p)
является аналитической функцией, и по этой причине мы
теперь ограничим свое внимание такими потенциалами, которые
мажорируются экспонентои.
Оказывается, что разложение самой амплитуды по
степеням р приносит меньше пользы, чем разложение связанной
с ней величины — /(-матрицы (которая называется также
матрицей реакций, или треугольной матрицей). Мы будем
обсуждать общую теорию /(-матрицы в гл. 14, однако ее
применение к парциальным волнам мы вкратие опишем сейчас. Вместо
5-матрицы для парциальных волн Si(p) мы работаем с
величиной &/(/?), определяемой соотношением
■ ••&-№№. 02.27)

274 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
В физической области унитарность матрицы S/ приводит к тому,
что величина kL оказывается вещественной. (Одно из
преимуществ /(-матрицы состоит в том, что унитарность оператора S
гарантируется требованием вещественности величины ki или
более общим требованием эрмитовости /(-матрицы.) Из
соотношения (12.27) имеем
ki(p) = i i + Iff =tgMP)- (12.28)
Из первого равенства ясно, что функция kt (p) аналитична во
всех тех точках, в которых аналитична функция Si(p) [за
исключением точек, в которых S/(p) =—1 и в которых,
следовательно, функция kt{p) имеет полюсы]. В частности, функция kL(p)
аналитична в некоторой окрестности точки р = 0.
Важное свойство /(-матрицы выявляется при выполнении ее
аналитического продолжения от точек р к точкам —р.
Поскольку s/(p) = /j(—p)/?i(p), то при переходе от р к —р
величина Si{p) превращается в l/S/(p). Из определения (12.27)
вытекает, что функция kt ip) изменяет при таком переходе свой
знак:
Ы—р) = — Ыр),
т. е. hip) является нечетной функцией от ру и поэтому ее
разложение в степенной ряд содержит только нечетные степени
переменной р.
Мы знаем, что при р-> 0 фазовый сдвиг 6;-> — azp2/+1; это
означает, что тот же самый результат имеет место для величины
ki = tg6i:
kiip)—+~aiP2l+{-
Таким образом, удобно рассматривать любую* из функций
ki/p2l+] или p2l+x\ki\ обе эти функции аналитичны вблизи
точки р = О (если только длина рассеяния щ не обращается в
бесконечность или не равна нулю), обе они являются четными
функциями от ру и поэтому для каждой из них существует
разложение в степенной ряд по переменной р2Х). На практике
(например, при изучении яр-рассеяния) наиболее полезным
оказывается разложение функции p2l+l/ki:
^ = p*+! ctg б; (р) = -=-!- + Ц- р2 + О (/>«). (12.29)
!) Можно иначе выразить полученный результат, сказав, что
рассматриваемые функции в действительности являются аналитическими функциями от
энергии Е = р2/2пг в точке Е = 0; именно в этой форме обычно используется
указанное важное свойство /С-матрицы.

§ 7. Нули функции Моста у порога 275
Это известное разложение по эффективному радиусу, так как
ПрИ / = 0 коэффициент г0 обычно приближенно соответствует
радиусу действия потенциала. Если в правой части (12.29)
оставить только первые два слагаемых, то получается
приближение эффективного радиуса (или приближение, не зависящее
от формы потенциала). Приближение эффективного радиуса
для s-волн послужило одним из наиболее важных методов
параметризации данных по рассеянию при низких энергиях
(например, данных по гср-рассеянию вплоть до энергий порядка
10 МэВ). Дальнейшее обсуждение его применений можно
найти в задачах 12.4 и 13.1.
Если потенциал ведет себя на бесконечности как l/rv, то
функция Иоста и связанные с ней функции s*, fu kt обычно
имеют сингулярность при р = 0 типа точки ветвления, и по
этой причине разложение по эффективному радиусу —
разложение по степеням переменной р2 — оказывается невозможным.
Например, если потенциал ведет себя на бесконечности как
1/г4, то соответствующее s-волновое разложение имеет вид [34]
pcte6Ap) = ^ + bp + cp4np + 0(p>).
§ 7. Нули функции Иоста у порога
В последних двух параграфах мы были вынуждены
исключить из обсуждения тот особый случай, когда пороговое
значение функции Иоста равно нулю: /i(0) = 0. В настоящем
параграфе мы обсудим эту возможность и установим, каким
изменениям подвергаются в этом случае полученные прежде
результаты.
Мы знаем, что нули функции /i(p) в области {Im p > 0}
соответствуют связанным состояниям, и мы должны прежде
всего рассмотреть вопрос о том, справедливо ли аналогичное
утверждение по отношению к нулям при р = 0. С этой целью
мы рассмотрим радиальное уравнение Шредингера, которое при
р = 0 имеет вид
[&-^-U(rj\y(r)-0.
Ясно, что при /? = 0 центробежный член доминирует при г->0,
а также при г-*оо. Поэтому при малых и при больших г
решения ведут себя как комбинации, составленные из И+1 и 1/г1.
В случае потенциала общего вида то решение, которое при
г = 0 ограничено (т. е. ведет себя как rz+!), на бесконечности
будет содержать оба члена, и поэтому ограниченной
собственной функции, отвечающей равной нулю энергии, существовать

276 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
не будет. Однако при определенных потенциалах решение,
ограниченное при г = 0 (т. е. ведущее себя как И+1), может на
бесконечности оказаться ведущим себя строго по закону 1/г1.
При / = 0 такая возможность не приводит к связанному
состоянию, потому что решение, ведущее себя при г-*оо как
1/г1 (например, константа), не может быть нормировано. С
другой стороны, при / > 0 такое решение может быть
нормировано, и мы заключаем, что при I > 0 могут возникать
связанные состояния с нулевой энергией.
Теперь мы должны определить, соответствует ли связанное
состояние с нулевой энергией (если оно возникает) нулю
функции Иоста в начале координат. К сожалению, наши
обозначения не слишком хорошо приспособлены для изучения точки
р = 0, потому что в этой точке все наши стандартные
решения — ji(pr), 4>t,p(r)i\ т. д. — имеют плохое поведение.
Например, при р—►О функция ]i{pr) обращается в нуль и потому
перестает быть интересным решением свободного уравнения.
Причина этого, конечно, в том, что при малых значениях
аргумента функция ji(pr) содержит множитель р1+х\ если же мы
избавимся от негр, то получим
h(pr) у г/+1
p/+i Р->о (2/ + 1)!!'
То есть при р-*0 функция ji/pl+l сводится к тому решению
свободного уравнения, отвечающего нулевой энергии, которое
ведет себя как rz+1. Точно так же функция щ(рг) неограниченно
возрастает при р—►О, но если мы умножим ее на р\ то
произведение plhi (и аналогично произведения р fit) сводится к
тому решению, которое при р-*0 ведет себя как 1/г1.
Легко показать, что таким же образом мы можем работать
с решениями ф и х+ полного радиального уравнения, если
избавимся в них от соответствующих степеней переменной р.
Так, при /?—►() функция ф = ф/р1+1 приближается к тому
решению, которое в начале координат ведет себя как rl+l;
функция же %+ = р1%+ приближается к тому, которое на
бесконечности ведет себя как 1/г1. Далее, функция Иоста выражается
через функции ф и х+ соотношением
fl(p) = jW(%+, ф)=Ф{%+у ф)9
из которого ясно, что /i(0) =0 тогда и только тогда, когда
решение ф (при г-*0 ведущее себя как г1*1) пропорционально
решению х+ (при г-*оо ведущему себя как 1/г1). Поэтому при
/ > 0 отвечающая нулевой энергии функция Иоста обращается

§ ?. Нули функции Поста у порога
27?
б нуль тогда и только тогда, когда существует связанное
состояние с нулевой энергией.
Чтобы продвинуться дальше, мы должны знать, по какому
закону обращается в нуль функция /i(p) при р = О, если такое
обращение в нуль вообще происходит. Для простоты
предположим, что потенциал мажорируется экспонентой, так что на
самом деле функция fi(p) аналитична вблизи точки р = 0. В этом
случае можно ввести разложения функций /г, / и ф по степеням
переменной р в интеграл
fi(p)=l+j\b+U*=l+(j\m) + i(j\]U*). (12.30)
Но функция п имеет вид произведения 1/р1 на степенной ряд
по переменной р2, в то время как обе функции / и ф имеют вид
произведения pl+l на степенной ряд по переменной р2. Поэтому
из (12.30) мы видим, что функция /i{p) имеет вид
Л (р) = 1 + [а, + fop* + О (/И)] + i [Y,P2'+1 + О (р2<+3)] (12.31)
(где все коэффициенты clu ... вещественны).
Если случается так, что коэффициент щ в (12.31) равен — 1,
то функция Иоста /i{p) обращается в нуль при р = 0. В этом
случае
Л (р) - [р<р2 + О (р4)] + / [Y,p2/+1 + О (/>«+*)]. (12.32)
При рассмотрении s-волны главный член содержится во
второй скобке:
?о(р) = 1УоР + 0(р>), (12.33)
тогда как при любом / > 0 главный член содержится в первой
скобке:
Л (р) = fcp2 + О (р3 или р<) [/ > 0]. (12.34)
Таким образом, если при р = 0 функция Иоста имеет нуль, то
при / = 0 этот нуль оказывается простым, тогда как при / > 0
он оказывается нулем второго порядка {).
1) Эти простые аргументы не могут доказать того, что коэффициенты уо
в (12.33) и pi в (12.34) всегда отличны от нуля. Соответствующее
доказательство можно провести при помощи оценки первой и второй производных
функций /i(p) так, как это описано в конце гл. 12, § 4. Даже когда функция /i(p)
не может быть продолжена в нижнюю полуплоскость, этот альтернативный
метод все равно может быть применен для доказательства того факта, что при
стремлении р к нулю из верхней полуплоскости функция /i(p) обращается в
нуль по линейному закону (при / = 0) или по квадратичному закону (при
I > 0). См. [35], формулы (4.25) и (4.25').

278 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы понять, каким
изменениям подвергаются результаты предыдущих двух параграфов
при т^(О) =0. Прежде всего мы рассмотрим теорему
Левинсона и заметим, что при ^/(0) =0 контур интегрирования,
использованный при доказательстве теоремы, должен быть
изменен так, как показано на фиг. 12.9, с целью избежать
прохождения контура через полюс подынтегрального выражения в
интеграле
I = §dp-
Si(p)'
Точно как прежде,
/ = 2ш'Х(число нулей в области {Im/?>0}). (12.35)
Однако из-за малой полуокружности Ге, имеющей радиус е,
мы находим теперь, что
/ = 2i[M0)-M«>)]+Hm \dp^y (1
е->0
е
2.36)
Вклад от Ге зависит от /; легко видеть, что он равен
e+orJ И Si(P) \-2ш [/>0],
потому что нуль функции /i(p) является простым при / = 0
и двойным при I > 0.
р-плоскость
Фиг. 12.9. Контур, используемый при доказательстве теоремы Левинсона
в том случае, когда ^(0) = 0.
Мы знаем, что в случае s-волн связанных состояний с
нулевой энергией не существует, и потому число связанных
состояний По равно числу нулей функции Иоста в области {Im/?>0}.
Сравнивая (12.35) и (12.36), находим
So(0)-60(oo) = (nu+I/2)^

§ 7. Нули функции Моста у порога
279
Если />0 иЛ(0)=0, то, как мы знаем, существует одно
связанное состояние с нулевой энергией. Это означает, что
число связанных состояний щ равно числу нулей в области
{Imp>0} плюс единица. Сравнивая (12.35) и (12.36), мы
находим
6Z (0) — б/(оо) = /г/я,
что совпадает с полученным ранее результатом.
Легко определить поведение амплитуды ft(p) вблизи порога
при /i(0) = 0. Вспомним, что
00
О
При Л (0) =7^=0 мы нашли отсюда, что
fi(p)=-alP» + 0(p^). (12.37)
При / = 0 мы знаем, что если функция /о(р) обращается в
нуль в точке р = 0, то при этом она ведет себя как iy0p- В этом
случае результат (12.37) принимает вид
fo(p) = i^- + 0(l),
где а—некоторая вещественная константа1). Таким образом,
если А(0) = 0, то s-волновая амплитуда и соответствующее
сечение сто —4я|/о|2 обращаются в бесконечность при пороговом
значении импульса — явление, называемое иногда резонансом
при нулевой энергии. Ясно, что в этом случае s-волновая длина
рассеяния, определяемая как а0 = — fo(0), также обращается
в бесконечность. Маловероятно, чтобы величина /о(0) на деле
была точно равна нулю, и не ожидают, что длина рассеяния
действительно окажется бесконечной. Однако вполне возможно,
что функция /о(р) имеет нуль вблизи порога и, следовательно,
что величина /о(0) окажется малой. В этом случае сечение при
нулевой энергии оказывается аномально большим. Пример
такого феномена — сечения для прямоугольной потенциальной
ямы, изображенные на фиг. 11.3, где величина а(0) более чем
в 40 раз превосходит геометрическое сечение па2. Хорошо
известным реальным примером служит np-система в синглетном
состоянии, для которой существует нуль функции /, настолько
близкий к порогу, что сечение при нулевой энергии (70 барн)
!) Этот вывод следует также из теоремы Левинсона, которая утверждает,
что б0(0) = л/2 (по модулю я), если/0(0) = 0. Отсюда непосредственно
видно, что амплитуда }0(р) = (\/р) ехр (/бо) sin б0 становится чисто мнимой и
стремится к бесконечности.

280 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
по меньшей мере раз в 200 превосходит любую разумную
оценку геометрических размеров.
При / > 0 функция /i(0) обращается в нуль у порога как р2
(если она вообще обращается здесь в нуль), и пороговое
поведение амплитуды (12.37) принимает вид
Л(р) = а/>2'-2 + 0(р"-'),
т. е. при !>0 и//(0) =0 степень главного члена в пороговом
поведении амплитуды fi(p) уменьшается на две единицы. Это
означает, в частности, что р-волновая амплитуда остается
отличной от нуля при р-*0.
Задачи
12.1. а) Используя методы задачи 11.7, докажите, что
|//(2)|<const(-J^L-)/+1e'Imz'
при всех значениях г, вещественных или комплексных. Установите
соответствующие ограничения для функций ht {z\ h* (z) и для функции Грина.
Ограничение для функции /г приведено в гл. 12, § 3; ограничение для функции
Грина с точностью до множителя exp{|Imp|(r — г')} совпадает с полученным
в задаче 11.7.
б) Для произвольного / докажите теорему из гл. 12, § 2 (о том, что
регулярное решение Ф может быть найдено путем итераций при любом
потенциале и для любых комплексных р). Установите тот факт, что указанное
решение удовлетворяет ограничению (12.6).
12.2. В целях иллюстрации сравнительной несущественности нижней
полуплоскости {Im p < 0} выполните следующее:
а) Рассчитайте s-волновую функцию Иоста / (р) в случае слабого
экспоненциального потенциала уе^Г [замечание о слабости потенциала означает, что
вы можете аппроксимировать функцию t первыми двумя членами ее
«борцовского ряда», т. е. взять t равным 1 + (\/р) \h+Uj . В том же самом
приближении рассчитайте s-волновую функцию Иоста fa(p) для аналогичного
потенциала с обрезанием в точке г = а.
б) Покажите, что функция ^ имеет полюс в точке р = —i\i/2t но что
функция /а для обрезанного потенциала не имеет такого полюса, сколь бы
удаленной мы ни выбрали точку, в которой производится обрезание.
в) Покажите, что в области {Im p ^ 0} ряд, представляющий разность
А/ = /а — /, может бьггь сделан равномерно сходящимся к нулю с помощью
выбора достаточно большого а. Ясно, что в нижней полуплоскости разность
&/ бесконечно велика в точке р = —i\i/2, сколь бы удаленной мы ни
выбрали точку обрезания.
12.3. а) Покажите, что если в верхней полуплоскости функция Иоста
имеет нуль, то этот нуль — простой. Указания:
1) Предположите, что в точке р имеем /{р) = 0 и, следовательно.

Задачи
281
2) Продифференцируйте выражение / = (\/р) W (Х + , Ф), при этом вы
получите Нр) = ( 1/р) {^ (х+, i) + W (/+, 0)} (где / = d//dp и т. д.).
3) Вронскиан W(x\ <£) можно оценить, используя выражение ^^(х^",
Фр)Idr=(p —p )%рФр> которое следует из радиального уравнения.
Интегрирование от нуля до г приводит к величине W (%£, Фр). Эту величину следует
продифференцировать по переменной р, после чего положить р = р.
Аналогично можно поступить со вторым вронскианом, но интегрирование в этом
случае выполняется от г до бесконечности.
4) Выполнив указанные преобразования, вы получите /(р) =
оо с»
= -2^ drX+<t>=*-2l^ dr (%+)*.
о о
5) Поскольку р — чисто мнимое число, функция х+ представляет собой
произведение il на вещественную функцию, и полученный интеграл отличен
от нуля.
6) Докажите, что вычет (как функция от энергии Е) парциальной
амплитуды fi в полюсе, соответствующем связанному состоянию, равен
(—l)*+1Y2/2m, где вещественное число у есть «асимптотическая нормировка»
волновой функции связанного состояния, которая определяется следующим
образом. Пусть r\(r)—нормированная вещественная волновая функция
связанного состояния, и пусть энергия связанного состояния равна —а2/2т;
тогда число у определяется соотношением х\(г) -+уе~аг при г->оо. Обратите
внимание на то, что функция г\{г), очевидно, пропорциональна функции х+; в
действительности они связаны соотношением
f|(r)-/'x+(r)/J dr(x+)*.
о
12.4. К формуле разложения по эффективному радиусу (12.29) часто
приходят с помощью подхода, отличного от метода, примененного в гл. 12,
§ б. В случае / = 0 этот подход состоит в следующем. Пусть через ир
обозначена радиальная волновая функция, пропорциональная решению фо, р, но
нормированная согласно условию: при г-*оо функция иp->cos pr + ctgfi(p) •
• sin pr. Пусть через vp обозначено то решение уравнения для свободного
движения, которое при больших г совпадает с функцией ир\ т. е. vp sa cos pr +
+ ctg 6-sin pr. Используя тот факт, что при р-Ю имеем р ctg б(р) -*•—1/а,
покажите, что v0 = 1 — г/а. Отсюда покажите, что
Р ctg б (р) ш ^— + Р2 J dr (vpVq - Upu0).
о
Указание: используйте соотношение dW(up% u0)/dr = р2иРи0 (которое, как и
в предыдущей задаче, вытекает из радиального уравнения), чтобы показать,
что
ь
[W(upt Ио)]^-Р25 druPuo
а

282 Гл. 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды
(аналогичное соотношение выполняется и для функции vp). Отсюда оцените
подстановку [W(vp, v0) — W(upt ы0)]~.
Если мы разложим функции vp и ир по степеням переменной pt то
придем к разложению по эффективному радиусу. В частности, величина
эффективного радиуса равна прасто
00
г0 = 2 J dr(vl-ul).
о
Поскольку вне области действия потенциала v0 « ы0, тогда как в начале
координат v0 = 1, Wo — 0, полученное соотношение наводит на мысль о том, что
величина г0 приблизительно соответствует радиусу действия потенциала.
Если короткодействующий потенциал представляет собой глубокую
потенциальную яму, то следует ожидать, что внутри этой ямы обе функции иР и vp
будут медленно меняющимися функциями от р. Это наводит на мысль о том,
что применимым будет приближение эффективного радиуса pctg6« — (1/а) +
+ (го/2)р2, которое соответствует предположениям vP « vQ и ир « я0<

ГЛАВА 13
РЕЗОНАНСЫ
Резонанс представляет собой, вероятно, наиболее
замечательное явление во всех экспериментах по рассеянию. Резо-
нансы наблюдаются и в атомной, и в ядерной физике, и в
физике элементарных частиц. В своем простейшем проявлении
они приводят к острым пикам в полном сечении как функции
энергии, наподобие тех, которые показаны на фиг. 13.1. Столь
драматическое поведение сечения, очевидно, требует
объяснения, и мы можем ожидать, что, достигнув полного понимания
такого рода явлений, мы получим полезную информацию о
лежащих в их основе взаимодействиях.
Существует множество различных теоретических подходов
к резонансным явлениям, причем общим для всех них является
следующее: резкое изменение сечения при резонансном
значении энергии ER тем или иным образом сопоставляется
существованию почти связанного состояния системы, состоящей из
падающей частицы и мишени, при энергии ER. Если падающая
частица имеет энергию ERy то она может быть временно
захвачена в такое «метастабильное» состояние, и именно эту
возможность рассматривают в качестве причины резких изменений
сечения.
Мы подойдем к проблеме резонансов со стороны
аналитических свойств амплитуды, установленных в гл. 12. В гл. 12 мы
видели, что полюсы 5-матрицы Si(p) [или, точнее, нули функции
Иоста /i(p)] в верхней полуплоскости {Im p > 0} соответствуют
связанным состояниям с угловым моментом /. В настоящей
главе мы покажем следующее: если функция Si(p) имеет полюс
в нижней полуплоскости {Imp<0}, то при некоторых
обстоятельствах этот полюс может соответствовать резонансу, угловой
момент которого равен I (вскоре мы определим понятие
резонанса более точно).
Тот факт, что полюсы функции Si(p) могут соответствовать
резонансам, если Imp<0, и связанным состояниям, если
Im р > 0, говорит, очевидно, о тесной связи между резонансами
и связанными состояниями; эту связь мы будем исследовать
в § 2. Сначала же, в § 1, мы покажем, каким образом полюсы
функции Si(p) [или нули функции fi{p)\ приводят к резонансам.

284
Гл. 18. Резонансы
В заключение, в § 3 и 4, мы подробно изучим эволюцию
рассеяния волнового пакета, энергия которого близка к
резонансной.
Сразу же подчеркнем, что соответствие между резонансами
и полюсами функции sf{p) или нулями функции fi{p) в
области {Imp<;0} никоим образом не является в такой же степени
точным, как соответствие между связанными состояниями и
нулями функции /i(p) в области {Im/?>()}. Во-первых, для
обсуждения чего-либо в нижней полуплоскости, очевидно,
необходимо, чтобы потенциал был «разумным» в том смысле, что
для соответствующих функций должна существовать
возможность продолжения в нижнюю полуплоскость.
$.о\
! X
L
у
V
n-Ir
А
J
1
ч, J
L_
10
ь О
Энергия нейтронов\эВ
(а)
1,0 f,5 2,0
Полная энергия, ГэВ
(S)
Фиг. 13.1. Резонансы в рассеянии (а) нейтронов на иридии и (б) пионов на
протонах.
Во-вторых, мы увидим, что могут существовать такие
нули функции /i в области {Im/?<0} (а именно те нули,
которые расположены вдали от вещественной оси), которые не
приводят к какому-либо наблюдаемому резонансному эффекту.
И наоборот, можно построить такие потенциалы, которые
обнаружат резонансные эффекты без того, чтобы в области
{Im/?<0} существовали какие-либо нули функции fx (или
полюсы функции &i). Тем не менее объяснение резонансов как
полюсов функции S/ в области {Im p < 0} оказывается
настолько удовлетворительным, что стало фактически
общепринятым мнение о том, что таким способом правильно описываются
все (или по меньшей мере почти все) резонансы.
В заключение отметим, что большинство реально
существующих резонансов обнаруживается в многоканальных системах
типа обсуждаемых в 16-й и в последующих главах. Впрочем,
многие существенные черты явления резонанса выявляются и
в более простой, одноканальной ситуации, и именно по этой
причине мы начинаем обсуждение резонансов с нее, Общей
многоканальной задачей мы займемся з гл. 20,

§ I. Резонансы и полюсы S-матрицы
285
§ 1. Резонансы и полюсы S-матрицы
В этом параграфе мы предположим, что функция Иоста
имеет в нижней полуплоскости нуль (и, следовательно,
функция Sj имеет полюс), расположенный вблизи вещественной оси,
и изучим физически наблюдаемые следствия этого
предположения. Существенную роль будет играть требование того, чтобы
потенциал допускал аналитическое продолжение интересующих
нас функций в область {Im/?<()} и на протяжении всей этой
главы мы будем предполагать, что указанное требование
выполняется. Сделав это предположение, мы замечаем следующее:
поскольку функция fi{—p) всегда аналитична в области
{Im p < 0} и поскольку обе функции /i{ztp) не могут
обращаться в нуль в одной и той же точке, функция Иоста /i(p)
обращается в нуль в некоторой точке р из области {Im p < 0}
тогда и только тогда, когда функция Si(p) = fi(—p)l^t(p)
имеет полюс. Таким образом, существует полная
эквивалентность между нулями функции /i и полюсами S/ в области
{Im p < 0} и мы можем изложить интересующие нас вопросы,
рассматривая либо первые, либо вторые. Поскольку обсуждение
на языке нулей функции /i оказывается несколько более
простым, мы начнем с него.
Предположим, что функция Иоста /(р) (в символе которой
мы теперь опускаем индекс /) имеет нуль в некоторой точке
p = pR — iPl [р7>0],
где буква R может отвечать как слову «вещественный»
(по-английски Real. — Прим. ред.), так и слову «резонансный», а
буква / означает «мнимый». Как и в случае связанных состояний,
из существования нуля функции / вытекает, что регулярное
решение ф пропорционально «уходящему» решению %+, но,
поскольку при Im p < 0 решение %+ экспоненциально возрастает
с ростом г, мы не получаем отсюда ограниченной собственной
функции гамильтониана. Мы предположим на время, что нуль
функции / в точке р простой. Следует, однако, подчеркнуть,
что, несмотря на то, что в области {Im р > 0} нули функции /,
соответствующие связанным состояниям, должны быть
простыми, . не существует какого-либо общего принципа, который
гарантировал бы справедливость этого утверждения в области
{1тр<0}; в задаче 13.5 мы кратко обсудим экзотическую
возможность существования кратных нулей.
Поскольку в точке р функция /(р) имеет простой нуль,
существует некоторая окрестность точки р, в которой мы можем

286
Гл. 13. Резонансы
приближенно записать функцию /(р) в виде
'о»«(|£),<р-0. (Ш)
Далее, если точка р расположена достаточно близко к оси, то
существует вещественный интервал с центром в точке pRl на
котором указанное приближение выполняется хорошо, и
теперь мы исследуем фазовый сдвиг на этом интервале. Чтобы
выполнить такое исследование, мы должны только вспомнить,
что при физических значениях переменной р фазовый сдвиг
равен взятой со знаком минус фазе функции /(р). Поэтому
из (13.1) мы видим, что
6(р)« — arg f-f-)_ — arg(p — р) [вещественные р, близкие к pR]
= бфон + бРез (р), (13.2)
где
Wp) = — arg(p-p). (13.3)
Величина бфон называется фоновым фазовым сдвигом; она
равна просто взятой со знаком минус фазе производной (d//dp)p.
Величина брез(р) называется резонансной частью фазового
р - плоскость
Р
[ ^Р = Р*-*Рх
Фиг. 13.2. Резонансная часть брез (р) фазового сдвига.
сдвига; она равна (если отвлечься от несущественного слагаем
мого я) тому углу, который изображен на фиг. 13.2. |
Из фиг. 13.2 ясно, что, когда переменная р, возрастая, мй|
нует ту точку, в которой расположен нуль функции Иоста, р«
зонансная часть фазового сдвига 6рез(р) возрастает от 0 до ж
Причем, чем ближе к вещественной оси находится указанна!
точка, тем внезапнее происходит это возрастание фазовой!
сдвига. (Например, величина 6pe3 возрастает от я/4 до Зя/4|
если переменная р проходит интервал длиной 2/?j, расположен
ный между точками р = pRZk Pi.) Таким образом, вблизи нул|
функции f(p), находящегося рядом с вещественной осью, пбЛ|
ный фазовый сдвиг б = 6ф0н+брез внезапно возрастает от зна|
чения бфон До значения бф0Ц + я. ■>

$ L Резонансы и полюсы S-матрицы
2S?
Мы примем это быстрое увеличение на л функции 6,(р) [см.
(13.2)] в качестве определения резонанса с угловым моментом I.
Прежде чем перейти к изучению физических следствий этого
явления, мы должны упомянуть о том, что по поводу
указанного определения существует путаница в литературе. Термин
«резонанс» иногда принимается в качестве точного синонима
понятия «нуль функции / (или полюс функции s) в области
{Imp<0}». Ясно, однако, что нуль, расположенный
достаточно далеко от вещественной оси, не приведет к физически
наблюдаемым следствиям; кроме того, как мы уже упоминали,
•8
Л Лг ЛГ л/Ч
Фиг. 13.3. Четыре возможных резонанса.
Кривые б(р) показывают резонансные фазовые сдвиги при бфон=»0, я/4, я/2 и Зя/4.
Кривые sin1 б (р) показывают поведение соответствующих парциальных сечений (без учета
множителя 4я Щ + 1)/р*).
все наблюдаемые эффекты, которые обычно ассоциируются с
резонансом, могут встретиться и тогда, когда в области
{Imp<0} у функции /(р) вообще нет нулей1). Поэтому
определение резонанса как нуля функции /(р) в области {Im p < 0}
не обладает точным соответствием со всеми наблюдаемыми
явлениями.
Поведение парциального сечения ty(p),
4я(2/ + 1)
*/(Р)!
sin2 Мр),
вблизи резонанса зависит от значения фонового фазового сдвига
вфон- На фиг. 13.3 показаны четыре возможных различных
варианта. Первый и простейший вариант представлен кривыми
(я); он осуществляется тогда, когда фоновый фазовый сдвиг
бфон равен нулю, т. е. когда вблизи р = pR величина б(р) вне-
!) В статье [36] можно найти изящный пример потенциала, который
приводит ко всем симптомам резонанса и для которого функция s {р) аналитична
в области {Im p < 0}, но не имеет в этой области никаких полюсов

288
Гл. 13. РезонансЫ
запно возрастает от 0 до я. В этом случае по обе стороны от
резонанса парциальное сечение а/ имеет малую величину, а
когда б проходит через л/2, это сечение имеет острый пик и
достигает своего унитарного предела. Резонанс такого типа часто
называется чистым брент-вигнеровским резонансом.
Противоположный крайний случай, бф0Н = я/2, показан под индексом (в)\
величина д(р) возрастает здесь от я/2 до Зя/2. При этом по обе
стороны от резонанса сечение равно своему максимальному
значению, а при резонансе оно имеет острый минимум, когда б
проходит через я. Два промежуточных случая (бфОН ~ я/4 и
Зя/4) показаны под индексами (б) и (г) 1).
Нечего и говорить, что показанные на фиг. 13.3 кривые суть
идеализации, в точном виде никогда не реализующиеся на
практике, потому что поведение (13.2) функции 8{р) вытекает
из приближения /(р) « const- (p — р). Удобный способ
описания точной ситуации состоит в том, чтобы записать
б (р) = 6фон (р) + брез (р),
где функция брез(р) не отличается от прежней, а функция
бфон(р), вместо того чтобы оставаться постоянной, является
теперь медленно меняющейся функцией от р. Это означает,
к примеру, что при истинном резонансе фазовый сдвиг
внезапно возрастает приблизительно (а не точно) на я.
Если существует резонанс с угловым моментом / и если все
другие фазовые сдвиги меняются медленно в окрестности
резонанса, то быстрые изменения величин, показанных на
фиг. 13.3, окажутся заметными также и в полном сечении о =
= £aj. (На фиг. 13.1 были показаны резонансы, для которых
осуществляется именно такая ситуация.) Если к тому же все
другие фазовые сдвиги малы, то вклад в рассеяние от
резонансного углового момента окажется полностью преобладающим.
В этом случае угловой момент резонанса легко
идентифицировать путем изучения углового распределения частиц после
рассеяния при энергиях, близких к резонансной. К сожалению,
часто случается (особенно при высоких энергиях), что в одно и то
же время заметно изменяются несколько фазовых сдвигов.
В этом случае резонанс может быть обнаружен только после
1) Следует, наверное, подчеркнуть, что возможны любые значения вели»
чины бфон и что на практике наблюдается множество ее различных значений.
В литературе по физике высоких энергий мы иногда находим утверждение о
том, что для упругого рассеяния величина бфон должна быть малой. Это
утверждение неверно; любое значение величины бф0Н совместимо с чисто
упругим рассеянием. С другой стороны, в следующем параграфе мы увидим, что
в случае резонанса, расположенного достаточно близко к порогу, величине
бфон всегда мала.

§ J. Резонансы и полюсы S-матрицы 289
того, как различные парциальные волны будут рассортированы
с помощью анализа угловых распределений.
Конечно, парциальное сечение Oi(p) в окрестности резонанса
можно записать в виде аналитического выражения. Ввиду того
что при этом вместо переменной р обычно предпочитают
использовать энергию Е = p2j2my мы сначала скажем несколько
слов о связи между этими двумя переменными. Так как при
переходе от р к Е происходит отображение двух точек в одну,
функция типа функции Иоста, если она рассматривается как
зависящая от переменной Е, будет представлять собой
функцию, определенную на двулистной римановой поверхности.
Соответствие между р-плоскостью и двумя листами ^-плоскости
по традиции выбирается так, как показано на фиг.13.4. Первый
Связанные/*^
состоя- ^Су
ния Л>
р-плоскость
Физическая
область
Резонанс
f
Связанные
состояния
w
Е-плоскость
Физическая
область
i
^Резонанс
Фиг. 13.4. Плоскости комплексных переменных р и Е==р2/2т.
лист, или «физический лист», ^-плоскости соответствует верхней
полуплоскости {Imp>0}, второй ласт—нижней полуплоскости
{Im р <с 0}. При любом р точки ±р соответствуют двум
различным точкам римановой поверхности переменной Е (одна из них
расположена на первом листе, а другая находится позади
первой на втором листе); обе эти точки отвечают одному и тому
же численному значению переменной Е = р2/2т. Связанные
состояния, которые являются нулями функции /, расположенными
на положительной мнимой полуоси в /^-плоскости, лежат теперь
на отрицательной вещественной полуоси первого листа Е-пло-
скости. Этот первый лист имеет разрез от 0 до со, верхний край
которого соответствует физической области р ^ 0. Если
выполнить аналитическое продолжение через этот разрез, то мы
переходим на второй лист. Таким образом, нули функции /,
соответствующие резонансам, находятся с помощью
аналитического продолжения с первого листа вниз через разрез.
Если рассматривать функцию Иоста как функцию от
переменной Е [для простоты мы будем записывать ее в виде /(E)],
то соответствующий резонансу нуль в точке р превращается
в нуль на втором листе, расположенный рядом с физической
10 Зак. 396

290
Гл. 13. Резонансы
областью в точке
n—2m~CR 2
(где через —Г/2_ мы обозначили, следуя традиции, мнимую
часть величины Е). Теперь мы можем придать нашим
первоначальным рассуждениям новую форму, используя
переменную Е. Вблизи резонанса записываем /(E) « (d//dE)^(E — Е) и,
как и прежде, находим, что для вещественных значений Е,
близких к ERt
8(E) « бфон+ 6Рез(£) [вещественные £, близкие к ER].
Резонансная часть фазового сдвига 6pe3(£) равна углу,
показанному на фиг. 13.4, и после элементарных
тригонометрических преобразований получаем
sin брез (Е) = гг-
pe3V [(£-£д)2 + (Г/2)У2
В простом частном случае, когда фоновый фазовый сдвиг бф0Н
равен нулю и б = брез, отсюда получаем выражение для
парциального сечения
ot (Е) ~ sin2 6, (Е) = {Е _ ™\ m)t . (13.4)
Это знаменитая формула Брейта — Вигнера, которая описывает
пик, показанный на фиг. 13.3, а. Как функция от энергии, этот
пик имеет максимум в точке1) ER и имеет ширину Г. Если
фоновый фазовый сдвиг бфон отличен от нуля, то формула
Брейта— Вигнера заменяется на более общую формулу, вывод
которой мы оставляем самому читателю.
В заключение отметим, что в релятивистской теории
рассеяния существование функции Иоста не является твердо
установленным фактом, поэтому важно, чтобы мы могли с таким
же успехом вывести полученные результаты, рассматривая
вместо нулей функции /(р) полюсы функции s(p). Так, если мы
предположим, что в области {Im p < 0} функция s (p) имеет
простой полюс в некоторой точке р вблизи вещественной оси,
то в наиболее общем виде, совместимом с унитарностью,
функцию s(p) можно записать так:
8(р) = е2"<л«е2'«Фон£^г1 [при р, близких к pR],
где бфон — любое вещественное число. Отсюда следует, что, как
и прежде, б»бф0н + брез. Мы видим также, что из-за
унитарности матрицы s (р) любой полюс функции s (p) в точке р
1) На самом деле парциальное сечение Oi(E) пропорционально величине
(\/Е) sin26/(£). За счет множителя \/Е пик сдвигается влево,

§ 2. Связанные состояния и резонансы
291
всегда должен сопровождаться нулем этой функции s (р) в
точке р*. [Последнее утверждение также становится ясным,
если мы запишем s (p) = f(p*)*/?{p).] Полученный результат
дает нам возможность заключить настоящий параграф
следующим простым выводом: было бы заблуждением считать, что
резонанс возникает из-за больших значений амплитуды за счет
близкого полюса. Влияние полюса приводит к тому, что
функция s(p) стремится стать большой по величине; однако эта
тенденция полностью нейтрализуется влиянием нуля, за счет
которого функция s(p) стремится стать малой. Фактически
существенным признаком резонанса является быстрое изменение
фазы функции s(p) (вызываемое как влиянием полюса, так
и влиянием нуля), и, как явствует из фиг. 13.3, такое изменение
фазы приводит к тому, что амплитуда при резонансе может
принимать любое значение: от максимального, i/pt до
минимального, 0.
§ 2. Связанные состояния и резонансы
Тот факт, что нули функции / (или полюсы функции s)
в области {Imp > 0} соответствуют связанным состояниям, в то
время как в области {Im p < 0} они могут представлять
резонансы, наводит на мысль о том, что должна существовать
какая-то связь между связанными состояниями и резонансами.
Теперь мы можем показать, что по крайней мере в
определенных случаях такая связь на самом деле существует. Начнем
с того, что вновь введем переменный параметр связи X и
рассмотрим рассеяние с гамильтонианом Н = Н° -\-XV. В гл. 11
мы видели, что функция Иоста является целой по переменной X
при физических значениях импульса р, т. е. при р ^ 0; в гл. 12
мы видели, что при X = 1 эта функция аналитична по
переменной р (за исключением возможных сингулярностей в области
{Imp<0}). В самом деле, легко показать, что функция Иоста
является аналитической функцией, которую мы будем
записывать в виде f(X, Р)у — как по переменной А,, так и по
переменной р при всех значениях X и при всех значениях р, за
исключением обычных сингулярностей в области {Im р < 0).
Теперь мы предположим, что при некотором вещественном
значении Х0 существует нуль функции /, расположенный на
границе между верхней и нижней полуплоскостями, т. е. нуль
у порога. При изменении X этот нуль перемещается. Если мы
изменяем X так, что описываемое потенциалом притяжение
увеличивается, то нуль движется вверх в область {Im p > 0} и
становится связанным состоянием. Если описываемое
потенциалом притяжение уменьшается, то нуль движется вниз в
10*

292
Гл. 13. Резонансы
область {Im р < 0} и становится при / > 0 резонансом, а при
/ = 0 — так называемым виртуальным состоянием ]).
Прежде всего отметим, что при изменении X нуль функции ?у
несомненно, должен перемещаться, потому что, если бы он
оставался фиксированным при значениях X из некоторого
интервала, то (в силу аналитичности функции /) он должен был
бы оставаться фиксированным при всех значениях X, что
противоречит тому известному факту, что / ф 0 при X = 0. Для
того чтобы точно установить, каким образом движется
указанный нуль при изменении А,, мы выполним разложение функции
f(X,p) в двойной степенной ряд по переменным X и р вблизи
точки X = Хо, р = 0 (мы предполагаем, что потенциал
мажорируется экспонентой, так что функция / аналитична в точке
р = 0):
/(A,p)=i; Wm(A-Ao)".
m, n
Для случая / = 0 мы видели [см. (12.33)], что нуль у порога
простой; сравнение написанного разложения с формулой (12.33)
показывает, что низшие члены двойного степенного ряда имеют
вид
/(Х,р) = Цр + Ц(Х-Х0)+... [/ = °1
(£ и т] — вещественные числа). Очевидно, что при X = Хо это
выражение имеет простой нуль в точке р = 0, в то время как
при значениях X, близких к Хо, аналогичный нуль окажется
в точке
j5«-/-J(A-Ao) [/ = 0].
Таким образом, если величина X (принимая вещественные
значения, близкие к Хо) возрастает, то нуль движется
прямолинейно вниз по мнимой оси, как показано на фиг. 13.5, а.
Соответствующее движение нуля по римановой поверхности
переменной Е показано на фиг. 13.5,6.
На фиг. 13.5, а показано, что нуль s-волновой функции Иоста
начинает свое движение в области {Im р > 0}, соответствуя
связанному состоянию. По мере ослабления потенциала связанное
состояние движется вниз по мнимой оси и становится все менее.,
и менее прочно связанным, пока при X = Хо оно не перейдет в
резонанс с нулевой энергией. Если продолжать ослаблять
потенциал, то нуль перемещается еще дальше вниз по мнимой оси.
Ясно, что он не остается вблизи вещественной оси и потому не
переходит в резонанс того типа, что обсуждался в гл. 13, § 1.
1) Известное различие между случаями / = 0 и />0 не должно
казаться неожиданным, потому что в первом случае нуль у порога — простой,
тогда как во втором случае этот нуль — двойной.

§ 2. Связанные состояния и резонансы
293
(В принципе этот нуль может, конечно, уйти с отрицательной
мнимой полуоси в правую полуплоскость и тем самым
превратиться в резонанс. Именно так возникают s-волновые резонансы,
обсуждающиеся в задаче 13.2.)
О нуле 5-волровой функции Иоста на отрицательной мнимой
полуоси говорят иногда как о виртуальном состоянии.
Очевидно, виртуальное состояние не является ограниченным
связанным состоянием. Его физический смысл состоит в
следующем: существование виртуального состояния, расположенного
вблизи начала координат, говорит о том, что величина /(0)
Связанное
состояние^^Х
Виртуальное,
состояние
р- плоскость
Связанное со-
стояние
\Резонанс при
V нулевой энергии
х
*КВс
^Виртуаль-
состоянце
Е-плоскость
(а)
(5)
Фиг. 13.5. а — переход s-волнового связанного состояния в „виртуальное
состояние"; б— на римановой поверхности переменной Е связанное
состояние расположено на физическом листе, а виртуальное состояние — на втором
листе.
мала и, следовательно, что длина рассеяния велика. Таким
образом, виртуальное состояние вблизи порога (как и s-волновое
связанное состояние вблизи порога) приводит к большому
значению сечения при низких энергиях. (Примером может
служить известное виртуальное состояние синглетной пр-системы;
дальнейшее обсуждение этого явления содержится в задаче
13.1.)
Теперь рассмотрим случай />0. Из выражения (12.34) мы
знаем, что в этом случае нуль у порога двойной, и
исследование формулы (12.34) показывает, что двойной степенной ряд
для функции /(А,, р) имеет вид
f(Kp) = tP2 + r\(b-X0)+ ... [/>0].
При значениях Я, близких к К0> это выражение имеет два
нуля в точках
р« ± /(^)Vl(Л - Л0),/з [I > 0]. (13.5)
Если переменная X изменяется, проходя через значение А,о, то"
эти два нуля сливаются в начале координат и вновь
разделяются, как показано на фиг. 13-6, а,

294
Гл. 13. Резонансы
Если потенциал соответствует несколько большему
притяжению, чем притяжение при К = Ко, то оба указанных нуля лежат
на мнимой оси, причем один из них расположен выше начала
координат и отвечает связанному состоянию, а второй
расположен ниже начала координат. При К-+Ко эти нули движутся
навстречу друг другу, пока при К = Ко оба не окажутся в
начале координат; при этом в системе возникает связанное
состояние с нулевой энергией. Если значение К становится
меньшим Ко, то нули выходят из начала координат тангенциально
к вещественной оси. [Изменение направления их движения на
90° обусловлено квадратным корнем в формуле (13.5).] Они
Связанное
состояние
1F~
р-плоскость
Связанное
состояние
х
^Резонанс
Е-плоскость
\
Резонанс
(а)
(8)
Фиг. 13.6. а — переход связанного состояния с />0 в резонанс; б —
соответствующее движение в ^-плоскости (только имеющих физический смысл
нулей).
не могут попасть в верхнюю полуплоскость или на
вещественную ось и потому движутся в нижнюю полуплоскость, как
показано на фигуре1). В частности, тот нуль, который движется
вправо, становится резонансом и продолжает им оставаться
до тех пор, пока в конце концов не удалится от оси настолько
далеко, что перестанет приводить к каким-либо наблюдаемым
эффектам.
Более тщательное исследование степенного ряда (12.31)
показывает, что мнимая часть координаты резонанса проистекает
от члена гу/Р2/+1 и потому растет как
Im р (в резонансе) ~ (К — К0)1 [I > 0].
Таким образом, чем больше значение углового момента, тем
теснее соприкасается траектория нуля с вещественной осью и
тем острее соответствующий резонанс.
Важное свойство таких низкоэнергетических резонансов
состоит в том, что их фоновый фазовый сдвиг бф0ц всегда мал, и
]) Из соотношения (р) = (—р*)* следует, что если функция # равна
нулю в точке р% то она равна нулю также и в точке — р*. По этой причине
оба нуля уходят с мнимой оси симметрично, как и показано на фигуре.

§ 2. Связанные состояния и резонансЫ
295
поэтому соответствующее сечение обнаруживает чистый брейт-
вигнеровский пик типа того пика, который показан на
фиг. 13.3, а. Чтобы разобраться в этом вопросе, вспомним, что
фоновый фазовый сдвиг определяется так:
6Фон = -а^(Йг)__.
(Работать с переменной Е проще, чем с переменной р.)
Далее, пока нуль функции / соответствует связанному состоянию
и находится на отрицательной вещественной полуоси,
производная idfjdE)^ должна оставаться вещественной (поскольку
функция ^ — вещественна). Так как производная (df/dE)^ из*
меняется непрерывно (и не равна нулю, когда нуль функции
Иоста расположен у порога), то она должна мало отличаться
от вещественной функции в тех точках, которые соответствуют
только что прошедшему через порог и ставшему резонансом
нулю функции Иоста. Другими словами, величина бф0ц =
= — arg (dfjdE)g остается малой, пока резонанс остается
вблизи порога.
Теперь мы можем полностью разобраться с тем резонансом,
который наблюдается при 1 = 3 в случае прямоугольной
потенциальной ямы, использованной на фиг. 11.3. Эта яма была
выбрана как раз настолько мелкой, что связанное состояние не
образовывалось при / = 3; это означает, что должен
существовать отвечающий резонансу нуль функции /, расположенный
вблизи порога. Поскольку этот нуль расположен вблизи
порога, соответствующий фоновый фазовый сдвиг оказывается
малым и резонанс проявляется как простой брейт-вигнеровский
пик в сечении а3. Если бы мы углубили потенциальную яму,
резонанс передвинулся бы еще ближе к порогу. При таком
перемещении он оказался бы еще ближе к вещественной оси
и потому проявлялся бы в виде еще более острого пика; в то
же время, поскольку при резонансе высота в максимуме
пропорциональна величине 1/pjJ,, этот пик постепенно становился
бы все более высоким. В конце концов, когда яма станет
достаточно глубокой, резонанс должен перейти в область
{Im р > 0} и превратиться в связанное состояние. Такое
поведение хорошо подтверждается фиг. 13.7, где изображены
фазовые сдвиги и сечения для четырех потенциальных ям с
увеличивающейся глубиной. Первые три ямы (каждая из которых
немного глубже, чем яма, использованная для построения
фиг. 11.3) имеют глубину, еще недостаточную для образования
связанного состояния; глубина четвертой ямы как раз
достаточна для этого. Полное исчезновение резонанса на четвертой
паре графиков поразительно. Обратите внимание на то, как

*/2l
тг/2
«з О
«О Я
1Г/2
Я\
Г/2
3
15
10
5
15
10
3?
1 <
$10
5
_ j
1
1
J
I
I
1 /
1 J
(2ma*Vo)f/* = 5,2
2 J
I i —*
[~"f 2 3
(2ma2V6)1/* =57
Li I --t
/5
10
5
(2ma*Vo)r/2 =5,8
2 3 0
р,в единицах Jfa
3
Фиг. 13.7. Фазовые сдвиги и сечения при / = 3 для четырех прямоугольных
потенциальных ям с постепенно увеличивающейся глубиной.
Верхние три ямы оказываются слишком мелкими, чтобы в них образовалось связанное
состояние с /=3; глубина четвертой ямы только-только достаточна для этого*

§ 3. Временная задержка
297
в соответствии с теоремой Левинсона фазовый сдвиг при
нулевой энергии испытывает скачок на я в тот момент, когда
исчезает резонанс.
В заключение отметим, что для определенных систем может
случиться так, что все резонансы окажутся «как бы
связанными состояниями» того типа, который мы только что
обсуждали. В этом случае связанные состояния и резонансы можно
рассматривать как в сущности единое целое; и те, и другие
должны быть нулями функции / (или полюсами функции s),
причем единственное различие между ними состоит в том, что
связанные состояния оказываются лежащими в области
{Imp>0}, а резонансы — в области {Imp<0}. Такого рода
«демократический» подход многократно обсуждался в качестве
естественной схемы для описания элементарных частиц. Но
сколь бы привлекательной ни была эта схема, в заключение
мы, пожалуй, повторим, что существуют системы, для которых
ситуация оказывается более сложной: в них некоторые
резонансы не соответствуют полюсам функции s, а некоторые
полюсы функции s не соответствуют резонансам.
§ 3. Временная задержка
Читатель, вероятно, помнит, что при обсуждении сечений
рассеяния в гл. 3 и 10 важную роль всегда играло
предположение о том, что амплитуда f(p'«-p) является медленно
меняющейся функцией своих аргументов по сравнению с волновой
функцией падающей частицы ^(р), записанной в импульсном
пространстве. В гл. 13, § 1 и 2 мы убедились в том, что в
окрестности резонанса амплитуда может быть очень быстро меняю*
щейся функцией энергии. В соответствии с этим мы
пересмотрим наше обсуждение процесса столкновения, с тем чтобы
узнать, что может происходить вблизи резонанса.
В гл. 10, § 4 мы видели, что волновую функцию ^(х, /)>
описывающую столкновение, можно записать в виде
г|) (х, /) = г|)ин (х, /) + ^расс (х, t),
ГДе ^ин(х, /) — свободно распространяющийся нерассеянный
волновой пакет, которому в импульсном пространстве соответствует
волновая функция ^>(р), а функция г|)расс(х, 0 определяется
условием
HW(x, t)-^(2n)-v*±\d*p1>(p)f(px+-p)ei^-E<l (13.6)
Г -too f J
В гл. 10, § 4 мы предполагали, что амплитуда / (рх +- р) —
достаточно гладкая функция, которую можно вынести из-под знака

298
Гл. 13. Резонансы
интеграла и получить
^расс (X, t) 7^ у / (/?0Х <~ Ро) Я|)„„ (ГЗ, t), (13.7)
т. е. в любой точке рассеянная волна пропорциональна
произведению нерассеянной волны в точке, находящейся на оси и
отстоящей от начала координат на то же самое расстояние, на
соответствующую амплитуду, если только амплитуда / —
медленно меняющаяся функция. Теперь наша задача — посмотреть,
каким изменениям подвергается этот результат в том случае,
когда амплитуда /(р'-<-р) имеет резонансное поведение.
Оказывается, что поведение рассеянной волны критически
зависит от ширины Г резонанса; точнее говоря, оно зависит от
относительных размеров ширины резонанса Г и энергетической
протяженности Д£ падающего волнового пакета. Такой
зависимости в общем-то следовало ожидать. Если ширина
резонанса намного меньше, скажем, неопределенности энергии
падающего пакета (Г«СД£), то разрешение по энергиям в
эксперименте окажется слишком низким, чтобы заметить быстрые
изменения сечения, обсуждавшиеся в § 1. В противоположном
же крайнем случае, когда АЕ «С Г, разрешение, несомненно,
может оказаться достаточным для точной регистрации подъемов
и провалов.
В принципе экспериментатор может по своему желанию
регулировать ширину АЕ падающего волнового пакета; однако
на практике возможность управления величиной АЕ
оказывается весьма ограниченной. Это означает, что в случае очень
узкого резонанса те волновые пакеты, которые реально
получают, будут очень широкими по сравнению с резонансом
(АЕ ^> Г); в случае же широкого резонанса доступные
экспериментаторам волновые пакеты могут удовлетворять условию
Д£<Г. В настоящем параграфе мы рассмотрим такое
столкновение, в котором А£ < Г, а в § 4 мы изучим другой крайний
случай: АЕ » Г.
В соответствии со сказанным мы предположим, что
существует резонанс с угловым моментом /, энергией ER и
шириной Г и что в нашем распоряжении имеются волновые пакеты,
протяженность которых по энергии гораздо меньше Г:
Д£<Г.
Для простоты мы на время предположим, что все другие
фазовые сдвиги пренебрежимо малы, т. е. вблизи точки ER полная
амплитуда имеет вид
f(p/*-p) = (2/ + l)f/(p)P,(p'-p)==(2/+l) t-^-Pib'-V),
(13.8)

§ 3. Временная задержка
299
где функция 6/(р) имеет резонансное поведение, обсуждавшееся
в последних двух параграфах. Поскольку на фоне резонанса
с шириной Г волновой пакет ^>(р) выглядит как острый пик,
мы можем трактовать рассеянную волну (13.6) почти точно,
как прежде. Однако, прежде чем вынести амплитуду из-под
знака интеграла, мы приближенно запишем входящий в нее
быстро меняющийся фазовый множитель в виде
ехр [/ а, (р)]«ехр {*• [а, (р0) + а; (р0) (р - р0)]} =
= const Хехр{/[в; (р0)р]}.
Если теперь мы сохраним эту явную зависимость фазового
множителя от р, а во всем остальном будем действовать, как
прежде, то из (13.6) найдем
iw (х. о—const ^^ S *** (р> «'{р М)-£'] *
Р, (cos 9)
~ Const -L—L ^ин [(г + б;) з, q=
= lf(p0x-p0)^H[(r + 6;)3F/] (13.9)
(с точностью до несущественного постоянного фазового
множителя). Важное различие между полученным результатом и
соотношением (137) состоит в том, что сферическая рассеянная
волна фРасс пропорциор альна нерассеянной волне, взятой не
в точке гЗ, а в точке (г + 6/) 3 . Это означает, что рассеянная
волна распространяется во все стороны, всегда отставая на
расстояние
от нерассеянного волнового пакета (фиг. 13.8).
Полученный результат обычно преподносят в виде
утверждения о том, что рассеянная волна испытывает задержку на
время т = lfv0t или
1 d6t _ dbt
vQ dp dE
(13.10)
В такой записи выясняется, что производная фазового сдвига
не может принимать произвольных отрицательных значений:
если б/ < 0, то рассеянная волна опережает нерассеянную
волну. Но ни при каких обстоятельствах рассеянная волна не
может, естественно, появиться раньше, чем падающая волна
достигнет мишени. Поэтому максимально возможное время

300
Гл. 18. Резонансы
опережения по порядку величины равно а/и0> где а — размеры
мишени. Это означает, что величина т должна быть большей,
чем -~a/v0> или
do
(13.11)
То есть фазовый сдвиг никогда не может убывать так, чтобы
наклон его графика был меньше, чем наклон, определяемый
величиной —а. Конечно, никаких такого рода ограничений не
накладывается на возрастание функции б/(р), потому что
указанная задержка может принимать любое положительное
значение. В самом деле, согласно широко распространенному
мнению, реальный резонанс соответствует временному захвату
падающей частицы в метастабильное состояние, которое затем
*•••••
Фиг. 13.8. Рассеянная волна отстает от нерассеянной волны на расстояние £.
Отметим, что в действительности расстояние I оказывается меньше, чем размеры
исходного волнового пакета, и поэтому изображенные два волновых пакета должны
перекрываться. (См. (13.12).]
распадается спустя некоторое (положительное) время т, вновь
испуская первоначальную частицу. Таким образом, в случае
реального резонанса производная dbrfdp всегда оказывается
положительной, причем величина ее может быть сколь угодно
большой.
Важно отметить, что с точностью до временной задержки т
обсуждаемая рассеянная волна (13.9) (для которой АЕ «< Г)
ведет себя точно так же, как рассеянная волна (13.7),
соответствующая нерезонансному случаю. В частности, для
вычисления сечения мы интегрируем величину |^расс|2 по переменной г
в пределах от 0 до оо и, очевидно, получаем обычный
результат do/d£l = \f\2. Таким образом, в этом случае в измеренном
сечении в самом деле будут те подъемы и провалы, которые
обсуждались в § 1.
Следует также отметить, что на фиг. 13.8 в действительности
представлен до некоторой степени искаженный* рисунок, по-

§ 4. Распад резонанса
301
тому что в эксперименте обсуждаемого типа расстояние g
между рассеянной и нерассеянной волнами всегда оказывается
гораздо меньшим, чем размеры первоначального волнового
пакета, и потому указанные две волны почти полностью
перекрываются. Легко установить причину, по которой это происходит.
Расстояние, на которое отстает рассеянная волна, равно
так как dSjdE ~ 1/Г; в то же время размеры первоначального
волнового пакета удовлетворяют условию
Размеры пакета ^ -т— = -~ .
Но в обсуждаемом эксперименте Д£ «С Г и, следовательно,
Размеры пакета »£. (13.12)
Отсюда следует, что эксперимент такого типа (когда Д£ <С Г)
хотя и подходит для измерения сечения как функции энергии
в области резонанса, не является методом практического
измерения временной задержки. Во всяком случае, если
обусловленная данным резонансом задержка имеет заметную величину,
то этот резонанс имеет малую ширину Г, и на практике мы не
сможем создать такой начальный волновой пакет, для
которого ширина Д£ была бы много меньшей Г. По этой причине
мы перейдем теперь к рассмотрению резонанса, ширина
которого меньше, чем размеры имеющихся в нашем распоряжении
начальных волновых пакетов.
§ 4. Распад резонансного состояния
Согласно принятому выше ходу рассуждений, мы должны
теперь рассмотреть резонанс со столь малой шириной Г, что
имеющиеся в нашем распоряжении пакеты будут гораздо более
широкими:
Д£>Г.
На минуту предположим, что этот резонанс является чистым
брейт-вигнеровским резонансом (бф0Н = 0), когда
E-ER — /Г/2
S/ = Е - ER + /Г/2
или
f !___Л__
" — 2р £-£д + /Г/2 *

302 Гл. 13. Резонансы
Таким образом, если (как и прежде) предположить, что все
другие фазовые сдвиги пренебрежимо малы, и подставить эту
амплитуду в соотношения (13.8) и (13.6), то
* (xt) , const - [ (Рр ф(р)Р1{*'д) е* ^-W
Теперь мы можем выполнить интегрирование по угловым
переменным, от которых зависят только функции ф (р) и Pi (х • р).
При таком интегрировании функция </>(р) просто переходит
в свою компоненту <£/(£), соответствующую угловому моменту /'):
ТУ]{Я) ? 4>t(E)eiipr-Ei)
Фрасс (X, t) -► COnst — J p /t rfp E_E .
о *
Далее мы переходим к приближенному выражению для
экспоненты:
P*Pr + -^-(E-Er) = Pr + ^=^-
н
и, следовательно,
ехр [I (рг - £01 * ехр [/ (pRr - ERt)] ехр [- / (Е - £Л) (/ - -jf-)] .
В то же время, используя предположение Д£ ^> Г, мы выносим
волновую функцию <t>i{E) из-под знака интеграла. (Это
преобразование оказывается недопустимым, когда разность t — rfvR
мала, так как остающийся интеграл сходится слишком
медленно. Таким образом, наше приближение будет неоправданным
в непосредственной близости от тех точек, которые
удовлетворяют соотношению t — r/vR = 0.) Мы получаем, что при
больших г
*{пг-Е&)
Фрасс <*• ') = C0I1St • TYi W Ь (ER) —^7г X
PR'
X 5 dEe e_Er + it/2 . (13.13)
Для завершения расчета мы можем заменить нижний предел
р интеграле на —оо без заметного изменения величины
интеграла, а затем использовать контурное интегрирование (см. за-
1) Поскольку функция Ф(р) заметно отличается от нуля только при
значениях аргумента, близких к вектору р0, направленному вдоль оси z,
разложение величины Ф(р) по сферическим функциям содержит только
члены с т=0: Ф(р) = (тр)""1'2 J] Ф/ (Е) Y]{p). Т;:ким образом, когда произ-
ведение Ф(р)Р/(х«р) интегрируется по всем углам, результат
пропорционален величине р~^гФ1 (£) Y\ (х). %

§ 4. Распад резонанса
303
дачу 13.3). Выполняя указанные преобразования, мы получаем
|*расс(^0|2 = 2лтГ2|^(х)р|^(£Л)р
-Г (t-r/vR)
PS2
(13.14)
где
в(х)
-{
0 при х < 0,
1 при х > 0.
Результат (13.14) дает нам возможность предвидеть те
данные, которые будут регистрироваться счетчиком,
расположенным в любом фиксированном положении (фиг. 13.9). До
момента времени r/vR (т. е. при / < r/vR) рассеянная волна равна
Фиг. 13.9. Профиль интенсивности рассеянной волны (13.14) как функция
от расстояния г в любом фиксированном направлении.
нулю, что является отражением того факта, что частица,
имеющая скорость порядка vR, не могла еще достичь точки
наблюдения. В момент времени /= r/vR волновой фронт приходит
в эту точку. [Отметим, что мы не можем предсказать точную
форму волнового фронта, потому что при t ж r/vR наше
приближение работает плохо. В действительности точная форма
волнового фронта зависит от тонкостей поведения функции
ф(р).] После момента времени r/vR (т. е. при f>r/vR)
наблюдается рассеянная волна с угловой зависимостью |F/(x)J2, а
интенсивность убывает со временем экспоненциально, e~vt.
Конечно, такое поведение точно совпадает с характерным
поведением метастабильного состояния, имеющего энергию ER и
угловой момент /, которое образуется в момент времени t = 0,
а затем распадается по экспоненциальному закону со средним
временем жизни 1/Г. Следовательно, полученный результат
оправдывает утверждение о том, что Z-волновой резонанс с
шириной Г является метастабильным состоянием, у которого
угловой момент /, а среднее время жизни 1/Г.
Интересно следующее: если мы используем выражение
(13.14) для расчета дифференциального сечения, то, очевидно,
из-за множителя |<^(£д)|2 результат будет явно зависеть от
формы падающего волнового пакета ф(р) (см. задачу 13.4).

304
Гл. 13. Резонансы
В частности, как и следовало ожидать, в окрестности очень
узкого резонанса дифференциальное сечение не выражается
известной формулой do/dQ = |/|2 !).
Резюмируем сведения, полученные в последних двух
параграфах: если мы хотим измерить резонансные всплески и
провалы в сечении, как функции от энергии, то для достижения
необходимого разрешения по энергиям нужно использовать
такие волновые пакеты, которые удовлетворяют условию
Д£<Г. (13.15)
В гл. 13, § 3 мы видели, что, когда это условие выполняется,
сечение в самом деле задается обычной формулой и для
обнаружения указанных всплесков и провалов измерения могут
проводиться обычным способом. Если же мы хотим измерить
величины, определяющие экспоненциальный закон распада
соответствующего метастабильного состояния, то, очевидно,
нужно позаботиться о том, чтобы момент образования
метастабильного состояния был определен лучше, чем момент распада.
Поскольку тот момент времени, в который происходит
образование метастабильного состояния, известен с неопределенностью
порядка Ax/v (где Дл: —размеры первоначального волнового
пакета), из сказанного вытекает требование:
v ^ Г
или
и, следовательно,
Г«Д£. (13.16)
Как мы только что убедились, действительно можно измерить
характеристики экспоненциального распада, если указанное
условие выполняется. Условия (13.15) и (13.16) ясно показы-
1) Следует также заметить, что из-за множителя Г|Ф*(Я)|2 сечение
отзывается чрезвычайно малым. Именно этого и следовало ожидать: узкий
резонанс распадается медленно, и поэтому он образуется с малой
вероятностью. Так, очень узкие метастабильные состояния обычно не образуются
непосредственно, как описано выше. Например, нестабильное ядро 210Ро
представляет собой узкий резонанс (Г ~ 10~18 эВ!), наблюдаемый при энергии
6,4 МэВ в системе, состоящей из альфа-частицы и ядра 20бРЬ. Однако на
практике такое ядро никогда не образуется в столкновениях альфа-частиц,
имеющих энергию 5,4 МэВ, с ядрами 20бРЬ. Вместо этого оно может быть
образовано, например, в неупругом процессе
d + 209Bi -> п + 210Р0.
Эти соображения не затрагивают наших выводов относительно
экспоненциального закона распада такого резонанса.

§ 4. Распад резонанса
305
вают, что эксперименты рассмотренных двух типов являются
дополнительными (в смысле принципа дополнительности Бора)
и взаимно исключают друг друга при каждой конкретной
постановке эксперимента.
В заключение заметим, что до сих пор мы ограничивались
рассмотрением простейших ситуаций, и потому теперь должны
исследовать вопрос о том, как обобщить наши рассуждения.
В последних д;,вух параграфах мы предполагали, что все
нерезонансные фазсовые сдвиги пренебрежимо малы. Если это
условие не выполняется, то мы должны только записать амплитуду
и вслед за этшм рассеянную волну \|)paCc в виде суммы двух
слагаемых, одгао из которых соответствует резонансной
парциальной волне, а второе — всем другим парциальным волнам.
После этого ашализ резонансной части выполняется точно, как
прежде.
В настоящее параграфе было сделано дополнительное
важное предположение о том, что рассматриваемый резонанс
является чистым брейт-вигнеровским резонансом (6фОН = 0). Если
это предполож«ение не выполняется, то мы можем записать
резонансную амшлитуду в виде
и=
5,-1 _ еарр/^^ + брез)]-!
Tip Tip
л ЛО'Х \ еХР (2'6рез) ~~ Х _L ехР (2/6Фон) - 1 _ ,рез , .фон
= ехр(:2*6ф011) Wp + Wp = /, +ff .
Слагаемое fie3 с точностью до фиксированного фазового
множителя совпадает с той амплитудой, которую мы обсуждали
выше; в то жее время слагаемое f*0H представляет собой
константу, которую, следовательно, можно объединить с вкладом
от нерезонансшых парциальных воли. Таким образом, в общем
случае рассеяшная волна в окрестности узкого резонанса
состоит из двух частей. Первая, «быстрая» часть обусловлена
нерезонансными .парциальными волнами вместе с величиной fj°л;
она приходит без задержки и имеет неискаженную форму.
Вторая часть волшы обусловлена величиной /[ез; она имеет
длинный экспоненциальный хвост, соответствующий распаду
резонансного метасггабильного состояния.
Конечно, есть и более сложные возможности. Ранее уже
упоминалось о» том, что не существует каких-либо
теоретических аргументов, запрещающих функции Si(p) иметь
многократный полюс в шижней полуплоскости. В случае такого
многократного полю(са анализ можно было бы провести в точности
теми же методами (см. зядачу 13.5). Такой анализ привел бы
к иной энергетшческой зависимости сечения (например, двойной

303
Гл. 13. Резонансы
полюс может быть причиной двойного пика) и к несколько
отличающемуся закону распада.
Наконец, вполне возможно, что функция S/(p) имеет
несколько полюсов, расположенных вблизи вещественной оси и
рядом друг с другом. В этом случае при любом значении
энергии нельзя найти какой-либо один доминирующий полюс и все
они должны быть учтены (возможно, статистически, если их
очень много). По аналогии с тем, как один полюс соответствует
одному метастабильному уровню энергии, мы можем считать,
что несколько полюсов соответствуют нескольким уровням,
расположенным близко друг к другу; тогда «одночастичная»
формула Брейта — Вигнера (13.4) заменяется на соответствующую
«многочастичную» формулу.
Задачи
13.1. а) Предположите, что s-волновая функция Иоста имеет нуль в точке
р = lot. (a — вещественно) вблизи начала координат. Аппроксимируя функцию
4 (р) выражением Р(Р— /а), определите поведение s-волновой амплитуды и
сечения вблизи порога. Покажите, что сечение будет одним и тем же
независимо от того, находится ли указанный нуль на положительной или на
отрицательной мнимой полуоси. (То есть если говорить о рассеянии, то не
существует какого-либо способа отличить связанное состояние от виртуального
состояния.) Покажите, что длина рассеяния а равна просто 1/а.
б) Сделанное выше приближение эквивалентно сохранению только
первого члена в разложении по эффективному радиусу (12.29). Покажите, что
если сохранить два первых члена, то знание точки р = ta, в которой
расположен нуль функции 4, приводит к соотношению между длиной рассеяния и
эффективным радиусом вида (1/а) -f (г0/2)а2 + а = 0. Указание: если
величина /(ia) равна нулю, то в точке ia функция 8 (р) имеет полюс и ctg б (fa) =/.
Эта задача имеет особенно непосредственное отношение к яр-системе.
В триплетном состоянии лр-системы существует связанное состояние
(дейтрон) вблизи порога, так что знание энергии связи дейтрона дает
соотношение между длиной рассеяния в триплетном состоянии и эффективным
радиусом. В синглетной лр-оистеме существует виртуальное состояние вблизи
порога, положение которого можно, следовательно, найти, измеряя длину
рассеяния в синглетном состоянии и соответствующий эффективный радиус.
Оказывается, что синглетное виртуальное состояние расположено гораздо ближе
к порогу, чем триплетное связанное состояние, и потому при низких
энергиях определяющую роль играет рассеяние в синглетном состоянии.
13.2. Покажите, что в случае прямоугольной потенциальной ямы s-вол-
новой фазовый сдвиг равен
6о (р) = - pa + arctg (j- tg kajt
Где k = (p2 -f- 2mV0)4ty a V0 и а — глубина и ширина ямы. Отсюда покажите,
что в случае очень глубокой ямы существуют регулярно расположенные
низкоэнергетические (Е < V0) s-волновые резонансы с энергиями ER,
определяемыми формулой kR = (2п + 1)л/2а. Покажите, что эти резонансы имеют
ширину Г = ря/та и проверьте утверждение о том, что в случае достаточно
глубокой ямы эта ширина будет много меньше промежутков между резонан-
сами. Обратите внимание на то, что резонансы имеют фоновый фазовый сдвиг

Задачи
307
13.3. Чтобы получить экспоненциальный закон распада (13.14), мы
должны были вычислить интеграл вида
—оо
С помощью контурного интегрирования покажите, что этот интеграл равен
нулю при т < 0 и равен —2nie~ гт/2 при т > 0.
13.4. Исходя из формулы (13.14) для величины |i|?pacc|2 и используя наши
стандартные методы получения сечения, покажите, что в случае узкого
резонанса
£-S^r.(«,,|rW.
где w(E) = (p/m) f dQ\<f>(p) \2 — отнесенная к единичному интервалу
энергии вероятность того, что энергия падающего волнового пакета будет равна
£. Заметьте, что величину Tw(ER) можно интерпретировать как вероятность
того, что энергия падающей частицы будет находиться в интервале Г около
значения Er.
13.5. а) Следуя рассуждениям гл. 13, § 1, опишите поведение фазового
сдвига и сечения в окрестности двойного нуля функции Иоста в области
{Im р < 0}, расположенного вблизи вещественной оси. Проделайте то же
самое для двух однократных нулей, расположенных вблизи вещественной оси и
рядом друг с другом. Сначала считайте выполненным условие бф0н = 0.
б) Рассмотрите узкий резонанс, задаваемый полюсом порядка л,
расположенным вблизи вещественной оси. Покажите, что закон распада такого
резонанса выражается произведением экспоненты е на полином степени
2(лг — 1) по переменной L [Для этого требуется только вычислить интеграл
(13.13), записанный для случая полюса порядка п.]

ГЛАВА 14
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ОДНОКАНАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ
В настоящей главе рассмотрим несколько не обсуждавшихся
до сих пор вопросов. В § 1 и 2 обсудим кулоновское рассеяние,
которое требует особого рассмотрения, потому что в этом
случае потенциал не удовлетворяет условиям предыдущих глав.
В § 3 опишем борновское приближение в методе искаженных
волн, которое часто используется вместо обычного борновского
приближения, когда потенциал слишком силен и обычное
борновское приближение оказывается ненадежным. В § 4 обсудим
совершенно иной подход к расчету амплитуды—так
называемый вариационный подход. Наконец, в § 5 дадим краткое
введение в теорию /(-матрицы, указав ее определение и различные
приложения.
§ 1. Кулоновское рассеяние
Настоящий параграф посвящен обсуждению рассеяния двух
заряженных частиц, взаимодействующих посредством кулонов-
ского потенциала
V(r) = ±&-.
При г—*оо этот потенциал убывает слишком медленно и
потому не удовлетворяет условиям, с помощью которых были
доказаны все наши основные результаты — асимптотическое
условие, асимптотический вид стационарных волновых функций
и т. д. При рассеянии на кулоновском потенциале эти
результаты оказываются фактически неприменимыми. Причина в том,
что потенциал убывает настолько медленно, что его влияние на
частицы сохраняется даже тогда, когда частицы движутся вдали
друг от друга. Поэтому, к примеру, орбита рассеяния никогда
не ведет себя как свободная орбита даже при t—► zhoo и
асимптотическое условие
UWI+>T^r-u°W|*-n/ta> <14Л>
не выполняется.
Существуют два способа преодолеть эту трудность. В
первом случае делается заключение, что асимптотическое условие
(14.1) представляет собой гораздо более сильное условие, чем

§ 1. Кулоновское рассеяние
309
то, которое используется в эксперименте. На практике мы
никогда не находим полный вектор состояния U(0I^)> чтобы
проверить, что при /—►rfcoo он ведет себя как свободный вектор
состояния. В лучшем случае измеряют небольшое количество
наблюдаемых (импульсы, кинетическая энергия и спин; все они
коммутируют с #°) и проверяют то, что они приближаются к
постоянным величинам. Несомненно, справедливо утверждение
о том, что если асимптотическое условие (14.1) выполняется,
то при /—►dr00 все эти наблюдаемые станут константами.
Однако если найдено, что асимптотические значения этих
наблюдаемых равны постоянным, то ни в коем случае нельзя сказать,
что асимптотическое условие (14.1) выполняется. Отсюда
возникает мысль о возможности построить теорию рассеяния,
основанную на более слабой по сравнению с (14.1) формой
асимптотического условия. Такая более общая теория рассеяния
включала бы в себя обычную теорию для короткодействующих
потенциалов в том виде, как она изложена в настоящей книге, и
давала бы возможность работать с дальнодействующими
потенциалами типа кулоновского. Впервые такую точку зрения с
успехом развил Доллард [37], а дальнейшее развитие она
получила в статье Амрейна и др. [38].
Вторая возможность объяснения, к которой мы
присоединимся, состоит в учете того обстоятельства, что чисто
кулоновские потенциалы фактически никогда в природе не встречаются.
Например, в знаменитом эксперименте Резерфорда кулоновское
поле, создаваемое ядром атома золота, полностью
экранировалось на расстоянии в несколько ангстрем за счет находящихся
в атоме электронов. Даже в межпланетном пространстве поле,
создаваемое единичным зарядом, оказалось бы
экранированным на расстояниях уже порядка метра за счет
присутствующих там свободных зарядов. Поскольку в природе кулоновские
потенциалы неизбежно являются экранированными кулонов-
скими потенциалами и поскольку такие потенциалы «имеют
хорошее поведение», реалистический и разумный способ
преодоления вышеупомянутых трудностей должен всегда состоять в
применении некоторого подходящего обрезания.
Чтобы лучше разобраться с некоторыми трудностями в
случае кулоновского потенциала и понять, что происходит при его
обрезании, мы сначала обсудим радиальное уравнение для
какой-то одной парциальной волны. Читатель вспомнит, что для
короткодействующих потенциалов (в действительности для
любого потенциала, убывающего на бесконечности быстрее, чем
1/г) радиальные волновые функции имеют следующий
асимптотический вид, соответствующий свободному движению:
Ф/. р (г) -* const X sin {pr — у Ы + б/). (14.2)

310 Гл. 14. Одноканальное рассеяние
Однако при рассмотрении кулоновского потенциала любое
решение радиального уравнения
имеет асимптотику ')
у (г) -* const X sin I pr — mgl<?2 In r + constl.
To есть фаза решений продолжает расти логарифмически при
сколь угодно больших значениях г. В частности, то решение,
которое при г = 0 обращается в нуль и которое по традиции
обозначается через Ft(pr)y имеет следующую асимптотику:
Ft (pr) > sin (pr — y In 2pr — -% In + <*/).
(14.3)
где мы ввели безразмерную величину
Y p
которая служит в качестве параметра, характеризующего силу
потенциала в кулоновской задаче. Величина а/ представляет
собой так называемый кулоновский фазовый сдвиг, значение
которого, как можно показать, равно2)
a/ = argra+l+/v). (14.4)
Подчеркнем, что, как явствует из соотношения (14.3), кулонов-
ская волновая функция не имеет, однако, фазового сдвига в
обычном смысле. Если выключить кулоновский потенциал
(положив y = 0), то получаем ot = 0 и функция Ft(pr)
вырождается в функцию Риккати— Бесселя ji(pr).
Предположим теперь, что мы резко обрезаем кулоновский
потенциал в точке г = р, т. е. заменяем его потенциалом
V0(r) = < r \ [большие р]. (14.5)
10, г>р)
1) Причину существования члена, пропорционального In г, легко понять,
если подставить полученное соотношение в радиальное уравнение: этот член
сокращается с входящим в уравнение кулоновским членом,
пропорциональным 1/г. Особенно естественно этот результат вытекает из метода
переменной фазы, рассмотренного в гл. 11, § 7 (см. задачу 14.1).
2) Подробности относительно кулоновских волновых функций, амплитуд и
фазовых сдвигов читатель найдет в гл. XI и в приложении В.1 книги [4].

§ 1. Кулоновское рассеяние
311
Потенциал V9(r)—короткодействующий, и поэтому
соответствующий фазовый сдвиг имеет вполне определенное значение,
которое мы можем подсчитать для любого данного /. При г ^ р
радиальная волновая функция пропорциональна кулоновской
функции Fu и при значениях г, близких к р (если только взят
большой радиус обрезания р), функцию Ft можно заменить ее
асимптотической формой (14.3). Используя непрерывность
волновой функции в точке г = р, находим, что для обрезанного
потенциала фазовый сдвиг равен (с точностью до величин
порядка 1/р)
6,' = -Yln2pp. (14.6)
Мы видим, что в случае обрезанного кулоновского
потенциала фазовый сдвиг 6/(р) критически зависит от величины
радиуса обрезания р и что при р—► оо функция б/(р) не
стремится к какому-либо определенному пределу. Выбором р
фазовому сдвигу можно придать в сущности любое значение (по
модулю 2л). Это неблагоприятно для предложенной нами
программы использования обрезанных кулоновских потенциалов.
Однако вполне могло бы оказаться, что даже, несмотря на
критическую зависимость амплитуды от р, та величина, которая
на самом деле измеряется, —сечение — такой критической
зависимостью от р не обладает. Мы покажем, что такая ситуация
имеет место тогда, когда радиус обрезания выбран достаточно
большим, а при измерениях исключаются те направления,
которые находятся в непосредственной близости от направления
вперед (на практике оба эти условия обычно реализуются).
Чтобы рассчитать сечение, нужно рассчитать полную ампли-
ТУДУ f(Pf<~p)y и сначала в целях ориентировки мы
рассмотрим борцовское приближение. Вспомним, что для любого
короткодействующего сферического потенциала это приближение
приводит к следующему выражению для амплитуды:
ОО
f(p'«-p) = -(2n)2m<p'|Vlp) = --y-$ drr sin qrV (г),
О
где q = p' — р — передаваемый импульс. Если этот результат
применить в случае кулоновского потенциала е^/г, то получим
расходящийся интеграл
dr sin qr.
о
Едва ли здесь есть чему удивляться: из нашего обсуждения
радиальной волновой функции должно быть совершенно ясно,
что в случае кулоновского потенциала амплитуда (в обычном

312
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
смысле) не существует. Поэтому борновское приближение не
приводит к ответу на поставленный вопрос.
Далее мы применим борновское приближение к
экранированному кулоновскому потенциалу. Рассмотрим два различных
способа экранирования: экспоненциальное экранирование
yp(r) = ii^e-'/p [большие р] (14.7)
и обсуждавшееся выше резкое обрезание. Для любого из этих
потенциалов расчет в борновском приближении легко
выполняется и приводит, естественно, к вполне определенному ответу.
Для экспоненциального экранирования
'р(Р'«-Р) =
= Z> !*1еХ-1 ^— m<2lg2 [экспоненциальное обрезание]. (14.8)
Ч~ П~ Р большие р q
Мы увидим, что при р->оо эта величина стремится к вполне
определенному пределу, за исключением того случая, когда
q = 0. Это означает, что, за исключением направлений вблизи
направления вперед, амплитуда рассеяния на экспоненциально
экранированном кулоновском потенциале (при больших р)
неотличима от амплитуды — 2me\e2/q2, не зависящей от р.
Для резкого обрезания
/Р(р'«-Р) = ^гЧ1 — cos до) [резкое обрезание]. (14.9)
В этом случае мы получаем вполне определенную амплитуду,
однако при р —► оо эта амплитуда не стремится к определенному
пределу, а бесконечно осциллирует.
На первый взгляд несогласованность результатов (14.8) и
(14.9) кажется удручающей. Амплитуда для экранированного
кулоновского потенциала не только зависит от того, где
производится экранирование, но от того, каким образом это
экранирование достигается. Однако, немного поразмыслив, приходим
к выводу о том, что этого и следовало ожидать — ведь для
чисто кулоновского потенциала вообще не существует какой бы то
ни было амплитуды (в обычном смысле). Кроме того,
исследование разницы между (14.8) и (14.9) показывает, как
преодолеть возникшие трудности. Полученные две амплитуды
отличаются друг от друга входящим в формулу (14.9) слагаемым
(2mele2/q2)cos qpy которое при больших р представляет собой
быстро осциллирующую функцию от переменных р и р''). Что-
!) Столь большое различие между результатами (14.8) и (14.9) возникает
не потому, что в одном случае экранирование производится постепенно, а в
другом — резко. Важную роль играет здесь то обстоятельство, что экрани»

§ L Кулоновское рассеяние
313
бы установить значение этого осциллирующего слагаемого,
вернемся к проделанному в гл. 3, § 5 расчету дифференциального
сечения через амплитуду.
Читатель, вероятно, помнит, что сечение было определено
при рассмотрении большого числа столкновений мишени с
падающими волновыми пакетами, форма и прицельные параметры
которых были определенным образом распределены по
случайному закону. Первый шаг в расчете состоял в том, чтобы
оценить волновую функцию после рассеяния ^аут(р) для любого
данного падающего волнового пакета г()1Ш(р), как это было
сделано при получении формулы (3.16):
-Фаут (Р) = J rf3p <P I S i Р'> ^ин (рО =
- +нн (Р) + -2^Г \ ^Р'6 <£" - Е^ f (Р *- Р'> ^ <Р'> =
= ^ин(р)+^5^Р'/(Р^Р/)^ин(Р/).
Здесь первое слагаемое — нерассеянная падающая волна, и
чтобы исключить из рассмотрения это слагаемое, мы должны
ограничиться измерениями, производимыми в направлениях,
отличных от направления вперед. Интеграл соответствует
рассеянной волне (параметры которой мы и хотим измерить);
в случае амплитуды (14.9), отвечающей обрезанному кулонов-
скому потенциалу, этот интеграл состоит из двух слагаемых,
причем второе содержит осциллирующий множитель
cos qp = cos \2рр sin у J.
В типичных условиях при измерении кулоновского рассеяния
величина рр оказывается очень большой. (Например, в рр-рас-
сеянии при энергии в несколько МэВ, когда экранировка за
счет электронов, входящих в атомы мишени, обеспечивается на
расстояниях порядка р ~ 1 А, имеем рр~1051).) Поскольку
руемый потенциал является дальнодействующим кулоновским потенциалом.
Если бы мы применили эти два различных обрезания к
короткодействующему потенциалу типа юкавского, то при р->оо для обеих получающихся
амплитуд существовали бы пределы, оба эти предела были бы одинаковыми
и этот общий предел совпадал бы с амплитудой, соответствующей исходному
потенциалу.
]) Существуют ситуации, в которых величина рр не равна большому
числу (например, в столкновениях электрона с нейтральным атомом при
энергиях в несколько электронвольт, когда \/р ~ р ~ 1 А); и в этих случаях наш
вывод о том, что сечение не зависит от обрезания, казался бы неоправданным.
Однако все такие ситуации возникают лишь тогда, когда измерять чисто
кулоновское рассеяние оказывается невозможным и когда следует учитывать
эффекты экранировки (в приведенном выше примере — за счет атомных
электронов).

314 Гл. 14. Одноканальное рассеяние
угловые размеры типичного падающего пакета порядка 1° или
около того, указанное осциллирующее слагаемое при
интегрировании обращается в нуль, т. е. не дает вклада в г|)аут(р).
Следовательно, мы можем продолжать рассчитывать сечение,
используя в амплитуде только первое слагаемое, равное
^2те\еч\ц2, и при этом мы будем получать тот же самый
результат, что и для экспоненциально обрезанного потенциала*
Таким образом, при оценке сечений в обычном эксперименте
по кулоновскому рассеянию мы не обнаружим какого-либо на*
блюдаемого эффекта, возникающего за счет различия между
двумя примененными способами экранирования.
Этот пример хорошо иллюстрирует, как, несмотря даже на
то, что амплитуда рассеяния на экранированном кулоновском
потенциале критически зависит от природы экранирования,
наблюдаемое сечение такой зависимостью не обладает: в том и
другом случае сечение задается эффективной амплитудой,
равной —2me\e2lq2. Подчеркнем, что мы не выдвигаем
утверждения об отсутствии какой-либо разницы между потенциалами,
возникающими в результате применения различных методов
обрезания. Ясно, что разница существует и что в принципе она
может быть измерена. Мы утверждаем только следующее: если
обрезания сделаны в достаточно удаленных точках, то
обрезанные потенциалы приводят к результатам, не имеющим таких
различий, которые можно было бы наблюдать в типичном
эксперименте.
Следует также подчеркнуть, что обе амплитуды (14.8) и
(14.9) для экранированных потенциалов остаются конечными
при рассеянии вперед (q = 0), тогда как «чисто кулоновский
предел» — 2meie2/q2 обращается в бесконечность. Поэтому в
очень узком интервале углов вблизи 8 = 0 всегда существует
большое различие между соотношениями для чисто кулоновско-
го потенциала и для его экранированных вариантов. Этого и
следовало ожидать, потому что, грубо говоря, вблизи
направления 8 = 0 рассеиваются те частицы, которые летят с
большими прицельными параметрами, а движение таких частиц,
конечно же, зависит от способа экранирования потенциала.
В частности, при чисто кулоновском потенциале частицы
испытывают некоторое рассеяние при сколь угодно большом
значении своего прицельного параметра, и мы должны ожидать, что
при 0 = 0 сечение обращается в бесконечность.
До сих пор мы исследовали только борновское приближение.
Однако можно показать, что аналогичные результаты
выполняются и для точной амплитуды. Иными словами, точная
амплитуда критически зависит от того, каким образом и где
экранируется кулоновский потенциал, однако наблюдаемые сечения
такой зависимостью не обладают, если только радиус обрезания

§ L Кулоновское рассеяние
315
выбран большим. Здесь мы обсудим только один специфический
способ экранирования — резкое обрезание потенциала в точке
г = р.
Прежде всего исследуем полные трехмерные стационарные
волновые функции. В случае короткодействующего потенциала
такие функции определяются как решения стационарного
уравнения Шредингера, имеющие асимптотический вид
<х I р +) - (2я)-'" [>г + f (рх «- р) ^].
(Для удобства мы направили вектор р вдоль оси г.) Для чисто
кулоновского потенциала никаких решений такого типа не
существует. Однако уравнение Шредингера может быть решено
точно (с помощью гипергеометрических функций), и, в
частности, существует решение
(x|p+c>=ae£^(-/Y, I, ip(r-z)).
Здесь F(a, by z)— вырожденная гипергеометрическая функция *),
a — нормировочный множитель и у = те^/р. Это решение при
(г — г) —>оо имеет асимптотический вид2)
<х | р +с> -* (2яГ3/2 (ехр {/ [pz + y\np(r- z)}} +
+ fc(piE^p)exp[i(pr7VIn2pr)1)> (14.Ю)
где величина
/с (Р' **- Р) = — -^r2- ехР [2i (°о - Y In sin у)]
(14.11)
называется кулоновской амплитудой, а Со — s-волновой куло-
новский фазовый сдвиг.
Мы видим, что кулоновские стационарные волновые функции
отличаются от аналогичных волновых функций,
соответствующих короткодействующим потенциалам, неизбежными
логарифмическими фазовыми множителями, которые появляются как в
падающих, так и в рассеянных волнах. Отсюда ясно, что для
кулоновского потенциала не существует никакой амплитуды
(в обычном понимании). Тем не менее величина fc (р'<-р)
1) См. [4], стр. 421 и последующие.
2) Функция принимает эту асимптотическую форму, когда к
бесконечности стремится разность (г — г), а не г. Однако, поскольку (г — г) = г(\ —
— cos0), указанные два способа перехода к пределу совпадают, за
исключением направления вперед (которое все равно нужно исключить из
рассмотрения). Кроме того, в каждом слагаемом мы указали только основной член;
первая поправка к «падающей» волне равна 0(1Д), и, строго говоря, она
должна быть включена в выражение (14.10).

316
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
называется кулоновской амплитудой и, как мы непосредственно
убедимся, играет роль, аналогичную роли обычной амплитуды,
соответствующей короткодействующему потенциалу.
Если теперь мы обратимся к обрезанному кулоновскому
потенциалу, то внутри области от начала координат до точки г=р
волновую функцию можно связать с кулоновскими функциями,
тогда как во внешней части этой области волновая функция
имеет обычный вид, характерный для любого
короткодействующего потенциала. Далее можно показать, что соответствующая
амплитуда имеет вид
/p(p/<-p)=^-2/Yln2pp/c(p,^p) + U(p^p)> о4-12)
где слагаемое /0сц быстро осциллирует как cos(pp8). Тот же
анализ, который был применен при рассмотрении борцовского
приближения, показывает, что это осциллирующее слагаемое не
дает никакого вклада в сечение, измеряемое в типичных
экспериментах. Так как вклад в сечение дает только первое
слагаемое, фазовый множитель первого слагаемого не влияет на
сечение и мы приходим к простому ответу
Это — знаменитая формула Резерфорда. Замечательно, что
точное квантовомеханическое рассмотрение приводит к тому же
самому ответу, который получается как в классическом
расчете, так и в квантовомеханическом борновском приближении1).
Здесь мы вывели формулу (14.13) как точное выражение для
сечения в случае обрезанного кулоновского потенциала, если
только обрезание производится в удаленной точке и если
только при измерениях не изучается рассеяние в направлениях,
непосредственно примыкающих к направлению вперед.
Второе замечательное свойство результата (14.13) состоит
в том, что именно его мы получили бы в качестве ответа, если
бы мы использовали амплитуду fc в асимптотической форме
(14.10) и просто игнорировали нежелательные логарифмические
фазы. Это свойство является общим для всех случаев
рассеяния с участием кулоновского потенциала: можно просто
игнорировать логарифмические фазы и использовать кулоновские
волновые функции так, как если бы они были волновыми функ-
!) Точная кулоновская амплитуда (14.11) отличается от борновского
приближения, равного —2me\e2/q2, только фазовым множителем. Этот
множитель равен единице, когда определяющий силу взаимодействия параметр у
равен нулю. Поэтому борцовское приближение, как и следовало ожидать,
представляет собой первый член разложения точной амплитуды по степеням
потенциала.

§ 2. Сумма кулоновского а короткодействующего потенциалов 317
циями, соответствующими обычному короткодействующему
потенциалу. В дальнейшем мы познакомимся еще с несколькими
примерами такого рода.
§ 2. Сумма кулоновского и короткодействующего
потенциалов
Огромное количество важных процессов — рассеяние
заряженных пионов на протонах, рассеяние протонов на атомных
ядрах, электронов на ионах и т. д. — включает в себя рассеяние
кулоновскими силами, модифицированными на малых
расстояниях за счет какой-либо короткодействующей силы. Суммарный
потенциал имеет тот же самый дальнодействующий хвост, что и
чисто кулоновский потенциал, поэтому для него сохраняются
все те проблемы, которые обсуждались выше. К счастью, эти
проблемы поддаются той же самой трактовке.
Мы рассмотрим потенциал
V(r) = ^ + VKOp(r),
где для простоты предположим, что короткодействующий
потенциал Укор тождественно равен нулю при значениях г,
больших некоторого числа а. Как и прежде, мы перейдем к
потенциалу, обрезанному в некоторой удаленной точке р, а затем
сравним полученную при этом волновую функцию с волновой
функцией для случая VKOp = 0. С этой целью будем
использовать описание с помощью парциальных волн, начав со случая
Укор = 0.
Решением чисто кулоновского радиального уравнения,
обращающимся в нуль при /- = 0, является функция Fb{pr)y
имеющая асимптотику
Ft (pr) г-ххЛ sin ypr — у In 2pr — у In + otJ,
где а/ — кулоновский фазовый сдвиг. В качестве второго
решения чисто кулоновского радиального уравнения мы выберем
ту функцию, которая обычно обозначается через Gi(pr) и имеет
асимптотику
G/ (pr) -p^s* cos (рг — Y In 2pr — у In + a;).
При г—►О это второе решение расходится как 1/г1, и в чисто
кулоновской задаче оно не играет никакой роли.
Если теперь прибавить к кулоновскому потенциалу член
Укор (О, то суммарный потенциал (с обрезанием в точке р)
определяет три различные области, которые показаны на
фиг. 14.1. В интервале 0 <С г <, а потенциал равен сумме

318
Гл. 14. Одгоканальное рассеяние
кулоновского и короткодействующего потенциалов, в области
а < г < р имеем чисто кулоновский потенциал, а за точкой
обрезания р вообще никакой потенциал не действует. В чисто ку-
лоновской области а < г < р радиальную волновую функцию
можно записать в виде
*>Р(г) = const [Л (pO + tgv^pJCi^r)]. (14.14)
Углом v/ измеряется воздействие дополнительного
короткодействующего потенциала (если VKop = 0, то v* = 0). В случае
обычного короткодействующего потенциала фазовые сдвиги б*
имеют пренебрежимо малую величину при значениях /,
больших некоторого /0 ~ ра\ точно так же в нашем случае V/ « О
Кулоновский плюс
_ короткодеистви- , ,
о ющаи ах Уисто кулоновский f> Потенциал равен нулю
Const (Fl +tgi>t G{)
L2(hT-e™ihb
Фиг. 14.1. Три области, определяемые суммой кулоновского и
короткодействующего потенциалов с обрезанием в точке р.
Указаны волновые функции во внешних областях.
при / > /0 ~ ра. Таким образом, модификация волновой
функции за счет короткодействующей силы происходит только в
некотором конечном числе парциальных волн 0 ^ / ^ /0. Теперь
рассмотрим эти волны более внимательно.
Точка обрезания р расположена далеко, поэтому вблизи нее
мы можем заменить функции Fi и Gt (при любых значениях /
из интересующей нас области) их асимптотическими
выражениями. Таким образом, формула (14.14) принимает вид
Ь.р (г) = const X sin ypr — y In 2pr — j In + Oi + v,J [r^ p].
Сравнивая волновые функции по разные стороны от точки
обрезания р, сразу видим, что новый фазовый сдвиг равен (с
точностью до членов порядка 1/р)
Mp) = tf/ + v/ — vln2/?p.
То есть величина V; равна просто дополнительному фазовому
сдвигу, вносимому короткодействующими силами (в общем
случае эта величина не совпадает с фазовым сдвигом за счет
одних короткодействующих сил). Итак, при г>р радиальная
волновая функция имеет вид
+|. р w=т [*г - ii%t]=i {К - <?1 (ff/+v<~v 1п 2Р(,Щ [г > р].

§ 2. Сумма кулоновского и короткодействующего потенциалов 319
а изменение радиальной функции за счет добавочной
короткодействующей силы равно
4- [e2£(a/+v/~Y ln 2рр) — еп <a'~Y In2pp)] ht —r^^
.^_e240;-v.n2pp)[e2^_1-|(_.)//
Суммируя по всем /, находим, что при г->оо изменение полной
волновой функции (х|р-г) стремится к выражению
(2„)-'>' _L-e-2'vln2<*> £ (21 + \)еЛо1 [V''v< - l]?, (cos Q)eipr.
Таким образом, изменение амплитуды за счет добавочных
короткодействующих сил равно
^e-2IVla2pp£(2/+ 1)e2<a,[y/v,_ ,] Р| (cos Q) =
I
= e-*yb*i»fAWl(p'<-p). (14.15)
Амплитуда для чисто кулоновского потенциала (обрезанного
в точке р) задается выражением (14.12). Прибавляя к ней
добавочную амплитуду (14.15), мы находим, что полная
амплитуда (кулоновская плюс отвечающая короткодействующему
потенциалу) равна
U (Р' *~ Р) = е~21У '" 2"Р 1?С (Р' *~ Р) + /доп (Р' *~ Р)] + /осц (Р' - Р).
По тем же причинам, что и прежде, соответствующее сечение
равно просто
Ж = 1^с + и|2. (14Л6)
где /с — кулоновская амплитуда, а величина /доп, которая
связана с дополнительным воздействием короткодействующих сил,
определяется соотношением (14.15):
/Доп(р'«-р) = 4iZ{2l+ U*2'4em'- 1)Р,(созв). (14.17)
Важно помнить, что в общем случае величина /доп не совпадает
с амплитудой рассеяния за счет одних короткодействующих
сил !).
*) Именно выражение (14.17) мы получили бы в качестве ответа,
определяющего изменение амплитуды при добавлении короткодействующих сил, если
бы мы просто игнорировали логарифмические фазы и рассматривали бы
величины (oi + V/) и oi как обычные фазовые сдвиги.

320
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
Расчет полной эффективной амплитуды /с + /доп не
представляет далее принципиальных затруднений. Чисто кулонов-
ская часть известна в явном виде, в то время как добавочная
короткодействующая часть задается рядом по парциальным
волнам (14.17). В этом ряде кулоновские фазовые сдвиги а/
известны в явном виде, тогда как дополнительные фазовые
сдвиги за счет короткодействующих сил могут быть определены при
помощи интегрирования радиального уравнения до точки, рас-
положеннной вне области действия короткодействующего
потенциала, и сравнения полученного результата с выражением
fi + tgv/Gz.
Тот факт, что сечение (14.16) содержит слагаемое,
связанное с интерференцией между амплитудами fc и /доп, часто
приводит к возможности выполнить такие измерения, которые
невозможны при действии одних только короткодействующих сил.
В наиболее благоприятных условиях может случиться, что
величина /Доп совпадает с амплитудой рассеяния для одних только
короткодействующих сил; в этом случае ситуация особенно
проста. Например, при рассеянии протонов на протонах при
энергиях в несколько МэВ важное значение имеет только s-волновой
фазовый сдвиг vo, и в то же самое время кулоновский фазовый
сдвиг во очень мал. Это означает, что величина vo точно равна
чисто ядерному фазовому сдвигу 60 и что выполняется равенство
/доп==[яд==-^3о5т60.
Отсюда находим (игнорируя тождественность протонов и
наличие у них спина):
^- = |/с + /Яд|2 = |/с|2 + |/ядГ + 2Не^яд =
(da\ , sin260 me\&2 . х /% n t . 8\
Ж)с + —* ' р« sin» 9/2 Sin б•'C0S {*> - 2Y ln Sln J)'
В противоположность чисто ядерному сечению это выражение
зависит от знака ядерного фазового сдвига бо и дает
возможность определить этот знак.
§ 3. Борновское приближение в методе
искаженных волн
Борновский ряд представляет собой разложение амплитуды
по степеням потенциала; он приносит пользу только тогда, когда
рассматривается потенциал, достаточно слабый для обеспечения
очень быстрой сходимости. Если рассматривается слишком
сильный потенциал, например, как это почти всегда случается в
ядерной физике, то необходим какой-то альтернативный подход.
Одним из таких подходов является борновское приближение в

§ S. Метод искаженных волн
321
методе искаженных волн (или просто приближение искаженных
волн).
Приближение искаженных волн может применяться во всех тех
случаях, когда потенциал может быть разбит на такие две части:
V = Vl + Vlu
чтобы для потенциала V\ амплитуда была известна точно (или
по крайней мере для ее вычисления годилось бы какое-нибудь
хорошее приближение), а влияние потенциала У и было слабым.
Тогда, естественно, окажется полезным разложение амплитуды
по степеням потенциала Уц. В частности, первые два члена
такого разложения называются приближением искаженных волн;
в ядерной физике это приближение является одним из наиболее
полезных.
Как это будет обсуждаться в гл. 21, наиболее реалистические
примеры использования приближения искаженных волн
возникают при многоканальном рассеянии. Впрочем, легко
придумать и одноканальные ситуации, к которым этот метод мог бы
быть применен. При рассеянии электронов на атомных ядрах
мы могли бы в качестве У\ взять имеющий точное решение ку-
лоновский потенциал, а отклонение внутри ядер от чисто куло-
новского потенциала описывать с помощью Уц. При рассеянии
электронов на протонах в качестве У\ мы опять могли бы взять
кулоновский потенциал, тогда как спин-орбитальное
взаимодействие описывалось бы потенциалом Уц. В рассеянии протонов
на протонах при энергиях в несколько МэВ s-волновую
амплитуду можно было бы рассчитать, принимая в качестве У\
сильное ядерное взаимодействие (изображаемое, например,
прямоугольной потенциальной ямой), а в качестве поправки У и —
кулоновский потенциал (для всех других парциальных волн
рассеяние было бы чисто кулоновским). Имея в виду любой из этих
примеров, мы можем приступить к описанию метода.
Как обычно, через *(р'-*-р) и |р ±> мы обозначим Г-матрицу
и стационарные состояния рассеяния в случае полного
потенциала V = l/i + Vrn. Через Мр'*-р) и|р±1> обозначим
соответствующие величины для рассеяния на одном потенциале У\.
Для данного обсуждения эти последние величины
предполагаются известными либо точно, либо в каком-нибудь хорошем
приближении.
Сначала выведем точное выражение для полной Г-матрицы,
отправляясь от стандартного результата
<(р'<-р) = <р'|У|р+>. (14.18)
Уравнение Липпмана — Швингера для рассеяния на одном
потенциале Vi дает нам возможность переписать бра-вектор
(р'| в ином виде. А именно, поскольку
I р' -i>=I р') + с° (£' - W) v, | Р' -,),
И Зак. 396

322
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
следовательно,
<Р' 1 = <Р' -I I - <Р' -I I Vfio (£' + /0).
Подставляя это выражение в (14.18), получаем
t(p'<-p) = <P,-i\V\p+)-(p'-i\VlG°(E + lO)V\p+).
Используя уравнение Липпмана — Швингера для полного
потенциала Vу можно переписать последний множитель G°V| p+) в виде
разности | р +) — | р) и получить
^(p'<-p) = <p'-ill/iilP+) + <p/-ilKI|p)
или, ввиду того что последнее слагаемое точно равно величине
*i(p'<-p),
'(p'<-p) = W<-p) + <P'-ilKnlP+>. (14.19)
Этот точный результат известен под различными названиями.
Его называют двухпотенциальной формулой, теоремой Ватсона
или соотношением Гелл-Манна — Гольдбергера. Он выражает
Г-матрицу для полного потенциала V = Vi + Vu в виде суммы
точной Г-матрицы для одного потенциала Vi и определенного
матричного элемента от потенциала Уц. При вычислении этого
матричного элемента используются «минус»-состояние
рассеяния (р'—i) для потенциала Vi и «плюс»-состояние |р+) для
полного потенциала.
Приближение искаженных волн получается из точной
двухпотенциальной формулы, если пренебречь членами более
высокого порядка, чем линейные, по малому потенциалу Уц.
Поскольку первое слагаемое Мр'<-р) не зависит от Кц, а
второе слагаемое содержит первую степень потенциала Vu в виде
явного множителя, переход к указанному приближению
означает, что в состоянии |р+) следует просто полностью
пренебречь влиянием потенциала ]/ц. То есть, полагая | р+)~[ P+i)>
мы получаем в приближении искаженных волн
<(p'<-p)~Mp'<-p) + <P'-il^nlP+i>. (14.20)
Приближение искаженных волн можно сравнить с обычным
борновским приближением
t (р' *- Р) ~ (р' I V | р) [борновское приближение]
для единого потенциала V. Разница состоит в следующем: в
приближении искаженных волн первое слагаемое Мр'*-р)
во всех порядках определяется частью потенциала (Vi)\ второе
слагаемое представляет собой матричный элемент от потенциа-

§ 5. Метод искаженных волн
323
ла Vn, вычисленный не по плоским волнам, а по «искаженным»
волнам, т. е. по состояниям рассеяния, соответствующим
потенциалу Vi. При такой терминологии потенциал Vi выступает
в двух различных ролях: он рассеивает падающую частицу и,
кроме того, искажает волны, которые рассеиваются на втором
потенциале Vn. Поэтому второе слагаемое можно
интерпретировать как борновское приближение для рассеяния на
потенциале Vn в присутствии искажающего потенциала Vi.
С математической стороны борновское приближение
возникает из разложения амплитуды как функции от потенциала
вблизи значения V = 0; приближение искаженных волн
возникает из соответствующего разложения вблизи значения V = Vi.
Точнее, к борновскому приближению приходят, заменяя V на
XV, производя разложение по степеням К и пренебрегая
членами порядка К2 и выше; к приближению искаженных волн
приходят, заменяя V на Vi + XVn и снова производя разложение
по степеням К и опуская члены порядка X2 и выше.
В приближении искаженных волн можно, конечно, выделить
парциальные волны (если рассматриваются
сферически-симметричные потенциалы). Вместо борновского приближения (11.24)
оо
fi(p)~-^\ drl(pr)V (r)h(pr)
О
получаем его почти очевидный аналог:
00
Мр)«Ж/>)--|И drM.P(r)Vu(r)^p(r). (14.21)
О
Недоумение здесь может вызвать только отсутствие звездочки
в первом сомножителе подынтегрального выражения ^\tP(r).
Это вызвано следующей причиной: в полном приближении
искаженных волн (14.20) появляется «минус»-состояние (р'—1|, a
радиальная волновая функция «минус»-состояния отвечает
комплексно сопряженной волновой функции «плюса-состояния (см.
задачу 11.1).
Вместо того чтобы применить приближение искаженных волн
к какой-нибудь реалистической ситуации, мы рассмотрим
искусственную задачу, в которой потенциалы Vi и Vn суть
прямоугольные потенциальные ямы одинаковой ширины. Суммарный
потенциал V = Vi+Vn — также прямоугольная потенциальная
яма, и для него, конечно, может быть получено точное решение.
Если яма Vi глубокая, а яма Vn — мелкая, то мы можем
применить приближение искаженных волн и сравнить полученные
результаты с точным ответом с обычным борновским
приближением, а также с результатами рассеяния на одном потенциале
11*

324
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
Vi. Для простейшего случая, а именно для s-волновой
амплитуды, расчет легко выполняется аналитически (см. задачу 14.2);
некоторые результаты его приведены в табл. 14.1.
Таблица 14.1
5-волновое сечение рассеяния на прямоугольной потенциальной
яме, рассчитанное четырьмя различными способами
р
*
Точное решение
Приближение
искаженных воли
Рассеяние на одном
потенциале V\
Борновское приближение
0
3,89
3,89
4,00
3704,-
1
2,76
2,76
2,81
2479,-
3
0,0493
0,0489
0,0371
ИЗ,—
7
0.0707
0,0719
0,0754
3,-
13
0,000164
0,000168
0,000509
0,3-
25
0,00615
0,00619
0,00626
0,02-
60
0,000517
0,000517
0,000495
0,000637
100
0,0000775
0,0000775
0,0000736
0,0000841
Таблица показывает s-волновые сечения рассеяния при
различных значениях импульса для того случая, когда потенциалы
Vj и Vn—потенциальные ямы шириной а и глубиной 9п2/та2
и л2/4та2 соответственно. В первой строке показаны точные
результаты, во второй — результаты расчета в приближении
искаженных волн, когда потенциал У\ учитывается точно, а
потенциал Vu — до первого порядка. В третьей строке приводятся
результаты, полученные при точном учете потенциала У\, если
полностью пренебречь потенциалом Уц. В последней строке
показано борновское приближение, в котором оба потенциала, У\
и Уц, учитываются с точностью до первого порядка. Импульсы
выражены в единицах 1/а, сечения — в единицах па2. Можно
видеть, что результаты, полученные при полном пренебрежении
потенциалом Уцу неплохо согласуются (расхождение
оказывается меньше 10% в широком интервале энергий) с точными
результатами для потенциала У = Vi+Уц. Однако учет
потенциала Уц в рамках приближения искаженных волн
существенно улучшает дело: согласие с точным результатом становится
великолепным (лучше 1% в широком интервале энергий).
Наконец, из последней строчки можно видеть, что при всех
энергиях, кроме самых высоких, обычное борновское приближение
приводит к ненадежным, нелепым результатам.
§ 4. Вариационные методы
Борновское приближение и приближение искаженных волн
приносят пользу тогда, когда влияние потенциала (или
соответственно части потенциала) слабое. Метод парциальных волн
полезен тогда, когда имеется лишь небольшое количество
фазовых сдвигов, заметно отличающихся от нуля. Теперь опишем

§ 4. Вариационные методы
325
третий, вариационный подход, который связан со способностью
исследователя угадать пробную волновую функцию,
являющуюся приемлемым приближением для истинной волновой функции
изучаемой задачи. Мы начнем с краткого обзора
соответствующего метода расчета энергии основного состояния.
В вариационном расчете основного состояния частицы,
описываемой гамильтонианом Я, первый шаг состоит в том, чтобы
угадать пробную волновую функцию £(х), которая как можно
точнее воспроизводит истинную волновую функцию основного
состояния \|)о(х). После этого вычисляется функционал1)
«iu <с)5> .
Вариационный метод основывается на следующих трех
свойствах этого функционала. Во-первых, функционал е[£] не
зависит от нормировки функции £(х), и если функция £Точн(х)
пропорциональна точной волновой функции основного состояния,
то величина е[£Точн] точно равна энергии основного состояния Е0:
в [£точн] = £о [£точн = Ctyo].
Это свойство наводит на мысль о том, что при удачном подборе
функций £(х) приближенное равенство Е0 « е[£| будет с
достаточной точностью справедливым. Во-вторых, функционал е[£]
обладает свойством стационарности относительно изменений
самой функции £(х) вблизи точной волновой функции. То есть
если
£(х) = £точн(х) + б;(х),
то
еИ = е[£Точн] + 0(6£)2.
Смысл этого очевиден: ошибка в оценке Е0 « е[£] оказывается
минимальной. Наконец, при совпадении пробной функции с
точной волновой функцией функционал е[£] не только стационарен,-
но и принимает минимальное значение, т. е. для всех функций
£(х) имеем е[£]^ Е0. Это означает, что с помощью любой
пробной функции мы получаем верхнюю границу величины Е0.
Кроме того, отсюда получаем возможность однозначно определить
1) Функционал a[f] есть число, зависящее от функции /(*), например:
1
т = \
dxf(x).
о

326
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
лучшую пробную функцию из любого набора таких функций
как функцию, для которой функционал е[£] минимален1).
Вариационные расчеты амплитуд рассеяния выполняются
аналогично расчетам энергий связи, хотя обычно они сложнее
и не всегда обладают указанным желательным свойством: в них
не всегда обеспечивается выполнение принципа минимальности
(или максимальности). Из многих возможных методов мы
опишем только два: методы Швингера и Кона. Оба эти метода
можно использовать для расчета полной амплитуды /(р'-<-р);
при этом пробные функции £(х) выбираются так, чтобы они
аппроксимировали трехмерные волновые функции (х|р+) или
(х| р—). Однако проще и практичнее применять эти методы
к отдельным парциальным амплитудам; при этом пробные
функции £(г) выбираются так, чтобы они аппроксимировали
радиальные волновые функции tyitP{r) (возможно, для удобства
умноженные на некоторую константу). Ниже мы описываем именно
применение вариационного подхода к парциальным
амплитудам.
Метод Швингера. Парциальная амплитуда выражается через
радиальную волновую функцию \|>/, р(г) посредством интеграла
оо
fi(p) = -^\drl(pr)U(r)1pi,P(r).
[Как обычно, U(r) = 2tnV(r).] Если волновую функцию \|)*,р(г)
можно аппроксимировать пробной функцией £ (г), то простейшим
выбором соответствующей амплитуды будет//«—0/р?) \ drjiU£>.
Это выражение переходит в точный ответ, если функция £
совпадает с точной радиальной волновой функцией. Однако
оно, несомненно, не стационарно, так что мы попытаемся
найти более сложное выражение, которое будет
таковым.
*) Следует подчеркнуть, что для однозначного определения той функции,
которая из всего набора пробных функций дает наилучшую оценку, важное
значение имеет существование принципа минимальности, а не просто
принципа стационарности. Так, предположим, что функционал е[£] стационарен, но^
что при произвольных вариациях функции £ вблизи некоторой интересующей
нас функции £точн он не принимает минимального или максимального
значения. Тогда на любом выбранном семействе пробных функций функционал е[£]
может быть стационарным в нескольких точках, ни одна из которых не будет
давать наилучшей оценки. К сожалению, большинство вариационных методов
в теории столкновений не включают в себя принципы минимальности и
потому не могут быть использованы для систематических поисков наилучшей
оценки. (См. [39], стр. 58.)

§ 4. Вариационные методы 32?
Метод Швингера исходит из функционала
1 (И"02
аК1 —
JdrEtf/- UG*U)l '
(14.22)
где G°s=G?lP — свободный гриновский оператор (11.21),
отвечающий угловому моменту /, а £(г)—любая пробная волновая
функция. Прежде всего отметим, что функционал а[£] не
зависит от нормировки функции £(г) и что без какой-либо потери
общности можно выбрать £(г) вещественной. (Вспомним, что
точная радиальная функция имеет вид произведения некоторого
постоянного множителя на вещественную функцию от г.) Далее
покажем, что если функция £точн(0 пропорциональна точной
радиальной функции,
£точн(г) = Сф/>р(г),
то функционал а[£Точн] совпадает с искомой амплитудой. Это
утверждение следует из того факта, что функция £точн(0
удовлетворяет уравнению Липпмана — Швингера
ТОЧН)
откуда видно, что знаменатель в (14.22) равен в этом случае
\ drtT04JJ (1 - G°£/)£T04H = J drb04JJch = с2 J drhUfy. P.
Полученное выражение сокращается с одним из сомножителей
числителя, и мы получаем
а [Сточн] = — Дг \ drjtUb, р = U (Р)-
Наконец, нетрудно показать, что функционал <х[£]
стационарен относительно произвольных вещественных вариаций
функции £(г) вблизи точной функции, т. е. если
е(г)=и.н(г) + в:(г),
то
а'К] = а[гтот„] + 0(4Э2
(см. задачу 14.3). Отсюда следует, что
Мр) = <* [U,J = <*[£] +О (ft^
или
fl(p)=
{\drTfjtf
drt,(U -UG°U)l
+ о (б:)2.
(14.23)

328
Гл. 14. Одноканаяьное рассеяние
Это и есть швингеровское вариационное выражение для
парциальной амплитуды. Если выбранная нами функция £(г)
удовлетворительно аппроксимирует радиальную функцию, то
приближение, получаемое при отбрасывании члена 0(6£)2, должно
оказаться хорошим.
В качестве пробной функции £(г) можно выбрать свободную
волновую функцию ji(pr); такой выбор должен быть хорошим
при слабом потенциале. Тогда швингеровское выражение
принимает вид
! [ drhUh
fi(p) = -i г—г гтг-^-г- (14-24>
Во втором слагаемом знаменателя можно узнать отношение
первых двух членов борновского ряда для амплитуды fi(p). Если
борновский ряд оказывается быстро сходящимся, то это
отношение мало, и мы можем представить выражение (14.24) в виде
разложения:
fi(p)**-jr(\drMt+ \dr]lUG°ufl+ ...).
Последнее показывает, что при тех условиях, при которых бор-
новское приближение приводит к хорошим результатам,
швингеровское выражение (с пробной функцией, выбранной в виде
свободной волновой функции) эквивалентно второму борновско-
му приближению. Следует ожидать, что в общем случае оно
даст более хорошее описание.
Эти результаты можно с успехом проиллюстрировать на
примере прямоугольной потенциальной ямы. Для простоты
рассмотрим только 5-волновую амплитуду при нулевой энергии,
которая равна взятой со знаком минус s-волновой длине рассеяния.
Точное значение этой величины равно (см. задачу 11.5)
Яо= — /о (0) = 1 тж- [точный результат].
(Здесь мы взяли яму единичной ширины, глубина которой
равна Ко, и использовали обычное обозначение U0z==2mVo.)
Прямые расчеты первого и второго борновских приближений, а
также швингеровского выражения (14.24) приводят к следующим
результатам (см. задачу 14.4):
а0« о^ [1-е борновское приближение],
UQ 2Vl
а0« о ПГ [2"е борновское приближение],
До» \Z2Uj5 tno ШвингеРУ1-
(14.25)

§ 4. Вариационные методы
329
Все эти результаты представлены на фиг. 14.2 в виде функций
от глубины ямы. Как и следовало ожидать, все три
приближения дают хорошее описание для случая очень мелкой ямы. При
увеличении глубины ямы первое борновское приближение, а
затем и второе борновское приближение отклоняются от точного
Швингеровский
вариационный
результат
1
i
-2
Точный, результат
(2mVo)ft
Первое
* .-- борновское
^ приближение
\
\
\ Второе
\— борновское
\ приближение
•
Фиг. 14.2. 5-волновая длина рассеяния как функция глубины ямы для
случая прямоугольной потенциальной ямы единичной ширины, имеющей
глубину 70.
результата, причем расхождение не превышает 10% вплоть до
значений С/о ~ 0,5 в случае первого борновского приближения
и до значений С/о* ~ 0,8 — в случае второго. В той же самой
области (при Uo* < 0,8) вариационное выражение отличается от
точного ответа не более чем на 74% и остается
удовлетворительным вплоть до глубин, соответствующих С/о1 ~ 3. Как
точный результат, так и вариационное выражение стремятся к
бесконечности вдоль вертикальных асимптот, причем первому
отвечает асимптота С/о2 = 1,57 (т. е. я/2), а второму —
асимптота С/о = 1,58. (Слева от вертикальной асимптоты точный и
вариационный результаты неразличимы в том масштабе, который
выбран на фиг. 14.2.) Наконец, вблизи значения С/о2~3
вариационное выражение перестает быть надежным (расхождение

330
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
более 10%), что отражает следующий факт: если яма столь
глубока, то использование свободных волновых функций в
качестве пробных функций становится совершенно
нереалистическим.
Метод Кона. В основе вариационного метода Швингера
лежит тот факт, что точная волновая функция удовлетворяет
интегральному уравнению Липпмана — Швингера. Существуют
несколько методов, основанных на использовании
дифференциального уравнения Шредингера, причем один из наиболее важных
был предложен Коном. Он приводит к стационарному
выражению не для самой амплитуды, а для тангенса фазового сдвига.
Как и прежде, мы начнем с вещественной пробной
радиальной функции £(г). Однако мы ограничим класс
рассматриваемых функций теми функциями £(г), которые удовлетворяют
условию
Ш = 0 (14.26)
и имеют асимптотический вид
Здесь т — любая константа (которая может быть различной для
различных пробных функций), а множитель 1/р введен для
того, чтобы удобно было обсуждать предельный переход к
нулевой энергии. Соответствующая точная радиальная функция
£точн(0 удовлетворяет радиальному уравнению, которое мы
запишем в виде
Я£то,н(г) = 0,
где
Поскольку
£точн (г) -т^+ const X sin [pr — у In + б/),
мы видим, что коэффициент тТочн, который входит в формулу
(14.27), записанную для точной функции, равен просто
где б/ — (точный) фазовый сдвиг.
Теперь мы рассмотрим функционал
РИ-т-J dr£(r)DZ(r).

§ 4. Вариационные методы
331
Поскольку /)£точн = 0» имеем, очевидно,
Р [£точн] = Тточн = — tg 6/.
Теперь мы можем показать, что функционал р[£] стационарен
относительно произвольных вариаций функции £(г) вблизи
£точн(0, не нарушающих условий (14.26) и (14.27). Мы
записываем
Е(г) = 5точ..(г) + в:(г)
и затем вычисляем в первом порядке по б£ разность между р[£)
и р[£Точн], которая равна
оо
бр = бт - \ dr gT04UD (61) + («) Z)$T04H]. (14.28)
О
Выполняя в первом слагаемом интегрирование по частям,
находим
оо
бр - бт + [£точн вГ - С,„ Щ; ~2\dr Ю DZro4H. (14.28)
Поскольку выполняется равенство £>£Точн = 0, оставшийся
интеграл обращается в нуль. Кроме того, на нижнем пределе
интегрирования выражение, стоящее в квадратных скобках, равно
нулю, потому что при г = О обращаются в нуль как функция
£точн, так и величина б£. Легко видеть, что подстановка верх*
него предела приводит к значению —бт, а эта величина как
.раз сокращается с оставшимся слагаемым. Таким образом,
с точностью до членов порядка (б£) имеем бр = 0, или
р[£] = р[иЧн] + 0(б£)2.
Наконец, поскольку P[£To4n] = (l/p)tg6b отсюда получаем
7^б< =
= Т -
оо
-\ drZ(r)D£(r) + 0№2.
0
(14.29)
Это и есть формула Кона для фазового сдвига.
Если в качестве пробной функции мы возьмем свободную
радиальную функцию
I (r) = j Ь (рг) -^—► j sin (pr - jIn),

332
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
то для этой функции т = 0 и
При этом формула Кона преобразуется к виду
оо
о
В правой части можно узнать борцовское приближение для
амплитуды fi(p). Когда борновское приближение работает
хорошо, фазовый сдвиг б/, несомненно, мал и потому (l/p)tg6j«
« fi{p), т. е. при тех условиях, при которых борновское
приближение оказывается хорошим, формула Кона со свободной
функцией ji в качестве пробной функции оказывается
эквивалентной первому борновскому приближению. Поскольку при
тех же самых условиях соответствующее швингеровское
выражение эквивалентно второму борновскому приближению,
отсюда вытекает, что, вообще говоря, при заданной пробной
функции принцип Швингера дает лучшие результаты, чем принцип
Кона. Впрочем, следует подчеркнуть, что швингеровское
выражение (14.23) содержит двойной интеграл от выражения,
включающего в себя функцию Грина Gi,Piry r'), и этот интеграл
оказывается очень неудобным для расчетов во всех случаях, кроме
тех, когда пробные функции выбираются в простейшем виде.
Таким образом, преимущества формулы Швингера при
заданной пробной функции могут быть сведены на нет тем фактом,
что формулу Кона можно использовать с гораздо более
утонченными функциями.
Принцип минимальности. Ни один из описанных до сих пор
методов, обладающих свойством стационарности, не
удовлетворяет принципу минимальности (или максимальности). Это
означает, что указанные методы не дают возможности провести
систематический поиск наилучшей оценки на любом заданном
семействе пробных функций. В заключение настоящего
параграфа мы покажем, что при определенных условиях формула
Кона может удовлетворять принципу минимальности А
именно рассмотрим потенциал, для которого не существует
связанных состояний, и будем рассматривать случай / = 0 при
нулевой энергии; в этом случае величина (l/p)tg6z равна просто
взятой со знаком минус длине рассеяния а0.
Прежде всего мы заметим, что поправочный член 0(б£)2
в формуле Кона (14.29) равен просто \ dr(t>l)D(6l). [Именно
этот член был отброшен при записи в первом порядке выраже-

§ 5. К-матрица
333
ния (14.28) для величины 6р.] Поэтому в пределе нулевой
энергии метод Кона приводит к следующему точному результату:
а0
= -х+ J drgDE — J dr(bl)D(6Z).
Для случая /=0 при нулевой энергии оператор D имеет вид
D = —£+U(r),
представляя собой не что иное, как (умноженную на 2т) часть
гамильтониана, связанную с s-волнами. В частности, если для
гамильтониана Н не существует связанных состояний, то этот
оператор положительно определен и выполняется неравенство1)
J dr (6S) D (6S) > 0.
Отсюда следует, что
Я(Г
! — т + \ dr^i^D^ir) [связанных состояний нет]. (14.30)
То есть, когда для гамильтониана Н не существует связанных
состояний, формула Кона для длины рассеяния не только
обладает свойством стационарности при совпадении пробной
функции с точной функцией, но и действительно приводит к
минимальному значению изучаемой величины. Это означает,
что из любого данного семейства пробных функций можно
однозначно определить ту, которая приводит к наилучшей оценке
длины рассеяния а0: ею будет функция, для которой правая
часть неравенства (14.30) оказывается минимальной.
Обобщение последнего результата на случай нескольких
связанных состояний и более подробное рассмотрение
вариационных методов читатель может найти в литературе2).
§ 5. К-матрица
Важным методом математического изучения унитарных
операторов является так называемое преобразование Кэли,
которое выражает любой унитарный оператор через определенный,
1) Здесь требуется проявить известную осторожность, потому что при
г-+оо функция б£(г) стремится к константе и потому не является
квадратично-интегрируемой. Однако указанный результат легко доказывается, если
аппроксимировать функцию б£(г) некоторой обрезанной функцией типа
6£(г)е~ег, где е—малая величина.
2) См. [3], гл. 11, § 3, а также книгу [40], в которой содержится
исчерпывающий обзор вариационных методов.

334
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
связанный с ним эрмитов оператор1). В теории рассеяния
интересующий нас унитарный оператор — это 5-оператор, и его
преобразование Кэли, которое будем обозначать через М,
определяется следующим образом:
M = ;(1_S)(1+S)
-1
(14.31)
Это определение можно обратить:
(14.32)
8 = (1+Ш)(1-Ш)"1.
Из этих двух соотношений сразу видно, что в случае унитарного
оператора S оператор М эрмитов, и наоборот. Полученный
результат представляет в сущности одно из наиболее важных
свойств оператора М. Обычно гораздо легче проверить тот факт,
что данный оператор эрмитов, чем проверять его унитарность.
Таким образом, удобный способ приближенного расчета
оператора S, при котором гарантируется унитарность этого
оператора, состоит в том, чтобы записать оператор S через
оператор М и затем придумать схему приближенного расчета
эрмитова оператора М.
Поскольку при действии оператора S энергия сохраняется,
аналогичное утверждение оказывается справедливым и для
оператора М. Это означает, что, рассматривая, например,
рассеяние двух бесспиновых частиц, мы можем записать равенство
(p'\M\p) = 6{El/-Ep)k(p'<-p).
Входящую сюда величину ft(p'^-p) называют по-разному:
К-матрицей, матрицей реакций, треугольной матрицей, матрицей
Гайтлера; впервые она была введена Гайтлером; важную роль
она играет в вигнеровской теории реакций2).
Следует подчеркнуть, что аналогично Г-матрице на
энергетической поверхности t(p'+-p) /(-матрица &(р'^-р) определена
только на энергетической поверхности ЕР' = ЕР. В действитель-
') Принятое здесь определение преобразования Кэли в действительности
применимо только к таким унитарным операторам, которые не могут иметь
собственное значение, равное —1. К счастью, о-оператор из этого класса.
2) Терминология и обозначения, используемые для /(-матрицы, выглядят
весьма запутанными. Название «матрица реакций» иногда используется для
величины, которую мы называем Г-матрицей. Далеким от совершенства
является наше обозначение, в котором величина k (р' <- р) соответствует
оператору М таким же образом, как величина t(p'*-p) соответствует
оператору R = S — 1. Однако не видно какой-либо возможности построить более
рациональную схему обозначений, не обращаясь к помощи невыносимого
количества алфавитов.

§ 5. К-матрица
335
ности полезно сравнить ее определение с определением Г-ма-
трицы:
S=l+R
<р' I R IР) = 2шб [Е, - Ер) t (р' «- р).
Мы видим, что (с точностью до введенного для удобства
множителя —2ш) /(-матрица &(р'<— р) соответствует оператору М
таким же образом, как Г-матрица t (р'<- р) соответствует
оператору R. Операторы R и М сохраняют энергию (поскольку
оба они являются функциями от о), и поэтому их матричные
элементы содержат множитель 6(ЕР' — Ер). Когда эта дельта-
функция выделена в виде явного множителя, остаются матрицы
/(р'<— p) и &(p'<— p), определенные обе только на
энергетической поверхности Ер> = Ер.
В дополнение к унитарности 5-матрица часто бывает еще и
симметричной. Например, при рассеянии двух бесспиновых
частиц она симметрична в импульсном базисе, т. е. (p'|S|p) =
= (p|S|p'), если только взаимодействия инвариантны
относительно либо вращений, либо преобразования РТ . Если
рассматривается именно такой случай, то /(-матрица одновременно и
эрмитова, и симметрична, а потому также и вещественна.
В этом случае, чтобы гарантировать унитарность оператора S,
нужно просто удостовериться в том, что /(-матрица вещественна
и симметрична.
/(-матрицу можно естественным образом связать
непосредственно с Г-матрицей. Из определений операторов R и М легко
видеть, что
R = 2iM + iMR. (14.33)
Беря матричные элементы от этого уравнения и выделяя в виде
явного множителя общую энергетическую дельта-функцию,
находим (для бесспиновых частиц)
— я*(р'«-р) = Л(р'«-р) —
- ш $ d?p"k (р' <- Р") б (Ef - Ер) t (p" <- р).
Это соотношение известно как уравнение затухания Гайтлера.
Если величина &(р'«-р) уже вычислена с помощью какого-
либо подходящего приближенного метода (выбранного так^
чтобы обеспечить эрмитовость этой величины), то
соответствующая матрица ^(р'<-р) находится с помощью решения
уравнения Гайтлера. Найденная таким образом матрица
автоматически согласуется с унитарностью оператора S.
Все эти представления можно хорошо (хотя и почти
тривиально) проиллюстрировать в базисе углового момента на

336
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
примере двух бесспиновых частиц, взаимодействие между
которыми инвариантно относительно вращений. В этом базисе
оператор S и, следовательно, операторы М и R оказываются
полностью диагональными:
<£', /', m'\S\E,l, m) = 6(E' - E)6n6m.m9, (E)
(. . . \М\. . .) = . . . k,{E)
(. .\R\...)= . . . 2tpf,{E)
Поскольку оператор М эрмитов и диагоналей, его матричные
элементы должны быть вещественными, т. е. ki(E)
—вещественные числа. Выражение (14.32) оператора S через оператор М
принимает вид
1 + ikt
s<~ \-ikt •
из которого совершенно ясно, что величина S/ унитарна (т. е.
имеет модуль, равный единице) тогда и только тогда, когда
ki — вещественное число. Вспоминая, что S/ = ехр(2/б/), мы
можем записать соответствующее обратное соотношение в виде
1-8.
То есть в базисе парциальных волн /(-матричные элементы
ki—не что иное, как тангенсы фазовых сдвигов. Уравнение
Гайтлера выглядит теперь следующим образом:
pfi = ki + ikiPfi-
Его можно решить и получить при этом знакомый результат
fi = —?—Чг- = ""-1—• * a = — e l sin 6/. (14.34)
В заключение отметим, что можно связать /(-матрицу с
определенными стационарными состояниями типа «стоячих
волн», как Г-матрицу можно связать с состояниями | р ±).
Сначала вводим свободный гриновский оператор
Ql) (Е) = 4 [б0 (Е + Ю) + G0 (Е - f 0)].
Из известного вида (10.15) координатных матричных элементов
(x\G°(E±iO)\xf)
следует равенство
(x|G° (Д)|»0—-^-С08Р|Ж-Х-'-
'(,)^-л*/— 2я |х-х'|

Задачи
337
Иными словами, при больших х эта функция Грина
представляет собой смесь равных долей падающих и уходящих волн
и потому называется функцией Грина для стоячих волн. Через
функцию G{S) (E) можно определить стационарные состояния
типа стоячих волн, если использовать уравнение Липпмана —
Швингера
\p(s)) = \p) + Gl(E)V\p(s)).
Теперь легко показать, что
*(Р'«-Р)=-Я<Р'1*ЧР(5)>.
Это /(-матричный аналог известного нам результата t(p' <-р) =
= (p'W\p+).
Задачи
14.1. Попробуйте применить метод переменной фазы, изложенный в гл. 11,
§ 7, к кулоновскому потенциалу. Покажите, что фазовая функция б (г) не
имеет предела (т. е. что фаза радиальной функции продолжает возрастать,
сколь бы большим мы ни выбрали значение аргумента г) и, следовательно, что
фазовый сдвиг не может быть определен (по крайней мере для s-волн).
14.2. Рассмотрите s-волновое рассеяние на прямоугольной потенциальной
яме единичной ширины, имеющей глубину Vo. Запишите точную амплитуду
fo(P, У о) при произвольном значении Vo (см. задачу 11.5) и соответствующую
радиальную функцию i|)0, р(г). Теперь рассмотрите две прямоугольные ямы
(центры которых совпадают) единичной ширины, и пусть яма Vi имеет
глубину Vo, а яма Vn — малую глубину е. Сумма этих ям V = Vi + Vn
является, конечно, также прямоугольной ямой глубиной Vo + е. Рассчитайте
амплитуду /0(р, Vo + e), используя приближение искаженных волн, в котором
потенциал Vi учитывается точно, а потенциал Vn учитывается до первого
порядка. Убедитесь в том, что ваш ответ совпадает с первыми двумя членами
разложения амплитуды f0(p, Vo + e) в ряд Тейлора вблизи значения Vo.
[Чтобы нормировать радиальную функцию ф0, р(г), достаточно при
значениях г, находящихся вне ямы, написать i|?o. р(0 = exp (t'60) sin (pr + йо)-]
14.3. Покажите, что функционал Швингера
<*[£] = ~Т2
[ drl (U - UG°U) £
стационарен относительно произвольных вещественных вариаций функции £(г)
вблизи некоторой функции £о(0 тогда и только тогда, когда функция £о(г)
пропорциональна точной радиальной волновой функции. Указание: запишите
соотношение £(г) = £о(0 + 6С(г) и затем покажите, что в первом порядке

338
Гл. 14. Одноканальное рассеяние
величина ба имеет вид ба = \ dr6t,t\t где
r\(r) = aUT+bU(\-GQU)Z0
(а и Ъ — некоторые числа). Таким образом, при произвольных бС величина ба
может быть равной нулю тогда и только тогда, когда г\(г) — О, т. е. когда
произведение (1—G°U)t$ пропорционально функции /. Это означает, что
ба = 0 тогда и только тогда, когда функция £0 удовлетворяет уравнению
Липпмана — Швингера.
14.4. Рассчитайте s-волновую длину рассеяния для прямоугольной
потенциальной ямы единичной ширины, имеющей глубину V0y в первом и во
втором борцовских приближениях, а также по методу Швингера, принимая в
качестве пробных функций свободные волновые функции [см. (14.25)].
Проверьте тот факт, что все три ответа согласуются друг с другом в случае
достаточно мелкой ямы.

ГЛАВА 15
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
И КОМПЛЕКСНЫЕ УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ
В гл. 11—13 мы видели, что можно получить удивительно
полезные следствия, если позволить некоторым вещественным
с точки зрения физики параметрам (константам связи, энергиям
и импульсам) сойти с вещественной оси и стать комплексными
переменными. И действительно, анализ амплитуд рассеяния как
аналитических функций комплексных переменных стал одним
из наиболее могущественных методов в современной теории
столкновений. Этот метод применялся в атомной и ядерной
физике, но наибольшее применение он нашел в релятивистской
физике элементарных частиц, где, смело можно сказать, с этим
методом было связано 30—50% всех теоретических
исследований, выполненных за последние что-нибудь 10 лет1).
Настоящая глава является введением в те свойства
аналитически продолженной амплитуды рассеяния, которые играли
наиболее важную роль в релятивистской физике элементарных
частиц2). В первую очередь это обсуждение имеет целью
создать для читателя базу, на основе которой он мог бы перейти
к чтению имеющихся нескольких более подробных книг по
этому вопросу3). В § 1—4 мы даем введение в дисперсионные
соотношения, которые представляют собой интегральные
тождества, получаемые при помощи теоремы Коши к аналитически
продолженной амплитуде рассеяния. Мы обсудим
дисперсионные соотношения для парциальной амплитуды как функции
энергии и для полной амплитуды как функции энергии и
передаваемого импульса. В заключение этой части главы мы
кратко обсудим знаменитые двойные дисперсионные
соотношения, известные как представление Мандельстама. В § 5—7 мы
обсудим парциальную амплитуду как аналитическую функцию
1) Джексон [41] сделал обзор статей по теории элементарных частиц за
период 1968—1969 гг. и нашел, что 35% всех статей были посвящены в
первую очередь дисперсионным соотношениям, комплексным угловым моментам
и связанным с этими понятиями вопросам.
2) Читатель может пропустить всю эту главу или отложить ее чтение без
ущерба для понимания последующих глав.
3) Наиболее современное изложение относящихся сюда представлений
содержится в монографии Коллинза и Сквайрса [42]. Более старыми и более
элементарными являются книги [43—48].

340 Гл. /5. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
энергии и углового момента и постепенно подойдем к важному
понятию полюсов Редже.
Прежде чем обсуждать главные вопросы, мы упомянем два
общих пункта. Во-первых, в литературе по физике высоких
энергий можно найти два различных отношения к
дисперсионным соотношениям и комплексным угловым моментам. Одна
крайняя точка зрения состоит в следующем: считают, что на
основе этой техники должна существовать возможность
построить полную релятивистскую динамику (такую точку зрения
часто называют аналитической теорией S-матрицы).
Противоположной крайностью является точка зрения, согласно которой
эта техника представляет собой просто полезный метод,
который можно использовать для анализа и интерпретации данных
(и который, по-видимому, должен выводиться из некоторых
более фундаментальных принципов — вероятно, из релятивистской
квантовой теории поля). Как будет обсуждаться в дальнейшем,
пока еще не ясно, действительно ли первая, более
претенциозная точка зрения обоснована. Поэтому следует подчеркнуть, что
независимо от того, правильна ли первая точка зрения или нет,
уже одна только польза, приносимая согласно второй точке
зрения дисперсионными соотношениями и комплексными угловыми
моментами, служит достаточным основанием для изучения этих
понятий.
Во-вторых, статус результатов настоящей главы имеет
несколько аномальный характер, потому что мы будем
использовать нерелятивистскую квантовую механику для обсуждения
результатов, основная область приложения которых связана
с релятивистскими задачами. В частности, важной частью
некоторых доказательств будет установление поведения
амплитуды при £—► оо, но, когда £—► оо, все реальные задачи
рассеяния неизбежно становятся релятивистскими. Таким образом,
с физической точки зрения наш анализ оказывается логически
непоследовательным. Тем не менее, несмотря на эту очевидную
непоследовательность, есть основания полагать, что наши
результаты действительно дают хорошее приближение во многих
нерелятивистских задачах1). Кроме того, при изучении
релятивистских проблем весьма полезно знать, что действительно
существуют внутренне непротиворечивые модельные теории —
!) Данный пункт действительно весьма тонкий. Дисперсионные
соотношения, даже записанные для амплитуд при низких энергиях, вовлекают в
рассмотрение интегралы от амплитуды при всех энергиях, включая
релятивистские энергии. Однако может так случиться, что вклад в эти интегралы от
больших значений энергии Е окажется пренебрежимо малым (как при
использовании точной релятивистской амплитуды, так и при использовании неточной,
нерелятивистской амплитуды). В этом случае, несмотря даже на
некорректность нерелятивистского доказательства, результат будет справедливым.

§ 1. Парциальные волны '
341
хотя бы и такие, которые нарушают некоторые известные
требования,— в рамках которых можно строго доказать
интересующие нас результаты.
§ 1. Дисперсионные соотношения
для парциальных волн
Дисперсионное соотношение для парциальной волны следует
из аналитических свойств парциальной амплитуды //(£"),
установленных в гл. 12. Поскольку наиболее широкое применение
дисперсионные соотношения нашли в релятивистской теории
рассеяния, в контексте которой потенциал Юкавы обычно
рассматривается как дающий наиболее реалистический
нерелятивистский аналог релятивистской задачи, мы будем
предполагать, что наш потенциал является юкавским потенциалом или
суммой таковых. Для таких потенциалов полученные в гл. 12
результаты можно резюмировать следующим образом.
Как функция от переменной р парциальная амплитуда
/* 577
1 /,(-р)-/,Ы
lip
2ip
/j(p)
(15.1)
является мероморфной функцией (аналитической во всех
точках, за исключением полюсов) в области, показанной на
Связанные
состояниями
р-плоскость
Резонансы
8т
Е-плоскость
Га)
(Л
Фиг. 15.1. Области аналитичности амплитуды ft как функции от (а) импульса
и (б) энергии.
фиг. 15.1, а; ее полюсы расположены на положительной мнимой
полуоси, а на участке мнимой оси между двумя точками
ветвления она вещественна. Следовательно, как функция от
переменной £, пробегающей физический лист (который
соответствует полуплоскости {Im/7>0}), парциальная амплитуда ме-
роморфна в области с двумя разрезами, показанной на
фиг. 15.1,6; правый разрез простирается от 0 до оо, а левый —
от точки EL = —(i2/8m до —оо. Эта функция имеет полюсы при
энергиях связанных состояний и, кроме того, вещественна на
участке вещественной оси EL < Е < 0.

342 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
При /?~>оо в верхней полуплоскости функция Иоста /i(p)
стремится к 1. В случае потенциала Юкавы мы можем
распространить этот результат на нижнюю полуплоскость,
используя деформацию контура интегрирования, описанную в *гл. 12,
§ 3. Так как fi(p)—> 1, если р->оо вдоль любого направления,
из формулы (15.1) следует, что амплитуда fi стремится к нулю,
если переменная р (или Е) стремится к бесконечности вдоль
любого направления.
В заключение мы напоминаем, что (см. задачу 12.3) в
каждом соответствующем связанному состоянию полюсе
парциальная амплитуда fi(E) имеет вычет, равный (как функция
С3 d
Фиг. 15.2. Контур, используемый при доказательстве дисперсионного
соотношения для парциальной амплитуды.
от Е) Г = (—1 )z+iy2, где число y связано с асимптотическим
видом нормированной волновой функции соответствующего
связанного состояния
причем величина — а2/2пг равна энергии связанного
состояния !).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы установить
дисперсионное соотношение для парциальной волны, которое
вытекает из прямого применения теоремы Коши. Рассмотрим
интеграл
С
где С—показанный на фиг. 15.2 замкнутый контур, состоящий
из четырех частей Си ..., С4, а переменная Е имеет любое
фиксированное комплексное значение. Подынтегральная функ-
1) В релятивистской теории рассеяния числа y представляют собой
фундаментальные константы связи. Например, в я/У-рассеянии нуклон появляется
как соответствующий связанному состоянию полюс в парциальной амплитуде
с / = 1, / = 7г и с изоспином У2. Вычет в таком полюсе равен квадрату
константы связи пиона с нуклоном.

§ 1. Парциальные волны
343
ция аналитична внутри контура во всех точках, за исключением
точек Е' = Е и Е' — Еп (через Еп обозначены энергии
связанных состояний), в которых она имеет простые полюсы. Таким
образом, по теореме Коши
I = 2m\fl(E) + YJ-E~E]- (15.2)
Если мы допустим, чтобы входящие в контур интегрирования
полуокружности С2 и С4 уходили на бесконечность, то вклад
от этих участков контура обращается в нуль, потому что
функция fi(E) стремится к нулю (по закону £_1i, где ц > 0). Далее,
вклад от части контура С\ можно записать в виде
оо
\ dE' -|ДЬ = J _i^_ [f| (E' + Ю) - П (£' - /0)]. (15.3)
С, 0
Поскольку функция fi(E) вещественна на вещественной оси при
EL < Е < 0, она удовлетворяет принципу отражения Шварца
и, в частности, выполняется равенство
fl(E'-i0) = [f[(E' + i0)}\
Таким образом, величина, стоящая в квадратных скобках в
соотношении (15.3), равна просто произведению 2/ на мнимую
часть функции fi(E' -f Ю). Так как точно такое же рассмотрение
можно провести для контура С3, мы можем записать весь
интеграл следующим образом:
/ = 2г| \ +\ \dE'
^ -с» 0 '
ImhJE' + Ю)
£'-£
Сравнивая это выражение с (15.2), мы приходим к выводу
о том, что
п ^ —оо 0 '
(15.4)
где, следуя традиции, мы принимаем следующее условие: в
подынтегральном выражении вещественные значения
переменной Е' понимаются в том смысле, что им соответствуют точки,
расположенные на верхнем берегу разреза (т. е. вместо £' +Ю
мы пишем £'). Это и есть так называемое дисперсионное соот-

344 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
ношение для парциальной амплитуды1). Оно выражает
парциальную амплитуду fi(E) при произвольной энергии Е через
мнимую часть этой амплитуды на двух разрезах и вычеты Гп.
Чтобы получить физическую амплитуду, мы должны
сместить точку Е на положительную вещественную полуось сверху.
Деформируя контур интегрирования, как показано на фиг. 15.3,
—" О '
Фиг. 15.3. Деформация контура, которая показывает, что происходит с
интегралом (15.5) при перемещении точки Е на вещественную ось.
мы легко можем убедиться в том, что при указанном изменении
переменной Е интеграл вдоль положительной вещественной
полуоси преобразуется следующим образом:
jVi|£ffi-»P $"</£' !°^У + м1т/,(£), (15.5)
О О
когда энергия Е стремится к положительному вещественному
значению. Символом Р\ обозначено здесь главное значение
по Коши несобственного интеграла:
В рассматриваемом случае взятие мнимой части от
дисперсионного соотношения (15.4) приводит к тождеству, тогда как
взятие вещественной части приводит к соотношению
п >■ -оо 0 '
[Е из физической области] (15.6)
Это соотношение выражает вещественную часть физической
парциальной амплитуды через интеграл от ее мнимой части,
интеграл от мнимой части амплитуды на левом разрезе (где, ко-
]) Первоначальное дисперсионное соотношение, выведенное Крамерсом и
Кронигом, относилось к рассеянию света в преломляющей среде; оно
представляло собой интегральное соотношение, подобное (15.4), которое было записано
для показателя преломления л(со) как функции частоты. Поскольку частотная
зависимость показателя преломления я (со) определяет дисперсию, это
соотношение было названо дисперсионным соотношением.
0

§ 1. Парциальные волны
345
нечно же, амплитуда нефизична) и вычеты Гп в полюсах,
отвечающих связанным состояниям.
Важное значение дисперсионного соотношения для
парциальной амплитуды в релятивистской теории рассеяния можно
коротко описать следующим образом. В релятивистской теории
рассеяния обычно считают, что парциальная амплитуда должна
обладать по существу теми же аналитическими свойствами, что
и амплитуда рассеяния на потенциале Юкавы, и потому должна
удовлетворять дисперсионному соотношению общего вида (15.6).
Далее, мнимая часть амплитуды fi на левом разрезе обычно
может быть аппроксимирована с помощью некоторого
небольшого числа параметров. (Эта задача облегчается еще и тем
фактом, что при релятивистском рассеянии значение на левом
разрезе амплитуды рассеяния для процесса а + b-+c + d тесно
связано с ам_плитудами т_ак называемых «перекрестных»
процессов а + с—► б + d и а + d-+c + Ь, где через б, с и 3 обозначены
античастицы, соответствующие частицам ft, с и d.) Вычеты Гп
в полюсах, соответствующих связанным состояниям, могут быть
выражены через основные константы связи. Наконец, на
правом разрезе имеем соотношение1) Im ft =/?|/z|2, которое
позволяет избавиться либо от Re ft, либо от Im // (или же исключить
какую-нибудь подходящую их комбинацию) в дисперсионном
соотношении (15.6). Таким образом, дисперсионное
соотношение для парциальной амплитуды превращается в интегральное
уравнение для одной вещественной функции (либо для Im ft,
либо для Re// или же для некоторой их комбинации), в
котором остальные функции либо известны, либо
аппроксимированы. В принципе такое уравнение можно решить, чтобы
определить парциальную амплитуду; на практике это уравнение по
меньшей мере можно использовать для подгонки расчетов под
известные данные по рассеянию и для определения некоторых
из использованных параметров2).
') Это соотношение часто описывается как следствие унитарности, потому
что оно следует из равенства S/ = exp(2tdz). В релятивистских задачах
амплитуда обычно определяется немного по-иному, так что в этом соотношении
появляется дополнительный зависящий от энергии множитель. Последнее
обстоятельство, очевидно, не затрагивает общего принципа.
2) Сделаем три дополнительных замечания:
1. Не существует какого-либо единого общего метода ни для расчета
Im//, ни для расчета Re fi. Вместо этого амплитуду ft записывают в виде
отношения N/D, где D =/i(p)t а условие унитарности используют для того,
чтобы исключить либо О, либо N и получить интегральное уравнение для N
или D. В этом состоит так называемый N/D-метод.
2. Решая задачу с помощью N/D-метода, нет никакой необходимости
вводить в качестве исходных данных полюсы, соответствующие связанным
состояниям; расчет должен предсказывать связанные состояния как нули
функции D.
3. В релятивистском случае задача усложняется за счет того, что
неизбежно оказываются возможными неупругие процессы.

346 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
§ 2. Дисперсионные соотношения
для рассеяния вперед
Амплитуда, которая интересует нас в первую очередь, — это,
конечно, полная амплитуда /(£, 8), и потому естественно
спросить, нельзя ли и ее рассматривать как аналитическую функцию
своих переменных. Выясняется, что и на самом деле полная
амплитуда является аналитической функцией соответствующих
переменных и изучение ее аналитических свойств уже стало
обширной и плодотворной частью теории столкновений. Мы
начнем с обсуждения специального случая амплитуды
рассеяния вперед /(£,0), которую временно мы будем сокращенно
записывать в виде
f(E,0) = f(E).
Аналитические свойства функции f(E) можно исследовать,
используя уже установленные результаты для парциальной
амплитуды; однако оказывается, что к этой задаче можно столь
же просто подступиться, исходя непосредственно из первых
принципов.
Амплитуду рассеяния вперед можно записать через 7-ма-
трицу на энергетической поверхности следующим образом:
f(E) = — (2я)2 пг <р| Т (£ + Ю)|р>, (15.7)
где Е = р2/2гп (чтобы действительно быть на энергетической
поверхности) и где мы предполагаем, что рассматривается
сферически-симметричный потенциал V (так что вектор р имеет
произвольное направление). Читатель, вероятно, помнит, что
оператор Г (г) аналитичен во всей плоскости z, за исключением
разреза вдоль положительной вещественной полуоси и
полюсов, соответствующих энергиям связанных состояний. Отсюда
немедленно вытекает, что мы должны иметь возможность
продолжить амплитуду (15.7) вверх с вещественной оси в £-пло-
скости и что эта амплитуда будет аналитической функцией по
переменной £, за исключением правого разреза {0 < Е < оо}
и полюсов, соответствующих связанным состояниям. К
сожалению, этот вывод, который в сущности совершенно правилен,
совсем не так очевиден, как это кажется. Дело в том, что в
выражении (15.7) абсолютная величина р импульса р связана
с энергией согласно формуле р= (2т£)^. Если мы переходим
к комплексным значениям £, то величина р также становится
комплексной; и если мы хотим рассматривать функцию f(E)
как аналитическую функцию от переменной £, то мы должны
осознавать, что эта функция зависит от Е как из-за того, что Е
является аргументом Г-матрицы, так и из-за того, что от пер*-

§ 2. Рассеяние вперед
347
менной Е зависят начальное и конечное собственные состояния
импульса.
Поскольку при комплексном значении импульса
собственное состояние импульса |р) не имеет никакого смысла, наша
первая задача состоит в том, чтобы переписать входящую в
соотношение (15.7) Г-матрицу на энергетической поверхности,
представив в явном виде ее зависимость от р. Это легко
сделать, записывая соответствующий матричный элемент через
волновые функции (вспомним, что Т = V -{- VGV):
f(E) = —£\d>xV(r)-
— ~ J dV J dPxe-1»*' V (г') <х' | G (Е + Ю) I x)V (r) е1*-\ (15.8)
Здесь первое слагаемое представляет собой борновское
приближение /борт которое не зависит от энергии (при рассеянии
вперед) и которое поэтому, несомненно, является аналитической
функцией. В соответствии с этим мы записываем
f (E) = f боР,+ 1(Е)
и теперь можем сосредэточить внимание на втором члене
f (Е) = — -gL J d4f J dhe'p Ix-*' Icos °V (r') V (r) <x' \G(E + /0) I x>,
(15.9)
где 0 — угол между вектором (х — х') и фиксированным
направлением вектора р.
Аналитические свойства функции f(E) устанавливаются
довольно легко. Мы уже отвели значительное место подробным
доказательствам результатов для парциальной амплитуды,
поэтому лишь в общих чертах опишем соответствующую
аргументацию. Все подробности читатель может найти в литературе [49,
25]. В (15.9) зависимость подынтегрального выражения от Е
содержится в двух членах: 1) в экспоненте ехр (1р | х — х' | cos 8),
которая аналитична по Е во всех точках, кроме точки
ветвления £ = 0, и 2) в функции Грина (х' \G(E + /0) |х), которая
аналитична везде, за исключением разреза 0 ^ Е < оо и
полюсов, соответствующих связанным состояниям. Если только
интеграл (15.9) сходится достаточно хорошо, аналитические
свойства этого интеграла совпадают с аналитическими свойствами
подынтегральной функции, а для любого потенциала,
удовлетворяющего нашим обычным предположениям (стр. 226), такая
сходимость действительно имеет место. Поэтому функция
f(E) [а равно и функция f(E) = /борн + ](Е)] аналитична во

348 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
всей f-плоскости, за исключением правого разреза и полюсов,
соответствующих связанным состояниям (фиг. 15.4) !).
Чтобы установить дисперсионное соотношение для
рассеяния вперед, нам потребуются еще три следующих результата.
/
-I—*-к-
Е-плоскость
ч
\
\
\
\
\
у
Фиг. 15.4. Область аналитичности амплитуды рассеяния вперед,
определяющая тот контур, который используется при доказательстве дисперсионного
соотношения для рассеяния вперед.
1) При £—►со вдоль любого направления имеем /(£)-* О,
отсюда
/(£)-/борН. (15.10)
Этот результат мы цитировали в гл. 9, § 1; его
доказательство см. в статье [25].
2) При значениях £, расположенных на отрицательной
вещественной полуоси, функция /(£) вещественна. Этот
вывод сразу следует из формулы (15.8), потому что при
Е < 0 гриновский оператор эрмитов. Следовательно, при
любом Е
f(E) = [f(E')]\ (15.11)
3) В полюсах, соответствующих связанным состояниям, вы*
чет функции f(E) равен
r = (-l)/+1(2/+l)Y2,
где, как это отмечалось в предыдущем параграфе, v~~'
асимптотическая нормировка соответствующей нормиро-
!) Позже мы вернемся к тому замечательному факту, что функция f(E)
не имеет левого разреза, несмотря даже на то, что отдельные парциальные
амплитуды его имеют (по крайней мере для потенциала Юкавы).

§ 2. Рассеяние вперед
349
ванной радиальной функции. Это утверждение можно
доказать непосредственно из (15.9), однако его легко
понять, посмотрев на ряд по парциальным волнам
f{E, 8) = Z(2/+l)M£)^(cos8).
Так как мы уже знаем, что каждая амплитуда ft(E)
имеет полюсы в точках, соответствующих энергиям всех
/-волновых связанных состояний, и что соответствующие
вычеты имеют вид (—1)'+V» указанный результат
немедленно устанавливается *).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы вывести
дисперсионное соотношение для рассеяния вперед. Согласно (15.10), при
£—► оо к нулю стремится функция f = f — /борн« Поэтому мы
применим теорему Коши к функции /(£')/(£' — E)t используя
контур фиг. 15.4. Когда та часть контура, которая имеет вид
окружности, уходит на бесконечность, ее вклад в интеграл
обращается в нуль и с помощью соотношения (15.11) мы можем
записать вклад от верхнего и нижнего берегов разреза в виде
интеграла от Im f{E'). (Ситуация — как в случае парциальной
амплитуды. Вспомните, что /борн— вещественная функция.)
Таким образом, мы приходим к дисперсионному соотношению для
рассеяния вперед:
ra-f^+ST^tHS^^
Е
(15.12)
Дисперсионное соотношение для рассеяния вперед обладает
следующими замечательными свойствами: 1) оно совершенно
не зависит от деталей тех взаимодействий, которые приводят
к рассеянию, и 2) часто случается так, что все входящие в это
соотношение величины могут быть измерены или подсчитаны.
Если точка Е движется вниз в физическую область, то
амплитуда f(E) становится физически измеримой амплитудой
рассеяния вперед. Расчет борновской амплитуды часто оказывается
простым. В большинстве практических задач существует малое
количество связанных состояний, и числа Гп могут быть либо
подсчитаны, либо введены в задачу в качестве параметров.
Наконец, наиболее важно то, что под знаком интеграла в
дисперсионном соотношении стоит мнимая часть амплитуды рассеяния
1) Чтобы таким способом доказать этот результат, мы должны сначала
доказать, что ряд по парциальным волнам сходится в окрестности полюсов,
соответствующих связанным состояниям,

350 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
вперед (деленная на Е' — Е), которая, согласно оптической
теореме, равна
Imf (£) = -£• а (£),
где о(Е) —измеряемое полное сечение.
Если все нужные величины либо измерены, либо подсчитаны,
то дисперсионное соотношение для рассеяния вперед дает нам
хорошую возможность проверить непротиворечивость
обсуждаемого подхода. Если известны не все нужные величины, то это
соотношение можно использовать для нахождения некоторых из
них, а иногда и всех их. Интересный пример такого рода
приложений мы находим в задаче рассеяния электронов на
водороде. В этом процессе существует ровно одно связанное
состояние (ион Н~), и поэтому в частном случае нулевой энергии,
когда амплитуда равна взятой со знаком минус длине рассеяния,
соотношение (15.1*2) выглядит следующим образом1):
оо
я = Яборн +-Jr----gjj \ dpo(p). (15.13)
о
Случилось так, что в 1960 г. существовали два противоречащих
друг другу измерения сечения еН-рассеяния о(р). Поскольку
приближенные значения длин рассеяния и вычета Г можно было
сосчитать, а энергия £0 была известна, оказалось возможным
подставить указанные различающиеся данные в соотношение
(15.13) и использовать дисперсионное соотношение для
рассеяния вперед, чтобы выбрать правильный набор измеренных
величин. В физике высоких энергий дисперсионные соотношения для
рассеяния вперед пионов на нуклонах были использованы для
определения лМ-константы связи, квадрат которой
равен.вычету в единственном полюсе этой задачи.
§ 3. Дисперсионные соотношения для рассеяния
на произвольный угол
В течение ряда лет надеялись, что на основе дисперсионных
соотношений удастся построить теорию релятивистского
рассеяния, а для этого важно иметь соотношения более общие, чем
дисперсионное соотношение для рассеяния вперед (15.12).
В частности, если мы должны иметь возможность рассчитывать
1) Реальная задача еН-рассеяния усложняется за счет того, что частицы
имеют спин, а сама мишень является двухчастичной системой. Тем не менее
все равно еще считают, что амплитуды удовлетворяют дисперсионным
соотношениям для рассеяния вперед. Наша упрощенная версия иллюстрирует
основные особенности использования этих соотношений [50].

§ 3. Рассеяние на произвольный угол
351
амплитуду /(£,8) при произвольных значениях переменных Е
и 8, то, очевидно, нужно какое-то соотношение для амплитуды
рассеяния на произвольный угол. Отсюда немедленно возникает
проблема выбора независимых переменных.
До сих пор мы записывали амплитуду в виде /(£,8),
рассматривая Е и 8 как две независимые переменные. Однако
с таким же успехом мы могли бы. записать ее в виде f(E,q)y
например, и рассматривать ее как функцию от энергии Е и
передаваемого импульса q. Если теперь мы захотим обсудить
аналитические свойства функции /, то весьма важно, какие
переменные мы выберем в качестве независимых. Чтобы
разобраться с этим, рассмотрим борновское приближение
оо
f*»n=—2f-\rdr*inqrV(r). (15.14)
О
Здесь в правой части имеем функцию от q. Если рассматривать
амплитуду / как функцию от переменных Е и qt то борновское
приближение не зависит от Е и амплитуда /борн очевидно ана-
литична по переменной Е. Если же мы рассмотрим амплитуду f
как функцию от переменных Е и 8, то /борн является функцией
от [2(2m£),/2sin 8/2], т. е., как функция от Е и 8, амплитуда
/борн не будет независящей от Е, и для доказательства того
факта, что она аналитична по Е, потребовалось бы детальное
исследование интеграла (15.14).
Этот простой пример, казалось бы, показывает, что в
качестве независимых переменных лучше всего было бы выбрать
энергию Е и передаваемый импульс q\ такое заключение по
существу правильно. Действительно, в большинстве случаев
наиболее удобными переменными оказываются Е и q2, причем
основная причина такого выбора состоит в том, что в
релятивистских процессах между переменными Е и q2 существует
внутренняя связь за счет упоминавшейся ранее связи между
амплитудами «перекрестных» процессов. В соответствии со
сказанным рассмотрим амплитуду как функцию f(Etq2) от
переменных Е и q2 и в первую очередь исследуем ее аналитические
свойства по переменной Е при фиксированной переменной q2.
Для особого случая q2 = 0 мы уже показали, что функция
f(E,q2) аналитична по переменной Е и удовлетворяет
дисперсионному соотношению для рассеяния вперед (15.12).
Оказывается, что для установления соответствующих результатов при
q2 Ф 0 мы должны наложить более жесткие ограничения на
потенциал. Для определенности мы будем рассматривать
потенциал Юкавы
е^г
V(r) = y^-r

352 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
(хотя приводимые нами результаты выполняются для
потенциалов, представляющих собой суммы или даже интегралы от
потенциалов Юкавы). В этом случае анализ, полностью
аналогичный проведенному в предыдущем параграфе, показывает,
что при любом фиксированном значении q2 из промежутка
О ^ q2 < 4ц,2 амплитуда f(Etq2) имеет те же аналитические
свойства, как и при q2 = 0, является вещественной функцией
при £<0 и стремится к /борн при Е—► оо. Следовательно, она
удовлетворяет дисперсионному соотношению для рассеяния на
произвольный угол:
/(£>?«)--——+2, Е_Еп +
+ ±\dE'l™pEjf\ (15.15)
о
где первое слагаемое есть просто борновское приближение для
потенциала Юкавы, а угол 8 определяется тождеством cos 8 и
н 1 — q2/4mE.
С помощью методов предыдущего параграфа мы
устанавливаем соотношение (15.15) при1) 0 ^ q2 ^ 4jli2. Однако,
используя описанную в следующем параграфе технику, мы можем
продолжить это соотношение на все значения q2\ таким образом,
в случае потенциала Юкавы амплитуда рассеяния
удовлетворяет дисперсионному соотношению для рассеяния на
произвольный угол (15.15) при любом фиксированном значении q2
из области 0 ^ q2 < оо.
К сожалению, дисперсионное соотношение для рассеяния на
произвольный угол при q2 ф 0 оказывается гораздо менее
полезным, чем соответствующее дисперсионное соотношение для
рассеяния вперед. В первую очередь мы не можем использовать
оптическую теорему, чтобы заменить lrn(E\ q2)
экспериментально измеряемым полным сечением, что мы могли сделать
в случае q2 = 0. Далее, та амплитуда, которая стоит под
знаком интеграла, даже не является физической амплитудой,
несмотря на то что ее аргумент Е' веществен. Дело здесь в том,
что переменная интегрирования пробегает значения от Е' = 0
до оо при фиксированном значении q2. При любой данной
физической энергии Е возможные значения передаваемого
импульсу ограничены соотношением
0<<72<4/?2 = 8т£.
]) См. [3], раздел 10.3.2, или [2], раздел 10.3.

§ 3. Рассеяние на произвольный угол
№
Поэтому при любом заданном передаваемом импульсе
физическое значение энергии Е должно удовлетворять ограничению
Таким образом, б той части интеграла в (15.15), которая
вычисляется по промежутку от 0 до q2/8rny стоит не физическая
амплитуда, а ее аналитическое продолжение на нефизические
значения энергии.
Именно из-за этих трудностей мы должны изучить свойства
функции f(E,q2) как аналитической функции по переменным Е
и q2 и установить «двойное дисперсионное соотношение»,
известное как представление Мандельстама. Но прежде чем
перейти к этому вопросу, мы отметим одно очевидное противоре*
чие, которое заслуживает комментария.
Мы видели, что в случае потенциала Юкавы парциальные
амплитуды //(£) аналитичны во всей ^-плоскости, за
исключением: 1) правого разреза при 0 ^ Е < оо, 2) полюсов,
соответствующих связанным состояниям, и 3) левого разреза
при —оо < Е <; — jm2/8m. Теперь мы убедились в том, что при
любом фиксированном значении q2 полная амплитуда f(E, q2)
аналитична в ^-плоскости везде, кроме правого разреза и
полюсов, соответствующих связанным состояниям, но без какого-
либо левого разреза. Так как
/(£, ?2) = £(2/+l)M£iP/(cos9), (15.16)
то естественно возникает вопрос о том, каким же образом левые
точки ветвления, существующие во всех амплитудах //(£),
могут не проявляться в полной амплитуде /(£, q2).
С математической стороны ответ на этот вопрос совершенно
ясен. Ряд (15.16) сходится при физических значениях Е\ он
сходится также и тогда, когда переменная Е продолжена с
вещественной оси на некоторые части комплексной плоскости.
Однако этот ряд расходится, как только мы переместим точку Е
в окрестность левого разреза. Но если какой-либо ряд
расходится, то аналитические свойства его суммы не имеют ничего
общего с аналитическими свойствами его отдельных
слагаемых1). Таким образом, с математической точки зрения мы
можем просто сказать, что, поскольку ряд по парциальным вол-
х) Рассмотрим, например, функцию z/(z—1), которую можно разложить
оо
в ряд J] 2~п. Этот ряд сходится при \z\ > 1, однако при \z\ < 1 он рас-
ходится. Таким образом, тот факт, что каждый член этого ряда имеет
сингулярность при z = 0, ничего не говорит об исходной функции, которая в
действительности аналитична при z = 0.
12 Зак. 396

354 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
нам (15.16) расходится при значениях Е на левом разрезе, нет
никакой причины полагать, что левые точки ветвления
амплитуд fi(E) должны проявляться в амплитуде f(E,q2) —да они и
действительно не проявляются.
Тем не менее тот факт, что расположенные слева
сингулярности парциальных амплитуд фактически полностью
аннулируются в полной амплитуде, имеет важное значение. Мы
можем взглянуть на этот результат с обратной стороны и
исследовать вопрос о том, как это полная амплитуда f(E,q2),
которая не имеет левого разреза, может приводить к
парциальной амплитуде, имеющей такой разрез. Для выяснения этого
вопроса вспомним, что
1
Ы£)=4 \dzPt(z)f(E,q*), (15.17)
-I
где z = cos 9 = 1 — q2/4mE. В частности, если мы будем
рассматривать s-волновую амплитуду и предположим, что
потенциал Юкавы достаточно слабый, чтобы можно было применить
борновское приближение, то
/ = /боРн = — ц2 + ^2 =— ц2 + 4т£(1_г) (15.18)
и, следовательно,
1
f0(£) = — J dz n* + 4m£(l-2) ~lFInl|i* + 8m£)-
-1
Как и ожидалось, в точке Е =—\i2/8m полученное выражение
имеет точку ветвления. Таким образом, несмотря на то что
полная амплитуда (15.18) не содержит точек ветвления,
парциальная амплитуда их имеет. Этим выводом (справедливым
в действительности для всех парциальных волн)
иллюстрируется тот факт, что левый разрез вводится в парциальную
амплитуду в процессе проектирования (15.17).
§ 4. Представление Мандельстама
В силу уже упомянутых причин дисперсионного соотношения
для рассеяния на произвольный угол недостаточно для
построения расчетной схемы, основанной на использовании
аналитических свойств функции f(E,q2). Чтобы построить такую
схему, мы должны исследовать свойства функции f(Eyq2) как
аналитической функции обеих комплексных переменных Е и q2.
Первый шаг этой программы состоит в том, чтобы исследовать
функцию f(E,q2), рассматривая ее как функцию от q2 при
фиксированном и вещественном £. Эту задачу впервые рассмотрел

§ 4. Представление Мандельстама
355
Леман, который установил, что указанная функция аналитична
по q2 внутри некоторого эллипса, ныне называемого эллипсом
Лемана. Впоследствии этот результат был распространен на
случай потенциала Юкавы и было показано, что в этом случае
функция ](E,q2) = / — /борн аналитична во всей плоскости
переменной ?2, за исключением разреза — оо < q2 ^ — 4tu2.
(Отметим, что этот разрез полностью отделен от физической
области {0 ^ ?2 < оо}.) Доказать сформулированный результат
можно различными способами; наиболее удовлетворителен, по-
видимому, способ Редже, описываемый в гл. 15, § 7.
Привлекательная сторона метода Редже заключается в том, что с его
помощью мы определяем также и поведение функции f(Etq2)
при <72->оо. А именно мы увидим, что функция f(E,q2)
мажорируется некоторой степенной функцией от q2:
f(E,q2) = 0(q2)a (15.19)
при q2 —► оо вдоль любого направления и при любых значениях
переменной Е. В частности, для некоторых потенциалов
(необходимое условие состоит в том, чтобы для такого потенциала
не существовало связанных состояний) показатель степени а
оказывается отрицательным; в этом случае функция f(Etq2)
стремится к нулю при ^2->оо вдоль любого направления.
Предвидя эти результаты, мы можем теперь установить свойства
функции f(E,q2) как функции от переменных Е и q2.
Мы уже знаем, что при фиксированном вещественном
значении q2 амплитуда f(E, q2) удовлетворяет дисперсионному
соотношению для рассеяния на произвольный угол (15.15), которое
в отсутствие связанных состояний мы запишем следующим
образом:
оо
с(Р оч _ 2ут , If dE' v
X [f {Ef + Ю, q2) - f (£' - Ю, q% (15.20)
Напомним, что описанными до сих пор методами это
соотношение доказывается только при 0 ^ q2 < 4jj,2. Однако сейчас мы
увидим, как распространить его на все значения q2.
Исследуя подынтегральное выражение в соотношении
(15.20), мы замечаем, что при фиксированном Ег каждое из
слагаемых аналитично в плоскости переменной q2 с разрезом
от —оо до —4jli2 l). Это наводит на мысль о том, что мы могли
бы теперь записать само подынтегральное выражение в виде
дисперсионного интеграла по переменной q2. В частности, если
1) Существует также полюс в точке д2 = —ц2, обусловленный борнов-
ским членом — 2ym/(q2 + \i2). Однако в подынтегральном выражении вклады
таких полюсов сокращаются, и нам нет нужды их рассматривать, .
J2* *

356 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
показатель степени а в соотношении (15.19) отрицателен и при
<72-*оо функция f(E,q2) -*0, то мы немедленно можем записать
искомое дисперсионное соотношение:
jrlfiE'-j- /0, <г) -/(£'- /0, ?*)] =
~ТГ S l4^9(E\q'% (15.21)
— оо
Здесь функция р(£', <7'2), называемая двойной спектральной
функцией, представляет собой не что иное, как скачок через
разрез в плоскости переменной q2 той величины, которая стоит
в квадратных скобках слева. Очевидно, что функция р(£', q/2)
определена только при 0 ^ Е' < оо и —оо < ^'2 ^ —4ух2 и что
она является вещественной.
Объединяя соотношения (15.20) и (15.21), мы немедленно
приходим к двойному дисперсионному соотношению, или
представлению Мандельстама
оо — 4ц,*
0 —оо
(15.22)
Поскольку дисперсионное соотношение для рассеяния на
произвольный угол (15.20) первоначально было доказано только
при 0 ^ q2 < 4jli2, соотношение (15.22) априори оказывается
справедливым только при тех же самых значениях
переменной q2. Однако читатель очень быстро может убедиться в том,
что интеграл (15.22) аналитичен по q2 при всех значениях q2
(кроме разреза — оо < q2 ^ — 4jj,2) и, следовательно, что этот
интеграл определяет однозначное аналитическое продолжение
функции f{E,q2) на все значения переменной q21). Итак, мы
видим, что физическую амплитуду f(E,q2) можно аналитически
продолжить на комплексные плоскости переменных Е и q2
1) Если при физических значениях энергии Е мы аналитически
продолжаем амплитуду по q2 на физические значения q2 > 4\х2, то мы вновь
приходим к физической амплитуде, потому что мы уже знаем, что функция f(Et
q2) аналитична при физических значениях энергии Е и всех значениях
переменной q2 и что процесс аналитического продолжения приводит к
однозначному результату.

§ 4. Представление Мандельстама 357
с разрезами {0 ^ Е < со} и {—со < q2 ^ — 4\х2} и с полюсом
в точке q2 = —|i2, обусловленным борновской амплитудой (см.
фиг. 15.5). Представление Мандельстама выражает значение
этой функции f(Etq2) при произвольных (вещественных или
комплексных) Е и q2 через одну вещественную функцию
р(£', q'2) [плюс борновский член —2ym/(q2 -f- jj2)].
Представление Мандельстама, в том виде как оно
определяется соотношением (15.22), применимо к потенциалу Юкавы,
для которого не существует связанных состояний и для которого
при q2-+oo имеем f(E,q2) =0(q2)a, где а —отрицательная ве-
Е-плоскость
Физическая о8-
у'масть и разрез
Связанные
состояния
Фиг. 15.5. Амплитуда f(E,q2) в случае чистого потенциала Юкавы анали-
тична в области, представляющей собой прямое произведение плоскостей Е
и q2, имеющих указанные разрезы.
личина. Выясняется, что в том случае, когда связанные
состояния существуют, число а, несомненно, будет положительным,
и поэтому представление Мандельстама изменяется в двух
направлениях. Во-первых, появляются полюсы, соответствующие
связанным состояниям. Во-вторых, функция f(Eyq2) не
стремится к нулю при q2 —►со и наш обычный метод вывода
дисперсионного соотношения не работает. Мы можем поступить
следующим образом: применить наш обычный метод к функции
f(E,q2)/(q2)m, где т — любое целое число, превышающее а.
При q2-+oo такая функция стремится к нулю, и единственное
ее неприятное свойство — полюс m-го порядка в начале
координат. Из-за этого в дисперсионном соотношении появляются
дополнительные члены, которые легко вычислить, используя
стандартный результат
Таким образом, мы можем написать дисперсионное
соотношение по переменной q2t которое затем подставляется в
дисперсионное соотношение для рассеяния на произвольный угол,
Полюс оорнов-
скои
амплитуды при о- -/и2
,Раэрез\
-4р*
у*-плоскость
Физическая
область
/ Яг>0

358 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
после чего мы получаем то соотношение, которое называется
представлением Мандельстама с m вычитаниями1):
v=0 О
{£Г_ [ dE* "Г dQ'2 p(E',q'*) n- 9q.
0 —oo
В этом соотношении полюсы при Е = Еп соответствуют, как
и прежде, связанным состояниям, а члены степенного ряда по q2
проистекают от обсуждавшегося выше кратного полюса в точке
q2 = 0 (см. задачу 15.2).
Важное значение представления Мандельстама для
релятивистского рассеяния можно бегло обрисовать следующим
образом. При нерелятивистском рассеянии основополагающим
динамическим уравнением, из которого выводятся все
результаты (включая и представление Мандельстама), является,
конечно, уравнение Шредингера. Однако совершенно неясно, су-
ществует ли какое-нибудь простое уравнение, играющее в
релятивистском рассеянии такую же роль, какую уравнение
Шредингера играет в нерелятивистском рассеянии. И
действительно, наиболее важная проблема как раз, вероятно, и состоит
в том, чтобы открыть фундаментальные динамические принципы.
При таком положении дел весьма интересными представляются
следующие замечания:
1) При нерелятивистском двухчастичном рассеянии
представление Мандельстама действительно может заменить
уравнение Шредингера в качестве основного средства для
выполнения расчетов. А именно мы увидим, что в том
случае, когда потенциал известен, мы можем рассчитать
амплитуду f(E,q2), используя только тот факт, что она
задается представлением Мандельстама и удовлетворяет
условию унитарности.
1) Происхождение столь странного названия таково. Если интегралы в
формуле «без вычитаний» (15.22) сходятся, то мы можем, используя эту
формулу, записать разность f(E,q2)—f(E, 0), и полученный результат будет в
точности иметь вид представления Мандельстама «с одним вычитанием», т. е.
выражения (15.23) при m = 1. Таким образом, дисперсионное соотношение
«с вычитанием» получается из дисперсионного соотношения «без вычитаний»
именно при помощи вычитания. Эти рассуждения имеют смысл только тогда»
когда дисперсионное соотношение «без вычитаний» сходится.

$ 4. Представление Мандельстама Й5§
2) Есть основания полагать, что релятивистские амплитуды
должны удовлетворять представлению Мандельстама или
какому-нибудь весьма похожему на него представлению.
Эти два факта наводят на мысль о том, что, возможно,
удастся построить релятивистскую динамику (или по крайней
мере составить рецепт для проведения расчетов) на основе
аналитических свойств амплитуд (выражаемых представлением
Мандельстама) вместе с условием унитарности. В течение
последних 10—15 лет такая возможность была предметом
обширных и иногда плодотворных исследований, в которых в качестве
общего руководства использовалась аналитическая теория S-ма-
трицы.
Метод, с помощью которого можно рассчитать амплитуды,
используя представление Мандельстама и условие унитарности,
оказывается очень громоздким; он вряд ли пригоден для
практических расчетов нерелятивистских задач. Важное значение
этого метода состоит в том, что он позволяет установить, что
(по крайней мере в принципе) аналитичность и унитарность
действительно определяют амплитуды рассеяния через
заданный потенциал. Здесь мы только бегло опишем этот метод для
случая, когда связанных состояний не существует и никаких
вычитаний не требуется. Сначала мы отметим, что борновская
амплитуда равна просто преобразованию Фурье потенциала;
таким образом, знание потенциала V эквивалентно знанию бор-
новской амплитуды /борш и мы будем считать амплитуду /б0рн
заданной с самого начала. Далее, мы заметим, что унитарность
оператора S приводит к следующему соотношению (для
сферически симметричного потенциала):
<р' I* 1р>* + <р' \R Ip> = - J <*У<Р" \RIp7<p"I R 1р>.
Следовательно, для амплитуды рассеяния имеем
Im f (р' +- р) = -£- \ dQrf (Р" +- Р'Г / (Р" «- Р)
— результат, иногда называемый обобщенной оптической
теоремой. Если это соотношение подставить в представление
Мандельстама (15.22), то после довольно длинных расчетов мы
придем к выражению двойной спектральной функции р(£, q2)
в виде интеграла, зависящего от борновского члена и от самой
двойной спектральной функции. Важное свойство этого
интеграла состоит в том, что он выражает функцию р(£, q2) при
любых заданных значениях Е и q2 исключительно через
значения этой функции при меньших (по абсолютной величине)
значениях переменной q2. А именно при —9jm2 < q2 < —4fx2 этот
интеграл выражает функцию р(Я, q2) через одну только бор-

ЗбО /V 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
новскую амплитуду, которая уже известна; это означает, что
мы можем вычислить функцию р(£, q2) в этой области путем
однократного интегрирования. В интервале — 16(л2 < q2 < —9|л2
указанный интеграл выражает функцию р(£, <72) через борнов-
скую амплитуду /боры и значения функции р на первом
интервале —9jj,2 < q2 <; —4|я2, которые мы уже вычислили. Таким
образом, второе интегрирование определяет функцию р иа
втором интервале. Продолжая эту процедуру, мы имеем
возможность рассчитать функцию p(E,q2) при любых конечных
значениях переменных Е и q2, выполняя некоторое конечное число
интегрирований.
Мы видим, что представление Мандельстама вместе с
условием унитарности дает нам возможность определить двойную
спектральную функцию, исходя из известного борновского
члена (или, что эквивалентно, исходя из потенциала). В
заключение мы можем подставить двойную спектральную функцию
в представление Мандельстама и определить саму амплитуду.
Таким образом, по крайней мере в теории нерелятивистского
рассеяния представление Мандельстама и условие унитарности
позволяют рассчитать амплитуду рассеяния и могут,
следовательно, заменить уравнение Шредингера в качестве нашего
основного динамического принципа.
Релятивистские амплитуды рассеяния, несомненно,
удовлетворяют условию унитарности. Таким образом, если они
удовлетворяют также и представлению Мандельстама и если бы мы
могли найти какой-либо способ получения борновской
амплитуды в качестве исходного пункта (в некоторых случаях это
определенно возможно), то только что описанный анализ
приводит к выводу о том, что и в самом деле аналитичность вместе
с унитарностью могли бы образовывать базис релятивистской
динамики, которую можно было бы использовать для расчета
амплитуд рассеяния. Именно эта надежда вдохновляла те
громадные теоретические усилия, которые были затрачены в
течение последних 10—15 лет на изучение аналитических свойств
различных величин.
Приходится признать, что представление Мандельстама не
полностью оправдало те наиболее оптимистические заявления,
которые были сделаны на заре его существования. Во-первых,
несмотря на громадные теоретические усилия, не удалось
доказать это представление в рамках релятивистской квантовой
теории поля. Возможно, что это обстоятельство не имеет особенно
серьезного значения. Мы помним, что представление
Мандельстама было предназначено, очевидно, для замены более
привычных динамических принципов. Поэтому такое представление
(или какое-либо другое, ему подобное) могло бы оказаться
справедливым даже в том случае, когда мы не смогли бы до-

§ 5. Комплексные угловые моменты
361
казать его в квантовой теории поля. Однако существуют также
и серьезные внутренние основания считать, что обсуждаемое
представление должно иметь гораздо более сложную форму,
чем соотношения (15.22) и (15.23). В частности, в
релятивистских задачах мы всегда должны учитывать неупругие
процессы, которые приводят к рождению более чем двух частиц,
а существование таких процессов крайне усложняет задачу.
Несмотря на то что в обращении с многочастичными
процессами уже достигнут некоторый прогресс, многое в этих
процессах еще не совсем понятно. Таким образом, несмотря на весь
прогресс, достигнутый в этой области (во многом возросший за
счет описываемых в последующих трех параграфах методов,
связанных с использованием комплексных угловых моментов),
пока еще не существует убедительных доказательств того, что
представление Мандельстама или какой-нибудь более сложный
его эквивалент вместе с условием унитарности действительно
могли бы составлять замкнутую систему динамических
уравнений.
Тем не менее представляется совершенно ясным, что
физическое содержание обсуждаемого подхода во многом
соответствует истине и что этот подход, несомненно, представляет собой
один из наиболее плодотворных методов работы с
релятивистскими амплитудами рассеяния. Хорошее знакомство с
развитыми при этом подходе представлениями является непременной
предпосылкой для понимания большей части текущей
литературы по физике высоких энергий.
§ 5. Комплексные угловые моменты
В качестве заключительного примера использования
аналитических функций в теории рассеяния мы рассмотрим метод
комплексных угловых моментов. Этот метод первоначально был
развит Редже, по имени которого весь этот подход часто
называется теорией Редже. В этом методе главное внимание
уделяется аналитическим свойствам парциальной амплитуды как
функции от энергии и углового момента.
Прежде всего мы заметим, что при использовании
нерелятивистского уравнения Шредингера перейти к комплексным
значениям переменной I оказывается достаточно простым делом.
Вспомним, что парцельная амплитуда определяется
радиальным уравнением
[£-^-"М + /ф(г)-о.
Это уравнение не содержит каких-либо указаний на то, что
переменная I должна быть положительным целым числом
(такое требование вытекает из свойств сферических функций). Мы,

362 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
несомненно, можем допустить, чтобы переменная / принимала
произвольные комплексные значения, и затем изучить решения
этого уравнения в качестве аналитических функций от /.
Конечно, такая процедура будет в точности аналогична тому, что
было сделано в гл. 12 по отношению к переменной р, и в
действительности здесь можно будет применить всю ту технику,
которая использовалась в гл. 12. Так, не составляет труда
показать, что для любого потенциала, удовлетворяющего нашим
обычным условиям, существует регулярное решение <j>i,P(r)y
которое является аналитической функцией при всех значениях р
и при всех значениях / из полуплоскости {Re / > — 7г}.
Аналогично существует функция Иоста fi(p), которая аналитична в
областях {Im р > 0} и {Re / > —V2}. Ограничение области
значений переменной I полуплоскостью {Re / > — V2} полностью
аналогично ограничению области значений переменной р
полуплоскостью {Im/?>0}1). Если наложить более жесткие
ограничения на потенциал, то окажется возможным продолжение
функции /i(p) влево на область {Re / <; — V2} аналогично тому,
как мы часто продолжали эту функцию по переменной р вниз
на область {Im р < 0}. Однако в случае переменной / такое
продолжение оказывается малоинтересным, и в дальнейшем
обсуждать его мы не будем. Что же касается продолжения
в нижнюю полуплоскость переменной /?, то оно нам
понадобится, и по этой причине в большей части наших рассуждений
мы ограничимся потенциалами Юкавы, для которых функция
Иоста аналитична в области {Re / > — V2} и во всей р-плоско-
сти, за исключением обычного разреза. Доказательство этих
утверждений проводится настолько аналогично тому анализу,
который был выполнен в гл. 12, что здесь мы его не приводим2).
Превращение величины / в комплексную (или по крайней
мере в непрерывную) переменную представляется, кроме всего
прочего, весьма естественным приемом, и, несомненно, следует
ожидать, что при этом мы получим дополнительную полезную
1) Значение —7г в условии Re / >—V2 получается следующим образом.
При г-*~0 два независимых решения радиального уравнения ведут себя как
ri+i и [/rif и потому на линии Re / — —7г они взаимно меняются ролями.
Отсюда следует, что определение функцииФ как того решения, которое ведет
себя как rl+ly оказывается неверным слева от этой самой линии. Чтобы
распространить функцию ф на область, расположенную слева от этой линии,
требуется каким-то образом выполнить аналитическое продолжение, а это в свою
очередь требует дополнительных предположений относительно потенциала.
2) Существует, правда, одно небольшое усложнение: поскольку функция
ji{pr) содержит множитель р1+\ она имеет точку ветвления при р = 0, если
/ — нецелое число. То же самое справедливо и по отношению к функциям п и
Н±, а следовательно, и по отношению к функции Иоста [см. [46],
соотношения (5) — (10)]. Такая «кинематическая» точка ветвления при нефизических
значениях / иногда требует тщательного обращения, но в обсуждающихся
здесь приложениях она не причинит нам какого-либо беспокойства.

$ 5. Комплексные угловые моменты
ЗбЗ
информацию. Дело в том, что при изучении парциальной
амплитуды мы до сих пор всегда сосредоточивали внимание
каждый раз на одном-единственном значении орбитального
момента I. Мы нигде не использовали тот факт, что все
парциальные волны определяются одним и тем же потенциалом. В
действительности должно быть ясно, что до сих пор для каждого
значения I мы с таким же успехом могли бы использовать
различные потенциалы Vt(г). Тот факт, что реально существует
именно один потенциал, который определяет все парциальные
волны, по-видимому, должен иметь важные последствия.
Например, если мы рассмотрим s-волновое связанное состояние
для некоторого потенциала и если вообразим, что переменная /
изменяется непрерывно, начиная от нуля, то мы могли бы
проследить за соответствующим решением радиального уравнения.
Когда / достигнет значения /= 1, это решение будет
соответствовать связанному состоянию с I = 1 для того же самого
потенциала (если только энергия все еще остается
отрицательной). Если затем положить / = 2, то мы придем к
соответствующему связанному состоянию с / = 2 (если только и на этот раз
энергия остается отрицательной) и т. д. Таким образом, мы
могли бы сгруппировать связанные состояния для любого
потенциала в семейства, так чтобы все состояния каждого
семейства соответствовали «одному и тому же» решению. В
следующем параграфе мы увидим, что такие семейства, известные как
траектории Редже, на самом деле существуют.
Имеется несколько простых (но тем не менее полезных)
результатов, которые мы можем доказать сразу, как только
допустим, чтобы переменная I стала комплексной. Мы начнем
обсуждение количественной стороны дела с примеров такого
рода.
Поскольку функция Иоста flip) аналитична по переменным
/ и р, аналогичное утверждение оказывается справедливым и
для S-матрицы sz ip) = [fi* (р*)]*/Л (/?)> если не рассматривать
те точки, в которых flip) = 0. В частности, при вещественных
/ и р функция fi(p) не может (как и прежде) обращаться
в нуль, и потому |s/(p)|=l. Это означает, что мы можем
определить фазовый сдвиг 6/(р) с помощью соотношения
8,(р) = ехр[2/в/(р)]
и функция blip) будет аналитической (и, уж конечно,
непрерывной) при всех положительных вещественных / и р.
Определив функцию 6/(/?) как аналитическую функцию от /,
мы можем рассмотреть ее производную. Исходя из радиального
уравнения для функции ф и дифференцируя по переменной /,
мы находим следующее соотношение, которое читателю следует

364 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
проверить самостоятельно (см. задачу 15.3):
Отсюда следует, что
[w (*• Щ~ -(2/+l) Sdr £ > ° (15-24)
о
[при вещественных / и р].
При г = О рассматриваемый вронскиан равен нулю, а при
г—»оо его можно оценить, используя известный
асимптотический вид функции ф. Вспоминая, что f = \f\e-i6, мы получаем
следующий результат:
P\MP)f(~-^t)>o
или
dl < 2 '
(15.25)
Этот результат показывает, что никакой физический фазовый
сдвиг &i+i(p) не может превысить более чем на я/2 соседний
со стороны меньших / фазовый сдвиг б/(р):
6i+l(p)<Mp) + i?" (15-26>
Отсюда вытекает несколько интересных следствий. Например,
читатель, вероятно, помнит, что, согласно теореме Левинсона,
число связанных состояний с угловым моментом I определяется
соотношением
6/(0)
я #
"/=-
Поэтому из неравенства (15.26) следует, что
л/+1 < щ + 112
или, поскольку как щ+и так и щ — целые числа,
Я/ + 1^л/-
То есть число связанных состояний с угловым моментом /4*1
никогда не может превышать числа связанных состояний с
угловым моментом /.
Теперь наступил подходящий момент, чтобы обсудить
первый строгий результат о поведении фазовых сдвигов при
больших /. Можно показать, что при любом потенциале, удовлетво-

§ 6. Полюсы Реджё
Зб5
ряющем нашим обычным предположениям (см. стр. 226), ам^
плитуда рассеяния удовлетворяет соотношению1)
| pfi | = | sin 6/ (р) К j [больние /, любые /?], (15.27)
где а — некоторая константа, не зависящая от I и р. Таким
образом, для любого фиксированного значения р при I—► оо
каждый фазовый сдвиг б/(/?) стремится к некоторому числу,
кратному я. Кроме того, согласно (15.27), мы можем выбрать
значение / достаточно большим, так чтобы при всех значениях р
выполнялось неравенство |sin6/(p)|< V2 (к примеру); поэтому,
каким бы ни было значение переменной /?, функция 6/(р) в силу
своей непрерывности должна принимать значения, близкие к
тому же самому кратному я числу. Мы уже знаем [см. (11.38)],
что при больших р функция 6i(p) близка к нулю (а не к пп)\
отсюда следует, что при / —► оо предел функции S/(р) также
равен нулю (а не пп). Итак, убедившись в том, что фазовый сдвиг
стремится к нулю при /?-*оо, мы находим, что он также
стремится к нулю при /—юо.
§ 6. Полюсы Редже
Парциальная амплитуда fi(E) аналитична по переменным
I и Е всюду, кроме полюсов в тех точках, в которых обращается
в нуль функция Иоста [которую теперь мы будем записывать
в виде /i(E)]. Поскольку амплитуда fi(E) является
аналитической функцией от двух переменных, мы можем наблюдать за
ее полюсами как за полюсами в ^-плоскости, положения
которых зависят от значения переменной /, или же наоборот. Для
некоторых целей удобна именно последняя точка зрения, т. е.
мы сосредоточиваем внимание на определенном значении
переменной Е и ищем полюсы амплитуды ft(E) как функции от /.
Рассматриваемые с таких позиций полюсы амплитуды
называются полюсами Редже2). При данном значении энергии Е
1) Я не нашел доказательства этого результата в опубликованной
литературе. Однако для заинтересованного читателя не составит никакого труда
построить доказательство, используя стандартные результаты. Например,
объединяя неравенство, приведенное в конце стр. 85 книги [51J, с очевидным
неравенством |£/(г)| < const/r2, мы находим при больших /, что |sin6/| <
< const \ dpji (p)/p2 < const//, где последнее неравенство получается при
помощи прямого интегрирования (см. [51]. стр. 191, соотношение (D.4)).
2) Различие между полюсами Редже и теми полюсами, которые мы
обсуждали в гл. 12, является только вопросом о точке зрения. Здесь мы
фиксируем переменную Е и обсуждаем полюсы по переменной /, а там мы
фиксировали / и обсуждали полюсы по Е. В том и другом случае мы, в сущности,
отыскивали те значения переменных / и £, при которых /i(E) = 0.

366 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
эти полюсы будут расположены в точках 1 = а\(Е), аг(£), ... ,
и если теперь мы допустим, чтобы энергия Е изменялась
непрерывно, то каждая точка a,i(E) опишет некоторую кривую
в /-плоскости. Такие кривые называются траекториями Редже.
Теперь сосредоточим внимание на отрицательных
вещественных значениях переменной Е. В этом случае, как легко видеть
(см. задачу 15.4), полюсы амплитуды fi(E) должны
наблюдаться при вещественных значениях /, т. е. полюсы Редже а*(£)
должны быть вещественными. В частности, предположим, что
при некотором значении энергии Е0 < 0 существует s-волновое
связанное состояние. Это означает, что s-волновая функция
Иоста fo(Eo) равна нулю; пользуясь нашей новой
терминологией, мы можем, следовательно, сказать, что амплитуда fi(E0)
имеет полюс Редже при / = 0. Сопоставим этому полюсу
функцию 1 = а(Е) и рассмотрим следующий вопрос: что
происходит, когда мы удаляем точку Е от точки Е0? В частности, будем
увеличивать значение переменной £, двигаясь вправо вдоль
вещественной оси, и теперь покажем, что полюс Редже 1 = а(Е)
движется вправо вдоль вещественной оси в /-плоскости. Мы
установим этот результат, показав, что производная da/dE
всегда положительна.
Если функция Иоста /i(E) равна нулю при / = а(£), где
Е < 0, то регулярное решение фа,к(г) обращается в нуль при
г—>0 и оо и является квадратично интегрируемым. Мы знаем,
что функция ф удовлетворяет радиальному уравнению
[-& ~ a(art]) ~ ^') + 2пгЕ] Ф*.е(г) = 0. (15.28)
Дифференцируя по переменной £, находим
г , дФ ( 2а + 1 da 0 \ , л
Теперь умножим это уравнение на ф и вычтем из него
исходное уравнение (15.28), умноженное на дф/дЕ. Получаем
уравнение
или, если выполнить интегрирование от 0 до оо,
оо оо
0 0
Полученное соотношение устанавливает искомый результат
da/dE > 0.
Если вернуться к полюсу Редже в точке / = а(Е0) = 0 и
начать увеличивать энергию Е, то, как мы теперь знаем, вели-

§ 6. Полюсы Редже
367
чина а(Е) начнет возрастать от / = 0 к значению /=1. Из
того факта, что для всех значений энергии (меньших нуля)
функция /i(E) имеет нуль при /=а(£), вытекает, что
существует нормированное решение радиального уравнения. Когда
точка а(Е) движется от 0 к 1, это решение не имеет никакого
физического смысла. Однако, когда а(Е) достигает точки /= 1
(если при этом энергия Е еще остается отрицательной),
функция fi(E) обращается в нуль, а поэтому р-волновая амплитуда
имеет в этой точке полюс, и решение уравнения Шредингера
представляет собой самое настоящее р-волновое связанное
состояние. Таким образом, тот самый полюс, который вначале
/~плоскость
4 5 6
Фиг. 15.6. Типичная траектория Редже для потенциала Юкавы.
был s-волновым связанным состоянием при / = О, Е = Е0,
теперь стал р-волновым связанным состоянием при I = 1 и при
некотором значении энергии Е = Ех.
Если мы будем продолжать двигать точку Е вправо, то
будем продолжать встречать связанные состояния при
прохождении величины а(Е) через точки / = 2, 3, ..., пока в конце
концов энергия не достигнет порогового значения Е = 0. Если
мы переместим точку Е правее порога, то нуль функции /i(E)
при 1 = а(Е) не сможет остаться на вещественной оси. И
действительно, легко показать (см. задачу 15.4), что при движении
точки Е вдоль верхнего берега физического разреза
соответствующая точка а(Е) движется вверх в комплексную плоскость.
На фиг. 15.6 в качестве примера показана траектория Редже,
которая определяет четыре связанных состояния (при I = 0,
1, 2, 3) и затем уходит с вещественной оси в промежутке
между точками / = 3 и I = 4.
Как только траектория Редже а(Е) сходит с вещественной
оси, она больше не проходит через точки, соответствующие
целым числам, и не может приводить к связанным состояниям.
Однако, пока она остается близкой к вещественной оси, она
определяет резонанс каждый раз, когда ее вещественная часть
Яеа(Е) принимает целочисленное значение. Чтобы убедиться
в этом, предположим, что амплитуда fi(E) имеет полюс при
Е = Eq и / = а(£0), причем величина а(£0) мало отличается

368 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
от некоторого целого числа /цел. Если мы приблизим точку /
вплотную к точке /цел, то указанный полюс должен
переместиться в некоторую точку Е[у расположенную вблизи Е0. Так
как /цел — вещественное число, полюс в точке Е{ должен
находиться на нефизическом листе и потому должен
соответствовать резонансу в парциальной волне с угловым моментом /цел.
Показанная на фиг. 15.6 траектория имеет два таких
резонанса: при 1 = 4 и при / = 5.
Если энергия Е увеличивается, то траектории Редже, как
правило, уходят с вещественной оси и перестают быть
физически наблюдаемыми. При £->+оо поведение траекторий
зависит от точного вида потенциала. Например, в случае
прямоугольной потенциальной ямы траектории уходят на
бесконечность при Е-+-\-оо. Можно показать ([3], стр. 411), что в случае
потенциала Юкавы или подходящей суперпозиции потенциалов
Юкавы вещественная часть любой траектории удовлетворяет
условию
Rea(£)<^^-4-. (15.29)
Р ^
Таким образом, при £-*+оо траектории должны поворачивать
обратно и в конце концов исчезать где-то в левой полуплоскости.
Именно такое поведение иллюстрирует фиг. 15.6.
Мы заключаем, что при заданном потенциале все связанные
состояния и резонансы могут быть распределены по
семействам. Каждое семейство содержит все состояния, которые
лежат на одной траектории Редже, и в этом смысле все члены
одного семейства суть проявление единой физической сущности.
Хорошо известным примером такого распределения служит
система, состоящая из электрона и протона (т. е. водород), в
которой существует бесконечное множество траекторий Редже,
причем первая траектория содержит состояния Is, 2p> 3d, ...,
вторая — состояния 2s, Зр, 4d, ... и т. д. Поскольку в случае
кулоновского потенциала существует бесконечное множество
связанных состояний и совсем не существует резонансов,
приведенный пример неизбежно оказывается нетипичным. (К тому
времени, как энергия достигает порогового значения, все
траектории уже успевают уйти вправо на бесконечность.) В случае
короткодействующих потенциалов обычно существует лишь
конечное число траекторий (по крайней мере в имеющей
физический смысл области Re / ^ 0) и, вообще говоря, одна
траектория определяет несколько связанных состояний и несколько
резонансов.
Привлекает внимание мысль о том, что аналогичный анализ
можно было бы применить к релятивистскому рассеянию и что
все релятивистские «связанные состояния», или «частицы»,

§ 7. Преобразование Ватсона
369
можно классифицировать по тем траекториям Редже, на
которых они расположены. И действительно, существуют
достаточно серьезные основания полагать, что сделать это можно;
и первые попытки распределить частицы по траекториям уже
сделаны. Впрочем, в релятивистском рассеянии ситуация
гораздо сложнее. В частности, по причинам, слишком
запутанным, чтобы здесь их обсуждать, релятивистские траектории
Редже определяли бы физически наблюдаемые частицы только
при чередующихся целочисленных значениях переменной /.
§ 7. Преобразование Ватсона
Ряд по парциальным волнам и эллипсы Лемана. Одно из
наиболее плодотворных приложений теория Редже нашла при
изучении аналитических и асимптотических свойств полной
амплитуды f(E,q2) как функции от квадрата передаваемого
импульса q2. Исходным пунктом является, конечно, ряд по
парциальным волнам, который связывает полную амплитуду с
парциальными амплитудами
f(E, ??) = E(2/+l)M£)Mcos8), (15.30)
где q2 = 2р2(\ — cos 8) и Е = p2/2m. Можно показать, что для
любого потенциала, удовлетворяющего нашим обычным
условиям, выполняется неравенство1)
| ft (Е) | < C°ns2+'/ [большие /, любые Е > 0],
где е > 0 — некоторое число. Так как при всех значениях угла 8
из физической области полиномы Лежандра удовлетворяют
неравенству |Л|^ 1. отсюда немедленно следует, что в
физической области ряд по парциальным волнам сходится для всех
таких потенциалов.
Если теперь попытаемся продолжить ряд (15.30) на
комплексные значения переменной q2 (и, следовательно, на
комплексные значения величины cos 8), то обнаружим, что при
/—►оо функция Л(cos 8) экспоненциально возрастает. А именно
поведение функции Я/ (cos 8) описывается следующим
ограничением 2):
|P/(cos8)|<T(8)/'",VIm0,/> (15.31)
1) В этом пункте аргументация аналогична той, которая была кратко
изложена в примечании к § 5 настоящей главы; однако здесь следует
использовать условие |^(г)| < const/r?+e
2) Для ознакомления с этим и с другими свойствами функций Лежандоа
см. [52J, т. 1, гл. 3,

370 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
где точный вид функции т(8) сейчас безразличен. Поскольку
при /->оо функция Л (cos 8) экспоненциально возрастает, ряд
по парциальным волнам сходится только тогда, когда
амплитуда экспоненциально убывает. К сожалению, при
произвольных потенциалах амплитуда таким свойством не обладает.
Однако если мы ограничимся рассмотрением потенциалов Юкавы
[или любых потенциалов, удовлетворяющих условию | V\ ^
<; const-exp( —\ir)/r]t то можно показать ([51], раздел 8.4), что
при физических значениях энергии Е имеем
\!1(Е)\<а(Е)Г\'а\ (15.32)
где о(Е)—некоторая функция от £, а число а определяется
равенством
cha=l+j£. (15.33)
Подставляя неравенства (15.31) и (15.32) в ряд по
парциальным волнам, находим, что (при физических значениях Е)
| / (£, <7?) К const • т (8) a (£) £ е< lIm e "-«>'.
Стоящий в правой части ряд, очевидно, сходится при условии
|Im8|<a. Поскольку ряд по парциальным волнам является
рядом по полиномам от cos 8, каждый член этого ряда
представляет собой функцию, аналитическую по cos 8. Отсюда
следует, что этот ряд определяет амплитуду f(E,q2) как
аналитическую функцию от cos 8 во всей области, определяемой
неравенством
| Im8|<a.
Прямой расчет (оставляемый в качестве упражнения самому
читателю, см. задачу 15.5) показывает, что это условие
ограничивает значения величины cos 8 областью, расположенной
внутри эллипса с фокусами в точках ±1 и с большой
полуосью, длиной (I -{- [i2/2p2). Этот эллипс называется малым
эллипсом Лемана\ он показан на фиг. 15.7, а.
Если при фиксированной энергии Е амплитуда f(E,q2) ана-
литична по cos 8, то отсюда сразу следует, что она аналитична
по переменной q2 = 2p2(l — cos 8) и что областью
аналитичности по переменной q2 является эллипс, показанный на
фиг. 15.7,6. Отметим, что полюс борновской амплитуды /борн =
= — 2ym/(q2 + ц2) расположен в точке ^72 = —jn2 на границе
этого эллипса и что именно по этой причине полученный
эллипс не может быть расширен.
Если вместо амплитуды / рассматривать разность J =
*=/ — /борн, то можно показать, что функция Ji(E) удовлетвд*

§ 7. Преобразование Ватсонй
371
ряет ограничению вида (15.32) и (15.33), где, однако,
величина \i заменена на 2JI1). Это означает, что функция f анали-
тична в более широких эллипсах, называемых большими
эллипсами Лемана, которые получаются из изображенных на
фиг. 15.7 эллипсов при помощи замены р, на 2\i.
Преобразование Ватсона. Чтобы выполнить аналитическое
продолжение за пределы эллипсов Лемана, мы введем технику
cos О -плоскость
Физическая
область
-/< cosO^f
о2'-плоскость
(а)
Полюс
SopnoScKod
амплитуда
4p2+ju2
Физическая
область
0<q2<4p2
Фиг. 15.7. а — для потенциала Юкавы ряд по парциальным волнам
определяет амплитуду f как аналитическую функцию от cos0 в малом эллипсе
Лемана; б — соответствующий эллипс в том случае, когда амплитуда f
рассматривается как функция от переменной q2 = 2p2(\ — cos0).
комплексных угловых моментов. Прежде всего, мы заменим
ряд по парциальным волнам искусно подобранным интегралом:
f(E,q')=--^§dl
(2l+l)U(E)Pi(-cos9)
sin nt
(15.34)
где контур С показан на фиг. 15.8, а; этот контур охватывает
все положительные целые числа. В написанном интеграле
функция fi(E) является теперь парциальной амплитудой,
аналитически продолженной на комплексные значения /;
Pi{z)—функция Лежандра степени /, она целая по переменной / и
аналитическая по переменной г, за исключением разреза {—оо < г ^
^—1}. Мы увидим, что знаменатель sin л/ подобран с таким
расчетом, чтобы амплитуда имела полюсы при всех
целочисленных значениях /, и что аргумент функции Pt был заменен на
—cos 8 для того, чтобы компенсировать чередование знака
величины sin я/.
Интеграл (15.34) сходится в той же самой области, что и
ряд по парциальным волнам, из которого он был получен,
1) Доказательство этого утверждения проводится аналогично
доказательству неравенства (15.32) ([51], разя. 8.4) Строго говоря, можно заменить Ц
только на 2\х — е, где е — произвольно малая величина; однако при этом
получается та же самая область аналитичности.

372 Pa. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
а именно в малом эллипсе Лемана. Однако теперь мы можем
деформировать контур интегрирования так, чтобы получить
интеграл, сходящийся в несколько более ц^оокой области. Точнее,
мы можем раскрыть контур, как показано на фиг. 15.8,6, чтобы
он проходил вниз вдоль вертикальной линии Re l=—{/2.
Деформируя контур указанным образом, мы должны обратить
внимание на два следующих пункта. Во-первых, в контур
интегрирования должны входить еще две дуги большого
радиуса, каждая в четверть окружности. Однако можно показать,
что в случае потенциала Юкавы амплитуда fi(E) при |/|—►оо
«
1-плоскость
С
С1
2
4
1~ плоскость
-X X X X Х-
(а) ' ' (S)
Фиг. 15.8. Два контура, используемые в связи с преобразованием Ватсона.
стремится к нулю настолько быстро, что эти четверти
окружности не дают вклада в интеграл ([46], гл. 6). Во-вторых,
подынтегральное выражение имеет полюсы (полюсы Редже)
в различных точках / = а(Е) в первом квадранте. Тот факт, что
f{(E)-+0 при |/|—*оо, гарантирует, что существует конечное
число таких полюсов. Таким образом, по мере того как контур
проходит через эти полюсы, мы приобретаем в дополнение к
нему конечное число малых окружностей, которые охватывают
каждый полюс, как показано на фиг. 15.8,6. Окончательный
результат имеет вид
f(E,g'-) = 4r \dl(2l+l)f[(E)P'{-J0f) +
С
+ £p,(E)Pei(B,(-cos9), (15.35)
i=\
где $i(E) —не что иное как вычеты подынтегрального
выражения в полюсах Редже (с выделенной в виде явного множителя
функцией Pi).
Переход от интеграла (15.34) к интегралу (15.35) был
использован Ватсоном и Зоммерфельдом в теории
электромагнитного рассеяния и потому называется преобразованием Ват-

§ 7. Преобразование Ватсона
m
сона (или преобразованием Зоммерфельда — Ватсона). Польза
от этого преобразования состоит в следующем: в то время как
оба эти выражения согласуются друг с другом внутри малого
эллипса Лемана, полученное новое выражение сходится на
самом деле в гораздо более широкой области и потому позволяет
продолжить амплитуду /(£, q2) на эту более широкую область.
Чтобы убедиться в этом, мы сначала заметим, что, так как
функция Pa(z) аналитична по z, за исключением разреза от
— оо до — 1, конечная сумма вкладов полюсов Редже в (15.35),
несомненно, представляет собой аналитическую функцию во
всех точках, кроме разреза
{1<cos8< оо}.
Что касается интеграла, то мы заметим, что функция P//sin я/
экспоненциально убывает при Im /—►±оо:
IP, (-COS 9) I ( у,-lReeim/l
I sin nl I ^v x ' '
в то же время можно показать, что для потенциала Юкавы
выполняется соотношение ([46], гл. 6)
| ЫЯ) К v (£)Г%
(где точный вид функций р и v для нас безразличен). Таким
образом, интеграл в (15.35) сходится при всех значениях cos 8,
если только Re 9 ф 0. Условие Re 8 ф 0 требует только того,
чтобы переменная cos 8 не принимала значений из промежутка
{1 ^ cos 8 < оо}; следовательно, интеграл в (15.35) является
аналитической функцией везде, кроме промежутка {1 ^ cos 8 <
< оо}. Поскольку то же самое справедливо и по отношению
к вкладам от полюсов Редже, мы приходим к выводу о том,
что преобразование Ватсона (15.35) определяет амплитуду
f(E,q2) как аналитическую функцию от cos 8 во всей плоскости,
за исключением разреза {1 ^ cos 8 < оо}.
Если использовать переменную q2 = 2р2(\ — cos 8), то
преобразование Ватсона определяет амплитуду f(E,q2) как
аналитическую функцию от q2 во всей плоскости, за исключением
разреза от 0 до —оо. Так как мы уже знаем, что амплитуда
f(E,q2) аналитична в малом эллипсе Лемана, показанном на
фиг. 15.7,6, мы заключаем, что в действительности она
аналитична в объединении этих двух областей, а именно в плоскости
переменной q2, имеющей разрез {—оо < q2 ^ —|я2}. Наконец,
мы знаем, что борновская амплитуда /борн = —'2ym/(q2 + \i2)
имеет полюс в точке ^2 == — ц2, тогда как разность / — /борн
аналитична в большом эллипсе Лемана. Это означает, что
разность / — /борн является аналитической функцией в плоскости q2

374 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
с меньшим разрезом
{_oo<^<-V}f
как и предсказывалось в гл. 15, § 4.
Асимптотическое поведение. Замечательное свойство
преобразования Ватсона состоит в том, что оно не только дает нам
возможность продолжить амплитуду f(E,q2) по переменной q2y
но й определяет асимптотический вид этой амплитуды при
q2—► оо. Существенное значение при этом имеет то, что при
[г|—►оо функция Лежандра Pi(z) ведет себя следующим
образом:
P,(z)-|7h^M/)z'.
Вновь обращаясь к преобразованию Ватсона (15.35), мы
видим, что при | cos в | —► оо интеграл вдоль линии Re /=—у2
(называемый часто «фоновым интегралом») стремится к нулю
как (cos8)_,/2. Каждое слагаемое из суммы по полюсам Редже
ведет себя как (cos8)a'. Поэтому, используя переменную q2 =
= 2р2(1 — cos 8), находим, что
f (Е> Я")-йФ^ V(Е)(?2)a,£,. (15.36)
где через а(£) обозначен полюс Редже, расположенный правее
всех в плоскости энергии Е. В частности, если не существует
таких полюсов Редже, у которых Re а ^ 0, то при \q2\—* оо
амплитуда /(£, q2) действительно стремится к нулю.
Важное значение результата (15.36) для доказательства
дисперсионных соотношений по переменной q2 должно быть
ясным. Если полюсов с Re a ^ О не существует, то мы можем
записать дисперсионное соотношение без вычитаний. Если
рассматривается потенциал, при котором существуют связанные
состояния, то мы знаем, что (по крайней мере при некоторых
энергиях) существуют траектории, заходящие в правую
полуплоскость. А именно, если через /0 обозначить наибольшее
значение углового момента, при котором существует связанное
состояние, то, как мы знаем, существует по крайней мере одна
траектория, при которой Rea(£) ^/о при некотором значении
энергии Е. Таким образом, при |<72|-+оо амплитуда f(Eyq2)
ведет себя по меньшей мере как (q2)1* (а возможно, и гораздо
хуже). В этом случае мы можем записать дисперсионное
соотношение только для функции fl{q2)my где m — некоторое целое
число, большее /0- То есть всегда, когда существуют связанные
состояния, мы должны записывать дисперсионное соотношение
с вычитаниями, причем необходимое число вычитаний по
меньшей мере столь же велико, как значение углового момента
связанного состояния с наибольшим /.

§ 7. Преобразование Ватсона
375
Чтобы доказать представление Мандельстама, было
необходимо записать дисперсионное соотношение по переменной q2,
справедливое при всех Е ^ 0. Для этого нужно, чтобы при всех
значениях переменной Е показатель степени а(Е) в
соотношении (15.36) был меньше некоторого фиксированного числа
османе Легко видеть, что для потенциала Юкавы это условие
выполняется. Ограничение (15.29) гарантирует выполнение
этого условия везде, кроме ближайшей окрестности точки Е — 0;
но в окрестности точки Е = 0 указанное условие, несомненно,
выполняется, потому что при любой фиксированной энергии Е
существует лишь конечное число полюсов. Таким образом, для
потенциала Юкавы мы теперь имеем всю информацию,
необходимую для установления представления Мандельстама.
Должно быть ясно, что, перенося идеи теории Редже на
релятивистское рассеяние, мы получаем могущественное
средство для использования аналитических свойств. В
действительности польза от их применения была бы даже еще большей,
чем можно было бы предположить исходя из проведенного
обсуждения. В нерелятивистском рассеянии асимптотическая
формула
f(E,qt)-m^z*y(E)(qriE) (15.37)
не имеет прямого физического смысла, потому что при
фиксированном значении Е предел q2-+oo неизбежно оказывается
нефизическим. В релятивистском же рассеянии существует (как
мы уже упоминали) тесная связь между амплитудой / для
любого процесса а-\- b -+c-{- d и амплитудой для
«перекрестного» процесса а + с—*5-\-d. Эту связь можно описать
примерно так. В релятивистском рассеянии амплитуда
рассматривается как функция f(s,q2) от квадрата полной энергии s
(а не как функция Е) и от квадрата передаваемого импульса
q2. Физическая амплитуда f(syq2) для процесса а -\- Ъ -+ с ■+- d
определена при s ^ \mc2 (если все частицы имеют одинаковую
массу т) и при q2 ^ 0. Если мы аналитически продолжим
амплитуду f(s, q2) на область s ^ 0 и ?2 ^ —4тс2у то полученная
в результате такого продолжения функция будет физической
амплитудой для перекрестного процесса, в котором квадрат
энергии равен —q2, а квадрат передаваемого импульса равен
—s. Поэтому если предельная формула (15.37) выполняется в
релятивистском процессе а-{- b—* с + d, то она действительно
описывает нам физический предел высоких энергий для пере'
крестного процесса а + с —► В -f d.
Как мы уже указывали, существуют достаточно веские
основания полагать, что идеи теории Редже действительно
переносятся на релятивистское рассеяние. Однако существуют также
указания на то, что релятивистская теория гораздо сложнее

376 Гл. 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты
соответствующей нерелятивистской теории. (Например,
обнаруживается, что кроме полюсов релятивистская амплитуда
должна иметь и точки ветвления в /-плоскости.) Читатель,
желающий заняться этими вопросами, не может сделать ничего
лучшего, чем прочитать исчерпывающую монографию Коллинза и
Сквайрса [42].
Задачи
15.1. Полагая Е = О, покажите, что из дисперсионного соотношения для
рассеяния вперед (15.12) вытекает соотношение (15.13) для s-волновой длины
рассеяния.
15.2. Предполагая, что амплитуда f(E,q2) обладает всеми необходимыми
аналитическими свойствами и что при q2-+oo она ведет себя как 0(q2)a, где
число а меньше некоторого целого числа т, выведите представление Ман-
дельстама «с m вычитаниями», (15.23).
15.3. Исходя из радиального уравнения для функции Фг, Р(г) и из
известного вида функции ф при г->-0 и оо, докажите, что dbi/dl< л/2 [т. е.
восполните детали аргументации, приводящей к неравенству (15.25)].
15.4. а) Предположите, что амплитуда имеет полюс (или что функция
Иоста имеет нуль) при некотором значении £ < 0 и при / = а(Е) (где
Re а >—V2)- Используйте радиальное уравнение, чтобы доказать, что
Ima(a-{- 1) =0 и что поэтому a — веществеькая функция.
б) Покажите, что если амплитуда имеет полюс при физическом значении
Е (Е > 0) и при / = а(£), то Im a > 0.
15.5. В гл. 15, § 7 было показано, что ряд по парциальным волнам
определяет амплитуду l(E,q2) (для потенциала Юкавы) как аналитическую
функцию от cos 6, если только |Im6| < а, где ch a — 1 +\i2/2p2. Покажите, что
это условие ограничивает область значений величины cosG внутренней частью
эллипса (малого эллипса Лемана), у которого фокусы расположены в точках
±1, а большая полуось равна 1 + И /2р2.

ГЛАВА 16
ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ
В МНОГОКАНАЛЬНОМ СЛУЧАЕ
До сих пор мы обсуждали только процессы, в которых две
бесструктурные частицы испытывают упругое соударение.
Теперь наступило зремя продвинуться дальше и обсудить
столкновения, в которых участвуют несколько частиц (некоторые из
этих частиц могут быть составными наподобие атомов или
атомных ядер) и в которых могут происходить неупругие
процессы, такие, как возбуждение и распад. В действительности
указанные усложнения характерны почти для всех процессов,
интересных с точки зрения эксперимента. Типичным примером
из атомной физики является система процессов:
!е + Н (упругое рассеяние),
е+Н* (возбуждение), (16.1)
е + е + р (ионизация или развал)
(где через Н* обозначено любое из возбужденных состояний
атома водорода). Можно привести аналогичные примеры из
ядерной физики:
Гр + ,2с,
Р + I2C-»< n + 12N (перезарядка), (16.2)
1р + 3Не + 9Ве и т. д.
или из физики элементарных частиц:
К° + Л°, (16.3)
Я~ + Я0 + Я0 + Р, И Т. Д.
Каждая из различных систем конечных частиц в каждом из
этих трех примеров называется каналом (в дальнейшем мы
определим это понятие более точно), и по этой причине
процессы указанного вида называются многоканальными процессами.
Примеры (16.1) и (16.2) обладают одним важным общим
свойством, учет которого упрощает все рассмотрение. Дело в
том, что в этих примерах составные частицы (атом водорода,
ядро атома углерода и т. д.) естественно рассматривать как

378 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
построенные из определенных элементарных составляющих
(электронов, протонов и т. д.) и что число таких элементарных
составляющих сохраняется1). Так, в процессе (16.1)
составляющими являются два электрона и один протон, и во всех каналах
содержатся именно эти три частицы. Аналогично в примере
(16.2) базисными составляющими, которые обнаруживаются во
всех каналах, являются семь протонов и шесть нейтронов.
Данное свойство — возможность анализировать процесс, используя
его сохраняющиеся, базисные составляющие частицы,
характерно для нерелятивистских процессов. [Релятивистские процессы
наподобие (16.3) и процессы с участием фотонов не обладают,
вообще говоря, указанным свойством.] Это означает, что при
обсуждении нерелятивистского процесса, в котором участвует
некоторый данный набор составляющих частиц, мы будем
последовательными, если ограничим свое внимание процессами с
участием именно этих составляющих. Как мы увидим в
ближайших шести главах, даже при таком подходе задача оказывается
достаточно трудной.
В настоящей главе мы охватим ту часть задачи
многоканального рассеяния, которая соответствует материалу гл. 2 для
одночастичного случая; т. е. мы построим описание процесса
столкновения через асимптотические свободные состояния и
определим унитарный S-оператор, который отображает каждое
ин-состояние на соответствующее аут-состояние.
Общее обсуждение многоканального рассеяния очень сильно
затуманивается большим количеством обозначений, и поэтому
в большей части настоящей главы мы ограничимся
рассмотрением простой конкретной трехчастичной модели.
§ 1. Каналы
Для иллюстрации основных свойств многоканального
рассеяния мы начнем с обсуждения системы, состоящей из трех
бесспиновых частиц а, Ъ и с, взаимодействующих друг с другом
посредством короткодействующих двухчастичных потенциалов.
Мы будем предполагать, что частицы Ь и с имеют два связан-
!) Я не хочу этим сказать, что существует какое-то фундаментальное
различие между «элементарными» и «составными» частицами. Наоборот, согласно
широко распространенной сейчас точке зрения, такое различие лишено какого-
либо смысла. Тем не менее в не релятивистских задачах следующее рабочее
определение почти всегда оказывается приемлемым: частица считается
элементарной, если в многочастичной волновой функции она удовлетворительно
характеризуется одной-единственной координатой (и спином. — Ред.). Таким
образом, в атомной физике «элементарными» частицами обычно являются
электроны и ядра, а в низкоэнергетической ядерной физике — электроны,
протоны и нейтроны.

§ 1. Каналы
379
ных состояния — основное состояние (be) и возбужденное (be)*,
что частицы а и с имеют одно связанное состояние (ас) и что,
кроме возможных связанных состояний всех трех частиц,
других связанных состояний не существует (табл. 16.1). Реальных
Таблица 16Л
Модельная трехчастичная система
Частицы
Связанные состояния
ау Ьу с
(be), (be) *, (ас) (и возможные связанные
состояния всех трех частиц)
частиц, обладающих точно такими простыми свойствами, не
существует. Тем не менее мы можем думать о частицах а и b
как об электронах (каким-то образом различимых), а о
частице с—как о протоне; в этом случае рассматриваемая система
дает грубую модель для описания рассеяния электрона на
атоме водорода. Равным образом мы можем представить себе
частицу а протоном, b — нейтроном, а с — некоторым стабильным
ядерным «кором». Если в качестве такого «кора» взять ядро
lfcO, то связанное состояние (be) будет представлять собой
ядро 170, состояние (ас)—ядро 17F, а наша простая модель
будет описывать рассеяние протонов на ядрах 170. Как станет
ясно позднее, удобно считать «кор» с очень тяжелым и
обращаться с ним, как с неподвижной частицей. (Конечно, такой
подход есть в сущности простой способ избавиться от движения
центра масс и рассматривать только относительное движение.)
Однако в данный момент мы не накладываем каких-либо
условий на массы частиц a, by c> a рассматриваем общий случай
движения всех трех частиц с сохранением импульса.
Для определенности предположим, что нас интересует
процесс развала связанного состояния
а + (Ьс)-»а + Ь + с. (16.4)
Однако с самого начала мы должны понимать, что в общем
случае данное начальное состояние а-\-(Ьс) будет приводить к
нескольким различным конечным состояниям в добавление к
Таблица 16.2
Возможные каналы
Номер канала 0 12 3
Канал a+b + c a + (be) a + (bc)* b + (ас)
тому, которое нас интересует. Мы можем перечислить все
возможные типы конечного состояния, перечисляя просто все воз-

380 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
можные группировки частиц а, Ь, с в две или большее
количество стабильных подсистем. Эти группировки частиц
называются каналами\ возможные в рамках обсуждаемой модели каналы
указаны в табл. 16.2. (Мы не включаем в этот перечень каналов
связанные состояния всех трех частиц. Они остаются
связанными все время и потому не имеют ничего общего с
состояниями рассеяния, которые нас здесь интересуют.) Мы будем
говорить, что в рассматриваемом процессе (16.4) ин-состояние
канала 1 переходит в аут-состояние канала 0. Ясно, однако, что
ин-состояние канала У, вообще говоря, может переходить в аут-
состояние любого из четырех каналов 0, 1, 2 или 3:
/ а + Ь + с (развал),
J a + (be) (упругое рассеяние),
I я + (be)* (возбуждение),
U + (ас) (перестройка).
Точно так же, интересующее нас конечное состояние может
возникать из нескольких различных начальных состояний.
Действительно, конечное состояние любого из четырех каналов 0, 1,
Фиг. 16.1. Схематическое представление многоканального рассеяния как
квантовомеханической ирригационной системы.
2, 3 может возникать из начального состояния любого из тех же
самых четырех каналов. Следовательно, существует 16
качественно отличающихся друг от друга процессов, которые нам
придется рассмотреть.
На фиг. 16.1 приведено схематическое изображение
многоканального рассеяния, иллюстрирующее само название «канал».
Различные возможные начальные каналы показаны в виде труб,
или каналов, по которым поток вероятности может втекать в
распределительный сосуд. Этот распределительный сосуд изо-
бражает происходящее столкновение, и из него выходят
различные возможные конечные кацалы. На практике ин-состояние
всегда находится в каком-то определенном канале; это означает,
что весь поток втекает в сосуд по одному каналу.
Соответствующее аут-состояние обычно является суперпозицией различных

§ 1. Каналы
381
возможных каналов, и поэтому рассматриваемый поток
вытекает из сосуда по нескольким каналам, распределяясь по ним
в каких-то определенных пропорциях.
На практике эксперименты выполняются с такими
начальными состояними, у которых энергия и импульс определены
довольно хорошо. Поскольку энергия и импульс сохраняются,
это означает, что при определенных энергиях некоторые из
каналов могут оказаться недостижимыми. Например,
первоначально интересовавший нас процесс
a -f (bc)-> a -f b + с
не может происходить, если начальной кинетической энергии
недостаточно, чтобы компенсировать энергию связи состояния
(be). В действительности в нашей модели существуют четыре
пороговые энергии, по достижении каждой из которых
«открывается» один из указанных четырех каналов. Таким образом,
если предположить, что энергии трех связанных состояний (be),
(be)* и (ас) располагаются в порядке возрастания следующим
образом:
Е(Ьс) < ЕуЪс)* < Е{ас) < О,
то при энергиях, меньших E^c)j могут существовать связанные
состояния всех трех частиц, однако состояний рассеяния не
существует. В интервале значений энергии между Е(Ьс) и Е(ьо*
частица а может рассеиваться на связанном состоянии (be), но
какие-либо неупругие процессы происходить не могут. Таким
образом, в этом случае возможным оказывается только
упругое рассеяние, и, как мы увидим, оно описывается амплитудой
рассеяния, обладающей всеми общими свойствами (свойствами
инвариантности, разложением по парциальным волнам и т. д.)
упругой амплитуды, изученной в гл. 2—15. При значениях
энергии между E(bc)* и Е(ас) становится возможным процесс
возбуждения; здесь существуют два открытых канала, приводящих
к четырем возможным процессам. При энергии Е(ас)
открывается канал Ь-\-(ас)\ в этом случае существуют три открытых
канала и девять возможных процессов. Наконец, при Е = 0
открывается распадный канал а + b + с, существуют четыре
открытых канала и оказываются возможными все 16 процессов.
Наша простая модель должна прояснить все основные
наглядные представления, связанные с понятием канала. Вообще
говоря, канал представляет собой просто систему частиц
(элементарных или составных), которые могут влетать в область
столкновения или вылетать из нее. В нерелятивистской теории
имеют дело с системами, состоящими из фиксированного числа
элементарных частиц t=l, ..., N. В качестве канала 0 мы
всегда будем принимать ту систему, в которой все N частиц

382 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
движутся свободно. Остальные каналы, а = 1, 2, ..., суть
группировки частиц в па стабильных фрагментов (2 ^ па < N),
каждый из которых является либо одной из первоначальных
частиц, либо некоторым определенным связанным состоянием
какого-то количества исходных частиц. Подчеркнем, что для
отождествления канала необходимо точно указать как способ
группировки частиц, так и внутреннее состояние каждой
группы. Так, в нашем трехчастичном примере каналы
а+ 6 +с, а + {bc)y b + (ac)
отличаются друг от друга разбиением частиц по группам, тогда
как каналы
a + (bc), a + (bcf
отвечают одной и той же группировке частиц, но отличаются
друг от друга за счет различных внутренних состояний
фрагментов (be) и (be)*1).
Число каналов в данной системе может быть как конечным,
так и бесконечным. В нашей модели, которая в этом отношении
может рассматриваться как типичная для ядерной физики,
указанное число является конечным. Но если существуют кулонов-
ские силы притяжения, то это число в общем случае
оказывается бесконечным. (Например, еН-система имеет бесконечное число
каналов, потому что атом водорода имеет бесконечное
множество связанных состояний.) Для простоты мы будем
предполагать в настоящей главе, что существует конечное число
каналов, а = 0, 1, ..., /г, хотя мало что изменяется, если число
п становится бесконечным.
В заключение этого параграфа необходимо подчеркнуть три
момента. Во-первых, часто оказывается делом вкуса
следующий выбор: рассматривать ли два состояния как
принадлежащие одному каналу или нет. Например, можно было бы
рассматривать два электрона, спины которых направлены вверх, и
два электрона, спины которых направлены вниз, как системы,
относящиеся к различным каналам; однако обычно принимают
точку зрения, согласно которой эти две системы являются
различными спиновыми состояниями в рамках одного и того же
канала. Аналогично систему из двух нейтронов и систему из
двух протонов можно было бы рассматривать либо как
состояния, отвечающие различным каналам, либо как различные изо-
спиновые состояния в пределах одного канала. На практике,
1) Некоторые авторы используют понятие канала группировки, который
определяется как система каналов, в которых все частицы сгруппированы
одинаково. Так, в нашей модели два канала а + (be) и а + (be) • составляли
бы единый канал группировки. (Для обозначения канала группировки
применяют также термин «канал реакции», — Прим. ред.)

§ 1. Каналы
383
однако, неоднозначность такого рода не вызывает какой-либо
путаницы.
Вторая неоднозначность связана с вопросом о том, что
считать стабильным фрагментом. Давая определение канала,
мы существенно использовали то, что он есть система
стабильных фрагментов, которые могут влетать в область столкновения
или вылетать из нее. Причина, по которой фрагменты должны
быть стабильными, состоит в следующем: каналы определяют
группировку частиц, находящихся в асимптотических
свободных состояниях, определенных только при f—►Ч=оо. Так как
только стабильная частица может жить бесконечно долгое
время, отсюда становится ясным, что — по крайней мере в
принципе — нет никакого смысла говорить о канале, содержащем
нестабильные фрагменты.
Тем не менее выполняются эксперименты по рассеянию с
участием нестабильных частиц. В атомной физике измеряют
сечение возбуждения атомов, несмотря на то что возбужденный
атом в конце концов распадается, снова переходя в свое
основное состояние. В ядерной физике с помощью нестабильного
нейтрона производятся многие из наиболее важных измерений.
И вообще почти все элементарные частицы нестабильны,
причем многие из них имеют исключительно короткие времена
жизни. Дело в том, что всякий раз, когда говорят об эксперименте
по рассеянию с участием нестабильных падающих или
разлетающихся фрагментов, время жизни этих фрагментов, каким бы
коротким оно ни было, все же намного превышает характерное
время истинного столкновения. Поэтому можно дождаться того
момента времени, который (в аспекте столкновения) является
«бесконечно» большим, и все же не потерять возможности
наблюдать нестабильные фрагменты задолго до их распада.
В данном контексте оказывается понятным, какие системы
следует рассматривать как стабильные. Обычно имеется также
возможность теоретическое рассмотрение данной задачи
провести следующим последовательным образом. Например,
предположим, что мы хотим рассчитать рассеяние нейтронов на
некотором ядре. Несмотря на то что в действительности нейтроны
нестабильны, силы, вызывающие распад нейтрона, обусловлены
слабыми взаимодействиями, тогда как столкновение нейтрона
с ядром будет полностью определяться сильными (и, возможно,
электромагнитными) взаимодействиями. В соответствии с этим
мы ожидаем, что при изучении указанного столкновения можно
будет полностью пренебречь слабыми взаимодействиями; но
коль скоро слабые взаимодействия «выключены», нейтрон
становится стабильной частицей. Другими словами, в той
теоретической модели, которую мы используем для описания
столкновения, нейтрон представляет собой стабильную частицу и поэтому

384 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
на законных основаниях может рассматриваться как фрагмент
в начальных или конечных каналах. Аналогично при изучении
возбуждения атомов водорода электронами следует ожидать,
что можно пренебречь взаимодействиями с полем излучения, а
в этом приближении возбужденные состояния атома водорода
стабильны.
В последующем обсуждении мы всегда будем предполагать,
что для любого рассматриваемого процесса существует
последовательная модель, в которой все интересующие нас начальные
и конечные фрагменты стабильны1).
Наконец, в-третьих, следует подчеркнуть, что существуют
многочисленные различные возможности выбора нулевого
значения энергии. Выше мы принимали за нуль то значение
энергии, которое соответствует следующей ситуации: все три
частицы полностью отделены друг от друга и неподвижны. С
теоретической точки зрения такой выбор представляется наиболее
естественным (в нерелятивистских задачах), потому что в этом
случае полная энергия равна просто сумме всех кинетических
энергий и всех потенциальных энергий (каждая из последних
стремится к нулю при больших расстояниях между частицами).
Впрочем, в эксперименте с начальным каналом, скажем а -\- {Ьс)>
в качестве нулевой точки столь же естественно выбирать
энергию частиц а и (be), полностью отделенных друг от друга и
неподвижных. Такой выбор отличается от предыдущего на
величину Е{Ьс).
§ 2. Гамильтонианы и асимптотические
состояния каналов
Теперь мы вернемся к нашей трехчастичной модели и начнем
обсуждать квантовомеханическую эволюцию столкновения
частиц. Обсуждение будет развиваться как естественное
обобщение одноканального случая из гл. 2. В частности, те три
основных результата, которые подводят нас к введению S-операто-
ра, — асимптотическое условие, теорема ортогональности и
асимптотическая полнота — будут полными аналогами
соответствующих результатов гл. 2.
1) Даже если это не так, зачастую удается выполнить расчет сечений,
имеющих ясный физический смысл; однако в этом случае логическая
самосогласованность формализма не столь очевидна Все эти вопросы имеют гораздо
более важное значение в релятивистском рассеянии, где участие крайне
нестабильных частиц является скорее нормой, чем исключением. В этой области
были затрачены значительные усилия, чтобы определить понятие 5-матричного
элемента в том случае, когда в рассмотрение включаются нестабильные
фрагменты.

§ 2, Гамильтонианы и асимптотич. состояния каналов 385
Развитие во времени любого состояния определяется
гамильтонианом, который запишем в виде1)
Н = ъг + -£г + ^- + УаЬ ixab) + V«(x«) + Vbc(xbc)=H0 + V,
а Ь с
где xij^Xi — X/, а Н° — это сумма трех кинетических энергий.
Общая орбита системы выражается через этот гамильтониан
обычным образом:
U (*)!+>-e-'«U>>,
где теперь |\|э) — это, понятно, произвольный вектор в трех-
частичном гильбертовом пространстве <9# = i?2(R9), которое
определяется волновыми функциями, зависящими от трех
координат:
ф(хд, хь, хс) = $(х).
Здесь мы ввели двойное подчеркивание для совокупности
координат всех частиц:
x^(xai х$, хс).
Рассмотрим теперь орбиту рассеяния, которая начинается в
канале 0, т. е. ту орбиту, которая вначале соответствует трем
свободно движущимся частицам а + Ъ + с. Для такой орбиты
мы ожидаем, естественно, что
в-'я'|+>т^г>«-'я,,1+.Л
где |\|>ин)—некоторое ин-состояние. Мы увидим, что этот
результат, а также соответствующий результат для аут-асимптот
в самом деле будут выполняться для определенных состояний
|<ф) и что выполняются эти результаты по тем же самым
причинам, что и прежде: когда все три частицы движутся вдали
друг от друга, взаимодействие между ними перестает влиять на
их движение.
Предположим, однако, что мы рассматриваем орбиту
U (01^)> которая начинается в канале 1, а именно в канале
а + (Ьс). Когда эти две частицы, а и (be), движутся вдали друг
от друга (мы прослеживаем орбиту назад во времени),
взаимодействия Vab и Vac между частицей а и каждой из частиц Ъ и
с становятся неэффективными. С другой стороны,
взаимодействие Уьс между частицами Ь и с все время остается
существенным. В самом деле, только благодаря взаимодействию Уъс свя-
*) Мы выбираем гамильтониан в таком виде только из соображений
простоты. Можно было бы, конечно, ввести взаимодействия более общего вида
многочасгичные силы, нелокальные взаимодействия, зависящие от спина силы
(для частиц со спином), и т. д.
13 Зак. 39в

3&6 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
занное состояние (be) остается связанным. Таким образом, для
орбиты, которая начинается в канале 1, частью
гамильтониана Я, эффективной задолго до столкновения, является не
свободный гамильтониан Я0, а «гамильтониан канала 1»
р2 р2 р2
и\ Д i ь i c i т/
п 2m„ ^ 2mh ^ 2/n ^ V bc'
а о с
Для указанной орбиты следует ожидать, что '
е-ш*\*)-т^*е-*™\ЪНИ)9 (16.5)
где |г|)ин) —некоторое ин-состояние.
Важно отметить, что если орбита 11(0|ф) действительно
начинается в канале 1, то волновая функция состояния |г|)ин)
должна описывать такое состояние, в котором координаты ха
частицы а и хЬс центра масс частицы (be) изменяются
произвольно, но относительное движение частиц b и с фиксировано
условием существования связанного состояния (be), т. е.
<^Нин) = Х(ха, Хьс)Ф{Ьс)(хьс) [для ин-состояния а + (Ьс)\. (16.6)
Здесь функция %(хЛ, хЬс) описывает движение начальных
частиц а и (Ьс)\ она является произвольной нормируемой
функцией от ха и от координаты хЬс — центра масс частиц & и с.
С другой стороны, функция ф(Ьс) (хЬс) однозначно определяется
как волновая функция, описывающая внутреннее движение
связанного состояния (be). Таким образом, не каждый вектор
|фин) из пространства Эв может отвечать ин-асимптоте канала 1,
а только те векторы из подпространства S?1, которым
соответствуют волновые функции вида (16.6). Это подпространство 9>х
называется подпространством канала 1; оно состоит из тех
векторов, которые могут отвечать ин- или аут-асимптотам в
канале 1.
Действие канального гамильтониана Я1 на векторы
подпространства 9*{ выглядит особенно просто. Гамильтониан Я1
можно записать в виде
где через РЬс и РЬс обозначены операторы полного и
относительного импульсов частиц & и с, а через МЬс и т&с — их полная
и приведенная массы. Слагаемое в круглых скобках (.. .)
представляет собой гамильтониан относительного движения частиц
b и с; его действие на функцию ффе) сводится просто к умноже-

§ 2. Гамильтонианы и асимптотич. состояния каналов 387
нию ее на ЕфС)- Поэтому асимптотическое поведение (16.5)
орбиты, начинающейся в канале 1, можно переписать так:
е-ш | ф) .+ е-шч | ^ = ехр £_ i (Jjl + ^- + £(М) /] | 4>ин>-
(16.7)
Мы видим, что с точностью до дополнительного фазового
множителя ехр(—ьЕфС)1) это асимптотическое поведение совпадает
с асимптотическим поведением двух свободно движущихся
частиц, одна из которых имеет массу ma, a другая — массу Мьс =
= mb + me.
Точно такие же рассуждения можно провести для всех
других каналов, а всю ситуацию можно резюмировать на манер
табл. 16.3. В этой таблице функция % является произвольной
Таблица 16.3
Канальные гамильтонианы и волновые функции
а
0
1
2
3
Канал
а + Ъ + с
а+(Ьс)
а + (Ьс)*
Ь+(ас)
Канальный гамильтониан
Я»
Типичная волновая функция
в подпространстве канала <Уа
X(Wxc)
*(ха>*ьс)*(Ьс)(хьс)
3C(xa>*&c)W(xi><:)
Х(х»'Гвс)*(«)(х«)
нормируемой функцией своих аргументов. Например, в
асимптотических состояниях канала 0 все три частицы совершают
произвольное движение, и подпространство этого канала 9>°
совпадает со всем пространством Ж. (То есть любой вектор из Ж
может отвечать ин- или аут-асимптоте канала 0.) Отметим, что
канальные гамильтонианы Нх и Н2 для каналов 1 и 2
совпадают друг с другом. Очевидно, такое совпадение вообще имеет
место для любых двух каналов, в которых частицы
сгруппированы одинаково и которые различаются только внутренним
движением в одном или в большем числе фрагментов, как в случае
каналов а + (be) и а + (Ьс)*ч
13*

388 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
В общем ЛЛ-частичном случае канал а конкретизируется
группировкой iV частиц в па свободно движущихся фрагментов
(2^:na^.N)> причем каждый фрагмент представляет собой
либо одну из первоначальных N частиц, либо определенное
связанное состояние их какой-нибудь подсистемы.
Соответствующий канальный гамильтониан На получается вычеркиванием из
гамильтониана Н тех потенциалов, которые связывают частицы
из различных фрагментов:
где Y* — сумма по всем парам индексов 1]9 которым
соответствуют частицы i и /, принадлежащие различным фрагментам
из канала а. Ин- и аут-асимптоты в канале а отождествляются
при помощи волновых функций, соответствующих векторам из
подпространства ^а, причем все эти волновые функции имеют
вид
Х(У1. ...мУЛв)*1(г1)...#ввЮ» <16-8>
где х — произвольная функция от координат у,, ..., у„
центров масс всех па фрагментов. Функция <f>v(zv) представляет
собой волновую функцию связанного состояния, имеющего вид
v-ro фрагмента с внутренними координатами zv. (Если этот v-й
фрагмент оказывается одночастичным, то для него </>v=l1).)
Теперь мы готовы сформулировать асимптотическое условие:
для любой наперед заданной ин- или аут-асимптоты из любого
канала существует некоторая истинная орбита.
Асимптотическое условие. Если все потенциалы
взаимодействия между частицами Уц(хц) удовлетворяют нашим обычным
предположениям, то для каждого вектора |фИн) из любого
канального подпространства &а существует вектор |t|)),
удовлетворяющий соотношению
е-'я'|1|>>-г+=^е-'яа'1Ч>„н>,
(16.9)
причем вектор |г|?) выражается через канальный меллеровский
оператор й+ следующим образом:
Ф> = аа+1Фин>= Нт е'"<е-'"а<|г|)ин>.
*-► — оо
(16.10)
1) В общем случае некоторые из фрагментов будут иметь отличный от
нуля орбитальный момент. Тогда наиболее естественно рассматривать те
состояния, которые отличаются друг от друга только ориентацией орбитального
момента какого-нибудь одного фрагмента, как различные «спиновые»
ориентации в рамках одного и того же канала (см, задачу 16.1 и гл. 17» § 1).

§ 2. Гамильтонианы и асимптотик, состояния каналов 389
Аналогичное утверждение действительно при f-*+oo для ка~
ждого вектора |\|)аут) из подпространства 9*а9 причем Ii|>)=s
Подчеркнем, что для каждого канала а существуют свои
меллеровские операторы Q± и что эти операторы определены
пределом (16.10) только на векторах из подпространства ^а.
Мы действительно установим, что подпространство ^
представляет собой наиболее широкое пространство, на котором нам
потребуется определить операторы Я±.
Набросок доказательства. Доказательство проводится во
многом аналогично случаю одноканального рассеяния, и мы
ограничимся лишь его кратким наброском. Как и в одноканаль-
ном случае, необходимо только показать, что предел (16.10)
существует. Записав интересующий нас вектор в виде интеграла
от его производной, мы найдем, что нужный нам предел
существует, когда интеграл
(Н1(Я-Я°)е-'ЯСЧн1
— оо
сходится. Но разность (Н — На) содержит как раз те
потенциалы, которые удерживают в связанном состоянии различные
фрагменты канала а; в то же время вектор ехр(—iHH) | \|)ин)
эволюционирует, подобно вектору, представляющему па
свободно движущихся фрагментов, которые, следовательно, движутся
независимо друг от друга в соответствии с известным законом
t~Vl (в случае гауссовых волновых пакетов). Поэтому
подынтегральное выражение убывает по меньшей мере как t~z/t (для
любых гауссовых пакетов)2) и указанный интеграл сходится,
что и требовалось. QED
Асимптотическое условие гарантирует, что каждый вектор в
канальном подпространстве {У1 отвечает возможной ин- или
!) В соответствии с соглашениями гл. 4 мы используем полужирный шрифт
для обозначения оператора ft^., потому что наша система является трансля-
ционно инвариантной. Как и в одноканальном случае, мы устанавливаем, что
Q± — 1ц. м®£±» где оператор Q^ описывает относительное движение
системы.
2) Как и в одноканальном случае, читателю с математическими
наклонностями не составит труда проверить, что если результат справедлив для
любого гауссова волнового пакета, то он будет выполняться и для любой
(нормируемой) волновой функции произвольного вида.

390 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
аут-асимптоте в канале а. Если вектор |\|)ин) принадлежит
подпространству 9^% то вектор
является истинным состоянием системы, в которое система
перешла из обозначенного через |\|>Ин) ин-состояния в канале а.
Аналогично, если вектор |фаут) принадлежит подпространству
^а, то вектор
1Ф>=0!|*.ут>
является состоянием, которое перейдет в аут-состояние [фаут)
в канале а.
Получив этот результат, мы уже имеем возможность
ответить на вопрос, имеющий огромное практическое значение: чему
равна вероятность того, что система, вступающая в
столкновение в канале а с ин-асимптотой \ф) (из подпространства 9?а),
будет наблюдаться уходящей из области соударения в канале
а' с аут-асимптотой |^') (из подпространства 9*1)? Если
система была в ин-состоянии \ф) в канале а, то ее истинным
состоянием при / = 0 будет состояние fi+| Ф). Если система
переходит в аут-состояние \ф') в канале а', то ее истинным
состоянием при / = 0 должно быть состояние Q-?'| Ф ). Искомая
амплитуда вероятности равна просто перекрыванию этих двух
состояний. Поэтому соответствующая вероятность равна
w (*', а'+-ф,а) = \ (ф' | 01V+1 ф) |
(16.11)
Прежде чем продолжать обсуждение вероятностей рассеяния,
желательно несколько более полно разъяснить необходимый
формальный математический аппарат.
§ 3. Ортогональность и асимптотическая полнота
Как и в одноканальном рассеянии, любое состояние, которое
получается из некоторой ин-асимптоты (или которое переходит
в некоторую аут-асимптоту), должно быть ортогональным к
любому связанному состоянию всех N частиц. Кроме того, мы
должны ожидать, что любые два состояния, которые
получились из ин-асимптот, принадлежащих различным каналам,
будут взаимно ортогональны. Аналогично должны быть взаимно
ортогональными любые два состояния, которые переходят в аут-
асимптоты, принадлежащие различным каналам. Эти
результаты составляют содержание теоремы ортогональности.

§ S. Ортогональность и асимптотическая полнота 391
Теорема ортогональности. Пусть |^)—любое связанное
состояние всех N частиц, и пусть
1*> = 0+|*и> \
(16.12)
где векторы | г|)ин) и | ф^ принадлежат соответственно
подпространствам / и /, причем а фо!\ Тогда
<*!♦>-<♦'1Ф>-0.
Аналогичные соотношения выполняются и в том случае, когда
в (16.12) операторы й+ заменены на Q- (и ин-состояния
заменены на аут-состояния).
Мы можем сформулировать эту теорему и по-другому, если
определим подпространство 9&, натянутое на связанные состоя*
ния всех N частиц, а области значений операторов Q±
обозначим через 01%. Тогда 01\ будет подпространством всех тех
состояний, которые происходят из начального канала а, в то
время как 521 — подпространством тех состояний, которые в конце
концов окажутся в конечном канале а. Обсуждаемую теорему
можно сформулировать следующим образом:
J1 01\ 1 01% [для всех а, а'; а Ф а']
и аналогично ')
J1 5?! 1 0CL [для всех а, а'; а Ф а'].
Набросок доказательства. Ортогональность связанных
состояний к состояниям рассеяния имеет место по тем же
причинам, что и в одноканальном случае. Поэтому мы обсудим только
ортогональность двух векторов (16.12), которые произошли из
различных начальных каналов а и а'. Скалярное произведение
(г(/|г1)) этих векторов можно вычислять в любой момент
времени в ходе эволюции соответствующих орбит. В частности, его
можно вычислить при большом отрицательном значении /,
когда указанные два вектора хорошо аппроксимируются своими
ин-асимптотами:
W \$) = W \eiHte-iHi\$> = Нт «„|^яа^"^|г|)ин). (16.13)
1) Мы не утверждаем, что #+ _1_ #1'. В самом деле, если бы
подпространство &?•+ было ортогональным подпространству #1, то начинающаяся
в канале а орбита гикогда не оканчивалась бы в канале а'; другими словами
пеулругий процесс (а' ч- а) был бы невозможен.

392 Гл. 16. Оператор раддеяния в многоканальнбм случае
Теперь рассмотрим две возможности. Сначала обсудим тот
случай, когда группировка частиц в каналах а и а' одинакова, а
каналы различаются только внутренним состоянием некоторых
фрагментов. Рассмотрим, например, каналы а-\-(Ьс) и а-\-(Ьс)*
в нашей модели. В этом случае канальные гамильтонианы Яа
и Яа одинаковы, и произведение (16.13) сводится к
произведению (у'Ин | фин), которое равно нулю, потому что волновые
функции связанных состояний ф{Ьс) и ф{Ьс)* ортогональны друг
другу. Вторая возможность состоит в том, что каналы а и а'
соответствуют различным распределениям частиц по группам,
например а-\-(Ьс) и Ь-\-(ас). В этом случае при больших
значениях t частица а практически полностью отделяется от
частицы с в первом канале, но остается связанной с частицей с во
втором канале. Таким образом, перекрывание этих двух
асимптотических состояний стремится к нулю, предел в (16.13) равен
нулю, и поэтому исходное произведение должно быть равным
нулю. В том и другом случае физическая причина
ортогональности вполне понятна: при больших отрицательных / векторы
и(01Ф)*и U(0li|>') представляют совершенно не связанные
друг с другом состояния и потому взаимно ортогональны.
Поскольку, однако, скалярное произведение этих двух векторов
от времени не зависит, из сказанного следует, что оно должно
быть равным нулю в любой момент времени, и в частности при
* = 0, т. е. <ф'|ф) = °-
Ортогональность двух состояний, аут-асимптоты которых
принадлежат различным каналам, можно доказать точно таким же
способом. Доказательство завершено. QED
Мы пока обсудили только те орбиты рассеяния, которые
происходят из определенного начального канала или
заканчиваются в некотором определенном конечном канале. Такие орбиты,
несомненно, не являются орбитами рассеяния наиболее общего
вида. Предположим, например, что два состояния \^х) и \^2)
получились из ин-асимптот, принадлежащих двум различным
каналам; пусть это каналы а = 1 и а = 2:
Тогда, согласно принципу суперпозиции, вектор |\|>) = l^1) -p
+ |^2) определяет допустимое физическое состояние, и мы
можем поставить вопрос: какой асимптотический вид имеет
орбита, определяемая вектором |ф)? Мы теперь знаем, что при
1-+—QO
е-'"Ч^>-*е-'я,'|+«)

§ 3. Ортогональность и асимптотическая полнота 393
в-^|*2)->г-^|ф2ин).
Складывая эти два результата, сразу видим, что орбита,
определяемая вектором |\|)]) +|^2)> имеет следующий
асимптотический вид:
е~ш {W) + \ Ф2» ~> *-'я" | *!.> + е'ШЧ | С)-
То есть эта орбита получается из суперпозиции состояний,
принадлежащих двум начальным каналам 1 и 2.
Раз уж мы узнали о существовании орбит, получающихся
как суперпозиция двух начальных каналов, мы должны
ожидать, очевидно, что наиболее общей орбитой рассеяния
окажется та, которая получается как суперпозиция всех возможных
начальных каналов. Иначе говоря, орбита рассеяния общего
вида должна иметь следующий асимптотический вид:
e-i"'K>-F^*e-'H°'|<„>+ ••• +*-'""'I*™). (16-14)
где каждый вектор |Ф"Н) принадлежит соответствующему
канальному подпространству ^а и где
i*>=°°+I*l>+ ••• +а;|с>- de-is)
Естественно рассматривать каждый член ехр(—*'#a/)[ij)"H) в
асимптотической формуле (16.14) как компоненту ин-асимптоты
в канале ее. Для отождествления общей ин-асимптоты,
очевидно, необходимо точно указать ее компоненты во всех каналах.
Легче всего это сделать, указывая все векторы |i|^H); иначе
говоря, мы можем отождествить общую ин-асимптоту, задавая
набор векторов
{№„>..••> \%*)}> (16-1б)
где каждый вектор |ф£н) отвечает той компоненте начального
состояния, которая имеет асимптотическое поведение,
соответствующее каналу ее.
Точно так же следует ожидать, что при £->оо общая орбита
рассеяния перейдет в суперпозицию всех возможных конечных
каналов
е-ш\Ъ)-т^+е-'Н°'№уг)+ '•• +е-'Н"'КУт>. (16-17)
где
I S»> = °t IО + • • • + КIО (16-18)

394 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
Конечно, эта асимптотическая формула конкретизируется
набором
{Ю-- 1^уТ)}- (16Л9>
Отметим, что на практике ин-состояние всегда принадлежит
одному определенному каналу а, и поэтому оно задается
набором
{о о- |С„). о о}.
С другой стороны, аут-состояние обычно является
суперпозицией нескольких каналов и имеет общий вид (16.19) с
несколькими отличными от нуля компонентами (за исключением,
конечно, того частного случая, когда все неупругие процессы
энергетически невозможны). Такая асимметрия между ин- и
аут-состояниями отражает то обстоятельство, что на практике
могут выполняться лишь эксперименты определенного типа;
в принципе же ин-состояния могут быть произвольными
суперпозициями всех каналов, точно так же как и аут-состояния.
Следует ожидать, что каждое состояние рассеяния
определяет орбиту с асимптотикой (16.14) при /—►—оо и (16.17) при
/—►оо. Конечно, не следует ожидать, что каждое состояние
системы будет состоянием рассеяния, потому что, вообще говоря,
будут существовать и связанные состояния всех N частиц.
Чего мы действительно ожидаем, так это что состояния
рассеяния [удовлетворяющие соотношениям (16.14) и (16.17)]
вместе со связанными состояниями будут охватывать пространство
36 всех состояний. Если наше ожидание оправдывается, то
соответствующую теорию мы называем асимптотически полной.
Чтобы уточнить эти представления, запишем <9# в виде
прямой суммы
которая просто определяет подпространство 31 как пространство
состояний, ортогональных ко всем связанным состояниям. Мы
ожидаем, что подпространство Я будет состоять в точности из
тех векторов |\|>), которые при t—►—оо ведут себя согласно
(16.14), и что указанные векторы будут полностью совпадать
с теми векторами, которые при *-*оо ведут себя согласно
(16.17). Но любой вектор |яр), удовлетворяющий (16.14),
представляет собой суперпозицию векторов, происходящих из
начальных каналов 0, ..., л,
i*>-tf+io+---+°:i*i>. об-2°)
т. е. является суммой векторов, взятых по одному из каждого
ортогонального подпространства 5Z+, ..., 5Й + . Таким образом,
если каждый вектор подпространства 31 удовлетворяет coothq-

§ 3. Ортогональность и асимптотическая полнота 395
шению (16.14), и наоборот, то подпространство 91 должно быть
прямой суммой
Я = Я%® ... @Ж\.
Аналогично, если каждый вектор из 91 удовлетворяет (16.17),
то 91— прямая сумма пространств 5Z-, ..., $-. Итак,
сказанное в последнем абзаце можно выразить в виде следующего
точного утверждения.
Асимптотическая полнота. Многоканальная теория
рассеяния асимптотически полна, если
Ж = $®91,
где 9}— пространство, образуемое связанными состояниями
всех N частиц, и где
&=&\® ... е^+=#-е ... ея1,
причем 9t± — подпространство всех состояний, которые
получились из асимптотического состояния (или перейдут в
асимптотическое состояние) в канале а.
Асимптотическую полноту для трехчастичной системы при
определенном выборе потенциалов доказал Фаддеев [10], а на
УУ-частичный случай его доказательство обобщил Хепп [53].
Доказательство оказывается крайне сложным и потому не
приводится. Мы ограничимся тем, что примем (как, несомненно,
имеющее серьезные физические основания) предположение о
том, что рассматриваемые здесь многочастичные системы
асимптотически полны.
Полученные результаты можно резюмировать следующим
образом. Пространство Зв всех возможных состояний нашей
^-частичной системы можно разложить на две взаимно
ортогональные части: <3# = .$ © 52. Подпространство 9Ь образовано
связанными состояниями всех N частиц, т. е. в любом
состоянии, принадлежащем подпространству ,$, все N частиц все
время остаются совместно локализованными. Подпространство 91
представляет собой пространство состояний рассеяния, в
котором при t—>=Ьоо частицы расщепляются на два или на
большее число фрагментов.
Ин- и аут-асимптоты любой орбиты рассеяния могут
находиться в различных каналах а = 0, . . ., п или, в более общем
случае, могут представлять собой суперпозицию этих каналов,
как указано в (16.14) и (16.17). Те ин- (или аут-) асимптоты,
которые находятся в определенном канале а, отмечаются
векторами |г|)Ш1) (или |г|)аут)) из канального подпространства 9*а.
Соответствующие истинные состояния при t = 0 задаются
действием меллеровских операторов
I Ф) = К IО (или | ф> = Q11 фаут».

396 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
Область значений оператора Q± обозначается через Я%\
следовательно, Й± — подпространство всех состояний, которые
происходят из канала а (или которые перейдут в канал а).
Подчеркнем, что подпространства $?+ и Я-, вообще говоря,
не совпадают. В самом деле, если бы Й+ = ^!1, то каждая
орбита, которая происходит из начального канала а, неизбежно
переходила в тот же самый конечный канал ее, т. е. не могли бы
происходить никакие неупругие процессы. Сам факт
наблюдения неупругих процессов говорит о том, что каждое
подпространство Й+ перекрывается с несколькими пространствами
5Z-, ..., $-, и наоборот.
Ин-асимптота общего вида является суперпозицией
различных начальных каналов [см. (16.14)]; она задается следующим
набором векторов:
(Ю |+Ь». (16-21)
где вектор | о|У£н) отвечает компоненте указанной асимптоты в
канале а. Аналогично аут-асимптота общего вида является
суперпозицией различных конечных каналов и задается набором
{Ю"-1+2у.>}- <16-22)
Наконец, два разложения подпространства 52 в прямые
суммы
Я = Я°+© ... ®&% = $-@ ... ®Я1 (16.23)
выражают тот факт, что каждое состояние рассеяния можно
записать в виде суперпозиции состояний, каждое из которых
происходит из определенного начального канала а, а также в виде
суперпозиции состояний, каждое из которых впоследствии
перейдет в определенный конечный канал ос. Отсюда следует, что
каждая орбита рассеяния имеет ин- и аут-асимптоты вида
(16.21) и (16.22).
До сих пор многоканальная задача рассматривалась как
весьма прямолинейное обобщение одноканального случая.
Нашим следующим шагом будет определение 5-оператора, и в этом
месте нам потребуются некоторые дополнительные сведения.
§ 4. Еще немного математики
Прямые суммы. До сих пор мы использовали понятие
прямой суммы в применении к разложению данного пространства
Зв на два или большее число подпространств. Разложения
(16.23) могут служить примерами такого рода, а еще более

§ 4. Еще немного математики
397
простым примером было бы разложение вещественной
плоскости R2 на два одномерных пространства:
R2 = RieR£.
Теперь введем в рассмотрение прямую сумму несколько иного
вида, которая используется для построения одного большего
пространства из двух или большего числа данных меньших
пространств.
Если Ж\ и Ж^ — два заданных гильбертовых пространства,
то мы можем определить третье пространство Ж, построенное
из всех пар векторов
где векторы |t|?i) и \^2) принадлежат соответственно
пространствам Ж\ и 5^2- В качестве простого упражнения можно
проверить, что если определить сложение формулой
1^ + |Ф>={1*|> + 1*1>. 1Ч>2> + |&>},
а скалярное произведение — формулой
(ЧЧФ>«<*|1#1> + <1*1Л>, (16.24)
то пространство Ж также оказывается гильбертовым. Читатель
легко узнает здесь тот самый метод, с помощью которого
вещественное двумерное пространство векторов х = (хих2) может
быть построено из двух одномерных пространств, если
сложение определено законом
а скалярное произведение — законом
Обычно пространство Ж пар векторов (1^), | фг}} называют
прямой суммой пространств Ж\ и Жч и записывают в виде
Ж = Ж\ ф Ж<ь*
Ясно, что здесь мы имеем дело с прямой суммой нового вида
(иногда называемой внешней прямой суммой), которая
отличается от использовавшейся до сих пор прямой суммы (иногда
называемой внутренней прямой суммой). Тем не менее эти два
понятия тесно связаны друг с другом, и вполне естественно
использовать одно обозначение для их обоих. Дело здесь в том,
что каждый вектор из этого нового пространства Ж может быть
записан в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов:
'{l*i>, l*i» = {l*i>. 0} + {0, |о|>2>}.
Следовательно, пространство Ж является прямой суммой (в
старом, внутреннем смысле) двух подпространств, одно из которых

398 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
содержит все векторы вида {|\|>j), 0}, а другое построено из всех
векторов {0, |ф2}}. Но множество всех векторов {|^i),0}, где
векторы |\j)i) принадлежат подпространству Ж\, очевидно, тесно
связано с самим пространством Ж\, и мы можем фактически
отождествить эти два пространства. Если мы точно так же
отождествим множество векторов {0, |г|>2)} с пространством Жъ то
окажется, что мы встроили исходные пространства Ж\ и Ж%
в более широкое пространство Ж и что пространство Ж как раз
равно прямой сумме пространств Ж\ и Ж^ в ее
первоначальном (внутреннем) смысле.
Похоже, легче всего понять взаимосвязь между этими двумя
видами прямой суммы, рассматривая в качестве примера
вещественную плоскость R2. Если мы исходим из данной плоскости,
то мы можем разложить ее в прямую сумму (внутреннюю) двух
прямых; если исходить из двух прямых, то можно образовать
плоскость как их (внешнюю) прямую сумму. Какой бы образ
действия мы ни избрали, в некотором очевидном смысле связь
плоскости с двумя указанными прямыми оказывается, в
сущности, одинаковой в обоих случаях.
Читатель может, конечно, выразить сомнения относительно
достоинств такого подхода, но мы будем все же следовать
традиции и использовать одно и то же обозначение для прямой
суммы того и другого вида. Из контекста всегда будет ясно,
какого вида прямая сумма используется в каждой ситуации.
Отметим два свойства прямых сумм, которые нам
понадобятся в дальнейшем и которые читатель может легко проверить
самостоятельно. В о-пер в ы х, если векторы |1)ь |2)i, |3)ь ...
образуют ортонормированный базис пространства Ж\ и
аналогично векторы |1)2, |2)2, |3)2> ♦. образуют ортонормированный
базис пространства Жъ, тс набор, включающий
{|1>ь 0}, {|2>„ 0}, ... и {0,| 1)2}, {0,| 2>2}, ...,
является ортонормированным базисом пространства Ж=^ЖХ@Ж^
Отсюда, в частности, следует, что размерность прямой суммы
Ж{®Ж2 равна сумме размерностей пространств Жх и Ж2.
Во-вторых, указанный метод построения прямой суммы
двух пространств легко обобщается на любое конечное число
(и даже на бесконечное счетное множество1)) заданных
пространств. В частности, вектор общего вида в пространстве
Ж = ЖХ® ... @Жп
I) В этом случае имеется одно небольшое усложнение. Определение
(16.24) скалярного произведения будет содержать бесконечный ряд, и поэтому
в пространство^! ф Ж2 ©... должны включаться лишь те векторы {|ifi),
1^), ♦ • •}, Для которых указанный ряд сходится.

§ 4. Еще немного математики
399
представляет собой величину, задаваемую набором
|Ч0={1Ф,>, .••> 1Фя>Ь
где каждый вектор \tyi) принадлежит соответствующему
пространству Ж\.
Линейные операторы перехода между различными
пространствами. Те линейные операторы, которые мы до сих пор
использовали, были операторами, отображающими определенные
векторы данного пространства Ж на определенные векторы того же
самого пространства Ж. В общем случае линейный оператор
может отображать векторы одного пространства Ж на векторы
другого, не совпадающего с первым, пространства Ж', и теперь
нам нужно рассмотреть такие операторы. Их определение
оказывается тривиальным обобщением обычного определения.
Оператор А является линейным оператором перехода от
пространства Ж к пространству Ж\ если для каждого
вектора |г|)) из определенной совокупности векторов
пространства Ж существует единственный вектор Л|\|>) из
пространства Ж', такой, что
А(а\^) + Ь\ф)) = аА\Ъ) + ЬА\ф).
Ясно, что область определения 3) (А) оператора А
принадлежит пространству Ж, тогда как область значений &(А)
принадлежит пространству Ж'.
В частности, для нас будут представлять интерес
изометрические операторы перехода между двумя пространствами,
которые определяются в указанном более общем контексте
следующим образом:
Линейный оператор Я перехода от Ж к Ж/ является изо*
метрическим оператором перехода от Ж к Ж', если его
область определения совпадает с Ж, его область
значений совпадает с Ж' и он сохраняет норму.
Как и при нашем прежнем определении, легко проверить, что
изометрический оператор перехода от Ж к Ж' является
взаимно однозначным отображением Ж на Ж'. Следовательно, для
него существует обратный оператор, который, как видим,
оказывается изометрическим оператором перехода от Ж' к Ж.
Действительно, можно видеть, что наше новое определение
включает в себя прежнее. Вспомним, что мы называли оператор Q
изометрическим на пространстве Ж, если его областью
определения было само пространство Ж, его областью значений —
некоторое подпространство 52 пространства Ж и если этот
оператор сохранял норму. Мы можем рассматривать 52 как вполне

400 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
полноправное пространство, и тогда, очевидно, оператор Q
окажется изометрическим оператором перехода от Ж к 31 в
указанном новом смысле. Отметим также, что унитарный оператор
можно рассматривать как особый случай изометрического
оператора, в котором оба пространства 216 и Ж суть одно и то же.
Другим примером служит канальный меллеровский оператор
Q+ (или й!) при любом а. Этот оператор отображает
канальное подпространство 9?а на область $+. Легко проверить, что
он сохраняет норму [потому что он равен пределу унитарного
оператора
ехр(/#/)ехр(— iHat)\
и поэтому мы можем считать его изометрическим оператором
перехода от пространства ^а к пространству $\.
Нетрудно проверить (в точности как в гл. 1), что для
изометрического оператора Q перехода от 96 к Ж' обратным
оператором будет Q+; другими словами1), оператор Qf отображает
36' обратно на Ж, причем
Q+Q| а|)) = | ф) [для любого | я|>) из Щ.
§ 5. Оператор рассеяния
Для всех, кто внимательно прочитал предыдущие два
параграфа, направление дальнейшего продвижения должно быть
совершенно ясным. В § 3 мы видели, что общая ин-асимптота
многоканальной системы задается набором векторов
(Ю Клн>}>
где вектор | г|)£н) находится в подпространстве 9^ канала а и
указывает компоненту рассматриваемого ин-состояния,
отвечающую каналу а. Используя терминологию § 4, мы можем,
следовательно, сказать, что каждая ин-асимптота задается вектором
1^„„>={Ю |*ь)} (1625)
в пространстве
Это новое пространство 5#ас, которое мы будем называть
пространством асимптотических состояний, оказывается (в
очевидном смысле) более широким, чем 36\ потому что уже одно толь-
1) Как и следовало ожидать, сопряженный оператор для оператора
перехода от Ж к Ж определяется соотношением (Ф \ А | *ф> =■ (ф | А | Ф)* для
любого вектора | г|з) из 76 и любого вектора | ф) из Ж\ Отметим, что
оператор Af отображает Ж на Я7,

§ 5. Оператор рассеяния
401
ко подпространство 9*° равно пространству Эё. В то же время
пространство Ж&с как нельзя лучше подходит для описания
асимптотических состояний, потому что каждый его вектор
однозначно сопоставляется некоторой ин- (или соответственно
аут-) асимптоте, и наоборот.
В § 3 мы видели, что если ин-асимптота задается вектором
(16.25), то истинное состояние при t = 0 имеет вид
i*>-tf+i*L>+.-.+°;io-,
В соответствии с этим мы определим линейный оператор Q+,
действующий в нашем новом пространстве <5#ас, соотношением
q+i^h)=g+{io ..., ic»-tf+i*°™>+ •■■ +°;ю
(16.26)
Определенный таким образом оператор Q+ отображает Р^ас
на Ж, причем каждой ин-асимптоте, сопоставляемой вектору
I ^ин)» соответствует при / = О истинное состояние | -ф) = Q+| W^).
Аналогично мы можем определить оператор Й- так, чтобы
истинным состоянием при / = 0, соответствующим произвольной
аут-асимптоте | 4^), был вектор | -ф) = Q_1 4^).
Нетрудно доказать (см. задачу 16.3), что в случае
асимптотически полной теории операторы й± действительно являются
изометрическими операторами перехода от <5#ас к пространству
состояний рассеяния 52. Ситуацию можно описать следующим
образом:
(7К«с изометрический %/ъ изометрическийv ac
оператор оператор
или, в записи с помощью векторов,
!¥„„> -^ 1*> +— |У.ут>.
ин-асимптота истинное аут-асимптота
состояние
при f=0
Аналогия с одноканальной задачей становится теперь полной.
В частности, мы можем записать обратное соотношение для
a|) = Q-|WayT>
и получить
l4V>=QtH>=aiQ+|4U.
Таким образом, если определить оператор рассеяния формулой

402 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
то оператор ® будет отображать каждую ин-асимптоту на
соответствующую аут-асимптоту:
|XFayT) = @|*FHH>.
Поскольку оператор ® является изометрическим оператором
перехода от 2ёас к с9#ас, он действительно оказывается
унитарным (унитарность интерпретируется, как прежде).
Амплитуда вероятности того, что система, вступающая в
столкновение с ин-асимптотой, задаваемой вектором |Ф> из
пространства «?#ас, будет наблюдаться уходящей из области
соударения с аут-асимптотой |Ф'), равна просто матричному
элементу (Ф'|®|Ф), и поэтому
ю(ф'<-ф) = |<ф'|®|ф)р=|(ф'|010+|ф)|2. (16.27)
При выполнении эксперимента начальное состояние
приготовляется обычно в определенном канале, и ин-асимптота |Ф):
имеет вид
|Ф> = {0, .... 0, !</>>, 0, ..., 0},
где вектор \ф) принадлежит некоторому определенному
подпространству 5?а. Соответствующее аут-состояние @|Ф),
конечно, не принадлежит (в общем случае) какому-либо
определенному каналу. Однако на практике всегда контролируется какое-
то конечное состояние, которое принадлежит определенному
каналу; другими словами, на практике нас интересуют
конечные состояния вида
|Ф') = {о,..., о, in о,.... о},
где вектор | <£') принадлежит определенному подпространству 9^.
Для таких состояний имеем
0+|Ф> = ОЦ*>
и
0.|ф/> = 01'|^/>.
Таким образом, для указанных состояний вероятность (16.27)
можно записать в виде
w (*', а'+-ф,а) = \ (ф' | Qa-'fQa+1 *> Г.
Именно этот результат был получен в (16.11). Из него ясно
видно, что, когда мы интересуемся только расчетом
вероятностей перехода между двумя определенными каналами, нет
никакой необходимости вводить пространство <3#ас- Это
пространство требуется только тогда, когда мы желаем выразить
искомые амплитуды вероятности в виде матричных элементов
рдного-единственного унитарного оператора ®,

Задачи
№
Нет никаких сомнений в том, что в нерелятивистской
квантовой механике фундаментальным гильбертовым пространством,
описывающим эволюцию N-частичной системы, является
пространство Ж = З?2 (R3N) (умноженное при необходимости на
соответствующее спиновое пространство). В то же время
пространство Жас представляет собой вспомогательное
пространство, которое вводится потому, что его векторы наиболее
естественно сопоставляются всем асимптотам.
В релятивистской квантовой теории ситуация оказывается
далеко не столь ясной. Здесь совершенно неясно, что считать
фундаментальным пространством при описании системы, с
которой могут происходить процессы типа
П +р^{ я- + яо + яо + р.
С другой стороны, построение пространства Жас не составляет
никакой проблемы. Каждая конфигурация, я- + р, К0 + Л,
л- + л° + Jt° + p, определяет отдельный канал и отличное от
других канальное подпространство 5*\ Пространство Жас
равно просто прямой сумме (обычно по бесконечному множеству
каналов) таких подпространств.
Вероятно, наиболее крайней точки зрения на эти два
пространства Жм и Ж иногда придерживаются в аналитической
теории S-матрицы, когда считают, что все физические
эксперименты представляют собой в действительности эксперименты
по рассеянию и что, следовательно, вся относящаяся к делу
информация содержится в S-операторе (который отображает
пространство Ж*с само на себя). При таком подходе вопрос
о существовании такого пространства Жу которое описывает
последовательную эволюцию системы и «дает интерполяцию»
между ин- и аут-асимптотами, оказывается несущественным и
не должен играть никакой роли в удовлетворительной
физической теории.
Задачи
16.1. Даже когда все частицы системы не обладают спином, обычно
бывает так, что какие-то фрагменты в некоторых каналах имеют отличный от
нуля орбитальный момент количества движения. Тогда приходится решать
вопрос о том, как описывать «спин» таких фрагментов. Предположим, что в
нашей трехчастичной модели содержатся только бесспиновые частицы а, Ь и с,
что взаимодействия этих частиц инвариантны относительно вращений и что
орбитальный момент состояния (be) равен / = 1. Обсудите форму волновых
функций, описывающих асимптотическое свободное движение в канале а +
+ (be); при этом различные значения т следует рассматривать как
различные ориентации «спина» частицы (bc)t которые все принадлежат одному и
тому же каналу.
16.2. Рассмотрите рассеяние электрона е' на атоме водорода (т. е. на
ер-системе), считая электроны е и е' отличающимися друг от друга

404 Гл. 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае
Перечислите все каналы и канальные гамильтонианы и выпишите типичные
волновые функции, представляющие асимптотические состояния в каждом
канале. Для простоты вы можете пренебречь спинами электронов и протона,
однако должны принять во внимание угловой момент связанных состояний.
Связанные состояния с различными значениями квантовых чисел п и / должны
рассматриваться как состояния, определяющие различные каналы; с
различными значениями квантового числа m следует обращаться, как в задаче 16.1.
16.3. Мы утверждали, что меллеровский оператор, определенный
соотношением (16.26), является изометрическим оператором перехода от 2#ас
к 01. Для доказательства этого утверждения проведите следующее
рассмотрение. Пусть Q1 и Q2 — изометрические операторы перехода от некоторых
пространств t?1 и 9*2 к двум другим пространствам 01х и 0t2t где 01х и #2 —
подпространства некоторого пространства 01, причем 01 = 01х ф 0t2.
Определим оператор Q, действующий в пространстве 2бас = Р1 ф 9>2, равенством
Докажите, что Q — изометрический оператор перехода от 9^ас к 01. [Вы
должны показать, что оператор Q определен на всем пространстве 2#ас» что
каждый вектор пространства 01 является изображением некоторого вектора
пространства <%ас, получаемым при действии оператора Q, и что оператор Q
сохраняет норму. Отметим, что (при рассмотрении действительно
интересующих нас пространств) в соотношении $ = $1ф#2 мы имеем
внутреннюю прямую сумму, тогда как в 9> »?" ф^2 — внешнюю.]

ГЛАВА 17
СЕЧЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ
В МНОГОКАНАЛЬНОМ РАССЕЯНИИ
Продолжим общее обсуждение многоканальной теории
рассеяния. В гл. 16 мы показали, что ин- и аут-асимптотам
многоканальной орбиты рассеяния сопоставляются наборы векторов
типа
{Кн> 1С»
(и аналогичные наборы для аут-асимптот), где каждый вектор
| 'Фш,) указывает относящуюся к каналу а компоненту
асимптотического состояния. Эти наборы можно рассматривать как
векторы в пространстве асимптотических состояний ЖаСу причем
каждая ин-асимптота переводится в соответствующую
аут-асимптоту унитарным оператором <2, действующим в пространстве
<5#ас. В настоящей главе мы построим импульсный базис
пространства (5^ас и затем определим Г-матрицу на энергетической
поверхности через элементы 5-матрицы в импульсном
пространстве. Затем мы выведем выражения для различных
сечений через Г-матрицу на энергетической поверхности. В
заключение мы изучим некоторые следствия различных
возможных принципов инвариантности.
§ 1. Базисные векторы в импульсном пространстве
Оператор ® представляет собой унитарный оператор,
определенный на пространстве асимптотических состояний Жас. Как
и в одноканальном случае, мы обнаружим, что измеряемые
в эксперименте сечения выражаются именно через матричные
элементы оператора @ в импульсном пространстве, и по этой
причине мы должны рассмотреть импульсный базис в
пространстве <9#ас. Такой базис будет обобщением тех базисов,
которые использовались в одночастичной и в двухчастичной
задачах, а именно плоских волн |р) и состояний |р2, р2)==|р, р)
соответственно. Для простоты сначала обсудим нашу простую
модель с тремя частицами a, ft, с, введенную в предыдущей
главе.
Поскольку пространство <2#ас является прямой суммой
канальных подпространств 9?а, мы можем начать с построения

406 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
базиса в каждом подпространстве 9Ра. Прежде всего рассмотрим
канал 0, в котором все частицы a, b и с движутся свободно
и в котором асимптоте общего вида сопоставляется
произвольная волновая функция х(ха> хЬ) хс), зависящая от координат
всех трех частиц. Соответствующий импульсный базис задается,
очевидно, трехчастичными собственными состояниями
I Ра, Рь> Vc'y 0)зэ|£, 0),
которым соответствуют волновые функции
(х | р, 0) = (2я)~~9/г exp [i (рЛ - ха + рь • хъ + рс • х,)],
а нормировка определяется условием
<£', oi£, о)=^(Р;-ра)бЗ(Р;-Р/))бз(Р;-рс)^б»(р'-£)
[где через р обозначена совокупность импульсов (pfl, pb, pc)t
а индекс 0 соответствует номеру канала а = 0]. Эти векторы
являются, конечно, собственными векторами свободного
гамильтониана:
\ а о с ' =
В канале 1, т. е. в канале а+ (&<:), асимптотам отвечают
волновые функции
%(ха, Хьс)Ф(Ьс)(*Ьс),
где х — произвольная функция от координаты ха и от
координаты центра масс хьс частиц b и с, тогда как ффС)— волновая
функция связанного состояния (be). Поскольку функция ффС)
фиксирована, указанные волновые функции можно_ построить
из произведений плоских волн по переменным ха и хЬс на
фиксированную функцию ф(Ьс) (хЬс). Иначе говоря, в качестве
базисных можно взять векторы
1Рл. Х>Ьс\ 1>—1р, О,
которым соответствуют волновые функции
(х | р, 1) = (2тс)"3 exp [i (pe • ха -f Рьс • *ьс)] Ф(ьс) {*ьс)>
а нормировка определяется условием
<р', ц£, 1>=б3(Р;-Ра)бЗ(-р;<;--Р;,с)^б«(£'-£).
Эти векторы отвечают состояниям, в которых импульс
частицы а равен ра, в то время как частицы b и с находятся
в связанном^ состоянии [be), центр масс которого движется с
импульсом рьс. В этом канале через р мы обозначили пару век-

§ 1. Базис в импульсном пространстве
407
(Ра, Рьс); поэтому нет необходимости, записывая базисные
)ы |р,1),
торов
векторы |р, 1), указывать волновую функцию ффс), так как
указание номера канала, 1, уже содержит информацию о виде
этой функции.
Оператором энергии для асимптотических состояний в
канале 1 является канальный гамильтониан Н\ а векторы |р, 1),
конечно, собственные векторы этого оператора:
где ЕфС) — внутренняя энергия связанного состояния (be).
Таким образом, неограниченные векторы |р, 1) будут отвечать ин-
и аут-состояниям с определенной энергией Е^ в канале 1.
Импульсные базисы в других каналах строятся точно так
же. Соответствующие данные приведены в табл. 17.1.
Таблица 17А
Базисные функции каналов
Канал
Волновая функция /х_ |_р, а)
Энергия £"
а + Ь + с\
а Л- {be)
a + (bc)*
b + {ас)
(2я)-Чхр [i (pa • xfl + рь • хь + Рс • хе)]
(2k)~3 ехр [/ (ра . ха + рьс • х^]Ф(Ы (x^)j
(2я)~3 ехр [I (ра • ха +"р&с-х^]Ф(&с)*(х^)|
(2я)'3 ехр [/ (р, • х,+р^• Гае)]Ф{ае) (хас)\
Ра
2та
9
Ра
Pb Рс
2ть * 2тс
+ -^ + Е{
2М
be
Р\с
(be)
2та
о
Ра , гОС
2/иа "^ 2Л^ + E<bc)*
Р\
"Г 2
Г од/f "г ^(ас)
2т& 2Мас
Построение соответствующих базисов в подпространствах ^а
при рассмотрении общей УУ-частичной задачи выполняется
совершенно аналогично, и нет необходимости на нем
останавливаться. Упомянем только о том, что, поскольку в общем случае
канал а содержит па свободно движущихся фрагментов,
соответствующий базисный вектор имеет вид |р, а), где через р
обозначены все па импульсов этих фрагментов.
Ввиду того что пространство <9^ас является прямой суммой
^ас=^°е... е^,
мы можем получить ортонормированный базис пространства
<?#ас, объединяя любые ортонормированные базисы подпро-

408 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
странств ^°, ..., Р4. В частности, векторы [р, а) (при
фиксированном а и любых р) образуют (неограниченный) ортонор-
мированный базис в подпространстве &а> и поэтому множество
векторов
{0, ..., 0, |£, а), 0, ..., 0} [а = 0, ..., л; любые р] (17.1)
образуют искомый импульсный базис в пространстве <5#ас-
Отметим, что для полного охвата пространства 3@ас мы должны
включить в рассмотрение все импульсы и все каналы.
Базисный вектор (17.1) отвечает асимптоте с импульсами р,
находящейся полностью в канале а. Ввиду того что символ
(17.1) выглядит весьма громоздким, мы будем сокращенно
записывать его в виде [р, а):
{0, .... 0, |£, а>, 0, .... 0}«|£, а),
т. е. мы будем использовать один и тот же символ |р, ее) как
для обозначения базисных векторов подпространства ^а,
принадлежащего пространству Ж, так и для обозначения набора
векторов, относящегося к пространству <9#ас и состоящего из
вектора |р, а) на а-м месте и нулей на всех остальных местах.
На практике всегда ясно, какого типа вектор используется, и
предложенная не совсем точная нотация не приводит к какой-
либо путанице. Приняв такое соглашение, мы можем выразить
ортонормированность построенного в пространстве <5#ас базиса
соотношением 1)
</, а' |£, а> = 6а'ад(£' — £),
где множитель да'а отражает ортогональность
(рассматриваемых как векторы пространства <9#ас) любых двух векторов,
относящихся к различным каналам. По отношению к этому
базису S-оператор становится матрицей с элементами
{р\ а' 1®1р, а), и знание всех этих элементов эквивалентно
знанию оператора <S. Аналогично операторное соотношение,
соответствующее условию унитарности @®=1, становится
матричным соотношением
£$</£"<£', a'|®V', а"><£", а"|«|£, а> = 6а'ав (£-£). (17.2)
а"
!) Чтобы избежать ужасающего нагромождения индексов, не будем
указывать размерность дельта-функций б (р' — £) = 6^ а' (// — £). [Из-за
множителя da,a обе переменные_р/ ирв функции Ъ(р' — £) всегда имеют
одинаковое число компонент.] Аналогично при интегрировании по импульсам
канала а мы будем записывать элемент объема просто как dp, вместо того
чтобы писать d ap.

$ i. Сохранение энергии и Т-матрицй 40§
(Из этого результата вытекает оптическая теорема для
многоканального случая; см. задачу 17.3.)
В заключение параграфа отметим, что до сих пор мы
предполагали все частицы бесспиновыми, а все связанные
состояния — имеющими нулевой орбитальный момент количества
движения. Введение угловых моментов любого типа в наш
формализм производится совершенно непосредственно. Предположим,
например, что в рассмотренной выше трехчастичной модели
частица а имеет спин s, а связанное состояние (be) имеет
орбитальный момент /. (Например, мы можем считать а
электроном, а состояние (be)—2р-состоянием атома водорода, хотя
для простоты мы считаем частицы b и с бесспиновыми.)
Рассмотрим теперь асимптотическое состояние (все равно какого
типа — ин или аут), в котором частицы а и (be) движутся
свободно. Возможны различные ориентации спина частицы а и
аналогично орбитального момента частицы (be), и естественно
рассматривать их как различные ориентации «спина» в рамках
одного и того же канала. Поэтому под каналом 1 будем
понимать все свободные состояния частиц а и (Ьс)у а
соответствующие собственные векторы в импульсном пространстве будем
записывать в виде
I Ра, РЬс, Ма* Щс> О,
где ра и рьс — импульсы двух указанных фрагментов, пга —
г-компонента спина частицы а и Шьс — 2-компонента
орбитального момента частицы (be). Соответствующая волновая
функция имеет вид
(2яГ3 ехр р (ра • ха + РЬС ■ х6с)] ft (rbc) УУ ^
где x1q — спинор, описывающий частицу а, а последние два
множителя представляют радиальную и угловую зависимости
волновой функции связанного состояния (be).
Должно быть ясно, что на этой стадии учет спина (все
равно, внутреннего или «орбитального») приводит всего лишь
к незначительному усложнению обозначений, и в дальнейшем
мы будем, как правило, использовать упрощающее
предположение о том, что ни один из фрагментов любого канала не
обладает угловым моментом.
§ 2. Сохранение энергии и Г-матрица
на энергетической поверхности
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы установить
сохранение энергии, которое получается почти как в одноканальном
случае. Первый шаг — доказательство соотношения переброса
HQa± = Qa±Ha [на подпространстве 9>%\ (17.3)

410 Гл. 17. Сечения и инвариантность в мндгокан. рассеянии
которое выполняется для любого вектора из канального
подпространства ^а (т. е. из той области, на которой определены
операторы Q+). Эти соотношения сразу следуют из
определения
Q% = \\meiHte~iH f [на подпространстве 9>а\
в точности как в гл. 3, § 1. Рассмотрим теперь S-матричный
элемент (р', а'|®|р, а) между начальным и конечным
состояниями, энергии которых соответственно равны Е^_ и Е^\ эти
значения энергии сокращенно будем записывать как Е и £',
если не будет опасности путаницы. Указанный S-матричный
элемент можно переписать следующим образом:
(/, а'|«|£, <*> = <£', а'|0!'^а+|£, а).
Используя эту форму, мы можем применить соотношения
переброса для доказательства требуемого результата:
Е(р', а' |« I £, а> = <... | Qa:fQa+Ha\ ...) =
= (...|Q-f#«+|... > = (... \Ha'Qa-fQa+\ .. .) = Е' (... \®\...)
или
(E-E')(p't а'|«|£, а> = 0.
Таким образом, матричный элемент (/?', а'|®|р, а) равен
нулю, если только энергия в начальном состоянии не равна
энергии в конечном состоянии. Иначе говоря, оператор ®
сохраняет энергию, и его матричные элементы содержат
ожидаемый множитель1) 6(£' — Е).
Помимо сохранения энергии, оператор @ сохраняет еще и
полный импульс. Ведь все потенциалы зависят только от
относительных координат частиц, так что система транслядионно
инвариантна. Это означает, что оператор ® коммутирует с
оператором полного импульса P = £Pj и _поэтому его матричные
элементы содержат множитель б3 (р' — р). В действительности
мы можем продвинуться еще дальше: используя в качестве_не-
зависимых переменных координату общего центра масс х и
любой подходящий набор (N — I) относительных координат, мы-
1) Аналогию с одиоканальным результатом можно еще более усилить,
> если на пространстве Ж^ определить оператор Яас, такой, что
Яас|£) а) = £||р,а>.
Этот оператор является оператором энергии для всех асимптотических
состояний; легко видеть, что он удовлетворяет соотношению [#ао *Щ =■ 0.

§ 2. Сохранение энергии и Т-матрица
411
можем представить пространство <9# (и аналогично
пространство 5^ас) в виде произведения
<5$ = <3$ц. м ® <5^отн«
Здесь, как и в двухчастичном случае, пространство <9#ц. м
описывает движение общего центра масс, а пространство 5#0тн—
относительное движение частиц. [Выбирая (Af—l)
относительных координат и импульсов, которые определяют пространство
5^отн, нужно быть осторожным; см. задачу 17.2.] Гамильтониан
теперь можно записать в виде
Н == ** ц. м "г Ноти>
где Яц. м= Р2/2М, а М — полная масса системы; как и в случае
двухчастичного рассеяния, 5-оператор имеет вид произведения
Оператор S описывает относительное движение; он является
тем оператором рассеяния, который получится, если исходить
непосредственно из гамильтониана Нота. Как и в одноканаль-
ном случае, вся физически интересная информация содержится
в операторе S, и дальнейший анализ будет производиться по
большей части с помощью оператора S.
Возвращаясь к матричным элементам оператора ®, мы
видим, что их, конечно, можно записать следующим образом:
(//, а' | ® \р_у а) = б3 (р' — р) X (остальное),
причем указанный остальной множитель зависит только от
относительных импульсов.
Теперь мы можем объединить следствия, вытекающие из
сохранения энергии и импульса. Но прежде удобно, как и в
одноканальном случае, выделить член, соответствующий
отсутствию рассеяния, записывая
«=1+R.
Далее, поскольку R, как и ®, сохраняет полные энергию и
импульс, матричные элементы можно записать в виде
='
—
, а'|«|£,
2габ (£' -
а) == 6у
■£)б3(р'
„в (£'-£) -
-р)Цр',а'
+-Р>
а).
Здесь Т-матрица на энергетической поверхности t(p\ a'*-pt a)
зависит только от совокупностей начальных и конечных
относительных импульсов, что мы отмечаем подчеркиванием одной
чертой соответствующих переменных р и р'. (Иначе говоря,
символом_р обозначено множество па-— 1 должным образом вы-

412 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
бранных относительных импульсов фрагментов канала а.) Эта
матрица определена только на энергетической поверхности
Е' = £, т. е. она определена только для тех значений р и р\
которые согласуются с сохранением энергии. Ее можно,
конечно, рассчитать непосредственно из оператора S для
относительного движения, матричные элементы которого
(р', a'|S[p, a) можно записать в виде разложения, подобного
(17.4), но без множителя 63(р' — р).
Интерпретация разложения (17.4) во многом совпадает с
интерпретацией в одноканальном случае. Первое слагаемое
представляет собой 5-матрицу в отсутствие рассеяния; оно
оставляет неизменными все импульсы и каналы. Второе
слагаемое отвечает фактическому рассеянию; оно сохраняет
полную энергию и полный импульс, однако в общем случае может
приводить к изменению относительных импульсов и к
изменению канала.
Из того факта, что оператор S может связывать только
состояния с одинаковой энергией, вытекают важные
ограничения на так называемую «канальную структуру» S-матрицы. Для
иллюстрации этих ограничений вернемся к нашей трехчастичной
модели с ее четырьмя каналами a = 0, ..., 3, указанными
в табл. 17.2. Мы можем рассматривать дискретные канальные
индексы а' и а в матричном элементе (р', a'|S|^?, a) или в
матрице t(p'9 a'<— p, a) как индексы, сопоставляемые строчкам и
столбцам матрицы в «канальном пространстве», каждый
элемент которой является функцией от импульсов р' и р.
Например, в нашей модели получается матрица, в которой может
быть до четырех строк и столбцов. Однако, как мы сейчас
увидим, при некоторых энергиях размерность этой матрицы
оказывается в действительности меньше четырех. Для
определенности мы ограничимся рассмотрением в системе центра масс (т. е.
мы будем обсуждать 5-матрицу для относительного движения)
и представим себе, что энергия увеличивается, начиная с
некоторого большого отрицательного значения.
Таблица 17 J
Каналы и пороги
-7 —
a
Канал
Порог
0
а + Ь + с
0
1
a + (be)
E(bc) <
2
а + (be) *
ЕФсГ <
3
b + (ас)
Е(ас)<° .
В данном канале энергия любого состояния будет по край-
ней мере не меньше пороговой энергии канала. Таким образом.

§ 2. Сохранение энергии и Т-матрица
413
при энергиях, меньших, чем наименьшая пороговая энергия
ЕфС)> ни в одном канале не существует каких-либо состояний,
и потому не существует никакой S-матрицы. Когда энергия
возрастает до значений из промежутка E{bC)^E < E(bC)*>
существуют состояния в канале 1, однако не существует каких-либо
состояний во всех остальных каналах. Таким образом, в
указанном интервале энергий оператор S оказывается 1 X
1-матрицей в «канальном пространстве»
<Р'. HSIp, 1>
и обладает многими из свойств одноканальной S-матрицы.
Например, если выбрать моментный базис в подпространстве
канала 1 и предположить инвариантность относительно
вращений, то с помощью тех же аргументов, которые были
использованы в гл. 6, можно показать, что
<£', /', m'; HS|£, /, m; 1) =
= б (£' — Е)bi'ibm'me l [Е(Ьс) ^ Е < Е(ьо*]9
где фазовый сдвиг б/ (Е) веществен.
Если теперь увеличивать энергию до значений из
промежутка ЕфС)* ^Е < Е{аС), то будут существовать состояния в
каналах 1 и 2, но ни в каких других. Таким образом, оператор S
становится 2Х2-матрицей в «канальном пространстве»:
(<Р'> И Sip, 1) <р', 1| Sip, 2>\
V<P', 21 S|p, 1) <р', 2| S|p, 2) J (U-b)
Ясно, что по достижении пороговой энергии данного канала
он открывается и размерность матрицы увеличивается на
единицу. В конце концов, при Е ^ 0 все каналы оказываются
открытыми и S-матрица принимает свой окончательный вид —
она состоит из четырех строк и четырех столбцов.
В заключение заметим, что относительное движение в любом
двухчастичном канале полностью определяется одним-един-
ственным импульсом — относительным импульсом
соответствующих двух фрагментов. Таким образом, когда открыты
только двухчастичные каналы, каждый матричный элемент
(p't a'|S|p, a) зависит в сущности только от двух импульсов
р' и р, как это указано, например, в (17.5). Многоканальная
S-матрица в этом интервале энергий сложнее, чем
соответствующая S-матрица одноканальной задачи, только в том
отношении, что она состоит более чем из одного элемента. Как
только открываются каналы, содержащие три или более
частиц, соответствующие матричные элементы начинают зависеть
от нескольких переменных, и ситуация становится гораздо
сложнее.

414 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
§ 3. Сечения
Теперь мы должны приступить к расчету наблюдаемых
сечений через Г-матрицу на энергетической поверхности. Ввиду
того экспериментального факта, что большая часть
представляющих интерес процессов начинается из двухчастичных
состояний, мы ограничимся обсуждением именно таких процессов
и рассмотрим процесс, ведущий от двухчастичного начального
канала а к произвольному конечному каналу а! (в котором
имеется п' частиц). В нашей трехчастичной модели мы могли
бы рассматривать любой из процессов
а + {Ьс)-
а + (be),
а + {Ьс)\
Ь + (ас), v '
а + b + с
(здесь в первых трех процессах имеем двухчастичные конечные
состояния, а в последнем—трехчастичное конечное состояние).
Для простоты будем работать в системе центра масс,
рассматривая только относительное движение. Пусть \ф)—начальное
состояние в канальном подпространстве 9ра, задаваемое его
волновой функцией ф(р) в пространстве относительного
импульса р двух начальных частиц1). Как обычно, функция ^(р)
имеет заметный пик вблизи среднего значения импульса
налетающей частицы. Соответствующая ин-асимптота должна,
конечно, записываться в виде
1^ИН) = |Ф> = {0, ..., О, |*>, 0, ..., 0},
где вектор \ф) стоит на а-м месте.
Начнем с расчета вероятности того, что при заданном ин-
состоянии \WnH) = |Ф) в канале а конечные частицы будут
наблюдаться в канале а', причем их импульсы будут находиться
в некотором заранее указанном объеме в (Зп'— 3) -мерном
пространстве относительных импульсов этого канала. Прежде
всего, если рассматривается бесконечно малый элемент объема.
1) Строго говоря, мы должны рассматривать начальный двухчастичный
волновой пакет вида Ф\ (pj) Ф2 (Рг)- Однако, как и в гл. 3 и 4, мы придем к
тем же результатам, рассматривая волновой пакет Ф (р) в пространстве
относительного движения. В частности, если мы представим себе процесс типа.
еН-рассеяния, в котором одна из частиц мишени имеет очень большую массу,
то эта тяжелая частица будет оставаться практически фиксированной и
относительное движение будет хорошей аппроксимацией истинного движения
легких частиц. В этом случае функция Ф (р) (с хорошим приближением)
является просто волновой функцией налетающей легкой частицы»

$ 3. Сечения
415
dp' вблизи некоторого значения р\ то ввиду равенства ^аут) =
= Э|Ф) эта вероятность равна просто1)
w(dp'% а'«-ф, a) = dp'\<p', a'|WayT>|2 =
= dp'\(p't a'|S|(D>|2. (17.7)
Если же вместо этого рассматривать конечный объем Д' в
пространстве конечных импульсов, то искомая вероятность
получается интегрированием этого результата по объему А':
а;(Д', a'«-#, a)= \dp'\{^ a'|S|cD>p. (17.8)
А'
В принципе А' может быть произвольным объемом в
пространстве конечных импульсов. В дальнейшем мы вернемся к
обсуждению некоторых примеров удобного для практики выбора
объема А'. Здесь только упомянем о том, что если конечным
каналом оказывается двухчастичный канал, то переменная р'
сводится к одному импульсу р' (относительному импульсу двух
конечных частиц) и естественным выбором Д' будет знакомый
нам конус, определяемый элементом телесного угла вблизи
любого фиксированного направления.
Точно как и в одноканальном случае, начальная волновая
функция ф(р) неизвестна во всех подробностях, и мы должны
повторять эксперимент много раз с волновыми пакетами ф,
\ которых прицельный параметр распределен по случайному
закону. (Как и в одноканальном случае, нет необходимости
явно вводить случайное распределение для формы волновых
пакетов ф, потому что ответ окажется не зависящим от формы
пакета — конечно, при выполнении определенных условий.)
После того как это сделано, полное число частиц, наблюдаемых
в канале а' с импульсами в объеме Д', оказывается равным
iVPacc(A/,a/) = 5]a;(A/f a'«-uy a) =
i
= «лад \ d7pw (А', а'<-фР, a) = /zliaAa(A', </«-</>, a),
где, как обычно, вектор р перпендикулярен вектору среднего
импульса налетающей частицы, а через ф? обозначен волновой
пакет, получаемый из ф смещением на р. Сечение
а(Д', а'<-ф, a)=$d2pa;(A', а'<-#Р| а) (17.9)
]) Здесь через dp' обозначен бесконечно малый элемент объема
в {Зп' — 3)-мерном пространстве относительных импульсов капала «'.
Результат (17.7) есть обобщение одноканальном вероятности w(dzpf ^-tyum) =
= dzp' | (р' | -фауТ) |2, рассмотренной в гл. 3, § 4.

416 Гл. /?. Сечения и инвЛрийн?носЪь б мнО&окан. рассеянии
является, очевидно, эффективным сечением мишени для
рассеяния волнового пакета ф в объем Д' в канале а'.
Чтобы оценить сечение, вернемся к выражению (17.8) для
вероятности ш. Матричный элемент, который мы должны
рассчитать, равен
<р', a'\S\<S>P)=\d3p(p', a'ISIp. o>e-'"P*(p).
Как и прежде, мы можем заменить 5-матричный элемент Г-ма»
трицей на энергетической поверхности с соответствующими
множителями. (В случае упругого рассеяния, т. е. при а! = а, при
таком переходе должно быть исключено из рассмотрения
рассеяние вперед; при неупругом рассеянии такого ограничения не
требуется.) Получаем
<//, a'\S\®9) = —2ni\d*p6{E' — E)t(p', a'<-p, a)*-""ty(p).
Подставляя это выражение в (17.8) и затем в (17.9), мы можем
выполнить интегрирование по двум переменным (точно как в
гл. 3), получая
<т(Д', a'*-*. a) =
= (2я)4т \dp'\(Pp±b(E'-E)\t(p',a'<-p, ct) l2J ^ (р) Р,
где т — приведенная масса двух начальных пакетов в канале а.
Если только начальный волновой пакет ф имеет достаточно
острый пик вблизи среднего значения своего импульса (который
теперь обозначим через р), то интегрирование по р выполняется
как вычисление нормировочного интеграла для функции фу и мы
получаем ответ, не зависящий от формы пакета ф\ его можно
записать так:
а(Д', а'«-р, а) = (2л)4- $ df/6(E' - Е) \t(p', a'<-p, a) p.
Л'
(17.10)
Простейшее приложение полученного результата дает
рассмотрение случая двухчастичного конечного канала [например,
для любого из первых трех процессов в (17.6)]. В этом случае^
конечные относительные импульсы /У сводятся к одному импуль-^
су р', а объем А' является объемом в соответствующем
трехмерном пространстве. Из-за сохранения энергии изменение
величины импульса р' не представляет интереса, и наименьшим
представляющим интерес объемом Л' оказывается хорошо из-

£ S. Сечения
417
вестный конус, определяемый бесконечно малым телесным
углом dQ. В этом случае формула (17.10) принимает вид
оо
a(dQ, а'<-р, a) = (2n)4ydQ^ р"г dp'X
0
хб(-ё- + Га'-^"-и7а)|/(р'' а'*-р' а)|2> (17Л1)
так как энергия Е в двухчастичном канале а равна р2/2т -\- Wat
где через Wa обозначена пороговая энергия канала.
Переписывая левую часть в известной форме (da/dQ)dQy находим
-g(p', a'«-p, а) = (2лУтт'^Ц(р\ a'«-p, a) |2
[а и a'— двухчастичные каналы]. (17.12)
В случае упругого рассеяния а' = а и результат (17.12)
сводится к следующему:
-g-(p', a«-p, а) = (2я)4т2|/(р', a«-p, a) I2, (17.13)
что по форме как раз совпадает с одноканальным результатом
и включает в себя этот последний как частный случай. Для
неупругих процессов, когда а' ф а, результат (17.12) отличается
от (17.13) в двух отношениях. Приведенные массы т и т'
могут отличаться друг от друга [например, как в случае
столкновения с перестройкой a + (bc)-+b -f-{ac)\ Кроме того,
начальные и конечные импульсы могут быть различными, потому что
из сохранения энергии следует, что величина р' должна
удовлетворять уравнению
&+*■—£+*-
Например, в процессе возбуждения a + (bc)-+a + {bc\* имеем
/ = [р2 - 2т (Е{Ьс)* - Е{Ье))]\
Удобно, аналогично одноканальному случаю, ввести амплитуду
рассеяния, определяемую так1):
f(P', a'<-p, a) = — {2n)2{m'm)llt{p\ a'<-p, a). (17.14)
1) В литературе встречаются определения, различающиеся множителями,
зависящими от mx m', p и р\
14 Зак, 396

418 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
Сечение любого процесса с двухчастичными начальным и
конечным состояниями выражается через амплитуду рассеяния
следующим образом:
-g(p', а'<-р, а) = ^-|/(р', а'«-р, а) |2.
(17.15)
Если мы желаем применить общий результат (17.10) к
процессам, в которых в конечном состоянии образуется более двух
частиц, то мы должны в первую очередь решить вопрос о том,
что считать разумным выбором объема А' в пространстве
конечных импульсов. Обсудим кратко этот вопрос для случая трех-
частичного конечного состояния. Для определенности
рассмотрим процесс типа
а + (bc)->a + b + с
и для простоты предположим, что частица с — очень тяжелая.
Например, мы могли бы рассмотреть процесс ионизации
е + Н^>е + е + р.
Для такой системы в качестве обоих относительных импульсов
можно просто взять истинные импульсы ра и рь двух легких
частиц а и й, и теперь мы должны решить, какие свойства этих
двух конечных импульсов будет полезно наблюдать. Например,
мы можем измерить количество частиц &, испущенных с такими
импульсами, которые находятся в бесконечно малом объеме,
определяемом величинами dEb и dQb, и количество частиц а,
направление движения которых находится в телесном угле dQa-
Однако энергия частиц а оказывается при этом фиксированной
за счет сохранения энергии. Таким образом, в этом случае
наименьшему представляющему интерес объему Д' отвечают
следующие импульсы: импульс рь фиксирован в бесконечно малом
объеме, определяемом величинами dQb и dEby а импульс ра
лежит где угодно внутри бесконечного конуса, определяемого
телесным углом dQa. Для такого объема пишем
dzo
o(dQa, dQb, dEb; a'<-p, а)= rfQ dQ dE dQadQbdE„,
abb
где, как легко проверить с помощью (17.10),
d3a
= (2n)<mambnPaPb\t(pay pb; а'«-р, а) Р. (17.16)
daadQbdEb ^"> p
Дифференциальное сечение dzo/dQadQbdEb отвечает таким
измерениям, которые приводят к наиболее подробным
сведениям о рассеянии, возможным в случае трехчастичного
конечного состояния. Часто оказывается удобным производить не столь

§ 4. Инвариантность относительно вращений
419
детальные измерения. Например, можно было бы измерить
направление движения рассеянной частицы а, полностью
игнорируя сведения об испускаемой частице Ь. Такому измерению
соответствовал бы выбор А' в виде произведения обычного конуса
dQa для переменной ра на объем сферической области,
образуемой допустимыми значениями переменной рь. Это приводит к
дифференциальному сечению do/dQa, которое получается из
(17.16) при интегрировании по Q& и Еь. С другой стороны,
можно контролировать энергию Еь испускаемой частицы, а
направления движения обеих частиц не рассматривать.
Соответствующее сечение da/dEb получается с помощью интегрирования
соотношения (17.16) по всем значениям углов Йа и Q&, что
приводит к энергетическому спектру испускаемой частицы.
В заключение этого параграфа отметим, что если в качестве
объема А' взять все импульсное пространство канала а', то мы
получим полное сечение рассеяния в канал а', которое будем
обозначать через а(а'-<-р, а). (В частности, при а' = а имеем
полное упругое сечение.) Если теперь просуммировать
полученное выражение по всем конечным каналам а', то получим
полное сечение
а(р, а) = £а(а'«-р, а) =
а'
= (2я)47"Е \dp'6(E'-E)\t(p', а'«-р, ар. (17.17)
а'
Если же в этой сумме ограничиться значениями а'ф а, то
получим полное неупругое сечение.
§ 4. Инвариантность относительно вращений
Если наша многоканальная система инвариантна
относительно вращений, то оператор вращения R (а) коммутирует с
гамильтонианами Н и На. Отсюда следует, что он коммутирует с
операторами й± и, следовательно, с оператором S:
S = R+SR. (17.18)
Если все частицы и их связанные состояния не обладают
спином, то действие оператора R на канальные базисные
векторы |р, а) выражается равенством
R|£, <*> = [£R, a),
где через pR обозначено множество всех относительных
импульсов /?, преобразованных в результате вращения. Таким
14*

420 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
образом, переходя к матричным элементам в (17.18), получаем
вполне естественный результат:
<£, a'lSlp, a) = (p'R> a'|S|pR, a),
откуда можно перейти к соответствующему соотношению для
Т-матрицы t(p\ a'-<-/?, a). Если какие-либо из фрагментов
каналов а или а' обладают спином (будь то внутренние спины
исходных частиц или орбитальные моменты связанных
состояний), то полученный результат усложняется за счет
трансформационных свойств спиновых индексов. В этом случае следует
использовать методы гл. 6 и 7.
Как и в одноканальном случае, простейший способ
использовать инвариантность относительно вращений — работать в
базисе момента количества движения. Такой подход оказывается
особенно простым, если рассматривать такие значения энергии,
при которых открыты только двухчастичные каналы, и
предположить, кроме того, что ни одна из частиц не имеет спина.
В этом случае моментный базис (по относительному движению)
в каждом канале является простым орбитальным базисом,
векторы которого имеют вид |£, /, m; a). Из инвариантности
относительно вращений вытекает, что соответствующая S-матрица
записывается следующим образом:
<£', /', m'; a|S|£, /, m; a> = 6(£' - E)6rl6in,msla,a(E). (17.19)
Иначе говоря, при данных Е и I рассеяние определяется
п X /г-матрицей Sl(E) в «канальном пространстве», где п —
число открытых каналов при энергии Е.
Переход между импульсным и моментным базисами
осуществляется как в одноканальном случае. В соответствии с
определением одноканальной амплитуды
e,(£)-l
определим многоканальную парциальную амплитуду
выражением
/ью- а':1пл'а- (,7-2°)
Здесь ра — импульс в канале а, когда полная энергия равна Е,
т. е.
где №а —пороговая энергия канала а; кронекеровский символ
ба'а гарантирует, что амплитуда обычным образом связана с
матричными элементами оператора S— 1, Как обычно, можно

§ 4. Инвариантность относительно вращений
421
встретить определения, отличающиеся от (17.20) различными
множителями, включающими 2ш и импульсы; принятое нами
определение, как легко проверить (см. задачу 17.4), приводит
к тому, что ряд по парциальным волнам в многоканальном
случае имеет простую форму (если оба канала а и а'
двухчастичные) :
/(р', а'«-р, *) = %№+l)f'a,a(E)Pt(cosQ). (17.21)
Из унитарности оператора S вытекает, что пХ я-матрица
S'(£), определеннаяв (17.19), является унитарной матрицей.
| Унитарная
^J—_ /^окружность
Первый неупругий
порог W2
' \ Упругий
порог Wj
Фиг. 17.1. Типичное поведение упругой парциальной амплитуды как функции
энергии.
Поскольку размерность этой матрицы зависит от энергии,
представляет известный интерес обсудить следующее из
унитарности соотношение как функцию от энергии. Начнем с энергии £,
чуть превышающей порог низшего канала (который отметим
индексом а= 1), и представим себе, что Е постепенно
возрастает, проходя через различные пороговые значения Wa (которые
мы нумеруем в порядке возрастания энергии). Когда W\ ^ Е <
<С W2> матрица Sl(E) представляет собой одномерную
унитарную матрицу, следовательно, она состоит из одного элемента,
модуль которого равен единице, т. е. |s|, 1=1,
или
8{, (£) = *«•!<*> [Wl<:E<W2)9
где величина 6/(£) вещественна. Если рассматривать
парциальную амплитуду, определенную в (17.20), то отсюда следует, что
точка, соответствующая величине pjln> лежит на унитарной
окружности (фиг. 17.1).
Если энергия Е становится выше первого неупругого порога,
то матрица Sl(E) оказывается унитарной 2 X 2-матрицей; и
вообще, когда Е становится выше Wn (причем предполагается,
что Wn все еще является порогом двухчастичного канала),

422 Гл. П. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
матрица Sl(E) становится п X /t-матрицей, удовлетворяющей
соотношению
$l(E)fSl(E)=l.
Если рассмотреть матричный элемент этого соотношения с
индексами (1, 1), то находим
К12 + К|2+ ••• +К,|2=1. (17.22)
Ясно, что, как только появляется какой-либо неупругий процесс,
первоначальный упругий матричный элемент s^ должен иметь
модуль, меньший единицы, т. е. | $\{ | < 1, или
slu(E) = ei(E)e2i6t{E\ (17.23)
где величина б/ все еще вещественна, а множитель ги который
называется параметром неупругости, удовлетворяет
соотношению
0<в,(Я)< 1.
С другой стороны, мы можем записать
e!,(£) = <,lV»
где y\i — комплексная функция. При такой записи можно
сказать, что неупругость приводит к тому, что «фазовый сдвиг»
r\i имеет положительную мнимую часть. Этот результат
означает, что точка, изображающая упругую парциальную
амплитуду, движется внутрь унитарной окружности, как показано на
фиг, 17.1.
Легко понять смысл результата (17.23). Во многом, как в
одноканальном случае, величина \sln\2 представляет собой
отношение уходящего потока к падающему в канале 1, когда
начальный пучок является чистой Z-волной в канале 1. Пока
открыт только канал 1, это отношение должно быть равно
единице, но, как только открываются другие конкурирующие
каналы, оно должно становиться меньшим единицы.
Из (17.22) и аналогичного соотношениям котором 1 заменена
на ее, ясно, что модуль каждого матричного элемента s£,a
должен быть меньше единицы. В частности, для любого упругого
матричного элемента число pjlaa должно лежать внутри
унитарной окружности. Однако только для первой амплитуды /{,
существует интервал энергий, в котором она является упругой
амплитудой.
Как только открывается трехчастичный канал, ситуация
становится более сложной. Базисным векторам в пространстве
относительного движения трехчастичного канала сопоставляются
величины Е, /, m плюс внутренняя энергия (непрерывная пере-

§ 5. Инвариантность при обращении времени 423
менная) и два внутренних угловых момента. Обсуждение таких
каналов, очевидно, гораздо труднее. Так если вернуться к
(17.22) и предположить, что в канале а имеются три частицы,
то простое слагаемое | s^ |2 заменяется интегралом и суммой
по дополнительным переменным. Однако это новое слагаемое
все равно будет положительным, и наш вывод о том, 4to|s{, |^
^ 1, остается в силе.
§ 5. Инвариантность относительно обращения времени
Обсуждение инвариантности относительно отражений в
многоканальном рассеянии мало чем отличается от одноканального
случая, и нет необходимости воспроизводить его здесь пункт за
пунктом (см. задачу 17.5). В то же время инвариантность
относительно обращения времени приводит в многоканальном
случае к некоторым замечательным новым возможностям.
Если динамика инвариантна относительно обращения
времени, то мы можем показать, точно как прежде, что S = T+SfT
и, следовательно,
<XlS|*> = <*T|S|xT>. (17.24)
Например если все частицы не обладают спином, то из
Т-инвариантности просто вытекает, что1)
</, <x'|S|p, а> = <-р, a|S|-£', a'>. (17.25)
Интересное новое свойство полученного результата состоит в
том, что связываются амплитуды двух качественно
отличающихся друг от друга процессов: a'-*-a и а+-<х'. В последние годы
наблюдался значительный интерес к проверке
Т-инвариантности, и было выполнено несколько экспериментов по проверке
результата (17.25) для различных процессов. Здесь отметим
1) Результаты (17.24) и (17.25) в различных работах называются
«принципом микрообратимости», «теоремой взаимности» и «принципом детального
баланса». К сожалению, существует серьезная путаница в отношении точного
смысла этих названий. В частности, использование термина «детальный
баланс» представляется достойным сожаления, потому что исторически это
название использовалось для обозначения равенства вероятностей процессов
(Х~*~Ф) и (Ф*-%), T- е- Для утверждения, вообще говоря, совершенно
отличающегося от равенства вероятностей процессов (х*~Ф) и Фт -<-хт. (Конечно,
в определенных ситуациях эти два результата связаны друг с другом;
например, если все частицы бесспиновые, то инвариантность относительно
преобразования РТ приводит к равенству (р', a' | S | р, а) = (р, а | S | р', а'),
которое эквивалентно детальному балансу.) Чтобы не попасть в ловушку в
этой запутанной ситуации, будем использовать для равенства (17.24)
недвусмысленное название «инвариантность относительно обращения времени»

424 Гл. 17. Сечения и инвариантность в многокан. рассеянии
только один пример — эксперимент Боданского и др. [54], в
котором использовались два процесса:
р + 25Mg «± d + 24Mg. (17.26)
Поскольку участвующие в этих реакциях частицы обладают
спином (их спины равны 1/2, 5/2, 1 и 0 соответственно), мы
должны обобщить в соответствии с этим формулу (17.25). Если
через Ши яг2, m3, m4 обозначить третьи компоненты спина
четырех частиц в (17.26), то (как легко может проверить читатель)
из Г-инвариантности вытекает, что амплитуды указанных двух
процессов удовлетворяют соотношению
/*(р'. "*3> т4«~Р> mV m<l) =
= [<_(—Р, —mlf -m2< р', -т3, -т4), (17.27)
где, чтобы не выписывать индексы каналов, мы ввели в
качестве нижних индексов стрелки ^, соответствующие
направлениям протекания двух реакций (17.26).
Далее, согласно (17.15), квадрат левой части полученного
соотношения равен произведению (pip') на соответствующее
дифференциальное сечение. Если теперь просуммируем это
выражение по всем возможным значениям mu m2, m3, m4, то
получим умноженное на (2si + 1) (2s2 + 1) неполяризованное 1)
сечение для импульсов (р'«-р). Точно такие же соображения
применимы и к правой части. Наконец, поскольку из
инвариантности относительно вращений вытекает, что сечения для непо-
ляризованных частиц зависят только от энергии и угла между
векторами р и р', результат (17.27) означает, что в случае не-
поляризованных частиц полные количества отсчетов
(нормированные к равным плотностям падающих частиц) в любом
данном телесном угле для двух указанных процессов
удовлетворяют соотношению
(2s, + l)(2s2+l)-^iM*, 9) = (2s3+l)(2s4 + l)^AM£, 6).
(17.28)
То есть с точностью до коэффициента пропорциональности,
зависящего от спинов и импульсов, угловые распределения в
случае неполяризованных частиц для двух процессов, /? + 26Mg**
!) Вспомним, что для получения неполяризованного сечения мы должны
просуммировать по конечным спинам и усреднить по начальным спинам.
Таким образом, если мы просто суммируем по всем спинам, то получим
умноженное на (2$! + I) (2s2 + 1) сечение для неполяризованных частиц.

§ 5. Инвариантность при обращении времени
425
++ d + 24Mg, должны быть одинаковыми при всех энергиях и
углах, если только взаимодействия инвариантны относительно
вращений и обращения времени.
В эксперименте Боданского и др. использовались неполяри-
зованные пучки протонов, направляемых на 25Mg, и дейтронов,
направляемых на 24Mg. Оба пучка получались на сдвоенном
ускорителе Ван де Граафа, за счет регулировки которого
достигалось равенство энергий в системе центра масс для
указанных двух процессов (протоны имели энергию ~15 МэВ, дей-
х р +25Mg-*~d + 2*Mg
о о d+2AMg~+p + 25Mg
х
о
Xх Ъ О
О О л*> X
о
к
X
о
-L- I , L__
20,6 20,7 20,8
£,МэВ
Фиг. 17.2, Относительные сечения N (£, 92)/Af (£, fy) Для процессов
р + 25Mg ^± d + 24Ме
при фиксированных углах (0! « 30°, 62 « 120°) и при различных энергиях
(по Боданскому и др. (64]).
троны ~10 МэВ). Чтобы избежать трудностей с измерением
абсолютных сечений, авторы откладывали на графике
отношение N(EfQ2)/N(E,Qi) для рассматриваемых двух процессов при
двух фиксированных углах (6i « 30° и 62« 120°) и при
нескольких энергиях. В таком отношении различные
коэффициенты пропорциональности из формулы (17.28) сокращаются, и
мы получаем
А^(£, 92) А^(£, 62)
если только Т-инвариантность является точной
(инвариантность относительно вращений считалась само собой
разумеющейся). Полученные результаты показаны на фиг. 17.2; они
полностью согласуются с Т-инвариантностью в пределах
экспериментальных ошибок 0,4%.
0,20
I
5й 0,16
0,14

426 Гл. 17. Сечения и инвариантность в много.-сан. рассеянии
Задачи
17.1. Рассмотрите рассеяние электрона е' на атоме водорода (ер), считая
электроны е' и е различимыми, а протон — бесспиновым и фиксированным.
Выпишите подходящие собственные векторы импульса и соответствующие
волновые функции для различных каналов. Включите в рассмотрение спины обоих
электронов и используйте собственные состояния полного момента количества
движения водородных атомов.
17.2. а) В двухчастичных задачах удобно работать с переменными, отно-
сящимися к центру масс и к относительному движению, т. е. с переменными
р, х, р, х. Обсудите различные критерии, которые приводят к указанному
выбору таких переменных, и покажите, что эти критерии выполняются. Вы
должны включить в рассмотрение по крайней мере следующие пункты, не все
из которых независимы:
1) В число новых импульсов должен быть включен полный импульс —
генератор смещений всей системы как целого.
2) Вторая из новых переменных, связанных с координатами, не должна
изменяться при смещениях.
3) Новые переменные должны быть канонически сопряженными парами,
т. е. они должны удовлетворять правильным коммутационным
соотношениям.
4) В ^-представлении новые импульсы должны задаваться операторами
— /Vjg и — iVx.
5) Якобиан перехода от (хь х2) к (х, х) должен быть равен 1.
6) Кинетическая энергия должна быть суммой квадратов импульсов.
7) Пространство Уё двухчастичных состояний должно иметь вид
произведения <2#ц. м ®<2#отн, а гамильтониан должен разлагаться в сумму
Н = Яц. м + Яотн таким образом, чтобы операторы р, х, //ц, м
действовали только в пространстве <2#ц м, а операторы р, х, Я0тв —
только в пространстве ^0тн-
б) В нашей трехчастичной модели с бесспиновыми частицами а, 6, с
рассмотрите следующий набор координат: координату частицы Ъ относительно
частицы ся координату частицы а относительно центра масс частиц Ь и с,
а также координату общего центра масс. Запишите соответствующие импульсы
и покажите, что эти переменные удовлетворяют всем вашим критериям,
обсуждавшимся в пункте «а».
17.3. Докажите многоканальную оптическую теорему для любого
двухчастичного начального канала а:
Im/(p, а«-р, «O^^j-fffP. а),
где f(p> а-«-р, а) —амплитуда упругого рассеяния вперед, а а(р, а)
—полное сечение для начального состояния с относительным импульсом р в ка*
нале а. Не забудьте, что в общем случае в полное сечение дают вклад много
частичные конечные каналы.
17.4. Получите многоканальный ряд по парциальным волнам (17.21) для
любых двухчастичных каналов а и а' (еще раз просмотрите обсуждение
одноканального случая в гл. 6, § 3).
17.5. Рассмотрите многоканальную систему, в которой все частицы не
имеют спина, а угловой момент всех связанных состояний равен нулю.
а) К каким следствиям для S-матрицы в импульсном пространстве при*
водит инвариантность относительно инверсии?

Задачи
42?
б) Покажите, что инвариантность относительно преобразования РТ
приводит к тому, что S-матрица в импульсном пространстве оказывается
симметричной.
17.6. Если нет никакого представления о том, как рассчитать Г-матрицу
для данного процесса, то иногда можно получить грубое представление о
поведении сечения, если предположить, что Г-матрица постоянна, и в формуле
(17.10) выполнить интегрирование по конечным импульсам. Такая процедура
известна как расчет фазового объема, потому что при этом принимается во
внимание именно объем фазового пространства (точнее говоря, импульсного
пространства), связанного с конечными частицами. В качестве простого
примера этого метода рассмотрите процесс ионизации
а + (bc)-+a + b 4- с
с бесконечно тяжелой частицей с. Вычислите энергетический спектр da/dEb
испускаемой частицы b из общего выражения (17.10), интегрируя по
импульсам частицы а и по направлениям движения частицы Ь\ при этом считайте
Г-матричный элемент постоянным. Покажите, что при указанном
предположении имеем
Г (Eb)l/> (E-Eb- W)4>
Jo_\ const X V b) V xr —. Eb<E-W;
dEu I E '
где E — начальная кинетическая энергия, a W — энергия ионизации частицы
(be) (и где предполагается, что Е > W).
Проинтегрируйте полученный результат по переменной Еь и покажите,
что сразу за порогом Е = W полное сечение ионизации должно вести себя
как (Е—W)2 (этот вывод основан только на расчете фазового объема).
Следует подчеркнуть, что расчет по фазовым объемам требует известных
навыков и везения, потому что в действительности такой подход далеко не
является однозначным. Дело в том, что в определении Г-матрицы существует
большой произвол и вместо t(p', a' <-p, а) мы могли бы с таким же
успехом ввести матрицу t'=*g(p\ p)t> где g (p', р) — почти произвольная
функция от всех импульсов. Ясно, что результаты будут совершенно различными
в зависимости от того, какое приближение мы примем: t « const или V =
= const. В релятивистских задачах существует общепринятое определение ко-
вариантной 7'-матрицы; но и тут никоим образом не ясно, что это и есть та
самая «правильная» Г-матрица, которую можно аппроксимировать константой.

ГЛАВА 18
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
В СТАЦИОНАРНОЙ ПОСТАНОВКЕ
В гл. 16 и 17 мы построили нестационарную теорию
многоканального рассеяния. Эта теория дает описание
многоканального процесса столкновения в его истинном виде с помощью
S-оператора и Г-матрицы на энергетической поверхности.
Теперь мы обратимся к соответствующей стационарной теории. Ее
главная задача состоит в том, чтобы предоставить нам средство
для реального расчета Г-матрицы при заданных
взаимодействиях; по этой причине именно со стационарной теорией
каждодневно соприкасаются те физики, которые занимаются
практическими расчетами.
В случае одноканального рассеяния мы видели, что в центре
внимания стационарного формализма находятся гриновские
операторы G(z) и G°(z), Г-оператор T(z) и стационарные
состояния рассеяния | р zb), а Г-матрица на энергетической
поверхности определяется любым из следующих эквивалентных
выражений:
'(р'^р) = (р'1П£/> + /0)1р>, (18.1)
= <p'H4p+> = <p'-|Vlp>. (18.2)
Как оператор Г (г), так и состояния | р ±) определялись через
оператор G°(z) с помощью уравнений Липпмана — Швингера,
которые обеспечивают по существу эквивалентные подходы к
нахождению представляющей реальный интерес величины —
Г-матрицы на энергетической поверхности.
В настоящей главе мы увидим, каким образом одноканаль-
ные результаты, формулируемые соотношениями (18.1) и (18.2),
распространяются на многоканальный случай. С первого
взгляда наиболее важное усложнение состоит в том, что все
величины приобретают дополнительные канальные индексы. Как мы
уже видели, единый свободный гамильтониан Н° одноканаль-
ной задачи заменяется семейством «свободных» канальных
гамильтонианов Яа, описывающих «свободную» эволюцию в
разнообразных отличающихся друг от друга каналах. Вместо
единого свободного гриновского оператора G°(z) теперь имеем
семейство канальных гриновских операторов Ga(z) = (z — Яа)-1.
Вместо стационарных состояний |р±) имеем семейство стацио-

§ 1. Стационарные состояния рассеяния
429
нарных состояний |р,а±). Вместо единого Г-оператора имеем
двойное семейство ^-операторов Т$а (г), по одному для каждой
пары каналов аир.
В одноканальном случае мы сначала развивали теорию
Г-оператора, а затем рассматривали стационарные состояния
рассеяния. Теперь же мы изменим этот порядок следования
материала, потому что в практических расчетах по большей части
используется именно формализм стационарных состояний1).
В соответствии с этим, в первых двух параграфах мы дадим
определения и укажем некоторые свойства стационарных
состояний рассеяния | р, adz), а также выведем выражения для
Г-матрицы на энергетической поверхности, аналогичные (18.2).
В § 3 мы построим соответствующую теорию Г-операторов
T$a(z) и установим аналог соотношения (18.1). Наконец, в
последних двух параграфах мы обсудим простейший
приближенный метод расчета Г-матрицы на энергетической поверхности —
все то же неизбежное борновское приближение.
§ 1. Стационарные состояния рассеяния
В случае одноканального рассеяния стационарные состояния
|р±) были собственными векторами полного гамильтониана Я,
определенными как векторы Q± | р). Нестрого говоря, это
означало, что состояние к примеру |р+) представляет собой то
истинное состояние при t = 0, которому в качестве ин-состоя-
ния соответствует плоская волна |р). Точнее, истинное
состояние |0+) при t = 0, соответствующее нормированному
начальному волновому пакету \ф)> раскладывается по состояниям
|р+), так же как состояние |^) по плоским волнам |р).
Определим теперь многоканальные стационарные состояния
как векторы
\р, a=fc> = Q±|/7, a),
(18.3)
где, как обычно, через /^обозначено множество (па—1)
относительных импульсов па частиц в канале а и где | £, а) —
соответствующее состояние «свободной» плоской волны2). Ис-
1) Читатель не без оснований может спросить, почему же мы использо-
вали обратный порядок в одноканальном случае. Основная причина
заключается в том, что, вводя в первую очередь операторы О (г) и Г (г) (без
обращения к состояниям |р ±) ), мы можем достичь лучшего понимания
Г-оператора вне энергетической поверхности. Кроме того, по-видимому, небесполезно
рассмотреть оба возможных подхода.
2) Как и в гл. 17, везде, где только возможно, мы рассматриваем именно
относительное движение. Таким образом, р_—это множество относительных
импульсов, |/7, а) —вектор в пространстве относительного движения, а через

430 Гл. IS. Многоканальное рассеяние в стац постановке
пользуя соотношения переброса (17.3), мы можем немедленно
убедиться в том, что эти состояния являются собственными
состояниями полного гамильтониана Н с энергией Е = Е*. (Это
означает, что их волновые функции (х\ ру а ±) удовлетворяют
стационарному уравнению Шредингера, что приводит к одному
из способов реального расчета этих состояний.) В том же самом
нестрогом смысле, как и в случае одноканальиого рассеяния,
состояние |р, a-f-) можно рассматривать как истинное
состояние при t = 0, которое получилось из ин-асимптоты в канале а
с импульсами р. Аналогично состояние |/?, а—) можно
представлять себе как истинное состояние при / = 0, которое
должно перейти в аут-асимптоту в канале а с импульсами р_. Как
и прежде, разумеется, неограниченные векторы приобретают
реальный смысл лишь при размазывании их по ограниченным
нормируемым состояниям.
Точно так же, как и в одноканальном случае, мы можем
выразить состояние |р, а±) через состояние | р, а) и гриновский
оператор. Следуя теперь хорошо знакомому пути, мы прежде
всего заметим, что для ограниченного нормируемого вектора
\ф) из подпространства канала ос выполняется соотношение
аа±|# = НтЛ-'"а'|# = |# + / YdtetH'Vae-l"at\i>), (18.4)
о
где мы ввели потенциал рассеяния в канале а:
Va = H-Ha.
Он состоит из всех потенциалов, действующих между
различными свободно движущимися фрагментами в канале а; иначе
говоря, потенциал Va в точности равен той части полного
потенциала, которая исчезает, когда частицы удаляются друг от
друга в канале а. Если бы потенциал Va был бы равен нулю, то
ин-состояние в канале а вообще бы не рассеивалось.
Известный факт сходимости интеграла (18.4) позволяет нам
ввести под знак интеграла обычный обрезающий множитель e±Bt
с переходом к пределу е | 0. В такой форме мы можем приме-
Н и На будут обозначаться соответствующие относительному движению частя
полного и канальное гамильтонианов. С другой стороны, читатель может
выбрать для рассмотрения процесс типа столкновения электрона с атомом, когда
одну из частиц можно рассматривать как бесконечно тяжелую и,
следовательно, фиксированную. В этом случае переменная доказывается просто
множеством истинных импульсов всех (яа—1) легких частиц, а И и На
представляют собой полный гамильтониан и канальный гамильтониан.

§ 1. Стационарные состояния рассеяния
431
нить формулу (18.4) к неограниченным состояниям \р>а),
получая
Too
|p,a±> = |p,a> + Hm* \ dte±BteiHtVae-iHat\p,a).
Поскольку |/7, а) — собственный вектор канального
гамильтониана На с энергией £== Е%> далее находим
|p,a±> = |p,a> + lim/ \ dte'i{E±u"H) Va| p9 a)
(18.5)
в*0
или и
>, а ±>= | р, а) + G(E ± /0) П /,, а),
где мы ввели полный гриновский оператор G(z) = (z — Н)'\
Результат (18.5) является аналогом одноканального
результата | р ±) = | р} + G(±) V | р), и с его помощью мы можем
получить выражения для Т-матрицы на энергетической
поверхности. S-матричные элементы в импульсном пространстве можно
записать в виде
<£', p|S| £, a> = </, p|Q*+Qa+l£, a> = (/, p-|£f а + >. (18.6)
Далее, используя (18.5), мы можем для состояния |£, а+)
записать соотношение
|£|о + >-|р,а-> + [О(£ + /0)-О(£-Ю)]П£,а>,
которое можно подставить в (18.6), получая в результате
(£',p|S|£,a) = 6,a6 (р'-р) +
+ W,»-\[O(E + l0)-Q(E-t0)]Va\p,a).
Наконец, поскольку бра-вектор (/?', (J— | является собственным
вектором гамильтониана Я, отвечающим собственному
значению £' = £р', множитель в квадратных скобках приводится к
виду
откуда находим
<p',P|S|p,a) =
= 6^6(£ - р) - 2я/б (£' - Е) <р\ р -1 VaI p. a). (18.7)

432 Гл. 18. Многоканальное рассеяние в стац. постановке
Таким образом, Г-матрица на энергетической поверхности
задается выражением
*^Р^р,а) = </Лр-|Пр.*>.
(18.8)
Аналогично, если бы мы выразили бра-вектор (//, (J— | из
соотношения (18.6) через вектор (//, Р + |, то мы пришли бы к
альтернативному результату
t{p',$+-p,a) = {p',$\V*\p,a + ).
(18.9)
Эти два выражения являются обобщениями на многоканальный
случай одноканальных результатов (18.2). Выражение (18.8)
содержит потенциал рассеяния Va начального канала а, и
поэтому его называют вариантом записи с потенциалом «до
рассеяния». В выражение (18.9) входит потенциал 1/Р,
соответствующий конечному каналу Р; поэтому оно называется
вариантом записи с потенциалом «после рассеяния».
§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера
Из результатов (18.8) и (18.9) ясно, что нахождение
состояний |р, а + ) или |р, а — ) эквивалентно нахождению 7-матри-
цы на энергетической поверхности, и поэтому большая часть
литературы по теории рассеяния посвящена задаче расчета
состояний | /7, а ±). Как и в одноканальном случае
непосредственно явные выражения
\p,a±) = \p,a) + G{±)Va\p9a)
применяются редко, потому что при этом требуется знание
полного гриновского оператора G(z). Здесь вновь так же, как и в
одноканальном случае, лучше перейти явно к уравнениям
Липпмана — Швингера, в которые, как мы сейчас покажем, войдут
некоторые «свободные» гриновские операторы.
В одноканальной задаче существует один свободный гамиль-^
тониан Н° и один соответствующий ему гриновский оператор'
равен G°(z) = (г— Я0)*1. В многоканальной задаче существуют
разнообразные различные «свободные» канальные
гамильтонианы На, описывающие «свободное» движение в различных
каналах, и оказывается необходимым определить соответствующие
канальные гриновские операторы следующим образом:
Ge(Z) = (2-/7e)"

§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера
433
Первый шаг в установлении уравнения Липпмана —
Швингера состоит в том, чтобы использовать известное тождество
А'1 = В~х + В*"1 (В -Л) А'\
где А = (z — Н) и В = (г — На). Отсюда приходим к
уравнениям для резольвент
G(z) = Ga(z) + Ga(z)VaG(z), (18.10)
где, как и прежде, Va = Н — На. Возвращаясь к соотношению
(18.5), мы умножаем его на GaVa и получаем
СаГ|р, a±) = GaVa\pta) + GaVaGVa\pt а>.
Так как, согласно (18.10), имеет место равенство GaVaG =
= (G — Ga), последнее соотношение приводит к важному
результату
Ga(E±iO)Va \pfa±) = G(E±iO)Va\p,a). (18.11)
Наконец, подстановка последнего результата в (18.5) позволяет
получить искомое уравнение Липпмана — Швингера
| р. а ±> = | р, а>+ Ga(E ± iO)Va\p,a±).
(18.12)
Это уравнение, которое является интегральным уравнением для
соответствующих волновых функций, с одной стороны, и
уравнением Шредингера, с другой стороны, лежит в основе двух
подходов к расчету стационарных состояний рассеяния.
Следует подчеркнуть, что обращаться с многоканальным
уравнением Липпмана — Швингера гораздо труднее, чем с его
одноканальным аналогом. Некоторые из возникающих здесь
трудностей видны сразу. Например, гриновский оператор в
правой части представляет собой канальный гриновский оператор
Ga(z) = (z—tfa)_1. Кроме случая а = 0 (все частицы
свободны), гамильтониан На включает некоторые потенциалы, и нельзя
в общем случае точно рассчитать соответствующий гриновский
оператор Ga (в противоположность одноканальной ситуации, в
которой известен точный вид оператора G0). Не столь
очевидная и более глубокая трудность состоит в следующем: там, где
одноканальное уравнение является несингулярным
интегральным уравнением (или легко может быть превращено в такое
уравнение), многоканальные уравнения оказываются, вообще
говоря, крайне сингулярными. Это обстоятельство сильно
затрудняет как теоретическое изучение, так и практическое
использование многоканальных уравнений. В действительности
лишь в последние несколько лет был достигнут сколько-нибудь
значительный прогресс в строгом изучении этих уравнений [10].

434 Гл. 18. Многоканальное рассеяние в стац. постановке
§ 3. Г-операторы
Как и в одноканальном случае, имеются две по существу
эквивалентные формулировки стационарной многоканальной
теории, одна из которых выражается через стационарные
состояния рассеяния, а вторая — через Г-операторы. Установив
первую формулировку, мы теперь легко можем построить
вторую.
Начнем с выражения
в которое мы подставим соотношение
1р, Э—>=Ip, p> + G(^ —Ю)К3|р, р>.
Отсюда получим
t (р\ р +-р9 а) = </, р |[V* + V*G (Е + Ю) У«] |£, а)
или
За,
t(ft,t+-p,a) = (f/,t\T*a(E + lO)\p,a)9
где мы определили Г-оператор соотношением
T*a(z) = Va + V*G(z)V\
(18.13)
(18.14)
Как и предсказывалось, существует двойное семейство Г-опера-
торов Т*а(г). Г-матрица на энергетической поверхности для
перехода от канала а к каналу р задается матричным элементом
соответствующего оператора Т$а(г), взятым по свободным
состояниям | j/, Р) и \£, а) 1).
Одно свойство определения (18.14) оператора Т*а(г),
которое заслуживает комментария, состоит во внешней асимметрии
между индексами а и р. Не видно какой-либо очевидной
причины, по которой в первом слагаемом должен появляться
потенциал Va, а не потенциал V&. И в самом деле, если бы мы исхо*
дили из матричного элемента (p',$\V^\p,a+),
соответствующего варианту записи с потенциалом «после столкновения» для
1) Хотя оператор Т^а(г) отмечается двумя канальными индексами, в дей*
ствительности существует не столь много Г-операторов, сколько существует;
пар каналов. Дело в том, что при одинаковой группировке частиц в двух ка- ;
налах а и а' соответствующие канальные гамильтонианы На и На
совпадают друг с другом, и поэтому Va — Va\ Таким образом, операторы
Т^а (г) и Т^'а' (z) оказываются различными только тогда, когда распре*
деления частиц по группам в каналах а и а' или р и р' неодинаковы.

§ 3. Т-операторы
435
7-матрицы на энергетической поверхности, то мы пришли бы
к результату, аналогичному (18.13), но с Г-оператором
T*a(z)=V* + V*G(z)Va.
Если в каналах аир частицы группируются по-разному, то
канальные гамильтонианы На и ЯР отличаются друг от друга,
и, следовательно, Va Ф V&. Таким образом, в общем случае два
Т-оператора, T$a(z) и fpa(z), оказываются различными. Какой же
из них тогда является правильным? Ответ заключается в том,
что оба они приводят к одной и той же Г-матрице на
энергетической поверхности, потому что
(р',£\(Т*а-Т*а)\р,а) = (р\$\Уа-У*\р,а)==
= </,р|(Яр-Яа)|р,а> = (£'-£)(р,,р|р,а), (18.15)
а последняя величина равна нулю на энергетической
поверхности. Поскольку оба Г-оператора дают одну и ту же 7-матрицу
на энергетической поверхности и поскольку они отличаются
только постоянным оператором (Va— l/Р), нет никакого смысла
рассматривать их оба. Для определенности мы будем
использовать оператор ГРа(г), определенный соотношением (18.14).
Как и следовало ожидать, явное определение (18.14)
оператора T&a(z) можно заменить неявным определением через
уравнение Липпмана — Швингера. Для этого умножим (18.14)
слева на оператор G$(z) и получим
G*(z)T*a(z) = (Gp + G*V*G) Va = G(z) V\
Подставляя это выражение снова в (18.14), находим искомое
уравнение
Гра (г) = Va + V*G* (z) Гра (г).
(18.16)
Тот факт, что уравнения Липпмана — Швингера (18.16) для
Г-операторов и (18.12) для стационарных состояний имеют
аналогичную структуру, гарантирует, что оба эти подхода к
расчету Г-матрицы на энергетической поверхности являются по
существу эквивалентными. В дальнейшем мы будем работать
по большей части со стационарными состояниями, потому что
именно они встречаются наиболее часто в литературе,
посвященной практическим расчетам. Однако следует отметить, что для
строгого анализа предмета подход с помощью Г-операторов
Дает определенные преимущества.

436 Гл. 18. Многоканальное рассеяние в стац. постановке
§ 4. Борновское приближение; упругое рассеяние
В заключение этой главы, посвященной основным
представлениям, мы обсудим самый распространенный из всех методов
расчета — борновское приближение. Можно прийти к этому
приближению, используя как стационарные состояния, так и 7-опе-
раторы. Предполагают, что влияние потенциала рассеяния
мало и что можно полностью пренебречь вторым слагаемым в
уравнении Липпмана — Швингера. Отсюда получается,
например,
|р',р->«|£',Р>.
Подстановка этого приближенного равенства в точную Г-матри-
Цу (р'> Р—- I V* \Р> а) приводит к борновскому приближению:
t(p'9l+-p,a)*<i/t$\Va\p9a)
[борновское приближение].
(18.17)
Это выражение соответствует борновскому приближению в
варианте использования потенциалов «до столкновения», потому
что в него входит потенциал Va начального канала. Существует
и выражение (/7r, p |VP|^, а), соответствующее варианту «после
столкновения»; согласно (18.15), оно тождественно равно
выражению (18.17) (на энергетической поверхности).
Борновское приближение (18.17) является, очевидно, первым
членом бесконечного ряда по степеням оператора G$(E + iO)V&9
и естественно ожидать, что он окажется хорошим
приближением либо при слабом потенциале V&, либо, ввиду соотношения
GP(z) = (z — Я^)"1, при высоких энергиях. Однако относительно
сходимости многоканального борновского ряда было строго
доказано удивительно мало результатов, и мы просто примем
(было найдено, что такое предположение является
оправданным), что при подходящих условиях (главным образом в
атомной физике) борновское приближение действительно дает
удовлетворительные результаты1).
Чтобы понять представляющие интерес общие свойства бор-?
новского приближения, лучше всего сосредоточить внимание на
простейшей подходящей модели. Можно рассмотреть, например}
нашу трехчастичную модель с частицами а, Ь и с. Предполо-^
1) Тот факт, что многоканальный бориовский ряд оказывается гораздо*
более сложным, чем его одноканальный эквивалент, становится вполне оче«"-
видным, если вспомнить, что он представляет собой ряд по степеням каналье
ного потенциала V^t а не полного потенциала V. В связи с этим отметим
следующее: если бы слабым должен был быть полный потенциал, то все связан-,
иые состояния перестали бы существовать и задача перестала бы быть
многоканальной задачей.

§ 4. Ворновское приближение; упругое рассеяние 437
жим, что рассматривается бесконечно тяжелая частица с>
которая поэтому эффективно оказывается фиксированной.
Представим себе, что частица а налетает на связанную систему (be)
(канал 1), и сначала предположим, что частица а вообще не
взаимодействует с частицей с (фиг. 18.1). В этом случае
существуют ровно два потенциала: потенциал VbC> который
удерживает «атом» (be) в связанном состоянии, и потенциал Уаь, кото-
_ _ Частица Ь, которую
\Г~. ""* ~" - - «^ ^ /^потенциал Vfa удерживает
а° ^^^--^гГ на орЪите около частицы с
Частица а,
налетающая
на (6с)-» атом'
^K^J/астица с -„ ядро? jat
крепленное вначале коороинат
Фиг. 18.1. Частица а, налетающая на связанное состояние (be).
рый вызывает рассеяние. Гамильтониан канала 1 равен
2 2
L/1 fQ l !-b \ 1/
П ~ 2m„ ■+" 2m. "^ v bc>
а о
тогда как потенциал рассеяния в канале 1 равен Vх = Уаь.
Рассчитаем сначала борцовское приближение для упругого
рассеяния в канале 1:
a + (bc)-+a + (be).
Волновая функция асимптотического состояния | р, 1) в канале 1
равна
(х.,х,|р, 1) = (2лГ%7р-х^1(х6),
где через ^i мы теперь обозначили волновую функцию
связанного состояния (be). Таким образом, Г-матрица на
энергетической поверхности для упругого рассеяния равна в борновском
приближении
/(р', 1«-р, 1) = <р', НПр, 1) =
= (2яГ3 J d\a \ й\уГ1*"**х (хьУ Vab (ха - х6) е1*"*фх (хь)
[борновское приближение]. (18.18)
Результат (18.18) можно переписать двумя способами. Во-
первых, с помощью перегруппировки членов получаем
*(р', 1«-р, 1)-(2я)-3$Лве~','Хв $Лс&^(Хл-х>)|^(х6)|2 =
^ee"'q'XeV(xa),
.(2«)-'5d3.

43£ Гл. 18. Многоканальное рассеяние в стац. постановке
где q = p' — р. Второе выражение по виду точно совпадает с
одноканальным борновским приближением для рассеяния на
потенциале V(xa). Поскольку потенциал V(xa) является
результатом усреднения истинного потенциала Уаъ(ха— *ь) по
распределению |<Мхь)|2, полученное выражение точно совпадает со
«статическим» приближением, обсуждавшимся в гл. 9, § 4 в свя-»
зи с рассеянием электронов на атомах. Иначе говоря, если
рассчитать амплитуду упругого рассеяния электрона на атоме,
используя многоканальное борновское приближение, то получается
тот же результат, что и при использовании одноканального бор-
новского приближения, в котором атом рассматривается как
статическое распределение заряда.
Результат (18.18) можно переписать, во-вторых, в несколько
ином виде, если в качестве переменных интегрирования выбрать
переменные х = ха— хь и хь. При этом получаем
'(Р'> 1 *-Р> 1) = (2яГ3 \ d\e^^VQb{x) \ dV~'>x*l *i (х6) |2 =
=' (р' *- р) \ъ Фикс g\ (q) [борновское приближение]. (18.19)
Таким образом, в борновском приближении упругое рассеяние
частицы а на связанной частице Ь описывается Г-матрицей для
рассеяния на фиксированной мишени &, умноженной на
некоторую функцию g\(q). Эта функция gi(q) равна просто
преобразованию Фурье распределения вероятности | ф{ (хь) |2; она
называется упругим формфактором.
Понятие формфактора сыграло очень важную роль в теории
рассеяния. Из текущего обсуждения и из рассуждений гл. 9, § 4
должно быть ясно, что формфактор возникает всегда, когда рас-
сеиватель [(be)— «атом» в нашем случае] представляет собой не
фиксированную точечную частицу, а частицу, имеющую
некоторое пространственное распределение. Измерение функции g\(<\)
дает информацию об этом распределении. Выясняется,
например, что заряд протона не сосредоточен в одной точке, и изме»,
рение ер-формфактора дает информацию о распределении
заряда внутри протона. Поскольку в направлении вперед (q = 0)
£,(0)=1,
мы видим, что вблизи направления вперед рассеяние на
находящейся в связанном состоянии мишени полностью подобно
рассеянию на фиксированной точечной мишени1). Таким образом,
Для получения полезной информации о структуре мишени мы
должны выполнить измерения при больших передаваемых им*
*) Этого и следовало ожидать. Грубо говоря, частицы, рассеивающийся'
вблизи направления вперед, летят под большими прицельными параметрами
и потому нечувствительны к структуре мишени.

§ 5. Борновское приближение; возбуждение
439
пульсах, т. е. при высоких энергиях и при больших углах (см.
задачу 18.1).
Ввиду огромной важности формфакторов следует
подчеркнуть, что они определяются формулой (18.19) только в рамках
борновского приближения. В общем случае соответствующий
результат для точных амплитуд попросту неверен. Как истинная
амплитуда, так и амплитуда рассеяния на фиксированной
частице Ь зависят от самих импульсов р и р' (а не только от их
разности q = p' — p), и отношение этих амплитуд не может
быть записано в виде функции gi(q).
Прежде чем переходить к обсуждению неупругих процессов,
мы заметим, что все сказанное легко переносится на тот случай,
когда падающая частица а взаимодействует как со связанной
частицей &, так и с «ядром» с. В этом случае потенциал
рассеяния V1 равен
V^Vab + Vac.
Ясно, что в борновском приближении упругая амплитуда равна
просто сумме амплитуд, полученных от каждого потенциала в
отдельности. Поскольку частица с фиксирована, эта сумма
имеет вид
/(р', 1<-Р, 1) = /Лр,<-р)кфиксг,(д) + /Лр'^Р)иикс. (18.20)
§ 5. Борновское приближение; возбуждение
Теперь мы применим борновское приближение к неупругому
процессу простейшего Еида — возбуждению мишени
налетающей частицей. Например, мы можем рассмотреть процесс
a + (bc)->a + (bc)\
ведущий из канала 1 в канал 2 нашей модели. Согласно (18.17),
борновское приближение для этой реакции записывается
следующим образом:
<(р',2ч-р, 1) = <р',2|Пр, 1> =
= (2яГ3 J d\a \ с(\ье-*'х°ф2(хьУ [Vab (xab) + Vac(xa)] e1''*^ (xb),
(18.21)
где ф{ (хь) и ф2 (*ь) *— волновые функции начального и конечного
связанных состояний (be) и (be)*. Прежде всего, поскольку
функции ф\ и & ортогональны друг другу, вклад потенциала
Vac, описывающего взаимодействие частицы а с «ядром» с,
равен нулю. (Это естественно. Ведь в отсутствие взаимодействия
Vab пролетающая частица а вообще не могла бы вызвать

440 Гл. 18. Многоканальное рассеяние в стац. постановке
возбуждение.) Вклад потенциала Уаъ можно записать, как в
упругом случае:
t (р', 2 <- р, 1) = (2яГ3 $ d\e-iq'xVab (х) \ й\ье"^хьф2 W ф] {Xf)) =
= *(р'«-р) кфиксй(ч) [борновское приближение]. (18.22)
В последнем выражении функция £г(я) называется неупру-
гим формфактором; она равна просто преобразованию Фурье
произведения ф*2ф{ '). Поскольку рассматривается неупругий
процесс, то р' ф р. [Вспомним, что р'2 = р2 — 2m(E2 — £i), где
Е2 — Е\ — энергия возбуждения конечного состояния (be)*.]
Таким образом, первый множитель в (18.22) представляет собой
упругую Т-матрицу (в борцовском приближении) вне
энергетической поверхности. Это наш первый пример,
иллюстрирующий упомянутый ранее вывод о том, что амплитуда на
энергетической поверхности для многочастичного процесса часто
приближенно выражается через амплитуды вне энергетической
поверхности для определенных, связанных с исходной реакцией,
двухчастичных процессов.
Использование неупругого борновского приближения можно
хорошо проиллюстрировать на примере возбуждения Is-*2/7
атомарного водорода электронами. Для наглядности сделаем
некоторые упрощающие предположения. Мы будем
рассматривать два электрона как различимые частицы (т. е. будем
пренебрегать какими бы то ни было проявлениями принципа
запрета), будем пренебрегать спинами всех частиц, а ядро будем
рассматривать как бесконечно тяжелое и, следовательно,
фиксированное. (Все эти приближения оказываются сравнительно
маловажными в той области энергий, где, как мы ожидаем,
борновское приближение работает хорошо.) Произвольному
состоянию атома-мишени мы сопоставим обычные три квантовых
числа /г, /, m и в первую очередь рассчитаем амплитуду
возбуждения из основного состояния (1,0,0) на произвольный уровень
(n,l,m).
Потенциал рассеяния Vх состоит из кулоновского
притяжения между налетающим электроном и ядром плюс
отталкивание между двумя электронами. Из этих взаимодействий только
последнее дает вклад в возбуждение, и соответствующая ампли-
х) В общем случае, если мишень имеет несколько уровней, то для
возбуждения на каждый уровень п существует отдельный формфактор gn =*
«=в \е~~ ^хФпФ\с1 х. Строго говоря, следует записывать функцию gn,n в
качестве формфактора при возбуждении (или, наоборот, дезактивации) мишени
с исходного л-го уровня на уровень п\

$ 5. Борновское приближение; возбуждение
441
туда равна [напоминаем, что амплитуда есть произведение
— (2тс)2т на Г-матрицу]:
f(p',n/m<-p, 100) = — (2n)2m(p',nlm\Vl\p, 100} =
Аналогично (18.22) это выражение можно привести к виду
-^\d\ ^- J сРх'е-^'фпЫ (х'Г *1<й (х').
Для первого интеграла характерны обычные неприятности,
связанные с кулоновским потенциалом, и он расходится. Однако
если использовать обрезание и корректный предельный переход
(например, ввести функцию е~г/р и совершить переход р—юо),
то легко установить, что этот интеграл равен 4n/q2. Отсюда
находим
f (p', ntm<-p, 100) = ^r J ё\е-1«хфп1т(х)' фт(х).
Волновые функции связанных состояний <t>nim(x) известны в
явном виде; они равны (1/г)yni(r)YT (х). Следовательно,
полученный интеграл может быть вычислен, если множитель е~~ а#х
разложить в ряд:
оо /
«"•'"^E'W) Е ^(q)*l?(x). (18.23)
Таким образом, в частном случае амплитуды перехода Is —>2р
имеем
/(p'f 21m <-p, 100) = aI(qa)Y?(q)\ (18.24)
где I(qa) —некоторый безразмерный радиальный интеграл,
который читатель легко запишет самостоятельно.
Амплитуде (18.24) соответствует дифференциальное сечение
-g-(p',21m«-p, 100) = |/(p',21m«-p, 100) p.
На практике обычно не измеряют ни магнитное квантовое
число т конечного состояния, ни конечное направление
импульса р'. Сечение возбуждения Is-+2/7 измеряется при помощи
счета фотонов, испускаемых в последующем переходе 2/7—►Is.
Таким образом, интересующее нас сечение равно
a(2p4-le)-JrfQ^5]-g-(p/i21m4-pf 100) =
т
—H-JtfQp'l/MP, (18.25)

442 Гл. IS. Многоканальное рассеяние в стац. постановке
где мы использовали соотношение
X>?Tq)|2 =
2/ + 1
4я
Интеграл по углам можно при известной настойчивости
вычислить, и получающееся в результате сечение изображено на
фиг. 18.2 в зависимости от энергии налетающего электрона.
Видно, что согласие с экспериментом оказывается
удовлетворительным при энергиях, больших ~ 100 эВ.
—Борновское приближение
х Эксперимент
/00 200 300 400 500
Энергия электрона, эВ
Фиг. 18.2. Сечение a(2p<-ls) возбуждения 2р-состояний атома водорода
электроном.
Любезно предоставлено д-ром Смитом.
Этот пример типичен для ситуаций, в которых
многоканальное борновское приближение обычно полезно, а именно при
достаточно высоких энергиях в процессах (рассматриваемых, в
частности, в атомной физике), в которых определяющую роль
играют электромагнитные взаимодействия. В ядерной физике
и в физике высоких энергий, где важную роль обычно играют
сильные взаимодействия, борновское приближение почти
никогда не дает надежных результатов. Позднее мы вернемся к
этому вопросу и рассмотрим несколько альтернативных методов
расчета (приближение связанных каналов, борновское
приближение для искаженных волн и т. д.), которые могут оказаться
полезными в тех случаях, когда нельзя использовать
борновское приближение.
Задачи -■*
18.1. Рассмотрите упругий формфактор g\(q), определяемый для
рассеяния частицы а на мишени (be) формулой (18.19) [предполагаем, что с —
бесконечно тяжелая частица и что орбитальный момент мишени (be) равен / = 0],

С помощью разложения функции gi (q) в ряд Тейлора вблизи q = 0
покажите, что полезную информацию о мишени можно получить только тогда,
когда передаваемые импульсы q ^1/г, где г — среднеквадратичный радиус
мишени. Поскольку q ^ 2р, это означает, что минимальный импульс,
необходимый для зондирования мишени размером г, равен р ~ 1//\ что согласуется
с соображениями, вытекающими из принципа неопределенности.
18.2. Рассмотрите рассеяние частицы а на связанном состоянии (be),
когда ни одна из частиц b и с не считается бесконечно тяжелой. Покажите, что
в борновском приближении Г-матрица для упругого рассеяния имеет вид
ть+тс) +
где р и р' — начальный и конечный импульсы частицы а в общей системе
центра масс (q = р' — р), а формфактор g(k) определяется как
преобразование Фурье плотности вероятности |Фбс(хьс) (2 частицы (be). [Единственная
ваша задача состоит в том, чтобы рассортировать различные относительные
координаты и координаты в системе центра масс. Один из способов решения
заключается в следующем: записать борновское приближение для полного
движения— сюда входят плоские волны для частицы а и для центра масс
частицы (be) — и затем выделить в виде множителя 6-функцию от полного
импульса.]
18.3. а) Используя вариант с потенциалом «до столкновения»
борцовского приближения (18.17), покажите, что Г-матрица для процесса ионизации
а 4* (be) -+a-\-b + с (с бесконечно тяжелой частицей с) имеет вид
'ион (Ра, Р* <- Р) =
- *сЬ (Ра «- Р) I* фнкЛг (Ра + *Ь ~ Р) + tac (?а <~ Р) \с фикс *Ьс (Рд).
где фъс(к) —умноженное на (2л)~'/г преобразование Фурье волновой
функции ФЬс(*Ьс) частицы (be).
б) В борновском приближении выражение, соответствующее варианту
«после столкновения», должно было бы содержать дополнительный член с Vbc.
Докажите, что этот член равен нулю. [Фактически использование борновского
приближения для столкновений с перестройкой является спорным.
Общепринято считать, что приближение оказалось бы лучше, если бы мы просто
опустили второе слагаемое (соответствующее взаимодействию с так называемым
«кором») из формулы в пункте «а», потому что одно только взаимодействие
Vac частицы а с фиксированным «кором» с, очевидно, вообще не могло бы
вызвать ионизацию1).]
') Это утверждение в общем случае неточно, поскольку здесь оказывается
необходимым учитывать два члена борновского ряда (см. А. М. Бродский,
В. С. Потапов, ЖЯФ, 12, И63 (1970)). — Прим. ред.

ГЛАВА 19
СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ
Продолжим общее обсуждение стационарной теории,
сосредоточив внимание на свойствах стационарных состояний |р, а+)
и их волновых функций (х|р, а+). Мы обсудим только те
столкновения, для которых начальные состояния двухчастичные,
потому что только эти процессы имеют реальное практическое
значение. Для простоты мы предположим, что мишенью служит
произвольное связанное состояние нескольких частиц, тогда как
налетающим на них снарядом является отдельная частица
вроде электрона, протона или нейтрона.
В § 1 и 2 мы изучим поведение волновых функций на боль*
ших расстояниях и установим соотношения, аналогичные из-
вестному одноканальному результату
(х|р + >т^(2яГ,/'[е^ + f(px^p)^]. (19.Ц
При установлении этих результатов мы придем к разложению
волновых функций по стационарным состояниям мишени. В § 3
мы покажем, что это разложение, которое мы будем называть
разложением по функциям мишени, сводит многоканальную
задачу к бесконечной системе связанных друг с другом однока-
нальных уравнений Шредингера. Эта бесконечная система
уравнений приводит к приближению сильной связи (или, точнее,
приближению сильной связи каналов), которое получается при
обрывании исходной системы на конечном числе N связанных
друг с другом (приближенных) уравнений. При подходящих
условиях указанное обрывание можно выполнить таким
образом, чтобы явно учесть все важные или представляющие
интерес каналы и пренебречь только теми каналами, которые не
имеют важного значения. При таких условиях приближение
связанных каналов представляет собой полезный метод рас»
чета.
Наконец, в § 4 мы покажем, что, вводя подходящий
потенциал Уопт, называемый оптическим потенциалом, мы можем
свести многоканальную задачу к точной системе N связанных
друг с другом одночастичных уравнений. Мы увидим, что в этих
уравнениях N каналов рассматриваются явно, тогда как влия-

§ 1. Асимптотический вид при столкновениях без перестройки 445
ние всех других каналов учитывается (точно) оптическим
потенциалом. Оптический потенциал обычно выражается очень
сложно и не может быть рассчитан точно. Его важное значение
заключается главным образом в том, что вместо точного
расчета часто удается сделать удачное феноменологическое
предположение относительно вида Уопт- С таким отгаданным
потенциалом Vow имеющиеся N связанных уравнений описывают N
каналов в явном виде и приближенно объясняют влияние всех
других каналов. Этот способ иногда дает возможность
(особенно в ядерной физике) получить расчетные кривые,
исключительно хорошо соответствующие большому числу
экспериментальных данных.
§ 1. Асимптотический вид волновых функций
при столкновениях без перестройки частиц
В общем случае многоканальный аналог одноканальной
асимптотической формулы (19.1) выглядит весьма сложно, так
что мы рассмотрим только несколько простых примеров
(гораздо более обширное и тщательное обсуждение этого вопроса
содержится в статье [55]). Начнем с рассмотрения нашей трех-
частичной модели с легкими частицами а и Ь и тяжелой
фиксированной частицей с. Мы будем учитывать несколько
связанных состояний (be)J, ..., (Ъс)п и (ас)и ..., (ас)п', а также,
возможно, некоторые связанные состояния частиц а и Ъ. Тогда
существуют п каналов вида
а + (Ьс)и ..., а + (Ьс)п,
и п' каналов вида
Ь + (ас)и ..., Ь + (ас)п'.
Вдобавок существует канал 0(а + Ь-{-с) и возможны еще
каналы вида (аЪ) + с.
Рассмотрим процесс, в котором частица а с импульсом р
падает на основное состояние (be)\x). Этот канал мы будем
называть каналом 1; тогда соответствующее стационарное
состояние запишется в виде | р, 1 +)• Волновая функция этого
состояния (хл, Хь1р, 1+) зависит от обеих переменных ха и xbf
и сразу возникает вопрос, хотим ли мы найти асимптотическое
поведение при ха->оо или при хь->оо, или, быть может, при
стремлении к бесконечности обеих переменных. В
действительности, как вскоре будет видно, все эти варианты представляют
интерес. Если ха->оо при фиксированном значении хь> то
волновая функция должна показывать влияние тех каналов, в ко-
1) С таким же успехом мишень могла бы находиться в каком-либо
возбужденном состоянии. Однако, поскольку на практике она почти всегда
находится з основном состоянии, мы рассматриваем именно этот случай.

446 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
торых частица а движется вдали от частиц b и с (которые
к тому же открыты при рассматриваемой энергии). Однако мы
не должны ожидать увидеть те каналы, в которых частица а
захватывается [a + (bc)\ —>b +(ac)i], равно как и те каналы,
в которых частицы а и Ь удаляются из области взаимодействия
в связанном состоянии [a -\-(bc)\ -> (ab)i + с]. Поэтому при
ха->оо при фиксированном значении хь волновая функция (ха,
*ь|р, 1+) должна состоять из падающей плоской волны в ка-
нале 1 плюс уходящих волн в каналах a + (bc)i и а + Ь + с.
Если бы вместо этого мы положили х^->сх> при
фиксированном значении ха, то мы увидели бы уходящие волны в каналах
b + (ас) ;иа + & + с>инив каких других.
Начнем со случая ха —► оо при фиксированном значении х&.
Будем действовать в полной аналогии с одноканальным
анализом, проведенным в гл. 10, § 3. Исходным пунктом служит
уравнение Липпмана — Швингера
IP, 1+>-1р. 1> + G'(fi + /0)F4P, !+>■ (19.2)
Чтобы получить волновую функцию (ха, хь |р, I +), нам
необходимо знать координатные матричные элементы
(ха, хь \Gl (z) |ха, х'ь) гриновского оператора канала 1. В одно-
канальном случае мы оценивали матричный элемент
(х | G0 (г) | х') свободного гриновского оператора, вводя полный
набор собственных векторов |р) свободного гамильтониана Я0.
Теперь мы попытаемся найти аналогичные собственные векторы
гамильтониана канала 1, который запишем в ваде
Hi=e-a+^+v^4-a+H^- 09.3)
Здесь второе слагаемое является гамильтонианом частицы Ь
в поле фиксированной частицы с. Отсюда ясно, что в качестве
собственных функций гамильтониана Я1 мы можем взять про?
изведения
(2*)-Vp'W^x*), (19.4)
где через фа {хь) обозначена любая из собственных функций
гамильтониана Н(Ьс), отвечающих энергии Еа. Такие функции
бывают двух типов. С одной стороны, существуют п связанных
состояний (be) и • •, (be) и с волновыми функциями ф{ (хь), ...'
...,фп(хьУ Кроме того, существуют состояния непрерывного!
спектра, которые, например, мы могли бы выбрать в виде
соответствующих уходящим волнам состояний рассеяния
частицы b в поле частицы с. В том и другом случае функции (19.4JJ
являются собственными функциями гамильтониана Я1, отве:
чающими энергии (р2/2гпа) + Еа.
Читатель, несомненно, обратил внимание, что если функция
фа(*ь) соответствует одной из волновых функций фи •..•.•• Ф»

§ 1. Асимптотический вид при столкновениях без перестройки 447
связанных состояний, то функция (19.4) точно совпадает со
свободной волновой функцией канала а + (be)а. Для волновых
функций непрерывного спектра аналогичное утверждение
оказывается несправедливым: если фа(*ь) соответствует одной из
таких функций, то функция (19.4) не является свободной
волновой функцией какого-либо канала. Следовательно, базис из
собственных функций (19.4) канального гамильтониана Я1
представляет собой странный гибрид. Его дискретная часть
состоит из свободных канальных волновых функций (ха, х&|р, а),
где а пробегает значения, соответствующие всем каналам с
распределением частиц типа а-\- (Ьс)а. Непрерывная часть состоит
из функций, не имеющих простой связи ни с одним каналом.
В действительности нас будет главным образом интересовать
дискретная часть указанного базиса, и именно по этой причине
мы отмечаем функции фа(*ь) канальным индексом а. Однако
следует помнить, что этот индекс а пробегает значения,
соответствующие только некоторым из каналов (а именно тем,
в которых частицы распределены по группам так же, как в
канале 1), а также что он пробегает непрерывную область
значений, соответствующих континууму состояний частицы b в поле
потенциала Уьс- Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы
будем записывать «суммы» по а при помощи символа Т.
Теперь мы можем ввести полный набор состояний (19.4)
в искомую функцию Грина:
(ха, ХЬ 1С (2)| Ха, х'ь) = (2я)'3 f \ <РР ' \ "_ ^ma)- f^ ' (195>
а
Интеграл по переменной р можно вычислить, как в одноканаль-
ном случае. Каждый член суммы по а имеет полюс в точке
р = [2ma(z — Еа)]Ч>\ и для случая г = Е + /0 приходим к
результату
<Ха, Х6 | С (Е + /0) | Ха, Х'ь) = —g- f *,"" 2 * | фа (Хь) Фа (х'ьУ,
где ра ss [2m (E — Еа)],/а — импульс частицы а, если в конечном
состоянии мишень (be) имеет энергию Еа. В частности, нам
понадобится функция Грина при га > г'а\ в этом случае
<xfl> хь \Gl(E + Ю)\х'а, х'ь)——-+
""""& J ^-e-ip**< фаШаМУ. (19-6)
а

448 tA. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
Теперь мы готовы к тому, чтобы установить асимптотический
вид стационарных волновых функций. Из уравнения Липпма-
на — Швингера (19.2) следует, что
<хв, х&|р, l+) = (xfll xjp, 1> +
+ \ d4a \ йЧ <Ха, Хь \Gl(E + /О) | х£, X» V1 (х'«, X» <x'e, x{ | Р, 1 +>.
Подставляя сюда соотношение (19.6) для функции Грина,
получаем
<xe, хь\р, l+>———^
-+(2*)-*'* [е*'*о ф{(хь)-(2л)*та %~- фаШ<Р*Ъ a W |р, 1>]
(19.7)
или !)
<х«, х>|р, 1 + > ——^(2яГ3/Т^Р"Х^1(х&) +
+ |Л(РаХл,а<-р, 1)-7— ^aW •
а J
(19.8)
Это естественное обобщение хорошо известного одноканаль-
ного результата (19.1). Первое слагаемое соответствует
ожидаемой падающей плоской волне в канале 1; второе слагаемое
содержит сумму по а. Эта сумма вычисляется по п дискретным
значениям, соответствующим связанным состояниям (be) и ...
..., (Ьс)п, плюс по непрерывным значениям, соответствующим
континууму состояний мишени (be). Сосредоточим сначала
внимание на п дискретных членах суммы. Каждый из них имеет
вид произведения трех сомножителей: амплитуды, сферической
расходящейся волны, отвечающей частице а, и волновой
функции мишени ^а(хб). Поскольку импульс сферической волны
равен
ра = [2та(Е-Еа)]\ (19.9)
мы видим, что каждый член суммы соответствует частице а,
уходящей из области столкновения с энергией E — Eai возбудив
мишень до состояния (Ьс)а с энергией Еа.
1) Обозначения в той и другой из этих формул пригодны на самом деле
только для дискретных членов суммы. Только для этих членов волновой
функции ехр (ф' • xfl) Фа (хь) корректно сопоставляется бра-вектор (р', а |, как
это сделано в (19.7). Следовательно, только для этих членов годится обо*
значение /(р', а«-р, 1) в (19.8),

§ L Асимптотический вид при столкновениях без перестройки 449
Если полная энергия Е будет меньше, чем £а, то импульс
(19.9) в канале а окажется чисто мнимым. В этом случае вклад
канала а в асимптотическую формулу (19.8) экспоненциально
стремится к нулю при га—►<». Таким образом, в сумму (19.8)
можно включить только те каналы, которые открыты при
энергии Е. В частности, при энергиях, меньших, чем необходимо для
развала мишени, «сумма» в (19.8) становится настоящей
суммой без каких бы то ни было вкладов от континуума.
Если начальная энергия достаточна для разрушения мишени,
то в «сумму» в асимптотической формуле (19.8) включается
интеграл по непрерывным состояниям. Можно показать, что
эти члены соответствуют уходящим волнам в канале а + b + с,
в котором связанные состояния разрушены, однако здесь мы
не будем входить в эти подробности.
Нетрудно распространить полученные результаты на более
общие системы, в которых и падающая частица и мишень
являются составными частицами, построенными из нескольких
частиц (как, например, столкновения атома с атомом или ядра
с ядром). Здесь мы рассмотрим только один промежуточный
случай, когда простая частица налетает на произвольную
мишень. Через х, р и m мы обозначим координату, импульс и
массу налетающей частицы, а через яМиш— совокупность
координат частиц, составляющих мишень. Канальный гамильтониан
начального канала (номер 1) имеет вид
Р2
" == 2т миш»
где оператор Ямиш содержит все кинетические энергии и
энергии взаимодействия частиц, находящихся внутри мишени. Для
простоты мы рассмотрим мишень с тяжелым фиксированным
кором (типа атома с его тяжелым ядром), хотя, как обычно,
все рассуждения можно равным образом применить к
относительному движению трансляционно инвариантной системы.
Анализ выполняется точно как прежде. Гриновский оператор
G1 (г) вычисляется через полный набор собственных функций
0а(^миш) гамильтониана мишени. В этот набор входят волновые
функции фи ..., фп связанных состояний мишени и сложная
система состояний континуума. Анализ, аналогичный
проведенному при переходе от (19.2) к (19.8), приводит к естественному
результату
(х, хмиш I р, 1 + ) -^> (2л) 3/2 |УР *фх (хМИШ) +
_* . е[Раг 1
+ £ f (PoX, « <~ р, 1) -у~ фа (*миш) .
<l J
(19.10)
15 Зак. 396

450 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функций
Здесь первое слагаемое соответствует падающей волне в
канале 1, дискретные члены суммы отвечают улетающим
частицам, оставляющим мишень в одном из состояний фи ..., фп,
а члены, соответствующие континууму состояний, отвечают, как
и прежде, различным возможным процессам разрушения
мишени.
Из асимптотической формулы (19.10) легко установить
сечения упругого рассеяния и возбуждения. Первый член
отвечает установившемуся падающему потоку
Падающий поток = (2тс) —
в канале 1. В сумме а-й член отвечает потоку, рассеянному
в единичный телесный угол:
Рассеянный поток = (2я)~3| /(ра, а«-р, 1)|2 —
в канале а. Таким образом (со всеми оговорками, которые
делались при соответствующем выводе в одноканальном случае),
мы приходим к ответу
da / .ч Рассеянный поток/телесный угол
dil ^a* "' ' Падающий поток/площадь
—^-|f(p..a*-p, 1)р,
смысл которого совершенно ясен.
§ 2. Асимптотический вид волновых функций
при столкновениях с перестройкой
Пока мы рассмотрели поведение стационарной волновой
функции (я|р, 1+)» когда координата первоначальной
падающей частицы устремляется к бесконечности, а координаты всех
частиц мишени остаются фиксированными. Как и следовало
ожидать, такой подход вскрывает влияние тех каналов, в
которых частицы распределены по группам так же, как в
начальном канале 1. Если мы хотим обнаружить влияние столкновений
с перестройкой, то мы должны допустить, чтобы некоторые
частицы мишени уходили на бесконечность. Здесь мы
рассмотрим опять-таки трехчастичную модель с частицей а,
налетающей на основное состояние (be) и и исследуем волновую
функцию, устремляя к бесконечности координату хь и оставляя
фиксированной координату ха. Такой подход должен выявить
влияние столкновений с перестройкой
а + (Ьс)х ->Ь + (ас)р
Анализ этого случая совершенно аналогичен предыдущему.
Первый шаг состоит в том, чтобы получить некоторый аналог

§ 2. Асимптотический вид при столкновениях с перестройкой 451
уравнения Липпмана — Швингера (19.2), записанный через гри-
новский оператор конечного канала G${z) = (г —- Н$)-\ где
Ш — гамильтониан рассматриваемых конечных каналов:
о а
В качестве исходного возьмем уравнение Липпмана —
Швингера (19.2)
1р, 1+>=1р, 1> + о'(£ + *))Пр, i+>
и выразим оператор G1 через GP;
GX = G* + G*{V*-VX)G\
Мы находим
IP, 1+) = 1р, О + О^ЧР, l+) + G3(^-^0G1l/I|p, 1+).
Поскольку величина GlVl\p,l+) в последнем члене равна
разности | р, 1 + ) — | р, 1), то
|р, l+) = GW\p9 1+) + Ю), (19.12)
где
|о> = 1р, l)-G4V*-Vl)\p9l).
Можно показать, что вектор \о) ортогонален всем векторам из
интересующих нас каналов, т. е. векторам из подпространств
каналов Ь-{-(ас)$. Поэтому в нем нет необходимости здесь,
и мы опустим его в нескольких последующих соотношениях.
А к первому слагаемому в формуле (19.12) можно применить
технику, развитую в гл. 19, § 1.
Чтобы оценить координатные матричные элементы
оператора G$(z), нам требуется набор собственных функций
канального гамильтониана Яр, (19.11). Эти функции имеют вид
(2xt)-Vp-x%(xa),
где через Хр (XJ обозначены волновые функции любых
связанных состояний (ас) или соответствующие функции для
континуума. Отсюда находим выражение для матричных элементов
оператора GP, аналогичное (19.6) для оператора G1 (но с
заменой xa, ma и фа на хь, гпь и %ь). Подстановка в выражение
(19.12) для вектора |р, 1+) приводит к результату:
<ха, хь|р, 1+>___^
-*(2я)-34-(2Я)2т* J^■X9(xa)(ptfib,t\Vt\p, l +>j. (19.13)
Имея в виду, что при столкновении с перестройкой
a + (bc){-^b + (ac)^
15*

452 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
амплитуда равна
f(pp,P-P, 1) = -(2я)2(тать)1/2/(р13,р^-р, 1),
мы можем переписать (19.13) в окончательной форме:
LXJp,l+>-^—^^
* - е^Ь (19Л4)
Xp(PiiXb,$+-p,\)±-7-Xz(Xa),
| Р Ь I
где рр=[2т(£-£р)]\
Полученный результат имеет в точности ожидавшийся вид.
Падающая волна отсутствует. Дискретная часть суммы берется
по открытым каналам с группировкой частиц Ь-\-(ас)
(соответствующие закрытым каналам члены экспоненциально стремятся
к нулю и могут быть опущены), и каждый ее член отвечает
частице Ьу уходящей из области взаимодействия в виде
сферической волны, причем частица а остается в связанном состоянии
Хр(ха). Наконец, можно показать, что члены, отвечающие
непрерывному спектру, как и прежде, соответствуют каналу а -\- Ь -\- с.
С помощью формулы (19.14) можно выразить
соответствующие сечения. Поток, рассеянный в единичный телесный угол
в любом из дискретных каналов р, равен
«ы-4£|/<м«-».1>р-2|-.
тогда как падающий поток в канале 1, как и прежде, равен
(2л)~3р/та- Таким образом, имеем
ж(рр-р*-Р'1)=-т|/(ре>р""р,1)|2>
как и ожидалось.
§ 3. Разложение по функциям мишени
В двух предыдущих параграфах мы исследовали волновую
функцию (*|р, 1+) при больших значениях ее аргументов.
В частности, в том случае, когда простая частица
(координата х) налетает на произвольную мишень (координаты £Миш), мы
видели» что при х —► оо волновая функция имеет естественное

§ 3. Разложение по функциям мишени
453
разложение
<х,5шш IP, ^)-т^(2пТ^[е^^х (£миш) +
+ $/(РаХ,а<~р, 1)±^а(£мнш)1. (19.15)
Амплитуды /(ра, а <~р, 1) являются здесь амплитудами
упругого рассеяния и возбуждения (для дискретных а; непрерывные
члены связаны с процессом развала мишени). Отсюда ясно,
что если интересоваться главным образом процессами без
перестройки частиц, то может оказаться полезным выполнить
точное разложение (а не только разложение при больших
значениях аргументов) волновой функции по стационарным
состояниям ^а(£МИш) системы частиц, составляющих мишень.
Такое разложение мы будем называть разложением по функциям
мишени. Мы увидим, что оно действительно образует полезный
подход к многоканальной задаче.
Волновая функция (х, хмиш|р, 1 +) зависит от х и_л:миш, тогда
как собственные состояния ^а(#Миш) мишени зависят только от£миш.
Таким образом, коэффициенты ца в разложении указанной
волновой функции по состояниям мишени должны быть
функциями от х:
(X, ХШ1Ш | р, 1 +> = ^ Ла (X) Фа (£миш).
(19.16)
Здесь мы напомним читателю, что стоящая в левой части
волновая функция является собственной функцией полного
гамильтониана Я, отвечающей энергии £*; она описывает
столкновение, в котором частица с импульсом р налетает на мишень,
находящуюся в основном состоянии ф\. Функции фа(хШ1Ш) в
правой части представляют собой полный набор собственных
функций гамильтониана мишени НМИШ, отвечающих энергии Еа\ они
описывают связанные и непрерывные состояния системы частиц,
образующих мишень. Функции г\а(х) временно рассматриваются
просто как коэффициенты в указанном разложении. Мы
увидим, однако, что для них возможна чрезвычайно полезная
интерпретация.
Прежде всего заметим, что, выбирая х большим и сравнивая
разложение (19.16) с асимптотической формулой (19.15), мы
найдем, что
Г1а(х)-Т^>(2лГ,/'[е'Р"6а1+/(раХ,«*-Р. 0-Ц^]- <19Л7)
В частности, поведение коэффициента rji(x) совпадает с
поведением волновой функции одпоканального рассеяния» когда

454 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
имеется падающая плоская волна плюс сферическая
рассеянная волна, умноженная на упругую амплитуду. Коэффициенты
т]а(х)(а=т^ 1) ведут себя аналогично, за исключением того, что
в этом случае падающая волна отсутствует.
Из (19.17) вытекает, что мы можем рассматривать функции
т]а(х) как одночастичные волновые функции, описывающие
движение налетающей частицы. Существование целого семейства
таких функций отражает факт существования многочисленных
каналов; при этом каждая функция ца(х) описывает ту часть
движения, которая принадлежит обозначаемому через а каналу.
Следует подчеркнуть, что сколь бы полезной ни была такая
точка зрения, она тем не менее до какой-то степени вводит в
заблуждение. Так, если рассматривать (19.16) как разложение
полной волновой функции на ее «канальные компоненты», то
дискретные члены соответствуют упругому каналу и каналам
возбуждения, в то время как непрерывные члены описывают
каналы, в которых происходит развал мишени. Однако при
этом оказываются пропущенными все каналы, соответствующие
рассеянию с перестройкой частиц. Дело в том, что было бы
слишком сильным упрощением рассматривать (19.16) как
разложение по каналам. Разумеется, в исходной волновой
функции, а потому и в ее полном разложении, учитывается влияние
всех каналов. Однако влияние каждого канала «без
перестройки» выражается в явном виде отдельными членами разложения
при х—юо; в то же время влияние каналов с перестройкой
(которые появляются только тогда, когда координаты
некоторых частиц мишени устремляются к бесконечности) скрыто
внутри всей бесконечной суммы.
Сделав это предостережение, обратимся снова к свойствам
«волновых функций» т]а(х). Из предыдущего мы знаем, что их
асимптотическая форма обобщает асимптотическую форму од-
ноканальной волновой функции. Теперь мы покажем, что они
удовлетворяют естественному обобщению одноканального
уравнения Шредингера, а именно бесконечной системе связанных
одночастичных уравнений.
Полное состояние |р, 1+) является собственным состоянием
гамильтониана Я, который мы можем записать в виде
Я = Я1 + У1=-^ + Ямиш+1/1
(где, как обычно, V1 состоит из тех потенциалов, которые
описывают взаимодействие налетающей частицы с мишенью). Если
теперь подставить разложение
Tfo (X) фа (*миш)
$

§ 3. Разложение по функциям мишени 45Й
полной волновой функции в уравнение Шредингера и
вспомнить, что </>а(*миш) является собственной функцией
гамильтониана //минь отвечающей энергии £а, то отсюда получается
f [- Ш + Е° + Vl (Х> *-нш)] Ла (X) 4>а (^миш) = Е f Ца (х) ^>а (хмнш).
Умножим это равенство на ^а(£Миш)* и проинтегрируем по
координатам частиц мишени хмиш. Поскольку функции фа ортонор-
мированы, отсюда находим
V2
2т
% W + f $аа, (х) Лв, (х) = (Е - Еа) % (х),
а'
(19.18)
где мы ввели матрицу потенциалов V:
^аа'«= Sdf«HuI^(£„„IU)^,(X'iM„uI)^(iMHU])- («.19)
Таким образом, каждая из волновых функций ца(х)
удовлетворяет одночастичному уравнению Шредингера, в котором,
однако, потенциальный член связывает друг с другом все
функции Т)а(х).
Уравнения (19.18) составляют непрерывную бесконечную
систему связанных уравнений и в том виде, как они написаны,
приносят мало практической пользы. Их полезность
определяется возможностью получить при определенных условиях
хорошее приближение, оставляя только небольшое число N
дискретных членов и полностью отбрасывая непрерывную часть
суммы. Такое приближение известно под различными
названиями: приближение связанных каналов, приближение сильной
связи или приближение N состояний1). Оно сводит (19.18) к
конечной системе связанных уравнений, которую можно
представить в компактной матричной форме. Например, в приближении
двух состояний можно написать
~li"\4t'\V2i v22)\4J = \ о я-е/Ч/ (19'20)
!) Иногда оно называется также приближением Тамма — Данкова.
Однако обычно последнее название резервируется для задач, в которых
изучаются связанные состояния.

4§S Гл. 19. Многоканальные стациЬнарные волновые функции
Решая это уравнение с учетом граничных условий
Л,->(2ЯГ3/'(^- + /м4:)-
Ча-(2я)~'/,(/21-^).
можно определить ц{ и х\2-
Интересно, что диагональные элементы матрицы
потенциалов
^аа (X) = J ^миш I Фа (*миш) Р V1 (X, ХШ1Ш)
равны просто среднему значению потенциала, действующего на
налетающую частицу в статическом поле мишени, находящейся
в состоянии фа. Отсюда, в частности, следует, что приближение
одного состояния
-^Л,(х) + У„т11(х) = (£-Я1)л.(х)
точно воспроизводит упругое рассеяние в статическом
приближении, обсуждавшееся в гл. 9, § 4. Вообще, если записать
приближение N состояний в виде
то сама по себе левая часть этого уравнения будет описывать
упругое рассеяние в рамках канала а в статическом
приближении, тогда как стоящие в правой части неоднородные члены
описывают связь с остальными /V — 1 каналами.
Из общих соображений легко понять, при каких условиях
приближение связанных каналов будет полезно. Например, если
начальная энергия меньше, чем порог возбуждения уровней
N + I и следующих, то вполне можно надеяться, что
приближение N состояний с использованием низших N уровней
должно оказаться весьма реалистическим. (Например, до некоторой
степени успешным было рассмотрение еН-рассеяния вблизи
порога возбуждения уровней с п = 2 в приближении трех
состояний, когда в рассмотрение включались только состояния
Is, 2s и 2/7.) Причина состоит в том, что каждый член
Т]а (х) фа (*МИш) в полной волновой функции измеряет вероятность
возбуждения уровня фа мишени. Если энергия будет меньше, чем
£а, то можно ожидать, что эта вероятность — даже для
«виртуального» возбуждения во время столкновения—окажется
малой. Таким образом, величины т^+п, ... должны быть
малыми, и поэтому ими вполне можно пренебречь.

§ 4. Оптический потенциал
457
Даже в более общем случае, когда открыто много каналов,
может оказаться так, что, пренебрегая всеми каналами, кроме
небольшого числа наиболее важных, мы получим надежные
результаты для рассеяния в этих каналах. Например, многие
ядра имеют единственное сильно возбужденное низко лежащее
коллективное состояние (такое, как состояние 2+ ядер 12С или
24Mg). Это означает, что рассеяние нуклонов или альфа-частиц
на таких ядрах можно рассматривать в приближении двух
состояний, включая только основное состояние и указанное одно
коллективное состояние.
В заключение отметим, что уравнения в приближении
связанных каналов часто удается подвергнуть дальнейшим
упрощениям. Например, при низких энергиях может оказаться
удовлетворительным анализ с помощью парциальных волн, когда
оставляются только несколько угловых моментов (см.
задачу 19.5). С другой стороны, если малы недиагональные
элементы 1ЛШ', то может оказаться достаточным получить сначала
решение для г\и пренебрегая всеми связями, а затем
использовать эту полученную функцию г\\ для нахождения всех
остальных т]а, оставляя в уравнениях только члены, связанные с
каналом 1.
§ 4. Оптический потенциал
В предыдущем параграфе мы видели, что, представляя
полную волновую функцию, которая описывает налетающую на
составную мишень частицу, в виде разложения по собственным
состояниям мишени:
Ла W «Ы^миш),
мы можем перейти от исходной многочастичной задачи к
бесконечной системе связанных одноканальных уравнений (19.18).
Если по какой-то причине мы интересуемся только
определенным подмножеством из N каналов, то вся требующаяся для
нас информация содержится в соответствующих N функциях
г\а(х). К сожалению, уравнения (19.18) связывают друг с
другом все функции т]а, и в общем случае невозможно найти
решение только для интересующих нас функций ца. Конечно, мы
можем просто игнорировать все остальные г\а и тогда получим
конечную систему уравнений для N интересующих нас
состояний т]а. Однако эти уравнения являются только приближением,
причем зачастую очень плохим, потому что они не допускают
никакой возможности перехода частиц в те каналы, которые
игнорируются.
В настоящем параграфе мы покажем, что при любом данном
выборе N каналов можно определить оператор У0щ, называе-
i

453 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
мый оптическим потенциалом, такой, что N волновых функций
т]а(х) точно удовлетворяют N связанным уравнениям с
матрицей потенциалов, определяемой величиной VonTx). Для начала
рассмотрим случай N = 1, т. е. просто волновую функцию t]i(x),
описывающую упругое рассеяние, и покажем, что можно
определить одночастичный оператор V0m, такой, что функция t|i(x)
будет точно удовлетворять одночастичному уравнению
(—^-+ ^опт) л. (х) = (£-£,) тц (х).
(19.21)
Поскольку функция Tii (x) удовлетворяет также одноканальному
граничному условию
т|, (х) -> (2я) -'/а (в'Р-« + /,! ^-) , (19.22)
этот расчет упругого рассеяния точно сводится к эквивалентной
одноканальной задаче.
Очевидно, чем-то придется заплатить за столь заметное
упрощение многочастичной задачи. Обычно оптический
потенциал V0m оказывается в высшей степени сложным
оператором. В частности, он нелокален, зависит от энергии, а при
энергиях свыше первого неупругого порога он неэрмитов. Этого,
впрочем, и следовало ожидать: если бы гамильтониан
(P2/2m)+ V0m был эрмитовым, то соответствующий оператор
эволюции был бы унитарным. Это означало бы, что решения
соответствующего нестационарного уравнения Шредингера
должны иметь постоянную норму, или, то же самое, что
стационарной волновой функции t]i(x) должны отвечать равные
падающий и уходящий потоки. В такой ситуации не допускалось
бы никакого ослабления пучка за счет неупругих процессов.
Соответственно, если неупругие процессы действительно
происходят— т. е. энергия Е превышает неупругий порог — и если
мы хотим описывать упругое рассеяние с помощью
эквивалентного одночастичного гамильтониана, то этот гамильтониан
должен быть неэрмитовым.
На практике оптический потенциал V0m слишком сложен,
чтобы его можно было использовать для реальных точных
расчетов. Его важное значение — в самом факте его
существования. С одной стороны, это приводит к возможности развития
теоретических представлений, подобных так называемой
формальной теории резонансов ([3], раздел 16.5). С другой —это
дает оправдание попыткам воспроизводить данные по упругому
рассеянию (или вообще данные в любых выбранных N кана-
]) При N > 1 потенциал Vom иногда называется обобщенным
оптическим потенциалом.

§ 4. Оптический потенциал
459
лах) с помощью простых феноменологических оптических
потенциалов; соответствующая техника расчетов оказалась крайне
полезной, особенно в ядерной физике1).
Для доказательства того, что упругая волновая функция
t]i(x) действительно удовлетворяет одночастичному уравнению
(19.21), нужно определение оптического потенциала V0m- Но
прежде удобно ввести еще некоторые обозначения. Сначала мы
заметим, что уравнение (19.21) вместе с граничным условием
(19.22) эквивалентны одночастичному уравнению
I тц> = 1 Р) + Gonr(E + Ю) VonT\ p>. (19.23)
Здесь \i)\) — одночастичный вектор состояния, соответствующий
волновой функции r]t(x); вектор |р) — это, как обычно, одноча-
стичная плоская волна с импульсом р, а через
GOUT(z) = (z-Hour)-{
обозначен одночастичный гриновский оператор,
соответствующий одночастичному гамильтониану2)
р2
^ опт=== "2/тг r^iT 'опт»
Мы установим, что вектор |t]i) задается формулой (19.23), если
покажем, что (19.23) следует из точного выражения
|р, 1 +> = |p, l> + G(J? + /0)V«|p, 1> (19.24)
для полного многочастичного стационарного состояния |р, 1+).
Чтобы установить связь между нужным нам равенством
(19.23) и известным (19.24), заметим, что волновая функция
rii (x) ^>! (лгмиш) является проекцией полной волновой функции
(X, ХМИШ I Р, 1 +> = £ Ла (X) Фа (^миш)
на подпространство 9>х канала 1. [Оно представляет собой
подпространство функций %{х)ф\{Хмпш) с произвольными %.] Это
*) Именно отсюда происходит название «оптический потенциал». Кривые,
весьма хорошо соответствующие экспериментальным данным, можно получить,
используя простые феноменологические оптические потенциалы вида U(r) +
~{-iW(r). Уравнение Шредингера с таким потенциалом точно воспроизводит
рассеяние света средой с комплексным показателем преломления,
вещественная и мнимая части которого связаны с U(r) и W(r).
2) Слагаемое Ех добавлено для того, чтобы нуль энергии совпадал здесь
с тем нулем, который используется в полной многочастичной системе,

460 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
обстоятельство наводит на мысль ввести проекционный
оператор Л на подпространство канала 1 следующим образом1):
A|^) = |t|)) [вектор |-ф) принадлежит 9>%
Л|\|)) = 0 [вектор |ф) ортогонален &1\.
Используя этот оператор, можно написать
Л|р, 1+> = 1л1>®1*1>.
Таким образом, умножая (19.23) на вектор состояния мишени
1^), мы видим, что соотношение (19.23) (которое мы хотим
доказать) в точности эквивалентно многочастичному уравнению
Л|р, 1> = |р, 1> + 0опт(£ + Ю)Копт|р, 1). (19.25)
Здесь мы использовали тот факт, что свободное состояние |р, 1)
в канале 1 как раз имеет вид произведения |р) ® \ф\)\ кроме
того, для удобства мы определим операторы G0m и V^onT)
действующие на многочастичные состояния, условием, чтобы при
действии на векторы, принадлежащие подпространству 9*х
канала /, они совпадали с одночастичными операторами G0UT и
Уопт, & при действии на векторы, ортогональные 9*\ они были
нулевыми операторами [это последнее условие не затрагивает
уравнения (19.25), потому что вектор |р, 1) расположен
полностью в подпространстве 9*х\
Следующий шаг состоит в том, чтобы умножить полное
уравнение (19.24) на Л:
Л|р, 1+> = |р, I) + AG (Е + Ю) V*A\pt 1>. (19.26)
(Дополнительный оператор Л в правой части ничего не меняет,
потому что вектор |р, 1) принадлежит подпространству &1 и
потому равен Л|р, 1).) Известно, что уравнение (19.26)
выполняется; в то же время уравнение (19.25) эквивалентно тому
результату, который мы желаем доказать. Поэтому
доказательство будет завершено, если мы сможем определить потенциал
Уопт и показать, что он удовлетворяет уравнению
Оопт (Е + /0) VonT = AG(E + /0) V «Л.
(19.27)
Чтобы определить потенциал Уопт, введем второй
проекционный оператор
М=1-Л,
1) Напомним, что проекционный оператор на подпространство 9*
действует как тождественный оператор на векторы, принадлежащие &, и как
нулевой оператор на векторы, ортогональные 9'. Легко видеть, что для
проекционного оператора характерны соотношения Л = Л2 *=Л+.

§ 4. Оптический потенциал
431
который выполняет проектирование на ортогональное
дополнение 9*lL подпространства Фх канала 1 1). Для любого
оператора А введем четыре новых оператора
Ллл = ЛЛЛ, Аам = ЛЛМ,
Ама = МА\У Амм = МАМ.
Операторы Ллл и Амм представляют собой сужения
оператора А на подпространства 9>[ и 9>• х, в то время как Аам и АМа
являются теми частями оператора Л, которые связывают
указанные два подпространства. Ясно, что сумма всех этих
четырех операторов равна самому исходному оператору А. Наконец,
введем два парциальных гриновских оператора йл и GM,
таких, что
(2-#лл)0л(г) = Л,
(z-HMM)GM(z) = M,
т. е. оператор G\(z) является гриновским оператором для
гамильтониана Н\\ на подпространстве 9>х\ аналогичное
утверждение справедливо для оператора GM{z) на подпространстве
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы определить
оптический гамильтониан с помощью соотношения
Яопт (Е) = Ялл + VamGm (E + /0) Vma. (19.28)
Таким образом, оператор Нопт представляет собой сужение
гамильтониана Н на подпространство канала 1 плюс второе
слагаемое. Легко установить смысл первого слагаемого. Мы можем
записать соотношение
H = W + Vl=-£r+HMlim + Vl.
Поскольку при действии гамильтониана Ямиш на любой вектор
из 971 получается £ь отсюда следует, что на подпространстве
канала 1
Ялл = -£- + £1 + ^ [на *"]•
где V\\ — не что иное, как статическое поле состояния
мишени ф\\
Vu (х) = J dxum\ ф{(хмиш) F V1 (х, £миш).
Итак, мы можем записать оптический гамильтониан (на
подпространстве 9>1) в виде
-^- + £, + Уопт,
1) Это означает, что ЛУИ = 0, А + М = \ и М2 = М — М+.

462 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
где
Уопт (Е) = Vn + V]AMGM (E + /0) Vma. (19.29)
Пренебрежение вторым членом вернуло бы нас назад, к
приближению одного состояния, обсуждавшемуся _в предыдущем
параграфе. В частности, поскольку потенциал Vn эрмитов, он
один никогда не смог бы привести к неупругим процессам. В тс
же время второй член содержит потенциалы Vam и Vma и,
очевидно, описывает эффекты связи со всеми другими
каналами. Гриновский оператор GM(E + iO) и, следовательно,
потенциал Vout(E) суть эрмитовы операторы при энергиях,
меньших Е2 (т. е. ниже самого низкого порога в подпространстве
^i1); однако они становятся неэрмитовыми при энергиях,
превышающих £2> как и предсказывалось1).
Определив потенциал VonTi мы теперь должны только
установить, что он удовлетворяет тождеству (19.27). Для этого
перепишем оператор G через операторы G ak GM:
G = (GA + GM) + (Ga + GM) (Vam + Vma) G.
Умножая слева на Л или Mt получаем уравнения для AG и МО:
AG = Ga + GaVamG,
MG = Gm + GmVmaG.
Подставляя второе из этих уравнений в первое, находим
AG = Ga + GaVam \Gm + GmVmaG).
Полученное соотношение умножим слева на (г — Ялл);
вспоминая, что
(г-Ялл)Сл = Л,
получаем
(2 - Ялл) AG = Л + Vam (Gm + GmVmaG)
или после переноса последнего слагаемого из правой части
в левую
(г - Яопт) AG = Л + VamGm.
Наконец, умножая справа на VlA, получаем
(г - Яопт) AGV'A = Кал + VamGmVW
1) Можно показать, что нарушающая эрмитовость часть потенциала
Vom(E) является отрицательно определенной. Это гарантирует, что она опн*
сывает поглощение (а не рождение) частиц из канала 1.

Задачи
463
или, подставляя z = Е + Ю,
AG (E + iO)V[A = Оопт (^ + /0) VonT (Е),
что и требовалось.
Это завершает доказательство утверждения о том, что
упругая волновая функция ц\(х) полностью определяется одноча-
стичным уравнением Шредингера с зависящим от энергии од-
ночастичным потенциалом V0m(E). Подчеркнем, что, в то время
как оптический потенциал, по крайней мере в принципе,
определяет упругое рассеяние точно, он не дает никакой информации
ни об одном из неупругих процессов, кроме информации о
полном сечении, получаемой посредством оптической теоремы.
Однако, как уже упоминалось, метод оптического потенциала
можно обобщить так, чтобы получить возможность исследовать
как угодно выбранное конечное множество каналов. Так, для
заданного множества N каналов можно ввести обобщенный
оптический потенциал V0ut (зависящий, конечно, от выбора
каналов), такой, что соответствующие N волновых функций ца(\)
будут точно удовлетворять системе из N связанных уравнений,
которые по форме совпадают с выведенными в гл. 19, § 3
уравнениями для связанных каналов, но в которых матрица
потенциалов выводится из Уопт- Анализ этого общего случая
аналогичен приведенному выше анализу, за исключением того, что
А становится проекционным оператором на подпространство,
натянутое на все пространства 9?ai связанные с интересующими
нас N каналами (см. задачу 19.7).
Задачи
19.1. Асимптотическая форма любой многоканальной функции Грина
содержит, как в (19.6), много слагаемых, соответствующих многочисленным
различным каналам. Прочитайте еще раз рассуждения, приведенные между
формулами (19.5) и (19.6), и покажите, что члены, соответствующие в (19.6)
закрытым каналам (Еа > £), экспоненциально стремятся к нулю при х° ~> оо.
[Отсюда будет следовать справедливость аналогичного утверждения для тех
членов волновой функции (19.8), которые соответствуют закрытым каналам.]
19.2. Для трехчастичной модели, обсуждавшейся в § 1 и 2, напишите
(без доказательства) асимптотический вид волновой функции (ха, х6|р, 1 -f)
при стремящихся к бесконечности хд и х., если их разность ха — хь остается
фиксированной. [Ответ будет аналогичен (19.14), но он должен выделять
столкновения с перестройкой а + (be) -> (ab) + с]
19.3. Рассмотрите столкновение между двумя составными частицами А
и В (например, рассеяние ядра на ядре). Покажите, что полную волновую
функцию <£|р, 1 +) можно разложить по произведениям Ф (хА % (*в)» где
^<х(—а) и У<а(хв) ~~ собственные функции внутренних гамильтонианов
составных частиц Л и £. Покажите, что коэффициенты разложения r)aft(x) удо-

454 Гл. 19. Многоканальные стационарные волновые функции
влетворяют системе связанных одночастичных уравнений, по форме точно
совпадающей с (19.18) (заметьте, что здесь каждому каналу сопоставляется
пара индексов а, Р).
19.4. а) Покажите, что матрица потенциалов (19.19), которая входит в
уравнения для связанных каналов (19.18), эрмитова:
б) Для того случая, когда все взаимодействия инвариантны относительно
вращений и когда индексам а и а' соответствуют состояния мишени с
нулевым «спином» (т. е. с нулевым полным моментом количества движения),
покажите, что потенциал Vact/ (x) инвариантен относительно вращений
Ка' (x) = Vaa, (xR) [при любом R]
и что поэтому его можно записать в виде Kaa/ (г). (Убедитесь в том, что это
утверждение не выполняется, если индексам а и а' соответствуют состояния
с ненулевым спином.)
19.5. Рассмотрите уравнения для связанных каналов (19.18) в простом
случае, когда все взаимодействия инвариантны относительно вращений и
когда в уравнениях оставлены только состояния мишени с нулевым спином.
а) Покажите, что (в этом случае) волновые функции r)a(x) могут быть
разложены в ряд по парциальным волнам
t)a (х) = (2я)-''» JL £ (21+ 1) Щ (г) Pt (cos 8)
и что радиальные функции удовлетворяют связанным радиальным
уравнениям
"ST < <'> - ^Р1 < И - J] 2«Kaa< W ГЦ*, (г) - р*Х (г) = О,
а'
где р — начальный импульс в канале 1, а ра—соответствующий импульс в
канале a (p\ == р). Запишите указанное уравнение в матричной форме,
обозначая через "ф столбец, построенный из функций г|э£, и через Р —
диагональную матрицу, построенную из импульсов ра.
б) Используя асимптотическую формулу (19.17) для функции rja(x),
покажите, что радиальные волновые функции удовлетворяют соотношению
+£ (') ~7^+ Ъ (Pr) *«, + Pflal ht (Par) =
Ч[*г (?')*«.-(-04 *,>Д
где 5-матрица для парциальных волн $1аа, и парциальная амплитуда faaf
определены в гл. 17, § 4.
19.6. Обсудите форму матрицы потенциалов и уравнений для связанных
каналов, если включить каналы, в которых мишень имеет отличный от нуля
угловой момент.

Задачи
465
19.7. Установите существование обобщенного оптического потенциала
Уопт, который точно определяет волновые функции r)i(x) и т)2(х),
описывающие два низших канала системы, рассмотренной в гл 19, § 4. [Анализ будет
полностью аналогичен проведенному в гл. 19, § 4. Действительно,
гамильтониан Нот(Е) определяется той же самой формулой Л 9.28), если под Л
понимать проекционный оператор на подпространство 9>х © 9?2, определяемое
двумя интересующими нас каналами. Приняв такое определение, можно
установить аналог уравнения (19.25) и затем показать, что полученное таким
образом уравнение эквивалентно двум связанным уравнениям Шредингера для
функций r|i (х) и Ъ (х).]

ГЛАВА 20
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
И МНОГОКАНАЛЬНЫЕ РЕЗОНАНСЫ
В настоящей главе мы рассмотрим аналитические свойства
многоканальных амплитуд. В действительности нам удастся
только поверхностно коснуться этой обширной и важной темы.
Мы ограничимся обсуждением парциальных амплитуд как
функций энергии и рассмотрим двухчастичные процессы с участием
лишь бесспиновых частиц. Тем не менее на этом пути мы
сможем познакомиться с несколькими важными сторонами
многоканальной теории, используя только простейшие обобщения од-
ноканального формализма, развитого в гл. 12.
В § 1 мы качественно обсудим многоканальные
парциальные амплитуды и покажем, что они должны иметь
сингулярности типа точек ветвления при всех значениях энергии, равных
порогам каналов, т. е. при Е = W\y W2, .... В § 2 мы докажем
некоторые из высказанных в § 1 утверждений в рамках одной
простой многоканальной модели (а именно для N-канальной
системы, которая определяется уравнениями для N состояний,
рассмотренными в гл. 19, § 3). В § 3 мы установим ожидаемую
связь между связанными состояниями и полюсами парциальных
амплитуд.
Возможно, главная польза от формализма, развитого в
первых трех параграфах, состоит в том, что он служит основой для
обсуждения многоканальных резонансов в § 4 и 5. В § 4 мы
покажем, каким образом полюсы амплитуды на нефизических
листах могут приводить к резонансам, а в § 5 мы исследуем
(по аналогии с одноканальным анализом, проведенным в гл. 13,
§ 4) временной ход процесса рассеяния в окрестности очень
узкого резонанса.
§ 1. Аналитические свойства
Обсуждение многоканальных парциальных амплитуд мы
начнем с краткого обзора соответствующих одноканальных
результатов.
Одноканальный случай. Как читатель помнит, в гл. 12 было
выяснено, что для широкого класса потенциалов как 5-матрица

§ 1. Аналитические свойства
467
для парциальных волн Si(p)y так и амплитуда
в,(/>)-1
fi(p) = -
2ip
являются аналитическими функциями начального
(относительного) импульса р. Например, в случае потенциала Юкавы
(который можно рассматривать как типичный потенциал для
ядерной физики и для физики элементарных частиц) амплитуда
аналитична по переменной р всюду, за исключением
определенных полюсов и двух разрезов, один из которых простирается
Связанные /
состояния х.
X
х
р-плоскость
<
/- Физическая
i 1 область
Резонанса/
Связанные
состояния
/X
Е-плоскость
Физическая
s область
j Резонансы
\ / \
/ ч
X X
Га)
(6)
Фиг. 20.1. Области аналитичности одноканальнои парциальной амплитуды для
потенциала с конечным радиусом действия.
с —как функции от р; б —как функции от Е.
от точки i\i/2 вверх, а другой — от точки —/jx/2 вниз. Для
простоты в настоящей главе мы будем рассматривать более
ограниченный (и менее реалистический) класс потенциалов с
конечным радиусом действия, т. е. потенциалов, тождественно
равных нулю за пределами сферической области некоторого
конечного радиуса г — а. Для таких потенциалов амплитуда fi(p)
разрезов не имеет, и ее единственными сингулярностями
являются полюсы, В верхней полуплоскости эти полюсы
сосредоточены на мнимой оси и находятся во взаимно однозначном
соответствии со связанными состояниями, угловой момент
которых равен /. В нижней полуплоскости не существует такого
ограничения на расположение полюсов, и можно сказать только
одно: те полюсы, которые находятся вблизи положительной
вещественной полуоси, соответствуют резонансам. Описанная
ситуация резюмируется на фиг. 20.1, а.
Часто оказывается более удобным (особенно в
многоканальном рассеянии) представлять себе амплитуду как функцию
от энергии Е в системе центра масс, а не от импульса р =
= (2т£)1/2. Поскольку импульс р является аналитической
функцией от Е во всех точках, кроме Е = 0, и поскольку ампли-

468 Гл. $0. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
туда fi аналитична по /?, отсюда сразу следует, что амплитуда fL
аналитична по Е всюду, кроме Е = 0. Сингулярность при Е = 0
представляет собой точку ветвления, и это обстоятельство
просто отражает факт двузначности отображения р на Е. Как
вспомнит читатель, соответствие между плоскостями
переменных р и Е традиционно выбирается так, чтобы верхняя
полуплоскость {Imp>0} отображалась на один лист Е-плоскости
(на «физический лист»), имеющий разрез вдоль положительной
вещественной полуоси; нижняя полуплоскость {Im/?<;0}
отображается на расположенный ниже «нефизический лист».
Амплитуда аналитична на физическом листе во всех точках, кроме
полюсов, соответствующих связанным состояниям. (Конечно,
если ослабить ограничения, наложенные на потенциал, то будут
существовать дополнительные сингулярности, как, например,
левый разрез в случае потенциала Юкавы.) Полюсы,
соответствующие резонансам, расположены на нефизическом листе, как
показано на фиг. 20.1,6. В заключение напомним, что при
мнимых значениях р амплитуда // вещественна, и поэтому в
Е-плоскости функция fi (или S/) вещественна на отрицательной
вещественной полуоси (гл. 12,§3). При положительных
вещественных значениях Е матрица S/, конечно, унитарна: S/ = ехр(2/6/).
Многоканальный случай. Для многоканальной системы
ситуация гораздо сложнее. В качестве иллюстрации рассмотрим
простейший возможный случай: инвариантную относительно
вращений систему, все фрагменты которой имеют нулевой спин,
причем область изменения энергии такова, что открыты только
двухчастичные каналы. В этом случае существует
последовательность порогов W7! <: U^2 <;..., на каждом из которых
открывается новый канал. В каждом интервале {Wn < Е < U?n+1}
рассеяние с угловым моментом / описывается унитарной
п X ^-матрицей $1(Е).
Мы видели, что при одном канале соответствующий S-ма-
тричный элемент, рассматриваемый как функция энергии, имеет
точку ветвления при Е = 0, которая отвечает единственному
существующему в этой задаче порогу. Теперь мы покажем, что
в многоканальном случае по крайней мере некоторые из S-ма-
тричных элементов должны иметь сингулярности на каждом
пороге Wn. С этой целью рассмотрим условие унитарности,
начав с интервала самых низких энергий [Wx < Е < №2}> в
котором имеем
sn(£)4.(£) = l [W{<E<W2]. (20.1)
(Везде, где только можно, мы опускаем индекс I) В
следующем интервале
{W2 < Е < W3)

§ 1. Аналитические свойства.
469
5-матрица является унитарной 2 X 2-матрицей, и если
вычислить матричный элемент с индексами (1,1) от соотношения
S+S = 1, то получим
8„ (Efsn (Е) + 82| (Efs2l (Е) = 1 [W2 < E< W,}. (20.2)
Далее, если S-матричные элементы являются аналитическими
функциями, то каждое из написанных выше соотношений
является аналитическим тождеством (если только заменить Е
на Е* в множителях, несущих звездочку). Но если
предположить, что функция Sii(E) аналитична в окрестности точки W2,
то соотношение (20.1) может быть продолжено на интервал
{W2 < Е < ^зЬ где выполняется также и (20.2). Если же
выполняются оба эти соотношения, то, вычитая одно из другого,
мы сразу находим, что функция S21 (E) тождественно равна
нулю, — вывод в общем случае неверный. Единственный способ
избежать этого противоречия состоит в том, чтобы считать, что
функция $ц(£) должна иметь сингулярность в точке W2y так
что (20.1) не может быть продолжено в ту область, где
выполняется (20.2). В соответствии с этим функция Si^f)
должна быть сингулярной на пороге
Неочевидно, что подобные соображения применимы в точках
W3i W4 и т. д. На каждом пороге Wn размерность физической
S-матрицы увеличивается на единицу, и то же самое
происходит с количеством слагаемых в каждом матричном элементе,
взятом от условия унитарности. Если эти дополнительные
слагаемые должны быть отличными от нуля, то по крайней мере
некоторые из S-матричных элементов должны быть
сингулярными на пороге. В действительности, как мы увидим в § 2,
вообще каждый S-матричный элемент имеет сингулярность на
каждом пороге, причем эти сингулярности — точки ветвления.
Обычный способ обращения с этими сингулярностями состоит
в >гом, чтобы проводить единый разрез: от точки W\ через все
точки ветвления W2y ... до +оо, как показано на фиг. 20.2. По
Невидным причинам этот разрез часто называется унитарным
разрезом.
Поскольку S-матричные элементы имеют сингулярности на
каждом пороге, возникает естественный вопрос о том,
существует ли простое соотношение между значениями данного
S-матричного элемента при энергиях, больших и меньших
любого данного порога Wn. И действительно, мы увидим, что
физические S-матричные элементы слева от Wn могут быть
связаны с соответствующими элементами справа при помощи
аналитического продолжения вдоль пути, проходящего выше точки
Wn (фиг. 20.2). Таким образом, если начать с наинизшего
интервала

470 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
то здесь существует единственный физический S-матричный
элемент sn(E)> который аналитичен в этом интервале.
Следовательно, мы можем сдвигать точку Е вправо по направлению
к W2t оставаясь с той же самой аналитической функцией. Из-за
сингулярности в точке W2 мы не можем при аналитическом
продолжении пройти через точку W2\ однако мы увидим, что
если продолжить функцию вверх в комплексную плоскость и
обойти точку W2 сверху, то при возвращении на вещественную
ось в интервале {W2 < Е < W3} полученная в итоге функция
окажется не чем иным, как физическим 5-матричным
элементом Sw{E) в этом новом интервале.
^ V. Е-плоскость
Связанные / Фа%"^а* ^ Физическая
состояния / f °одасть \ / опасть v
~*С\ / . / ъ ъ\ I о—1
( Wi W2 W3 Щ,
Физический лист
Фиг. 20.2. Физический лист многоканальной S-матрицы. Физические значения
различных величин по разные стороны от любого порога связаны друг с
другом при помощи аналитического продолжения через область над порогом.
Раз мы находимся в интервале энергий {W2 < Е < W3}> мы
имеем три дополнительных элементаSi2, s2i, s22,которые вместе
с Sn составляют полную двухрядную физическую 5-матрицу.
Все эти четыре элемента — аналитические функции, и их можно
продолжить вплоть до точки Wst в которой дальнейшее
продолжение выполняется аналогично предыдущему: обходя эту точку
ветвления сверху, мы получаем соответствующие четыре
элемента физической 5-матрицы в интервале {W$<E <cWA].
В этом интервале добавляются еще пять матричных элементов
из полной трехрядной физической S-матрицы, и мы можем
теперь выполнить продолжение до точки W4 и т. д.
Мы увидим, что можно также начать с любого интервала
{Wn < Е < Wn+[}t которому соответствует /г-рядная физическая
5-матрица, и, выполняя в обратном порядке указанную выше
процедуру, продолжать все функции влево, переходя к
интервалу {Wn-i < п < Wn) над точкой Wn. Таким способом
получаем /г-рядную аналитическую матрицу, в которой, однако,
только (п — 1) -рядная главная подматрица является истинной
физической 5-матрицей. Это наводит на мысль о том, что при
наиболее общем подходе следовало бы начинать с области,
расположенной за наивысшим порогом WNt в которой все
каналы открыты и S-матрица имеет все свои N2 элементов. При

§ 1. Аналитические свойства
471
продолжении влево, если каждый порог обходится сверху, мы
получаем N X N-матрицу аналитических функций sa'a (Е),
обладающую тем свойством, что в каждом интервале {Wn < Е <
<iWn+\} ее главная п X «-подматрица является физической
унитарной 5-матрицей; все остальные N — п «нефизических»
строчек и столбцов, хотя и представляют собой вполне
определенные аналитические функции, не имеют прямого физического
смысла !).
Физический лист. Поскольку все физические значения 5-ма-
трицы связаны друг с другом при помощи аналитического
продолжения над пороговыми точками ветвления, можно
нарисовать разрез, проходящий через точки Wu W2i ..., так, что все
физические значения S-матрицы будут находиться на верхнем
берегу разреза (фиг. 20.2). Плоскость переменной £,
разрезанная таким образом, называется физическим листом. Мы
найдем, что вся /V X N-матрица S (Е) аналитична на всем
физическом листе, за исключением вещественной оси левее точки И7Ь
где она имеет полюсы при значениях энергии, соответствующих
связанным состояниям налетающей частицы с мишенью (в
случае потенциалов с конечным радиусом действия^-дообще же
будут существовать и другие сингулярности/наподобие левого
разреза в случае потенциала Юкавы). В /соответствии с тем
результатом, что одноканальная S-матрица вещественна ниже
порога, мы найдем, что многоканальная матрица S(E) является
эрмитовой при Е < W\. [Это общий результат. Если выполняется
инвариантность относительно обращения времени (что обычно
для задач рассеяния), то S(£) оказывается симметричной
матрицей и, следовательно, также и вещественной при Е < W\.]
Мы также установим, что можно продолжить матрицу S(£)
вниз через любой из физических интервалов {Wn < Е -< Wn+{}
на «нефизические листы». Может случиться так, что на этих
нефизических листах матрица S(£) имеет полюсы,
расположенные вблизи вещественной оси; в § 4 мы увидим, что такие
полюсы соответствуют резонансам.
В заключение заметим, что физический лист можно
охарактеризовать с помощью канальных импульсов2)
Ра = [2ma (E - Wa)]\ (20.3)
1) В релятивистских задачах имеется бесконечное множество каналов, и
наивысшего порога не существует. В этом случае имеем бесконечное
множество элементов sa,a (Е), причем все они (по-видимому) аналитические. На
практике, приходится игнорировать все эти элементы, за исключением
некоторого конечного их числа.
2) Для простоты мы продолжаем игнорировать все каналы с более чем
двумя частицами. Таким образом, в каждом канале — ровно один
(относительный) импульс.

472 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
В одноканальном случае физический лист характеризовался
тем, что импульс р находился в его верхней полуплоскости;
теперь мы можем видеть, что в многоканальной задаче
физический лист характеризуется тем, что все импульсы р\, ръ, ...
лежат в своих верхних полуплоскостях. При энергиях £, больших
наивысшего порога WN, все канальные импульсы будут
вещественными положительными. Если сдвинуться влево от точки
WN, пройдя сверху над этой точкой, то импульс pN становится
положительным мнимым. Вообще, если мы перемещаемся до
интервала {Wn < Е < Wn+i}y двигаясь справа налево и всегда
обходя сверху все пороги, то все импульсы рп+ь •••> Pn
становятся положительными мнимыми, тогда как импульсы ри ...
...,рп остаются положительными вещественными. Таким
образом, повсюду в физической области все канальнЬе импульсы
либо положительные вещественные (для открытых каналов),
либо положительные мнимые (для закрытых каналов). Вообще,
если выходить из физической области вверх на физический лист,
то все импульсы ра переходят в свои верхние полуплоскости
{Im ра > 0}. Если обойти слева вокруг точки Wu двигаясь
против часовой стрелки, и после этого перейти в область,
расположенную на нижнем берегу разреза справа от точки WN,
то все импульсы ра пересекают (также против часовой стрелки)
свои верхние полуплоскости и приходят на свои отрицательные
вещественные полуоси. Таким образом, на всем физическом
листе, имеющем разрез от Wx до +°°, все канальные импульсы
лежат в своих верхних полуплоскостях {Im pa > 0}. В
действительности мы увидим, что именно это свойство придает
физическому листу его особое значение.
§ 2. Доказательство аналитических свойств
Одноканальный случай. Прежде чем браться за
доказательство некоторых из свойств, обсуждавшихся в предыдущем
параграфе, напомним кратко, как доказывались в гл. 12
соответствующие свойства в одноканальном случае. Читатель должен
вспомнить, что при изучении парциальной амплитуды основную
роль играли различные радиальные волновые функции.
Нормированная радиальная функция (которая получалась при
помощи разложения стационарного состояния |р+) по
парциальным волнам) определялась как решение радиального уравнения
Шредингера, равное нулю в начале координат и имеющее
следующий асимптотический вид при г—►оо:
* (г) -7^* /V) + РМ+ (рг) = у [ft' (pr) - s£+ (pr)l (20.4)
где опущены несущественные сейчас индексы / и р. Для
изучения аналитических свойств удобнее было использовать так на-

§ 2. Доказательство аналитических свойств
473
зываемое регулярное решение ф{г)у определяемое требованием
Ф(г)-7-г0+1(рг).
При г—+оо это решение имеет следующий асимптотический вид:
*(г)-7^»т\.Ь-(Рг)Пр)-к+{рг)И-р)1 (20-5)
где через /(р) обозначена так называемая функция Иоста.
Сравнение (20.4) и (20.5) показывает, что
(т. е. что функции \|) и ф различаются только нормировкой,
причем их отношение равно функции Иоста) и что
—Ч&- <207>
Наконец, регулярное решение ф(г) удовлетворяет
интегральному уравнению вида
г
Ф 00 = /V) +\d/g (r, r') U (г') ф И, (20.8)
0
исследование которого приводит к важному выражению для
функции Иоста
оо
f (р) = 1+ j- \ dr h+ (pr)U(r) ф (г). (20.9)
о
В гл. 12, § 2 мы видели, что при любом потенциале,
удовлетворяющем нашим обычным предположениям (стр. 226),
интегральное уравнение (20.8) для функции ф(г) можно решить
с помощью итераций; это уравнение определяет ф(г) как целую
функцию переменной р (т. е. аналитическую при всех
значениях р). Последнее в свою очередь означает, что интеграл (20.9)
определяет /(/?) как аналитическую функцию переменной р
всюду в верхней полуплоскости {Im/?>0}. [Напомним, что в
верхней полуплоскости экспоненциальное убывание при г-+оо
функции /if компенсирует возрастание функции ф{г)\ в нижней
полуплоскости функция ft+ возрастает и интеграл будет, вообще
говоря, расходящимся.] При более жестких ограничениях на
потенциал функцию ?{р) можно продолжить в нижнюю
полуплоскость {Im p <С 0}. В частности, в настоящей главе мы
предполагаем, что потенциал U(r) тождественно равен нулю за
пределами сферы некоторого конечного радиуса а, и в этом случае
интеграл (20.9) сходится при всех значениях р и определяет

474 tA. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансЫ
/(р) как целую функцию переменной р. Это приводит к
аналитическим свойствам функций ей/, изложенным в начале § 1.
Многоканальная модель. Соответствующий анализ
аналитических свойств любой реальной многоканальной системы
оказывается крайне сложным и выходит далеко за рамки
настоящей книги1). Здесь мы рассмотрим только простую модельную
систему, которой отвечают уравнения для сильно связанных
каналов в приближении N состояний, обсуждавшиеся в гл. 19,
§ 3. Читатель, вероятно, помнит, что отправным пунктом там
служило разложение стационарного состояния] р, 1+}, которое
описывает частицу с импульсом р, налетающую в канале 1
на сложную мишень, по базису из собственных состояний
мишени:
(X, Хипш\ р, 1 +>= |>а(х) ^а(^миш).
а
Полное уравнение Шредингера превращается в бесконечную
систему связанных одночастичных уравнений для функций
т]а(х). Если теперь обрезать эту систему, то получается система
связанных уравнений в приближении N состояний:
V4(x)- E (/ш,(х)т,а,(х) + рХ(х) = 0 [а=1, .... N], (20.10)
а'—1
где величина Uaa' (х) равна произведению 2т на
соответствующий элемент Уаа'(х) матрицы потенциалов, определенной
формулой (19.19), и где через ра обозначен, как и прежде,
канальный импульс. Уравнения (20.10) вместе с граничными
условиями
^а(х)-^^>(2лГ,/,[ба1^Р- + /(РаХ, а«-р, 1)~-] (20.11)
составляют основу замкнутой (хотя и приближенной) схемы
расчета волновых функций и амплитуд.
Мы примем записанные в приближении N состояний
уравнения (20.10) и (20.11) в качестве исходного пункта для
обсуждения аналитических свойств. Соглашаясь с тем, что эти
уравнения дают только приближенное описание той многочастичной
системы, для которой они первоначально создавались, следует
тем не менее подчеркнуть, что они образуют самосогласованный
набор уравнений, описывающих весьма разумную модельную
систему, а именно систему, в которой падающая частица нале-
1) Относительно аналитических свойств многочастичиых амплитуд строго
доказано, в сущности, не так уже много результатов. Для трехчастичного
рассеяния некоторые данные содержатся в статье [56].

§ 2. Доказательство аналитических свойств
475
тает на мишень, имеющую ровно N состояний (причем все эти
состояния — связанные). В такой системе существует,
следовательно, ровно N каналов, в каждом из которых имеется ровно
две частицы. Огромные преимущества такой модели состоят
в том, что она допускает выполнение анализа, в точности
аналогичного описанному выше одноканальному анализу, и что
в рамках этой модели можно очень четко обсудить соответствие
между связанными состояниями и полюсами матрицы S (Е) *).
В рамках указанной теоретической модели каждое состояние
однозначно конкретизируется заданием набора из N волновых
функций т), (х), ..., T]v (x), где каждая функция v\a(x)
описывает ту часть движения, которая имеет отношение к каналу ее.
Естественно и удобно сгруппировать эти функции в столбец
Ч00 =
Г 1i (х)"
■Лаг (х) J
В этом случае каждое состояние системы задается одной
имеющей вид столбца функцией г\(х) и уравнения Шредингера
(20.10) можно записать в компактной матричной форме
Фг\ (х) - U (х) yj (х) + P-'ij (х) = 0,
где теперь Р — диагональная матрица, построенная из
канальных импульсов,
Р =
Г Pi
о
о
Pnj
[Рая*[2т(Е-\Г№].
и где U{x) представляет собой N X ^"матРиЦУ потенциалов,
построенную из элементов Uaa' = 2mVaa'- Вспомним (из
задачи 19.4), что матрица U(x) всегда эрмитова. [Если имеет место
инвариантность относительно обращения времени, то матрица
1) В указанной модели в качестве неупругих процессов могут выступать
только возбуждения. Это свойство присуще приближению сильно связанных
каналов, которое не очень хорошо приспособлено для обсуждения
столкновений с перестройкой. (В частности, это означает, что приведенные массы во
всех каналах одинаковы.) Можно было бы принять систему уравнений вида
(20.10) в качестве модели для описания (двухчастичных) столкновений с
перестройкой. (В этом случае существовали бы различные приведенные массы
в различных каналах.) Однако теоретические основы такой модели
представляются неясными, и в дальнейшем обсуждать ее здесь мы не будем.

476 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
U(\) оказывается вещественной, а также симметричной, но это
предположение нам здесь не понадобится.]
Мы все время предполагаем, что наша система инвариантна
относительно вращений и, кроме того, что все ее фрагменты
имеют нулевой спин. Если это так, то волновую функцию ц(х)
можно разложить по парциальным волнам, и радиальные
волновые функции г|У(/*) (в которых мы будем опускать индекс /)
удовлетворяют матричному радиальному уравнению
[lF - 1S^J1 -и(') + р2] + (') = °- (20-12)
До сих пор мы рассматривали тот случай, когда функция
г\(х) отвечает столкновению, в котором начальное состояние
принадлежит каналу 1. [Это обстоятельство выражалось
множителем баЬ стоящим перед падающей плоской волной в
формуле (20.11).] Однако в общем случае падающая волна может
принадлежать любому из каналов а = 1, ..., N, и поэтому
рассмотрению подлежат N различных решений tj, (x), ..., %(х),
где каждая функция ija(x) описывает столкновение,
начинающееся в канале а. Это означает, что для каждого значения
углового момента / существует N различных радиальных
функций ij5a(r), каждая из которых имеет N компонент %,а(г) с
асимптотикой (см. задачу 19.5):
^a'a (Г) ,,»„> /W) <Va + Pafaa^ (/V) =
= J [A" (Par) 6a-a - (£f sa>a?i+ (Pa>r)] , (20.13)
где
Sa'a = Sa'a + 2/ (pa'PaYk /aV (20.14)
[Мы временно предполагаем, что Е > WNt так что открыты все
каналы, все канальные импульсы вещественны, и поэтому все
функции hr (par) представляют собой либо падающие, либо
уходящие волны.]
Заключительным пунктом в обсуждении обозначений будет
объединение функций Фа/а(0 в единую Af X Af-матрицу Ч'(г).
Каждый из N столбцов этой матрицы является решением
радиального уравнения (20.12) [это означает, что сама матрица
4х (г) удовлетворяет указанному уравнению], причем a-й
столбец представляет собой то решение, для которого падающая
волна принадлежит каналу а. Асимптотические формулы
(20.13) можно теперь переписать в матричной форме
следующим образом:
Ч (О -f^> f{Pr) + h * (Pr) FP = -j {k~ (Pr) - h+ (Pr) p-'hSP4'},
(20.16)

§ 2. Доказательство аналитических свойств 477
где мы ввели диагональные матрицы
~!(р\г)
О
к* (Рг) шш
о
/ (Риг)!
о
ь*м\
и где матрицы F и S построены, как обычно, из элементов
fa'a И Sa'a> Причем
S=l+2iF''FP''. (20.16)
Регулярное решение и матрица Иоста. Как и в одноканаль-
ном случае удобно ввести иной набор из N «регулярных
решений», которые мы сгруппируем в матрицу Ф(г), по
определению удовлетворяющую условию
Ф 00-7*5*/(Яг).
т. е. a-й столбец матрицы Ф(г) является решением радиального
уравнения, ведущим себя при г—►О как ](раг) в канале а и
принимающим меньшие значения во всех других каналах. При
г-*оо любой столбец матрицы Ф(г) должен вести себя как
некоторая комбинация из падающих и уходящих волн во всех
N каналах. (Мы продолжаем считать Е > WN, так что все
каналы открыты.) Таким образом, можно записать асимптотику
[ср. ее с (20.5)]:
Ф(г)-
г>^{Г(Рл)ЗГ-/;+(Яг)<Г'},
(20.17)
где появляются некоторые квадратные матрицы У и #""',
которые будем называть матрицами Иоста. (Вскоре мы увидим, что
матрица fF' простым образом выражается через матрицу &~,
так что в действительности придется заботиться только об
одной матрице Иоста.)
Радиальное уравнение (20.12) представляет собой jV-компо-
нентное дифференциальное уравнение второго порядка, и
поэтому оно имеет 2N независимых решений, из которых только N
обращаются в нуль при г = 0. Отсюда следует, что любой из

478 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
столбцов матрицы Ч^г) (нормированных решений) можно
представить в виде некоторой комбинации N столбцов регулярного
решения Ф(г). В действительности сравнение асимптотик
(20.15) и (20.17) показывает, что указанная комбинация равна
просто
Ч?(г) = Ф(г)&-\
где $Г~Х — матрица, обратная У [ср. (20.6)]. Ясно, что
выполняется соотношение
S = pW~1P~v\ (20.18)
Как и в одноканальном случае, радиальное уравнение
вместе с граничными условиями эквивалентно матричному
интегральному уравнению
г
ф (Г) = j(Pr) + J dr' G (г, г') U (г') Ф (г'), (20.19)
о
где G(r,r')—диагональная матрица, построенная из функций
Грина gt,Pa(r> r')> определенных формулой (11.39). Если
каждый элемент матрицы потенциалов удовлетворяет нашим
обычным предположениям, то, как легко проверить, функцию
Ф(г) всегда можно найти с помощью итераций. Что касается
зависимости функции Ф(г) от энергии или от импульсов, то
имеет смысл отметить, что в самом интегральном уравнении
(20.19) (или в соответствующем радиальном уравнении) не
содержится требования о том, чтобы канальные импульсы были
связаны сохранением энергии
В соответствии с этим можно временно рассматривать
переменные ри • •> Pn в уравнении (20.19) как независимые
переменные; тогда легко видеть, что все элементы матрицы Ф(г)
являются целыми функциями по всем N переменным ри ...
..., pN. Далее, если /(pi, ..., pN)—некоторая аналитическая
функция от переменных Ри ••-, Pn и если положить ра =
= [2т(Е — Wa)]l/*, то полученная в результате функция от Е
f ([2m (E - W{)]4\ ...,[2m(E- WN)4i])
будет аналитической функцией от N аналитических функций
от £ и потому сама будет аналитической функцией от Е во всех
точках, кроме пороговых значений энергии Wai где
соответствующий канальный импульс ра имеет точку ветвления.
Отсюда немедленно следует, что регулярное решение Ф(г) яв-

§ 2. Доказательство аналитических свойств 479
ляется аналитической функцией от энергии Е во всех точках,
кроме N порогов l) Wu ••♦, WN.
Если исследовать интегральное уравнение (20.19) при
больших значениях г и сравнить результат с асимптотической
формулой (20.17) для матрицы Ф(г), то видно, что матрицу Иоста
можно записать следующим образом 2):
оо
^ = #>, р^) = Г(Р)=Ц-Р-' \йг^{Рг)и{г)Ф{г).
о
(20.20)
Для второй матрицы Иоста ЗГ' получается аналогичное
выражение, в котором функция /г+ заменена на/г~*. Вполне разумно
ожидать, что интеграл (20.20), подобно своему одноканальному
аналогу, даст нам возможность изучить аналитические
свойства матрицы Иоста £Г и, следовательно, матрицы рассеяния S.
К сожалению, анализ сходимости этого интеграла на его
верхнем пределе представляет собой, вообще говоря, очень трудную
задачу, даже когда все импульсы ра находятся в своих верхних
полуплоскостях3). Именно для того, чтобы избежать эту
трудность, мы и предполагаем, что все элементы матрицы
потенциалов U (г) тождественно равны нулю при значениях г,
превышающих некоторый конечный радиус а. В этом случае интеграл
в (20.20) вычисляется только до значения г = а. Видно, что он
сходится при произвольных значениях импульсов и определяет
матрицу Иоста, все элементы которой являются целыми
функциями от N переменных ри ..., Pn-
S-матрица. Мы видели, что (для потенциалов с конечным
радиусом действия) матрица Иоста &~(Р) является целой
функцией от импульсов ри ..., Pn* Нетрудно проверить [используя
1) Эти пороговые сингулярности матрицы Ф представляют собой
тривиальные точки ветвления, которые вообще можно было бы устранить при
помощи небольшого переопределения матрицы Ф. Однако этот факт не
представляет для нас особого интереса, потому что реально нас интересует
матрица рассеяния S, точки ветвления которой не столь тривиальны.
2) Мы временно рассматриваем матрицу $Г как функцию от N
импульсов, записываемую в виде &~(ри •■•» Pn). Сокращенная запись &"(Р) не
является вполне строгой, потому что через Р обозначается также матрица, в
которой импульсы pi, ..., pjv расположены на диагонали. На практике эта
полезная стенографическая запись вряд ли приведет к путанице.
3) Нетрудно видеть причину такого положения. Ввиду своего матричного
характера подынтегральное выражение содержит члены типа Л+ (раг) ^а'а" (г)»
сходимость которых при г->-оо зависит от мнимых частей двух различных
импульсов ра и р(1/. Ясно, что область сходимости любого данного элемента
матрицы 2Г будет иметь сложный вид и будет зависеть от того, какой элемент
рассматривается.

480 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
формулу (20.20) и ее аналог для матрицы #"', в котором
функция й+ заменена на /г], что вторая матрица Иоста У задается
соотношением
дг'(Р) = д~(—Р)у
т. е. что матрица @~'(Р) получается при аналитическом
продолжении матрицы &~(Р) по всем импульсам от значений ра на
значения — ра. Этот факт дает нам возможность переписать
асимптотическую формулу для матрицы Ф(г) в виде
Ф (г) -?5sr* т W" (рл) ^ (р) - й+ (Рг) ^ Н р& <20'21)
а выражение (20.18) для 5-матрицы в виде
S = PkT (— Р) Т (РГ1Р~Ч\ (20.22)
Вспомним теперь, что матрица, обратная для любой
N X Af-матрицы Л, задается формулой
у}-1 cof А
— det Л '
где через det А обозначен определитель матрицы А и где cof A —
это N X Af-матрица, построенная из алгебраических дополнений
элементов матрицы, транспонированной по отношению к
матрице А. Можно, следовательно, записать S в виде
Ь- det <Г(Р) ' {2{)'М)
Поскольку обе функции cof^F(P) и det#~(P), очевидно, анали-
тичны во всех тех точках, в которых аналитична матрица #~(Р),
заключаем, что все элементы матрицы S являются
аналитическими функциями от N переменных ри ••-, Pn всюду, кроме
тех точек, в которых det#~(P) = 0. Наконец, если вновь
использовать условия ра = [2т(£— И?а)],/а и рассматривать S
как функцию энергии Е, то найдем, что N X Af-матрица S (Е)
является аналитической функцией переменной Е при всех
значениях энергии Еу за исключением пороговых точек ветвления
Wu ..., WN и полюсов в тех точках, где det#~(P) = 0.
Матрица S(£), аналитические свойства которой мы
установили, представляет собой N X N-матрицу, совпадающую с
физической S-матрицей при значениях £, превышающих
наивысшую пороговую энергию WN. Теперь мы должны доказать,
что если продолжить матрицу S (Е) на значения энергии,
меньшие WNy то ее соответствующая главная подматрица будет
совпадать с физической S-матрицей. Это легко понять, если
внимательно исследовать асимптотику матрицы Чг:
V{r)-—*Uk- (Pr) ~ ft+ (Pr)P ir-P)? (Pf'l (20.24)

§ 2. Доказательство аналитических свойств 481
Когда Е > WNt все импульсы ра = [2m(Е — Wa)]4* оказываются
положительными вещественными, функции ^(раг)
представляют собой падающие и уходящие волны, а величина
&~ (—P)ST{P)~ действительно совпадает с N-рядной
физической S-матрицей (с точностью до тривиальных
множителей Р'/2).
Выполним теперь аналитическое продолжение влево в
плоскости энергии, переходя над порогами WNy WN-\, • • . к
интервалу {Wn < Е < Wn+\), как показано на фиг. 20.3. Как уже
обсуждалось в § 1, после выполнения указанного перехода все
импульсы Рп+и ..., pN становятся положительными мнимыми,
в то время как импульсы ри ..., Рп остаются вещественными.
^- О ^- «*-*^ -*-°
♦ :*=—•—Г^Г"_^ ^=—• •
Фиг. 20.3. Чтобы получить физическую S-матрицу при низких энергиях, ис-
х ;дим из области, расположенной справа от наивысшего порога WN, и
выполняем аналитическое продолжение влево, проходя над всеми порогами.
(Если бы нам пришлось обойти какой-нибудь порог Wa снизу,
то соответствующий импульс ра стал бы отрицательным
мнимым и результат был бы иным.) Поскольку импульсы рп+и •••
...9pN стали теперь положительными мнимыми, функции
h~(par) при а —/г+1, ..., N оказываются теперь
экспоненциально возрастающими при г—►оо, а соответствующие
функции h+(par) — экспоненциально убывающими. Если теперь
исследовать асимптотику (20.24) матрицы Ч'(г), то станет ясно,
что, в то время как первые п столбцов матрицы Ч?(г) остаются
при г—► оо все еще конечными, последние N—n столбцов
оказываются экспоненциально растущими и, следовательно,
физически неприемлемыми.
Именно такую ситуацию мы и должны были ожидать. В
интервале
{Wn < Е < Wn+{}
открыты только первые п каналов, и существуют только п
имеющих физический смысл решений, по одному на каждый
допустимый начальный канал. Этим решениям как раз
отвечают первые п столбцов матрицы Ч'(г). Если повнимательнее
всмотреться в эти первые п столбцов, то из (20.24) станет ясно,
что в каждом из них первые п элементов состоят из падающих
и уходящих волн, тогда как последние N — n элементов
экспоненциально убывают. Таким образом, именно первые п
элементов первых п столбцов матрицы 4я(г) определяют истинный
16 Зак, 396

482 Гл. 20. Аналитические свойства и Многоканальные резонансы
рассеянный поток в п открытых каналах. Согласно (20.24), эти
элементы имеют следующий асимптотический вид1):
+.'« (Г) -F+Z> { (б" (Раг) 60'а - h + (Рл'Г) [Т (- Р) 9- (РГЪа)
[а', а=1, .... ft].
Итак, элементы о-рядной физической 5-матрицы равны
т. е. n-рядная физическая S-матрица точно совпадает с /г-ряд-
ной главной подматрицей аналитической N X ^-матрицы
s (Е)=рч*з~ (- Р) $~ (Р)~] р'ч\
В заключение отметим, что легко доказать следующий
результат (см. задачу 20.1): поскольку хматрица U эрмитова,
матрица Иоста удовлетворяет важному тождеству
gr (P*f рдг (р, = дг (_ ру рдг (_ р)# (20.25)
В частности, при Е < W\ (все импульсы ра мнимые) отсюда
вытекает, что
S(£)f = S(£) [E<WX].
То есть, будучи продолженной на значения энергии, меньшие
наинизшего порога, матрица S (Е) оказывается эрмитовой.
§ 3. Связанные состояния
Установив, что аналитические свойства S-матрицы для
парциальных волн именно такие, как описано в § 1, мы можем
теперь обсудить соответствие между связанными состояниями и
полюсами матрицы S (Е) (все еще в рамках нашей N-каналь-
ной модели). В одноканальном случае мывидели, что
существование связанного состояния с энергией Е < 0 означает, что
аналитически продолженная S-матрица s (E) имеет полюс в
точке Е = Е на физическом листе. Чтобы понять это
утверждение, мы должны только вспомнить асимптотическую формулу
Ф(г)~7^^{[^(рг)/(р)-Н+(рг)/(-р)1 (20.26)
Решение ф(г) равно нулю в точке г = 0; в то же время
функции /г+ и ЬГ являются соответственно экспоненциально
убывающей и экспоненциально возрастающей функциями при г-*оо,
если значение импульса р равно положительному мнимому чис-
■) Такой вид имеют, конечно, все элементы матрицы ^(г). Суть дела в
том, что только при a, a' = 1, .... л функции hr оказываются необходимыми
здесь падающими и уходящими волнами.

§ 3. Связанные состояния
483
лу (соответствующему значению энергии Е < 0 на физическом
листе). Если существует связанное состояние при Е = £, то
решение, равное нулю в точке г = 0 (а именно решение ф),
должно быть экспоненциально убывающим при г—► оо, иначе
говоря, при энергии, отвечающей связанному состоянию,
коэффициент /(р) при экспоненциально возрастающем члене в
формуле (20.26) должен обращаться в нуль. Отсюда следует, что
функция s —/(—р)//(р) имеет полюс *)•
Анализ многоканального случая вполне аналогичен. Мы
ожидаем, что связанные состояния всей системы существуют
при энергиях Е, меньших наинизшего порога2), т. е. при Е<
< W\, и в соответствии с этим мы выполняем аналитическое
продолжение в указанную область энергий (где, разумеется,
все элементы матрицы S нефизичны). Рассмотрим теперь
асимптотическую формулу
Ф (г) -тт^ у W" (рг> Р(Р)~Ь' (Pr) P (- ЯЛ- (20.27)
Существование связанного состояния при Е < W\ означает, что
существует имеющее вид столбца решение радиального
уравнения (при соответствующем значении /), которое обращается
в нуль как при г = 0, так и при г—юо. Поскольку это решение
равно нулю при г — 0, его можно представить в виде некоторой
линейной комбинации столбцов матрицы Ф(г). Если
образовать эту особую комбинацию столбцов матрицы Ф(г) и затем
положить г—>оо, то в результате должен получиться нуль.
Согласно (20.27), это означает, что такая же комбинация
столбцов матрицы !F(P) должна быть равной нулю (т. е. должен
обращаться в нуль коэффициент перед функцией к~). Но отсюда
следует, что столбцы матрицы У(Р) линейно зависимы и,
следовательно, что det5r(P) = 0. Наконец, поскольку
Ь = detF(P) ' (20'28)
из сказанного следует, что все элементы матрицы S имеют
полюсы при энергии, отвечающей связанному состоянию3). По-
*) Напомним, что рассматриваются потенциалы, имеющие конечный
радиус действия, так что не возникает никаких проблем с аналитическим
продолжением числителя 4 (— р) до точки, соответствующей связанному
состоянию.
2) В конце параграфа мы обсудим возможность существования
«погруженных в континуум» связанных состояний при энергиях, превышающих W\.
3) Может случиться так, что некоторые из элементов матрицы, стоящей в
числителе выражения для S, случайно окажутся равными нулю при энергии,
отвечающей связанному состоянию (это никогда не происходит сразу со
всеми указанными элементами). В этом случае соответствующие элементы
матрицы S полюса не имеют.
16*

484 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
скольку всю эту аргументацию можно развить в обратном
порядке, мы делаем вывод, что существует взаимно однозначное
соответствие между связанными состояниями системы и
полюсами матрицы S на физическом листе. В частности,
поскольку всем связанным состояниям отвечают вещественные значения
энергии, положение полюсов на физическом листе ограничено
вещественной осью переменной Е.
Если связанное состояние с энергией Е и угловым
моментом / не вырождено [не считая, конечно, неизбежного (21 -+- 1)-
кратного вырождения], то о соответствующем полюсе можно
сказать несколько больше. Факт невырожденности связанного
состояния означает, что соответствующее решение уравнения
Шредингера является единственным, другими словами,
существует ровно одна комбинация столбцов матрицы Ф(г), которая
обращается в нуль при г —юо. Это значит, что_существует
единственная комбинация столбцов матрицы #~(Р), равная нулю;
иначе говоря, ранг матрицы $F(P) равен N — 1, т. е. ровно
Л/— 1 ее столбцов лине_ино независимы.
Зная, что ранг @"(Р) равен N — 1, мы можем теперь
исследовать поведение матрицы рассеяния S, задаваемой
выражением (20.28). Легко видеть, что, когда ранг матрицы Р'(Р)
равен N •— 1, все строки матрицы cof#"(P) оказываются
кратными какой-либо одной строке (т. е. ранг матрицы cof#~(P)
равен 1), и аналогичное утверждение будет, следовательно,
справедливым в отношении всего числителя1) выражения
для S. Почти как в одноканальном случае (см. задачу 12.3),
можно показать, что в точке, отвечающей невырожденному
связанному состоянию, нуль определителя det^F(P) всегда
простой. Это означает, что полюс матрицы S является простым
полюсом, и можно, следовательно, записать
S(£) = =- [Е вблизи £],
Е — Е
где А — матрица, ранг которой равен единице. Наконец,
напомним, что при Е < W\ матрица S (Е) эрмитова, и поэтому
аналогичное утверждение должно быть справедливым по
отношению к имеющей смысл вычета матрице А, Итак, мы заключаем,
что в точке, соответствующей энергии невырожденного
связанного состояния, матрица S (Е) имеет простой полюс, вычет в
котором представляет собой эрмитову матрицу А ранга 1.
1) Для любых двух матриц А к В ранг произведения АВ всегда меньше
или равен рангу А или В. В рассматриваемом случае ранг матрицы cof#"
равен единице, так что ранг всего числителя должен быть равным 1 или 0.
В последнем случае числитель был бы тождественным нулем, чего (как
довольно легко показать) быть не может.

§ 3 Связанные состояния
485
Легко установить общий вид матрицы А. То обстоятельство,
что ее ранг равен единице, означает, что все ее столбцы кратны
одному столбцу. Поэтому элементы матрицы А можно записать
в виде
а , = V ,6 .
а'а 'а а
(Очевидно, что выбор чисел Уа'> &а не однозначен.) Из факта
эрмитовости матрицы А вытекает соотношение
V ,6 = Y*6*/i
•о' а «а а'»
из которого ясно (см. задачу 20.2), что можно выбрать числа
Ya и ба так, чтобы
б = ± V*.
a — 'a'
Следовательно, окончательный вывод состоит в том, что в
окрестности точки, соответствующей невырожденному
связанному состоянию, аналитически продолженная 5-матрица имеет
простой полюс вида
ва'«№)=±-^. (20-29)
Вывод о том, что вычет функции sa,a (Е) имеет вид
произведения Ya/Ya> иногда называется факторизацией вычета.
Следует подчеркнуть, что полученный результат зависит от
предположения о том, что существует только одно состояние с
рассматриваемыми энергией и угловым моментом. Если
существуют несколько таких состояний, то радиальное уравнение
Шредингера имеет несколько независимых решений,
стремящихся к нулю при г->0 и оо. То есть существуют несколько
различных равных нулю комбинаций столбцов матрицы
У(Р)9 и, следовательно, ранг матрицы !Г (Р) меньше N — 1.
Поэтому аргументация, приводящая к (20.29), нарушается.
В действительности можно показать, что есл_и существуют г
независимых связанных состояний с энергией Е и угловым
моментом /, то матрица S (Е) все еще имеет простой полюс, но
вычет в этом полюсе представляет собой эрмитову матрицу
ранга г. Поскольку такую матрицу можно записать в виде
суммы г эрмитовых матриц ранга 1, то в рассматриваемом
случае величину S {Е) можно записать в виде суммы г
слагаемых, каждое из которых по форме совпадает с (20.29).
В заключение отметим, что до сих пор мы обсуждали
связанные состояния с энергией, меньшей наинизшего порога W\.
В действительности в многоканальных задачах возможно (даже

486 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
при вполне разумных потенциалах) образование «погруженных
в континуум» связанных состояний с энергией, превышающей
W{. Когда такое случается, S-матрица имеет полюс того же
самого вида (20.29) при соответствующем значении энергии,
например при Wn < Е < UPn+i. Однако ясно, что физическая,
отвечающая открытым каналам S-матрица, будучи унитарной, не
может иметь полюс. Действительно, легко показать, что все
множители уь •••> Уп равны нулю и что матрица вычетов равна
нулевой матрице во всех открытых каналах. На практике в
высшей степени невероятно, чтобы состояния такого типа
представляли собой точные связанные состояния. Однако вполне
возможно, что встретятся почти связанные состояния такого
типа. В этом случае существует полюс вблизи интервала
{Wn < Е < Wn+\} на нефизическом листе, и рассеяние имеет
резонанс. Связанные с этим вопросы мы обсудим в следующем
параграфе.
§ 4. Резонансы
Установив, что полюсы S-матрицы на физическом листе
соответствуют связанным состояниям, мы можем теперь перейти
к доказательству (как и в одноканальном случае) того, что
полюсы на нефизических листах могут соответствовать резонан-
сам. В гл. 13, § 1 мы видели, что в одноканальном случае
функция s (Е) может иметь полюс, расположенный в точке
Е = ER — it/2 ниже вещественной оси на нефизическом листе.
Если этот полюс находится достаточно близко к оси и если
поблизости нет никаких других сингулярностей, то, помня об
унитарности s(£), мы могли бы записать функцию s (E)
вблизи ER в наиболее общем виде следующим образом:
»1^ е E-ER + iT/29
где фоновый фазовый сдвиг бф0Н равен какому-то
вещественному числу. В том простом случае, когда бфОН = 0, указанный
полюс называется чистым брейт-вигнеровским полюсом, и для
соответствующей амплитуды находим
1 Г
2р £-£4,4-/172
[брейт-вигнеровская амплитуда]. (20.30;
Ясно, что в случае чистого брейт-вигнеровского резонанса
величина |/(£)| имеет форму пика, принимая максимальное
значение, равное l/р в точке ER и оставаясь малой при значениях

$ 4. Резонансы
Ш
Еу далеких от ER. В общем случае, когда бфОН Ф О, амплитуду
можно записать так:
/ (Е) = -^ [(8 - ^Фо.) + (^фо- _ 1)] в
е2/бфон Г е21бфон _ j
= 2^~" £ - ER + /Г/2 "I 2/р = /W(£) + /фон. (20.31)
где /рез совпадает с брейт-вигнеровской амплитудой (20.30)
с точностью до фазового множителя ехр(21бф0н)> в то время
как слагаемое /фОН описывает нерезонансное рассеяние,
которому соответствует фазовый сдвиг бфон-
Wn / И^1
• / щ
l
I
Фиг. 20.4. Соответствующий резонансу полюс на нефизическом листе, к
которому можно подойти между порогами Wn и Wn+{.
В гл. 13, § 3 и 4 мы видели, что поведение величин,
описывающих рассеяние вблизи резонанса, зависит от соотношения
между шириной падающего волнового пакета (Д£) и шириной
самого резонанса (П. Если Д£ <С Г, то сечения,
пропорциональные величине |/|2, можно измерить обычным образом; в
случае чистого брейт-вигнеровского резонанса в сечении
обнаруживается только пик, тогда как при бфОН Ф 0 может
возникнуть либо пик, либо провал, либо то и другое вместе, как это
обсуждалось в гл. 13, § 1. При очень узком резонансе, когда
Г <С Д£, рассеяние выглядит совершенно по-иному, что связано
с временным захватом падающей частицы с образованием почти
стабильного состояния, которое затем распадается со средним
временем жизни 1/Г.
Вернемся теперь к многоканальной S-матрице и
предположим, что она имеет полюс на .нефизическом листе, причем ее
значения в окрестности этого полюса определяются с помощью
аналитического продолжения вдоль пути, проходящего вниз
между точками Wn и Wn+i (фиг. 20.4). Как и в одноканальном
случае, не существует какого-либо общего принципа, который
гарантировал бы, что все такие полюсы должны быть
простыми; однако на практике такие полюсы обычно возникают как
полюсы, отвечающие «несостоявшимся» связанным состояниям.
Поскольку соответствующие связанным состояниям полюсы
всегда простые, следует ожидать, что и полюсы рассматриваемого
типа обычно будут простыми. Во всяком случае, мы будем

483 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
рассматривать только простой полюс. К тому же мы будем
предполагать, что он «невырожденный», иначе говоря, что ранг
соответствующей ему матрицы вычетов равен 1, каким он и
должен был бы быть, если бы указанный полюс соответствовал
невырожденному связанному состоянию. Наконец, мы будем
считать рассматриваемый полюс изолированным в том смысле,
что он должен быть достаточно удаленным от любых других
полюсов и от ближайших порогов.
Сначала предположим, что амплитуда ведет себя
аналогично брейт-вигнеровской амплитуде (20.30) 1)
f = ]—— ^ [Е вблизи ER]. (20.32)
aG 2{pu.p(l)l/' E-ER+iT/2 .Ri
По аналогии с одноканальным случаем можно ожидать, что
требование унитарности оператора S будет накладывать
ограничения на форму вычета аа,а\ да так оно и есть. Если
амплитуда fa,aзадается формулой (20.32), то
S = '-E-^+,T/2- (20-33)
где теперь через S будет обозначаться п-рядная S-матрица для
открытых каналов. Далее, при вещественных Е (в
рассматриваемом интервале) оператор S удовлетворяет условию S+S =
= 1. Подставляя сюда (20.33), находим после небольших
преобразований
i (Af -A) (E- ER) + AfA - U+/f)r = 0.
Унитарность оператора S требует, чтобы это соотношение
выполнялось при всех вещественных значениях Е (в окрестности
точки ER). Отсюда вытекает, во-первых, что (А —А) =0, и,
следовательно, что матрица А—эрмитова, и, во-вторых, что
Л2=ГА (20.34)
Ввиду эрмитовости матрицы А и предположения о том, что ее
ранг равен единице, из аргументации предыдущего параграфа
вытекает вид элементов этой матрицы:
а г = dh y ,v*.
а'а 'а''а'
Подставляя эту формулу в (20.34), видим, во-первых, что
возможен только положительный знак (ширина Г не может быть
1) Множители ра и ра, введены здесь только для удобства: их можно
было бы, конечно, объединить с аа,а, но лучше оставить в явном виде.

§ 4. Резонансы
489
отрицательной, иначе полюс был бы на физическом листе), и,
во-вторых, что
ElY.P=r (20.35)
а
(где сумма берется только по открытым каналам, потому что
обсуждается только S-матрица для открытых каналов). Таким
образом, в наиболее общем, совместимом с унитарностью виде
500 h
/ 2 3 4 5
Энергия нейтронов\эВ
Фиг. 20.5. Изолированный брейт-вигнеровский резонанс в рассеянии
медленных нейтронов на ядрах 123Те [57].
амплитуда в окрестности простого полюса, соответствующего
невырожденному брейт-вигнеровскому резонансу, выражается
следующей формулой:
f (Е) = [—^г - ^ , (20.36)
где величины уа удовлетворяют соотношению (20.35). По
причинам, которые вскоре будут выяснены, число
r« = lYj2
называется парциальной шириной резонанса для канала а.
Поэтому, перефразируя требование (20.35), можно сказать, что
сумма парциальных ширин должна быть равной полной
ширине резонанса: X Га = Г.
Как будет сейчас обсуждаться, брейт-вигнеровская формула
(20.36) не является наиболее общей возможной формулой для

490 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
резонанса. Однако, как и в одноканалыюм случае (и в
основном по тем же причинам), следует ожидать, что резонансы,
расположенные достаточно близко к наинизшему порогу, всегда
будут более или менее чистыми брейт-вигнеровскими резонан-
сами. Это хорошо подтверждается экспериментом, причем
наиболее хорошо известными примерами служат замечательные
резонансы в рассеянии низкоэнергетических нейтронов на ядрах.
Важное свойство брейт-вигнеровской формулы (20.36) состоит
в том, что она предсказывает подобные друг другу пики в
сечениях, описывающих переходы от каоюдого начального канала
а во все конечные каналы ос' (если только какая-нибудь из
величин Ya случайно не оказывается равной нулю). Хотя пики
будут разными по высоте (определяемой произведением
соответствующих парциальных ширин ГаТа), все они должны
наблюдаться при одной и той же энергии ER и иметь одинаковую
ширину Г. Это поразительное свойство отчетливо усматривается
из фиг. 20.5, на которой изображены резонансы в рассеянии
медленных нейтронов на ядрах 123Те; брейт-вигнеровские пики
наблюдаются при одной и той же энергии (2,3 эВ) и с одной и
той же шириной (0,11эВ) в двух процессах:
( п + ,23Те,
n+J»Te-{Y + laiTe-
Конечно, брейт-вигнеровские формулы (20.33) и (20.36) не
являются наиболее общими формулами, совместимыми с
унитарностью и с предположением о том, что в матрице S доми«
нирующую роль играет изолированный, простой,
«невырожденный» полюс. Общая формула, совместимая с последним
предположением, имеет, очевидно, следующий вид:
о_д iC
° D Е - ER + /Г/2 *
В этом случае мы можем использовать следствия унитарности
в два этапа. Сначала мы замечаем, что при удалении Е от ER
матрица S стремится к матрице В; таким образом, ввиду
унитарности S при всех Е отсюда следует, что матрица В должна
быть унитарной. Поэтому естественно заменить символ В на
S*0" и записать
Поскольку обе матрицы S и 8фон унитарны, таков же и
множитель в круглых скобках. Теперь можно применить
использовавшуюся ранее аргументацию, нисколько ее не изменяя, и
показать, что элементы матрицы А должны записываться в форме
Va =•*.-*: [где Z 16J2 = Г].

§ 4. Резонансы
т
Вычетом S в рассматриваемом полюсе служит матрица $фопЛ,
элементы которой можно, следовательно, представить в виде
V /6*.
где «вектор» {уа} равен просто S*0H{6a}. Итак, мы приходим к
следующей окончательной формуле для общего случая простого
полюса, соответствующего «невырожденному» резонансу:
Y ,6*
ea,a(£)-~An" * a a
Vet l E-
ER + *T/2
Если перейти к амплитудам, то отсюда получаем [ср. (20.31)]
(20.37)
F(E) = F*0H + Fpe3(E),
где F*0H — матрица амплитуд, соответствующая матрице S*0H, и
где резонансная часть выражается следующим образом:
f£(fi) —
Уа\
2(Pa'Pa)'A E-ER+iT/2
(20.38)
Числа уа и ба удовлетворяют условиям
{Ya} = S*0H{6a}
SlYaP=Z|6cxl2 = r.
Величина |ба|2 называется парциальной шириной для рождения
резонанса в канале а, тогда как величина |Ya'|2 называется
парциальной шириной для распада резонанса по каналу а'. Если
система инвариантна относительно обращения времени, то
матрица S(£) и, следовательно, ее матрица вычетов симметричны.
В этом случае можно выбрать фазовые множители величин уа
и ба так, чтобы выполнялось равенство Ya = S*; тогда
/Е'п (Е) = it ^~^—т [Т-инвариантность].
В частности, если имеем чистый брейт-вигнеровский резонанс и
если выполняется инвариантность относительно обращения
времени, то матрица вычетов будет и симметричной, и эрмитовой,
а потому и вещественной. В этом случае величины уа также
можно выбрать вещественными.
Если ширина резонанса велика по сравнению с шириной
падающего пакета (Д£ <Г), то, как и в однокапальном случае,
можно рассчитывать и наблюдать сечения обычным образом.

492 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
В частности, вклад любой парциальной волны в сечение
процесса (а'^-а) имеет вид
о',и(£) = 4Я(2/ + 1)|^а(£)р.
Чтобы рассмотреть вопрос о поведении этой величины как
функции энергии вблизи резонанса, следует просто
проанализировать ее поведение при осуществлении различных возможностей,
допускаемых формулами (20.37) и (20.38). Можно высказать
несколько общих утверждений. При энергиях £, значительно
(г)
(ф )
Энергий
Фиг. 20.6. Четыре возможных резонанса, каждый из которых соответствует
изолированному полюсу в точке ER — /Г/2.
Виерху показано поведение упругих амплитуд; внизу —соответствующие сечения*
меньших или значительно больших чем ER, амплитуда равна
константе f*0H. При возрастании Е в интервале порядка Г около
точки Ея каждый элемент /£"(£) описывает окружность в
комплексной ^-плоскости, двигаясь против часовой стрелки.
Поскольку каждая изображающая амплитуду точка должна
лежать внутри унитарной окружности, отсюда следует, что при
переходе энергии Е через значение ER каждая амплитуда
приходит в движение из некоторой фиксированной точки (внутри
унитарной окружности), быстро описывает полную окружность,
целиком лежащую внутри унитарной окружности, и
возвращается в исходную точку. На фиг. 20.6 показаны четыре возможных
кривых, описываемых упругой амплитудой flaa (умноженной
на ра). Под каждой кривой показано поведение
соответствующих упругого и полного сечений (а£пр и о1полн) для начального
канала а. [Полное сечение можно рассчитать, используя
оптическую теорему, которая при данном / гласит: о1 — 4я (21 +

§ 5. Распад многоканального резонанса
т
+ 1) Im/ Ip. Отметим, что неупругое сечение можно вычислить
как разность аПоли — сгупр.] Диаграмма а соответствует чистому
брейт-вигнеровскому резонансу, полностью упругому в канале а
(Га — Г; все другие парциальные ширины равны нулю).
Диаграмма б отвечает брейт-вигнеровскому резонансу с большой
неупругостью (Га составляет немного менее половины Г).
(Ярким примером резонанса такого типа служит нейтронный
резонанс на фиг. 20.5, когда неупругий пик в десять раз превышает
упругий.) Диаграммы виг соответствуют резонансам со
значительными неупругостью и фоном.
Следует помнить о том, что резонансная формула (20.37)
есть идеализация и что кривые точно такого вида редко
встречаются на практике. Удобный способ выражения этого факта —
говорить, что в действительности фоновая амплитуда F*0H не
совсем постоянна, а изменяется (медленно) с изменением
энергии Е. В результате концы резонансных кривых размазываются.
§ 5. Распад многоканального резонанса
В заключение обсудим влияние резонанса, узкого по
сравнению с падающим волновым пакетом (Г<Д£). Как и в одно-
канальном случае, нам понадобится исследовать поведение
истинного, зависящего от времени волнового пакета,
описывающего столкновение. Этот анализ столь близок к анализу одно-
канального случая (гл. 13, § 4), что можно ограничиться здесь
только самым кратким его наброском.
Нестационарное состояние нашей М-канальной системы
задается N-компонентной волновой функцией
*(х, 0 =
*i (х, t)
LiMx, 0 J
где каждая функция \|>а(х, t) описывает ту часть движения,
которая связана с каналом ос. Этот нестационарный волновой
пакет можно разложить по стационарным состояниям рассеяния,
что дает возможность установить поведение при больших г
рассматриваемого волнового пакета, зная поведение указанных
стационарных состояний. Получаем выражение вида
П)(х,0 = П5ин(х,/) + 1|)расс(х, t)9
где при всех значениях времени столбец фин состоит из свободно
движущегося пакета в начальном канале (пусть это будет
канал а) и из нулей во всех других каналах; столбец ^Расс до

494 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
столкновения состоит из нулей, а после столкновения содержит
обычные уходящие волны во всех открытых каналах.
Теперь предположим, что начальная энергия совпадает с
энергией ER острого изолированного резонанса, угловой момент
которого равен /. Для простоты будем считать, что этот
резонанс относится к чистому брейт-вигнеровскому типу (фона нет),
М | ^а'Уа
'а'а~ 2(рара),/2 E-ER + iT/2 '
и что все другие парциальные амплитуды пренебрежимо малы.
(Включить в рассмотрение фон и другие парциальные волны —
дело простое; однако, как и в однокаиальном случае, их учет
не затрагивает основных выводов.) Если принять все указанные
предположения, то не составляет труда записать выражение для
1|5расс(х, t). В частности, при больших г оказывается, что а'-я
компонента столбца я]?Расс удовлетворяет соотношению [ср. его с
формулой (13.14) для одпоканального случая]
I €Г (х, t) |^ольшие г - 2лтГа,Га | Y] (х) |21 *, (ER) ( X
-Г(<-г/вв/)
Х^^-е(/-^), (20.39)
где ра, — импульс в канале а! при резонансной энергии ERy
а оа, — ра, /гп — соответствующая скорость; Ф1 (Е) — волновая
функция падающего пакета в моментном базисе; как и прежде,
Га=1Уа12.
Из (20.39) видно, что в канале а! рассеянная волна имеет
сферический фронт, который удаляется от области
взаимодействия со скоростью va'> а ее зависимость от углов
соответствует угловому моменту /. Интенсивность этой волны
пропорциональна произведению ГаГа (где а—начальный канал); в
любой данной точке интенсивность убывает по закону e~Ttt
после того как волна достигла этой точки.
Чтобы лучше уяснить ту роль, которую играют парциальные
ширины, полезно рассчитать полную вероятность обнаружения
частицы, вылетающей в данном направлении в канале а'. Эта
величина получается путем интегрирования выражения (20.39)
по всем г. Из-за члена exp(IY/iv) при интегрировании
получается множитель Va'/Г, после чего va, сокращается с импульсом
ра,, стоящим в знаменателе, и мы получаем
w(rfC, a'<-ф, a) = {2яГа| ft{ER) f}{^\Y](p')\2dQ'}. (20.40)
Теперь удается интерпретировать процесс, описываемый
формулами (20.39) и (20.40). Выражение (20.39) описывает

§ 5. Распад многоканального резонанса
495
экспоненциальный распад почти стабильного состояния,
образованного при t = О, т. е. в момент исходного столкновения.
Вероятность (20.40) равна произведению двух сомножителей, один
из которых зависит только от начального пакета ф и канала а,
а другой — только от конечного направления движения и
канала а'. Отсюда следует, что первый сомножитель представляет
собой вероятность захвата падающей частицы с образованием
метастабильного состояния, а второй — вероятность его
последующего распада:
■wdQ/'а'} ==if IY* <р') I2 rfQT (20'41)
[Нормировка этих выражений фиксируется требованием, чтобы
полная вероятность распада уже образованного метастабильного
состояния была равной единице. Поскольку £ Га'/Г = * и
сШ|У|2=1, наша нормировка величины ^расп, а
следовательно, и №3ахв, очевидно, выбрана правильно.] В литературе по
ядерной физике, где почти стабильное резонансное состояние
называется составным или компаунд-ядром, независимость двух
вероятностей (20.41) часто интерпретируется следующим
образом: говорят, что до своего распада составное ядро успевает
«забыть», как оно образовалось.
Две вероятности (20.41) ясно показывают, какие две роли
играют парциальные ширины. Ширина Га входит в вероятность
захвата в произведении
Г«| *,(£*)Р.
Поскольку величина \<f>i(ER)\2 равна вероятности, отнесенной
к единичному интервалу энергии, того, что падающий пакет
будет иметь правильные значения энергии и углового момента,
естественно рассматривать Га как энергетическую ширину щели,
через которую система переходит из канала а в резонансное
состояние. Тогда произведение Га | <j>i {ER) |2 представляет собой
вероятность того, что энергия падающего пакета будет
заключена в интервале значений, допускающих образование
метастабильного состояния.
Роль парциальной ширины Га' в распаде можно изложить
так. Экспоненциальный распадный множитель e~vt говорит о
том, что полная скорость распада соответствующего состояния
как раз равна Г. Из (20.41) ясно, что ширина IV — не что
иное как скорость распада по соответствующему конкретному
каналу ос'. Следовательно, результат £ Га' =Г выражает
просто тот очевидный факт, что полная скорость распада равна

496 Гл. 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы
сумме скоростей распада по всем возможным различным
каналам 1).
В заключение отметим, что, несомненно, существуют более
общие типы резонансного поведения и другие теоретические
подходы к рассмотренному кругу явлений. Что касается
первого пункта, мы рассмотрели амплитуду, для которой в некотором
интервале энергий определяющую роль играет изолированный
простой полюс с матрицей вычетов ранга 1 («невырожденный»
резонанс), причем этому полюсу отвечает состояние с
единственным значением углового момента /. Кроме того, большая
часть обсуждения ограничивалась тем случаем, когда полюс
относился к чистому брейт-вигнеровскому типу (фон
отсутствовал) и когда все другие парциальные волны были
пренебрежимо малыми. Несомненно, можно проанализировать и более
общие ситуации. Как уже упоминалось, легко учесть влияние фона
и других парциальных волн. «Вырожденный» полюс, в котором
матрица вычетов имеет ранг г>1, можно рассматривать как
сумму г невырожденных полюсов. Аналогично можно
рассмотреть кратный полюс, а равно и несколько близко
расположенных полюсов. (Если полюсов много, то может понадобиться
какой-либо статистический метод суммирования.) Однако следует
также упомянуть о том, что 5-матрица вполне может
обнаружить быстро меняющееся поведение резонансного типа,
слишком сложное для анализа в рамках представления о
доминирующей роли некоторого числа полюсов в одной парциальной
амплитуде. В частности, могут существовать эффекты,
связанные с влиянием нескольких различных угловых моментов
одновременно.
Наиболее отличающиеся подходы к явлению резонанса
(модель Вигнера — Вайскопфа, «формальная» теория резонансов
и т. д.) 2) исходят из представления о том, что резонанс есть
почти связанное состояние. Простейший из таких подходов —
модель Вигнера — Вайскопфа, которая специально
предназначена для выяснения следствий, вытекающих из существования
почти связанного состояния, погруженного в континуум. В этой
модели предполагается существование гамильтониана #°, имею-
1) Если рассматриваемый резонанс не относится к чистому
брейт-вигнеровскому типу и если не выполняется инвариантность относительно
обращения времени, то парциальные ширины | 6а |2 и | уа, |2 для рождения и
распада резонанса могут быть различными. В этом случае из двух только что
рассмотренных интерпретаций первая применима к | ба |2, а вторая — к | уа, |2#
2) Подробное обсуждение модели Вигнера — Вайскопфа можно найти в
недавней статье Дотана и Хорна [58]. «Формальная» теория резонансов
изложена в книге [3], раздел 16.5. Описание различных других подходов можно
найти почти в любом учебнике по ядерной физике, см., например [59], гл. 8
И 9.

Задачи
497
щего непрерывный спектр собственных состояний плюс одно
дискретное состояние, энергия которого лежит в области
непрерывного спектра, и возмущения V> которое связывает это
дискретное состояние с континуумом. Более или менее прямой
расчет показывает следующее: если при t = О система находится
в невозмущенном дискретном состоянии, то затем возмущение
вынуждает ее уходить из этого состояния по экспоненциальному
при t—+oo закону; кроме того, обнаруживается, что S-матрица
имеет простой полюс, который расположен в ожидаемой точке.
Должно быть ясно, что такие модели могут пролить свет на
вопрос о динамическом источнике некоторых резонансов, а также
что эти модели обладают меньшей общностью, чем описанный
выше подход, который зависит только от предполагаемых
свойств аналитичности S-матрицы вблизи вещественной оси и
совершенно не зависит от конкретной динамики, лежащей в
основе изучаемых явлений.
Задачи
20.1. Используйте факт эрмитовости матрицы потенциалов U(г) для
доказательства утверждения о том, что аналитически продолженная 5-матрица
из § 2 эрмитова при энергиях, меньших наинизшего порога. (С помощью
радиальных уравнений для матриц Фр (г) и Фр* (г)+ докажите, что W [Фр*,
Фр] = 0, где вронскиан двух матриц равен
""•«■--(£)-(■£)*
Используя асимптотический вид матрицы Ф, получите тождество (20.25) для
матриц Иоста и гем самым докажите, что 8^ = 8 при Е < Wu т. е. при
чисто мнимой матрице Р.)
20.2. а) Покажите, что если А — матрица ранга 1, то ее элементы
можно представить в виде ац = \id].
б) Пусть указанная матрица А эрмитова. Покажите, что в этом случае
числа у»» 6j можно выбрать так, чтобы 6; = ± уг
в) Пусть, кроме того, матрица А удовлетворяет соотношению А2 = ТА,
где Г > 0. Покажите, что в соотношении, доказанном в пункте «б»,
возможен только знак плюс.
г) Пусть матрица А еще и симметрична. Покажите, что в этом случае
можно выбрать б» = у*-

ГЛАВА 21
ДВА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ВОПРОСА
В ТЕОРИИ МНОГОКАНАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ
В настоящей главе мы изучим еще два аспекта
многоканальной теории рассеяния: борновское приближение в методе
искаженных волн и теорию взаимодействия в конечном состоянии.
Эти две темы выбраны более или менее произвольно. Если
бегло просмотреть литературу, то обнаружатся многочисленные
другие вопросы, которые почти па тех же основаниях можно
было бы включить в рассмотрение 1). Что касается столь
многих исключенных тем, то можно сказать только одно: каждая
книга должна где-то кончаться. Относительно вопросов,
выбранных для рассмотрения, будет достаточно сказать следующее:
оба они не только черезвычайио широко используются при
конкретных расчетах, но и оказали необычайно большое влияние
на формирование того подхода, который используется физиками
при анализе проблем многоканального рассеяния.
§ 1. Борновское приближение в методе
искаженных волн
В гл. 14, § 3 мы обсуждали борновское приближение в
методе искаженных волн для одноканального рассеяния. Было
найдено, что если потенциал V можно разбить на два слагаемых
V = Vl + Vlu
одно из которых, например Уц, мало по сравнению с другим, то
Г-матрицу для рассеяния на потенциале V можно приближенно
записать так:
/(p,4-.p)«/I(p,<-p) + (p,-ilVrnlP+i>.
Здесь t\ (р' <- р) — точная Г-матрица для рассеяния на одном
потенциале V\. Второе слагаемое представляет собой матричный
элемент потенциала 1/ц, взятый по «искаженным волнам», т. е.
по состояниям рассеяния, отвечающим потенциалу W, он
интерпретируется как амплитуда (в первом порядке) рассеяния на
потенциале Vn в присутствии потенциала V\.
1) Например, в оглавлениях книг [26, 2 и 3] можно найти множество
вопросов, в высшей степени достойных обсуждения.

§ 1. Метод искаженных волн
499
Почти все приложения борновского приближения в методе
искаженных волн относятся к многоканальным задачам, среди
которых мы должны различать процессы двух типов:
столкновения с перестройкой и без перестройки.
Столкновения без перестройки. Если в интересующих нас
начальном и конечном каналах а и а' частицы сгруппированы
одинаково (т. е. если мы интересуемся только упругим
рассеянием и возбуждением частиц), то канальные потенциалы Va и
Va совпадают друг с другом. В этом случае многоканальное
борновское приближение искаженных волн можно вывести
точно так же, как в одноканальном случае. Предположим, что
потенциал Va можно разбить на сумму
ya = l/? + V?i,
где рассеяние на одном потенциале V? описано точно (или в
каком-либо хорошем приближении), а влияние потенциала Vu
мало. Повторяя аргументацию гл. 14, § 3, мы получаем
борновское приближение искаженных волн (для столкновений без
перестройки) :
/(/, а*-р,а)ъ^(р\ a <-pf a) + (p\a—l\Vau\ pt a +,), (21.1)
где все обозначения были определены раньше.
Интересное свойство многоканального борновского
приближения искаженных волн (21.1) состоит в том, что часто
оказывается возможным и удобным так разбить потенциал Va на два
слагаемых, чтобы первый член h был точно равен нулю.
Например, рассмотрим возбуждение
а + (Ьс)-»а + (Ьс)\
Где с — бесконечно тяжелый фиксированный кор. В качестве
V? мы могли бы выбрать взаимодействие частицы а с кором с:
V4=Vac,
тогда потенциал Vn соответствовал бы взаимодействию Уаь
частиц а и Ь. Далее, если частица а взаимодействует только с
кором с, то она не может возбудить bc-мишень, откуда следует,
что при указанном выборе V? матричный элемент tj точно
равен нулю (см. задачу 21.1). Соотношение (21.1) сводится при
этом к следующему:
t(p'9a'+-p, a)~(i,a-l\V*l\pta+l). (21.2)
С другой стороны, в качестве V? можно выбрать просто куло-
иовское взаимодействие частиц а а с. В этом случае результат

500
Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
(21.2) продолжает выполняться, а искаженные волны
представляют собой не что иное, как волновые функции кулоновского
рассеяния, которые известны точно. В таких обстоятельствах
использование приближения искаженных волн оказывается
особенно полезным !).
Столкновения с перестройкой. В случае столкновений с
перестройкой вывод борновского приближения искаженных волн
оказывается несколько сложнее. Ввиду различной группировки
частиц в начальном и конечном каналах а и а', канальные
потенциалы Va и Va отличаются друг от друга. Чтобы прийти
к приближению искаженных волн, мы должны сначала выбрать
способ разбиения потенциалов Va и Va на суммы
Va = Vai+Vu
и
va' = vY + vfi.
Предположим, что (как это обычно и бывает) указанные
разбиения можно выполнить так, чтобы одни только потенциалы
с индексом 1 не могли приводить к перестройке частиц; в этом
случае мы поступим следующим образом:
Интересующая нас точная амплитуда имеет вид
/(//, а'+-р9а) = (р, a\Va' |_p, a +).
Как и в одноканальном случае, выразим бра-вектор (//, а' | через
вектор (р\ а'—г:
t (/, а <-р, а) = (/, а —i | Уа' | р, а +} —
-</. *-i\V?(r'(E + iO)Va'\p9a+). (21.3)
Далее, в гл. 19, § 2 мы видели, что состояние \_р, а +) можно
записать с помощью гриновского оператора канала а':
If, a+> = GaVa'ip,a+> + |o\
где вектор \о) ортогонален ко всем векторам из
подпространства канала а'. Подставляя это выражение в последнее слагае-
х) В наших простых рассуждениях существенно использовалось
предположение о том, что кор с бесконечно тяжелый. В противном случае
потенциал Vac может приводить к возбуждению и матричный элемент h Ф 0.
Однако, по-прежнему можно получить результат, аналогичный (21.2), если в
качестве У\ выбрать некоторое усредненное взаимодействие между частицей а
и центром масс частиц бис.

§ /. Метод искаженных волн
501
мое в (21.3), находим
/ (/, а <-р, а) = (/, а —г \ Va'\p, а +) —
- (/, а'-! | V? \р, а +> - </, а -, | К?' | о).
Поскольку потенциал V? был выбран так, чтобы он не
приводил к перестройке частиц, последний член равен нулю;
объединяя два первых члена, приходим к точному результату
t(p\ а'-р, а) = (/, а'-, |У?,'| р, а+>. (21.4)
Наконец, аппроксимируя полное состояние \р, а+} вектором
I р, а+Л, мы приходим к борновскому приближению
искаженных волн для столкновений с перестройкой
t (р, а <-р, а)«<р', а - | V«[ | р, a + ,). (21.5)
Мы получили так называемую запись приближения искаженных
волн через потенциал «после рассеяния», так как в
окончательный результат входит в явном виде потенциал конечного
канала ее'. Существует, конечно, и соответствующая запись с
потенциалом «до рассеяния», куда входит потенциал начального
канала а.
Чтобы проиллюстрировать использование приближения
искаженных волн для описания столкновений с перестройкой, мы
рассмотрим пример, сыгравший важную роль в истории ядерной
физики, а именно дейтронную реакцию срыва
d + А->р + А'
[в ядерной физике указанная реакция обычно записывается в
виде A(dyp)A']y где d — дейтрон, А — любое ядро,
содержащее А нуклонов, к А' — ядро, полученное добавлением
нейтрона к ядру А. Эта реакция схематически изображена на фиг. 21.1.
Ядро А рассматривается как бесконечно тяжелая
бесструктурная частица, и в этом случае потенциал начального
канала 1 равен просто
vl = vpA + vnA,
тогда как потенциал конечного канала 2 равен
v2=vPA + vnp.
Чтобы построить искомое приближение искаженных волн,
разобьем потенциал V2 так, чтобы его часть VpA играла роль
потенциала Vi (который должен учитываться «точно»), а вторая
часть, VnP) — роль потенциала Vu (который должен
учитываться в первом порядке). При таком выборе потенциал V\ не мо-

502
Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
жет вызывать переходы за пределы канала 2, как это и требует*
ся. Потенциал Vх разобьем так, чтобы в качестве Vj выступало
некоторое подходящее среднее взаимодействие между ядром А
и центром масс дейтрона, а в качестве Vn — остальная часть
потенциала. (Потенциал V\ может представлять собой
некоторый подходящий оптический потенциал, описывающий
поглощение.) Если выбрать потенциалы указанным образом, то
искаженные волны, появляющиеся в приближении искаженных волн,
будут иметь особенно простую форму. Конечное состояние
описывается просто произведением волновой функции <£л, (х\
d&
Ло столкновения:
канал /
т
После столкновения:
канал 2
Фиг. 21.1. Дейтронная реакция срыва.
связанного состояния нейтрона в ядре А' на волновую функцию
рассеяния протона в поле ядра А (которую мы обозначим через
Мхп)Х2-(хр).
Начальная искаженная волна представляет собой произведение
волновой функции дейтрона на волновую функцию,
описывающую состояние рассеяния центра масс дейтрона в поле ядра А
(ее мы обозначим через х|)
^Дх„-хр)Х1+(^^).
Таким образом, в приближении искаженных волн (21.5)
искомая амплитуда равна
t(p', 2^р, 1)= \ d\ \ с1\фА,(хпу%-(хрУ X
X Vnp(х„ - хр) ^(х„ - x,)Xf (^4^). (21.6)
Чтобы упростить полученный интеграл, обычно переходят к
так называемому приближению нулевого радиуса действия, т. е.
радиус действия потенциала Vnp считают много меньшим раз-

§ L Метод искаженных волн
503
меров дейтрона. Далее, вне области действия потенциала
волновая функция дейтрона имеет вид е~аг/г, где
а2 = 2ш [энергия связи дейтрона].
Таким образом, в пределе пренебрежимо малого радиуса
действия потенциала нормированная волновая функция дейтрона
всюду равна
Используя уравнение Шредингера, можно написать
VnP (х) фа (х) = -^ (V2 + a2) <j>d (х) = - ^1 б3 (х).
В этом приближении (21.6) принимает вид
/(р', 2-р, l) = const5d3^(xrx2-(xrx,+ (x). (21.7)
Чтобы оценить последний оставшийся интеграл, нужно знать
функции xj" и Х+> описывающие рассеяние протона и дейтрона
в поле ядра А. Грубое представление о поведении амплитуды
можно получить, используя следующее весьма радикальное
приближение: вне ядра А будем считать указанные волновые
функции рассеяния неискаженными плоскими волнами, а внутри
ядра будем считать частицы полностью поглощенными:
(2пГъе'*'-*9 г>ау
0, г < а;
%2 (*'
-{
„.♦м-{<*■>-*«-• '>"•
I 0, г < а,
где а — радиус ядра А. В этом приближении
f(p', 2<-р, 1)« const jj (13хфА,(х)*е-**'*, (21.8)
где, как обычно, q = р' — р.
Вспомним теперь, что ^>л,(х) — это волновая функция
связанного состояния нейтрона, захваченного ядром А'. Считая,
что она отвечает состоянию с определенным орбитальным
моментом /, мы можем записать ее в виде
фА,(*) = У(г)У?Ы).
[Отметим, что Г-матрицу фактически следовало бы записывать
как ^(р', т, 2<-р, 1), указывая тем самым значение
квантового числа m для захваченного нейтрона.] Производя разложе-

504
Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
ние плоской волны в (21.8), можно сразу выполнить
интегрирование по углам:
оо
*(р', т, 2+-р, 1) « const Y? (q) \ drr2y (r) j[ (qr),
а
где ji(qr)—обычная сферическая функция Бесселя. Наконец,
поскольку функция у (г) экспоненциально убывает в области
г> а, основной вклад в радиальный интеграл дают значения г,
Фиг. 21.2. Угловое распределение вылетающих протонов в реакции
d + 40Са -> р + 41Са* при энергии 7 МэВ.
Экспериментальные данные взяты из статьи [60].
близкие к а, и отсюда мы приходим к окончательной записи
искомого приближения 1)
t(p', т, 2<-р, 1)« constYT(q)h(qa). (21.9)
В типичном эксперименте с дейтронной реакцией срыва зна-.
чение квантового числа т для захваченного нейтрона не изме^
ряется. Поэтому наблюдаемое сечение получается путем взятие
квадрата матричного элемента (21.9) и суммирования по тщ
При этом мы избавляемся от множителя Y? и приходим к ре-|
зультату |
-^g-(p', 2<-р, 1) ъ const ^Ыча)\\ (21.10)|
[) Поскольку интеграл вычисляется по области за пределами радиуса
ядра, следует ожидать, что приближение будет наилучшим, если взять а
несколько превышающим радиус ядра.

§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии 505
где
q = I Р' - Р I = (р'2 + Р2~ 2р'р cos e),/2.
Поразительное свойство полученного результата состоит в том,
что угловое распределение рассеянных протонов полностью
определяется множителем [ji(qa)]2, где / — орбитальный момент
захваченного нейтрона. Несмотря на все сделанные
приближения, этот результат часто оказывается удивительно надежным;
в частности, он нередко правильно предсказывает положение
первого максимума в угловом распределении вылетающих
протонов. Это означает, что угловой момент / захваченного
нейтрона можно измерить, сравнивая наблюдаемое угловое
распределение с функциями [ji(qa)]2. Такой подход иллюстрируется на
фиг. 21.2, где показано угловое распределение протонов в
реакции
rf + 40Ca-*p + 4,Ca*
при энергии 7 МэВ; здесь 41Са* —первое возбужденное
состояние ядра 41Са с квантовыми числами %—. Можно видеть, что
положение первого максимума недвусмысленно говорит о том,
что правильное значение углового момента захваченного
нейтрона равно /= I1). Не приходится и говорить, что можно
получить гораздо лучшее согласие с экспериментальными
данными, если использовать первоначальную формулу (21.6) для
приближения искаженных волн [или же ее вариант (21.7),
отвечающий приближению нулевого радиуса] и более
реалистические искаженные волны, рассчитанные на ЭВМ с
использованием подходящих феноменологических оптических потенциалов.
§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии
Теория взаимодействия в конечном состоянии, как и
приближение искаженных волн, применяется к тем реакциям, в
которых действующие между частицами силы можно разбить на
две части: V = Vj-{- Уц. При этом обычно ограничиваются
рассмотрением ситуаций (наподобие примера, приведенного в
конце предыдущего параграфа), в которых представляющая инте-
1) Нельзя не признать, что здесь скрыто небольшое мошенничество. В
некоторых разумных пределах радиус а (который здесь взят равным 7,6 ферми)
является параметром, с помощью которого кривую можно привести в
согласие с первым максимумом. Вместе с тем попытка привести в согласие с
экспериментом кривую [Ы^я)]2 — наилучшего следующего кандидата на эту
роль — привела бы к неоправданному увеличению на 60% радиуса а. Кроме
того, можно достичь согласия с сечениями для других конечных состояний,
используя соответствующие им значения / и тот же самый радиус а. Согласно
предыдущему примечанию, значение а = 7,6 ферми уже довольно для
радиуса ядра. *

505 Гл. 21. Теория многоканального рассеянии
рес реакция не могла бы произойти, если бы взаимодействие Уц
отсутствовало. В этом случае разумно представлять себе, что
рассматриваемая реакция вызывается взаимодействием Уц,
которое поэтому называется первичным взаимодействием. В то же
время потенциал Vj (по причинам, которые вскоре выяснятся,
он называется взаимодействием в конечном состоянии)
рассматривается как взаимодействие, несколько изменяющее реакцию,
вызываемую потенциалом Уц. Цель теории взаимодействия в
конечном состоянии состоит именно в том, чтобы предсказывать
эти изменения и, используя сравнение с экспериментом,
получать информацию относительно «взаимодействия в конечном
состоянии» Vi.
Общие условия применимости теории взаимодействия в ко*
нечном состоянии во многом совпадают с соответствующими
условиями для приближения искаженных волн, и, как мы увидим,
исходным пунктом этой теории обычно служит именно
приближение искаженных волн (21.2). Следует, однако, подчеркнуть,
что многие результаты теории взаимодействия в конечном
состоянии можно вывести в рамках более общего подхода,
основанного на дисперсионных соотношениях. Это означает, что
указанные результаты имеют более широкую область
применимости, чем нерелятивистская теория потенциального рассеяния,
с помощью которой они будут установлены. В частности, эти
результаты удалось распространить на случай изучения
релятивистских взаимодействий элементарных частиц1).
Классический пример теории взаимодействия в конечном
состоянии возникает при изучении фотоэффекта (который для
простоты мы обсудим на примере атома водорода)
У + Н->е + р. (21.11)
Здесь первичным взаимодействием, в силу которого реакция
оказывается возможной, служит взаимодействие электрона с
электромагнитным полем излучения. Именно это взаимодей*
ствие приводит к уничтожению падающего фотона и к
выбиванию связанного электрона. Однако мы должны также принять
во внимание кулоновское притяжение между е и р в конечном,
канале. Естественно рассматривать всю реакцию как процессу
который сначала вызывается первичным взаимодействием, а
затем модифицируется за счет кулоновского притяжения между
двумя конечными частицами. Тогда естественно говорить o6i
этом кулоновском притяжении как о взаимодействии в
конечном состоянии.
1) Различные аспекты теории взаимодействия в конечном состоянии из*
ложены в монографин Гиллеспая [61J.

§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии
507
Следует подчеркнуть, что теоретические методы, развитые
для изучения взаимодействия в конечном состоянии, на тех же
основаниях могут применяться к процессам, содержащим
«взаимодействие в начальном состоянии», таким, как обратный
фотоэффект
е + р->у + Н. (21.12)
Здесь опять первичным взаимодействием является, очевидно,
взаимодействие электрона с полем излучения, тогда как куло-
новское притяжение между е и /?, которое в данном случае
представляет собой взаимодействие в начальном состоянии,
опять приводит к некоторым изменениям. На практике
обнаруживается, что плодотворные приложения теория обычно
находит при изучении взаимодействия в конечном состоянии, откуда
и проистекает ее название. Однако, прежде чем обсуждать
причину такого положения дел, полезно уделить еще некоторое
внимание «процессу с взаимодействием в начальном состоянии»
(21.12). Представляется очевидным, * что в этой реакции куло-
новское притяжение будет подтягивать электрон к протону и
тем самым увеличивать вероятность его захвата. Таким
образом, хотя одно кулоновское притяжение не может быть
причиной указанного процесса, следует ожидать, что оно будет
увеличивать вероятность его протекания. По поводу этого результата
интересно отметить, что, согласно инвариантности
относительно обращения времени, он должен также выполняться и
для обычного фотоэффекта (21.11); тем самым мы пришли к
совершенно неожиданному выводу о том, что притяжение
между конечными частицами е и р в действительности
увеличивает вероятность их диссоциации под действием фотона.
В только что обсуждавшихся примерах роль взаимодействия
в конечном (или в начальном) состоянии играли кулоиовские
силы, которые уже хорошо изучены и которые, несомненно,
можно исследовать более прямыми методами. В большинстве
реальных случаев теория взаимодействия в конечном состоянии
используется для изучения тех взаимодействий, которые нельзя
исследовать непосредственно. Например, процесс типа
n~ + d-+y + n + n (21.13)
можно использовать для изучения /m-сил; процесс же типа
n + N->n + 7t + N (21.14)
был использован для изучения взаимодействия между двумя
пионами. Эти примеры поясняют, почему обычно имеют дело
именно с взаимодействием в конечном состоянии. Если бы
можно было создавать прямые пп- или яя-столкновения, то,
разумеется, никто не стал бы для изучения этих взаимодействий

508 Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
обращаться к таким окольным процессам, как (21.13) и (21Л4)§
Однако указанные прямые столкновения пока не осуществим!
экспериментально; а поскольку для эксперимента недоступна
начальные состояния с двумя падающими нейтронами или пио|
нами, ясно, что единственным средством остается обращение
процессам, в которых интересующие нас две частицы появляют|
ся и, следовательно, взаимодействуют в конечном состоянии.
Примеры (21.13) и (21.14) иллюстрируют, каким образов!
метод изучения взаимодействия в конечном состоянии може|
быть использован на практике. Оказывается, что в процесс!
л- + d—>Y + я + п> яя-силы приводят к характерному искажЫ
нию энергетического спектра фотона; поэтому, измеряя это?;
энергетический спектр, мы получаем возможность определит^
некоторые параметры я/г-рассеяния. Аналогично из реакций
к +N—►я + я + N можно установить некоторые свойства
ял-взаимодействия, изучая распределения двух конечных пио-*
нов по энергии и углу рассеяния.
Процесс tl-\-N —►я + л + ZV хорошо иллюстрирует также и
некоторые трудности рассматриваемого метода. Во-первых,
часто неясно, каким образом провести четкое разделение
первичного взаимодействия и взаимодействия в конечном состоянии.
Гораздо хуже то, что в добавление к интересующему нас
взаимодействию между двумя пионами будет, очевидно,
существовать взаимодействие в конечном состоянии между каждым
пионом и нуклоном. Ясно, что возникнет задача выделения влияний
каждого из этих различных взаимодействий. Мы вернемся к
этому в конце настоящего параграфа.
Чтобы начать количественное рассмотрение взаимодействий
в конечном состоянии, вернемся к простому фотоэффекту
у + Н->е + р,
считая протон фиксированным в начале координат. Первичным
взаимодействием, вызывающим указанный процесс, является
взаимодействие электрона с полем излучения1)
где Р — оператор импульса электрона, а А(х) —оператор
квантованного электромагнитного поля излучения. Взаимодействие
!) Проводя эти рассуждения, мы предполагаем, что читатель знаком с
элементарной теорией квантованного электромагнитного поля (см., например,
[5] гл. 8 или [4] гл. XXI). Отметим, что электрон трактуется нерелятивистски
и что мы пренебрегаем взаимодействием, пропорциональным Л2, которое не
дает вклада в фотоэффект.

§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии 509
в конечном состоянии — это кулоновское притяжение между
е и р:
У, = -^.
Начальное состояние содержит фотон с импульсом к и электрон,
образующий связанное состояние с фиксированным^ротоном.
Конечное состояние фотонов не содержит, зато в немхимеется
свободный электрон с импульсом р. В низшем порядке по
первичному взаимодействию искомый Г-матричный элемент в
приближении искаженных волн равен !) Г^^
t(p, e + p<-k, y + H) = -^(pAe + p)-\P-t(x)\k,(v + H)),
где |р, (е-\-р) — ) — соответствующая искаженная волна, а
именно «минус»-состояние рассеяния электрона в поле
протона. Начальное состояние можно записать в виде тензорного
произведения
Ik, (у + Я» = |к>®|*,>,
где |k) —однофотонное состояние (которое должно также
зависеть от поляризационного индекса с) и \ф\)—состояние
связанного электрона в мишени.
Если разложить поле А (х) по операторам рождения и
уничтожения фотонов, то вклад в указанный матричный элемент
даст только один оператор уничтожения с соответствующими
импульсом и поляризацией, при этом мы получаем
<(р«-к) = - * ,./, (Р-И-Ре'1"*!^) (21.15)
2ят (со)/3
(где мы опустили некоторые канальные индексы, без которых
можно обойтись). Следует отметить, что все влияние
взаимодействия в конечном состоянии содержится в бра-векторе (р— |
конечного состояния; если бы нам понадобилось заменить
состояние рассеяния (р — | плоской волной (р|, то мы получили
бы матричный элемент того же самого процесса в отсутствие
какого бы то ни было взаимодействия в конечном состоянии.
Не составляет труда оценить матричный элемент (21.15)
(см. [5], § 58) и исследовать влияние взаимодействия в
конечном состоянии. Однако получаемые таким образом результаты
1) Мы предполагаем, что наши обычные формулы, описывающие
рассеяние, применимы для взаимодействий с участием квантованных полей. Хотя
это предположение справедливо в рассматриваемом расчете, выполняемом в
первом порядке, хорошо известно, что в общем случае в этом вопросе
существуют трудности. Они возникают из-за того, что частицы продолжают
взаимодействовать с полем, даже будучи вдали друг от друга; это делает
необходимым использовать весь аппарат перенормировок.

510
Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
несколько отклоняются от результатов, типичных для задач
такого рода. Это связано с двумя причинами. Во-первых, спин
фотона равен единице, и это обстоятельство отражается
векторным характером оператора Р в (21.15) и означает, что при
низких энергиях определяющую роль в матричном элементе
играют р-волны, а не s-волны, как в случае скалярного
взаимодействия. Во-вторых, в данном примере взаимодействием в
конечном состоянии являются дальнодеиствующие кулоновские
силы. Для того чтобы сделать рассматриваемый пример не
столь исключительным, мы оставим расчет реального
фотоэффекта и вместо этого обсудим гипотетический «скалярный
фотоэффект», в котором скалярная частица с импульсом к
вырывает «электрон», испытывающий короткодействующее
сферически симметричное взаимодействие в конечном состоянии V(r).
В этом случае соответствующий матричный элемент будет иметь
следующую общую форму:
'(р<-к) = <р-|Яь|й>, (21.16)
где Вк — некоторый оператор, который может зависеть от
импульса к падающего «фотона» [ср. эту формулу с (21.15)].
Переходя к волновым функциям, можно записать матричный
элемент (21.16) в виде
f(p^k)=$dMx|p->*flk(x)*,(x) (21.17)
(где Sic предполагается функцией только от х). Теперь сделаем
важное предположение о том, что значительный вклад в этот
интеграл дает только ближайшая окрестность начала
координат. Это может происходить либо из-за того, что первичное
взаимодействие £к (х) сосредоточено в малой области, либо
из-за сильной локализации волновой функции связанного
состояния <£i (х). В том и другом случае мы можем
аппроксимировать искаженную волну (х |р —) ее значением вблизи х = 0.
Поскольку все парциальные волны, за исключением s-волны,
обращаются в нуль в точке х = 0, отсюда получаем
<х 1р~>«(2яГ72^ *о. Р(г)\ (21.18)
где г|)о,р(г)—s-волновая радиальная волновая функция
«электрона» в поле потенциала V(r), описывающего взаимодействие
в конечном состоянии. Далее, нормированная радиальная
функция г|)0, v равна регулярному решению <£о, р, деленному на
функцию Иоста /(р) [см. (11.50)]; в то же время при малых г
регулярное решение равно приблизительно sin prt и поэтому

§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии
51!
Подставляя полученное выражение в (21.18), находим
/ i ч 1 /г> ч-з/. sin or
<х|р->«7Т?г(2я) "~^~.
Следовательно, искомый матричный элемеьгъравен
t(p^k)tt^(2nrv'\dh^Bl(x)j>l(x). (21.19)
Как уже отмечалось, влияние взаимодействия в конечном
состоянии полностью содержится в/искаженной волне (х|р—).
Если бы взаимодействие в конечном состоянии полностью
отсутствовало, то вместо (х | р—) мы имели бы волновую функцию
(х'р), которую вблизи начала координат можно было бы
аппроксимировать выражением (2xt)~3/2(sin pr)/pr. Это привело бы
к тому же самому ответу, что и (21.19), только отсутствовал бы
знаменатель /(р); иначе говоря, истинную амплитуду (21.19),
учитывающую взаимодействие в конечном состоянии, можно
записать в виде
/(Р<-к)= Пр) ,
(21.20)
где через tQ(\)<-k) обозначена Г-матрица для того же самого
процесса при полном отсутствии взаимодействия в конечном
состоянии и где /(р) есть s-волновая функция Иоста !),
соответствующая истинному взаимодействию в конечном состоянии
V(r). Другими словами, единственным результатом
взаимодействия в конечном состоянии оказывается увеличение амплитуды,
описываемое множителем 1//(р). С физической точки зрения
этот «фактор усиления» отвечает увеличению (или уменьшению)
амплитуды вероятности нахождения частицы в той области, где
может проявляться первичное взаимодействие2).
1) Если s-волновая амплитуда случайно оказывается равной нулю, то
можно было бы повторить все рассуждения, используя первое неисчезающее
значение /. В этом случае соотношение (21.20) оставалось бы справедливым,
если под^(р) понимать функцию Иоста для углового момента /.
2) Ватсон в своей основополагающей статье [62] о взаимодействии в
конечном состоянии получил несколько отличный результат, а именно / (р «-
<- k) « const f (p) t0 (p <- к), где f (р) есть s-волновая амплитуда для
взаимодействия в конечном состоянии. При малых р оба результата согласуются друг с
другом, потому что /=[^(—р) —/ {p)]/2ip^(p), откуда, если оставить только
члены порядка pt получается / = const/У (/?). Однако в общем случае эти два
результата отличаются друг от друга, и, по-видимому, следует предпочесть
(21.20). В частности, последняя, несомненно, более приемлема при больших pt
когда /->■ 1, и поэтому / ->■ t0y как и следовало ожидать.

512
Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
Используя результат (21.20), можно доказать высказанное
ранее предсказание о том, что соответствующее притяжению
взаимодействие в конечном состоянии будет увеличивать
вероятность реакции, в то время как отталкивательное
взаимодействие будет ее уменьшать. Суть дела в том, что можно
показать следующее: для любого чистого притяжения (dV/дг ^ 0
при всех г) соответствующая функция Иоста по модулю меньше
единицы, т. е. |/(р)|^1; тогда как для любого чистого
отталкивания (dV/dr^O всюду) имеем |/(р)|^1. Мы
оставляем доказательство этого утверждения в качестве упражнения
для интересующегося читателя; частный случай прямоугольной
потенциальной ямы см. в задаче 21.2.
Если можно рассчитать амплитуду t0(p<— к), то измерение
сечения позволяет определить величину |/(р)|. Конечно,
точный расчет амплитуды f0(p«—к) обычно невозможен, и
приходится прибегать к помощи дальнейших приближений.
Например, если измеряется сечение вблизи порога (при малых /?),
то можно заменить волновую функцию (sin pr)/pr единицей.
В этом случае зависимость от энергии в интеграле (21.19)
остается только в соответствующем первичному взаимодействию
члене Вк(х). Однако вблизи порога импульс k является
медленно меняющейся функцией /?, и мы можем просто заменить k
его пороговым значением £0, откуда получаем
,, , v const
Следовательно, энергетическая зависимость амплитуды вблизи
порога полностью определяется стоящей в знаменателе
функцией Иоста /(р). Для сечения [пропорционального величине
(plk) \t\2] отсюда получаем
-^-~ const . vwp)[2 \p вблизи порога]. (21.21)
Поскольку функция Иоста аналитична по переменной р,
влияние усиления \/\/(р)\2 в (21.21) окажется наиболее
впечатляющим в том случае, когда функция /(р) обращается
в нуль где-то вблизи порога, как это случается, например,
когда обе конечные частицы — нуклоны. В гл. 13, § 2 мы видели,
что если 5-волновая функция Иоста обращается в нуль вблизи
порога, то она должна обращаться в нуль как на
положительной, так и на отрицательной мнимой полуоси. (В первом
случае существует слабо связанное состояние наподобие дейтрона,
во втором — «виртуальное» состояние типа наблюдающегося в
синглетной нуклон-нуклонной системе.) В том и другом случае
функцию Иоста можно записать (см. задачу 13.1) в виде
/(/>)« const (1 4' top) [при малых р],

§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии
513
где через а обозначена s-волновая длина рассеяния, которая
в данной задаче велика. Теперь сечение (21.21) становится
равным
~ const р
dti ""°" 1 + а2Р2 '
Полученное выражение содержит острый пик при р=1/|а|,
что позволяет измерить с точностью до знака длину рассеяния
для взаимодействия в конечном состоянии V(r).
В большинстве приложений теории взаимодействия в
конечном состоянии приходится иметь дело с конечными состояниями,
содержащими более чем две частицы. Хотя для этого случая
полной теории не существует, бывают определенные ситуации,
для которых возможно прямое обобщение изложенного выше
подхода. Из таких ситуаций наиболее важны следующие:
1) Ситуации, в которых две интересующие нас конечные
частицы обладают большими импульсами относительно
всех других частиц, но малым импульсом относительно
другДруга (что позволяет им долго взаимодействовать
/г с другом).
2) Ситуации, в которых энергия относительно движения
?вух интересующих нас конечных частиц равна энергии
езонанса в системе этих двух частиц.
В том и другом случае разумно ожидать, что
доминирующим взаимодействием в конечном состоянии, влияющим на
рассеяние двух интересующих нас частиц, будет взаимодействие
этих частиц друг с другом. Тогда предыдущее двухчастичное
рассмотрение обобщается следующим образом.
Пусть, например, наблюдается реакция с образованием N
конечных частиц
a + b->c + d + e+ ... +f,
в которой нас интересуют частицы cud. Если по какой бы то
ни было причине единственным взаимодействием в конечном
состоянии, затрагивающим частицы cud, является их
потенциал VCd, то соответствующая конечному состоянию
искаженная волна будет представляться в виде следующего
произведения:
(х | £--> = (xcd ! pcd —> exp (ipcd • xcd) X
X (Функция от остальных N — 2 переменных),
где (Xcd^Prd—)—волновая функция, отвечающая состоянию
рассеяния для относительного движения частиц с и d под
действием потенциала VCd- Почти точное повторение предыдущих

514
Гл. 21. Теория многоканального рассеяния
рассуждений показывает, что
*(Р<-Ра, Рь)
ПРса)
X (Функция, не зависящая от pcd). (21.22)
Здесь /(ры)—функция Иоста для доминирующего углового
момента / в cd-рассеянии. (При малых энергиях относительного
движения частиц end эта функция будет s-волновой; вблизи
cd-резонанса / будет угловым моментом резонанса.)
Очевидно, что результат (21.22), когда он выполняется, дает
возможность измерить некоторые параметры cd-рассеяния.
Возможно, наиболее интересное приложение этот результат
находит тогда, когда энергия относительного движения частиц end
(или «энергия подсистемы cd») близка к cd-резонансу. В этом
200
полное
сечение
' 1
(1
1у
А К++р-+
\г»7Г++р+КЧ~7Г-
\ Фазовый
—V / о$ьем
г .— Lb^i^ . -1 .
Энергия системы (Ж+р), ГэВ
^> 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
Энергия подсистемш (я**р), ГэВ
Фиг. 21.3. a — полное сечение взаимодействия я+ + р как функция полной
энергии в системе центра масс; б — сечение процесса К+ + р -> я+ + Р +
+ /(+ + я~ как функция энергии подсистемы (я+р) при фиксированном
значении импульса падающих частиц, равном 2,3 ГэВ/с.
случае функция Иоста в знаменателе формулы (21.22)
обращается в нуль в точке, расположенной чуть ниже вещественной
оси, и приближенно записывается в виде
/ (Pcd) « const X [Ecd — ER + i^y
Таким образом, как функция энергии cd-подсистемы Ecd,
сечение процесса
a + b->c + d + e+ ... +f
должно обнаруживать пик, положение и ширина которого
характеризуют cd-резонанс. В действительности это важное
свойство резонансов оказывается справедливым в гораздо более
общем случае, чем это следует из нашего приближенного
вывода. К сожалению, дальнейшее изучение этого вопроса увело

Задачи
515
бы нас далеко за рамки настоящей книги1). Поэтому мы
ограничимся замечанием о том, что указанное свойство, несомненно,
хорошо установлено экспериментально. Например, хорошо
известный резонанс N* (1236), наблюдаемый в яУУ-рассеянии,
отчетливо проявляется в процессе
если сечение этого процесса изобразить как функцию энергии
конечной я+р-подсистемы, как это показано на фиг. 21.3.
(Пунктирная кривая соответствует фазовому объему, рассчитанному
согласно описанию в задаче 17.6; она отвечала бы наилучшему
приближенному описанию процесса, если бы не было резонанса.
Экспериментальные данные взяты из статьи [63].)
Это свойство резонансов подсистемы — проявляться при
изучении всей системы в целом — часто используется в
действительности для отождествления тех резонансов, которые нельзя
изучать непосредственно. Например, хорошо известный р-резо-
нанс в л;л-рассеянии, который никогда непосредственно не
наблюдался (потому что до сих пор не осуществлен
эксперимент по яя-рассеянию), является тем не менее твердо
установленным на основании факта его появления в процессах типа
я -+- N-+2n -+- N, рассматриваемых как функции энергии яя-под-
системы.
Задачи
21.1. Докажите (очевидный результат), что если частица а падает на
связанное состояние (^-г-в^котором частица с — бесконечно тяжелая, и если а
взаимодействует только с\ то вероятность возбуждения а + (be) ->■ a -f (be)*
равна нулю. Почему это не\ так, когда частица с имеет конечную массу?
21.2. Рассчитайте s-волновую функцию Иоста для прямоугольной
потенциальной ямы глубиной V0 и покажите, что |/(р)|^1 при У0^0
соответственно.
') Если представлять себе резонанс как почти связанное состояние, то
легко понять указанное свойство физически. Если бы резонанс был истинно
стабильным состоянием с энергией Er, to наблюдалось бы некоторое
количество событий (скажем, п) типа а + b -> (cd) + е + ... -f /, где ECd, энергия
относительного движения частиц end, была бы точно равна Er. Вдобавок
могло бы наблюдаться п' событий с конечным состоянием с + d + ... + f>
в которых энергия относительного движения частиц с и d была бы
распределена более или менее гладко. Но фактически состояние (cd) нестабильно, и
поэтому оно в конце концов распадается. Поэтому первым п событиям
отвечают конечные состояния с + d + ... + f, в которых энергия Еса
регистрируется в интервале порядка Г вблизи значения Er. В соответствии с этим
сечение рассматриваемого процесса как функция от ECd должно обнаружив
вать пик вблизи ECd = Er.

ГЛАВА 22
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
До сих пор мы ограничивались рассмотрением, столкнов^
ний, в которых все участвующие частицы отличались друг от
друга. Поскольку большинство представляющих интерес
экспериментов этому условию не удовлетворяет — в столкновениях
электрона с атомами участвуют несколько тождественных
электронов, в нуклон-нуклонных столкновениях участвуют несколько
тождественных нуклонов и т. д., — нам давно пора обсудить,
как видоизменить развитую теорию рассеяния, чтобы она стала
применимой к тождественным частицам.
Существуют несколько путей для построения теории
рассеяния тождественных частиц. Вероятно, наиболее
удовлетворительный из них состоит в использовании формализма вторичного
квантования, в котором требования симметрии, возникающие
в случае тождественных частиц, включены с самого начала [64J.
Однако этот подход требует развития нового сложного
аппарата, и мы последуем более прозаическому подходу,
основанному непосредственно на формализме, уже развитом для
отличающихся частиц. Грубо говоря, наш подход будет состоять
в следующем. Сначала мы будем обращаться с тождественными
частицами так, как если бы они были различными — для этого
случая у нас уже есть необходимая теория рассеяния. Затем
мы обнаружим, что истинные состояния рассеяния, должным
образом симметризовапные для тождественных частиц, могут
быть получены из соответствующих состояний для различимых
частиц при помощи подходящих проекционных операторов
симметризации. Это в свою очередь будет означать, что амплитуды
рассеяния для тождественных частиц (отмечаемые буквой со
шляпкой f) могут быть выражены в виде сумм или разностей
некоторых соответствующих амплитуд рассеяния для
различающихся частиц. Таким образом, отсюда следует, что всю
расчетную технику, развитую для различающихся частиц, можно
немедленно применить к задаче рассеяния тождественных частиц.
Нашим результатам можно придать весьма убедительную
форму. Например, мы найдем, что амплитуда упругого
рассеяния электрЬна на атоме водорода записывается в форме
?(Р/<-Р) = /пр«ЛР/^-Р)-/о6м(Р'^Р)- (22.1)

§ 1. Формализм
517
(Для простоты мы опускаем спиновые и канальные индексы.)
Здесь «прямая» амплитуда /прям(р'^-р) представляет собой
амплитуду упругого рассеяния падающего электрона в
состояние с конечным импульсом р', если этот электрон
рассматривается как отличающийся от электрона, входящего в
атом-мишень. «Обменная» амплитуда же /0бм(р'«—Р) является
амплитудой процесса, в котором с импульсом р' вылетает электрон
мишени, в то время как падающий электрон захватывается
мишенью. Поскольку в действительности электроны неразличимы,
об этих двух процессах нельзя говорить по отдельности; а
поскольку электроны являются фермионами, соответствующая
наблюдаемая амплитуда равна разности этих двух амплитуд
[см. (22.1)].
Мы начнем обсуждение данной темы с краткого обзора в § 1
квантовомеханического описания тождественных частиц,
предназначенного главным образом для введения обозначений. В § 2
мы рассмотрим простой случай одноканального рассеяния двух
тождественных частиц. В § 3 и 4 будет рассмотрена общая
многоканальная задача, а в § 5 полученные результаты будут
проиллюстрированы на примере рассеяния электрона на атоме
водорода.
В настоящей главе удобно несколько отойти от наших
прежних обозначений. Всем состояниям будут сопоставляться их
волновые функции без каких-либо ссылок на соответствующие
абстрактные векторы. Результат действия линейного оператора А
на волновую функцию ф будет записываться в виде Лг|?, а
скалярное произведение двух волновых функций if и ф— в виде
§ 1. Формализм в случае-хрждественных частиц
Начнем с обзора известных изменений обычного формализма
квантовой механики, необходимых, когда система содержит
несколько частиц одного типа. Для простоты сначала обсудим
систему из п частиц одного типа.
Симметричные и антисимметричные волновые функции. Если
бы рассматриваемые п тождественных частиц были на самом
деле различимыми (имея, например, слегка различные массы),
то гильбертово пространство Ж векторов состояния было бы
просто пространством всех квадратично интегрируемых
функций от п координат этих частиц,
$(хх, ..., хп).
Здесь Х{ — любые подходящие координаты /-й частицы. Для бес-
17 Зак. 396

518
Гл. 22. Тождественные частицы
спиновых частиц переменная xt могла бы быть просто
координатой Xf или импульсом pi частицы. Если спин не равен нулю,
то через х{ можно было бы обозначить набор х*, m,-, где гп{
есть г-компонента спина. Если система построена из
нейтронов и протонов, которые мы желаем рассматривать как
"тождественные частицы, то под яг можно было бы подразумевать
совокупность Xj, rrti и третьей компоненты изотопического
спина. Везде в этой главе мы будем использовать символ Ж для
обозначения пространства, которое содержит все функции
у\)(х]у ..., хп) и отвечает п различимым частицам.
Известно, что, когда частицы становятся неразличимыми,
пространство Ж перестает соответствовать пространству
состояний рассматриваемой системы. Вместо этого состояния
нашей системы задаются функциями, принадлежащими одному
из двух подпространств, которые мы будем обозначать через
Ж8 и Жа. Чтобы охарактеризовать эти подпространства, мы
должны ввести хорошо известные операторы перестановок,
действующие на функции \|)(*i, •••> *п). В соответствии с этим,
для каждой перестановки П чисел 1, ..., п мы определим
унитарный оператор — также обозначаемый через П, — такой
что
П\|>(*1, ..., Хп) = $(Хп\, •♦., ХПп).
С помощью этих операторов можно теперь сформулировать
утверждения, которые оказываются ограничениями,
наложенными на наблюдаемые и на волновые функции системы из п
тождественных частиц').
Во-первых, все наблюдаемые А для системы из п
тождественных частиц коммутируют со всеми перестановками:
[Л, П] = 0 [любая наблюдаемая Л, все П].
Во-вторых, не каждая волновая функция ур(х\, ..., хп)у
принадлежащая пространству Ж, может отвечать состоянию я-частич-
ной системы; для частицы данного сорта (электрона, протона,
нейтрона, пиона) осуществляется только одна из двух
возможностей. Либо многочастичные состояния описываются только
х) Здесь описан обычный формализм, в котором все частицы являются
либо бозонами, либо фермионами. В действительности только в случае
стабильных частиц (электрона, протона, нейтрона и фотона) основания для
такого предположения совершенно не вызывают сомнений Обсуждение
возможности того, что некоторые из нестабильных частиц могли бы быть ни
бозонами, ни фермионами, можно найти в статье [65] и в цитированной там
литературе. Поскольку наши главные заботы связаны с нерелятивистскими
задачами и, следовательно, со стабильными частицами, нам нет необходимости
касаться здесь этих экзотических возможностей (называемых парастатнсти-
кой).

§ 1. Формализм
519
симметричными волновыми функциями, т. е. функциями,
удовлетворяющими соотношению
[1ф = <ф [Все II]
(и в этом случае частица называется бозоном), либо
многочастичные состояния описываются только антисимметричными
функциями, удовлетворяющими соотношению
Пф = еп<ф [все II],
где число еп равно +1 для четной перестановки Пи —1 для
нечетной, и в этом случае частица называется фермионом.
Подпространства, содержащие только симметричные или
антисимметричные волновые функции, будут обозначаться через 96*
и Жа соответственно.
Теорема о связи спина и статистики. Все частицы, про
которые известно, что они являются бозонами, имеют
целочисленный спин, в то время как все известные фермионы имеют
полуцелый спин. В действительности в рамках релятивистской
квантовой теории поля можно доказать, что эта связь спина и
статистики должна выполняться всегда; этот результат известен
как теорема о связи спина и статистики 1).
Составные частицы. В тех случаях, когда составная частица,
подобная атому или ядру, может рассматриваться как
бесструктурная «элементарная» частица, с ней следует обращаться
как с бозоном или фермионом в зависимости от того, четное
или нечетное количество фермионов входит в ее состав. Таким
образом, в атомной и молекулярной физике обычно
оказывается возможным рассматривать ядро как бесструктурную и
«элементарную» частицу. При этом волновая функция .для
системы, состоящей из нескольких ядер 4Не, наттрн^ер; должна
быть симметричной по координатам ядер /Не, потому что в
каждом ядре 4Не содержится два протона и два нейтрона.
С другой стороны, волновые функции аналогичной системы,
состоящей из ядер 3Не, должны быть антисимметричными по
координатам этих ядер, потому что каждое ядро состоит из двух
протонов и одного нейтрона.
Проекционные операторы симметризации. Для построения
симметричных и антисимметричных волновых функций удобно
ввести проекционные операторы As и Ла, которые проектируют
произвольную волновую функцию на подпространства Ж8 и 2№а.
1) См. [66]. Обсуждение доказательства аналогичного результата в
аналитической теории S-матрицы содержится в [67].
\г

520
Гл. 22. Тождественные частицы
Эти операторы определяются следующим образом:
п
п
Когда нам не нужно будет определенно указывать, являются
ли рассматриваемые частицы бозонами или фермионами, мы
будем использовать для этих операторов общую запись
п
где Л означает либо Лв, либо Ла, а число у\л равно + 1 Для
бозонов и равно 41n = en для фермионов.
Легко проверить, что Л^ и Ла обладают характеристическими
свойствами проекционных операторов
Л = Л+ = Л2.
Чтобы убедиться в эрмитовости этих операторов, нужно только
заметить, что в суммах (22.2) по всем перестановкам для
каждой перестановки П можно найти ей обратную П""! = П+.
Чтобы проверить равенство Л2 = Л, исходим из соотношения
П П'
Если записать 1Ш' = П", то после того, как П' пробежит по
всем перестановкам, то же произойдет и с П". Поэтому
П \П" / П"
Аргументация для оператора Аа аналогична.
Следует отметить, что мы нормировали оператор Л так, чтобы
Л2 = Л. Если функция \|) случайно оказывается уже
симметричной (или антисимметричной), то Asty = if (или Ла^ = ф); если
ф — нормированная функция, то нормирована, очевидно, и
функция Л5\|) (или Л0г|)). Однако вообще функция Лг|э не нормирована,
даже если нормирована ф. Например, в том важном случае,
когда функция г|) является произведением п ортонормированных
рдночастичных функций
\J>(*lf . .., ХП) = ^(Х{) ...%(ХП)}
(22.2)

§ 1. Формализм 521
имеем
||Л,г|)||2 = (Л^, Л5г|>),
= (Л$г|>, ф) [потому что Л = Л+],
= (Л^ф, ф) [потому что Л2 = Л],
п
Легко видеть, что (П\|>, г|>) = 0 для любой перестановки, кроме
П = 1, так что полученная сумма сводится к одному члену
Тот же результат получается и в антисимметричном случае, и
мы заключаем, что для п ортонормированных одночастичных
функций i|)i, ..., г|)п правильно симметризованным и
нормированным произведением будет
(л!)%А(ф„ ..., а|)„), (22.3)
где Л = Л5 или Аа.
Проекционные операторы As и Ла приносят огромную пользу
в теории рассеяния тем, что (как мы увидим) состояния
рассеяния для системы тождественных частиц можно получить просто
действием соответствующего проекционного оператора на
соответствующие состояния системы различающихся частиц.
Несколько сортов частиц. Если присутствуют частицы
нескольких сортов, то волновые функции должны быть симметричными
или антисимметричными относительно перестановок внутри ка~
ждой отдельной группы частиц одного типа. Например, пусть
имеется система из п электронов, m протонов, / альфа-частиц
и т. д. Тогда через Ж мы обозначим пространство всех функций
IP \%е\> • ♦ •» %еп* %ри • • •» %pm\ *ai» • • • ^af» • • •/»
и подпространство функций, действительно отвечающих
состояниям рассматриваемой системы, будет содержать только те
функции, которые обладают следующими свойствами
симметрии:
т \^ei* • • •» %еп> %р\> • • • > Хртп> %аЬ • • •» %аЬ • • •/•
I I ]_ \ I I
антисимметризовано антисимметризовано симметризовано

522
Гл. 22. Тождественные частицы
(Не существует никаких ограничений на перестановки —
которым даже нельзя приписать какой-либо смысл — координат,
относящихся к различным частицам.) Проекционный оператор,
придающий волновой функции правильные свойства симметрии,
является просто произведением
Л = Л(е)Л(р)Л(а)...,
где Л<е)—проекционный оператор, соответствующий п
электронам, Л^> соответствует m протонам, и т. д.
Кластерный закон. Прежде чем приниматься за теорию
рассеяния тождественных частиц, обсудим еще один,
заключительный вопрос, имеющий важное принципиальное значение.
Волновая функция, отвечающая любому состоянию всей вселенной,
должна в принципе быть подходящим образом симметризована
по отношению ко всем частицам каждой разновидности. Однако
на практике, рассчитывая, например, энергетический спектр
газообразного гелия, мы выполняем антисимметризацию только
по отношению к двум электронам любого одного атома и
полностью игнорируем все другие электроны, содержащиеся в газе,
не говоря уже об электронах, находящихся на Луне! Вопрос
состоит в следующем: законна ли такая процедура?
Очевидно, что мы имеем дело с вопросом более тонким, чем
соответствующий вопрос для различимых частиц. В случае
различимых частиц ясно, что, как только две частицы окажутся за
пределами силового поля друг друга, они двигаются
независимо, и, обсуждая поведение одной из них, можно полностью
игнорировать другую. С другой стороны, мы знаем, что, сколь
бы далекими друг от друга ни были две тождественные
частицы, мы должны в принципе выполнять симметризацию; а это
попросту означает, что их нельзя рассматривать как
независимые. Однако существует замечательный факт, известный иногда
как кластерный закон, состоящий в следующем. Пусть две или
большее число групп тождественных частиц заключено в
полностью разделенных областях пространства, и пусть
производятся измерения в каждой отдельной группе. Тогда безразлично,
выполнена симметризация по частицам, относящимся к разным
группам, или нет.
Здесь мы не будем обсуждать общее доказательство
кластерного закона (см. [4], стр. 600). Мы лишь проиллюстрируем
его одним простым примером. Предположим, что в мире имеется
всего два электрона, про которые известно, что один из них
находится внутри нашей лаборатории в состоянии, задаваемом
функцией i|)i(a:), а другой— за пределами лаборатории и в
состоянии, задаваемом функцией ^2(х). Пусть нас интересует

§ 1. Формализм
523
распределение вероятности для этих двух частиц. Правильно
симметризованная и нормированная волновая функция такой
двухэлектро^ной системы равна
<ф (хи х2) = ~-j=r [-ф, (х{) ф2 (х2) — ф, (х2) ф2 (*,)],
откуда находим для соответствующей плотности вероятности {)
w(xu х2) = 2\^{хи x2) |2 = | ф, (х1)Ь(х2) \2 + \Ь (*2)*2(^i) I2 -
- 2 Re ф, (х,) ф2 (*2) Ф» (*2fф2 (*,)\
Известно, что функция $\(х) равна нулю, если только значение
ее аргумента не соответствует точке, находящейся где-то внутри
лаборатории; в то же время функция ф2(#) равна нулю, если
значение ее аргумента не соответствует точке, находящейся
где-то вне лаборатории. Таким образом, последнее слагаемое,
в которое входит произведение t|>i (*i)*M*i)*, тождественно
равно нулю. Получаем
w(xu *2) = | ф, (*,)ф2(*2) Р + 1 *, (*2)яМ*1) I2- (22.4)
То есть, как только становится известно, что рассматриваемые
частицы находятся в различных областях пространства,
характерная интерференция, обусловленная симметрией волновой
функции, исчезает. Остающиеся два слагаемых как раз равны
той плотности, которая получилась бы при классическом
расчете. Тот факт, что все еще остаются два слагаемых, отражает
только то обстоятельство, что мы еще не установили, какая из
частиц находится внутри, а какая вне лаборатории.
Действительно, будем теперь считать, что внутри лаборатории находится
частица номер 1, а снаружи —номер 2. Если переменная Х\
принимает значения внутри лаборатории, а х2 — снаружи, то
второе слагаемое в (22.4) равно нулю. Отсюда ясно, что
вероятности местонахождения наших двух частиц, рассчитанные с
помощью должным образом симметризованной волновой функции,
точно совпадают с теми вероятностями, которые получились
бы, если игнорировать тождественность частиц и использовать
несимметризованную волновую функцию ф1
(^Офг(дополученный результат имеет определенное практическое
значение в теории рассеяния. Здесь состояния, над которыми
производятся измерения, являются асимптотически свободными
1) Простой способ не забыть множитель 2 в первой строчке этого
равенства состоит в том, чтобы помнить, что \ | ф |2 = 1 (потому что ф —
нормированная функция), в то время как \ w = 2, потому что при интегрировании
по всему пространству каждая пара точек учитывается дважды.

524
Гл. 22. Тождественные частицы
состояниями, в которых все различные свободно движущиеся
фрагменты в достаточной степени отделены друг от друга.
Вполне естественно обращаться с такими состояниями так, как
если бы частицы из разных фрагментов были различимыми.
Например, при столкновении электрона с атомом водорода
естественно описывать начальное состояние волновой функции вида
ХЫФШ, (22.5)
где x(*i)—волновой пакет, соответствующий падающему
электрону (с индексом 1), когда тот вылетает из ускорителя, а
Ф(*2)—волновая функция находящегося в мишени электрона
(с индексом 2), связанного со своим ядром. Полученный в
предыдущем абзаце результат означает, что использование
функции (22.5) для отождествления асимптотически свободного
состояния не только естественно, но и вполне последовательно,
пока частицы остаются в достаточной степени разделенными.
Разумеется, как только начинается столкновение, необходимо
использовать должным образом симметризованные волновые
функции, и, следовательно, связь между ин- и аут-состояниями
(а именно амплитуда рассеяния) затрагивается
симметризацией, требуемой для тождественных частиц. Однако здесь мы
хотим подчеркнуть то обстоятельство, что, приписывая индексы
ин- и аут-асимптотам, мы можем игнорировать
тождественность частиц, находящихся в различных свободно движущихся
фрагментах, и при этом описание останется естественным и
последовательным.
§ 2. Рассеяние двух тождественных частиц
Рассмотрим сначала упругое рассеяние двух тождественных
частиц, которые могут иметь спин или быть бесспиновыми.
Например, можно рассматривать рассеяние электронов на
электронах, нуклонов на нуклонах, альфа-частиц на альфа-частицах
или какие-либо другие представляющие экспериментальный
интерес процессы.
Рассеяние определяется гамильтонианом
Ввиду тождественности частиц как Н, так и Н° коммутируют
с единственной нетривиальной перестановкой П — заменой
частиц 1 и 2 друг на друга. Согласно предыдущему обсуждению,
через \|)(хь#2) будет обозначаться произвольная волновая
функция, а общее состояние системы будет записываться в виде Л-ф,
где оператор Л равен либо Л3, либо Ла в зависимости от того,

+§2. Две тождественные частицы
525
бозонами или фермионами являются рассматриваемые частицы.
Произвольная орбита такой системы записывается в форме
Произвольная орбита: e~iHiЛ-ф = A.e~tH% [любая функция -ф],
причем обе записи эквивалентны, потому что [Я, Л] = 0.
Если временно закрыть глаза на тождественность
рассматриваемых частиц, то их движение при заданном гамильтониане
Н будет представлять собой вполне определенную
математическую задачу, причем задачу, нами уже решенную. В частности,
мы знаем, что существуют орбиты только двух типов:
ограниченные орбиты и орбиты рассеяния — и что для любой
функции ур из подпространства состояний рассеяния выполняются
соотношения *):
е~ШЧт^^~т°Чин [* = <М>НН],
-юн г о 1 (22'6>
-j-^+e фаут М) = *М>аут].
При произвольной функции ф орбита (22.6) не играет роли
допустимой орбиты истинной системы (состоящей из двух то-
ждественных частиц), потому что она не симметризована
должным образом. Но стоит лишь умножить ее на проекционный
оператор Л — и получится орбита, обладающая необходимыми
свойствами симметрии. Таким образом, чтобы получить
асимптотическое условие в форме, пригодной для двух
тождественных частиц, мы должны только умножить формулы (22.6) на
оператор Л:
—П^ Л^Я°Чаут № = *М>аут]-
Поскольку асимптотические орбиты можно записать в виде
Ав тин/аут== £ А^ин/аут»
мы приходим к ожидавшемуся выводу о том, что каждая
должным образом симметризованная орбита рассеяния имеет
свободные ин- и аут-асимптоты и что произвольная асимптота
однозначно идентифицируется с помощью какой-либо симметричной
ИЛИ аНТИСИММетрИЧНОЙ ВОЛНОВОЙ фуНКЦИИ Ля|?ИН ИЛИ Л\|)аут-
Следует отметить, что заданная орбита однозначно
определяет свои симметризованные ин- и аут-асймптоты. Однако из
записи асимптот в виде А\рИН (или Лфаут) нельзя однозначно
установить функцию \|)ин (или \|)аут), потому что оператор
симметризации Л при проектировании может перевести две раз-
х) Поскольку обсуждается трансляционно инвариантное полное движение,
для операторов Меллера используется полужирный шрифт.

526
Гл. 22. Тождественные частицы
личных функции в одну. В частности, мы предпочтем
сопоставлять асимптотам несимметризованные функции. Например,
типичной ин-асимптоте будет сопоставляться функция т|)ин =
= ^1(^1)^2(^2), где ^i — характерный для ускорителя волновой
пакет, а ф2— волновая функция мишени. Иначе говоря,
асимптоты будут помечаться так же, как если бы частицы были
различными и им можно было сопоставить индексы 1 (падающей
частице) и 2 (мишени). Важно отметить, что в этом случае
безразлично, в каком порядке пронумерованы частицы: исходим
ли мы из ф\{х\)ф2{х2) или из Ф\(хх)ф2{х\), все равно мы
получим одно и то же физическое состояние, как только умножим
исходное состояние на проекционный оператор А х).
Нестационарное описание процесса столкновения стало
теперь полным. Система вступает в столкновение вдоль асимптоты
Л ехр(—/Я°/)г1)ин; истинная орбита в любой момент времени
равна Лехр(—iHt)ty\ наконец, при t—► -foo эта орбита
стремится к аут-асимптоте Л ехр(—iH°t)tyaYT. Теперь можно
рассчитать вероятность любого наперед заданного перехода.
Рассмотрим ин-асимптоту, задаваемую волновой функцией
Фин (*„ х2) = фх (хх) ф2 (х2) = ф{хи х2\ (22.8)
где ф\ и ф2— взаимно ортогональные одночастичные функции.
(Эти функции ортогональны потому, что на практике частицы
имеют вполне определенные и различные импульсы.) Если ^i
и ф2 — нормированные функции, то правильно симметризованная
и нормированная ин-асимптота имеет вид
Из (22.7) следует, что правильно симметризованное и
нормированное истинное состояние выражается формулой
У2~Л<Г'я'й+<£
и, в частности, при t = 0 имеет вид
л/2АО+ф. (22.9)
Аналогично должным образом симметризованное и
нормированное состояние при t = 0, которое должно перейти в
аут-асимптоту ф' [такой же формы, как (22.8)], имеет вид
VTAQ-^'. ' (22.10)
Амплитуда вероятности того, что сопоставляемое функции ф
ин-состояние будет наблюдаться переходящим в задаваемое
функцией ф/ аут-состояние, равна просто перекрыванию двух
]) Если рассматриваются фермионы. то эти два результата будут
разными, но отличаться они будут только множителем —I, который не изменяет
физическое состояние.

§ 2. Две тождественные частицы
527
I
состояний (22.9) и (22.10); поэтому
= | 2 (AQ_/, Q+ф) f [потому что Л = Af = Л2],
I п I
= |(fi_f, 0+#> + Л <№-#', 0+^>р, (22.11)
где в последней строчке через П обозначена единственная
нетривиальная перестановка и где т] = ±1 в соответствии с тем,
являются ли частицы бозонами или фермионами.
Полученный важный результат допускает прямую
интерпретацию. Первое слагаемое (&-«£', ®+ф) точно равно
амплитуде процесса
*i*2<-M2, (22.12)
которая получилась бы, если бы частицы были различимыми.
Для интерпретации второго слагаемого вспомним, что Q-ф'
есть состояние при t = 0, которое должно перейти в
аут-асимптоту ^> =^1(^1)^2(^:2). Поэтому состояние IlQ-<£ , в
котором частицы поменялись ролями, является состоянием, которое
должно перейти в аут-состояние </>2 (х{) ф\ (х2), в котором
частицы также заменены друг на друга. В соответствии со
сказанным слагаемое (IlQ-</>', &+ф) представляет собой
амплитуду «обменного» процесса
Ф2ф'\*-Ф\ф2. (22.13)
Поскольку на самом деле рассматриваются две неразличимые
частицы, нельзя говорить по отдельности о процессах (22.12)
н (22.13), а следует учитывать их одновременно. В
классической механике измеряемая вероятность равнялась бы сумме
отдельных вероятностей для указанных двух процессов. Весьма
важное свойство квантового расчета состоит в том, что
складываются (или вычитаются, в случае фермионов) амплитуды, и
поэтому в вероятности (22.11) может проявляться
интерференция ее двух слагаемых.
Теперь мы готовы рассчитать сечения рассеяния. Начнем
со случая двух тождественных бесспиновых бозонов. Первый
шаг в получении сечения состоит в замене вероятности
ху(ф'*-ф) из (22.11) на вероятность т{йър\йър2<~Ф) того, что
при заданных начальных пакетах ф частицы появляются в
наперед заданном объеме конечного импульсного пространства.
Указанная вероятность получается заменой состояния Ф = </>i</>2
из (22Л1) на собственное состояние импульса |рь р2>
(умноженное на элемент объема d3pid3p2). Результат совпадает

528
Гл. 22. Тождественные частицы
с соответствующей вероятностью для различающихся частиц,
но теперь присутствует еще «обменный» член, в котором
импульсы р,, р2 заменены на p2,Pi. Далее можно в точности
повторить те расчеты, которые были выполнены в гл. 4, § 5. Как
обычно, будем использовать переменные
~ ~ I Л TI ~ Pi ~" Р2
Р = Р1 + Р2 И р== ^ '
Поскольку замена импульсов р, и р2 друг на друга приводит
к замене р на — р, окончательный результат для сечения в си*
стеме центра масс имеет вид
-g(p<-Po) = lf(p<-Po) + /(-p<-Po)l2 = lf(P<-Po)P, (22.14)
где
F(p«-po) = /(p<-po) + f(— Р*~Ро).
Фиг. 22.1 дает интерпретацию результата. Первое слагаемое
представляет собой амплитуду, которая получилась бы для
процесса (р<— р0), если бы частицы были различимыми
(фиг. 22.1, а). Второе слагаемое /(—р«-ро) есть амплитуда
процесса, экспериментально неотличимого от предыдущего, но
в котором частица-мишень испытывает отдачу с импульсом р,
а исходная падающая частица появляется, следовательно, с
импульсом —р (фиг. 22.1,6).
Л Л
Фиг. 22.1. Два процесса, которые могут давать вклад в сечение da/dQ (р<-ро)
для двух тождественных частиц.
В случае сферически симметричных взаимодействий можно
записать амплитуду f(p'<-p) в виде f(£, 8), и сечение (22.14)
становится равным
-^-=1/(я,е) + /(£,я-е)|2=|/(я,8)|2+^(£,я-е)р +
+ 2 Re f(E,Q) f(E, я -6)*. (22.15)
Последнее слагаемое есть, конечно, характерный квантовомеха-
нический эффект интерференции.
Результат (22.15) можно проиллюстрировать на примере
упругого рассеяния любых двух тождественных бесспиновых
ядер. (Бесспиновое ядро, разумеется, бозон.) В частности, при

§ 2. Две тождественные частицы
529
низких энергия* эффективно только кулоновское
взаимодействие, и амплитуда f в (22.15) есть кулоновская амплитуда
fc(Et 9) = — 2my exp[2/(aQ — vtnsinT)],
где y = mZ2e2/p и q = 2р sin 0/2. Таким образом, наблюдаемое
сечение должно быть равно
da m2Z4e* Г 1 . 1
n2Z4e* Г 1_
4р* L sin41
+
2cos(2ylnctg9/2)
]. (22.16)
dQ 4p* L sin4 В/2 ^~ cos4 9/2 ~ sin2 6/2 cos2 9/2
Это сечение показано на фиг. 22.2, а (для одного частного
выбора входящих в него параметров), где оно сравнивается
/00 \
\ K/iaccuveacoQ
\
90*
&
(а) бозоны
90*
(S) Ферл/ионь/
№
Фиг. 22.2. Квактовомеханические сечения для двух тождественных частиц,
взаимодействующих посредством чисто кулоновского Потенциала Z2e2/r.
а —для двух бесспиновых бозонов; б—для двух фермионов с параллельными спинами,
равными 7*; в обоих случаях параметр силы взаимодействия взят равным у=5.
с классическим результатом, содержащим только первые два
слагаемых. Видно, что влияние интерференции сводится к
наложению на классический результат осциллирующего
слагаемого. (В частности, сечение рассеяния на 90° бесспиновых
бозонов всегда равно удвоенному классическому результату.)
Факт наблюдения этой интерференции при рассеянии двух
тождественных бозонов (например, при аа-рассеянии) и полного
ее отсутствия при рассеянии двух различимых частиц
представляет собой замечательное свидетельство в пользу принятой
в квантовой механике точки зрения на тождественные
частицы *).
Возвращаясь к общему результату (22.14), подчеркнем, что
только симметризованная амплитуда
f(p'«-p) = /(p'«-p) + f(-P'«-P>
!) Присутствие интерференционного члена при рассеянии тождественных
частиц было предсказано Моттом. Одному из первых экспериментальных
проверок выполнил Чэдвик [68], который показал, что сечение аа-рассеяния
на 90° (в системе центра масс, разумеется) равно удвоенному классическому
результату, как это показано на фиг. 22.2, а.

530
Гл. 22. Тождественные частицы
может быть измерена экспериментально. Величина / есть
амплитуда, которая была бы получена при существующих в
действительности взаимодействиях, если бы частицы были
различимы; следовательно, она вполне определена математически.
Но поскольку на самом деле частицы тождественны, в
наблюдаемое сечение входит только симметричная комбинация
f(p/<~P)» а ее отдельные слагаемые /(р'<— р) и /(—р'<-р)
экспериментально ненаблюдаемы. Это означает, что в чистой
теории S-матрицы, которая формулируется с использованием
только экспериментально измеряемых амплитуд, приходится
просто постулировать существование амплитуды /,
удовлетворяющей (если имеет место инвариантность относительно
вращений) соотношению
f(Et 6) = f(£, л -6)
без обращения к «фиктивной» амплитуде f (р'«-р).
Аналогично можно проанализировать рассеяние частиц с
произвольным спином. Для простоты рассмотрим только случай
двух тождественных фермионов со спином 72,
взаимодействующих посредством не зависящего от спина потенциала.
(Например, рассеяние электрона на электроне при полном
пренебрежении зависящими от спина взаимодействиями.) В этом случае
при любом столкновении спиновое состояние не изменяется и
наблюдаемое сечение зависит только от свойств координатной
части волновой функции. Если в качестве спинового базиса
взять собственные функции полного спина, то соответствующие
волновые функции всей двухчастичной системы имеют вид
♦ (Xh Х2)Хтрипл
и
Я|)(Х|, Х2) Хсингл»
где Хтрипл — любой из спиноров, отвечающих триплетному
состоянию с s = 1, m = +1, 0, — 1, а Хсингл — спинор, отвечающий
синглетному состоянию с 5 = 0. Читатель, вероятно, помнит, что
спиноры Хтрипл симметричны относительно перестановок частиц,
тогда как спинор Хсингл антисимметричен. Таким образом, для
того чтобы полная волновая функция была антисимметричной,
ее координатная часть i|)(xi,x2) должна быть
антисимметричной, если она умножается на Хтрипл, и симметричной, если она
умножается на Хсингл-
Сначала предположим, что до столкновения
рассматриваемые два фермиона находятся в триплетном состоянии
(например, обе частицы поляризованы в одном и том же направлении).
Тогда координатная часть волновой функции антисимметрична,

§ 2. Две тождественные частицы 531
и расчет, аналогичный случаю двух бозонов, приводит к
результату
(ж)трнпл=1^ в>-К* *-6)l2-lfW£, в) р. (22.17)
(Потенциал предполагается инвариантным относительно
вращений.) Следовательно, триплетная—амплитуда равна разности
амплитуд /(£, б) и /(£, я —6), соответствующих различимым
частицам. На фиг. 22.2,6 этот результат иллюстрируется для
случая чисто кулоиовского взаимодействия. Отметим, в
частности, что сечение рассеяния на 90° в триплетном случае всегда
равно нулю.
Напротив, если рассмотреть синглетное начальное состояние,
то координатная часть волновой функции должна быть
симметричной, и мы получаем
(ж) =lf{E' ® + flE> «-в) Р-| ?«,„„(£, е)12-
\ аъ& /сингл
Следовательно, два тождественных фермиона со спином Уг
в синглетном состоянии должны рассеиваться в точности как
два тождественных бесспиновых бозона. Последний результат
вместе с (22.17) иллюстрирует тот факт (известный из теории
связанных состояний), что в системах тождественных частиц
даже независящие от спина взаимодействия могут приводить
к зависящим от спина результатам. Дело здесь, конечно, в том,
что различные спиновые состояния соответствуют различным
перестановочным симметриям, и поэтому допустимые свойства
симметрии координатной волновой функции (и, следовательно,
наблюдаемые результаты) зависят от спина.
На практике эксперименты обычно выполняются с неполя-
ризованными пучками и мишенями. Даже если частицы
поляризованы, они не обязательно находятся в чистом синглетном
или триплетном спиновом состоянии. Однако какое угодно
спиновое состояние можно представить в виде суперпозиции син-
глетного и триплетного состояний, после чего рассчитать
соответствующую амплитуду. В частности, сечение рассеяния
неполяризованных частиц получается при помощи обычной
процедуры суммирования по конечным и усреднения по начальным
спинам:
(—Л = - Г—Л 4- -- (—-} =
\ dQ /неполяр ^ V dil /сингл * V dQ, /трнпл
= |/(£, 9)|2 + |f(£, n-ejP-ReffS, B)f(E9n-Q)\
Видно, что даже в эксперименте с полностью неполяризован-
ными частицами появляются характерные интерференционные

532
Гл. 22. Тождественные частицы
члены. Сам факт наблюдения этих эффектов (например, в
экспериментах по рассеянию электронов на электронах или
протонов на протонах) подтверждает, что участвующие в процессе
частицы являются фермионами и что их спин равен 1/2.
Прежде чем перейти к общей многоканальной задаче, еще
несколько слов о полных сечениях. При рассеянии двух
различающихся частиц полное сечение давалось интегралом
v (р) = \ dQP' -jg- (р' *- р) [различающиеся частицы]
(с суммированием по конечным спинам, если частицы имеют
спин). Исходя из этого определения, можно сказать либо, что
Япадв(р)—это полное число наблюдаемых отсчетов, если
мишень полностью окружена счетчиками, либо, эквивалентно, что
Япад<т(р) есть полное число частиц, потерянных начальным
пучком. В случае двух тождественных частиц эти два числа
неодинаковы. Если полностью окружить мишень счетчиками, то
каждый акт столкновения будет регистрироваться дважды
(потому что мы неизбежно учитываем как рассеянную частицу, так
и испытавшую отдачу частицу), и поэтому число наблюдаемых
таким способом отсчетов будет вдвое больше числа частиц,
потерянных начальным пучком. Обычно считается более
естественным определять полное сечение через число частиц,
потерянных начальным пучком, и поэтому мы примем определение
а(р) = у \ dQP'-ттг-Ср'^-р) [тождественные частицы]. (22.18)
§ 3. Многоканальное рассеяние с участием
тождественных частиц
Теперь мы перейдем к общей многоканальной задаче и
обнаружим, что (во многом аналогично одноканальному
случаю) теорию рассеяния для систем тождественных частиц
можно получить из теории рассеяния для различающихся частиц
при помощи проекционных операторов симметризации.
Рассмотрим произвольную систему п частиц, по меньшей
мере некоторые из которых тождественны, и пусть Я
—гамильтониан этой системы. Можно, конечно, вообразить, что Я —это
гамильтониан п различающихся частиц (тот факт, что Я
коммутирует с определенными операторами перестановок, не
препятствует такому представлению), и в этом случае мы уже
понимаем соответствующую теорию рассеяния следующим
образом.
Произвольное состояние, которому сопоставляется
произвольная функция от п переменных xiy можно записать в виде супер-

§ 3. Многоканальное рассеяние
533
позиции связанных состояний (всех п частиц) и состояний
рассеяния. Нас интересуют именно последние, а они сами могут
быть классифицированы по каналам, из которых они возникли
при t-+— оо (или в которые они перейдут при t-+-\-oo).
Канал а есть группировка п частиц в па стабильных фрагментов
(2^/га^/г); для каждого канала существует
соответствующее подпространство ^а волновых функций, описывающих
свободное движение этих па фрагментов. Если состояние г|) системы
из п частиц происходит из канала а, то в подпространстве 9>а
существует функция i|)nH> такая, что1)
е-""Ъ-гг— *~Ша'Фин [ф = 0++ин], (22.19)
I -> —оо
где На—канальный гамильтониан, соответствующий
свободному движению па фрагментов. Аналогично, если \|) — состояние,
которое при /->+°° перейдет в канал а, то в подпространстве
9*а существует функция ifayr, такая, что
е~'Я'Ф -7ТГ-* *-/яа'+аут [+ = Q-*.yJ- " (22.20)
I -> -|-оо
Произвольное состояние рассеяния можно выразить в виде
суперпозиции состояний, каждое из которых происходит из
определенного начального канала, или аналогично состояний,
каждое из которых перейдет в некоторый конечный канал.
Для произвольной волновой функции ф орбита е~Ш1^ не
играет роли допустимой орбиты истинной системы (с
тождественными частицами), потому что функция \|> не обладает
требуемыми свойствами симметрии. Однако достаточно умножить
ее на подходящий проекционный оператор Л, чтобы получилась
допустимая орбита истинной системы. При действии оператора
Л описанная в предыдущем абзаце ситуация изменяется. В
частности, уменьшается число каналов, причем двумя путями.
Первое изменение легко помять, рассматривая пример
рассеяния электрона на атоме водорода. Здесь для каждого
канала с группировкой
ех + {е2р) (22.21)
существует еще канал вида
е2 + (ехр\ (22.22)
*) Для простоты рассматривается процесс (типа столкновения электрона
с атомом или нуклона с имеющим тяжелый кор ядром), когда мишень имеет
тяжелый кор, который можно считать фиксированным. (Или, что
эквивалентно, рассматривается только относительное движение трансляционно
инвариантной системы.) В соответствии с этим, мы используем обычный шрифт
для меллеровских операторов, не сохраняющих импульс (т. е. для таких, из
которых сохраняющая импульс часть уже выделена в виде множителя).

534
Гл. 22. Тождественные частицы
получаемый из первого перестановкой двух электронов. Если
эти электроны считать различимыми, то с точки зрения физики
указанные два канала различны. Однако фактически электроны
неразличимы, и различие между этими двумя каналами
лишено физического смысла. Тем не менее в избранном нами
формализме оба канала различаются математически: волновые
функции первого имеют форму
%(хг)ф(х2)
(где х — произвольный волновой пакет, а ф— волновая
функция связанного состояния атома водорода), тогда как во
втором они имеют форму
Не приходится и говорить, что получаемые ответы не будут
зависеть от того, как приписываются индексы асимптотическим
состояниям. Все же важно понимать ситуацию и подготовить
удобные обозначения. Так, в только что обсуждавшемся
примере каналу (22.21) с атомом водорода в основном состоянии
будет присвоен индекс а= 1, а соответствующему «обменному»
каналу (22.22) —индекс а= 1.
Вообще всегда, когда в каком-либо канале имеются две или
больше тождественных частиц в составе различных свободно
движущихся фрагментов, существует целое семейство каналов,
получаемых просто перестановкой тождественных частиц из
различных фрагментов. Эти каналы, различаясь математически,
являются физически неразличимыми, и любой из них можно
использовать для описания одной и той же физической ситуации.
Для иллюстрации второго пути уменьшения числа каналов
рассмотрим чуть более сложный пример рассеяния электрона
на гелии. Дело в том, что если все три электрона различимы,
то имеются каналы, в которых волновая функция электронов,
связанных в атоме гелия, симметрична. Как только мы
подействуем антисимметризующим проекционным оператором, эти
волновые функции зануляются, что соответствует очевидному
факту существования только антисимметричных состояний
реального атома гелия. Ясно, что этот пункт совершенно
тривиален и легко уточняется. Перечисляя каналы системы,
содержащей тождественные частицы, мы будем учитывать только те,
в которых частицы каждого фрагмента обладают правильной
допустимой симметрией. К тому же мы всегда будем
использовать канальные волновые функции, должным образом симмет-
ризованные по отношению к внутренним координатам каждого
фрагмента. Таким образом, волновая функция, которая
описывает электрон, налетающий на атом гелия, будет иметь форму
%{х{)ф{х2) *?),

§ 4. Вероятности переходов и сечения
535
где x(*i)—падающий волновой пакет, а Ф(х2, х3)—должным
образом антисимметризованная волновая функция гелия. Как
и в одноканальном случае, приписывая индексы
асимптотическим состояниям, мы не будем заботиться о симметризации
между падающим электроном и электронами мишени.
§ 4. Вероятности переходов и сечения
Расклассифицировав каналы нашей п-частичной системы,
мы можем теперь построить нестационарное описание процесса
столкновения и рассчитать различные вероятности рассеяния.
Если умножить на оператор симметризации Л соответствующие
результаты для различающихся частиц [а именно (22.19) и
(22.20)], то сразу получаем асимптотическое условие для
тождественных частиц. Орбита, происходящая из канала а, имеет
форму
Л*-""н, ——> Ле-"аЧин О = GTlU, (22.23)
тогда как орбита, которая должна закончиться в канале а,
имеет форму
Ae-iHty + Ле-^Чаут [ф = Qlipayx]. (22.24)
(Из-за проекционного оператора Л эти орбиты еще не
нормированы должным образом.)
Пусть теперь нас интересует вероятность перехода ин-со-
стояиия ф в канале а в аут-состояние ф/ в канале а'. Если ии-
состояние задавалось функцией \))ин = Ф из подпространства 9*а,
то, согласно (22.23), истинное состояние при t = 0 имеет вид
aAQ+ф, (22.25)
где а — некоторый нормировочный множитель, который еще надо
определить. Если аут-асимптоте отвечала бы функция ф' из
подпространства ^а', то, согласно (22.24), истинное состояние
при / = 0 имело бы вид
a'AQiy, (22.26)
где а' — подходящий нормировочный множитель. Искомая
амплитуда вероятности перехода равна просто перекрыванию этих
двух функций, и поэтому
и>{ф, а'*-*, а) = (а'а)2|(Лй!>', AQ^)|2 =
= {a'af |<AQ»>\ Qa+4>>|2~
[ЕлпОШ-У, &Ж> (22.27)

536
Гл. 22. Тождественные частицы
Этот результат вполне естествен. Под знаком суммы первое
слагаемое (соответствующее П = 1) представляет собой
амплитуду, которая получилась бы для рассматриваемого процесса,
если бы все частицы были различимыми; остальные слагаемые
являются амплитудами различных «обменных» процессов,
отличающихся от первого только перестановками конечных
(тождественных) частиц. Поскольку в действительности частицы
неразличимы, истинная амплитуда получается как сумма всех
таких амплитуд, умноженных на подходящие множители н=1,
если частицы являются фермионами.
Чтобы определить коэффициент пропорциональности в
(22.27), мы должны определить нормировочные множители а
и а' в состояниях (22.25) и (22.26). В общем случае (т. е. при
произвольном числе частиц, относящихся к любому из сколь
угодно большого числа различных типов, и для произвольных
каналов а и а') расчет этих множителей оказывается прямым,
но утомительным. По этой причине мы рассмотрим только один
важный частный случай — столкновение между одиночной
частицей и мишенью, содержащей п частиц того же типа, что и
налетающая (плюс, возможно, другие, отличающиеся частицы).
Сюда относятся важные примеры столкновений между
электроном и n-электронным атомом, а также между нуклоном и
я-частичным ядром (когда протоны и нейтроны трактуются как
тождественные частицы при использовании формализма
изотопического спина). Кроме того, мы ограничимся
рассмотрением процессов, в которых группировка частиц в ин- и
аут-каналах одинакова, т. е. будут рассматриваться только упругое
рассеяние и возбуждение, а не столкновения с перестройкой
типа р + 4Не —► d -f 3He. Читатель, заинтересованный в
распространении наших рассуждений на более общие ситуации, не
встретит каких-либо трудностей.
Поскольку канал а состоит из одной свободной частиттУ'т
плюс п тождественных частиц, связанных в мишени, начальная
волновая функция ф имеет форму
Ф(х0, хи ..., *я) = е(дО£(*„ ..., хп),
где Q(x0)—падающий волновой пакет, £(лгь ...,
хп)—должным образом симметризованная волновая функция,
описывающая движение п частиц мишени; обе функции б и £ выбраны
нормированными. Имея функцию ф указанного вида, мы
должны определить правильную нормировку соответствующего
истинного состояния (22.25) при / = 0. Мы знаем, что истинная
орбита имеет форму
Ae"iHt (а%ф)-^-^Ае-1И^ф (22.28)

§ 4. Вероятности переходов и сечения
537
и что предел достигается тогда, когда частица 0 движется вдали
от остальных п частиц. При этом волновые функции частицы О
и остальных п частиц не перекрываются; а тогда, как легко
видеть, правильно нормированная асимптота имеет вид
(п+\)ч'Ае-ша*ф.
Таким образом, из (22.28) следует, что при рассматриваемых
значениях времени (и потому при всех значениях времени)
правильно нормированное истинное состояние имеет вид
(п + 1)ч>Ае-ш(а1ф).
Следовательно, в состоянии (22.25) нормировочный множитель
равен (/г+1)72- Поскольку аналогичные соображения
применимы к аут-каналу а', мы заключаем, что
о>(*'. *'«-*. а) = (/2+1)2|<Л2!У, Qa+^>|2 =
I п
Чтобы упростить сумму в (22.29), удобно переписать
каждую из перестановок П всех п +1 тождественных частиц,
О, 1, ..., /г, в форме
П = П'И",
где оператор ГГ обменивает частицу 0 с одной из частиц 0, ...
..., /г, оставляя все другие нетронутыми, тогда как оператор П"
отвечает перестановке только частиц 1, ..., п. Сумму по
(м+1)! перестановкам П можно заменить суммой по (п+1)
перестановкам П' и по п\ перестановкам П". Далее, волновая
функция, на которую действует оператор П, уже симметризо-
вана по отношению к частицам 1, ..., п, и поэтому каждая
>НД> п\ различных перестановок П" приводит к одному и тому
же результату. При суммировании по этим перестановкам в
точности сокращается множитель 1/п!, стоящий перед знаком
суммы, и мы получаем
т(ф', а'+-ф, о)= |§'%<Пй1>', Q°+^)|2,
где теперь через £' обозначена сумма по п -\- 1 перестановкам,
приводящим к обмену исходной налетающей частицы 0 с одной
из частиц 0, ..., п, когда все остальные частицы не
затрагиваются.
Наконец, можно разбить сумму £' на слагаемое,
соответствующее 11= 1, и остальные п слагаемых, в которых частица
О занимает место одной из частиц мишени 1, ..., п. Поскольку
волновая функция, на которую действует оператор П, уже сим-
18 Зак. 396

538
Гл. 22. Тождественные частицы
метризована по отношению к частицам 1, ..., п, все эти
последние п слагаемых одинаковы. Итак, приходим к
окончательному результату
o>(f, а'4-ф, а)Ч<01У, 0^> + тк1<11о,0-^ Qe+*>|2. (22.30)
где, как обычно, т] = ±1 в зависимости от того, являются ли
частицы бозонами или фермионами, а через IIoi обозначена
перестановка, состоящая в обмене частиц 0 и 1.
Получив этот результат, можно немедленно приступить к
расчету наблюдаемого сечения. В рассматриваемом процессе
возбуждения n-частичной мишени из состояния а в конечное
состояние а' имеем двухчастичные начальное и конечное
состояния, и сечение получается из (22.30) в точности, как в
гл. 17, § 3 (для простоты частицы и мишень считаются
бесспиновыми):
dQ
где
da (p'f a'«-p, a) = ^|f(p', a'«-p, a) P,
f (p'> a'«-p, a) = fnpHM(p/, a'«-p, a) + t)/ifo6ll(p', a'<-p, a). |
(22.31)
Здесь /прям — амплитуда, которая получилась бы для «прямого»
процесса
Прямой процесс: 0 + (1 2 ... л)а-+0 + (1 2 ... я)а',
если частицы считать различимыми, т. е.
/пРям(р', a'<-p, a) = f(p', a'*-p, а),
если, к- обычно, через / обозначить амплитуду, рассчитанную
для р ощихся частиц. Амплитуда /\>бм представляет собой
соот кз «обменную» амплитуду вероятности испуска-
ни импульсом р' и одновременного захвата ча-
^ + (1 2...n)a-^l+(02..,n)a' (22.32)
r% v = f(p', S'«-p, a),
*f***%?%-, канал (22.32). Поскольку
*~°fy °fy0<b/& °щать любую из находя-
ного°съ. *$£ Ь ^V * в выражении (22.31)
бита имеет^/•♦^ той на л.
' Р^ ямплитуду f для
Ае *< - и /обм, кото-

§ 5. еН-рассеяние
539
рые описывают процессы рассеяния различающихся частиц. Так
как мы уже знаем, как рассчитывать эти две амплитуды, наша
задача для тождественных частиц оказывается (по крайней
мере в принципе) полностью решенной.
В заключение этого параграфа напомним, что
рассматривался только частный случай, когда одиночная частица
налетает на мишень, содержащую п частиц того же самого типа, что
и падающая частица. Полученные результаты прямо
переносятся на более общие процессы, хотя эта процедура может
оказаться утомительной. В частности, в задаче 22.5 обсуждается
случай двухчастичного снаряда, налетающего на д-частичную
мишень (например, рассеяние дейтрона на ядре).
§ 5. Рассеяние электрона на атоме водорода
г
Для иллюстрации формализма, развитого в последних двух
параграфах, мы закончим настоящую главу обсуждением
упругого рассеяния электронов на атомарном водороде. Для
системы из двух электронов и одного протона (который будем
считать бесконечно тяжелым) гамильтониан выберем в виде
Р? р£ е2 е2 е2
2т ' 2т тх г2 г12
т. е. пренебрежем всеми зависящими от спина членами. Кроме
нулевого канала {е\ + е2 + р), отвечающего развалу атома,
существуют каналы всего двух сортов, причем те и другие
состоят из электрона и атома водорода. А именно имеются каналы
е{ + {е2р\ (22.33)
для каждого из которых существует (физически неразличимый)
обменный канал
е2 + (е1р). (22.34)
В частности, мы будем иметь дело только со следующими
каналами: с начальным каналом 1, в котором электрон с
индексом 1 налетает на находящийся в основном состоянии атом
водорода [см. (22.33)], и с обменным каналом 1, в котором
электрон с индексом 1 связан в основном состоянии, в то время как
электрон с индексом 2 движется свободно, как это указано в
(22.34).
Дифференциальное сечение процесса, в котором электрон с
импульсом р и спином гп\ налетает на атом, электрон которого
имеет спин га2, и, упруго рассеявшись, вылетает с импульсом
18*

540
Гл. 22. Тождественные частицы
р' и спином т\, оставляя мишень в основном состоянии со
спином Ш2, равно
~|-(р', т'и т2, 1 <-р, ти m2i l) = |f (р', т\, т2, 1«-р, ти m2,l)l2.
Согласно (22.31), амплитуда f имеет форму
Г === /прям / обм-
Здесь /прям — амплитуда прямого процесса, которую можно
записать в виде
/пРям(р'> т'и mi, 1«-р, "*ь т2у !) =
= —(2я)2т(р', mi, т2, l|V4p, ти тъ 1+),
где Vх — потенциал канала 1:
а /обм — амплитуда для процесса с перестройкой
е1 + {е2р)-»е2 + (е1р),
которую можно записать в виде
/обм(рг, т'и т2у 1«-р, ти m2, 1) =
= — (2jt)2m(p', m2i m'u T|Vr|p, mu m2, l+>.
Здесь V1 —потенциал канала 1:
> P2 p2
V1---7-+T-.
Г2 r,2
а бра-вектор отвечает состоянию, в котором электрон с
индексом 2 движется свободно с импульсом р' и спином mf, а
электрон с индексом 1 находится в связанном состоянии со спином
т2.
Чтобы проиллюстрировать применение полученных
результатов, можно рассчитать указанные амплитуды в борновском
приближении. Как мы уже видели, для амплитуды прямого
процесса борновское приближение совпадает с тем результатом,
который получается в борновском приближении, если
атом-мишень трактовать как статическое распределение заряда; этот
результат был получением. (9.21)] в виде
/пРям(р'> m'u mi, l«-p, ть m2, 1) =
=2a(4+j£V(m?) т'Ыи т2>- (22-35)
Здесь последний множитель представляет собой скалярное
произведение начального и конечного спиновых состояний; он
оказывается простым множителем потому, что взаимодействия не
зависят от спина.

§ 5. eU-рассеяние
541
Для вычисления обменной амплитуды /0бм нужно
использовать борновское приближение для столкновения с
перестройкой — процедуру, которую пока мы в деталях не
рассматривали. Прямое применение борновского приближения,
обсуждавшегося в гл. 18, § 4, привело бы к результату
/обм = -(2я)2т<р', НПР, 1+>«-(2я)2т<р', Г|Р|Р| 1) =
= - (2я)2 т <р', Т I (- ~ + -£-) | р, 1). (22.36)
(Мы временно опустили спиновые индексы.) По-видимому, это
приближение соответствует первому члену какого-то
разложения амплитуды /обм по степеням потенциала
р2 р2 <
Vм = — — + —-
Однако обоснование такого разложения оказывается в лучшем
случае весьма сомнительным. Потенциал Vх содержит два
слагаемых: «взаимодействие с кором» — е2/г{ и взаимное
отталкивание электронов е2/г12. Именно взаимодействие с кором —е2\г\
удерживает конечный атом водорода в связанном состоянии;
следовательно, в волновой функции конечного состояния в
(22.36) это взаимодействие должно учитываться (и
учитывается) во всех порядках. Поэтому приближение (22.36) не
является первым членом последовательного разложения амплитуды
/обм по степеням потенциала V1.
Считается, что более удовлетворительный подход состоит в
том, чтобы для амплитуды /0бм в первую очередь использовать
приближение искаженных волн, учитывая взаимодействие с
кором точно и производя разложение только по степеням
взаимодействия электронов друг с другом. Очевидно, что такой подход
свободен от только что описанных возражений. Первый член
указанного степенного ряда точно равен нулю (потому что он
точно равен амплитуде рассеяния с перестройкой, когда
полностью отсутствует взаимодействие между электронами, а эта
амплитуда равна нулю), и поэтому находим
/обм = -(2я)2т(р'Л-,|^-|р, 1 + 1) + о(-^)2. (22.37)
'12 > '12 '
Здесь индексом 1 отмечаются состояния рассеяния в отсутствие
взаимодействия между электронами; в рассматриваемом случае
эти состояния можно рассчитать точно 1).
1) В действительности, как легко видеть, волновая функция для
состояния |р, 1 + i) равна произведению волновой функции, соответствующей куло-
новскому состоянию рассеяния с импульсом р для электрона №1, на волновую
функцию основного состояния атома водорода, в котором находится
электрон № 2.

542
Гл. 22. Тождественные частицы
В приближении искаженных волн часто переходят к
дальнейшим приближениям, разлагая искаженные волны в ряды по
степеням взаимодействия с кором. В низшем порядке получаем
fo6M« ~(2я)2т<р', ! |уЧр, 1>. (22.38)
Мы видим, что результат совпадает с борновским
приближением (22.36) с точностью до слагаемого, содержащего
взаимодействие с кором в борновском приближении, — здесь это
слагаемое отсутствует.
Обычно считают, что приближение (22.38) «корректнее», чем
борновское приближение (22.36) (см. [69]). Однако следует
подчеркнуть, что, хотя превосходство приближения искаженных
волн (22.37) над борновским приближением (22.36) достаточно
очевидно, дополнительные приближения, ведущие от
приближения искаженных волн к конечному результату (22.38),
вызывают те же возражения, что и выдвигались против
первоначального борновского приближения. Поэтому не существует
какой-либо непреодолимой априорной причины предпочесть
результат (22.38) перед простым борновским приближением. Тем
не менее аргументы, ведущие к (22.38), имеют по меньшей мере
то преимущество, что выглядят более систематическими. Более
важное значение имеет следующий факт: найдено, что в тех
случаях, когда проверка доступна, с экспериментом лучше
согласуется приближение (22.38), в котором отсутствует слагаемое,
содержащее взаимодействие с кором. По этим причинам мы
будем использовать формулу (22.38).
Согласно приближению (22.38), обменная амплитуда равна
(мы восстанавливаем спиновые индексы)
fo6M(p', го', tfi2, l«-p, m,, m2, 1) =
= — "ST \ dhl \ ^3^-гр'"х^1оо(х1)7^5;р-х^1ооЫ(^2, ml \mu m2>.
Этот интеграл можно вычислить в пределе больших импульсов,
т. е. при ра ^> 1 (именно в этом пределе борновское
приближение должно быть хорошим приближением); при этом
получается
fo6M(p'» ml, тг, 1«-р, mu m2, 1) =
= P2fl«(7+^fl»)» (m*> m'|mi' m*>- (22-39)
Теперь можно подставить результаты (22.35) и (22.39) для
амплитуд fnpHM и /обм в формулу f = /пРям — /обм и получить различ-

§ 5. е\\-рассеяниб
543
ные сечения:
do
■£-<++«-++)-
4а2
d& v » » " ' ' ' — (4 + q2>
da
•ж(- + *- + -)>
d&
_[(8 + «+-^]2, (22.40)
(22.41)
{4+lj^Vpw\ ' (22.42)
4a2
Все другие сечения перехода (m{, m2«— mu m2) либо совпадают
с одним из этих, либо равны нулю *).
Фиг. 22.3. Упругие сечения еН-рассеяния при энергии 136 эВ в борновском
приближении.
На фиг. 22.3 показаны полученные сечения при энергии
порядка 100 эВ. Но прежде чем обсуждать эти кривые, рассмотрим
некоторые общие свойства сечений (22.40) — (22.42). Прежде
всего отметим следующее: в процесс (-{—Н—(-+) дают вклад
обе амплитуды — прямая и обменная, — в то время как в
процесс (Н—<—|—) дает вклад только амплитуда /прям, а в
процесс с переворотом спина (—Ь^Н—) — только амплитуда
1) Равным образом мы могли бы проанализировать сечение еН-рассея-
ния, используя синглетное и триплетное состояния, обсуждавшиеся для
случая ее-рассеяния в § 2. Аналогично обсуждение ее-рассеяния можно было бы
провести, используя спиновые состояния {ти ш2).

544
Гл. 22. Тождественные частицы
/обм- В частности, если бы амплитуда /0бм равнялась нулю, то
сечения первых двух процессов были бы равными, тогда как
процесс с переворотом спина вообще не мог бы наблюдаться.
Названными свойствами обладают как точные результаты, так
и борновское приближение, причем свойства эти легко понять.
Управляющие переходами взаимодействия не зависят от спина,
так что спины обоих электронов измениться не могут. Поэтому
единственный механизм процесса с переворотом спина
(—Н—I—) состоит в том, чтобы захватывался падающий
электрон, спин которого направлен, допустим, вверх, и
испускался находящийся в мишени электрон, спин которого был
направлен соответственно вниз, т. е. чтобы происходил обмен
электронов. Точно так же, поскольку обменный процесс неизбежно
переворачивает спины электронов в начальном состоянии
(+—), он не может давать вклад в процесс (-\—-<—|—).
С другой стороны, очевидно, что он может давать вклад в
процесс (++«-+ + ).
Важное свойство борновских результатов (22.40) — (22.42)
состоит в том, что при высоких энергиях отношение обменной
амплитуды к амплитуде прямого процесса убывает как 1/р2.
Поскольку при достаточно больших энергиях на борновское
приближение почти несомненно можно полагаться, этот вывод,
по-видимому, правилен. Его также легко понять, поскольку
естественно ожидать, что при р -* <х> вероятность
одновременного захвата падающего снаряда и испускания частиц мишенью
будет убывать быстрее, чем вероятность упругого рассеяния.
Поскольку обменный член отражает тождественность двух
электронов, это означает, что пренебрежение тождественностью
частиц, неоднократно практиковавшееся на протяжении
настоящей книги, оправдано при высоких энергиях.
Что касается численных значений сечений (22.40) — (22.42),
то кривые на фиг. 22.3 показывают сечения при энергии 136 эВ
[точнее, при (ра)2 = 10], т. е. при таком значении энергии, ко--
гда борновское приближение, по-видимому, можно
использовать по крайней мере для оценки по порядку величины1).
Видно, что при указанной энергии обменный член мал по
сравнению с прямым, однако не настолько, чтобы им можно было
пренебречь при точном расчете. В частности, сечения рассеяния
вперед для процессов (++-«—Ь + ) и (Н—-<—|—), равные
друг другу, если /0бм = 0, в действительности различаются на
50%. Разумеется, с ростом энергии эта разница убывает как 1/£.
В заключение отметим, что рассмотренный пример
рассеяния электрона на атоме водорода хорошо иллюстрирует то об-
]) К сожалению, экспериментальных данных для проверки этого
утверждения не существует.

Задачи
545
стоятельство, что существуют определенные общие условия, при
которых с уверенностью можно игнорировать факт
тождественности некоторых из частиц, участвующих в столкновении. Так,
на основании этого примера можно заключить, что в упругом
рассеянии электронов на атомах (или нуклонов на ядрах) при
достаточно высоких энергиях обменная амплитуда будет
пренебрежимо малой по сравнению с амплитудой прямого
процесса. Ясно также, что в рассеянии на очень стабильных
мишенях при низких энергиях (например, в рассеянии протонов на
альфа-частицах) вероятность испускания чаотицы мишенью
будет малой; и на этот раз амплитуда /0бм будет пренебрежимо
малой по сравнению с /прям- Во всех таких случаях можно
просто игнорировать тождественность частиц, и весь аппарат
настоящей главы становится излишним.
Задачи
22.1. а) Пусть имеются бесспиновые бозоны двух различных сортов а и
6, имеющие одинаковую массу, и пусть взаимодействие между двумя
частицами а тождественно взаимодействию а с Ь\ Vaa — Уаь- Пучок
низкоэнергетических частиц b пропускает через мишень из частиц а, причем оказывается,
что этот пучок ослабляется на 1 % (т. е. 99% пучка проходит через мишень не
рассеиваясь). Затем через ту же самую мишень из частиц а пропускается
пучок частиц а той же энергии, что и у частиц в первом случае. Пусть
энергия настолько мала, что рассеяние чисто s-волновое. Покажите, что в
последнем случае пучок частиц а будет ослаблен на 2%.
б) Предположите вместо этого, что частицы а и Ь — фермионы со
спином 72 и что их взаимодействие не зависит от спина. Пусть падающий пучок
и мишень полностью поляризованы и спины соответствующих частиц
параллельны. Покажите, что при условиях, сформулированных в п. «а», мишень из
частиц а становится полностью прозрачной по отношению к пучку частиц а
(т. е. что совершенно не будет происходить аа-рассеяния).
22.2. Докажите оптическую теорему:
lm f (р«-р) = (р/4я)а(р)
для рассеяния двух тождественных бесспиновых бозонов. [Конечно, эта
теорема отражает тот факт, что симметризованные ин-состояния отображаются
на несимметризованные аут-состояния унитарным оператором. Однако этот
момент мы не обсуждали, а требуемый результат легко доказать, записывая
равенство / (р' <-р) = f(p' <- р) + f (— р' <- р) и используя для амплитуды f
известный результат (3.26). Отметим, что для двух тождественных
бесспиновых частиц потенциал V(x) автоматически инвариантен относительно
инверсии (почему?), так что амплитуду /(р'-<-р) свободно можно заменить на
/(-Р'« P)J
22.3. Важно знать наиболее общую форму амплитуды рассеяния двух
тождественных частиц, согласующуюся с тождественностью частиц и с
различными возможными принципами инвариантности. Этот вопрос рассматривается
в настоящей задаче (которая тривиальна) и в следующей задаче (которая
уже не тривиальна).
Должным образом симметризованная амплитуда рассеяния двух
тождественных частиц для любого процесса (ф'-«-ф) должна равняться
произведению ^Ь1 на амплитуду для процесса (пф'+-ф) и произведению ±1 на

546
Гл. 22. Тождественные частицы
амплитуду для процесса (ф'-<-яФ). С другой стороны, можно сказать, что
амплитуда для процесса(Ф'-«-Ф) должна равняться произведению ±1 на
амплитуду для процесса (лф'-<-0) и должна быть равна амплитуде для
процесса (яф'-*-лф). Для двух бесспиновых бозонов эти два условия просто
означают
/(P'«-P) = f(-P'«-P) (22.43)
и
f(p'«-p) = f(-p'«--p). (22.44)
В этом случае условие (22.44) точно совпадает с условием инвариатности
относительно инверсии. Это означает, что рассеяние двух тождественных
бесспиновых бозонов автоматически инвариантно относительно инверсии. И
наоборот, если уже известно, что четность является хорошим квантовым
числом, то соотношение (22.44) не содержит какой-либо новой информации.
В частности, если имеет место инвариантность относительно вращений, то
амплитуду f можно записать в виде /(£,8) и (22.44) удовлетворяется
автоматически; в этом случае требования, вытекающие из тождественности частиц,
полностью содержатся в условии (22.43), которое принимает вид
f(E, 6) = f(E, я-9).
Покажите, что для рассеяния двух тождественных бесспиновых бозонов
ряд по парциальным волнам содержит только четные значения /. (Это просто
отражает тот факт, что состояний с нечетным / не существует.)
22.4. Рассмотрите рассеяние двух тождественных фермионов со спином 7а
(например, рассеяние протонов на протонах) Амплитуду для процесса (р',х'*-
-<-р, %) можно записать в виде V ?(р'<-р) х» и тогда, как легко видеть,
результаты, аналогичные соотношениям (22.43) и (22.44), выражаются
следующим образом:
F (р' <- р) = - пР (- р' ч- р) (22.45)
и
F (р' ч- р) = ЛР (- р' <- - р) я, (22.46)
где я — оператор перестановок в четырехмерном спиновом пространстве. Эти
два условия можно теперь применить к анализу задачи 6.5, в которой (как
вспомнит читатель) матрица Р была представлена в виде разложения
? = a/ + Pia! + Y^ + ei./a;aJ,
а величины a, p*, \i, Ец в предположении инвариантности относительно
вращений были выражены через векторы n, q, k и 16 независимых скалярных
амплитуд a (6), о(6), ... (Мы опустили переменную энергии Е.)
Из полученных условий легче использовать (22.46), потому что яа!я~сг2
и наоборот. Из (22.46) просто вытекает, что матрица Р должна оставаться
неизменной, если поменять друг на друга сг1 и о2 и одновременно заменить
импульсы р и р' на — р и — р' Отсюда получаются определенные
тождества, связывающие величины а, ..., ец, что "приводит, следовательно,
к уменьшению числа независимых амплитуд а(Э), .. Применить условие
(22.45) оказывается намного труднее (см п. «б») Это условие связывает
амплитуды а(8), ... с их же значениями при я — 8. Таким образом, число
независимых амплитуд не уменьшается, а вместо того накладывается требование,
чтобы амплитуды обладали определенными простыми свойствами относительно
замены 6 -+ я — 6
а) Используя только (22.46), покажите, что рассеяние двух
тождественных частиц со спином !/г описывается девятью независимыми скалярными ам-.
плитудами, если взаимодействие этих частиц инвариантно относительно вра,-

Задачи *
547
щений. Покажите, что Р-инвариантность уменьшает это число до шести,
Т—инвариантность — до семи, а при одновременном выполнении Р- и Т-
инвариантности остаются независимыми пять амплитуд. В частности,
покажите, что в случае максимальной симметрии (R, Р и Т) матрицу Р можно
записать в следующей форме:
F = а! + Ьп • (а1 + а2) + сп а'п • а2 + dq • a!q • а2 + ek • c^k • а2.
б) Применяя условие (22.45) к только что полученному результату,
покажите, что пять амплитуд а, ..., е можно записать в виде линейных
комбинаций пяти других амплитуд А, ..., Е, три из которых не изменяются при
замене 0 -»- п — 0, а остальные две меняют при этом знак. [Трудность в
применении условия (22.45) состоит в том, что оно приводит к перестановке двух
конечных частиц, не затрагивая начальных. Простейший способ преодолеть эту
трудность заключается в том, чтобы работать со спиновыми состояниями,
обладающими определенными свойствами симметрии относительно
перестановок, а именно с синглетными и триплетными состояниями. Так, если ввести
синглетный и триплетный проекционные операторы
Лэ = 1(1-<т1.а*)
и
Л,=~(3 + <г'.<г2)
и записать
?-(А0+А,)?в?0 + ?1|
то из (22.45) следует
?о(р'«-Р) = + ?о(-Р'«-Р)
и
Мр'<-р) = -М~Р'<-р).
Остальное сводится к алгебраическим преобразованиям.]
в) Просмотрите еще раз проведенный в задаче 6.8 анализ в моментном
базисе рассеяния (спин 7г) — (спин 7г). Для случая тождественных частиц и
полной инвариантности относительно R, Р и Т покажите, что матрица S' (Е)
имеет только один независимый элемент при нечетных / и четыре независимых
элемента при четных / (кроме / = 0). (Не пытайтесь выписывать ряд по
парциальным волнам; просто занумеруйте состояния, возможные при данном /.)
Заметьте, что, складывая эти числа, получаем пять амплитуд, обсуждавшихся
в предыдущем пункте.
22.5. Рассмотрите упругое рассеяние двухчастичного снаряда на п-ча-
стичной мишени, когда все п + 2 частицы—тождественные бесспиновые
бозоны. (Отсюда получается схематическая модель для рассеяния дейтрона на
ядрах.) Используя анализ, аналогичный проведенному в гл. 22, § 4,
покажите, что должным образом симметризованная амплитуда равна сумме трех
слагаемых: первое из них отвечает упругому рассеянию без обмена частиц,
второе — обмену одной частицы из налетающего снаряда с одной частицей
из мишени (оно умножается на 2п) и последнее — обмену обеих частиц
снаряда с двумя частицами мишени [это слагаемое умножается на п(п—1)/2].

ЛИТЕРАТУРА
1. Mott N. F., Massy H. S. W., Theory of Atomic Collisions, 1st ed., London,
1933. (См. перевод: Н. Мотт, Г. Мессиу Теория атомных столкновений,
ОНТИ, 1936.)
2. Goldberger M. L., Watson K. M.t Collision Theory, New York, 1964. (См.
перевод: М. Гольдбергер, К. Ватсон, Теория столкновений, издво «Мир»,
1967.)
3. Newton R. G., Scattering Theory of Waves and Particles, New York, 1966.
(См. перевод: Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц, изд-во «Мир»,
1969.)
4. Messiah A. M. L., Quantum Mechanics, New York, 1961.
5. Gottfried /(., Quantum Mechanics, New York, 1966.
6. Jordan T. F., Linear Operators for Quantum Mechanics, New York, 1969.
7. Hack M. N., Nuovo Cimento, 13, 231 (1959).
8. Ikebe 7\, Arch. Ration. Mech. Anal., 5, I (1960).
9. Hunziker W., Helv. Phys. Acta, 34, 593 (1961).
10. Фаддеев Л. Д., в книге «Математические вопросы квантовой теории
рассеяния для системы трех частиц», Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 69,
изд-во АН СССР, 1963.
11. Hunziker W., Mathematical Theory of Multiparticle Systems, в книге
«Lectures in Theoretical Physics", vol. X—A, ed. Barut and Brittin, New York,
1968.
12. Eden R. J. et al., The Analytic S Matrix, Cambridge, 1966.
13. Watson K. M., Nuttall /., Topics in Several Particles Dynamics, San
Francisco, 1967.
14. Condon E. U., Shortley G. #., Theory of Atomic Spectra, Cambridge, 1935.
(См. перевод: Е. Кондон, Г. Шорт ли, Теория атомных спектров, ИЛ,
1949.)
15. Wigner E. P., Group Theory, New York, 1959. (См. перевод: Е. Вигнер,
Теория групп, ИЛ, 1959.)
16. Wolfenstein L., Annu. Rev. Nucl. Sci., 6, 43 (1956).
17. MacGregor M. //., Moravcsik M., Stapp H. P., Annu. Rev. Nucl. Sci., 10,
291 (1960).
18. Greenberg /. 5. et al.t Phys. Rev., 120, 1393 (1960).
19. Chamberlain O. et al, Phys. Rev., 102, 1659 (1956).
20. Rose M. E., Elementary Theory of Angular Momentum, New York,
1957.
21. Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton,
1957. (См. перевод в сб. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.)
22. Jacob M., Wick G. С, Ann. Phys., 7, 404 (1959).
23. Фаддеев Л. Д., Вестник Ленингр. унив., 12, 164 (1957).
24. Kato T.t Commun. Pure Appl. Math., 12, 402 (1959).
25. Klein A.t Zemach C, Nuovo Cimento, 10, 1078 (1958).
26. Mott N. F.f Massy H. S. W.f Theory of Atomic Collisions, 3d ed., London,
1965. (См. перевод: Н. Мотт, Г. Месси, Теория атомных столкновений,
изд-во «Мир», 1969.)

Литература
549
27. Hughes A. L., МсМШеп J. Я., Webb G. M., Phys. Rev., 41, 154 0932).
28. Bromberg /. P., J. Chem. Phys., 50, 3906 (1969).
29. Watson G. N., Theory of Bessel Functions, Cambridge, 1958. (См. перевод
более раннего издания: Дж. Я. Ватсон, Теория бесселевых функций, ИЛ,
1949.)
30. Courant P., Hilbert D., Methods of Mathematical Physics, New York, 1953.
(См. перевод более раннего издания: Р. Курант, Д. Гильберт, Методы
математической физики, М. — Л., 1951.)
31. Friedman В., Principles and Techniques of Applied Mathematics, New York,
1956.
32. Calogero P., The Variable Phase Approach to Potential Scattering, New
York, 1967. (См. перевод: Ф. Калоджеро, Метод фазовых функций в
теории потенциального рассеяния, изд-во «Мир», 1972.)
33. Titchmarsh E. С, The Theory of Functions, 2nd ed., London, 1939. (См.
перевод: Э. Ч. Титчмарш, Теория функций, М., 1951.)
34. O'Malley Т. F., Spruch L., Rosenberg L., J. Math. Phys., 2, 491
(1961).
35. Newton R. G., J. Math. Phys., 1, 319 (1960).
36. Calucci G., Ghirardi G. C, Phys. Rev., 169, 1339 (1968).
37. Bollard J. D., J. Math. Phys., 5, 729 (1964).
38. Amrein W. 0., Martin P. A., Misra В., Helv. Phys. Acta, 43, 313
(1970).
39. Geltman S., Topics in Atomic Collision Theory, New York, 1969.
40. Демков Ю. Я., Вариационные принципы в теории столкновений, Физмат-
гиз, 1958.
41. Jackson У. D., Rev. Mod. Phys., 42, 12 (1970).
42. Collins P. D. В., Squires E. J., Regge Poles in Particle Physics, Berlin, 1968.
(См. перевод: Я. Коллинз, Э. Сквайре, Полюса Редже в физике частиц,
изд-во «Мир», 1971.)
43. Chew G. P., S-Matrix Theory of Strong Interactions, New York, 1962,
44. Frautschi S. C, Regge Poles and S-Matrix Theory, New York, 1963.
45. Jacob M.t Chew G. P., Strong Interaction Physics, New York, 1964.
46. Newton R. G., The Complex j-Plane, New York, 1964.
47. Omnes' P., Froissart M, Mandelstam Theory and Regge Poles, New York,
1963.
48. Squires £. /., Complex Angular Momenta and Particles Physics, New York,
1963.
49. Фаддеев Л. Д., ЖЭТФ, 35, 433 (1958).
50. Krai N. A., Gerjuoy P., Phys. Rev., 120, 143 (1960).
51. de Alfaro V., Regge Т., Potential Scattering, Amsterdam, 1965. (См.
перевод: В. де Альфаро, Т. Редже, Потенциальное рассеяние, изд-во «Мир»,
1966.)
52. Erdelyi A , Higher Transcendental Functions, New York, 1953. (См.
перевод: P. Бейтман, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 1—3,
М., 1965-1967.)
53. Нерр К., Helv. Phys. Acta, 42, 425 (1969)..
54. Bodansky D. et al.y Phys. Rev. Letters, 17, 589 (1966).
55. Nuttall /., Webb /. G., Phys. Rev., 178, 2226 (1969).
56. Rubin M.t Sugar P., Tiktopoulos G., Phys. Rev., 162, 1555 (1967).
57. Hughes D. J., Harvey /. A., Neutron Cross Sections, New York,
1955.
58. Dothan У., Horn D., Phys. Rev., Dl, 916 (1970).
59. McCarthy /. P., Introduction to Nuclear Theory, New York, 1968.
60. Lee L. /. et aL, Phys. Rev., 136B, 971 (1964).
61. Gillespie /., Final-State Interactions, San Francisco, 1964.
62. Watson К. М., Phvs. Rev., 88, 1153 (1952).
63. Bomse P. et al, Phys. Rev., 158, 1281 (1967).

.550
Литература
64. Нерр К-, «On the Connection Between Wightman and L. S. Z. Quantum
Field Theory», в книге Axiomatic Field Theory, ed. by Chretien and Deser,
New York, 1965.
65. Stolt R. //., Taylor J. R., Nucl. Phys., B19, 1 (1970).
66. Streater R. /\, Wightman A. S., PCT, Spin and Statistics and all that, New
York, 1964. (См перевод: Я. Стритер, А. Вайтман, PCT, спин и статистика
и все такое, изд-во «Наука», 1966.)
67. Froissart M., Taylor J. R., Phys. Rev., 153, 1636 (1967).
68. Chadwick /., Proc. Roy Soc, A128, 114 (1930).
69. Kang /.-/., Sucher /., Phys. Lett., 20, 22 (1966).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическая теорема 166
Амплитуд матрица 94
— — измерение 101
Амплитуда рассеяния 59, 60
выражение через стационарные
состояния рассеяния 203, 213
для двух тождественных
бозонов 528—530
фермионов 530, 546,
547
для двух частиц 82
для двухчастичных процессов
417
для кулоновского потенциала
315
для нескольких тождественных
частиц 538, 547
для прямого процесса 517, 538,
540
— — для собственных состояний спи-
ральности 149
для частиц со спином 93
как функция £ и 6 106
обменная 517, 538—542
— — поведение при низких энергиях
229, 230
при q2-+ оо 374—375 *
— — связь с состояниями рассеяния
при г-^ оо 14, 206, 448, 449, 452
с Г-матрицей 59, 417
с переворотом и без переворота
спина 95
Аналитическая теория 5-матрицы 340,
359, 403
Аналитические операторы,
определение 158
— потенциалы 261
— функции 251, 252
интегралы 254
ряды 254
Аналитическое продолжение 252
Аналитичность гриновского оператора
158, 159
— многоканальных амплитуд 466—
482
Аналитичность по константе
взаимодействия 245—248
— по Е амплитуды рассеяния вперед
348, 349
— по Е и q2 амплитуды 354—357
— по cos 6 ряда по парциальным
волнам 369—371
— по / 361—362
— по р или Е амплитуды fi 260—264,
343—345
— по р матричного элемента Si 260—
263
— регулярной волновой функции
255—257
— функции Иоста 257—264
Антисвязанное состояние см.
Виртуальное состояние
Антисимметричная волновая функция
519
Асимметрии параметр е 143, 145
Асимметрия рассеяния лево-правая
143
Асимптота 40
— классическая 36—38
— многоканальная 396
Асимптотическая полнота 48
многоканальная 395
Асимптотический вид стационарной
волновой функции 206
в многоканальном
случае 448, 463
для парциальных волн
221, 222
Асимптотическое условие 42—44
многоканальное 388
Аут-асимптота см. Асимптота
Аут-спинор 99, 100
Базис для свободных состояний в
многоканальной задаче 408
— для спиновых состояний 89—91
— из плоских волн 56—57
— из стационарных состояний
рассеяния 201

552
Предметный указатель
Базис импульсный 119—128
— моментный 128—130
— ортонормированный 19, 20
— спиральный 147—151
Бесселя функции 216
неравенства 250, 258, 280
ортогональность 216
сферические 216
Бозон, определение 519
Борновский ряд 174—177
для парциальных волн 225,
245—248
сходимость при
высоких энергиях 247
при малых X 246
для радиальной волновой
функции 246, 247
для S/ 246, 247
для стационарных состояний
рассеяния 203
сходимость для слабых
потенциалов 176
при высоких энергиях 177
Борновское приближение 173, 177—
181, 436
второго порядка 173
для возбуждения 439, 440
для <?Н-рассеяния 185, 186,440—
442, 540—545
для еНе-рассеяния 187, 188
для ионизации 443
для кулоновского потенциала
311-314
для многоканальной задачи 436
для парциальных волн 225
для потенциала Юкавы 182, 213
для прямоугольной
потенциальной ямы 196
для рассеяния электрона на
атоме 185
для столкновений с
перераспределением частиц 540—543
для сферически симметричного
потенциала 178
для упругого многоканального
рассеяния 436—438, 442, 443
запись с потенциалом до
столкновения 436
после - столкновения
443
искаженных волн 320—324, 337,
488—505
для дейтронной реакции
срыва 504
и унитарность 180, 181, 225, 226
при больших / 228
условия применимости 176, 213
Брейт-вигнеровский резонанс 288, 290,
301—305
в многоканальной задаче 488,
489, 491
Вариационный метод для основного
состояния 325, 326
Кона 330—333
Швингера 326—330, 337
Ватсона преобразование 372
— теорема 322
Вектор поляризации 137, 138
— состояния 18
неограниченный 20
ограниченный 20
Вероятность рассеяния 51
в многоканальном случае 390,
402
для тождественных частиц
535—538
Взаимности теорема 423
Взаимодействие в конечном
состоянии 505—515
Вигнера — Вайскопфа модель 496
— коэффициенты 90, 133
— теорема 114, 115
Виртуальное состояние 293, 306
Возбуждение при столкновении 439—
442
Волновая функция антисимметричная
519
в импульсном пространстве 20
канальная 387
координатная 20
симметричная 519
Волновой пакет гауссов 43, 44, 53
движение через область
столкновения 209, 210
свободный 208, 209
Вольтерра уравнение 238
Вращение спиновых состояний 120
Временная задержка 299
при резонансе 298—301
Вронскиан 266
— двух матриц 497
Выбор нуля энергии 384
Вырожденная гипергеометрическая
функция 315
Гайтлера уравнение затухания 335,
336
— матрица 334, см. также /(-матрица
Галилеева инвариантность 78
Гелл-Манна — Гольдбергера
соотношение 322

Предметный указатель
553
Гильбертово пространство 18
Главное значение интеграла по Коши
344
Голоморфная функция 251
Грина функция для парциальных волн
223, 224, 248
для регулярного решения 238
для стоячих волн 337
как матричный элемент
оператора G(z) 158
канальная 447
налагаемые ограничения 250,
280
свободная 204, 205
Гриновский оператор 157—162
аналитичность 158, 159, 161
канальный 432
Липпмана — Швингера
уравнение 161, 162
свободный 159, 160
Двойная спектральная функция 356
Двухпотенциальная формула 322
Двух состояний приближение 455
Двухчастичное рассеяние 79—87
связь с одночастичным 80, 81
— состояние 74—78
Дейтронная реакция срыва 502
Дельта-функция Дирака 73
Детального равновесия принцип 423,
см. также Инвариантность
относительно обращения времени
Дирака представление 189
Дисперсионные соотношения двойные
356
для парциальной амплитуды
344
— релятивистский случай
345
для рассеяния вперед 349
на произвольный угол 352
— — для релятивистского рассеяния
345, 359—361
Крамерса — Кронига 344
с вычитаниями 358, 374
Длина рассеяния 229, 273
большая 279
принцип минимума 332, 333
Зоммерфельда — Ватсона преобразо
вание 373
Изометрический оператор 26—29
отображающий 2$ на ffi 399
Изометрический оператор, обратный
и сопряженный 28, 29
Ин-асимптота см. Асимптота
Ин-спинор 99, 100
Инвариантность относительно
вращений в рассеянии (спин V2) — (спин
0) 121 — 126
(спин 1/2) — (спин V2)
133
для частиц со спином 121,
122, 126—129
и ряд по парциальным
волнам 107—112
и сохранение момента
количества движения 104—107
— относительно инверсии 113
в рассеянии (спин 7г) —
(спин 0) 122—125
(спин 7г) — (спин */г)
133
для частиц со спином 129
и собственные состояния
спиральности 154
— относительно обращения времени
117. 118
в многоканальном
рассеянии 423—425
в рассеянии (спин !/г) —
(спин 0) 127, 132
(спин V2) — (спин !/г)
133
в спиральном базисе 155
для частиц со спином 129
— относительно преобразования РТ
131, 427
Инверсии оператор, действие на
собственные состояния спиральности
154
спиновые состояния 120
определение 112
Ионизация 443
Иоста матрица 477
— решения %±(г) 266
— функция 243
аналитичность по / 362
по р 258
интегральное представление 244
как вронскиан для х+ и Ф 267*
как фактор усиления 510—512
невозможность обращения в
нуль при вещественных р 268
ограничения 244, 258
при 1-+0 244
при р -+ оо 244, 269
разложение в ряд 245
связь с 5-матрицей 243, 260, см.
также Нули функции Иоста

554
Предметный указатель
Канал 380
— базисные функции 407
— группировки 382
— закрытый 381, 463
— открытый 381
— реакций 382
Канальная волновая функция 387
— функция Грина 447
Канальные подпространства 386
Канальный гамильтониан 386, 387
• собственные функции 446, 447,
451
— гриновский оператор 432
— меллеровский оператор 388
— потенциал 430
Кластерный закон 522—524
Клебша — Гордана коэффициенты 90,
154
Комплексный угловой момент 361
Константа связи К 226
аналитичность волновых
функций и амплитуд 246
комплексные значения 245,
246
Кона вариационный метод 330
Координата центра масс 75, 76, 426
Кор 443, 542
Кулоновская амплитуда /с 315
интерференция с
амплитудой для короткодействующих сил
319
Кулоновский потенциал 308
— — борновское приближение 311—
314
параметр взаимодействия 310
плюс короткодействующий
317—320
радиальные функции Fi, Gi 310,
317
сечение 316
с обрезанием 310—312, 319
стационарные функции
рассеяния 315
экранированный 309, 312
— фазовый сдвиг Oi 310
Кэли преобразование 333, 334
/(-матрица 334
— для парциальных волн 273, 274
Лабораторная система 83
Левинсона теорема 230—232, 270, 271,
277, 278, 364
Левый разрез 341
— — отсутствие в полной амплитуде
353
Лежандра функция, ограничения 373
Лемана эллипс 370, 371
Липпмана — Швингера уравнение для
многоканального рассеяния 433, 435
для оператора G{z) 161, 162
для оператора Т(г) 163
для парциальных волн 223—
226
для состояний рассеяния 203
Мандельстама представление 356
для релятивистского случая
360, 361
с вычитаниями 358
Матрица амплитуд 94
— плотности 134—138
для начального и конечного
состояний 138—140
для рассеяния (спин 7г) —
(спин 0) 140, 141
Меллеровский оператор 45
выражение через G(z) или Т(г)
166, 167
действие на гамильтониан 56
для многочастичного рассеяния
388, 401
изометричность 49—50
соотношения переброса 55,
409—410
Мероморфная функция 261
Метод N/D 345
Микрообратимость 423, см. также
Инвариантность относительно
обращения времени
«Минус»-состояние |х—) 45
Многоканальное рассеяние 377—547
определение 11, 12
Момент количества движения и
собственные состояния спиральности
149
комплексный см.
Комплексный угловой момент
полный 105
сохранение и
инвариантность относительно вращений 104—
107
Моментный базис 107, 128, 129, 219—
223
для многоканального случая 420
для свободного движения 107,
128
для трехчастичных состояний
422—423
связь с импульсным базисом
130
Моттовское рассеяние 142

Предметный указатель
555
Наблюдаемые 19
Набор импульсов р 406
— координат х 385
— относительных импульсов р 411
Неоднозначность по модулю я
фазового сдвига 215, 227, 234, 237, 238
Неполяризованные пучки и мишени 96
Неравенство треугольника 31
— Шварца 30
Нестабильные состояния см. Резонан-
сы
Нестационарная теория рассеяния,
определение 12, 13
Неупругости параметр 422
Норма вектора 18
Нули детерминанта &" и связанные
состояния 483, 484
— функции Иоста, движение вблизи
порога 291—297
и резонансы 285—291
и связанные состояния 264—
268
простые при Im p > 0 268,
280
у порога 275—280
Обменная амплитуда 517, 538—542
Обменный канал 534
— процесс 517
Одноканальное рассеяние 34—376
определение 12
Оператор антилинейный 115
— антиунитарный 114, 115, 131
— вращения 104
— изометрический 26—29, 399
— инверсии 112
— линейный 22
действующий между
различными пространствами 399
— область значений 24
определения 23
— обратный 24
— обращения времени 116
действие на радиальные
волновые функции 248
■ на спиновые состояния
129, 132
на стационарные
состояния рассеяния 212
—- перестановок 518
— плотности 135
— проекционный 460
— рассеяния 50—53
в представлении
взаимодействия 190
для двух частиц 81
— — для частиц со спином 92, 93
Оператор рассеяния многоканальный
401
унитарность 51—53
— самосопряженный 19
— смещения, или трансляции 103
— унитарный 24, 25
обозначение 15, 16
— эволюции 25, 26
в представлении
взаимодействия 190
для движения центра масс и
относительного движения 78
свободный 39
— Т{г) 162—164
в многоканальном случае 434
уравнение Липпмана — Швин-
гера 163
Оптическая теорема 71—73
для двух тождественных
частиц 545
для многоканального рассеяния
426
для частиц со спином 101
и дисперсионные соотношения
для рассеяния вперед 350
и унитарность S-матрицы 71,72
обобщенная 359
Оптический потенциал 457—459
обобщенный 457, 458, 462, 465
Орбита 39
— локализованная 36, 37
квантовая 46
— рассеяния 37
Ортогональное дополнение 21
Ортогональности теорема 47
для многоканального
рассеянии 391
Ортогональность 21
Относительные импульсы 77, 410, 411
— координаты 77, 410, 411
для трех частиц 426
Отражение в плоскости 123
Парциальная амплитуда ПО
аналитичность по / 361—363
по р или Е 260—264, 341—
345
борновский ряд 225
борновское приближение 225
в многоканальном случае 420
спиральном базисе 151
выражение через полную
амплитуду 110
через радиальную волновую
функцию 224
вычеты в полюсах 281

556
Предметный указатель
Парциальная амплитуда для
прямоугольной потенциальной ямы 249
как сумма резонансной части и
фона 305
пороговое поведение 229, 272,
273, 279
при высоких энергиях 227, 244
при низких энергиях 228, 229,
271—275, 279, 280
при /-> оо 227, 228, 365
при А,->0 227, 244
связь с радиальной функцией
при г->- оо 221
упругая 421, см. также 5-мат-
рица для парциальных волн
Парциальное сечение 287
Парциальные ширины 489, 491, 495
Паули матрицы 125
Переброса соотношения 55, 56
многоканальные 409, 410
Передаваемый импульс 178
Перекрестные процессы 375
Переменной фазы метод 234
Плоские волны 57
разложение по сферическим
функциям 219
«Плюс»-состояние |Ф+) 45
Подпространства <2#ц. м и 2/ёочп 76
— &±л определение 47
Подпространство 21, 22
— канальное Ф1 391
— связанных состояний Я 46, 47
— состояний рассеяния 01 47, 48, 394,
395
Полюсы амплитуды ft, вычеты 281
— гриновского оператора 159
— многоканальной 5-матрицы и
связанные состояния 482—486
и резонансы 486—493
—st и резонансы 290
и связанные состояния 264
Поляризации вектор 112
Поляризационная способность
анализатора 144
мишени 144
Поляризационные эксперименты 142—
146
Пороговое поведение fi 229, 272, 273,
279
Пороговые энергии 381, 412, 413
• и сингулярности S-матрицы 468,
469
Потенциал аналитический 261
— вида 1/г4 275
— канальный 430
— кулоновский см. Кулоновский
потенциал
Потенциал кулоновский плюс
короткодействующий 317—320
— мажорируемый экспонентой 261,
272, 273
— накладываемые условия 40, 41, 226
— нелокальный 53
— оптический 457—459, 465
— сепарабельный 53, 171
— сингулярный 41, 42
— с конечным радиусом действия 467
— типа твердой сферы 473, 479
— экспоненциальный 280
— Юкавы 182
аналитичность амплитуды fi
261—264, 341—345
борновское приближение 182—
184, 213
дисперсионное соотношение для
рассеяния на произвольный угол
351—354
представление Мандельстама
355—357
преобразование Ватсона 372—
374
траектории Редже 367, 368
Потенциалов матрица 455
Потенциальная яма прямоугольная,
амплитуда рассеяния 249
аналитичность 260,261
борновское приближение 196
резонансы 306
фазовые сдвиги и сечения
230—233, 296
5-волновый фазовый сдвиг
306
Правый разрез 341
Представление взаимодействия 189
Приближение N состояний 455
— одного состояния 185, 456
— сильной связи 455
— эффективного радиуса 275, 281,
282
Приведенная масса 77
Прицельный параметр 60, 61, 63
Проекционный оператор, определение
460
на канальное подпространство
460
симметризующий 520
Промежуточные состояния 189, 194,
195
Пропагатор 195
Пространство <2#ас, определение 400
импульсный базис 405—407
— 3P(Rn), определение 18
— R3, определение 16
Прямая сумма 22, 397

Предметный указатель
557
Радиальная волновая функция 219,
220
борновский ряд 246, 247
для кулоновского
потенциала 310, 317
для падающей и рассеянной
частиц 266
для связанных каналов 464,
476
нормировка 220
поведение при г->-оо 217
свободная 216, см. также
Регулярная волновая функция
Радиальное уравнение Шредингера
220
для свободного движения
216
для связанных каналов 464,
476
Разложение по функциям мишени 444,
453
Рамзауера—Таунсенда эффект 232
Рассеяние двух составных частиц 463,
464
тождественных частиц 524—532
— двухчастичное 79—87
связь с однчастичным 81
амплитуда 82
— квантовое описание
— классическое описание 34—38
— многоканальное 11, 12
— на двух потенциалах 321, 322
— на составной мишени 436—457
— нейтрона на протоне 279, 306
— одноканальное 12
— пиона на нуклоне 131, 515
— протона на углероде 144—146
— частиц со спином 91—93
— электронов на водороде 185—187,
350, 440—442, 539—545
на гелии 187, 188
Реакций матрица, см. /(-матрица
Регулярная волновая функция 233
аналитичность по р 255
в многочастичном случае
477—479
интегральное уравнение 238
ограничения 241, 242, 256
получаемая итерациями 239
— функция 251
Редже полюсы 365
в релятивистском рассеянии
368, 369
и амплитуда при cos 9 ->- с» 374
и предел высоких энергий 367
— теория 361—376
— траектории 366—368
Резерфорда формула 316
Резольвента см. Гриновский оператор
Резонансы 232, 283—307
— брейт-вигнеровские 288, 290, 301—
305
— вблизи порога 293
— в многоканальном случае 486—497
брейт-вигнеровские 488,
489, 491
и полюсы 5-матрицы
486—491
распад 493—497
— время жизни 303
— и кратные полюсы 305, 307
— и связанные состояния 291
— как нули функции Иоста 285—291
— как полюсы S/(p) 290, 291
— как почти связанные состояния
303, 304
— подсистем 514
— при нулевой энергии 279, 293
— экспоненциальный закон распада
303, см. также Ширина резонанса
Риккати — Бесселя функция 216
ограничения 250, 280
ортогональность 216
Риккати — Ганкеля функция 217
ограничения 258, 280
Риккати — Неймана функция 217
ограничения 250, 280
Римана — Лебега лемма 200
Риманова поверхность переменной Е
289
Ряд по парциальным волнам 110—112
аналитичность по cos 9
369—371
в многоканальном случае
421
в спиральном базисе 151,
152
для двух тождественных
бозонов 546
для рассеяния (спин
72) — (спин 0) 131
для связанных каналов
464
Ряд теории возмущений для S-матри-
цы 191, см. также Борновский ряд
Связанные состояния, влияние на
унитарность Q-t 50, 56
и нули det F 483, 484
функции Иоста 264—268
и полюсы S-матрицы 264—268,
483—485
и резонансы 291—297

558
Предметный указатель
Связанные состояния нулевой
энергии 275, 276
погруженные в континуум 485,
486
Связанных каналов приближение 455
уравнения 455, 474
анализ с помощью
парциальных волн 464, 476, 477
Сечение большое при низких энергиях
293
— в классическом описании 60—62
— в многоканальном случае 416
— в системе центра масс 85—87
выражение через
амплитуду 86, 87
связь с сечением в
лабораторной системе 85
— вывод в импульсном пространстве
64—68
с использованием
координатных волновых функций 207—212
стационарных состояний
14, 450, 452
— выражение через амплитуду 66—
69
— дифференциальное 68
— для двух тождественных бозонов
528, 529
фермионов 529, 531
— для двухчастичных конечных
состояний 418
— для кулоновского потенциала 316
— для неполяризованных частиц 98,
141, 154
в рассеянии (спин 7г) —
(спин 0) 98, 125
тождественных 531
— для обрезанного кулоновского
потенциала 312—314, 316
— для парциальных волн 111
— для Прямоугольной потенциальной
ямы 230—232
— для трехчастичных конечных
состояний 418
— для частиц со спином 94, 95
— изотропность при низких энергиях
230
— независимость от формы
падающего пакета 65
— неупругое 419
— определение 61—63
— парциальное 111
— переход от одной системы отсчета
к другой 83—85
от л-системы к ^-системе 85
— полное 72, 419
■ в многоканальном случае 419
Сечение полное для тождественных
частиц 532
— при очень узком резонансе 304, 307
— при участии нескольких
тождественных частиц 538
— резонансное 285—291, 492, 493
— упругое 419
— условия наблюдения 70, 212
Симметричная волновая функция 519
Система центра масс 75, 76
Сложения теорема для сферических
гармоник ПО
Смешанное состояние 135
Собственные состояния в
многоканальном рассеянии 429, 430
гамильтониана Н и углового
момента 219, 220
Я0 и углового момента 107,
128
импульса 56, 57
и спиральности 147—149
многоканальные 405—409
связь с собственными
состояниями углового момента 109
кулоновской задачи 315
момента количества движения
107, 108, 128, 219—223
и спиральности 149
многоканальные 419,
420
полного спина 90
рассеяния 198, 199
Составное ядро 495
Состояния рассеяния 46, 48
для парциальных волн 107, 108
— стоячих волн 337
Сохранение импульса 81, 82
в многоканальном рассеянии
411
и трансляционная
инвариантность 102—104
— момента количества движения в
многоканальном рассеянии 420
— в спиральном базисе 150,
151
и инвариантность
относительно вращений 104, 105, 107
— четности см. Инвариантность
относительно инверсии
— энергии 55—58, 73
в двухчастичном рассеянии 81,
82
в многоканальном случае 410—-
413
Спин 89—91
— действие оператора вращения 119
— суммирование и усреднение 95—99

Предметный указатель
559
Спин фрагментов в многоканальном
рассеянии 403, 409
Спинор 89, 90
Спиральность 146—155
— и собственные состояния импульса
147—149
оператора S$ 149
— и состояния углового момента 150,
151
— определение 146
Срыва реакции 501—505
Статическое приближение 185, 456
Стационарная теория рассеяния,
определение 13
Стационарные состояния рассеяния
14, 197
асимптотика 206
борновский ряд 203
в многоканальном случае
429, 430
асимптотика 448—
452, 463
уравнение Липпма-
на — Швингера 433
для кулоновского
потенциала 315
для парциальных волн 219—
223
и асимптотическое условие
200
как базис 199, 201
разложение по состояниям
мишени 452—456, 463, 464
связь с истинным волновым
пакетом 207
уравнение Липпмана —
Швингера 203
типа стоячих волн 337
Столкновения с перестройкой 450—
452
борновское приближение
539—543
Сферические волны 107
Сходимость векторов 29—32
критерий Коши 30, 31
слабая и сильная 32
— операторов 32, 33
Тензорное произведение 74—77
Теорема о связи спина и статистики
519
Тождественные частицы 516—547
амплитуды рассеяния 538, 547
вероятности рассеяния 535—
538
в многоканальном рассеянии
532-539
Тождественные частицы? общий вид
амплитуды 546, 547
формализм 517—524
полное сечение 532
рассеяние двух частиц 524—532
Угловой момент см. Момент
количества движения
Углы Эйлера 147, 148
Унитарная граница 111
Унитарность и борновское
приближение 180, 181, 225, 226
ограничения на парциальное
сечение 111
— многоканальной 5-матрицы 408, 421
— S-оператора 52, 53
и оптическая теорема 71, 72
пороговые сингулярности
468—471
Унитарный круг 225, 421
— разрез 469
Уравнение для резольвенты 158
Фазовое уравнение 235, 236
Фазовый объем 427
— сдвиг 108
в многоканальном случае 413
для прямоугольной
потенциальной ямы 230—233, 296
для суммы кулоновского и
короткодействующего потенциалов
318
знак 237
и радиальная волновая
функция при г-^оо 221, 222
комплексный 421
кулоновский 310
неоднозначность по модулю я
215, 227, 234, 237, 238
ограничения на скорость
убывания 300
при высоких энергиях 227, 237
при / -* оо 227, 228, 364, 365
при X -+ 0 227, 237
при низких энергиях 230, 274,
281, 282
при резонансе 285—288
производная по / 364
связь с функциями Иоста 243
Факторизация вычета 485, 497
Фактор усиления 511
Фейнмановские диаграммы 194, 195
Фермион, определение 519
физическая область 247, 255, 289

560
Предметный указатель
Физический лист переменной Е 289,
471
в многоканальном случае
471, 472
Формальная теория резоиансов 496
Формфактор 438, 440
Фотоэффект 506—509
Целая функция 246
Центробежный барьер 227, 228
Чистое состояние 135
Шварца неравенство 30
— принцип отражения 253, 343
Швингера вариационный метод 326—
330, 337
Ширина резонанса 489, 495
парциальная 489, 495
связь со средним временем
жизни 303
Шредингера представление 189
— уравнение для связанных каналов
455, 456, 474
нестационарное 25
радиальное 220
для свободного движения
216
многоканальное 464, 476
Эйлера углы 147, 148
Эксперимент по двойному рассеянию
145
— по тройному рассеянию 146
Экспоненциальный закон распада
резонанса 303
в многоканальном случае
495
Эффективный радиус 274
Юкавский потенциал см. Потенциал
Юкавы
S-матрица 57
— в базисе импульса и спиральности
149
S-матрица в базисе углового
момента и спиральности 151
— в моментном базисе 108
для частиц со спином
128—131
— в многоканальном рассеянии 413
— выражение через оператор T(z)
168
— для парциальных волн 108, 214
аналитичность по К 246,
247
по р 260
борновский ряд 246, 247
в многоканальном случае
419—423
аналитичность
466—482
рассеянии (спин !/г) —
(спин 0) 130
выражение через
функцию Иоста 260
для частиц со спином
128—131
полюсы и резонансы 290,
291
и связанные
состояния 264—268, 482—486
связь с парциальной
амплитудой ПО
с фазовым сдвигом
108
эрмитовость 482
— ряд теории возмущений 191
— симметрии 131, 132
Г-матрица 58, 59, 411
— в многоканальном случае 411, 432
— вне энергетической повеохности
59, 169
— для двух частиц 82
— для частиц со спином 93
— запись с потенциалом до и после
взаимодействия 432
— на энергетической поверхности 58,
59, 168, 411
связь с Г-матрицей вне
энергетической поверхности 169, 170
— связь с амплитудой рассеяния 59,
417
со стационарными состояниями
рассеяния 202, 203, 213, 432

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие автора 7
Введение П
Глава 1. Предварительные сведения из математики 17
§ 1. Гильбертово пространство векторов состояния 18
§ 2. Подпространства 21
§ 3. Операторы и обратные операторы 22
§ 4. Унитарные операторы 24
§ 5. Изометрические операторы 26
§ 6. Сходимость векторов 29
§ 7. Операторные пределы 32
Задачи 33
Глава 2. Одночастичный оператор рассеяния 34
§ 1. Классическое описание рассеяния 34
§ 2. Квантовое описание рассеяния 39
§ 3. Асимптотическое условие 42
§ 4. Ортогональность и асимптотическая полнота 46
§ 5. Оператор рассеяния 50
§ 6. Унитарность 51
Задачи 53
Глава 3. Выражение сечений через S-матрицу 54
§ 1. Сохранение энергии 55
§ 2. Г-матрица на энергетической поверхности и амплитуда
рассеяния • 58
§ 3. Классическое сечение 60
§ 4. Определение сечения в квантовой механике 63
§ 5. Вычисление квантовомеханического сечения 66
§ 6. Оптическая теорема 71
Задачи 73
Глава 4. Рассеяние двух бесспиновых частиц 74
§ 1. Двухчастичные волновые функции 74
§ 2. Двухчастичный S-оператор 79

562
Оглавление
§ 3. Сохранение энергии-импульса и Г-матрица 81
§ 4. Сечения в различных системах отсчета 83
§ 5. Сечение в системе центра масс 85
Задачи 87
Глава 5. Рассеяние двух частиц со спином 88
§ 1. Гильбертово пространство для частиц со спином 89
§ 2. 5-оператор для частиц со спином 91
§ 3. Амплитуды и матрица амплитуд 93
§ 4. Суммирование и усреднение по спинам 95
§ 5. Ин- и аут-спиноры 99
Задачи 100
Глава 6. Принципы инвариантности и законы сохранения 102
§ 1. Трансляционная инвариантность и сохранение импульса . . . 102
§ 2. Инвариантность относительно вращений и сохранение момента
количества движения 104
§ 3. Разложение по парциальным волнам для бесспиновых частиц . 107
§ 4. Четность 112
§ 5. Обращение времени 113
§ 6. Принципы инвариантности для частиц со спином в импульсном
базисе 118
§ 7. Принципы инвариантности для частиц со спином в моментном
базисе 128
Задачи 131
Глава 7. Еще о частицах со спином 134
§ 1. Поляризация и матрица плотности 134
§ 2. Матрицы плотности начального и конечного состояний . . ♦ . 138
§ 3. Поляризационные эксперименты при рассеянии частицы со
спином 7г на бесспиновой мишени 140
§ 4. Формализм спиральностей 146
§ 5. Некоторые полезные формулы 152
Задачи 164
Глава 8. Гриновский оператор и Г-оператор 156
§ 1. Гриновский оператор 157
§ 2. Г-оператор 162
§ 3. Связь с меллеровскими операторами 164
§ 4. Связь с оператором рассеяния 167
Задачи 171
Глава 9. Борновский ряд 173
§ 1. Борновский ряд 174
§ 2. Борновское приближение 177
§ 3. Потенциал Юкавы 182
§ 4. Рассеяние электронов на атомах 185

Оглавление 563
§ 5. Интерпретация борновского ряда с помощью диаграмм Фейн-
мана I89
Задачи 196
Глава 10. Стационарные состояния рассеяния 197
§ 1. Определение и свойства стационарных состояний рассеяния . 198
§ 2. Уравнения для векторов, соответствующих стационарным
состояниям рассеяния . . . 201
§ 3. Стационарные волновые функции 204
§ 4. Координатное описание процесса рассеяния 207
Задачи 212
Глава И. Стационарные состояния для парциальных волн 214
§ 1. S-матрица для парциальных волн 214
§ 2. Радиальные волновые функции для свободного движения . .216
§ 3. Состояния рассеяния для парциальных волн 219
§ 4. Уравнение Липпмана — Швингера для парциальных волн . . . 223
§ 5. Свойства парциальной амплитуды 226
§ 6. Регулярное решение 233
§ 7. Метод переменной фазы 234
§ 8. Итерационное решение уравнения для регулярной волновой
функции 238
§ 9. Функция Иоста 242
§ 10. Борновский ряд для парциальных волн 245
Задачи 248
Глава 12. Аналитические свойства парциальной амплитуды ...... 251
§ 1. Аналитические функции одной комплексной переменной .... 251
§ 2. Аналитические свойства регулярного решения 255
§ 3. Аналитические свойства функции Иоста и 5-матрицы .... 257
§ 4. Связанные состояния и полюсы 5-матрицы 264
§ 5. Теорема Левинсона . 268
§ 6. Пороговое поведение и приближение эффективного радиуса 271
§ 7. Нули функции Иоста у порога 275
Задачи 280
Глава 13. Резонансы 283
§ 1. Резонансы и полюсы 5-матрицы 285
§ 2. Связанные состояния и резонансы 291
§ 3. Временная задержка 297
§ 4. Распад резонансного состояния 301
Задачи 306
Глава 14. Дополнительные вопросы одноканального рассеяния 308
§ 1. Кулоновское рассеяние 308
§ 2. Сумма кулоновского и короткодействующего потенциалов . . 3J7

564
Оглавление
§ 3. Борновское приближение в методе искаженных волн 320
§ 4. Вариационные методы 324
§ 5. К-матрица 333
Задачи 337
Глава 15. Дисперсионные соотношения и комплексные угловые моменты . 339
§ 1, Дисперсионные соотношения для парциальных волн 341
§ 2. Дисперсионные соотношения для рассеяния вперед 346
§ 3. Дисперсионные соотношения для рассеяния на произвольный
угол 350
§ 4. Представление Мандельстама 354
§ 5. Комплексные угловые моменты 361
§ 6. Полюсы Редже . . . . * 365
§ 7. Преобразование Ватсона 369
Задачи 376
Глава 16. Оператор рассеяния в многоканальном случае 377
§ 1. Каналы 378
§ 2. Гамильтонианы и асимптотические состояния каналов .... 384
§ 3. Ортогональность и асимптотическая полнота 390
§ 4. Еще немного математики 396
§ 5. Оператор рассеяния 401
Задачи 403
Глава 17. Сечения и принципы инвариантности в многоканальном
рассеянии 405
§ 1. Базисные векторы в импульсном пространстве 405
§ 2. Сохранение энергии и 7,-матрица на энергетической поверхности 409
§ 3. Сечения 415
§ 4. Инвариантность относительно вращений 419
§ 5. Инвариантность относительно обращения времени 423
Задачи 426
Глава 18. Многоканальное рассеяние в стационарной постановке .... 428
§ 1. Стационарные состояния рассеяния 429
§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера 432
§ 3. 7,-операторы 434
§ 4. Борновское приближение; упругое рассеяние 436
§ 5. Борновское приближение; возбуждение 439
Задачи 442
Глава 19. Свойства многоканальных стационарных волновых функций . . 444
§ 1. Асимптотический вид волновых функций при столкновениях без
перестройки частиц 445
§ 2. Асимптотический вид волновых функций при столкновениях
с перестройкой 450
§ 3. Разложение по функциям мишени 452
§ 4. Оптический потенциал 457
Задачи 463

Оглавление
565
Глава 20. Аналитические свойства и многоканальные резонансы . . . 466
§ 1. Аналитические свойства ; .... 466
§ 2. Доказательство аналитических свойств 472
§ 3. Связанные состояния 482
§ 4. Резонансы 486
§ 5. Распад многоканального резонанса 493
Задачи ' 497
Глава 21. Два дополнительных вопроса в теории многоканального
рассеяния 498
§ 1. Борновское приближение в методе искаженных волн .... 498
§ 2. Взаимодействие в конечном состоянии 505
Задачи 515
Глава 22. Тождественные частицы 516
§ 1. Формализм в случае тождественных частиц 517
§ 2. Рассеяние двух тождественных частиц 524
§ 3. Многоканальное рассеяние с участием тождественных частии 532
§ 4. Вероятности переходов и сечения 535
§ 5. Рассеяние электрона на атоме водорода 539
Задачи 545
Литература 548
Предметный указатель 551