Текст
Н.Н.БОГОЛЮБОВ
А.А.ЛОГУНОВ
А.И.ОКСАК
И.Т. ТОАОРОВ
ОБЩИЕ
ПРИНЦИПЫ
КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ
ПОЛЯ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
||СЩ ФИЗИК-О-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.31
Б73
УДК 539.1.01
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И.,
Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля.— М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 616 с.
Посвящена систематическому изложению результатов аксиома-
аксиоматического направления в квантовой теории поля. Часть I содержит
необходимые сведения из функционального анализа и теории
обобщенных функций, а также элементы теории функций несколь-
нескольких комплексных переменных. Центральное место (части II—IV)
занимают различные подходы в аксиоматической квантовой теории
поля — алгебраический подход, формализмы Уайтмана и Лемана —
Симанзика — Циммермана, S-матричный метод. Здесь изложены
фундаментальные результаты квантовой теории поля — ГСР-теоре-
ма, связь спина со статистикой, теорема Хаага, теорема Голдстоуна
и др. Включены разделы, посвященные теориям с индефинитной
метрикой. Общая теория проиллюстрирована на явно решаемых
двумерных моделях. Часть V содержит применения развитого
аппарата к аналитическим свойствам амплитуд рассеяния и к тео-
теории взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях.
Многочисленные упражнения составляют неразрывную часть текста.
Для научных работников, аспирантов и студентов, специализи-
специализирующихся по квантовой теории поля и математической физике.
Ил. 2. Библиогр. 1202 назв.
Рецензент
ч пан-корреспондент АН СССР Д. В. Ширков
1704020000—039 © Издательство «Н:,у„а».
Б лго ,л,™ S7 96-86 Главная редакция
ujo yj?)-ai физико-математической литературы, 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ
Большинство «запоминающихся» результатов релятивистской квантовой
теории было получено в рамках локального квантовополевого подхода. Выяс-
Выяснение основных принципов локальной теории и ее математической структуры
накладывает отпечаток на всю современную деятельность в этой области.
Первоначально аксиоматический подход возник из попытки придать мате-
математический смысл квантовополевой теории сильных взаимодействий (юкавского
типа). Поля в такой теории реализуются операторами в гильбертовом простран-
пространстве с положительным пуанкаре-инвариантным скалярным произведением.
Эта «классическая» часть аксиоматического подхода достигла своего современ-
современного вида еще в 60-х годах *).
Она сохранила свое значение и по сей день, несмотря на то что те-
теперь основные надежды на описание как электрослабых, так и сильных взаимо-
взаимодействий связываются с теорией калибровочных полей. Действительно, с точки
зрения кварковой модели теория сильных взаимодействий уайтмановского
типа получается ограничением рассмотрения лишь «физическими» локальны-
локальными операторами (такими, как адронные поля, составленные из «фундамен-
«фундаментальных» кварковых полей), действующими в гильбертовом пространстве
физических состояний. В принципе таких «физических» полей достаточно
для описания адронной физики, хотя это означает отказ от традиционного
локального лагранжева формализма (связь восстанавливается в приближе-
приближении низкоэнергетических «феноменологических» лагранжианов). Поэтому
желание включить в рассмотрение такие «ненаблюдаемые» (т. е. калибровочно
зависимые) фундаментальные поля, как четырехвекторные потенциалы, ло-
локальное поле электрона или кварка, которые используются в реальных расче-
расчетах по теории возмущений, требует некоторого расширения и модификации
уайтмановской схемы.
Настоящая монография посвящена последовательному изложению прин-
принципов локальной квантовой теории поля, включающему калибровочные теории
с индефинитной метрикой. Хотя относительное место, выделенное в книге соб-
собственно калибровочным теориям, невелико, их включение отразилось на всем
ее построении. Большой упор (по сравнению с [Б5]) сделан на алгебраический
подход.
Наряду с преобладающим чисто теоретическим материалом в последнюю
часть включены применения развитого аппарата к выводу дисперсионных соот-
соотношений и к исследованию поведения сечений взаимодействия элементарных
частиц при высоких энергиях.
Книга рассчитана на физиков-теоретиков и математиков, интересующихся
проблемами квантовой теории поля и математической физики. Хотя мы стреми-
стремились по возможности сделать изложение не зависимым от других источников,
настоящую книгу нельзя рекомендовать для первоначального ознакомления
*) Тогда же она стала объектом специальных монографий [С8, И5, Б5]. Предлагаемая
монография была вначале задумана как второе издание [Б5]. В процессе работы, однако, за-
замысел значительно разросся, и в итоге возникла настоящая новая книга. (Содержание книги
шире, чем это отражено в заглавии: наряду с принципами излагаются и математические методы
квантовой теории поля.)
1* 3
с квантовой теорией. Кроме знакомства с обычным курсом квантовой механики
и с общими представлениями об элементарных частицах и их взаимодействиях,
полезно иметь понятия об основах квантовой теории поля, например в рамках
[Б9] (или первых четырех глав [Б8]; см. также ГХЗ, Ш4]). Вспомогательный ма-
математический аппарат, выходящий за рамки обязательных курсов на физи-
физических факультетах (сведения из функционального анализа, теории обобщен-
обобщенных функций, теории аналитических функций нескольких переменных, словарь
теории групп Ли и их представлений), излагается в тексте.
Мы считаем своим приятным долгом поблагодарить наших коллег из
Математического института им. В. А. Стеклова, Объединенного института
ядерных исследований, Института физики высоких энергий, Института ядер-
ядерных исследований АН СССР и Института ядерных исследований и ядерной
энергетики Болгарской Академии наук за многочислениые полезные обсужде-
обсуждения. Один из авторов (И. Т. Т.) благодарен М. К. Поливанову за гостеприим-
гостеприимство в Математическом институте им. В. А. Стеклова в заключительный период
работы над книгой.
Январь 1984 г.
ВВЕДЕНИЕ
Место аксиоматического подхода в квантовой теории поля. В физике,
как и в математике, аксиоматический метод играет двоякую роль. С одной сто-
стороны, он проясняет логические основы данной области, выявляя независимые
посылки (скажем, евклидовой геометрии или ньютоновской механики), и тем
самым открывает новые возможности. С другой стороны, путем выделения фун-
фундаментальных структур он позволяет найти связь между далекими на первый
взгляд разделами науки. Такой подход характерен для современной матема-
математики, где он привел к возникновению ряда новых областей. Менее склонны за-
замечать роль аксиоматического метода в теоретической физике, где он, однако,
еще со времен Ньютона приобрел широкое распространение — и как способ
систематизации полученных результатов, и как метод описания новых явлений
с помощью выработанных ранее формальных схем. В основе всякой аксиоматики
физической дисциплины лежат глубокие физические представления, выражен-
выраженные в математически непротиворечивой форме. Замечательно то, что формальные
схемы порой содержат больше, чем в них первоначально закладывалось (при-
(примеры: принцип действия, канонический формализм, ансамбль Гиббса). Отсюда
проистекает и обратное влияние математических структур теоретической физи-
физики на формирование физических представлений.
В 30-е годы аксиоматический метод был с успехом применен (в работах
Иордана, фон Неймана, Вигнера) к квантовой механике (см. [Н4]; в качестве
примеров более позднего развития этого направления можно рекомендовать
книги [Ml, X7]). Структурный анализ квантовой механики привел к замеча-
замечательному синтезу физических и математических идей, которые стали частью
общепринятого формализма квантовой теории и оказали влияние на развитие
математики. (Под стимулирующим влиянием квантовой теории родились новые
разделы функционального анализа: теория операторов в гильбертовом про-
пространстве, операторные алгебры, унитарные представления групп, гармониче-
гармонический анализ.) Математические проблемы квантовой теории в большой мере опре-
определили интересы современной математической физики. Щ
В квантовой теории поля аксиоматический подход был вызван к жизни
в 50-е годы в связи с успехами и трудностями метода возмущений в лагранжевой
квантовой теории поля. Разработанный в методе возмущений аппарат пере-
перенормировок привел к блестящему успеху в квантовой электродинамике, где
параметр разложения — константа связи — мал, так что для сопоставления
с экспериментом можно было ограничиться первыми членами ряда теории воз-
возмущений. Однако этот метод оказался непригодным для описания сильных
взаимодействий элементарных частиц (где эффективная константа связи
больше единицы). Лучшее, что дает теория перенормировок,— это формальный
бесконечный ряд для решений квантовополевых уравнений в классе физически
интересных перенормируемых лагранжианов. Аксиоматический подход был
призван в первую очередь ответить на вопрос, что скрывается за этими фор-
формальными бесконечными рядами. Для этого потребовалось создание новых
принципов квантовой теории поля, отличных от лагранжева метода с его
теорией возмущений *).
*) Здесь уместно напомнить аналогичную ситуацию, имевшую место в теории вероятно-
вероятностей: аксиоматика Колмогорова (предложенная в конце 20-х годов) вызвала решительную пере-
перестройку этой дисциплины на вполне математических основаниях.
Первая попытка выйти за рамки лагранжева подхода восходит к Гейзен-
бергу A943). Анализируя, что на самом деле измеряется в физике элементарных
частиц, Гейзенберг приходит к выводу, что основной наблюдаемой является
матрица рассеяния, и предлагает строить теорию непосредственно в терминах
элементов S-матрицы, устраняя понятие поля, адиабатическую гипотезу вы-
выключения взаимодействия (лежащую в основе теории возмущений) и т. п. Ока-
Оказалось, однако, что подход Гейзенберга слишком радикален. Полное изгнание
локальных величин из теории лишает нас возможности рассматривать развитие
системы в пространстве и времени, учитывать принцип причинности. Поэтому
развитие аксиоматического метода пошло по пути изучения локальных величин.
При этом в самом начале (в 50-е годы) определились по крайней мере три
направления.
Формализм Уайтмана выделяет в качестве основных объектов наиболее
регулярные величины — квантованные поля в представлении Гейзенберга и
вакуумные средние их обычных произведений (функции Уайтмана, аналогич-
аналогичные корреляционным функциям в статистической физике). Функции Уайтма-
Уайтмана в принципе позволяют извлечь всю физическую информацию, заключенную
в теории. В частности, асимптотическое условие (которое было первоначально
сформулировано Хаагом как один из постулатов теории) и матрица рассеяния
являются производными понятиями (лишь условие асимптотической полноты
остается независимой гипотезой).
В подходе Лемана, Симанзика и Циммермана (LSZ) основными понятиями
являются хронологические (или Т-) произведения полей (а также их вакуум-
вакуумные средние — функции Грина) и асимптотическое условие. При этом мо-
может показаться, что нет смысла говорить здесь о независимом подходе, по-
поскольку функции Грина и Т-произведения формально выражаются через функ-
функции Уайтмана и обычные произведения гейзенберговских полей. На самом
деле это формальное определение математически некорректно, так как вклю-
включает произведение (операторной) обобщенной функции на разрывные 0-функ-
ции (это приводит к расходимостям того же типа, что и в теории возмущений).
Именно это обстоятельство заставляет принять альтернативную точку зрения,
что Т-произведения (или, эквивалентно, запаздывающие произведения) явля-
являются исходными объектами теории наряду с гейзенберговскими полями и опре-
определяются лишь косвенно при помощи некоторого набора свойств. Такой под-
подход не является наиболее экономичным (поскольку теорию рассеяния можно
в принципе развить и не вводя заранее понятия Т-произведения; см. гл. 12), но
он практически удобен и приближает нас к традиционному лагранжеву ме-
методу.
Подход Боголюбова, Медведева и Поливанова, в котором основным объек-
объектом является расширенная (за массовую оболочку) S-матрица, внешне ближе
к первоначальной программе Гейзенберга. В содержательном отношении он
тесно связан с параллельно возникшим подходом LSZ, так как расширенная
S-матрица является по существу производящим функционалом Т-произведений
операторов тока. В то время как в формализме Уайтмана или LSZ вывод формул
редукции (выражающих S-матричные элементы через функции Грина) нетри-
нетривиален, в S-матричном методе эти формулы выводятся автоматически формаль-
формальным вариационным дифференцированием S-оператора (или выраженных через
него радиационных операторов) по асимптотическим полям. Эффективный учет
сложной комбинаторики в операциях такого рода обусловливает практическое
удобство S-матричного метода. Не случайно именно на этом пути впервые были
доказаны дисперсионные соотношения.
В 60-е годы в значительной мере были выявлены связи между этими исто-
исторически независимо возникшими направлениями. Если отвлечься от некоторых
математических тонкостей и технических различий, можно сказать, что все
три подхода с равным успехом приложимы к классу квантовополевых теорий
с условием асимптотической полноты. Поскольку это условие существенно
используется лишь в последних двух подходах, то формализм Уайтмана
является несколько более общим.
Наряду с этим в 60-е годы возникло еще более общее аксиоматическое на-
направление. В работах Хаага, Араки и Кастлера принципы локальной квантовой
теории были сформулированы на языке алгебраического подхода, ведущего свое
начало от работ фон Неймана и Сигала. Значение этого подхода для общей
постановки задач физики систем с бесконечным числом степеней свободы все
более возрастает. В частности, он предоставляет способ описания калибровоч-
калибровочных теорий, спонтанного нарушения симметрии (а в статистической физике —
фазовых переходов, что, однако, выходит за рамки настоящей книги).
Среди различных путей, по которым движется современная теория эле-
элементарных частиц, аксиоматический подход занимает сравнительно небольшое
место (в особенности, если судить по числу публикаций). Однако недолговеч-
недолговечность феноменологических результатов теорий, основанных на ряде специаль-
специальных допущений, увеличивает интерес к результатам, вытекающим из основных
принципов квантовой теории; эти принципы — релятивистская инвариант-
инвариантность, существование полной системы состояний с положительной энергией,
причинность.
До сих пор нет полного ответа на основной вопрос, из-за которого возник
аксиоматический подход,-— совместимы ли принципы релятивистской локаль-
локальной квантовой теории поля (в четырехмерном пространстве-времени) с суще-
существованием нетривиальной матрицы рассеяния. В последнее десятилетие здесь
произошел большой сдвиг. Возникла по существу новая область — конструк-
конструктивная квантовая теория поля (см. [Г7]), в результате развития которой были
построены нетривиальные модели в двумерном и трехмерном пространстве-
времени. Однако эти модели являются супер перенормируемыми *) и не
требуют бесконечной перенормировки заряда. Рассмотрение реалистиче-
реалистических перенормируемых моделей в четырехмерном пространстве-времени тре-
требует существенно новых методов. Тем не менее достигнутые на этом пути успе-
успехи, наряду с обнаружением перенормируемости и асимптотической свободы
неабелевых калибровочных полей в традиционном (формальном) подходе **),
открывают дальнейшие перспективы развития локальной квантовой теории
поля.
План изложения. Часть I носит предварительный характер: она содержит
необходимые для дальнейшего сведения из функционального анализа и теории
функций. Эта часть местами довольно конспективна и, разумеется, не может за-
заменить систематического изложения всех затрагиваемых вопросов: некоторые
доказательства опущены (и заменены подробными литературными ссылками),
далеко не все определения и утверждения сопровождаются наводящими сооб-
соображениями.
Систематическое изложение начинается с части II. После изложения ос-
основных понятий квантовой феноменологии на алгебраическом языке формули-
формулируются те принципы релятивистской квантовой теории, которые не требуют
введения локальных величин: принцип инвариантности относительно группы
Пуанкаре (т. е. неоднородной группы Лоренца) и условие спектральности (т. е.
существование полной системы физических состояний с неотрицательной энер-
энергией).
В части III излагается в основном уайтмановская формулировка теории
локальных квантованных полей. Подробно разбираются примеры свободных (и
обобщенных свободных) полей. Здесь приводится ряд общих результатов:
ГСЯ-теорема, теорема о связи спина со статистикой, теоремы Хаага и Голд-
стоуна. Одна из глав посвящена обобщению уайтмановского формализма для
полей в индефинитной метрике (важность этого класса теорий заключается
в том, что сюда попадают калибровочные теории в локальных ковариантных
калибровках). Глава о двумерных явно решаемых моделях служит как бы
иллюстрацией к формализму Уайтмана и его обобщениям.
*) Т. е. обладают конечным числом примитивно расходящихся (одночастично неприво-
неприводимых) диаграмм (см. определение, например, в [Ш4], § 16).
**) См., например, сборник [К7] и обзор Крюзера A976).
Часть IV включает обзор теории рассеяния Хаага — Рюэля, ее связь
с теорией LSZ, а также S-матричный подход.
В части V развитый аппарат применяется к аналитическим свойствам
амплитуд элементарных процессов. Несмотря на простоту, идея аналитичности
оказала весьма плодотворное влияние на развитие теории сильных взаимо-
взаимодействий (в этой связи отметим хотя бы дуальные резонансные модели). В
нашем изложении представлены основополагающие результаты, выводимые из
принципов квантовой теории поля; в первую очередь, это аналитичность по
косинусу угла рассеяния, дисперсионные соотношения, кроссинг. Приложе-
Приложениям результатов локальной квантовой теории поля к высокоэнергетическим
процессам элементарных частиц посвящена обширная литература (подробную
информацию о ней читатель найдет в обзорах [01]). Несколько таких харак-
характерных примеров приведено в заключительной главе.
Каждой части предшествует краткое изложение содержания.
В книгу включены дополнения, излагающие вспомогательный материал
или вопросы, представляющие самостоятельный интерес. Многочисленные
упражнения составляют неразрывную часть текста. На них имеются ссылки
в дальнейшем, и, как правило, они снабжены указаниями. Дополнения, упраж-
упражнения, доказательства, а также некоторые замечания набраны петитом.
Список литературы разделен на две части. В первой из них помещены учеб-
учебники и монографии; ссылки на них заключены в квадратные скобки (например,
[А1]). Вторая часть содержит журнальные статьи, препринты и лекции на се-
семинарах и школах. В тексте ссылки на эту часть списка даются фамилиями
авторов (или только первого с добавлением «и др.», если авторов больше двух)
и годом публикации (например, Яух и Рорлих, 1963).
В конце книги имеется сводка часто встречающихся обозначений. Отме-
Отметим, что все координаты 4-векторов пространства-времени Минковского М
у нас вещественны и метрический тензор в М определяется равенствами
g»° = — gkk = i ПрИ k — \, 2, 3 (g^v = 0 при ]х,фу, [л, v = 0, 1, 2, 3).
Трехмерная (пространственная) часть 4-вектора р обозначается жирным
шрифтом, так что p=z(p°, p), р2^(р°у~р2. Всюду принята система еди-
единиц, в которой с=%=\.
Часть I
ЭЛЕМЕНТЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КРАТКИЙ ОБЗОР
С понятием гильбертова пространства и со спектральным анализом самосопряженных
операторов в нем читатель, безусловно, встретился еще при изучении квантовой механики.
Параграфы 1.1 и 1.4 содержат дальнейшие сведения из этой области. Из остального материала
главы 1 выделим понятие локально выпуклого пространства и конструкцию Гельфанда — Най-
марка — Сигала (ГНС) представления С*-алгебры.
Неотрицательная функция р(и) на векторном пространстве Q называется полунормой,
если она положительно однородна: р(Хи)=\Х\ р(и) (для любого скаляра К), и удовлетворяет
неравенству треугольника p(u+v)^:p(u)-\-p(v). Всякая система полунорм {ра} в простран-
пространстве Q, обладающая свойством отделимости [ра(и)=0 для всех а из данного набора </? влечет
за собой и=0], определяет (отделимую) локально выпуклую топологию на Q. В п.1.2.А вво-
вводится некоторое естественное понятие эквивалентности (взаимной подчиненности) двух систем
полунорм; две локально выпуклые топологии над данным линейным пространством Q совпа-
совпадают в точности тогда, когда эквивалентны порождающие их системы полунорм. Полное (от-
(отделимое) локально-выпуклое пространство со счетной системой полунорм называется простран-
пространством Фреше. Всякое пространство Фреше метризуемо, и, следовательно, к нему применима
теорема Бэра «о категории» (теорема 1.3, п. 1.2.Б).
Инволютивная банахова алгебра Ж называется С*-алгеброй, если || А*А \\ == || А ||2
(п. 1.5.А). Это понятие абстрагировано из алгебр ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве. Линейный функционал F над инволютивной алгеброй Ш называется положи-
положительным, если F (A*A)^zO при всех А из 31 (п. 1.5.В). Конструкция ГНС позволяет по
данному положительному функционалу F над С*-алгеброй Ж построить (циклическое) пред-
представление пр алгебры Ш в гильбертовом пространстве fflp с циклическим вектором Фр так,
что F (А) = <.Фр, пр(А)Фр> при всех А?Ж (теорема 1.25 П.1.5.Г).
Важным примером пространства Фреше является пространство (комплексных) беско-
бесконечно гладких (кратко, '6°°) быстро убывающих основных функций if (Rn) (п. 1.2.В); в нем
можно задать топологию при помощи возрастающей системы гильбертовых норм ЦиЦп =
= [~u(x){\x\2—b+\)»4i(x)dnx (\x\2 = xl+...+xl, A=s-^-r+... +-^Л (эквивалент-
J V дх\ дх\ ]
ной системе A.42)). Обобщенные функции определяются (п. 2.1.А) как линейные непре-
непрерывные функционалы над if (Rn). (Иногда для этого же объекта используется термин
«обобщенная функция умеренного роста»; для более общего понятия линейного функцио-
функционала над пространством финитных #°°-функций 3) (б) мы оставляем термин Шварца «рас-
«распределение».) Обобщенные функции (так же, как и распределения) можно дифференциро-
дифференцировать и умножать на полиномиально ограниченные гладкие функции, не выходя из про-
пространства tf" (R") (соответственно &)' (Q)). Свойством, выделяющим пространство ?Р (Rn)
и ему сопряженное, является их рефлексивность при преобразовании Фурье: если
, то
п (р) = $ е'Р*и (х) d"x
где if (Rn)—пространство функций от р с мерой dnp = d"p/Bn)n (предложение 2.6). Равен-
Равенство Парсеваля
справедливое для произвольных пробных функций и и f) используется для определения)
преобразования Фурье обобщенной функции f. В рамках теории преобразования Фурье
обобщенных функций (п. 2.5.Б) получают обоснование формулы типа 6(х)— \ e~iPxdnp.
В § 2.7 вводятся понятия векторной и операторной обобщенных функций. Первое из них
позволяет определить обобщенные собственные векторы (соответствующие непрерывному спект-
спектру самосопряженного оператора — п.2.7.В); второе понадобится нам при формулировке поле-
полевых аксиом в третьей части.
Глава 3 посвящена изучению лоренц-инвариантных и ковариантных обобщенных функ-
функций. В качестве введения приводится классификация конечномерных представлений группы
SLB, С) (квантовомеханической группы Лоренца). Предложение 3.2 (п.3.2.Б) является точ-
точной формулировкой интуитивного представления о том, что любая четная лоренц-инвариантная
функция одного 4-вектора р является функцией р2. Сюда относятся также инвариантные обоб-
обобщенные функции, сосредоточенные в точке, которые имеют вид P([j) 6(р) (см. C.89)). Произ-
Произвольная нечетная инвариантная функция / задается, со своей стороны, функционалом типа
(/, и) = J f (р) и (р) diP= J dx fy (т) 5 diP е (р°) б (т-р2) и (р) (u?g> (Щ,
где ^—обобщенная функция из ?f (/?), исчезающая при т < 0 (и. 3.2.В).
При изучении лоренц-ковариантных (обобщенных) функций (§ 3.3) мы пользуемся
формализмом однородных полиномов от спинорных переменных со(?С2) и со (вместо того
чтобы работать со спин-тензорами). Функция / (р; со, со) ковариантна, если / (Л (Л) р;
Лео, Лсо)=/(р; со, со). Нетривиальная ковариантная функция f существует, лишь если сте-
степень однородности по со совпадает со степенью однородности по со. Обозначая эту общую
степень через п, будем иметь fn (р; со, со) = f0 (р) (со/ко)™, где /0 — лоренц-инвариантная
(обобщенная) функция (см. C.127)).
Обобщенная функция f+ (х) из &" (М) называется запаздывающей, если ее носитель
содержится в конусе будущего V+; аналогично, /_ (х) —опережающая функция, если
supp/_c:V~. В дополнении Б доказано, что преобразование Фурье запаздывающей (опере-
(опережающей) функции является предельным значением аналитической функции, голоморфной
в трубчатой области T'± = J?4 + iT:fc.
Пусть /i+ (p) и h_ (p) — преобразования Фурье запаздывающей и опережающей функ-
функций и пусть их разность g(p) = h+ (р)—/i_ (р) сосредоточена в области ((—т, O)-\-Vtl) U
U ((т, 0)+К^), где V^ = {p?/?4: ± p°3=l^M2 + /?2}. Тогда справедливо представление
Йоста — Лемана
g(p) = e(po) J dx J d3q 6 {pi~(р-ф») [Ф„ (q, х) + р*Ф! (q, т)],
о
где Фо, Фц — обобщенные функции из &' (R3XR+), сосредоточенные на множестве
\q\<m, Y~YP*]
Глава 4 посвящена выводу представления Йоста — Лемана—Дайсона (ИЛД), которое обоб-
обобщает формулу на случай более общей (несимметричной) области исчезновения функции g(p).
Представление ИЛД дает возможность аналитически продолжить единую функцию
h(k), первоначально заданную в объединении областей T+\JT~[}Q (где Q — (вещественная)
область совпадения h+ и /i_):
h<k)-lh+(k) прИ k^T+'
K'~\h_(k) при k?T~,
в некоторую более широкую область 4-мерного комплексного пространства. Это — простейший
пример теоремы «об острие клина» (теорема 5.12). Она иллюстрирует важный факт, отличаю-
отличающий теорию аналитических функций нескольких комплексных переменных от соответствующей
теории функций одной переменной. В то время как любая область D комплексной плоскости С
является областью голоморфности некоторой аналитической функции, не допускающей анали-
аналитического продолжения вне D, в случае нескольких переменных существуют области, не яв-
являющиеся областями голоморфности ни одной аналитической функции. Это позволяет ввести
понятия аналитического расширения, области голоморфности и оболочки голоморфности, изу-
изучению которых посвящена глава 5.
Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1.1. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
А. Линейные пространства. При изучении бесконечномерных линейных
пространств методами функционального анализа акцент делается на тополо-
топологические свойства. Оставляя пока в стороне топологические детали, мы
здесь кратко перечислим основные понятия, связанные с линейными прост-
пространствами и известные из линейной алгебры.
Линейным пространством является множество элементов любой при-
природы, для которых определены операции сложения и умножения на веще-
вещественное (или комплексное) число с выполнением обычных для этих действий
законов. Элементами линейного пространства могут быть, например, векторы
в л-мерном евклидовом пространстве или множество непрерывных (или интегри-
интегрируемых) функций, заданных на некотором точечном множестве в конечномер-
конечномерном пространстве, или функционалы, заданные на некотором классе функций.
Для абстрактной теории линейных пространств конкретная природа их эле-
элементов безразлична.
Приведем точные определения.
Множество Q называется линейным пространством (над полем /? вещест-
вещественных или С комплексных чисел), если выполнены условия I — III.
I. В Q определено коммутативное и ассоциативное сложение. Это означает,
что для каждых двух элементов и и v множества Q однозначно определен третий
элемент u-\-v, причем
la. u+v=vJru;
16. u+(v+w)=(u+v)+w;
1в. При любых ии v существует элемент х, зависящий отии», такой, что
u-{-x=v (этот элемент обозначается как v—и).
II. В пространстве Q определено умножение на числа К, ц, . . . , причем
Па. Ьы=ы;
Пб. X(\iu)=(X[i) и для любого u?Q.
III. Операции сложения и умножения на число связаны законами дистри-
дистрибутивности:
Ilia. (M-|x) u=Xu+[iu;
Шб. X(u+v)=Xu+lv.
Элементы линейного пространства называются также точками или векто-
векторами, а само линейное пространство — векторным пространством (веществен-
(вещественным или комплексным в зависимости от выбора /? или С в качестве поля скаля-
скаляров; в дальнейшем в этой книге мы будем иметь дело главным образом с комплек-
комплексными пространствами).
Условие 1в эквивалентно одновременному выполнению следующих условий:
1в'. Существует элемент 0?Й такой, что для всех и м+0=и;
1в". Для каждого u?Q существует противоположный элемент—и такой, чтои+(—и)=0.
Упражнение 1.1. Доказать эквивалентность условия 1в совокупности условий
1в' и 1в".
Упражнение 1.2. Доказать, что из сформулированных аксиом следует: 0-и=0,
(—1) и=—и.
Подмножество X в Q называется линейным подпространством, если оно-
само является линейным пространством относительно линейных операций
11
(сложения и умножения на скаляры), заимствованных из X. Если X—ли-
X—линейное подпространство в Q, то в Q можно ввести отношение эквивалент-
эквивалентности, объявляя два вектора и, v?Q эквивалентными, если и — v?X. Таким
образом, класс эквивалентности элемента и ? Q есть подмножество и=и-\-Х =
= {и -\~v : v ? X} в Q. Множество классов эквивалентности называется фак-
фактор-пространством пространства Q по модулю подпространства X и обо-
обозначается посредством Q/X. Нетрудно видеть, что это—линейное простран-
пространство, если определить линейные операции посредством (« + у)* = н
()
Для произвольного множества X в Q имеется наименьшее линейное
подпространство в Q, содержащее X; оно называется линейной оболочкой
множества X (или линейным подпространством, натянутым на X) и состоит
из всевозможных линейных комбинаций элементов из X, т. е. из векторов
п
вида 2 kjUj, гДе К' — произвольные скаляры, а и.;?Х. Если равенство
/ = 1
п
2 hjUj — O возможно только, когда все К, равны нулю, то векторы из X
i =i
называются линейно независимыми. Пространство Q, в котором любое мно-
множество линейно независимых векторов конечно, называется конечномерным,
а всякое такое максимальное множество называется базисом в Q. Если
базис состоит из п элементов, пространство Q называется л-мерным.
Фундаментальными понятиями теории линейных пространств являются
линейные функционалы и линейные операторы. Вообще, функционалом на
линейном пространстве Q называют (обычно числовую) функцию, определен-
определенную на Q. Функционал F называется линейным, если он принимает значения
в поле скаляров и удовлетворяет условию линейности
F(ku+]iv)=kF(u)+\iF(v), A.1)
где Я., [л — произвольные скаляры, и, v? Q. (Значение F(u) линейного функцио-
функционала на элементе F иногда записывают в виде (F, и) или (F, и).)
Пусть Й!ИЙ2— Два линейных пространства над одним и тем же полем ска-
скаляров; линейным оператором из Qx в Q2 называют функцию, скажем, Т: &!->¦ Qa,
определенную на Qi со значениями в Qz и удовлетворяющую условию линей-
линейности типа A.1). Значение Т(и) линейного оператора на элементе и обычно
записывают в виде Ти. Если Qi=Q2=&, то Т называется линейным оператором
в Q. Если T(Qi)=fi2 (т. е. если образ йх совпадает с Q2), то Т называется опе-
оператором из &х на й2- Взаимно однозначное линейное отображение ?2i на Q3
называется изоморфизмом линейных пространств (изоморфизм Q на себя назы-
называется линейным преобразованием Q).
Линейный функционал есть частный случай оператора, когда Q2 есть поле
скаляров. Другим важным примером линейного оператора является естествен-
естественная проекция J: Q ->- Q/X, сопоставляющая вектору и ? U его класс эквивалент-
эквивалентности «=ы+Х.
В случае, когда йх и й2— комплексные линейные пространства, употреби-
употребительно также понятие антилинейного оператора; это функция Т: Q,->- й2,
удовлетворяющая условию антилинейности
Т (\и + И =1Т (и) + рТ (и) A.2)
при всех Я,[л?С, u^^Q^ Примером антилинейного] оператора служит
операция комплексного сопряжения в С": (Ти){-=и{.
Существует теорема о продолжении линейного функционала, согласно ко-
которой всякий линейный функционал Fo, заданный на линейном подпростран-
подпространстве X, может быть продолжен до линейного функционала F на всем простран-
пространстве п.
Доказывается теорема посредством леммы Цорна — своеобразного заменителя «трансфи-
«трансфинитной индукции». Ввиду дальнейших ссылок мы приведем ее здесь в форме, удобной для при-
применений. (Различные формулировки и обсуждение леммы Цорна можно найти в [К14], § 1.5.)
12
Лемма 1.1 (Цорна). Пусть Л есть некоторое семейство подмножеств некоторого
множества А, обладающее тем свойством, что объединение любой цепи подмножеств из семей-
семейства Л содержится в некотором подмножестве из Л- Тогда в семействе А имеется максималь-
максимальное подмножество.
При этом подсемейство семейства Л подмножеств называется цепью, если любые два
его элемента U, V связаны либо соотношением UczV, либо VczU. Подмножество U се-
семейства Л называется максимальным, если из условий L/cV для множества V из семей-
семейства Л следует U = V.
Упражнение 1.3. (а) Доказать теорему о продолжении линейного функционала. (Ука-
(Указание: в качестве множества А в лемме Цорна взять QxК, где K—R или С есть поле
скаляров; в качестве семейства Л подмножеств в А рассмотреть множество графиков ли-
нейных'функционалов F, определенных на линейных подпространствах в Q, содержащих X
и совпадающих с Fo на X.)
(б) Пусть Mj, ..., ип—линейно независимые векторы в Q. Доказать, что существуют
п линейных функционалов fu ...,fn на Q таких, что fi(uj) = 8(j F,7 — символ Кронекера).
(Указание: воспользоваться теоремой о продолжении.)
Нуль-пространство линейного оператора Т определяется равенством
T={«^Qj: Ты = 0}; очевидно, это линейное подпространство в Q,.
Упражнение 1.4. Пусть нуль-пространство линейного оператора Т: Qj-»- Й2
содержит линейное подпространство Хсщ. Доказать, что существует единственный линейный
оператор S: QJX-+- Й2 такой, что T=Sp, где р: Qj->- Qx/X — естественная проекция. (В этом
случае говорят, что оператор Т опускается оператором S с Йг на QJX.)
Б. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств. Из
имеющихся в распоряжении линейных пространств можно строить новые.
Пусть {Qv}vejv есть некоторое семейство линейных пространств, различаю-
различающихся индексом v (пробегающим индексное множество N). Рассмотрим мно-
множество Q, состоящее из всевозможных семейств {uv}Vsjv = w, где uv пробе-
пробегает элементы из Qv, причем для каждого такого семейства и только конечное
число элементов uv отлично от нуля. Элемент uv называется v-й проекцией
(или компонентой) элемента и. В частности, в Q имеется нулевой элемент,
у которого все проекции равны нулю. Легко видеть, что Q становится
линейным пространством, если определить сумму u-\-v и произведение К-и
на число в терминах проекций: (и + v)v — uv + vv, (X«)v = Xuv. Оно называется
(алгебраической *)) прямой суммой пространств Qv.
Еще одним важным конструктивным приемом является тензорное умно-
умножение. Пусть имеется конечное семейство линейных пространств Qlt . .., Qn.
Введем множество IF, состоящее из всевозможных функций f от п перемен-
переменных v1^Q1, ..., vn?Qn со значениями в поле скаляров, причем предпола-
предполагается, что f(vlt .... у„) = 0 всюду за исключением конечного числа точек
(Vf, ..., vn) 6^iX ... xQn. Очевидно, F является линейным пространством,
если определить линейные операции посредством
i> •••- »„) = /(»!, ..., yB) + g(ai, ..., va),
l, ..., vn) = K.f{vlt ..., vn).
Любой фиксированной точке (ult ..., un) ?QjX ... xQn сопоставим элемент
fUu .... un € &, полагая
f 0,
fut uniVi, ..., «„)=< .
0, если (vlt ..., un)=?Mwi. •• •, «„),
если К, ..., vn) = (Ui, ..., и„).
Линейная оболочка элементов /„, „„ есть все пространство ? (более того,
эти элементы образуют базис в ?). Рассмотрим линейное подпространство
X в ?, натянутое на векторы вида
/«1 «v +Vy Un /Ы, Uv Un /«» »v "«'
. un Muy, ..., uv, .... un,
*) Алгебраическую прямую сумму (или алгебраическое тензорное произведение) следует
отличать от топологической прямой суммы (или топологического тензорного произведения;
см., например, П.1.1.Д).
где v пробегает произвольные значения от 1 до п; иг, ..., Uj, vJy .. ¦, и„ —
произвольные векторы из соответствующих пространств Qlf ..., Qn; I—про-
I—произвольный скаляр. Фактор-пространство Ш'/X называется (алгебраическим)
тензорным произведением линейных пространств Qlt ..., Qn. В частности,
класс эквивалентности fUl и„ элемента /„, и„ называется тензорным про-
произведением элементов иг, ..., ип и обозначается посредством ^(Я).. •(^"га-
Характеристические свойства тензорного умножения таковы.
(а) Тензорное произведение пространств Qlt ..., Qn натянуто на эле-
элементы «j®. . -®Ы„.
(б) Полилинейность:
ui ®- • -® (Auv + |it»v) ®. • ¦ (X) «„ =
(в) Если у"\ ..., t)(OTv^—набор линейно независимых векторов в Qv, то
векторы fi'1'®. • »B)Упп) (где tv пробегает значения от 1 до mv) линейно
независимы.
Упражнение 1.5. Доказать свойство (в) тензорного умножения. (Указание: пусть
i'i ¦¦• in
Для доказательства, например, того, что A,i...i = 0, ввести для каждого v линейный функ-
функционал /iv на Qv такой, что hviu^)^! и hv(u.y)) = 0 при / > 1. Далее на введенном выше
пространстве функций §¦" определим линейный функционал Н посредством
H(f)= 2 ••• 2 f^' ¦¦;Vn)h1(v1)...hn(vn).
Убедиться, что этот функционал опускается до некоторого линейного функционала h на
фактор-пространстве ^/Х = Qx ®. ..(X)Qn, причем h (у^'1'®. ..® к^"') равно 1 при»з,= 1, ...
..., ('„=) и равно 0 при всех прочих значениях ilt ..., in. Наконец, подействовать функ-
функционалом h на равенство A.3).)
Упражнение 1.6. Пусть каждое из пространств Qv конечномерно и {fv'}/=i mv
есть базис в Qv. Доказать, что тогда_ векторы v^ (g).. .®^'л> образуют базис в тензорном
произведении пространств Qlt ..., Qn, так что размерность тензорного произведения равна
произведению размерностей пространств Qi Qn.
В. Понятие нормированного пространства. Перейдем к топологическим
понятиям. Начнем с простейшего примера линейного топологического про-
пространства — нормированного пространства. Более общий класс линейных
топологических пространств (класс локально-выпуклых пространств) будет
введен в § 1.2.
Вещественная функция р(и), заданная в Q, называется нормой, если вы-
выполнены следующие условия:
(а) для любого скаляра к р(ки) = \Х\ р(и) (положительная однородность);
(б) p(u+v)<g.p(u)+p(v) (неравенство треугольника, или выпуклость нор-
нормы);
(в) если р(и)—0, то и=0 (отделимость).
Из условий (а) и (б) следует неотрицательность нормы:
0=р (и—и) </? (и)+р (—и)=2р (и).
Функции, удовлетворяющие лишь условиям (а) и (б) (но, возможно, не удовлет-
удовлетворяющие (в)), называются полунормами.
Линейное пространство, в котором определена норма, называется норми-
нормированным. Норма элемента и иногда обозначается через |'ы||.
Определив расстояние между двумя элементами и, v как d(u, v)=p(u—v),
мы тем самым превращаем нормированное пространство в метрическое [т. е.
в множество Q, снабженное неотрицательной функцией d(u, v) на Qxfi, назы-
называемой метрикой, которая должна по определению удовлетворять условиям
симметрии (d(u, v)=d(v, и)), неравенству треугольника (d(u, v)^d(u, w)-\-
14
-td(v, w) при всех u,v,w?Q) и отделимости (d(u, v)=0 => u=v)]. Говорят, что
последовательность {un} в Q сходится к и, если расстояние между ипи и стре-
стремится к нулю при п-*- оо: lim d(un, ы)=0. Определенная таким образом схо-
димость называется сходимостью по норме или сильной сходимостью.
Упражнение 1.7. (а) Доказать непрерывность нормы, т.е. что ||м„||—>-||и||, если
м„—*-и по норме при п—>-оо.
(б) Доказать непрерывность суммы u-\-v по и, v, я также непрерывность произведе-
произведения Хи по и, X, т.е. что un-\-vn—>-u-\-v, если ип—»¦ и, vn—*v при п—>• оо, и что
^¦лМл —*¦ Хи, если ип —> и, Х„ —>• X при п —>• оо.
Последовательность {ип} элементов нормированного (или метрического)
пространства й называется фундаментальной, если для любого е>0 можно
указать номер N(e) такой, что при ri>N(e) и m>N(s) d(un; um)<e (т.е.
если \im d(un; um)=0). (Иногда фундаментальная последовательность назы-
min (яг, п)^-<ю
вается последовательностью, сходящейся в себе, или последовательностью
Коши.) Нетрудно видеть, что если последовательность {ип} сходится к неко-
некоторому элементу и ? Q, то она фундаментальна. Обратное утверждение не всегда
имеет место. Нормированное (или метрическое) пространство, в котором каж-
каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу
того же пространства, называется полным. Полное нормированное пространство
называется банаховым пространством. Справедлива теорема, согласно которой
любое нормированное пространство может быть пополнено до банахова про-
пространства (см., например, [ИЗ], п. 1.10). Банахово пространство й называется
сепарабельным, если в нем существует счетное множество, всюду плотное в Q
(т. е. такое, что любой элемент из Q представляется как предел последователь-
последовательности элементов из этого счетного множества).
Тривиальным примером банахова пространства является л-мерное веще-
вещественное евклидово пространство /?", в котором норма определяется формулой
2
;= 1
A-4)
Другим примером (уже комплексного) банахова пространства является
пространство ^([а, Ь]) комплексных непрерывных функций на отрезке ta, b]
с нормой
р(и)= sup \u{x)\. A.5)
хе[а. Ь]
Упражнение 1.8. Доказать полноту пространства % ([а, Ь]).
В качестве следующего примера банахова пространства рассмотрим
пространства ^K,m(R"), играющие важную роль в теории обобщенных функ-
функций. Здесь к, т—произвольные целые неотрицательные числа. Простран-
Пространство oft,, m (/?") состоит из всех комплексных функций от л вещественных
переменных х^(х^ ..., хп) ? R", имеющих непрерывные частные производ-
производные до порядка т включительно и убывающих на бесконечности не мед-
медленнее, чем |х|~т. Другими словами, для функций из afxm{R") все произ-
произведения вида
xuu(x)-Xl...xa ахр1-%>ахр„ U-oj
ограничены для всех мультииндексов аире целочисленными компонен-
компонентами такими, что
161 = 8, + ...+В_<т. A.7)
Норма в пространстве &%, т (/?") определяется равенством
||u|U m== max sup \xaD^u(x)\.
15
В следующем пункте мы рассмотрим примеры гильбертовых пространств,
являющихся важным специальным случаем банаховых пространств.
Два нормированных пространства называются изоморфными *), если между
ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные
операции и норму векторов (т. е. линейное изометрическое отображение одного
пространства на другое).
Упражнение 1.9. Пусть X — замкнутое линейное подпространство банахова
пространства Q.
(а) Доказать, что X само по себе является банаховым пространством (с линейными
операциями и нормой, заимствованными из Q).
(б) Доказать, что фактор-пространство Q/X является банаховым пространством с нормой
|и||= inf ||и + »П Для всех u?Q. A.9)
vex
Г. Гильбертовы пространства. Функция со, сопоставляющая каждой паре
и, v комплексного линейного пространства Q комплексное число со (и, к), назы-
называется полуторалинейной формой на Q, если со (и, v) линейно по v и антилиней-
но по и, т. е. если
СО (и, AaOx+A-aOg) =*,!(» (U, Vi)+Xt® (U, Vt),
2, v)
для всех и, ии и2, v, vu v2?u, Xlt Я,а€С. Если к тому же выполнено условие
эрмитовости
со (и, у) = со(у, и),
то со называется эрмитовой формой.
Выражение со (и, v) называют скалярным произведением векторов и, v(z&,
если эрмитова форма невырождена, т. е. если из условия со (u, v)=0 при всех
v ? Q следует и=0 (другими словами, если для любого элемента ы=й=0 существует
элемент v ? Q такой, что со (и, v)^0). Для скалярного произведения ш (и, v)
используют обычно обозначение (и, v) (или (u\v)).
Очевидно, «скалярный квадрат» (и, и) любого вектора u?Q есть веществен-
вещественное число. Если он принимает любые вещественные значения, то Q называется
пространством с индефинитной метрикой.
Нас здесь интересует другой случай. Эрмитова форма со называется не-
неотрицательно определенной, если скалярный квадрат любого вектора неот-
неотрицателен:
со (и, «)^0 для всех и?п, A-10)
и положительно определенной**), если в дополнение к A.10) выполнено условие
со(ы, и)=0, только если ы=0. A-Н)
Из следующего упражнения (точнее, из неравенства A.12)) вытекает, что не-
неотрицательно определенная форма со является положительно определенной
в точности тогда, когда она невырождена, и, значит, выражение со (и, и)=(и, и)
можно называть скалярным произведением векторов и, v. (Отсюда нетрудно
вывести методом от противного, что в пространстве с индефинитной формой су-
существует вектор ифО, для которого {и, и)=0.)
Упражнение 1.10. Пусть со — неотрицательно определенная эрмитова форма
на Q.
(а) Доказать, что для любых векторов и, v?Q справедливо неравенство (называемое не-
неравенством Коши — Буняковского — Шварца)
|ш(м, и)|2<ш(и, и) со(у, v). A.12)
(Указание: выражение (o(Xu-\-v, hi-\-v) неотрицательно при всех
*) Более общим является понятие топологического изоморфизма (нормированных) про-
пространств (см. п. 1.3.А).
**) Иногда неотрицательно определенные и положительно определенные формы называют
соответственно положительно определенными и строго положительно определенными.
16
(б) Доказать, что выражение
р(ц)=]ЛСо(м> м) A.13)
есть полунорма на Q; она является нормой в точности тогда, когда форма со невырождена.
Пространство Q с заданной на нем положительно определенной эрмитовой
формой со (u, v)=(u, v) называется (комплексным) предгильбертовым простран-
пространством.
Из упражнения 1.10 следует, что всякое предгильбертово пространства
является нормированным с нормой
И = ]/<^>. A.14)
При этом выполняется неравенство Коши—Буняковского—Шварца
|НИ. A.15)
Полное предгильбертово пространство Ж называется гильбертовым про-
пространством *).
Упражнение 1.11. Доказать непрерывность по и, v скалярного произведения, т. е.
что («„, vn) -*¦ (и, v), если ип—*¦ и, vn-+- v по норме.
В гильбертовом (а также предгильбертовом) пространстве имеет смысл
понятие ортогональности: два вектора Ф, W называются ортогональными*
если их скалярное произведение <Ф, ?> равно нулю. Множество X гиль-
гильбертова пространства Ж называется тотальным, если замыкание линейной
оболочки множества X всюду плотно в Ж.
Упражнение 1.12. (а) Доказать закон параллелограмма для нормы гильбертова
пространства:
(б) Доказать тождество поляризации:
<Ф, ^> = 1/4 2 <»11«»Ф+*Р; A-17)
здесь со пробегает четыре комплексных корня из единицы (т.е. ш=± 1, ± i).
Тождество поляризации показывает, что скалярное произведение в гильбертовом про-
пространстве полностью определяется нормой. Представляет интерес вопрос, какие свойства
нормы выделяют гильбертовы пространства в классе всех банаховых пространств. Оказывается,
закон параллелограмма является таким характеристическим свойством нормы гильбертова
пространства (Иордан и фон Нейман, 1935). Другими словами, если норма в банаховом/про-
банаховом/пространстве Ж Удовлетворяет закону параллелограмма, то Ж является гильбертовым простран-
пространством со скалярным произведением A.17). Докажем это. Очевидно, достаточно проверить ра-
равенства
У2> при Ф, Vu ЧъЬЖ, A-18)
при Ф,
Из A.17) следует:
Преобразуем правую часть с помощью закона параллелограмма:
= BЦФ+ У1[р+2|]Ч'2рЧ|Ф+ЧЧ-Ч'#)-||Ф-Ч'1-Ч'2Р^
Отсюда и из тождества 1т(Ф, T)^Re^t®,T) следует A.18). Для Х= ^/\ A.19) следует из A.17),
поэтому достаточно доказать A.19) для \>0. Для целых Х>0, а также для рациональных
Х>0 A.19) следует из A.18); для прочих Х>0 оно вытекает из непрерывности скалярного про-
произведения.
У п р ажнение 1.13. Пусть Жг — замкнутое линейное подпространство гильбертова
пространства и Ф—произвольный вектор из Ж-
*) Мы ограничились здесь только комплексными гильбертовыми пространствами, пред-
представляющими для нас первостепенный интерес.
17
(а) Доказать, что существует вектор ФХ?Ж1 такой, что
inf [|Ф —Т|| = ЦФ —ФдИ. A.20)
Ж
(Указание: пусть d= inf || Ф — Y || и ^?n — последовательность в Жх такая, что
|] Ф — Ч'п ||—>¦ d при п—>оо. Из тождества параллелограмма A.16), примененного к векто-
векторам Ф — Y^, Ф — Уп, заключить, что ЦТд, — Тв ||—*-0 при min (m, n)—»-оо, т. е. что
последовательность ^п фундаментальна.)
(б) Положим Ф2 = Ф — <Di. Доказать, что вектор Ф2 ортогонален Жл.- (Указание: из
A.20) следует, что || Ф2 -f Шх f > || Ф21|* при всех ЧГ&Ж Ь?С)
Ясно, что всякое замкнутое линейное подпространство Жх гильбертова про-
пространства Ж само по себе является гильбертовым пространством. Множество
ЖЬ = {®?Ж: <Ф, ?> = 0 для всех Ч^Ж^ A.21)
называется ортогональным дополнением подпространства Жх.
Упражнение 1.14. Пусть Жх — замкнутое линейное подпространство гильбертова
пространства Ж-
(а) Доказать, что Ж^~ является замкнутым линейным подпространством в Ж> при-
чем ЖгПЖНМ-
(б) Доказать, что любой вектор из Ж однозначно представим в виде Ф = Ф!-|-Ф2>
где Фх?Жх, ^г^Жу- (Указание: воспользоваться предыдущим упражнением и частью (а)
настоящего упражнения.)
Результат части (б) упражнения 1.14 формулируют еще так: гильбер-
гильбертово пространство Ж разлагается в прямую сумму ортогональных подпро-
подпространств Ж\ и ЖЬ\ записывают этот факт в виде
(Ортогональное дополнение иногда называют «ортогональной разностью» и
используют обозначение Ж± = Ж@Жг.) Входящие в разложение Ф =
= ф1-|-ф2 векторы Ф1?Ж1, Ф2?Ж^ называют (ортогональными) проекци-
проекциями вектора Ф на подпространства Жх и Жх.
Упражнение 1.15. (а) Доказать, что множество ХсЖ является тотальным в точ-
точности тогда, когда множество всех векторов в Ж' ортогональных X (т.е. всем векторам из
X), состоит только из нуля. (Указание: применить упражнение 1.14 к замыканию линейной
оболочки множества X.)
(б) Доказать, что гильбертово пространство Ж является сепарабельным в точности тогда,
когда в нем существует конечное или счетное ортонормированное (т. е. ортогональное и нор-
нормированное) семейство векторов {еп}, <е/, е/)=о/у, которое образует тотальное множество *)
в Ж- (Указание: использовать процесс ортогонализации последовательности векторов.)
Тривиальным примером гильбертова пространства является л-мерное
комплексное евклидово пространство С" со скалярным произведением
<ф, Ч">= 2 ОД. A.22)
Гильбертово пространство образуют комплексные измеримые функции
вещественной переменной х с интегрируемым квадратом модуля на интервале
[а, Ь]. Точнее, это есть пространство классов эквивалентных функций при
условии, что эквивалентными объявляются функции, отличающиеся значения-
значениями лишь на множестве нулевой лебеговой меры. Это пространство обычно обо-
обозначается Jr?2([a, b]). Скалярное произведение в нем определяется по формуле
ь
<ф, ?> = J Ф (х) ? (х) dx. A.23)
*) Такое семейство векторов называется (ортоноржированным) базисом (конечно- или
счетномерного) гильбертова пространства.
18
Гильбертовы пространства часто получают с помощью следующей общей
конструкции. Пусть на комплексном линейном пространстве Q задана неотри-
неотрицательно определенная эрмитова форма ю. Следовательно, выражение A.13)
определяет полунорму р(и) на Q. Пусть п0 есть множество всех векторов нуле-
нулевой полунормы в Q, т. е. Q0={u?Q: р(и)=0}. Ясно, что Qo есть линейное
пространство, а из неравенства A.12) следует, что Qo ортогонально всем векто-
векторам из Q. Нетрудно видеть, что формула
<и.^> = ю(". v) при всех и, v?u A-24)
корректно определяет положительно определенную эрмитову форму (или ска-
скалярное произведение) на фактор-пространстве Q/&0, которое тем самым превра-
превращается в предгильбертово пространство. Пополняя его, мы получаем гиль-
гильбертово пространство Ж (в котором ?2/й0 является всюду плотным линейным
подпространством).
Д. Прямая сумма и тензорное произведение гильбертовых пространств.
В п. 1.1.Б мы ввели понятия алгебраической прямой суммы и алгебраического
тензорного произведения линейных пространств. В том случае, когда исходные
пространства являются гильбертовыми, получающиеся пространства, вообще
говоря, являются (неполными) предгильбертовыми пространствами, нуждаю-
нуждающимися в пополнении для того, чтобы стать гильбертовыми пространствами.
Рассмотрим эти конструкции подробнее.
Пусть задано семейство {.Wv}vsn гильбертовых пространств Жу. Вве-
Введем семейства CD={cpv}VgW, у которых Фv есть произвольный вектор из Жу
при условии, что
Ясно, что Ov Ф О только для конечного или счетного множества индексов v.
Множество всех таких семейств обозначается посредством (J) Жу и назы-
вается прямой суммой гильбертовых пространств.
Очевидно, прямая сумма наделена структурой линейного пространства
с линейными операциями, выполняемыми покомпонентно. Более того, она яв-
является гильбертовым пространством, если определить скалярное произведение
двух векторов Ф, ? формулой
<Ф,»_?> =2 <<Dv. Ч\,>- A-26)
N
Мы предлагаем читателю убедиться, что условие полноты гильбертова про-
пространства действительно выполнено.
У п ражнение 1.16. (а) Пусть Q есть алгебраическая прямая сумма семейства гиль-
гильбертовых пространств [Жу\- Доказать, что Q есть всюду плотное линейное подпростран-
подпространство в © Ж
V
(б) Пусть все гильбертовы пространства $gf сепарабельны и отличны от {0}. Дока-
Доказать, что их прямая сумма 0)Жу сепарабельна в точности тогда, когда индексное множе-
множество N не более чем счетно. (Указание: воспользоваться упражнением 1.15.)
В приведенной конструкции прямой суммы исходные пространства Ж^
являются чем-то внешним по отношению к прямой сумме. Однако их можно
естественным образом отождествить с определенными подпространствами
в прямой сумме. Действительно, фиксируем некоторый индекс Я ? iV и каж-
каждому и ? Жх сопоставим вектор Ф из прямой суммы такой, что
Ф^ = и, а все остальные компоненты Фг вектора Ф равны нулю.
В результате мы получаем отображение Жь-^®Жу, которое является
V
изоморфизмом гильбертова пространства Ж% на замкнутое линейное под-
подпространство Ж'),аО)Жч (состоящее из всех векторов прямой суммы, у ко-
которых компоненты Фу при v^^- равны нулю). Если отождествить Жх с Ж'%,
19
то мы можем заключить, что гильбертово пространство ©$fv является
прямой суммой своих подпространств Жч.
Упражнение 1.17. Пусть в гильбертовом пространстве Ж выделено семейство
{Жу) замкнутых линейных подпространств Ж^- Доказать, что Ж является прямой суммой
своих подпространств 5?fv в точности тогда, когда подпространства ^fvnonapHo ортогональны,
и в ffl не существует ненулевого вектора, ортогонального всем подпространствам Ж^-
Выбирая в гильбертовом пространстве Ж ортонормированный базис, мы
получаем пример разложения Ж в прямую сумму одномерных подпространств.
Под таким ортонормированным базисом подразумевается всякое семейство
{ev)veN векторов в Ж, обладающее свойствами: 1) <ея, ен,> = бЯм,) 2) мно-
множество векторов {ev}VSN тотально в Ж. Отсюда легко заключить, что про-
произвольный вектор и?Ж однозначно представим в виде
Ф= 2 Vv- (l-27a)
где
K = <ev, Ф>. A.276)
Сумму ряда A.27а) нужно понимать в следующем смысле: для любого е > 0 су-
существует конечное подмножество индексов М с jV такое, что IIФ— 2 ^А>|| < е-
// V € М II
Скалярное произведение двух векторов Ф = 2 K^v и ^ = 2 ША> дается
V V
формулой
<Ф, ^> = 2 K\lv.
veN
В каждом гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис {ev}veN, и
мощность этого базиса (т. е. мощность множества индексов N) называется размерностью гиль-
гильбертова пространства (см., например, [ИЗ], гл. III, п.4).
Перейдем к тензорному произведению. Пусть Q есть алгебраическое
тензорное произведение конечного семейства гильбертовых пространств
&С\, ..., Ж'„. Произвольная пара Ф, ? векторов из Q представима в виде
М N
"V
— ?j Wj {ssj • • • чСУ Un , x — ^j c/j {ssj * • »*о^ Un ' V ^ -АО)
f=l /=1
где uli\ v$ 6 Жк. Определим скалярное произведение этой пары векторов
формулой
М N
<ф, ?> = 2 2 <"i". v[b- ¦ -<и^, xtfy A.29)
1=1/=i
Однако поскольку представления A.28) не обладают свойством единственности,
неочевидно, что правая часть A.29) зависит только от векторов и, и и не зависит
от конкретного представления A.28). Следующее упражнение показывает, что
данное определение корректно, т. е. что'правая часть A.29) не зависит от вы-
выбора представления A.28).
Упражнение 1.18. (а) На пространстве ff~ из п. 1.1. Б определим эрмитову форму,
полагая
2 ..., &„)<«!, &!>...<«„, ?>„>. A.30)
«1. fiSQ, un, vn?Qn
Доказать, что форма «в неотрицательно определена.
(б) Доказать, что если f?X или g?X, то ш (/, g) = 0. Вывести отсюда, что форму со
можно опустить на gf~/X = Q, т. е. что существует такая форма ш на ?2, что ш (/, g) =
= ш (/. g) при всех /, g?JF. Убедиться, что форма ш (и, v) совпадает с выражением <u, f>,
определенным формулой A.29).
(в) Пусть вектор Ф выбран в виде A.28) и пусть {е"'}/= i m —ортонормирован-
—ортонормированный базис в подпространстве в Жv> натянутом на векторы и^1', ..., м^'. Тогда Ф можно
20
представить в виде
Ф = ?j %i { e*/1' ®.
ii in ' "
Доказать формулу
1фп>« 2 1 *•?,... #„ I"-
Н, •••¦ in
Вывести отсюда, что эрмитова форма <Ф, Y> является положительно определенной.
Итак, согласно упражнению 1.18 Q является предгильбертовым про-
пространством со скалярным произведением A.29). Его пополнение является
гильбертовым пространством, которое называется тензорным произведением
гильбертовых пространств Жх, ..., Жп и обозначается ^f1®...®^fn.
У пражнение 1.19. Пусть {4?'} а 6 ^ есть ортонормированный базис в гильбертовом
пространстве Ж^- Доказать, что векторы е^™1'®...® ej,an) (где av пробегает Лч) обра-
образуют ортонормированный базис в Жг.®- • -®Жп-
Е. Линейные функционалы и сопряженные пространства. Как известно
из анализа, непрерывность числового функционала на нормированном про-
пространстве можно определять двумя эквивалентными способами—в терминах
последовательностей и в терминах «е-8».
Упражнение 1.20. Доказать, что линейный функционал F на нормированном
пространстве Q непрерывен в точности тогда, когда существует константа с^О (завися-
(зависящая от F) такая, что
| F (и) | < с[| и [| для всех u?Q. A.31)
Таким образом, для непрерывного линейного функционала на норми-
нормированном пространстве определена величина
p'(F)= sup \F(u)\. A.32)
«ей, и и j|< 1
Непрерывные линейные функционалы на нормированном пространстве
называют также ограниченными линейными функционалами. (Как правило,
мы будем иметь дело с такими функционалами и иногда именовать их для крат-
краткости просто линейными функционалами.) Совокупность всех непрерывных
линейных функционалов на нормированном пространстве Q называется со-
сопряженным пространством и обозначается п' (иногда используют обозначе-
обозначение Q*). Это — нормированное пространство, в котором норма (обозначаемая
также ||Fjj) определена формулой A.32).
Упражнение 1.21. Доказать, что пространство, сопряженное нормированному прост-
пространству, является банаховым пространством.
Рассмотрим несколько примеров сопряженных пространств.
1) Пространство ^'([а, Ь]), сопряженное пространству "ё([а, Ь]), определен-
определенному в п. 1.1.В, состоит из функционалов вида интеграла Стилтьеса
ъ
F(u)= lu(x)dy{x), A.33)
а
где (f(x) — функция с ограниченным изменением (см. [К2], гл. VI, §3) (теорема
Рисса). Норма функционала равна полной вариации функции <р:
k-i
k a!<"x1 < ... < xk <b j = 1
Линейный функционал F?e'([a, b\) называется положительным, если для
любой неотрицательной функции и?"ё([а, b\) F(u)^0. Ф. Риссу принад-
принадлежит также теорема о том, что любой положительный функционал на
t? ([a, b]) представим в виде A.33) с монотонно неубывающей функцией ср.
В дальнейшем мы будем пользоваться также многомерным обобщением те-
теоремы Рисса: пусть % (К) — пространство комплексных непрерывных функ-
21
ций на компактном подмножестве Kc:Rn\ тогда пространство % (К), со-
сопряженное Ч§ (К), состоит из функционалов вида
, A.35)
где (л,— произвольная (комплексная борелева) мера на К (см., например,
[К2], гл. VI, § 3).
2) Пространство Ж', сопряженное гильбертову пространству, состоит
из функционалов вида
= <?, Ф>, A.36)
где W?Ж (теорема Рисса; см., например, [К2], гл. V, § 3). Нетрудно
убедиться, что норма функционала F равна норме соответствующего век-
вектора 4я: p'(F) = \\vl Таким образом, формула A.36) устанавливает взаимно
однозначное антилинейное отображение пространства Ж на Ж', сохраняю-
сохраняющее норму*).
Важную роль в теории сопряженных пространств играет теорема Хана —
Банаха о продолжении линейного функционала.
Теорема 1.2 (Хана — Банаха). Пусть п — нормированное простран-
пространство с нормой р и Fa— непрерывный линейный функционал, заданный на неко-
некотором линейном подпространстве Qoc:Q. Тогда существует непрерывный ли-
линейный функционал F, заданный на всем пространстве Q, такой, что F(u) =
=F0(u) при «gQ0 и p'(F)=p'(F0).
Доказательство (существенно использующее лемму Цорна) и различные применения этой
теоремы см., например, в [К2], гл. II, §4.
Из теоремы Хана — Банаха следует существование нетривиального (т. е.
не равного тождественно нулю) непрерывного линейного функционала на лю-
любом нормированном пространстве Q, отличном от {0}. Достаточно задать про-
произвольное ненулевое значение функционала F на некотором элементе и?Й,
ифО, скажем, F(u)=\u\; тогда на одномерном линейном подпространстве
Qo, натянутом на и, будет задан линейный функционал Fo(Fo(ku) =Цф и
по сформулированной теореме функционал Fa может быть продолжен (как ли-
линейный непрерывный функционал) на все пространство Q (причем F можно
выбрать так, что j!/7j|= 1).
В действительности из этого рассуждения можно извлечь далеко идущие
выводы. Будем говорить, что данное множество S линейных функционалов на
линейном пространстве Q разделяет элементы из Q, если из условия F (Mi) =
=F(u2) для всех F?S следует «i=«2.
Упражнение] 1.22. Доказать, что пространство, сопряженное, нормированному
пространству Q, разделяет элементы из Q.
Пространство Q"=(Q')', сопряженное Q', называется вторым сопряженным
нормированному пространству Q. Это — банахово пространство с нормой р".
Пространство п можно всегда рассматривать как линейное подпространство
в Q" (с нормой, заимствованной из Q").
Упражнение 1.23. Сопоставим'произвольному элементу u?Q функционал а(и)
над Q' по формуле a(u)(F)=F(u), F?Q'. Доказать, что построенное отображение a: Q -»- Q"
является линейным изометрическим отображением.
Итак, мы можем отождествить Q с подпространством в Q" посредством ото-
отображения а (из упражнения 1.23). Если Q=Q", т. е. если это отображение о
является изоморфизмом, то пространство Q называется рефлексивным.
Пространство 1g([a, b\) из примера 1) является нерефлексивным, в то время как всякое
гильбертово пространство рефлексивно.
*) В терминологии Дирака при этом «кет-векторы» (т. е. элементы из SK) переходят в
«бра-векторъа (элементы из Ж')-
22
1.2. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА
А. Эквивалентные системы полунорм. Структура ЛВП. Наряду с норми-
нормированными пространствами важную роль для приложений играют более общие
классы линейных пространств со сходимостью. Из них ближайшими обобще-
обобщениями нормированных пространств являются так называемые пространства
Фреше, или /^-пространства, ознакомление с которыми составляет цель настоя-
настоящего параграфа.
Пусть Q—линейное пространство (для определенности комплексное).
Для оценки степени близости произвольного вектора и ? Q фиксируют не-
некоторое семейство полунорм {Ра}а6^ на Q; здесь а—индекс, различающий
полунормы и пробегающий значения в некотором (конечном или бесконеч-
бесконечном) множестве Л. Говорят, что система полунорм {ра}аел на ^подчинена
системе полунорм {<7р}В€!а на ^» если Для любого и?Л существует конеч-
конечное множество индексов р\, ...,р\ из ЗВ и число с^О такие, что
ра < с sup q .
/=i ft p/
Величина, стоящая в правой части последнего неравенства, является
полунормой на Q согласно следующему упражнению.
Упражнение 1.24. Пусть lpa\ j—некоторая система полунорм на Q такая,
что величина р(«) = sup Pa(u) конечна для всех u?Q. Доказать, что функция р есть
полунорма на Q.
Две системы полунорм на Q называются эквивалентными, если каждая
из этих систем подчинена другой. Линейное пространство Q, наделенное
системой полунорм {ра}, называется локально выпуклым пространством
(сокращенно ЛВП), причем по определению две различные системы полунорм
определяют на Q одну и ту же структуру ЛВП в точности тогда, когда
они эквивалентны *). Фиксированную систему полунорм на Q, задающую
структуру ЛВП, мы будем называть определяющей системой полунорм, а для
ЛВП Q будем применять также более подробную запись (п, {pa}ae.ji), со-
содержащую указание на определяющую систему полунорм.
Определяющую систему полунорм на ЛВП можно без всякого ущерба
заменить эквивалентной системой. Благодаря этому мы можем (и будем)
впредь считать, что определяющая система {ра} полунорм удовлетворяет
условию: любая ее конечная подсистема подчинена некоторой полунорме
данной системы. (Если это условие не выполнено, то мы заменяем исходную
систему эквивалентной системой полунорм /?«,. « = sup pa ; здесь k
* /=i. .... k J
пробегает все натуральные числа, а аи ..., ак пробегают все индексы из Л).
Данное соглашение, не ограничивая общности, имеет своей целью упростить
ряд формулировок. (Так, пришлось бы соотношения типа A.37), A-43) —
см. ниже—заменить более громоздкими.)
ЛВП (Q, {ра}) называется отделимым, если из условия ра (и—v) = 0
для всех а?Л следует u = v, т. е. если для любого ненулевого вектора
и ? Q существует индекс а ? Л такой, что ра (и) > 0. (В частности, ЛВП
(Q, {ра}) отделимо, если хотя бы одна из полунорм ра является нормой.)
В отделимом ЛВП можно определить понятие предела подобно тому, как
это сделано для нормированных пространств. Именно, последовательность uk
в Q сходится к элементу и ? Q fuk —>¦ и или «= lim иА, если lim pa {uk—и) =0
при любом а ? Л; этим условием предельный элемент и определен одно-
однозначно (благодаря отделимости).
Впредь мы будем предполагать (не оговаривая это особо), что все рас-
рассматриваемые ЛВП отделимы.
*) Из дальнейшего станет ясно, что структуры ЛВП совпадают в точности тогда, когда
совпадают определяемые ими топологии.
23
Если X—линейное подпространство в ЛВП (Q, {ра}), то сужения по-
полунорм ра на X определяют на X структуру ЛВП, называемую индуци-
индуцированной (из Q).
На произвольное ЛВП легко перенести все топологические понятия,
безусловно, хорошо известные читателю в контексте евклидовых пространств.
Так, аналогом открытых шаров в нуле (соответственно в точке и ? Q) слу-
служат множества
l/| = {y?Q: pa(v)<e] A.37)
(соответственно u-\-V%), сопоставляемые каждому индексу а?А и числу
е>0. Множество X в Q называется открытым (в Q), если любая точка
и?Х входит в X вместе с множеством вида u-\-V% (при некоторых а?А,
е > 0). Дополнение к открытому множеству в Q называется замкнутым
множеством (в Q). Замыкание множества X в Q есть наименьшее замкну-
замкнутое множество, содержащее X; оно обозначается посредством X. Окрестно-
Окрестностью точки и ? Q называют всякое открытое множество, содержащее эту
точку. Говорят, что множество XcQ плотно в множестве YaQ, если
ХсУ и XdF. (Последнее включение эквивалентно тому, что любая окрест-
окрестность любой точки из У имеет непустое пересечение с X.)
Сказанное можно резюмировать так: на всяком ЛВП канонически
определена топология.
Б. Пространства Фреше. Следует заметить, что в случае нормированных
(и, в частности, евклидовых) пространств понятия замкнутости и замыка-
замыкания допускают переформулировки в терминах последовательностей (т. е.
секвенциальные характеристики). А именно, замкнутость множества X в нор-
нормированном пространстве Q означает, что X содержит пределы всех схо-
сходящихся в Q последовательностей точек из X, а соотношение X = Y озна-
означает, что У есть множество пределов всевозможных сходящихся в Q по-
последовательностей точек из X.
Для перехода к таким характеристикам в ЛВП (Q, {ра}) следует на-
наложить условие: из множества окрестностей нуля Va можно выбрать семей-
семейство (V8*) » образующее счетный базис окрестностей нуля. (Подоб-
I ос ft } k— 1, 2. .-.
ный базис характеризуется тем, что всякое Va содержит хотя бы одно
множество V^f выбранной системы.) Как и в случае нормированных прост-
пространств, существование такого базиса является решающим для секвенциаль-
секвенциальных формулировок замкнутости и замыкания (а также полноты и непре-
непрерывности). В частности, это условие оказывается выполненным для всех ЛВП
с конечной или счетной определяющей системой полунорм. (Случай конеч-
конечного числа полунорм мы рассматриваем как частный случай счетного, так
как добавление полунорм, мажорируемых исходной системой, приводит
к эквивалентной системе.)
У п раж не ние 1.25. (а) В ЛВП со счетной определяющей системой полунорм 1ра} л
существует счетный базис окрестностей нуля. (Указание: рассмотреть семейство множеств
Vek, где а пробегает счетное множество индексов Jl, а е^—стремящаяся к нулю по-
последовательность положительных чисел.)
(б) Топология ЛВП Q со счетной системой полунорм {pk}k=i совпадает с топологией
00
на Q, определяемой метрикой d(u, v) = \\ k-2 f_ _' .
k = i
Среди ЛВП, в которых определяющая система полунорм может быть
выбрана счетной, мы выделим класс пространств, представляющий наиболь-
наибольший интерес. Отделимое ЛВП со счетной системой полунорм называется
полным, если всякая последовательность Коши в Q сходится в Q. (Анало-
(Аналогично случаю нормированных пространств последовательность Коши ик
24
в Q определяется тем, что при любом а?А /?«(«„—ит)—>0 при
т'т(п, т)—>-оо.) Отделимое полное ЛВП со счетной системой полунорм
называется F-пространством (или пространством Фреше). Наше внимание
будет сосредоточено в основном именно на таких пространствах.
Из метризуемости /•'-пространств [см. упражнение 1.25F)] следует, что
к ним применима следующая теорема.
Теорема 1.3 (теорема Бэра «о категории»). Пересечение любого счет-
счетного семейства {e?k}%=1 открытых подмножеств oMk полного метрического
пространства Q, плотных в Q, плотно в Q.
-^ Достаточно доказать, что для любой точки ио?й и любого е0 > 0 открытый «шар»
U0 = {u?Q: d(u, щ) < е0} с центром в и0 и с радиусом е0 имеет непустое пересечение
с Г\еЖк- Из плотности a$i в Q следует существование ux?.qMiV\ Uo-^B силу открытости
oSi «1 входит в &#ifWo вместе с некоторым замкнутым шаром Ui с центром в «i и
с радиусом ej @ < ех < е0). Продолжая этот процесс по индукции, можно доказать суще-
существование последовательности точек u^^Q и монотонно убывающей последовательности
чисел гк—>¦ 0 таких, что % входит в o^D^A-i вместе с некоторым замкнутым шаром U%
с центром в uk и с радиусом е^. По построению щ есть последовательность Коши:
d(um, un)—*-0 при min(m, n)—»-оо. Следовательно, она имеет предел и„, который при-
принадлежит t/^+i при любом k^O. Так как по построению Uk+x^aMku Uк> т0 "¦» принад-
00
лежит пересечению Uo с П.
В. Примеры. Разумеется, банаховы пространства входят в класс про-
пространств Фреше. Приведем здесь ряд других (комплексных) пространств
Фреше, которые встречаются в приложениях.
1) Пространство gF). Пусть 6—открытое множество в R". Посред-
Посредством % F) мы обозначаем пространство всех комплексных непрерывных
функций в (или на) б, снабженное системой полунорм
|]u|l«= sup \u(x)\, A.38)
хеК
где К пробегает все компакты *) в б (или хотя бы счетное семейство ком-
компактов, внутренности которых накрывают б). В этом примере можно на
самом деле допустить в качестве в произвольное локально компактное мно-
множество**) в R".
2) Пространство ? (б). Пусть б—открытое множество в R". Посредством
<8 (б) обозначают пространство всех комплексных бесконечно дифференци-
дифференцируемых (сокращенно #") функций на б. Для частных производных функ-
функции и ? <§ (б) будем использовать обозначения
где « = («!, ..., ап) есть упорядоченный набор п целых неотрицательных
чисел (называемый п-индексом или мультииндексом), причем при а= @, ..., 0)
Da« (x) = и (х). Порядок производной ТУ3- обозначается через
|| A-40)
Снабдим теперь <§ (б) системой полунорм
Ци||?,= max |
здесь / принимает всевозможные целые неотрицательные значения, а К про-
пробегает все компакты в б (или хотя бы счетное семейство компактов, внут-
внутренности которых покрывают б).
*) Компактом в б называется всякое множество KczQ такое, что любая последователь-
последовательность точек из К обладает сходящейся подпоследовательностью с пределом в К- (Эквивалентно,
К можно определить как ограниченное замкнутое (в R") подмножество в б-)
**) Множество Г евклидова пространства локально компактно, если для любой точки
у?Г множество {у? Г: |jj/—Yll^P) компактно хотя бы при одном значении р=ро>О (а значит,
и при всех р?@, Pol). В частности, открытые и замкнутые подмножества евклидова простран-
пространства локально компактны.
25
В математическом анализе ([ШЗ], гл. IV, § 8) существует ^-вариант
классической теоремы Вейерштрасса о полиномиальной аппроксимации: для
произвольной комплексной ^"-функции и (х) на открытом множестве 6 и
любого компакта Кс:6, любых /?Z+, e > 0 существует комплексная поли-
полиномиальная функция Р (х) на C(или, что то же, EaR") такая, что \\и—Pf?r<le.
Другими словами, комплексные полиномиальные функции на 6 образуют
всюду плотное линейное подпространство в пространстве ? (Q).
3) Пространство ё? (/?"). Пусть <SP (Rn) есть пространство тех комплексных
^"-функций в R", для которых все выражения
Mi.m= max sup (l+\x\r-\D*u(x)
||</«ч U4Z)
конечны при всех целых неотрицательных I, т. Пространство <fiP(R"), снаб-
снабженное системой полунорм ||и\и т, называют пространством быстро убы-
убывающих основных функций в R". Оно будет играть важную роль в даль-
дальнейшем изложении.
Упражнение 1.26. Доказать, что пространства % (Q), ? (?)) и gf(Rn) являются
пространствами Фреше.
Упражнение 1.27. Доказать, что (а) gf (Яп) плотно в <^л m(R") при любых X, т
(см. пример в п. 1.1.В), (б) if (/?") плотно в <§(Rn), (в) <g (Q) плотно в Ч§ (Q).
Отметим, что ЛВП в приведенных примерах не эквивалентны нормиро-
нормированным пространствам.
В качестве примера ЛВП, не являющегося ^-пространством, приведем
пространство @> F) комплексных *) Е^-функций в открытом подмножестве
6cR", обращающихся в нуль вне некоторого компакта К с 6 (зависящего
от функции). Топология в Й) (в) задается несчетным набором полунорм.
Каждая полунорма определяется некоторой локально-финитной**) последо-
последовательностью бесконечно дифференцируемых функций {/а} по формуле
/>{«(«)= SUP
xtQ
Это пространство будет использоваться в дальнейшем (в п. 2.1) в контексте
теории обобщенных функций.
1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ
А. Непрерывные отображения ЛВП. Для функций, определенных на про-
произвольном ЛВП Q, имеются, вообще говоря, два несовпадающих понятия
непрерывности: топологической и секвенциальной. В первом случае непре-
непрерывность отображения Т: Qt—>¦ Q2 в точке и ? Ql означает, что прообраз
всякой окрестности точки Ти ? Q2 содержит некоторую окрестность точки
Ти (непрерывность же без указания точки означает непрерывность во всех
точках). Отсюда легко получаем
Предложение 1.4. Линейное отображение Т из ЛВП (Qly {pa}) в ЛВП
(Q2, {<7g}) непрерывно в точности тогда, когда для любого а?А существуют
Р б Si и с ^ 0 такие, что
q${Tu) ^.cpa(u) при всех u^Q^ A-43)
В частности, в случае нормированных пространств (Qb ||-||) и (Q2, |-||) линейный опера-
оператор Т: Qj—*Q2. удовлетворяющий условию Ц ГиЦ<с|1 «|| при некотором с3=0 и всех
m(?Qi, называется ограниченным; при этом число
[|Г||= SUP^T1 С-44)
а II «II
*) Подмножества всех вещественных функций из ?f (/?") или из g?> (Q) обозначаются
W). ?>гF).
**) Последовательность {/«} называется локально-финитной, если на любом компакте
Q отлично от нуля лишь конечное число членов этой последовательности.
26i
называется нормой оператора Т. Из предложения 1.4 следует, таким образом, что для ли-
линейных операторов в нормированных простпанствах понятия непрерывности и ограничен-
ограниченности равносильны.
Секвенциальная непрерывность оператора Т означает, что для любой схо-
сходящейся последовательности «h->- u в13, имеет место сходимость Тик-+ Tu
в Q2. С помощью стандартного рассуждения из вещественного анализа нетрудно
убедиться в эквивалентности этих понятий, если ограничить рассмотрение
^-пространствами (обладающими счетным базисом окрестностей нуля). Добав-
Добавляя условие линейности отображения Т, мы легко приходим к следующему
утверждению (позволяющему, в частности, отождествить секвенциальную не-
непрерывность в /•'-пространствах с непрерывностью).
Предложение 1.5. Для линейного отображения Т из F-пространства
(^i> {Ра}а б J) в F-пространство (Q2, {<7p}p e 53) следующие свойства эквивалентны:
1) Т секвенциально непрерывно;
2) Т секвенциально непрерывно в нуле;
3) Т непрерывно;
4) Т непрерывно в нуле;
5) для любого индекса |3 ? S3 существуют индекс а?А и число с^О,
удовлетворяющие A.43).
Если ЛВП Qi содержится в ЛВП Q2 и отображение вложения (сопоставляю-
(сопоставляющее элементу и ? Qx тот же элемент и и рассматриваемое как отображение из
Qi в Q2) непрерывно, то будем говорить, что топология Qi не слабее топологии,
индуцированной из Q2.
Упражнение 1.28. Пусть (Qb {pa}aej) и (Q2, {<7о}а€ <jg)~ два ^-пространства,
Qi CZ Q2. Доказать, что топология пг не слабее топологии, индуцированной из Q2, B точ-
точности тогда, когда сужение на Qi системы полунорм {qA подчинено системе полунорм {#*}•
Упражнение 1.29. Доказать, что полунорма р на ЛВП (Q, {р«}) непрерывнав точ-
точности тогда, когда она подчинена определяющей системе полунорм {ра}-
Упражнение 1.30. (а) Доказать, что сумма u-j-v пары векторов и, v из ЛВП Q
(секвенциально) непрерывна по совокупности переменных и, v.
(б) Доказать, что произведение Ал (где %?С, u?Q) непрерывно по совокупности пере-
переменных X, и.
В следующем упражнении рассмотрена конструкция топологии на фактор-пространст-
фактор-пространстве F-пространства (ср. с аналогичным упражнением 1.9 для банаховых пространств).
Упражнение 1.31. Пусть Х~ замкнутое линейное подпространство ^-пространства
(Q, {pk}); для определенности будем считать, что последовательность полунорм pk на Q не
убывает с ростом k. Доказать, что фактор-пространство Q/X является ^-пространством с
системой полунорм р^, определенных равенством
рк(й)= inf pk{u + v), иgQ/X. A.45)
Определенную таким образом систему полунорм {рь) называют структурой ЛВП на
Q/X, индуцированную структурой ЛВП на Q. Нетрудно видеть, что естественная проек-
проекция J: Q—уп/Х непрерывна*); она также является открытым отображением (т. е. об-
образ любого открытого множества в Q является открытым множеством в Q/X). Этому ре-
результату можно придать следующий более общий вид.
Упражнение 1.32. Пусть Г—линейный непрерывный оператор из /^-пространства
(Qi, {рь}) на ЛВП (Й2> {<?&})• Определим на Q2 новую систему полунорм {pj} (называемую
индуктивной структурой ЛВП на ?32 относительно отображения Т):
Tu = v}, где v?Q2. A.46)
Доказать, что отображение Т открыто в точности тогда, когда системы полунорм {pj} и
эквивалентны.
Линейное отображение Т: Qi-v Q2 из ЛВП Qi на ЛВП Q2 называется то-
топологическим гомоморфизмом, если оно непрерывно и открыто. (Примером слу-
служит естественная проекция /: Р- ->¦ Q/X.)
*) Это свойство полностью определяет структуру ^-пространства на фактор-пространстве
QIX. Действительно, из теоремы 1.14 (об открытом отображении) из п.1.3.В следует, что на
Q.IX (где Q есть F-пространство, а X — замкнутое подпространство) существует единственная
структура F-пространства, при которой естественная проекция J непрерывна.
27
Множество всех линейных непрерывных функционалов на ЛВП называ-
называется пространством, сопряженным Q; мы будем его обозначать посредством Q'
(или Q*).
Упражнение 1.33. Пусть Qx и Qa— ^-пространства, Qx содержится плотно в Q2
и топология Qx не слабее топологии, индуцированной из Я2. Доказать, что для сопряженных
пространств справедливо обратное включение Q2cQj (в том смысле, что сужая на^ произволь-
произвольный функционал F2?&2, мы получаем функционал F1?Q[, причем отображение F2-*- Ft есть
вложение, т. е. F1=0, только если F2=0).
Изоморфизмом (точнее, топологическим изоморфизмом) из ЛВП Qx в ЛВП
й2 называется взаимно однозначное линейное непрерывное отображение из
Qi на Qa, обратное которому тоже непрерывно. Изоморфными называются про-
пространства, для которых существует изоморфизм.
Упражнение 1.34. Переформулировать понятие изоморфизма F-пространств в тер-
терминах полунорм.
Отметим, что теорема 1.2 Хана — Банаха переносится на произвольные
ЛВП и, в частности, на ^-пространства.
Б. Принцип равномерной ограниченности. Слабая и «-слабая топологии.
В п. 1.3.А не использовалась полнота ^-пространств. Более тонкие результаты,
к которым мы теперь переходим, опираются на полноту. В основу вывода мы
положим следующее свойство (на первый взгляд неожиданное).
Лемма 1.6. Произвольная полунорма р на F-пространстве (Q, {ра}) не-
непрерывна на некотором всюду плотном линейном многообразии в Q. Дру-
Другими словами, для любой полунормы р на Q существуют плотное линейное
многообразие SC в Q, а?А и с ^ О такие, что р(и) ^сра(и) для всех и ? Ж.
-^ Можно считать, что определяющая система полунорм {ра} на Q есть последователь-
последовательность {рь}к=х полунорм, не убывающих с ростом k. Введем неубывающую последователь-
последовательность линейных многообразий ^сй:
jr* = {«?Q: p(u)<kpk(u)}.
Очевидно, всякая точка m?Q принадлежит хотя бы одному $?ь (так как kpj,(u)—*-оо при
k—*оо, если и Ф 0). Остается доказать, что SCk плотно в Q хотя бы для одного k. Предполо-
Предположим противное: S?k (замыкание многообразия 3? к в Q) не совпадает с Я при любом k. Тогда
при любом k множество oSjt = Q\S^k плотно в Q (действительно, любой элемент u?Q мож-
можно приблизить элементами вида и-\-са, где v—фиксированный элемент из оЖ^'г с Ф 0 —
произвольное число, достаточно малое по модулю). Очевидно, все aSk открыты и плотны
в Q. По теореме 1.3 их пересечение непусто, откуда следует, что объединение всех Ж'ь не
совпадает с Q. Это противоречие завершает доказательство. >
Из леммы 1.6 вытекает важный принцип.
Теорема 1.7 (принцип равномерной ограниченности). Пусть на F-npo-
странстве (Q, {ра}) задана произвольная система непрерывных полунорм
{<7р}ре^д, обладающих свойствами supq$(u) <оо для всех «?Q. Тогда полу-
ре.53
норма q (и) = sup q$ (и) также непрерывна на Q.
ЗЗ
¦^ То, что q (и) есть полунорма, очевидно (см. упражнение 1.24). В силу леммы 1.6
существуют плотное линейное многообразие & с Я, индекс а и число с S: 0 такие, что
q(u)<cpa(u) для всех и?3?. Отсюда следует, что при всех $?53
(м) для всех и(^3?. A.47)
Поскольку полунормы ц. и ра непрерывны на Q, то неравенство A.47) можно продолжить
по непрерывности на замыкание % множества ??, т. е. на все Q. Итак, имеем
ц„ (и) < с ра (и) для всех ugQ,
откуда получаем требуемый результат: ц (и) s? сра (и) для всех и?Я. ^
Следствие 1.8. Пусть последовательность Тк линейных непрерывных
операторов из F-пространства Qx в ЛВП Q2 такова, что предел lim Tku в Q
существует при любом u?Qt. Тогда формула Ти= lim Tku определяет ли-
нейный непрерывный оператор из Qx в Q2.
28
2
У пр а окне н ие 1.35. Вывести следствие 1.8 из принципа равномерной непрерывности.
(Указание: пусть г—произвольная полунорма из определяющей системы полунорм на йг>
применить теорему 1.7 к последовательности полунорм qk на пъ определенных посредством
Приведем важный частный случай следствия 1.8, когда Q2 = C.
Следствие 1.9. Если последовательность Fk линейных непрерывных
функционалов на F-пространстве (Q, {ра}) такова, то lira (Fk, и) при fe-voo
существует для любого и ? Q, то линейный функционал F^ на Q, равный
(Fx, u)= lim(Fk, и) для всех и?п, A-48)
непрерывен, причем существуют индекс а и число с^О такие, что
\(Fk, м)|<с/оа(и) для всех u?Q, fe = I, 2, ..., оо. A-49)
Следствие 1.9 есть некое утверждение о секвенциальной полноте про-
пространства Q', сопряженного ^-пространству Q. Предварительно заметим,
что Q' дает возможность снабдить Q топологией ЛВП, отличной от исход-
исходной; она называется слабой топологией (или cr(Q, ?У)-топологией) и опреде-
определяется полунормами
Pf, fk(«)= sup \(Fj,u)\, A.50).
/=1 л
где п—произвольное натуральное число, a Fy пробегают Q'. Аналогично'
можно снабдить Q' топологией ЛВП, называемой %-слабой (или cr(Q', Q)-}
топологией и определяемой полунормами
pux...un{F)= sup \{F,Uj)\ A.51)
(=1, ..., п
при любых « и при MjgQ. Как правило, под сходимостью в Q мы будем иметь
в виду сходимость в исходной топологии Q, в то время как сходимость в Q'
обычно понимается в «-слабой топологии.
Таким образом, следствие 1.9 означает, что пространство Q, сопряженное
F-пространству, секвенциально полно (в «-слабой топологии).
Упражнение 1.36. Доказать, что всякое рефлексивное банахово пространство
секвенциально полно в слабой топологии. (Указание: воспользоваться тем, что Q сопряжено
Q'.)
Следствие 1.10. Если и&—последовательность в ^-пространстве
Q, сходящаяся к и (в Q), и Fk— последовательность в сопряженном простран-
пространстве Q', (*-слабо) сходящаяся к функционалу F в Q, то
(Fk, Ui)-*-(F, и) при min(&, /) ->¦ оо.
Следствие 1.10 вытекает из следствия 1.9 простым применением тождества (F,u) —
(F ) (FF ) (F)
В. Теоремы о замкнутом графике и об открытом отображении. Замечатель-
Замечательным свойством F-пространств является возможность применения теоремы о
замкнутом графике. Если под графиком оператора Т: О,х-+ Q2 понимать соот-
соответствующее подмножество прямого произведения QiXQ2, то замкнутость гра-
графика Т означает, что из соотношений «fe->- и в Qx и Tuh-+ v в Q2 следует t»=Tu.
Линейность Т позволяет несколько упростить это определение.
У п ражнение 1.37. Доказать, что линейный| оператор Т из ^-пространства Qi в
F-пространство Q2 имеет замкнутый график в точности тогда, когда из соотношений и^—>0
в &! и Тщ —^ v в Q2 следует v = 0.
Теорема 1.11 (о замкнутом графике). Всякий линейный оператор *)
Т из F-пространства Qi в F-пространство Q2, имеющий замкнутый график,
является непрерывным.
*) Мы подчеркиваем, что область определения оператора Т есть все пространство Qx.
Дело в том, что нередко приходится рассматривать линейные операторы, определенные не на
всем пространстве Qlt а лишь на его линейных подпространствах (см. следующий параграф).
К таким операторам теорема 1.11 не применима.
29
¦^1 Без ущерба для общности будем считать, что счетные определяющие системы по-
полунорм {pfc} bQi и {qk} в Qa занумерованы натуральным числом k и не убывают с ростом k.
Так как ц^(Ти) есть полунорма на Qt, то в силу леммы 1.6 для любого k существует плот-
плотное в Qt линейное подпространство &ь, числа /* и с& такие, что при всех и?Жк
«H^XWiW' A.52)
За счет увеличения чисел ск, /# мы можем добиться, чтобы с# и /^ возрастали с ростом k
и /ц—»оо при А—»-оо. Далее, мы можем расширить 3?^, присоединяя к нему все векторы
«€•#*?> удовлетворяющие A.52); таким образом, мы можем считать, что S'k^S'i при?</.
Остается распространить оценку A.52) на все u?Qt. Пусть и — пэоизвольный элемент
из &!. В силу плотности SCп в ®i существует последовательность ип???п такая, что
спр/п (ип — «) —- 0 при п—*оо. A53)
Ясно, что ип—у и при п—>-оо. С другой стороны, последовательность Ти„ фундаменталь-
фундаментальна, так как из A.52), A.53) получаем при всех А=1, 2, ... и т, п > k: qk(T {um — un))<
<ckp/k{um — unXcmpjm(um — u) + caPsn(um — u)—>-0 при min(m, и)—>-oo. Отсюда (в си-
силу замкнутости оператора Т) следует Ти„—>¦ Тм при я—»-оо. Переходя к пределу при
п—^оо в неравенстве 9^ (Тия)<с^ру^ (и„), получаем q^ {Tu) <ckpjk (и). Таким образом,
оценка A.52) имеет место для всех u?Qi и всех А=1, 2, ... ^
Теорема о замкнутом графике обычно применяется в следующем кон-
контексте.
Следствие 1.12. Пусть Т: Q^-*- X есть линейный (секвенциально)
непрерывный оператор из ^-пространства йх в ЛВП *) X, причем Т принимает
значения в линейном подпространстве Q2cX. Пусть Q2 само является ^-про-
^-пространством с топологией, не слабее топологии, индуцированной на F из X.
Тогда Т, рассматриваемый как оператор из F-пространства пг в ^-простран-
ство Q2, непрерывен.
Следствие 1.13. Пусть на линейном пространстве Q заданы две
структуры ^-пространства с определяющими системами полунорм {ра} и {<7р}
и пусть первая из этих систем подчинена второй. Тогда обе системы полунорм
эквивалентны.
Действительно, тождественное отображение /: (Q, {pa})-»-(Q, {<?p}) такое, что Ju=u
непрерывно (согласно условию). Значит, оно имеет замкнутый график, а это, очевидно, экви-
эквивалентно тому, что обратное отображение /-1 имеет замкнутый график. По теореме 1.11 отсю-
отсюда следует, что J~x— непрерывный оператор , т. е. что вторая система полунорм подчинена
первой.
К теореме о замкнутом графике примыкает другая важная теорема.
Теорема 1.14 (об открытом отображении). Всякое линейное непре-
непрерывное отображение Т из F-пространства (Q1? {pa}) на (все) F-пространство
(Q2, {<7Э}) является открытым **).
-^ Согласно упражнению 1.32 система полунорм {р?} на Q-i опрэделяет на Q.% неко-
некоторую структуру F-пространства, причем из непрерывности отображения Т следует, что
эта система полунорм {<7„} подчинена системе |р?}- С помощью следствия 1.13 отсюда полу-
получаем, что системьГполунорм {р?} и q эквивалентны. >
Упражнение 1.38. Пусть Г—линейный непрерывный оператор из /^-пространства
1^1 на ^-пространство Q2. Доказать, что для любой сходящейся к нулю последовательности
vii в Qi существует сходящаяся к нулю последовательность и^ в Q2 такая, что у^ = Т"и^.
Важное применение теоремы 1.14 состоит в том, что она позволяет соот-
соотнести пространство Q2*c Q't. Введем соответствующие понятия. Если X — ли-
линейное многообразие в ЛВП Q, то множество
(F, и)=Одля всех и?Х) A.54)
*) Здесь существенно сделанное в п. 1.2. А предположение об отделимости топологии ЛВП.
**) Согласно упражнению 1.32 это означает, что система полунорм {qA на Q2 эквива-
эквивалентна индуктивной системе полунорм |р?} относительно отображения Т.
:30
называется ортогональным подпространством (или полярой) к X в Q'. Мы будем
считать, что Х° наделено сходимостью, индуцированной из Q' в том смысле, что
Ffe-v F в Х° эквивалентно условию (Fh, и) -*¦ (F, и) для всех и g Q. Напомним,
что через ker Т мы обозначаем нуль-пространство линейного оператора Т:
Qi-v Q2 (если Т непрерывно, то ker T — замкнутое линейное подпространство
bQJ.
Пусть Т есть линейный непрерывный оператор из Qx в Q2; сопряженным
ему называют оператор Т', сопоставляющий функционалу G?Q2 функционал
T'GgQi по правилу (T'G, u) — (G, Ти) для всех и^пг. (Как легко видеть, если
Gh->- G в Q2, то T'Gk-+ T'G в Qj.) Нетрудно убедиться, что образ Q2 при отобра-
отображении 7" всегда содержится в (ker T)°. Более сильное утверждение, сформули-
сформулированное в упражнении 1.39, получается применением результата предыдуще-
предыдущего упражнения.
Упражнение 1.39. Пусть Т есть линейный непрерывный оператор из F-простран-
ства Qx на F-пространство Q2; тогда 7" есть изоморфизм (т. е. линейное рзаимно однозначное
соответствие, сохраняющее сходимость) Q2 на (ker Т)°. (Указание: при любом заданном
F?(ker T)° функционал G?Q2, удовлетворяющий соотношению F=T'G, можно определить,
по формуле (G, v)=(F, и), где «?Qj таково, что 71и=и.)
1.4. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А. Понятие (неограниченного) самосопряженного оператора. Мы будем*
рассматривать здесь линейные операторы А, определенные на некотором
линейном многообразии DA гильбертова пространства Ж, действие которых
не выводит за пределы этого пространства:
Ф€Д,с#Г=>ЛФ€#?. A.55).
Оператор А называется ограниченным (в DA), если квадрат нормы
|ЛФ|]2 = (ЛФ, ЛФ)
ограничен, когда Ф?ОАи ||Ф||<;1. Верхняя грань ||ЛФ||, когда Ф пробе*
гает пересечение DA с единичной сферой, называется нормой оператора А
и будет обозначаться || А \\:
|| Л || = sup ||ЛФ||. A.56)
11Фц=1
В случае же, если верхняя грань в правой части A.56) равна бесконечностиv.
оператор Л называется неограниченным.
Любой ограниченный оператор Л с областью определения DAc:ffl может
быть распространен на все гильбертово пространство SK, оставаясь при этом
линейным и ограниченным во всем SK с той же нормой |Л|| (см. IK2], гл. IV,
п. 1.1). Поэтому, без существенного ограничения общности, можно считать, что
ограниченные операторы заданы всюду в Ж, и не говорить об их области опре-
определения. Однако для неограниченных операторов, которые сплошь и рядом,
встречаются в квантовой теории, это уже не так. Для них указание области
определения весьма существенно.
Напомним, что график Г (Л) оператора Л есть множество всех пар (Ф, ЛФ),
где Ф (; DA, ЛФ 6 9С¦ Оператор Л называется замкнутым, если его график есть
замкнутое множество в Ж®Ж. Согласно теореме 1.11 (о замкнутом графике),
замкнутый линейный оператор, определенный на всем пространстве Ж (т. е.
ВА=Ж), является ограниченным. Поскольку мы будем часто иметь дело с зам-
замкнутыми неограниченными операторами (или по крайней мере с операторами,
допускающими замыкание), из сформулированной теоремы ясно, что они не
могут быть определены во всем пространстве Ж. Самое большее, на что мы
можем рассчитывать, это то, что область определения DA замкнутого неограни-
неограниченного оператора Л всюду плотна в Ж. Будем говорить, что оператор В яв-
является расширением оператора А (и писать А с:В), если график Г (Л) содер-
31:
жится в графике Г (В) (Г (Л) с: Г (В)), т. е. если DAc:DB и в области DA ЛФ =
=ВФ.
Важность гильбертова пространства для квантовой теории заключается
в том, что наличие скалярного произведения позволяет ввести понятие эрми-
эрмитова оператора, соответствующего наблюдаемым величинам, так же как и по-
понятие унитарного оператора, при помощи которого описывается симметрия фи-
физической системы. Перейдем к определению этих понятий.
Рассмотрим билинейную форму V?, ЛФ> (Ф ?DA, W ? Ж). Если при некото-
некотором ? из Ж
I0F, ЛФ)|<С(?, А)Щ при всех Ф€?>(Л), A.57)
где C(XF, Л) — положительное число, не зависящее от Ф, то согласно теореме
Рисса об общем виде линейных непрерывных функционалов в Ж (см. n.l.l.E)
существует такой элемент Yx g Ж, что
OF, ЛФ}=(?1, Ф). A.58)
Если область DA всюду плотна в Ж, то вектор Чг1 однозначно определяется по
вектору *Р. На таких ? определим (линейный) оператор Л*, называемый (эрми-
(эрмитово) сопряженным оператору Л, по формуле Л*?=1?1. Область определения
•оператора Л* состоит из всех векторов ?g 6, для которых выполнено A.57).
Часто в физической литературе сопряженный оператор определяют ра-
равенством
<?, ЛФ)=(Л*?, Ф> A.59)
(которое является следствием последних двух формул) без указания областей
определения Л и Л*. Эта неточность допустима, если Л — ограниченный опе-
оператор, поскольку, как уже указывалось, в этом случае можно считать, что
DA=ffl, и, кроме того, нетрудно видеть, что условие A.57) выполняется при
всех Ф ?Ж(с СС?, А)=Щ-\\А]),так что сопряженный оператор действительно
¦существует и определен во всем Ж.
В общем случае неограниченных операторов сопряженный оператор не
всегда существует *). Необходимое и достаточное условие существования у
оператора Л сопряженного оператора состоит в том, чтобы Л имел замыкание
в Ж (см. [А6], п. 44). Это означает, что если {Ф„} — сходящаяся последователь-
последовательность векторов из DA, то последовательность {ЛФП} либо сходится, либо вооб-
вообще не имеет точек сгущения в Ж (исключается возможность того, что две под-
подпоследовательности последовательности {ЛФ„} стремятся к различным преде-
пределам в Ж). В этом случае замыкание (т. е. наименьшее замкнутое расширение)
оператора Л равно Л**.
Оператор Л называется симметрическим (в физической литературе — эр-
эрмитовым), если А с: А*, т. е. если
0>>=OF, ЛФ) при Ф, 4€DA. A.60)
Важный частный случай симметрического оператора составляют операто-
операторы Л (также с плотной областью определения),"обладающие свойством
(Ф, ЛФ)^0 для всех
Такие операторы называются положительными (иногда положительно опре-
определенными). Если (Ф, ЛФ)>0 для всех ненулевых элементов Ф??)Д, то Л
называется строго положительным (или строго положительно определенным)
•оператором.
Упражнение 1.40. Доказать, что всякий положительный оператор симметричен.
Если А=А* (т. е. если к условию A.60) добавить еще равенство областей
определения DA и Da*), to говорят, что оператор является самосопряженным
{по терминологии'фон Неймана — гипермаксимально симметричным). Опера-
*) Если DAt плотно в Ж¦• то мы говорим, что сопряженный оператор А* существует.
32
тор называется в существенном самосопряженным, если его замыкание является
самосопряженным оператором.
Упражнение 1.41. Пусть Ж=37* ([О, 1]) есть множество функций с интегрируемым
квадратом модуля на отрезке [0, 1]. Путь D — множество всех абсолютно непрерывных функ-
функций на этом отрезке (см. [КП], гл. VI, § 4), производные которых принадлежат $f, а сами функ-
функции удовлетворяют условию периодичности г|)(О)=г|зA). Пусть Do— подмножество области D,
состоящее из тех функций множества D, которые обращаются в нуль на границе интервала:
t|)@)=i|)(l). Показать, что оператор
P=~ldx
с областью определения D является самосопряженным оператором, в то время как оператор
Ро, задаваемый той же формулой, но с областью определения Do, лишь симметричен, но не са-
самосопряжен. Найти область определения Do сопряженного оператора Ро. Убедиться непо-
непосредственно, что оператор Р неограничен.
Упражнение 1.42. Рассмотреть симметричный дифференциальный оператор
T = Pxs+xsP
в гильбертовом пространстве JS2(R), заданный первоначально на плотной области of (R).
Показать, что бесконечно дифференцируемая квадратично интегрируемая функция г|з (х) =
_д,_з/2ехр(—1/4лг2) является собственной функцией оператора Т* с чисто мнимым собст-
собственным значением (Т*ч|? = — Щ.
Можно показать, что оператор Т в этом примере не допускает самосопряженного
расширения в Ж-
Приведем один удобный для приложений критерий существенной само-
самосопряженности симметрического оператора (Нельсон, 1959). Вначале заме-
заметим, что если Ф^ВА и АФ?ОА, то на таких векторах Ф определен опера-
оператор Л2: Л2Ф = Л(ЛФ). По индукции можно определить оператор А" для
любого натурального п. Мы будем говорить, что вектор Ф?ОЛ является
аналитическим вектором оператора Л, если Ф^БАп для всех натуральных
п и ряд
±\\А»Ф\\.2»
п-0
имеет ненулевой радиус сходимости.
Теорема 1.15 (об аналитических векторах). Если А — симметриче-
симметрический оператор в гильбертовом пространстве и DA содержит плотное в Ж мно-
множество аналитических векторов оператора А, то А является в существенном
самосопряженным оператором.
Доказательство этой теоремы можно найти в [Р2], т. 2, § Х.6.
Б. Изометрические, унитарные и антиунитарные операторы. Линейный
оператор U, определенный во всем гильбертовом пространстве^, и с областью
значений, тоже совпадающей с Ж, называется унитарным, если он сохраняет
скалярное произведение:
ШФ, иУ)={Ф, ?> для всех Ф, У?Ж. A.61)
Требование, чтобы область значений оператора U совпадала с Ж', существенно.
Если его не накладывать, то оператор U называется изометрическим. Изометри-
Изометрический оператор характеризуется равенством U*U=\. Из этого равенства,
вообще говоря, не следует, что UU* — \. Если оба равенства имеют место, то
оператор U унитарен. Таким образом, унитарный оператор U имеет обратный
оператор t/, который также унитарен.
Упражнение 1.43. Показать, что условие изометричности линейного оператора U
в Ж эквивалентно тому, что || 1)Ф || = || Ф || для всех Ф?Ж (так что норма изометрического
оператора U равна единице). Убедиться также, что UU* есть проектор в Ж-
В этом упражнении использовано понятие проектора. Под проектором (точ-
(точнее, ортогональным, или эрмитовым, проектором) в гильбертовом пространстве
Ж понимают оператор Е, удовлетворяющий условию Е=Е*=Е2. Очевидно,
2 Н. Н. Боголюбов и др. 33
Е действует как умножение на единицу в ЕЖ и на нуль в A—Е)Ж', причем ЕЖ
и A—Е)Ж являются замкнутыми взаимно ортогональными подпространства-
подпространствами в Ж.
Унитарные операторы являются изоморфизмами (или автоморфизмами)
гильбертова пространства. В общем случае изоморфизм гильбертовых прост.'
ранете (называемый иногда унитарным оператором) есть линейный оператор V
из одного гильбертова пространства Жх на другое гильбертово пространство
Ж2, обладающее обратным оператором и сохраняющее скалярное произведе-
произведение (или норму, что то же в силу формулы поляризации). Очевидно, У есть
изоморфизм ^fj на Ж г.
Упражнение 1.44. (а) Пусть Аг А„— линейные ограниченные операторы в
гильбертовых пространствах Ж и ¦ •¦>Жп- Доказать, что существует единственный линей-
линейный ограниченный оператор А е= Аг®.. .®Ап в Жг®---®Жп (называемый тензорным
произведением операторов А\ Ап) такой, что
Л Ы>1®.. .®tyn) = Л1Ф1®•
при любых \рг(?Ж1, ¦•¦> Уп€Жп\ кроме того, || Л1®...®Л„|| = || Аг\.. .\\ Ап \\. (Указание:
на пространстве |р из п. 1.1.Б ввести эрмитову форму
(щ, ...,un)g (v± vn)<_A1u1,A1v1y...<Anun,Anvn>
и доказать, что она подчинена форме со (/, g) A.30) в том смысле, что
ю»(Л/)<И1||!!...||Лв|р.(й(/,/) при всех
Вывести отсюда, что оператор
на <f опускается наgf/X = Q, т. е. что существует линейный ограниченный оператор А на Q
такой, что Af = a(f). Продолжение А по непрерывности на все пространство Ж1®---®Жп
и есть искомый оператор А.)
(б) Доказать, что если операторы Alt ..., Ап эрмитовы (соответственно унитарны), то
оператор Ax(g). ..®An эрмитов (соответственно унитарен).
Выше для краткости мы называли (и будем называть в дальнейшем) ли-
линейные операторы просто операторами. Близкими к линейным операторам яв-
являются антилинейные операторы, характеризуемые условием A.2). Для не-
непрерывного антилинейного оператора А в Ж эрмитово сопряженный оператор
А* определяется не равенством A.59), а равенством
<?, ЛФ> = <Л*?, Ф> = <Ф, Л*?>. A.62)
Из антилинейных операторов для квантовой теории важны антиунитарные
операторы; это антилинейные операторы в Ж, осуществляющие взаимно одно-
однозначное отображение Ж на себя (и, значит, имеющие обратные операторы)^и
обладающие свойством, аналогичным A.61):
<лф, лчг>=<ф7*1г>=<хр, ф>, ф, чеж. A.63)
Отметим, что произведение двух антиунитарных операторов (которое, разу-
разумеется, понимается как композиция двух отображений) есть унитарный опе-
оператор, а произведение унитарного и антиунитарного операторов есть антиуни-
антиунитарный оператор. Нетрудно показать, что антилинейный оператор^Л^в Ж яв-
является антиунитарным в точности тогда, когда он сохраняет норму (т. е. когда
||ЛФ||=ЦФ|| при всех Ф С Ж) и отображает Ж на себя.
Другая эквивалентная характеристика, выделяющая антиунитарные опе-
операторы среди антилинейных,— это выполнение соотношений Л*Л=ЛЛ* = 1.
В. Спектральная теория самосопряженных и унитарных операторов. Рассмотрим вкратце
вопрос о спектральном разложении самосопряженных и унитарных операторов (за более под-
подробным изложением спектральной теории мы отсылаем *) к гл. VI в [А6] или гл. VII и VIII
*) Другой способ получения спектральных теорем доставляет теория коммутативных
С*-алгебр (см., например, [Н2], п.17.4, а также п.31.7; с понятием С*-алгебры мы познако-
познакомимся в следующем параграфе).
34
в [Р2], т. 1). Отметим, что эта теория неприложима к симметрическим операторам (см., напри-
например, гл. VI в [А6]).
В конечномерном пространстве спектральное разложение оператора обычно трактуется
как нахождение ортонормированного базиса из его собственных векторов. Однако в бесконечно-
бесконечномерном пространстве эту точку зрения следует несколько видоизменить, так как уже простей-
простейшие примеры показывают, что самосопряженный или унитарный оператор в 5?? может совсем
не иметь собственных векторов в 55?- Например, таковы оператор умножения на х, оператор
Р=—i-j- , унитарный оператор трансляции гр (jc) ->-г|)(х+а) при афО в ?2{R). (Хотя в книгах
по квантовой механике обычно собственными векторами оператора Р называют функции е'Рх
при p?R, следует помнить, что эти функции не являются квадратично интегрируемыми на оси
х, так что они не принадлежат данному гильбертову пространству. Аналогичное замечание
относится к другим примерам.) В большинстве математических руководств спектральная тео-
теория самосопряженного оператора А в 5?? излагается как задача реализации гильбертова про-
пространства 55? комплексными функциями, зависящими от некоторой переменной, так что при
этой реализации действие А сводится к умножению на подходящую функцию а. (В конечно-
конечномерном случае роль такой переменной играет индекс k, различающий собственные векторы
оператора А; векторы из 5?? находятся во взаимно однозначном соответствии с их координата-
координатами |fc в этом базисе, рассматриваемыми как функции переменной k; так же и собственные числа
a/i оператора А можно рассматривать как функции от к.)
Более детальное изложение спектральной теоремы можно дать, пользуясь понятием про-
пространства с мерой (которое здесь мы не определяем; см., например, [Д1, К11]). Пусть 3?2(Х; |х) —
гильбертово пространство (классов эквивалентности) комплексных измеримых квадратично
интегрируемых функций на пространстве X с мерой |х. Всякая (вещественная или комплексная)
измеримая функция а на X задает оператор умножения на а в Х2(Х; |х), определенный на мно-
множестве Da элементов u?J?2(X; |х) таких, что au^J^(X; |х). Под реализацией оператора А
в гильбертовом пространстве 52? оператором умножения в Х\Х; |х) понимается изоморфизм V
гильбертова пространства 55? HaJ*?2(X; |х), обладающий свойством А= V~*aV, где а — оператор
умножения в J?2(X; jx); при этом подразумевается, что Da=VD^.Спектральная теорема как раз
утверждает, что всякий самосопряженный или унитарный оператор А в гильбертовом про-
пространстве 58? может быть реализован оператором умножения в подходящем гильбертовом про-
пространстве $S2(X; |x).
Спектральной теореме часто придается несколько иная форма (не зависящая от выбора
X, |i) в терминах так называемого «разложения единицы» в 58?. Для определенности рассмотрим
вначале случай самосопряженного оператора. Если оператор А реализован как оператор ум-
умножения в Х2(Х; \х) на вещественную функцию, то можно ввести семейство операторов умноже-
умножения е^ в Х2(Х\ |х) на функции, зависящие от вещественного параметра X и определенные ра-
равенствами
е^(х)=1 при а(х)<.Х и ei(x)=Q при а(х)^Х.
Очевидно, что ех— проекторы в JS2(X; ц), поэтому формула E^V^e^V определяет семейство
(ортогональных) проекторов в 55?. зависящих от вещественного параметра X. Нетрудно убедить-
убедиться в справедливости следующих свойств:
(а) Е\Е^ — Е\ при Я<ц,
(б) lira ?я,Ф = 0, lim ?я,Ф = Ф, lim ?*,Ф = ?цФ для всехФ?58?. p€Rl
Х-* — оо Я-»-+оо А.-+Ц — О
(в) для всех Ф^Дд имеет место интегральное Представление (в смысле интегралов
Стилтьеса):
00
A.64)
Семейство (ортогональных) проекторов Е^ в 55?, обладающее свойствами (а) — (в), называется
спектральным разложением самосопряженного оператора А. (В отличие от реализации опера-
оператора А операторами умножения оно единственно.)
Условие коммутативности АВ=ВА операторов можно перевести на язык спектральных
разложений (если хотя бы один из этих операторов самосопряжен).
Предложение 1.16. Пусть А и В — два ограниченных оператора в гильбертовом
пространстве 55?. причем оператор А эрмитов и {Е^} — его спектральное разложение. Опера-
Операторы А и В коммутируют в точности тогда, когда операторы Е^ и В коммутируют при
всех X?R.
Для унитарного оператора U спектральное разложение совершенно аналогично: вместо
A.64) имеет место разложение (в том же смысле)
U=[eadE}., A.65)
причем Е^—0 при Х-<0 и ?\= 1 при Я,>2я.
В сущности теми же средствами решается задача спектрального разложения унитарной,
скажем, п-параметрической абелевой группы операторов в 55?- Под такой группой подразуме-
2* 35
вается семейство унитарных операторов U (а) в ffl, сильно непрерывно (или слабо непрерывна,
что в данном случае то же самое) зависящих от параметра a?Rn, причем
U(a)U(b)=U(a+b). A.66)
При этом сильная (соответственно слабая) непрерывность означает, что U (а) Ф — непрерывная
векторная функция от а при любом фиксированном Ф ? ^(соответственно (Т, 1/(а)Ф) есть
непрерывная комплексная функция от а при любых Ф, Y?,%').
Для одновременного приведения операторов U (а) к виду A.65) следует ввести я-мерный
аналог семейства проекторов Е^, удовлетворяющих приведенным выше условиям (а), (б).
А именно, спектральной мерой на R" (со значениями в множестве проекторов в гильбертовом
пространстве ,fg) назовем соответствие, сопоставляющее каждому борелевскому подмножеству
AcRn ортогональный проектор Е (Д) в $f? со свойствами:
(а') ?(Д)?(Д')=?(ДПД');
00 00
(&) Е@)=О, E(Rn)=l, Е([) ДА)=2Е(дй)- если Д/Пд&=0 при ]фк.
Нетрудно убедиться, что в случае п=1 эти условия переходят в приведенные выше условия
(а) и (б), если положить Е^=Е((—оо, К)). Ясно, что если Е(А) есть спектральная мера на Rn,
то для любого вектора Q)?Rn соответствие Д-v (Ф, Е(А)Ф) есть конечная положительная
борелевская мера на R". Если теперь %(р) — комплексная непрерывная (или борелевская)
ограниченная функция от p?R", то мы можем определить интеграл
{ г (р) dE 0») = J х (Р) Е (dp), A.67)
полагая
D, E(dp)<S> для всех ®6,%V
(В случае неограниченных функций % (р) интеграл A.67) задает оператор, "вообще говоря,
определенный не на всем гильбертовом пространстве^"; точнее, область определения этого
оператора состоит из всех векторов Ф?$%, для которых \ | X (р)|2 <Ф. Е (dp) Ф> < оо.)
Возвращаясь к абелевой группе унитарных операторов, приведем следующий класси
ческий результат.
Теорема 1.17 (Стоуна). Всякая унитарная п-параметрическая группа операторов U (а)
в ffl допускает (единственное) представление в виде
A.68)
где Е (Д) — спектральная мера в R".
Отметим, что в физической литературе вместо намеченной выше теории спектрального
разложения широко употребляется — в том числе и в случае непрерывного спектра — терми-
терминология собственных векторов и собственных значений (точнее, обобщенных собственных
векторов, ибо, как уже говорилось, самосопряженный или унитарный оператор может вообще
не иметь собственных векторов в гильбертовом пространстве). Этой терминологии можно при-
придать смысл с помощью понятия оснащенного гильбертова пространства (см. [Г5], гл. 1) или
обобщенных векторных функций (см. П.2.7.В).
1.5. АЛГЕБРЫ С ИНВОЛЮЦИЕЙ. С*-АЛГЕБРЫ
А. Определение и простейшие свойства. Алгеброй будем называть линейное
пространство над полем комплексных чисел, в котором определена билинейная
операция произведения. Другими словами, множество 31 элементов А, В, . . .
называется алгеброй, если в нем определены коммутативное и ассоциативное
сложение и умножение на комплексные числа так, что выполнены условия
I—III (п. 1.1.А), и если вдобавок задано произведение любых двух элементов
АВ, удовлетворяющее условиям
(KtAi+XiAi) В=Х1(А1В)+Х2(А2В), п ксл
А (Х1В1+КгВ2)=К1(АВ1)+К2(АВ2). ^-^
Здесь мы будем рассматривать ассоциативные алгебры, для которых предпола-
предполагается еще, что
А{ВС)={АВ)С. A.70)
Подмножество 33 алгебры ЗС называется подалгеброй, если оно замкнуто
относительно алгебраических операций в алгебре ЗС (т. е. если 33 является
36
линейным подпространством в 3( и если из того, что Л ? 23 и В ? 23, сле-
следует ЛВ?ЙЗ). Подалгебра 23 называется левым {правым) идеалом, если эле-
элементы из 31 действуют на 25 как линейные операторы при умножении слева
(справа), т. е. если ЛВ?23(ВЛ?23) для всех Л ?31, В ?23. Если подалгебра
83 является одновременно левым и правым идеалом, то она называется дву-
двусторонним идеалом. (В коммутативных алгебрах, в которых выполнено тож-
тождество АВ = ВА, все три вида идеалов совпадают.)
Будем говорить, что 31 является алгеброй с инволюцией (или %-алгеброй,
или алгеброй со звездой), если каждому элементу А ?31 поставлен в соответ-
соответствие сопряженный элемент А* таким образом, чтобы выполнялись условия
= В*А*, A.71)
(А*)* = А. A.72)
Алгебра со звездой 31 называется нормированной, если в ней определена
норма ||Л||, удовлетворяющая условиям (а) — (в) п. 1.1.В и условиям
|'Л*!=И1!. A.73)
Полная нормированная алгебра называется банаховой алгеброй.
Если не оговорено противное, мы предполагаем, что в алгебре имеется
единичный элемент 1 такой, что 1-Л=Л-1=Л при всех Л ?31. Нетрудно по-
показать, что единичный элемент единствен и что 1* = 1, 1111,= 1. Элементы алгеб-
алгебры вида Я-1, где Я — комплексное число, называют иногда скалярами или
с-числами (и пишут просто Я вместо %• 1). Мы подразумеваем также, что единица
подалгебры совпадает с единицей алгебры.
Элемент А алгебры с инволюцией 31 называется эрмитовым, если он удов-
удовлетворяет соотношению А*=А; соответственно элемент ?/?31 со свойством
U*U~UU* — l называется унитарным. Эрмитов элемент Е со свойством Е2=Е
называется (эрмитовым) проектором.
Инволютивная банахова алгебра 21 называется алгеброй типа С* (или
просто С*-алгеброй *)), если наряду с A.73) выполнено равенство
|1Л*ЛНЛЦ2 A.74)
для всех Л ?31.
Поскольку каждая С*-алгебра 31 является, в частности, банаховым про-
пространством, то можно рассматривать множество всех линейных непрерывных
функционалов на 31, которые также образуют некоторое банахово пространство
(сопряженное пространство 31'). Соответственно в 31 можно ввести слабую
топологию, а в 31' пользоваться «-слабой топологией.
Выбор аксиом, которые определяют С*-алгебру, в значительной мере мо-
мотивирован тем, что этим аксиомам удовлетворяет алгебра всех линейных огра-
ограниченных операторов в произвольном гильбертовом пространстве^, которую
мы впредь будем обозначать через Si {Ж). (При этом в качестве нормы прини-
принимается операторная норма, а в качестве инволюции ¦— эрмитово сопряжение;
см. ниже упражнение 1.45). Поэтому всякая подалгебра в 33(&(), замкнутая от-
относительно топологии нормы и операции эрмитова сопряжения, является С*-
алгеброй. (Вообще, мы называем С*-подалгеброй С*-алгебры 31 всякое подмно-
подмножество в 31, которое само является С*-алгеброй относительно алгебраических
операций инволюции и нормы, заимствованных из 31.) С*-подалгебры алгебры
?В(Ж) называются также операторными (или конкретными) С*-алгебрами,
в отличие от общих С*-алгебр, которые иногда называют абстрактными С*-
алгебрами. Имеется глубокий результат Гельфанда и Наймарка (см. п.1.5.Г),
согласно которому всякая (абстрактная) С*-алгебра может быть реализована
*) Наймарк [Н2] называет алгебру типа С* банаховым (или полным) вполне регулярным
симметричным кольцом. Некоторые авторы используют термин В*-алгебра для абстрактной
С*-алгебры, сохраняя название С*-алгебры для алгебр ограниченных операторов в гильберто-
гильбертовом пространстве (см., например, [Р4]). Мы отсылаем к книгам [Н2, Д4] за подробным изло-
изложением вопросов, затронутых в данном параграфе.
37
как С*-подалгебра в Э$($6) при подходящем выборе Ж; другими словами,
всякая абстрактная С*-алгебра изоморфна некоторой конкретной С*-алгебре.
Упражнение 1.45. Показать, что норма ограниченного оператора удовлетворяет
тождеству A.74). (Указание: из соотношений ||Лт|5||2=(г|з, Л*Лг|))<||г|)||2||ЛМ|| следует ||Л2||<:
<1Й*-Д||; далее воспользоваться неравенством ||Л*.Д||«||.Д||2, следующим из A.73).)
Более общим чем изоморфизм является гомоморфизм С*-алгебр (или С*-
гомоморфизм, или просто морфизм), под которым понимается линейное ото-
отображение у из С*-алгебры 31г в С*-алгебру ЗХ2, сохраняющее операции умно-
умножения (т. е. у (АВ) = у (А) у (В)) и инволюции (т. е. у (А)*=у(А)*), а также пере-
переводящее единичный элемент в единичный (т. е. уA)=1). Теперь С*-изоморфизм
(или алгебраический изоморфизм) 31, на §12 можно определить как С*-гомо-
морфизм из Slt на ЭД2, который взаимно однозначно отображает 3lt на St2.
С*-изоморфизмы из Ш. на 81 называются С*-автоморфизмами алгебры 21.
Отметим, что всякий С*-изоморфизм автоматически оказывается изометри-
изометрическим отображением, т. е. ||уС<4)|| = || Л || (см- следующий пункт).
Б. Спектр. Хотя понятие спектра в абстрактной С*-алгебре не будет нами существенно
использоваться, мы приведем относящиеся к нему результаты, важные сами по себе.
Назовем элемент А С*-алгебры 21 обратимым, если существует элемент Л ?2Г, назы-
называемый его обратным, такой, что
А-1А = АА~1=1. A.75)
У пр ажнение 1.46. Пусть IIАII < 1. Доказать, что элемент 1 — А обратим и
IIАII2
[A — А)~1—1 — А||< . . . ,¦¦. (Указание: показать, что ряд \-\-А-\-Аг-\-... сходится
^ II А- II
в топологии нормы, и определить A— А)~1 как его сумму.)
Пусть А — фиксированный элемент С*-алгебры 31. Множество всех комплексных чисел
X, для которых элемент X—А обратим, называется резольвентным множеством элемента
А, а обратный элемент (Х~А)~Х (как функция параметра X) называется резольвентой эле-
элемента А. Дополнение к резольвентному множеству называется спектром элемента А; мы
обозначим спектр через а (А). Величина
A.76)
называется спектральным радиусом элемента А.
Предложение 1.18. Спектр а (А) любого элемента А С*-алгебры Ж является не-
непустым компактным множеством, причем для спектрального радиуса имеет место формула
р(А)= lim \\An\\1/n=ini\\An\\1/n. A.77)
П->- 00 П
Доказательство этого предложения читатель найдет в [Р4], п.10.13.
В действительности до сих пор инволюция в алгебре не использовалась, и предложение
1.18 справедливо для всех банаховых алгебр (с единицей). Специфика С*-алгебр проявляется
в следующем упражнении.
Упражнение 1.47. Доказать, что в С*-алгебре имеет место следующая формула
для нормы:
|И||=р(ЛМ)'/'. A.78)
В частности,
|И||=р(Л), если А=А*. A.79)
(Указание: вначале доказать формулу A.79), используя первое соотношение A.77), в котором
следует п выбрать в виде 2т, /л->оо; далее индукцией по т доказать, что ||ЛB Jj|=||^4[]{а '.)
Формула A.78) доставляет выражение для нормы в С*-алгебре в терминах алгебраических
понятий (и инволюции). В частности, отсюда вытекает следующий важный результат.
Упражнение 1.48. Доказать, что всякий С*-гомоморфизм обладает свойством
IIyWIWI^H для всех А и что всякий С*-изоморфизм сохраняет норму. (Указание: убедиться,
что для С*-гомоморфизма у а (у (А))са (А) и что для С*-изоморфизма у а(у(А))=а(А) для
всех А.)
Следующее предложение характеризует положительные элементы в С*-алгебре, т. е.
элементы А, представимые в виде А=В*В (очевидно, такие элементы эрмитовы).
Предложение 1.19. Спектр эрмитова элемента С*-алгебры веществен. Эрмитов
элемент А С*-алгебры положителен в точности тогда, когда его спектр неотрицателен (т. е.
а(Л)с[0, ос.)).
По поводу доказательства см. [Р4], пп.11.20, 11.28.
Приведем без доказательства еще результат об отображении спектров (см. [Р4], пп.10.26—
10.28).
Предложение 1.20. Пусть f—голоморфная функция, определенная в открытом
множестве QcC, и пусть a(A)c:Q. Тогда можно определить элемент /(Л)?21, причем:
38
(а) отображение f -—»¦ f (А) есть гомоморфизм алгебры голоморфных функций в алгебру 2t;
(б) f(A) = A, если f(X)=X; (в)?(А) = (А- ко)~\ если/ (А,)^(Л,-A*)-*; (г) <т(/(Л))=/(а(Л)),
Для эрмитовых элементов А достаточно лишь требования непрерывности функции /.
Предложение 1.21. П усть % (К) есть С*'-алгебра непрерывных функций на ком-
компактном множестве К С R (причем алгебраические операции определены поточечно, инволю-
инволюция есть комплексное сопряжение, а норма есть || /||= sup {| f (k)\: Х?К})- Далее, пусть А
есть эрмитов элемент С*-алгебры Ш и а (А) сг К- Тогда мсжно определить элемент f (A) ?51,
причем: (а) отображение f-—> f (А) есть С*-гомоморфизм алгебры % (К) в алгебру 3t;
(б) / (Л) = А, если f {%) ^ %¦ (в) a (f (A)) = f (а (А)).
Доказательство см. в {Д4], п. 1.5.1.
В. Положительные функционалы. Линейный функционал F, определен-
определенный на инволютивной алгебре Щ,, называется положительным функциона-
функционалом, если
F(A*A)^0 при всех А?Ж. A.80)
Приведем простейшие свойства положительных функционалов.
(а) Всякий положительный функционал принимает вещественные значе-
значения на эрмитовых элементах алгебры.
(б) Если F — положительный функционал, то
\F(A*B)\*<F(A*A)'F(B*B) при всех A, BgSL A.81)
(Неравенство A.81), являющееся частным случаем неравенства A.12), также
называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца.)
Для С*-алгебр имеет место еще одно интересное свойство.
(в) Всякий положительный функционал F на С*-алгебре непрерывен (по
норме), и его норма равна ^(l).
У п р ажне ни г 1.49. Доказать свойство (в). (Указание: в силу A.81) | F (A)\2^F A)X
Y.F(A*A); остается доказать, что |.F (Л)|<^ A) для всех эрмитовых элементов А с нор-
нормой || А || < 1. Воспользоваться тем, что такие элементы представимы в виде Л=1—В%,
где В —эрмитов элемент, определяемый сходящимся по исрме рядом В = У^1 — А =
-?<-')¦('»
п=0
Упражнение 1.50. Доказать, что для пслсжительксго (pyi кционгла F на С*-глгебре Ш
и для любых A, B?3t имеет место неравенство
|f (В*АВ)\ < В Л \\-F (В*В). A.82)
(Указание: применить свойство (в) к положительному 'функционалу G (A) = F (В*АВ), где
В фиксировано.)
Упражнение 1.51. Показать, что множество
3Р={А^Ж: F(A*A) = 0} A-83)
является левым идеалом в ЗГ. (Указание: всспсльзоваться [неравенством Коши —Буняков-
—Буняковского— Шварца или неравенством A.82).)
Положительные функционалы разделяют элементы С*-алгебры. Более
того, справедливо следующее утверждение.
Предложение 1.22. Для любого элемента А в С*-алгебре 31 сущест-
существует положительный функционал F see Fa на SI такой, что
|^||=1 и ^ ИМ) НИ ||2. A.84)
По поводу доказательства см. [Р4], п. 12.39.
Легко видеть, что для произвольных положительных функционалов
Flt ...,Fn на инволютивной алгебре и для любых К1, ...,Я„^0 функцио-
л
п
нал F — 2 kjFj положителен; мы назовем его выпуклой линейной комбина-
комбинацией функционалов Fx, ..., Fn.
Положительный функционал F называется неразложимым, если он не мо-
может быть представлен в виде суммы неколлинеарных положительных функцио-
функционалов, т. е. если из равенства F(A)=F1(A)+F2(A) при всех Л(Е31, где Fi и
Ft— положительные^функционалы, следует, что F1==XF(X^0).
39
Множество [а, Ь\ точек х вида x=hx+(l—X) Ъ, 0<Х<1, в линейном про-
пространстве Q называется отрезком. Точка х0 называется крайней (или экстре-
экстремальной) точкой подмножества К (х0 € К) линейного пространства Q, если она
не является внутренней точкой ни одного отрезка с различными концами в К.
Введем обозначение
St;+ = {f€r: 7=>0, |F||=1} A.85)
для множества всех нормированных положительных функционалов на
С*-алгебре 9(. Нетрудно видеть, что ненулевой положительный функционал
F на С*-алгебре 9Х неразложим в точности тогда, когда fFJ/7 является
крайней точкой множества %'1+.
Упражнение 1.52. Пусть F^=F1-\-F2, где Flt F2 (и F) — положительные функцио-
функционалы на *-алгебре 31. Показать, что для соответствующих им (согласно A.83)) левых идеа-
идеалов справедливо соотношение Up = #f,ri $ Fx'
Множество 811+ в некотором смысле порождается своими экстремальными
точками. Следующие два результата раскрывают точный смысл этого
утверждения.
Предложение 1.23. Единичный шар %[ в Ш' компактен в %-слабой
топологии (следовательно, множество W1+ также компактно в этой топологии).
Это утверждение есть частный случай теоремы Банаха —• Алаоглу ([Р4], п.4.3).
Теорема 1.24 (Крейна—Мильмана). Всякое компактное выпуклое под-
подмножество в ЛВП является замкнутой выпуклой оболочкой своих экстре-
экстремальных точек.
Доказательство см., например, в [Р4], п.3.21.
Примеры неразложимых положительных функционалов на алгебре 53 (-9?)
доставляют так называемые векторные функционалы вида Рф:
FO(A) = <O, ЛФ>, АеЯ(Ж), A.86)
где Ф — произвольный вектор из Ж. Этот пример становится типичным,
если включить в рассмотрение представления «-алгебр (см. п. Г).
Упражнение 1.53. Пусть F — эрмитов линейный функционал на С*-алгебре 31 (эрми-
товость означает, что F (A*)=F (А) для всех А ?31). Доказать, что
IF I^sup {\F(A)\: А?Ш, А = А*. И||<1}. A.87)
(Указание: если F (Л) = аЗгО для некоторого Л ?31 с||Л||<1, то, полагая S = 1/2 (A-\-A*),
имеем F (В) = а, причем В = В*?21и ||В||<-1.)
Г. Представления. Представлением С*-алгебры §1 в гильбертовом прост-
пространстве Ж называется С*-гомоморфизм я алгебры 21 в алгебру S3 [Ж)
всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Ж.
Представление я называется неприводимым, если всякое замкнутое под-
подпространство в Ж, инвариантное относительно всех операторов я (Л) (А €§1),
либо есть {0}, либо все Ж- Вектор Ф?Ж называется циклическим для
представления я, если все векторы вида п(А)Ф (где А^Щ образуют то-
тотальное множество в Ж. (Представление с циклическим вектором назы-
называется циклическим.) Под эквивалентностью двух представлений п1 и я2
С*-алгебры Щ. в Ж1 и Жг, как правило, подразумевают унитарную экви-
эквивалентность *), означающую изоморфизм V: Ж1 -^ Ж2 гильбертовых прост-
пространств со свойством
n2(A) = Vn1(A)V-1 для всех A?$L. A.88)
*) С унитарной эквивалентностью тесно связано следующее понятие. Две конкретные
С*-алгебры 3(х и 'Л2 (соответственно в гильбертовых пространствах Ж\ и Жг) называют про-
пространственно изоморфными, если выполнены два условия: во-первых, они алгебраически изо-
изоморфны, т. е. существует С*-изоморфизм я: З^—>-ЗС2; во-вторых, этот С*-изоморфизм я, рас-
рассматриваемый как представление алгебры 3d в Жг^ унитарно эквивалентен тождественному
представлению А —>- А алгебры ЭГ[ в Ж (другими словами, существует унитарный оператоо V:
Жтг^Жч. такой, что n(A)=VAV~l для всех А ^Эу.
40
Для приложений важны также представления инволютивных алгебр, не являющихся
С*-алгебрами, причем в качестве операторов представления л, вообще говоря, допускаются
неограниченные операторы в гильбертовом пространстве. Обычное требование состоит в том,
что все операторы я (Л) определены вместе со своими сопряженными на некоторой плотной
ВЖобласти D (линейном подпространстве), причем D инвариантно относительно операторов
я (Л). Тогда на D имеют смысл характеристические тождества, определяющие такие представ-
представления:
я(ЯЛ+цВ)=Яя(Л)+рт(В), п(А*)=п(А)*, п(АВ)=п(А) п(В).
Мы встретимся с такими представлениями в гл. 8; на них распространяются многие важные
результаты, излагаемые здесь для представлений С*-алгебр (это те результаты, в которых то-
топология С*-алгебр несущественна).
Упражнение 1.54. Доказать эквивалентность следующих трех свойств представле-
представления я С*-алгебры 9t в Ж-
(а) я неприводимо;
(б) всякий оператор из 5:}(Ж)< коммутирующий со всем я (&) (т. е. со всеми операторами
вида п(А), где Л ?91), кратен единичному оператору;
(в) любой вектор из Ж цикличен для л.
(Указание: доказать эквивалентности (а) ^Ф (б) и (а) ФФ (в); при доказательстве импликации
(а) =$> (б) рассмотреть вначале проекторы и эрмитовы операторы, коммутирующие с зт(9Г).)
Эквивалентность условий (а) и (б) в упражнении 1.54 называют обычно леммой Шура.
Упражнение 1.55. Пусть л1 и я2— два неприводимых унитарно неэквивалентных
представления С*-алгебры Я в Ж\ и Жч соответственно. Доказать, что для всякого линейного
ограниченного оператора Т: Жг^Жъ из условия Тл1(А)=л2(А) Т для всех А ? 2t (т. е. из
того, что Т переплетает представления л1 и я2) следует Т--0. (Указание: рассмотреть оператор
Т*Т и воспользоваться предыдущим упражнением.)
Если Ф—вектор в пространстве Ж представления л *-алгебры §1, то
он порождает положительный функционал
РФ = <Ф, л (А) Фу , A.89)
на 31; он называется векторным функционалом, ассоциированным с пред-
представлением л и соответствующим вектору Ф.
Упражнение 1.56. Пусть я,- (;'= 1,2) — два циклических представления 9Г в гиль-
гильбертовых пространствах Жг c циклическими векторами Ф,-, причем векторные функционалы,
соответствующие этим векторам Ф,-, совпадают:
(Фь я1(Л)Ф1)=(Ф2, я2(Л)Ф2>, Л ?91.
Доказать, что представления л,- унитарно эквивалентны. (Указание: множества J?,-—л/BТ) Ф,-
являются всюду плотными линейными подпространствами в Жь, причем (л1(А)Ф1, я2(В) Фх)=
= {я2(/4)Ф2, я2E) Ф2) при всех A, B?9L Вывести отсюда, что формула
Уп1(А)Ф1=п2(А)Ф2, А?Ш, A.90)
дает корректное определение оператора V: Хх-+%2, который продолжается по непрерывности
до изоморфизма гильбертовых пространств V: &Ст+-$Къ- Наконец, с помощью A.90) доказать
соотношение A.88).)
Пусть Жг—замкнутое линейное подпространство гильбертова простран-
пространства Ж, в котором задано представление л С*-алгебры 8(. Такое подпро-
подпространство называется инвариантным для п, если п(А)Ж1сЖ1 для всех
Л ?81 (т. е. если л (ЩЖг^Жг). Очевидно, сужения л1 (А) операторов л (А)
на подпространство Жх образуют представление лг С*-алгебры й; оно на-
называется подпредставлением представления л. Нетрудно видеть, что ортого-
ортогональное дополнение Ж2 = Ж (~>Ж-1 также инвариантно для л, так что в нем
действует подпредставление я2. В результате (при ЩфЖ1фЖ) пред-
представление разлагается в прямую сумму своих подпредставлений:
я(Л) = я1(Л)фяя(Л). A.91)
Вообще, если задано (конечное или бесконечное) семейство гильбертовых
пространств {Жу}чем и соответствующее семейство представлений {nv}ve/v
С*-алгебры 31, причем jtv действует в Жу, то в прямой сумме гильберто-
гильбертовых пространств Ж — О)ЖУ можно определить новое представление я
С*-алгебры 81 по формуле
(n(ALp)v = nv(A)^; A.92)
это представление называется прямой суммой семейства представлений {nv}.
41
Представление л С*-алгебры Ш называется точным, если из условий
я (А) —л (В) следует А = В (или, эквивалентно, если нуль есть единствен-
единственный элемент из 31, который переходит в нулевой оператор при отображе-
отображении л). Очевидно, точность представления я означает, что отображение
А—у л (А) есть изоморфизм 91 на л (Щ.
Важнейший результат настоящего раздела составляет конструкция Гель-
фанда, Наймарка, Сигала (сокращенно, конструкция ГНС), позволяющая
трактовать всякий положительный функционал на С*-алгебре как вектор-
векторный функционал в подходящем представлении алгебры.
Теорема 1.25 (конструкция ГНС). Для данного положительного функ-
функционала F на С*-алгебре Ж можно определить (циклическое) представление
лР алгебры Щ, в гильбертовом пространстве с циклическим вектором ФР
так, что
лР(А)ФРу при всех А?%. A.93)
Представление лР определено этими условиями однозначно с точностью до
унитарной эквивалентности (соотносящей циклические векторы разных пред-
представлений).
^ Формула
со (Л, B) = F(A*B) A.94)
определяет на алгебре 9t неотрицательно определенную эрмитову форму (о, поэтому здесь
применима конструкция гильбертова пространства, описанная в п. 1.1.Г. Векторы нулевой
полунормы р (A) = F (A*AI^2 образуют левый идеал Зр A.83), и на фактор-пространстве
У1/3р формула <Л, By = F(A*B) определяет скалярное произведение. Пополнение этого
предгильбертова пространства и есть гильбертово пространство $%р, фигурирующее в кон-
конструкции ГНС.
Обозначая А через |р(Л), мы имеем линейное отображение ?/=¦: 31—*• $fCp С*-алгебры
Ж на плотное линейное подпространство 3I/Sf /=•= Sf Ct) в ffl, причем
F(A*B) при A, В?Ж. A.95)
Перейдем к конструкции представления пр. Вначале каждому элементу Л ?21 сопо-
сопоставим оператор пр (А) на |/? B1) по формуле
пР(АIр{В) = 1р(АВ). A.96)
Это определение корректно (в том смысле, что поавая часть зависит от В только через
^(В)). Действительно, пусть §f(B)=0; тогда В^Зр и (в силу того, что Эр есть левый
AB?3F, так что ?Р(ЛВ) = 0. Из формулы
юл <If(B), xip(A)ip(B)> = F(B*Ab) A.97)
и неравенства A.82) следует, что оператор пр(А) ограничен: || пр(Л)||<|| Л ||, поэтому его
можно продолжить по непрерывности на все гильбертово пространство 5Jf. Соответствующее
продолжение также обозначается через пр (А).
Из определения A.96) следует, что отображение Л—>• лр(А) линейно, сохраняет опера-
операцию умножения (т. е. пр (АВ) = пр (А) пр (В)) и переводит единичный элемент в единичный
оператор: прA) = 1. Проверим свойство сопряжения:
значит, лр(Л)* = яр (Л*).
Таким образом, построенное отображение пр есть представление С*-алгебры в fflp
Положим ф/?=^/?A). Из формулы A.96) (при В = 1) следует, что вектор Фр является
циклическим для представления лр, а из формулы A.97) (при В=1) следует соотноше-
соотношение A.94).
Остается доказать единственность (с точностью до унитарной эквивалентности) пред-
представления лр со свойствами, перечисленными в теореме. Итак, пусть л—некоторое пред-
представление алгебры Ж в гильбертовом пространстве $f? с циклическим вектором Ф, причем
F (Л) = <Ф, я(Л)Ф> для всех Л^Щ. A.98)
Тогда представления я и лр унитарно эквивалентны согласно упражнению 1.56. >
Представление пР в конструкции ГНС называется представлением,
соответствующим положительному функционалу F. Оказывается, между не-
неприводимостью Лр и неразложимостью F имеется тесная связь. Предвари-
Предварительно докажем следующую лемму.
42
Лемма 1.26. Пусть F и Fx-—два положительных функционала на
С*-алгебре 91, причем Fx подчинен F в том смысле, что существует число
К ^ 0 такое, что
F1(A)^KF(A) A.99)
для всех положительных Л ?21. Тогда в пространстве ЖР представления пР
(соответствующего F) существует (единственный) положительный ограни-
ограниченный оператор Т, коммутирующий со всеми операторами пР(А) такой,
что
F, (А) = <ФР, Т лР(А) ФРу, А е 91. A.100)
<4] Мы ограничимся наброском доказательства, отсылая за деталями к [Н2], п. 19.1.
Рассмотрим эрмитову форму со на Ж: ч>(А, B) = Fi(A*B). Из неравенства Коши — Буня-
ковского—Шварца и из A.99) вытекает ) со (Л, В}\ *S X\\ ?,р(А) |||| %р(В)\. Отсюда следует,
что со (А,В) в действительности зависит от А и В только через \р(А), ?,р(В). В результате
мы построили на векторах вида %р (А) (т. е. на пр^Х)Фр) эрмитову форму со такую, что
причем \й&р(А), 1р(В))\^,кЦр(/4)||-|| |f (В)||. Из теоремы Рисса (п. 1.1.Е, пример 2) сле-
следует, что в ffl существует (единственный) линейный ограниченный оператор Т такой, что
Рг(А*В) = <1р(А), Пр(В)У, А, В?Ж. A.101)
Очевидно, Т—положительный оператор. Наконец, с помощью A.101) нетрудно убедиться,
что
<1р(А), лр(С)ПР(В)у = <1р(А), ТлР(СIр{В)у
при всех А, В, CgSt, откуда следует, что Т коммутирует с пр (Я). >
Теперь мы можем доказать следующее добавление к теореме 1.25.
Предложение 1.27. Представление пР, соответствующее положи-
положительному функционалу F, неприводимо в точности тогда, когда положи-
положительный функционал F неразложим.
¦^ Предположим, что представление пр неприводимо. Достаточно доказать, что если F
представлено в виде F=F1-\-F2, где Fj kF2—положительные функционалы,то/;'1=Х/',гдеЯ,^0.
Очевидно, что функционал Ft подчинен функционалу F, поэтому (по лемме 1.26) он представим
в виде A.100). Из неприводимости пр следует (по лемме Шура, см. упражнение 1.54), что опера-
оператор Т кратен единичному оператору: Т=Х, так что из A.100) следует: F1=KF.
Обратно, предположим, что F неразложим. По лемме Шура достаточно показать, чтв
всякий ограниченный оператор Т в,%\ коммутирующий со всеми операторами np(A)(A?W)-.
кратен единичному оператору. Очевидно, достаточно рассматривать только ограниченные
эрмитовы операторы (так как произвольный ограниченный оператор представим в виде Т=
= T1-\-iTit где Т(— ограниченные эрмитовы операторы). Более того, благодаря предложению
1.16 достаточно ограничиться только проекторами Г в ,%*/=¦, коммутирующими с Лр(Щ. Покажем,
что всякий такой проектор равен либо 0, либо 1. Действительно, функционал Ft на 91, опреде-
определенный формулой A.100), очевидно, подчинен функционалу F: F1(A*A)^.F(A*A); следова-
следовательно, F есть сумма двух положительных функционалов /\ и F—Рг. Поскольку F неразло-
неразложим, то F1=KF при некотором К^0. Из единственности представления Fx в виде A.100) следует,
что Т"=Х. Это завершает доказательство. >
Из теоремы 1.25 вытекает фундаментальный результат Гельфанда — Най-
марка.
Теорема 1.28. Произвольная («абстрактная») С*-алгебра изоморфна
некоторой «.конкретной'» С*-алгебре операторов в гильбертовом пространстве.
¦^ Сопоставим произвольному элементу А ? Щ положительный функционал Fд со свой-
свойствами A.84), и пусть nF —соответствующее ему представление алгебры 21 с циклическим
вектором Фр . Из A.84) следует, что II Ф^ 11=1. 11JV (A)®f | = 1М11» так что
А I! л II II л А II
Рассмотрим прямую сумму всех введенных представлений:
Из A.102) и упражнения 1.48 следует
я= © nF . A.103»
А еж А
для всех/4?ЗГ, A.104)
43
так что представление л является точным и, Значит, является С*-изоморфизмом алгебры
Ж на алгебру операторов л C[). ^
Следствие 1.29. Для всех элементов С*-алгебры Ж имеет место
равенство
sup 1 я (Л)| = | Л !, A.105)
я
где верхняя грань берется по всем неприводимым представлениям С*-ал-
гебры 3(.
Действительно, множество 9U+ A.85) есть замкнутая выпуклая оболочка своих экстре-
экстремальных точек, поэтому в доказательстве теоремы 1.28 можно считать, что положительные функ-
функционалы Рд выбраны неразложимыми. Теперь A.105) следует из A.102) (а также из того, что
всегда |[я (А)||«:||Л|| в силу упражнения 1.48).
Если задан автоморфизм у С*-алгебры 31, то положительный функцио-
функционал F на 31 называют инвариантным относительно у, если
F(y(A)) = F(A) для всех А ?31.
Предложение 1.30. Пусть F—положительный функционал на С*-ал-
гебре ЗХ, инвариантный относительно автоморфизма у, и пусть лР, Ж Р,
ФР—соответствующие компоненты конструкции ГНС. Тогда существует
унитарный оператор U Р в Ж Р такой, что
nP(y{A)) = UPnF{A)UFl при всех Л^ЭХ. A.106)
Более того, если потребовать, чтобы
иРФР=ФР, A.107)
то условия A.106) и A.107) определяют UP однозначно.
Упражнение 1.57. Доказать предложение 1.30. (Указание: UP можно определить
по формуле
иРпР{А)ФР=пР(у(А))ФР A.108)
для всех Л g 3L)
Теорема 1.25 содержит конструкцию всех циклических представлений
алгебры 31. С другой стороны, всякое представление 31 разлагается в пря-
прямую сумму циклических.
Упражнение 1.58. Пусть л— представление С*-алгебры % в гильбертовом простран-
пространстве,^ и пусть ^?Ж- Тогда замыкание.^С\ = л B0 i|> является (замкнутым) инвариантным
подпространством в Ж и вектор г|з — циклическим для сужения Я1 представления л на sK\.
Приведе шое выше утверждение о разложении любого представления
алгебры 31 на циклические следует из результата упражнения 1.58 при
помощи леммы Цорна (см. [Н2], п. 17.2).
Примечательно, что векторные функционалы вида A.86) не исчерпывают всех неразложи-
неразложимых функционалов на ,''9(.^f) (IH2], § 22). С другой стороны, как мы видели, конструкция ГНС
дает возможность каждому неразложимому положительному функционалу на Z&($C) сопоста-
сопоставить векторный функционал в некотором (возможно) другом неприводимом представлении
алгебры .eB(.ffl)- Это означает, что '<-$($%) обладает унитарно неэквивалентными представления-
представлениями. Однако при фиксированном ffl в квантовой механике ограничиваются именно векторными
функционалами вида A.86) и их выпуклыми линейными комбинациями (возможно, счетными).
Мы коснемся физического обоснования такого выбора далее в п.6.4.А.
Д. Операторы с абсолютно сходящимся следом. Мы приведем здесь способ
представления векторных функционалов и их выпуклых линейных комби-
комбинаций операторами из 58G?). Введем необходимое нам понятие следа опе-
оператора. В конечномерном пространстве Ж след оператора А есть сумма
диагональных элементов матрицы оператора А в каком-либо базисе Ж. Выбрав
ортогональный базис {еп} в Ж, мы можем представить это определение в виде
trA = %<en\Aen> A.109)
п ¦ '.
44
(нетрудно убедиться, что след оператора не зависит от выбора базиса). В бес-
бесконечномерном пространстве Ж след определяется не для произвольного опе-
оператора из 33 (Ж), а лишь для так называемых операторов с абсолютно сходя-
сходящимся следом (или ядерных операторов), для которых ряд в правой части A.109)
сходится при любом выборе ортонормированного базиса {еп} в Ж. Класс всех
таких операторов может быть описан следующим образом.
Сопоставим каждой паре векторов и, у?Ж оператор, записываемый (в ди-
раковских обозначениях) как \u){v\ и действующий на Ф ?Ж посредством
= <1>, Ф)-и. A.110)
Очевидно, что |||ы)(у|]]="ц''-[у]. Нетрудно убедиться, что конечные линейные
комбинации операторов вида \u){v\ составляют в точности класс операторов
конечного ранга (характеризуемых тем, что область значений таких операторов
А конечномерна, или, эквивалентно, условием конечномерности ортогональ-
ортогонального дополнения к нуль-пространству ker А). В частности, операторы вида
|м>(»| составляют класс операторов ранга <1. Теперь класс операторов с аб-
абсолютно сходящимся следом может быть охарактеризован как множество всех
операторов А в Ж, представимых в виде (конечной или бесконечной) суммы
А =2^k операторов Ak ранга <1, причем ряд ^4ft'| сходится. На таких опе-
k k
раторах А формула A.109) корректно определяет след, как показывает следую-
следующее упражнение.
Упражнение 1.59. Доказать, что
tr
при условии, что 2 И uk HI vk 1 < °°-
k
Будем обозначать множество всех операторов в Ж с абсолютно сходя-
сходящимся следом через J^^^TC). Очевидно, что 3?±(Ж) является инволютивной
подалгеброй в 33 {Ж) (уже без единицы, если Ж бесконечномерно). Более
того, это—двусторонний идеал в 33 (Ж), как утверждается в следующем
упражнении.
У пражнение 1.60. Если А?Х1{Ж)> В ?33 (.%"), то АВ и В А принадлежат
Ж)
Упражнение 1.61. Доказать следующие свойства следа:
(а) tr^* = t?l' при А^
(б) tv(AB) = tr(BA) при ?Ж)
ifi) для любого А^Х\{Ж) величина
|I= sup ЩШ (НИ)
конечна и обладает свойствами нормы на {)
(г) если А(^Хх(Ж) представлено в виде 2 I "*><"? I' где кажДая из последователь
k
ностей {иА} и {i>/,} ортогональна, то || A |li = ^]|l Цд|Н1 vu II-
Норма \А\Х A.111) называется следовой нормой в 2г(Ж). Из сравне-
сравнения A.32) и A.111) следует, что имеется изометрическое вложение 3?х {Ж)
в пространство 33' (Ж) линейных непрерывных функционалов над 33 {Ж),
при котором элементу А^^С1(Ж) сопоставляется функционал (F,B) =
— tr (АВ) над В ?33 (Ж). В этом смысле мы будем отождествлять S?ъ.(ЯС)
с подпространством в 33'(~У€) и писать J?\ ($t)<z.33' {Ж). Равным образом,
формула A.111) показывает, что мы можем изометрически вложить 33 (Ж)
в S[ (Ж), сопоставляя элементу В ? 33 (Ж) функционал tr (АВ) над Л ? „2% (Ж).
Замечательно, что при таком отождествлении 33 {Ж) с подпространством
в 3'Х(Ж) мы фактически получаем все &[(&?), т. е. 33(Щ=-??{(Ж).
45
Упражнение 1.62. Доказать, что -Х^Ж) есть банахово пространство со следовой
нормой и операторы конечного ранга образуют плотное множество в ?\(Ж)-
Упражнение 1.63. Доказать, что оператор А^.?\(Ж) положителен в точности
тогда, когда соответствующий ему функционал F над S3 (Ж) положителен.
Результат последнего упражнения позволяет описать замыкание (по норме)
в S3' {Ж) множества всех выпуклых линейных комбинаций векторных функ-
функционалов. Оно состоит из функционалов вида В —+ tr (AB), где А — положи-
положительный оператор из 3 ^ {Ж). Используя спектральное разложение для А*
которое в данном случае принимает вид
А=ЪК\ипУ<ип\, A.112)
п
где {«„} — ортонормированный базис в Ж, Хп^0 и 2^«< °°> мы видим,
я
что такие функционалы представимы в виде счетной суммы векторных функ-
функционалов над 53 (Ж).
Е. Алгебры фон Неймана. Для операторных С*-алгебр ШаЗЗ(Ж) помимо
топологии нормы и слабой топологии вводят ряд специальных топологий.
Слабой операторной топологией (или W-топологией)м называют тополо-
топологию ЛВП на S3 (Ж), определяемую полунормами
= max |<Фу, АЧ/>\, A.113)
здесь п — произвольное натуральное число, а Фх, ..., Ф„ и ?х, ..., у?п —
произвольные векторы из Ж. Аналогично полунормы
Рчг, vJA)= max \\AYj\\
i-\. .... л
определяют сильную операторную топологию (или S-топологию) на S3 (Ж).
Важна еще а-слабая операторная топология на S3 (Ж) с полунормами
р^ В»(Л)= sup \ir {ABj)\, (Ы14)
/=I л
где Blt .... Вп— произвольный конечный набор операторов с абсолютно
сходящимся следом. Очевидно, W-топология слабее, чем 5-топология и с-сла-
бая операторная топология, а все эти топологии слабее топологии нормы, по-
поэтому замкнутое по норме подмножество в S3 (Ж) может не^быть еще замкну-
замкнутым в перечисленных топологиях.
Выше мы говорили, что инволютивная подалгебра в S3 {Ж), замкнутая
относительно топологии нормы, является С*-алгеброй. Соответственно алгеб-
алгеброй фон Неймана (или №*-алгеброй) называется всякая инволютивная подал-
подалгебра (с единицей) в S3 (Ж), замкнутая в W-топологии. Всякая алгебра фон Ней-
Неймана автоматически оказывается С*-алгеброй. Замечательно, что условие зам-
замкнутости инволютивной подалгебры относительно lF-топологии в определении
алгебры фон Неймана эквивалентно условию замкнутости в S-топологии или
в а-слабой операторной топологии ([Н2], п. 34.2 или ГДЗ], с. 41).
Естественность понятия алгебры фон Неймана обусловливается возмож-
возможностью чисто алгебраического (не топологического) определения ее.
Коммутантом подмножества Шв S3 (Ж) будем называть множество ЯЛ*
тех операторов А ? S3 (Ж), которые коммутируют со всеми элементами из 9Л.
Очевидно, что коммутант является алгеброй. Если множество Ш замкнуто
относительно сопряжения (т. е. A*?$R, если А^Ш), то коммутант 9ЛС
является инволютивной подалгеброй в S3 (Ж).
Упражнение 1.64. Показать, что коммутант ЗЛС любого множества Ш1, замкнутого'
относительно сопряжения, замкнут в слабой (или ст-слабой) операторной топологии и, значит,
является алгеброй фон Неймана.
Алгебраическая характеристика алгебр фон Неймана дается в терми-
терминах бикоммутанта (или повторного коммутанта) Шсс гз BНС)С.
46
Теорема 1.31 (о бикоммутанте, или теорема плотности фон Неймана).
Слабое операторное замыкание произвольной инволютивной подалгебры 21
е SB (Ж) совпадает с бикоммутантом %сс. В частности, всякая алгебра фон
Неймана^ совпадает со своим бикоммутантом: 8t" = 9t.
Доказательство см. в [Н2], п. 34.2.
Для любого подмножества 9Л в 53 {Ж) существует минимальная алге-
алгебра фон Неймана 31 в 53 (Ж), содержащая 9Л; она называется алгеброй фон
Неймана, порожденной множеством SOL Из теоремы о бикоммутанте нетрудно
заключить, что эта алгебра есть бикоммутант множества 9Л и 9Л*:
31 = («ШU Ш*)сс. A.115)
Упражнение 1.65. Пусть я —неприводимое представление С*-алгебры 31 в гиль-
гильбертовом пространстве Ж• Тогда слабое (или а-слабое) замыкание л C1) совпадает с 53 (Ж)'
Имеется" также полезное усиление теоремы 1.31, которое мы сформули-
сформулируем в терминах представлений. Посредством SIX будем обозначать (замкну-
(замкнутый по норме) единичный шар в С*-алгебре 31, а посредством 31—слабое
{или, эквивалентно, а-слабое) операторное замыкание алгебры операторов St.
Предложение 1.32. Пусть л—представление С*-алгебры Ш в гиль-
гильбертовом пространстве Ж ¦ Тогда л B11) плотно в (л (Щ)г в слабой {или о-
¦слабой) операторной топологии.
Это предложение представляет собой комбинацию теоремы плотности Капланского
{[ДЗ], с. 43) и свойства гомоморфизмов, приведенного в [Д4], п. 1.8.3.
Упражнение 1.66. Пусть я— представление С*-алгебры в гильбертовом простран-
пространстве Ж и пусть В есть оператор в $jf с абсолютно сходящимся следом. Доказать, что
sup |tr(B-ji(X))|= sup_|tr(B-K)|. A.116)
^ У6Л(>Д)
В частности, если я неприводимо, то
sup | tr(S-Jt(X))| = ilB[|1. A.117)
X с 91
их н< 1
(Указание: воспользоваться формулой A.111), предложением 1.32 и упражнением 1.65.)
Приведем еще одно следствие теоремы о бикоммутанте.
Упражнение 1.67. Если С*-алгебра операторов 31 в Ж коммутативна, то ее сла-
•бое операторное замыкание есть коммутативная алгебра фон Неймана. (Указание: применить
операцию взятия бикоммутанта к соотношению 3tcr3lc и заметить, что (WH" = (Щ.сс)с = (Ж)с-)
При изучении и классификации алгебр фон Неймана важную роль играет понятие фактора,
которое может рассматриваться как неточный аналог неприводимого представления. Алгебра
Э1с:й называется фактором, если ее центр 31П 21' содержит лишь элементы, кратные единице,
т. е. если 3t(~j 3t'== {ctl}. Произвольная алгебра фон Неймана может быть представлена в виде
некоторой обобщенной суммы факторов.
Самосопряженные элементы алгебры фон Неймана (и функции от них) определяются свои-
своими спектральными разложениями A.64) в терминах системы проекционных операторов Е(Х).
Классификация факторов основывается на существовании (и единственности с точностью до
множителя) некоторой характеристической аддитивной функции проекторов, которая может
рассматриваться как обобщение понятия размерности. Точные результаты могут быть сформу-
сформулированы в виде следующих двух теорем (см. [Н2], § 36).
Теорема 1.33. Существует числовая функция D (Е), определенная на всех операторах
проектирования Е, принадлежащих данному фактору F, и обладающая следующими свойствами.
1) ?>(?)>0, причем Г>(?)-=0 только при ?=0.
2) Если операторы Е1 и ?2 эквивалентны относительно фактора F, т. е. если существует
алемент8?Р такой, что E2=SE1S~1, то D (?X)=D (?2).
3) Если ?х?2=0, то D (?1+?2)=Л (EJ+D (?2).
Функция D (?) определяется из условий 1) — 3) (при заданном факторе F) однозначно,
.с точностью до постоянного положительного множителя *).
*) Функцию D (?) называют относительной размерностью.
41
Теорема 1.34. Область значений относительной размерности может быть сведена
при подходящем выборе нормировки к одному из следующих множеств:
A„) совокупность целых чисел k из интервала 0<:fe«:/i;
(I») совокупность неотрицательных целых чисел, включая оо;
(II]) интервал [0, 1];
(И*,) интервал [0, оо];
(III) числа 0 и оо.
В зависимости от того, какое из этих множеств пробегает функция D (Е), говорят о факто-
факторах типа 1„, I», Hi, И» и III.
Есть примеры факторов любого из этих классов. В алгебраической формулировке кван-
квантовой теории приходится иметь дело с наименее привычным (и наименее изученным) классом
факторов типа III.
Глава 2. ТЕХНИКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
2.1. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ
А. Функциональное определение. Как в физике, так и в самой математике
давно ощущалась ограниченность классического понятия функции, характери-
характеризуемого заданием функциональных значений при всевозможных значениях ар-
аргументов. Важные понятия классической физики, такие, как плотность точеч-
точечной массы или заряда, не укладывались в это обычное понятие функции.
В квантовой механике и в квантовой теории поля систематически стали исполь-
использоваться такие «сингулярные» или «несобственные» функции, как 8(х) (дельта-
функция Дирака), D(x) (перестановочная функция) и т.д., возникающие,
в частности, в так называемых перестановочных соотношениях, которые
играют основную роль в квантовой теории. В самой математике узость клас-
классического понятия функции чувствовалась, например, в попытках определить
функцию Грина для уравнений гиперболического типа (в частности, для вол-
волнового уравнения), при нормировке собственных функций, соответствующих
непрерывному спектру оператора, и в ряде других вопросов.
Физики обосновывали применение таких, противоречивых с точки зрения
классического определения функции, понятий, как дельта-функция, двумя
причинами. Во-первых, говорилось, что сингулярные функции можно умно-
умножать на «хорошие» функции и задавать правила интегрирования таких произ-
произведений; тогда полученные выражения имеют смысл. Во-вторых, сингулярные
функции представлялись в виде несобственных пределов последовательностей
обычных гладких функций. Оба эти интуитивные обоснования применения
сингулярных функций нашли в дальнейшем точное математическое выражение-
и могут служить исходным пунктом теории обобщенных функций.
Для того чтобы придать точный смысл первому определению, необходимо,
сначала задаться некоторым классом (линейным топологическим пространст-
пространством) «хороших» (например гладких и убывающих на бесконечности) основных,
или пробных, функций и(х). После этого обобщенную функцию /=/(л:) опреде-
определяют ее «интегралами» со всевозможными основными функциями:
В общем случае входящий сюда «интеграл» имеет чисто символический смысл:
он указывает лишь на то, что функционал f(u) зависит линейно от и. (Предпо-
(Предполагается также, что /(ы) непрерывно зависит от и; это существенно и с матема-
математической точки зрения — чтобы обеспечить применимость аппарата функцио-
функционального анализа, хорошо приспособленного для приложений, в частности,
чтобы сохранить аналогию с интегралом по некоторой мере,— и с точки зрения
физической интерпретации распределений как плотностей масс, зарядов и т. п.)
В частности, если f(x) есть обычная непрерывная функция (такая, что интегра-
интегралы типа B.1) существуют для всех основных функций и(х)), то она определяет
равенством B.1) обобщенную функцию /. Если класс основных функций вы-
выбран достаточно широким, то непрерывная функция f(x) определяется функцио-
функционалом f(u) однозначно. (Если предположить только, что f(x) локально интег-
интегрируема, то она определяется функционалом f(u) лишь почти всюду, т. е. с точ~
ностью до значений на множестве лебеговой меры нуль.)
49
Спрашивается, из каких соображений следует выбрать то или иное про-
пространство основных функций?
Отметим прежде всего, что данную (в физическом контексте) сингуляр-
сингулярную функцию можно трактовать как обобщенную функцию многими фор-
формально отличающимися друг от друга способами, варьируя пространство
пробных функций. Рассмотрим в качестве примера заряд q и диполь d,
сосредоточенные в точке а трехмерного пространства R3. Их плотности мо-
могут быть определены как обобщенные функции /„, о и fd, a, связанные с 8-
функцией Дирака по формулам
(fq.a, u) = q-u{a), fq,a=^qb{x—a),
(fa, «, и) = — rfV «(a), U. « = dV8 (x -а).
В первом случае в качестве основных функций можно взять все функции, не-
непрерывные в окрестности точки а, а во втором — все функции, непрерывно диф-
дифференцируемые в окрестности этой точки. Однако в обоих случаях мы могли бы
допустить в качестве пробных функций лишь все бесконечно дифференцируемые
(сокращенно, <ё°°) функции в /??. На интуитивном уровне представляется оче-
очевидным, что от такого сужения пространства основных функций мы мало что
приобретаем (или утрачиваем) в смысле физической информации о распределе-
распределении заряда. (На формальном уровне эквивалентность двух подходов можно
•обосновать соображениями непрерывности функционалов и возможности их
расширения по непрерывности.) Однако выбор множества основных функций
класса %°° предпочтителен своей большей универсальностью: он годится не
только в обоих приведенных выше примерах, но и для многих других более
сингулярных распределений. Вообще, большая гладкость пробных функций
соответствует большей допустимой сингулярности обобщенных функций.
^(Интуитивное представление о степени сингулярности можно заимствовать из
теории мероморфных функций; для обобщенных функций это понятие вводится
именно на основе приведенного принципа.) С другой стороны, ясно, что чем
быстрее убывают основные функции при |jc| —*- оо, тем больше допустимый рост
обобщенных функций на бесконечности.
В квантовой теории поля обычно предполагают, что матричные элементы
от операторов поля ф (х) могут расти на бесконечности не быстрее полинома от
х (где х —• точка «координатного» пространства) и что их преобразования Фурье
обладают аналогичными свойствами в «импульсном» пространстве. Наиболее
подходящим для такой цели является следующее определение.
Обобщенными функциями в /?л мы будем называть линейные непрерыв-
непрерывные функционалы над (комплексным) пространством <У (Rn) быстро убываю-
убывающих (комплексных) основных функций (введенном в п. 1.2.В). Они образуют
сопряженное пространство &"(/?') к ^{R') и называются такжэ распределе-
распределениями медленного (или умеренного) роста. Используя предложение 1.2, мы
можем также сказать, что обобщенная функция в /?' есть линейный функ-
функционал на of (/?'). удовлетворяющий условию: существуют натуральные
числа /, т и константа с^О такие, что
|(/, ы)Кс||и|1,11В при всех u€?{Rn). B.2)
Входящие сюда нормы определены посредством A.42). (Для (/, и) мы будем
также использовать запись (f{x), u(x))x или \f(x)u(x)dnx с явным ука-
указанием аргумента.)
Важным примером обобщенной функции в R11 является уже упоминав-
упоминавшаяся б-функция Дирака, определяемая равенством
F, u)=$6(*)u(x)dje = «@) при всех и ? & (/?"). B.3)
Оказывается, что в соответствии с интуитивным представлением об
обобщенной функции как о полиномиально ограниченной сингулярной функ-
дии с конечной степенью сингулярности во всем пространстве можно
50
записать любой элемент / ? 3" в виде *)
(/.«)= 2 Ua(x)D«u(x)d"x, «€<У (/?»); B.4)
здесь /а (я)—непрерывные полиномиально ограниченные функции в R".
Доказательство этого факта легко получается комбинацией теоремы Хана — Банаха и
теоремы Рисса — Маркова об общем виде линейных непрерывных функционалов на простран-
пространстве всех комплексных непрерывных функций в R", убывающих на оо (см. также [Г4], пп.П.4.2,
Н.4.3).
Часто в литературе используются распределения**) (Шварца) в про-
произвольном открытом множестве***) 6 с R", определяемые как линейные не-
непрерывные функционалы над пространством &) F) бесконечно гладких фи-
финитных функций (п. 1.2.В). Пространство распределений Шварца в б обо-
обозначается посредством &)' F). Допустимый рост распределений Шварца
в R" на бесконечности никак не ограничен (в отличие от умеренного роста
обобщенных функций из &").
Функционалы пространства gD' (Q) удовлетворяют (по определению) следующему усло-
условию секвенциальной непрерывности. Будем говорить, что последовательность основных
функций щ^Щ) (Q) стремится к функции u?.6?>(Q) в (сходимости) ?D (Q), если существует
компакт К в (э, вне которого все функции ик и и равны нулю, и если щ стремится рав-
равномерно (по х) к и вместе со всеми своими производными (т. е. Daujl —>¦ Dau при k —>¦ оо
равномерно по х, где мультииндекс а произволен). Функционал / над @) (Q) называется
секвенциально непрерывным, если (/, ик) —>¦ (/, и) для любой сходящейся последовательно-
последовательности щ —>¦ и в S) (tj).
Отметим, что всякую обобщенную функцию из <&" (/?") можно рассмат-
рассматривать и как распределение из 3)' (/?"). Чтобы убедиться в этом, достаточно-
заметить, что ?D(R") является плотным линейным подпространством****)
пространства основных функций &(/?") и что из сходимости щ—^иъ S) (/?")
следует сходимость ик—*-ы в of (/?"). Из включения S) (R")czaf (R") и из
определения непрерывного функционала в пространстве Фреше следует, что
для любого f?3" (/?") существуют с ^ 0 и натуральные числа I, m такие, что
|(/, «)Кс|ы|!,,„, для всех «€?>(/?")• B.5).
Нетрудно видеть, что это свойство является характеристическим для суже-
сужения на &) функционалов из 8". Иными словами, имеет место следующее
утверждение.
Предложение 2.1. Всякое распределение f?@)' (/?"), которое удов-
удовлетворяет условию B.5), может быть единственным образом продолжено да
обобщенной функции из 3" (/?") (другими словами, может быть однозначно
продолжено линейным и непрерывным образом на & (/?")).
Это предложение доказывается стандартной процедурой продолжения функций (или функ-
функционалов) по непрерывности.
Последовательность fk в &" (/?") называется слабо (или *-слабо по тер-
терминологии п. 1.3. Б*****))^сходящейся к f?eif"(R"), если lim(fk, u) — (f, ы)-
*) Можно добиться того, что число слагаемых в правой части B.4) равно 1; тем не менее-
общая формула B.4) оказывается предпочтительнее в тех случаях, когда нас интересуют свой-
свойства носителей / и /а.
**) По аналогии с французским distribution — распределение (термин Шварца) Шварц,
называет обобщенные функции (из 8") умеренными распределениями — distributions tempe-
rees, а Гельфанд и Шилов [Г4] называют их обобщенными функциями умеренного роста.
•**) Непустое связное открытое множество евклидова пространства R" называется
также областью в R".
•*•*) Это свойство плотности означает, что для каждой функции uCdf (/?") существует
последовательность функций {м#}^<2) (/?"), которая стремится к и. Чтобы убедиться в этом,,
достаточно рассмотреть последовательность функций uk(х) = со (x/k) и(х), к=*1, 2, ..., гд*
»М€Й> и (й(х)=1 при |*|< 1-
**••*) Пространство ef(Rn) является рефлексивным, поэтому слабая н «-слабая сходимости»
в &"(R") не различаются.
для любой основной функции u^uf{Rn). Согласно следствию 1.9 простран-
пространство &" (/?") слабо секвенциально полно.
Аналогичным образом определяется слабая сходимость в пространстве ?25'F) (которое
также слабо секвенциально полно); в связи с этим см. замечание в п.2.1.В.
Отметим, что в квантовой теории поля предлагались другие варианты расширения про-
пространства обобщенных функций с тем, чтобы иметь возможность рассмотрения так называемых
неперенормируемых моделей теории поля (см., например, Мейман, 1964; Джаффе, 1967).
Б. Определение в терминах фундаментальных последовательностей. Перейдем теперь
к другому определению обобщенных функций, которое является математической формулиров-
формулировкой интуитивного взгляда на обобщенные функции как на некоторого рода пределы последова-
последовательностей непрерывных функций. Это определение не использует аппарата функционального
.анализа и с этой точки зрения более элементарно, чем первое определение.
Мы будем рассматривать пространство обобщенных функций как расширение множества
непрерывных функций (в духе канторова определения множества действительных чисел как
расширения множества рациональных чисел).
Последовательность непрерывных функций {fv(x)} в «-мерном вещественном пространстве
R" назовем фундаментальной, если существуют последовательность непрерывных функций
{Fy(x)} и мультииндекс а=(ах ап) такие, что функции Fv имеют непрерывные частные
производные порядка | а | и выполняются следующие условия:
1) DaFv(x)=fv(x)npuv=l,2, ...;
2) последовательность Fv(x) сходится к непрерывной функции F(x), причем сходимость
•равномерна на каждом ограниченном множестве;
3) функции Fv(x) ограничены одним и тем же полиномом, т. е. существуют не зависящие от
-V постоянные Л>0 и k~^0 такие, что при всех v=l, 2, ...
\F4(x)\<All+D+. . .+xl)*\. B.6)
Будем говорить, что фундаментальные последовательности {fv(x)}n {gv(x)} эквивалентны
•(и писать {fv}~{gv}), если смешанная последовательность
фундаментальна. Определенное таким образом соотношение эквивалентности разбивает мно-
множество фундаментальных последовательностей на классы эквивалентности. Последовательности
{/VW} и fev(*)} принадлежат одному и тому же классу эквивалентности тогда и только тогда,
когда {/v(jc)}~{gv(x)}. Для задания некоторого класса эквивалентности достаточно задать одну
какую-нибудь фундаментальную последовательность этого класса. Классы эквивалентности
фундаментальных последовательностей будем называть обобщенными функциями (в R").
Каждая непрерывная полиномиально ограниченная функция f(x) может рассматриваться
как обобщенная функция, если отождествить ее с классом эквивалентности, в который входит
последовательность
/М, /(*) /(*)
В множестве обобщенных функций естественно вводятся линейные операции —¦ сложение
и умножение на число.
Если фундаментальная последовательность {/v} определяет обобщенную функцию /,
а Я, — число, то, очевидно, последовательность {А/ } тоже фундаментальна. Класс эквивалент-
эквивалентности, определяемый этой последовательностью, мы будем называть произведением числа к
на обобщенную функцию / и обозначать через Xf.
Упражнение 2.1. Показать, что если {fv} и {gv}— фундаментальные последова-
последовательности, то последовательность {/v+gv} тоже фундаментальна.
Класс, определяемый последовательностью {fv^-gv}> зависит лишь от классов /Э{/\>}
и g^fev}- Мы будгм называть этот класс суммой обобщенных функций / и g и обозначать
через f + g.
Приведем пример эквивалентных фундаментальных последовательностей функций одного
переменного.
Упражнение 2.2. Показать, что последовательности
1 V ... 1 sin vx .„ _
-.—-, М,) = ___ B-7)
фундаментальны и эквивалентны друг другу.
На первый взгляд здесь и в п.2.1.А мы присвоили одно и то же название — обобщенная
функция — объектам совершенно разной природы. Покажем, что на самом деле оба определе-
определения эквивалентны, точнее, что рассматриваемое здесь множество классов эквивалентности изо-
изоморфно пространству л-инейных функционалов <^".
Пусть {fv (х)} — фундаментальная последовательность и F (х)—соответствующая ей
(согласно условию 2 определения фундаментальной последовательности) непрерывная функ-
функция. Поставим в соответствие классу эквивалентности, которому принадлежит последова-
.52
тельность fv, функционал (f, и) {и??Р), определенный по формуле типа B.4):
(f, и) = (-1I а I Jf (х) D<*u (x)d"x (| а | = d+ ... + а„). B.8)
Упражнение 2.3. Показать, что определенный формулой B.8) функционал (f, и)
зависит лишь от класса эквивалентности последовательностей, но не зависит от специаль-
специального выбора последовательности {fv}, совокупности целых чисел а или от примитивных
¦функций {Fv}-
Упражнение 2.4. Показать, что последовательности B.7) определяют обобщенную
¦функцию б (л:) в R.
Упражнение 2.5. Показать, что при определенном выше соответствии алгебраиче-
алгебраические операции сохраняются (например, сумме классов эквивалентности соответствует сумма
соответствующих функционалов).
Мы уже отмечали, что произвольный функционал из <У' может быть представлен в виде
B.4). Чтобы завершить доказательство изоморфности пространства &>' с множеством обобщен-
обобщенных функций, определенных как классы эквивалентности фундаментальных последовательно-
последовательностей, осталось показать, что каждую непрерывную функцию полиномиального роста можно
аппроксимировать гладкими функциями полиномиального роста, причем так, что выполняются
условия 2) и 3) определения фундаментальной последовательности.
Для этой цели воспользуемся последовательностью функций (см. B.7))
Ду (^) | | B.9)
Любую непрерывную функцию полиномиального роста можно аппроксимировать по-
последовательностью функций {Fv (х)}, где
$(?)<Pv (*-?)<*"?. B.Ю)
ЦП
Мы предоставляем читателю доказательство следующих утверждений:
1) функции Fv (x) бесконечно дифференцируемы;
2) Fv (х) —>¦ F (х) при v —>¦ оо, причем сходимость равномерна относительно х на каж-
каждом ограниченном множестве в R";
3) существуют постоянные А>0 и k~^0, которые зависят от F(x), но не зависят от v и
такие, что имеет место неравенство B.6).
В дальнейшем мы будем работать с функциональным определением обобщенных функций,
но будем использовать также конструкцию B.10), позволяющую приближать (в смысле сходи-
сходимости в 0") любую обобщенную функцию гладкими функциями.
В. О локальных свойствах обобщенных функций. В отличие от обычных
функций, которые задаются значениями в каждой точке некоторого множества,
обобщенные функции задаются в целом — как функционалы над пространст-
пространством основных функций. Они не имеют, вообще говоря, определенных значений
в отдельных точках. Однако все же можно говорить о некоторых локальных
свойствах обобщенных функций.
При изучении локальных свойств обобщенных функций и распределений важную роль
играет понятие (гладкого) разложения единицы, подчиненного покрытию {0^}хел ДанН0ГО
открытого множества QczR" (конечным или бесконечным) семейством открытых подмножеств
Q^CiQ. Под таким разложением единицы понимают семейство 1еЛ неотрицательных (ё°°-
функций е^(х) на множестве Q, обладающее свойствами:
(а) функция е^ обращается в нуль вне Q^\
(б) на любом компакте KdQ отлично от нуля лишь конечное число функций е^\
(в) 2 ея(Л')=1 для всех х€6-
Мы не будем здесь останавливаться на сравнительно простом доказательстве сущест-
существования разложения единицы, подчиненного произвольному покрытию {6х}я е Л люб°го от"
«рытого множества f)czR" открытыми подмножествами. Детальное изложение этого вопроса
имеется в [ГЗ], гл. 1, добавлении 1.
Будем называть носителем основной функции замыканиэ множества
всех точек х, для которых и(х)Ф0. Носитель и обычно обозначают по-
посредством suppu. Будем говорить, что обобщенные функции f и g из tf" (R)
¦совпадают на (или в) открытом множестве 6 с/?", если (f, «) = (g-, и)
для всех основных функций и (х) б if (/?") с носителем в б. В частности,
53
будем говорить, что f(x) = O (или что / исчезает) в открытом множестве 6,
если (/, ы) = 0 для всех u?&'{R") с носителем в 6. Разложение единицы
позволяет доказать следующий замечательный факт.
Упражнение 2.6. Пусть {6а} — некоторое (конечное или бесконечное) семейство
открытых множеств в У?" и пусть обобщенная функция f?<ff' (Rn) исчезает в каждом из
множеств Eа- Тогда / исчезает в их объединении 6=Ua6a- (Указание: соображение плот-
плотности, использованное в предложении 2.1, сводит задачу к доказательству того, что (/, «) = 0
для любой функции u(x)?<3)(Rn) с носителем в Q. Выбрать далее открытое множество Q,
содержащее supp и, замыкание которого Q есть компакт, содержащийся в Q. Пользуясь
свойством компактных множеств выбрать из семейства {6а} конечное подсемейство,
скажем, {QaAfLv покрывающее (J. Наконец, с помощью разложения единицы {ev},
подчиненного покрытию R" множествами /?"\<? и {6а А^, представить <р в виде <р =
т
= 2 Ф/> гДе suppqv<=6a ,0
Из этого упражнения следует, что для любой обобщенной функции /
из &" (/?") существует максимальное открытое множество 6 с/?" (возможно,
пустое), на котором / обращается в нуль (причем в данном случае макси-
максимальность означает, что б содержит всякое другое открытое множество
в /?", на котором / исчезает). Дополнение этого множества до всего прост-
пространства R" будем называть носителем обобщенной функции и обозначать
через supp/. (Разумеется, supp/—замкнутое множество в /?".) Итак, имеем
(/, и) = 0, если supp /П supp и = 0. B.11)
Если supp/ содержится в некотором замкнутом множестве ScR", то гово-
говорят также, что / сосредоточена на множестве S. Точно так же определяется
носитель распределений из ?D' (/?") (или, вообще, из ??>' {&)).
Упражнение 2.7. Всякое распределение f?,?D'(Rn) с компактным носителем
является обобщенной функцией (обладающей оценкой B.5) при / = 0). (Указание: продол-
продолжить Т на ?f (Rn) посредством
(Т, /) = (Г, со/), B.12)
где со—фиксированная функция из 3) (/?"), равная единице в окрестности supp T; убе-
убедиться, что из fk~ч-О в tf (R") следует (Т, fk)—> 0.)
Итак, распределения в R" с компактными носителями могут быть
отождествлены с соответствующими обобщенными функциями в R". Следую-
Следующее предложение имеет дело с важным частным случаем.
Предложение 2.2. Всякая обобщенная функция / ? &" (/?") с носи-
носителем в нуле имеет вид
(/, ")= 2 caD««@), ые^(/?"), B.13)
|a|<JV
где са—фиксированный конечный набор чисел.
Пользуясь понятием частной производной обобщенной функции (см. далее п. 2.2.Б),
мы могли бы сказать, что / есть конечная линейная комбинация б-функции и ее частных
производных.
¦^ Согласно упражнению 2.7, для / имеет место оценка
|(Л и) |
при некоторых с>0 и целом N. Достаточно показать, что
(/, и) = 0, если u^tfiR") я Dau@) = 0 при |a|<JV. B.14)
Действительно, пусть со—фиксированная функция из <3)(R.rf), равная единице в
окрестности нуля; тогда для любой u^^f{Rn) функция
принадлежит <ЦР (Rn) и имеет нулевые частные производные порядка <ЛЛ Поэтому из B.14)
будет следовать (f, v) = 0, и мы приходим к представлению B.13), где са=—т-(/, хаа>).
Остается доказать B.14). Для фигурирующей здесь функции и(х), очевидно, имеет
место оценка
sup\x\-]al-1\D<*u(x)\< оо при |a|<tf,
X
так что
{!, и)| = |(/, a>(kx)u)\<c\\a>(kx)u(x)\\OtN—*0 при к—* оо.
Это доказывает B.14). >
Если 6 и #—два открытых подмножества в Rn и #сг6, то для каж-
каждого распределения / ? ®' F) естественным образом сопоставляется сужение
/|S>'F) распределения / на (открытое1» подмножество Q:
. ") = (/» «i) для всех и?3){й);
здесь ых—функция из ?5F), равная и(х) в <2 и 0 в 6\<2- С помощью
разложения единицы нетрудно доказать следующий принцип, доставляющий
важное практическое средство для задания распределений (см. также пред-
предложение 2.4 в п. 2.3.А).
Предложение 2.3 (принцип склеивания распределений). Пусть
{6я,}ябЛ—некоторое семейство открытых подмножеств в R" и {/хКел —
семейство распределений fx^^D' Fъ), удовлетворяющих условию согласования
для всех К, \i ? Л. Тогда существует единственное распределение f ? 3)' (б),
где 6= U (Зь совпадающее с fx в 6х при любом X.
Замечание. Как уже упоминалось в п. 1.2.В, пространство S)(Q) не является F-
яространством; оно принадлежит к более широкому классу так называемых строгих индуктив-
индуктивных пределов F-пространств, на которые распространяется большинство результатов § 1.3 об
/¦-пространствах. Мы не станем приводить относящиеся сюда понятия; вместо этого мы огра-
ограничимся наглядным объяснением, каким образом результаты, касающиеся вопросов сходимости
последовательностей в <2)@) или <з?>'F)> можно непосредственно получать из соответствующих
результатов для ?f (/?") и of' (Rn) на основе принципов локализации и склеивания распре-
распределений. В соответствии с этими принципами всякое распределение f(^?D' (Q) (или,
вообще, всякий линейный функционал над <2) @)) однозначно определяется его суже-
сужениями f |д- на открытые подмножества Kcfi с компактным замыканием в Q. С равным
успехом вместо семейства {/ \к} ^ можно взять семейство {/^} ^ обобщенных функций
fK(z<&" (R")> совпадающих с f в Ц. В качестве /* можно принять обобщенную функцию
из of' (R") с компактным носителем из У (Rn), определяемую формулой (/К, u) = (f, (а^и\к}
при u?tf> (Rn), где а>х — функция из &){3), равная 1 в окрестности К- Нетрудно видеть,
что сходимость последовательности fj —*• / в &?)' (Су) эквивалентна сходимости ff ¦—> fK
в #"(/?") при всех /(сб с компактным замыканием в (¦> Кроме того, определение сходи-
сходимости в i3@), а также условие непрерывности линейного функционала над eD{Q) формули-
формулируются в терминах последовательностей в j2)((9), носители которых заключены в некотором
общем подмножестве Кеб с компактным замыканием в Q (и для такой последовательности
условие uj—у и в &) (Q) эквивалентно условию uj—>• и в ,ff (Rn), где и — функция из
ef(Rn), совпадающая с и в Q и исчезающая вне C). Таким образом, вопросы сходимости
в SD {(о) и <2)' (Q) полностью сводятся к соответствующим вопросам о сходимости в of (R")
« 3" (/?").
2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АРГУМЕНТОВ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
А. Замена переменных в обобщенной функции. Многие важные операции
«ад распределениями определяются посредством расширения соответствующих
операций над обычными гладкими функциями. Мы уже знаем, что обобщенные
функции образуют линейное пространство, так что их можно складывать и
умножать на числа. Важно, что такие локальныэ операции, как (гладкая)
замена переменных и дифференцирование, также распространяются на обоб-
обобщенные функции. Нижеследующие определения получены, можно сказать,
переводом этих операций на язык линейных функционалов.
Пусть у=ц>(х), или, подробнее,
i/i=<PiM, - ¦ • , уп=Ч>п(х), xs=(Xi xn), B.15)
55
есть диффеоморфизм пространства Rn на себя (т. е. взаимно однозначное
^"-отображение R" на себя, обратное которому тоже <ё°°). Тогда, в част-
частности, якобиан преобразования B.15) отличен от нуля:
/(Ф)=
' ' ' дх„
дхг ' ' ' дхп
B.16)
Преобразование, обратное B.12), обозначим через х = ц>~х (у). Тогда, если
f (х)—обычная (локально интегрируемая) функция и и(х)?&>,
(/ (ф-1 (у), и (у)) = S / (*) и («Р (*)) \J (Ф) | d"x = (f(x),\J (ф) | и (Ф (*))). B.17)
В случае, когда f(x) является распределением, это равенство берется в ка-
качестве определения распределения /°ф~1ееее/(ф~1(у))- В дальнейшем, как пра-
правило, мы будем иметь дело только с такими преобразованиями аргументов
в распределениях, которые оставляют инвариантным подпространство ё",
т. е. сопоставляют обобщенной функции f(x) обобщенную функцию f{ty~1{y))-
Упражнение 2.8. Пусть ф — диффеоморфизм R" на себя, причем частные произ-
производные любого порядка компонент фу (х) и (ф-1)/((/) отображений ф и ф полиномиально
ограничены (по \х\ и \у\, соответственно). Убедиться, что для любой обобщенной функции
f (x)?af"(Rn) формула B.17) определяет обобщенную функцию /оф~1^^/(ф~1 (у)) ?JP'(R"),
причем соответствие /—*-/оф-1 есть изоморфизм ?f'{Rn) на себя.
Б. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры. В частности, вы-
выбирая в качестве преобразования сдвиг по одной из переменных, например
У\—Х\—AXi, У2==Х2, . . . , Уп==Л;п>
при помощи B.17) получаем (при Д
B
(x) u(xi — &xu хг хп) — и(хх, .... х„)
Пользуясь тем, что в силу непрерывности функционала / правая часть B.17)
стремится при Axi-*- 0 к пределу —(/, ди/дхг), мы по определению назовем этот
предел частной производной обобщенной функции f(x) по переменной хУ.
В общем случае, таким образом, имеем
Up.\. B.19)
дхк J у I
Формулу B.19) можно получить интегрированием по частям, если функ-
функция f(x) имеет непрерывные и полиномиально ограниченные частные производ-
производные. Этот факт обычно принимается в качестве интуитивного обоснования опре-
определения B.19). Приведенные выше рассуждения (основанные на формуле B.18))
показывают, что это определение совпадаете обычным определением производ-
производной от функции.
Так как производная от обобщенной функции также является обобщенной
функцией (из of'), ясно, что обобщенные функции имеют частные обобщенные
производные любого порядка. Отметим также, что операция дифференцирова-
дифференцирования непрерывна в 9". Другими словами, если при любом и f
lim(/B, ы) = (/, и),
то для каждого u^tf имеет место соотношение
«=(&• «)-(?•«)• B-20)
56
Заметим далее, что для обобщенных функций безразличен порядок
дифференцирования:
-*?_ = -??_, B.21)
dxidx/i axjtdxi v '
так как такое равенство справедливо для основных функций.
Рассмотрим несколько примеров обобщенных функций одного переменного, являющихся
производными от обычных локально интегрируемых функций.
1) Производная от разрывной (локально интегрируемой) функции
( 0 при х < О
равна б (х). Действительно,
со со
Э(х)^?<*х = — f ^dx = u@) = (8, и). B.23)
о
2) Функционал d In | x \/dx совпадает с главным значением в смысле Коши от 1/х;
другими словами,
/dinIxl .Л . f иМ , .....
1 ' ц (г) ) = 'уэ \ — dx B 24)
V dx ' к ') J J x v '
— CO
где 5*—знак главного значения интеграла. Действительно, в силу определения B.19)
v f f «Wj . fa(i).| Гм(г)-и(-х).. _ Г и (х)
= linw \ —^dx-f- \ ——dx >= \ —^ 5 '-dx = 3> \ —>-^(
V — CD P. 'fl — 00
8 '0 -ao
d« '
U (x) =; -
Определенную таким образом обобщенную функцию d In (x)ldx будем обозначать как 1/х (иногда
ее обозначают как $*—). Отметим, что обычная функция 1/х не является локально интегри-
интегрируемой (в окрестности точки х=0) и поэтому она не тождественна обобщенной функции 1/х.
Аналогично обобщенную функцию 1/х2 определим как производную от обобщенной
функции — 1/х:
со со
р dx. B.25)
б б
Вообще, положим по определению
1 (—I)"-1 d"
xn («— 1) ! dx"
ln|x|, я=1, 2, ..., B.26)
где производную нужно понимать в смысле определения дифференцирования в if''.
3) Обычная локально интегрируемая функция In (x ± Ю) определяется равенством
1п(х±Ю)= lim 1п(х ± /i/) = ln|x| + j lim arg(x ± iy) = \n | х| ± щ0 (— х), B.27)
г/->+о г/->-+о
где 0(х) определена формулой B.23). Производную от обобщенной функции B.27) будем
обозначать 1/(х ± Ю). В силу B.23), B.26), B.27) справедливы формулы Сохоцкого:
^-.0^^1п(х±Ю) = 1Т/яб(х), B.28)
из которых следует
—-U- -Ла=2™6(х). B.29)
х— «О х + гО ч 7 v '
Последовательным дифференцированием формулы B.28) получаем
<jr±w=^тгг^1п(х ± Ю)=х- ± (i-^T ш"-1) «¦ B-30)
57
Производные от дельта-функции в правой части равенства B.30) определяются, согласи»
B.19), формулой
F<">, и) = (— 1)«и<"> @). B.31>
2.3. УМНОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКУЮ ФУНКЦИЮ
А. В чем проблема умножения обобщенных функций? Понятие мультипли-
мультипликатора. Нами определялось множество обобщенных функций как линейное
пространство, и неудивительно, что аппарат обобщенных функций хорошо
приспособлен для рассмотрения линейных задач. Мы уже убедились в преды-
предыдущем параграфе, что обобщенные функции можно дифференцировать неогра-
неограниченное число раз и их смешанные частные производные не зависят от порядка
дифференцирования (что, вообще говоря, не имеет места для «не слишком хо-
хороших» обычных функций). В следующем параграфе мы увидим, что к обобщен-
обобщенным функциям можно свободно применять преобразование Фурье.
Однако произведение не может быть определено естественным образом для
любой пары обобщенных функций. Легко убедиться, что нельзя определить
произведение, которое было бы билинейно и ассоциативно и, кроме того, удов-
удовлетворяло бы, например, следующим естественным условиям:
\8(х)-х = 0, х»— =1.
1 х
Действительно *),
{Ц -х}± = 0. B.32)
Тем не менее существует широкий класс функций, для которых можно
естественным образом определить произведение с обобщенными функциями
из <&"'. Этот класс определяется следующим образом.
Будем говорить, что функция ф (х) является мультипликатором в про-
пространстве основных функций of, если из того что и(х)?аР, следует, что и
ф(л:) и{х) ^af. Пространство всех мультипликаторов будем обозначать через
6И (или вм(/?")). Можно показать, что для того чтобы функция ф(*) была
мультипликатором, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно диф-
дифференцируемой и вместе со своими производными возраст?ла на бесконечности
не быстрее полинома:
\)Pa. B.33)
Если ц>(х) — мультипликатор, то произведение ф(х) на обобщенную функ-
функцию / g &" определяется по формуле
/, и (*))=(/, Ф (*)«(*)). B.34)
По определению будем считать произведение коммутативным: ф/=/ф.
В некоторых случаях можно определить и произведение двух обобщенных
функций. Теория таких «сингулярных» произведений менее естественна и'более
сложна, чем рассмотренный выше случай умножения обобщенной функции на
мультипликатор.
Ниже, в П.2.6.В, мы изложим один из возможных вариантов определения произведения
обобщенных функций. Другой подход изложен в [Р2], т. 2, § IX.10.
Упражнение 2.9. Пусть носитель обобщенной функции f(x)?ef'(Rn) содержится
в замкнутом множестве Qc: R" и пусть для любого е > 0 QE есть замыкание е-окрестносги
множества Q (т. е. QE есть множество точек в R", расстояние которых до Q не превосхо-
превосходит е). Доказать, что тогда для любого е > 0 существуют [константа [с и натуральные
числа /, т (зависящие от е) такие, что
\(f, и)|<сЦ;и||йет при всех [uZtfiR"), B.35)
*) Заметим, что произведения типа 6(х){х /(*)} широко распространены в квантовой тео-
теории поля (см., например, п. 13.2.В и далее).
58
где по определению
Hfm=max sup A +1 дс I" | Си (*) |). B.36)
| х | < I х е й
(Указание: взять мультипликатор <р, равный 1 в Q , где 0 < б < е, и имеющий носитель
в QE; например,
<р(х)=[ m{x—y)dy,
где со есть функция из Щ) (/?") с интегралом, равным единице, и с носителем в достаточно
малой окрестности нуля. Далее воспользоваться равенством (f, и) = (/, q>u); оценить здесь
правую часть с помощью B.2).)
Заметим, что для «достаточно хороших» множеств Q (это уточняется в дополнении А)
оценка B.35) может быть усилена: существуют константа с и натуральные числа I, m
такие, что
\(f, «)|«H!«|?m при всех u€SP(R»).
С помощью подходящего разложения единицы мультипликаторами в /?"
можно распространить принцип склеивания распределений (п. 2.1.В) и на
обобщенные функции класса &". Для простоты формулировки мы ограни-
ограничимся случаем конечных покрытий R".
Предложение 2.4. Пусть {©/}/= i т—конечное семейство откры-
открытых подмножеств в R", покрывающих R", так что для любого j—l, •.., т
множество
замкнуто и содержится в Qj. Предположим, что расстояние d(x, дб/} от
точки x?Qj до границы d6j множества 6j удовлетворяет условию d (x, Qj) ^
>Л-A + |лс|)~в для всех x^Qy, здесь А > 0 и 6^0 — числа, зависящие лишь
от данного покрытия. Тогда:
(а) существует разложение единицы [ej\f=l, подчиненное покрытию {6j},
причем все е} являются мультипликаторами из вм (/?");
(б) для любого семейства {/,}/= i т обобщенных функций из Sf" (Rn),
удовлетворяющих условию согласования
(/i—h) 1б,П0у-° пРи всех 1' /==1> •••' т'
существует единственная обобщенная функция f ? <&" (/?"), совпадающая с fj
в Qj при всех \.
Упражнение 2.10. Доказать предложение 2.4. (Указание: в случае 6 = 0 можно
определить ej посредством е,- (х) = ф7 (х) i 2 Фу W 1 » Фу W = \ ш ( ^Т^ ) Ху (У) ЛпУ,
здесь ш—неотрицательная функция из <S)(Rn) с носителем в шаре \x\<=1ji, причем
\ a>(x)dnx= I, a tj — характеристическая функция множества {x^Qf. d(x, dQj)^A/2}Z2Q/.
В случае S > 0 следует несколько изменить определение 'фу- (х), положив фу- (л:) =
00
= 7 . \
, ) Xj,k (у) d"y> где со—та же функция, что и раньше, А^ = А A -\-k)~6, a
Ху, ft —характеристическая функция множества {x^Qj: k— l^|x|<fe, d (x, dQj)^1!^^}.)
Б. Проблема деления. Перейдем теперь к рассмотрению обратной задачи —
задачи деления, т. е. к изучению уравнения
Ф (*)/=?. B-37)
где g С &" и ф (л;) б ©м заданы, а / — неизвестная обобщенная функция. В слу-
случае, когда функция ф (х)Ф0 при всех хине стремится слишком быстро к нулю
при х-> сю (точнее, если функция 1/ф(#) тоже является мультипликатором),
уравнение B.37) решается элементарно. Задача существенно усложняется,
если функция <р(х) где-то обращается в нуль. Мы ограничимся рассмотрением
59
случая одного независимого переменного и предположим, что функция ф (х)г
входящая в B.37), имеет лишь дискретное множество нулей конечного порядка.
При этих предположениях проблема деления в пространстве af"(R) сводится,
по существу, к решению простейшего уравнения B.37), а именно
xf=g. B.38)
В силу определения B.34) уравнение B.38) может быть записано в виде
(g, u(x))=(xf, «(*))=(/, хи(х)),
где и(х) — произвольная основная функция. Таким образом, если обобщенная
функция /, удовлетворяющая уравнению B.38), существует и
v(x)=xu1(x), «!(*)€<*", B.39)
то
(/, v)=(g, иг). B.40)
Итак, функционал / однозначно определен на подпространстве (пространства
?f) функций v(x), для которых у@)=0. Для полного определения функцио-
функционала / достаточно определить его действие на какую-нибудь функцию ио(х) из
if такую, что ы„@) = 1. Произвольная функция и(х) g<^ может быть представ-
представлена в виде
и(х)=и@) uo(x)+v(x), B.41)
причем и@)=0, так что функция v(x) имеет вид B.39). Применяя функционал /
к обеим частям равенства B.71) и учитывая B.40), получим
(/, в (*))=« @)(/, uo(x))+(g, гф)). B.42)
Все рассуждения были проведены до сих пор в предположении, что существует
решение уравнения B.38). Нетрудно убедиться непосредственно, что при лю-
любом выборе постоянной С линейный функционал
(/, u)=Cu@)+(g, Ul(x)) B.43)
непрерывен в #" и действительно удовлетворяет уравнению B.38). Рассужде-
Рассуждения, приведшие к формуле B.42), показывают, что функционал B.43) является
общим решением уравнения B.38) (любые два частных решения этого уравнения
отличаются лишь значением постоянной С). Общее решение однородного урав-
уравнения
х/о=О B.44)
имеет вид
(/„, в)=Си@), т. . /o=C6(jc). B.45)
После того как мы убедились, что уравнение B.38) имеет решение, нетрудно
показать, что и более общее уравнение
xlf=g, B.46)
те g(te?", а / — любое натуральное число, всегда имеет решение относитель-
относительно / в#". Произвол в этом решении определяется общим решением однородного
уравнения
*'/о=О. B.47)
Упражнение 2.11. Доказать, что общее решение уравнения B.47) имеет вид
л>=?тг8мм. B-48>
v=0
где cv— произвольные постоянные. (Указание: воспользоваться формулой
0 при k > v,
jt*_L6<v> (*) = ¦{ (—1)* *(v-*)/v и B.49)
v! K} \ ^ W ПрИ ksZV
. i 0
t*_L6<v> (*) = ¦{ (—1)* *(v-*)/v
\ ^ZTk)] ПрИ
и провести индукцию по /.)
60
Формулу B.49) можно получить из правила Лейбница для дифференцирования произ-
произведения двух функций
п
B.50).
v=0
Она является частным случаем более общей формулы
( )М @N<""v) (х). B.51)
v=0 ^
Аналогичным образом в &" можно делить на функцию (х—аI, где а —
вещественное число, и, вообще, на произвольный полином.
Упражнение 2.12. Пусть аь , аг—вещественные корни полинома Р (х) (кроме
них Р (х) может иметь, Еообще говоря, и комплексные корни), а //—кратность корня щ.
Показать, что общее решение однородного уравнения
P(x)f„ = () B.52),
имеет вид
Л>=2 2 #'6(V/) (*-*<)• B-53)
» = 1 v~0
v
Полученные результаты обобщаются и на более широкий класс беско-
бесконечно гладких функций, имеющих на вещественной оси лишь нули конечной
кратности. Например, общее решение уравнения
sinx«/ = 0
имеет вид
со
/= 2 спЬ{х—пя),
П— -00
где коэффициенты сп могут возрастать при \п\—-* оо не быстрее некоторой
степени \п\, т. е. существуют положительные постоянные А и X (не зави-
зависящие от п) такие, что
В остальном постоянные сп произвольны.
Однако не каждое уравнение типа B.37) имеет решение в &" (даже если
предположить, что мультипликатор <р (х) обращается в нуль лишь в одной точ-
точке). Так, например, можно показать, что уравнение
ехр(—1/х2)/=1
не имеет решения в классе обобщенных функций &", так как функция
ехр(—1/х2) имеет нуль бесконечной кратности в точке х=0 (существенно осо-
особой точке этой функции).
Результаты, полученные в задаче о делении в &" (/?), могут приме-
применяться также к некоторым специальным задачам о делении обобщенных
функций нескольких переменных (хотя общая задача деления функцио-
функционалов из 3" (/?") на произвольный полином от п переменных гораздо
сложнее).
Пример такого рода —уравнение
(p2-m2)f=l B.54>
для обобщенней функции в пространстве Минксвского М (см. ниже п.ЗЛ.А); здесь т—
положительный параметр. Частное решение этого уравнения имеет вид
Оно хорошо определено. Действительно, в области р2 < /п2 это обычная регулярная функ-
функция @ < mi < m). Остается рассмотреть две области
Рг > т^ ± Р° > °
61
|(где 0 < m2 < mi); в каждой из них можно перейти от переменных р=(р°, р) к перемен-
переменным (р2, р), так что (согласно предыдущему рассмотрению случая одной переменной) фор-
формула задает в этих областях распределения. Остается применить принцип склеивания
.распределений (или обобщенных функций). Можно показать, что общее решение уравне-
уравнения B.54) в классе $" (М) имеет вид
l б (/>2-m2) ft (p) + Q(-p°)8(p*-m2) f2 (p), B.55)
где ^i и f2—произвольные обобщенные функции из $" (R3); |при этом второе слагаемое
в B.55) определено следующим образом:
Ге(р2)б(р*-ш») h(p)«(р)dP=[h(p) uW"f
J J 2 у
аналогично определяется последнее слагаемое в B.55).
Следует упомянуть классический результат Хермандера A958), называемый «теоремой
деления Хермандера», который утверждает, что уравнение B.37) (относительно f?af'(Rn)
при заданных g^af" (Rn) и <р) всегда имеет решение, если <р — (комплексный) полином
в R", не равный тождественно нулю.
2.4. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
А. Билинейные функционалы над пространствами типа &. Сформули-
Сформулируем некоторое свойство пространств типа if, которое существенно отли-
отличает их от гильбертова (и вообще от нормированного) пространства и ко-
которое в некоторой мере обусловливает тот факт, что пространства if (Rn)
являются «хорошими», т. е. удобными для применений. К этому свойству
можно прийти двумя эквивалентными путями: изучая общий вид билиней-
билинейных (непрерывных) функционалов в if или рассматривая линейные опера-
операторы, которые переводят пространство if в сопряженное пространство if'.
Функционал В (и, v) называется билинейным, если он линеен относи-
относительно каждого из своих аргументов и и v, когда другой аргумент фикси-
фиксирован. Если и и v являются в конечномерном пространстве тензорами степени
k и т соответственно: u = (uillt...fft), о = (о/1/,.../(В), то каждый билинейный
¦функционал В (и, v) может быть представлен в виде
B{u,v)= 2 bh...ikil...imuls...{kv/l...tm, B.56)
h • • • ^/i • • • im
тде bh...fm—тензор степени k-\-m в том же конечномерном пространстве. Эта
простая и важная теорема не имеет аналога в гильбертовом пространстве.
Поясним это на примере пространства J?2 (/?*) функций k переменных
•с интегрируемым квадратом модуля. Аналогом формулы B.56) в этом слу-
случае является представление
В (и, у)= \ ...\dx1...dxkdy1...dymu(x1, ...,хк)х.
Rk"+m J
ХУ(г/1, .... ym)K(xlt ..., хк; yv ..., ут), B.57)
где ядро К(хи ..., хк; уи ..., ут) имеет интегрируемый квадрат модуля
в пространстве Rk+m. На самом деле далеко не каждый билинейный функ-
функционал в ^>2(Rk)x^>2(Rm) может быть представлен в форме B.57). На-
Например, простейший билинейный непрерывный функционал (при k = m)
В (и, v) = Г ..Лйхх.. .dxku (х1г ..., xt^v(x1, .... xk)
не представим в виде B.57) (с ядром К, являющимся обычной функцией
с интегрируемым квадратом).
Напротив, для пространств if имеет место аналог формулы B.57) для
•билинейных непрерывных функционалов. Условие непрерывности здесь можно
62
несколько ослабить, заменив его раздельной непрерывностью (по каждому
аргументу). В пояснение добавим, что непрерывность билинейного функ-
функционала В (и, v) над u?if(Rk), v^.<y(Rm) означает, что В(ип, vn)~*
—*В(и, v), если un—tu в if (Rk) и vn~+v в if {Rm) при п—+оо. Раздель-
Раздельная же непрерывность означает непрерывность В (и, v) по и при любом
фиксированном v (т. е. В(ип, v)—>B{u, v), если ип—+и) и непрерывность
В(ы, у) по v при любом фиксированном ы. Оказывается, из раздельной
непрерывности автоматически следует непрерывность. Более того, имеет
место следующий классический результат.
Теорема 2.5 (теорема Шварца о ядре). Произвольный билинейный
(раздельно) непрерывный функционал В (и, v) над u?if(Rk) и v^if(Rm)<
однозначно представим в виде
В {и, v) = {F(x, у), u(x).v(y)), B.58>
где F(x, у)—обобщенная функция из ^'(^хЛ01)^^' (Rk+m), зависящая
от переменных x?Rk, y?Rm.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, отсылая читателя к имеющейся
литературе (см., например, [Г5], п.1.1.3 или [Р2], т. 1, добавление к § V.3). Отметим, что индук-
индукцией по числу аргументов теорема о ядре естественно обобщается на полилинейные непрерывные
функционалы B(ult . . . , ип) (зависящие от п аргументов ult . . . , ип вместо двух и, v).
Более того, можно допустить, что полилинейный функционал B(uj, . . . , ип) принимает зна-
значения в некотором ЛВГШ. Например, в случае п=2 из (раздельной) непрерывности функцио-
функционала В {и, v) no u^af(Rk), v^Jf(Rm) следует, что существует (и единствен) такой линейный
непрерывный оператор b: <ff(Rk+m) -*¦ Q, что
В (и, v)=b{u®v),
где посредством u(?)v обозначена функция и(х) (y)^()
Формула B.58) позволяет также найти общий вид линейного непрерывного оператора АТ
отображающего af(Rn) в ?f"(Rm). Для этого достаточно рассмотреть билинейный (раздельно)
непрерывный функционал В(и, v)—{Au, v), где u??P(Rk), v^ffiR)- В результате имеем ана-
аналог B.58):
(Аи, v)=(F(x, у), u(x)v(y)). B.59)
Б. Тензорное произведение. С помощью теоремы о ядре легко построить
тензорное (или прямое) произведение обобщенных функций. Под тензорным
произведением (обычных) функций понимается произведение функций, зави-
зависящих от различных независимых переменных; так, тензорным произведе-
произведением функций и (х) в Rk и v (у) в Rm служит функция u(x)-v (у) в Rk+m.
Аналогично, используя функциональное определение обобщенных функций,
мы назовем тензорным произведением обобщенных функций f (x) ? &"(Rk) и
g(y)€<&" (Rm) обобщенную функцию из if" (Rlt+m), обозначаемую f{x)g(y)
(или f@g, если аргументы опускаются), обладающую свойством
3 /(х) g(У) и (х) v(y)dxdy = [^f (x) и (х) dx)(^g(у) v (у)dy) B.60)
при всех u?if(Rk), v€aP(Rm). Как это непосредственно видно из теоремы
о ядре, такая обобщенная функция f @ g действительно существует и един-
единственна.
Впрочем, построить тензорное произведение обобщенных функций можно
и с помощью более элементарных рассуждений. Так, значение f@g на
произвольной основной функции w(x, y)?a?(Rk+m) можно определить с по-
помощью любой из следующих двух формул:
x, B.61)
]f(*)8 (У) w (х, y)dxdy = §g{y)[$f (x) w (x, у) dx\ dy. B.62)
Здесь выражение в квадратных скобках, например в B.61), рассматривается
как значение обобщенной функции g (у) на основной функции w (x, у) по у,
зависящей от х как от параметра. Не представляет большого труда убе-
убедиться, что это выражение определяет основную функцию, скажем, W (х) ?
63-
() причем из сходимости wv—*0 в &(R") следует сходимост
Wv—*0. Это соображение непрерывности показывает, что равенства B.61
и B.62) действительно определяют обобщенные функции.
Единственность же тензорного произведения / (Я) g следует из того, чт
линейные комбинации функций вида и (х) v (у) с произвольными и (х) ? &> (Rk)
v (у) ? @) (Rm) образуют плотное множество в <5Р (Ri*+m). Это легко получит
из плотности @>(Rk+m) в af(Rk+m) и из теоремы Вейерштрасса о полино-
полиномиальной аппроксимации (п. 1.2.В). Отсюда, в частности, следует совпаде
ние правых частей B.61) и B.62).
Заметим, что тензорное произведение обобщенных функций естествен»
обобщается для любого (конечного) числа обобщенных функций /х (л^), ..
-••> fn(xn) от различных независимых переменных л:^/?*', ..., xn?Rk"
Упражнение 2.13. Пусть / (х)^^" (/?*), g(y)?<&" (Rm). Доказать, что
supp f(x)-g (у) <Г supp / (х)Xsuppg (у), B.6Э
D%-Dp (x).f (y) = (D*f {x)).(Dp (у)); BM
Здесь D% и DP обозначают дифференциальные мономы степени | а | и | ($ | по переменны»
X и у соответственно.
В следующем упражнении удобно воспользоваться упоминавшейся выше теоремой
Вейерштрасса.
Упражнение 2.14. Пусть /(х, y)^af"(R"+m) есть обобщенная функция с носи
телем на множестве {a}xS, где о—точка в Rk, S —замкнутое множество в Rm. Доказать
что f однозначно представима в виде конечной суммы:
/(*, у)= 2 D*8 (*)*»(»). B-65
a
где ha(y) — обобщенные функции из ?f" (Rm) с носителями в S. (Указание: пусть и(х)?
(t of {R*), v (у) ? if {Rm); при фиксированном v с помощью предложения 2.2 написап
представление
(/, и®о)= 2 Ca.(v)D*u@);
|a|< N
с помощью соображения непрерывности показать, что число N в этом представлении может
быть выбрано не зависящим от v. Далее воспользоваться тем, что линейные комбинации
функций вида иB)у плотны в ?Р (R"+т)-)
2.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СВЕРТКА
А. Преобразование Фурье основных функций. Одним из основных пре-
преимуществ пространства &" (/?") распределений медленного роста перед про-
пространством @i'(Rn) всех распределений Шварца состоит в возможности
определить преобразование Фурье как отображение &" (/?") на простран-
пространство, изоморфное ему.
Определим преобразование Фурье для функций, интегрируемых с квад-
квадратом (в частности, для основных функций), и ему обратное по формулам
й (р) = ?и =\?х^р [и (х)) = J и (х) ёР* dnx, B.66)
и (х) = ?-'й = ?-р1х [й(р)] = J й (р) е-'?* dnp, B.67)
где
dnp = Bn)-"d"p. B.68)
Здесь рх—фиксированная невырожденная билинейная форма от р и х.
Обычно в математической литературе в качестве хр выбирают евклидово
скалярное произведение. Имея в виду применение к функциям от (конеч-
(конечного числа) векторов в пространстве Минковского, мы положим
п
хр = х-р= 2 bxjPj> e/ = ±1> /=1, ••., я B.69)
(sj фиксированы).
64
Впредь мы будем различать и-мерное лг-пространство, снабженное ле-
лебеговой мерой d"x, которое мы по-прежнему будем обозначать через R", от
n-мерного р-пространства, снабженного мерой dnp B.68), для которого мы
введем обозначение Rn. Аналогично мы будем различать изоморфные между
собой пространства основных (а также обобщенных) функций над R" и Rn,
имея в виду следующее соглашение. В первом случае для превращения
обычной функции /(х) в R" в обобщенную (а также для записи результата
сглаживания обобщенной функции f (х) ? a?" (Rn) с основной функцией
и (х) ? & (/?")) мы по-прежнему используем формулу B.1). В то же время
превращение обычной функции f(p) в Rn в обобщенную и сглаживание
f\)?&" (Rn) c " (Р) € <^ (/?„) мы теперь осуществляем на основе меры dnp:
[f(p)u{p)dnp. B.70)
[
Такое сохранение индивидуальности пространств функций и фурье-образов
целесообразно с физической точки зрения, поскольку эти пространства
имеют разные интерпретации (скажем, х?/?" как «координаты», a p?Rn
как «импульсы»).
Предложение 2.6. Оператор W B.66) задает изоморфизм (тополо-
(топологический) пространства zf (R") на пространство <!f(Rn). Обратным к ?
является оператор JF B.67).
Упражнение 2.15. Доказать предложение 2.5, устанавливая попутно соотношения
D%u (р) = \ (iex)<* и (х) eip* dnx, B.71)
fP-п. (р) = \ [(— ie дх)а и (х)] eiPx d"x, B.72)
где, например,
(й»)«=П С»/*/)а/- B-73)
(Указание: при доказательстве того, что операторы B.66) и B.67) взаимно обратны, в пра-
правой части равенства
ехр( —|"|р|2— ixp) ( \ eiypu(y)dy) dnp
поменять порядок интегрирования, а затем воспользоваться равенством
ехр ( — -=-1 р |2 — ixp ] dnp = {2n)-nl% exp ( —=- \х \2
и упражнением 2.4.)
Из B.66), B.67) следует, в частности, равенство Парсеваля
~^) v (х) d"x = \ (?и) (р) (?v) (p) dnp. B.74)
Б. Преобразование Фурье обобщенных функций. В качестве отправного
пункта при определении преобразования Фурье для обобщенных функций
мы примем формулу
5 ГЛх) и (х) d"x =j f(p) ~u (-р) dnP, B.75)
справедливую для любой абсолютно интегрируемой функции / (х) и и (х) g
6 У (/?")• ^ы определим для любой обобщенной функции / g if" (/?„) ее пре-
преобразование Фурье / = f"/ ^ of '(/?„) как линейный функционал над основ-
основными функциями и(р) goS" (/?„), определяемый равенством B.75).
Такое определение, очевидно, является расширением определения B.66)
преобразования Фурье основных функций. Поэтому для JF/ часто исполь-
используют запись в форме символического интеграла
f(p) = ?х^р [/(*)] = $ / (х) № d"x B.76)
3 Н. Н. Боголюбов и др. 65
и аналогично
IF-^FpUgMH I g(P) e-"xdap. B.77>
<V'упражнение 2.16. Показать, что определение^"/ при помощи формулы Парсеваля
J Wf •#" dnP = J / W a (x) d"x B.78»
эквивалентно приведенному выше.
Предложение 2.7. Преобразование Фурье IF обобщенных функций*
определенное равенством B.75) шш B.78), задает изоморфизм пространства
&" (Rn) на пространство &" (/?„). Оператор W'1 B.67) является обрат-
обратным ?.
Упражнение 2.17. Доказать предложение 2.7, пользуясь предложением 2.6. По-
Показать, что соотношения типа B.71), B.72) остаются в силе и для обобщенных функций.
Приведем несколько примеров преобразований Фурье обобщенных,
функций *).
Фурье-образ функции 0 (х) B.22) может быть подсчитан как предел
обычного преобразования Фурье от функции 0 (л:) е~ех при е —>¦ -\- 0:
B.79>
Фурье-образ n-мерной б-функции (см. B.3)) может быть получен как зна»
чение функционала б на (гладкой) пробной функции е'Рх:
б (х—а) е'Р*d"x = е»в; B.80),
формула обращения, со сроей стороны, дает
. B.81),
Ниже (в дополнении Е) приведены также преобразования Фурье некото-
некоторых лоренц-инвариантных обобщенных функций в пространстве Минковского.
Здесь же отметим только, что свойство лоренц-инвариантности сохраняется
при преобразовании Фурье (при этом под р-х подразумевается скалярное про-
произведение Минковского).
Упражнение 2.18. Пусть А — неособое линейное преобразование в л-мерном про-
пространстве R", снабженное билинейной формой B.69), и пусть преобразование А' связано с А
по формуле (Ах)'р=х-А'р. Доказать, что тогда
С / (Л -1*) е'Р* dnx= | det A | f / (л:) е. ixA'p d"x.
(Указание: проверить сначала справедливость этой формулы для основных функций, а затем
придать ей точный смысл и установить ее справедливость для обобщенных функций.)
Отметим наконец, что преобразование Фурье, как основных, так и
обобщенных функций, диагонализует оператор трансляции:
Гх^р [/ (х-а)] = J / (х-а) е">* й"х = е'Ра?х^р [f (x)].
В. Свертыватели. В классическом анализе часто используется операция
свертки двух функций f(x) и g(#), определяемая равенством
/(*)•?(*)= j f{x-y)g{y)d«y= J f(y)g(x-y)d"y. B.82)
R" R"
В анализе обобщенных функций эта операция играет еще более важную
роль. Для определенности мы ограничились «координатным» пространством
*) Таблица часто встречаемых преобразований Фурье обобщенных функций приведена-
в [ГЗ], п.П.2.5.
66
./?" с мерой dnx (в «импульсном» пространстве свертка определяется на
основе меры dnp).
Упражнение 2.19. Доказать, что свертка основных функций из {f (R") комму-
коммутативна (т. е. /*g = g*/) и ассоциативна (т. е. f * (g *ft) = (/ *g) *ft). Кроме того, убе-
.диться в справедливости формул (где f, g, u??P (Rn)):
(f * g, и) = J J / (x) -g (у) u(x + y) d"x d"y, B.83)
Wx-*p [f*u(x)\ =^x^p [f {x)]-§rx^p [U (*)]. B.84)
Так же, как и операция умножения, свертка определяется не для лю-
любых пар обобщенных функций. Легко определить свертку обобщенной функ-
функции / с основной функцией и(х), пользуясь вторым равенством B.82):
и(х-у))у=§ f(y)u(x-y)d"y. B.85)
•Первое равенство B.85) является определением свертки как действия функ-
функционала f(y) на основную функцию и(х— у), рассматриваемую как функ-
¦.ция от у при фиксированном х. Нетрудно убедиться, что свертка B.85)
является бесконечно дифференцируемой и полиномиально ограниченной
(вместе со своими производными) функцией от х. Другими словами, если
f?af', а и^йР, то /*ы(р)?вм, т. е. свертка B.85) является мульти-
мультипликатором. Однако функция /*ы, вообще говоря, не принадлежит про-
пространству основных функций if. Например, если / (у) является полиномом,
то свертка B.85) также является полиномом и, следовательно, вообще гово-
говоря, не убывает при х—юо.
Будем говорить, что обобщенная функция g (x) является свертывателем
в zf', если для любого u(x)?<if свертка /*ы также принадлежит а?. Про-
Пространство свертывателей будем обозначать через вс (/?") (или просто вс).
Если g является свертывателем, то можно определить свертку g с про-
произвольной обобщенной функцией / С &" по формуле
(/*?> u) = (f(y), (g(x), u{x+y))x)u = (f(x), g(-x)*u(x)). B.86)
Приведем пример свертывателя. Обобщенная функция Dab(x) при лю-
любом а=(а,;, . . . , ап) является свертывателем. (В более общем случае, если
обобщенная функция / имеет ограниченный носитель, то она является свертыва-
свертывателем.)
Основные функции являются свертывателями, и нетрудно убедиться, что
оба определения свертки f*u обобщенной функции f(x) с основной функцией
и(х) по формулам B.85) и B.86) согласованы.
Понятие свертывателя оказывается связанным с понятием мультиплика-
мультипликатора.
Упражнение 2.20. Доказать, что формула B.84) остается справедливой, если / —
произвольная обобщенная функция, аи —• основная функция. С помощью этой формулы убе-
^диться, что обобщенная функция f является свертывателем в точности тогда, когда ее преобра-
преобразование Фурье f является мультипликатором.
Упражнение 2.21. Доказать, что преобразование Фурье произведения обобщен-
обобщенной функции h(p)? af\Rn) с основной функцией Ф (рN(^ С?") есть следующая функция:
(Р) Ф (р)] =Ja(p) е-'рху (р) dnP; B.87)
здесь правая часть понимается в смысле значения обобщенной функции h (p) на основной
е~'Рх<р (р). (Указание: воспользоваться формулой
f-1 (h (Р) ф (/>)) = Щ--Щ * {ff-- 1ф), B.88)
• полученной из B.85) подстановкой h = §rf, ф = |Ги.)
Пространство свертывателей вс состоит из быстроубывающих обобщенных
функций. Другими словами, справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.8. Для того чтобы обобщенная функция f была
¦хвертывателем, необходимо и достаточно, чтобы при любом натуральном N
3* 67
можно было представить f в виде конечной суммы производных от непре-
непрерывных функций FkN(p), каждая из которых удовлетворяет неравенству
Доказательство этого предложения мы здесь приводить не будем (см. [Ш2], т. IIt
гл. 7, § 5, теорема 9).
У пражнение 2.22. Доказать, что fu ? вс для всех f(taf'(Rn), и ? df (Rn).
(Укязание: воспользоваться формулой B.84).)
Упражнение 2.23. Доказать, что всякая обобщенная функция / ? $" (R")
с компактным носителем является свертывателем. (Указание: / представима в виде f=f-to
при подходящей функции со ? ??) (Rn).)
У пражнение 2.24. Пусть / ? ff" (Rn), a gx и gt— свертыватели. Доказать, что
B.89)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.19.)
Г. Обобщенные функции интегрируемого типа. Класс обобщенных функ-
функций, более широкий, чем @C(R"), составляют некоторые обобщенные функции
/ €<&" (/?"), которые мы назовем обобщенными функциями интегрируемого
типа; они характеризуются условием: для любой функции и ? & (/?")
свертка /*и является (абсолютно) интегрируемой функцией в R" (относи-
(относительно лебеговой меры в /?"). Определим интеграл ^f(x)d"x от таких обоб-
обобщенных функций посредством формулы
($/(*) d"x) ( J и (х) dnx) = J (/* и) (х) d"x, B.90)
где и — произвольная функция из & (/?").
Это определение естественно, так как в случае произвольных абсолютно интегрируемых
функций / и и в R" равенство B.90) выполняется тождественно. Определение интеграла коррект-
корректно в том смысле, что действительно существует число / (/) (зависящее лишь от обобщеиной функ-
функции интегрируемого типа /) такое, что
С (f * и) dx= I(f) [ и (х) dx для всех u
Упражнение 2.25. Доказать существование такого числа / (/). (Указание: проин-
проинтегрировать тождество (/ * и) * v = (f * v) * и, справедливое для всех и, v ? if (Rn)\ см. B.89).
В упражнениях 2.28, 2.29 также иллюстрируется естественность введенного понятия
интеграла от обобщенной функции.
Упражнение 2.26. Доказать, что / ? $" (/?") является обобщенной функцией
интегрируемого типа в точности тогда, когда имеет место оценка
\d, u*v)\^c (и) sup \v(x)\ для всех и, v ? tf (/?"), B.91)
X
где с (и) — некоторый функционал от и. (Указание: воспользоваться формулой B.86) и тем,
что произвольная непрерывная полиномиально ограниченная функция h (x) в R" абсолютно
интегрируема в точности тогда, когда выполнена оценка типа
h (x) v (x) dx
s? с sup | v (х) | для всех v ? {f (Rn).)
Упражнение 2.27. Доказать, что свойство быть обобщенной функцией интегри-
интегрируемого типа не зависит от поведения обобщенной функции в любой фиксированной конеч-
конечной области. (Указание: воспользоваться упражнением 2.23.)
Упражнение 2.28. (а) Если /—обобщенная функция интегрируемого типа в R",
то ее преобразование Фурье ](р)— \ f {x)e'Px dx есть непрерывная функция от р, стремя-
стремящаяся к 0 при | р | —*- оо, и
\>f(x)dx = J(O). B.92)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.20.)
(б) Если /—обобщенная функция интегрируемого типа в R", то такова же обобщен-
обобщенная функция Daf, причем \ Dafdnx = O при | а | ф 0. (Указание: воспользоваться формулой
Da (f* u) = (Daf)*u = f*Dau B.93>
при / ? 3" (Rn), и ? if (Rn).)
68
Упражнение 2.29. Доказать, что для любых / ? if" {R"), и ? if (R") произве-
произведение fu—интегрируемого типа, причем
J
(fu)dx=(f, и). B.94)
(Указание: воспользоваться упражнениями 2.22, 2.28 и 2.21.)
К понятию интеграла примыкает частичный интеграл. Пусть незави-
независимые переменные разбиты на две группы, *?/?" и y?Rm. Тогда всякой
обобщенной функции /(х, у) ? if' (/?"+ т) и произвольной основной функции
и (х) ? if (/?") можно сопоставить обобщенную функцию \ / (х, у) и (х) d"x ?
?if'{Rm) по правилу
v (У) dmy = (/' «®t') при всех v^tfiR). B.95)
S ( \ f li'..
Будем называть / (x, г/) ? <У (Rn + m) обобщенной функцией интегрируемого
типа по у (в частности, свертывателем по у), если для любой u?i?(Rn)
обобщенная функция j / (х, у) ы (х) dx ? Eе" (/?"») — интегрируемого типа в Rm
(соответственно свертыватель из &c(Rm)). В этом случае определен частич-
частичный интеграл по у от обобщенной функции /(х, у): это есть обобщенная
функция \f(x, y)dy, задаваемая формулой
( \ f (х, у) dy, и (х))х = J ( S / (х, у) и (х) dx) dy B.96)
при всех u€<y{R").
То, что частичный интеграл является линейным функционалом над a7(Rn),
очевидно; непрерывность же его устанавливается в следующем упражнении.
Упражнение 2.30. Доказать, что для обобщенной функции / (х, у) интегрируе-
интегрируемого типа по у правая часть B.96) есть непрерывный функционал от м ? zf (/?"). (Указа-
(Указание: фиксировать произвольным образом функцию v (у)?tf (Rm) такую, что \ v(y)dy=l.
Тогда по определению правая часть B.96) есть \ h(y)dy, где h{y) = (f(x, у —г), ц(х)и(г))х,г
есть функция из пространства*) Xl(Rm). Убедиться, что отображение и -^—»¦ h имеет
замкнутый график и, значит, непрерывно.)
Приведем признаки свертывателя по у.
У пр ажнение 2.31. Пусть для обобщенной функции / (х, у) ? <&" (Rn + m) сущест-
существует функция % (х, у) ? 0М (R" + m) со следующими свойствами: во-первых, у, (х, у) f (x, у) =
==/(*¦ У)\ во-вторых, х(х, у)и(х) g gf (Rn + m) для любой функции и (х) ?af{Rn). Дока-
Доказать, что f (x, у) является свертывателем по у. (Указание: достаточно убедиться, что для
любых и g <У (#"), v^if (Rm) функция h (г) = (/ (х, у), и (х) v (у-г)) = (/ (х, у), % (*. У)X
X и (х) v (у— г)) принадлежит gf {Rm) по г, а это следует из того, что % (х, у) и (х) v (у—г) ?
б<5р(Л"+2"!).)
Упражнение 2.32. Доказать, что всякая обобщенная функция / (х, y)?<?f'(Rn+tn)
с носителем на множестве
(где А, б— некоторые положительные числа) является свертывателем по у. (Указание: пусть
%(х, у) = а>(\ у\2 Л-2BA-Ь [х |2))-6), где со(<) — функция из g) (R), равная 1 при \t\<2.
Убедиться, что % (х, у) удовлетворяет условиям предыдущего упражнения.)
Упражнение 2.33. Дгкгзать, что обобщенная функция / (х, у) ? if' (Rn+m),
удовлетворяющая уравнению
(|*12 — \У |2 + ?0/(х, у) = 0 B.98)
при некотором вещественней А, является свертывателем по у. (Указание: применить
упражнение 2.32.)
В упражнениях 2.34 и 2.35 рассмотрены некоторые свойства обобщен-
обобщенных функций интегрируемого типа по у.
*) X1 (R") есть банахово пространство (классов эквивалентности) функций [в R",
абсолютно интегрируемых по лебеговой мере; норма функции / (х) равна
f (х) | dx . B.97)
69
У пр ажнен ие 2.34. Пусть f (x, у) ? if' (Rn+m) есть обобщенная функция интегри-
интегрируемого типа по у (соответственно свертыватель по у). Доказать, что для всех w(x, у)?
€ if(Rn+m) функция
(f(x, у), w(x, у—г))х,у B.99)
от 2 ? Rm является абсолютно интегрируемой (соответственно основной функцией
из if (Rm)), непрерывно зависящей от w (в соответствующей топологии пространств Xх (Rm)
и if (Rm)), причем
х, у), w(x, y~z))x^ydz=([ f(x, y)dy, \ w (x, z) dzj . B.100)
(Указание: для функций вида w(x, y) = u(x)v(y) с произвольными и ? if{Rn), v ? if (Rm)
утверждение очевидно. Для таких и (х, у) выражение B.98) определяет билинейное отобра-
отображение из if (/?") X if (Rm) в Xх (Rn) (соответственно в if (Rm)). Пользуясь теоремой
о замкнутом графике, доказать его раздельную непрерывность по и и по v, а затем вос-
воспользоваться замечанием к теореме 2.5.)
Упражнение 2.35. Доказать, что обобщенная функция f (х, у) ? if' (Rn + m) —
интегрируемого типа по у в точности тогда, когда для любой основной функции и (х) ?
? if (Rn) обобщенная функция и (х) f (x, у) — интегрируемого типа по х, у, причем]
f (х, у) dy, и(х)^х=^и (х) f (x, у) dxdy. B.101)
(Указание: если / (х, у) — интегрируемого типа по у, то требуется доказать, что при любых
и М € i? (#") и w (*. У) € (У (Rn+m) функция
(/(*, у), и(х), w(x~l, у-г)) B.102J
принадлежит X1 (/?"+"») по \ ? R", г ? Rm. С этой целью ввести ш^(х, у) = и(х)Х
X w(x—?, у) и убедиться, что это—основная функция по х, у, непрерывно зависящая от
параметра |, причем ш»—>-0 быстрее любой отрицательной степени | 2; | при [?|—»¦ оо.
Далее воспользоваться упражнением 2.34, где роль w играет ш.. Обратно, если функция
B.102) принадлежит jel{Rn+m) при любых и ^ if (/?") и w(x, у) g if (Rn+m), то доста-
достаточно положить w(x, y) — a(x) v (у), где а (х)—фиксированная функция из if (/?") с ин-
интегралом, равным единице, a v (у) — произвольная функция из SP (Rm). По теореме Фубини,
примененной к функции B.102), выражение
у), u(x)a.(x-l)v(y-2))x,vdl^{f{x, »).1(S), u{x)a(x-l)v{y-z))
х, и.
есть интегрируемая функция по г; правая часть в этом тождестве преобразуется к виду
(/ (х, у), u(x)v{y—z))x,y, откуда следует утверждение.)
У п ражнение 2.36. Пусть f (х, у) ? of (Rn+m) является обобщенной функцией
интегрируемого типа по у (соответственно свертывателзм по у). Доказать, что таковой же
является обобщенная функция f (х, у-\-Ах), где A: Rn—>- Rm — произвольное линейное
преобразование, причем
$/(*,? -f- Ax) dy = J / (х, у) dy. B.103)
(Указание: применить упражнение 2.34 к случаю w(x, y) = u(x)v(y — Ax), где и ? if(Rn),
^iPiR))
Д. Свертка обобщенных функций. Приведем теперь определение свертки
обобщенных функций, пригодное в значительно более общей ситуации, чем
прежнее определение B.86), где g(x) предполагалось свертывателем в if (Z?1).
Будем говорить, что для обобщенных функций f (х) и g(x) из if"{Rn)
свертка определена «каноническим образом», если обобщенная функция
f(x—y)g(y) из if'(R2n) — интегрируемого типа по у; в этом случае сверткой
обобщенных функций / и g мы называем обобщенную функцию
(/»g){x)=lf(x—y)g(у) dy B.104)
из S"(R«).
Следующие два упражнения демонстрируют ряд естественных свойств
свертки обобщенных функций (в частности, коммутативность свертки).
ЧУпражненче 2.37. Пусть / и g —обобщенные функции из if'(Rn). Доказать,
что f(x~y)g(y) является обобщенной функцией интегрируемого типа по у в точности
тогда, когда таковой является g(x—У) f (y)\ при выполнении этих условий имеем
\f(x-y)gi.y)dy=(\jg(x-~y)f{y)dy, т. е.
f*g = 4*f. B 105)
70
(Указание: применить упражнение 2.36, воспользовавшись тем, что f{x-\ry)g(—у) полу-
получается из g{x—y)f(y) заменой переменных (х, у)—*(х, х + у).)
• Упражнение 2.38. Доказать, что свертка обобщенных функций f,g?<3"{Rn)
определена «каноническим образом» в точности тогда, когда для любой основной функции
и (х) ? {f (R") обобщенная функция f (х) g(у) и (х-\-у)~интегрируемого типа по х, у; при
этом имеет место равенство
(f * g, и) = \f W g (У) и (x + y) dx dy. B.106)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.35.)
Упражнение 2.39. Пусть свертка / и g g tf' (Rn) определена «каноническим
образом».
(а) Доказать, что для любого а ? Z+ существует свертка Daf и g (а также / и Dag)-,
причем имеет место правило дифференцирования свертки:
Da(f*g) = (Daf)*g = f*(Dag). B.107)
(Указание: воспользоваться формулой B.93).)
(б) Доказать свойство носителя свертки
supp / *g содержится в замыкании supp /-("SupPg1- B.108)
(В последнем соотношении под алгебраической суммой двух множеств А и В в Rn подразу-
подразумевается множество точек вида а-\-Ь с а ? А, Ь ? В.)
Заключение о существовании свертки обобщенных функций можно сде-
сделать, в частности, на основе определенных свойств их носителей.
Упражнение 2.40. Пусть Qi и Q2 — два замкнутых множества в R", обладающие
тем свойством, что
|*1 + М<ЛA+|*+4фв ПРИ всех х? Qlt у € <?» B.109>
где A, S —некоторые положительные числа. Доказать, что свертка /x*/g определена «кано-
«каноническим образом», если fj — обобщенная функция из $" (Rn) с носителем в Qj при /= 1, 2.
(Указание: воспользоваться упражнением 2.32 и очевидным неравенством |г/|<|х | + |лс—у\
для доказательства того, что обобщенная функция f1 (х—у) /2 (у) является свертыва-
телем по у.)
Рассмотрим случай обобщенных функций с носителями в конусах. При
этом конусом в R" с вершиной в нуле называется множество К с R" такое,
что \х?К при всех А, > 0 и х?К\ соответственно множество вида а—К.
(где а—фиксированный вектор в R") называется конусом с вершиной
в точке а. Обычно под конусом (без указания вершины) мы подразумеваем
конус с вершиной в нуле. В частности, множество вида
\x?Rn: bmx^0 при v=l, ..., N\, B.110)
где bn\ ..., b{N)—конечный набор векторов из R", называется (замкнутым
выпуклым) полиэдральным конусом в /?"; если N— п и bw, ..., bin) — ли-
линейный базис в /?", то конус B.110) называется (замкнутым) симплициаль-
ным. Конус К с R" называется острым, если он содержится в некотором
симплициальном конусе.
У праж нен ие 2.41. Пусть К\ и Кг — два замкнутых конуса в R" (с вершиной
в нуле) такие, что Ki(](—/Сг) == {0}, и пусть Аъ А2—два компактных множества в R".
Доказать, что свертка ft * /2 определена «каноническим образом», если fj — обобщенная
функция из of' (Rn) с носителем в Aj + Kj при /=1, 2. (Указание: использовать преды-
предыдущее упражнение.)
Упражнение 2.42 *). Пусть К — замкнутый выпуклый острый конус в Л" с не-
непустой внутренностью. Доказать, что обобщенные функции f?d?'(Rn) со свойством носителя
supp fca+K (где точка а может зависеть от /) образуют сверточную алгебру (коммутативную и
ассоциативную) (значит, для любых таких обобщенных функций fx и /2 свертка определена и
обладает указанным свойством носителя). (Указание: применить предыдущее упражнение.)
2.6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
А. Общие сведения. Вопросы сходимости, изложенные в §§ 1.2 и 1.3,
будут интересовать нас главным образом в контексте основных и обобщен-
обобщенных функций, зависящих от параметра (пробегающего некоторое локальное
*) См. [В10], п.5.6.
71
компактное подмножество Л евклидова пространства Rm). Понятие непре-
непрерывности такого семейства (в терминах последовательностей или на языке
«е-6») достаточно очевидно *). Следует, однако, заметить, что при этом
для основных функций из <? (/?') мы используем обычную топологию <?(Rn),
в то время как для обобщенных функций подразумевается слабая топология.
Аналогично (в том случае, когда Л — открытое подмножество в Rm) форму-
формулируются понятия дифференцируемости или бесконечной дифференцируемости
(т. е. зависимости класса <ёх) основных и обобщенных функций по пара-
параметру, а также (когда Л есть открытое подмножество в Ск) голоморфной
(или, что то же, аналитической) зависимости от параметра.
У пражнение 2-43. Пусть {/^{. — семейство обобщенных функций в R", непрерывно
зависящих от параметра Я, пробегающего локально компактное множество Л. Доказать,
что для любого компакта К С Л существуют числа с, /, т (зависящие от К) такие, что
|(/Л, и)\ <с\\и\\и т при всех и ? <&> (R"), X ? К. B.111)
(Указание: рассматривая отображение и—*- (fx, и) как линейный оператор из <ff (Rn)
в пространство Ч& (Г) из п.1.2.В, убедиться, что этот оператор имеет замкнутый график и,
значит, непрерывен по теореме 1.11.)
Не очевидным является тот факт, что функция X —>- (fx, "я) непрерывна
для семейств {Д} в 8" и {и^} в of, непрерывно зависящих от параметра Я.
(Можно было бы рассмотреть внешне более общий случай, когда семейства
\f%} и {«Я'} зависят от разных параметров Х^Л и А/?Л', однако он сво-
сводится к предыдущему, если (X, X') считать одним параметром, пробе-
пробегающим ЛхЛ'.)
Предложение 2.9. Пусть {и*} и {/я}—соответственно семейство
основных функций из & и обобщенных функций из of", зависящих непрерывно
{или непрерывно дифференцируемо, или <ё"°-, или голоморфно) от параметра
XgЛ. Тогда функция X —> (/я, «я) непрерывна (соответственно непрерывно
дифференцируема* или #'"-, или голоморфна) на А. Справедливы формулы
дифференцирования типа
0 (|) B.П2)
(при условии, что они имеют смысл).
Упражнение 2.44. Доказать предложение 2.9. (Указание: воспользоваться след-
следствием 1.10.)
Приведем еще результат, относящийся к семействам обобщенных функ-
функций, голоморфно зависящих от параметра X. Как известно, комплексные
голоморфные функции, заданные в комплексной области Л <г С, могут
обладать голоморфным продолжением в большую область Л' <г С*, причем
при фиксированной области Л' это продолжениэ единственно. (Подробнее
об этом см. п. 5.1.В.) Поэтому может случиться, что данное семейство {Д}
обобщенных функций, голоморфно зависящее от параметра X в области
Л с Ck, таково, что при всех и ? of (Rn) функции X —*¦ (/ь и) голоморфно
продолжаются в область Л' (Л <г Л' <г С"). Однако заранее не ясно, что
линейный функционал /я над ё? (R") непрерывен при всех Х?А' (и, значит,
принадлежит 3" (/?")). Нетрудно убедиться, что пространство Ж (А') всех
голоморфных функций в Л' есть пространство Фреше (об этом см. предло-
предложение 5.3). Также легко проверить, что отображение, сопоставляющее
каждой функции u^<^(Rl) функцию (/я. «) из Ж (А') (от переменной X),
является линейным оператором с замкнутым графиком и, значит, непре-
непрерывно. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.10. Пусть {/я} —семейство обобщенных функций, ана-
аналитически зависящих от параметра X в области А с С, и пусть для любой
*) По крайней мере в рассматриваемом случае локально компактного Л (в дополнении Б
мы встретимся с примерами, выходящими за эти рамкч).
72
основной функции u?d? (/?") функция Я —> (Д, w) допускает аналитическое
продолжение в область А' с СА, содержащую А. Тогда существует единст-
единственное семейство |/я}яел' в #"(/?"). продолжающее исходное семейство ана-
аналитически по X.
Пример семейства обобщенных функций, аналитически зависящих от па-
параметра, доставляют однородные обобщенные функции одной переменной (до-
(дополнение В.2).
В следующих упражнениях мы приведем ряд простых критериев непрерыв-
непрерывности, или бесконечной дифференцируемости, или голоморфности заданного
семейства {иу} основных функций, зависящих от параметра в терминах функ-
функции и (х, у) от двух переменных х и у:
и(х, у)=иу(х). B.113)
Для большей общности мы сформулируем результаты для пространств основ-
основных функций af(Q), определяемых в дополнении А.2 (здесь Q — канонически
замкнутое регулярное множество в R"; читатель может взять Rn в качестве Q).
Упражнение 2.45. Пусть и (х, у) — комплексная функция на QxS, где S — локально
компактное подмножество в Rm. Предположим, что все частные производные (любого по-
порядка) по х D®f (x, у} определены в intQxS и непрерывно продолжаются на QxS, при-
причем при любых l?Z+, a?Z? функция | х \l D&f (x, у) ограничена на каждом подмножестве
вида QxK, где К—компакт в S. Доказать, что формула B.113) определяет семейство {tiy}
основных функций из of (Я), зависящих непрерывно от параметра y?S.
Упражнение 2.46. Пусть и (х, у) есть комплексная функция на QxS, где S —
локально компактное подмножество в /?"», внутренность которого плотна в S. Предположим,
что все частные производные D%D&u(x у) определены в intQXintS и непрерывно продол-
продолжаются в QxS, причем при любых l?Z+, a,?Z^t f>?Z™ функция \x\lD^D^u(x, у) огра-
ограничена на любом подмножестве вида QxK, где К—произвольный компакт в S. Доказать,
что формула B.113) определяет семейство {иу} в if (Q), зависящее ^"-образом от пара-
параметра y?S, и что (Dauj,) (ж) = ?>««(*, у).
Упражнение 2.47. Пусть S—открытое множество в Ск и и (х, ?) — комплексная
5?°°-функция на intQxS, голоморфная по ? в S при любом фиксированном x?intQ и та-
гая, что ппи л-ofbix l?Z+, a^Z™ и любом компакте KcS функция \x\l D^u(x, Q не-
непрерывно продолжается на QxS и ограничена на QxK- Тогда формула и^(х) = и(х, ?)
определяет семейство /и^} в gf> (Q), голоморфно зависящее от параметра ??S. (Указание:
достаточно убедиться, что и(х, ?) удовлетворяет условиям предыдущего упражнения, где
роль у теперь играет (g, r])=(Ret. Im Q. Воспользоваться интегральным представлением-
Коши:
здесь x?intQ, t, пробегает произвольный фиксированный поликруг /С с замыканием в S
вида K = {Z€.S: \ \j — bj\ < s, /=1, •••, k}; интегрирование ведется [подмножеству, опре-
определяемому уравнениями | Ц—йу| = е, /=1,..., k.)
Б. Сужение обобщенной функции. Выше мы интересовались проблемой
интерпретации функции от двух переменных как семейства основных функций
по одной переменной, зависящих от другой переменной как от параметра. По-
Подобная точка зрения представляет интерес и в отношении обобщенных функций.
Пусть f = f(x, у) есть обобщенная функция из &"(Rn+m) (аргумент ко-
которой мы представили в виде пары точек *?/?", y(iRm) и пусть S—от-
S—открытое подмножество в R". Будем говорить, что f(x, у) является в RnxS
обобщенной функцией по х, непрерывно (или ??°°-, или голоморфно в случае,
когда m = 2k и Rm отождествлено с Ск) зависящей от y?S как от пара-
параметра, если существует семейство {fu}yes обобщенных функций из &" (/?"),
непрерывно (или %*-, или голоморфно) зависящих от параметра у, такое, что
(/, «<g)»)=S(/f, u)v(y)dy B.115)
s
для всех и б ^ (/?"), v?eD(Rm) с suppycS.
73
В связи с этим определением естественно сопоставить произвольным
/(х, У)?<У" {Rn+m)< u{x)?&f(Rn) обобщенную функцию \f(x, y)u(x)dx из
&"(Rm) по правилу
КS / (х, У) и (х) dx) v (у) d»y = (/, u®v), v^tf (R'n). B.116)
Теперь мы можем дать другую формулировку введенного выше понятия.
Предложение 2.11. Пусть f (х, у)—обобщенная функция из
<&"(К" + т), обладающая тем свойством, что при всех u?a?(R") обобщенная
функция \f(x, y)u{x)d"x совпадает с непрерывной (или %">-, или голоморф-
голоморфной) функцией от у на открытом множестве SczRm (или СЛ при m—2k).
Тогда f(x, у) является на R'lxS обобщенной функцией по х, непрерывно
(или 4SW-, или голоморфно) зависящей от у как от параметра.
¦^ Согласно условию выражение
F(u; </) = $/(*, y)u(x)dx\s
при любом u?q? (Rn) определяет непрерывную функцию от у?S. Достаточно показать, что
при любом фиксированном (/?S это выражение является непрерывным функционалом от
u?ajf (Rn); тогда оно определяет искомое семейство обобщенных функций из df (/?"), не-
непрерывно (или С"-, или голоморфно) зависящих от параметра y?S. Для этого заметим,
что линейное отображение и—> F (и; у) из if С?") в ЗУ' (S) (секвенциально) непрерывно.
С другой стороны, образ of (Rn) при этом отображении по условию лежит в /^-пространстве
% (S) (см. п. 1.2.В), топология которого сильнее слабой топологии <g)' (S). Из следствия
1.12 вытекает непрерывность отображения и—>¦ F (и; у) из <ff (Rn) в #E). >
Интересную иллюстрацию к приведенному определению доставляют частично голо-
голоморфные обобщенные функции (мы вернемся к ним в п. 5.1.Д).
Упражнение 2.48. (а) Пусть f (x, у) ?<ff' (Rn+m) является обобщенной функцией
по х, непрерывно (соответственно ^"-образом) зависящей от у как от параметра. Дока-
Доказать, что таким же свойством обладает и произведение f (x, у) ф (х, у), где ф (х, у) ?C„ (Rn + m).
(Указание: пусть и (x)?af (/?"), v (у)?<g) (Rm); тогда на основании формулы B.115)
(^•ф, M®y)s3(f, ф-(«®у))=\ (fy (х)> ф (х, У) u(x))xv (у) d'ny; далее воспользоваться тем,
что (fy(x), ф (х, у)и(х))х на основании предложения 2.9 зависит от у непрерывным (соот-
(соответственно 6°°-) образом.)
(б) Пусть обобщенная функция h(p, q) ?$" (Rn + m) — и итерируемого типа по q
соответственно свертыватель по q). Доказать, что преобразование Фурье
f(x, y)=\jh(p, q) г' ^x + W dnp dmg
является обобщенной функцией по х, непрерывно (соответственно ^""-образом) завигящгй
от у как от параметра. Сформулировать аналогичное утверждение для частичного преобра-
преобразования Фурье
F (р, У) = $ h (p, q) е!4У dmq. B.117)
(Указание: преобразование Фурье функции из Xх (Rm) и, соответственно, из of (Rm) яв-
является непрерывной и, соответственно, основной функцией.)
Упражнение 2.49. Доказать, что всякое решение f (х, у) дифференциального
уравнения (где X — вещественный параметр)
B.П8)
в пространстве обобщенных функций tf" (Rn+m) является обобщенной функцией по х, за-
зависящей Й"~-образом от у как от параметра. (Указание: скомбинировать результаты уп-
упражнений 2.33 и 2.48F).)
Рассмотрим важный пример. Условимся через 1 (у) обозначать обоб-
обобщенную функцию из 3" (Rn) (или распределение из @)'(Q), QcRm), соот-
соответствующую функции, тождественно равной 1. Тогда всякая обобщенная
функция f(x)?&"(Rl) может рассматриваться как обобщенная функция
от большего числа (скажем, п + т) переменных, если сопоставить ей обоб-
обобщенную функцию f(x)-l(y)e&"(Rl+m). Очевидно, f(x)-\(y) является обоб-
обобщенной функцией от х, зависящей {^-образом от y^Rm. (Обобщенные
74
функции вида f(x)-l(y) называют обобщенными функциями, не зависящими
от у.) В упражнении 2.50 приведено одно естественное свойство таких
обобщенных функций; упражнение 2.51 дает другую характеризацию их.
Упражнение 2.50. Пусть f (х)?^'(R"), A: R" -—>¦ Rm — линейное преобразова-
преобразование. Показать, что распределение f(x)-l (у-\-Ах) (полученное из f(x)-\ (у) линейной заме-
заменой переменных) совпадает с f(x)-\(y). (Указание: применить B.61) к выражению
(f(x)-\(y), w(x, у-Ах)), w^(R" + m).)
Упражнение 2.51. (а) Доказать, что всякая обобщенная функция f (x)?af" (R),
удовлетворяющая уравнению
имеет вид f (л:) = с-1 (х), где с—комплексное число. (Указание: данное уравнение означает,
что (/, и) = 0 для всех и из подпространства — ?Р (R) в ъР (R)', в свою очередь это под-
подпространство задается уравнением \ / (х) Л= A (х), и(х)) — 0.)
(б) Доказать, что общее решение системы уравнений
¦щР(х, У) = °> /=!.•••- т.
в классе обобщенных функций F (x, y)?djP' (Rn+m) имеет вид
где f (x)?ff" (Rn). (Указание: в случае m=l воспользоваться первой частью упражнения
и показать, что F (х, у) является обобщенной функцией от х, зависящей ^""-образом от
параметра у; общий случай т^ 1 рассмотреть по индукции.)
(в) Пусть Q есть открытое множество в R". Доказать, что система уравнений
J-f(x) = 0, /=l, ...,«, B.120)
описывает комплексные функции в Q, постоянные на каждой компоненте *) из в-
Упражнение 2.52. Пусть f (x, у)?с?" (Rn+m) является на открытом множестве
RnXS обобщенной функцией по х, непрерывно (или соответственно is™-) зависящей от у
как от параметра.
(а) Доказать, что отображение, ставящее в соответствие функции u?ejp (/?") непре-
непрерывную функцию h(y) = (f (х, у), и(х))х и S, является линейным непрерывным оператором
из if (R") в пространство в (S). (Указание: см. упражнение 2.43.)
(б) Доказать, что наряду с формулой B.115) справедлива более общая формула
W (*> y)h(n),w (х, у)) = J {fу (х), w (х, у))х h (у) dy B.121)
при всех w^tf (Rn+m), h^gf) (S). (Указание: в силу предложения 2.9 правая часть B.121)
как функционал от w является распределением из tf" (Rn + m), совпадающим с f (x, y)h(y)
на линейных комбинациях функций вида u@v, где u?df (Rn), v^^f (Rm)-)
(в) Доказать, что для любого линейного преобразования A: Rm -—*- R" f(x~\-Ay, у)
является обобщенной функцией по х, непрерывно (или соответственно (ё°°-) зависящей от
у как от параметра. (Указание: воспользоваться формулой B.121).)
Будем говорить, что обобщенная функция f(x, у) ? 8" (Л"+яг) допускает
сужение на плоскость у — Ь (где Ь—фиксированная точка из Rm), если су-
существует окрестность S точки b в Rm такая, что f{x, у) является bR"xS
обобщенной функцией по х, непрерывно зависящей от у как от параметра.
Если {fy\ — соответствующее семейство в <&" (Rn) (см. B.115)), то распреде-
распределение fb ? &" (/?") назовем сужением обобщенной функции f (x, у) на плоскость
у — Ь к будем записывать его в виде f(x, у)\у=ь-
С помощью подходящей замены переменных можно определить понятие сужения обоб-
обобщенной функции на «достаточно хорошее» подмногообразие.
Отметим, что данное определение сужения не является единственно возможным. Напри-
Например, в гл. 13 мы будем пользоваться альтернативным определением (в терминах пределов) су-
сужения на массовую оболочку обобщенной функции в пространстве Минковского).
В. Еще об умножении обобщенных функций. Применим понятие суже-
сужения к проблеме умножения обобщенных функций. Если f(x) и g(x)—две
*) Всякое открытое множество Q в R" есть объединение семейства непересекающихся
ебластей, называемых (связными) компонентами множества Q.
75
обобщенные функции из 3" (/?"), то будем говорить, что произведение их
определено «каноническим образом», если обобщенная функция / (л:) g {х + у) ?
13" (/?2") (полученная из f(x)g(y) заменой переменных) допускает суже-
сужение на плоскость г/ = 0; в этом случае обобщенную функцию
/ (х) g(х) == / (х) g(х4-у) I =о B.122)
из 3" (/?'') назовем произведением обобщенных функций f(x) и ?(.*:).
В случае, когда одна из обобщенных функций f или g является мультипли-
мультипликатором, новое определение произведения совпадает со старым (п.2.3.А).
В следующем упражнении утверждается, что произведение обобщенных
функций на самом деле симметрично по / и g и, значит, коммутативно (зато оно
неассоциативно, как показывает пример B.32)).
Упражнение 2.53. Пусть f (х) и g (x)—две обобщенные функции из ^"(?").
Доказать эквивалентность следующих трех условий:
1) обобщенная функция / (х) g (x-\-y) ^§" (R2n) допускает сужение на плоскость (/ = 0;
2) обобщенная функция / (х + У) g (*+г)?<#" (R3") (полученная из f(x)g(y)-\ (г) ли-
линейной заменой переменных) допускает сужение на плоскость г/ = г = О;
3) обобщенная функция f (x^-y) g (х)?сиР' (R2") допускает сужение на плоскость ^ = 0.
При выполнении этих условий имеет место равенство
/ (х) g (x+y) \y=o = f(x-lry) g (x+z) |;,=г=о =/ (х + у) g (У) \у=о- B.123)
(Указание: согласно упражнению 2.52 (в) условие 2) означает, что / (х) g (х — у-\-г)Л (г)
допускает сужение на плоскость у = 2 = 0; в свою очередь эта обобщенная функция после
замены (х, у, г)—>¦ (х, г, y-\-z) переходит в / (х) g (x-j-г/)-1 (г).)
Упражнение 2.54. Пусть / (х) и g (x) — обобщенные функции из tf" (R") такие, что
f (x) g(x-{-y) является обобщенной функцией по х, зависящей ^""-образом от у как от па-
параметра. Доказать, что для любых мультииндексов Р, у?2^ произведение обобщенных
функций D°f(x) и Dig(x) определено «каноническим образом», причем справедливо пра-
правило дифференцирования Лейбница
«у!
8 М) = 2 Д JIJT D^f W -DVS (*)• B-124)
У J
(Указание: здесь применимы те же соображения, что и в предыдущем упражнении при доказа-
доказательстве импликации 1) => 2).)
Упражнение 2.55. Доказать, что носитель произведения обобщенных функций со-
содержится в пересечении их носителей.
Связь произведения со сверткой, отмечавшаяся в упражнениях 2.19 и 2.21, может быть
продолжена дальше.
Упражнение 2.56. Пусть свертка обобщенных функций hi(p), h2(p)?a?" (/?„)
определена «каноническим образом» (т. е. в смысле п. 2.5.Д). Доказать, что тогда произ-
произведение их фурье-преобразований
fj (х) = J hj (p) efp* dnP, / = 1,2, B.125)
определено «каноническим образом», причем
h (x) h (х) = J (hi ¦* h2) (p) е'Р* dnp. B.126)
(Указание: воспользоваться упражнением 2.48.)
Упражнение 2.56 позволяет приведенные в п. 2.5.Д признаки суще-
существования свертки приспособить для произведений обобщенных функций.
Например, произведение обобщенных функций ft (х), /2 (х) ? &" (/?") опре-
определено, если их фурье-преобразования имеют носители соответственно
в множествах Ai + Ki и А2 + К2, где Ах и Л2—компакты в R", а Кг и
/С2—два замкнутых конуса в R" (с вершиной в нуле) такие, что Ki П {—Ks)= {0}.
Пример. Рассмотрим, в частности, обобщенные функции /(;<#"(/?")>
фурье-преобразования которых сосредоточены на множествах вида а + К, где
а—точка в R", зависящая от /, а К—фиксированный замкнутый выпуклый
острый конус в R'1 с непустой внутренностью. Из упражнения 2.42 (ском-
(скомбинированного с упражнением 2.56) следует, что такие обобщенные функ-
функции образуют (коммутативную и ассоциативную) алгебру по умножению *).
*) В книге [В10], § 12 подробно изложен подход к этой алгебре обобщенных функций на
основе техники преобразования Лапласа.
76
Приведем одно применение понятия произведения обобщенных функций.
На практике нередко требуется данную обобщенную функцию (или данное
распределение) рассматривать как функционал над более широким классом
функций или обобщенных функций, чем исходное пространство основных
функций. (С продолжением «по непрерывности» мы уже имели дело в пред-
предложении 2.1.) Понятие умножения и интеграла обобщенных функций яв-
является естественным для этой цели. Будем говорить, что обобщенная функ-
функция / (х) ? 3" (/?") интегрируема в обобщенном смысле с обобщенной функцией
g (x) € <&" (/?") (или что g(x) интегрируема с f (х)), если их произведение/g
определено «каноническим образом» и является обобщенной функцией ин-
интегрируемого типа. Мы можем рассматривать g как линейный функционал
на множестве обобщенных функций и, в частности, функций /, которые
интегрируются (в обобщенном смысле) с g, положив
(g, f) = \f(x)g(x)dx; B.127)
определенный таким образом функционал g мы назовем каноническим про-
продолжением обобщенной функции g.
В разделе о свертке мы уже использовали такого рода продолжения. Действительно,
согласно упражнению 2.38 свертка обобщенных функций f{x), g (х) ?<ff" (R") определена
«каноническим образом» в точности тогда, когда дли любой основной функции и (х) (^iff (Rn)
обобщенная функция / (х) g (y)?<ff (R2n) интегрируема в обобщенном смысле с функцией
и(х-\-у); при этом имеет место соотношение B.106).
Упражнение 2.57. Доказать, что обобщенная функция (aj-J-i'O) интегрируема
в обобщенном смысле с обобщенными функциями (x-\-a-\-iQ)~l при любом a?R, причем
В этой главе мы касались лишь тех ситуаций, когда произведения и свертки обобщенных
функций можно определить «каноническим образом». Однако в квантовой теории поля возни-
возникает потребность умножать и свертывать обобщенные функции и в тех («нерегулярных») слу-
случаях, когда нельзя указать однозначного определения этих операций (или когда по нашему
определению произведения и свертки «не существуют»). В этих случаях, как правило, речь идет
о доопределении, включающем произвольные параметры («константы перенормировки» в кван-
товополезом контексте). Соответствующая процедура является важнейшей частью так называе-
называемой теории перенормировок (см. Боголюбов и Парасюк A957), [Б8, 31, Х4]). Хотя эта теория
нам здесь не понадобится, мы в дальнейшем неоднократно встретимся с аналогичными ситуа-
ниями (см., например, пп.А.З, Б.5, 4.3.Г, 15.2.Д).
2.7. ВЕКТОРНЫЕ И ОПЕРАТОРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
А. Обобщенные функции со значениями в гильбертовом пространстве.
В предыдущих параграфах мы рассматривали комплексные обобщенные
функции, результаты сглаживания которых с основными функциями вы-
выражаются (комплексными) числами. Если же вместо чисел допустить век-
векторы в некотором линейном пространстве Ж', то мы придем к понятию
векторной обобщенной функции.
Итак, векторной обобщенной функцией в Rn (или обобщенной функцией
в /?„ со значениями в комплексном *) локально выпуклом пространстве Ж)
называется линейное непрерывное отображение / из 3* (Rn) в Ж, сопостав-
сопоставляющее произвольной основной функции u?af (/?„) вектор (/, и) = f (и) ? Ж,
который мы будем также записывать в виде формального интеграла
f(u)=)f(p)u(p)dnP. B.128)
Имея в виду приложения к квантовой теории, мы ограничимся слу-
случаем, когда Ж есть гильбертово пространство. Тогда в определении вектор-
векторной обобщенной функции с равным успехом мы можем использовать более
слабое требование непрерывности.
*) В случае вещественного пространства Ж следует заменить <jf (Rn) на gf r (/?„) —
множество всех вещественных функций из ?P(Rn).
П
Предложение 2.12. Пусть задано линейное отображение /: ы —>- (/, иу
из of (Rn) в Ж такое, что для любого вектора Ф из некоторого плотного
в Ж линейного многообразия 9J? скалярное произведение <Ф, (/, ы)> непре-
непрерывно по и € of (Rn) и, значит, определяет (комплексную) обобщенную функ-
функцию, которую мы обозначим через <Ф, /(р)>. Тогда / является векторной
обобщенной функцией.
•^ Наряду с сильной топологией (нормы) на гильбертовом пространстве Ж определим'
ослабленную топологию полунормами рф ф Df)= max |<Ф/, ХР>\, где Ygj^f, a
1 у'=1 п
Фг Ф„ —произвольный конечный набор векторов из ffil. Тогда по услсвию отображение
и—>¦ (f, и) из of (Rn) в Ж непрерывно в ослабленной топологии на Ж- Значит, согласно
следствию 1.10 отображение и—*¦ (f, и) непрерывно из ?f (Rn) в Ж в топологии нормы
на Ж- >
Предложение 2.12 в какой-то мере сводит векторные обобщенные функции
к комплексным обобщенным функциям. Мы можем перенести большинство опе-
операций, определенных выше над обобщенными функциями, на векторные обоб-
обобщенные функции (пользуясь либо непосредственно определением, либо предло-
предложением 2.12). Таковы операции сложения, умножения на гладкую функцию,
преобразование аргументов, дифференцирование, преобразование Фурье и т. п.
Мы можем говорить также о локальных свойствах и о носителе векторной обоб-
обобщенной функции.
Приведем две специфические операции для векторных обобщенных
функций. Пусть f (р) — векторная обобщенная функция (со значениями в Ж)
и пусть Л—замкнутый оператор в Ж, причем его область определения 1)л
содержит все векторы вида B.128) (при любых u^af (/?„)). Тогда сущест-
существует векторная обобщенная функция Af(p) такая, что
Af(u) = \Af(p)u(p)dnp B.129)-
для всех u?<SP(Rn).
Решающим моментом для этого утверждения является свойство непрерывности отобра-
отображения и-—> А (/, и), которое легко установить из предложения 2.12. С этой целью в ка-
качестве Ш1 выберем D^* (плотное линейное многообразие в Ж в силу замкнутости А). То-
Тогда для всех Ф??>у1. имеем <Ф, А (/, и)> = <Л*Ф, (/, и)>, откуда следует, что обе части
этого равенства непрерывны по и.
Если f(p) и g(q) — обобщенные функции соответственно в Rn и Rm со
значениями в Ж, то для них определено скалярное произведение </(/?),
g(q)y ? &" (Rn+m), которое однозначно определяется формулой (при любых
"(Р)€^ (/?„), v(q)e^(RJ)
, g(<l)>u(p)v(q)dnpdmq=<(f, й), (g, v)>. B.130)
Действительно, правая часть этого равенства определяет билинейный функ-
функционал по и ^ of (/?„) и v б of (/?,„), непрерывный по каждому аргументу и
и v. Теперь существование и единственность обобщенной функции </(/?),
g(q)> следует из теоремы 2.5 (о ядре). Отметим, что </(/?), g(q)> здесь
выступает как аналог тензорного произведения f(/)g, определенного в
п. 2.4.Б для комплексных обобщенных функций f (р) и g(q).
Б. Операторные обобщенные функции. Пусть в гильбертовом простран-
пространстве Ж выделено всюду плотное линейное многообразие D и пусть каждой
основной функции и(р)?аР(/?„) сопоставлен допускающий замыкание линей-
линейный оператор (А, и) зев А (и), определенный на D (и имеющий значения в Ж).
Мы будем говорить, что и —>- А (и) есть операторная обобщенная функция
в Ж, если для любого вектора Ф ? D выражение А (и) Ф непрерывно по
и??Р (/?„); другими словами, если соответствие и—*А(и)Ф есть векторная
обобщенная функция для всех Ф ? D. В этом случае мы будем писать
A(u)=[jA(p)u(p)dnp B.131).
78
¦(и входящий сюда символ А (р) будем также называть операторной обобщенной
функцией).
Условие непрерывности в определении операторной обобщенной функции
.можно ослабить, не меняя ничего по существу; а именно, достаточно потребо-
потребовать, чтобы для Любых Ф, YgD матричный элемент OF, А (и) Ф) непрерывно
зависел от и ? a?(Rn) (т. е. являлся комплексной обобщенной функцией); для
лее мы используем символическую интегральную запись:
<?, А (и) Ф> = J <?, А (р)Ф > и (р) dnP. B.132)
То, что ослабленное условие непрерывности эквивалентно первоначальному, есть непо-
непосредственное следствие предложения 2.12. Другое доказательство эквивалентности двух
определений можно получить с помощью теоремы 2.5 (из которой следует, что всякий раз-
дельно непрерывный билинейный функционал над ?f (Rn) непрерывен). Фиксируем произ-
произвольный вектор Ф??> и рассмотрим билинейный функционал В (и, у) = <Л(~)Ф, А (и) Ф>,
где и, v?<ff{Rn). Предполагая, что А (и) удовлетворяет ослабленному условию непрерыв-
непрерывности, [мы получаем, что В (и, v) раздельно непрерывен и потому просто непрерывен.
В частности, отсюда следует, что если и^ =V 0 при k —* оо, то [| А (и^) Ф\\2 = В (и^, и^) —>¦ 0.
Зто означает, что А (и) удовлетворяет первоначальному условию непрерывности.
Остановимся на двух специфических операциях над операторными обоб-
обобщенными функциями. Предположим, что операторная обобщенная функция
А (р) такова, что сопряженные операторы А (и)* определены на D для всех
u€<f?(/?„). Тогда соответствие и—-+А{и)*\о есть также операторная обоб-
обобщенная функция; при этом мы будем пользоваться записью
(р)*п(р)й„р. B.133)
Непрерывность (ослабленная, а значит, и обычная) функционала A(u)*\D
по и есть следствие тождества
<?, А (и)* Ф> е= <фГл"(и) ?>.
Пусть Л (/?) и 5(<7)—две операторные обобщенные функции в гильбер-
гильбертовом пространстве Ж, определенные соответственно над пространствами
¦основных функций и{р)^йР (/?„) и v (q) ? & (Rm)- В дополнение к предполо-
предположению, что операторы А (и) я В (и) определены на общем (плотном в Ж)
линейном подпространстве D, мы предположим, что операторы B(v) остав-
оставляют D инвариантным:
B(o)[DcD. B.134)
Тогда существует (единственная) операторная обобщенная функция, кото-
которую мы обозначим А {р) В (q), под пространством основных функций of {Rn+m)
и имеющая D в качестве области определения, такая, что
А (и) B\(v) = $ Л (/>) Я (?) и (р) v (q) dnp dmq B.135)
при всех u€uf(Rn), v?af{R^).
Доказательство основывается на скалярном или векторном варианте теоремы о ядре
•{см. теорему 2.5 и замечание к ней). Мы приведем более поучительную аргументацию,
основанную на скалярном варианте. Для этого заметим, что линейные комбинации функ-
функций u(x)v(y) при u^tf (Rn), v(Zd?(Rm) образуют всюду плотное линейное подпростран-
подпространство о$ в aP(Rn + m) (aS—алгебраическое тензорное произведение пространств ?? (/?„) и
of(Rm))- Поскольку при любом Ф??> выражение А (и) В (v) Ф есть билинейный функцио-
функционал от и, v, то существует единственный линейный функционал С на qS такой, что
C(«(g)y) = А (и) В (v) Ф. Достаточно убедиться, что функционал С непрерывен, т.е. что
ЦС(шд)|—> 0, если Wfc^oS, Wk—* 0 при k—>• оов топологии aP(Rn + m)- Для этого вос-
воспользуемся теоремой о ядре (скалярным вариантом), согласно которой существует обоб-
обобщенная функция из ,#" (R2n+2m)> которую мы обозначим <Л (р') В (<?') Ф, А(р)В{д)Фу,
такая, что^
<А (и1) В (vr) Ф, А (и) В (v) Ф> = J <Л (р') В (qr) Ф, А (р) В (q) Ф> X
Xu'(p')v'(q')u (p) v (<?) dnpdnp' dmqdmq'.
79
Отсюда получаем (при
IIС К) |Р = J <А (/>') В (q1) Ф, А (р) В (<?) Ф>и;й(р', д') wk (p, 0 dnp dBp'
Если теперь wk—>¦ О в топологии aP(Rn+m) ПРИ &—*•+», то к<?(/>'> q')wk(p, q)—>¦(>
в топологии Eе (Й2п+2»г). так что из написанного представления следует, что ||С(ю/,)||—> О
при &—> оо. Это завершает доказательство.
Приведенное утверждение распространяется на случай любого числа
операторных «сомножителей» и тогда оно формулируется следующим образом.
Предложение 2.13. Пусть Aj(pj) (/'=1, ••-, k)—семейство one-
роторных обобщенных функций в гильбертовом пространстве Ж над соот-
соответствующими пространствами основных функций и;- (pj)?aF (Rnj). Предпо-
Предполагается, что все операторы А у (uj) определены на плотном в Ж линейном
подпространстве D и оставляют его инвариантным. Тогда существует
(единственная) операторная обобщенная функция, обозначаемая А1(р1)...
... Ak (pk) (определенная над пространством основных функций &1 (R,h+ . +nk)
и имеющая D в качестве области определения), такая, что
Ах ("i) •-¦Ak (и„) = J At (Pl) ... Ak (pk) Ul {рг) ...ик (Pk) dniPl ... dni;lPk B.136)
при всех Uj?.of (Rn).
Замечание. В то время как операторы B.136) по условию оставля-
оставляют область D инвариантной, операторы вида
J А, (рг) ... Ак (pk) и (/?„ .... рк) dntp!... dnkpk B.137)
при произвольных и ? of (Rn,+.. .+nk) могут, вообще говоря, выводить век-
векторы из D за пределы D. Однако нетрудно убедиться, что при действии
операторов B.137) на D получающиеся векторы лежат в области определе-
определения замыканий операторов Aj (и/) (и;- ? of (/?„,)) и, вообще, операторов типа
B.137). Поэтому за счет соответствующего расширения области D (например,
заменой D на линейную оболочку многообразий D и XD, где X пробегает
операторы — результаты сглаживания Aii(p1).. .A; (рг) при г = \, 2, ... с
произвольными основными функциями) можно добиться того, что новая
область D станет инвариантной относительно всех операторов вида B.137).
В. Понятие обобщенного собственного вектора. Пусть А — замкнутый
оператор в Ж (с областью значения DA). Будем называть обобщенную функ-
функцию f (р) в Rn со значениями в Ж обобщенным собственным вектором, если
Af(p) = X(p)f(p), B.138)
где Х(р) — некоторый мультипликатор*) из бм(/?л). Сужение A,|SUpPf мы на-
назовем обобщенным собственным значением (или системой обобщенных собст-
собственных значений) оператора А, соответствующим обобщенному собственному
вектору /(/?). Аналогично, если U (а) есть (непрерывная) унитарная я-пара-
метрическая абелева группа операторов в Ж, то обобщенная функция / (р)
в Rn со значениями в Ж называется обобщенным собственным вектором
для этой подгруппы, если
B.139)
п
для всех а ? R", где ац, (х) == 2 8/°уМу' (х) и Му (Р) являются вещественными
мультипликаторами из б„ (/?„)-
Рассмотрим пример оператора Р=—i-r- и (абелевой) группы трансля-
трансляции U (а) в J?2(R), при этом (U(a)f) (x) = f(x-—а). Определим обобщенную
*) Если привлечь понятие произведения скалярной и векторной обобщенных функций
(аналог произведения скалярных обобщенных функций из п.2.6.В), то в данном определении
в качестве X (р) можно допустить менее гладкие функции.
80
функцию fp над if (Rj) со значениями в S2 (R) посредством равенства
другими словами, в качестве ядра fp (х) отображения /: if {Rx) —> 22 (R)
выберем «плоскую волну» fp(x) = etpx. Легко убедиться, что fp есть обоб-
обобщенный собственный вектор для Р и для U (а):
Более того, для него выполнено соотношение ортогональности в том смысле,
что
<fg\fp> = 2n6(p—q). B.140)
В рассмотренном примере обобщенные собственные векторы fp опера-
оператора Р образуют полную ортогональную систему обобщенных векторов в
J?2 (R) в смысле следующего определения (которое целесообразно сформули-
сформулировать в более общем контексте).
Пусть fa)(р{1)), ¦¦¦, f{J)(plJ)), ¦ ¦ ¦—некоторая последовательность век-
векторных обобщенных функций, зависящих от переменных pW ? Rn (где число
п.] может зависеть от /) и принимающих значение в гильбертовом простран-
пространстве Ж. Будем говорить, что эта последовательность образует полную си-
систему обобщенных векторов в Ж, если линейные комбинации векторов вида
п . pW B.141)
(с произвольными u{J) ?df (Rn.)) образуют плотное множество в Ж. Если
же выполнено условие </(у'' {p(j)), /ш (рш)У = О, когда \Фк или / = &, но
рУ'фр'-ы^ т0 мы имеем ортогональную систему обобщенных векторов в Ж.
Теперь под разложением векторов из Ж по полной ортогональной системе
обобщенных векторов {f{J) (pV))} мы можем просто понимать то обстоятель-
обстоятельство, что линейные комбинации векторов вида B.141) плотны в Ж. Напри-
Например, в рассмотренном выше примере системы плоских волн fp вектор
)fP(x) u(p)d1p (при uZdfiRi)) есть просто преобразование Фурье функ-
функции и, и, значит (в силу предложения 2.7), такие векторы образуют плот-
плотное множество & (R) в J?2(/?). Соотношение же ортогональности B.140)
есть в данном случае иная форма записи равенства Парсеваля B.74).
Вторичное квантование доставляет пример полной ортогональной системы обобщенных
векторов в пространстве Фока (см. далее п.7.3.А). С другим важным примером полной (но уже
не ортогональной) системы обобщенных векторов мы встретимся при изучении квантованных
полей (гл. 8).
Дополнение А. Обобщенные функции на подмножествах в R"
АЛ. Обобщенные функции на открытом подмножестве. До сих лор мы имели дело
лишь с обобщенными функциями, определенными во всем пространстве /?". Однако нередко
оказывается удобным (и даже необходимым) рассматривать обобщенные функции на под-
подмножествах в /?". Здесь мы ограничимся важнейшими случаями, когда данное множество
либо открыто, либо принадлежит специальному классу замкнутых множеств.
Случай открытых множеств весьма прост. Для открытого множества Q в R" опреде-
определим if (Q) как множество всех функций из if (Rn), обращающихся в нуль в R"\Q (в до-
дополнении к 6). Если снабдить if (Q) системой полунорм A.42), то if (Q) становится замк-
замкнутым подпространством if (/?") и, значит, пространством Фреше. Отметим существенную
деталь: функции из if (Q) и любые их производные обращаются в нуль также на границе
множества Q. Поскольку функции из if (Q) определяются своими значениями на Q, мы
можем отождествить всякую функцию из if (Q) с ее сужением на Q. Поэтому мы будем
называть ?f (б) пространством быстро убывающих основных функций на Q.
Пространство <#"(C) линейных непрерывных функционалов над if (Q) будем называть
пространством обобщенных функций на Q. Значение ^if' (б) на u?iP@) по-прежнему
будем записывать в символической интегральной форме B.1). Как и в случае /?", мы мо-
можем определить такие операции над if (C), как дифференцирование, умножение на гладкую
81
•функцию, замену переменных с помощью диффеоморфизма прежними формулами B.19),
B.34), B.17). В качестве мотивировки формулы B.19) мы должны заметить, что в
случае «достаточно хорошей» функции f (точнее, в случае, когда f имеет непрерывные и
полиномиально ограниченные частные производные в /?") формула B.19) совпадает с интегри-
интегрированием по частям в классическом анализе (поскольку основные функции u?if (Q) мы,
согласно нашему определению, можем рассматривать как функции из if (/?"))• На функцию
в формуле B.34) мы должны наложить условие, что <р (х)-и (x)^if F) для всех и {x)^if ((?)•
Будем называть такие функции мультипликаторами в if(Q), а их совокупность обозна-
обозначать через 8„(C). Наконец, в формуле B.17) ф есть диффеоморфизм открытого множества Q
на некоторое открытое множество QdR" такое, что отображение и—<¦ | J (ф) | • и°<р есть
изоморфизм if (<?) на if {Q)', тогда определение B.17) имеет смысл для всех f?af' (<?),
Практическое значение пространств if' (<?) (для открытых Q) в сущности сводится к
Тому, что они дают возможность изучать обобщенные функции из if' (Rn) локальными ме-
методами. А именно, если f^if' (/?"), то сужение f (как линейного функционала) на подпро-
подпространство if (Q)czif (Rn) дает нам обобщенную функцию из if" (Q), которую мы обозначим
через / |о и назовем сужением / на Q. Из теоремы Хана — Банаха путем сужения обоб-
обобщенных функций из if' (/?") иа Q мы получаем все обобщенные функции на 0.
Обратно, принцип склеивания позволяет конструировать обобщенные функции из
if (/?") с помощью подходящего набора обобщенных функций на открытых подмножествах.
Точнее, пусть задан конечный набору {C/}v=i открытых множеств в R'1, покрывающих R".
Предположим дополнительно, что существует разбиение единицы в 6И (Rn), подчиненное
этому покрытию. Под таким разбиением мы подразумеваем набор {ev} мультипликаторов
в if (/?"), обладающих свойствами A), B), C), приведенными в п. 2.1.В. Если каждому
лодмножеству| fiv из данного покрытия сопоставлена обобщенная функция /vc#" FvV
причем выполнено условие согласования fv(x) = fv'(x) в Qv f]Qv' при всех v, v', то суще-
существует единственная обобщенная функция f в ef'(Rn), совпадающая с fv(x) в Qv при
любом v.
А.2. Обобщенные функции на канонически замкнутых регулярных подмножествах.
Перейдем теперь к построению пространств основных и обобщенных функций на замкнутом
множестве QczR"- Чтобы не усложнять дело, мы ограничимся классом так называемых
канонически замкнутых регулярных множеств Q в R". При этом множество Q называется
канонически замкнутым, если оно совпадает с замыканием своей внутренности (или, что
то же, с замыканием какого-либо открытого множества) в /?". Регулярным множеством
мы называем множество QcR", обладающее свойством: любую пару точек х, y?Q с взаим-
взаимным расстоянием \ х~у\^р можно соединить спрямляемой кривой в & длины
< А A + | ж| + | У \)р I х—у\Ъ ; здесь р, А, р, X—некоторые положительные числа (завися-
(зависящие от Q).
Упражнение А. 1. Доказать, что всякое замкнутое выпуклог множество в R" с не-
непустой внутренностью канонически замкнуто и регулярно.
Ниже (всюду в этом дополнении) мы подразумеваем под Q фиксированное канонически
замкнутог регулярное множество.
Стандартное определение частных производных функции, определенной на множестве
в R", тедпэлагает, что рассматриваемое множество открыто. В нашем случае мы назовем комп-
комплексную функцию и на Q бесконечно дифференцируемой (или класса g00), если она является
сужением па Q некоторой бесконечно дифференцируемой функции, скажем, и в R"; соответ-
соответственно частные производные D^u определяются как сужения на Q частных производных Dau.
Это определение частных производных корректно, т. е. не зависит от выбора продолжения
функции и вне Q, именно благодаря канонической замкнутости Q. Через if(tl) мы обозначим
пространство всех комплексных '(^-функций и на Q, для которых все нормы (при любых целых
неотр.'чательных /, т) конечны:
max sup |A+|*|)'D« и (х) |. (АЛ)
\а|<т Q
||«||f m=
Не останавливаясь на доказательстве (основанном на теореме Уитни о продолжении [МЗ]),
мы отмэтим следующий важный факт: благодаря регулярности Q if(Q) оказывается полным
пространством и, значит, также пространством Фреше. Кроме того, всякая функция из сУ(Я)
получается как результат сужения на Q некоторой функции из if(Rn).
Как обычно, пространством обобщенных функций на Q мы называем пространство ^P'(Q),
сопряженное к if{Q).
Мы по-прежнему используем обозначение B.1) для значения f?(fiP'(Q) на u?if(Q).
Регулярными обобщенными функциями на Q естественно назвать обобщенные функции
[, представимые в виде B.1), где правая часть понимается уже в смысле интеграла Лебега по
Q от произведения локально интегрируемой функции f(x) на Q с u?if(Q). При этом для абсо-
абсолютной сходимости интеграла нужно ограничить поведение функции f(x) на бесконечности
следующим образом: при некоторых А, б>0
\f(x) \dnx<A A+гN при всех г > О,
где ст0 (г) — шар радиуса г с центром в нуле.
82
В частности, этому условию удовлетворяют непрерывные полиномиально ограниченные
функции f(x) в Q, которые мы таким образом отождествляем с регулярными обобщенными функ-
функциями в Q.
Операции умножения на гладкую функцию и замены переменных в af'iQ) вполне анало-
аналогичны соответствующим операциям в ?f(Rn). Например, мультипликатором в ^(й) следует
назвать всякую ё0-функцию ф на Q, у которой любая производная Daq> полиномиально ог-
ограничена на Й, т. е. существуют числа А, 6^0 (зависящие от ф и а) такие, что I Da ф (а;) | <
<ЛA + ||)в в Я.
Операцию дифференцирования в if" (Й) мы введем прежней формулой:
(А.2)
Однако эта формула в некотором смысле неестественна, и при дифференцировании обоб-
обобщенных функций следует иметь в виду следующее предостережение. В отличие от того,
что мы имели в случае if' (/?") при Q Ф R", обобщенная производная (в смысле (А.2))
гладкой функции / (например, мультипликатора в if (й)), вообще говоря, не совпадает
с обычной (или «классической») производной из-за наличия граничных членов в формуле
интегрирования по частям (если таковая имеет место для й). Например, в случае Й = [0, ljc
С/? обобщенная производная в if' ([0, 1]) функции й(л:)=1 на Q есть не 0, а б (х)—
— 6A—х), т. е.
Приводимое ниже предложение А.1 в значительной мере оправдывает эту «странность»
обобщенного дифференцирования в Й. А именно, если отождествлять обобщенные функции
на Й с обобщенными функциями на R" с носителями в Q, то окажется, что, дифферен-
дифференцируя гладкую функцию / в смысле if' (й), мы фактически дифференцируем функцию %fj
в смысле #"(/?"), где Xq — характеристическая функция множества ?2. Производные от
Х2 как раз ответственны за появление «граничных членов» в Da (xq /)•
Весьма интересно, что для обобщенных функций из if' (Й) можно определить «кано-
«каноническое продолжение» в R". А именно, если f?af"{Q), то мы можем сопоставить ей
обобщенную функцию F?ef'(Rn) по формуле
(F, «) = (/, и|а) при всех u?if (Rn). (A.3)
Пусть /: if (/?")—>¦ if (fi) есть оператор сужения, сопоставляющий функции u^_if (/?")
ее сужение на Q:
]и=,и\а. (А.4).
(Согласно приведенной выше характеристике аР (Q), / отображает {f (/?") иа все ^())
Пусть /': S3' (Q)—> у'(/?") — сопряженный оператор (см. п. 1.3.8). Тогда формула
(А.З) означает, что F = j'f. Нетрудно видеть, что обобщенная функция F имеет носитель-
в Q. Мы обозначим через <У (Rn \ Q) множество всех обобщенных функций в R" с носи-
носителями в Q. Оказывается, когда / пробегает 3" (Q), /'/ пробегает $" (/?" | Q). Другими
словами, /' есть изоморфизм (в смысле линейного взаимно однозначного соответствия, сохра-
сохраняющего сходимость) 3" (Q) на &" (/?" | Q).
Предложение АЛ. Пусть Q—канонически замкнутое регулярное множество в R".
Тогда оператор сужения j (A.4) непрерывно отображает tf (/?") на $Р (Q), а его сопряжен-
сопряженный оператор /' изоморфно отображает $" (Q) на подпространство if' (/?" | Q) всех
обобщенных функций из $" (/?") с носителями в Q.
Мы будем называть изоморфизм, построенный в предложении АЛ, каноническим, изо-
изоморфизмом между if' (Q) и 3" (/?" | О).
Следствие А.2. Для любой обобщенной функции f?of'(Rn) с носителем в кано-
канонически замкнутом регулярном множестве QdR" существуют числа с^О и натуральные
числа /, т такие, что
|gm Для всех«€(^(Я»). (А.5)
Кроме того, f {х) представимо в виде конечной суммы:
||<W
где fa (jc)— мера степенного роста на R" с носителем в Й.
Представление (А.6) следует из оценки (А.5) так же, как представление B.4) следует
из оценки B.2).
У п р а ж не н ие А.2. Доказать предложение АЛ и следствие А.2. (Указание: со-
согласно упражнению 1.39 доказательство предложения АЛ сводится к установлению равен-
равенства $" (Rn | й) = (кег/)°, означающего, что обобщенная функция /€<У (/?") имеет носитель
в й в точности тогда, когда (/, и) = 0 для всех функций и??Р(О:), обращающихся в нуль
на й. Воспользоваться тем, что всякую функцию и?<У (й), обращающуюся в нуль на й,
можно представить как предел в if (/?") последовательности функций u^if'(/?") с носи-
носителями в Rn\Q, т. е. исчезающих в окрестности й.)
83
Предложение АЛ и следствие А.2 в значительной мере раскрывают роль пространств
¦if' (Q). Эти пространства оказываются весьма удобными при изучении обобщенных функ-
функций с носителем в (канонически замкнутом регулярном) множестве Q. Если из определения
носителя обобщенной функции f следовало лишь, что значение (/, и) обобщенной функции
f^iif' (Rn I Q) на основной функции u?_if (Rn) зависит от поведения функции и только
в (окрестности) Q, то теперь мы имеем количественную оценку (А.5) для этой зависимости.
Другое типичное применение находят пространства if' (Q) в так называемых слабых
интегральных представлениях. Пусть каждому значению у канонически замкнутого регу-
регулярного множества Q в R" сопоставлена обобщенная функция К (х; у) из пространства
if' {Rm) по переменной х, причем для любой основной функции и (х) ? if (Rm) функция
К (х, у) и (х) dmx принадлежит пространству if (Q). Тогда отображение и—<¦
\
S
К(х, у) и (х) dmx есть линейный непрерывный оператор из if (Rm) в if (Q) (аргумен-
(аргументация та же, что в упражнении 2.43 или в предложении 2.11). Поэтому для любой обоб-
обобщенной функции h (у) из пространства if' (Q) формула
(/, и) = (h (у), J * (х, у) и (х) d«x)y (A.7)
задает обобщенную функцию f (х) ?if' {Rm). Определенную таким образом f (х) записывают
в следующей форме, называемой слабым интегральным представлением *) для обобщенной
функции f (х):
^(x, y)h(y)d"y; (A.8)
при этом К (х, у) и ft (у) называют соответственно ядром и обобщенной плотностью слабого
интегрального представления.
Приведем еще полезное утверждение о разбиении обобщенных функций на (конечную)
сумму обобщенных функций с меньшими носителями. Мы ограничимся случаем двух
слагаемых.
Предложение А.З. Пусть f (x)—обобщенная функция в R" с носителем в кано-
канонически замкнутом регулярном множестве Q с: R", являющемся объединением двух канони-
канонически замкнутых регулярных множеств О* и Q2 в R". Тогда / (х) представима в виде
f(x) = f1(x) + f2(x), (A.9)
где fj—обобщенная функция в Rn с носителем в Qj, /= 1, 2.
¦^Рассмотрим линейное пространство SC = if (&i) @if (й2) — прямую сумму про-
пространств if (Qj) и if (Ог). Элементами SC являются всевозможные пары (ui, u2), где
Uj^_if (Ц/)- Множество SC становится пространством Фреше, если для любых норм Рх и р%
вида (А. 1) на if (fii) и iP (Й2) определить норму р на SC, полагая р (иь и2) = рг (иг) -f-p2 («г)-
ЗС содержит (замкнутое) подпространство 2/, состоящее из элементов вида («|Й1. u\q2),
где (/ пробегает if (Q). Легко видеть, что отображение и—>¦ (и 1Ц , u\q\ есть изоморфизм
if (Q) на of.
Вернемся к данной обобщенной функция f(x). Пусть /г (ж) —обобщенная функция из
if' (Q), соответствующая f (х) при каноническом изоморфизме if'{Qi) на if' (Rn \ Q). Тогда
h определяет непрерывный линейный функционал h' на 2/ посредством равенства
(h\ («|Oi, и|о,))=(А. в). (АЛО)
По теореме Хана —Банаха (теорема 1.1 и п. 1.3.A) h' можно продолжить до непрерывного
функционала ft" на ??. Очевидно, всякий такой функционал Л" имеет вид (h", (мь и2)) =
= (Ль «О Н-С*?. и2), где hj^if (Qj). В частности, учитывая (А.10), имеем для всех u?if (Rn)
Пусть при каноническом изоморфизме if' (Q,-) на if' (Rn \ Qj) элемент hj переходит в обоб-
обобщенную функцию fj(x) в R" с носителем в Qj. Тогда равенство (А.11), очевидно, эквива-
эквивалентно требуемому разбиению (А.9). >
А.З. Применение: обобщенные функции на компактифицированных множествах
[a, ooj, /?„,, [—оо, +оо]. Доопределение расходящихся интегралов (или «устранение рас-
ходимостей») является типичной задачей квантовой теории поля, которую мы проиллюст-
проиллюстрируем на характерном примере (существенном для дальнейшего).
Пусть требуется определить свертку в if' (/?)
(A. 12)
где /(Я) есть обобщенная функция из if' (/?). Ясно, что в общем случае эта свертка не
определена однозначно (иначе говоря, «не существует», например, в смысле § 2.5). Так,
*) Его называют также интегральным представлением для обобщенных функций (или
«в слабом смысле»),
84
«ели исходить из формулы типа B.86)
то правая часть здесь плохо определена, так как -г-*м, вообще говоря, не принад-
.лежит If (R). Для разрешения этой трудности допустим, что мы располагаем более широ-
широким пространством uP(R«,) функций на расширенной вещественной прямой *) /?»=/?U{00}> ко-
которое содержит функции видает-* и (где и?of (/?)). Если теперь функционал f продолжить
с пространства <У (R) на <У (/?„), то правая часть (А.13) приобретает смысл при всех
u?.zf (R)- Таким образом, мы видим, что свертка (А.12) естественно определена для
f(zaf' (R«>), а не для произвольной f из класса ff" (R). Процедура расширения обобщенной
функции из $" (R) до обобщенной функции из gf' {RJ) включает некоторые произвольные
параметры (аналог того, что в квантовой теории поля называют «константами перенорми-
перенормировки»). Отметим, что к определению свертки (А.12) сводится задача о произведении обоб-
обобщенной функции ] (t) из У (/?) на е (t) (или на Q(t)).
Перейдем к построению пространства d? (R^), а также аналогичных пространств
$ ([а, оо]) (где а —произвольное вещественное число) и df ([—со, + со]).
Мы остановимся подробнее на случае af([\, оо]). Пользуясь тем, что отображение
!=—1/А. отображает [1, со] на отрезок [—1, 0], мы определим ^([1, оо]) как множество
¦функций на [1, оо] вида
u(\) = v(l), где 1 = — 1/АЛ; (А.14)
с произвольной функцией v?jf ([—1, 0]). В соответствии с п. А.2 топология на <?? ([—1, 0])
задается нормами **)
qn(u)= max sup |в<*>(?)|. n?Z+, (A.15)
fc = 0 n|s[-l, 0]
dfty (?)
где и"*'(|) з=— '^ . Снабдим of ([\, оо]) индуктивной топологией относительно отобра-
отображения v—у и (А. 14) (так, чтобы это отображение стало топологическим изоморфизмом).
Нетрудно видеть, что эта топология определяется нормами
р.„(и)= max sup |Л*и(Я,)|, n?Z+, (A. 16)
k = 0 п Я,>1
гдеЛ = Я,2^т-. Очевидно, что ^([1, оо)) есть подпространство в of ([—1, оо]), состоящее
из функций таких, что Апи (X)—у 0 при X—>¦ оо для любого n?Z+. Из упражнения А.З
следует, что оно является также подпространством в топологическом смысле, т. е. что
естественная топология на df([l, оо]) совпадает с топологией, индуцированной из <?Р{[1, оо]).
Упражнение А.З. (а) Доказать, что af{[\, оо)) есть образ <ffo ([—U 0]) при отоб-
отображении и —>• и (А.14); здесь <5Р0 ([—1, 0]) есть подпространство всех функций из of ([—1, 0])
таких, что и'"' @) = 0 при всех n?Z+. Доказать также, что этот изоморфизм <^0 ([—1, 0]) —с
—*(ff([l, оо)) является топологическим, если of ([I, оо)) рассматривать в естественной
топологии (см. п. А.2), а аР0 ([—1, 0]) наделить топологией норм
?«..»(»)= max sup |5-*о<*>(Б)|, т, п??+. (А.17)
;*=о п -1<|<о
(б) Доказать что системы норм {qm,n} и {qn} на ?Р0 ([—1, 0]) эквивалентны. (Указа-
(Указание: с помощью равенства |~1f(A)(i)== \ f(A+1> (^i) dt убедиться, что 9я,п(у)<
-1
<7и-1, « + i("). откуда индукцией по т следует qmn (к) <</„ + „ (о).)
Как обычно, элементы пространства ^"([1, оо]), сопряженного ^([1, оо]), мы будем
называть обобщенными функциями на [1, оо]; для (f, и) мы будем также использовать
символическую интегральную запись \ / (К) и (к) dk. В частности, для всех /€<?"(['• °°])
определен интеграл (/ (X), 1 (Я)) s \ f (X) ок.
*) Ее называют одноточечной компактификацией вещественной прямой; наряду с ней
употребительна двухточечная компактификация [—оэ, +oo] = /?(J{—°°}U{+°°} (получае-
(получаемая добавлением к /? двух бесконечных точек —оо и +оо).
**) Мы обозначим через Z (соответственно Z+, Z+) множество всех целых (соответ-
(соответственно целых положительных, целых неотрицательных) чисел.
85
У пр ажнение А.4. Доказать, что обобщенные функции /& на [1, оо], определен-
определенные асимптотическим разложением
п
«A)=21""D,«)+»A-") при Л,— оо, n?Z+, (A.18).
образуют базис в подпространстве обобщенных функций из if' ([I, оо]) с носителем в точке
+оо. (Указание: воспользоваться изоморфизмом между 3" ([1, ос]) и if' ([—1, 0]) и пред-
предложением 2.2.)
Согласно теореме Хана — Банаха всякий линейный непрерывный функционал на
if i\\, оо)) продолжается до линейного непрерывного функционала на if ([1, оо]). Это про-
продолжение можно осуществить следующим конструктивным приемом.
Упражнение А.5. Пусть /о€<^"([1> оо)), так что/0 можно рассматривать как
линейный непрерывный функционал на <5"х>т([1, оо)) (пространстве сужений на[1, со) функ-
функций из if%ttn(R), см. п. 1.1.В). Доказать, что общий вид продолжения /0 до обобщенной
функции из Eе" ([1, со]) имеет вид]
КЛ «)= /о W, и (к)- 2 ш(Х)Х-*(/Л, и) И- 2 cnVn, и), (А. 19)
\ fc=O / rt=O
где N?Z+—фиксированное достаточно большое число; сп — произвольная числовая после-
последовательность с конечным числом ненулевых членов.
Аналогично определяются пространства if ([—оо, -f-oo]), if (RJ) и им сопряженные
if' ([—со, +оо]) и if' (/?„). А именно, <#* ([—оо, оо]) (соответственно if (/?«,)) есть про-
пространство функций и (X) на [—оо, +оо] (соответственно на /?„>) вида
и (Я,) = w F), где 0 = 2 arct g Л, (А .20)
с произвольной функцией w F) из if ([—я, л]) (соответственно с произвольной
функцией из $ (/?), периодической с периодом 2я). Топология на этих простран-
пространствах определяется подобно тому, как это сделано выше для df([l, оо]). Отметим, что
3" (Га, оо]) при любом a?R можно отождествить с подпространством в 3" (/?«.) (или
в or ([—°°. +оо])) обобщенных функций на /?«, (или на [—оо, -j-oo]) с носителями на
[а, оо ]. j
У пр ажнение А.6. Доказать, что отображение и—у l/кчи есть линейный непре-
непрерывный оператор из <У (R) в if (/?<«,) (или в #" ([—оо, -J-oo]). (Указание: достаточно рас-
рассмотреть случаи supp не (оо, —1]Q[1» +00); воспользоваться заменой переменных (А.14).)-
Это упражнение позволяет определить свертки -«-*/, . * / как элементы [про-
странства of'(R) для любой обобщенной функции f€c!f'(R«,) (или из #" ([—оо, -f-oo])) и,
в частности, для f?$" ([0, оо]).
Упражнение А.7. (а) Доказать формулу
где /ra+i(k) — обобщенные функции из #"([0, оо]), определенные посредством (А.18).
(б) Доказать, что всякий комплексный полином Р (Я) от Л?/? можно однозначно пред-
представить в виде свертки
(A-22)'
где /(Я) —обобщенная функция из <У ([0, оо]) с носителем в точке оо и с интегралом 0.
(Указание: воспользоваться формулой (А.21).)
Для задания обобщенных функций из &"(Л„) можно пользоваться следующим частным
случаем принципа склеивания (который, как и предложение 2.4, доказывается с помощью
подходящего разложения единицы на /?„)•
Предложение А.4. Пусть /i(A) и /г(|) — пара обобщенных функций из if' (R),
удовлетворяющих условию согласования
--l) при КфО. (А.23)
Тогда существует (единственная) обобщенная функция f (A)?<^" (/?«,) такая, что.
(/. «)= \ fi(k)u (k)dk, если и ? if (/?„) и supp udR, (A.24a)'
(/, «)= ГМ1)« f—т) d^ если и€<У (R°°) u supp ис:Л„\{0}. (A.246).
85
Дополнение Б. Преобразование Лапласа обобщенных функций
Б.1. Преобразование Лапласа как аналитическая функция в комплексной области.
Классическое преобразование Лапласа от локально интегрируемой функции f (х) одной ве-
вещественной переменной х определяется формулой
00
\e-b*f(x)dx. (Б.1)
О
¦Существенное отличие этого преобразования от преобразования Фурье — это то, что интеграл
{Б.1) рассматривается как аналитическая функция в комплексной области. В данном случае,
в силу односторонности преобразования (интеграл в правой части распространен лишь по поло-
положительной полуоси), функция (Б. 1) аналитична в правой полуплоскости Re k>0, при условии,
¦что интеграл абсолютно сходится для таких k. (Для этого достаточно предположить, что функ-
функция f (x) ограничена по модулю выражениями сЕегх при всех е>0, где число Се может зависеть
от е.)
Мы будем пользоваться здесь несколько иным (более современным) определением, при
-котором преобразование Лапласа записывается в форме, тождественной преобразованию Фурье.
Именно, преобразованием Лапласа локально интегрируемой функции f(x) в R" называют функ-
функцию
J(k)=^e'"xf(x)d"x, (Б.2)
•определенную при тех k?C", при которых e'kxf(x) — абсолютно интегрируемая функция по х
(в силу комплексности k отсутствие мнимой единицы в экспоненте в (Б.1) — это всего лишь
вопрос обозначений). Как и в B.69), входящее сюда выражение kx есть
[kx= 2 bjkjxj (Б.З)
/ = i
{zj= ± 1 фиксированы). Разумеется, если n= 1, a f(x) исчезает при х<0, то при замене ik на —k
выражение (Б.2) переходит в классическое преобразование Лапласа функции f.
В этом дополнении мы всюду используем p=Re k?R" и </=Im k?Rn для обозначения
вещественной и мнимой частей комплексного вектора k?C", так что k=p-\-iq.
Целесообразность введения комплексного вектора k вместо пары вещественных векторов
р и q обусловлена свойством аналитичности преобразования Лапласа, о котором будет идти
речь ниже. Нам понадобятся здесь лишь самые элементарные сведения об аналитических (или
голоморфных) функциях нескольких комплексных переменных. Приведем соответствующее
определение. Голоморфной функцией в области (или, вообще, в открытом множестве) ilcC"
называется комплексная непрерывно дифференцируемая функция h(k) от комплексного вектора
AQ удовлетворяющая уравнениям Коми—Римана
°-/=1 п (Б4)
(которые с учетом непрерывной дифференцируемое™ означают, что h(k) является аналитиче-
аналитической функцией по каждой компоненте k/ при любых допустимых значениях остальных компо-
компонент). Комплексная функция h(k) в области Й называется комплексно аналитической*) (или
просто аналитической), если она разлагается в сходящийся ряд Тейлора в окрестности каждой
точки определения. В действительности (как мы увидим в п. 5.1.А) понятия голоморфности и
аналитичности являются эквивалентными.
Очевидно, выражение (Б.2) можно интерпретировать как преобразование Фурье §х->-р
от абсолютно интегрируемой функции e~ixf(x), зависящей от q как от параметра. Подобная
интерпретация позволяет естественным образом распространить преобразование Лапласа на
распределения.
Пусть f (х)—произвольное распределение из ей' (Rn). Сопоставим ему множество**)
Г(/) всех таких векторов q?Rn, что e~4xf(x) является обобщенной функцией (т.е. рас-
лределением умеренного роста) пэ переменной х:
Г (f) = {?€#«: e-9*f(x)€&"(Rn) по х}. (Б.5)
Посредством int Г (/) = Г (/) будем обозначать внутренность Г (/). Пр;Mразззанием Лапласа***
>{от) распределения f называют обобщенную функцию ]{p-\-iq) пэ р, зависящую от пара-
параметра q?T(f) и определяемую фэрмулэй fip + iq) — ^x-*p [е-Ч*! (х)]. Преобразование Лап-
Лапласа от f мы будем обозначать также Хх _^ p + iq [f (*)], или {Xf) (p + iq), или Xf. Итак,
-»*/(*)] (Б.6)
*) Наряду с этим существует понятие вещественно аналитической функции, которое
охватывает (вещественные или комплексные) функции f(x) от вещественного вектора х, разла-
разлагающиеся в сходящийся ряд Тейлора в окрестности каждой точки определения.
**) Не исключена возможность, что множество Г(/) является пустым.
***) Его иногда называют преобразованием Фурье — Лапласа.
87
или (в соответствии с символическими интегралами B.76), B.77))
*xf(x)dx. (Б.7)
Как и в случае преобразования Фурье, преобразования, получаемые из (Б.7) заменой
знака в экспоненте или умножением правой части на Bя)~", также называют преобра-
преобразованием Лапласа. (Тогда определение Г (/) соответственно видоизменяется.) Например,
в соответствии с определением B.67) преобразования Фурье обобщенных функций в р-прост-
ранстве преобразование Лапласа распределения g (р) ? <g)' (Rn) (в р-пространстве) мы будем
определять формулой
C?*g) (г) в Х\ _+x+ly [g (р)] = J e-'P*g (p) dnp, (Б.8)
понимаемой в том же смысле, что и (Б.7).
Преобразование Лапласа распределений является обобщением преобразования Лапласа
функций и сохраняет его основные свойства.
Упражнение Б.1. Доказать следующие свойства преобразования Лапласа,
(а) Линейность: если / = arft + a2f2, где аъ а2 ? С, /ь /2 €.©'(#"). то Г (/)
(h) П Г (f) Jf/ Jf^ + J?/ ? Г (Л) П Г (/)
(б)
() / rft + 2f2, ъ 2 ? ,
=> Г (h) П Г (f2) и Jf/ = ei-Jf^ + ajJ?/, при 9 ? Г (Л) П Г (/2)
(б) Правило умножения на полином и дифференцирования:
Г (**/) Г) Г (Л, Г (D«/) з Г (/),
Хх - k [x*f (*)] = (- &?>,)« 3exl^ k [f (x)], (Б.9)
здесь обозначения те же, что и в упражнении 2.15).
(в) Поведение при линейных неоднородных преобразованиях аргументов:
a ? R", (Б.11)
Хх - ft [е'ах/ (*)] = i? ^ - k+af (x), a g /?«, (Б. 12)
где det Л ?? О (Б.13)
(в последней формуле использованы обозначения упражнения 2.18).
Упражнение Б.2. Доказать формулу обращения преобразования Лапласа: если
x), (Б. 14а)
?- xT (P + Iq). (Б.146)
Имеет место следующее замечательное свойство множеств Г (/).
Предложение Б.1. Множество Г (/) выпукло для любого распределения f ? &)' (Rn).
•Щ Пусть a, b? T (f) и с=<а-}-A — 0й ПРИ 0<<<1. Тогда
е-«/ (л;) = ис (х) [e-°*f (x) -\-e~bxf (*)],
где
mc (х) = {е-ах-\-е-Ьх)-1е-сх.
Если мы покажем, что ис есть мультипликатор в of (Rn), то из приведенного соотношения
будет следовать, что e~cxf {x) g У" (/?") и, значит, с ? Г (/). Очевидно, | ис (л:) | s? 1. Далее,
первые производные от ис (х) являются полиномами от функций того же вида, что ис:
¦^- ис (х) = еуис (х) {— Cj + а,иа (х) -f bjub (x)},
следовательно, они также ограничены. Индукцией по порядку производной легко убеж-
убеждаемся, что любая производная от ис ограничена и, значит, ис есть мультипликатор
в <У (/?")• >
Важнейшим свойством преобразования Лапласа является аналитичность. А именно,
¦%x-*kf(x) есть аналитическая функция от [k в открытом множестве Rn + iT (/). Всякое
множество в С" вида
<&-K = R« + iK = {p+iq € С": р € R", q ? К}, (Б.15)
где К — фиксированное множество (в частности, область) в R", называется трубой (соот-
(соответственно трубчатой областью) в С"; при этом К называется основанием трубы J7"*" и
обозначается также Im ?ГК. Таким образом, сделанное выше утверждение означает, что
е.сль V (/) непусто, то Jgf аналитично в трубчатой (выпуклой) области Г (/).
Приводимое ниже в теореме Б.2 описание аналитических свойств преобразования Лапласа
полно в том смысле, что имеется обратная теорема Б.4, содержащая критерий представимости
аналитической функции в трубчатой области в виде преобразования Лапласа некоторого рас-
распределения.
Теорема Б.2. Пусть f (х) — распределение из &)'(/?") такое, что Г (/) непусто.
Тогда преобразование Лапласа J(k) есть бесконечно дифференцируемая и, более того,
{комплексно) аналитическая функция от k в трубчатой области /?" + (T (/), причем для
любого компакта Q с Г(/) существуют числа А, т > О (зависящие от Q и, конечно, от f)
такие, что
| / {Р+Щ) \< Л A + | р\)т при всех pZRn.q^Q. (Б.16)
¦^ Пусть а—произвольная фиксированная точка из Г (/). Благодаря тому, что
Г (/) — открытое множество, существует р>0 такое, что куб Р' в R", определяемый нера-
неравенствами \q— ау|<р (j=l, ...,п), принадлежит Г (/). Пусть Р — меньший куб, опреде-
определяемый неравенствами (qj — aj) < p/2 (/=1, ..., я). Покажем, что &f аналитично в R" + СР •
Имеем тождество
е-ч* = ид(х) е-а* Ц (e~PXj-rePX/) , (Б. 17)
где
= П [
*'
Если q ? Р, то \&j(qj — aj) [ < р и, очевидно, ич ? ^ (/?"). Выражение в квадратных
скобках в (Б.17) представимо в виде слагаемых вида е~Ьх при Ъ ? Я' и, значит, его произ-
произведение с f (x) есть умеренное распределение, которое мы обозначим через /0 (дг). Таким
образом, при q ? Р' имеем е~"?х / (x) = uq (x) f0 (x). Применим к полученному равенству
оператор Фурье §~х -, р и воспользуемся формулой B.87); мы получим
=§rx^p [Uq (АГ) /о {х)] = {h {x)t е:рХщ {х)) = (/о {x)t
где
Ясно, что vk (x) — функция из of (Rn) по а; при fe g свГр', зависящая от fe как от пара-
параметра бесконечно диффзренцируемым образом; значит, f(k) —бесконечно дифференцируемая
, , 5уь (х) 1 / 5 . 5 \ , . „ . ,
функция от k. Кроме того, —_ ¦ а= — 1 ¦-— \vpJ.1-.(x) = 0 при 1 = 1, ••¦) «•
5fey- ¦« \ "Р/ Щ j I
Отсюда следует, что f (k) —голоморфная функция от k в трубе S~p и, значит (ввиду произ-
произвольности точки с), всюду в Я" + 1Г(/).
Осталось получить оценку для / (&)• Пусть с, /, т таковы, что
I (/о. и) | < с Ц и || и т при всех и^ (/?").
Тогда при ft ? Rn-\-iP имеем (при Л, /и, зависящих от Р)
I hk)\<c\\vk\\i,m<A{\ + \p\)^ при ugc^.
Ясно, что такая оценка справедлива в любой трубе $~Kt основанием которой служит произволь-
произвольный компакт К в Г(/ь так как всякий такой компакт покрывается конечным числом открытых
кубов рассмотренного вида. >
Из теоремы Б.2 в комбинации с предложением Б.1 вытекает важное следствие.
Следствие Б.З. Пусть Sx и S2— две области в /?", a ht и /г2— две голоморфные функ-
функции в трубчатых областях S~ и $~s* соответственно, причем они являются там преобразова-
преобразованиями Лапласа одного итого же распределения f?<&'(Rn). Тогда существует голоморфная функ-
функция h в $~s, где S — выпуклая оболочка множества SiljSo, пРичем h совпадает с h,- в $~s/
(/=1, 2).
Как отмечалось выше, следующая теорема может считаться обращением теоремы Б.2.
Теорема Б.4. Пусть h — голоморфная функция в трубчатой области c0~s в Сп,
.причем для любого компакта Q С S имеет место оценка
при всех p?R", q?Q (Б.19)
¦(с числами А, т, зависящими от Q). Тогда сущгстзует (очешЭно, единственное) распреде-
распределение f g &>' (R") такое, что Г (/) =э 5 и h (k) = (X f) (k) в S~s.
-^ Центральным моментом является доказательство того, что Л (р+G7) можно рассматри-
рассматривать как распределение из <ff{Rn) по переменной р, зависящей непрерывно дифференцируемым
{и даже ^"-(образом от параметра q?S, причем обобщенные производные по аргументу р
и производные по параметру q (в uf'(Rn)) совпадают с соответствующими обычными производ-
производными.
Тот факт, что h(p-\-lq) является умеренным распределением по р при любом фиксирован-
фиксированном q?S, следует из полиномиальной ограниченности Л по р. Далее, как и в доказательстве
теоремы Б.2, для любой фиксированной точки a?S построим два куба с центром в а, содержа-
89
шиеся в S, а именно Р' (замкнутый куб с длиной ребра р) и Р (открытый куб с длиной ребра<
р/2). По условию имеем оценку
|Л(Р + ед|<ЛA+|Р|)" при
откуда (с помощью теоремы Коши) получаем представление
1 (*/*/-i(ay + 2p) у + 2 h(ki> ¦¦¦' S/, •••- К)
ш J U/-f(fly+2p)y/ ёт=^ dsy
при k??TP, где С — ориентированный стандартным образом контур (точнее, две прямые)'
в С, ограничивающий полосу ay—p< Im?y < ay-|-p в С. Дифференцируя это представле.
ние по ру- и qj, убеждаемся, что ¦?—h и ^—h полиномиально ограничены в $~Р, и, сле-
следовательно, обобщенная производная по р и производная по параметру q в if' (/?") от
h(p-\-iq) совпадает с обычными производными по р и q соответственно. Теперь из голо-
голоморфности h (k) следует
при q ? Я, а значит, и при всех 9 ? S.
Применим к последнему равенству оператор Фурье ^pt-x', мы получим
j O. (Б.20)
Введем распределение eix<fp\x [h (p-\- iq)] из <2)' (/?") по х, зависящее Й"°°-образом от пара-
параметра q ? S. Равенство (8.20) означает, что все первые частные производные этого распре-
распределения по параметру q равны нулю и, значит (благодаря тому что S связно), это распре-
распределение в действительности не зависит от параметра q. Мы доказали, что существует такое
распределение f {x) ? <%)' (/?"), что
е^бГр1- х [h (р + iq)] = / (х) при всех q ? S,
т. е.
&р I х [h (р + iq)] = e~9xf (х) при всех q $ S.
Это завершает доказательство. ^
В следующем упражнении даны другие формулировки условия теоремы Б.4 (для пред-
представимости голоморфной функции в трубе в виде преобразования распределения Лапласа).
Упражнение Б.З. Пусть h (p+iq) — голоморфная функция в трубе <gTs, где
S — область в /?". Доказать эквивалентность следующих трех условий:
A) выражение hfp + iq) определяет семейство умеренных распределений*) в &" (/?")
по переменной р, непрерывно зависящих от параметра q ? S;
B) для любого компакта Q с: 5 существуют числа с^О, I, m ? Z+ (зависящие от Q)
такие, что
^h(p-\-iq)u(p)dp\<c\\u\\Um для всех и ? D (/?«), q ? Qf, (Б.21>
C) для любого компакта К в S выполнена оценка (Б. 19).
(Указание: импликации A)=>B) и C)=ФA) следуют соответственно из упражнения 2.43
и доказательства теоремы Б.4; при доказательстве импликации B)=>C) воспользоваться фор-
формулой о среднем для голоморфной функции:
h (г) = \ h (г -Ь р-Ь iq) со (| р + iq | 2) d«p d"q; (Б.22).
здесь со (я) — функция из &) (R) такая, что
С со (| р + i<? | 2) d"p d"<? = 1; (Б.23)-
разумеется, для справедливости формулы (Б.22) следует считать, что р + iq ? JTS, когда
p-\-iq пробегает область интегрируемости.)
Приведем еще специальный вариант теорем Б.2 и Б.4 для преобразования Лапласа
умеренных распределений / (т. е. обобщенных функций из if' (/?")). Конечно, если точка
<7 = 0 содержится в Г (/) (или в множестве S, фигурирующем в теореме 3.3), то этот слу»
чай уже охвачен теоремами 3.2 и 3.3 (так как распределение / автоматически оказывается
*) Здесь заранее не предполагается, что функция h(p-\-iq) полиномиально ограничена по
р при любом фиксированном q?S, хотя это следует из эквивалентности условий A) и C). В ус-
условии A) имеется в виду, что выражение h(p-}-iq), рассматриваемое сначала как распределение
из @)'(Rn) по р, допускает непрерывное продолжение до умеренного распределения (при любом»
фиксированном q?S).
90
умеренным). Поэтому специфические черты возникают лишь, когда 0 является граничной
-точкой Г (/) (или множества S). Оказывается, свойство умеренности распределения / экви-
шалентно определенным ограничениям на рост (j?/) (p -\- iq) при q—у 0 в Г (/).
Усеченным конусом в R" мы будем называть множество вида
Кг = {х? К: И<г}, (Б.24)
СДе К—конус в Я" с вершиной в нуле, а г—положительное число.
Теорема Б.5. Пусть S—выпуклая область в R", для которой О является гранич-
граничной точкой. Голоморфная функция h в трубчатой области J?TS совпадает с преобразова-
преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции f g tf" (/?") (с Г (/) Г) S) в точности тогда,
¦когда для любого компактного усеченного конуса Кг С S (J {0} имеет место оценка
(I_|_| п II я»
| h (p + iq)l<A У 7 i/ пРи всех P?R"> Я€ /f\{0} (Б-25)
\Я\1
4р числами А, т, I, зависящими от К,г).
¦^ Пусть вначале h = JPf в $~Q, где / — некоторая обобщенная функция из &" (/?")
{с T(f)^)S). Выведем оценку (Б.25). На самом деле вместо усеченных конусов Кг с ком-
компактным замыканием в S (J {0} достаточно рассмотреть открытые параллелепипеды Q a S,
•содержащиеся в выпуклых оболочках п-\- 1-точечных множеств {0, а^, ..., ап}, где а\ ап—
произвольные линейно независимые точки из 5:
6 R". х = 2^ Б/в/, где о < Б/ < — (/= 1, ¦ ¦ -, я) }• (Б.26)
То, что параллелепипед Q содержится в S, следует из того, что S — выпуклое открытое мно-
множество, граница которого содержит 0. Ограничение рассмотрения параллелепипедами Q осно-
основано на том, что всякий компактный усеченный конус KdS{J {0} можно покрыть конечным
числом параллелепипедов Q. Действительно, пересечение clos К* со сферой |л:[=гесть компакт,
-содержащийся в S, а так как параллелепипеды Q в совокупности покрывают Q, то по известной
лемме Гейне — Бореля из них можно выбрать конечное семейство, покрывающее данный ком-
шакт; это семейство будет покрывать и J(r, так как pQcQ при всех 0<р<1.
Дальнейшая аргументация почти повторяет доказательство теоремы Б.2. Будем характе-
характеризовать произвольную точку q?Q координатами т]1, . . . , т]„ относительно базиса %, . . .
..., ап (как в (Б.26)). Имеем тождество типа (Б. 17):
¦где
/ = 1
Далее, как и в доказательстве теоремы Б.2, для Jf/ в ?TQ имеем представление вида
тде g—фиксированное распределение из $" (/?") и
/ = 1
— функция из of (R") по х, зависящая голоморфно от параметра p-\-iq. (Здесь ?у — коор-
координаты р в базисе а1: ..., ап.) Отсюда легко получаем оценку типа
при p + i9€<&~Q- (Б-27)
Если теперь вместо Q взять несколько больший параллелепипед Q' с компактным замыка-
лием в Q' U {0}, то для координат т)/ точки q g Q в новом базисе а[, ..., а'п имеем оценку
типа т)/^а|(/| (при некотором а > 0, зависящем от Q и Q'). Так как в трубе $~®
также имеет место оценка типа (Б.27) (с т|/ вместо т]у), то отсюда получаем требуемую
•оценку типа (Б.25) в трубе S~Q.
Обратно, пусть задана голоморфная функция h в трубе J7, удовлетворяющая оценке
типа (Б.25) для всякого компактного усеченного конуса /Cc5(J {0}. Тогда по теореме Б.4
h совпадает в $~s с преобразованием Лапласа некоторого распределения / в /?" с Г (/) ;э S,
так что задача сводится к доказательству умеренности f.
Для этого оценим величину (/, и) при произвольных и ? eD(R")- Считая а фиксиро-
фиксированной точкой из S, напишем формулу типа (Б. 146):
f (лг) = etaXgr -\ x[h(p + ita)] при всех 0 < t < 1, (Б.28)
91
откуда (f, u)=\ h{p + ita)ffpy>x[eiaxu{x)]d"p. Это вместе с оценкой (Б.25) (для случая,
когда в качестве Кг взят отрезок, соединяющий 0 и а) дает:
/, и) | =? ct-L sup | (Н-1 р | 2) * ?7-№ [е'"* « WJI = ^-^ sup
p P
прн всех и gg)(i!"), 0< <<1; здесь с^О и L, 7И ? Z+— некоторые числа (зависящие
от / и от о); посредством Д обозначен лапласиан
)"
Очевидно, эту оценку можно переписать в виде
| (/, и) | <с'Г v ] ^ sup2M sup | A +1 ж |)» + M«*D«u (*) | (Б.ЗО)
при всех и ? g) (/?"), О < f< 1.
Рассмотрим функции и ? 3) (R"), сосредоточенные на множестве вида k—2<|x|sg:&"
(при некотором k= 1,2,...). Если положить t= 1/k, то (Б.ЗО), очевидно, приводит к оценке
I (/. и) | < В || и || л, ц для всех а^й) (/?") с носителями при k— 2 < | а; |< 6 (Б.31)
здесь В^О и Л,, (Л ? Z+ зависят лишь от /, но не от &). Чтобы получить подобную
I ценку для всех и ? @) (/?"), достаточно взять разбиение единицы {е#}ь=1 в /?", под-
подчиненное покрытию R" множествами вида /г— 2 < \х\ < k (k=\, 2, ...), такое, что
II в* II Л, и полиномиально ограничено пой. Тогда, представляя произвольное и ? &д (R")
в виде u = 2efta и используя (Б.31), получаем оценку типа |(/, и) |< В' 1| и|| я-, ц' для
всех и ? <23 (^")- Согласно предложению 2.1, это означает, что / ? $" (/?"). >
Следующее упражнение (аналогичное упражнению Б.З) содержит другие переформули-
переформулировки условия теоремы Б.5 для представимости голоморфной функции в трубе в виде
преобразования Лапласа умеренного распределения.
Упражнение Б.4. Пусть h (/? +1^) — голоморфная функция в трубе ?TS, где S —
выпуклая область в /?", имеющая 0 граничной точкой. Доказать эквивалентность следую-
следующих условий:
A) для любого компактного усеченного конуса Кг С S (J {0} существуют числа с^гО,
I, т ? Z+ (зависящие от Кг) такие, что выполнена оценка типа (Б.21) с q ? /С\{0};
B) для любого компактного усеченного конуса, Кг С S (J {0} выполнена оценка типа
(Б.25).
(Указание: при доказательстве импликации A) =Ф B) воспользоваться формулой
типа (Б.22), заменив там со (| р-f iq \ 2) на |(/|~2'!cof-—ту | р-М'<? ] 2 ] при подходящем вы-
выборе со.)
Замечание. В предыдущих теоремах мы имели дело с распределениями / в R"
обладающими тем свойством, что множество Г(/) имеет непустую внутренность. Общий случай
(когда Г(/), не будучи пустым, имеет пустую внутренность) сводится к этому частному посред-
посредством так называемого частичного преобразования Лапласа (т. е. преобразования Лапласа по
части из независимых координатных переменных в /?")• Мы не будем развивать здесь эту более
общую точку зрения, но ограничимся распространением предыдущей теоремы для одного спе-
специального случая (допускающего Г(/) с пустой внутренностью).
Предложение Б.6. Пусть f(p-\-iq) — бесконечно дифференцируемая функция (по
переменным pi, ..., рп, qi, ..., qn) в трубе $~®, основание которой есть
Q = {q?R": 0 < qj < 1 при /=1, ..., v; ?/ = 0 при / = v+l, ..., п} (Б.32)
(где \'^Z+ фиксиросано, l<v< п), причем h (p -f iq) голоморфна по переменным рх -j- iqlt ...
• ¦•> Pv~\-iqv и удалетесряет сценке (с некоторыми А, т, I)
I h (p + iq) 1 <А A -Н р |)'« \q\-l. (Б.ЗЗ)
Тогда существует f?&" (/?") таксе, что Г (/) =5 Q и h (p + iq) = (?f) (p-\-iq) в #"й.
-^ Существование /?.??>' (/?") такого, что Г (/) гэ Q и h = JCf, устанавливается теми
же аргументами, что и теорема Б.4; тот факт, что f(zdf' (/?"). доказывается точно так же,
как соответствующее место в теореме Б.5. >
Б.2. Случай обобщенной функции с носителем в остром конусе. Напомним, что существо-
существование (т.е. непустая область аналитичности) классического преобразования Лапласа (Б.1),
скажем, от полиномиально ограниченной функции / обеспечивается односторонностью этого
преобразования (т. е. тем, что интегрирование в (Б.1) распространяется по полупрямой).
В качестве «-мерного аналога полупрямой следует рассмотреть замкнутые симшшциальные
конусы или, в более общем случае, замкнутые острые конусы в Rn (см. П.2.5.Д). Для конуса
92
" определим сопряженный конус (относительно билинейной формы xy^jZjXjyj ) К* по-
посредством формулы
при всех х?К}. (Б.34*
Упражнение Б.5. Пусть К—непустой конус в R". Доказать следующие утвер-
утверждения.
а) Конус К имеет такой же сопряженный конус, как и замыкание выпуклой оболочки
конуса К.
б) К** совпадает с замыканием выпуклой оболочки конуса ЛГ. (Указание: из части (а)
упражнения следует, что К** —(К)**, где К есть замыкание выпуклой оболочки конуса ЛГ.
При доказательстве К**= К воспользоваться геометрической теоремой ([Ш5], с. 86), согласно
которой всякое непустое замкнутое выпуклое подмножество евклидова пространства есть
пересечение всех замкнутых подпространств, содержащих его.)
(в) Конус К* имеет непустую внутренность в точности тогда, когда АГ — острый конус.
Упражнение Б.6. (а) Пусть Ki и АГ2—замкнутые выпуклые полиэдральные ко-
конусы. Доказать, что таким же является конус АГх+АГа— замкнутая выпуклая оболочка конуса
Kill/(г- (Указание: Ki и АГ2 являются линейными оболочками конечного числа своих элемен-
элементов.)
(б) Доказать, что конус, сопряженный замкнутому выпуклому полиэдральному конусу,
является замкнутым выпуклым полиэдральным конусом. (Указание то же, что в части (а).)
Оказывается, что преобразование Лапласа произвольной обобщенной функции f(x) с но-
носителем в остром конусе К. аналитично в трубе с основанием int К* (внутренностью конуса,
сопряженного в АГ). Роль этого условия хорошо выявляется на следующем примере. Пусть
f(x) — непрерывная полиномиально ограниченная функция в /?", исчезающая вне острого
конуса К и, следовательно, определяющая обобщенную функцию из if'(Rn) с носителем в АГ.
Тогда для любого q(?K* экспонента е~1х ограничена на АГ, поэтому e~^xf(x) — также непре-
непрерывная полиномиально ограниченная функция от х. Значит, ее преобразование Лапласа опре-
определено для всех q?K*, т. е. Г(/):эАГ*. На этом примере можно непосредственно убедиться, что
Щ аналитично в трубе с основанием int К*.
Перейдем теперь к характеризации преобразования Лапласа обобщенных функций с но-
носителями в замкнутом остром конусе АГ. Предварительно заметим, что (в силу упражнения Б.5)
конус /С* в сущности определяется лишь замкнутой выпуклой оболочкой конуса АГ, поэтому
мы будем предполагать, что АГ — замкнутый выпуклый острый конус. Кроме того, мы предпо-
предположим дополнительно, что К имеет непустую внутренность и, значит (согласно упражнению А. 1),
есть канонически замкнутое регулярное множество в R". Этого достаточно для наших целей
(хотя, впрочем, более общий случай — без последнего предположения — может быть легко све-
сведен к этому частному случаю).
Теорема Б.7. Если f (x) — обобщенная функция из if' (/?") с носителем в замкну-
замкнутом выпуклом остром конусе К С R" с непустой внутренностью, то Г (/) ;э К* и преоб-
преобразование Лапласа является голоморфной функцией в трубчатой области с основанием int AT*,
удовлетворяющей оценке
A + l/7 + y при p?R«, q€MK*; (Б.35).
d(q, дК*I
здесь А, I, т — некоторые числа (зависящие лишь от f), d(q, дК*)—расстояние cm q до
границы конуса К*. Кроме того, преобразование Фурье iff обобщенной функции f шляется
(обобщенным) граничным значением (при q—з- 0, q?intK*) преобразования Лапласа в сле-
следующем смысле:
Urn (Xf) (p + iq) = (|7) (р) в а" (/?«). (Б.36)
?-»-0, i?6int К*
•^ Поскольку К — канонически замкнутое регулярное множество, мы можем (согласна
предложению АЛ) сопоставить данной обобщенной функции / обобщенную функцию F (л)?
$3" (К) такую, что
- (Б37>
Пусть ^?К*. Тогда функция е~Чх является мультипликатором в of (К), поэтому определена
обобщенная функция e~ix F (x)?df' (К) по переменной х. Теперь из формулы (Б.37) видно,
что е~1хи(х) есть также обобщенная функция в R" такая, что
u{x)) = (F (x), е-я*и\к(х)), u$S (Л»), q?K*. (Б.38)
Пусть теперь qgintK*. Обозначим r—d(q, дК*). Тогда (q— у)х^гО для всех л?ЛГ
Rn с \у\<г, откуда
qx^ sup yx = r\x\ для всех л:?ЛТ. (Б.39)
Эта оценка показывает, что е-1х является основной функцией из if (К) по х (при q^int К*)
и, значит (согласно характеристике if (Й) в дополнении А), существует функция, скажем,
ич (х) из if (/?") по х, совпадающая с е~Чх при дг?ЛГ. Из формулы (Б.38) следует, что-
e~4xf (x) = Uq (x) f (x), отсюда (и из упражнения 2.21) следует, что преобразование Фурье
93
от e~ixf (x) есть следующая (обычная) функция:
¦Вместе с формулой (Б.37) это дает нам формулу для преобразования Лапласа от /:
(Б.40)
Из нее легко следуют остальные утверждения теоремы Б.7. Действительно, поскольку при
q^'mtK* функция eiltx является основной функцией от а; из <У (К), аналитически зависящей
от параметра k, то из непрерывности функционала F над if (К) следует, что правая часть
•(Б.40) также аналитична по k. Непрерывность функционала F над $р (/Q в действительно-
действительности соответствует оценке
| (F (х), и (х)) | < А' \\ и ||? т, при всех и ? $> (К);
это вместе с (Б.40) дает оценку для J?/:
ft КБ.41)
Используя (Б.39), отсюда получаем оценку типа (Б.35). Наконец, из (Б.38) следует, что
e~ixf(x)—*f(x) в $" (/?") при q—>-0 в int /С*- Это эквивалентно соотношению (Б.36). >
Отметим, что теорема Б.7 дает полную характеристику преобразования Лапласа обоб-
обобщенных функций с носителем в АГ, так как имеет место следующая обратная теорема.
Теорема Б.8. Пусть К — непустой замкнутый выпуклый острый конус в Rn (с не-
непустой внутренностью) и пусть h —• аналитическая функция в трубчатой области с основа-
основанием int AT*, удовлетворяющая оценке типа (Б.35). Тогда существует (единственная) обобщн-
ная функция f(x)?<?P'(Rn) с носителем в К такая, что Г(/)з/С* и h—?f.
-^ То, что / совпадает (в трубе с основанием int К*) с преобразованием Лапласа неко-
некоторого умеренного распределения /, есть непосредственное следствие теорем Б.4 и Б.5. Остается
лишь доказать, что / имеет носитель в АГ.
Нам следует убедиться, что для произвольной фиксированной точки х0 из Rn\K
существует окрестность <$* точки х0 такая, что (f, «) = 0 для всех u??Z) (R") с носителями
в оДГ. Пользуясь тем, что К = К** (см. упражнение Б.5), мы можем фиксировать a(?mt К*
так, чтобы аха = — 2. В качестве искомой окрестности оДГ точки х0 возьмем полупростран-
полупространство ах < —1. Воспользуемся далее формулой (Б.28), однако теперь будем считать, что
t$z I. Используя оценку типа (Б.35) и производя дальнейшие оценки, как в доказательстве
теоремы Б.5, мы приходим в результате к оценке типа (Б.30):
u)\<ct* sup sup|(l + UI)'J + 1e<a^Z??l«(A:)| (Б.42)
I a|< 2M x
при всех и?@) (R"), t^z 1. Если функция и?Ш) (/?") имеет носитель в оДС, то отсюда по-
получаем оценку
| (/, и) |<c7Je-<||u||n + 1, 2М при всех t^l.
Взяв в этом неравенстве нижнюю грань по t при t'Ss 1, получаем (/, и) = 0. ^
Б.З. Пример: обобщенные функции запаздывающего типа. Для дальнейших глав пред-
представляет интерес следующий пример. Рассмотрим пространство /?4и, точками которого будем
считать }наборы x = (xlt ..., хп) векторов х/ из /?4 с координатами х^ (/=1, ..., п;
ц = 0, 1, 2, 3). Наряду с обычным евклидовым скалярным произведением
¦в R4n введем еще псевдоевклидово скалярное произведение
2y?. (Б.44)
где ццц = 1 при fi = 0 и g^ix =—1 при ц=1, 2, 3. Таким образом, Rin фактически яв-
является пространством At' — прямым произведением п экземпляров пространства Минковского
(подробнее см. п. 3.1.А). В пространстве Минковского М выделенную роль играет открытый
(V+) или замкнутый (V+) верхний световой конус:
f 3 \1/2)
Vii=« J )
(Б.46)
'Соответственно для Мп введем прямое произведение п экземпляров конуса V+ или К+:
при /=1 п}, (Б.47)
при /=1,-...,«}. (Б.48)
•94
Упражнение Б.7. (а) Доказать, что (V+)" является открытым выпуклым острым<
конусом в Мп, а сопряженным ему относительно как евклидова (Б.43), так и псевдоевклидова
(Б.44) скалярного произведения является конус (V+)n (который, очевидно, является замкну-
замкнутым выпуклым острым конусом в Мп с непустой внутренностью).
(б) Доказать, что (евклидово) расстояние от точки q конуса (V+)n до границы этого-
конуса равно
d(q,d (Й+)») = yj mm (,• -1 qj \).
(в) Доказать, что для точки qj?V+ имеет место неравенство
где q*— скалярный квадрат вектора qj в метрике Минковского.
Мы можем заменить R" на М" и К на (V+)n в теоремах Б.7 и Б.8 и получить сле-
следующий специальный результат.
Следствие Б.9. Преобразование Лапласа обобщенной функции f (х) из $" (МпУ
с носителем») в (V+)" есть голоморфная функция в трубе будущего Tj = M" + «(V+)n,
удовлетворяющая оценке
A + |/Р", (Б.49)
mm (qfy
где А, т, /—некоторые неотрицательные числа, зависящие от / (в неравенстве (Б.49) qj есть
скалярный квадрат вектора qj=lm kj в метрике Минковского). Обратно, всякая голоморф-
голоморфная функция в трубе Т%, имеющая оценку типа (Б.49), является преобразованием Лапласа'
некоторой обобщенной функции из $" (Мп) с носителем в (V+)"-
Б.4. Граничные значения преобразования Лапласа. Для обобщенной функции / (х) ?
§.&" (Rn) такой, что точка q = 0 лежит на границе множества Г(/), представляет интерес
вопрос о существовании предела в классе $" (или обобщенного граничного значения) вы-
выражения (J?f)(p-\-iq), рассматриваемого как обобщенная функция по р, зависящая от па-
параметра q, при q—*-0 в Г (/). При этом мы будем исходить из следующего понятия пре-
предела**) (целесообразность которого выявится в теореме Б.11).
Пусть S— выпуклая область в R" такая, что O?dS, и h (p-\-iq)— голоморфная функция
в трубе <?TS. Предположим, что выражение h(p-\-iq) определяет семейство обобщенных
функций из if' (/?") по р, непрерывно зависящих от параметра q (в связи с этим см. упраж-
упражнение Б.З). Будем говорить, что h имеет обобщенное граничное значение (или, просто, гра-
граничное значение) lim h (p-f iq) = h0 (p) в <&" (Rn) (и писать также h (p-\-iq)—*ho(p)
в 3" (/?") при q—*0 в S), если для любого компактного усеченного конуса /Cc:S(J{0}
выполняется равенство
lim (Л (p + iq), и (p))p=(h0 (/>), и (р))р (Б.50)
/?!->¦ О, qeKr\{0)
при всех u€<Fi(Rn).
Аналогично формулируется понятие граничного значения голоморфной функции h (p-^iq)
в &>' @) при q-—>¦ 0 в S, где Q и 5 — две области в R", причем 5 выпукло и 0?dS. По-
Поскольку q стремится к 0, нет необходимости предполагать, что h определена во всей области
Q+iS
Достаточно считать, что / определена и голоморфна в некоторой области D а С",
прилегающей к области Q С R" со стороны iS в том смысле, что для любого компакта Q С Q
и любого усеченного конуса Кг С S с компактным замыканием в S|J{0} существует р?@, г)
такое, что D гэ Q-\-iKp^ Будем говорить, что h имеет (обобщенное) граничное значение
lim
17-»- 0,
если (Б.50) выполнено для любой u??DF) и для любого компактного усеченного конуса
/esu{0}
u{}
Введенные определения обобщают классическое понятие граничного значения голоморф-
голоморфной функции, формулируемое следующим образом. Если функция h голоморфна в некоторой
области D, прилегающей к Q со стороны iS, и если h {p-\-iq) —>- h0 (р) при q —»¦ 0 в Кг\.{0у
равномерно по р на компактах в Q (где h0 (р) — непрерывная функция в б, а Кг — любой
*) Такие обобщенные функции называют обобщенными функциями запаздывающего типа.
**) В п.2.6.А понятие предела (скажем, при у -*¦ Ь) семейства функций или распределений,.
зависящих от параметра у?Г, использовалось применительно к случаю, когда множество-
Гу{6} локально компактно.
95-
компактный усеченный конус в S|J{0}), говорят, что h имеет граничное значение в классе Чо (б).
Можно также говорить о граничных значениях в классе ? (Q), если соотношение
lim D^h (р-\-iq) = Dah0 (p) имеет место в классе % (Q) для всех мультииндексов а.
!?-<¦ О, V€S
(Ясно, что эти понятия находятся в полном соответствии с определениями 'ё (Q) и $F),
данными в п. 1.2.В.)
Наиболее широким из введенных понятий является (обобщенное) граничное значение
в кла-хе <2)' ((о). Так, если /i0 есть граничное значение f в классе %> (Q) (или <&" (/?")), то
оно является граничным значением и в классе Й)' (Q) (соответственно в GQ' (/?")).
Упражнение Б.8. Пусть h — голоморфная функция в области DcC", прилега-
прилегающей к области Q С Rn со стороны iS (где S — выпуклая область в Rn такая, что Q^dS).
Доказать, что если имеет место lim h (p-j-iq) = ho (p) в &?>' (Q), то при произвольной
?->¦ О, <76S
функции a (k), голоморфной в некоторой комплексной окрестности (в С) множества Q,
имеет место также соотношение lim a(p-{-iq)h(p-\-iq) = a{p)ha(p) в <2)'(C). (Указа-
o sS
ние: доказательство соотношения
lim (h(p + iq), a(p + iq)u{p))p = (h0{p), a(p)u{p))p
U|0 </(=S
использует ту же аргументацию, что и предложение 2.9.)
Граничное значение голоморфной функции однозначно определяет саму функцию. Это
означает справедливость следующего обобщения классической теоремы единственности*).
Теорема Б. 10 (обобщенная теорема единственности). Пусть функция h голоморфна
в области DczC", содержащей множество вида 0-{-iS, где Q и S — области в R", причем
S выпукло и 0?3S. Если h (p-\-iq) имеет 0 своим обобщенным граничным значением в &?)' (Q)
при q —»¦ 0 в S, то h = 0.
¦^f Согласно классической теореме единственности достаточно показать, что / = 0
в Q-\-iS или, эквивалентно, что
(h(p + iq), и(р))р = 0 (Б.52
для любой u?eD(Q) и любого q?S. При заданных и и q фиксируем некоторое положитель)
ное число е так, чтобы е < -—-rf(supp«, dQ) и е < -:—rd(q, дп). Тогда (в силу свойств
интегралов, зависящих от параметра) функция
и(р))р
определена и голоморфна по Z, в полосе
8, 0<т,< 1+8}.
Так как левая часть (Б.52) есть g(i), то достаточно убедиться, что ?з0. Вначале пока-
покажем, что g непрерывно продолжается на полосу 5>i={SG^-: I S| < е. 0<т] < 1+е}. С этой
целью перепишем g (?) в виде
(Ат|(р). И|0>)),. (Б.53)
где/г^ (p)=h (p-\-ir\q) при 0 < т] < 1 +8, /г0 (р) = 0, a j«g J—семейства функций из eD (б)
непрерывно зависящих от параметра |?,(—8, е) и определяемых равенствами: ц.(/?) =
= u(p — lq) при /?€бП(!<7 + 6)> и%(р) = а при р $ lq + Q.
По условию теоремы кц (р) —>¦ 0 в <%)' (Q) при т] —>¦ + 0; значит, (Ат)} можно рассмат-
рассматривать как семейство распределений из <2)'(б)> непрерывно зависящих от параметра г| при
0<т) < 1-J-8. В этом случае, согласно предложению 2.9, выражение (Б.53) есть непрерыв-
непрерывная функция ? в полосе 5V
Осталось применить к g интегральную фэрмулу Коши для верхнего полукруга радиуса
<е с центром в 0. Так как в этой формуле интегрирование производится лишь по полуокруж-
полуокружности (в силу обращения g в нуль на интервале (—-е, г)), то g аналитически продолжается на
вещественный интервал (—н, е), так что из g=0 на (—е, е) следует теперь g=0 в 5V >
Приведем основную теорему данного пункта, утверждающую, что обобщенным граничным
значением (при q —>- 0) преобразования Лапласа умеренного распределения / является преоб-
преобразование Фурье от /.
Теорема Б.11. Пусть f?&"(R"), t (f) непусто и Ogdftf). Тогда
!im (Xf) (p-\-iq) в ,ff' (/?") существует и совпадает с §~х -> р [f (x)].
Достаточно показать, что
lim {{Xf)[p + iq), и (р)) = (§-{, и)
\0Kr
для любой u?S(R") и любого компактного усеченного конуса Кг С T{f)(j{0}. Однако, как
и в доказательстве теоремы Б.5, вместо рассмотрения усеченных конусов /С можно огра-
*) Эта теорема для случая одной комплексной переменной предполагается известной чи-
читателю; случай нескольких комплексных переменных будет изложен в п.5.1. В.
96
ничиться параллелепипедами Q вида (Б.26), сопоставляемыми произвольному набору
[пи ..., а„} линейно независимых векторов из f(f). После замены и на u = §r~1v доказы-
доказываемое утверждение сводится к равенству
lira («-«*/(*), v(x)) = (f(x), »(*)) (Б.54)
0 ?Q
для всех vfZtf {Rn). Как и в доказательстве теоремы Б.5, мы можем переписать это равен-
равенство в виде
lira (g{x), <94{x)v(x)) = (g(x), ф0 (*) d (*)), (Б.55)
| q\ ->0, qZQ
где g—фиксированное распределение из $" (/?"), a q>q(x) — мультипликатор в ?f (/?"), зави-
зависящий от параметра q, причем (рди—^<pov в ?Р (R") при q—<-0 в Q. Этого достаточно для
того, чтобы утверждать, что равенство (Б.55) действительно имеет место. >
Замечание. В некоторых случаях граничное значение преобразования Лапласа
обобщенной функции / при q —>¦ 0 в S (где 5 —некоторая область в Г (/) такая, что O?dS)
можно понимать более естественно — без использования усеченных конусов (подобно тому
как в п. 2.6.А рассматривался предел на локально компактном множестве параметров),
а именно, в смысле равенства
Urn ((Xf) (p + iq), и (р)) = ((ff) (p), и (р))
|0 |-*0,<7SS
для всех u^^(R").
Укажем два таких случая.
A) Существует замкнутый выпуклый полиэдр (или замкнутый выпуклый полиэдральный
конус) Q в R" такой, что 5 с: Q с: Г (f);
B) suppfcK и SczK*, где К — выпуклый острый конус.
В случае A) доказательство того, что e~4xf(x)—*f(x) в $" (/?") при \q\—>0, <?^5,
почти повторяет аргументацию теоремы Б.11; в случае B) следует (как в теореме Б.7) вос-
воспользоваться предложением АЛ и тем, что е~Чхи(х)—>-и(х) в ?f (К) при \q\—>-0, q?K*.
Важным свойством операции перехода к граничному значению голоморфной функции
является ее перестановочность с заменой переменных при помощи конформного отображения
(скажем Ф, при естественных предположениях относительно Ф). Мы ограничимся формулиров-
формулировкой и доказательством одного специального случая, используемого в доказательстве теоремы
«об острие клина» (п.5.1.Г).
Мы будем предполагать, что h(p-\-iq) является <в°°- и частично голоморфной (точнее, го-
голоморфной по ft-H<7i, . . . , pv+'Vv) функцией в трубе $~а с основанием (Б.32). Фиксируем
некоторое конформное отображение ф, переводящее круг
У = {?еС: |?|<р} (Б.56)
на полосу {z?C: |Imz|< 1}, верхний полукруг (где Im?>0)— на верхнюю полуполосу
(где Imz > 0), а интервал (—р, р)— на R. Определим далее re-мерное конформное отобра-
отображение Ф:
Ф@=-Ф(Ь, •••- Ся) = (ф (Сг). •••• Ф(С)). (Б.57)
где ?j, ..., ?,n?U. Тогда, очевидно, функция h (Ф (?)) определена, Чо°°- и частично голо-
голоморфна на множестве
G = {e^S + tT)eC»: | 5а)| <р при а=1 п; т)р > 0 при 0= 1, .... v;
т)р=О при P = v-f 1, .... п}. (Б.58)
Предложение Б. 12. Пусть функция h(kK=h(№v>, ... #">) определена в трубе
с$гй с основанием (Б.32) и удовлетворяет прочим условиям предложения Б.6. Далее, пусть
конформное отображение Ф определено посредством (Б.57). Тогда функции h(k) и h (Ф (?))
(определенные соответственно в <?Н* и G) имеют обобщенные гранич ные значения
lim h {p+iq)=h0 (p) в 3" (/?»), (Б.59а)
<7->- О, Й
lira Л(ФF + 'Л))=гE) в ЗУ (в), (Б.596)
0 Q
связанные соотношением
гE)=Ао(Ф(Э) в ®'{Q); (Б.89в)
здесь
Q = {x?R": — р< xj< р; /=1, ...,п). (Б.60)
•^ Вначале покажем, что h может быть пргдгтавлгна (при некотором A?Z+) в виде
4 Н. Н. Боголюбов и др. 97
где Я — функция, имеющая свойства, указанные выше для Л, и к тому же обладающая
продолжением в трубу <?Г * как непрерывная функция, где
Q1 = {q^Rn: 0<^/ < 1 ПРИ /= '> • • •> v'< <?/ = 0 ПРИ j — v-h Ь ¦ • •> «}¦ (Б.62)
С этой целью выберем число A?Z+ так, чтобы была выполнена оценка
V
и определим функции Яо, Hlt ..., ЯА рекуррентными соотношениями:
uZy /7^,_i B"l» • • • » 2у f &vf 1> • • • ) *^fU'
Г/2 l/2
Функция Яд, удовлетворяет оценке типа
v
\Hx(p-j-iq)\^A}.(l + \p\)m + vk JJ (^)~Л+Л+3/2, (Б.63)
/ = 1
что легко получается индукцией по X:
1 1
о о
ft»
ft/--5-
в/
2
X
X
о
Из (Б.63) следует, что функция ЯЛ_, (p-j-ig) равномерно ограничена, если р изменяется
на компакте в Rn и 0 < 9/<1/г при /=1, ••¦, v. Следовательно, HA{p-\-iq) — непрерыв-
непрерывная функция от р, q в трубе с основанием, определяемым посредством 0<9/<1/г при
/=1, ••., v и ^ft = О ПРИ ft = v+l, ..., /г. Обозначив Яд=Я, мы получаем искомое
представление (Б.61).
Теперь вопрос о граничных значениях в предложении Б.12 не представляет трудности.
Полагая Н0(р) = Н (p-j-iq)L=0, мы получаем, что Яо (р) есть граничное значение Я (p-f iq)
при q-*Q, q?Q в классе ъ (Rn) непрерывных функций. В таком случае из представления
(Б.61) следует, что h(p-\-iq) имеет обобщенное граничное значение ho(p) в $" (/?") при
г/-»- 0, r/?Q, причем
л
Яо (р). (Б.64)
Далее, по построению функция Я (Ф (|-f/т))) в G имеет граничное значение Яо (Ф (?))
(при т)-»-0, T|gQ) в классе ip @) непрерывных функций и, значит, в классе <2)' ((?). В та-
таком случае Л (Ф (?)) также имеет граничное значение в *2)' @) при ц ->¦ 0, t)^Q. Это с оче-
очевидностью следует из того, что в силу (Б.61) и (Б.64) для выражений h (Ф (у) и Ло (Ф (?))
могут быть написаны (после замены переменных k -*¦ ^^Ф (k)) совершенно одинаковые
представления вида
a v /= 1
Xj aj...av XX ^ c)g • J
a 1- '
где a пробегает конечное множество мультииндексов в Z+, а 6а a (у — некоторые голо-
голоморфные функции при | ?,| < р. Из этих равенств, а также из того факта, что Н (Ф (Ц-«т)))
имеет Яо (Ф (?)) своим граничным значением при т) -»¦ 0, t)^Q, следует (на основе упраж-
упражнения Б.8) утверждение предложения Б.12 и, в частности, соотношение (Б.69в). >
Следующие два упражнения содержат критерии существования обобщенного гранич-
граничного значения голоморфной функции в классе S' (R") и &&' (Q).
Упражнение Б.9. (а) Пусть S—выпуклая область в R", для которой 0 является
граничной точкой, и пусть функция h (k) голоморфна в трубе Jrs, причем выражение
98
h (p+iq) определяет семейство распределений в if' (Rn) no р, непрерывно зависящих от пара-
параметра q?S (по этому поводу см. упражнение Б.З). Доказать эквивалентность следующих
трех условий:
A) h(p-\-iq) имеет обобщенное граничное значение в if'(Rn) при g-^-O, q?S;
B) h(p-{-iq) совпадает в $~s с преобразованием Лапласа некоторого умеренного распреде-
распределения;
C) для любого компактного усеченного конуса KrdS\J {0} имеет место оценка типа (Б.25).
(Указание: импликации B) г> A) и B) <Ф C) следуют из теорем Б. 11 и Б.5; для доказа-
доказательства импликации A) г> C) использовать упражнения 2.43 при Т=К=КГ и Б.4.)
(б) Пусть h(k)— голоморфная функция в области DdC", прилегающей к области QdR"
со стороны г5, где 5—выпуклая область в R", для которой 0 является граничной точкой.
Доказать, что для того, чтобы h(p-\-iq) имела граничное значение в 6Q' ((?) при q~+0,
q?S, необходимо и достаточно, чтобы для компактного множества QdQ и любого компакт-
компактного усеченного конуса KraS\J {0} таких, что Q-\-iKrClD, существовали числа А, I (зави-
(зависящие от Q и Кг), доставляющие оценку
)\<A\q\-i при p?Q, q?Kr\{0}. (Б.65)
(Указание: при доказательстве «необходимости» воспользоваться упражнением 2.43 при Г=
=К=КГ, чтобы для любого компактного подмножества QdQ и любого компактного усечен-
усеченного конуса Kr ClS[) {0} получить оценку типа (Б.21) при всех u?ef(Rn ) с носителем в Q. Оче-
Очевидно, что такие функции и можно рассматривать как элементы из ?D(Q)\ дальнейший вывод
оценки (Б.65) таков же, как в упражнении Б.4 при доказательстве импликации A) z> B);
«достаточность» можно установить с помощью аргументации, использованной в доказательстве
предложения Б. 12.)
Б.5. Пример: «математика» дисперсионных соотношений. Рассмотрим задачу о представ-
представлении аналитической функции h(z) комплексной переменной гззлг+п/ при Im z^O в виде так
называемого дисперсионного интеграла
;, Im z Ф 0, (Б.66)
где р(х)—скачок функции h(z) на вещественной прямой (как мы увидим, на самом деле
р (л:) естественно считать заданной на расширенной вещественной прямой /?„). Для сущест-
существования обобщенных граничных значений при Im z ->¦ ± 0 в классе if' (/?) достаточно пред-
предположить, что имеет место оценка
\h(z) |< A (l + | z\)m | Imz |~', (Б.67)
где А, т, I—некоторые вещественные числа.
Вначале рассмотрим случай Imz > 0. Тогда (как мы знаем из теоремы Б.8) h (z) есть
преобразование Лапласа обобщенной функции из if' (R) с носителем *) в /?+ и, следовательно
(по теореме Б.И), она имеет граничное значение fi(x) в классе if' (/?):
/г (*) = lim h (z). (Б. 68)
Аналогично, функция z~2h(—l/z) аналитична при Imz>0 и удовлетворяет оценке того же
типа, поэтому она тоже имеет граничное значение в if' (/?):
f2(x) = limz-2h(—l/z), (Б.69)
(/-О
причем
ti(x)=x-*f2(—l/x) при х ф 0 (Б.70)
(для доказательства последнего равенства применимы аргументы, использованные в пред-
предложении Б.12). Равенство (Б.70) есть условие согласования, которое (в силу предложения А.4)
обеспечивает существование обобщенной функции h+ (x) из if' (/?„,). связанной с fx и f2
соотношениями типа (А.24). Мы назовем ft+ (x) (обобщенным) граничным значением функ-
функции h(z) при Imz-»-fO в классе if'(R^).
Лемма Б. 13. Произвольная функция Л (г), аналитичная в верхней полуплоскости и
удовлетворяющая оценке (Б.67), восстанавливается по своему обобщенному граничному зна-
значению h+ (x)^if' (Roc) с помощью следующей формулы (типа К.оши):
при hnz>0,
при 1тг<0 ( '
2га-J ?—г 5~\0 при 1тг<0.
•^ Приведем набросок доказательства. Рассмотрим частный случай, когда h (z) есть
аналитическая функция при Imz>0, полиномиально ограниченная при Imz3=0. При
а>0 пусть р* — В (а) есть мнимая часть точек пересечения окружностей | г | = 1 и Im (—1/г)=а.
*) Здесь и далее R+ ={х ? R: х> 0}, /?+ ={х ? R:
4* 99
Применим обычную формулу Коши к области, определяемой неравенствами Im (—\/г)>а,
Imz> E:
) /й(г). Imz>0,
I ? I
/
J ? J 1-аю \°. Im2<0.
Im ?=p Ira tw=a
IU < 1 la>|< 1
Во втором интеграле мы сделали замену переменной w=—1/?. Кроме того, мы считаем,
что а достаточно мало. Пользуясь непрерывностью Л (?) при Im^^O и существованием
предела (Б.69), перейдем в (Б.72) к пределу а -»+0 и в результате получим формулу (Б.71).
Для доказательства общего случая заметим, что Л (г) (при Imz > 0) есть производная
достаточно высокого порядка от аналитической функции в верхней полуплоскости, поли-
полиномиально ограниченной и непрерывной при \тг^0 (этот факт был установлен в начале
доказательства предложения Б.12). Поэтому достаточно доказать, что если формула (Б.71)
справедлива для А (г), то она справедлива и для ее производной ft' (г) (которая также
удовлетворяет оценке типа (Б.67), поскольку также является преобразованием Лапласа
некоторой обобщенной функции из if' (/?) с носителем в /Г+). Мы предоставляем читателю
проделать это в качестве упражнения. (Указание: для этого к интегралу (Б.71) нужно при-
применить разбиение единицы на /?„ вида ы (|) -f- f (—1/?)=1, где и, v??Q(R), и продиф-
продифференцировать соотношение (Б.71) по г.) >
Упражнение Б. 10. Пусть выполнены условия леммы Б. 13. Доказать, что обобщен-
обобщенное граничное значение А (г) при Im г -»¦ 0 в классе if' (/?«,) имеет нулевой интеграл. (Ука-
(Указание: интеграл от h (г) по контуру, использованному в доказательстве леммы Б. 13, равен
нулю; далее действовать, как в доказательстве леммы.)
Функции А (г), аналитичной при 1тг?=0 и удовлетворяющей оценке (Б.67), можно
сопоставить два граничных значения А± (х) класса if '(/?„), соответствующих Imz—»- ±0.
Разность
р(*) = А+(*)-А_ (х) (Б.73)
назовем скачком класса $" (/?те) (или на /?«,) аналитической функции h (г).
Предложение Б. 14. Произвольная функция h (г), аполитичная при Im г Ф 0 и
удовлетворяющая оценке (Б.67), восстанавливается по своему скачку р (х) класса if' (/?„)
с помощью дисперсионного соотношения (Б .66).
Упражнение Б.11. Доказать предложение Б.14. (Указание: применить формулу
(Б.71) и аналогичную формулу с /г_.)
Упражнение Б.12. Доказать, что обобщенные граничные значения в классе (ff" (R)
функции h (г), аналитичной при Im г ф 0 и удовлетворяющей оценке (Б.67), восстанавли-
восстанавливаются по скачку р (х) класса if' (/?«,) с помощью следующих дисперсионных соотношеииЙ5
<Б-74>
(Указание: по поводу определения сверток (Б.74) см. п. А.З.)
Упражнение Б. 13. Доказать, что формула (Б.66) устанавливает изоморфизм между
аналитическими функциями Л (г) при Imz 5^0, удовлетворяющими оценке типа (Б.67), и
обобщенными функциями р (х) из $" (/?«,) с нулевым интегралом. (Указание: если для
некоторой обобщенной функции р (а;) из if' (/?«,) с нулевым интегралом соответствующая
функция ft (г) равна нулю, то из формул B.29) следует, что р(*) = 0 в /?ст/?оо, так что р
имеет носитель в точке оо; далее воспользоваться частью (б) упражнения А.7.)
Обратим внимание, что скачок в окрестности точки оо определяется через функцию
г~2А(—1/г). Поэтому функция А (г) = const ?=0в комплексной плоскости имеет ненулевой
скачок на бесконечности (иначе было бы непонятно, почему для нее имеет место представ-
представление в виде дисперсионного интеграла). Заметим еще, что с дисперсионным соотношением
для полиномов мы уже встречались в упражнении А.7 (б).
Б.6. Сужение преобразования Лапласа. Теорема Б.8 есть эффективный критерий,
позволяющий по свойствам функции ft (k) в трубе R" -f i int К* определить, является ли
она преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции из if' (/?") с носителем
в К- Если же функция A (k) известна лишь на некотором подмножестве (например, не
являющемся открытым) в трубе R" -f- i int К*, то естественно ожидать, что соответствующий
критерий становится белее сложным и менее эффективным. Рассмотрим простейшую ситуа-
ситуацию (с которой мы встретимся в § 9.5), когда конусом К служит прямое произведение
R+n экземпляров множества /?+ неотрицательных чисел. В этом случае К* = К (относи-
(относительно евклидова скалярного произведения в /?"). Очевидно, iRn + не является открытым
подмножеством в трубе R"-\~ i int К; тем не менее это есть множество однозначности для
голоморфных функций в тр^бе Л" -j-1 int Я' (т. е. всякая голоморфная функция в трубе
однозначно определяется своим с}жением на подмножество чисто мнимых точек iR+)-
Представляет интерес указать критерий, позволяющий судить, что данная комплекс-
комплексная функция h (k) на iRn является сужением на iR% преобразования Лапласа некоторой
обобщенной функции / (х) из if' (/?") с носителем в /?+ .
100
Если h (k) является такой функцией, то формула
(К и)= ^h(iq)u{q)dnq, u?SP (Rl), (Б.75)
очевидно, определяет линейный непрерывный функционал на пространстве ^ (R+). Ока-
Оказывается, этот функционал непрерывен также в некоторой ослабленной топологии на ,jp (Rn)>
Чтобы убедиться в этом, представим f (x) в виде конечной суммы
где fa,(x) — мера степенного роста на R" с носителями в R+ (см. следствие А.2). Тогда
h (iq) = 2 (~дХ)а f e~xqfa (x)d"x,
a J
откуда (на основании теоремы Фубини) имеем
(Л. «О = 2 f ((~ д*)а f е~ХЧи (Я) dq] fa (х) d"x,
«^Л J >
т. е.
{п, И) = (Л 2). (Б.76)
Здесь мы ввели функцию от x?R%:
u(x)=j e-*<lu(q)dnq, x?Ri. (Б.77)
Упражнение Б.14. (а) Доказать, что отображение и-* и является непрерывным
линейным оператором из пространства <У (R+) в пространстве $> (/?+) с нулевым нуль-про-
нуль-пространством. (Указание: и{х) является сужением на множество чисто мнимых точек некото-
некоторой голоморфной функции в трубе, так что из и (х) = 0 следует и (q) = 0.)
(б) Доказать, что образ пространства tf (й+) при отображении и-*~и является всюду
плотным линейным подпространством в $Р (/$.). (Указание: достаточно доказать, что если
/€ ef'(R+) такова, что (f, и) = 0 для всех uetf (R+), то / = 0. Для этого введем преобра-
преобразование Лапласа h (k) обобщенной функции 7 и воспользуемся соотношением (Б.76), из
которого следует, что h (k) равно нулю при всех чисто мнимых k, так что h (k) = 0.)
Из соотношения (Б.76) следует оценка
|(ft, и)|<с[ир+ при всех u^tfiRl). (Б.78)
Согласно упражнению Б.10 совокупность норм
('."=0,1,...)
при u^_if (R^.) определяет на <У {R%) новую топологию, более слабую, чем естественная
топология на ^ (R+); мы назовем ее ослабленной топологией.
Полученная оценка (Б.78) является характеристическим свойством преобразований Лап-
Лапласа.
Предложение Б. 15. Формулы (Б.75), (Б.76) осуществляют взаимно однозначное
соответствие между сужениями на множество чисто мнимых точек преобразований Лапласа
обобщенных функций из <&"№) с носителями в /?+ и линейными функционалами над Qf(Rn+),
непрерывными в ослабленной топологии на <5"(/?+).
^ Остается убедиться, что всякий линейный функционал (h, и) на ?f (/?+), непрерыв-
непрерывный в ослабленной топологии, получается по формуле (Б.75) из преобразования Лапласа
h(k) некоторой обобщенной функции / с носителем в JQ. Действительно, определим линей-
линейный функционал f по формуле (Б.76) вначале на функциях и вида (Б.77). По условию
этот функционал непрерывен, а его область определения (согласно упражнению Б. 14) всюду
плотна в E" (R+)- Следовательно, f является обобщенной функцией из пространства
$>' (/#) и Eе" (Rn | R%). Пусть теперь h{k) — преобразование Лапласа обобщенной функ-
функции f (х). Тогда определяемый им линейный функционал (Б.75) над <§° (R\), очевидно,
совпадает с данным функционалом (ft, и). >
101
Дополнение В. Однородные обобщенные функции
В.1. Однородные обобщенные функции в R". Однородные обобщенные функции (ООФ)
широко употребительны в квантовой теории поля (и вообще в математической физике).
Задание ООФ в Rn часто сводится к следующей проблеме: продолжить (если это возможно)
данную ООФ в Rn, где
т. е. в Rn с выколотым началом координат), до ООФ в R". Дело в том, что ООФ в К"
•обладают более простой структурой, чем в Rn, и локально описываются, по существу,
•обобщенными функциями от п— 1 переменной. В этом дополнении мы изложим вопросы,
связанные с ООФ в форме, инвариантной относительно группы GL (п., R) всех линейных
«преобразований Rn. (При этом важную роль играют ООФ от одной переменной.)
Пусть Q есть одно из следующих многообразий: Rn, Rn, R+, R+. Функцию или обоб-
обобщенную функцию / (х) в Q называют однородной степени X (?С), если
x при всех р > 0. (В.2)
Дифференцируя (В.2) по параметру р в точке р=1, получаем уравнение Эйлера
(x) = 0, (B.3)
которое (как нетрудно убедиться) эквивалентно условию (В.2). Посредством ЗЗя (Q) и \()
¦мы обозначим пространства основных функций f(x)g$(Q) и, соответственно, обобщенных
•функций f{x)?<(f" (Q), однородных степени X—/г/2.
Упражнение В.1. Доказать, что пространство Ья(Л+) одномерно и порождено
гладкой функцией р^-1/2.
Обратимся сначала к ООФ в /?". С этой целью фиксируем (произвольным образом)
•основную функцию h (х) из пространства Ц) (/?") (или <У (/?")) такую, что
—=1 в R". (В.4)
{Например, h (х) можно взять в виде ft(x) = u(|x|), где u?<3)(R+) и \ ы(р)р~1ф= 1.)
Интегралом по мере
[dnx] = h(x)d"x (B.5)
обобщенной функции / (х) ? b-n/2 (Rn) назовем выражение
*] = (/, h). (B.6)
Оказывается, выражение (В.6) не зависит от выбора функции h, удовлетворяющей условию
(В.4). Ниже на основе предложения В.1 мы докажем этот факт. Предварительно введем
оператор Sfj,: tf (/?")-* Ъ% (/?") по формуле
^ при u€<5"(#"), x?R». (B.7)
9
J чевидно, и (рд;) есть элемент ^Р (/?+) по переменной р, зависящей от х? R" как от пара-
параметра $3°°, поэтому (В.7) действительно определяет непрерывный оператор из ?f (Rn)
Предложение В.1. Для любых f?bk(Rn), u^^(Rn) имеет место формула
(/. и) = J / (х) C_ ли) (х) [d"x]. (В.8)
-^ Из условия однородности для / следует
(/ (х), h (р-1*) и (х))х = рх + nli (/ (х), h (х) и (рх))х (В.9)
яри всех р > 0. Проинтегрируем по мере р-1ф на R+. Левую часть полученного соотно-
соотношения можно рассматривать как значение обобщенной функции / (х) р-1 ?<?Р'(Й°"ХЙ+) на
основной h (p~ 1х) и (х), что (в силу «коммутативности» тензорного произведения обобщен-
обобщенных функций—см. B.61), B.62)) можно записать в виде (/ (х), (р, ^(р-1^) и {х))Лх = (f, и).
Аналогичное рассуждение позволяет записать правую часть в виде (/, hC_^и)) и тем самым
доказать (В.8). >
102
Следствие В.2. Интеграл \ f (х) [dnx] от ООФ / (х) степени —п в R" не зависит
от выбора функции h (x)^^f (К"), удовлетворяющей (В.4) и входящей в определение (В.5)
меры [й"д;].
Действительно, если }?Ъ_п/2(Кп) и и (^ — произвольная функция из zf (Rn), удо-
удовлетворяющая (В.4), то
{f, и) = J / (х) (Sfn/t и) (х) [d»x] = J f (x) [d"x] = (f, h).
У п раж не ние В.2. Доказать, что
^(x)[d"x], (В. 10)
где /€&_„„(#»). A?GL(n, R).
У п ражне ние В.З. Доказать следующий аналог формулы интегрирования «по
частям»:
J [Da f (x)] v (x) [d"x] = (-1Iа I J f (x) Dav (x) [d"x], (B. II)
Следующее предложение В.З выявляет топологические свойства операторов 3^ и им
сопряженных и'^. При этом мы считаем, что 3\ (К") наделено структурой пространства
Фреше, индуцированной структурой ЛВП на <§(R"). Сопряженные пространства 3)k(Rny
и of" (Rn) мы для определенности рассматриваем в слабой топологии.
Предложение В.З. (а) Оператор U ^ есть топологический гомоморфизм из <У (R"}
(б) Оператор 3%: 2)я (RnY—- &" (Rn) топологически изоморфно отображает 2)Х(Л")'
на подпространство Ь _я(Л") с: <ff' (/?"); он сопоставляет функционалу Ф ?D ^(R")' ООФ
l?b_^(R") такую, что
(/, и) = Ф{Зхи) при u€<?>(R«), (B.12)
O(v)=\jf(x)v(x)[dnx) при v€X>i(Rn). (В. 13)
¦^ Приведем схему доказательства. Часть (а) есть непосредственное следствие того
что оператор 3^ обладает непрерывным правым обратным У{}} 2)j\, (Rn)—* zf (Rn)> т.е.
таким оператором, что 3$1^ есть единичный оператор в ф^ (/?")• Так, нетрудно убедиться,
что в качестве Щ^ можно взять оператор умножения на фиксированную функцию h, удо-
удовлетворяющую (В.4). Из (а) следует соответствующее утверждение для сопряженного опг_
ратора: 3\ изоморфно отображает 3\ (Ип)' на подпространство oSx CZ S''(R")> ортого-
ортогональное нуль-пространству е^= 3~V~ {0} оператора 3 х (при этом q/Hx определяется как
множество обобщенных функций f, из $" (/?") таких, что (f, u) = 0 при всех «?с#^).
Остается доказать равенство е^^ = Ь_^(^п). Поскольку Зх отображает Ъ^(к") насЖх' т<*
всякая обобщенная функция f ?а?х имеет вид / = Яя,Ф при Ф^®^ (/?")', т. е. f опреде-
определяется формулой (В.12). Отсюда следует f?b_x(R"), что доказывает соотношение
eSfcc b_x (Rn)- Обратное включение b_^ (kn) С aMj^ следует из формулы (Б.8). >
Важнейшее применение предложение В.З находит в задачах, связанных с полилиней-
полилинейными функционалами над пространствами 2)^ (/?")• Пусть Ф — (раздельно) непрерывный;
полилинейный функционал над 2)я (Л")Х .. • Х2)^ (/?")• Тогда формула
1 Н
{К, и1®...®ик) = ФCК(и1) Зх Ш) при Ul uk?S>{R") (В.14)
сопоставляет ему обобщенную функцию К (xi, ..., х^) ?S' ((/?")*), удовлетворяющую сле-
следующему условию раздельной однородности по xlt ..., л:ь (степени —Я,/—п/2 по д:/,
/=1, .... Л):
n2 .., д:А) при рх pft > 0. (В.15)
103
Назовем К {xi, ..., х^) ядром полилинейного функционала Ф. При этом Ф восстанавливается
по ядру формулой
Ф (V! vk)= 5 К (xi xk)vj. (Xl).. .vk (xk) [d"Xl]. ..[d»xt] (В.16)
при tf/€3\ (#")> /=1> •••> *• С помощью предложения В.З (а также теоремы Шварца
«о ядре») нетрудно убедиться, что отображение Ф—> К, определенное формулой (В.14),
устанавливает изоморфизм между пространством всех непрерывных полилинейных функ-
функционалов Ф над 2)^ (/?")Х...х2)а, (&") и пространством всех обобщенных функций
x^^if' ((&")*) со свойством раздельной однородности (В. 15).
Для приложений особый интерес представляют полилинейные функционалы Ф с допол-
дополнительным условием инвариантности относительно некоторой подгруппы G группы линейных
преобразований R". Ввиду явной инвариантности изоморфизма Ф —>- К это условие легко пере-
переводится на язык обобщенных функций как условие G-инвариантности ядра K(xlt . . . , хп).
Тем самым G-инвариантные полилинейные функционалы над X>iy(R")X. . .Хф^СЯ") нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с G-инвариантными раздельно однородными обоб-
обобщенными фуНКЦИЯМИ К{Х1у . . . , X/;).
В.2. Случай одной вещественной переменной. Прежде чем перейти к задаче продолжения
ООФ, рассмотрим ООФ от одной вещественной переменной. Положим
при /¦?/?, Х?С, Re X > — 1. Это локально интегрируемая функция, которая определяет
обобщенную функцию /^ (г) из $" (/?) с носителем в R+, однородную степени Я,. Семейство
обобщенных функций (В.17), очевидно, аналитически зависит от пар метра X. Более того,
оно допускает аналитическое продолжение по % на всю комплексную область. Действи-
Действительно, тождество
позволяет продолжить левую часть последовательно в области Re X >—2, ReA,>—3 и
т. д. Ясно, что условие однородности степени X будет выполнено для всех комплексных X.
В частности, поскольку /о(/") = Э(г), из формулы дифференцирования (В.18) следует
/_г_1(л) = б<г'('-) при l?Z+. [(B.19)
Оказывается, всякая обобщенная функция из if' (/?) с носителем в 7?+, однородная
степени "К, пропорциональна jx (r) (см. ниже упражнение В.8).
Упражнение В.4. Доказать формулу
/я М*/цМ = /*+,». (В.20)
При всех комплексных X существуют пределы в $" (R)
lira (a ± ix)x= @ ± «)\ (В.21)
которые определяют обобщенные функции, однородные степени X и зависящие от пара-
параметра X целым аналитическим образом.
Упражнение В.5. Доказать, что предел в <&" (R)
lim (a — «)A=@ — ix)x
а-с + О
существует при всех Х?С, и для него имеет место формула преобразования Фурье*)
Л- = @ — ix)\ (B.22)
При любом комплексном X определим обобщенную функцию г\ из $" (R) с носителем
на R+, полагая
I Г(М-1)/х(г) при X #-1,-2
Ясно, что г+ совпадает с функцией 6 (г) г при г Ф 0 (поэтому ее называют регуляризацией
этой функции). Из определения_следует, что при —(\-\-X)^Z+ r+ является-ООФ сте-
степени X, а при —(\-\-X) — l?Z+ она является так называемой присоединенной ООФ
*) В этом упражнении мы соприкасаемся с техникой преобразования Лапласа (изложен-
(изложенной в дополнении Б).
104
первого рода:
(pr);'-1 = p-'-i<j^-1+-bllilnp.;_J_1(r)| при р>0, t?Z+. (B.24)
Упражнение В.6. Доказать, что /-+1 не является положительной обобщенной
функцией. (Указание: если бы Г+1 была положительна, то р (рг)+г тоже была бы положи-
положительной обобщенной функцией, что противоречило бы (В.24).)
В следующем упражнении разбираются другие методы определения г+ ~' при
Упражнение В.7. (а) Доказать соотношения
+1 при l?Z+, (B.25)
r+1=-%F[B(r)ln(efr)], (B.26)
где 7 —постоянная Эйлера—Маскерони:
у = —Г' A). (В.27)
(б) Доказать, что Г (X) /^_х (г) имеет разложение (в ряд Лорана) по параметру X вида *)
Г(Я)/я_1(л)=^+[^1-?б(г)] + О(Л) при А, —0. (В.28)
(в) Доказать формулу преобразования Фурье:
-ln@—te). (B.29)
Упражнение В.8. Доказать, что всякая ООФ f (г) степени X из if' (Я) с носи.
телем в Ц+ пропорциональна /^ (г). (Указание: из упражнения В.1 следует, что f (r) =
=j40 (/•) г [при гфй. Если — A+Я,) (f ZV, то это равенство означает, что f (r)—cj^(r)
при некотором параметре eg С есть ООФ степени к с носителем в точке л = 0; вывести
отсюда, что f(r)=q\(r). Если — A +A,) = /?Z+, ™ f (r) = Ar~l-l-{-g(r), где #(/¦) — обоб-
обобщенная функция с носителем в нуле. Из условия однородности заключить, что А = 0 и
g(r)=c№(r).)
У пражнение В.9. Доказать, что пространство обобщенных функций из if' (Я)>
однородных степени Л,_двумерно. При A,(?Z+ базис в нем образуют ООФ @-f-a)^ и
(О — ?ж)\ а при A, = /?Z+ базис образован ООФ д^ и Ar'sgnx. (Указание: схема рассуж-
рассуждений та же, что и в предыдущем упражнении.)
ЦВ.З. Продолжение однородных обобщенных функций. Для любого комплексного к
определим линейные операторы ^^ и 3^ из if (Rn) B $ (Rn) формулами
(fxu) (x) = </v (г), и (rx)>r при u^ Ч
Exu)(x) = <^', ы(/-л:)>г при
гдеХ'= — Я,— 1+/г/2. Непрерывность операторов следует из тех же соображений, что и
непрерывность У^. Кроме того, аналитическое свойство /^ по параметру X влечет соответ-
соответствующее аналитическое свойство операторов ^ по X: для любой и?ё? (Rn) ty xu есть
векторная аналитическая функция от Х?С со значениями в <§ (Rn).
Укажем важнейшие свойства операторов ¦^ и JfA.
Во-первых, при всех u?<5" (R") и A?GL(n, R)
fx (ил) = (fi.u)At (ЗхиА) = (hu)A. где иА (х)«.и(Л^). (В.32)
Во-вторых, ^^ отображает ^ (Rn) в 2)^,(/?*) (в силу свойства однородности jk.(r)).
В действительности при Я,—n/2 ^ Z~o6pa3 оператора ^^ совпадает со всем пространством!
DK{Rn) (поскольку на подпространстве if (Rn) фк пропорционален оператору 3V кото-
который—согласно предложению В.З — отображает if (/?") на 3\ (Я*л)). При X—n/2 = l(ZZ+
образ E" (Я") при отображении /%-% есть [пространство 5R[/] (/?") полиномиальных функций
*) В [ГЗ] обобщенная функция Г+1 определялась из разложения
= 8(г)\-1->гг+1 + 0(Х) при Я—>-0, поэтому определение Г+1 у~Гельфанда и Шилова от-
отличается от нашего слагаемым —уб (г), сосредоточенным в нуле. (Аналогичное замечание
1*
касается обобщенных функций г+1~* при
105
«з (??(R"), однородных степени /. Это следует из явного вида ¦^ при X—n/2 = t
:S-Yи (у) =((х~\1Ь{у), и(у)) . (В.ЗЗ)
"У I I У
В-третьих, рассматривая tf (t<n) как подпространство в <?Р (R"), мы видим, что 3^ есть
продолжение оператора U^: tf (Rn)—>¦ <§ (/?"). При X — n/2^Z+ Ь^ отличается ненулевым
множителем от ^^, поэтому он также отображает <ff (Rn) на 2)^ (/?")¦ Однако при X—п/2 =
= /??+ образ S3 (Rn) при отображении 3^ содержит наряду с функциями из 3)^ (R")
присоединенные однородные функции первого рода; а именно, при и^ЗР (/?") и р > О
u) {x)\. (B.34)
)\.
В терминах введенных операторов приведем решение задачи о продолжении ООФ
в R" до ООФ в R". Пусть задана f^b^iR"); тогда из формулы (В.8) и указанных свойств
оператора 3 _х следует, что обобщенная функция / (х)?<У' (R"), определенная формулой
(f, u)=^f(x)(9_xu)(x)[d"x] при и€<У(Я"). (В.35)
(совпадает в к" с f (x). Ясно, что общее продолжение f до обобщенной функции в R" имеет
¦вид f+fo, где fo^tf" (R") и supp/0 = {0}. В случае — (Х + п/2) ^ Z+ из свойств (В.32)
{при Л =р-1, р >0) и Ь _'tJf (Rn)= 3D _^(°Rn) следует, что f?b_i(Rn); в действительности
f есть единственное такое продолжение /. В случае —(X-\-n/2)^Z+ обобщенная функ-
ШИЯ /, вообще говоря, может быть не однородной. Действительно, из (В.32) (при А=р-\,
р > 0) и (В.34) следует, что f является ООФ (степени X — л/2) в точности тогда, когда /
удовлетворяет условию
f W (ф^и) (x)[d"x] = 0 при всех u^tf (/?"). (B.36)
Если это условие выполнено, то однородное продолжение /, очевидно, неединственно
(к f можно добавить произвольную fo^^-я. (Я") с носителем в нуле). Если же условие
(В.36) не выполнено, то отсутствие однородности f нельзя устранить добавлением к какой-
либо обобщенной функции fo€<$f" (Rn) c носителем в нуле.
Мы получили следующий результат.
Теорема В.4. ПустьJ (х) — ООФ степени Я.—я/2 из tf" (R").
(а) Если —(Х-{-п/2) (?~Z+, то f обладает единственным продолжением до ООФ сте-
степени X—/г/2 из if' (/?"); это продолжение дается формулой (В.35).
(б) Если — (X+n/2) = l?~Z+, то f обладает продолжением до ООФ степени Х—п/2 из
$" (Яп) в точности тогда, когда она удовлетворяет условию
P (x) [d»x] = 0 [при всех Р?5р['] (/?")• (В.37)
Если это условие выполнено, то общий вид такого продолжения есть / + /о> г&е f определя-
определяется формулой (В.35), a f0 есть ООФ степени —С + п) из ?Р'(Rn) с носителем в нуле.
Следствие В.5. ООФ f (х) степени —(' + «) в Rn при / ? Z+ допускает однородное
продолжение в Rn в точности тогда, когда при всех Р?Ц$'-'-' (Rn) ООФ Р (х) f (x) сте-
степени —п в R" обладают однородными продолжениями в Rn.
В ситуации, подобной части (а) теоремы В.4, когда однородное продолжение f суще-
существует и единственно, мы будем говорить о принудительном продолжении. Принудительным
продолжением можно охватить и случаи из части (б), если ограничиться ООФ с четностью
а такой, что
а(—1)' = —1. (В.38)
При этом мы говорим, что ООФ f (х) обладает четностью а=±, если
f{-x)=af(x). (B.39)
¦Упражнение В.10. Пусть l?Z+. Доказать, что всякая ООФ / (*) степени —(/+«)
в Rn с четностью а (В.38) обладает единственным продолжением до ООФ в R" той же сте-
степени и той же четности; это продолжение определяется формулой (В.35), где теперь допол-
дополнительно предполагается, что функция h, задающая меру [d"x], четная.
В отличие от того что мы имели в следствии В.2, однородное продолжение f, давае-
даваемое формулой (В.35) в случае —(X-\-я/2)?Z+, конечно, при выполнении условия (В.37),
106
вообще говоря, зависит от функции h (х), удовлетворяющей (В.4) и фигурирующей в опре-
определении меры [dnx]. В этой ситуации представляет интерес вариант метода аналитического
продолжения по параметру, позволяющий строить однородные продолжения способом, не
зависящим от п. Пусть задано семейство {fx} CZ zf' (/?") ООФ в /?", где fx аналитически за-
зависит от параметра Х?С и удовлетворяет условию fa,6Ья (/?"). Сопоставим ему семейств»
{^4€<5"' (R") ООФ в R", где Fx определено формулой
(Fx, и) = J fx (x) (f-xu) (х) [d»x] (B.40)
и аналитически зависит от Х?С. Ясно, что Fx принадлежит Ьх (Rn) и не зависит от выбо-
выбора h. ^Теперь нетрудно убедиться, что если при некотором фиксированном —B,-f- я/2) =
= /?.Z+ fx обладает однородным продолжением в R", т. е. если Fx = 0 при этом X, то»
формула
доставляет одно из таких продолжений (определенное независимо от выбора К). Вообще,
дифференцирование Fx по параметру может использоваться для получения нетривиальных
ООФ из bx(Rn) при тех значениях X, при которых Fx = 0; для этого достаточно взять
низшую неисчезающую производную от Fx по X.
Метод дифференцирования по параметру с целью получения 'новых ООФ обобщается
на раздельно однородные обобщенные функции. Пусть % = (Xlt ...Д^)^СА и пусть Ьх есть
подпространство в tf" (Qxх ... XQ^) (где Q/ есть R"i или /?"/) обобщенных функций
f (хъ ..., x/i), однородных степени X у— лу/2 по xj (/ = !,..., k). Наконец, пусть задан»
семейство {Fx} обобщенных функций, аналитически зависящих от параметра X и таких,
что Fx?tx- Тогда нетрудно убедиться, что Р[ ^т- ) Fx^P (л,— дл— ) Fi. принадлежит
Ьх (где Р (г) — комплексный полином от k переменных z=(zlt ...,г^)) в точности тогда,
когда Pia) I ^т- ) Fx = 0 для любых ненулевых мультииндексов a==(ai, ..., a
k
здесь P^ обозначает полином />'a'(z) = TT ( з—) P(z)- Всякую ООФ из Ьх вида
II
естественно назвать ассоциированной с семейством {Fx} (таковыми являютсяг
многие ООФ, встречающиеся в математической физике,— например ООФ, связанные с квад-
квадратичными формами [ГЗ]).
В.4. Применение к ковариантным однородным обобщенным функциям *). Приведем ва-
вариант теоремы В.4, касающийся продолжения ООФ, ковариантных (в частности инвари-
инвариантных) относительно группы Ли G, действующей линейно в R". Предполагается, что за-
задано L-мерное комплексное матричное представление Т (g) s (Гр (g)) группы G; T (g)—кон-
траградиентное представление.
Теорема В.6. Пусть f (х) = (fa (х))а=1 ?, есть G-ковариантная ООФ степени
Я—л/2 в R", преобразующаяся по представлению Т группы G.
(а) Пусть —(Я,-|-я/2) ?Z+; тогда f обладает единственным продолжением до G-ko-
вариантной ООФ степени X — га/2 в R", преобразующейся по представлению Т; его можно
определить формулой
L
2 fa M C-XUa) (x) [dnx] при иа ?<&> (R"). (В.42)
<х=1
(б) Пусть —(X-{-n/2)=l^Z+ и пусть группа G обладает свойством полной приво-
приводимости всех приводимых комплексных конечномерных представлений группы G**). ООФ f об-
обладает G-ковариантным однородным (степени X—л/2) продолжением в R" (преобразую-
(преобразующимся по представлению Т) в точности тогда, когда для любой G-ковариантной полино-
полиномиальной функции р (х) ss (pa (x))a=i L в R", преобразующейся по представлению Т и од-
однородной степени I, G-инвариантная ООФ 2 fa (г) ра (х) из b-n/2(Rn) обладает однород"'
ее
ным продолжением в R", т. е.
*)
**)
Понятия, используемые в этом пункте, более подробно обсуждаются в п. З.4.Б.
) Этим свойством обладают компактные, а также связные полупростые группы Ли-..
С помощью этого свойства можно заключить, что модуль детерминанта произвольного конечно-
конечномерного представления группы G тождественно равен единице. (В противном случае он опреде-
определял бы гомоморфизм группы G на группу R+, не обладающую подобным свойством полной при-
приводимости представлений, и тогда G также не обладала бы этим свойством.)
10?'
Неединственность искомого продолжения, очевидно, характеризуется размерностью простран-
пространства G-ковариантных ООФ в R", преобразующихся по представлению Т, однородных степени
X—п/2 и имеющих носитель в нуле.
•4 Мы ограничимся наброском доказательства. Часть (а) есть следствие принудительного
характера однородного продолжения в части (а) теоремы В.4. В случае (б) необходимость усло-
условия (В.43) вытекает из следствия В.5. Для доказательства его достаточности введем конечно-
конечномерное пространство 3* вектор-функций p(*)=(pa(#))a_ i ?,, компоненты которых ра(х)
являются комплексными полиномиальными функциями в /?", однородными степени /. В 3*
действует представление т группы G: (r(g) p)a(x)='^lT^(g)p&(g~1x). Левая часть формулы
р
(В.43) задает G-инвариантный линейный функционал Ф (р) на 3*, который обращается в нуль
на элементах р?3* таких, что x(g) p=p при всех g?G. Покажем, чтоФ (р)=0 на 3*\ согласно
следствию В.5 тем самым будет доказано, что / допускает однородное продолжение степени
—(/+я) в R". С этой целью разложим пространство 51 на инвариантные неприводимые подпро-
подпространства 5V Имеются три возможности. Во-первых, 3*i одномерно и преобразуется по три-
тривиальному представлению группы G, тогда Ф(р)=0 на 3*; по условию. Во-вторых, 3*i одно-
одномерно и преобразуется по нетривиальному представлению, тогда из инвариантности / следует
Ф(р)=т((^)Ф(р) при p?3*i, так что Ф(р)=0 на 5\'. Наконец, если размерность S"i превосхо-
превосходит единицу, то Ф также равно нулю на 5*/ (так как в противном случае нуль-пространство
функционала Ф, суженного на 3*,-, было бы собственным инвариантным подпространством
в S>i). В результате доказано, что / обладает однородным продолжением /в Rn. Остается дока-
доказать, что такое продолжение можно выбрать G-ковариантным. Для этого заметим, что свойство
однородности сохранится, если /заменить на f-\-h, где h=(ha(x))a_\ L— произвольная век-
векторная обобщенная функция, компоненты которой ha(x) являются ООФ степени —(/+л) в Rn
с носителями в нуле. Обозначим конечномерное комплексное пространство всех таких вектор-
векторных ООФ h через Q. С помощью указанного произвола можно достичь того, что /+й будет G-
ковариантной ООФ. (На этом заключительном этапе доказательства нужно привлечь тот факт
([К8], п.8.1), что свойство полной проводимости всех приводимых комплексных конечномерных
представлений группы G эквивалентно тривиальности одномерных групп когомологий Нг(и, V),
ассоциированных с произвольными представлениями группы G в комплексных конечномерных
векторных пространствах V. Применяя это замечание для V—Q, мы получим требуемый ре-
результат.) >
Часть (б) теоремы Б.6 не содержит указаний, как строить ковариантные однородные про-
продолжения. Если же в случае (б) дополнительно предположить, что группа G компактна, то по
крайней мере одно из искомых продолжений (если оно существует) дается формулой (В.42),
причем теперь предполагается, что мера [dnx] строится по G-инвариантной функции h?<ff(Rn),
удовлетворяющей (В.4).
В следующих двух упражнениях рассмотрены ситуации с принудительным продолжением.
Упражнение В.11. Доказать, что утверждение, сформулированное в упражнении
В. 10, остается справедливым, если дополнительно потребовать, чтобы f(x) и ее продолжение
были G-ковариантными.
У пр а ж не ни е В.12. Предположим, что / ? Z+ и что группа G обладает свойством пол-
полной приводимости приводимых комплексных конечномерных представлений. Доказать, что
если пространство G-ковариантных полиномиальных функций в R", преобразующихся по пред-
представлению Т и однородных степени /, состоит только из нуля, то всякая G-ковариантная ООФ
в R", преобразующаяся по представлению Т и однородная степени —A-\-п), имеет единственное
G-ковариантное продолжение в R", преобразующееся по представлению Т и однородное степе-
степени -~A+п).
Следующий пример демонстрирует существенность условий на группу G в части (б) тео-
теоремы Б.6.
Упражнение В. 13. Пусть группа G= R действует в R2 преобразованием (xlt x2)
->- (x1-\-tx2, хг), t?R и пусть !?$"(Й?) определена равенством f(x)=Q(x1) б'(х2). Доказать, что
/ является однородной и G-инвариантной, обладает однородным, но не G-инвариантным продол-
продолжением в Z?2. (Указание: условие G-инвариантности в инфинитезимальной форме имеет вид
В.5. Однородные обобщенные функции в комплексной области. Для произвольного
открытого множества Q с С" вводят пространства Шварца основных и обобщенных функ-
функций gf (Q) и #"(Q) (или<ф(<2) и ?D'(Q)), считая основной (соответственно обобщенной) функцией
f (г) от вектора г = х-{- iy?Q основную (соответственно обобщенную) функцию от (х, y)^R2n.
Для значения обобщенной функции f (г) g ff' (Q) на основной и (г) g if (Q) применяют также
символическую интегральную запись:
(f,u) = J/(z)a(z)|d»zd»7|, (B.44)
где
2~" \dnzdnz\^dnxdny (B.45)
— лебегова мера на С". В частности, дельта-функция S (г) ?$" (Сп) определена равенством
^ б (г) и (г) | d"zd"z\ = и @). (В.46)
108
Индексом однородности назовем упорядоченную парух = (А.> ц) комплексных чисел
таких, что \—n?Z. Множество всех таких индексов обозначим через ЗЕ — это комплексное
многообразие, состоящее из счетного числа копий комплексной плоскости С с переменной
1/г(^ + ц) в качестве локальной координаты.
Пусть Q есть либо С", либо С", где
— комплексное пространство С" с выколотым началом. Будем говорить, что функция (или
обобщенная функция) f (г) в Q однородная индекса % (или бистепени (к — /г/2, jx — /г/2)), если
С" = С" \{0} (В. 47)
золотым началом. Будем говорить, что функция (или
дная индекса % (или бистепени (к — /г/2, |х— /г/2)), если
f (аг) = ф^ (a) f (г) при всех а?С, (В.48)
где
Фх"] (г) = | а\Ь+Р~пехр (i (к— ц.) arg а) при agC. (B.49)
Через 2;х (Q) и Ьх (Й) обозначим подпространства в (^ (Я) и ^" (Q) соответственно гладких
и обобщенных функций в Q, однородных индекса х- Особую роль играют индексы из мно-
множеств
(В.50)
В первом случае ®х (С") имеет (конечномерное) подпространство 5$^ (С") полиномов от г,
г, однородных степени Я.—/г/2 по г и степени jx — л/2 по г; во втором случае Ъ% (С") имеет
(конечномерное) подпространство <5х (?") ООФ индекса % с носителем в нуле.
Для ООФ в комплексной области имеют место результаты, совершенно аналогичные тем,
что мы имели в вещественном случае. Поэтому мы ограничимся их формулировками без дока-
доказательств.
На самом деле комплексный случай сводится к вещественному. Для этого перепишем-
(В.48) в виде двух условий:
>-nf (г) при р > 0, (В.52а)
при ф?й; (В.526)
(В.52 а) есть условие однородности степени Я + Ц—п по переменным (д:, y)?Rin, в то время
как (В.52 6) можно интерпретировать как условие ковариантности f (г) относительно группы
0A){€СМ 1>
){€М >
Для любого индекса % пространства Ьх (С) и bjj (С) одномерны и порождаются соот-
соответственно функциями ф^'(г) и ООФ \р% (г), определяемыми следующим образом. Будем
обозначать
A.vn^Vstf.+n+IA'-nl). а.лц=1ма.+и-|А.-Н)- (В.53)
Определим г|зх (г) при Re(X + jx) > 1 как следующую непрерывную функцию в С:
г |"+Ц~1 ехр ('' ^"^
Очевидно, г|зх есть обобщенная функция из $" (С), аналитически зависящая от параметра
% (в смысле аналитичности по ^(Д.-Ьц) при фиксированном к—[i?Z). Далее, ¦$% обла-
обладает (единственным) аналитическим продолжением по % на все многообразие индексов ЗЕ,
причем это продолжение может быть выполнено (индукцией по целой части от—Re(A + ))
с помощью тождеств в $" (С):
при к—|x?Z+, (В.55а)
при (х—k?Z+. (В.556)
Упражнение В.14. Доказать, что при х€"_
(В.56а)
:Л[2я8(г)]; (В.566)
(I)
здесь г|з_х f з~ J —дифференциальный полином порядка —(Х-\-ц-{-1).
Нетрудно видеть, что
109
Отсюда и из (В.56) следует, что носитель \|зх есть С при %? sL1-' и носитель г|зх есть {0}
при x€HL1]-
Другое полезное семейство обобщенных функции в С образовано продолжениями ф^1'
из С в С:
Фх = Г((Я.уц) + 1тх при х?В[-1]. (В.58а)
/ 1ч-(XV Ц)-1/
(\ | ^Е] (В-58б)
( где -г- есть производная по параметру 1/2(^ + ц) при фиксированном К—jx J . Нетрудно
убедиться, что фх есть продолжение фх из С в С. При % ^ E_J это продолжение одно-
однородно, в то время как при %?В_ ¦'это есть присоединенная ООФ первого рода:
/ - 2 (— n
(«) =Ф^ (a) { Фх (г) + In | а | Г (-_ (?^)+i/2) ifc W | при а^ С.
Перейдем к случаю нескольких комплексных переменных. Положим
[dnzdn7] = H (z)\dnzdn7\, (В.60)
где Я (г) — фиксированная функция из <3) (С) такая, что
=1 при всех г?С". (В.61)
Интеграл от ООФ / (г)?Ь(_„/2? _„/2) (С") по мере [d"zd"z]
B)[dd»7] = (/, Я) (В.62)
не зависит от выбора функции Я, удовлетворяющей (В.61). Предложение В.7 обобщает это
утверждение.
Пред ложение В.7. Для любых f^.b^(Cn), u(^?f (cn) справедлива формула
(f, и) = J / (г) (Ф-х и) (г) [d"z d]; (B.63)
при этом непрерывный сператср Ф^: &1 (Сп) —-»• ЗГХ (^п) определен формулой
(Фхн) (г) = j ф^З (a-i) u («) ! ^^ ' • (В.64)
Следующее утверждение является аналогом предложения В.З.
Предложение В.8. (а) Оператор Фх есть топологический гомоморфизм из tf (Cn)
на ?х (С").
(б) Сопряженный оператор Ф%: 3)^ (С)' —* of" (С") топологически изоморфно отобра-
отображает 35Х(С")' на подпространство Ъ-%(С").
В частности, это предложение позволяет сопоставить всякому (раздельно) непрерыв-
непрерывному полилинейному функционалу X над 2^х (С")X • • • X3}% (С") ядро полилинейного
функционала, т. е. обобщенную функцию К (zi zk)^.if' ((C")ft), связанную с Ж соотно-
соотношением
(К, И1®...®и*) = «-(ФХ1(и1), ..., Ф^Ы) {при uy€tf" (<?")• (В.6Б)
Ядро К удовлетворяет условию раздельной однородности на zi, ..., z# (индекса —X/ по
г;; /=1 «):
K(alZl, ..., aftzft) = П<Р-"х, (°У) К (гь •— г^ ПРИ аь •••• aft€C- (B.66)
С помощью формулы (В.65), а также ее обращения
i, ...,zk)v1(z1)...vk(zk)[d"zd"z1]...[d"zkd"Fk] (B.67)
(где t»y^35x (Сп),/=1, ..., А) устанавливается взаимно однозначное соответствие Ж
между всеми (раздельно) непрерывными полилинейными функционалами <Ж" над 2)„ (С")Х.
110
• ••ХЗХ, (Сп) и пространством всех обобщенных функций K(zlt ..., z^^^'((С")й),
удовлетворяющих условию раздельной однородности (В.66).
В заключение рассмотрим вопрос о продолжении ООФ из области С" в С. Опреде-
Определим непрерывные операторы Ч'х и Фх из ?f (Cn) в <§ (С"), полагая
(V%u)(z) = (\pr (a), u(az))a, (B.68)
(Фх«) (г) = (фх/(а), и (az))a, (В.69)
где u?(fjP (С), г?С", %'={ — Я,-| т:—,—и + ^-д—] ; правые части здесь понимаются
V z z 1
в смысле значений обобщенных функций из zf' (С) по переменной а на основных функ-
функциях*^-—>и(аг) из of (С), зависящих ^"-образом от параметра z?Cn.
Упражнение В.15. Доказать, что для Ч'^ при х€"+1"' имеет место следующее
явное выражение:
(В.70)
При х^ Зс^] операторы Т^ и Ф^ отображают tf (С) на 2>Х(С"). В случае
оператор "F^ отображает & (С) на (конечномерное) подпространство в ®х(С"), состоящее из
полиномиальных функций от г, г, однородных индекса %< в то время как при таком х образ^(С")
при отображении Фх содержит наряду с однородными функциями из 2)х(<?п) присоединен-
присоединенные однородные функции первого рода. Действительно, из (В.59) следует, что при х6^ +
(ФхЫ) («г) = фГ (а) {(ФхЫ) (г) + Ш | а|
С помощью перечисленных свойств операторов Ф% и Ч^ устанавливается следующий
результат о продолжении ООФ от комплексных переменных.
Теорема В.9. Пусть f (г) есть ООФ из $>' (С"), однородная индекса %¦
(а) Если х ? Н^1, то / обладает единственным продолжением до ООФ индекса % из
3" (Сп); продолжение f определяется формулой
(f, и) = ^f (г) (Ф-хи) (г) [d"z d"l].' (B.72)
(б) Если х€^_ > то /^ обладает однородным продолжением индекса % в С" в точ-
точности тогда, когда
J / (г) Р (г) [d"z d] = О (В.73)
для всех функций Р (г) из 3)_х(С"), полиномиальных по г, г. Яри выполнении этого усло-
условия общий вид такого продолжения есть сумма ООФ f, определенной в (В.72), и произволь-
произвольной ООФ из Ьх (С") с носителем в нуле.
Глава 3. ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
3.1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
А. Геометрия пространства Минковского. Пространство Минковского М
есть четырехмерное вещественное пространство /?4, снабженное псевдоевкли-
псевдоевклидовым скалярным произведением
pq = p°q°-pq^g}.ilpV = PxqK- C-1)
При этом мы условились произвольный 4-вектор из М записывать в виде
р = (р°, р1, р2, р3)==(р°, р), где р°—временная координата, а р — прост-
пространственная часть 4-вектора р. Посредством g= (g^) обозначен метрический
тензор с компонентами
= 0 при Х^ц. C.2)
По дважды повторяющимся верхнему и нижнему индексам (в формуле C.1)
и в дальнейшем) подразумевается суммирование от 0 до 3 («правило сум-
суммирования Эйнштейна»). Поднятие и опускание индексов осуществляется
с помощью метрического тензора g и обратного ему g~* = (g^1*1) = (g\n)'-
Px = gx^, px = gxW C.3)
Скалярный квадрат вектора мы обозначаем через *) р2:
Р* = Р-р- C-4)
Базис
ео = A, 0, 0, 0), ех = @, 1, 0, 0), в, = @, 0, 1, 0), е3 = @, 0, 0, 1) C.5)
называют стандартной лоренцевой системой (или стандартной системой
отсчета) в М; при этом е0 называют ортом времени, а ех, е2, е3 — пространст-
пространственными ортами (данной системы).
Наряду с векторным пространством Минковского вводят также аффинное (координатное)
пространство Минковского, в котором инвариантным объектом является не скалярное произве-
произведение, а псевдоевклидово расстояние, квадрат которого равен (х—yfs=(x°—у0J— (х—уJ.
В физическом контексте координатное пространство Минковского, обозначаемое иногда по-
посредством Мх, служит пространством-временем специальной теории относительности; есте-
естественным элементом объема на Мх является лебегова мера d*x. Векторное же пространство Мин-
Минковского фигурирует либо как касательное пространство к Мх (т. е. пространство разностей
х—у, где х, у^Мх), либо как сопряженное к касательному пространству, и тогда оно играет
роль импульсного пространства Минковского и иногда обозначается посредством М„. Естест-
Естественный элемент объема на Мр есть
dip=dip!Bn)*.
В то время как группой симметрии векторного (или импульсного) пространства Минковского
является группа Лоренца (о которой пойдет речь ниже), группой симметрии (или движений)
аффинного (или координатного) пространства Минковского является группа Пуанкаре (§7.1).
В дальнейшем мы обычно используем обозначение М, как для координатного, так и для им-
импульсного пространства Минковского (обычно из контекста ясно, о каком пространстве идет
речь).
*) Это не приводит к недоразумению. Те редкие случаи, когда р2 означает вторую компо-
компоненту вектора р, будут специально оговариваться.
112
Вектор р? М называют (положительным или, соответственно, отрица-
отрицательным) времениподобным, если его квадрат р2 положителен (а нулевая
компонента р° положительна или, соответственно, отрицательна). Если же
вместо р2 > 0 имеет место р2 = О, но р Ф О, то р называют (положительным
или отрицательным) изотропным вектором. При р2 < 0 вектор р называют
пространственноподобным. В соответствии с классификацией векторов в М
по величине р% и знаку р° (при р2 ^ 0) вводят следующие часто встречаю-
встречающиеся множества:
7: р2>0}, C.6)
1: /?2 >0, /?°>0}, C.7)
V"=— V+, F- = — F+, C.8)
i7m = {p€^W: Р2>т2, р°>0} при т^О, C.9)
Г?={р?М: р2 = т2, /?° > 0} при т>0. C.10)
Б. Определение общей группы Лоренца и ее связных компонент. Всякое
линейное преобразование Л пространства Минковского, оставляющее инвари-
. антным скалярное произведение Минковского, называется преобразованием
Лоренца. Все такие преобразования образуют общую (или полную) группу Ло-
Лоренца, которую мы будем обозначать через L. Любое преобразование Лоренца
A?L задается четырехрядной матрицей
у» = (Axf = A»xv. C.11)
Условие инвариантности формы C.1) эквивалентно условию
Чё*лМ = §^ C-12)
или, в матричной форме,
ATgA~g, т. е. A-l = gATg, C.13)
где АТ—матрица, транспонированная к Л: (Ат)§ = А^,. Если взять опреде-
определитель обеих сторон равенства C.13), получим, что
(detAJ = l, т. е. detA=± 1. C.14)
Если det Л=1, то преобразование Л называется специальным.
Примером преобразования Лоренца с det Л=1 может служить тожде-
тождественное преобразование: Л=1 (единица группы), а также отражение четырех
осей Л=—1. (Примером несобственного преобразования является простран-
пространственное отражение; см. ниже C.19).) Равенство C.12) при n=v=0 дает
следовательно, существуют две возможные области изменения параметра Л|}:
Л2>1 и Ag<—1. C.15)
Если Л° ^ 1, то говорят, что преобразование Л ортохронно (не меняет
направления времени); специальное ортохронное преобразование Лоренца
называется собственным.
Упражнение 3.1. Проверить, что группа Лоренца является шестимерной группой
Ли и в ней можно ввести локальные координаты с помощью вещественных антисимметрических
4Х4-матриц 05Е?@^) = (— 0^) по формуле
Л=ехр A/2^6^); C.16)
здесь № = — №*•— следующие линейные операторы в пространстве [Минковского, называе-
называемые операторами инфинитезимальных лоренцевых вращений:
^?? C.17)
Убедиться, что эти операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
C ,g)
113
Вещественные линейные комбинации операторов I ^ образуют (вещественную шести-
шестимерную) алгебру Ли -2 с коммутационными соотношениями, определенными посредством
C.18). Алгебра ? называется алгеброй Ли группы Лоренца.
Упражнение 3.2. (а) Четверку векторов Кя(Я, = 0, ..., 3) в пространстве М
назовем лоренцевым базисом, если ^ ^"^ц1 Fg > 0 и det(F?) = l. Доказать, чтолорен-
цевы базисы находятся во взаимно однозначном соответствии с собственными преобразова-
преобразованиями группы Лоренца Л <-» [Y^= Ле^}.
(б) Доказать, что всякий лоренцев базис {Кя} может быть получен из стандартного
базиса C.5) с помощью двух преобразований Лоренца: Y^ = RAe^, где Л — чистое лорен-
цево вращение (скажем, в плоскости 0,1), a R—трехмерное вращение.
(в) С помощью части (б) упражнения доказать, что группа собственных преобразова-
преобразований Лоренца связна.
Группа Лоренца L несвязна. Она состоит из четырех связных компо-
компонент, которые обозначаются соответственно L\ (с условиями detA—-1 и
А§>1), Lt(detA = l и Л°< — 1), Ll(detA = — 1 и Л° > 1), Li (detA = —1
и Ajj ^—1). Из них только L+ является подгруппой (разумеется, она со-
содержит единицу группы L). Эту подгруппу будем называть собственной
группой Лоренца или группой лоренцевых вращений. Эта группа играет осо-
особую роль, так как в настоящее время она считается точной группой сим-
симметрии в релятивистской теории поля и теории элементарных частиц. Из
связных компонент группы L можно образовать следующие подгруппы:
Ll = L\\}Li (ортохронная группа Лоренца), L+=lI\jL\ (специальная
группа Лоренца) и blubi. (Отметим, что хотя для последней группы нет
собственного наименования, есть широкий круг физических явлений, инва-
инвариантных относительно именно этой группы, содержащей наряду с лорен-
цевыми вращениями обращение времени*).) При этом группаLt порождена
подгруппой b\ и одним элементом из Li, скажем, пространственным отра-
отражением I s:
Is(x\ *) = (*°, -х). C.19)
Аналогично, L^uLi порождена L\ и обращением времени It:
It(x\ х) = (-х\ х), C.20)
a L+ порождена подгруппой L\ и полным отражением lst:
Istx=-x. C.21)
Рассмотрим пространство Минковского М как G-пространство для собственной группы
Лоренца Z.? (см. общее определение в дополнении Г.1). Под действием Z,|. пространствоМ
распадается на следующие орбиты: гиперболоиды x* = s при s < 0, множества Тт И Тт =
= —Гщ при т^О (см. C.10)) и точка д: = 0. Таковы же орбиты группы L^. Нетрудно
описать также орбиты группы L+ (или L) в М: это гиперболоиды x2 = s при s < 0, множе-
множества ТтЦ Тт при т>0 и точка л; = 0.
В. Универсальная накрывающая группы /Д. Представления **) связных
групп Ли можно изучать алгебраическими методами. Так, если Т есть пред-
представление группы L+ в пространстве Ж, то в некоторой окрестности еди-
единицы группы (где элементы группы имеют вид C.16)) Г (А) записывается
в виде
(i^) C.22)
*) Действительно, вплоть до 1964 г. физики верили в инвариантность относительно обра-
обращения времени (короче, Г-инвариантность) всех элементарных взаимодействий. Лишь опыт
Фитча и Кронина, в котором был обнаружен распад долгоживущего нейтрального К-мезона
на два я-мезона (см., например, [К1]), поколебал эту веру. Действительно, принимая справед-
справедливость TCP—теоремы (для которой имеются веские основания как в теоретическом — см.
гл. 9, так и в экспериментальном плане), мы убеждаемся, что этот опыт свидетельствует о нару-
нарушении Г-инвариантности. Согласно принятому в настоящее время взгляду Волфенштейна,
лишь так называемое сверхслабое взаимодействие нарушает Г-инвариантность.
**) В этом пункте мы всюду под представлениями имеем в виду конечномерные линейные
представления.
114
здесь XX(i== —Х(хЯ—линейные операторы в пространстве &, называемые гене-
генераторами представления Т; они удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям алгебры Ли ?:
[Х^, Хр°] = —i (g^X^—g^X^ + g^X^—g^X^). C.23)
Иногда генераторами представления называют операторы iX^. Мы следуем соглашению,
принятому в теоретической физике, которое обеспечивает эрмитовость генераторов для унитар-
унитарных представлений. (Отметим, что группа Лоренца не имеет конечномерных унитарных пред-
представлений, если не считать тривиального единичного представления T{h)^s[.)
Таким образом, каждое представление группы L+ определяет представле-
представление ее алгебры Ли J?'. Тем самым построение представлени группы L+ пол-
полностью свелось бы к алгебраической задаче, если бы каждому представлению
лгебры Ли & соответствовало представление группы L+. Однако ситуация
сложнее. Дело в том, что если по заданным операторам Ха®, удовлетворяющим
соотношениям C.23), построить по формуле C.22) операторы Г (Л) для Л в ок-
окрестности единицы, то мы получим так называемое локальное представление
группы L+. Естественно попытаться продолжить его на всю группу, исполь-
используя формулу Т(Л1Л2) = Т(Л1) Т(Л2) в качестве определения. В некоторых слу-
случаях мы действительно получаем в результате представление группы L+. В дру-
других же случаях Г (Л) оказывается определено неоднозначно (в случае непри-
неприводимого представления алгебры Ли называются неинтегрируемыми до пред-
представления всей группы). В этих случаях мы получаем не истинное представле-
представление, а так называемое двузначное представление группы /Д. (Для группы вра-
вращений в трехмерном пространстве ситуация вполне аналогична.) Они играют
в релятивистской квантовой теории столь же важную роль, как и «истинные»
представления, поэтому целесообразно иметь более последовательную их трак-
трактовку.
Трудность с неинтегрируемыми представлениями алгебр Ли полностью
проанализирована в теории групп Ли (см. ГП1]). Причиной ее является неодно-
неодносвязность, а точнее, двусвязность группы L+. Упомянутой трудности не воз-
возникло бы, если бы мы с самого начала заменили группу L| односвяз-
ной группой, устроенной в окрестности единицы так же, как L+, т. е. ло-
локально изоморфной группе L+. (Локальным изоморфизмом двух групп G и G'
называется взаимно однозначное соответствие Ф: N -*¦ N' между какой-либо
парой окрестностей единиц NaG и N'aG', причем это соответствие сохраняет
умножение: 0(gig'2)=0(g'iH(g'2)-) Оказывается, для любой связной группы
Ли G существует (единственная с точностью до изоморфизма) связная одно-
связная группа Ли G, локально изоморфная группе G. Эта группа G называется
универсальной накрывающей группы G.
В известном смысле группа G больше, чем G. Однако соотношение между ними сложнее,
нежели простое включение GdG (кроме тривиального случая G=G). Группа G накрывает G
несколько раз. Это означает, что существует гомоморфизм ф группы G на группу G, являющийся
в то же время локальным изоморфизмом. (Этот гомоморфизм называется накрывающим гомо-
гомоморфизмом.) Прообраз элемента g?G относительно ф составлен из некоторого (конечного или
бесконечного) числа изолированных точек g?G. Число таких точек не зависит от g; оно как
раз определяет, сколько раз G накрывает группу G.
Универсальную накрывающую группы L+ можно построить следующим
образом. Группа L\ обладает двузначным комплексным двумерным пред-
представлением. Матрицы этого «представления» образуют группу *) SL B, С),
состоящую из всех комплексных матриц 2 х 2 с детерминантом, равным 1.
Группа SL B, С) является комплексной группой Ли комплексной размерности 3
(и, значит, вещественной размерности 6), и в ней можно ввести локальные координаты по-
*) Вообще, через GL(n, С) принято обозначать общую линейную группу невырожденных
комплексных матриц пХ п, а через SL (л, С) — специальную линейную группу, т. е. подгруппу
GL(n, С) матриц с определителем 1.
115
средством комплексного трехмерного вектора ф?С3 следующим образом:
A = eV.<tVs3e'^V/. C.24)
Здесь ту- матрицы. Паули:
О —Л /1 0\ .„_-,
j т^ ] C.25)
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[ту, Tk] = 2iejklxr, C.26)
*/«— полностью антисимметричный тензор в трехмерном пространстве с е123=1:
в/м = е/*/; е123=1. C.27)
Матрицы Ту/2 называют комплексными генераторами группы SL B, С). Комплексные
линейные комбинации матриц г'ту образуют трехмерную комплексную алгебру Ли, назы-
называемую комплексной алгеброй Ли группы SL B, С).
Из определяющего уравнения det А — 1 группы SL B, С) легко видеть,
что эта группа является связным односвязным многообразием в С*. Мы по-
построим сейчас локальный изоморфизм групп SLB, С) и L+. Это будет
доказывать, что SLB, С) есть универсальная накрывающая группы L\.
Группа SL B, С) стандартным образом действует на С2: для г=(г1, г3) С О
и A?SLB, С) имеем
)a = Ag2b, й=1, 2 C.28)
(здесь подразумевается суммирование по b от 1 до 2). Она оставляет ин-
инвариантной кососимметричную билинейную форму
zew^z1w2 — z^w\ C.29)
соответствующую матрице
Пусть х —* х есть фиксированный линейный изоморфизм М на прост-
пространство всех эрмитовых матриц 2x2 такой, что
x2 = x-x = det;c, C.31)
и х—положительно определенная матрица для x?V+. Положим
x = exTe-\ C.32)
где хТ — матрица, транспонированная к х. Для определенности мы будем
использовать следующую специальную реализацию матриц х и х:
x*~lf), C.33а)
*° — х3 /' v '
—x1-\-ix2\
где х2 —вторая компонента вектора х, ео=ёо—единичная матрица, а еу-=
= —е/ — матрицы Паули*):
C.34)
Матрицы ех и ех можно рассматривать как результат применения отображе-
отображений х—>¦ х и х—>х к базисным векторам C.5). Мы также будем использо-
использовать матрицы е^^д^вц и ex = g-XfXe(i.
*) Мы различаем матрицы Паули в формулах C.24) и C.34), поскольку они относятся
к объектам с различными трансформационными свойствами (относительно группы SLB, С)),
числовое совпадение этих матриц происходит из-за специального выбора базиса.
116
Упражнение 3.3. Убедиться в справедливости следующих соотношений:
tr (ab) = tr (ab) = 2ab, a, b?M. C.37)
Здесь посредством e^nvp обозначается абсолютный антисимметричный тензор: mvp
если X[ivp образует четную перестановку чисел 0, 1, 2, 3, и sx\i\p =—1, если Хцхр обра-
образует нечетную перестановку этих чисел; exnvp = 0, если хотя бы два индекса совпадают.
В дальнейшем мы используем также абсолютный антисимметричный тензор с верхними ин-
индексами
(так что ео123 = — ео123=1). C.38)
Сопоставим теперь каждому элементу A^SLB, С) элемент
по любой из следующих двух формул:
Лх = Лл;Л*, Лл; = Л*-1хЛ-1 C.39)
для всех х 6 М. Нетрудно видеть, что отображение Л —-»¦ Л (Л) есть гомо-
гомоморфизм группы SLB, С) в L\ (т. е. это есть представление груп-
группы SLB, С) в пространстве Минковского). Элементы матрицы Л (Л) можно
определять по формуле
А% = V, tr (ёаЛер) = V, tr (Л\ерЛ*). C.40)
Упражнение 3.4. (а) Доказать, что гомоморфизм Л —+ Л (Л) осуществляет ло-
локальный изоморфизм между SL B, С) и L^. (Указание: в окрестности единицы группы
SL B, С) можно выбрать систему координат из вещественных и мнимых частей вектора
gC3 ф C22) Уб C40) б
в формуле C.22). Убедиться далее с помощью C.40), что ранг отображения
Л-^Л(Л) в единице Л=1 группы SL B, С) равен 6. Отсюда заключить с помощью те-
теоремы об обратном отображении ([Г11], т. II, гл. IV, теорема 5.2), что это отображение
есть диффеоморфизм окрестности единицы группы SL B, С).)
(б) Доказать, что ядро гомоморфизма Л-—>• Л (Л) состоит из двух элементов: Л=1
и Л=— 1.
Из этого упражнения (и упражнения Г. 1 в дополнении Г) следует, что
группа SLB, С) является универсальной накрывающей для группы L\, при-
причем она дважды накрывает L\.
Упражнение 3.5. (а) Доказать, что при гомоморфизме Л—> Л подгруппа
S(JB)cSLB, С) унитарных 2Х2-матриц отображается на группу О+ C) трехмерных
вращений, рассматриваемых как элементы из L^ с Л°^ = 0, /=1, 2, 3. (Это означает, что
S U B) дважды накрывает О+ C).) В частности, показать, что унитарной матрице
К F) = cos-5-. 1-tsin-i. тз = ехр ( —4-т3) C.41)
/ г \ z j
соответствует вращение R @) в плоскости (д:1, хг) на угол 0:
(R(Q)xI = cosQ-xl — sine-л:2, (R F) xJ = sin O-a^ + cos 0.^. C.42)
(б) Показать, что при гомоморфизме Л—>¦ А положительно определенной эрмитовой
матрице из SL B, С) вида
Я (я, a) = ch-T.l + sh-5-.TB = exp -s-Ti* C.43)
(где п — единичный вектор в R3, a?R) соответствует чистое преобразование Лоренца
(«гиперболический поворот») х—>• у, где
Уг=х~{хп)п + [(хп) ch а + д:0 sh а] п. (а >
В частности, диагональной матрице
/ «а/г о N
(; Л) C-45)
соответствует гиперболическое вращение в плоскости х°, х3:
y3 = x° sh a + x3ch a. C.46)
117
(в) Показать, что любое собственное преобразование Лоренца может быть представлено
как последовательное применение гиперболического вращения типа C.43) и трехмерного ев-
евклидова вращения. (Указание: всякая матрица B?SLB, С) может быть представлена в виде
B=VH, где Я=}^В*5 — положительно определенная матрица, a V=BH~l—унитарная
матрица.)
(г) Проверить тождество
V.f/^-e11;*) еХц] = ехр (Va^O^), C.47)
где операторы № в пространстве Минковского определены равенством C.17), а Эяц— произ-
произвольная вещественная антисимметрическая 4х4-матрица. (Указание: достаточно убедиться
в совпадении линейных частей в разложении по 0яц равенства C.47); с помощью C.40) задача
сводится к доказательству соотношений
- V. tr ?« (t^-e^~el)e&+-eae& (~е»е *-ё V)} =
здесь следует воспользоваться формулами C.35) и C.37).)
Заметим, что из двух спинорных векторов w, ю ? С2 и 4-вектора х
можно составить следующую алгебраическую комбинацию, которая остается
инвариантной при одновременном преобразовании w—»- Aw, со—*-Лсо,
х—»А(А)х:
a>xw = a^-x^w1 -4- са1^1ада2 + a^x^w1 + йJх22да3. C.48)
Ясно, что в левой части равенства со интерпретируется как 1 х 2-матрица
(строка), a w—как 2х1-матрица (столбец), так что в результате матрич-
матричного перемножения получается скаляр. Аналогичным образом интерпрети-
интерпретируются более сложные выражения (включая инвариантные дифференциаль-
дифференциальные операторы), например,
шгх—=, -д— е-^-, (й-т-w, -т-х^ C.49)
И т. п.
Г. Конечномерные представления группы SL B, С). В соответствии со
сказанным ранее построение представлений группы L\ сводится к анало-
аналогичной задаче для SLB, С). Если мы построили некоторое представление
Л—>¦ Т (Л) для SLB, С), то, полагая
при Л = Л(Л),
мы получаем однозначное или двузначное представление Т1 для L\ (причем
этот метод дает все представления L\). Порожденное таким образом пред-
представление L,\ однозначно в точности тогда, когда Т(—1) = 1.
Вначале мы приведем результаты, касающиеся комплексных (конечномер-
(конечномерных) представлений SL B, С). Для группы SL B, С) (как и для всякой полупро-
полупростой группы Ли) условие неприводимости комплексных представлений (озна-
(означающее отсутствие нетривиальных инвариантных подпространств, отличных от
{0} и всего пространства представления) эквивалентно условию операторной
неприводимости в смысле Шура (которое означает, что всякий оператор, ком-
коммутирующий с операторами представления, кратен единичному оператору).
Произвольное же представление есть прямая сумма неприводимых представ-
представлений. (Другими словами, произвольное представление вполне приводимо.)
Поэтому для классификации достаточно описать неприводимые представления
(с точностью до изоморфизма).
Всякое неприводимое комплексное представление SL B, С) характери-
характеризуется упорядоченной парой (/, k), где / и & —целые или полуцелые*) не-
неотрицательные числа. Представление (/, 0) может рассматриваться как сим-
симметричное тензорное произведение 2/ экземпляров определяющего представ-
представления Л—у А группы SL B, С). (Здесь с равным успехом можно взять
эквивалентное контраградиентное представление Л—у(Аг)~1, и ниже мы
*) Полуцелым числом называют число вида п+'/г, где п — целое число.
118
воспользуемся этой возможностью.) Представление @, /) есть комплексно
сопряженное к (/, 0). Произвольное неприводимое представление (/, k) мо-
может быть определено как тензорное произведение представлений (/, 0) и
@, k). Таким образом, представление (/, k) может быть реализовано в про-
пространстве спин-тензоров г|5а' " av; pi"|32fei зависящих от двух групп ин-
индексов: 2/ «нештрихованных» индексов ах, . . ., <x2J- и 2k «штрихованных»
индексов Pi, ..., $'2k; все индексы пробегают значения от 1 до 2. Кроме
того, спин-тензоры подчинены условию симметричности по индексам каждой
группы (т. е. отдельно по штрихованным и нештрихованным индексам).
Представление ?</¦ fe> в пространстве спин-тензоров определяется фор-
формулой
*) (Л) г|5)а' ¦ • • a2/; Pi • • • Р2& =
/2/ \ / Ik
2 П л«И П К
С равным успехом можно было бы использовать спин-тензоры с нижними
(«контравариантными») индексами at, ..., a2y; Pi, ••¦, р^; при этом в пра-
правой части C.38) матрицы Л и Л следует заменять на (Л1) и Л*~х соот-
соответственно.
Спин-тензоры удобно характеризовать производящими полиномами от
переменных со и со:
я|>К «)= 2, , ^,...«,..,„; ...^^¦•••^^•••^-
«1 a2/; Pi РгА J
C.51)
Поэтому мы можем считать, что представление (/, k) реализовано в про-
пространстве sp</-*> всех комплексных полиномов г|)(со, со) от со^(оI, со2) и
©^(со1, со2), однородных степени 2/ по со и однородных степени 2k по со:
я|з(>.со, lco) = X2-/(lJft^(co( со) для всех Х$С. C.52)
Действие ©(/¦*) группы SLB, С) в ^</. *) имеет вид
(со, со) = г|5(Л-1со, Л~1со). C.53)
Упражнение 3.6. Доказать, что отображение, сопоставляющее каждой паре по-
полиномов ф, \|з^5E(/» к) число
e-1^—, е-1 —== ) \b (to, co) =
{w' ^{ы' 5)> C'54)
является невырожденной Si. B, С)-инвариантной билинейной формой на 5}5(А *>. (Эта форма
порождена билинейной формой C.29) на С2.)
В следующем упражнении приводится вид генераторов представления ЗУ А *> группы
5LB, С). В соответствии с формулами C.22) и C.47) генераторы Х^ч- представления 3>А *>
можно определить соотношениями
3^.» fexp ^_1(/7х-?'х»еяц)) = ехр ^1-Л^елц) C.55)
для всех вещественных антисимметричных 4х4-матриц 0.
Упражнение 3.7. Доказать следующие формулы для генераторов Х^и- представ-
представления ЗУ-7'* *> группы SL B, С) в пространстве 5Р(А ft>:
l^x)8-i|— *7(~е*;Р-1Ре*-)Лг , C.56)
e^e-i J- + i/4F(^?(i-\ ея) 4z . C.57)
119
(Указание: для вывода равенства C.56) достаточно подставить Л = ехр [—1/8 ( е^ е&—&*¦ е ) 0Лц.]
в C.53) и выделить линейную часть по 0я,ц; C.57) следует из C.56) и C.36).)
Заметим, что 2)(/> к) порождает однозначное представление группы L+
в точности тогда, когда <?></•*)(—1) = 1, т. е. когда j + k является целым
числом. Вообще, величину <?></¦*>(—1) мы будем называть валентностою;
если она равна 1 (соответственно —1), будем говорить о представлении
с четной (или нечетной) валентностью.
Целесообразно обсудить физический смысл понятия валентности. Рассмотрим какую-
либо однопараметрическую подгруппу вращений в двумерной пространственноподобной плос-
плоскости пространства Минковского, скажем, подгруппу К(9)=ехр A1гП3®) (в обозначениях C.41),
где вещественный параметр означает угол вращения вокруг вектора е3 трехмерного простран-
пространства). Тогда элемент —1 группы SLB, С) мы можем интерпретировать как поворот в трехмер-
трехмерном пространстве на угол 2я. Однако физически это — тождественное преобразование, значит,
наблюдаемые физические величины не должны меняться при таком преобразовании. В теории
поля наблюдаемые величины конструируются из полей, преобразующихся по представлениям
группы Лоренца (или SL B, С)) как спин-тензоры. Тогда требование, чтобы наблюдаемые не
менялись при пространственном повороте на угол 2я, в сущности, сводится к тому, чтобы за-
зависимость наблюдаемых от полей входила не иначе, как посредством комбинаций, содержащих
произведения только четного числа полей с нечетной валентностью.
Приведенные выше результаты о неприводимых представлениях груп-
группы SLB, С) легко следуют из теории углового момента в трехмерном про-
пространстве. Пусть окрестность единицы в SL B, С) параметризована трех-
трехмерным комплексным вектором фбС3 посредством C.24). В соответствии
с общими результатами теории представлений комплексных групп Ли (см.,
например, [Ж1], § 43), всякое неприводимое представление Т группы SLB, С)
представимо в виде
Т(А) = Т1(АHТг(А), C.58)
где 7\(Л) — комплексно аналитичное представление группы SL B, С), а
7"»(Л) — антианалитичное представление (т. е. комплексно сопряженное ана-
литичному представлению). Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением
комплексно аналитичных представлений Т. Это означает, что в параметризации
C.24) Т(А) представимо в виде
C.59)
где Jj— операторы в пространстве представления, удовлетворяющие коммута-
коммутационным соотношениям типа C.26):
[Jh Jj]=UUhJk. C.60)
В теории углового момента все представления этих коммутационных соотно-
соотношений хорошо изучены. Всякое неприводимое (конечномерное) представление
характеризуется (с точностью до эквивалентности) одним числом — спином s,
принимающим целые или полуцелые неотрицательные значения в соответствии
с равенством
J*=s(s+1). C.61)
Соответствующее представление есть симметричное тензорное произведение 2s
экземпляров определяющего представления Л-»-Л и, значит, есть Bs, 0) по
приведенной выше классификации. Произвольное же неприводимое имеет вид
C.58), т. е. как раз эквивалентно одному из представлений B/, 2k).
Д. Просто приводимые конечномерные представления группы SL B, С).
Пространственное отражение. Реализация представлений SL B, С) в про-
пространстве полиномов (вообще говоря, неоднородных) от со и со применима
также к важному классу приводимых представлений SLB, С), а именно,
к классу просто приводимых представлений. Такое представление является
прямой суммой конечного числа попарно неэквивалентных представлений.
Оно определяется с точностью до изоморфизма конечным множеством 5
упорядоченных пар (/, k) целых или полуцелых неотрицательных чисел.
120
Его можно реализовать в пространстве 9$s полиномов от со и со вида
Ч>К «)= 2 *,f./>(©.©). где Ч>«. /, € ?"¦'!, C.62а)
(/¦ ft) 6 S
так что
?s= ф $<Л*>. C.626)
(/ ft)s
Действие SLB, С) по-прежнему дается формулой типа C.53):
(?> (Л) г|з) (со, со) = 'ф(Л-1(о, A-iw). C.63)
Упражнение 3.8. (а) Пусть тензорное произведение представлений 2)'Sl' и 35*S2'
группы SU B) реализовано в пространстве §P(SlF 0) ®5($(S2' 0) полиномов Р (со, ш), однород-
однородных степени 2si no cog С2 и однородных степени 2s2 no w?C2. Доказать, что имеет место
соотношение эквивалентности представлений
ф C.64)
s< s, +s2
C.65a)
С этой целью убедиться, что SU B)-инвариантный изоморфизм из SK(s" 0)(g)$K(Ss' 0) в(
реализующий эквивалентность представлений, можно задать следующим образом:
г|)(ш, w) ^?@ =
= V —,—;— г;— —, — г;— ; ;— м Ф (ш. w)
J—^ (S + Si — S2)! (S — S1-I-S2)! (S1 + S2 — S)!
s
при этом обратное отображение имеет вид
/ a \s+s,-st 1 a V~s
(it ^^ I I И) -^т- I
С (S, Si, S2)
s
C.656)
здесь c(s, Si, S2) 5*0 — некоторые числа. (Указание: подставить i|)(w, mi) из C.656) в C.65а).)
F) Вывести аналогичные формулы для разложения тензорного произведения двух
неприводимых представлений SL B, С) на неприводимые представления:
ф(/»> *») (ЯK5*'2' *«)« ¦ ф ф 35(/t ft). C.66)
Приведем несколько простых примеров.
Представление 2М1/2-0) мы реализуем в пространстве ^<1/2-0) линейных
форм на С2,
г|)(со)= 2 «а«а- C-67)
а=1, 2
так что представление ®('/2- °> контраградиентно к определяющему пред-
представлению Л—*-Л в С2 и эквивалентно ему. Аналогично, представление
?)<о, i/2) действует в пространстве ^}<0' 1/2> антилинейных форм на С2:
гр(й) = 2 V©'- C68)
Р'=1. 2
Из этих двух представлений можно образовать просто приводимое представ-
представление
?)A/2, 0)ф?)<0. 1/2)> C.69)
называемое представлением Дирака. Оно действует в пространстве дираков-
ских спиноров -ф, которые можно обычно рассматривать как столбец
где а=1, 2, Р'«1,2; C.70)
121
здесь спиноры аа и Ъ§, преобразуются по представлениям ?<1/2> в> и ф<0' 1/з)
соответственно. Разумеется, спинор г|э мы можем трактовать и как полином
от со и со:
г|5(со,©)= 2 аааа+ 2 V*»"'» C.71)
а= 1, 2 C'= 1, 2
и тогда закон преобразования выражается формулой C.63).
Рассмотрим еще представление G2> 72)- Поскольку оно есть тензорное
произведение представлений G2> 0) и @, 1/2), его можно реализовать в прост-
пространстве комплексных 2 х 2-матриц х = (ха&') преобразованиями
?(i/2. i/2) (Л): х-+Лл:Л*. C.72)
Сравнивая C.72) с C.39), мы видим, что это преобразование совпадает с Л (Л)
(действующим, однако, уже в комплексном пространстве Минковского). Таким
образом, на языке группы b\ представление 2М1/*- !/2> есть стандартное дейст-
действие группы Лоренца в пространстве 4-векторов.
До сих пор мы имели дело с комплексными представлениями, вещест-
вещественные же могут быть построены из комплексных. Комплексное представле-
представление Т группы G в комплексном линейном пространстве % называется
комплексификацией некоторого вещественного представления TR группы G,
если в .?" можно выбрать линейный базис (над полем С), в котором матрич-
матричные элементы представления Т вещественны. Тогда вещественная линейная
оболочка этого базиса является G-инвариантным подпространством 2? над
полем R (вещественной размерности, равной комплексной размерности Л"),
в котором задано вещественное представление TR группы G. Поскольку TR
несет всю информацию от Т (ибо комплексная линейная оболочка S?R
есть •?"), мы обычно не будем делать различия между вещественным пред-
представлением TR и его комплексификацией Т.
Условие, что Т является комплексификацией вещественного представле-
представления, удобно выразить в безбазисной форме как условие существования
инволюции К (т. е. антилинейного оператора с квадратом 1)bJ, коммути-
коммутирующего с операторами представления. Действительно, этот оператор можно
определить посредством К (х-f /у) = х—iy при произвольных х, y^SVR.
В свою очередь Ж определяется через К, а именно: 3~R состоит из всех
векторов х^Ж, вещественных относительно К (т. е. таких, что Кх = х).
Легко видеть, что из неприводимых представлений Ф(-"ю группы
SL B, С) вещественными (т. е. комплексификациями вещественных) являются
лишь представления с j = k. Инвариантную инволюцию в ф(/> ю можно
определить, полагая
со, (о) = -ф((о, со). C.73)
В случае \фк из двух представлений ?</'*> и S)(*'/( можно построить
вещественное представление, а именно Ф^» *> 0 <D(*'Л Инвариантную инво-
инволюцию К в ^(/'^фф^у) по-прежнему можно определить формулой C.73).
Приведем две полезные реализации представлений 3! «'• />.
Упражнение 3.9. Пусть Н(п) есть пространство всех комплексных псевдогармони-
псевдогармонических полиномиальных функций от (вещественного или комплексного) 4-вектора г, однородных
степени я(=0, 1, 2, ...). При этом условие псевдогармоничности полинома q(r) означает
~-~r«?W = 0. C.74)
Доказать, что действие SL B,JC) в //<">, сопоставляющее элементу A?SLB, С) отображе-
отображение q (г)—*q(A (Л-1)/-), эквивалентно представлению ЗМ™/2' "/2>. (Указание: рассмотреть
122
отображения
* (со, ш) — , (л) =^ ^ г А)" * (». S), C.75а)
9 (г) —> у (со, ш) = -lj {adr(o)nq (г) C.756)
и убедиться, что они взаимно обратны.)
Упражнение 3.10. Пусть <?<"> есть пространство всех комплексных полиномиаль-
полиномиальных функций на световом конусе *)
§2 = 0}, C.76)
однородных степени гс = 0, 1, 2, ... Доказать, что действие Q (§)—>• Q (A(A-1) ?) группы
SLB, С) в <5<п) эквивалентно представлению в ^"/2- п/2\ (Указание: всякий вектор на
верхнем световом конусе Го" представим в виде
!д(ш) = —шео^еш C.77)
при некотором со?С2. Рассмотреть отображения
Q(E) — i|>(a). ffl)=Q(E(fi>)), C.78а)
ф(ш, щ) -> Q (?) =-L- (А ? -^)\(<о, ») C.786)
(я!)а \ <Эсо ~ дсо /
и проверить, что они взаимно обратны.)
Значение вещественных представлений группы L+ в значительной мере
обусловлено тем обстоятельством, что такие представления можно продол-
продолжить до представлений (в том же пространстве) группы L"f, содержащей
пространственное отражение**) Js. Рассмотрение этого вопроса усложняется
неоднозначностью представлений, возникающих для представлений SLB, С)
с нечетной валентностью. Мы рассмотрим этот вопрос в следующих главах.
Здесь же мы ограничимся представлениями ©С1/2- "/2> с четной валентностью.
(Этого достаточно для вопросов, рассматриваемых в п. 3.3 этой главы.)
Упражнение 3.11. Пусть Т —(однозначное) представление группы L\ и пусть
Т(Is)— оператор в пространстве представления такой, что
T(Is)T(X)T(Is)-l = T(lsAir1) для всех A^L\, C.79а)
T(IsJ = l. C.796)
Тогда существует единственное представление группы L', совпадающее с Т (Л) при A?L^
и при A = IS-
Пусть ©("/г. «/а) — представление группы L\, реализованное в прост-
пространстве <2(п) (см. упражнение 3.10). Используя упражнение 3.10, можно легко
показать, что существует в точности два расширения этого представления
до представлений группы L*. Мы будем обозначать эти представления в виде
с^(п/2,л/2\ где параметр ti = ti5 принимает два значения и называется прост-
пространственной четностью представления. Для задания этого представления
достаточно указать действие Is в (&{п):
)- C.80)
3.2. ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО
А. Определение. Обобщенная функция / (рх, ..., рп) ? &" (Мп), зависящая
от п 4-векторов р1г ..., рп? М, называется лоренц-инвариантной (или
*) Полиномиальной функцией на Го называется сужение на Го полиномиальной функ-
функции в М.
**) Здесь мы не касаемся других подгрупп полной группы Лоренца, содержащих обраще-
обращение времени It или полное отражение Is. Как будет видно из дальнейших глав, физический ин-
интерес представляют лишь реализации операций /( и Isf антилинейными операторами.
123
L\-инвариантной), если
f(APl, ...,Apn) = f(Pl, .... Pn) при A?Ll C.81)
(Заменяя здесь L+ на другие подгруппы GczL, мы приходим к G-инвари-
антным обобщенным функциям.)
Лоренц-инвариантные обобщенные функции играют важную роль в реля-
релятивистской квантовой физике. Для них широко используются явно инвари-
инвариантные представления в виде обобщенных функций от инвариантных алгеб-
алгебраических комбинаций, которые можно составить из 4-векторов р1, ..., рп
(и, возможно, от некоторых других переменных типа sgn p° при р) > О,
принимающих дискретные значения). Такие представления особенно эффек-
эффективны в том случае, когда п не велико (ЖС4).
Здесь мы рассмотрим инвариантные обобщенные функции /(р) ?.<&" (М)
от одного 4-вектора р:
f(Ap) = f(p) при A?Ll C.82)
Совокупность таких обобщенных функций мы обозначим посредством Л?.
Это описание позволяет получить инвариантные представления для так называемых двух-
двухточечных функций (Уайтмана и Грина) скалярных полей. При этом р интерпретируется либо
как 4-импульс, либо как разность координат х1—х2 двух точек в Мх.
Всякая лоренц-инвариантная обобщенная функция f (p)?af' (M) автома-
автоматически оказывается L*-инвариантной, т. е. удовлетворяет соотношению
fVsP) = f(p)- C.83)
Упражнение 3.12. Доказать C.83). (Указание: записав условие C.82) в виде
V 0»), « (Р)) = (/ (/>)> « (Ах)) при Л € LI, C.84)
где и (х) — произвольная основная функция, усреднить его по группе вращений О+C)dZ.|:
J u(Rp)dR\. C.85)
ЯС0+C) /
Заметить теперь, что усредненная функция, стоящая в правой части этого равенства, зави-
зависит лишь от р2 и р°.)
Б. Четные инвариантные обобщенные функции. Инвариантные обобщен-
обобщенные функции с носителем в точке. Лоренц-инвариантная обобщенная функ-
функция может не быть инвариантной относительно полной группы Лоренца
(и, в частности, относительно преобразований обращения времени It и пол-
полного отражения Ixt). Мы представим ее в виде
f(p) = f+(p) + f-(p)> C-86)
где
/± (Р) = V, (/ (Р) ± f (- Р)) = 72 (/ (р) ± f (Itp)). C.87)
Ясно, что для произвольного преобразования Лоренца Л выполняется
соотношение
C.88)
где е(Л) = 1, если Л не обращает направление времени (т. е. является орто-
хронным преобразованием), и е (Л) = — 1 в противном случае.
Лоренц-инвариантные обобщенные функции, преобразующиеся при пол-
полном отражении как /+ (р), мы будем называть четными обобщенными функ-
функциями. Их совокупность обозначим через J? + . Обобщенные функции типа/_
будем называть нечетными и обозначать их совокупность через J?'_. Таким
образом, множество 3? инвариантных обобщенных функций разбивается
в прямую сумму подпространств М + и J?_, каждое из которых состоит
из собственных «функций» оператора обращения времени.
Будем рассматривать классы if'+ и 3'_ по отдельности.
124
Нетрудно показать (пользуясь предложением 2.2), что всякая лоренц-инвариантная обоб-
обобщенная функция f в М, сосредоточенная в точке р=0, представима (единственным образом)!
в виде
/(/>) = Я О 8 (р). C.89>
где Я —произвольный комплексный полином (от одной переменной) и П = \3р— даламбер-
тиан, определенный формулой
дР дРц дР), дРц
Можно высказать естественное (пока несколько неточное) предположе-
предположение, что любая обобщенная функция / из 3? + зависит лишь от скалярного
квадрата вектора р и имеет вид
Хотя обобщенные функции из ?? + с носителем в нуле выглядят как исклю-
исключение из правила, оказывается, что при надлежащей интерпретации фор-
формула C.91) действительно дает описание всех обобщенных функций из 3?+,
В частности, возможность представления обобщенных функций из Х+, сосредоточенных
в нуле, в виде C.91) представляется менее удивительной, если заметить, что 6(р) есть предел
обычных функций от р2.
Упражнение 3.13. Доказать, что
— lim -^-sin(vp2) = 6(p) в <&"(М). C.92).
V-юо Я'
Чтобы придать точный смысл равенству C.91), перепишем его следующим!
образом:
J / (р) и (р) diP = J ф (т) (т+и) (т) dx, C.93>
гдет+—оператор, сопоставляющий произвольной основной функции и € & (М)<
функцию т+ы от одной вещественной переменной т:
(т+и) (т) = J б (х-р*)]и (р) diP. C.94),
Обозначим через а$+ (/?) пространство функций h (т) в /?, представимых
в виде h — m+u при некотором и?^(М). Тогда правую часть C.93) следует
понимать как значение линейного функционала <р на m+u (причем ф должен,
быть непрерывен при подходящей топологии на е?+ (/?)).
Оказывается, что а€+ (R) есть пространство всех комплекснозначных.
функций h(x) в /? вида
T)lnTl|, C.95>
где hx и h2—произвольные функции из <^(R), причем /ia@) = 0.
Приведем набросок рассуждения, показывающего, что функции C.94) действительно мо-
могут быть представлены в виде C.95). (За подробным доказательством мы отсылаем к Мете A954).)'
Вводя в интеграле C.94) сферические координаты р, е вектора р и проведя интегрирование
по р° и по углам (т. е. по единичному вектору е), получим
-p2. pg)_
J e г^т+р2
6(-т) V -T
00
= \ у (т + a, a), T/ ——-— da,
e (-X) | x |
где 0 —ступенчатая функция B.22), а
— функция из <ff (R+XR+) по со, а. С помощью функции
w(l, а) = ?>(! — а, а)
125.
(класса tf по переменным ст 3^ 0, \ S= о") h (т) записывается в виде
h(x)= \ w(x, а) Л/ -^—do.
е(-т)|т|
Очевидно, h(x) принадлежит классу оУ на любом интервале (—оо, —е] или [е, оо) (при
е > 0). Возможная негладкость h(x) при т = 0 может возникнуть лишь благодаря особен-
особенности на нижнем пределе интегрирования по а:
А
\ w(x, а) у -——da (где 0 < А < оо).
6(-Т)|Т|
Отсюда можно легко вывести, что функция h (т) становится п раз непрерывно дифференци-
л+1
t/i-rr In | т|; эта
*=1
особенность возникает при интегрировании конечных сумм ряда Тейлора функции w (т, а)
по а в окрестности точки ст = 0. Таким образом, при любом натуральном п имеем
п + 1 к
A(t)=A»(T)+X'*-FIn77i' C'9б)
*=1 '
где hn(x) — я раз непрерывно дифференцируемая функция. Отсюда следует представление
C.95). Отметим, что коэффициенты 1^ зависят только от поведения функции и (р) в окрест-
окрестности р = 0. Из размерных соображений и лоренц-инвариантногти нетрудно заключить, что
lk = Ck О"~1и (р) \р-о, где c/i — некоторые коэффициенты (числовое значение которых при-
приведено в упражнении 3.14).
Упражнение 3.14. Доказать следующую формулу для коэффициентов 1^ в разло-
разложении C.96):
/
— 1)!
C.97)
(Указание: вначале вывести формулу для /х; в случае произвольного k для вычисления
коэффициента с# достаточно ограничиться функциями и (р) специального вида: и (р) =
W4W ()€^(Л))
Мы будем называть а?+ (/?) пространством Мете основных функций
на /?. Топология на а#+ (Л) определяется следующим образом. Каждому
натуральному числу k = 1, 2, ... сопоставим линейный функционал Lk над
функциями h?oM+(R) (представленными в виде C.95))
и линейный оператор
№*А) СО = X (^. Л) ^ In Л . C.99)
v= 1 '
Определим теперь в а$+ (/?) счетную систему норм
/'*.-W = lA-©QAA|!Jkl»+2 |(^v- A)|, C.100)
v= 1
где ||-j|ft, m задаются формулой A.42) (при п= 1), а со (т)—фиксированная функ-
функция из 1Э(/?), равная единице в окрестности точки т = 0 (результирующая
топология не зависит от выбора со); с?+ (/?), снабженное этой топологией,
является пространством Фреше. Сопряженное пространство а4'+ (/?) (линейных
непрерывных функционалов над а?+ (/?)) мы будем называть пространством
Мете обобщенных функций на /?.
Мы можем резюмировать свойства оператора пт+ следующим образом.
Лемма 3.1. Формула C.94) определяет непрерывное линейное отобра-
отображение хп+ из if (Щ на <М+ (/?).
Наша задача состоит в доказательстве того, что всякая обобщенная
функция / из J? + однозначно представима в виде C.91) при некоторой
126
обобщенной функции Мете ср(т)?a?'+(R), т. е.
где т+: eS'+(R)—><&"(М)—оператор, сопряженный т+.
Предложение 3.2. Оператор т'+: оЖ'+(R)—+<&" (М) изоморфно отоб-
отображает ad'+(R) на J?+.
Предложение 3.2 основывается на результатах упражнений 3.14 и 3.15,
Упражнение 3.15. Доказать, что для любой обобщенной функции /?=Sf сущест-
существует пара обобщенных функций ф+ (т) и ф_ (т) из $" (/?), совпадающих при т < 0, таких, что
f(p) = y+(p2) при p(?—V+, C.102а>
/ (р) =t_ (р2) при р ? v+. C.102б>
Кроме того, если f^X+, то ф+=ф_. (Указание: дифференцирование равенства C.82) по
параметрам группы Лоренца в окрестности единичного элемента дает систему дифференци-
дифференциальных уравнений:
o; х, ц=о, 1, 2, з. (злоз>
В каждом из полупространств р° > О и р° < 0 можно перейти (посредством диффеомор-
диффеоморфизма) к координатам т = р2 и р, так что /(р)=?(т, р). Тогда система C.103) запишется
в виде djfir, р) = 0, /=1, 2, 3.)
Выведем теперь предложение 3.2 из двух последних упражнений. То, что
ш+ф принадлежит 3'+ для любой <p?a?'+(R), достаточно очевидно. Обратно,
пусть задана /? J?\ Согласно упражнению 3.15, ей соответствует обобщенная
функция ч|)? <&" (R) такая, что
при Рф0. C.104)
По теореме Хана — Банаха -ф можно продолжить до линейного непрерыв-
непрерывного функционала, скажем ф1Э над aS+(R). Тогда из C.104) следует, что
/—in+ф! есть обобщенная функция из 3'+ с носителем в нуле, значит (в силу
упражнения 3.14), она представима в виде т+ф2, где ф2—некоторая ли-
линейная комбинация функционалов Lk. Полагая теперь ф = ф1 + ф2, полу-
получаем представление C.101) для /. Очевидно, оно единственно (т. е. / = 0
влечет ф = 0, что видно из определения сопряженного оператора итого,
что m+еУ (М) = cS+ (/?)).
В. Нечетные инвариантные обобщенные функции. Описание нечетных
лоренц-инвариантных функций несколько проще. Любая обобщенная функ-
функция /(x)?J?_ однозначно представима в виде
где чр (т) — обобщенная функция из of' (/?), исчезающая при т < 0 или, экви-
эквивалентно (в терминах канонического изоморфизма, введенного в дополне-
дополнении A), ty? of" (R+). Для точного определения этого представления мы вво-
вводим оператор т_:
(т_и) (т) = J в (/7°) б (т-/>«) diP, C.106)
непрерывно отображающий функции и?<5Р(М) в функции т_м ^<^(/?+).
(Фактически от_ отображает if (M) на все <!7(R+).) Теперь равенство C.105)'
означает
J / (р) и (р) diP = 5 г|> (т) (m _u) (т) ск, C.107>
т. е.
/ = ml-ф. C.108)
Предложение 3.3. Оператор ml: 3" (/?+)—> ёУ" (М) изоморфно ото-
отображает 3" (/?+) на ?? _.
Упражнение 3.16. Доказать предложение 3.3. (Указание: воспользоваться упраж-
упражнением 3.15.)
127
Отметим, что из представления C.105) следует, что всякая обобщенная
функция /(*)€-^- автоматически исчезает при пространственноподобных р.
Как уже отмечалось выше, благодаря разбиению JS' = 2?+ + J?_, мы
фактически имеем теперь описание всех лоренц-инвариантных функций в М.
Введем многообразие 14, которое можно условно назвать «вещественной пря-
прямой, раздвоенной по положительной полуоси». Произвольная точка из $1
имеет вид т, где т<0 или т + ДО, или т—ДО, где т^О. Функции Н+ (т)
класса Мете аЛ+ можно считать заданными на 9i, если положить
/i(t) = /z+(t) при т<0, h(x±iO) = h+{x) при т>0. C.109а)
Аналогично функции /i_ (т) класса аЛ_ = <^(/?+) можно также считать задан-
заданными на Ш, положив
п(х) = 0 при т< 0, А(т±Ю) = ±Л_(т) при т>0. C.1096)
Теперь пространство Мете аЛ определяется как прямая сумма q? = <S+ ©eJ_;
его элементами являются функции на di, представимые суммой пары
функций вида C.109а) и C.1096). Оператор Мете т: У (М)—>-а4 опреде-
определяется как сумма операторов т±:
т = т+ + nt_.
Это означает:
= J б(т—pi)u{p)dip ,гпри т<;0, C.110а)
(ти) (х ±i0) = \ 2Q (±р°) 8 {х—р2) и (p)dip прит>0. C.1106)
Оператор Мете т, очевидно, отображает <ff (M) на аЛ линейно и непрерывно.
Пусть &$' —пространство, сопряженное <Ж. Мы условимся значение (ф, К)
функционала ср ^ а?' на элементе h?eS записывать также в символической
интегральной форме:
<Ф, К) = J ф (s) h (s) [ds] = J ф (т)/i (т) dx + V2 2 $ Ф (т+еДО) h (т + е/0) dx,
Я т<0 е=±т>0
C.111)
где [ds]—естественная мера на Ш, которая (с учетом раздвоения положи-
положительной полуоси) равна
[ds]=-dx при т < 0, [ds] = 1/2dx при s = x±i0, t>0. C.112)
Из предложений 3.2 и 3.3 вытекает следующая характеристика про-
пространства 3'.
Предложение 3.4. Оператор т': Ж—*&"(М) изоморфно отобра-
отображает пространство Ж (обобщенных функций Мете на 9ft) на простран-
пространство dt (лоренц-инвариантных обобщенных функций на М).
По аналогии с представлением C.91) для j?+ мы можем теперь символически записать
произвольную лоренц-инвариантную обобщенную функцию f(p) на М в виде
ПРИ Р% <°. C Ш)
(р°)) при р^О (ЗЛ13)
где <р?аЖ\ что есть иная запись соотношения
/ = Ш'ф. C.114)
Приведем еще результат о продолжении лоренц-инвариантных обобщенных функций
f(p), заданных вне начала координат в М (определение соответствующего пространства
of'(ft[\{Q}) см. в дополнении А), до обобщенных функций в М. Для / остается в силе утвержде-
утверждение упражнения 3.14, так что следующий результат неявно присутствует в рассуждениях, при-
приводящих к предложениям 3.2 и 3.3.
Предложение 3.5. Всякая лоренц-инвариантная обобщенная функция f(p)?
^^"(ЛГ\{0}) может быть продолжена долоренц-инвариантной обобщенной функции в М. Такое
продолжение не единственно: если fo(p) — некоторое продолжение, то общий вид продолжений
есть /о(р)+^(СЦ) S(p), где Р — произвольный полином.
128
Описания упрощаются для неотрицательных обобщенных функций (с ко-
которыми мы встретимся в дальнейшем; см., например, представление Челлена —
Лемана в п. 8.3.Б).
Будем говорить, что обобщенная функция / неотрицательна, если при
любом выборе неотрицательной основной функции
(/, и)>0. C.115)
Из теоремы Рисса (см. n.l.l.E, пример 1) следует, что любая неотрицательная
обобщенная функция /€<^(/?) связана с некоторой неотрицательной мерой [г
степенного роста многомерным интегралом Стилтьеса
C.116)
При этом мера [х в /?" (вообще говоря, комплексная) называется мерой степен-
степенного роста, если
S 1Ф(/>I C.117)
\Р\<г
есть полиномиально ограниченная функция от г или, эквивалентно, если
при некотором / имеет место ограничение
. C.118)
Меры представляют собой весьма частный случай обобщенных функций. Если d\i(p)=
=f(p) dip, то f(p) может содержать особенность типа 6-функции, но не может быть производной
от fr-функции. Это позволяет получить для инвариантных мер представление, более близкое
интуитивному.
Общий вид четной лоренц-инвариантной неотрицательной меры из if' (M)
таков:
ф (/>)
( ™ V
= ] S б (х-р*) dp (х)+с Bя)* 8 (p)\dlP, C.119)
v-« )
где р(т)—монотонно неубывающая функция полиномиального роста на ве-
вещественной оси, а с>0. Для лоренц-инвариантной неотрицательной меры
из if" (M) с носителем в V+ имеем аналогичное представление:
ф (р) = \) в (р°) б (т - />2) ф (т) + с Bя)* б (р) \ dj>, C.120)
lo )
где р(т)—монотонно неубывающая функция полиномиального роста на /?+,
а с>0.
Упражнение 3.17. Доказать представления C.119) и C.120), пользуясь общими
представлениями C.91) и C.113) (или C.101) и C.114)) для j?+ и X'_.
3.3. ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО
А. Определение. Пусть f(plt ¦¦-, ра)—векторная обобщенная функция,
зависящая от п 4-векторов plt . .., рп€ М и принимающая значения в ко-
конечномерном комплексном векторном пространстве .Т, в котором задано пред-
представление Т группы LX (или SLB, С)). Пространство таких обобщенных
функций мы будем обозначать через if' (Mn; SV). Условием
f(APl, .... APn) = T(A)f(Pl, ..., рп) при А?Ц C.121)
мы выделяем лоренц-ковариангпные (или Ll-ковариантные) обобщенные
функции. (Более общее понятие G-ковариантных обобщенных функций анало-
аналогично.) Выбрав некоторый базис {Ьа} (а = 1, ..., dim .Ж") в пространстве^1 и
5 Н. Н. Боголюбов и др. '29
вводя компоненты / в этом базисе
1
мы можем переписать C.121) в компонентной форме
/°(APl, .... Лр„) = 2^р(Л)/Ч/>1, .-., />„)• C.122)
В терминах группы SLB, С) условие C.121) переписывается в виде
f(A{A)Pl, .... A(A)Pn) = T(A)f(plt ..., Рп) при A?SLB,C), C.123)
где Т — представление SLB, С).
Здесь имеет смысл рассматривать лишь представления SL B, С) с четной валентностью
(т. е. представления, соответствующие однозначным представлениям LV). Действительно,
если Т — представление с нечетной валентностью, и, значит, Т(—1)= — I, то из условия C.123)
автоматически следует, что /=0.
Как и в случае лоренц-инвариантных обобщенных функций, интересны
представления, явным образом учитывающие свойства ковариантности. К ним
в первую очередь относятся представления вида
f(Pl, ..., pn)=JiQP(Pi pn)U(pi, •••- />„); C-124)
р=1
здесь Qp(/7i, . . . , Рп) — лоренц-ковариантные полиномиальные функции от
ри . . . , рп, а /р— лоренц-инвариантные обобщенные функции. В качестве
Qp обычно фиксируют некоторую конечную совокупность лоренц-ковариант-
ных полиномов (называемых стандартными ковариантами для данного пред-
представления Т), определяемую следующим алгебраическим условием: для всех
лоренц-ковариантных полиномов /, преобразующихся по представлению Т,
имеет место представление C.124) с лоренц-инвариантными полиномами /р.
Если дополнительно из /=0 всегда следует, что /р=0 (т. е. если ковариантное
разложение однозначно в классе полиномов), то совокупность {Qp} называ-
называется полиномиальным базисом стандартных ковариантов, преобразующихся
по представлению Т.
Представление C.124) имеет практическое значение лишь для небольшого
числа п (в основном /г<4); в противном случае число стандартных ковариантов
может оказаться больше числа (dim^1) компонент у /.
Б. Структура ковариантной обобщенной функции. Мы опишем структуру
лоренц-ковариантных обобщенных функций /(/?)€ &" (М; Ж) от одного 4-век-
тора р:
С^. C.125)
Разумеется, в силу полной приводимости конечномерных представлений
группы Lj B принципе достаточно ограничиться неприводимыми представ
лениями <?</>*'. Если это представление реализовано в пространстве 9$V'k)
однородных полиномов от со и со (степени 2/ и 2k соответственно), то век-
векторная обобщенная функция / (р) становится комплекснозначной обобщенной
функцией f(p; со, со), которая наряду с зависимостью от р зависит от спи-
норных переменных со ? С2 и со (как однородный полином степени 2/ и 2k
соответственно). В таком случае условие C.125) принимает вид
f(A(A)p- Лео, Л со) = /(/>, со, со) при всех A?SLB, С), C.126)
т. е. условие лоренц-ковариантности сводится к лоренц-инвариантности (по
большему числу переменных).
Оказывается, что полиномиальные коварианты от одного 4-вектора р,
преобразующиеся по представлению 35(/)А>, существуют лишь при j = k — n/2
(где п — целое неотрицательное число), и в этом случае они порождаются
130
(по формуле C.124) с полиномом /р, р=1) одним стандартным ковариантом
Q(p; со, со) = (юрсо)«. C.127а)
(Этот факт будет установлен ниже в процессе доказательства леммы 3.8.)
При реализации представления 35A/2. «/2> в пространстве B{п) однородных
(степени п) полиномиальных функций на конусе Го (см. упражнение 3.10)
ковариант C.127а) приобретает вид
l) = {pl)a. C.1276)
Отсюда становится ясным, каков должен быть общий вид лоренц-ковариант-
ных обобщенных функций.
Предложение 3.6. Произвольная лоренц-ковариантная обобщенная
функция f (p) в М, преобразующаяся по представлению 2)(/) k), отлична от
нуля лишь при j — k = n/2, и в этом случае она представима в виде
f (р; со, ю) = (йрсо)" F (р) = C.128а)
о)"Я(/7), C.1286)
где F (р) и Н (р)— лоренц-инвариантные обобщенные функции в М, которые
(по заданной обобщенной функции f) определяются с точностью до п про-
произвольных констант. Точнее, если F0(x) и Н0(х)—фиксированные решения
соотношений C.128) (рассматриваемых как уравнения относительно F(x) и
Н (х))у то общий вид решений имеет вид
F(p) = F0(p) + n±ainlb(p), C.129а)
1=0
И (Р) = #о (Р) + 2 bt ¦ {р*у. C.1296)
1=0
Предложение 3.6 основывается на следующих двух леммах.
Лемма 3.7. Пусть f (#) — лоргнц-ковариантная обобщенная функция в М, преобразую-
щаяся по представлению ЖI-*' А). Тогда существует (и единственна в нетривиальном слу-
случае j — k) пара обобщенных функций ф± (т)^^" (/?), совпадающих при т < 0, таких, что
f(p; со, ш)=6,-А(шДсоJ/ф±0о2) при ре~У>±> C.130)
где
V>- = ~V>+. C.131)
^ Вначале докажем представление C.130) на f°+. Пергпишем условие ковариантно-
ковариантности C.126) в инфинитезимальной форме. С этой целью параметризуем комплексную 2x2-
матрицу Л = (Л«) из SL B, С) в окрестности единицы параметрами AJ, A\, AJ; произ-
произвольный 4-вектор р отождествим с эрмитовой матрицей р = (Pa'g)- Рассматривая левую
часть условия ковариантности
/(Л'-УЛ-1, Лш, Aa)=f(p, со, ш) C.132)
как обобщенную функцию из <ff* (ЛГХС2), зависящую от Л^, Л|, Л^ как от параметров,
продифференцируем C.126) по этим параметрам и их сопряженным. В результате получится
шесть дифференциальных уравнений. Мы выпишем только четыре (наиболее простые) из них,
получаемые дифференцированием по Л*, Л|, Л2, Л2, поскольку остальные два являются
следствием этих четырех:
д , д , 3 \, „ / д , д - д
Ор2% ОС01/ ^ Opzi
д . д , р \ . п ( д . д —, 3 \, . ,, .,„,.
+ Р СО1 -А /=0 [Р21- \-p22~ ш1-=^-)/ = 0. C.1336)
дрп dpi2 да2 /
Далее заметим, что для доказательства представления C.130) в области <7/а+хС2 доста-
достаточно доказать его для области
0, сорсо~>0, Im (соЧ-—
{ ~ \ Ри I
5* 131
Действительно, если C.130) выполнено в Q, то так как обе части равенства являются по-
полиномами по со, со, равенство C.130) справедливо в большей области Q' = {(p, со) g^+XC2:
Pii > Щ- Но действием преобразований группы SL B, С) на область Q' мы получаем всю
область ^+хСа, поэтому из C.126) и из справедливости C.130) в Q следует справедли-
справедливость C.130) в ^+xC2.
Итак, докажем C.130) в Q. В области Q произведем регулярную замену переменных:
(р, со)—<-(т = (рJ, и = шрсо, ри, руг, со2, 9 = arg(co1+p12coa/pu))> C.134)
отображающую Q на
5?=ЛХ/?+Х/?+ХСХСХ@, я). C.135)
Нетрудно убедиться в регулярности отображения C.134), представив его как результат после-
последовательности двух регулярных отображений
(Ль />22. Л«. ш11 ш2)—>-(Ль т = /»цри — |p2i|2, Р22. Я.= РцСо1 + р12сог, со2);
(Ри, т. р12, X, со2)^ (рп, т, р12, tt==jAli±lL^li! , e-argX, u/
Следовательно, мы можем в f (p; z)?#"(Q) произвести замену переменных:
/(р; со)=г|5(т, а, р1Ь р12, г2, 9), C.136)
где ^€<#" Ei). Подставляя C.136) в систему C.133), имеем
* +?l?i^ * __?»Й^|Лф=0, C.1376)
=0- C.137в)
V
Здесь X рассматривается как функция от т, и, рц, г2, 9 (не зависящая от Pi2). Согласно
C.137а) д—'Ф=з—Ф = 0, следовательно, в C.1376) и C.137в) можно приравнять нулю
ор12 орц
_
выражения при различных степенях р^2 и p2i(=Pi2). В результате имеем
дР dco2 T w ^
др12 дРи d
Так как произвольный срез (т, u)=const области 91 является выпуклым в переменных
Ри. Pi2. ш2, 9, то из C.138) следует существование Ф (т, u)?<ff' (RxR+) такой, что
¦ф (Т, И, Рц, Pl2, СО2, 6) = Ф(Т, U),
т. е.
/(р, со) = Ф(р2, шрсо) в Q. C.139)
Из условия однородности f(p, асо) = a2J (аJА / (р, со), справедливого для любых комплекс-
комплексных а, следует Ф (т, и) = 0 при / Ф k и Ф (т, и) = и2Лр+ (т) при / = А. Тем самым для ^»+
доказано представление C.130). Аналогично оно доказывается для сръ_. Из справедливости
C.130) в <f^+r\fJ- следует, что ср+ (т) = ф_ (т) при т < 0. >
В качестве следствия имеем
f (р, со) = Ь]к (шрсоJ/ F(p) при р ф 0, C.140)
где F(p) g <#" (Л\{0}) и F (р) = Ф± (р2) при pg °P±.
Следующим нашим шагом будет нахождение ковариантных обобщенных функций,
сосредоточенных при р = 0.
Лемма 3.8. Пусть f (р)—лоренц-ковариантная обобщенная функция в М, преобра-
преобразующаяся по представлению Ъи' *> и сосредоточенная при р = 0. Тогда она имеет вид
N
f (р; со, ш) = bjk (шр~соJ/ 2 ai ЮРУ+У'Ь (Р) = C.141а)
1-0
_ N
= bJk (UEdp(*)*J 2 */ (UpI о (Р), C.1416)
1 = 0
где at и bt — произвольные комплексные числа.
¦^ Так как_/(р; со, со) сосредоточена при р = 0, ее преобразование Фурье f(x; со, со)
по переменной р есть лоренц-ковариантный полином по х, со, со. Применяя к J(х\ со, со)
132
лемму 3.7 (или представление C.140)), получим при х ? "У3^
7 {х, со, ю) = bjk ({Шй)*1 х (*2)- C.142}
Очевидно, далее можно ограничиться случаем j = k = n/2. Так как f(x, со, со) — полином'
по х, то существует целое число т такое, что (соЗхсо)/п /(*; со, со) = О. Подставляя сюда
C.142) и используя тождества
ш (сош) = 0, (шахсо) (л;2) = 2 (саш), C.143)
получаем (ах(и)т+п %<т (х2) = 0, т. е. (d/dx)m % (т) = 0, и, значит, % (т) есть полином. Но
в таком случае из C.142) следует C.1416). Далее из тождеств C.143) находим
(пдх<й)п (х2I = 0 при / < я, C.144а)
(сод>)" (*»)* = я1 , *_», -2" (йшо)я (л:2)'-" при /=&я, C.1446)
так что
(аш)" (*2)' = ^ -2-" (сосуо)" (**)'+и. C.145)
Последнее тождество позволяет переписать C.142) в форме
_ _ N
~f(x; со, со) = буА.(^«)« У ci(xy+",
1=0
что эквивалентно C.141а). ^
Приведем теперь аргументацию для предложения 3.6. Если / Ф k, то из лемм 3.7
и 3.8 следует, что f(p; со, со) = О. Пусть j = k = n/2 (где п — целое неотрицательное число);
тогда при р Ф 0 /(р; со, со) представима в виде C.140). Продолжая F (р) до лоренц-инва-
риантной обобщенной функции Т7! (р) ? ?f" (M) (что возможно согласно предложению 3.5),
получаем ковариантную обобщенную функцию f± (р, со, со). Разность f—/х сосредоточена
при р = 0, поэтому она имеет вид C.141а). Тем самым доказано представление C.128а).
Представление C.1286) следует из представления C.128а), примененного к f (х\ со, со) —пре-
—преобразованию Фурье / (р, со, со) по р. Наконец, произвол в выборе функций F (р) и Н (р)
в C.128) легко следует из тождеств C.144). Это завершает доказательство предложе-
предложения 3.6.
В следующем упражнении приведено свойство стандартного коварианта
C.127), характеризующее его однозначно с точностью до числового множителя.
Упражнение 3.18. Доказать, что в пространстве лоренц-ковариантных полино-
полиномов Q (р) от р g M, преобразующихся по представлению ?)(™/2> л/2>( условия псевдогармо-
псевдогармоничности по р
DPQ(P) = O C.146)
выделяет одномерное подпространство, натянутое на стандартный ковариант C.127) . (Ука-
(Указание: достаточно убедиться, что из условия [JpQ (р, 1) = 0, где Q (р, |) = (р|) " Р (р2),
?а = 0 и Р (г) — полином от г, следует, что Р (г) = const.)
Из предложения 3.6 легко получить структуру ковариантных обобщен-
обобщенных функций / (р) в М, преобразующихся по произвольному конечномерному
представлению Т группы SLB, С). Всякое такое представление Т разла-
разлагается в прямую сумму представлений S5(l'Ijr), входящих с кратностями
kij = O, 1, 2, ... (где i, j — произвольные целые или полуцелые неотрица-
неотрицательные числа), так что 2&f/<<». Символически такое представление
/
записывается в виде
с, i
У п ражне ние 3.19. Пусть Т = 2 *i /С''' ^ есть произвольное конечномерное пред-
t.i
ставление собственной группы Лоренца L ^ (или SL B, С)) и пусть к = ~У\ kg.
(а) Доказать, что псевдогармонические (по р) лоренц-ковариантные полиномы Q(p) от
р?М, преобразующиеся по представлению Т, составляют й-мерное линейное пространство и
линейный базис {Qp(p)}s этом пространстве является одновременно полиномиальным базисом
стандартных ковариантов в М, преобразующихся по представлению Т. (Указание: воспользо-
воспользоваться предыдущим упражнением.)
133
(б) Пусть стандартные коварианты Qp (р) выбраны однородными полиномами от р соответ-
соответствующей степени яр (нетрудно убедиться, что это предположение не является существенным
ограничением общности). Доказать, что всякая лоренц-ковариантная обобщенная функция
./(р) в М, преобразующаяся по представлению Т, имеет вид
2> C.146a)
Р
= ^ИрЦдр)Нр(р) C.1466)
Р
¦яри некоторых лоренц-инвариантных обобщенных функциях Fp (p) и Нр (р), которые опре-
определяются этими представлениями с точностью до соответствующего слагаемого ар (?) б (р)
я Ьр(р2), где ар (г) и 6р(г) — произвольные полиномы от г степени пр .
Примеры. 1) Пусть представление Т есть 4-векторное представле-
представление 2М1/2' >/2>. Тогда имеется один (независимый) стандартный ковариант в М:
Q(p; со, со) = co/jco. C.147)
Отсюда следует, что всякая 4-векторная лоренц-ковариантная обобщенная
функция F^ (p) из <3" (M) представима в виде
FAP) = P»F(P), C-148)
где F(p) — лоренц-инвариантная обобщенная функция из &" (М).
2) Пусть Т есть тензорное произведение двух экземпляров дираковского
представления J)(i/i.»HJ)(«.i/!), В этом случае имеется два (независимых)
«стандартных коварианта
Q1(p; со, со; w, w) = wpa>,
C.149)
Q2(p; со, со, w, w) = wpw.
3.4. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
А. Обобщенные функции, инвариантные относительно компактной группы.
Мы видели в § 3.2, что уже для одного 4-вектора описание лоренц-инвариант-
лоренц-инвариантных обобщенных функций довольно сложно, и причина этого заключается в не-
некомпактности группы Лоренца. Однако в ситуации (типичной для квантовой
теории поля), когда по крайней мере один из 4-векторов времениподобен, имеет
место значительное упрощение за счет сведения группы инвариантности (или
ковариантности) к (компактной) группе вращений. Прежде чем обратиться не-
непосредственно к этому случаю, мы приведем вспомогательный материал об
обобщенных функциях, инвариантных или ковариантных относительно ком-
компактной группы *).
В качестве исходного объекта нашего рассмотрения мы примем ком-
компактную группу Ли G, действующую линейно на R". Посредством gx обоз-
обозначим точку из /?", получаемую действием элемента g?G на x?R". (При
этом подразумевается, что gx непрерывно и даже бесконечно дифференци-
дифференцируемо по g.) Посредством о?{Rn)° и <&" (Rn)° обозначено множество всех
<7-инвариантных основных и обобщенных функций в R". Топология на них
«ндуцируется топологией на аР (/?") и, соответственно, слабой топологией
на 8" (/?").
Нашим основным примером будет группа О (d) всех ортогональных преобразований
вещественного евклидова пространства к* (d^2), снабженного евклидовым скалярным
произведением
d
*у= 2*6^6 C.i50)
6=1
1<где х6 и tfi — компоненты векторов х, у ? Rd). При любом натуральном k{=\, 2, ...)
«евклидово пространство Rdb мы отождествим с декартовым произведением I?* X ... X Аг
*) По поводу доказательства результатов пп.3.4.А и 3.4.Б см. библиографические ука-
указания.
334
k экземпляров пространства R?\ точкой в Rdk служит набор х^={х1л ..., хк), где
Xi, ..., ^ — произвольные векторы из R*. Теперь группа О (d) естественным образом
действует и в Rdk:
R(xi, ..., хк) = (RXl Rxk), R?0 (d). C.151)
Отметим, что группа О (d) несвязна: она состоит из двух компонент, характеризуемых
уравнениями det./?=±l. Компонента 0(d), содержащая единицу, есть группа 0+ (d) всех
собственных ортогональных преобразований (или евклидовых вращений).
Из предположения компактности группы G следует, что 8" (R")a можн»
естественным образом отождествить с (& (Rn)a)'— пространством всех линей-
линейных непрерывных функционалов на 3" (R")°. Точнее, справедливо сле-
следующее утверждение.
Лемма 3.9. Пусть G—компактная группа Ли, действующая линейна
на R". Тогда оператор, сопоставляющий каждой обобщенной функции
из &" (Rn)a ее сужение (как функционала на <ff (/?")) на подпространств»
tf(Rn)°, является изоморфизмом &" (R")a на (<^(Rn)G)'.
Это утверждение основано на существовании усреднения по группе G. Известно (см., на-
например, [Ж1], § 7), что на любой компактной группе Ли G имеется (единственный) инвариант-
инвариантный нормированный интеграл, сопоставляющий всякой комплексной непрерывной функции
h(g) на G комплексное число $h(g) dg (интеграл по группе G) так, что выполнены условия ин-
инвариантности
$ h fag') dg^^h te'g) dg=^h te) dg для всех g' ? G, C.152>
нормировки
я=1 C.153>
и непрерывности ( из равномерной по g сходимости hk (g) —* 0 при к—>¦ оо следует, что
»-0 J. Это обстоятельство позволяет ввести линейный непрерывный оператор усред-
усреднения Е по G, действующий из of (/?") на <ff (Rn)° по формуле
(Ей) W = J и (gx) dg, uetf (R"). C.154)
С помощью оператора Е G-инвариантная обобщенная функция / (х) восстанавливается
по своему сужению на of (Rn)a формулой
(/. «) = (/, Ей). C.155)
У п ражнен ие 3.20. Пусть G и Я—компактные группы, действующие линейно'
в Rn и имеющие одинаковые орбиты, т. е. Gx—Hx для всех х ? R". Доказать, что>
S' (Rn)° = S' (R")H. (Указание: G-инвариантность функции означает, что она постоянна
на G-орбитах. Вывести отсюда, что S (Rn)Q = S (/?"), далее воспользоваться леммой 3.9.)>
У п раж не н ие 3.21. Доказать, что при k < d условие О+ (^-инвариантности обоб-
обобщенных функций в Rdk равносильно условию О (й)-инвариантности. (Указание: воспользо-
воспользоваться предыдущим упражнением, предварительно показав, что для любой точки х ? Rdk
при k<d существует R ? О (d) с det/? = —1 такое, что Rx = x; например, в качестве R.
можно взять отражение от гиперплоскости в Rd, содержащей 0, Xi, ..., хк.)
Среди представлений, используемых в теоретической физике для инва-
инвариантных (обобщенных) функций, наибольшее значение имеет представление
вида
/ (х) = Ф (Л (*),...,/, (х)) = ф о /, C.156>
где ^(д:), ..., /v (*)— фиксированный набор вещественных G-инвариантных
полиномиальных функций в R", задающих отображение
/: Д»э*—(М*). •••> M*))€/?v, C.157>
а ф—некоторая функция (или специальным образом понимаемая «обобщен-
«обобщенная функция») на множестве
Q = /(/?«). C.158)
Относительно полиномов 1г, ..., /v предполагается, что они являются обра-
образующими в кольце всех (для определенности комплексных) G-инвариантных
135
полиномов в /?", т. е. всякий G-инвариантный полином Р (х) в R" предста-
представим в виде
Р = р°1 C.159)
с некоторым полиномом р в Rv. В этом случае Ilt ..., /v называют стан-
стандартными (полиномиальными) инвариантами.
В нашем изложении мы будем предполагать выполненным также условие
алгебраической независимости стандартных инвариантов, означающее, что
стандартные инварианты не связаны между собой алгебраическими соотно-
соотношениями (или, эквивалентно, что из равенства р о / = 0 для некоторого
полинома р в /?v следует р=Е=0). Оно выполнено в точности тогда, когда*)
множество Q C.158) (образ R" относительно /) имеет непустую внутренность
в /?v. (В противном случае Q лежит на алгебраической поверхности в /?v.)
В то время как в рассматриваемом случае компактной группы G набор
стандартных полиномиальных инвариантов существует всегда ([Ж1]. § 98),
условие алгебраической независимости выполнено далеко не во всех случаях
(например, при не слишком больших k в случае группы О(+) (d)). Зато при
выполнении этого условия представление C.156) имеет простую и непосред-
непосредственную интерпретацию.
Пусть G — группа O(d), действующая в Rdk. Нетрудно показать ([В5], гл. II, пп.11,17),
что скалярные произведения
/,уМ C.160)
(/,/=1, . . . , k) являются образующими в пространстве О (с()-инвариантных полиномов. Между
инвариантами имеются очевидные соотношения /,7=/у,-, которые позволяют ограничиться под-
подсистемой из \= xlik (/И~ 1) инвариантов /,-_,• с !•</. Тем самым при ?<:d получаются алгебраически
независимые стандартные инварианты. При k~>d условие алгебраической независимости стан-
стандартных инвариантов не выполнено, а именно, между инвариантами /,7 (с »<:/) имеются алгеб-
алгебраические соотношения (которые сводятся к равенствам нулю всех миноров размера (d-f-l)X
X(d+1) матрицы (lij)).
Нетрудно охарактеризовать множество Й=/(/?<**) при A<d. Отождествим Rv с множе-
множеством всех вещественных симметричных матриц (/=(#,•/) размера kXk; тогда Q есть множество
всех вещественных симметричных неотрицательно определенных матриц (г/,7):
® = {У={УиЬ,,=1 *= У=УТ и det(jf,7),.>/=1 _ .^SsO при /=1 k]. C.161)
(Это есть н епосредственное следствие теоремы о приведении квадратичной формы к канониче-
каноническому виду, в силу которой вещественная симметрическая матрица у размера kXk положитель-
положительно определ ена в точности тогда, когда (при любом d^k) она представима в виде у=х? х, где х —
некоторая вещественная матрица размера dXk, ax?— ее транспонированная матрица.)
Для группы O+(d), действующей в Rdk при k<d, указанные полиномы по-прежнему яв-
являются алгебраически независимыми стандартными инвариантами (более того, согласно упраж-
упражнению 3.21, в этом случае группу O+(d) можно заменить на 0{d)). Однако при k^d появляются
инварианты нового типа, а именно det(xa/), где (, /= 1, . . . , d, а {а1; . . . , ad} — произволь-
произвольный набор различных чисел из {1, ...,&} (упорядоченных в порядке возрастания). В част-
частности, при A=d имеем один дополнительный инвариант
det(*)X,/=1 d. C.162)
Стандарты ые инварианты группы O+(d) при k^d алгебраически зависимы; например, инвариант
C.162) связан с инвариантами C.160) соотношением
. C.163)
Согласно лемме 3.9 первым шагом в описании G-инвариантных обобщен-
обобщенных функций в случае компактной группы G должно быть нахождение структу-
структуры G-инвариантных основных функций. Как и следовало ожидать, представле-
представление типа C.156), которое мы потребовали для G-инвариантных полиномов, ес-
естественно распространяется на G-инвариантные основные функции.
Предложение 3.10. Пусть G—компактная группа Ли, действующая
линейно в /?", причем существует набор алгебраически независимых стан-
стандартных полиномиальных инвариантов 1и .. ., Iv. Тогда множество Q = / (/?")
*) Другой эквивалент условия алгебраической независимости стандартных инвариантов
состоит в следующем: ранг якобиевой матрицы DI (х) отображения / (*) равен v хотя бы в одной
точке ?Rn
является канонически замкнутым регулярным множеством в Rv, а соответ-
соответствие
O C.164)
осуществляет (топологический) изоморфизм между пространствами *) tf (Q)
и &{Rn)°.
Распространим представление C.156) на G-инвариантные обобщенные
функции. Мы будем интерпретировать правую часть формулы C.156) в духе
слабого интегрального представления (см. дополнение А. 2):
[ C.165)
или, эквивалентно,
(Фо/, и)«=(ф(^), \b{y—I{x))u{x)d»x) C.166)
при всех u?of(Rn). Эта формула показывает, что следует ввести множество
всех функций на Q вида
«(#)=$ 8(г/—I(x))u(x)d»x, C.167)
определить на нем подходящую структуру ЛВП, а затем рассматривать ср (у)
как линейный непрерывный функционал на этом пространстве. После этого
формулу C.166) можно принять в качестве корректного определения компо-
композиции фо/ отображения / и функционала ф.
В общем случае приходится допустить возможность, что функция со {у) определена форму-
формулой C.167) не на всем множестве Q, а лишь на некотором всюду плотном подмножестве в Q.
Действительно, выражение б (у—/ (х)) является хорошо определенной обобщенной функцией
по х (зависящей ^"-образом от у как от параметра), по крайней мере, если выполнено условие:
у является регулярным значением отображения /, т. е. ранг якобиевой матрицы D I (х) равен
v для всех х на многообразии /(*)=(/. (Это условие регулярности позволяет трактовать инва-
инварианты 1\{х), . . . , 1у(х) как первые v локальные координаты в окрестности такой точки х.)
Введем множество
Э1 = {х ?Я«: ранг D I (х) равен v}. C.168)
Очевидно, оно открыто, G-инвариантно и (в силу того, что G-инвариантные полиномы, и>
значит, отображение / разделяют G-орбиты, [Ж1], § 98) /-насыщено, т. е. 5?= /-1 (/ ОА))-
Поэтому / E?) открыто (в силу теоремы о ранге) и состоит из регулярных значений
отображения /. Кроме того, 5?, очевидно, плотно в R" и, значит, / E?) плотно в Q.
Из сказанного следует, что формула C.167) при любой и?е?(Rn) определяет ^"-функ-
^"-функцию со (у) по переменной у, пробегающей подмножество / E?). открытое в Rv и плотное
в Q. В этом смысле мы будем понимать эту формулу.
Дальнейшая характеризация множества всех функций со (у) вида C.167)
существенно упрощается тем обстоятельством, что в формуле C.167) доста-
достаточно ограничиться лишь G-инвариантными функциями и (х) (так как,
согласно формуле C.155), правая часть C.167) не изменится, если произ-
произвольную u?af(Rn) заменить на Ей ? of (R")a)- Воспользуемся теперь пред-
предложением 3.10, согласно которому всякая G-инвариантная основная функция
имеет вид м = во/, где ug<^(Q). Отсюда получаем общий вид интересующих
нас функций со:
( (){y), C.169)
гдек(у) — произвольная функция из ^(Q), а %{у)—фиксированная {^-функ-
{^-функция на I (Э1), равная
t(y)=\b{y—I{x))d»x. C.170):
Шг Мы пришли к выводу, что интересующее нас множество основных:
функций со задается формулой C.169), т. е. умножением ^(Q) на фиксиро-
фиксированную функцию х- Обозначим пространство всех таких основных функций с*
через ^(Q). Естественная структура ЛВП на <SPX№) определяется таким,
образом, чтобы оператор умножения на х (°—*%'v) из <^(Q) на <^х(^)<
*) Пространство tf (Q) определено в дополнении А.2.
был (топологическим) изоморфизмом, В терминах определяющей системы
полунорм структура ЛВП на ifx (Q) задается полунормами plt m
Pi, /я (%у) — II у I? m ПРИ всех V^dffQ)* C.171)
где /, т?2Г+. Как обычно, через (ifx(Q))' будем обозначать пространство
всех линейных непрерывных функционалов над ifx(Q). Выше ifx(Q) мы
рассматривали как пространство, полученное из if (Q) умножением на %,
подобно этому м'жно рассматривать (ifx(Q))' как пространство, полученное
из if' (Q) умножением на 1/%, и обозначать его через ^^(Q). С этой целью
определим оператор умножения на 1/% из if' (Q) на <^P1/X(Q) посредством
формулы
! — \|з xw — ('Ф» v) Для всех 'Фё^ (^). ugc5p(Q) C.172)
или (что более наглядно) с помощью символических интегралов
C.173)
Легко видеть, что оператор умножения на 1/% из if' (Q) на if\/x(Q) является
^(топологическим) изоморфизмом (поскольку он является оператором, сопря-
сопряженным оператору умножения на 1/% из &Х{Щ на if (Q), который является
'изоморфизмом по построению).
В результате мы приходим к следующему определению композиции фо/
в C.156), а именно: при произвольных ср из af1/x(Q) формула C.166) опре-
определяет ф о / = ф (/ (х)) как G-инвариантную обобщенную функцию из if' (/?").
Это позволяет дать описание всех G-инвариантных обобщенных функций
из if'{Rn).
Предложение 3.11. Пусть G—компактная группа Ли, действующая
линейно в R", и пусть существуют алгебраически независимые стандартные
полиномиальные инварианты 1и ¦¦., /v. Тогда соответствие ср—>-фо/
является (топологическим) изоморфизмом &[/% (й) на if' (R")G.
Примеры. 1) Рассмотрим действие О (d) на /?**. Роль стандартного инварианта
«грает / (х) = | х |2, а множество Q совпадает с неотрицательной вещественной полуосью
/?+=[0, оо). В данном случае функция %(у) пропорциональна г/^2. Значит, всякая
О (й)-инвариантная обобщенная функция f из <^р/ (Л^) однозначно представляется в виде
/(*) = Ф(|*Р), C.174)
¦где Ф = Ф(У) g if'y-dl2 + i (*+)•
2) Пусть 0C) действует в R3'2. В этом случае имеем три стандартных инварианта
М*)(^/пМ) = |*1|*. /2W(-/uW)=*i*i. /»W(-/«.W) = |xir. C.175)
Множество Q является конусом в R3:
1 C.176)
а функция % ((/) является положительной константой. Следовательно, для О (З)-инвариант-
яых обобщенных функций из af'(R3'2) имеет место представление
/ (*1. Х2) =ф (*?, XlXt. xl), C.177)
где ф€<^'(^)-
3) Рассмотрим О (З)-инвариантные обобщенные функции из if' (Rs's). Стандартные ин-
инварианты
IlJ(x) = xix/ C.178)
•пробегают множество ?2:
г/п=эО, упУм-уЪ^О, det(yiJ)^O. C.179)
¦Функция зс (у) равна
%(y) = ^(dd(yi/))-1'2. C.180)
Таким образом, для О (З)-инвариантных обобщенных функций в R3'3 имеем представление
f(xt, хг, х3) = ц>(х1, xi, xt, ХгХ2, х2хз, xtx3), C.181)
где
133
4) 0 + C)-инвариантные обобщенные функции в R3'3 выходят за рамки предложения'
3.11, так как дополнительный инвариант det (*(¦) связан с C.178) алгебраическим соотно-
соотношением. Очевидно, достаточно рассмотреть отдельно четные и нечетные обобщенные функ-
функции, характеризуемые соответствующим условием
/(— *i, — х2, —xs)=±f(x1,X2,x3). C.182>
В первом случае мы фактически имеем О (З)-инвариантные обобщенные функции, для кото-
которых справедливо представление C.181). Можно показать (см. ниже упражнение 3.27), чта>
нечетные 0+ C)-инвариантные обобщенные функции в R33 имеют вид
/(*!, х2, xa) = det(xi)-f0(xi, x2, х3), C.183>
где/0 есть О (З)-инвариантная обобщенная функция в Я3-3 (допуска о.цан представление
типа C.181)).
Б. Обобщенные функции, ковариантные относительно компактно»:
группы. Пусть по-прежнему G есть компактная группа Ли, действующая
линейно в /?". Кроме того, пусть в конечномерном комплексном векторном
пространстве Ж задано представление Т (g) группы G. Тогда в сопряжен-
сопряженном пространстве SC' действует контраградиентное представление
C.184).
Через аР (/?"; SC) и &" (/?"; Ж') обозначим пространства J^-значных
основных и ^"'-значных обобщенных функций в R". Если Ъх, ..., bL — базис
в &, то произвольный элемент из <Sf (/?"; Ж) имеет вид и (х) = 2 Ьаиа (х)„
а= !
где иа (х) — произвольные функции из of (/?")• Аналогично, взяв дуальный
базис Ь'1, ..., b'L в Ж', мы можем записать произвольный элемент из.
&"(R"; ??') в виде /(*)= 2 ^аМ4 где fa(x)—произвольные обобщенные
а= 1
функции из У' (/?"). Пространство &" (/?"; SC') естественно считать сопря-
сопряженным к <ff(Rn\ Ж), полагая
(/. ")= 2 \fa(x)u*(x)dx. C.185>
а = 1 J
Уело ие ковариантности
T(g~1)u{gx) = u(x) при всех g?G C.186a>-
выделяет подпространство d7(Rn; Ж)а G-ковариантных основных функций.
В компонентной записи это условие имеет вид
2 rgte-1) (gx) = u*(x), g?G. C.1866).
Р
Аналогично определяется подпространство &" (Rn; X')Qa0"{Rn, Ж') G-ко-
G-ковариантных обобщенных функций.
Имеет место формула (аналогичная C.155)), позволяющая восстановить.
G-ковариантную обобщенную функцию по ее сужению на & (/?"; Ж)°:
(/, м) = (/, Ей), /€^(Я"; ЗГ)°, ы€^(/?п; ЗГ)\ C.187)
здесь
^ Ж). C.188)
Поэтому (как и в лемме 3.9) мы можем отождествить 8" (/?"; SC')Q с про-
пространством линейных непрерывных функционалов на <SP (Rn; ЖH, т. е.
{ff(R»\ X)°)'.
Для ковариантных основных и обобщенных функций широко употре-
употребительны так называемые ковариантные разложения
N
«(*)= 2 Qa (*)%(*), C.1 89>
а= 1
A*)=2Qp(*)M*). C-190)'
p=i
поскольку они явным образом учитывают условие ковариантности. Здесь
{Qa} и {Q'p}—фиксированные наборы ковариантных функций (ковариантов),
va (и hp) — инвариантные функции (и обобщенные функции), иногда назы-
называемые инвариантными амплитудами. Особо важен случай полиномиальных
ковариантов.
Пусть 53 (/?"; 2С)° есть совокупность всех ^"-значных G-ковариантных
полиномиальных функций в R". Назовем семейство {Qa}a=i элементов из
P(Rn; S)G стандартными полиномиальными ковариантами в R", если произ-
произвольный элемент Р ? 9* (/?"; J")G представим в виде
а=1
C.191)
с некоторыми G-инвариантными полиномами ра(х). Если разложение C.191)
однозначно, т. е. если из Ре=0 следует рст=0 для всех а, то семейство
{Qa} будем называть полиномиальным базисом стандартных ковариантов
в R", преобразующихся по представлению Т группы 0. (Сформулированное
условие, в частности, исключает практически мало полезный случай, когда
число N инвариантных амплитуд превосходит число L = dim J" компонент
J^-значных функций.) Можно показать, что условие однозначности разло-
разложения в классе 5*(R"; S)a по стандартным полиномиальным ковариантам
Qa выполнено в точности тогда, когда значения стандартных ковариантов
Q1(x)y ..., QN{x) в фиксированной точке х, рассматриваемые как векторы
из 37, линейно независимы хотя бы при одном значении х (или при всех
х из некоторого плотного открытого множества в R", что то же самое
ввиду полиномиальной зависимости ковариантов от х). Это условие удов-
удовлетворяется не всегда (например, при не слишком больших k в случае
группы О+ (d), действующей в Rdli).
Отметим, что условие существования полиномиального базиса стандарт-
стандартных ковариантов симметрично относительно 2С и 3<". Если {Qa} есть такой
базис в S^iR"; ??), то существует полиномиальный базис стандартных ко-
ковариантов {Qp}?Li для 5s (/?"; %')\ например, можно положить
Qo(x) = QQa(x), C.192)
где 0 есть G-инвариантный антилинейный изоморфизм SV на 2?'.
Упражнение 3.22. Построить G-инвариантный антилинейный изоморфизм j?* на,#".
(Указание: на SC существует G-инвариантное скалярное произведение <Xi, X2>; определить
QXU полагая (вХъ Х2) = <Ль *2>0
Определим N х Af-матрицу q(x) = (qpa (x)), элементы которой являются
G-инвариантными полиномами:
= 2 Q'pa(x)Qa.a(x). C.193)
1
Для ковариантных разложений обобщенных функций матричная функция q (х) играет
роль, аналогичную той, которую имеет функция % C.170) для инвариантных представлений.
Упражнение 3.23. Доказать, что detq(x)^O. (Указание: достаточно рассмотреть
случай, когда коварианты Qa(x) имеют вид C.192); в этом случае qpa (x) = <_Qp (x), Qa(x)>
есть положительно определенная матрица в тех точках х, где коварианты Qa(x) линейно
независимы.)
Обратимся к примерам групп SU B) и 0C). Как уже отмечалось (см. упражнение
3.5.(а)), гомоморфизм Л—>- Л (Л) C.39), суженный на подгруппу SU B) с: SL B, С), яв-
является двукратным накрытием группы О+ C), так что
Л(?/)€0+C) при U?SUB). C.194)
Из теории углового момента хорошо известно, что неприводимые представления группы
SU B) параметризуются целым или полуцелым неотрицательным числом s—спином представ-
представления. Представление ?(J) со спином s можно реализовать в пространстве 5|3(s' 0) однородных
полиномов по со ? С2 степени 2s. Фактически HD(J) есть сужение представления ?)<s. °> (см. C.53))
группы SL B, С) на подгруппу SU B).
140
Здесь нас интересует только представление с целым спином. Именно такие представ-
представления порождают (однозначные) представления группы О+ C). Удобно перейти от перемен-
переменной со ? С2 к новой переменной g з= g (о)) ? С3:
^ = (@2J_(@lJi ?2=_^(оIJ+((о2J); ?3 = 20,10,2. CЛ95)
При этом выполнено равенство
— ?х = (х>ехёош C.196)
при всех х?М с х° = 0. Нетрудно убедиться, что при со?Са ? (ш) пробегает следующую
квадрику в С3:
SS ^ (S1J+(?2J+(S3J=о. C.197)
Величина g удобна тем, что она преобразуется при вращениях как 3-вектор:
g (Um) = A(U) g (со) при всех U?SU B). C.198)
Очевидно, при целом s всякий однородный полином г|з (со) степени 2s по со единственным
образом выражается как однородный полином г|з (g) степени s от переменной ? = ? (щ) на
квадрике C.197):
•ф (со)^-ф (ё (со)). C.199)
Пусть ?р< ¦*•<>> есть пространство всех таких функций if> (q). Тогда представление ЗУ*' группы
0+ C) в $ (s, 0) имеет вид
? g) при R?O+C). C.200)
Что касается представлений группы О C), то их легко построить, заметив, что О C)
есть прямое произведение своих подгрупп О+ C) и Z2 = {1, —1}. Отсюда получается, что
всякое неприводимое представление группы О C) характеризуется с точностью до эквива-
эквивалентности (целым неотрицательным) спином s и знаком т|=± 1 (пространственной четностью
представления); для соответствующего представления З)'^' имеем
35<» (/?) = ?(*. о) (я), 3)«> (_ /?) = T|.t^3)№ о) (я) при R ?О+ C). C.201)
(Соглашение, что четность представления положительна при г)=1, весьма условно; безу-
безусловной является лишь относительная четность t\i(\2 двух различных представлений О C)
с одинаковым ^спином.) В терминах пространства %^' 0) представление C.201) принимает вид
C)"' (R) й) (E)=(det Я)*11'72 $ (^-1?) ПРИ всех R?O C). C.302)
Упражнение 3.24. Пусть ^'•s) есть пространство всех комплексных гармонических
полиномиальных функций ср (/) от (вещественного или комплексного) 3-вектора I, однород-
однородных степени s( = 0, 1, 2, ...). Доказать, что действие 0C), сопоставляющее элементу
#?0C) отображение
ф (/) —> Ф' (/)=(det R)<-l-№ ф (я-i/) при всех R?O C), C.203)
эквивалентно представлению З)'^' группы О C) в ip1*1 0). (Указание: убедиться, что отобра-
отображения
.Ф—>-ij>, где ф(Е) = Ф(?), C.204а)
Ф, где ф(/) = 3^_^_^.?оГв-1^.уф(С(ш)), C.2046)
взаимно обратны; в формуле C.2046) подразумевается, что /° = 0.)
Посмотрим структуру стандартных полиномиальных ковариантов в рассматриваемом
случае группы О+ C) (или 0C)), действующей линейно в пространстве R3k. Согласно ска-
сказанному выше мы можем считать, что (неприводимое) представление 3)(J) группы О+C)
(или'представление З)^' группы 0C)) реализовано в пространстве $(J> 0). Тогда О+C)-ко-
вариантной функцией в R3k, преобразующейся по представлению 3)(J>, является всякая
функция f (хъ ..., Хь\ ?) от переменных Хь ..., xk?R3, зависящая еще от параметра g
иа квадрике C.197) как однородная полиномиальная функция степени s, такая, что
f(RXl, ..., Rxk; /?E) = /(xi хк; g) при всех *€О + C)- C.205)
Мы видим, что условие ковариантности, в сущности, становится условием инвариантности,
если рассматривать g как равноправную переменную *). Аналогично характеризуются
О C)-ковариантные распределения в R3k, преобразующиеся по представлению 35^s>.
Стандартные 0 + C)-коварианты строятся как подходящие О+C)-инвариантные поли-
полиномиальные функции от Xi, ..., Хь; g. Лишь при fe<2 удается построить полиномиаль-
полиномиальный базис стандартных ковариантов при всех s. При k= 1 имеется один стандартный
ковариант
(хй*. C-206)
*) В этом заключается преимущество явно ковариантиого формализма, которого мм
придерживаемся в этих примерах (а также в п. 3.3.Б).
141
При k = 2 в качестве полиномиального базиса стандартных ковариантов можно выбрать
достаточное количество полиномов степени s от трех комбинаций: Xit,, x2Z, и det (хъ х2, ?)
(где последнее выражение есть детерминант, составленный из компонент векторов х%, х2, ?).
Так как ?2 = 0, то deta(xi, х2, ?) выражается через Xi, x2, X& и дс2?; значит, достаточно
ограничиться лишь нулевой и первой степенью комбинации det (xi, х2, ?)¦ Таким образом,
получаем полиномиальный базис из 2s+1 стандартных ковариантов
det(x1, х„ ?)ff(*iOe(*«EN. C-207)
где _
а = 0 или 1; a, b?Z+, a+a+b — s. C.208)
Упражнение 3.25. (а) Пусть k=\. Доказать, что выражение C.206) определяет
полиномиальный базис стандартных ковариантов группы О+ C), преобразующихся по пред-
представлению 3jW). (Указание: удобно воспользоваться изоморфизмом пространств ty{s' 0) и ifs),
описанным в упражнении 3.24. В этом случае ковариантные полиномы в R3 отождествляются
с инвариантными полиномами <р (х, I) от векторов х, l?R3, которые гармоничны и одно-
однородны степени s по /. Согласно п. 3.4.А такие полиномы можно записать в виде
Р (х2, xl, I2), где Р — полином от трех переменных. Возвращаясь к переменной ? по фор-
формуле C.204а), получить отсюда, что ¦ф (*, ?)=р (х2) (x?)s, где р— полином от одной
переменной.)
(б) Пусть к—2. Доказать, что выражения C.207) определяют полиномиальный базис стан-
стандартных ковариантов от двух векторов xlt х2, где имеется в виду представление 3j(s) группы
О+C). (Указание: в связи с доказательством того, что выражения C.207) можно принять в ка-
качестве стандартных полиномиальных ковариантов, см. часть (а) упражнения. При этом в дей-
действительности получается полиномиальный базис стандартных ковариантов; это следует из
того, что коварианты C.207), рассматриваемые как функции ? на квадрике C.197), линейно
независимы при любых фиксированных линейно независимых х^ и д:2-)
Упражнение 3.26. Убедиться, что при реализации представления ЗМ^ (с целым s)
группы О+C) в пространстве $P<S' °> можно в качестве стандартных ковариантов при k=l или 2
взять следующие: при k=l один стандартный ковариант
(шехшу, C.209)
а при fc = 2 2s+1 ковариантов
)в (шгх2т)ь, C.210)
где а, а, Ь пробегают значения, указанные в C.208).
Аналогично, условие О C)-ковариантности (обобщенных) функций в /?зй, преобразую-
преобразующихся по представлению 3)<s) (с целым спином sn четностью т)=± 1), выражается наряду
с C.205) еще одним соотношением:
/(-xi, .... -хк; -» = ч/(х1 хк; ?). C.211)
Если й=1, то при г)=+1 имеется один стандартный ковариант C.206), а при rj= — 1 ненулевых
ковариантных функций нет вообще. Если k=2, то при т)=+1 в качестве полиномиального ба-
базиса можно взять s+1 стандартных ковариантов
(х&У (х2$у-а, где а=0, 1, .... s, C.212)
а при т)=—1 можно выбрать следующие s стандартных ковариантов (конечно, при s^l):
det(x!, x2, l)(x1l)a(xiiy-a-\ где а = 0, 1 s-1. C.213)
Разложение C.191) распространяется на ковариантные основные функции.
Предложение 3.12. Пусть G—компактная группа Ли, действую-
действующая линейно в R", и пусть существует полиномиальный базис стандарт-
стандартных ковариантов в R", преобразующихся по представлению Т группы G в SC.
Тогда всякая ковариантная основная функция u(x)?ef (/?"; SC)° однозначно
представима в виде C.189), где va (x) — G-инвариантные основные функции;
формула C.189) осуществляет топологический изоморфизм прямой суммы
N
®<ff{Rn)° (k экземпляров пространства tf (Rn)°) на tf (Rn; Ж)а.
Переходя к разложению типа C.190) для ковариантных обобщенных
функций, мы прежде всего установим смысл инвариантных амплитуд.
Результат сглаживания C.189) с произвольной основной функцией
u€<y(R"; Ж) имеет вид
(/, и) = 2 (Ар (х), 2 Q? (х) «а (*)). C.214)
р= 1 а = 1
Согласно формуле C.187) левая часть этого равенства не изменится, если и
заменить на Ей, поэтому достаточно ограничиться рассмотрением G-кова-
142
риантных основных функций. С помощью представления C.189) соотноше-
соотношение C.214) приобретает вид
N N
(/. «)= 2 (М*). 2 qpa{x)va(x)), C.215)
p=I <т=1
где v == (и„ (л;)) ? ® o5" (#")G- Будем здесь рассматривать матрицу q как опе-
ратор в ®о5" (/?"), сопоставляющий элементу i>s= {уа (л:)}^=1 ? ®^{Rn) эле-
элемент <7^ с компонентами
faw)p(*)=2?pa(*K(*)- C-216)
<т=1
Можно показать, что оператор q в действительности есть топологический
N
изоморфизм пространства ф if (Rn) на некоторое замкнутое линейное под-
N N
пространство в фоУ (/?"), которое мы обозначим q^^(R"). Формула C.215)
подсказывает интерпретацию инвариантных амплитуд hp(x) в ковариантном
разложении C.190): набор h == {hp(х)} есть линейный непрерывный функцио-
функционал на q®<±f{Rn)a, который (как и в лемме 3.9) можно отождествить
N
с G-инвариантным линейным функционалом на q@af{Rn).
Подобно тому как в предыдущем разделе мы ввели оператор \/%
(см. C.172)), мы введем аналогичный изоморфизм q'~x из ®&" (R") в про-
пространство {q®<!f (/?"))' линейных непрерывных функционалов на q@af{Rn);
по определению
(q'~lH, qv) = (H, v) C.217)
для всех Я^{ЯР(*Ж©<Г (/?«), »ёКМКШ(П
С помощью этого построения мы приходим к следующей характеристике
G-ковариантных обобщенных функций.
Предложение 3.13. Пусть выполнены условия предложения 3.12
и пусть {Qp} есть стандартный базис полиномиальных ковариантов в R",
преобразующихся по контраградиентному представлению. Тогда всякая
G-ковариантная обобщенная функция f(x)?<9"(Rn;&')G представила в виде
C.190), где hs=(hp(x)) есть элемент пространства д'~1фс5р'(^")°; согласно
этой $юрмуле значение f на основной функции «^^G?"; X) записывается
в виде
{f, u) = (h, qEu) C.218)
(где Е и q—операторы C.188) и C.216)). Тем самым формула C.190) осу-
осуществляет изоморфизм между &" (R"\ SC')G и q'-1®^' (R")a.
Комбинируя предложение 3.13 с предложением 3.11, мы можем далее
выразить инвариантные амплитуды hp в ковариантном разложении C.190)
в терминах инвариантов 1и . .., /v¦
Предложение 3.14. Пусть G—компактная группа Ли, действую-
действующая в R", и пусть существуют алгебраически независимые стандартные
полиномиальные инварианты Ilt .. ., /v и полиномиальный базис стандарт-
стандартных ковариантов в R", преобразующихся по представлению Т группы G в X
(и по представлению Т в SC'). Тогда всякая G-ковариантная обобщенная
функция f (х) ? a?" (Rn; SC')a представима в виде
p*)#p(/i(*)- ••-. /vW), C-219)
р
N
где Н={Нр(у)} есть элемент пространства Х'~1фс5р1/х(О).
Здесь мы считаем, что матрица инвариантных полиномов q (х) == (qpa (x))
выражена через /,, ..., /v:
?pa(*) = *pc (/(*)) C-220)
143
(Xpa(y) — полиномы в /?v), и что соответствующие операторы X и X'-1 оп-
определены формулами, аналогичными C.216), C.217), в пространствах основ-
основных и обобщенных функций от переменной y€Rv- Разложение C.219),
записанное в виде
'Z, C.221)
принадлежит к типу представлений, естественно обобщающих понятие сла-
слабого интегрального представления (п. А.2) на случай векторных обобщенных
функций.
Замечание. Мы видели, что соображение однозначности к вариантного разложения
C.190) приводит к тому, что инвариантные амплитуды Ар (x) не являктся привычными
обобщенными функциями. Однако за счет потери однозначности разложения можно в ка-
качестве инвариантных амплитуд hp (x) допустить G-инвариантные обобщенные функции из
tSf" (Rn). Действительно, выше было замечено, что А есть фактически линейный непрерыв-
n on а
ный функционал на подпространстве qQtST (Rn) в ф^ (/?"). По теореме Хана—Банаха его
N а
можно продолжить непрерывно до линейного функционала на @<ff (/?"), а такой функцио-
N а
нал (по лемме 3.9) можно отождествить с элементом из ф^" (/?"), т. е. с семейством G-ин-
вариантных обобщенных функций. В результате мы приходим к представлению C.190), где
теперь hp(x) — G-инвариантные обобщенные функции. Как было сказано, такое разложение
в общем случае неоднозначно. Тем не менее оно однозначно определяет обобщенные
функции Ар на всюду плотном открытом множестве в R", где стандартные коварианты
Qx (х), ..., Qn (х), рассматриваемые как векторы в $?, линейно независимы; значит, неедин-
неединственность ковариантного разложения C.190) в классе обобщенных функций сосредоточена
в дополнении к этому множестцу. Например, О+ C) — ковариантная векторная обобщенная
функция /(х) от одного вектора х представима в виде f(x) — x A (х), где А (х) есть 0C)-
инвариантная обобщенная функция от х, которая определена этим представлением с точ-
точностью до слагаемого с 6 (х) (с—произвольное число).
Упражнение 3.27. Доказать представление C.183) для нечетных О+ (З)-инвари-
антных обобщенных функций / (Xi,х2, Хз) в /?3. (Указание: рассмотрим одномерное пред-
представление jD-i группы 0C): 5D-\ (R) = det R. Тогда интересующие нас обобщенные функ-
функции / (xi, Хг, Хз) можно рассматривать как О (З)-ковариантные обобщенные функции. На
основании результатов, изложенных в п. 3.4.А, убедиться, что выражение det (xj, х^,Хз)
есть полиномиальный базис стандартных О (З)-ковариантов в R33, преобразующихся по
представлению 3)(-?i.)
В. Применения к лоренц-инвариантным и лоренц-ковариантным обоб-
обобщенным функциям. Имеется важный класс лоренц-ковариантных (и, в ча-
частности, лоренц-инвариантных *)) обобщенных функций в М" с определен-
определенным свойством носителя, рассмотрение которых сводится к О(+)C)-ковари-
антным (в частности, О(+) (З)-инвариантным) обобщенным функциям. Это
класс обобщенных функций /(/?1? ¦¦¦¦,рп), носители которых по одной из
переменных р1ч ..., рп, скажем по р„, содержатся в Lt-инвариантном мно-
множестве Vm при некотором т > 0, т. е.
suppf(Pl,...,pn)c={(p1,...,pn)?M«: pneV+}^M"~lxV+. C.222)
Согласно предложению АЛ такие обобщенные функции /можно рассматри-
рассматривать как элементы из &' (Mn~xx.Vti)-
Стандартный метод рассмотрения (J^-значных) лоренц-ковариантных
обобщенных функций из 3" (M"~1xVZ', Ж) состоит в переходе к системе
отсчета, ассоциированной с вектором рп или, более определенно, в фикса-
фиксации направления вектора рп, например, вдоль нулевого орта е„ — (\, 0, 0, 0).
Такая возможность обусловлена тем, что всякая лоренц-ковариантная обоб-
обобщенная функция из <?"(Мп-1хVm\ %) может рассматриваться как обоб-
обобщенная функция по части переменных, непрерывным (и даже #"-) образом
зависящая от остальных переменных, в качестве которых следует взять
*) Инвариантные обобщенные функции можно рассматривать как частный случай кова-
риантных (в этом случае роль Т играет единичное представление T(g)s=l в С).
144
величины, определяющие направление вектора рп. Будем характеризовать
направление произвольного времениподобного вектора р ? М посредством
4-скорости v(p), определяемой равенством
C.223)
Легко видеть, что v (р) принимает значения на Г^.
Ясно, что каждая точка v из Tt определяется ее пространственной частью v ? Rs, ко-
которую можно рассматривать как независимую координатную переменную на Г^. Этот изо-
изоморфизм между Г^ и R3 позволяет использовать понятие 5о°°-функи.ии (соответственно,
обобщенной функции) / (v) от v на Г? (и, возможно, от других переменных) просто в смыс-
смысле #°°-функции (соответственно, обобщенной функции) / (¦») от v на R3.
Отображение
Vm Э Р — {V~p\ v (/»)) 6 [m, oo) х Г+ C.224)
является диффеоморфизмом; в соответствии с определением замены перемен-
переменных (п. 2.2.А) всякая обобщенная функция / ? if' (М" х У„; &) может быть
однозначно представлена в виде
Vv{pn)), C.225)
где F(plt .. •,/>„_!, Я, v) — некоторая обобщенная функция из &" (Мп~1х[т,
оо)хГ^; X). Интересующий нас результат формулируется следующим об-
образом.
Предложение 3.15. Всякая Ь^+)-ковариантная обобщенная функция
I(pj, . . ., рп) ? if" (Ж" х У„; %) может быть однозначно представлена в виде
C.225), где F (ри . . ., рп.1У X, v)—обобщенная функция из if' (М"'1 X [т, с»);
&) по р1У . . .,рп_х, X, зависящая Ча™-образом от i>?IY как от параметра.
Доказательство этого предложения основано на следующем общем соображении. Пусть
связная группа Ли G действует #°°-образом на многообразиях X hY, причем ее действие на У
транзитивно; кроме того, пусть фиксировано линейное представление Т группы О в некотором
конечномерном векторном пространстве^". Тогда всякое G-ковариантное jjJT-значное распреде-
распределение/^, у) (скажем, класса <3)'(ХХ У)) является распределением по х, зависящим ^""-образом
от у как от параметра. (Это соображение использовано также ниже в замечании в настоящем
разделе.)
Будем рассматривать О(+)C) как подгруппу в L?+ > (состоящую из всех
преобразований из L(+), оставляющих вектор ео = A,О, 0, 0) инвариантным);
значит, в SC определено (посредством сужения представления Т группы Ь^+)
на подгруппу) представление О(+)C) (причем оно, вообще говоря, приводи-
приводимо, даже если Т неприводимо). Предложение 3.15 позволяет каждой ?(+г
ковариантной обобщенной функции f(pt, .. ., рп) ?if" {M"~xx Vm\ Ж) сопос-
сопоставить обобщенную функцию F (рг, . . ., рп_1,Х, V) |0=(?0 из if' (Л1п~1х [пг, со);
&), которую естественно назвать сужением f на систему покоя вектора рп
и обозначить через
...,рп^,р^)\^еа. C.226)
Отсюда легко получаем следующий результат.
Следствие 3.16. Соответствие f(p1,...,pn)—*f{Pi,.--,pa-1,p°ne0),
определенное формулами C.223), C.224), является топологическим изомор-
изоморфизмом между /^+)-ковариантными обобщенными функциями из if' (M"'1 x V+,;
&) и О(+) C)-коварна нтными обобщенными функциями*) из if' (Mn~1x
х[т, с»); SV).
Удобство приема сужения / на систему покоя вектора рп очевидно, так как оно сводит
лоренц-ковариантные (в частности, лоренц-инвариантные) обобщенные функции к О( + ) (З)-ко-
вариантным (в частности, О(+> (З)-инвариантным) обобщенным функциям от меньшего числа
*) Здесь подразумевается, что представление О(+)C) в ЗС получено сужением фиксиро-
фиксированного представления Т группы L^.) B %'•
145
переменных. Таким образом, мы можем приспособить результаты, полученные выше для ком-
компактных групп (в частности, для 0(+) C)), к выводу представлений типа C.156) (или C.190))
для /.(^-инвариантных (или /.Д^-ковариантных) обобщенных функций/(рг, . . . , рп) из класса
с5е"(Л1'гХ Vm). Ясно, каковы могут быть последовательные этапы такого вывода. Вначале мы
записываем f(plt . . . , pn-i, рп е0) в терминах стандартных 0(+)C)-инвариантов (или 0( + )C)-
ковариантов), далее представляем последние как сужения на систему покоя вектора рп стан-
стандартных Z-Л .-инвариантов (или Z-Л ,-ковариантов), возможно, содержащих дополнительно в
виде множителя некоторую степень инварианта р\, что допустимо в силу рп^ш2>0; например,
PlP/ = - PIP/ + ~i (PiPn) (PjPn) \viPn)=e0. C.227)
Наконец, мы записываем f(Pi, ¦ ¦ ¦ , Pn-i, Рп^о) как результат сужения на систему
покоя вектора рп некоторой /.Лч-инвариантной (или /.Т^-ковариантной) обобщенной функции
h(p1, . . . , рп), записанной в форме C.156) (или C.190)). Согласно следствию 3.16 / совпадает
с h. Тем самым мы приходим к искомому представлению для /.
Следующие упражнения служат иллюстрацией к этому рассуждению (в них всюду т>0).
Упражнение 3.28. Пусть / — отображение из ЛРХ Vti в R6:
IiPi< Pi' Рз) = (/>1> pi, Рз, Pip2, P1P3, РгРз)\ C.228)
введем
^). C.229)
Доказать, что Q — канонически замкнутое регулярное множество в Л8 и всякая L(t+) -инвари-
-инвариантная обобщенная функция f(px, p2, рз)^.&"(ЛРх Vm) может быть представлена (единственным
образом) в виде
f(Pi> Рг> Рз)=ф(Р?. pt рз, PiP2, P1P3, Р2Р3) C.230)
с некоторой обобщенной функцией (p?#"(Q). При этом равенство C.228) понимается в смысле
слабого интегрального представления (ср. C.165)):
f(P\, Рг< Рз)= [ фО/п. Угг. Узз, Ун, Ун, У2з)Л^(У;/—р1Р/) dyij. C.231)
Более того, соответствие ф-*-/ есть изоморфизм всех L/+.-инвариантных распределений из
oF'(APX Vm) на $"(О). (Указание: при нахождении множества Q и установлении формулы
C.220) перейти к системе покоя вектора рз.)
Упражнение 3.29. Показать, что формула
— 1 / д \2* — \
осуществляет изоморфизм между L^-ковариантными обобщенными функциями f^^P'(Mn~1X
XVm', 5р(/> *') и L^-ковариантными обобщенными функциями g^af' (Mn~1xVm'> 5Р(/> 0)®
(gMp(&, 0)^ преобразующимися по представлению, изоморфному ©jD<s> 0), где s пробегает зна-
значения s
C.233)
При этом обратное отображение имеет вид
— 1 / д — \2*
f(Pl, ...,/>„; ш,ш)=__. (A»*)-*^pBe«BJ g(Pi P»;©.»). C-234)
(Указание: воспользоваться тождеством рр = р*-1.)
Упражнение 3.30. Показать,~что при и= 1, 2, 3 (и целых положительных х) для
L^+ -ковариантных обобщенных функций Т(ръ . . . , рп; со) ?#"(.#"-1Х Vm', §P lS' 0)) имеет
место разложение типа C.190), C.219) со следующими стандартными ковариантами. При п=\
ненулевых ковариантных (обобщенных) функций нет. При ге=2 имеется один стандартный
ковариант
(ые^/Гаш)*; C.235)
при ге = 3 имеется 2s-j- 1 стандартных коварианта
(wep2p3a,)b, C.236)
образующих линейный базис в $P<S- °> в любой точке (ръ р2, Рз)?ЛР ранга 3*); здесь а, а,
b пробегают те же значения, что и в C.208). (Указание: воспользоваться упражнением 3.26.)
*) Точка (ръ рг, рз)?М3 называется точкой ранга 3, если детерминант Грамма
det (piP/)i, j=i, 2 з отличен от нуля.
146
Упражнение 3.31. Доказать, что при я = 1, 2, 3 для /.^-ковариантных обобщен-
обобщенных функций f(pu ..., р„)?#" (Mn~1xVm; %), преобразующихся по произвольному (ко-
(конечномерному) представлению группы L\, имеет место разложение типа C.190) или C.219) по
стандартным ковариантам. В частности, в случае ге = 3 число элементов базиса стандартных
ковариантов Qp(pi, рг, рз) есть N = &imSP (так что они образуют линейный базис в X в
каждой точке (p\,pi, Рз) ранга 3) и (однозначное) ковариантное разложение типа C.219)
имеет вид
N
f (Ръ Рг, Рз) = 2 ^Р ^ll Pi' рд НР (Рь Р*> Р*3' PiPt' W»> РгРз), C.237)
р=1
где #Е={#Р((/)} есть элемент пространства Х'~1ф^" (Q); Q определено в C.229), и
(/>))= 2 Q'pa(PbP2,Ps)Q<,,a(pi,P2,p3). C.238)
а= 1
(Указание: ограничиться случаем неприводимого представления и воспользоваться двумя пре-
предыдущими упражнениями.)
Замечание. Выше мы фиксировали направление лишь одного из переменных векто-
векторов ръ . . . , рп в ковариантной обобщенной функции f(plt . . . , рп), а именно направление
вдоль орта времени еп. Мы могли бы продолжить процедуру построения лоренцевой системы
отсчета из переменных векторов. Пусть, например, f(px, . . . , рп) — ковариантная обобщенная
функция из of'(Q) при п^2, где
6 = {{Pi Рп)€.Мп: Pn€.Vm\ Pn-i и рп линейно независимы} C.239)
(т > 0). Из рп-1 и рп можно построить два орта v0 и t\ лоренцевой системы отсчета:
Рп {Pl)Pn-l—(Pn-lPn)-Pn
Далее, подобно тому как это делалось в предложении 3.15, мы можем перейти от pn-i, р„
к новым переменным p\_v pn-iPm Р%> vo> vi и убедиться, что всякая ковариантная обоб-
обобщенная функция /?(^'(б) в новых переменных зависит ^"-образом от v0, иг. Это в свою
очередь позволяет фиксировать vg, vlt например: vo — eQ s= A, 0, 0, 0), v1 = e1 ^ @, 1, 0, 0).
Теперь аналогом следствия 3.16 будет утверждение об изоморфизме (осуществляемом суже-
сужением уо = ео, v1 = e1) между /.^-ковариантными обобщенными функциями fi(pi, ...,р„) в
области Q и О(+) B)-ковариантными обобщенными функциями от векторов plt .-.,pn-% и
инвариантных переменных p\_v Pn-iPn, P2n.
Точно так же при я^З можно редуцировать /.^-ковариантныеобобщенные функции
f (pi, ...,pn) в области, определяемой условиями
Рп ^ Vm'< Pn-i' Pn-if Рп линейно независимы, C.241)
к (О( + ) A)-ковариантным) обобщенным функциям от векторов р1г ...,рп_3 и скалярных
произведений векторов р„_2, рп-ъ Рп- Альтернативная возможность — это фиксировать
лоренцеву систему отсчета, построенную из векторов р„_2, рп-ъ Рп-
Дополнение Г. Словарь по группам Ли и их представлениям*)
Г.1. Абстрактные группы. Алгебраические свойства. Множество G называется группой,
если в нем определена ассоциативная операция произведения, сопоставляющая каждой паре
ft. §2 элементов G некоторый элемент gig%?G, и если в G существуют единица (т. е. элемент
е такой, что eg — ge = g для всех g?G) и обратный элемент g*1 любого элемента g (такой,
что g~1g = gg~1 = e)-
Группа G называется абелевой (или коммутативной), если множители в произведении
можно переставлять, т. е. если для любых glt go?G имеет место тождество gig2 = g2gi-
Подмножество Н группы G называется подгруппой, если Н является группой относительно
той же самой операции h1h2, которая определена на G. Всякая группа имеет две тривиальные
(или несобственные) подгруппы: сама группа G и подгруппа {е}, состоящая из одного единич-
единичного элемента. Подгруппа N группы G называется инвариантной подгруппой или нормальным
делителем, если из n?N, g?G следует, что gng~x^N (т. е. если gNg~1=N).
Примером нормального делителя служит центр С группы G, определяемый как множество
всех элементов группы G, коммутирующих с любым элементом группы G. Другим примером нор-
нормального делителя может служить производная группа G' группы G, определяемая как наимень-
*) В этом «словаре» мы приводим в логическом (а не алфавитном) порядке основные тер-
термины и некоторые факты из теории групп и их представлений, которые используются в тексте.
147
шая подгруппа группы G, содержащая элементы вида gigtS^gt1, где ft, g$?G. Инвариант-
Инвариантность G' следует из соотношения hg1g2gi1g21h-1=g^'g^gi1'g~1, где gi = hgih-'1.
Отображение ф группы G в группу Н называется гомоморфизмом, если
Ф (gigJ = Ф Ы ф Ы при ft
при этом множество ker(p={g?G: <p(g)=e} называется ядром гомоморфизма ф, а множе-
множество 1тф = {ф(?): g?G} называется его образом.
Л_1 Л П + 1
Последовательность групп и гомоморфизмов ... *¦ Gn—>¦ Gn + i—'¦—*-... называ-
называется тонной, если образ каждого гомоморфизма совпадает с ядром следующего. Например,
ф ф ф
точность последовательностей 1—* G—>¦ Н, G—*- Н—>-1, 1—»• G—>¦ Н—>¦ 1 (где 1—сим-
1—символ, заменяющий группу {е} из одного единичного элемента) означает, что отображение ф
является соответственно мономорфизмом (кегф=1), эпиморфизмом (im ф = #) или изомор-
изоморфизмом (в этом случае пишется G»H). Изоморфизм G—»G (группы G на себя) называется
автоморфизмом. Пример автоморфизма группы дает преобразование g—>¦ g^1ggo> гДе go —
¦фиксированный элемент группы G. Автоморфизмы такого типа называются внутренними.
Группы, с которыми мы будем иметь дело (группы Лоренца и Пуанкаре, евклидова
группа и др-)> выступают чаще всего в роли групп преобразований. Опишем возникающую
при этом ситуацию и приведем необходимую терминологию в общем случае.
Пусть G — группа, a SV — некоторое множество (или многообразие). Говорят, что груп-
группа G действует на множестве SC (или $? является G-пространством), если каждому эле-
элементу g?G поставлено в соответствие (взаимно однозначное) преобразование т (g): x—m(g)(x)sB
= gx множества % на себя, причем *) ft (g2x) = (gigz) х и ех = х (где е — единичный эле-
элемент в G). В частности, если ?V есть (вещественное или комплексное) векторное простран-
пространство и все преобразования т (g) линейны, то говорят, что в $С задано (вещественное или
комплексное) линейное представление т группы G.
Представления т и а в линейных пространствах SV и 3/ называются эквивалент-
эквивалентными, если существует линейный изоморфизм V: SV—>& такой, что i{g) = Va{g) V~x при
всех g?G.
Действие на множестве Ж называется эффективным, если из условия gx = x для всех
следует g = e.
Важную характеристику действия G на многообразии составляет структура орбит:
G-орбитой (или орбитой группы) называют подмножество в SC\ имеющее вид Ga=s{x=ga.
g?G}, где а—некоторый фиксированный элемент из SC. Легко видеть, что различные орбиты
не пересекаются и совокупность всех орбит дает разбиение пространства SC (причем две
точки х, y(^SV принадлежат одной орбите в точности тогда, когда существует элемент g
группы такой, что y=gx). Важность понятия G-орбиты видна, например, из следующей
характеристики G-инвариантных функций на SC- Функция f на $? G-инвариантна (т. е.
f(gx)ssf(x)) в точности тогда, когда она постоянна на каждой орбите. Таким образом,
задать G-инвариантную функцию в SV означает то же, что задать функцию на множестве
G-орбит в <%'.
Если в G-пространстве^Г есть только одна G-орбита (а именно SC), то говорят, что группа
G действует на SV транзитивно или что S? есть однородное G-пространство; в этом случае
любая точка множества $С получается из произвольным образом фиксированной точких^^Гдей-
ствием некоторого элемента группы G.
Совокупность Gx тех элементов из G, которые оставляют фиксированную точку x^SV на
месте, образуют подгруппу в G. Эта подгруппа называется стационарной подгруппой или ста-
стабилизатором (или еще малой группой) точки х. Пусть g — фиксированный элемент G; совокуп-
совокупность gGx всех элементов вида gh, где h пробегает подгруппу Gx, называется левым смежным клас-
классом группы G по подгруппе Gx. Можно показать, что однородное пространство Ж изоморфно
фактор-пространству GlGx, элементами которого являются левые смежные классы. Обратно,
если Н — произвольная подгруппа группы G, то фактор-пространство GlH является однород-
однородным G-пространством относительно естественного действия G:
g-
Аналогично определяется пространство правых смежных классов H\G. Если N — нор-
нормальный делитель, то пространства N\G и G/N совпадают. В этом случае фактор-пространство
/C=G/yV может быть наделено групповой структурой с умножением giN-g2N=g1g2N; получен-
полученную таким образом группу К называют фактор-группой, а саму группу G — расширением груп-
группы K(~GlN) с помощью группы N. В частности, если нормальный делитель jV содержится
в центре С группы G, то G называется центральным расширением (см. [ЖЗ], гл. 1, п. 3.9).
Примеры. 1) Тривиальным расширением называют группу G, изоморфную прямому
произведению NX К групп. При этом умножение элементов из NX К, являющихся произволь-
произвольными упорядоченными парами (п, k), где n?N, k?K, определяется «покомпонентно»: (nx, kj)(n2,
k2)=(n1n2, *!^2). Группы N и К могут быть отождествлены с нормальными делителями N-y и К,
*) Так определяемые действие и G-пространство называют левыми. Наряду с этим исполь-
используются правое действие и правое G-пространство, для которых T.(g)(x) записывают в виде х%,
а определяющие свойства теперь таковы: x(g1g2)^xg1) g2, xe=x.
148
в G, соответствующими подгруппам NX {е2} и {et}X К в NX К (где ех и е2 — единицы в TV и К);
в таком случае G называется прямым произведением подгрупп Nx и К.\.
2) Группа G называется полупрямым произведением Ni°Ki нормального делителя NxcG и
подгруппы Ki^G, если произвольный элемент из G однозначно записывается в виде произве-
произведения g=nk, где n?Nx, k?Kv В этом случае G есть расширение К.\ с помощью Л'1. В определе-
определении полупрямого произведения также можно считать «сомножители» внешними по отношению
к G; тогда мы говорим, что группа G есть полупрямое произведение №К групп N и К, если она
является полупрямым произведением нормального делителя N-.CG и подгруппы Ki^zG, при-
причем Ni-N, Ki^K.
Г.2. Группы Ли. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две
его несовпадающие точки имеют непересекающиеся окрестности. Группа G называется тополо-
топологической, если она является хаусдорфовым (топологическим) пространством и если отображение
ф
GXG^>~ G, задаваемое формулой
•Pfel. ga)=8lgi1, (Г-1)
непрерывно. (Отсюда следуют как частные случаи непрерывность произведения в G и непрерыв-
непрерывность операции g^~g~1-)
Все свойства топологических пространств автоматически переносятся на топологические
группы. В частности, группа (линейно) связна *), если любой ее элемент может быть соединен
непрерывной кривой с единицей группы. Связная группа односвязна, если любая замкнутая
кривая в G может быть непрерывно деформирована в точку.
Это означает следующее. Пусть S есть замкнутый круг на плоскости и dS ¦—окружность,
являющаяся его границей. Тогда линейно связная группа G (или, вообще, линейно связное
топологическое пространство G) называется односвязной (односвязным), если любое непрерыв-
непрерывное отображение dS —>- G может быть продолжено до непрерывного отображения S ^- G.
Группа G компактна, если из любого ее покрытия открытыми множествами можно выде-
выделить конечное подпокрытие. Группа G называется локально компактной, если существует ок-
окрестность единичного (и, значит, любого другого) элемента G, замыкание которой компактно.
Приведем несколько примеров. Группа 0C) (вещественных) ортогональных ЗхЗ-матриц
компактна, но не связна [так как непрерывная функция det R принимает два значения на 0C):
1 (скажем, для /?=е=1)и—1 (например, для R=—1)]. Связная компонента единичного
элемента 0C) есть группаО+ C) собственных евклидовых вращений R (таких, что det /?=1).
Группа 0+C) связна, но не односвязна. Ее двукратная накрывающая группа Si/B) (унитарных
2Х2-матриц с определителем П связна и односвязна, так как она гомеоморфна как топологи ie-
ское пространство единичной сфере S3 в четырехмерном пространстве. (Чтобы убедиться в по-
последнем утверждении, достаточно воспольяоваться кватернионной записью V=tfio0-{-ivJoj для
з
любой матрицы V?SUB), где vV-^R и 2 ("м'J= 1.) Группа 0+C) может быть задана как топо-
ц=0
логическое пространство той же сферой S3 с отождествленными диаметрально противоположны-
противоположными точками.
Упражнение ГЛ. Убедиться, что группы 0C) и SUB) являются соответственно
тривиальным и нетривиальным центральными расширениями группы 0+C) с помощью группы
*,= {+!,-1}.
Группа Лоренца L=OA, 3) является примером локально компактной, но не компактной
группы. Ее некомпактность видна, например, из неограниченности матричных элементов одно-
параметрической подгруппы лоренцевых (гиперболических) поворотов
(choc shot 0 On
shot cha 0 О
О 0 10
О 0 0
Мы будем иметь дело лишь со специальным классом топологических групп — группами
Ли. Топологическая группа G называется группой Ли вещественной размерности п, если вы-
выполнены два условия. Во-первых, существует окрестность, скажем Jf, единичного элемента
в группе G, гомеоморфная открытому множеству, скажем U в R". Иными словами, существует
достаточно малая окрестность цДГ элемента е, которая может быть взаимно однозначно и взаимно
непрерывно отображена во внутренние точки n-мерного открытого множества U(Z.Rn- Коорди-
Координаты точки s в U мы будем называть локальными координатами группы. Итак, в достаточно ма-
малой окрестности единичного элемента е групповое умножение g=g1ig2 может быть записано
в виде зависимости локальных координат s элемента g как функции от локальных координат
Sj, s2 элементов gv g2:
s=<D(Sl, s2), Sl, s2 €(/!<=?/. (Г.2)
Отметим, что ассоциативность группового умножения означает, что
Ь s2), s3)=O(s1) Ф(%, s;,)), slt s2, S3€U2CU (Г.З)
*) Наряду с понятием линейно связного пространства имеется более общее определение:
топологическое пространство называется связным, если оно не разбивается на два непустых от-
открытых подмножества. Для дифференцируемых многообразий (в частности, для групп Ли)
понятия линейно связного и связного пространств совпадают.
149
(там, где это равенство имеет смысл), а из существования обратного элемента следует, что при
фиксированном s^ отображение s1-»- s=4> (%, s2) должно быть обратимым. Теперь второе требо-
требование, входящее в определение группы Ли, может быть сформулировано как условие достаточ-
достаточной гладкости (для определенности, бесконечной дифференцируемое™) функции Ф в (Г.2) при
некотором выборе локальных координат. Отметим, что любые две такие системы (дифференци-
(дифференцируемых) локальных координат связаны между собой бесконечно дифференцируемым преобразо-
преобразованием. При сформулированных условиях группа Ли естественно наделяется структурой бес-
бесконечно дифференцируемого многообразия, поэтому можно применять дифференциальное
исчисление на группе Ли. Более того, согласно теореме Глисона — Монтгомери — Циппина
(см., например, Глушков, 1957) всегда можно выбрать локальные координаты так, что закон
умножения (Г.2) выразится вещественно аналитической функцией координат. Это означает, что
всякая группа Ли в действительности обладает структурой вещественного аналитического мно-
многообразия.
Упражнение Г.2. Доказать, что связная группа Ли G порождается любой окрест-
окрестностью 0 точки е в том смысле, что произвольный элемент g?G может быть записан в виде
gi- ¦ .gn, где gj?Q (/=1, . . . , п).
Группа Ли Я является накрывающей для группы Ли G, если существует гомоморфизм
группы Н на группу G, который гомеоморфно отображает некоторую окрестность единицы в Н
на некоторую окрестность единицы в G. Каждая связная группа Ли G имеет единственную (с точ-
точностью до изоморфизма) связную и односвязную накрывающую группу G; она называется уни-
универсальной накрывающей для G. При этом ядро накрывающего гомоморфизма ф: G -*¦ G является
дискретной подгруппой в центре группы G (так что G есть центральное расширение группы G
с помощью ker ф). Например, группа SUB) является универсальной накрывающей для О+C).
Может случиться, что универсальная накрывающая компактной группы некомпактна. Так,
универсальная накрывающая (компактной) группы вращений плоскости О+B)~1/A) есть (не-
(некомпактная) аддитивная группа R вещественных чисел. (Более подробно понятие универсаль-
универсальной накрывающей обсуждается в п.3.1.В на примере группы Лоренца.)
Группа Ли вещественной размерности In называется комплексной группой Ли комплекс-
комплексной размерности п, если некоторую окрестность единицы можно параметризовать п комплекс-
комплексными переменными так, чтобы закон умножения (Г.2) выразился комплексно аналитической
(т. е. голоморфной) функцией координат. Комплексная группа Ли наделяется структурой комп-
комплексного многообразия.
Г.З. Алгебры Ли. Мы начнем с аксиоматического определения и перечисления свойств
алгебр Ли и лишь затем укажем на их связь с группами Ли.
Алгеброй Ли (вещественной) называется линейное пространство X (над /?), снабженное
дополнительной операцией [х, у] коммутирования, которая удовлетворяет следующим
условиям:
а) билинейность;
б) антисимметрия: [х, у]=—[у, х] для всех х, у?Х;
в) тождество Якоби: [[х, у], г]+[[г/, г], х]+[[г, х], у]=0 для всех х, у, z?X.
(Аналогично определяется понятие комплексной алгебры Ли.)
Чтобы определить структуру алгебры Ли на (конечномерном) пространстве X, достаточно
задать попарные коммутаторы базисных векторов /1; . . . , /„, т. е. структурные константы
c\j в выражениях
? (Г.4)
(где по k подразумевается суммирование от 1 до п). При этом коэффициенты cfy должны быть
антисимметричны по нижним индексам и удовлетворять тождеству Якоби.
Любое линейное пространство с нулевым коммутатором представляет собой алгебру Ли,
называемую в этом случае абелевой.
Дифференцированием алгебры Ж (не обязательно ассоциативной) называется линейное
отображение D: Ж-*- Ж со свойством
D(x, y)={Dx) y+x(Dy). (Г.5)
Упражнение Г.З. (а) Пусть Ж — (вещественная) ассоциативная алгебра. Положим
[х, у]=ху—ух при х, у?Ж. Доказать, что пространство Ж с такой операцией коммутирования
является алгеброй Ли.
(б) Доказать, что пространство всех дифференцирований алгебры 31 является алгеброй
Ли относительно операции [Dlt ZJ]=ZIZJ—?>2Д1-
Подпространство Y в алгебре Ли X называется подалгеброй (соответственно идеалом),
если [Y, Y]cY (соответственно [X, К]сгК). (Запись [X, Y] означает линейную оболочку векто-
векторов вида [х, у], х(?Х, y(?Y.) Специальным случаем идеала является центр алгебры Ли X, ко-
который определяется как совокупность всех таких элементов х?Х, что [х, г/]=0 для любого у ?Х.
Подалгебра (идеал) Y в X называется тривиальной, если К=Х или К={0}.
В каждой алгебре Ли X можно определить две последовательности подпространств:
Х]=>Х, = [Х, Х2[=>...=,Хп+1 = [Х, Xn]z3..., (Г.ба)
1^=[X", X"]z>... (Г.бб)
У п р ажнен ие Г.4. Показать, что подпространства Х„пХп являются идеалами вХ
и что фактор-алгебры Хп/Хп + 1 и Хп/Хп + 1 абелевы.
150
Если dim X < оо, то последовательности {Х„} и {Хп} стабилизируются: начиная с не-
некоторого п Хп=Хп+1=.. .=Х„. Х"=Хп+1=.. .=Х°°. Алгебра Ли X называется разре-
разрешимой (соответственно нильпотентной), если Х°° = {0) (соответственно Х„ ={0}). Алгебра Ли
называется простой (соответственно полупростой), если ее размерность больше единицы и
она не содержит нетривиальных идеалов (соответственно, если она не содержит ненулевых
разрешимых идеалов).
Теорема Г.1 (Э. Каргана — Леви —¦ Мальцева). Все разрешимые идеалы произволь-
произвольной алгебры Ли X содержатся в одном разрешимом идеале 91 (называемом радикалом алгебры X).
Существует такая полупростая подалгебра YczX, что Х=Кф91 (прямая сумма линейных про-
пространств). Любые две подалгебры Y с этим свойством переводятся друг в друга автоморфизмом
алгебры X, сохраняющим SR.
Г.4. Связь между группами Ли и алгебрами Ли. Существует много способов строить алгеб-
алгебру Ли по группе Ли. Мы приведем два из них. (См. также [К8], § 6.3, где рассмотрены
четыре таких способа и их взаимосвязи.)
(а) Выберем параметризацию окрестности единицы е группы Ли G, для которой начало
координат соответствует элементу е. Пусть s=(s1, . . . , sn), t=(tl, . . . , tn) (n=dim G) —две
точки в пространстве параметров. Тогда закон произведения на группе определяет функцию
r=<S)(s, f) (см. (Г.2)). Так как g@)=e, то Ф @, s)=<X>(s, 0)=s. Следовательно, разложение этой
функции в ряд Тейлора имеет вид
<D(s, t)=s+t+B(s, t)+. . . , (Г.7)
где B(s, t) — билинейная вектор-функция и многоточие означает члены третьего порядка и
выше. Определим теперь коммутатор в R" формулой
[s, t]=B(s, t)-B(t, s). (Г.8)
Упражнение Г.5. Показать, что коммутатор, определенный равенствами (Г.7),
(Г.8), удовлетворяет тождеству Якоби. (Указание: пользуясь ассоциативностью умножения
на группе, показать, что
В (В (г, s), t)=B(r, B(s, t)). (Г.9)
Таким образом /?" снабжается структурой алгебры Ли. Эту алгебру Ли будем называть
алгеброй Ли группы G и обозначать через д.)
(б) Второй способ вносит структуру алгебры Ли в касательное пространство TeG к группе
G в точке е. Пусть g(x) и п(х) — две гладкие кривые на группе, выходящие из точки е (т. е.
такие, что g@)=h@)=e). Пусть х и у — соответствующие им касательные векторы в точке е.
(Если F — произвольная вещественная гладкая функция на группе (Fczte0°(G)), то вектор х
определяется как функционал x(F)=-p F(g(r)]x^o-) Рассмотрим (гладкую) кривую
пусть z— ее касательный вектор при т = 0 (т. е. при g=e). Тогда можно отождествить
пространство TeG с алгеброй Ли <}, определяя коммутатор векторов к и у по формуле
(дс, г/] = 2. Если G—матричная группа, то существует матричная реализация алгебры Ли,
в которой х = -
— g' @). Мы будем пользоваться символическим равенством x=g' @)
т=о
и в общем случае.
У п ражнен ие Г.6. Убедиться в эквивалентности двух определений алгебры Ли
g группы G. (Указание: ввести параметры s = (s1, ..., s") в окрестности единичного эле-
элемента и использовать то, что если s — параметры элемента g, то параметры элемента g~l
даются выражением — s-f-S (s, s)+---, вытекающим из (Г.7); показать, что если g (т) =
= а(т)-г-о(т), А(т) = 6т+о(т), то q(x)=xB(a, b) — iB(b, a) + o(x).)
Обратно, каждой алгебре Ли X (с dim X< оо) соответствует единственная (с точностью до
изоморфизма) связная односвязная группа Ли G с алгеброй Ли дявХ Все связные группы Ли,
обладающие этим свойством, имеют вид G/H, где Н— дискретный нормальный делитель, лежа-
лежащий в центре группы G. (См. [К81, § 6.3, теорема 2.)
Особенно просто выглядит соотношение между однопараметрическими подгруппами и их
генераторами в алгебре Ли. Параметр t в однопараметрической подгруппе можно выбрать та-
таким образом, чтобы выполнялись равенства
g@) = e, g
Так как g(x)— гладкая кривая, то можно определить касательный вектор
(ГЛ2)
Вектор х называется генератором (или инфинитезимальным оператором) однопараметрической
группы (Г.11).
Обратно, для каждого элемента х алгебры Ли g существует единственная гладкая кривая
g(f), удовлетворяющая условиям (Г.11), (Г. 12) (и задающая однопараметрическую подгруппу
группы G). (См. [К81, § 6.4, теорема 1.) Элемент g(t) записывают в виде exp (tx) или е**, а ото-
отображение х -+- ехр х из g в G называют экспоненциальным отображением. Оно диффеоморфно
отображает некоторую окрестность нуля в алгебре Ли g на некоторую окрестность единицы
группы G.
151
Упражнение Г.7. Доказать, что любой элемент связной группы Ли может быть
представлен в виде g\.. .gn, где gjgG (j=\ я). (Указание: доказать тождество ехрх=
= (exp x/2J, x?q; далее воспользоваться упражнением Г.2.)
Упражнение Г.8. Пусть SL(n, С) —группа всех комплексных nXn-матриц сопре-
делителем 1. Показать, что ее алгебра Ли состоит из всех лХя-матриц со следом, равным
нулю. (Указание: вывести предварительно равенство
det e* =
пользуясь приведением матрицы х к нормальной жордановой форме.)
Упражнение Г.9. Пусть О+ (п) — группа вещественных ортогональных пхп-матриц
с определителем 1 (Л?О+ (п) z$> ЛТЛ = 1, defA = l). Показать, что ее алгебра Ли состоит
из всех вещественных антисимметрических яХ/г-матриц.
Связная группа Ли G называется (полу)простой, если ее алгебра Ли (полу)простая.
Г.5. Локальная группа Ли. Каноническая параметризация. Теоремы Лн. При построении
алгебры Ли по группе Ли использовалось лишь знание закона умножения (Г.5) в сколь угодно
малой окрестности единичного элемента. Это наводит на следующее определение.
Назовем локальной группой Ли пару (В, Ф), где BcR" — внутренность n-мерного шара
(некоторого фиксированного радиуса) с центром в начале координат, а Ф — закон композиции
(Г.7), т. е. аналитическое отображение ВхВ в R", удовлетворяющее закону ассоциативности
(Г.З) и «начальным условиям»
O(s, 0)=Ф@, s)=s (Г. 13)
(вытекающим из (Г.7)).
Непрерывная кривая s=s(x), —р<т<р, называется локальной однопараметрической под-
подгруппой, если ©(sfo), s(t2))=s(t1+t2). Параметры s называются каноническими, если всякая
кривая с уравнением s(r)=ar, где а — постоянный вектор (или, по компонентам, sa(x)=aax),
является (при достаточно малых |т[) локальной однопараметрической подгруппой.
Упражнение Г. 10. Показать, что если s и t — канонические параметры и Ф (s, f) —
закон композиции, то Ф (s, —s)=0 и разложение (Г.7) принимает вид
Ф' (s, t) = si + /' + у c'jk «/**+..., (Г. 14)
где c'jk—структурные константы алгебры Ли д.
Можно показать, что в канонических координатах функции Ф< являются вещественными
аналитическими функциями в достаточно малой окрестности начала координат, так что сте-
степенной ряд в правой части (Г. 14) имеет ненулевой радиус сходимости.
Предложение Г.2 (первая теорема Ли). Функции <$>'(s, t) удовлетворяют системе
частных дифференциальных уравнений по t при фиксированном s
¦2- ф! (s, t) v{ (t) = v'k (Ф (s, t)), (Г. 15)
где
дф!
t)
(Г.16)
*=|0
Если при данных (гладких) функциях v) (s), удовлетворяющих условию
(Г. 17)
система (Г. 15) имеет решение, то оно определяется однозначно этой системой и начальным
условием (Г. 13).
Доказательство этого предложения несложно. Уравнение (Г. 15) получается из закона
ассоциативности (Г. 12) дифференцированием по t при ?=0 (и заменой обозначений аргументов).
При установлении единственности необходимо воспользоваться обратимостью матрицы v(f)
в окрестности нуля, которая вытекает из (Г. 17) и из которой следует, что уравнению (Г.16)
можно придать вид
~ (s, 0 = v] (Ф) и{ @ (oj (t) u'k @ — fij[). (Г. 18)
dtn
Предложение Г.З (вторая теорема Ли). Для того чтобы система (Г. 15) (или
(Г.18)) с начальным условием (Г.13) имела решение, необходимо и достаточно, чтобыфунк-
ции o)(t) удовлетворяли системе дифференциальных уравнений
и начальному условию (Г.17). Обратная матрица, u(t), должна удовлетворять при этом
системе
-|-4--|-«/ + cM«f = 0, «}@) = в}. (Г.20)'
ди о1я
152
Уравнения (Г.19) (и (Г.20)) выводятся дифференцированием (Г. 18) по t и приравниванием
смешанных вторых частных производных (по tj, tk) функции Ф. При этом структурные
константы даются равенством
) (Г2)
Предложение Г.4 (третья теорема Ли). Для локальной разрешимости систем
(Г. 19) (или (Г.20)) необходимо и достаточно, чтобы постоянные (Г.21) были антисимметричны
по нижним индексам и удовлетворяли тождеству Якоби:
c)k=-ckj, (Г.22)
c)k cm+ 4nk с% + elk chmi = 0. (Г.23)
Упражнение Г.11. Обозначим через cs матрицу
(cs)}=c)ks".
Доказать, что решения систем (Г. 19), (Г. 17) и (Г.20) в канонических координатах даются равен-
равенствами
¦ф)-*"~' -l+g-c+jr(«)'+ — . (Г.24)
n=0
где Bn — числа Бернулли ( Во=\, В1 = —1/2, B2 = 1/e, Bi = — 1/3B, B3 = B5 = b2n+1 = 0,
л+1
Г.6. Линейные представления. В случае, когда G— топологическая группа (в частности,
группа Ли), a SV — линейное топологическое пространство, будем предполагать (как правило,
не оговаривая это особо), что рассматриваемое представление Т группы непрерывно, т. е. что
отображение (g, Ф)-*- T(g)<D непрерывно по совокупности переменных.
Если в пространстве SV (непрерывного) представления Т есть замкнутое подпространство
g/, инвариантное относительно операторов T(g), g?G, то ограничение 7\ представления Т на
g/ называют (топологическим) подпредставлением Т; представление Т2, возникающее в фактор-
пространстве S=^"/2/,— (топологическим) фактор-представлением Т.
Представление Т называется (топологически) неприводимым, если оно не имеет нетриви-
нетривиальных подпредставлений. Говорят, что представление Т (топологически) разложимо, если в
пространстве SC имеются такие (замкнутые) нетривиальные инвариантные подпространства .^
иSCi, что SV изоморфно прямой сумме SCtS&SV?,- В этом случае пишут Т= Т^Т^, где Г,-— огра-
ограничение Т на Ж'(. Представление Т называется вполне приводимым, если каждое его инвариант-
инвариантное подпространство обладает инвариантным дополнением.
Рассмотрим в качестве примера группу Е+B) евклидовых движений комплексной плос-
плоскости: г-»- e'^z+S.
Упражнение Г. 12. Убедиться, что двумерное представление
rei4> g\
группы Е+ B) приводимо, но неразложимо.
Из всякого (непрерывного) линейного представления Т группы Ли G можно получить
линейное представление ее алгебры Ли, дифференцируя операторы T(g) в точке g=e.
Представление Т в гильбертовом пространстве $f называется унитарным, если все опе-
операторы T(g) унитарны.
Упражнение Г. 13. Показать, что инвариантное подпространство всякого унитар-
унитарного представления группы имеет инвариантное (ортогональное) дополнение.
Теорема Г.5 (лемма Шура), (а) Пусть представление Т группы G в (комплексном)
гильбертовом пространстве ,%" самосопряженно в том смысле, что для любого g?G существует
g'?G такое, что T(g)*=T(g') (в случае унитарного представления g'=g~l). Такое представле-
представление неприводимо в точности тогда, когда любой ограниченный линейный оператор В, коммути-
коммутирующий со всеми операторами представления, кратен единичному оператору.
(б) Пусть T(g) и S (g) — два самосопряженных неприводимых представления группы G в
Ж\иЖъсоответственно. Тогда, если А —замкнутый (линейный) оператор из $С\в уСг такой,
что AT(g)=S (g) А, то либо А=0, либо существует обратный оператор А'1, и представления
Т и S эквивалентны. (Это бесконечномерное обобщение известной леммы Шура легко выводится
из результатов монографии [Н2]; первая часть теоремы доказана в п.17.6, вторая часть содер-
содержится в следствии 1 п. 21.2.)
153
Заметим, что условие комплексности гильбертова пространства представления существен
но. Для вещественных представлений лемма Шура в данной выше формулировке несправедли
ва. В этом можно убедиться на примере двумерного представления группы О+B) матрицами
\ sin ф cos ф /
Это представление неприводимо над полем R и в то же время каждая из матриц Т(g]
коммутирует со всеми остальными, хотя и не кратна единичной матрице (при ф^гел, п?Z).
Над полем С это представление разложимо: существует неособая матрица V такая, что
VT<g)v-i=(eire °
^ V0 е~1<Р,
в качестве V можно положить V = —¦Ftzl I . ,
V 2 V 1
Заметим, что наряду с (линейными) представлениями групп вводится понятие (линей-
(линейного) представления алгебры Ли д, означающее гомоморфизм алгебры Ли д в алгебру Ли
линейных операторов, действующих в некотором линейном пространстве ?t.
Г.7. Присоединенное и коприсоединенное представления. Форма Киллинга. Пусть G —
группа Ли и A (g) — ее (внутренний) автоморфизм
^ (§)'¦ h ~*ghg*1' h> g?.G- (Г.26)
Точка е является неподвижной точкой для всех автоморфизмов A (g). Производное отобра-
отображение A (g)*: g -*¦ g, обычно обозначаемое через Ad^., является гомоморфизмом G в группу
автоморфизмов Aut g алгебры Ли д. Этот гомоморфизм называется присоединенным пред-
представлением группы G.
Если G — матричная группа и д—матричная же реализация ее алгебры (см., напри-
например, упражнения Г.8, Г.9), представление Ad^. задается формулой, аналогичной (Г.26):
AdgX = gxg~1, g?G, x?g. (Г.27)
Производное отображение в точке и = е, обозначаемое через ady, является дифференциро-
дифференцированием алгебры Ли:
adyX = [y, x], х, г/?д. (Г.28)
Соответствие у -*- ady называется присоединенным представлением алгебры Ли д.
Пусть д' — (дуальное) пространство всех (вещественных) линейных функционалов над д.
Пусть (F, х) — значение линейного функционала F на элементе х?д. Представление К
группы G в д', определяемое формулой
(KgF, x) = (F, Adg_1x), (Г.29)
называется коприсоединенным представлением группы Ли G.
Если dim G (= dim g) = n, то присоединенное представление является n-мерным матрич-
матричным представлением. В частности, операторы adx являются (вещественными) пхп-матри-
цами. Базис инфинитезимальных генераторов /,- этого представления задается в терминах
структурных постоянных с?/ алгебры Ли g по формуле
(/,¦)? = 4 (Г.ЗО)
Упражнение Г.14. Показать, что матрицы (Г.ЗО) удовлетворяют перестановочным
соотношениям (Г.4). (Указание: воспользоваться тождеством Якоби.)
В терминах матриц присоединенного представления можно определить (вещественную)
симметричную билинейную форму на алгебре Ли д:
называемую формой Киллинга.
Если х = х'/,-, у — у'1,-, где //—генераторы присоединенного представления (Г.ЗО), то
Рассмотрим в качестве примера алгебру Ли группы трехмерных вращений 0+ C). Ее
можно отождествить с алгеброй векторов в трехмерном евклидовом пространстве, в кото-
которой «коммутатор» задается векторным произведением
[х, у)=хлу; (Г.ЗЗ)
в координатах (при х — х'е/, y = y^ei)
[х, У]1' = ^ijkx'y", (Г-34)
где 8,ул—полностью антисимметричный единичный тензор (е12з=1).
Упражнение Г. 15. Убедиться, что метрический тензор #д (Г.ЗЗ) в этом случае
154
Упражнение Г.16. Показать, что форма Киллинга обладает свойствами: (а) опе-
оператор айх кососимметричен:
(айху, г) + (у, adxz) = ([x, у], z) + (y, [х, г]) = 0; (Г.35)
(б) если (j —идеал в д, то (х, у)^ = (х, уK при всех х, у?1).
Форма Киллинга позволяет характеризовать алгебру Ли.
Предложение Г. 6. (а) Форма Киллинга инвариантна относительно всех автомор-
автоморфизмов алгебры Ли.
(б) Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли X тождественно равна нулю.
(в) Алгебра Ли X разрешима в точности тогда, когда (X, Х1)=0, где Х1=Х2=[Х, X] (см.
(Г.6)) — коммутатор алгебры Ли X.
(г) Алгебра Ли X полупроста в точности тогда, когда форма Киллинга невырождена
(т. е. если из (х, у)=0 при всех х?Х следует у=0).
(д) Форма Шиллинга алгебры Ли компактной полупростой группы Ли отрицательно
определена.
(Относительно доказательства этих утверждений см. [Ж1], §§87, 90 и [К8], §6.2, задачи
12-14.)
Упражнение Г.17. Показать, что для полупростой алгебры Ли X коприсоединенное
представление эквивалентно присоединенному. (Указание: воспользоваться предложением
Г.З (а, г) и тем обстоятельством, что dim X'=dim X.)
В качестве примера алгебры Ли, для которой коприсоединенное представление отличается
от присоединенного, рассмотрим алгебру Ли е B) группы движений Е+{2) евклидовой плоскости
(см. упражнение Г. 12).
Каждый элемент g группы Е+ B) задается тремя параметрами: углом вращения ф и
вектором трансляции а == (а%, а2). Рассмотрим реализацию этой группы ЗхЗ-матрицами
/ cos ф —sin ф яа / cos ф sin ф —(соэф-ах + втф-агК
= [ sin ф cos ф а2 ), T(g~1) = ( —sin ф cos ф втф-ах—соэф-Яг )¦ (Г.36)
\ 0 01/ \ 0 0 1 /
Общий вид элемента алгебры Ли представления Т дается матрицей
/0 — х3 х±\
х = [ х3 0 х2 . (Г.37)
\0 0 0/
(Впредь мы будем отождествлять множество матриц вида (Г.37) с е B).) Компоненты х;
вектора х преобразуются согласно присоединенному представлению Ad^. группы Е+ B) по
формуле
/0 —х3 a2*3+cos ф.^ — sin ф-х2\
Adgx=T(g)xT(g)-1 = [x3 0 — a1x3 + sin<p-x1 + cos<p-x2 ). (Г.38)
40 0 0 /
Пространство е' B) коприсоединенного представления может быть охарактеризовано как
множество Mat C, R) всех вещественных ЗхЗ-матриц F, факторизованное по (шестимер-
(шестимерному) подпространству е B)° матриц А, удовлетворяющих условию ортогональности
tr Ax = 0 для всех xgeB).
Упражнение Г.18. Показать, что пространство е' B) может быть отождествлено
с множеством матриц вида
/0 -г 0ч
F=(r 0 0, (Г.39)
\t! t2 0/
в то время как
еB)° = <^ s12 s22 s2 : s,-и sab?R}. (Г.40)
l\0 0 sj )
Пусть П — оператор проектирования на е'B) (в Mat C, R)) параллельно подпростран-
подпространству е B)°. Тогда коприсоединенное представление К определяется формулой
Мы предоставляем читателю проверить, что параметры г, <х и t2 в (Г.39) преобразуются
под действием К (g) по закону
(аГФ = cos ф-ai + sin ср-а2, аг"ф =— sin ф-ai+cos ф-а2),
tj -*t'i=cos(p-ti — з1пф-^2, (Г.42)
t2 -> /2 = sin ф-^-J-cos ф-^2 (или t' = tf).
155
Вектор с компонентами /у (где /у—базисные инфинитезимальные генераторы алгебры
Ли д) преобразуется по /^-представлению группы G.
Упражнение Г.19. Убедиться, что инфинитезимальные операторы
dT(g)
дц>
\=е
Ф щ
dT(g)
да;
i=\, 2, (Г.43)
представления (Г.36) группы Е+ B) преобразуются при внутреннем автоморфизме в соот-
соответствии с (Г.42) по формулам
Универсальную обертывающую алгебру 2t=2I(g) алгебры Ли д можно определить как
фактор-алгебру 27/ (ассоциативной) алгебры % всевозможных (упорядоченных) тензорных
произведений элементов g по двустороннему идеалу J, порожденному «тензорами» вида
Х®У—У®х—[•*> </]• * является ассоциативной алгеброй с естественным вложением
i: g ->• Ш, которое обладает свойством
<¦([*> y]) = i(x)i(y)-iWHx).
Автоморфизмы алгебры Ли g порождают автоморфизмы обертыгающей алгебры 31. Эле-
Элементы центра 3 алгебры ЗГ (коммутирующие со всеми элементами этой алгебры) являются
в то же время инвариантами представлений алгебры Ли д; они называются элементами
Казимира алгебры Ли д.
Упражнение Г.20. Доказать, что для алгебры Ли е B) имеется только один ал-
алгебраически независимый оператор Казимира Т^= Т\-\-Т%.
В случае (полу)простой алгебры Ли существует общий алгоритм построения квадратич-
квадратичного элемента Казимира.
Упражнение Г.21. (а) Показать, что в случае (полу)простой группы матрица (gik),
определяемая равенством (Г.32), обратима. (Указание: использовать предложение Г.6(г).)
(б) Пусть gik—обратный тензор к gi^ (так что g"tgki=z^'j)- Показать, что оператор
(Г.44)
является элементом Казимира полупростой алгебры Лн д.
Глава 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЙОСТА —ЛЕМАНА —ДАЙСОНА
4.1. СВЯЗЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЛД С ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ
А. Предварительные замечания. Рассмотрение аналитических свойств;
функций Грина в квантовой теории поля приводит к следующей типичной;
задаче теории функций нескольких комплексных переменных.
Пусть заданы две голоморфные функции h+ (k) и h_ (k) соответственна
в трубах Rn-\riK и Rn — iK в С„, где К есть (непустой) открытый выпуклый
острый конус в /?„. Для определенности предполагается, что h+ (k) и h_ (k)<
являются ¦ преобразованиями Лапласа обобщенных функций /+ (х)] и /_ (х)
из if' (/?") с носителями в сопряженных конусах /С* и —К* к К и —К
соответственно (см. (Б.34)). Согласно теореме Б.7 функции /г± (k) имеют
обобщенные граничные значения в if' (/?„):
/i±(p)= lim h(p + iq). D.1).
0 K
Случай, когда эти граничные значения h+ (р) и h_ (p) совпадают, тривиа-
тривиален: тогда функция h+{k) = h_{k) есть полином от к (действительно, из.
равенства h+ (p) = h_ (р) следует равенство f+(x) = f_(x), так что /+ (л;) =
= /_ (х) есть обобщенная функция с носителем в нуле, откуда вытекает
сформулированный результат). Более интересен случай, когда обобщенные
граничные значения D.1) совпадают в некоторой области QaRn. Тогда
функции h+ (k) и h_ (к) имеют общее голоморфное продолжение h (k) в не-
некоторую комплексную окрестность о)\Г области 6, и можно говорить о еди-
единой аналитической функции h (k) в области (/?„ + iK) U (/?„ — i/C)UoV (эта
утверждение есть частный случай теоремы «об острие клина» из п. 5.1.Г).
Оказывается, функции /i± (k) (и, значит, h (k)) «в существенном» опре-
определяются разностью
(disc h)(p) = h+'(p)-h.(p), D.2>
которую естественно назвать скачком функции h (k) при переходе из /?„ + iK
в /?„ — iK. Точнее, если h'± (k) есть другая пара аналогичных функций" с
общим голоморфным продолжением h', причем disc h' — disc h, то h' — h есть
полином (здесь применима приведенная выше аргументация). Возникает
естественная проблема: найти эффективное выражение (типа интегрального
представления), определяющее функцию h (k) с точностью до полинома через
ее скачок disc /i и учитывающее явным образом указанные свойства анали-
аналитичности и ограничения типа (Б.35) на рост функции h (k) в (Rn + iK) U (/?„ —
— iK). Ввиду того, что disc/i «почти» определяет h(k), естественно сосредо-
сосредоточить внимание в этой проблеме на свойствах скачка. Положив
g (p) = (disc h)(p), D.3>
мы приходим к классу обобщенных функций из if" (/?„) со свойствами: во-
первых, преобразование Фурье
np D.4>
157
имеет носитель в конусе X — К* U (—К*):
suppg(x)<=W, D.5а)
ВО-ЕТОрЫХ,
l, где Я = Ц"\6. D.56)
Множество таких обобщенных функций g(p) обозначим через о(Х; Si)-
Таким образом, возникает задача теории обобщенных функций: найти
эффективное выражение (типа интегрального представления) для обобщен-
обобщенных функций из класса offi; Ж), которое в явной форме отражало бы
свойства D.5). После этого можно вернуться к «задаче сопряжения» (или
нахождения голоморфной функции h (k) по ее скачку g{p)).
Указанная проблема была подробно исследована Йостом, Леманом и
Дайсоном для специального случая, когда в качестве /?„ берется простран-
пространство Минковского М, а роль К играет верхний световой конус V+, так
что конусом Ж теперь служит замкнутый световой конус
V = {p?M: p2>0}. D.6)
На область 6 также накладываются некоторые дополнительные условия
(которые обсуждаются ниже, в п. 4.3.Б). Учитывая, что теперь свойства
носителей обобщенных функций /± (х) принимают вид supp/± (x)cV±, f+ и /_
называют обобщенными функциями запаздывающего и, соответственно, опе-
опережающего типа.
Б. Набросок вывода. Наряду с o(V; 31) мы введем более широкий
класс о (V) обобщенных функций, удовлетворяющих условию D.5а) при
9С == V. Сущность метода, предложенного Дайсоном, состоит во взаимно одно-
однозначном соответствии между обобщенными функциями g(p)^o(V) и некото-
некоторым классом решений G (p, tj) ? &" (/?„) шестимерного волнового уравнения
-o D.7,
¦(здесь и далее в § 4.3 через х и р обозначаются произвольные точки из М;
gsEE^1, |2) и t)^s(tI, тJ) — произвольные точки из R2, причем ?г] = ?1т|1 +
+ М-
Приведем эвристическое рассуждение, приводящее к этому изоморфизму.
Рассмотрим тождество
Э(х») =-1 j 6 (х»-| ?|*)<Р?, D.8)
где х?М, l?R2. Предполагая, что g?o(V), умножим обе части D.8) на
g(x). Поскольку suppgg^, мы приходим к следующему представлению:
(x, l)d*l, D.9)
где мы ввели обобщенную функцию G(x, %)?<&"{№)'¦
G(x, g) = -i-i(*N(xs—|gp). D.10)
Оказывается, формулы D.9) и D.10) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между o(V) и обобщенными функциями из &" (/?6), обладающими
свойствами:
g) = 0, D.11а)
G(x, Rl) = G(x, S) при всех Я €0B). D.116)
158
Переформулируем конструкцию в терминах преобразований Фурье. Введем
обобщенную функцию
G(p, t|)-$G(*, D&^-^frxffl, D.12)
в терминах которой условия D.11) принимают вид
? (e)G(/Mi) = 0, D.13а)
G(p, Rr\) = G(p,r\) при всех R?OB). D.136)
Теперь соотношение D.9) приводит к упомянутой в начале этого пункта
связи между g(p) я G (р, г\):
4I^0. D.14),
Эта формула может служить отправной точкой для интегральных представ-
представлений для g(p), явным образом учитывающих свойство D.5а). Известно, что
всякое решение G волнового уравнения D.7) может быть восстановлено по
«значениям» G и ее нормальной производной на произвольной фиксирован-
фиксированной пространственноподобной поверхности 2 в /?в с помощью формулы типа
G(p, Л) =S Д.) (/»-/»'• i\-t\')Hs(p', r\')d*P'dS, D.15)
где D(e)(p, ц) — так называемое фундаментальное решение задачи Коши для
волнового уравнения, а обобщенная функция #s» сконструированная из G,
имеет носитель на поверхности 2. В свою очередь Dw(p—р , г\) является
суперпозицией (в обобщенном смысле) обобщенных функций К (р\ р', X) по
переменной р ? М вида
К(р; р', Ц = г{р°—р'*)Ь({р-рУ-Х), D.16)
где р ? М и А.^0-—параметры. Это соображение вместе с формулами D.14)
и D.15) позволяет заключить, что g(p) представимо как суперпозиция обоб-
обобщенных функций К (р\ р', X) в смысле слабого интегрального представления,
называемого представлением Йоста—Лемана—Дайсона (ИЛД):
g (р) = I К (р; р', X) Т (р', X) diP' dX. D.17)
Входящая сюда обобщенная функция AF(p', X) называется спектральной функ-
функцией *) Йоста—Лемана—Дайсона (ИЛД). Преобразование Фурье от К (р;
р', X) есть е1?'*Dv-^(x) (с точностью до множителя, зависящего от X), где
Dm(x) — так называемая перестановочная функция Паули — Иордана скалярно-
скалярного поля массы т, которая (как всякое нечетное L\-инвариантное распреде-
распределение из zf' (М)) исчезает при хг < 0. Поэтому преобразование Фурье от
К{р; р', X) также исчезает при х2 < 0. Таким образом, представление ИЛД
явным образом учитывает свойство D.5а).
Обратим внимание на то, что спектральная функция ИЛД ^(р', X) не
определяется однозначно распределением g (p) (как и следует предполагать
на основании того, что W зависит от пяти вещественных переменных вместо
четырех, как g). Так, выбирая в D.15) различные пространственноподобные
поверхности 2, мы приходим к различным спектральным функциям ИЛД.
Можно попытаться использовать эту свободу для того, чтобы получить пред-
представление D.17), явным образом удовлетворяющее также условию D.56) при
g?o*(V; Э1). Под этим подразумевается возможность выбора 4?{р', X) так,
чтобы носители обобщенных функций К{р; р', X) не пересекались с 6, когда
р', X пробегают множество интегрирования в D.17), т.е.
supp/C(.; р', Х)п6=0 при всех (р\ X)€supp?. D.18)
*) То , что спектральная функция ИЛД есть обобщенная функция из пространства Шварца
сУ .далеко не очевидно, и ниже в п.4.3.А мы дадим доказательство этого факта (при некотором'
дополнительном предположении относительно области Q).
159
В случае произвольных областей в этого достигнуть не удается. Дайсон
указал достаточно широкий класс областей б таких, что для всех распре-
распределений из o(V; в) имеет место представление D.17), явно учитывающее
свойства D.5) (что в силу сказанного сводится к D.18)). Этого класса об-
областей в достаточно для приложений к теории поля. (Соответствующие при-
примеры приведены в п. 4.3.В.)
В. Выход в шестимерное пространство. В предыдущем разделе мы при-
привели эвристические рассуждения для получения представления ИЛД. Здесь
мы докажем лишь отмеченную выше связь данной задачи с волновым урав-
уравнением в /?в. Поскольку дальнейший вывод требует интенсивного использо-
использования свойств обобщенных решений волнового уравнения, мы отведем этой
теме следующий параграф. В § 4.3 мы завершим вывод представления ИЛД.
Нашей ближайшей целью является установление того факта, что форму-
формула D.10) определяет изоморфизм между обобщенными функциями g(x) ? &"(№)
•с носителями в V и обобщенными функциями G (х, ?)?#"(/?"), удовлетворяю-
удовлетворяющими условиям D.11). Вначале убедимся, что формула D.10) корректна.
Заметим, что V является канонически замкнутым регулярным множест-
множеством в М, поэтому (в силу предложения А.1) имеется изоморфизм /' прост-
пространства 3" (V) на пространство обобщенных функций из &" (М) с носителя-
носителями в V; при этом равенство g = j'y (где y(z<?"(V)) означает
(g, «) = (y, и у) при всех u,?of(M). D.19)
Ниже мы всюду считаем, что обобщенные функции g и у связаны именно
таким образом.
Теперь мы можем придать смысл формуле D.10), положив
F (х, I), v (х, I)) = (у (х), 1J б (**_| 11«) v (х, I) d4 \V) D.20)
при всех v ? if (/?6) или, эквивалентно,
\G(x, I), v(x, ?)) = (Y(x), w(x, x*)\v), D.21)
где
w(x, /) = i-f 6(*—|?|2)у(л:, Qd2l D.22)
есть функция из of {MxR+), причем отображение v—+w есть линейный не-
непрерывный оператор. (В связи с этим см. предложения 3.10 и 3.11 в
п. 3.4.А, а также первый пример после предложения 3.11.) Отсюда ясно,
"что распределение G (х, ?) корректно определено формулой D.20) и обладает
-свойством D.11).
Мы построили G по g. Обратно, g может быть восстановлено по 5 с
помощью формулы D.9). Для этого заметим, что из свойства D.11а) следу-
следует, что G (х, I) имеет носитель при хг —1||2 = 0, откуда (в силу упражне-
упражнения 2.33) следует, что G (х, |) является свертывателем по |. Значит, частич-
частичный интеграл по ? в правой части D.9) хорошо определен (см. п. 2.5.Г).
Более того, с помощью подстановки D.10) в правую часть D.8) нетрудно
убедиться в справедливости равенства D.9).
При доказательстве D.9) можно основываться на следующем равенстве, справедливом
•благодаря свойству носителя G(x, g):
G(x, l)=U(x, g) p(|5|2—л:3), D.23)
где p (t)—функция из <*Q (R), равная единице в окрестности t~0. Теперь правая часть
может быть вычислена так: для всех u^tf (M)
(S
G(x, l)d2l, u(x))x = (G(x, I), u(x)p(|g|2—x2)); D.24)
¦последнее же выражение, согласно D.20), сводится к (g(x), u(x)).
160
Сформулируем теперь интересующий нас резутьтат.
Лемма 4.1. Формула D.10) осуществляет изоморфизм пространства
всех обобщенных функций g(x)?<3" (M) с носителями в V на пространство
всех обобщенных функций G~(x, ?) 6 <#"(/?"), удовлетворяющих условиям D.11),
причем обратное отображение осуществляется формулой D.9).
¦^ Аргументы, предшествовавшие этой лемме, составляют существенную часть доказа-
доказательства. Остается лишь доказать, что всякое распределение G(x, %)?<&" (/?6),удовлетворяю-
(/?6),удовлетворяющее условиям D.11), может быть представлено в виде D.10) при некотором g?<ff' (M) с
носителем в V- Чтобы убедиться в этом, определим g посредством D.9). (Это имеет смысл,
так как G (х, ?) является свертывателем по | благодаря тому, что носитель h (х, g) содер-
содержится на множестве х2—1||2 = 0.) Поскольку носитель G (х, %) содержится на множестве
{(*, ?): лг2:=г0}, носитель g также имеет носитель в V? Теперь мы можем определить
Gi(*. ?)€<#" (#6) по формуле типа D.10):
и нам остается доказать, что Gt = G. Для этого заметим, что если w {x, t) определена (при
произвольной v^(Sf(R6)) посредством D.22), то
|), V(X, g)) = 7
С помощью D.24) правая часть может быть выражена через G:
(Ох (х, |), v (х, Э) = (G (х, I), р (| ?12-*2) w (х, х*)). D.25)
Далее, из О B)-инвариантности G(x, |) no | следует:
(О (ж, 6), у(х, Е)) = (О(ж, 6), 5 »(*. /?ЭЙ?) = E(х, |), w(x, |6|*)),
0B)
что (с помощью свойства носителя G) может быть записано в виде
(О (х, 6). у (х, 6)) = (G"(x. Б). Р (I 5 I2-*2) ю (х. | БI2))- D-26)
(Здесь, как и в D.25), р (t) есть функция из i?) (/?), равная единице в окрестности < = 0.)
Введем функцию
которая, очевидно, принадлежит $> (/?6). Тогда из D.25) и D.26) следует
(G^x, 6)-О"(х, 6), »(х. Б)) = (AБГ-х»H(х, 6). «»i(x. Б))-
Это есть нуль благодаря свойству D.11а). >
Выразим установленный выше изоморфизм между g и G в терминах их
преобразований Фурье g(p) и G(p, r\) (см. формулы D.4) и D.12)). Ясно,
что свойство suppgcrK как раз означает, чтоg(p) ?o(V). Столь же очевидно,
что G (х, I) удовлетворяет условиям D.11) в точности тогда, когда G (р, ц)
удовлетворяет условиям D.13). Далее, G(p, r\) можно рассматривать как
обобщенную функцию по р, зависящую ^"-образом от ц как от параметра
(см. упражнение 2.48F)), следовательно, существует сужение G(p, r\) на
плоскость т] = 0, равное
G (р, Ц) |„=о = S е"" ( S G (х, I) d*l) d'x D.27)
(см. упражнение 2.48F), а также формулу B.92) в упражнении 2.28). Под-
Подставляя сюда D.9) и D.12), получаем, что Gag связаны между собой соот-
соотношением D.14).
Теперь изоморфизм в лемме 4.1 может быть переформулирован следую-
следующим образом.
Предложение 4.2. Формула D.14) осуществляет изоморфизм между
пространством всех обобщенных функций G (р, ц) ? 3" (/?"), удовлетворяющих
условиям D.13) и пространством а (V) всех обобщенных функций g (р) 6 &" {Щ->
удовлетворяющих условию suppler У.
6 Н. Н. Боголюбов и др. '61
§ 4.2. Свойства решений из 8" уравнения Даламбера
А. Обозначения. В этом параграфе мы совершим экскурс в теорию
обобщенных решений м-мерного волнового уравнения Даламбера. Координа-
Координаты произвольной точки x?Rn обозначим х0, xlt ... , хп_1; при этом ха бу-
будем называть временной координатой, а вектор x = (xlt ... , xn_1)^R"~1—
пространственной частью вектора х. Посредством ху обозначается псевдо-
псевдоевклидово скалярное произведение
п-1
(в частности, х2^хх), а П(л) есть даламбертиан:
п-1
Введем прочие сопутствующие обозначения (используемые в настоящем
параграфе без дальнейших пояснений):
Это соответственно верхний световой, нижний световой и (просто) световой
открытый конус в /?"; их замыкания обозначаются через Vfn), V~n), Vin).
Множество
есть поверхность светового конуса. Кроме того, для произвольной пары
точек a, b^R" введем множество
й?(и) (a, b) = (a + Vtn}) Л (b- VZ,>),
называемое алмазом (открытым) с вершинами в точках а, Ь. Очевидно, что
алмаз б?,„,(а, о) непуст в точности тогда, когда b—a^V^m. При b—a^V^
интервал прямой в Rn вида
(a, b) = {a + bt?R»: 0< * < 1}
будем называть времени подобным интервалом (с концами а и Ь).
Б. Фундаментальное решение задачи Коши. Обратимся к рассмотрению
обобщенных функций F (х) ? &" (/?"), удовлетворяющих волновому уравне-
уравнению Даламбера
0. D.28)
Всякое такое решение есть обобщенная функция по х, зависящая ^"-обра-
^"-образом от х0 как от параметра (см. упражнение 2.49; F (х) может рассматри-
рассматриваться и как обобщенная функция по х0, зависящая ^"-образом от х как
от параметра). Следовательно, мы можем обобщенной функции F (х) сопоста-
сопоставить семейство обобщенных функций {Ft(jr)}^g^ в &' (R"'1):
Ft(x) = F(x)\Xo=l, D.29)
зависящих ^""-образом от параметра t и удовлетворяющих дифференциаль-
дифференциальному уравнению в af'iR"'1):
uF*(x)=s%uFt{x)- D-30)
Одной из естественных задач для волнового уравнения является задача
Коши: определить решение F (x) G 3" (/?«) уравнения D.28) по заданным
значениям Ft(x) H-^Ft(x) (в <3" (R"'1)) при некотором фиксированном
162
значении t, скажем, при ? = 0. Пара обобщенных функций
о = иг(х) D.31)
называется начальными данными задачи Коши (для момента времени t = 0).
Нетрудно убедиться, что при любых начальных данных (в <5""(У?")) задача
Коши однозначно разрешима (в 3" (/?"))¦
Единственность решения задачи Коши можно установить, например, следующим
рассуждением. Пусть начальные данные D.31) равны нулю. Тогда (индукцией по т) из
D.30) следует, что производные любого порядка т по t от Ft{x) при t = 0 равны нулю.
Чтобы теперь убедиться, что Ft(x) = 0 при всех t, достаточно заметить, что (Ff(x), и (х))
есть аналитическая функция по t при всех функциях и, пробегающих некоторое плотное
1 подмножество в $> (R1*-1), скажем, JP [<%) (Rn-i)] — преобразование Фурье множества
основных функций S)(Rn-i). Действительно, из свойства носителя F (р) следует, что при
| всех и?&) (Rn-i) распределение \F(pu, р) u(—p)dn-1p по р0 имеет компактный носи-
I гель, и, значит, его преобразование Фурье, равное \ F (х0, х) и (х) dn ~гх, является ана-
¦ литической функцией по х0, что и утверждалось выше.
Чтобы построить решение задачи Коши, введем преобразование Фурье
i от Ft(x) по переменной х, которое мы обозначим через Ft(p) (чтобы отли-
отличать от F(p)):
'-iPxFt{x)dn-yx. D.32)
Теперь задача Коши приобретает весьма простой вид:
Легко видеть, что этим уравнениям удовлетворяет выражение
Ft(p) = cos (| р \t) u0 (p) + sJ^^ u^P), D-33)
что (в силу единственности) и есть искомое решение. Следует прибавить,
что входящие в D.33) функции zos(\p\t) и slIy' р' ' являются мультипли-
мультипликаторами из 6„ (/?") (по совокупности переменных t и р), так что правая
часть D.33) хорошо определена (как семейство обобщенных функций по р,
зависящих ^"-образом от параметра t, а также как обобщенная функция
по t и р).
Очевидно, в х-пространстве формула D.33) записывается с помощью
(п— 1)-мерных сверток:
Ft(x) = §-tDin)(t, x)»uo(x) + D,n)(t, x)»Ul(x). D.34)
Здесь мы ввели фундаментальное решение задачи Коши для волнового урав-
уравнения
^^-^. D-35)
или, эквивалентно,
Дя) (х) = J 2ше (Ра) б (р2) е?Р* dnp. D.36)
Это есть решение волнового уравнения П(П)АП)(я) = 0 в <&" (Rn) со следую-
следующими начальными данными (непосредственно вытекающими из D.35)):
А«) С *)!*_. = 0, j-tDla)(t, x)\t=e = b(x). D.37)
163
Нам понадобится явный вид Din)(x) лишь при четном*) n =
Din)(x)=*-1— е(хоN<*-2)(*2) при четном1>г = 2А»>4. D.38)
В D.36) и D.38) е(^), как обычно, обозначает знаковую функцию:
Приведем пояснение к формуле D.38), а также набросок ее вывода. Чтобы указать'вид
D(n)(x) c точностью до множителя, нет необходимости производить преобразование Фурье в
D.36); достаточно воспользоваться некоторыми общими соображениями. Из D.36) видно, что
Ь{П) (х) есть нечетная (относительно замены л:0-*- —х0, а также х—>- —х) обобщенная функция
из if'{Rn), инвариантная относительно связной компоненты G группы всех линейных псевдо-
псевдоевклидовых преобразований R". (Подобно преобразованиям Лоренца в пространстве Минков-
ского M=R4, такие преобразования характеризуются условием сохранения псевдоевклидова
скалярного произведения ху в /}".) При выводе общего вида таких нечетных О-инвариантных
обобщенных функций размерность л несущественна. Поэтому для нечетных G-инвариантных
обобщенных функций /(x)?ajf" (/?") имеет место общее представление, такое же, как в слу-
случае я = 4 (см. C.105)):
/(х) = в(*ь)А(*«), где h?3»Gi+). D.40)
Интерпретируется эта формула следующим образом. Поскольку f (х) — нечетная'обобщенная
функция по хд, для произвольной функции u{x)?<ff (/?*) имеем
J / (*) и (*) dx = 1/2 J / (*) [и (х0, х)-и (-аг„, *)] dx. D.41)
В свою очередь мы можем ввести v (a, x)^of (R+ XR"'1) посредством равенства
V2 (U {Хд, X)—U {-Хд, X)) = X0V {X*, X), D.42)
так что формальные манипуляции с представлением D.40) дают:
« (х) dx= J h {x2) \xo\v {х*. х) dx= J /t (<т— | л: |2) у (а, х) da dx.
(Здесь в формальном интеграле мы произвели замену [переменной a;0 на х§ = о и учли, что
а дважды пробегает /?+, когда х0 пробегает R.)
Мы приходим к формуле, которую в действительности следует принять за корректное
определение представления D.40):
, u{x))=(h{T), Ji>;(t + |*|2, x)dx)i\ D.43)
здесь по-прежнему v считается связанным с и соотношением D.42).
Дальнейшие соображения, приводящие к формуле D.38), основаны на свойстве одно-
однородности. Очевидно, что обобщенная функция е(ро)8{р2), стоящая в D.36) под знаком
преобразования Фурье, однородна степени •—2, откуда следует, что D(n) (x) однородно сте-
степени — п-\-2, т. е.
(n) (х) при всех 1 > 0.
Значит, обобщенная функция h (т)?<#" (/?+), входящая в представление D.40) для D(n) (x),
должна быть однородна степени К~п'2+1. При четном n = 2k^4 всякое распределение h (т)
из #"(/?+), однородное степени K~k+1, имеет вид с6(*-2>(т) (см. упражнение В.8). Тем
самым находится вид DM(x) с точностью до множителя:
?<«) М = « (хоN<*-*>(**). D.44)
Наконец (см. ниже упражнение 4.1), константу с можно найти, используя тот факт,
что (согласно D.35)) D(n){t, р)= '' ?' , поэтому
DM(t, x)d"-ix^Dn{t, p)\p=0 =t. D.45)
Упражнение 4.1. С помощью D.45) убедиться, что константа ев D.44) равна
1/2я*-1. (Указание: для любой функции u{t)?<jf{R) положить v (t2)=—¦ (и (t) — и (— /)).
*) Общий случай см. в книге [В9], § 30 (случай нечетного п сводится к четному ниже,
в упражнении 4.2).
164
Тогда (t, u@) = 2 С v(t2)i2dt. С другой стороны, из D.40), D.43) следует:
0
6 (*„)
где sn_j—площадь сферы радиуса 1 в Л".)
Упражнение 4.2. Доказать, что
><« +1) (*. *n) dxn. D.46)
(Указание: это равенство означает, что Din)(t, p)=D{n + V)(t, р, рп)\р =о-)
Решение D.34) задачи Коши можно переписать в виде n-мерной свертки:
F (х) = D(n) (х) * {А (б (*„) ив (*)) + S (х0) и, (х)}. D.47)
Эта свертка определена «каноническим образом» благодаря свойствам носи-
носителей входящих сюда обобщенных функций (см. критерий существования
свертки в упражнении 2.41). Действительно, носитель D(a) содержится
в конусе V(n) (при четных га ^4 это видно из D.38), а при прочих п—из
соотношения D.46)), в то время как носитель другого «сверточного сомно-
сомножителя» в D.47) сосредоточен на плоскости хо = О.
Сформулируем полученный результат.
Предложение 4:3. Всякое решение волнового уравнения D.28)
в &" (JR.") является обобщенной функцией по х, зависящей ^"-образом от х0.
При любых начальных данных в if' (Rn~x) (скажем, для момента времени
xo = t) задача Коши однозначно разрешима в &" (R"), и ее решение имеет вид
D.48)
В. Задача Коши на пространственноподобной гиперповерхности; прин-
принцип Гюйгенса. Формула D.48) естественно переносится на случай, когда
начальные данные выбираются не на плоскости х0 — const, а на произволь-
произвольной строго пространственноподобной гиперповерхности. Мы говорим, что
гиперповерхность
D.49)
(гдеи(дг)—гладкая функция в R"'1) является пространственноподобной,
если |grad>c(;sr) | < 1 при всех x^R"'1, а также строго пространственно-
пространственноподобной, если к(х) является мультипликатором в cS° (/?"~х) и | gradx (лс) | < р
при некотором р<1 и всех x^R"'1. Для пространственноподобной гипер-
гиперповерхности 2 определим обобщенные функции из <5"' (/?"):
$z(x) = Q(x0— х(х)), УЪ=*1)ц-^Ъх(х) при A = 0, 1,..., п— 1, D.50)
где rj0 = 1 и r\j = — 1 при / = 1, •••, га—1. Ясно, что fts локально интег-
интегрируема, a suppy^cS.
Оказывается, обобщение формулы D.48) на случай произвольной строго
пространственноподобной гиперповерхности 2 имеет такой вид:
?o[^^] D.51)
или, эквивалентно,
F (*) = ?><„> (*)* {D,B) [*z (x)F(x)]}. D.52)
Вывод этих^формул мы начнем с доказательства того, что их правые части
хорошо определены. Мы определим произведения обобщенных функций в
квадратных скобках этих формул, пользуясь понятием произведения обоб-
165
щенных функций (п.2.6.В). После этого существование свертки будет следо-
следовать из свойств носителей «сверточных сомножителей».
Лемма 4.4. Пусть F{x)?of {R") есть решение волнового уравнения
D.28) и 2—строго пространственноподобная гиперповерхность D.49). Тогда
обобщенная функция F (х + у) $2 (х) € &" (R2n) является обобщенной функ-
функцией по х, зависящей %°°-образом от у как от параметра. При любых
мультииндексах р, у ? Z+ произведения обобщенных функций D®F (x) и
Dy$s (x) определены «каноническим образом» и имеют носитель в множестве
supp Fn supp Dvft2. К определенным таким образом произведениям приме-
применимо правило дифференцирования Лейбница.
•^Докажем, что F (х + у) Ог (л:) принадлежит классу %™ по у (тогда остальные
утверждения леммы следуют из упражнения 2.54). Доказываемое утверждение означает,
что для любой функции и (х)?(?Р (/?") обобщенная функция (F (х-\-у) Ог (х), и(х))х при-
принадлежит (Зм (Rn) по у. Так как Фг (х)и(х)~ свертыватель (упражнение 2.22), то это тре-
требование означает (после замены F (х) на F ( — х)), что F * (/&su)^QM (/?")• В терминах
преобразования Фурье (упражнение 2.20) доказываемое утверждение означает, что для лю-
любой основной функции и (х) ? if (R") выполнено условие
D.53)
здесь F (p)?c7" (R") и U (р)?C„ (Rn) — преобразования Фурье обобщенных функций F
F(p)=\ F (x) e-'Px dnx, U(p)=\ flz (лг) и (х) e~'Px dnx. D.54)
Так как носитель F (p) сосредоточен на поверхности светового конуса, то с помощью под-
подходящего разложения единицы в р-проетранстве мы можем разложить F (х) в сумму трех |
решений волнового уравнения |
таким образом, чтобы supp Fo был компактен, a supp F± содержался в соответствующем мпо- i
жестве ±Ро = \ р\^ 1. При замене F на Fo условие D.53) становится тривиальным (упраж- >
нение 2.23) и, так как случай F_ аналогичен F + , достаточно вместо D.53) доказать, что <
при всех u^tSP (Rn) i
;/?»). D.55) !
Так как \р\ является гладкой функцией р при |/?|Зг1, то из волнового уравнения
(р'Р) F + (р) = 0 и из условия на носитель F+ следует возможность представления F+ в вид
F+(p) = 6(p0-\p\)a(p), D.56)
де а (р) — обобщенная функция из3" (Rn-i) с носителем при |/?|^ 1. Поскольку функция
), x)dtdx D.57)
интересует нас в произведении с обобщенной функцией F+ (р), мы можем заменить рох(х)
в D.57) на | р | х (х). В результате получим
F+(p)U(p) = F+(p)U1(p), D.58)
положив
D.59)
здесь а (р) — мультипликатор из 6M(#n-i)> равный нулю в окрестности нуля и единице
при |/>|Э=1; V (ро< р, г) — функция от вещественных перемеьных р0, р и вектора г из
шарового слоя
1-6/3<|гК 1 + 6/3 D.60)
в R"*1, где 6—положительное число, определяемое из условия строгой пространственно-
подобности гиперповерхности S:
| grad к (х) | < 1—6. D.61)
Определяется функция V (р0, р, г) формулой, аналогичной D.57):
V(p0, р, г) =$ e-';[Po'+P(*:(*)-r*)] Q{t) Ulitt X)dtdx, D.62)
где Ul(t, x) = u(t + x(x),
166
Остается убедиться в принадлежности функции Ui(p) D.59) к классу ef(Rn), для чего
функция V(p0, р, г) должна быть «достаточно хорошая», что мы намереваемся показать. А имен-
именно, V(po, p, г) является ^"-функцией (всвоей области определения), причем любая ее производ-
производная (любого порядка) при произвольном jV>0 мажорируется по модулю выражением с/уA+
+ 1р|)~ЛГ (при некотором сд?). Убедимся в этом, предполагая, что г изменяется в части шаро-
шарового слоя D.60), определяемой дополнительным условием
гх>1—6/2. D.63)
Так как весь шаровой слой покрывается конечным числом окрестностей, получаемых из D.63)
вращениями, то, очевидно, достаточно ограничиться одной окрестностью D.63). Произведем
теперь в D.62) замену (/, хъ х2 xn_j)-> (t, х=х(х)—гх, х2, . . . , хп_1):
V(p0, р, r) = ^e-c^'t + PT)Q(t)^(t, х, х2, ..., хп.х; г) dt dx dx2.. .
Из условий D.60), D.61), D.63) следует, что а<
дх
< b при некоторых положительных
константах а и Ь. Следовательно, i|j(f, т, х2 *n-i; г) принадлежит tf (/?") no t, т»
х2, . . ., *л_1 и зависит ^"-образом от параметра г.
Теперь из свойств классического преобразования Фурье интегрируемых функций сле-
следует доказываемое свойство функции V{р0, р, г), а это в свою очередь позволяет заклю-
заключить, что t/igo^ (Rn). ^
Итак, мы определили выражения в квадратных скобках формул D.51)
и D.52), а из правила дифференцирования и волнового уравнения для F
следует их равенство. Теперь нетрудно убедиться, что свертки в этих фор-
формулах определены «каноническим образом». Действительно, носитель ?),„,
лежит в F(n), а носители распределений в фигурных скобках содержатся
в 2 и, значит, в множестве вида b + ЭС, где b—фиксированная точка из 2,
а Х-—конус:
*|} D.64)
(р < 1 определено из условия | grad к(х) \ < р). Из критерия существования
свертки (см. упражнение 2.41) следует теперь, что правые части формул
D.51) и D.52) хорошо определены и равны. Осталось доказать справедли-
справедливость одно i из этих формул.
Предложение 4.5. Пусть F—решение в &" (/?") волнового уравне-
уравнения, 2—строго пространственноподобная гиперповерхность D.49). Тогда
справедливы (эквивалентные) представления D.51) и D.52) (где Din) —фунда-
—фундаментальное решение волнового уравнения, а д2 и Х% определены в D.50))'
¦^ Пусть b — некоторая точка из 2, Ь0 — х и 2'={;»;?/?": xo=t}. Ясно, что при за-
замене 2 на 2' представление D.51) переходит в доказанную формулу D.48). Поэтому доста-
достаточно доказать, что разность между правыми частями в D.51) и D.48) равна нулю или,
что то же самое (ввиду эквивалентности доказываемых формул D.51) и D.52)):
f) = 0, D-65)
где f (x)=F (x)(§s(x) — ^'(х))- Так как supp (flj: — #2') cr & + <%", гдеконус^" определен
в D.64), supp fd Ь-\-Ж и (в силу упоминавшегося выше критерия) существует свертка D(n)*/
в $" (Rn). Используя формулу дифференцирования свертки (см. упражнение 2.39), полу-
получаем: ?>(„)*(?(„)/) = (П(п)Ап))*/- Последнее выражение равно нулю по определению D(n),
что завершает доказательство D.65). ^
Из предложения 4.5 вытекает следующее свойство квазианалитического
характера.
Следствие 4.6 (принцип Гюйгенса). Пусть 2 — (строго) пространст-
пространственноподобная гиперповерхность в R" и о//естьеечастьвидаа#={л:б2:д:^Д},
где D—область в Rn~x. Если решение F уравнения Даламбера исчезает
в некоторой окрестности аМ, то F исчезает в причинной оболочке *) множе-
множества аЛ.
Упражнение 4.3. Доказать это следствие. (Указание: воспользоваться свойством
носителя свертки обобщенных функций; см. упражнение 2.39.)
*) Будущей (соответственно прошлой) причинной тенью множества aS в R" называется
множество точек x?Rn таких, что луч х-\-1 пересекается с q$, где / — произвольный луч
из конуса ?ш (соответственно из Vtn-t), исходящий из начала координат. Причинная обо-
оболочка множества аМ есть объединение будущей и прошлой причинных теней.
167
В следующем упражнении приведен «сглаженный» вариант представле-
представления D.52). (Аргументация, использованная в доказательстве предложения 4.5,
применима и здесь.)
Упражнение 4.4. Пусть заданы две строго пространственноподобные гиперповерх-
гиперповерхности 2а = {х ? Rn: x0 = za (jc)} (сс=1 и 2) и пусть со (х) — мультипликатор из 0и (R")
такой, что
<в (х) = 1 при х0 > %\ (х) и <а (х) = 0 при ха < х2 (jc). D.66)
Доказать справедливость следующего представления для решений волнового уравнения:
F (х) = D(n) «*{а<«> [со (х)F (х)]}. D.67)
Г. Формула Асгейрсона и ее применение. Оказывается, имеет место за-
замечательная симметрия между пространственными и временной координатами
в волновом уравнении. Мы уже отмечали, что решения волнового уравне-
уравнения в &" (R1) являются обобщенными функциями по х класса <ёс° по х0 и,
аналогично, обобщенными функциями по х0 класса 1%°° по х. Следовательно,
наряду с сужениями F (x) \x<,=const существуют сужения F(x)\x=const 6 оУ'(/?).
Более того, существует сужение на всякую времениподобную прямую /
(задаваемую уравнением типа х = а + Ьх„ при b^R"'1, |А|<1), т. е. су-
существует f(Xg) = F(x) |; с <#"'(/?) и, значит, существует также сужение F(x)
на любой времениподобный интервал (а, Ь). Действительно, посредством
подходящего линейного преобразования в R" (именно, псевдоевклидова
преобразования, оставляющего инвариантным волновое уравнение) времени-
подобная прямая может быть переведена в прямую вдоль оси времени (су-
(сужение на которую существует согласно сказанному выше).
Интересно, что справедливо также свойство квазианалитичности, ана-
аналогичное принципу Гюйгенса, иллюстрирующее симметрию между х0 и х.
Для его вывода можно воспользоваться так называемой формулой Асгейрсона
(«для среднего значения», см. [К13], гл. IV, п. 18.1), которую мы приве-
приведем в следующей «частично сглаженной» форме:
F (дс).{6 (х0) ф (| х |2)} = F (*)*{ф (| х012) б (х)}. D.68)
Здесь F (х) ? &" (/?") — произвольное решение волнового уравнения D.28);
г|5 (р)—функция из @)(R+), а ¦ф есть также функция из SD (/?+), которая строится
по -ф:
0D Л —3
= V, sB_2 U (т -f p) p"J~dp, если п > 2,
D.69)
если п— 2
(sra_2 есть площадь сферы единичного радиуса в R"~2).
Свертки в D.68) существуют, так как обобщенные функции в фигурных скобках имеют
компактные носители. Убедиться в справедливости формулы D.69) можно с помощью преобра- i
зования Фурье. Введем !
Ф (р) = J е** ф (| х Р) их, ф1 (рв) = [ ?-'"°*° ф (| х01») dx0;
тогда равенство D.68) будет означать
?(/>)(ф(/>)-ф1Ы) = 0. D.70)
Ввиду того, что ф (/?) — вращательно-инвариантная_функция из #" (Z?"-1), она представима
в виде ц>(р) = ф (\ р |2) при некоторой Ф (а)^^3 (^+) (см. предложение ЗЛО). Аналогично,
ф1 (Ро) — четная функция из zf (R), поэтому она представима в виде фх (ро) = Ф1 (pi), где
(а) —некоторая функция из af(R+). Непосредственная проверка показывает, что
, 0, ..., O)=<pi(s) при всех s?R, значит, Ф1 = ф. Введем функцию
очевидно, это ^"-функция на R+XR+- В таком случае % (| р |2,' \ро\2) — мультипликатор
в of (Rn), и мы можем переписать левую часть D.70) в виде
Р(Р) (Ф (I РТ) -Ф (I Ро 12)} = A Я I3-| Po I2) F О») X (I /»I2. I Ро I2)-
Это есть нуль благодаримому, что (р-р) F (р) =0. Равенство D.70) доказано.
168
Перейдем к упоминавшемуся выше свойству квазианалитичности.
Предложение 4.7. Пусть решение F (х) ? &" (/?") уравнения Далам-
бера удовлетворяет условию: сужения F и всех его частных производных
DaF (x) (всех порядков) на некоторый времениподобный интервал (а, Ь) равны
нулю. Тогда F исчезает в алмазе #(п) (а, Ь).
•^ С помощью сдвига начала координат и последующего линейного псевдоевклидова
преобразования R" интервал (а, Ь) может,быть сведен к интервалу на временной оси вида
3 ={x?R": х = 0, —/ < х0 < /} и, соответственно, множество Ф<«)(а, Ь) — к множеству
\t\<l,
где Sr(t) — шар в R" с центром в нуле и радиусом r{t) = l—\t\.
Итак, пусть для любого мультииндекса a DaF (х)\х=0 =0 при хо?(—/, /). Нам
предстоит доказать, что F (х) = 0 в ф или, эквивалентно, что для любого /?(—/, I)
^ (*)!*,= < = 0 при jfgSrA), т. е.
(Ft (х), и (х))х = 0 при всех f g(- /, /), «?g> (S, «,). D.71)
Воспользуемся формулой Асгейрсона, которую можно переписать в виде
J F (s, Л Is-** (I x-jf I2) d»~ly = J F (s, jOIj,=,$ (I s-^l2) A-
Очевидно, обе части этой формулы являются ^"-функциями в R". Полагая здесь \t\ < I
и jc = O, получим
J F (s, х) |s_<i|) (| л; |z) йл;= J F (s, х) |,= 0 * (| t-s i2) ds. D.72)
Пусть дополнительно функция ар (р) исчезает при p^ru(t); тогда г|) (г) также исче-
исчезает при тЭгг*@ и, значит, г|з(| ^—s |2) = 0 при |s|S*/. (По-прежнему мы считаем, что
\t\< /•) Согласно условию носитель F (s, х)\х=0 лежит в множестве | s | ^ I, где как раз
^(|<—s|2) = 0. Значит, правая часть в D.72) равна нулю, и мы приходим к выводу, что
{Ft{x), * (| х \2))х — 0 при всех t?(~ I, I) и всех tp(p)g^) (Л+), исчезающих при р^г2@-
Тем самым мы частично доказали D.71), а именно, для всех вращательно-инвариант-
ных функций и (х). Покажем теперь, что (по-прежнему, при | 11 < I) для любого полино-
полинома Р (х) в R"-1 имеет место
(Ff(*). Р(*Ж|х|«)) = 0 D.73)
для всех вращательно-инвариантных функций \J)(| jc|2) из @)(Srtf)). Очевидно, доказыва-
доказываемое утверждение D.71) следует отсюда, так как согласно теореме Вейерштрасса (п.1.2.В)
множество всех функций вида Р (х) г|) (| х |2) (где Р (х) — полином, а яр (| х |2) — вращательно-
инвариантная функция из <Э ($/•(/))) плотно в &)(Sr <(,). Формула D.73) доказывается нн-
дукцией по степени Л^ полинома Р (х). При N = 0 она доказана. Предположим, что ее
справедливость установлена для всех решений F (х) волнового уравнения, всех вра-
вращательно-инвариантных функций т[> (| х |2) из S)(Sr(t)) и полиномов Р (х) степени < JV.
Докажем, что тогда для любого /=1, ..., п—1
(Ft(x), XjP(x)yp (|*|2)) = 0. D.74)
00
Для этого введем функцию W(t) = —V2 \ г|) (s) ds, которая, очевидно, принадлежит
Тогда для левой части D.74) имеем
(Ft (х), Xj.P {х) * (| х |2)) = (Ft (х), Р (х) А V (| jj j2)} =
4
Последняя часть этого равенства равна нулю по предположению индукции.
Тем самым формулы D.73) и D.71) доказаны. Вместе с ними доказано предложение 4.7. >
4.3. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЙОСТА—ЛЕМАНА—ДАЙСОНА
А. Конструкция спектральной функции. В п.4.1.А мы связали со вся-
всякой обобщенной функцией g(p)?o (V) решение G (р, г\) волнового уравнения
в шестимерном пространстве (предложение 4.2). Перейдем теперь ко второму
этапу вывода представления ИЛД D.17) для обобщенных функций g(p)?
169*
?a(F; 5?). Чтобы упростить описание пространства, к которому принад-
принадлежат спектральные функции ИЛД W (р', А), мы сделаем одно «техническое»
предположение относительно области 6, а именно: Ш (дополнение к б в М)
содержится в множестве вида K-\-V, где К—некоторый компакт в М.
Другими словами, мы предполагаем *), что
MaQ[—а, а]-\-У при некотором a?V+. D-75)
Здесь и далее (при a, b? M) Q (а, Ь) и Q [а, Ь] обозначают алмазы (откры-
(открытый и замкнутый) с вершинами в точках a, b в М:
Q (а, Ь) = (а + V*) Л (Ь + V), Q[a, b] = (a + V+) n(b + V~) D.76)
(Q(a, b) непусто лишь при b—a?V+; ср. обозначения в начале предыду-
предыдущего параграфа). Условие D.75) можно записать также в виде
supp g(p)c(—a-\-V+)[)(a-\-V~) при некотором a?V+.
Теорема 4.8. Пусть М—-замкнутое подмножество в пространстве
Минковского М, удовлетворяющее условию D.75), и пусть g(p)—произволь-
g(p)—произвольная обобщенная функция из a(V; Ж) (т. е. g?<SP' (M), supp gczV, supp g^M).
Тогда для g(p) имеет место (слабое интегральное) представление ИЛД
g(p) = \г(Р°-р«')Ь((Р-р'J-Х)Ч!{р', %)diP'dl D.77)
при некоторой обобщенной функции ?(//, Х)^"У(Q[—a, a]xR+).
¦^ Начнем с доказательства того, что для любой основной функции <р (р) g<ff (M)
функция т|з(р', Я)= \ К (р; р', X) ф (р) d4p (где К (р; р', %) определено согласно D.16))
принадлежит пространству of (Q [—а, а]Х/?+). Пусть т_ есть линейный непрерывный
оператор, отображающий tf (Щ в <ff (R+) по формуле (т_ф) (Я) = С е (р°)д(р2—А.)ф (p)d4p
(этот оператор уже встречался ранее в П.3.2.В). Тогда определение ty(p', Я) можно пере-
переписать в виде iji(//, Я) = (т_фр') (Я), где Фр-(р) = Ф (р-\-р') есть элемент из zf (M) по р,
зависящий ^""-образом от параметра р'. Отсюда следует, что (т_фР')(Я) есть элемент из
of (R+) по Я, зависящий ^"-образом от р'?М. Тем самым доказано, чтог|)(р', Я)^
6<^ (Q [—а> a]XR+). Согласно определению, данному в п.А.2, отсюда следует, что К (р; р', Я)
можно рассматривать как ядро некоторого интегрального представления, и для любой
^V(p', %)?<&" (Q[—a, a]XR+) формула D.77) имеет смысл, задавая обобщенную функцию
из_<#" (Л*), которая, как нетрудно видеть, действительно принадлежит классу
a(V;Q[-a,a]+V).
Нам предстоит доказать, что всякая обобщенная функция g(p)?a(V; Э1) допускает
представление D.77). Воспользуемся предложением 4.2 и запишем g(p) в виде D.14)
ббй фй G ( )?!/" (R6) й D13) П ()
рд () у рд g(p) д ()
с обобщенной функцией G (р, ц)?<!/" (R6), удовлетворяющей условиям D.13). Пусть б„ (т|)
есть б-образная последовательность основных функций из @)(R2)- Тогда для любой ф (р)(?
? о^ {Щ имеем
\ g(P) ф (Р) d*p= \G (р, ц) |г,=о Ф (р) d*p= Jim f G (р, г,) Ф (р) Ьп (т,) d*p d^. D.78)
По условию g(p) исчезает вне Q [— a, a]-\-V. В таком случае из доказываемой ниже
леммы 4.9 следует, что G (р, т))=0 вне (Q [— a, a] + F)X/?z. Пусть S—произвольная
строго пространственноподобная поверхность в R6 такая, что ее пересечение (Q[—a, a]-\-V)XR2
содержится в Q[—a, a]XR2- Например, в качестве 2 можно взять гиперплоскость {(р, r\) g
?/?6:a/O = 0}. Применив к G (р, т]) представление D.52), получим формулу
G (р, ц) = ?»F) (р, ц) * Я2 (р, ц), D.79)
где
Я2 (р, т)) = ПF) {G (р, г)) 02 (р, т))} D.80)
— обобщенная функция с носителем в Q[—¦ a, a]xR2-
*) В интересующих нас приложениях это условие выполнено.
170
Теперь из D.78), D.79) следует*)
р)ф(р)<*4р = llm <1(р, р\ т], т]'), DF)(p, r\)Hs(p', r\')
П -*¦ СО
= lira <1 (р\ Т1), #z (р', г]) <1 (т)'), в„ (л + т)')<1 (/»). О(„ (р, т]') Фр, {p)>p>v>P; т,.
/2 -»¦ СО
Воспользовавшись явным видом Z)F) (/?, т]'):
получаем
это есть, очевидно, функция из ?Р (Q [—а, а]хЛ2) по переменным р', т)'. Далее
( «„ (^1 + Т]'), ^(Ш-фр.) (Л) |А=| ^
стремится к ^-(т_фр-) W 1л=| til2 B <^(Q[—«. а]Х/?2) при п—> со, и в результате для
\ § (Р) Ф
получаем
(р) Ф (р) d*p=~ j Я2 (р', Г!) А (П1-фр.)
я.= |
Введем функционал У (р'Л)?<ЦР'(<2 (—a, a)xR+) на функциях Л (р', XJg^CQ f— a,a]xR+)
по формуле ¦ ¦
? (p', X) Л (р\ X) d4p' Л= -^ j Я2 (p', ti) |. h (p\
| a= ( ^ d4p' Al. D.82)
с помощью которого получаем нужное представление:
J g (р) ф (Р) d*p = J Т (р'; Л) (т_фр.) (Я) d^'dX, D.83)
что завершает вывод формулы D.77). ^
В Доказательстве была использована следующая лемма, которая пона-
понадобится также для дальнейшего уточнения свойств носителя W(p', X). При
этом мы называем множество 6 cr M времени подобно выпуклым, если для любых
точек а, Ь?б таких, что Ъ—a?V+, интервал (а, Ь) также принадлежит 6.
Лемма 4.9. Пусть g(p)(z<y(V, Ж), где &1 = М\6 и 6—времениподобно
выпуклое открытое множество в М. Тогда решение волнового уравнения G (р, г\)Т
соответствующего g(p) согласно предложению 4.2, исчезает в области
ЯF) = U e,,,(fl, *); ,' ¦ D.84)
а.Ьив
b-aeV+
здесь б?(в)(й, 6)—алмаз в R6^MxR2 с вершинами в точках а = (а, 0) и
$={Ь, 0).
•^ Очевидно, если (а, Ь) — времениподобный интервал в М, то (а, Ь) —времениподоб-
ный интервал в /?6. Учитывая свойство квазианалитичности (предложение 4.7), мы можем
ограничиться доказательством того, что сужения всех частных производных (любого по-
порядка) от G (р, т]) на плоскость Т] = 0 исчезают в области (о. Так как для любого диффе-
дифференциального оператора Р (д/др) обобщенная функция Р (д/др) G (р, г\) есть решение вол-
волнового уравнения, соответствующего обобщенной функции Р (д/др) g(p), то, очевидно, до-
достаточно рассмотреть лишь частные производные G (р, г\) по т). Покажем, что для любого век-
( д д \п
тора ??/?2и натурального л обобщенная функция Тп (р, |)=( ii -g— Ь It -sr- ) G(P. iJIri-O'
по р исчезает в области Q (^ рассматривается как параметр). По определению Тп (р, |).
*) Здесь для интегралов (в смысле П.2.5.Г) от обобщенных функций интегрируемого'
типа использована формула
A (х, у), f{x, у))х, у=A (У), A (*), Пх, у))х)у, D.81).
сводящая двойные интегралы к повторным.
171.
есть однородный полином по |, и из 0 B)-инвариантности Q (р, ц) по г\ следует О B)-
инвариантность Тп (р, g) по g. Следовательно, при нечетном п Тп (р, g) есть тождествен-
тождественный нуль, и Т„ (р, т)) = (| | j2)* %ь (р) при n = 2k(k=\, 2, ...). Остается показать, что все
Tft (p) исчезают в 0. Имеем
2\k
где aft = 4-*(fe!)-2, р^ = Bй)!а^ (в предпоследнем равенстве использовано волновое урав-
уравнение для G (р, т))). Теперь ясно, что все т* исчезают в области Q. >
Замечание. Нетрудно убедиться, что S(<3) (для открытого времени-
подобно выпуклого множества 6аМ) есть множество всех точек (и, ¦»])?/?•
таких, что обе полы гиперболоида*) и + Г^ пересекаются с Q; здесь
Г„-х={/>€Л: р* = к]. D.85)
Действительно, ввиду того, что 6 открыто и времениподобно выпукло, ука-
указанное выше множество точек есть также множество всех точек (рг, г\) та-
таких, что обе полы телесного гиперболоида {р^М: (р—p'J>|Tl|2} пересе-
пересекаются с 6. В свою очередь последнее условие означает, что существуют
а, Ь?6 такие, что а0 < р'° — У(р' —аJ + \ц\2 и b° > p'° + V(p'—d)* + \r\\*
или, эквивалентно, такие, что Ъ—a?V+ и (pr, ^)^Q{6)(a, b). Но это в точ-
точности означает, что (//, г\)?33F).
Упражнение 4.5. Доказать, что всякая обобщенная функция g (p) из класса
о (V; V) (т. е. такая, что supp gCZV и suppg С V) имеет любое из следующих двух пред-
представлений (с JV <оо):
* о») =2 2 ^'•••^v...^^=
п=0 (it Дп=0 3
N
= 2 2 Pll'---Pllatib...to,<Ph D-86)
л=0 р.! Цп=0,..., 3
где h^ {1п(р) и ^i(ira(/o) —нечетные лоренц-инвариантные обобщенные функции из
if" (M). (Указание: достаточно доказать первое представление, так как второе представле-
представление получается, например, как следствие инвариантности класса a (V; V) при преобразо-
преобразовании Фурье. С помощью леммы 4.9 убедиться, что решение G (р, т)) волнового уравнения,
соответствующее g(p), имеет носитель в множестве VXR2- С помощью аргументов, исполь-
использованных в доказательстве предложения 4.8, заключить отсюда, что спектральная функция
W (р', X) в представлении D.77) для данной g (p) может быть выбрана с носителем при р' = 0.)
Упражнение 4.6. Пусть обобщенная функция g (p) имеет носитель в множестве
(—a+K+)(J(a + V~) (где a?K+), а ее преобразование Фурье g (x) имеет носитель в ко-
конусе V. Доказать, что такими же свойствами обладает обобщенная функция gx (p), опре-
определенная равенством gi (х) = F (x2) g (х), где F (t) — произвольная функция из 0М (/?). (Ука-
(Указание: для доказательства того, что gi (р) имеет носитель в множестве (—a.~{-V+){)(a-\-V~),
взять произвольную функцию ф (р) ^ if (Щ с носителем вне этого множества и убедиться, что
(§i (Р), ф (/>)) ^ (g (Р), О (Р) * Ф (Р)) = О,
где свертыватель G (р) есть преобразование Фурье функции F (х1). На основании представ-
представления D.77) достаточно показать, что функция и (р', А)=\е(/В°—р'°)8((р—р'J — Х)Х
X(G (р) * ф (р)) dip исчезает при p'?Q[ — a, а]; для этого воспользоваться тем, что и (р, Я)
как функция от р есть свертка ф (р) с некоторой нечетной лоренц-инвариантной обобщен-
обобщенной функцией и по свойству носителя свертки исчезает при p(tQ[ — a> a].)
Б. Дальнейшие свойства носителя спектральной функции. В п. 4.1.Б
была^также сформулирована проблема: можно ли спектральную плотность
ИЛД выбрать так, чтобы ее носитель содержался в множестве точек (р', К),
обладающих тем свойством, что гиперболоид р -f- Г, -j целиком содержится
в &1. Обратимся теперь к классу областей в, для которых эта проблема
имеет положительное решение.
*) Гиперболоид Г.,— при Я = 0 вырождается в (световой) конус.
* К
172
Пусть %+(р) и х-(Р) есть~пара вещественных функций на R3, удовле-
удовлетворяющих условию
(ХаЫ—%а(д)У— (Р—<7J<0 при всех р, q?Rs, а=± D.87)
{из которого следует непрерывность этих функций; этому условию удовле-
удовлетворяет, например, всякая функция, определяющая пространственноподоб-
яую гиперповерхность в пространстве Минковского). Кроме того, предполо-
предположим, что существует такой вектор a?V+, что
%ЛР)>—а° + {р + а\, %-(Р)<а°-\р—а\ при всех p?Rs. D.88)
Будем считать, что замкнутое множество 5? в пространстве Минковского
имеет вид
5i = 5?+U^_, D.89)
где
5*+ = {/;€М: ^>х+(/»)}. Я_ = {р?М: /т».<Х-(/»)}• D-90)
Как и выше, открытое множество 6 есть дополнение к iA в М:
6 = М\.%. D.91)
Упражнение 4.7. (а) Доказать,?что определенные выше множества 5?± удовлетво-
удовлетворяют условиям
M++V+CM + , 5i--f-7_c5?-, D.92)
-а множество 51 удовлетворяет условию D.75).
(б) Доказать, что множество Q (определенное посредством D.89) —D.91)) временипо-
добно выпуклое. (Указание: доказывать методом от противного, используя D.92).)
(в) Доказать, что функция % (Р) = 1/а (Х+(/>) + Х-(/>)) ограничена по модулю.
В рассматриваемом случае множество SF) D.74) (в котором исчезают
решения волнового уравнения, соответствующие обобщенным функциям из
с|(У; 5?)) имеет сравнительно простой вид:
®<6) = {(/>'• ^Я6: Х~(Р'> Л)<Р'°<^+(Р'. Л)}. D-93)
где
K . D.94а)
Х_{р\ n) = inf{x_(p) + l/(p-p'J + hl2} D-946)
р
(в этой связи см. упражнение 4.8). Тот факт, что выражения D.94) оп-
определяют вещественные функции, следует из того, что согласно D.87) %+(р) ^
<Х+(°)-г|/?| » "/-(Р)>Х-@) — \Р\- Функции Х±(р', г\) обладают свойством,
аналогичным свойству D.87) функций %±(р)- Действительно, из неравенств
треугольника
следует
<Хо(р', гй-Ха(р\ n')J-(/?'-p"J-h-V|2<0
при всех р', p"?R3, Tj, т)'€/?2 D.95)
(здесь о— ±), откуда, в частности, вытекает непрерывность функций Х± (р', г\).
Упражнение 4.8. (а) Определим в R6 = MxR2 два замкнутых множества о#± по-
посредством
аМ+={(р', Ч)€Я6: Р'°^'Х+(Р'< Л)}. С#- = {(Р'. ^1)€«6: р'°<Х_(р', т,)}. D.96)
Убедиться, что ^.^(соответственно о/И,-) есть множество всех точек (р', r\)?R° таких, что
верхняя^соответственно нижняя) пола гиперболоида р'+Г^ содержится в ,5?+ (соответ-
(соответственно в 5$_).
173
(б) Для множества Si (б), определенного в D.84), доказать соотношение
<Ш (б) = R6\(eS+ UeS-). D-97)
(Указание: воспользоваться характеристиками множеств <s F) и оМ±, данными в замеча-
замечании в п. 4.3.А и в части (а) настоящего упражнения; из них непосредственно следует
включение <3 @)CZRe\(oS+ \SoM-). Обратно, если (р', r])g#6\(a#+11#Ь
= (Ri\aS+)[](Rs\eS-), то верхняя пола гиперболоида рЧ-Г^ содержит точку
а нижняя его пола содержит точку с <$- 5?_. Для доказательства того, что (/?', )
достаточно убедиться, что b?Q и с?0. Предполагая противное, например, что с _
лучаем с?5? + "> это вместе со свойством D.92) gt + -\-V + cz3l+ и тем, что Ь — с?И+,при
водит к выводу 6^54+i что есть противоречие.)
(в) Доказать соотношение D.93). (Указание: воспользоваться соотношениями D.96)
и D.97).)
У п ражне ние 4.9. (а) Вывести оценки
Х+(р\ ti)fe-a° + |/>'-a|, *_(/>', ir)<a<>-|/>'-a|. D.98)
(Указание: в определении D.94) воспользоваться оценками D.88) и вычислить соответствую-
соответствующие верхнюю и нижнюю грани по р.)
(б) Доказать, что функция
Х{р', t)) = Vi (*+(/>'. т])+Х_(р', г,)) D.99)
ограничена по модулю. (Указание: из D.94) следует
inf х (/»') < X (р1, т)) < sup % (/>'),
/»' Р'
где х (Я) — функция, введенная в упражнении 4.7(в).)
Для введенной пары множеств 52+ и 5?_ назовем гиперболоид // + Гу-^аМ
допустимым, если его верхняя пола р' +Гу-^ целиком содержится в 54+,
а нижняя пола р' + Г^ целиком содержится в 5?_; соответствующие па-
параметры р', X допустимого гиперболоида мы будем называть допустимыми
параметрами, а их множество обозначать посредством adms=admE$+, 5?_).
Введем также понятие комплексифицированного допустимого гиперболоида:
это множество точек в комплексном пространстве Минковского СМ вида
p' + CTVT; = {k?CM: (к-рУ = Ц, D.100)
где р', X—допустимые параметры.
С помощью упражнения 4.8(а) получаем
| л}, D.101)
а из неравенства D.98) следует включение
admcrQ[— a, a]xR+. D.102)
Сформулируем теперь условие, при котором носитель спектральной
функции ИЛД может быть выбран в множестве admEi+, 5$_), и, значит,
в этом случае обсуждаемая нами проблема имеет положительное решение.
Теорема 4.10. (а) Пусть замкнутые множества Ш± и Ш в простран-
пространстве Минковского определены посредством D.89), D.90) (где %±(р)—функции,
удовлетворяющие условиям D.87), D.88)). Тогда для любой обобщенной функции
g(p) из класса o(V; 5?) (т.е. такой, что g?<&"(M), suppgczV, suppgc5?)
и любого е > 0 имеет место представление ИЛД D.77) со спектральной функ-
функцией Ч(р', Я)?&" (MxR+), имеющей носитель в г-окрестности (в MxR+)
множества*) adm D.101).
(б) Предположим дополнительно, что существует строго пространственно-
подобная гиперповерхность в /?6 = Жх/?8, «промежуточная» между гипер-
гиперповерхностями р'° = Х_(р', г\) и р'а = Х+(р', г\), т. е. целиком содержащаяся
*) Очевидно, что при этом suppYcQ [ — b, b]-\-R+f где b?M может быть выбрано
(в зависимости от W) сколь угодно близко к а.
174
в множестве *)
{(//, г,)<Е/?": Х_(р', ц)АХ+(р', л) </° <*-(/»', г\)\/Х+(р', ц)}. D.104)
Тогда для любой обобщенной функции из класса o(V; Ж) справедливо пред-
представление ИЛД D.77) с носителем спектральной функции ?(р', К), содер-
содержащимся в множестве adm.
•^ Вначале рассмотрим ситуацию, когда выполнено дополнительное предположение
части (б) теоремы. Будем считать, что именно эта пространственноподобная гиперповерхность
2 в MXR* (фигурирующая в части (б) теоремы) выбрана в процессе доказательства теоремы
4.8 (т. е. в формуле D.80)). Покажем, что соответствующая спектральная функция D.82) сос-
сосредоточена в admE?+, 5J-),a для этого достаточно убедиться, что обобщенная функция Я2
сосредоточена в множестве
{(р', ч)€№-- *+(/>', iD</>'°<x_Gt>\ 11)}. D.105)
Действительно, по построению Я2 обращается в нуль в множестве <Ш (Q) D.93), где исче-
исчезает G (/?, 1]); кроме того, ее носитель сосредоточен на гиперповерхности 2 и, значит,
в множестве D.104). Отсюда ясно, что Hz имеет носитель в множестве D.105).
Для доказательства общего случая (т. е. части (а) теоремы) следует внести небольшие
изменения в приведенное рассуждение. Рассмотрим функцию Х(р', г\) D.99), которая бу-
будучи непрерывной, ограниченной, а также О B)-инвариантной (по т)), записывается в виде
Х(р', T))—-Y(p', |r||2), где Y(p', ^ — непрерывная ограниченная функция от р'?/?з и
t?R. Положим ш(р', t)~Q (р'° — Y (р', t))*a(p', t), где а(р', t) — функция из yj (R&)
с носителем в шаре радиуса 8 и с интегралом \а(р', t) d*p' dt, равным единице. Для ре-
решения волнового уравнения мы будем использовать не представление D.79) (с //2, опреде-
определенным посредством D.80)), а его «сглаженный» вариант (приведенный в упражнении 4.4):
G(p, г)) = ?>(в)(р, т})*//(р, г)),
где
Н[р. iD = D(«{G(P. r,)(o(p, |т)|«)}.
В результате мы приходим к представлению ИЛД со спектральной функцией, определенной
формулой типа D.82) (с заменой Я2 на Н). Мы предоставляем читателю убедиться (с помощью
аргументов, аналогичных приведенным выше для части (б) теоремы), что построенная таким
образом обобщенная функция V (р', X) имеет носитель в е-окрестности множества adm. ^
Как уже отмечалось (в п.4.1.Б), представление ИЛД явным образом отражает свойство
supp g(x)dV; теперь же оно явно учитывает также условие supp gcr,5? D.56). Остановимся на
этом моменте подробнее. Из свойства носителя (по р) ядра К(р', р', А) D.16) и спектральной
функции Чг(/)', X) следует, что supp g сосредоточен в замыкании объединения гиперболоидов
р'+Гх, где точка (р', >0 пробегает е-окрестность (в МХ/?+) множества adm(^+,5?-). Ввиду
произвольности е>0 отсюда заключаем **):
suppgc^i, D.106)
где
5г= U (Р' + Г _) D.107)
(как нетрудно видеть, tii есть замкнутое множество в Щ. Из определения adm следует:
DЛ08)
так что условие supp g a 5$ действительно выполнено.
Может случиться, что Sfi не совпадает с 5?:
•Л ф ¦Л
(см. ниже упражнение 4.11). Тогда имеет место любопытная ситуация: носитель g(p) автомати-
автоматически исчезает в большей области, чем это предполагалось первоначально в условии D.56)
(а именно в M\ik).
*) Мы используем «решетчатые» обозначения
где Я, ц.—вещественные числа.
**) Здесь можно было бы сослаться на более подробную аргументацию (в духе приведен-
приведенного ниже упражнения 4.15).
175
В. Примеры. Пусть g{p)—обобщенная функция из &" (М) со свойствами
supp g(x)czV, D.109a)
supp g(p)<=(— a + VW U (a' +Vm.), D.1096)
где aJra'?V+, М и М'—два неотрицательных параметра (имеющих смысл ,
«пороговых масс» в контексте квантовой теории поля). Очевидно, условия
D.109) означают, что g?o(V; 91), где 52 = 5?+U 5$-, а 5?+ и Э1_ опреде- '
ляются посредством D.90) при \
Функции %± (р) удовлетворяют условиям D.87), D.88), поэтому к обобщен-
обобщенной функции g(p) применима теорема 4.10.
Чтобы указать носитель спектральной функции ИЛД ^?(р', Я), доста-
достаточно найти множество admE?+, 5?_).
Упражнение 4.10. (а) Доказать, что верхняя пола гиперболоида р'~\-Г..— содер-
* л
жится в —a-\-V%i в точности тогда, когда р' ?—a-\-V+ и У % S= М — У(р' + аJ.
(б) Доказать, что нижняя пола гиперболоида Р' + Гуг содержится в a'-fF^j, в точ-
точности тогда, когда p'?a'-\-V- и У~~Ъ ^ М' — l^(/o' — a'J.
Из упражнения 4.10 следует:
adm = {(/, XNQ[— а, а']хЛ+: Я>у?(р')}, D.111)
где
V (Ж'—К(/?'—а'K)- D.112)
Упражнение 4.11. Пусть а-f а' ?F+ иО<УИ'<УИ — У(а-\-а'J. Доказать, что
из условий D.108) следует
i + VM>'), D.113)
где Л1"=Л1 — У(а-{-а'J. (Указание: убедиться, что в этом случае
adm= {(/>
и что множество Л D.107) совпадает с правой частью соотношения D.113).)
Рассмотрим особо «симметричный» случай равных «пороговых масс»:
М = М'\ пусть, кроме того, а = а'. Для определенности будем считать, что
вектор a?iV+ направлен вдоль оси времени:
а = а' = (Л, 0), А >0.
В этом случае выполнены условия части (б) теоремы 4.10; а именно, в ка-
качестве 2 можно взять гиперплоскость р'° = 0. Тогда с помощью формул
D.80), D.82) мы получаем, что спектральная функция W (рг, Я) сосредоточена
при //° = 0; более того, она имеет вид
'(р'о)^1(р', К).
Соответственно, «симметричный» вариант представления ИЛД (полученный
впервые Йостом—Леманом, 1957) принимает вид
p', tydtp'dX, D.114)
где Ф0(р', Я) и Ф1(р', Я)—обобщенные функции из <#" (R3xR+), сосредо-
сосредоточенные на множестве
{(/»', Я)е/?3х^+: \р'\<А, Vb>M— /Л2—|р'|2} D.115)
Фх(р', Я) связана с х?1(р', Я) соотношением Ф^р', Я) = — 2-^-W1(p',
В отличие от представления ИЛД в представлении D.114) обобщенные функции Ф0(р', Я.) и
'> Ц однозначно определяются обобщенной функцией g(p). Подробнее о представлении
176
Йоста — Лемана D.114) для «симметричного» случая см. в обзоре Владимирова и Завьялова
A980).
Г. Представления для обобщенных функций запаздывающего и опере-
опережающего типов. Обратимся теперь к задаче п. 4.1.А о выражении обобщен-
обобщенных функций /± (х) запаздывающего и опережающего типов через скачок
D.2) или, эквивалентно, через разность
f(x) = f+(x)-f_(x). D.116)
В сущности, задача сводится к определению произведений Э (± x°)f(x),
так как тогда свойства носителей supp/j-cV* позволяют написать
f±(x) = e(±x°)f(x) + R(x), D.117)
где R (х)—обобщенная функция с носителем в нуле. Разумеется, произве-
произведения Q(d-x°)f(x) в общем не определены (однозначным образом), и мы
здесь воспользуемся приемом, описанным в п. А.З.
В терминах преобразования Фурье произведение переходит в свертку:
9 (*¦>) / (х) е'Р* dx--=^ р0_^0 + ю g (<Д p)diq\ D.118)
Упражнение 4.12. Доказать соотношение
iOJ-(p-~p'J~X ' (
Подставляя в D.118) представление D.77) и используя формулу D.119)
ф
получаем следующее формальное соотношение:
D.120)
Неопределенность произведения 9 (х°) f (x) теперь отражается в том, что
выражение D.120) (напоминающее свертку) может расходиться по X. Для
придания смысла правой части D.120) мы поступим, как в п. А.З: будем
считать, что спектральная функция W(p', X)^aP'(Q[—b, b]xR+) продол-
продолжена до обобщенной функции из <&"(Q[—b, Ь]х[0, оо]). Согласно следую-
следующему упражнению этого достаточно, чтобы правая часть D.120) приобрела
смысл слабого интегрального представления. Более того, определяемое соот-
соотношением D.120) произведение 0 (х°) f (х) совпадает с / (х) при х° > 0 и равно
нулю при х° < 0.
Упражнение 4.13. (а) Доказать, что выражение
определяет линейный непрерывный оператор n: ?f (М) -*- <ЦР (Q [—b, b]X[0, оо]). (Указа-
(Указание: нетрудно доказать, что (пер) (р', К) есть й'°°-функция от р', Я, если переписать D.121)
в виде
^^Щ Ф«. p)dtd3p, D.122)
У (Р — Я)+А -
где ф (t, р) = \ ё~ ''рОф (р) dip". Чтобы убедиться, что функция (щ) (р', Ц принадлежит
of (Q [—b, b]x[0, оо]), надо получить из представления D.121) асимптотические разложе-
разложения по Я при Я-*-оо для Пф и ее производных.)
(б) Доказать, что
(пф)(/Л Я)= J г(р°-р'<>)8((р-рТ-Ь)у(р)Л*р,
если носитель функции ф (л:) = \ е~'Рх ф (р) dip сосредоточен при х° > 0, и что (пф ) (р', А)=
=0, если ф(х) = 0 при х° > 0. (Указание: воспользоваться формулой D.122).)
177
Формула D.120) вместе с D.117) приводит к представлениям для фурье-
преобразования обобщенных функций запаздывающего и (аналогично) опе-
опережающего типов:
?(Р> Ш
где теперь Y(p\ X)?<Z"(Q[—b, b]x[0, оо]) и Т (р) —полином от р.
Упражнение 4.14. Пусть Т (р)— произвольный полином от р
(а) Доказать, что полином Т (р) может быть представлен в виде
N
'?tk(dp)(p*)k, D-124)
где tk(dp) — некоторые дифференциальные полиномы с постоянными коэффициентами. (Ука-
(Указание: применить индукцию по степени полинома Т (р). Предположив, что Т (р) имеет вид
D.124), доказать, что Т (р) р& и записывается в виде, аналогичном D.124); для этого за-
N
метить, что разность между Т (р) р^ и 2 ^k(^p)[(Pv)nPv'\ есть полином вида D.124).)
(б) Доказать, что полином Т (р) представим в виде
N г
T(p)=?i \ $>k (p1) (p — p'Jkdip', D.125)
k — О
где Ф^ (р1) — обобщенные функции из 3" (Щ с носителями в нуле. (Указание: восполь-
воспользоваться представлением D.124).)
(в) Доказать, что для полинома Т (р) имеет место представление
г-д тт; -nJ , ^—т-Ф <р', X) dtp'dX, D.126)
где Ф(р', X) — обобщенная функция из 3" (Q [—b, b]x[0, оо]) с носителем на множестве
Q[—Ь, 6]Х{+оо}. (Указание: воспользоваться представлениями D.125) и (А.22).)
Упражнение 4.14 позволяет считать, что Т(р)=0, так как общий случай
сводится к этому частному с помощью замены спектральной функции W (р', к)
на ? (р', Х)+Ф (р', X). Отметим, что носитель Ф (/?', Я) содержится в Q [—b, b]X
X {+оо}, т. е. там же, где сосредоточена неоднозначность спектральной функ-
функции ^?(р', к) при продолжении ее с Q [—Ъ, Ь]х[0, оо) на Q I—b, b]x[0, оо].
Мы получили следующий результат.
Теорема 4.11. Пусть h+(р) и h_(p)—преобразования Фурье обоб-
обобщенных функций в М запаздывающего и, соответственно, опережающего
типов и пусть их разность g(p) = h+(p)—h_(p) принадлежит к классу
o(V, eR) из теоремы 4.10 (и, следовательно, для любого е>0 имеет место
представление D.77), где W (р , Ц—обобщенная функция из 3" (Q [— Ь, b] x R+)
с носителем в г-окрестности множества adm(cR+, IR_)). Тогда спектраль-
спектральная функция ? (р , X) имеет продолжение до обобщенной функции из
.<&" (Q[— b, b]x[0, оо]) такое, что для h±(p) справедливы представления
l (pp±i0){ppr^ dt. D.127)
Из представления D.127) следует, что h± (p) имеют общее аналитическое
продолжение
l DЛ28)
в (открытое)" множество
(k—рУфк при всех (pr, A,)^adm}, D.129)
т. е. в дополнение (в СМ) к объединению всех комплексифицированных
допустимых гиперболоидов:
CM\D= U (р' + СГу-т). D.130)
(p',J.Nadm V -'
178
У п раж не ние 4.15. (а) Пусть г —точка множества D D.129). Доказать, что
k—p'J ф X для всех k из некоторой окрестности точки г в СМ и для всех (/?', X) из неко-
некоторой е-окрестности множества adm. (Указание: если предположить противное, то сущест-
существовали бы последовательности kn -»¦ г в СМ, (р'п, к„) из е„-окрестности adm такие, что
(kn—/?лJ = Л„; здесь е„ > 0, е„->-0. Так как последовательность {рп} ограничена, то пере-
переходом к подпоследовательности можно было бы добиться того, что {р'п} сходилась бы к не-
некоторой точке р'?М; тогда и Хп сходилась бы к некоторому числу X. Получено противо-
противоречие: (г — р'J = Х, где (р', A)?adm.)
(б) Доказать, что множество D открыто, а множество его вещественных точек содер-
содержит 0 = М\^Э1. (Указание: для доказательства первого утверждения воспользоваться
частью (а) упражнения; далее использовать соотношения D.107), D.108).)
Упражнение 4.16. (а) Доказать, что формула D.128) определяет аналитическую
функцию на множестве D. (Указание: спектральную функцию Т можно считать обобщен-
обобщенной функцией из if' (О) при Q = QiU^2, где Qi—замыкание множества тех точек (р', X)
из е-окрестности adm, у которых 0<Х<Л, Q2 = Q [—b, 6]Х[Л, оо]; числа 8 > 0, Л > 0
можно считать произвольными и Ь — сколь угодно близким к а. Как и в упражнении 4.1б(а),
для фиксированной точки г из D можно выбрать число б > 0, окрестность точки г в D и
параметры е, Л, Ь такие, что | (k — /?'J — Х\ > б при всех k из этой окрестности точки г и
при всех (р', X)?Q. Отсюда следует, что [(к —р'J — X]'1 есть функция пространства'
S" (Q) по р', X, аналитически зависящая от k как от параметра.)
(б) Доказать соотношения
h±(p)= lira h(p + iq) ъ&'(Щ. D.131)
Я-*-й, qeV
(Указание: рассмотреть семейство операторов v.g из ?f (М) в $* (Q [—Ь, 6]Х[0, оо]), зави-
зависящих от параметра q^V+-
0»'. Я) =^ J
С помощью представления типа D.122)
(о^^!^У"^'J+яФ (t, P)dtd3p D.133).
убедиться, что п,ф -»• Пф (см. D.121)) при q -*0, q?V+ в топологии if (Q [—b,b]x[0, oo])
применяя к этому соотношению обобщенную функцию W (р', X)?Hf"(Q[—b, b]X[0, oo]).
получить первое из соотношений D.131).)
На основании упражнений 4.15 и 4.16 мы приходим к следующему
выводу.
Теорема 4.12. Обобщенные функции h±(p) из теоремы 4.11 являются
обобщенными граничными значениями (соответственно при q^lmk—>-0,
<7бУ±) общей аналитической функции h(k) D.128) на открытом множе-
множестве D D.129) в СМ (содержащем, в частности, трубы Tf ^M+iV± и
подмножество вещественных точек 6 = Af\cR).
Обратимся к примеру. Пусть аналитические функции h± (k) от k?Tf
являются преобразованиями Лапласа обобщенных функций из if' (M) запаз-
запаздывающего и, соответственно, опережающего типов и пусть их обобщенные
граничные значения h±(p) (при q=lmk—*-0, q^V^ имеют следующее
свойство совпадения:
h+(p) = h_(p) при pi(-a + V^)U(a' + VM'), D.134)
где а-\-а'?V+, М и М'— два неотрицательных параметра. В этом случае
множество допустимых параметров определяется посредством D.111), D.112).
Следовательно, функции h±(k) имеют общее аналитическое продолжение
h(k) (с представлением D.128)) в область
D:r-.{k?CM: (k — р'УФ'к при всех р' ?Q[— а, а'], Х^кЦр')}. D.135)
Упражнение 4.17. Пусть А± (к) — пара аналитических функций от k?Tf, являю-
являющихся преобразованиями Лапласа обобщенных функций из if'(M) запаздывающего и, со-
соответственно, опережающего типов, и пусть их обобщенные граничные значения h , (p) (при
q—*0, q^iV7^) совпадают при р2 < 0. Доказать, что /i± (p) имеют общее аналитичес-
аналитическое продолжение h (k) в область {k?CM: k2gR+], причем для h (k) имеют место-
179
представления (с N < оо)
N
Л(*) = 2 S d*l...^nh»l...lin(.k*) =
и=0ц, Цл=0, .... 3
= 2 2 ^••••*A%,...цл(*2). <4-136)
л=0ц, Ц«=0 3
где Л^1--# дя(г) и ^t _ Цп (г) — аналитические функции в разрезанной комплексной плоскости
C\R+. (Указание: как и в упражнении 4.5, спектральная функция Y (//, Я.) в представлениях
D.127), D.128) может быть выбрана с носителем при р'=0.)
Из представлений D.136) следует, что функции h±(k) преобразуются по конечномерному
представлению группы Лоренца (или «конечноковариантны» в терминологии Броса и др., 1967).
Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
5.1. СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ. ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
А. Пространство голоморфных функций. В предыдущих главах неодно-
неоднократно использовались голоморфные функции от комплексного вектора, и
теперь мы обсудим их свойства более подробно.
Напомним, что определение голоморфной функции в области или в открытом множестве
DcC (дополнение Б.1) включает два требования: «затравочное» условие непрерывной диффе-
дифференцируемое™ и выполнение системы уравнений Коши — Римана
dzj
п. E.1)
«Затравочное» условие можно значительно ослабить. Примером служит так называемая (основ-
(основная) теорема Гартогса ([В9], п. 4.2; [Ш1], п. 6): если функция /(z) в области DcC" является
аналитической по каждой компоненте zj при любых (допустимых) значениях остальных компо-
компонент, то она аналитична (и, в частности, <ё°°-) по совокупности переменных z^z^ .... г„).
В таком «чистом» виде теорема Гартогса не имеет для дальнейшего изложения большого значе-
значения, так как обычно мы имеем дело с функциями (или с распределениями) /(z) с достаточно удоб-
удобными «затравочными» свойствами. Например, достаточно, чтобы /(z) была распределением из
<2)'(D); тогда из уравнений Коши — Римана автоматически следует, что f(z) — голоморфная
функция (см. предложение 5.13).
Посредством Ж (D) будем обозначать пространство всех голоморфных
функций в области DczC". Очевидно, это—линейное подпространство
в пространстве % (D) всех непрерывных функций в D. Мы наделим Ж (D)
структурой ЛВП, индуцированной из % (D), т. е. топологией, задаваемой
системой полунорм
|ff=sup|/B)|, E.2)
геК
где К пробегает все компакты в D (или счетное семейство компактов, внут-
внутренности которых покрывают D). Более общий класс, чем компактные под-
подмножества в D, составляют подмножества KcD, обладающие свойством:
sup|/B)|<oo для всех $€Ж(Р)\ такие подмножества К мы назовем
ПК
ЗС (В)-ограниченными. Другими словами, Ж (О)-ограниченное подмножество—
это произвольное подмножество в D, на котором ограничена по модулю любая
голоморфная функция в D. Каждому Ж (О)-ограниченному подмножеству К
формула E.2), очевидно, сопоставляет полунорму на Ж (D). Оказывается
(см. предложение 5.4), все такие полунормы jf\\K непрерывны (поэтому за-
замена всех компактных подмножеств К в определении топологии Ж (D)
всеми Ж (О)-ограниченными подмножествами К не приводит к изменению
топологии).
Упражнение 5.1. Доказать, что любое ^(О)-ограниченное множество К ограни-
ограничено. (Указание: воспользоваться ограниченностью на К координатных функций f/(z)=z/,
i=u ...,«.)
В основе дальнейших выводов лежит интегральное представление для
поликругов. При этом (открытым) поликругом в С" с центром в точке
181
w^C" и с полирадиусом р (представляющим собой упорядоченный набор
р == (рх, ..., рп) положительных чисел) называется множество
P(w; p) = {z?Cn: |zy—Wj\<pj при/=1, ...,n}; E.3)
P (w; p) есть замыкание P (w; p). Очевидно, P (w\ p')cP(w; p) в точности
тогда, когда р/< р/ при всех /=1, ..., п (в этом случае мы пишем
р' < р). Следующее предложение получается гс-кратным применением фор-
формулы Коши из теории функций одной комплексной переменной.
Предложение 5.1. Пусть (замкнутый) поликруг Р(w; p) содержится
в области DcC". Тогда любая функция f(z), голоморфная в D, предала-
вима в Р (w; p) п-кратным интегралом Коши:
fM !_ Г Г f(Qdt1...dta
15| | ?\
При любом значении мультииндекса а ? Z% мы используем обозначения
<*!=<*!!...«„!, E.5)
2« = (г1)а1..-B„)ап; E-7)
в частности, пусть 1 = A, ..., 1); тогда
z^Zl...zn. E.8)
Лемма 5.2. Любая голоморфная функция в области DcC" бесконечно
дифференцируема. Для любого компакта /CcD существует компакт К''<=D
и полирадиус р (> 0) такие, что для любой функции f ? Ж (D) и любого
мультииндекса а ? Z% имеет место неравенство
¦^ Бесконечная дифференцируемость / есть непосредственное следствие формулы E.4).
При доказательстве E.9) заметим, что в силу компактности KcD существует компакт
K'cD и полирадиус р>0 такие, что Р (w; p)cK' при всех w?K. Дифференцированием
представления E.4) получаем
i—»il=Pi I in—u
откуда следует оценка E.9). >
Предложение 5.3. Пространство Ж(D) является замкнутым под-
подпространством в "ё (D), а также в <§ (D); следовательно, оно является про-
пространством Фреше. Структура ЛВП на Ж (D), индуцированная из % (D),
совпадает со структурой ЛВП, индуцированной из & (D).
¦4 В силу леммы 5.2 остается доказать замкнутость Ж (D) в <g (D). Пусть{Д,} — по
следовательность в Ж (D), сходящаяся к некоторой функции f^'e (D) в топологии % (D).
При любом v имеет место представление типа E.4) с заменой / на fv. В этом представле
нии, очевидно, можно перейти к пределу v-+oo и в результате получить, что / удовлет-
удовлетворяет представлению E.4) в любом поликруге Р (а; р), замыкание которого содержится
в D. Отсюда с очевидностью следует, что /—голоморфная функция. ^
Предложение 5.4. Для любого Ж (О)-ограниченного множества
D полунорма || f\\K на Ж (D) непрерывна; более того, существует ком-
компакт K'cD такой, что
I/ 1К<II/Г' для всех f€M(D). E.11)
¦^ Очевидно, при любом г ? К полунорма |/(z)| на Ж (D) непрерывна; в силу прин-
принципа равномерной ограниченности (т. е. в силу теоремы 1.7) отсюда следует непрерывность
полунормы || /1| К. Следовательно, существуют компакт К' С D и числос^О такие, что
Ц/||л<с|/|АГ' для всех / ? Ж Ф)- Если с<1, то E.11) доказано. Если О 1, то, заме-
182
яяя f на fN, где N ? Z+, получаем \\f\\K <cllN\\f\\K'. В силу произвольности N отсюда
следует E.11). >
Б. Голоморфность и аналитичность. Докажем эквивалентность понятий
голоморфности и аналитичности. Хорошо известно, что функция (?у-—гу)~1
представляется в виде ряда
k — О
сходящегося абсолютно и равномерно по ?,- и по Zj при | Zy-—шу-1 ^ р/, где
О < р/ < ру. Аналогично имеем
1 = у (г~^)К E.12)
причем ряд сходится абсолютно и равномерно по ? при \t,j—Доу| = ру-
(/ = 1, ...,/г) и по z?P(w,p') при р' < р. Подставляя E.12) в E.4) и вы-
выполняя почленное интегрирование (что возможно в силу указанных свойств
сходимости ряда E.12)), получаем дяя функции f?ffl{D) разложение
в степенной ряд по г — w:
/(г)= 2 ca(z-w)a при z?P(w; р), E.13)
aezn+
где
с
С Г /@^^ /5
причем ряд E.13) сходится абсолютно и равномерно при z в любом поли-
поликруге Р (w; р') с полирадиусом р' < р (напомним, что относительно поли-
полирадиуса р предполагается только, что Р(ш;р)сО). Из сравнения E.14)
с E.10) следует формула для коэффициентов
д7И, E.15)
так что E.13) есть разложение функции f(z) в ряд Тейлора в точке w:
l)(z~wr. E.16)
Для доказательства обратного утверждения воспользуемся леммой о сте-
степенных рядах.
Лемма 5.5. Пусть ряд
2 ca(z-w)a E.17)
г
сходится (в каком-либо порядке) в некоторой точке z = a, причем pj=
=\a,j—Шу j > 0 при всех / = 1, ...,/г. Тогда он сходится абсолютно (и,
следовательно, независимо от порядка суммирования) при всех г из поли-
поликруга Р (w; р) к некоторой голоморфной функции f(z) в Р (до; р), причем
сходимость равномерна в любом поликруге Р (до; р') при р' < р.
^ Из сходимости ряда E.17) при г = а следует ограниченность общего члена ряда:
CaPa<Af, откуда следует, что при всех р' < р и г ^ Р (w; p') имеет место оценка:
а а Р /=1 \ Р/
Итак, ряд сходится абсолютно (и равномерно в Р {w; p') при любом р'<р) к некоторой непрерыв-
непрерывной функции / (г) в Р (w; p). Голоморфность / есть следствие предложения 5.3, согласно которому
предел в топологии 'e(D) последовательности голоморфных функций в D есть голоморфная функ-
функция в Z). ^
Комбинация леммы 5.5 с предшествующим рассуждением завершает
доказательство следующей теоремы.
Теорема 5.6. Функция f(z) в области D сг Сп голоморфна в точности
тогда, когда она аналитична (т. е. разлагается в сходящийся ряд по z—да
в окрестности любой точки w?D). При этом ряд Тейлора E.6) функции
[?Ж(D) сходится (абсолютно и равномерно) в любом замкнутом поликруге
P(w; p)c?>.
Упражнение 5.2. Доказать, что для любого ^(/^-ограниченного множества
KcD существует полирадиус р(>0) такой, что для любой функции / g $f (Щ и для
любой точки w ? К ряд Тейлора E.16) сходится (абсолютно и равномерно) в поликруге
Р (w; p). (Указание: из предложения 5.4 и леммы 5.2 следует существование компакта
К' с: D и полирадиуса р таких, что
КII/ II E-18)
для всех w ? К, f € Ж (D), a g Z+.)
В. Аналитическое продолжение. Мы видим, что на аналитические функ-
функции нескольких переменных переносится ряд важных фактов из теории
аналитических функций одной переменной (интегральная формула Коши,
бесконечная дифференцируемость и разложимость в степенные ряды). Про-
Продолжая аналогию, приведем теорему единственности и принцип максимума
модуля.
Теорема 5.7 (теорема единственности). Если аналитическая функция /
в области D а С" обращается в нуль вместе со всеми своими производными
9хf (всех порядков) в некоторой точке a?D, то /=0 s й. В частности,
если f исчезает в комплексной или вещественной окрестности точки a?D,
то / = 0 в D.
¦4 Множество А всех точек из D, в которых / обращается в нуль со всеми производ-
производными, очевидно, замкнуто в D (поскольку все функции ба/ непрерывны). Это же множе-
множество А открыто. Действительно, пусть w?A и Р (w; р) — замкнутый поликруг в D
с центром в w. Тогда / разлагается в Р (w; p) в степенной ряд, все коэффициенты кото-
которого равны нулю. Следовательно, множества А и D\A открыты; в силу связности D
отсюда следует, что A — D. >
Теорема 5.8 (принцип максимума модуля). Модуль аналитической
функции f (z) ф. const в области D cz С" не может принимать (локальное
или глобального) максимума в точках из D. Кроме того, для любой ^M(D
и любого компакта *) К с: D имеет место равенство
||/||* = fl/fl^. E.19)
¦^ Пусть !?Ж( '¦) и пусть в некоторой точке w ? D \f\ достигает (локального
максимума, так что для некоторого поликруга Р (w; p)cD выполняется |/(z)|<|/(k)
при всех z ? Р (w; p). Покажем, что f(z) = f(w) в Р (ш; р), откуда по теореме единствен
ности будет следовать, что f(z)= const в D. Без ущерба для общности будем считать, что
/(oj):s=0 (этого можно достичь умножением / на фазовый множитель). Как и в случае
одной переменной, из интегральной формулы Коши следует формула о среднем значении
для поликруга:
/И= W-, г С f(z)\dnzdnl\, E.20
' v ' mes Р (w; р) j w' ' v
P (o>; p)
где
mes P (w; p)= \ \dnzdnz\\
P (u>; p)
следовательно,
J {f(w)-R<tf(z)}]d«zd»7\ = 0.
P (го; Р)
*) Здесь и далее дА обозначает границу подмножества А в С" (dA—A\intA).
184
Б силу того что подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна, отсюда заключаем,
что она равна нулю: f(w)—Re/(z)-=0 в P(w; р). Вместе с |/(z)|<:/(k>) это дает равенство /(?)=
=f{w) в P(w, p) и, значит, в D. Второе утверждение теоремы следует из первого, если учесть,
что модуль функции /^ const не может принимать максимума на К во внутренних точках К. >
Упражнение 5.3. Доказать, что если ^(О)-ограниченное подмножество KclD
содержит границу некоторого компакта с непустой внутренностью, то ||/||^ есть норма. (Ука-
(Указание: воспользоваться E.19) и теоремой единственности.)
На теореме единственности зиждется метод аналитического продолжения,
иллюстрацией к которому служит следующее предложение.
Предложение 5.9. Пусть \Dx}xeA— семейство областей в С" и
{h}h е л—семейство функций /а, €$?(?>*,) таких, что для любых X, ц пере-
пересечение DiODp связно (или, в частности, пусто), и если оно непусто, то
функции fx и /у, совпадают в окрестности хотя бы одной точки из D^ftD^.
Тогда существует (однозначная) функция f, определенная и голоморфная
в открытом множестве D= \}Dk и совпадающая с 1% в D% при всех К.
к
Упражнение 5.4. Доказать предложение 5.9. (Указание: достаточно убедиться
в выполнении условия согласования fx =/ц, в Dx П Dy, при любых X, (i ? Л.)
Условия в предложении 5.9 можно заменить несколько более удобными
б случае, когда множество индексов Л является связным подмножеством
в евклидовом пространстве *) (скажем, в /?*).
Предложение 5.10. Пусть пространство индексов А связно и
{DxJa.6 л —семейство областей в С", являющихся сечениями k = const некоторой
области Q с С"хЛ, причем для любых к, ц пересечение D^oD^ связно (или,
в частности, пусто) и для любого к?А множество
Мк = {[I ? Л: D% n Dp непусто}
связно. Пусть {fx}i<=A—семейство функций /я (zffl(D)), причем для любого
I б Л существует точка w^D^ и окрестность t/д, с Q точки (w, Я) такие,
что
/х B) = /ц (г) при всех (ц, г) ? Uk.
Тогда существует (однозначная) функция /, аналитичная в области D = U ?4
и совпадающая с f^ в Dx при любом К.
¦^ Достаточно доказать, что для любого Я, ? Л подмножество Мя, = {ц g My. fx = fu
в Dx П ?V} совпадает с М\ (ибо тогда будут выполнены условия предложения 5.9). Мно-
Множество М'%, содержит некоторую окрестность точки Я, в Л, так как по условию для точек
ft ? Л, достаточно близких к К, /^=/„ в окрестности некоторой точки из D%, Г) ?*ц ; ввиду
связности Dx П ?>м. отсюда следует, что /^= /^ в Da, f) D^ . Далее наряду с % фиксируем
произвольную точку ц из замыкания М'х в Мх- Так как ц ? Мх, то области Dx и Оц
имеют общую точку ?. Точка (?, (i) входит в Q вместе с некоторой окрестностью, которую
можно взять в виде Д X Л^ц, где Д—окрестность точки ? в С", a Ny, — окрестность точки
цвЛ. Поскольку выше было доказано, что ц входит в Мц вместе с некоторой окрест-
окрестностью в Л, то за счет уменьшения N^ можно считать выполненным условие №ц CZ М ц.
Тогда, в частности, имеем fll(z) = fv(z) для всех v ? N^, г ? Д. Так как по построению
^(z) = f (z) при z ? Д, то при любом v ? N^ функции f^ и fv совпадают в Д и, значит,
в Dx П Dv (в силу связности Dx Г) Dv). Это означает, что ЛГц содержится в Мх- Таким
образом, Мх непусто, открыто и замкнуто в Мх- В силу связности Мх это означает, что
М'х=Мх- >
В предложениях 5.9 и 5.10 результатом аналитического продолжения ока-
оказалась однозначная аналитическая функция. В общем случае следует учитывать
возможность появления многозначности. В связи с этим дадим следующее оп-
определение. Пусть Dx и D2—две области в Сп такие, что ??iП ?>2 непусто, и
пусть fiSr^CDi), f2?ffl(D2) — пара аналитических функций, причем fi=ft
в некоторой области D12, содержащейся в Dif]D2 и, значит (в силу теоремы
*) Вообще говоря, Л можно считать производным связным топологическим пространством.
1 85
1
единственности), fi—fa в связной компоненте множества D1()D2, которая со-
содержит D12. Тогда будем говорить, что f2 есть непосредственное аналитическое
продолжение из Dx в D2 по маршруту (Dlt D12, D2). (Это продолжение нетриви-
нетривиально, если D2 не содержится в Du а это эквивалентно тому, чтоОг содержит
хотя бы одну граничную точку области Dt.) Разумеется, если D± П D2 несвязно,
это еще не означает, что в D1\jD2 определено однозначное аналитическое про-
продолжение функции ft *). Продолжая этот процесс, мы будем говорить, что
функция /', аналитичная в области D', есть аналитическое продолжение функ-
функции /, аналитичной в области D, по маршруту
(I>=?>i, D12, D2, D23, . . . , Ds.lt Dw_lt N, DN=D'), E.21}
если D=DU D2, . . . , DN=D' есть конечная последовательность областей
в С'1, в каждой из которых определена аналитическая функция f—flt ft, ...
..., fN=f, причем /v+1 есть непосредственное аналитическое продолжение /v по>
маршруту (Dv, Dv> v+1, Dv+1), v = l, .... N—1. Такое продолжение триви-
тривиально, если D'cD и /'=/ в D'.
Пусть задано семейство {Dx}xiA областей в С" и семейство {/я}лел
аналитических функций f%?3%Фк), причем любые две пары функций fx, /ц
аналитически продолжают друг друга; тогда говорят, что семейство \fx\iz\
представляет (вообще говоря) многозначную аналитическую функцию в об-
области D = U D^.
я
Замечание. Если область Q односвязна, то (по классической теореме о монодромии
[В9], п.6.6) многозначная аналитическая функция в действительности сводится к однозначной
т. е. при любом Я функция Д есть сужение наВя некоторой функции \^SfC{D)
Область D называется областью голоморфности, если существует функ-
функция 1^Ж(П), не допускающая нетривиальных аналитических продолжений;
в этом случае D называют также естественной областью голоморфности
функции f. Известно, что всякая область в комплексной плоскости есть
область голоморфности**). Однако при п> 1 не всякая область в С яв-
является областью голоморфности, и становится содержательной проблема
продолжения всех голоморфных функций в данной области за ее пределы.
В этом явлении вынужденного аналитического продолжения заключена
важнейшая специфика теории функций нескольких комплексных переменных.
Будем говорить, что область D с С" голоморфно расширяется в область
D' с С" по маршруту E.21), если каждая функция f?ffi(D) имеет анали-
аналитическое продолжение f'?ffl(D') по этому маршруту. В случае маршрута
(D, D12, D') с D12 в связной компоненте пересечения D n D' мы говорим
о непосредственном голоморфном расширении D в D'. Разумеется, тривиаль-
тривиальное «расширение» (когда D'cD nf = f в D' при всех / ? Ж (D)) не пред-
представляет интереса. Оказывается (см. п. 5.2.А), область D не имеет нетри-
нетривиальных голоморфных расширений в точности тогда, когда она является
областью голоморфности.
Приведем пример области, не являющейся областью голоморфности.
У пражнение 5.5. Пусть D есть область в С2, не содержащая начала*координат
и являющаяся окрестностью границы поликруга Р в С2 с центром в 0 и с полирадиусом
A, 1). Доказать, что всякая функция / ? р? (D) допускает аналитическое продолжение
в Р. (Указание: в окрестности точек jzi| = l, | г2 | < 1 для f(z±, г2) справедлива формула
Коши по г2:
) ?2а
i с, i = 1
которая задает аналитическое продолжение в Р.)
Метод, использованный в предыдущем упражнении, позволяет получить многомерное
следствие из известной теоремы об отсутствии изолированных точек сингулярности у огра-
ниченной'аналитической функции одной комплексной переменной.
*) По этой^причине определение аналитического продолжения (и голоморфного расшире-
расширения) допускает "возможность D1cp.D2.
**) Это следует из упражнения 5.15 и теоремы 5.24.
186
Упражнение 5.6. Пусть g(z)^O — голоморфная функция в области Dt^C",
}(г) — функция, аналитическая в области ?)\g~1{0} и ограниченная на любом множестве
вида /(\§~х{0}, где К — компакт в D. Доказать, что функция f (z) аналитична в D.
{Указание: достаточно убедиться, что f (г) аналитична в любой точке ai^D П?"Ч")'
пусть для определенности этой точкой является щ) = 0. Без ущерба для общности можно
предполагать, что система координат выбрана таким образом, чтобы аналитическая функция
g@, ..., О, г„) от г„ не была тождественно равна нулю. Выбрать числа лу >0 так, чтобы
g(z) не обращалось в нуль при \zi\ < гъ ..., \zn_t\ < гп_ъ | г„ | =/"„- Используя теорему,
упомянутую перед данным упражнением, получить представление
i=_U С ffa г-" с») dia
Ш|Ей1 = г„
в поликруге | 2Х | < ль ..., \гп\ < гп.)
Г. Обобщенный принцип аналитического продолжения; теорема «об
острие клина». Из обобщенной теоремы единственности Б. 10 (см. дополне-
дополнение Б) вытекает соответствующее обобщение принципа аналитического про-
продолжения. Пусть Qx и Q2—две выпуклые области в R", границы которых
содержат 0, и пусть Dx и D2—две области в С", прилегающие к вещест-
вещественной области 6 с R", соответственно со стороны iQ1 и iQ2 (см. п. Б.4).
Если /t и /2—две голоморфные функции в Dx и D2 соответственно, имею-
имеющие одинаковые обобщенные граничные значения
lira /t(x + ii/)= lira ft(x+iy) в ?>'@), E.22)
у-> 0, у €&t у->0,
то мы говорим, что /2 есть обобщенное аналитическое продолжение функции
/t «о обобщенному маршруту (?)х Л <^"°S 6. ?>2ПоГа2). Оказывается, обобщен-
обобщенное аналитическое продолжение сводится к обычному, т. е. существует
область G с С", прилегающая к 6 со стороны t'Q, где ?2 = ?21 + Q2> в которую
функции fx и /2 допускают общее (непосредственное) аналитическое продол-
продолжение. Это утверждение называют теоремой «об острие клина» (что выра-
выражает ее прозрачный геометрический смысл), а область G, фигурирующая
в теореме, называется областью «острия клина», соответствующей обобщен-
обобщенному маршруту флЛаГ52', 6, D2n#"Q2)- Простейший вариант «склеивания»
аналитических функций по границе доставляет следующая лемма (которая
есть не что иное, как переформулировка следствия Б.З с учетом теоремы Б. 11).
Лемма 5.11. Пусть Qt и Q2—две выпуклые области в Rn такие, что
OgdQiDdQjj, и пусть Q—выпуклая оболочка множества QiU^ij- Если fx и
}г—две голоморфные функции в трубах S~ui и SrQ* соответственно, явля-
являющиеся там преобразованиями Лапласа обобщенных функций из <?"(/?„),
то из совпадения обобщенных граничных значений
lira h(x + iy) и lira ft(x+iy) в 3"(/?»)
0 Q s-> 0, Q
следует существование функции f, голоморфной в трубе <$~а и совпадающей
c\j e^QJ {при /=1 и 2).
Теорема «об острие клина» обобщает лемму на случай, когда область
совпадения может отличаться от всего вещественного пространства R".
Теорема 5.12 («об острие клина»). Пусть Qt и пг—две выпуклые
области в /?", границы которых содержат О, D± и D2—две области в С",
прилегающие к вещественной области в с R" со стороны iQx и iQ2 соот-
соответственно. Если аналитическая функция /2 в D2 есть обобщенное аналити-
аналитическое продолжение аналитической функции f± в Dt через вещественную об-
обметь 6, то /х и /2 имеют одинаковое (непосредственное) аналитическое
продолжение f в некоторую область G, прилегающую к 6 со стороны tQ,
где Q = Ql + Q2. В частности, если Da => 6 + iQa (a=l, 2), то в качестве G
можно взять
G={2 = x+i(yW + yM): Х?6, у(а)?Ша,
|г/(а)|<й^(*. дб) при а=1 и 2}, E.23)
187
где*) §—положительная константа (меньшая единицы), зависящая
только от п.
¦^ Без существенного ограничения общности будем предполагать выполненным условие
?>а^>6~Н^а (сб= 1, 2) (иначе Qa следовало бы заменить произвольными усеченными выпуклыми
конусами /(аСЙа). Вначале в окрестности произвольной точки a^Q мы выполним некоторое
построение, которое позволит получить локальное аналитическое продолжение функций Д и
/2. Цель этого построения — свести локальную ситуацию к лемме 5.11. Второй этап доказа-
доказательства состоит в склеивании полученных локальных продолжений; здесь остается лишь про-
проверить, что локальные продолжения в совокупности определяют однозначную функцию /
(с требуемыми свойствами).
Фиксируем произвольную точку a?Q и произвольный набор ег, . . . , еп линейно неза-
независимых векторов, лежащих в QjU^ и обладающих нормой \ej\<.d(a, dQ). Нам предстоит
доказать существование числа ¦&?((), 1) (не зависящего от а, еъ . . . , еп) такого, что в области
(параллелепипеде)
О (а; ех е„) =
€C: 2 = а+ 2 С/в/. IReCyKd. О < Im?y < ф при/=1 я!
определена голоморфная функция /, совпадающая с fa в G (а; еъ ..., е„) f) Ax- Пусть
для определенности {et, ¦¦¦, ev}cz Qi и {ev+i, ..., еп} с Q2 при некотором V. Посредством
?у = ?у + г'Л/ будем обозначать координаты вектора z — а относительно базиса {e-i, ...,en}:
1= 1
(где z —произвольная точка из С), а вместо fa B) будем писать /a (Si tn)- Заменим
теперь множества Q, ?2Х и Ог меньшими, но более удобными множествами <J cz Q, щ с fli,
ШгСГОг, положив при р=1/«
в = {*€Л»: 16/Кр при /=1 л},
<oi = {x ? R": 0 < т)у < р при / = 1, ..., v и т]у = 0 при / = v + 1, ..., «},
®2 = {х 6 R": т)/ = 0 при /=1, .... v и 0 < т)у < р при/ = v + l л}.
Тогда на множестве Ф + г(Ва функция /а удовлетворяет оценке типа
I/a (z) I < Л f max \r\/\\~l при /^ф-|-1Ша- E.24)
V=I " /
(Это следует из упражнения Б.9 (б).)
Введем теперь конформное отображение ф (?)=—In >'. отображающее круг в С
радиуса р с центром в 0 на полосу | Im ay J <: 1. Перейдем от Si $„ к новым перемен-
переменным и>х wn, полагая
= Ф (S/) = — I" p_g. . так что С/ =
и определим
gee (Wi, ..., wn) = {JT (p» - Й)' } /« (Ь ?«)• E-25)
U= 1 J
Ясно, что функция g(t^i, ..., a»n) определена в трубе $~St с основанием
Si = {v?Rn: 0 <JfyS< 1 при/= l,|...,[.v; ?>у = 0 при / = v+l» •••> я}»
бесконечно дифференцируема по всем переменным и голоморфна по wi wv» Кроме того,
она удовлетворяет оценке типа
\gi(wlt ...,wn)l*?A'( max | Imwj \)~l в^°'. E.26)
/=1 n
Эта оценку получена из E.24), E.25) и неравенства **)
I p"-tf IllmCy l-1< 4PI Im шу |-» при | ?у |< р.
*) Через й(г, А) обозначено расстояние от точки г ? С" до множества Л С С".
**) Действительно, считая, что ветвь argay определена обычным образом (со значениями
в интервале (—я/2, я/2) при Re w > 0), имеем
Im vy |<^{| arg(p+Cy) l + l arg(p-?y) |}<
ysinaig(p-gy)j|
188
Аналогично, функция g2 определена в трубе <iT 2 с основанием
St = {v?Rn: Vj = O при/=1 v; 0 < vj < 1 при/ = v+l, .... я},
бесконечно дифференцируема по всем переменным, голоморфна по юу+ь ...,wn и удовлетво-
удовлетворяет оценке типа E.26) в ^"S2. Тогда в силу предложений Б.6 и Б. 11 каждая из функций
ga (а=1 и 2) является преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции Та?&" (/?„)
и обладает обобщенным граничным значением, скажем, /га ?#"'(#"); причем, благодаря пере-
перестановочности перехода к обобщенному граничному значению с конформным преобразованием
(см. предложение Б. 12), а также в силу упражнения Б.8 имеем равенство в ??>' (ф):
lim |П
U«(T(Si) Ф(Ы). E.27)
J
Согласно определению E.25) левая часть этого равенства есть lim fa(x-\-iy), причем
у-+ 0, е
при а=1 и 2 эти распределения совпадают в силу условия E.22). Отсюда следует, что при
а=1 и 2 правые части в E.27) также совпадают, т. е. hi = h2.
Мы пришли к ситуации, сформулированной в лемме 5.11 (теперь роль fa и <iT a играют
ga и #" а). Это позволяет сделать вывод, что функции gx и g2 имеют общее голоморфное
продолжение g в трубу dT5 с основанием S = S1-\-S2, причем
lira g{l + m) = h(l) в #"(«") E.28а)
г)-> 0,
( = Л1 = Л2). Заметим, 4toS содержит множество {r\?Rn: 0 < t)y < х/г при /= 1 я}.
Поэтому, выбрав д > О достаточно малым *) (а именно, таким, чтобы образ прямоугольника
{??С: |Re?|<d, 0 < Im ? < ¦&} при конформном отображении Z,—<-ю= — 1п _> содер-
содержался в полосе {w?C: |Imsy| < 1/2}), мы заключаем из формулы E.25), что функции fi(г)
и /2 (г) имеют общее голоморфное продолжение в область
G={z?Cn: ||/|<Ф, 0<т|у<Ф при /=1 п};
при этом из E.28а) (опять же благодаря общей формуле (Б.59в)) следует
lim /(* + fe)= lim fak+iy) при | lj |< Ъ. E.286)
0 О
у -* 0, у 6 соа у -> О, I/ б й)а
Итак, мы провели первый этап доказательства, который устанавливает существование
общего голоморфного продолжения функций /i и /2 в любую из областей G(a; elt . . . , еп)
вида, указанного в начале доказательства. Нам остается лишь убедиться, что эти продолжения
в совокупности определяют однозначную функцию / в объединении таких областей. Итак,
пусть G1=U1-[-iV1 и G2=i/2+tT2— произвольная пара таких областей (где Ult ?/2, V-i и V2—
некоторые параллелепипеды в Rn) и пусть f[ и /2 — голоморфные продолжения функций /j, f2
в области Gj и G2 соответственно. Покажем, что /i=/2 в GxnG2- Имеем: разность Д—/2 опреде-
определена и голоморфна в G1r\Gi=(Uir\U2) + i(Vir\V2) и согласно E.286) стремится к 0 в
S)'(Uf]U') при у—* 0, y?Vr\V. По обобщенной теореме единственности Б.10 отсюда за-
заключаем, что fi — /2 = 0. >
Явный вид E.23) области «острия клина» в действ тельности не имеет
большого значения (так как эта область не оптимальна, т. е. не максимально
возможная, за исключением случая, когда Da—трубчатые конусы и 6=/?").
Принципиальным моментом является сама возможность общего аналитического
продолжения функций Д и /2, означающая сведение обобщенного принципа ана-
аналитического продолжения к обычному. (Интересно, что в результате такого
продолжения вещественная область совпадения функций fx и /2 может расши-
расшириться по сравнению с первоначальной областью 6 исключительно «из геомет-
геометрических соображений»; с таким явлением мы уже встречались в упражнении
4.11; см. также [В9], §28.)
Укажем на одно обобщение в формулировке теоремы «об острие клина».
Не обязательно считать, что Qx и Q2— области в R"; с равным успехом можно
считать, что Qi и Q2— два выпуклых множества в R", границы которых содер-
содержат 0 и такие, что выпуклая оболочка их объединения есть область. Тогда
*) В качестве ¦& можно взять, например, (У^—1)/2«.
189
утверждение и доказательство теоремы 5.12 переносятся на более общий
случай.
Этот обобщенный вариант теоремы используется в следующем упражнении.
Упражнение 5.7. Пусть функция / аналитична в области DaCn, содержащей трубы
с^Г0' и ^rSj, причем основания этих труб Qx и Q2 являются пересекающимися выпуклыми
множествами *) в R" такими, что выпуклая оболочка Q объединения есть область в R".
(а) Пусть а^йг Г) &2> ?€&i. r]?Q2. Доказать, что /допускает непосредственное аналити-
аналитическое продолжение в трубу еТ, где со — некоторая выпуклая окрестность треугольника в R"
с вершинами а, а+д(?—а), а+д(т)—a), a ф—тот же параметр, что в E.23). (Указание: после
трансляции труб на вектор —ia ситуация сводится к теореме «об острие клина» в обобщенной
формулировке.)
(б) Доказать, что /допускает непосредственное аналитическое продолжение в г рубу оР"а.
(Указание: пусть выбраны произвольные точки a?Q1f*\Q2, ??&i, л€^2 и пусть Т есть множе-
множество всех чисел /?[0, 1] таких, что / допускает непосредственное аналитическое продолжение
в трубу ^Г0, где (о есть некоторая выпуклая окрестность замкнутого треугольника в Л" с вер-
вершинами а, а-Н(?—а), а+<(т)—а). Достаточно доказать равенство Т=[0, 1]. Вначале убедиться,
что Т открыто в [0, 1]. С помощью части (а) упражнения доказать, что Т замкнуто. Из связно-
связности^ заключить, что Т=[0, 1].)
'Замечание. Из доказательства теоремы «об острие клина» (см. формулы E.28))
можно сделать еще следующий вывод: обобщенное граничное значение lim f(x-\-iy) суще-
сущего, у<=п
ствует при x?Q, причем
lim /(х+й/)= lim fa(x + iy) в @)'(Q) («=1, 2). E.29)
0 sQ 0 eQ
Д. Голоморфные распределения. Пусть по-прежнему D есть область в С".
Распределение / (г) ? &)' (D) называется голоморфным, если оно удовлетворяет
системе уравнений Коши —Римана E.1). Очевидно, всякой голоморфной функ-
функции f?ffl(D) соответствует голоморфное распределение по правилу
(/, u)=\f(z)u(z)\d"zdn~z\, u?®{D). E.30)
Оказывается, справедливо и обратное утверждение.
Предложение 5.13. (а) Всякое голоморфное распределение f (z) ? SS' (D)
является функцией из Ж (D).
(б) Если последовательность голоморфных распределений Д, (г) сходится к
распределению f(z) в (слабой топологии) &)' (D), то f ? Ж (D) и fv —>¦ f в то-
топологии Ж (D).
¦^ (а) Пусть Р (w; р) — произвольный замкнутый поликруг в D и пусть / (г) — функция
из ?D(D), равная единице в некоторой окрестности Р (w; p). Посредством F (г) обозначим
обобщенную функцию из S" (Сп), равную %(z)f(z) вСи исчезающую вне носителя %. Оче-
Очевидно, носитель F компактен и содержится в некотором поликруге Р (w; R) с р < R. Учи-
Учитывая формулу
—?— zf^inbizj) E.31)
dzj
(см. формулы (В.54) — (В.56)), мы получаем для F (г) представление в виде свертки
F(z) = F (г) * б (г) = Bя)-« 1' F (z) * -\ . E.32)
г'
Обозначим iC (г) = Bп)~л д1 F (z). Это обобщенная функция из $>' (С"), которая (в силу го-
голоморфности / (z)) имеет компактный носитель в Q=P(w; R)\P (w; p). Сужая представле-
представление E.32) на поликруг Р (w; p), мы получаем для / (г) слабое интегральное представление:
при z?P(w; p). E.33)
Ядро этого представления 1/(г — Qr является основной функцией по ? из пространства <jP (Q),
зависящей аналитическим образом от параметра z?P(w; р).Это доказывает голоморфность
/(г) в Р (w; p) и, значит (ввиду произвольности Р (w, p) в D), всюду в D.
(б) Вторая часть предложения 5.13 также получается применением представления E.33
к каждому распределению /v (z):
\ ПРИ 2€^(^; Р)-
*) Здесь не требуется, чтобы Qx и Q2 обязательно были областями в R".
190
Так как г|\,—*- -ф в of'(Q), а 1/B— Q1 есть основная функция из c5p(Q)noC, аналитически
зависящая от параметра 2, то утверждение (б) вытекает из следствия 1.10. ^>
Упражнение 5.8. Доказать следующее обобщение классической теоремы Лиувилля:
произвольная голоморфная обобщенная функция / (z)?<jP' (С") является полиномом от г.
(Указание: из уравнений Коши — Римана следует, что преобразование Фурье
/ () ^ / () | 2 d"z |
от / (г) сосредоточено в нуле.)
Пусть переменные 2 и ? пробегают соответственно область D в С" и об-
область Q в Rk. Распределение f(z, Q?@)' (DxQ) называется голоморфным
по 2 (или частично голоморфным), если оно удовлетворяет уравнениям Коши —
Римана —=—f(z, ?) = 0 (/=1, ...,п). Тогда для любой основной функции
dZj
v?@)(Q) распределение §/B, Qv(Qdklnoz является голоморфными, зна-
значит (в силу предложения 5.13), принадлежит Ж (D). Тем самым f(z, |) ока-
оказывается распределением nog из &)' (О), зависящим голоморфно от z?D как
от параметра (см. предложение 2.11). Учитывая предложение 2.10, получаем
следующее утверждение (которое будет неоднократно использоваться в даль-
дальнейших главах).
Предложение 5.14. Если D—область в С" и Q—область в Rk, то
всякое частично голоморфное (по z) распределение f (z, |) ? 3)' (D x Q) является
распределением из 3)' (Q) по |, зависящим голоморфно от z ? Q как от пара-
параметра. Если при любых v ?&> (Q) функции )f(z, \)v(?)dn\ аналитически
продолжаются в область D' (DcD'сС"), то они определяют распределение по
I из SD' (Q), голоморфно зависящее от параметра z?D'.
Е. Инвариантные и ковариантные аналитические функции. Мы ограни-
ограничимся конкретной группой G — O+(d) или О (d), действующей в Cdk = Сх ...
...хСа по формуле C.151). Число k предполагается меньшим d в случае
0+ (d) или не превосходящим d в случае O(d), так что существует набор ал-
алгебраически независимых стандартных полиномиальных инвариантов /t (z),...
..., /vB) в С" (здесь п = dk, v = k(k-\-1)/2). Отождествляя (как и в п. 3.4.А)
произвольную точку 2 ? Cdk с упорядоченным набором г = (гг, ..., гк) векто-
векторов г1У . ¦., zk ^ Cd, мы можем в качестве этих инвариантов принять скаляр-
скалярные произведения (zt, zj) при l^t^/^^.
Нас интересует возможность представления инвариантной аналитической
функции /(г) в О(+) (й)-инвариантной области DcC" в виде аналитической
функции от инвариантов:
E.34)
Заметим, что полиномы 1г (z), . . ., Iv(z) в действительности инвариантны от-
относительно большей группы О (d, С)-—комплексификации О (d) [точнее, О (d, С)
(и аналогично О+ (d, С)) — это группа комплексных ортогональных dxd-мат-
риц (соответственно с детерминантом 1)]. Следовательно, представление E.34)
дает аналитическое продолжение функции / (г) в О (d, С)-насыщение области D,
т. е. в область O(d,C)D= [) gD. Поэтому в представлении E.34) доста-
geO{d, С)
точно ограничиться О(+) (d, С)-инвариантными областями (и функциями).
При d=4 пространство Cd может быть отождествлено с комплексным пространством
Минковского CM, a O(+,(d, С) —с комплексной (собственной) группой Лоренца
Ц+)(С) (см. п. 9.1.А).
Предложение 5.15. Пусть D есть О(+, (d, С)-инвариантная *) область
в С" = Cdk (при k < d для О+ (d, С) и при k^d для О(d, С)), причем выпол-
выполнено «техническое» предположение: для любой точки w? I (D) существует
*) В этом предложении можно также считать, что область D только О + (й)-инвариантна,
если в дополнение к условию E.35) предположить односвязность области / (D) (приводимое
ниже доказательство от этого даже упростится).
191
компакт QcD такой, что w?int I (Q), т. e.
I(D)= и int/(Q) E.35)
Q — компакт в D
(здесь I(z)^(I1(z), ..., Iv(z)~отображение из Cdk в Cv при v = k(k+l)/2,
составленное из алгебраически независимых стандартных полиномиальных ин-
инвариантов /iB), ..., Iv(z)—скалярных произведений (z{, zj), \^.i^.\^.k).
Тогда всякая О(+)(с1)-инвариантная аналитическая функция f(z) в области D
однозначно представима в виде E.34), где ср—аналитическая функция в обла-
области I(DC
¦^ Наше доказательство немного схематично: в некоторых местах мы отсылаем за дета»
лями к статье Холла и Уайтмана A957). Вначале выведем представление E.34) для области
A> = {zgD:/>(/ (г)) =0}, гдер (/(г))— детерминант?х&-матрицы(z;, zj) из скалярных про-
произведений (полином p(l (z)) не равен тождественно нулю, ибо подобное тождество противоре-
противоречило бы условию алгебраической независимости стандартных инвариантов /i, ..., /v в рас-
рассматриваемом случае). Нетрудно видеть, что если z?D0> то векторы гь ..., zj, линейно не-
независимы. Отсюда следует, что точки z?D0 являются неособыми для отображения /, т. е.
при z(ZD0 ранг якобиевой матрицы DI (г) равен v (см. лемму 7 Холла и Уайтмана). Более
того, в такой точке г подпространство векторов в Cdk вида (cozx, •••, w^ft), где со пробегает
кососимметричные dxd-матрицы, имеет размерность dk— v (см. лемму 6 Холла и Уайтмана).
Пусть а—произвольная фиксированная точка из Do. Тогда в достаточно малой окрест-
окрестности Uа С Do точки а можно выбрать инварианты /ь ..., /v в качестве первых v локаль-
локальных координат, а в качестве остальных локальных координат в Vа можно выбрать некоторый
набор zss(z/)(/- ^eSK3dk—v компонент. Условие О+ (^-инвариантности функции f (г)
записанное в инфинитезимальной форме, приводит к системе уравнений
k
где со пробегает кососимметричные dxd-матрицы. Перейдем в этой система к новым перемен-
переменным: f(z) = f(I, z). Так как инварианты /i, ..., /v удовлетворяют этим уравнениям, то мы
получаем систему dk — v линейно независимых уравнений относительно производных
(df/dzf)y ^)gS, разрешая которую, получаем df/dz =0. Это означает, что/(/, г) не зависит
от г. В результате доказано представление в достаточно малой окрестности произвольной
точки aCD0:
/(г) = ф«(/(г));
здесь фа—аналитическая функция в некоторой окрестности Ка С / (?>0) точки I (а).
Убедимся теперь, что функции <ра определяют однозначную аналитическую функцию <р
в области / (Д)). С этой целью заметим, что условие О(+) (с()-инвариантности
/tez) = /(z) при g?O(+)(d), z?D
можно аналитически продолжить nog; это означает, чтофункция /(г) действительно O( + )(d, С)-
инвариантна (подробнее этот прием описан в п. 9.1.Б). Воспользуемся далее тем, что (со-
(согласно лемме 2 Холла и Уайтмана) любую пару точек г, z'?Cdlt с одинаковыми значениями
инвариантов / (z) = /(z') можно связать преобразованием группы О(+, (d, С) (т. е. z'—gz,
где g?Oi+) (d, С)) при условии, что р (I (z)) — p (I (z')) Ф 0. Отсюда и из О(+) (d, С)-инвари-
антности функции f следует:
f(z)=--f{z'), если z,z'?D0 и /(z) = /(z'),
так что
Фа (и>) = фь (^), если w?Var\Vb и р (w) Ф 0.
Поскольку р (w)— полином, не равный тождественной, то (по теореме единственности) <ра = ф&
в У а П Уь- Это означает, что существует однозначная аналитическая функция ф {ш) в области
/ (Do) = I (О)Хр-1 {0} такая, что представление E.34) справедливо в области Do.
Остается убедиться, что ф (w) аналитична в области / (D). Для этого заметим, что из
представления E.34) в Do и из предположения E.35) легко следует, что функция ф (w) огра-
ограничена на любом множестве вида К\р~х {0}, где К — произвольный компакт в / (D). Согласно
\'пражнению 5.6 ф (w) аналитически продолжается в / (?>), значит (по теореме единственности),
представление E.34) справедливо всюду в D. >
В случае G-ковариантной аналитической функции f(z) (со значениями в
конечномерном комплексном векторном пространстве 3!, преобразующемся по
представлению Т группы G = O(+)(d)), интересна возможность разложения
2Qp(z)Mz)f E-36)
=i
192
гДе {Qp (z)}pf=i—полиномиальный базис стандартных ковариантов в С" (или /?"),
преобразующихся по представлению Т, a пр (г) — инвариантные аналитические
функции. При выводе представления E.36) делается предположение, что об-
область Da С" I-насыщена, т. е. что
Предложение 5.16. Пусть О(+)(d, С)-инвариантная область DcCdk
(где k < d для О+ (d, С) и k^.d для О (d, С)) I-насыщена и пусть существует
полиномиальный базис {QP}$=1 стандартных ковариантов в С" (или в R"),
преобразующихся по представлению Т группы О( +, (d) в Ж'. Тогда произвольная
ЗС-значная ковариантная аналитическая функция f (г) в области D (единст-
(единственным образом) разлагается в сумму E.36), где hp(z) — инвариантные анали-
аналитические функции в D (которые в свою очередь допускают представления
вида E.34)).
Доказательство см. в статье Хеппа A963в) *).
В следующем контрпримере показана существенность условия /-насыщенности в предло-
предложении 5.16 (по крайней мере для d = 2). Для произвольной точки 2= (г1, г2)?С* введем
координаты 2± = г1 ± B2. Тогда функция f (z) = (z+)~1 О+ B)-ковариантна в области D =
= {г?С2: z+ Ф 0} и преобразуется по (одномерному) представлению со спином —1 группы
0+ B). Однако в ковариантном представлении / (г) = Q (г) ф (z-г) со стандартным ковариантом
Q(z) = 2_ и стандартным инвариантом I (z) = z-z функция <р (w) = w~1 не аналитична в об-
области / (D) = C, ибо предложение 5.16 не применимо из-за того, что область D не /-насы-
/-насыщена. (Тем не менее согласно предложению 5.15 всякая О+ B)-инвариантная аналитическая
функция /(г) в рассматриваемой области D имеет вид / (г) = ф (г-г), где ф (ai) — целая анали-
аналитическая функция.)
Ж. Плюрисубгармонические функции. Для характеристики областей го-,
ломорфности используются не только аналитические функции, но и так н^аы^
ваемые плюрисубгармонические функции. ^--^
Функция р (z) в области (или в открытом подмножестве) D ^комплексной
плоскости С называется субгармонической, если она принимает значения в
расширенной вещественной прямой [—оо, +оо), полунепрерывна сверху и
удовлетворяет условию: для любой подобласти G с щ>мпактным замыканием
TjczD и любой вещественной гармонической в G функции**) и (г), непрерыв-
непрерывной в G, из условия p(z)^Zu(z) на dG следует p(z)^u(z) в G.
Условие полунепрерывности сверху .означает
р{г)= Ш р@ E.37)
(эта запись подразумевает, что Z, может принимать значение z; в противном
случае знак = следует заменить знаком ^=). Это условие эквивалентно тому,
что прообраз р~г ([—оо, х)) любого бесконечного интервала вида [—оо, х)
(где х ? R) относительно отображения р является открытым подмножеством
в D. Отсюда следует, что полунепрерывная сверху функция измерима и су-
сужение ее на любой компакт ограничено сверху и достигает максимального зна-
2я
чения. Поэтому определены интегралы вида ^ р (z + rei4>) dq> и ^ p(z-\-c)x
_ 0 \с\<г
x\dcdc\ при 0< r<d(z, dD), если считать, что наряду с вещественными
числами в качестве возможного значения интегралов допускается и —оо.
Имеется удобный критерий субгармоничности.
*) В силу единственности разложения требование в предложении 2 Хеппа A963в), чтобы
D была областью голоморфности, не является в данном случае существенным.
**) Гармоническая функция и(г) в области DaC — это функция, удовлетворяющая урав-
уравнению Лапласа Ди=4с* д«=0. (В качестве «затравочного» условия можно потребовать, чтобы и
была непрерывно дифференцируемой; тогда, как и в случае аналитических функций, она автома-
автоматически оказывается бесконечно гладкой.) Уравнение Лапласа означает, что ди есть голоморф-
голоморфная функция. Отсюда следует, что вещественная гармоническая функция u(z) в односвя?чой
области DcC есть вещественная часть некоторой аналитической функции h(z).
7 Н. Н. Боголюбов и др, 1"°
Предложение 5.17. Для того чтобы полунепрерывная сверху функция
р (z), определенная в области (или в открытом множестве) DcC и принимаю-
принимающая значения на расширенной вещественной прямой [—оо, -f-oo), была субгар-
субгармонической, необходимо, чтобы
2я
E.38)
при всех z^D и г>0 таких, что г < d(z, dD), и достаточно, чтобы нера-
неравенство E.38) выполнялось при всех z?D и всех г из некоторого интервала
(О, ro(z)), где г„(г) — произвольное положительное число (зависящее от z).
Доказательство см. в [В9], п.9.4. Там же доказано, что в любом замкнутом круге в D
с центром в точке w и с радиусом г субгармоническая функция в D удовлетворяет более общему
неравенству, чем E.38):
2я
р (z)< ^ ff> {z—w, re'f) p (w+rei(P) dtp; E.39)
О
здесь 5s (z, ге>ф) —ядро Пуассона:
<Р (пе{® rei<f) = — г ~~Р
Упражнение 5.9. Пусть f(z) — аналитическая функция в области DdC. Доказать,
что /(z)=ln[/(z)| есть субгармоническая функция. (Указание: в точках г, где /(z)=0, соотно-
соотношение E.38) тривиально; в окрестности любой точки, где /(z)=^0, р(г) есть вещественная часть
аналитической функции; применить к ней формулу о среднем значении.)
У п р ажнен ие 5.10. Доказать, что субгармоническая функция р^ const в области
D d С не может принимать (локального или глобального) максимума в точках области D.
"Кррме того, для любого компакта /(cD и любой субгармонической функции р в области
D имеем
sup p(z)= sup p(z). ' E.40)
zeK гедК
(Указание: ход рассуждений, основанный на неравенстве E.38), таков же, как в теореме 5.8.)
Функция р (z), определенная в области (или в открытом множестве) DcC",
называется плюрисубгармонической, если она принимает значения на расши-
расширенной вещественной прямой-{ — оо, +оо), полунепрерывна сверху и суже-
сужение ее на пересечение D с любой одномерной комплексной прямой в С"
является субгармонической функцией. Согласно предложению 5.17 послед-
последнее условие равносильно выполнению неравенства
2я
E.41)
при любом z?D, любом векторе b?Cn и при 0<г<го(г, Ь), где ro(z, b)
есть некоторая положительная функция от z, b. Если же это условие выпол-
выполнено, то при 6^=0 в качестве ra(z, b) можно взять величину Rb (z, dD) —
расстояние по лучу СЬ от точки z?D до границы dD области; оно опре-
определяется равенством
Rb(z, dD) = \b\-sup{r> 0: z + cb?D при с?С, \с\<г]. E.42)
Если p(z)—плюрисубгармоническая функция в области DczC", то функ-
функция —р(г) называется плюрисупергармонической (а в случае п=1— супер-
супергармонической).
Упражнение 5.11. (а) Доказать, что ln|/(z)| есть плюрисубгармоническая функ-
функция, если f(z) — аналитическая функция в области DczC. (Указание: воспользоваться
упражнением 5.9.)
(б) Пусть {Рх}х^л~семейство плюрисубгармонических функций в области D такое,
что функция р (z) = sup p^ (z) полунепрерывна сверху. Доказать, что р (г) — плюрисубгар-
А
моническая функция.
194
Интегрированием неравенства E.41) по dr2 получаем
Р(*)< I p(z + cb)^L E.43)
|c|<r
при 0<r<Rb(z, dD).
На самом деле интеграл в этом рассуждении понимался как повторный: \ dr' \ d(p...,
где с=г'е1<е. Однако по теореме Фубини ([ШЗ], гл. IV, теорема 77), примененной к неотри-
неотрицательной измеримой функции F(r', ф) = Л — p{z-\-r'el<fb), где А—достаточно большое
число, этот повторный интеграл совпадает с двойным интегралом E.43).
Пусть Р (w, p)cD. Тогда последовательное применение неравенства E.43)
приводит к следующему условию для плюрисубгармонической функции:
Up) I
P(w; p)
(здесь, как и в E.43), повторный интеграл совпадает с кратным).
Упражнение 5.12. Доказать, что плюрисубгармоническая функция удовлетворяет
условиям
р(г)=11т [p(z + rQu(Q\d"^d"l\ E.456)
r-v + 0 J
при всех г??>; здесь и(г) — неотрицательная функция из &){Сп) с интегралом 1. (Указание:
для доказательства E.45а) перейти к пределу в E.44) и воспользоваться условием полунепр^
рывности сверху E.37). Равенство E.456) устанавливается тем же способом.) ^-^
Заметим, что наряду с соотношениями E.45) справедливо следующее утвержден*^
Предложение 5.18. Пусть р (г) — плюрисубгармоническая функция вфлтти DaC"
и пусть z?D, Ь?С"\{0]. Тогда
p(z) = Ш p(z+rb). X E.46)
r->+ 0
Доказательство см. в [В9], п. 9.16.
Предложение 5.19. Для любой плюрисубгармонической функции р(z)
в области D а С" имеется альтернатива: либ&р^—оо, либо р локально интегри-
интегрируема в D.
¦^ Пусть р не является локально интегрируемой; докажем, что р=—со. Введем ыно
жество Q всех точек w?D таких, что \ р (z)\ dnzdnz \ =— оо хотя бы для одного поли-
Р (да; р)
круга Р (w; р) с D с полирадиусом рЕ^рда. В силу E.45а) достаточно доказать, что Q
совпадает с D. Поскольку Q непусто, a D связно, то достаточно доказать, что Q есть от-
открытое и замкнутое подмножество в D. Если w?Q, то найдется такое значение полирадиуса
р' и окрестность U точки w, что Р (w; pw) а Р (?; p')cfl при всех Z,?U. Очевидно,
\ р (z)| d"z d"z | = — оо при ???/, что доказывает открытость Q. Докажем замкнутость
/>(?; р')
п в D. Пусть w есть точка из замыкания в D множества Q. Тогда при любом р таком,
что Р (w; p)dD, множество Р (w; р) имеет непустое пересечение с Q. Поскольку р (г) =
= — оо при z^Q и множество р (w; р)П^ открыто и непусто (и, значит, имеет ненулевую
лебегову меру), то интеграл от р (z) по Р (w; р) равен —оо. Тем самым доказана замк-
замкнутость Q. >
Методом сглаживания можно произвольную плюрисубгармоническую
функцию представить как предел гладких плюрисубгармонических функций.
Предложение 5.20. (а) Для любой плюрисубгармонической функции
рф—оо в области D с С" существуют возрастающая последовательность
областей DvczC", объединение которых есть D, и монотонно невозрастающая
последовательность плюрисубгармонических функций pv??(Dv), сходящаяся
к функции f.
7* 195
(б) Предел монотонно невозрастающей последовательности pv плюрисуб-
гармонических функций есть плюрисубгармоническая функция.
Доказательство см. в [В9], пп. 9.6, 10.9.
Для гладкой вещественной функции / условие плюрисубгармоничности
в действительности представляет собой некое локальное требование на функ-
функцию в каждой точке. В связи с этим будем говорить, что матричная функ-
функция и (z)==(m,-a (г))у. *=i п в области D — положительного типа, если при
любом z ? D матрица и (г) удовлетворяет условию положительной определен-
определенности
2 Ujk(z)ajak^:0 при всех а?С". E.47)
/, ft=l П
Аналогично будем говорить, что матричное распределение ф(г) =
== (срд (г))д *= i „ с матричными элементами из пространства &)'(D) — по-
положительного типа, если
2 \ ф/*(г)uJk(z) \d"zd"z\^0 E.48)
/. ft
для всех матричных функций и (г) положительного типа с матричными эле-
элементами класса S)(D).
Предложение 5.21. Вещественная дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая функция p(z) в области Da С является плюрисубгармонической в точ-
точности тогда, когда матричная функция {djdkp(z))—положительного типа.
^ Случай произвольной размерности п легко следует из я=1, поэтому мы предположим,
что D есть область в комплексной плоскости С. Определим две функции
2п 2Я
/(г; /•)=» р \z-\-re ) rfi<p, J (г; г) = 4\ ddp(z-j-re )dx<p
' - 0 0
при z?D, 0 < г < tt(z, dD). Функция I (w; г) дважды непрерывно дифференцируема по г
и удовлетворяет «начальным условиям»
дг
Учитывая, что 4дд =-—--\-г~ 1-д—\~г~* 2 , получаем соотношение между I(w; г)
и J (ш; г):
дгг
откуда следует
дг
(г; г) = Г — J (г; /¦') d/-'. E.49)
Предположим, что дд f (z)^sO, тогда /(г; г)ЗгО и (в силу E.49)) / (г; г) не убывает
с ростом л, что вместе с «начальным условием» влечет выполнение условия субгармонич-
субгармоничности E.38) при всех z?D и r_< d{z, dD). Обратно, пусть_ р (г) субгармонична. Будем
доказывать положительность ддр (г) от противного. Если ддр (г) < 0 в некоторой точке
z = w, то J (w; 0) < 0. Тогда из E.49) следует, что -г- / (w; г) < 0 при 0 < г < r0 (w), где
г0 (w) — некоторое положительное число, так что для таких г I (w; г) < I (w; 0) = p@), что
находится в противоречии с условием субгармоничности E.38). ^
У п раж не н ие 5.13. Доказать, что функция р (г) = | г |2 (в С") является плюрисуб-
плюрисубгармонической. (Указание: воспользоваться предложением 5.21.)
Предложение 5.21 подсказывает способ характеристики плюрисубгар-
монических функций в терминах распределений. Будем говорить, что веще-
вещественное распределение p(z)??D {D) в области DczC плюрисубгармонично,
если матричное распределение (djdkp(z))—положительного типа.
196
Предложение 5.22. Формула типа E.30) (или E.456)) устанавливает
взаимно однозначное соответствие между плюрисубгармоническими функциями
в области Da С", не равными тождественно —оо, и плюрисубгармони-
ческими распределениями в D.
По поводу доказательства см. [В9], п. 10.10.
Предложение 5.22 позволяет отождествить плюрисубгармонические (в об-
области D) функции, не равные тождественно —сю, и плюрисубгармонические
распределения.
Упражнение 5.14. Пусть ф (z')=(cpy(z'))/=1 п есть голоморфное отображение об-
области GaC^ в область DcC" (т. е. ц> есть векторная голоморфная функция в области G со зна-
значениями в D) и пусть р есть плюрисубгармоническая функция в области D. Доказать, что
р(<р(?)) есть плюрисубгармоническая функция в области G. (Указание: достаточно рассмотреть,
случай р=?—оо. Если р — гладкая функция, можно воспользоваться предложением 5.21..
Общий случай сводится к случаю гладкой функции р с помощью предложения 5.20.)
5.2. ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ
А. Голоморфная выпуклость. Область D в С" называется голоморфно вы-
выпуклой, если всякое Ж (О)-ограниченное замкнутое в D подмножество
является компактом. Как мы увидим далее, это понятие равносильно поня-
понятию области голоморфности.
Условие голоморфной выпуклости, очевидно, означает также, что замыка-
замыкание в С" любого Ж (О)-ограниченного множества /CcD не пересекается
с границей dD области D, что в свою очередь эквивалентно положитель-
положительности расстояния
( i ?, \1/2 ^
d(K, дО) = Ы \\г—w\= 2 \zj~wjT) ¦ г€#, w?dD} E.80)
v \/ = i / J- "
между К и dD. Отсюда непосредственно вытекает следующий,,вывод.
Лемма 5.23. Для голоморфной выпуклости множества Dcz С" необходимо
и достаточно, чтобы для любой точки w?dD и любого' множества KcD,
замыкание которого в С" содержит w, существовала функция f ? Ж (D)
такая, что
llm |/(z)j = oo. E.51)
z -> w, w G К
Упражнение 5.15. Доказать, что всякая область D в комплексной плоскости С
голоморфно выпукла. (Указание: условие E.51) выполняется при f(z)=(z—w).)
Упражнение 5.16. Доказать, что прямое произведение GxG'dCn двух голоморфно
выпуклых областей GczCk HG'cCn~k голоморфно выпукло. (Указание: если /Сесть ^f(GxG')-
ограниченное множество, то функции из Ж (GXG'), зависящие только от проекции точки из
QXG' на G, ограничены на К- Вывести отсюда/^что расстояние между проекцией К на G и dG
положительно. Точно так же расстояние между'проекцией К на G' и dG' положительно.)
Упражнение 5.17. Доказать, что любая связная компонента G пересечения голо-
голоморфно выпуклой области DczC" с любой комплексной плоскостью в С" голоморфно выпукла.
(Указание: на любом Ж (О)-ограниченном множестве ATcG функции из Ж(Щ ограничены»
и потому d (К, dD)>0; с другой стороны, d (К, dG)^d (К, dD).)
Согласно следующему упражнению голоморфная выпуклость есть обобще-
обобщение выпуклости.
Упражнение 5.18. Доказать, что всякая выпуклая область DaCn голоморфно вы-
выпукла. (Указание: если w?dD и Re (а, г—ю)=0 есть уравнение опорной гиперплоскости через
эту точку *), то функция /(z)=(a, z—w)~1 голоморфна в D; далее применить лемму 5.23.)
В предыдущих упражнениях использовалась «достаточность» из леммы 5.23; часть (б)
следующего упражнения 5.19 опирается на «необходимость».
Упражнение 5.19. (а) Пусть <?\, ..., ?Сtt~конечное множество линейных под-
подпространств в ЛВП Ж, ни одно из которых не совпадает с Ж', и пусть 2/v есть допол-
*) Через произвольную точку границы выпуклой области (вещественного) евклидова
пространства можно провести так называемую опорную гиперплоскость, обладающую тем
свойством, что данная область целиком заключена по одну сторону от нее ([Ш5], с. 85).
197
к
нение к J2?v B ??¦ Доказать, что Г) &v плотно в ?С. (Указание: для конечномерного
v= 1
пространства, скажем Ск, это утверждение элементарно*); его легко также вывести из
теоремы 1.3 Бэра «о категории»; разумеется, вывод остается справедливым, если вместо
линейных подпространств выбираются плоскости в С". При доказательстве общего случая
фиксировать «v€2/v (v=l, ..•, k), тогда произвольный элемент и?&'# можно с любой
к
к
точностью приблизить суммами вида «(с) s«-j- V с «v? П &v при достаточно малых
v=
cv?C, поскольку множества {с: и(с)?.?\,} являются плоскостями в СА, отличными от С*.)
(б) Пусть S —произвольное конечное множество границы голоморфно выпуклой области
¦D. Доказать, что множество всех функций / ? ffl (D), удовлетворяющих условию
iim |/B)| = 00 при всех w?S, плотно в Ж (D).
&D
ш,
(Указание: при S = {ta<1), .. .,!»<*>} определить ?С\ как множество функций из^(О), для
которых lira | / (z) I <оо; оно не совпадает с $? (D) согласно лемме 5.23. Восполь-
2-*»М, 2 6 D
зоваться далее частью (а) данного упражнения, заметив, что интересующее нас множество
функций из Ж (D) есть П &v, где g/v = Ж (D)\^v .)
v= I
Следующая теорема дает ряд эквивалентных описаний областей голо-
голоморфности. При этом точка w границы области D называется барьерной
для D, если существует функция / ? Ж (D), не допускающая непосредст-
непосредственного аналитического продолжения в точку w (т. е. не допускающая не-
непосредственного аналитического продолжения ни в какую окрестность в С"
Точки w). Такая функция называется барьером в точке w для области D.
Теорема 5.24. Следующие условия на область D в С" эквивалентны.
(a.l) D есть область голоморфности.
(а.2) Каждая точка w?dD является барьерной для D.
(а.З) D не допускает нетривиальных голоморфных расширений ни в ка-
какую другую область в С".
(а.4) D голоморфно выпукла.
(а.5) Существует функция f?S%(D) такая, что
Ш |/(г)|=оо E.52)
г~> w, z€ D
для любой точки w?dD.
¦^ Импликации (а.1) => (а.2) =5> (а.З) тривиальны.
(а.З) => (а.4). Пусть К С D — произвольное,%" (Д)-ограниченное подмножество. Согласно
упражнению 5.2 существует полирадиус р > 0 такой, что D голоморфно расширяется в лю-
любой поликруг полирадиуса р с центром в произвольной точке из К- Из условия (а.З) сле-
следует, что любой такой поликруг содержится в D, так что К имеет положительное расстоя-
расстояние до dD. Отсюда следует (а.4).
(а.4) => (а.5). Пусть D — область голоморфности. Зафиксируем счетное плотное в 3D
множество точек {uf~k)}k=i, 2,... из dD и возрастающую последовательность компактов
QkCZD, внутренности которых покрывают D. Введем обозначение V% = {f?ffi (D): ||/|| ft<s}.
Сопоставим каждому k?Z+ число /j.^Z'+, функцию fk?.!?t' (D), число 8*. > 0 и конечное
множество точек S^czD следующим рекуррентным образом. Выберем /0, /0, So и г0 произ-
произвольными. Считая jk-i, fk-i, Sjt_i и S?_i уже выбранными, в качестве /^ возьмем число,
большее jjt-i и такое, что S^-iC Q/u- Согласно упражнению 5.19 (б) множество функций
f?ffi(D) таких, что E.51) выполнено при w = xdV), а/2' а/*', плотно в Ж (Р). В ка-
качестве /j. мы выберем такую функцию; при этом потребуем, чтобы fk^fk-i~h^ift~1- В ка-
k — 1
честве е^ выберем 8^ < eft_j так, чтобы /й + К;-* ?/й -\-V^-k~1. Будем считать выполненным
условие 8ft—> 0 при k—(-от. Наконец в силу того, что /^ удовлетворяет условию типа
E.51) при ai = a>A), ..., 0)(ft), можно выбрать конечное множество точек S^cD такое, что
Sk) < l/k при /= 1 k E.53)
|/ft (г) I >k при z?Sk. E.54)
*) В этом случае оно, конечно, справедливо и для счетного семейства подпространств.
198
По построению последовательность /д. фундаментальна и, следовательно, имеет предел f
b%(D). Из E.54) следует min \f(z)\—-+00 при k~> оо, что вместе с E.53) доказы-
zgS
вает E.52).
(а.5) ==> (а.1). Покажем, что D является естественной областью голоморфности для-
функции / из условия (а.5). Для этого достаточно убедиться, что всякое непосредственное
аналитическое продолжение /' функции f по маршруту (D, D12, D') тривиально. Будем счи-
считать, что Di2 — связная компонента D[)D', а ?>12 — ее замыкание в С"; тогда D12 =
= TJi2r\D'(]D. Поскольку f = f в D12, то / непрерывно продолжается в замыкание D12(]D'
в D' области D12. Из условия (а.5) следует, что это замыкание не содержит точек из D,
так что D12[)D'= DizftD'[)D = D12. Это доказывает, что открытое множество D12 замк-
замкнуто в D' и (в силу связности D') совпадает с D'. Доказано, что ?>' с D и f' = f в D'. ^>
Упражнение 5.20. Доказать, что любая связная компонента D внутренности пе-
пересечения произвольного семейства {D^}isA областей голоморфности есть область голо-
голоморфности. (Указание: любое непосредственное голоморфное расширение области D является
голоморфным расширением для D^ при любом X и потому тривиально.)
Упражнение 5.21. Доказать, что любая связная компонента D' пересечения Df]t
области голоморфности D с С" с й-мерной комплексной плоскостью I в С" есть область
голоморфности (в /). (Указание: произвольное $f? (-О')-ограниченное замкнутое в D' под-
подмножество KcD' является ffl (О)-ограниченным и замкнутым в D и потому компактно.)
Упражнение 5.22. Пусть <р — голоморфное отображение области голоморфности
ЙсС* в С" и D — область голоморфности в С". Доказать, что любая связная компо-
компонента Q' открытого множества ф (D) с й есть область голоморфности. (Указание: доста-
достаточно доказать, что произвольное §f? (й')-ограниченное замкнутое в Q' подмножество К
компактно. Из $? (й)-ограниченности К следует d (К, dQ) > 0, поэтому остается доказать
замкнутость К в Q. Доказывать от противного: предположить, что существует последова-
последовательность ?<v) ?К, сходящаяся к некоторой точке ?<°°>?ЙПдй', тогда g<°°) ^ ф-1 (D). С дру-
другой стороны, последовательность ф(?(г))?1> сходится к ф (?(в°')?Сп. Из ограниченности К
функции вида /(ф(?))> где f?3%(D), заключить, что ф (К) имеет положительное расстоя-
расстояние до dD и прийти к противоречию: ф (?(OO>)?D)
Б. Псевдовыпуклость. Обратимся к характеристике областей голоморф-
голоморфности в терминах плюрисубгармонических функций. Пусть 9* (D) есть про-
пространство всех плюрисубгармонических функций в области D с С". Под-
Подмножество KcD назовем 3* (В)-ограниченным, если любар-функция из !P(D),
ограничена сверху на К- -'^
Упражнение 5.23. Доказать, что всякое ff* (О)-ограниченное множество ограниче
но. (Указание: воспользоваться упражнением 5.13.) , -
Область DcC называется псевдовыпуклой, если всякое ^(^-ограни-
^(^-ограниченное замкнутое в D подмножество является компактным. Это означает,
что расстояние d(K, dD) от любого 3*(^-ограниченного множества KciD
до границы области положительно.
Упражнение 5.24. Доказать, что всякая область голоморфности псевдовыпукла.
(Указание: воспользоваться голоморфной выпуклостью области голоморфности и упражнением!
5.11(а).)
Пусть G есть произвольная ограниченная область в комплексной пло-
плоскости С (с замыканием G) и [0, 1] — отрезок вещественной прямой. Будем
рассматривать непрерывные отображения
<р: Gx[0, 1] —С" E.55)
такие, что ср(?, t) голоморфна по ^G при любом t? [0, 1]. Если область
D<zC обладает тем свойством, что для любого такого отображения ср из
условий
(p(Gx{0})cD и cp((dG)x[O, l])cD E.56)
следует всегда
cp(Gx[O, 1])сД E.57)
то мы будем говорить, что для области D справедлив принцип непрерыв-
непрерывности.
Теорема 5.25. Для области D^C" следующие условия эквивалентны.
F.1) D псевдовыпукла.
199
F.2) Для D справедлив принцип непрерывности.
F.3) Для любого ненулевого вектора Ь?С" функция —\nRb(z, dD)
плюрисубгармонична в D (где Rb (z, 3D) есть расстояние по лучу СЬ от г
до dD; см. E.42)).
F.4) Функция —ln<iB, dD) плюрисубгармонична в D.
F.5) Существует плюрисубгармоническая функция p(z) в области D
такая, что
lim p(z) = +oo E.58)
г-t-w, zeO
¦для всех w?dD.
¦^ F.1) => F.2). Пусть D — псевдовыпуклая область. Рассмотрим непрерывное отобра-
отображение E.55), голоморфное по ? и удовлетворяющее условиям E.56). Покажем, что усло-
условие E.57) также выполнено. Посредством Т обозначим множество всех t?[0, 1] таких, что
<p(GX[0, (J) с D. Очевидно, оно непусто (так как OgT) и открыто в [0, 1]. Покажем, что
оно замкнуто. Очевидно, для доказательства того, что (p(GxT')c D, достаточно убедиться,
что множество tp(GxT) 5s (О)-ограничено (так как тогда оно имеет положительное рас-
расстояние до dD). Пусть р— произвольная функция из^> (D) и M=sup {р (г): г?ф ((dG)X[0, 1])}
(М < оо в силу компактности множества <p((dG)X[O, 1])). Тогда (согласно упражнению 5.14)
Тгри любом t?T функция р (ф (X, t)) плюрисубгармонична по X?G и полунепрерывна сверху
на G. На основании упражнения 5.10 отсюда заключаем, что sup р (ф (X, t)) < М при всех
_
?. Это доказывает, что множество ф(ОхТ') 93 (О)-ограничено. Таким образом, Т есть
непустое открытое и замкнутое подмножество в [0, 1]. В силу связности [О, 1] отсюда сле-
следует, что оно совпадает с [О, 1].
F.2) =ф (б.З). Легко видеть, что функция —In /?t, (z, dD) полунепрерывна сверху в D
(для любой области D). Поэтому плюрисубгармоничность этой функции (означает следую-
следующее. Для любых точек z?D, а<?Сп таких, что z+Sa€-D ПРИ всех ? из замкнутого круга
G cz С с центром в нуле и с радиусом 1, и для любой функции Л @, аналитичной в G и
непрерывной в G, из условия Rb{z-\-t,a, dD)^\eh^\ при всех ??dG следует ^(г + ^й,
\h{^\ при всех ??G, т.е. из условия z-\-l,aJreh'^b^D при всех ??dG следует
при всех ??(Г. E.59)
Положим ф (?, t) = z-\-Z,a-\-teh&'1 при ??G, 0<<<1. По построению функция ф удо-
удовлетворяет условию E.56), а так как согласно F.2) для области D справедлив принцип
непрерывности, то ф удовлетворяет условию E.57), что, очевидно, эквивалентно E.59).
F.3) =ф F.4). Функция —• lnd(z, dD) непрерывна в D (для любой области D). Кроме
того, она, очевидно, связана с функцией -—In i?^ (z, dD):
— \nd{z,dD)= sup ( —ln#b(z, dD)).
bee, | ь| = i
Теперь F.4) есть непосредственное следствие F.3) (и упражнения 5.11).
F.4) ==> F.5). В качестве р (z) достаточно взять —In d(z, dD).
Импликация F.5) => F.1) тривиальна. >
Оказывается, условие псевдовыпуклости эквивалентно условию голо-
голоморфной выпуклости (и, значит, все условия (а.1)—(а.5) и F.1) — F.5) из
теорем 5.24 и 5.25 эквивалентны между собой).
Теорема 5.26. Для того чтобы область DcC" была областью голо-
голоморфности, необходимо и достаточно, чтобы она была псевдовыпуклой.
Это утверждение носит название теоремы Ока. По поводу «необходимости» см. упражне-
упражнение 5.23. Доказательство «достаточности» приведено в [Ш1], п. 45.
Упражнение 5.25. Доказать, что объединение D= \JDV возрастающей последова-
v
тельности областей голоморфности Dv cC" есть область голоморфности. (Указание: применить
критерий F.4) из теоремы 5.25. Воспользоваться тем, что d(z, dD) при z^D есть предел моно-
монотонно неубывающей последовательности d(z, dDv), и предложением 5.20F).)
В. Модифицированный принцип непрерывности. Образ ограниченной об-
области (скажем, круга) GcC при голоморфном отображении в С можно нагляд-
наглядно представлять себе в виде диска в С". Тогда принцип непрерывности означает,
что если начальный диск содержится в области голоморфности D, а затем под-
подвергается непрерывной деформации (в том же классе «аналитических дисков»)
таким образом, что его граница все время остается в области D, то и конечный
диск целиком содержится в D.
200
Мы приведем еще модификацию принципа, когда вместо условия, что гра-
граница конечного диска заключена в D, накладывается более слабое требование:,
конечный диск пересекается с D. Зато мы дополнительно потребуем, чтобы
деформация была вещественно аналитичной по параметру деформации t. За-
Заметим, что комплексная размерность области G (прообраза «диска») на самом
деле может быть произвольной, а не только равной единице (точно так же прин-
принцип непрерывности в п.5.2.Б справедлив для областей голоморфности D при.
любой комплексной размерности G).
Итак, пусть G-—произвольная область в С. Будем рассматривать ото-
отображения
<р: Gx[0, 1] —С", E.60)
которые являются сужениями голоморфных отображений q>: й —»• С", опре-
определенных в некоторой области QczC*+1, содержащей Gx[0, 1]. Если для
любого такого отображения q> из условий
q>(Gx[0, 1))сД <p(Gx{l})(]D^0 E.61)
(где D—область в С") всегда следует, что
q>(Gx {l})c=D, E.62)
то мы говорим, что для области D справедлив модифицированный принцип
непрерывности.
Теорема 5.27. Для любой области голоморфности DaC" справедлив,
модифицированный принцип непрерывности.
¦^ Пусть <р есть отображение E.60) указанного выше класса, обладающее свойством E.61)
Посредством G' обозначим множество всех точек ??G таких, что ф(?, l)?D. По условию эта
множество непусто; очевидно, оно открыто. Достаточно доказать, что G'=G. Будем действовать..
методом от противного. Ввиду связности G предположение от противного означает существова-
существование точки a?G' такой, что d(a, dG') < d(a, dG). Положим r'=d(a, dG') и выберем г из
условия г' < r<d{a, dG) и так, чтобы область Q с С*+1 (в которой по условию опреде-
определено отображение ф: Q-—> С") содержала прямое произведение S (a, r)XS(l, г), где
S(a, г) — открытый шар в С* с центром в точке а и с радиусом г, а S(l, e)—открытый
круг в С с центром в точке 1 и с достаточно малым радиусом е > 0. Посредством Й' обо-
обозначим связную компоненту пересечения (р~г (D) с S (а, г)х5A, е), содержащую точку
(я, 1); это область голоморфности (согласно упражнению 5.22). В силу условия E.61) (и по.
построению а, г, г') область Q' содержит множества S (а, г')х{1} и S {а, л)х{/} при всех
t?(l—е, 1). Кроме того, граница множества Q' содержит точку (w, 1) такую, что
\w—a\ = r'. Положим Ь=(—Г (ю—а), 0 j?C*+1, и пусть Rt, ((?, /), dQ') есть расстояние
по лучу СЬ от точки (?, t)?Q' до границы дп'. Тогда по построению имеем
Rb ((a, 1), dQ') = r', Rb ((a, t), dQ') > r > г' при 1-е < t < I.
С другой стороны, по теореме 5.25 —In Rt, ((?,, t), dQ') есть плюрисубгармоничеекая функ-
функция в Q', поэтому на основании предложения 5.18 можно написать
ЙпГ (— In Rb ((a, t), dQ'))=— In Rb ((a, 1), dQ'),
t-*\, 1 - 8 < t < 1
откуда следует противоречие: r = r'. ^¦
Заметим, что имеет место и обратное утверждение к теореме 5.27: если для области DaCn
справедлив модифицированный принцип непрерывности (хотя бы при комплексной размерности
1 для областей G), то D есть область голоморфности. Действительно, из справедливости модифи-
модифицированного принципа непрерывности непосредственно следует несколько ослабленный ва-
вариант принципа непрерывности, чем в П.5.2.-Б, когда на отображение ф E.54) дополнительно
накладывается условие вещественной аналитичности по параметру деформации t. А поскольку
в доказательстве импликации F.2) =-> (б.З) используются именно такие (и даже линейные по
О деформации, то ясно, что условие (б.З) выводится из модифицированного принципа непре-
непрерывности.
В качестве примера применения теоремы 5.27 рассмотрим ситуацию,
в которой имеет место (локальная) насыщенность области голоморфности
относительно голоморфного отображения.
Предложение 5.28*). Пусть D—область голоморфности в С" и
/—голоморфная функция в некоторой окрестности точки w?dD такая, что,
*) Это предложение близко к лемме 3.5 Эпштейна A966).
201
1
f{w)?R и д^(хю)фО хотя бы при одном значении / = 1, ...,п. Кроме
того, пусть
f4C\R)D E.63)
Тогда существует окрестность Q точки w такая, что
= /-1ИПЙ, где ив/фпО). E.64)
•^ Будем считать, что dnf (w) Ф 0. Так как доказываемое утверждение носит локаль-
локальный характер, то в окрестности точки w можно совершить биголоморфную замену коорди-
"нат (т.е. голоморфное отображение с голоморфным обратным отображением) (zi, ..., zn_i,
'Zn)—>¦ (zj, .... гп_1, /). Таким образом, без существенного ущерба для общности можно
считать, что f(z) = zn. Условие E.63) означает, что существует поликруг й = Р@; р) =
= S @, р]) X. • • X S @, р„) в С" с центром в 0 такой, что все его точки г с Im г„ Ф О
принадлежат D. Обозначим G = S@, pi)X- •• XS@, pn_i) cr С1». Предложение будет
доказано, если мы убедимся, что для любой точки a?Df\Q с а„?/? все точки вида
(zx zn_i, а„)(?Й (с фиксированной координатой г„ = а„) принадлежат ?>. С этой целью
обозначим G = S@, px)X.--XS@, pn_!)c:Cn, ? = (zi, ..., 2n_i) и введем отображение
<р(?, 0 = (гь •••> г«-1. а„ + «8A — <)). где ?^G, 0<<<1. Тогда при достаточно малом
S > 0, очевидно, выполнены условия E.61). Из теоремы 5.27 теперь следует результат:
)E 1)€?> >
Г. Однолистные оболочки голоморфности. Для области DaC" введем
объединение
D={]D' E.65)
всех областей D'aC", в которые D допускает голоморфные расширения;
назовем область D голоморфным контейнером области D. Произвольная функ-
функция f?Ж(Р) допускает аналитическое продолжение в каждую из облас-
областей D', однако не исключена возможность, что она не определяет одно-
однозначной функции в D. Для трактовки таких многозначных функций следует
вместо D ввести некоторую «многолистную область», которая накрывает D.
Напротив, если оказывается, что произвольная функция f?ffl(D) имеет
однозначное аналитическое продолжение в D, то в этом случае мы называем
множество D однолистной оболочкой голоморфности области D и обозна-
обозначаем его посредством Н(D).
Следует иметь в виду, что произвольная область в С" имеет оболочку голоморфности —
вообще говоря, многолистную,— но не всякая область имеет однолистную оболочку голоморф-
голоморфности. Поэтому ниже, говоря о существовании H(D), мы имеем в виду однолистную оболочку
голоморфности.
Очевидно, Н (D) является максимальным голоморфным расширением об-
Ласти D. Поскольку всякое голоморфное расширение области H(D) является
голоморфным расширением и для D, то (ввиду того, что Н (D) есть максималь-
максимальное голоморфное расширение D) оно тривиально. Следовательно, Я (D) есть
область голоморфности. С другой стороны, если Q есть любая другая область
голоморфности в С", содержащая D, то она содержит и H(D) (так как любое
голоморфное расширение области D в область D' есть голоморфное расшире-
расширение и для Q и, значит, тривиально). Таким образом, имеет место следующее
утверждение.
Предложение 5.29. (а) Однолистная оболочка голоморфности
H(D) есть область голоморфности, содержащая D и являющаяся голоморфным
расширением для D.
(б) Однолистная оболочка голоморфности Н (D) области Da С" (если
она существует) совпадает с пересечением всех областей голоморфности в С",
содержащих D.
Имеется простой достаточный признак существования Н (D).
Предложение 5.30. Пусть область DaC" голоморфно расширяется
в каждую из областей Z\ из некоторого семейства {?>х}я.ел такого, что
объединение (j/\ есть односвязная область голоморфности, содержащая D.
Тогда однолистная оболочка голоморфности существует и совпадает с (J Di.
л
202
В частности, если голоморфный контейнер D области D односвязан, то от
является однолистной оболочкой голоморфности для D.
Это предложение есть непосредственное следствие предложения 5.29 и замечания а
П.5.1.В.
Упражнение 5.26. Пусть H(D) существует.
(а) Доказать, что для любого компакта К С И (D) существует такой компакт К' С ?>»
что || /1|* < || / ||*' для всех f?,9t?(H(D))- (Указание: с помощью теоремы о замкнутом гра-
графике убедиться, что аналитическое продолжение Ж(Щ-—* SK (H {D)) есть непрерывный
оператор и, следовательно, для любого компакта К С Н (D) выражение ||/||* определяет
непрерывную полунорму на ffl (D). Дальнейшая аргументация такова же, как в предло-
предложении 5.4.)j
(б) Пусть К\ —возрастающая последовательность компактов в D, внутренности кото-,
рых покрывают D, и пусть Kv = {z?H (D): | / (г) | < Ц f ||*v для всех f€.3%(H(D)}. Дока-
Доказать, что К\ есть возрастающая последовательность компактов в Н (D), внутренности ко-
торых покрывают Н (?>). (Указание: воспользоваться частью (а) упражнения.)
Приведем ряд простых свойств оболочек голоморфности.
Упражнение 5.27. (а) Пусть D^aD^—две области в С". Если Н (Dx) и Н (D2)
существуют, то Н (Dx) с Н (Ь2).
(б) Доказать, что оболочка голоморфности ограниченной области ограничена. (Указа-
(Указание: применить часть (а) данного упражнения к случаю, когда D2 есть шар.)
(в) Пусть (D^ есть некоторое семейство областей, для которых Н (DA существуют,
и пусть D есть некоторая связная компонента внутренности их пересечения. Доказать,
что если Н (D) существует, то она содержится в [\Н (DA. (Указание: воспользоваться
частью (а) данного упражнения.)
(г) Пусть Q есть связная компонента пересечения области D С С" с некоторой й-мер-
ной комплексной плоскостью iczC" и пусть Н (?>) и Н (й) существуют. Доказать, что
Я (Q) с Н (D)П /. (Указание: согласно упражнению 5.21 Н (D)[\l есть область голоморф-
голоморфности в /, содержащая Q.)
Упражнение 5.28. (а) Пусть D=(J^v есть объединение возрастающей последо-
последовательности областей, для которых Н (Dv) существует. Доказать, что Н (D) существует и
совпадает с U^(^v)- (Указание: воспользоваться упражнением 5.25.)
V
(б) Пусть Di с С* и Dj с Cn~k—две области, имеющие однолистные оболочки голо^
морфности Н (Dj) и Н (?>2). Доказать, что Я (DiXO8) существует и совпадает с Н (?>Х)Х
ХН (D2). (Указание: в силу упражнения 5.16 достаточно доказать, что всякая функция
f(Z> ?')€•%" (DiXD2) имеет однозначное аналитическое продолжение в Н (D^xH (D2). Это
продолжение можно выполнить в два этапа: сначала по первому аргументу SeZ^i в об^
ласть Н (D{) при ?'??>2, затем по второму аргументу ?'??>2 в Н (D2) при фиксированном
??# (?>!). То, что при таком продолжении, скажем на первом этапе, получается аналити-
аналитическая функция в //(D1)x?>2. можно извлечь из предложений 5.13 и 5.14: для этого до-
достаточно трактовать ?' как аргумент голоморфного распределения / (?, ?'), а ?—как пара-»
метр аналитического продолжения.)
В следующем предложении утверждается, что процесс голоморфного рас-
расширения области может протекать только через точки границы, не являющиеся
барьерными. (Этот факт, конечно, нельзя назвать неожиданным.)
Предложение 5.31. Пусть для области D существует H(D). Тогда
множество барьерных точек для D совпадает с пересечением границ областей D
и H(D).
•^ Если точка w?dD является внутренней для Н(D), то она входит в Н(D) вместе е не-
некоторой окрестностью, куда все функции из ,%"(?>) непосредственно аналитически продолжаются.
Поэтому такая точка не барьерна для D. Если точка w?dD является граничной для H(D), то
(согласно критерию (а.2) теоремы 5.24) она барьерна для Н (D). Методом от противного нетрудно
убедиться, что w является барьерной и для D. ^¦
Очевидно, операция аналитического продолжения «коммутирует» с алгеб-
алгебраическими операциями над функциями (а также с дифференцированием по
аргументу). Отсюда вытекает следующий вывод.
Упражнение 5.29. Доказать, что всякая функция, аналитическая в области D,
не принимает в H(D) новых значений *). (Указание: если f{z)^=c в D, то функция (/(г)—с)-1
голоморфна в D.)
*) Для векторных аналитических функций подобное утверждение было бы, вообще говсь
ря, неверным (при D=?H{D) контрпримером может служить век-юрная функция /(г)=г).
203
Результат упражнения 5.27(г) допускает обобщение на случай пересечения плоскости /
'с Границей области. Для простоты выберем специальные координаты, представляя С"
в виде произведения С" = СкУ.Сп~к и считая, что плоскость / имеет вид
/=C*X{g}, E.66)
где |—фиксированная точка из /?"-*. Подобно тому как это делалось в п. Б.4, мы счи-
считаем, что область DczC" прилегает к области Q с / со стороны iS (где S—выпуклое
множество в /?*Х{0}, граница которого содержит 0), если для любого компакта (?сйи
любого усеченного конуса Кг СГ 5 с компактным замыканием в SU{0} существует р?@, г)
такое, что Dz^Q-\-iKp-
Упражнение 5.30. Пусть область D в С" прилегает к области Q на й-мерной
комплексной плоскости E.66) со стороны iS. Если Н (D) и Н (Q) существуют, то Н (D)
также прилегает к Я (Q) со стороны iS. (Указание: объединение всех областей в /, к ко-
которым Н (D) прилегает со стороны iS, есть, очевидно, открытое множество в /, к которому
>Н (?>) прилегает со стороны iS. Пусть Q' есть связная компонента этого объединения,
содержащая Q. Достаточно доказать, что Q' есть область голоморфности (в /). Можно вос-
воспользоваться критерием F.2) из теоремы 5.25, для чего к произвольному отображению
ф: Gx[0, 1]—> I, фигурирующему в принципе непрерывности, применить сдвиги ф^ (?, i) =
-= ф (?, t)-\-iy с достаточно малыми векторами y?KrCzS.)
Д. Инвариантные области. Голоморфные отображения областей также ана-
аналитически продолжаются в оболочки голоморфности. Действительно, пусть
D'— область в С, для которой однолистная оболочка голоморфности H(D')
существует, и пусть q>: D'—>- С" — голоморфное отображение. Тогда любая ком-
компонента q>j(Q (/=1, . . . , п) продолжается (однозначно и) аналитически в об-
область Яф') и тем самым определяет голоморфное продолжение ср: Н(D1) ->• С".
Предположим дополнительно, что образ D' при отображении q> содержится
в области!?с:С", для которой Н(D) существует. Оказывается, тогда ср(Н{D'))с
с=Я(?)). Для доказательства введем множество Q всех точек ?,? H(D') таких,
что ф(?)€ H{D). Очевидно, это множество непусто (ибо содержит D') и откры-
открыто. Для доказательства замкнутости Q в Н(D') рассмотрим множество /Сточек
произвольной последовательности в Q, сходящейся к некоторой точке ?<со'?
€ Я (?>'). Тогда множество <р(К) является Ж (Я (?)))-ограниченным (ибо для
любой функции 1^Ж{Н{?))) функция /(ср(О) принадлежит Ж(Н{р')) и, зна-
'чит, множество чисел /(ф(/С)) ограничено). Поэтому ф(/С) имеет положитель-
положительное расстояние до дНф) и предельная точка ф(?(со)) принадлежит H(D). Это
означает, что множество Q еще и замкнуто в Нф') и потому совпадает с Я(?>').
Тем самым доказано следующее утверждение.
Предложение 5.32. Пусть ф есть голоморфное отображение из
области D'aCk в область Da С" и пусть Я (?)') и Я (D) существуют. Тогда
Ф допускает однозначное продолжение до голоморфного отображения из
области Я (?)') в область H(D).
Следствие 5.33. Пусть H{D) существует. Тогда действие произволь-
произвольной группы G аналитическими преобразованиями на область D (однозначно)
продолжается до действия группы G аналитическими преобразованиями на об-
область Я(D).
Другими словами, оболочка голоморфности Я (D) наследует свойства сим-
симметрии области D.
Рассмотрим несколько иллюстраций к предложению 5.32 и следствию 5.33.
Трубчатые области — это области в С", инвариантные относительно
группы R" вещественных трансляций.
Предложение 5.34. Однолистная оболочка голоморфности Я(D) про-
произвольной трубчатой области D^lC" существует и совпадает с выпуклой
оболочкой области D.
¦^ Пусть а$ (D) есть семейство всех областей D'aC", в которые D голоморфно
расширяется, и пусть D—[]D'. Без существенного ущерба для общности можно предпо-
предполагать, что D' — выпуклая область (так как произвольная область есть объединение своих
выпуклых подобластей). Далее, можно считать, что D' — трубчатая область. Действительно,
'если D'—выпуклая область из a$(D), то при любом a?Rn область a-\~D' также принад-
принадлежит aS(D). С помощью предложения 5.10 отсюда нетрудно сделать вывод, что трубча-
трубчатая область U (a-\-D') также принадлежит q$(D).
204
Пусть теперь Dt и D2—две выпуклые трубчатые области из aS(D), имеющие непустое
пересечение. Кроме того, мы предположим, что эти области (вместе с их пересечением D12)
составляют звено (Dlt D12, D2) некоторого маршрута голоморфного расширения области D
в область D2. Тогда из части (б) упражнения 5.7 следует, что область D голоморфно расширя-
расширяется в трубчатую область, являющуюся выпуклой оболочкой D1\JD2.
Наконец, рассмотрим произвольный маршрут E.21) голоморфного расширения области
D. Согласно сказанному выше, все фигурирующие здесь области, за возможным исключением
исходной области D=Dlt можно считать выпуклыми трубчатыми. Тогда (индукцией по N) за-
заключаем, что выпуклая оболочка объединения этих выпуклых труб также принадлежит v?(D).
Возьмем теперь какой-либо другой маршрут (D=Dlt D'12, D'it . . .). Ввиду связности D мы можем
без ущерба для общности считать, что D12 и D'12 имеют непустое пересечение. То же рассуж-
рассуждение показывает, что выпуклая оболочка объединения труб D12, D2, . . . , D^, D'12, D2, . . .
.. . , Dn также принадлежит &fl(D). Это означает, что область D есть выпуклая труба и, зна-
значит, область голоморфности и что в результате аналитического продолжения любой функции из
ЖФ) мы получаем однозначную аналитическую функцию в Ъ. Это показывает, что D есть
однолистная оболочка голоморфности для D. ^
Запишем произвольную точку из С' в виде (г, ?), где z^C", ?6 С
(тем самым С" отождествлено с прямым произведением С"~1хС). Область
DczC" называется полутрубчатой (по переменной ?), если она инвариантна
относительно группы R трансляций (г, ?) —> (г, ?+0> ГДе * — произвольное
вещественное число. Очевидно, область D имеет вид
D={(z, 0€C'<: z?B, a(z)<Im?<P(z)}, E.67)
где В—некоторая область в С, а (г) < |3(г)—-две функции в б со значе-
значениями на [—оо, -| оо) и (—оо, -j--°°] соответственно, причем а (г) полу-
полунепрерывна сверху, а Р(г) полунепрерывна снизу.
Предложение 5.35. Пусть D—полу трубчатая область в С" вида
E.67), где В—область голоморфности в С'. Тогда Н (D) существует и
является полутрубчатой областью вида
Я(Г>) = {(г, 0е&: z?B, a(z)< Im I < ft (г)}, E.68)
где a(z) и b (г) — соответственно плюрисубгармоническая и плюрисупергар-
моническая функции в В, причем a(z)^a(z), fi(z)t^.b(z).
Доказательство см. в [В9], пп.21.4, 21.5. Более полная характеристика функций а(г) и
b(z) в E.68) такова: а(г) есть наибольшая среди плюрисубгармонических функций в 5, ограни-
ограниченных сверху функцией а (г); она называется наибольшей плюрисубгармонической минорантой
функции а (г). Аналогично b(z) есть наименьшая плюрисупергармоническая мажоранта функ-
функции P(z).
Пусть G есть группа U (\)п, элементами которой являются точки со =
= («!, ..., со„) из С" с |соу-| = 1 (при / = 1, ..., я). Она действует на С"
покомпонентным умножением: (сог)^ = соугу-. Всякая U A)"-инвариантная
область в С" называется областью Рейнхарта*). Очевидно, такая область
есть объединение (открытых) множеств вида t/, х . . ¦ х Uп, где Uj есть либо
(открытый) круг, либо (открытое) кольцо в С с центром в нуле. В част-
частности, область в С", являющаяся объединением (открытых) поликругов в С"
с центром в нуле, называется полной областью Рейнхарта. Область Рейн-
Рейнхарта D называется логарифмически выпуклой, если для любого конечного
набора точек zw, ..., z{N)?D и любого конечного набора неотрицательных
чисел ta), ..., tW) с суммой 1 всякая точка z?C" такая, что
1/1П|П, <)
v= I
также принадлежит D. Очевидно, это условие означает, что образ области D
в[—оо, оо)х...х[—оо, оо) при отображении z-^(ln|z1|, ..., ln|zn|)
является выпуклым множеством. Логарифмически выпуклая оболочка произ-
произвольной (полной) области Рейнхарта D (состоящей из точек z ? С", для кото-
которых имеется представление E.69)) есть также (полная) область Рейнхарта.
*) Точнее, это область Рейнхарта относительно начала координат. Транслируя ее на
лр-.извольный вектор а?Сп, мы получаем область Рейнхарта относительно точки а.
205
Предложение 5.36. Однолистная оболочка голоморфности полной
области Рейнхарта DczC" существует и совпадает с логарифмически
выпуклой оболочкой области *).
•^ Покажем, что D голоморфно расширяется в логарифмически выпуклую оболочку
L (?>) области D. Для произвольной точки z?L(D) имеем представление E.69), где zA>, ...
..., z<M??>, а *A), ..., *<Л'> — набор чисел S=0 с суммой 1. Точка z<v) содержится в неко-
некотором поликруге Р @; p(v)), замыкание которого принадлежит D. Следовательно, в Р@; p<v>)
любая функция f?ffl(P) разлагается в ряд Тейлора /(z) = 2caza> коэффициенты кото-
а
рого имеют следующее ограничение сверху:
|Ca|<M<V)/P(v>a при всех a$Z%,
так что
N
« I < м \ П (p<v) ">'(V>1 • где м = П
Ь1 J l
П
v=l
Отсюда следует, что ряд Тейлора сходится в окрестности (фиксированной выше) точки
z?L(D). Тем самым доказано, что всякая функция f?SV(D) допускает аналитическое
продолжение в любой поликруг Р @; p)crL(D). При этом в пересечении двух таких поли-
поликругов аналитические продолжения представляются одним и тем же рядом Тейлора и
потому совпадают. Это означает, что область D голоморфно расширяется в L (D).
Убедимся, что L (D) есть область голоморфности. Пусть D' — произвольная область
в С", лежащая вне замыкания L (?>) в С". Зафиксируем произвольную точку wgD' с нену-
ненулевыми координатами Wj(j=\, ..., л). Пусть S—образ в R" множества точек z?D с
ненулевыми координатами Zj (/ = I, •.., я) при отображении z —¦* (In | Z\ |, ..., In | гп |).
Поскольку L (D) — логарифмически выпуклая область Рейнхарта, S есть выпуклая область,
замыкание которой не содержит точку X = (ln\Wi\, ..., 1п|а>„|). Следовательно, существует
гиперплоскость в R", которая разделяет S и X (см. пояснение к упражнению Б.5 (б)).
Другими словами, существуют agR" и b?R такие, что ag<6 при §?S, «Я > Ь. Поскольку
любая координата \j может стремиться к — со в S (при фиксированных значениях осталь-
остальных координат), то О/ЗгО при всех /. Для тех /, для которых | Zj \ не ограничено в D,
очевидно, должно выполняться равенство «у = 0. Поэтому за счет сколь угодно малого
увеличения ненулевых координат ay и числа Ь можно выполнить условие: все ay являются
неотрицательными рациональными числами. После умножения ay и Ъ на один и тот же
целочисленный множитель можно достичь того, что ay?Z+ при всех /. Мы доказали
существование такого мультииндекса a?Z+ и числа М = еь, что \za\<:M при z?L (D), и
\wa-\ > М. Поскольку га —целая аналитическая функция и при голоморфном расширении
области она не может принимать новых значений (см. упражнение 5.29), то точка ш не
может принадлежать ни одному голоморфному расширению области L (D). Следовательно,
L (D) не имеет нетривиальных голоморфных расширений. ^
Область D в С" называется звездной (или звездной относительно начала
координат), если rDaD при всех числах г 6@, 1]. Если D—звездная
область, то область вида a-\-D (при aG С") называется звездной относительно
точки а. Нетрудно убедиться, что голоморфный контейнер D звездной
области D есть звездная область.
Предложение 5.37. Если звездная область DcC такова, что ее
голоморфный контейнер D имеет выпуклое пересечение с некоторой окрест-
окрестностью начала координат, то однолистная оболочка голоморфности области D
существует: H(D) — D.
•^ В силу предложения 5.30 достаточно доказать односвязность звездной области D.
Пусть S—замкнутый круг с центром в 0 и радиуса 1 в С, dS—его граница и ф: 6S—»¦ D —
произвольное непрерывное отображение. Покажем, что ф продолжается до непрерывного
отображения ф: S~^D. Положим ф (?) = | % I ф (?/| ? |) при г< | ? |< 1, где г >0 будет
выбрано ниже. Пусть Do—окрестность начала координат, имеющая выпуклое пересечение
с D. Тогда выберем г?@, 1] из условия пр (dS)c:~D[} Do. Так как DflDo — выпуклая и,
значит, односвязная область, то существует непрерывное отображение ф: rS—>- D, совпа-
совпадающее на г dS с построенным выше отображением ф: S\rS —>¦ D. В результате построено
непрерывное отображение ф: S-—>5, совпадающее на dS с заданным отображением. >
*) Мы ограничились полными областями Рейнхарта, хотя утверждение справедливо для
произвольных областей Рейнхарта (в этой связи см. [В9], п. 19.3).
206
Следствие 5.38. Звездная область Da С", содержащая начало коор-
координат, имеет однолистную оболочку голоморфности.
Е. Пример голоморфного расширения. Рассмотрим пример (из работы
Броса и др., 1964), в котором фигурируют области, связанные со световым
конусом (см. п. Б.З). Посредством СМа мы обозначаем прямое произведе-
произведение п экземпляров комплексифицированного четырехмерного пространства
Минковского; это — пространство С4", снабженное билинейной формой (Б.44).
Выделим две трубы <#"й> иЯ>в СМ" с основаниями
a: yj?V+ при /= 1, ..., п}, E.70)
Й2={г/еМ": y^V-, y1 + yJeV+ при / = 2, .... л} E.71)
и вещественное открытое множество (где \i > 0)
6={х€Мп: (х1J<\л2}. E.72)
Тогда имеет место следующий результат.
Предложение 5.39. Пусть (в обозначениях E.70)—E.72)) D есть
звездная область в СМа, содержащая начало координат, трубы еГй' и 3~Qi
и область «острия клина-» Do, соответствующую обобщенному маршруту
(#"а>, 6, еГй2). Тогда Н (D) существует и содержит область
G = <rQ\Y, E.73)
где Q—выпуклая оболочка конусов Qx и Q2, a
у = {г?СМп: (zxJ>^}. E.74)
Доказательство разбивается на несколько лемм. Оно служит иллюстра-
иллюстрацией к «методу сечений», состоящему в следующем. Область Dt =
= еГй> 11еГЙ2 и-Do рассекается комплексными плоскостями Ic: M" из некото-
некоторого семейства Л, в каждой из них строится голоморфная оболочка Н (D1C\ I),
и результаты объединяются. (То, что полученное множество содержится в
H(D), следует из упражнения 5.27 (г); существование же Н (П) выводится
из следствия 5.38.)
В нижеследующих леммах мы также имеем дело с ситуацией, когда
заданы два выпуклых конуса, скажем, Кх и К2 в R" и область 6 в R".
Область «острия клина», соответствующую обобщенному маршруту (S~Ku 6,
?ГК>) (см. п. 5.1.Г), мы обозначаем через oJVF) (без дальнейших пояснений,
поскольку из контекста очевидно, о каком обобщенном маршруте идет речь).
Лемма 5.40. Пусть А„—параллелепипед в R'1 вида
Ая = (а1, Ь1)х...х(ав, Ьв) E.75)
и пусть ф(z)н= (фу-(z)) есть голоморфное отображение*)
^7
Тогда для оболочки голоморфности объединения областей /?"—1/?+,
Rn + iRl и о1\Г(А„) имеем
Ф (Я (Я»- iRl) U (Rn 4 iRX) U Ж (А„)) = Rn + iSn, E.77)
где Sn есть выпуклая оболочка объединения множеств S*:
": 0<yj<l, / = 1, .... л}.
Эта лемма есть непосредственное следствие теоремы «об острие клина» применительно
к трубам Rn ± 5J и к области совпадения R"; в этом случае область «острия клина» есть
выпуклая оболочка труб (в силу предложения 5.34).
Лемма 5.40 легко распространяется на случай неограниченного парал-
параллелепипеда А„. Пусть, например,
А„ = А2Х/?"-2. E.78)
*) Ветвь логарифма определена в плоскости с разрезом по вещественной отрицательной
полуоси условием |Im In z\<ji.
207
Тогда имеем соотношение
Я ((/?»- iR%) и (/?" + /Л?) U оГ (А„)) =
= Я((/?2—;#2)и(Я2 + ^)и0Г(Л2хС"-2)). E.79)
Действительно, при замене равенства в E.79) включением (с) соотношение
становится тривиальным. Для доказательства обратного включения заметим,
что левая часть E.79) содержит все множества вида Н((/?"—//?+)U
U (Rn + iRI) U gJV (А;)), где А; = А2 х (— /, /) х ... х (— /, /). С помощью
леммы 5.40 нетрудно убедиться, что произвольная точка правой части E.79)
содержится в таком множестве при достаточно большом /. Это доказывает
равенство E.79).
Лемма 5.41. Пусть
6= {z e С2 z^^y?}, E.80)
где [I > 0. Тогда
U H((R2—iRl)u(R2 + iRl)U<Jf(&z)), E.81)
где А2 пробегает всевозможные ограниченные параллелепипеды (типа E.75))
в /?2\6.
¦^ Для определенности положим ц=1. Как и выше при обсуждении соотношения E.79),
в одну сторону включение тривиально. Таким образом, достаточно показать, что любая точка
z?C*\6 содержится в одном из множеств правой части E.81) при некотором Д2=(а1, bi)X
Х(а2, Ь2)сЯ^\Ь. При этом, очевидно, можно предполагать, что
а^=-—а, а2=—1/а> Ьг=Ь, Ь2=1/Ь,
где а, Ь — некоторые положительные числа. В силу предыдущей леммы доказываемое утверж-
утверждение означает
E.82)
(при этом Zxj=ai, Zi j= bx, z2 9= a2, г2 Ф b2). Если Imzi-Imz2 > 0, то arg-т^ — и
01 — ^1
2_ /т_
arg -г всегда имеют одинаковый знак, и условие E.82) выполнено.
?>2 — г2
Остается рассмотреть случай Im 2j-Im z2<0. Тогда условие E.82) имеет следующую на-
наглядную интерпретацию: а+р>л, где а?[0, л] — значение угла треугольника (%, zlf ij) с
вершиной в г2 на комплексной плоскости (если треугольник вырождается в отрезок, то а=0
или п в соответствии с тем, является ли г концом или внутренней точкой отрезка); аналогично
Р есть значение угла треугольника (а2, z2, b2) с вершиной в г2. Ясно, что это условие выполнено
при некоторых о, Ь, если хотя бы одно из чисел гх или г2 равно нулю, поэтому мы далее считаем
г^ФО. Если |arg 2il>|argz2|, то при а—»- оо и Ь—»-0 имеем а—>~ largZjl и р —*¦ п—|argz2|,
так что условие а+р>я выполнено при достаточно больших а и Ь~г. Случай |arg Zj|<|arg г2|
симметричен. Остается последний случай arg гх=—argz2. Вместе с условием г^С^б имеем
0<|г1|-|г2|<1. Тогда прна=Ь=]г1], очевидно, имеем а=я/2 и р>я'2, так что условию
а+Р>л по-прежнему удается удовлетворить. ^>
Лемма [5.42. Пусть ?Гаг и ST®*—две выпуклые трубчатые области
-¦ С" с основаниями щ и со2 такими, что а^щ, со2г>со2, где
ир{у€ R" yt>0 при i?l, г/у = 0 при j?j},
Щ=>{У€.№*'¦ У1 — ® при i?l, г/у^О при /с/};
/ и J-—два непустые непересекающиеся подмножества множества индексов
{1, ..., п) такие, что /(j/=={l, ..., п}. Тогда для любого ограниченного
параллелепипеда Д„сг/?" типа E.75) выполнено соотношение
#(«#-«. U <#"«• U <ЛГ (А„))г> ((/?« — iRI) и (R" + iRI) UJf (А„)) П<ГИ, E.83)
«={«/€/?": У{>0 при i?l, г/у<0 np« j?J}.
Как следствие при 1 ? /, 2 g / нжееж
Я («?¦«• и сГ^ U оЛГ* ((/?2\S) х R"~2))=> (С2\б)
где б определено в E.80).
208
•^ Вместо условия coaZ}(Oa будем предполагать выполненным условие a>aZ3C0a (общий
случай сводится к нему посредством произвольного малого поворота координатных осей и
произвольного малого изменения Д„). Пусть F есть область определения конформного пре-
преобразования ф из леммы 5.40. Тогда, очевидно,
фСГ^П/Оз'сГ5" («=1,2),
где
0< У[< 1 при i?I, г/у = 0 при
У;=° ПРИ г'€7> — 1 <«/_/< 0 При
По теореме 5.12 («об острие клина») и предложению 5.34 имеем*)
Н (Ф (СГИ' U сГи' U Jf (Д„)) Г) F)) =>«?¦*,
гдев— выпуклая оболочка объединения Si(JS2- Значит, //( m' U ^"И2 U oftf (Д„))=>ф-1 (^Г*),
что вместе с соотношением ф-1 ($~s) = //((/?«_ iR"_) U {R^-'riRi) U Х(Д„)) П <#"" дает E.83).
Для вывода E.84) предположим, что Д2 — произвольный ограниченный прямоугольник в
#2\8. Тогда при всех Д„ вида Д2Х(—/, /)Х-.-Х(—/, I) левая часть E.84) содержит
левую часть E.83) и, значит, Я((/?2 — iR%) U (/?2 +г7?|) U оЛПЛг^ХС"-2 в силу произволь-
произвольности / (см. соответствующее рассуждение при выводе E.79)). Теперь применение леммы 5.41
завершает доказательство E.84). )>
Следующая лемма представляет собой аналог формулы E.73) для двумер-
двумерного пространства времени (в так называемых «конусных» переменных).
Произвольную точку z б С2п мы записываем в виде z = (zu z[, z2, z'2, ...
•••> Zni %п)•
Лемма 5.43. Пусть S~'Q* и 3~®2 — две трубчатые области в С2" с осно-
основаниями
2n- У/>0, у}>0 при /=1, .... л},
2"-- #1 < 0, Уг<0, у1 + у/>0, у[ + у}>0 при / = 2, .... п}
и пусть k={z?C2n: zyz'x^^\. Тогда
U Ж (R2n\l)) = (fQl + <^" °«) V» E-85)
^ Поскольку правая часть E.85) есть область голоморфности, содержащая $~®' U
U J7'2 U (R2n\k), достаточно доказать соотношение, получаемое из E.85) заменой знака
= на ZD. Для Q1 + Q2 имеем
Qi + Q2 = 0/€«2": «//>0, г/1+^->0, (//>0, yI+W>0 при / = 2, .... п}. E.86)
Действительно, правая часть есть выпуклый конус, содержащий Qi и Q2 и, значит,
Обратно, пусть у—произвольная точка правой части E.86); положим
(где / = 2, ..., п). Ясно, что при достаточно малом е >0 эти равенства определяют пару
точек a?/?+, b?—R%, сумма которых есть у. Тем самым доказано соотношение E.86). Etf-
можно переписать в виде
где
0, yj>0, у[-'Гу}>0, /=1,2
у1+уу->0, ^:>0, / = 2, ...
Следовательно, доказываемое равенство E.85) сводится к утверждению, что левая
часть содержит множества аГ®г\к, С0Г<^4\Я. Ввиду симметричности ситуаций достаточно рас-
рассмотреть лишь с^Г^х. Введем новые координаты 5i, •••, ?2« в С2", положив
?i = z1; S2 = zi, ?27-1 = z/, Sa/ = ~(zi + z/) при / = 2, ...,п.
Пусть J7"»! и QT»2 —новые обозначения для труб #"Qi и #"^2 в координатах ?; тогда они
удовлетворяют условиям леммы 5.42 (с заменой п на 2я), если в качестве / и J взять со-
соответственно множества четных и нечетных индексов из {1 2п}. Соотношение E.84)
(в координатах ?), будучи переписанным в прежних координатах z, означает, что левая
часть E.85) содержит $~Qa\k. Это завершает доказательство соотношения E.85). >
*) Ср. с аналогичной аргументацией в лемме 5.40.
203
Как уже говорилось, мы будем доказывать предложение 5.39 «методом сечений». Рас-
Рассмотрим семейство Л комплексных (Зга—1)-мерных плоскостей / в СМ" вида
1=а+{г€СМп: zx = z'/+ г"/1, Zj = z'f-fzje"' + ?/!/ при /S&2}.
Такая плоскость характеризуется парой 4-векторов е', e"QV+ таких, чтое'2=е=0,е'е">0,
векторами е2, ¦¦-,еп из V+ и точкой a^(alt ...,an)?Mn, причем ае' = ае" — 0. Перемен-
Переменные z'v z"v ..., z'n, z"n, ?2 ?„ образуют независимые координаты на I. Посредством Re /
будем обозначать вещественную часть I, которой соответствуют вещественные значения ко-
координат z'j, г" Ц (/Зг 1, ^Эг2). Выделим в / трубы $~i(l) и # @ и множество у (I) ус-
условиями
<?Ti(t): Imz'i > 0, Imz'j > 0, Im Zk > 0 (!</<«
# (/): Im Zy < 0, Im z\ < 0, Im (г^+Z/) >о, lm (z'j + zj) > 0, Im gA > 0 B< / <n,
Тогда, очевидно, справедливы соотношения ?ГХ (/) с оГа1, ^"а (/) сг #"а« (и, значит, ?ГA)а
С<^Га, где #* (/) есть выпуклая оболочка $~iil) и ?ГъA)), RelczM", y(l) — yQl- Кроме
того, .D0(V содержит некоторую комплексную область на плоскости /, которая прилегает к
области Re/\y@ со стороны трубы ?Г (I). Тогда (по теореме «об острие клина»)
E.87)
Представляя (как в лемме 5.41) Re/\y@ в виде объединения ограниченных прямоугольни-
прямоугольников и применяя соображения, изложенные после леммы 5.40, мы видим, что левая часть
E.87) факторизуется по переменным (г', г") и (?). После этого по переменным (z', г") мы
имеем ситуацию леммы 5.43, что в совокупности дает
)=«?" (О \У @=<?" (О \Y- E-g8)
Из E.87), E.88) и данного выше пояснения к «методу сечений» следует, что для доказа-
доказательства предложения 5.39 остается проверить равенство
E.89)
Для этого достаточно показать, что произвольная точка 2^^"й принадлежит $()
при некотором /. Без существенного ограничения общности можно считать, что веществен-
вещественная часть вектора z^sx-\-iy равна нулю (общий случай получается трансляцией на веще-
вещественный вектор). По условию имеем y=u-\-v, гдеи/-^У+ при K/<n, vt?V~, (^i+^ft)€^+
при 2<й<п. Выберем e',e"?V+ произвольными в плоскости векторов щ и vx (лишь бы
е'* = е = 0, е'е" > 0). Далее положим ey- — Uj-\-(v1-\-Vf)-{-2evi, где 8 > 0 настолько мало,
что ej?V+ B</<л). Наконец, выберем а = 0. При таком определении плоскости / век-
вектор г есть сумма двух векторов ip?<^\(l) и iq?$~z(l), если положить
(где 2</<п). Тем самым равенство E.89) доказано и вместе с тем завершено доказатель-
доказательство предложения 5.39.
Метод доказательства предложения 5.39 применяется и в других ана-
аналогичных задачах. Например, таким образом Брос и др. A961) доказали
следующий результат об области типа D.130), получаемой из «симметрич-
«симметричного» представления ИЛД (см. п. 4.3.В).
Предложение 5.44. Пусть ЖF) есть область «.острия клина»,
соответствующая обобщенному маршруту (М—iV+, 6, M-{-iV+), где в есть
дополнение в М к множеству (—cl + Vm) U (а + Ум) и а = (А, 0) (А > 0). Тог-
Тогда область D.130) (где adm определяется посредством D.111) при а = а',
М = М') есть оболочка голоморфности области (М— iV+) (j (M + iV~) U ЖF).
По поводу доказательства см. Брос и др. A961).
Часть II
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ
КВАНТОВЫЕ
СИСТЕМЫ
КРАТКИЙ ОБЗОР
Исходным объектом алгебраического подхода в квантовой теории является алгебра на-
наблюдаемых, определяемая как С*-алгебра 31 с единицей. Состоянием называется всякий поло-
положительный функционал со над 31, нормированный условием соA)= 1. Среднее значение наблю-
наблюдаемой А(=А*) в состоянии со задается значением функционала со (А) (АЛ, п.6.1.А). Крайние
точки (выпуклого) множества S C1) всех состояний называются чистыми состояниями. Состоя-
Состояния же, представимые в виде со=Хсо1+A—X) со2, где 0<Я<1, ц>уфыг, описывают статистиче-
статистические смеси. Физические состояния образуют выпуклое подмножество @ множества всех состоя-
состояний S C1). Постулируется, что оно совпадает с множеством Sn состояний, ассоциированных с
(физическим) представлением я=яр(,у8 алгебры 31 в (физическом) гильбертовом пространстве
$?=Ж?Ъу* (А.Н,п.6.1.В). Суперпозиции состояний электрона и нейтрона или нейтрино и фото-
фотона не являются физически реализуемыми чистыми состояниями. Первая из этих суперпозиций
нереализуема в силу правила суперотбора по «валентности» (или четности числа фермионов).
Электрический заряд Q и четность числа фермионов (—1)-^ являются примерами операторов,
коммутирующих со всеми наблюдаемыми алгебры л C1). Мы предполагаем (гипотеза (а)), что
векторы в физическом пространстве ,%", определяющие чистые состояния алгебры наблюдаемых,
образуют тотальное множество (т. е. их линейная оболочка плотна в ffl). Из этой гипотезы
следует дискретность правил суперотбора (предложение 6.5). Если предположить дополнитель-
дополнительно, что соответствие между чистыми состояниями из @ и единичными лучами в ?Ш взаимно од-
однозначно (гипотеза (б)), то правила суперотбора коммутативны (т. е. алгебра я C1) имеет абе-
лев коммутант в 9ЦЖ)\ предложение 6.6).
Описаны стандартные (т. е. дискретные и коммутативные) правила суперотбора заданием
абелевой группы f/A)X- . .Х?/A) калибровочных преобразований (первого рода), действую-
действующей в 33{S%) и оставляющей наблюдаемые инвариантными (п.6.2.В). Приведен также пример
нестандартных правил суперотбора, соответствующих неабелевой калибровочной группе
(П.6.2.Г).
Важным примером алгебры наблюдаемых является алгебра канонических коммутацион-
коммутационных соотношений (ККС). В экспоненциальной форме (Вейля) эта алгебра порождается двумя
п
(я-параметрическими) абелевыми группами U(а)=е'аР(ар = 2 аьРк) и V(b)—e'Qb, удовлетво-
к-1
ряющими перестановочному соотношению
U {a)V(b) = e-iabV{b)U (a)
Справедлива теорема единственности фон Неймана (теорема 6.14), согласно которой всякг.я
неприводимая система Вейля с п степенями свободы унитарно эквивалентна шредингеровском\
представлению {рь— —i ^— ) в i?s (/?").
В случае системы с бесконечным числом степеней свободы, наоборот, существует много
неэквивалентных представлений ККС. В п.6.4.Б показано, что всякое унитарное представление
алгебры Вейля ККС с циклическим вектором задается (с точностью до унитарной эквивалент-
эквивалентности) некоторым характеристическим функционалом. Физически выбор представления ККС
в квантовой теории поля тесно связан с динамикой полей. Мы вернемся к этому вопросу в § 9.4
при истолковании теоремы Хаага.
211
Симметрии в алгебраическом подходе задаются автоморфизмами Иордана, т. е. линейны-
линейными биекциями а: 91->- 21, для которых а(А2)=(а(А)J при всех А ?21. Это свойство вытекает
из более физического определения симметрии как пары биекций а: 21 -»- 21 и a': S B1) -*¦ S (Щ,
удовлетворяющих условию согласования (а'а>) (а.А)=w (А) (предложение 6.10). Доказатель-
Доказательство этого утверждения основано на теореме Вигнера (теорема 6.8) о том, что всякая биекция
на множестве одномерных проекторов, сохраняющая вероятности перехода tr I^IIj, по-
порождается либо унитарным, либо антиунитарным преобразованием в ,%".
Важнейшему примеру геометрической симметрии — инвариантности квантовой теории
относительно группы преобразований Пуанкаре — посвящена гл. 7. Анализ п.6.3. В показы-
показывает, что (при предположении непрерывности аа,л(ш) по а, Л) в топологии нормы на множестве
физических состояний @ гипотеза Пуанкаре инвариантности теории приводит к существованию
унитарного представления универсальной накрывающей §р0 собственной группы Пуанкаре
(называемой также спинорной или квантовомеханической группой Пуанкаре) (аксиома А.III,
п.7.2.А).
Самосопряженные инфинитезимальпые операторы физического представления группы
§Р0 отождествляются с операторами 4-нмпульса Р^ и момента Mw. Из них можно составить
два независимых полиномиальных инварианта (оператора Казимира): квадрат импульса
Р2=Ро — Р2 (физический смысл которого есть квадрат массы системы) и квадрат вектора
Паули — Любанского Wi=1/2eiiivpPilMvP. Неприводимые унитарные представления группы
Пуанкаре (частично) классифицируются значениями этих инвариантов и знаком энергии
8 = 8 (Р°) 0 (Р2). Постулат спектральности утверждает, что масса и энергия неотрицательны,
т. е. спектр оператора энергии-импульса Р принадлежит (замкнутому) верхнему световому
конусу V+- Мы дополняем этот постулат требованием существования и единственности (нор-
(нормированного) трансляционно-инвариантного состояния—вакуума. Показано (предложение 7.1),
что это требование эквивалентно кластерному свойству
lim <.Ф,и(Ха, 1)?> = <Ф, ?„><?„,?> (при а2< а).
А-* со
Пространства состояний элементарных частиц соответствуют неприводимым представ-
представлениям группы §ро. Для частицы положительной массы т второй оператор Казимира опре-
определяется ее спином s: W2 =— m2s(s-j-1); компоненты вектора спина задаются равенством
1 / W°PJ \
S-! — — ( WJ Хро ) ¦ Одночастичные состояния можно реализовать в пространстве ?l>. s]
функций, в котором коммутирующие операторы Р^ и S3 диагональны. Скалярное произве-
произведение в ^lm< sl задается тогда формулой
<Ф, ?>= 2 \ Ф (Р, о) V (Р, о) (dp)m,
a = -s +
L m
где а — собственное значение третьей проекции спина S3, Г^— гиперболоид р° = у т2-\-р2,
(dp)m = ~^=Bn) ""Зк-^ — лоренц-инвариантная мера на Г^- В п. 7.2.Г дана явно ковари-
антная реализация физических неприводимых представлений группы $ро в терминах одно-
однородных полиномов от двухкомпонентных спиноров (о, введенных в п. 3.1.Г.
Пространство Фока релятивистских бозе-(ферми-)частиц данного типа определяется как
(анти)симметризованная «экспонента» пространства одночастичных состояний (п.7.3.А). Тео-
Теории, инвариантные относительно общей группы Пуанкаре (включающей отражения), рассмат-
рассматриваются в п.7.3.Г, где показано, что преобразования, содержащие отражение времени, пред-
представляются антиунитарными операторами в jj. Показано (п.7.3.Е), без каких-либо динамиче-
динамических предположений (или гипотез аналитичности), что спинорпая амплитуда двухчастичного
рассеяния частиц с положительными массами допускает однозначное ковариантное разложение
.(предложение 7.7).
Глава 6. АЛГЕБРА НАБЛЮДАЕМЫХ И ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ
6.1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
А. Алгебра наблюдаемых. Состояния. Исторически при построении кван-
квантовой механики (в матричной формулировке Гейзенберга) сначала появились
операторы (или матрицы), соответствующие физическим наблюдаемым, и лишь
затем (в работах Шредингера, а позднее Борна и фон Неймана) выкристаллизо-
выкристаллизовалось современное понятие физического состояния.
В стандартном изложении квантовой механики систем с конечным числом
степеней свободы наблюдаемые отождествляются с эрмитовыми операторами,
а чистые состояния — с лучами *) в некотором гильбертовом пространстве.
Можно сказать, что в этом случае алгебра наблюдаемых конкретна, т. е. пред-
представлена операторами в гильбертовом пространстве. Основными наблюдаемы-
наблюдаемыми величинами являются декартовы координаты и импульсы, рассматриваемые
как эрмитовы операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным
соотношениям. Фундаментальным фактом квантовой теории систем с конечным
числом степеней свободы является то, что эти представления допускают в сущ-
сущности единственное физически интересное представление (см. п.6.4.А). Поэто-
Поэтому не возникает проблемы с выбором представления, что позволяет построить
весь квантовомеханический формализм на базе фиксированного гильбертова
пространства.
Иначе обстоит дело с квантовыми системами бесконечного числа степеней
свободы. В то время как абстрактную алгебру, соответствующую системе ка-
канонических коммутационных соотношений, удается построить более или менее
однозначно, существует великое множество унитарно неэквивалентных пред-
представлений ее. Оказывается, выбор представления диктуется, в частности, ди-
динамикой полей (поэтому, к примеру, фоковское представление непригодно для
взаимодействующих полей). Таким образом, представление теперь становится
уже неизвестной величиной, подлежащей определению. В связи с этим целесо-
целесообразно начать аксиоматическое построение с некоторой абстрактной алгебраи-
алгебраической структуры, соответствующей множеству наблюдаемых, и лишь затем
вводить представление алгебры наблюдаемых в гильбертовом пространстве
в зависимости от той или иной физической ситуации.
Итак, исходным объектом аксиоматического рассмотрения является С*-
алгебра Ж с единицей (см. § 1.5), которую мы будем называть алгеброй наблю-
наблюдаемых (или алгеброй ограниченных наблюдаемых). Эрмитовы элементы этой
алгебры будем называть (ограниченными) наблюдаемыми. Положительный
функционал со над Ж, нормированный условием
||со|НсоA) = 1, F.1)
называется состоянием алгебры St. Множество всех состояний алгебры % будем
обозначать через S(9I). Величина со (Л) при А=А* интерпретируется как
*) Лучом в гильбертовом пространстве ffl называют множество векторов вида кФ, где
Ф — фиксированный ненулевой вектор, а к пробегает все комплексные ненулевые числа. Если
же наложить дополнительное ограничение ||Ф||= |А.|= 1, то результирующее множество назы-
называется единичным лучом в ,%". Векторы с нормой 1 называются единичными (или нормирован-
нормированными).
213
среднее значение наблюдаемой А в состоянии со. (Оно вещественно в силу свойств
положительных функционалов; см. П.1.5.В.)
Нетрудно проверить, что множество SBt) является выпуклым. (Другими
словами, если сох и со2— два состояния и Ки А,2^0, Л,1+Л.2= 1, то А^сох+АгСОгб
€SCt).) Состояние со называется смешанным (или статистической смесью),
если оно представимо в виде со=А,со1+A—К) со2, где О<СЯ,<1 и соь со2—два
различных состояния алгебры Ж. Состояния, не являющиеся смешанными,
называются чистыми. (В терминологии п. 1.5.В чистые состояния суть экстре-
экстремальные, или крайние, точки множества S(§1).) Множество всех чистых со-
состояний алгебры Ж мы будем обозначать через PS (Ж).
В абстрактной алгебраической схеме обычно имеют дело лишь с ограниченными наблю-
наблюдаемыми, чтобы избежать «технических» трудностей, связанных с определением алгебраических
операций над неограниченными наблюдаемыми. Однако в гильбертовом пространстве мы будем
свободно переходить к неограниченным наблюдаемым, имея в виду, что всякая неограниченная
наблюдаемая полностью характеризуется (в духе спектральной теоремы, п. 1.4.В) ограничен-
ограниченными функциями от нее. (Соответствующее понятие неограниченной наблюдаемой вводится
ниже в П.6.1.В.)
Априори мы придаем смысл лишь эрмитовым элементам из ЗГ, так что было бы более
последовательным начать с алгебры Иордана ЗКд, состоящей из эрмитовых элементов алгебры Щ.
В ней определены лишь линейные комбинации с вещественными коэффициентами и квадрат
каждого элемента (а отсюда, как следствие, и «симметричное произведение» 1/2(АВ-\-ВА)=
=1ii(A-\-BJ—1/i(A—ВJ). При алгебраическом определении симметрии (п.6.3.А) мы учтем
это замечание, добиваясь, чтобы симметрии воспроизводили именно те операции, которые
присущи Э1Л.
Множество S(%) всех состояний алгебры наблюдаемых 91, как правило,
весьма обширно: оно может быть несепарабельным даже в случае сепарабель-
ной алгебры Ж; однако всё Б(Ж) не представляет физического интереса. Класс
рассматриваемых состояний ограничивают из физических соображений — в за-
зависимости от того, какие именно процессы представляют интерес и при каких
«граничных условиях» (например на бесконечности). Одной из задач квантовой
теории поля является построение алгебры наблюдаемых Ж и класса состояний,
описывающих элементарные возбуждения квантованных полей, т. е. построе-
построение объектов, составляющих теоретическую базу физики элементарных частиц.
Далее в этой главе и в главах 7, 8, 10 мы займемся более детальной характери-
зацией множества квантовополевых состояний (см., в частности, постулаты
АЛ — А.II в § 6.1 и постулат А.III в § 7.2). Пока же мы ограничимся общим
требованием к множеству <2, состоящим в том, что множество © выпукло
(т. е. вместе с любой парой состояний оно содержит их статистические смеси).
Можно предполагать также, что множество состояний © различает положи-
положительные элементы из Ж, т. е. если из условия со (Л)^0 для всех со ? © следует,
что А есть положительный элемент алгебры Ж (т. е. А представимо в виде А =
=В*В).
Согласно результату Кадисона A965) выпуклое множество <&czS C1) различает положи-
положительные элементы из ЭГ в точности тогда, когда оно плотно в S (91) в *-слабой топологии.
Упражнение 6.1. Доказать, что множество состояний ©, различающее положитель-
положительные элементы алгебры ЗГ, разделяет элементы алгебры 31, т.е. из условия ш (А) = со (В) для
всех со?@ следует А = В. (Указание: если ш(А) — ы(В) для всех w?<?, то оба элемента
А — В и В — А положительны.)
Итак, в качестве начального положения алгебраической теории мы при-
примем следующий постулат.
АЛ (Алгебра наблюдаемых). Физическая система*) характери-
характеризуется некоторой С*-алгеброй Ж с единицей, эрмитовы элементы которой мы
будем называть (ограниченными) наблюдаемыми. Значение функционала со (А),
где co?SCl), Л = Л*, есть среднее значение наблюдаемой А в состоянии со.
Фигурирующее здесь множество © мы будем называть множеством фи-
зачееких состояний (алгебры наблюдаемых Ж), а пару C1, ©) будем также
называть физической системой.
1
*) Под физической системой здесь и далее мы понимаем не реальную систему, а некоторую
физико-математическую модель.
214
В элементарной квантовой механике в качестве алгебры (ограниченных)
наблюдаемых выбирается алгебра 3i (Ж) всех ограниченных операторов в
некотором гильбертовом пространстве, а физические состояния находятся во
взаимно однозначном соответствии с матрицами плотности р в Ж, т. е. поло-
положительными операторами в Ж со следом 1:
F.2)
Чистые же (физические) состояния находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии П<-»оп с одномерными (ортогональными) проекторами И в Ж или,
эквивалентно, с единичными лучами в Ж. Тот факт, что множество всех
чистых состояний из © параметризуется совокупностью всех единичных лучей
в Ж, называют обычно принципом суперпозиции. (Заметим, что множество
всех состояний алгебры 9В (Ж) значительно шире указанного множества ©;
причины такого ограничения мы обсудим в п. 6.4.А.)
Б. Вероятность перехода. В элементарной квантовой механике вероятность
перехода определяется следующим образом. Если сох и со2— два чистых состоя-
состояния алгебры 9i (Ж), соответствующие одномерным проекторам IIi=№i)№il
и П,=|Ф2>(Ф21 (где <Di и Ф2— два единичных вектора из Ж), то вероятность
перехода из состояния а>х в состояние со2 (или между состояниями сох и со2)
есть
\{Фи Ф^^гЩЛ,), F.3)
что в свою очередь выражается через Цсох—оJ|| в соответствии со следующим
упражнением.
Упражнение 6.2. Показать, что
ЦйН-со, |р= (II П!-П2 |iJ = 4 A - | <ФЬ Ф2> |2),
где I Л ||х — следовая норма A.111). (Указание: следовая норма любого эрмитова операто-
оператора из j?i (Ж) есть сумма абсолютных величин его собственных значений. Показать, что
собственные значения оператора Щ — П2 = | Ф1ХФ11 — | Ф2><Ф2 I ранга < 2 равны
±[1-|<Ф1, Ф2>2]'/2.)
В случае произвольной С*-алгебры Ж вероятность перехода (за нуле-
нулевое время) между двумя чистыми состояниями wlt oi2?PS (Щ определим
формулой, подсказанной упражнением 6.2:
(o1.(o2=l_V4||(o1_ и, |». F.4)
Ясно, что Ох.@2=02.0! и что Ох.со2 всегда заключено на отрезке ГО, 1]. При
этом сох.со2=1 в точности тогда, когда сох=о2. Используя квантовомеханиче-
скую терминологию, мы будем называть два чистых состояния сох и со2 ортого-
ортогональными, если вероятность перехода сох.со2 равна нулю. Соответственно два
подмножества Sx и S2 в PS@&) называются (взаимно) ортогональными, если
<Bi.cog=O для всех ox?SxH co2gS2.
Будем говорить, что непустое подмножество S чистых состояний алгебры
наблюдаемых 51 является нераспадающимся, если его нельзя разбить на два
непустых ортогональных подмножества. Всякое максимальное нераспадающее-
нераспадающееся множество (т. е. нераспадающееся множество, не являющееся собственным
подмножеством другого нераспадающегося множества чистых состояний из
PS(%)) называется сектором. (Сектор есть алгебраический двойник когерент-
когерентного подпространства в физическом гильбертовом пространстве; см. ниже
п.6.2.Б, в особенности упражнение 6.18.)
Мы покажем, что Р5>(щ разбивается на секторы (а заодно убедимся в су-
существовании секторов). Для этого мы введем в />S(9I) следующее отношение:
сох~со2 в точности тогда, когда существует нераспадающееся множество в
PS(Э1), содержащее сох и со2.
Предложение 6.1. Отношение ох~о2 на PS($l) есть отношение
эквивалентности, а РБ(Щ единственным образом разбивается на (попарно
непересекающиеся и взаимно ортогональные) секторы, которые в точности
совпадают с классами эквивалентности в PS(Sl).
215
•^ Рефлексивность (ы~ш) и симметричность (со1~йJ =Ф ш^Ш!) введенного отношения
очевидны. Докажем транзитивность. Пусть Wj-^g^ и йЬ^Фз' Тогда существуют нераспадаю-
нераспадающиеся подмножества Sj и S2 такие, что coj, 0J?Si и ш2, Ш3?52. Покажем, что объединение
S=SiU'52 есть нераспадающееся множество. Будем доказывать от противного: предположим,
что S есть объединение двух непустых ортогональных подмножеств S' и S". Для определенности
будем считать, что co2?S'. Тогда Sx есть объединение ортогональных подмножеств SjQS' и
¦SiDS", причем первое из них непусто (так как оно содержит со2)- Значит, в силу того что St
не распадается, второе из этих множеств SjПS" пусто. Аналогично можно показать, что Sad5"
пусто, откуда следует, что само множество S" (будучи объединением SxflS" и S2(]S") пусто.
Полученное противоречие доказывает, что S есть нераспадающееся множество. Итак, мы до-
доказали, что отношение ~ есть отношение эквивалентности на PS(9I). Нетрудно видеть, что
классами эквивалентности являются максимальные нераспадающиеся множества (секторы)
в PS(W). Следовательно, PS(9I) разбивается на секторы, которые к тому же взаимно ортого-
ортогональны (ибо если два различных состояния а^, ы2 из PS (Щ не ортогональны, то они образуют
двухточечное нераспадающееся подмножество, а потому эквивалентны и, значит, содержатся
в одном и том же классе эквивалентности). Теперь единственность разбиения PS(W) на секто-
секторы следует из однозначности разбиения PS (91) на классы эквивалентности. >
В следующем пункте мы приведем характеристику секторов в терминах представлений.
В. Связь с представлениями. Понятие состояния тесно связано с пред-
представлениями алгебры. Если я есть некоторое представление алгебры 31 в
гильбертовом пространстве Ж, то для любого ненулевого вектора Ф?Ж
выражение
(°ф(л)= <ф,ф> F.5)
определяет состояние соф алгебры Ж, называемое векторным состоянием,
ассоциированным с представлением я (и соответствующим вектору Ф). Если
р—матрица плотности (т. е. положительный оператор со следом 1) в SK, то
она определяет состояние сор:
СОр(Л) = 1г(ря(Л)). F:6)
Аналогично, сор называется состоянием, ассоциированным с представлением
л и соответствующим матрице плотности р. (Очевидно, состояния F.6) суть
счетные статистические смеси векторных состояний вида F.5).) Мы будем
обозначать множество всех состояний (соответственно всех чистых состоя-
состояний), ассоциированных с представлением л, через Sn (соответственно PSn).
Два представления щ и я2 с одним и тем же множеством ассоциированных
состояний (т. е. с 5Я1 = 5Л2) мы будем называть феноменологически эквива-
эквивалентными. Таковы, в частности, унитарно эквивалентные представления.
Упражнение 6.3. Показать, что всякое чистое состояние, ассоциированное с пред-
представлением л, является векторным состоянием вида F.5). (Указание: диагонализовать матрицу
плотности состояния.)
Упражнение 6.4. Показать, что для неприводимого представления л в гильберто-
гильбертовом пространстве все векторные состояния, ассоциированные с я, являются чистыми (другими
словами, множество всех векторных состояний, ассоциированных с я, в точности есть PSn).
Далее, показать (с помощью упражнения 1.66), что для любых единичных векторов Ф1г Ф2^.^
вероятность перехода между состояниями а>ф и соф дается обычной квантовомеханической
формулой
<вф,.тф1=|(Ф1. Ф2>|2- F.7)
Упражнение 6.5. Пусть я — представление С*-алгебры 91 в ffl и Ф — цикличе-
циклический вектор представления л, определяющий состояние соф. Доказать, что представление я
неприводимо в точности тогда, когда состояние ыф чистое. (Указание: отождествить л, ffl,
Ф с элементами конструкции ГНС и воспользоваться предложением 1.27.)
Оказывается, понятие сектора (п.6.1.Б) тесно связано с неприводимыми
представлениями.
Предложение 6.2. Множество PSC1) всех чистых состояний ал-
алгебры 31 совпадает с множеством всех векторных состояний, ассоциированных
со всеми неприводимыми представлениями алгебры 91. Всякий сектор в РБ(Щ
в точности совпадает с множеством всех векторных состояний, ассоциирован-
ассоциированных с некоторым неприводимым представлением алгебры 31; при этом два уни-
унитарно эквивалентные (соответственно унитарно неэквивалентные) неприводи-
216
жяе представления определяют один и тот же сектор {соответственно взаимно
¦ортогональные секторы).
Первое утверждение предложения 6.2 есть непосредственное следствие теоремы 1.25 (т. е.
конструкции ГНС) и упражнения 6.5. Результатом упражнения 6.5 является и тот факт, что
множество PSjt всех векторных состояний, ассоциированных с произвольным неприводимым
представлением л, является нераспадающимся.Чтобы убедиться, что PSn является максималь-
максимальным нераспадающимся множеством (т. е. сектором), достаточно доказать, что два состояния,
ассоциированные с унитарно неэквивалентными представлениями, ортогональны. Этот резуль-
результат мы приводим в форме следующих двух упражнений. Остальные утверждения предложения
?.2 легко следуют отсюда.
Упражнение 6.6. Пусть лх и я2— два унитарно неэквивалентных неприводимых
представления алгебры 9t в гильбертовых пространствах ,9z?i и Жч соответственно и пусть
Я=Я1®:ГС2— их прямая сумма. Доказать, что замыкание л(ЗС) в слабой операторной топологии
содержит унитарный оператор \J=W.X—П^гдеП^иЩ— проекторы на Ж\ и ,^f2 в прямой
•сумме Ж=Ж\®Жг- (Указание: воспользоваться теоремой о бикоммутанте и упражнения-
упражнениями 1.54 и 1.55.)
Упражнение 6.7. Пусть (ох и (о2—два состояния, ассоциированные с унитарно
неэквивалентными неприводимыми представлениями п± и л2 алгебры 31. Доказать, что ||сох—
—и2||=2 и, значит, (чистые) состояния (% и ы2 ортогональны. (Указание: в обозначениях пре-
предыдущего упражнения имеем (coj—@2)(A)=ti((Yl1—П2) л (А)), где Пг и П2— соответствующие
одномерные проекторы в ^1 и Ж г- Воспользоваться далее формулой A.116) и тем, что tr ((Пх—
—П2) U)=2 для оператора U из предыдущего упражнения.)
Следующее упражнение характеризует представления, феноменологически
эквивалентные неприводимому представлению. Предварительно мы напом-
напомним, что представление л называется кратным представлению я, если я есть
прямая сумма некоторого (конечного ненулевого или бесконечного) числа
экземпляров представления л. Представление С*-алгебры Ж называется
факториальным типа I. если оно кратно некоторому неприводимому пред-
представлению алгебры Ж. Два факториальных представления типа I алгебры 51
называются дизъюнктными, если они являются кратными некоторым непри-
неприводимым представлениям лг и л2, причем л± и л2 унитарно неэквивалентны.
Упражнение 6.8. Если представление л алгебры 31 кратно представлению л, то
я и я феноменологически эквивалентны. В частности, всякое факториальное представление
типа I феноменологически эквивалентно неприводимому представлению.
Справедливо и обратное утверждение: всякое представление, феноменологически эквива-
эквивалентное неприводимому, является факториальным типа I (см. ниже упражнение 6.12).
Упражнение 6.9. Если два факториальных представления типа I алгебры ?t дизъ-
дизъюнктны, то соответствующие множества состояний алгебры 31, ассоциированных с этими пред-
представлениями, не имеют общих элементов. (Указание: если двум векторам Фх и Ф2 соответствует
¦одно и то же чистое состояние алгебры 31, то, например, на основании теоремы 1.25 неприводи-
неприводимые представления алгебры Ж в замыканиях множеств ЗГФц и 31Ф2 унитарно эквивалентны.
Отношение между состояниями и представлениями алгебры становится
еще более тесным, если учесть, что согласно конструкции ГНС (см. теорему
1.25) каждое состояние в свою очередь определяет некоторое представление
алгебры (причем результирующее представление неприводимо в точности
тогда, когда состояние является чистым).
Из сказанного становится понятной точка зрения на представления алгеб-
алгебры как на эффективный способ организации состояний. Поэтому мы примем
дальнейшее уточнение постулата A.I.
А.II (Состояния). Множество физических состояний © (алгебры на-
наблюдаемых 9() совпадает с множеством всех состояний Sn, ассоциированных
с представлением л = ярЬу5 (называемым физическим представлением) алгебры
Ж в некотором гильбертовом пространстве Ж = ЖрЬуз (называемом физиче-
физическим пространством).
Если представление л точно, то состояния из © —Sn различают поло-
положительные элементы алгебры. В соответствии с постулатом А. I физическую
систему можно теперь характеризовать парой (Щ, я).
Введение физического представления л на столь ранней стадии изложения теории не
означает сведения на нет абстрактно-алгебраической формулировки. Забегая вперед, мы можем
обосновать выделение чисто алгебраического уровня примером из лагранжевой теории. Данно-
Данному лагранжиану могут соответствовать различные унитарно неэквивалентные представления
квантованных полей. Каждое такое представление будет обладать, вообще говоря, меньшей
217
симметрией, чем симметрия исходного лагранжиана. (В таком случае говорят о спонтанном
нарушении симметрии.) В этом контексте алгебраическая формулировка отвечает лаграижеву
уровню, а выделение представления nphys в гильбертовом пространстве §gphys равнозначно вы-
выделению одной из возможных операторных теорий (чистых фаз в терминологии статистической
физики), которые соответствуют данному лагранжиану.
Когда физическое представление л алгебры наблюдаемых уже выбрано
и является точным, мы можем (допуская вольность в обозначениях) отож-
отождествить исходную алгебру наблюдаемых с операторной алгеброй я C1)
(В физической литературе переход от Ж к конкретной алгебре я C1) называют
иногда «одеванием».) Как всякую операторную алгебру 31 можно снабдить
а-слабой (или слабой) операторной топологией, определяемой полунормами
| со (А) | с произвольными (соответственно с произвольными векторными) со-
состояниями, ассоциированными с представлением я. Очевидно, что а-слабая
операторная топология не изменится при замене я феноменологически экви-
эквивалентным представлением (так как такое представление имеет тот же запас
ассоциированных состояний). Замыкание 31 алгебры 31 в а-слабой (или, что
в данном случае то же самое, в слабой) операторной топологии называется
алгеброй наблюдаемых фон Неймана. Согласно теореме 1.31 фон Неймана о
бикоммутанте, 31 совпадает с повторным коммутантом Жсс алгебры 31.
Разумеется, алгебра §1 определяется не только алгеброй наблюдаемых
1, но и выбором физического представления л. Феноменологически эквива-
эквивалентные представления приводят (алгебраически) к изоморфным алгебрам 31,
поскольку 31 есть пополнение Ж в структуре ЛВП, определяемой запасом физи-
физических состояний. Все же следует отметить, что (точно так же, как произвольные
операторы из S3 (SK) в элементарной квантовой теории) элементы алгебры
наблюдаемых фон Неймана являются «наблюдаемыми» в очень неконструктив-
неконструктивном смысле.
Условие алгебраической изоморфности алгебр фон Неймана лг C1) и я2 (9Г) для двух
различных представлений алгебры 91 в действительности равносильно понятию феноменоло-
феноменологической эквивалентности этих представлений. Для доказательства следует заметить, что Sn
может быть охарактеризовано в терминах я (9Г) как совокупность так называемых нормаль-
нормальных положительных функционалов с нормой 1 алгебры наблюдаемых фон Неймана ([ДЗ],
с. 50).
Как мы уже отмечали, некоторые физически интересные величины пред-
представляются неограниченными самосопряженными операторами и потому не мо-
могут принадлежать алгебре Ж или 31. В этой связи удобно следующее определе-
определение. Самосопряженный оператор А в Ж называется присоединенным к алгебре
фон Неймана 31, если все спектральные проекторы Е% (в спектральном раз-
разложении A.64) оператора А), а значит, и все ограниченные функции опе-
оператора А принадлежат 31. Самосопряженные операторы, присоединенные к
алгебре наблюдаемых фон Неймана 31, мы можем интерпретировать как (воз-
(возможно, неограниченные) наблюдаемые, ассоциированные с данным пред-
представлением алгебры 31.
Часто используемые в теоретико-полевых построениях глобальные наблюдаемые типа
генераторов группы симметрии системы (таких, как оператор электрического заряда, операторы
энергии, импульса и полного момента, которые задаются — по крайней мере формально — как
интегралы по всему трехмерному пространству от соответствующих локальных плотностей)
обладают спектральными проекторами, принадлежащими алгебре 31 (но, возможно, не 3Q.
Замечание. Если со—чистое состояние на 31, то с элементами В алгебры 91, для
которых (о(В*В) > 0, могут быть ассоциированы чистые состояния на 91. Как отмечалось в
п. 1.5.В, множество исключительных элементов В, для которых со(В*В) = 0, образует левый
идеал U а, в 91. Каждому элементу В (? 3 & соответствует состояние
218
У п р а ж н е н и е 6.10. Проверить ,что для чистого состояния ш функционал со3 положи-
положителен и определяет чистое состояние. (Указание: воспользоваться теоремой 1.25 и упражнени-
упражнением 6.5.)
Нетрудно проверить, что вероятность перехода между двумя такими состояниями и>А
и (ов (А, В ^Ё Зо>) задается равенством
Пусть в представлении, определяемом состоянием со, состояния шА и сов соответствуют единич-
единичным векторам Уд и ?в; тогда правая часть переходит в обычное выражение К^д, Yb)|2.
В соответствии с этим замечанием Хааг и Кастлер A964) придают физический смысл про-
произвольным (в том числе и неэрмитовым) элементам алгебры 31 как операциям над состоянием.
{В данном состоянии <в допустимы лишь те операции, которые не принадлежат идеалу Ua>-)
6.2. ПРАВИЛА СУПЕРОТБОРА
А. Роль чистых векторных состояний. Переход к физическому представле-
представлению превращает абстрактную алгебру наблюдаемых Ж в конкретную опера-
операторную алгебру в физическом гильбертовом пространстве Ж\ при этом состоя-
состояния из © определяются матрицами плотности в 5FC¦ Теперь мы сформулируем
два дополнительных условия (названных ниже гипотезами, чтобы подчерк-
подчеркнуть их необязательный характер по сравнению с аксиомами), которые усили-
усиливают роль векторов чистых состояний в конструкции физического гильбертова
пространства.
В элементарной квантовой механике реализована наиболее тесная связь
между физическим гильбертовым пространством и векторами чистых состояний
в том смысле, что все чистые состояния находятся во взаимно однозначном
соответствии со всеми единичными лучами гильбертова пространства. В физике
элементарных частиц дело обстоит сложнее. Здесь систематически используется
описание чистых состояний, приготовляемых в лабораторных условиях, в тер-
терминах волновых функций падающих или рассеянных частиц (точнее, с помощью
векторов фоковского пространства, о котором речь пойдет в гл, 7). Поэтому
предполагается, что все физическое гильбертово пространство натянуто на эти
векторы. Однако в отличие от квантовой механики не всякая линейная комби-
комбинация таких векторов порождает чистое состояние (на это принципиальное об-
обстоятельство впервые обратили внимание Вик и др. A952)). Опыт показывает,
что для чистых состояний некоторые квантовые числа, например электриче-
электрический заряд и четность числа фермионов, всегда обладают вполне определенны-
определенными значениями. В частности, никогда не наблюдалась когерентная суперпо-
суперпозиция (т. е. вектор чистого состояния, являющийся суммой векторов) одно-
протонного и однонейтронного состояний. Из теоретических соображений также
можно заключить, что определенным векторам должны соответствовать сме-
смешанные состояния. Например, суперпозиция Ot+O2 вектора Фх состояния
с целым спином и вектора Ф2 состояния с полуцелым спином определяет сме-
смешанное состояние *), ибо при повороте системы на угол 2л вокруг некоторой
оси физическая система переходит в себя, в то время как вектор С^+Фа пере-
переходит в вектор Фх—Ф2. Следовательно, векторы Фх+Ф2 и Фх—Ф2 соответству-
соответствуют одному и тому же состоянию системы, откуда с необходимостью следует (см.
упражнение 6.11), что это состояние является смешанным.
Упражнение 6.11. Пусть физическое гильбертово пространство разлагается в пря-
прямую сумму Ж\®$6% таким образом, что шф1 #шфг и »ф1+ф2 = шф1_ф2 для всех нену-
ненулевых векторов QiGiffli и O2g^f2. Доказать, что тогда подпространства ffli и ,% инва-
инвариантны относительно алгебры наблюдаемых 31 и что суперпозиции вида Фх + Фг опреде-
определяют смешанные состояния алгебры 31, где по-прежнему Фх и Ф2 — произвольные ненуле-
ненулевые векторы соответственно из ,^fi и #бг- (Указание: соф +1ф (Л) = соф1 _ АФг (А) для всех
комплексных \.)
*) Предполагается, что в ffl задано унитарное представление группы О+C) трехмерных
{пространственных) вращений. В этом рассуждении используется лишь оператор ехр A2кМъ)
поворота на 2я, который принимает значения +1 и —1 соответственно на подпространствах
однозначных и двузначных неприводимых представлений О+C).
219
Руководствуясь приведенными соображениями, мы введем дальнейшее
требование *), устанавливающее соотношение между векторами гильбертова
пространства и чистыми состояниями, однако менее жесткое, чем в квантовой
механике.
(а) Гипотеза дискретных правил суперотбора.
Все векторы в физическом гильбертовом пространстве Ж, определяющие чис-
чистые состояния алгебры наблюдаемых Ж, образуют тотальное множество в Ж.
В качестве мотивировки названия этой гипотезы укажем (забегая вперед), что она экви-
эквивалентна условию разложения физического представления в дискретную прямую сумму (т. е.
в обычную прямую сумму вместо возможного более общего прямого интеграла) факториальных
представлений типа I.
Гипотеза допускает ряд эквивалентных переформулировок. Сначала мы
докажем две простые леммы, использующие следующее определение. Непустое
множество Ш ненулевых векторов гильбертова пространства Ж мы будем на-
называть зацепляющейся системой векторов, если 9Л нельзя представить в виде
объединения двух (или более) непустых взаимно ортогональных подмножеств.
Данное определение имеет отношение к понятию нераспадающегося множества состояний
(правда, вообще говоря, при другой чем % С*-алгебре): нетрудно убедиться, что ЯЛ является
зацепляющейся системой в точности тогда, когда множество всех состояний алгебры $${$!),
определяемых векторами из ЯЛ, не распадается.
Лемма 6.3. Пусть Ш — некоторое тотальное множество ненулевых
векторов гильбертова пространства Ж. Тогда Ш. единственным образом
представимо в виде объединения некоторого семейства {5ftv}veyv зацепляющихся
систем 9JJV, которые взаимно ортогональны {и, значит, попарно не пересе-
пересекаются). Соответственно Ж единственным образом разлагается в прямую
сумму (ненулевых) подпространств
Ж^ © Жу F.10)
таким образом, что Ш есть объединение подмножеств %ЯЧ = Ш.[)ЖЧ, каж-
каждое из которых является тотальным в соответствующем подпространстве Жу
и образует зацепляющуюся систему.
•^ Будем говорить, что векторы[Ф, Ч^ЯЛ связаны соотношением Ф~ЧР\ если Ф и W яв-
являются векторами некоторой зацепляющейся системы векторов из ЯЛ. Рассуждая далее, как
в предложении 6.1, легко убедиться, что введенное отношение есть отношение эквивалентности
и классы эквивалентности в ЯЛ образуют разбиение ЯЛ на взаимно ортогональные зацепляющиеся
системы Шч , где {v}=N — некоторое семейство индексов. Единственность подобного разбиения
доказывается совершенно аналогично. Взяв теперь в качестве .9z?v замкнутую линейную обо-
оболочку множества ЗЛу . мы приходим к искомому разложению Ж в прямую сумму взаимно орто-
ортогональных подпространств Жч ¦ ^
Лемма 6.4. Представление я С*-алгебры Ш. в гильбертовом простран-
пространстве Ж является факториальным типа I в точности тогда, когда множе-
множество 9Л всех векторов из Ж, определяющих чистые состояния алгебры %,
образует зацепляющуюся систему векторов, тотальную в Ж.
•4| Пусть представление л является факториальным типа I. Тогда можно отождествить Ж
К _ К _
и представление л соответственно с (?) Ж и Фя —с прямой суммой некоторого (конечного
или бесконечного) семейства К экземпляров пространства Ж и неприводимого представле-
представления л алгебры <Д в Ж- Всякий вектор Ф?Ж теперь представлен семейством {Ф<и)})<ех
своих проекций Ф'*' ?Ж (причем || Ф ||2= 2К6^ О ®(м II2)- Нетрудно видеть, что всякий
ненулевой вектор Ф, у которого все проекции Ф«> комплексно коллинеарны (причем допу-
допустимы нулевые проекции), определяет чистое состояние алгебры ЗГ. Множество всех таких
векторов тотально в Ж> и ег0> очевидно, нельзя разбить на два непустых взаимно ортого-
ортогональных подмножества. Отсюда следует утверждение леммы в одну сторону.
Обратно, пусть множество ЯЛ образует зацепляющуюся систему, тотальную в Ж¦ Идею
дальнейшего рассуждения можно пояснить следующим образом. Каждому вектору Ф из ЯЛ
*) В пользу этого требования (в форме условия (а.2) из предложения 6.5) теоретичес-
теоретические соображения, также основанные на корпускулярной интерпретации состояний релятивист-
релятивистской квантовой теории, приведены в работе Доплихера и др. (!Эв°\
220
сопоставим подпространство ^"ф в ffl, являющееся замыканием множества it (91) Ф (всех
векторов вида it (А) Ф при А?21). Тогда SFC , очевидно, является инвариантным подпро-
подпространством относительно it и сужение я на $?ф определяет некоторое представление лф
алгебры 91. Вектор Ф является циклическим для яф и, кроме того, по условию ему соот-
соответствует чистое состояние алгебры 91, поэтому (см. упражнение 6.5) лф неприводимо. Тем
самым мы представим SK как замыкание линейной оболочки семейства {,%/ инвариант-
инвариантных подпространств, в которых 91 действует по неприводимым представлениям. Однако $?
не есть прямая (ортогональная) сумма этого семейства, поскольку эти подпространства не
взаимно ортогональны (и даже могут иметь ненулевые попарные пересечения). Но этот дефект
легко устранить, если приведенную конструкцию исправить с помощью некоторого стандарт-
стандартного рассуждения, напоминающего, скажем, процесс построения ортонормированного базиса
в гильбертовом пространстве.
Для этого фиксируем некоторый вектор Ф1 из ЗЛ- Если ,^f = ,^f<1>1, то на этом кон-
конструкция искомого разложения завершается. Поэтому пусть ffi ф $?ф1 и, значит, ffl раз-
разлагается в прямую сумму !$?ф' ф ЗРг подпространств, инвариантных относительно 2'(. Бла-
Благодаря предположению, что ЗЛ есть зацепляющаяся система, каково бы ни было разложе-
разложение ,^f на два ненулевых взаимно ортогональных подпространства, существует вектор
из ЯЛ, имеющий ненулевые проекции на каждое из этих подпространств. Значит, мы можем
фиксировать вектор Ф^ЗЛ, имеющий ненулевые проекции, скажем, ф[ и Ф2 на ,^ф' и Хх
соответственно. Состояния, определяемые этими проекциями, совпадают с соф (ибо они под-
подчинены йф), так что ф[ и Ф2 принадлежат ЗЛ и представления алгебры 91 в ffl 1 сг ffl®1
пЖФг С &С\ унитарно эквивалентны (по теореме 1.25). В действительности имеем $? 1=^f<tl»
(ибо лф' неприводимо). Итак, мы уже выделили в $? два инвариантных и взаимно орто-
ортогональных подпространства ^ф* и ^ф2> в которых 51 действует по неприводимым и уни-
унитарно эквивалентным представлениям. Если ортогональное дополнение И7Сг к .^f*1 ф ,^ф?
ие есть {0}, то можно выделить вектор У^ЗЛ. имеющий ненулевые проекции на $?*2 и хотя
бы на одно из подпространств ffi®1, ,у^Фг, и т. д. Завершить этот процесс разбиения пред-
представления л в прямую сумму попарно унитарно эквивалентных представлений позволяет
стандартная аргументация, основанная на лемме Цорна. (Воспроизвести ее мы предоставляем
читателю; ср. [Н2], предложение VII из п. 5.4 или п. 17.2.) Тем самым лемма доказана. >
Предложение 6.5. Гипотеза дискретных правил суперотбора экви-
эквивалентна любому из следующих двух условий.
(а.1) Всякое физическое состояние из © есть конечная или счетная вы-
выпуклая линейная комбинация чистых векторных состояний, ассоциированных
с физическим представлением.
(а.2) Физическое гильбертово пространство Ж разлагается в прямую
сумму семейства подпространств {fflv}VeN, инвариантных относительно ал-
алгебры Ш, так что представления алгебры Ш в подпространствах Mv являются
факториальными типа I и попарно дизъюнктными. (Такое разложение осу-
осуществляется единственным образом, если считать, что все подпространства
Ш^ отличны от {0}.)
¦^ Условие (а.1) представляет собой непосредственную переформулировку гипотезы дис-
дискретных правил суперотбора; убедиться в этом мы предоставляем читателю. Займемся доказа-
доказательством эквивалентности условий (а.2) и гипотезы (а). Посредством ЗЛ мы будем обозначать
множество всех векторов в ,^f, определяющих чистые состояния алгебры 91. Пусть выполнено
условие (а.2). Тогда всякий вектор Ф ? ЗЛ принадлежит в точности одному подпространству ,yjSfv,
ибо если бы он имел ненулевые проекции на два таких подпространства, эти проекции опреде-
определяли бы то же состояние, что и Ф (ибо сйф— чистое состояние), а это невозможно (согласно
упражнению 6.9). Таким образом, ЗЛ есть объединение семейства взаимно ортогональных
множеств ffllv = 2Jin$?v > каждое из которых, будучи множеством всех чистых состояний, ас-
ассоциированных с факториальным представлением типа I, является (согласно лемме 6.4) тоталь-
тотальным и нераспадающимся в соответствующем подпространстве &jfv . Следовательно, ЗЛ тотально-
в $f. Тем самым доказана импликация (а.2) =Ф (а). Заодно мы доказали единственность разло-
разложения в условии (а.2), ибо мы убедились, что это разложение полностью определяется разбие-
разбиением ЗЛ на взаимно ортогональные зацепляющиеся системы, которое единственно (по лем-
лемме 6.3).
Докажем теперь импликацию (а) => (а.2). Согласно гипотезе (а), множество ЗЛ тотально-
в Ж, что позволяет нам воспользоваться леммой 6.3. Нам остается убедиться, что разложение
F.10), осуществляемое этой леммой, обладает требуемыми свойствами. В действительности
достаточно доказать лишь, что подпространства ^fv в F.10) инвариантны относительно 9t, ибо-
тогда свойство (а.2) будет следовать из леммы 6.4 (примененной к представлениям алгебры 91
в подпространствах $(у). Поскольку 3Rv тотально в ffi(v, следует показать, что для любого
22!
"Ф 62ftv выполнено включение 31Фс,%\>. Имеем: для Л ?31 с АФ^О состояние сйЛфзгсйф яв-
¦Яяется чистым (см. упражнение 6.10), поэтому 31Ф\{0}сПЛ. С другой стороны, 31Ф—ли-
31Ф—линейное подпространство в Ж, поэтому множество Э1Ф\{0}, очевидно, является зацепляющейся
Системой и, значит, целиком лежит в одной из максимальных зацепляющихся систем семейства
{5Шу }уб N- Этим подмножеством является именно OJlvj. поскольку 31Ф\{0} и 9J1V имеют общий
элемент Ф(=1-Ф). Тем самым установлена инвариантность подпространств ffiv относительно
31, что завершает доказательство предложения 6.5. >
Упражнение 6.12. Доказать, что всякое представление, феноменологически экви-
эквивалентное неприводимому, является факториальным типа I. (Указание: воспользоваться экви-
эквивалентностью условий (а.1) и (а.2) предложения 6.5.)
Обратимся к структуре алгебры наблюдаемых фон Неймана St. (Как
уже отмечалось, мы отождествляем алгебру наблюдаемых 31 с ее образом
я (Щс!В(Ж) при физическом представлении л.) Условие (а.2) предложения 6.5
позволяет представить каждое из подпространств Ж^ в виде прямой суммы
фv некоторого семейства Kv экземпляров одного и того же пространства Ж-*
и, значит, представить Ж в виде двойной прямой суммы
Соответственно физическое представление принимает вид двойной прямой
суммы
[) F.12)
где nv — неприводимое представление алгебры 91 в Жу, причем nv и itv, уни-
унитарно неэквивалентны при v^v'. Эта конструкция подробно расшифровы-
расшифровывает смысл условия (а.2). Далее для нахождения 31 следует воспользоваться
теоремой 1.31 (о бикоммутанте): 31 совпадает с повторным коммутантом
алгебры 31 в 33 (Ж).
Вид коммутанта 5(с находится с помощью двух предложений (обобщающих лемму
Шура), которые мы приведем в качестве упражнений.
К _
Упражнение 6.13. Пусть л есть прямая сумма 0я некоторого семейства К
экземпляров неприводимого представления it алгебры 3t; при этом л действует в простран-
пространстве Ж> а л—в пространстве Ж= Ф Жк —прямой сумме семейства подпространств Жк<
пек
тождественных пространству $% и различаемых лишь индексом и?/С. Будем задавать про-
произвольный оператор X из Ш{Ж) матрицей {Хкх^ Ек ХЕ\}К ^SK операторов из 93(,ffl)>
здесь Ел — изоморфизм §( на Жк- Доказать, что л (9Г)С состоит в точности из всех опера-
операторов Х?53 (Ж)' У которых операторная матрица {Хн}} является числовой матрицей {ххх},
где Ххк^С. (Указание: воспользоваться упражнением 1.54.)
Упражнение 6.14. Пусть л= ф nv есть прямая сумма попарно дизъюнктных
ve
факториальных типа I представлений jiv алгебры 31, действующих в соответствующих под
пространствах Ж Доказать, что jtCt)c = © it '(Щс, т. е. оператор X из53(Ж)^33 (®Ж
v \ v I
коммутирует с л C1) в точности тогда, когда он оставляет инвариантным каждое из под-
подпространств Ж\ и коммутирует с jiv Ct) в каждом из подпространств Жч ¦ (Указание:
воспользоваться упражнением 1.55.)
Используя приведенные упражнения, нетрудно найти общий вид опера-
операторов бикоммутанта лC()сс = 31: это множество операторов вида
где {Av}vtiN — произвольное семейство операторов таких, что Av?3Bfflv)
и supfl Лу|| = | А| < оо. Отсюда, в частности, следует, что алгебра наблюда-
222
емых фон Неймана 31 изоморфна (как С*-алгебра) прямой сумме
/действующей в © Ж Л семейства алгебр
\ V6jV )
У пр ажнен ие 6.15. Пользуясь представлением F.12), показать, что центр $
алгебры наблюдаемых фон Неймана 91 (определяемый как множество операторов из 31, ком-
коммутирующих со всеми операторами из 21) состоит из операторов вида
где lv — единичный оператор из ?В(Жч)', ПРИ этом выполнено условие sup | av | = || А || < оо.
V
Получить отсюда следующую характеристику подпространств fflv B условии (а) предложе-
предложения 6.5: подпространства fflv—это максимальные подпространства в $f, которые инвари-
инвариантны относительно центра 3 и в которых каждый оператор из 3 кратен единичному.
Один из результатов этого упражнения — то, что проекторы Ev на подпространства fflv
принадлежат алгебре наблюдаемых фон Неймана (и даже ее центру).
Щ> Б. Стандартные правила суперотбора. Очевидно, что изменение кратности
(от 1 до оо), с которой входят неприводимые представления в физическое пред-
представление, оставляет его в том же классе феноменологически эквивалентных
представлений (см. упражнение 6.8). Поэтому, если в прямой сумме F.12)
оставить по одному представлению из каждого класса унитарно эквивалентных
неприводимых представлений, то в результате мы придем (вообще говоря)
к другому представлению, которое, однако, будет феноменологически эквива-
эквивалентным исходному. Класс получаемых таким образом представлений может
быть охарактеризован гипотезой (а) о дискретных правилах суперотбора, до-
дополненной следующим требованием.
(б) Гипотеза коммутативности (дискретных) пра-
правил суперотбора. Пусть Ж, как и выше, есть тотальное множество
всех векторов в физическом гильбертовом пространстве Ж, определяющих
чистые состояния алгебры наблюдаемых 31. Тогда соответствие между чистыми
состояниями из © и единичными лучами в 9Л взаимно однозначно.
Теории, в которых наряду с условием (а) справедлива гипотеза (б), будем
называть теориями со стандартными правилами суперотбора.
Следующее предложение оправдывает употребление слова «коммутатив-
«коммутативность» в названии гипотезы F).
Предложение 6.6. Пусть выполнена гипотеза дискретных правил
суперотбора и пусть F.10) есть соответствующее разложение Ж, осуществлен-
осуществленное на основании предложения 6.5. Тогда следующие условия эквивалентны между
собой.
F.1) Чистые состояния находятся во взаимно однозначном соответствии
с лучами в Ж, определяющими чистые состояния.
F.2) Представления алгебры 31 в подпространствах Ж^ неприводимы
(и унитарно неэквивалентны между собой).
F.3) Множество всех векторов в Ж, определяющих чистые состояния,
есть множество всех ненулевых векторов из (J Ж^-
VSjV
F.4) Проектор (ортогональный) в Ж на любой вектор, определяющий
чистое состояние, принадлежит алгебре наблюдаемых фон Неймана 31.
F.5) Алгебра 31 имеет абелев коммутант Щ." в 3$\Ж).
Мы ограничимся доказательством эквивалентности утверждений F.2) и F.5).
Пусть л B0 = ©nvBI), где представления nv неприводимы и унитарно неэквивалентны
между собой, и пусть В — ограниченный оператор в Ж~®Ж> коммутирующий со всеми:
операторами it(?t). В силу упражнения 6.14 B = ^BVUV, где nv — оператор проектиро-
V
вания на инвариантное подпространство $fv. a Bv ?.53(,%\>) коммутирует с операторами-
%(Л). В силу неприводимости представления яу оператор Bv кратен единичному опера-
оператору в $?fv. Таким образом, коммутант я (?Г)С состоит из операторов В вида
В = 2 bv nv, где bv ? С, sup | bv [ —1| В [| < оо.
v v
Множество этих операторов, очевидно, коммутативно, что доказывает импликацию F.2) =Ф F.5).
223
Обратаое утверждение F.5) =J> F.2) будем доказывать от противного. Допустим, что
коммутант л E()с абелев и тем не менее в разложении Ж — ®\Ж\ хотя бы одно из подпро-
подпространств Жч приводимо. Следовательно, это Жч содержит пару взаимно ортогональных
подпространств, скажем Жг и Жг> в которых подпредставления л± и it2 неприводимы
и унитарно эквивалентны. Покажем, что подалгебра коммутанта л (Ш)с, которая оставляет на
месте подпространство Ж1ФЖ2 пространства Ж> содержит некоммутирующие операторы.
Пусть, действительно, дано обратимое отображение Vn'. Ж\—*" Жг с обратным
У\%- Жг-^Ж\ такое, что У21л1(А) = щ(Аг) У2Ъ n1(A)Vit=Vlin2{A) для всех
(и VtiVi2= 1 — VnVn). Обозначая векторы пространства Жг®Жг в виде столбцов
мы можем задавать операторы в этом пространстве в виде 2х2-матриц с операторными
элементами.
Нетрудно проверить, что операторы у=[ *2 ) и П1=(п .) коммутируют
\ У21 U / \V О J
.... f^i(A) 0 \
со всеми операторами представления л (A) ^ ф gg2 = I :. ' - . \, но не коммутируют
между собой: ^^(^ J) ф (J ^') = П1У.
Таким образом, мы пришли к противоречию с предположенной коммутативностью правил
суперотбора, что доказывает импликацию F.5) => F.2).
Упражнение 6.16. Доказать импликации F.1) => F.2) =:> (б.З) =^> F.4) => F.1). ;
В частности, мы можем сформулировать гипотезу стандартных правил
суперотбора так: физическое пространство Ж (единственным образом) раз-
разлагается в прямую сумму F.10) инвариантных подпространств Жх, причем
представления алгебры 31 в этих подпространствах неприводимы и попарно
унитарно неэквивалентны. Благодаря этому справедлив аналог одного из
основных положений элементарной квантовой механики: чистые состояния
находятся во взаимно однозначном соответствии с единичными лучами в (J Ж^.
v
Теперь принцип суперпозиции имеет место в ограниченной форме (а именно,
в пределах подпространств Ж^: ненулевая линейная комбинация векторов
чистых состояний есть вектор чистого состояния при условии, что все исход-
исходные векторы лежат в одном и том же подпространстве Ж^. Поэтому (см.
также ниже упражнение 6.18) подпространства Жч называют когерентными
подпространствами в Ж. Ограниченные операторы из 3d {Ж), кратные еди-
единичному на каждом из подпространств (т. е. фактически операторы из центра 3
алгебры наблюдаемых фон Неймана Щ, называют суперотборными операто-
операторами, а совокупность всех таких операторов (или просто любое множество
операторов, порождающих Q) называют правилами суперотбора. (Впрочем,
в тривиальной ситуации, когда индекс v в F.10) пробегает только одно
значение, т. е. когда имеется только одно когерентное подпространство
ЖУ = Ж, говорят также об отсутствии (нетривиальных) правил суперотбора.)
Упражнение 6.17. Доказать, что в теории со стандартными правилами суперотбора
алгебра наблюдаемых фон Неймана имеет вид
1=ФЭ(,^). F.13)
Упражнение 6.18. Доказать, что (при выполнении гипотезы стандартных правил
суперотбора) секторы (т. е. максимальные нераспадающиеся множества состояний, см. п.6.1.Б)
находятся во взаимно однозначном соответствии с когерентными подпространствами.
Гипотеза стандартных правил суперотбора выделяет среди физически тождественных
представлений (с дискретными правилами оператора) единственное (с точностью до унитарной
эквивалентности) наиболее экономное представление. Если в общем разложении F.12) крат-
кратности (т. е. мощности множеств К.\) неприводимых представлений, входящих в физическое пред-
представление, интерпретировать как некие ненаблюдаемые степени свободы, то можно сказать, что
условия (а) и F) сводят до минимума подобную свободу. Это обстоятельство становится суще-
существенным при рассмотрении некоторых вопросов, в частности симметрии. Физические симмет-
симметрии непосредственно формулируются в терминах наблюдаемых и состояний и вывести отсюда
закон преобразования векторов физического гильбертова пространства нельзя. В этой связи
224
i значение гипотезы стандартных правил суперотбора состоит в том, что (как будет видно из
'"" дальнейшего) она сводит вопрос о преобразованиях векторов при симметриях к известной тео-
4 реме Вигнера. Для отдельно взятого преобразования (скажем, так называемых С-, Р- и Г-пре-
образований) неоднозначность трансформационного закона векторов состояний сводится к со-
совокупности фазовых множителей (своего для каждого когерентного подпространства), а для
некоторых групп симметрии (в частности, для собственной группы Пуанкаре) произвол удается
уменьшить или полностью устранить.
В. Связь с калибровочными группами. В теории поля и физике элемен-
элементарных частиц стандартные правила суперотбора возникают в результате
следующей конструкции. Имеется связная компактная /г-параметрическая
абелева группа G = ?/A)п = ?/A)х .. . х U(\), называемая в данном контексте
калибровочной группой. Произвольный элемент этой группы есть набор п фазо-
фазовых множителей:
<2я. F.14)
В физическом гильбертовом пространстве Ж задается точное унитарное пред-
представление 41 группы G. Соответствующие калибровочные преобразования в Ж
имеют вид
^(g) = s?'...s2n = e''<a'Q'+-••+'*«««>. F.15)
Входящие сюда генераторы Qt, ..., Qn калибровочных преобразований явля-
являются взаимно коммутирующими самосопряженными операторами с целочис-
целочисленным спектром; они называются зарядами (соответствующими данной калиб-
калибровочной группе). Тогда Ж разлагается в прямую сумму
Ж= © Ж{Яг, ...,<?„) F.16)
соответствующих спектральных подпространств, состоящих из всех векторов Ф
таких, что (Qj—<7у)Ф = 0, /==1, ..., п. Полагают теперь, что произвольный
ненулевой вектор Ф ? Ж определяет чистое состояние алгебры наблюдаемых St
в точности тогда, когда он является собственным вектором для всех зарядов.
Тем самым в Ж заданы стандартные правила суперотбора, причем F.16) есть
разложение $? в прямую сумму когерентных подпространств Ж (qu ...,qn).
Эквивалентный способ задания этих правил суперотбора можно осущест-
осуществить, выделив алгебру наблюдаемых фон Неймана У1 как подалгебру в 3i {Ж).
Для этого определим калибровочные преобразования в 3i(fC):
A-+<U(g)A4l(g)-\ А?®{Ж). F.17)
Упражнение 6.19. Доказать, что в приведенной конструкции правил суперотбора
ограниченный оператор А ?&(Ж) принадлежит алгебре наблюдаемых фон Неймана в точности
тогда, когда он инвариантен относительно всех калибровочных преобразований группы G.
Кроме того, показать, что
@Ф Для всех Ф?Ж\{0}, g?G. F.18)
Итак, имеется следующая характеристика алгебры наблюдаемых фон
Неймана: 91 состоит в точности из всех операторов из ЗВ {Ж), остающихся
неизменными при калибровочных преобразованиях группы G.
Упражнение 6.20. В приведенной конструкции правил суперотбора доказать, что
ограниченный оператор в Ж является суперотборным, если он является (ограниченной) функ-
функцией от зарядов, и что центр 3 алгебры наблюдаемых фон Неймана есть бикоммутант множе-
множества 41 (G)з= {11 (g): g?G} калибровочных преобразований:
3 = <W(G)«. F.19)
Унитарные операторы из центра 3 алгебры наблюдаемых фон Неймана
иногда называют обобщенными калибровочными преобразованиями.
На данном этапе изложения довольно трудно усмотреть, почему между всеми унитарными
суперотборными операторами явное предпочтение отдается калибровочным преобразованиям.
(Ведь с равным успехом алгебра 3t могла бы быть охарактеризована как множество всех опе-
операторов А ?.'В(Ж) таких, что UAU~1=A для всех унитарных суперотборных операторов U.)
Дело не только в том, что калибровочные преобразования дают компактный способ описания
8 II, Н. Боголюбов и др. 225
правил суперотбора. В дальнейшем (начиная с гл. 8) мы рассматриваем локальные полевые
структуры, и значение калибровочных преобразований состоит в том, что они (в отличие от
общих унитарных суперотборных операторов) сохраняют локальные структуры. Это имеет
непосредственное отношение к тому факту, что в традиционном каноническом формализме
теории поля операторы зарядов (в отличие от произвольных операторов, присоединенных к 8}
являются трехмерными интегралами от локальных токов.
Современная ситуация в физике элементарных частиц довольно хорошо
согласуется с предположением, что правила суперотбора можно описать
электрическим Q (= Qj), барионным В (= Q2) и лептонным L (= Q3) зарядами •)>
так что разложение на когерентные подпространства имеет вид
Ж = 0 Ж (q, b, I). F.20)
q. Ъ, UZ
Отметим, что правило суперотбора по валентности (представлений группы
вращений), указанное в начале п. 6.2.А, не является независимым благодаря
эмпирическому соотношению
е1-2ЯМз=(_1)В+1; F.21)
фигурирующий здесь оператор
F = B + L F.22)
можно назвать фермионным зарядом.
При интерпретации состояний в терминах бозе- и ферми-частиц (подробнее об этом в гл. 7)
F принимает нечетное значение в точности тогда, когда состояние содержит нечетное число
ферми-частиц **). Поэтому соотношение F.21) есть выражение (нормальной) связи спина со
статистикой: состояния с четным (нечетным) числом фермионов преобразуются по однознач-
однозначным (двузначным) представлениям группы вращений (а также группы Пуанкаре). Это правило
доказывается в теории поля (см. гл. 9).
Г. Пример неабелевой калибровочной группы. Мы уже отмечали в начале этого параграфа,
что гипотеза о стандартных правилах суперотбора не является обязательной. Более того, *
современной теории элементарных частиц весьма популярна гипотеза о существовании строгой
(калибровочной) 5?/C)-симметрии, называемой цветной SUC) (и обозначаемой SU{3)e).
Наличие такой симметрии призвано объяснить, почему с точки зрения модели кварков все
наблюдаемые адроны являются связанными состояниями либо трех кварков, либо кварка »
антикварка. Ненарушенность цветной симметрии ответственна по этим представлениям за тог
что свободные кварки и (цветные) глюоны не наблюдаются.
Оператор кваркового поля ty% i(x) зависит от точки пространства-времени и еще от трех
индексов: спинорного индекса а(=1, 2, 3, 4), нумерующего две проекции спина и разграничи-
разграничивающего частицы и античастицы, индекса а, задающего зарядовое состояние кварка (точнее,
его заряд, гиперзаряд, «очарование» и т. д.) и, наконец, индекса t(=l, 2, 3), определяющего
«цвет». Мы ограничимся в иллюстративных целях простейшей моделью, в которой сохранены
лишь степени свободы, соответствующие цвету и состояниям «частиц — античастиц» ***).
Рассмотрим систему из шести антикоммутирующих между собой (ферми-)операторов qt*
i=l,2, 3, 8= ±, и их эрмитово сопряженные qz*¦ Предположим, что операторы ?ид* удовлет-
удовлетворяют каноническим антиперестановочным соотношениям
[ql q}*]+ ~tfi4y + qy,/i = бОбег,; i, /=1, 2, 3, 8, Ц= ±. F.23)
Эти операторы порождают конечномерную алгебру, которую назовем алгеброй полей и обозна-
обозначим через $Г. (Эта терминология будет оправдана в дальнейшем, см. гл. 8, 10; сейчас заметим,
что JF соответствует алгебре 4В(Ж) всех ограниченных операторов в изложении предыдущего
пункта.)
*) В рамках моделей «великого объединения» (GUT), экстраполирующих сильные,
слабые и электромагнитные процессы в область энергий порядка 1016 ГэВ, широко обсуж-
обсуждаются теоретические схемы возможного несохранения барионного и лептонного зарядов
(об этом см., например, Лангакер, 1981; Сланский, 1981). Гипотеза несохранения барион-
барионного заряда лежит в основе моделей образования барионной асимметрии Вселенной после
бигбэнга (Сахаров, 1967, 1979; Кузьмин, 1970; Вайнберг, 1979).
**) Однако в отличие от F оператор числа (скажем, падающих или рассеянных) ферми-
частиц не является суперотборным оператором. Здесь мы имеем в виду состояния наблюдаемых
частиц. «Состояния», отвечающие В=1/3, рассматриваются нами в контексте неабелевой кали-
калибровочной группы (см. ниже п.6.2.Г).
***) Более реалистическое рассмотрение модели цветных кварков и глюонов и ее теорети-
кополевой основы выходит за рамки настоящей монографии (см., например, обзор Гринберга
и Нельсона, 1977, и книгу [КЮ]).
226
Определим в Jr" действие неабелевои калибровочной группы автоморфизмов 1/C) таким
!образом, что
t^t ЯТ —+(u-1)ijq7> F24a)
{ЯТ)* A)"* ()€«/C).
I Эрмитовы генераторы алгебры Ли этой группы просто выражаются через операторы qnq*:
\ B-?=Nt{-N^++N~^"*'** е-' 8> F'24б)
* где Я,д — полная система ортонормированных бесследовых эрмитовых ЗхЗ-матриц с условием
' нормировки ir\a'kb = bab, a, 6=1 8 (называемых матрицами Гелл-Мана). Здесь и в даль-
дальнейшем по повторному индексу t подразумевается суммирование от 1 до 3.
Алгебра наблюдаемых Ш. есть по определению подалгебра калибровочно-инвариантных
элементов алгебры JT. Она порождается (единицей и) своими элементами второго порядка
яри помощи алгебраических операций. Наблюдаемые N + и N_ будем интерпретировать
как операторы чисел кварков и антикварков соответственно. Центр алгебры 31 порождается
двумя операторами Казимира группы SU C) и барионным зарядом В F.246). Собственные
значения операторов Казимира группы SU C) выражаются через пару целых неотрица-
неотрицательных чисел (г+, г_), определяющих ее неприводимые представления*).
Пространство ,^f, в котором реализуется физическое представление алгебр 31 и §;,
определим как пространство Фока для операторов q и q* с инвариантным вакуумным век-
вектором |0>, аннигилируемым операторами q: qf'\O> =0. При таком определении % сов-
совпадает с множеством всех линейных операторов в конечномерном пространстве ffl (и, сле-
следовательно, представление алгебры полей неприводимо). Представление же алгебры наблю-
наблюдаемых ?1 приводимо и разлагается на факториальные компоненты, нумеруемые тремя числами
{/¦+, г_) и В, задающими неприводимые представления калибровочной группы:
0 ШТ\®( © Жв)®( 0 ЖТ\®Ж^. F.25а)
в=-\, о, 1 ) Vb=v,. -2/з / \в=-Чь, 2/з /
Все пространства $%в+ содержат данное неприводимое представление алгебры 31 с крат-
кратностью, равной размерности представления (г+, г_) группы SUC).
Отметим, что размерности самих подпространств Ж в + ~ выше, чем размерности соответ-
соответй й Т J^fj00'
рр рр Ж рр
ствующих представлений калибровочной группы. Так, подпространство J^fj,00', соответствую-
соответствующее единичному представлению группы G, четырехмерно. Оно натянуто на вектор вакуума |0)
и на векторы v-мезонных состояний (v=l, 2, 3):
(Мы предоставляем читателю проверить, пользуясь перестановочным соотношением [А, А*]=
= 1—Ve-W, где N=N++N_, что выбранные таким образом базисные векторы подпространства
$f«"" c квантовыми числами вакуума ортонормированы.) Подпространство ^^Д'девятимерно.
Оно натянуто на однокварковые состояния, на состояния с одним кварком и с одним мезоном
и на состояния с одним кварком и двумя мезонами. Состояния с разными числами мезонов отли-
отличаются физически (например, средними значениями наблюдаемой А*А), в то время как состоя-
состояния сданным числом мезонов, но с кварками разного цвета неотличимы. Таким образом, в Ж^Х
трижды содержится трехмерное неприводимое представление алгебры наблюдаемых. То же
представление 31 содержится восемь раз в подпространстве Ж^1} векторов состояний с кван-
квантовыми числами одного глюона.
В согласии с предложением 6.6 описанному вырождению представлений алгебры 31 со-
соответствует некоммутативность операторов Уа из коммутанта алгебры 31. С другой стороны,
как это отмечалось в общем случае в П.6.2.Б, существует феноменологически эквивалентное
представление алгебры наблюдаемых, в котором реализуются стандартные правила суперот-
суперотбора. В этом случае пространство $%$т содержит наряду с шестимерным подпространством
«бесцветных адронов»
0 ЖТ F.256)
в=о, ±1
*) Трехмерное представление A, 0) группы SU C) может быть реализовано в прост-
пространстве с В = 1/з (натянутом на векторы qf |0 >) или в пространстве с В = — 2/з (п&тя-
нутом на векторы &ijkqj*qk* I 0 >). Аналогично, для сопряженного представления @, 1)
допустимые значения В равны —1/3 и z/3. Восьмимерное представление A, 1) соответствует
лишь барионному числу В = 0. Скалярное же представление @, 0) может реализоваться
при значениях В = 0 (| 0 >), 1 (qt'qt'qs *| 0>) и —! (?Г*?2"*?з"* I ° >)• Другие представ-
представления группы SU C) не реализуются в этом примере.
8* 227
(остающимся без изменения) еще пять трехмерных подпространств, соответствующих следую-
следующим слагаемым в разложении F.25а). В общей сложности B1-мерное) пространство &С$т разла-
разлагается в прямую сумму восьми ко ерентных подпространств, в которых реализуются неэкви-
неэквивалентные неприводимые представления алгебры наблюдаемых.
Заметим, что гипотезе удержания («конфайнмента») кварков в данном контексте соответ-
соответствует ограничение физического гильбертова пространства до пространства F.256), что озна-
означает ограничение алгебры «физических» полей до алгебры наблюдаемых с добавлением опера-
операторов рождения и уничтожения барионов (q\q\q%) (*>, 8 = +или —.
6.3. СИММЕТРИИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ
А. Понятие симметрии. Под симметрией понимают преобразование фи-
физической системы, не изменяющее ее структурных свойств. В рассматривае-
рассматриваемом контексте физическая система характеризуется алгеброй наблюдаемых Ш
и множеством состояний <SCl). Соответственно определим симметрию как
пару биекций*) а: 31—>-ЗС и а': 5C1)—*-<SCl), удовлетворяющих условию
согласования:
(о'ш) (аЛ) = о (Л) для всех Л ?31, со g SCI). F.26)
Конечно, было бы разумно наложить еще некоторые условия непрерывно-
непрерывности биений а и а', а также потребовать, чтобы а сохраняло алгебраические опе-
операции, присущие множеству наблюдаемых. Однако замечательно, что подобные
свойства отображений а и а' удается извлечь уже из условия F.26). Кроме того,
как мы увидим, одной из биекций а, а' достаточно для характеристики симмет-
симметрии (ибо вторая биекция тогда полностью определена соотношениями F.26);
см. ниже упражнение 6.21). Поэтому, допуская терминологическую вольность»
мы будем называть симметрией также одну из биекций а, а'.
Очевидно, что множество всех симметрии физической системы образует
группу с умножением, определяемым композицией биекций. (Произведение
двух симметрии (а, а') и (Р, Р') есть симметрия (ар, а'Р'), где (ар) (Л)=аф (А)}
и (а'р')(со)=а'[р'Н].)
Если придерживаться точки зрения, что физически необходимо задать лишь закон пре-
преобразования (эрмитовых) наблюдаемых, то мы можем воспользоваться свойством F.26), чтобы
доопределить отображение а, заданное первоначально как биекция 3I/j->- Ш^ эрмитовых эле-
элементов алгебры. (Действительно, любой элемент А ?31 однозначно представим в виде ^4=^!+
-ИЛ2, гдеу^, j42€5lft> и, чтобы удовлетворить F.26), следует положить a(A)=a(A1)-{-ia(A2).)
Соотношение F.26) можно интерпретировать так, будто преобразование симметрии сво-
сводится лишь к изменению параметризации наблюдаемых и состояний, при котором непосред-
непосредственно измеряемые величины (в данном случае средние значения) не меняются. Это так назы-
называемая «пассивная» точка зрения на симметрии. Возможна и «активная» точка зрения, когда
считают, что под действием симметрии преобразуются лишь наблюдаемые посредством отобра-
отображения а, состояния же остаются неизменными (так называемая картина Гейзенберга),?либо
когда преобразуются состояния посредством отображения а', а наблюдаемые остаются неизмен-
неизменными (картина Шредингера). В существенном все эти трактовки симметрии эквивалентны (ибо
биекций а и а' взаимосвязаны), и выбор точки зрения определяется лишь соображением
удобства.'
Назовем отображение а' множества состояний SBt) в себя аффинным^
если оно сохраняет выпуклые линейные комбинации:
Упражнение 6.21. Пусть (а, а') и ф, |У)—две симметрии системы C1, 5(9Г)).
Доказать, чтоа=Р в точности тогда, когда а'=|У. (Указание: использовать упражнение^}.!.)
Упражнение 6.22. Если (а, а') — симметрия, то
а(Л*)=а(Л)% Л?ЭГ. F.27)
(Указание: положить а (А)=а (А*)*, тогда (а, а') — симметрия; далее воспользоваться пре-
предыдущим упражнением.)
Упражнение 6.23. Пусть (а, а') есть симметрия. Доказать, что а' является непре-
непрерывным и *-слабо непрерывным отображением, а a — линейным отображением. (Указание: за-
заметить, что a'[Xcoj-Hl—Я) со2](у1)=[Ясо1+A—Я) со2](а-М), и вспомнить,'что *-слабая тополо-
*) Биекцией /: X -*¦ Y называют взаимно однозначное отображение множества X на мно-
множество Y.
228
гия есть слабейшая топология, для которой отображение со ->- со (Л) непрерывно при любом
Л?21. При доказательстве линейности отображения воспользоваться упражнением 6.1, из
которого следует, что условие (а'со) (В)=0 для всех со ? S Ct) влечет В=0.)
Если симметрия а' задана первоначально лишь на множестве «физиче-
«физических» состояний © (относительно которого мы здесь предполагаем, что оно
различает положительные элементы из Ж и, значит, плотно в S C1) в «-сла-
«-слабой топологии), то результат упражнения 6.23 позволяет продолжить а' по
непрерывности на SCt) так, что
(а'ш) (аЛ) = со (Л) для всех co€SCI), Л € 91- F.28)
Это продолжение (которое мы по-прежнему обозначаем посредством а') также
является биекцией 5C1) на себя, ибо у него есть обратное—продолжение а'.
Упражнение 6.24. Пусть (а, а') есть симметрия. Доказать, что
|| а (Л) || = || Л | для всех Л?ЩД. F.29)
(Указание: воспользоваться равенством F.28) и формулой для нормы элементов
||Л|| = 5ир{|со(Л)|: co?
В свою очередь это формула легко доказывается для операторных алгебр; в качестве состояний
достаточно при этом привлечь только векторные состояния. В случае абстрактных алгебр мож-
можно воспользоваться теоремой 1.28 Гельфанда — Наймарка.)
Из приведенных упражнений следует, что а есть линейный гомеомор-
гомеоморфизм. Следовательно, равенство F.26) (или F.28)) можно интерпретировать
'•' так: а' есть сужение на © (или на SCt)) оператора, сопряженного к а.
I Предложение 6.7. Пусть отображение а' множества физических
; состояний © порождено симметрией. Тогда а' является' аффинным *-слабо
\ непрерывным гомеоморфизмом, причем
\ ||а'(Ю1) а'(@2)|1 = 11@1 Ю2|! nPU вСвХ аИ Ю2€© F.30)
| (т. е. а' является изометрией).
; -^ Благодаря упражнению 6.23 остается доказать лишь оценку F.30). Применим
> К Эрмитову функционалу a'(coi)—а' (а2) упражнение 1.53:
| a' (coi) — а' (со2) II = sup | (а'сох) (Л) — (а'а>2) (Л) |= sup | (a>i— а>2) (а-1 (Л) |.
Теперь F.30) следует из соотношения F.29). ^
Упражнение 6.25. Пусть (а, а') — симметрия. Доказать, что биекция а' отобра-
отображает чистые состояния на чистые состояния с сохранением вероятностей перехода и что если
S — сектор в PS (Ж), то a'(S) — также сектор. (Указание: из сохранения вероятностей пере-
перекода при отображении следует, что a'(S) есть нераспадающееся множество чистых состояний
в точности тогда, когда таковым является S; воспользоваться далее определением сектора как
максимального нераспадающегося подмножества в PS (Ж).)
В элементарной квантовой механике имеется замечательная теорема
Вигнера, дающая характеризацию симметрии в терминах отображения а.
В этом случае $¦ — $}(&?), а множество © всех чистых физических состояний
находится (по формуле F.2)) во взаимно однозначном соответствии юп«->П
С множеством
П* = П = П2} F.31)
всех одномерных (ортогональных) проекторов в Ж; при этом вероятность
перехода между двумя чистыми состояниями имеет вид
). F.32)
Следовательно, отображение а', порожденное симметрией и суженное на
множество <В, можно трактовать (после отождествления © с 53) как биекцию
х; $*—».^>( сохраняющую вероятности перехода F.32). Теорема Вигнера
утверждает, что это свойство отображения т является характеристическим
свойством симметрии; более того, всякая симметрия а унитарно или анти-
унитарно порождена в том [смысле, что существует унитарный или анти-
229
унитарный оператор U в Ж такой, что для всех А ? 33 {Ж)
a(A) = UA U-1 при унитарном U, F.33а)
a(A) = UA*U~1 при антиунитарном U. F.336)
Приведем теперь (в несколько более общем контексте) формулировку
теоремы Вигнера, значение которой выходит за рамки элементарной кван-
квантовой механики.
Теорема 6.8 (Вигнера). Пусть 3s и 3"'—множества всех одномерных
проекторов в гильбертовых пространствах Ж и Ж' соответственно. Если
задана биекция т: 3>—>-3>' (т(П)е=1Г) такая, что
tr(IIin2) = tr(II);n;) для всех Пх, П2?5\ F.34)
то существует либо унитарный, либо антиунитарный *) оператор U: Ж-^-Ж'
такой-, что
П' = ипи~1 для всех П^З3. F.35)
Оператор U определен этим условием с точностью до произвольного фазо-
фазового множителя.
Б. Доказательство и обсуждение теоремы Вигнера. Рассмотрим алгебру W
всех операторов конечного ранга и множество ? h всех эрмитовых элемен-
элементов из ?\ ? есть «-алгебра (без единицы при dim Ж = со). Основной шаг в
доказательстве теоремы 6.8 состоит в построении биекции т: ?—>-?', про-
продолжающей отображение 3* ¦—*3*' и обладающей свойствами:
(а) отображение т линейно: х(КА + (хб) = ?1т(Л) + (лтE),
ф) либо
х(АВ) = х(А)х{В) при всех A, В$?, F.36)
либо
х(АВ) = х(В)х(А) при всех А, В??; F.37)
(у) т(Л*) = т(Л)* при всех А??.
Замечание. Вместо условия (E) можно было бы потребовать, чтобы всегда выполня-
выполнялось условие F.36), но при этом допустить вместо (а), что отображение т либо линейно, либо
антилинейно. (Действительно, для этого в случае, когда имеет место F.37), следует заменить
х(А) на х(А)*.)
Лемма 6.9. Всякий оператор А?? однозначно определяется значе-
значениями trUA при всех П?,9\ т. е. trIL4 = O при всех IIGJ5 влечет Л=0.
-^ Матричный элемент <Ф, А^?у при любых Ф, У^Ж представим в виде tr AB, где
В= | Чг> <Ф |?JF- С другой стороны, всякий оператор из В^? есть конечная линейная
комбинация одномерных проекторов, так как он представим в виде В = Bi~\-iB2, гдеВ^^ёГй,
а для эрмитовых элементов из §~ это следует автоматически из их спектрального разложе-
разложения. (Нетрудно построить и явное разложение оператора |1F><Oj по одномерным проек-
проекторам.) >
Определим теперь отображение т: ?—у ?¦ посредством
кт(П)т(Л)(=1гП'т(Л)) = 1гГЬ4, А??- F.38)
В силу доказанной леммы, если оператор х(А), удовлетворяющий F.38), существует, то он
единствен. Существование же такого оператора следует из использованного выше утверж-
утверждения, что ? есть линейная оболочка 5>, и из условия теоремы.
Свойство (а) отображения т очевидно из F.38). Проверим свойство (у). При всех
^ и А?? имеем
tr П'т (А*) = tr TLA* = tr А*п =1гШ = trll'x(A) = tr П' т (А)*;
(у) следует отсюда на основании леммы.
Заметим, что равенство F.38) можно распространить по линейности:
tr т (А) т (В) = tr AB при всех А, В??- F-Щ
Аппроксимируя единичный оператор в Ж конечномерными проекторами, отсюда получаем
также
trx(A) = trA при всех A?gr. F.40)
*) Только в тривиальном случае одномерного Ж можно реализовать любую из этих
альтернатив (при фиксированном отображении т).
230
Прежде чем доказывать свойство ф), выведем более слабое свойство:
х(АВ)+х(ВА) = х(А)х(В)+х(В)х(А) при всех A, B^fft- F-41)
В силу тождества АВ-\-ВА = (А-\-ВJ — А2 — В2 свойство F.41) следует из более специаль-
специального свойства х (А2) = [т (А)]2 при всех А?|Гл> которое в свою очередь вытекает из спект-
спектрального разложения А по взаимно ортогональным проекторам (А = 2Л,/Ц/ => А2 — 2^?Ц/)-
Упражнение 6.26. Показать, что альтернатива ф) эквивалентна альтернативе: либо
tr т (А) х (В) % (С) = tr (ABC) при всех А, В, Cgf, F.42)
либо
tr т (А) х (В) х (С) = tr (CBA) при всех А, В, C?f. F.43)
Покажем, что альтернатива F.42), F.43) имеет место для операторов вида I^X^M-
Множество R+tp этих операторов (состоящее из всех неотрицательных операторов в ffl
ранга < 1 или, эквивалентно, из всех операторов вида рП, П^^5. р^О) переходит в мно-
множество того же типа при отображении х, а его линейная оболочка есть вся алгебра ff'.
Поэтому из справедливости нашей альтернативы на К+ЦР будет сразу следовать ее спра-
справедливость на всем §г.
Упражнение 6.27. Показать, что
| tr (х (А) х (В) х (С)) | = | tr (ЛВС) |, F.44)
Re tr (х (А) х (В) х (С)) = Re tr (ABC) F.45)
при всех А, В, C(ZR+;jp. (Указание: при проверке равенства F.44) использовать, что
для операторов вида | YXW | справедливо тождество | tr (ABC) |2 = tr (AB) tr (ВС) tr (СА),
и учесть F.39); для вывода F.45) заметить, что 2Re tr (ABC) = tr ((AB-\-BA) С) при всех
А, В, C^UFfi, и использовать упражнение 6.28.)
Из F.44) и F.45) следует, что
Im tr (х (А) х (В) х (С)) = ± Im tr (ABC) при всех А, В, С g /?+^\ F.46)
где априори выбор знака в правой части может зависеть от тройки операторов А, В, С.
Покажем, что на самом деле знак не зависит от выбора тройки.
Будем доказывать эту независимость от противного. Для этой цели введем функции
/± (А, В, С) = Im [tr (т (А) х (В) х (С)) ± tr (ABC)]
и предположим, что существуют два набора (Ао, Во, Со) и (Alt Blt C{) из R+ff* такие, что
/+ (Ао, В», Со) ф 0 ф U (Аъ Вг, d). F.47)
Пусть Ло = |Фо><Фо1. ^i = |Oi><®i|; определим At = \ Ф*><Ф( |, где Ф4 = A — t) Фй+№±.
Аналогично определим операторы Bt и Q. Функции /± (At, Bf, Ct) являются полиномами
not, ни один из которых не равен тождественно нулю (в силу F.47)). Следовательно, су-
существует t, для которого они одновременно отличны от нуля, что противоречит F.46).
Итак, знак в F.46) один и тот же для всех A,B,C^R+^. Если это плюс, то равен-
равенства F.45), F.46) в совокупности эквивалентны равенству F.42); в случае знака минус они
эквивалентны F.43).
Таким образом, мы завершили доказательство свойств (а), ф), (у) и можем приступить
к построению оператора U. Этот оператор окажется унитарным, если имеет место F.42), и
антиунитарным, если справедливо F.43). Мы приведем эту конструкцию для второго случая,
предоставляя читателю сделать необходимые модификации при рассмотрении первого случая.
Фиксируем единичный вектор Ф ? j^f и сопоставим каждому вектору Ч пару операторов
SvpH^X^I и ГЧГ=|Ч'><Ф j
ранга <1, которые, очевидно, обладают свойствами:
Sv; F.48)
=S^. F.49)
Из доказанных выше свойств отображения х следует, что равенства F.48) сохраняются
при замене S^f на t(S^.), в то время как F.49) в силу F.43) переходит в соотношения
т GV) т (Tv)* = tr x(Sv) x (Svp.), x GV)« t G» = т (Sv). F.50)
Из нового равенства типа F.48) следует, что можно найти единичный вектор Ф' в $С*
такой, что
ТEФ)=5Ф' = 1Ф'ХФ'1- F-51)
Упражнение 6.28. Показать, что при данном Ф' существует однозначно опреде-
определенный вектор Y'gj^f' такой, что
тG\г) = |Ф'><Т'1. F.52)
(Указание: воспользоваться равенствами F.50) и леммой 6.9.)
231
Теперь мы определим оператор U равенством
Uy? = xP' при всех
Введенный таким образом оператор U, во-первых, антилинеен; во-вторых, он изометричен
(что следует из второго равенства F.49) и из F.40)); в-третьих, U отображает $% на все
,%", так как из равенства т (S^,-) = Syy, и из предположения теоремы (что соответствие 1
5*—+5*' является биекцией) следует, что S^, пробегает все множество Ti+З*, когда W про- )
бегает $?(. Следовательно, оператор U антиунитарен. Далее, из цепочки очевидных равенств ;
следует, что U удовлетворяет и F.35). Значит, U есть искомый антиунитарный оператор.
Заметим, что весь произвол в выборе оператора U сводится к произволу в выборе вектора
Ф'« удовлетворяющему условию F.51).
Упражнение 6.29. Показать, что если U и U'— два оператора, удовлетворяющих
условию теоремы 6.8, то они отличаются лишь фазовым множителем: U'=eiaU (<x?R).
Этим завершается доказательство теоремы Вигнера.
Упражнение 6.30. Пусть биекция т: 53—>¦ 3* удовлетворяет условию теоремы
Вигнера (при $? = «%") и пусть а—тот. Доказать, что симметрия а унитарно порож-
порождена, т. е. что существует унитарный оператор V в SK такой, что а(П)= VHV~l для
всех П?3*- (Указание: в качестве V можно взять U2, где U определен теоремой 6.8.)
В качестве следствия из теоремы Вигнера имеем алгебраическую харак-
теризацию симметрии.
Предложение 6.10. Пусть (а, а') есть симметрия; тогда отобра-
отображение а: 31—>-Ш есть автоморфизм Иордана, т. е. а есть линейная биек-
биекция 31 на себя, причем
а(Л2) = (а(Л)J при всех А б 31. F.53)
¦^ Поскольку линейность а была установлена ранее, остается проверить свойство F.53).
Пусть п — произвольное неприводимое представление алгебры Щ в некотором гильбертовом
пространстве ffl. В силу предложения 6.2 PSn есть сектор в PS Ct), состояния которого нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с одномерными проекторами в ffl. Упражнение 6.25
показывает, что а' отображает с сохранением вероятностей перехода сектор PSn на некоторый
(возможно, другой) сектор PSn', где it'— некоторое неприводимое представление алгебры Щ
в гильбертовом пространстве,%". Следовательно, задана биекция П -*• П' множества всех одно-
одномерных проекторов. Так как (согласно замечанию в п.6.1.В) вероятность перехода между
двумя состояниями из PSn (и аналогично из PSn>) имеет обычный квантовомеханический вид
F.7), то биекция т удовлетворяет условию теоремы Вигнера 6.8. Пусть U — соответствующий
унитарный или антиунитарный оператор, удовлетворяющий F.35). Тогда для любого шэ
scing PSn и А ? Щ имеем
(а'ш) (а.А) =tr(IIV (aA)) = tt(UnU-1n' (aA)) = tr(IlU-1 (я' (аД))'*> U) F.54)
(где знак (*) означает эрмитово сопряжение), если оператор U антиунитарен (и оставляет
п'(а,А) неизменным, если U унитарен). С другой стороны, левая часть в F.54) есть ш(Л)=
=tr(Tln(A)), откуда (в силу произвольности П) заключаем:
или, эквивалентно,
я' (аА) = Un {А)<*> U-K F.55)
Из последнего равенства легко следует я'[а,(А2)]=я'[(а,А)Ц. Переходя к состояниям, получаем
<о'[<х(А2)]=(й'[(аАJ] для всех co'^PSn и, значит (в силу произвольности я, а вместе с ним и
я'), Для всех co^PSCt). Поскольку совокупность всех чистых состояний отделяет элементы
алгебры Щ, мы приходим теперь к соотношению F.53). >
В частности, применяя предложение 6.10 к элементам А-\-В, А и В, на-
находим
а (АВ+ВА)=а (А) а (В)+а (В) а (Л). F.56)
Часто именно это свойство (вместе с F.27) и линейностью а) берется в качестве
определения гомоморфизма Иордана С*-алгебры.
Напомним, что априори физический смысл придается лишь эрмитовым элементам алгебры
наблюдаемых и множество ЭДЛ этих эрмитовых элементов обладает структурой алгебры Иорда-
Иордана. В свете этого результат предложения 6.10 выглядит очень естественным, ибо он показывает,
что симметрия воспроизводит алгебраические операции, присущие ?[^. Класс автоморфизмов
Иордана алгебры 51, вообще говоря, более широк, чем класс алгебраических автоморфизмов
(когда — наряду с F.27) и линейностью а — требуется: а(АВ)зза(А) а(В) при А, В ? Щ).
232
ханики, где имеются антиунитарио порождаемые симметрии (например отражение времени),
для которых биекция а является алгебраическим антиавтоморфизмом *) (т. е. а линейна,
а,(А)*=а(А)* и а(ЛВ)=а(В) а(А)). Алгебраические автоморфизмы и алгебраические анти-
антиавтоморфизмы составляют уже вполне достаточный для приложений класс иордановых автомор-
автоморфизмов **).
Упражнение 6.31. Пусть симметрия (а, а') является квадратом некоторой симмет-
симметрии (р\ [3 ) (т. е. а=|3'|3). Доказать, что тогда а является алгебраическим автоморфизмом.
!, (Указание: с помощью упражнения 6.30 уточнить, что оператор U, использованный в доказа-
доказательстве предложения 6.10, является унитарным; тогда из F.55) следует, что л'[а(АВ)]=
—я'(аА) я'(аВ) при всех А, В?31 и при любом неприводимом представлении я'.)
До сих пор мы имели дело прежде всего с поведением наблюдаемых и со-
[стояний при преобразовании симметрии. Задача о трансформационных свой-
!ствах векторов физического гильбертова пространства состоит в том, чтобы
[указать закон преобразования (биекцию) ф ->-ф' векторов, который был бы
^согласован с преобразованием векторных состояний:
о>ф> = а' (соФ), Ф ? Ж. F.57)
0 такой биекции Ф —>Ф' мы будем говорить как о преобразовании векторов
в Ж, порождающем симметрию (а, а') (или даже просто как о симметрии).
Однако условия согласования недостаточно для того, чтобы однозначно фикси-
фиксировать трансформационные свойства векторов в Ж. Дело в том, что параметри-
параметризация (векторных) состояний векторами гильбертова пространства неодно-
неоднозначна, и в случае нестандартных правил суперотбора этот произвол может
быть весьма значителен (в п. 6.2.Б мы интерпретировали его как ненаблюдае-
ненаблюдаемые степени свободы). Здесь мы ограничимся случаем стандартных правил су-
суперотбора, предполагая, что симметрия а' оставляет инвариантным множество
состояний ©, ассоциированных с физическим представлением алгебры 31 (см.
постулат А. II) ***).
В частности, когда все пространство Ж когерентно (что соответствует кван-
товомеханической системе фиксированного числа и типа частиц), теорема Виг-
нера позволяет задать закон преобразования векторов в виде
Ф' = {/Ф, F.58)
где U — унитарный или антиунитарный оператор, определенный с точностью
до фазового множителя: преобразование
U^U'=tU, F.59)
[где х€С, 1x1 = 1. очевидно, не меняет (анти)автоморфизма алгебры 3L
[ Предложение 6.11. Пусть физическое представление алгебры наблю-
;¦ даемых 31 в гильбертовом пространстве Ж обладает стандартными прави-
шми суперотбора и пусть алгебраический автоморфизм (или антиавтомор-
• физм) а алгебры 31 определяет симметрию (а, а'), оставляющую множест-
множество физических состояний © инвариантным. Тогда эта симметрия порож-
порождена унитарным (соответственно антиунитарным) оператором U в Ж, при-
причем существует биекция v—»-v' множества индексов N (нумерующих
*) В этой ситуации некоторые авторы в качестве а (А) используют то, что у нас со-
соответствует а (Л)*. Тогда биекция а оказывается антилинейной и а(ЛВ)=сс(Л) а (В). При
этом трансформационные свойства (эрмитовых) наблюдаемых остаются прежними, так что обе
¦ точки зрения физически эквивалентны.
**) Строго говоря, ограничение рассмотрения симметрии автоморфизмами либо антиав-
антиавтоморфизмами является дополнительной гипотезой. Априори можно думать о симметрии, ко-
которая в одном секторе представляется унитарным, а в другом — антиунитарным оператором.
В таком случае нельзя было бы ничего добавить к предложению 6.10, гарантирующему, что а
является автоморфизмом Иордана. В дальнейшем, однако, мы увидим, что для физически инте-
интересных симметрии привлечение других постулатов теории (таких, как условие положитель-
положительности энергии) исключают подобные «смешанные представления». Поэтому, чтобы избежать
лишних усложнений, мы действительно будем рассматривать впредь (где это нам понадобится)
лишь симметрии, порождаемые алгебраическими (анти)автоморфизмами.
***) В случае, когда а' выводит @ за пределы этого класса, алгебраическую симмет-
симметрию нельзя реализовать (анти)унитарным оператором в гильбертовом пространстве ЖоЬуз (и
мы имеем дело со спонтанно нарушенной симметрией).
233
когерентные подпространства в Ж) на себя, так что U унитарно или
антиунитарно отображает когерентное подпространство Ж^ на Ж^,. Опе-
Оператор U определен этими условиями с точностью до произвольного унитар-
унитарного суперотборного оператора, т. е. вместо U можно с равным успехом
взять F.59), где %—произвольный унитарный суперотборный оператор.
^ Мы ограничимся случаем алгебраического автоморфизма а. Пусть Sv — сектор
чистых состояний, определяемых векторами когерентного подпространства Ж • Согласно
упражнению F^25) a'(Sv) есть также сектор в PSCl). Кроме того, по определению a' (Sv)
содержится в to — множестве состояний, определяемых матрицами плотности в ,^f. Отсюда
следует, что a'(Sv) = SV' для некоторого индекса v'. Рассуждая далее, как в доказательстве
предложения 6.10, мы приходим к соотношению типа F.55) для всех
nv,(a/4) = t/vnv(/4)<4f/-i; F.60)
здесь Uy: fflv—>¦ SfCv,— унитарный или антиунитарный оператор. В действительности U
можно считать унитарным. В случае dim ffl = • это очевидно (см. сноску к теореме 6.8).
В случае dim ^fv > 1 имеем: itv B[)гс = S3 (Жv) есть некоммутативная алгебра, следова-
следовательно, nv C1) также некоммутативна (см. упражнение 1.67), но тогда антиунитарный харак-
характер оператора U несовместим с формулой F.60), ибо по условию а есть алгебраический
автоморфизм. Теперь в качестве искомого оператора U можно взять ?/=2 UvYlv, где П —
v
проектор в Ж иа S%4- Произвол в построении оператора U следует из структуры комму-
коммутанта алгебры 31. (А именно, всякий ограниченный оператор в ffl, коммутирующий с Ш,
имеет вид 2 avnV' av€C-) >
v
Мы видим, что произвол в выборе оператора U в случае стандартных правил суперотбора
сводится к семейству {-/_v}veN фазовых множителей (своего для каждого когерентного под-
подпространства). Следует, однако, подчеркнуть, что предложение 6.11 дает лишь предварительное
решение вопроса о трансформационных свойствах векторов состояний, ибо оно не учитывает
дополнительные структуры теории (например, локальную структуру квантовой теории), ко-
которые в состоянии существенно сократить произвол в выооре оператора U.
В. Группы симметрии. Будем называть группу G группой симметрии
(или группой инвариантности) алгебры наблюдаемых ?{, если задан гомо-
гомоморфизм g—>¦(«?, ag) группы G в группу всех симметрии системы (Hi, S(%)).
Особый интерес°представляет случай, когда G — группа Ли. В этом случае
¦мы будем предполагать следующее условие непрерывности: при любом физи-
физическом состоянии ш^З и любом фиксированном А ?}{ функция g—»-со(аг(Л))
непрерывна по g.
В частности, если a'g оставляет 2> инвариантным при всех g?G, мы
будем говорить о группе симметрии системы (ЭД, -2). Состояние <в?© назы-
называется G-инвариантным, если ag(co) = co (или, эквивалентно, если со(аг(Л))=
= (о(Л)) для всех g?G.
Заметим, что мы не случайно ограничились состоянием 3 при наложении условия не-
непрерывности. Для множества всех состояний S C1) такое условие было бы слишком сильным.
Это обстоятельство демонстрирует необходимость сужения множества всех возможных состоя-
состояний при описании данной физической системы.
Интерес к рассмотрению конкретных групп симметрии поддерживается
тем, что такие группы нередко отражают фундаментальные физические пред-
представления. Так, нерелятивистские представления о пространстве-времени дик-
диктуют инвариантность относительно группы Галилея, в то время как однород-
однородность и изотропность релятивистского пространства-времени (Минковского)
находят свое выражение в инвариантности относительно группы Пуанкаре. Не
менее важную структурную роль в теории играют и так называемые внутрен-
внутренние симметрии (непосредственно не связанные с пространством-временем).
Упражнение 6.32. Пусть Э(—алгебра наблюдаемых, реализованная операторами из
S3 (Ж)\ как обычно, <2> есть множество состояний, ассоциированных с матрицами плот-
плотности в .yjf. Доказать, что условие непрерывности, подразумеваемое в определении группы
симметрии, эквивалентно тому, что для любого фиксированного А ? 21 отображение
g—> ag (А) непрерывно по g?G в слабой (или, эквивалентно, в сильной) операторной
топологии в S3{'7€)- (Указание: при доказательстве первоначального условия непрерывности
.234
использовать, что любое состояние из чэ есть конечная или счетная выпуклая линейная
комбинация векторных состояний и потому с любой точностью по норме аппроксимируется
конечной линейной комбинацией векторных состояний. При доказательстве утверждений о
непрерывности в слабой операторной топологии воспользоваться тем, что всякий функционал
А—> <Ф, АУу на 3t есть линейная комбинация векторных состояний. Наконец, при дока-
доказательстве утверждения о сильной операторной топологии достаточно перейти к пределу
в соотношении \ag (А)|Ф — ФЦ2 = (Ф, ag(A*A) Ф)- (ag(A) Ф, АФ) — (АФ, ag (А) Ф)+
А*АФ)\
Если группа симметрии G связна, то без ограничения общности всегда
можно предполагать ее односвязной; в противном случае G можно заменить
универсальной накрывающей группой G и положить
где ф—накрывающий гомоморфизм. Такая замена весьма удобна в ряде
вопросов (например в вопросе сб интегрируемости представлений алгебры
Ли группы). Заметим, что полученная таким образом симметрия G обладает
свойством:
Р~= id (тождественное преобразование), если (p(g) = e. F.62)
Как показывает следующее упражнение, это свойство позволяет вновь вер.
нуться к симметрии группы G.
Упражнение 6.33. Пусть ф есть гомоморфизм группы О на группу G (здесь не пред-
предполагается, что 6 есть универсальная накрывающая для G). Пусть G является группой симмет-
симметрии, причем выполнено условие F.62). Показать, что соотношение F.61) корректно определяет
G как группу симметрии.
Упражнение 6.34. Пусть G ¦— связная группа Ли симметрии. Доказать, что для
всех g?G <Xg является алгебраическим автоморфизмом алгебры наблюдаемых.- (Указание:
воспользоваться упражнениями 6.33 и Г.7.)
Мы ограничимся практически наиболее важным классом симметрии, когда
для произвольного элемента g? G ag является либо алгебраическим автомор-
автоморфизмом, либо алгебраическим антиавтоморфизмом; ниже всюду предполагается
выполненным это условие. (Согласно предшествующему упражнению случай
антиавтоморфизма может иметь место лишь для элементов g, не находящихся
в связной компоненте единицы группы G.)
Будем говорить, что группа симметрии G унитарно-антиунитарно реализо-
реализована, если существует непрерывное (в слабой или, эквивалентно, в сильной
операторной топологии) представление g -*- Ug группы G унитарными или ан-
антиунитарными операторами (в соответствии с тем, является ли а^. алгебраиче-
алгебраическим автоморфизмом или антиавтоморфизмом) в физическом гильбертовом
пространстве Ж такое, что для всех А ? 91, g? G имеет место
UgA™U;\ F.63)
где А (*' есть А для унитарного Ug и Л* для антиунитарного Ug. Разумеется,
операторы Ug унитарны для всех g из связной компоненты единицы группы G
(см. упражнение 6.34). Обратим внимание, что вопрос о том, является ли дан-
данная группа симметрии G унитарно-антиунитарно реализованной, зависит от
выбора (физического) представления я алгебры наблюдаемых. Если физическое
представление обладает этим свойством, то для всех элементов g по крайней
мере из связной компоненты единицы группы G соответствие А —>~ ag(A) задает
представление Ш. в Ж, феноменологически эквивалентное исходному представ-
представлению п. В этом смысле можно говорить об инвариантности самого физическо-
физического представления относительно данной группы симметрии. Значение унитарной
реализации (связной) группы симметрии состоит еще в том, что генераторы
представления, как правило, допускают физическую интерпретацию, придавая
значение самосопряженных операторов величинам, существовавшим дотоле
лишь в эвристическом смысле (скажем, в рамках канонического формализма
квантовой теории поля). Поэтому имеет смысл дополнительно требовать, чтобы
генераторы унитарной реализации U связной группы симметрии были само-
235
сопряженными операторами в Ж, присоединенными к алгебре наблюдаемых
фон Неймана 21, или, что то же самое, чтобы операторы представления U связ-
связной группы симметрии принадлежали %. (При дополнительных ограничениях
это условие удается доказать ниже в предложениях 6.12 и 6.13.)
Конструкция ГНС доставляет наиболее эффективный критерий, позволяю-
позволяющий судить о том, что группа симметрии унитарно-антиунитарно реализована.
Правда, этот критерий имеет большее значение в несколько ином контексте —
применительно не к алгебрам наблюдаемых, а к полевым алгебрам (см. § 10.3),
поскольку там условие цикличности вектора инвариантного состояния более
уместно. Поэтому мы сформулируем это утверждение в несколько более общей
форме. Подобно сказанному выше, мы будем называть G группой симметрии
С*-алгебрыЭД операторов в гильбертовом пространстве Ж, если задан гомомор-
гомоморфизм g -*- ag группы G в группу автоморфизмов и антиавтоморфизмов алгебры
81, причем ag(A) непрерывно по g при любом фиксированном А ? 31 в слабой
(или сильной) операторной топологии.
Предложение 6.12. Пусть G является группой симметрии С*-
алгебры 31 операторов в гильбертовом пространстве Ж и пусть Q — цикличе-
циклический вектор алгебры Ж, определяющий G-инвариантное состояние. Тогда группа
симметрии G реализована посредством непрерывного (в слабой или сильной опе-
операторной топологии) унитарно-антиунитарного представления g -*¦ Ug груп-
группы G в Ж, которое наряду с F.63) обладает свойством
UgQ=Q для всех g? G. , F.64)
Представление U с этими свойствами единственно.
Упражнение 6.35. Доказать предложение 6.12. (Указание: Ug следует определить
соотношением UgAQ = ag(A)Q для всех А?21; ср. с упражнением 1.57.)
Рассмотрим проблему унитарной реализации связной группы симметрии
в рамках гипотезы стандартных правил суперотбора. Согласно предложению
6.11 каждому отдельному элементу g ? G можно сопоставить унитарный опера-
оператор Ug, удовлетворяющий F.63). Поэтому проблему можно заменить двумя
более конкретными вопросами: во-первых, зависит ли Ug непрерывно от g
(скажем, в сильной операторной топологии); во-вторых, является ли соответ-
соответствие g -*¦ Ug представлением группы G. Чтобы, обеспечить непрерывность
¦Ug no g, приходится усилить требование непрерывности группы симметрии
по сравнению с тем, что предполагается в определении группы симметрии. Это
видно из следующего упражнения.
Упражнение 6.36. Доказать, что если симметрия группы G унитарно-антиунитарно
реализована, то ag (со) непрерывно зависит от g (при любом фиксированном со?<2) в топо-
топологии нормы на ©• (Указание: любое состояние из 3 с любой точностью в топологии
нормы аппроксимируется конечной выпуклой линейной комбинацией векторных состояний,
а для векторных состояний имеем ||а^ (шф) — соф [|<2|| Ф [J-j| С/-Ф — ФЦ.)
Упражнение 6.37. Пусть G— связная группа симметрии, причем ag (со) непре-
непрерывно по g в топологии нормы на © (при любом фиксированном ш?<3). Доказать, что при
любом g?G биекция a'g отображает любой сектор SczS на себя. (Указание: из предыду-
предыдущего упражнения вывести, что для любого фиксированного co?S существует окрестность Q
единицы группы G такая, что a>.ag (со) фО при всех g?0, значит, [со и ccg (со) находятся
в одном секторе; использовать далее, что произвольный элемент из G есть произведение
конечного числа элементов из Q.)
Из последнего упражнения явствует, что фигурирующее там условие
непрерывности гарантирует, что каждый сектор остается на месте при сим-
метриях связной группы G. Следовательно, вопрос об унитарной реализации
связной группы симметрии может быть переформулирован в терминах
отдельно взятых когерентных подпространств Mv. А именно, каждому отобра-
отображению a'g: ©—»¦ © соответствует сохраняющая вероятность перехода биекция
множества всех единичных лучей в Жх или, что то же, биекция rv(g):
Sbv—*9iv множества всех одномерных проекторов (в Жу) на себя, сохра-
236
няющая величины tt^IIjy. При этом имеет место групповое свойство: Tv(e)
есть тождественное отображение, и tv(g1gt) = xv(g1)oxv(gt). Кроме того,
выполнено условие непрерывности: tv (g) (П) непрерывно по g для любого
фиксированного П, где подразумевается, что 5% снабжено метрикой, заим-
заимствованной из РБ(Щ, т. е.
ОД, n2) = ||con1-(On2|| = 4(l-tr(nin2)) F.65)
(см. упражнение 6.4 и формулу F.4)). В этом случае говорят, что в SVV
задано унитарное проективное представление xv связной группы G. Нас
интересует, может ли tv быть унитарно реализовано, т. е. можно ли пред-
представить xv в виде
xv(g)(n) = Uv(g)IlUv(g)-\ F.66)
где Uv(g) — непрерывное (в слабой операторной топологии) представление
группы G. Это так называемая проблема поднятия проективных представле-
представлений, изученная в полной общности Баргманом A954). В общем случае ответ
на поставленный вопрос оказывается отрицательным. Тем не менее для неко-
некоторых важных классов групп он решается в положительном смысле, вообще
говоря, ценой замены данной группы G некоторой накрывающей группой Gt
(в качестве Gx можно «с запасом» взять универсальную накрывающую
группу G). Мы ограничимся рассмотрением нескольких характерных приме»
ров (за доказательством мы отсылаем к статье Баргмана).
Примеры. 1) Пусть G есть аддитивная группа R вещественных чисел;
в этом случае Gx также есть /?.
2) Пусть G есть связная компактная абелева группа—тор i/(l)"==
= 1/A)х . ..xi/(l); в этом случае в качестве G1 можно взять G.
3) Пусть G есть связная компактная группа Ли; в этом случае сущест-
существует компактная накрывающая группа Gx для G, изоморфная i/(l)"xG', где
С—некоторая связная компактная полупростая группа Ли.
4) Пусть G есть связная полупростая группа Ли; тогда в качестве Gx
следует взять универсальную накрывающую G. (Примерами таких групп G
являются группа вращений О+C) и собственная группа Лоренца L\; соот-
соответственно G есть Si/B) и SLB, С).)
5) Пусть G есть собственная группа Пуанкаре 9$\ (см. о нел в п. 7.1.А),
в качестве G± следует взять универсальную накрывающую 9$0 для ^$|.
Предложение 6.13. Пусть связная группа Ли G принадлежит
(хотя бы) одному из перечисленных выше типов 1)—5) и Gt—соответствую-
Gt—соответствующая накрывающая для G. Пусть система C1, ©) со стандартными правилами
суперотбора обладает симметрией относительно группы G (и, значит, отно-
относительно Gj), причем a'g((o) непрерывно по g в топологии нормы (при любом
«€©). Тогда эта симметрия группы Gx реализуема унитарными оператор
рами U (g) (g^Gj), принадлежащими алгебре наблюдаемых фон Неймана Ш
и образующих представление группы Gv Для элементов g из ядра накры-
накрывающего гомоморфизма Gx —>¦ G операторы U (g) принадлежат центру 3
алгебры Ж.
Физически важным примером группы Ли, к которой предложение 6.13 не применимо,
является A0-мерная) группа Галилея — группа симметрии нерелятивистской квантовой
механики. В связи с этим в нерелятивистской квантовой механике возникает своеобразное
правило суперотбора по (полной) массе. (Обсуждение этого вопроса также имеется в статье
Баргмана.)
6.4. КАНОНИЧЕСКИЕ КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
А. Роль представления Шредингера. К числу систем, играющих первосте-
первостепенную роль в квантовой теории, относятся системы, порожденные канониче-
каноническими коммутационными соотношениями (KKQ. Здесь мы займемся вопроса-
вопросами, каким образом, алгебра наблюдаемых канонической системы определяется
237
посредством ККС и почему в случае конечного числа степеней свободы (после
надлежащего уточнения кинематических деталей) имеется, по существу, ее
единственное физически интересное представление. (Напротив, в квантовой
теории поля играют роль различные неэквивалентные представления ККС.)
Как уже отмечалось, в обычной формулировке квантовой механики с п
степенями свободы все физические величины — функции позиционных коор-
координат <7=(<7ь • • • » Яп) и импульсов р~(ри . . . , рп), являющихся эрмито-
эрмитовыми (точнее, существенно самосопряженными) операторами в гильбертовом
пространстве Ж, подчиненными ККС *)
\qh qh]=O=lpj, ph], [qjt ph] = i8jh F.67)
(здесь и далее [А, В]=АВ—В А есть коммутатор двух операторов). Всякий
такой набор операторов р и дмы будем называть также представлением ККС.
Упражнение 6,38. Показать, что эрмитовы операторы pj и qj, удовлетворяющие
ККС, не могут быть ограничены одновременно. (Указание: предполагая, что все указанные
операторы ограничены, вывести из F.67), что при всех a?Rn имеет место соотношение
п
[qj, e'Pa] = — a/P", pa** ^ pyaf; F.68>
/=1
оценить теперь по норме левую и правую части и устремить aj к бесконечности.)
Поскольку в F.67) входят неограниченные операторы, эти соотношения
плохо определены. Для преодоления этой трудности следует перейти к огра-
ограниченным функциям от р и q. Введем две n-параметрические абелевы группы
унитарных операторов
eibi, F.69)
n n
где а/) = 2 CLjpj, bq= 2 tyqj. Абелевость групп операторов U(a) (и соответ-
ственно V(b)) является эквивалентом прежнего условия коммутативности
операторов ри . . . , рп (и соответственно <ji, • • • > Яп)'-
U(a)U(a') = U(a+a'), V(b) V(b') = V (b+b1). F.70)
Оставшиеся коммутационные соотношения между р и q можно выразить так:
= eiabV(b)U(a). F.71)
На эвристическом уровне соотношение F.71) следует из F.67) как результат
манипуляции с рядами (ср. упражнение 6.38). В действительности же F.70),
F.71) нельзя вывести из F.67) без дополнительных «технических» предложений
(которые нас здесь не интересуют).
Рассмотрим традиционное представление ККС в гильбертовом прост-
пространстве Ж = J272 (/?") комплексных квадратично интегрируемых функций Y
от п вещественных переменных q^(qu ..., qn). Оператор qj определим как
оператор умножения на переменную qj и положим Pj = — 1з~- В качестве
областей определения операторов q,- и р.- можно взять пространство Шварца
^(/?")^2 (/?")
Упражнение 6.39. Доказать, что операторы qj и pj в X2 (/?") существенно само-
сопряженны на ?f (/?"). (Указание: убедиться, что qj и рj симметричны, далее показать,
что ?& (/?") является областью аналитичности для qj, в то время как множество функций
из gf (/?"), преобразование Фурье которых принадлежит ё& (/?"), образует область анали-
аналитичности ДЛЯ Pj.)
Ясно, что так определенные операторы q и р образуют представление
ККС, называемое представлением Шредингера. Они интерпретируются как
*) В стандартной системе единиц, используемой 'в квантовой механике, вместо
в F.67) должно стоять ikbjk, где % — постоянная Планка, деленная на 2я.
238
координатные и импульсные переменные точечной квантовой системы в п-мер-
ном евклидовом пространстве (или системы N квантовых частиц в обычном
трехмерном пространстве, если п = ЗМ). В этом случае операторы U (а) и
V(b) действуют в J?2(/?") так:
a), F.72)
7). F.73)
Легко убедиться, что соотношения F.70), F.71) выполнены.
В соответствии со сказанным выше в качестве корректной формулировки
ККС, имеющей дело только с ограниченными операторами, мы примем следую-
следующее определение. Назовем представлением ККС в экспоненциальной форме
для системы с п степенями свободы пару абелевых «-параметрических групп
U (a), V{b) унитарных операторов в гильбертовом пространстве Ж, удовлет-
удовлетворяющих соотношениям F.70), F.71) при всех a, b?R". (Напомним, что со-
согласно п. 1.4.В в определение таких групп входит требование их непрерывности
по параметрам в слабой операторной топологии.) Представление ККС в экспо-
экспоненциальной форме мы будем также называть системой Вейля (в Ж). Переход
от операторов U(a), V(b) к координатам и импульсам осуществляется на осно-
основании теоремы Стоуна 1.17, позволяющей записать U(a), V(b) в виде F.69).
Как обычно, если имеется другая система ККС U'(a), V'(b) в гильбертовом
пространстве Ж' и она связана с исходной системой соотношениями U'(a) =
=SU(a)S~1, V'(b)=SV(b)V-1, где S: Ж'-+Ж — унитарный оператор, то
эти два представления ККС называются унитарно эквивалентными. Система
Вейля U(a), V(b) в Ж называется циклической с циклическим вектором Ф ? Ж,
если векторы вида U (а) V (Ь) Ф при всех a, b ? Rn образуют тотальное множе-
множество в Ж. Приведем еще стандартное определение неприводимости системы
Вейля U (a), V(b) в Ж: оно сводится к требованию, чтобы в Ж не существовало
нетривиального замкнутого подпространства, инвариантного относительно
всех операторов U(а), V(Ь). (Напротив, если в Ж имеется такое инвариантное
подпространство Ж', то его ортогональное дополнение также инвариантно и
исходное представление ККС разлагается в прямую сумму двух представле-
представлений.)
Упражнение 6.40. Доказать, что условие неприводимости системы Вейля U (а),
V (Ь) в Ж эквивалентно каждому из следующих двух условий: A) любой ненулевой век-
вектор в ,%¦ является циклическим; B) любой ограниченный оператор в ,%", коммутирующий
со всеми операторами U (а), V (Ь), кратен единичному оператору. (Указание: здесь приме-
применима аргументация упражнения 1.54.)
У пр ажне ние 6.41. Доказать, что представление Шредингера неприводимо. (Указа-
(Указание: пусть Ф — произвольный фиксированный ненулевой вектор из J?2 (Rn) и пусть функция
Т ? X * (/?") ортогональна всем функциям 1/(а)У(Ь)Ф. Следует доказать, что У=0. Для
этого достаточно убедиться, что У (х-\~а) Ф (х) = 0 в Зб1 (Rn) при всех a?Rn, откуда сле-
следует, что ? (х-{-у)Ф(х)=0 в tf' (R2n) и, значит, ? = 0.)
Справедлива замечательная теорема фон Неймана, утверждающая, что
с точностью до унитарной эквивалентности и кратности существует единствен-
единственная система ККС Вейля для системы с п степенями свободы.
Теорема 6.14 (теорема единственности фон Неймана). Всякая непри-
неприводимая система Вейля с п степенями свободы унитарно эквивалентна шредин-
геровскому представлению в ?-'2(R"). Всякая приводимая система Вейля (с п
степенями свободы) есть прямая сумма неприводимых представлений и, значит,
кратна шредингеровскому представлению.
Мы приведем доказательство этой теоремы в п.6.4.В. Ее значение для кван-
квантовой механики весьма велико, ибо оно позволяет ограничиться каким-либо
одним неприводимым представлением ККС, скажем, представлением Шре-
Шредингера. Другое применение она находит в построении абстрактной алгебры
наблюдаемых для системы ККС (с конечным или бесконечным числом степеней
свободы); тем самым она дает возможность включения таких систем в общую
алгебраическую схему. Мы также вернемся к этому вопросу в п.6.4.В.
239
Представления канонических коммутационных соотношений в форме Вейля заранее от-
отвергают возможность, чтобы один из операторов q или р был ограничен. Чтобы убедиться в этом!
и увидеть, какой физической задаче соответствует подобный случай, рассмотрим движение части- '
цы по окружности. В этом случае координата q изменяется в интервале длины 2it, и представле-
представление типа Шредингера будет реализовано в гильбертовом пространстве ,^f=j!?2([—it, it]). Им-
Импульс р определим как оператор дифференцирования р=—i-г- с областью — множеством
Dp абсолютно непрерывных функций W (q) с квадратично интегрируемой первой производной,
удовлетворяющих условию периодичности ?(—it)=4f (it). Легко видеть, что ? обладает прос-
простым дискретным спектром, рп=п(=0, ±1, ±2, . . .) (соответствующие нормированные соб-
собственные функции равны ^п~- Bn)~1'ieinq). Коммутационное соотношение Вейля
-iqb_ei (р-Ь) а
может.иметь место лишь при целых Ь, так как в противном случае изменился бы спектр опера-
оператора е'Рь (что невозможно при унитарном преобразовании). Это противоречит гипотезе о суще-
существовании непрерывной группы унитарных операторов V(b).
Кроме того, движение частицы по окружности обладает еще другими особенностями с точ-
точки зрения обычной квантовой механики. С этой целью рассмотрим неравенство (или «соотно-
«соотношение неопределенностей») Гейзенберга:
Э.1/*. F-74>
Здесь (Др)ф = <Ф, (р — рфJФУ, (А9)ф = <Ф, (?—?ФJФ> — дисперсии импульса и коор-
координаты в состоянии, определенном единичным вектором Ф; /?Ф = <Ф, /»Ф> и ?Ф = <Ф, дФ> —
средние значения этих величин. Записывая дисперсии в форме (Д/О)ф = |]0>—/°ф)Ф||3и
(Д<?)ф=||(<7—?ф)ф|2. мы видим, что величины, входящие в соотношение неопределенностей,
хорошо определены (или «конечны») лишь при условии, что Ф принадлежит одновременно
областям определения замыканий операторов р и q.
Упражнение 6.42. Доказать соотношение неопределенностей для шредингеров-
ского представления ККС в Jf2 (R). (Указание: вначале доказать это соотношение для
любого единичного вектора Ф^^(^). пользуясь неравенством
II [« (<?-?ф)+ '(р-Рф)] Ф II2 S* О,
справедливым при всех вещественных а. Убедиться далее, что для любого единичного век-
вектора Ф, для которого соотношение неопределенностей имеет смысл, можно выбрать последо-
последовательность векторов вида Ф„ (х) = (а>„ (х) Ф (х))*%п (х), где а>„ и %п — подходящие функций
из д>(К), так что |)ф_фя||_н.о, (ДР)Ф„—(Др)ф, (Д<?)ф„ —• (Д<7)ф-)
Из результата этого упражнения обычно делают вывод об универсальной применимости
неравенства Гейзенберга. Такой вывод действительно оправдан, когда имеют дело с обычным
представлением Шредингера, соответствующим движению по прямой. Легко видеть, что в слу-
случае движения точки по окружности соотношение неопределенностей может нарушаться, ибо
дисперсия по координате не превосходит BitJ, в то время как дисперсия по импульсу может
быть сколь угодно малой. В частности,
для любого собственного вектора Ф=ЧГЛ оператора р. (На таком векторе произведение pq опе-
операторов не определено, поэтому стандартное доказательство соотношения неопределенностей
становится неприменимым.)
Б. Бесконечное число степеней свободы. Система Вейля U (a), V(b) стро-
строится на базе п-мерного евклидова пространства (ибо a, b?Rn). С целью обоб-
обобщения на случай произвольного числа степеней свободы мы будем исходить из
некоторого вещественного векторного пространства <§, в котором задано ска-
скалярное произведение (/, g). Мы будем считать это скалярное произведение по-
положительно определенным, но не будем предполагать полноты пространства $
относительно нормы ||/||=(/, /)'/г. (В контексте теории поля элементы / из $
играют роль пробных функций, сглаживающих операторы поля по простран-
пространственным переменным.) Размерность пространства <§ мы будем интерпретиро-
интерпретировать как число степеней свободы канонической системы. Здесь нас интересует
случай бесконечномерного <§.
Представлением ККС (или системой Вейля) над ? мы назовем пару ото-
отображений, сопоставляющих каждому вектору f(z<8 унитарные операторы ?/(/)
240
и V(f) в гильбертовом пространстве Ж, причем эти операторы удовлетворяют
соотношениям (при всех /, g&S)
U(f)U(g) = U(f+g), V(f)V(g) = Vtf+g), F.75a)
U{!) V(g)=e'<^ *> V(g) U{f) F.756)
и непрерывны в слабой операторной топологии, когда f пробегает произвольное
конечномерное подпространство в ?. В дальнейшем мы используем лишь это
минимальное требование непрерывности, которое даже не требует никакой то-
топологии в пространстве $. (Обычно $ может быть наделено естественной топо-
топологией ЛВП, и тогда условие непрерывности разумно соответственно усилить.)
В качестве примера рассмотрим ККС в квантовой теории поля, ограничиваясь для
простоты случаем вещественного скалярного поля. В этом случае операторы поля <р (*) и
сопряженные импульсы л (х) (где х = (хх, х2, X3)?RS) задают набор основных динамических
переменных в фиксированный момент времени. Они характеризуются ККС
№(*). ф(У)] = 0 = [я(ж), я ДО]. F.76а)
[Ф(«). *G0] = i6(*-j0 F.766)
и условием эрмитовости
я»(*) = я(*)- F.77)
Из сингулярной структуры коммутатора видно, что <р (*) ил (*) в действительности явля-
, ются операторными обобщенными функциями от х. В качестве пространства $ пробных
функций возьмем пространство tf'r (R3) вещественных функций из <у (Л3) с обычным ска-
скалярным произведением
(f. g)= $/(*)?(*) Л. F.78)
Пусть
$ J(*)f(*)d»x. F.79)
Тогда приведенные выше условия означают, что ф (f) и я (/) являются существенно само-
самосопряженными операторами (на некоторой области) в гильбертовом пространстве $%
такими, что
[Ф0. Ф(8)] = 0 = [я(/), я(гI, F.80а)
, Ф(Й1 = -'(/. в)- F-806)
Разумеется, отмеченные в предыдущем пункте недостатки формулировки ККС в терминах не-
неограниченных операторов переносятся и сюда. Корректная формулировка ККС достигается
соотношениями F.75) для операторов U(J), V(f), связанных с ф(/) и л(/) соотношениями
F.81)
Удобно работать с комплексным вариантом ККС. Для этого введем
комплексификацию ?е = <§ -\- i$ пространства <§. Запишем элементы F из $с
в виде F — f-\-ig(f,g€$)K определим скалярное произведение в $с, полагая
+ i(h> gJ-HL* Si)-
(В частности, комплексификация <5% (R3) есть <SP (R3) со скалярным произве-
произведением, заимствованным из J?2(/?3).) Введем (для любого F?$c) оператор
W (F) = W (f+ig) = e"f'*>V(Vf)U (V~2g). F.82)
Очевидно, операторы W (F) являются унитарными, удовлетворяют условию
W(F)*=W(—F) F.83)
| и непрерывны по F в слабой операторной топологии, когда F пробегает
j. произвольное конечномерное подпространство в <ВС- Перестановочные соот-
i ношения F.75) теперь записываются в виде одного соотношения (выпол-
| ненного для всех Flt F2 из ?с):
\ W (Ft) W (F2) = exp (- i Im <Flt Fa» W (Fx + F2). F.84)
| Семейство операторов W (F) с указанными выше свойствами мы будем назы-
• вать системой ККС в комплексной форме (над ?с в гильбертовом прост-
| ранстве 9С).
I 241.
Упражнение 6.43. (а) Проверить эквивалентность соотношений F.75) и F.84).
(б) Показать, что для системы Вейля с п степенями свободы выполнены соотношения'
W (г) == W (х+iy) = etx"el УТх"е1 VTyp = el VT^+yp) =
l — _
= eza* ~za= e~ 2 гггга\-га, F.85)
где
1 . » 1 . *
uj = -rr=(Pj — iqj), a.j = ——{pj + iqj), [ay, a*] = 0, [ay> afc] = Oy> F.86)
Фиксировав некоторый единичный вектор Ф из пространства представ-
представления, мы можем построить функционал над $с
E(F) = <,O, W(F)Q)>. F.87)
Упражнение 6.44. Доказать, что Е(F) обладает свойствами
A) нормировки ?@)=1,
B) положительности
п
2 ЯДГ&? {Fy—Fk) exp (— i Im <Fy, Fft» Ss 0 F.88)
.для любых наборов комплексных чисел %lt ..., Хп и векторов F-i, ..., Fn из (§с,
C) непрерывности по F, когда F пробегает произвольное конечномерное подпрост-
рранство в $с.
Всякий функционал Е (F) со свойствами A) — C) из упражнения 6.44
-мы будем называть характеристическим функционалом над ?с. Важность
этого понятия состоит в том, что оно доставляет возможность построения
.циклических представлений ККС (прочие же представления строятся из
циклических).
Упражнение 6.45. Доказать, что всякое представление ККС есть прямая сумма \
циклических представлений. \
Предложение 6.15. Всякий характеристический функционал над ?с
определяет унитарное представление W (F) = WE(F) ККС над $с с цикли- |
ческим вектором Ф, так что имеет место соотношение F.87). Предстоя- i
„ление WE определено этими требованиями однозначно с точностью до уни-"
тарной эквивалентности.
¦4 Рассмотрим множество §~ ($с) всех комплекснозначных функций R (F) на <§с, которые
,отличны от нуля лишь для конечного числа F g ?с. Очевидно, §~ ($с) является комплекс-
комплексным векторным пространством. Определим в ff" ((§c) произведение
RiRAF)= 2 /?i(F')/?2(F-F')exp(-»Im<F', F»
силу условий, налагаемых на R1 и i?2> сумма конечна), а также инволюцию
Нетрудно убедиться, что §~ ($с) является инволютивной алгеброй с единицей, а формула
2
F8
определяет положительный функционал на §~((?>с) (т- е- ®(R*R)^0). Тогда, согласно
конструкции ГНС, существует (единственное с точностью до унитарной эквивалентности)
представление я алгебры §~ ($с) в некотором гильбертовом пространстве 5? с цикличе-
циклическим вектором Ф ? ,^f, причем со(^)=<Ф, я(^)Ф> для всех R ? $с. Положим W (F) =
= n(Rf), где Rf—функционал на $с, равный единице в точке F и нулю в остальных
точках. Легко убедиться, что W (F) и есть искомое представление ККС над $с. >
Используем предложение 6.15 для построения примеров представлений
ККС*). Вначале рассмотрим случай я степеней свободы. Положим при z?C"
-V2|z|2). F.89)
*) Доказательство леммы 6.16 в следующем пункте служит другим применением пред-
предложения 6.15.
.242
Можно непосредственно убедиться, что Eg(z) является характеристическим
функционалом над С" и, значит, определяет циклическое представление ККС
^о(г) в некотором гильбертовом пространстве. Другое, более поучительное
доказательство этого утверждения составляет следующая явная реализация
функционала Ео в виде F.87).
У п ражнение 6.46. Пусть W (г) — шредингеровское представление ККС в JC2(Rn)
(см. упражнение 6.43). Рассмотрим нормированный вектор
Ф(<?) = л-п/4ехр(-1/гк12).
который, как известно из квантовой механики, определяет основное состояние гамильто-
п п
ниана гармонического осциллятора Я = х/г 2 (р/ + 9у) = 2 (а/а/+1/г)- Доказать, что
i=i i=1
?0(г) = <Ф, W (г) Ф>. (Указание: воспользоваться соотношениями F.85), F.86) и тем, что
o/D = 0.)
Аналогично, в случае бесконечномерного $с определим представление
ККС Wo (F) над &с с помощью характеристического функционала
. F.90)
; Можно непосредственно убедиться, что это действительно характеристиче-
[ ский функционал над <§с. Впрочем, это следует также из рассмотренного
i. выше конечномерного случая, согласно которому Ee(F) удовлетворяет усло-
* виям упражнения 6.44, когда F пробегает любое конечномерное подпрост-
f ранство в $с.
В частности, любому гильбертову пространству Jqx мы можем сопоста-
сопоставить циклическое представление W0(F) ККС над bi в некотором гильбер-
гильбертовом пространстве §; это представление определяется характеристическим
ч функционалом F.90). В § 7.3 мы построим это гильбертово пространство
методом вторичного квантования и убедимся, что представление WU(F)
; эквивалентно так называемому фоковскому представлению ККС над ^q1 и
; неприводимо.
Исходя из представления Wo, нетрудно построить другие представле-
представления ККС. Так, фиксировав положительное число р, положим
f, gZ?. F.91)
Упражнение 6.47. Доказать, что W<P>(F) есть представление ККС над $е.
Система №<р) также неприводима. Можно показать, что в случае беско-
бесконечномерного пространства ? системы W(p) и W(f>'} при р=т^р' унитарно
неэквивалентны (см. упражнение 7.24). Тем самым мы построили конти-
континуальное семейство неприводимых попарно унитарно неэквивалентных пред-
представлений ККС над $с, продемонстрировав неприменимость теоремы един-
единственности фон Неймана к системам с бесконечным числом степеней сво-
свободы. Приведенную конструкцию можно несколько обобщить. Будем назы-
называть вещественное линейное отображение F—>-F' пространства ?с на себя
симплектическим преобразованием, если оно сохраняет (симплектическую)
форму InK-Fi, F2y, т. е. если Im<Fi, Т*^— Im<F1, F2y. Положив
F.92)
мы вновь приходим к неприводимому представлению ККС над &с. В част-
частности, представление W{p) F.91) над ^с соотиетствует симплектическому
преобразованию f + ig—»-p/ + yg (при f,g?$) пространства $е.
В. Доказательство теоремы единственнссти ^он Неймана. Основной этап
доказательства заключен в следующей лемме.
Лемма 6.16. Пусть W(г)—система ККС над С" в гильбертовом про-
пространстве Ш. Тогда в Ж существует нормированный вектор Фо, для
243,
которого
<ФС, W (z) Фо> = ехр (- V, I z |») ^ Ео (г),
так что сужение данной системы на замкнутую линейную оболочку мно-
множеств векторов вида W (z) Фо эквивалентно представлению Шредингера.
^ Введем оператор
где
р (г) = п~п ехр (— х/21 г |2), d\i(x-\- iy) — dnx dny.
Убедимся, что оператор П не равен нулю. Для этого рассмотрим произведение W (г) HW {г%
которое (с помощью ККС) записывается в виде
«?(г)ПГ(г') = ехр(-1/2|г|2-1/2|г'|2- г'г) X
X J W (?) ехр G'С + Гг) Р (О dp Q; F.93)
п
здесь гг'в ^ гу-г/ . Выберем пару векторов Ф, W ? $Г, для которой матричный элемент
¦<Ф, W (Q Т> не равен тождественно нулю. Этот матричный элемент является непрерывной
ограниченной функцией от ?, поэтому его можно аппроксимировать с любой точностью по
норме Je2(C"; p (?) rfjx (?)) полиномами от ?. ?, возникающими как результат применения
дифференциальных полиномов по переменным г, г к экспонентам exp(z? + ?z) в точке г = 0.
¦Следовательно, правая часть в F.93) не может быть тождественно равна нулю, и потому П Ф 0.
Упражнение 6.48. Доказать соотношения
П Г (г) П = ехр (— !/г I г | 2) П. F.94)
Указание: воспользоваться F.93) при г = 0, г' ? С" и при г ? С", г' = 0.)
Очевидно, что П* = П, поэтому из F.94) при г = 0 следует, что П есть оператор орто-
ортогонального проектирования, и так как он не равен нулю, то существует единичный вектор
Фо в Ж> Для которого ПФ0=Ф0. Имеем
<Ф0) И7(г)Ф0> = <ПФ0, ^(г)ПФ0> = <Ф„, ПИ7(г)ПФ0> =
= ехр (- Vi I г |2) <Ф„, ПФ„> = ехр (- V, | г |а)
¦Искомый вектор Фв построен. >
Теорема 6.14 теперь легко следует из леммы. Пусть W(г) — система ККС над С" в $?f.
Выберем нормированный вектор Фо согласно лемме 6.16 и пусть ^f0— замкнутая линейная обо-
оболочка множества векторов вида W(z) Фо. Тогда в ,$f0 реализовано представление ККС, унитар-
унитарно эквивалентное шредингеровскому. Если,^Т=,%?0 (а это возможно лишь в том случае, когда
данная система W(z) неприводима), то на этом доказательство завершается. Если же ЗК^ф^С,
-то следует ввести ортогональное дополнение Жх к Jjf0 и снова применить лемму (уже к 3Vj),
и так далее. Лемма Цорна позволяет завершить этот процесс разложения ffl в прямую сумму
подпространств, инвариантных относительно операторов W(г), так что в каждом из этих под-
«пространств система W(z) унитарно эквивалентна шредингеровской системе. (Мы предостав-
.ляем читателю выполнить эту аргументацию.)
Мы видели в предыдущем пункте, что теорема единственности фон Ней-
,мана не применима к каноническим системам с бесконечным числом сте-
степеней свободы. Тем не менее эта теорема позволяет построить алгебру
наблюдаемых, соответствующую системе ККС, как для конечного, так и
для бесконечного числа степеней свободы.
Для построения алгебры наблюдаемых фиксируем некоторое представ-
представление W (F) ККС над ?с в гильбертовом пространстве Ж¦ (Такое пред-
представление существует согласно результатам предыдущего пункта.) Опреде-
Определим алгебру наблюдаемых % = Щ.ф), соответствующую ККС над ? (или
над ?с) как минимальную С*-подалгебру в 33 (.Щ, содержащую все опера-
операторы W (F). (Эту алгебру можно назвать минимальной алгеброй ККС
над ?с.) Ясно, что алгебра 31 является замыканием (или — на абстрактном
уровне — пополнением) множества 33 всех линейных комбинаций операторов
W (F) в топологии нормы, ибо само это множество является инволютивной
подалгеброй в 38 (Ж). Оказывается, алгебра 31 не зависит от выбора исход-
¦ного представления в том смысле, что другое представление ККС достав-
доставляет изоморфную алгебру. Действительно, пусть W (г)—другое пр'едстав-
¦244
ление ККС над <??с в некотором гильбертовом пространстве Ж; тогда мы
можем построить соответствующую алгебру Ъ и ее пополнение Ш. Очевидно,
достаточно построить сохраняющий норму и инволюцию изоморфизм у
алгебры 33 на !§. В случае конечномерного пространства $ из теоремы
единственности фон Неймана следует, что искомый изоморфизм может быть
определен формулой
V-.
здесь Хи ...,кп — произвольный набор комплексных чисел, a Flt ..-,Fn —
произвольный набор векторов из $с. Эта же формула определяет изоморфизм у\
S3 —»-S и в случае бесконечномерного пространства $, так как входящие
сюда векторы Fu ..., Fn принадлежат комплексификации некоторого конечно-
конечномерного подпространства Ш (зависящего от Flt ..., Fn) в <??, а для конечно-
конечномерных подпространств нужные свойства отображения у выполнены.
Итак, мы сопоставляем канонической системе над & абстрактную алгебру
наблюдаемых 31 (^?), причем по построению каждому элементу F?$c соот-
соответствует элемент w(F) 6 Э(, так что
w*(F) = w(—F), F.95)
w (F) w (Г) = ехр (— i Im <F, F'» w (F + Fr). F.96)
Интересно проследить связь между представлениями ККС над <8 и пред-
представлениями соответствующей алгебры наблюдаемых 31 {<§).
Упражнение 6.49. Доказать, что каждому представлению W (F) ККС над $е
•соответствует единственное представление алгебры наблюдаемых ЭД (^) такое, что
W{F) = n(W{F)). F.97)
Однако в обратную сторону соотношение более сложно. Если задано
представление л алгебры 31 (<§), то формула F.97) не обязательно опреде-
определяет представление ККС над g. Чтобы W (F) было представлением ККС,
следует еще удовлетворить требованию непрерывности (входящему в опре-
определение ККС): n(W (F)) должно быть непрерывно по Fb слабой опера-
операторной топологии при условии, что F пробегает произвольное конечномер-
конечномерное подпространство в $с. Именно такие представления я имеют физиче-
физический интерес, ибо в них можно ввести «обобщенные координаты» <7(/) и
«обобщенные импульсы» р (g):
где f, g€$ (cp- с формулой F.85)).
Глава 7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
7.1. Группа Пуанкаре
А. Определение. Общей группой Пуанкаре называется совокупность $
всех преобразований х —>¦ х' пространства Минковского М, оставляющих
инвариантным интервал между любой парой точек из М, т. е. таких, что
(х'—у'J — (х—у)* для всех х, у ? М. Всякое преобразование из $ авто-
автоматически оказывается неоднородным линейным (т. е. аффинным) преобра-
преобразованием; точнее, оно имеет вид
х' = Лх + а, G.1)
где а—фиксированный вектор из М, а Л — преобразование общей группы
Лоренца. Отсюда ясно, что общую группу Пуанкаре можно также опреде-
определить как совокупность пар (а, А), где а?М, Л?/Д, с законом умножения
(аи А,) (а2, Л,) = (а, + Аха2, AXA2)- G-2)
Группа $Р содержит в качестве подгруппы (абелеву) группу трансляций
в М (которую мы также обозначим через М) и общую группу Лоренца *) L.
Более того, как видно из формулы G.2), она является полупрямым произ-
произведением М о L этих подгрупп. Подобно L общая группа Пуанкаре несвязна
и состоит из четырех компонент Щ1, $1, 9$1, $1, соответствующих четы-
четырем компонентам общей группы Лоренца. Для подгрупп $+, ^ и $+
используют название собственной, ортохронной и специальной группы
Пуанкаре соответственно.
Группа $р+ собственных преобразований Пуанкаре является связной
неодносвязной группой. По аналогии с L\ вводят универсальную накры-
накрывающую %, для группы $pi, которую называют спинорной группой Пуанкаре.
Она состоит из всевозможных пар (а, А), где а — произвольный 4-вектор
из М я A^SLB, С), а ее групповой закон аналогичен G.2):
(alf АО (о,, Л,) = (а, + А (Аг) а„ Л^). G.3)
Элемент (а, Л)?$ро мы будем также записывать в виде (а, Л), где а—соот-
а—соответствующая эрмитова 2х2-матрица (см. C.33)).
Упражнение 7.1. Проверить, что при записи элемента (а, Л) группы ф0 в виДе
4 X 4-матрицы
Л аЛ*~1\
- -~ ) G.4)
° ?-V
С
групповое умножение G.3) переходит в обычное матричное.
*) Для преобразований группы Пуанкаре используют также термин неоднородные пре-
преобразования Лоренца».
446
Б. Отражения. Группа $„ связна и односвязна; она дважды накры-
накрывает $р+. Можно ввести группу ф с четырьмя связными компонентами,
которая дважды накрывает группу Пуанкаре 9$ и для которой $„ является
связной компонентой. С этой целью заметим, что произвольный элемент
(а, Л) общей группы Пуанкаре 9$ можно отождествить с автоморфизмом
оа, л собственной группы Пуанкаре:
ва, А(а',А')^(а,Л)(а',Л')(а,Л)-\
или, эквивалентно,
ст0, Л(а',Л') = (A— ЛА'А-^а + Ла', ЛЛ'Л-1). G.5)
Вместо Gis, G;t, a,st мы будем писать as, at, asi.
Упражнение 7.2. Доказать, что а (а, А) является тождественным автоморфизмом
в точности тогда, когда а = 0, Л=1.
Если Aut^3+ обозначает группу всех автоморфизмов группы Щ\, то
(как следует из упражнения 7.2) группа Ц$ изоморфна подгруппе в Aut^3+,
так что мы можем отождествить ^5 с этой подгруппой.
Упражнение 7.3. Пусть U-— подгруппа в 5р, состоящая из четырех элементов
¦е, ls, It и Ist> гДе г — единица группы, Is — пространственное отражение, /j — обращение
времени, Ist — полное отражение. Доказать, что % есть полупрямое произведение своих
подгрупп 5р| и 3.
Указанным соотношением между ф+ и ^5 можно воспользоваться для
построения группы ф как полупрямого произведения группы ^30 и группы
отражений
3 = {e,I,,It,Isi}. G.6)
Для этого определим ое как тождественный автоморфизм группы ^0,
г автоморфизмы Ors = os, ог^^о1{, ost^=ojst зададим так:
os(a, A) = (Isa, е_0А.*-1е~), G.7)
at(a, A) = (/ta, е^-Я,), G.8)
Zst(a,A) = {-a,A); G.9)
здесь е0—временной орт в М.
Упражнение 7.4. Доказать, что отображение /—> Oj есть гомоморфизм группы
3 в группу Aut 5p0, причем
~Gj (а, Л) —>¦ Oj (а, Л (Л)) для всех а ? М, А ? SL B, С), J ? U, G.10)
где стрелка обозначает накрывающий гомоморфизм *ро—>-^|.-
Определим теперь ^3 как полупрямое произведение групп ^0 и 3.
Элементы из ф будем записывать в виде троек (а, Л, J), где а ? М,
A?SLB, С), J?3. Группы ^0 и 3 входят в ty в качестве подгрупп,
поэтому для их элементов мы будем использовать прежние обозначения
типа (а, Л) и Is, It, Ist.
Упражнение 7.5. Доказать, что отображение (а, Л, J)—>¦ (а, Л (Л) У) есть
гомоморфизм группы $ на группу ф, который дважды накрывает ф.
В. Алгебра Ли группы Пуанкаре. Группа Пуанкаре есть 10-мерная
(вещественная) группа Ли. В качестве параметров окрестности единицы
можно выбрать 4-вектор а и кососиммгтричную вэщественную 4х4-мат-
рицу 0, записывая элемент группы в виде
(а, Л) = (а, ехрGАд9"й)) G.11)
247
(см. C.16)). Алгебру Ли группы Пуанкаре можно построить, исходя из
некоторого точного представления группы. Так как группа Пуанкаре опре-
определяется как группа преобразований пространства Минковского, то естест-
естественно выбрать представление группы Пуанкаре в пространстве функций на М-
Итак, пусть T==(Tg) есть представление группы $, скажем, в прост-
ранстве & (М) основных функций на М; при этом действие элемента (а, А)
на функцию f(x) имеет вид
(Го,л/)(*) =/(Л (*-«))•
Нетрудно убедиться, что эта формула действительно определяет (непрерыв-
(непрерывное) представление $ в а?(М). Выделим линейную часть разложения опера-
операторов Та, а — 1 в ряд Тейлора по степеням параметров ай и 0Яй:
Та, л — 1 =//"^ц + у М^В^ + члены более высокого порядка, G.12)
где УИЯ(* =—М^х. Эта формула определяет Рй и Мх>х как линейные диф-
дифференциальные операторы первого порядка в М:
P^i^, G.13)
х»Р%. G.14)
x?
Они удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
G.15а)
. G.156)
G.15в)
У пр ажне ние 7.6. Доказать G.15), пользуясь соотношением
Л р»ч=-
Множество вещественных линейных комбинаций операторов iPx и Ш*й j
называется алгеброй Ли группы Пуанкаре. Коммутационные соотношения i
в этой алгебре определены формулами G.15). •
С точки зрения абстрактного определения только формулы G.15) существенны для опре- \
деления алгебры Ли; конкретная же реализация G.13) и G.14) не имеет большого значения.
Заметим, что использование мнимой единицы в определении Р^ и М^ обусловлено соображе-
соображением дальнейшего удобства, а именно, генераторы оказываются эрмитовыми операторами, если
представление группы §ро унитарно.
Разумеется, отправляясь от произвольного представления собственной
группы Пуанкаре, мы могли бы построить посредством G.12) операторы Рх
и МЯй, удовлетворяющие коммутационным соотношениям G.15). Они назы-
называются генераторами представления (группы Пуанкаре). Следуя аналогии
с нерелятивистской квантовой механикой и имея в виду классическую тео-
теорему Нётер (см., например, [Б8], гл. 1), мы по определению будем считать,
что Рд является оператором (полного) 4-импульса соответствующей реляти-
релятивистской системы*), а тензор М^—оператором четырехмерного «углового»
момента (или момента количества движения). Операторы
МУ = 1/авУ1Мк1 G.16а)
образуют (трехмерный) псевдовектор «углового» момента, в то время как
величины
№=*МУ G.166)
являются генераторами гиперболических поворотов (см. упражнение 3.5).
Соответствующие коммутационные соотношения имеют вид
[MJ, М*] = Ш»М1, [МЛ JV*] = fe/*W«, [№, Nk]=—ie^Mt. G.17)
*) Р° называют оператором энергии, а Р — оператором трехмерного импульса.
248
Из генераторов группы Пуанкаре можно составить два (и только два)
\ независимых оператора Казимира (т. е. два полинома от генераторов, ком-
коммутирующие со всеми генераторами). Один из них
рг — Р^Р» G.18)
называется оператором квадрата массы. Для построения второго оператора
введем четырехмерный псевдовектор, называемый вектором Паули—Любан-
ского
J^ = 72eW»WP, G-19)
где extxvp — полностью антисимметричный тензор (нормированный условием
80123 = 1 = — е0123). При помощи векторов М и N псевдовектор W записы-
записывается в виде
№° = РМ=РШ', WJ = PuM^-~ll^klPkNt. G.20)
Важное свойство операторов W* состоит в том, что они коммутируют
с 4-импульсом:
: [И7\РЧ = 0. G.21)
Коммутационные соотношения операторов Wx между собой и операторами
APV определяются формулами
^ G.22)
G.23)
Непосредственная проверка показывает, что квадрат вектора Паули —
Любанского
И72 == W^W» G.24)
коммутирует со всеми генераторами группы Пуанкаре и, значит, является
вторым оператором Казимира для $+.
У пр ажнение 7.7 Проверить соотношение
PiiWtl = 0. G.25)
7.2. УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ
А. Условие пуанкаре-инвариантности. В предыдущей главе были при-
приведены постулаты, общие для нерелятивистской и релятивистской квантовой
теории. Класс релятивистских теорий выделяется следующим постулатом.
Собственная группа Пуанкаре ^ является группой симметрии физи-
физической системы (Ж, ©).
Из априорных соображений естественно было бы ожидать, что группа симметрии реляти-
релятивистской теории должна включать также дискретные операции пространственного отражения
(Is) и обращения времени (/у). Так думали до 1957 г., когда было открыто несохранение Р-чет-
ности в слабых взаимодействиях элементарных частиц. В настоящее время эти операции счи-
считаются приближенными симметриями, «работающими» там, где можно игнорировать эффекты
слабых взаимодействий (например в сильных взаимодействиях элементарных частиц). Тем не
менее дискретная операция полного отражения (fsf) пространства-времени, скомбинированная
с операцией Ic зарядового сопряжения (замены частицы на античастицу), рассматривается в на-
настоящее время как точная симметрия, и для этого имеется веское теоретическое основание —
знаменитая ГСР-теорема (гл. 9).
В приведенной форме условие пуанкаре-инвариантности никак не отра-
отражает специфику квантовых систем. Следующее усиление постулата выражает
требование пуанкаре-инвариантности физического представления квантовой
системы.
А.III (Пуанкаре-инвариантность). В физическом гильбер-
гильбертовом пространстве Ж определено унитарное представление {а, А) -> U (а, А)
спинорной группы Пуанкаре $0 (непрерывное в слабой операторной топологии),
задающее закон преобразования при трансляциях и преобразованиях Лоренца
249
для наблюдаемых
А-*аа,А (л) (А) = ао, л (А) = U (а, Л) AU {а, А)~1 G.26)
и векторов состояний
Ф -> f/ (а, Л) Ф G.27)
(здесь А—произвольный элемент алгебры наблюдаемых Щ, или алгебры наблю-
наблюдаемых фон Неймана 31, Ф—произвольный вектор из Ж). Генераторы этого
представления—операторы полного А-импульса Рц и четырехмерного углового
момента Мх>х—являются самосопряженными операторами в Ж, присоединен-
присоединенными к алгебре наблюдаемых фон Неймана.
В п.6.3. В мы привели условия, достаточные для того, чтобы вывести постулат А.III из
требования релятивистской инвариантности системы C1, ©), так чтобы искомое представление
U (а, Л) определялось единственным образом. Для этого следует предположить справедливость
гипотезы стандартных правил суперотбора, а условие непрерывности действия группы §ро на
© усилить, потребовав, чтобы а'а> Л(ш) было непрерывно по (а, Л) в топологии нормы на <&
при любом фиксированном со?@ (см. предложение 6.13). Теперь вместо ф| мы считаем группой
симметрии ф0— универсальную накрывающую группу для Щ^_. Как отмечалось в начале п.б.З.В,
такая замена, не меняя физического содержания, представляет значительное техническое пре-
преимущество.
Б. Классификация неприводимых представлений группы Що. Принцип
спектральности. Изучение всевозможных унитарных представлений группы
$0 сводится к классификации ее неприводимых представлений, так как лю-
любое унитарное представление этой группы может быть разложено в прямую
сумму (или интеграл) неприводимых представлений.
Этот результат нетривиален, так как группа Пуанкаре не является компактной (она лишь
локально компактна). Относительно теории разложения произвольного унитарного представ-
представления локально компактной группы см. обзор Наймарка A964).
В силу сказанного в предыдущем пункте операторы Р2 и W2 кратны еди-
единичному оператору в пространстве, в котором реализуется любое неприводи-
неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре, и их значения в этом простран-
пространстве используются для классификации неприводимых представлений. При
Р2^0 можно ввести еще дискретную инвариантную характеристику — знак
энергии
г=е (Р°) G.28)
(если при Р2<0 положить, по определению, е=0, то можно при всех Р написать
е=6(Р2) г(Р°); функции от самосопряженных операторов определяются,как
обычно, с помощью спектрального разложения).
В зависимости от значений инвариантов Р2 и е представления группы $,»
могут быть разделены на следующие классы.
(а) /32=/п2>0, е=1 (т. е. Р°1>0). Соответствующие представления описы-
описывают трансформационные свойства реальных частиц с массой покоя т.
(а) Р2=/п2>0, е=—1 (т. е. Р°<С0). Эти представления комплексно сопря-
сопряжены представлениям класса (а).
(б) Р2=0, РфО, е=1 (т. е. Р°>0). Соответствующие представления отно-
относятся к частицам с нулевой массой покоя (нейтрино, фотон).
(б) Р2=0, РфО, е=—1 (т. е. Р°<0). Представления этого класса комплекс-
комплексно сопряжены представлениям класса (б).
(в) Р—0 (т. е. Р°=/Э1=Р2=Яз=0). Все состояния с таким Р трансляциов-
но-инвариантны. Все унитарные представления этого класса, кроме единич-
единичного (U(а, Л)^1), бесконечномерны. Единичное представление соответствует
состоянию, инвариантному относительно всех преобразований Пуанкаре. Та-
Такое состояние с идеальной пространственно-временной симметрией интерпре-
интерпретируется как вакуум.
250
' (г) Р2~—m2<0 (т. е. вектор Р пространственноподобен). Согласно прин-
ципам релятивистской механики частицы с таким импульсом не могут реально
существовать *).
Аксиома спектральности — следующая аксиома нашей схемы — есть
физический принцип, исключающий некоторые из перечисленных возможностей
трансформационных свойств векторов состояний.
A.IV (Аксиома спектральности). Спектр оператора энер-
энергии-импульса Р принадлежит замкнутому верхнему световому конусу V+.
Аксиому спектральности часто формулируют следующим образом: в Ж
4 существует полная система состояний с неотрицательной энергией.
Говорят, что в Ж выполнено условие существования и единственности ва-
вакуума, если существует единственный (с точностью до фазового множителя)
нормированный вектор То в Ж, который инвариантен относительно трансляций
U(а, 1); этот выделенный вектор Wo мы будем называть вакуумным вектором
(или вакуумом) и обозначать также 10). Вакуум есть «основное» состояние физи-
физической системы (т. е. состояние с низшей энергией), остальные же состояния —
это своего рода возбуждения вакуума. (Аксиома спектральности необходима,
чтобы удовлетворить физическому требованию устойчивости вакуумного со-
состояния относительно бесконечно малых возмущений системы.)
Физическое представление с единственным вакуумом можно охарактеризовать еще так:
точка р = 0 является дискретным невырожденным собственным значением оператора Р,
т. е. существует единственный (с точностью до фазового множителя) нормированный век-
вектор ^о в Ж* Для которого РЧ0 — 0. Тогда такой вектор Ч^о автоматически инвариантен
относительно всех собственных преобразований группы Пуанкаре %й. Это вытекает из ска-
сказанного выше в связи с представлениями класса (в) или из следующего упражнения.
Упр а ж пение 7.8. (а) Доказать, что всякое унитарное представление группы
Пуанкаре §р0 попарно коммутирующими операторами U (а, Л) является единичным:
U (а, Л)=1 для всех (я, Л)?5р0. (Указание: группа 5ро порождается коммутаторами
iiSiSi^'Si1 своих элементов.)
(б) Всякое одномерное представление группы 5РО является единичным.
Технически принцип спектральности означает, что представление группы
%ъъЖ разлагается на неприводимые представления, входящие лишь в классы
(а), (б) и (в). Среди представлений класса (в) рассматривается лишь тривиаль-
тривиальное (единичное) представление, которое соответствует вакууму. С помощью
теоремы 1.17 Стоуна условие спектральности может быть сформулировано так:
для всех Ф, ? ? Ж имеет место представление
<Ф, U (a, l)W>=le>Padu(p), G.29)
где и—некоторая конечная (комплексная) мера в пространстве Минковского
с носителем в V + . В частности,
supp$<®, U (а, 1)?><г<>Ма<= V+ G.30)
(в смысле обобщенных функций из ?)
Для теории поля удобен критерий существования и единственности ва-
вакуума, основанный на следующем понятии. Мы говорим, что в физическом
пространстве Ж выполнено кластерное свойство (называемое также свойством
асимптотической факторизации), если существует единичный вектор Wo в Ж
такой, что
<Ф, U(ka, l)Y>-> (Ф, ?„><?„, ?> при к-* оо; G.31)
здесь а — произвольный пространственноподобный вектор в М; Ф, Т — про-
произвольные векторы в Ж.
Предложение 7.1. Условие существования и единственности ва-
вакуума в физическом пространстве Ж эквивалентно кластерному свойству.
*) См., однако, работы Файнберга Дж. A967), Сударшана A968), Эккера A970) (и цити-
цитируемую в них литературу), где разрабатывается подход, допускающий частицы, движущиеся
быстрее света.
2I
•^ Пусть выполнено кластерное свойство. Очевидно, что вектор ?0 определяется условие»
G.1) однозначно с точностью до фазового множителя. Покажем, что он инвариантен относитель-
относительно трансляций. Действительно, заменяя ? в E.3) на U(—a, lI?, получаем (?0, U(—а, 1) ?)=
=(?0, ?) при всех ?, откуда U(a, I) ?0=?0 для всех пространственноподобных векторов»
в М. Поскольку такие векторы а натягивают все пространство М, отсюда следует, что U(a,
I) ?0=?0 при всех а?М. Пусть теперь ? — инвариантный вектор относительно трансляций.
Тогда из E.31) следует (?, ?)=|(?0, ?)|2, так что ?=Л?0. Таким образом, из кластерного
свойства следует существование и единственность вакуума (причем ?0 и есть вакуумный век-
вектор).
Обратно, предположим, что выполнено условие существования и единственности вакуума.
Достаточно доказать кластерное свойство G.31) только для специального вектора а=е3=@, 0(.
О, 1). Отсюда и из формулы
U (О, Л) U (a, l)U@, A)~1=U{A(A)a, 1) G.32)
следует общий случай. Если один из векторов Ф, ? в G.31) является вакуумным, то-
кластерное свойство, очевидно, выполнено. Поэтому достаточно доказать G.31) при а=е»
для векторов Ф, ? из некоторого плотного подмножества Ш в подпространстве $%?¦ в $f,
ортогональном ?0. Займемся построением такого подмножества 2Л. Пусть Ее— проектор1
в §% на подпространство, где Р°^е (е > 0). Очевидно, ЕеФ—> Ф при 8—> 0 и %
поэтому множество 9Jli = (J Ег$( плотно в S%ir- Теперь в качестве 2Л можно взять
е > О
= U
е > 0
где D-— область определения оператора №=
Упражнение 7.9. (а) Доказать, что Ш1 плотно в DJh и, значит, в $%q-. (Указа-
(Указание: убедиться, что Df\Eeffl плотно в Ее$%', с этой целью рассмотреть множество векто-
векторов вида
J /„ @ U @, At) Ф,
где $>?ЕгЖ, At = exp(tas); {/„} —б-образная последовательность функций из ?& {R)).
(б) Доказать, что на 2Л справедливо равенство
[N3, U (a, l)] = (P0a9-P3a°)U(a, 1). G.33)
(Указание: подставить Л? вместо Л в G.32) и продифференцировать равенство по /при <=0.)
Поскольку на множестве 2Л определен обратный оператор (Р0), то из G.33) ^при
о=Ае3 следует:
-1?>-<Ф, U(kes, 0)#з(ро)-1?> = Л<Ф, U (%е3, 0)?>
при всех Ф, ?^DJ[, X?R. Очевидно, левая часть этого равенства ограничена при X—> оо,
откуда следует <Ф, {/(Лез, 0) ?>—> 0 при Л—»¦ оо. Этим завершается доказательство. >
Следствие 7.2. В релятивистской теории с единственным вакуумом
выполняется свойство
(А2) Уо> — <W0, А^о> <Wa, А^„> при К — оо; G.34)
здесь а2<0, Alf А
Приведенная (слабая) форма аксиомы спектральности вместе с условием существования"]!
единственности вакуума достаточна для изучения многих структурных свойств квантовой тео-
теории поля. Однако ее недостаточно для построения эффективной теории рассеяния. Из физиче-
физических соображений ясно, что понятие асимптотически свободных (падающих или рассеянных)
частиц предполагает, что взаимодействие между возбуждениями вакуума, локализованными
в пространственно разделенных областях, должно достаточно быстро убывать с расстоянием
между областями. Для этого достаточно исключить возможность состояний с нулевой массой,
например потребовав, чтобы спектр оператора массы У Рг не имел общих точек с некоторым
интервалом @, fA). Соответствующий параметр jx называется массовой щелью. Итак, при изло-
изложении ряда вопросов (главным образом, связанных с теорией рассеяния) нам понадобится не~
кое усиление аксиомы спектральности *).
Сильная форма аксиомы спектральности. Спектр опера*
тора энергии-импульса содержится в множестве
{0} U Vt G.35)
*) В действительности теория рассеяния требует более детальной информации о спектре
масс энергии-импульса, однако удобнее отложить этот вопрос до гл. 12.
262
(см. обозначение C.9)) с положительным значением параметра \х (массовой
щели); точка р = 0 соответствует единственному вакуумному состоянию.
Сильное условие спектральности уточняет представление G.29): для
всех Ф, W?$% имеем
<Ф, U (а, 1)Т>=<Ф|0><0| ?>+$«"« Ж>(/>), G.36>
где v—некоторая конечная комплексная мера в М с носителем в V», так
что
{JO, U (а, \)Чуе-'Райа—<Ф| 0><0|Y> Bjt)* 6 (/?)}<=!/+. G.37>
Всякая дискретная точка т спектра массового оператора УР2 указывает на наличие фи-
физической частицы массы т. Однако из-за правил суперотбора понятие одной релятивистской
частицы несколько сложнее, чем подпространство в Sf? с фиксированным значением массового
оператора. В теориях со стандартными правилами суперотбора всякое подпространство в SK,
целиком лежащее в некотором когерентном подпространстве и соответствующее некоторой дис-
дискретной точке т спектра массового оператора У Р2, интерпретируется как пространство реля-
релятивистской частицы с массой /лис суперотборными квантовыми числами данного когерентного
спектра. Разделение частиц на «частицы» и «античастицы» связано (помимо правил суперотбораI
с операцией зарядового сопряжения или с операцией, скажем, СР или СРТ, содержащей заря-
зарядовое сопряжение. Если такая операция переводит данный когерентный сектор в другой коге-
когерентный сектор, то частицы одного сектора уместно назвать собственно «частицами», а друго-
другого — «античастицами». В случае же инвариантности когерентного сектора относительно ука-
указанной операции имеет смысл говорить о совпадении частицы с античастицей. (Соответствую"
щие частицы, например фотон, называют истинно нейтральными, а в случае спинорных частиц —
майорановскими.)
Однако следует иметь в виду, что такое понятие частицы является сильно идеализирован-
идеализированным, ибо наличие строго фиксированного значения массы у частицы подразумевает ее абсолют-
абсолютную стабильность. (В этой связи см. п.7.3.Д.) Большинство реальных частиц (которые в одних
случаях интерпретируются как «элементарные», а в других — как «связанные состояния»_»
<резонансы») нестабильны и вследствие этого соответствующее им распределение величины У Р*
имеет ненулевую ширину (или дисперсию). Приведенная идеализация допустима и является'
общепринятой при построении матрицы рассеяния; однако при рассмотрении процессов распада'
приходится учитывать ширину массового спектра частицы. Мы видим, что требования в карти-
картине рассеяния и в картине распада вступают в конфликт, выход из которого требует разработки;
более реалистического понятия частицы.
Приведем дальнейшие факты, касающиеся классификации неприводимых
представлений группы $0 классов (а) и (б). Оператор энергии-импульса Р
в неприводимом представлении группы $р0 может быть вырожден; кратность
этого вырождения физически интерпретируется как число независимых поля-
поляризаций (или число возможных ортогональных спиновых состояний) у частицы,,
ассоциированной с данным неприводимым представлением и имеющей фикси-
фиксированное значение импульса. Все известные в физике частицы имеют конечное
число (независимых) поляризаций. Поэтому из семейства всех неприводимых
представлений классов (а) и (б) принято называть «физическими» лишь пред-
представления с конечной кратностью вырождения оператора энергии-импульса.
Оказывается, все представления класса (а) автоматически попадают в класс
«физических» представлений. Согласно анализу Вигнера A939), для характе-
ризации неприводимого представления класса (а) с точностью до унитарной
эквивалентности следует (помимо значения массы /п>0 и положительного зна-
знака энергии 8=1) указать значение квадрата вектора Паули — Любанского;
при этом допустимые значения для W2 охватываются формулой
W*w=—m*s(s+l). G.38)
Здесь s — целое или полуцелое неотрицательное число, называемое спином
представления. Соответствующая кратность вырождения спектра Р равна
2s+l. Из сказанного следует, что неприводимое представление класса (а) ха-
характеризуется с точностью до унитарной эквивалентности двумя параметрами
[ш, s] — массой[т>>0 и спином 5=0,^/2, ...
25а
Для неприводимых представлений класса (б) спектр Р либо невырожден,
либо бесконечно вырожден *). Следовательно, в «физических» неприводимых
представлениях группы ^50 класса (б) спектр Р невырожден. Как следствие это-
этого вектор Паули — Любанского пропорционален вектору Р:
Wl = sPK G.39)
Входящее сюда число s может принимать целые или полуцелые значения (по-
(положительные, отрицательные и нуль); оно называется спиральное/пью представ-
представления. Абсолютную величину спиральности \s\ иногда называют спином
частицы с нулевой массой. Спиральность характеризует неприводимые представ-
представления класса (б) с точностью до унитарной эквивалентности. Мы будем обозна-
обозначать через [0, s] неприводимое представление группы ^}0 с положительной энер-
энергией, нулевой массой и спиральностью s. Отметим, что согласно G.20) оператор
спиральности может быть записан в виде
± G.40)
так что он имеет смысл проекции трехмерного углового момента на направление
трехмерного импульса Р. Разумеется, спиральность может быть определена
этой формулой и для представлений класса (а), однако релятивистским инва-
инвариантом она является только для представлений с нулевой массой.
Мы рекомендуем познакомиться с обстоятельным изложением и доказательством приве-
приведенной выше классификации по классической работе Вигнера A939) (см. также монографии
[М2, М9], где эти вопросы изложены в более общем плане). Ниже, в п.7.2.Г, мы приведем кон-
конструкцию всех «физических» неприводимых представлений группы 5($0 в пространствах спинор-
ных волновых функций и тем самым наглядно продемонстрируем перечисленные выше свойства
этих представлений. В п.7.2.В приведена более традиционная (вигнеровская) конструкция
представлений класса (а), диагонализующая операторы Р и S3, где S3— оператор типа третьей
проекции нерелятивистского оператора спина. (Относительно еще одной популярной реализа-
реализации представлений класса (а) в терминах операторов энергии-импульса и спиральности см.
статью Жакоба и Вика, 1959.)
В. Описание представлений, соответствующих частицам с положительной массой. При-
Приведем вигнеровскую конструкцию неприводимых представлений группы 5g0 класса (а). Для
этой цели выберем среди эрмитовых функций от генераторов группы полный набор коммути-
коммутирующих операторов **). В этот набор всегда входят операторы Казимира Р3=т2и W2 группы
Пуанкаре, которые коммутируют со всеми операторами представления. Наряду с ними удобно
.выбрать операторы импульса Я1* (Ц—0, 1, 2, 3) и третью проекцию спина
1 / шорз \
S3 — f W3 — ———— I G 4П
Нетрудно видеть с помощью G.21), что операторы pv- и S3 коммутируют между собой. Они
будут также коммутировать, если вместо S3 мы возьмем любую линейную комбинацию компо-
компонент вектора W. Поэтому специальный выбор G.41) при определении спина нуждается в пояс-
пояснении.
В точках р спектра Р, где/?=0 (или, как говорят, в системе покоя R вектора Р), вектор
спина равен
s*=iw- G-42)
Мы постулируем, что в произвольной системе вектор S является линейной комбинацией компо-
компонент вектора IV с коэффициентами, зависящими лишь от 4-импульса Р. При этом потребуем,
чтобы 5 был трехмерным вектором, т. е. чтобы
G.43)
*) Соответствующие представления группы sp0 (называемые представлениями с положи-
положительной энергией, нулевой массой и бесконечным спином) реализуются в пространстве беско-
нечнокомпонентных волновых функций. (См. Иверсон и Мак, 1971, а также дополнение И.)
**) Говорят, что система коммутирующих эрмитовых операторов образует полный набор
{в математической терминологии — максимальную абелеву совокупность), если их одновремен-
одновременные собственные значения определяют однозначно (с точностью до множителя) общий собствен-
собственный вектор (другими словами, если их совместный спектр простой). Наши требования менее
жесткие, а именно: любой полином от генераторов представления, коммутирующий со всеми
операторами полного набора П, является функцией этих операторов. Однако в пространстве
векторов состояний могут действовать другие операторы (например операторы электрического
заряда или барионного числа), которые коммутируют с операторами системы П, но тем не менее
не являются функциями этих операторов.
.254
и чтобы имели место обычные перестановочные соотношения для оператора спина:
[S/, S*] = iz,J*iSl. G.44>
Покажем, что единственная аксиально-векторная линейная комбинация операторов И7и„
удовлетворяющая условиям G.43) и G.44) и переходящая в системе покоя в вектор G.42),
имеет вид
m \ ¦ m-\-Pv J m
Действительно, условие, что 5 является псевдовектором (это условие учитывает G.43)),
¦ Дает
S/=— (Wf— bW°PJ), G.46)
т
где а и b являются функциями импульса Р, инвариантными относительно группы трехмер-
трехмерных евклидовых вращений и, следовательно, зависящими лишь от Р° и т (так так Р2 =
= Р°*—т2). Здесь учтено, что Р и W0 меняют знак при пространственном отражении, а
значит, их произведение остается неизменным. С другой стороны, таким же свойством
обладал бы член типа (WP) Р, однако в силу G.25) он равен W°P°P и, следовательно, не
дает ничего нового. Чтобы определить коэффициенты а и Ь, подставим выражение G.46)
в G.44). Сравнение левой и правой частей дает два уравнения для а и Ь:
Эта система имеет два решения: а—\, Ь= j—„о" и а~ "~'< ^==~Бо • Второе из ни»
W. —р г г — /7Z
отбрасывается условием G.42). Таким образом, равенство G.45) доказано.
Заметим, что комбинация G.45) есть не что иное, как пространственные компоненты
вектора W, предварительно трансформированного в систему покоя,
S/=(Ap1U7)/, G.47)
где Ар—«чистое» преобразование Лоренца, переводящее ось времени по вектору р:
Ар1р=(т, 0, 0, 0). G.48)
Явный вид матрицы Лр1 таков:
(Ap1)i=f/ ' р/р"
В силу G.44) эрмитовы операторы SJ являются генераторами алгебры Ли группы враще-
вращения трехмерного евклидова пространства О+C) (или, что то же самое, алгебры Ли группы S?/B)).
Ее называют малой группой группы Пуанкаре, соответствующей данному неприводимому пред-
представлению группы 5{$о *)• Все неприводимые унитарные представления алгебры операторов S/
конечномерны и могут быть классифицированы значением полного спина s (принимающего це-
целые или полуцелые неотрицательные значения):
G.50)-
У п р ажн ен ие 7.10. Показать, что инвариант — W2 равен произведению S2 и /л2:
_lT2 = m2S2 = m2s(s+l). G.51)
Мы реализуем неприводимое представление [т, s] группы $Р0 [класса (а) в гильберто-
2s-t-1
вом пространстве ф JS2 (Гт) функций от собственных значений рй и а операторов Р и S3.
Переменная а принимает 2s-\-1 значений:
a=-s, —s+1, ..., s—I, s; G.52)
*) На самом деле малая группа может быть определена во всех перечисленных выше четы-
четырех классах представлений, и ее тип зависит лишь от класса неприводимых представлений.
Определение малой группы следующее: пусть Г — спектр оператора Р неприводимого представ-
представления группы Пуанкаре; малой группой точки р^Т называется подгруппа Вр преобразований
собственной группы Лоренца, оставляющих вектор р инвариантным. Для любых двух точек из-
Г малые группы изоморфны, и этот факт существен для характеристики типа малых групп.
Так, для класса (а), как мы убедились,— это группа евклидовых вращений трехмерного про-
пространства, для класса (б) — группа движений евклидовой плоскости (включая трансляции),
для класса (в) — вся собственная группа Лоренца, для класса (г) — группа псевдоевклидовых
вращений трехмерного пространства (с сигнатурой -)- ).
255-
4-вектор р^ пробегает верхний гиперболоид Г^, снабженный инвариантной мерой
2s+l
Скалярное произведение в ф Ji?2 (Гт) определяется равенством
S " G-54I
(Ф, ?) = 2 \ ф (Р. °) Т (р, а)
О= -S
2s+ 1
В качестве плотного в ф J?2 (Гт) подпространства удобно выбрать пространство'
2s+i '
ф ?Р (Гт), состоящее из всех функций Ф (р, с), которые при фиксированном а принад-
лежат af(R3), т. е. бесконечно дифференцируемы и быстро убывают как функции 3-вектора р. ¦
Операторы Рд (так же, как и S3) определены на ф if (Гт) умножением и оставляют^
лри таком определении это пространство инвариантным:
р, a), S3O(j>, о) = оФ(р, of. G.55)
¦(Напротив, действие операторов импульса не определено для любого вектора самого:
пространства $f?. так как из квадратичной интегрируемости] функции Ф (р, а) на т
вообще говоря, не следует квадратичная интегрируемость функции р^Ф (р, а). Собственные.
же функции оператора импульса, как и в нерелятивистской квантовой механике, являются :
2S+1
обобщенными состояниями, принадлежащими сопряженному^пространству ф
Унитарные операторы U (а, А) представления группы §р0 в отличие от инфинитези-
2s+ 1
¦мальных операторов Рй и М^ определены во всем гильбертовом пространстве ф <5?2(Гт).
Особенно простой вид имеем представление подгруппы трансляций:
(U(a, l)V)(p, o) = eip*V (p, a). G.56)
Чтобы построить представление U (О, Л) группы SL B, С), поступим следующим образом.
¦Выделим на гиперболоиде Гт импульс в системе покоя
Рк = (т, 0) G.57)
¦(выбор именно этого вектора обусловлен лишь соображениями удобства). Представление
малой группы SU B)д, оставляющей инвариантным этот вектор, зададим в точке р=р%
равенством
(U (V) V) {pR, о) = 2 Doo- (V) ^ (PR> ^')- G.58)
a'=-s
Здесь V?SUB), т.е. V—двухрядная унитарная матрица, которая может быть записана
•в виде
_Vl2 VlJ
detV=\Vii\*+\Vu\*=l, G.60)
a D%, (V) — матричные элементы неприводимого представления группы SU B), соответствую»
•щего спину s:
D(s) (V\ 1/ (S+P')!(S —O')l ^Ч-О'-ОцЮ'-»,»'!») n t, ,2 I I/ |2\ n ЙП
lJaa'{V)= у (S-[_p)| (S — q)l Vn Vli Fs~°' (I "" I I "la P). G.61)
где Pna> (г) — полиномы Якоби:
Pna- 3> (г) = Щ? A -г)"« A +г)" 3 Jl [(I -г)«+« A +гK+«] G.62)
<см., например, [В6], а также Йоос, 1962). Заметим, что D^ (V) = V3/2-a, з/г-с Любая
унимодулярная матрица A?SLB, С) однозначно [разлагается в произведение унитарной
и положительно определенной матриц:
/ / G.63)
(согласно упражнению 3.5 VA соответствует преобразованию вращения, а Яд—чистому
лреобразованию Лоренца). [Представление преобразования G.63) в точке р=р% имеет вид
S
(U @, A)jT) (рд, а)= 2 °оо' (VA) T (Л-1 (ЯЛ) ор, а'), G.64)
o*=-s
256
[где Л(#л)— преобразование Лоренца, соответствующее матрице Нл, Ул — унитарная мат-
матрица, определяемая из G.63). Мы видим, что в точке pR это преобразование Лоренца дейст-
действует лишь на аргумент р функции f (заметим, что Л (A~1)pR = A (#лХ) Pr)- ^a спиновый
индекс действует нетривиальным образом только трехмерное вращение, оставляющее инва-
инвариантным вектор рц.
Используя G.64) и тот факт, что произведению матриц Л соответствует произведение
операторов U, можно найти действие U (О, Л) на ? в любой точке р. Для этого поступим
следующим образом. Пусть Лр — частное преобразование Лоренца, переводящее вектор р#
в заданный вектор р на гиперболоиде Гт-
<7-65)
Этому преобразованию соответствует однозначно и положительно определенная матрица Нр
из SL BC):
р V2m(,p° + m) V2m(p° + m)\P1+iP2 р°+т — р3)
такая, что
p. G.67)
Чтобы убедиться, что матрица G.66) действительно удовлетворяет G.67), достаточно заме-
заметить, что при р2 = т2
р2 = 2р°р—т2
и, следовательно,
(m+pJ = 2(p°+m)p.
Любая матрица А ? SL B, С) может быть представлена в виде
Л = |ЯЯВ, G.68)
где Я2 = р HIdetJB=l. В силу G.63), G.64) и G.68) имеем
(V (О, Л) У) (р, а) = ((/ @, Нр) U (О, В) V) (р, а) =
= (U @,' В) Ч) (pR, с) = 2 D&. (ув) Т (Л (В) pR, а') =
<J'=-S
2 ?^Л ? (Л (Л) р, О') G.69)
о'=—s
(матрица Лр1 Дается формулой G.49))-
Упражнение 7.11. (а) Показать, что матрица Нр G.66) является «положитель-
«положительным» корнем матрицы р/т:
"*" - G.70)
(б) Пусть унимодулярная матрица Л = а, где а°г — а2=1. Показать, что
А-^^а-1 =a=sa°o0~ao. G.71)
(в) Убедиться непосредственно, что матрица
V (А, р) •= ЯрХА /л-^рА* = /'р1 Л l^A-ipA*-1, G.72)
входящая в аргумент представления D G.69), унитарна.
Полученные результаты, принадлежащие Вигнеру A939), могут быть резюмированы
следующим образом.
Теорема 7.3. Всякое неприводимое унитарное представление группы ^50 класса (а)
характеризуется (с точностью до унитарной эквивалентности) парой чисел [т, s], где
т>0—масса, s—спин, принимающий целые или полуцелые неотрицательные значения. Это
2S+1
представление может быть реализовано в пространстве ф =5?2(Гт) со скалярным произве-
произведением G.54), а действие операторов представления задается формулой
(?/(а, Л) Т) (р, о) = е'Р« 2 D<&' (^(А, /»)) ^ (Л~1 (Л)р, а'), G.73)
где D^—матрица неприводимого представления (s) группы SU B) G.61), а унитарная уни-
унимодулярная матрица V (Л, р) (называемая вигнеровским вращением) определена равенст-
равенством G.72).
9 Н. Н. Боголюбов и др. . 257
Г. Явно ковариантная реализация «физических» неприводимых представ-
представлений. Оказывается, все «физические» неприводимые представления группы
$о можно построить в пространстве (конечно-компонентных) спинорных волно-
волновых функций. Будем исходить из представления ?)(/'0> или S)'0'/» группы
SL B, С) (где / — произвольное целое или полуцелое неотрицательное число).
Соответствующая спинорная волновая функция есть комплексная функция
Ф (р, со) (или Ф (р, со)) от 4-вектора р ? М, являющаяся однородным полиномом
степени 2/ по спинорной переменной со?С2 (соответственно по со). Считая р
импульсной переменной, зададим закон преобразования волновой функции
относительно группы Пуанкаре следующей явно ковариантной формулой:
D1 (а, А)Ф)(р, со) = е'>аФ(Л-1, р, Л©) G.74)
или, соответственно,
D1 (а, А) Ф) (р, со) = е'>аФ (Л/?, Л©). G.75)
Если определить на таких волновых функциях ^-инвариантную положитель-
положительно определенную (или положительно полуопределенную) эрмитову форму, то
согласно стандартной конструкции (п. 1.1.Г) классы эквивалентных волновых
функций (по модулю функций нулевой нормы) образуют плотное подпростран-
подпространство некоторого гильбертова пространства, преобразующегося по унитарному
представлению группы $0- (Мы будем обозначать это представление также че-
через % (а, Л).)
Таким образом, задача состоит в нахождении скалярного произведения на
волновых функциях, которое доставляет неприводимое представление группы
$Ро- Мы прибавим еще требование, что выделенный класс волновых функций со-
содержит функции класса а?(М) и скалярное произведение таких функций непре-
непрерывно в топологии <?Р(М). Тогда, привлекая теорему о ядре и условие трансля-
трансляционной инвариантности, нетрудно убедиться, что интересующее нас скаляр-
скалярное произведение должно иметь вид
д д Vy
dw дч> J
хТ(р, w,wN(p—q)W(p~a)x?(q, ^d.pd.q, G.76)
где Т (р, w, w) — лоренц-инвариантная спинорная обобщенная функция, пре-
преобразующаяся по представлению ?)<'¦'> группы SLB, С). (Здесь для опре-
определенности мы рассматриваем случай функций Ф(р, со).) Общий вид такой
обобщенной функции дается предложением 3.6; в нашем случае F (р) сле-
следует считать положительной лоренц-инвариантной обобщенной функцией.
Чтобы результирующее представление 41 (а, А) имело положительную энер-
энергию и фиксированную массу т^О, следует положить F(р) = с8+1(р), где
с > 0. При этом мы пользуемся обозначением
/п2); G.77)
аналогично определяется
6-(р) = 2п8(-/N(^—m«). G.78)
Итак, с точностью до несущественного положительного множителя инте-
интересующее нас скалярное произведение на волновых функциях Ф(р, со)
имеет вид
г+
1 т
Аналогично для функций Ф (р, со) имеем
<Ф, Т> = I —гг.—тА ^ п — ) Ф(/7. со)^^. a) (dp) . G.80)
г+
258
Ниже мы проанализируем соответствующие представления 4L (а, Л) и, в част-
частности, убедимся, что они неприводимы.
В более общей постановке можно было бы построить унитарные представления группы Щп
В классе волновых функций Ф(р, со, со), преобразующихся по произвольному конечномерному
неприводимому представлению 2)(у> А) группы SLB, С). Задача нахождения соответствующего
скалярного произведения почти тождественна задаче об общем виде и разложении по инвари-
инвариантам группы Пуанкаре ковариантной двухточечной функции квантовых полей (см. дополне-
дополнения Ж, И). Вопрос этот также тесно связан с разложением свободного лоренц-ковариантного
квантового поля по полям с определенным спином (или с определенной спиральностью — в слу-
случае поля нулевой массы). Выше мы заметили, что представление с положительной энергией
и массой т., реализованное в пространстве функций Ф (р, со) или Ф (р, со), автоматически оказы-
оказывается неприводимым. Аналогичное утверждение становится неверным для представлений
в классе волновых функций Ф (р, со, ш), преобразующихся по представлению 2)(^' к) при /, ИфО.
Эта представления разлагаются по неприводимым представлениям, реализуемым на функциях
типаФ(р, со) иФ(р, со). По этой причине мы ограничиваемся здесь технически простейшей реа-
реализацией «физических» неприводимых представлений на спинорных волновых функциях типа
3)</>°» и ЗУ°>Л (см., однако, ниже упражнения 7.15 и 7.17).
Упражн ение 7.12. Доказать, что вектор Паули — Любанского в пространстве
волновых функций Ф (р1, со, со) дается следующим дифференциальным оператором:
-^чЛ ш(ехр — рех) ЛЛ . G.81)
(Указание: М^ = L*-» + X*», где № = i (/A -JL—рд_?—\, а № определяется фор-
V ор^ орл J
мулой C.56) или C.57).)
Рассмотрим вначале случай т > 0. Фиксируем целое или полуцелое
неотрицательное число s = /. Тогда со скалярным произведением G.79) ассо-
ассоциируется гильбертово пространство S^-™-^ всех комплексных измеримых
функций*) Ф(р, со) на Г^хС2, которые являются однородными полиномами
степени 2s по со и удовлетворяют соотношению
Действие G.74) группы $ро определяет унитарное представление в JQlm-si,
которое мы обозначим посредством 1Шт<!'\.
У пр а ж не ние 7.13. (а) Доказать, что всякая непрерывная фо-инвариантная полу-
торалинейная форма а (Ф, ?) на ?&«¦ *] имеет вид а(Ф, ?) = а<Ф, ?>, где а ? С. (Ука-
(Указание: воспользоваться аргументами, использованными при выводе скалярного произведе-
произведения G.79).)
(б) Доказать, что всякий ограниченный оператор А в §tm> *J, перестановочный со всеми
операторами 4Ltm'sl{a, Л), кратен единичному. (Указание: рассмотреть полуторалинейную
форму о(Ф, ?) = <Ф, ЛТ>.)
Упражнение 7.14. Доказать формулу G.38) для квадрата вектора Паули — Лю-
Любанского в представлении №«>-я. (Указание: воспользоваться формулой G.81).)
Из этих упражнений следует, что 4llm- sl является неприводимым пред-
представлением группы $Р„ с положительной энергией, массой т и спином s.
При построении fym- sl мы можем с равным успехом исходить из функ-
функций W(р, со) (вместо Ф(р, со)), являющихся однородными полиномами сте-
степени 2s = 2/ по со. Скалярное произведение и представление группы ^0
задается теперь формулами G.80) и G.75). Мы предоставляем читателю
убедиться, что полученное таким образом представление группы $а уни-
унитарно эквивалентно описанному выше представлению Шт-^, причем опера-
оператор унитарной эквивалентности может быть задан в виде]
. ч Э Ф (Р, со) — ? (р, ю) = -^-(ш JL е-1 ^-)> (Р, «)В G-83)
*) Здесь и далее под измеримостью функции Ф (р, со) подразумевается, что Ф(р, со) есть
полином по спинорной переменной со с коэффициентами, являющимися комплексными изме-
измеримыми функциями от р?Г^.
9* 259
Выше отмечалось, что использование более общих представлений ©</• й)группы SLB, Q
доставляет другие возможности для явно ковариантной реализации представлений [т, s]. При
этом в случае целого спина роль спинорнои переменной может быть отведена 4-вектору. (Ср.
упражнения 3.9 и 3.10 в связи с представлениями группы Лоренца.)
Упражнение 7.15. Пусть т > 0 и / = 0, 1, 2, ... Рассмотрим гильбертово про»
странство комплексных функций / (р, г) от векторов р ? Тт и г ? М, которые являются
однородными псевдогармоническими полиномами степени / по г и удовлетворяют условию
«поперечности» (в четырехмерном смысле)
)U>.r) = O. G.84)
Скалярное произведение определим формулой
)'п*7)Г1Р, г') (dp)*, G-85)
а действие группы Що — посредством f (р, г)—>¦ e'Paf (А~хр, А~1г). Доказать, что получен-
полученное представление группы ф0 унитарно эквивалентно 41""'^. (Указание: рассмотреть ото-
отображение
f(p, г)_Ф(р, a^-L-J^ep^Lc^ f(p,
Обратимся теперь к случаю /п=0. Пусть вначале s есть целое или
полуцелое отрицательное число. Положим s = — / и рассмотрим простран-
пространство всех комплексных измеримых функций Ф(р, со) от р?Т%п со?С2,
являющихся однородными полиномами степени 2/ и удовлетворяющих усло-
условию G.82). Классы эквивалентных функций по модулю функций нулевой
нормы образуют гильбертово пространство §С°' SJ. Однако чтобы не услож-
усложнять обозначений, мы условимся отождествлять каждый вектор из ф[°- SI
с некоторой представляющей его функцией Ф(р, со) *). Формула G.74) опре-
определяет унитарное представление группы 9$0, которое мы обозначим посред-
посредством W-S3.
Аналогично, если т=0, а s есть целое или полуцелое неотрицательное
число, то мы вводим вместо функций Ф(р, со) функции Ф(р, со), являю-
являющиеся однородными полиномами степени 2s и удовлетворяющие условию-
типа G.82). Соответствующее гильбертово пространство со скалярным про-
произведением G.80) при j = s и унитарное представление G.75) мы также
обозначим посредством 5[0's] и W0-^.
К пространствам ф[0'S3 применим результат упражнения 7.13, который
означает, что представление W>-Sl неприводимо. Непосредственное вычисле-
вычисление вектора Паули—Любанского показывает, что ОД0^] есть представление
с положительной энергией, массой нуль и поляризацией s. (В связи с этим
см. ниже упражнение 7.16.)
Мы видели, что в случае m > 0 замена спинорнои переменной со на со^
приводит к унитарно эквивалентному представлению группы $0. Однако
в случае /я=0 это не так, ибо представления W°'s] и №*• ~s] при s > О
унитарно неэквивалентны. Тем не менее существует явно ковариантная
конструкция представлений W0-^, использующая переменную со при s<0
и со при s > 0. Эта реализация представления весьма поучительна, ибо она
наглядно демонстрирует, что вектор состояния из ftl0^] эффективно описы-
описывается однокомпонентной волновой функцией, а соответствующая частица
имеет только одно состояние поляризации **).
Рассмотрим подробно случай s < 0. Введем комплексные измеримые
функции X (р, со) на Го х С2, которые являются однородными полиномами.
*) Это соглашение не является чем-то необычным. Например, когда говорят о гильберто-
гильбертовом пространстве функций (на множестве с мерой), подразумевается, что это гильбертово про-
пространство образовано не самими функциями, а их классами эквивалентности (по модулю функ-
функций, равных нулю почти всюду).
**) Это обстоятельство можно усмотреть также из вида скалярного произведения G.80).
ибо фигурирующая в нем матрица р имеет ранг 1 прир?Го".
260
степени 21 s | по со и удовлетворяют условию
(p, ш) = 0. G.86)
pL
~ да
Это условие означает, что X (р, со) имеет вид
Х(р, ю) = (йе"Ё„)*1*Ги(р), G.87)
где ?р—вектор из С2 такой, что со/хо = (сое^) (сое?я) при всех со € С2или, экви-
эквивалентно, t,pqt,p—2pq для всех q?M. Используя это наблюдение, мы можем
переписать условие G.86) в виде
Х (р> ^ = {2pqY's'Х (л ^' ^ € ж' G'88)
Определим норму в пространстве таких функций X, полагая
где функция Vx определена посредством
JL g ^.у 's' | X (р, й) |2 = {2pqy \^Vx{p), qeM. G.89)
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения убедиться, что
представление группы ^}0 в гильбертовом пространстве функций X (опре-
(определенное формулой типа G.75) с соответствующей заменой) эквивалентно
№'S3 с оператором унитарной эквивалентности
Ф(р, <о)-+Х(р, й)=^т(юрб-1^гJ|5|Ф(р, со). G.90)
Подобным же образом в случае s > 0 имеется альтернативная реализация
представления %t0- si в терминах функций X (р, со), зависящих однородно и
полиномиально степени 2s от со (вместо со).
Упражнение 7.16. Вывести формулу G.39) для вектора Паули — Любанского
в пространстве §[0> я. (Указание: в случае s < 0 применить дифференциальный оператор
G.81) к X (р, со) и воспользоваться условием G.86).)
Конструкция представления группы §р0. описанная в упражнении 7.15, с небольшими
изменениями переносится на случай /п = 0. Теперь при I Ф 0 скалярное произведение G.85)
становится вырожденным, поэтому гильбертово пространство образовано классами эквива-
эквивалентности функций f (р, т) по модулю функций с нулевой нормой. При I Ф 0 результирую-
результирующее унитарное представление группы 5ро является приводимым: оно разлагается в прямую
сумму W''J(J)№ll~'J. Особый практический интерес представляет случай 1=1, ибо пред-
представление «ИО'Чф'КГ0'-1! группы §ро описывает фотон. В следующем упражнении рассма-
рассматривается подробнее этот частный случай.
Упражнение 7.17. Пусть /п = 0. Рассмотрим пространство §' комплексных 4-век-
торных функций Л^(р) от вектора р?Г*, которые удовлетворяют условию поперечностн
(в четырехмерном смысле):
0. G.91)
Определим скалярное произведение двух функций
'» (р) (dpH. G.92)
Пусть §" — пространство векторов в ?>' с нулевым скалярным квадратом. Доказать, что
(а) скалярное произведение G.92) положительно полуопределено,
(б) векторы из §" имеют вид
J»(p)=p»b(p), G.93)
(в) действие
jy. (p) z^ e'P'APJ? (А~гр) G.94)
определяет унитарное представление группы 5ро в фактор-пространстве § = §'/&"> причем
это представление унитарно эквивалентно W11J(J) <2^to,—u_ (Указание: рассмотреть два
261
отображения
Л (р) -+ Х+ (р, ©) = ювМ(р) со = i/gase* ёмш/Ц > (р), G.95)
^^^(р); G.96)
здесь
G.97)
. (fcii (P) ± 1/2<8Яцро/ра (р)) • G.98)
7.3. ПРОСТРАНСТВО ФОКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
А. Пространство вторичного квантования. В релятивистской квантовой
теории результат рассеяния описывается в терминах системы произвольного
конечного числа невзаимодействующих релятивистских частиц, подчиняю-
подчиняющихся квантовой статистике (см. ниже п. 7.3.Д). Здесь мы займемся построе-
построением пространства состояний такой системы.
Чтобы сократить обозначения, предположим, что мы имеем дело только
с одним типом релятивистских частиц, характеризуемым массой /nj>0 и
спином s = 0, 1/а, 1, ... (при т > 0) или спиральностью s = 0, ± 72> ±1, ...
(при т = 0). Гильбертово пространство Sj1"" sl из п. 7.2.Г мы будем называть
пространством одночастичных состояний и в пределах этого пункта будем
обозначать его просто §х. Состояние п 03=2) невзаимодействующих тожде-
(-) (-)
ственных частиц будем описывать волновой функцией Фп (plt ..., рп\ со^ ..., соп)
от п независимых импульсов рх, ¦. ., рп ? Г^ и от спинорных векторов
(Dj, .. ., сол ^ С2 или от их сопряженных векторов со^ . . •, (о„, причем вол-
волновая функция является однородным полиномом степени 2|s| по каждому
(-) (-)
вектору со1, ..., со„ в отдельности *). Требуется еще, чтобы Фп являлась из-
измеримой функцией с конечной нормой:
х |Ф„ (Pl, ..., /v, ©!, • • •, («„) |2 П (dp/)a, G-99)
и удовлетворяла условию
ф^ = фп для всех я G.100а)
или
фя==е(я)Ф„ для всех я; G.1006)
здесь я-произвольная перестановка индексов 1, 2, ..., п в волновой функ-
(-) (-)
ции Ф„(р1, • •., рп; щ, •.., со„), так что
() () () ()
•••. Рп> Ю1' •¦•' ю«)=ф«(Ат). •••. Ртт\ ©яш. •¦•- «*«>); G.101)
е(я) означает четность перестановки я. В соответствии с двумя возможностями
в G.100) говорят о двух «квантовых статистиках» — бозе-частиц (или бозонов)
и ферми-частиц (или фермионов). Условия G.100) иногда называют принципом
неразличимости частиц, подчиняющихся квантовой статистике, ибо согласно
G.100) любая перестановка переменных в волновой функции, относящихся
к индивидуальным частицам, не меняет состояния.
Эмпирические факты свидетельствуют о том, что частицы с целым (соответственно полу-
полуцелым) спином подчиняются бозе- (соответственно ферми-) статистике. Теоретическим обоснова-
обоснованием этой закономерности служит теорема о связи спина со статистикой (см. гл. 9).
(-) (-)
Пространство всех измеримых функций Фя(р1, ¦¦¦, рп; ©!,..., сол) с ко-
конечной нормой (но, возможно, не удовлетворяющих ни одному из условий
*) Если исходить из другой реализации одночастичного пространства, то роль этих спи-
спинорных векторов должна быть отведена каким-либо другим величинам или индексам спинор-
ного (или векторного) типа.
262
G.100)) образует гильбертово пространство, которое называют л-й тензор-
тензорной степенью гильбертова пространства $1 и обозначают if)®". Скалярное
произведение двух векторов Ф„ и Wn дается формулой
Г
/
хФ„ (Рг, ..., pn;wlt ..., ю„) ?„ (Pl, ..., рп,щ, ..., й„) П №>/)«• G-102)
Векторы, удовлетворяющие условию G.100а) (соответственно G.1006)), вы-
выделяют в <§>®" подпространство, которое называют п-й симметричной (соот-
(соответственно антисимметричной) тензорной степенью гильбертова простран-
пространства tQi, для него мы введем обозначение фу" (соответственно <<0^п)- Орто-
Ортогональные проекторы в Jq?" на подпространства .§уп и "&f " имеют вид
= -т2ф?' G.103а)
п- я
=-т2е(л)ф?; G.Ю36)
"' я
здесь суммирование производится по всем перестановкам я индексов 1, .. ., п.
Условимся считать, что при л=1 все пространства ^®", <<рУ", -fif" совпа-
совпадают с ^1? а при л = 0 все они совпадают с полем скаляров С, снабженным
обычным скалярным произведением Фо^о-
В полном (физическом) гильбертовом пространстве векторы состояний
с различным числом частиц образуют взаимно ортогональные подпростран-
подпространства. Значит, для представления состояний с нефиксированным числом
частиц следует ввести прямую сумму л-частичных подпространств.
Прямая сумма
п=й
G.104)
называется тензорной алгеброй над гильбертовым пространством 1§1. Это
есть гильбертово пространство, элементами (векторами) которого служат
произвольные последовательности Ф= {Фл}"=0 такие, что Ф„€>^ и
G-105)
а скалярное произведение имеет вид
<ф, ^>=2<ФВ- ^„>- G-106)
п=0
Очевидно, §®" можно отождествить с л-частичным подпространством в пря-
прямой сумме G.104), состоящим из тех векторов Ф, у которых Фй = 0 при
кфп. В частности, одномерное 0-частичное подпространство ф® ° называется
вакуумным; оно натянуто на вектор То == | 0> с компонентами
(^0H=1, (?0)„ = 0 при пФО, G.107)
который называется вакуумным вектором. Для любого вектора Ф из прямой
суммы мы можем рассматривать Ф„ как проекцию Ф на ^)®". Вектор Ф
называют финитным, если он имеет только конечное число отличных от
нуля проекций Фя. Очевидно, финитные векторы образуют линейное
многообразие, плотное в прямой сумме G.104). Название «тензорная ал-
алгебра» объясняется тем, что на финитных векторах определена (дистри-
(дистрибутивная, ассоциативная, но не коммутативная) операция тензорного
263
произведения ФB)т:
<
() () () ()
= Z фк (Ри • • ¦. Рь- ©i. • ¦ •. ®к) Уп-к (Рк+к ¦ • •. /V> ю*+1. • • • - <»„)• G-Ю8)
й = 0
Векторы Ф из прямой суммы G.104), у которых каждая проекция Ф„
удовлетворяет условию G.100а) и, значит, принадлежит S?>vn, образуют гиль-
гильбертово пространство
^Ш=0.<рГ, G.109а)
п=0
которое называется симметричной тензорной алгеброй или пространством
Фока бозе-частиц над одночастичным пространством ^^ Аналогично, если
условие G.100а) заменить на G.1006), то мы приходим к гильбертову про-
пространству
ё. G-1096)
п = 0
называемому внешней алгеброй или пространством Фока ферми-частиц над
одночастичным пространством S^i- На финитных векторах Ф, 4я из JFV (^J
определено симметричное тензорное произведение (дистрибутивное, ассоциа-
ассоциативное и коммутативное)
Ф \/Ч/" = 5утФ®Чг, G.110а)
а на финитных векторах Ф, ? из JFA (<§i) определено внешнее произведе-
произведение (дистрибутивное и ассоциативное)
ФЛЧ^АгШэутФ®1?. G.1106)
Упражнение 7.18. Доказать тождества
Ovf = fv®, G.111а)
ФЙЛ Ч^ = (-1)«?,л Фк. G.1116)
Итак, мы построили пространства Фока JFy ($i) и <FA (^ бозе- и
ферми-частиц над одночастичным подпространством <§1 = <f)t;a"sl, преобразую-
преобразующимися по унитарному неприводимому представлению группы Пуанкаре ф„.
Хотя именно этот случай представляет для нас основной интерес, следует
обратить внимание на то, что специфика пространства ,<о1 по существу
нигде не использовалась (разве что при определении тензорной степени §®").
Поэтому приведенная конструкция пространств Фока дословно переносится
на произвольное гильбертово пространство Sfri, при этом нужно пользоваться
общими определениями тензорного произведения и прямой суммы, данными
в п. 1.1.Д. Пространства ,§v« и ^л«! являющиеся слагаемыми в прямых
суммах G.109а) и G.1096), естественно рассматривать как собственные под-
подпространства (существенно самосопряженного) оператора числа частиц N,
определенного (на финитных векторах) по формуле
Конструкция фоковского пространства <FV (¦??].) или <FA (^)x) по данному
гильбертову пространству S)x называется вторичным квантованием (бозев-
ским или фермиевским). Оно носит функториальный характер в том смысле,
что операторы между одночастичными пространствами также подлежат вто-
вторичному квантованию. Мы ограничимся важнейшим случаем—вторичным
квантованием унитарных операторов. Пусть U—унитарный оператор в St;
тогда для любого п=1, 2, ... тензорное произведение U®" е= U (g)... @[/
п экземпляров оператора U является унитарным оператором в Sfr®n (см. уп-
упражнение 1.44). Оператор U®n оставляет инвариантным подпространства
264
г
§i" (&i")'i сужение U®n на каждое из этих подпространств мы обозна-
обозначим ?/V" (UAn) и назовем n-й (антисимметричной тензорной степенью опе-
оператора U. Очевидно, это унитарные операторы. Кроме того, при п — 0 бу-
будем считать, что U®n — Uv« = Uл«— ] (единичный оператор в С). Вторич-
Вторичным квантованием унитарного оператора U называется унитарный оператор
?\j(U) в fv (§) или, соответственно, <FA (U) в ^л(^) такой, что
G.112а)
G.1126)
Упражнение 7.19. (а) Доказать, что для унитарного представления Ug группы
Ли G в §i операторы JFV (t/g) и §-A(Ug) образуют унитарные представления группы С?
в f v №i) и JFA ($,).
(б) Определим однопараметрическую абелеву калибровочную группу Ua в ?ь пола-
полагая (?/аФ) = е'аФ, Ф€§1- Доказать, что § v_ д {Ua) = eia™ , где W —оператор числа
частиц.
(в) Доказать, что представление cM[ra"s] (а, Л) группы 5р0 в ^г/я. я] порождает уни-
унитарное представление JFV Л (еШт>3Ца, А )) в фоковском пространстве JFV д (§[т'^), кото-
которое удовлетворяет условию спектральности, причем всякий Ц50-инвариантный вектор в фо-
фоковском пространстве коллинеарен вакуумному вектору; в случае т > 0 выполнено сильное
условие спектральности с массовой целью /п.
Часть (в) этого упражнения показывает согласованность употребления термина «ва-
«вакуумный вектор» в двух различных контекстах (в условии спектральности и в формализме
вторичного квантования).
Б. Связь с каноническими (анти)коммутационными соотношениями. Если
вектор Ф в G.110) считать фиксированным одночастичным вектором, то ото-
отображение W —>¦]/NO\yW или W—>¦ ]/NФ/\Ч? является линейным операто-
оператором на финитных векторах W фоковского пространства бозе- или ферми-
частиц *). Он обладает тем свойством, что n-частичный вектор переходит
в (я+ 1)-частичный, поэтому его называют оператором рождения частицы
с волновой функцией Ф и обозначают через а* (Ф). Итак, в бозевском слу-
случае оператор рождения определяется формулой
G.113а)
или подробнее (в реализации предыдущего пункта для
1 Д <-) „ (-) Р) (-)
= -Гг= 2- ф (/>/> юу) ?»-i (Pi ¦ ¦ ¦ Pi ¦ ¦ ¦ Р»> <»i • • • «V • • • «О; G.1 На)
У п l=i
здесь знак —- над аргументом означает, что этот аргумент должен быть
опущен; при /г = 0 левая часть этого равенства определяется равной нулю.
В фермиевском случае формулы аналогичны:
G.1136)
- 1У Ф(ру; 4)^-1 (Pi • • • Pi ¦ ¦ ¦ Рп\ «! •¦•«).. .'«„). G.1146)
' " / = i
Легко видеть, что сопряженный оператор (а*(Ф))*=а(Ф) также определен на
всех финитных векторах фоковского пространства. Он переводит п-частичный
вектор в (п—1)-частичный, поэтому его называют оператором уничтожения
частицы с волновой функцией Ф.
*) Фактор У JV (положительный квадратный кореньгиз оператора числа частиц) в опреде-
определении оператора рождения обеспечивает выполнение приведенных ниже канонических переста-
перестановочных соотношений G.119) между эрмитово сопряженными операторами а и а*.
266
Его действие определяется формулой
а (Ф) (Ч\V.- • • VTB+1) = ^4= ? <ф> */> ^iV • • • % ¦ ¦ ¦ V^n+1 G.115а)
У п+\
в бозевском случае и
Г1+1
' = 1 G.1156)
в фермиевском случае; здесь Ч^, .... ^n+i — произвольные одночастичные
векторы. В частности, при •<Q1 = $lm'sl имеем
хФ(р; ю)?„+1(р, ри ..., ра; со, со1; ..., со„)(ф)я G.116)
как в бозевском, так и в фермиевском случае. К этому нужно добавить, что
оператор а(Ф), действуя на вакуумный вектор |0), дает нуль. Обратим внима-
внимание на то, что оператор а (Ф) зависит от Ф антилинейно в отличие от а*(Ф),
который зависит от Ф линейно.
Упражнение 7.20. Доказать тождества
а* (ФОЗ... а* (Ф„) | 0>= УЦфг v ... УФП GЛ17а)
в бозевском случае и
а* (<&!)... а* (Фп)\0>=У^Ф1Л ... ЛФ; 7.1176)
в фермиевском.
В чем состоит роль операторов рождения и уничтожения? Прежде всего,
из упражнения 7.20 следует, что полиномы от операторов рождения при дей-
действии на вакуумный вектор |0) порождают множество векторов, плотное в фо-
ковском пространстве. Далее, оказывается, операторы рождения и уничтоже-
уничтожения могут быть охарактеризованы весьма простым набором свойств. Во-первых,
операторы рождения и уничтожения являются взаимно сопряженными опера-
операторами *):
а*(Ф)=а(Ф)*. G.118)
Во-вторых, они удовлетворяют следующим алгебраическим соотношениям:
[а(Ф), а(Ф')]т = 0 = [а*(Ф), а*(Ф')]т, G.119a)
>[а(Ф), а*(Ф')]т = <Ф, Ф'>.1. [G.1196)
Здесь и далее выражение [А, В]_=\А, В\=АВ—В А означает коммутатор двух
операторов А и В, в то время как [А, В]+=АВ+ВА служит для обозначения
антикоммутатора. Для бозе-частиц в формулах G.119) подразумеваются ком-
коммутаторы, а для ферми-частиц — антикоммутаторы. Третье свойство выражает
действие операторов рождения и уничтожения на вакуум:
а(Ф)|,0> = 0, G.120)
а*(Ф)|0> = Ф. G.121)
Упражнение 7.21. (а) Вывести (анти)коммутационные соотношения G.119) из опре-
определения операторов рождения и уничтожения.
(б) Доказать, что в фермиевском случае операторы рождения и уничтожения а*(Ф) и
в(Ф) ограничены и имеют норму \\Ф ||. Щ
В бозевском случае соотношения G.118) и G.119) означают, что операторы
рождения и уничтожения удовлетворяют каноническим коммутационным
соотношениям (ККС) в комплексной форме. В п.6.4.Б уже говорилось, что удоб-
*) Это равенство, как и дальнейшие, понимается в смысле равенства операторов, опреде-
определенных на всех финитных векторах.
266
нее иметь дело с экспоненциальной формой ККС, в которой фигурируют лишь
ограниченные операторы. Поэтому в соответствии с п.6.4.Б (в частности, с
упражнением 6.43) для любого Ф€-§1 мы определим оператор:
G.122)
Входящие сюда операторные экспоненты хорошо определены (в виде рядов
по операторам рождения и уничтожения) на финитных векторах и, в более
общем случае, на множестве Ш векторов W фоковского пространства W\ (<§i),
удовлетворяющих оценке (с числом с(Чг)^0, зависящим от W):
Упражнение 7.22. (а) Доказать, что операторы е~а* <ф' и еа(ф) переводят множе-
множество Ш в себя. (Указание: воспользоваться оценкой
р^ II Ф IN Y» II. G.124)
где Фб§ь ЧУп, а(*'(Ф) есть либо а(Ф), либо а* (Ф).)
(б) Доказать операторное равенство на Щ1:
еа(Ф)еа* (Ф') =е<Ф. Ф'>еа* (Ф')еа(Ф). G.125)
(в) Доказать, что операторы Wo (Ф) унитарны и задают представление ККС в смыс-
смысле соотношения F.84) над ?ц в гильбертовом пространстве Jfw (§1) с циклическим векто-
вектором |0>.
Это упражнение показывает, что в <FV Cpi) определена система ККС
№0(Ф) с циклическим вектором |0>; мы будем называть ее фоковской си-
системой или фоковским представлением ККС над гильбертовым пространст-
пространством $!. Согласно предложению 6.15 такое представление определяется од-
однозначно (с точностью до унитарной эквивалентности) вакуумным харак-
характеристическим функционалом
?0 (Ф) = <01 Wo (Ф) 10> = exp (-V, IIФII2) G-126)
(первое равенство служит определением, второе следует из G.122)). Этот
характеристический функционал уже рассматривался нами в п. 6.4.Б, по-
поэтому на основании предложения 6.15 можно утверждать, что соответствую-
соответствующее ему представление ККС унитарно эквивалентно фоковскому. Следующее
упражнение демонстрирует неприводимость фоковского представления.
Упражнение 7.23. (а) Пусть ограниченный оператор А в ff~v($0i) коммутирует со
всеми операторами Wo (Ф). Доказать, что А |0> = а|0>, где а = <0|Л I 0>. (Указание: ле-
левая часть соотношения
I ехр (V, || %Ф р) Го (ХФ) А | 0> = <0 | А ехр (V, || %Ф ||2) W9 (ХФ) \ 0>
зависит комплексно^аналитично от XgC, в то время как правая часть зависит комплексно
аналитично от Я и потому вообще не зависит от X; получить отсюда равенство
<0| Wo (Ф) А | 0> = а<0| Wo (ф) | 0> и воспользоваться далее цикличностью вакуума.)
(б) Доказать, что система ККС №0(Ф) в <fv($0i) неприводима. (Указание: исполь-
использовать часть (а) упражнения.)
Из сказанного можно сделать такой вывод.
Предложение 7.4. Циклическое представление ККС W(Ф) над гиль-
бертовым пространством §,« некотором гильбертовом пространстве Ж с
характеристическим функционалом Е (Ф) унитарно эквивалентно фоковскому
представлению W0 (Ф) в точности тогда, когда в Ж существует циклический
вектор ?0 такой, что
(—72||Ф||2) для всех Ф^б„ G.127)
или, эквивалентно, когда"в eFvi&i) существует вектор Ч такой, что
<Ч*\ Г0(Ф)?> = ?(Ф) для всех Ф 6 &. G.128)
267
Упражнение 7.24. (а) Пусть fyi является комплексификацией бесконечномерного
вещественного гильбертова пространства $, так что §i = <?¦? +1^ (см. п. 6.4.Б), и пусть
при р > 0 №<P>(f + (g) есть представление ККС, построенное из фоковского представления
л о формуле
Доказать, что при р Ф 1 представления Wo и W<P> не унитарно эквивалентны. (Указание:
рассуждая от противного, предположить, что существует вектор W такой, что
_1_
~Р
Показать далее, что для любого единичного вектора /?<? проекция вектора "Ф" на под-
подпространство М (/) в ff~v(fei)> порожденное векторами а* (/)" | 0> (п=\, 2, ...), имеет не-
ненулевую длину, не зависящую от }. Наконец, выбрать в $ бесконечную ортонормироваи-
ную последовательность flt /2, ... и воспользоваться взаимной ортогональностью подпро-
подпространств М (Ji), M(f2), ... для получения противоречия.)
(б) При тех же обозначениях доказать, что представления U7(Pl' и U7*P2' не унитар-
унитарно эквивалентны при pi Ф р2. (Указание: из унитарной эквивалентности №'Р1' и И7*р2' сле-
следует унитарная эквивалентность №<Р> и IFO при p = pi/p2-)
Мы рассмотрели характеристические свойства операторов рождения и
уничтожения в бозевском случае. В фермиевском случае ситуация аналогична
и даже проще из-за ограниченности операторов рождения и уничтожения.
Здесь уместно привести общее понятие системы (или представления) канониче-
канонических антикоммутационных соотношений (КАС) над гильбертовым простран-
пространством S)i. под этим подразумевается множество ограниченных операторов
а(Ф) и а*(Ф), зависящих от вектора Ф из $$и действующих в некотором гиль-
гильбертовом пространстве Ж и удовлетворяющих условиям G.118) и G.119) —
с антикоммутаторами в G.119). К этому следует прибавить разумное условие
непрерывности (скажем, а(Ф) и а*(Ф) слабо непрерывны по Ф, когда Ф пробе-
пробегает произвольное конечномерное подпространство в ^>i). Операторы рождения
и уничтожения в фоковском пространстве bFaG&i) образуют систему КАС,
называемую фоковским представлением КАС над ^х. В п.6.4.В мы ввели по-
понятие алгебры ККС, отправляясь от одного фиксированного (фактически^фо-
(фактически^фоковского) представления ККС. Точно так же мы введем алгебру КАС над ф:
это С*-алгебра операторов в ^л^О. порожденная операторами а(Ф) и а*(Ф);
другими словами, это минимальная С*-алгебра, содержащая операторы а(Ф)
и а*(Ф) в qFaC^i)- В случае бесконечномерного ?)i имеется множество унитар-
унитарно неэквивалентных представлений КАС, равно как и представлений алгебры
КАС; соотношение между представлениями КАС и представлениями алгебры
КАС таково же, как и в случае ККС (см. п.6.4.В). Следующее утверждение ха-
характеризует представления КАС, унитарно эквивалентные фоковскому.
Предложение 7.5. Представление а (Ф), а*(Ф) КАС над S)i_ унитар-
унитарно эквивалентно фоковскому представлению в точности тогда, когда в простран-
пространстве представления существует циклический вектор ^п (вакуумный вектор)
такой, что
а (Ф) ?0 = 0 для всех Ф 6 -Ь ¦ G.129)
Упражнение 7.25. Доказать предложение 7.5.
Примеры представлений КАС, унитарно неэквивалентных фоковскому,
можно построить по той же схеме, как и в случае ККС. Пусть Si является
комплексификацией бесконечномерного вещественного гильбертова простран-
пространства <? и пусть ам (Ф) являются операторами рождения и уничтожения в
^/\ (Si)- Нетрудно проверить, что при любом р > 0 операторы
a$(F + ig) = alm(pf + ijg) G-130)
определяют систему КАС над .ft,.
268 s
Упражнение 7.26. Доказать, что представления К.АС а\'^ и aj*^ над бесконечно-
бесконечномерным пространством §х унитарно неэквивалентны при Р]У=р2. "(Указание: воспользоваться
аргументацией упражнения 7.24.)
Из сказанного можно сделать еще один важный вывод: операторы рождения и уничтоже-
уничтожения как в бозевском, так и в фермиевском случае, образуют неприводимый набор операторов
в фоковском пространстве, поэтому всякий (скажем, ограниченный) оператор в пространстве
Фока является — в обобщенном смысле (см. п.6.1.В) — функцией от них. Более того, имеются
формулы приведения операторов к нормальной форме, представляющие операторы в простран-
пространстве Фока в виде рядов по так называемым нормальным произведениям операторов рождения и
уничтожения (операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения).
Упражнение 7.27. Пусть {fa} — ортонормированный базис в одночастичном гиль-
гильбертовом пространстве §х. Доказать, что оператор числа частиц N в фоковском пространстве
JFVi д(§1.) представим в виде ряда, сходящегося на финитных векторах:
# = 2 о* (/«)*(/«)• G.131)
В. Ковариантные операторы рождения и уничтожения. Выше мы
предположили для простоты, что имеется только один тип части-
частицы. В более реалистической ситуации имеется конечное или счетное множе-
множество различных типов частиц; мы будем различать их символом х, факти-
фактически обозначающим совокупность квантовых чисел частицы, которые сле-
следует задать помимо тх, sx (массы частицы и спина при тк > 0 или
спиральности при ту_ = Ь) для полной характеристики частицы. Гильбертово
пространство одной частицы типа х мы будем обозначать посредством
ф[ти, sx, и] или ^[И]. оно преобразуется по неприводимому представлению
группы $Р„ и поэтому может быть реализовано, например, спинорными вол-
волновыми функциями (п. 7.2.Г). Особо следует выделить суперотборные кван-
квантовые числа (как отмечалось в п. 6.2.В, в физике элементарных частиц
роль этих чисел играют электрический Q, барионный В и лептонный L за-
заряды). Будем считать, что на множестве {%} типов частиц определена опе-
операция зарядового сопряжения х —>-х такая, что х = и, m- = mK, 8-=зА при
ти>0 и s— = —Sy. при ти = 0; при этом х называется античастицей ча-
частицы х (в схеме с правилами суперотбора, определенными зарядами, ча-
частица и античастица имеют заряды, совпадающие по абсолютной величине,
но различающиеся знаком). Случай х = х не исключается. Вообще, если х
и % имеют одинаковые суперотборные квантовые числа, то х называется
истинно нейтральной частицей (или майорановской — в случае полуцелого
спина). Примером такой частицы является фотон *).
Перейдем к построению пространства состояний системы с произвольным
числом частиц любого типа, подчиняющихся квантовой статистике. Для
этого предположим, что среди суперотборных квантовых чисел имеется тип
статистики:
( + для бозонов,
! — для фермионов.
Если в теории существует сохраняющийся фермионный заряд F, то е(—1)^=1 (как
упоминалось в п. 6.2.В, эксперимент действительно дает такое указание, причем F =
= B + Z.).
Связь спина со статистикой выражается формулой
8и^М@, —1) = 1 G.133)
{ср. F.21)).
Определим пространство ,f)f векторов бозонных одночастичных состоя-
состояний и пространство ^f векторов фермионных одночастичных состояний как
прямые суммы пространств ^)[и], взятые по всем типам х бозонных и
*) Напомним, что мы классифицируем типы частиц по инвариантам собственной группы
каре $^ . В исп
знаку спиральности.
Пуанкаре $^ . В используемой классификации следует различать левый и правый фотоны —по
269
фермионных частиц соответственно:
G-134)
Система с нефиксированным числом частиц произвольного типа имеет своим
пространством состояний фоковское пространство
$ = feB (g) <qf, G.135a)
где $в = JFV ($f) и <&F — <^"л O&f) — прямые суммы (анти)симметричных тен- \!
зорных степеней соответствующих одночастичных пространств:
6В = © ?в = © (-6B)V", G.1356)
п=0 ' п=0 "
$F= © ?п = © (^1В)Л"- G.135в)
Заметим, что ^ и ^ канонически изоморфны подпространствам в ^ и
потому будут отождествляться с этими подпространствами. Посредством |0>
мы обозначаем вакуумный вектор:
Ясно, что представления ЭДМ (а, Л) группы Пуанкаре $Р„ в одночастичных
подпространствах $>№ порождают унитарное представление % (а, Л) группы
$0 в Sp, которое удовлетворяет условию спектральности с единственным
(с точностью до множителя) ^„-инвариантным вектором—вакуумным векто-
вектором |0> (см. упражнение 7.19 (в)).
В соответствии с общей схемой вторичного квантования мы сопостав-
сопоставляем каждому типу частиц х и каждому одночастичному вектору Ф ? фМ
пару операторов рождения и уничтожения о?(Ф), а% (Ф), определенных по
крайней мере на всех векторах с конечным числом частиц. Они характери-
характеризуются следующими свойствами:
4 (Ф) = (ах (Ф))', аи (Ф) 10> = 0, < (Ф) | 0> = Ф, G.136)
К(Ф), аи<(Ф')]т = 0, К(Ф), а:>(Ф')]Т = бии,<Ф, Ф'>. G.137)
Мы используем знак + (т. е. антикоммутатор), если обе частицы, хии', —
фермионы, и знак — (т. е. коммутатор) в остальных случаях. Как обычно,
6ИИ, есть символ Кронекера.
Удобно ввести также пары операторных обобщенных функций А* (р, со, х),
А (р, со, х) или А*(р, со, х), А (р, со, х), которые являются однородными по-
полиномами от со или о) степени 2|sH|. Они связаны с операторами рожде-
рождения и уничтожения следующим образом. При /ли > 0 и при /ли = 0, sx^0
мы сопоставим произвольной основной функции / (р) из пространства Швар-
Шварца и произвольному вектору со?С2 одночастичный вектор Ф/, ш€§м:
^ при р<ЕГ+и, weC G.138)
Положим по определению
А*(р, со, H)f(p)dtp = a'K(<!>f, ю), G.139а)
(р, ©, х) /Ipf^p = <ГИ (ФЛ ш). G.139б>
При тк — 0, s;c < 0 мы определяем А* (р, со, х) и Л (р, со, х) посредством
J А* (р, 5, х) / (/>) 4Р = о; VPf. 5"). G.140а)
S Л (р, со, х) 7ТЯ4р = ап (Wf, s), G.140б>
270
где
?^(/7> "*)= B|sj)i (^«J's*'/(/>)• G.141)
При ти > 0 мы с равным успехом можем работать с операторными обоб-
обобщенными функциями А*(р, со, х), А(р, со, х) вместо А*(р, со, х), А(р, со, х)
(ср. G.83))-.
А*(р, й, х) = -^1уг-^^-8-^у'и Л* (р, со, х), G.142а)
-coe^-^) Л(р, со, х). G.1426)
Очевидно, задание операторнозначных распределений Л1*1 (р, со, х)
равносильно заданию операторов рождения и уничтожения (здесь Л1*' упо-
употреблено вместо Л, Л, Л* или Л*, а со—вместо со или со). Перечислим их
важнейшие свойства. Введенные операторные обобщенные функции имеют
носитель на Г„и и удовлетворяют уравнению
(Р2 — т*.)Аы(р, со, х) = 0. G.143)
При /лх = 0 выполнено дополнительное условие
(юре-1 JL'j Л<*> (р, со, х) = 0, G.144а)
(соер 4=Л Л(*> (р, ш, х) = 0; G.1446)
как указывалось в п. 7.2.Г, это условие означает, что частица с массой 0
(соответствующая «физическому» неприводимому представлению группы ^3„)
имеет только одну поляризацию. Характеристические свойства G.136) и
G.137) очевидным образом переписываются в терминах Ам (р, со, х). Выпи-
Выпишем, например, нетривиальные (анти)коммутаторы:
[А(р, «, х), А*(р', со', х')]т = 6ииBя^
= {А(р', со', и'). ^*(Р, «. «)]т G-145)
(-)
(см. обозначение G.77)). Наконец, операторные обобщенные функции Л'*1
подчиняются следующему закону преобразования относительно симметрии ^30:
4{а, А)(А~*(р, со~>х)^(а, Л)-1 = е'лРаЛ^(Лр, Лео, х), G.146а)
«К (о, А){А(р, ш, х)«М(а, Л)-1 = е-'"л"аЛ(Лр, Лео, х). G.1466)
Явная лоренц-ковариантность этого закона делает удобными операторные
(-) (-)
обобщенные функции Аш(р, со, х), которые мы будем называть по этой
причине просто ковариантными операторами рождения и уничтожения.
Упражнение 7.28. Доказать формулы G.146).
(-) (-)
Отметим, что вместо Аш(р, со, х) широко используются аналогичные
(-) (-)
ковариантные операторы рождения и уничтожения aw (p, со, х) на массовой
оболочке. Это операторные обобщенные функции на многообразии Г^х, т. е.
обобщенные функции от трехмерного импульса р, который пробегает R2
271
при тх > 0 или /?3\{0} при /ли = 0. Связь между Л'*1 и а{*} дается формулой-1
Л<> ' S <
(р, и,' х) = S+^ (/>)а<*> (/>,«! х) = ^б (po_j/^7^) $> (р, ш.'х). G.147)
Чтобы не входить в детали, связанные с определением произведения G.147)
при /пи = 0, будем считать, что в этом случае./;^О в G.147). (Ограничение
р Ф О в конструкции фоковского пространства частиц нулевой массы, оче-
очевидно, несущественно, так как точка р = 0 имеет нулевую меру относи-
относительно (dpH.) Нетривиальные перестановочные соотношения G.145) в терми-
(-)
нах а1*' принимают вид
\а(р,а,к), а*(//,со', х')]т = бии,.2р»BяKб(р—р')(ю/хо'J Ы =
= [а(//, со', у.'), а*(р, со, «)]?; G.148)
здесь 2р° BяK 6 (/;—р') есть «инвариантная б-функция» на Г„и.
Г. Симметрии общей группы Пуанкаре. Рассмотрим вопрос о поведении
ковариантных операторов рождения и уничтожения при пространственно-
временных отражениях, предварив это обсуждение общими замечаниями.
Более широкими группами пространственно-временных симметрии,
чем $pt> являются общая группа Пуанкаре Ц$ и любая из ее подгрупп ф*
или $р+. Эти группы порождаются группой ^3+ и соответствующими элемен-
элементами из группы отражений 3 = {е, Is, /,, Jst). Если автоморфизны аа,к —
= «а, л (Л) при (а, Л) g ^30 уже фиксированы, то остается задать лишь авто-
автоморфизмы или антиавтоморфизмы a(Is), а(//), &(Ist) алгебры наблюдаемых,
соответствующие отражениям. Групповой характер симметрии налагает
определенные связи на эти автоморфизмы.
Упражнение 7.29. (а) Пусть автоморфизмы аа Л задают симметрию относительно
группы fp^_. Доказать, что автоморфизмы или антиавтоморфизмы a(Is), а(/<), ot,(Ist) по-
порождают симметрию группы Щ тогда и только тогда, когда выполнены соотношения
а(/)аО|Ла(У)-1 = а(а1/(а, Л)), J = ls,It,Isi, G.149)
о (/,)« = « (Л)* = и (/rf)«= I, G.150a)
а (/,,) = а (/,) а (/,) = а (/«) а (/,), G.1506)
а ау(а, Л) определено равенством G.5).
(б) Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для прупп §р ^ и §р + .
В этом упражнении приведены все групповые соотношения, характеризующие отражения.
Тем не менее для одной и той же физической системы этим соотношениям могут удовлетворять
различные наборы (анти)автоморфизмов а (У), и физическая интерпретация отражений будет
различна. Дело в том, что приведенные соотношения фиксируют преобразования лишь про-
пространственно-временных степеней свободы при отражениях, и поэтому физическая интерпрета-
интерпретация отражений зависит еще от того, как (анти)автоморфизм действует на внутренние степени
свободы (в частности, на операторы зарядов). Отсюда ясно также, почему возможны различные
выборы автоморфизмов <*(/), J?U: если в системе имеется группа внутренних симметрии
(автоморфизмы которой — по определению — коммутируют с операциями пространственно-
временных симметрии), то после умножения (анти)автоморфизмов a,(J) на подходящие автомор-
автоморфизмы внутренних симметрии можно получить, вообще говоря, новые (анти)автоморфизмы
a'(J) с прежними групповыми соотношениями, но с новой физической интерпретацией. Конечно,
среди различных операций отражения желательно выделить те, которые можно интерпретиро-
интерпретировать как операции чистого пространственного отражения Р, чистого обращения времени Т,
чистого полного отражения РТ или же их комбинаций типа СР, СРТ с зарядовым сопряжением.
Однако для систем с внутренними симметриями такие определения неизбежно содержат кон-
конвенциональный момент.
Предположим теперь, что группа пространственно-временных симметрии
с отражениями унитарно-антиунитарно реализуема в физическом гильбертовом
пространстве со стандартными правилами суперотбора. В соответствии с посту-
постулатом А.III это означает, что существуют унитарные или антиунитарные опе-
операторы U {1г), U (It), U (Ist) в физическом гильбертовом пространстве такие, что
a(J)(A) = U(J) Л<*> U(J)~\ J=Ja, It, I8t, (
272
для всех элементов А алгебры наблюдаемых (здесь, как обычно, А(*> означает-
А, если оператор U (J) унитарен, или А*, если U(J) антиунитарен). Априори,
нельзя утверждать, что для операторов U(a, Л) и U (J) выполнены групповые
соотношения, аналогичные соотношениям G.149), G.150) для (антиавтоморфиз-
(антиавтоморфизмов ааК и a(J), ибо равенства G.151) определяют U (J) с точностью до произ-
произвольного унитарного оператора из центра алгебры наблюдаемых фон Неймана
(и этот произвол не изменяет физической интерпретации отражений). Тем не
менее соотношения типа G.149) оказываются автоматически выполненными;
отсюда и из условия спектральности А.IV можно заключить, что оператор
?/(/„) унитарен, а операторы U(It), U(Ist) антиунитарны. Следовательно, про-
пространственному отражению /s соответствует алгебраический автоморфизм
a(/s), в то время как операциям It, Ist, включающим обращение времени, соот-
соответствуют алгебраические антиавтоморфизмы a(/(), a(Jst).
Упразкнение 7.30. (а) Доказать соотношения
U (Is) U (а, Л) U (Is)-1^ U (as (а, Л)) = U (Isa, е0А*-Ч0), G.152а).
U (It) U (а, Л) U (/,)-* = U (at (а, Л)) ^ U (Ita, *0А"-50). G.1526)
U (Ist) U (а, Л) U(ht)-1 = U (ost (a, Л)) =[t/ (— а, Л) G.152в)
при всех (а, Л) ? Що. (Указание: из G.26) и G.151) следует, что левые и правые части
любого из этих соотношений определяют одинаковые автоморфизмы алгебры наблюдаемых;
следовательно, они могут отличаться лишь на унитарный оператор V (а, Л) ? Q; убедиться,
что взаимно коммутирующие операторы V (а, Л) образуют унитарное представление
группы §р0 и воспользоваться упражнением 7.8.)
(б) Доказать, что оператор U (Is) унитарен, а операторы U (It) и U (Ist) антиуни-
антиунитарны. (Указание: из G.152а) следует
U (IS)P°U (Is)~1=± P°;
здесь Р° — оператор энергии; в правой части равенства подразумевается знак +, если
U(IS) унитарен, и знак —, если О (Is) антиунитарен; для U (It) и U(Ist) расстановка
знаков противоположна; воспользоваться далее неотрицательностью оператора энергии.)
Обратимся теперь к вопросу о поведении операторов рождения и уничто-
уничтожения при пространственно-временных преобразованиях, включающих про-
пространственное отражение или обращение времени. Для этого следует предпо-
предположить, что в фоковском пространстве ,?j заданы унитарный оператор Щ18) и
антиунитарные операторы cU(It), 41A st), удовлетворяющие соотношениям типа
G.152) (в которых роль U(а, Л) играют вторично квантованные операторы
11{а, Л) в .?)) и, кроме того,
'M(/,)|0> = <K(/i)|0> = 'K(/,,)|0> = |0>. G.153)
Нас интересуют симметрии, которые оставляют инвариантной фоковскую
структуру пространства .§. Это означает, что
<М(/)<(Ф)^(У)-1 = а;у(ФД J = I,,It,Ist G.154)
для всех типов частиц х и всех одночастичных векторов Ф?&*1; здесь
X/ =х, а X/ =х/ есть х, если к является массивной или скалярной без-
безмассовой частицей; в противном случае %Is = %j обозначает тип частицы
с теми же квантовыми числами, что и я, за исключением знака спираль-
ности: sK/ = — sH. Это определение согласовано с интерпретацией опера-
операторов 'U(is), *И(/<)> *М (Ist) как «чистых» отражений, поскольку они остав-
оставляют инвариантными внутренние квантовые числа частиц. Однако в теориях
с безмассовыми частицами такие операторы существуют не всегда, например,
просто из-за отсутствия типа частиц, обозначенного выше как х/^ = х/
(см. сборник [Н6], посвященный нарушению Р-четности в слабых взаимо-
взаимодействиях). Поэтому более фундаментальными считаются операторы ЭДС/>> ^г =
==4l(It), 1LCpT, удовлетворяющие соотношениям типа G.152), G.154) (где
27а
роль Is, It, Ist играют СР, Т, СРТ), а также
= </(ФУ), J = CP,T,CPT, G.155)
где хСР = хс/,г = х, хг = х. Операторы 4LCP \ ЭДСрг переводят частицу в анти-
античастицу и поэтому интерпретируются как комбинации зарядового сопряже-
сопряжения С с пространственным отражением Р и соответственно с полным отра-
отражением РТ (даже если операции С, Р, РТ не существуют по отдельности).
Общий вид таких операторов 4lj определяется формулами преобразований
операторов рождения (и уничтожения), которые следует скомбинировать
с условием инвариантности вакуума (типа G.153)):
Ч1сра* (р, со, х) Чср = Цср (*) B. ' |VYcoee0 Дг V '$*' a* (Isp, со, х), G.156а)
%та*{р, (о,уС)'и^1 = цт(к)-^-—г—(co^e-^—V'S*' a* (Isp, со, х), G.1566)
Ч1СРТа* (р, со, х) ЧсЬт = Чсрт (») ToTlTm С*» iУ ''"' «* (^» ?' »*) G-156в)
.и аналогично для а* (р, со, х) вместо а* (р, со, х); здесь цСР (х), т)г(х), х,
фазовые множители (т. е. комплексные числа с модулем 1).
Упражнение 7.31. Исходя из G.155), вывести формулы G.156).
Наряду с СР-инвариантностью могут иметь место С-инвариантность
и Р-инвариантность, и тогда <UCP распадается в произведение унитарных
операторов *ИС и %?, = %(!s), определенных в фоковском пространстве фор-
формулами
Ч1са* (р, со, х) lie1 = Чс (и) я* (р, «о, йр), G.157а)
1 / д \21 s*\ -
'Ипа* (р, со, х)'Ир1 = Т)р(х) . ( соее0 -= ) а* {Isp, со, хр) G.1576)
с подходящими фазовыми множителями т)с(и)> Чр (*¦)', к этому следует доба-
добавить аналогичные формулы для операторов а*(р, со, и).
Если бы для операторов Ilcp, ^r> ^СРТ выполнялись те же групповые соотношения
G.150), которым удовлетворяют соответствующие (анти)автоморфизмы «(/$), «(/<), a(Ist), то
эти операторы вместе с операторами 41 (а, Л) преобразований собственной группы Лоренца
порождали бы унитарно-антиунитарное представление группы Щ — накрывающей для общей
группы Пуанкаре (см. упражнение 7.5), причем эти групповые соотношения сводились бы к
определенным ограничениям на фазовые множители т|у(х) в формулах G.156). Однако в общем
случае можно лишь утверждать, что левые и правые части любого из соотношений типа G.150)
для операторов отражений отличаются на некоторый суперотборный фактор (т. е. суперотбор-
суперотборный унитарный оператор). Пользуясь свободой, имеющейся в определении (анти)автоморфизмов
а(/^), a.(It), <x(Ist) (которая приводит к различной физической интерпретации отражений), и
учитывая, что операторы отражения определены формулой G.154) лишь с точностью до унитар-
унитарного суперотборного оператора (не имеющего физического значения), можно попытаться при-
привести «таблицу умножения» операторов отражений к одной из каких-либо простых стандартных
форм. Такой анализ проделан в статье Ли и Вика A966), где выработаны также конвенции для
стандартных наборов фазовых множителей r\j{%). За деталями мы отсылаем заинтересованного
читателя к этой статье. Общими для различных стандартных форм операторов отражения явля-
являются следующие минимальные требования (которых обычно придерживаются в теории элемен-
элементарных частиц):
= <и@, — 1), ЧСР = %%=\. G.158)
Различные «таблицы умножения» операторов отражений могут быть выражены на языке расши-
расширений группы отражений У (или расширений общей>руппы Пуанкаре $; см. Голдберг, 1969).
Д. Релятивистская матрица рассеяния. Квантовая теория рассеяния
релятивистских частиц определяется следующими компонентами: физическим
гильбертовым пространством Ж и унитарным представлением U группы %
в Ж (удовлетворяющим условию спектральности); фоковским простран-
пространством ^, описанным в п.7.3.В (которое в зависимости от контекста назы-
называется фоковским пространством падающих или рассеянных частиц); и двумя
:274
пуанкаре-инвариантными линейными изометрическими вложениями Qin и
из § в &С. Полагают
Ж G.159)
и называют их пространствами асимптотических состояний (соответственно
падающих и рассеянных частиц). Линейный оператор
S = (Q»"*)* Q«" G.160)
в фоковском пространстве называется матрицей рассеяния (или оператором
рассеяния, или S-матрицей). Его норма не превосходит единицы. Из физи-
физических соображений следует потребовать еще, чтобы выполнялось условие
Ж™ = Ж™\ G.161)
которое, очевидно, эквивалентно условию унитарности S-матрицы. В против-
противном случае данное описание процесса рассеяния становится неудовлетворитель-
неудовлетворительным (по причине неполноты его).
В этой формальной схеме запечатлена простая физическая картина. В на-
начальный момент времени приготовляется состояние, которое можно трактовать,
как систему движущихся частиц, разделенных макроскопическим расстоянием.
При определенном соотношении между скоростями и конфигурациями частиц
мы можем экстраполировать эволюцию этого состояния «назад» во времени и
считать, что при t=—оо имеется вектор состояния, описывающий систему сво-
свободных релятивистских частиц. В формальной схеме этому соответствует изо-
изометрический оператор Qin, отображающий фоковское пространство {q (падаю-
(падающих частиц) в физическое гильбертово пространство Ж. Этот оператор парамет-
параметризует векторы физического гильбертова пространства Ж векторами фоковского-
пространства. Если эта параметризация охватывает все векторы из Ж (т. е.
если Ж1п=Ж), то состояния рассматриваемой системы допускают полную ин-
интерпретацию в терминах падающих частиц. Корпускулярный язык становится
неудобным для детального описания эволюции состояний во времени в элемен-
элементарных релятивистских процессах, но — согласно физическим представлени-
представлениям — асимптотическое поведение системы после акта рассеяния (математиче-
(математически, при t ->- +оо) вновь обнаруживает черты корпускулярной картины, по-
поэтому в формальной схеме вводится другая параметризация векторов физиче-
физического пространства фоковским пространством (q (рассеянных частиц) с помощью
изометрического оператора Qout. Полная корпускулярная интерпретация —
как в терминах падающих, так и вылетающих частиц — достижима лишь, если
G.162)
в^этом случае говорят, что выполнено условие асимптотической полноты.
Итак, в физическом гильбертовом пространстве Ж мы имеем две системы
отсчета Qin:,§—+Ж и пои1:&—^Ж, и, значит, одному и тому же вектору
состояния Ф фоковского пространства сопоставляются два (вообще говоря)
различных состояния
ф1п = ^шф> фои1 = Оо1,1ф ' G.163>
Матричный элемент <ЧГ, S<D> есть амплитуда <4fout, Ф*п> вероятности пере-
перехода ^Ч*11', Ф'п> |2 между двумя состояниями (с векторами Ф'11 и Ч*),
первое из которых проявляет себя как состояние системы падающих частиц
с вектором Ф ?.!?>, второе—как состояние системы рассеянных частиц с век-
вектором W с: <о (здесь следует предположить, что Ф'п и Wout — векторы чис-
чистых состояний).
Приведенная схема не включает процессов распада частиц (и соответствующих обращенных
во времени процессов), так как она имеет дело с идеализированной ситуацией, когда все части-
частицы имеют точно фиксированную массу, а это автоматически влечет их стабильность. Действи-
Действительно, пусть Ф — произвольное одночастичное состояние фоковского пространства, скажем
Q^iQ^ciig, и пусть ЧГ есть проекция S<t> на (п—1)-частичное подпространство, соответствую-
соответствующее частицам xlt . . . , х„_х (при л>2); тогда ЧГ является собственным вектором (с конечной
275-
нормой) для оператора квадрата массы Р2е=РцРР, поэтому Ч как функция на Г+(Х . . .ХГ*
•имеет носитель на множестве меры нуль и, значит, Ч^О. Отсюда, очевидно, следует, что (
SCj)=O, каковы бы ни были одночастичный вектор Ф и (п—1)-частичный вектор V в фоковском
пространстве при л>2. Другими словами, процессы распада отсутствуют. Этот результат никак
нельзя назвать неожиданным с точки зрения феноменологии элементарных частиц, где неста-
нестабильные частицы характеризуются ненулевой шириной массы. В настоящее время не сущест-
существует простой и последовательной схемы для процессов рассеяния и распада (нестабильных) ча-
частиц*) с неточечным массовым спектром (и даже нет точного определения такого рода частиц).
Фиксируем какой-либо канал реакции
G.164)
с участием п частиц (с типами хх, ..., xv падающих и xv+1, .... и„ рассе-
рассеянных частиц). Часть оператора рассеяния, соответствующая этому каналу,
можно характеризовать либо всевозможными матричными элементами
<ЧГ, 5Ф> между произвольными векторами вида
Ф = а^(Фу)...а;,(Ф1)|0>, G.165а)
4f = <v+1((I)v+1) ... Ф;„(Ф„)|0>, [G.1656)
либо величиной
(-) (-) (-) (-) (-) (-)
<0\А(рп, со„, и„) ... A(pv+1, cov+1, xv+1)(S—\)A*(pv, cov, xv) . ..
• • ¦ (A* (Pi, «!, %г) 10> = Bя)« i6 f 2 Pi— 2 Pk V (А,. <Ю1. Й„; ...
\/ = l fe=v-i-l /
() _ () ()
...; pv+1, (ov+1, xv+1|pv, (ov, xv; ...; pu cox, ях). G.166)
Обе части этого равенства являются обобщенными функциями из &" (Мп)
(->
по переменным рг, . . ., рп и однородными полиномами по ш (степени 2 I sX/1
(-)
по coy). Выделение в виде множителя четырехмерной б-функции от разности
между полными 4-импульсами падающих и рассеянных частиц учитывает
закон сохранения 4-импульса, который следует из условия трансляционной
инвариантности и более общего условия пуанкаре-инвариантности 5-матрицы:
41 (a, A)S<U(a, A)~1 = S G.167)
^ в свою очередь есть следствие пуанкаре-инвариантности изометрических
операторов Qin и Qout). Равенство G.166) служит определением обобщенной
(-) _ (-)
функции <f(pn, и„, х„; . . . | . .., ри col5 %j), называемой спинорной амплитудой
n-частичного процесса G.164). В силу закона сохранения ; 4-импульса мы
можем считать ее обобщенной функцией от рх, ..., рп, заданной только на
4(п—1)-мерной плоскости **)
, .... рп)?М»: 2 Pj— 2 Pk = o\. G.168)
Лоренц-инвариантность S-матрицы влечет лоренц-ковариантность спинорных
амплитуд:
Лсо„, х„; ... | . ..; А(А.) р
1 jj A5L, С). G.169)
*) В квантовой теории поля имеются формулы редукции, выражающие амплитуду рас-
рассеяния в терминах операторов ;полей (точнее, в терминах функций Грина полей; см. гл. 13).
В феноменологических расчетах вероятностей распада по теории возмущений также исполь-
используются соответствующие «формулы редукции», которые удовлетворительно «работают», хотя и
не имеют (по указанной выше причине) надлежащего теоретического обоснования.
**) Мы используем if" (П) для сохранения симметрии между рх рп. Каждая
обобщенная функция из if' (П) может рассматриваться как функция из if' (Ж") всякий
раз, когда некоторые л—1 из импульсов ръ ..., рп выбраны в качестве координат на П
276
Простота определения спинорных амплитуд в сочетании с явной кова-
ковариантностью при лоренцевых преобразованиях составляет их основное
преимущество (перед другими возможными амплитудами). Возможная инва-
инвариантность 5-матрицы относительно дискретных операций СР, Т, СРТ-.
= S*, G.170)
может быть переформулирована в терминах спинорных амплитуд исходного
канала G.164) и преобразованных каналов
xl+...+xv^v+1+...+xn, G.171а)
xn+...+xv+1—>xv+...+*,., G.1716)
G.171b)
Аналогичное замечание применимо в случае С- и Р-инвариантности.
Упражнение 7.32. Записать условия СР-, Т- и СРГ-инвариантности в терминах
спинорных амплитуд.
Из свойства носителя ковариантных операторов рождения и уничтоже-
(-) _ (-)
ния следует, что Ж' (рп, со„, х„; . . . |.. .; ри а>и xt) имеет носитель на физи-
физической массовой оболочке Ш процесса G.164):
ЭК = {(^1, •••• Pn)eU: f, = Vrf+fi, / = 1, ...,«} G.172)
(здесь и далее вместо ти. мы пишем просто rtij). Кроме того, из G.143)
следует
П, «„, х„; ...|...; ри 1<а\, к1) = 0. G.173)
Если некоторые частицы имеют нулевые массы, то 5 удовлетворяет допол-
дополнительным условиям типа G.144) по соответствующим переменным.
Информацию, заключенную в свойстве носителя и в уравнении G.173),
часто выражают следующим явным образом:
= П б+ (р/)Т(р„, (й1, х„; . . .|. ..; Ри ю|, хО, G.174)
где Т рассматривается как обобщенная функция на Ш. Следует заметить, что
определение обобщенных функций на 9Л: не совсем тривиально (поскольку Ш
имеет сингулярные точки как многообразие; точнее, Ш относится к классу так
называемых полуалгебраических многообразий, ибо оно задано конечной сис-
системой алгебраических уравнений и неравенств). Однако эти усложнения в дей-
действительности не столь существенны, ибо в силу условия унитарности S-мат-
рицы достаточно задавать спинорную амплитуду только на множестве регуляр-
регулярных точек множества Ш (см. по этому поводу упражнение 7.33 ниже). Следует
также отметить, что важнейшие физические характеристики процесса рассея-
рассеяния можно определить только, когда Т является обычной (измеримой) функцией.
Например, для процесса Хх+х2~>"Хз+. • .+ип с бесспиновыми частицами
(эффективное) дифференциальное сечение процесса определяется формулой
gXiX,->- Ид Ид
Bnyb(Pl+pt-pt—...-pa)\Tipa, ..., р3|Р2. Pt)|2 G.175а)
в любой системе отсчета, ассоциированной с plt p2, в которой векторы /?1;
рг коллинеарны (например, в лабораторной системе или в системе центра
масс): здесь ой: — \гр)-\ пг), о= -Щ ^\ длина разности скоростей па-
277
дающих частиц, йЗщ..,Кп—естественный элемент объема импульсного про-
пространства выходящих частиц:
dS*....*BII №>/)«.•
/—3 I
Сечение этого процесса есть
f я,к2-)-и3
J йвИз...
где Л^, ..., Nr—числа частиц различных типов иA), ..., к1г) в совокуп-
совокупности щ, . .., кп вылетающих частиц.
Множитель 1/jVjI . . . Л^Гв G.1756) появился как следствие принципа неразличимости
тождественных частиц и соответствующей симметрии дифференциального сечения G.175а) па
импульсам тождественных частиц. Точкам импульсного пространства выходящих частиц, отли-
отличающимся только перестановкой импульсов тождественных частиц, соответствует одно и то же
физическое событие; поэтому сечение ак и _,.я к получается либо интегрированием диф-
дифференциального сечения по соответствующей l/N-j . , . Nг\ части импульсного пространства,
либо, эквивалентно, интегрированием по всему импульсному пространству с дополнительным
множителем, как в G.1756).
В следующем пункте мы подробнее остановимся на представлениях типа G.174) для спи-
норных амплитуд двухчастичных процессов. Здесь мы приведем несколько замечаний относи-
относительно интерпретации представления G.174) в духе обобщенных функций. Естественная трак-
трактовка величины Т достигается с помощью слабого интегрального представления.
Для этого требуется, чтобы результат сглаживания спинорной амплитуды с произволь-
произвольной основной функцией /(р)€#"(П) по переменным /?=(/?i р„) зависел лишь от сужения
/ на массовую оболочку ЯП, т. е. чтобы
(-) - (-)
)!()rf--rf4P« = 0, G.176а)
если
f (p) = 0 при р?Ш. G.1766)
Оказывается, это свойство эквивалентно свойству носителя спинорной амплитуды, дополнен-
дополненному уравнениями G.173), однако доказательство этого факта будет значительно проще, если
воспользоваться происхождением спинорных амплитуд как обобщенных матричных элементов
унитарного оператора S.
Упражнение 7.33. (а) Доказать следующее представление:
(-) _ (-)
п
= lim Jim [ ?Г (рп, ш„, х„; ...|...; ръ a>i, xx) /r, s
r->oo s->-oo •>
где
f (p) €5 (П), fr, s (p) = wr (Pl pv) w's (pv+v ..., pn)f (P),
wr и w's — последовательности ё0-функций, удовлетворяющих условиям следующего типа
(которые мы выпишем явно только для wr):
1) 01
) г;
2) wr имеет компактный носитель (зависящий от г) на множестве
{{Ръ •••> />v)€^v: Pi>0, ..-, p°>0; pu ..., р^ не коллинеарны),
3) сужение wr на Г^ X • • • X Г^ стремится к единице при г ¦—у оо почти всюду псе
мере (dpi)mi.. -(dpv)m ¦ (Указание: сначала рассмотреть функции / (р) g?Р (Мп) вида
/ (р) = Чг (рх, ..., ру+1)Ф(р Pi), а затем воспользоваться тем, что линейные комби-
комбинации таких функций плотны в ?Р (Мп)-)
(б) Доказать свойство G.176). (Указание: отображение
.., pa)—>(pi — m$, ..., pl — ml)
регулярно, т.е. имеет ранг п, на носителе функций /r> s из части (а) упражнения; вывести
отсюда, что из fr,s(P) = O на ЗЛ следует представление
278
где/г^^у — ^"-функции на ЭД1 с компактным^ носителем; наконец, воспользоваться урав-
лениями' G.173).)
Е. Кинематика двухчастичных процессов. Рассмотрим двухчастичный
процесс
G.178)
с импульсами —рг, —р2 падающих и р3, р* выходящих частиц:
Pj 6 Г-. при 1=1, 2; Pj <Е Г+. при / = 3, 4, G.179)
удовлетворяющими закону сохранения
Рг+р2+Рв+р,=0. G.180)
В данном разделе П обозначает плоскость G.180) в М4, а Ш — массовую обо-
оболочку процесса G.178) (т. е. множество точек из П, удовлетворяющих G.179)).
Из импульсов частиц можно составить три лоренц-инвариантг
s=(Pl+p2)\ t=(Pl+p3)\ u={Pl+Pi)\ G.181)
Переменная s есть квадрат полной энергии в системе центра масс; она изменя-
изменяется в интервале s^spbYS, где
s^s=(mi+m2yy(m3+mj2 G.182)
— порог реакции G.178). Переменные t и и называются инвариантными квад-
квадратами переданного импульса (соответственно между частицами 1 и 3 или 1 и
4). Множество значений Gphys, принимаемых инвариантами s, t, и, когда импуль-
импульсы пробегают Ш, называется физической областью процесса (см. ниже G.191)).
Переменные s, t, и связаны соотношением
4
s + t + u = 2 тЬ GЛ83)
так что только две из них являются независимыми.
Упражнение 7.34. Пусть (рг р4) — произвольная точка плоскости П. До
жазать, что инвариантны s, t, и удовлетворяют условию
4
s + * + u = 2p/- G.184)
В системе центра масс (/*i + р2 = 0) импульсы частиц параметризуются
следующим образом:
— Pi=(E1(s), K12(s)nl2), — pz = (E2(s), — K12(s)n12),
p3 = (E3(s), K3i(s)nai), Pt = (Et(s), —K3t(s)n3i);
здесь Ej(s) — энергии частиц:
?1(s)=s + m!/.1mi, Et(s)='
1W 2|A s 2W
4(s)
s
2L 2
WT~'
K12(s) и K3i (s)—длины трехмерных импульсов частиц до и после реакции:
Kl2 (s) = ± (8-(т1 + т2У) (s-(mi-m,)«), G.187а)
Kl, (s) = ^ (s- (m, + m4J) (s-(m3-m4)J; G.1876)
Л12 и л34 — произвольные векторы на единичной сфере S2 в /?3 (направления
трехмерных импульсов частиц 1 и 3); их скалярное произведение
n12n3i = cos 6 G.188)
279
есть косинус угла рассеяния в системе центра масс. Параметр t можно
считать функцией s и cos 6: _,
/ = mf + mi—-±- (s + ml—mf) (s + mi—mj) + 2/C12 (s) K3i (s) cos 9. G.189}
Область значений независимых лоренц-инвариантов процесса G.178), оче-
очевидно, определяется неравенствами
s>sphys, —1<cos6<1. G.190)
Соответственно в переменных s, t для физической области имеем *)
Gphys={(s, 0€/?2: s>svh,s, tmin(s)^t^tmax(s)}, G.191)
где
tm3As) = mt + ml—~(s + ml—mi)(s + ml~m!)±2K1As)K3i(s). G.192)
min zs
Упражнение 7.35. Доказать, что Cp^ys есть канонически замкнутое регулярное
множество в R2.
В силу закона сохранения импульса спинорная амплитуда
(-) _ (->: _ (-> <-)
$~ {Pv со4, х4; р3, со3, х3; р2, со2, х2; р^ сох, ха) =
(-) _ (-) _ (-) (-)
= с#"(р4, со4, я4; р3, а>з, щ\ — рг, ю2, х2; — рг, щ, щ)
двухчастичного процесса зависит от трех импульсов (например от plt p2, р3)>
т. е. является обобщенной функцией класса 3"(П). Для получения ковариант-
ных представлений нам остается в соответствующих представлениях п.3.4.В
перейти на массовую оболочку.
Предложение 7.6. Формула
2 4
и • • •, л) = П % (pj) II Ч (Рн)F ((Pi + лJ- (pi+/>зJ) ^
2 4
^ i П К, (Pj) П б^, (Рк) б (s-(Л + ^2J) б (t-(Pl + p3y) F (s, t) ds dt G.193)
осуществляет изоморфизм между пространством обобщенных функций
F (s, t) ? ?f' (GPi,ys) и пространством лоренц-инвариантных обобщенных функ-
функций f(plt ..., /?4) ? с5"'(П) с носителем в 9Л, удовлетворяющих уравнениям
(р)-т)) f (р„ ¦ ¦ ¦, Рд = 0, / = 1, ..., 4. G.194)
Упражнение 7.36. Доказать предложение 7.6. (Указание: согласно упражнению
3.28 / однозначно представима в виде
f(Pu .... />4) = ф(/>12. .... pl (Р1 + Р2У, (Pi + РзJ). G.195)
где '(р (yi, ..., у^, s, i)?,&" (G) и G есть канонически замкнутое регулярное множество
в R6. Умножив обе части G.195) на р/— т/ и воспользовавшись G.194), убедиться, что
(г/у—т/)ф = 0 при /=1, ..., 4.)
Из предложения 7.6 вытекает, в частности, следующее важное свойство симметрии.
Упражнение 7.37. Пусть т1 = т3, т% = т4. Доказать, что всякая лоренц-инва-
риантная обобщенная функция f {р\, ¦¦¦, р4)^^"(П) с носителем в ЗЛ, удовлетворяющая
уравнениям G.194), обладает свойством
/ (Ръ Р2> Рз> Pt) = f(—Рз> —Pi> —Pi, —Рг). G.196)
(Указание: воспользоваться представлением J7.193).)
Упражнение 7.38. Пусть J7" (р4, х2," Рз, «i; Рг> Иг! Pi. ^i) есть амплитуда упру-
упругого двухчастичного процесса Xi-|-x2-—>-X! + x2 с бесспиновыми частицами:
BлL 6 (pi-f ... -bpIFj7" (р4. «г! Рз, Xi; Рг. х2; pi, Xj) =
= <0 | Л (р4, х2) Л (р3, Xj) Г Л* (—р2, х2) Л* (—рь xj) | 0>, G.197)
*)*При cos 0= ± 1 векторы plt p2, р3 линейно зависимы; следовательно, граница физиче-
физической области лежит на кривой det (p/P/),-, y=i, 2, з=0 в (s, /)-плоскости (здесь скалярные про-
произведения pipj считаются выраженными через' s, t).
280
где
tT = S—1.
Доказать соотношение
{2яL6(/?1+...+р4)-2Пт<#"(р4> «2; :Рз. хх; /?2, х2; /?ь хх) =
= <0 | А (р4> х2) Л (рз, xi) (Г-Г*) Л* (- р2> х2) Л* (-Pi, X!) | 0>. G.198)
(Указание: применить результат предыдущего упражнения ко второму члену в правой
части G.198).)
В ковариантных разложениях спинорной амплитуды мы ограничимся
случаем, когда все массы т,- положительны. Полиномиальный базис стан-
(-) (-)
дартных ковариантов Qp(pit со4; ...; plt аг) выберем согласно упражнению
3.31 при п = 3 (импульс д, не является новой переменной в силу G.180));
(-) (-)
роль % играет пространство полиномов г|) (со4, ..., coj), однородных степени
2sj по ©у (где sy-—спин /-Й частицы). Размерность ?С равна
Jl
так что (согласно упражнению 3.31) набор {Qp} состоит из ./V ковариантов,
образующих линейный базис в SC в каждой точке ранга 3. В соответствии
с формулой C.238) введем МхМ-матрицу X^(Xpa(s, t)), полагая
; Pi.
)=m) G.199)
P)
(ее детерминант отличен от нуля в точках ранга 3).
Предложение 7.7. Спинорная амплитуда двухчастичного процесса
между частицами с положительными массами допускает однозначное кова-
риантное разложение *)
<"' - (-)
v co4, и4; ...; р1г со,, у.1) =
= 2 Qp (Pt, Й ¦¦¦\Pi, Й П К, (Pj) П Ч (Рк) ТР (s, 0, G-200)
p=l j=l J k=3 *
где набор Т = {Тр (s, t)} инвариантных амплитуд есть элемент пространства
Упражнение 7.39. Доказать предложение 7.7. (Указание: ход рассуждений таков
же, как в упражнении 7.36, только вместо упражнения 3.28 следует воспользоваться упраж-
иением 3.31.)
Дополнение Д. Четырехкомпонентные спиноры
и уравнение Дирака
Д.1. Алгебра Клиффорда над пространством Минковского. Явно ковариантное пред-
представление, соответствующее спину 11г, реализуется на спинорах Дирака. Так как этот важ-
важный пример постоянно встречается в приложениях (в том числе и в последующих разделах
книги), мы изложим в этом дополнении необходимые сведения.
Пусть SC— CD — D-мерное комплексное векторное пространство с невырожденной би-
билинейной симметричной формой (,) («скалярным произведением»). Алгеброй Клиффорда
Cliff .#" над пространством SC называется алгебра комплексных 2[о/2]х2[о/2]-матриц (где
[D/2] есть целая часть D/2) вместе с линейным (инъективным) отображением
г- х—
удовлетворяющим условию
)(yE) = 2(E. Е') (Д-16)
*) Дискретные симметрии (типа Р, С) сокращают число независимых инвариантных ам-
амплитуд.
281
(мы опускаем единичную матрицу в правой части). Если {еа} — базис в ?? такой, что
(e<z> ^ь)=Яаб> то соответствующие единицы Уа = уеа алгебры Клиффорда будут удовлетво-
удовлетворять антикоммутационным соотношениям [уа, Уъ\+=%ёаЪ-
Пример такой алгебры есть алгебра Клиффорда над трехмерным евклидовым простран-
пространством. Это — алгебра матриц 2Х 2, единицами которой могут служить матрицы Паули сг,-. Сле-
Следующий по сложности интересующий нас пример — алгебра Клиффорда над четырехмерным
(комплексным) пространством Минковского СМ, которая порождается матрицами Дирака у^,
удовлетворяющими^ |
[V Tv]+ = ^v 0*. v = 0. 1. 2, 3). (д.2)
При изучении данной алгебры Клиффорда основную роль играет теорема единственности
(с точностью до эквивалентности) ее неприводимого представления, которую мы сформулируем
и докажем применительно к интересующему нас случаю ?>=4.
Теорема Д.1. Алгебра Клиффорда пространства Минковского (порождаемая матри-
цами уц, удовлетворяющими (Д-2)) обладает единственным (с точностью до эквивалентности)
неприводимым комплексным представлением; его размерность равна четырем.
¦^ Мы приведем доказательство, основанное на некоторых свойствах представлений ко-
конечных групп.
Учитывая (Д.2), нетрудно убедиться, что существуют 16 независимых произведений еди-
единиц 7ц- Это — произведения (не более четырех множителей), в которых никакие два множителя
Yp, не совпадают:
{Yr} = {1. Тц. 11г [V Vv] (= Vnvj- ТцТб, Y5}; (Д.З)
здесь
Т5 = УоТ1ТгТз(тб = —1), YM,Y5=-3j-etlK^vYX7XYV- Ш)
Одночлены {у/?} и {—у/?} замыкают группу б32 из 32 элементов с центром ,Z2 = {1, —1}.
Фактор-группа Gie = 632/^2 абелева, так как произведения YRiYfo и Y/?aY/?i B исходной
группе отличаются не более чем знаком. Мы интересуемся точными представлениями груп-
группы G32 (в которых центр представлен нетривиально).
У п р ажне ние Д.1.Пусть G— конечная группа (с числом элементов N (G)), Я —нор-
—нормальный делитель в G, K = G/H. Доказать соотношение
где Т пробегает полный набор попарно неэквивалентных (комплексных) неприводимых пред-
представлений группы G (размерности dr), которые не опускаются до представлений группы К
(т. е. ядро которых не содержит Н). (Указание: воспользоваться теоремой Бернсайда из тео-
теории представлений конечных групп; [ЖП, §34, теорема 4.)
Применяя результат упражнения к группе G=Gs2 и фактор-группе K—Gie, мы видим, что
если группа G32 обладает точным четырехрядным (неприводимым) представлением, то оно —
единственное (с точностью до эквивалентности) точное неприводимое представление этой группы.
У п р а ж не ние Д.2. Проверить, что матрицы
удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (Д-2).
Покажем, что все матрицы у/? (Д-3) линейно независимы (отсюда будет следовать,
в частности, что рассматриваемое представление группы G32 точно). Для этой цели заметим
сначала, что для каждой из 15 матриц у/?> исключая единичную, существует матрица у „,
такая, что
-Y«- (Д.6)
Действительно, в силу соотношений
[V«. Y^]+=0 = [Y5, Y^Y5] + , (д.7)
вытекающих из (Д-2), для матриц у^ и у^у5 можно выбрать Уц' = Уь\ для матриц y^v и
Ye можно положить Y/?' = YV-
Из (Д.2) (и из четырехрядности представления (Д.5)) следует псевдоортонормиро-
ванность матриц 1/2Yu относительно следа произведения:
trY^Yv = %v- (Д.8)
Пользуясь (Д.6), можно показать, что аналогичноесвойство имеет место для всех матриц ¦у/г-
Упражнение Д.З. Показать, что я
гДе вя=±1. (Д.9)
(Указание: пользуясь (Д.6) и возможностью циклической перестановки сомножителей под
знаком следа, проверить сначала (Д.9) для Ys='-)
282
Теперь нетрудно убедиться, что равенство 2cSYS = 0> где 'S — комплексные числа,
s
возможно, только если все с$ = 0; действительно., согласно (Д.9) cR=-j— tr yR 2 c$ys-
Неприводимость представления (Д.5) следует из леммы Шура и из обстоятельства,
что любая 4Х4-матрица может быть записана в виде 2 cSYs- >
Из доказанной теоремы следует, в частности, так называемая лемма Паули.
Следствие Д.2. Если у и у'—два набора четырехрядных матриц, удовлетворяю-
удовлетворяющих (Д.2), то существует неособая матрица S такая, что у^= Sy^S'1.
С помощью метода усреднения из теории представлений конечных групп можно получить
алгоритм построения матрицы S, реализующей преобразование подобия.
Упражнение Д.4. Показать, что при любом выборе четырехрядной матрицы F
из S = ^y'RFyR следует
y'RS = SyR. (Д. 10)
Построив таким образом (комплексную) алгебру Клиффорда, соответствующую комплекс-
комплексному пространству Минковского, мы можем определить также вещественную алгебру Cliff M,
элементы которой принадлежат линейной оболочке (с вещественными коэффициентами) матриц
(Д.З).
Д.2. Спинорное представление группы Лоренца; различные реализации ¦уматРиЧ-
Из определяющего антикоммутационного соотношения (Д.2) следует, что матрицы
V=TT.iv=T[V Tv]. и- v=°> i. 2- з. Ю-")
удовлетворяют перестановочным соотношениям для «физических генераторов» алгебры Ли
s/B, С) «оC, 1):
Нетрудно убедиться, что представление si B, С) с генераторами (Д. 11) приводимо, так как
[V Ve]=0.
Упражнение Д.5. Показать, что в базисе (Д.5) генераторы и матрица уъ имеют
приведенный вид:
\-e~ev), o^ = ^-(ev?|i-e(iev), (Д. 13а)
О -l)' (ДЛЗб)
Проверить, что
А = ехр A/2t0<1'6M'v) и A*-1 = exp A/2i0uv0M'v). ._ ...
задают два неэквивалентных двумерных представления группы SL B, С): A = (Ag), A*^
Четырехмерное пространство комплексных векторов г|)= {^"{а-1 4, в котором
реализовано неприводимое представление алгебры Клиффорда, называется пространством
диракоеских спиноров *). Согласно упражнению Д.5 дираковское представление группы
51B, С) разлагается в прямую сумму D'U2- °>ф?>@- 1/2> Двух неприводимых представ-
представлений.
Связь представления Дирака
V (9) = exp A/2'9M>VSnv) (Д-15)
и векторного представления
группы SL B, С) дается равенствами
l/F)YtV-1F) = A(e)vV> (Д-17а)
пе)т^-1(б)=ГцЛ(е)?.! ЩЛ7б)
Упражнение Д.6. Проверить (Д. 17) при помощи соотношения
*) Спиноры Дирака называются еще биспинорами. В терминологии Э. Картана спинора-
спинорами называются четырехкомпонентные спиноры Дирака, в то время как их двухкомпонентные
лоренц-ковариантные составляющие, соответствующие базису (Д. 13), называются полуспи-
полуспинорами.
283
Заметим, что приводимое представление (Д. 15) группы SL B, С) становится неприво-
неприводимым, если к связной[группе Лоренца присоединить пространственное отражение
V (Is) = r]sy0, где | тM | = 1 (V (/s) yViV~1 (I s)= 8 ииУи)- ; (Д-
Следующие упражнения показывают, как можно построить из "уматриц генераторы
алгебры Ли su B, 2) конформной группы и ее подалгебры sp B, R) « о C, 2).
Упражнение Д.7. Показать, что матрицы
— — —— ——Г 1 ==— ГЛ20У
удовлетворяют перестановочным соотношениям для «физических генераторов» алгебры Ли
о D, 2) « su B, 2). Найти эрмитову матрицу р (с сигнатурой -|—| ), удовлетворяющую
соотношениям
SaftP = Psa6, а, 6 = 0, 1, 2, 3, 5, 6. [(Д.21)
(Указание: в базисе, в котором У^ = ёц^Уц (например, в базисе (Д.5)), можно положить
P = Vo (или р = — v0).)
Упражнение Д.8. Показать существование антисимметрической матрицы С, реа-
реализующей подобие между матрицами —у^ (где «т» означает транспонирование) и у^:
Убедиться, что генераторы s(iv и 1/2YA замыкают алгебру Ли sp B, R) гз о C, 2). Показать,
что оператор С реализует эквивалентность между дуальными представлениями:
CV(Q)C-1 = V(Q)'t~1. (Д.23)
(Указание: в представлении типа (Д.5), в котором Ym. = (—')^ц> Ц = 0> 1, 2, 3 и которому
принадлежат ниже введенные матрицы (Д.24), положить C = iyoy2.)
Реализация (Д.5) ^-матриц выделена тем, что в ней представление группы SLB, С) и ее
алгебры Ли имеют приведенную (блочно-диагональную) форму (Д. 13). В физике играют роль
еще (по крайней мере) два типа базисов: базис Паули, в котором матрица уп диагональыа, и
базис Майорана, в котором матрицы Yp, и Sjxv чисто мнимы (а представление Дирака группы
SLB, С) вещественно).
Упражнение Д.9. Проверить, что матрицы
)
удовлетворяют антиперестановочным соотношениям (Д.2). Показать, что
v?=SpV|1S;1. где Sp = ^=-([ _!) = 5?х. (Д.25}
Упражнение Д.10. Проверить, что матрицы
т — г — ° ~ Тг
V™ — Yf — l^ о
о8
тоже удовлетворяют соотношениям (Д.2), (Д.22). Показать, что
-^ (Д.27)
S-i = s*(=sj (S4=l).
Существование вещественного представления (показывающее, что можно лоренц-инва-
риантным образом определить вещественные четырехкомпонентные спиноры — спиноры Майо-
Майорана) характерно для сигнатуры метрики g^v пространства Минковского и группы Ло-
Лоренца Z.|. Нетрудно убедиться, что в евклидовом случае спинорное представление группы
SUB)xSUB) (накрывающей группы О+D)) не эквивалентно вещественному.
Д.З. Уравнение Дирака; представления группы ^Пуанкаре со спином Vj. Уравнение
Дирака
(«3-/п) я|>(*) = 0, где J^y^JL, (Д.28)
инвариантно относительно произвольных преобразований
284
квантовомеханической группы Пуанкаре (в том числе относительно отражений), а также
относительно зарядового сопряжения
Так как (m-\-id) (m — 1<?) = /п2+П> то каждое решение уравнения Дирака является
вто же время решением уравнения Клейна — Гордона и, следовательно, может быть запи-
записано в виде
\ (Д.31)-
(Д.32)
(Д.ЗЗ)
гр (х) = \ е~1'Рх-2л8 (т2- р2) и (р) d^p,
где спинор и (р) удовлетворяет линейной системе уравнений
(р - /я) и (р) = 0J при У = т2(р^ Pll у")
или
где спиноры «'*' (р) — решения с положительной энергией систем линейных (алгебраических)
уравнений
(/я-р) «( + > (р) = 0 = (/п + р) «<"> (р). (Д.34>
У пр ажнен ие Д. 11. Показать, что
det (р? т) = (р2 - /и2J (= 0);
заключить отсюда, что при
ранг матрицы р ^f m равен двум и, следовательно, каждое из уравнений (Д.32) имеет два'
линейно независимых решения.
Можно построить базис линейно независимых решений уравнения (Д.32), предполагая,
что и(±'(р) являются собственными векторами оператора третьей проекции спина s3(p),
который может быть определен преобразованием Лоренца из его значения в системе покоя:
si @) («э s, (р = 0)) = V*e/*'s*i = V*«Y6Y°T/ N V.*Y»YoVy)- (Д-35)
Биспинорное представление'чистого преобразования Лоренца («буста»)
, (Д.36)
переводящего ось времени в направление вектора р с р° > 0, имеет вид
где
У п ражнен ие Д.12. Проверить равенство
Вычислим теперь оператор спина:
где №**—-(матричный) вектор Паули —Любанского:
(коммутирующий с р).
Упражнение Д.13. Показать, что
(Д.37а)
(Д.38>
(Д39>
(Д.40)-
и что Уз(/>) имеет собственные значения i1^.
Решение уравнения
58'(/»L±>(р)=Ц±)(р). t=±177 (Д-42)
(где и'^' удовлетворяют уравнению Дирака (Д.32)), определено с точностью до нормировки.
285
Упражнение Д. 14. Проверить эквивалентность нормировочных условий
йр)(рL±)(Р) = 2ш/!, (Д.43а)
7if> (p) 4±} (р) = ±2т. (Д.436)
Обозначим через «j (р) (e=±, Z=dz1/i) четыре линейно независимых решения си-
системы (Д.32), (Д.42), соответствующих собственным значениям р° = >/*/п2 + /J и s3 (/?) = ?•
Упражнение Д. 15. Доказать формулы
? = ±1/2
Упражнение Д.16. Показать, что в базисе Паули (Д.24)
(Д.456)
Формулы [Д.45) демонстрируют удобство реализации Паули^при изучении нерелятивист-
нерелятивистского предела спиноров иу2' (р): в этом пределе ра/(т-\-р°)—>-0 и спиноры (Д.45) ста-
становятся эффективно двухкомпонентными.
Решения уравнения Дирака могут служить базисом для некоторой явно ковариантной
реализации унитарного представления [т, 1/2, -f] квантовомеханической группы Пуанкаре,
отличной от вигнеровской реализации.
Рассмотрим пространство §т г^, состоящее из четырехкомпонентных комплексных
(измеримых) спинорных функций ? (р) s (?a (р)) на гиперболоиде Тт, для которых схо-
сходится интеграл
(р) (^Р)т « оо)- (Д-46)
Упражнение Д. 17. Показать, что если спинорная функция W (р) не исчезает
почти всюду, то (?, W) > 0. (Указание: воспользоваться положительностью матрицы
fp ДЛЯ р^Гт)-
Спинорное представление группы Пуанкаре 5>р (включающей отражения) действует на
векторы из §т х^2 по формулам
[[U (а, Л) Щ {p) = e'PaV (Л) ? (Л"», (Д.47)
U 0s) V (Р) = rbY0^ G,P) (/, (Р°, Р) = (Р°,-/>))> (Д-48)
У (/*) V (р) = TitYoYsC-11? (/,/»), [(Д.49)
причем оператор U (If) антиунитарен. Оказывается, что это представление приводимо.
Упражнение Д.18. Проверить, что уравнение Дирака (Д.32) инвариантно отно-
относительно преобразований (Д.47)—(Д.49). Вывести законы преобразований Y при отражениях
из этого условия инвариантности (и из требования положительности энергии).
Пространство §т 1/2 распадается на прямую сумму двух ^-инвариантных подпрост-
подпространств:
причем
(Ф, ?)=
Покажем, что оператор Uс зарядового сопряжения может быть определен как уни-
унитарный оператор, переплетающий инвариантные подпространства ^т' *1'2' ±-' между собой.
Действительно, разлагая произвольный спинор ? (р) на гиперболоиде Г^ по базису ag° (p),
мы положим по определению
UeV (Р) = 2 ? О" С в) «Г (Р)с, (Д-53)
S. в
где ис задается равенством ис(р) — С~1и(р) (см. (Д.30)).
286
Упражнение Д.19. Показать, что если [(т Т р) и (р) = 0, то (т ± р) ис(р) — 0.
Проверить в базисе Паули, в котором
C~1s=Cp1 = —i'yo Va =( г. ) > 8==( i n) (ЁОт/>е = о/;), (Д-54)
что
Результат этого упражнения указывает, что индекс е(=±) играет роль (знака) заряда;
операция зарядового сопряжения переводит частицу в античастицу (и обратно), изменяя одно-
одновременно знак проекции спина.
Заметим, что разложение (Д.52) выявляет связь реализации Вигнера представления груп-
группы $ (в пространстве функций ?(р, ?, е) с фиксированным «зарядом» е) с явно ковариантной
реализацией этого пункта.
287
Часть III
ЛОКАЛЬНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ
И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА
КРАТКИЙ ОБЗОР
Понятие поля как в классической, так и в квантовой физике призвано реализовать идею
<5лизкодействия. Для учета этой идеи мы дополняем аксиомы алгебраического подхода постула-
постулатом A.V: каждой ограниченной области в пространстве Минковского ставится в соответствие
некоторая С*-алгебра с единицей ЩО) таким образом, чтобы (наряду с требованиями изото-
изотонии и пуанкаре-ковариантности) выполнялось условие локальной коммутативности (п.8.1.А).
Замена точек пространства-времени областями необходима, если мы хотим иметь дело с алгеб-
алгебрами ограниченных операторов. Понятие локального квантового поля требует использования
более сингулярного объекта — операторной обобщенной функции (§ 8.2). Физически аксиомы
Уайтмана W.I — W.VII являются реализацией постулатов алгебраического подхода, допол-
дополненных требованиями единственности (W.III) и цикличности (W.VII) трансляционно-инвари-
антного вакуума, в терминах этих полей.
Система (сглаженных) полей ф<и)(/) неприводима, если из того, что ограниченный оператор
С слабо коммутирует с Ф(и>(/), следует, что С кратен единичному оператору. Доказывается
(предложение 8.1), что в теории Уайтмана неприводимость полей является следствием аксиом.
Менее тривиален результат Рее — Шлидера, утверждающий, что вакуум цикличен относитель-
относительно алгебры 5*(б) полиномов от полей, сглаженных с основными функциями, сосредоточенными
в произвольном непустом открытом множестве 0 (п.8.2.Г, предложение 8.2).
Основная идея подхода Уайтмана состоит в том, что все содержание теории может быть
переведено на язык вакуумных средних от произведений полей, называемых функциями Уайт-
Уайтмана (§8.3). В простейшем случае теории нейтрального скалярного поля ф(д;) мы пишем
ш™ (Хъ ..., Хп) = <0 | Ф (Xl) ... Ф (хп) | 0> = WM fo ?„_!),
?ii = xk — xk+i-
Требование единственности вакуума переводится как условие кластерности W.VI:
w(xx хк, хк+1 + 1а, ..., хп + Ха) —>• w{xlt ..., xk)w(xk+1 хп).
Х-+ CD
а'< О
Условие спектральности записывается в виде
supp W(qlt .... <?n_i) C=V+ X . . XV+,
где
Справедливо представление Челлена — Лемана (п.8.3.Б), позволяющее выразить двухточеч-
двухточечные функции произвольного поля как суперпозицию двухточечных функций свободных полей
¦с произвольными (неотрицательными) массами.
Набор всех функций Уайтмана позволяет определить линейный функционал
W (/) =
со
«ад алгебраической прямой суммой Q = ф ?f (Mn) пространств основных функций (со-
стоящей из финитных последовательностей). Пространство Q можно превратить в алгебру
288
с инволюцией, определяя на нем (некоммутативное) умножение и сопряжение по формулам
п
Аксиомы W.I—W.VII компактно записываются на языке функционала Уайтмана W(f).
В частности, положительность скалярного произведения в гильбертовом пространстве состоя-
состояний (см. W.I) приводит к условию мультипликативной положительности W(f®f+)^O. Теорема
реконструкции Уайтмана (теорема 8.6, п. 8.3.В) позволяет по заданному функционалу W (удов-
(удовлетворяющему соответствующим условиям) восстановить всю теорию (т. е. гильбертово про-
пространство $%, представление группы $р0, операторы поля ф). Доказательство этой теоремы сво-
сводится к частному случаю конструкции ГНС (п. 1.5.Г). Свободное поле <р полностью характери-
характеризуется своей двухточечной функцией (предложение 8.8, П.8.4.А). В п.8.4.Г показано, что поле,
коммутатор которого является числовой функцией или зависит лишь от разности аргументов,
является суперпозицией свободных полей; поле с таким свойством называется обобщенно сво-
свободным.
В силу условия спектральности функции Уайтмана №f"+11(?i, . • •. ?л) допускают ана-
аналитическое продолжение в трубу прошлого Tn=(U.-\-iV~)" (теорема 8.5, п.8.3.А). С другой
стороны, всякая лоренц-ковариантная функция, аналитическая в Тп, допускает однозначное
аналитическое продолжение в расширенную трубу
Т„= U ЛГ-,
Лб? (С)
которое ковариантно относительно комплексной группы Лоренца L+(C) (теорема 9.1, п.9.1.Б).
В отличие от Тп расширенная труба содержит вещественные точки, называемые точками Йоста
(точка (|1? ..., \п)?Мп принадлежит Тп, если при любом выборе Ху^О, ^Д/>0 вектор УХ&1
пространственноподобен; предложение 9.5, П.9.1.В). Свойство локальности позволяет допол-
дополнительно расширить область аналитичности функций Уайтмана (теорема 9.6, п.9.1.Г).
Отражение всех четырех осей в М является элементом L+(C). Это позволяет доказать
(п.9.2.А), пользуясь теоремой 9.1 (Баргмана — Холла — Уайтмана), инвариантность теории
Уайтмана относительно антиунитарного ГСР-преобразования (теорема 9.13). На самом деле
это утверждение можно уточнить, заменяя требование локальности менее жестким условием
слабой локальности (теорема 9.14, П.9.2.Б). При помощи ГСР-оператора доказывается транзи-
транзитивность свойств (слабой) локальности для неприводимой системы полей. Это приводит к поня-
понятию класса Борхерса взаимно (слабо) локальных полей (п.9.2.Б) и, в частности, к понятию ло-
локального составного поля (п.8.2.В). В дальнейшем (п. 12.1.В) будет показано совпадение S-
матрицы для взаимно локальных полей.
Теорема Баргмана — Холла — Уайтмана позволяет также доказать нормальную связь
спина со статистикой для компонент поля гр, преобразующегося по неприводимому (конечномер-
(конечномерному) представлению группы Лоренца и его эрмитово сопряженного: если предположить, что
компоненты поля либо коммутируют, либо антикоммутируют при пространственноподобном
разделении аргументов, то ip(%, а>ь щIр(х2, а>2, а>2)*=(—lJ(^+*'i|)(x2, a>2, <в2)*'Ф(*1э <°ь mi)>
где (—1J</+А>—валентность представления (теорема 9.19, П.9.3.А и лемма 9.21, п.9.3.Б).
(В дополнении И показано, что для бесконечнокомпонентных полей нормальная связь спина
со статистикой не следует из аксиом.) Перестановочные соотношения между различными полями
не фиксируются остальными постулатами. Если, однако, в системе полей имеются аномальные
перестановочные соотношения, то функции Уайтмана обладают некоторой дополнительной сим-
симметрией. Она позволяет определить (неунитарные) преобразования Клейна полей, сохраняющие
функции Уайтмана таким образом, чтобы новые поля обладали правильной связью спина со
статистикой.
На анализе аналитических свойств функций Уайтмана основано и доказательство теоремы
Хаага о несуществовании представления взаимодействия в локальной релятивистской теории
(§ 9.4). Это исторически одно из первых указаний на необходимость использовать нефоковские
представления ККС.
Одно из самых существенных применений аналитических свойств функций xdn'i(x1, . . ,
..., хп) — как в пертурбативных расчетах, так и в конструктивной квантовой теории поля—это
основанная на них возможность перехода к евклидовой формулировке теории. Функции Швин-
10 Н. Н. Боголюбов и др. ^°Э
гера sCnl(jtrj хп), которые получаются из w[nl при чисто мнимых временах заменой (xk)t=
= —ixk, аналитичны при (вещественных) несовпадающих аргументах^ удовлетворяют условиям
е.1 •— е.7 (аксиомы Остервальдера — Шрадера, п.9.5.Б). Эти условия полностью характери-
характеризуют теорию: если функции {stn1} удовлетворяют е.1.— е.7, то они являются функциями Швин-
гера некоторой системы уайтмановских полей (теорема 9.31, п.9.5.В).
Наше доверие к квантовой теории поля основывается главным образом на успехах пер-
турбативных расчетов в квантовой электродинамике. Однако, строго говоря, квантовая элект-
электродинамика не укладывается в рамки подхода Уайтмана (гл. 8 и 9). Для аксиоматической фор-
формулировки ее в терминах локальных ковариантных калибровок (гл. 10) необходимы две моди-
модификации аппарата: во-первых, допустить индефинитную метрику в пространстве векторов «вир-
«виртуальных состояний», во-вторых, использовать модифицированное уравнение Максвелла (со-
(сохранив обычное уравнение'Максвелла д^^Хц—^ц=0 только для представления наблюдаемых
полей в физическом гильбертовом пространстве). Набор «псевдоуайтмановских» аксиом во
всякой теории с индефинитной метрикой должен быть дополнен аксиомами, обеспечивающими
физическую интерпретацию формализма (т. е. конструкцию алгебры наблюдаемых и физиче-
физического гильбертова пространства;"пп.10.1.В, 10.1.Г). Специфика теорий с индефинитной метри-
метрикой проявляется, в частности, в вопросе о спонтанно нарушенных внутренних симметриях,
порождаемых локальными сохраняющимися токами: в теории Уайтмана спонтанное нарушение
симметрии сопровождается безмассовым скалярным бозоном (теорема Голдстоуна, п. 10.3.Б);
в теории с индефинитной метрикой «голдстоуновскии бозон» может оказаться чисто фиктивным,
не обнаруживаясь в физическом гильбертовом пространстве (п. 10.3.В).
Одной из простейших полевых моделей с индефинитной метрикой является безмассовое
скалярное поле в двумерном пространстве-времени (одночастичное подпространство, возни-
возникающее при квантовании этого поля фоковским методом, является не гильбертовым, а так назы-
называемым пространством Понтрягина). Изучение этой модели удобно проводить отдельно для
правой и левой составляющих, представляющих собой одномерные квантовые поля на изо-
изотропных прямых пространства-времени (nn.ll.l.A, 11.1.Б). С помощью (локальных нормаль-
нормальных) экспонент от этих полей получаются поля с любым спином, в частности, свободное без-
безмассовое дираковское поле в двумерном пространстве-времени (п.11.1.В), а также поле Тир-
ринга (§ 11.2). Сходным методом строится модель Швингера (т. е. двумерная безмассовая кван-
квантовая электродинамика, § 11.3).
Глава 8. ФОРМАЛИЗМ УАЙТМАНА
8.1. КВАНТОВОПОЛЕВЫЕ СИСТЕМЫ
А. Идея локализации. В гл. 6 мы приняли в качестве определения физиче-
физической системы пару (&, ©), где Ж — абстрактная С*-алгебра (алгебра наблю-
наблюдаемых) и B —множество «физических» состояний, обладающих, в частности,
способностью разделять элементы алгебры Ж. Эрмитовы элементы алгебры Ж
играют роль обобщенных переменных, которые, в принципе, можно измерять
на опыте (отсюда термин «алгебра наблюдаемых»). Теперь мы выделим класс
полевых систем. Интуитивно можно представлять себе, что наблюдаемые поле-
полевой системы есть некоторые функционалы от совокупности «фундаментальных
полей», являющихся функциями на пространстве Минковского и удовлетво-
удовлетворяющих определенным (полевым) уравнениям. Однако в наиболее интересных
случаях значение квантового поля в пространственно-временной точке, как
будет показано ниже, лишено смысла и для корректного определения кванто-
квантовых полевых систем на помощь приходит несколько более общая идея локали-
локализации.
Для этого предыдущие аксиомы A.I —А. IV алгебраического подхода мы
дополним следующей аксиомой.
A.V. Каждому ограниченному открытому множеству 6 пространства-
времени Минковского сопоставлена С*-алгебра с единицей Щ6), являющаяся
подалгеброй алгебры наблюдаемых Ж и называемая алгеброй (локальных) наблю-
наблюдаемых, ассоциированных с множеством 6; при этом алгебра Ж является по-
пополнением по норме объединения
Stioc= U ЗЦ0). (8.1)
6 м
называемого алгеброй локальных наблюдаемых. Кроме того, выполнены следую-
щие условия:
(а) изотония: если 6г cr 62, то Ж FХ) сг Ж F2);
(б) ковариантность относительно собственной группы Пуанкаре:
(8.2)
(в) локальная коммутативность: алгебры Щ. Fг) и Ж(б2), ассоциирован-
ассоциированные с пространственноподоб'но разделенными областями бх и 6г, коммути-
коммутируют между собой.
Содержание условий изотонии и ковариантности очевидно, физический
же смысл принципа локальной коммутативности мы обсудим в следующем
пункте.
Семейство {Ж (б)} q cm С*-алгебр, удовлетворяющих условию изотонии,
называют также сетью С*-алгебр над М.
В первоначальной формулировке аксиом алгебраической квантовой теории поля (Хааг и
Шроер, 1962) требовалось, чтобы алгебры 3t(@) были не абстрактными С*-алгебрами, а алгеб-
алгебрами фон Неймана операторов в (физическом) гильбертовом пространстве $?. Различие между
этими двумя вариантами имеет значение лишь с конструктивной точки зрения. Может случить-
случиться, что алгебра наблюдаемых построена раньше, чем выбрано ее физическое представление я,
тогда разумна абстрактно-алгебраическая точка зрения. Когда же физическое представление
10* 291
зафиксировано, то алгебры ЭГ(б) вполне можно считать «конкретными» алгебрами фон Неймана
(заменяя, если нужно, абстрактные С*-алгебры ЗГ(C) алгебрами фон Неймана я(Э?(())).
Алгебру 91 как пополнение по норме алгебры Ш\ос локальных наблюдаемых называют
также алгеброй квазилокальных наблюдаемых. Не все наблюдаемые величины принадлежат
этой алгебре. Например, полная энергия (или импульс, или заряд) квантовополевой системы
не может быть (квази)локальной наблюдаемой. Стандартный способ построения таких «гло-
«глобальных» наблюдаемых состоит в рассмотрении пределов локальных наблюдаемых в слабой
операторной топологии физического представления, т. е. в переходе к алгебре фон Неймана
яB1). Если настаивать (как это делали Хааг и Кастлер, 1964), что локальные алгебры даюи
полное описание полевой системы, доступное физическому эксперименту, то следует принять,
что все наблюдаемые в каком-то смысле порождаются локальными наблюдаемыми. Наиболее
естественно считать при этом, что все наблюдаемые (в том числе и «глобальные») содержатся
в алгебре фон Неймана п(Щ или по крайней мере]присоединены к ней.
Б. Принцип локальной коммутативности. Одно из самых существенных
требований релятивистской локальной теории — это постулат локальной ком-
коммутативности. Он является конкретным выражением весьма общего эйнштей-
эйнштейновского принципа причинной независимости, согласно которому любые два
события в пространстве-времени, разделенные пространственноподобным ин-
интервалом, не могут находиться в причинно-следственном отношении.
В рассматриваемом подходе этот принцип реализуется следующим образом.
В духе гл. 6 произвольный унитарный элемент U алгебры наблюдаемых можно
интерпретировать как результат воздействия на систему, переводящего состоя-
состояние р в состояние pUt где ри(Л)=р(?/*Л?/), Л ?31. Унитарные элементы U
из локальной алгебры §1F) будем интерпретировать как воздействия, сосредо-
сосредоточенные в пространственно-временной области 6. Если область 6 заключена
в полосе времени t!<.t<.t2, то по обычному принципу причинности система,
подверженная такому воздействию, должна описываться состоянием р при
t<ZU и ри— при t>t2, т. е. для локальных наблюдаемых Л, ассоциированных
с областями й при t<Z.tu среднее значение дается выражением р(Л), в то время
как для наблюдаемых Л, ассоциированных с областями Q при tj>t2, среднее
значение есть Ри(Л). Чтобы согласовать эту прескрипцию с эйнштейновским
принципом причинной независимости, следует потребовать, чтобы для обла-
областей <2, расположенных пространственноподобно относительно 6, оба выраже-
выражения р(Л) и Ри(А) совпадали (независимо от того, находится Q раньше или
позже 6 в какой-либо системе координат, ибо в данной ситуации понятия «рань-
«раньше» и «позже» релятивистски не инвариантны).
Ради краткости примем соглашение записывать условие пространственно-
подобной разделенности двух областей б и B в М в виде соотношения б~#
(означающего: (х—г/J<0 при всех х?б, у?&). В результате мы приходим
к следующему варианту принципа причинной независимости Эйнштейна:
рц(А) = р(А) для всех состояний р,
где U—произвольный унитарный оператор из §1F), Л — произвольный эле-
элемент алгебры 31 (&) и б~б. Очевидно, из него следует U*AU=A, т. е.
AU = UA. Поскольку унитарные элементы U порождают всю алгебру 91F),
отсюда заключаем
= ВА, если А €ЗГ@), В?$Ц&) и 6~,"S. (8.3)
Это и есть формулировка условия A.V (в) локальной коммутативности.
Следует подчеркнуть, что хотя квантовая теория поля базируется на прин-
принципе локальной коммутативности (и на его обобщении — принципе локально-
локальности, п.8.2.А), отражая тем самым современные идеализированные представле-
представления о структуре (в частности, о «микроструктуре») пространства-времени, она
тем не менее позволяет реализовать идею неточечности, внутренней структур-
структурности элементарной частицы. Действительно, средние таких наблюдаемых
полей, как тензор энергии-импульса, электрический ток и, в частности, плот-
плотность электрического заряда в одночастичном состоянии выражаются, во-
вообще говоря, существенно нелокально через волновую функцию частицы (для
292
такого пересчета вводится специальное понятие форм-факторов частицы).
Другими словами, взаимодействие локальных полей наделяет элементарные
частицы нелокальной структурой, которая является и специфически реляти-
релятивистской, и специфически квантовой (т. е. не сводимой к «классическим» ана-
аналогам, скажем, типа пространственной протяженности тела).
В. «Фундаментальные» поля и «физические» поля. Мы отмечали, что
наблюдаемые величины и состояния служат средством выражения квантовой
феноменологии. Однако детализация динамики требует введения динамических
переменных, или «фундаментальных» полей, которые могут не входить в мно-
множество наблюдаемых величин и служат своего рода строительным материалом
для наблюдаемых. Это обстоятельство не является исключительным свойством
квантовой теории. Например, в классической электродинамике 4-вектор по-
потенциала А^(х) электромагнитного поля является «фундаментальным» по-
полем, но не является наблюдаемой величиной; наблюдаемые же являются
калибровочно-инвариантными комбинациями типа напряженности, тока
и т. п.*).
На примере электродинамики видно, что ненаблюдаемые поля могут вхо-
входить в теорию на совершенно иных основаниях чем наблюдаемые, и нет логиче-
логической необходимости требовать, чтобы они подчинялись схеме, изложенной
выше для наблюдаемых. В частности, мы не можем требовать, чтобы ненаблю-
ненаблюдаемые величины (или фундаментальные поля) были операторами, действую-
действующими в физическом гильбертовом пространстве. Математическая природа этих
полей может быть весьма различна: это могут быть операторы в физическом
гильбертовом пространстве, но это могут быть также операторы в нефизическом
псевдогильбертовом пространстве с индефинитной метрикой (здесь остается
простор и для других возможностей).
Поля, которым можно сопоставить операторы в физическом гильбертовом
пространстве, будем называть «физическими» полями, а алгебру (С*- или фон
Неймана) % ограниченных операторов, порожденную «физическими» полями,
мы будем называть полевой алгеброй. В иерархии структур — от «фундамен-
«фундаментальных» полей до наблюдаемых величин — полевая алгебра занимает проме-
промежуточное место: в то время как наблюдаемые приводятся суперотборными'под-
пространствами, ненаблюдаемые элементы полевой алгебры являются перепле-
переплетающими операторами для этих подпространств (например, служат оператора-
операторами рождения заряженных состояний из нейтральных и т. п.).
Для полевой алгебры можно сформулировать некоторый набор аксиом, аналогичны»
аксиомам для сети локальных алгебр наблюдаемых (см. Доплихер и др., 1969; Хааг и др.,
1970). Наиболее существенные отличия от требования A.V —это добавление аксиомы цик-
цикличности вакуума и обобщение аксиомы локальной коммутативности (мы приведем их.
в контексте формализма Уайтмана).
Теперь мы обратимся к изложению формализма Уайтмана, хотя и не столь
общего, как алгебраический, но с более совершенным аналитическим аппара-
аппаратом, имеющим дело непосредственно с физическими полями. (Вектор-потенци-
(Вектор-потенциал электромагнитного поля и вообще калибровочные поля в произвольной
ковариантной или локальной калибровке не являются «физическими»; о"них
см. в гл. 10.)
*) Здесь уместно вспомнить мысленный эксперимент Ааронова — Бома A959, 1963),.
который обращает внимание на специфику конструкции наблюдаемых для неодносвязного-
пространства. Утверждается, что если вместо обычного пространства R3 взять внешность бес-
бесконечного соленоида, то в квантовой теории появится еще одна независимая наблюдаемая,
а именно ехр(геф A(x)dx), которую можно составить из электромагнитного поля у4ц и кото-
рая не выражается через напряженность Fx^. Здесь ф А (х) dx — циркуляция электромаг-
электромагнитного поля по контуру С, охватывающему соленоид, е — квант электрического заряда. Та-
Таким образом, квантовая физика допускает измерение этой циркуляции по модулю g (где g=
= 2я/е —магнитный заряд дираковского монополя), в то время как классическая физика во-
вообще не располагает возможностью какого-либо измерения ее (имеется в виду — не «зале-
«залезая» в соленоид).
293
8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОГО КВАНТОВОГО ПОЛЯ
А. Аксиомы Уайтмана. В схеме Уайтмана основную роль играет поня-
понятие релятивистского квантового поля, имеющего хорошо известный класси
ческий аналог. Поскольку в теории могут фигурировать поля различной
природы (например, скалярные, спинорные и т. п.), то квантованное поле
в действительности можно представлять как конечную или бесконечную
совокупность {ф(К>} полей ф(Н), снабженных индексом и, определяющим тип
поля. Предполагается, что каждое из полей ф(и) является тензорной или
спин-тензорной величиной с конечным числом лоренцевых компонент
ф\ю (/ = 1, ¦ • •, г у) и с определенными трансформационными свойствами при
преобразованиях из собственной группы Лоренца L.\ или ее накрывающей
SLB, С). Если <р\Н) не является эрмитовым полем, то предполагается сущест-
существование таких индексов х и /, через которые выражается эрмитово сопря-
сопряженное поле:
(р«о*=фф. (8.4)
В свою очередь ф{и) = ф[и) (х) есть операторная обобщенная функция на
пространстве-времени М, так что результаты сглаживания ее
<*** (8-5)
с основными функциями f (х) являются линейными операторами в физиче-
физическом гильбертовом пространстве Ж. Эти операторы не предполагаются
ограниченными; вместо этого предполагается, что имеется общая для всех
операторов <р\ю (/) область определения D, являющаяся плотным в Ж линей,
ным подпространством. Для того чтобы имели смысл алгебраические опера-
операции над операторами ф(/°, следует далее допустить, что любой оператор
<pf' (/) переводит область D в себя.
Точное определение релятивистского квантового поля дается следующим
набором аксиом Уайтмана. Поскольку в формализме Уайтмана (явно или
неявно) используются все перечисленные ранее аксиомы релятивистской
квантовой теории, то для удобства мы здесь также воспроизведем их при-
применительно к данному контексту.
W.I (Релятивистская инвариантность пространства
состояний). Имеется физическое гильбертово пространство Ж, в кото-
котором действует унитарное представление U (а, Л) спинорной группы
Пуанкаре %$0.
W.II (Спектральность). Спектр оператора Р энергии-импульса
сосредоточен в замкнутом верхнем световом конусе V+.
W.III (Существование и единственность вакуума). В Ж
существует единственный (с точностью до фазового множителя) единичный
вектор *Р0 (обозначаемый также посредством | 0 > и называемый вакуумным
лектором), который инвариантен относительно пространственно-временных
трансляций V (а, 1).
W.IV (Область определения полей). Компоненты ф(/° кванто-
квантовых полей ф(и> являются операторными обобщенными функциями ц>\ю (х) над
пространством Шварца tf (M) с общей для всех операторов ф^И) (/) областью
определения D, плотной в Ж; предполагается, что вакуумный вектор ?„
¦содержится в D и что область D переходит в себя под действием опера-
операторов ф^к> (/) и U (а. Л).
W.V (Пуанкаре-ковариантность полей).
U (а, Л)фГ (x)U(a, Л)-* = 2 V%>(A-i)y%> (А(А)х + а); (8.6)
здесь (Vf? (Л))—комплексное или вещественное конечномерное матричное
представление группы SL B, С).
294
Здесь предполагается, что У(Ю (—1) = ±1. Если V™ (—1) = 1, то поле
<p<w преобразуется по однозначному представлению группы b\ и называется
полем с целым спином (или тензорным полем); если Vwi (—1) = —1, то поле
преобразуется по двузначному представлению группы L+ и называется по-
полем с полуцелым спином (или спинорным полем).
W.VI (Локальность, или микропричинность). Любые две
полевые компоненты у\ю (х) и (pl%"> (у) либо коммутируют, либо антикомму-
тируют пои пространственноподобном разделении аргументов х и у:
[<Pix> (х), <ЙГ 0/)]т-= 0 при (х~уу < 0. (8.7>
W.VII (Цикличность вакуума). Множество Do конечных линей-
линейных комбинаций векторов вида ф/*1' (Д) . . . q>i*n\fn) ?0 (п= 0, 1, ...) плотно вЖ.
Б. Обсуждение аксиом. Уже при беглом взгляде на схему Уайтмана мы
различаем аксиомы принципиального характера, фиксирующие определенные
физические положения, и «технические» аксиомы, хотя четкую границу между
теми и другими провести невозможно. Конечно, сущность формализма Уайт-
Уайтмана — это идея квантованного поля. «Технические» же аксиомы служат кон-
конкретным математическим оформлением этой идеи; оправданием для них служит
то, что они сбалансированы и «работают».
Первые три аксиомы W.I — W.III уже обсуждались в гл. 7; добавим лишь,
что аксиома W.III играет весьма существенную роль в теории Уайтмана, хотя
она носит до известной степени «технический» характер и не является обяза-
обязательным атрибутом релятивистской квантовой теории. (Аксиома W.III экви-
эквивалентна приведенному ниже кластерному свойству (8.19).)
Аксиома W.IV вводит понятие квантового поля. Определение поля как
операторной обобщенной функции на М больше соответствует реальной физи-
физической ситуации, чем более привычное понятие поля, заданного в каждой точке
пространства-времени (Бор и Розенфельд, 1950). Этот факт отмечался уже в
п.6.4.Б (по этому поводу см. также ниже упражнение 8.7). Конкретный жевыбор
пространства основных функций является, безусловно, техническим предполо-
предположением. Первоначально Уайтман A956) предложил более общий вариант, ис-
использующий пространство Шварца &>(Щ, но он вскоре был заменен формули-
формулировкой в терминах <У{Щ (Шмидт и Бауман, 1956). Удобство пространства
обобщенных функций умеренного роста заключается в естественности и просто-
простоте аппарата преобразования Фурье, что позволяет одновременное рассмотре-
рассмотрение локальных свойств таких обобщенных функций как в х-, так и в /?-прост-
ранстве. Эффективность обобщенных функций умеренного роста подтверждает-
подтверждается опытом лагранжевой теории возмущений перенормируемых квантовых полей
(см., например, [Б8] и [И4]), а также результатами конструктивной квантовой
теории поля (см. [Г7]). По-видимому, этот аппарат хорошо приспособлен для
трактовки теорий полей с перенормируемыми взаимодействиями. Делались
различные попытки обобщения формализма Уайтмана применительно к непе-
ренормируемым взаимодействиям путем выбора подходящих пространств основ-
основных и обобщенных функций, совместимых с локальными свойствами в х-про-
странстве *) (см. по этому поводу Мейман, 1964; Джафе, 1967; Ефимов 1968,
Ш1]; Иофа и Файнберг, 1969а, б; Соловьев М. А., 1971, 1980а, б).
Теория Уайтмана манипулирует с неограниченными операторами, ибо
результат сглаживания поля ц>\ю(х) с основной функцией, как правило, есть
неограниченный оператор. Этот метод имеет свои достоинства и недостатки по
сравнению с абстрактно-алгебраической формулировкой, имеющей дело с огра-
ограниченными операторами. К достоинствам следует отнести простоту выражения
аксиом пуанкаре-ковариантности (W.V) и локальности (W.VI) (что весьма
существенно при исследовании аналитических свойств амплитуд рассеянияшг
это также дает потенциальную возможность непосредственной трактовки пере-
перенормированных полевых уравнений в конкретных моделях). С другой стороны,
*) В замечании в п. 9.1.Д будет указан подход к неперенормируемым теориям в терминах
аналитических функций Уайтмана.
295.
аксиома W.IV насыщена техническими допущениями, необходимыми для мани-
манипуляций с неограниченными операторами. Во всяком случае они позволяю?
каждому открытому подмножеству 6czM сопоставить алгебру операторов
3*F), которая называется полиномиальной алгеброй, ассоциированной с под-
подмножеством б, и которая образована комплексными линейными комбинациями
всевозможных операторов А вида
Л = S ф1Гх) (*„) • • • ФЙ"' (*„) / (*i, • • •, ха) dXl ... dxn, (8.8)
где носители основных функций f (хи ...,хп) содержатся в множестве
бх.-.хб (при и = 0 A = f есть число). Так как 3*F) замкнута относи-
относительно эрмитова сопряжения (A—*A*[D), то она в действительности яв-
является «-алгеброй, или алгеброй с инволюцией. Посредством а(в, л> мы
обозначим «-автоморфизмы алгебры 3* (М), действующие по формуле
а(а, л) (А) =» i/ (а, Л) AU [а, Л)- (8.9)
и, согласно аксиоме W.V, отображающие 3*F) на ИР (А(В)б-\-а).
Допущения в аксиоме W.IV, вообще говоря, не достаточны, чтобы пол-
полностью фиксировать операторы поля. В качестве дальнейшего усиления аксио-
аксиомы W.IV можно потребовать, чтобы все те линейные комбинации сглаженных
операторов поля, которые являются эрмитовыми операторами, были бы суще-
существенно самосопряженными операторами на области D. Тогда мы имеем воз-
возможность построить сеть локальных полевых алгебр $F), определяя $F)
как алгебру фон Неймана, порожденную всевозможными ограниченными функ-
функциями от указанных выше операторов при условии, что носители сглаживаю-
сглаживающих основных функций содержатся в данном открытом множестве 6. Полевая
(квазилокальная) алгебра $ определяется как замыкание по норме объедине-
объединения сети алгебр ^@). Для того чтобы полученная сеть алгебр ^(б) удовлетво-
удовлетворяла условию локальности, т. е. допускала переформулировку аксиомы W.VI,
необходимы дополнительные «технические» предположения (см. Борхерс и
Циммерман, 1964; Бизоньяно и Вихман, 1975).
Отсюда возможен переход к сети алгебр локальных наблюдаемых 31F).
Основной способ построения 91F) по $F) состоит в следующем (Доплихер и
др., 1969а). Задается группа симметрии алгебры %, которые переводят подал-
подалгебры %{&) в себя и которые называются калибровочными преобразованиями.
Тогда 31F) определяется как подалгебра калибровочно-инвариантных эле-
элементов алгебры $F) (это правило согласовано с общим принципом, по кото-
которому калибровочные преобразования полей не затрагивают, т. е. не изменяют,
наблюдаемых). Соответственно алгебра квазилокальных наблюдаемых 31 опре-
определяется как пополнение по норме объединения алгебр 31F).
Аксиома W.V допускает лишь поля с конечным числом лоренцевых ком-
компонент (т. е. конечнокомпонентные поля, или поля, преобразующиеся по ко-
конечномерным представлениям группы Лоренца). В принципе формализм Уайт-
мана способен адаптировать идею бесконечнокомпонентных полей, однако
в этом случае теряется ряд следствий теории Уайтмана (см. дополнение И).
Так как, кроме того, безмассовые частицы с бесконечным (вигнеровским) спи-
спином на опыте не наблюдались (см. п.7.2.Б), то по этим соображениям исключают
поля с бесконечным числом лоренцевых компонент; мы также ограничим наше
рассмотрение в основном тексте конечнокомпонентными полями.
Приведем другую формулировку условия ковариантности. Пусть для
определенности поле ф<и) преобразуется по неприводимому представлению
у<ю Группы SLB,C), эквивалентному представлению 25<;>ft) в пространстве
sp(/> k) (см. п.3.1 .Г). Тогда вместо компонент ф(,и) поля можно рассматривать
операторную обобщенную функцию ф (х; со, со) от х ? М, являющуюся
однородным полиномом степени 2/ от комплексного двумерного век-
вектора со^з^1, оJ) и однородным полиномом степени 2k от комплексно
296
сопряженного вектора cos^co1, и2):
Ф««(дс, со, ю)= 2 Ф^'...-, э;... р', (х)со«. ...и8*'... 5**. (8.10)
а, ... а2/
Pi •• • РгА
При этом закон преобразования (8.6) принимает вид
U (а, Л) Ф<*> (х, со,") i/ (а, Л) == ф(и) (Л* + а, Лео, Лео). (8.11)
Соответствие между этим описанием и приведенным выше осуществляется
формулой
Ф<*>(*, со, ©)= 2<Р?°(*)Ч>|(«>. ш),
где -ф2—базис в пространстве sp(/>A> такой, что
J (Л) ^) (со, ш) = я]рж (Л-1©, Л^й) = 2 V&», (Л) ут (со, й).
Этот язык переменных со, со, очевидно, применим также ко всем просто
приводимым представлениям У<к> (и, как видно из гл. 3, а также дополне-
дополнения Ж, его удобство проявляется при нахождении ковариантных представ-
представлений).
Обратимся к аксиоме W.VI. Локальность в квантовой теории поля —это
свойство квантовых полей, обеспечивающее выполнение локальной коммута-
коммутативности наблюдаемых, что в свою очередь выражает эйнштейновский прин-
принцип причинной независимости. В теории, в которой все поля являются наблю-
наблюдаемыми, следует потребовать, чтобы любые два поля взаимно коммутировали
при пространственноподобном разделении аргументов:
[ФГ'М, Ф$Г0/)] = 0 при (*-0)»<О. (8.12)
Поскольку теория Уайтмана допускает ненаблюдаемые поля, то для них посту-
постулируется более общая форма условия локальности (8.7). Из соображения ло-
ренц-инвариантности мы всюду в дальнейшем будем считать, что знак (+ или
—) в этом условии зависит лишь от типа поля (т. е. от х и х'), но не зависит от
лоренцевых компонент /, т; тогда равенство (8.7) можно переписать в виде *)
ФГ (*) Фй#> (У) = °<и> *'\(Г (У) Ф1Ю (*) при (х-уу < 0, (8.13)
где все элементы матрицы os=o(*iH/) состоят только из чисел +1 и —1.
Поле ф(и) называется бозонным, если
[ФГ (х), (ФГ (У))*] = 0 при (х-уу < 0, (8.14)
и фермионным, если
№*'(*). (ФР°&))*]+ = 0 при (х-Уу<0. (8.15)
В теории Уайтмана имеет место бозе-ферми-альтернатива: каждое поле явля-
является либо бозонным, либо фермионным (причем, если оно не равно тождественно
нулю, оно не может быть одновременно тем и другим). Этот постулат также
имеет историческое происхождение: все известные элементарные частицы под-
подчиняются либо бозе-, либо ферми-статистике, поэтому для квантовых полей
(рассматриваемых как потенциальные операторы рождения частиц) также вве-
введены две «статистики» — бозонная и фермионная. Однако теоретически наряду
с этими двумя статистиками возможны промежуточные, так называемые па-
растатистики (см., например, Грин, 1953; Мессиа и Гринберг, 1964; Гринберг
иМессиа, 1965; понятию параполя посвящено дополнение 3).
Экспериментально наблюдаемой связи спина со статистикой (п.7.3.А)
в теории поля соответствует понятие нормальной связи спина со статистикой;
*) Условие (8.13) можно вывести из (8.7) при специальном определении типов полей; для
этого достаточно считать, что поля ф(к> преобразуются по вещественным неприводимым пред-
представлениям группы SLB, С) (см. [И5], §5.3).
297
оно означает, что поля с целым спином коммутируют при пространственно-
подобном разделении со всеми остальными полями, в то время как все поля
с полуцелым спином антикоммутируют при пространственноподобном разде-
разделении аргументов. В терминах матрицы а(и-к'> это условие означает:
а(И>и')=1, если хотя бы одно из полей фи,сри'—с целым спином,
(8.16)
аси, «')__—^ если oga поля ф^ фК'__с полуцелым спином.
Упражнение 8.1 (Доплихер и др., 1969). Проверить, что условие локальности
в случае нормальной связи спина со статистикой можно записать в виде
Л'В = В At при А ? & (Q), В ? 3> (<?), Q ~ <?; (8.17/
здесь использована операция кручения А —*- А* в алгебре 5* (М), определенная следующим
¦образом:
(8.18)
В связи с формулировкой условия локальности, данной в упражнении 8.1, возникает
следующее усиление этого понятия. Множество
%F)tc = {B G33WY- AlB = BAi при всех А ? % (Q)}
назовем коммутантом с кручением алгебры % (Q). Будем говорить, что выполнено условие
дуальности с кручением, если
%(&) = % FУС
для любого ограниченного открытого множества Q d М с кусочно-гладкой границей такого,
что Q = (Q')'- Здесь штрих означает пространственноподобное дополнение области:
Q' = in\.{x?M: x~Q).
(Примером такого множества Q является алмаз D.76).) Условие дуальности с кручением
более жестко, чем условие локальности (требующее лишь включения Jf @') с: ^ (б)*')-
В случае бозонных полей термины «коммутант с кручением» и «дуальность с кручением»
заменяются просто «коммутантом» и «дуальностью».
Хотя в теории Уайтмана нормальная связь спина со статистикой может не
соблюдаться, в действительности мы не получаем содержательного обобще-
обобщения *), так что иногда к аксиомам Уайтмана добавляют еще одну аксиому
W.VIII, которая упрощает формулировку некоторых результатов.
W.VIII (Спин и статистика). Имеет место нормальная связь
спина со статистикой.
Однако использование ее в дальнейшем будем оговаривать особо.
Существует замечательная теорема (восходящая к Паули, 1940) о связи
спина со статистикой (§ 9.3). Смысл ее состоит в том, что компоненты тензор-
тензорного поля коммутируют, а компоненты спинорного поля антикоммутируют при
пространственноподобном разделении аргументов. Аномальная связь спина
со статистикой может иметь место лишь для разных полей; локальные кванто-
квантовые поля всегда можно переопределить (с помощью преобразования Клейна,
1938) таким образом, чтобы восстановилась нормальная связь спина со стати-
статистикой.
Наконец, аксиома W.VII может рассматриваться как «техническое» пред-
предположение. Как мы увидим в следующем пункте, она означает неприводимость
данной системы полей.
Используя аксиому W.VII и предложение 7.1, можно заменить аксиому
W.III следующим свойством.
Кластерное свойство. BD существует единичный вектор |0)
такой, что для любого пространственноподобного вектора а ? М и любых
A±,A2 ? !!Р(М) имеет место соотношение
<S)\AlU(la, 1) Л2|0>^<0|Л1|0><0|Л2|0> при А,-*оо. (8.19)
В. Неприводимость полей. Будем говорить, что операторы поля обра-
образуют неприводимую систему, если из того что ограниченный оператор С
в Ж коммутирует в слабом смысле со всеми операторами q>\a) (f), т. е.
<ф«о (/)• ф, С?> = <Ф, СФ^> (/) ?> (8.20)
*) В теории бесконечнокомпонентных полей это уже не так (см. дополнение И).
¦298
при всех х, I и Ф, W ? D, f ? of (М), следует, что С кратен единичному
оператору. Очевидно, условие (8.20) эквивалентно неприводимости полино-
полиномиальной алгебры 53 (М), т. е. условию
<Л*Ф, СТ> = <Ф, САЧ> (8.21)
для всех А ?!!Р(М), Ф, 4??D. Справедливо следующее утверждение (Рюэль,
1962; Борхерс, 1962).
Предложение 8.1. В теории Уайтмана (в которой выполняются
аксиомы W. I—W.VII) операторы поля образуют неприводимую систему.
•Щ Пусть ограниченный оператор С удовлетворяет условию (8.21). Нужно доказать,
что он кратен единичному оператору: С = Я. Вначале убедимся, что вакуум является собст-
собственным вектором для С:
C?0 = VF0. (8.22)
Из (8.21) следует
при всех а ? М, А??р(М). Используя определение (8.9), получаем
<Л?0> U (а, 1)С?0> = <С*?0, U {—а, 1)Л*?„>, (8.23)
откуда
J <Л?0, U (a, \)CV0>e-iPad*a='\ <C*?0, U (— а, 1) Л*?0>е-'>° d*a.
В силу условия спектральности левая часть этого равенства имеет носитель по переменной р
в конусе V+, а правая — в конусе V~=—V+; значит, обе части являются обобщенной функцией
по р с носителем в 0. Таким образом, выражения в (8.23) являются полиномом по а?М, но так
как они ограничены как функции от а, то они не зависят от а:
U (а,
Из аксиомы W.VII следует, что векторы вида Л?о образуют плотное множество в fflr
поэтому последнее равенство означает U (а, 1)СЧГО = СЧГО, что вместе с единственностью
вакуума влечет (8.22).
Для всех *F ? D, A g ff> (M) имеем
, ?„> = <?, Ы?о>,
так что (С — Я.)Л?0 = 0. Опять, благодаря плотности в ffl векторов вида Л?о, заключаем
отсюда, что С = Х. >
В следующем пункте мы докажем, что аксиому W.VII можно усилить: вакуумный вектор
цикличен для любой локальной алгебры $> @), где Q — непустое открытое множество в М.
Однако для ограниченных множеств эти алгебры не образуют неприводимых систем операторов.
Это побудило Хаага сформулировать следующее дополнительное условие, которое мы вслед за
Хаагом и Шроером A962) назовем условием примитивной причинности: алгебра 3* {Qau i^)
неприводима для любой области вида
(Это ¦— полоса между двумя плоскостями с фиксированными значениями времени tlt t2
в пространстве-времени.)
Условие примитивной причинности является «техническим» выражением общего принципа
причинности (или детерминизма), требующего, чтобы полевая алгебра во всем пространстве-
времени Минковского порождалась полями в трехмерном пространстве в сколь угодно малом
интервале времени (/х, t2). (В отличие от аксиомы локальности принцип причинности сохраняет
свой смысл и в нерелятивистской теории.) Это требование заведомо выполнено, когда мы имеем
дело с каноническим формализмом обычных (невырожденных) лагранжевых полевых систем.
Тогда поля удовлетворяют уравнениям движения, и, задавая их (вместе с производными доста-
достаточно высокого порядка) на любой пространственноподобной поверхности, мы можем восстано-
восстановить поля во всем пространстве-времени. С другой стороны, формулировка условия примитив-
примитивной причинности гораздо более гибка, чем стандартный канонический лагранжев (или гамиль-
тонов) формализм. Действительно, в отличие от канонического формализма мы не тре-
требовали даже существования значений поля в фиксированный момент времени — для нас долж-
должны иметь смысл лишь значения ф(/) при /(х)^^'(М). Условие примитивной причинности не
зависит от аксиом W.I — W.VII. В этом можно убедиться на примере обобщенных свободных
полей (п.8.4.Г) с медленно убывающей весовой функцией а(т2) (Хааг и Шроер, 1962). Однако
этот постулат не исключает всех обобщенных свободных полей; он справедлив в модели с быстро
убывающей весовой функцией (Борхерс и др., 1963; см. также Гарбер, 1975).
Г. Разделяющее свойство вакуумного вектора. Покажем, что вакуумный
вектор является циклическим не только для всей алгебры ?Р (М), но и дла
любой локальной полиномиальной алгебры IP F).
299-
Предложение 8.2 (Рее и Шлидер, 1961). Для любого непустого
открытого множества 6 с: М множество векторов вида АЧ?0, где А ? 5* (б),
плотно в Ж.
•^ Пусть вектор Ф ? ,%" ортогонален всем векторам вида А"?о, А ? 5s @). Требуется
доказать, что Ф = 0. Для этого рассмотрим всевозможные обобщенные функции
^ (8.24)
Упражнение 8.2. Доказать, что преобразование Фурье
Ф, Ф}««) (Xl) ... Ф<*«> (*„) То> exp ( i 2 pjXj
¦обобщенной функции (8.24) содержится в пересечении множеств {р ? Мп: Pk-\-Pk+i~\~
+ ... +рп ? V"} при ft=l, ..., п. (Указание: воспользоваться тождеством
ft-i) t/ (а, 1) Ф (xk) ... Ф (
я условием спектральности.)
Из этого упражнения и теоремы Б.7 следует, что (8.24) есть граничное значение
•функции /(?!, ..., г„), голоморфной в трубе вида Mn-\-iK (К— выпуклый конус с непус-
непустой внутренностью). Кроме того, по условию обобщенные функции (8.24) обращаются
в нуль на непустом открытом множестве хъ ..., хп ? Q. Из обобщенной теоремы единст-
единственности Б.10 следует, что (8.24) тождественно равно нулю. Таким образом, <Ф,Л?о> = 0
для всех А ? 3*(М), откуда Ф = 0. >
Аргументация, использованная в предложении 8.2, находит применение также в сле-
следующем упражнении.
У пражнение 8.3. (а) Пусть ЗС^1 •••/и"' есть замыкание множества векторов А"Ро>
где А имеет вид (8.8) с фиксированными иь ..., к„, /i, ...,/„ и с функцией /, пробега-
ющгй <y(M«). Доказать, что 36^\\\\ *%? =9?{*\\у?п) Для любой перестановки я
индексов 1, ..., п. (Указание: утверждение равносильно следующему. Если вектор Ф ? $??
таков, что обобщенная функция <Ф, <р\я1 (*л1) ••• ф * (хяп) ^о~> Равна нулю в Мп,
то обобщенная функция (8.24) такжэ равна нулю в Мп. При доказательстве воспользо-
воспользоваться тем, что на множестве точек (xi, ..., хп) таких, что Xj~Xk при / ф k, порядок
операторных сомножителей в (8.24) можно с точностью до знака переставить, так что (8.24)
исчезает в указанном множестве. Наконец, использовать, что (8.24) есть граничное значе-
значение аналитической функции в трубе.)
{б) Пусть $?'и» • • • ч"' есть замыкание множества векторов вида
2 \ Ф/Г1' fa) • • • Ф Ып) W f'1 "'' 1п fa: • • • *») ^ • • • dx" ?»>
If • In
где иь ...,х„ фиксированы, а //'---'« пробегают ^(ЛР). Доказать, что ffl ия1---илг =
= ^f(Kl'' 'Кп) Для любой пгргстановки я. (Указание: ^<*!• • • и«> есть замкнутая линейная
оболочка подпространств 5Sf/"''¦/""' со всевозможными /ъ ..., /„.)
Вектор вида АУй, где Л—унитарный элемент полиномиальной локальной алгебры
& (Q), можно было бы назвать возмущэнием вакуума в области Q (или согтоянием, лока-
локализованным в области C). Однако для того чтобы это определение было содержательным,
следует от fp (Q) перейти к локальной полевой алгебра JF (C), в которой достаточно много
унитарных элементов. В связи с понятием состояний, локализованных в области Q, см.
работы Найта A961) и Лихта A963).
Упражнение 8.4. Пусть выполнена аксиома W.VIII и пусть кручение А—>• А1
определено формулами (8.18). Доказать, что для любого непустого открытого множества
QCZ М множество векторов вида AtyP0, где A?f?(Q), плотно в #?. (Указание: убе-
убедиться, что множество векторов вида AtyP0, A? (?(C)> совпадает с множеством векторов
лида^ВТ fl €^F))
Теперь мы можем доказать весьма важное свойство вакуумного вектора;
он разделяет элементы локальной] полевой алгебры 5*(б) ограниченного откры-
открытого множества б. Это означает, что если A^o—Ai^o, где Ах, ^^^(б), то
А1=А2; очевидно, это эквивалентно тому, что из равенства /1^0=0 при А б &F)
-следует Л=0. Для доказательства свойства разделимости мы воспользуемся
¦предположением W.VIII о нормальной связи спина со статистикой.
.300
Предложение 8.3. В теории Уайтмана с нормальной связью спин
со статистикой вакуумный вектор разделяет элементы локальных полиноми-
полиномиальных алгебр 3*F), ассоциированных с ограниченными открытыми множе-
множествами 6.
^ Пусть ЛЧ/'0 = 0, где А??р(Q). Выберем область ф так, чтобы ф ~ Q, тогда
0 (8.25)
при всех B??p(Q). Согласно упражнению 8.4 векторы вида BtxP0 при B???(Q) образуют
плотное множество в $?, а оператор А допускает замыкание (так как сопряженный ему
оператор имеет плотную область определения). Поэтому из (8.25) следует А = 0. >
Без предположения о нормальной связи спина со статистикой нетрудно до-
доказать несколько более слабое утверждение. При этом мы будем называть
полилокальными мономами операторные обобщенные функции вида
Х = ф?'>(*х)...фЕ»>(х„). (8.26)
Предложение 8.4. Если для некоторого поли локально го монома
(8.26) имеет место равенство XW0 = 0, то Х = 0.
•^ Пусть Q — произвольная ограниченная область. Очевидно, достаточно доказать, что
Х = 0, когда xi, ..., xn?Q. Выберем область Q так, чтобы ф ~ Q. Тогда из условия ло-
локальности W.VI следует, что для любого В ?<?/>(<?) существует B'?fp(Q) такой, что
ХВ — В'Х, откуда находим XBY0 = B'X?0 = Q. Рассуждая далее, как в доказательстве
предложения 8.3, получаем, что Х — 0. >
8.3. ФУНКЦИИ УАЙТМАНА
А. Характеристические свойства функций Уайтмана. Пусть {<р(и)}хек —
система уайтмановских полей. Вакуумное среднее
rf?\\i2a4xi х„) = <0\<р<*Л(х1).. .ф<*»>(*„)|0> (8.27)
(которое обозначается также посредством <ф^к')(х1). . ¦ц>\х") (хп)у0) от полило-
полилокального монома ф|Х1> (Xj). ¦. ф^»> (хп) называется n-точечной функцией Уайт-
Уайтмана *) полей ф<х1>, ..., ф1*«>. В действительности это не функции, а обоб-
обобщенные функции по xt, ..., хп из пространства Шварца <&"(Мп), поэтому
их иногда называют обобщенными функциями (или распределениями) Уайт-
Уайтмана. При п = 0 мы вводим 0-точечную функцию, полагая а)[°] = 1. Аксиомы
W.I—W.VII накладывают определенные условия на функции Уайтмана.
Основной результат Уайтмана A956) состоит в том, что если взять систему
w = {ш/*1; л*п)} обобщенных функций, удовлетворяющих всем этим условиям,
то существует система уайтмановских полей ф = {ф(х>}, вакуумные средние
которых будут совпадать с w. Другими словами, все содержание квантовой
теории поля может быть переведено на язык функций Уайтмана: зная их,
можно восстановить гильбертово пространство состояний, унитарное пред-
представление спинорной группы Пуанкаре и ковариантные операторные поля
таким образом, чтобы выполнить все аксиомы Уайтмана.
Характеристические свойства функций Уайтмана таковы.
w.l (Допустимый характер сингулярности и роста). Функции Уайт-
Уайтмана (8.27) являются обобщенными функциями умеренного роста по пере-
переменным хи ..., хп.
w.2 (Свойство сопряжения).
<::м:п) (**• ••*»)=«4!?".'/''(*»- • •>Xi) (8-28)
(см. обозначение G.4)).
*) Как правило (когда это не приводит к недоразумению), мы будем опускать индексы
it /„, а также Хь ...,к„у функций Уайтмана и у полей; вместо w]^1'' \Кг^ (х±. . .х„),
(х -) 1'
«апример, будем писать просто w(xu ..., хп), а вместо q>; / {xj) будем писать фу(дг;).
301
w.3 (Положительная определенность).
2 VI VI (ХЯ>-. .Y.iY,\. ..я') .
хfcC'^. •••- xm)ff ¦ •;?(*;, ..., х'п)d*Xl...d*xnd**;...d*
(8.29)
для любой финитной системы*) /={/<*•; •;*»>} комплексных функций
/(x,..^.xn)(Xi) . .#j xj из соответствующих пространств Шварца of (M"); при
я = 0 /С°3 есть произвольное комплексное число.
w.4 (Пуанкаре-ковариантность).
mi...mn
= wn!::^n)(xl, •••, хп) при всех a^M, AeSLB, С). (8.30)
Это свойство эквивалентно следующим двум свойствам.
w.4' (Трансляционная инвариантность). Существуют обобщенные функ-
функции Wjx>- ¦/-х«)(^1, ..., Е„_!) 6^" (М'2), также называемые функциями Уайт-
мана, такие, что
wtv.i:n)^ ¦¦•' ^) = ^Г:::/Г")(^-^.-.-д:„_1-хл).
w.4" (Лоренц-ковариантность).
^1 V iimi\J\ )...Vim \1\ ) W mi. . .mn V^bli •¦¦' Jxbn-l) —
...mn ~ ~
= wl?--i2n)(ti> •••- 2«-i) ПРИ всех Ae5LB, C). (8.32)
w.5 (Спектральность). Преобразование Фурье
w(р1У ..., р„) = jw(xlt ..., xn)ё<P'^+ • • • +P"Xn)tfxx...d*xn (8.33)
сосредоточено при pk + pk+1+ . ¦ ¦ + pn €V~ (k = 2, 3, ..., n).
Введем также преобразование Фурье для W:
тогда
(8.35)
и свойство спектральности переписывается в виде
w.5'. supp W(qlt ..., qn_1)cV+X...xV+ (8.36)
(п—1 прямых сомножителей).
w.6 (Кластерное свойство). Для любого пространственноподобного век-
вектора а ? М имеет место соотношение (в смысле сходимости обобщенных
функций по х:, ..., хп): при X—>¦ оо
wu\'.'.u" (xi' •••' xk> xki
lt...lk ^l! •¦•' k> lk + i---ln
*) Система функций называется финитной, если все функции, за исключением конечного
числа, тождественно равны нулю.
302
J
w.7 (Локальность).
w^..in (х^ ..., х„)—о wh...iu_xikJrXir-.in (*i. •••>**-1»
х„+1, xk, .... хя) (8.38)
при (хк—xft+1J<0.
Свойства w. 1 — w.7 являются непосредственным следствием аксиом Уайт-
мана W.I —W.VII, и мы предоставляем читателю проверку этого в качестве
упражнения. Заметим лишь, что свойство положительной определенности
(8.29) есть просто запись соотношения @|АМ|0>>0 при А 6 5*(М) в терминах
функций Уайтмана. (Свойство сопряжения w.2 есть следствие свойства w.3,
однако ввиду «линейного» характера его обычно выделяют в качестве отдель-
отдельного условия, предваряющего положительную определенность.)
Приведем еще формулировку условия лоренц-ковариантности функций
Уайтмана в том случае, когда поля реализованы в виде (8.10). Теперь функции
Уайтмана
ад(х'---х»Ч*1. »i. щ; •••; *„, ®п, <о„) =
= №<*• *»)(Xl—x2, ..., хп_1—хп; ©!, ov, ...,(»„, со„) =
= <01 ф(«.) (xlt щ, щ)... <р<*»> (*„, со„, ш„) 10> (8.39)
являются дополнительно однородными полиномами степени 2/,- от комплекс-
комплексного двумерного вектора cof g С2 и однородными полиномами степени 2к{
от wt (i=l, ..., и). Условие лоренц-ковариантности (8.33) приобретает
форму SLB, С)-инвариантности по совокупности переменных xlt щ,
«1, •••, х„, сои, ю„:
»!; ...; Лх„, Лсо„, Лй"„) =
= ш(д;1, colt uv, ...; д:„, соп, ю„) при AgSLB, С), (8.40а)"
или, эквивалентно,
,!-, Ло»!, ЛйГХ) .... Лсо„, Люп)==
. ••-. Ъ„-» »i. Я ©„, ©„) при A€SLB, С). (8.406)
Упражнение 8.5. Доказать, что если число полей с полуцелым спином под знаком
вакуумного среднего (8.27) нечетно, то функция Уайтмана тождественно равна нулю. (Указа-
(Указание: в условии лоренц-ковариантности (8.40) положить Л=—1.)
Применяя теорему Б.7 (или следствие Б.9) к условию спектральности,
мы получаем следующий важный результат.
Теорема 8.5. Функция Уайтмана W(lr, . ...in_i) является гранич-
граничным значением в классе <&"(М'~Х) функции W (?t, ..., ?n-i)» голоморфной
в так называемой трубе прошлого
T^^iM + iV-)"-1 (8.41)
(т. е. при Z,j = Z,/ + Щ/, lj 6 М, r\j g V~) и удовлетворяющей оценке
' (8.42)
при f]j^lmt,/^V~; здесь А, т, I—неотрицательны? числа (свои для каж-
каждой функции Уайтмана). Соответственно w(xu ¦¦¦¦, хп) является гранич-
граничным значением {в &" (М.")) функции w(z^ ..., z;l), голоморфной в ниж-
нижней трубе $~~:
Г' = {(zlf ..., zn) g СМЧ х, 6 М, yk+1-y, € V~, j = 1, ..., п; k = 1, . .., п — 1}
(8.43)
^здесь и далее Xj^sRezj, yj=z\m.Zj).
303
Б. Представление Челлена — Лемана для скалярного поля. Свойство по-
положительности перепутывает все n-точечные функции (со всеми значениями я),
поэтому из них нельзя составить набор всех характеристических свойств
n-точечных функций с фиксированным п. Тем не менее бывает полезным иметь
некоторые необходимые условия, скажем, для двухточечных функций'Уайт-
мана. Совместное использование условий лоренц-ковариантности, спектраль-
спектральности и положительной определенности дает возможность получить простое
интегральное представление для двухточечной функции.
Рассмотрим для простоты случай скалярного эрмитова поля (общий случай
рассмотрен в дополнении Ж). В этом случае преобразование Фурье W{p) двух-
двухточечной функции W (?) является лоренц-инвариантной обобщенной функцией,
сосредоточенной (в силу условия спектральности) в верхнем световом конусе
У+. Из условия положительной определенности w.2 имеем
W (х-у) JJxj f (у) d*x d*y > 0 (8.44)
при всех f?af(M), т. е.
№(р)\](р)\*#р^О для всех fe^(M), (8.45)
откуда
J W(p)u(p)dtp^0 (8.46)
для всех неотрицательных и
Упражнение 8.6. Вывести (8.46) из (8.45). (Указание: достаточно рассмотреть не-
неотрицательные функции и (р) с компактным носителем; всякую такую функцию можно пред-
представить в виде предела
и(р) = lim (vn(p))*, где о„ (/>) = ( — X2 (/>>+« (/>) ) * .
а х (Р) — неотрицательная функция из Щ (М), равная единице на suppu.)
Итак, W (р) есть неотрицательная лоренц-инвариантная обобщенная
функция с носителем в V~. Общий вид таких обобщенных функций (со-
(согласно п.3.2.В) таков:
00
W (р) = а BяL б (р) + j 2л8 (р°) б (р2—m2) da(m2), (8.47)
о
где а ^э 0, а а (к) — монотонно неубывающая полиномиально ограниченная
функция. Формула (8.47) называется представлением Челлена—Лемана для
двухточечной функции.
В дг-пространстве представление Челлена—Лемана имеет вид
w (x, у) see W (х-у) = а + ^ -i- ??¦> (*-*/) dc(m2). (8.48)
о
Соответственно для вакуумного среднего от коммутатора полей имеем пред-
представление
00
(т«). (8.49)
о
Здесь мы использовали обобщенные функции
О?} (х) = + J 2ш0 (р«) б (р2—т*) е№* dj>, (8.50)
Dm (x) - J 2я»е (р°) б (р*—т*) е~'Рх dlP (8.51)
(по поводу их явного вида см. дополнение Е).
304
Упражнение 8.7. Получить для константы а в (8.48) соотношение
а = |<0|ф|0>|2^КЧJ. (8.52)
(Указание: воспользоваться кластерным свойством w.6.)
На основании представления Челлена — Лемана исключается случай уайтмановского
поля, определенного в каждой точке х, как не представляющий физического интереса (ибо.
тогда поля являются с-числовыми константами, не зависящими от х).
Упражнение 8.8. Рассмотрим гипотетическое скалярное эрмитово поле ф (ж), ко-
которое определено в каждой точке х?М как оператор. Будем предполагать, что при этом
выполнены все аксиомы W.I —W.VII, которые теперь нужно понимать в смысле обычных,
а не обобщенных операторных функций; в частности, в аксиоме W.IV мы теперь считаем,
что ф (х) D a D, а в аксиоме W. VII мы считаем, что линейные комбинации векторов вида
ф (*i)... ф (х„) |0> (при я = 0, 1, ...), плотны в ^.Доказать, что тогда ф(х) = с, где
с—вещественная числовая константа, не зависящая от х. (Указание: с помощью переопре-
переопределения поля ф (х) —*- ф (х) — <0 | ф (х) | 0> можно считать, что <0 | ф (х) | 0> = 0; проверить, что
тогда ф(х)|0> = 0; для этого рассмотреть двухточечную функцию
и убедиться, что W (р) есть конечная мера; с другой стороны, для W (р) должно выпол-
выполняться представление (8.47) са=0; заключить отсюда, что Л(Я)О)
В. Восстановление теории по функционалу Уайтмана. Теперь мы сфор-
сформулируем полученные результаты в несколько более абстрактных терминах.
Это позволит записать в компактном виде свойства функций Уайтмана и
дать простое доказательство основной теоремы Уайтмана. Для простоты мы
ограничимся случаем одного скалярного нейтрального поля <р (х) (общий
случай отличается лишь усложнением обозначений).
Пусть Q—пространство финитных последовательностей /= {/ы} функ-
функций ftnl(xlt ..., хп) из пространства Шварца of (M") (напомним, что /(OIgC).
Очевидно, Q есть комплексное векторное пространство (в котором сложение
и умножение на число определены покомпонентно); его называют алгебраи-
алгебраической прямой суммой пространств <SP (Mn):
Q = ©^(M") (8.53)
(где of (M°) = C). Будем говорить, что последовательность Д, (v=l, 2, ...)
элементов из Q сходится к нулю, если, во-первых, найдется положитель-
положительное число N, не зависящее от v такое, что Д = 0 при всех v и всех
n>N, во-вторых, ffliXt, ..., х„)—->-0 относительно сходимости в прост-
пространстве of (М").
Вместо сходимости на Q можно с равным успехом использовать естественную топологию
прямой суммы ([Ш5], с. 73). Тогда Q становится ЛВП; это не /^-пространство, а так называемый,
индуктивный предел /^-пространств.
Определим в Q (некоммутативное) умножение ® по формуле
п
\l vys) — Zj / \xi> ' • •' xk) s ' \xk+i> • • •' xn)-
k0
k=0
Нетрудно проверить, что это произведение ассоциативно и осуществляет
билинейное отображение пространства пар Q x Q на й, непрерывное отно-
относительно заданной сходимости (или естественной топологии) на Q. Поэтому
пространство Q называют также тензорной алгеброй над пространством
г?(М). Единицей в Q служит элемент / = A, 0, ..., 0, ...). В Q опреде-
определена антилинейная операция сопряжения /—>/+ по формуле
(/+)„(*!, ••-, xn)=~fn{xn, ..., хг).
Очевидно, (lf + lig)+=~lf++~№+, (f®g)+ = g+®/+, (/+)+=f- Таким обра-
образом, Q есть алгебра с инволюцией (или «-алгебра).
Резюмируя, можно сказать, что Q является топологической алгеброй
с инволюцией и с единицей. Заметим, что группа Пуанкаре действует аито-
305
морфизмами /—*f{a, л} на «-алгебре Q; при этом
Пусть Q'—пространство линейных непрерывных функционалов на Q.
Любой функционал F из Q' может быть записан в виде
F (/) = Я01/'01 + (Fai, /ш) + • • • + (Fl"\ flnl) + ¦ ¦ ¦. (8.54)
где Flnl ? 3" (Мп) (и <5"'(ЛР) = С). Функционал/7 называется пуанкаре-инва-
риантным, если F(f{a, л}) = F(f); это эквивалентно пуанкаре-инвариантно-
сти всех обобщенных функций Flru в представлении (8.54). Будем говорить,
что функционал F нормирован, если F (/) = 1. Функционал F называется
эрмитовым, если
F(f+) = F(/) при всех f?Q,
и мультипликативно-положительным *), если
^(/®/+)^0 при всех /6^- (8.55)
Мультипликативно-положительный функционал является эрмитовым и удов-
удовлетворяет неравенству Коши—Буняковского—Шварца
\F (f®g+)\2^F(f®f+)F(g®g+) (8.56)
(в этой связи см. п. 1.5.В).
Пусть F—мультипликативно-положительный функционал. Множество
элементов
является правым идеалом (ср. упражнение 1.51). Нетрудно видеть, что Эр
•является замкнутым подпространством в Q.
Важнейшим примером мультипликативно-положительного функционала
на Q является функционал W вида
W (/) = ауГо1/[01 + {wm, /ш) + • • • + (wln\ /f"]) + • • •, (8.58)
где йУ["] (хи ..., хп) — последовательность функций Уайтмана эрмитова ска-
скалярного поля ф(д:), удовлетворяющего аксиомам W.I—W.VII. Идеал 3w = 3
является нетривиальным (т. е. отличен от нуля). Действительно, из усло-
условия спектральности w.5 следует, что 3 содержит правый идеал 3sp:
= 0 при PleV+, p
?V\ n=l,2, ...}. (8.59)
Кроме того, из условия локальности w.7 следует, что 3 содержит двусто-
двусторонний идеал 31ос, состоящий из всевозможных линейных комбинаций эле-
элементов / вида /=@, .... 0, /С"], 0, ...), где
/I"] (xu ...,xn) = h (xlt ...,*/, х/+1, ... bxa) — h(x1, ...,x/+1,x/t ..., xn),
а функции h(xlt .. .,xn) сосредоточены при (xj—x/+1J < 0.
У п ражнен ue 8.9. Проверить, что ?Tsp является правым, а ,7 loc—двусторонним
идеалом.
Дадим теперь общее определение функционала Уайтмана. Нормирован-
Нормированный мультипликативно-положительный функционал F б Q' называется функ-
функционалом Уайтмана, если он пуанкаре-инвариантен и его правый идеал
3 = {f: W (/®/+) = 0} содержит идеалы 3sp и ^,ос.
Упражнение 8.10. Убедиться, что если W—функционал Уайтмана, то обобщен-
обобщенные функции w[nl, определенные по формуле (8.58), удовлетворяют условиям w.l—w.5 и
*) В п. 1.5.В мы называли аналогичные функционалы на С*-алгебре положительными (по-
(поскольку там имеется другая эквивалентная характеристика их: они принимают неотрицатель-
неотрицательные значения на положительных элементах С*-алгебры).
306
w.7 (из п. 8.3.А). Обратно, если последовательность обобщенных функций {w1} удовлетво-
удовлетворяет условиям w.l—w.5 и w.7, то соответствующий функционал W является функциона-
лом Уайтмана.
Упомянутый результат Уайтмана о том, что свойства w. 1 — w.7 полностью
характеризуют квантовое поле, может быть сформулирован следующим образом.
Теорема 8.6 (теорема реконструкции Уайтмана). Пусть W — функ-
функционал Уайтмана на алгебре Q, удовлетворяющий кластерному свойству
W (f®g(ia, 1}) -+W(f)W (g) при k-*oo; (8.60)
здесь а — произвольный пространственноподобный вектор. Тогда существуют
(и определены однозначно с точностью до унитарной эквивалентности) сепара-
бельное гильбертово пространство Ж, унитарное представление V (а, Л) соб-
собственной группы Пуанкаре, (скалярное эрмитово) квантовое поле ц>(х) такие,,
что выполнены все аксиомы Уайтмана W.I — W.VII и
W(f) = <0\A(f)\0>,
где
А (/) - pi + 2 5 Ф (*i) • • • Ф (*„) /["] (*i. ...,xn)dXl... dxn:
п— 1
Фактически теорема реконструкции есть частный случай конструкции ГНС (п. 1.5.7),.
только вместо С*-алгебры 31 теперь мы имеем дело с топологической *-алгеброй Й; и доказа-
доказательство является почти дословным повторением доказательства теоремы 1.25 и добавления
к ней •— предложения 1.30.
Замечание. Если из теоремы реконструкции исключить кластерное свойство, то>
полученное квантовое поле будет удовлетворять всем аксиомам Уайтмана, за возможным ис-
исключением единственности вакуума, и поле, вообще говоря, будет приводимым. Требование
единственности вакуума может быть также сформулировано в виде следующего условия не-
неразложимости. Будем говорить, что функционал Уайтмана W неразложим, если из представле-
представления 1Г=аЦ71+A— а) W2, где 0<а<1, И7Х и 1Г2— функционалы Уайтмана, следует Ц71= «72=
= W. Имеет место следующее утверждение.
Предложение 8.7. Условие неразложимости функционала Уайтмана W эквива-
эквивалентно кластерному свойству (а также условию единственности вакуумного луча в гильбертовом
пространстве «%\ ассоциированном с W).
По поводу доказательства и дальнейшего рассмотрения разложимых функционалов см.
Борхерс A962), Рее и Шлидер A962), Морен A963а, б).
8.4. ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
А. Свободное скалярное нейтральное поле. Рассматриваемые ниже примеры
линейных квантовых полей показывают математическую непротиворечивость
аксиом Уайтмана, а также дают некоторую возможность судить об их незави-
независимости. Все эти модели однозначно определяются одноточечной и двухточеч-
двухточечной функциями Уайтмана; высшие функции Уайтмана задаются явным рекур-
рекуррентным образом.
Будем говорить, что скалярное нейтральное (т. е. эрмитово) уайтмановское
поле ф(д:) является свободным полем с массой т^О, если оно (помимо условия
эрмитовости ф*(х)=ф(д:)) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона *)
(^гр )'И = 0 (8.61)
и перестановочному соотношению
Ых),Ч(]/)]=т*>*(х-У)- (8-62)
Входящая сюда перестановочная функция Паули — Иордана Dm(x) (8.51) есть
фундаментальное решение уравнения Клейна—Гордона, т. е. ее можно
рассматривать как обобщенную функцию умеренного роста по х,
*) Оператор К = Здд^-f-m2 называют клейнианом (с массой т).
ЗОТ
-зависящую ^-образом от х9 и удовлетворяющую условиям
(х)= О, D@, лг) = О, ?/>(*, дг)|,=0 = б(дг). (8.63I
Из уравнения (8.61) (и упражнения 2.49) следует, что поле ф (х) допускает I
•сужение на плоскость х° = const, так что для q>(t, х) и n(t, лг)==^-ф(^, jc)
перестановочные соотношения (8.62) при равных временах переходят в ка-
канонические коммутационные соотношения F.76):
[Ф#, х), ф (t, у)] = 0 = [я (t, х), я(t, у)], (8.64а)
[я (t, х), Ф (t, y)] = -j8 (х-у). (8.646)
Поскольку начальные данные ф(^, х), n(t, x) (при фиксированном t) полностью
определяют ф(х), мы имеем дело с системой ККС с бесконечным числом степе-
степеней свободы (п.б.З.Б).
Уайтмановское поле ф (х) с требуемыми свойствами действительно суще-
существует и может быть определено в фоковском пространстве <!р скалярной (бо-
зонной) нейтральной частицы массы т с ковариантными операторами рожде-
рождения и уничтожения А*(р) и А(р), удовлетворяющими перестановочным соот-
соотношениям типа G.145):
Ы(р), A(q)]=0=[A*(p), A*(q)], (8.65a)
[А (р), Л*(<7)] = BяL 8(р — q)8m(p)- (8.656)
Положим по определению
Ф (р) = А (р) + А* (- р) =» 4ясо (р) [6 (/?»-со (р)) а (р) + 6 (р° + со (/»)) а* (- р)]
(8.66)
здесь использованы также операторы рождения и уничтожения а*(/?), а (р)
на массовой оболочке; см. G.148)); ф(/?)—преобразование Фурье поля ф (х): ]
){х)е1Р*<Рх. (8.67)
Тем самым операторы ф(/) = \ ф (х) / (х) dlx определены на области D, состоя-
состоящей из конечных сумм векторов фоковского пространства § вида
J A* (Pl)... Л* (/,„) / (Pl, ...,р„) diPi... dtPn | 0> (8.68,
(где f^uf{Mn)), и переводят D в себя (при п = 0 выражение (8.68) перехо-
переходит в /•!()>, так что|фоковский вакуум |0> входит в D).
Упражнение 8.11. (а) Убедиться, что квантовое поле ф (х) удовлетворяет уравне-
уравнению Клейна — Гордона и перестановочным соотношениям (8.62).
(б) Доказать, что поле ф(#) удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, причем фоковский
вакуум |0) играет роль уайтмановского вакуума.
(в) Показать, что для вещественных основных функций / операторы ф(/) существенно са-
самосопряжены. (Указание: с помощью упражнения 7.22 убедиться, что все финитные векторы
(8.68) являются аналитическими векторами для ф(/).)
(г) Определим локальные полевые алгебры % (Q), ассоциированные с ограниченными от-
открытыми множествами 0 С М, как алгебры фон Неймана, порожденные ограниченными
функциями от операторов ф(/), где f^®r@) (достаточно ограничиться мнимыми экспонен-
экспонентами ехр«ф(/)); пусть % — пополнение по норме объединения алгебр 5F)- Доказать, что
сеть локальных алгебр gf (Q) удовлетворяет условию локальной коммутативности и что ал-
алгебра % неприводима в §. (Указание: воспользоваться упражнением 7.23.)
Нетрудно видеть, что оператор числа частиц G.131) выражается сле-
следующим образом при помощи ковариантных операторов рождения и унич-
уничтожения:
l; (8.69)
308
входящая сюда операторная обобщенная функция от р
v{p)=a*{p)a{p) (8.70)
играет роль плотности числа частиц с фиксированным импульсом р ? Г?-. За-
Заметим попутно, что произведение типа а*(р) а(р) операторов рождения и
уничтожения, в котором все операторы рождения стоят слева от операторов
уничтожения, называется нормальным (или приведенным к нормальной форме).
В отличие от нормального произведения а*(р) а(р) произведение а(р) а*(р) не
определено как операторная обобщенная функция; это следует из соотношения
а (р) a* fa) = a* (q) а (р)-2р° BяK б (р—д);
первое слагаемое в правой части хорошо определено при д ->р, в то время как
второе (с-числовое) слагаемое не имеет предела.
После того как мы определили оператор плотности числа частиц, нетрудно
ввести и ряд других динамических переменных. Например, оператор суммар-
суммарного 4-и мпульса поля принимает вид
»a*{p)a{p){dp)m. (8.71)
Выражение (8.71) получается как результат выбрасывания с-числовых бесконечностей из
формального выражения
РМ.= [
х°=const
где Т№—тензор энергии-импульса поля ф:
Корректное выражение (8.71) получается, если произведения операторов, входящие в Т^°,
заменить нормальными произведениями. Это — простейший пример устранения расходимостей
в квантовой теории поля (см. [Б8]).
Упражнение 8.12. (а) Показать, что двухточечная функция Уайтмана в рассмат-
рассматриваемой модели имеет вид
*, у) =-i Dtf (х-у) (8.72)
(где Djn° (х—у)—отрицательно-частотная функция Паули — Иордана (8.50)).
(б) Доказать, что в данной модели функции Уайтмана и)с*"+1] (т. е. нечетного поряд-
порядка) равны нулю, в то время как функции Уайтмана wiinl (т. е. четного порядка) опреде-
определяются рекуррентным соотношением
2п+1
^ 7(8.73)
где знак •" над ду означает, что этот аргумент должен быть опущен. (Указание: ввести
положительно- и отрицательно-частотные части ф'*' {х) поля ф (я), полагая
Ф'+)(/5) = 0(р°)Ф~(р) = Л*(-р)> ф"-»(р) = 9(-р°)ф~(р) = Л(р)Т (8.74)
далее воспользоваться коммутационным соотношением [ц>(х), ф(+) (у)] = тт" О(~> (х—у).)
(в) Доказать формулу
.w'*HxPl2n_iy хРBп)); (8.75)
здесь суммирование производится по всем разбиениям множества индексов {1, ..., 2п) на
пары (т. е. по всем спариваниям); их можно отождествить с перестановками Р такими, что
Р1 < РЗ <...<Р B/1 — 1) и РB/ — 1) РB/) 1
Формула^(8.72) является характеристическим свойством свободного поля.
Предложение 8.8. Пусть в теории Уайтмана одного скалярного
эрмитова поля <р(х) двухточечная функция определяется формулой (8.72). Тогда
Ф(х) есть свободное поле массы т.
¦4 Мы приведем доказательство предложения только для случая т. > 0 *). Чтобы по«
жазать, что ф](дг) удовлетворяет уравнению Клейна —Гордона, введем эрмитово поле / (х) =
*) По поводу случая т=0 см. Полмайер A969),
309
= (дцд^-f-m2) ф (х). По условию его двухточечная функция [равна нулю, поэтому /(х)|0>=0,
откуда (на основании разделяющего свойства вакуума) следует, что / (х) = 0. Остается про-
проверить перестановочное соотношение (8.62). Пользуясь тем, что фурье-образ ф (р) поля ф()
сосредоточен на двухполостном гиперболоиде р2 = т* (ибо (р2 — т2)ф (/?) = 0), мы можем раз-
разбить поле ф (х), подобно свободному полю, на положительно- и отрицательно-частотные частш
Из постулата спектральности следует, что положительно-частотная чисть поля должна ¦
уничтожать вектор вакуума: i
Ф( + )(Р)|°> = О- (8.76) )
Рассмотрим далее выражение !
ф(+) (q) ф(-> (р) | 0>, (8.77)
на которое оператор энергии-импульса действует по формуле
"¦<-> (р) I 0> = — (р + 9) ф<-
Здесь /7+9, будучи суммой положительного и отрицательного векторов на гиперболоиде массы
т, является пространственноподобным вектором или нулем. Более того, когда р н q пробегают
произвольные компактные множества соответственно на нижней и верхней полах гиперболоида,
то р+<7 пробегает компакт в М, пересекающийся с конусом V+ только в нуле. Отсюда и из посту-
постулатов спектральности и единственности вакуума следует, что выражение (8.77) (будучи сгла-
сглаженным с основной функцией по р и q) коллинеарно вектору вакуума. С другой стороны, из
(8.76) и (8.72) следует
<0 | Ф<+> (х) ф(-> (у) | 0> = <0 | Ф (х) Ф (у) | 0> = 1 Dtf (х-у). (8.78)
Таким образом,
[ф< + >«, Ф<-'(г/)]|0> = Ф( + )Мф<-)(г/)|0> = у^+)(л:-1/)|0>. (8.79)
Отсюда и из тривиального равенства
[Ф<->(*), ф'->((/)]|0> = 0
получаем
[ф(*). фШО> = 4-0я(*-4г)|О> + [ер<->(х), Ф<~)(г/I0>. (8.80)
Упражнение 8.13. Доказать, что из (8.80) следует
<ф, [ф<">М, <р<->аО]|0> = 0 (8.81)
для всех if^^f. (Указание: из свойства носителя ф*"'^) следует, что левая часть равен-
равенства (8.81) допускает аналитическое продолжение в трубу х?Тг, у?Тг; с другой сторо-
стороны, согласно (8.80) она исчезает при (х—уJ < 0.)
Из равенств (8.80) и (8.81) следует
|[ф М, Ф (У)]—f Dm (х-У)\ | 0> = 0.
(8.82)
Согласно предложению 8.3 отсюда вытекает, что поле ф (х) удовлетворяет перестановочному
соотношению (8.62). ^
Как уже отмечалось, выражения вида
Ф<-> (*,). .. Ф<-> (xk) Ф«+> (хк+1).. .Ф(+) (хп), (8.83)
в которых операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения,
называются нормальными произведениями. По линейности определяются
нормальные произведения
:Ф(д:1)...ф(х„):=2ф(-)(^)---Ф(-)(^)ф(+)(%+1)---Ф(+)(^)- (8-84)
Они могут быть определены также рекуррентным образом с помощью сле-
следующей формулы Вика (подробнее см. [Б8], § 17).
Упражнение 8.14. Доказать формулу
k— О Р
310
г
здесь Р пробегает все разбиения множества {1, ...,п} на две части из k и п — k элементов;
их можно отождествить со всеми перестановками Р такими, что Р\ < Р2 <.. .<Pk и
Замечательным свойством нормальных произведений (8.84) является тот
факт, что их можно рассматривать как операторные обобщенные функции от
•одной 4-векторной переменной, скажем хи зависящие ^"-образом от разно-
разностей хх—хг, хг—х3, . . . , х„_1—хп как от параметров.
Упражнение 8.15. Доказать упомянутое свойство. (Указание: достаточно рассмот-
рассмотреть выражение (8.83); более того, так как операторы уничтожения спариваются с операторами
рождения вектора Ф из области определения D, достаточно ограничиться в (8.83) случаем k=n;
убедиться, что в переменных хг, %j=x/—хг (/=2, . . ., п) оператор 9(Xj). . .Ц>(хп), сглаженный
с основной функцией по хг, имеет вид
п
.+pn)e I-2 diPl...diPn,
¦где f^af(M)', с помощью свойства носителя А* (р) здесь / (р1 -)- ... + рп) можно заменить
подходящей функцией из gf (Mn).)
В результате мы имеем возможность ввести понятие монома Вика свобод-
свободного поля <р: это выражение вида
x): = :D«'<p (хх). . . Da*q> (х„):
х^х (8.86)
Xj-Xl = O,i=2 я
(дифференциальный оператор Da определен формулой A.39)). Полином Вика—
это произвольная комплексная комбинация мономов Вика.
Упражнение 8.16. Доказать, что система всех мономов Вика удовлетворяет аксио-
аксиомам Уайтмана.
Упражнение 8.17. Доказать, что в § существует единственный унитарный опера-
оператор 11As) (пространственного отражения) и антиунитарный оператор 4l(It) (обращения вре-
времени) такие, что
ЗД(/,)|0> = |0>, <К(/,)ф(*)'К(/,)-1=±ф(.*о> -х), (8.87а)
0> = | 0>,1 % (It) Ф (х) 41 (/г)-х = Ф (- х\ х). (8.876)
В случае, когда в (8.87а) выбран знак «+», поле ср называется «подлинно» скалярным,
в случае знака «—» оно называется псевдоскалярным полем.
Можно показать (Борхерс и др., 1963), что в случае т>0 существует един-
единственное уайтмановское квантовое поле, удовлетворяющее соотношениям
(8.61) и (8.62). Однако при т—0 наряду с решением (8.66), которое называется
фоковским представлением безмассового поля, имеется целое семейство реше-
решений ф', параметризованных вещественным числом с. Это обстоятельство свя-
связано с явлением спонтанного нарушения симметрии, к которому мы обратимся
в гл. 10. Поле ф' есть результат сдвига фоковского решения на числовую кон-
константу:
Ф'(х)=ф(х)+с. (8.88)
Очевидно, теперь w'Cll=c, w'l2](x, y)=c2-{-w[2l(x, у). В дальнейшем, если не
¦оговорено противное, под скалярным свободным нейтральным полем нулевой
массы мы будем подразумевать стандартное фоковское решение (8.66).
Упражнение 8.18. Доказать, что преобразования (8.88) образуют группу симмет-
симметрии полевой алгебры, которая не реализуема унитарно в $j. (Указание: ввести сохраняю-
сохраняющийся ток
Tf(x) = d»q>(x) (8.89)
\^ (х) = 0) и положить
$ il'WPt/?-1*)^*, (8.90)
где Р (дс)—функция из <?)г (/?3), равная единице в окрестности начала координат. Убедить-
¦ся, что
(х) / (х) <Рх.е~ iQ«C= ^ ф' (*) f^x) tfx (8.91)
311
при f?@) (M) и достаточно большом R. Для доказательства второй половины упражнения'
предположить, что симметрия реализована унитарными операторами 1LC. Вывести отсюда,. ]
что 11С коммутировали бы с операторами трансляций 11 (а, 1) и потому оставляли бы ва>
куум инвариантным; получить отсюда противоречие, взяв вакуумное среднее от (8.91).)
Нейтральное скалярное поле <р (х) с положительной массой естественно-
рассматривать как наблюдаемое поле; в такой полевой модели нет ненаблюдае-
ненаблюдаемых величин. В случае нулевой массы имеется альтернативная возможность.
Мы можем считать (8.88) калибровочными преобразованиями; тогда наблюдае-
наблюдаемым полем считается калибровочно-инвариантный ток (8.89). Отмеченная выше
множественность представлений поля <р в этом случае не имеет наблюдаемых
следствий (так как т]й не зависит от с).
Упражнение 8.19. Показать, что ток г\^(х) (8.89), действующий в фоковском простран-
пространстве § скалярного безмассового поля ф, удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана. (Указа-
(Указание: для доказательства цикличности вакуума относительно тока достаточно убедиться, что
уу у
векторы вида exp (i \ ф (х) f (х) d*xj | 0> при произвольных /?,©/• (М) являются пределами
векторов вида с-ехр (I \[ф (х) h (x) dlxj | 0>, где h?g?)r (AT) и \ h (x) d*x= 0; для этого вы-
выбрать h(x) в виде h(x) = f (х) — х(х+Яа) J / (у) а*у, где %?@)г(М), $ X (х) dlx= 1, а — про-
произвольный пространственноподобный вектор, k?R; затем устремить Я к бесконечности и
воспользоваться следствием 7.2.)
Из этого упражнения следует, что представление тока т]1* в фоковском пред-
представлении безмассового поля <р неприводимо.
Б. Свободное скалярное заряженное поле. Для дальнейшей иллюстрации
возможности несовпадения понятия наблюдаемых и ненаблюдаемых величин
рассмотрим свободное скалярное комплексное (или заряженное) поле <р(*).
Это — операторная обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению Клей-
Клейна — Гордона (8.61) и перестановочным соотношениям
[ф (х), Ф (У)] = 0 = [Ф*(х), Ф*(у)}, [Ф*(х), Ф(*/)]= | Dm (дг-у). (8.92>
Поле ф можно разложить на вещественную и мнимую части
Ф(х) = pL- (ф1 (х) + »ф, (х)), Ф (х) = у=- (ф1 (х)—/ф, (х)); (8.93)
здесь ф! (х) и Ф2(д:)—пара эрмитовых полей, которые удовлетворяют урав-
уравнению Клейна — Гордона и перестановочному соотношению (8.62), а также
[<Р,М, *>,&)] = 0. (8.94)
Таким образом, комплексное скалярное поле сводится к комбинации двух
независимых эрмитовых свободных полей.
Ясно теперь, как построить схему Уайтмана для поля ф. Для этого
следует в качестве физического пространства ^ выбрать тензорное произве-
произведение <?)а'BУрB> Двух экземпляров фа) и ^)B) фоковского пространства из
предыдущего пункта с соответствующими операторами рождения и уничто-
уничтожения А*(р), At(p) (i—1,2) и определить поле ф посредством равенства
Ф(/?) = Л*(-/?, —1) + А(+р, +1), (8.95)
где
А{р, ±\) = ~-{АЛр)^ iA2(p)), A*(p, ±\)<=А(р, ±1)*. (8.96)
Упражнение 8.20. Пусть ф* (х) есть либо ф (х), либо ф*(л:). Доказать, что функ-
функция Уайтмана <0 | ф'*> (хг) ... ф<*> (хп) \ 0> отлична от нуля только при условии, что числа
вхождения полей ф и ф* в рассматриваемый моном ф<*> (хг) ... ф(*> (хп) совпадают (и, зна-
значит, п четно); написать для этого случая формулу типа (8.75) для функции Уайтмана
(в терминах спариваний).
У пражнение 8.21. Доказать, что в § существует (единственный) унитарный опе-
оператор Ч1с такой, что
<2/r|0> = 10>, 4Ic
312
Подпространство одночастичных состояний в .<о можно считать состоящим
1ИЗ комплексных функций ? (р, а), заданных на гиперболоиде Г+ и зависящих
¦еще от дискретного индекса с, принимающего два значения, +1 и —1; по
построению функции с разными зарядами ортогональны друг другу. Все
гильбертово пространство <!р порождается векторными обобщенными функ-
функциями
A*(Pl, О1)...А*(рп, а„)|0>. (8.97)
Определим теперь оператор заряда Q как разность числа частиц с зарядом
+1 и числа частиц с зарядом —1:
QA* (Pi, а,).. .Л* (рп, а„)|0>= (а,+ .. .+оп)А* (ри а,). . .А* (рп, ап)|0>. (8.98)
Легко видеть, что Q — это в существенном самосопряженный оператор с це-
целочисленным спектром и что гильбертово пространство «!р распадается в пря-
прямую сумму
подпространств §[?1 с фиксированным значением заряда q. Оператор <р* по
определению увеличивает, а <р уменьшает заряд на единицу.
Упражнение 8.22. Доказать формулу
Q = \ У °«* (р, а) а (р, о) (dp)m = Г i (al (p) at (p)-al (p) a2 (p)) (dp)m, (8.99)
Определим калибровочные преобразования A-го рода) поля q> как пре-
преобразования вида
Ф (х) -+ ф' (х) = еа<р (х), ф* (х) -+ ф'* (х) = е~аф (х), (8.100)
где к—произвольный вещественный параметр. Очевидно, такие преобразо-
преобразования образуют однопараметрическую группу (фактически это—компактная
абелева группа U A)). Калибровочные преобразования образуют группу сим-
симметрии полевой алгебры $, а также локальных полевых алгебр $ (б) (алгебр
фон Неймана, порожденных операторами exp [t J (ф (х) f (х) + ф* (х) / (х)) d*xj,
где f?eD(Q)). Это вытекает из следующего упражнения.
Упражнение 8.23. Положим
V(l) = e-M, %?R. (8.101)
Доказать соотношения
V(K)cp(x)V(k)-1 = e^(x), V(A,)9*(*)K(A,)-1 = e-'VW« (8-102)
При каноническом квантовании свободного заряженного поля ф исходят из формального
выражения
' (8.103)
где
/V М = i (Ф* (х) Зц ф (х) - д^* (х) ф (ж)) (8.104)
— сохраняющийся нётеровский ток; выражение (8.99) получается выбрасыванием с-числовых
бесконечностей из (8.104), что равносильно замене обычных произведений на нормальные (см.
1Б8]).
Операторы V (К) позволяют определить группу калибровочных преобра-
преобразований для всей полевой алгебры фон Неймана % = 93{&):
Л — A'= V (%) AV (к)-\ (8.105)
Элемент Л ? 3i (<§) называется калибровочно-инвариантным, если он комму-
коммутирует со всеми операторами V (К) калибровочных преобразований.
Определим теперь алгебру локальных наблюдаемых 31F), ассоцииро-
ассоциированную с ограниченным открытым множеством 6, как множество калибро-
313
вочно-инвариантных операторов из $F) (это алгебры фон Неймана); соот-
соответственно алгебра квазилокальных наблюдаемых §1 определяется как попол-
пополнение по норме алгебр Ш, (в). Очевидно, алгебра 2( приводится каждым из
подпространств &^ с фиксированным зарядом, так что в каждом из этих
подпространств определено представление пМ алгебры 91. Представление
я[0] алгебры наблюдаемых называется вакуумным (поскольку ^»[0) содержит
вакуумный вектор); остальные же представления являются безвакуумными
(в них оператор энергии Р° строго положителен; более того, его спектр
в fy есть интервал [/п|<7|, +°°)).
Операторы заряженного поля <р (х), сглаженные с основными функциями,
служат переплетающими операторами для подпространств &. Однако целе-
целесообразнее найти переплетающие операторы среди унитарных элементов
алгебры $-F). Оказывается, это действительно можно сделать: для любого
открытого множества 6сМ существует унитарный оператор ^q ? $ (в) та-
такой, что
У(к)УA)^1% (8.106)
Этот оператор можно построить следующим образом (Уайльд, 1976). Фиксируем веществен-
вещественную функцию /(х) из of Г(М) с носителем в Q такую, что ее преобразование Фурье](р) неравно
тождественно нулю на Г„. Тогда
есть линейная комбинация двух существенно самосопряженных операторов ф2(/) и Ф2(/). каж-
каждый из которых действует в соответствующем тензорном сомножителе в §=§A)®§B); по-
поэтому эти операторы взаимно коммутируют. Таким-образом, замыкание А оператора ф(/) есть
нормальный оператор. Кроме того, замыкания операторов ср^/) и ф2(/) не имеют собственных
векторов с нулевым собственным значением. Это нетрудно вывести из того, что для заданной/
нетрудно подобрать g?afr(M) так, что [yx{f), ffi(g)]=i.
Упражнение 8.24. Пусть самосопряженные операторы р, q удовлетворяют ККС
F.71), где U (а), V (Ь) определены в F.69) с п= 1. Доказать, что оператор р не имеет собственных
векторов с нулевым собственным значением. (Указание: воспользоваться теоремой единствен-
единственности фон Неймана 6.14 и представлением Шредингера для ККС с одной степенью свободы.)
В этом случае в качестве искомого оператора г]у, можно положить
VQ = (A*A)-v*A,
где А — замыкание ф(/).
У п ражнен ие 8.25. Проверить равенство (8.106).
С помощью переплетающего оператора ityg построим автоморфизмы pg1
алгебры 21:
] «. (8.107)
Будем говорить, что автоморфизм р алгебры 31 локализован в области б,
если для любой области Q ~ б имеет место равенство
р(А) = А для всех Л?21(#). (8.108)
Если область б не конкретизируется, о таком автоморфизме р будем гово-
говорить как о локализованном автоморфизме.
Упражнение 8.26. (а) Доказать, что оператор (ijv)9 отображает унитарно jgtw
на §'«).
(б) Доказать, что автоморфизм pg локализован в области Q.
(в) Рассмотрим представление яГ91 алгебры 31, получаемое из вакуумного представле-
представления с помощью автоморфизма рл :
б (8-109)
Доказать, что представления п[<4 и яГ|?1 алгебры Щ. унитарно эквивалентны.
Из этого упражнения следует важный результат: каждое представле-
представление л[1' алгебры Ш. получается с точностью до унитарной эквивалентности
314
из вакуумного представления яГо1 с помощью некоторого локализованного
автоморфизма.
Оказывается, представления п1^ алгебры 31 точны, неприводимы и попарно унитарно
неэквивалентны. (Это доказано в более общей ситуации Доплихером и др., 1969.)
Заметим, что, как и при рассмотрении нейтральных скалярных полей, в случае заряжен-
заряженного скалярного поля нулевой массы имеется также «смещенное» фоковское представление (типа
(8.88)) поля ф с ненулевым вакуумным средним @|ф|0). Кроме того, здесь возникает новая
возможность в определении калибровочных преобразований
Ф (х) -*• ф'(х)=е»ф (х)+с (8.110)
(?, c?C), так что теперь группа калибровочных преобразований становится изоморфной
группе движений плоскости. Мы рекомендуем в качестве упражнения рассмотреть, на какие
секторы распадается представление алгебры наблюдаемых в фоковском представлении поля ф.
В. Свободное дираковское поле. Свободное спинорное (заряженное) поле
со спином х/2 и массой т является операторной спинорной обобщенной функ-
функцией ty(x) = (^{x)), удовлетворяющей уравнению Дирака
Уу^дц—m)\t>(*) = 0 (8.111)
и следующим перестановочным (антикоммутационным) соотношениям при
равных временах:
[r(t, х),
№(t, x),
Используя уравнения движения, нетрудно получить ковариантные переста-
перестановочные соотношения для полей i|)(x) и ty(x) =
№() %(У)]
№(*). %(</)]+=| («(*-</), (8Л13)
где
Sm (х) = (iy»d». + т) Dm (х) = i S ((р + т) е~<Р* + (р- m) e'P*) (dp)m =
. (8.114)
Покажем, что существует уайтмановское поле ty(x), которое удовлетво-
удовлетворяет приведенным требованиям. Для этого введем фоковское пространство $
двух релятивистских частиц с массой т и спином 1/2, различаемых зарядом
о=±1. Частицу с зарядом о*=+ 1 мы условимся называть (просто) части-
частицей, а частицу с зарядом сг=—1 будем называть античастицей. Оператор
рождения частицы А*(р, со, +1) и оператор уничтожения античастицы
А(р, со, —1) выберем в виде линейных функционалов от двумерного комп-
комплексного вектора со. Тогда нетривиальные перестановочные соотношения
G.145) примут вид
[А*{р, со, +1), А(р', Ъ, +1)]+ = [А*(р, со, —\),_А(р', й,-1)]+ =
= {2пу<*р<*Ь{р-р')Ь+т{р). (8.115)
Зададим теперь поле Ир (х) в биспинорном представлении
ф(х, со, ©) = 2 $а(х)<*а+ 2 ^a'W«a' (8Л16)
а=1, 2 об'= 1, 2
с помощью преобразования Фурье
йр(р, со, п) = А*(—р, п,—1) + А(р, со, +1). (8.117)
Упражнение 8.27. Убедиться, что так определенное поле г]з (х) удовлетворяет всем
аксиомам Уайтмана, а также уравнению Дирака и перестановочным соотношениям (8.113).
Вакуумные средние от полилокальных произведений спинорных полей
фиф равны нулю, если число спинорных полей т|з не совпадает с числом
315
дираковски сопряженных полей г|з. Двухточечные функции Уайтмана сво-
свободного спинорного поля имеют вид
С y) = <O\^(x)^(y)\O> = ±S<->(x-y), |
где
S<±> (x) = i S (p =F m) e± "
= =F i J (P + m) 6 (т Л -2яб (/?*_ m2) e~ to* diP = (*y% + m) Dtf* (x), (8.119)
где Z)^' (x)—частотные функции скалярного поля. Высшие функции Уайт-
Уайтмана [выражаются в виде суммы произведений двухточечных функций по
аналогии с формулой (8.75) для скалярного поля.
Упражнение 8.28. Доказать формулу для уайтмановских функций свободного
дираковского поля *):
ю»»! (*!,..., х2п) = 2 е (Р) ^[2J (*w, xPi) ... w™ (xP {tn_н> дс P Mn,); (8.120)
здесь Р имеет тот же смысл, что и в формуле (8.75); е(Я) — это четность перестановки
Р; a[2J(xi, x2) яЕляется теперь 2х2-матрицей с элементами, определяемыми формулами (8.118).
Калибровочные преобразования A-го рода) дираковского поля опре-
определяются теми же формулами (8.100), что и в случае заряженного скаляр-
скалярного поля.
Упражнение 8.29. Определим оператор заряда Q формулой типа (8.98). Убедиться,
что при т. > 0 он представим в виде
(р,Ъ, -И)-о»(р, Ъ, -1)а (р. ю,-1)}(*Р)«.
(8.121)
Доказать, что унитарные операторы V (Я) = е-'^С служат калибровочными преобразованиями
поля гр, т. е.
V (X) i|) (Я,) У (Я,)-1 = е'Н1 (дг). (8.122)
Отметим, что при каноническом квантовании ([Б8]) заряд определяется формулой
^ o(x)d3x; (8.123)
8десь
— ток дираковского поля, который выбирается в виде нормального произведения. (Нормаль-
(Нормальное произведение свободных спинорных полей определяется таким образом, что все операторы
рождения в произведении стоят слева от операторов уничтожения, а необходимые перестановки
выполняются так, как если бы все антикоммутаторы были равны нулю; см. [Б8].)
Если полевая алгебра ?у F) поля г|з, ассоциированная с ограниченной
областью 6сМ, есть алгебра фон Неймана, порожденная операторами**)
^o(/)» Ч"р (/)> гДе /€®F)i т0 соответствующая алгебра локальных наблю-
наблюдаемых §1 F) определяется как множество калибровочно-инвариантных опе-
операторов алгебры ^F). Очевидно, алгебра наблюдаемых 81 приводится под-
*) Правая часть формулы (8.120) называется пфеффианом кососимметричкой 2п\2п-
г 2 "I
матрицы а с элементами aij=W(xi, x .) при i</; замечательное свойство пфгффиана состоит
в том, что он является квадратным корнем детерминанта матрицы а.
**) Эти операторы ограничены согласно упражнению 7.21.
316
Iпространствами feW с фиксированным значением q оператора заряда Q, так,
что в каждом подпространстве 4р'«] действует представление п1 алгебры SL
Для этих представлений имеют место результаты, приведенные выше в связи
с заряженным скалярным полем.
Упражнение 8.30. (а) Показать, что существуют (однозначно определенные) уни-
унитарные операторы 11 (Is), 11С и антиунитарный оператор 11 (If), оставляющие вакуумный
вектор инвариантным и обладающие свойствами
^ f In, | = 1, (8.125a)
11 (Is) ф (х) 11 (Is)-1 = i\e $ Vsx) у°, (8.1256)
^cC^W, he 1=1. (8.126а)
(л:) = т^С-1 ,|> (*) ^—т]сСг|; (*), (8.1266)
^), _ (8.127а)
'И (It)^(x)'U(It)-1=—ntybC~1^(Itx)^~i]tt(hx)ybC. (8.1276)
(б) Показать, что 41 (Is) и 'We коммутируют в точности тогда, когда t]s чисто мнимо:
т)| = —[1. (8.128)
(в) Показать, что 41 (It) и Т/р коммутируют в точности тогда, когда у\сЩ вещественно:
т)ст)?=1. (8.129).
(г) Доказать, что при условиях (8.128), (8.129) имеет [место следующая «таблица
умножения»:
411=1, 1l(IsJ = 4L(Ity = 4l@, —1), (8.130а)
ИС11 (/,) = 41 (/,) Vс, 4lc4l (It) = % (It) 11 с, (8.1306)
11 (Is) "U Ut) = ^1@,-1L1 (It) 41 (Is). (8.130в)
Отметим, что дальнейшее уточнение множителей r\s, т)с, f\t не является необходимым, так
как различные выборы фаз, удовлетворяющие G.128) и G.129), отличаются друг от друга ка-
калибровочным преобразованием и потому физически эквивалентны. Например, выбор r\s=i фи-
физически эквивалентен выбору ть=—i- Однако в случае нескольких спинорных полей отношение
коэффициентов x\s разных спинорных полей уже может быть наблюдаемой величиной; оно назы-
называется относительной (Р-)четносшью спиноров. Заметим, что в случае системы спинорных по-
полей определяющие соотношения (8.125) — (8.127) не исчерпывают всех возможных представле-
представлений дискретных операций Is, С, It (так как в этом случае появляется возможность ввести более
широкую группу калибровочных преобразований). Так, в случае двух спинорных полей можно
найти неприводимое представление этих операций в пространстве, в котором два спинора объеди-
объединены в один восьмикомпонентный спинор, что разумно при наличии изотопической симметрии
(подробнее см. Огиевецкий и Чжоу Гуан Чжао, 1959; Ли и Вик, 1966).
Наряду с заряженным спинорным полем можно было бы рассмотреть-
нейтральное, или майораново, поле ty(x) = tyc(x). В этом случае вместо двух
частиц мы имеем дело с одной частицей с оператором рождения и уничтоже-
уничтожения А* (р, со) и А (р, со); соответственно вместо (8.117) теперь имеем
+ А(р, to). (8.131)
Калибровочная группа майоранова поля сводится к группе Z2 = {±1},
в которой нетривиальный элемент действует по правилу
. (8.132)
Упражнение 8.31. Доказать, что калибровочное преобразование (8.132) унитарно-
реализовано оператором валентности 11@, —1), т.е.
<Н@, —\)ty(xLl@, —!)-*=—i|>(x). (8.133)
Г. Обобщенные свободные поля. Характерной чертой свободного (для
определенности, скалярного) поля является то, что его коммутатор [ср(х), ф(г/I
есть с-число (т. е. он кратен единичному оператору). Спрашивается, нельзя
ли построить физически нетривиальную теорию, в которой сохранялось бы
это свойство. Ответ на этот вопрос отрицателен: оказывается, такое поле,
го сути дела, является суперпозицией свободных полей. Это дает основание
называть скалярное поле <$(х) обобщенным свободным полем, если его комму-
коммутатор [ф(х), <$ (у)] есть с-число (Гринберг, 1961). Несмотря на физическую
тривиальность обобщенного свободного поля, его изучение представляет
317
некоторый теоретический интерес (хотя бы потому, что дает указание, чего?
'нужно избегать при поисках нетривиальной теории). :
Нетрудно привести общую конструкцию уайтмановских обобщенных
¦свободных полей; при этом мы ограничимся случаем скалярного эрмитова,
поля. По определению коммутатор Гф(х), ц>(у)] совпадает со своим вакуумным
¦средним, поэтому для него представление Челлена — Лемана (8.49) принимает
вид
со
\^{m2), (8.134)
тде а (К)—монотонно неубывающая полиномиально ограниченная функция
на [0, оо). Мера do (к) однозначно определяется коммутатором. Без ущерба
для общности можно считать, что йуш=(О|ф(л:)|О)=О (в противном случае
вместо ф нужно ввести обобщенное свободное поле ф'(х)=ф(д;)—wai). Тогда
для двухточечной функции Уайтмана w[2] мы имеем представление Челлена —
Лемана
w™ (*, У) = ±Л &-> (х-у) do(m% (8.135)
о
Для высших функций Уайтмана имеем рекуррентное соотношение (см. уп-
упражнение 8.12).
Пространство векторов состояний обобщенного свободного поля может
быть реализовано по аналогии с пространством Фока для нейтральных ме-
мезонов с фиксированной массой. Теперь пространством одночастичных со-
состояний ^)i служит пополнение предгильбертова пространства комплексных
непрерывных функций 4>i(p) с компактным носителем, которые определены
при р°^0, р2 6 supp da (X) и имеют скалярное произведение
<Olt ?1>=Jdo(m2) J 0Ap)W1(p)(dp)m^l0Ap)x?1(p)d[i(p). (8.136)
Имея пространство $1, мы можем далее определить пространство ,?>„ «-частич-
«-частичных состояний как п-ю симметричную тензорную степень пространства §v
Действие обобщенного свободного поля определяется тогда формулой
Рп)
Уп%
(знак "~~ над аргументом означает, что этот аргумент должен быть опущен).
Упражнение 8.32. (а) Показать, что поле ф(х), определенное посредством (8.137),
удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана.
(б) Разложить обобщенное свободное поле в прямой интеграл по свободным полям с опре-
определенной массой У~Х (Лихт, 1963; Уайтман, 1964).
Приведем критерии обобщенного свободного поля.
Предложение 8.9 (Лихт и Тол, 1961). Пусть скалярное нейтраль-
нейтральное поле ф (х) удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана. Если коммутатор
Т(), ф(г/)] зависит только от разности х—у, т. е.
, ц>(у)]=В(х—у),
то операторная обобщенная функция В (х—у) кратна единичному оператору и,
.значит, ц> (х) есть обобщенное свободное поле.
•^ Покажем, что
[ф(г), В(х-у)] = 0. (8.138)
318
Будем считать, что х, у и г меняются в произвольным образом фиксированных ограниченных
областях. Тогда можно подобрать пространственноподобный вектор такой, чтобы векторы х-\-
+а—г и у-\-а—г были пространственноподобны. Используя локальность, получаем [ц>(г),
В()][() [(+) (H)]][[() (+I (+)]+[(+) [() (+а)]\=0.
+у\рр у , у
В(х-у)]=[<р(г), [<р(х+а), <p(H-a)]]=[[<P(z), ф(*+аI, q>(y+a)]+[<p(x+a), [ф(г), Ц>(у+а)]\
Теперь из равенства (8.138) и предложения 8.1 следует, что В(х—у) кратно единичному опера-
оператору (отметим, что доказательство предложения 8.1 справедливо не только для ограниченного
оператора С, коммутирующего с операторами из 3*(Щ, но и для произвольного оператора С
нз 9*(Щ> коммутирующего с 3*(М)). >
Из (8.137) видно, что фурье-образ обобщенного свободного поля исчезает
при пространственноподобных импульсах. Оказывается, что это свойство-
характерно для обобщенного свободного поля.
Предложение 8.10. Пусть ср — скалярное поле в теории Уайт-
Уайтмана с сильным условием спектральности. Если фурье-образ (р(р) поля исче-
исчезает в некотором непустом открытом множестве пространственноподобных
импульсов р, то <р — обобщенное свободное поле. Аналогичный вывод можно-
сделать, если мера do (К) в представлении Челлена — Немана (8.135) имеет
компактный носитель.
Доказательство этого утверждения основано на представлении Йоста — Лемана — Дайсо-
на; мы его здесь приводить не будем (см. Гринберг, 1962; Робинсон, 1962). Имеется также кри-
критерий обобщенного свободного поля в терминах так называемых усеченных функций Уайтмана
ю'"-'7', которые определяются в п. 12.2.А: достаточно, чтобы w^T=0 при всех п, больших не-
некоторого номера п0 (см. Гринберг и Лихт, 1963; Робинсон, 1966; в статье Баумана A975) при-
приводится дальнейшее усиление этого результата). Отметим в заключение, что в четырехмерном-
пространстве-времени Минковского к обобщенным свободным полям сводятся, на первый взгляд,
более общие поля типа Ли, коммутатор которых есть неоднородный линейный функционал от
операторов поля:
[ф(х), ф (у)] — — Д (х — у) +— \ b (х, у, г) ф (г) й*г (8 !39)
(см. Робинсон, 1964, Уайтман, 1967а и Ефремов, 1968/69).
Дополнение Е. Сводка инвариантных решений
и функций Грина уравнения Клейна — Гордона
В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться характеристическими сингулярными
(в частности перестановочными) функциями свободных полей, с которыми мы имели дело
в §8.4. Поэтому для удобства мы приведем здесь сводку этих обобщенных функций, а также
связанных с ними функций Грина.
Перестановочная функция Паули — Иордана Dm(x)=D(x):
[q(x), q>(y)]=—D(x — y); (El)
I
>(x) = 0, (E.2a).
= 6(*); (E.26).
1 r1 .
* J
Я@, *) =
=iе {х0) {а {х2) -е
t^ Jl (m>^}; (Е-Зб)
здесь и далее Ji(z) и /Ci (г) —функции Бесселя и Макдональда ([ПО], 8.402, 8.432, 8.446):
при |агёг|<я/2, (Е.5а).
^(Е.56).
(ft) = Г' (k)/T (ft)).
319-
Положительно- и отрицательно-частотные функции Паули — Иордана D^ (х) = D(±) (x):
< 0 | Ф (х) Ф (у) | О >=-J-D<-> (а:-у), (Е.6)
(D+m2)D(±)W=0) (E.7)
D(±) (л:) = ^Д С 2я6 (± /?°) б (р2 —т2) е'>* d4p = (E.8a)
= Т lim j-lh(-m*{x±iy)\ [(Е.86)
•где *) _ _
(^)/r(Е.9)
?><->(*) = — ?>< + >(— *) = ?><+> (л:), (ЕЛО)
?)<+>(х)+Л<->(х) = Л(л:). (Е.11)
Причинная функция Грина Dcm(x)^s Dc (x):
< 0 | Т (Ф (*) Ф (у)) | 0 >=1 ?с (*-у), (Е.12)
Dc (л:) = 6 (х°) ?)(-' (ж)—G (—л:0) ?><+) (ж), (Е.13)
(D+mz)Dc(x) = 6(A:)) (E.14)
Dc (x) = Г -= L—7-'«'>л diP. (E.15)
ret ret
Запаздывающая и опережающая функции Грина D^v (х) = D v (х):
ret
(a + m2)Dadv(x) = 8(x), (E.16)
Oret (x) = 6 (х°) Л (л) = Dadv (— *), ; (Е.17)
ret
=ie (± ^ {б (*2)~е (х2) п?р" -71 (m^-^ }•(ЕЛ8б)
ret
Dadv (ж) =DC (x) ± D<±> (*), (E.19)
Dret (x)-Dadv (x) = D(x). (E.20)
Характеристические сингулярные функции спинорного поля SaC (д:) и Sap (x) при
Z = (i), с, ret, adv получаются из соответствующих сингулярных функций скалярного
поля по формуле
они являются решениями или функциями Грина (при Z=c, ret, adv) уравнения Дирака.
Дополнение Ж- Общий вид ковариантной двухточечной функции
Ж-Ь Ковариантное разложение, согласованное с локальностью. В этом пункте мы при-
приведем аналог представления Челлена — Лемана для полей, преобразующихся по произволь-
произвольным конечномерным неприводимым или просто приводимым представлениям собственной груп-
группы Лоренца (или SLB, С) — ее односвязной накрывающей группы). Вначале поясним исполь-
используемые обозначения.
Множество всех комплексных 2Х2-матриц обладает структурой ассоциативной алгебры.
Однако теперь мы будем рассматривать его просто как моноид (т. е. множество с ассоциативным
умножением и с единицей). Для любого неотрицательного целого или полуцелого s («спина»)
определим 2s+1-мерное матричное представление А -*¦ (Daa-(A)) этого моноида, полагая
A)*-* X
(" [ deTl ' (ЖЛ)
*) В (Е.9) ветвь функции У~? (в комплексной плоскости с разрезом при ?<:0) выбирается
положительной при ?>0
при a, o' = ~s, — s+1, ..., s и Ап, Лм, det А ф 0 *) (для остальных А 0$. (А) опре-
определяется по непрерывности).
Пусть ф'и" (х, со, ш) и ф'и*' (х, ву, w)—два квантовых поля, преобразующихся по ко-
конечномерным просто приводимым представлениям
© ?)</.. А.) и © ?></•¦ **> (Ж.2)
(Л. *iN«i </„ АN«
группы 5L B, С), реализованным в пространствах полиномов от и, ш и ш, w соответственно
(см. пп. 3.1. Д и 8.2.Б); здесь JR1 и R% — некоторые конечные подмножества в Z+/2xZ~+/2.
Тогда для двухточечной функции Уайтмана
< 0 | ф(и'>1 (х, со, ш)ф(К2>B/. ш, ш)|0>= С r(KlXl)(p; со, со, w, w) e~'P^-y> diP (Ж.З)
имеем следующее разложение по стандартным полиномиальным ковариантам.
Предложение Ж.1. Двухточечная функция полей ф(К1), ф'*2', преобразующихся по
конечномерным просто приводимым представлениям группы SL B, С), имеет вид
*> (р; со, ш, ш, ш) = 2] (®ew)A (mw)BDJfr (P) fy?B (p), (Ж-4)
где суммирование распространяется по некоторому конечному множеству чисел /, k. А, В, L,
удовлетворяющих условиям
А, В, 2L, I-I/I, L-\k\?Z+; (Ж-5)
Р — это 2х2-матрица, составленная из переменных р, со, ш:
\wpa> wpw
fjkA (р) — лоренц-инвариантные обобщенные функции из <&" (М) с носителями в V+.
<4 Коварианты (e>ew)A (foew)B D)^ (P), очевидно, линейно независимы, поэтому в силу
упражнения 3.19 достаточно доказать, что они псевдогармоничны по р:
**№ W> ^ I «»« I2 (g^-g^p-) M (Р) =0,
а это есть следствие диффепекциального уравнения для полиномов Якоби
(см. [СЗ], п. 4.2). ^
Вообще говоря, инвариантные обобщенные функции fj^B определяются из разложе-
разложения (Ж-4) с точностью до произвольных слагаемых вида rf^B (П) S (р), где rfjfB (г) — по-
полином степени 2L—1 (и этот произвол сказывается в теориях с индефинитной метрикой).
Но в формализме Уайтмана, где W^1 K*> (р; со, со, w, ш) есть'(комплексная) мера степенного
роста по переменной р с носителем в V+, причем можно всегда считать, что мера точки
р = 0 равна 0**), f\^B (р) однозначно определяется разложением (Ж-4), если дополнительно
потребовать, чтобы они также были (вообще говоря, комплексными) лоренц-инвариантными
мерами степенного роста с нулевой мерой течки 'р = 0. В качестве пояснения рассмотрим
представление
F(p; со, со)= (сорсо)"/(р), (Ж-7)
где левая часть есть лоренц-ковариантная ^мера по р с носителем в V+ и с нулевой ме-
мерой точки р = 0, являющаяся однородным полиномом по со, со бистепени (п, п) (случай
произвольных представлений сводится к этому, см. п. 3.3.Б). Поскольку для каждой точки
р Ф 0 найдется вектор со такой, что сорсо ф 0, то из (Ж-7) следует, что в ЛГ\{0} f (p)
есть лоренц-инвариантная мера (с [носителем в ,"Р+\{0}). Доопределяя ее как меру в М
с нулевой мерой точки р = 0, мы не нарушим представления (Ж-7) во всем М.
?Если поля [ф(и'*' и ф'И2' преобразуются по неприводимым представлениям 2)(/" ''
и XUz' *2) группы SL B, С), то двухточечная функция (Ж-3) не равна тождественно нулю
*) То, что формула (Ж-1) определяет представление группы GL B, С) (всех комплексных
невырожденных 2Х2-матриц), нетрудно видеть из того, что для унитарных матриц А формула
(Ж-1) переходит в G.61); для матриц A ?SL B, С) она получается аналитическим продолжением,
а для A?GLB, С) — из соображения однородности.
**) Единственное исключение может возникнуть в случае скалярных полей (см. п.8.3.Б)^,
но оно устраняется переопределением полей путем вычитания из них одноточечных функций
Уайтмана.
J1 Н. Н. Боголюбов и др.
321
только при выполнении условий
j--k_?Z, (Ж-8аI
I /_ I V I k_ I < /+ Лk+, (Ж-86) I
где
В этом случае ковариантное разложение приобретает вид
iH*'*»* (р; со, ш, w, w) = 2 (шеш)' + "L (шш)*+ "L Г>(Д>А_ (Р) !l (p),
где
Мы называем формулу (Ж-4) (или (Ж-10)) ковариантным разложением, согласованным
с локальностью, потому что здесь (как и в упражнении 3.19) проекторы, осуществляющие это
разложение, конструируются только из спинорных переменных ш, ш и не зависят от р.
Ж-2. Разложение по спину. Будем считать, что в теории Уайтмана выполнено сильное
условие спектральности с массовой щелью ц>0. Пусть EJ есть проектор в физическом гиль-
гильбертовом пространстве на подпространство со спином J (где 2J?Z+).
Рассмотрим двухточечную функцию *)
<0 \ (<piKt){х, со, Ш))*ф(*2)B/, w, аГ)|О> = ^ №(*¦*«> (р;ш, Ъ, w, w) е-'Р^-У* diP, (Ж-12)
где ф'И1'(*, ш, ш) и ф'*2'(л:, w, ш) — поля, преобразующиеся по неприводимым представле-
представлениям 3)"" **' и З)''2' *2' группы SL B, С). Вставляя между операторами поля в (Ж.12)
разложение 1 = 2 ? единичного оператора в сумму проекторов Е , мы получаем разло-
J
жение двухточечной функции по спину:
^ ). (Ж. 13)
J
Оказывается, это разложение по спину имеет следующую ковариантную структуру:
W^^ (р; со, а, ю, ю) = 2 (wpw)Sl~J (wpw)s'-J D^ (Q)
где Q есть 2х2-матрица, составленная из переменных р, ш, а;:
\У Р шеьУ
hj(p) — лоренц-инвариантные меры с носителями в у?;
o; = j;-k;, Si^lt + ki A=1,2), (Ж.15)
а / пробегает значения
J==|oi| V|a,|, (| О! | v I a, |) +1 Sias2. (Ж.16)
При этом в случае йИх«к«) ^0 следует считать выполненными условия
Ci —or2gZ, 1 огх | v |o-2|<si Л s2. (Ж.17)
_'Для доказательства разложения (Ж-14) перейдем в обобщенной функции
Wj1'*1' (/?; со, ш, ш, w) к системе покоя вектора р (т. е. положим р = 0, что возможно
в силу условия р?У|х; см. п.3.4.В). Сгладим полученное выражение с произвольной ос-
основной функцией по переменной р°?[ц., оо) и зафиксируем ш. Мы получим некоторую
функцию от ш, которую при w Ф 0 (учитывая частично условие однородности по до, w)
можно записать в виде
(№)S*F(O(Y), (Ж.18)
где Y есть следующая матрица из SU B):
1 / w1 ш2\
а F^ (Y) есть функция на группе SU B), зависящая от параметра оз. Воспользуемся тем
фактом ([Ж1], § 25), что всякая комплексная непрерывная функция на группе Si/B) раз-
разлагается в ряд по матричным элементам Doo-(Y):
F<o(Y)= 2 aJa'.aD&) (Y). (Ж.19)
J', a, a'
*) Для удобства здесь (в отличие от (Ж.З)) поле ф'и'' заменено эрмитово сопряженным
полем.
322
С другой стороны, проекторы Е1 в ffl определялись разложением 1 = ^ EJ и условием
J
где W —вектор Паули — Любанского. Это накладывает на W^lK*' в разложении (Ж-13)
определенное условие, которое в системе покоя вектора р означает, что Fa (Y) как функ-
функция от w преобразуется по представлению группы SU B) со спином J, а это, как легко
видеть, равносильно тому, что в разложении (Ж-19) присутствуют только слагаемые J' = J.
Выше вектор со считался фиксированным параметром. Теперь нетрудно учесть зависимость
Fffl (К) от ш, воспользовавшись условиями однородности по ш, ш (частично) и SU ^-инва-
^-инвариантности W^*1*^ по ш, w в системе р = 0:
F^ (Y) == (ш>)Sl Fa0 (YX*), (Ж.20)
где
шш \ — ш2 ш1 /
Подставляя (Ж-19) (при са = ш0) в (Ж-20) и учитывая полностью условия полиномиальности
и однородности по ш, ш, w, w, мы получаем
(ww)s' F(i)(Y) = a(a)(i>)Sl (awY'D^ (YX*);
при этом (в случае а^О) должны быть выполнены условия (Ж-17). Тем самым разложение (Ж. 14)
доказано в системе покоя вектора р, откуда (на основе следствия 3.16) следует, что оно справед-
справедливо при всех р. Заметим, что представление (Ж-14) получается с помощью переразложения
ковариантного представления типа (Ж-Ю), поэтому обобщенные функции hj(p) в (Ж-14), как
и fi(p) в (Ж-10), являются мерами степенного роста.
Мы видим, что каждому допустимому значению спина / соответствует одна ковариантная
структура в разложении (Ж-14,). Это является отражением того факта, что подпространство
$?*¦ а' (а= 1, 2) в ,^f, определяемое как замыкание линейной оболочки векторов вида
\<jA a' (х, ш, со) и(х) d*x (при u^of(At)), несет просто приводимое представление группы Щ^,
со
= © С
J •>
dpj (m).
В случае, когда поля ф^ "' преобразуются по приводимым представлениям группы 5LB, С),
это уже, вообще говоря, не так; тогда в разложении типа (Ж-14) при каждом / может присут-
присутствовать несколько ковариантных структур. Для полей, преобразующихся по просто приво-
приводимым представлениям SLB, С), мы получаем следующий результат.
Предложение Ж-2. Пусть в теории Уайтмана с сильным условием спектральности
поля ф'к'* (х, ш, со) и ф'Кг'(х, w, w) преобразуются по просто приводимым представлениям
(Ж-2) группы Лоренца. Тогда разложение двухточечной функции (Ж. 12) по спину J имеет сле-
следующий вид:
Я (р; и, ш, w, w) = 2 (шрм)"' (wpw)"' DM (Q) hip"* (p), (Ж.22)
где суммирование производится по некоторому конечному множеству чисел п\, п%, a, a', J,
удовлетворяющих условиям
щ, щ, 2/, J~\a\, J — \o'\?Z+; (Ж-23)
kfy"'(Р) — (возможно, комплексные) лоренц-инвариантные меры степенного роста с носите-
носителями в Уц (где ц — массовая щель).
11*
Глава 9. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ УАЙТМАНА
В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
9.1. ТЕОРЕМА БАРГМАНА— ХОЛЛА-УАЙТМАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
А. Комплексные преобразования Лоренца. Мы видели (теорема 8.5), что
в силу условия спектральности функции Уайтмана w(x1, . . ., xn) = W(^1, . ..
..., in_j) являются граничными значениями функций W(Z,U . . ., ?n_j) от пере-
переменных ?ъ . . ., ?„_!, голоморфных в трубах прошлого T^-i (8.41). Оказы-
Оказывается, что сочетание свойств спектральности и лоренц-ковариантности дае-
дополнительную информацию об аналитичности, в частности, позволяет анат
литически продолжить функции в более широкую область (называемую рас-
расширенной трубой). Эта теорема, принадлежащая Баргману, Холлу и Уайт-
ману, лежит в основе вывода TCP -теоремы и теоремы о связи спина со стати-
статистикой, с которыми мы познакомимся в этой главе.
У пр ажнен ие 9.1. Доказать, что аналитически продолженные функции Уайтмана
-. •хп) (?1; >--( tn-i) удовлетворяют условию лоренц-ковариантности
"У i/(Ki) /л-1\ т/(ип) /л-11 w(*i ¦• ¦*») ГАС, ЛС ,1 —
"»i тп
= 1Р?;;;„*»>(Ь, .... Ь,_о при ^Г^г A?SLB, С). (9.1>
(Указание: применить теорему единственности Б.10.)
Идея конструкции Баргмана — Холла — Уайтмана состоит в том, чтобы
распространить условие лоренц-ковариантности на комплексные преобразо-
преобразования Лоренца.
Группа L(C) комплексных преобразований Лоренца определяется как
совокупность линейных однородных преобразований четырехмерного ком-
комплексного пространства Минковского СМ=С*, сохраняющих билинейную
форму
zw = g^z^w11 = z°w°—zw (9.2}
(по индексам к, |л здесь подразумевается суммирование от нуля до трех).
Другими словами, L(C)—это группа комплексных 4х4-матриц Л, удовлет-
удовлетворяющих условию ортогональности C.13):
ЛТ?Л = ?, (9.3)
где g—метрический тензор в пространстве Минковского.
Заметим, что комплексная группа Лоренца изоморфна комплексной ортогональной груп-
группе 0D, С). Действительно, если ввести новые координаты z'°=z°, zV=///(поскольку 2^— комп-
комплексные числа, то новые координаты равноправны со старыми), то знак «—» в (9.2) заменится
на «+» и соответственно метрический тензор g=(g\ii) в пространстве Минковского заменится
на единичный тензор бхц в С4. Мы обычно будем пользоваться лоренцевым базисом, в котором
справедливы равенства (9.2) и (9.3), поскольку в таком базисе переход к вещественному про-
пространству Минковского и соответственно — к вещественной группе Лоренца выглядит более
естественно.
Если взять детерминант от обеих частей равенства (9.3), то получим
для Л?Ь(С) (как и для вещественных преобразований Лоренца)
(detAJ = l. (9.4)
324
Таким образом, комплексная группа Лоренца распадается на два подмно-
подмножества L+(C) и L_(C), определяемых соответственно уравнениями detA=l
и detA = —1. В отличие от вещественного случая L+(C) является связной
группой (она называется собственной комплексной группой Лоренца).
Упражнение 9.2. Доказать, что группа L+(C) является связной. (Указание: ход
рассуждений здесь тот же, что и в упражнении 3.2.)
Замечательно, что группа L+ (С) уже содержит полное отражение
РТ — — 1 (г —>—г) пространства-времени. Тот факт, что это преобразование
можно соединить непрерывной кривой с единицей группы, устанавливается
простым построением. Действительно, матрицы
(cos ос 0 0 г sin ос\
О cos a sin ос 0 \ /п кч
л • п (9.5)
О —sin а cos ос 0 у \ '
i sin а 0 0 cos ос /
принадлежит L+(C), непрерывно зависят от а и Л@) = 1, Л(я) =— 1.
В п. 3.1.В был построен накрывающий гомоморфизм SLB, С)—>-Ь+.
Соответствующее построение может быть проделано и для комплексной
группы Лоренца. Вместо Л и Л в формуле C.39) введем две независимые
переменные Лг, Ar?SLB, С) и определим
Л,))_ z = A,zA!, (Л(Л„ Л,))" г = ЛГ1гЛг1, (96>
где по-прежнему
ZO_23 _8l + fc.\
z1-\-iz2 z° + z3]- <¦ '
Очевидно, detz = z2(= zz), так что Л(Л;, Ar)?L(C). Далее, так как
CLB, С) — связное множество, то с1ет.Л(Лг, Лг) = 1, и поэтому Л(Лг, Лг)^
?L+(C). В результате получим гомоморфизм
SLB, C)xSLB, С)Э(А{, Л,)-* Л (Л,, Ar)?L+(C). (9.8)
Те же рассуждения, что и в случае L\, показывают, что гомоморфизм (9.8)
отображает SLB, C)xSLB, С) на всю группу и его ядро состоит из двух
элементов ±1. Таким образом, построен дважды накрывающий гомомор-
гомоморфизм прямого произведения SLB, C)xSLB, С) на группу L+(C); в силу
своей связности и односвязности группа SLB, C)xSLB, С) служит уни^
версальной накрывающей группы L+ (С). Назовем вещественным сечением
группы SLB, C)xSLB, С) множество элементов вида (Л, Л); эти элементы
образуют подгруппу, изоморфную 5LB, С), а преобразованиями Л (Л, Л)=
s Л (Л) соответствуют вещественные преобразования группы L+(C), т.е.
преобразования группы L\.
Как и в случае собственной группы Лоренца L\, приведенная конст-
конструкция позволяет заменить группу L+(C) группой SLB, C)xSLB, С), что
упрощает трактовку двузначных представлений группы Лоренца.
Группа SLB, C)xSLB, С) (а также локально изоморфная ей группа
L+ (С)) является комплексной группой Ли размерности 6. Это означает, что
локально (скажем, в окрестности единицы) можно некоторые шесть матрич-
матричных элементов матриц Лг, Лг С SL B, С) выбрать в качестве независимых
комплексных переменных (называемых локальными координатами), через
которые остальные два матричных элемента выражаются аналитическим обра-
образом. Например, при (ЛгJ2^=0, (ЛгJ2 Ф 0 в качестве локальных координат можно
выбрать (A,)i2, (Л,J1, (ЛгJ2, (Лг),2, (ЛгJ1, (Аг)м. Комплексная функция
f(At, Ar) на группе SLB, C)xSLB, С) (или на некотором открытом ее
подмножестве) называется голоморфной (или комплексно аналитической),
325
если [она является голоморфной функцией локальных координат. Ниже
у нас встретятся также функции /(^, .. ., ?„; Лр Лг), зависящие от комп-
комплексных 4-векторов ?lt ...,?„ и от матриц Аг, Ar?SLB, С); и в этом
случае очевидно понятие голоморфности по всем переменным t,lt ..., ?„, Alt Ar
Нам понадобится следующая простая теорема единственности.
Упражнение 9.3. Пусть f (t,i, •••> ?«; Лг, Лг) — голоморфная функция в некото-
некоторой области Q с CMnXSL B, C)xSLB, С), имеющей непустое пересечение с множеством
точек вида
{(?! С; Лг, Лг): (Ь, ..., ?„)?СЛ1«, Л, = Л»}, (9.9)
и пусть функция / обращается в нуль на этом пересечении. Доказать, что / = 0 в Q.
В п. 3.1. Г мы рассмотрели конечномерные неприводимые представле-
представления 2)v> k) (Л) группы SL B, С), которая теперь играет роль вещественного
•сечения группы SL B, C)xSLB, С). Легко видеть, что это представление
можно продолжить до голоморфного представления всей группы SL B, С) х
xSLB, С) (такое продолжение единственно согласно упражнению 9.3 при
л = 0). Для этого следует положить
2/
«ели SI-'1*' реализовано в пространстве спин-тензоров ар (ср. C.51)), или
(?></-*>(А„ Лг)Ч>)(ю, ш) = ф(ЛГЧ Лг-%), (9.11)
если S)V> ft» реализовано в пространстве всех комплексных полиномов г|5((о, ш)
от со, о> € С2, однородных степени 2/ по ш и однородных степени 2k по ш
<ср. C.52)). Если ?><Л*>(—Л, — В) = ф(/-ft) (Л, В), т.е. если / + й—целое
число, то можно определить однозначное представление группы L+ (С),
полагая
ЗУА*> (Л (Л„ Ar)) = S)V,»(A,, Лг).
При полуцелом же j-\-k эта формула определяет двузначное представле-
представление 1+(С). _
Поскольку любое комплексное представление V (Л) ^ V (Л, Л) группы
<SLB, С) есть прямая сумма неприводимых представлений, то оно также
однозначно продолжается до голоморфного представления V(А{, Аг) группы
SLB, C)xSLB, С).
Б. Лоренц-ковариантные аналитические функции в трубе прошлого.
Пусть задано некоторое (комплексное) представление V(A) = V(A, А) раз-
размерности г группы SLB, С) и заданы г функций /1} ¦¦¦,!,. комплексных
4-векторов t,lt ..., ?„, причем эти функции аналитичны в трубе прошлого
Т~ и удовлетворяют условию
Х)Ь Л (Л, ^S
при ?=(?!, .... UeTn, A^SLB, С) (9.12а)
или кратко
/ (Л (Л, Л) I) = V (Л, Л) / @ при ? 6 ^п, Л 6 SL B.C). (9.126)
Такое семейство функций /х, ..., /г будем называть аналитической функ-
функцией в Т^, ковариантной относительно L+ (или SLB, С)).
Теорема 9.1 (Баргмана — Холла — Уайтмана). Всякая Ь+-ковариант-
ная аналитическая функция /(?) в Т^ допускает однозначное аналитическое
326
продолжение в так называемую расширенную трубу *)
Та= U AT- (9.13)
A6L+ (С)
и в ней она ковариантна относительно L+ (С):
f (Л (Л„ Л,) Q = V (Л„ Л,) / @ при I e Tn, At, Ar ? SL B, С). (9.14)
Схема доказательства. Положим
/(А*'АЛ(О = У(Л„ Ar)-i/(A(Az> ЛгH.
Л/, Ar?SLB, С). Это—голоморфная функция от ? в области Л(Лг, Лг)~хГй. Если мы
докажем, что для семейства голоморфных функций / (Л/, Лг) выполнены условия согласова-
согласования
fr'v Лг) @=/(А7' Л") @ при ?€Л (Л;, л;) Г„-ПЛ (ЛГ, Л;) 7^ (9.15>
при всех (Лг', Лл) и (Ль Лг) из 5L B, C)xSLB, С), то формула
г)(ОпРн Е€Л(А,, ЛЛ-1ГЙ
является корректным определением продолжения аналитической функции /(g) в расширенную
трубу Тп. Нетрудно видеть, что тогда /(?) удовлетворяет условию ковариантности (9.14). Та-
Таким образом, эта функция является искомым аналитическим продолжением исходной функции /.
Остается доказать выполнение условий согласования (9.15).
Упражнение 9.4. Доказать, что условия согласования (9.15) эквивалентны сле-
следующим редуцированным условиям согласования:
при шëПЛ(Л,. Ar)-iT- (9.16)
и при всех (Л/, Ar)?SLB, C)XSLB, С). (Указание: применить (9.16) при Ai = Aj'Aj~1,
А.г=Л'гА'г~1 и заменить ? на Л (Л/, Ar)g).
Итак, для доказательства теоремы достаточно проверить редуцированные условия со-
согласования. Будем рассматривать р v " (?,) как голоморфную функцию /(?; Л;, Аг) от
вектора ? и переменных Л/, ЛГ) пробегающих открытое множество
2, C)XSLB, С): С€А(А,, А,)^}. (9.17)
Прн ЛГ = Л; = Л f (?, Л, Л) совпадает с исходной функцией /(Q, поэтому если открытое
множество Q связно, ^го согласно упражнению 9.3 / (?, Aj, Ar)^/(S) в 0, что равносильно
редуцированным условиям согласования.
В следующих двух леммах будет доказана связность открытого множества Q и тем
самым будет завершено доказательство теоремы 9.1.
Лемма 9.2. Пусть А есть множество элементов (Аи Ar) ?SL B, C)XSL B, С) таких,
что множество Т^Г\А (At, А,-) Тп непусто; тогда Л является областью [т. е. непустым
связным открытым множеством).
-^ Открытость множества Л очевидна. Обозначим через Лъ связную компоненту мно-
множества Л, содержащую единицу группы SL B, C)X5LB, С); другими словами^ Ло~это
множество элементов из Л, которые можно соединить с единицей непрерывной кривой,
лежащей в Л- Наша задача—доказать, что Лп = Л-
Упражнение 9.5. (а) Введем в группе SL B, C)xSL B, С) отношение эквивалент-
эквивалентности^ (a'i, А'г) ~ (A'i, А"), если существуют ^гакие X, Y?SLB, С), что Al = XA{Y,
k"=XA'rY, т. е. (Aj, A'r) = (X, X) (Al, A'r)(Y, Y). Доказать, что ^если (Аг, А'Г)?,Л (со-
(соответственно (A'i, Аг)^Ло) и (Л;, Лг) — (A'i, Лг). то (A'i, А"г)?Л (соответственно
(Ль АдёМ)-
б) Доказать, что каждый элемент (Лг, ЛгN^B, C)XSL B, С) эквивалентен некото-
некоторому элементу вида (С, 1), причем матрица С имеет одну из следующих трех форм:
!). (9.18а)
C=-(J J). (9.186)
*) Обратим внимание, что расширенная труба не является трубой, т. е. множеством
вида Mn-\-iQ (аналогичную оговорку нужно сделать также в связи с понятием симметри-
зованной трубы, п. 9.1.Г).
32Г
I
(Указание: подобрать матрицы X, С так, чтобы С имела указанную «каноническую форму»]
и]чтобы А[ = ХСХ-1; убедиться, что тогда (Лг, ЛГ) = (Х, X) (С, l)(Y, Y) при Y = X-^
(в) Доказать, что любой элемент (Л;, АГ)?А эквивалентен либо элементу вида (С, 1),
где С имеет вид (9.18а), либо элементу вида (К, К~г), где
„ / ехр ( /2 (ос ~т ф)/ " \ . /л 1п\
Л= X , ,, , . .ои ; (9.19)
V 0 ехР (— /а(а + »Р))/
здесь ос и Р вещественны и 0<Р < я. (Указание: рассмотреть отдельно три возможности из
Части (б) упражнения. Если С имеет вид (9.18а), то можно указать вектор ??Тп, напри-
например, ?р=—(8 0(/=1, .... я) такой, что ;Л(С, 1)~Ч6гп; значит, (С, \)?А- Если С
имэет вид (9.186), то (С, 1) ф А; Для доказательства взять произвольный вектор SG^n. по-
дожить?'=Л (С, I)-1 ? и убедиться, что у}0—yf = — (у/—у*) > 0. Наконец, если С имеет
вид (9.18в), а матрица К выбрана так, что ехр (V2 (ос-f-t'P)) =^ 1^ Л. и 0<|3<я, то (С, 1)~
~ (К, К~г); поэтому достаточно показать, что элемент (К, /С) принадлежит А в точ-
точности тогда, когда 0<|3 < я. Для этого следует вычислить матрицу Л (К, К*1)'
cos Р 0 0 i sin Px
О choc -isha 0 \
О i sli a ch ос О I
. i sin p 0 0 cos P /
Если здесь cos]P = —1, то для произвольного вектора ??ГЙ вектор ?' = Л(/С, /С)?
обладает свойством у)" = — у) > 0 (/= 1, ..., п),_и потому Z,' (? Т„ и (К, К~г) Ф А. Если
же cos В Ф—1, то требуется доказать, что (К, K-1)fA; Для этого взять вектор ??7^
вида ?/=— (ia, О, О, Ь), где а > 0, 6 sin p < acosp, и убедиться, что у вектора ?' =
= Л(/С /С)? мнимая часть дается равенством г// =—(a cos P —b sin Р, О, О, О
(/=1, ..., я); отсюда следует, что (К, К'^^А-)
Упражнение 9.5 сводит доказательство леммы к рассмотрению следующих двух
ситуаций.
Во-первых, для элемента С (9.18а) требуется доказать, что элемент (С, 1) при-
принадлежит Ао, т. е. может быть соединен с единицей непрерывной кривой, лежащей в Л.
Для этого зафиксируем вектор ?€^п с компонентами ^= — '8^,0 (/=1« •••• п) и положим
Тогда Л (С @, 1) ?/ = ( — «, xl#t, —1/it, 0), так что Л (С @, l)^7^1- Значит, (С(/),1)
есть непрерывная кривая в ^, соединяющая (С, 1) с единицей. _
Во-вторых, для элемента К вида (9.19) нужно показать, что элемент {К, /С) при-
принадлежит Аи- Определим
K(t)=[
^ о
Согласно упражнению 9.5 (в) элементы (K(t), К (О^ лежат в <^ и> значит, они опреде-
определяют непрерывную кривую в „?, соединяющую (К, К'1) с единицей. >
Лемма 9.3. Множество Q (9.17) связно.
¦^ Поскольку множество точек из Q, у которых Л;=ЛГ=1, очевидно, является связ-
связным, то достаточно доказать, что произвольную точку (?; Лг, Лг) из Q можно соединить
непрерывной кривой, лежащей в Q, с некоторой точкой вида (?', 1, 1), где ?'?Тй; дру-
другими словами, можно построить непрерывную кривую (?,((); At(t), Лг@)€6 @<<<1)
такую, что ?@)=С. Лг@)=Лг, ЛГ(О)=ЛГ и Лг A) =ЛГ A) = 1, S(l)g^n- Воспользуемся
леммой 9.2, которая позволяет построить непрерывную кривую (Лг (t), Лг @) в SL B, С)Х
XSLB, С), обладающую тем свойством, что для любого t?[0, 1] существует вектор
*Х')€^п"ПЛ(Лг(О. Л./-^)) ^п"- Из непрерывности Ai(t) и Лг (<) по t следует, что для
каждого < имзется относительно открытый интервал*) If в [0, 1], содержащий точку t и
такой, что A(Aj(s), Ar (s)) z (t) ^Г„~ при sg/j. По классической лемме Бореля из покры-
покрытия {It} интервала [0, 1] можно выбрать конечное подпокрытие. Таким образом, существует
конечный набор интервалов [а0, ba), (ab bj), ..., (а^, бдг], содержащихся в интервале
[0, 1] ]и покрлвающих его, и существует конечный набор точек г@>, ..., г(ЛГ)ё^п таких,
что Л(Лг(<), Ar(t)) zw?Tn при t?[ak, bk]. За счет уменьшения этих интервалов, а также
*) Это означает пересечение открытого интервала в R с отрезком [0, 1].
328
за счет уменьшения их числа N и подходящей нумерации мы мо жсм добиться того, что
ak<bk-i< ak+1< bh при k=l, ..., N- 1.
Положим теперь
+ ,, Р
-i~ak bk-1 — ak
й) при
~ ak + i
Нетрудно видеть, что ?(/) есть непрерывная кривая в Тп, обладающая свойством
M0)?@€^/i ПРИ всех 0<^<'- Отсюда следует, что (?(*); Лг (/), Лг (/)) можно вы-
выбрать в качестве требуемой кривой в Q. >
Применяя теорему 9.1 к функциям Уайтмана
*".i.MBi, ....z^wfc^'^-z,, .. ..z^-zj, (9.21)
получаем следствие.
Следств ие 9.4. Функции Уайтмана (9.21) аналитичны по перемен-
переменным г„ ..., г„ в расширенной трубе
,*-„= U Л^„- (9.22)
ASL+ (С)
и удовлетворяют условию ковариантности относительно группы SL{2, C)x
xSLB, С) (или L+(C)):
2 V\% (ЛГ \ Л;1)...У?»>„ (ЛГ\ Лг1) хю^у/.Ц (Л(Л„ Лг) zlt ...
т,...ш„
..., Л (Л„ Лг) гп) = а;^: лУ (zlt ..., zB;. (9.23)
Упражнение 9.6. Пусть поля q>(Kl), ..., ф(*п> преобразуются по соответствующим
неприводимым представлениям ЗУ'1' fel), • • •, ®(/"'1' *"' группы SL B, С) и пусть
J = /!+...+/„• (9-24)
Доказать, что тогда
(' 2/()' ••, г„) (9.25)
при zgjrn. (Указание: положить Лг = —1, Лг=1 в условии ковариантности (9.23).)
В следующих двух упражнениях теорема 9.1 применяется к двухточечным функциям.
Упражнение 9.7. (а) Доказать, что образ трубы Т{~ при отображении ?—*-/ = ?я
есть разрезанная плоскость C\R+ = С\[0, оо).
(б) Доказать для расширенной трубы 7\ формулу
(9-26)
i и убедиться, что подмножества ?2 = const являются орбитами группы L+ (С) в Гх. (Указа-
i ние: если ? и ?' —пара точек из СЛ/ и ?2=?'2 ^ 0, то ?' = ЛA, В)? при B=(>t)i'-)
, (в) Доказать, что всякая аналитическая L^-икрариантная функция / (?) в Т\ предста-
представим а в виде
! где h (t)~ аналитическая функция от t в разрезанной плоскости C\R+. (Указание: вое*
! пользоваться теоремой 9.1 и предыдущими частями упражнения.)
! Упражнение Я. (а) Пусть / (?)— лорекц-ковариантная аналитическая функция
I от ?,?Тг, преобразующаяся по представлению То> 0)®Х<к' 0> группы SL B, С); ее можно
! рассматривать как полиномиальную функцию f (g, со, w) от дополнительных спинорных пе-
f ременных со, w?C2, причем она однородна степени 2/ по со и однородна степени 2k по ш,
| а условие ковариантности записывается в виде
г/(Л(Лг, Лг)?; Лгсо, Л;Ш) = /(?, со, w); Ah Ar^SLB, С). (9.27)
(Здесь мы использовали аналитическое продолжение условия ковариантности на комплекс-,
нме преобразования Лоренца.) Доказать, что f (г, со, w) имеет вид
/(г.-со, ю) = в,»(ш8ю)»/А(р),
где А@ — аналитическая функция от t?C\R+- (Указание: вначале использовать условие
ковариантности (9.27) при Л;=1 и доказать, что / (?, и, w) зависит от ? только как функ->
ция от ?г; далее использовать условие ковариантности нри Лг=1.)
329
{б) Пусть /(?, со, со)— лоренц-ковариантная аналитическая функция от ?g7T, нреоб-5
разующаяся по представлению ЗУ-/' *>; она представлена в виде однородного полинома сте- j
пени 2/ по cog С2 и однородного полинома степени 2k по со. Доказать, что / (?, со, со) имеет]
вид
/ (?, со, Ц = 8Jk (mfco)V h (?*) = (9.28а) >
3)) (9,286)
где ft (t) и g (<) — аналитические функции от t?C\R+. (Указание: для доказательства
<9.28а) ввести функцию
F(Z, со, w) = ( wZs-1-^-) /(?, со, со)
¦и воспользоваться частью (а) упражнения; при доказательстве (9.286) воспользоваться тож-
тождеством
(«о д6ш)У ? (?2) = (й&в)»/ g<n) (?2)-)
В. Вещественные точки расширенной трубы. Из определения труб Т*
очевидно, что они не содержат ни одной вещественной точки. Поэтому осо-
особенно интересно, что расширенная труба Тп при всех л содержит вещест-
вещественные точки. В частности, отсюда следует, что функции Уайтмана аД,
которые определялись первоначально как обобщенные функции, суть не
только предельные значения голоморфных функций (в трубе оГй), но и сами
являются аналитическими функциями в некоторой вещественной области
изменения пространственно-временных переменных.
Для случая двухточечных функций этот результат очевиден из форму-
формулы (9.26) для 7\, которая показывает, что вещественные точки в Тг—это
в точности все пространственноподобные точки в М-
Описание вещественных точек расширенной трубы Т„ дается следую-
следующим предложением.
Предложение 9.5 (Йоста). Для того чтобы вещественная точка
(?i> • • •» ?J € Л*" принадлежала расширенной трубе Тп, необходимо и доста-
достаточно, чтобы при любом выборе неотрицательных чисел Xj, не равных одно-
одновременно нулю, вектор
Р = 2 Щ (9.29)
/= 1
был пространственноподобным.
^ Необходимость. По условию (?ь ..., |„) = (Л?ь ...,Л?„), где
n- Тогда р = Лг, где г= 2 М>/€7Т• Таким образом, р есть веществен-
/= 1
ная точка расширенной трубы Т-± и, согласно сделанному выше замечанию, р есть прост-
ранственноподобный вектор.
п
Достаточность. Пусть К есть множество векторов вида р= 2 ^/*7> где V==">
/ = i
п
2 I; > 0, а вектор дсу (/ = 1 п) пробегает достаточно малую окрестность Qj точки |у.
/ = 1
Упражнение 9.9. Доказать, что определенный выше конус К при достаточно ма-
малых окрестностях Qj точек ?у является открытым выпуклым конусом в М, состоящим из
пространственноподобных векторов. (Указание: вектор р в (9.29) непрерывно зависит от Я/,
( " )
рр р ( р р () рр
( "
j, поэтому для любой точки X из множества /=-{А,= (Х1) ..., Хп): Ху^О, 2 fy=
a i = l )
'существует окрестность Ф(^> точки X в / и окрестности 0/ точек gy в М такие, что век-
п
тор 2 Ф]х] пространственноподобен при ц^фа>, xj^Q^. По лемме Бореля из системы
окрестностей <5(^> можно выбрать конечную подсистему, покрывающую компакт /. Тогда в
качестве искомых Qj можно выбрать Л 6/ ', где X нумерует окрестности <?<*¦> указанной
выше конечной подсистемы.) ' . .
33,0.
Итак, можно считать, что К есть острый выпуклый конус в М, состоящий из прост-
ранственноподобных векторов и, значит, не пересекающийся с конусом V+. Существует
простая геометрическая теорема об отделимости ([Ш5], с. 85), которая применительно к
нашему случаю утверждает, что конусы К и V+ можно строго разделить гиперплоскостью,
т. е. существует вектор а?М такой, что
ах > 0 при x?V+, ар < 0 при pg/C.
Аналогичным образом можно разделить конусы —К и V+; следовательно, существует век-
вектор Ь?М такой, что
Ьх > 0 при x?V+, 6р > 0 при
Очевидно, векторы а и Ь неколлинеарны, положительны времениподобны или изо-
изотропны, поэтому можно выбрать лоренцеву систем}' координат так, чтобы
а = аA, 0, 0, и), 6 = РA, 0, 0, — v),
где а, Р, и, v — положительные числа, причем u<: I, к< 1. Из условий ар < 0 и 6р > О
при р?/( теперь следует | р° | < р3 при р?К- В частности, мы получили
\$\<$ ПРИ /=1. •••• п.
Выберем комплексный лоренцев поворот A?L+ (С) в плоскости @, 3):
0 0 0 —С
а_1 0 10 0
Л-' 0 0 1 0
к-1 0 0
Тогда Л|у = (—ig/, |/, |/, —ifj)QTi, откуда следует (Agi, ..., Л|„)^Г^, и, значит,
(Ь. ••-. 1п)?Т„. ^
Применим полученный результат к функциям Уайтмана. Вещественные
точки расширенной трубы <?Г'п называются точками Йоста; множество их
мы обозначим через ^„:
fn = ^nOM". (9.30)
Точки Йоста образуют непустое открытое подмножество в Мп, содержащееся
в области голоморфности функции Уайтмана a;('<«---*tn)(z1, ..., г„).
Упражнение 9.10. Доказать, что точка (х1г ..., хп)?Мп является точкой Йоста
в точности тогда, когда
при всех вещественных Xi, .-., %п, удовлетворяющих условиям
хотя бы одно из чисел %г + ... -\-%k отлично от нуля.
Введем еще одно родственное понятие: точка (х1у ...,х„)?Мп назы-
называется вполне пространственноподобной точкой, если х}—xk есть простран-
ственноподобный вектор при всех / Ф k.
Упражнение 9.11. Доказать, что точки Йоста являются вполне пространственно-
подобными точками. (Указание: воспользоваться предыдущим упражнением.)
Результат, сформулированный в упражнении 9.11, позволяет получать
соотношения между различными функциями Уайтмана.
Упражнение 9.12. (а) Доказать, что при нормальной связи спина со статистикой
имеет место следующее соотношение между аналитическими функциями Уайтмана в $~„:
шE<«---и'»(г„, ...,г1) = (-1)/;'/2ш(к'---и«>(г1, •••, г„), (9.31)
где F есть число полей с полуцелым спином, фигурирующих в каждой части этой фор-.
мулы. (Указание: равенство выполняется в точках Йоста, где используется локальность
полей; учесть также, что w=0 при F нечетном и (—l)F<F-'>/2 = (—\)FI2 при F четном.)
(б) Доказать, что при нормальной связи спина со статистикой имеет место соотноще-.
ние
() fJm(*i *n>(Xi, .... х„); (9.32)
331
здесь предполагается, что поля ф(х'\ ..., ф1*"' преобразуются по соответствующим неприво-
неприводимым представлениям 2)(/l> kl), ..., Ъ{-'п'кп) группы SL B, С); J и F имеют тот же
смысл, что и в формулах (9.24), (9.31). (Указанна: из упражнения 9.6 и части (а) настоя-
настоящего упражнения следует:
ш(Ип...*,)(__гп -z1) = (-lfJ+F/2w^---»"\zu ...,г„) (9.33)
при (zi, ..., г„)?<#*„; ограничиться здесь точками (гь ..., г^)?<?Гп и перейти к гранич-
граничным значениям г/у—>-0 в конусе (г/у—z/y+i) ? V~; при этом ((—г/y+i) — (—г/у)) также
лежит в V~.)
У п ражнение 9.13. Предполагая нормальную связь спина со статистикой, доказать
соотношение между двухточечными функциями уайтмановского поля ф"*' (х) и его эрмитово
сопряженного поля фМ (х) ^а (ф<и> (*))*:
<0 | ф<*> (х) Ф(*> (г/) | 0> = <0 | фМ (*) ф<*> (у) | 0>. (9.34)
(Указание: воспользоваться упражнением 9.12F) и тем, что двухточечная функция зависит
от х, у только через разность х—г/.)
Г. Аналитичность функций Уайтмана в симметризованной трубе.
Теорема 9.1 позволила аналитически продолжить функции Уайтмана
w^(zlt ..., г„) из трубы <?Гп в расширенную трубу Wп. Теперь мы пока-
покажем, что локальность полей позволяет аналитически продолжить функции
Уайтмана в так называемую симметризованную трубу
= U я<Г„; (9.35)
s
здесь Sn—группа перестановок индексов 1, ..., п, которая действует на
точки (гь ..., zn) ? СМ" посредством
Для простоты формулировок всюду в этом пункте мы будем предполагать
нормальную связь спина со статистикой. Для этого случая мы введем по-
понятие фермионной четности перестановки п:
¦ , eF(n)=Jl'sgn(nj — m), (9.37)
где Произведение JJ' осуществляется лишь по парам индексов i, j (i < /)
таких, что ф(иг' и ф<и/> —фермионные поля (таким образом, в определении
¦гР (я) фигурирует фиксированный моном ф<и'> (xj. .. ф<*»> (хп) из полей).
Заметим, что числа ер (я) образуют представление группы 5„ (т. е. имеют место соот-
соотношения ер (кг) ер (я2) = ер (Я1Я2) для всех Яь n2?Sn) только в том случае, когда все поля
¦рассматриваемого монома являются либо бозонными, либо фермионными. Дело в том, что
Ър (я) зависит не только, от я, но и от разбиения индексов {1, ..., п} на две части — бо-
зонную и фермионную. В общем случае для произведения ер (ях) ер (я2) имеется модифици-
модифицированная формула.
Упражнение 9.14. При т, я^5„ введем
где произведение JJ" осуществляется по парам индексов i, j (i < j) таких, что ф(их(о' и
ф *(/) —фермионные поля (здесь такжэ пргдполагается фиксированным моном ф <Kl> (a;i)...
...ф<и"' (х„)). Доказать соотношения
AI при всех яь n2?Sn. (9.38)
Упражнение 9.15. Доказать, что при нормальной связи спина со статистикой
выполнено соотношение
w (хли ..., х„п) = ер (я) w (хи ..., хп)
bo всех точках Йоста (хъ ..., хп)'?3п.
Теорема 9.6. В теории Уайтмлна с нормальной связью спина со ста-
статистикой функции Уайтмана w(zlt ..., zn) допускают однозначное анали-
332
тическое продолжение в симметри зованную трубу <^~„ и удовлетворяют
там перестановочному условию *)
w(zni, ..., znn) = eF(n)w(zu ..., 2П), яб5„. (9.39)
Схема доказательства. Ход рассуждений таков же, как и при доказательстве
теоремы 9.1. Пусть поле <pl J> преобразуется по представлению Vj (Л) = Vj (Л, Л) группы
SLB, С); положим
К'1 «> (А,. А,) = Ki (Л„ Л,) ® ... ® Va (А„ А,).'
При Ji?Sn, Л/, A,.?SLB,C) введем голоморфную функцию от г?я Л (Aj, Л,.)^7"":
;(V \; я) (z)==e/? (я) v(«x -я») (Л/> Аг) J*™... *„„) (я_1д (Л{) Дг) 2)_
Теорема будет доказана, если мы убедимся в выполнении условий согласования (для всех
5„, л;, л;, л';, a;?SLB, с)):
К: «•) B) = /А* Лг"; я,) при 2 е
Упражнение 9.16. Доказать, что условия согласования эквивалентны редуциро-
редуцированным условиям согласования (для всех ftgSn, Лг, Ar?SLB, С)):
/(лг-лг; я)B)==ш(«.."'«п)(г) при zg^nnACA,, ЛГ)-»«^п. (9.40)
(Указание: см. упражнение 9.4; воспользоваться также формулой (9.38).)
Для доказательства редуцированных условий согласования (9.40) будем рассматри-
рассматривать р l' r' ' (z) как голоморфную функцию /(Я) (г; Л^, ЛГ) от вектора г?$~п и от ма-
матриц hi, Ar?SL B, С), определенную на открытом множестве
0<я>={(г; Ah Ar)?<g-nXSLB, C)xSLB, С): z?KA(Ah A^)^;}. (9.41)
В следующих трех леммах будет доказана связность (и непустота) открытых множеств
0<я> ц то, что при любом я?5„ равенство
/<я>(г; Лг, Л,)=аф) (9-42)
выполнено в окрестности некоторой точки (г; Л;, ЛГ)^й<л>- В силу теоремы единственно-
единственности для голоморфных функций этим завершается проверка редуцированных условий со-
согласования и, значит, доказательство теоремы.
Лемма 9.7. Пусть ,/?<"> есть множество элементов {At, Ar) ?SL B, С) XSL B, С)
таких, что пересечение S~n1f\nA(Ai, Ar)~xS"n непусто; тогда -А(л) является непустым
связным открытым множеством (т. е. областью).
¦^ Для случая, когда л, есть в—единичный элемент группы 5„, лемма 9.7 была до-
доказана ранее (см. лемму 9.2). Обозначим через я0 следующую перестановку: яо(/) = я — /+1.
Тогда </?(я°' содержит элемент (—1, 1) и 1/?(Яо> = (—1, 1).^(е); значит, этот случай сво-
сводится к предыдущему. Остается рассмотреть случай, когда яре, я Ф я0.
Упражнение 9.17. (а) Доказать, что если (А^, Л^)~(Л?, А"Г\ (в смысле упраж-
упражнения 9.5) и (A;,A;Nc/Z<to. то (AJ, А"Г)?Л(К>.
(б) Пусть (Лг, Аг) ~ (С, 1), где С имеет вид (9.18а). Доказать, что (Лг, ЛГ)^^(Я> только
при п = е. (Указание: пусть z?$~~, тогда величина tfj—у3. возрастает с ростом /; при
преобразовании z—j-z'=A(C, I) z имеем z'.°—z'.3= z°.—z^; заключить отсюда,
что у^-ц^—Ух-ш) возрастает с ростом / только при я = е.)
(в) Пусть (Л,, Аг) ~ (С, 1), где С имеет вид (9.186). Доказать, что (Лг, АГ)?Л™
только при я = я0. (Указание: воспользоваться тем, что Л^ = (—1, \)Л{е)-)
(г) Пусть прв, я ф я0. Доказать, что каждый элемент (Л;, Аг)^^<я' эквивалентен
элементу вида (К, К~х), где К дастся формулой (9.19), а вещественно и 0 < [5 < я. (Ука-
(Указание: воспользоваться упражнением 9.5. Случаи (Л/, Ar) ~ (С, 1), где С дается либо фор-
формулой (9.18а), либо формулой (9.186), исключаются. Остается случай, когда (Л^, Лг) ~
~ (К, /С), где К дается формулой (9.19) с a?R, 0<р<я, а Л (К, К'1) дается форму-
формулой (9.20). Рассуждая, как в частях (б) и (в) настоящего упражнения, мы исключаем слу-
случаи [5 = 0 и Р = я, ибо при р = 0 Л (К, К'1) оставляет инвариантными нулевые компоненты
векторов zj, априР = я Л (К, /С) меняет знак нулевых компонент векторов Zj. Нако-
Наконец, при 0 < р < я существует точка г?оТЙГ)яЛ (/(, К'1)'1 S~n\ достаточно взять Zj =
= (iuj, 0, 0, bj), где aj и bj вещественны, а,- возрастает с ростогл /, aj cos p + by sin f5
возрастает с ростом я/.)
*) В случае бозонных полей перестановочное свойство выражает симметрию функций
Уайтмана относительно перестановок аргументов и индексов полей. Обратим внимание, что
в (9.39) подразумевается перестановка как аргументов, так и индексов функций Уайтмана.
333
Из упражнения 9.17(г) следует, что множество ^<я> есть непустое открытое множество
и произвольный элемент (Лг, Аг)?Л(Х) эквивалентен элементу вида (К, К'1) с a(?R,
О < Р < л. Таким образом, если &С есть совокупность всех указанных элементов вида
(К, К'1) (с a?R, 0 < |3 < я), то произвольный элемент (Л;, Лг)€^<я) можно соединить
непрерывной кривой в Л(Я) с некоторым элементом из Ж, а так как SK', очевидно, само
является связным подмножеством в АтК то этим доказывается связность ^(Я>. >
Лемма 9.8. Множество @(я) является областью.
•^ Как и в предыдущей лемме, случай я = е или я = я0 тривиален (сводится к лемме 9.3).
Поэтому можно считать пфе, пфп0. Фиксируем некоторый элемент К вида (9.19), где
&?R, 0 < р < п. Согласно упражнению 9.17 (К, К~г)^АШ). Очевидно, множество точек
из C(Я), у которых Ai = K, Ar = K~1, является (непустым) пересечением двух выпуклых
конусов и потому связно. Поэтому достаточно доказать, что произвольную точку из Q(m
можно соединить непрерывной кривой, лежащей в 0(Я), с некоторой точкой (z; К, К*1),
где z?$~n [)кЛ (К, К~1)~1<^~п- Дальнейший ход рассуждений почти дословно повторяет
доказательство леммы 9.3, и мы его опускаем. ^
Лемма 9.9. Для любого n?Sn равенство (9.42) имеет место на некотором непустом
открытом подмножестве в @(я).
¦^ Фиксируем вещественную точку г области л^~п, полагая
/¦у = @, 0, 0, by),
где Ь]—вещественные числа, которые возрастают с ростом я/. Точка г входит в область
аналитичности функции гр (я) от я1'" лп> (n~1z) вместе с некоторой комплексной окрестно-
окрестностью. Кроме того, точка г вполне пространственноподобна, поэтому из условия локальности сле-
следует, что (обобщенная) функция Уайтмана ву'^1'""™'(х) совпадаете в/?(я) ш^Ия1"'<я™ (л-1а:)
в некоторой вещественной окрестности точки г и, значит, она также аналитически продол-
(уг у/ \
Используя ковариантность функций Уайтмана относительно комплексных преобразований
Лоренца, мы можем записать полученный результат в виде
&F(K)Vinl лп)(^1, Л/.)ау(*я1""я")(я-1Л(ЛьЛг)г) = 1и<и'--и"> (z) (9.43)
при 2^5?. (Л^, АГ)^Ч1, где 5? — некоторая комплексная окрестность точки г, а % — неко-
некоторая комплексная окрестность единичного элемента в SL B, C)xSLB, С). Поскольку ра-
равенство (9.43) — это то же самое, что равенство (9.42), то лемма будет доказана, если мы
убедимся, что множество 91X11 имеет непустое пересечение с множеством @<я>. Для этого
достаточно показать, что в Q<n> имеются элементы (г; Лг, Аг), сколь угодно близкие
к (г, 1, 1). С этой целью положим Zj = Zj (е) = (шу-, 0, 0, bj), Лг = Л,. (в) = /С, Ars=Ar(e) =
= /С~1, где aj = JBa, а УС есть матрица вида (9.19) при а —0, |3 = е. Нетрудно видеть, что
при достаточно малых положительных в (г; Л/, Л,.)?C(го (ср. указание к упражнению
9.17(г)). Кроме того, (г; Л;, Аг)—»¦(/•; 1, 1) при е—>--J-0. Отсюда следует, что пересече-
пересечение множеств ЙХ'К и 0<я) непусто. >
Из теоремы 9.6 вытекает важное следствие (Швингер, 1958). Поставим
в соответствие каждой точке х = (х1, ..., х4)^(х, х*)?Е = R* точку х' С СМ
по правилу
х' = (/х4, дг) (9.44),
и назовем евклидовыми точками в СМ" точки вида
BЬ ..., zn) = (xi ..., х'п), (9.45)
где Xi, ..., хп?Е. Если х}-фхи при всех \фк, то такая точка будет на-
называться неисключительной евклидовой точкой.
Предложение 9.10. Симметризованная труба <?Г% (в которой ана-
литичны функции Уайтмана ш'*1 *n)(zi> •••, zn)) содержит все неисклю-
неисключительные евклидовы точки.
¦^ Рассмотрим вначале простейшую ситуацию, когда все величины х) (/=1, . . . , п)<
различны. Пусть л — перестановка из Sn такая, что х\ возрастает с ростом я/. Тогда, очевидно,
имеем (xi, . . . , х'п)?л$~п^с&~п. Обратимся теперь к случаю, когда среди величин х) имеют-
имеются по крайней мере две одинаковые. Без существенного ограничения общности можно полагать,
что
*i<*2<. • -<хп (9.46).
(общий случай получается перестановкой номеров / векторов xj). Рассмотрим конечную сово--
купность векторов в R3
{Xj—xk: j, *=1 п; x* = xl}.
334
По условию все эти векторы отличны от нуля, поэтому можно найти трехмерный единичный
вектор я,не ортогональный ни одному из них. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда
s есть вектор вдоль третьей оси; тогда имеем: х\—х\фО, если х)=х\. Опять без существенного
ограничения общности можно предположить, что
х? < х\, если / < k и х) = х\ (9.47)
(общий случай получается подходящей перестановкой номеров у в каждой из групп векто-
векторов Xj с одинаковой координатой xf). Рассмотрим комплексное преобразование Л = Лр вида
(9.20) при ос = 0, р > 0. Из (9.46), (9.47) нетрудно заключить, что при достаточно малом E
точка Ap(*i, ..., х'п) принадлежит ?Гп, так что (х'ъ ..., х'п)?$~„c&'S. >
Использованные в доказательстве предложения геометрические аргументы можно при-
применить для доказательства следующего более сильного утверждения, которое нам понадо-
понадобится в § 9.5.
Упражнение 9.18. Доказать, что для любой точки (xi хп)?Еп с х/фхк
при у" ф k существует единичный вектор s?E такой, что
| (s, xj — Xj) 12s с | *,• — *,¦ | при всех i Ф у,
а также существует перестановка я индексов 1, ..., п такая, что
min (s, *j,(i + 1) — xIti)^scmm\xi--xf\; (9.48)
здесь с—положительная константа, зависящая только от п. (Указание: определить функ-
функцию /({'//}(</) от я (я —1)/2 единичных векторов e;j (i < у) в Е посредством равенства
убедиться, что эта функция непрерывна и строго положительна, а так как ее область опре-
определения есть компакт, то /({е,-у}1<;-)^с > 0 для некоторой константы с.)
Д. Глобальная природа локальности. Перестановочное свойство (9.39)
является следствием локальности полей. В действительности это свойство
эквивалентно аксиоме локальности, так что для теоремы 9.6 имеется обратное
утверждение. Для простоты формулировок мы ограничимся случаем одного
скалярного поля ц>(х) (когда перестановочное свойство (9.39) превращается
в условие симметрии относительно перестановок аргументов).
Предложение 9.11. Рассмотрим теорию скалярного поля ф(л;),
удовлетворяющего всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением ак-
аксиомы локальности W.VI, и пусть все функции Уайтмана ш[п1(гь . . ., zn)
аналитически продолжаются в симметризованную трубу <$~п и симметричны
по Zi, . . ., zn. Тогда выполнена и аксиома локальности (в данном случае аксиома
локальной коммутативности).
¦^ Покажем, что при вещественных значениях аргументов функции Уайтмана удовлетво-
удовлетворяют условию
цфь .... хк, хк+1, ..., хп) = а)(хъ ..., xk+u xk, ..., х„) (9.49)
при (Xk — Xk+iJ < 0 (k=l, 2, ..., л—1). По условию имеем
w(zi, .... 2ft, гк+1 zn)=w{zu .... zk+i, zk, ..., г„) (9.50)
в области ^"S. В частности, это равенство имеет место, если Zj — Zj+i?T- при j Ф k, a
(9.51)
есть вещественный пространственноподобный вектор. Действительно, такие точки (zi, ...,zn)
лежат в расширенной трубе ?Гп, и достаточно проверить это для случая, когда
Xk — **+i = @, 0, 0, а),
где а<0. Для этого выберем комплексное преобразование Лоренца Л^Лр в виде (9.20) при
а=0, р>0; нетрудно убедиться, что при достаточно малом Р Apz^c^T, откуда следует zgjfn
(аналогичным образом с использованием р<0 доказывается, что г?пс0Гп, где я: A, . . . , k,
fe+1, ...)->- A, . . . , k-\-\, k, . . . , ft)). Предполагая выполненным условие (9.51), перейдем
в равенстве (9.50) к пределу (в смысле обобщенных функций по хг, . . . , хп в области (хк—
—**+iJ<0) при Im(z/—z/+1)->0 в конусе Im(zy—z/+i)gK-, где ]фк. Тогда правая и
левая части равенства (9.50) будут иметь соответствующими пределами правую и левую части
доказываемого равенства (9.49).
Этот факт нуждается в пояснении. Рассмотрим, скажем,
w (xlt .... xk, xk+u ..., хп) = W (gj, .... |ft |n_i)
335
как обобщенную функцию от переменных %u = xk — xk+i (^='> •••> л—1). Мы знаем, что
И-7 (§!, ..., §n-i) является преобразованием Фурье обобщенной функции с носителем в ко-
конусе (l/-)X("~ J) (см. формулы (8.34), (8.36)), поэтому она есть граничное значение (в смысле
обобщенных функций) аналитической функции W (?ь ..., En-i) при Im Еу—э-0, Im?y-?F
(/=1 ft—1) (см. теорему 8.5, которая сама является частным случаем теоремы Б.7).
Однако, как видно из доказательства теоремы Б.7, совершенно несущественно, в каком'по
рядке осуществляется предел Im ?,-—*¦ 0 в конусе Im Е/€У~ (или даже в конусе 1тЕ/6У~).
/=1 л—1. Поэтому в рассматриваемой ситуации можно перейти сначала к пределу
Im ?ft—j-0 (в конусе Im^Gl7". ПРИ этом ImE/Gl7" с / Ф k остаются неизменными). По
скольку нас интересует область ?| < о, то (как было сказано выше) при этом мы пока не
уходим из области аналитичности функции W (?х, ..., ?n_i). Переходя затем к пределу
Im?y—j-0 в конусе lm?,j?V~ (/ Ф к), мы получаем требуемое соотношение:
wax,..., и !„_!)=
im E .-> o, im t,-ev~
1Фк
lim IP (?i. •••- Е*-1. 5*. E*+i, •••> E»-i). (9-52)
o, im t,-ev~
Аналогичным образом обстоит дело с правыми частями формул (9.49), (9.50):
Im ? .-»0, imt-e
1Фк
k
lim (Ei. ••-. ?ft-i + Eft,-E*. Eft + Eft+i. ¦¦•. En-i)- (9-53)
0 itV
Этим завершается доказательство условия (9.49). >
Аргументация, использованная в предложении 9.11, применима и для
доказательства результата о глобальной природе локальности (который также
сформулирован ниже применительно к случаю одного скалярного поля).
Предварительно сделаем пояснительное замечание. Мы уже говорили о том,
что постулат локальной коммутативности является одним из самых ограни-
ограничительных принципов квантовой теории поля. Могло бы возникнуть сомнение
относительно экспериментальной обоснованности этого постулата: мы не
имеем особых оснований считать, что измерение компоненты эрмитова поля
в некоторой точке не влияет на значение компонент этого поля в другой точке,
отстоящей от первой на сколь угодно малый пространственноподобный ин-
интервал. Оказывается, однако, что можно доказать свойство локальной ком-
коммутативности, если сделать на первый взгляд более слабое допущение, что
поля коммутируют лишь при достаточно больших пространственных разде-
разделениях. Отсюда следует, что если в нелокальной теории справедливы осталь-
остальные требования релятивистской квантовой теории, то, грубо говоря, комму-
коммутатор полей должен быть всюду отличным от нуля. Поэтому неудивительно,
что попытки ввести «нелокальность в малом» требуют одновременного отказа
и от каких-либо других требований формализма Уайтмана, например от «пе-
«перенормируемости» (т.е. от условия, что w[nl(pi, . . ., рп) — обобщенные
функции умеренного роста).
Предложение 9.12. Пусть в теории скалярного поля ц>(х) выпол-
выполнены все аксиомы Уайтмана, за возможным исключением локальности, вместо
которой постулируется более слабое (на первый взгляд) условие Гф(х), ф(г/)]=О,
когда х и у изменяются в некоторых (произвольно малых) пространственно-
подобно разделенных областях. Тогда для поля ц>(х) выполнено также и ус-
условие локальности (точнее, локальной коммутативности).
•^ В силу трансляционной ковариантности полей мы можем считать, что равенство
х), ф (г/)] = 0 имеет место, когда х— у изменяется в некоторой области QcM простран-
ственноподобн ых векторов. Таким образом, мы исходим из условий
w(xlt ..., xk,"xk+1, ..., х„) = ш(хг, ..., xk+1, xk, ..., х„) (9.54)
при Xfc — Xfc+1(ZQ (ft=l, ..., n—1). Требуется доказать, что равенство (9.54) справедливо
при всех пространственноподобных х^ — *a+i. Рассмотрим две функции Уайтмана
W(Zi Zft, Zk + 1, ..., 2„), W(ZU •-., Zk + 1, Zk, ..., 2„). (9.55)
При доказательстве предложения 9.11 мы видели, что точки (zlt..., zn) принадлежат
аГ'вЛя<#"п. если lm'(Zj — z/+i)?V- при j Ф k к Zk — Zk+i — ?k есть вещественный иро-
странственноподобный вектор; следовательно, такие точки г входят в область аналитичности
336
обеих функций (9.55). Перепишем равенство (9.54) в терминах разностей %j = xj
№(ii. •••» lk-ъ 1ь 5*+i. •••. in-i) = W(|ь .... lft-i+lft, —lk,lk + h+i> ¦••> ln-iV
(9.56)
nPH ife€0> И будем подразумевать, что это равенство сглаживается с произвольной основ-
основной функцией по переменной 5-j из б/) (@). Тогда по остальным переменным |у (/ ф k) обе
части (9.56) являются граничными значениями функций, аналитических в трубе Im^-gV"
(j Ф k) (см. (9.52) и (9.53)). Из теоремы единственности Б. 10 следует, что и сами функции,,
стоящие в правых частях равенств (9.52), (9.53), должны совпадать (по крайней мере при
lk?6)- Тем самым мы доказали, что функции (9.55) совпадают, если Im (zy— zj+i)?V~
при / Ф k и Zfe — z/;+i= gft?f). Но так как сбе функции (9.55) аналитичны в <0~ппя^~п>
то отсюда следует их совпадение в связной компоненте множества ^"„П^л. содержащего
точки z с Im (zj — Zj+1)? V~ при / Ф k и z^ —Zfe+i?C. В частности, функции (9.55) сов-
совпадают при всех г таких, что Im(zy —Z/ + i)?y- при j Ф k к z^ — z^+x — вещественный
пространственноподобный вектор. Далее остается воспользоваться аргументацией, исполь-
использованной в доказательстве предложения 9.11, и заключить, что равенство (9.54) имеет
место при (% — *? + iJ < 0. >
Без ущерба для общности в условии предложения 9.12 можно было предполагать, что
[ф (*), Ф Ш = 0 при -1\ < {х-у)* < /2 (9.57)
(где /j</ — некоторые положительные числа), поскольку (9.57) непосредственно вытекает из
условия предложения 9.12 и пуанкаре-ковариантности полей. В работах Владимирова ([В9],
п.29.6; см. также более раннюю работу (I960)) и Петрины A961) доказан такой результат. Из
трансляционной ковариантности, из спектральности и из условия (9.57) следует обычная ло-
локальная коммутативность: [ф(*), ф(г/)]=О при (х—#J<0. Этот результат наиболее сильный,
так как он не предполагает ковариантности относительно группы Лоренца *) L^ и следует из
теоремы о С-выпуклых оболочках из теории функций нескольких комплексных переменных,
доказанной Владимировым в упомянутых выше работах.
Замечание. Предложение 9.11 подсказывает следующий подход к (возможно) «не-
ренормируемым» квантовополевым теориям. Представим себе теорию (для определенности,
одного скалярного эрмитова поля ф), в которой требование, что поле ф(х) есть операторная
обобщенная функция над пространством (ff{M), заменяется более слабым требованием: поле
в импульсном пространстве ц>{р) есть операторное распределение над пространством <?)(№).
Все аксиомы Уайтмана, за исключением локальности, легко переносятся на такую теорию. Так,,
в терминах функций Уайтмана условие w.l (п. 8.3.А) заменяется теперь условием w[n](pv . ¦ .
¦ ¦ ¦ . Рп)?!%)'(Мп); аналогично в терминах xdni(plt . . . , р„) переписываются другие харак-
характеристические свойства w.2—w.6 функций Уайтмана. Соответствующая теорема реконструкции
доставляет квантовое поле ф как операторное распределение ср (р) над ?D{M) в импульсном
пространстве. Однако в такой теории еще нет аналога аксиомы локальности (поскольку еще не
введено ^-пространство). Чтобы обеспечить переход к координатному пространству и иметь
возможность постулировать более или менее обычную локальность (без какой-либо «нелокаль-
«нелокальности в малом»), мы введем следующее понятие. Будем говорить, что квантовополевая модель
допускает предэкспоненциальный рост (в р-пространстве), если распределения W[ni (qlt . . .
• • • > Qn-i)?.&)'(Mn~v) допускают рост более медленный, чем любая ехр(е|^|) (где 1^1 — евкли-
евклидова норма вектора q^s(qx, . ¦., (/„-O^jW"); более точно, это означает, что при любом е>0
есть обобщенная функция умеренного роста (т. е. принадлежит $" (М"'1)). Учитывая
свойство спектральности, получаем
[ch (e| g DJ-iW'f"] (^x, ..., qn-i)€<&" ОИ"-1!^4")"-1) при любом е > 0.
Гп-\ \
Нетрудно проверить, что ^"-функции [ch (е|^ |)]ехр( ^ Pj4j) (при любом T]^(V~)"~l
f п-\ \
и некотором е = е(т]) > 0) и [ch (e|q'|)]-1expi — ^ P]Aj ) (ПРИ любом е > 0 и некотором
\ /=i J
х\ = х\ (e)g(V~)"-:L) являются мультипликаторами в пространстве ?р' (М"'1 \ (V+)n~1).
Поэтому условие предэкспоненциальности роста означает
fn~x
ехр 2
при всех у\^(х\ъ ..., f\n-i)^(V~)n~1. Согласно п. Б.1 это эквивалентно тому, что распре-
распределения РИ (</ь ..., qn-.i) и ш1 (pi, ..., рп) имеют преобразования Лапласа Wln] (Sx. ••>
•••. Zn-i) и ffiJtnI(zi г„), аналитичные соответственно в трубах Tn-i (8.41) и S~7i (8.43).
*) Следы лоренц-ковариантности остаются лишь в условии спектральности.
337
Теперь мы можем сформулировать условие локальности в теории предэкспоненциального
•роста: требуется, чтобы (при любом п=\, 2, . . .) функции Уайтмана tat"] (zlt ..., zn) до-
допускали аналитическое продолжение в симметризованные трубы $"% и были симметричны по
гх, . . . , г„.
Возможна и другая, эквивалентная, формулировка локальности в таких теориях: посту-
постулируется существование обобщенных граничных значений
арЧ(хи .... хп)= lira го™ fa, ..., г„)
в ?D'{6n)< гДе Qn есть множество всех вполне пространственноподобных точек из Мп, причем
эти обобщенные граничные значения симметричны относительно перестановок аргументов.
Эквивалентность двух определений локальности вытекает из следующих соображений.
Согласно результату Рюэля A959) (см. [И5], теорема на с. 127) вполне пространственноподобные
точки из Мп содержатся в оболочке голоморфности симметризованной трубы ^~п, поэтому из
условия локальности в первом смысле следует локальность во втором смысле. Обратно, пусть
выполнена локальность во втором смысле. Согласно модифицированной теореме Стритера
.A962а) (см. [И5], теорема на с. 138) отсюда (даже без предположения о лоренц-ковариантности
полей) следует, что функции Уайтмана ву1п! (zx, . . . , zn) аналитически продолжаются в рас-
ширенные трубы ?Гп. В силу симметрии граничных значений в классе S)'(Qn) семейства функ-
ций {wlni (zm, . . . , Znn)} (где я пробегает перестановки индексов 1 п) образуют, вооб-
вообще говоря, многозначные аналитические функции в симметризованных трубах <ЦГп > а посколь-
,ку $~п — односвязные области (Томозава, 19636), то выполнено условие локальности и в пер-
первом смысле.
Как мы видели в предложении 9.11, сформулированное выше условие локальности (в пер-
,вом смысле) переходит в обычное условие локальности в моделях уайтмановского типа (которые
.«ренормируемы» по определению, т. е. в них ш~"] (ръ . . . , р„) — обобщенные функции уме-
умеренного роста). Поэтому все уайтмановские поля составляют частный случай локальных моде-
.лей предэкспоненциального роста (в ^-пространстве).
9.2. ГСЯ-ТЕОРЕМА
А. ГСР-инвариантность. В § 8.4 мы рассмотрели дискретные симметрии
Р, С, Т для свободных полей. В этом случае можно определить ТСР-оператор 0
как антиунитарный оператор, равный произведению операций Т, С и Р в
пространстве векторов состояний
e=U\(It)U.U[(Is). (9.58)
Исходя из определенного закона преобразования полей при Т-, С- и Р-пре-
образовании, нетрудно найти условия на функции Уайтмана для того, чтобы
теория была Т-, С-, Р- или TCP-инвариантна. Замечательный результат
теории Уайтмана состоит в том, что хотя каждая из симметрии Т, С или Р на-
накладывает некие новые ограничения на функции Уайтмана, симметрия отно-
.сительно их произведения TCP является следствием основных требований
локальной квантовой теории поля и не накладывает никаких новых ограни-
ограничений. Поэтому можно представить себе теорию, в которой существует TCP-
симметрия, но которая не инвариантна *) в отдельности относительно 7\ С
и Р. (Более того, как показывают экспериментальные данные, такая ситуа-
ситуация имеет место в действительности, если учитывать все типы взаимодействий
элементарных частиц; см. по этому поводу, например, Ли, 1966, 1967, Ар-
Арбузов и Филиппов, 1966, Окунь, 1966; в монографии ГКИ можно найти
ссылки на более ранние оригинальные работы.) В этом случае определение
оператора в как произведения операторов t/(/<), Uc, U(IS) следует рассмат-
рассматривать лишь как наводящее соображение при построении оператора в.
Другая интересная черта TCP -теоремы заключается в том, что она пред-
предписывает некоторый универсальный закон преобразования полей при TCP-
преобразовании **). Как известно, априори допускается свобода в такого
*) Как и в случае внутренних симметрии (см. § 11.3), термин «неинвариантность» может
.означать, что либо не существует требуемой симметрии полевой алгебры, либо такая симметрия
не реализуема (анти)унитарно.
**) При этом предполагается нормальная связь спина со статистикой. (В противном слу-
случае в законе ГСР-преобразования полей, преобразующихся по неприводимым представлениям
группы SLB, С), появились бы дополнительные множители ±1, как это следует из формул
преобразования Клейна в § 9.3.)
;338
рода преобразовании (которая сводится, скажем, к вариации фазовых множи-
множителей в законе преобразования полей, преобразующихся по неприводимым
представлениям группы Лоренца). Теория Уайтмана в принципе также до-
допускает отклонение от упомянутого универсального закона преобразования
полей, однако такая свобода имеет место лишь при наличии подходящей внут-
внутренней симметрии полевой алгебры.
Проиллюстрируем сказанное на примере свободного дираковского поля.
В этом случае для оператора в имеем (согласно упражнению 8.30)
х) в-1 = тг^ф* (- х) = T]Y6Y4 (- х), g
в = т] у5/г|) (— х),
где л —тЬт1етЬ СП4 —О- Группа калибровочных преобразований позволяет
выбрать фазу г\ в (9.59) равной единице (если т)^=1, то можно переопре-
переопределить в, вводя новый оператор в', равный произведению в и оператора
соответствующего калибровочного преобразования). Рассмотрим двухкомпо*
нентный формализм
в представлении, в котором матрица уъ диагональна (см. дополнение Д);
тогда формулы (9.59) (при т]=1) приводятся к виду
(9.60)
Именно такой закон преобразования спиноров со спином 1/2 выбирается
в ТСР-теореме.
Чтобы уяснить закон преобразования произвольных спин-тензорных,
полей при TCP-операции, рассмотрим спин-тензорные поля, составленные-
из свободных спинорных полей, например поле
^f(x)=:g(x)#>^(;c) Г1)(х)>>(х)(«)(х):.
Pi---Pn Pi Р/г
здесь мы ввели конечный набор свободных дираковских полей a|)a), г|5B), ...
для того, чтобы получить поля ф с произвольным числом пунктирных и
непунктирных индексов (различные дираковские поля взаимно антикомму-
тируют). Очевидно, под действием собственной группы Лоренца (или
SL B, С)) поле ф (х) преобразуется по тензорному произведению т экземпля-
экземпляров представления 2D(V*. °> и п экземпляров 2)@' 1/г). Исходя из закона
преобразования (9.60) для дираковских спиноров и учитывая антикоммута-
антикоммутативность спинорных полей под знаком нормального произведения, нетрудно,
убедиться, что
вфа: • • -af (х) в = е (— 1)-»»фа* • • -af (— х);
Pi- • -Эг, Pl---Pn
где е—четность перестановки A, 2, ..., т + п)-^(т-\- п, ..., 2, 1):
(—1)(«+л)/2| если т + п четно,
8 s ' i)(m+«-i)/2( если т + п нечетно.
Таким образом,
вфа;- • -аТ (х) в-1 = (— l)ffliVr ' '"? (— *)*. (9-61>
где F — фермионное число поля ф (т. е. F=0 или 1 в соответствии с тем, четна
или нечетно т+п).
33»
Формула (9.61) и есть универсальный закон преобразования полей в \«
TCP-теореме (мы видим, что он выбран так, как если бы все поля были со-
составлены из дираковских спиноров).
Сформулируем теперь ГСР-теорему.
Теорема 9.13 (TCP-теорема). В теории Уайтмана с нормальной
связью спина со статистикой существует (и единствен) антиунитарный
оператор в, называемый TCP-оператором, оставляющий вакуумный вектор
\Р0 инвариантным и действующий по формуле
вф<"-> (х) в-1 = (— l)V(>(x\w>(_x)* (9.62а)
или, эквивалентно*),
VW)(—l,l)((>iw{—x))* (9.626)
на поле, преобразующееся по неприводимому представлению S)v> *' группы
SLB, С); здесь Яи)—спинорное число поля ф(и):
0. если j-i-k—целое число,
¦ ¦ \ и (9-63)
1, если \-\-k—полу целое число,
^ Для существования оператора 0 с требуемыми свойствами необходимо и достаточно,
чтобы функции Уайтмана удовлетворяли соотношению
ш<*«-••*¦>(-*„, .... -*!) = (-^(-«yW'---*"'^!, •¦-.*„); (9-64)
здесь J ='h~\ +/«; F = F^1'>Jr ... +F(Xn). Приведенное ниже схематическое доказа-
доказательство этого критерия является модификацией стандартного рассуждения, использованного
в дополнении к теореме ГНС (см. предложение 1.30), применительно к случаю антиунитарно
реализованной симметрии.
Необходимость условия (9.64) устанавливается применением вакуумного среднего
к оператору 0ф(И[' (х±).. .ф(Ип> (хп) 0-1 и использованием условий (9.62) (а также инвари-
инвариантностью вакуума относительно антиунитарного оператора G). Для доказательства доста-
достаточности произвольному моному А вида (8.8) сопоставим моном А', получающийся из А
заменой <р}к) (*)—>(— lJHFW)^(—x), f(x)-^JJx). Тогда из (9.64) следует
откуда очевидно существование антиунитарного оператора 0 такого, что вЛ*Р0 = A'~V0.
Чтобы завершить доказательство теоремы, остается убедиться в справедливости соотно-
соотношений (9.64); ранее же (см. упражнение 9.12 (б)) было отмечено, что эти соотношения
являются следствием аксиом Уайтмана. >
Упражнение 9.19. Доказать, что оператор в связан с представлением U (а, А)
спинорной группы Пуанкаре 5ро соотношениями: 0?/ (а, А) &~1=1/ (— а, А), в2=1/ @, —Г).
Упражнение 9.20. Пусть А есть элемент $* (Q) вида (8.8) и пусть/ пробегает все
<ЦР(М"). Доказать, что замыкание множества векторов вида А*Фе получается из замыкания
множества векторов вида AW,, применением ГСР-оператора 0. (Указание: воспользоваться
TCP -теоремой и упражнением 8.3.)
Б. Слабая локальность. Доказательство ГСР-теоремы основывалось на
соотношениях (9.64), которые в свою очередь выводились из соотношений
<01 ф<*«> (*„)... ф<*>> (Xl) 10> = ^<01 ф{*> (х,)... Ф(и«) (хп) 10>, (9.65)
где (х1г . . ., хп) — произвольная точка Йоста, F—число полей с полуцелым
спином в наборе ф*^', ..., ф<*»>) (см. упражнение 9.12). Соотношения (9.65)
слабее, чем требования локальности полей; они называются условием слабой
локальности полей. Таким образом, справедлива следующая модификация
TCP-теоремы, принадлежащая Йосту A957).
Теорема 9.14 (модифицированная TCP-теорема). В квантовой теории
поля, в которой выполнены все аксиомы Уайтмана, за возможным исключением
локальности, условие слабой локальности эквивалентно существованию TCP-
*) В такой записи формула применима к бозе- и ферми-полям, преобразующимся по
произвольным (возможно, приводимым) конечномерным представлениям Ии> группы
SL B, С).
340
оператора в, удовлетворяющего соотношениям (9.62) и оставляющего вакуум-
вакуумный вектор инвариантным.
На следующем примере нетрудно убедиться, что условие слабой локаль-
локальности действительно слабее требования локальности. Пусть ф(х) — свободное
скалярное эрмитово поле массы т
Ф (х) = \ (а* (р) е'Рх + а (р) e~<r*) (dp)m,
где, однако, операторные обобщенные функции а (р) и а* (р) удовлетворяют
вместо перестановочных соотношений (8.65) антикоммутационным соотно-
соотношениям:
Ир), a(q)]+ = 0, [а(р), a*(q)]+=2<o{p)Bn)'8{p-q).
Тогпя поле ф(х) не локально; не только коммутатор, но и антикоммутатор
[ф (*). ф (У)] + = ?>A) (х—у) = S 2лб (р*—т*) eiP <*-,> ^4р
отличен от нуля для пространственноподобных интервалов х—у. Тем не менее,
очевидно, существует антиунитарный оператор в со свойствами
в-^фНх), в«=1.
Следовательно, согласно теореме 9.14 функции Уайтмана удовлетворяют ус-
условию слабой локальной коммутативности (т. е. слабой локальности приме-
применительно к полям с целым спином).
Упражнение 9.21. Проверить непосредственно, что условие слабой локальной ком-
коммутативности выполнено для рассматриваемой модели. (Указание: для функций Уайтмана име-
имеется разложение по спариваниям типа (8.120) для дираковского поля; убедиться далее, что
WM(x—y) — WM(y—x) = 0 при (х—уJ<0;
воспользоваться тем, что всякая нечетная лоренц-инвариантная функция в М исчезает при
пространственноподобном аргументе.)
В. Классы Борхерса; понятие локального составного поля. Модифициро-
Модифицированная TCP-теорема нашла интересное применение при изучении классов
локальных между собой полей (Борхерс, 1960), которое позволило по-новому
подойти к проблеме определения локального составного поля. Грубо говоря,
неприводимость полей (доказанная в п. 8.2.В) означает, что всякий линейный
оператор в Ж является функционалом от полей, и, таким образом, общее
понятие функционала полей становится тривиальным; поэтому более интерес-
интересным является понятие локального функционала. Дело в том, что квантовые
поля не существуют в отдельно взятой точке, и наивное определение, скажем,
квадрата Ф2(х) скалярного поля ц>(х) лишено смысла. Общее определение
локального составного поля таково. Пусть ф={ф(и)}хбК — система уайт-
мановских квантовых полей, для определенности, с нормальной связью спина
со статистикой. Пусть ip={ip<T'}T6r—другая система тензорных или спин-
тензорных операторных обобщенных функций, действующих в том же про-
пространстве. Будем говорить, что поля гр(Т) являются локальными составными
полями относительно базисных полей ф, если расширенная совокупность
полей, полученная присоединением полей гр<Т) к исходной системе полей ф,
снова удовлетворяет аксиомам Уайтмана W.I—W.VIII (с прежней областью
определения D).
Для того чтобы это определение было оправданным, важно убедиться,
что если гр' — поле, также являющееся локальным составным полем из полей
Ф, то поля гр и гр' взаимно локальны и, значит, совокупность полей, получен-
полученная присоединением полей гр и гр' к исходной системе полей ф, также удовле-
удовлетворяет аксиомам Уайтмана. Это свойство (см. ниже предложение 9.17) на-
называют транзитивностью условия локальности (Борхерс, 1962). Любая со-
совокупность локальных функционалов системы полей ф, содержащая эту ис-
341
ходную систему ср, называется борхерсовским расширением системы полей (р..
Совокупность всех локальных составных полей для данной системы полей q>
называют классом Борхерса полей ср. Таким образом, класс Борхерса — это
максимальное расширение системы полей ф, которое удовлетворяет Bcei*
аксиомам Уайтмана (и такое максимальное расширение единственно).
Примеры локального составного поля доставляют полиномы Вика свободного поля
(п.8.4.А). Эпштейн A963) доказал более сильное утверждение: полиномы Вика исчерпывают
класс Борхерса свободного поля. (В этой связи см. также результат Баумана, 1982.)
Обратимся теперь к выводу результата Борхерса о транзитивности свой-
свойства локальности, а также слабой локальности.
Предложение 9.15. Пусть ср={срш} — система квантовых по-
полей, удовлетворяющих всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением
локальности, вместо которой постулируется слабая локальность. Пусть
гр (х) — другое квантовое поле такое, что объединенная совокупность полей
{ф"°} и {гр} удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, за возможным исклю-
исключением локальности. Предположим, что соотношения вида
<01 Ф<*.> (Xl) ... Ф(и*) (xk) у (х) <p(**+i) (хк+1)... Ф(*«) (хп) | 0> =
= V<01 Ф(к«) (хп) ... фСл+i) (хк+1) 1> (х) Ф(**) (xk) ... Ф(*> (Xl) 10> (9.66)
выполняются во всех точках Йоста (хх, ..., х, ..., хп)?311+1 (при всех
п—1, 2, ... и при любых типах х1( ..., х„ полей); здесь F-—число спи-
норных полей в мономе Ф(К1> . . . ф(Хп)г|з. Тогда у полей ф и г|э имеется общий
TCP-оператор в, поэтому г|з (х) слабо локально, а поля ц>м (х) и гр (х) взаимно
слабо локальны *).
¦^ Из соотношения (9.66) следует равенство в Мп+1:
<0 | Ф(к«) (х„) ... ф^+J (*ft+1) гр (х) Ф(н*) (xk) ... ф<к-> (Х1) | 0> =
= (-l)iJ(-i)F<O\<p^)(-x1)...y(-x)...<pi*")(-xn)\ 0> (9.67)
(см. аргументацию в упражнении 9.12). Пусть в есть ГСР-оператор для поля ф и пусть
Ф = J Ф(х») (хк) ... ф-' (jci) ffa xk) d*xt ... d*xM | 0>,
.. Ф(н») (-*„) g (дсй + х, ..., xn) d*xk+1 ... d*xa I 0>;
такие векторы Ф (или Ч?) образуют тотальное множество в гильбертовом пространстве ffl. Ра-
Равенство (9.67) теперь записывается в виде
или, с учетом антиунитарности в:
= (— 1)V (— t)Pw> <?, ^(—л;)*6Ф>.
Значит, в является ГСР-оператором и для поля г|з:
(а:) в-!= (— \)
В силу модифицированной ГСР-теоремы отсюда следует слабая локальность поля г|) и вза-
взаимная слабая локальность полей ф и \|з. >
Следствие 9.16. Свойство взаимной слабой локальности транзи-
тивно в следующем смысле. Пусть ф={ф<ю} — система слабо локальных
полей (удовлетворяющая всем аксиомам Уайтмана, кроме, может быть, ло-
локальности; в частности, для ф предполагается цикличность вакуума); кроме
того, пусть в Ж определены квантовые поля ipll) и грB), каждое из которых
удовлетворяет условиям предложения 9.14 и, значит, взаимно слабо локально
с полем ф. Тогда поля г|>A) и г|зB) взаимно слабо локальны.
Действительно, в силу предложения 9.15 поля ф, -ф<1> и -ф<2' имеют общий ГСР-оператор
и, значит (согласно модифицированной ГСР-теореме), все они взаимно слабо локальны.
*) Поля ф и 1|з называются взаимно слабо локальными, если вакуумные средние от произ-
произведений любого числа полей ф и полей 1|з удовлетворяют условию слабой локальности.
342
Итак, для данной системы ср слабо локальных полей (удовлетворяющих
всем аксиомам Уайтмана, возможно, кроме локальности) можно образовать
класс всех взаимно слабо локальных полей, включающий ср *). В этот класс
входят все слабо локальные поля гр с общей областью определения и общим
ТСЯ-оператором.
Покажем, что для взаимно локальных полей также имеет место свойство
транзитивности.
Предложение 9.17. Пусть ф={ф(Ю}— уайтмановская система
локальных полей с нормальной связью спина со статистикой и пусть грш и
ч|зB) — пара квантовых полей таких, что объединенная совокупность полей ср,
1jjd)) ,фС2> удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана, за возможным исключением
локальности, вместо которой постулируется, что каждое из полей грA), грB)
взаимно локально с (р:
при (x-yf < О
(знаки ± здесь выбираются в соответствии с правилом (8.13), (8.16) для нор-
нормальной связи спина со статистикой). Тогда поля грш и грB) взаимно локальны:
= 0 при (х—у)*<0, (9.68)
так что объединенная система полей ц>, ipA), грB) удовлетворяет всем аксио-
аксиомам Уайтмана (с нормальной связью спина со статистикой).
¦4 Поля ф, ^Ч', г|з'2> удовлетворяют всем условиям, фигурирующим в следствии предло-
предложения 9.15, поэтому они взаимно слабо локальны. Отсюда и из локальности полей ф и взаимной
локальности каждого из полей г|зA>, г|зB) с ф следует, что в точках Йоста (xlt . . . , х^, у, г,
Xk+i> • • • . хп)?.У'п+2 выполняются соотношения
<0 | ф<к'> (Xl) ... <р(^ (**) ip (у) г|Я> B) ф<х* + 1) (хк + 1) ... <р(И«) (*„) | 0> =
= (_ if/* <0 | ф(Х«) (уп) ... 9(x* + i) (jcft + 1) ^Ч (г) f 1) (j,) ф(КА) (^ ... ф<и.) (Х1) | 0> =
= ± <0 | <p(Xl) (*i) •.. Ф(Иа) (**) ^'2) B)^D ((/) Ф(К*+1) (дсй+1) ... ф(Кп) (хя) | 0>; (9.69)
здесь F — число полей с полуцелым спином в мономах, фигурирующих в этих соотношениях;
знак «±» означает «—», если поля г|зA) и i|^2) с полуцелым спином, и «-J-» в противном
случае.
Упражнение 9.22. Вывести из (9.69) равенство
<0 | ф<*> (дел) ... ф(х*) (xk) W» (у), 1Ц« B)]тф(Х*+1) U*+i) . .. Ф(*п) (дс„) | 0> = 0 (9.70)
при любых Xi, ..., хп?М и (у —гJ < 0. (Указание: сгладить левую часть (9.70) по у, г
с произвольной функцией / (у, г) из Ц) (М2) с носителем в достаточно малой окрестности
точки (а, Ь)?ЛР, где а, Ь — произвольная пара пространственноподобно разделенных точек
из М; полученная обобщенная функция по остальным переменным xit ..., х„ будет гранич-
граничным значением функции, аналитичной в трубе
при /=1, ..., k— 1 и /'= k-\~\, . , п— 1}
воспользоваться далее теоремой единственности Б.10.)
Из (9.70) и цикличности вакуума относительно поля ф следует (9.68). >
Следствие 9.18. Если система полей ф удовлетворяет аксиомам
W.I—W.VIII, а поле гр взаимно локально с ф (с нормальной связью спина со
статистикой), то поле гр само локально. (Достаточно положить грA)=грB)=гр
в предложении 9.15.)
В п. 12.1.В мы приведем еще один замечательный результат Борхерса о совпадении S-мат-
рицы для взаимно локальных полей. Из него, в частности, следует, что в теории поля с нетри-
нетривиальной S-матрицей (т. е. при S=/=l) поля ф и их асимптотические поля 9out не могут быть
взаимно локальными (так что поле ф не может находиться в классе Борхерса свободного поля
in)
*) Заметим, что классы взаимно локальных полей являются классами эквивалентности
в математическом смысле, только если рассматривать поля (или системы полей), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию цикличности вакуума. (Аналогичное замечание нужно сделать и в связи с клас-
классом всех взаимно локальных полей, включающим ф, т. е. с классом Борхерса полей ф.)
343
Замечание. В начале этого пункта было употреблено интуитивное понятие локаль-
локального функционала полей. Для того чтобы локальное составное поле можно было рассматривать
как локальный функционал от базисных полей, должна быть уверенность, что локальное со-
составное поле в сколь угодно малой области QdM в каком-то смысле порождается алгеброй
исходных полей в той же области. Наиболее естественный путь для достижения ситуации, в ко-
которой понятия локального составного поля и локального функционала от полей вполне можно
считать равноправными,— это предположить, что заданной системе полей соответствует сеть
локальных полевых алгебр (фон Неймана) %(G)< удовлетворяющая условию дуальности с кру-
кручением (п.8.2.Б). (В связи с этим возникает проблема, можно ли в ситуации, когда первона-
первоначальная сеть локальных полевых алгебр не удовлетворяет условию дуальности с кручением,
использовать процесс борхеровского расширения для «насыщения» локальных полевых алгебр»
с тем, чтобы новая сеть локальных полевых алгебр удовлетворяла условию дуальности с кру-
кручением.)
9.3. СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ
А. Формулировка результатов. Как отмечалось в п. 8.23, теория Уайт-
мана допускает бозе-ферми-альтернативу: любые два поля срш и ф(К/) либо
коммутируют, либо антикоммутируют при пространственноподобном разде-
разделении аргументов:
Ф(*> (х) Ф(К1Г) (z/) = (— 1)/?<ю^<х')+ю<к.*'>ф<и')(г/)Ф<Х)(*) при (х—г/J < 0; (9.71)
здесь со={со(>с, к')} — симметричная матрица, состоящая из нулей и единиц;
рею — спинорное число поля ц>ж (см. (9.63)). Выше мы нередко делали
упрощающее предположение (аксиома W.VIII): связь спина со статистикой
является нормальной, т. е. матрица со в (9.71) равна нулю. Оказывается,,
справедлив следующий замечательный результат (восходящий к Паули, 1940).
Теорема 9.19 (о связи спина со статистикой). В теории Уайтмана,
где все поля либо только коммутируют, либо только антикоммутируют, при
пространственноподобном разделении аргументов имеет место нормальная
связь спина со статистикой (т. е. матрица со в (9.71) равна нулю).
Вообще же теория Уайтмана допускает аномальные перестановочные
соотношения между различными полями, и теорема 9.19 обобщается на этот
случай нижеследующими леммами 9.21 и 9.23 (из которых она следует как
частный случай). Проведенное исследование показывает, что теория с ано-
аномальными перестановочными соотношениями обладает дополнительной диск-
дискретной группой симметрии, благодаря которой удается переопределить поля
так, чтобы они удовлетворяли нормальным перестановочным соотношениям.
При этом нужно, однако, сделать одно «техническое» предположение: ин-
индекс х, различающий поля, пробегает конечное число значений, скажем,
1, 2, . . ., N. (Как обычно, индекс к соответствует эрмитово сопряженному
полю: ф(й>=ф<*>*.)
Разумеется, вводя производные полей по координатам и определяя различные составные
поля (типа виковских полиномов от свободных полей и их аналогов — составных полей дан-
данного класса Борхерса в общей теории, см. п.9.2.В), число локальных полей в теории Уайтмана
всегда может быть доведено до бесконечности. То, что мы имеем в виду, означает существование
конечного порождающего набора локальных полей. Во всех существующих физических моде-
моделях квантовых полей предположение конечности набора «базисных» полей всегда выполняется.
Сформулируем теперь основной результат о приведении перестановочных
соотношений к нормальному виду.
Теорема 9.20. Системе уайтмановских полей ф(х) (х=1, . . ., N)r
не равных тождественно нулю, можно сопоставить систему взаимно комму-
коммутирующих унитарных операторов Vю (и=1, . . ., N), оставляющих вакуум-
вакуумный вектор инвариантным и обладающих следующими перестановочными
свойствами с полями:
т/тух<> (Х) = (— 1)« <*¦ х'у*'> (Х) V™; (9.72)
здесь а={а(х, к')}—матрица из нулей и единиц такая, что
а (к, и') + а(х', х) = со(х, и') (mod 2). (9.73)
344
'Определим новые поля с помощью так называемого преобразования Клейна:
ср'<*> (х) = iaw- *>VWYK) (x). (9.74)
Тогда поля q/ (х) удовлетворяют всем аксиомам Уайтмана (в том числе усло-
условию эрмитова сопряжения ф'(и)* = ф(и>') и, кроме того, обладают нормальной
связью спина со статистикой.
Мы докажем теорему 9.20 в п. 9.3.Г, изучив предварительно свойства
матрицы «в.
¦В следующем упражнении приведен простейший пример преобразования Клейна.
Упражнение 9.23. Рассмотрим систему полей, состоящую из скалярного поля ф
и дираковского спинора у, причем эти поля взаимно антикоммутируют на .,нистранственно-
подобных интервалах:
[Ф(х), if («/)]+= 0 при (х-уJ<0
¦<вто время как коммутатор [ф(*)> ф(г/)] и антикоммутатор [г|з(л:), <р («/)] + исчезают при
(х—уJ < 0, как и в случае нормальной связи спина со статистикой). Доказать, что преоб-
преобразование Клейна можно определить формулами kty' (*) = <р (*), <р' (х) = О @, —1)ф(х), где
?/@, —1) — оператор валентности.
Б. Необходимые условия для аномальных перестановочных соотноше-
соотношений. Удобно выражать перестановочные свойства полей в терминах полило-
полилокальных мономов X, составленных из полей и имеющих вид
х = фад(Х1)...ф?«>(х„), (975)
причем всюду предполагается, что точка (xlt ..., хп) в (9.75) пробегает
лишь вполне пространственноподобные значения (т. е. (xj—xky < 0 при
\Щ Если X и Y два таких монома, то
= (— \)kYX (9.76)
пространственноподобном разделении аргументов); здесь k есть 0 или 1
в соответствии с формулой
2 > + а>(х, х')) (mod2),
2
и, к'
() есть число вхождения по модулю 2 поля ф<х) в моном X. Пусть
—пространство всех векторов тп=з(тA), ..., т<Л0), компоненты которых
равны нулю или единице. Тогда каждому моному X сопоставляется вектор
т(Х) в $Б по указанному выше правилу:
ш(X) = (тш(X), ..., т^(Х)). (9.77)
В частности, полю ф(и) сопоставляется вектор е(и) = @, ..., 1, ..., 0) (еди-
(единица на и-м месте). Теперь формула для k записывается в виде
), m(Y)) (mod2), (9.78)
(mod 2) (9.79)
co
(m, m')= 2 M(*> x')m<x)m'&"> (mod 2). (9.80)
*
В дальнейшей записи мы будем опускать mod 2, что соответствует трак-
трактовке 33 как векторного пространства над полем Z2 чисел 0 и 1 (сложение
.в Z2 осуществляется по модулю 2, а умножение—по обычной таблице
умножения). Для ИЗ имеют смысл обычные понятия линейной алгебры (нужно
лишь помнить, что единственный ненулевой скаляр равен единице). В част-
частности, набор векторов f1? ..., fft из 33 линейно независим, если сумма
любого непустого поднабора векторов из набора f1( ..., \k не равна нулю.
Ниже мы всюду будем предполагать, что каждое из полей не равно
тождественно нулю. Тогда фундаментальные свойства матрицы со (и, х')
можно выразить следующими ниже леммами 9.21 и 9.23.
345
Лемма 9.21. Всякое поле ф(*> имеет нормальные перестановочные
свойства со своим эрмитово сопряженным полем ф<х>* = ф<*0:
^){у)ч>{К){х) при (х—уу < О,
т. е. для всех % — 1, ..., ./V
а (к, х)=О. (9.81)
¦4 В упражнении 9.13 мы видели, что если поле ф<*> имеет нормальное переста-
перестановочное свойство со своим сопряженным cp(w (т. е. если со (х, х) = 0), то имеет место соот-
соотношение (9.34) (в смысле равенства обобщенных функций в &" (ЛР))- Напротив, если пред-
предположить, что со (х, х) = 1, то действуя так же, как в упражнении 9.13, вместо (9.34) мы
получим
<0 | cpf (х) <pf (у) | 0> + <0 | фр (у) <рГ (х) | 0> = О
(равенство в gf (ЛР)). Сгладим это соотношение с произвольной основной функцией {(х)
по х и комплексно сопряженной функцией по у; получим
<о I (ФГ, /) (<pf, 7) I о>+<о | («рр, /) (ф'Л /) | о>=о,
откуда ф;х) (*) ?(, = 0. Согласно предложению 8.4 отсюда следует ф<и) (х) = 0, что противо-
противоречит нашему соглашению, исключающему поля, тождественно равные нулю. ^
Лемма 9.22. Если два монома X и Y от полей антикомм ути руют
при пространственноподобном разделении (аргументов монома X от аргу-
аргументов монома Y), то либо <0|Х|0> = 0, либо <0|К|0> = 0.
¦^ Пусть а — вектор в М, стремящийся к бесконечности по некоторому пространст-
венноподобному лучу. Будем считать, что аргументы мономов X и Y изменяются в про-
произвольных ограниченных областях; тогда при достаточно больших а мономы X и а<а и00
антикоммутируют, так что
<0 I *«<«, 1) (У) I 0> + <0 | a(e, I, (У) X | 0> = 0.
Согласно кластерному свойству в пределе а—>¦ оо это равенство влечет
|0>^0. >
Лемма 9.23. Любая пара полей ф(Ю, [ср'* имеет тот же тип пере-
перестановочных соотношений, что и пара полей ц><м *, ц>1К'\ т. е.
со(х, х') = «в(х, к') = со(х, к). (9.82)
^ Предположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что со (х, х') -|-со (х, х') = 1.
Тогда мономы
X = ф<>« (Х1)* ф<4' (Х2) И У = ф<*'> (yi)* ф<И'> (у2)
антикоммутируют при (х}- — у^J < 0 (/, k = 1, 2). Тогда в силу леммы 9.22 либо <0 | X \ 0> ^ 0,
либо <0 | У | 0> = 0. Но в силу положительной определенности обобщенных функций <0 | X \ 0>
и <0|F|0> отсюда (как и при доказательстве леммы 9.21) следует, что либо поле ф<*>,
либо ф<и'> равны нулю, а это противоречит нашему соглашению. >
Следствие 9.24. Матрица «в обладает свойствами
со(х, х) = со(х, х) = со(х, х) = 0, (9.83)
и форма со кососимметрична в том смысле, что
со (tn, m) = 0 при всех т € 23- (9.84)
Действительно, (9.83) есть непосредственное следствие лемм 9.21 и 9.23. Теперь (9.84)
следует из того, что в выражении типа (9.80) для co(m, tn) присутствуют лишь недиагональные
слагаемые (сх<х' и с х>х'), которые взаимно сокращаются ввиду симметрии матрицы <¦>
(напомним, что сложение производится по модулю 2).
346
В. Приведение формы <о к каноническому виду. Итак, мы имеем дело
с кососимметрической формой со на 23; возникает естественная проблема при-
приведения ее к каноническому виду.
Назовем подпространство (имеется в виду линейное подпространство)
изотропным, если co(trt, m') = 0 для всех т, т' из этого подпространства.
Лемма 9.25. Совокупность 3={тп(Х)} векторов б 23, соответствую-
соответствующих мономам X с не равными тождественно нулю вакуумными средними
(<0| X | 0>^0), образует изотропное подпространство в 23. ,, ^
¦^ Пусть X и Y—два произвольных монома с ненулевыми вакуумными средними. Так
'Как m (X) + m (Y) = m (XY), то для доказательства линейности множества 5 достаточно
убедиться, что вакуумное среднее монома XY не равно тождественно нулю. Предположим
противное, т. е. что <0|ХК|0>=0, тогда <0 | Хща^ V (Y) | 0> = 0, где а —вектор на неко-
некотором пространственноподобном луче в М. При а -^ оо получаем <0 | X | 0><0 | Y | 0> = 0.
.Полученное противоречие доказывает, что <0 | XY \ 0> ф. 0.
Докажем теперь, что ы(т(Х), ш(К)) = 0. Так как <0|Х|0>^0, то число спинорных
полей в мономе X четно (см. упражнение 8.5), т. е. F (т(Х)) = 0; по той же причине
F (Ш (К)) = 0. Таким образом, предположение от противного, что ы(ш(Х), т(К)) = 1, озна-
означало бы, что мономы X и Y взаимно антикоммутируют при пространственноподобном раз-
разделении аргументов монома X и аргументов монома Y. Но тогда (согласно лемме 9.22) одно
из вакуумных средних <0|Х|0>, <0 | Y \ 0> было бы тождественно равным нулю, что про-
противоречило бы условию.
Мы приходим к выводу, что <a(m(X), m (У)) = 0. >
Как обычно, изотропное подпространство в 23 называется максимальным
изотропным, если оно не содержится строго в другом изотропном подпро-
подпространстве в 23. Нетрудно видеть, что всякое изотропное подпространство в 23
содержится в некотором максимальном изотропном подпространстве в 23. Дей-
Действительно, если данное изотропное подпространство не является максималь-
максимальным изотропным, то оно содержится в изотропном подпространстве большей
размерности, чем данное. Если новое подпространство не является максималь-
максимальным изотропным, то процесс расширения можно продолжить. Поскольку
пространство 23 конечномерно, в результате конечного числа шагов мы по-
получим максимальное изотропное подпространство, содержащее исходное
подпростр анство.
В частности, изотропное подпространство 3 в лемме 9.24 содержится в
некотором максимальном изотропном подпространстве Ш в 23. Отправляясь
¦от такого подпространства Ш1, мы можем привести форму со к каноническому
виду.
Лемма 9.26. Пусть Ш—максимальное изотропное подпространство
в 23. Тогда в 23 существует базис из векторов а1У .. ., ctr, 6^ .. ., Ьг, сг, ..., ts
(где 2г есть ранг со и 2r + s = 2iV) такой, что векторы ах, .... аг, сх, ..., cs
4)б,разуют базис в Ш, и
г;
со(а„ ау) = соF,, 6/) = 0, со (а,, bj) = bu, i, / = 1, •
со(с/( тп) = 0 при всех 1=1, ..., s; m б23.
Таким образом, в этом базисе матрица со имеет клеточную форму
(9.85)
п \
0 I
1 О
\
о
о
¦^ Лемма доказывается стандартными аргументами линейной алгебры; ради полноты
мы воспроизведем их здесь. Если Ш1=58 (т. е. г = 0), то лемма, очевидно, верна. Обра-
Обратимся к случаю 5Ш 5й 93- Тогда в 58 найдется вектор bi $ Ш- Кроме того, в Ш найдется
вектор di такой, что a>(ai, bi)=l (ибо в противном случае линейная оболочка множест-
множества 301 и вектора Ь± была бы изотропным подпространством, что противоречило бы макси-
максимальности Ш1). Далее действуем по индукции. Пусть уже построены векторы di, ..., Ov ? Ш1
347
и bi bv € 23\5Ш такие, что
w(o/, a,-) = u)F,-, bj) = O, a (a,; ly) = 8,-j при i, /=1, . .., v.
Если линейная оболочка множества ЯП и векторов bi, ..., bv есть все 33, то на этом
построение векторов а1г ..., ar, bi. •••, tv завершается. Поэтому предположим, что 91 —
линейная оболочка множества ЯП и векторов bi, . ••, bv — не совпадает с SB- Тогда в $5\SJJ
существует вектор bv+i такой, что
ш(а,-, bv+i) = u)(tv, bv+i) = 0 при t=l, .... v.
Для этого достаточно взять произвольный вектор И ? 58\.9i и положить
v
1^+1=1)— 2 (ш(°'' D)b,- + cu(Cv, и) а,-),
j = i
Далее, в ЯП найдется вектор j такой, что со (j, bv+i)=l (в противном случае линейная
оболочка Sh и вектора bv+i была бы изотропным подпространством, в противоречие с макси-
максимальностью ЯП). Положим
В результате полученную на предыдущем этапе систему си, ..., nv. bi, ..., bv мы расши-
расширили на два вектора dv+i. bv+i- Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока мно-
множество 301 и векторы bi, ..., Ьг не будут натягивать все SB. Остается выбрать векторы
Сь ..., Cs. Для этого дополним систему векторов пи ¦¦¦, аг ^ Ш векторами j1( ..., js ^ 3JJ
до базиса в Щ} и положим
Очевидно, построенная система векторов йь ..., йг, bi, •••. Ьг, Ci, ..., с^ обладает требуе-
требуемыми свойствами.
У n p ажнение 9.24. В обозначениях леммы 9.26 доказать тождество
г
ш(т, m')= 2 (ш(а/> ™)«>(bj> m') + a>(bj, 111H@/, m'))
/ = i
для всех m, tn' G 33- (Указание: произвольный вектор in ? S3 можно разложить по базису
di ar, bi Ьг, Ci, ..., С^; при этом коэффициент при оу- есть co(m, by), а коэффи-
коэффициент при by есть со (щ, ау-)-)
Г. Конструкция преобразования Клейна. Обратимся к доказательству
теоремы 9.20.
¦^ Пусть 3 —подпространство, определенное в лемме 9.24, а ЯП— максимальное изо-
изотропное подпространство в 53, содержащее 3- Согласно лемме 9.26 в 33 можно выбрать две
системы векторов {di, ..., ar} и {bi, ..., br} (где 2л есть ранг со), удовлетворяющие усло-
условию (9.85), причем со (Я/, Ш(Х)) = 0 для всех мономов X с ненулевыми вакуумным»
средними.
Покажем, что в гильбертовом пространстве S% существуют г унитарных оператороа
Vi, ..., Vr, определяющих внутренние симметрии полевой алгебры через
ф(«> (х) —+ (— 1)И ^W ' aJ' ср<к> (х) = Куф<к> (х) VJ1 (9.86)
(/=1, ..., /¦). Для этого произвольному моному X из полей сопоставим моном
М*) = (-1)и(ш(Х)'а/)х (9.87)
(где /=1,..., г фиксировано). Согласно общим сведениям о внутренних симметриях *),
для того чтобы соответствие X—^ (Зу-(X) определяло симметрию полевой алгебры, унитарно
реализованную оператором V/, оставляющим вакуумный вектор инвариантным, необходимо
и достаточно, чтобы
Р/(Х*) = Ру(А)* (9.88)
<0|р/(Л)|0>=<0|Л10> (9.89)
для всех мономов X. Свойство сопряжения (9.88) следует из того, что а>(т(Х*), uj) =
= ш(т(Х), Оу), а это в свою очередь следует из (9.82) (ибо т<х> (Х*) = т~ю (X)). Свой-
*) Подробнее о внутренних симметриях см. п. 10.3.А.
348
ство (9.89) означает что ш(т(Х), а^ 0, если <0 | X \ 0> ф 0; оно имеет есто согласно-
нашему выбору векторов п/.
По построению операторы V/ оставляют вакуумный вектор инвариантным. Нетрудно
убедиться, что они взаимно коммутируют, а их квадраты равны единице. Положим
П У/*'''/) (990)
/ = l
(х=1, ..., N). Тогда из (9.87) следует перестановочное соотношение (9.72), где
г
ct(x, x')=2 ш(е(Ч tiy)co(ew'>, ay). (9.91)
/ = i
Соотношение (9.73) следует из упражнения 9.24.
Введем в рассмотрение новые поля ф'<и) (9.74). Проверку свойства ф'(Ю = ф(к)/ мы
предоставляем читателю в качестве упражнения (при этом используются перестановочное
свойство (9.72) полей ф<х> с операторами Vю, соотношение У<и>* = К(х), а также тот факт,
что согласно лемме 9.23 а>(е(Х), т) = а>(е<к>, m) для всех m ? S3). Новые поля <р'<и> обла-
обладают нормальной связью спина со статистикой. Действительно, пользуясь перестановочными'
свойствами (9.72) полей Vw) с операторами фС-'), мы получаем при (дг— г/J < 0
ф'С<1) (л:)^'^) (y) = (_l) F(*'>F<;<*> + <»(x,, хг) + а(х„х2) + а(и« *,)_'(>««) (^ ф' C-i) до _
= (_1)Р(к1)^)ф'(я2)(г/)ф'(к,)М.
Нетрудно видеть, что все остальные аксиомы Уайтмана также выполнены для полей ф'(к). ^
Проиллюстрируем преобразование Клейна более сложными примерами.
Упражнение 9.25. Пусть для систе?.!ы двух эрмитовых скалярных полей фA) (х)
и фB) (л:) выполнены нормальные коммутаторы
[ф(>»(х), фт'(«/)] = 0 три (х-уJ< 0, у=1, 2,
и аномальное перестановочно соотношение между различными полями
[<р«Цх), уЮ(у)]+=0 при (дт-уJ < 0.
Предположим, что двухточечная функция (О \ фA) (х) ф(г) (у) \ 0> не равна тождеств енно нулю.
Доказать, что преобразование Клейна можно определить посредством ф'Ч)=фA', ф' <21 =
= 1'КфB), где F= 1 (соответственно —1) на векторах, полученных действием на вакуум чет-
четного (соответственно нечетного) числа сглаженных полей <рA) и фB). (Указание: из леммы
9.22 следует, что вакуумные средние мономов, содержащих нечетное число полей фA> и фB),
исчезают, поэтому существует унитарный оператор V с указанными выше свойствами.)
Упражнение 9.26. Пусть ф (х) — эрмитово скалярное поле, а г);11' и г|;B) — спинор-
ные поля. Предположим, что между различными полями одновременно имеют место нор-
Млльные перестановочные соотношения
№1}М- <p(y)] = [t1)(x), ^*>(у)]+ = 0 при (х-уУ<0
и аномальное перестановочное соотношение
]+ = о при (x-«/J<o.
Предположим, что вакуумное среднее <0 | ф (xi) ... ф (хп) \ 0> поля ф некоторого нечетного'
порядка п не равно тождественно нулю. Доказать, что в этом случае преобразование Клейна-
можно определить как преобразование, оставляющее поля гр'1' и я);B) неизменными и заме-
заменяющее ф на ф' = Кф, где V=\ (соответственно —1) на векторах, полученных действием
четного (соответственно нечетного) числа сглаженных полей \f>B) и произвольного числа
полей ф, ф'1). (Указание: по лемме 9.22, примененной к моному X = ф (х{) ... ф (хп) с нечет-
нечетным п и ненулевым вакуумным средним и к произвольному моному Y, содержащему нечет-
нечетное число полей г|I2>, вакуумное среднее <0 | Y \ 0> тождественно равно нулю, откуда сле-
следует существование оператора V с требуемыми свойствами.)
9.4. ОДНОВРЕМЕННЫЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ-
ТЕОРЕМА ХААГА
А. Трехмерный вариант теоремы Хаага. Аксиоматический подход в кван-
квантовой теории поля позволил взглянуть, как отмечалось во введении, с новой,
точки зрения на трудности традиционной канонической (или гамильтоновой)
формулировки релятивистской квантовой теории. Оказалось, что часто ис-
используемое в обычной формулировке квантовополевой теории возмущений
349
так называемое представление взаимодействия, строго говоря, не существует
(теорема Хаага). Отсюда следует, что в квантовой теории взаимодействующих
релятивистских полей с каноническими «одновременными» перестановочными
соотношениями мы всегда имеем дело с представлениями перестановочных
соотношений, унитарно не эквивалентных представлениям для свободных
полей. Исторически этот вывод имел большое значение как один из первых
результатов, предписывающих использование представлений ККС в квантовой
теории поля, не эквивалентных фоковским.
Наиболее существенное предположение в гамильтоновой (или лагранже-
вой) формулировке, которое делается в дополнение к аксиомам Уайтмана,
состоит в том, что определенный смысл приписывается полям в фиксированный
момент времени *). В то время как в п. 8.2.А постулировалось, что сглажен-
сглаженные по всем четырем координатам поля ср (/) имеют смысл (возможно, неогра-
неограниченных) операторов в пространстве векторов состояний Ж, в гамильтоно-
вом подходе мы должны дополнительно потребовать, чтобы поля, сглаженные
лишь по трем пространственным координатам
Ф (h; t) = J Ф(t, x) h(x) d3x ih^tf (Я3)),
имели смысл операторов, определенных вместе со своими сопряженными на
инвариантной области D в Ж. Таким образом, теперь ф (х) рассматривается
как операторная обобщенная функция от х € Я3, зависящая от х° как от
параметра.
Связь между двумя трактовками поля ф (х)— как операторной обобщенной функции
от х и от х — осуществляется формулой
f Ф (х) ft (х) и (х°) d4x= [ ф (ft; /) и (t) dt (9.92)
при всех ft ? of (R3), и ? ?f (/?). При этом достаточно предположить, например, что при
всех ft ? ?f (R3), Ф^В векторная функция ф(й; t) Ф является непрерывной функцией по t,
норма которой ограничена полиномом от \t\.
Мы видели (п.8.2.В), что уайтмановские поля образуют неприводимую
систему операторов в гильбертовом пространстве. Поэтому мы будем пред-
предполагать, что поля ф(К) (х) можно выбрать так, чтобы операторы ц>\т (h; t)
в фиксированный момент времени t также образовывали неприводимую
систему операторов в Ж. В гамильтоновом формализме для этого следует
включить в систему наряду с каждым полем ф (х) сопряженный ему «обоб-
«обобщенный импульс» я. (х) (в случае свободного скалярного нейтрального поля
л (х) есть не что иное, как производная по времени ф (л:) = доц> (х) поля ф (х),
т. е. нулевая компонента векторного поля Зйф(х)). Этого предположения
неприводимости достаточно для наших целей (стандартные канонические пере-
перестановочные соотношения между полями при равных временах в данном
пункте использоваться не будут).
«Картина взаимодействия» в гамильтоновой схеме квантовой теории
поля (см., например, [Bl, B4]) базируется на предположении, что поля ср
ияв фиксированный момент времени t связаны унитарным преобразованием
со свободными полями ф@, и я@). Теорема Хаага показывает, что если к этой
привычной схеме добавить требование релятивистской инвариантности (и
вообще аксиомы Уайтмана), то теория становится тривиальной: поля оказы-
оказываются свободными.
Теорема Хаага естественным образом распадается на две части. В пер-
первой (приспособленной к гамильтонову формализму) предполагается лишь
инвариантность относительно трехмерных евклидовых движений. Эта часть
относится как к релятивистской, так и к нерелятивистской теории. Вторая
*) В лагранжевой теории возмущений поля, фигурирующие в аксиомах Уайтмана, часто
называют гейзенберговыми (или полями «в картине Гейзенберга») — в отличие от свободных по-
полей (или полей «в картине взаимодействия»).
350
часть (приводимая в следующем пункте) основывается на релятивистской
инвариантности и содержит основной результат; при этом существенно ис-
используются следствия из теоремы 9.1 для функций Уайтмана.
Теорема 9.27. Пусть (рт(х) и ц>\(»(х)—две системы полей в соответ-
соответствующих гильбертовых пространствах Ж и Ж{0), причем каждая из систем
неприводима в фиксированный момент времени x° — t (здесь подразумевается
существование полей при фиксированном времени). Предположим, что в Ж
и Жш реализованы унитарные представления U (a, R) и Um (a, R) группы
Е+ C) собственных евклидовых движений трехмерного пространства, при.
которых поля ц>т и (р\$ преобразуются ковариантно:
U(a, R)(ffi)(x)U(a, ^)-1 = 2т^)(^~1)Фт>(<. Rx+a),
™ (9.93)
*Ло)(а. #) ФдаЛ (*) ^ (а, я)-1 = 7-— ~- " «- ¦ -
где TW)(R)—матричное представление группы трехмерных вращений*).
Если поля ф<Х) (х) и ф%> (х) связаны в некоторый момент времени x" = t уни-
унитарным преобразованием
ф«>(/, x)^V<p{$(t, x)V~\ (9.94>
то представления U и Uo группы Е+ C) унитарно эквивалентны:
U(a, R) = VUloi(a, R)V~K (9.95)
Если предположить еще, что в Ж{0) существует единственный (с точностью'
до фазы) нормированный вектор Ww 0, инвариантный относительно пред-
представления Uim группы Е+ C), то в Ж также существует единственный
(с точностью до фазы) нормированный вектор
4a=VY{0H, (9.96>
инвариантный относительно представления U группы Е+ C).
•^ Из (9.93) и (9.94) следует, что оператор V~XU (a, R)~* VUW) (a, R) коммутирует со
всеми операторами фда' (t, x); вследствие неприводимости полей ф<с?> (jc) в момент времен»
x° = t рассматриваемый оператор кратен единичному, так что
U (a, R) = a>(a, R)VUi0)(a, R)V~1,
где со (a, R) ~ комплексное число. Нетрудно видеть, что со (а, R) задает одномерное (непре-
(непрерывное) представление евклидовой группы Е+ C), следовательно**), со (a, i?)=l. Таким
образом, равенство (9.95) доказано. Заключительное утверждение теоремы с очевидностью-
следует из унитарной эквивалентности представлений U и ?/@). >
Может показаться, что требование единственности состояния, инвариант-
инвариантного относительно трехмерных евклидовых движений, слишком жестко, так
как все состояния с нулевым трехмерным импульсом и нулевым спином (на-
(например, состояние покоящейся бесспиновой частицы) инвариантны отно-
относительно Е+ C). Однако такие «состояния» ненормируемы (они в действи-
действительности являются обобщенными состояниями) и потому исключаются из
рассмотрения.
Упражнение 9.27. Показать, что в теории Уайтмана вакуумный вектор 10>
является единственным (с точностью до множителя) вектором в $%, инвариантным отно-
относительно операторов U (@, а), 1) представления группы трехмерных трансляций /?3. (Ука-
(Указание: требуется доказать, что из V (@, а), 1)Ф = Ф и <Ф | 0> = 0 следует Ф = 0. Так как
Ф= lim ЕеФ, то достаточно считать, что Ф = ?ЁФ при некоторой 8 > 0; здесь ЕЕ — про-
s + 0
ектор на подпространство, где Р°5=8. Чтобы убедиться в равенстве Ф = 0, ввести вектор*
*) Мы допускаем также двузначные представления группы О+C), т. е. представления
группы SUB). Поэтому точнее было бы говорить, что U и 1/@) являются унитарными представ-
представлениями универсальной накрывающей группы ?+C).
**) Нетрудно видеть, что единственным одномерным представлением группы Е+C) яв-
является единичное представление (ср. упражнение 7.8, где сформулирован соответствующий
результат для группы Пуанкаре).
351
ф^=С/(О> Л) Ф, где Л Ф 1 есть чистый лоренцев поворот; тогда носитель преобразования
•Фурье выражения <Ф, U (а, 1) Фл) как функция от переменной а ? М является пустым
множеством, так что <Ф, ФЛ> = 0; с другой стороны, <Ф, Фл>—>-||Фр при Л—И.)
Б. Теорема Хаага в релятивистской теории. Вторая (наиболее существенная)
часть теоремы Хаага касается релятивистской теории поля. Мы приведем
«е в несколько обобщенной формулировке, принадлежащей Холлу и Уайт-
ману. При этом мы ограничимся, для простоты, случаем скалярного нейт-
нейтрального поля.
Теорема 9.28 (обобщенная теорема Хаага). Пусть даны два скаляр-
скалярных нейтральных уайтмановских поля q> и ср@), действующих в соответствую-
соответствующих гильбертовых пространствах Ж и SKW. Предположим, что в каждый
момент времени х° = t поля ср (t, х), ц> (t, х) и поля ср@) (t, х), <р@) (t, х)
(существование которых постулируется) образуют две неприводимые системы
полей в Ж и SKW соответственно. Наконец, предположим, что в момент
времени х° = t эти две системы полей связаны (зависящим от времени)
унитарным преобразованием V = V(t):
q>(f, x) = V(t)<p(m(t, x)V(t)-\ ф(/, x) = V(tLm(t, x)V(t)~K (9.97)
Тогда первые четыре функции Уайтмана соответствующих полейц>(х) и ц>@){х)
в обеих теориях совпадают. Если, кроме того, q>im(x)—свободное поле массы
т^О, то ф(х)—также свободное поле массы т и обе теории совпадают*)
(с точностью до унитарного преобразования V).
¦^ Из (9.94) и (9.96) следует, что функции Уайтмана в обеих теориях совпадают
в момент времени x° = t:
w^(t, леи ...;*, xn) = tJ$(t, Xl; ...; t, х„),
т. е.
H"B](Ei. •••¦ En-i)=^j(Ei. •••• Ъп-i) при EJ= ... =g»_x=0. (9.98
Пусть Sn_! есть множество, состоящее из вещественных точек fa, ..., |n_i) расши-
расширенной трубы Тп_1у которые могут быть переведены собственным преобразованием Лоренца
в плоскость |?=ё2= • • • = in-1 = 0- Из формулы (9.98) и теоремы 9.1 следует, что
¦Ц7М — Wffi на множестве Sn_i. Покажем, что при ж; 4 множество Sn_! содержит не-
непустое открытое подмножество в Мп~х, откуда будет следовать равенство U7t"J=H7^]
в расширенной трубе Тп_ъ а значит, и в М"'1 (поскольку тогда они являются обобщен-
обобщенными граничными "значениями одних и тех же аналитических функций). При « = 2 вещест-
вещественные точки \ расширенной трубы Т1 — это в точности пространственноподобные точки в Ж;
очевидно, они могут быть лоренцевым преобразованием переведены в плоскость |° = 0, так
что Si является областью в М. Обратимся теперь к случаям п = 3 и п — ^. Рассмотрим
¦открытое подмножество точек (|i, ..., \п-х) ^.М"-1 таких, что матрица {—1,-|/} положи-
п-\
тельно определена; значит, все вещественные линейные комбинации 2 ^/5/ векторов
/ = 1
\\, ..., In-i образуют (п—1)-мерную пространственноподобную плоскость. Отсюда видно,
что такие точки (?ь ..., |n_i) являются вещественными точками расширенной трубы.
•С другой стороны, ортогональное дополнение к указанной выше (п—1)-мерной плоскости
содержит времениподобный вектор т). В лоренцевой системе отсчета, в которой ц = 0, мы
таеем |?=... =|S-i = 0, так что (|i, ..., |n_x) g Sn_x.
Итак, совпадение первых четырех функций Уайтмана в обеих теориях доказано. Если
же <Р(О) — свободное поле массы т, то уже из равенства IF[2) = WH) на основании предло-
предложения 8.8 следует, что ф — также свободное поле. ^
Упражнение 9.28. Показать, что при га^5 множество точек x=(xlt . . . , х„),
которые можно привести преобразованием Лоренца на плоскость равных времен ?i=. . .=
= ?°-i=0, уже не образует полной вещественной окрестности в множестве точек Йоста ^„. Убе-
Убедимся, в частности, что при д=5 число независимых скалярных произведений, образованных
из векторов |г, . . . , |4> равно десяти, в то время как число независимых скалярных произве-
произведений из векторов в плоскости равных времен равно девяти.
*) Это заключительное утверждение и составляет содержание оригинальной теоремы
Хаага A955).
В. Истолкование теоремы Хаага. Теорема Хаага означает, что представле-
представления взаимодействия, с которого обычно начинают излагать теорию возмущений,
на самом деле не существует. Другими словами, не существует хорошо опре-
определенного оператора V в пространстве векторов состояний Ж, связывающего
свободное поле со взаимодействующим полем согласно (9.94). В этой ситуации
проанализируем вкратце канонический лагранжев подход в квантовой теории
поля.
Каноническая схема квантования исходит из классического лагранжиана
2', который является функцией от полей <pa(x) и их первых производных:
«Сопряженный импульс» к полю сра в момент времени t определяется фор-
формулой
У
dt
Например, для свободного скалярного поля с лагранжианом
имеем
nit x\— d(p(t' x) ¦
л (г, х)- ff ,
для свободного спинорного поля с лагранжианом
«импульс», сопряженный к полю г|з, есть
Постулируется, что сопряженные поля ц>а и яа (точнее, сглаженные поля
Ф« (/'. 0) являются базисными элементами некоторой алгебры, определяемой
(в случае бозе-полей) каноническими перестановочными соотношениями *)
[<Pa(f, х), Фэ(^, y)] = [na{t, х), np(f, jO] = °.
(9.99)
[Ф„(/, х), яр(/, y)] = i8a^(x— у).
Таким образом, квантовая теория поля формулируется как квантовая меха-
механика системы с бесконечным числом степеней свободы (х и у выступают
здесь как «номер» обобщенной координаты и обобщенного импульса). Удобно
иметь дело также со счетным базисом (вместо континуального). Для этой
цели достаточно ввести полную ортонормированную систему функций hv(x)
(
в трехмерном пространстве \например, функций Эрмита Nve
и определить «координаты» и «импульсы» поля формулами
*(t, x)hv(x)d*x,
(9.100)
a(t, x)hv(x)d3x,
где п—составной дискретный индекс: я=(а, v).
"Упражнение 9.29. Пользуясь ортонормированностью системы функций Av, пока-
показать, что перестановочные соотношения (9.99) в терминах Qn и Рп принимают вид
*) Для ферми-полей коммутаторы заменяются на антикоммутаторы.
12 н. Н. Боголюбов и др. "^53
Далее, мы реализуем абстрактную алгебру элементов Qn и Р„, удовлетво-
удовлетворяющих (9.101), как некоторую алгебру неограниченных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве Ж (в пространстве векторов состояний). В случае
системы с конечным числом степеней свободы любые два неприводимых пред-
представления перестановочных соотношений (9.101), реализованных самосопря-
самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве Ж, унитарно эквива-
эквивалентны (теорема 6.14 фон Неймана). В частности, всегда существует унитарный
оператор V(t2, ti), связывающий операторы Рп и Qn в разные моменты вре-
времени:
(9.102)
Для систем с бесконечным числом степеней свободы это уже не так. Более
того, линейные канонические преобразования (т. е. преобразования перемен-
переменных Р„ и Qn , сохраняющие вид перестановочных соотношений (9.101)), вообще
говоря, не соответствуют преобразованию унитарной эквивалентности (см.
упражнение 7.24).
Среди бесконечного множества неэквивалентных представлений кано-
канонических перестановочных соотношений в теории свободных полей выде-
выделяется фоковское представление (п. 8.4.А) при помощи дополнительного
требования, что в этом представлении имеется единственное нормированное
инвариантное состояние Wo, которое уничтожается под действием положи-
положительно-частотных операторов:
Ф<+'(р)^о = О, (9.103)
т. е. требованием существования вакуума. Фоковское представление опре-
определено однозначно (с точностью до унитарной эквивалентности). Можно было
бы предположить (и неявно это часто предполагается), что в теории взаимо-
взаимодействующих полей можно выделить представление Фока с некоторым физи-
физическим вакуумом, который необходимо сохраняется во времени. На самом
деле теорема Хаага показывает, что это не так, что в любой конечный момент
времени мы должны пользоваться нефоковскими представлениями переста-
перестановочных соотношений (в которых, грубо говоря, в каждом состоянии содер-
содержится «актуальная» бесконечность «голых» частиц).
Несоответствие представления взаимодействия в стандартной теории (с локальным га-
гамильтонианом) и общих требований квантовой теории заключается также и в следующем. Опе-
Оператор сдвига по времени Р° всегда должен обращать в нуль вектор вакуума. Однако если пред-
представить Р° в виде интеграла от локальной функции Гамильтона, соответствующей нетривиаль-
нетривиальному взаимодействию, то это будет не так, в связи с чем в стандартном подходе и говорят о ма-
математическом (или «голом») и физическом вакуумах. Но, согласно теореме Хаага, эти два ва
куума не связаны унитарным преобразованием эквивалентности (обстоятельство, которое, как
и вышеприведенные соображения, иллюстрируется на простых нерелятивистских моделях —
см., например, [В1]). Заметим, однако, что теорема Хаага не исключает существования пред-
представления взаимодействия, если нарушить (как это нередко делается, см., например, [Б81)
трансляционную инвариантность модели введением пространственного обрезания взаимодей-
взаимодействия. Если для обрезанного таким образом гамильтониана существует представление взаимо-
взаимодействия, то мы имеем дело с так называемым локально фоковским представлением канонических
перестановочных соотношений (тогда равенство типа (9.94) имеет место для любой ограничен-
ограниченной области Q значений х — при фиксированном /, однако оператор V, осуществляющий уни-
унитарную эквивалентность, изменяется с изменением области Q, так как он определяется про-
пространственным обрезанием взаимодействия). Такая «локальная» трактовка представления вза-
взаимодействия в обход теоремы Хаага предложена Гененом A966а) и Сигалом A967).
Следует сказать, что наряду с необходимостью учета неэквивалентных
представлений канонических перестановочных соотношений надо иметь в
виду возможность более сингулярного характера самих перестановочных
соотношений. Уже для свободного комплексного векторного поля У^(х) пе-
перестановочные соотношения имеют вид (см. [Б8], § 11.3)
>m(x—y). (9.104)
354
Учитывая, что «импульс», сопряженный к V^(x), есть дУщ/д1, вместо (9.99)
имеем
[ $] \±-у), (9.105)
где А — оператор Лапласа. В принципе коммутатор взаимодействующих
полей может быть настолько сингулярен, что его необходимо сглаживать по
всем четырем координатам и нельзя рассматривать в фиксированный момент
времени как обобщенную операторную функцию от пространственных коор-
координат; в этом случае одновременные КК.С не имеют смысла.
Замечание. Как мы увидим в § 14.2, трудности, связанные с теоремой Хаага, нв
возникают, если вместо представления взаимодействия использовать асимптотическое пред-
представление, т. е. если при конструировании взаимодействующих полей из свободных прирав-
приравнивать их не в конечный момент времени t, а при t=—оо (или +оо). Формулу (9.97) (которая,
как было сказано, некорректна в применении к взаимодействующим полям) тогда заменяет
хорошо определенная формула (см. далее A4.67)). Это, конечно, не исключает появления «рас-
ходимостей» при использовании асимптотического представления в теории возмущений. Тем
не менее при этом может случиться, что все расходимости сводятся только к «ультрафиолетовым»
(связанным с несуществованием в фиксированные моменты времени поля, отвечающего лагран-
лагранжиану взаимодействия, т. е. с несколько иным кругом явлений, чем теорема Хаага, объясняю-
объясняющая «инфракрасные» расходимости).
9.5. ЕВКЛИДОВЫ ФУНКЦИИ ГРИНА
А. Группа вращений четырехмерного евклидова пространства. Мы видели
(п. 9.1.Г), что функции Уайтмана w(zu . . ., zn) аналитичны в неисключитель-
неисключительных евклидовых точках (х'и . . ., х'г,), определяемых формулами (9.44), (9.45)
(где Х/фх-ь., если \ФЩ. Каждый вектор х) имеет вещественную трехмерную
проекцию Xj и чисто мнимую временную координату x'b=ixi. Скалярное про-
произведение пары таких векторов х' и у' отличается лишь знаком от евклидова
скалярного произведения их евклидовых прообразов *) х, у ? Е(=/?4):
-х'у' = (х, у) ^ x»yl ^ 8^V- (9-106)
Таким образом, предложение 9.10 открывает интересную возможность сопо-
сопоставить релятивистской квантовой теории некоторый математический образ,
базирующийся исключительно на четырехмерном евклидовом пространстве Е.
В евклидовой формулировке роль группы Лоренца (соответственно Пуанкаре)
должна играть группа 0D, 7?)=ОD) ортогональных преобразований четы-
четырехмерного евклидова пространства Е (соответственно группа ЕD) движе-
движений Е).
Группа 0D) есть, очевидно, подгруппа («вещественное сечение») группы
0D, С), изоморфной (как отмечалось в п. 9.1.А) группе L(C) комплексных
преобразований Лоренца. Поэтому факты, касающиеся группы 0D), полно-
полностью сопоставимы с тем, что мы имели в п. 9.1.А для группы L(C).
Упражнение 9.30. Доказать, что группа 0D) состоит из двух связных компонент,
причем связная компонента единицы (называемая группой вращений пространства Е) есть
подгруппа 0+D) всех элементов из 0D) с определителем +1.
Очевидно, 0+ D) содержит преобразование —1 (полное отражение Е),
порождающее центр группы. Группа 0+ D) не является односвязной. Она
локально изоморфна односвязной группе SOB)xSUB), которая, таким
образом, является универсальной накрывающей группы 0+ D). Для построе-
построения накрывающего отображения SU B)xSt/B) на 0+ D) сопоставим каждому
вектору х?Е комплексную 2х2-матрицу (или кватернион в матричной
реализации) х по формуле
(iil !';У (9-107)
*) У векторов евклидова пространства мы отождествляем компоненты с верхними и ниж-
нижними индексами.
12* 355
Посредством х* обозначим сопряженный кватернион:
х*(=Рд: = ехте-1)=( *+"
v ' \—x^-^-ix1
здесь Р—трехмерное отражение:
Рх^(— х, х,).
Величина | х \ = (det xI!2 называется нормой кватерниона х.
Упражнение 9.31. Доказать следующие тождества:
xx*=\?\*-i, tr(xy*) = 2(x, у);
(9.108)
СеЛ~
здесь {ех}я=1 * — стандартный базис в Е(?•{ = $ъи);
ный тензор, причем ei234=l.
Теперь накрывающее отображение
SUB)xSUB)B(Ul, U,)-+R(Ut,
можно определить формулой
(R(Ut, Ur)xy = UtxUh
— абсолютный антисимметрич-
антисимметрич(9.109)
(9.110)
Упражнение 9.32. (а) Доказать, что R ((/г, I/,.) g O+ D). (Указание: убедиться,
что преобразование R (Ui, Ur) не меняет нормы векторов; воспользоваться далее связностью
группы SU B) х SU B).)
(б) Доказать, что отображение (9.109) есть локальный ¦ гомеоморфизм. (Указание: убе-
убедиться, что ранг этого отображения в точке Ui=Uг=\ равен шести).
(в) Доказать, что ядро гомоморфизма (9.109) состоит из двух элементов: Ui=Ur = \
и Ul = Ur = ~\.
Из упражнения 9.32 следует, что SUB)xSUB) является универсаль-
универсальной накрывающей для группы О+ D), причем она дважды покрывает О+ D).
Упражнение 9.33. Доказать, что при накрывающем гомоморфизме ]подгруппа
в SU B) х SU B) элементов вида (Ut, Ut) дважды накрывает группу вращений О+ C)
трехмерного пространства (О+ C) рассматривается как подгруппа в О+D) элементов, остав-
оставляющих вектор «4^@, 0, 0, 1) инвариантным).
Изложенная конструкция позволяет в дальнейшем заменить группу
О+ D) группой SUB)xSUB). Неприводимые (комплексные) представления
группы SU B) х SU B) параметризуются парой (/, k) целых или полуцелых
неотрицательных чисел («левым» и «правым» спинами). Такое представление
действует в пространстве спиноров tya'¦ ¦ ¦агг pi' ••p2#j симметричных по
аи . .., a2J- и по Pi, ..., Ргь согласно (9.10) (с заменой At, Ar на U't, Ur):
= 2
Аналогичным образом произвольному конечномерному (комплексному) пред-
представлению V (Л) == V (Л, Л) группы 5L B, С) мы сопоставим представление
V(Uh Ur)—сужение представления V(А1г Аг) группы SLB, C)xSLB, С)
(см. п. 9.1.А) на подгруппу SUB)xSUB). (Эта конструкция носит название
«унитарного трюка» Вейля, см. [Ж1], § 42.)
356
Б. Свойства функций Швингера. Введем прообраз в Е" множества
неисключительных евклидовых точек в СМ":
Е%, = {(xlt ...,*„)€?": xj Ф хк при / ф к)}. (9.112)
Тогда сужение функции Уайтмана w(zu ..., zn) на множество неисклю-
неисключительных евклидовых точек в СМ" определяет некоторую функцию на Ej=,
которую мы назовем функцией Швингера *):
s%:-ЛУ(хг, ...,*„) = wt\;/*»>(xi, ..., х'п); (9.113)
здесь, как и в (9.44), x) = (ix), xj).
Как известно из комплексного анализа, голоморфная функция в ком-
комплексной области полностью восстанавливается, если она известна в вещест-
вещественной окрестности какой-либо точки. Следовательно, функции Швингера
в принципе позволяют восстановить функции Уайтмана и, значит, всю уайт-
мановскую теоретико-полевую модель. Возникает естественная задача —
переформулировать характеристические свойства функций Уайтмана непо-
непосредственно в терминах функций Швингера. Мы сформулируем здесь резуль-
результат Остервальдера и Шрадера в этом направлении.
Наряду с подмножеством ЕпФ в Е" нам понадобятся подмножества
EL-^fteE"-1: l*j<0, / = 1, .... /i-l}, (9
а также
Mn+-1 = {qeM"~1: <7?>0, / = 1, ..., п— 1}. (9.116)
Тогда всякой обобщенной функции T(qlt ..., <7n-i) из <&" (М1~г)^?
^(^"(Ж"1 Л1+) можно сопоставить обобщенную функцию F^, ..., En-i)
из &" (E"sx) посредством преобразования типа Фурье—Лапласа:
T(qlt ..., qn^dxqx ... dtqa-t. (9.117)
Действительно, ввиду свойства носителя Т преобразование Фурье от Т'
аналитически продолжается по нулевым компонентам векторов в область.
(/?—»'/?+)" и выражение (9.117) представляет собой сужение этого продол-
продолжения на множество векторов с нулевыми компонентами Щ, \j ^ /?_, функ-
функциональная же трактовка преобразования (9.117) дается формулой
(9.1
где и (lx, .... tn-x)—произвольная функция из tf (jE"), а и (qlf ..., qn-t) —
функция из of (Л!""), определяемая формулой
« (<7x. • • •. Яп-г) = J exp [
Преобразования типа (9.117), (9.119) уже рассматривались нами (в п. Б.б
дополнения Б); единственное отличие состоит в том, что в п. Б.4 мы имели
дело только с временными компонентами импульсов, опустив пространствен-
пространственные компоненты как несущественные. Поэтому упражнение Б. 14 и предло-
*) Мы здесь пользуемся для двух разных ситуаций одним и тем же базисом в пространстве-
спин-тензоров; при этом некоторые важные свойства функций Швингера, например пол ожитель-
ная определенность (см. ниже (9.123)), выглядят наиболее естественно. Для практических же
целей часто бывает удобно выбрать в евклидовом случае иной базис по сравнению с псевдоев-
псевдоевклидовым (с тем чтобы упростить запись дискретных преобразований типа С, Р, СР в терминах
функций Швингера).
357
жение Б. 15 легко распространяются на наш случай, и мы приходим к следу-
следующему выводу.
Предложение 9.29. Отображение и—+и (9.119) является линейным
непрерывным оператором из пространства a? (El) в аР (Щ*1); его нуль-про-
нуль-пространство состоит из нуля, а его образ является всюду плотным в & (Ml'1).
Сопряженное отображение T—+F (9.118) осуществляет взаимно однозначное
соответствие между обобщенными функциями F ?<&" (Е1'1) и обобщенными
функциями F?q7" (E"'1), которые являются линейными непрерывными функ-
функционалами над if (El'1) в ослабленной топологии.
При этом ослабленная топология на ^(ЕЧ'1) задается совокупностью норм
ИСтНЙГГ (/, т = 0, 1, ...)• (9.120)
Перечислим теперь важнейшие свойства функций Швингера.
е.1 (Допустимый характер сингулярности и роста). Функция Швин-
Швингера s^.1:;;*"' (xu ..., хп) определена на ЕпФ как обобщенная функция из
пространства 3" (Еф). (При л = 0 вводится 0-точечная функция Швингера
sIOI-l.)
е.2 (Свойство эрмитова сопряжения).
С'.'.'Г'^' -¦• хп) = ^:\^)(Тх„, .... 7Х); (9.121)
здесь
Т(х, х*) = (х, —х4). (9.122)
е.З (Положительная определенность).
2 2 )sr j,' ,' (Тхя, ..., Тхи ylt ...,уа)х
;. 1 tX
i-•-lm , ,
х /1Г.1:-.?И>(*1. •••.*-) №' "?п) (У и .-;У„) d'Xl ... d*yn > 0 (9.123)
для любой финитной системы f =t[f^\;;'t*n)\ функций f^'.\'.'i^n) из соответ-
соответствующих пространств сУ(?<); при л = 0/[0] есть комплексное число.
е.4 (Евклидова ковариантность).
S V1& (^Г1. ^Г1) • • • VfJ>n (UT\ U71) s% :•.•. ln)n (Rx, + a, ..., Rxn + a) =
nil • ¦ • mn
= tf\-:;ty (xlt ...,*„) при всех a^f, f/z, Ur65GB). (9.124)
e.5 (Спектральность). В области ?< функция Швингера представима
в виде
sfr.WifHx» •••- ^-Sir-.-.-.^^i-^ ..-.^-i-^). (9-125)
где S/^1. ;;/^")(^1, ..., ?„_!)—обобщенная функция из <&" (Е^Г1), являющаяся
линейным непрерывным функционалом над of (EiTl) в ослабленной тополо-
топологии на ^(ЕЧ-1).
е.6 (Кластерное свойство). Имеет место предельное соотношение
lim J (st"i (дсх, ..., xk, xk+1 + M, ...,xn + la)—sW(x1, ...,xk)x
x s^-kHxk+1, . .., xn))f(Txk, .... TXl)g(xk+1 ...xn)dXl... dxn = 0 (9.126)
для любого вектора а = (а, 0)^=0 и любых f(xu ..., xk)Zaf(E<),
g(xk+1, ...,*„)e^(z-r*).
В формуле (9.126) для краткости записи опущены индексы у функций
Швингера.
358
е.7 (Перестановочное свойство). Для любой перестановки л индексов
A, ..., п) имеет место соотношение
s<<iT- • '¦ 'СЛП) (*я1, • • •, хлп) = еР(п) sJr*.:: '/Г' (*ь • • •. *„). (9-127)
(ef(n)—четность перестановки ферми-полей—определена формулой (9.37)).
Мы видим, что свойства е.1 —е.7 полностью дублируют свойства w. 1—
w. 7 функций Уайтмана. Согласно результату Остервальдера и Шрадера они
эквивалентны аксиомам Уайтмана, поэтому их называют аксиомами Остерваль-
Остервальдера — Шрадера.
Вначале мы докажем импликацию (w)=>(e).
Теорема 9.30. Функции Швингера в теории Уайтмана (при нормаль-
нормальной связи спина со статистикой) удовлетворяют условиям е. 1 — е. 7.
¦^ Для сокращения обозначений мы ограничимся доказательством для случая одного
эрмитова скалярного поля ф(х). По определению функция Швингера s(nl (xlt . . . , хп) являет-
является вещественно аналитической функцией в области Еф, и свойства е.4 (евклидовой инвариант-
инвариантности) и е.7 (симметрии при перестановках) непосредственно следуют из свойств инвариант-
инвариантности (следствие 9.4) и симметрии (теорема 9.6) аналитической функции Уайтмана в симметри-
зованной трубе <jFn.
Чтобы функция Швингера sr"J (хъ ..., хп) определяла функционал из &" (Еф), оче-
очевидно, достаточно, чтобы она удовлетворяла оценке
', х ? Еф , (9.128)
где а, т, I—неотрицательные числа. Для доказательства (9.128) воспользуемся оценкой
(8.42) для аналитической функции Уайтмана в верхней трубе, из нее для ?< получаем
yl х?Ек. (9.129)
\x)-x%\y
Далее, согласно упражнению 9.18 для любой точки х ? Еф существует перестановка л,
четырехмерное вращение R и трансляция а такие, что (Rxal-\-a, ..., Цхяп-\-а) ? ?|J. и
min \{RxJ)i—(Rxk)*\^c min \xj—xk\,
¦f?= k 1Фк
где с — положительная константа (зависящая только от п). Теперь симметрия при перестанов
ках и евклидова инвариантность *) функций Швингера позволяют переписать (9.129) в виде
(9.128).
Мы показали, что функцию Швингера st (xlt . . . , хп) можно рассматривать как обоб-
обобщенную функцию из пространства <jf' (Еф), удовлетворяющую условиям е.4 (евклидовой ин-
инвариантности) и е.7 (симметрии при перестановках). Свойство е.5 (спектральности) выполнено
в силу предложения 9.29 (где роль T(llt . . . , in_i) u F(qlt . . . , qn-i) играют соответственно
S^Gi ln-i) и WW (Vl, ...,,„_!».
Свойства е.2 и е.З непосредственно вытекают из следующего упражнения.
Упражнение 9.34. (а) Пользуясь условием спектральности, доказать, что вектор-
векторные обобщенные функции
Tt»J (хъ ..., *„) = Ф (*0 ... Ф (хп) | 0) (х, g M) (9.130)
допускают аналитическое продолжение по переменным Zj = Xj-\-iyj в трубу
yi?V+, yj+i-yj€V+ (/=1, ...,n-l). (9.131)
(б) Положим
(соответствующие точки (х[, .... х„) содержатся в трубе (9.131)). Доказать соотношение
). ХШ(У1, •••, Уп)> = 4т+пЧТхт, .... Txi, Ух Уп)- (9-132)
*ш)
Наконец, кластерное свойство е.6 также есть непосредственное следствие формулы
(9.132) и кластерного свойства в теории Уайтмана (см. предложение 7.1). >
Выше функции Швингера sw (xu ..., хп) были определены на множестве Еф. Однако
в некоторых случаях они естественным образом продолжаются на все Еп некоторыми
*) В случае спин-тензорных полей нужно было бы еще учесть равномерную ограничен-
ограниченность матриц V(Ue, Ur) в (9.124).
359
обобщенными функциями из if"(En); эти продолжения обозначаются также посредством
sfnI(*i« ..., хп). Приведем пример свободного скалярного поля.
У пражнен ие 9.35. (а) Показать, что двухточечная функция Швингера скалярного
нейтрального поля <р (х) является сужением на Еф следующей обобщенной функции
(9.133)
¦здесь (р, х) — евклидово скалярное произведение. (Указание: достаточно ограничиться
областью х\—х\ < 0, выполнить в (9.133) интегрирование по р* и результат сравнить
с функцией Уайтмана WW(x— у), даваемой формулами (8.72) и (8.50).)
(б) Показать, что k—точечная функция Швингера скалярного нейтрального поля равна
нулю при k нечетном, а при четном k (= 2л) является сужением на Еф следующей обоб-
обобщенной функции из $" (?*):
0, хРя); (9.134)
здесь Р пробегает перестановки индексов 1, . . . , In такие, что Р1<РЗ<. . .<РBл—1) и
PBj— 1)<РB/) (/=1, . . . , п). (Указание: ср. упражнение 8.12.)
Дискретные симметрии С, Р, СР (или Г), если они имеются в теории, очевидно, также мо-
могут быть выражены в терминах функций Швингера. Рассмотрим для примера случай заряжен-
заряженного (подлинно) скалярного поля.
Упражнение 9.36. В теории заряженного скалярного поля введем следующие со-
¦кращения для функций Швингера:
/ J^ Ч_ \
S (Хъ . . ., Хт\уг, . .., уп) = S * • • • Ф ••• / (xi, . . ., Хт, уи . . . , уп).
Доказать, что условия С-, Р- и/или СР-инвариантности в терминах функций Швингера имеют
¦ соответственно следующий вид:
s(*i xm\ylt ..., yn) = s(yi уп\хъ ...,хт), (9.135а)
s(xu ..., хт\уъ ..., yn) = s(y1 уп \xlt ..., хт), (9.1356)
s(xi, ..., хт \уъ ..., yn) = s (хъ .... хт |i/i, ...,(/„)• (9.135в)
В. Теорема реконструкции в терминах функций Швингера. Свойства
-е.1—е.7 полностью характеризуют функции Швингера, так что справедлива
также теорема (e)=»(w), обратная теореме 9.30.
Теорема 9.31 (теорема реконструкции Остервальдера—Шрадера).
Всякий набор (обобщенных) функций {sY?,'.'.'.','ып)(хи •••> хп)}> удовлетворяю-
удовлетворяющий аксиомам е.1—е.7, является набором функций Швингера некоторой
системы {ср'} уайтмановских полей (с нормальной связью спина и ста-
статистики).
¦^ Как и в доказательстве теоремы 9.30, мы ограничимся случаем одного скалярного эр-
эрмитова поля. Согласно предложению 9.29, свойство е.5 позволяет представить (однозначно)
функцию Швингера в области Е^Г1 в виде
2
¦5[BlFi. •••. ?«-i)=J ехр 2 Ш+lQjlj) &w(qi, •¦•> ?»-i)dtfi ¦¦¦dtqa-1, . (9.136)
где WM ^ tf" (M1^1); W[ni есть кандидат на преобразование Фурье функции Уайтмана;
мы рассматриваем ее как обобщенную функцию из ?f" (JMn~1) с носителем на множестве
(/= 1, ..., п—1). Лекажем, что набор обобщенных функций из ?f" (Mn)
(9.137)
С Г "ъ1 I -
trf (^l х„) = У ехр — i У Я/ (*/—xj+i) WM (</! <7га -i) rf4«7i • • • dtqn
J L /=i J
обладает характеристическими свойствами функций Уайтмана (поэтому мы заранее назовем их
функциями Уайтмана).
Свойство эрмитова сопряжения для функций Уайтмана получается подстановкой представ-
представления (9.136) в (9.121).
Обратимся к условию положительной определенности е.З функций Швингера
V Г 8ш +ni {Тхт, ..., Тхи г/1 у„) Р-чч (хг хт) Р (ylt ..., у„) d*xi d*ynSz0
т, п=0 J
для любой финитной системы {/["]} функций /[nJ ? (ff(E'l). Очевидно, связь (9.136), (9.137)
360
между обобщенными функциями s[nJ и и* может быть переписана в виде
s[nJ (*i х„) = [ ехр 2 (p°jx)+ipjXj) и»™ (pi, ..., р„) d4pj ... d4p„ (9.138>
при 0 < хх < х% ... < хп. Подстановка этого представления в (9.123) дает
т, л=0
(9.139))
здесь ai[m+n)(—pm, ..., —рь ^j, ...,^n) рассматривается как обобщенная функция из
пространства if1 (Л»+« | Xm х Х„) « <>Г (X,» хХ„), а
FMU>i, .... р„)= J ехр 2 (pW + iPjXj) fln4xi xn)dxx...dxn (9.140);
— функции из if (Хп); при этом множество Хп есть
2р/<0- *=1,2,
Упражнение 9.37. Доказать, что отображение /м—*Finl, заданное формулой
(9.140), осуществляет линейное непрерывное отображение пространства if (^) на всюду
плотное подмножество пространства if (Хп). (Указание: аргументация здесь та же, что m
в упражнении Б. 14 или предложении 9.29.)
В силу плотности функций (9.140) в if(Xn) можно считать Fs{ft«J} в (9.139) произ-
произвольной финитной последовательностью функций Finl (? if (Xn), а в силу свойств носителя
urfm+n] можно считать Flni произвольными функциями из if (Mn) (так, чтобы последова-
последовательность F[ni по-прежнему оставалась финитной). Тем самым доказано условие положи-
положительной определенности для функций Уайтмана аК.
По построению функции Уайтмана ш[п] инвариантны относительно трансляций и трех-
трехмерных вращений. Для доказательства пуанкаре-инвариантности достаточно доказать инва-
инвариантность относительно чистых лоренцевых поворотов; эту инвариантность можно выразить.
в инфинитезимальной форме:
п-\
Воспользуемся евклидовой инвариантностью функций Швингера, из которой следует
^^ptf^fM1^-.E»-i)=o, «=1,2,3,
в области ?^~х. Подставляя сюда представление (9.138) и используя единственность
такого рода представлений, приходим к соотношению (9.142).
Итак, обобщенные функции Wini (qi, ..., qn-i) лоренц-инвариантны, а поскольку по
построению они имеют носитель в М+~г, то на самом деле их носитель сосредоточен в наи-
наибольшем замкнутом лоренц-инвариантном подмножестве, содержащемся в М+~г, т. е.
в У". Тем самым доказано свойство спектральности функций Уайтмана.
Для доказательства локальности w.7 воспользуемся тем, что (благодаря условию спект-
спектральности) функции Уайтмана шм (х1г . . . , хп) аналитически продолжаются в нижнюю трубу
$~п и. значит (благодаря лоренц-инвариантности), в расширенную трубу $~п- Соотношение
(9.138) выражает соотношение между функцией Швингера и аналитической функцией Уайтмана
при (х1з ..., хп) ^ ?^ (обозначения те же, что и в формуле (9.113)). Следовательно, функ-
функция Швингера в действительности является вещественно-аналитической функцией в области
?^., а так как она к тому же евклидово-инвариантна и симметрична по xit .... хп, та.
она вещественно-аналитична во всей области определения Епф.
Пусть л—некоторая перестановка индексов 1, ...,и. Фиксируем некоторую точку
а=(аь ..., ап) (? Е^., так чтобы числа а) и Ся/ были положительны и возрастали с рос-
ростом /. Очевидно, а ? ?^, так что а' ? ©Г^". Некоторым четырехмерным вращением точка а..
36»;
может быть переведена в п~1Е'^, поэтому а' ? ^Г~ Л ^¦~1S"n ¦ Соотношение симметрии
st«J (хг xn) = slni(xnv ..., хт) в некоторой окрестности Q точки а может быть запи-
записано в виде равенства
ait«J (х'и ...,х'„) = a>["J {х'щ, ..., х'„„), х ?0,
откуда следует, что функции wln] (гг, ...,гп) и w1"^ (гЯ1> ..., глп) совпадают в комплекс-
нон окрестности точки а'^/ЙЛ я^" и, значит, всюду в ?Г~ Л «"'сТ". Мы приходим
к выводу, что функция Уайтмана w[nl{z1, ...,zn) аналитнчна в расширенной трубе <^Гл
н симметрична по zlt ..., zn, поэтому (на основании предложения 9.11) обобщенная функ-
функция Уайтмана ю[я) (х\, ..., хп) удовлетворяет условию локальности w.7.
Мы проверили все свойства функций Уайтмана, кроме кластерного свойства w.6. На
основании теоремы реконструкции Уайтмана 8.6 (и замечания) можно заключить, что
обобщенные функции wini (xlt ..., хп) действительно являются функциями Уайтмана неко-
некоторого эрмитова скалярного поля ф (х), удовлетворящего всем аксиомам Уайтмана, за воз-
возможным исключением единственности вакуума. Остается проверить это свойство. Для этого
заметим, что векторы %lnl (xi, ...,xn), определенные равенствами (9.130), (9.131) при
(*1, ...,хп) ^ ?<, образуют тотальное множество в гильбертовом]пространстве состояний $f
(действительно, из ортогональности вектора Ф ? SK по всем таким векторам x[nl(xi, ...,хп)
следует по принципу аналитического продолжения, что <Ф, ф (х{) ... ф (хп) Wo> = 0, а это
вместе с цикличностью вакуума дает ф = 0). Выполненное по условию кластерное свойство
е.6 для функций Швингера можно записать в виде
<Xtml (*i. • • •• ха), U (ка, 1) хт (Уи •¦-, Уп)> —>
—><ХШЧ*1> •••>*„), Т„)<Т0, х[п1(У1, ¦¦¦, Уп)> при X -^оо;
здесь а = @, а) Ф 0. Благодаря тотальности множества векторов х1 (*ь •••, хп) отсюда
заключаем
<O,U (ка, 1) У> —у <Ф, Ч^о> <^0, Г у при к —> оо
для всех векторовф, W ?.Ж- Наконец, лоренц-ковариантность позволяет считать здесь вектор
а произвольным пространственноподобным вектором в М.
Итак, кластерное свойство (8.19) также доказано, что завершает проверку аксиом Уайт-
Уайтмана. >
Теоремы 9.30, 9.31 показывают, что возможен подход в квантовой теории поля, имеющий
дело с четырехмерным евклидовым пространством, заменяющим четырехмерное пространство-
время Минковского. Однако некоторые из аксиом е.1 — е.7 носят слишком явные следы форма-
формализма Уайтмана и пространства-времени Минковского, а это кажется недостатком с точки зре-
зрения самостоятельного евклидова подхода. В особенности это касается аксиомы спектральности
е.5, которая (согласно предложению 9.29) фактически постулирует существование преобразова-
преобразования Фурье функций Уайтмана с нужными свойствами носителей. Делались попытки вообще
отбросить аксиому е.5; при этом получается система аксиом, более слабая, чем аксиоматика
Уайтмана. Так, Глазер A974) показал, что из аксиоматики Остервальдера — Шрадера, но без
аксиомы е.5, также следует существование квантового поля и функций Уайтмана, однако они,
вообще говоря, будут более сингулярны, чем это допускает теория Уайтмана (языком для их
описания должна быть уже не теория обобщенных функций умеренного роста, а теория гипер-
гиперфункций *)). Чтобы сохранить допустимый характер сингулярностей, как это предписывает
теория Уайтмана, Остервальдер и Шрадер A975) предложили новую аксиоматику, достаточную,
чтобы провести теорему реконструкции в полном объеме: вместо аксиомы е.5 они постулирова-
постулировали некоторое априорное ограничение на рост функций Швингера с ростом числа точек п. Пред-
Предлагались также другие наборы аксиом евклидовой теории поля, из которых следует формализм
Уайтмана (Нелсон, 19736; Хегерфельд, 1974; Фрёлих, 1974; аксиоматика Нелсона, предложен-
предложенная на основе работ Симанзика A969а), является фактически первой во времени).
Дополнение 3. Парастатистики
3.1. Свободные параполя и паракоммутационные соотношения. Гипотеза о полной сим-
симметрии или полной антисимметрии вектора состояния системы одинаковых частиц является
более сильным предположением, чем гипотеза о физической тождественности частиц. Теорети-
Теоретически возможны и другие типы симметрии и соответственно другие парастатистики. В кван-
квантовой теории свободных полей возможны перестановочные соотношени т третьего порядка от-
относительно компонент поля, определяющие параполя, вместо обычных канонических переста-
перестановочных соотношений второго порядка для бозонных и фермионных полей. Как показали
Гринберг и Мессиа A964, 1965), ни одна из известных наблюдаемых частиц не является пара-
частицей порядка р>1. В связи с попытками использования парастатистики для построения
непротиворечивой спектроскопии адронов в рамках кварковой модели (см. Гринберг, 1964)
*) Результирующая схема может применяться к неперенормируемым квантовополевым
моделям (в этой связи см. также замечание в П.9.1.Д, где указан непосредственный подход
в пространстве-времени Минковского).
362
следует отметить, что согласно анализу ряда работ (см. Говорков, 1982; Боголюбов и др.,
1983), гипотеза Гринберга о параферми-статистике кварков не позволяет ввести калибровоч-
калибровочную унитарную 5?/C)-симметрию, лежащую в основе квантовой хромодинамики, и является,
таким образом, физически неприемлемой альтернативой гипотезе цветных ферми-кварков.
Конструкцию свободных параполей удобно строить в пространстве векторов состояний
с ортонормированным дискретным базисом. Пусть базисные векторы |<X>V) одночастичных со-
состояний нумеруются индексом v, пробегающим счетное множество значений. Введем операторы
рождения а!/вектора состояний |ФУ) из вакуума |0) и сопряженные к ним операторы уничтоже-
уничтожения av. Введем также оператор числа частиц в состоянии v формулой
/2 [av. «vJ-a + o-'Va. C.1)
==avav= x
где О" = — для бозе-частиц, а=+ для ферми-частиц и [А, В]а= АВ -\-oBA. Перестановки
nv с операторами рождения и уничтожения не зависят от типа статистики, т. е. от того,
коммутируют или антикоммутируют между собой операторы ау > в обоих случаях они
имеют вид
[ ] [av> "n] = ^Hv0v C-2)
Естественно потребовать сохранения этих соотношений и в теории свободных полей,
соответствующей обобщенной статистике {паровозе или параферми). При этом в случае необыч-
необычной статистики первое из равенств C.1) больше не имеет места и в качестве nv целесообразно
взять (анти)симметризованное выражение типа правой части C.1). Следуя Грину A953), мы
постулируем более жесткую систему перестановочных соотношений, из которой следует C.2):
[[ах, ufx]-a, av] = —28\valt,, C.3а)
[К- VU'av]=0, C.36)
где о— ±.
Упражнение 3.1. Показать, что из C.3) вытекает соотношение
[К» an]-a- <] = 2 (\va\-°8\van)- C.4)
(Указание: воспользоваться тождеством
[[А, В]а, С] + [[С, А]а, В] + [[В, С]а, А]^0, C.5)
обобщающим тождество Якоби.)
Из C.3) — C.5) вытекает еще одна серия перестановочных соотношений такого типа
(так же, как и соотношения, получаемые из них эрмитовым сопряжением).
Ясно, что если определить число частиц в состоянии v равенством
(константа С будет определяться условием п |0)=0), то перестановочные соотношения C.2)
получаются как частный случай из C.3).
Для каждого знака а существует счетное множество неэквивалентных полей, удовлетво-
удовлетворяющих C.3) и нумеруемых целым положительным числом р {порядком парастатистики).
При заданном р операторы пу задаются так называемым анзатцем Грина:
av= 2 С C.7)
а= 1
где при данном а поля 6$" удовлетворяют перестановочным соотношениям
№\ С>#Ъ = в|** №',С)]а = 0, C.8)
а'при разных а—перестановочным соотношениям противоположного типа:
[С. ьГ\-*=№\ bf ]-|CT = 0 5 {а ф Р). C.9)
Чтобы выделить однозначное (с точностью до унитарной эквивалентности) представление
операторов av в пространстве Фока, потребуем, чтобы все Ь^ уничтожали вектор вакуума:
Ь(™\'0) = 0 при всех v и а. C.10)
Гильбертово пространство ЗВ^, в котором действуют операторы 6v*' ta>. определяется
обычным образом как замыкание множества векторов вида Р ф*) | 0>, где Я—произвольный
полином от операторов рождения Ь^*. В силу C.7) в пространстве ^оР> можно реализо-
реализовать представление алгебры исходных операторов av и а*, в котором наряду с перестано-
перестановочными соотношениями C.3) будут удовлетворяться условия
av|0> = 0 C.11)
Vvl°> = ^vl°>- <ЗЛ2>
зпз
Упражнение 3.2. Показать, что в представлении, в котором имеют место C.11) и
C.12), оператор числа частиц C.6) приобретает вид
«v = Vi([e;. %]-<, +°Р) C-13)
(т. е. константа С, определяемая условием "v|0^>=0, равна Vs0/0)-
Нетрудно видеть, что представление алгебры операторов aV* в пространстве Зд'^ при-
приводимо.
Это положение имеет место даже для конечномерного случая (т. е. когда индекс v пробе-
пробегает конечное число значений) и может быть проиллюстрировано на простом примере алгебры
Даффина — Кеммера. В этом примере /7=2 и множество возможных значений v тоже равно
двум. Мы приведем матричную реализацию алгебры Даффина — Кеммера. Положим
-yn, ^'^/ЛуГ-Л «=1,2. C.14)
По определению
Ы?\ Vv4=0. Ц. v = 0 3. C.15)
Упражнение 3.3. Показать, что матрицы
a, = bf + b?> C.16)
и эрмитово сопряженные к ним матрицы а/ удовлетворяют перестановочным соотношениям
для параферми-полей (т. е. соотношениям C.3) с a =-(-).
Чтобы привести тройные перестановки к стандартным соотношениям Даффина —Кем-
.мера (см., например, [У1], § 5.2), мы определим матрицы (Зц формулами
^;), p, = V2(aI-ei), ^ = Чг{а%-а,). C.17)
Упражнение 3.4. Показать, что*)
+P*PvPn =«,vPn +?nvpV C-18)
Нетрудно проверить непосредственно ([У1], § 5.2), что представление C.16), C.19) пере-
перестановочных соотношений C.3) или C.18) приводимо. Это представление шестнадцатимерно.
Действительно, чтобы удовлетворить C.15), необходимо определить у/?' как кронекеровские
произведения
t? = 4»®h Vll2>=l®Ypl- C-20)
'Оно разлагается на три неприводимых представления алгебры, порожденной операторами Ov,
av: одно десятимерное, одно пятимерное и одно одномерное (тривиальное). Отметим, что, за
исключением тривиального представления, лишь десятимерное представление обладает един-
единственным вакуумом, удовлетворяющим условию
Этот факт имеет общий характер: в пространстве 5В{?} содержится в точности одно
¦нетривиальное подпространство 3%*/», инвариантное относительно алгебры операторов av,
а*, в котором имеется единственный вектор вакуума, удовлетворяющий C.11).
У п ражнение 3.5. Показать, что (ненормированный) базис в пространстве &С^
десятимерного представления алгебры Даффина — Кеммера может быть задан (без введения
операторов 6/а)) формулами
10>, а] | 0>, ajal 10>, afa\ \ 0> = - alaf \ 0>,
10> = - afax \ 0>, afaf \ 0>, /, k = 1, 2.
(Указание: воспользоваться тем, что в случае парастатистики порядка р=2 перестановочные
соотношения C.3) могут быть заменены более простыми соотношениями:
Гринберг и Мессиа A965) показали, что все неприводимые представления перестановочных
соотношений C.3) в гильбертовом пространстве с единственным циклическим вакуумом, для
^которого имеет место C.11), удовлетворяют также соотношению C.12) с некоторым целым поло-
*) Если принять во внимание, что
Р^ = 1/2(?{11) + У1Л C-19)
-то к C.18) можно прийти непосредственно из (Д.2) и C.15).
364
жительным р и определяются с точностью до унитарной эквивалентности равенствами C.11),
C.12). Каждое такое представление включается в приводимое представление в пространстве
53а", задаваемое анзатцем Грина C.7). В частности, при р=1 получаются обычные статистики
Бозе и Ферми.
3.2. Замечание о TCP-теореме и связи спина с парастатистикой для локальных пара-
полей. Чтобы сформулировать свойство локальности параполей, воспользуемся следующим
обобщением анзатца Грина C.7). Определим (вслед за Дел'Антонио и др., 1964) локальное па-
раполе А (х) как сумму полей
А(х)=У,В(а)(х), C.22)
где В((Х) удовлетворяют условиям локальности аномального типа!
[Вт(х), В(аНФ )(у)]а = 0 при (*-г/J<0, C.23а)
A-бар)[В(а)(х), В4»><*>(у)]_0 = 0. C.236)
У п р ажнение 3.6. Показать, что из C.22)—C.23) следуют локальные паракомму
тационные соотношения для параполя
[[А(х), А(у)]_а, ЛB)] = 0. C.24а)
если одновременно
(х— zJ<0 и (у — zJ<0. C.246)
В связи с определением C.22) заметим, что требованиями C.22), C.23) мы накладываем
некоторое ограничение на вспомогательные поля В(а> в расширенном гильбертовом простран-
пространстве Ю(а\ а не в физическом пространстве векторов состояния SfCi^, в котором действует пара-
поле А. Особенно сильным является ограничение C.236), которое фактически эквивалентно
предположению об отсутствии взаимодействия между разными полями В(а>. Кроме того, на-
напомним, что только для свободных полей доказано, что анзатц Грина исчерпывает все представ-
представления паракоммутационных соотношений *). Более того, введение в самом определении пара-
параполя А системы полей В<а> фактически сводит параполя к системе обычных (бозе- или ферми-)
полей с аномальной (при р>1) связью спина и статистики — типа тех, что рассматривались в
§ 9.3 (значит, такая система полей обладает дополнительной симметрией). Поэтому при сделан-
сделанных «технических» предположениях рассмотрение вопросов о ГСЯ-инвариантности и связи
спина со статистикой становится вполне тривиальным: оно попросту сводится к соответствую-
соответствующим вопросамтеории Уайтмана. А именно: чтобы установить связь спина с парастатистикой, до-
достаточно заметить, что, для того чтобы поле А обладало определенными трансформационными
свойствами по отношению к группе Пуанкаре, следует потребовать, чтобы каждое поле В(а>
обладало теми же трансформационными свойствами. Теперь из C.22) и леммы 9.21 следует, что
параполе А обладает целым (соответственно полуцелым) спином, если оно подчиняется пара-
статистике Бозе (соответственно Ферми). Как отмечалось в п. 9.2. А, ГСР-инвариантность также
имеет место в рассматриваемом случае (благодаря тому, что с помощью преобразования Клейна
условие локальности системы полей Bta> можно привести к нормальному виду). Более того,
закон TCP-преобразования полей можно взять в той же форме (см. п. 9.2.А), как и в случае
нормальной связи со статистикой.
Для доказательства достаточно убедиться, что функции Уайтмана полей B(a'(x) удовлет
воряют условию слабой локальности (п. 9.2.Б). Это условие, очевидно, выполнено для функций
Уайтмана полей В<а>(х) с одним и тем же значением а (поскольку такие поля, согласно C.23а),
удовлетворяют обычному условию локальности с нормальной связью спина со статистикой).
Общий случай легко следует из C.236) и свойства факторизации:
<X<i) ... *</»>„ = <ХИ>>0 ... <*</»>„, '3.25)
где Х1а} — произвольный моном, составлений из полей В<а> (х) с фиксированным значением а.
Упражнение 3.7. Доказать свойство факторизации C.25). (Указание: чтобы до-
доказать, например, соотношение
можно воспользоваться соотношением C.236), из которого следует
. X</>-D U (а, 1) №>>„= ± <Х<РШ (— а,
из условия спектральностип вывести, что обе части последнего равенства не зависят от
?М и, значит,
. XV-VU (а,
*) В случае свободных параполей доказана и эквивалентность локальности и парало-
кальности (см. Араки и др., 1966).
365
Дополнение И. Бесконечнокомпонентные поля
И.1. Элементарные представления группы SLB, С). Концепция бесконечнокомпонентного
поля (сокращенно БКП) является результатом отказа от «технического» требования конечно-
конечномерности представлений группы Лоренца, по которым преобразуются поля (скажем, в форма-
формализме Уайтмана). Возникла она на самом раннем этапе теории квантовых полей: в 1932 г. Майо-
Майорана привел пример бесконечномерного волнового уравнения (iT^dfi—M)ty(x)—0 без решений
с отрицательной энергией и с неотрицательным квадратом массы, т. е. без «античастиц». Даль-
Дальнейшее развитие БКП стимулировалось одной из идей теории динамических симметрии — свести
составную систему с бесконечным спектром массы *) (например атом водорода, бесконечную
серию адронов типа реджевской траектории в кварковой схеме и т. п.) к единому БКП как к
более «элементарному» объекту (см., например, Барут и Клайнерт, 1967; Фронсдал, 1967;
Рюгг и др., 1967; Дельбурго и др., 1967; Будини, 1968). С другой стороны, отказ от требования
конечности числа лоренцевых компонент представляет интерес с позиций алгебраического под-'
хода (все более приобретающего универсальное Значение для аксиоматического построения
квантовой теории поля), поскольку локальные алгебры, построенные на основе локального
квантового БКП, могут обладать специфическими свойствами (с некоторыми из них мы позна-
познакомимся далее). Заметим, однако, забегая вперед (см. п. И.З), что описание составных систем
с помощью БКП встретилось при этом с трудностью, которая, по-видимому, требует ослабления
постулата (строгой) локальности **).
Здесь будем под БКП подразумевать поля, преобразующиеся по бесконечномерным не-
неприводимым представлениям группы SL B, С) (накрывающей группы для L |) или (что является
более общим случаем) по так называемым элементарным представлениям ***) группы SL B, С).
Эти представления параметризуются упорядоченной парой %=(Я, ц) комплексных чисел Я, ц
таких, что Я—^^Z. В дополнении В.5 мы назвали такую пару % индексом, а их множество
обозначили через Э?. Для различных целей пространство представления индекса % можно вы-
выбирать разными (неэквивалентными) способами. Особый интерес заключается в представлении
Т% группы SLB, С) в пространстве 2>х=~х(С2) всех комплексных ^"-функций и(ш) в Cfe
sC^XfO}, однородных индекса % юи, эквивалентно, однородных бистепени (Я—1, [х—1).
(Это означает, что они удоглетворяют (В.48) при п—2.) Тсполсгия в jTjc индуцируется есте-
естественной топологией из (gf(C2). Элемеьт Л ?SL B, С) действует на функцию и ?jTjc по [формуле
Оператор валентности равен
так что представление Тх определяет однозначное или двузначное представление собствен-
собственной группы Лоренца Z-+ в зависимости от того, четно или нечетко Я— ц. (В контексте
п. И.2 будем говорить, что тогда соответствующее БКП несет целый или полуцелый спин.)
Представление Т% неприводимо при всех х€ЭЕ за исключением случаев %?Е^ или %?Е_ ,
т. е. случаев
а) Я, ц=1, 2, 3, ... или б) Я, ц = — 1, —2, —3, ...; (И.З
причем два таких неисключительных представления Т% и Ту, эквивалентны в точности
тогда, когда %'— ± %¦ В исключительном случае Х^Е^ (т. е. (И.За)) 3)^ содержит конеч-
конечномерное подпространство $<•/• *' полиномов от со, со, однородных степени 2/ = Я—1 по ю
и однородных степени 2k=\i—l по ы; в этом подпространстве реализуется конечномерное
неприводимое представление ?<У. *> группы SL B, С). В исключительном случае х€^_
(т. е. (И.Зб)) представление Тх также приводимо: 2хС0ДеРжит замкнутое подпространство
конечной коразмерности, так что в фактор-пространстве реализуется конечномерное пред-
представление, эквивалентное ?</•*> при 2/ = — Я—1, 2А = — ц— 1.
В ряде ситуаций в качестве «носителя» представления индекса % можно (а иногда"и
следует) выбрать пополнение jDy по некоторой ослабленной (например, гильбертовой) топо-
топологии; в этом случае роль пространства 3?х состоит в том, что оно является своеобразным
«ялром» (пополненного) представления. Ниже воспользуемся этим замечанием в ситуации,
когда в качестве такой ослабленной топологии выбирается (слабая) топология из @)' (С2);
нетрудно видеть, что соответствующим пополнением 3^х является пространство Ьх =
*) Или энергии в системе центра масс.
**) Более радикальный выход — вообще отказаться от локальных полей, заменив их
протяженными объектами типа струн (как это предлагают дуальные резонансные модели).
***) Элементарные представления группы SL B, С) получаются аналитическим продол-
продолжением по (непрерывному) параметру главной серии унитарных неприводимых представле-
представлений ([Г2, Г6]).
366
обобщенных функций «(со) от со?С2, однородных индекса /.Согласно предложению В.8(б),
пространство й% канонически изоморфно пространству 2)-% всех линейных непрерывных
функционалов над пространством jDx :
Хх а Ьх и 2>1Х; (И.4)
мы также воспользуемся этим обстоятельством при определении БКП, преобразующегося по
представлению индекса %.
И.2. Понятие квантового БКП. Если допустить, что с одним БКП может ассоциироваться
бесконечное множество частиц, со сколь угодно большим спином, то для БКП еще в большей
мере, чем для обычных конечнокомпонентных полей, становится желательным включение в рас-
рассмотрение неренормируемых моделей (т. е., возможно, более чем полиномиального роста в р-
пространстве). Мы ограничимся теориями предэкспоненциального роста, когда еще можно со-
сохранить более или менее обычное условие локальности (как в замечании п. 9.1.Г).
Квантовое поле, преобразующееся по конечномерному представлению ®(А *> группы
SL B, С), есть операторное распределение ф(х) (р, со, со) над пространством <2) (ЛТ) по импуль-
импульсной переменной р, являющееся однородным полиномом степени 2/ по со^С2 и степени 2k
по со. Соответственно мы определяем квантовое БКП, преобразующееся по элементарному
представлению группы SL B, С) индекса х. как операторное распределение <р(к* (р, ш) над
пространством ®(AfXC2) по переменным р?М, со?С2, удовлетворяющее условию однород-
однородности индекса % по со:
Ф(*> (р, аи) = ф^З (а) <р(х) (р, со), а?С^ С\Щ. (И.5)
Предполагается, что в гильбертовом пространстве ffl имеется общая плотная область опре-
определения D, на которой определены операторы
(Х)(Р. ®)F (P. w)d4pU2wd2co| при всех
причем она инвариантна относительно этих операторов. Очевидно, обычный случай конеч-
нокомпонентного поля, преобразующегося по представлению ®<Л *>, входит в эту схему как
частный случай при */=(Я, ц) = B/+1, 2fe+1)? Е^.
Имеется другое эквивалентное определение. Пусть задан билинейный непрерывный
функционал
(f, и) — $<»>(f; и) ^ J фи (р; в) / (р) d4p (И.6)
над f?@ (-M). «63)-Х> значениями которого являются (вообще говоря, неограниченные)
операторы, определенные на D вместе со своими сопряженными и оставляющие D инва-
инвариантной. Тем самым задано и БКП ф(и) (р, со) как ядро операторного функционала ф*х'(/;«)
в том^смысле, что соответствие между двумя определениями осуществляется в духе изомор-
изоморфизмами.4) (или предложения В.8 (б)):
p, to)/ (p) g (со) diP | d2co d2w| = ф<*> (/; /.jjg) (И.7)
при всех f?3HM), g?.§D (*'2)-
Как обычно, ф(и) обозначает эрмитово сопряженное поле:
ф<*>(р, Ы) = (ф(и>(— р, со))*; (И.8)
оно имеет индекс однородности %+ s= (ji, X).
Функции Уайтмана БКП в р-пространстве
ш(*»---ип>(р1, Wl; ...; р„, со„) =
s3Bn)*fi(p1+...+pn)#r("'---Xn)(pi. Pi + P2, .... Pi+..-+P«-i; W! со„) =
= <01 Ф(И1) (a, coj) ... ф(и«' (р„, со„) | 0> (И.9)
являются распределениями из @У (МпX(С2)") по рь .... р„, сйь ..., со„, удовлетворяю-
удовлетворяющими условиям раздельной однородности индекса %j по coy:
Хщ(и,...хп) (pi) '..., р„; (oj. со„) при ах, .... а„^С. (И.10)
В терминах функций Уайтмана (И.9) нетрудно переформулировать все характеристические
свойства (кроме локальности) из п. 8.3.А: свойство сопряжения, положительную определенность,
пуанкаре-ковариантность, спектральность, кластерное свойство. В частности, трансляционная
инвариантность уже учтена в первом из соотношений (И.9), в то время как лоренц-ковариант-
367
ность означает
t, .... Лсо„) =
.... qn_i; и* <оя), A6SLB, С).
Спектральность означает свойство носителя:
suppf<*' •••"«> (Л, ...,?„_!; Ш1, .... о)„)с(?+)
Наконец, для формулировки локальности (в духе замечания п.[9.1.Г) мы ограничиваемся
предэкспоненциальным ростом, т. е. предполагаем, что преобразование Лапласа
"х»»(г1-г1. .... zB_!-zB; wb .... шя) =
определено (в смысле п. Б.1) при всех fo, ..., za)??Tn (здесь имеется в виду, что все
выражения в (И. 13) сглажены по ф1 со„ с произвольной основной функцией g(a>lt ..., со„) ?
?SD ((С2)")). Аксиома локальности теперь означает, что функции Уайтмана (И.13) анали-
аналитически продолжаются по (гг, ..., гп) в симметризованные трубы $~п и обладают переста-
перестановочным свойством типа (9.39):
(И.14)
Здесь предполагается, что все поля разделены на «бозонные» (Л*>=0) и «фермионные» (/7(w=l)
(но какой-либо связи спина со статистикой не предполагается; как мы увидим в п. И.4, ее может
не быть).
На основании предложений 5.13(а) и 5.14 можно с равным успехом рассматривать функцию
Уайтмана в координатном пространстве как частично голоморфное распределение:
, (ИЛБа)
А »("»•••»«»> (Zl, Ш1; ...; гл, шя) = 0, /=1 я; ц = 0 3. (И.156)
azj
И.З. Ковариантная структура двухточечной функции. Бесконечное вырождение массы
по спину. Двухточечные функции Уайтмана являются простейшими объектами, отражающими
основные принципы теории (а в случае свободных полей полностью определяющими модель).
Поэтому изучение свойств БКП естественно начать с двухточечных функций.
Вначале приведем ковариантное представление в импульсном пространстве без учета
локальности (но предполагая сильное условие спектральности с массовой щелью ц>0), а затем
координатном пространстве *).
Лемма ИЛ. Всяксе распределение К (р; <в, w)^<3)' (KjtxC8XCz), удовлетворяюще
условию SL B, С)-инвариантности
К(А(Л)р; Аса, Aw)=K(p; ©, w) при A?SLB, С), (И.16)
представило в виде
К (р\ a, w) = S^(p2, ю/кй, wp~w, V), (И.17)
где V—матрица из SU B), построенная из переменных р, со, w:
т, /— — ч-1/2 ( а> pw ]fpwe(o\ .., ...
V — {щы-wpw) 1/2 ( г __ ), (ИЛ8)
V у р2 aew wpa /
и
Ж?д>'(№, оо) xR+XR+XSU B)). (ИЛ9)
Дополняя условие SL B, С)-инвариантнссти в лемме ИЛ условием однородности по со, w,
получаем ковариантную структзру ;вухточечкой функции. При этом обозначаем
a/ = Vi(*./-!if) (' = 1,2). (И.20)
Нетрудно видеть, что при полуцелом o"i — a2 двухточечная функция ЙИ*1' тождественно
равна нулю, поэтому ниже всюду считаем выполненным условие
Предложен ие И.2. В импульсном пространстве двухточечная функция БКП
и ф'"*', преобразующихся по элементарным представлениям группы SL B, С) индек-
*) Результаты этого дополнения формулируются без доказательства (см. библиографиче
ские указания).
368
сов xt и Хг. при *) а2 Ss | ог | имеет вид
iCt) (р; а, т) = (а>~рш) 2 * (шрв^»-1(ю/то)G2+с' (we®)*-OlH (рг, v), (И.22)
г_
(opa-wpw
«, oo)X[-I. l])^(l/^)-®'([^2. oo)X[-l, 1]), (И.24)
+ vy—-I. (И.25)
Фигурирующее в (И.24) пространство ^)j/X = (l/X)-i2D' определяется в духе формулы
j/X
C.172) как пространство линейных непрерывных функционалов над Х-&Е)([\х,*, °о)х[—h
т. е. равенство Н = A/X)G означает:
(Я, Xf) = (G, f) при всех /€® ([ц2, оо)х[—1, 1]).
Для разложения двухточечной функции по спину воспользуемся результатом пред-
представления распределений на отрезке [—1, 1] в виде рядов по полиномам Якоби Р^< Р> (v).
Теорема И.З. Пусть а, Р> — 1 и X (v)= (^f^Y (~^K пРи V6[—1. П-
Произвольное распределение h(v)?@)'rx{[—1, 1]) может быть разложено в ряд
h(v)=2lhnPina-p)(v), (И.26>
ft=0
сходящийся в слабой топологии ёй'1/х (I—'> !])• Здесь полиномы Якоби интерпретируются
как функционалы на Х-<3)([—1, 1]), определяемые интегралом
1
J P^. P» (v)e(v)dv, ff(vNX-S>([-l, 1]);
-1
{Л„}—последовательность комплексных чисел, полиномиально ограниченных по п:
(И.27)
Обратно, всякая последовательность {hn}, удовлетворяющая (И.27), определяет по формуле
(И.26) распределение из S)'vx{[—1, 1]).
С помощью теоремы И.З распределение Н (s, v) из предложения И.2 можно разло-
разложить в ряд (вначале при a2^|ai|, а затем точно так же и в других случаях):
2 Х
J > I о, | V I о2 |
где PJ^J, (v)— функции, ассоциированные с полиномами Якоби ([В7], п.3.3.9):
Х
/-ст)
а' —а а'
(и.зо>
В результате приходим к следующему разложению двухточечной функции по спину (обо-
(обозначения те же, что и в (Ж. 14)):
?^Цр; со, w)= 2 ^.^
J>\ol\v\a,\
где hj(p) — лоренц-мвариантные меры из <g)' (I/J) (точнее, это—комплексные лоренц-инва-
риантные меры на Vjt).
Чтобы отразить свойство локальности, воспользуемся тем, что двухточечная функция
) (g. И) ^ в КООрдИнатном пространстве есть распределение из 3)' G'iXC2XC2) со
следующими свойствами:
*) Другие случаи аналогичны,
369
(а) голоморфность по ?:
_JL_ W(w,) (?; и, Ш) = о, ц = 0, .... 3;
(б) SL B, С)-инвариантность:
Г(х,хг) (Л (Л) g. дш> дщ)
(в) раздельная однородность по со, ш:
^ ' (?; со, ш) при а,
(г) спектральность: при ??7Т H7(Xl>C2'(?; со, w) есть преобразование Лапласа по р
от распределения Г(и»Иг) (р; со, w) ?&' (V+ XC2XC2);
(д) W<W (?; со, ш) Т Г(КгК1) (- ?, ш, <о) = 0.
Перечисленный набор свойств можно эффективно учесть явно ковариантным представ-
представлением, обобщающим представление типа Челлена—Лемана для конечнокомпонентных по-
полей. В следующем предложении Г^1 • • •]Хп (со, w) обозначает ядро SL B, С)-ковариантного
тензорного билинейного непрерывного функционала Г1*1'' ••*" (и, v) над Xix,
(см. п.В.5), преобразующегося по индексам [Х1...ц,п по неприводимому представлению
2)т/2, п/2); это означает, что Г^1 •""Дп (ш, ю) — симметричный тензор по \t-i...\in, имеющий
нулевой след:
*(il|iir|il|1---|l"(co. «0 = 0.
Предложение И.4. Двухточечная функция БКП в координатном пространат
() №) щ,) (удовлетворяющая условиям (а) —(д)) имеет вид
> (С; ш, ш)=2'"ГД1""^(Сй' а))ац1"-ацл/7п(й; (И.32а)
п
coomse/пс/пвенно,
Збгсь Fn(p) —скалярные лоренц-инвариантные распределения из S)' (М) с носителям»
V+, допускающие преобразования Лапласа Fn(Q в трубе Tf, причем только конечное число
Fn отлично от нуля.
Полученные представления можно применить к проблеме «расщепления» массы по спину.
Выше упоминалось, что понятие БКП может использоваться как способ описания составим
систем. Особый интерес представляют модели, в которых имеется зависимость массы одночастна
ных состояний от спина такая, что при каждом (дискретном) значении массы число возможны!
значений спина конечно. Возникает вопрос, может ли соответствующее БКП быть локальным.
Оказывается, это невозможно: Гродский и Стритер A968) доказали «по—gos-теорему, согласно
которой из локальности и спектральности в теории БКП следует бесконечная вырожденность
массы по спину. В терминах представления (И.31) это означает, что если исключить конечно-
компонентный случай, то ни на каком интервале M2<s<M'2 ряд (И.31) не может иметь толда
конечное число отличных от нуля членов. В теореме Гродского — Стритера рассматривался
только случай ренормируемых теорий, и результат получался непосредственным применение»
теоремы Боголюбова — Владимирова (см. упражнение 4.17). Могло возникнуть впечатление,что
вырождения по массе можно избежать, переходя к неренормируемым теориям. Оказывается,
что результат Гродского — Стритера по-прежнему остается в силе, если выйти в класс неренор-
мируемых теорий предэкспоненциального роста в р-пространстве (которые еще допускают
естественную формулировку локальности).
Теорема И.5 (обобщение теоремы {Гродского—Стритера). Пусть (в модели
предэкспоненциального роста в р-пространстве) W*'*1*^ (p; <в, w)^§Q' (У+ХС2ХС2) ест
двухточечная функция (в импульсном пространстве) [локальных полей ф'' и ф'Кг', преоб-
преобразующихся по элементарным представлениям группы SL B, С) индексов %i и Хг соответ-
соответственно. Если в области
ро > О, М2 < р2 < М'2, (И.ЗЗ)
(где 0 < М < М') выполнены условия #г(х»х"> (р; ш, w)^0 и в разложение (И.31) двухто-
двухточечной функции по спину дает вклад лишь конечное число слагаемых, то Хь Хг^Щ
(и, значит, пространства представлений индексов %iju Хг содержат инвариантные
пространства однородных полиномов по а, а и w, w). В области (И.ЗЗ) в двухточечн/А
функции пИ*'**) (р; со, w) присутствует лишь «.конечнокомпонентная часть», т. I
W^lKz) (p; ш, w) является полиномом по со, со, w, w.
370
,
I
Тот факт, что составные системы без бесконечного вырождения спектра масс по спину не
допускают «элементарного» описания локальным полем, служит указанием на наличие такой
внутренней структуры этих систем, которая не реализуема локальными полями.
И.4. Отсутствие §Р+-ковариантности и связи спина со статистикой в моделях БКП. Здесь
мы ограничимся ренормируемыми теориями, т. е. в соответствии с п.И.2 БКП (р(м, преобра-
преобразующееся по представлению индекса %s=yiM группы SL B, С), рассматривается как операторная
обобщенная функция ф(и) (х; ы(х)) над йР(М) по переменной х, линейно и непрерывно зависящая
от и():>?2)_зс.
Теория БКП контрастирует с формализмом Уайтмана конечнокомпонентных полей в
вопросе о TCP -симметрии. В теории Уайтмана (с аксиомой W. VIII) (§8. 2) имеется ан-
антиунитарный оператор в полного пространственно-временного отражения (ГСР-оператор),
задающий преобразование полей по универсальному закону <р (х) -*<р' (х) = \i~FV (—1, 1)Х
Хф (—х))* (см. (9.626)). Но бесконечные (в рассматриваемом случае—элементарные) пред-
представления группы SLB, С) (или Z,?) не обладают аналитическим продолжением на SL B, С) X
XSL B, С) (или L+(Q); из-за этого прежняя формулировка и, конечно, доказательство
TCP -теоремы теперь не проходят. Кстати, формальная эстраполяция Т% (—1, 1) = (—1)*~*
конечнокомпонентной формулы 3)(/l k) (—1, 1) = (—1J/ на бесконечномерный случай, оче-
очевидно, приводит к неоднозначности (при нецелых Я, [х).
В этой ситуации имеет смысл вместо прежнего универсального закона (9.626) преоб-
преобразования полей при TCP-симметрии допустить к рассмотрению более общий закон пре-
преобразования полей относительно полного отражения пространства-времени, при котором
матрицы i~f V (—1, 1) заменяются подходящими SL B, С)-инвариантными операторами,
по-прежнему действующими на спиновые переменные (или спиновые индексы) полей. Для
такой «обобщенной ТСР-инвариантности» (если она есть) мы будем использовать общий
«нейтральный» термин Ц?+ -ковариантности. Итак, под 5|3 +-ковариантностью системы БКП
мы подразумеваем, во-первых, существование антиизоморфизма полевой алгебры ^(М),
имеющего смысл полного пространственно-временного отражения и действующего на базис-
базисные поля ф(и> (х; и'*)) «точечным» преобразованием вида
Ф<«> (х; «««)) —»¦ ^ ф00 (— х\ А(*'к>ию), (И.34)
к'
где Л**'"': jD-%—<¦?-%, — некоторые переплетающие (т. е. SL B, С)-инвариантные) опе-
операторы*) для представлений Т-% и Т„х,; во-вторых, реализуемость
U (hi) фсх) (х; «<*>) U (ht) ~1 = 2 Ф'*'' (—х> Л<и'«)и"<>)* (И.35)
и'
этого антиизоморфизма посредством антиунитарного оператора U (ht) c правильным групповым
свойством по отношению к заданному представлению собственной группы Пуанкаре **)
U (Ist) U (a, A) U Qst)-1^ U (—а, А). (И.Зба)
Без существенного ограничения можно считать вакуум инвариантным:
Оказывается, что и в таком наиболее общем виде (И.35) (с «точечным» законом преобразо-
преобразования полей) §|3+-ковариантность системы БКП может отсутствовать. Цель данного пункта —
показать это на простых моделях БКП. Другое специфическое явление, с которым мы также
познакомимся на примере, состоит в следующем: система БКП может не быть §р+-ковариант-
ной, но 5$+-ковариантность может появиться после борхерсовского расширения исходной сис-
системы полей (при этом борхерсовское расширение нетривиально, так как добавленные поля
выражаются через исходные базисные поля в х-пространстве нелокально).
Обратимся к примерам БКП. В рассматриваемых моделях мы будем иметь дело
с конечной системой {ф<*> (х; и)}и=1 К B<^С< оо) свободных эрмитовых полей, пре-
преобразующихся по самосопряженному элементарному представлению***) % = Ah, 1h) группы
*) Предполагается, что А<к'ю = 0, если хотя бы одно из полей ф(и), ф(*'>—фермион-
вое, а другое— бозонное.
**) В связи с этим см. G.152в). Напомним, что специальная группа Пуанкаре 5$ +
является полупрямым произведением подгруппы 5|3^ и подгруппы {е, Ist), порожденной
полным отражением Ist- В свою очередь равенство (И.Зба) обеспечивает существование
в Ж унитарно-антиунитарного представления U некоторой накрывающей для §K+, которая
является полупрямым произведением спинорной собственной группы Пуанкаре $0 и неко-
некоторой (возможно, свободной) группы, порожденной элементом lsf. Поскольку /|/=1, ТО
унитарный оператор U GsiJ (если он отличен от единицы) должен задавать правило супер-
суперотбора (т. е. быть суперотборным оператором).
***) Оно называется представлением Майорана (и то же название носит конечномерное
]редставление у-матриц в пространстве майорановых, т. е. «вещественных» дираковских, спи-
юров в базисе Майорана; п.Д.2).
371
SL B, С). Эрмитовость полей означает:
ф(к> (*; и)* = ф<х> (х; п), к=1 К. (И.37)]
Поля ф<*> свободны в том смысле, что они удовлетворяют уравнению Клейна—Гордой»
с массой т > 0 и что (анти)коммутатор [ф<х> (х; и), ф(и'> (у; и)]т есть с-число, поэтому,
такие поля однозначно определяются двухточечными функциями. Прежде чем определить
их, мы приведем ряд свойств представления Майорана в 2)-%. Известно ([Г6], § Ш.6), что
35_х является предгильбертовым пространством относительно SL B,С)-инвариантиого
скалярного произведения (и | v) (где и, u?35_jc). Через Н обозначим гильбертово про»
странство — пополнение предгильбертова пространства 35-х- Замыкания V (А) операторо»
Г_зс (Л) образуют унитарное представление в Н. Далее, в Н существует ([Г.2], п.2.9.7)
ковариантный 4-вектор эрмитовых операторов Г1* (ц = 0, ..., 3), определенных на Ъ-%
вместе со всеми полиномами от ]> и коммутирующих с сопряжением и ¦—>¦ и (ковариант-
(ковариантность Г*4 означает V (Л)Г^ К(Л-Х) = Л (Л)^Т^). Кроме того, оператор Г° строго поло-
положителен, так что (за счет умножения на константу) можно считать
Г°^1. (И.38а)-
Из ковариантности Т^ следует:
при р2 = /и2, р° > 0. (И.386)
Определим теперь свободные эрмитовы БКП ф(х) (х\ и) (и=1, ..., К) двухточечным!
функциями
= С (й | М<»«<'> (рц Г^) | и) 2л0 (р°) б (р2 — та) е-'> <*->" d4p; (И.39I
здесь
М (t) = 2 Af;</ (И.40)
i=o
— некоторый полином от вещественной переменной [t со значениями в множестве эрмито
вых А^Х^С-матриц; предполагается, что det Mn Ф 0. Для положительной определенности
двухточечной функции достаточно выполнить условие
М(?K=0 при всех <5э/п. (И.41)
Локальность накладывает условие
М{—t) Т Ж(Г) = 0; (И.42)|
здесь «q=» означает «—» для бозе-статистики и«+» для ферми-статистики; при этом и четно»
соответственно нечетно.
С помощью теоремы реконструкции Уайтмана нетрудно убедиться, что всякая КХ
матрица М (t) (И.40), полиномиально зависящая от t и удовлетворяющая (И.41), (И.42), одно-;
значно определяет систему свободных эрмитовых бозонных (при четном и) или фермионных (щ
нечетном п) БКП, преобразующихся по элементарному представлению индекса % группы SLB,'
С) и имеющих двухточечные функции (И.39).
Построенные поля несут полуцелый спин и могут быть бозонными (при четном п) илн
фермионными (при нечетном п). Это показывает, что для БКП отсутствует связь спина со ста-
статистикой.
Условие (И.35) ковариантности относительно полного отражения пространства-времени
(т. е. фактически 5р+-ковариантность) в данном случае означает
U {?si) <P°° (*; «) U (^)-1 = 2 В*'*ф<*'>(-х; й), (И.43)
У.'
где В=(Ви'х) есть некоторая вещественная*) /СХ-К-матрица, U (JSf) — антиунитарный,
оператор. Условие антиунитарности оператора U (ISf) (вместе с инвариантностью вакуума);
накладывает ограничение на двухточечную функцию:
<0 I ф<и> (к; и) ф<и'> (у; v) | 0>= 2 В^^б1* <0 | ф^»' (—х, и) ф'*1' ( — у; v) | 0>, (И.44)'
И1'Х1
которое в терминах матрицы М (t) записывается в виде
(И.45)
*) Вещественность матрицы В вытекает из того, что эрмитовы поля при преобразованин
^ ПРПРУПЛЯТ R ЧПМИТПИМ
(И.43) переходят в эрмитовы
372
I
Выберем М (t) так, чтобы вещественная линейная оболочка матриц Му (/ = 0, ..., п)
совпадала с множеством всех эрмитовых /СХ./(-матриц. Тогда условие (И.45) означает:
для всех эрмитовых КХ/(-матрица а. Легко видеть, что такой матрицы В не
существует (ибо в противном случае получилось бы, что ab = ba для всех КХ /(-матриц
й, Ь). Значит, соответствующая модель БКП не !Ц$+-ковариантна.
В заключение познакомимся с возможностью восстановления §р +-ковариантности за
счет борхерсовского расширения исходной системы полей.
Упражнение ИЛ. Пусть существует комплексная КХ /(-матрица X(t), полино-
полиномиально зависящая от вещественного параметра t и удовлетворяющая соотношениям
X( — t)^Xljj=Q, (И.46)
X* (t) М (t) -1 X (t) =ЖG); (И.47)
положим
Y(t) = M(t)-1X(t). (HAS)
(а) Доказать, что поля
(х; и) = У ф<*'> (х; К<и'*> (iTV-jL) u) == (И.49а)
^^и V V ох^ it
с -
e-'PxdiP (И.496)
эрмитовы (в смысле (И.37)) и принадлежат классу Борхерса полей (р(ю, причем
<0 11|з<*> (х; и) р*-> (у; v) \ 0>=: и
A rD^ {х-у). (И.50)
(б) Доказать, что существует антиунитарный оператор U (lst), удовлетворяющий
(И.36) и такой, что
U Ost) Vю (х; и) U (Ist)-i = tw (-x; п). (И.Б1)
Приведем конкретный пример. Пусть п = 2/ + «0, где п0 есть нуль в бозе-случае или
единица в ферми-случае, l?Z+. Положим
М (t) = t"oN* (t) N (t), (И.52а)
где N(t)= 2 Njti—произвольная комплексная Л'хК-матрица, зависящая от t как по-
лином степени /, невырожденная при t^m и такая, что
Очевидно, при достаточно большом / можно выбрать W (t) так, чтобы вещественная обо-
оболочка матриц Mj A = 0, ..., п) совпадала с множеством всех эрмитовых 7(Х./(-матриц.
Согласно сказанному выше, соответствующая система БКП <p(w (с двухточечными функ-
функциями (И.39)) не §р+-ковариантна. Тем не менее если положить
X (t) = t"°N* (/) N (t), (И.526)
N (t)-1 7Щ, (И.52в)
о будут выполнены условия (И.46), (И.47). Согласно упражнению ИЛ это означает суще-
существование антиунитарного оператора U (Tsf), удовлетворяющего (И.36) и такого, что
U (Tst) Ф<Х) (х; и) U Ast)-1 = Vю (—х; й) (И.53а)
и, как легко видеть,
U (Tst) #*> (х; и) U (/"^)-1 = Ф<") (_*; п), (И.536)
"де поля ij5(>() (x; и) определены формулой (И.49) и принадлежат борхеровскому расшире-
шю системы полей ((<¦*>. Если дополнительно предположить, например, что Nt=l и
ЦЦф N (t), то Y (г)ф const является матричной рациональной (неполиномиальной) функ-
1ией от параметра t, так что поля ip(>:> выражаются через ф(х) в ^-пространстве существенно
1елокальным образом.
1
Глава 10. ПОЛЯ В ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКЕ
10.1. ПСЕВДОУАЙТМАНОВСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
А. Псевдогильбертово пространство. К картине полей в простра»
с индефинитной метрикой прибегают, когда пытаются формализовать и,
виртуального (или «потенциального») состояния (наподобие того, как с
мощью представлений организуют физические состояния квантовых с»
Понятие виртуального состояния можно проиллюстрировать на следующ)
«классическом» примере. Как известно, состояние свободного классическог
электромагнитного поля в пространстве-времени М определяется тензора
напряженности /^(х), удовлетворяющим уравнениям Максвелла. Это со
стояние можно также задать вектором-потенциалом А^ (х), однако така
характеристика является избыточной, поскольку две конфигурации, скажем
Лц (х) и А'^ (х) вектора-потенциала определяют одно и то же физическо
состояние (т. е. эквивалентны), если их тензоры напряженности совпадаю!
F*» Н дхЛ — ддЛ0 = Fiji N ад-
В этой ситуации можно сказать, что конфигурация А^(х) вектора-потенци;
ла — это виртуальное состояние (классического) электромагнитного поля
тогда как физическое состояние представляет собой класс эквивалентной
виртуальных состояний. Можно было бы допустить здесь не произвольны
конфигурации А11(х), а лишь те, которые удовлетворяют некоему калибро
вочному условию; тогда мы получим различные (в зависимости от калибровки
представления физических состояний классами эквивалентных виртуальны
состояний. Как мы увидим далее, в квантовом случае имеет место сходна
ситуация; при этом также пространство векторов виртуальных состояни
(для одной и той же «физики») можно выбрать, вообще говоря, многими
собами (соответствующими разным калибровкам).
Представление (фундаментальных) квантовых полей в пространстве
индефинитной метрикой развивается в полной аналогии с формализмом У;
мана. Основное различие состоит в том, что гильбертово пространство
торов физических состояний теперь заменяется псевдогильбертовым п;
странством векторов виртуальных состояний (которое определяется н:
поэтому формализм должен включать дополнительные аксиомы, обеспе1
вающие его физическую интерпретацию.
Пусть ?) есть комплексное /^-пространство с гильбертовой тополог
Это значит, что структура ЛВП на & определяется нормой | Ф || = К
где (Ф, W) есть скалярное произведение на ?>, относительно которого
является гильбертовым пространством. Подчеркнем, что в определен
гильбертовой топологии конкретный выбор скалярного произведения
некоторой степени несуществен: если (Ф, W)x есть другое скалярное про
изведение в §, то оно задает ту же топологию, когда существуют положи'
тельные числа С, С такие, что
С-{Ф, Ф)<(Ф, ФI<С(Ф, Ф)
(другими словами, когда нормы |Ф|| и |]Ф |jx подчинены друг другу). Даль-
Дальнейшие понятия формулируются таким образом, чтобы они были шва-
риантны относительно указанной замены гильбертова скалярного произведу
374
i
ния в ,§. (Примером такого понятия служит ограниченный линейный опера-
оператор А в <?); эрмитовость же — понятие неинвариантное.)
Псевдогильбертовым пространством назовем F-пространство $ с гиль-
гильбертовой топологией, на котором дополнительно определено индефинитное
скалярное произведение (Ф, ?) (так что $ является пространством с инде-
индефинитной метрикой, см. п. 1.1.Г); причем индефинитное скалярное произ-
произведение и гильбертова топология согласованы следующим образом: всякий
линейный непрерывный функционал F на ,?> однозначно представим в виде
A0.1)
где Ф — некоторый вектор из ,<г>, и обратно, для любого Ф б ^ равенство A0.1)
определяет линейный непрерывный функционал F(W) на <§. В этом определе-
определении индефинитное скалярное произведение является существенным элемен-
элементом структуры, в то время как гильбертова топология играет вспомогатель-
вспомогательную роль, поэтому определяющее ее гильбертово скалярное произведение
(Ф, W) можно варьировать в допустимых пределах. Условие согласования
скалярного произведения (Ф, W) и гильбертовой топологии можно перефор-
переформулировать так: существует линейный ограниченный оператор г\ с ограни-
ограниченным обратным тр1 в §), эрмитовый относительно гильбертова скалярного
произведения (Ф, W), такой, что
при Ф, Тб?. A0.2)
Докажем это. Пусть условие согласования выполнено. Из теоремы Рисса (см. пример 2
в п. 1.1 .Е) следует, что общий вид линейного непрерывного функционала F на § дается формулой
/'(Т)=(Ф1, W); с другой стороны, имеем равенство A0.1). Поэтому формула Ф1=т)Ф определяет
линейный автоморфизм т|: $j -*¦ §. Оператор т] эрмитов:
(т]Ф, ЧГ) = <Ф, ?> = <?, ф> = (пЧг, Ф) = (Ф
следовательно, он имеет замкнутый график и (по теореме 1.11) ограничен. Обратный оператор
гр1 также эрмитов и по тем же соображениям ограничен. В результате представление A0.2)
доказано. Обратное утверждение — справедливость условия согласования при наличии пред-
представления A0.2) — очевидно.
Упражнение 10.1. Доказать, что гильбертово скалярное произведение (Ф, *F)
можно переопределить таким образом, чтобы оператор ц в представлении A0.2) удовлетворял
дополнительному условию
¦П2=1. A0.3)
(Указание: если условие A0.3) в представлении A0.2) не выполнено, то можно ввести новое
гильбертово скалярное произведение (Ф, ЧгI = (ф, У^г\2У?) и новый оператор t)i так, что
<Ф, ЧГ> = (Ф, тIЧгI; вывести отсюда, что т]1 = т) (тJ)'2 и т}?=1.)
Эрмитов оператор т), удовлетворяющий условию A0.3), есть разность Т) = т)+—г)_
ортогональных проекторов (относительно гильбертова скалярного произведения); пару (q, р),
где <7 = dimt]+ §, р = сНтт]_§ называют сигнатурой псевдогильбертова пространства §•
Сепарабельные пространства с сигнатурэй (оо, р), где р — натуральное число, называют
пространствами Понтркина (см. Понтрягин, 1944).
Упражнение 10.2. Пусть в сепарабельном бесконечномерном псевдогильбертовом
пространстве §i имеется замкнутое подпространство ^ конечной коразмерности р (т. е.
<lta§i/§i = p < оо), причем сужение скалярного произведения <•, •> на §i неотрицательно
определено, и размерность подпространства )Qi~ {®?Sqi: <Ф, Ф> = 0} в ?>i равна р. До-
Доказать, что fei есть пространство Пзчгрягина с сигнатурой (оо, р). (Указание: §i можно
разложить в прямую сумму двух ортогональных (относительно <•, •>) замкнутых подпро-
подпространств, одно из которых 3fC есть бэскэнечномэрное гильбертово пространство (со скаляр-
скалярным произведением <•, •», а другог натянуто на векторы а^, ..., ар, Ь\ Ьр со свойствами
<а,-, ар = <)>[, 6у> = 0, <а,,6у> = б/у. Для доказательства выбрать произвольный базис
%, .... ар в §i и векторы b[ *p66i такие, что <а/, 6/> = б,-у, и положить b;=b'i —
~2<о/. b.^aj. Накэлец, опрздгл!ть Ж={ф?<д{: <Ф, */>=0, 1=1, .... р}¦)
i
Предложение 10.1. ГильЗер.пэза. топология псгздогильбертова про-
пространства однозначно определяется условием согласования индефинитного
скалярного произведения с гильбертовой топологией.
^ Пусть ,§ — псэздогильбертозо пространство с индефинитным скалярным произведе-
произведением (Ф, *F), причем его гильбэртоза топэлогия может быть задана скалярным произведением
375
(Ф, ?); следовательно, имеет место представление A0.2). Пусть далее на Sj задано другое гиль-;
бертово скалярное произведение (Ф, Ч^ц, также согласованное с индефинитным скаляриы»!
произведением (Ф, Y). Поэтому имеет место также представление
(Ф, ?)=(Ф, VF);b A0.4)
где т)!— эрмитов оператор в (§, (•, ¦)]) с ограниченным обратным. Покажем, что нормы ||Ф|| в
||Ф|1х на § эквивалентны. Из A0.2) и A0.4) следует: (Ф,1РI=(Ф, 1ПТ1^1г1г). Из этого представленщ
очевидно, что оператор щг1 эрмитов относительно скалярного произведения (.,.), и поскольку
он определен на всем §, то (по упоминавшейся выше теореме 1.11) он ограничен. Отсюда следует
существование числа с'>0такого, что(Ф, ФI^.с'(Ф,Ф). Аналогично доказывается, что(Ф,Ф)<
<с"(Ф, Ф)! при числе с">0. >
Некоторые понятия, связанные с гильбертовым пространством, естест-
естественно обобщаются на псевдогильбертово пространство 4>. Для линейного
оператора А с плотной областью определения DA (псевдоэрмитово) сопряжен-
сопряженный оператор А* дается определяющим соотношением
ФА*Ф, ?> = <Ф, DA4> при O?DA,, W?DA. A0.5)
Линейный непрерывный оператор Л вй называется псевдоэрмитовым, если
А* = А, т. е. если :
<ЛФ, ?> = <Ф, AWy при Ф, Y?$. A0.6)
Линейный автоморфизм 41 пространства § называется псевдоунитарным
если он определен на некотором плотном в ф линейном подпространстве:
2)с§ и (взаимно однозначно) отображает его на некоторое подпространство,,
плотное в §, причем
= <Ф. ?> при Ф, ???. A0.7)
Если псевдоунитарный оператор It является линейным автоморфизмом про-
пространства $ (так что ? = 4№ = 4?), то с помощью теоремы 1.11 о замкнутом
графике нетрудно убедиться, что операторы 41 и 11'1 непрерывны (и в этом
случае гильбертовы нормы ||Ф|| = (Ф, фу/2 и || Ф |х == || Ч1Ф | эквивалентны).
Упражнение 10.3. Доказать, что псевдоунитарный оператор ЭД унитарен относи-
относительно вспомогательного скалярного произведения (•, •) в точности тогда, когда [он ком-
коммутирует с оператором т).
Естественным образом определяется псевдоунитарное представление (g
группы Ли G (при этом считается, что %(gi)i?) входит в область определения^
%(g2) при любых gu gi^G; кроме того, как и в случае унитарных представ-
представлений, постулируется, что все матричные элементы (Ф, ^/(gLr) являются
непрерывными функциями от g при любых Ф, Т^ф).
Говоря об алгебре 58 ($) всех линейных непрерывных операторов в псев-
догильбертовом пространстве .?> как о банаховой *-алгебре, мы всегда под-
подразумеваем, что операторы из .33(.§) снабжены нормой, определяемой гиль-,
бертовой нормой в ^ (п. 1.4.А), и что оператор т| в представлении A0.2) удов-
удовлетворяет условию A0.3). (Тогда оператор т| эрмитов и унитарен относительно
гильбертова скалярного произведения, поэтому выполнено условие ||Л*||=
=||Л||, входящее в определение банаховой «--алгебры.)
Упражнение 10.4. Пусть Ж—банахова *-подалгебра в алгебре SB (§) всех линей-
линейных непрерывных операторов в псевдогильбертовом пространстве §. Пусть я есть *-пред-;
ставление алгебры Ж операторами в некотором гильбертовом пространстве $С (причем все
операторы я (А) имеют общую плотную область определения 2) с SK такую, что л (Л) 2)С®)»-!
Доказать, что все операторы я (А) (А?Ж) ограничены и представление я непрерывно по
норме: ||я (Л)||^|| А \\ для всех А^Ш- (Указание: убедиться, что для Л?91, ||Л|< 1 суще-
существует В = В*?Ж такое, что Л*Л+В2=1; для этого достаточно определить В в виде сум-.
мы ряда f(A*A), где /(г) — ряд Тейлора функции Vl— г. Заключить отсюда, что || л (Л)|<
ss 1 при всех А?Ж, || Л || < 1.)
В качестве примера рассмотрим пространство ^ виртуальных однофо-
тонных состояний в калибровке Гупта — Блейлера. Оно состоит из всех
комплексных 4-векторных измеримых функций Л^- (р) на конусе Г^" = {р ? М:
376
•=|р|}, для которых конечен квадрат гильбертовой нормы
\\df^{d,A) = S \d{p)\4dp\, A0.8)
1где
[Зададим в ^х представление группы Пуанкаре ^ по формуле
A0.9)
[Нетрудно проверить, что .<0i является псевдогильбертовым пространством
|с эрмитовой формой
" ~~ A0.10)
10
и что операторы CU1 (а, А) образуют псевдоунитарное представление группы
Пуанкаре.
Мы видим, что «виртуальный» фотон в калибровке Гупта — Блейлера
имеет четыре поляризации в отличие от «физического» фотона, имеющего
две поляризации. Согласно упражнению 7.17 гильбертово пространство век-
векторов состояний физического фотона есть Ж\ = $?\)й2)\, где $[—подпростран-
$[—подпространство векторов ^€$1 с поперечной волновой функцией (pllAii(p) = 0), a bl—
подпространство векторов из §| с нулевым скалярным квадратом. Этот при-
пример демонстрирует возможное соотношение между пространствами векторов
виртуальных и физических состояний.
Гильбертово скалярное произведение (Ф, Y) в рассмотренном примере инвариантно от-
относительно семимерной «группы Аристотеля», включающей трехмерные вращения и четырех-
четырехмерные трансляции пространства-времени. В случае более общих ковариантных калибровок
свободного электромагнитного поля, гильбертова норма может оказаться не трансляционно-
инвариантной.
С помощью операций прямых сумм и тензорных произведений можно из
заданных псевдогильбертовых пространств конструировать новые. Так, если
(/ = 1, ..., п) — конечный набор псевдогильбертовых пространств, в ко-
которых гильбертовы и псевдогильбертовы скалярные произведения связаны
соотношением типа A0.2): <Фу, Чгу> = (Фу, т]/?/), то в качестве тензорного
произведения § = $>1 (g).. . (g) {gn следует взять гильбертово тензорное про-
произведение и задать в нем индефинитную форму типа A0.2) при т] = т^г (х) • • •
...(Х)т)„. С помощью упражнения 1.44 легко убедиться, что ^ является
псевдогильбертовым пространством.
Точно так же по заданному «одночастичному» псевдогильбертову про-
пространству ^ методом вторичного квантования строятся псевдогильбертовы
фоковские пространства <FV (-©i) и FA (§i) типа G.109) виртуальных бозе-
и ферми-частиц.
Б. Аксиомы псевдоуайтмановского типа. Естественно предположить,
что квантовые поля в формализме с индефинитной метрикой являются опе-
операторными обобщенными функциями, значениями которых являются опера-
операторы в псевдогильбертовом пространстве ,§; соответственно полевая алгебра
есть некоторая «-алгебра операторов в ,<о. Однако в общем случае такое
допущение слишком жестко. Вместо этого потребуем, чтобы полевая «-ал-
«-алгебра % была реализована полуторалинейными формами на некотором плот-
плотном в § линейном подпространстве 2). Это значит, что каждому элементу
А % однозначно сопоставляется полуторалинейная форма <Ф\А\Ч>, где
i<D, ?$2); при этом <Ф| А*\ W> = <ЧГ | А |Ф>. Поскольку произведение полу-
! торалинейных форм не определяется естественным образом, то мы будем
[считать, что задано следующее конструктивное соответствие между произве-
произведением в алгебре Ж и произведением операторов в {q: каждый элемент
Л§1 есть предел (в смысле сходимости полуторалинейных форм над 25)
377
последовательности операторов Ап в ?), причем произведение АВ есть предел'
произведения последовательности операторов АпВп. Ситуация, когда поле-;
вая алгебра представлена операторами, остается важным частным случаем.
Приведем теперь набор аксиом псевдоуайтмановского подхода.
PW.I (релятивистская инвариантность). В псевдогильбер-
псевдогильбертовом пространстве !q векторов виртуальных состояний задано псевдоуни-
псевдоунитарное представление % (а, Л) спинорной группы Пуанкаре $р0. Предполага-
Предполагается, что I'M (а, 1)|| есть непрерывная полиномиально ограниченная функция
от а ? М.
PW.II (спектральность). Для любых векторов Ф, Тбф обобщен-
обобщенная функция
5<Ф, «И (а, 1)Ч->егЧ"Фа A0.11)
имеет носитель в верхнем световом конусе V+. .1
PW.III (существование и в сущности единственность
вакуума).
(а) В $ выделен 9$0-инвариантный вектор |0>, называемый вакуумным
вектором и нормированный условием <010> = 1.
(б) Если векторы Ф, Yg^ таковы, что обобщенная функция A0.11)
есть {комплексная) мера по р, то ее вклад, сосредоточенный в точке р = 0,
равен BяLб(р)<Ф10><01W>.
PW. IV (полевая алгебра). Задана (полевая) ^-алгебра $, реали-
реализованная полуторалинейными формами на некотором плотном в Q пуант-
ре-инвариантном линейном подпространстве 2), содержащем вакуумный век--
тор. Компоненты фр° фундаментальных квантовых полей ц>т являются
%-значными операторными обобщенными функциями ц>\ю (х) над пространством
Шварца if(M).
Здесь также предполагается, что каждое поле <pw) входти в данный
набор полей со своим (псевдоэрмитово) сопряженным cpf (х)* = ц>Ф(х). Через
3" (М) мы обозначаем полиномиальную полевую алгебру, состоящую из все-
всевозможных конечных сумм элементов вида (8.8). Если при этом в (8.8) огра-
ограничиваться функциями f?eDF), где 6— открытое подмножество в Ж, то
мы получаем подалгебру 9* F)с:5!>(М). Элемент А, принадлежащий 9*{б)
для некоторого ограниченного открытого множества б, называется локаль-
локальной величиной из 3s (М). Соответственно произвольный элемент из 3* (Щ
можно интерпретировать как квазилокальную величину. Как мы увидим
в дальнейшем (п. 10.2.Б), вообще говоря, из таких величин нельзя обра-
образовать достаточного набора операторов рождения (из вакуума) заряженных
физических состояний. Поэтому наряду с 9s (M) мы вводим более широкую
полевую «-алгебру ^пЗ'(М) (с единицей), некоторая порождается алгеброй
5* (М) (в том смысле, что каждый элемент из % есть предел последователь-
последовательности Ап б З3 (М) в смысле сходимости полуторалинейных форм на 2)) и
может включать «глобальные» величины.
Вакуумное среднее (8.27) по-прежнему будем называть функцией Уайт-
мана полей <р(*'>, ..., фС») (это обобщенная функция из if" (Mn)).
PW. V (пу а нк а ре-к ова р и а нтн ост ь полей).
4L{a,A)^(x)cU{x, Л)-1 = 2^т(Л-1)Ф^)(Л^ + «). A0.12)
где Vw (А)—конечномерные матричные представления группы SLB, С) (ра-
(равенство A0.12) понимается в смысле полуторалинейных форм на 2), являю-
являющихся обобщенными функциями по х).
Аксиома PW.V позволяет задать на полевой алгебре % действие груп-
группы Пуанкаре $р0 «-автоморфизмами а (а, Л) (так что формула типа (8.9)
выполняется в смысле полуторалинейных форм). Конечно, это действие долж-
должно удовлетворять разумному условию непрерывности. По крайней мере мы
378
будем предполагать, что если Ап—>¦ А и Вп—^ В (в смысле полуторалинейных
форм над ?>),то <Ф, Апа(а< х) (Bn)W> —* <Ф, Аа{а< г) (?)?> в смысле обобщенных
функций по а?М (здесь Ф, Т^ф). Тогда из условия спектральности PW.II
вытекает:
supp ^ <<?>\Aala,1)(B)\O>e-lpadipc:V+ при А, В?$, Фб?). A0.13)
(Здесь не предполагается, что А и В обязательно являются операторами,
так как в противном случае это условие не содержит ничего нового по
сравнению с PW.II.) Точно так же, для того чтобы иметь возможность
применять условие единственности вакуума в контексте полуторалинейных
форм, предположим справедливым следующее добавление к аксиоме PW. III (б).
PW.III. (б') Если вектор ф? 3D и элементы А, В?$ таковы, что
обобщенная функция j <Ф| Ла(а> г) (В) | §>е~1раача есть (комплексная) мера
ю р, то ее вклад, сосредоточенный в точке р — 0, равен BяL б (р) <Ф | А |0> х
х<0|В|0>.
PW.VI (локальность).
у\К)(х) ц^'^ (у) = aw- *'*у™"*(у) 4>\ю(х) при (х—уJ < 0, A0.14)
где матрица а=(ам- *'>) состоит только из чисел ± 1.
PW.VII (цикличность вакуума). Если для некоторой сильно
сходящейся последозательности Фп б 2) последовательность <ФП | А | 0> схо-
сходится к 0 при всех А?Р(М), то НтФ„ = 0 *).
В случае когда вспомогательное гильбертово скалярное произведение (•, •) трансляцион-
но-инвариантно, т. е. все операторы 11(а, 1) унитарны (и, значит, согласно упражнению 10.3
коммутируют с оператором г\ в представлении A0.2)), применима теорема Стоуна, дающая для
операторов Ща, 1) представление A.68); соответственно оператор 4-импульса Рц (определяе-
(определяемый равенством Р& =—j_—'Mia, 1Iа=о) обладает спектральным разложением типа A.64).
оац
Таким образом (на основании теоремы Стоуна), для трансляционной инвариантности вспомо-
вспомогательного гильбертова скалярного произведения (•, •) на ?> необходимо, чтобы при любых
Ф, ??§ выражение A0.11) было (конечной комплексной) мерой на М. Вообще говоря, это усло-
условие не выполнено и прежние спектральные разложения типа A.68) и A.64) для U (а, 1) и Р^
становятся неприменимыми; соответственно теряет смысл также разложение (п.7.2.Б) векторов
состояний по (возможно, несобственным) векторам с определенными инвариантами группы
Пуанкаре.
В псевдоуайтмановском подходе вакуумный вектор |0) оказывается циклическим вектором
для полевых алгебр ^(б). ассоциированных с произвольными непустыми открытыми подмно-
подмножествами QczM (доказательство теоремы 8.2 переносится сюда без изменений). В то же время
неприводимость алгебры,?р(Л/) (как следствие условия цикличности вакуума, см. теорему 8.1)
имеет место, если потребовать, чтобы в § существовал единственный (с точностью до множителя)
трансляционно-инвариантный вектор, а именно вакуумный вектор |0) (Моркио и Строкки, 1980,
теорема 11).
Модели с неодномерным подпространством трансляционно-инвариантных векторов
иногда допускают описание альтернативным методом, когда вместо условия существования
в § вакуумного виртуального состояния требуется существование (и единственность с точ-
точностью до множителя) вакуумного виртуального обобщенного состояния. Мы не будем здесь
формулировать относящиеся сюда понятия в общем случае и введем их для конкретных моде-
моделей в гл. 11.
В аксиоме локальности PW.VI не предполагается связь спина со ста-
статистикой (ср. условие W.VIII). Теперь она может нарушаться, как показы-
показывает следующий пример.
Пусть с(х) — свободное заряженное скалярное поле массы т, которое, однако, предпо-
предполагается не бозонным, а фермионным. Это значит, что оно удовлетворяет следующим канониче-
каноническим антикоммутационным соотношениям:
[с(х), с((/)]+ =0 = [с*(х), с*(у)]+, A0.15а)
И*). с*\(у)]+ = ]-От(х-у). A0.156)
*) В случае когда алгебра ??(М) реализована операторами в §, это условие переходит
в обычное условие цикличности вакуума (см. аксиому W.VII в п. 8.2.А).
379
Соответствующее представление нетрудно построить методом вторичного квантования; в ка1
стве §! выберем то же самое одном астичное подпространство, что и в обычном квантовани
свободного заряженного скалярного (бозонного) поля (п.8.4.Б). Пусть §=JFA(§i) есть соот
ствующее фоковское пространство ферми-частиц со скалярным произведением (•, •); как и 1
(8.95), (8.96), положим
~с(р) = А+(-р, -\)+А(р, 1),
А{р, ±\)=~(A1(p)TiA2(P)),
где А*, 2 (р) и Ait 2 (Р)— операторы рождения и уничтожения ферми-частиц:
В § естественным образом определены оператор N [числа частиц и оператор Q заря,
(ср. (8.98)). Определим в ^ псевдогильбертову структуру формулой A0.2) при г\ = (—l^-W1
Упражнение 10.5. Убедиться, что построенное таким образом поле с (х) удовла
воряет написанным выше аксиомам PW.I — VII. При этом двухточечные функции Уа
мана имеют вид
<01 с (х) с (у) \ 0> = 0 = <0 | с* (х) с* (у) | 0>, A0.15вI
<0 | с (х) с* (у) | 0> = 1 OiT> (х- у) = - <0 | с* (х) с (у) | 0>. A0.15r)J
Упражнение 10.6. Доказать, что (при любом выборе фазового множителя ft) для]
построенного выше скалярного фермионного поля с (х) не существует псевдоантиунитарного!
оператора в (т.е. ТСЯ-оператора) такого, что вс (х) в* = Фс* (—х), в с* (х) &*=Ъс(—хЫ
(Указание: если бы такой оператор в существовал, то он обладал бы свойством &Ч1 (й,Л)в*а|
= % (—а, Л), которое доказывается на основе неприводимости полей с, с* точно так же,}
как доказывается соотношение G.152в) в упражнении 7.30; из единственности трансляцион-1
но-инвариантного вектора в § отсюда следовало бы © | 0> = to | 0> (где ш — фазовый множен
тель), и тогда двухточечные функции обладали бы свойством <0 | с (х) с* (у) | 0> = <0 | с* (—.
Хс(—у) | 0>, что противоречило бы A0.15г).)
Прежнее доказательство ГСР-теоремы 9.13 неприменимо в этом примере из-за непра-
неправильной связи спина со статистикой. (Как отмечалось в п. 9.2.А, в формализме Уайтмаш
ГСР-теорема справедлива и при неправильной связи спина со статистикой, поскольку та»
возможно преобразование Клейна.)
В. Вакуумный сектор и заряженные состояния. Мы должны еще при-
привести дополнительные требования, которые обеспечат физическую интерпре-
интерпретацию формализма с индефинитной метрикой. С этой целью предположим,
что из (фундаментальных) полей в пространстве с индефинитной метрикой
$ построена некоторая «-алгебра SC, называемая алгеброй наблюдаемых.
Основной принцип, по которому выбирается алгебра 81, есть калибровочная,
инвариантность. Это значит, что на полевой алгебре % действует «-автомор-
«-автоморфизмами А—>yg(A) некоторая группа $, которую (в этом контексте) назо-
назовем большой калибровочной группой. При этом естественно наложить сле-
следующее условие (секвенциальной) непрерывности: если Ап—>А (в смысле
полуторалинейных форм над ?)) в %, то yg(An)—>yg(A) (в том же смысле)
при любом gZ.'S. Алгебра наблюдаемых §1 определяется как подалгебра
всех ^-инвариантных элементов из %. Чтобы алгебра наблюдаемых перехо-
переходила в себя под действием автоморфизмов а(а, Л) группы Пуанкаре $р0, будем
предполагать, что $р0 действует автоморфизмами на $(g-—*¦ g' = g(a' ?>), так
что выполнено условие $р0-ковариантности
«(о, Л)Тга(а.1Л) = 7й' ПРИ всех g€^> (а> -fy 6 Фо- A0.16)
Кроме того, в соответствии с физическим смыслом наблюдаемые должны
преобразовываться по однозначному представлению группы Лоренца, поэто-
поэтому потребуем, чтобы среди автоморфизмов yg(g?G) имелось преобразова-
преобразование а(о, -1), так что
а@, _1)(Л) = Л при Л 691. A0.17)
Следующая аксиома делает возможной физическую интерпретацию фор-
формализма.
360
,
PW.VIII (свойства алгебры наблюдаемых). Определена боль-
ая калибровочная группа %, действующая ^-автоморфизмами на полевой
ебре $, причем
(а) выполнено условие пуанкаре-ковариантности A0.16);
(б) вакуумный функционал <01А | 0> на алгебре наблюдаемых 91 (т. е.
^подалгебре всех ^-инвариантных элементов из%) есть линейный положитель-
функционал:
<0|ЛМ|0>>0 при А?Ш. A0.18)
С помощью конструкции ГНС вакуумное среднее (как положитель-
ый функционал) определяет циклическое представление nvac алгебры наблю-
шх 21 в некотором гильбертовом пространстве ,9^vac с циклическим
/умным) вектором ^vac; это представление алгебры 91 называется ваку-
Мным.
Предложение 10.2. Вакуумное представление алгебры наблюдаемых
приводимо; группа Пуанкаре ф0 унитарно реализована в fflvac, причем
чено условие спектральности и единственности (с точностью до мно-
еля) трансляционно-инвариантного вектора в fflvac-
¦4 Тот факт, что симметрия алгебры 31 относительно группы Пуанкаре $„ унитарно
лизована в fflvac, следует из предложения 1.30. В силу цикличности вакуума условие
ральности supp \ <®i, U (а, 1) Ф2> e4P°d4flCF+ достаточно проверить для векторов
да Ф/ = яуас (Лу) Yvac, где Лу^ЗГ; тогда <ФЪ U (а, 1) ф2> = <0 | Л? аш, » (Л2) | 0>. Теперь
вызываемое условие спектральности следует из A0.13).
Для доказательства того, что Yyac есть единственный (с точностью до множителя)
реляционно-инвариантный вектор в ^fVac. обозначим через Q проектор на подпростран-
Ю трансляционно-инвариантных векторов из $%Vac- Достаточно проверить, что<Ф1( <2Ф2>=
|<Ф, "Fvac> <4rvac, Фг> для всех Фг, Фг^^уас- Как и выше, здесь можно ограничиться
ами вида Ф/ = яуас(Лу) Wvac- Теперь доказываемое равенство следует из того, что
лад меры \ <0| А* аи, ц (Л2) /0>e-'Pad4a в точке р = 0 равен Bя)*б(р)<Ф1, СФг>. Н
},условия PW.III (б').
Наконец, неприводимость представления яУас доказывается точно так же, как предло-
иие 8.1 (поскольку выполнены условия цикличности относительно Яуас C1) и единствен-
вакуума). >
Обобщая приведенную конструкцию, в принципе можно получить со-
Ояния невакуумного сектора. Пусть в группе % выделена нормальная
руппа $0, переходящая в себя при действии группы Пуанкаре $0; на-
So в этом контексте малой калибровочной группой. Здесь для про-
мы ограничимся случаем, когда фактор-группа
Г = ?/?о A0.19)
компактная группа Ли; назовем ее эффективной калибровочной груп-
\ *). По аналогии с определением алгебры наблюдаемых множество 23 &0-ин-
риантных элементов полевой алгебры % мы назовем алгеброй физических
яичин (при условии, что выполнены нижеследующие условия PW.IX).
скольку yg(А) прн g?$, A ?23 зависит только от класса смежности
? Г элемента g, то, допуская вольность, запишем**) yg(A) = yh(A); тем
группа Г действует «-автоморфизмами алгебры 23. Следующее естест-
ное предположение состоит в том, что при любых А ? 23, Ф, ^? ? ?5 функ-
<Ф | ун (А) ?> непрерывна по h б Г и что произвольному элементу А ? 23
о сопоставить его усреднение ^ yh(A)dh по группе Г, являющееся
*) Мы используем термин «эффективная калибровочная группа», чтобы отличить Г от
ибровочной группы» G, фигурирующей в моделях с калибровочной инвариантностью 2-го-
а (и в которых Г и G могут не совпадать). Ограничение рассмотрения компактными группами
i не более широким классом, например, локально-компактных групп) позволяет избежать
лнительных усложнений (пример некомпактной группы Г встретится нам в п. 11.1.Б).
**) Наибольший интерес представляет случай, когда g есть (полу)прямое произведение
рупп g0 и Г; тогда элемент 7лИ)> очевидно, определен при всех Л^о. h?T.
381
элементом из 91, причем
\)l A0.20)
г г
{здесь dh — инвариантная мера на Г, нормированная на единицу).
Итак, чтобы иметь возможность построения заряженных секторов ал-
алгебры наблюдаемых, примем следующую аксиому.
PW.IX (свойства алгебры физических величин). Задана
малая калибровочная группа &0, являющаяся Пуанкаре-инвариантной нормаль-
нормальной подгруппой в "& с компактной фактор-группой Г, причем
(а) автоморфизмы yh (h ? Г) ^-алгебры 23 физических величин (определяе-
(определяемой как подалгебра всех ^^-инвариантных элементов из %) коммутируют с
автоморфизмами а(а, ц группы $0;
(б) формула A0.18) определяет оператор усреднения (по группе Г) из
алгебры 23 в 31;
(в) выражение
s(A)=\iO\yh(A)\Oydh, A €23, A.0.21)
г
есть линейный положительный функционал на 23, т. е.
s(AM)>0 при А^. A0.22)
Опять конструкция ГНС по линейному положительному функционалу
s(A) алгебры 23 позволяет построить циклическое представление л алгебры
23 с циклическим вакуумным вектором Wg в некотором (физическом) гиль-
гильбертовом пространстве Ж, так что
S(A) = <WO, л(Л)?0>, А €23. A0.23)
Очевидно, функционал s(A) ^50- и Г-инвариантен, поэтому (как и в пред-
предложении 1.30) определены унитарные представления U (а, Л) группы $0 й
V (И) группы Г, причем операторы U (а, Л) коммутируют с операторами
V(h); они оставляют вакуумный вектор ?0 инвариантным. В то же время
подпространство всех трансляционно-инвариантных векторов в Ж, вообще
говоря, может иметь размерность, большую единицы (тогда говорят о вы-
вырождении вакуума), а представление л быть приводимым (это происходи?
при спонтанном нарушении калибровочной инвариантности, см. п. 10.3.В).'
Согласно теории унитарных представлений компактных групп ([В7],
п. 1.4.2), физическое гильбертово пространство Ж однозначно разлагается
в прямую сумму ортогональных Г-инвариантных подпространств Ж{Х)фЩ
Ж= © Ж™ A0.24)
хе <?Г
со следующим свойством: индекс х пробегает некоторое семейство $~ ш^
парно неэквивалентных (конечномерных) унитарных неприводимых представ*
лений группы Г и подпредставление группы Г в Жт унитарно эквивалент:
но представлению вида т(/г)(ЯI (при этом Жт изоморфно тензорном^
произведению пространства представления т с некоторым гильбертовым
пространством). !
Упражнение 10.7. Пусть (для простоты) алгебра наблюдаемых 91 состоит из ограни-
ограниченных операторов в .§ и является банаховой *-алгеброй. Доказать, что подпространств^
Жт инвариантны относительно операторов U (а, А) и операторов я (Л), А ?91. (Указание:
применить лемму Шура.)
Согласно приведенному упражнению, в случае когда алгебра наблю-
наблюдаемых есть банахова «-алгебра, состоящая из ограниченных операторов в
<&, формула A0.21) дает разложение
л= © я«> A0.25)
i
дставления л алгебры наблюдаемых 91 на подпредставления л(т> в под-
гранствах, преобразующихся по представлению, кратному т, группы Г.
ножество $~, фигурирующее в A0.21), называется физическим спектром
Ьуппы Г. Вакуумное представление луас алгебры §1, очевидно, содержится
[представлении л@), соответствующем тривиальному представлению то(А) = 1
уппы Г. Состояния, соответствующие векторам из подпространств ст^т,,
овем заряженными состояниями алгебры наблюдаемых.
В более общем случае, когда в алгебре л (Щ допускаются неограничен-
операторы, для приведения ее подпространствами Жх нужно добавить
хническое» предположение: для любого элемента A G 23 и любого матрич-
элемента хтп (К) (неприводимого представления группы Г) определен
грал \ xmn(h)yh(A)dh== А??? 23. Тогда по-прежнему имеет место раз-
кение A0.25), причем Жт совпадает с замкнутой линейной оболочкой
торов вида л (Л{$) Wo при фиксированном т. В частности,
есть замыкание я^I?,,. A0.26)
Для представления л справедливо следующее предложение.
Предложение 10.3. Будем считать выполненным следующее естест-
«техническое» предположение: для любых элементов А, В из алгебры
физических величин выражение <0|уй(Ла(а11)(В))| 0> как обобщенная
ция по а?М зависит непрерывно от h?T (как от параметра). Тогда:
(а) симметрия алгебры 23 относительно группы Пуанкаре $„ унитарно
ча в Ж, причем выполнено условие спектральности;
(б) если Yo есть единственный (с точностью до множителя) трансля-
о-инвариантный вектор в Ж, то представление л алгебры 23 непри-
Упражнение 10.8. Доказать предложение 10.3. (Указание: действовать так же»
; в доказательстве предложения 10.2.)
Замечание. В заключение стоит отметить, что роль исчисления операторов в псев-
льбертовом пространстве, в принципе, можно считать исчерпанной с построением полевой
лгебры % и вакуумного функционала на ней, поскольку основные элементы псевдоуайтма-
ского формализма после этого можно переформулировать чисто алгебраически, т. е. в тер-
:ах алгебры g; и вакуумного функционала на ней, в сущности, уже без явного обращения
:евдогильбертову пространству. Единственный «след» индефинитной метрики проявляется
м, что вакуумный функционал на § не положителен. Мы не будем здесь специально оста-
ливаться на этой чисто алгебраической формулировке, которую назовем слабой формой
' уайтмановского подхода (ее нетрудно вывести из аксиом PW.I—IX).
Г. Физическое подпространство псевдогильбертова пространства. Оста
вимся подробнее на конструкции физического гильбертова пространства Ж
(одном частном, но важном случае. Во-первых, дополнительно предпо-
ается, что эффективная калибровочная группа Г есть подгруппа в #
|ак что Ъ есть полупрямое произведение подгрупп &„ и Г); во-вторых,
оморфизмы yh (h ? Г) полевой алгебры $ реализованы псевдоунитарным
дставлением h —>¦ V (h) группы Гв§, причем вакуумный вектор |0> ин-
рриантен относительно операторов V (h). Наконец, будем считать, что эле-
нты полевой алгебры $ реализованы не просто полуторалинейными фор-
форами на S), а операторами на 25, оставляющими область 5) инвариантной.
При сделанных предположениях обозначим посредством ^' множество
Ф § Ф Л|
р р
кторов Ф псевдогильбертова пространства
е.
вида ФА = А 10>, где А ? 23,
A0.27)
(назовем $$' физическим подпространством пространства & виртуальных со-
ояний. Скалярное произведение векторов ФА и Фв, очевидно, есть <.ФД,
> = <0|Л*В|0>. С другой стороны, имеем
A0.28)
s (Л) = ) <01 V (h) AT3 (h)-11 0> dh = <01 A \ 0>
г
при всех Л ^ 39, так что
<фл, Фв> = 5(Л*В) = <л(Л)?0, я(Я)?0> A0.29)
при всех A, В ?53, где л—физическое представление алгебры 33. Отсюда
следует, что сужение на $' скалярного произведения есть неотрицательно
определенная форма; следовательно, фактор-пространство D = .?>'/§" есть
псевдогильбертово пространство; здесь
а" = {Ф€?': <Ф, Ф> = 0}. A0.30)
Более того, формула A0.29) позволяет отождествить пополнение простран-
пространства D с физическим гильбертовым пространством. Действительно, из A0.29)
легко следует, что отображение, сопоставляющее классу эквивалентности
[Фл] в D = .§'/•§" вектора Фд^§' вектор л(Л)?0, определено корректно и
сохраняет скалярное произведение. Тем самым D и яB3)?0 изоморфны;
значит, пополнение пространства Dw.SK также изоморфны как гильбертовы
пространства и могут быть отождествлены (что мы и сделаем).
Как легко видеть, после такого отождествления операторы п(А) при
А ? 23 задаются формулами
я(Л)[Ф] = [ЛФ] при Ф€#'; A0.3Г|,
аналогично для представления групп $0 и Г имеем
U (а, А) [Ф] = [41 (а, А) Ф], V (h) [Ф] = \V> (К) Ф] при Ф ? ?'• (Ю.32)
Упражнение 10.9. Пусть выполнены предположения, сделанные в начале настоя
щего пункта.
(а) Доказать, что Ч^ есть единственный (с точностью до множителя) трансляционно-инва-
риантный вектор в Ж и что представление я алгебры 58 в 5% неприводимо. (Указание: здесь
применимы те же аргументы! что и в доказательстве предложения 10.2.)
(б) Доказать, что вакуумное представление я„ас алгебры наблюдаемых 91 совпадаете
подпредставлением я@) алгебры 31 (соответствующее тождественному представлению xo(h)^i
в разложении A0.25)). (Указание: воспользоваться соотношением A0.26), а также тем, что
$%мзс есть замыкание яуас (A) ^?vai:; далее, убедиться, что существует изоморфизм $fvac,
и Жъ* однозначно определенный условием: вектор яуас (А) Ч^с переходит в я (А) Чо пр»
произвольном А ?31.)
Упражнение 10.10. Пусть, наряду с предположениями в начале настоящего
пункта, выполнены условия: большая калибровочная группа g является абелевой и авто
морфизмы 7г(?€$) полевой алгебры реализованы псевдоунитарными операторами f^ig)*
§, образующими представление группы g и принадлежащими алгебре наблюдаемых Я,
причем
<0 I V> (g) 10> = 1 при всех g?<$. A0.33)
(а) Доказать соотношения *)
я(^(§))^0 = ?0 при g?<§, A0.34)
r))=l при g?$0. A0.35)
{Указание: условие A0.33) означает <ЧГО, я (^У3 (g)) То> = 1; отсюда следует A0.34). Для
доказательства A0.35) подействовать оператором я ("J/Ъ (g)) при g?go на вектор я(Л)?,
при ЛР58; воспользоваться, далее, тем, что :!J/3 (g) и А коммутируют, а также соотноше-
соотношением A0.34).)
(б) Доказать, что
<Ф, fv (g) Ч*1) = <Ф, ЧУ для всех g?^Ot ®t ^€§'- (Ю-36)
{Указание: переписать соотношения A0.36) в терминах физического гильбертова простран-
пространства и воспользоваться A0.35).)
10.2. АБЕЛЕВЫ МОДЕЛИ С КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТЬЮ 2-ГО РОДА
А. Поле дипольного духа и градиентная модель. Модели, рассматриваемые в этом пунктв|]
несмотря на примитивность их, не лишены интереса, поскольку в них наглядно появляется!
характерные черты теорий с калибровочной инвариантностью 2-го рода. 1
*) Соотношения A0.35) означают, что величины ^(g) при g?S0 хотя и «наблюдаемым
но в весьма тривиальном смысле: все они тождественно равны единице в физическом предстаэ-j
лении алгебры наблюдаемых. i
384 ,
Полем дипольного духа называется скалярное нейтральное поле xM = X*(*)> удов-
удовлетворяющее уравнению 4-го порядка
?2Х(*) = 0 A0.37)
и каноническим коммутационным соотношениям *) (ККС)
[X М", X (УI = j 2яе (р°) б' (р2) е-<> <*-у) diP = - JL 8 (х°) 9 (*2). A0.38)
Размерность поля х по массе равна нулю, т. е. на единицу ниже «канонической» размер-
размерности свободного скалярного поля (равной d/2—1=1, где d=4 — размерность пространства-
времени Минковского), поэтому поле называется также свободным безмассовым субканониче-
субканоническим (или «безразмерным») скалярным полем- Оно получается в результате квантования
системы двух скалярных нейтральных полей х(х) и A(i) с квадратичным лагранжианом
Уравнения Лагранжа —Эйлера
?Х = Л, A0.39а)
0 A0.396)
позволяют исключить поле Л и получить уравнение A0.37). Одновременные ККС, из кото»
рых нетривиальны только
[д0А (х), х Ш }хо^уо = у б (х-у) = [до% (*), А (у)] \х, =и.,
вместе с уравнениями движения A0.39) приводят к A0.38).
Будем строить представление поля %(х) методом вторичного квантования, постулируя
следующий вид двухточечной функции:
а» (х ~ У) ^ <° I X (*) X {У) 10>. A0.40)
где
ш(дг) =
Здесь мы сталкиваемся с неопределенностью произведения 6(р°)б'(р2) обобщенных функций
(«инфракрасной расходимостью»): эта обобщенная функция однозначно определена лишь на
основных функциях и(р), равных нулю в точке р=0 **). Результат доопределения этого функ-
функционала до обобщенной функции из af'(M) дается формулой A0.41), содержащей произвольный
параметр х размерности массы (параметр инфракрасной регуляризации). Очевидно, w(x)
является присоединенной однородной обобщенной функцией (нулевой степени первого рода):
w(px)=w(x)—о-г"'пР при р > 0. A0.42)
Упражнение 10.11. Доказать, что существует вещественная функция
такая, что Л @) = 1 и
<0 I X (Л) X (Л) I 0> (= J w (x-y) h (х) h (у) d*xd*y^ =0. A0.43)
(Указание: пусть f (х) — произвольная вещественная функция из ?р (At) такая, чтс>7@) = 0,
и пусть fp(x) = p~lf(p~1x) при р > 0; из условия A0.42) следует, что в качестве h можно
выбрать /р при подходящем выборе р.)
Упражнение 10.12. Пусть п—фиксированный вектор из V+ такой, что п*=1,
и(р) — произвольная функция из <у (М) такая, что и@) = 0. Доказать соотношение
2я J 9 (р°) б' (р2) и (р) diP= J ^ (-п д + ~ ) и (р) (dp),. A0.44)
+
(Указание: при п = A, 0) доказываемое соотношение получается, если левую часть пере-
переписать в виде — -^ Г 2я9 (р°) б (ра - m2) u (p) rf4p = — -^ J -^- и (о, р); общий случай
следует из лоренц-инвариантности w(p).)
*) Другой вариант поля дипольного духа получается, если коммутатор [х М» X (#I
взять с противоположным знаком по сравнению с A0.38); для него можно выполнить анало-
аналогичные построения.
**) В противоположность этому обобщенная функция к(р°) б'(р2) в A0.38) хорошо оп-
определена как нечетная однородная обобщенная функция из <У'(М) (см. упражнение В. 10 или
п. 3.2.В).
13 Н. Н. Боголюбов и др. 385
Эрмитова форма <0] х (/) 1 (g) I 0> (/, g^of (Щ) на пространстве tf (M), очевидно, не
является неотрицательно определенной. (Это следует из того, что w (р)— преобразование
Фурье двухточечной функции — не является (положительной) мерой; это вытекает также
из формулы A0.42); ср. с упражнением В.6.) Поэтому представление поля 1(х) методом
вторичного квантования должно строиться в пространстве с индефинитной метрикой. С этой
целью фиксируем вещественную функцию h ? gf (М) ей @)=1, для которой <0) % (К) % (А) |0>=0
(см. упражнение 10.11). Фиксируем также вектор n?V+ такой, что л2=1. Произвольной
функции / (x)g(^ (М) сопоставим пару функций fA>(p), Л2) (р) на Го"
=|/)i, A0.45a>
-яд +JL) (f (p) —7@) Л(Р)) Ц A0.456)
и пару комплексных чисел
Л3> = <0|ос№х(/)|0>, я*>=7@). A0.4бв>
Тогда с помощью упражнения 10.12 получаем
<0 I X G) X (g) I 0> = J {WHp) G«> (р) +7™Jp) GW (р)} (dpH +Я5» G(« + fw G«. A0.46).
г+
Выберем теперь в качестве одночастичного подпространства гильбертово пространство
fo = if2 (Г?, (rfp)o) 0 & (Г?, (dpH) e С2 A0.47)
со скалярным произведением
(F, С) = J {Я5"' (р) G'1' (р) + Я2» (р) С*2' (р)} (rfp
и определим на нем индефинитную форму <F, G> с помощью правой части A0.46); в ре-
результате §i становится псевдогильбертовым пространством.
Упражнение 10.13. Доказать, что формулы A0.45) определяют линейное отобра-
отображение из З1 (М) на всюду плотное подпространство в §х.
В §i можно задать псевдоунитарное представление 1li(a, Л) группы §р0 таким обра-
образом, чтобы функция /{а> Л} (x)^f(A-1(x— а)) переходила при отображении A0.45) в эле-
элемент Ч1х (а, Л) F из ?ц. (Предлагаем читателю в качестве упражнения найти явный вид
операторов 1li(a, Л).) Пусть теперь § = |Fv($i) есть псевдогильбертово фоковское прост-
пространство бозе-частиц с операторами рождения и уничтожения a*(F), a(F'), удовлетворяю-
удовлетворяющими G.119). Положим по определению
Упражнение 10.14. Доказать, что так определенное поле удовлетворяет соотно-
соотношениям A0.37), A0.38), A0.40).
Упражнение 10.15. Пусть В — вектор из §х, определенный условиями
) = Я<2>(р) = 0, вю^/гЬ ?<4> = 0. A0.50)
(а) Доказать, что одномерное подпространство ^ в ?i, натянутое на вектор В, Пуан-
Пуанкаре-инвариантно. (Указание:
<0 IX G) о* (В) | 0> = Vi'Tw (Ю-51)
при всех f€a?(M).)
(б) Доказать, что подпространство <§=§rv{<8i) B ? = IFv(?i) пуанкаре-инвариантно,
причем
><0|Чг> при Ф, Ч€.<В. A0.52)
(в) Положим
(B). A0.53)
Доказать, что при f?afr(M) и
exp (iQc) ехр (i J X W / W d^) ехР (~{QC) = ехР (' $ X' W / W <***). (Ю-54)
где
X'W = X(*) + c- A0'55>
386
(Указание: воспользоваться ККС в экспоненциальной форме (т. е. в форме Вейля)
exp (iQc) exp (f J X (*)/ (*) <*4*) =
= exp (— [q, ? X W / (*) d4*] c)exp [ijxM/ (*) d**) exp (tQc);
здесь
[ J X W / W d4*. Q] = if @) A0.56)
как следствие соотношений A0.51), A0.53).)
Интересной чертой поля %(х) является возможность построения локальной нормальной
экспоненты: txp(igx(x)):, а также полилокальных нормальных экспонент
( N \
:exp(fe2n/X(*/)b (Ю.57)
\ i = 1 /
как обобщенных функций умеренного роста по х и по хъ . . . , xpj соответственно (здесь и далее
п.)—произвольные целые числа, g— фиксированная положительная константа). Результатом
сглаживания их с основными функциями являются полуторалинейные формы над простран-
пространством ®0 всевозможных конечных линейных комбинаций (так называемых когерентных) век-
векторов в § вида
Ф = ехр (» J х (*) / М dx) | 0>, где !$&{Щ. A0.58)
Для определения выражений типа A0.57) поступим следующим образом. Пусть е—вектор
из V+, введем регуляризованное поле
i/ tl/x. A0.59)
Из свойства носителя (supp Л<*> (р) cz V+) следует, что х(е> (х) есть гладкая операторная функ-
функция от х. Определим теперь локальную нормальную экспоненту регуляризованного поля:
: ехр (± /«« (,)): =<0|^^ S'^l 0> ;
вообще, при rij^Z положим
/ N
/ n v expl jg 2 «Д(е)(*
( igj^ яд
(О
ехр|
Упражнение 10.16. Доказать равенство
A0.606)
<0|ехр(± igX<s) W)|0> = (x282) 32It2 . A0.61)
(Указание: воспользоваться соотношением
(О | ехр (i Jx (*) / (х) Лс)| О) = ехр ( - Vi J <01 x W X (У)| »> / (*)/ &) Л ^), A0.62)
которое следует из формул Вика типа (8.75), (8.85).)
Положим теперь
2
= lim (ф Си (*! xN): ехр (iff 2 "Д(?) (*/) ) :*n ¦ • • ^лг т) A0.63)
при Ф, Yg®0, u(Xi xN)$#>{MN).
Упражнение 10.17. (а) Убедиться, что 2H есть плотное линейное подпространство
N
в §. (Указание: заменить / (л:)] в A0.58) на 2 fy//(*) и дифференцированием Ф ээ
s! Ф (hi %м) по Я,1, ..., X,jv при Xi = ... = %jv= 0 получить векторы в виде % (/i)• • •
(б) Отправляясь от формулы типа A0.62), доказать существование предела A0.63).
13* 387
1
Формула A0.63) определяет \:exp( ig 2 nj% (xj) ):u(*i> •••> xJ\/)dxx ¦•¦ dxipj как
полуторалинейную форму над 2H; линейные комбинации таких форм, очевидно, образуют
*-алгебру % квантовых полей: exp (imgx (х)): с правилом умножения, вытекающим из опре-
определения A0.63):
N \ / Л"
ig 2 "д (¦*/)): :ехр (*'? 2 n'k"f- &
N N' / N N' \
~YL II d(xj~yk)~n/"k: ехр A8 2 пдс*/)+ 2 п'кУ-(Ук)):. (Ю.64)
/ = 1 *= 1 \ / = 1 *= 1 /
где
rf (х) = (—x%2 + Ю ¦ л;0) - S'/i в я« AО65^
(это и аналогичные равенства ниже понимаются в смысле обобщенных функций по хг, ...
.... x'N.).
Перейдем к калибровочным преобразованиям поля %. Группой глобальных калибровочных
преобразований (или калибровочных преобразований 1-го рода) поля % назовем группу R
«-автоморфизмов алгебры поля %, реализованных в § псевдоунитарными операторами е*Ч* и
действующих по формулам A0.54), A0.55). Отметим, что функции Уайтмана при этих преобра-
преобразованиях (с сфО) неннвариантны; например,
<0 | X' W К' (у)\ 0> = <0 | х (х) X (У) |0> + сК A0.66)
Эта ситуация возможна благодаря тому, что фоковский вакуумный вектор | 0> не инвариан-
инвариантен относительно операторов e'Qe: он переходит в пуанкаре-инвариантный вектор elQc\0),
лежащий в подпространстве 8 из упражнения 10.15 (в силу A0.52) разность e'Qc\0>—10>
есть вектор с нулевым скалярным квадратом).
Локальными калибровочными преобразованиями (или специальными калибровочными
преобразованиями 2-го рода) поля % назовем преобразования %(х)—>-%(х)-\-а(х), где
а(х) — гладкое вещественное решение уравнения
? o(jc) = 0, A0.67)
причем а(х) принадлежит пространству Шварца tf (R3) по переменной х при любом фикси-
фиксированном значении х°; такие преобразования образуют абелеву группу "§0 симметрии,
псевдоунитарно реализованных в §.
Упражнение 10.18. При а?$0 положим
Я,(а)= ^ {а(х)доЛ(х)-А(х)доаМ}(Рх; AО.68>
х'= const
доказать соотношение
eil («>х (Х) е-а (а) = х (Х) _|_а (л;). A0.69)
Группы g0 и gox R играют роль соответственно малой и большой калибровочных групп
(в смысле п.10.1.В *)); это значит, что алгебра наблюдаемых 91 и алгебра физических величин
$5 определяются как подалгебры g0- и g-инвариантных элементов полевой алгебры соответ-
соответственно. Вытекающее отсюда физическое содержание модели оказывается тривиальным (ал-
(алгебра наблюдаемых St совпадает с алгеброй физических величин 58 и порождается полем Л
A0.39) с коммутационными соотношениями [А(х), Л(г/)]=0; в результате конструкция п.10.1.В
доставляет только одно состояние коммутативной алгебры наблюдаемых — вакуумное состоя-
состояние).
Более содержательны модели взаимодействия поля % с другими полями. Простейшей из
них является градиентная модель, в которой, наряду со скалярным полем %(х), фигурирует
дираковское поле if (x). «Классический» вариант модели характеризуется лагранжианом
Решение классических уравнений Лагранжа — Эйлера
A0.70)
и A0.39) имеет вид if (.*¦)= e~'s"'x\|;<0) (x), где %{х) есть решение уравнения A0.37), а
i|5@) (х) — решение свободного уравнения Дирака.
В квантовом случае определим поле if (x) формулой
, A0.71)
*) Тот факт, что в данном случае фактор-группа (g0X^)/^«/? некомпактна, ие имеет
значения: ниже отмечается, что 31=55 и, значит, R действует на 5Й тривиально.
388
где X С*) — свободное поле дипольного духа (реализованное в псевдогильбертовом фоковском
пространстве §), а if<°> (*) — свободное дираковское поле (действующее в фоковском прост-
пространстве $%). В результате *-алгебра полей if, if, % реализована полуторалинейными фор:
мами на некотором подпространстве 35 ® Do с ф ® &?.
Упражнение 10.19. Убедиться, что функции Уайтмана полей if, if (с одинаковыми
числами вхождения г|> и яр) связаны с функциями Уайтмана свободного дираковского поля
(см. (8.118) —(8.120)) соотношениями типа *)
<0 | if (Xl) ... if (х„)^ Ы ... $ (у„)\ 0> = )
X П rff*/-**)-1^/-**)-1 IT П d(xP~yg)- (Ю-72)
(Указание: воспользоваться правилом умножения A0.64) и тем, что вакуумное среднее от нор-
нормальной экспоненты поля % равно единице.)
Поле if удовлетворяет перенормированному квантовополевому уравнению (аналогично-
(аналогичному классическому полевому уравнению A0.70)):
(фдр-т) if (х) =gy»N @Йх М"ф (*)), A0.73)
где iV—знак нормального произведения, определяемого как предел выражения
N (дцХ (х) тM (у)) = д» (х (x) + igw {x—y)) if (у) (Ю.74>
при у—>х.
У пр'аж не ние 10.20. Доказать уравнения A0.73).
Определенная выше группа g0 локальных калибровочных преобразований псевдоунн-
тарно реализована в §®^f и действует на поля посредством
ХМ—-Х(*) + а(*). я|>(*)—>е~'*"(*ЧМ- (Ю.75)
При этом поля if@> и Л = П5С остаются go-инвариантными; нетрудно видеть, что они
порождают алгебру S8 физических (т. е. §0-инвариантных) величин. В качестве большой
калибровочной группы выберем !§ = 5оХГ; группа Г=ЛХ(/A) с произвольным элементом
(с, е'*Р) псевдоунитарно реализована в§@^я действует на поля преобразованиями
A0.76а)
(х) e-iQ'e~iQFР=в-'^е-'йРг|з W, A0.766)
где Q/?— фермионный заряд в единицах g(T. e. Qf/g1—оператор в ,%", определяемый фор-
формулой (8.121)); при этом
Л'(*) = Л(*), ^У(х)=е-1^*Цх). A0.76b)
Отсюда следует, что алгебра наблюдаемых (т. е. g-инвариантных величин) 91 состоит из
элементов алгебры SS, инвариантных относительно группы преобразований A0.76в), т. е. фак-
фактически относительно группы U(l) (поэтому некомпактность фактор-группы ^/^о^Г здесь
также не проявляется). В физическом представлении алгебра переходит в алгебру спинорного
поля1|;<0) (и 4Jj'°>) в фоковском пространстве $%, а алгебра наблюдаемых — в подалгебру U A) —
инвариантных операторов.
Мы приходим к выводу, что градиентная модель имеет то же физическое содержание, что
и модель свободного дираковского поля (см. п. 8.4.В).
Б. Локальная формулировка квантовой электродинамики. В квантовой
электродинамике используются калибровки различного типа, и здесь мы ог-
ограничимся локальными (лоренц-)ковариантными калибровками. Среди них
наиболее употребительны так называемые |-калибровки **), а также калиб-
калибровка Лоренца или Ландау (являющаяся формальным пределом |-калибро-
вок при ? ->0).
Напомним формулировку классической электродинамики в ^-калибровке. Полный ла-
лагранжиан
2lA2 A0.77)
состоит из калибровочно-инвариантного лагранжиана X\nv (первых трех слагаемых) и
члена, фиксирующего калибровку (g.f.t., последнего слагаемого); здесь if, if, Ар,— фундамен-
*) Здесь произведения обобщенных функций хорошо определены на основании примера
из п. 2.6.В.
**) В частности, значению 1=1 соответствует калибровка Гупта — Блейлера (называе-
(называемая иначе фейнмановской).
389
тальные поля, в то время как тензор напряженности, ток и вспомогательное поле Л равны
Fxn = dxAll— д^Ах, A0.78)
/<*(*)=«$(*) 7" iH*), A0-79)
1А = д».А», A0.80)
где е—константа электромагнитного взаимодействия, Ъ, — фиксированный параметр
калибровки.
Уравнения Лагранжа—Эйлера имеют вид
т)г|5 = 0, A0.81а)
Из уравнения A0.81а) следует «сохранение» тока: дц,у'г = О, так что из A0.816) с учетом
антисимметрии F^ вытекает []AW = 0.
Мы не будем выписывать полностью уравнения канонического формализма классиче-
классической электродинамики и ограничимся лишь одновременными скобками Пуассона с участием
тока или поля Л:
o_yo = ie6 (x—y)ty{y), {j° (x), ^(y)}\xo=y0 = — ieb{x—y)ty(y), A0.82a)
(x), А* (у)}|дЛ=у" = 0 = {/'' (х), Л(г/)}|хо = уо, A0.826)
A0.83a)
^o = O. A0.836)
Упражнение 10.21. (а) Пусть
Q = f /o (X) d3x A0.84)
— электрический заряд. Доказать равенства
{Q, t (х)} = ie-ф W, {Q, Ф (*)} = - ''е^ М. {Q, ^д W} = 0. A0.85)
(б) Вывести одновременные скобки Пуассона
{а„Л (х), f (i/)}U»=у» = - ieb (х -у) if (г/), A0.86а)
HAW, Л0(г/)}|ло=уо = 0, {30Л(х), Ajto,)}\x°=9o = dj5(x-y). A0.866)
(Указание: воспользоваться полевым уравнением A0.816), соотношениями A0.82) и скобкой
Пуассона
{FOJ(x), А» Шж»=»в=-вм-в(*-Л-)
(в) Вывести скобки Пуассона при всех временах:
А(х), $(y)} = ieD0(x-y) ф (у), (Ю.87а)
-{/)> {Л (ж), Л(г/)} = 0. A0.876)
(Указание: воспользоваться одновременными скобками Пуассона A0.83), A0.86) и уравне-
уравнением О Д = 0.)
Электродинамический лагранжиан J?-mv инвариантен относительно калибровоч-
калибровочных преобразований 2-го рода:
А'и (х) = А» (х) + д^а (х), of' (*) = «-"" wy(x), A0.88a)
где а (л:)—произвольная вещественная функция в М. В то же время уравнения A0.81)
инвариантны относительно специальных калибровочных преобразований 2-го рода, при
которых функция <х(х) подчиняется уравнению Qa = 0; при этом
Л'(*) = Л(ж). A0.886)
Считая, что функция а(х) быстро убывают на пространственной бесконечности, и называя
соответствующие калибровочные преобразования локальными, нетрудно убедиться с помощью
A0.87), что выражение A0.68) определяет генератор локальных калибровочных преобразова-
преобразований:
(a), q(x)}= -iea(x) $(*), A0.89а)
х), {К(а), Л(*)} = 0. A0.896)
С другой стороны, соотношения A0.85) означают, что электрический заряд есть генератор гло-
глобальных калибровочных преобразований (соответствующих постоянным функциям а(л:)=
= const). В электродинамике физический смысл придается лишь величинам /, инвариантным
относительно локальных калибровочных преобразований ({X(а), /}=0); величины, удовлетво-
удовлетворяющие помимо этого условию глобальной калибровочной инвариантности ({Q, /}=0), называ-
называются наблюдаемыми.
Примерами локально калибровочно-инвариантных величин могут служить объекты типа
У(Х1 xN\ ylt...,yN,; т)) = я|)(дг1) ... ip (xN) ¦ф (уд ..
(^»(х)г\»(х; хи ..., xN; ylt .... yN,)dxy, A0.90а)
390
здесь т)М- (х)—произвольный внешний ток, удовлетворяющий уравнению
N N"
W (х; xt xN; уъ ..., yN.) = е 2 « (х—жу) —в 2 б (*-W). A0.906)
/=1 k=i
Очевидно, ток т\Р-(х) имеет сингулярности в точках xlt ..., yN,. При N ф N' cm не может
убывать сколь угодно быстро при \х\—>¦ со (в противном случае, если бы ток г\^(х) при-
принадлежал, скажем, классу Qc (M) по х, интеграл по х от левой части A0.906) был бы
равен нулю). Следовательно, выражение A0.90а) не инвариантное при глобальных калиб-
калибровочных преобразованиях (т. е. при N Ф N'), не может быть функционалом от полей
в ограниченной области. Напротив, если N = N', то выражение A0.90а) инвариантно как
при локальных, так и при глобальных калибровочных преобразованиях, и если Xj, ... yN
изменяются в ограниченной области Q, то У также может быть функционалом от полей
в области 0. Другой хорошо известный пример наблюдаемой величины представляет тен-
тензор напряженности Fx\i (x) или функционал от него вида exp fi\ F^ (x)h ** (x)dx j, где
^^f (Щ (такой функционал является частным случаем A0.90а) при N = N' = 0).
В квантовой электродинамике в 5-калибровке предполагается, что поля
ар, гр, Лд удовлетворяют аксиомам псевдоуайтмановского подхода и перенор-
перенормированным полевым уравнениям, являющимся квантовыми аналогами клас-
классических уравнений A0.78) -— A0.81). Вопрос о существовании решения этих
уравнений до сих пор остается открытым (лишь в рамках теории возмущений
с помощью техники перенормировок доказано существование решения поле-
полевых уравнений*); по этому поводу см., например, Брандт, 1970а). Здесь мы
подробно остановимся на специфических чертах квантовой электродинамики
(в предположении существования ее решений), а именно на условиях калиб-
калибровочной инвариантности 1-го и 2-го рода.
Локальные калибровочные преобразования в ^-калибровке порождаются
локальным псевдоэрмитовым скалярным полем Л (х), которое связано с А^(х)
соотношением
A0.91)
по предположению удовлетворяет уравнению Даламбера
? Л(х) = 0 A0.92)
и обладает тривиальными ККС:
[Л(*), Л(у)]-=0, A0.93)
и тривиальными функциями Уайтмана:
<0\Л(Х1)...Л(хя)\0>**0 (п>1). A0.94)
Пусть #0—абелева группа локальных калибровочных преобразований,
состоящая из вещественных гладких решений а(х) волнового уравнения
? <%(x) = 0 таких, что а (х) 6 & (#3) по х. Ей соответствуют «-автоморфизмы
полевой алгебры, реализованной в $ псевдоунитарными операторами
exp(iA(a)) (мнимыми экспонентами от операторов Х(а) A0.54)):
еЛ <а).ф (д.) g-tt(a) = eiea (x)^ (д-^ grt(a)^ (д.) e-i% (a) _ e-iea (дг)^ (д-^ (Ю.95а)
еа '"'Лц (х) e~iX (a) = Лд (х)—д11а (х), еа (а)Л (х) е~сх (а) = Л (х); A0.956)
причем (в соответствии с A0.94)) потребуем:
<01е^(аI0> = 0 при ВСех a?V0. A0.96)
Глобальные (или 1-го рода) калибровочные преобразования связаны
с электрическим током j11 (x) фермионного поля. Относительно j^(x) делается
предположение, что это локальное (составное) поле, инвариантное относи-
*) Это обстоятельство не лишает квантовую электродинамику физической ценности, по-
поскольку из-за малости константы электромагнитного взаимодействия (е2/4п^ 1/137) оказалось,
что низшие порядки теории возмущений в области свсей применимости хорошо описывают
электродинамические процессы.
391
тельно локальных калибровочных преобразований, причем выполнено моди-
модифицированное уравнение Максвелла:
d**W (х) = U (х) + /Kflct> (х), A0.97)
где
/fiflct)(*)=—djiA A0.98)
— фиктивный ток. В соответствии с A0.91), A0.97) токи /ц(х) и /J!iflct>(*)
сохраняются:
#% (х) = 0 = ^/</ict> (ж). A0.99)
В качестве квантового аналога скобок Пуассона A0.85) примем*)
_D(X) = -i J [i9(y),X]d?y=-iqxX, A0.100a)
у°= const
где X символизирует любое из локальных полей я|)(л:), i|j(#), ^nW. Л. (л;),
/и(дс), а <7Х—электрический заряд, который несет данное поле:
<7*=— С <7ф=е. <7л = <7л = <7у = О. A0.1006)
Равенство A0.100а) задает инфинитезимальное калибровочноэ преобразова-
преобразование полей A-го рода). В электродинамике обычно постулируют, что оно
реализуется псевдоэрмитовым опэратором Q. Эго означает, что существует
однопараметрическая группа псевдоунитарных операторов exp (iQc) в $ (с
генератором Q), задающих глобальные калибровочные преобразования полей:
Qc^e^x'x A0.101)
(X имеет тот же смысл, что и в A0.100а)). Во всяком случае на полевой
алгебре действует автоморфизмами группа U A) по формуле
= ei4xc X при h = eiec, c?R. A0.102)
Уравнение A0.100а) проливает дополнительный свет на тот факт, что уравнение Мак-
Максвелла d*-Fяи,—/ц=0 не может выполняться в квантовой электродинамике ни в какой ло-
локальной ковариантной калиброзке. Точнее, из этих уравнений следовало бы отсутствие ло-
локальных заряженных полей, ибо тогда левая часть A0.100а) записывалась бы в виде интеграла
\ dJ[FOj(y), X]d3y от дивергенции векторной (обобщенной) функции с ограничен-
у' = const
ным носителем (здесь используется свойство локальной коммутативности полей F\\j. и X)
и потому обращалась бы в нуль; вмэсте с A0.103а) это давало бы q% = 0 для всех локаль-
локальных полей X.
Упражнение 10.22. Пусть Q — произвольная ограниченная область в М; доказать,
что для любого глобального калибровочного преобразования существует локальное калиб-
калибровочное преобразование, совпадающее с у^ на полевой подалгебре, ассоциированной с об-
областью Q. (Указание: пусть h = elec, c?R, тогда существует функция а^^о. равная с в
области Q; сравнить теперь правые части соотношений A0.95) и A0.101) при x$-Q.)
Свойство, выраженное упражнением 10.22, характерно для любой ло-
локальной ковариантной калибровки квантовой электродинамики.
Согласно общей схеме алгебра 23 физических величин (соответственно,
алгебра Ж наблюдаемых) определяется как множество элементов полевой
алгебры, инвариантных относительно локальных (соответственно глобальных)
калибровочных преобразований. Это определение подразумевает справедли-
справедливость аксиом PW.VIII и PW.IX, обеспечивающих физическую интерпре-
интерпретацию теории. При этом роль Г и Ъ играют соответственно группы U A)
и $oxU(l), а аксиомы PW.VIII и PW.IX фактически сводятся к усло-
условию положительности A0.22) функционала s(A) A0.21) на 33 (которое, в
частности, содержит условие положительности A0.18) вакуумного функцио-
функционала на алгебре наблюдаемых). Для приближения к реальной физической
*) Мы здесь не останавливаемся на проблеме определения интеграла в этом соотношении
(об этом см. ниже п. 10.3.А).
392
ситуации следует предположить, что в физическом пространстве &С име-
имеются подпространства Ж<п) с любым значением q — ne (n?Z) электриче-
электрического заряда.
Поля FXvi{x), /д(х), /д(Пс4)(х), А(х), фигурирующие в уравнениях A0.97),
A0.98), являются наблюдаемыми*), поэтому при переходе к физическому
представлению я им соответствуют операторные обобщенные функции ?^ц(х),
fn(*). ^jllct)(*)> &(х) в физическом гильбертовом пространстве Ж. Оказы-
Оказывается, Л(х) = 0 и, значит,
nfIct)(*) = o, (Ю.юз)
так что уравнение A0.97) переходит в обычное уравнение Максвелла.
Предложение 10.4. В физическом гильбертовом пространстве кван-
квантовой электродинамики выполняется уравнение Максвелла
№д-^ = 0. A0.104)
•^ В силу связи между полем А(х) и операторами e*A<os> утверждение, что Л(лг) = О,
равносильно равенству я («'*¦(а)) = 1 при всех а?$0. Для доказательства последнего равен-
равенства заметим, что, согласно A0.96),
<W0, я0 (е& №>— 1)*я„ (еа<«>— 1) ?„> = <0 | (<rix «*> — 1) (еЛ <«>— 1) | 0> = 0;
отсюда и из положительной определенности скалярного произведения в ^<0) следует:
щ (ei%'«)) ?„ = ?0 при всех a?g0. Далее воспользуемся тем, что операторы е*Л«м комму-
коммутируют с физическими величинами. Тогда для любых Х%,
<?0, я (Xj) я (е<*««) я (Х2) ?„> = s (Xie^<«>Х2) = s (
= <01 Хетт | 0> = <?0, я0 (X) я0 (вЛ<«>) ?0> = <?„, я0 (Л")
(где -V есть усреднение ХХХ2 по группе Г = С/ (I)). Таким образом, рассматриваемые мат-
матричные элементы оператора я(<?а<°") не зависят от а, что вместе с цикличностью представ-
представления я дает: я(е'^(а))=1 при всех a?g0. >
Не следует, однако, полагать, что тензор напряженности ?х& порождает
всю алгебру наблюдаемых я C1) в физическом гильбертовом пространстве.
(В классической электродинамике помимо функционалов от F%^ наблюдаемыми
являются также всевозможные калибровочно-инвариантные выражения с
участием фермионных полей типа ^„(d^+iM,^). . .(дд +/еЛд )% или
A0.90а) при N—N'; аналогичные величины — соответствующим образом пе-
перенормированные — должны быть присоединены к алгебре наблюдаемых кван-
квантовой электродинамики.) Тем не менее можно допустить, что локальные на-
наблюдаемые, ассоциированные со всевозможными ограниченными областями б
пространства-времени, порождают всю алгебру наблюдаемых (в том смысле,
что алгебры фон Неймана ((J я (Щ F))сс и л (91)" совпадают). В отношении
же алгебры я B3) физических величин подобное предположение (о совпадении
(U я C3 F)))" и я C3)") неприменимо к теории, в которой имеются заряжен-
заряженные физические состояния. Действительно, всякая физическая величина,
ассоциированная с ограниченной областью, будучи локально калибровочно-
инвариантной, является (на основании упражнения 10.22) также глобально
калибровочно-инвариантной, т. е. наблюдаемой величиной; поэтому она
может рождать из вакуума только нейтральные состояния. Это соображение
применимо к любой локальной ковариантной калибровке. В результате мы
приходим к следующему утверждению, выявляющему важную роль сущест-
существенно нелокальных физических величин в квантовой электродинамике.
Предложение 10.5. В локальной ковариантной калибровке кван-
квантовой электродинамики всякая физическая величина, ассоциированная с огра-
*) Возможна другая точка зрения, согласно которой поле Л (х) (или даже ехр Bяг Л (хIё))
является физическим, но ненаблюдаемым; «наблюдаемым» же является фиктивный ток /{ilct) (x),
соответствующий этому полю (и переходящий в ^д с ' (*)=0 в физическом представлении).
В соответствии с этим эффективная калибровочная группа Г должна быть расширена (с тем
чтобы ее действие на Л (х) было нетривиальным). Мы проиллюстрируем эту вторую возможность
в п.П.З.В на примере лоренцевой калибровки.
393
ничейной областью пространства-времени, является наблюдаемой и, значит,
не несет электрического заряда.
Выше на примере из классической электродинамики уже обращалось внимание на подоб-
подобное явление: выражение A0.90а) может быть функционалом от поля Лц в ограниченной области
(при хъ . . . , уN,, изменяющихся в ограниченной области), только если N=N', т. е. только
если это выражение является наблюдаемой величиной. Заметим, что (соответственно перенорми-
перенормированные) выражения типа A0.90а) удобны и для квантовой электродинамики. Так, для по-
построения ковариантного оператора рождения из вакуума (обобщенного) состояния с импульсом
— р и с зарядом —е (в частности, электрона) может оказаться полезным выражение
^phys(p) = ren J dxeipx4(x)exp (-ie J e-^A^F^k. p)d4ft) A0.105a)
при условии
kF(k, p) = \ A0.1056)
(где геп — символ перенормировки, вводящий, возможно, регуляризационный параметр), что
соответствует случаю iV=l, iV'=0; при этом внешний источник т)^ (x, xt), характеризующий
фотонное облако, выбран зависящим (наряду с зависимостью от х—х^ от внешнего импульса р.
Предлагаем читателю в качестве упражнения рассмотреть свободное электромагнитное
поле в произвольной ^-калибровке *) и, в частности, построить (методом вторичного квантова-
квантования, как это делалось в п.10.2.А) его операторную реализацию в псевдогильбертовом простран-
пространстве. При этом двухточечная функция определяется равенством
<0\АХ(х)А11(у)\0> =
9 (ро) (-гЛд6 (р2) + (Е-1) б' (р2)
ln {"*[-(*-»)•+ » (х°-У0)]}- (Ю.106)
У п раж не н ие 10.23. Вывести A0.106) из условия ковариантности, полевых урав-
уравнений
д^л,ц-НдЛ = 0, ЕЛ = дцЛ»\ ПЛ = 0
и вакуумных средних <0 | Л (х) Л (у) | 0> = 0 (см. A0.94)), <0 |Л (х) Ли, {у) | 0> = id^.D0 (х—у)
второе из этих вакуумных средних вытекает из коммутационных соотношений [Л (х), Л р, (у)] =
= 0цОо (х—у) (ср. A0.956)).
Замечание. Приведенное выше рассмотрение в действительности применимо ко всем
абэлевым калибровочным теориям (с калибровочной группой t/(l) или R), в которых калибро-
калибровочное (т. е. электромагнитное) поле Лц взаимодействует с полями материи «минимальным»
образом **). В локальной ковариантной калибровке по-прежнему справедливы модифициро-
модифицированные уравнения Максвелла и предложения 10.4 и 10.5. (В дальнейшем, в п. 10.3.В, «мини-
«минимальность» взаимодействия понимается в том смысле, что справедливы обычное уравнение Мак-
Максвелла A0.104) в физическом гильбертовом пространстве и модифицированное уравнение Мак-
Максвелла A0.97) в пространстве виртуальных состояний, для определенности, в |-калибровке.)
В этот класс попадает модель Хиггса A964а), предложенная в связи с явлением спонтан-
спонтанного нарушения симметрии (п. 10.3.В); ее лагранжиан имеет вид
^ = -1/Лд/7^-Ы (dv-ieAv) ф Iz-V (I <p|2-/2J+g. f. t.,
где e,X, f — константы, ф — скалярное заряженное поле. (Существование этой модели для че-
четырехмерного пространства-времени на конструктивном уровне также весьма проблематично;
для двумерного же пространства-времени проделана существенная работа в направлении кон-
конструктивного определения модели; см. Брайджис и др., 1979; 1981.)
10.3. ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ
А. Симметрии и токи в формализме Уайтмана. Рассматривается группа
Ли G внутренних симметрии уайтмановских полей. Это значит, что каж-
каждому элементу g?G сопоставлен «-автоморфизм og полиномиальной поле-
полевой алгебры 3* (М), имеющий вид
S ^'(g-1) ФГ> (х). A0.Ю7)
*) Предполагается, что читатель знаком с квантованием свободного электромагнитного
¦поля в калибровке Гупта — Блейлера (|=1), например, по [Б8], § 12. По поводу других ка-
калибровок см., например, Строкки и Уайтман A974), Ридо A975).
**) Это означает, что лагранжиан такой теории строится из лагранжиана X (ф, 3<р)
«материальных» полей ф заменой обычных производных дцф на ковариантные V иФ=
= Eц—iqAfi) <р и добавлением лагранжиана электромагнитного поля—1/iF д^^+ ^ t
{подробнее см. лекции Коулмана, 1975а).
394
Здесь {ф(и)}—некоторый базисный набор уайтмановских полей в гильбер-
гильбертовом пространстве &С', а х (g) = (хкя' (g))— матричное представление группы
G, где роль матричных индексов играют типы х полей, так что «-автомор-
«-автоморфизмы cg коммутируют с преобразованиями группы Пуанкаре и оставляют
полевые подалгебры 3*(б) (QcM) инвариантными (отсюда название «внут-
«внутренние симметрии»). Предполагается, что тии' (g) = тни' (g) (где у,—индекс эр-
эрмитово сопряженного поля: (cp<K>)* = cp(«)). Кроме того, в случае когда на-
набор полей бесконечен, считается, что поля разбиты на конечные подсемей-
подсемейства такие, что TXK'(g) = 0 для индексов х, %' из различных подсемейств
(поэтому проблемы суммирования в A0.107) не возникает).
В основном нас будет интересовать случай связной группы G. Пусть
^х. • • •. Ал—базис в (вещественной) алгебре Ли J? группы G (так что
[1к, /,] = ф1т) и 7\, ..., TN—соответствующие генераторы представления т
A0.108)
Каждому элементу Ik сопоставим оператор Dk на полевой алгебре:
7~) / У\ re 1 У\ \ / 1 П 1 C\Q\
Uk [Л.) = —TJ- CJexp (t//i)\^ )\ i (lU.lUyj
так что
Dk (ф<*>(х)) = — 2 Пк' ф(к'> (х). (ЮЛ Ю)
Так как ag—это «-автоморфизмы алгебры З3 (М), то операторы Dk удов-
удовлетворяют условиям
операторы с такими свойствами называются (#-)производными на полевой
алгебре. В то же время Dk являются генераторами представления алгебры
Ли S', поэтому выполнены коммутационные соотношения
[Dk, DJ = CjRDe. A0.112)
Обратно, пусть формула A0.109) определяет «-производные на полевой
алгебре, удовлетворяющие коммутационным соотношениям A0.112) (при этом
Tk определены посредством A0.108)). Легко видеть, что тогда группа G дей-
действует «-автоморфизмами полевой алгебры вида A0.107). Другими словами,
внутренняя симметрия относительно связной группы полностью определяется
набором производных Dlt . . ., DN.
Квантовая теория поля заимствует из лагранжева формализма прием
построения симметрии по сохраняющимся токам ([Б8], § 2). Под сохраняв
ющимся током здесь понимается ковариантное векторное поле ]^(х), являю-
являющееся локальным функционалом полей Уайтмана и обладающее нулевой
Дивергенцией: dlljll(x)=O. Кроме того, мы ограничимся случаем эрмитовых
токов: /"* (х)—р{х) (в соответствии с тем, что в алгебре Ли J? мы выбрали
вещественный базис Д, . . ., IN). Всякий такой ток определяет «-производную
D на полевой алгебре по формуле
D(X) = i J [/•(*), X]d3x. A0.113)
хс = const
Входящий в A0.113) интеграл хорошо определен по следующим соображениям. Пусть X
есть моном вида (8.8), тогда соответствующий коммутатор
[JV(X), (р(Х!)...(р(х„)]
в силу условия локальности исчезает, если (х—XjJ < 0 при всех /=1, ..., и. Из упраж-
упражнения 2.32 следует, что эта операторная обобщенная функция является свертывателем по
переменной x?R3, поэтому интеграл
(х), ф (*i).. .ф (xn)]dsx A0.114)
395
¦определен как операторная обобщенная функция по х", х±, ..., х„. Из сохранения тока и
¦правила интегрирования производной (см. упражнение 2.28) следует:
/° W, Ф (*х)...Ф (*„)] dsx = J [dj (х), Ф (дп)...Ф (*„)] Л = о,
так что A0.114) не зависит от х° и, значит, переменная х° может рассматриваться как па-
параметр (см. упражнение 2.51 (б)), от конкретного значения которого интеграл A0.114) не
зависит.
У п ражнение 10.24. (а) Доказать, что для любого сохраняющегося эрмитова век-
векторного тока jlx(x) формула A0.110) определяет *-производную на полевой алгебре.
(б) Пусть ft (x), ..., j% (x) — набор эрмитовых сохраняющихся векторных токов и
Dlt ..., Д/у— соответствующие им производные на полевой алгебре, причем
Я* (#(*)) = «Й/,ЙМ (Ю.115)
при всех k, 1=1, ..., N; и = 0 3 (здесь ей—структурные константы алгебры Ли X).
Доказать, что производные ?>i, .. •, Д/v удовлетворяют коммутационным соотношениям A0.112).
Из приведенного упражнения становится ясным, как определить внут-
внутреннюю симметрию в терминах токов. Для этого следует задать набор $(х)
(&=1, .... N) ковариантных эрмитовых сохраняющихся векторных токов с
соответствующими производными Dk на полевой алгебре, удовлетворяющими
соотношениям A0.110), A0.115). Тогда будут выполнены коммутационные
соотношения A0.112) и формула A0.107) будет задавать действие группы G
«-автоморфизмами полевой алгебры. В этом случае мы говорим, что симмет-
симметрия полевой алгебры относительно (связной) группы G порождена сохраняю-
сохраняющимися токами /? (&=1, . . ., N). Если не оговорено противное, ниже подра-
подразумевается, что симметрия задана именно таким способом.
В связи с внутренней симметрией возникает вопрос, является ли она уни-
унитарно реализуемой, т. е. существуют ли унитарные операторы V(g) в физи-
физическом гильбертовом пространстве &6, непрерывно зависящие от g € G и об-
образующие представление группы G такие, что
og(X)=V(g) X Vig)-1 при всех g?G. A0.116)
В противном случае говорят, что симметрия спонтанно нарушена (формулы
(8.88) дают пример спонтанно нарушенной симметрии в модели свободного
скалярного безмассового поля *)). Имеется простой критерий в терминах
функций Уайтмана, позволяющий судить об унитарной реализуемости сим-
симметрии. Он сводится к условию G-ковариантности функций Уайтмана:
2 T^{g)...x™n(g)w^---"n){xu ...,хя) = ш<*-••*«>(*! хп);
A0.117)
для связной группы G это условие, очевидно, можно переписать в инфи-
нитезимальной форме:
Jr^V-"/'1'""'^ х„) = 0 при k=l, ...,N. A0.118)
Упражнение 10.25. Убедиться, что в терминах сохраняющихся токов условие
A0.118) означает
J <Т0, [jl (x), X]V0>dsx = 0 при k=\ N A0.119)
х° — const
для всех Х?!р(М). (Указание: левая часть в A0.118) есть <?„, Dk (ф(к'>(*!)...
•¦•.ф(*л) (*»))*«>.)
Предложение 10.6. Условие G-ковариантности A0.117) (или
•A0.118) для связной группы G) необходимо и достаточно для того, чтобы фор-
формула A0.107) задавала унитарно реализуемую внутреннюю симметрию уайт-
мановских полей относительно группы. G.
*) Формулу (8.88) можно трактовать (в духе A0.107)) как линейное преобразование полей,
•если наряду с полем <р(х) ввести тривиальное поле (I
•396
М Для доказательства необходимости достаточно убедиться, что вакуум является соб-
собственным вектором операторов V(g). Из формул A0.107), A0.116), а также (8.6) следует,
что операторы V (g)'1 U {а, 1) V (g) U (а, I)-1 коммутируют со всеми операторами полевой
алгебры ^>(М) и потому (согласно предложению 8.1) кратны единичному оператору. От-
Отсюда следует, что векторы V (g) Ч'о являются собственными векторами операторов трансля-
трансляций U (а, 1), а поскольку вакуум является единственным (с точностью до множителя)
таким вектором, то V (g) ?ro = k(g) Vo> гДе Я (g)~ некоторая комплексная функция на груп-
группе G, по модулю равная единице. Очевидно, множители Я (g) образуют одномерное унитар-
унитарное представление группы G. Если Я(§)^1, то мы переопределим представление V ig),
заменив V (g) на Я^) V(g). После такого переопределения равенство A0.116) не на-
нарушится, зато вакуумный вектор станет инвариантным для всех операторов V (g)- Теперь
применение вакуумного среднего к соотношению A0.116) дает условие A0.117).
Доказательство достаточности (подобно доказательству пуанкаре-инвариантности в тео-
теореме реконструкции Уайтмана) повторяет рассуждения в предложении 1.30, являющемся
дополнением к конструкции ГНС. Отметим лишь, что в духе этой конструкции операторы V(g)
задаются формулой
V(g)Xy0 = og(X)y0, A0.120)
где Х$д»{Щ, g?G. >
Как видно из доказательства предложения 10.5, без ущерба для общ-
общности можно предполагать, что вакуум инвариантен относительно всех опе-
операторов V(g) и что эти операторы действуют согласно формуле A0.120). В слу-
случае связной группы представление V(g) однозначно определяется операторами
зарядов Qk (k=l, . . ., N), заданных соотношением
V(exp(tIk))=exp(itQk); A0.121)
из A0.109), A0.120) следует
QhXVe=-iDh(XLe. A0.122)
Операторы Q#, очевидно, эрмитовы; в действительности они в существенном самосоп-
ряженны, поскольку векторы вида XW0 {Х^ЗЬ(М)) являются для них аналитическими
векторами. Это следует из того, что представление т (g) группы G и представление
{T/t}k=i N алгебры Ли распадаются на конечномерные подпредставления, поэтому из
соотношений A0.107), A0.10Э) следует сходимость рядов
v(?у\ъ]?
V V к )) п=0
при всех X?R
Б. Теорема Голдстоуна. Оказывается, вопрос об унитарной реализуе-
реализуемости внутренних симметрии уайтмановских полей тесно связан с условием
спектральности.
Лемма 10.7. Пусть }*{х)—сохраняющийся векторный ток в системе
уайтмановских полей, тогда для вакуумного среднего соответствующей ей
производной D на полевой алгебре ZP (М) имеет место формула
<T0, D (X) ?0> = i \ <?0, (/»(х) FL(M*) X-XF (М2) /°(*)) Yo> d3*;
A0.123)
з&сь F(A,)—произвольная функция из 6M(R), равная единице в нуле, М —
оператор массы в физическом гильбертовом пространстве (причем подын-
подынтегральное выражение в A0.123) является свертывателем по х).
< Согласно определению A0.113) <?„, D (X) ?„> = i \ f (x) dsx, где f(x) = <J0,
[р(х), X]4f0>. Как уже отмечалось в связи с этим определением, J (х) является сверты-
свертывателем по х, поэтому преобразование Фурье J (р) зависит от р как от параметра ё^-об-
разом (см. упражнение 2.48 (б)). В силу того что (частичному) интегралу при преобразова-
преобразовании Фурье соответствует сужение (см. упражнение 2.28), имеем
поскольку левая часть не зависит от х° и равна —i <0 | D (X) | 0>, то отсюда следует
/~(р) |р=о = —2я» <?0> D (X) Woy б (р°).
397
Пусть g (x) обозначает подынтегральное выражение в A0.123), тогда g(p) = F(pi)f(p).
Эта обобщенная функция также зависит от р ^"-образом (см. упражнение 2.48 (а)), по-
поэтому g(x) является свертывателем по х. Имеем
J g (*)**=$ e-'^'gip) |p=Q dlP»= J e-l*"F ЦрГ) J(p) |p=0 4p" =
= J e-lP°x° F ((/)*) (-2я0 <V0, D (X) To> б (p«) dlP° = ~i <W0, D (X) ?„>.
Тем самым доказана формула A0.123). >
Приведем уточнение леммы 10.7 на случай, когда X?!p(Q), где Q — ограниченная
область. Для определенности рассмотрим алмаз Q={x?M: | ха | + | X | < г); тогда jnpH
Х?!РF) подынтегральное выражение g(х) в A0.123) имеет носитель в Q-\-V =
= {х?М: | д;|<|лг°|-|-г}. Действительно, по построению имеем_? (р) = .F (р2) f(p), где обоб-
обобщенная функция f (х) обладает свойствами supp / (x) CZ Q -\- V, supp f(p) С V. Согласно
упражнению 4.6 (где нужно поменять местами переменные х и р) такими же свойствами
обладает и g(x).
Это замечание используется в следующем упражнении.
Упражнение 10.26. Пусть и (х) = а (*°) Ъ (х), где а (х°)-~ функция из g?>r (R) с
носителем в интервале | х° | < в и с интегралом, равным 1, a b (х) — функция из &r{Rz)y
равная единице при ] х\^г-\-е. Положим
J = ^ j° (х) и (х) d*x. A0.124)
Доказать, что для всех Х?!р@), где Q = {x?M: |*°| + |*| < г), формулу A0.123) можно
переписать в виде
<?„, D(X)V0> = i<V0(JF (M*)X-XF(M*)JLQ>. A0.125)
TJeopeMa 10.8. В теории Уайтмана с сильным условием спектрально-
спектральности (т. е. с массовой щелью) внутренняя симметрия, порожденная сохра-
сохраняющимися токами, унитарно реализуема. Операторы зарядов Qk предста-
вимы в виде интегралов от «плотностей» j% (x) в следующем смысле *):
S 3х, A0.126)
х'= const
где Ф, W—произвольные векторы из плотного в SfC линейного подпростран-
подпространства P(M)W
Щ Выберем функцию F (Я) ?0м (R), равную единице при Х. = 0 и исчезающую при
5 Ц2, где ji, —параметр массовой щели. Тогда F (М2) есть проектор на вакуум и правая
часть формулы A0.123) (где следует подставить D = Dk, /° = Д), а вместе с ней и
<Т0, D/г (Х) ?„>, тождественно обращается в нуль. Согласно предложению 10.6 (и упраж-
упражнению 10.25) это означает, что симметрия унитарно реализуема.
Вначале докажем формулу A0.126) для случая Ф = х?„. Достаточно рассмотреть слу-
случай, когда 4f = A'1F0) где X— моном вида (8;8). Более того, в силу условия спектральности
можно предполагать, что носитель функции /(pi, ..., рп) — преобразование Фурье функции
/ в (8.8) —исчезает при р\-\- \-р% < — j.i (в противном случае переопределим / умноже-
умножением / на соответствующий мультипликатор, не изменив *? = ХХ?О). Тогда (благодаря силь-
сильному условию спектральности) X'Wq есть вектор, коллинеарный Ч^: X*4r0 = <4f0, ^*To>-V0.
В результате получаем
<?, jl (х) ?„> = - <^0, [j°k (х), X*] Уо>
(здесь учтено, что вакуумное среднее тока j% (x) равно нулю из соображения лоренц-кова-
риантности). Это показывает, что <?, j% (л:)Чг0> является свертывателем по х с интегра-
интегралом (по х), равным нулю:
Докажем теперь формулу A0.126) в общем случае. Пусть 4f = X1Fo, ФггКТл, где
X, Y€.?{M). Тогда
fk
= <?, [j°k (x), Y],VB> + <Y^; jl (x) ?0
*) Как следует из доказательства, подынтегральное выражение здесь является сверты-
свертывателем по х.
398
Как мы только что доказали, второе слагаемое является свертывателем по х с интеграло м
(по х), равным нулю. Поэтому
J OF, jl (х) Ф> tPx = J <?, \j% (x), Y] ?„> &х = - i <T, Dk (К) ?0>,
что вместе с A0.122) приводит к формуле A0.126). >
Таким образом, в теории Уайтмана со спонтанно нарушенной внутренней
симметрией не может выполняться сильное условие спектральности. Следу-
Следующая теорема указывает на наличие в такой теории частицы нулевой массы
и нулевого спина (или нулевой спиральности); эта частица называется
скалярным голдстоуневским бозоном.
Теорема 10.9 (Голдстоуна). Если внутренняя симметрия уайтма-
новских полей относительно связной группы Ли, порожденная сохраняющимися
токами it(x) (k=l, . . ., N), спонтанно нарушена, то в физическом гильбер-
гильбертовом пространстве имеются векторы Ф нулевой массы и нулевого спина, при-
причем (Ф, jf (х) ?0>^0 хотя бы для одного такого вектора Ф и хотя бы одного
значения k=\ N.
¦^ Согласно предложению 10.6 спонтанноэ нарушение симметрии означает, что усло-
условие A0.119) не выполнено хотя бы при одном значении k=l, ..., N и хотя бы для одного
оператора X^tf* (М). Зафиксируем это значение k и будем писать /° и D вместо /а и D^.
Оператор X можно считать имеющим вид (8.8). Поскольку (по свойству частичного
интеграла, см. упражнение 2.30) левая часть A0.119) есть непрерывный функционал от
функции f^af(Mn), фигурирующей в (8.8), и этот функционал не равен тождественно
нулю, то он не равен тождественно нулю на функциях /?iZ)(Af"). Другими словами, мы
можем считать, что выбранный выше оператор X со свойством <Чго, D (X) То> Ф 0 принад-
принадлежит алгебре 5* (б), где Q—ограниченное множество в М (например, алмаз). Согласно
упражнению 10.26 отсюда следует существование вгщ,э:твенной функции u()?<g)(M)
такой, что
(JF (М2) X — XF (Ж2) J) ?„> ф 0, A0.127)
причем левая часть этого неравенства не зависит от выбэра функции F (X) ?Qm (R), равной
единице при Я, = 0; здесь У—оператор, определенный посредством A0.124). Рассмотрим
убывающую последовательность неотрицательных функций Fn(X)??D(R) со значением еди-
единица в точке J,=0 и с носителями, стягивающимися в точку л = 0. Тогда Fn (M2) сходится
(в слабой операторной топологии) к сумме проектора | 0><0 | на вакуум и проектора Ео
на подпространство векторов в $% нулевой массы. Подставляя Fn вместо F в A0.127)
и переходя к пределу при п—>-оо, получаем
Отсюда следует, что вектор E0JW0 не равен нулю.
Мы убедились, что замыкание в ffl множества векторов вида Ео ( \ /•* (х) и^ (х) й*х j Wo,
где и11 (x)?q? (M), отлично от {0}. Остается показать, что оно преобразуется по представ
лению группы $0 с нулевой массой и нулевым спином. Действительно, обобщенная функ
ция <ЧГО, /*¦ (х) Eoj^ (у) Ч'о^ = V^P (x—у) лоренц-ковариантна, отрицательно-частотна, удов
летворяет волновому уравнению fj^ft—i/)=0 и уравнению d%,V'^(x—y) = Q. Отсюда
следует, что она имеет вид
<?„, /*• (х) Eoj* (у) То> = lcdbd»DtT} (*-*) = с J 2лрЬр»в (- р°) б (ра) е-'г**-з» diP,
где с > 0. Эта формула показывает, что имеется пуанкаре-инвариантный изоморфизм между
пространством векторов вида Ео ( \ /^ (х) и (х) dtx \Woh плотным подмножеством гильбер-
гильбертова пространства ,$>г0.0] безмассовой бесспиновой частицы. >
В примере из упражнения 8.18 состояния голдстоуновской частицы
порождались действием на вакуум свободного скалярного безмассового поля.
Явление спонтанного нарушгния симметрии (т. е. фактически отсутствие соответствующей
симметрии вакуума) привлекательно как способ описания приближенных симметрии в элемен-
элементарных квантовых процессах. Однако безмассовая скалярная частица, предсказываемая теоре-
теоремой Голдстоуна, создает трудность для физической интерпретации такого механизма, поскольку
голдстоуновские частицы экспериментально не наблюдались (напротив, фотон—безмассовый
бозон со спином 1—связан с ненарушенной калибровочной инвариантностью электродина-
электродинамических процессов). Ниже мы увидим, как устраняется эта трудность в теориях с индефи-
индефинитной метрикой.
399
1
В. Спонтанное нарушение симметрии в абелевых калибровочных теориях.
Специфика калибровочных теорий проявляется, в частности, в вопросе
о симметрии относительно (глобальных) калибровочных преобразований
алгебры 35 физических величин (в то время как в отношении других сим-
симметрии они могут вести себя как обычные теории и также могут обладать голд-
стоуновским бозоном). Как и в п. 10.2.Б, здесь мы ограничимся абелевыми
калибровочными теориями (с калибровочной группой U (\) и с «минималь-
«минимальным» взаимодействием калибровочного поля с полями материи). Малая ка-
калибровочная группа #0 та же, что и в § 10.2. Роль большой калибровочной
группы играет $ = ?охГ, где (компактная) эффективная калибровочная
группа Г порождается подгруппой U A) и, возможно, некоторой другой
подгруппой Я, причем подгруппа U A) связана с калибровочной инвариант-
инвариантностью 2-го рода данной модели и действует на поля автоморфизмами yh
вида A0.102). По построению (п. 10.1.В) автоморфизмы yh (при h?T)
оставляют состояние s алгебры 23 инвариантным и реализованы унитар-
унитарными операторами V (h) в физическом гильбертовом пространстве Ж. Будем
говорить, что калибровочная симметрия группы UA) спонтанно нарушена,
если группа операторов V (h) (h?U(\)) не содержится в алгебре фон Ней-
Неймана п08)сс физических величин (и, значит, также в алгебре наблюдаемых
фон Неймана я C1)""). Оператор полного заряда в такой теории, не будучи
наблюдаемой величиной, имеет чисто фиктивный смысл и не может быть
представлен в каком-либо разумном смысле в виде интеграла ^ ^° (х) d3x от
нулевой компоненты тока (поскольку ток в абелевой калибровочной теории
является наблюдаемым полем).
В случае неприводимого представления алгебры 3? физических величин (как в предыду-
предыдущем пункте) под спонтанно ненарушенной симметрией понимается симметрия алгебры SS отно-
относительно группы «-автоморфизмов, причем эти автоморфизмы реализуются унитарным пред-
представлением группы. В случае когда представление я алгебры 53 может быть приводимым, то
(чтобы не учитывать физически неинтересные реализации симметрии) в определении спонтанно
ненарушенной симметрии накладывается дополнительное ограничение: операторы представле-
представления группы должны принадлежать алгебре фон Неймана физических величин.
Картина спонтанного нарушения симметрии в абелевых калибровочных
теориях на уровне нефизического псевдогильбертова пространства ¦§ обна-
обнаруживает значительное сходство с тем, что происходит в теории Уайтмана
(п. 10.3.Б); в частности, матричные элементы тока <Ф\^(р)\0> обладают
сингулярностями при /?2 = 0, которые можно интерпретировать как наличие
в ,§ голдстоуновского бозона. Однако это сходство чисто формальное, и
при переходе к физическому представлению голдстоуновский бозон исчезает.
Это один из признаков механизма Хиггса, т. е. эффекта приобретения массы калибровоч-
калибровочным векторным полем при спонтанном нарушении калибровочной группы (или путем «погло-
«поглощения голдстоуновского бозона», как характеризует этот механизм Коулман, 1975а).
В следующих ниже предложениях 10.10 и 10.11 указывается, как про-
проявляется спонтанное нарушение калибровочной симметрии в псевдоуайтма-
новском формализме на уровне «фундаментальных» полей в локальной лоренц-
ковариантной калибровке. Поскольку мы интересуемся в первую очередь
спонтанным нарушением симметрии группы U{\), то в отношении другой
возможной подгруппы НсТ мы примем предположение, что симметрия от-
относительно Н не нарушена спонтанно и что автоморфизмы yh(h^H) полевой
алгебры ^ реализуются псевдоунитарными операторами в ,f>, оставляющими
вакуумный вектор 10) инвариантным.
Предложение 10.10. Пусть в абелевой калибровочной теории (с
«минимальным» взаимодействием) (компактная) эффективная калибровочная
группа Г порождена подгруппами U (\) и Н и для симметрии относительно Н
справедливо сделанное выше предположение, в то время как симметрия алгебры
23 (физических величин) относительно калибровочной подгруппы U(\) спон-
спонтанно нарушена. Тогда:
400
(а) группа автоморфизмов yh(h?U(l)) полевой алгебры $ (в локальной
лоренц-ковариантной калибровке) не реализуется группой псевдоунитарных
операторов в псевдогильбертовом пространстве $, которые оставляли бы
вакуумный вектор |0> инвариантным;
(б) существует элемент X полиномиальной полевой алгебры 9* (М) такой,
что
<O|D(X)|O>=(o|i J [/°(х), Х]\б)й3хф0. A0.128)
*•=const
•^ Для доказательства первого утверждения предположим, что группа автоморфизмов
7й Ф-?.и (Ц) полевой алгебры % реализуется группой псевдоунитарных операторов % (А)
в ?>, оставляющих вакуумный вектор инвариантным. Тогда легко видеть, что <0 | у^ (X) | 0> =
= <0|Х|0> при Х?%, h?U (\). Кроме того, из условия следует, что такое же равенство
справедливо для h?H; значит, оно справедливо при всех Л?Г. В результате мы получаем,
что состояние A0.21) на 53 есть s (Х)=<01 X | 0>. Как и в п. 10.1.Г (см. упражнение
10.9(а)), отсюда следует, что вакуум в физическом гильбертовом пространстве $С невырож-
невырожден, что представление я алгебры 53 в ffl неприводимо и что калибровочная группа U A)
реализуется унитарными операторами V (h) в JJf (см. формулу A0.32)). Поскольку пред-
представление я неприводимо, то это означает, что калибровочная симметрия группы U A) не
нарушена спонтанно. Полученное противоречие с условием предложения 10.10 доказывает (а).
Второе утверждение доказывается аналогичным образом. Действительно, если предпо-
предположить, что для всех X ? Р (М) <0 | D (X) | 0> = 0, то отсюда следует <0 | уд (X) | 0> = <0 | X | 0>
для всех Х(?3*(М), h^U A); в силу условия непрерывности действия J на g (приведен-
(приведенное в п. 10.1.В при определении большой калибровочной группы) полученное равенство
справедливо для всех X(Z%, h?U (\). Действуя далее, как при доказательстве первого
утверждения, получаем, что калибровочная симметрия U A) не нарушена спонтанно; это
противоречие доказывает (б). >
При спонтанном нарушении симметрии относительно калибровочной
группы для псевдогильбертова пространства ф имеет место утверждение,
аналогичное теореме Голдстоуна. Существенное различие, проистекающее из
индефинитности скалярного произведения в S$, состоит в том, что из-за воз-
возможной неунитарности операторов трансляции 11 (а, 1) в ,?> утверждение о
нетривиальности подпространства в Sj векторов нулевой массы может не иметь
смысла, и о наличии голдстоуновской частицы в ,<р приходится судить по
сингулярностям выражений типа A0.11) вблизи светового конуса Г0={рбЛ1:
Р2=О}. В связи с этим будем говорить, что обобщенная функция f(p) ? &" (М)
не менее сингулярна, чем &(р2), вблизи светового конуса Го, если либо она не
является (борелевской) мерой ни в какой окрестности светового конуса вида
|ра|<е (где е>0), либо в некоторой окрестности такого вида она совпадает
с мерой \i, причем J 'd\i(p)\=?O. Аналогично, если (p2)ft/(p) (ПРИ неко-
Г.\{0}
тором k=\, 2, . . .) не менее сингулярна, чем б(р2) вблизи Го, то мы говорим,
что / (р) не менее сингулярна вблизи Го, чем 6Ш (р2).
Это определение служит лишь для качественной оценки сингулярности f(p) вблизи Го и
не касается вопроса, чему равен «вклад, пропорциональный 6<ft) (p2)» в обобщенной функции
f(p); подробный вопрос вряд ли корректен, если не ограничиваться какими-либо специальными
классами обобщенных функций /(р).
Предложение 10.11. Пусть в абелевой калибровочной модели со
спонтанно нарушенной симметрией относительно калибровочной группы U A)
выполнено условие предложения 10.10 и пусть «фундаментальные» поля в локаль-
локальной лоренц-ковариантной калибровке действуют в псевдогильбертовом про-
пространстве (q виртуальных состояний. Тогда
(а) для некоторого элемента X ? 5s (Ж) обобщенная функция
<01 Xj° (р) | 0> не менее сингулярна вблизи светового конуса Го, чем б(р2);
(б) в i-калибровкемодели (при %ф0) для некоторого элемента X? 5s(M)
обобщенная функция <01 ХА° (р) | 0> не менее сингулярна вблизи Го, чем б' (р2),
и вспомогательное скалярное гильбертово произведение (., .) в $$ не может
быть трансляционно-инвариантным.
¦^ Утверждение (а)"доказывается почти так же, как теорема 10.9 (с той разницей, что
вместо физического гильбертова пространства ffl теперь рассматривается нефизическое псевдо-
401
гильбертово пространство §), поэтому мы ограничимся наброском. Из A0.127) следует, что
@|D (л)|0)=^0 для некоторого элемента Х?3* @), где^5 — некоторое ограниченное множество
в М (например, алмаз). Поэтому существует вещественная функция и(х)?<2)(М) такая, что
<0 | (JF (Л!2) X—XF (М2) J) | 0> ф 0, A0.129)
где оператор / определен равенством A0.124), a F(К) — произвольная функция из вм(Ю< Рав"
ная единице в точке Я=0 (от выбора F левая часть A0.129) не зависит). Неравенство A0.129)
можно переписать в виде
J F (р2) и (р) [<0 | Х]о (р) | 0> - <01 X*J° (-р) 10>] diP Ф 0. A0.130)
Если предположить, что для некоторого К?5* Ш) обобщенная функция @|К/и (р)[0> не являе-
является мерой ни в какой окрестности вида [р2| > 8 (е > 0), то утверждение (а) становится
тривиальным. Поэтому остается рассмотреть случай, когда каждое из выражений в квадратных
скобках в A0.130) есть мера в некоторой области вида |р2|О'. Из аксиомы PW.IIIF') следует,
что вклад, сосредоточенный в точке р=0, равен нулю. Выберем последовательность Fn, как в
доказательстве теоремы 10.9, и подставим ее в A0.130). Переходя к пределу при п -*- оо, полу-
получаем
I Xj° (p) I 0>- <01 X*j° (—p) | 0>] diP ф 0,
r.\{0>
что завершает доказательство утверждения (а).
Для доказательства (б) следует воспользоваться модифицированным уравнением Макс-
Максвелла A0.97) в g-калибровке, где Л= %~\д.^А^. Подставляя /°(jt) = — d-fF°S+d°A —
= (—\ + %~1)dJF°J ~ g" ? Л° в A0.128) и 'учитЬ1вая> чт0 [F"J (х), Х\ есть свертыватель
по х, получаем вместо A0.128)
х°= const
для некоторого элемента Х^^{М). Дальнейший ход рассуждений в точности повторяет
доказательство (а), только вместо /° (х) теперь фигурирует Q Аа (х). В результате получаем,
что для некоторого элемента Х?!р(М) обобщенная функция <0 | ХА° (/>) | 0> не менее син-
сингулярна вблизи светового конуса, чем б'(р2). Как отмечено в п. 10.1.Б, в этой ситуации
вспомогательное гильбертово скалярное произведение в § не трансляционно-инвариантно. ^
Сингулярность («не менее чем F(/?2)») вблизи светового конуса в ма-
матричном элементе <Ф| /^(р) | 0> можно интерпретировать как наличие фик-
фиктивного «голдстоуновского бозона»; фиктивность его заключается в том, что
он ненаблюдаем (т. е. отсутствует в физическом гильбертовом пространстве).
Предложение 10.12. Пусть ^(х)—сохраняющийся ток (ассоцииро-
(ассоциированный с калибровочной группой U (I)) в физическом представлении в абелевой
калибровочной теории (с «минимальным» взаимодействием). Тогда в физи-
физическом гильбертовом пространстве Ж нет вектора Ф нулевой массы, для
которого матричный элемент <Ф, ^ (х) Wo> был бы отличен от нуля.
•^ Доказательство основано на уравнении Максвелла d\§:^ = /U>1 и групповых со-
соображениях. Предположим противное тому, что нужно доказать, т. е. что замыкание в ffl
множества векторов вида Ео ( Vtyv (х) «ц (х) &*х } Y,, отлично от нуля; здесь Ео — проектор
в $% на подпространство векторов нулевой массы, ^^^(М). Как отмечалось в доказа-
доказательстве теоремы 10.9, отсюда следует, что рассматриваемое подпространство векторов в ffl
преобразуется по неприводимому представлению группы §р0 с нулевой массой и с нулевым
спином; следовательно, в нем можно ввести базис обобщенных векторов | ky {k?To), нор-
нормированных условием <Jk | ?'> = BяK-2?°6 (h—k'). Тогда имеем
Чг0( fb (х) \k><k\ §W (у) Го> (dkH. A0.131)
Из фо-ковариантности следует: <k \ §w (у) Чг0> = е'*>/^ (k), где fw (k) — лоренц-ковариант-
ная тензорная функция от k?T$, антисимметричная по индексам ц, v. Очевидно, един-
единственная такая функция есть /M-v(^)=0, поэтому обобщенная функция A0.131) равна ну-
нулю, а вместе с ней равна нулю обобщенная функция <ЧГО, ^^ (х) E^v- (у) Чг0>. Это противо-
противоречит сделанному выше предположению; тем самым доказательство «от противного» завер-
завершено. >
Поясним, почему прежняя аргументация теоремы Голдстоуна теперь неприменима. В тео-
теории с калибровочной инвариантностью 2-го рода физическая величина X, несущая заряд (т. е.
такая, что D(X)^0), не может быть локальной (см. предложение 10.5), поэтому физическая
величина X, фигурирующая в условии {Ч?о, n(D(X)) Ч?0)ф0, обязательно нелокальна. Тем са-
самым не выполнен один из существенных исходных пунктов доказательства теоремы Голдстоуна.
Глава 11. ПРИМЕРЫ: ЯВНО РЕШАЕМЫЕ
ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ
11.1. СВОБОДНОЕ СКАЛЯРНОЕ БЕЗМАССОВОЕ ПОЛЕ
В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ *)
А. Одномерное неканоническое скалярное поле. Двумерное свободное ска-
скалярное безмассовое поле ср (х) интересно по нескольким соображениям. Из-за
инфракрасных особенностей функций Уайтмана оно выходит за пределы фор-
формализма Уайтмана (и требует модификации формализма допущением инде-
индефинитной метрики —в нефизическом представлении и заменой обычного ваку-
вакуумного вектора на обобщенный — в физическом представлении). Модель
позволяет проиллюстрировать важность нелокальных величин, так как среди
физически интересных величин имеются существенно нелокальные, т. е. не
порождаемые алгеброй локальных величин (например, операторы рождения
состояний с ненулевым «топологическим» зарядом). Наконец, эта модель
лежит в основе ряда других явно решаемых моделей.
Мы рассматриваем скалярное безмассовое нейтральное поле ср (х)^-(р* (х).
По определению оно удовлетворяет волновому уравнению Даламбера
д^ц> (х) ^ ((д,,J-^J) Ф (х) = 0 A1.1),
и ККС
Do (х-у) = 2л/ J 8 (/>•) б (/>•) е-"<*-У> d2p = l/,e (х°-у°) 0 ({х-у)*). A1.3)
При обычной локально-полевой трактовке поля ф (х) как операторной обоб-
обобщенной функции мы должны сглаживать произведения ф (л^) ... ф (хп)
с основными функциями из <Sf (M"), получая в результате квазилокальные
величины. Назовем этот подход локальным квантованием.
Второй (неэквивалентный локальному) метод квантования, который
назовем каноническим, состоит в следующем. Пусть S есть пространство
всех вещественных «классических» (т. е. с-числовых) решений ? (х) волнового
уравнения Даламбера таких, что производные до| (х), д^ (х) принадлежат
пространству Шварца &1 (R) по х1 и зависят ^"-образом от х° как от па-
параметра. На S определена билинейная невырожденная кососимметрическая
форма (или симплектическая форма)
аF, т))= J A(х) дй-ц(х)-{д01{х))ф))йх\ A1.4)
*",= const
так что S можно рассматривать как фазовое пространство некоторой «клас-
«классической» линейной бозонной системы (подлежащей квантованию). Каждому
элементу %? Е сопоставляется линейный функционал в% на 3: о^ (т))в= а(г\, %);
для og определяются скобки Пуассона: {о|, оц} =ог(?, т)). При каноническом
*) В этой главе (и только) М обозначает двумерное пространство-время Минковского;
произвольная точка х?М есть пара вещественных чисел х=(х0, х1), а псевдоевклидово скаляр-
скалярное произведение в М имеет вид xy=x°if—Л/1.
403
квантовании поля ср постулируется, что каждому элементу | ? S сопостав-
сопоставлен эрмитов оператор ср?, линейно зависящий от |, так что при этом вы-
выполнены ККС:
[Ф|, «pJ-toG, т)). A1.5)
Величины локального подхода содержатся в алгебре канонического кванто-
квантования; для этого достаточно любой основной функции f?afr(M) сопоставить
оператор
$Ф(*)/(*)#* = Фв, Ux) = [DQ(x-y)f{y)dy A1.6)
(определяя тем самым ц(х) как локальное поле). Однако алгебра канониче-
канонически квантованного поля существенно шире: в ней есть величины (например,
et<p?, при определенных % несущие «топологический» заряд), которые нельзя
получить как пределы локальных величин (в слабой операторной топологии
физического представления). Поэтому каноническое квантование приводит
к более богатой структуре, чем локально-полевой метод.
Существует еще один метод («квантование на световом конусе»), который
мы здесь рассмотрим подробнее. Оказывается, он вполне эквивалентен кано-
каноническому квантованию (в том смысле, что существует естественный изомор-
изоморфизм между алгебрами фон Неймана физических величин в физическом пред-
представлении).*В основе его лежит простое наблюдение: всякое классическое
решение ?,(х) волнового уравнения (введенного выше класса S) представимо
в виде
J ?(^)); (П.7)
здесь xR и xL—переменные, ассоциированные со световым конусом:
1; A1.8)
%R(xR) и lL(xL) — пара вещественных ^"-функций, производные которых
принадлежат пространству <УГ(/?). Аналогично будем строить квантовое
поле <р(х) из правой и левой составляющих фк и ф1, играющих роль «фун-
«фундаментальных» полей в данной модели. При этом предполагается, что
(pR(xR) и <pL(xL)—операторные обобщенные функции над пространством
J?(R), удовлетворяющие ККС:
y) [P(% fy)]
[<PL(xL),<f>L(yL)]=±DL(xL-yL),
где
DR(xR—yR) = i [P -I-exp [— il(**—у*)] d,K = V2s (x*—yR) A1.10)
{аналогично DL(xL—yL) получается заменой R на L). Удобство третьего
метода квантования состоит в том, что здесь мы по существу имеем дело
с двумя независимыми одномерными скалярными полями ф^л^) и q>L(xL)
(каждое из которых может быть названо одномерным неканоническим
скалярным полем). Поэтому при построении представления можно сосредо-
сосредоточить внимание на одной составляющей, скажем, правой ф^.
Для построения физического представления поля фк (s) (s ? R) восполь-
воспользуемся формализмом индефинитной метрики (хотя здесь этот формализм
не является необходимым этапом; альтернативная возможность, приводящая
к тому же физическому представлению—отправляться от абстрактной ал-
алгебры ККС для поля фЯ^)).
Постулируем вид двухточечной функции:
—t), A1.11)
404
где
[e-aiS-tid1X==—^\n[O + ix{s—t)]. A1.12)
Входящее сюда произведение 9A) Я плохо определено (это так называе-
называемая «инфракрасная расходимость»); результат доопределения, даваемый этой
формулой, содержит массовый параметр х > 0. Поскольку обобщенная функ-
функция 0 (X,) А, не положительна (см. упражнение В.6), метрика в простран-
пространстве виртуальных состояний не может быть положительно определенной.
Пусть /(s)—произвольная функция из ^(R). Сопоставим ей тройку
F™(k)=f(k)—f(O)h(k), F» = <0|q>*(/i)q>«(/)|0>, Я2' = /"@), A1.13)
где h (s) —фиксированная функция из afr (R) такая, что /Г@) = 1 и <01 ф# (h) X
xq>R(h)\ 0> = 0. Нетрудно видеть, что оператор f—+F отображает & (R) на
плотное линейное подпространство одночастичного гильбертова пространства
с положительным скалярным произведением
(F, G)=
и с индефинитной формой
<F, C>= J F«> (I) G <°>(к) к-1 dtk + F^G«» + F55GA>. A1.15)
Относительно скалярного произведения A1.15) <§? является пространством
Понтрягина с сигнатурой (оо, 1).
У пражнение 11.1. (а) Проверить соотношение
<0 | Ф^ G) Ф* (g) | 0> = <F, G> при /, g g ^ (Я).
(б) Доказать, что в §^ определено псевдоунитарное представление группы трансля-
трансляции R таким образом, что функция /, %¦, (х^) =з / (х% — а%) переходит при отображении
f—*F в элемент %f (a«) F из §f.
(в) Убедиться, что векторы F, у которых Я°> = 0, Я2) = 0, трансляционно-инвариантны.
Пусть ^я = JFy (-?}?) есть псевдогильбертово пространство бозе-частиц
с операторами рождения и уничтожения aR*(F), aR(F). Определим теперь
нефизическое представление одномерного неканонического скалярного поля
<pR(s) формулой
Ф/?(^) = Л^A) + Л«*(— X), A1.16)
где
A1.17)
.Нетрудно видеть, что для любого вещественного числа cR преобразование
R R « A1.18)
есть каноническое преобразование. Тем самым задается калибровочная группа
TRs=R преобразований правого поля (в терминологии п. 10.1. В ГR играет
роль «большой» и «эффективной» калибровочных групп, в то время как
«малая» калибровочная группа здесь тривиальна). Согласно следующему
упражнению она реализована псевдоунитарными операторами в ^^.
Упражнение 11.2. Пусть элемент В ? ?? определен условиями
?«»(Я) = 0, BA> = j/2, ?B> = 0 A1.19)
•и пусть
fc# ««*(S). A1.20)
405
Доказать соотношения:
[<p«(s), **] = /, A1.21)
exp (ik^cR) exp (» j <p« (s) / (s) rfs) exp (— /?#c#) = exp (j ^ (фЯ (s) + c*) / (s) rfs A1.22)
при всех / ? <y, (/?), c« g /?.
Очевидно, поле
O*(s) = ^»P«(s) A1.23)
калибровочно-инвариантно; мы назовем его правой компонентой тока. Алгеб-
Алгебру SlR, порожденную им, назовем («правой») алгеброй наблюдаемых. Оче-
Очевидно, двухточечная функция
Q(X)Ke~a(s-t41K = — -^(s — t — «))-¦ A1.24)
положительно определена. Поэтому вакуумное представление я@) алгебры
наблюдаемых Ж1* есть фоковское представление в соответствующем фоковском
гильбертовом пространстве HRW (одночастичное подпространство которого
есть пополнение множества векторов вида ^ vR(s)f(s)ds\ 0>, f^^{R))-
Аналогичное построение можно выполнить для левой составляющей
<$L{xL). Полное нефизическое пространство ф, в котором действует скаляр-
скалярное безмассовое поле ц>{х), есть тензорное произведение (Q = !oR(g)fQL. Соот-
Соответственно вся алгебра наблюдаемых есть тензорное произведение §1 = 91^0 Щ1
алгебр 31* и SF.
Б. Физическое представление. Поскольку рассматриваемая калибровоч-
калибровочная группа TR = R (для поля ср*) некомпактна, схема п. 10.1.В нуж-
нуждается в некотором изменении, обеспечивающем сходимость интегралов по
калибровочной группе.
Пусть 5ШК есть множество всевозможных конечных сумм операторов
в $R вида
А = J exp (/ S <р« (s) /(s)ds) F (/) df; A1.25)
здесь оЛГ—произвольное конечномерное аффинное подпространство в afr(R)
такое, что функционал /—>- / @) ^ j / (s) ds отображает оЛГ на R; F (f) есть
произвольная функция класса <У (off), df есть (трансляционно-инвариант-
ная) лебегова мера на оЛГ. Легко видеть, что Шк есть «-алгебра (без еди-
единицы), которая переходит в себя при умножении (слева или справа) на
операторы вида exp (t ) <pR(s) f(s)dsj (/(Е^Д/?))- Как и в п. 10.1.В, определим
на 9Л* (теперь) обобщенный вакуумный функционал sR с помощью интег-
интеграла по калибровочной группе:
J A1.26а)
который на элементах вида A1.25) равен
в*(Л)= J 2лб(/@))ехр(— V2^R(s—t)f{s)f(t)dsdt)F{f)df. A1.266)
Оказывается, при этом выполнено условие положительной определенности:
8*(ЛМ)>0 при всех A?mR. A1.27)
Для доказательства введем инфракрасное регуляризованное поле*ф*(«) с двухточечной
функцией <Om\(p%(s)(p&(t)\Om> = Wm(s-t)='\je(X){X + m)-1e-a(*-t>d1X, где m > 0-
параметр регуляризации. Поскольку двухточечная функция lFm (s—/) положительно
определена, то поле q>m (s) строится вторичным квантованием в гильбертовом простран-
пространстве fejn с вакуумным вектором 10m>. Пусть *-алгебра ЗЛш определена подобно К
406
т. е. заменой <р# на фт в A1.25). Тогда из положительности метрики в §т следует:
ая <0т I А*тАт | 0OT> ss 0 при всех Ат 6 Ш$; (И-28)
при этом множитель ат = (\пт0/тI'2 (с произвольным фиксированным т0 > 0) выбран таким
образом, что
sR(A) = lim ат фт | Ат \ 0т>
т -*-0
на элементах А вида A1.25) (при этом Ат получается подстановкой <pm (s) вместо ф" (s)
в A1.25)). Переходя теперь в A1.28) к пределу при т—>• 0, получаем A1.27).
Функционал sR уже не нормирован (и не может быть нормирован) на
единицу, поэтому мы называем его обобщенным вакуумным состоянием
алгебры $R физических величин правого поля. Конструкция ГНС (п. 1.5.Г)
легко распространяется на обобщенное состояние. Физическое представле-
представление я поля фЯ строится в комплексном гильбертовом пространстве 3%к,
в котором всюду плотное линейное подпространство образовано векторами
Х(А) (Л^ЗЛ^), линейно зависящими от Л и имеющими скалярное произ-
произведение
sR(A*B), А, В?Ш*. A1.29)
Правая составляющая OR (s) = л (ф^ (s)) в физическом представлении опре-
определяется формулой
ехр (/ \O(s)f(s)ds)X(A) = x(exp (i J 9«(s)/(s)ds) A), A?$flR A1.30a)
при всех f?.<ifr(R) или, эквивалентно,
<X (Л), ехр ( J Ф«(з) / (s) ds) X (B)> =
-=s«(i4*exp(t$<pK(s)/(s)is) Д), Л.ВбЗИ*. A1.306)
Ниже мы пользуемся сокращенным обозначением:
?f=exp(i J O*(s)/(s)ck) = tt(exp (г S ф« (s) / (s) ds ) ) при f^^r(R).
A1.31)
Правый ток в физическом представлении обозначим через УЯ (s):
= 5<I>*(s). (П-32)
Как обычно, алгебра n($R)ce (соответственно, яC1 R)cc) называется алгеброй
фон Неймана физических (соответственно наблюдаемых) величин.
В Жя задано унитарное представление UR(aR, rR) группы R о /?+ неодно-
неоднородных линейных преобразований переменной xR:
(rR>0, aR?R). A1.33)
А именно: пусть «-автоморфизмы а^ ^ алгебры Шп определены на эле-
элементах A1.25) формулой
а{ая, rR){A)= J ехр (i \ <pR(rRs + a*)f (s)ds) F(/) df.
Положим
U*(a*, rR)X{A) = X(a{aR,rR){A)), A^TlR. A1.34)
Упражнение 11.3. Доказать, что формула A1.34) определяет унитарное пред-
представление группы RojR+ в $f?, причем
U* (aR, rR) Ф'? (х«) UR (a*, rR)~1 = Ф^ (л«х« +aR). . A1.35)
Аналогично калибровочные преобразования A1.18) унитарно реализо-
реализованы в fCR операторами ехр (iKRcR), действующими по формуле
А еШ*. A1.36)
407
У п раж не ние 11.4. Доказать, что формула A1.36) задает унитарное представление
калибровочной группы Г# = R в Ж^ такое, что
(XR) e-wW = фК {xR) + cR. A L37)
В п. 10.1.В представление алгебры наблюдаемых в Ж разлагалось
в прямую сумму подпредставлений пт в пространствах Жт с «зарядом» т.
В рассматриваемом случае из-за некомпактности калибровочной группы пред-
представление алгебры наблюдаемых в Ж разлагается не в прямую сумму,
а в прямой интеграл представлений я& \ соответствующих значению t,R
(правого) заряда QR:
®
я«-=$я(ся)^«. A1.38)
/?
Представление пт есть просто фоковское представление (правого) тока
(п. 11.1.А), а представления п& )при ^^О являются так называемыми
смещенными фоковскими представлениями. Они определяются следующей
конструкцией.
Пусть Э^ ) есть множество всевозможных конечных комплексных линей-
линейных комбинаций операторов exp (t ] yR(s) f (s)ds), где / пробегает аффинное
подпространство Э$я) в aPr (R):
(R): / @) ^ J / (s) ds =
Тогда выражение <0|Л*?|0> (где А, В?9^*)) задает на Ш^) положи-
положительно определенную эрмитову форму. Действительно, всякая функция /?3tl0)
однозначно записывается в виде /(s) = — dsg(s) при g?ePr(R), так что
и рассматриваемое утверждение при ?л = 0 есть следствие положительной
определенности скалярного произведения в фоковском представлении для
(правого) тока. Если t,R Ф 0, то
?fc*) = ?«ft-j-?w», A1.39)
где h—фиксированная функция из ^r(R) такая, что Ъ @) = 1. Отсюда легко
следует соотношение
<0|Л*Б|0> = <0|Л*Л|0> при А, В$ШК\ A1.40)
где мы сопоставили оператору А = 2 cfexp (t ^ <pR (s) f (s) ds) из 31& ) опе-
оператор
A1.41)
из $1Ш- Из формулы A1.40) положительная определенность эрмитовой формы
<01 А*В 10> на 0?(?я) становится очевидной.
Определим комплексное гильбертово пространство Ж^»> как пополне-
пополнение множества векторов У^я) (Л), линейно зависящих от Л ? 9$^ и обра-
образующих предгильбертово пространство со скалярным произведением
<у(?я)(Л), У(^)(Б)>= <0| Л*В|0>, Л, В?$1к*). A1.42)
Смещенное фоковское представление п^ ) для (правого) тока теперь опре-
определено в Ж& ) формулой
jtk*) (exp (i S v* (s) г (S) ds) ) У(ЕЯ) (Л) =
= у(Ея)(ехр (i JyR(s)^(s)ds) Л), ЛбЭТ^), A1.43а)
408
«ли матричными элементами
(ИЛ (Л), я&*) (exp (t J »«(s) ff(s) ds)) yfc*) (В)) =
= <О|Л*ехр(/ J vR(s)g(s)ds) 5|0> при А, Я€Я(с*\ g?&r(R)- (И.436)
Упражнение 11.5. (а) Доказать, что формула
!/(?*) (aS, г«) у(С*) (Л) = k(S^) ( 8(Л rR) Л), Л € SfcG*), A1 -44)
определяет унитарное представление группы RoR+ в 5? . причем
и№ (aR, г«) я(^) (о« (**)) t/fc*) („я, /¦«)-! =
= /¦%(&*) (уЯ^Я + а*)), л* > 0, а# ? /?. A1.45)
(б) Доказать, что генератор трансляций PL™ >, определяемый равенством
и№ (о«, 1) = ехр (l/,iPL № aR), A1.46)
строго положителен *) при ?Я Ф 0. (Указание: пусть Л=ехр it \ ф^ (s) / (s) rfs J при /^3E's '»
ффО; убедиться, что <г'^ '(A), U^" ' (eft, \)Y^° > (Л)> является аналитической функ-
функцией по eft при Ima^ > 0, непрерывной при Ima^SaO и стремящейся к нулю при aR = ft»
+ )
Сформулируем теперь ряд свойств физического представления правой
составляющей поля ср (х).
Предложение 11.1. (а) Физическое представление правой составляю-
составляющей фк (хн) свободного безмассового скалярного поля ф (х) в пространстве 5%R
неприводимо, а его сужение на алгебру наблюдаемых SIR распадается в пря-
прямой интеграл A1.38) попарно неэквивалентных неприводимых представлений
я(? )—смещенных фоковских представлений.
(б) Алгебра наблюдаемых фон Неймана п ($HR)CC совпадает с множеством
всех калибровочно-инвариантных операторов из ЗВ ($6R) (т. е. с множеством
всех ограниченных операторов в Жя, коммутирующих с операторами
exp(iKRcR)). В частности, оператор заряда KR присоединен к алгебре на-
наблюдаемых фон Неймана n(%R)cc.
(в) Группа симметрии RoR+ поля <pR(xR) реализована унитарными
операторами UR{aR, rR) в $6R, удовлетворяющими A1.34), A1.35) и при-
принадлежащими алгебре наблюдаемых фон Неймана n(UR)cc, причем генератор
трансляций Р1 строго положителен.
-^ Из конструкции пространства SK следует, что его можно отождествить с фо-
ковским пространством fflR(°>; для этого достаточно вектору Y& '(А) при А?$1& ) сопо-
сопоставить вектор К<0) (А) (где A"^3tl0> определено в соответствии с A1.41)). При таком отож-
дествлении прямой интеграл SfC=\ 5%(Qdi^ есть пополнение предгильбертова простран-
пространства непрерывных (по норме) вектор-функций Ч (?) на R с компактными носителями и со
значениями в $?^<°>. Скалярное произведение в ffl определяется формулой <C?i, Y2> =
— \ <^i (D> WiiObdiZ. Определим в $ представление я правого поля <p^ (s), полагая
= exp (t? ^ D* (s-t) f (s) h @ ds dt) я"» (exp {i^R (s) / (s) ds ) ) V (Q при /"(б) = 0,
A1.47a)
ГяГехрГг?' f fi?(s)ft(s)rfs'LLf4) (Q = Y(g— S') при ?'?R. A1.476)
v \ ч J / / /
*) Напомним, что строгая положительность самосопряженного оператора А в гиль-
гильбертовом пространстве $% означает: (W, ЛЧ^ S= 0 при всех У^Од, причем знак равенства
здесь имеет место только при ? = 0.
409
Так как QJPr(R) есть прямая сумма подпространств J<°> и R-h, то эти равенства совмести
с ККС определяют it (ехр fi Г фЯ (s)f(s)ds\^j при всех f?qfr{R)-
Упражнение 11.6. (а) Доказать, что существует изоморфизм №: ,%"#—>-$f гиль-
гильбертовых пространств, сопоставляющий вектору X (AJ^ffiR (при A?ffllR) вектор-функцию
У (?) = я«» ( ^ VcR (ехР (—'
где V @) — вакуумный вектор в
(б) Доказать, что
я (ехр (» J Ф# (s)/(s)ds)) =[1Гя (ехр (/ J
При всех f€a?r(R).
Упражнение 11.6 показывает, что представление я поля ф# в Ж унитарно эквива-
эквивалентно построенному выше представлению я в Ж> поэтому в предложении 11.1 мы можем
заменить я на я*.
Формула A1.47а) показывает, что каждый оператор я (ехр fi \ ф# (s) f(s)dsjj при
приводится в прямом интеграле семейстЕОм операторов я(^ (ехр fi \ (pR (s)f(s)ds)),
???. Очевидно, что в новой реализации операторы калибровочных преобразований дейст-
действуют как операторы умножения ^(Q-—*¦ ехр («?e^) ? (?), так что алгебра фон Неймана»
порожденная операторами ехр (iKRcR), изоморфна алгебре J?"° (R, dQ всех комплексных
измеримых существенно ограниченных функций на R (см. [Н2], пп. 6.13 и 26.5). Покажем,
что операторы калибровочных преобразований содержатся в слабом замыкании системы
рр р рр
операторов я (ехр fi [ (p%(s) f(s)dsjj ,
Упражнение 11.7. (а) Построить последовательность функций (on(t) в oPr(R)
такую, что ш„ (*) —>• 1 в <^" (R) и
<0|^(s)y^@|0>con(s)Q)n(/)rfsd/—>0 при и—* оо. A1.48)
(Указание: положив ~}п (Я,) = — 0A — | Я|) | Я |-1 + 1/«, убедиться, что /„ (Я.) —»• 2яб (к) и
Я|7и W|2dX—» 0 при п—> оо. В качестве ш„ (Я) можно взять Хл A Я]) |„ (Я), где Хп(Я) —
о
гладкая функция со значениями на интервале [О, 1], равная единице при 2е„ < X < 1—2е„
и имеющая носитель при е„<1<1—е„, где е„—достаточно малое положительное число.)
(б) Доказать, что для последовательности ш„?с^г (Л), удовлетворяющей условию
A1.48), я'0) (ехр (i i 0s (s) ш„ (s) ds ) ) —»¦ 1 при п —>¦ оо в слабой операторной топологии.
(Указание: в силу унитарности рассматриваемых операторов достаточно доказать предел
для матричных элементов между гладкими финитными векторами фоковского пространства,
при этом можно воспользоваться оценкой типа G.124).)
Из формулы A1.47а) следует, что для последовательности <»„, построенной в упраж-
упражнении 11.7, имеет место предельное соотношение (в слабой операторной топологии):
при п—> оо. A1.49)
Это доказывает, что операторы заряда присоединены к алгебре наблюдаемых фон Неймана.
Из A1.49) также следует: я^ ' (ехр ( jc# \ vR (s) со„ (s) ds J J—* ехр (i?$cR) при п—>• оо,
откуда очевидно, что полученные представления jp» ' для (правого) тока попарно уни-
унитарно неэквивалентны.
Покажем теперь, что алгебра я (i$R)cc совпадает с алгеброй $${!&СЩ. С этой целью
отождествим прямой интеграл Ж=\ Ж®*&¦& с тензорным произведением ЖК{0>®'
® j?2( R, dit). Так как алгебра наблюдаемых фон Неймана я (Щ.^)сс порождается элементами
вида я<0) Гехр fi f v% (s)g(s) ds)} ® и, где u?J?°° (R, djQ, а совокупность я<°) (ехрЛ'Х
vR (s) g (s) ds j J при произвольных g?ofr (R) есть неприводимый набор операторов
в ^Яч», то я 0KR)CC = 23 (,9?Rm) ® =S?°° (R, diQ. Соответственно ее коммутант есть я {ЖК)С=
= 1® Jff°° (R, diQ (см. [Н2], п. 26.5). Наконец, из A1.47) следует, что алгебра фон Ней-
Неймана п($Я)сс поля фЯ (s) порождена алгеброй я DlR)cc и операторами сдвига 107\, где
(Т^.и) (S) = « (?—g'); поэтому ее коммутант состоит из элементов алгебры n0KR)c =
410
= 1 (R) =Sf°° (/?, diQ, инвариантных относительно сдвигов, т. е. состоит из скаляров:
я{$Щс=С. Значит, я(%*)" = 93(Ж*), так что алгебра поля Ф« (s) действует в #f« не-
приводимо.
Тем самым доказаны утверждения (а), (б) предложения 11.1. Утверждение (в) факти-
фактически было доказано в упражнениях 11.3 и 11.5 (за исключением того, что операторы
UR(a.R, r#) принадлежат алгебре наблюдаемых фон Неймана л (Ш.К)СС, что легко следует
из утверждения (б)). ^
Аналогичное утверждение справедливо для левой составляющей ФЛ (xL).
В физическом гильбертовом пространстве SfC = SKR®ML определены оба
поля 0^(^H1 и 1(?)Ф1(х1), для которых сохраним прежнее обозначение
Ф*(Я) и Ф1(х1). Разложение
^ )) A1.50)
Ф(л;)=-^
позволяет определить в Ж локальное поле Ф (х) (т. е. операторную обоб-
обобщенную функцию класса <&" (М)). В &С действует также канонически кван-
квантованное поле следующим образом. Произвольное классическое решение
волнового уравнения \ ? Н однозначно представимо в виде
Цх) = yJ (a+j D* (х*—у*) /* (iff) dy* + ^DL {xL-yL) fL (yL) dyL), A1.51)
где a?R: fR, fL?aP(R); соответствующие операторы канонического кванто-
квантования Ф| ^ п (ф|) определяются формулой
= —a
J ф« (д:^) /«(ж«) Лс« + j Ф1 (**) /? (х1) Л1 A1.52)
{при этом связь между локальным и канонически квантованным полем
по-прежнему осуществляется формулой типа A1.6)).
В Ж можно определить представление группы PloR+ преобразований
пространства-времени М вида
х—-гЛх + а, A1.53)
где г>0—параметр масштабного преобразования, а?М—вектор трансля-
трансляции, Л—собственное преобразование Лоренца:
5
A1.546)
Для этого следует положить
U (а, гА) = и*(а*, rR)®UL(aL, rL), где г*=ге-\ rL = r&. A1.55)
Из упражнений 11.3, 11.5 следует ковариантность поля Ф(х) в физическом
представлении:
U{a, rA)O(x)U(a, гА)-1 = Ф(гАх + а), A1.56)
а также условие спектральности: спектр оператора энергии-импульса
Р==(Р°, Р1) лежит в замкнутом верхнем световом конусе. (Однако в физи-
физическом представлении нет вакуумного состояния поля Ф(я); его заменяет
обобщенное вакуумное состояние s = sR@sL.)
Наряду с правым и левым зарядами KR, KL введем операторы
± . A1.57)
Как показывает следующее упражнение, они выражаются через нулевые
компоненты сохраняющихся токов
V*(x) = dPO(x), V'»(x) = eP'd4Q>(kx), A1.58)
где 8^v—«абсолютный» антисимметричный тензор (ео1 = 1), связанных с вве-
введенными ранее (ср. A1.23)) правым и левым токами VR(Xя) =з л(vR(x^)),
411
Vх (xL) = я (vL (xL)) в физическом представлении соотношениями
^ ) = pL(V(x)-P(x)). A1.59)
У пражне ние 11.8. Пусть последовательность а>„ (t) выбрана такой же, как в уп-
упражнении 11.7(а). Доказать соотношения
ехр (ic [ V0 (х) а„ (х1) dx1 \ —* ехр (кК),
x'=coast A1.60)
ex p fie' [ V'0 (х) ш„ (л;1) dx1 \ —> ехр (ic'K')
» х'=const /
при /1-+Ю в слабой операторной топологии. (Указание: воспользоваться пределами типа
A1.49).)
Соотношения A1.60) поясняют, в каком смысле следует понимать стандартное определение
заряда как пространственного интеграла от нулевой компоненты тока:
К= ij V°(x)dx1, /('= [ V'a(x)dxx^3 ^ д1Ф(х)йх1. A1.61)
хс=const х1
Последняя из формул указывает, что заряд К' имеет «топологическую» интерпретацию: ./Сесть
по существу скачок поля между правой и левой пространственными бесконечностями; поэтому
К' называют «топологическим» зарядом. Нетрудно видеть, что при локальном квантовании
полеФ(х) инвариантно относительно калибровочных преобразований exp(ic'/('). поэтому ло-
локальная полевая алгебра поля Ф (х) не содержит операторов рождения «топологического» заряда
и приводима по этому заряду в физическом пространстве Sf€ (напротив, канонически кванто-
квантованное поле, очевидно, неприводимо в ^f).
Замечание. Для определенности мы будем считать, что при про-
пространственном отражении поле Ф(л;) ведет себя как «подлинный» скаляр:
Ф(х)—>-ФA3х), где /^^(х0, —х1); при этом правая и левая компоненты
преобразуются^по^правилу
— псевдоскалярным.
В. Свободные «кварковые» поля; бозонизация фермионов. Пусть Ef есть
экспонента вида A1.31) от сглаженного поля фЯ(л;л). Выражение
— t)f{s)f{t)dsdt)Ef, A1.63)
где f^^riR), назовем нелокальной нормальной экспонентой поля ()
Определим N-произведение нелокальных нормальных экспонент NEft, ..
..., NEfn формулой
il ?)?1+...+fn. A1.64)
Очевидно, что это Af-произведение коммутативно.
У п ражнение 11.9. (а) Проверить, что операторы A1.63) удовлетворяют условиям
NE§=1,' NE?* = NE*f, NE?[.NE* = Q(f,g)NE*n.g, A1.65),
где
й(/. g) = expQlF/?(s-O/(s)g(/)ds^J. A1.66)
(б) Проверить соотношения
(*??)...(*??)= П Й(/У hr^ijl (NEf)\ A1.67)
i<k \j = i i J
412
При такой трактовке отражения токи V* и V& являются соответственно i
«подлинно» векторным и псевдовекторным полями, а поле
^ *')) A1.62)
Локальные нормальные экспоненты JVexp(ra<D#(s)), а также поли локаль-
локальные нормальные экспоненты
JVexp (i 2 ауФ« (s;) J (olf ..., оя € Л, slt ..., sa?R) A1.
68)
от поля CD^s) определяются как пределы нелокальных нормальных экспо-
экспонент в смысле операторных обобщенных функций по переменным s, s1? ...
..., sn?R. Формально выражение A1.68) соответствует продолжению опе-
операторного функционала NEf^ на обобщенные функции / = \i вида
?«/6(^-s/). A1.69)
Для таких ii примем в качестве определения
NER^ ЛГ ехр(i 2 a/D« (Sj)] = lim NE«*X&. (И.70)
\ / 1 у e+0
где
Заметим, что, хотя функции / (Я) = ц (Я) хе (Я) не принадлежат классу of (R), они не-
непрерывны, а их сужения на ± Л?+ принадлежат <?Р (± /?+). Нетрудно видеть, что на такие /
функционал NER продолжается по непрерывности (в слабой операторной топологии).
У пражне ние 11.10. Показать, что предел A1.70) существует как операторная
обобщенная функция по переменным si, ..., sn, причем результат сглаживания NE^ с ос-
основной функцией есть оператор, определенный на плотном в ffiR множестве векторов вида
X (A), A(Z%S\R. (Указание: достаточно убедиться в существовании предела матричных эле-
элеу
ментов <Х(А), NE^y NEv*x , Х{В)> при г, г'—> + 0, где A, Bgffll#. В силу соотно-
соотношений A1.64) задача сводится к рассмотрению поведения величин Q (/, ц * Хе) ПРИ е—
и Й([г*5(е> v*Xe/) ПРИ е> е'—» + 0. Величина й (/, И-*Хе)> очевидно, имеет предел й (/, ц)
являющийся гладкой функцией по параметрам Si, ..., sn. Величины вида
®(»*Х&, v*XE<) = II П (e + e' + «(V-W)"a/P*/2St
/ = 1 k = l
имеют предел при е, е'—>+0 в смысле обобщенных функций по Si, ..., tn,\
произведение таких величин также имеет хорошо определенный предел.)
Упражнение 11.11. (а) Доказать соотношения
= *?„, (*?) ••• (лту=Пй(^, |i/)^i+ ...+Jift (И.72)
(в смысле операторных обобщенных функций по slt .... sn, s^ s<«')-
(б) Доказать, что A1.70) является операторной функцией по si, зависящей <&'»-образом
от Si — S2, —, sn_i — sn как от параметров.
Так как заряд KR есть в некотором смысле линейный функционал от
поля фя (см. формулы A1.60), A1.61)), то нетрудно определить нормальные
экспоненты от поля Фк (xR) и заряда KR\ для этого положим
N ехр (i J фч {xR) f (xR) dxR + icRKR) = lim NER+cR(i>n, A1.73)
где со„ — та же последовательность, что и в упражнении 11.7 (а).
Упражнение 11.12. Доказать соотношения
N ехр ((Л(Я) = ехр (icRKR), A1 -74)
N {(NEli) (N ехр (/с^Л^))) = N ехр I i У^ а.Ф^ (s,) +с/г/СЛ ] =
\ \/=1 УУ
ехр ( ?rcR \ u(s)ds )exp(icRKR)NElx. A1.75)
\ z J У
41»
Разумеется, в пространстве Ж = &6R®$6L можно строить локальные
нормальные экспоненты из OR(xR) и Ф1(хь). В частности, введем двухком-
понентное поле
а (х) = [Ч* (x))_(N exp [ia (Ф« (**) + */,**)] \ ,.,
где а —вещественный параметр. Нетрудно видеть, что компонента qR'L(x)
несет правый (левый) заряд, равный а:
-exp [»(cRKR + cLKL)] q (x) exp [— i (cRKR + <
Пусть а^Ои Hm = UcR, cl)?R2: -?cR, -?-cl?Z\. Очевидно, что опера-
операторы exp [i (cRKR + cLKL)] с параметрами cR, cL из Нт действуют на кварко-
вое поле тривиально, поэтому в действительности калибровочная группа Г(а)
поля q(x) компактна:
Г =R2/H ?&U(\)xU(l). A1.78)
Нетрудно убедиться, что поле q(x) обладает следующим трансформационным
свойством относительно группы 93|о#+:
U (a, rA)q(x)U(a, rA)-1 = rdexp(—l%y3)q(rAx + a), A1.79)
тде
d = l = а2/4я, A1.80)
v-а j
Отсюда, в частности, следует, что поле q{x) обладает лоренцевым спином ±1
Кроме того, оно, очевидно, удовлетворяет уравнению Дирака
= 0, A1.82)
где у11—матрицы Дирака в двумерном пространстве-времени Минковского,
взятые в представлении
Мы назовем q(x) свободным кварковым полем*).
Отметим еще ряд интересных черт этого поля. Поскольку компоненты
поля q(x) являются локальными нормальными экспонентами полей Ф^^),
Ф1(х1), то для свободного кваркового поля естественно определены N-произ-
ведения N(ql*](х^ ... qw(xn)), для которых имеет место следующая фор-
формула умножения:
¦N{q(xi, mR, m\) ... q{xp; mR, mfy-N (qiy^ nR, n\) ... q(yg; nR, n^)) =
=П П (e-ta/!(IB?/I*-m№• (o+ix {xf -yR)Jlm?"* ¦ (о+ы (x\-yWlm1*nhx
x N (q (Xl; mR, n{) ... q (yq; nR, <)); A1.84)
здесь для компонент поля q(x) и ему сопряженного вводится обозначение
q(x; mR, mL) по правилу
q(x; I, 0) = qR(x); q(x; -1, 0) = ?«(*)•; ,
q(x; 0, \) = qL{x); q(x; 0, -l) = q^(x)*. A1^>
В соответствии с коммутативностью JV-произведения нормальных экспонент,
iV-произведение не меняется при перестановке кварковых полей.
Упражнение 11.13. Доказать соотношение
q(x; mR, mL)q(y; nR, п1) = е~1'гпЬц (у; nR, nL) q (x; mR, mL) при (х—yf < 0, A1.86)
где
a = e (x1 — y1) (mRnR — mLnL) + (mRnL — mLnR) = ± 1. A1.87)
*) Как мы увидим в следующем параграфе, оно является составной частью поля Тирринга*
414
Из A1.86) следует, что при (полу)целом спине / компоненты кварковога
поля, а также сопряженного поля (анти)коммутируют при пространственно-
подобном разделении аргументов. При других значениях спина соотношение
A1.86) есть обобщение бозонно-фермионной альтернативы в условии локаль-
локальности (в этой ситуации говорят об «обобщенной статистике» кварковых полей).
Согласно упражнению 11.11F) Af-произведение N (qw (xt) ... qw (х„))
кварковых полей является операторной обобщенной функцией по х1г зави-
зависящей й""-образом от разностей хх—х2, . .., хп_г—х„ ? М. Поэтому в N -про-
-произведении кварковых полей можно приравнивать аргументы, получая состав-
составные поля.
Упражнение 11.14. Доказать соотношения
N (<?« (х)У (*)) = N № (x)*qL (х)) = 1, A1.88>
N (дЧ (х)*д^* (x^iag^V* (**) = * у% (V*>- V» W)> AL89a)
N (yL (х)*д^ [x)) = iaVL (XL) = iy=(Vil(x) + Vl,.{x)). A1.896)
В частности, W-произведения компонент кваркового поля <7 = q(a) с одно-
одноименными компонентами кваркового поля q^} (получаемого заменой а на Р
в A1.75)) образуют кварковое поле <7<а+р,:
N (<Д, (х) <$, (*)) = <7w+P) (x)t N (qfhu (х) qfa (х)) = ^га+3) (х); A1.90а)
кроме того,
<7<*а> (*) = ?<-«>(*)• A1.906)
Описанная процедура получения кваркового (в частности, фермионного)
поля называется бозонизацией кваркового поля. Результирующее представ-
представление кваркового поля в физическом пространстве Ж скалярного безмассо-
безмассового поля оказывается приводимым. Это следует из того, что поле q(x)
коммутирует с операторами калибровочных преобразований при (cR, cL) ? Н<а)
(см. A1.76)). Методом, использованным в предложении 11.1, можно показать,
что представление поля q в Ж разлагается в прямой интеграл попарно
неэквивалентных неприводимых представлений (параметризуемых точкой Ь
двумерного тора, поэтому соответствующие неприводимые представления
естественно назвать ^-представлениями). Только одно из них имеет вакуум-
вакуумный вектор (во всех остальных представлениях оператор энергии строго
положителен). Для построения этого вакуумного представления введем
вспомогательную *-алгебру $т ограниченных операторов в Ж, являющихся
линейными комбинациями операторов NE^NE^exp i(cRKRjrCLKL), где
^(s)dseZ, or1 5 ?(*)#€ Z.
У пражнен ие 11.15. (а) Доказать, что алгебра фон Неймана %С(аи порожденная
алгеброй %1а), состоит из всех операторов в Ж> коммутирующих с операторами
exp i {сЧцИ -\-с'-К1) при (с^, ^)^Я(а). (Указание: алгебра $?&)» очевиДн°. содержит
алгебру фон Неймана, порожденную током ]/^ (х), т. е. алгебру наблюдаемых фон Неймана,
поэтому из предложения 11.1 следует, что §<со содержится в алгебре функций f(KR, К1)
от К% и К.1. Остается убедиться, что такой оператор f(K^, KL) коммутирует с g(a)
в точности тогда, когда функция f(?,R, t,L) периодична с периодом а по ?# и по t,L.)
(б) Доказать, что алгебра фон Неймана, порожденная кварковым полем q (x), совпадает
с §<со- (Указание: при нахождении коммутанта кваркового поля воспользоваться теми же
соображениями, что и в части (а) упражнения.)
Зададим вакуумное состояние s(ct) на алгебре $(а), полагая
(У1®П W'J (Ad«diy*®W^ A 6 3=te,, A1.91)
где л@) — вакуумное представление алгебры наблюдаемых в пространстве
Ж(<>) к®Жт L (см. предложение 11.1) с вакуумным вектором ^?B) ОД.
При этом в результате интегрирования по калибровочной группе в A1.90),
415
очевидно, получается оператор из алгебры наблюдаемых. Функционал s(o)
положителен (так как при интегрировании по Г(а) неотрицательного опера-
оператора получается неотрицательный оператор).
Состояние s«x, определяет вакуумное представление я(а) алгебры $(а)
в некотором гильбертовом пространстве Жю с циклическим вектором Ч^,.
Как и в случае представлений Ж^ для тока vR(xR) (п. 11.1.Б), нетрудно
убедиться, что в Ж1а) действует унитарное представление группы Пуанкаре
(а также sp+o/?+), причем выполнено условие спектральности; кроме того,
выполнено условие единственности вакуума. Как обычно (см. предложе-
предложение 8.1), отсюда следует неприводимость представления л(а).
Теперь вакуумное представление ща) {q (х)) кваркового поля определим
через предел операторов из $<а), подобно тому как выше определено q(x)
в $7; например:
(<7*(*)) = Пт ща) (w exp (to J Ф«(s)*Xe (s) ds + 7Д«)). A1.92)
Упражнение 11.16. Доказать соотношения
*- тп • mk)) Yo,«, > =
^-4))i/fflK A1.936)
(Указание: A1.93а) следует из A1.91); A1.936) следует из A1.93а) и A1.84).)
Случай / = а3/4л = 1/2 приводит к свободному безмассовому дираковскому
полю ^(х) в двумерном пространстве-времени. Считая, что a = \^2n,
положим
У пражнен ие 11.17. Доказать, что поле гр (дс) удовлетворяет следующим соотно-
соотношениям:
№ (х)*, yR (у)]+ = 6 (х*-у*), № (х)*, ^ (у)]+ = 6 (x!—yL),
№ (х)*, & (у) ] + = 0, № (х). i|> (у)] + = 0. 1'' -У0}
Как и общее кварковое поле <7 (*). дираковское поле г]з (х) приводимо
в физическом гильбертовом пространстве $% скалярного безмассового поля.
Вакуумное представление его ща) определяется формулой типа A1.93) при
а = \/Г2я, 1 = 1/2. С другой стороны, свободное дираковское поле обладает
обычным фоковским представлением (которое строится так же, как и в
четырехмерном пространстве-времени; см. п. 8.4.В). Непосредственным срав-
сравнением можно убедиться, что все функции Уайтмана поля г|э (х) для этих двух
представлений совпадают, поэтому представление я(а) (где а2 = 2л) есть
фоковское представление свободного безмассового дираковского поля, но
полученное методом бозонизации *).
Другие ^-представления, содержащиеся в разложении поля г|з в SfC B прямой интеграл не-
неприводимых представлений, не эквивалентны фоковскому (в них оператор энергии строго поло-
положителен, так что они являются безвакуумными). Соответствующие состояния можно интерпре-
интерпретировать как «кванты» полейг|),г|)* на фоне (энергетически сколь угодно слабого) солитоноподоб-
ного возбуждения вакуума («конденсата») со значениями правого и левого зарядов К. , К , не-
нецелочисленными кратными |^я. ^-представление параметризуется парой (exp (id ), exp(iu ))
комплексных чисел, по модулю равных единице. Его можно получить из фоковского представ-
*) Заметим, что нормальное произведение свободных дираковских полей (см. п.8.4.В) не
совпадает с .^-произведением (существенное отличие состоит в том, что поля под знаком N-npo-
изведения коммутируют).
416
ления с помощью линейного канонического преобразования
/ exp
где aF'L(s) — произвольные вещественные $°°-функции, производные которых принадлежат
zfr (/?), причем
exp [i Ул(а1> L (+ оо) — a*. L (— оо))] =ехр (ifl«. L). A1.97)
В частности, [представление, полученное из фоковского представления преобразованием
вида A1.96), унитарно эквивалентно фоковскому (в этом случае каноническое преобразова-
преобразование называют собственным) в точности тогда, когда
ехр(« Y^ZR'L)=h где ?*. ? = а*. L (+ оо) — а*. L (— оо). A1.98)
Это условие имеет простой топологический смысл. Оно означает, что каждое из отображе-
отображений s—*ехр (i У 2л •a^.i(s)) продолжается однозначно (по непрерывности) до гладкого
отображения многообразия R«, = R\J{оо} (диффеоморфного окружности) на единичную
окружность U (I). Целые числа ?#, i/j/^n являются числами обертываний (с учетом ориен-
ориентации) окружности U A) расширенной прямой Ц„ посредством указанных отображений.
Эти числа различают связные компоненты группы собственных канонических преобразований
вида A1.96) (они определяют заряды, которые несет унитарный оператор в фоковском
пространстве, реализующий собственное каноническое преобразование A1.96)).
Упражнение 11.18. (а) Убедиться, что двухточечные функции Уайтмана свобод-
свободного безмассового дираковского поля г|з(х) (взятого в вакуумном представлении) имеют вид
(х) г|^ (у)>0 = --L [0 -!- I (х*- у*)]-1, A1.99я)
^ , A1.996)
<г|з/?* (х) ^ (у)>0 = <г|з?* (х) ^ (у)>0 =^.Цх)^> L (у)\ = 0. A1.99в)
(б) Определим ток свободного дираковского поля формулой (ср. (8.124))
f (х) = : tj; (x) y1^ (x): ^ lim {^ (х) у^ (г/) - <г| (х) удг|; (;/)>„},
где г|з (х) ^ г|)+ (х) у0. Проверить соотношение
P(x) = -^=V*(x). A1.100)
У я
(в) Вывести следующее выражение для тока свободного безмассового дираковского
поля в терминах Л/-произведений полей г|>* и г|> в тот же момент времени:
f (х) = N (Г (х) («х-Vflj) /г|5(х)). A1.101)
(Указание: воспользоваться A1.89) при а~уг2л и A1.100).)
В следующей части упражнения рассмотрен пример вещественной локальной экс-
экспоненты полей фЯ. i.
(г) Доказать, что поле
преобразуется под действием группы 5|$!"о/?+ согласно A1.79) при d = t=—72 и удовлет-
удовлетворяет антикоммутационным соотношениям
IX* (А X* (yR)U = б (хН-ун) N (%R (хнП [%R (xR), tL (/)]+ =0, A! Ш3)
[%L {Л XL (/)]+ = 6 (xL~yL) N {XL (xf-f).
Г. Свободное скалярное безмассовое поле «духа». Рассмотрим скалярное
поле Ь(х), подчиняющееся волновому уравнению A1.1), но вместо ККС
A1.2) удовлетворяющее ККС
[Ь(х),Ь(у)] = Ю9(х-у)\ A1.104)
мы назовем его полем «духа». Оно не представляет самостоятельного инте-
интереса, но может служить составной частью более содержательных моделей
(например модели Швингера). Будем считать, что поле Ь(х), подобно полю
ср (х), имеет вид
^ )), A1105)
14 н. Н. Боголюбов и
др.
где правая и левая составляющие bR-L удовлетворяют ККС
[bR(xR),bL(yL)} = 0,
Нетрудно построить фоковское представление для поля bR (xR) (и ана-
логично для bL (xL)), постулируя вид двухточечной функции
— t). A1.107)
Для этого рассмотрим вспомогательное поле 4>R (s) из п. 11.1.А, действую-
действующее в псевдогильбертовом пространстве $qr. Скалярное произведение A1.15)
теперь тоже является вспомогательным, обозначим его через <F, G>j. Вве-
дем новое скалярное произведение в .<oR:
<F, G> = <F, (-l)NG>u A1.108)
где N— оператор числа частиц, и определим поле bR (s) формулой tfl (s) =
= iq>R(s). Ясно, что это поле псевдоэрмитово (относительно нового скаляр-
скалярного произведения) и удовлетворяет первому из коммутационных соотноше-
соотношений A1.106). Точно так же определяются поля bL(s) в ,%L и b{x) в $ =
В псевдогильбертовом пространстве foR (или ,!р) подпространство транс-
ляционно-инвариантных векторов бесконечномерно (поскольку операторы
калибровочных преобразований полей bR- L(s), как и операторы калибровочных
преобразований поля срл (s) из упражнения 11.2, не оставляют вакуумный
вектор инвариантным). В п. 11.1.Б мы видели, что для поля q>R (s) имеется
альтернативная реализация л (q>R (s)) = ф^ (s) в гильбертовом пространстве
Жн с одномерным вакуумным обобщенным подпространством. Построим
аналог такой реализации для поля «духа» bR (s); bR(s) в новой реализации
будет обозначаться через BR (s). Теперь гильбертово скалярное произведе-
произведение A1.29) в Sf€R является вспомогательным, обозначим его через (.,.).
Упражнение 11.19. Пусть 9Л# есть множество всевозможных конечных сумм опе-
операторов в §# вида A1.25); определим наШ!^ линейное отображение А—> Л=(- \)^ А (— 1)^,
которое сопоставляет оператору А вида A1.25) оператор
А= \ exp(-i\(pR(s)f(s)ds)F(f)df. A1.109)
Доказать, что формула
г\Х(А) = Х(А) при A?mR A1.110a)
или, эквивалентно,
(X (А), цХ (В)) = sR(A*B) при А, Вgffll* A1.1106)
определяет на $f# эрмитов оператор г) такой, что тJ=1.
Определим на Жн новое скалярное произведение, полагая <х?1, ?2> =
= CPi, Tj^a); полученное таким образом псевдогильбертово пространство
обозначим через >§§. В $в, очевидно, задано представление п поля ^
Д« (s) = я (bR (s)) = in (ф« (s)) = W>« (s).
Точно так же определяются псевдогильбертово пространство &в и поле
В1 (s) = /Ф1 (s) в нем. В псевдогильбертовом пространстве <?)й = <1?в®'6в
действуют скалярное
(*л)) A1.111)
и псевдоскалярное
'L(xL)) A1.112)
поля.
Заряды полей BR-L(s) определим равенством Kb' L = iKR- L.
418
Упражнение 11.20. Доказать, что операторы Кв' являются генераторами калиб-
калибровочных преобразований полей BRfL(s):
exp[i(K^cR + f<BCL)lBR-L(s)exP[-i(K§cR + KBCL)] = BR-L(s)-cR-L. A1.113)
(Указание: ср. A1.37).)
Нормальные экспоненты полей BR-L (s) и зарядов Кв' L (и их N-произ-
ведения) определяются так же, как в случае полей OR-L(s); например:
Nexp(i) BR (s) f (s) ds) =
= exp(V, J e>R(s-t)f(s)f(t)dsdt) exp (tj B«(s)f(s) ds) A1.114)
(cp. A1.63)).
Упражнение 11.21. Доказать, что поле
(Х )-1гу2Кв)]\ A1.115)
(х1) — ]/2Кв)]/
обладает трансформационным свойством A1.79) с d = /=—1/2 и удовлетворяет антикомму-
антикоммутационным соотношениям
yR)N(%R(x K) [xR(x )*, xR(y I+-0, A1 116)
[Х^ (х )*> У.* (Л*)+ = б (хК—у) N (х^ (х"^)*2)
(и аналогичным соотношениям с участием х^'*')-
11.2. МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
А. Решение полевого уравнения. «Классический» вариант модели Тир-
ринга характеризуется лагранжианом
здесь ?—вещественный параметр («константа связи»), ¦^>(х);=(^1(х), ty2(x)) —
поле в двумерном пространстве-времени М, преобразующееся по представ-
представлению группы Лоренца со спином ±72. гКл:) = г|)+ (х)у°—дираковски со-
сопряженное поле, /д—ток:
/>1 = .фУ> A1.118)
Отсюда вытекает полевое уравнение
'У^-?Т^ = 0. A1.119)
Из инвариантности лагранжиана относительно компактной двухпараметри-
ческой группы Г = U(l)x U (I) калибровочных преобразований
(где eic, eic> ?U(\)) A1.120)
следует сохранение («подлинного» векторного и псевдовекторного) токов }*
и У\ где
у^ = ^7^ = е^_ A1.121)
При этом имеют место следующие одновременные скобки Пуассона между
током /д и полем г|х
{/д W, ф (у)} | ,о=&. = /б (л:1 -у1) YV4 W- A1 • 122)
Сохранение токов /*\ у"^1 означает, что ]^ есть дивергенция некоторого
поля:
Г—77s*.
где
14* 419
В результате нетрудно написать общее решение «классического» уравнения
A1.119):
^)(дс), A1.123)
где а—фиксированный множитель (определяющий размерность поля г|)),
q(x)— решение свободного дираковского уравнения (размерность поля q(x)
в единицах массы равна нулю).
Упражнение 11.22. (а) Вывести скобку Пуассона при всех значениях х, у:
{/" М. * (У)} = ' (g|XV- e^V) ^v Do (x-y) ф (у). A1.124)
(б) Положим
доказать, что
{Q, i|>(x)} = A|>(*), {Q', 1|>(*)}=-*уЧСх). • (П.125)
Оказывается, приведенные соображения в значительной мере переносят-
переносятся на квантовую модель Тирринга, если постулировать существование N-
произведений полей гр, гр со свойствами, подобными свойствам vV-произве-
дений свободных кварковых полей (п. 11.1.В). Поэтому примем/), что
все поля под знаком vV-произведения перестановочны и аргументы полей
под знаком N-произведения можно приравнивать. Далее, для написания
полевого уравнения постулируется существование сохраняющихся вектор-
векторных токов j^ (х) и //|Х (х) = e^vjv (x), являющихся билинейными функциона-
функционалами от полей гр, яр. Однако явное выражение A1.118), очевидно, теперь
непригодно из-за неизбежных «расходимостей». Вместо этого ток /•* (х) те-
теперь характеризуется перестановочными соотношениями с полем ip, анало-
аналогичными A1.124) (эти соотношения пока не выписываем по той причине,
что константы в них подвергаются «квантовым поправкам»). Наконец, пос-
постулируется, что поле Тирринга удовлетворяет полевому уравнению
(x)q(x)) = O. A1.126)
Поскольку поля под знаком N-произведения перестановочны, естествен-
естественно искать решение полевого уравнения в виде, аналогичном классическому
решению A1.123):
ip(*)= N (а ехр (i -^=Ф (х)) q (х)) ; A1.127)
ч V к я / /
здесь а—нормировочный множитель **), Ф(х)—свободное безмассовое ска-
скалярное поле, q{x) — некоторое свободное кварковое поле. В методе бозони-
зации (п. 11.1.В) компоненты кваркового поля q(x) = q(S)(x) являются
нормальными локальными экспонентами полей Фк (х^) и Ф1(х1), а также
зарядов KR, KL- Поле Ф(х) из соображения ковариантности (а также из
условия, что при отражении оно ведет себя как «подлинный» скаляр) вы-
выберем"'в виде A1.116). Хотя множитель \lV~n в экспоненте в A1.127) до
некоторой степени не существен и сказывается только на определении
«константа связи» g, мы включили его в A1.127), поскольку при этом ток
jll(x)=-^=dvO(x)^-j^Vll(x) A1.128)
связан с полем Ф тем же соотношением, что и ток свободного дираковско-
дираковского поля (см. A1.100)). В результате при подходящем выборе множителей а
*) Согласованность всех этих допущений будет видна из дальнейшего.
**) Точнее, нормировочный множитель а — свой для каждой компоненты поля \р, посколь-
поскольку ниже мы включили в него не зависящие от х сомножители, являющиеся функциями зарядов
/с* к1.
420
в A1.127) получаем для поля Тирринга выражение
{x)
TW W(x)J V 2n\Nexpli(?,a>(x) + a(i)L(xl-) + i/2aK-1/2?>KL
A1.129)
здесь p = g-/|/2^, a a — параметр, который находится ниже. Таким образом,
поле Тирринга (с точностью до множителя У х/2л) составлено из ЛА-произ-
ведений разноименных компонент свободных кварковых полей <7<а)(*) и
(х) q{p (х)), я|J (х) = |/ ^ tf (tfe) (*) $
A1.130)
Так как поле Тирринга выражено через свободные поля Фк(хк), (&L(xL)
и заряды KR, KL, то для него, очевидно, определены N-произведения с
требуемыми свойствами (yV-произведения могут быть выражены через обыч-
обычные произведения формулами типа A1.84)).
Упражнение 11.23. Доказать, что поле г|з М преобразуется относительно группы
$Р+о/?+ согласно формуле A1.79) при
d = (a2-bP2)/4n, / = (a2_p2)/4jt. A1.131)
Из упражнения 11.23 следует, что компоненты ^(х), о|52(лг) поля A1.129)
имеют лоренцев спин соответственно + 72 и —1/i, если параметры а и р
подчинены условию
а2_р2 = 2Я( A1.132)
откуда находим зависимость *) а от «константы связи» g:
A1.133)
Упражнение 11.24. Доказать, что компоненты полей ty(x), ty(x) антикоммутируют
при пространственноподобном разделении аргументов:
при (х-у)*<0. A1.134)
Легко видеть, что^при калибровочных преобразованиях свободного ска-
лярного^безмассового поля поле г|) ведет себя следующим образом:
ехр [»(ся/Ся4 cLKL)] Ф W ехр [ — i {cRKR + cLKL)\ =
= exp[i(—с + сУ)]1|з(дс), (П.135а)
где
с=— V2(a + P)(c« + cA). c' = V2(a—P)(c«—с'). A1.1356)
Следовательно, калибровочную группу Г поля Тирринга можно отождест-
отождествить с фактор-группой R2/H:
T^RVH, A1.136а)
где
Н={(с*, cL): ±(* + Ф)(с* + е(?-)€г, г=±1}. A1.1366)
Замечание. С равным успехом можно было бы допустить, что поле ty(x) преобра-
преобразуется по представлению группы Лоренца со спином ±1, где / — произвольное ненулевое ве-
вещественное число; тогда вместо A1.132) связь параметров а и Р(—§/}/~2л) выражалась бы
соотношением а2—Р2=4л/. Результирующее поле можно интерпретировать как взаимодейст-
взаимодействующее «кварковое» поле (в отличие от свободного «кваркового» поля в п.11.1.В), для которого
условие локальности соответствует «обобщенной статистике».
*) Положительное значение а выбрано из условия, что при g=0 коммутатор A1.144) со-
соответствует классической скобке Пуассона A1.124). Случай отрицательных а не доставляет
существенно новых возможностей (поскольку решение с параметрами —а, —-f> получается из
решения с параметрами а, р преобразованиями внутренней симметрии — калибровочным пре-
преобразованием г|з —>- —у31|) и зарядовым сопряжением г|з —>- —тЧ|з *).
421
Очевидно, преобразование
г|з(*)—>Чз'(*) = 7°Ч>М A1Л37)
переводит поле Тирринга в спинорное поле т!р'(х), соответствующее /=—V2 (т. е. с компонен-
компонентами, преобразующимися по представлению группы Лоренца со спинами —V2, V2). Поле ty'(x)
получается подстановкой
а = Р', Р = а' A1.138)
в A1.129), так что
а'2„р'2=_2я. A1.139)
Следовательно, г|/ (x) удовлетворяет уравнению
_ »Y%*4*)-g'/^ (to M *'(*)) = о, (П.140)
где §'=уг2яР', т. е.
g' = Vg*-\-№. A1.141)
Мы приходим к выводу, что поле Тирринга наряду с уравнением A1.126) удовлетворяет
также уравнению
'Vй дцфМ-йУ^ Он М 4 (jc)) = O, A1.142а)
где
V'° = v°. v'1=—Y1- A1.1426)
В частности, свободное дираковское поле A1.94), соответствующее g = 0, удовлетворяет
также уравнению взаимодействующего поля с j' = 2я:
«У*1 йц1|> (*) - 2лу' "tf 0V (х) г|) (*)) = 0. A1.143)
Следует, однако, иметь в виду, что ковариантные свойства этого уравнения иные, чем у
уравнения Дирака или Тирринга A1.126) (операторы 1'у'й дй—g'y'^N (/й (х)...) в левых
частях A1.142а) или A1.143) переводят спиноры с лоренцевыми спинами -f-Vai —х/г в
спиноры с лоренцевыми спинами —1/2, +х/2)-
Б. Токи и заряды; вакуумное представление. Основное характеристичес-
характеристическое свойство тока /й (л:) в полевом уравнении A1.126) выражается ком-
коммутационными соотношениями с полем Тирринга, которые нетрудно полу-
получить из A1.128), A1.129):
[/ц(х), y(y)] = (-zg»v + z-^y*)dvDo(x-y)q(y), A1.144)
где _
2 = (a + P)/j/2jT. A1.145)
Из A1.128), очевидно, также следует:
[Ш, h(y)] = ~d^D0(x-y). A1.146)
Обратимся к выражению тока через поле Тирринга.
Упражнение 11.25. Получить соотношения
(*))= J (г/ц (*)-г-Г (к)), A1.147а)
^ (^ (х) д^2 (х))= ^г (г/V M + z-VV W), A1.1476)
где
i't'W = e|IvlvM. A1.H8)
Из A1.147) следует «перенормированное» выражение для тока уй через
поля г|з, г|з* в тот же момент времени:
р (х) = zg»»N (г))» (х) (ix-Ydi) ?Ч (*))• A1.149)
Введем заряды
Q = z-* J /'Wdx1, Q' = 2 J i'°(x)dxl A1.150)
д:° = const д:° = const
(где интегралы понимаются в том же смысле, что и в A1.61)). С помощью
A1.128) получаем
Q=—A/г|/"я)/С, Q' = —(zlVH)K'. A1.151)
422
Упражнение 11.26. Вывести коммутационные соотношения
[Q, У(х)]=-У(х), [Q', Ц(х)] = у3Ц(х). A1.152)
Как и свободное кварковое поле (п. 11.1.В), поле Тирринга, полученное
методом бозонизации, приводимо в пространстве физического представления
свободного скалярного безмассового поля; оно разлагается в прямой интеграл
попарно неэквивалентных неприводимых представлений («^-представлений»).
Поле Тирринга nvac (я|з (х)) в вакуумном представлении nvac строится тем же
методом, что и вакуумное представление л@С) свободного кваркового поля
<7(а>(*)» T- е- индуцированием вакуумного состояния поля Тирринга из ва-
вакуумного состояния алгебры наблюдаемых (порожденной током) посредством
усреднения по калибровочной группе T = R2/H (ср. A1.91)). В результате
получаем следующую характеристику вакуумного состояния поля Тирринга:
U^j j ,))„ (I) s^0 ^0, A1.153)
где \р(х; т, п) обозначает компоненты полей я|:, т];*:
я|ф; 1, 0) = ^>1(х), у(х; —1, 0) = у1(х),
Ц(х; 0,1) = iM*), y(x; 0, — 1) = у1(х). A1.154)
Упражнение 11.27. Вывести формулу для функций Уайтмана поля Тирринга в ва-
вакуумном представлении:
/', A1.155)
где
f ! ^ ^. A1.156)
Упражнение 11.28. Проверить, что поле Тирринга в вакуумном представлении
удовлетворяет всем аксиомам Уайтмана *) (конечно, с поправкой на двумерность).
11.3. МОДЕЛЬ ШВИНГЕРА
А. Решение в лоренцевой калибровке. Примером явно решаемой модели
с градиентной инвариантностью является двумерная безмассовая квантовая
электродинамика, называемая моделью Швингера.
В «классическом» варианте (двумерной) электродинамики специфика без-
массовости **) проявляется в дополнительной «киральной» симметрии. Наря-
Наряду с обычной калибровочной инвариантностью 1-го рода относительно пре-
преобразований ty-—>е'с-§, обеспечивающей сохранение векторного тока /ц(*) =
=-$(х)у^тр(х), здесь имеется симметрия относительно «киральных» преобра-
преобразований я|з —с e'c'v* i|), из которой следует сохранение псевдовекторного тока
Л = ^3УЧ = ^/Г. A1.157)
Это обстоятельство имеет решающую роль для явной разрешимости полевых
уравнений.
Модель Швингера до некоторой степени сходна с моделью Тирринга.
В ней также имеется нетривиальная возможность определить ЛА-произведе-
ние полей, под знаком которого поля перестановочны (и аргументы можно
приравнивать). В то же время из градиентной инвариантности проистекает
значительное различие. А именно, условие калибровочной инвариантности
*) В других ©-представлениях поля Тирринга отсутствует вакуумное состояние.
**) Безмассовость модели означает, что уравнение Дирака A1.160а) для поляг^х) в поле
Ац(х) пишется с нулевой массой; как мы увидим, фотон в этой модели приобретает массу «ди-
«динамическим» образом.
423
2-го рода для тока /й(л') заставляет отказаться от прежней связи j'^ — e^ jv
между сохраняющимися токами, которая имела место в «классичес-
«классическом» варианте и в модели Тирринга. Дело в том, что «наивные» выраже-
выражения для токов /й = гру11 я|) и jt>l — ¦ф737|Ч|> из которых следует связь /'" =
= e|lv/v, очевидно, плохо определены и должны быть заменены «перенор-
«перенормированными» токами. В модели Тирринга и, в частности, в модели свобод-
свободного безмассового дираковского поля «перенормированный» ток /** (л:) выра-
выражается через ЛА-произведения i|f (х) и дй1|)(л:) (см. A1.147), A1.149), A1.101)).
Подобные выражения, очевидно, не обладают калибровочной инвариантностью
2-го рода и должны быть «исправлены» заменой обычных производных кова-
риантными дй + ieA^. Такое «исправление» определения векторного тока с
учетом градиентной инвариантности является источником аномалии псевдо-
псевдовекторного тока в модели Швингера.
Обратимся к построению модели Швингера из общих принципов кван-
квантовой электродинамики (п. 10.2.Б), дополненных предположением о сущест-
существовании yV-произведений *). Будем рассматривать модель в лоренцевой ка-
калибровке (? = 0):
д»А» = О, A1.158)
когда можно положить
А»(х) = 1-2-Е^ду,р(х), A1.159)
€
где р(х) — некоторое псевдоскалярное нейтральное поле (размерный множи-
множитель**) У^п/е поставлен из соображения удобства). Полевые уравнения за-
запишем в виде
*'7Й dp, if) (л:)—еу^ N (А[1(х) \\(х)) = 0, A1.160а)
дх /чй (л-) = е (/„ (х) + /(fIC" (х)), A1.1606)
где
1\11°Ь(х) = — д»А(х), A1.160b)
ПА(х) = 0. A1.160г)
Поскольку выражение
х°~ const
является генераторами локальных калибровочных преобразований (где а (х) —
произвольное решение уравнения Даламбера класса ifr (/?) по х1), то ком-
коммутаторы Л (л:) с другими полями имеют вид
(НАШ)
A1.1616)
А(у)] = 0 A1.161b)
(ср. A0.95)). Подобно тому как это делалось в модели свободного безмассо-
безмассового скалярного поля (п. 11.1.А), предполагаем, что поле А(х) образовано
из правой и левой составляющих AR (xR), AL(xL), и получаем
± ^ )). (Ц.162)
-±r
*) Отметим, однако, забегая вперед, что «общие принципы» в существенном фиксируют
модель с точностью до двух произвольных параметров а и Z (помимо константы электромагнит-
электромагнитного взаимодействия е); чтобы устранить произвол этих параметров, мы привлечем дополни-
дополнительные соображения (а именно: «асимптотическую свободу» и одновременные коммутационные
соотношения A1.179) для Ац(х)).
* *) В двумерной электродинамике константа электромагнитного взаимодействия е имеет
размер ность массы.
424
Чтобы удовлетворить A1.161 в), мы постулируем
[AR(xR), AR(yR)] = [AR(xR), AL{yL)] = [AL(xL), AL(yL)]=0. A1.163)
Подставляя A1.159) в A1.160а) и учитывая перестановочность полей
под знаком yV-произведения, можно искать решение уравнения A1.160а)
в виде
я|з (х) = Vx/2n N (а ехр (— / V'ny3 p (х)) ¦ q (x)), A1.164)
где a = ali2 — постоянные множители (возможно, зависящие от зарядов)
такие, что а*а=\; q (x) = qta) (x)—-свободное кварковое поле, которое мы
выберем в «бозонизированной» форме A1.76), причем остановимся на про-
простейшем варианте, соответствующем параметру а = \/Г2л, когда V%j2nq{x)
есть свободное дираковское поле A1.94).
В качестве а можно принять любое ненулевое вещественное число, получая в резуль-
результате другие (попарно неэквивалентные при а' Ф а, —2я/а) решения уравнений двумерной
безмассовой электродинамики. Оказывается, если второй (существенный) свободный пара-
параметр Z, который, как мы увидим, возникает в модели, зафиксировать равным единице, то
значение а=У~2л (или эквивалентное значение а = —]/ 2л), которым мы ограничились,
выделяется свойством «асимптотической свободы». Это означает, что степени главных сингу-
лярностей функций Уайтмана (например, <... г|: (х) г|:(*> (х \-у)i...>„) в точках совпадения
пары аргументов (т.е. при у—^ 0) таковы же, как в свободной теории. Заметим, что, как
видно из A1.155), модель Тирринга при g Ф 0 является примером модели «без асимптоти-
асимптотической свободы».
Для «перенормированного» тока в модели Швингера примем выражение
типа A1.101) с заменой д± на ковариантную производную dx + ieA^.
j» (x) = N (хр* (х) (гх-1 у1 (dt + ieA,) Vх я|) (*)). A1.165)
Подстановка A1.164) в A1.165) дает
^. A1.166)
{)-^дФ.
пук
Модифицированное уравнение Максвелла A1.1606) теперь принимает вид
(П + т2) А* (х) = ~д^Ф(х)—ед^А(х), . A1.167)
У л
где
m = elVn, A1.168)
так что
е^{^(П + т*)РМ + р%Ф'(*) + еЛ'(*)} =0. 'A1.169)
Отсюда находим *)
^A2 + т2)р(х) + ~Ф'(х)+еА'(х)^0. (ПАЮ)
е У л
Следовательно, поле р(х) представляется в виде
р(х) = х(х) — В'(х), A1.171)
где х{х) — нейтральное псевдоскалярное поле массы т, В' (х) — нейтральное
псевдоскалярное поле нулевой массы, выражающееся через Ф' (х) и Л' (л:)
соотношением
А'(х)=-±=(-Ф'(х) + В'(х)). A1.172а)
У я
Соответственно для правых и левых составляющих положим
Л* (xR) = ~ ( — Ф* (xR) + BL (xL)), AL (xL) = ~ (—Ф1 (xL) + BL (xL)).
У к У л
A1.1726)
*) Мы опустили «произвольную константу», которая возникает при переходе от A1.169)
к A1.170) и приводит к переопределению п.стоянных множителей а в A1.164).
425
Аналогично заряды полей AR- L определим равенствами
К1 = ~{~Кгл-КНв), KLA^-^(-Kk + KLB) A1.173а)
(где KR'L = K<t>'L и Kb'L—заряды полей Фн< L и BRL; см. упражнения
11.4 и 11.20). Как и в A1.57), вводим
Kx = y=(K§ + Kk), Кх = у=(-К% + КЬ при Х~Ф, В, А. A1.1736)
Из A1.1616) получаем коммутатор полей Л(л:) и В(х) = —— (BR (xR) +
+ BL(xL)):
rf=D,(x-y) A1.174)
(на самом деле этот коммутатор определяется из A1.1616) с точностью до
произвольной несущественной чисто мнимой константы). Поскольку мы рас-
расширили алгебру безмассовых полей введением правых и левых составляющих,
то, чтобы удовлетворить коммутационному соотношению A1.174), постули-
постулируем следующие коммутационные соотношения между AR- L и BR- L:
[AR(xR), BR(yR)] = -^DR{xR-yR), [AL(xL), BL(yL)] = -±=DL{xL-yL),
У я у л
A1.175а)
[A*(xR), BL(yL)] = 0 = [AL(xL), BR(yR)]. A1.1756)
Из A1.172) и из коммутационных соотношений A1.9), A1.163), A1.175а),
A1.1756) находятся коммутационные соотношения для BR- L:
[BR(xR), BR(yR)] = iDR(xR—yR), [BR(xR), BL(yL)]=0, A1.175b)
[BL(xL), BL(yL)} = iDL{xL—yL), A1.175г)
и взаимная коммутативность полей BR> L и ФЛ> L:
[BR-L(xR-L), $>R<L(xR-L)] = 0. (П.175д)
Что касается коммутационных соотношений с полем т(х) (являющимся сво-
свободным с массой т), то примем
, A1.176)
[х(х), ®R-L{yR-L)] = O=[x{x), BR-L(yR-L)]. A1.177)
Конечно, соображение ковариантности допускает произвольную «перенормировочную»
константу Z в соотношении
?rDm(x-y). A1.178)
Мы положили Z—1, с тем чтобы одновременные коммутационные соотношения
[Аф), А^(у)]\х<1=у<, = 0 A1.179)
были тривиальны (как при каноническом квантовании).
Упражнение 11.29. Проверить коммутационное соотношение для поля Ац (х):
[Ах(х), A^(y))=im^(d4^-gXvU)(Dm(x-y)-DQ(x-y)). A1.180)
В результате подстановки A1.171) в A1.159), A1.164) (при подходящем
выборе множителей аи 2 в A1.164)) получаем окончательное выражение для
полей в модели Швингера:
А» (х) = -1 (д* В (х) + e»v dv x (x)), A1.181а)
{ (^l)} , (П.1816)
~(-Ф(х) + В(х)). A1.181b)
У л
426
к ®L (xL) V2nAL (xL) -y=KRA.
где
О* (х*) = _ 1/2 лЛ« (х«) + -^ К к, y
A1.182a)
Очевидно, поля ffR-L (xR-L) удовлетворяют тривиальным коммутационным
соотношениям:
[№(xR), bR(yR)] = [bR(xR), QL(yL)] = [QL(xL), $L(yL)} = 0. A1.1826)
В качестве (псевдогильбертова) пространства, в котором действуют поля,
фигурирующие в A1.181), можно взять Жф@^в@Жх, где Жф^Жф®
®Жф есть гильбертово пространство из п. 11.1.Б; ?>д = $2 ® >§в есть
псевдогильбертово пространство, построенное в п. 11.1.Г (фигурирующие
там вспомогательные поля ФК' L, действующие в 5>л, не следует отождест-
отождествлять с полями Ф^- L, определенными в Жф)\ Жх есть пространство фоков-
ского представления поля х(х) (см. п. 8.4.А), определяемое двухточечной
функцией
<0\х(х)х(у) | 0> =4 D^-> (х—#)е= 2л С 0 (р°) б (р2—т2)е~'р(x'y)d2p. A1.183)
Для поля х(х) нелокальные нормальные экспоненты даются формулой
Wexp(t ^ г (х) F (x) d-x) =
= ехр (-1J D?> (x—y) F (х) F (y)d*x d*y) exp (t J т (х) F (x) d2x) , F € ^r (Af);
локальные нормальные экспоненты определяются как соответствующие пре-
пределы нелокальных нормальных экспонент (см. п. 11.1.В).
Очевидно, сохраняющийся ток A1.166) может быть записан в виде
Г(х) = l^e^dvx(x) — j^iict>(x) A1.184)
У я
(где j$,icb (х) определено согласно A1.160в)). Он порождает глобальные ка-
калибровочные преобразования локальных полей:
xX, A1.185)
где X есть любое из полей я|з, яр", А^, Л, /ц, a qx определяется, как
в A0.1006).
Упражнение 11.30. (а) Проверить коммутационные соотношения
dxDm(x-y))^(y), A1.186а
¦¦ — (d),dll-g^n)(Dm(x-y)-D0(x-y)), A1.1866)
:0, A1.186в)
(б) Убедиться в справедливости соотношений A1.185), а также
A1.187
где Q—электрический заряд:
Q=eKA^ ^ a0A(*)rfx1 = — Q<«ct) A1.188)
.t° = const
(интеграл понимается в том же смысле, что и в A1.61)).
С другой стороны, псевдовекторный ток едг /v (х) обладает аномальной
дивергенцией (т. е. не сохраняется):
д^Ш=-хР(х), A1.189)
427
где F (x) = F01 (x) есть напряженность:
FXil (x) = e1^ F (x), F(x) = tnx{x). A1.190)
Поэтому определение псевдовекторного тока /'й(х), порождающего кираль-
ную симметрию, должно быть модифицировано:
В отличие от векторного тока р{х) псевдовекторный ток /'й(х), очевидно,
не инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований
(и не является наблюдаемым полем).
Упражнение 11.31. Проверить соотношения
Б. Вакуумный функционал. Определяющее представление «-алгебры ло-
локальных полей ty(x), Лй(х) в пространстве -"Жф<^)'Ьв@^х не удовлетво-
удовлетворяет всем аксиомам псевдоуайтмановского подхода (§ 10.1); в частности,
не выполнена аксиома существования вакуума. (Это обстоятельство анало-
аналогично ситуации в случае свободного кваркового поля или поля Тирринга,
которые приводимы в пространстве $С<ъ представления свободного скаляр-
скалярного безмассового поля.) Теперь построим вакуумное «виртуальное» состоя-
состояние полевой алгебры с помощью неоднократно использованного выше прие-
приема индуцирования вакуумного среднего из вакуума подалгебры.
Для этого рассмотрим пространство fflv®&o®fflx (неприводимого)
фоковского представления токов
V*1 (х) = д-иФ (х), atl (х) = &1 В (х)
и поля х(х). Оно строится с помощью соответствующих двухточечных
функций
<01УА (х) Vй (у) | 0> = id^d» Do (x—y) = — <0|ая (х) о» {у) \ 0>
и A1.183). Введем вспомогательную «-подалгебру (? полевой алгебры, порож-
порожденной полями^У^ (л:), о^(х), х(х) и операторами вида
i (x)d*x\ ; A1.192а)
/r2Md2x},A1.1926)
где ^(^ — произвольные функции из <УГ(М) такие, что яу-=з [FJ-(x)dix^Z.
Из A1.144) следует, что с точностью до множителя )/Ax/2jt компоненты
поля я|з (х) можно представить в виде пределов таких операторов. На вспо-
вспомогательной алгебре (§ действует группа U(l)xU(l) «-автоморфизмами,
оставляющими поля Vй (х), а^(х), х(х) инвариантными и умножающими опе-
операторы A1.192) соответственно на е1"^1 и ein*Ci (cu c2?R). Результат усред-
усреднения элементоз из й по группе LJ(l)xU A) принадлежит «-алгебре,, порож-
порожденной полями Vй-{х), ай(х) г(х), и формула типа A1.91) определяет на E
вакуумный функционал:
<°\ \ yc(A)dCldc2\0>. A1.193)
Представляя поле К2л/хч|з(х) в виде пределов операторов A1.192) (подоб-
(подобно тому, как это делалось для свободного кваркового поля; см. A1.92)),
в результате этой процедуры получаем функции Уайтмана < • • • >0 локаль-
локальных полей Atl(x), ty(x), ty(x).
Нетрудно убедиться, что алгебра полей Ац (х), ty(x), ty(x) вместе с вакуумным функциона-
функционалом на нем удовлетворяет аксиомам псевдоуайтмановского подхода, по крайней мере в слабой
форме (см. замечание в п.10.1.В).
Упражнение 11.32. Убедиться, что двухточечные функции Уайтмана спинорного
поля в модели Швингера (в лоренцевой калибровке) равны
<*?(*) 17 (V)>o = exp {in (Dtf(x-y-D? (х-у))} <^-fr) <*> (х) ^fr> (*/)>„, A1.194)
где -(i|)j r> ( ' (х) ipj п (у)Уо — двухточечные функции Уайтмана свободного безмяссового дира-
ковского поля (см. A1.99)).
В. Физические поля; наблюдаемые. На «-алгебре, порожденной полями
Лй (х), я|з (х), ARt L (xR> L), действует группа ?0 локальных калибровочных
преобразований:
у {Х) _ е** <*>я|) (х), А» (х) — Лй (х) -д»а (х),
A1.195)
Л«.л(*«> L)-^AR>L(xR>L),
где а (л:) — произвольное вещественное решение уравнения Даламбера класса
<#%(/?) по х1. Очевидно, поля т(х), AR' L (xRl L) и bRl L (xR' L) ^„-инвариантны.
Выберем в качестве алгебры физических величин «-алгебру 23, порожденную
полями х(х) и exr>(i$R' L(xR' L)).
Естественность такого выбора вытекает из следующего соображения.
Рассмотрим поля
x)= /fjv-ttnw (ехрХ!*5!У A1.1966)
Естественно допустить, что поля A1.196) содержат всю физическую инфор-
информацию модели. С другой стороны, они, очевидно, ?0-инвариантны, поэтому
порожденную ими алгебру (которая как раз есть 33) мы приняли в качестве
алгебры физических величин.
Преобразование A1.196) существенно изменяет свойства полей. В то
время как поля Лд(х) и ty(x) были соответственно векторным и спинорным и
удовлетворяли условию локальности (с нормальной связью спина со стати-
статистикой), поля Л(рЬуй) й(х) и i|)(phyS) (я) являются соответственно векторным и
скалярным (без учета отражения) и обладают свойством локальной комму-
коммутативности. (Дело в том, что преобразование A1.196) в сущности нелокально,
поскольку поле В(х) не принадлежит локальной полевой алгебре полей А^
и я|з; поэтому система физических полей выходит за пределы схемы п. 10.2.Б,
в основе которой лежит обычный канонический формализм.) Другим отли-
отличительным свойством физических полей A1.196) является их коммутативность
с электрическим зарядом A1.188). Таким образом, все физические величины
электрически нейтральны, и в модели нет электрически заряженных физиче-
физических состояний *).
Тем не менее алгебра физических полей обладает очевидной симметрией
относительно группы GA):
), A1.197а)
которая является следствием дополнительной симметрии системы полей А^ (х),
i|>(#), AR>L(xR' L) в лоренцевой калибровке:
Л(*) —Л(*)> <f(x)-*e~ic^(x),
A1.1976)
AR, L (xR, I) _, \R, L (XR, I) ^ L_ c.
я у 2
(это не обычные электродинамические калибровочные преобразования, при
которых поля AR'L(xR'L) остаются инвариантными; см. A0.100)). Следует
*) Это явление называется конфайнжнтом (или удержанием) электрического заряда.
429
иметь в виду, что ни ток ¦ У*(х), порождающий эти преобразования,
У л
ни генератор ¦ Кф не имеют отношения к электрическому току и заряду
У л
(и вообще не являются физическими величинами).
Точно так же при киральных преобразованиях физические поля ведут
себя (в силу упражнения A1.31)) по правилу
А№*> (х) -* <hys) (х), VPhys)(x) — ete'vV phy5)(*), A1.198)
но ни ток j'»(x) = —=rV'^(x), ни заряд Q' = — КФ не являются
У л у л
физическими величинами. Согласно § 10.3 это означает, что киральная
симметрия физических полей (как и симметрия A1.197а)) спонтанно нару-
нарушена. (Голдстоуновского бозона в физическом гильбертовом пространстве
нет, так как нет физического сохраняющегося тока, порождающего эти
преобразования.)
В определении наблюдаемых имеются по крайней мере две возможности. В первом ва-
варианте (как и в общей схеме п. 10.2.Б) наблюдаемыми называют все электрически нейтральные
физические величины; значит, в данной ситуации все физические величины считаются наблюдае-
наблюдаемыми. Второй вариант, на котором мы остановимся, учитывает специфику безмассовой электро-
электродинамики в лоренцевой калибровке, а именно дополнительные симметрии A1.197а), A1.198).
Постулируется, что «киральные» преобразования A1.198) наряду с пре-
преобразованиями A1.197а) порождают эффективную калибровочную группу Г
(в смысле п.10.1.В). Таким образом, по определению алгебра наблюдаемых Ш
состоит из тех физических величин, которые инвариантны относительно
преобразований A1.197а) и A1.198). Очевидно, она порождается полем х(х)
(пропорциональным напряженности F(x)) и фиктивным током j\lict)(x).
Вакуумное представление алгебры наблюдаемых, очевидно, задается фоков-
ским представлением луас (т (л:)) = х (х) поля х (х) в гильбертовом пространстве
Ж = ЖХ (при этом луас (;{ifict) (x)) = 0). Также легко видеть, что физическое
представление алгебры 23 физических величин (построенное по схеме п.10.1.В)
разлагается в прямой интеграл
©
л = $ n^'^d^d^1 A1.199)
«R, ®L 6 [0, 2л)
неприводимых представлений (^-представлений), реализованных в простран-
пространстве Жи в которых физические поля имеют вид A1.195), где теперь
bR(xR) = bR, bL(xL)B=bL A1.200)
— произвольные вещественные константы (скажем, из интервала [0, 2л)).
Однако наличие ^-представлений не приводит к новым состояниям алгебры
наблюдаемых (по сравнению с вакуумным сектором). Это явилось резуль-
результатом спонтанного нарушения симметрии A1.197а) и A1.198) и соответст-
соответственно фиктивности (ненаблюдаемости) зарядов $R, bL.
Поскольку в физическом представлении л поле ехр Bлг'Л (х)) постоянно:
л (ехр BлгЛ (*))) == ехр (— i (9* + Ь1)),
фиктивный ток ^fict) (х) =—дрЛ равен нулю и уравнение Максвелла при-
приобретает обычный вид:
где
Отметим, что последнее соотношение (вместе с определением тока
A1.165)) позволяет интерпретировать поле х(х) как локальное поле ска-
скалярного бозона массы т — е^л, являющегося фермионно-антифермионным
связанным состоянием. К этому свободному полю свелась модель Швингера
на уровне наблюдаемых.
Часть IV
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ.
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 5-МАТРИЦЫ
КРАТКИЙ ОБЗОР
В точности так же, как в нерелятивистской квантовой механике стандартная теория рас-
рассеяния использует некоторое предположение о короткодействии рассматриваемых сил (а ку-
лоновский потенциал требует особого рассмотрения и модификации теории), так и релятивист-
релятивистская квантово-полевая теория рассеяния начинается с гипотезы о спектре масс, соответствующей
короткодействию. В этой части мы заменяем требование W.II из аксиом Уайтмана (п.8.2.А)
сильным условием спектральности W.II', которое предполагает существование массовой щели
между вакуумом и одночастичным состоянием (с положительной минимальной массой). Мы
дополняем также эти аксиомы постулатом W.III' о структуре одночастичных состояний
(п.12.1.А), включающем предположение о существовании оператора А из полиномиальной по-
полевой алгебры, порождающий (данное) одночастичное состояние из вакуума. В пространстве
одночастичных состояний (частицы определенного типа) представление квантово-механической
группы Пуанкаре 5ро предполагается неприводимым. Таким образом, частицы характеризу-
характеризуются массой и спином (так же, как и значениями зарядов). TCP-оператор преобразует частицы
в античастицы (с разными знаками зарядов). Если оператор А рождает частицу массы т, то
вектор А(х) *?0 (для нелокального «поля» А (х) = U(x, 1) AU(x, 1)) удовлетворяет урав-
уравнению Клейна — Гордона (ш2+П) А (х) ^?0—0 (п.12.1.Б). Отсюда следует, что если
Л<= ^ А (х) d0Dm (x) сРх,
х°= t
то ¦4'ЧГО = А?о. Теорема 12.1 (Хаага — Рюэля) устанавливает существование п-частичных
асимптотических состояний
Фои4(Ль .... Ап)= lim A{... а'пУ0
t -* т °°
in
и двух изометрических пуанкаре-инвариантных операторов Qout, отображающих вектопм
in
некоторого вспомогательного фоковского пространства § на векторы вида фои' физического
пространства $?. Матрица рассеяния дается равенством S= (Qout)* Qin. Она оставляет одно-
частичные состояния инвариантными (п.12.1.В). Если в0 — TCP-оператор в фоковском про-
пространстве § свободных (асимптотических) частиц, а в — TCP-оператор в физическом прост-
пространстве ffl взаимодействующих полей, то при предположении асимптотической полноты
(п.7.3.Д и 13.1.В) и отождествлении fflin с ф (т. е. при Qln=l) справедливо равенство
S = 6o1e.
Усеченные вакуумные средние </4i ... Апут определяются рекуррентной формулой
(симметрическим вычитанием произведений низших вакуумных средних из </4j ... ЛА>0,
п.12.2.А). В теориях с массовой щелью <ЛХ (хх) ... А„(хп)>т является функцией из
of (R3in~1)) по пространственным переменным Xi — х2, ..., xn~i — хп, зависящей гладким
образом от разности времен (предложение 12.4, п.12.2.Б). Это (усиленное) кластерное
свойство, наряду с некоторым свойством расплывания волновых пакетов, удовлетворяющих
уравнению Клейна —Гордона (п.12.2.В), позволяет доказать сформулированную выше
теорему 12.1 (п.12.2.Г).
В подходе Лемана — Симанзика — Циммермана (LSZ) аксиомы Уайтмана (теории с мас-
массовой щелью) дополняются еще тремя предположениями (п.13.1.В). Требуется, чтобы опрр'тор
431
А, порождающий из вакуума одночастичное состояние с массой т, совпадал с оператором
ф(/), если пробная функция f сосредоточена в достаточно малой окрестности массового гипер-
гиперболоида /?2=m2(LSZ.I). Постулируется асимптотическая полнота теории (LSZ.II) и существо-
существование Т-произведений локальных полей, удовлетворяющих обычным условиям A3.2) (LSZ.III).
Вместо функций Уайтмана основным объектом в теории LSZ являются т-функции — вакуумные
средние от Т-произведений.
Пусть f (х) — гладкое быстроубывающее в пространственных направлениях решение
in
уравнения Клейна —Гордона. Тогда существуют свободные поля ср011' массы т и плотное
множество векторов Ф, Т в $?? такие, что
lim ( Ф, \ Пх) dow (х) d3 хЧ \ = Ф, \ f (x) d0aout (х) <РхЧ \.
t _* ГС гс \ • J / \ J /
г-*^Х\ xot j \ x°t )
xo=t j \
Более того, если (П + яг2) ф (х) = /(х), то имеют место уравнения Янга —Фельдмана:
ф (х) = ф1п (х) + \ Dm (x—y)j(y)diy = (p°ut(x)+\ Damv (x~у) j (у) d*y.
В § 13.2 приводится доказательство Хеппа справедливости этих утверждений. Имеет место
редакционная формула LSZ, согласно которой элементы матрицы рассеяния выражаются
через ампутированные т-функции (теорема 13.9, п. 13.2.Г).
Альтернативой подхода LSZ является метод расширенной матрицы рассеяния (гл. 14).
Эта теория основывается на следующих постулатах (которые мы резюмируем для простоты
в случае теории бесспиновых частиц массы т одного типа). S.I. Пусть §—фоковское прост-
пространство свободного поля ф'п (х) массы т. В § определен унитарный пуанкаре-инвариант-
ный S-оператор, оставляющий инвариантными вакуум и одночастичные состояния. S.II. Су-
00
ществует формальный ряд S(x) = 2mti ~^f\x(xn) ¦¦• X. (х\) Нп (х1 хп) dx± . ¦. dxn no
п=о
классическому полю % (х), где Но = S (х) [х=о = S. Обобщенные операторные функции Нп
определены на некоторой плотной области D с ?, входящей в область определения замы-
замыканий операторов ф'п(/), и принимают значения в области D = SD, где определены замы-
замыкания фои'(/) ПРИ fdaf (Щ- Расширенная S-матрица^пуанкаре-инвариантна (S.III), унитарна
(S.IV) и причинна (S.V); условие причинности имеет вид <2 (XiH;B) = B (xi) <S (Хг). если
supp Xi^S supp Xi> где (g (x) = 5*5 (/) (<B @)= 1). Аналогом аксиомы LSZ.Ie явлг.ется уси-
усиленное условие (S.T) стабильности одночастичных состояний:
оф^^^^10^0
для всех и (х) с носителем в достаточно малой окрестности гиперболоида р2=т2.
Важную роль в теории расширенной 5-матрицы игргют радиационные операторы и
в первую очередь, оператор тока
h
Среди их свойств упомянем дифференциальное условие причинности (п. 14.1.Г):
4%^=0 при
Взаимодействующее (гейзенбергово) поле ф (х) определяется в S-матричном^формализме
уравнением Янга — Фельдмана:
ф (X) = фШ (Х) + J ?>?' (x-y)J (У) dy.
где J (y) = J (у; % = 0); оно эквивалентно представлению
<pJ(*) = ST(SVin(x)).
Определяя Г-произведение полей ф равенством
Т (ф (Xl) ... ф (хп)) = S*T (Sqin (ал) ... фш (Хп)),
выводим аксиомы LSZ из постулатов S.I —S.V и S.I' (теорема 14.1, п.14.2.Б). Произвсдя-
щий функционал для Г-произведений может быть записан в форме
%{у\)^Т ехр (г ^ ц (х) ф (х) dx^=S*T |s exp (t ^ т) (х) ф'п (x) dx} } .
Глава 12. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА —РЮЭЛЯ
12.1. СХЕМА КВАНТОВОПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
А. Одночастичная проблема в квантовой теории поля. Чтобы квантовая
теория поля служила базой для теории элементарных частиц, она должна
содержать необходимые компоненты релятивистской теории столкновений.
Согласно п. 7.3.Д для этого требуется фоковское пространство $ (асимпто-
(асимптотически) свободных частиц и два пуанкаре-инвариантных изометрических
оператора Qin и Qout из ф в физическое гильбертово пространство Ж (для
этих операторов мы будем использовать общее обозначение Qex, где символ
ех *) принимает два значения: in и out).
В п. 7.2.Б мы обсуждали понятие частицы в релятивистской квантовой
теории. Спрашивается, как ввести понятие системы частиц в рамках уайтма-
новской теории взаимодействующих полей? Интуитивный ответ состоит в том,
что при л:°=^-^±оо уайтмановское поле <р(л:) должно действовать как сво-
свободное поле и, значит, из него можно составить операторы рождения и уни-
уничтожения частиц (первоначально такого рода требования были выдвинуты
¦Неманом, Симанзиком и Циммерманом в 1955 г. и носят название асимпто-
асимптотических условий LSZ). Однако точная формулировка этого интуитивного
представления и выяснение вопросов, совместимы ли асимптотические усло-
условия с остальными постулатами Уайтмана и в какой мере они являются неза-
независимыми требованиями, стали возможны только после работ Хаага A958;
1959 а, б). Определеннее завершение этот круг вопросов нашел в работе
Рюэля A962), поэтому излагаемое ниже построение носит название теории
рассеяния Хаага — Рюэля.
Как уже отмечалось (п. 7.2.Б), для релятивистской теории рассеяния
требуется более детальная информация о спектре энергии-импульса. С этой
целью заменим аксиому спектральности W.II (из набора W.I—W.VIII аксиом
Уайтмана) ее более сильным вариантом W.II', а аксиому W.III (о существо-
существовании и единственности вакуума) дополним предположением W.III' о струк-
структуре одночастичных состояний.
W.H' (сильное условие спектральности). Спектр оператора
энергии-импульса содержится в множестве {0} UVJ, где уь > 0.
Минимальное такое \х называется массовой щелью.
W.III' (структура одночастичных состояний). В физиче-
физическом гильбертовом пространстве Ж имеется конечное или счетное семейство
взаимно ортогональных подпространств .fHK] (называемых одночастичными
подпространствами частиц соответствующего типа х), преобразующихся по
неприводимым представлениям собственной группы Пуанкаре 9$0 и перехо-
переходящих в .фм при СРТ-преобразовании. Для любого типа частиц х, имею-
имеющегося в модели, существует оператор A g Э* (М) {из полиномиальной полевой
алгебры, ассоциированной со всем пространством-временем М) такой, что
AWg есть ненулевой вектор из $М и A*4Q?!g№.
Через К обозначим совокупность {х} всех типов частиц, имеющихся
в конкретной модели. Каждый тип частиц х имеет фиксированную положи-
*) Ех — сокргщенке от exterior (наружный).
433
тельную массу mx и спин sK =0, 72, 1, ... Как и в п.7.3.В, мы предпо-
предположили в аксиоме W.IIГ, что на множестве К определена операция заря-
зарядового сопряжения х—^х такая, что х = х и т- = тк, s-=?sK (случай х = х
не исключается). Из заданных одночастичных подпространств .6м мы можем
построить гильбертово пространство .!0 асимптотически свободных частиц
методом вторичного квантования (п.7.3.В); разумеется, при этом предпола-
предполагается нормальная связь спина и статистики. Вакуумные векторы в $ и Ж
обозначаются соответственно через 10> и Т"о (впрочем, эти вакуумные век-
векторы, равно как и соответственные одночастичные векторы в^и Ж, можно
очевидно, отождествить). По правилам п.7.3.В каждому вектору Ф?<$
сопоставляются операторы рождения а*л (Ф) и уничтожения аи(Ф), действую-
действующие в фоковском пространстве ¦?).
Оператор А, фигурирующий в аксиоме W.III', называют решением
квантовополевой проблемы одночастичных состояний. Таким образом, кван-
товополевая теория рассеяния исходит из того, что одночастичная проблема
уже решена. В следующем пункте мы покажем, как на этой основе строятся
изометрические операторы Qex: ,*p—>Ж, создающие картину рассеяния.
Упражнение 12.1. Вывести из аксиомы W.III', что для любого типа частиц
х ? К существует линейное подпространство t/?M d 33 (М), переходящее в jft*^ при эрми-
эрмитовом сопряжении, инвариантное относительно автоморфизмов собственной группы Пуанкаре
и такое, что (/^и-'Чго есть всюду плотное подмножество в foM. (Указание: пусть 53'*^ есть
линейная оболочка операторов а,а л. (А), где А — оператор из условия W.III' и (а, Л)^^В
тогда можно положить <//м = ,33м + ,33м *.)
Приведем две типичные ситуации, в которых одночастичная проблема
имеет простое решение *).
Вначале предположим, что точка т > 0 является изолированной точкой
спектра оператора массы М = (РМ,/)ЙI/2. Следовательно, существует е>0
такое, что точка т является единственной точкой из интервала (т—е,
т-\-г), принадлежащей спектру М. Зафиксируем функцию %(p)€ef(M)
такую, что х(р)=1 при р2 = т2 и %(р) = 0 при |(/?2I/2—т|^е. Из условия
цикличности вакуума тогда следует, что векторы вида %(Р) AW0 при
А ? 5* (М) образуют плотное множество в подпространстве одночастичных
векторов в Ж с массой т. Но векторы %(P)AW0 можно записать также
в виде ВЧ?0 при подходящих В?9*(М) (если А есть сумма выражений
типа (8.8), то В есть аналогичная сумма, в которой произведена замена
1(ри ¦¦¦, /*„) — X(/?i + •••+/?»)f(Pi. • • •. Рп))- Таким образом, в рассмат-
рассматриваемом случае одночастичная проблема решается применением аксиомы
цикличности вакуума.
Пусть теперь масса т подпространства одночастичных состояний лежит
в непрерывном спектре оператора М, но существуют правила суперотбора,
разделяющие эти состояния (например, однонуклонное состояние находится
в непрерывном спектре, соответствующем двух- и, вообще, многомезонным
состояниям, но оно выделяется тем, что его барионное число В равно единице).
Точный смысл этого предположения состоит в следующем. Задана компакт-
компактная калибровочная группа G внутренних симметрии полей, которая унитарно
реализована в ,f и оставляет вакуум инвариантным. Пусть представления
этой группы в одночастичном подпространстве с массой /пив подпространстве
непрерывного спектра массы в интервале (т—е, т-\-г) (где е>0) дизъюнктны
(т. е. не содержат эквивалентных подпредставлений). Будем рассматривать
векторы вида АЧ0, где А — операторы из !Р(М), преобразующиеся по непри-
неприводимым представлениям группы G, содержащимся в представлении одно-
частичных подпространств с массой т. Нетрудно видеть, что соответствую-
*) Правда, при этом мы сосредоточим внимание только на построении состояний с фикси-
фиксированной массой, оставляя в стороне не столь существенный для нас вопрос о других квантовых
числах частиц (который, как правило, решается теоретико-групповыми средствами и не вызы-
вызывает практических затруднений).
434
щие векторы %(P)AW0 образуют тотальное множество в рассматриваемом
одночастичном подпространстве (здесь %(Р) —та же функция, что и в пре-
предыдущем примере). Эти векторы, очевидно, также можно записать в виде
BW0, где В ? 53 (М), что дает решение одночастичной проблемы.
В рассматриваемой схеме не делается различия между элементарными (или фундаменталь-
фундаментальными) и составными частицами. Такое различие можно проинтерпретировать в терминах по-
полей, если использовать разделение полей на фундаментальные и составные. Частицы, полу-
получаемые из вакуума действием фундаментальных полей в первой степени, называют элементар-
элементарными (или фундаментальными, несущими один «квант» фундаментального поля); прочие
частицы называют составными частицами (или связанными состояниями того или иного числа
«квантов» фундаментальных полей). На практике в подобной классификации существенную
роль играют внутренние симметрии и «квантовые числа» (заряды) полей.
Б. Конструкция in- и out-состояний. В силу условия W.III' каждому
типу частиц х?/( можно сопоставить линейное подпространство Л[и] с 3* (М)
такое, что А^' — А^, и Ai*WB есть плотное линейное подпространство
в .Ь[у-] (см. упражнение 12.1). При А?АМ обозначим через Л следующий
оператор в фоковском пространстве ,?):
А = с?(АЧ0) + ах(АЧ?0) A2.1)
(ясно, что А линейно зависит от Л). Тогда всевозможные векторы вида
Ф(Л, .... Ап) = А1 ... Л„|0>, AjZAW, A2.2)
очевидно, образуют тотальное множество в фоковском пространстве (при
/г = 0 выражение A2.2) по определению равно |0».
У пражнение 12.2. Пусть Ау?А^ и A)=U{a, Л) AjU (а, А)'1, где (а, Л)
Доказать, что
11(а, А)Ф(Аи .... А„) = Ф(А[, ..., А'„),
где 1L (а, Л)— представление спиновой группы Пуанкаре §р0 в фоковском пространстве §.
Сопоставим произвольному оператору A g AM нелокальное (и реляти-
вистски-нековариантное) «поле»
A(x) = U(x, l)AU(x, I)-1, x?M. A2.3)
С помощью таких «полей» А (х) при х° -*¦ ±оо мы рассчитываем построить
асимптотические состояния, поэтому остановимся подробнее на их свойствах.
Прежде всего, А (х) зависит от х как от параметра бесконечно диффе-
дифференцируемым образом (действительно, если А есть сумма выражений типа
(8.8), то А (х) есть аналогичная сумма, получаемая заменой основных функ-
функций }(хи . . ., хп) на f{x1—x, . . ., хп—х)).
Действие А (х) на вакуум дает вектор-функцию, удовлетворяющую урав-
уравнению Клейна — Гордона
C^ + ОЛ(х)?0 = 0. A2.4)
Действительно, левая часть этого равенства равна U (х, 1)(—РЙРЙ4 т%) АЧ0\
это есть нуль в силу предположения, что AW0?S}M.
Упражнение 12.3. Пусть гладкая функция (или вектор-функция) Ф (х) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона с массой т. Доказать, что тогда при всех t
Ф@)= J Q>(x)d0Da(x)(Px=* J {Ф(*)а,Оя (x)-do<&(x)Dm(x)}d3x; A2.5)
здесь Dm (x) — перестановочная функция Паули —Иордана (трехмерное интегрирование —
в смысле обобщенных функций — производится по ограниченной области в силу свойств
носителя Dm (x)).
Сопоставим теперь оператору Л ? Ам семейство операторов Л' (t ? /?)
по правилу
Л<= J Л (x)d0Dm(x)d3x. A2.6)
435
Из упражнения 12.3 следует:
At}?0=A1?0 при всех t?R. A2.7)
Итак, операторы Аг порождают из вакуума то же одночастичное состоя-
состояние, что и оператор А. Однако, как видно из определения, при t-*- ±°о они
эффективно зависят от локальных полей <р (л:) с бесконечно растущим по мо-
модулю значением времени х°, поэтому естественно допустить операторы А* в
пределе t—>+°° в качестве претендентов на операторы рождения асимпто-
асимптотических состояний. Действительно, имеет место следующий основной ре-
результат.
Теорема 12.1 (Хаага — Рюэля). (а) Для любых операторов Aj^^xA
(/ = 1, .. ., п, где п = 0, 1, .. .) существуют пределы (в топологии нормы)
<&>«(Alt .... А„)= lira А{...А№0. A2.8)
(б) Существуют два линейных изометрических пуанкаре-инвариантных
отображения Qex: ,ft—>Ж (ex = in, out), обладающих свойствами {которые
однозначно определяют Qex):
&*(Ф(А1г •••, Ап)) = феЦАи ..., А„) A2.9)
при всех Aj?j\v~j} (я = 0, 1, ...; /= 1, 2, . . ., л).
Доказательство теоремы основывается на свойствах усеченных вакуум-
вакуумных средних и будет изложено в § 12.2.
В. 5-матрица и ГСР-операторы в асимптотически полной теории.
Теорема 12.1, очевидно, решает круг вопросов, связанных с построением
матрицы рассеяния, которая (согласно П.7.3.Д) равна
S = (Q0Ut)*Qin. A2.10)
Из A2.7) следует, что Qex действует как единичный оператор на одно-
частичные состояния, поэтому
5Ф = Ф A2.11)
для всех Ф из одночастичного подпространства Si с .§. Это свойство выра-
выражает стабильность одночастичных состояний.
Обратим внимание на одно обстоятельство, связанное с формулой A2.9):
асимптотическое состояние Фех(Л1, ..., Ап) зависит от оператора А^^У1^
только через оператор Aj (см. A2.1)), т. е. через одночастичные состояния
AjW0 и А*/Ч?о, порождаемые действием А}- и А) на вакуум. Это означает,
что если А] ^ «/?[*./] и
A'j = Aj (/=1, • .., п),
то
Ф^(А'и ..., Ап) = Фех(Л1, .... Лп).
Это обстоятельство лежит в основе доказательства пуанкаре-инвариантности
отображений Qex. Приведем еще одно простое применение этого замечания к
классам Борхерса локальных полей.
Следствие 12.2. Пусть в одном и том же гильбертовом пространстве
Ж (с фиксированным представлением собственной группы Пуанкаре) дейст-
действуют две системы уайтмановских полей {ф1Х>} и {ц>'т ), которые являются
взаимно локальными. Пусть каждая из этих систем удовлетворяет также ус-
условиям W.II' и W.III'. Тогда соответственные отображения Qex, а также
матрицы рассеяния, определяемые по каждой из этих двух систем полей,
совпадают.
Действительно, объединенная система полей {<р(и)} (J {<p'<v>} также удовлетворяет всем
аксиомам, так что этр следствие непосредственно вытекает из теоремы 12.1 (или сделанного
выше замечания).
436
По построению S-матрица инвариантна относительно собственной груп-
группы Пуанкаре $ро. Другое ее важное свойство—ГСР-инвариантность—есть
следствие TCP-теоремы.
Упражнение 12.4. Пусть Aj^jfi*-^ и Bj = QAjQ-1, где в есть ГСР-оператор.
(а) Доказать, что Bj?</1 J и что формула
е0Ф(Ль ..., Л„) = Ф(В1) ...,В„) A2.12)
определяет антиунитарный оператор в0 в & такой, что
во|О> = |0>, воЛво^В при A?J,W- A2.13)
(б) Доказать соотношения
вои(а, Л)в-1 = ^(—а, Л) при (а, Л)€$о, A2.14)
в§=^@, —1) A2.15)
{свойства A2.13) — A2.15) означают, что 60 имеет смысл TCP-оператора свободных частиц;
см. п. 7.3.Г).
(в) Доказать соотношения
in out
Фои'(Вь ..., В„) = 0Ф in (Аи ..., А„), A2.16)
которые устанавливают связь между ГСЯ-операторами в и в0:
in out
Qout0o=eQin_ A2л7)
Вывести отсюда ТСР-инвариантность S-матрицы:
e0See1 = S*. A2.18)
(Указание: для получения A2.18) перемножить равенство Q'nGo = 0Q и равенство, по-
получающееся из йои'в0 —801п эрмитовым сопряжением.)
Чтобы обеспечить полную корпускулярную интерпретацию теории, мы
должны к сформулированным постулатам добавить требование асимптоти-
асимптотической полноты (п. 7.3.Д):
Ж'ш = Жои1 = Ж. A2.19)
Благодаря TCP -теореме это требование эквивалентно следующему, на пер-
первый взгляд более слабому, условию:
Ж™ = Ж A2.20)
(см. ниже упражнение 12.5). Условие A2.20) дает возможность естествен-
естественным образом отождествить фоковское пространство ^ с физическим гиль-
гильбертовым пространством Ж посредством изоморфизма Qin: 4) —* Ж, что
обычно и делается. Это означает, что мы параметризуем физическое гиль-
гильбертово пространство векторами фоковского пространства падающих частиц.
После указанного отождествления оператор Qin становится равным единице,
а S-матрица равна (Qout)*:
Qin = l, (&out)* = S. A2.21)
В асимптотически полной теории имеется интересное выражение для
S-матрицы в терминах ГСР-операторов. Если сделано вышеуказанное отож-
отождествление ¦?) и Ж, то упомянутое выражение для S-матрицы имеет вид
S = Soie. A2.22)
Упражнение 12.5. (а) Доказать эквивалентность условий A2.19) и A2.20). (Указа-
(Указание: воспользоваться соотношениями A2.16).)
(б) Вывести равенство A2.22). (Указание: воспользоваться соотношениями A2.17),
A2.21).)
Условие асимптотической полноты не зависимо от остальных постулатов Уайтмана, как
показывает следующий пример *), в котором оно не выполнено.
*) В этом примере все же Ж1п=Жои^- Заметим, что равенство A2.22) для S-матрицы
(из которого непосредственно следует ее унитарность) доказано лишь в предположении A2.19).
437
Упражнение 12.6. Пусть <р(х) — эрмитово скалярное оСоСщенное свободное поле
с двухточечной функцией
со
-</) +у J
м
здесь О < т < М, р (ц)— непрерывная неотрицательная функция, не равная тождественно
нулю. Доказать, что в этой модели условие асимптотической полноты не выполнено:
Ж™=--Ж°^ФЖ- A2.23)
Проверить также, что Qln = Qout и S=l. (Указание: для проверки соотношений A2.23)
убедиться, что одночастичные состояния с массой, большей т, ортогональны фоковскому
подпространству §cr^f, описывающему состояния свободной частицы массы т.)
12.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
А. Усеченные вакуумные средние. Наличие массовой щели в спектре энер-
энергии-импульса позволяет доказать усиленное кластерное свойство для функций
Уайтмана, которое играет решающую роль в доказательстве теоремы 12.1.
Для формулировки этого свойства нам понадобится понятие усеченных ва-
вакуумных средних.
Вакуумное среднее С?о, Аг • ¦ ¦ AnW0) произведения элементов Аг, ..., Ап
полиномиальной полевой алгебры 0Р(М) мы будем обозначать также через
{Ау ¦ -АпH. Для определенности мы полагаем, что каждый оператор Aj со-
содержит либо четное число ферми-полей (тогда он считается бозонным), либо
нечетное (считается фермионным):
U@, -1)AjU(O, -l)-1 = ±AJ.
Определим усеченные вакуумные средние <Л1...Л,г>г рекуррентными соот-
соотношениями:
<Д. . .Ля>, = 2ер(я)<Л,1 . ..А^уТ- ¦ .<Л,1 . . .Лф>г; A2.24)
здесь суммирование производится по всем разбиениям индексов 1, ...,п
на группы (кластеры), причем в каждой группе индексы возрастают слева
направо; гР(п)—фермионная четность перестановки л: A, ..., п) —»¦ A\, ..., /*v)
(см. (9.37)). Типичное разбиение таково:
{1, ...,п} = {1\, -..,/?•} U --- U {/t, ¦¦-,&}; A2.25)
здесь v(= 1, . . ., п) есть число кластеров; верхний значок s в обозначении
lsa есть порядковый номер этого числа в а-м кластере; числа klt ...,kv
назовем длинами кластеров. Написанные рекуррентные соотношения позво-
позволяют выразить усеченные вакуумные средние через обычные; например, для
бозе-операторов имеем
<А1>т^<А1>0, <А1А2ут^<А1А2у0—<АгУ0<А2у0,
\AiA2A3y = ^А^А^А^Уц — \А1АгУ0 (А3У0 \/11Лз/о \^2/о
—<А2А3У0 <А1У0 + 2 <Л!>0 <Л2>0 <Л3>0>
и т. д. Аналогичным образом определяются усеченные функции Уайтмана:
wt:\in")T(Xi, ¦ ..,xn)^W^(Xl).. .чГпп)(х„)У A2.26)
(это обобщенные функции по переменным х1г ...,хп).
Упражнение 12.7. Пусть Aj^j^j^ и пусть Aj определено формулой A2.1).
Доказать соотношение
<A1...An>0='y8F(n)<AliA,ty...<Ali >4,2>г; A2.27)
*~ 11 V V
здесь суммирование производится по всем разбиениям индексов 1, ..., п на кластеры дли-
длины 2, так что n = 2v (при п нечетном правая часть A2.27) по определению равна нулю);
в остальном обозначения те же, что и в A2.24).
438
Нас интересуют свойства усеченного вакуумного среднего <Л1(л:1)...
...Ап(хп)ут нелокальных полей Aj(x), определенных формулой A2.3) при
Ау?3*(М). Очевидно, что это ^-функция по переменным хи . ¦ ., х„. Да-
Далее, она трансляционно-инвариантна и, значит, зависит только от разно-
разностей хх—хг, ...,хп_1—хп. Из определения вакуумных средних <Л1(х1)...
.. .Ап(хп)у0 следует, что они полиномиально ограничены по хг, ...,хп, по-
поэтому усеченные вакуумные средние (по крайней мере) полиномиально
ограничены и определяют обобщенные функции умеренного роста; для них
определено преобразование Фурье:
= \ ехр ( —i 2
J \ /= i
<Аг (хг) ...А„ (хп)ут = \ ехр ( —i 2 PjXj ) <Л (/7,)... ~Ап (рп)>т diPl... dtpn.
Приведем теперь менее очевидные утверждения об усеченных вакуум-
вакуумных средних.
Лемма 12.3. Усеченные вакуумные средние имеют следующие свойства:
(а) локальность—если Ak^S3(Q), Ah+l?9*{Q) и G~U, то
<Д.. .AkAk+1.. .Ап>т=±<А1. ..Ak+1Ak... АпУ; A2.28)
в правой части стоит знак «—», если Ак и Ак+1—фермионные операторы,
и «+» в противном случае;
(б) спектральность-—носитель <,А1(р1). . .Ап(р11)уТ содержится в под-
подмножестве в М", определяемом условиями
/>!+•••+/>„ = 0, Pi+---+PkeV+ при k=\, .... л —1 A2.29)
([I—массовая щель).
М (а) При л = 2 утверждение очевидно. Далее действуем по индукции. Предположим,
что доказываемое утверждение справедливо для любого набора т операторов, где пкп—1.
Покажем, что тогда справедливо A2.28). Рассмотрим некоторое слагаемое в A2.24) с чис-
числом кластеров v^2. Возможны два варианта. Если k и k-{-\ попали в один кластер, то
по предположению индукции аналогичное слагаемое в разложении типа A2.24) для <.4j...
...Ak+iAk...Any0 отличается только знаками ±. Если же t и k-\-l попали в разные
кластеры, то, очевидно, такое же слагаемое—с точностью до знака — имеется и в разложе-
разложении типа A2.24) для <^!.. .Ak+1Ai,.. -Апу0. Мы получили
<.A1...AhAk + l...An>0 = <A1...At!Ah + 1...Any + ...,
<-4i... Ак+1Ак. ..Ап\ = <^j. ..Ак+1Ак.. .АпуТ ± ....
где многоточия обозначают одно и то же выражение. Теперь A2.28), очевидно, следует из
аксиомы локальности.
(б) Тот факт, что <Лх (pi)... Ап (рп)Ут сосредоточено на плоскости р\-{- ¦ ¦ ¦ +рп = 0,
следует из трансляционной инвариантности. Далее будем действовать по индукции. По-
Поскольку при п=1 утверждение тривиально, требуется показать, что для любого А=1, ...
...,п— 1 <A!(pi)...An (р„)Ут=О при
Vjl, A2.30)
если такое свойство имеет место для усеченных вакуумных средних < п нелокальных полей.
Так как единственное состояние в области импульсов р (fc Vyt, есть вакуум, то в области
A2.30) справедливо представление
<Лх (pi)...Au (/>„)>„= <ЛХ (Pl)... Ак (рк)у0 <ЛА+1 (рк+1)...Ап (рп)у0- A2.31)
Подставим вместо каждого сомножителя в правой части его представление через усеченные
вакуумные средние; в результате ¦СА1 (Pi)- ¦ -А„ (рп)Уа можно записать в виде суммы типа
A2.24):
v
<Лг (Pi)...A,, (/>„)>„ = 2' е/г(я) П <Л4 (Pil)• • • -Ч« (Л*а)>г- A2.32)
а= 1
однако теперь суммирование производится по всем разбиениям индексов 1, ..., п на кла-
кластеры (с числом кластеров v^2), причем каждый кластер {/^ , ..., /^а} целиком содер-
содержится либо в {1, ..., k}, либо в {k-\-l, ..., л}. Покажем, что равенство A2.32) остается
справедливым, если считать, что сумма здесь распространяется по всем разбиениям индек-
индексов 1, .. , л с числом кластеров v^2. Действительно, убедимся, что любое добавленное
439
слагаемое исчезает в области A2.30). Пусть это слагаемое соответствует разбиению A2.25)-
имеем
pk-\-... +рп = 2 (Pis<x "т~ />zsa+1 + •• • +Pz*ct); A2.33>
а а а а
суммирование здесь производится только по тем кластерам разбиения A2.25), которые име-
имеют непустое пересечение {'„а, 'аа+1. •••> 'аа} с {^~г'> •••• п}- Очевидно, % > 1 хотя бы
для одного такого пересечения (иначе это противоречило бы предположению, что разбие-
разбиение A2.25) отсутствует в A2.32)). Как следует из разложения A2.33), область A2.30) со-
содержится в объединении областей [j Qa, где Qa определяется условием
а
р^+ • • • -\-РааФ V+ ПРИ sa=l,
Раа + • • • ~Н/>аа ? ^(i ПРИ sa > 1 •
В силу предположения индукции <.Aisa(Pisa). ¦ .Aika(pika)>T = 0 в0а; значит, слагаемое^
<Х (X (X ОС
соответствующее рассматриваемому разбиению A2.25), равно нулю в области A2.30).
Мы показали, что в области A2.30) имеется разложение A2.32), где суммирование
производится по всем разбиениям на vS=2 кластеров. С другой стороны, согласно формуле
A2.24) разность между левой и правой частями A2.32) тождественно равна <Ai(pi)...
...А„(р„)Ут. Следовательно, </ii (pi).. .Ап (рп)Ут = О в области A2.30), чем завершается
индуктивное рассуждение. >
Рассмотрим случай, когда каждый оператор As является сглаженным
мономом из полей
А, = \ Ф (gy, х) • • • Ф (gy. r.) fj (gy, i, • ¦ •. gy, r.) dgy. i • • • dlj, Tj. A2.34)
Мы можем записать усеченное вакуумное среднее, в виде
<i4x... ^B>r=5w(glll, ..., 6i.r,|- - -|6„. i, ¦¦¦Лп, г„)Х
х П /у (gy. х, • • •, lj, r) dgy. i...dlL r., A2.35)
где v—обобщенная функция из 3" (Мг'+ •¦ ¦+Гп), которую мы назовем п-
класпгерной усеченной функцией Уайтмана. В частности, если все rj равны
единице, то n-кластерная усеченная функция Уайтмана ь(хг\, ¦ ¦-\хп) сов-
совпадает с введенной ранее усеченной функцией Уайтмана w^T(xlt ..., х„).
Приведенные выше свойства усеченных вакуумных средних можно выразить
на языке обобщенных функций v, как еидно из следующего упражнения.
Упражнение 12.8. Доказать следующие свойства для обобщенных функций v
A2.35):
(а) локальность: v(...\lkl, ..., U, rk \ h+i, i. •••. U+i, rk+1 !•••)= ±v (¦¦ -\ h+i,u ¦¦¦
• ••¦ U+i, rk+1\U,i' •••> U.rk\---), если (lk,a~lk+i.pJ < 0 при а= 1, ..., rh;$=\, ...
(б) спектральность: носитель v(pi^i-.. [• ••Pn, rn) содержится в пересечении множеств
п rj k r/
2 2 Pl,a = °. .2 2"/,a€VS. где *=1, ...,«-1.
;'= 1 a= 1 /= 1 «= 1
Кластерное свойство формулируется в терминах усеченных вакуумных средних сле-
следующим образом.
Упражнение 12.9. Доказать, что <,Аг (х{) А2 (*2)>г—'® ПРИ | лсх — лс2 I—> 0°
(xi, Хч фиксированы).
Б. Усиленное кластерное свойство. Наличие массовой щели позволяет
существенно усилить кластерное свойство.
Предложение 12.4. Для любых Аг, ...,Ап?!Р(М) усеченное ваку-
вакуумное среднее <ЛХ (л^).. . Ап(хп)уТ является элементом из of (Rs ("-1») по пе-
переменным x-i — х2, . .., jfn_i — хп, зависящим %°°-образом от х\—х\, ...
..., х°_!—х\. Более того, для любого дифференциального полинома р(д/дх),
любого а из интервала 0 < а < 1 и любого натурального N существует
440
число с такое, что
\d(xf p
при всех х из конуса Q:
Q={xeM": \x°i
здесь
t, /= 1,
d(x)^sup\xi—x/
i < I
A2.36)
л}; A2.37)
A2.38)
, хп) точек в М
— диаметр (в евклидовой метрике) конфигурации #== (л^, , п)
Доказательство предложения разобьем на отдельные леммы.
Первая лемма—чисто геометрическая. Через / мы будем обозначать
непустое подмножество индексов {1, ...,п], не совпадающее со всем мно-
множеством {1, . . ., «}; / есть (непустое) дополнение / в {1, . . ., п}; б; (х) есть
расстояние (в евклидовой метрике) между множествами точек {-*:,-},-s/ и
= inf \
16/, /S J
Лемма 12.5. Множества
A2.39)
A2.40)
покрывают конус Q. Существует число а>0 такое, что точки aJrxl и
b \ Xj разделены пространственноподобным интервалом, каковы бы ни были
x?Qi, i(z I у /€•/, a, b? М с |а | < ad(x), \b\ < ad(x).
< Пусть диаметр d (х) совпадает с расстоянием между х,- и Xj. Спроектируем все х^
¦на вектор х; — Xj. Появятся не более п точек на отрезке, и весь отрезок разобьется не бо-
более, чем на п—1 интервал. Значит, найдется интервал длины ^sd{x)/n. Плоскость, пер-
перпендикулярная к Xj — Xj и проходящая через этот интервал, разделит точки Xi, ..., х„ на
две части, которые определяют требуемое разбиение I\JJ множества индексов {1, ..., «}.
Итак, доказано, что множества Q/ покрывают Q.
gQ с d(x)j?0, i?I, j?J,a,b?M имеем
Ясно, что правая часть этого соотношения отрицательна, если | a \/d (x) и \b \/d (x) доста-
достаточно малы. >
В дальнейшем можно считать, что операторы Aj являются сглажен-
сглаженными мономами от полей, и, значит, мы можем пользоваться языком п-
кластерных усеченных функций Уайтмана v A2.35).
Лемма 12.6. Пусть индексы в каждой группе / = {Zj, . . ., lk\ и J =
= {^+i> • • •> К) разбиения множества {1, ..., п} расположены в порядке воз-
возрастания и пусть л и л' — перестановки, переводящие A, ..., п) в (/lt ...
..., lk, lk+1, ...,/„) и (lk+1, •. ¦, /„, h, .... lk) соответственно. Тогда для
любых f ?<У(Мп+- ¦ ¦+Гп) н iV>0 существует cN(f) такое, что
| J (vA)-ep (n)vA
A2.41а)
A2.416)
при всех x?Qi\ здесь по определению
v (&) == V (§5 | [ 5лп, it • • • у ъпп, глп)>
5«, i Xn, . . ¦ , Sn, rn Xn).
n rn _
¦4 Пусть |||2= 2 2 1§*.«12 и ПУСТЬ l + x есть точка 1'?МГ1 + -+
Ыа=1
тами g^ a = lt, a-\xi- По лемме '2.5 при ||| < a d (х) и d (х) фО имеем (
fx (s)== / (Si, i *ii • • • . fei.r, x
, гЯ1
i \
с координа-
—|у,рJ<0,
441
где »?/, j?J, ос=1 г,-, P=l, ¦¦¦yTj. Из свойства локальности обобщенной функции
v (упражнение 12.8) следует, что носитель v(^-{-x) — ep(n)vn(e,-\-x) содержится в множе-
множестве \^\^аd(x); значит, левая часть A2.41а) равна
J - гР(п) vn (Е + х)) s (| g |/d (х)) / (g) dg; A2.42)
здесь s (/)—гладкая функция вещественной переменной /, равная нулю при |^| < 1/Bа) и
единице при \t\>s\la. Обобщенную функцию и(|)— Е/?(я)гп(|) можно представить в виде
конечной суммы производных полиномиально ограниченных непрерывных функций; в ре-
результате абсолютная величина A2.42) мажорируется выражением
const- 2 5
|
Поскольку ?>а/(?) убывает быстрее любой отрицательной степени | ||, это выражение в
свою очередь мажорируется величиной вида c^i(f)d(x)~N при любом N. Это доказывает
оценку A2.41а). Вторая оценка A2.416) совершенно аналогична. >
Лемма 12.7. При тех же условиях, что и в предыдущей лемме, имеет
место оценка
\lvx(l)fx{t)<%\<c'N(f)d(x)-", xeQ,- A2.43)
_ -4 Пусть х(Р)€6м (М), причем -/(р) = 0 в окрестности VJi и %(р)=1 в окрестности
Vjl- Определим /' (|) в терминах преобразования Фурье:
/' * rni \
T'(Pi,l, .... Р»,,„) = Х (-2 2 t)
\ /=i a=i J
Тогда из свойства носителя v (упражнение 12.8) следует:
Заменяя в лемме 12.6/ на/' и пользуясь A2.41), получаем оценку A2.43) прис^ (/) = 2сдг(/'). >
Лемма 12.8. Для любых мономов At A2.34) усеченное вакуумное среднее
<Л1(л1).. .Ап(х„)УТ, а также его производные по х любого порядка убывают
при d(x)—>оо в конусе Q быстрее любой отрицательной степени d(x)*).
•^ Из A2.35) следует, что усеченное вакуумное среднее </li (xj).. .Ап (д:п)>г, а также
любую его производную по х можно записать в виде У v (g) fx (?) d\, при подходящей основ-
ной функции /(|). Согласно леммам 12.6 и 12.7 выражения V (у(?)—ef (я) ил (g)) /л (|) dc, и
\ ^я (I) fx (I) d|, а значит, и f у (|) /л (|) d% стремятся' к'нулю] при x?Qf, d(x)—><х> быст-
быстрее любой отрицательной степени d (x). Поскольку множества Q/ покрывают Q, это дока-
доказывает лемму. >
Предложение 12.4 теперь непосредственно следует из леммы 12.8.
Следствие 12.9. При любых /у? of (M) обобщенная функция
Т(Ри .... Рп)Ь(-Pi)-• 7Л-Pn)diPlU^Pi К12-44)
попеременным/?^ ... ,рп в действительности является функцией из Qf{R3{"~1]).
Согласно упражнению 12.4 усеченное вакуумное среднее вида
[wT(x1-y1,...,xn-yn)f1{y1)...fn(yn)diyl...d*yn A2.45)
*) При сделанном предположении о существовании наименьшей положительной массы m
можно показать, что на самом деле усеченные средние убывают экспоненциально при простран-
пространственном удалении аргументов, причем показатель экспоненты зависит от m (для этого, однако,
следует считать, что основные функции /(*¦,, . . . , хп) в определении (8.8) элементов А поли-
полиномиальной алгебры принадлежат классу &(Мп)). Это соответствует тому, что в теории, в ко-
которой рассматриваются только частицы с положительными массами, все силы — короткодей-
короткодействующие (типа потенциала Юкавы е~^г1г). В случае когда в теории имеются частицы с нулевой
массой, стремление к нулю усеченных вакуумных средних может происходить обратно пропор-
пропорционально квадрату расстояния — подобно силе в законе Кулона (см. Араки и др., 1962).
442
зависит только от разностей хх — х2 хп-г—хп и является функцией из of (R3i"~1>) no
Jti—Jta, ..., х„_1 — лг„. Полагая jcJ= ... =д:^ = 0 и записывая A2.45) в терминах фурье-
лреобразования, получим результат, сформулированный в следствии.
В. Расплывание релятивистских волновых пакетов. Нам понадобится
еще один вспомогательный результат, касающийся поведения " при больших
временах отрицательно-частотных решений F(x) уравнения Клейна — Гордона
с положительной массой т:
A2.46)
здесь h(p)—«достаточно хорошая» функция. Очевидно, для положительно-
частотных решений будет справедлив аналогичный результат.
Лемма 12.10. Фиксируем натуральное число k0. Существуют натураль-
натуральные числа L, М и константа с такие, что для всех решений уравнения
Клейна—Гордона вида A2.46) при /г?<^(/?3) имеются оценки
,. С1_1_|Л1 i Ъ 01 h- Л9 47^
S I f U, jr) |йР* <с||Л|к д| A +111K/*. A2.48)
Вообще говоря, эти оценки справедливы, если предположить, что h ? of\ M (R3)
(см. п. 1.1.В).
¦^ Введем непрерывное ограниченное решение уравнения Клейна — Гордона:
(их» -рх) 1 j
Тогда /•" (д:) представляется в виде трехмерной свертки
F (t, x) = T (t, x)*v (x), A2.49)
где
v(x)=[ е'Р* со A +соKА (р) d3p.
Таким образом, задача сводится к получению оценок для Т (х).
Напишем представление
00
Т (X)=U\ e-^+^atdxX-'^' -Р*
\о J
в нем, очевидно, можно переставить порядок интегрирования:
Т (х) = J а2е-« | С е-«-[«о(^ + ад-р*3 ^1 ^const. j D<--> (x-iae0) o?e-* da =
= const.(|ji;|2-(xA-iaJ)-1/2A:1(m V\ x |2-(xv-iaJ) a2e~« da, A2.50)
где eQ — орт вдоль оси времени; в последнем равенстве мы воспользовались явной формулой
для функции D^' (х) (см. дополнение Е). Из известных асимптотических оценок для функ-
функции Макдональда 1-го рода Ki (г) при Re г > 0:
г/Ci (г) -^1 при г —>¦ 0, fle*Ki (г) —* У"п/2 при г —><»
(см., например, [БЗ], т. 2, п. 7.4.1), следует оценка
|A:1B)Kconst.(|zr1/2 + |z|-1)e-Re2 npHRez>0. A2.51)
Поскольку при s > 0 и Re г > О
(где const зависит от s), из A2.51) следует:
Iz-'tfi^l^const-fllmtz2) |-з/2+|Im(z2)|-2} при Rez>0. A2.52)
Это позволяет оценить интеграл A2.50):
\T(t, *)|s? const- [ (|a/
о
443
Так как Т (t, x) равномерно ограничено, то отсюда следует
| T(t, x) |<const-(l + | /1)-3/2. A2.53)
В области |д:| >2Щ справедливо более сильное ограничение. Положим z—m\ |д:|2—(t—iaf.
m
т
Тогда при \х\ > 2 | 11 имеем | zjSsconst-a и Rez > ]/~Re(z2) > -=- |х |, так что неравен-
неравенство A2.51) дает:
т
tin i _. _ ->\ . 2
-Кг (г)
при | x \
откуда
со т , , m , ,
(• --7Г 1*1 -"о" 1*1
| T (t, x) |s?const- \ (а-з/2-|-а-2)е a2e-ada <const-e J при | jc|>2| f]. A2.54)
о
Отсюда и из A2.53), очевидно, следует
. A2.55)
Точно так же, комбинируя A2.54) с оценкой A2.55), получаем
m
2 *
[\T(t,x)\d3x^const- J e 2 * сCа; +const- ^ (l+\t\)-*i*tPx<
||>2|/| ||<2|М
< const-A+1 f |K/2. A2.56)
Теперь нетрудно оценить свертку A2.49). Воспользовавшись неравенствами
| х |*<2* (| х~у |*+ \у |*) < 2*A +| х у |*) A +|jr |*),
получаем с помощью A2.55)
-2-+*
sup (| * |* | f (/, *) |) < const- ^ A + Iу |ft) 1 c- (y) I d^) AH|*1) 2
при 0<й<й0; аналогично из A2.56) следует
J | F (/, *) | Л < const {\i\v(y)\ <Py^ A -I-1 11K/2. ^>
В качестве упражнения приведем одно дополнение к лемме 12.10.
Упражнение 12.10. Пусть h (р) — функция из D (R3), К С R3 есть некоторая окрест-
окрестность множества {со-1 (р)р: />^supp/i} и пусть Z7 (х) определена формулой A2.46). Дока-
Доказать, что для любых /, m?Z+ существуют числа с^ m^Q такие, что
lfll/?m<cite, A2.57)
где
хфк°К}. A2.58)
(Указание: пусть u?Q, \u\~\, тогда
F(%u)= [ ei}-s(fu(s)ds,
где ф„ (s)—функция класса аГ (R) по s, зависящая непрерывно по и в топологии ?f (/?);
вывести'отсюда, что | А,"*/(Ал) | <ст равномерно по и; для производных от F оценка ана-
аналогична.)
Лемма 12.10 используется нами в следующей ситуации.
Лемма 12.11. Пусть фиксирован некоторый набор операторов Alt ...
. . ., АпаЭ*(М) и некоторый набор положительных масс tnt, . . ., т„ {(где
п^2). Для любого полинома р(х) от х?М, любых дифференциальных по-
полиномов q(d/dx), q (д/дх) и любого компакта В с: Li существует число с
такое, что при всех t ? R, А ? В имеет место ограничение
Р (*){ч(ш) U А*,- (*/)) Я' (|) <^i(A*x).. • An(Axn)y4Xl...dxn
<сA+|/|) 2 ; (i2.59)
здесь k—степень полинома р(х).
444
¦^ Отметим, что интеграл в A2.59) (понимаемый в смысле обобщенных функций) су-
существует в силу компактности носителя Dm(t,x) по х. Очевидно, достаточно рассмотреть
п
случай, когда q(d/dx) имеет вид произведения Ц qj(d/dxj) дифференциальных полиномов по
каждой переменной xj. Фиксируем натуральное число N и введем функции
Fj{t,xj) = (\-b.j)-N<l
где Ay—оператор Лапласа по переменной xj. Функция Fj{x), очевидно, является решением
уравнения Клейна — Гордона (при m = nij); при достаточно большом N ее отрицательно-
частотная часть имеет вид A2.46) с h{p)^ift, M (R3)- Аналогичное представление имеет
положительно-частотная часть функции Fj(x). Поэтому каждая из функций Fj (x) удовлет-
удовлетворяет оценкам A2.47), A2.48). Левую часть A2.59) можно переписать в виде
,.0_ -у»-/
Л , — . .. _ Д „ — t
W II Fj {xj) \ и (хъ . . ., х„; Л) йхг. ..dxn
A2.60)
где
и (хъ . . ., хп; Л) = Ц A -Ьу)»р(х) q' (J-\ <Аг (Ахг). . .Ап (Лдг„)>Г.
Учитывая трансляционную инвариантность усеченного вакуумного среднего, мы можем для
сужения и (хъ ...,хп; А) на плоскость Xi= ... =хп = t написать представление
з
«(д, ..., х„;Л)| 0_ _ о , = 2 ^°П U)aJva(Xl-x2, ... ,*„_!- хп\ Л), A2.61)
где va — функции только от разностей Xi — х2, ...,Xn-i — Хп и от Л. Согласно предложе-
предложению 12.4 Va^af G?3'"*) по переменным Xi — х2, ..., лг„_1 — х„. Во всяком случае пред-
предложение 12.4 дает для va следующее ограничение, справедливое при всех Л?В:
приЛ^В. A2.62)
Подстановка A2.61) в A2.60) позволяет мажорировать A2.60) выражением
2 I' |«» |*1|a' + a'+o' | F, (t, Xl) | П I FJ ((> xf) 11 Fn (<. *») IX
Xlt'ate-*, ...,xn_i-JcB;A)ldxi...dxB.- A2.63)
Воспользуемся здесь для функций Fj(t,X/) при /=1, ...,/г—1 оценкой A2.47) и для
Fn (t, xn) оценкой A2.48). В результате A2.59) при Л?В мажорируется выражением
J |FB(/, *„)
что доказывает оценку A2.59). >
Результаты следующего упражнения являются непосредственным следствием леммы 12.8.
Упражнение 12.11. При Aj?3>(M), t?R, AgL^ положим
Aj (Ах) д0 Dm . (x) d3x. A2.64)
(а) Доказать, что для любых Alt ..., Ап?3* (М) (п—2, 3, ...) и любого компакта
Scij имеет место оценка
\<А[-A...A't;AyT ^ const (l + \t\)-^n~2)i2 при AgB; A2.65)
та же оценка имеет место, если некоторые из Л,- заменить на -т-,А;' .
I at i
(б) Пусть
,cht] 0 0 sh
о J g ]. 4€R- A2-66)
о о
Доказать, что если некоторые й A<й</г) из операторов А,-' Л в усеченном вакуумном
среднем <л!' л ... Л« Л>Г заменить на операторы -з— А)' л, то результирующее выражение
445
-— ( П-2)+ k
мажорируется по модулю выражением const- (I -f-| t |) 2 равномерно по ц на любом
фиксированном компакте в R.
Г. Доказательство основного результата. Приведем теперь доказатель-
доказательство теоремы 12.1.
^ (а) Положим Ф'=Л!... Ап^о- Для существования предела A2.8) достаточно.
чтобы выполнялась оценка
II-^-(DifsS const-A+IM)-3, A2.67)
да
так [как тогда \ ГлТ"®' rf( < оо и можно положить, например, фои' = Ф°-1- \ ( -тг Ф* ) dt.
о
Имеем
Разложим правую часть в сумму произведений усеченных вакуумных средних, составленных
из операторов Л/, Л/'. Очевидно, все (усеченные)_вакуумные средние вида <Л</)'>г равны
нулю в силу условий AjWg ? ф'-"-', Aj ' Ч'о ? §'¦*-', поэтому достаточно учитывать кластеры
длины ^2. Рассмотрим сначала произвольное слагаемое в разложении, которое состоит
только из усеченных вакуумных средних длины 2. Очевидно, по крайней мере один из
сомножителей будет иметь вид \Ч?0, ..., -тг Л/'^чО и будет равен нулю в силу A2.7),
поэтому такие слагаемые дают нулевой вклад. Остается рассмотреть слагаемые, содержащие
не менее двух кластеров длины 3 или не менее одного кластера длины Зэ= 4. Согласно оцен-
оценке A2.65) (при Л=1) такие слагаемые ограничены по модулю выражением A-)-'1)~3- Это
доказывает оценку A2.67).
(б) Существование операторов Qex с требуемыми свойствами (кроме лоренц-инвариант-
ности) есть непосредственное следствие формулы
<Фех(Лх, ..., Ак), Фех(Л^ А'п)> = <Ф(А1, .... Ак), Ф(А[ An) > A2.68)
\х А > Гх .1
при любых А; ? Jl} ' , Aj ? i4\ J, поэтому достаточно доказать эту формулу. Левая ее
часть есть предел при t—* Ц1 оо выражения
<AV ... А? А?... А'п'Уо- A2.69)
Для нахождения предела разложим A2.69) по усеченным вакуумным средним. Согласно рас-
рассуждениям, использованным при выводе оценки A2.68), при / -»- оо исчезают все члены, кроме
тех, которые соответствуют кластерам длины 2. Используя результат упражнения 12.7, полу-
получаем, что выражение A2.69) при t-+ T°° стремится к правой части доказываемого равенства
{12.68).
Остается доказать пуанкаре-инвариантность отображений Qex. Вначале мы покажем, что
несмотря на явное использование системы отсчета в определении операторов Л' A2.6), асимпто-
асимптотические состояния в действительности не зависят от выбора системы отсчета. На базе другой
лоренцевой системы отсчета, отличающейся от стандартной преобразованием A(?Z.?, мы долж-
должны были бы рассмотреть вместо операторов Л* операторы
А1- А = Г 6 (xn-t) {Dm (x) Ф д„А (х)} dH,
где п = Ле0; AtlA, очевидно, может быть определено также формулой A2.64).
Упражнение 12.12. Доказать, что А*'Ах?0 не зависит от Л при А ?
Рассуждение, использованное в части (а), достаточно, чтобы показать существование
пределов
lim А[-л... Л^Ч'о. A2.70)
t ->¦ =f да
Утверждение о независимости асимптотических состояний от системы отсчета означает, что
состояние A2.70) не зависит от Л. При Л из группы вращений трехмерного пространства это
утверждение тривиально, поэтому достаточно ограничиться случаем, когда Л есть чистое пре-
преобразование Лоренца, например, в плоскости @, 3), т. е. имеет вид A2.66). Введем вектор
и покажем, что для любого компакта Т с R существует число с такое, что
—-ф'-л ^сП+Ш) при tf R, Ti f Т. A2.71)
дт\ ~
«14
Отсюда будет следовать
~ Т//2 | т) | —>0 при
что будет доказывать равенство выражений A2.70) и A2.8).
Обратимся к выводу оценки A2.71). Действуя, как и ранее, разложим скалярный квадрат
по усеченным вакуумным средним. Усеченные вакуумные средние, не содержащие производ-
производных д1дт\, оцениваются согласно A2.64). Рассмотрим далее слагаемое в разложении, один из
кластеров которого включает два оператора вида ¦s- A'•*' '• Л , Очевидно, имеет смысл ограни-
ОЦ '
читься кластером длины ^=4 (в противном случае мы имеем нуль на основании упражнения
12.12). Такое вакуумное среднее мажорируется выражением const-(l + UI) (согласно упражне-
упражнению 12.11F)). Остается еще одна возможность, когда в некотором слагаемом указанного разло-
жения имеются два кластера, содержащие по одному оператору вида ^- А) ''•¦'; здесь также
имеет смысл рассматривать только кластеры длины ^3. Согласно упражнению 12.11F) соот-
соответствующие усеченные вакуумные средние ограничены по модулю выражением const•(!+
)^2,TaK что соответствующее слагаемое разложения ограничивается по модулю выраже-
выражением const-A-j-UI)-1. В результате приходим к оценке A2.71).
Теперь не представляет труда доказать пуанкаре-инвариантность операторов Qex. По-
Поскольку инвариантность Qex при трансляциях и трехмерных вращениях очевидна, то достаточ-
достаточно рассмотреть преобразования Лоренца вида A2.66). Из определений A2.8), A2.64) следует
U @, Л) Фех (Л1 Ап)= lim A'l' Л ... A'f AxF0-
где д'. = и @, Л) AjU @, Л). В.'силу [доказанной выше независимости асимптотических
состояний от системы отсчета мы можем здесь в правой части опустить символ Л; в результате
U @, Л) Фех (At Ап) = Фех (А'г А'п).
С помощью упражнения 12.2 можем записать эти соотношения в операторном виде
U@, A)Qex = Qex'M@> Л),
что доказывает лоренц-инвариантность операторов fiex. ^
Глава 13. ФОРМАЛИЗМ ЛЕМАНА —СИМАНЗИКА — ЦИММЕРМАНА
13.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
А. У-произведения полей. Квантовополевая теория рассеяния значи-
значительно упрощается, если допустить, как это сделали Леман, Симанзик и, Цим-
Циммерман, что существует соответствие между частицами и полями. Такая
схема, являющаяся частным случаем подхода Уайтмана, называется форма-
формализмом LSZ (Лемана—Симанзика—Циммермана). Существенным элементом
ее является понятие хронологических произведений и функций Грина, кото-
которые мы здесь изложим.
Формально Т-произведение (или хронологическое, или упорядоченное по
времени произведение) Г (ф^1' (хх) . .. ф]*п> (хп)) и анти-Т- (или Г-) произве-
произведение Г(ф^1>(х1) ... ц>ип)(хп)) уайтмановских полей определяются посредством
г (ф^'(*,)... фГ(*«)) =
2 ^) • • <??лп) (*».), A3.1а)
ЦП
-4>) ¦ • ¦ 9(х?т-х?ят-х,)Ч>№ ¦ ¦ ¦ Ч>Улп)(хпп), A3.16)
ТГ J\-l. Jill
где суммирование распространяется по всем перестановкам л индексов 1,...
. . ., п. Однако эти формулы не годятся в качестве точного определения. Дело
в том, что в них фигурируют произведен'ия операторных обобщенных функций
с разрывными функциями, а такие объекты в теории Уайтмана, вообще го-
говоря, не определены (для определения произведений следует дополнительно
предположить существование полей в фиксированные моменты времени).
Другой недостаток выражений A3.1)—то, что даже в случае, когда они
хорошо определены, они могут обладать неприемлемыми свойствами (типа
зависимости от лоренцевой системы координат). Хорошо известным примером
такого рода является Г-произведение свободного векторного поля: нетрудно
убедиться (см., например, [Б8], § 15), что Г-произведение T(Ak(x)Ajx(y)),
вычисленное по формуле A3.1а), нековариантно, но эту нековариантность
легко устранить, если к полученному выражению прибавить слагаемое, со-
сосредоточенное на плоскости х"=у°.
Поэтому удобнее определить Г-произведение набором свойств, которыми
оно должно обладать. Характеристические свойства Г-произведений (как
операторных обобщенных функций умеренного роста) таковы *).
(а) Перестановочное свойство:
Т (фЯ1 ¦ • . <ря„) = вР (я) Г (Фх . . . Ф„) A3.2а)
для любой перестановки л.
*) Здесь и далее мы часто пользуемся соглашением ц>( J (xj) ^ фу.
448
(б) Пуанкаре-ковариантность:
U (а, Л) Т (ф!Г1) (*х) ... ФЙП) (хп)) U (а, Л)-* =
= 2 Vfrl (Л-i) ... V^n (Л-1) Г (Ф<*> (Л*! + а) .. . ф<*г> (Лх„ + а)) A3.26)
tnlt .... пщ *"
при всех (а, Л)€ф0.
(в) Причинность:
Г(ф1 . . . Ф„) = Г(ф1 . . . фй)Г(Фа+1 . . . Ф„), A3.2b)
если*) {хи ..., xk}*s{xk+1, ..., хп}. A3.2в)
(г) Свойство эрмитова сопряжения:
г(ф1 ... ф„)*=г(ф;... ф*). A3.2г)
(д) Унитарность: при л=1, 2, ...
л
X шТ-fai S Мя) ^ (Фт • • • Фя*) Г (Фя (ft+i) • • • Фяп) = О A3.2Д)
А = О v '' я
(-)
(в последней формуле использовано соглашение: при п = 0 Т (ц>1 ... фп) счи-
считается равным единице).
В качестве мотивировки этих свойств можно сказать, что все они полу-
получаются формальными манипуляциями над выражениями типа A3.1) (хотя
эти манипуляции нельзя считать доказательством по указанным выше при-
причинам).
Следующее упражнение устанавливает связь данного определения Т-
произведения с эвристической формулой A3.1).
Упражнение 13.1. Показать, что
.. ф„) = ф! ... ф„ при х[> xl> ... > х°п, A3.3а)
.. фв) = ф1 ... Ф„ при х\ < х°2< ... < х„- A3.36)
(Указание: применить индукцию по п, воспользовавшись соотношением A3.2в).)
Вакуумные средние
х}Г!.7/вХв)(*1, • • -, *„) = <0|7ЧфГ(*1) • • • Ч>\Т\хп)\0>, A3.4а)
^.•.•/„""Ч*!, •••• ^)=<0|Г(ф^(^) ¦••• ф?п)(*„)|0> A3.46)
называются причинными (или хронологически упорядоченными) и соответст-
соответственно анпгихронологически упорядоченными «-точечными функциями Грина
полей ф<Х1>, . .., ф(х«>.
Из аксиом Уайтмана доказать существование Г-произведений полей в общем случае не
удается, поэтому существование Г-произведений принимается в формализме LSZ в качестве
дополнительного постулата. Значение его становится ясным из формул редукции (§ 13.2).
Другой веский аргумент в пользу этого постулата предоставляет лагранжева квантовая теория
поля, в которой Г-произведения играют фундаментальную роль; там они строятся во всяком
случае, по теории возмущений (см. [Б8]).
Если все рассматриваемые поля являются бозонными, то перестановочное
свойство, очевидно, выражает симметрию Т-произведений по индексам:
•¦• Фя.) = Г(ф1 ... Ф„). A3.5)
В этом случае операторные обобщенные функции Т (ф^1> (Xj) ... ф^1' (хп))
однозначно определяются результатами сглаживания их с основными функ-
функциями вида т^*') г> (xj) ... Ti(Xn)l« (х„), где v[*>1—финитное семейство функций
*) Для пары множеств Q и '<? в М {вводится отношение Q ^ (J, означающее, что
—у ф. V+ при всех х ? Q, у ? Q (это же отношение записывается в виде
н. Н. Боголюбов и др.
из У (M), которое мы назовем классическим источником. Сопряженный
источник определяется посредством tj+m l (х) = г\М~1 (х) (ниже в формуле A3.29)
будет дано более общее определение сопряженного источника, пригодное
и для ферми-полей). Для кратности будем писать ^ г\ (х) ц> (х) dx вместо
V [ 11(и)' (х) ФгИ) (х) dx', введем также обозначение
= 2 J п<->'»(хп) . . . т,(н,, /, {Xi)T (^ (Xi) .. . ф?»> {Хп)) dXi... dXn.
И, ... У.П
U ¦¦¦ 'п
Всю совокупность Т-произведений удобно характеризовать производящим
функционалом
п-0
A3.7)
который нужно рассматривать как формальный ряд по классическому источ-
источнику т) = (ii;*')' (таким образом, только каждому отдельному слагаемому
ряда A3.7) приписывается смысл оператора). Аналогичным образом опреде-
определяется производящий функционал
Г-произведения теперь выражаются через вариационные производные
по источнику:
• A3.9)
У(ю!И1> (х ) w^n) (х )) - (— i)"
п)'" (хп)
т)=0
Характеристические свойства Г-произведений в терминах производя-
производящих функционалов могут быть записаны следующим образом,
(а) «Начальные условия»:
Иа = щ^{х)- A3.10а)
(б) Пуанкаре-ковариантность:
U (a, A)%(i\)U(a, Л)-» = 2:(т|(а, А)) при (а, Л)€ф0, [A3.106)
где
(в) Причинность:
?(g + il) = 3:(gJ:D), если suppg^suppr,. A3.10в)
(г) Свойство сопряжения:
3:(т]Г = г(-т]+). A3.Юг)
(д) Унитарность:
= 1. A3.10д)
Упражнение 13.2. Доказать эквивалентность свойств A3.2) и A3.10).
Упражнение 13.3. Доказать соотношения
(—ч), A3.11)
которые мы будем записывать в виде одного равенства
450
и которые, конечно, понимаются в смысле формальных рядов по т). (Указание: в силу
условия %@) =1 существует формальный ряд ЗПг]) такой, что ? (П)~х % (т)) = 1 =
?()з: (о1)
Проиллюстрируем понятие Т-произведения на примере свободного ска-
скалярного поля.
Упражнение 13.4. Пусть ф(х) — свободное эрмитово скалярное поле массы т.
(а) Определим двухточечную причинную функцию Грина поля Ц>(х), полагая
Т[2] (jr> y) = l-Dcm{х-у) = 6 (*°-(/0) <0 | Ф<лг) ф (у) | 0> + 6 (г/°-х°) <0 | <р (у) Ф (х) | 0> =
Доказать формулу
вывести отсюда, что причинная функция Грина удовлетворяет уравнению
*)т™(*. У)=\ь(х-у). A3.14)
^Указание: выполнить в A3.13) интегрирование по р° и сравнить с определением.)
(б) Определим формальный ряд по источнику т]
00
1С \ ХЛ i" С
: exp I i \ ф (х) т] (х) dx j : = ^ —- \ : ф (xi) • • • ф {хп): т] (лгх) ... т] (х„) Лгх ... dxn.
Доказать равенство формальных рядов
«хр f^t ^ ф(х)т)(х)йх) =
= ехр ( ^т- \ Dm (х — у) т] (х) ц(у) dx dy \ :ехр ( \ 1ф (х)х\(х) dx\:. A3.15)
{Указание: воспользоваться формулой (8.85).)
(в) Определим производящий функционал Г-произведений поля ф формулой
— -L'\Dcm(x-y)-n(x)r\(y)dxdy): exp (i [ ф (х) т) (х) dx) :, A3.16а)
ЗГ (т)) = exp f^-i- f DS,(x-ir) г, (х) т] (у) dx dy^ : exp (i j q> (x) т] (х) Лс j :. A3.166)
Доказать, что при этом выполнены характеристические свойства A3.10). (Указание: при дока-
доказательстве унитарности воспользоваться соотношением
SE (г)) =ехр (_-!- Z)^dv (х-у) т| (х) г, (jr) dxdi/^ exp f^i J Ф (t) r\ (x) dx^j, A3.17)
где
adv
Dm (x~y) = -Q(y°-
— m* — iepP " е= + о
A3.18)
— так называемая опережающая функция Грина свободного скалярного поля.)
(г) Доказать формулы для причинных функций Грина:
т'-"-' (хи ...,х„)=0 при п нечетном, A3.19а)
р
{Р имеет тот же смысл, что и в формуле (8.75)),
(д) Доказать формулу Вика для Г-произведений:
(-) " п\ (-)
А = 0 Р
{Р означает то же, что и в формуле (8.85)).
15* 451
Предложение 13.1. Условие причинности A3.10в) эквивалентно ус-
условию (в смысле формальных рядов по классическим источникам Ui)
О при suppg^oN*,, A3.21)
еде dfx-—(сколь угодно малая) окрестность точки х.
^ Равенство A3.21) есть некоторая цепочка соотношений между операторными обобщен-
обобщенными функциями умеренного роста; поскольку такие обобщенные функции однозначно опреде-
определяются своими значениями на финитных основных функциях, то при доказательстве A3.21)
достаточно считать, что %, и г) — источники с компактными носителями (тогда условие supp \^.
^lfx можно заменить условием supp %^х).
Очевидно, A3.21) равносильно цепочке соотношений (при я=1, 2, . . .)
<13-22>
в открытом множестве
{(Xi, ..., хп)?Мп: Xj ^ supp ? хотя бы для одного /}. A3.23)
Нетрудно видеть, что для любой точки этого множества существует непустое подмножество
J множества индексов N = {1, ..., п) такое, что
{xabev^suppi U{x$heN\J. A3.24)
Таким образом, множества A3.24) (которые являются открытыми) покрывают множество A3.23),
так что достаточно доказать A3.22) на каждом из множеств A3.24). Другими словами, требуется
доказать, что для любых k=l, 2, ... и т=0, 1,2, ...
бт] (х1)... бт| (хк) бт] (уг)... бт| (ут) w
в области {^i, ..., а:^} ^ supp | U {ylt ..., i/m}, т. е. что
6й б^ .<
бт] (^i).. .бт] (хА) бт|' (ух)... бт]' (i/m)
A3.25)
= 0, A3.26)
если supp т) 5э supp | U suppr)'. Но для таких ?, ц, Г)' (согласно условию причинности
A3.10в)) имеем
?(т|+т|')=:&(т|)з;(тг), sta+ti+ri')=2(Ti)ss;(E+Ti')
и, значит,
г(л+т1')-15Ь(Е+л+г1')=г(г1')-1з:(Б+т1')-
Отсюда следует A3.26). Обратно, из A3.21) нетрудно вывести A3.10в). >
Производящий функционал Т-произведений можно ввести по формулам
A3.6), A3.7) и в общем случае, включающем фермионные поля. Однако по-
поскольку Т-произведение антисимметрично по фермионным полям, классиче-
классические источники фермионных полей уже нельзя считать обычными, числовыми
функциями. Мы будем считать их просто символами r\ix>l(x), зависящими от х
и коммутирующими с бозонными полями и бозонными источниками и анти-
коммутирующими с фермионными полями и фермионными источниками *).
Теперь не только весь ряд A3.7), но и отдельные слагаемые не имеют смысла
операторов (кроме как после подстановки ti=0). Как правило, мы будем ис-
использовать левую вариационную производную 6/6rj (л:) формальных рядов по
фермионным источникам, которая определяется формулами
A3-27а)
1A3.276)
где NA (=0 или 1) есть степень по модулю 2, в которой фермионные поля
и фермионные источники входят в выражение А (ц). Для высших вариаци-
вариационных производных становится существенным порядок производных; мы бу-
*) Феркисньые источники кежко трактовать как элементы алгебры Грассмана; подобные
грассманоЕские переменные нешли широкое применение в теории поля с суперсимметрией (см.,
например, Весе, 1976; Салам и Страсди, 1977; [С 9]).
452
дем пользоваться правилом
6А(г\)
бт) (х{)... бт] (хп) бт] (хд " ' Ьц (хп) '
Характеристические свойства A3.10) производящего функционала Т-
произведений распространяются и на общий случай. При взятии эрмитова
сопряжения в A3. Юг) следует пользоваться правилами типа
(где А — оператор или операторная обобщенная функция). Сопряженный ис-
источник ti+ определяется формулой
т)+<*>'(л:) = (—1)*У*)Г(*)» A3 29)
где F=0 или 1 соответственно на бозонных и фермионных компонентах ис-
источника. Кроме того, следует пояснить смысл выражения suppg^supp т] в
условии причинности A3.10в). Теперь оно означает, что соответствующие
равенству A3. Юв) формальных рядов соотношения между операторными обоб-
обобщенными функциями
6я б"
-S (Б)
= 0
Ы {XlZbl (Хт) 6, (, Д Ы
(где /и, п = 0, 1,2, ...) выполняются только в области {хг, ..., xw} ^ {«/lt ....
•••• Уп}-
При аналогичном понимании условия supp gs^dV^ (или suppS^x) пред-
предложение 13.1 переносится на общий случай, включающий ферми-поля.
Б. Запаздывающие произведения. Объектами, тесно связанными с Т-
произведениями и играющими первостепенную роль в изучении аналити-
аналитических свойств амплитуды рассеяния, являются запаздывающие произведе-
произведения. Формально запаздывающее (или R-) произведение полей ф'и'(х),
^H). • • •> Ч>^"Нхп) определяется формулой*)
), ...[ф(Хя2)(*я2), [ф(*я1>(Хя1), ф(«)(х)]т]т...]т; A3.30)
здесь, как обычно, выражение [А, В]^ есть коммутатор, если хотя бы один из
операторов А, В — бозонного типа, и антикоммутатор, если оба оператора
А, В —фермионные; сумма распространяется по всем перестановкам индек-
индексов 1, . . ., п. Выражение A3.30) страдает тем же недостатком — неопределен-
неопределенностью, как и формула A3.1).
Считая, что Г-произведения полей уже заданы в соответствии с условиями
A3.2), можно дать корректное определение запаздывающего произведения:
ТХ
k-О Я
A3.316)
(здесь «±» есть знак «—», если оба оператора ф и ф1...ф„—фермионные^
и «+» в противном случае). Формулы A3.31), очевидно, позволяют рекур-
(-)
рентным образом восстановить Т-произведения по запаздывающим произ-
произведениям.
*) В связи с тем, то мы пользуемся левыми вариационными произведениями по ферыи-
источнику, мы употребляем для общего случая порядок следования аргументов (хп хг;
х), отличный от общепринятого (х; xlt .... хп) для бозонного случая.
453:
По определению запаздывающие произведения A3.31) симметричны по
ёозонным полям из совокупности Ф/^*'^!), . . ., q>\*n) (хп) и антисимметричны
по фермионным полям из той же совокупности. Поэтому их удобно харак-
характеризовать производящим функционалом
п~ 0 Xi. . -
«1. . Ли
х R (ф^ (*!) • ¦ • 4>Zn) (*„); ф?" (х)) dxx... Лся. A3.32)
Это формальный ряд по источнику г\(х), а коэффициентные функции этого
ряда являются операторными обобщенными функциями переменных х, хх, ...
A3.33)
"Нетрудно видеть, что определение A3.31) теперь можно переписать в виде
тг(х; ч) = —&(г\)-1;яЩ$- A3.34)
Характеристические свойства запаздывающих произведений (в терми-
терминах функционала N) таковы,
(а) «Начальное условие»:
СХ~\A/\ / \ I {\t \ / \ / 1 f\ С\^ \
-*Г1 "* I V* Y1 1 I п - СГ) ' I VI I I -\ ¦\^\*Л 1
О*1 ^Л) *\) |Т|=0 4t \ /* yk^J>O\Jaj
(б) Свойство эрмитова сопряжения:
ЭД*>(л;; Т1)*=9^и)(х; т]+). A3.356)
(в) Пуанкаре-ковариантность:
U (а, А)Ш1К) (х; ц) U (а, Л)-1==2^т (Л)^' (Ах + а; т)@,Л))
A3.35в)
¦при (а, Л) ? ф0.
(г) Условие разрешимости:
A3.35г)
(д) Причинность:
--—т-т-ЭЦл:; т]) = 0 при x^t/. A3.35д)
Упражнение 13.5. Вывести свойства A3.35) из A3.10). (Указание: при доказа-
доказательстве свойства причинности воспользоваться равенством
1=0
A3.36)
и предложением 13.1.)
Справедливо и обратное' утверждение: если задан формальный ряд Sft (x; г\) со свой-
свойствами A3.35), то можно показать, что он однозначно определяет ряд %(г\), связанный с
91 (х; т]) формулой A3.34) и удовлетворяющий условиям A3.10).
Очевидно, условие причинности A3.35д) есть просто свойство носителя
/^-произведений:
5ирр;^(ф„(х)...ф1(д;1); ф (%)) с: {(х. х„ ..., хп) ? M"+1: Xj—x?V~
при / = 1, ..., п]. A3.37)
454
Следующее упражнение (вместе с A3.37)) устанавливает связь определения
A3.31) ^-произведений с эвристической формулой A3.30).
Упражнение 13.6. Доказать, что
Я (ф„ (хп).. .фх (хх); ф (х)) = (—«)" [ф„ (х„).. .[ф2 (х2), [ф! (xj, ф (х)]т]т... ]? A3.38)
при Хп < х°_! < ... < х? < х°. (Указание: из A3.35г) и A3.35д) следует
воспользоваться далее формулой A3.33).)
Вакуумное среднее
/-?": :;*'!х) (*„, • • •. *i; *) = <о IR (ф?в> (*„)... ф'/Г1» (*х); ф!К) (*)) I о> Aз.4О)
называется (п +1-точечной) запаздывающей функцией Грина (или /--функ-
/--функцией) полей ф(И), ф(и1>, ...,ф<кп). Очевидно, оно обладает тем же свойством
носителя, что и запаздывающее произведение.
Упражнение 13.7. Пусть ф (х) — свободное скалярное эрмитово поле массы т.
Доказать формулы
К(Ф(У); ф(*)) = /-[2](#; x) = D^(x-y), A3.41а)
Я(ф„(л:п)...ф(л:1); ф(л)) = 0 прияЭг2; A3.416)
здесь
о2—mz-t-/e/ju " e=-
A3.42}
— так называемая запаздывающая функция Грина свободного скалярного поля. (Указание:
с помощью формулы A3.17) показать, что
/С Г ret \
Sb (s + Ц) = IX (т)) ( 1 -)-1 \ ф (х) ё (х) dx -f- ( \ Dm (x — I/) | (х) Т] (;/) ах dy) + ... ),
где «...»— члены порядка ^ 2 по |; далее воспользоваться формулой A3.36).)
Аналогичным образом определяются опережающие (или Л-) произведе-
произведения полей:
A3.43)
Они обладают теми же свойствами симметрии по индексам 1, ...,п, что и
запаздывающие произведения, а свойство носителя их выражается так:
supp А (ф„ (хп). . . фх (хх); ф (х))с {(х, x1? ..., х„) ? Мп+1: ху— х ? V+
при/=1,...,п}. A3.44)-
Вакуумное среднее
а'Гп";:1?:Г)(хп...х1; х) = <0| Л (ф^»» (*„)... ф^'Ч*!); Ф{Х)(*))[О> A3.45)
называется (/г +1 -точечной) опережающей функцией Грина (или а-функцией)-
полей ф<и) (Ч <'
Аналог формулы A3.30) таков:
А (Ф{,*»>.. .ф'4'»; ф(х)) = *»2ef И 6 (^i-^0) Э (х°Л2-х°Л1).. .6 (х«„-х« ,„_,,) [Фяп(хяп)..-
•••' [ФЯ2^Я2)> [ФЯ1(^Я1)> ФМ1Т]Т---]Т. A3.46)
Упражнение 13.8. Пусть ф (х) — свободное скалярное эрмитово поле массы т.
Доказать формулу
А(<р(у); ч(х)) = аЫ(у; х) = D$v (х-у). A3.47)
Ниже для преобразования Фурье 71-произведения Т((р1(х1). . .(рп(хп))
мы используем сокращенное обозначение:
(Ф, (/>,)• • ¦Ч>п(Рп))= let^^ — +pnxn)T(Vl(x1).. .f9n{Xn))dx1. • .dxn;
455<
аналогично определяются R (ц>„ (рп)... фх (pj; ср (р)) и А (ф„ (рп)... (рг (р,);
Ф(/?)) — преобразования Фурье запаздывающих и опережающих произведений.
Имеются важные соотношения, связывающие фурье-преобразование т-
функций с фурье-преобразованием г- и а-функций в некоторых областях
р-пространства. При этом для любого подмножества /(={1, . . ., п} мы вво-
вводим обозначение
Pj=HPj. A3.48)
Предложение 13.2. Справедливы соотношения
^)^рп< ...,^1,/>) = (—9»>»•••*.;«О(^ ...,Pl;p) A3.49а)
при Pj^_V+ для всех Jc{l, ...,n},
)(Рп> ...;pi);,) = (_i)«a<*«-••*-*>(/?„, ...,Pl; p) A3.496)
при pj (? V~ для всех J а {1, ..., п}.
•^ Для доказательства A3.49а) достаточно взять вакуумное среднее от соотношения
A3.31а); тогда в силу условия спектральности все слагаемые в сумме, за исключением k—n, об-
обратятся в нуль. Формула A3.496) доказывается аналогично. >
Соотношения типа A3.49) являются отправной точкой для изучения аналитических свойств
причинной функции Грина в р-пространстве, поскольку из свойств носителя A3.37) и A3.44)
следует, что обобщенные функции г п а являются граничными значениями функций, аналитич-
ных в трубах (в действительности, единой аналитической функции); мы вернемся к этому воп-
вопросу в гл. 16.
В. Аксиомы LSZ. Исходные положения LSZ (в современном изложении)
складываются из двух частей: аксиом Уайтмана W.I—W.VIII и дополни-
дополнительных требований *). Эти дополнительные требования [(LSZ.I— LSZ.Ill),
определяющие специфику формализма LSZ, таковы.
LSZ.I (Связь между частицами и полями). В дополнение к
сильному условию спектральности предполагается, что массы одночастич-
ных состояний в физическом гильбертовом пространстве Ж образуют ко-
конечную {или локально конечную) последовательность 0 < тг < т2 < ....
Каждому полю ф(и)! с ненулевыми матричными элементами между вакуум-
вакуумным вектором и одночастичными векторами соответствует параметр тк
такой, что векторы вида
25ф(,1"М/'(х)Л?0 A3.50)
являются (не равными тождественно нулю) векторами с фиксированной
массой**) пъц, если fldaP(ftl) и носитель fl (p) содержится в области
: p2<m^} A3.51)
(здесь т'х—некоторый параметр, превосходящий т?). Замкнутая линейная
оболочка векторов вида A3.50) исчерпывает подпространство ^ одночастич-
ных состояний в Ж.
Интерпретация частиц как элементарных частиц или как связанных состояний (подобно
общему случаю, рассмотренному в п. 12.1.А) осуществляется в соответствии с разделением полей
<р(и>, рождающих эти частицы, на фундаментальные и составные.
Упражнение 13.9. Доказать, что из условия LSZ.I следует существование таких
свободных полей ф<о)'г массы ту. (действующих в фоковском пространстве § над одночастичным
подпространством Sq^, что
<*о. Фги) (Р) ф?Г (Р') Уо> = <01 Ф^'г (р) ф8& (р') | 0> A3.52)
*) Объединенную систему аксиом Уайтмана и Лемана — Симанзика — Циммермана на-
называют также формализмом LSZW. Заметим, что требование LSZ.I отличается от W.IH' лишь
тем, что операторы Л рождения одночастичных состояний линейны по полям ф(и>. Требование
LSZ.II обсуждалось в п.12.1.В и тоже в принципе могло быть сформулировано в подходе Уайт-
Уайтмана. Однако оно используется существенно лишь в схеме LSZ.
**) Для нас здесь не существенно, образуют ли эти векторы приводимые или неприводи-
неприводимые подпространства относительно группы $0.
456
в области p?GK. В частности, для скалярного поля ф (*) представление Челлена—Лёмана
имеет вид
со
<?0, Ф (х) ф (у) 4f0> = z4- От' (х—у)]+-^ \ D(x} (x-y) dp (X) (Z > 0, т' > т). A3.53)
т'
Аксиома LSZ.I позволяет применить конструкцию Хаага—Рюэля для
построения асимптотических состояний; при этом роль операторов рождения
одночастичных состояний из вакуума играют операторы 2 \ ФГ" (х) fl (x) dx,
где fl?of(M), supp/'cG^.
Из следующей аксиомы LSZ следует унитарность 5-матрицы.
LSZ.II (уело ви е асимптотической полноты).
•S^in — ¦%" 'ЗУ'out /I 9 СИЛ
Отсюда также следует, что в гильбертовом пространстве физических.
состояний Ж действуют две (различные при 5^=1) неприводимые системы
свободных полей—in-поля и out-поля:
Фа л/ (*\j \ / \ /™\ av СМ \ / \ /~\ Аъ/4 * X /1/\ ^Н\
6XIX) ( VI —¦ I JcX ГП ' I VI U"* (b"Y 1П /™»11Т I I Ч tRi
\ / ~~ т @) \ / J С Л —¦ П1. UUL AO«*-'<JI
(см. упражнение 13.9). 5-матрица связывает между собой асимптотические
поля. Приняв, как в п. 12.1.В, соглашение Qin=l, Qout = 5*, мы получаем
Фои'<*>(л;) = 5*ф1п(и)(л;M- A3.56)
Это соотношение вместе с условием 510> = | 0> полностью определяет S-ма-
трицу через асимптотические поля. В частности, элементарному процессу
v 4- -4-V ^U. п -Х- -l-v (\ Ч ^7^
(где «квантовые числа» х частиц параметризуются «типами» полей ф(к)) со-
соответствует матричный элемент 5-матрицы между обобщенными векторами
состояний с определенными импульсами частиц:
ф(pk+1)ф (р„H) ф {Рк)ф (/!)„>
A3.58а)
Правую часть этого соотношения мы условимся также записывать в виде
<01 фои1(к„,(/,п).. .ф°иЧ**+1)(рА+1) ф!п(^) (-Рк).. .^n(Kl)(_Pi)| 0> A3.58б>
(в этой записи подразумевается, что out-поля действуют слева на «бра-век-
«бра-вектор», как в формуле A3.58а)).
В действительности выражение A3.586) имеет также непосредственный смысл. Пусть
35 есть множество векторов гильбертова пространства ffl, входящих в область определения
любой натуральной степени (р°)" оператора энергии.
Упражнение 13.10. (а) Доказать, что 35 есть множество векторов Yg^f таких,
что вектор-функция Ща)х? зависит от а?М ^-образом.
(б) Доказать, что для любой функции f^af(M) оператор фех(и>(/) определен (вместе
со своим сопряженным) на области 35 и переводит ее в себя. (Указание: из оценки G.124)
для (бозонных) операторов рождения и уничтожения следует, что фех(и> (/)<*' определены
(по замыканию) на области определения оператора VNK, где Nn — число частиц типа и;
так как NK<ni^P0, то фех(х) (/)(*> определен на 3). Из соотношения
U (а) фех«) (/)<*) ip = фех (и) (/й)<*> у (а) ?,
где fa(x) = f(x—a), следует, что фех(к> (/)<*> переводит 35 в себя.)
Из упражнения 13.10 следует, что выражения фех<х> (р) являются операторными обоб-
обобщенными функциями на области определения 3), причем для любой функции /(рь •••, рп)€
?f (Mn) оператор
переводит 35 в себя.
457
В следующем упражнении рассматривается связь амплитуд процесса
A3.57) и TCP-преобразованного процесса
xn+...+xk+1-*xk+...+x1. A3.59)
Упражнение 13.11. (а) Доказать закон преобразования для асимптотических полей
при ГСР-преобразовании:
вф'0<И> (х) в-1 = (-1)»/ipmФ°" (Н) (-*)• A3.60)
(ср. (9.62)).
(б) Доказать следующие соотношения (выражающие свойство ГСР-инвариантности
^-матрицы):
A3.61)
(обозначения те же, что и в формуле (9.64)). (Указание: воспользоваться равенствами A3.60).)
Наконец, третья аксиома обеспечивает использование аппарата функ-
функций Грина.
(-)
LSZ.III (существование Г-п р о и з веден и й). Т-произведения
Т (<p'?l) (xt).. • ф/?и) СО) являются операторными обобщенными функциями
¦умеренного роста, удовлетворяющими всем условиям A3.2). Результаты сгла-
сглаживания их с основными функциями являются операторами, определенными
вместе со своими сопряженными на области D (того же типа, что в ак-
аксиоме Уайтмана W.IV) и оставляющими ее инвариантной-
В следующем параграфе мы займемся следствиями из перечисленных
аксиом.
13.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ФОРМУЛЫ РЕДУКЦИИ
А. Асимптотические условия LSZ. Леман, Симанзик и Циммерман A955)
сформулировали асимптотическое условие в терминах слабой сходимости
для операторов *)
5 f (x)V0<pW (x) d3x, A3.62)
где f (х) — решение уравнения Клейна — Гордона в классе if (R3), т. е. имею-
имеющее вид
f(x) = J (e<P*h+ (p) + e-'Pxh_(p))^, A3.63)
/> /л?; A3.64)
входящие [сюда функции h±(p) принадлежат классу <^(/?3). Постулирова-
Постулировалось, что
lim (Ф, J f(x)d0yM(x)d3xl" *=(Ф, $ f (x)do(p^w(x)d3xY) A3.65)
на некотором плотном в Q множестве векторов Ф, W. Входящие сюда асимп-
асимптотические поля фех(К) удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона
ДООфехоо (Х) = (дцдР+пЪ) фех<и) = 0.
"Введем
/C2V*>(x) = /<*>(*); A3.66)
это так называемое токоподобное поле. С помощью асимптотического усло-
условия получается соотношение между квантовым полем ф (х) и асимптотиче-
*) В действительности выражение A3.62)f вообще говоря, требует сглаживания по пере-
переменной t, чтобы иметь операторный смысл.
458
скими полями фех:
Г d*y= A3.67a>
Г
(
f
J
—y)i{yi)(x)diy A3.676)
ret
где Df?v (x)—запаздывающая и опережающая функции Грина свободного
скалярного поля). Вычитая эти уравнения одно из другого, получим связь
между асимптотическими полями:
A3.68)
(где Dm(x) — перестановочная функция Паули—Иордана). Соотношения
A3.67), A3.68) называются уравнениями Янга — Фельдмана.
Следуя Хеппу A965а), мы покажем, как можно вывести асимптотическое
условие и формулы Янга — Фельдмана из аксиом LSZ. Для этого (с помощью
формул типа A2.6)) введем операторные обобщенные функции
i (Зоф(к'(х + г/)^3г/, A3.69),
т. е.
к
и положим, как обычно,
'<р*+"к)Ч ф(к,(р), A3.70),
при
Тогда по теореме 12.1 (Хаага—Рюэля) существует предел (в сильной топо-
топологии в Ж)
lim Ф» = Фех, A3.72)
где
п)|0>, A3.73)
(/„)|0> A3.74)
при условии, что }j€a?(GK ).
Упражнение 13.12. Доказать, что при fj(zof(M) выражение <01 ф'(К1' (Д)Х
Хф''И2' (/г)[0> имеет предел при /—^-^оо; если тг ф т2, то этот предел равен нулю.
(Указание: рассматриваемое выражение состоит из четырех слагаемых вида
I gl ( 1/> г(Р) ур(р)Р(р)йЛр, которые после интегрирования по р° записываются
в виде
е1 (± в. (Р) ± в, (р» < А (/>) deP) где
на основании следствия 12.9; далее воспользоваться известной теоремой Римана о преобра-
преобразовании Фурье интегрируемых функций; см. [ТЗ], т. 3, гл. XIX, п. 717.)
Лемма 13.3. Пусть fj^^(GKj), f?<SP(M). Тогда
lim ф< <*>(*) ф< (к,) (Д)... ф< (и») (/я) | о> =
= фех (и) ф фех(к1) (Д) . . . ф«<иЛ(/п) | 0> A3.75)
б слабой топологии в Ж.
•^ Обозначим выражение под знаком предела и правую часть A3.75) через Vе и ^Р6".
Вначале покажем, что вектор-функция Ч'* ограничена по норме. Для этого разложим
<\jr', -yt^ по уСеченнь1М вакуумным средним. Как и в доказательстве теоремы Хаага — Рюэля
(п. 12.2.Г), я-точечные усеченные вакуумные средние сл^З стремятся к нулю при t-—> оо.
Двухточечные вакуумные средние при t—> оо также имеют пределы (см. упражнение 13.12),.
459'
поэтому <4rf, У*> имеет предел и, значит, ограничено. Теперь достаточно доказать предел
* A3.76)
для векторов вида ф = Фех A3.74), поскольку такие векторы образуют тотальное множе-
множество в 5%. Воспользуемся тем, что Фех= lim Фе по норме; тогда равенство A3.76) будет
<->-=F<»]
следовать из предела!
lim <Ф*, ?*>—><©«, ?«>,
которое доказывается тем же рассуждением, что и доказательство существования предела
lim <xFf, Ч*1^ (т. е. разложением по усеченным вакуумным средним и применением упраж-
<-»-=Fco
«ения 13.12 к двухточечным вакуумным средним). >
Теперь мы исследуем скорость стремления к пределу в A3.72) в пред-
предположении, что носители fy попарно не пересекаются в пространстве ско-
скоростей, т. е. что
-^—Pi^-^—P/ ПРИ '^/« если P*€supp^, /=1, ...,n. A3.77)
В этом случае мы будем называть функции fy непересекающимися в про-
пространстве скоростей. Оказывается, для таких /у выражение под знаком пре-
предела в A3.72) отличается от правой части на величину 0A^-^), где N —
произвольное натуральное число. Точнее, справедлива следующая лемма.
Лемма 13.4. Для неперекрывающихся функций fly ..., /„ в простран-
пространстве скоростей, где fy ? &> (GK.), имеют место неравенства *) при всех N > 0:
\4г \(\+\t |)-^ A3.78)
{где cN<C<x>).
^ Разложим квадрат левой части A3.78) в сумму произведений усеченных вакуумных
средних. Как и в доказательстве теоремы Хаага — Рюэля, все одноточечные функции и все
произведения, содержащие только двухточечные функции, равны нулю. Поэтому следует учи-
учитывать только /-точечные усеченные функции с /^3. Типичное слагаемое может быть записано
в виде
ХД {^fe-^i^^yp,..^ A3.79)
где слу = (ох . В силу условия /5=3 общий случай сводится к одной из следующих трех
Возможностей: а) й^З, б) / — &s=3, B) k^\, l — k^\.
Остановимся подробно на первой возможности /С^З. Тогда для некоторой пары значений
/=1, 2, . . . , k знаки у ±Шу в A3.79) одинаковы. Для определенности мы будем предполагать,
что перед % и щ стоит знак «-)-» (остальные случаи совершенно аналогичны). Учитывая транс-
трансляционную инвариантность, мы можем переписать A3.79) в виде
Jld3py, A3.80)
где
F(p2, .... pi)
/=1 \ *Ш] / /=2
есть функция из <!f (R3<-t~1'>) (в силу следствия 12.9); более того, это функция из
*) Напомним, что при Af=3/2 неравенство A3.78) было доказано в п. 12.2.Г без предполо-
предположения о неперекрываемости. Из леммы 13.4 следует, что при неперекрывающихся скоростях
лредел Хаага —Рюэля A3.72) достигается быстрее любой степени \t\~x.
460
), так как f/?&) (Gx ); кроме того, мы положили
pj ;+co2(p2)+ 2
\/=2 У fc=3
Это гладкая функция от р2 pi- Так как fi и /2 не перекрываются в пространстве
скоростей, то
йй l'v ,1 1 1 , Л
2 /V + ^ °
едует
..., pi), т. е. тройка ^°°-функций а,- с суммой 2 а; э Ь что дп/др12 Ф 0 при (/;2, ..., />j) ?
^suppT-a,-. Тогда
вательно, функция
в точках носителя F. Отсюда следует, что существует такое разбиение единицы а,-(»2, ...
з
мой
i i
a,-. Тогда замена переменных р\—> Q регулярна в окрестности suppF-a,-, следо-
следоф
F(p2, ..., p,)ai{p2 Pi)eiQt Jldspf
принадлежит of (R) по переменной t при i=l, 2, 3. Отсюда следует, что выражение A3.79)
убывает быстрее любой отрицательной степени |?| при t—*¦ оо, что завершает доказатель-
доказательство оценки A3.78).
Случай (б) совершенно аналогичен (а). Наконец, рассмотрим случай (в). Из аксиомы
LSZ.I следует, что в области pi?GK имеем —^——wT(pi, ..., рп)=0, так что мы можем
ограничиться случаем знака «—» перед о^ в экспоненте A3.79). По аналогичной причин?
мы можем считать, что ± <x>i в A3.79) означает -)- coj. Как и в случае (а), мы записываем
<13.79) в виде A3.80), где теперь^
\
2 Pi 2
/=2 J fc=2
Так как fi (pi) и /j (pi) не пересекаются в пространстве скоростей, то
¦в точках носителя F. Дальнейшая аргументация та же, что и в случае (а). >
Векторы, которые могут быть записаны в виде A3.74) с функциями
fj?S)(Gx), не пересекающимися в пространстве скоростей,— это векторы
фоковского пространства Ж'т с попарно неколлинеарными импульсами ча-
частиц; здесь
i : ±p°>0, 0<p2<m;2}. A3.81)
Через Dlx (ex = in, out) мы обозначим множество линейных комбинаций все-
всевозможных таких векторов. Из определения пространства Фока релятивист-
релятивистских частиц (п. 7.3.А), очевидно, следует, что D3X является всюду плотным
пуанкаре-инвариантным подмножеством в 3?6ех = ,9?.
Оказывается, операторы А из полиномиальной полевой алгебры 9* (М)
можно определить (по замыканию) на векторах из D%*-. Имеем
A3.82)
поэтому положим
00
J ds V • /
t
-(аналогично определяется ЛФ'П). Воспользуемся здесь оценкой
A3.84)
461
По лемме 13.4 первый сомножитель в правой части этого неравенства убы-
убывает быстрее любой отрицательной степени \s\ при s—*-оо; что касается
второго сомножителя, то нетрудно убедиться (используя определение Ф5),
что он полиномиально ограничен по s. В результате Л-т-Ф* убывает
быстрее любой отрицательной степени \s\, и потому определение A3.83)
имеет смысл. В частности, если есть сглаженный моном типа (8.8), то,
уточняя оценку для Л*Л-т-
-т
(где с, /, т, L — некоторые числа), нетрудно видеть, что ЛФех—>-0 при /-^0
в У (М), т. е. что выражения типа ф/*1' (хх) ... ф^п) (х) можно рассматривать
как операторные обобщенные функции, определенные также на Dlx.
На этой основе можно теперь вывести асимптотическое условие LSZ.
Теорема 13.5. (а) Пусть Фех?^х и ff^^{GK) при /=1, ...,п.
Тогда имеет место предельное соотношение (в смысле сходимости по норме в Ж):
НШ (p'^ifi) . ¦ . ф' <*»>(/„) Фех = фех<и>>(/1) . . . фех(*п)фех A3.85)
t^tex
(tex =— оо при ex=in и tex=-\-oo при ex = out).
(б) Пусть Фехе^х, /6^(М), тогда
lim q>' <*> (/) Фех = фех <*> (/) Фех A3.86)
в слабой топологии в Ж.
¦^ (а) Для определенности положим ex = out. Согласно A3.83) имеем:
(/i) • • • Ф* (Ил) (tn)-^ Ф* |ds. A3.87)
Оценка типа A3.84) показывает, что подынтегральное выражение в A3.87) может быть мажори-
мажорировано функцией Cj{(\-{-\t\)L(\-{-\s\)-Nt где|? фиксировано, а Л' произвольно. Отсюда следует,,
что левая часть A3.87) стремится к нулю при t-+¦ +°°. Предельное соотношение A3.85) теперь-
следует из того, что (по теореме Хаага — Рюэля)
ф' (и'> (h) ... (р* (Ип) (/„) Ф* —* фои* <"»» (h) ... фои'(Ии) (/„) Фои1 при / —> + »
по норме.
(б) Оценка типа A3.87) дает
|| <р< W (/) фех- <р< («) (/) ф*Ц—^ 0 при t -+ fx.
По лемме 13.3 ф'<и) (/) Ф*—>¦ фех (и) (/) Фех при t ¦—> tex в слабой топологии, откуда сле-
следует A3.86). ^>
Замечание. Конкретный вид множителей (со ± р°)/2ьз в A3.70) в дейст-
действительности не очень существен; важно лишь, что (со-|-/?°)/2со равно еди-
единице на Г^ и нулю на Г^;, а (со—р°)/2со равно нулю на Г^ и единице на
Г~. В некоторых случаях удобнее пользоваться множителями с определен-
определенными свойствами носителя. Введем произвольную вещественную функцию»
Л(И) (р) из класса 6М(М) со свойствами:
cG+, Л(*>(/?)=1 при р° = ия
и определим (при / 6 У {Щ) операторы
ф<И) (/; 0 = S ф(к> W/ (*; 0 dr,
462
где
(~p)et{P + Ми lp))') f (p) dtp.
A3.89)
Повторяя почти дословно доказательство теоремы Хаага—Рюэля (п. 12.2.Г),
легко показать, что при f/?<SP(M) имеет место предел (по норме)
lim ф(И1)(/г. О • • • Ф(Ип)(/п; ОI °> = Фех(>tl) (/i) • • ¦ Фех(Ип)(/Л °>- A3.90)
Для основных функций f j ?D (GJ ); не перекрывающихся в пространстве
скоростей, вектор A3.90) принадлежит Щ*. Считая, что /у^^(Ж) и
Фех??>ох, мы получаем наряду с A3.85) предельное соотношение в топо-
топологии нормы:
lim Ф(И1>(/1; 0 ••• Ф(Ии>(/„; 0Фех = Фех(Kl>(/i) • • • фех(Ип)(/»)Фех- A3.91)
Б. Уравнения Янга—Фельдмана. Покажем теперь, что формально
написанные уравнения Янга—Фельдмана A3.63) также могут быть осмыс-
осмыслены как равенства на D%*\ при этом четырехмерные свертки понимаются
в смысле пределов (векторных обобщенных функций):
Г Л (x—y) j (у) d*y Ф = -lim \{^,^ог_тг1{Р) Ф dtp.
Теорема 13.6. При Фех??рх и т = тк выполняются уравнения
—Фельдмана:
in in ,ул in С ret in
фСХ) (д.) фои1 _ фои1 'фои1 _|_ ?)adv (х—г/) /<и> (у) Ф°^ ^«у. A3.92)
¦^ Мы ограничимся случаем ex = out. Произвольную функцию / ? tf (M) можно раз-
разложить в сумму f = fi-\-fz так, что supp/i (; GK, a supp/2 содержится в множестве
]р2 — т2\>а (а > 0). Обозначим
С помощью оценки типа A3.87) легко видеть, что
F @ —^ ф' м (h) ф*|—,-0 при t —>¦ оо
быстрее любой отрицательной степени t. С другой стороны, как следствие из доказатель-
доказательства теоремы Хаага —Рюэля
1 D"ф'<и> (W) ф*|'< const- (l+'tl)/2 •
поэтому
|| F @ || < const-A + | * |)~3/2- A3.93)
Отсюда получаем
¦ф(и) (/i)©out—фои1(>{)(/1)Фои1 = — lira [F(s)ds = — lim lira Je-e/F(Od< A3.94)
t-++a> Q E^- + 0 <^-+ oo Q
(первое равенство написано на основе теоремы 13.5, второе —на основе оценки A3.93)).
Воспользуемся определением F (t):
t
lira [e~esF(s) ds =
t -*¦ + 00 J
/ + O! J
0
Нетрудно видеть, что
463
при t —*¦ -\- оо в топологии <У (М), поэтому
t
о
Подставляя это в A3.94), мы видим, что уравнение A3.92) выполнено при сглаживании
с основной функцией /i (л:).
Поскольку
в топологии ^" (Л1), то имеем тождество
фсх) (/2)= J ?>ret (*-#) /(X) (у) /2 (л:)
Так как по построению носитель /г не пересекается с массовой оболочкой, то <р 'и' (/г)=0,
так что уравнение A3.94) выполняется также при сглаживании с /2 (х). !>
В. Частичные формулы редукции. Леман, Симанзик и Циммерман
нашли следующую интересную формулу, подсказанную теорией возмущений:
= »" П 8т; (Pi) S /С„ . . • #,„ <0 | Г (ф1 (*,) . . . ф„ (*„)) | 0> X
хПе'Уу П «"'"^^...dx, (I3.95)
1=1 /=А+1
(здесь импульсы pi^G^^, . . ., pn?G?n попарно неколлинеарны). Согласно
этой формуле вычисление матричного элемента оператора рассеяния между
двумя обобщенными векторами состояний с определенными импульсами ча-
частиц можно разбить на два этапа: вычисление преобразования Фурье ампути-
ампутированной *) причинной функции Грина взаимодействующих полей и сужение
полученного выражения на массовую оболочку. Обширный класс соотноше-
соотношений, в которых происходит подобная замена «частицы ->- поля», принято
вслед за Леманом, Симанзиком и Циммерманом называть формулами редук-
редукции. В этом пункте мы выведем некоторые важные для дальнейшего формулы
редукции, в которых переход от частиц к полям производится только для
части импульсов.
Сужение обобщенной функции F (р) из <?f" (M) на массовую оболочку
Г^ хорошо определено, например, в том случае, когда F (р) в окрестности
Г? можно рассматривать как обобщенную функцию от р, непрерывно зави-
зависящую от параметра Я = p°—w(p) (случай нескольких импульсов аналоги-
аналогичен). Вообще же операция сужения обобщенной функции F(p) на массовую
оболочку Г^ и эквивалентная ей операция умножения F (р) на б+(р) не
определены. Мы будем определять такое умножение посредством
b+(p)F(p)n-p)diP= Jim \STJPl~)ayf(P)'f(-p)dtp A3.96)
в том случае, когда предел в правой части существует для всех основных
функций f?af(G~) и зависит только от сужения / на Г^- Тогда мы будем
пользоваться для правой части координатным представлением
S 8m (P) F (р) ] (- р) diP=\F (х) и (х) d*x, A3.97)
где
A3.98)
*) Ампутированным Г-произведением называют выражение Кх, ¦ ¦ ¦ Кх„Т (ф (xj) ... ф (*„))
(аналогично определяются ампутированные ^-произведения и ампутированные функции Грина).
464
(разумеется, правая часть равенства A3.97) [сама по себе не определена»
так как и(х), вообще говоря, не есть основная функция, и формула A3.97)
выполняет роль определения). Аналогично определяются произведения F (р)
с б~(р), F (р)*с 2пг(ра)Ь(р2—т2) = &т(р)~—&т(р)- Умножение обобщенных
л
функций от нескольких импульсов на Ц &т-(рд (как в формуле A3.95))
выполняется последовательно по каждому импульсу; если не оговорено
противное, то подразумевается, что такое произведение не зависит от
порядка умножения.
Упражнение 13.13. Доказать, что данное выше определение произведения
2яе (р°) б (р2—т2) и (р2—т2) t (p) можно записать в виде
— [ 2я(е (р°) б (р2 - т2) {(р2 — т2) F (р)} 7 (— р) dtp = ( lira — lira ][F (x) f(x;t)dx,
A3.99>
где 7(р) 6<S"(GJ)-'
Также весьма полезным для вывода формул редукции оказывается
понятие существенного носителя основной функции. Пусть fx(x) есть функ-
функция из a? (Rn) по переменной х, непрерывно зависящая от вещественного,
параметра т, стремящегося к сю (случай нескольких параметров аналогичен).
Будем говорить, что существенный носитель основных функций /х при
т —>¦ оо сосредоточен в открытом множестве в с R", если
tN J F (x) fx (x) dx —>¦ оо при т —>¦ оо
для любого iV и для любой обобщенной функции F?a?"(Rn), равной нулю-
в б. Это понятие позволяет при вычислении предела lim \ Ft (x) f% (x) dx
% -*¦ 00
заменять с точностью до о (j~N) обобщенную функцию F1 (x) другой обоб-
обобщенной функцией F2(x), совпадающей с F1 (x) в 6.
Упражнение 13.14. Показать, что если Q s= Rn\Q есть канонически замкнутое
регулярное множество (см. дополнение А.2) и
1"Ш?,т-*0 прит-^оо
для всех натуральных I, т, то существенный носитель функций /х при т ->• оо сосредоточен
в 0.
Лемма 13.7. Пусть f, g€.aP(M), тогда существенный носитель функ-
функции f(x;t)g(y) при ^-^ + °° (соответственно при t—->¦ — оо) сосредоточен
в множестве К+ — {(х, у)? Ж2: х° > у0} (соответственно в множестве К~ =
={(х,у)еМг: ха<у°\).
^ Для любых полиномов Pi (x), Qi (д/дх) имеем *)
Pl {X) Ql {гх) l ( ^)
= У tl \ e~ipa «*"-'» и, (р)е
/ = о J
где L есть степень полинома Рх; %—некоторые функции из zf (М). Проинтегрировав по р°г
имеем также
^f(x- t)= 2 tl \ V'(P' х«-Ъе^рх-Ш)Ч3р,
где vi ? df (R4). Пользуясь оценкой типа A2.47) для решений уравнения Клейна —Гордона,
получаем следующую оценку при любом N > 0:
g)?(x; t)
t>0. A3.100)
*) Для определенности мы ограничимся случаем supp7c:G^; общий случай аналогичен.
465.
В результате для любых полиномов Ръ Р2, Qlt Q2 мы получаем оценки с любым N > L:
sup P1(x)P2(y) Qi C- ] Q2 ( т-*) f(x; t)g(y)
(х,у)еК- w zwvlV^y Мл"'
< Cjv sup
(x, i/N/C-
< См SUp
Таким образом, \\f(x; t)g(y)\\^ —>- 0 быстрее любой отрицательной степени t при t—*--[-оо,
откуда следует утверждение леммы. ^
В следующей теореме приведены редукционные формулы, используемые
при исследовании аналитических свойств амплитуд двухчастичных процес-
процессов, определяемых посредством
<о | Фои1 <*> GO фоц1 (Л) ф1п <*> (- р2) ф1п <*•> (- Л) | о>-
-<о I ф1п (к*> (р4) ф'п (Из) (р.) ф!п (И1) (- Л) ф'п (И2) (- Pl) | о> =
= 1BпLб(р1 + р2-р3-Р4)^г(И4КзИ2И1'(/'4, Р„ —Л, —рх), A3.101)
где pj^Gmj.
Теорема 13.8. Имеют место соотношения*) при Pj^G^;.
^O(pi< рз, — pt, —рг) =
A3.102)
- - й», Ы бт2 (Л) {(pl-m?) (pi-rnS Л (ф(»«.>(- р2); ф(«.) (
A3.103)
(х.) (_Л)фШ(х.)(_piI0> = 6+, (Pl) {(pl-ml) (pt-mt) A ($(«•) (-р2);
}. A3.104)
-^ Пусть f/ё^" (би.) пРи / = 3> 4.'и Ъ€<У (QZ) ПРИ /'= 1. 2; тогда имеем по опре-
определению
яLб(р1 + р2-Рз-Р4)#*(Р4, Рз. — Р2. — Pi)h{— рдГз(— Рз)Х
Х/2 (р2) 7i (Pi) ^Pi1- • • 4Р4 =
lira - lira Л цт Г <0 | q> (/4) q> (*) Ф D0 Ф (/i) I 0>/3 (*; s)f2(y; t)dxdy. A3.105)
-^+co S-+ -а> / t_)__a3J
Воспользуемся леммой 13.7 и тем, что
Ф (дг) ф (у) = — М (ф (х); ф (у)) ± ф (у) ф (*) при л:0 > у°.
В результате можно записать
) ^ lira (- 0 J <0 | Ф (h) А (Ф (*); Ф (у)) <р (Д) | 0> /, (х; s) /, (у; t)dxdy ±
±<0|ф!п(/4)ф'п(/2)(фои'(/з)-ф!п(/з))ф1п(/1)|0>. A3.106)
Учитывая носитель /3. имеем
<01 ф'п (h) Ф1п (/2) = <0 | Ф1п (/«) Ф1п (f2) I 0><0 |,
так что второе слагаемое в A3.106) равно нулю; в первом же слагаемом по лемме 13.7
lira можно заменить на lira — Mm . Упражнение 13.13 позволяет теперь записать
<->- —оо t-*- — on t-*-+a>
равенство A3.105) в виде
i^ Bл)* 8 (pi+рц—p3~P4)Jr(P4, Рз. — Р2, — PiOi(— Pi)F3(— Рз)/г(Р2)Х
X?i (pi) diPl ...diPi = i^ 8+2 (p2) б+з (ps) {(pi—ml) (pi - m|) X
X<0 | ф~(р4) Л (ф (p3); ф (—р2))~ф (— pi) I 0>} /4 (_ р4Oз (— Рз) h (Pa) fi (Pi
*) В 13.104) можно считать, что
466
Докажем теперь формулу A3.103). При ]j?djP (<3J.) имеем
.)
и* (- й) Ф°и* (- Pi) - ф'" (- Рг) Ф1п (~ Pi)} I 0> Г» (ft)
= ( lim — lim (lira \ ф (*) y'Jy) | 0> /2 (x\ s) h (y; t) dx dy. A3 107)
\ s -> + со s -*¦ — a> J t -+— со ^
Воспользовавшись леммой 13.7, мы можем переписать правую часть в виде
lira —lira lim (— i) \A((p(x); ф (у)) | 0>/2 (x; s) fy (y; t) dxdy ±
S->+CO S ->— CO / t -> — CO ^
± f lim — lira "\ lim ^ ф(г/) Ф W | 0>/2 (л:; s)/x ({/;/) ^ dy.
\s->-+co s->-—со/ ^-»-—со J
Второе слагаемое здесь, очевидно, равно нулю (так как \ ф (л:) /2 (х, s) dx | 0> не зависит
от s ) , а в первом слагаемом мы можем (по лемме 13.7) заменить lim на lira — lim .
/ t -»• — со t-+— со t ->- + со
В результате (с учетом упражнения 13.13) A3.107) записывается в виде
- i J 6+t (pi) б+2 (р2) {(p!-mf) (pl-m22) Л (ф (-р2); ф (_Р1)) | 0>} f2 (Pl) h (p2) diPl
что доказывает A3.103). Наконец, для доказательства A3.104) сгладим правую часть с функ-
функциями 7i€<5" (p^),h€SP (GXl):
^ 7 (- Р2) Ф1п (-Pi) I 0> h (Pi) h (Pi) dPi dp2 = lira \ Кяф (x) ф (*,) | 0> h (x) h (У, t) dx dy.
•> t->-— oo J
Опять с помощью леммы 13.7 это выражение преобразуется к виду
lira (- 0 \ КхА[(<р (х); ф (у)) /2 (*) /, (у; 0 dxrfy ± lira ф (/ь <) / (/2) | 0>.
Второе слагаемое здесь равно нулю в силу того, что
7(И)(— Р)|0> = 0 при р2<т'>? A3.108);
(согласно аксиоме LSZ.I). В первом же слагаемом lim может быть заменено на lim —
? -> — со t ^*- — со
— lira . В результате мы приходим к формуле A3.104). >
t -*+ со
Теми же рассуждениями доказывается следующий результат.
Упражнение 13.15. Показать, что если Фех, Y^^Do31, то справедливы следую-
следующие редукционные формулы (в смысле обобщенных функций по р, pi, ..., рп)'-
<<D0Ut, {ф°и1 (рп) Т (ф„_1 (Pn-i) ... «pi (Pi)) Т Т (ф„_! (р„_х) ... ф! (рО) Фп" (р„)} Т1п> =
A3.109)
<Ф!п, [ф^п(р„), ^(Ф„_1(Р„-1)...ф1(Р1); ф(р))]тЧг!п> =
= -2ле (р«) б U-m2) {(p2n-m2n) <Ф1п, /? (ф„ (рп) ф„_! (р„_х).. .фх (Pi); ф (р)) ^in>},
A3.110)
<Фои\ [фпи'(р„), Л(ф„_г(р„_1) ...ф\(й); ф(р))]тгРои*>=-2ле(р°)б(р2г-т^)х
х{(р^-т„)<Фои1, Л(ФлЫф»-1(Р«-1)---Ф1(л); ф(р))Т°и1>}- A3.111)
(Здесь, например в равенстве A2.109), подразумевается, что ф (f) действует слева на
«бра-вектор» Фои*.)
Г. Редукционные формулы для матрицы рассеяния. Перейдем теперь к ре-
редукционной формуле A3.95). Она получается многократным последовательным
применением формулы A3.109). Попарная неколлинеарность импульсов су-
существенно облегчает переход на массовую оболочку. Для получения резуль-
результатов относительно поведения преобразования Фурье ампутированной при-
причинной функции Грина нам понадобится следующая лемма.
Лемма 13.9. Пусть tt, ..., tn—вещественные переменные, пробегаю-
пробегающие сектор t1 = ts= max \tj\, и пусть основные функции Д ? S) (GJ .) имеют
непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Тогда существенный
" (-
¦носитель основной функции *) JJ /y- (x/t tj) при t —>¦ оо сосредоточен в мно-
жестве
6={(х1...хп)еМ": x1—x/?M\U при / = 2, ...,п}, где U={x^M:
х°^р\х\} (р—произвольное фиксированное число из интервала 0<р< 1).
Достаточно показать, что
п
sup
¦ 0 при t —>¦ oo,
;=7 \axi<
где Pj и Qj — произвольные полиномы и k = 2 п. Для определенности мы рассмотрим
случай п = 2. Так как для функций //(*/; tj) имеют место оценки типа A3.100), то, оче-
очевидно, достаточно показать, что
tL sup \F(xu x2; h, t2) | A3.112)
стремится к нулю при t —>- оо для всех натуральных L, где
2 ,
F(xlt x2; h, h)=JlPJ(Xj)Qjl
i=i >
Рассмотрим вначале случай t —1% > r\t (^^max{|/i|, \t2\} = t{), где i]—фиксирован-
i]—фиксированное положительное число. В этом случае оценка типа A3.100) позволяет мажорировать
A3.112) выражением вида
при некотором М и любом Л'; здесь использовано, что х\—х\ > 0 и /2 — h >Ц*.
Теперь мы будем считать, что t —12 < r\t, где ¦»] — положительное число, которое будет
зафиксировано ниже. Пусть К/ есть окрестность множества {(В//»^: pj g supp /}}, /=1, 2. Со-
Согласно условию леммы Кг и /Са можно выбрать непересекающимися ограниченными множе-
множествами; более того, можно считать, что существует такое положительное т) из интервала
0 < tj < 1, что расстояние между множествами Ki и аК% при всех т) < а < 1 превосходит
некоторое положительное число г. Результат упражнения 12.10 позволяет усилить оценку
A3.100):
P(^f | || U|*" при х;-ф tjKj.
Поэтому, если дополнительно считать, что в A3.112) либо Xi^hKi, либо хъ$-1?,Кг, то тре-
требуемая оценка становится тривиальной. Остается рассмотреть случай ^tK ^t^K
%l
Тогда |л;2—Xi\^srt и (так как Xi~x2^U) х%—xl^prt, где р и г —фиксированные числа.
¦•Опять для F имеем оценку типа A3.113), что завершает доказательство. >
Основной результат настоящего раздела формулируется следующим
•образом.
Теорема 13.10. Ампутированная причинная функция Грина в импульс-
п
ном, пространстве Ц(—р) + т))т(ри ..., ри, —Pu+i, •••. —рп) стано-
вится ^""-функцией по переменным р)—со1( ..., р°п—со„ в окрестности начала
координат после (замены переменных р)—>-/?/—со^ и) сглаживания с произ-
произвольной основной функцией ty(pt, ¦¦¦, рп) из ?D(df), где
«Л1 - {(Рг, ••-,/»„)€ ^3": ^PjФ ЩхРи при \ФЩ. A3.114)
Для попарно неколлинеарных импульсов ри ..., pn€.V+ амплитуда рассея-
рассеяния связана с причинной функцией Грина соотношением
A3.115)
*) Здесь f/ есть либо fj, либо ~fj.
468
-^ Как уже отмечалось, формула редукции A3.115) получается многократным приме-
применением формулы A3.109). Остается доказать, что обобщенные функции
I
П (р?-«?)<°Iq?out(pi)--• 4>out (/»*)г(ф(±p*+i)--Ф(±л))ф1п(-л+i)• • -ф1п(-/>»)i;°>
A3.116)
являются классами %°° по pt+i — Wft + i, • ••> рЧ — Щ в окрестности нуля после интегриро-
интегрироp ft + i рЧ Щ р у рр
вания с основной функцией г|з(/>ь ..., рп) из ® (оАГ) и интегрирования пор", ..., рь ...
> •• -S Рп- Достаточно ограничиться случаем, когда г|) (pi, • ¦ ¦, рп) имеет вид произве-
дения Ц'ф/ iP/)- (Действительно, существенно только свойство носителя, и общий случай
не намного сложнее: если носитель г|) содержится в прямом произведении множеств, не
пересекающихся в пространстве скоростей, то доказательство совершенно аналогично; общий
случай сводится к этому подходящим разбиением единицы в dp.)
Доказываемое утверждение означает, что выражение
/ (<*+i U) = 5 <ф°и' (/*) • • • ф°и' (к) То, Т (Ф (**+1).. .ф (*,)) Ф1п (fl+i). ¦ У" (/„) Yo> X
I
X II ,-^- /"/(•«/; tj)dxj A3.117)
¦является основной функцией класса ?f (R) по переменным t^+i, ••-, ^г. если носители
функций fj^®(Gj.) не пересекаются в пространстве скоростей. Поскольку все производ-
производные по tj от бесконечно дифференцируемой функции A3.117) вновь имеют вид A3.117), то
достаточно показать, что при любом натуральном Л'
tNI (tk+i, ..., t{) —*- 0 при t = max | tj | —>- оо .
Для определенности рассмотрим сектор tj,+i = t (остальные секторы совершенно анало-
1 (-)
гичны). По лемме 13.9 существенный носитель функции Ц fj (xj\ tj) при t —>¦ оо со-
сосредоточен в множестве
C = {(я"?-ь1 ^;)^-Л1 . Xfc+i—XjtfzU, / = &-]-2, ..., /|.
Тогда с точностью до членов o(t~N), где Л' произвольно, мы можем в A3.117) заменить
() р, ()
T(<p(Xk+i).. .ф (xi)) на ф (%+i) T (ф (л/г+г)" -ф (•</)). так как оба выражения совпадают в Q.
Остается доказать, что выражение
XT (Ф (хЛ+1).. .Ф (Xl)) Ф1п (Jl+1).. .ф!п (fn) ?0> П JL / . (х, tj) dxj A3.118)
/=% l dr/
убывает при /—>¦ оо быстрее любой отрицательной степени t. Неравенство Шварца позво-
позволяет мажорировать модуль A3.118) выражением
¦§t (J ф
х
\ Т (ф (**+,)... ф (хп)) П 7/W:
Как следует из доказательства формулы A3.85) (или ее аналога — формулы A3.90)), первый
сомножитель в A3.119) стремится к нулю быстрее любой отрицательной степени t\ второй же
сомножитель полиномиально ограничен по t. В результате A3.118) убывает быстрее любой от-
отрицательной степени t. >
Обратим внимание, что через одну и ту же функцию Грина выражаются
амплитуды различных реакций (называемых каналами, ассоциированными
с данной функцией Грина). Например, через четырехточечную причинную
функцию Грина т<х»"-х*)(р1, ••-.pj выражаются амплитуды шести элемен-
элементарных процессов
*/ + хЛ--х; + хв, A3.120)
469
где (/, k, I, tn) есть перестановка чисел 1, 2, 3, 4. Это обстоятельство лежит
в основе перекрестного соотношения (т. е. связи посредством аналитического
продолжения между амплитудами, скажем, каналов щ-^-у^—*Из + и4 и
>{1 + >сз~*}С2 + }С4. возможно, отличных друг от друга и не связанных между
собой обычной симметрией типа СРТ и т. п.). Как мы видели в п. 7.3.Е,
кинематику процессов A3.120) удобно описывать инвариантными перемен-
переменными s, t, и G.181), где импульсы пробегают массовую оболочку процес-
процессов A3.120):
/>1 + />2 + Рз + /?4 = 0, A3.121)
Р;-еГ±., /=1, ..., 4. A3.122)
Роль квадрата полной энергии в системе центра масс процессов
*1 + *2—>¦ *3 + »«4. У>1 + У-3 — * Х2 + *4> *1 + *4 —>- *2 + «3 A3.123)
играют соответственно переменные s, /, и, поэтому эти процессы (или ТСР-
преобразованные процессы) называют соответственно s-, t-, и-каналами.
Из теоремы 13.10 следует формула Циммермана A959) об одночастичных особенностях
причинной функции Грина.
Упражнение 13.16. Доказать, что для попарно неколлинеарных импульсов р1г ...
..., рп в окрестности массовой оболочки р) — т?\ имеет место равенство
t(pi р„)= lim П (Р/~т/ + 'е)Ш (р/-«/)т (Pi, ¦¦¦,Pn)\ A3.124)
(причем выражение в фигурных скобках зависит ^"-образом от pi ± coj, , рп ± а>п
в окрестности нуля). (Указание: пусть носители J/?@)(G?.) попарно не пересекаются
в пространстве скоростей; тогда при 1<&< п функция
k п
F(tu ...,/,)= т (Х1 хп)Л fj (xj; tj) J[ fj (xy, - tj) dXl ... dxn
J /=i /=ft+i
Qn
является функцией класса ^°°, a -^ — F (ti, ..., ^n)e^<'(^"); кроме,того,
) = 0 (при
Получить отсюда формулу
CD CD
F@)= lim (-1)" [dh... [dtne~^+---+t^ d" F{h,...,tn)
о о
и привести ее к виду
F@)= lira С т (рь ¦ ¦., Pk, Pk+1, ¦ ¦ ¦, Рп) Д 2P/~f/ , /}(-Ру) Д /У~т/. X
xJ/(P/)diPi... d4pn.)
Физически интересны реакции, в которых две частицы переходят в не-
несколько частиц. В этом случае амплитуда рассеяния может быть получена
переходом на массовую поверхность в преобразованиях Фурье опережающих
функций Грина. Возможность такого перехода обусловлена следующей тео-
теоремой, которая доказывается так же, как и теорема 13.10 (теперь используется
формула A3.111), а также A3.103)).
Теорема 13.11. Ампутированная опережающая функция Грина &
импульсном пространстве
п
П (—p2j-\-mj)~a<*"-----*J(pn, ..., р3, —р2; —Pl)
i-'
470
принадлежит классу #~ по р)—со,- после интегрирования по ри ...,рп
с основной функцией из S)(Jf) (Jf определено формулой A3.114)). Для про-
процесса %1-\-%2—+Х.З+ ¦ • • +^„-2 в области попарно неколлинеарных импульсов
частиц справедлива формула редукции
<01 фои' С») (Рп) ... Г с.» (Рз) фЩ ш (— Рг) ф1" ««о (—Л) | 0> =
(Р/-т/)«('<"-;К1)(/'л. .-.. Рз, -л; -л)}. A3.125)
Последовательное применение формул A3.110), A3.111) позволяет получить формулы ре-
редукции для матричных элементов поля, а также для запаздывающих и опережающих произве-
произведений. В частности, матричные элементы запаздывающих произведений между in-состояниями
выражаются через запаздывающие функции Грина (r-функции). Это позволило Глазеру, Ле-
ману и Циммерману A957; см. также Штейнман, 1968) переформулировать теорию LSZ в терми-
терминах одних /--функций.
Глава 14. S-МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
14.1. S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ^ТРЕБОВАНИЙ
ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
А. Понятие расширения 5-матрицы за массовую оболочку. Специфическим
вариантом теории LSZ является S-матричный метод, предложенный в работах
Боголюбова, Медведева и Поливанова. Он представляет собой развитие пер-
первоначальной идеи Гейзенберга A943), согласно которой содержание реляти-
релятивистской квантовой теории может быть изложено на языке S-матрицы. Возник
S-матричный метод на пути обобщения лагранжевой квантовой теории поля
(хотя в нем отсутствует какое-либо упоминание о лагранжиане). Он исходит
из допущения некоего более первичного объекта, чем гейзенберговы поля и их
Т-произведения (являющиеся основными понятиями формализма* LSZ). Роль
такого фундаментального объекта выполняет расширение S-матрицы за мас-
массовую оболочку, на базе которого уже строятся квантовые поля и их Т-про-
Т-произведения. В S-матричном методе значительно упрощается вывод формул
редукции (аппарат формальных вариационных производных превращает
вывод разнообразных формул редукции в автоматическую операцию). Другая
существенная черта S-матричного метода — это то, что он хорошо при-
приспособлен для трактовки динамических уравнений квантовой теории поля
(см., например, [31]).
Перейдем к изложению S-матричного метода. Прежде всего постули-
постулируется, что оператор рассеяния S является унитарным пуанкаре-инвариант-
ным оператором в фоковском пространстве <?> некоторой системы свободных
релятивистских частиц (типа п. 7.3.В); для определенности ^ отождеств-
отождествляется с гильбертовым пространством падающих частиц. В 1$ действует не-
неприводимая система (уайтмановых) свободных (или in-) полей ср1п (и) (х) с ка-
каноническими перестановочными соотношениями (при нормальной связи спина
со статистикой)
!(*-0) A4.1)
и с двухточечными функциями типа A3.52)
<01 ф]п (и> (*) q>|? (и'> (у) 10> = 'y Dip <**'> (х—у). A4.2)
Как обычно out-поля связаны с in-полями формулой
cpoutKx) (х) = SVn <и) (х) S. A4.3)
?)$/"'' (х—у) есть лоренц-ковариантное решение уравнения Клейна—Гордона с массой
т=т,у. > 0; оно представимо в виде
D№'>(x-y) = Q№> (™/^) Dm(x-y), A4.4)
<14-5а>
где Q/f-*'' ( —г'л~)—лоренц-ковариантный полином по д/дх со свойствами*)
*) Равенства A4.5) сбеспечивают нужное свойство (анти)симметрии (анти)коммутатора
A4.1) и свойство сопряжения для двухточечной функции A4.2). (По поводу явного вида ко-
вариантов Q(xx'>(p) см. дополнение Ж, например ковариантное разложение (Ж-4).)
472
(где F<5O = 0 или—i в зависимости от того, является ли поле ф1п(И) бозонным или ферми-
онным),
A4.56)
D\P (ки> есть отрицательно-частотная часть ?>г?'И):
D\p (ии'> (x—y)r= Qff."'* (~»gj) Dm' (x-y). A4.6)
Аналогично определяются:
-У), A4.7)
-У), A4.8)
ret (ии') / Л \ ret
р ([)»Jv(x-y). A4.9)
Будем говорить, что задано расширение S-матрицы за массовую обо-
оболочку, если определены формальные (левые) вариационные производные
^-матрицы по асимптотическим in-полям
ЬЦи •. • in (Хл х) A4 10)
(*i) ... д(р\пп^п> (хп)
удовлетворяющие перечисленным ниже условиям. Предполагается, что A4.10)
является операторной обобщенной функцией по х1г . . ., хп (с областью оп-
определения в фоковском пространстве ?>). Выражение A4.10) симметрично
по переменным бозонных полей и антисимметрично по переменным фермионных
полей; оно называется бозонным (соответственно фермионным) оператором,
если набор <piniKi\ . . ., ф'М*") содержит четное (соответственно нечетное)
число фермионных полей.
Далее, предполагается, что преобразование Фурье от A4.10) допускает
сужение на массовую оболочку по импульсу pj, сопряженному к любой из
переменных х} (например, с помощью процедуры сужения обобщенных функ-
функций на массовую оболочку, описанной в п. 13.2.В). Задание такого сужения
выражается в координатном пространстве сверткой с перестановочной функ-
функцией Dmj{Xj). Таким образом, предположение о существовании сужения на
массовую оболочку, скажем, по ри мы записываем в виде существования
свертки
t(Xi хд in и , ,п и6 ,п х dxj A4.11)
Для вариационной производной A4.10) постулируется правило, связываю-
связывающее сужение ее по импульсу, скажем, ри на массовую оболочку с вариацион-
вариационными производными более низкого порядка; а именно, имеет место следующая
формула коммутации:
«Pi
где, как обычно, знаки + расставляются в зависимости от «статистики» опе-
операторов. Это соотношение лежит в основе формул редукции S-матричного
подхода (см., например, ниже упражнения 14.4 и 14.10).
Эквивалентный способ трактовки расширения S-матрицы за массовую
оболочку достигается введением производящего функционала для оператор-
операторных обобщенных функций A4.10), который мы назовем S-матрщей, расши-
473
n-0
репной за массовую оболочку:
? \ -*">b-~b(Xu _ xn)dxx...dxn.
A4.13)
Это формальный ряд по классическому полю %(х) с операторными коэффици-
коэффициентными функциями. Как и в случае классического источника ц (х) (п. 13.1.А),
бозонные компоненты х\м (х) классического поля (которые можно считать
обычными функциями, скажем, из класса $(ю, определенного в следующем
пункте) коммутируют со всеми компонентами классического поля и со всеми
операторами, в то время как фермионные компоненты классического поля
(являющиеся просто символами) антикоммутируют между собой и с фермион-
ными операторами *). Пользуясь теми же правилами вариационного диффе-
дифференцирования, что и в п. 14.1.А, мы можем записать формальные вариацион-
вариационные производные S-матрицы через обычные вариационные производные функ-
функционала 5(х):
^ 6"S(X)
При этом, разумеется, имеет место «начальное условие»
S(X)|X=O = S. A4.15)
Удобно пользоваться также формальным рядом
&(X) = S*S(X); A4.16)
для него «начальное условие» принимает универсальный вид:
Расширение за массовую оболочку сопряженного оператора S* к 5-мат-
рице определяется формальным рядом
A4.18)
где сопряженное классическое поле %+ определено равенством
vt (И) (х\ v<*>(x\ Л 4 1Q4
А1 \л)—Л~ \л) (It. IV)
(ср. с соответствующим определением A3.29) сопряжения для классического
источника г](х)). Для формальных вариационных производных от 5* па
in-полям имеем
A4.20)
В дальнейшем следует различать соотношения «вне массовой оболочки» и «на массовой
оболочке» между операторами S, 5* и их формальными вариационными производными. Соот-
Соотношения «вне массовой оболочки» — это фактически тождества между формальными рядами
по классическому полю %; только такие соотношения допускают дальнейшее дифференцирова-
дифференцирование по асимптотическим полям. Соотношения «на массовой оболочке» — это обычные оператор-
операторные равенства (или соотношения, справедливые при подстановке х=0 в формальные ряды по
X). Таким образом, придерживаясь сложившейся традиции, мы здесь используем термины «вне
массовой оболочки» и «на массовой оболочке» в переносном смысле**) (в отличие от буквального-
*) В этой связи см. примечание на с. 452.
**) Мотивировкой такого словоупотребления опять же служит формула коммутации A4.12)
(так, в случае одного скалярного поля она показывает, что дифференцирование по асимптотиче-
асимптотическому полю с последующим переходом по импульсу на массовую оболочку сводится к взятию
коммутатора, т. е. к выражению с «обычными» операторами).
474
употребления, например, в п. 13.2.В). Разумеется, не всякое соотношение «на массовой оболоч-
оболочке» справедливо «вне массовой оболочки». (Примером соотношения, выполняющегося только
«на массовой оболочке», служит приведенное ниже соотношение A4.35).)
Имея в виду правила A4.14), A4.20) сведения формальных вариацион-
вариационных производных по асимптотическим полям к обычным вариационным
производным по классическим полям, мы можем определять более сложные
производные по обычным правилам. Например, формула
б /^ 65 \_s, 6«S 65* 65
6cpin .(*) V , бФ'п (у) J бф1п (x) 6cpin (у) бф1п (x) бф1п (у)
есть другое выражение тождества
б / „„ 65 (х) \ о., , 625(Х) 65* (Х) 6S fa)
V ш ) о и; 1
Приведем еще некое пояснение к определению расширения S-матрицы за массовую обо-
оболочку. Из теории вторичного квантования известно (см. [Б4] и Березин, 1967), что всякий ли-
линейный ограниченный оператор в фоковском пространстве § можно разложить в ряд по нор-
нормальным произведениям операторов рождения и уничтожения. В частности, S можно предста-
представить в виде
5 = Е„Т( Б а<*. ¦¦•*»>''¦¦•'»(-*, ....~Р„)Х
n = 0 J и, ... ил
U ¦¦¦ In
X:^(Kl)(Pi) ... Ф}™ (Pn):dlnP. A4.21)
(Во всяком случае ряд S = 2^n сходится в смысле сходимости матричных элементов
п
2 <чФ> 5„ЧГ> между финитными векторами Ф, Т фоковского пространства ij, так как конеч-
п
ное число членов ряда J>j <Ф, Snvf> отлично от нуля.) Поскольку преобразование Фурье
п
свободного поля ф(и) (р) содержит 6-функцию 6(р2—т2), то коэффициентные функции
0(pi, ..., рп) существенны для этого разложения только на массовой оболочке p2j = m.j.
Однако предположим, что эти коэффициентные функции тем или иным способом продолжены
за массовую оболочку и являются обобщенными функциями умеренного роста в Мп; тогда
выражение A4.21) можно формально переписать в ^-пространстве:
s=L 5"\ Б ^ ¦ ¦'Ии) h ¦' ¦'"(Х Х):ф"(Xl) {X) ф<
L 5"\ Б ^ ¦ ¦'Ии) h ¦' ¦'"(Хъ • ¦ ¦ •Хп):ф'"(Xl) {Xi
n=0 ' J и, . . . яп
"" Л . . - In
Мы можем ввести теперь S-матрицу, расширенную за массовую оболочку:
J
(^ ^'Ы):^!---^, A4.22)
где х — классическое поле. Правило A4.14) позволяет теперь вычислять формальные вариа-
вариационные производные S-матрицы по асимптотическому полю. Однако ввиду сложности трактов-
трактовки областей определения (рядов) операторов на этом языке, мы рассматриваем приведенную
конструкцию лишь как наводящее соображение.
Б. О выборе класса основных функций. Предположение о существовании
сужений на массовую оболочку преобразований Фурье формальных вариа-
вариационных производных A4.10) (которое занимает столь важное место в S-мат-
ричном подходе) можно учесть автоматически подходящим выбором прост-
пространства основных функций. Рассмотрим подробно формальную вариационную
производную 65/бф<И) (х). Для нее должны быть определены результаты
Г* so
сглаживания I———u{x)dix с решениями и(х) уравнения Клейна — Гордона
J W (*)
475
вида
u(*)=$A^(x-0)/(y)d«0, где f?<SP(M). A4.23)
(Действительно, в р-представлении определение такого сглаживания равно-
равносильно определению произведения с обобщенной функцией б(/?2—т?) или
сужению на массовую оболочку.) Естественно поэтому допустить, что прост-
пространство основных функций, над которым задана операторная обобщенная
функция 8S/6{pW) (x), шире, чем of (M), и содержит, в частности, решения
уравнения Клейна — Гордона вида A4.23). В качестве такого пространства
удобно выбрать пространство Згт, определяемое следующим образом: функ-
функции и(х) = и(х°, х) из <F<W являются комплексными функциями класса SP(R3)
от вектора х, зависящими ^"-образом от х", причем
КТ и (х) = (д^д* + ml) и(х)е<У (М). A4.24)
Ясно, что так определенное пространство ?<и) удовлетворяет приведенным
выше условиям.
Упражнение 14.1. (а) Доказать, что всякая функция и (х) из |Г<И> однозначно
представима в любой из следующих форм:
и (х) = ит (х) + J Dr? (х-у) f (у) dy = uout (х) + J D^v (х-у) f (у) dy, A4.25)
где т = т.х > f = Kxi)u^^P(M), а иех (х) является фундаментальным решением уравнения
Клейна —Гордона класса*) tf (Я3), причем
uout
J Dm (х-у) f (у). A4.26)
(Указание: рассмотреть разность между и (х) и функциями, определяемыми свертками
в A4.25).)
(б) Доказать, что всякая функция из JF°° представима (неоднозначно) в виде
и (*)= J D™1 (x-y) fW (у) dy+^ Dadv {х-у) /(« (у) dy, A4.27)
Указание: представить и'п (х) в виде \ D(x— y)h(y)dy с h^^f (M).
Из представлений A4.25) видно, что 3~{т изоморфно прямой сумме
uf (М)ф^ (/?3)©'<5" (R3)', с помощью этого изоморфизма на <F<W определяется
топология (пространства Фреше). Эквивалентным образом топология на W(и>
может быть определена как индуктивная топология относительно отображе-
отображения zf {M)^zf (M)—>-qF(W (сопоставляющего по формуле A4.27) паре функ-
функций fw, /(a) функцию и).
Теперь требование о существовании сужения операторной обобщенной
функции \ eipx к ,ю, ч d*x на массовую оболочку р2 = т^ мы заменяем усло-
КС ^ W
вием, что . ш, . есть операторная обобщенная функция, определенная на
пространстве <F(>" основных функций.
Аналогично для формальных вариационных производных более высо-
высокого порядка следует ввести пространство §г(и1---и") комплексных функций
u(xlt ..., хп), которые принадлежат W J по каждой из переменных х/,
точнее, такие функции допускают представление
ret ret
«(*!, •••,^) = 2 •••2 №?{x1-y1)...D%(xn-ya)x
ret ret
adv adv
xfr-'-'-'Uyi, •••• yn)dy1..-dyn A4.28)
<-r. . .r\
с произвольными f\a- ¦ -a' ?aiP (Mn) (топология на (F(x»-••¦*"> определяется как
индуктивная топология). Итак, мы постулируем, что формальные вариацион-
*) Это означает, что и(х), дои (х) ^{f (й3) по вектору х при любом фиксированном х°.
476
ные производные A4.10) определены над пространством <F<*i-• ¦ х«) основных
функций.
В. Аксиомы S-матричного подхода. Не всякое расширение S-матрицы
за массовую оболочку представляет интерес с точки зрения локальной'
квантовой теории. Ниже перечислены требования, которым должно удов-
удовлетворять интересующее нас расширение.
S.I (Постулат релятивистской квантовой теории столк-
столкновений). В фоковском пространстве 1q системы свободных (падающих)
релятивистских частиц действует (конечный или счетный) неприводимый
набор свободных уайтмановских полей (in-полей) <pin m (х) с каноническими
перестановочными соотношениями A4.1) и с двухточечными функциями
A4.2). В & определена S-матрица—унитарный пуанкаре-инвариантный
оператор, оставляющий инвариантным вакуумный вектор, а также векторы
одночастичных состояний*).
S.II (Расширение S-матрицы за массовую оболочку).
Существует формальный ряд S(%) A4.13) по классическому полю %(х) с опе-
операторными коэффициентными функциями, причем выполнено «начальное
условие» A4.15). Коэффициентные функции Я<и>- ••*"> h---in (Xl, ...,xn) явля-
являются операторными обобщенными функциями над соответствующими про-
пространствами ёПИ1---*и) основных функций. Будучи сглажены с основными
функциями, они являются операторами, определенными на некотором Пуан-
Пуанкаре-инвариантном линейном подпространстве D, плотном в ^р, и прини-
принимающими значения в D = SD; сопряженные операторы действуют из DeD.
Предполагается также, что пространства D и D входят в область опреде-
определения замыканий операторов ф'п(и>(/), <p°ut(W(/), заданных первоначально
(при f ? of (М)) на соответствующих финитных векторах in- или out-со-
out-состояний.
S.1II (Пуанкаре-инвариантность расширенной S-мат-
S-матрицы).
U (a, A)S(x)U(a, A)^ = S(^a, л>) при всех (а, А)?%, A4.29).
где
(Х(». л)Г (х) = S V&> (Л) %?> (Л (х-а)).
S.IV (Расширенная унитарность).
S*(X)S(X) = 1. A4.30)
S.V (П ричинность, или микропричинность).
©(Xi + X*) = ©(Xi) ©(%»). если**) supp Xl э> supp уц A4.31)
(S(x) связано с S (%) формулой A4.16).)
Подобно аксиоме Уайтмана W.IV, аксиома S.II изобилует «техническими» предположе-
предположениями, для которых остается та же мотивировка, что и в формализме Уайтмана. Условие при-
причинности S.V обобщает лагранжеву формулировку квантовой теории поля, где S-матрица фор-
формально задается Т-экспонентой в представлении взаимодействия, что отражает наше интуи-
интуитивное представление о причинности. Эти вопросы подробно обсуждаются в книге [Б8], и мы
не будем здесь останавливаться на них.
Упражнение 14.2. (а) Доказать соотношение
5(ХM*(Х)=1, A4.32)
благодаря которому условие унитарности может быть записано также в виде S*(x)—S(%)~1.
(Указание: см. упражнение 13.3.)
(б) Доказать соотношение
^ A4.33).
(Указание: см. аналогичное предложение 13.1.)
*) Последнее предположение носит название условия стабильности одночастичных со-
состояний (мотивировку его см. в п. 12.1.В).
**) Смысл условия supp %i Js supp %2 пояснен в п. 13.1.А (вместо классических полей там
фигурируют классические источники).
477'
Упражнение 14.3. Рассмотрим S-матричную теорию с одним вещественным ска-
скалярным полем. Доказать, что
\ |0>«(*)rf4* = 0
J бф1п (х) '
для любого решения и (х) уравнения Клейна—Гордона (массы т) класса qJP(R3)- (Указа-
(Указание: воспользоваться соотношением [ф'п (f), S]|0> = 0, следующим из условия стабильности
вакуума и одночастичных состояний, и формулой коммутации A4.12).)
С ¦ 6S
Результат упражнения 14.3 можно выразить так: \ е'Рх Лс при действии на
J 6ф1п (х)
вакуум не дает вклада на массовой оболочке р2 = т2.
Чтобы иметь аналог аксиомы LSZ.I (или ее следствия A3.108)), мы
добавим еще одну аксиому (усиливающую результат упражнения 14.3).
S.Г (Усиленное условие стабильности одночастичных
состояний). Существуют параметры т'я > т% такие, что
и (х) d'x I 0> = 0 A4.34)
(*)
для всех функций и ? 3~W), фурье-образ которых имеет носитель при р2 < т?.
Г. Радиационные операторы; ток. В силу постулата S.II выражение
6*5* 6"-*S
бф'п (*!).. .8tpin (xk) бф!" (xk+1).. .yn (Хп)
после сглаживания с основной функцией становится оператором, который
(вместе со своим сопряженным) определен на области D и переводит ее в себя.
Поэтому такие операторы порождают алгебру (с инволюцией), которую мы
назовем алгеброй радиационных операторов *). Аксиомы S-матричного ме-
метода (кроме обычных положений релятивистской теории рассеяния) в сущ-
сущности представляют собой бесконечную систему соотношений между рацио-
рациональными операторами («на массовой оболочке»). Например, условие при-
причинности есть следующая система соотношений («на массовой оболочке»):
6"S| ^8^ , A4.35)
бф!" fa).. . бфШ (*„) 6ф*п (*J.. . бф!" (Х„) 8ф>"
если {хи ..., хк}^{хк+1, ..., х„}.
В формализме LSZ справедлива формула A3.115), дающая теоретико-
полевое выражение для S-матричных элементов. Аналогичная формула имеет
место в S-матричном методе; теперь роль ампутированных Г-произведений
полей играют радиационные операторы.
Упражнение 14.4. Доказать, что если импульсы входящих частиц попарно не-
коллинеарны импульсам выходящих частиц, то имеет место следующая формула редукции:
<0 | ф? <*•> (Pl).. .у™ (и*) (Pft) S^*^ (-pA+1).. .ф|» <и»» (-р„) | 0> =
^2"УХ/ П e-'^WS* ( ^ б / ,s ^>dXl...dxn; A4.36)
' '-**' вф1"^(х1)...вФ1."Ы(^)
'l 'n
здесь рь ..., Pn^V". (Указание: воспользоваться формулой коммутации A4.12) и ста-
стабильностью вакуума <0|S* = <0|.)
Среди рациональных операторов особую роль играет ток, определяе-
определяемый формулой
/«>'(*)=— iS*———. A4.37)
Vinw)w
*) Этот термин указывает на происхождение от оператора рассеяния.
478
Происхождение этого названия можно найти в лагранжевои форме квантовой электроди-
электродинамики. Лагранжиан взаимодействия в этом случае пишется в виде
), где
— электромагнитный ток. Положив, [как обычно, S = T I exp ( i \ X (х) №х ) > , нетрудно
убедиться, что в первом порядке теории возмущений (по константе [связи е) радиационный
оператор
с точностью до знака совпадает с электромагнитным током.
Конечно, как и в случае S-матрицы, рассмотрение тока «вне массовой
оболочки» равносильно введению формального ряда по классическому
полю %:
Joal{x. 5c) = _l-s>(X)^L^-»©(X)-i^^. A4.38)
Упражнение 14.5. Доказать формулу
,pout (и) (Х) = 5*ф1п <ю (Х) 5 = ф'п «> (х) + 2 \ DTr (х — У) Jw'}'' (У) Л*У- A4-39)
у.', V
(Указание: применить формулу коммутации A4.12) к [<pin(*), S].)
Ток обладает следующими характеристическими свойствами.
(а) Свойство эрмитова сопряжения:
У«>'(*; ъ)*=№Т{х\ х+)- A4.40а)
(б) Пуанкаре-ковариантность:
U (а, А) /<*>' (х; х) U (а, Л)-1 = 2 Vg« (Л) У(И) m (Лх + а; х<0. лО A4.406)
~ ~ ~ ~
т
при (а, Л)?$о.
(в) Условие разрешимости:
-> /'(у; Х) _ , ;,
(г) Причинность:
Свойства A4.40в), A4.40г) обычно записывают просто в виде
iJ<»W bJ^(y) =_f[y<x.>(y)t y<x,W]
W =0 при ^г/, A4.42)
имея в виду, что эти равенства выполняются «вне массовой оболочки»
(т. е. допускают дальнейшее формальное дифференцирование по фш).
Упражнение 14.6. Вывести свойства A4.40) из аксиом S-матричного подхода.
(Указание: при доказательстве причинности A4.40г) воспользоваться упражнением 14.2F).)
Заметим, что ток полностью характеризует теорию. Действительно, нетрудно убедиться,
что @(х) однозначно определяется через J (х; %); в следующем параграфе будет показано, как
квантовые поля и их Г-произведения строятся из функционала @(х)-
Упражнение 14.7. Доказать, что ток удовлетворяет условию локальности
([/<*> (х), /<*'> D0Ь = 0 при (х-уJ < 0, A4.43)
а также соотношению
A4.44)
при х^>>у.
(Указание: воспользоваться условиями разрешимости и причинности.)
479
Вариационная производная
8^>A4.45)
)
называется запаздывающим радиационным оператором, так как из свойства
причинности следует, что его носитель сосредоточен при х—Xj?V+
(j=\, ..., п). Для определения опережающих радиационных операторов
введем операцию формального дифференцирования по out-полям:
6Q =у 6(SQS*)
здесь Q — произвольное алгебраическое выражение, составленное из опера-
операторов S, S* и их формальных вариационных производных по in-полям.
При таком определении для out-полей справедлива формула коммута-
коммутации типа A4.12).
Упражнение 14.8. Доказать формулу коммутации с out-полями:
Гфоч* <*> (л:), QW = У I \q>?utM4x), <Р?,(Н'ЧУ)]Т dy. A4.47)
JU^ frpOIlt «') (у)
Упражнение 14.9. (а) Показать, что в терминах out-полей [определение тока за-
записывается в виде
/<ю / (*) = — i ^- S*. A4.48)
(б) Доказать соотношение
'1М. A4.49)
С помощью упражнения 14.9 (б) условие причинности A4.42) можно
переписать в следующей форме:
w =0 при х^г/. A4.50)
бф°,и' <и'> (г/)
Теперь опережающий радиационный оператор можно определить как
out 6"J ^ out x • <14-51)
Из условия A4.50) следует, что его носитель сосредоточен при x—Xj?V~
(/=1, .... п).
Упражнение 14.10. Для амплитуды процесса 2—-+п — 2 в области, где импульсы
входящих частиц попарно неколлинеарны импульсам выходящих частиц, доказать формулу
редукции:
<0 | ф? <*»> (рп).. .ф}« ^ (р3) Sy* ^ (-р.) ф^ <"«> (-Л) | 0> =
V ~(И«ИА) _(я,и,')
= -(-i)« 2i ?), , n'(pn)...D) ,, (—p
X <0| -j-r 5 (Xl) -— | 0> dx,.. .dxn;
out Ы ) out (и„) out (и„)
6q> .(*„)... ftp/ 3;Ыбф,/ 2;fe)
'я 'з <2
здесь pj, ..., Рп€^+- (Указание: переписав левую часть в виде
<0 | $°nut <и»' (р„).. .ф»«* (-з) (
воспользоваться далее формулой коммутации A4.47) и стабильностью однозначных со-
состояний.)
•480
С помощью смешанных формальных вариационных производных тока
nd in- и out-полям определяются так называемые обобщенные запаздываю-
запаздывающие радиационные операторы
8-1±М A4.52)
6Фех'(*Nфех«(х)
(где ех7-=1п или out). Очевидно, запаздывающие (соответственно опережаю-
опережающие) радиационные операторы получаются при подстановке ex7-=in (соот-
(соответственно exj==out) в A4.52). В формализме LSZ также можно ввести ана-
аналогичное понятие обобщенных запаздывающих произведений полей (мы вер-
вернемся к этому в § 16.1, где будет установлено соответствующее свойство но-
носителя обобщенных запаздывающих произведений; тем же свойством носителя
обладают обобщенные запаздывающие радиационные операторы *)).
Оказывается, условия разрешимости A4.41) и причинности A4.42) для тока можно трак-
трактовать как динамические уравнения квантовой теории поля (Медведев и Поливанов, 1961, 1964;
Медведев, 1961, 1964, 1965). Существенным моментом этой программы является продолжение
соотношения A4.44) в область, включающую совпадающие аргументы (т. е. для всех х, у?М):
bJ(x) =a<6(xoyo)[j(y)t J(x)U+A(x,y); A4.53)
здесь 9(х°—y°)\J(y), J (x)]jz есть некоторым образом регуляризованное произведение (анти-
(антикоммутатора [J(y), J(х)]г с разрывной 9-функцией, а А(х, у) — квазилокальный оператор
с носителем при х=у. На этом пути удалось, в частности, воспроизвести результаты обычной
лагранжевой теории возмущений. Интересно, что роль лагранжиана и контрчленов в каждом
порядке теории возмущений в рассматриваемой схеме играет квазилокальный оператор А(х, у)
(также задаваемый в каждом порядке теории возмущений); тем самым в квазилокальном опе-
операторе сосредоточена вся динамика модели.
14.2. ПОЛЯ В АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
А. Конструкция квантовых полей и их Т-произведений. Для перехода
к формализму LSZ определим квантовое поле ф(И) (х) с помощью уравнения
типа Янга — Фельдмана
Ф<*> (Х) = ф'" <*> (х) + 2 \ Щг <ии') (х—У) Jw>)'' (У) dy- A4.54)
и'. /'
Формула A4.54) определяет операторную обобщенную функцию умеренного
роста. Действительно, результат сглаживания ф$х> (х) с основными функ-
функциями /(и)' ? if (M) можно записать в виде
2 J ФГ (х) f<И)' (х) dx = 2 S Ф/п <w (х) Г' (х) dx +
И, I V., I
+ Д S Df>wn(/; У) Jm'>'' (У)dy, A4.55)
где
Dret (и') ^. ^ s 2 Г ^<х); (х) д7'4 (хх/) (*—«/) dx A4.55)
и, / J
есть элемент пространства !Г(И), так что соотношение A4.55) имеет смысл.
Упражнение 14.11. Доказать формулу
<р<*> (х) = Ф°и' <и) (х) + 2 D?rV <Ю° (*—У) ¦/(Х)'' (f) йУ- A4-57)
и', Г
(Указание: воспользоваться соотношением DTei (ик') (х) — Dadv {wi) (x) = Dixx) (x) и фор-
формулой A4.47).)
*) В соответствии с уточнением, сделанным в п. 16.1.А, выражения A4.52) можно было бы
назвать обобщенными запаздывающими радиационными операторами штейнмановского типа
(чтобы подчеркнуть возможность определения более широкого класса аналогичных объектов
рюэлевского типа).
16 н. Н. Боголюбов и др. 481-
Мы покажем, что поля ф(и> удовлетворяют всем аксиомам LSZW, и для
этого нам следует еще определить Г-произведения полей ф<и>. Предвари-
Предварительно напомним некоторые факты, касающиеся Г-произведений свободных
полей ф'п.
Производящий функционал Г-произведений свободных полей имеет вид
3;0(г|)== Г ехр (;
= ехр ( — -^-Zj \ Dj^'Ux—y)r\w1 (х) ц^ Г(у) dx dy ): expf/ \ц (х) ф'п(л:)'|
\ хи
A4.58а)
%. (ri) = ехр Dг У AV'" (х—у) 4W l (x) tiC') l' (у) dx dy\ x
\ ии; J
x:exv(i^4(x)q>in(x)dx) : . A4.586)
Упражнение 14.12. Показать, что функционалы A4.58) удовлетворяют характе-
характеристическим свойствам Г-произведений A3.10). (Указание: использовать ход рассуждений
упражнения 13.4.)
Пусть 6—некоторое алгебраическое выражение, составленное из полей
Ф'п (и>, например,
Q = \ F(х ... х ) ф]п *и'' (хЛ.. •ф)" '*"' (х ) dx .dx A4.59a)
где/7—коэффициентная функция. Тогда виково Т-упорядочениефункционала6
определяется формулой
,. ..dxn. A4.596)
Упражнение 14.13. (а) Доказать формулу
т (ф«» (*) (х) в) = ф)п (и) (х) (Тб) + ? f T D«'v <ИИ') (х"^ г inSn dy=
= ± (Гб) ф|п (х) W + 21Т1 °''е''|1И>) (х~у) т б mSto) d^ <14-60>
где знак (+ или —) выбирается в зависимости от «статистики» операторов ф'п '*' и Q.
б) Доказать формулу (в смысле формальных рядов по источнику т)):
б) = Г ^ ехр ^ J т) (дс) Ф'" (х)Лс)) X
= Г ( [ ехр Dret (ц;у) —: dy)Q)T( ехр ( i \ ц (х) ф|п (х) dx)). A4.61)
\\ J 6ф (?/) / / V V J П
(Указание: достаточно выбрать Q в виде формального ряда ехр Г» \ \(х) ф'п (x)dxJ
по источнику I (*).)
В формулах A4.60), A4.61) вариационные производные понимаются
буквально (т. е. в соответствии с правилами типа A3.27)). Поскольку для
S-матрицы определены формальные вариационные производные по in-полям,
мы можем аналогичные формулы принять для определения выражений типа
Г(ф'п(х1). . .ф'"(л:„) А), где А обозначает некоторую формальную вариаци-
вариационную производную S-матрицы по in-полям:
A=-jr-^ 6mS |n . A4.62)
482
А именно, такие выражения определяются рекуррентным образом:
ТА = А, A4.63а)
= Ф1°(Ил) (х„) Т (<р?п-Г1) (*b-i) • • • ф!Г Ш (хг) А) +
СМ(ху»г (ф^Г^ЛфГ^
A4.636*
Точно так же, если В обозначает некоторую формальную вариационную
производную от S* по in-полям:
то антихронологически упорядоченные произведения Т (ф'п (xj... ф'п (хп) В)
определяются следующей рекуррентной процедурой:
ТВ = В, A4.65а)
, , l J !nl" " йф|п(ил) (у)
кп' 'п 'п
X (фЙ!?-» {xa_J•. -Ф)? (Х1) (хх) Б) ф. A4.656)
Операторы под знаком Г-произведения коммутируют или антикоммутируют
в соответствии с их «статистикой».
Упражнение 14.14. Доказать формулы
Т ( exp ( i f т) (х) ф1п (х) dx) s) =
= Г exp (' \ Ti (x) ф'п (д:) dx exp \ Oadv (ti; г/) „ ._ . . dy\S =
(г,; У)бф1п(у) ^) S)T ехР (' j Л М Ф1п W ^)= A4-66а>
exp ( / J ti (х) Ф«п
= (г exp (,¦ j т) (х) ф'п (JC) dx^) ) exp (_ j owt(t,; y) g^A-^- dy) S* =
= (exp (- j Oadv(T,j ^)-g^y *) S*) Г exp (/ J Л W Ф!п
Подобно уравнению A4.54), формулы A4.66) хорошо определены, в чем можно убе-
убедиться, взяв вариационные производные от этих равенств по т) при т) = 0 и сгладив их
с основными функциями из (У (Мп).
С помощью данных определений мы можем переписать определение A4.54)
квантового поля в виде !
4(x) = S*T(Stf*(x)). A4.67)
(-)
Аналогичные выражения положим в качестве определения Т -произведений
квантовых полей ф(х):
T(<p(x1)...<p(xn)) = ST{Stf»(xJ...<$l*(xa)), A4.68а)
Т (Ф (*0...Ф (хп)) = Г (Ф«« (х,)...ф«« (х„) S») S. A4.686)
(-)
Запишем это определение Г-произведений в виде
%(ч\) = Т exp (i S л (*) Ф W ^с) =S*T (S exp (t J т| (х) ф!п (x)dx)) , A4.69a)
5 (tO ^ Texp (t J л W Ф W d^) = ^(exp (t J л W Ф1п W ^) s*) S« A4-696)
16* 483
()
Выражения A4.67) и A4.68) называются квантовыми полями и их Т -про-
-произведениями в асимптотическом (точнее, в in-) представлении.
Упражнение 14.15. Доказать формулы
Z (Ч) = S*?o (т|) S (х) = S»S (x') Zo (tO. A4-7Оа)
S (Л) = ?о (т)) S* (- х') S = S* (- х) %0 ft) S. A4.706)
где
Х<*'> (у) = Dfv <*'> (т);»)а2[ Ч(х)' М ^(XX') (*-у) Л, A4.71)
к, I J
х'<?'> («/) = ?>{?*(к'> (ti; г/) ^ 2 С т)(*>' (*) ?># (wt'> (*-(/) dx. A4.72)
(Указание: использовать соотношения A4.66).)
У п ражнение 14.16. В S-матричной теории скалярного эрмитова поля ф (х) дока-
доказать формулу
f (Ф (*)у (й)-| ^б Сх-Ю-У бф1п
(Указание: воспользоваться соотношением
S*r (S?'n (л:) ф1п (j,)) = (pin (Л) ф (у) _|_ ф (Ж) ф!п (^) _ ф1п W ф1п (y) +
+ -flret^-y) _^ Oret {x_x.) Bret [{у_у') S* ^ ^ ^
()
Б. Выполнение аксиом LSZ. Проверим, что определенные выше Т-про-
изведения полей ф(и) обладают характеристическими свойствами A3.10).
«Начальное условие» A3.10а) и пуанкаре-ковариантность очевидны из опре-
определения A4.69), свойство сопряжения A3.Юг) также непосредственно сле-
следует из формул A4.70). Докажем причинность A3.10в). Пусть supp | ^ supp т).
Положим XiW = -Dadv(|; x), x2(x) = DTet(r\; x). Имеем
(
(
+ т]) = ST (S ехр (i
ехр (Jj>ov(g; ^—^--d/jexp (»' J 4 (x
= S*3:0 (?) Г (ехр (i S т] (х) (Ф'» (x) + Xl (x)) dx) S (Xl)) _•
Так как \ ц (x) %l(x)dx = '^[ D\P{m>) (x-y) ti(x'» ''(г/) S^ (x) dxdy = 0 (из-
за условия supp l^supp т]), то последнее равенство можно переписать в виде
2 (s + л) = 5*г0 (|) Г (ехр (/ S ч (х)
2:
(л) =
Поскольку suppxx^suppxa, то S (Xl + Хг) = s (Xi) -S*S (xJ (в силу условия
причинности A4.31)). В результате получаем
г а+л)=s*3:0 a) s (Xl) s*s (Хг) ?„ (л)=a: (g) s (л),
что доказывает причинность A3.10в).
Остается доказать унитарность A3.1 Од) или эквивалентное равенство
A3.11). Определив х(х) по формуле A4.71), имеем
?(- Л) ? (Л) = (S* (х) ?„ (- Л) S) (S*?o (л) S (х)) = 1;
здесь использовалось то, что 3;0 (tj) удовлетворяет соотношению ^A3.11)
(согласно упражнению 14.12), а также условие расширенной унитарно-
унитарности A4/30).
Таким образом, сйойства A3.10) выполнены.
484
, Упражнение 14.17. Доказать, что построенные квантовые поля <р'и'(*) удовлет-
удовлетворяют условию локальности. (Указание: если supp | ~ supp т), то ??(?+т)) = 51 (?) 5 (т]) =
%()%(Ь)'< взять в последнем равенстве слагаемые, билинейные по | и т).)
Итак, мы построили систему квантовых полей ф<и)(л:) и проверили для
них выполнение всех аксиом LSZW за исключением цикличности вакуума и
условия асимптотической полноты. Очевидно, для доказательства этих усло-
in(x)
вий достаточно убедиться, что исходные свободные поля cpout (х) в точности
являются асимптотическими полями для полей <рМ(х) (что оправдывает
использование для них обозначений in и out). Согласно уравнениям Янга—
Фельдмана A3.92) (для вывода которых были несущественны цикличность
и асимптотическая полнота) асимптотическое in-поле дается на векторах
Ф1п ? DI" выражением
J JS' (х—у) К^Ц>Ш (У) dy) Ф>" A4.74)
(где т = тх). Подставим сюда вместо ф(х) выражение A4.53) и восполь-
воспользуемся тождеством
В результате для A4.74) получаем
f (*) - 2 [Dtf <**'> (х-у) /<*'»'' (у) dy\ Ф'п = ф)п (и) (х) ФЧ
Таким образом, асимптотическое in-поле совпадает с ф>п<и> на D[o" (а по
замыканию и на всей области определения D). Случай out-поля аналогичен.
Полученный результат можно резюмировать следующим образом.
Теорема 14.1. В S-матричной теории (в которнй выполнены аксиомы
S.I—S.V и S.V) формулы A4.67), A4.68) определяют квантовые поля ф'*>
и их Т-произведения, удовлетворяющие всем аксиомам LSZW.
Мы описали переход от S-матричного подхода к формализму LSZ. В принципе возможей
обратный переход — от формализма LSZ к S-матричному методу (в случае скалярных полне
отправная точка—формулы типа A4.73), определяющие формальные вариационные произ-
производные S-матрицы); однако здесь остаются трудност i с приведением в соответствие «техниче-
«технических» условий.
Часть V
ПРИЧИННОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНОСТЬ-
ИСТОКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
КРАТКИЙ ОБЗОР
Из вакуумных средних произведений четырех полей можно составить 32 разные обобщен-
обобщенные запаздывающие функции (ОЗФ). Для их описания удобно ввести два типа вариационных
производных, определяемых следующим образом.
Пусть %Цц) — производящий функционал A3.7) для Г-произведений, a F (т)) — произ-
произвольный формальный ряд по классическому источнику т| (х) с операторными «коэффициентными
•функциями». Тогда положим
и определим для любой перестановки /, k, I, n индексов 1, 2, 3, 4 обобщенные функции
г„(*)=(
»>(*) = ( О
6
6
6Г] (Xj,
6
6Т) (Xj,
6
—) бт) I
+NТ)
+)8т)
6
(-«ft.
6
б'
+)
-)
б
бл (xi,
6
б'
+)
-)
5R (хп; fa)
5Rfe;fa)
5R («.; n)
л=о
л=о
л=о
п=о
°>
°>
°>
о)
Основной результат главы 16 состоит в доказательстве утверждения, что при выполнении «ли-
«линейных постулатов» преобразования Фурье ОЗФ являются граничными значениями единой
аналитической функции, область голоморфности которой содержит комплексные окрест-
окрестности физических областей всех двухчастичных процессов, которые можно построить из данных
четырех частиц. Существенную роль в доказательстве играют следующие условия стабиль-
стабильности. Если trij—масса частицы /, m/ft=/n;n— масса одночастичного состояния в канале /ft-»- In
(если таковое имеется), Mjn=Min (>отуд) — порогв этом канале, М}-—порог «канала» j-*-kln,
то предполагается справедливость неравенств
mj < mk~\-mi-\-mn, Mjk^mj+mit, Mj^rrij^-^-mfi
(в случае отсутствия одночастичного полюса в канале /ft —>¦ In в последнем неравенстве
nijk необходимо заменить на Муд). Попутно устанавливаются тождества Штейнмана
г/п (*) — Пк (х) = аЫ М — anj (х).
При сужении ампутированной функции Грина на массовую поверхность и при некоторых
дополнительных ограничениях на массы и пороги (которые имеют место в случае яя- и яЛ^-, но
не ^jV-рассеяния) в гл. 15 выводятся дисперсионные соотношения по энергии для амплитуды
рассеяния при фиксированном (в некотором интервале) значении переданного импульса t.
В случае инвариантной амплитуды Т пион-пионного, скажем п°п0-, рассеяния вперед (при
энергии Е падающей частицы в лабораторной системе) дисперсионное соотношение имеет вид
T(s,t)\
\s=2m (E + m)
/=0
?'(?'l-?a-'O)
486
или
со
crtot (? )
я J VE'*
где CTtot (¦?) (=Im ТЦ2т У^Е2— яг2)) есть полное сечение п°я°-взаимодействия, которое (воз-
(возможно, после усреднения по конечному интервалу энергий [Е — 6/2, ? + 6/2]) ограничено
сверху величиной const-(ln ?J (называемой границей Фруассара, п. 17.1.А).
При доказательстве дисперсионного соотношения используется аналитическое продол-
продолжение попеременной ?=р2—т\=р\—т\ от отрицательных значений до точки ?=0. Та же идея
используется при выводе результатов в более сложной ситуации, рассматриваемой в гл. 16.
Именно это обстоятельство побудило нас изложить материал пятой части скорее индуктивно —
от частного к общему,— чем дедуктивно: схема доказательства в гл. 16 (особенно в § 16.3) во
многом дублирует более подробные рассуждения из гл. 15 для амплитуд рассеяния.
Использование унитарности S-матрицы позволяет аналитически продолжить по / диспер-
дисперсионное соотношение (в круг И<ц2, не зависящий ots), а при физических s аналитически про-
продолжить по / амплитуду и ее абсорбтивную часть соответственно в так называемые малый и
большой эллипсы Мартена (дополнение К). Совместное применение аналитичности и унитар-
унитарности лежит и в основе вывода оценок поведения сечений двухчастичных процессов при s -*¦ оо
(п. 17.1.А), в то время как для утверждений типа теоремы Померанчука (п.17.1.Б) существенно'
перекрестное свойство. Для инклюзивных процессов (например, кх-f- э<2-*¦ ^зЧ"• • • > гДе ^з—
детектируемая частица, а многоточие символизирует произвольный допустимый комплекс
частиц) также можно установить некоторые аналитические свойства дифференциальных
сечений и асимптотические оценки при s-v оо (§ 17.2).
Глава 15. АНАЛИТИЧНОСТЬ ПО ПЕРЕДАННОМУ ИМПУЛЬСУ
И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
15.1. МАЛЫЙ ЭЛЛИПС ЛЕМАНА
А. Вводные замечания. Амплитуды процессов в релятивистской квантовой
теории обладают определенными аналитическими свойствами по импульсным
переменным. Эти свойства устанавливают связи между экспериментально
наблюдаемыми величинами и поэтому имеют важное значение для теории
взаимодействий элементарных частиц, сравнимое со значением аналитичности
в квантовой механике. Так, полюсные сингулярности указывают на наличие
связанных состояний в данном канале (вообще, локализация особенностей ам-
амплитуд определяется физическими параметрами — массами частиц и резонан-
сов, энергиями связанных состояний, порогами реакции и т. п.). Дисперсион-
Дисперсионные соотношения, выводимые из аналитичности, выражают амплитуду упру-
упругого процесса через ее мнимую часть (которая при рассеянии вперед выра-
выражается — по оптической теореме — через полное сечение). Одной из специ-
специфических особенностей релятивистской S-матрицы (в отличие от обычной
квантовомеханической) является перекрестное свойство, приравнивающее
значение амплитуды процесса (в физической области) к амплитуде некоторого
другого (кроссинг-)процесса в нефизических точках; понимания соотношений
такого рода можно достичь лишь выходом в комплексную область и анали-
аналитическим продолжением физической амплитуды.
В этой связи особое значение приобретают аналитические свойства, сле-
следующие из принципов квантовой теории поля. На их основе удается • полу-
получить ряд точных результатов об асимптотическом поведении амплитуд при
высоких энергиях. С другой стороны, аналитичность может служить исход-
исходным пунктом при построении моделей и приближенных схем (таких как
модель полюсов Редже, дуальные резонансные модели) для процессов
столкновений (см., например, [A3, Н5])\
Вывод аналитических свойств амплитуды рассеяния основывается на фор-
формулах редукции, согласно которым амплитуда рассеяния есть (с точностью
до постоянного множителя) ампутированная (например причинная) функция
Грина в импульсном представлении, суженная на массовую оболочку. Фор-
Формулы совпадения типа A3.49) (в областях импульсного пространства) с за-
запаздывающей или с опережающей (и, как мы увидим в гл. 16, с обобщенной
запаздывающей) функциями Грина позволяют совершить выход в комплекс-
комплексную область в импульсном пространстве. Таким образом приходят к неко-
некоторой (называемой примитивной) области аналитичности функции Грина.
С помощью техники аналитического расширения областей на этом пути уда-
удается получить ряд важных качественных результатов об аналитических свой-
свойствах амплитуд двухчастичных процессов (см. гл. 16).
В этой главе мы займемся более простой задачей об аналитических свой-
свойствах двухчастичных процессов по одной из инвариантных переменных s=
= (Pi+p2)a или t=(p1+ps)a при фиксированной другой (разумеется, в кон-
контексте обобщенных функций следует подразумевать сглаживание с основной
функцией по этой «фиксированной» переменной).
488
\ Для нахождения свойств аналитичности амплитуды по переменной t
(при фиксированной s), достаточно воспользоваться частичной формулой
редукции (типа A3.95)) по импульсам —р1} —р2 входящих частиц и тем самым
выйти по plt р2 в комплексную область; при этом импульсы р3, р* выходящих
частиц, а также переменная s принимают только физические значения *).
Такое рассмотрение (п. 15.1.В) дает для области аналитичности (по t) амплитуды
процесса
Щ + ^2 —>-йз + х4 A5.1)
так называемый малый эллипс**) Лемана Е(s) = ?12>34(s):
Е (s)^ ?12,з4 (s)= {t? С | t-tmln (s) |+| t~tmax (s) | < 4/Ci2 (s) /Сз4 (s) x (s)}, A5.2)
окружающий интервал [tmia(s), tmax(s)] физических значений для t; здесь
x(s) = xlt(s)V xSi(s), A5.3)
(Ml-ml) (Ml-ml)
,. f, , (Ml-
lA)~\ +Kt2(s)[s-(M1-M^]f ' 34()i+Kl4(s)[s-(M3-M4n
A5.4)
(/C12(s) и /C34(s) определены в G.187)).
Малый эллипс Лемана определяется как массами частиц ти. = ту, уча-
участвующих в реакции, так и порогами Мк. = Mj(> trij), ассоциированными
с соответствующими полями. При этом Мн определяется как нижняя гра-
граница непрерывного спектра массы в подпространстве Ж^ —замыкании
множества векторов вида
(Ми > ту. согласно аксиоме***) LSZ.I). Мы ограничимся характерным слу-
случаем, когда спектр масс в Ж{%/) не содержит в интервале @, Mj) других
дискретных точек, кроме nij. (Обобщение на случай нескольких дискретных
точек не вызывает затруднений; впрочем, подействовав на поле ц>{х)(х) клей-
нианами с соответствующими массами, мы можем вообще исключить лиш-
лишние одночастичные вклады.)
Точно так же определяются порог непрерывного спектра массы M^.,.^
и дискретная масса тИ1...Ип€@, MXi_._Kn) (или дискретные массы, если
их несколько) в пространстве Ж(у-1- ¦¦*»>, определенном в упражнении 8.3
(согласно этому упражнению УИИ, ... Yn и тИ1...и„ не зависят от порядка
следования индексов щ, ...,х„). Для характеристики реакции A5.1) суще-
существенны параметры ти = тн.Н/ = т-.-f и Ми = М%{Л] = М-.-. (где l<i<
</^4). Мы будем предполагать, что****)
MiS=Mhl (>mhl), A5.5)
где i, j, k, I —произвольная перестановка индексов A, . . ., 4).
В случае упругого процесса Х!+х2 ^-и1+х2, очевидно, выполнены ус-
условия
m1=ms, тг=т^ МХ=МЬ, Мг=М^ A5.6)
Вообще при выполнении условий A5.6) мы назовем процесс A5.1) квазиупру-
квазиупругим. Сюда попадает важный класс процессов, в которых начальные и конеч-
конечные частицы связаны преобразованием симметрии (например изотопической)..
*) Хотя теперь рх и р2 комплексны, они продолжают оставаться на плоскости в СМ1,.
задаваемой уравнением pH-/>2~bP3~T~P4=0.
**) Здесь и далее под эллипсом подразумевается внутренность эллипса.
***) Как в этой,так и в последующих главах предполагается, что выполнены аксиомы.
LSZW или их вариант — аксиомы S-матричного метода.
****) В противном случае мы можем добиться выполнения этих условий переопределением
параметров, вводя М^,= М^,= М,у VМ^ вместо М;}- и М^г (если же т,-у и т/ц не совпадают, то
эти дискретные массы можно вовсе игнорировать).
489
Наконец, напомним, что в рассматриваемой нами теории рассеяния все
частицы считаются стабильными и процессы распада исключены (п. 7.3.Д).
В частности, исключены процессы хг -*-Xj+xfe+X; (где /, /, k, I — произ-
произвольная перестановка индексов 1, . . ., 4). Для этого мы предположим, что
выполнены условия
mi<mj+mh+tni, A5.7)
которые энергетически запрещают такие распады. Следуя Эйнштейну A966),
для нужд этой и следующей глав мы дополним этот список (под общим назва-
названием условий стабильности) следующими предположениями:
k, A5.8)
k, A5.9)
имеющими прозрачный смысл. При отсутствии дискретной массы т//г условие
A5.9) следует изменить так:
Упражнение 15.1. (а) Вывести из A5.8), A5.9), что
\trij — тк | < mjit < mj + mk, \т}-^тк\ < Mjh<Ztnj + mk, A5.10)
\Mj-Mk\<mJk<Mj + Mk, \M,-Mh\< MJk< Mj+Mk. . A5.11)
(Указание: воспользоваться тем, что mj < Mi,
(б) Вывести A5.7) из A5.5), A5.8), A5.9).
Упражнение 15.2. Рассмотрим процес
() () () ()
ражнение 15.2. Рассмотрим процесс
X/+Xft—«-йг+йя, A5.12)
с импульсами частиц
-pj^mj' -р*€Г^, й€Г^, р»€Ся. A5.13)
Доказать, что
(Р/ + PkJ Sa К + т^ ^ М%,
(Р/ + PiJ< К - пц)* < М)и (Pj + PmJ< (ту-тт)*< М)т.
Б. Представление ИЛД для запаздывающих и опережающих (анти)комму-
таторов. В этой главе неоднократно используется представление ИЛД для
запаздывающих и опережающих (анти)коммутаторов, и здесь мы переформу-
переформулируем результаты § 4.3 применительно к квантовополевому контексту.
Прежде всего можно написать представление ИЛД для обычного (анти-
(антикоммутатора полей Wi-iiXi-j) и фг(лгг):
xx?(p1,...,pt_2,p'hpl+1,...,pn,k)dip'idK A5.15)
(вместо полей фу- при / = 1, ..., /—2, /+ 1, ..., п здесь могут стоять так-
также асимптотические поля ф/х).
Для доказательства заметим, что благодаря трансляционной симметрии
обобщенная функция
<<Pi (Pi) • • ¦ 4i-, (Pi-i) [ф| (^-i), Ф|(х,)]? Фи-х (pt+1). ..Ф„ (р„)>о
является ^"-функцией от x,_j. Следовательно, ее можно сузить на плос-
плоскости x,_! = 0 и левую часть A5.15) выразить через это сужение:
<<Pi(Pi)- • •Ф/-2(Р|-1)[ф|-1 (Pz-i), Фг(Рг)]т $n-i(P/+i)- • -ФЛР^о^
= B3x)*S(p1+...+pJgr(Pl, ...,Pt_tPl, ...,pa), A5.16)
где
g(Pi. ••••Рг, •¦ •, Р„) =
= S е'"л <Ч>1 (Pi). • -Ф,-2 (Рг-2) [ф|-1 @), фг М- • .Ф„ (pa)>adxt A5.17)
490
— обобщенная функция из 3" (М.п~х). Из условия локальности следует, что
обобщенная функция под знаком фурье-интеграла в A5.17) имеет носитель
в световом конусе V, так что g(plt ..., pt, ..., р„) принадлежит классу
o(V) по импульсу рг Далее, из (сильного) условия спектральности следует,
что носитель обобщенной функции
<ф1(р1)---Фг-1(Рг-1)Фг(Рг)
принадлежит множеству в Мп, определяемому
Р; + Pz + 1 + . . . -\~ Р„ 6 {0
в то время как носитель
<<Pi (Pi) • • • Фг-а (Р*-2) 4>i (Рг) Фг-1 (
•••Ф»(р»)>о
посредством
}иУм>,
'ftt-l)---4n(Pn)>*
A5.18)
A5.19)
A5.20)
заключен в множестве точек таких, что
Р.-1 + Рг+1+---+Р„е{0}иУм, A5.21)
где М' и УИ—нижние границы спектров масс в ортогональном дополнении
к вакууму соответственно в подпространстве Ж(Ул' ••"г-2кг-1) f)»$?(х㦕¦*") и
^х"•¦**-!!*j)n#f(x*-ix*+i"-Xn). Таким образом,носительg^, .. .,pt, .. .,р„)
содержится в объединении множеств A5.19) и A5.21). Однако (согласно
следующему упражнению) точку 0 следует отсюда исключить, и мы прихо-
приходим к выводу, что носитель gr(/?i, ..., pt, ..., р„) заключен в множестве точек
таких, что
-]. A5.22)
Упражнение 15.3. Доказать, что g(Pi, . . . , Рв)=0, если рг находится вне мно-
множества A5.22). (Указание: разложить A5.18) и A5.20) по усеченным вакуумным средним; тогда
слагаемые, в которых поля фг-i и ф; попадают в разные кластеры, взаимно уничтожаются в
A5.16). К остальным слагаемым применить свойство спектральности из упражнения 12.8.)'
Наряду с A5.22) мы, очевидно, имеем обычное условие спектральности;
носитель g(pt, ¦ ¦., pt, ..., рп) принадлежит]множеству точек таких, что
Рг + ¦ ¦ ¦ + Pi € {0} U VJ. при /,..., 1-2,
Pj+...+pn?{O}[}V»j при / = / + 1, ...,л
(Ц] —массовые параметры). Мы будем предполагать, что хотя бы один из
импульсов pt+. . .+рг_2, Pi+1+. . .+pn отличен от нуля (так как в против-
противном случае A5.16) сводится к вакуумному среднему (анти) коммутатор а
IWi-i(Pi-i), Фг(РгI> которое нас здесь не интересует). Тогда вместе с A5.23)
имеем'
2-Л+1-----Рп€У+. A5.24)
Сравнение условия носителя A5.22) с D.1096) показывает, что мы здесь
имеем дело с ситуацией п. 4.3.В (несущественное различие состоит в том, что
теперь g(plt . . ., pi, . . ., рп) есть обобщенная функция еще и от других им-
импульсов, кроме рп однако вывод представления ИЛД остается справедливым
и в этой ситуации).
В результате мы приходим к представлению ИЛД A5.15) для (анти)
коммутатора, где спектральная функция ^(pi, ¦ • .,рг_2, pi, Pi+u ¦ ¦ ->Рп'> ^)*
есть обобщенная функция из 3" (M"~1xR+), обладающая обычным свойст-
свойством носителя A5.23) по plt ..., рг_2, pt+1, ...,/?„; кроме того, при любом-,
е>0 Ч может быть выбрана с носителем по переменным p't?M, X^O r;
е-окрестности (в MxR+) множества
• •• +Р„),
49f
где
~+: p't€Q[—(p1+.-. + p,-2)> —(P1+1+ ¦ • • + Pn)]<
Pi + Pi+i +••• + /?„)}, A5.25)
.. ¦ +pa)=0 V (M—K(/?i+-+/?,-«+///)')V
V (M'-K(pi + p<+1+...+pnJ). A5-26)
Действуя далее, как в п. 4.3.Г, мы получаем представления для за-
запаздывающего и опережающего (анти)коммутаторов полей фг-1 и фг
<<Pi (Pi) • ¦ • Фг-2 (Рг-2) # (Ч>1-1 (Pi-i); Ф; (Р;)) Фг+i (P<+i) • • • Ф„ (рп)>о =
„)/1г(р1, ...,pt-t,pt, ...,Р„), A5.27а)
= Bя)«б(р1+...+р„)Лв(Рг. •••,Р,-2,Р„ ¦¦-,Pn)> A5.276)
где
при этом Y есть подходящее продолжение спектральной функции из пред-
представления A5.15) до обобщенной функции из пространства #"(Лх[0, се]),
а множество А состоит из точек (plt ..., pL-2, p}, pt.vl, ¦ • -, рп), удовлетво-
удовлетворяющих условиям A5.22) и
]- A5.29)
Как мы знаем из п. 4.3.Г, Лг, „(рц ••-,pj, ---.Pn) являются гранич-
граничными значениями (соответственно при Imp,—¦*-0, Imp^GV*) единой анали-
аналитической функции h(plt ..., plt ..., рп) по импульсу рг (и обобщенными
функциями по остальным импульсам). Для нее имеет место представление,
аналогичное A5.28), а область аналитичности определяется условием
(Pi—P'if—^0 при (pi, Я.)g adm. A5.30)
Замечание. Можно считать, что спектральная функция ИЛД обладает теми же свой-
свойствами лоренц-ковариантности, что и йл а(р±, . . . , р[г . . . , рп). Чтобы убедиться в этом,
достаточно перейти в систему отсчета, в которой вектор A5.24) направлен вдоль оси времени:
Pi+-.-+ft-«-ft+i— ---Pn = {V"o, 0). A5.31)
Поскольку конструкция спектральной функции (в пп.4.3.А и 4.3.Б) сохраняет свойства кова-
ковариантности относительно группы вращений, то в избранной системе Y обладает теми же свой-
свойствами ковариантности относительно вращений, что и hr^a. Возвращаясь к исходной системе
отсчета, мы приходим (согласно следствию 3.16) к упомянутым свойствам лоренц-ковариант-
лоренц-ковариантности Ф.
Выше было сказано, что для любого числа s>0 носитель W может быть выбран по перемен-
переменным р',, X в 8-окрестности множества adm. В действительности здесь 8 можно считать зависящим
от импульсов />!+. . .+р;_2 и рг+1+. . .+/>„ (хотя и не произвольным образом). Для опреде-
определенности рассмотрим ту же систему отсчета A5.31). Фиксируем произвольным образом числа
8>0, iV>0 и положим
Д(а) = еа-лг. A5.32)
Тогда из конструкции спектральной функции (П.4.3.Б) применительно к данному случаю сле-
следует, что носитель ? по р'{, к может быть выбран в Д (а)-окрестности множества adm.
В. Аналитичность по t. Перейдем к доказательству аналитичности
амплитуды двухчастичного процесса A5.1) в малом эллипсе Лемана; для
простоты спины частиц предполагаются равными нулю.
Из определения A3.101) и формулы редукции A3.103) следует пред-
представление для амплитуды:
< 2nf 8(Pl + pt + pt + pt)f(pt,pt,pt,p1) = — б "t (Pl) б -, (р2) х
X {(pl-ml) (pi- пй) <ф°"' (р4) <1 (р8) А (ф, (р2); ф^,))),}. A5.33)
492
Сюда входит ампутированный опережающий коммутатор KXlKXl Л(%(хг):
<Pi(*i))> для которого имеем представление типа A5.276), A5.28):
(pl-ni){pl-пй) <ф>{ (pJ фГ* (Рз) А (ф, (р2); Фх (Pl))>B =
= Bn)*b(p1+...+pi)h(pi,p3,Pl), A5.34)
где
л(р4.р„р,
Г.. J(p;;f',pU),.,
J (Pi —Pi — *0)a — (/я— /?iJ—
В отличие от рассмотрения п. 15.1.В, при выводе представления A5.35)
следует исходить из представления ИЛД для коммутатора токоподобных
полей [/2(*2), /i(x1)] = /C^/C^[92(x2), cpxta)] (а не для коммутатора обыч-
обычных полей). Поэтому роль массовых параметров М' и М из п. 15.1.В те-
теперь играют соответственно Мг и М2 (нижние границы спектра масс соот-
соответственно состояний /i (/х) | 0> и /2 (/2) 10>).
На основании предыдущего пункта представление A5.35) приводит к
аналитичности /i(p4, p3, px) no pt в области, характеризуемой условием
(Pi—PiJ—^0 при всех p'1^Q(—p3—pi, 0), ^>x2(Ps + Pi + pi. pO.
A5.36)
где
/?)- A5.37)
Для нахождения пересечения области аналитичности /i(p4, p3> Pi) c
комплексной массовой оболочкой (р\ = т\, p\ = trfy перейдем в систему цент-
центра масс векторов р3, р4 (где/?3+/;1 = 0). Соответствующие импульсы ри ...
¦ ¦., pi на частично комплексифицированной массовой оболочке процесса
A5.1), очевидно, имеют параметризацию типа G.185), .однако теперь п12 яв-
является вектором на комплексной квадрике CS2:
CSi = {nGC3: «^(п^ + ОгТ + СJ^}- A5-38)
Условие A5.36) теперь означает:
^^ A5.39а)
при всех ри X таких, что
V7 рг)- A5.396)
Это условие выделяет некоторую область аналитичности по пп на квадри
ке CSK
Упражнение 15.4. Доказать, что условия A5.39) равносильны следующему:
|Renu|<*u(s), A5.40)
где
где нижняя грань берется по множеству точек*) v ^М таких, что | ift \-\-\ V | < У s /2, а
A5.42)
(Указание: правая часть A5.41) принимает (все) значения в интервале [*ia(s), oo), когда
р[, X изменяются в множестве A5.396), поэтому при | Re«i2 | < *ia (s) неравенство A5.39а)
соблюдается. Если \Ren12\^sx12(s), то правая часть A5.39а) принимает значение |Re«12|
*) Злрсь сделана замена р° —/V+K s/2, v = p1.
493
при некоторых р[ , \p'i\, X. Остается выбрать —р[ вдоль Re/ii2, чтобы вместо неравенства;
в A5.39а) имело место равенство.)
Упражнение 15.5 (Леман, 1958*)). Доказать, что величина, определенная в A5.41),
имеет значение, приведенное в A5.4).
В силу лоренц-инвариантности амплитуда T(s, t) процесса является
распределением по s при s > sphys и аналитической функцией по t в обла-
области, которую пробегает t (см. G.189)), когда я34 пробегает S2, а п12—часть
квадрики CS2, характеризуемую условием A5.40).
Поясним это. В выбранной выше системе с дополнительным уточнением, что вектор
«34 направлен вдоль оси ea, h (р4, p3, pi) записывается в виде
h(Pt, Рз, />1) = 6т„(Рз) 6„4Ы И («12, s),
где //(«12, s) — распределение по s при s^spj,yS и аналитическая функция от ni2. Вместо
того чтобы иметь дело с функцией на квадрике, мы можем доопределить Н (N, s) по трех-
трехмерному вектору N в области ReWyV>0, полагая H (N, s) = H ({N N}'1^2 N, s). Лоренц-
инвариантность h (/>4, p3, pi) теперь сводится к О+B)-инвариантности Н (N, s) no коор-
координатам N1, N2. Согласно предложению 5.15 (и примечанию к нему) зависимость Н (N,s)
от N1, N2 сводится к аналитической зависимости от скалярного квадрата (AaJ + (iV2J =
= УУУУ'-- (N3J. В результате Н (Пц, s) зависит только от s (как распределении:) и от треть-
третьей проекции «12 (как аналитическая функция):
Я(га12) s) = H(n%, s);
мы приходим к сделанному выше утверждению об амплитуде Т (s, t), которое в выбранных
координатах означает, что Н (Пщ, s) зависит только от s (как распределение) и от третьей
проекции п\г Еектора я12 (как аналитическая функция): //(«i2, s) — H (п\г, s).
Упражнение 15.6. (а) При а > 0 положим
5R(a) = {n^CS2: |Ren| < cha}. A5.43)
Доказать, что
Щ(а)= U О+ C, R) /?3 (Ф) elt A5.44)
0<p<a
где Яз(Ф)— комплексное вращение вокруг оси еа на угол ф:
/ chp tshp 0\
/?s('P) = ( -tshp chp 0 . A5.45)
\ 0 0 1/
(Указание: всякий вектор из 9t (к) имеет вид n = ch P a~\-ish Р Ь с Р?[0, а); здесь а и
Ь—пара ортонормированных векторов из R3, которую можно записать в виде a = Rei,
b = Re2, где R?O+C, /?).)
(б) Доказать, что
9] (a) = U О+ C, R) R3 (ф) О+ C, R) ех- A5.46)
0<р<а
(Указание: при любых R, R'?O+C,R) | Im RRa'^) R' ег |= | Im Rs (ф) R'ex |^ch Px
Х| R'ei | = ch p, поэтому правая часть A5.46) содержится в 9} (а); обратное включение
очевидно из A5.44).)
(в) Доказать, что множество комплексных чисел
{z^x + iy: z = mn, m?S*, п?Щ(<х)}, A5.47)
есть эллипс
с фокусами в точках ± 1 и с большой полуосью ch a. (Указание: согласно части (а) упраж-
упражнения A5.47) есть множество точек вида z~m R3 (ф) в\, где /и?52, 0^р< а, т.е. это
есть множество точек z = ch p^-f-tjsh Рх2, где х\-\-х\ < 1, Os?B < a.)
Таким образом, множество значений cos0 = /&i2n34, когда я34 пробегает
S2 (или принимает только фиксированное значение), а п12 пробегает часть
A5.40) квадрики, есть эллипс
| cosB — 1 | + | cos 0 + 11 < 2х12 (s). A5.48)
Переходя к переменной t по формуле G.189), мы видим, что инвариантная
амплитуда Т (s, t) аналитична в эллипсе
-tIBUl(s)\<4Klt(s)Ktt(s)x1,(s)}. A5.49)
*) В связи с этим упражнением см. работу Владимирова и Логунова A959), § 2.
494
Остается заметить, что мы могли бы исходить из формулы редукции по
импульсам р3, pi конечных частиц, оставляя импульсы ри р2 физическими.
В результате мы получили бы для области аналитичности по cos 9 такой же
эллипс A5.48), но с большой полуосью x34(s) вместо x12(s). Наибольшая из
величин x12(s), x3i(s) как раз соответствует эллипсу A5.2). В результате при-
приходим к следующему результату Лемана.
Теорема 15.1. Инвариантная амплитуда T(s, f) двухчастичного про-
процесса A5.1) является распределением по s при s>s phy3 и аналитической функ-
функцией по t в малом эллипсе Лемана A5.2).
15.2. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
А. Основные этапы вывода дисперсионных соотношений. Отправной точкой
при установлении аналитических свойств двухчастичной амплитуды по пере-
переменной s (при фиксированном t) служит формула частичной редукции (типа
A2.98)), осуществляющая выход в комплексную область по импульсам р2,
pi, при этом импульсы plt р3 (а с ними и t) остаются физическими. Однако
получаемая таким образом область аналитичности по р2, р* не пересекается
с комплексифицированной массовой оболочкой р\=т\, р\=т\.
Метод, предложенный Боголюбовым, состоит в следующем. Замечается,
что при некоторых отрицательных значениях р\ и р\ (т. е. при «нефизиче-
«нефизических массах») и при некоторых значениях t имеется достаточно обширная
область аналитичности по s (именно, плоскость с двумя вещественными раз-
разрезами), позволяющая написать при этих нефизических массах дисперсион-
дисперсионное соотношение по s (пп. 15.2.Б, 15.2.В). Тем самым амплитуда выражается
через свои скачки на разрезах (отличающихся множителем от абсорбтивных
частей амплитуды соответственно s- и u-каналов). Дальнейшая программа
сводится к установлению аналитических свойств абсорбтивных частей ам-
амплитуды по переменным р\, р\ и продолжению дисперсионного соотношения
к физическим значениям масс. Здесь пригодны методы § 15.1, которые выяв-
выявляют аналитичность абсорбтивной части сразу по трем переменным, р\, р\, t.
Результирующая область аналитичности (п. 15.2.Г) оказывается больше,
чем для амплитуды (благодаря тому, что абсорбтивная часть — в отличие от
амплитуды — удовлетворяет двукратному представлению ИЛД); в частности,
область аналитичности абсорбтивной части по t при физических значениях
р\, р\ есть так называемый большой эллипс Лемана S(s). Последний этап
(п. 15.2.Д) — аналитическое продолжение по р\, р\ в дисперсионном соот-
соотношении — можно провести не для всех процессов и не для всех значений t.
При определенном ограничении на массы и пороги s- и м-каналов имеется
интервал (тт!п, ттах) физических значений t, для которых справедливо дис-
дисперсионное соотношение по s при физических значениях масс.
Ввиду известной? громоздкости вывода дисперсионных соотношений мы
ограничимся случаем скалярных частиц (хотя методы и результаты перено-
переносятся нагслучай частиц произвольного спина).
Б. Выход в комплексную область по импульсам р2, /?4. Воспользуемся
формулой редукции A3.102) при Pj^G^. (/=1, 2), pj^GZ.. (/ = 3, 4):
Bл)\8 (рх + р2 + ps + pj<r (piy p3, pt, Pl) = б^а (pt) 6+4 (Pi) x
x{(j>l—ml)(pl—rriZ)<4,(P,)A{yM; ф, (р,)) <Pi Ы >.} ¦ A5.50)
Представление ИЛД, примененное к опережающему коммутатору, выражает
амплитуду как граничное значение аналитической функции по р2:
A5.52)
495
<@~(Pi, Pa> P2> Pi) = $ma (Pa) 6m. (Pi) ^lm П(Рз' Рг + 'Т, Pi)'
ГДР
Аналогичное представление, очевидно, имеет место для матричного элемента
коммутатора токоподобных полей /4 и /2:
<Ъ(Р»)[]М. f2(P2)]fi(pi)>o = B3tL6(/o1+...+p4)gr(p3, р„ Рг), A5.53)
где
g(P3, P» Pi) = \?(p2—p20)b((p2—Pd2 — ty4(p3, pi, Pu tydtp'tdX. A5.54)
Точки р2 из прошлой и будущей труб Tf = М + гУ± заведомо попадают в
область аналитичности /i(p3, Pa. Pi) (по Рг)> гДе имеет место инвариантное
представление
h(p3, р2, рг) = б+а (р3) 8"t (pj) Г (s, 2, ?a, ?4); A5.55)
здесь
Pi€r-t, p3?T+t, pt и р3 неколлинеарны, A5.56)
С. =- pi, ?«-pJ. A5.57)
Инвариантная амплитуда T(s, Л ?2, ?4) является распределением по ^ и
аналитической функцией по s, ?2, ?4 в области в С3, содержащей по край-
крайней мере множество значений (s, ?2, ?4)> принимаемых величинами (pi + P2J>
Рз, pi\ когда р1 € Г"^ р3 6 Г^з, р2 G ?Y U 7"Г при фиксированном значении
При выводе представления A5.55) можно перейти в систему отсчета, связанную с р2 и р3,
например, полагая, что —рг и р3 направлены соответственно вдоль векторов е0 и е3- Тогда усло-
условие лоренц-инвариантности сводится к 0+ B)-инвариантности h (p3, p2, pi) по компонентам р\ и
р-2 пгктора р%. Дальнейшая аргументация такова же, как в п. 15.1.В. Достаточно ограничиться
точками, где р\ =? 0; перейдя в инфинитезимальном условии О+ B)-инвариантности от р\, р\
к новым переменным (piJ + (ргJ и р». убеждаемся, что h(ps, p2, pi) зависит от р\, р\
только через комбинацию (piJ-\-(рТJ¦ Теперь остается выразить р, pi, p\, (plJ-\-(plJ
через инварианты s, t, g2» Zt-
В соответствии с п. 15.1.А М12 будет обозначать нижнюю границу не-
непрерывного спектра масс в подпространстве векторов вида []\(х2) (PiO^) u(xlt
х2) йхгAх2\0). Кроме того, мы предполагаем, что в интервале @, М12) имеется
не более одной дискретной точки Шц оператора массы в рассматриваемом под-
подпространстве (другими словами, имеется не более одного связанного состоя-
состояния *) в s-канале). Тогда для первого слагаемого в левой части A5.53) мы
можем написать инвариантное представление
<Фз (рз) /~4 (pt) i» (Pi) «Pi (Pi)>0 = B"L s (Pi + • • • + pj. X
,(pS, p$ + -Las{s, t, p\, p\)}. A5.58)
Величины Bs(pt, pi) и As(s, t, p\, p\) снабжены еще нижним индексом s
(который не следует отождествлять с переменной s), указывающим на отно-
отношение их к s-каналу. В инвариантной амплитуде явно выделен вклад от (воз-
(возможного) связанного состояния в s-канале, поэтому носитель Аа сосредото-
сосредоточен при s^M\2. Для второго слагаемого левой части A5.53) имеем подобное
представление:
<Фз (p.) L (pt) U (Рд «Pi (pi»o = BлL s (Pi + • • • + Pi) X
-mli)Ba(pl pt) + ±An(u, t, p\, p\)}, A5.59)
причем носитель Аи сосредоточен при и~^М\^. Напомним, что (согласно
G.184)) переменные s, t, и здесь связаны соотношением
C«. A5.60)
*) Случай нескольких связанных состояний совершенно аналогичен.
496
В связи с разложениями A5.58), A5.59) следует еще [заметить, что
Bs(U> ?4) и Ba(Zt, ?4) не зависят от t.
Поясним это для Bs. Пусть связанное состояние в s-канале соответствует бесспиновой
частице с in-операторами рождения и уничтожения а*(р), а(р). Тогда его вклад в A5.58) равен
<Фз (Рз) h (Pi) a* (р)>0 <а (р)/2 (р2)~щ Ы>„ (dp)mn. A5.61)
Входящие сюда форм-факторы имеют инвариантные представления вида
<а (Р) ?2 (Р2) Ф1 (Pi)>o = BяL б (р! + р2 + Р) бш, (pi) gi (pi).
Подставляя их в A5.61) и выполняя интегрирование по р, мы получаем следующее выражение
для A5.61):
BяL б (pi + р2 + Рз + р4) бт3 (Рз) бш, (pi) б„„ (pi + Рг) ft (pi) g* (pf) •
Обратимся к представлению A5.52). На основании п. 15.1.Б h{p?i, р2, р,}
аналитична по р2 в точках, удовлетворяющих условию
(Рг~РгJ — ^?=0 при всех p'zZQl-ps, —Pi], Ъ>кЧр1 + Р2> Pz + Рз),
A5.62)
где
У р3у). A5.63)
Оказывается, эта область аналитичности не содержит точек с физическими
значениями t, pi, pf.
Действительно, m12 (а также /И12) не превосходит (mi-f-m2) Л (тз + т4), значит, тц
не превосходит полусуммы масс всех частиц в реакции. Фиксируем точку рг= —х/г (Pi + Рз)-
Тогда т12 -V {р! + р2J<т12 — 1/2(т1-\-т3)^1/г(т2 + т4). Аналогично т12 — V (р-г
и, значит, х в A5.63) не превосходит 1/2(m2 + m4). Рассмотрим теперь фигурирующее в
A5.62) выражецир (р2 — ргJ при том же значении р2. При физических значениях t, p2, pi
это положительное число, не меньшее 1U(m2\-miJ; следовательно, в таких точках условие
A5.62) не выполнено. Очевидно, что этот вывод не связан с наличием или отсутствием свя-
связанных состояний в s- или «-канале, так как замена т12 на М12 и т,. на Ми не отража-
отражается на этом рассуждении.
В этом пункте мы ограничимся нефизическими (точнее, отрицательными)
значениями параметров ?2, ?4-
Лемма 15.2. Инвариантная амплитуда T(s, t, ?2, ?4) A5.55) анали-
аналитична по s, t,2, ?4 в точках, удовлетворяющих условиям
\V~=b2-\r^\<V~t<V=l, + V^, A5.64)
Ims^O A5.65)
(здесь 12, ?4, / < 0).
¦^ Пусть условия A5.64), A5.65) выполнены. Достаточно указать четверку 4-векторов
(Pi р4) (с суммой 0) таких, что выполнены условия A5.56), A5.57), Рг?Т\{}Тг (ра-
(разумеется, при этом / = (Р1 + РзJ = (Р2-ЬР4J> 5=(Р1 + РгJ)- Для определенности мы будем
считать Im s = b > 0. Очевидно, существует интервал 0 < б < 60 ('• S2. Zi) значенш1! 6, при
которых наряду с A5.64) выполняются также неравенства
\
Будем интерпретировать его как неравенство треугольника. Тогда из него следует сущест-
существование двух векторов р2, Pt^R3 таких, что
Положим теперь
/>2 = ( — /б, р2), р4 = ((б, р^.
Ясно, что р2?Тх, (р2-Ьр4) =/,р| = ?2» р! = ?4- Заметим, что пока б не фиксировано; ниже
мы воспользуемся тем, что оно может быть сколь угодно малым; векторы же Pz^fcfi)
и pt = рг (б) можно выбрать как функции от б, имеющие пределы при б —*• 0. Далее
положим
Pi=(-6/26, /h), Рз = F/2б, -Px-Pi-Pi),
где /»!—вектор из R3 такой, что
| рг |» = F/26J -ml \Рг+р2 + рЛ2=(Ь1Щ2-т9, | Pl + p2 |2 = F/26)^62-Re s. AБ.6Г)
497
Если такой вектор Р\ существует, то тем самым мы построили искомую четверку импуль-
импульсов pi, ..., р4. Условия A5.66) определяют расстояния от точки р% до трех («почти фикси-
фиксированных» в пределе 6—»¦ 0) точек в R3, а так как эти расстояния неограниченно возрас-
возрастают и разность между ними стремится к нулю при б—>0, то ясно, что такая точка р\
существует при достаточно малом 8/Ь. >
Замечание. Из доказательства леммы 15.2 можно извлечь еще такой вывод: для
достаточно малой окрестности в СХ R3 произвольной вещественной точки (S(o), ^<о)> ?2(о>» ?4(р>).
удовлетворяющей условию A5.64), существует непрерывное отображение (s, t, ?г> Zi) -*~ (Pi>
Рг> Рз> Pt)> гДе (Pi, • ¦ ¦ г Pi) есть четверка 4-импульсов с суммой 0, удовлетворяющих условиям
A5.56), A5.57), t=(p1Jrp3)i, s=(Px+P2J> причем Im/?2=0 (gK+, ?V~), если выполнено соот-
соответствующее условие Im s=0 (<0, >0).
В. Дисперсионное соотношение при нефизических «массах». Мы видели,
что при t, ?2, ?4 в области A5.64) амплитуда T(s, t, ?2> ?4) аналитична по s
(по крайней мере) в плоскости с разрезом по вещественной оси. Это необхо-
необходимое свойство для написания дисперсионного соотношения, которое выражает
Т через ее скачок на вещественной оси. Но из приведенных выше рассужде-
рассуждений еще не следует полиномиальная ограниченность амплитуды по \s\ и по
|Ims|~\ что также необходимо для определения дисперсионного интеграла.
Кроме того, требуется еще установить связь скачка амплитуды с коммута-
коммутатором A5.53). Для получения необходимой информации воспользуемся пред-
представлением ИЛД A5.52).
Ниже мы считаем, что импульс р2 содержится в трубе Т\ или 7\~ (каж-
(каждая из которых входит в область аналитичности амплитуды) и что переменные
t, ?2, ?4 отрицательны и пробегают область A5.64); при этом переменная s
пробегает полуплоскость Im s<0 или Im s>0 (в зависимости от того, содержится
ли р2 в Tf или в 7*1). Перейдем в соотношении A5.52) в лабораторную систему
частицы 1 (где/?1=0) и направим ось 3 вдоль р3. Для импульсов в этой системе
имеем следующие выражения через инварианты s, t, ?2, ?4:
Pl = (—mu о, 0, 0), Ра = ( 2m ' 0> °' ^J—ml)
Р% ~ о :—"> Plz=—з BргРз ~Ь s 4" ^—/П?—?4I (РгJ == (РгJ — ?г> A5.67)
р2 = —(Р? + р!! + р!!)> Р\ = — (pl + Pl + pl), (PiY^iplY — Zf
Поскольку t < 0, то в этой системе координаты р°, р* всех импульсов ре-
регулярно выражаются через инварианты s, t, t,2, ?4. Зависимость от импуль-
импульса р2 в A5.52) сосредоточена в выражении ((р2—р2J^^), в котором ве-
величины (р2J, pi, р\ регулярно зависят от инвариантов, в то время как
двумерное скалярное произведение р2р2 не выражается через них (здесь по-
посредством р обозначена проекция 4-вектора р на плоскость A, 2)). Чтобы
исключить это скалярное произведение, воспользуемся инвариантностью
спектральной функции *F (p3, р2, рх, к). Сделаем в A5.52) замену перемен-
переменной р2—'^?~1(ф)'р2 и проинтегрируем по ф от 0 до 2я, где i? (ф)—враще-
(ф)—вращение на угол ф в плоскости A, 2). В силу лоренц-инвариантности спектраль-
спектральной функции имеем
h(p3, р2, Pi)=\Y(s, t, l,2, ?4; р2, k)W(p3, p2, pi, к) d^p^k, A5.68)
где
2Л
Y(s, t, ?2, ^4; р2, Я)=^ [(^(ф)р2—piJ — Щ'1 dx<P- A5.69)
о
Явный вид Y находится с помощью интеграла *)
2Я
^. п\ — 1 /4 ггу / 2 А2 2\ ~ V /1 ^ 7П\
*) Вообще говоря, такой интеграл равен либо нулю, либо ±(а2—Ьг—c2)"z, но соображе-
соображения аналитичности по s (и то, что Y^sO) исключают первую возможность.
498
так что
Y(s, t, ?„ С; pi X) = G(s, t, ?,, ?4; pi, Я,)-/., A5.71)
где
G(s, t, l2, ?4; pi X) =
][(p'ir + (p'lY] A5.72)
(детали, связанные с выбором знака корня в A5.71), обсуждаются ниже после
формулы A5.77)).
Обратимся к свойствам функции Y. Из представления A5.69) видно, что
она аналитична в трубах Г±, следовательно (как и амплитуда в лемме 15.2),
она аналитична по s при Ims^O. Поскольку G(s, t, ?2, ?*", pi Ц есть квадра-
квадратичный полином по s с вещественными коэффициентами (зависящими ^"-об-
^"-образом от остальных переменных), то из аналитичности G~l/2 по snpn Ims =^=0
следует, что оба корня этого полинома вещественны и что Y допускает равно-
равномерную оценку по s типа |У|«:Л llmsl. По остальным переменным она при-
принадлежит классу %**. Более того, по (pi X) она принадлежит классу <?P(Q\—р3,
—Pilx[0, oo]) и, как нетрудно убедиться, любая ее полунорма в этом классе
функций ограничена по модулю выражением вида
A'{l + \s\y\ Ims|-* A5.73)
равномерно по s (то же имеет место при замене Y любой ее производной по
параметрам t, ?2, It в области A5.64)). Из представления A5.68) теперь сле-
следует, что Т (s, t, t,2, ?4) после сглаживания с произвольной основной функцией
по переменным t, ?2, ?4 класса 3) в области A5.64) становится аналитической
функцией по s при Ims=^=0c оценкой типа A5.73). Согласно п. Б.5 для нее
существуют граничные значения при Ims^-±0 в классе <Sf" (/?<») и справед-
справедливо дисперсионное соотношение, выражающее ее через скачок класса &" (/?«,).
Таким образом, мы получили дисперсионное соотношение для T(s, t, 1,2, С4):
T(s, i, Zt, U = HA(S'\l'J2s' Q ds', A5.74)
где величина A (s, t, Z,2, t,t)> называемая абсорбшивной частью амплитуды,
является обобщенной функцией по s класса &" (/?«>) (см. п. А.З) и распреде-
распределением (класса &)') по t, t,2, ?4 в области A5.64). Она пропорциональна скачку
амплитуды T(s, t, lit Q:
A(s, t, l,, У=4(Г+E, t, gtt tJ-T-is, t, b, S.)), A5.75)
(где T±—граничные значения Т при Ims—>±0—определены в соответ-
соответствии с п. Б.5).
Остается установить связь абсорбтивной части амплитуды с матричным
элементом коммутатора:
8тг(Рз) 8mt(Pi) Л (S, t, t,2, t,i) = 1/2g(p3, Ps, Pi)-
Для этого заметим, что из перечисленных свойств функции Y следует существование
ее граничных значений Y± (s, t, ?2, ?4; р2, Я) в классе &" (R) (более того, в классе <!f' (/?„))
при Im s—> ± 0:
Y±(s, t, ?2> ?4; pi k) = G(s± i0, /, 1г, 1г; pi X)"U. A5.76)
Для них мы имеем также выражения
2Л
( P:d2~X]-1dl4>. A5.77)
Действительно, из формулы A5.70) следует, что интеграл в A5.77) есть выражение вида Q~XU,
где Q — квадратичный полином по s, коэффициенты которого стремятся к коэффициентам поли-
полинома G(s, t, S2. S4: Р'2> ^) ПРИ У-*-0- Остается убедиться, что в A5.71) и A5.77) мы имеем дело
с одной и той же ветвью корня G~'^2; для этого достаточно проверить, что A5.71) и A5.77) имеют
499
одинаковые фазы в точках регулярности по s, а это опять же следует из формулы A5.76) и из
того, что стремлению у —>-0, y^V7?, соответствует стремление Ims->- ±0 (см. замечание в
п.15.2.Б; сделанный там вывод не зависит от выбора лоренцевской системы отсчета и, в частно-
частности, применим в используемой здесь лабораторной системе). Используя выражения A5.77) для
У±, мы можем теперь с помощью представления A5.68) написать для скачка h(p3, р2, рг) при
Ims=0 выражение
2л J(e(p»_/»N((i?(?)p2-P2J-X)Y(p2> pi ри X)
о
откуда следует формула A5.75).
Подставив в A5.75) выражения для g, следующие из A5.58), A5.59),
мы получаем соотношение
причем это равенство имеет место лишь при s=?oo (так как в окрестности s=oo
правая часть его — в отличие от левой — не определена). Первые два слага-
слагаемые в A5.78), имеющие происхождение от наличия связанных состояний в
s- и u-каналах, дают полюсной вклад в амплитуду рассеяния, соответственно,
в точках s—mlz, и=т^.
Зафиксируем полученный предварительный результат в доказательстве
дисперсионных соотношений.
Лемма 15.3. Амплитуда двухчастичного процесса выражается форму-
формулами A5.51), A5.55). При этом инвариантная амплитуда T(s, t, ?2, ?U) ана-
литична при «0 по s, ?a» ?4 в области, которая содержит все точки, удов-
удовлетворяющие условию A5.64), A5.65). В этих точках справедливо дисперсион-
дисперсионное соотношение A5.74), где абсорбтивная часть A (s, t, ?2, Q амплитуды
является обобщенной функцией по s класса 3" (/?„) и распределением по t, ?8, ?«
в области A5.64); при s^oo имеет место соотношение A5.78).
Г. Аналитические свойства абсорбтивнои части амплитуды. Для выраже-
выражения A5.58) воспользуемся дважды (по рх и по р3) формулой в редукции A3.104):
С 4
<Фя (Рз ) h Ы L (pt) 4>i[(Pi)\ = Sm3 (Pz) ?i, (Pi) [ П ip) — mf) X
x <A (ф, (р3); ф4 (р4)) А (ф, (Pt); щ (Pl))\ j . A5.79)
Двукратное применение представления ИЛД к опережающим коммутаторам
приводит к формуле
<Фз (рз) L (Pi) h (Рг) Ф1 (Oi)>o =
б+з(р3)8ш1(р1)^«ЛР4. •¦•, Pi). A5-80)
где
4(pi PJ P1 + P2, К
-j
]
A5.81)
По 'переменной pi + p2 носитель as(p4, ..., рх) (а также W) сосредоточен
на множестве Г^, и^ш12- Согласно п. 15.1 .Б из представления A5.81) сле-
следует аналитичность as(pit ..., pt) по р2, р4 в области, определяемой усло-
условиями
2—Рд2 — ^#0 при всех p'2?Q[— рз—Pi, 0], ^>^1Лрз +pt +pi р'г),
A5.82а)
— piJ — ц^=0 при всех p't€Q[0, — р±—р2], \1^к2^(р1, Pi + p^ + pl),
A5.826)
где
A5.83a)
A5.836)
¦Перейдем к характеристике области аналитичности в инвариантном пред-
представлении:
s(s, t, ?,, ?,). A5.84)
Для наших целей достаточно считать лишь одну из переменных ?2, ?4 неза-
независимой, поэтому мы положим
/ = 2,4, A5.85)
при этом нас интересуют главным образом вещественные значения параметра
?<0 (массовой оболочке теперь соответствует его значение 0). В системе цент-
центра масс(/>1+/>а=0) импульсы допускают параметризацию типа G.185). Теперь
нулевые компоненты E}(s, ?) и квадраты трехмерных импульсов Kl2(s, t),
K|4(s, ?) зависят еще от параметра ?:
A5-86)
(s, S) = i (s2 + ml + Ц
2V s '
?2—2m.lt»),
A5.87)
{Заметим, что К\2 и Kit могут принимать также отрицательные значения.)
Поскольку мы теперь допускаем комплексные импульсы, трехмерные векторы
«i2 и «34 принадлежат комплексной квадрике CS*.
С помощью рассуждений п. 15.1.В находим, что as(p4, • • ., Pi) аналитично
по «i2 в области
I Re ni21 < xlt (s, Q при~ Kb (s, О > 0, A5.88a)
\lmnlt\<xlt(s, t) при Kh(s, ?)<0, A5.886)
где
A5>89)
нижняя грань берется по множеству точек и С М таких, что | и01 +1 v \ ^V s/2;
k(v, s) определяется формулой A5.42). Для х12 имеем формулу типа A5.4):
х» (-S 0 = sgnKlt + \Kupis
Точно так же as(p4, ..., px) аналитично по л34 в области
|Re«34|<A:34(s, ?) при /Cf4 (s, С) > 0, A5.91а)
|Im«34|<x34(s, I) при /(^(s, ?)<0, A5.916)
где
x3i(s, g-sgnA34+ |/Сз4|2E_(Мз„М4J)- (Ао-У^)
У пр аж не ние 15.7. Учитывая определение A5.43), доказать, что множество ком-
комплексных чисел
{г: г = /ия, mgs)j(a), «gi)J(a')} A5.93)
есть эллипс с фокусами в точках ± 1 и с большой полуосью ch(a + a'). (Указание: поль-
пользуясь формулой A5.46), множество A5.93) можно записать в виде
U {г: z = mRa№n, m^S2, п?Ш (a')}; A5.94)
501
входящий сюда вектор R3(i$)n принадлежит 9?(а+а')> так как
| Im /?3(i'P)«|<ch P-|Im«| + shP-lRe«| < sh
На основании упражнения 15.6 (в) множество A5.93) содержится в эллипсе с фокусами ± 1
и с большой полуосью ch(a-f-a'). Обратно, всякая точка из этого эллипса представима
в виде z = mRs(iy) <?i. где 0<Y<a + a'; ее, очевидно, можно записать в виде
г = /и/?з (<Р) #з №) <?i. где 0<р" < а, 0<E' < а', так что г принадлежит множеству A5.94).)
Из упражнения 15.7 следует, что при s^m\2 As(s, t, ?2, ?4) анали-
тична по ? и ? в области, содержащей точки ^^0, ^?<?12,3i(s, С). ГДе
^12,34 (s> С)—большой эллипс Немана с фокусами в точках
t±(s, Q = ml + ml-2E1(s, ?)?,(s, ?)± 2^,(8, ?)/CM(s, ?) A5.95)
и с большой полуосью
2|/C1I|.|/C,4|ch(a11 + a,1), A5.96)
где
J sha^f
при Kh<0 [x3i при /C§4 <
°' A5.97)
0. '
Большой эллипс Лемана непуст, если оба числа а12, <x3i, определяемые
посредством A5.97), положительны, что равносильно условиям
s— (Alx — Al2J ¦' s — (Als — Al4J
A5.98)
Мы будем предполагать, что они выполнены при всех ? <! 0, s ? {/n22} U [М22, оо).
Упражнение 15.8. Пусть
m/<mft при / = 2,4 и А=1,3. A5.99)
Доказать, что для выполнения условий A5.98) при ?<0 необходимо и достаточно, чтобы
они выполнялись при ? = 0:
ft-2 (ай( ^ /Л ¦ (Ali-m2)(Al|-ml) ^ п 2 , „2 /-Л , (Ml-ml)"(Al|-m|). Л
А12 (S) О (,—Ai2 (S)) -\ Тд-j ТТТ» > U> Аз4 (Sj О ^—Д34 (S)) -\ ttj .. ,„ >U
S — (All — J) s — (A»8 — AIJ*
A5.100)
при s = m22 и s^Ali2- (Указание: из A5.99) следует, что /Ci2 и /Сз4 убывают при возра-
возрастании ?.)
Вещественные точки большого эллипса Лемана ?\2% 3i (s, ?) образуют
интервал (%1(s, ?), xs(s, D) с концами
где
l(s, ?) = | "¦'"¦¦ ~ — ' - ¦-
34) при /Ci2/C24 < 0,
или (учитывая A5.97))
Подставляя сюда A5.90), A5.92), получаем
(All-ml) (Ml- g2) (All-ml) (м!-Ь
1 1<а
J
з4+ s-(Als-Al4J
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 15.4. Пусть при (фиксированном) s^M\2 выполнены усло-
условия A5.100). Тогда абсорбтивная часть As(s, t) амплитуды процесса A5.1)
аналитична по t в большом эллипсе Лемана $ (s) = ^l2, 3i (s) с фокусами
t±(s) = ml + ml-2E1(s)E3(s)±2Kli(s)K3i(s) A5.104)
502
и с вещественным интервалом (%i(s), %2(s)) {концы которого определены по-
посредством A5.102), A5.103) при t2 = ml, it = ml).
В частности, при s > sphys большой эллипс Лемана можно записать
в виде
«?12,31(s)={^C: |/-Ws)| + |f-*max(s)|<4/C12(s)*,4(s)X(s)}, A5.105)
где
) I1
m;) 1 l/2 A5 lQ6)
J) J
Относительно значений s в окрестности m\2 мы знаем (из представления
A5.84)), что as(pi, ..., р±) зависит лишь от ? и не зависит от t, так что
для s область аналитичности абсорбтивной части (при выполнении условий
A5.98)) содержит точки ?^0, t?C. Что касается значений s^Mf2, то
область аналитичности As(s, t, t,2, ?4) содержит по крайней мере вещест-
вещественные точки ?<;0, t^{x1, т2), где
TlS=supxi(s, ?), т2= inf Xa(s, ?); A5.107)
S>M12 s^Alf2
очевидно, что этот интервал (х1У т2) непуст лишь при условии
т^т,. A5.108)
Упражнение 15.9. (а) Доказать, что
т2<0. A5.109)
/Указание: ]im %2 (s, Q^0.\
^ s->co '
(б) Доказать, что в случае квазиупругого процесса имеет место равенство
т2 = 0. A5.110)
(Указание: в рассматриваемом случае %2 (s, ?) = 2 (м\—tnf) {м\ — т% — t)[s—(Mi — МгJ].)
(в) Пусть выполнены условия A5.99). Доказать, что тогда
Xi= sup xi(s. ml). A5.111)
s>M22
(Указание: из условия A5.99) следует, что Е% (s, ?,) и Еа (s, J) убывают при возрастании ?;
вместе с ними убывают также /Cia (s, S), /Сз4 (s, ?) и (в силу A5.103)) Я (s, Q; следовательно,
верхняя грань по ^ в A5.107) достигается при ? = 0.)
Лемма 15.5. При выполнении условий A5.98), A5.108) абсорбтивная
часть A5.84) амплитуды двухчастичного процесса {продолженная за массовую
оболочку), аналитична по {t, С) в области, содержащей точки t?{xt, т2), ?«:0.
Более того, при любых Л<0, t? {xx, т2) область аналитичности As{s, t, t,2, ?4)
по ? содержит множество
A<Re?<e, llmEKe, A5.112)
где е=е (Л, ^)>0 зависит {непрерывно) от A, t и не зависит от s.
•^ Первое утверждение леммы было установлено выше. Из него следует, что множество
вида A5.112) входит в область аналитичности As(s, t, ?2, ?4) п0 S прилюбыхЛ<0, г?(тъ т2),
s^M22, однако с е^е(Л, t, s)>0, (непрерывно) зависящим от Л, t, s. Таким образом, остается
доказать, что е можно выбрать не зависящим от s. Очевидно, на любом конечном интервале Д
изменения s зависимость е от s можно устранить (заменой е на inf e), поэтому ниже мы некото-
рым образом фиксируем s0 и считаем, что ^0
До сих пор для характеризаций области аналитичности по t, ? мы ограничивались веще-
вещественными ?. Зафиксируем <€(Ti> T2)> Л<0 и будем считать теперь Z, комплексным в прямо-
прямоугольнике A5.112) с некоторым параметром е из фиксированного интервала 0<е<е0. Теперь
вместо A5.88), A5.89) относительно области аналитичности а^(р4, • • • , Pi) по л12 можно утвер-
утверждать, что (при достаточно большом s0 и s~^s0) она содержит по крайней мере точки из CS2 та-
такие, что
I Re и121< glt (s, ?), A5.113)
503
где
^1^ (^ЬЬJ J A5.114)
(обозначения те же, что и в A5.89)). Учитывая явный вид Л|2 (s, ?), нетрудно оценить
снизу правую часть A5.114) при s > s0:
«"('¦О5* У 214 *»(«, Re [ ^t)
A5.115)
(где константа Ci зависит от /, Л, е0, s0). Нижняя грань в A5.115) по тем v, у которых
\v\ > а (где а > 0—фиксированная константа), легко оценивается снизу выражением
x12(s, Re 0— C28s~2. A5.116)
Чтобы получить такую же оценку для g(s, ?), остается рассмотреть множество тех у
в A5.115), у которых | v | < а. Оно распадается на три части (при достаточно большом s0):
i, где х= M2 — V (V~s/2 + v°J~\ v |2,
A5.117а)
\v\\ гдех(в, s) = 0,
A5.1176)
V~s/2~VM2+[c|2 < 40k<>^l/2 — |» |, где к (y, s) = УИХ—
A5.117b)
В интервале A5.116а) переменная а>)= V^ s/2-f-y° ограничена равномерно по s, и выражение
под знаком inf в A5.115) на этом интервале приводится к виду
/ w \
слагаемое —Cxss здесь можно [объединить с —I 1— у— ) Re ?2. и мы получаем, что
нижняя грань в A5.115) по множеству A5.117а) ограничена снизу выражением
/Ci2 (s, ReQ^Kuis, ReS + C3ss-1)x12(s, Reg + Cses), A5.118
где С3—некоторая константа. На втором интервале A5.1176) выражение под знаком inf в
A5.115) есть квадратичный полином по и0, принимающий минимум на одном из концов интер-
интервала (т. е. либо на множестве A5.117а), либо A5.117в)), поэтому его можно отдельно не рас-
рассматривать. Наконец, для нижней грани по множеству A5.117в) имеем нижнюю оценку типа
A5.118), только теперь вместо добавки к Re ? следует сделать добавку к т\.
/Cu(s, ReJQ-4/Ci,(s, Re9*12(s, Re?) ^_п1+с^-Л- A5.119)
Оценки A5.116), A5.118), A5.119) в совокупности дают оценку для g (s, Q в A5.114):
gi2(s, ?) 3s x12(s, ReO-Ces-2. A5.120)
Аналогично, в той же области изменения s, t, Z, функция as(pt, ..., pj) аналитична по И34
на множестве
!Re«34|<g34(s, t), A5.121)
где
, ReO-C'es-2. A5.122)
Из, 15.120), A5.122) следует, что область аналитичности As(s, t, S2, ?4) по t при s^s0 и
при ? из прямоугольника A5.112) содержит множество, отличающееся от большого эллипса
Лемана (§lit 34 (s, Re ?) сколь угодно мало (при достаточно малом s) и равномерно по s>s0;
в частности,' при достаточно малом е она содержит точку t (вместе с некоторым интервалом в
(Ti> тг)). общую точку всех эллипсов (§12л 3i (s, Re ?) при s^M*2, Re ?<?e. Это завершает доказа-
доказательство леммы. >
Замечание, но построению функцийg12(s, ?), g34 (s. ?) неравенства A5.113), A5.121)
обеспечивают выполнение условий A5.82). Можно было бы наложить более сильные условия
на я12, л34:
!(p»-pi)"-*.|>aes-1, |U->IJ-(i|>S8S-i A5.123)
при всех pi, р'2, X, ц, s из носителя спектральной функции в представлении A5.81)
(о носителе спектральной функции Т см. замечание п. 15.1.Б). Для выполнения их по
прежнему достаточно предположить, что Пц и я34 удовлетворяют неравенствам A5.113'*.
A5.121), но с измененными g12, g3i. Например, gi2(s, ?) теперь имеет оценку снизу типа
504
A5.115), но с несколько большей константой С\. Ясно, что эффект этого изменения g12,
gai не существен, так как (после переопределения констант С и С) они по-прежнему будут
удовлетворять оценкам типа A5.120), A5.122).
Для абсорбтивной части
аа(р>, ¦¦-, p1) = n8(u-mtl)Bu(t>2, U + Au(u, t, ?lf ?4), A5.124)
связанной с н-каналом и определяемой формулой A5.59), справедливы ана-
аналогичные результаты, которые получаются заменой обозначений.
Теперь переменная и (связанная с s, t, ? соотношением A5.60)) принимает
значения u=m?4 и u^Mtl. Чтобы большой эллипс Лемана $lit 23(u, ?), свя-
связанный с u-каналом, был непуст, будем считать выполненными условия,
аналогичные A5.98):
!U) n «л, v-2 \ , (Ml— ?а) (Ms —ml) л
>0 ^9(/С)+ >0
A5.125)
при S<0, и € {/Им} U [Mi4, °°); здесь К\х{и, I) и /C|s(«. D определяются
посредством
/Cf4 (и, S) = 1 («2 + т\ + Ц-2ит1-2иЪ-2т%4),
. ^15.126)
К223(и, t) = ±(u* + i 2l2l)
При ^^0, и^М2и абсорбтивная часть ы-канала Аа(и, t, ?2, ^4) аналитична
по t в большом эллипсе Лемана ^>14,2з (ы. У с фокусами в точках
4(и, S) = ^f + «i-2?i(«. 0^з(«. ?)±2/С14(и,О^м(и,Е) A5.127)
и с вещественным интервалом (%i(H> ?,), %г(и, Z)) с концами
Xu(«. C) = /nJ + m5-2?i(", 0^з(«, 0Т2Г(и, ?). A5.128)
Здесь
U+^U U+"^?t. A5Л29)
В частности, при ? = 0, и > Mphys = {тх-f/п4J V {Щ + ЩJ большой
эллипс Лемана ^14,2з (и) имеет вид
<^14,2з(н)= {t G С: | t — ^min(")| + | t — ^max(«) I < 4/Ci4 (u) Ki3 («) ^i4,23 («)},
A5.131)
где
u)±2KU(u)K'i3(u), A5.132)
4'2
¦]'
_l_ Г i I (All — m2)(Af4 —ml) "|1//2Г1 , {М.% — ml) (Ml — ml) "l1^2 ,«-
L /C24(«)(u-(Ali-AJ4J) J L Я24(ы)(ы-(А12~Л1зJ) J
Интервал (ti, т2) общих вещественных точек эллипсов ^>14,23 (и) при
; ^ ml, u^M\t определяется формулами
<- sup %[(и, ?), т;= inf х1(«. О- A5.134)
?< о 5< °
505
Положим
Ti V^i, ттах = т2Л<. A5.135)
Тогда приведенное выше рассмотрение показывает, что при выполнении
условий A5.98), A5.125), а также
тт1п<ттах A5.136)
все величины, BS(Z2, ?4), Ва&2, ?4), As(s, t, t,2, ?4), Aa(u, t, ?2, ?4), входя-
входящие в правую часть дисперсионного соотношения A5.74), аналитичны по t,
Z, в области, содержащей точки t?(xmin, ттах), ?^0; более того, при любых
Л < 0, t ? (тт1п, ттах) область аналитичности по t, содержит множества
вида A5.112).
Упражнение 15.10. Пусть для квазиупругого процесса выполнены условия
И
(|5|37)
Доказать, что тогда
1 Х2 А М 1J
г2
(Указание: из A5.137) следует, что верхняя грань в A5.111) достигается при s=MX2', ана-
аналогичное утверждение справедливо и для xi-)
Д. Дисперсионное соотношение на массовой оболочке. Перейдем к анали-
аналитическому продолжению по массам в дисперсионном соотношении A5.74);
при этом (как и в предыдущем разделе) посредством A5.85) мы вводим один
массовый параметр t вместо ?s, ?4-
Прежде всего следует придать смысл правой части A5.74), когда t, из-
изменяется в прямоугольнике A5.112).
Лемма 15.6. При выполнении условий леммы 15.5 абсорбтивная часть
•<4s(s, t, l>t, ?«) амплитуды двухчастичного процесса (продолженная за массовую
оболочку) является обобщенной функцией класса <&" (\М\2, oo)) no s, зависящая
'б х-образом от параметра t? (тъ т2) и аналитическим образом от t из прямо-
прямоугольника A5.112), где е>0 — положительный параметр (непрерывно зави-
зависящий от A, t). В случае квазиупругого процесса то же самое справедливо, если t
пробегает полу замку тый интервал (xlt 0].
¦«4 В лемме 15.5 было доказано аналогичное утверждение, но только в классе S)'(R) по
переменной s, так что остается доказать свойство умеренности роста As(s, t, ?2> (U) по s- Посколь-
Поскольку здесь существенны лишь большие s, мы фиксируем (как и в доказательстве леммы 15.5)
достаточно большое s0 и будем считать, что si^s0.
Представление A5.81) в системе центра масс (и в параметризации типа G.185)) можно
переписать в виде
где
Здесь использована возможность усреднения по группе О+ C), предоставляемая О+ (З)-ин-
вариантностью спектральной функции г|) (р4, р2, s, Я, ц) по pi pi (Мы по-прежнему счи-
считаем, что ?2. g4 выражаются формулой A5.85) через один массовый параметр ?•) Функция
Q (p4, pi s, X, (г) учитывает свойство носителя спектральной функции: это мультипликатор
в пространстве
<F(MXMX[s0, oo)X[0, оо]Х[0, оо]), A5.141)
обладающий свойствами Q-aJs^= г]з и Q = 0 в Д (з)-окрестности носителя г|) по переменным
pi pi h № (см. замечание в п. 15.1.Б).
Как было указано в замечании предыдущего пункта, при sSss0 и я12, я34, удовлетво-
удовлетворяющих A5.113), A5.121), знаменатели в A5.140) обладают оценкой A5.123). С другой сто-
506
t, ?2, g4) = Г W (я12, я34> ?; s, pi pi Я, |i)i|) (pi pi s, X, ц) dtp'2 dl%dip'idi\i,
A5.139)
роны (в силу О+ (З)-инвариантности), функция A5.140) зависит от Пц, Я34 только через
¦скалярное произведение *) ПцПц и, значит,
W (я12, Ял. ?; Pi, Рг, s, Я, ]i)—w(t, g; pi, р2, s, Я, ц).
Как видно из доказательства леммы 15.5, при достаточно малом е > 0 здесь t может при-
принимать значения в (достаточно малой) окрестности производной точки из (т.!, т2) **).
Пусть / (s)— произвольная основная функция из gf ([s0, oo)). Тогда из упомянутой
¦оценки для знаменателей в A5.140), очевидно, следует, что произведение^/(s) w(t, ?,; pi, р'ц, s,X, ]i)
является основной функцией из пространства A5.141) по переменным р4, Рг, s, %, \i, завися-
зависящей от t, Z, как от параметров (зависимость от Z, аналитическая, а от t — класса <ё°°). Теперь
утверждение леммы следует из равенства]
s(s, t, UZi)f(s)d1s =
= ^ f(s)w (t, I; pi, р'г, s, X, |x) г|з (pi, p'2, s, X, |x) dip'i dip'2 dxs d
Выше мы для простоты предполагали, что ?2 и ?4 связаны соотноше-
соотношением A5.85). Очевидно, мы могли бы считать их независимыми в области
A<Re?,<mJ, | Im?,|< е, |?4 —?, —/п2 + /п||< в, A5.142)
где е = 8 (Л, t) (непрерывно) зависит от Л < 0 и t ? (тт-ш, ттах) (а в случае
квазиупругого процесса при t ? (тт1п, 0]); при этом вывод леммы 15.6 остается
справедливым. Утверждение, аналогичное лемме 15.6, имеет место и для
Аа{и, t, ?2, Q. Поэтому правая часть соотношения A5.78) является обоб-
обобщенной функцией из <&" (R) по s, зависящей ^"-образом от t ? (xmin, ттах)
(или от t ? (тт1п, 0] для квазиупругого процесса) и аналитически от ?2, ?4
в области A5.142). Обозначим через Аа) (s, t, t,2, ^4) ее продолжение до
обобщенной функции из <&" G?^) по s; такое продолжение можно осуществить
конструктивным приемом (см. упражнение А.5), в результате которого
Аа) (s, t, ?я, ^4) наследует ^"-зависимость от i и аналитическую зависи-
зависимость от ?2, ^4. С другой стороны, в п. 15.2. В была построена абсорбтивная
часть амплитуды A (s, t, ?g, ^4), являющаяся обобщенной функцией класса
&" СО по s и обобщенной функцией по t, t,it t,t в области A5.64).
Из A5.78) и из построения ЛA) следует, что при одновременном выпол-
выполнении условий t?(xmin, ттах), A5.64), A5.142) разность А — Аа) сосредото-
сосредоточена в s=oo; следовательно (на основании упражнения А.7), при замене А
на Аа) в дисперсионном соотношении A5.74) правая часть изменяется на
полином по s. Пусть степень этого полинома есть п—1, тогда
дп
Эта формула осуществляет аналитическое продолжение -^T(s, t, t,%, ?4) no s
с Ims>0 (или с Ims<0) и по ^2, ?4 в области A5.142). Из принципа
однозначности аналитического продолжения (и односвязности рассматривае-
дп
мой области изменения s, ?2, Z,t) следует, что функции ^ Т (s, t, ?t, g4),
определяемые равенствами A5.55) (при lmp2?V~) и A5.143а) (при Ims> 0),
совпадают в пересечении областей определения. В частности при ?2—>-/п|,
^4-—*1п\ мы получаем для амплитуды рассеяния на массовой оболочке соот-
соотношение
*L[T(s, 0—iJ^Vlf m!)^'] = 0 ПРИ Irns^O. A5.1436)
Из него следует, что выражение в квадратных скобках есть полином по s
с коэффициентами, зависящими ^""-образом ***) от t. На основании упражне-
*) Аргументация здесь такова же, как в п.15.1.В.
**) В случае квазиупругого процесса t может принимать значения из (т1; 0], так как
тогда 0 является общей точкой всех больших эллипсов Лемана <^?12i 34(s) ПРИ s>sphys-
***) Это следует из поведения ЛA) (s, t, m\, ml) no t и из свойства Т (s, t) как функ-
функции t при s = Si + iO, si > Sphys (п. 15.1. В).
507
ния АЛ этот полиномиальный вклад можно включить в дисперсионный ин-
интеграл, и мы получаем дисперсионное соотношение
T(s, /) = — Cd^fli-^ds' при Ims^O. A5.144)
S S
Здесь Л (s, i) отличается от АП) (s, /, /n|, ml) на обобщенную функцию,
сосредоточенную в точке s = оо.
Согласно п.Б.5 Л (s, 0 в дисперсионном соотношении A5.144) можно
выбрать с нулевым интегралом (по s); тогда (на основании упражнения Б. 13)
2iA (s, t) совпадает со скачком класса <*? (RJ (no s) амплитуды T(s, t).
В абсорбтивной части можно выделить s- и u-канальные вклады (а также
вклады одночастичных промежуточных состояний; ср. A5.78)):
A(s, t) = nBs8(s—m212)—nBa8(u—ml4) + As(s, t)—Au(u, 0,A
где As(s, t) и Аи(и, t) сосредоточены соответственно при s~^М\2 и и~^М2и\
мы здесь считаем, что они подходящим образом продолжены в точку s = оо
(или и = оо), так что принадлежат соответствующим классам <&" ([М\г, со])
(по s) и 3" ([Aff4, оо]) (по и). Разбиению A5.145) соответствует разбиение
на части дисперсионного интеграла:
T(s, ^^f-^ + ^f^l^ + M AA'VU>
^ +
l и-и J J
A5.146)
Ясно, что одночастичным промежуточным состояниям соответствуют полюс-
полюсные вклады в амплитуду.
В итоге имеем доказательство следующего результата.
Теорема 15.7. При выполнении условий A5.98), A5.125), A5.136)
и при t ? (xmin, ттах) (а в случае квазиупругого процесса при *) t ? (xmin, 0])
амплитуда Т (s, t) двухчастичного процесса A5.1) является обобщенным гра-
граничным значением (при Im s —¦* + 0) аналитической функции Т (s, t) no s при
Ims=7^=0, удовлетворяющей дисперсионному соотношению A5.146). Входящие
в него s- и и-канальные абсорбтивные части As(s, t), Aa(u, t) являются
обобщенными функциями соответственно класса if" {[М\г, оо]) по s
и 3" ([M\i, оо]) по и, зависящими %"-образом от t как от параметра.
В случае рассеяния частиц со спином имеет место аналогичное утверждение для инва-
инвариантных амплитуд Тр (s, t) (разложения амплитуды по полиномиальному базису стандарт-
стандартных ковариантов). В этом случае Вр> s @ и Вр, и@ зависят полиномиально от t.
В качестве иллюстрации рассмотрим три процесса с участием я-мезонов
и нуклонов (т. е. протонов и нейтронов)**)
я 4- л —f я -4- я, A5.147а)
^я+Ы, A5.1476)
^N + N. A5.147b)
Здесь в предположении точной изотопической инвариантности массы ты
нуклонов считаются одинаковыми (одинаковы и массы тл я-мезонов).
В первом процессету=т„, УИ,-=3/пл для всех/ = 1, ..., 4;М1г=Ми=2тл.
(Одночастичных вкладов и, значит, параметров /п12, ти нет.) Дисперсион-
Дисперсионное соотношение имеет место для t?(im-m, 0], где Tmin = —28т%.
*) Хотя выше при написании представления A5.55) мы считали рх и р3 неколлинеарными,
что в случае квазиупругого процесса соответствует ограничению ^<0, в равенстве A5.145)
можно перейти к пределу / -»- —0 в физической области (т. е. при s^s^iO, s^Sphys), поскольку
(по доказанному в п.15.1.В и выше) обе части A5.146) являются <&а> -функциями от t<?.0 в точ-
точке /=0. Что же касается точек t=0 с нефизическими значениями s, то равенство A5.146) есте-
естественно принять в качестве доопределения там T(s, t).
**) Имеется обширная литература по дисперсионным соотношениям для первых двух
процессов (см., например, [Ш7], где, в частности, можно найти изотопически- и лоренц-ковари-
антные разложения для амплитуд).
508
Во втором процессе m^ — ms — m^, т2 = тг = тл, М1 — М3 = тл-\-тн,
M2 = Mi — 3m3l, M12 = Mu — mn + mN, т12 — ты = т-^. В этом случае диспер-
дисперсионное соотношение имеет место при t?(xmin, 0], где (согласно формуле
2+
/1С юочч 32
A5.138)) Tmin = - -з
В третьем процессе trij = тп, Ms — mn + mN при / = 1, ..., 4; 7И12 = 2mN,
М14 = 2тя. В этом случае Tmin = — 4/ил BmN + тяJ + 4/п^ было бы отрица-
отрицательно только npnmn//nN > ]^2—1. В действительности это неравенство не вы-
выполнено, поэтому вывести дисперсионное соотношение для NN-рассеяния в
рамках аксиоматического подхода не удается *).
Мы отсылаем читателя к обзору Зоммера A970), где приведена таблица двухчастичных
процессов сильных взаимодействий, для которых доказаны дисперсионные соотношения.
Упражнение 15.11. Доказать равенство
Im T(s, i) = A(s, t) при (s, /) ? Gphys A5.148)
мнимой и абсорбтивной частей (инвариантной) амплитуды в физической области упругого
двухчастичного процесса Xi + Кг-—>Xi+X2 с бесспиновыми частицами. (Указание: восполь-
воспользоваться соотношением
Bя)* б (р4 + • • • + Pi) ¦ 2Пш $- (р4, Рз. P2,_Pi) =
= <0 | ф1п Gг) (р4) ф'п <Kl) (р3) (Т — Т*) ф!п <х«> (р2) ф!п <и'> (Pl) | 0>, A5.149)
где iT s=s S—1, которое установлено в упражнении 7.38. Следует доказать, что правая часть
A5.149) совпадает с
Bл)* б (Р1 + ... + р4) б?, (Рз) %, (Pi) • 2М (s, <, pi p!) =
= i Bя)* б (pi + ... + р4)g (рз, р2) рг) = КО | ф*и'» (рз) [/ &> (р4), J<»«•) (р2)] ф(^) (л) | 0 >
при pl = m2 = pb Для этого для правой части A5.149) воспользоваться формулами редукции
типа A3.102), а также соотношением
Замечание. Мандельстам A958) предложил для амплитуд двухчастичных процессов
так называемое двойное дисперсионное соотношение:
so to «о Af?2 Af?3
A5.150)
Замечательным свойством представления Мандельстама является полное равноправие пере-
переменных s, t, и, вследствие чего амплитуды s-, t-, ы-каналов оказываются различными гранич-
граничными значениями единой аналитической функции T(s, t, и). Из A5.150) также вытекают при-
приведенные в этой главе результаты об аналитичности раздельно по переменным s, t. Однако пред-
представление A5.150) не было выведено из общих принципов квантовой теории поля (Мандельстам,
1959, проверил его только для диаграммы Фейнмана в четвертом порядке по константе связи)
и потому является гипотезой.
*) Дисперсионные соотношения для рассеяния нуклона на нуклоне были доказаны в лю-
любом порядке теории возмущений юкавской модели мезон-нуклонных взаимодействий (см. Ло-
Логунов и др., 1962; [Т5]).
Глава 16. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
16.1. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
А. Обобщенные запаздывающие произведения. Согласно предложению 13.2
причинная функция Грина совпадает в некоторых областях р-пространства
с запаздывающей и опережающей функциями Грина; тем самым для нее от-
открывается выход в комплексную область импульсов. Для более систематиче-
систематического использования этой возможности вводят понятие обобщенных запазды-
запаздывающих произведений полей.
В S-матричном методе (п. 14.1.Г) обобщенные запаздывающие радиацион-
радиационные операторы вводились с помощью двух типов формальных вариационных
производных — по in- и по out-полям. Соответственно в формализме LSZ
наряду с обычной вариационной производной б/бт] (л:) по классическому ис-
источнику т] (л:) мы определим вариационную производную нового типа, кото-
которую обозначим б/бт](х, +); она действует по правилу
^ [S(Tl)C(Tl)^(Tl)"lJ3:(T') A6Л)
(здесь &(т]) — производящий функционал для Т-произведений полей, С (ц) —
произвольный формальный ряд по классическому источнику с операторными
«коэффициентными» обобщенными функциями). Для прежней производной
мы примем также обозначение 8/8ц(х, —):
J A6-2)
Следующее упражнение оправдывает использование термина «производная» для выра-
выражения A6.1).
Упражнение 16.1. Доказать, что б/бт] (х, -f-) подчиняется законам дифференциро-
дифференцирования типа A3.27).
Упражнение 16.2. Доказать формулу
Приведем важнейшие свойства вариационных производных.
Упражнение 16.3. Доказать следующие свойства (где 0=i):
бт] (х, а) бт] (у, а) бт] (у, а) бт) (х, а)
«о,
^Ш(х; *• A6'4г)
(Указание: при доказательстве A6.4в) выразить б/бг| (у, —0) через [Ь/8ц {у, о) по форму-
формуле A6.4а).)
Назовем мономом Штейнмана выражение вида
—А ....^^—t^^iti), A6.5)
Ьц(хп, а„) бт](х2,02) Ul1"
510
где индексы оп, ...,о2 принимают значения ± (мы будем называть их зна-
знаками дифференцирований). Операторнозначные обобщенные функции
R(<pa(xa, а )... ф2(л:,, orjq^fo, аЛ)^г— ;---т—, 7?(*i. Л) A6.6)
будем называть обобщенными запаздывающими произведениями штейнманов-
штейнмановского типа (сокращенно ОЗП), а их вакуумные средние
r(xn,an; ...;x1,o1) = <0\R(<pn(xH,on)...<p1(x1,o1))\0>, A6.7)
являющиеся обобщенными функциями из &" {М.п), будем называть обобщен-
обобщенными запаздывающими функциями (Грина) штейнмановского типа (сокращен-
(сокращенно ОЗФ). Отметим, что в формулах A6.6), A6.7) считается, что
о^-о,. A6.8)
Рассматриваемый класс ОЗФ ввел (иным способом) Штейнман A960). Рюэлем A9616)
(см. также Араки, 19616) был предложен, вообще говоря, более широкий набор я-точечных
обобщенных запаздывающих функций, сопоставляемых клеткам на плоскости 2n={(si sn)?
?Rn: Si~\- ... -j-s4 = O}. (Клетки — это непустые выпуклые открытые конусы в 2„, на кото-
которые разбивается 2„ — за вычетом конечного числа плоскостей — всевозможными плоскостями
2$у=0, где J—произвольное собственное*) подмножество в {1, ...,я}.) ОЗФ штейнма-
штейнмановского типа соответствуют клеткам, являющимся симплициальными конусами. В особо
интересующем нас случае я = 4 (и, вообще, при /г<4) все клетки являются симплициаль-
симплициальными конусами и оба набора обобщенных запаздывающих функций — штейнмановский и
рюэлевский— совпадают.
Упражнение 16.4. Убедиться, что запаздывающее R (ф„ (хп).. .ф2 (х2); фх (xx))
A3.33) и опережающее А {ц>„ (х„)...ф2 (х2); ф1 (хх)) A3.43) произведения являются частными
случаями ОЗП, соответствующими двум на борам знаков:
(а) оп= ... =02 = — 0i = —, (б) 0„= ... =02 = — 0i = +. A6.9)
У праж\нение 16.5. Доказать соотношение
R((pn(xn< <7л)-•-ф2 (*2> стг) ф! (xl, Gl))= ±Л (ф« (*/»> <3п)' • -ф1 (xl> °l) фг (Х2> О^)). A0.10)
(Указание: применить формулу A6.4г).)
Согласно формуле A6.6) ОЗП выражаются через Г-произведения полей. В следующем
упражнении рассмотрены некоторые свойства таких представлений.
Упражнение 16.6. (а) Показать, что моном Штейнмана A6.5) есть линейная ком-
комбинация выражений вида
где ki, ..., k^ — целые числа такие, что 1 <йх < k2 < ¦. .<&v= п', л — перестановка чи-
чисел {1, ..., я}. Кроме того, здесь вариационная производная 1-го порядка ЬЩЬц (хп) до-
допускается в виде крайнего справа (соответственно второго слева) сомножителя некоторых
слагаемых этого разложения только, если а„ = -(- (соответственно 0„ = —). (Указание: дей-
действовать индукцией по я.)
(б) Получить дальнейшее ограничение на выражения A6.11) с v^;2, участвующие^
разложении монома Штейнмана A6.5):
1+l) >n} = + 'i A6.12)
(Указание: доказывать по индукции, воспользовавшись частью (а) упражнения.)
(в) Доказать, что ОЗП A6.6) есть конечная линейная комбинация выражений вида}
(с теми же обозначениями, что и в A6.11)), причем при v«:2 выполнено условие A6.12).
(Указание: применить часть (б) упражнения.)
Установим связь ОЗФ с причинными функциями Грина. Мы примем,
что каждому собственному подмножеству Jcz{l, •¦¦, п) сопоставлен знак
Oj= + по правилу
<7/=Н * A6.14)
J I— ^mind n)\j, если 1 ?./¦
*) Это означает, что J отлично от пустого множества 0 и от всего множества {1, ..., я}.
511
Предложение 16.1. Имеют место следующие свойства совпадения:
х(р„, ...*p1) = (—i)n-1~r(pn,oa; ...;p1, а,), A6.15)
если pj = 2 Pj (? V°J для всех собственных подмножеств J с {1, ..., п}.
-^ Согласно упражнению 16.6 правая часть A6.15) есть линейная комбинация ваку-
вакуумных средних фурье-преобразований выражений A6.13). Одно из слагаемых, соответствую-
соответствующее v=l, очевидно, есть т (рч, ..., pi). Покажем, чтов рассматриваемой области слагаемые с
v^2 не дают вклада. Рассмотрим для определенности случай, когда индекс 1 отсутствует
среди группы J = {я (&v-i+ 1). ¦••, яя} индексов крайнего правого сомножителя A6.13).
В силу условия спектральности это слагаемое не дает вклада в правую часть A6.15) при
Pj(?V~, т. е. (в силу A6.12) и определения A6.14)) при Р/ф—V J и, значит, также в
интересующей нас области. Аналогично рассматривается второй возможный случай, когда
индекс 1 отсутствует среди группы индексов крайнего левого сомножителя в A6.13). >
Б. Носители в х-пространстве. Для ОЗП и ОЗФ имеем следующее свойство
носителей.
Предложение 16.2. Носитель монома Штейнмана A6.5) (а также
ОЗП A6.6) и ОЗФ A6.7)) содержится в множестве
Д Д {(*„ ...,х„)€Л1»: Xk-X/?V°k}. A6.16)
-^ Разобьем последовательность 1, ...,п на отрезки /1 = {1}, /2 = {2, ...,k2}, ...,/я=
=={^я,-1+1, ...,йя}, ..., /v= {&v-i + 1, ...,я} таким образом, что а/ одинаково на каж-
каждом отрезке и противоположно на соседних отрезках. Пусть для определенности 0i = — и,
значит, о2 = ~Ь (другой случай аналогичен). Тогда выражение i-s—; г... г—-, i 9J (х-г, ti)
8ц(хп,ап) бт)(х2>а2)
при v нечетном или i% (т)) I -¦¦•,., ^ fa; т)) Is (т))-1 при v четном равно
(. ОТ) (Х„, 0„) ОТ) (ЛГ2, СГ2) J
A6.17)
Я=1
где Ev определяется рекуррентно:
при X четном,
ii. ••-. ^^(TH-ii+i) при % нечетном.
Таким образом, доказываемое утверждение означает, что носитель выражения A6.17) содер-
содержится в множестве A6.16), которое мы обозначим через Av.
Будем действовать индукцией по v. Для v = 2 утверждение следует из A6.4г) и свой-
свойства причинности A3.35д). Предполагая справедливость утверждения для ©х при % < v,
покажем, что оно справедливо для EV. Из рекуррентного соотношения для 6V следует,
что носитель A6.17) содержится в множестве ^4v-iXiM*v~ftv-i. Для определенности мы
считаем далее, что v нечетно. Тогда Sv представляется в виде произведения V—1 пары
операторов:
Покажем, что это выражение не зависит от |v, если
supp |v ^ supp ^я при всех Х = 2, 4 V—1. A6.19)
Из предположения индукции следует, что выражение A6.17) сосредоточено при xj~x?V~,
если / принадлежит группе /р. с нечетным номером (i < v, a x принадлежит объединению
supp |а при Я = 2, 4, ..., v—1; если выполнено A6.19), то такой аргумент х;- автомати-
автоматически удовлетворяет условию supp gv S3 xj. Поэтому доказательство независимости A6.18)
от |v в области A6.19) сводится к доказательству независимости A6.18) от |v B меньшей
области
supp |v ^ supp |я, при всех X < V. A6.20)
Но тогда независимость от |v произведения каждой пары операторов в A6.18) следует из
предложения 13.1 (которое есть переформулировка условия причинности для ?(т))).
Из независимости A6.18) от |v в области A6.19) следует, что носитель A6.17) сосре-
сосредоточен при
Xk—Xj^V-, где Ag/V,
512
Вместе с предположением индукции это означает, что носитель A6.18) содержится в Ау
что завершает второй шаг индукции (для нечетного v; случай четного v аналогичен). >
Пусть ап, . . ., аг — произвольный набор знаков, удовлетворяющих
A6.8), и vn, . . ., v2 — набор чисел из последовательности 1, . . ., п таких,
что V}<Lj и <rv.=—Gj. Сопоставим этим наборам множество, которое мы на-
назовем элементарным конусом в М":
XZ.:2 = {(Xu •••,*„)€ М"- xj—xv. € v°j, j = 2,...,n}. A6.21)
Теперь свойство носителя ОЗП (или ОЗФ), выраженное предложением 16.2,
означает, что ОЗП A6.6) (или ОЗФ A6.7)) сосредоточено в объединении
Xan...ai= U Х%\% A6.22)
Vn...V2
элементарных конусов; фигурирующие в A6.22) конусы мы назовем кону-
конусами, подчиненными данному ОЗП (или данной ОЗФ).
Свойство носителя ОЗФ является отражением более глубокого факта (доказанного Бро-
сом, 1965): каждому элементарному конусу можно сопоставить обобщенную функцию, сосре-
сосредоточенную в этом конусе так, что всякая ОЗФ представима в виде линейной комбинации под-
подмножества обобщенных функций — именно, тех, которые сосредоточены в конусах, подчинен-
подчиненных данной ОЗФ. В п. 16.2.Б мы рассмотрим этот вопрос для случая и=4.
Из свойства носителя следует, что преобразование Фурье ОЗФ A6.7)
аналитически продолжается в трубу, основание которой является внутрен-
внутренностью на плоскости
П = {(<7!, ...,</„)€ Л»: <7i+...+<7» = 0} A6.23)
конуса Хо„...а%, сопряженного Xan...Gl.
В следующем упражнении описываются конусы X^'JJ* *.
Упражнение 16.7. Для любого / ? {1, ..., и} пусть Nj есть множество тех чисел
из {1, ...,я}, которые либо равны /, либо переходят в / при однократном или многократ-
многократном применении отображения v: k—> vk (где V/,— набор чисел, фигурирующий в A6.21)):
-Uv-4-.-v-1{/}-"). A8-24)
(В частности, JV1 = {1, ...,n}, Nn = {n}.) Доказать, что конус, сопряженный элементарному
конусу A6.21), имеет вид
*?::?*=«*..... ?»)€п: qN. € v°y, / = 2,..., «>. A6.25)
(Указание: сделать замену переменных (qy,...,qn)—<¦ {гъ ••-.''«) так, чтобы выполнялось
тождество
п п
2 qjXj = rlXl + 2 г у (ху - xv ); A6.26)
i=l i=2
для этого следует положить
1k = rk — rv-1{k}, A=l, ..., п. A6.27)
Просуммировать эти равенства по k?Ny; учитывая, что Ny = {j}\Jv-1 (Ny), получить в ре-
результате
4Nj = tj. A6.28)
Наконец, из A6.26), A6.28) получить A6.25).)
Лемма 16.3. Для конуса, сопряженного ХОПшшшО1, имеет место следую-
следующее выражение:
°j = 2 п], A6.29)
где Ly (при 2 =?С у ^ п) определяется посредством
h = {/} U {k: / < k^n и ak = — ay). A6.30)
1lil7 H. H. Боголюбов и др. 513
Обозначим временно правую часть A6.29) посредством Р и вначале покажем, что
1с:Р. Из A6.22) следует, что Xon...<jl есть пересечение всех сопряженных конусов
* конусам, подчиненным данному ОЗП. Следовательно, Xon...oi есть множество то-
тоi, ...,qn) ? П, удовлетворяющих всевозможным условиям
где Ny определяется (по заданному ^^'"^2) соотношением A6.24). Очевидно, включение
X^a...<jtc:P будет доказано, если мы убедимся, что для любого / = 2, ..., я среди множеств
N j, фигурирующих в A6.31), имеется Lj. С этой целью определим набор vn v2, по-
полагая Vft = /, если / < ?<я и ok = — aj, и считая, что v& = Vi или v2 для остальных fcs=2,
так чтобы выполнялось условие Очк = — о> при всех k — 2, ..., я. Очевидно, при таком
выборе v4,...,v2 имеем Nj — Lj. Это построение завершает доказательство включения
V* , р
Для доказательства обратного включения возьмем произвольную точку (qlt .. .,qn)?P,
тогда индукцией по я — k легко убедиться, что
qk ?KCT* при всех k = 2 я. A6.32)
Пусть теперь / — произвольное подмножество в {2, ...,я}; покажем, что
qj ?V<Jj- A6.33)
Для этого положим / = гшп/ (так что СТу=аЛ и представим левую часть соотношения
A6.33) в виде
j
здесь первое слагаемое принадлежит V J благодаря условию (qi, ..., qn)?P; остальные
слагаемые принадлежат V 1 в силу A6.32). Тем самым доказано соотношение A6.33).
Из него, очевидно, следует выполнение всех условий A6.31), что доказывает включение
У пр ажнение 16.8. Доказать, конус Х*ап...а1 можно также записать в виде
Х"оп...а1 = {(<7i. •••,<7я)€П: qj?V ¦'для всех собственных подмножеств Ус:{1, ...,п}}. A6.34)
(Указание: выше было уже доказано, что точки из Xon.-at удовлетворяют соотношению
A6.33) для подмножеств ic{2 я}; при доказательстве подобного соотношения для
подмножеств J, содержащих единицу, воспользоваться условием <7i+ • • • +<7ч = 0.)
Для преобразования Фурье ОЗФ
п
i 2 pfj
из предложения 16.2 и леммы 16.3 получаем следующий результат.
Предложение 16.4. G(pn, an; ...; рг, аг) есть обобщенное гранич-
граничное значение (в классе ^"(П)) функции G (рп, ап; ...; plt o^), аналитичной
в трубе n + iQan.-.a,, где
= {{qu ..., <7„) € П: qj g V°J для всех собственных подмножеств
Ус {1, .... п}}. A6.366)
Различные ОЗФ (как штейнмановского, так и рюэлевского типа) для фиксированного
набора полей <Pi(xi), . . . , фи(*«) удовлетворяют некоторым условиям совпадения (с точностью
до ±) в областях р-пространства. Применение теоремы «об острие клина» к этим условиям по-
показывает, что все ОЗФ в р-пространстве являются (с точностью до знаков ±) различными гра-
граничными значениями единой аналитической функции, определенной в так называемой при-
примитивной области голоморфности я-точечных функций Грина; эта область содержит некоторую
¦окрестность точки (k1, . . . , kn)=@, . . . , 0) на комплексной плоскости Ах+. . .-\-kn=0 и
объединение труб с основаниями вида A6.366). Ниже мы рассмотрим подробно случай п=4.
S14
16.2. ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
А. Обозначения. Далее в этой главе мы считаем фиксированной чет-
четверку квантовых полей <Pi(.fi) = <p(Xi)(*i)» •••, Ф4(*4) = Ф(И4>(;С4)- Чтобы
упростить обозначения, мы сделаем (на самом деле несущественное) предпо-
предположение, что эти поля являются полями бозонного типа. Символ П (соот-
(соответственно СП) обозначает теперь плоскость в М* (соответственно в СМ*),
определенную уравнением
= 0. A6.37)
Пусть числа /, k, I, n образуют произвольную перестановку индексов
1, ..., 4. Тогда для четырехточечных ОЗФ мы примем другие, более эко-
экономные обозначения:
и \х) ' \x/t —» xk* '—» ^/» —» /i» ~т~ /» ^ю.ооа^
п iv\ , /,, I • *¦ i ¦ *¦ i • *¦ \ /Ik qq«=;\
n\ ) —' v'v' i » ^ft? "r » -^i» t » лл, —j, ^ID.OoO^
Г/и W == ^ (•*/> ~Ь ' ¦**> —> ^> —> Xm +)> A6.ЗоВ)
ajn{x) = r{Xj, —; xft, +; д;„ +; xn, —), A6.38r)
где x=(Xi, . . ., хл)?М*. Симметричность правых частей A6.38а) и A6.386)
относительно /, k, l нашла отражение в том, что эти индексы не участвуют в
обозначениях; равным образом обозначения A6.38в) и A6.38г) учитывают
симметрию по k, l. В результате мы имеем набор из 32 (=4+4+4-3+4-3)
четырехточечных ОЗФ, ассоциированных с мономом щ{х^). . .^ь{х^). Любую
из этих функций Грина мы будем обозначать общим символом Z (который
таким образом принимает «значения» гп, ап, г/„, ajn).
На основании предложения 16.2 имеем следующие свойства носителей:
supprn с: Х?= {х? М*: Xj—xn$V~, хк—хп 6 У~, xt—xn € V~}, A6.39а)
„сХ'^—ХЦ, A6.396)
,с%и^„ A6.39b)
supp a]n с: Xfkn U Х%, A6.39г)
где
Va Yr VT . /lfi AOfi\
ikn ~~ ^^ jkn ^^ /nft- \ \jt^\j\j)
Функции Грина Gz в /^-пространстве определяются фурье-преобразо-
ванием
A6.41)
Согласно предложению 16.4 Gz(p) есть граничное значение (в классе ^"(П))
аналитической функции Gz (k) в трубе
u+iQzdCn A6.42)
с основанием вида
<&={<7€П: qjtV-, qk^V~, qt?V-}, A6.43a)
Qan On, A6.436)
Qrin={q<in- qj€V+, qj + qk?V-, qj + q^V-}, A6.43b)
Qfn Qr,n- A6-43r)
Чтобы наглядно представить себе эти конусы, изобразим соответствующие клетки —
точки конусов с пространственными компонентами, равными нулю: <7i=... =qt = Q. Нуле-
Нулевые компоненты обозначим через Sx — qi s4=?4; они пробегают плоскость Si + ... +s4=0
в /?4. Очевидно, достаточно изобразить пересечения клеток двумя плоскостями s4 = ± с
(с > 0).
17* 515
Qki =
A6.44a)
A6.446)
A6.44b)
A6.45)
Упражнение 16.9. (а) Доказать соотношения
Q?n = {x С м*'- хп~~хк € ^ + . хп — xl € V+> xj-\-xn — xk — xl '
{q ? П: qj ? F+, 9ft € V~, qj + qt € ^"}-
(Указание- равенства A6.44а) и A6.446) следуют непосредственно из определений A6.43в) и
A6.43г); при доказательстве A6.45) воспользуемся тем, что левая часть этого соотношения есть
внутренность на плоскости П конуса,_сопряженного конусу A6.44в).)
F) Для процесса хх+х2 -*-~K3+»<4 в области попарно неколлинеарных импульсов (бозе-)
частиц *) доказать следующую формулу:
' Ы Фз (Рз) Фг" (Р*) Фр" (Pi) I °> =
<0 1
о а-,
^, ы
lira
¦О,
A6.46)
(Указание: воспользоваться формулой редукции A3.125).)
Б. Области совпадения в ^-пространстве. Относительно спектра масс
мы примем те же допущения, что и в п. 15.1.А. Пороговым массам
М- G=1 ... 4) я М,- A <:/<«<;4) сопоставим подмножества в СП:
•уу = {^^СП: k)~^Mfi, A6.47а)
Т/.п={^^СП: (kf + knf > Mjn}. A6.476)
Через у обозначим их объединение:
у=( и УЛ U ( U Ум)- A6-48)
\ 1 < / < 4 / \1</<«<4 /
Предложение 16.5. Четырехточечные ОЗФ удовлетворяют условиям
¦ = 0 при р)<М), A6.49а)
г = 0 при р)<Щ, A6.496)
((pj + PtY-тЪ) {GU (p)-G% (p)} = 0 при (Pj + рУ < Щь- A6-50)
^ Из формулы A6.4а) следует
/•„ (х) ~ rjn (х) = — 1<[ф/(*/), Л fe, —; ^;, —; л:„, +)]>о.
так что A6.49а) есть следствие этой формулы и спектральных условий. Аналогично доказыва-
доказывается A6.496). Соотношение A6.50) выводится из равенства
r/n(x)-aik(x) = i<[R(xl, -; х/г +), R (xk, -; *„, +)]>0, 06-51)
вытекающего из A6.4в) также применением спектральных условий. ^
*) Ограничение бозе-частицами связано только с тем, что упрощенные обозначения для
ОЗФ, принятые в этом параграфе, приспособлены именно для этого случая.
516
Вид условий совпадения упрощается, если вместо Gz(р) ввести обоб-
обобщенные функции Gz(p), отличающиеся множителем от Gz(p):
U.(p}]) П ({pj + pkf%){p); A6.52)
1 = 1 1 < / < к< 4
назовем их приведенными функциями Грина (в дальнейшем мы будем иметь
дело с ними).
Первые четыре сомножителя соответствуют переходу к ампутированным функциям Гри-
Грина, последующие сомножители компенсируют полюсные сингулярности амплитуды. Если в ка-
каком-то канале нет связанного состояния (и, значит, массы mjk), то нет и соответствующего
множителя (ру+pftJ—т% в определении приведенной функции Грина.
Каждое условие совпадения (как видно из рисунка) связывает ОЗФ,
соответствующие смежным клеткам (границы которых имеют общий отрезок).
Из этих условий следует, что Gz (p) являются различными обобщенными
граничными значениями единой аналитической функции G(k).
Действительно, рассмотрим область
0={р€ЛР: p)<M), j=\, ...,4; (Pj + pkf < М %, 1</<Л<4}, A6.53)
в которой все Gz (р) совпадают. Теорема «об острие клина», примененная
к парам Grn{k) и G%(p), Grjn(k) и G'}n(k), показывает, что эти функции ана-
литичны в некоторой комплексной окрестности оДГ(б) множества 6, причем
функции в каждой паре аналитически продолжают друг друга. Далее, пусть
Gz (р) и Gz' (р) — пара ОЗФ, соответствующих смежным клеткам, и пусть
qzz' есть их область совпадения (т. е. либо р) < М) при некотором /, либо
(pj-{- рьJ< Щи при некоторых /, k). Опять же по теореме «об острие клина»
функции Gz (k) и Gz'(k) аналитически продолжают друг друга в область
«острия клина» ЖFг'г'), соответствующую обобщенному маршруту (П-f iQz,
Qz<z', П + iQ2'). Отсюда, в частности, следует, что Gz(k) и Gz'(k), соответ-
соответствующие смежным клеткам, а значит, все функции Gz(k), совпадают в Ж F).
Тем самым они определяют единую функцию G(k), аналитическую, по
крайней мере, в области
U(U + iQz) U <JfF-)U<MF), . ,
Z Z, Z' смежные (It).04)
называемой примитивной областью аналитичности. Таким образом, справед-
справедлив следующий результат.
Предложение 16.6. Приведенные функции Грина Gz(р) являются
различными граничными значениями единой функции G(k), аналитической
в примитивной области A6.54).
Учитывая формулы редукции (см. упражнение 16.96), мы видим, что ам-
амплитуды различных каналов связаны друг с другом посредством аналитиче-
аналитического продолжения. Однако в таком виде процесс аналитического продолжения
требует выхода за массовую оболочку; его называют «обобщенным» перекрест-
перекрестным соотношением (в отличие от обычного перекрестного соотношения, по
поводу которого см. § 16.3).
Предложение 16.6 представляет собой перевод условий совпадения на
язык аналитических функций.
Этот этап исследования аналитических свойств функций Грина и амплитуд рассеяния,
в основе которого по существу лежат принципы локальности и спектральности, называют иногда
линейной программой, чтобы подчеркнуть линейный характер используемых соотношений.
В дополнении К мы познакомимся с применением нелинейных условий для целей аналитиче-
аналитического продолжения.
Поскольку области Il-ffQz, Qz-Z', Qz в A6.54) являются звездными
(см. П.5.2.Д), то области «острия клина» JfF) и оЛГ FZ>Z') также можно
считать звездными (иначе мы могли бы заменить, скажем, оЛГ(б) на
17* Н. К Боголюбов и др. 517
U ГоАРF)У Тогда согласно следствию 5.36 однолистная оболочка голо-
0 < г < 1 )
морфности Н (D) области A6.54) существует и является звездной.
Задача голоморфного расширения, к которой приводит отдельно взятое
условие совпадения A6.49), рассматривалась в П.5.2.Е. Пусть, например,
Z = rn, Z' — rJn, тогда на основании предложения 5.37 Н (D) содержит
выпуклую оболочку труб Yl-\~iQrn и П-f-'Q/n с «аналитическим разрезом»
по у/.
где введены обозначения
/CJn = Q; + QJn, Kfn = Qan + Q?n- A6.55)
Таким образом, множества oJ\PFZiZ') в] A6.54), соответствующие усло-
условиям совпадения A6.49), могут быть заменены областями голоморфности
(П + Wjha)\yji представляющими собой трубы с «аналитическими разрезами»
по jj. В следующем пункте подобная замена будет продлена для остальных
множеств Qz-Z> (соответствующих условиям совпадения A6.50)).
Замечание. Из лоренц-ковариантности следует, что приведенная
функция Грина аналитична в объединении всех областей, получаемых
из A6.54) действием всевозможных преобразований собственной комплексной
группы Лоренца LV{C) (или ее универсальной накрывающей SLB, C)x
xSLB, С)); эту новую область иногда тоже именуют примитивной областью
аналитичности. Сформулированное утверждение относится к тому же типу,
что и теорема 9.1 Баргмана — Холла — Уайтмана. Однако теперь доказа-
доказательство намного проще, так как область A6.54) содержит начало коор-
координат, и поэтому здесь непосредственно применимо предложение 5.9.
В случае скалярных полей предложение 5.15 позволяет выразить G (k) как
аналитическую функцию от скалярных произведений ktkj (l^t^/^3)
или, эквивалентно, как функцию из инвариантов s, t, k\, ..., k\ (как отме-
отмечалось в п.9.1.А, группа L(+) (С) изоморфна группе О(+) D, С)).
В. Тождества Штейнмана. Заменой индексов /<->ft, /<-»& в A6.51) полу-
получается равенство
rn/(x)—akl(x) = i<[R(xk, —; хп, + ), R(xt, —; xJt +)]>„,
сравнение которого с A6.51) приводит к соотношению между ОЗФ, назы-
называемому тождеством Штейнмана:
rJn{x) — alk(x) = akl{x) — rnj{x). A6.56)
Отсюда для приведенных функций Грина имеем
Щп (Р) + Grni (р) = й% (р) + Ь%г (р). A6.57)
Перебирая перестановки (/, k, I, n), получаем шесть таких (различных) соот-
соотношений, причем каждая ОЗФ с двумя нижними индексами входит только в
одно из этих тождеств. Четверку ОЗФ, связанных тождеством Штейнмана,
называют (штейнмановским) квартетом. Согласно сказанному имеется шесть
квартетов.
На рисунке квартеты соответствуют четверкам клеток, в которых каждая из компонент
S], ..., s4 имеет фиксированный знак (две компоненты положительны и две отрицательны).
Каждая из ОЗФ, входящих в тождество A6.56), имеет носитель в объеди-
объединении двух из четверки элементарных конусов Xrjkn, Xrjln, Xrnkj, Xrnl!,
именно: rJn (соответственно akl) имеет носитель в объединении Xrikn и Xrjln
(соответственно Xrnlj и Xrjln). Этот факт находит отражение в следующей
лемме.
Лемма 16.7. Квартету Штейнмана можно сопоставить четверку
(трансляционно-инвариантных) обобщенных функций /д„, fjln, fnkJ-, fnlj с но-
носителями в соответствующих элементарных конусах Xrjkn, Xrjln, Xrnkj, Xrnlj
518
так, что всякая ОЗФ данного квартета представляется в виде суммы пары
таких обобщенных функций с носителями в элементарных конусах, подчи-
подчиненных этой ОЗФ.
-4 Достаточно рассмотреть один какой-либо квартет, например ги, Ли. агз, а32. Для
соответствующей четверки элементарных конусов введем упрощенные обозначения:
1 , Х2 = ^134, •^3 = -^421> -^4=-^431-
Любая пара этих конусов имеет одно и то же пересечение:
Х,П*/ = *о при 1<;</<4, A6.58)
где
Х0 = {х ? М4: Xl-x2 ? V+, xt-x2 ? V+, х1-х3 g У + , х4-х3 ? F+}.
Ищем четверку обобщенных функций /ь ..., /4 с носителями supp /,• с: Xj таких, что
ru = fi + h, '-41 = /з + /:4. a23 = f2~\-fi, a32 = fi + f3. A6.59)
Очевидно, необходимым условием разрешимости системы как раз является тождество Штейн-
мана. Это тождество и достаточно (поскольку при произвольном выборе f1 тройка этих уравне-
уравнений служит для определения /2, /3, /4, четвертое же уравнение тогда выполнится автоматически).
Остается обеспечить выполнение свойства носителей. Для этого заметим, что носитель г14 со-
содержится в объединении двух канонически замкнутых регулярных множеств Хх и Х2, поэтому
(согласно предложению А.2) г14 представляется в виде суммы пары обобщенных функций /i и
/2 с носителями в Хг и Х2 соответственно. Считая, что fx и /2 выбраны с нужным свойством но-
носителя, определим /3 последним из уравнений A6.59), откуда следует
supp /з С Xi U Х3. A6.60а)
С ДРУГОЙ СТОрОНЫ, Вне К2 fl=fli И, ЗНачИТ, /з = а32 — ''14 = ''41—а23> так ЧТО
supp/3c:X2(j*3U*4- A6.606)
В силу A6.58) пересечение множеств, стоящих в правых частях соотношений A6.60),
есть Х3, следовательно, supp f3 с Х3. Подобным же образом, определяя /4 из третьего
уравнения A6.59), получаем supp /4^1X4. >
Равенства типа A6.59) называют «разрешением» тождеств Штейнмана
(так как тождества Штейнмана следуют из них). В р-пространстве эти
равенства принимают вид
Gb^ht + h,, GJ1 = A, + A4, бь = А, + й4, Gg2 = A1 + A,, A6.61)
где hj(p) — обобщенная функция на П, аналитически продолжающаяся
в трубу n + tintX/ (/ = 1, •-., 4). Условия совпадения типа A6.50) для
рассматриваемого квартета сводятся к двум соотношениям:
Мр)-Мр) = 0 при (р1 + РгУ<М12, A6.62а)
А.(р)-Л,(р) = О при {р, + р,У<М\3. A6.626)
Оказывается, условие совпадения A6.62а) (и аналогично A6.626)) при-
приводит к задаче k голоморфного расширения, рассмотренной в П.5.2.Е.
Действительно, ht (р) и А4 (р) аналитически продолжаются в трубы П -f- iQ1
и П-f /Q4 соответственно, где
В новых переменных k[ = k3-\-kit k'2 = k^, k'3=—k3 эти конусы записываются
в виде
а область совпадения в A6.62а) есть {{p[, p2, p'3)^M3: (p'iJ<Ml2\. На ос-
основании предложения 5.39 отсюда заключаем, что ht (p) и hi (p) обладают
общим аналитическим продолжением в выпуклую оболочку труб П -f iQt
и n + /Q4 с «аналитическим разрезом» по {k?CU: {k[J^Ml2} =yl2. Анало-
Аналогичное рассуждение, примененное к условию совпадения A6.626), показы-
показывает, что h2 (p) и п3 (р) имеют общее аналитическое продолжение в трубу
n4-J(Q2 + Q3) с аналитическим разрезом по yls.
17** 519
Упражнение 16.10. Доказать соотношения
; A6.63a>
A6.63б>
Указание: при доказательстве A6.63а) учесть A6.58) и Qy = intnXt; при доказательстве
первого соотношения в A6.636) воспользоваться соотношениями A6.44а) и Qu + Q-ii =
= intn (Qj'flQJi)*; второе соотношение в A6.636) доказывается^аналогично.)
В результате все обобщенные функции, фигурирующие в A6.61), ана-
аналитически продолжаются в трубу n+nntn^o=n+{(Qi4+Q4i) = n+i(Q2s+Q32)
с двумя разрезами—по у12 и у13.
Аналогичный вывод, очевидно, имеет место для любого квартета. При
1 «^ / < п <: 4 введем конус
Л/ч = <#« + <&/= <& + <#*• A6.64)
Тогда условия совпадения типа A6.50) между членами данного штейнма-
новского квартета означают, что G (р) аналитически продолжается в трубу
П + /Луп с двумя разрезами — по у/к и у/Ч.
У пр ажнен ие 16.11. Доказать соотношения
(П + ^„)\7, (П +iKJha)\b = (n +iKka)\y, A6.65a)
(П + *Л/В)\(Т/* U Т/г) = (П + iAJa)\y, A6.656)
- A6.65b)
Итак, все условия совпадения A6.49) и A6.50) можно выразить в терми-
терминах приведенной функции Грина (связанной с ОЗФ—после перехода
к обобщенным граничным значениям—формулой A6.52)) следующим образом.
Теорема 16.7. Приведенная функция Грина G(k) (продолженная
в комплексную область) аналитична в звездной области
D = (U + iS)\y, A6.66)
где S—объединение всех конусов A6.55) и A6.64)):
2 = ( U Кг,п) U ( U Щ U ( U AJn) . A6.67)
\1'Фп ) \1фп J \1.<п J
Г. Аналитичность вблизи физических точек. Физическая точка р не
может находиться сразу на двух разрезах yjk\ это следует из условий ста-
стабильности (п. 15.1.А). Действительно, пусть
тк, Р,еГ-г, рп?Т~п, A6.68)
тогда (Pj + Pky > (nij + mky > M%, (pj—p,)* <(ту-/пгJ < M\, (pj—pj <
^(/Пу—mnJ < Mjn. Таким образом, точка р вида A6.68) может находиться
только на одном из разрезов (yyk) рассматриваемого типа.
Теорема 16.8. Пусть 3* есть множество всех вещественных точек
р С П, каждая из которых не лежит ни на одном из разрезов у/ A <! / ^ 4)
и принадлежит не более чем одному из разрезов у;-кA ^j<k^A) (в част-
частности, р может быть произвольной физической точкой). Тогда область
аналитичности приведенной функции Грина G (k) содержит множество *Х\у,
где ЭС—некоторая комплексная окрестность (в СП) множества 5*.
-4 Фиксируем произвольным образом точку Р ? $*. Случай, когда Р не принадлежит
ни одному из разрезов уу-к, тривиален, так как тогда Р находится в области Q A6.53) и,
значит, входит в Н (D) вместе с комплексной областью сДГ'(б) (см. A6.54)). Поэтому даль-
дальнейшее рассмотрение проводится только для точки Р ? 5\ лежащей в точности на одном
разрезе, для определенности, на 712- Кроме того, мы считаем, что Р1 + Р2 € ^~ (случай
Ps-\-Pi = — (Pi-\-Pt) 6 V~ симметричен). Из теоремы 16.7 заключаем, что область анали-
аналитичности функции 8 (к) содержит множества (П + гЛ14)\у, (П -+- iA23)VY- Пусть 5?—доста-
5?—достаточно малая комплексная окрестность точки Р в СП такая, что ^\7 = 5?\712. и пусть
5?±={* ? Э{: ± Im № + *,)« > 0}. A6.69)
520
Следовательно, область аналитичности функции 3 (k) содержит четыре (разъединенных)
множества вида
(П ± /Л±4) П Э1±- A6,70)
Покажем теперь, что области (П ± iAu) f\ 5?Е с одинаковым знаком 8 —± можно
соединить друг с другом в области аналитичности. Рассмотрим сначала пару областей
(II + tAu) Л Я+ и (П — iAu) П 52 + - Первая из них содержит (П+iQu) Л 5i + , причем
для точек k = p-\-iq ? (П-\-iQru) f\ 5? + , очевидно, имеем Р1 + Р2 €.У~ (в СИЛУ определе-
определения 5?) и qi + q^V- (в силу определения Qj4), поэтому 1т(А1 + А2)г > 0. Таким образсм,
(П + «Л14) ПЯ+ = (П+iQf.) П &¦ A6.71а)
Аналогично показывается включение
(П-*Ли) П 5S + => (П + К??,) П Я- A6.716)
При этом точка Р лежит в (вещественной) области совпадения граничных значений функ-
функции G (k) со сторон »Qi4 и (QJi. Действительно, по условию точка Р удовлетворяет всем
ограничениям, фигурирующим в условиях совпадения A6.49), A6.50), кроме одного:
(Pi + P2J = (Рз4-/>4J < Л422. Исключая условия, где фигурирует пороговая масса М\2,
мы назовем остальные условия допустимыми. Тогда из рисунка в п. 16.2. А видно, что мы
можем написать между приведенными функциями Грина Gz цепочку допустимых условий
совпадения, которые приводят к равенству
бм (р) = б?! (р) при р g % Г) П. A6.72)
По теореме «об острие клина» из A6.71), A6.72) следует, что область аналитичности функ*
ции G (k) содержит (возможно, при некотором уменьшении первоначально выбранной окрест-
окрестности i/i точки Р) область
?)) Л 52 = (П + / (Qfd + QSO) П 5i+. A6.73)
В результате мы соединили друг с другом области из левых частей A6.71) областью A6.73),
также содержащейся в области аналитичности функции 6(k). Если бы вместо 52 + здесь
фигурировала труба, то мы могли бы еще раз применить теорему «об острие клина» к полу-
полученной тройке областей и таким образом прийти к выводу об аналитичности G (k) в окрест-
окрестности вида 5? + - Чтобы заменить 5?+ трубой, совершим подходящую замену переменных.
Введем вместо k\ новую переменную Zi = Fj-f62J и в качестве переменных
Zj B</<12) выберем остальные координаты на СП. Тогда при достаточно малом выборе
окрестности 5? точки Р отображение ф: k —> г является биголоморфным и переводит вещест-
вещественные точки в вещественные. При отображении ф область 5? + переходит в пересечение ф (У1)
с трубой $~Y, основание которой есть Y = {y ? Я12: уг > 0}. Кроме того, за счет выбора
достаточно малой окрестности Щ можно считать, что ф сколь угодно мало отличается от веще-
ственно неоднородного линейного отображения, поэтому образы областей (П ± iA.u)C\?A + ,
(n-)-<(Qi4-f-Q4i)) Л 91* при отображении ф содержат пересечения ф E?) Л <?TY с тру-
трубами вида JT's <$~~K, dT1*-', где К и К' — некоторые открытые выпуклые конусы в R1'2,
причем К' имеет непустое пересечение с /С П У, (— К) (] Y. \ По построению функция
8 (ф-1 (г)) аналитична в пересечении ф E?) с трубами #"* П Y, jr(-K) n У и ^-К'=(^-К'пУ.
За счет дальнейшего уменьшения 54 мы на основании теоремы «об острие клина» (или
предложения 5.34) приходим к выводу, что функция й(ф~1(г)) аналитична в пересечении
фE?) с трубой ^~У— выпуклой оболоч й труб ^ХП у и J^(-K)n У.
Показано, что функция G(k) аналитична в 5?+- При этом мы пользовались теоремой «об
острие клина». Из замечания к этой теореме в п.5.1.Г, а также из перестановочности операций
регулярной замены координат и перехода к обобщенному граничному значению, подобно тому,
что было установлено в предложении Б. 12, следует: функция G(k) имеет обобщенное граничное
значение в области 5?Л ^' совпадающее с A5.72), и, вообще,
lira G(p + iq) = &(p) в &)' E? Л П) A6.74а)
17-^-0, Im S > 0
при условии, что
Qz{^U + ^V-} A6.746)
(при выводе A6.72) мы видели, что всякая приведенная функция Грина Gz(p) связана
с йи (р) в М Л П цепочкой допустимых условий совпадения).
Аналогичное рассуждение, примененное к другой паре областей в A6.70), показывает,
что G (k) аналитична в Э1~. Если фиксированная точка Р не лежит на самом пороге,
т. е. если (Р1 + Р2J > Mi2. то утверждение теоремы для нее доказано (ибо пересечение
достаточно малой окрестности точки Р с yi2 как раз имеет вид 5?+ U ?А~)-
Остается рассмотреть случай пороговой точки (Рг -+- Р2J = М\2. В этом случае 5?\Ti2
отличается от 5?+ U М~ множеством точек k?&, для которых (ki-\ k2J вещественно
521
и меньше М\2. Вещественные точки k, удовлетворяющие этому условию, находятся в об-
области Н (D), где б(/г) аналитична (см. начало доказательства теоремы). Тот факт, что и
комплексные точки k ? Щ, удовлетворяющие условию (Ai + АгJ < М\2, принадлежат Н (D),
следует (возможно также после некоторого уменьшения ffi) из предложения 5.26 (в кото-
котором роль функции / играет (ki-\~k2J, а граничной точкой w области Н (О) является Р). >
Теорема 16.8 позволяет связать амплитуды двухчастичных процессов
с ампутированной функцией Грина на комплексной массовой оболочке
СШ ={ke СП: Щ = т), j = 1 4}. A6.75)
Пусть S, Т, U — физические области процессов в s-, t- и u-каналах.
По теореме 16.8 существуют комплексные окрестности ol\P(S), Ж(Т), <Jf (U)
этих множеств на СШ, обладающие тем свойством, что множества
S± = oV(S) Л
П
± Im
izlm г
± Im
s>0},
• > 0},
u>0}
A6.76a)
A6.766)
A6.76b)
попадают в область Н (D), в которой аналитична приведенная функция
Грина G(k). Возьмем для определенности точку P?S такую, что Рг^У~,
Pi?V~, ^>з€^/+. PiZV*. Тогда из формул A6.74) следует:
4 4
Игл П W—m2j)G(k)= lim П {k) — m2j)Ga1{k) в а>'E*ПП),
G -»¦ 0, Im s > 0 /= 1 ? ^. о, ? g Q^ I: = 1
A6.77)
где 5?—достаточно малая комплексная окрестность точки Р (при этом мы
перешли от приведенной функции Грина к ампутированной, поскольку мно-
множители (pj-\-pkY—mfk, фигурирующие в A6.52), здесь не обращаются
в нуль).
Следствие 16.9. Формула редукции A6.46) (по-прежнему для бозе-
частиц в области попарно неколлинеарных импульсов) в терминах анали-
аналитически продолженной ампутированной функции Грина принимает вид
<о | фГ1 (р,) Фз1" ы ф!,п (л) ф!п (pi) I о> = - /6- (Pl) б", (Pt) x
x 6m (p3)бш< (р4) BяL б(pt-| ... -j-p4) lim Ц (&?¦—m])G(k). A6.78)
?->¦ 0, Im s > 0 / = 1
Здесь, как и при выводе формулы A6.74а), можно пользоваться для
перехода к обобщенному граничному значению любой регулярной заменой
координат в окрестности точки р. В частности, можно в качестве первых
шести локальных координат выбрать s, t, p) (/= 1, . • •, 4); тогда множители
бт.(ру) будут означать фиксацию Щ = т), т. е. переход в ампутированной
функции Грина на комплексную массовую оболочку (MR; после этого пре-
предел в A6.78) станет пределом при Im&^0, k?S+.
Аналогичным образом амплитуды t- и ы-каналов связаны с обобщен-
обобщенными граничными значениями ампутированной функции Грина при Im&—*-0,
k ? Г+ и соответственно при Im&-^0, k?U+.
16.3. ПЕРЕКРЕСТНОЕ СООТНОШЕНИЕ
А. Формулировка результата. Области аналитичности S±, T±, U± ампути-
ампутированной функции Грина на массовой оболочке образуют некоторое открытое
множество в (MR и физические амплитуды (с точностью до множителя) яв-
являются различными обобщенными граничными значениями этой функции.
В такой ситуации имеет смысл говорить об единой аналитической функции
только, если эти области связаны друг с другом в том смысле, что они являются
частями некоторой большей области аналитичности ампутированной функции
522
Грина на комплексной массовой оболочке. Оказывается, этот факт действи-
действительно имеет место, и амплитуды s-, t-, u-каналов связаны между собой анали-
аналитическим продолжением на массовой оболочке. Как отмечалось в п. 16.2.Б,
в этом заключается перекрестное (или кроссинг-)соотношение.
Информация типа кроссинга содержится в дисперсионном соотношении.
Если при фиксированном /<0 справедливо дисперсионное соотношение, то
амплитуда T(s, t) аналитична в комплексной s-плоскости с двумя разрезами
(—оо, sj и [s2, +00) (где s^Si), причем физические амплитуды Ts и Ти s- и
«-каналов являются граничными значениями T(s, l) соответственно на правом
верхнем и левом нижнем разрезах в s-плоскости. Таким образом, имеется
путь, соединяющий Ts и Ти.
В общем случае можно доказать несколько более слабое свойство: физи-
физическая амплитуда s-канала при любом фиксированном значении t<10 является
граничным значением функции T(s, t), аналитичной по s, в верхней полупло-
полуплоскости, за исключением некоторой конечной области, зависящей от t *).
Точнее, справедлив следующий результат Броса и др. A965).
Теорема 16.10. Инвариантная амплитуда двухчастичного процесса
T(s, t) аналитична в области iisu (на комплексной массовой оболочке СШ),
являющейся комплексной окрестностью в СШ множества
{keCm: /<0, Ims>0, |s| >#(/)}, A6.79)
где R (t) — некоторое положительное число (непрерывно зависящее от t).
Область Qsu соединяет S^ и U~ в СШ. Аналогичное рассмотрение (при
замене s<->«) дает комплексную окрестность QuS множества {k ? СШ: t<S),
1ти>0, \u\<R(t)} на массовой оболочке, в которой аналитична ампутиро-
ампутированная функция Грина. Меняя каналы, получаем комплексные окрестности
Qst, Qts, Qat, Qta, связывающие соответствующие пары из набора областей
S^, T±, U±. В результате физические амплитуды оказываются различными
граничными значениями единой аналитической функции, определенной в
области на СШ, являющейся объединением S±, Т±, ?/±, Qsu, Qus, Qst, Qts%
Доказательство теоремы 16.10 повторяет ход рассуждений в § 15.2 при
выводе дисперсионных соотношений (различия в основном происходят из-за
того, что теперь мы манипулируем с другим объектом, продолжающим ам-
амплитуду за массовую оболочку, а именно с ампутированной функцией Грина).
Как и в § 15.2, мы ограничимся случаем скалярных полей (т. е. бесспиновых
частиц).
Сначала (см. п. 16.3.Б) по аналогии с п. 15.2.Б фиксируются импульсы
klt k$, так чго
*i, *3 € Af, k\<M\, kl<M%, t^(k1 + k3y2<0. A6.80),
Тем самым в СП выделяется четырехмерная комплексная плоскость Lo с ?г.
в качестве независимой координаты. Оказывается, точки с 1т&2€^ нахо-
находятся в области аналитичности ампутированной функции Грина. Отсюда
(как и в п. 15.2.В) следует, что ампутированная функция Грина при фикси-
фиксированном t аналитична по s в верхней полуплоскости при некоторых нефизи-
нефизических (отрицательных) значениях «квадратов масс»
1}=Щ, j=l, ..., 4. A6.81)
Следующий этап (п. 16.3.В) заключается в аналитическом продолжении
по параметрам ?,-. Хотя здесь (в отличие от п. 15.2.Г) не вводится абсорбтив-
ная часть амплитуды, по аналогии с п. 15.2.Г теперь фиксируется импульс
о A6.82)
*) Соответствующее интегральное представление типа Коши, выражающее амплитуду
через ее значения на границах областей Qsu и Qas, называют квазидисперсионным соотноше-
соотношением.
523
•— вещественный времениподобный вектор. Кроме того, фиксируется импульс
x A6.83)
— вещественный пространственноподобный вектор. Равенства A6.82), A6.83)
выделяют в СП четырехмерную комплексную плоскость с независимой пере-
переменной k2. Вообще говоря, эта плоскость не пересекается с оболочкой голо-
голоморфности примитивной области аналитичности (поскольку точки, удовле-
удовлетворяющие A6.82) при a2^Mi2) находятся на «аналитическом разрезе» по
Ун). Тем не менее пересечение этой плоскости с границей области аналитич-
аналитичности (со стороны Im(&i+&2) 6 У+) содержит довольно обширное многооб-
многообразие. Голоморфное расширение (методом ИЛД) многообразий на границе
позволяет получить область аналитичности по переменным s, ?, которая пере-
пересекается с массовой оболочкой. Симметричное рассмотрение в ы-канале (при
фиксированных kx-\-kz и kx-\-k^ дает аналогичную область в переменных и, ?,.
Наконец, в п. 16.3.Г с помощью голоморфного расширения объединения
области (по переменным s, Z, при фиксированном t), полученной на втором
Этапе, строится область QSa на массовой оболочке.
Б. Случай мнимых «масс». Учитывая лоренц-инвариантность (см. замеча-
замечание в п. 16.2.Б), выразим приведенную функцию Грина в терминах инвариан-
инвариантов:
G(k) = g(s,t,Zi, ••-,?«). A6.84)
Массовой оболочке соответствуют значения параметров Z,j = m). Вне массовой
оболочки достаточно считать независимым только один из этих параметров,
скажем ?=?2—т\, полагая
Ъ,= Ъ + т) (/=1,...,4). A6.85)
В этом случае пишем g(s, t, ?) вместо A6.84).
Лемма 16.11. Приведенная функция Грина g(s, t, ?) аналитична
в комплексной окрестности множества
{(s,t,QeC3: t<0, Ims>0, ?<Z(*)}, A6.86)
еде Z(t)—некоторая отрицательная непрерывная функция от t.
¦4 Выделим в СП четырехмерную комплексную плоскость Lo, как указано в A6.80).
Убедимся, что точки многообразия
принадлежат Н (D) — области аналитичности приведенной функции Грина. Для этого вос-
воспользуемся модифицированным принципом непрерывности (п. 5.2.В). Пусть Lf — плоскость
в СП, получаемая из Lo заменой kx и ks на k-i-\-ite0 и k3-\-ite0, где t > 0. Тогда много-
многообразия Lf = {k ? Lf'. Im62 € V+} находятся в примитивной области аналитичности D
(точнее, в трубе U-\-iQf). Кроме того, LJ имеет непустое пересечение с D, так как в D
входят комплексные окрестности всех точек из П\7 (см- теорему 16.8). Поскольку
Lf ¦—у Lt при t—з—J— 0, то из теоремы 5.27 (при 6 = 4) следует Lt cz H (D).
Предположим дополнительно, что k± и k3 лежат в пространственноподобной плоскости
и неколлинеарны. Это накладывает на ?i. Z3 и t условия
t\ < 0, ?3 < 0, t < 0, A6.87а)
(l^^^-K^Ts) < V~ < V^+V-G- A6.876)
Подобная ситуация уже встречалась в п.15.2.Б, где было показано (см. лемму 15.2), что образ
множества L+ при отображении в пространство лоренц-инвариантов содержит все точки, ко-
которые наряду с A6.87) удовлетворяют условиям A5.64), A5.65). Накладывая условие A6.85),
мы приходим к утверждению, сформулированному в лемме. ^
В. Аналитическое продолжение по массовым переменным. Теперь фикси-
фиксируется вещественный пространственноподобный вектор т с ?=т2<С0, тем самым
уравнение A6.83) выделяет в СП восьмимерную комплексную плоскость /
с независимыми переменными ku k2. Плоскость / содержит несколько труб,
входящих в область D A6.66). А именно, пусть перестановка (/, k, I, n) индек-
524
сов A, 2, 3, 4) такова, что
либо {/, А}={1, 3}, либо {/, k}={2, 4}
(очевидно, имеется восемь таких перестановок). Так как область D содержит
множества A6.65в) и yjh не пересекается с плоскостью /, то пересечения ко-
конусов n+i(Qyrt+Q?,) с / содержатся в D. В результате мы приходим к вы-
выводу, что в D П / находится восемь конусов, которые (с учетом равенства A6.45))
имеют вид
= x, q,?V+, qf + q^V-}. A6.88)
В пределах такой трубы ни одна из переменных t,j не может принимать физи-
физического значения т) (поскольку qu . . ., qi^.V+ \J V"). Для достижения фи»
зических значений масс необходимо рассмотреть по крайней мере пару ука-
указанных труб с противоположными знаками нулевых компонент векторов qu ...
. . ., qt, причем эти трубы должны быть соединены на плоскости A6.83) частью
области аналитичности.
Для определенности рассмотрим две трубы
kt + ks^x, ?i€V-, qi + q.^V+}, A6.89a)
k1+k, = x, qa?V-, q.+ q^V^} A6.896)
на плоскости /, соответствующие выборам перестановок (/, k, I, п) в виде
C, 1, 2, 4) или D, 2, 1, 3). Их выпуклая оболочка, очевидно, есть
По теореме 16.8 имеется некоторая комплексная окрестность <JV (на пло-
плоскости /) множества
= t, p]<Mj, /=1, ..., 4, и<М\,} A6.90)
такая, что область Jf+ = Ж{]1+, а следовательно (см. упражнение 5.27 (г)),
и ее оболочка голоморфности Я(Ли^иоЛГ+) (на плоскости /) содержатся
в Н (D). Выполняя голоморфное расширение Ли SuJV", мы сможем дока-
доказать следующее утверждение.
Лемма 16.12. Приведенная функция Грина g(s,t,Q аналитична
в пересечении комплексной окрестности множества
{(s, t,l)?&: /<0, s>sa(t), |arg(A-O|<$@} A6.91)
с полупространством Ims>0; здесь so(t) и §(t) — некоторые непрерывные
положительные функции от t,
А= min (Mj—mJ). A6.92)
/i4
4
Получение необходимой информации об Н (А и В и ol\P+) можно значи-
значительно упростить, если воспользоваться приемом аналитического продолже-
продолжения на границе (см. упражнение 5.30). Наряду с вектором т фиксируем
положительный времениподобный вектор а такой, что
A6.93а)
для определенности будем считать, что т выбран вдоль оси е3, а а-^
в плоскости векторов е0, е3 лоренцевой системы отсчета:
Тв@,0,0,К=7), a =
0, 0, -ml + nb±ml-mt^ _ A6.936)
Определим четырехмерную комплексную плоскость /' в СП уравнениями
A6.82), A6.83). Пусть А', В' и </Г—части труб A6.89) и области Jf,
лежащие в Г. Так как область Аи Ви <№+, очевидно, прилегает к А' и В' (J <#"'
со стороны iQ, где Q = \q?U: qx-\ q3 = 0, <7i + <72€^+}, то (согласно упраж-
упражнению 5.30) то же самое верно и при переходе к оболочкам голоморф-
голоморфности. Это означает,' что
Я (А и В U оГ+) з I <¦ л J? (Я (Л' и В' U оГ)), A6.94)
где J? (Я (Л' и В' и оЛГ')) есть некоторая комплексная окрестность на пло-
плоскости / множества Я (Л' и В' (J сАГ').
Задача свелась к построению голоморфного расширения области Л' и
U В'и Ж'- На плоскости /' независимой переменной является только kx.
Чтобы уменьшить число независимых компонент, наложим дополнительное
ограничение (более слабое, чем A6.85))
1,-U^ml-ml A6.95)
которое (в силу равенства kl-\-ki = x) означает фиксацию проекции k1 на т:
Jfej = —Л1т/1/'=Т=(—/nJ + mJ + 0/2 /~- A6.96)
При этом из A6.93), A6.96) автоматически фиксируется проекция ?3 на т:
kl = — k2xl\/~~=(mi—mi — t)l2 V~, A6.97)
откуда следует
I,—Ъ, = т\—т\. A6.98)
Через I, А, В, Jf ниже обозначаются пересечения множеств /', Л',
В',<М" с комплексной гиперплоскостью A6.96), а набор k} = {k), k), Щ)
задает первые три компоненты векторов kj (/=1, • • ., 4). Пересечение I
с массовой оболочкой характеризуется дополнительными уравнениями
k\ = m\, kl = m\, или, эквивалентно,
(Ах)* = ц!(О. (A,)f=|iI@. A6.99)
где
A6.Ю0)
Независимой переменной на 7 выберем 3-вектор
^¦¦^О-^Жоо).^ A6Л01)
<с помощью которого уравнение k\—k\ = m\—т\ выглядит особенно просто:
? = 0. A6.102)
В терминах переменной г трубы А и В имеют вид/?3 — iV+ и R3JriV+,
где V+ — верхний световой конус в трехмерном пространстве-времени,
а область о1\Г есть некоторая комплексная окрестность (в /) дополнения
~{в Re Г) к вещественному замкнутому множеству
A6.103)
A6.104a)
A61046)
526
Действительно, условие (р{J < ай\ (t) 'соответствует паре неравенств р\ < М\г
Рз < М3 в A6.90), в то время как условие (—рН-аJ< qSI (t) заменяет неравенства
/>2 < М2, Pi < Mi- Кроме того, мы предполагаем, что s достаточно велико, например
таково, что
ст° > eMi @~f~ <M<i @> A6.105)
— ~ 1/222
это позволяет в A6.103) опустить условие Bр1 — аJ < М2^ — j- (mi-j-m2 — m3 — mtY, соот-
соответствующее неравенству и < Ми в A6.90).
Легко видеть, что A6.103) содержится в множестве
(ffi )} A6.106)
если положить
К / < 4
Действительно, предполагая для определенности, что (j,1(^)^}i2(^), имеем |
так что eS(t)<s?oMi(t) и, значит, первое из множеств в A6.103) заключено в первом из множеств
в A6.106). Для доказательства того, что второй из гиперболоидов в A6.103) содержится в A6.106),
достаточно убедиться, что радиус р шара, по которому второй из гиперболоидов в A6.103)
пересекает плоскость /^=0, не превосходит радиуса р', по которому гиперболоиды в A6.106)
пересекают ту же плоскость. Нетрудно видеть, что неравенство р<:р' обеспечено тем, что @
(=
Заменив область о)\Г, вообще говоря, меньшгй, которая есть окрестность
(в 7) дополнения в (Re/) к множеству A6.106), мы приходим к симметрич-
симметричной задаче типа ИЛД. Соответствующая оболочка голоморфности согласно
предложению 5.44*) есть
{k?l: (гJ—(г1—и1J — (г2—и2J ? [х2 (| и |), оо) при всех v g /?2 с |w|<#(s, t)};
A6.108)
здесь
R(s, t) = -±-g(\vi(t)-
J
Для наших целей достаточно ограничиться точками г с го = г2 = 0; такие
точки множества A6.108) определяются условием
— (г1—и1)» ^t [х« (| и |) + (t»«)s, оо) при veR2, M</?(s, 0.
или, эквивалентно,
— (г1— хJ?[к*(\х\), оо) при x?R, \x\^R(s, t). A6.109)
Это условие, очевидно, означает
^фх + iy A6.110)
при всех х, у ?/?, |x|<!i?(s, t), \y\^y.(\x\).
Переменные х, у пробегают изображенное на рисунке (заштрихованное)
множество, ограниченное вертикальными прямыми x — ±R(s, t) и дугами.
окружностей xi + (y±aS(t)J = R2(s, t).
*) Хотя этот результат там сформулирован применительно к четырехмерному прострзн~
ству-времени, он переносится на случай любой размерности пространства-времени (в частности,
равной трем).
527
Будем считать, что s достаточно большое, чтобы указанные окружности пе-
пересекались с прямой у=0. Учитывая предыдущее ограничение A6.105), будем
считать, что s>-sa(t), где so(t) фиксировано так, чтобы соответствующее ему
значение <т„ (см. A6.936)), которое мы обозначим через aB(f), удовлетворяло
условию
G0(t)>2e?(t).
Тогда область изменения переменной г1 в A6.110) содержит по крайней
мере угол
|arg(?-p(s, 0)l<e(s, 0. A6.111)
где
p(Si o>o, p4s, о-/?•(«, t)-cs*{t) =
a 0(s, t) > 0 возрастает с ростом s; поэтому существует b{t) такое, что
0<a@<6(s, t) при s>so(t).
В результате этого рассмотрения мы пришли к выводу, что некоторое
голоморфное расширение области A U В и Jf содержит точки вида
0, m3^mj±f)} , A6.112)
а.
Где г1 пробегает угол, определенный A6.111). Легко видеть, что при этом
(г1J пробегает область, содержащую угол {zgC: | arg (г—p2(s, t)) \ <
<•&(*)}• Соответственно, для точек множества A6.112) величина ?2 = &2 =
= к\-\-тг—т\ пробегает область, содержащую угол | arg(m| + Д—?2) | < Ь (t);
это доказывает, что Н (А' и В' uJV") содержит точки вида A6.91). Вместе
с включением A6.94) этот вывод завершает доказательство леммы 16.12.
Меняя роли импульсов k2 и kif мы можем точно так же доказать сле-
следующее утверждение (где и0 (t) — некоторая положительная непрерывная
функция от t).
Лемма 16.13. Приведенная ^функция Грина g(s, t, Q аналитична
¦в пересечении комплексной окрестности множества
{(s, t, D6C!: t<0, u>uo(t), |arg(A-?)|<fl(/)} A6.113)
с полупространством Imu<0.
Поскольку здесь ft(t) не конкретизируется, то оно считается таким же,
как в предыдущей лемме (другими словами, в качестве $(t) выбирается наи-
наименьшее из двух значений в этих леммах).
Г. Переход на массовую оболочку. Леммы 16.12 и 16.13 содержат информа-
информацию об аналитичности g(s, t, ?) на массовой оболочке {Zi=mfj соответственно
в s- и ы-каналах. Но в такой форме эти области не соединены друг с другом.
С другой стороны, при нефизических Z, имеется область аналитичности в
s-плоскости, соединяющая положительную и отрицательную полуоси. Этого
достаточно, чтобы доказать теорему 16.10 (и, значит, перекрестное свойство).
528
С этой целью мы выполним голоморфное расширение полученной обла-
области по переменнымs, ?при фиксированном /<0. При Ims>0 и при ?в области
A6.114)
перейдем к новым переменным
=T), где ^^)
A6.115)
Отображение ?->ш переводит область A6.114) в комплексную плоскость с
разрезами по полуосям (—оо, —1] и [1, с»); эта новая область при отображении
w -> w+Vw2—1 переходит в верхнюю полуплоскость, которая в свою очередь
при переходе к ?' отображается в полосу 0<1т?'<От. Заметим, что при ото-
отображении t -*• Z,' точки вблизи разреза (—оо, Z(t)] переходят в часть окрест-
окрестности вещественной прямой, лежащую в верхней полуплоскости. Через е'ф
@<Сср<я) обозначим образ физической точки ?=0 при отображении ?, ->¦ ?'.
Из лемм 16.11 и 16.12 следует, что область аналитичности g(s, t, ?,) в пере-
переменных s', ?,' содержит часть окрестности (в С2) трубы
Im?'=0,
лежащую в полупространстве Im?'>0, и соответственно часть окрестности
трубы
Ims'=0,
лежащую в полупространстве Ims'X). Согласно упражнению 5.7 g(s, t,
аналитична также в трубах
при всех 0 < i|)< я. Мы ограничимся здесь каким-либо одним фиксирован-
фиксированным значением 1|з < я — <р. В терминах исходных переменных мы получаем,
что g(s, t, Q аналитична в прямом произведении угла 0<arg(s—so(^))<ip
и множества
Г={??С: a (t)< Ret, <b(t),\ 1т ? |<V46@, t?(a(t), Z(t))}, A6.116)
представляющего собой прямоугольник в ^-плоскости, из которого выброшен
интервал (a(t), Z{t)\. Здесь б@>0, а числа a(f) и b(t) таковы, что a(t)<.Z(t),
@
Аналогичным образом с помощью лемм 6.11 и 6.13 (вместо 6.12) мы по-
получаем область аналитичности в переменных и, ?. Следующая лемма объеди-
объединяет оба результата.
Лемма 16.14. При любом t<0 приведенная функция Грина g(s, t, t)
.аналитична в объединении областей
{(s, 0<ЕС2: 0<arg(s-s0@)<4\ 1^Щ, A6.117а)
{(s, ^€С2: п-хр <avg (uo(t)-u)<n, l?W). A6.1176)
4
Напомним, что здесь и = — s — t + 2 (?Д/П/—mD-
/ = i
Удобно заменить прямоугольник, фигурирующий в A6.116), несколько
меньшим множеством, а именно областью между двумя симметрично распо-
расположенными дугами, соединяющими точки a(t) и b(t) в W и лежащими (за
исключением концов a(t) и b(t)) соответственно в верхней и нижней полупло-
полуплоскостях. Положим
529
2$' (t)—угол между дугами в точках пересечения a(t) и b(t). В результате
этого построения точки ? при 0< 1т?"<я попадают в область W. Значе-
Значение ?", соответствующее точке ? = 0, обозначим через е1<р' @ < ф'< я).
Теперь нетрудно видеть, что при достаточно большом значении с(^)> О
области A6.117) содержат соответственно подобласти
{(s, Q: 0<arg (s-c (t) — i8 (t))< г|), 0<Im?"<"}, A6.118a)
{(s, ?): я—г|>< arg(s + c(O — tf@)<". 0<1т?"<я}. A6.1186)
Введем переменную
s* = —(s —
тогда области A6.118) записываются в виде
{(s,Z)?C*:s"?G«\ 0<1тГ<я}, A6.119а)
{(s, 0GC2:s"^GB), 0<1т?"<я}, A6.1196)
где GA) и GB)—две области в верхней полуплоскости Ims">0, прилегаю-
прилегающие соответственно к вещественным интервалам (¦—l/c(t), 0) и @, l/c(t)).
Области A6.119) аналитичности в s- и «-каналах все еще не соединены
между собой. Чтобы соединить их, воспользуемся еще раз леммой 16.11,
согласно которой g (s, t, t) (при фиксированном t < 0) аналитична в любой
из областей вида
{(s, Q е С2: s" e G,, 0 < Im Г < У (г)} A6.119в)
при любом г > 0; здесь Gr= {s" ? С: |s"|>r, Ims">0}, а у (г)—доста-
(г)—достаточно малое положительное число. Остается выполнить голоморфное расши-
расширение объединения всех областей A6.119). Поскольку это объединение есть
полутрубчатая область, то на основании предложения 5.35 интересующее
нас голоморфное расширение имеет вид
{(s, 0 <= С2: Ims">0, 0 < Im?" < Y(s")},
где Y (s")—некоторая неотрицательная супергармоническая функция в верх-
верхней полуплоскости, которая (во всяком случае) равна п при s"? GA) U GB).
Отсюда можно заключить, что
Нш Y(s") = я. A6.120)
s'-*0, Im s"> 0
Упражнение 16.12. Доказать соотношение A6.120). (Указание: применить к функ-
функции —Y (s") неравенство E.39), считая, что радиус круга равен R, а центр находится в точке
i(R-\-?) (е>0). Устремляя R к бесконечности, а е к нулю, вывести неравенство
K(s")Sa lim — С \mY (xJl€). dx^ [ Im——Hdx.
-00 - 1/C
Отсюда и из того, что K(s")<n, получить A6.120).)
Из соотношения A6.120) следует, что при любом значении г/6@, я)
существует достаточно малое число г = г(г/)> 0 такое, что область анали-
аналитичности для g(s, t, ?) содержит область
{(s,Q?C*:s"eGr, 0<Im?"<^}. A6.121)
Выберем здесь у > ф'. Выделяя теперь в A6.121) и в A6.117) точки с t, — m\
(т. е. с ?" = е«р'), мы получаем, что (при любом фиксированном * < 0) об-
область аналитичности приведенной функции Грина g(s, t, ml) (а вместе с ней
и ампутированной функции Грина) содержит точки вида A6.79). Это завер-
завершает доказательство теоремы 16.10, а также перекрестного свойства.
530
Дополнение К. Роль унитарности
К.1. Парциальное разложение амплнтуды упругого двухчастичного процесса. Пусть В
«ль произвольный ограниченный пуанкаре-инвариантный оператор в двухчастичном под-
подпространстве ?i, ¦ K*1 (фоковского пространства), соответствующем упругому процессу
(K.I)
7.3.Е в области s > Sp^ys^ (ffix-f-mjJ опера
цией B(s, z)(Z$" ((Sphys, °°)Х[—1, 1]):
<0 | А2 (pi) Аг (pi) BAl (Л) Al (р„) | 0> =
двух бесспиновых частиц. Согласно п. 7.3.Е в области s > Sp^ys^ (ffix-f-mjJ оператор В
можно характеризовать обобщенной функцией B(s, z)(Z$" ((Sphys, °°)Х[—1, 1]):
t X ^ (р[) 6+t(p'a) В (s, z); (K.2)
здесь переменная
2=1 + ^/2^E) (К.З)
есть косинус угла рассеяния в системе центра масс:
z = cos 8 = гага';
k (s) = /С12 (s)—длина трехмерного импульса частицы в той же системе. Пусть
1 при xl7ix2, ,„..
2 при xi = x2. 11чл'
Л,_ f 1 при xl7ix2,
Л — \ 2
fe (s)
Разложим ' В (s, г) в ряд по полиномам Лежандра *)
4Ny
Bis, z)= *nN{ S X B1+1) B^s) Pi (z), (K.5)
( ' i=o
где обобщенные функции Вг (s)^iff' ((Sp^ys, °°)) даются формулой
Bi (s)= \^,- Г B(s, z)Pl(z)dz.
[-1. l]
Ряд (K-5) называют парциальным разложением, a Bi(s) — парциальными коэффициентами
оператора В.
Предложение К.Л. Парциальные коэффициенты B[(s) ограниченного пуанкаре-
инвариантного оператора В являются измеримыми (всущественном) ограниченными функ-
функциями от sgtSphys, oo):
\B,(s)\<lBl (K.6)
причем
ГГ (8) = В/E)В;E) (К.7)
0, если BSsO. (K-8)
Пусть
Ф = J A\ (Pl) Al (р2) | 0> F (ри р2) diPldiP2,
где F (/»i, p2)?af (M2) (в случае х1 = л2 функция F(yt)i, p2) симметрична по р1г р2), тогда
||Ф|12=Л? [ \F(Pl,p2)\
г + хг+
nil tn2
Перейдем от (plt /72)?Г^ X Г^ к новым переменным p?V^ +m , ra^S2, полагая
P = Pi + Pi. A-'1 p1 = (E1(s),k(s)n), F(plt p2) = f(p, га);
здесь Л—лоренцев поворот, переводящий вектор р в У s e0 (см. G.49)). Скалярный
квадрат вектора Ф теперь равен
*) Это частный случай разложения обобщенной функции по полиномам Якоби (см. до-
дополнение И).
531
где dQn = d cos 6 dtp — элемент площади на сфере S2. Эта формула устанавливает изоморфизм
между ^2И" * и прямым интегралом гильбертовых пространств ffi' р, каждое из которых
есть jf2 (S2) или (в случае к1 = к2) Х% (S2) (подпространство четных функций / (л) =/ (—и)
в Jf2(S2)).
Оператор В сохраняет суммарный импульс частиц p=p1JrP2, значит, он коммутирует
с любой ограниченной функцией от оператора р. Отсюда следует (согласно |Н2], п.41.2.1), что
оператор В разлагается в прямом интеграле (К.9) измеримым семейством {Вр} (в существенном)
ограниченных операторов *) в Хг (S2), причем
(vrai-)sup|!S/)|[ = [|
Для нахождения явного вида Вр воспользуемся представлением (К-2):
2
<Ф', ВФ>= [f'(p, n')B(s, n'n)f(p, n)( k{*} JdiPdQndQn,,
J \ 16л2К s /
откуда следует, что ядро оператора Вр есть
В, (я', я)- *® B(s,n'n).
N\6n2y s
С другой стороны, функции -j— BZ-J-1) Pt (n'n) являются ядрами взаимно ортогональных
конечномерных проекторов в пространстве J??(S2). Это следует, например, из представления
I
Щ?ИР1(п'п)= X yf{n')Yf(n) (К. 10)
т= -I
([В7], п. III. 4.2, формулы B), E)), где Yf (я) (при /gZ+, m?Z, | m \<1)~ сферические
функции, которые образуют ортонормированный базис в J?2 (Sa) и которые в полярных
координатах определяются формулой
Yf (п) = (- 0w У^ъг й!о F) eim<f (К -11)
( tmn (б) — матричные элементы
Сп F) = <т | 2><" (ехр (ЙТ1/2)) | п> (К-12)
оператора 2)('' (ехр (iQxi/2)) представления группы SU B) со спином / в так называемом
каноническом базисе; см. [В7], § III.3). Поэтому формула (К-5) дает разложение операторов Вр
по ортогональным проекторам, причем коэффициентами этого разложения служат как раз
парциальные коэффициенты Bi(s). Отсюда, очевидно, следует доказываемое предложение. >
Применим полученный результат к амплитуде процесса (К-1). Для матрицы рассея-
рассеяния S в фоковском пространстве обозначим через iT часть оператора S—1, принадлежа-
принадлежащую подпространству §|И1- **^ (проектор на которое обозначим через Е^и и^):
iT^E[K'' **](S—l)?tXl1 И2]. (К-13)
По определению инвариантной амплитуды имеем
<0 | А2 (р'2) Ах (рд TAl (Pl) а\ (р2) | 0> =
= Bя)*в(Л+р,-^-л)в+, (PiN+2(p2)S+i(P;N+j(p2)r(s, t). (K.14)
Допуская общепринятую вольность в обозначении, будем вместо Т (s, t (г)) писать Т (s, г).
Парциальное разложение для Т имеет вид
. со
T(s, z)= ,* L Bl + \)h(s)Pl(z). (К.15)
Согласно предложению К-1 парциальные коэффициенты ft (s) являются ограниченными изме-
измеримыми функциями от s. Из унитарности S-матрицы следует
T*T<i(T*-T), (К.16)
*) Это означает, что всевозможные матричные элементы операторов Вр являются измери-
измеримыми (в существенном) ограниченными функциями от р ((vrai-) vsup|/(p)| — естественная нор-
норма на классах эквивалентности таких функций).
532
откуда (опять на основании предложения К.1) получаем
| h (s) |2 < 2 Im fi (s) (K.17>
и, в частности,
0< Im/, (s) < 2. (K.19),
Неравенства (К-17) совместно с аналитичностью амплитуды по t в эллипсе Лемана
(п. 15.1.В) приводят к следующему выводу.
Предложение К.2. (а) Амплитуда Т (s, г) процесса (К-1) в физической области
есть локально квадратично интегрируемая функция переменной s(j(Spt,yS, oo), зависящая
'^'"-образом (в топологии J?2(I), где I — произвольный компактный интервал в (sv^s, oo))
от z?[—1, 1] как от параметра.
(б) При любом т < О и s > smjn (т) *) амплитуда Т (s, t) процесса (К-1) в физической
области есть локально квадратично интегрируемая функция переменной s?(smjn(T), oo),.
зависящая %ж'-образом (в топологии J?2 (У), где I — произвольный компактный интервал
в (smin (т), оо)) от t?[t, 0] как от параметра.
<4( Согласно теореме 15.1 для любой основной функции v (s) ?.S) ((sptiyS> °°)) функция
\ T (s, z)v(s)ds аналитична по z в некотором эллипсе (зависящем от v (s)) с фокусами ±1..
С другой стороны, имеем разложение Лежандра
Г Т (s, г) v (s) A = J? B/ + 1) ( Г 4"f(s) S ^ (s) v (s) ds) Pt (г). (К.20).
J ,l=0 \J /
Из теории разложения аналитических функций в эллипсе по полиномам Лежандра ([СЗ],
теорема 9.1.1) известно, что коэффициенты разложения ограничены убывающей экспонен-
той по I:
^4яЛГг * t .. ... , л
-щ— ft (s) v (s) ds < cv exp (— XoO
(где x» > 0), и что ряд (К.20) сходится равномерно по z на любом компакте в эллипсе
аналитичности.
Пусть / — произвольный компактный интервал в (Sp^ys, oo). Покажем, что ряд (К-20)<
сходится в J?2 (/) по s равномерно пз г в некотором эллипсе Е с фокусами ±1. Для этого,
достаточно оценить норму ||.--| в X2 (/) каждого слагаемого ряда. С этой целью выберем
неотрицательную функцию v (s)?<2) ((sphyS> °°))> равную 1 на /; тогда
h (s) Pt (z) |^ (/) < BI+1)J^L im h (s) v (s) ds;Sup | Pl {z),.. (K.22)
Если здесь эллипс Я выбран достаточно малым, то в силу (К.21), а также в силу нера-
неравенств **)
( I
Pi(z)\<Pt( I'-H + lz+M ^ приг^С, (К.23>
Pt(x)< (х+У х*— \I прил:5э1 (К-24>
выражение (К.22) ограничено сверху величиной типа с'ехр (—х'О- Поэтому ряд (К.15)
сходится в топологии j?2G) равномерно по zg?, что доказывает часть (а) предложе-
предложения К.2.
Для доказательства части (б) будем считать параметром не переменную г, a t, которая про-
пробегает достаточно малую комплексную окрестность G интервала [т, 0]. Тогда для членов ряда
(К.12) имеем оценку типа (К.22), которая показывает, что ряд (К. 12) сходится в топологии
J?2(/) (где / — компактный интервал в (sm-m(T), oo)) равномерно по t?G. >
Из предложения К.2, в частности, следует, что для процесса (К.1) хорошо определены1
дифференциальное упругое сечение
и упругое сечение
<jei(s) = -T7- \ ^qd cos 6; (К.26)
-I
они являются локально интегрируемыми функциями от s. Таким же свойством обладает и пол-
полное сечение взаимодействия частиц xi( и2> которое (в соответствии с оптической теоремой) есть
1
atot (s) = у= Im T (s, cos 6)|со, е_ х. (К.27)
2 У s k (s)
*) Величина s = sm-m(T) >0 определяется из уравнения —4?2(s) =
**) По поводу этих неравенств см. ниже упражнение К-1(в).
533
{Мчожитель 1/А' в формуле (К.26) проистекает из-за того, что упругое рассеяние тождествен-
тождественных частиц на угол 6 и на угол я—6 представляет одно и то же физическое событие.)
Следующее важное свойство амплитуды рассеяния (точнее, ее мнимой части) основывается
на неравенствах для полиномов Лежандра:
\dnzPl(z)\^dnzPl(z)\z=1 при I, n?Z+, zO-l> И- (К.28)
Это следует из того, что полиномы Лежандра являются выпуклыми линейными комбина-
комбинациями полиномов Чебышева Т'^ [z) = cos (k arccos z):
/
fttTo ( !/ "¦ ' '
(см. [СЗ], формула D.9.4)), и из соответствующих неравенств для полиномов Чебышева, которые
проверяются непосредственно (см. следующее упражнение).
Упражнение К-1. (а) Доказать неравенства для полиномов Чебышева
'*2~|г+11 ) ПрИ 2^С' (К'30)
дг Tk (ch x) < kTk (ch x) при хЭ=0. (К-31)
(Указание: (К-30) следует из очевидных соотношений
| Tk (соз 6) | = | cos (Щ К ch (A Im 6) = Тк (ch Im 9);
(К-31) следует из тождества Т^ (ch x) = ch &X-)
(б) Доказать неравенства
\dzTk(z)\^dlTk(l)\i='/2{\z-[ \ + \г+1\) ПРИ г€С- [(К.32)
(Указание: при п=0 неравенство доказано в части (а) упражнения. Далее действовать индук-
индукцией по п, воспользовавшись тем, что производная полинома Чебышева есть выпуклая линей-
линейная комбинация полиномов Чебышева:
где 6 = arccos z.)
(в) Доказать следующее неравенство для^полиномов Лежандра:
Е)|6=1/1(|2_,|+|г+1|) при г?с, (к.зз)
а также неравенство (К.24). (Указание: неравенство (К-33) следует из того, что полиномы Ле-
Лежандра являются выпуклыми линейными комбинациями полиномов Чебышева, и из неравенств
(К-32). Неравенство (К.24) получается из «начального условия» Pi(l)=l и неравенства
dxPi(ch y)<^lPi(ch у), которое в свою очередь следует из соответствующих неравенств (К-31)
для полиномов Чебышева.)
Упражнение К.2. Пусть функция f(z) аналитична в области DczC, содержащей от-
отрезок [—1, а], где а>1, причем на отрезке [—1, 1] (значит, и в любом эллипсе в области!) с фо-
фокусами в точках ±1) она разлагается в ряд по полиномам Лежандра с неотрицательными коэф-
коэффициентами:
f(z)='2l B1+1) eft (z), c,SsO при всех /. (К.34)
/= о
Доказать, что тогда функция /(г) аналитична в эллипсе \z—l|-f-]z-|-l|<2a. (Указание: пусть
Е={г?С: \г—l|-f-|z+l|<26}, где 6<оо есть максимальный эллипс с фокусами ±1, в котором
/(г) аналитична. Достаточно доказать, что функция /(г) не продолжается аналитически ни в ка-
какую комплексную окрестность точки г=Ь. Для этого воспользоваться неравенством
которое вытекает из (К.ЗЗ), (К.34). Отсюда следует, что радиус сходимости ряда Тейлора функ-
функции /(z) в любой точке z?? не меньше, чем соответствующий радиус сходимости в точке \—
Неравенства (К.ЗЗ) вместе с (К. 19) приводят к соответствующим неравенствам для мнимой
части амплитуды.
Лемма К.З. Мнимая часть амплитуды T(s, t) упругого процесса (К-1) в физической об-
области удовлетворяет неравенству
| д? Im T (s, /) | < д? Im T (s, О I /=o (К-35)
при всех n?Z+, t?[x, 0] (где т < 0 произвольно), sg(smjn(-r), oo).
-^ Из доказательства предложения К-2 (б) следует представление
534
/
в котором ряд сходится в Л?2A) при любом t^[t, 0] (где т < 0, а / — произвольный
компактный интервал в (sm-m (т, оо)). Теперь (К.35) непосредственно следует из неравенств
(К.19), (К.ЗЗ). >
Замечание. Предложение К-2 дает «локальную» характеристику амплитуды Т (s, t)
как функции от s. Можно сформулировать соответствующее утверждение «глобального»
типа. Мы ограничимся пока следующим результатом для мнимой части (поскольку сущест-
существенные детали доказательства уже были приведены в § 15.2 *)): для любых т < 0, s0 >
> smjn (т) существует v > 0 такое, что s~v~1 Im T (s, t) является абсолютно интегрируемой
функцией от s?(s0, оо) при любом t?(%, 0]:
s-v-i Im7(s, 0б^1 ((so. <»))• (К-36)
Очевидно, благодаря неравенству (К-35) при л = 0, достаточно доказать (К.36) при ? = 0
(для некоторых v > 0, s0 > spt,ys). В силу неотрицательности 1ш Г (s, t)]t=o доказываемое
утверждение эквивалентно полиномиальной ограниченности (при s > s0) свертки
v (s) * Im T (s, t)\t=o, где v (s)— произвольная фиксированная неотрицательная функция
из &)(R) с интегралом 1. А этот факт был уже доказан в лемме 15.6 (здесь мы пользуемся
тем, что As(s, <)/=o=Irar(s, О k=° ПРИ s > sphys согласно упражнению 15.11). В следую-
следующем пункте мы убедимся, что s-v-1 Im T (s, t) (как элемент из jf1 ((s0, оо)) по s) зависит
от параметра t непрерывным (и даже аналитическим) образом, а в п. 17.1.А увидим, что
можно положить v = 2.
Заметим еще, что результаты этого пункта нетрудно распространить на случай неупругого
двухчастичного процесса
| Ь (К.37)
поскольку для парциальных амплитуд gi(s) этого процесса имеет место ограничение типа (К-17)
mfl(s); (K.38)
здесь, как и выше, f^s) — парциальные амплитуды упругого процесса (К.1) (см. Зоммер, 1967 г).
К.2. Аналитическое продолжение по t дисперсионного соотношения. Предполагая, что
для процесса (К-1) имеет место дисперсионное соотношение при t^(rm-m,'O], мы запишем
его в виде
1 ?у г, л 1 Г As(s, t)ds' . С Aaiu > t)du' ,
— dsT(s, 0 = — \ , , Lv , A \ , , , L^i + полюсные члены;
v! к ' я J (s'—s —t0)v+! ' я J (u — u + i0)v+l
(К.39)
здесь vgZ+ выбрано четным и достаточно большим. Как отмечалось выше, абсорбтивная
часть As (s', t) в физической области совпадает с мнимой частью амплитуды Т (s', f), поэ-
поэтому согласно результатам предыдущего пункта при достаточно больших v, sj> sg^ys
(s')-v-1As(s', t) является интегрируемой функцией от s'?[s0, оо). Аналогично Аа(и', t)
в физической области u-канала совпадает с мнимой частью амплитуды перекрестного про-
процесса, и (и')-^-1Аа (и', t) есть также неотрицательная интегрируемая функция от и' ?[и0, оо)
(где и0 >sp]1yS достаточно большое). Оказывается, свойство (К-35) мнимой части амплитуды
позволяет аналитически продолжить дисперсионное соотношение в область комплексных t.
Лемма К.4. Пусть Ft (I) — семейство интегрируемых функций переменной ??/ =
= (—оо, Si](J[s2> -Ь оо). зависящих ^""-образом от параметра U^[—е, 0] в топологии
пространств Jf1(Jf|/)> где I—произвольный ограниченный интервал в /?**), причем выпол-
выполнены два условия:
а) при всех n?Z+, tQ[—e, 0] функции &tFt(?) удовлетворяют неравенству
|a?ft (s|<a;Ft(alt-o; (к.40>
б) существует функция %f (?) из пространства % (У) {комплексных непрерывных огра-
ограниченных функций от переменной ?), аналитически зависящая (в топологии % (J), опреде-
определяемой sup-нормой) от комплексного параметра t в круге 11 \ < р, такая, что все ее произ-
производные по t при / = 0 неотрицательны, /0 (?) = Xt (I) \t=o ограничена снизу положительным
числом (скажем а) и функция (Ft, yj) = \ Ft (?) %t (i) &\ аполитична no t в круге \ t \ < p.
J
Тогда Ft (?) аналитически продолжается (в топологии Xх (J)) no t в круг | t \ < р
на комплексной плоскости.
¦^ За счет уменьшения а и е можно считать, что
tt(l)^a при t?l-e, 0], t?J; (K-41)
эта возможность обусловлена тем, что при всех /?[—е, 0]
*) Методами § 16.3 этот вывод можно распространить и на все упругие двухчастичные
процессы, для которых имеют место квазидисперсионные соотношения (не обязательно диспер-
дисперсионные, как в § 15.2).
**) Тем самым для любых ngZ+, ??[—s, 0] определены распределения d?Ff(§)€
&)'' (/), являющиеся локально интегрируемыми функциями от s?J.
535
Для доказательства леммы достаточно проверить следующие утверждения: при всех
л?2+, <g[-e, 0]
\dlFt(l)?XHJ); (K.42a)
л-я производная d?Ft (§) от Ft (I) существует в топологии j?1 (J) (К-426)
'(и, значит, совпадает с п-н производной dfFf^) от Ft (?) в топологии любого пространства
^(Jf)!), где /-ограниченный интервал в R);
')-" при р' < р, (К.42в)
где А—константа, не зависящая от п (например, А может быть выбрана из условия
Будем действовать индукцией по п. При я = 0 утверждение тривиально. Предполагая
справедливость утверждения для n^k, докажем его для n = k-\-l. В силу предположения
индукции выражения
Bt, х (§) = (^-т)-1 (d$Ft (Б)-^т(Е))
(где /, т?[—6, 0], t ф т) являются функциями из =5?*G); кроме того, в силу условия (а)
леммы Btt о (?) ПРИ ^6(—8- 0) есть неотрицательная функция. Поэтому для любой основ-
основной функции и(%)?б?) (J) имеем
Fx|t_o, ы)| = Нт |(Bt,0, «)|<Um(BtiOl|«|)<a-isup|«|Hm(Sf 0, Xt), (K.43)
t-+0 t-*0 t-*0
где
Второе слагаемое в правой части (К.44) в силу предположения индукции имеет предел
—(^tIt-o, дтХт1т=о)<О, поэтому
Jim (Bt, о, It) < ПпГ 11 (d? Ft, Xt)-Er Ft, Xt) 1т=о| . (К.45)
В силу того, что Ff k раз дифференцируема по i в классе J?1 (У) и что %t аналитична по /
в классе % (J), функция (Ft, %t) k раз дифференцируема по i и удовлетворяет правилу
дифференцирования Лейбница
k
в? (Ft, xt)=? штат (d?F<-а' ~"х<)- (к-46)
р=о v ;
В силу предположения индукции справедливо также следующее равенство:
Jh ^
р=0 р=0
По условию леммы левая часть здесь неотрицательна, поэтому прибавление этого выражения
к правой части (К-45) не нарушит неравенства:
«га (BUo, xtXlim-i-{d?(ft, Xt)-dx(Fx, Xx) |t=o} =$+1(Ft, Xt) \t=0.
Из (К.43) теперь, очевидно, следует, что (К.42а) и (К.42в) справедливы для n=
Остается доказать (К.426), т. е. что
Bt, z(l) -+ д%+% в JfiG) при т^<.
Поскольку по условию леммы
Bt. x(t)^ dkt+1Ft в топологии ЛГЧ^ЛЛ при x^t
(где /—произвольный ограниченный интервал в /?), то достаточно доказать оценку
I Bt, х {I) I < Ь (I) (почти всюду на J) (K.47)
для всех xj^t, где Ь (?) — некоторая неотрицательная функция из X^C). Для этого
положим i> (g) = 5-c+1jFt F) |т=о; тогда при всех u?@)(J) имеем
t
Г (dx^Fx', u)di'
x
откуда, очевидно, следует (К-47). Тем самым доказано также (К-426). >
Теорема К-5 (Мартена). Амплитуда Т (s, t) упругого процесса (К.Л) аналитична
по переменным s, t в комплексной области
{(s, 06C2: М|<(Л |s|>#2, s&lMb. «), и$[МЬ, оо)} , (К.48)
где [х, R—некоторые положительные параметры, причем при некоторых Sq > s$hySuv?Z+
s-v-iA(s, f)(E^l((so, oo)) при \t\ < ц2. (К.49)
Если для процесса (К-1) имеет место дисперсионное соотношение в некотором интервале
*€( 0]. то оно справедливо и в области t
{(s, t)?C*: 11 [ < |х>, s(?[M$2, oo), и$[МЪ. <*)}, (K-50)
¦где jj,—некоторый положительный параметр.
¦^ Вначале предположим, что для процесса (К-1) справедливо дисперсионное соотно-
соотношение. Чтобы иметь дело с абсорбтивными частями амплитуд в физической области, мы
выберем достаточно большие slt их > spt,yS и вычтем из Т (s, t) вклад
— \ —ii_J—L \ ,—'- (-полюсные члены. (К-51)
Я J S:'—S ' Я J И —И
По теореме 15.4 абсорбтивные части As(s', t), Aa(u', <) аналитичны по ^ в больших эллипсах Ле-
мана, пересечение которых при s', и' в области интегрирования в (К.51) содержит некоторую
¦общую комплексную окрестность U|<(i'a точки <=0. Поэтому достаточно доказать теорему для
7\(s, <), равной разности между T(s, f) и (К-51); тогда в силу (К-39)
1 Ц»т f« rt ! Г Л^E'' t)ds' I
Si Ui
Выберем далее некоторую точку s0 из интервала (sPhys, sx) такую, что s0 > 2 (m\-{-ml)—%+ц'2
-(это можно сделать, если Sj, «! выбраны достаточно большими). Тогда из аналитичности
амплитуды F (s, /) в малом эллипсе Лемана (т. е. из теоремы 15.1) следует существование
•положительного параметра ц < ц' такого, что левая часть (К-52) при s = So аналитична по t
в комплексном круге | 11 < рА Положим
v+i 1 / ?
+Le(g«i)(f
— s0
где р —произвольный параметр из интервала (ц2, so + Mi —2 (nti + ml)). Нетрудно убедиться,
что все условия леммы К-4 выполнены; следовательно, функции Ft (?) аналитически про-
продолжаются (в топологии X1 (/?)) по t в круг j 11 < рА В таком случае формула (К.52) дает
аналитическое продолжение —rdsT1(s, t) в область (К-50). Это (вместе с аналитичностью
no t производных dsTx(s, t) |s=s0 в круге 111 < ц2) означает, что амплитуда Т (s, t) анали-
аналитична и удовлетворяет дисперсионному соотношению в области (К-50).
В общем случае теорема доказывается применением вместо дисперсионного соотношения
квазидисперсионного соотношения (см. п. 16.3.А); при этом на первоначальном этапе выбира-
выбираются достаточно большие s1; ult R2, a 7\(s, t) определяется как разность между T(s, t) и вкладов
от квазидисперсионных интегралов по окружности \s'\=R2 и отрезкам /?2<s'<s1, 2(m|+
~Ь"г1)+^2—t<u'<М\- Тогда по-прежнему имеет место соотношение (К.52). Дальнейшая аргу-
аргументация остается без изменения. >
В случае квазидисперсионных соотношений метод доказательства теоремы не дает инфор-
информации о величине ц, однако для процессов, для которых доказаны дисперсионные соотношения,
он может быть использован при вычислении параметра [г. Выбирая slt иъ s0 оптимальным об-
образом, Зоммер A967а) показал, что, например, для процессов сильного взаимодействия ял,
пК, КК, КК параметр ц определяется пороговой массой в ^-канале:
ц=М13=2ш. (К.53)
Для процессов типа яЫ, яЛ указанный метод дает заниженную величину ц, однако Бессис и
Глазер A967) показали, что и в этом случае \х определяется равенством (К-53); для этого они
использовали нефизическое значение so^((mj—m2J, (mrj-/^J) (предварительно, действуя
в духе § 16.3, они выполнили вспомогательное явное голоморфное расширение области анали-
аналитичности T(s, t) по двум переменным s, t).
Следствие К-6. При s>spt,ys амплитуда T(s, f) упругого процесса~(К.1)[и ее абсорб-
тивная часть As(s, t) аналитичны по t соответственно в малом
) (K.54)
я большом
) (K.55)
537
эллипсах Мартена; здесь
y(s) = (\+lx*/4k*(s)I'2, (K.56)
Y (s)= l+n2/2?2(s). (K.57)
Действительно, абсорбтивная часть ^(s, ^) аналитична по t в большом эллипсе Лемана и
(по доказанному выше) аналитически продолжается в точки т?@, (J,2); кроме того, она имеет
неотрицательные коэффициенты Im fi(s) парциального разложения. В силу свойства рядов по
полиномам Лежандра с неотрицательными коэффициентами (см. упражнение К.2), парциаль-
парциальное разложение для As(s, t) (сглаженное по переменной s с произвольной неотрицательной ос-
основной функцией v(s) с произвольно малым носителем в окрестности фиксированной точки so?
€(sphys> °°)) сходится в наименьшем эллипсе с фокусами tm\n=—4?2(s0), ^max=0, содержащем
точку т? @, ц2), что доказывает аналитичность As(s, t) no t в большом эллипсе Мартена. С уче-
учетом этого факта оценки типа (К.22), использованные в доказательстве предложения К-2, по-
показывают, что амплитуда T(s, t) аналитична по t в малом эллипсе Мартена.
Упражнение К-3. (а) Доказать следующее неравенство для полиномов Лежандра:
1 i
Pt (z) 5э а B1 + 1) ™ (г + У^^У 5э а' B1 + 1) ~~ (l + V~2 (г- 1))г при zSsl,
где а, а' — некоторые положительные константы. (Указание: из (К-29) при z = ch%, %>0
следует:
P,(chx)ss2ech(z
далее воспользоваться формулой Стирлинга
«! = }/яехр I (п + у ) 1п "¦ — п\ (i+OC")) ПРИ
б) Доказать, что для любых т?@, ц2), s0 > sphys существует константа b > 0 такая, что
со
/"TV
1+2 ]/ 4) *<6 (К.58)
при всех l?Z+. (Указание: по теореме К-5 s~v~1As (s, t)^J?1((s0, oo)); подставить сюда
разложение As (s, t) по полиномам Лежандра и воспользоваться неотрицательностью всех
членов ряда, а также частью (а) упражнения.)
Замечание. Амплитуда произвольного (возможно, пеупругого) процесса (К-37) при
s > Sphys также аналитична по t в соответствующем малом эллипсе Мартена
- /ш1п (S) | +| / -/max (S) |< 4/СХ2 (S) /Сз4 («) Kl + (Х2/4/С?2 (S), (К.59)
где параметр fxs=u12 тот же, что в теореме Мартена для упругого процесса (К-1). Как и в случае
упругого процесса, это утверждение есть непосредственное следствие оценки (К-38) для пар-
парциальных амплитуд процесса (К.37).
лава 17. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
ДЛЯ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
17.1. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
А. Граница Фруассара. [Аналитические свойства амплитуд, скомбиниро-
скомбинированные с условием унитарности S-матрицы, приводят к ряду ограничений на
поведение сечений элементарных процессов при высоких энергиях (точнее,
при стремлении энергии сталкивающихся частиц к бесконечности). Одной из
первых полученных таким образом оценок явилась граница Фруассара для
полного сечения взаимодействия двух частиц *):
otot(s)< const- In2 s. A7.1)
Для более общей формулировки этого результата**) следует ввести полное
сечение, усредненное по некоторому интервалу значений s:
s + A/2
»tot(s) = 4- J °ioi(s')ds\ A7.2)
s-A/2
где s > s0 > sphys + Д/2, а Д—фиксированный (произвольным образом) поло-
положительный параметр. Точно так же знак ~ над другими физическими вели-
величинами указывает на подобное усреднение по s.
Упражнение 17.1. Доказать, что сте1 (s) и atot («) (ПРИ s > s0) являются непрерыв-
непрерывными функциями, притом положительными, если Т (s, t) ^ 0. (Указание: непрерывность
ое\ (s) и atot (s) есть следствие того, что в силу предложения К-2 aei (s) и o"tot (s) — локально
интегрируемые функции. Положительность ае\ (s) и ai0\ (s) доказывать методом от против-
противного: если Sei (s') = 0 в некоторой точке s' > s0) то Т (s, t) = 0 на некотором непустом открытом
множестве точек (s, t)? R2; далее воспользоваться обобщенной теоремой единственности Б. 10.)
Предложение 17.1. Для полного сечения взаимодействия и диффе-
дифференциального сечения упругого рассеяния пары частиц щ, х2 имеют место
оценки сверху:
atot(sXconst-In2 s, A7.3)
< const- V~s In3 s/sin9 при 0 < 9 < я, A7.4)
<! const • s In4 s. A7.5)
cos 9 = l
d cos 6
В физической области упругого процесса Ха+^г—>-Xi-[-X2 имеем разложение
¦v
A7.6)
*) Ранее высокоэнергетическая асимптотика o"tot (s) ~ const -In2 s была получена Гей-
зенбергом A952) из квазиклассических соображений.
**) Уместно еще раз напомнить (см. сноску на с. 489), что излагаемые результаты основы-
основываются на аксиомах формализма LSZ или S-матричного метода (частицы предполагаются бес-
бесспиновыми).
539
(см. (К-15)). Из оценки (К-58) следует
A7.7)
при всех l?Z+, s > s0 (здесь т?@, (г2) фиксированно, а ц —параметр, фигурирующий
в теореме_К-5). Пусть а > (v+3/4)/2 У т; разобьем слагаемые ряда A7.6) на две группы:
с /<а j/~ s Ins, для которых воспользуемся оценкой (К-16), и с / > a}^~s\ns, для кото-
которых применим A7.7). Тогда
aV s In s
Первое слагаемое в правой части A7.9) ведет себя при s—»- оо как " sln8s. Второе
слагаемое ведет себя как sln2s-o(l), поэтому
Im T (s, 0) < const-s In2 s,
откуда следует A7.3). Попутно мы получаем
lim atot (s)/ln2 s < (v + 3/4J я[г~2Л?. A7.10)
S ->• 00
Для оценки дифференциального сечения воспользуемся парциальным разложением
(К. 15) и неравенством (К. 17):
S + A/2
j~T(s', г)
2 / со ч 2
A7.11)
Заменяя здесь | Pi (г) | на 1 и используя для оценки полученного ряда тот же метод, что-
и при оценке A7.6), получаем
s + A/2
-i- Г \T(s', z) |2ds'< const-s2 In4 s при всех z?[—1,1], A7.12)
5-Д/2
откуда (при z=l) следует A7.5). Если же применить неравенство
\Pi(z)\ <У~~2\к1УГ=7>\-1/2 при zg[—1, 1] A7.13)
([СЗ], теорема 7.3.3), то аналогичным образом из A7.11) выводим
5 + Д/2
-i- С \T(s', z)|2ds'<const.s3/2ln3s.(l — z2)/2 при г?[—1, 1], A7.14)
s-д/г
что доказывает A7.4). >
Очевидно, стандартная формулировка A7.1) оценки Фруассара несколько
сильнее, чем доказанное выше соотношение A7.3). Она следует из A7.3), если
дополнительно предположить, что сечение не слишком сильно колеблется
на любом интервале энергии фиксированной длины, например, в следующем
смысле:
inf oioi(s')j sup Gtot(s')> const >0. A7.15)
s-A/2 < s' < s + A/2 I s-A/2 < s' < s + A/2
Следует, однако, заметить, что формулировка A7.3) в терминах усредненного
сечения atot(s) вполне достаточна для феноменологии, поскольку в реаль-
реальном эксперименте измеряют именно величины (в данном случае сечения),
усредненные по некоторому энергетическому интервалу (длина которого
определяется разрешающей способностью установки и, конечно, растет с s).
Обычно при выводе оценки A7.1) делают «техническое» предположение о поведении аб-
сорбтивной части амплитуды в «нефизических» точках:
jMv', s > sphys, A7.16а)
где выбирают
v=2 ¦ (Л 7.166)
540
^ «поточечное» ограничение не противоречит следствию 17.3. но и не вытекает из него). От-
Отсюда получают A7.1), а также
ШтГ atot(s)/ln2s<4n(i2 A7.17)
s-> со
<см. Локашук и Мартен, 1967; Синг и Рой, 1970).
Из A7.3), очевидно, вытекает
ael(s)< const- In2 s. A7.18)
Как видно из вывода оценки A7.12), такая же оценка имеет место,
если считать фиксированным t < 0:
s + A/2
-^ J \T(s', 0 |2 *>'s^ const-s2 In* s. A7.19)
s-A/2
Это позволяет уточнить глобальную характеристику амплитуды по перемен-
переменной s (ср. замечание в п. К. 1).
Следствие 17.2. При любом г?[—1, 1] имеем
s7(s, z)<E^2((s0, ex.)); A7.20а)
точно так же при любом t < 0
s-2r(s, *)€^2((Si- °o)), A7.206)
где s^Snbit).
Следствие 17.3. В дисперсионном (или квазидисперсионном) соотно-
соотношении при фиксированном t < 0 достаточно не более двух вычитаний *)
<т. е. v < 2).
Действительно, рассуждая, как в доказательстве теоремы К.-5, вычтем из T(s, f) вклад от
«(квази)дисперсионного интеграла по конечным нефизическим отрезкам (и по окружности —
в случае квазидисперсионного соотношения). Полученная величина Tt(s, t), очевидно, также
удовлетворяет A7.206) и, кроме того, соотношению (К..52), которое теперь можно записать
в виде
Н()
где pt (s) — полином по s степени <v—1. Свертки в A7.2) хорошо определены, поскольку
в силу A7.206) (s')-*As(s't 0€^?2((Si, «)) и, значит,
Поэтому первое слагаемое в правой части A7.21) также удовлетворяет условию A7.206); ана-
аналогичным свойством обладает второе слагаемое в A7.21). Теперь, из условия s""aj0f(s)g
g jf2((s!, oo)) получаем, что степень полинома pt(s) no s не превосходит единицы; это доказы-
доказывает, что v можно считать равным двум.
Механизм получения границы Фруассара имеет прозрачный физический
смысл. Для сравнения рассмотрим рассеяние точечной классической частицы
на неподвижном непроницаемом шарике радиуса г. Тогда полное сечение рас-
рассеяния а есть=л;г2. С другой стороны, рассеяние, очевидно, происходит,
только если угловой момент частицы L не превосходит Lmax=fer, где k — им-
импульс частицы. Тем самым радиус взаимодействия, определяющий полное
сечение, просто связан с максимальным угловым моментом при рассеянии.
Нечто подобное имеет место при столкновении релятивистских квантовых
частиц высокой энергии (скажем, в системе центра масс). Предположим для
простоты, что асимптотическое поведение полного сечения при s -*¦ <х> опре-
определяется границей Фруассара:
c1lnas<atot(s)<c1ln*s, A7.22)
*) Это справедливо и для комплексных t в круге
541
где сх и с2—некоторые положительные константы (в этом случае говорят,
что граница Фруассара насыщается). Как видно из доказательства границы
Фруассара, члены парциального разложения с I > leii {s) = a\/~s Ins дают
вклад, пренебрежимый по сравнению с A7.22); основной вклад nk~- (s) /|fr (s)
в границу Фруассара дают слагаемые с /^/eff(s). Таким образом, в этом
случае в соответствии с классической картиной естественно определить эффек-
эффективный радиус взаимодействия из условия
len(s) = k(s)reU(s). A7.23)
В общем случае мы можем сохранить равенство A7.23) в качестве опреде-
определения; однако вместо асимптотического равенства /е{{ (s) = const • V s In s теперь
можно утверждать лишь, что
/eff(s)< const V~s Ins. A7.24)
Понятие эффективного углового момента вместе с оценкой A7.24), оче-
очевидно, полезно для получения различных асимптотических соотношений.
Мы воспользуемся им при доказательстве следующего результата.
Предложение 17.4. Если выполнено условие
atol(s)>fc-* (где s > s0) A7.25)
при некоторых Ъ > О, k > 0, то сечения взаимодействия пары частиц удо-
удовлетворяют соотношениям
Kot (s)J < const-In2 s-aeI(s), A7.26)
5^g<const-K"slns-ael(s)/sin6 при 0 < 9 < я, A7.27)
dael
< const-s In2 s-ael(s). A7.28)
d cos О
Из неравенства Коши — Буняковского—Шварца следует
1< а V s in s
s (- Д/2
1/
/г/ 2-1 (и+1I ^Р'тЧт \ 1/г(«'I2*' ). A7.29)
\ . -. г— - / \ t— п V . _ /'
"llns У \/=0 s_A/2
Согласно оценкам, сделанным при выводе границы Фруассара, для любого л>0 и доста-
достаточно большого а добавление к сумме в левой части A7.29) слагаемых с / > а У sins изме-
изменяет ее на величину, сколь угодно малую (при s—>¦ оо) по сравнению с s~n~1. В резуль-
результате получаем
(Otot(s)+o(s-«)J<const-ln2s-aei(s).
При n^sk отсюда и из A7.25), очевидно, следует A7.26). Отметим, что из A7.25), A7.26)
следует также
<?ei(s)Ssr6's-*' A7.30)
при некоторых 6'>0, ?'>0. Аналогичное применение неравенства Коши — Буняковского —
Шварца к парциальному разложению амплитуды приводит к соотношениям A7.27), A7.28),
причем члены, малые по сравнению с s~" (где п достаточно велико), пренебрежимы в силу
A7.30); кроме того, при выводе A7.27), как и при выводе A7.4), используется неравенства
A7.13) для полиномов Лежандра. ^ ?j
В силу A7.18) предложение 17.4, вообще говоря, улучшает оценки
Фруассара, за исключением того случая, когда граница Фруассара для пол-
полного сечения насыщается, т. е. когда
lim atot(s)/ln2 s > 0; A7.31а)
S ->• со
542
в этом случае благодаря A7.25) имеем также
lim ael(s)/ln2s>0, A7.316)
S -*¦ GO
и оценки A7.26) —A7.28) переходят в A7.3)—A7.5).
Замечание. Условие A7.25), входящее в предложение 17.4, является довольно
естественным предположением. В качестве мотивировки его приведем один родственный ре-
результат, относящийся к оценкам сечений снизу. Джин и Мартен A964) установили для ампли-
амплитуды рассеяния вперед оценку снизу типа *)
s + A/2
IHEs*o-L Г \T(s', i) |2 ds'|f=0 > 0 A7.32a)
s->- со Л J
s-A/2
;при некотором k0 (если для данного процесса справедливо дисперсионное соотношение, то можно
считать ko=2; общий случай основывается на квазидисперсионном соотношении). Отсюда и из
неравенства
s + A/2
~ Г \T(s', t)\2ds'\t=0~]- о (s-»)< const-s2 In2 s-dei(s)
s-A/2
(при любом я>0), которое возникает в ходе доказательства A7.28) (и не использует A7.25)),
следует оценка типа
Tim s*'oel (s) > 0, A7.326)
S ->- со
а также
lim s"'atot(s) > 0. A7.32в)
s —* со
Это означает, что неравенство типа A7.25) выполняется по крайней мере на некоторой последо-
последовательности точек sn-*- оо.
Таким образом, если отбросить условие A7.25) в формулировке предложения 17.4, то
можно утверждать, что неравенства A7.26) — A7.28) выполняются по крайней мере на неко-
некотором бесконечном неограниченном множестве точек s?(sn, оо).
Следствие 17.5. (а) Имеет место соотношение
lim
const.Tim ael(s), A7.33а)
где const — некоторая положительная константа.
(б) Если aeI(s) удовлетворяет неравенству типа A7.30) (при некоторых
Ь\ k' > 0), то
lim
< const• lim cre, (s) A7.336)
cos 8 = l «TTi,
(где также const ?/?+)•
Б. Сравнение сечений взаимодействия частицы и античастицы с одинаковой
мишенью. Благодаря перекрестному свойству оказываются взаимосвязанными
асимптотические поведения сечений взаимодействия пар частиц Хх+Хг и Xi+x2
(где во втором случае одна из частиц заменена античастицей).
В частности, при некоторых дополнительных условиях разность полных
сечений взаимодействия пар Xi+x2 и хх+х2 стремится к нулю при s -*¦ оо (ре-
(результаты такого рода носят общее название утверждений типа теоремы По-
меранчука; см., например, ниже предложение 17.10 и следствие 17.11).
Вначале мы докажем одно сравнительно общее неравенство. При этом
мы условимся величины (например, полные сечения), относящиеся к парам
частиц K1J!-xi и к1-{-к2 различать верхним символом (+) и соответственно
{—) (например, сг{й (s), Oto/(s))- Введем еще обозначения
с<±>= lim a!o't(s), C<±>= lim ^'(s). A7.34)
*) Конечно, здесь исключается тривиальный случай T(s, ^)=0.
543
Лемма 17.6. Если
и С(-><сх), то
lim (slr^s)-1
dcosO
cos 8 = 1
32л3
A7.35>
¦^ Поскольку при С(~)=с<+> неравенство A7.34) тривиально, будем считать, что С(~><с(+).
Пусть w(s) — произвольная фиксированная неотрицательная функция из ?Z)(R) с интегралом 1.
Мы покажем, что при любом Ь из интервала 0<6<с(+)—С(~> и при достаточно больших s спра-
справедливо неравенство
\v{s) *(s-27"<-> (s, 0)) |3г —6s-4ns.
A7.36>
Очевидно, этого достаточно для доказательства A7.35).
Воспользуемся (квази)дисперсионным соотношением для амплитуды 7*<->(s, 0). Оче-
Очевидно, вклад от ограниченных участков интегрирования в (квази)дисперсионном интеграле-
имеет порядок O(s-1) при s—»-оо, поэтому достаточно доказать оценку типа A7.36) для
разности Т[~* (s, 0) между Г(~> (s, 0) и этим вкладом. Для Ti"' (s, 0) дисперсионное соотношение
принимает вид A7.21), где нужно поменять местами каналы s и и. Поскольку р0 (s)=pj (s) |f=0.
есть полином по s степени <v—1 = 1 (см. следствие 17.3), то этот полином не существен
для оценки типа A7.36); мы вычтем его из Т1{~} (s, 0) и результат по-прежнему обозначим
через Т[~у (s, 0). Параметры st и и\ в A7.21) выберем достаточно большими, так чтобы
(и1)-1 As(u', 0)^с' при u'S2«b A7.37a>
(s')-1Aa(sl, 0)<C(-' + e при s'S2Sb П7.376)
где с' < с<+' и е—положительные параметры такие, что й<с' — С*-* — 8. Таким образом,,
при достаточно больших s имеем
0)ds' ', A7.38)
где
i)-1. A7.39)
Первое слагаемое в правой части A7.38) легко вычисляется. Для оценки второго слагаемо-
слагаемого нам понадобится следующее свойство функции V(s).
Упражнение 17.2. Доказать, что функция V(s) A7.39) (из пространства
см. дополнение А.З) удовлетворяет оценке вида
Отсюда при достаточно больших s получаем
/
-i [c'
со j
8) Г (s')-1 [(l + (s'~ sJ)-l/2 +a A -+- (s'-sJ)] ds' \ =
J I
= — {(c'-C'->+e) In s-]rO(l)} при
Тем самым доказана оценка A7.36). >
Из леммы 17.6 вытекает следующий результат качественного харак-
характера.
Предложение 17.7. (а) Если [сечение o[tt(s) ограничено снизу поло-
положительной величиной:
A7.40)
A7.41)
A7.42)
(s) > const > 0,
то сечение а\^(s) не стремится к нулю при $—юо, т. е.
(б)
°tot
544
то сечение o[-{(s) не ограничено сверху, т. е.
MS[-Us)=oO. A7.43)-
s->co
•^ Будем доказывать утверждение (а) методом от противного. Предположим,
что CTtot (s) ¦—>¦ 0 при s —>¦ оо. Тогда'С(~> = 0 и, значит, выполнено'условие леммы 17.6, так что
lim (slr^s)-1-
s^m dcos6
(c(+)J > 0. A7.44)..
Отсюда и из неравенства A7.33а) следует
С<->= Em ЗеГ'М > 0.
s->-co
Полученное противоречие завершает доказательство от противного. Утверждение (б) доказы-
доказывается тем же методом. >
Дальнейшие результаты опираются на классическую теорему Фрагмена •— Линделёфа
из теории функций комплексной переменной.
Теорема 17.8 (Фрагмена — Линделёфа). (а) Пусть область DczC представляет собой
верхнюю полуплоскость Im г>0, из которой, возможно, удалено некоторое ограниченное мно-
множество. Пусть /(г) — аналитическая функция в D, непрерывная в замыкании D, причем
|/(г)|<аеа1г|Я при z?D A7.45)
и
\f{z)\<A при z?dD, A7.46).
где а, а, А—некоторые положительные числа и р < 1. Тогда
\f(z)\<A при z?D. A7.47)
(б) Предположим, дополнительно, что существуют пределы
lim /(*) = /(±оо); A7.48).
тогда они совпадают:
/(±оо)^/(оо); A7.49)
кроме того,
*-/(°°) при z?D, \г\—+°о. A7.50)
Доказательство имеется в [Т4], пп.5.6.1 и 5.6.4. Эта теорема будет применяться нами к
полиномиально ограниченным функциям /(г) в D, для которых условие A7.45) заведомо вы-
выполнено.
Упражнение 17.3. Пусть функция / (г) аналитична в области D = {z?C: Im г > О,.
I г | > 1}, непрерывна и полиномиально ограничена в ее замыкании и
Пт \f(x)\ = A.
Доказать, что тогда
Ш \f(z)\ = A.
| г | ->», ze?>
(Указание: при любом 8 > 0 существует достаточно большее а > 0 такое, что | z(z-\-ia)~lf(z) |<;
<Л-)-8 при всех z?dD. Далее, воспользоваться частью (а) теоремы 17.8.)
Лемма 17.9. Имеет место следующее соотношение:
lim (slr^s)-1
d cos'6
^5lim ЙЙE)-^E)J, A7.51)
хотя бы при одном из двух значений символа (±) в левой части неравенства.
¦^ Ход доказательства таков же, как в лемме 17.6. Положим
*= lim |a(tSt(s)-(rtot(s)|;
при 6 = 0 неравенство A7.51) тривиально, поэтому мы будем считать, что 0 < 6< оо. Тогда
при достаточно больших s функция o{Jt (s) — atot' (s) (будучи непрерывной) знакопостоянна;
для определенности мы считаем, что она положительна. Значит, для любого Ь' из интервала-
О < Ь' < Ь существует достаточно большое S\ такое, что
As(s') — Aa(s'Mss'b' при s'^Si. A7.52)
545
Пусть v(s) — произвольная фиксированная неотрицательная четная функция из D (R)
с интегралом 1 и пусть В есть наибольшая из двух величин
Шп | (slns)-1(y(s)*s-2T<±) (s, 0)) |.
s->co
Мы покажем, что
BSsji-1*»'. A7.53)
Очевидно, этого достаточно для доказательства леммы. Случай В=оо тривиален, поэтому мы
считаем В<оо.
Введем в рассмотрение функцию
Очевидно, она аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость Ims>0, полино-
полиномиально ограничена и непрерывна при Ims^O, |s|5=l. Аргументация в доказательстве
леммы 17.6 показывает, что разность между f (s) и (s In s)-1 {v (s) * (s~2r<+> (s, 0))} стре-
стремится к нулю при s—s- + oo. Точно так же разность между / Bmt-\-2ml— s) = /(«) и
{s In s)~x {v (s) *{s~27*<-> (s, 0))} стремится к нулю при s—э-40- Из определения величины
В теперь следует
Шп |/(s)| = B,
поэтому в силу упражнения 17.3
I
С другой стороны, из A7.54), очевидно, следует
Шп \f(s)\ = B. A7.55)
I s | ->оо, Im s > О
при всех т > 0, что вместе с A7.52) влечет
Ш \f(ix)
Т-*- + at
Отсюда и из A7.55) следует доказываемое неравенство A7.53). (>
Из леммы 17.9 с очевидностью вытекает следующий результат типа
теоремы Померанчука.
Предложение 17.10. Если
(Sln2s)-l J^ll
v ' d cos 0
cos9= 1
¦О при s-*oo A7.56)
для обоих значений символа (±), то
В -a[~\ (s) | = 0. A7.57)
Если дополнительно предположить существование {конечного или бесконеч-
бесконечного) предела
A7.58)
то этот предел равен нулю.
Неравенство A7.33а) позволяет заменить условие A7.56) соответствую-
соответствующим условием в терминах упругих сечений (^'(s); таким образом, полу-
получаем несколько иной вариант утверждения.
Следствие 17.11. Если оба упругих сечения a^'(s) стремятся к нулю
при s—>-оо, то имеет место равенство A7.57); в частности, если дополни-
дополнительно существует (конечный или бесконечный) предел A7.58), то он равен
нулю.
546
17.2. ИНКЛЮЗИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
А. Физические характеристики инклюзивных процессов. С ростом энергии
столкновения пары элементарных частиц более заметную роль играют про-
процессы рождения частиц
Xj+x2-^x3+. . .+х„. A7.59)
Число возможных каналов резко возрастает, поэтому теоретическое и экс-
экспериментальное исследование каждого отдельного канала становится все
более громоздкой задачей. В связи с этим представляет интерес изучение
реакций, в которых в конечном состоянии детектируется одна или несколько
частиц определенного типа, например,
Xx + x2-+ х3Ч -. .., A7.60)
Xj-j-к,—-х3-т--х4+ • . • A7.61)
и т. п., где многоточие означает любой допустимый комплекс частиц. Сово-
Совокупность реакций A7.59) с фиксированным подкомплексом детектируемых
частиц в комплексе {х3, . . ., хп} выходящих частиц называется инклюзивным
процессом (в то время как фиксированный многочастичный канал A7.59)
называется эксклюзивным процессом). Инклюзивные процессы более просты для
теоретического и экспериментального анализа, давая в то же время содержа-
содержательную информацию о взаимодействии частиц.
Уже первые экспериментальные исследования инклюзивных процессов, выполненные
в 1968 г. на Серпуховском ускорителе (Бушнин и др., 1969), привели к открытию нового явле-
явления масштабной инвариантности сечений, которое заключается в том, что относительные попе-
поперечные сечения образования адронов при высоких энергиях являются универсальными функ-
функциями приведенного импульса k(s)/kmax(s), практически не зависящими от энергии сталкиваю-
сталкивающихся частиц. Примерно в то же время в Стенфорде на SLAC были выполнены эксперименты
по глубоконеупругому рассеянию электронов на протонах; соответствующие сечения глубоко-
неупругих процессов также обнаружили масштабно-инвариантное поведение структурных функ-
функций (Блум и др., 1969; Брейдепбах и др., 1969; теоретический анализ был дан Бьеркеном, 1969).
Дальнейшее изучение других инклюзивных процессов привело к открытию целого ряда за-
закономерностей и, в частности, выявило универсальный характер масштабной инвариантности.
В этом параграфе мы вкратце рассмотрим некоторые применения разви-
развитого выше аппарата к инклюзивным процессам. Основными величинами, ха-
характеризующими как инклюзивные, так и эксклюзивные процессы, являются
сечения. Через хA>, . . ., х(г) мы обозначим возможные различные типы рож-
рождающихся частиц при столкновении частиц Xi и х2. Тогда произвольный экс-
эксклюзивный процесс
х,+х2—>#1х<1)+ ... + А^х = ЛГх A7.62)
можно отождествить с мультииндексом N^(NU ..., Nr), где Nlt ...
¦ ¦ ¦, Nr?Z+\ при этом
есть полное число частиц в конечном состоянии. Для краткости процесс
A7.62) будет записываться также в виде XiX2—>ЛГ; если нет запретов по
квантовым числам, то он открывается при
/ г \
sPbys.N=(m1+m1) V' 2 А>2(р>;, A7.63)
\p=i /
где т(р)—масса частицы типа х(р). Элемент объема импульсного простран-
пространства выходящих частиц обозначим посредством
dS* = nriD*p/)«(P>. П7.64)
p=i /'=1
где рр1- — импульс /-Й частицы в р-й группе частиц типа хф).
54Г
В соответствии с формулами G.175) дифференциальное и полное сече-
сечения эксклюзивного процесса A7.62) имеют вид
A7>65)
A7.66)
Определим также дифференциальное сечение относительно импульсов неко-
некоторого подкомплекса выходящих частиц. При K^N можно представить
A7.64) в виде
.K\ A7.67а)
тогда положим по определению
Дифференциальные сечения симметричны по импульсам частиц одного типа, поэтому их
удобно задавать производящим функционалом *)
G ({h}; Pi, Рг) = V ttj \ —jgr Д Д Л(р) (Pp/) I dEN, A7.68)
лг J ~N \p=i/=,i У
где ft ={ft<P>} — совокупность функций ft<P) (p) на Г^(р) (например, класса 0^ (Л3) по />);
при этом
61*10
р /
ft=0
В этих обозначениях инклюзивный процесс
х1+х2—>-Кх+... A7.69)
(или просто XjX2—>К-) есть совокупность эксклюзивных процессов
XjX2—>iV, где N^K (это означает, что Np^Kp при всех р=1, ..., г);
щ, и2, /С фиксированы. В записи A7.69) все продукты реакции разделяются
на «детектируемые» частицы и «все остальное» (в зависимости от числа де-
детектируемых частиц мы будем называть инклюзивные процессы «одночас-
тичными», «двухчастичными» и т. д.). Дифференциальное и полное инклю-
инклюзивные сечения определяются следующим образом:
^х,х.1-> К. ¦ ¦ _ V *'(Af-*)'<to*.x,->JV l\7 7(\\
1 U''u;
l7 7(\\
ЛП dZK ' U'-'u;
Л
у--^ау, A7.71а)
т. е.
аи!и2-*!«-...= S °х,х8->-лг- A7.716)
Таким образом, полное инклюзивное сечение — это часть полного сечения
взаимодействия частиц хь х2, равная сумме полных сечений эксклюзивных
процессов A7.62), содержащих фиксированный подкомплекс /Си «детектиру-
«детектируемых» частиц. В частности, полное сечение взаимодействия частиц хх и х2
*) Когда s^B[p1-\-p2J меняется на ограниченном интервале, скажем s?(so, s'), число от-
открытых эксклюзивных каналов конечно (оно не превосходит {Vs'/min m<P))'\ поэтому число
Р
-ненулевых слагаемых ряда A7.68) при этом конечно.
548
соответствует случаю /С=0 (когда нас интересует только факт взаимодей-
взаимодействия сталкивающихся частиц с любым нетривиальным исходом):
Otot = <Vx2->-... = 2 Ои.х^лг- A7.72)
Отношения
, A7.73)
,-K... A7.74)
дают вероятности конкретного эксклюзивного канала ххх2 —-»- ЛГ в «0-частич-
ном» инклюзивном процессе х^—»... и соответственно в «|/С|-частичном»
инклюзивном процессе х^ —>- /С... Мы условимся под </(Л0> понимать
среднее, вычисленное с помощью вероятностей A7.73):
A7.75)
2
В частности, величина <Afp> есть средняя множественность частиц типа х(р)
в инклюзивном процессе хх + х2 —>...
Согласно следующему упражнению совокупность всех инклюзивных сечений содержит
ту же информацию, что и совокупность всех эксклюзивных сечений.
Упражнение ПА. Вывести выражение для эксклюзивных сечений в терминах ин-
инклюзивных:
= V (—')|А
~~ 2J к
о< k-)n < 1
(где 0= @. ..., 0), 1 = A, .... 1)).
В то время как полные инклюзивные сечения имеют простой смысл (в
соответствии с формулой A7.716)), дифференциальные инклюзивные сечения
A7.70) являются отчасти искусственными величинами *), так что в их терми-
терминах довольно сложно учитывать законы сохранения аддитивных физических
величин (например зарядов, импульсов). Поэтому в феноменологии более
употребительно родственное понятие дифференциального инклюзивного спектра
(называемого иначе функцией распределения инклюзивного процесса), равного
сумме относительных дифференциальных сечений соответствующих эксклю-
эксклюзивных процессов:
A7.77)
K N>K K
Полный инклюзивный спектр есть
^**^"''3* A7'78а>
W. -> к... = ( (N__K) i K, ) °tot- A7.786)
Упражнение 17.5. (а) Пусть Q<P> —электрический заряд**) частицы типа и'Р>
1, ..., г). Доказать «правило сумм» по заряду для инклюзивных процессов
i = 2 Q(p)VK2-K<p>.../"tof A7-79)
i
*) Следует иметь в виду, что в литературе нередко под инклюзивным сечением (полным
«ли дифференциальным) подразумевают то, что мы ниже называем инклюзивным спектром (пол-
(полным или дифференциальным).
**) Вместо электрического заряда можно взять любой другой аддитивный сохраняющийся
заряд.
549
(б) Доказать следующие «правила сумм» по импульсу для инклюзивных процессов:
р=1
Совокупность всех инклюзивных спектров заключает в себе ту же информацию, что и со-
совокупность всех инклюзивных (или всех эксклюзивных) спектров. Действительно, в терминах
производящего функционала A7.68) связь между инклюзивными спектрами и эксклюзивными
сечениями может быть записана в виде соотношений
откуда
6ЕК — {ЩК
= ^ С Г ПИ
д- J L р /
A7.82)
у (-O'**'An(
2- (АГ-ЛГ)! Af! J
/С
/Г л /С
A7.84>
Б. Аналитические свойства дифференциальных сечений по угловым
переменным. С помощью формулы редукции A3.103) амплитуда эксклюзив-
эксклюзивного процесса XjX2 —* iV может быть записана в виде
Bя)« б (Pl + р,_ 2 2 Рр/) <#" (Pw I pi, р.) = б+, (Pl) б^2 (Л) х
x{(pl-mJ)(pS-mi)@ (
A7.85)
В системе центра масс векторы рг и р2 на массовой оболочке определяются
длиной &(s) их трехмерных частей и вектором п=п12 на сфере S2 (см. G.185) —
G.187)). На основании представления ИЛД для опережающего коммутатора
мы тем же методом, что и в п. 13.1.В, получаем, что выражение в фигурных
скобках в A7.85) аналитически продолжается по л в область
{neCS*: |Re/*|<x12(s)} A7.86)
на комплексной сфере CS2, где x12(s) определяется посредством A5.4). Так
как эта область инвариантна относительно комплексного сопряжения п—+п,
то таким же свойством обладает и дифференциальное сечение процесса A7.62).
В результате мы заключаем, что дифференциальное сечение da^lXl^.jv/d3iv
произвольного эксклюзивного процесса аналитично по л в комплексной об-
области A7.86). Зафиксируем некоторую частицу х3 в конечном состоянии и
обозначим через z=cos0 косинус угла между импульсами частиц xlf х$
в системе центра масс. Для записи дифференциального сечения относительно
cos 9, определяемого формулой
x,x,^-JV _ АТ fa/
Pips
\Pi\lP*l ^"УЛП dEN —• ^
удобна дальнейшая конкретизация системы координат посредством выбора
орта е3 вдоль вектора р3:
р3 = \р3\е3. A7.88)
Тогда
й.в,м, A7.89)
sk(s)
550
где
dK*«<*«)«б(s-± ? PMt
\ p=l/=l
A7.90)
¦(под знаком Д" стоят элементы объема импульсного пространства всех ко-
конечных частиц, кроме выделенной х3). Согласно сказанному выше (относи-
(относительное) дифференциальное сечение A7.89) аналитично по л в области A7.89).
С другой стороны, оно зависит от п только через cos0. Отсюда следует
<см. соответствующую аргументацию при выводе теоремы 15.1), что вели-
величина A7.89) аналитична по переменной z в малом эллипсе Лемана
|z + l | + | 2-1 К 2*»(s). A7.91)
Таким же свойством аналитичности обладают инклюзивные (относитель-
(относительные дифференциальные) сечения
_ к Г
\рЛ\рА~со*Ь)~к\
и инклюзивные спектры
{поскольку все эти величины являются линейными комбинациями величин
типа A7.89)).
Для дальнейшего расширения области аналитичности воспользуемся
унитарностью S-матрицы, из которой следует (в системе центра масс):
2ImT(s, 2)|г=„„. = ?ж?ТЫ5'я')Т0°"К n)dAStN, A7.94)
где
г Л> \ /г Nr
" " " \я/ X" —
s-2 2 Pi, Щ 2 S/»p/ dS«, A7.95)
p=i/=i у \p=i/=i J
T(pN\s,n)^T(pN}p2, Pl)\Pl+P2=0. A7.96)
Подставляя сюда разложение амплитуды в ряд по сферическим функциям
{где N=E=Nia определяется посредством (К.4))
T(pN\s, n) = 4n(^tj^y*^V2[TlT[m(pN- s)Y?(n) A7.97)
и учитывая тождество (К-10), получаем
i
2 1тЫ*) = ?4г X \\т,т(Р»: s)\2dAs,»; A7.98)
отсюда следуют неравенства
2 \\Tlm {pN; s)|2dAs,N<2ЛГ! Im/,(s). A7.99a)
;
Заметим, что 2 |^гт(Рлг; s)|2 есть О+ C)—инвариантная функция от им-
т= —(
пульсов, поэтому интеграл в A7.99а) можно заменить соответствующим ин-
интегралом в системе A7.88); в результате получим
S 2 \Тш(р*\ s)\*dK«<2Nllmft(s). A7.996)
551
Отсюда и из оценки (К.58) вытекает следующий результат.
Предложение 17.12. Амплитуда T(pN\p1, р2) процесса A7.62) в си-
системе центра масс есть аналитическая функция вектора #=/V|aI в об-
области
{neCS*: \Ren\<y(s)} A7.100)
на комплексной сфере CS2 (где у (s) определяется посредством (К.56)).
¦^ Каждое слагаемое ряда A7.97) аналитично по п на CS2 (фактически Yf1 (n) есть
полином по я, суженный на CS2). Кроме того, имеет место оценка
|f|2^tl при n?CSK A7.101)
Упражнение 17.6. Доказать неравенство A7.101). (Указание: воспользоваться
тождеством (К-Ю) и оценкой (К-23) для полиномов Лежандра.)
Для произвольной неотрицательной функции v (s) из <??) ((Sp^ys, N, оо)) мы определим
полунорму || f Цр на функциях от переменных р , s:
11/41?=} \F(pN; s)\ZdAsJvv(s)ds.
Тогда члены ряда A7.97) оцениваются следующим образом:
Tim{pN; s)L\Yf(n)\<
Im fi (s) v (s) ds (| Re и | + | Im я |
Из оценки (К.58), очевидно, следует, что этот ряд сходится, если п принадлежит пересе-
пересечению областей A7.100) при всех s^suppw. ^
Для дифференциальных сечений имеем аналогичный результат.
Предложение 17.13. Относительное дифференциальное сечение
йо^щ^х/а" cos Q процесса A7.62), а также инклюзивные относительные диф-
дифференциальные сечения и спектры
d cos 0 ' d cos 0
аналитичны по переменной z = cos9 (где 9—угол между импульсами частиц
хх, х3 в системе центра масс) в малом эллипсе Мартена
A7.102)
¦^ Как уже отмечалось, daKiX _+jv/d cos 0 зависит от и только через cos 0, поэтому
достаточно доказать, что оно аналитически продолжается по я в область A7.100). Для этого
подставим A7.97) в A7.89):
rfcosO - MA2(s) LZ
X j T1;^, (pjv; s) Г/и (P;v; s) К??' (я) Yf (n) dXs> № A7.103)
и воспользуемся неравенством Коши — Буняковского—Шварца:
Ц ?l/l^TT 1/ЙЛ f |Г/.т.(Рлг; s)|.|rZjB(Pjv; 5)|.|К«'(«)|-|С(я)ЫЯ5>лг<
Из соотношения A7.996) и оценки (К-58) теперь следует, что ряды в A7.103) [после инте-
интей й фй ()g® (( ))]
() () р у, р () [
грирования по s с произвольной неотрицательной функцией и (s)g® ((sphys,,v> °°))] схо"
дятся, если ге принадлежит областям A7.100) при всех sgsuppu. >
В. Асимптотические оценки. Из аналитичности амплитуды по п вытекает,
что в разложении A7.97) при больших s фактически основной вклад дают
552
слагаемые с l^lett(s)(^aVs In s). Как и в п. 17.1. А, мы используем это со-
соображение для асимптотических оценок сверху эксклюзивных и инклюзивных
дифференциальных сечений в физической области при s -*¦ оо.
Предложение 17.14. Если эксклюзивные и инклюзивные сечения
оИ1и2-)-лг, Оу.ущ-^к... имеют оценку снизу вида
~4, где s^su A7.105)
-k, где s>Sl A7.106)
(при некоторых положительных b, k, s^, то при любом из двух значений
6 = 0 или б = 1 имеют место соотношения
<W", A7.107)
const ^'"^ c^,.., A7.108)
^constlAllnssi9N/2 w«.- A7.Ю9)
<^ Эти соотношения доказываются одинаковым методом, поэтому для определенности мы
ограничимся доказательством A7.108). Воспользуемся соотношениями A7.103), A7.104):
s+A/2
A7.110)
здесь 2 означает суммирование по каналам, удовлетворяющим условию N^K. Обозна-
JV
чим правую часть неравенства через /(s), и пусть /^ (s) (соответственно ^(s)) есть выраже-
выражение, полученное из правой части A7.110) заменой 2 суммированием только по l^ay sin s
(соответственно по l> ay s In s). Очевидно, имеем / (s) <([/Л/< (s) +j/"^> (s)J- С помощью
неравенства Коши — Буняковского — Шварца получаем
s + A/2
<const-s In2 s-а^^^д-_. A7.111)
Для оценки /> (s) воспользуемся A7.996), а также тем, что число открытых каналов не
превосходит (У s/min m<P')r:
' 1 S+
^ s-A/2 \(>al s Ins /
<const-sr/2|/ X. B/+l)Kirn77(^V A7.112)
V>al'llns /
Как и при выводе границы Фруассара (см. предложение 17.1), с помощью оценки (К-58) полу-
получаем, что для любого п>0 и достаточно большого а величина />(s) является бесконечно малой
по сравнению с s~" при s-*- оо; в силу условия A7.106) она пренебрежима (при подходящем
выборе а) по сравнению с правой частью неравенства A7.111) при s-*- °о. Тем самым доказано
соотношение A7.108) при 6=0.
Для доказательства неравенства A7.108) при 6=1 заметим, что левая часть равенства
A7.103) зависит от я только через cos 0, т. е. только через проекцию вектора п на е3 (в системе
A7.88)). Поэтому равенство не нарушится, если в правой части A7.103) заменить п на Rn,
где R —-элемент труппы О+B) вращений в плоскости, ортогональной е3, и усреднить по R.
В результате в A7.103) остаются только слагаемые с т'=т. При мажорировании членов полу-
полученного ряда используется неравенство
*8 н. Н. Боголюбов и др. 553
которое вытекает из формулы (К-Ю) и неравенства A7.13):
2л
] Yf (я) |2 = ULtL Г pt (cosa 6+sin« 6 cos ф) e-™v d(f <
2л
здесь
2л я/2
f
/
J (l-|cos<p|)-1/4*p<4 f ('-??
о
о о
Последующее применение неравенства Коши — Буняковского—Шварца приводит к соотно-
соотношению
¦> s + iV2 . _,-- „
з win /с*., ..
dcos6 -J7* Л
X
аналогичному A7.110). Далее те же соображения, что и в случае 6 = 0, приводят к нера-
неравенству A7.108) при 6=1. ^
Полученные оценки носят общий характер и не зависят от каких-либо
модельных предположений. В частности, границы типа
A7.114)
для инклюзивных спектров (вытекающие из A7.109) и границы Фруассара
A7.3)) представляют интерес для феноменологии как указание, до какой сте-
степени может нарушаться масштабная инвариантность инклюзивных спектров
без противоречия с общими принципами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Глава 1. Для дальнейшего ознакомления с линейными нормированными пространствами
(§ 1.1) и их применениями см. монографии [К2, Д1]. Наиболее обстоятельно теория ЛВП (§ 1.2)
изложена в книге [Ш5]; по поводу пространств Фреше (§ 1.3) см. [ИЗ, Р2, т. 1, Р4). Оригинально
представлена теория счетно-нормированных пространств в [Г4, Г5]. О неограниченных операто-
операторах в гильбертовом пространстве и о спектральной теории (§ 1.4) см. [А6, Р2]. Математическими
руководствами по теории алгебр С* и фон Неймана (§ 1.5) являются монографии [ДЗ, Д4, Н2]
(см. также [Р2, РЗ, С2, ЭЗ, Б12]). Общим банаховым алгебрам (особенно с инволюцией) мы не
уделили должного внимания (они естественно появляются в квантовой теории с индефинитной
метрикой); обстоятельное изложение их имеется в книгах [РЗ, Н2]. По вопросам классификации
алгебр фон Неймана см. Араки и Вудс A968), Араки и др. A971), Араки A975), Конн A973,
1976). Среди тем, примыкающих к содержанию этой главы (а также гл. 8, 10), заслуживают
внимания топологические (небанаховы) *-алгебры (Васильев, 1970; Пауэре, 1971, 1974;Ласс-
нер, 1972; Ласснер и Тиммерман, 1972); со специальной алгеброй Борхерса (Борхерс, 1961,
1972; Ингвасон, 1973) мы встретимся в гл. 8.
Глава 2. Систематическое изложение теории обобщенных функций имеется в монографиях
Шварца [Ш2], Гельфанда и др. [ГЗ, Г4] и Владимирова [В 10]. Обобщенные функции как линейные
функционалы над гладкими (финитными) функциями впервые ввел Соболев A936). Шварц
A945) (см. также [Ш2]), развивая идеи Соболева и привлекая общую теорию топологических
векторных пространств, создал современную теорию распределений и обобщенных функций как
линейных функционалов над пространствами &Q и <5°. Эквивалентное определение обобщенных
функций из if' как функционалов над классами ^(р, q\ /л) использовано Боголюбовым (см.,
например, [Б8], §§ 18, 19). Подход к обобщенным функциям как к классам фундаментальных
последовательностей (п. 2.1.Б) развивался Микусинским [М10]. Баргман A967) нашел интерес-
интересный изоморфизм между пространством обобщенных функций if и некоторым пространством
целых аналитических функций. Замечание о невозможности естественно определить произведе-
произведение двух произвольных обобщенных функций (п.2.3.А) принадлежит Шварцу A954); ему же
([Ш2]) принадлежат понятия мультипликатора (п.2.3.А), преобразования Фурье обобщенных
функций (п.2.5.А), свертывателя (п.2.5.В), обобщенной функции интегрируемого типа (п.2.5.Г)
(названной им распределением класса Si'L~). Проблема деления на полином (п.2.3.Б) в случае
обобщенных функций одной переменной решена Шварцем [Ш2], а для нескольких переменных
Мальгранжем A953), Эренпрайсом A954) и Хермандером A958). Теорема о ядре (п.2.4.А) для
пространств^) и if доказана Шварцем A952а). ШварцA953/54) ввел также понятие ядерного
отображения. Общее определение ядерных пространств дано Гротендиком A955). Доступное
изложение этих вопросов имеется в книге [Г5], а также в [Р2] (дополнение к § V.3). В разделе
о свертке (п.2.5.Д) мы многое почерпнули (помимо [Ш2]) из книги [В 10], хотя пользовались не-
несколько иным определением свертки. Другое изложение умножения обобщенных функций, от-
отличное от П.2.6.В, читатель найдет в [Р2] (§ IX. 10). Относительно умножения причинных функ-
функций в квантовой теории поля см. Боголюбов и Парасюк A957), Хепп A9666), Спир [С6]. Вектор-
Векторные и операторные обобщенные функции (§ 2.7) были введены Уайтманом и Гордингом A952 г.,
опубликовано в 1965); см. также Шварц A957, 1959) и [С8], § 3.1. Гельфанд и Костюченко A955)
развили подход к обобщенным собственным векторам (отличный от изложенного в П.2.7.В),
который основывается на понятии оснащенного гильбертова пространства (см. также [Г5]).
Существование полной системы обобщенных собственных функций можно формулировать
и в терминах пары гильбертовых пространств (см. Березанский, 1959; Кац, 1960). Различным
применениям теории оснащенных гильбертовых пространств в квантовой теории посвящены
работы Бёма (см. его лекцию A967) и ссылки в ней на более ранние работы), Гроссмана A965,
1966, 1967), Антуана A969).
Дополнение А. В связи с п.А.2 см. книгу [МЗ], гл. 1. Понятие регулярного
множества (хотя и не тождественное использованному нами) восходит к Уитни A934); см. также
[В9], пп. 3.5, 3.8, где приведено утверждение, аналогичное следствию А.2.
Дополнение Б. Классическая теория преобразования Лапласа изложена в мо-
монографии [В6]. Излагаемый здесь подход к преобразованию Лапласа предложен Шварцем
A9526) и Лионом A952/53), которым принадлежат результаты п.Б.1. Результаты пп. Б.2—Б.4
получены Владимировым A968; 19736; [В9], §26) и Бросом и др. A967); см. также [С8],
§ 2.3 и лекции Эпштейна A966), § 2.4. Для функций, аналитичных в трубчатых областях
и имеющих менее чем экспоненциальный рост (в частности, для преобразования Лапласа обоб-
обобщенных функций с носителями в остром конусе), Владимировым A969а, 1972) получено интег-
интегральное представление типа Коши — Бохнера. Способ регуляризации (или «вычитаний») в дис-
18» 555
. ерсионных соотношениях в п. Б.5 излагается впервые. В п.Б.6 приведен результат Остерваль-
дера и Шрадера A973; см. также Остервальдер, 1973а). По поводу обращения преобразования
Лапласа см. также работу Зиновьева A979).
Дополнение В. При построении ООФ от одной вещественной переменной (п.В.2)
методом «аналитической регуляризации» (восходящим к Риссу, 1949) мы следовали книге [ГЗ}
(которая вообще может служить справочником по ООФ. ООФ от комплексных переменных рас-
рассматриваются в добавлении в [Г6]. Для приложений к квантовой теории поля представляют
интерес ООФ и присоединенные СОФ, связанные с квадратичными формами ([ГЗ], § III. 2).
Глава 3. О конечномерных представлениях группы вращений и группы Лоренца (§3.1)
см. [В6, В7, Г2, HI, C8], а также Баргман A962). О представлениях класса 1 (в пространстве
симметричных тензоров) групп вращений SO(n) см. [В7], Баргман и Тодоров A977). Детальная
трактовка гомоморфизма L^—>-SLB, С) имеется у Макферлена A962). Общий вид лоренц-ин-
вариантных обобщенных функций одного 4-вектора (§3.2) был найден Мете A954) (см. также
1955, 1957); краткое изложение имеется у Гординга и Лиона A959). В п.3.3.Б мы следовали до-
дополнению С в^статье Оксака и Тодорова A969). Лемма 3.9, а также общий вид вращательно-
инвариантной ^обобщенной функции одного вектора (пример 1 из п.3.4.1) предложены Швар-
Шварцем A954/55).'Доказательство предложений 3.10—3.14 см. в статье Оксака A976). Хеппом
A9646) был получен пример 2 из п.3.4.1, а также обоснован (для скалярного случая) метод пе-
перехода к системе покоя переменного вектора из V+ (п.3.4.В).
Дополнение Г. Фундаментальным руководством по теории непрерывных групп
является книга Понтрягина [П1]. Содержательно и свежо (в первоначальном варианте — в виде
лекций) написана книга Желобенко ГЖП; очень удачен меньший по объему обзор Гюрсея A964).
Из общих руководств, специально адресованных физикам, можно рекомендовать [В6, Л4, XI],
Мишель A970), [Б2, Э1]. Полупростым алгебрам Ли посвящена книга [Г9]; здесь (§ 3.5) можно
найти доказательство теоремы Г. 1 (Картана — Леви — Мальцева). Доказательство теорем Ли
(п.Г.5) см. в [П1], а также в упомянутом обзоре Гюрсея. Обстоятельные монографии [Г2, HI]
посвящены представлениям группы вращений и группы Лоренца. По бесконечномерным пред-
представлениям группы Ли имеется ряд монографий справочного типа: ГЖЗ, К.8, К9]; см. также
[В7, Ж2], Наймарк A964). Применению компактных групп к описанию симметрии элементар-
элементарных частиц посвящена книга [НЗ] (элементарное изложение этих приложений см. в лекциях
Боголюбова, 1967). Эти группы сохраняют свое значение и для современной систематизации
элементарных частиц и их взаимодействий (см., например, обзоры Лангакера, 1981, Сланского,
1981). Коприсоединенное представление (п.7.Г) нашло интересные применения (Кириллов,
1962; [К8], § 15) в теории представлений, а также в квантовой теории (в так называемом подходе
геометрического квантования, инициатором которого был Сигал, 1960; см. также Сурьё, 1966;
Костант, 1966, 1970, [В11]).
Глава 4. Рассматриваемое здесь интегральное представление было первоначально пред-
предложено Йостом и Леманом A957) для «симметричного случая» (п.4.3.В); общий случай был рас-
рассмотрен Дайсоном A9586). В нашем изложении мы следовали подходу Дайсона с учетом аргу-
аргументации Уайтмана A9606); в п. 4.2.В использовался §31 из [В9]. Простой вывод «симмет-
«симметричного» представления ИЛД см. в статье Владимирова и Завьялова A980). Имеются и другие
выводы представления ИЛД, частично или полностью основанные на теории аналитических
функций нескольких комплексных переменных ([В9], § 32; Брос и др., 1966). В статье Влади-
Владимирова и Жаринова A970) представление типа ИЛД обобщается на случай, когда вместо
световых конусов V± взяты конусы ±С, где С—произвольный острый конус в R". На этом пути
удается обосновать представление типа Наканиши A961) для амплитуды релятивистского
двухчастичного рассеяния в приближении плоских диаграмм (Жаринов, 1971). Обобщения
представления ИЛД для классов распределений, более широких, чем шварцево простран-
пространство tff'(Rn), имеются в работах Джаффе A966, 1967), Лазура и Химича A977а), Завьяло-
Завьялова Б. И. A981). Другое обобщение представления ИЛД имеется у Сенеора A969). Представление
ИЛД было предложено как эффективное средство получения аналитических свойств амплитуды
рассеяния (см. об этом в части V). Дальнейшие применения оно нашло в работе Боголюбова
и др. A972) для анализа автомодельного поведения структурных функций глубоконеупругого
рассеяния электрона на протоне из принципов причинности и спектральности (см. также
Завьялов Б. И., 1973; Вицорек и др., 1973), а также для анализа сингулярностей коммута-
коммутаторов полей на световом конусе (см. Завьялов Б. И., 1973, 1974, 1977, Брюнинг и Штихель,
1974; Владимиров и Завьялов, 1979, 1980, 1982). Результат упражнения 4.17 был доказан
другим методом Боголюбовым и Владимировым A958—1959); из представления D.136)
следует, что обобщенные функции h± (р) преобразуются по конечномерному представлению
группы Лоренца (или «конечноковариантны» в терминологии Броса и др., 1967). После пере-
перестановки переменных р и х этот результат имеет квантовополевую интерпретацию: даже без
предположения о лоренц-ковариантности полей из аксиом спектральности и локальности в
теории Уайтмана следует, что двухточечная функция Уайтмана автоматически «конечнокова-
риантна». Впоследствии этот результат был обобщен на «-точечные функции (Стритер, 1962а;
Брос и др., 1967; Боголюбов и Владимиров, 1971). Применение результата к теоретико-полевым
моделям см. у Стритера A972).
Глава 5. Классическим результатам комплексного анализа посвящены систематические
изложения Бохнера и Мартина [Б 11], Владимирова [В9], Шабата [Ш1]. Монография [В9] для
нас интересна своей ориентацией на теорию поля. С другими методами комплексного анализа
можно познакомиться в [Г1, У2]. Теорема «об острие клина» (п.5.1.Г) была получена Бого-
556
любовым A956); ее полное доказательство впервые появилось в монографии [Б6] (дополнение
А, теорема 1). Название теоремы «об острие клина» было предложено Бремерманом и др. A958);
в этой работе также дается доказательство теоремы, хотя и при более сильных предположениях
непрерывности для граничных значений. В первоначальном варианте теоремы рассматривался
только случай «противоположных конусов» Qj и Й2==—^i (ПРИ этом область «острия клина»
является полной комплексной окрестностью вещественной области совпадения Q). Эпштейн
A960) распространил теорему на случай «наклонных конусов» Qx и Q2 (когда Q^Q^^R").
В нашем доказательстве мы воспользовались идеей Эпштейна A966) (которая, как указывает
Эпштейн, восходит к Мальгранжу и Цернеру) сведения теоремы 5.12 к лемме 5.11. С другими
доказательствами теоремы «об острие клина» можно познакомиться в работах Владимирова
A962; [В9], § 27), в книге ([С8], §3.5; здесь использованы идеи Дайсона, 1958а, а также
Глазера). По поводу дальнейших обобщений см. Браудер A963), Мартино A964), Борхерс
A964), Араки A963в), Кольм и Нагель A968). Предложение 5.15 является аналогом тео-
теоремы Холла и Уайтмана A957) о лоренц-инвариантных аналитических функциях в трубе буду-
будущего T+=M"-j-i(V+)n\ эта теорема была впоследствии обобщена Хеппом A963в) (у Хеппа вме-
вместо нашего «технического» условия E.35) требуется /-насыщенность области D, что ограничи"
вает применимость предложения). В той же работе Хеппа доказано предложение 5.16 (для более
общей ситуации). Характеристика областей голоморфности (п.5.2.А) принадлежит Картану и
Туллену A932); связь голоморфной выпуклости с псевдовыпуклостью *) (п. 5.2.Б) была уста-
установлена Ока A953) и Бремерманом A9546, 1956). Модифицированный принцип непрерывности
(п.5.2.В) есть несколько иная форма так называемой «сильной теоремы о диске» Бремермана
([В9], п. 17.3), в которой вместо вещественной аналитичности по параметру деформации t тре-
требуется, чтобы деформация по параметру t сводилась к сдвигу «диска» на вектор X(t)b, лежащий
на одномерной комплексной прямой. Предложение 5.34 (Бохнера) и 5.36 (Хартогса), а также
следствие 5.38 относятся к самым первым результатам об оболочках голоморфности (точнее,
о голоморфных расширениях, см. [Б 11]; интерпретация в терминах оболочек голоморфности
была дана впоследствии; см. [Б11], пп.21.1, 21.2— в связи с предложениями 5.34, 5.36; другое
доказательство следствия 5.38 приведено у Эпштейна A966), § 2.3). Предложение 5.35 было до-
доказано Бремерманом A954а). Более полная информация о методах построения оболочек голо-
голоморфности имеется в книге [В9] (§§ 21, 27, 33 и др.). В связи с голоморфными расширениями
отметим теорему Владимирова A960; [В9], §28) о С-выпуклой оболочке (она применяется, в
частности, для доказательства результата Владимирова и Петрины, упоминаемого в п.9.1.Д);
аналогичный результат для частного случая световых конусов — теорема «об алмазе» — был
затем получен Борхерсом A961). О применениях комплексного анализа в квантовой теории поля
см. статьи Боголюбова и Владимирова A958, 1959), Уайтмана A9606, 1960/61), Эпштейна A966),
Владимирова A973а).
Глава в. Алгебраическая формулировка квантовой теории (§6.1) была предложена фон
Нейманом A936) и (на языке С*-алгебр) Сигалом A947, 1959а, б). Требование, чтобы наб-
наблюдаемые порождали (при замыкании относительно алгебраических операций и сходимости по
норме) некоторую С*-алгебру, является весьма сильной и неинтуитивной гипотезой. Поэтому
в собственно аксиоматических изложениях, которые ставят своей целью построить физическую
теорию на основе элементарных, эмпирически обоснованных предположений, эта гипотеза рас-
расчленяется на несколько предположений, расположенных по убывающей степени мотивирован-
мотивированности ([В2, Ml], Шерман, 1956; Плимен, 1968). Связь С*-формулировки с более общим статисти-
статистическим подходом изучалась Яухом и Пироном A963), Дэвисом A970), Дэвисом и Льюисом
A970), Эдвардсом A969, 1971), Холево A976), [Х7]. Алгебраическая формулировка была все-
всесторонне проанализирована в контексте локальной квантовой теории поля Хаагом A958, 1959а),
Араки A961/62), Хаагом и Шроером A962) и особенно Хаагом и Кастлером A964) (см. также
обзоры Уайтмана, 1964, Робинсона, 1965, Генена, 19666, Хаага, 1970, Поливанова и др., 1973).
Хааг и Кастлер A964) ввели понятие физической эквивалентности представлений, совпадающее
с понятием Фелла слабой эквивалентности (Фелл, 1960). На существование правил суперотбора
в физике элементарных частиц впервые было обращено внимание Виком и др. A952) (об их роли
в теории симметрии см. у Хагедорна, 1959). Понятие сектора как множества чистых состояний,
ассоциированных с неприводимым представлением алгебры наблюдаемых, также предложено
в упоминавшейся статье Хаага и Кастлера. Определение F.4) вероятности перехода между чи-
чистыми состояниями предложено Робертсом и Рёпшторфом A969) (по поводу вероятности перехода
для произвольных состояний см. Ульман, 1976). Правила суперотбора (§ 6.2) обсуждались
Уайтманом (Уайтман и Барут, 1959; Уайтман, 1964; [С8], § 1.1), Харатяном A968, 1973),
Сушко и Хоружим A970). О правилах суперотбора в физике элементарных частиц см. в обзоре
Тодорова Т. С. A975). О связи правил суперотбора с инфракрасной проблемой в квантовой
хромодинамикесм. Строкки A976а). Общему исследованию правил суперотбора в локальной тео-
теории посвящены работы Доплихера и др. A969, 1971, 1974), Хоружего A975, 1975—1976). В раз-
разделе о симметрии (§ 6.3) существенно использована работа Робертса и Рёпшторфа A969), а так-
также Кадисона A965). Геометрическое доказательство теоремы 6.8 (Вигнера) о симметриях имеет-
имеется в книге [В6]; впоследствии оно было модифицировано Баргманом A964); элементарное
доказательство было также предложено Виком A966). Излагаемое алгебраическое доказатель-
доказательство теоремы Вигнера (п.6.3.Б) публикуется впервые (другое алгебраическое доказательство
для более общей ситуации имеется в [Б 12]; см. там теорему 3.2.8). Брачи и др. A975) распростра-
распространили теорему Вигнера на псевдогильбертовы пространства с индефинитной метрикой (наше до-
*) Отметим, что наши определения голоморфной выпуклости и псевдовыпуклости отли-
отличаются от общепринятых, будучи, конечно, эквивалентными по существу.
557
казательство применимо и к этому случаю). В связи с предложением 6.13, принадлежащим
Баргману A954), см. также Партхасарати A969), Симмс A971), де Сварт A974). Теорема един-
единственности 6.14 была получена фон Нейманом A931) (в этой связи см. также Йост, 1974). В при-
приведенном доказательстве (п.6.4.В) мы следовали [ЭЗ], п. 3.1.3. Излагаемая конструкция С*-
алгебр ККС (п.6.4.В) была предложена Сигалом A961, 1962, [С4]). Критерий унитарной
реализуемости линейных симплектических преобразований был дан Шейлом A962) (см.
также [Б4], п. 4.3). По поводу дальнейших результатов для систем ККС с бесконечным
числом степеней свободы см. Араки и Вудс A963), Лупиа и Миракль-Соль A966), Чайкен
<1967, 1968), Манюсо A968а, б), Манюсо и Вербер A968), Завьялов и Сушко A969, 1973),
Араки A971), Холево A971, 1972), [ЭЗ], Кари и др. A982).
Глава 7. Материал о группе Пуанкаре и ее алгебре Ли (§ 7.1) имеется в работах Уайт-
мана A960а), Йооса A962), Мишеля A964), [С8, И5]. Формулировка принципа релятивистской
инвариантности (п.7.2.А) восходит к Вигнеру A939; см. также [В6]). Постулаты спектрально-
спектральности, а также существования и единственности вакуума (п.7.2.Б) были впервые четко сформули-
сформулированы Уайтманом A956) в наборе аксиом квантовой теории поля. Об энергии и импульсе как
наблюдаемых см. Борхерс A966). Роль условия единственности вакуума и его связь с кластер-
кластерным свойством указаны в статье Хеппа и др. A961); она обсуждалась также Рее и Шлидером
{1962), Иорданом и Сударшаном A962). Приведенное доказательство предложения 7.1 близко
к доказательству Йоста ([И5], § III.6), фактически не использующему аксиому локальности.
Обсуждение вопроса о существовании и роли вакуумного состояния обсуждается у Борхерса
A962, 19656), Борхерса и др. A963). Классификация неприводимых представлений собственной
группы Пуанкаре была получена Вигнером A939; см. также 1964). Абстрактная формулировка
метода индуцированных представлений, которым фактически пользовался Вигнер (п.7.2.В),
дана Макки A952, 1958) (см. также Брюа, 1956); подробному изложению метода посвящены
книги [М2, М9]. Обстоятельный обзор по унитарным представлениям группы Пуанкаре дан
в цитированной выше статье Йооса A962); см. также Широков Ю. М. A957—1959; 1960а, б),
Уайтман и Барут A959), Уайтман A960а), Мусса и Стора A965), Гийо и Пети A966). Относи-
Относительно физических применений представлений класса (г) (с /Р2<0) см., например, Йоос A965).
Свойства спектрального разложения операторов трансляций в релятивистской теории изуча-
изучались Ульманом A961). Явно ковариантная реализация «физических» неприводимых представ-
представлений в терминах спин-тензорных волновых функций дана Йоосом A962) в массивном случае
и Цванцигером A965) в безмассовом случае (этот формализм принят во многих работах, имеющих
дело с произвольным спином; см., например, Барут и др., 1963; Хепп, 1964а; Вайнберг, 1964а,
¦б; [С8]; Коэн-Таннуджи и др., 1968;Мутце, 1975). В связи с интересным вопросом, не затрону-
затронутым в этой главе,— о разложении прямого произведения неприводимых представлений группы
Пуанкаре — см. Чжоу Гуаи Джао и Широков A958), Ломонт A960), Широков М. И. A961),
Жакоб и Вик A959), ВикA962), Мусса и Стора A965; в этой статье имеются дополнительные
ссылки), Шааф A970). Отметим также, что в последние годы интенсивно исследуются так
называемые суперсимметричные модели теории поля. В них используется новое понятие инва-
инвариантности относительно супергрупп (и супералгебр), полученных из группы Пуанкаре (и ее
алгебры Ли) добавлением образующих фермионного типа; см. об этом обзоры Огиевецкого и
Мезинческу A975), Весса A976), Салама и Страсди A978), [С9].
Метод вторичного квантования (пп. 7.3.А, 7.3.Б) был предложен фоком A932). Он стал
объектом специального математического рассмотрения в работах Кука A953), Сигала A956,
1958), Березина [Б4]; см. также [Р2], § IX.7. В работах Березина A967, 1971) изучены
свойства разложений ограниченных операторов в пространстве Фока в ряд по нормальным про-
произведениям операторов рождения и уничтожения. О выборе фаз в операциях пространственного
отражения и обращения времени (п. 7.3.Г) см. у Файнберга и Вайнберга A959), Граверта и др.
A959), Вигнера A964), Партхасарати A969). Математическое рассмотрение связи зарядового
сопряжения и других дискретных симметрии с градиентными преобразованиями, соответст-
соответствующими сохранению барионного и лептонного зарядов (на основании теории расширений
групп) см. у Мишеля A964). То, что обращение времени реализуется антиунитарным операто-
оператором, было впервые отмечено Вигнером (см. [В6]). Вигнер A960а, б) исследовал также нормаль-
нормальную форму антиунитарных операторов и их феноменологические свойства.
О дискретных симметриях (Р, Т, СР) и их нарушениях в физике элементарных частиц см .
Ли и Янг A956), [Н6, К1], Ли Ц. A966, 1967), [Л4], Окунь A966), Арбузов и Филиппов A967),
Вик A967), Кляйнкнехт A974), [01, О2], Чау A983). Принципы, лежащие в основе квантовой
теории рассеяния (п. 7.3.Д), излагаются в работах Хаага A9596), Бренига и Хаага A959),
Хеппа A966а), Араки A969), Гольдбергера и Ватсона [Г8], Ягольницера [Я1]. Предложение 7.6
было доказано Хеппом A9646, 1966а). В качестве стандартных ковариантов в разложении
G.200) можно выбрать коварианты разложений, свободных от так называемых кинематических
сингулярностей (о них см. у Вильямса, 1963, Хеппа, 1964а, May и Мартена, 1968, Коэн-
Таннуджи и др., 1968, Гертина, 1971).
Дополнение Д. Теория Дирака излагается во многих книгах по релятивистской
квантовой теории (см., например, [Б8, К5, Ш4, Б13]). Математическую трактовку алгебр Клиф-
Клиффорда можно найти в [А4] (п. 5.4), а также у Рашевского A955, 1958). Следствие Д.2 известно
как лемма Паули A936). Дискретные преобразования дираковских спиноров рассматриваются
во многих монографиях (в частности, в [М13, 02]); подробно этот вопрос изложен в серии
работ Виноградски A957—1959) (где, однако, используется «евклидово» определение 7"мат'
риц, при котором [y*". Y|J'] + =6''ii). Уравнение Дирака и четырехкомпонентные спинорные
функции рассматриваются в обзоре Йооса A962) с точки зрения представления группы
Пуанкаре.
?58
Глава 8. Содержание этой и последующей глав во многом перекрывается с мон ографиями
[С8, И5], написанными основоположниками квантовополевого аксиоматического метода.
В первоначальном варианте алгебраический подход к локальной квантовой теории поля форму-
формулировался в терминах алгебр фон Неймана ограниченных операторов: Хааг A959а, б), Араки
A961/62), Хааг и Шроер A962) (см. у них, в частности, обсуждение независимости аксиом),
Уайтман A964). Формулировка в терминах сети абстрактных С*-алгебр (п. 8.1.А) принадлежит
Хаагу и Кастлеру A964) (в этой связи см. Кастлер, 1964; лекции Робинсона, 1966, Хаага, 1970).
Выявление физического смысла условия локальности (п. 8.1.Б) восходит к Бору и Розенфель-
ду A933, 1950) (в этой связи см. Бениофф и Экштейн, 1977). Условие положительности энергии
в этом подходе дано Доплихером A965). В работах Доплихера и др. A969) не только изучается
конструкция алгебры локальных наблюдаемых из полевой алгебры на основе принципа калиб-
калибровочной инвариантности A-го рода), но и намечена весьма нетривиальная обратная задача ре-
реконструкции полевой алгебры. Основной публикацией по формализму Уайтмана является статья
Уайтмана и Гординга A965), которая на самом деле соответствует работе, начатой в 1952 г. й
частично изложенной в статьях и лекциях Уайтмана A956, 1959, 1963). Уайтман A956) первона-
первоначально использовал в качестве основных функций от х-переменных финитные функции из класса
Шварца ?D(M), однако поскольку общность, достигаемая этим, не так интересна, то в дальней-
дальнейшем (вслед за Шмидтом и Бауманом, 1956) было принято более удобное пространство типа zf
(инвариантное при переходе от х- к р-переменным). Наряду с монографиями [С8, И5] имеется
ряд обзоров по формализму Уайтмана (Араки, 1961а; Уайтман, 1963, 1976; Тодоров, 1964, 1965;
Хепп, 1966а; Стритер, 1975). Условия существенной самосопряженности полевых операторов,
при которых можно установить соответствие с локальными алгебрами фон Неймана (п. 8.2.Б),
приводились Борхерсом и Циммерманом A964), Гачком A965, 1966а, б), Березанским A966),
По поводу условия дуальности см. Араки A9636), Доплихер и др. A969), Хоружий A969, 1970),
Бизоньяно и Вихман A975). В связи с пп. 8.2.В, 8.2.Г отметим, что имеется ряд общих резуль-
результатов о совпадении или различии локальных алгебр фон Неймана, соответствующих различным
областям пространства-времени (см. Борхерс, 1962; Уайтман, 1964); на этом основании делает-
делается вывод, что локальные алгебры фон Неймана — бесконечного типа (Кадисон, 1963; Генен И
Мисра, 1963; Уайтман, 1964). Разделяющее свойство вакуумного вектора для локальных поле-
полевых алгебр (см. предложения 8.3, 8.4) было замечено Бургойном A958), а также Йостом A961).
Спектральные представления для двухточечных функций Грина (тесно связанных с двухточеч-
двухточечными функциями Уайтмана, п. 8.3.Б) было получено Камефучи и Умэдзавой A951), Челленом
A952) и Леманом A954). В связи с ковариантными представлениями для двухточечных функ-
функций Уайтмана см. также Челлен A960, 1968/69), Лович и Томозава A962), Штейнман A9636).
Представление Челлена — Лемана находит применения, в частности, в теории возмущений,
В качестве примера укажем, что суммирование некоторых диаграмм Фейнмана под знаком спек-
спектрального представления позволяет избежать появления нефизических особенностей в функ-
функциях Грина (см. Боголюбов и др., 1959). Замечание о несуществовании нетривиального уайтма-
новского поля, имеющего хорошо определенные значения в каждой точке (упражнение 8.8),
принадлежит Уайтману A964) (см. также Визимирски, 1966). В этой связи интересен резуль-
результат Борхерса A964), согласно которому достаточно сглаживать квантовые поля ф(х) только по
временной координате х° (пространственный же вектор х можно рассматривать как параметр).
Теорема реконструкции (п. 8.3.В) дана в первоначальной работе Уайтмана A956); она позволи-
позволила заключить всю информацию о квантовополевой модели в набор всех функций Уайтмана.
Используемая в процессе реконструкции алгебра основных функций была введена Борхерсом
A962); ее математическая структура подробно исследована в работах Ульмана A962), Морена
A963а, б), Ласснера и Ульмана A968), Борхерса A965а, б, 1972), Висса A972), Ингвасона A973),
Борхерса и Ингвасона A975), Хегерфельда A975), Брюнинга A978). Висе A973) предложил
обобщение формализма Уайтмана, отправляясь не от (мультипликативно) положительного ли-
линейного функционала, а от неотрицательно определенной эрмитовой формы на алгебре Борхер-
Борхерса. Стандартное изложение свободных скалярных и дираковских полей (пп. 8.4.А — 8.4.В)
имеется в любом учебнике по квантовой теории поля (см., в частности, [Б9, Ш4, Б5, К5]). Ком-
Компактный обзор результатов с точки зрения лагранжева формализма содержится в гл. 2 моногра-
монографии [И5]. Уравнения для полей с высшими спинами изучались в работах Даффина( 1938), Кеммерз
A939), Белинфанте A939), Фирца и Паули A939), Гординга A944), Баргмана и Вигнера A948),
Гельфанда и Яглома A948а, б) (см. также [У1, Г2, HI]; Хариш-Чандра, 1947; Фолди, 1956;
Вигнер, 1963; Вайнберг, 1964а, б; Парк и Еле, 1965). Трудности полевых теорий с высшими
спинами обсуждались Уайтманом A968, 1973). Предложение 8.8 (согласно которому двухточеч-
двухточечная функция полностью определяет свободное поле в общей теории Уайтмана) доказано
Федербушем и Джонсоном A960), а также Йостом и Шроером (Йост, 1961); другие
рассмотрения имеются у Гринберга A959), Гачка A961); случай нулевой массы доказан Пол-
майером A969). Простая иллюстрация явления спонтанного нарушения внутренних симметрии
на примере преобразований (8.88) свободного безмассового скалярного поля рассматривалась
Стритером A965а). Сеть локальных алгебр фон Неймана, соответствующая свободному скаляр-
скалярному полю, была исследована Араки A9636; 1964а, б), Кадисоном A963), Гененом и Мисра A963),
Кастлером A965), Лангерхолком и Шроером A965), Дел'Антонио A968), Дадашяном и Хору-
жим A978, 1981). В частности, Араки доказал свойство дуальности (см. также Остервальдер,
19736). Обобщенные свободные поля были введены Гринбергом A961) (фактически это интегра-
интегралы по массе от свободных полей; см. Лихт, 1963). Условия на носитель поля в р-пространстве,
при которых это поле является обобщенным свободным полем, впервые сформулированы Дел'
Антонио A961а).
Дополнение Е. Сводка важнейших сингулярных функций квантовой теории поля'
заимствована из монографии [Б8].
559
Дополнение Ж- Аналогичные ковариантные представления рассматривались в
работе Оксака и Тодорова A969).
Глава 9. Холлом и Уайтманом A957) было дано представление для лоренц-инвариантных
голоморфных функций в трубе будущего Г+ (а также в Т~). В этой работе было впервые опу-
опубликовано доказательство Баргмана теоремы 9.1 для скалярного случая. Уайтман A960/61) и
Йост A961) обобщили теорему на случай ковариантных функций, преобразующихся по произ-
произвольному конечномерному представлению группы Лоренца. Различные обобщения теоремы
Холла и Уайтмана имеются у Хеппа A963а, в, 1964а), Минковского и др. A965), Зайлера A966).
Вещественные точки расширенной трубы (п. 9.1.В) были описаны Йостом A957). Описание рас-
расширенной трубы можно найти у Уайтмана A960/61). Однозначность функций Уайтмана в сим-
метризованной трубе (п. 9.1.Г) была доказана Томозавой A9636), а также Рюэлем ([И5], до-
дополнение II); этот факт следует также из результата Томозавы об односвязности симметризо-
Ванной трубы. В случае п=2 симметризованная труба J7"^ совпадает с расширенной трубой ?Гг.
При я^Зэто уже не так. Оболочка голоморфности <?Г^ была найдена Челленом и Уайтманом
0958) (см. также Рюэль, 1961а). Интегральные представления для 3-точечной функции Уайтмана
предлагались Челленом и Толлом A960), Стритером A960а, б). В связи с описанием расширен-
расширенных труб при я=4 и я=5 см. работы Манохарана A962), Мёллера A962), Брюнинга A971). В об-
общем случае оболочка голоморфности симметризованных труб# явно не описана. Глобальная
природа локальности (предложение 9.12) была высказана Уайтманом A959) в качестве гипоте-
гипотезы и доказана Уайтманом A960/61) совместно с Йостом и Штейнманом (см. также Томозава,
1963а; [С8], § 4.1). В работах Владимирова A960) и Петрины A961) получен более сильный ре-
результат (лоренц-ковариантность не предполагается). Дальнейшее усиление результата дано
Полмайером A968) (см. также Борхерс и Полмайер, 1968); оказывается, для того чтобы выпол-
выполнялась строгая локальность, достаточно предположить (в рамках понятия почти локального
поля, введенного Стритером, 1964), что матричные элементы коммутаторов полей убывают быст-
быстрее, чем ехр (—е|д;—у\Р) (р>1) на пространственной бесконечности. Связь между неперенорми-
руемостью (в традиционном понимании) и нелокальностью входит в идеологию лагранжевой
теории возмущений (см. [Б8], § 32). Шроер A964) на простой модели дал наглядную иллюстрацию
этому. Один из подходов к перенормируемым теориям состоит в выборе классов обобщенных функ-
функций, совместимых с условием микропричинности (Мейман, 1964; Джаффе, 1966, 1967; Ефимов,
1968, [Е1]; Соловьев М. А., 1971, 19806, в). Другой подход сосредоточивает внимание (в духе
«теоремы реконструкции») на функциях Уайтмана в р-пространстве (Бардакси и Шроер, 1966;
Гюттингер, 1966; Хоружий, 1967, 1968/69, Иофа и Файнберг, 1969а, б; Тейлор Дж. Дж., 1971;
Константинеску, 1971; Файнберг В. Я-, 1972; Бюмерштеде и Люке, 1974; Лазур и Химич,
19776; Файнберг и Соловьев, 1978). Эти работы распространяют формализм Уайтмана на не-
ренормируемые теории, однако они различаются ограничениями на допустимый рост функций
Уайтмана в р-пространстве и трактовкой локальности. Определение класса неренормируемых
теорий предэкспоненциального роста в р-пространстве, приведенное в замечании п. 9.1.Д,
восходит к Шроеру A964), который назвал такие теории нереиормируемыми 1-го рода. Не вда-
вдаваясь в обсуждение многочисленных попыток выйти за рамки локальной теории, отметим, что
некоторые из них связаны с обобщениями или с изменениями самой группы инвариантности
(см., например, Снайдер 1947а, б; Инграхам, 1962а, б; Блохинцев и Колеров, 1964; Кадышев-
ский, 1972, 1978, 1979; доклады в сб. [Т7]).
В стандартной лагранжевой теории поля 7*СР-теорема возникла в тесной связи с пробле-
проблемой спина и статистики: Швингер A951), Людерс A954, 1957, 1961), Паули A955) (см.также
историю вопроса в статье Йоста A960) и в книге [С8], гл. 4). Доказательство ГСР-теоремы и
ее обобщения в уайтмановском подходе (пп. 9.2.А, 9.2.Б) принадлежат Йосту A957). Связь
между ГСР-инвариантностью и слабой локальной коммутативностью обсуждалась далее Дай-
соном A958а). Согласно Йосту A963) любой ГСР-инвариантной релятивистской S-матрице мож-
можно, по крайней мере формально, сопоставить слабо локальное квантованное («интерполирую-
(«интерполирующее») поле. Возможности дальнейшей экспериментальной проверки ГСР-инвариантности в фи-
физике элементарных частиц обсуждались Ли и др. A957), Широковым М. И. A962), Окунем A966),
Биленькши A966), Гурденом A967), Потом A978); см. также [К1, ЛЗ, 03]. Пример пропага-
тора КиК° показывает, что следствия 7*СР-инвариантности в этом случае фактически сов-
совпадают со следствиями только лоренц-инвариантности (Липшуц, 1966). Классы эквивалентнос-
эквивалентности локальных полей (п. 9.2.В) были введены Борхерсом A960) (в этой связи см. лекции Уайт-
Уайтмана, 1963, работы Акария, 1962, Араки, 1963а). Примеры взаимно локальных полей с одной и
той же S-матрицей приведены Камеручи и др. A961) (и в цитированных там работах). По пово-
поводу других признаков тривиальности 5-матрицы см. Бардакси и Сударшан A961), Гринберг и
Лихт A963), Акария A963), Акс A965). Они показывают, что в локальной теории не может
быть нетривиальной 5-матрицы, допускающей лишь конечное число неупругих процессов.
В алгебраическом подходе Эпштейн A967) доказал ГСР-инвариантность 5-матрицы при допол-
дополнительном предположении о структуре одночастичных состояний, которые исключают беско-
бесконечное вырождение массы по спину (подобные условия накладывались раньше Хаагом и Свие-
кой, 1965, Араки и Хаагом, 1967).
Теорема о связи спина со статистикой свободных полей с произво льным спином была дока-
доказана Фирцем A939) и Паули A940). Доказательства теоремы 9.19, основанные на общих посту-
постулатах, приведены в работах Людерса и Зумино A958), Бургойна A958) и Дел'Антонио A9616).
Связь теоремы о спине и статистике с кластерным свойством обсуждается у Фруассара и Тей-
560
лора A967). Перестановочные соотношения между разными полями обсуждались в рамках обыч-
обычной теории Людерсом и Зумино A958), а в рамках аксиоматического подхода (теорема 9.20)—•
Араки A961в). Преобразование Клейна, использованное в этих работах, было введено Клей-
Клейном A938) в другом контексте. В нашем доказательстве теоремы Араки 9.20 (пп. 9.3.Б—9.3.Г)
мы следовали Йосту ([И5], п. V.3.C).
Существование неэквивалентных представлений ККС с бесконечным числом степеней сво-
боды было обнаружено Сигалом A950, не опубликовано), который построил простой пример
унитарно нереализуемого (т. е. несобственного) линейного канонического преобразования опе-
операторов рождения и уничтожения. Вслед за этим ван Хов A952) привел пример несобственного
неоднородного линейного канонического преобразования (точнее, пример смещенного фоков-
ского представления). Поскольку пример ван Хова (модель взаимодействия поля с классичес-
классическим источником) имеет непосредственный физический смысл, то из него стало ясно, что выбор
представления ККС определяется взаимодействием. Теорема Хаага A955) (п. 9.4.А) еще более
убедительно продемонстрировала значение нефоковских представлений для гамильтонова подхода
в квантовой теории поля (сб этом см. [В1], Араки, 19606). Обобщенная теорема Хаага (п. 9.4.Б)
дана в формулировке Холла и Уайтмана A957). Физическое истолкование торемы Хаага
имеется в лекциях Уайтмана A967а, б) (см. также [С8], § 4.5). Фабри и др. A967) предложили
теорему о невозможности описания «нарушенной симметрии» зависящим от времени унитарным
оператором (см. об этом [Г12]). В связи с тем, что фоковские представления не исчерпывают фи-
физически интересных представлений ККС и КАС, возникла нетривиальная проблема класси-
классификации представлений ([Ф5]; Гординг и Уайтман, 1954а, б; Уайтман и Швебер, 1955; Сигал,
1958; Гельфанд [Г5], § IV.3; Вайдлих, 1963; Араки и Висе, 1964; Чайкен, 1967, 1968; Завьялов
и Сушко, 1969; Голодец, 1969; Пауэре и Штёрмер, 1970; Араки, 1971). Пример появления нефо-
ковского представления в статистической механике дан Боголюбовым [Б7] (см. также Хааг,
1962): было показано, что физическое представление в теории сверхпроводимости строится из
фоковского с помощью (несобственного) линейного канонического преобразования, перепуты-
перепутывающего операторы рождения и уничтожения.
Переход (посредством так называемого «викова поворота») от пространства-времени Мин-
ковского к четырехмерному евклидову пространству широко использовался для интегралов
Фейнмана. Швингер A958, 1959) и Накано A959) предложили рассматривать евклидову форму-
формулировку (п. 9. 5.А) как самостоятельный подход к квантовой теории поля. Симанзик A964,
1966, 1969а, б), а затем Нельсон A973а—г) установили связь евклидовой формулировки с тео-
теорией случайных (марковских) полей. Характеристические свойства функций Швингера
(п. 9.5.Б) и теорема реконструкции (п. 9.5.В) появились в работах Остервальдера и Шрадера
A973) и Остервальдера A973а). В работах Хегерфельда A974), Фрёлиха A974), Остер-
Остервальдера и Шрадера A975) предлагались другие наборы аксиом евклидовых полей, достаточ-
достаточные для реконструкции квантовых полей. Евклидова формулировка получила широкое приме-
применение в конструктивной квантовой теории поля (подробнее об этом см. в [С1, Г7]). О конформно-
инвариантных евклидовых полях см. Тодоров A973, 1976), Мак A975), [Т6] и цитируемую там
литературу.
Дополнение 3. Хотя теоретическая возможность статистик более общих, чем бс-
зонная и фермионная, обсуждалась еще в30-е годы, эффективный аппарат параполей был создан
лишь в 50-е годы. Вигнер A950) рассмотрел пример парабозе-осциллятора. Квантовая теория
свободных параполей (п.3.1) была развита Грином A953). Парастатистики исследовались Вол-
Волковым Д. В. A959, 1960), Черниковым A962), Камефучи и Такахаши A962), Камефучи и Страс-
ди A963), Галиндо и Индюреном A963), Мессиа и Гринбергом A964), Гринбергом и Мессиа
A964, 1965), Гринбергом A966), Говорковым A967). Аксиоматический подход уайтмановского
типа к парастатистикам и связь спина с парастатистикой (п.3.2) обсуждались Дел'Антонио и
др. A964). Эквивалентность локальности и паралокальности для свободных параполей доказана
Араки и др. A966). В рамках алгебраического подхода парастатистики исследовались в работах
Дрюля и др. A970), Доплихера и Робертса A972), Доплихера и др. A971, 1974), Робертса
A976а). Новые типы обобщенных статистик и их связь с представлениями (супер)алгебр Ли
указаны в работах Ганчева и Пглева A980), Палева A982) (см. также приведенную там литера-
литературу).
В связи с возникшей в рамках модели гдронов Гелл-Мана и Цвейга (см. [КЮ]) известной
проблемы статистики кварков Гринберг A964) предложил использовать для кварков парафер-
ми-статистику порядка р=3. Эта гипотеза позволяла объяснить свойство полной симметрии
спин-унитарной волновой функции барионов, что соответствовало возможности расположить
до трех спиновых кварковых состояний на одном и том же квантовом уровне. Однако последо-
последовательное решение проблемы статистики кварков было дано Боголюбовым, Струминским и Тав-
хелидзе (Боголюбов и др., 1965) и независимо Ханом и Намбу A965), которые предложили для
кварков новое квантовое число, впоследствии названное цветом. По отношению к новому кван.
товому числу, принимающему (для каждого типа кварков с определенным электрическим заря-
зарядом, изоспином и странностью) три значения, все наблюдаемые адроны являются нейтральными
(или «бесцветными») (см. Тавхелидзе, 1965). Введение цветных кварков как фундаментальных
частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, позволило решить ряд принципиальных
проблем теории элементарных частиц, а понятие «цвета» легло в основу квантовой хромодинаг
мики (QCD) — калибровочной теории сильных взаимодействий (Намбу, 19666), в которой на^
ходит естественное место гипотеза «конфайнмента» (или невылетания) кварков (см., например,
Бендер, 1981; обсуждение возможности вылетания кварков см. в работе Арбузова и др., 1983).
Согласно работам Говоркова A982, 1983), Боголюбова и др. A983), максимальной калибровоч-
калибровочной симметрией, допускаемой теорией локальных параполей, является специальная ортого-
561
нальная группа 0+C) (в отличие от квантовой хромодинамики с унитарной калибровочной груп-
группой SUC) такая теория будет обладать не восемью, а тремя калибровочными бозонами). Этот
вывод означает, что гипотеза параферми-статистики кварков не эквивалентна (и потому не явля-
является реальной альтернативой) теории цветных ферми-кварков. Дополнительные соображения
о соотношении теории параполей и теории цветных кварков см. у Гринберга и Нельсона A977),
Говоркова A977, 1979, 1982) (в обзоре Говоркова, 1983, имеется более обстоятельное обсуждение
литературы).
Дополнение И. По поводу дальнейшей информации об элементарных представлениях
группы SLB, С) (п. ИЛ) и комплексных полупростых алгебр Ли) см. [Г6], Желобенко A968),
Костант A975) (см. также [К9, Ж2, ЖЗ]). Первый пример бесконечномерного неприводи-
неприводимого представления группы SLB, С) был построен Майорана A932), который предложил
уравнение для БКП, спектр решений которого не содержал отрицательных времениподобных
импульсов (но зато содержал также пространственноподобные импульсы, так что спектральное
условие нарушалось; впоследствии Дирак A971, 1972; [Д5]) построил уравнения для БКП со
спектром в V+). Из примера Майорана и последующих публикаций Гельфанда и Яглома A948
а, б) было ясно, что связь спина со статистикой для БКП отсутствует (в связи с уравнениями для
классических БКП см. Рюль, 1967; Комар и Сладь, 1969). Вторично квантованные свободные
БКП рассматривались Фельдманом и Метьюсом A966, 1967); эти поля либо обладают бесконеч-
бесконечным вырождением массы по спину, либо нарушают локальность. Аберс и др. A967) построили
примеры квантовых БКП, нарушающих связь спина со статистикой и СРГ-теорему, но при
этом спектр содержал пространственноподобные импульсы, так что условие спектральности не
было выполнено. Простой пример нарушения связи спина со статистикой для БКП (преобра-
(преобразующегося по приводимому представлению группы Лоренца) с выполненным условием спект-
спектральности привел Стритер A9676). Ковариантное представление для двухточечной функции
типа (И.22) было предложено Тодоровым и Зайковым A969) и доказано в работе Оксака и То-
дорова A969), где выведено также разложение (И.31) и доказана теорема И.З. Иверсон и Мак
A971) рассмотрели случай нулевой массы, когда возникают дополнительные ковариантные
структуры.
Предложение И.4 доказано в работе Оксака и Тодорова A971). В работе Гродского и
Стритера A968) получен весьма общий результат о бесконечном вырождении массы по спину
для БКП (в этой связи см. также Абарбанел и Фришман, 1968; Биртер и Битар, 1969). Оксак и
Тодоров A971) распространили теорему Гродского и Стритера на случай локальных неренор-
мируемых теорий предэкспоненциального роста в /7-пространствг (теорема И.5). В п. И.4
приведены в несколько белее общей форме примеры из работы Оксака и Тодорова A968).
О СРГ-инвариантногти классических БКП см. работу Сладя A971). Отметим также некоторые
из применений БКП — для алгебраизации динамической структуры квантовых систем (Барут
и Клайнерт, 1967; Намбу, 1967; Дельбурго и др., 1967), для альтернативной формулировки
уравнения Бете—Солпитера (Кириакопулос, 1968; Будини, 1968; Фронсдал, 1968; Ициксон и
др., 1970). По поводу обзоров теории БКП см. Намбу A966а), Рюгг и др. A967), Стоянов и
Тодоров A968) (здесь, в частности, разбирается уравнение Майорана), Стритер A968), Такабая-
ши A969).
Глава 10. Квантование в пространствах с индефинитной метрикой было предложено в на-
начале 40-х годов (Дирак, 1942; Паули, 1943). Тот факт, что связь спина со статистикой может на-
нарушаться (пример в п. 10.1.Б), был замечен Паули A950). Параллельно началось математичес-
математическое изучение операторов в пространствах с индефинитной метрикой (Понтрягин, 1944; Иохви-
дов и Крейн, 1956, 1959; Лангер, 1962, 1963). Изложение математической теории *) можно
Найти в лекциях Крейна A965) и в [Б 10]. В аксиоматическом плане формализм индефинитной
метрики намечен в ранней статье Уайтмана и Гординга (опубликованной в 1965 г.) и по-преж-
по-прежнему привлекает внимание главным образом в связи со специфическими проблемами лоренц-
ковариантного канонического квантования калибровочных полей (Строкки, 1966—1968, 1970,
1978; Ловенштейн, 1971; Феррари и Пикассо, 1971; Наканиши, 1972; Строкки и Уайтман, 1974;
Феррари и др., 1974, 1977). При этом выяснилось, что трансляционная инвариантность
вспомогательного (гильбертова) скалярного произведения и единственность (с точностью до
множителя) трансляционно-инвариантного вектора являются скорее исключением, чем прави-
правилом, отсутствуя в физически интересных моделях с инфракрасными особенностями функций
Грина (на это указали Феррари, 1974; Строкки, 19766; Моркио и Строкки, 1980). Замкнутые
изложения подхода даны в работах Строкки и Уайтмана A974), Строкки A978), Моркио и Строк-
Строкки A980), которым мы в значительной мере следовали в п. 10.1.Б. Наибольшие изменения вне-
внесены нами в конструкцию физических состояний (аксиома PW. IX, п. 10.1.В); при этом мы сис-
систематически пользуемся принципом калибровочной инвариантности и конструкцией состояний
методом интегрирования вакуумного функционала по калибровочной группе. В п. 10.1.Г уста-
устанавливается связь с традиционным (менее общим) методом, основанным на выделении «физи-
«физического» подпространства в псевдогильбертовом пространстве. К недостаткам псевдоуайтманов-
ского формализма следует отнести то обстоятельство, что аналог уайтмановской теоремы
реконструкции требует дополнительных топологических условий (см. Шайбе, 1960; Строкки,
19766; Ингвасона, 1977; Моркио и Строкки, 1980). Полевые теории в индефинитной метрике
*) Мы используем «псевдогильбертово пространство» (п.ЮЛ.А) как эквивалент матема-
математического термина «/-пространство».
562
допускают формулировку и в терминах *-алгебр ограниченных операторов (аналогичную С-
формулировке теории поля в положительной метрике); см. об этом у Дадашяна и Хоружегст
A983). О применении индефинитной метрики в теории перенормировок см. в работах Завья-
Завьялова О. И. A973, 1975), Завьялова и Медведева A974).
Модель поля дипольного духа!(п. 10.2.А) была введена в контексте теорий с индефинитной
метрикой Феррари A974). Как мы видели, алгебра наблюдаемых в этой модели тривиальна.
Нарнхофер и Тирринг A978) проиллюстрировали на этом примере свое расширительное толко-
толкование «физического содержания» модели (понимая под этим поведение системы при включении
взаимодействия с другими системами). Градиентная модель (п. 10.2.А) использовалась Цван-
цигером для подкрепления некоторых положений квантовой электродинамики (сокращенно,.
QED). Среди первых работ, заложивших основы QED, можно выделить статью Иордана и Пау-
Паули A928) о квантовании свободного электромагнитного поля. Слабая форма калибровочного'
условия, требующая выполнения равенства д^А^ (~> Ф=0 на физических векторах и позволя-
позволяющая исключить продольные и скалярные фотоны в ковариантной калибровке QED (в так на-
называемой калибровке Гупта •— Блейлера), дана Гупта A950) и Блейлером A950). Подробные
изложения QED содержатся в монографиях [А7, Б8, Б13, Я2]. Лагранжианы со вспомогатель-
вспомогательными полями, фиксирующими класс калибровок, имеются, в частности, у Наканиши A966,
1972—1974), Лаутрупа A967), Симанзика A971). Аксиоматический подход к локальной QED
проанализирован в работе Строкки и Уайтмана A974) (см. также Строкки, 1978), на которую-
так или иначе опиралось большинство последующих работ. Строкки и Уайтман доказали пра-
правило суперотбора по электрическому заряду для локальных наблюдаемых. Другой важный
результат, полученный в этом направлении, родствен результату Вегнера A971), относящегося
к обобщенной модели Изинга и теореме Элизур A975) (согласно которой в статистической
физике калибровочно-инвариантных полевых моделей на решетке (Вильсон, 1974) локаль-
локальная калибровочная инвариантность не может спонтанно нарушаться без введения членов,
фиксирующих калибровку). А именно, Мэсон и Цванцигер A975) показали, что в псев-
псевдогильбертовом пространстве QED нет векторов локализованных состояний с ненулевым элек-
электрическим зарядом, которые удовлетворяли бы дополнительному условию Гупта — Блейлера,
выделяющему физическое подпространство (см. также Цванцигер, 1976); Феррари и др. A977)
распространили вывод на произвольные локальные калибровки в QED (а Строкки, 19766 —
на квантовую хромодинамику). В нашем изложении принципов QED (п. 10.2.Б) основной ак-
акцент делается на алгебраической формулировке локальной и глобальной инвариантностей (ро-
(роли которых существенно различны как роли малой и эффективной калибровочных групп в более
общем контексте п. 10.1.В). Этим достигается известная компактность, поскольку приведенные
выше результаты теперь, в сущности, автоматически следуют из наших определении наблюдае-
наблюдаемых и физических величин. (Предполагается, что глобальная калибровочная инвариантность не
нарушена спонтанно.) При этом мы в значительной мере ориентировались на ситуацию, реали-
реализующуюся в градиентной модели из п. 10.2.А (Цванцигер A978) не случайно назвал эту модель
«решаемым уроком» для QED). Нужно заметить, что всякое изложение, казалось бы, вполне
конкретной модели (QED) по необходимости носит предположительный характер, поскольку
(как упоминалось в тексте) до сих пор вопрос о математическом существовании (или несущест-
несуществовании) четырехмерной QED остается открытым. Более ранние варианты нашли отражение в
лекциях Тодорова A979), Минчева и Тодорова A981, 1985). Отчасти близкая точка зрения была
принята д'Эмилио и Минчевым A982а—в), продемонстрировавшими, что использование только
физических величин (определяемых на основе принципов локальной инвариантности и глобаль-
глобальной ковариантности) позволяет упростить вывод стандартных (пертурбативных) результатов-
об инфракрасных расходимостях в электродинамической 5-матрице. В их работах роль опера-
оператора рождения электрона играет «физическое» нелокальное заряженное поле типа A0.105а)
при специальном выборе обобщенной функции F(k, р) (а именно, F^ (k, p)=p^l(pk))\ аналогич-
аналогичное «физическое» заряженное поле (при выборе F^(k, p)=p^l{pk—@)) вводится в работе Оджи-
ма и Хата A979). Мотивировку такого выбора «фотонного облака» электрона можно найти у
Киббла A968). Нелокальные заряженные объекты типа A0.90а), инвариантные относительно!
произвольных калибровочных преобразований 2-го рода с исчезающей на бесконечности фазой,
вводились Дираком A955), Мандельстамом A962), Бялыницки-Бирулей A976). Штейнман
A976) предпринял формулировку QED в терминах только локальных наблюдаемых. Случай;
свободного электромагнитного поля в различных калибровках (с точки зрения формализма ин-
индефинитной метрики) подробно разобран в упоминавшейся статье Строкки и Уайтмана, а также
у Бонгартса A977, 1982) (детали, связанные с лоренцевой калибровкой, обсуждались Накани-
Наканиши, 1966; Ридо,1975). Роль конформной инвариантности уравнений Максвелла обсуждалась
в многочисленных публикациях (начиная с 1909 г.). Конформно-инвариантная QED рассматри-
рассматривалась Маком и Тодоровым A973), Крайстом A974), Минчевым и др. A976) и в ряде других
работ (см. [Т6]). Тонкости определения электрического заряда (как интеграла от плотностей
заряда) наряду с работой Строкки и Уайтмана рассматриваются у Орцалези A970), Рекварда
A976), Рее и Рекварда A980). Обсуждение роли закона Гаусса имеется у Стритера A974а),
Робертса A9766), Строкки A976в, 1981) (у Строкки A981) дается также обзор более ранних
работ). Работы Блоха и Нордсика A937), Енни и др. A961), выявившие структуру инфракрас-
инфракрасных расходимостей S-матричных элементов в теории возмущений QED, заложили основу для
последующих обсуждений инфракрасной проблемы и конструкций физических состояний: Чунь
A965), Соловьев Л. Д. A965, 1973), Киббл A968), Кулиш и Фаддеев A970), Фрёлих A973),
Пронько и Соловьев A974), Аппелквист и Караццоне A975), Цванцигер A975, 19786, 1979а,
б), Халлер A978), Жэрвэ и Цванцигер A980), д'Эмилио и Минчев A982а—в), Берже и Шиманов-
ский A982). В ряде работ (Фрёлих и др., 1979а, б; Бухгольц, 1982) обеуждаетея возможность-
563
Фонтанного нарушения лоренцевой инвариантности в заряженных секторах. При этом делает-
делается слишком упрощенное предположение, что алгебра наблюдаемых порождена тензором напря-
напряженности электромагнитного поля (тогда как отсутствие подобного нарушения упирается в
существование достаточно обширной алгебры наблюдаемых). Геометрическая точка зрения на
вектор-потенциал электромагнитного поля как на синхронизатор фаз электрически заряженных
полей в соседних точках восходит к Вейлю A918, 1929). Теория Янга —Миллса (см. Янг и
Миллс, 1954; Утияма, 1956) распространила ее на неабелев случай. Что касается квантования
неабелевых калибровочных теорий, то практически все результаты, относящиеся к локаль-
локальным ковариантным калибровкам, получены методом возмущений и потому выходят за рамки
нашего изложения. Наиболее полно и систематично эти вопросы излагаются в [С5, К12, И4]. Фор-
Формулировка калибровочных теорий в подходе Дирака [Д5] к динамическим системам со связями
дана Фаддеевым A969) (см. также [Х2] и лекции Тодорова, 1979, где имеется более полный спи-
список литературы). Локальный операторный формализм перенормировок калибровочных теорий
изложен в статье Куго и Оджима A979). С конструктивным подходом к калибровочным теориям
можно познакомиться в лекциях Фрёлиха A979) и в [32]. Геометрия (классических) евклидовых
полей Янга — Миллса изложена в [А5]. О применениях расслоенных пространств к калибро-
калибровочным теориям см. у Даниэля и Виалле A980), Дориа A981), Бабилона и Виалле A981)
и в [М12]. Обзор применения голоморфной геометрии к калибровочным полям дан Маниным
A981). По поводу еще одного интересного вопроса классической теории калибровочных полей—
описания монопольных решений см. т'Хофт A974), Поляков A9746, 1975), Коулман A977),
[Д2, М12], Уорд A981), Хитчин A982), Росси A982) и цитируемые там ссылки.
Связь между непрерывными группами симметрии и локальными сохраняющимися
токами (п. 10.3.А) восходит к классической лагранжевой теории поля (где она устанавливается
теоремой Нётер; см. например, [Б8], § 2). Квантовополевая «теорема Нётер» в рамках теории
перенормировок рассмотрена рядом авторов (Ловенштейн, 1971; Лэм, 1972а, б); соответст-
соответственно в калибровочных теориях тождества Уорда — Такахаши выведены Тейлором Дж. К.
A971) и Славновым А. А. A972). Свойства трансляционно-неинвариантных токов (отвечающих
более широкому классу симметрии, чем внутренние) рассматривались Феррари A973), Галь-
Эзером и Рее A974, 1975), Гарбером и Рее A976). Теоретико-полевые механизмы спонтанного
нарушения симметрии были первоначально разработаны в статистической физике (см. Бого-
Боголюбов, 1958, 1961, [Б7] и цитируемую там литературу), а затем перенесены в квантовую теорию
поля (п. 10.3.Б) в работах Намбу A960), Намбу и Иона-Лазинио A961), Голдстоуна
A961). В первых вариантах теоремы Голдстоуна (см. Голдстоун и др., 1962; Кастлер и др.,
1966) было доказано лишь отсутствие массовой щели (а не наличие безмассовой частицы)
при спонтанном нарушении симметрии. Доказательство теоремы 10.9 было дано Эзавой и
Свиекой A967) на основе интенсивного использования представления ИЛД (и, значит,
локальности) (их идея использована в приводимом нами доказательстве). Доказательство
теоремы 10.8 было дано в лекциях Свиеки A970). Связь между разными трактовками понятия
нарушенной внутренней симметрии устанавливается в теореме Коулмана (Коулман, 1966;
Дел'Антонио, 1967; Ландау и Вихман, 1970; в этой связи см. также Ландау Л. Дж., 1970;
Краус и Ландау, 1972; Галь-Эзер и Рее, 1974, 1975). По поводу дальнейших обсуждений
теоремы Голдстоуна и ее обобщений см. Стритер A965а, б), Строкки A966), Фабри и др. A967),
Генен и Вело A967), Васильев A966, 1973), Булинский A969), Рее A971), Феррари A973),
Йоос и Веймар A976), Фубини A982), [ВЗ, Г12]. Механизм Хиггса был предложен в работах
Хиггса A964а, б; 1966), Энглерта и Браута A964), Гуральника и др. A964). По поводу перенор-
перенормировок и физических следствий этих теорий см. статьи Ли и Зин-Жюстена A972 •— 1973),
Наканиши A973), Вайнберга A973), Ли Б. В. A974), Крейиа и Тудрона A978), [К7].
В п. 10.3.В представлены в несколько иной форме результаты Феррари A974) и Строкки A977).
Подробнее о механизме Хиггса см. [К7], Наканиши A973), Стритер A978), Де-Анжелис
и др. A978), Брайджис и др. A979), Первушин A979, 1980). Выявлению калибровочно неза-
независимого содержания механизма Хиггса посвящена работа Фрёлиха и др. A980); в обзоре
Минчева и Тодорова A985) с этой точки зрения излагается модель электрослабых взаимодей-
взаимодействий Салама — Вайнберга (см. также [Т1]). Следует отметить результат Свиеки A976) (пол-
(полное доказательство см. у Бухгольца и Фреденхагена, 1979), согласно которому из уравнения
Максвелла д е?гЯц=^ц вместе с предположением о наличии массовой щели (и массивности всех
частиц, в том числе «фотона») следует, что полный заряд тождественно равен нулю. Этот вывод
дает весьма общее объяснение безмассовости фотонов в QED — с одной стороны, и экранирования
заряда в модели Хиггса — с другой.
Глава П. Двумерная модель в § 11.1 (в особенности, простая зависимость между фермион-
ным током и свободным скалярным безмассовым полем) привлекал внимание в 30-е годы в свя-
связи с идеей нейтринной теории света. Последующий интерес к ней стимулировался изучением
инфракрасной проблемы. В статьях Шроера A963), Тарского A964), Хаджииванова и Стоянова
•A979), а также в лекциях Уайтмана A967а) эта модель и связанная с ней двумерная градиент-
градиентная модель исследованы в формализме индефинитной метрики (п. 11.1.А). Моркио и Строкки
A980) обратили внимание на некоторые тонкости в этой конструкции — на неединственность
вакуума, калибровочную инвариантность (при этом они рассматривали только один заряд
D; второй же — «топологический» — заряд Q' возникает при расщеплении поля ф на правую и
левую составляющие). Инвариантная конструкция поля в физическом гильбертовом прост-
пространстве (п. 11.1.Б) предложена в статье Оксака A981). Алгебра наблюдаемых (порожденная
током) в физическом представлении полей ф^, ф^ разлагается в прямой интеграл неприводимых
представлений; это так называемые смещенные фоковские представления для тока, построенные
S64
ранее Стритером и Уайльдом A970) (обсуждение таких представлений в более общей ситуации
см. в работе Бесараб-Хорват и др., 1979).
Модель (безмассовая) Тирринга (Тирринг, 1958; Тирринг и Весе, 1964) была предложена в
качестве нетривиального явно решаемого примера в теории поля. Глазер A958) предложил трак-
трактовку модели Тирринга, основанную на вспомогательном нефизическом гильбертовом прост-
пространстве со знаконеопределенной энергией (в этой связи см. Прадхан, 1958; Скарф, 1959а, б;
Скарф и Весе, 1962; [Б4]; Астахов и др., 1967; Рихсенар, 1982). В подходе Джонсона A961) по-
постулируются сохранение векторного и псевдовекторного токов и коммутаторы между токами и
полем Тиррннга; таким образом можно построить все функции Уайтмана для модели Тирринга
(Клайбер, 1964, 1968) и записать замкнутое выражение для поля Тирринга в терминах свобод-
свободного фермионного и свободных скалярных полей (Лойтвилер, 1965). Наше изложение модели
Тирринга (§ 11.2) основано на работах Клайбера A968) (где развита техника инфракрасного
обрезания), Свиеки A977) (где используются формулы бозонизации типа Скирма — Мандель-
стама в псевдогильбертовом пространстве с индефинитной метрикой) и Оксака A981) (где рас-
рассматривается бозонизации фермионов в физическом гильбертовом пространстве). В связи с фор-
формулами бозонизации (с которыми мы вначале познакомились в п. 11.1.В на примере свободного
¦безмассового спинорного поля) отметим, что возможность конструирования фермионов из бо-
бозонов была отмечена Скирмом A961) при изучении двумерной квантовой модели, получившей
впоследствии название sine-Gordon (сокращенно SG). Более определенный результат был полу-
получен Коулманом A9756), доказавшим эквивалентность модели SG и массивной модели Тирринга
{сокращенно МТ). Манделстам A975) предложил явные формулы, выражающие МТ через поле
SG (по поводу придания математического смысла таким формулам см. Погребков к Сушко, 1975,
1976; Сушко, 1978). Бозонизация в модели Тирринга (безмассовой) вполне аналогична, хотя
она усложняется дополнительными инфракрасными трудностями (в связи с этим отметим работу
Дел 'Антонио и др., 1972, а также Стритера и Уайльда, 1970, Стритера, 19746, где выполнен
промежуточный этап бозонизации поля Тирринга — в терминах свободного тока и искусствен-
искусственно добавленных операторов рождения зарядов). Как отмечалось в п. 11.1.В, для свободного
безмассового спинорного поля в-представления получаются из фоковского представления
преобразованием A1.96), причем они унитарно эквивалентны фоковскому в точности тогда,
когда числа ?* L/\^2 я целые. Преобразования последнего типа (трактуемые как калибро-
калибровочные) вводились также Роте и Свиекой A977), Красниковым и др. A980) в ином контексте
(для модели Швингера). В гамильтоновом формализме модель Тирринга построена в работах
Воловича и Сушко A971), Арефьевой и др. A975), Погребкова A973).
Двумерная безмассовая QED (§ 11.3), предложенная Швингером A962), служит моделью
невылетания («конфайнмента») заряженных частиц. Швингер A963) нашел явный вид функций
Грина. Формальное операторное решение модели Швингера было предложено Тиррингом и Вес-
сом A964). Обстоятельный анализ модели Швингера в различных калибровках (в том числе ло-
ренцевой и кулоновой) дан в статье Ловенштейна и Свиеки A971), которая была использована
нами в § 11.3. В работе Капри и др. A981) модель Швингера изучается в произвольной ковари-
антной калибровке. По поводу гамильтонова подхода к модели Швингера см. работы Кашера и
др. A974), Данилова и др. A980, 1982), Ито A980). Методом функционального интегрирова-
интегрирования модель Швингера изучалась Роте и Свиека A978), Красниковым и др. A980), Куликовым
A983); в этих работах значительное внимание уделено аномалии псевдовекторного тока (об
аномалиях аксиального тока в четырехмерной QED см. Адлер, 1970). Явно решаемыми являют-
являются также модели Федербуша (см. Федербуш, 1961а, б; Уайтман, 1967а; Рихсенар, 1982), Лиувил-
дя и ее обобщения —суперсимметричная модель Лиувилля и модель Тода (Джорджадзе и др.,
1979; Лезнов и Савельев, 1979; Гуцвилер, 1980—1981; Куртрайт и Торн, 1982; Братен и др.,
1982; Д'Хокер и Джекив, 1982; Лезнов и Федосеев, 1983; Лезнов и Хрущев, 1983; Олив и Ту-
Турок, 1983; Мансфилд, 1983; Жэрвэ и Неве, 1983). Более широкий класс составляют так называе-
называемые вполне интегрируемые двумерные квантовые модели, куда попадают модели МТ, SG, ки-
ральные поля. Первоначально^модель МТ изучалась Березиным и Сушко A965), которые диаго-
нализовали гамильтониан и построили 5-матрицу в нефизическом представлении. В последующих
работах были, в частности, построены S-матрицы для указанных моделей (по поводу этих моде-
моделей см. Дашен и др., 1975; Фаддеев и Корепин, 1975; Фрёлих, 1975, 1976а, б; Фрёлих и Парк,
1977; Замолодчиков, 1977; Разумов, 1977; Каровский и Вейс, 1978; Берг и Вейс, 1978; Берг и
др., 1979; Корепин, 1979; см. также обзоры Фаддеева и Корепина, 1978; Фаддеева, 1979; Изер-
гина и Корепина, 1982). Значительный прогресс в изучении общих двумерных моделей достиг-
достигнут в конструктивном подходе; см. об этом [С1], Фрёлих A978), [Г7].
Глава 12. Основные результаты этой главы принадлежат Хаагу A958) и Рюэлю A962).
Рюэль освободил первоначальное доказательство Хаага от «технических» предположений и,
в частности, доказал усиленное кластерное свойство (предложение 12.4). Другие варианты клас-
кластерного свойства доказывались Араки A960а), Йостом и Хеппом A962), Араки и др. A962). Лем-
Лемма 12.10 также была доказана Рюэлем; приводимое нами доказательство дано Йостом A966).
Доказательство Рюэля пуанкаре-инвариантности S-матрицы (теорема 12.1, часть (б)) было до-
дополнено в статье Стритера A967а), которая использовалась нами. Изложения теории Хаага —
Рюэля имеются также в [И5] (гл. VI), [Р2] (§ XI. 16). Бухгольц A975, 1977) распространил тео-
теорию Хаага — Рюэля на безмассовые частицы; Стритер A964) — на почти локальные поля;
Йофа и Файнберг A9696) (см. также Файнберг, 1972; Штейнман, 1970; Бюмерштеде и Люкке,
1974; Соловьев М. А., 1980а) — на неренормируемые теории. Теория рассеяния в терминах
локальных алгебр была дана Араки и Хаагом A967) (в этой связи см. обзор Араки, 1969). Они
показали, что принципиально теорию рассеяния можно формулировать в терминах одних толь-
565
ко наблюдаемых (без использования операторов фермионного типа или изменяющих заряд),
хотя такая формулировка была бы более громоздкой.
Глава 13. Г-произведения квантовых полей и их вакуумные средние — причинные функции
Грина (§ 13.1) были введены Дайсоном A949) и Швингером A949). Причинные функции Грина
изучались Циммерманом A954а—г). Как отмечено в п. 13.1. А, «наивные» определения типа A3.1),
вообще говоря, страдают неопределенностью, имеющей ту же природу, что и ультрафиолето-
ультрафиолетовые расходимости в теории возмущений. Излагаемый «аксиоматический» подход к Г-произведе-
ниям (п. 13.1.А) был предложен Боголюбовым A955) как метод построения схемы перенорми-
перенормировок (см. [Б8], гл. IV, V; эти идеи развивались также в работах Степанова, 1963, 1965; Хеппа,
1966, б, 1971; Циммермана, 1970; Эпштейна и Глазера, 1971, 1973; Ширкова, 1976). Запаздываю-
Запаздывающие произведения (п. 13.1.Б) введены Леманом и др. A957) (см. также Полкинхорн, 1956, 1957).
Связь запаздывающих функций с функциями Уайтмана обсуждалась Штейнманом A960, 1963а,
б, 1968). Первоначальная формулировка подхода, называемого формализмом LSZ (Леман и
др., 1955, 1957), включала асимптотическое условие A3.65) в качестве аксиомы. Несколько мо-
модифицированный подход разрабатывался в работах Нишиджимы A957—1959). Играющие важ-
важную роль в подходе LSZ формулы A3.67) были впервые написаны Янгом и Фельдманом A950)
и Челленом A950), которые получили их интегрированием гейзенберговых уравнений движе-
движения. В работах о связи между формализмами LSZ и Уайтмана Хепп A9636, 1965а, 1966а) по-
показал, что асимптотическое условие, а также уравнения Янга — Фельдмана и формулы редук-
редукции выводятся из формализма Уайтмана при дополнительных предположениях (п. 13.1.В).
Результаты Хеппа изложены в § 13.2. Хепп A964в) доказал также кластерное свойство для
S-матричных элементов при пространственноподобном разделении аргументов. Структура од-
ночастичных особенностей функций Грина и S-матричных элементов исследовалась Циммер-
Циммерманом A959, 1960), Стритером A9626), Хеппом A9656); по поводу многочастичной структуры
см. Симанзик A960), Брос A970), Лассаль A974), Брос и Лассаль A975). Глазер и др. A957)
переформулировали теорию LSZ в терминах r-функций (см. также Штейнман, 1968, 1972). Тео-
рия'возмущений в формализме LSZ рассматривалась Нишиджимой A960), Мураскиным и Ни-
шиджимой A961), Фридом A962), Штейнманом [Ш8]. Проблема связанных состояний обсужда-
обсуждалась Циммерманом A958), Нишиджимой A958), Бауманом A958); в частности, Циммерман по-
показал, что всякое связанное состояние с нулевым спином может быть описано локальным ска-
скалярным полем. Формулировка квантовой электродинамики в формализме LSZ имеется у На-
каниши A974). Обзор техники LSZ и ее применений дан в [Б1].
Глава 14. S-матричный метод Гейзенберга A943) в релятивистской квантовой теории был
предшественником и даже родоначальником аксиоматического S-матричного метода (или мето-
метода микропричинной S-матрицы), изложенного в гл. 14. Этот подход позволил, однако, получить
динамические соотношения между S-матричными элементами лишь после введения в теорию
вариационных производных по классическим полям (см. Боголюбов, 1952 и обзор Боголюбова,
1958), в терминах которых удалось сформулировать условие микропричинности (Боголюбов,
1955; Боголюбов и Ширков, 1955; [Б8]). До этого на роль причинности обращали внимание
Штюкельберг и Ривье A950), Штюкельберг A951), не предложив, однако, законченной форму-
формулировки. Совместное использование свойств причинности и спектральности позволило дока-
доказать дисперсионные соотношения для упругого пион-нуклонного рассеяния (Боголюбов, 1956;
[Б6]). В процессе доказательства дисперсионных соотношений S-матричный подход был сформу-
сформулирован как самостоятельное направление (см. [Б6]) и получил дальнейшее развитие в работах
Медведева, Поливанова, Суханова и других авторов. Один из основных результатов этого на-
направления состоит в выявлении динамической роли условия причинности, которое записывает-
записывается в виде A4.53) и трактуется как уравнение движения (Медведев и Поливанов, 1961, 1964;
Медведев, 1961, 1964). Формально S-матричная формулировка может быть приведена к лагран-
жевой или к гамильтоновой формам (Суханов, 1965; Медведев, 1966; Медведев и др., 1971),
различия между которыми проистекают из различия между виковским и дайсоновским Г-про-
изведениями (обсуждение этого вопроса см. у Суханова A961, 1964), Медведева и Суханова
A975); в работе Медведева и др. A968а) введено также понятие квазинормального произведе-
произведения и исследована связь с виковским произведением). Обсуждение трудностей, связанных с
адиабатической гипотезой (проявляющихся, в частности, в неоднозначности сужения обобщен-
обобщенных функций в р-пространстве на массовую оболочку), и конструктивные рецепты даны Медве-
Медведевым и Поливановым A967а). (В связи с этой проблемой в п. 14.1.Б нам пришлось расширить
класс допустимых основных функций.) Исследованы также проблема перенормировок в матрич-
матричном методе (Медведев и др., 19686, 1972; см. обзор Медведева и Поливанова, 1969) и специфичес-
специфические особенности квантования моделей взаимодействия с производными (Медведев и Поливанов,
19676; Медведев и др., 1968в). Связь с формализмом LSZ обсуждалась в работах Файнберга В. Я-
A961), Суханова A964), Медведева A965), Медведева и др. A972). В частности, было показано
(Медведев, 1965), что поле, определенное равенствами A4.54), A4.67), является локальным.
Связь с алгебраическим подходом исследовалась Славновым Д. А. A977), Ильиным и Славно-
вым A978). Квантовая электродинамика в S-матричном подходе рассматривалась Пью A965—
1966), Соловьевым Л. Д. A973), Пронько A974), Баженовым и др. A979). S-матричный метод
возмущений, а также вопрос о допустимом числе производных в квазилокальных операторах
для соответствия с теорией LSZ расематривался Медведевым и Поливановым A961, 1964), Су-
Сухановым A966). В работах Пью A963, 1965—1966), Файнберга В. Я- A964), Рорлиха A964),
Рорлиха и Вилнера A966), Рорлиха и Рея A966), Ченя и др. A966), Ченя A967), Рея A968)
разрабатывались другие регуляризованные формы основных уравнений (краткий обзор имеет-
имеется в [Б5], § 4.4). Важное понятие радиационного оператора было введено в [Б6] (§ 2). В [Б51
(и. 3.3.6) было дано определение радиационных операторов (штейнмановского типа), аналогич-
566
ное штейнмановским мономам в теории LSZ. Конструкция и свойства радиационных операторов
(рюэлевского типа) рассматривались Медведевым и др. A977а, б), Павловым A9786). С 5-мат-
ричиым методом можно познакомиться по обзорам Медведева и Поливанова A964), Поливанова
A965), Медведева и др. A972), Завьялова [31] (§ 1.3). В нашем изложении S-матричного подхода
изменены некоторые стандартные детали. Мы не настаиваем на разложении A4.21) по нормаль-
нормальным произведениям, а трактуем вариационные производные по асимптотическим полям как
формальные. У нас допускается случай произвольного спина, а исходное условие причинности
формулируется в виде A4.31) (вместо A4.40г)).
Глава 15. Начало изучению аналитических свойств релятивистских амплитуд было факти-
фактически положено в работе Гелл-Мана и др. A954), где было предложено дисперсионное соотноше-
соотношение для двухчастичного упругого рассеяния (см. также Гольдбергер, 1955; Гольдбергер и др.,
1955). В рамках квантовой теории поля дисперсионные соотношения для я#-рассеяния были
впервые обоснованы Боголюбовым A956); полное доказательство было дано в монографии [Б6].
Другие доказательства были даны Симанзиком A957) (для рассеяния вперед), Бремерманом и
др. A958). Предложенная в [Б6] схема доказательства (см. п. 15.2. А) по существу сохранилась
в дальнейших работах, хотя и подвергалась усовершенствованиям, главным образом благодаря
применению представления ИЛД. Леман A958) доказал аналитичность по t амплитуды рассея-
рассеяния (п. 15.1.В) и абсорбтивной части (п. 15.2.Г) в физической области. Более общие результаты
об аналитических свойствах абсорбтивной части были получены в работе Владимирова и Ло-
Логунова A959), где, в частности, доказаны дисперсионные соотношения для ряда процессов вир-
виртуального рассеяния, когда одна или две частицы находятся вне массовой оболочки (в этой
связи см. также Логунов и Соловьев, 1959; Эмэ и Тейлор, 1959). Кроме того, Хеппом A9646)
было показано (см. пп. 15.2.В, 15.2.Г), что использование представления ИЛД позволяет избе-
избежать некоторых априорных «технических» допущений о полиномиальной ограниченности (по s)
амплитуды T(s, t, ?2, ?4) B нефизической области, которые делались раньше. Вслед за доказа-
доказательством в случае я//-рассеяния были получены дисперсионные соотношения для ряда упругих
процессов типа комптоновского рассеяния на нуклонах (Боголюбов и Ширков, 1957), для
(неупругих процессов) фоторождения пионов на нуклонах (Логунов и др., 1957; Чу и др.,
1957), а также для процессов с участием странных частиц (Окубо, 1958; Поливанов, 1958;
Джин, 1959; Тодоров, 1960). Логуновым A958) было получено дисперсионное соотношение
для неупругих] процессов 2-»-3; в частности, для двойного комптон-эффекта р-\-у-*-р-\-2у
была указана область параметров, при которых ненаблюдаемая область энергий в дисперсион-
дисперсионном интеграле отсутствует. Подробный вывод и обобщения даны в работах Логунова и Тавхе-
лидзе A958), Логунова и др. A958). Это направление получило дальнейшее развитие в работах
Логунова и др. A9776, 1979), где доказаны дисперсионные соотношения для упругого процес-
процесса с двумя безмассовыми частицами (например, 2y+N-v2y+N) и так называемая «обобщенная
оптическая теорема», высказанная Мюллером A970); она связывает один из скачков амплитуды
3-»-3 с инклюзивным спектром инклюзивного процесса ¦к1-\-щ-*-х.3-\- . . . Подход Мюллера полу-
получил развитие также в работах Стаппа A971), Кахила и Стаппа A972). В связи с дисперсион-
дисперсионными соотношениями изучалась также проблема спектрального представления трехточечных
функций (Намбу, 1958; Эмэ, 1958; Дезер и др., 1959). Йост A958) построил контрпример, пока-
показывающий невозможность получения в общем случае спектрального представления для вершин
только на основе локальности и спектральных условий. Поэтому было предложено дисперсион-
дисперсионное соотношение для вершины, соответствующей реальному процессу распада частицы на две
частицы (причем массы распадающихся частиц рассматриваются как свободные энергетические
переменные); см. Гольдбергер и Трейман A958) (распад я-^ц+V). Тодоров и Хрусталев A959)
{процессы распада К-мезона и гиперона на два адрона: К-»-2я, Y-*-N-f-ji). По поводу вывода
дисперсионных соотношений в классе неперенормируемых теорий предэкспоненциального
роста в р-пространстве см. Лазур и Химич A981).
Наряду с аналитичностью, выводимой только из общих принципов квантовой теории поля,
определенный интерес представляют аналитические свойства амплитуд в теории возмущений.
Эффективный прием исследования аналитичности фейнмановских диаграмм (метод мажориро-
мажорирования), дающий информацию об аналитических свойствах амплитуды данного процесса во всех
порядках, был предложен Намбу A957) и Симанзиком A958). Он получил дальнейшее развитие
и применение в работах Наканиши A959, 1962—1964), By A961), Логунова и др. A962),
Лю-И-Ченя и Тодорова A963), Мествиришвили и Тодорова A963), Чоу A966). Как отмечалось
на с. 509, на этом пути удалось доказать «пертурбативные» дисперсионные соотношения для не-
некоторых процессов, для которых дисперсионные соотношения не доказаны из общих принци-
принципов. Другой метод акцентирует внимание на топологии особенностей конкретной диаграммы
(см. работы Ландау Л. Д. A959), Полкинхорна и Скритона A960), Куткоски A960), Фаулера
A963), Петрины A963), Федербуша A965), Вестуотера A967), Риска A968), Понцано и др.
A969), Голубевой A976). По поводу обзоров аналитических свойств в теории возмущений см.
[И2, Ф2, XS, T5].
Обзоры дисперсионных соотношений и их применений имеются у Лемана A959), Гольдбер-
гера A960), Онэ (I960), Зоммера A970); см. также [Х6, Ш7, Г8, Б1, Б6]. Некоторые приме-
применения затрагиваются в дополнении К и гл. 17. Из других приложений отметим дисперсионные
правила сумм для сильных взаимодействий (Соловьев Л. Д., 1966; де Альфаро и др., 1966).
Синтез аналитичности амплитуды с реджевской теорией (Редже, 1959; Чу и Фраучи, 1961;
Фруассар, 1961; Грибов, 1962а, б) нашел отражение в правилах сумм при конечных энергиях
(Логунов и др., 1967а; Иги и Мацуда, 1967; Гатто, 1967), в модели Венециано A968) и ее
обобщениях. С этими темами можно познакомиться в обзорах Мандельстама A970), Хара A972),
Венециано A974), [A3, Ш6].
567
На основе идеи аналитичности возник еще один S-матричный подход (отличный от метода
микропричинной S-матрицы, изложенного в гл. 14): Чу [41, 42], Стапп A968), Чендлер A968—
1969), Чендлер и Стапп A969), Фам [Ф1], Костер и Стапп A970), Чу и Розенцвейг A978), Яголь-
ницер [ЯЧ- Поля в этом подходе подвергаются остракизму, так что это уже не теория поля, а
«чистая» теория S-матрицы. В зависимости от акцентов, которые делаются в исходных положе-
положениях, этот подход называют либо методом аналитической, либо макропричинной S-матрицы.
Глава 16. На роль ОЗФ обратил внимание Полкинхорн A956, 1957). Изучение ОЗФ фак-
фактически началось с работы Йоста A958) о трехточечной функции Грина, где эффективно ис-
использован полный набор из шести ОЗФ. Рассматриваемый нами класс ОЗП и ОЗФ (§ 16.1) был
введен иным способом Штейнманом A960, 1963а). Излагаемая нами конструкция основывает-
основывается на аналогии с конструкцией обобщенных запаздывающих операторов (п. 14.1.Г) (предло-
(предложенной в [Б5], п. 3.3.6). Полный (для яэ?5) набор ОЗФ был построен Рюэллем A9616), а также
Араки A961 а,б) (см. также Араки и Бургойн, 1960). Помимо работ Штейнмана A960, 1963а)
в § 16.1 были использованы лекции Броса A965) и Эпштейна A966). Для дальнейшего ознаком-
ознакомления со свойствами ОЗП и ОЗФ см. работы'Медведева и др. A977а,б), Павлова A9786) (здесь
фактически рассматриваются запаздывающие радиационные операторы, свойства которых вполне
аналогичны свойствам ОЗП). Результаты §§ 16.2, 16.3 были получены Бросом и др. A964, 1965)
(см. также лекции Эпштейна, 1966). Эпштейн и др. A969) вывели результаты об аналитичности
процессов 2->-2 из аксиом алгебраического подхода. Результаты об аналитичности амплитуд
2->-2 по двум переменным (s, t) были получены также Мандельстамом A960) и Леманом A966).
Метод ОЗФ использовался Бросом и др. A972) для изучения аналитических свойств «-точеч-
«-точечных функций. Для процесса 3-*-3 (вперед) с двумя безмассовыми частицами в работе Логуно-
Логунова и др. A977) была развита техника, позволяющая доказать дисперсионное соотношение.
Более общие результаты были получены Музафаровым и Павловым A978), Павловым A978а),
Логуновым и др. A9796), Медведевым и др. A982).
Дополнение К- Основной результат (теорема К5) был получен Мартеном A9666).
Фигурирующий в этой теореме параметр ц уточнялся для конкретных процессов Зоммером
A967а), Бессисом и Глазером A967). Обобщение результата Мартена на неупругие двухчастич-
двухчастичные процессы были сделаны Зоммером A967в,г), а для частиц со спином в работах Зоммера
A9676), May и Мартена A968, 1970), Белла A969), Ежелы и Мествиришвили A971). Для даль-
дальнейшего ознакомления с затронутыми вопросами см. обзоры Мартена [М4], Зоммера A970),
Логунова и др. A972).
Глава 17. Ограничения A7.3)—A7.5) были получены Фруассаром A961) в предположении
справедливости представления Мандельстама. Теорема Мартена (п. К-2) позволила вывести
эти оценки из аксиом квантовой теории поля. (Гринберг и Лоу A961) заметили, что для этого
достаточна аналитичность амплитуды по t в эллипсе типа (К-54); из аналитичности в эллипсе
Лемана они получили более слабое ограничение. С другой стороны, из представления Мандель-
Мандельстама Киношита и др. A964) получили также более сильное ограничение чем A7.4), зато и более
сингулярное по sin 6.) Следствие 17.3 о числе вычитаний в дисперсионном соотношении было
получено Джином и Мартеном A9646), Мартеном A966а). По поводу обобщений оценок на слу-
случай рассеяния частиц со спином см. Хара A964), Корниль A964), May и Мартен A968, 1970),
Белл A969), Ежела и-Мествиришвили A971) (по поводу техники оценок см. также Ежела, 1980).
Неравенство A7.26) получил Мартен A9636); неравенства A7.27), A7.28) получили Логунов и
др. A968). В связи с неравенствами A7.32) см. Джин и Мартен A964а), Сугавара A965), Верное
A9736). По поводу нижних границ для амплитуды рассеяния на ненулевой угол см. Черулус и
Мартен A964), Киношита A964), Мартен A965а). Использование положительности позволяет
получить численные оценки для амплитуд рассеяния; см. Коммон и Индюрен A970),
Оберсон и др. A974—1975), Лопе и Меннесье A977). Мартен A963а, б), Макдоуэл и Мар-
Мартен A964), Бессис A966) получили некоторые ограничения для дифференциального пика. Мар-
Мартен A965а) получил ограничение снизу наформфактор при t—>—оо (в этой связи см. также Волков
и др., 1969; Балуни и Бродхерст, 1977). Джаффе A966) распространил результат Мартена на
класс локализуемых неперенормируемых теорий. В первоначальной форме теорема Померан-
Померанчука A958) содержала предположение, что полные сечения стремятся к константам при s->-<x>.
Сугавара и Каназава A961), Вайнберг A961) доказали теорему при более слабых предположе-
предположениях, а Мейман A962) предложил гибкую формулировку, использующую «эталонные» функции
для асимптотик сечений при s-»-oo. Предложение 17.10 (типа теоремы Померанчука) доказано
Мартеном A9656). Предложение 7.7 и ряд других асимптотических теорем доказаны Волковым
и др. A970). Теоремы типа Померанчука были распространены на дифференциальные сечения
в работах Логунова и др. A963, 1966, 1972) (где был применен метод «эталонных» функций) и
ван Хова A963). Вернов A970) получил соотношение между амплитудами Т(±) (s, 0) в виде число-
числового неравенства для некоторого функционала от их отношения. Ряд других асимптотических
теорем для амплитуд рассеяния получены в работах Джина и Макдоуэла A965), Киношита
A965), Идена A966), Вернова A967, 1973а, б), Жэрвэ и Индюрена A967—1968), Балуни и др.
A970), Корниля A970), A975), Фишера и др. A976). По вопросам, затронутым в § 17.1, имеются
обзоры Идена A964), Логунова и др. A966, 1972, 1978), Эпштейна A968), Мартена [М4], Мар-
Мартена и Чуня [М5]. Обсуждение асимптотических теорем в рамках тех или иных моделей см.,
например, в работах ван Хова A964), [И1], Мандельстама A970), Ширкова A970), Хара A972,,
Тюрина и Хрусталева A975), Соловьева и Щелкачева A975), [A3, ШБ].
Изучение инклюзивных процессов было предложено Логуновым, Мествиришвили и
Нгуен Ван Хьеу (Логунов и др., 19676) и Бьёркеном A968), который обратил внимание
на важность исследования глубоконеупругих лептон-адронных процессов). Термин «инклю-
«инклюзивный процесс» (а также «эксклюзивный») ввел Фейнман A969). В работе Логунова и др.
568
A9676) рассматривалось суммарное дифференциальное сечение процессов с одной выделенной?
конечной частицей, и для этого сечения в рамках аксиоматического подхода были получены
высокоэнергетические оценки сверху. Кроме того, была установлена аналитичность сечения
процесса по угловой переменной z=cos 6. (Ранее для «эксклюзивного» процесса 2-*$
аналитичность по cos0 в эллипсе Лемана была доказана Асколи и Мингуци, 1960). Высокоэнер-
Высокоэнергетические оценки несколько иного типа (с сингулярностями не только при cos 0 =± 1, но и при
cos 6=0) были получены также Тиктопулосом и Трейманом A968а, б). После эксперименталь-
экспериментального открытия масштабной инвариантности в инклюзивных процессах был предложен ряд мо-
моделей, объясняющих это явление; среди них — гипотеза предельной фрагментации (Бенеке и
др., 1969), партонная модель (Фейнман, 1969, [ФЗ, КЮ], Альтарелли, 1982). Методы квантовой
теории поля нашли новс- эффективное применение (см., в частности, Брандт, 19706; Гросс и
Весе, 1970; Препарата, 1972; Вильсон и Циммерман, 1972). Теоретико-полевой анализ принципа
автомодельное™ в глубоконеупругих лептон-адронных процессах (см. обзор Матвеева и др.,
1971) был дан Боголюбовым и др. A972) на основе представления ИЛД. В последующих работах
Вицорека и др. A973), Завьялова Б. И. A973, 1977), Брюнинга и Штихеля A974), Смирнова
A978), Владимирова и Завьялова A980, 1982) были построены весьма общие классы асимпто-
асимптотик, совместимых с общими принципами (с локальностью и спектральностью). Новый стимул
получила конформно-инвариантная квантовая теория поля (Мак и Салам, 1969; Бульвар и др.,
1970; Мигдал, 1971; Тодоров, 1972; Мак и Тодоров, 1973; Рюль, 1973; Поляков, 1974а, шроер
и др., 1975; Фрадкин и Пальчик, 1976; обширная библиография по конформной инвариантности
имеется в монографии [Т6] и в лекциях т етковой и др., 1983). В § 17.2 отражены только самые
общие теоретико-полевые результаты об инклюзивных процессах, не основанные на каких-либо
модельных предположениях. Предложения 17.13 и 17.14 были получены в работе Логунова и
др. A9676), предложение 17.12 —j работах Ежелы и др. A971), Ежелы A971). В работах Ежелы
и др. A971 , 1973) исследуется дифференциальное инклюзивное сечение по двум угловым пере-
переменным F, ф) и анализируются гипотезы пионизации, масштабной инвариантности и предель-
предельной фрагментации (с точки зрения аналитичности и унитарности); получены ограничения для
моментов инклюзивных распределений по энергии детектируемых частиц при фиксированном
угле вылета. Результаты в этом направлении были получены также Тиктопулосом'и Трейманом
A972). При дополнительном предположении, что область аналитичности инклюзивного диффе-
дифференциального сечения по cos 6 в инклюзивном процессе Kj-f и2-*-и3-1- . . . определяется t-
канальным порогом, Логунов и др. A974, 1978) получили более сильные ограничения'сверху, а
также нижнюю границу убывания с ростом поперечного импульса (в этой связи см. также ра-
работу Архипова и Саврина, 1977). Отметим, что такой областью аналитичностью обладают диф-
дифференциальные сечения, моделируемые отдельными диаграммами (Рчеулишвили и Самохин,
1975), или суммами диаграмм лестничного типа (Дьяконов и Рочев, 1977). Аналогичное требо-
требование аналитичности для упругого двухчастичного процесса (более слабое, чем аналитичность
из представления Мандельстама) использована в работе Логунова и др. A979а) для моделиро-
моделирования экспериментально наблюдаемых нижних границ дифференциальных сечений рассеяния
адронов вперед при больших s. Асимптотическая связь между процессами глубоконеупругого
рассеяния и инклюзивной аннигиляции исследована в работе Петрова A977). Более подробное
обсуждение результатов об инклюзивных процессах (в том числе полученных теоретико-поле-
теоретико-полевыми методами) можно найти в обзорах Логунова и др. A978, 1983). По поводу обзоров приме-
применений квантовой хромодинамики (в частности, методов ренормгруппы и операторных разложе-
разложений) к инклюзивным процессам см. Полицер A974), Крюзер A976), Докшицер и др. A980:
Мюллер A981), Венециано A982), Радюшкин A983), Тейлор Дж. К. A983).
ОПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Книги
А1. Адлер С, Дашен Р. Алгебры токов и их применения в физике частиц.— М.: Мир, 1970.
А2. Axiomatic approach to quantum field theory and many body problem. Fifth Winter School
of Theoretical Physics (Karpacz, 1968).— Wroclaw: University of Wroclaw, 1968/69,
v. 1, 2.
A3. Де Альфаро В., Фубини С, Фурлан Г., Росетти К- Токи в физике адронов.— М.: Мир,
1976.
А4. Артин Э. Геометрическая алгебра.— М.: Мир, 1970.
А5. Atiyah M. F. Geometry of Yang-Mills fields. Lezione Fermiane. Scuola Normale Superi-
ore.— Pisa, 1979.
A6. Ахиеэер Н. И., Глазман И. M. Теория линейных операторов в гильбертовом прост-
пространстве.—М.: Наука, 1966.
А7. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.: Наука, 1981.
;Б1. Бартон Г. Дисперсионные методы в теории поля.— М.: Атомиздат, 1968.
?2. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения.—М.: Мир, 1980,
т. 1, 2.
БЗ. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.— М.: Наука, 1973, т. 1, 2.
Б4. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука, 1965.
Б5. Боголюбов Н. #., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в кван-
квантовой теории поля.— М.: Наука, 1969.
Б6. Боголюбов Н. #., Медведев Б. В., Поливанов М. К- Вопросы теории дисперсионных со-
соотношений.— М.: Физматгиз, 1958.
Б7. Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод в теории сверхпроводимос-
сверхпроводимости.—М.: Изд-во АН СССР, 1958.
Б8. Боголюбов Н. #., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.— М.: Наука,
1984.
Б9. Боголюбов Н. #., Ширков Д. В. Квантовые поля.— М.: Наука, 1980.
Б10. Bognar J. Indefinite inner product spaces.— В.: Springer-Verlag, 1974.
Б11. Бохнер С, Мартин Т. Функции многих комплексных переменных.— М.: ИЛ, 1951.
Б12. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая меха-
механика.—М.: Мир, 1982.
Б13. Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория.— М.: Наука, 1978,
т. 1, 2.
81. Вайтман А. Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей.— М.: Наука,
1968.
82. Varadarajan V. S. Geometry of quantum theory.— Princeton: Van Nostrand, 1968, v. 1,2.
83. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике.— Л.:
Изд-во ЛГУ, 1976.
84. Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей.— М.— Л.: Гостехиздат,
1947.
85. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.— М.: ИЛ, 1947.
86. Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных
спектров.—М.: ИЛ, 1961.
87. Виленкин Н. Я- Специальные функции и теория представлений групп.— М.: Наука,
1965.
88. Винер Я., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.— М.: Наука, 1964.
89. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.— М.:
Наука, 1964.
810. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.— М.: Наука, 1979.
811. Woodhouse N. Geometric quantization.— Oxford: Clarendon Press, 1980.
П. Гаянинг P., Poccu X. Аналитические функции многих комплексных переменных.—
М.: Мир, 1969.
Г2. Гельфанд И. М., МинлосР. А., Шапиро 3. Я- Представления группы вращения и группы
Лоренца.— М.: Физматгиз, 1958.
ГЗ. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные
функции, вып. 1).— М.: Физматгиз, 1958.
.570
Г4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщен-
(Обобщенные функции, вып. 2).— М.: Физматгиз, 1958.
Г5. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я- Некоторые применения гармонического анализа. Ос-
Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4).— М.: Физматгиз
1961.
Г6. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я- Интегральная геометрия и связанные
с ней вопросы теории представлений (Обобщенные функции, вып. 5).— М.: Физматгиз,
1962.
Г7. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики: Подход с использо-
использованием функциональных интегралов.— М.: Мир, 1984.
Г8. Гольдбергер М. Л., Ватсон К. М. Теория столкновений.—М.: Мир, 1967.
Г9. Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.—М.: Мир, 1981.
ПО. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—
М.: Наука, 1971.
Г11. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.:
Мир, 1971.
Г12. Гриб А. А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля.— М.: Атом-
издат, 1978.
Г13. Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics. Lectures at the
Istanbul Summer School of Theoretical Physics A962)/Ed. Giirsey F.— N.Y., L.: Gordon
and Breach, 1964.
Д1. Данфорд #., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория.—М.: ИЛ, 1962.
Д2. Jaffe A., Taubes С. Vortices and monopoles. Structure of static gauge theories.— Boston:
Birkhauser, 1980.
ДЗ. Dixmier J. Les algebres d'operateurs dans l'espace Hilbertien (Algebres de von Neumann).—
P.: Gauthier-Villars, 1969.
Д4. Диксмье Ж- С*-алгебры и их представления.— М.: Наука, 1974.
Д5. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике.— М.: Мир, 1968.
Д6. Дирак П. А. М. Пути физики.—М.: Энергоатомиздат, 1983.
Е1. Ефимов Г. В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей.— М.: Наука, 1977.
Ж1. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М.: Наука, 1970.
Ж2. Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.—
М.: Наука, 1974.
ЖЗ. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли.— М.: Наука, 1983.
31. Завьялов О. И. Перенормированные диаграммы Фейнмана.— М.: Наука, 1979.
32. Зайлер Э. Калибровочные теории: Связи с конструктивной квантовой теорией поля и
статистической механикой.— М.: Мир, 1985.
И1. Иден Р. Соударения элементарных частиц при высоких энергиях.— М.: Наука, 1970.
И2. Eden R. J., Landshoff P. V., OtiveD. /., Potkinghorne J. С The analytic 5-matrix.—Cam-
5-matrix.—Cambridge University Press, 1966.
ИЗ. Иосида К- Функциональный анализ.— М.: Мир, 1967.
И4. Ициксон К-, Зюбер Ж--Б. Квантовая теория поля.—М.: Мир, 1984, т. 1, 2.
И5. Йост Р. Общая теория квантованных полей.— М.: Мир, 1967.
К1. КаЫг Р. К- The CP puzzle: strange decays of the neutral kaon.— N.Y.: Academic Press,
1968.
K2. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных прост-
пространствах.— М.: Наука, 1977.
КЗ. Cargese lectures in physics, 1969/Ed. Kastler D.— N.Y.: Gordon and Breach, 1970, v. 4.
K4. Cargese lectures in physics, 1975, Part A.: Weak and electromagnetic interactions at high,
energy.—N.Y.: Gordon and Breach, 1976.
K5. Kastler D. Introduction a l'electrodynamique quantique.— P.: Dunod, 1961.
Кб. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.—М.: Мир, 1972.
К7. Квантовая теория калибровочных полей (НФФ, вып. 8)/Под ред. Н. П. Коноплевой.—
М.: Мир, 1977.
К8. Кириллов А. А. Элементы теории представлений.— М.: Наука, 1978.
К9. Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша — Жордана представле-
представлений групп.— Киев: Наукова думка, 1979.
КЮ. Клоуз Ф. Кварки и партоны.— М.: Мир, 1982.
КН- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.—
М.: Наука, 1976.
К12. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.— М.: Атомиздат, 1980.
К13. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.'_2: Курант Р. Уравнения
с частными производными.— М.: Мир, 1964.
К14. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре.— М.: Наука, 1973.
Л1. Lectures in Theoretical Physics. Lorentz Group, Summer Institute for Theoretical Physics,
University of Colorado (Boulder, 1964)/Ed. Brittin W. E., Barut A. O.— The Colorado
University Press, 1965, v. VIIA.
Л2. Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory, 1970 Brandeis University
Summer Institute in Theoretical Physics/Ed. Deser S., Grisaru M., Pendleton H.— Cam-
Cambridge (Mass.) e.a.: The M.I.T. Press, 1970, v. 1, 2.
ЛЗ. Ли Ц., By Ц. Слабые взаимодействия.— M.: Мир, 1968.
Л4. Любарский Г. Я- Теория групп и ее применения в физике.— М.: Гостехиздат, 1957.
571
.Ml. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики.— М.: Мир, 1965.
М2. Mackey G. W. Induced representations of groups and quantum mechanics.— N.Y.:
Benjamin, 1968.
МЗ. Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций.— М.: Мир, 1968.
М4. Martin A. Scattering theory: unitarity, analyticity and crossing.— N.Y.: Springer, 1969
(русский перевод: [01], с. 11—130).
M5. Martin A., Chung F. Analyticity properties and bounds of the scattering amplitudes.—
N.Y.: Gordon and Breach, 1969.
Мб. Материалы Междунар. совещ. по пробл. множественного рождения и инклюзивным
реакциям при высоких энергиях (Серпухов, 1976).— Серпухов: ИФВЭ, 1977.
М7. Междунар. зимняя школа теорет. физики при Объед. ин-те ядерных исслед. (Дубна,
1964).—Дубна: ОИЯИ, 1964, т. 1—3.
М8. Междунар. конф. по мат. пробл. квантовой теории поля и квантовой статистики (Москва,
1972), ч. I, II. Тр. МИАН, т. 135, 136.—М.: Наука, 1975.
М9. Менский М. Б. Метод индуцированных представлений: Пространство-время и концепция
частиц.—М.: Наука, 1976.
МЮ. Микусинский %., Сикорсшй Р. Элементарная теория обобщенных функций.—М.: ИЛ,
1959/63, т. 1, 2.
МП. Мишель Л., Шааф Ф. Симметрия в квантовой физике, НФФ, вып. 3.— М.: Мир, 1974.
М12. Monopoles in quantum? field theory/Ed. Craigie N., Goddard P., Hahm W.— Singapore:
World Scientific Publ.' Co., 1982.
M 3. Мэтьюс П. Релятивистская квантовая теория взаимодействия элементарных частиц.—
М.: ИЛ, 1959.
HI. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца.— М.: Физматиз, 1958.
Н2. Наймарк М. А. Нормированные кольца.—М.: Наука, 1968.
НЗ. Нгуен ван Хьеу. Лекции по теории унитарной симметрии элементарных частиц.— М.:
Атомиздат, 1967.
Н4. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики.— М.: Наука, 1964.
Н5. Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц.— М.: Наука, 1972.
Н6. Новые свойства симметрии элементарных частиц.— М.: ИЛ, 1957.
01. Общие принципы квантовой теории поля и их следствия/Под ред. В. А. Мещерякова.—.
М.: Наука, 1977.
02. Окунь Л- Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц.—-М.: Физматгиз, 1963.
03. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки.—М.: Наука, 1981.
П1. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М.: Наука, 1973.
PI. Relations de dispersion et particules elementaires, Ecole d'ete de physique theorique, Uni-
versite de Grenoble (Les Houses, 1960) / Ed. de Witt C, Orhnes R.— P.: Hermann, 1960.
P2. Pud M., Саймон Б. Методы современной математической физики.— М.: Мир, 1977/82,
т. 1—4.
РЗ. Rickart С. Е. General theory of Banach algebras.— Princeton: Van Nostrand, 1960.
P4. Рудин У. Функциональный анализ.—M.: Мир, 1975.
Р5. Рюэль Д. Статистическая механика.— М.: Наука, 1971.
С1. Саймон Б. Модель Р(ф)г евклидовой квантовой теории поля.— М.: Мир, 1976.
С2. Sakai S. C*-algebras and №*-algebras.—В. e. a.: Springer-Verlag, 1971.
СЗ. Сегё Г. Ортогональные многочлены.— М.: Физматгиз, 1962.
С4. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики.— М.: Мир, 1968.
С5. Славное А. А., Фаддеев Л. Д- Введение в квантовую теорию калибровочных полей.— М.:
Наука, 1978.
Сб. Speer Е. R. Generalized Feynman amplitudes.— Princeton (N. J.): Princeton University
Press, 1969.
C7. Статистическая физика и квантовая теория поля / Под ред. Н. Н. Боголюбова.— М.:
Наука, 1973.
С8. Стритер Р., Вайтман А. РСТ, спин и статистика и все такое. — М.: Наука, 1966.
С9. Supersymmetry and supergravity / Ed. Jacob M.— Singapore: World Scientific, 1986.
Tl. Тейлор Дж. Калибровочные теории электрослабых взаимодействий.— М.: Мир, 1978.
Т2. Теоретико-групповые методы в физике / Под ред. М. А. Маркова.— М.: Наука, 1983,
т. 1, 2.
ТЗ. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.— Л.: Гостехиздат, 1948.
Т4. Титчмарш Е. Теория функций.—М.: Наука, 1980.
Т5. Todorov I. Т. Analytic properties of Feynman diagrams in quantum field theory.— L.:
Pergamon Press, 1971.
T6. Todorov I. Т., Mintchev M. C, Petkova V. B. Conformal invariance in quantum field
theory.— Pisa: Scuola Normale Superiore, 1978.
T7. Тр. Междунар. совещ. по нелокальной квантовой теории поля.— Дубна: ОИЯИ, 1968.
У1. Умедзава X. Квантовая теория поля.— М.: ИЛ, 1958.
У2. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях.—М.:Мир, 1976.
Ф1. Фам Ф. Особенности процессов многократного рассеяния.— М.: Мир, 1972.
Ф2. Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау.— М.: Мир, 1970.
ФЗ. Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами.— М.: Мир, 1975.
Ф4. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Ф5. Friedrichs К- О. Mathematical aspects of quantum theory of fields.— N. Y.: Interscience
Pub!., 1953.
572
XI. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.— М.: Мир, 1966.
Х2. Hanson A. J., Regge Т., Teitelboim С. Constrained Hamiltonian systems.— R.: Academia
Naz. dei Lincei, 1976.
ХЗ. Хенли Э., Тирринг В. Элементарная квантовая теория поля.— М.: ИЛ, 1963.
Х4. Хепп К- Теория перенормировок.— М.: Наука, 1974.
Х5. Хепп К., Эпштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной кван-
квантовой теории поля.— М.: Атомиздат, 1971.
Х6. Hilgevoord J. Dispersion relations and causal description. An introduction to dispersion
relations in field theory.— Amsterdam: North-Holland, 1960.
X7. Холево А. С- Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории.—-М.: Наука,
1980.
Х8. Хуа Р., Теплиц В. Гомология и фейнмановские интегралы.— М.: Мир, 1969.
41. Chew G. F. S-Matrix Theory of Strong Interactions.— N.Y.: Benjamin, 1962.
42. Чью Дж. Аналитическая теория S-матрицы.— М.: Мир, 1968.
1П1. Шабаш Б. В. Комплексный анализ.— М.: Наука, 1976, т. 2.
Ш2. Schwartz L. Theorie des distributions.—P.: Hermann, 1957/59, t. 1, 2.
ШЗ. Шварц Л. Анализ.—М.: Мир, 1972, т. 1.
Ш4. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.— М.: ИЛ, 1963.
Ш5. Шефер X. Топологические векторные пространства.— М.: Мир, 1971.
Ш6. Шелест В. П., Зиновьев Г. М., Миранский В- А. Модели сильновзаимодействующих эле-
элементарных частиц.— М.: Атомиздат, 1975, 1976, т. 1, 2.
Ш7. Ширков Д. В-, Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дисперсионные теории сильных взаи-
взаимодействий при низких энергиях.— М.: Наука, 1967.
1118. Штейман О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля.— М.: Мир, 1974.
31. Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике.— М.: Мир, 1983, т. 1, 2.
32. Elementary Particle Theory. Novel Symposium 8A968). Relativistic Groups and Analyti-
city/Ed. Svartholm N.—Stockholm, 1968.
33. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля.—
М.: Мир, 1976.
Я1. Iagolnitzer D. The S-matrix.—Amsterdam e.a.: North-Holland, 1978.
Я2. Jauch J. M., Rohrlich F. The theory of photons and electrons.— N. Y.: Springer, 1976.
Статьи
Ааронов, Бом A959) (Aharonov Y., Bohrn D.) Significance of electromagnetic potentials in the
quantum theory.— Phys. Rev., v. 115, p. 485.
Ааронов, Бом A963) (Aharonov Y., Bohrn D.) Further discussion of the role of electromagnetic
potentials in quantum theory.— Phys. Rev., v. 130, p. 1625.
Абарбанел, Фршиман A968) (Abarbanel H. D. I., Frishman Y.) Construction of local quantum
fields describing many masses and spins.— Phys. Rev., v. 171, p. 1442.
Аберс и dp. A967) (Abers ?., Grodsky I. Т., Norton R. E.) Deseases of infinite-component field
theories,— Phys. Rev., v. 159, p. 1222.
Адлер A970) (Adler S.) Perturbation theory anomalies.— [Л2], p. 1—164.
Акария A962) (Acharya R.) Some Borchers-type theorems in quantum field theory.— Nuovo Cim.,
v. 23, p. 580.
Акария A963) (Acharya R.) Some consequences of «minimal» analyticity and unitarity in field
theory.— Nuovo Cim., v. 27, p. 1151.
Akc A965) (Aks S.) Proof that scattering implies production in quantum field theory.— J. Math.,
Phys., v. 6, p. 516.
Альтарелли A982) (Altarelli G.) Partons in quantum chromodinamics.— Phys. Rep., v. 81, p. 1.
Де Альфаро и др. A966) (de Alfaro V., Fubini S., Rossetti G., Furlan G.) Sum rules for strong in-
interactions.—Phys. Lett., v. 21, p. 576.
Антиан A969) (Antoine J.-P.) Dirac formalism and symmetry problems in quantum mechanics,
I. General Dirac formalism; 11. Symmetry problems.— J. Math. Phys., v. 10, p. 53, 2276.
Аппелквист, Караццоне A975) (Appelquist Т., Carazzone J.) Infrared singalarities and massive
fields.—Phys. Rev., v. Dll, p. 2856.
Араки A960a) (Araki H.) On asymptotic behaviour of vacuum expectation values at large space-
like separation.— Ann. of Phys. v. 11, p. 260.
Араки A9606) (Araki H.) Hamiltonian formalism and canonical commutation relations in quan-
quantum field theory.—J. Math. Phys., v. 1, p. 492.
Араки A961а) (Araki H.) Wightman functions, retarded functions and their analytic continua-
continuations.— Suppl. Prog. Theor. Phys., v. 18, p. 83.
Араки A9616) (Araki H.) Generalized retarded functions and analytic continuation in momen-
momentum space.—J. Math. Phys., v. 2, p. 163.
Араки A961b) (Araki H.) On the connection of spin and commutation relations between different
fields.—J. Math. Phys., v. 2, p. 267.
Араки A961/62) (Araki H.) Einfiihrung in die axiotnatische Quantenfeldtheorie, I, II. Lectu-
Lecture notes.— Zurich: ETH.
Араки A963a) (Araki H.) A generalization of Borchers theorem.— Helv. Phys. Acta, v. 36,
p. 132.
Араки A9636) (Araki H.) A lattice of von Neumann algebras associated with the quantum theory
of a free Bose field.— J. Math. Phys., v. 4, p. 1343.
573
Араки A964а) (Araki H.) Von Neumann algebras of local observables for free scalar field.— J.
Math. Phys., v. 5, p. 1.
Араки A9646) (Araki H.) Type of von Neumann algebra associated with free field.— Prog. Theor..
Phys., v. 32, p. 956.
Араки A969) (Araki H.) Local quantum theory.— In: Local Quantum Theory. Scuola Internaz.
di Fisica «Enrico Fermi», corso 45 / Ed. Jost R.— N.Y., L.: Academic Press, p. 65—96.
Араки A971) (Araki H.) On representations of the canonical commutation relations.— Commun.
Math. Phys., v. 20, p. 9.
Араки A975) (Araki H.) Relative Hamiltonian for states of von Neumann algebras.— [M8L
ч. I, c. 18—25.
Араки, Бургойн A960) (Araki И., Burgoyne N.) Properties of the momentum space analytic
functions.— Nuovo Cim., v. 18, p. 342.
Араки, Висе A964) (Araki #., Wyss W.) Representations of canonical anticommutation,
relations.— Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 136.
Араки, Вудс A963) (Araki H., Woods E. J.) Representation of the canonical commutation rela-
relations describing a non-relativistic infinite Bose gas.— J. Math. Phys., v. 4, p. 637.
Араки, Вудс A968) (Araki H., Woods E. J.) A classification of factors.— Publ. R.I.M.S., Kyoto-
Univ., v. 4, p. 51.
Араки, Хааг A967) (Araki #., Haag R.) Collision cross sections in terms of local observables.—
Commun. Math. Phys., v. 4, p. 77.
Араки и др. A962) (Araki И., Hepp К-, Ruelle D.) On the asymptotic behaviour of Wightman;
functions in space-like directions.— Helv. Phys. Acta, v. 35, p. 164.
Араки и др. A966) (Araki H., Greenberg О. W'., Toll J. S.) Equivalence of locality and paraloca-
lity in free parafield theory.— Phys. Rev., v. 142, p. 1017.
Араки и др. A971) (Araki H., Smith M.—5. В., Smith L.) On the homotopical significance of
the type of von Neumann algebra factors.— Commun. Math. Phys., v. 22, p. 71.
Арбузов Б. А., Филиппов А. Т. A967) О возможном механизме несохранения СР.-—В сб.:
Физика высоких энергий и теория элементарных частиц (Ялта, 1966).— Киев: Наукова
думка, с. 597—609.
Арбузов и др. A983) (Арбузов Б. А., Байков В. А., Боос Э. Э., Куренной С. С.) Инфракрасная
область квантовой хромодинамики, массы и хромомагнитные моменты кварков.— ЯФ^
т. 38, с. 1340.
Арефьева и др. A975) (Arefieva I. Ya., Pogrebkov А. К., Sushko V. N., Volovich I. V.) The re-
normalized Hamiltonians, the local fields, and the scattering theory for some translationally
invariant models of quantum field theory.— [M8], ч. I, c. 95—103.
Архипов А. А., Саврин В. И. A977) Поведение инклюзивных сечений в области больших по-
поперечных импульсов и сингулярность взаимодействия.— ТМФ, т. 30, с. 315.
Асколи, Мингуци A960) (Ascoli R., Minguzzi A.) Analytic properties of production amp-
amplitudes.—Phys. Rev., v. 118, p. 1435.
Астахов и др. A967) (Астахов А. В., Завьялов О. И., Суханов А. Д.) S-матрица в четырехфер-
мионной модели Тирринга.— ЖЭТФ, т. 52, с. 780.
Бабилон, Виалле A981) (Babilon О., Viallet С. М.) The Riemannian geometry of the configura-
configuration space of gauge theories.— Commun. Math. Phys., v. 81, p. 515.
Бажанов и др. A979) (Бажанов В. В., Пронько Г. П., Соловьев Л. Д.) Аксиоматический метод
Боголюбова в квантовой электродинамике.— В сб.: Тр. Междунар. симпозиума по фунда-
фундаментальным проблемам теоретической и математической физики.— Дубна: ОИЯИ, с.
195—214.
Балуни, Бродхерст A977) (Baluni V., Broadhurst D. J.) General bounds on form factors and
propagators from analyticity and unitarity; application to the nucleon renormalization con-
constant.—Phys. Rev., v. D15, p. 230.
Балуни и др. A970) (Балуни В. 3., Верное Ю. С, Думбрайтс О. В., Мнацаканова М. Н.)
Разность полных сечений и отношение дифференциальных сечений я±р-рассеяния
вперед при высоких энергиях.— ТМФ, т. 5, с. 235.
Баргман A954) (Bargmann V.) On unitary ray representations of continuous groups.— Ann. of
Math., v. 59, p. 1.
Баргман A962) (Bargmann V.) On the representations of the rotation group.— Rev. Mod. Phys.,
v. 34, p. 829.
Баргман A964) (Bargmann V.) Note on Wigner's theorem on symmetry operations.— J. Math.
Phys., v. 5, p. 862.
Баргман A967) (Bargmann V.) On a Hilbert space of analytic functions and an associated integ-
integral transform, II. A family of related function spaces. Application to distribution theory.—
Commun. Pure Appl. Math., v. 20, p. 1.
Баргман, Вигнер A948) (Bargmann V., Wigner E. P.) Group theoretical discussion of relativis-
tic equations.— Proc. Nat. Acad. Sci., v. 34, p. 211.
Баргман, Todopoe A977) (Bargmann V., Todorov I. T.) Spaces of analytic functions on a complex
cone as carriers for the symmetric tensor representations of S0(n).— J. Math. Phys., v. 18,
p. 1141.
Бардакси, Сударишн A961) (Bardakci K-, Sudarshan E. С G.), Local fields with terminating
expansions.— Nuovo Cim., v. 21, p. 722.
Бардакси, Шроер A966) (Bardakci K-, Schroer B.) Local approximation in reiiormalizable and
nonrenormalizable theories, I, II.— J. Math. Phys., v. 7, p. 10, 16.
574
Барут, Клайнергп A967) (Barut A. О., Kleinert H.) Current operators and Majorana equation
for the hydrogen atom from dynamical groups.— Phys. Rev., v. 157, p. 1180.
.Барут и др. A963) (Barut A. О., Muzinich I., Williams D. N.) Construction of invariant scatte-
scattering amplitudes for arbitrary spins and analytic continuation in total angular momentum.—
Phys. Rev., v. 130, p. 442.
Бауман A958) (Baumann K-) Retardierte Produkte und Bindungszustande.— Zs. Phys., Bd 152,
S. 448.
Бауман A975) (Baumann K-) When a field theory is a generalized free field.— Commun. Math.
Phys., v. 43, p. 211.
Бауман A982) (Baumann K-) All massless scalar fields with trivial 5-matrix are Wick polyno-
polynomials.—Commun. Math. Phys., v. 86, p. 247.
Белинфанте A939) (Belinfante F. J.) The undor equation of the meson field.— Physica, v. 6,
p. 870.
Белл A969) (Bell J. S.) Froissart bounds with any spin.— Nuovo Cim., v. 61A, p. 541.
Бенеке и др. A969) (Benecke J., Спои Т. Т., Yang С. N., Yen E.) Hypothesis of limiting fragmen-
fragmentation in high-energy collisions.— Phys. Rev., v. 188, p. 2159.
Бендер A981) (Bander M.) Theories of quark confinement,— Phys. Reports, v. 75, p. 205.
Бениофф, Экштейн A977) (Benioff P., Ekstein H.) Possible experimental test of local commuta-
tivity.— Phys. Rev., v. D15, p. 3563.
Берг, Вейс A978) (Berg В., Weisz P.) Exact S-matrix of the chiral invariant SU(N) Thirring
model.—Nucl. Phys., v. B146, p. 205.
Берг и др. A979) (Berg В., Karowski M., Weisz P.) Construction of Green's functions from an
exact 5-matrix.— Phys. Rev., v. D18, p. 2477.
Березанский Ю. M. A959) О разложении по собственным функциям самосопряженных операто-
операторов.— Укр. мат. журн., т. 11, № 1, с. 16.
Березанский Ю. М. A966), О самосопряженности полевых операторов и интегральных пред-
представлениях функционалов типа Уайтмана.— Укр. мат. журн., т. 18, № 3, с. 3.
Березин Ф. А. A967) Об одном представлении операторов с помощью функционалов.— Тр.
Моск. мат. о-ва, т. 17, с. 117.
Верезин Ф. А. A971) Невинеровские континуальные интегралы.— ТМФ, т. 6, с. 194.
Березин Ф. А., Сушке В. Н. A965) Релятивистская двумерная модель самовзаимодействующего
фермионного поля ненулевой массы покоя.— ЖЭТФ, т. 48, с. 1293.
Берже, Шимановский A982) (Berger M. С, Szymanowski L.) Classes of invariance and infrared
divergences in scalar electrodynamics.—Phys. Rev., v. D26, p. 3550.
Весараб-Xopeapi и др. A979) (Basarab-Horwath P., Streater R. F., Wright J.) Lorentz covariance
and kinetic charge.— Commun. Math. Phys., v. 68, p. 195.
?eccuc A966) (Bessis J. D.) On the connection between the zeros of the amplitude near t=0 and
the slope of the diffraction peak.— Nuovo Cim., v. 45A, p. 974.
Бессис, Глазер A967) (Bessis J. D., Glasser V.) An extention of the я-N and я-Л dispersion
relations.— Nuovo Cim., v. 50A, p. 568.
Нём A967) (B6hm\A.) Rigged Hilbert spaces and mathematical description of physical systems.—
In: Lectures in Theoretical Physics, v. IXA. Mathematical Methods of Theoretical Physics.
Summer Institute for Theoretical Physics, University of Colorado, Boulder A966) / Ed.
Brittin W. E., Barut A. O., Guenin M.—N.Y.: Gordon and Breach, p. 255—317.
?изоньяно, Вихман A975) (Bisognano J. J., Wichmann E. H.) On the duality condition for a
Hermitian scalar field.— J. Math., Phys., v. 16, p. 985.
Биленький С. М. A966) О возможном методе проверки СРТ-инвариантности в р — р-рассея-
нии.— Письма в ЖЭТФ, т. 3, с. 118.
-Биртер, Битар A969) (Bierter W., Bitar К. М.) On interacting local quantum fields describing
many masses and particles.— Nuovo Cim., v. 60A, p. 330.
?лейлер A950) (Bleuler K.) Eine neue Methode zum Behandlung der longitudinalen und skala-
ren Phototen.— Helv. Phys. Acta, v. 23, p. 567.
Блох, Нордсик A937) (Bloch F., Nordsieck A.) Note on the radiation field of the electron.—
Phys. Rev., v. 52, p. 54.
Блохинцев, Колеров A964) (BlokhinisevD. I., Kolerov G. I.) A causality and dispersion relations.—
Nuovo Cim., v. 34, p. 163.
Блум и др. A969) (BCD2M2TBFHK) High-energy inelastic e-p scattering at 6° and 10°.—
Phys. Rev. Lett., v. 23, p. 930.
Боголюбов H. H. A952) Уравнения в вариациях квантовой теории поля.— ДАН СССР, т. 82,
с. 217.
Боголюбов Н. Н. A955) Условие причинности в квантовой теории поля.— Изв. АН СССР.
Сер. физ., т. 19, с. 237.
Боголюбов Н. Н. A956) Доклад на Международном конгрессе по теоретической физике.—
Сиатл (не опубликован).
Боголюбов A958) (Bogoljubov N. N.) Uber die Verwendung von Variationsableitungen bei Prob-
lemen der statistischen Physik und der Quantentheorie der Felder.— Fortschr. Phys., Bd 6,
S. 426.
Боголюбов H. H. A961) Квазисредние в задачах статистической механики.— Дубна (Преп-
(Препринт / ОИЯИ: Д-781); [С7], с. 7—80.
.Боголюбов Н. Н. A967) Теория симметрии элементарных частиц.— В сб.: Физика высоких
энергий и теория элементарных частиц (Ялта, 1966).— Киев: Наукова думка, с. 5—112.
57
Боголюбов Н. И., Владимиров В. С. A958) Об аналитическом продолжении обобщенных функ-
функций.—Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 22, с. 15.
Боголюбов Н. Н., Владимиров В. С. A958—1959) Одна теорема об аналитическом продолжении
обобщенных функций.— Науч. докл. высш. шк. (физ.-мат. науки),'1958, № 3, с. 26; 1959,
№2, с. 179.
Боголюбов, Владимиров A959) (Bogoliubow N. N., Vladimirov V. S.) On some mathematical pro-
problems in quantum field theory.— In: Proc. of the International Congress of Mathematicians,
1958 / Ed. Todd J. A.— N.Y.: Cambridge University Press, p. 19—32.
Боголюбов H. H., Владимиров В. С. A971). Представления я-точечных функций.— Тр. МИАН,
т. 112, с. 5.
Боголюбов, Парасюк A957) (Bogoliubow N. N., Parasiuk О. A.) Uber die Multiplikation der Kau-
salfunktionen in der Quantentheorie der Felder.— Acta Math., Bd 97, S. 227.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. A955) Вопросы квантовой теории поля.— УФН, т. 55, с. 149.
Боголюбов Н. И., Ширков Д. В. A957) Дисперсионные соотношения для комптоновского рас-
рассеяния на нуклонах.—ДАН СССР, т. ИЗ, с. 529.
Боголюбов и др. A959) (Боголюбов Н. #., Логунов А. А., Ширков Д. В.) Метод дисперсионных
соотношений и теория возмущений.'— ЖЭТФ, т. 37, с. 805.
Боголюбов и др. A965) (Боголюбов Н. Н., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. Н.) К вопросу
о составных моделях в теории элементарных частиц.— Дубна (Препринт / ОИЯИ: Д-1968).
Боголюбов и др. A972) (Боголюбов Н. #., Владимиров В. С, Тавхелидзе А. Н.) Об автомодельной
асимптотике в квантовой теории поля, I, II.— ТМФ, т. 12, с. 3, 305.
Боголюбов и др. A983) (Bogoliubov N. N., Matveev V. A., Tavkhelidze A. N.) Colour
quarks.— In: Gravitation and Elementary Particle Physics/ Ed. LogunovfA. A.— T • Mir
p. 220-285. ¦ '
Бонгартс A977, 1982) (Bongaarts P. J. M.) Maxwell's equations in axiomatic quantum field'
theory, I. Field tensor and potentials.— J. Math. Phys., v. 18, p. 1510; II. Covariant and'
noncovariant gauges.— Ibid., v. 23, p. 1881.
Бор, Розенфельд A933) (Bohr N., Rosenfeld L.) Zur Frage der Messbarkeit der electromagneti-
schen Feldgrossen, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.— Fys. Medd., v. 12, № 8.
Бор, Розенфельд A950) (Bohr N., Rosenfeld L.) Field and charge measurements in quantum elect-
electrodynamics.— Phys. Rev., y. 78, p. 794.
Борхерс A960) (Borchers H. J.) Uber die Mannigfaltigkeit der interpolierenden Felder zu einer
kausaler S-Matrix.— Nuovo Cim., v. 15, p. 784.
Борхерс A961) (Borchers H. J.) Uber die Vollstandigkeit lorentzinvarianter Felder in einen
zeitartigen Rohre.— Nuovo Cim., v. 19, p. 787.
Борхерс A962) (Borchers H. J.) On structure of the algebra of field operators.— Nuovo Cim.,
v. 24, p. 214.
Борхерс A964) (Borchers H. J.) Field operators as %*> functions in spacelike dimensions.— Nuovo-
Cim., v. 33, p. 1600.
Борхерс A965a) (Borchers H. J.) On the structure of the algebra of field operators, II.— Com-
mun. Math. Phys., v. 1, p. 49.
Борхерс A9656) (Borchers H. J.) On the vacuum state in quantum field theory, II.—
Commun. Math. Phys., v. 1, p. 57.
Борхерс A966) (Borchers H. J.) Energy and momentum as observables in quantum field theory.—
Commun. Math. Phys., v. 2, p. 49.
Борхерс A972) (Borchers H. J.) Algebraic aspects of Wightman field theory.— In: Statistical
Mechanics and Field Theory/ Ed. Sen R.N. and Weil C— N.Y., p. 31—80.
Борхерс, Ингвасон A975) (Borchers H. J., Yngvason J.) On the algebra of field operators. The
weak commutant and integral decomposition of states.— Commun. Math. Phys., v. 42,
p. 231.
Борхерс, Полмайер A968) (Borchers H. J., Pohlmeyer K) Eine scheinbare Abschwachung der
Lokalitats-bedingung, II.— Commun. Math. Phys., v. 8, p. 259.
Борхерс, Циммерман A964) (Borchers H. J., Zimmermann W.) On the self-adjointness of field
operators.— Nuovo Cim., v. 31, p. 1047.
Борхерс и др. A963) (Borchers H. J., Haag R., Schroer B.) The vacuum state in quantum field
theory.— Nuovo Cim., v. 29, p. 148. jfg*
Брайджис и др. A979) (BrydgesD. С, Frohlich J., Seller E.) Diamagnetic and critical properties
of Higgs lattice gauge theories.— Nucl. Phys., v. B152, p. 521.
Брайджис и др. A981) (Brydges D. С, Frohlich J., Seller E.) On the construction of quantized
gauge fields, III. The two dimensional Abelian Higgs model without cutoffs.— Commun.
Math. Phys., v. 79, p. 353.
Брандт A970a) (Brandt R. A.) Field equations in quantum electrodynamics.— Fortschr. Phys.,
Bd 18, S. 249.
Брандт A9706) (Brandt R. A.) Electroproduction structure functions, integral representations
and light-cone commutators.— Phys. Rev., v. Dl, p. 2808.
Братен и др. A982) (Braaten E., Curtright Т., Thorn C.) Quantum Backlund transformation for
the Liouville theory.—Phys. Lett., v. 118B, p. 115.
Браудер A963) (Browder F. E.) On the «edge of the wedge» theorem.— Canad. J. Math., v. 15,
p. 125.
Брани и др. A975) (Bracci L., Morchio G., Strocchi F.) Wigner's theorem on symmetries in
indefinite metric spaces.— Commun. Math. Phys., v. 41, p. 289.
576
Брейденбах и др. A969) (BFKBCD2MT) Observed behavior of highly inelastic electron proton
scattering.—Phys. Rev. Lett., v. 23, p. 935.
Бремерман A954a) (Bremermann H. J.) Die Holomorphiehiillen der Tuben- und Halbtubengebi-
ete.— Math. Ann., Bd 127, S. 406. ..
Бремерман A9546) (Bremermann H. J.) Uber die Aquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und
der Holomorphiegebiete im Raum von n Komplexen Veranderlichen.— Math. Ann., Bd 128,
S. 63.
Бремерман A956) (Bremermann H. J.) Complex convexity.— Trans. Amer. Math. Soc, v. 82,
p. 17.
Бремерман и др. A958) (Bremermann H. J., Oehme R., Taylor J. G.) A proof of dispersion rela-
relations in quantized field theories.— Phys. Rev., v. 109, p. 2178.
Брениг, Хааг A959) (Brenig W., Haag R.) Allgemeine Quantentheorie der Stossprozesse.— Fort-
schr. Phys., Bd 7, S. 183.
Брос A965) (Bros J.) Axiomatic field theory.— In: Elementary Particles and High Energy Phy-
Physics.— Vienna, p. 85—120.
Брос A970) (Bros J.) Some analyticity properties implied by the two-particle structure of Green's
functions in general quantum field theory.— In: Analytic Methods in Mathematical Physics /
Ed. Gilbert R., P., Newton R. G.—N.Y. e.a.: Gordon and Breach, p. 85—133.
Брос, Лассаль A975) (Bros J., Lassalle M.) Analyticity properties and many-particle structure
in general quantum field theory, II. One particle irreducible «-point functions.— Commun.
Math. Phys., v. 43, p. 279.
Брос и др. A961) (Bros J., Messiah A., Stora R.) A problem of analytic completion related to
the Jost — Lehmann — Dyson formula.— J. Math. Phys., v. 2, p. 639.
Брос и др. A964) (Bros J., Epstein #., Glasser V.) Some rigorous analyticity properties of the
four-point function in momentum space.— Nuovo Cim., v. 31, p. 1264.
Брос и др. A965) (Bros J., Epstein H., Glaser V.) A proof of the crossing property for two-particle
amplitudes in general quantum field theory.— Commun. Math. Phys. v. 1, p. 240.
Брос и др. A966) (Bros J., Itzykson C., Pham F.) Representations integrates de fonctions analy-
tiques et formule de Jost — Lehmann — Dyson.— Ann. Inst. H. Poincare, t. A5, p. 1.
Брос и др. A967) (Bros J., Epstein H., Glaser V.) On the connection between analyticity and
Lorentz covariance of Wightman functions.— Commun. Math. Phys., v. 6, p. 77.
Брос и др. A972) (Bros J., Glaser V., Epstein H.) Local analyticity properties of the n-particle
scattering amplitude.— Helv. Phys. Acta, v. 45, p. 149
Брюа A956) (Bruhat F.) Sur les representations induites des groupes de Lie.— Bull. Soc. Math.
France, t. 89, p. 97.
Брюнинг A971) (Bruning E.) Uber das Holomorphiegebiet der Vier-Punkt-Funktion.— Com-
Commun. Math. Phys., v. 23, p. 231.
Брюнинг A978) (Briinning E.) On the characterization of relativistic quantum field theories in
terms of finitely many vacuum expectation values, I, II.— Commun. Math. Phys., v. 58,
p. 139, 166.
Брюнинг, Штихель A974) (Brunning E., Stichel P.) On the equivalence of scaling, light-cone
singularities and asymptotic behaviour of the Jost —• Lehmann spectral function.— Commun.
Math. Phys., v. 36, p. 137.
Будит A968) (Budini P.) Majorana equation for composite systems.— В сб.: Вопросы теории
элементарных частиц. Тр. Междунар. семинара по теории элементарных частиц (Варна,
1968).—Дубна, с. 214—228.
Булинский А. В. A969) Теорема Голдстоуна в аксиоматических формулировках.— Вестн. МГУ.
Сер. 3, Физика, № 2, с. 75.
Бульвар и др. A970) (Bulware D. G., Brown L. S., Peccei R. D.) Deep inelastic electroproduction
and conformal symmetry.— Phys. Rev., v. D2, p. 293.
Бургойн A958) (Burgoyne N.) On the connection of spin with statistics.—• Nuovo Cim., v. 8,
p. 607.
Бухгольц A975) (Buchholz D.) Collission theory for massless fermions.— Commun. Math. Phys.,
v. 42, p. 269.
Бухгольц A977) (Buchholz D.) Collission theory for massless bosons.— Commun. Math. Phys.,
v. 52, p. 147.
Бухгольц A982) (Buchholz D.) The physical charged space of quantum electrodynamics.— Com-
Commun. Math. Phys., v. 85, p. 49.
Бухгольц, ФреденХаген A979) (Buchholz D., Fredenhagen K-) Charge screening and mass spectrum
in abelian gauge theories.— Nucl. Phys., v. B154, p. 226.
Бушнин и др. A969) (BD3GKiP^RS2) Negative particle production at the 70 GeV IHEP accele-
accelerator.—Phys. Lett., v. 29B, p. 48.
Бьёркен A968) (Bjorken J. D.) Current algebra at small distances.— In: Selected Topics in Par-
Particle Physics. Scuola Intern, di Fisica «Enrico Fermi», corso 41 (Varenna, 1967).— N.Y.,
L.: Academic Press, p. 55—81.
Бьёркен A969) (Bjorken J. D.) Asymptotic sum rules at infinite momentum.— Phys. Rev.,
v. 179, p. 1547.
Бюмерштеде, Люкке A974) (Bummerstede J., Liicke W.) Haag-Ruelle-Hepp scattering formalism
for essentially local nonlocalizable fields.— Commun. Math. Phys., v. 37, p. 121.
Бялыницки-Бируля A976) (Bialynicki-Birula I.) Charge conservation and gauge invariance.—
In: Mathematical Physics and Physical Mathematics / Ed. Maurin K, Rqszka R.— Warszawa:
PWN, p. 39—51.
577
Вайдлих A963) (Weidlich W.) On the inequivalent representations of canonical commutation re-
relations in quantum field theory.— Nuovo Cim., v. 30, с 803.
Вайнберг A961) (Weinberg S.) Cross sections and high energies.— Phys. Rev., v. 124, с 2049;.
Вайнберг A964a) (Weinberg S.) Feynman rules for any spin.— Phys. Rev., v. 133B, p. 1318.
Вайнберг A9646) (Weinberg S.) Feynman rules for any spin, if. Massless particles.—• Phys..
Rev., v. 134B, p. 882.
Вайнберг A973) (Weinberg S.) General theory of broken local symmetries.— Phys. Rev., v.
D7, p. 1068.
Вайнберг A979) (Weinberg S.) Cosmological production of baryons.— Phys. Rev. Lett., v.
42, p. 850.
Васильев A. H. A966) Нарушение симметрии в схеме аксиоматики Уайтмана.— ЖЭТФ, т. 50„
с. 954.
Васильев А. Н. A970) О теории представлений топологической (не банаховой) алгебры с инво-
инволюцией.— ТМФ, т. 2, с. 153.
Васильев А. Н. A973) Следствия выпуклости преобразований Лежандра (обобщенная теорема
Голдстоуна).— ТМФ, т. 15, с. 320.
Вегнер A971) (Wegner F.) Duality in generalized Ising models and phase transitions wit-
without order parameters.— J. Math. Phys., v. 12, p. 2259.
Вейль A918) (Weyl H.) Gravitation und Elekrizitat. Sitzungsberichte der Konigl.— Preuss. Ak.
Wiss., Bd 26, S. 465.
Вейль A929) (Weyl H.) Electron und Gravitation, I.—Zs. Phys., Bd 56, S. 330.
Венециано A968) (Veneziano G.) Construction of crossing-symmetric Regge-behaved amplitude
for linearly rising trajectories.— Nuovo Cim., v. 57A, p. 190.
Венециано A974) (Veneziano G.) An introduction to dual models of strong interactions and their
physical motivations.— Phys. Reports, v. 9C, p. 199.
Венециано A982) (Veneziano G.) Quantum chromodynamics.— In: From Nuclei to Particles,
Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi», corso 79.— Amsterdam e. a.: North-Holland,,
p. 304—317.
Верное Ю. С. A967) Асимптотика амплитуды упругого рассеяния и отношение ее веществен-
вещественной и мнимой части.— ЖЭТФ, т. 53, с. 191.
Верное Ю. С. A970) Соотношения между амплитудами упругого рассеяния вперед между час-
частицами и античастицами при конечных энергиях.— ТМФ, т. 4, с. 3.
Верное Ю. С. A973а) Аналитичность и свойства амплитуд упругого ve-, ve-рассеяния при высо-
высоких энергиях.— ТМФ, т. 16, с. 423.
Верное Ю. С. A9736) Ограничения снизу на амплитуду упругого рассеяния вперед.— ТМФГ
т. 17, с. 199.
Весе A976) (Wess J.) Supersymmetry.— Acta Physica Austriaca, Suppl., № 15, p. 475.
Becmyomep A967) (Westwater M. J.) Cuspidal points on Landau singularities.— Helv. Phys.
Acta, v. 40, p. 389.
Вигнер A939) (Wigner E. P.) On unitary[representations of the inhomogeneous Lorentz group.—
Ann. of Math., v. 40. p. 149.
Вигнер A950) (Wigner E. P.) Do the equations of motion determine the quantum mechanical
commutation relations? — Phys. Rev., v. 77, p. 711.
Вигнер A960a) (Wigner E. P.) Normal form of antiunitary operators.— J. Math. Phys., v. lr
p. 409.
Вигнер A9606) (Wigner E. P.) Phenomenological distinction between unitary and antiunitary
symmetry operators.—¦ J. Math. Phys., v. 1, p. 414.
Вигнер A963) (Wigner E. P.) Invariant quantum mechanical equations of motion.— In: Theore-
Theoretical Physics. Lectures at Trieste Seminar, 1962.— Vienna: IAEA, p. 59—82.
Вигнер A964) (Wigner E. P.) Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group in-
including reflections.— [Г13], p. 37—80.
Визимирски A966) (Wizimirski Z.) On the existence of the field of operators in the axiomatic
quantum field theory.—• Bull, de l'Acad. Polon. Sci., Serie des sciences math., astr. et phys.,
t. 14, p. 91.
Вик A962) (Wick G. C.) Angular momentum states for three relativistic particles.— Ann. of
Phys., v. 18, p. 65.
Вик A966) (Wick G. C.) On symmetry transformations.— In: Preludes in Theoretical Physics,,
in Honor of V. F. Weisskopf/Ed. De—Shalit A., Feshbach H., van Hove L.— Amsterdam:
North-Holland, p. 231—239.
Вик A967) (Wick G. C.) Discrete symmetry problems.— В сб.: Физика высоких энергий и тео-
теория элементарных частиц. Междунар. школа по теорет. физике (Ялта, 1966).— Киев:
Наукова думка, с. 227—236.
Вик и др. A952) (Wick G. С, Wightman A. S., Wigner E. P.) The intristic parity of elementary
particles.—Phys. Rev., v. 88, p. 101.
Вильсон A974) (Wilson K-) Confinement of quarks.— Phys. Rev., v. D10, p. 2445.
Вильсон, Циммерман A972) (Wilson K-, Zmimermann W.) Operator product expansions and com-
composite field operators in the general framework of quantum field theory.— Commun. Math.
Phys., v. 24, p. 87.
Вильяме A963) (Williams D. N.) Lawrence Radiation Laboratory Report. UCRL-11113.
Виноградски A957) (Winogradzki J.) Spineurs du second rang a composantes invariantes et for-
malisme spinoriel incluant les parities.— J. Phys. Rad., v. 18, p. 387.
578
Виноградски A958) (Winogradzki J.) La representation spinorielle du groupe de Lorentz gene-
general.—Cahiers de Physique, v. 12, p. 261.
Виноградски A959) (Winogradzki J.) Sur la conjugaison de charge et deux transformations ana-
analogues.— Compt. Rend., v. 248, p. 1480.
Bucc A972) (Wyss W.) The field algebra and its positive linear functionals.— Commun. Math.
Phys., v. 27, p. 223.
Bucc A973) (Wyss W.) Quantum field theory in terms of sesquilinear forms.— J. Math. Phys.,
v. 14, p. 1271.
Вицорек и др. A973) (Вицорек Э., Матвеев В- А., Робиишк Д., Тавхелидзе А- Н.) Автомодель-
ность и асимптотика на поверхности масс на основе представления Дайсона — Йоста —
Лемана.—ТМФ, т. 16, с. 315.
Владимиров В. С. A960) О построении оболочек голоморфности для областей специального
вида.—ДАН СССР, т. 134, с. 251.
Владимиров В- С. A962) О теореме «острие клина» Боголюбова.— Изв. АН СССР. Сер. мат.,
т. 26, с. 825.
Владимиров В- С. A968) Обобщенные функции с носителями, ограниченными со стороны вы-
выпуклого конуса.— Сиб. мат. журн., т. 9, с. 1238.
Владимиров В. С. A969) Обобщение интегрального представления Коши — Бохнера.— Изв.
АН СССР. Сер. мат., т. 33, с. 90.
Владимиров В- С. A972) О представлении Коши — Бохнера.— Изв. АН СССР. Сер. мат.,
т. 36, с. 534.
Владимиров В- С. A973а) Аналитические функции многих комплексных переменных и кванто-
квантовая теория поля.— [С7], с. 392—410.
Владимиров В- С. A9736) Преобразование Лапласа обобщенных функций медленного роста.—
В сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.— М.: ВИНИТИ,
т. 1, с. 61—84.
Владимиров В. С, Жаринов В. В. A970) О представлении типа Йоста — Лемана — Дайсона.—
ТМФ, т. 3, с. 305.
Владимиров В. С, Завьялов Б. И. A979) О тауберовых теоремах в квантовой теории поля.—
ТМФ, т. 40, с. 155.
Владимиров В. С., Завьялов Б. И. A980) Тауберовы теоремы в квантовой теории поля.— В сб.:
Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.— М.: ВИНИТИ, т. 15,
с. 95—130.
Владимиров В. С, Завьялов Б. И. A982) Автомодельные асимптотики причинных функций и их
поведение на световом конусе.— ТМФ, т. 50, с. 163.
Владимиров В. С, Логунов А. А. A959) Об аналитических свойствах обобщенных функций кван-
квантовой теории поля.— Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 23, с. 661.
Волков и др. A969) (Волков Г. Г., Ежела В. В., Меспгвиришвили М. А.) Нижняя граница убы-
убывания формфакторов.— ЯФ, т. 9, с. 857.
Волков и др. A970) (Волков Г. Г., Логунов А. А., Мествиришвили М. А.) О равенстве полных
сечений взаимодействия частиц и античастиц при высоких энергиях.— ТМФ, т. 4,
с. 196.
Волков Д. В. A959) О квантовании полей с полуцелым спином.— ЖЭТФ, т. 36, с. 1560.
Волков Д. В. A960) 5-матрица в обобщенном методе квантования.— ЖЭТФ, т. 38, с. 518.
Волович И. В., Сушко В. Н. A971) Конструктивная теория поля; взаимодействие Сфуф)! — мо-
модель Тирринга, I. Локальное поле. — ТМФ, т. 9, с. 211.
By A961) (Wu Т. Т.) Domains of definition for Feynman integral over real Feynman parame-
parameters.—Phys. Rev., v. 123, p. 678.
Галиндо, Индюрен A963) (Galindo A., Yndurain F. J.) On parastatistics.— Nuovo Cim., v. 30,
p. 1040.
Галь-Эзер, Pee A974) (Gal-Ezer ?., Reeh H.) Coleman and Coleman — Okubo theorems in relati-
vistic quantum field theory.—Fortschr. Phys., Bd 22, S. 481.
Галь-Эзер, Pee A975) (Gal-Ezer E., Reeh H.) Charges as intervals over densities: an alternative
formulation of Coleman's theorem.— Commun. Math. Phys., v. 43, p. 137.
Ганчев, Палев A980) (Gantchev A., Palev T.) A Lie superalgebraic interpretation of the
para-Bose statistics.— J. Math. Phys., v. 21, p. 797.
Гарбер A975) (Garber W. D.) The connection of duality and causal properties for generalized free
fields.—Commun. Math. Phys., v. 42, p. 195.
Гарбер, Pee A976) (Garber W. D., Reeh H.) Non-translationally covariant currents and associated
symmetry generators (Preprint / Gottingen).
Гатто A967) (Gatto R.) New sum rules from superconvergence.— Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 803.
Гачок В. П. A961) Одно обобщение теоремы Хаага.— Укр. мат. журн., т. 13, с. 22.
Гачок В. П. A965) О проблеме моментов в квантовой теории поля.— ДАН СССР, т. 165, с. 506.
Гачок A966а) (Gachok V. P.) Quasi-analytic functionals and self-adjointness of field ope-
operators.— Nuovo Cim., v. 45, p. 158.
Гачок A9666) (Gachok V. P.) A description of all self-adjoint extensions of the field operators.—
Киев (Препринт / ИТФ: 66-5).
Гейзенберг A943) (Heisenberg W.) Die «Beobachtbaren Grossen» in der Theorie der Elementar-
teilchen.—Zs. Phys., Bd 120, S. 513.
Гейзенберг A952) (Heisenberg W.) Mesonerzeugung als StofWellenproblem.— Zs. Phys., Bd
133, S. 65.
579
Гелл-Ман и др. A954) (Gell-Mann М., Ooldberger M. L., Thirring W.) Use of causality con-
conditions in quantum theory.— Phys. Rev., v. 95, p. 1612.
Гельфанд И. М., Костюченко А. Г. A955) О разложении по собственным функциям дифферен-
дифференциальных и других операторов.— ДАН СССР, т. 103, с. 349.
Гельфанд И. М., Яглом А. М. A948а) Общие релятивистски-инвариантные уравнения и бес-
бесконечномерные представления группы Лоренца.— ЖЭТФ, т. 18, с. 703.
Гельфанд И. М.,Дглом А. М. A9486) Теорема Паули для общих релятивистски-инвариантных
уравнений.—ЖЭТФ, т. 18, с. 1094.
Генен A966а) (Guenin M.) On the interaction picture.— Commun. Math. Phys., v. 3, p. 120.
Генен A9666) (Guenin M.) Algebraic methods in quantum field theory.— In: Lectures in Theore-
Theoretical Physics. A. Lectures delivered at the Summer Institute for Theoretical Physics (Univer-
(University of Colorado, Boulder, 1966) / Ed. Barut A. O., Brittin W. E., Guenin M.— Boulder:
The Colorado University Press, v. 9, p. 187—253.
Генен, Вело A967) (Guenin M., Velo G.) Automorphisms and broken symmetries in algebraic qu-
quantum field theories.— Nuovo Cim., v. 47A, p. 36.
Генен, Mucpa A963) (Guenin M., Misra B.) On the von Neumann algebras generated by field
operators.— Nuovo Cim., v. 30, p. 1272.
Гертин A971) (Guertin R. F.) Theorem on invariant amplitudes.—J. Math. Phys., v. 12,
p. 612.
Гийо, Пети A966) (Guillot J. C, Petit J. L.) Nouvelles formes des representations unitaires ir-
reductibles du groupe de Poincare, I, II.— Helv. Phys. Acta, v. 39, p. 281, 300.
Глазер A958) (Glaser V.) An explicit solution of the Thirring model.— Nuovo Cim., v. 9, p. 990.
Глаэер A974) (Glaser V.) On the equivalence of the Euclidean and Wightman formulations of
field theory.—Commun. Math. Phys., v. 37, p. 257.
Глазер и др. A957) (Glaser V., Lehmann H., Zimmermann W.) Field operators and retarded fun-
functions.—Nuovo Cim., v. 6, p. 1122.
Глушков В. М. A957) Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта.—
УМН, т. 12, с. 3.
Говорков А. Б. A967) Замечание о пара- и суперстатистиках.— В сб.: Физика высоких энергий
и теория элементарных частиц, Междунар. школа по теорет. физике (Ялта, 1966).— Киев:
Наукова думка, с. 770—777.
Говорков А. Б. A977) Цветные степени свободы в физике адронов.— ЭЧАЯ, т. 8, с. 1056.
Говорков А. Б. A979) Унитарное квантование.— ТМФ, т. 41, с. 318.
Говорков А. Б. A982) Парастатистика и калибровочные симметрии.— ТМФ, т. 53, с. 283.
Говорков А. Б. A983) Парастатистика и внутренние симметрии.— ЭЧАЯ, т. 14, с. 1229.
Голдберг A969) (Goldberg И.) Remark on the «types» of the elementary particles.— Nuovo Cim.,
v. 60A, p. 509.
Голдстоун A961) (Goldstone J.) Field theories with «superconductor» solutions.— Nuovo Cim.,
v. 19, p. 154.
Голдстоун и др. A962) (Goldstone J., Salam A., Weinberg S.) Broken symmetries.— Phys. Rev.,
v. 127, p. 965.
Голодец В. Я- A969) Классификация представлений антикоммутационных соотношений.—
УМН, т. 24, №4, с. 3.
Голубева В. А. A976) Некоторые вопросы аналитической теории фейнмановских интегралов.—
УМН, т. 31, с. 135.
Гольдбергер A955) (Goldberger M. L.) Causality conditions and dispersion relations, I. Boson fi-
fields.— Phys. Rev., v. 99, p. 979.
Гольдбергер A960) (Goldberger M. L.) Introduction to the theory and applications of dis-
dispersion "relations.— [PI], p. 15—158.
Гольдбергер, Трейман A958) (Goldberger M. L., Treiman S. B.) Decay of the pi meson.— Phys.
Rev., v. 110, p. 1178.
Гольдбергер и др. A955) (Goldberger M. L., Miyazawa H., Oheme R.) Applications of dispersion
relations to pion-nucleon scattering.— Phys. Rev., v. 99, p. 986.
Гординг A944) (Garding L.) On a class of linear transformations connected with group representa-
representations.— Medd. Lunds Mat. Sem., v. 6.
Гординг, Лион A959) (Garding L., Lions J. L.), Functional Analysis.— Suppl. Nuovo Cim.,
v. 14, p. 9.
Гординг, Уайтман A954a) (Garding L., Wightman A. S.) Representations of the anticommuta-
tion relations.— Proc. Nat. Acad. Sci., v. 40, p. 617.
Гординг, Уайтман A9546) (Garding L., Wightman A. S.) Representations of the commutation
relations.— Proc. Nat. Acad. Sci., v. 40, p. 622.
Граверт и др. A959) (GrawertG., LudersG., Rollnik H.) The TCP theorem and its applications.—
Fortschr. Phys., v. 7, p. 291 (русский перевод: УФН, т. 71 A960), с. 289).
Грибов В. Н. A962а) Парциальные волны с комплексными орбитальными моментами и асимпто-
асимптотическое поведение амплитуды рассеяния.— ЖЭТФ, т. 41, с. 1962.
Грибов В. Н. A9626) Аналитические свойства амплитуд парциальных волн и асимптотическое
поведение амплитуды рассеяния.— ЖЭТФ, т. 42, с. 1260.
Грин A953) (Green H. S.) A generalized method of field quantization.— Phys. Rev., v. 90, p. 270.
Гринберг A959) (Greenberg O. W.) Haag's theorem and closed operators.— Phys. Rev., v. 115,
p. 706.
Гринберг A961) (Greenberg O. W.) Generalized free fields and models of local field theory.— Ann.
of Phys., v. 16, p. 158.
580
Гринберг A962) (Greenberg 0. W.) Heisenberg fields which vanish on domains of momentum
space.—J. Math. Phys., v. 3, p. 859.
Гринберг A964) (Greenberg 0. W.) Spin and unitary-spin independence in a paraquark model of
baryons and mesons.— Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 598.
Гринберг A966) (Greenberg 0. W.) Parafield theory.— In: Mathematical Theory of Elementary
Particles (Conference, Dedham (Mass.), 1965) / Ed. Goodman R., Segal I.— Cambridge
(Mass.): M.I.T. Press, p. 29—44.
Гринберг, Jluxtn A963) (Greenberg 0. W., Licht A. L.) Quantum field-theory model whose trun-
truncated vacuum expectation values vanish beyond some order.— J. Math. Phys., v. 4, p. 613.
Гринберг, Jloy A961) (Greenberg 0. W., Low E. F.) Limit on high-energy cross section from ana-
lyticity in Lehmann ellipses.— Phys. Rev., v. 124, p. 2047.
Гринберг, Meccua A964) (Greenberg 0. W., Messiah A.M.L.) Symmetrization postulate and its
experimental formulation.— Phys. Rev., v. 136B, p. 248.
Гринберг, Meccua A965) (Greenberg 0. W., Messiah A.M.L.) Selection rules parafields and the
absence of paraparticles in nature.— Phys. Rev., v. 138B, p. 1155.
Гринберг, Нельсон A977) (Greenberg О. W., Nelson C. A.) Color models of hadrons,— Phys. Re-
Reports, v. 32C, p. 70.
Гродский, Cmpumep A968) (Grodsky I. T., Streater R.F.) No-go theorem.—Phys. Rev. Lett.,
v. 20, p. 695.
Гросс, Весе A970) (Gross D. J., Wess J.) Scale invariance and the high energy behaviour of scatter-
scattering amplitude.— Phys. Rev., v. D2, p. 753.
Гроссман A965) (Grossmann A.) Hilbert space of type S.— J. Math. Phys., v. 6, p. 54.
Гроссман A966) (Grossmann A.) Elementary properties of nested Hilbert spaces.— Commun.
Math. Phys., v. 2, p. 1.
Гроссман A967) (Grossmann A.) Fields at a point.— Commun. Math. Phys., v. 4, p. 203.
Гротендик A955) (Grothendieck A.) Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires.—Mem,
Am. Math. Soc, № 16.
Гупта A950) (Gupta S. N.) Theory of longitudinal photons in quantum electrodynamics.— Proc.
Phys. Soc, v. A63, p. 681.
Гуральник и др. A964) (Guralnik G. S., Hagen С R., Kibble T. W.) Global conservation laws
and massless particles.-— Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 585.
Гурден A967) (Gourdin M.) TCP invariance, time-reversal invariance and K-meson decay.
Lectures given at Third Tokyo Summer Institute, 1967 (Preprint / Orsay).
Гуцвиллер A980—1981) (Gutzwiller M. C.) The quantum mechanical Toda lattice.—Ann. of
Phys., v. 124 A980), p. 347; II. Ibid., v. 133 A981), p. 304.
Гюрсей A964) (Giirsey F.) Introduction to group theory.— In: Relativity, Groups and Topology,
Summer School of Theoretical Physics (Les Houches, 1963) / Ed. de Witt C, de Witt В.,
N.Y.: Gordon and Breach, p. 89-—161 (русский перевод: В сб.: Введение в теорию групп.—•
М.:Мир, 1967, с. 25—113).
Гюттингер A966) (Giitt inger W.) Generalized functions and dispersion relations in physics.—
Fortschr. Phys., Bd 14, S. 483.
Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. A978) Алгебры наблюдаемых свободного поля Дирака.— ТМФ»
т. 36, с. 166.
Дадашян К- Ю., Хоружий С. С. A981) Условные ожидания на алгебрах фон Неймана и при-
причинная независимость квантовых полей.— ТМФ, т. 46, с. 147.
Дадашян К- Ю., Хоружий С. С. A983) О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной
метрикой.— ТМФ, т. 54, с. 57.
Дайсон A949) (Dyson F. J.) The radiation theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman.—
Phys. Rev., v. 75, p. 486.
Дайсон A958a) (Dyson F. J.) On the connection of weak local commutativity and regularity of
Wightman functions,— Phys. Rev., v. 110, p. 579.
Дайсон A9586) (Dyson F. J.) Integral representations of causal commutators.— Phys. Rev.,
v. 110, p. 1460.
Данилов и dp. A980) (Данилов Г. С, Дятлов И. Т., Петров В. Ю.) Конфигурации поля с то-
топологическим числом и механизм экранирования заряда в двумерной безмассовой электро-
электродинамике; гамильтонова формулировка.— ЖЭТФ, т. 79, с. 2017.
Данилов и др. A982) (Данилов Г. С, Дятлов И. Т., Петров В. Ю.) Структура вакуумных со-
состояний и механизм экранирования заряда в двумерной безмассовой электродинамике.—
ЖЭТФ, т. 83, с. 859.
аниэль, Виалле A980) (Daniel M., Viallet С. М.) The geometrical setting of gauge theories
of the Yang —Mills type.— Rev. Mod. Phys., v. 52, p. 175.
аффин A938) (Duffin R. J.) On the characteristic matrices of covenant systems.— Phys. Rev.,
v. 54, p. 1114.
ашен и др. A975) (Dashen R. F., Hasslacher В., Neveu A.) Particle spectrum in model field'
theories from semiclassical functional integral techniques.— Phys. Rev. v. Dll, p. 3424.
е-Анжелис и др. A978) (De Angelis G. F., De Falco ?>., Guerra F.) Note on the Abelian Higgs —
Kibble model on a lattice: absence of spontaneous magnetization.— Phys. Rev., v. D17,
p. 1624.
Дезер и dp. A959) (Deser S., Gilbert W., Sudarshan E.C.G.) Structure of the vertex function.—
Phys. Rev., v. 115, p. 731.
Дел'Антонио A961a) (Dell' Antonio G. F.) Support of a field in p-space,— J. Math. Phys.,
v. 2, p. 759.
58!
Дел'Антонио A9616) (DeW Antonio G. F.) On the connection between spin and statistics.—
Ann. of Phys., v. 16, p. 153.
Дел'Антонио A967) (DeW Antonio G. F.) Restriction on the integrals of local currents.— Nuovo
Cim., v. 47A, p. 1.
Дел'Антонио A968) (Dell' Antonio G. F.) Structure of the algebras of some free systems.— Com-
mun. Math. Phys., v. 9, p. 81.
Дел'Антонио и dp. A964) (DeW Antonio G. F., Greenberg 0. W., Sudarshan E.C.G.) Parastati-
stics: axiomatic formulation, connection with spin and statistics and TCP theorem for a ge-
general field theory.— [Г13], p. 403—407.
Дел'Антонио и dp. A972) (DeW Antonio G. F., Frishman Y., Zwanziger D.) Thirring model in
terms of currents: solution and light-cone expansion.— Phys. Rev., v. D6, p. 988.
Дельбурго и dp. A967) (Delbourgo E., Rashid M. A., Salam A., Strathdee J.) Green's functions
for Regge trajectories.— Phys. Lett., v. 25B, p. 475.
Джаффе A966) (Jaffe A.) Form factors at large momentum transfer.— Phys. Rev. Lett., v. 17,
p. 661.
Джаффе A967) (Jaffe A.) High energy behavior in quantm field theory, I. Strictly localizable
fields.— Phys. Rev., v. 158, p. 1454.
Джин A959) (Jin Y.S.) Dispersion relations for associated production.— Nuovo Cim., v. 12,
p. 445.
Джин, Макдоуэл A965) (Jin Y. S., Macdowell S.) Phase representation of the forward scattering
amplitude,— Phys. Rev., v. 138B, p. 1279.
Джин, Мартен A964a) (Jin Y. S., Martin A.) Connection between the asymptotic behavior
and the sign of the discontinuity in one-dimensional dispersion relations.— Phys. Rev.,
v. 135B, p. 1369.
Джин, Мартен A9646) (Jin Y. S., Martin A.) Number of subtractions in fixed-transfer disper-
dispersion relations,— Phys. Rev., v. 135B, p. 1375.
Джонсон A961) (Johnson K-) Solution of the equations for Green's functions of a two-dimensio-
two-dimensional relativistic field theory.— Nuovo Cim., v. 20, p. 773.
Джорджадзе и др. A979) (Джорджадзе Г. П., Погребков А. К-, Поливанов М. К-) Сингулярные
решения уравнения П<р+т2/2 ехр <р=0 и динамические особенности.— ТМФ, т. 40, с. 221.
Дирак A942) (Dirac P.A.M.) The physical interpretation of quantum mechanics.— Proc. Roy.
Soc, v. A180, p. 1.
Дирак A955) (Dirac P.A.M.) Gauge invariant formulation of quantum electrodynamics.—
Canad. J. Phys., v. 33, p. 650.
Дирак A971) (Dirac P.A.M.) A positive-energy relativistic wave equation.—¦ Proc. Roy Soc,
v. A322, p. 435.
Дирак A972) (Dirac P. A. M.) A positive — energy relativistic wave equation, II.— Proc. Roy.
Soc, v. A328, p. 1.
Докшицер и dp. A980) (Dokshitzer Yu. L., DiakonovD. I., Troyan S. I.) Hard processes in quan-
quantum chromodynamics.— Phys. Reports, v. 58, p. 269.
Доплихер A965) (Doplicher S.) An algebraic spectrum condition.— Commun. Math. Phys.,
v. 1,. p. 1.
Доплихер, Роберте A972) (Doplicher S., Roberts J. E.) Fields,*statistics and non-abelian gauge
groups.—Commun. Math. Phys., v. 28, p. 331.
Доплихер и dp. A969) (Doplicher S., Haag R., Roberts J. E.) Fields, observables and gauge trans-
transformations, I, II.—Commun. Math. Phys., v. 13, p. 1; v. 15, p. 173.
Доплихер и dp. A971, 1974) (Doplicher S., Haag R., Roberts J. E.) Local observables and partic-
particle statistics, I, II,— Commun. Math. Phys., 1971, v. 23, p. 199; 1974, v. 35, p. 49.
Дориа A981) (Doria F. A.) The geometry of gauge field copies.— Commun. Math. Phys., v. 79,
p. 435.
Дрюль и dp. A970) (Druhl K., Haag R., Roberts J. E.) On parastatistics.— Commun. Math.
Phys., v. 18, p. 204.
Д'Хокер, Джеков A982) (D'Hoker E., Jackiw R.) Classical and quantum Liouville field theory.—
Phys. Rev., v. D26, p. 3517.
Дьяконов В. Ю., Рочев В. Е. A977) Аналитические свойства инклюзивного сечения по cos 9
в лестничной модели с асимптотически постоянным полным сечением.— ТМФ, т. 32, с. 131.
Дэвис A970) (Davies E. В.) On the repeated measurements of continuous observables in quantum
mechanics.—J. Funct. Anal., v. 6, p. 318.
Дэвис, Льюис A970) (Davies E. В., Lewis J. T.) An operational approach to quantum probabili-
probability.—Commun. Math. Phys., v. 17, p. 239.
Ежела В. В. A971) Аналитические свойства амплитуд и дифференциальных сечений процес-
процессов множественного рождения по двум угловым переменным.—¦ Серпухов (Препринт /
ИФВЭ: СТФ 71-36).
Ежела В. В. A980) Интегральные представления разложений по функциям Вигнера.— ТМФ,
т. 44, с. 138.
Ежела В. В., Мествиришвили М. А. A971) Ограничения на рост амплитуд бинарных процес-
процессов.— ТМФ, т. 7, с. 195.
Ежела и dp. A971) (Ежела В. В., Логунов А. А., Мествиришвили М. А.) Условие унитарности
и убывание дифференциального сечения процесса множественного рождения с ростом
энергии.— ТМФ, т. 6, с. 42.
Ежела и dp. A973) (Ежела В. В., Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Петров В. А.) Инк-
Инклюзивные процессы при высоких энергиях.— ТМФ, т. 15, с. 153.
582
Енни и др. A961) (YennieD. R., Frautschi S. С, Suura Н.) The infrared divergence phenomena
and high-energy processes.— Ann. of Phys., v. 13, p. 379.
Ефимов A968) (Efimov G. V.) On a class of relativistic invariant distributions.— Commum.
Math. Phys., v. 7, p. 138.
Ефремов A968/69) (Efretnov A. V.) On the Lie fields.— [A2], p. 98—109.
Жакоб, Вик A959) (Jacob M., Wick G. C.) On the general theory of collisions for particles withi
spin.— Ann. of Phys., v. 7, p. 404.
Жаринов В. В. A971) О представлении Наканиши.— ТМФ, т. 6, с. 151.
Желобенко Д. П. A968) Анализ неприводимости в классе элементарных представлений полу-
полупростой комплексной группы Ли.— Изв. АН СССР. Сер. мат., т. 32, с. 108.
Жэрвэ, Индюрен A967—1968) (Gervais J.-L., Yndurain F.) New criterion of non-oscilating:
high-energy behavior of scattering amplitudes.— Phys. Rev., 1967, v. 167, p. 1289; II. Appli-
Applications.—Ibid., 1968, v. 169, p. 1187.
Жэрвэ, Неве A983) (Gervais J.-L., Neveu A.) New quantum treatment of Liouville field theory.—
Nucl. Phys., v. B224, p. 329.
Жэрвэ, Цванцигер A980) (Gervais J.-L., Zwanziger D.) Derivation from first principles of the
infra-red structure of QED.— Phys. Lett., v. 94B, p. 389.
Завьялов Б. И. A973) Автомодельная асимптотика электромагнитных форм-факторов и их
фурье-образов в окрестности светового конуса.— ТМФ, т. 17, с. 178.
Завьялов Б. И. A974) «Квазиасимптотика» обобщенных функций и автомодельность электро-
электромагнитных форм-факторов.— ТМФ, т. 19, с. 163.
Завьялов Б. И. A977) Бьёркеновская асимптотика форм-факторов глубоконеупругого рассея-
рассеяния и общие принципы теории поля.— ТМФ, т. 33, с. 310.
Завьялов Б. И. A981) Представление Йоста — Лемана — Дайсона в пространствах S'a.—
ТМФ, т. 42, с. 147.
Завьялов О. И. A973) Полином Вика в пространстве с индефинитной метрикой.— ТМФ, т. 16,
с. 145.
Завьялов О. И. A975) (Zavialov О. I.) Renormalization and indefinite metric— [M8], ч. I, с.
120—126.
Завьялов О. И., Медведев П. Б. A974) ^-операция в Хф4-теории как следствие индефинитной
метрики в расширенном пространстве состояний (низшие порядки).-— ТМФ, т. 18, с. 27.
Завьялов О. И., Сушко В. Н. A969) Канонические переменные в физике бесконечных систем.—
ТМФ, т. 1, с. 153.
Завьялов О. И., Сушко В. Н. A973) Неэквивалентные представления соотношений коммутации
в физике бесконечных систем.— [С7], с. 411—438.
Зайлер A966) (Seller R.) Reel-analytische kovariante Funktionen und ihre analytische Fortset-
zung ins Komplexe.— Helv. Phys. Acta, v. 39, p. 641.
Замолодчиков A977) (Zamolodchikov А. В.) Ехаст two-particle S-matrix of quantum sine-
Gordon solutions.— Commun. Math. Phys., v. 74, p. 111.
Зиновьев Ю. M. A979) Неунитарные представления MHB), группы ах-\-b и преобразования
Лапласа.— ТМФ, т. 38, с. 153.
Зоммер A967а) (Sommer G.) Dispersion relations for complex value of t from axiomatic field
theory.— Nuovo Cim., v. 48A, p. 92.
Зоммер A9676) (Sommer G.) Extension of the axiomatic analyticity domain: pion-nucleon scat-
scattering.— Nuovo Cim., v. 52A, p. 373.
Зоммер A967b) (Sommer G.) Extension of the axiomatic analyticity domain: kaon-kaon and
pion-kaon scattering.— Nuovo Cim., v. 52A, p. 850.
Зоммер A967г) (Sommer G.) Simultaneous s-t analyticity for inelastic two-body reactions from
axiomatic field theory.— Nuovo Cim., v. 52A, p. 866.
Зоммер A970) (Sommer G.) Present state of rigorous analytic properties of scattering amplitu-
amplitudes.—Fortschr. Phys., v. Bd, S. 577.
Иверсон, Мак A971) (Iversan G., Mack G.) Quantum fields and interactions of massless particles:
the continuum spin case.— Ann. of Phys., v. Bd, S. 211.
Иги, Мацуда A967) (Igi K-, Matsuda S.) New sum rules and singularities in the complex J
plane.— Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 625.
Иден A966) (Eden R. J.) Use of unitarity in proving Pomeranchuk's theorem on cross sections
at high energies.— Phys. Rev. Lett., v. 16, p. 39.
Иден A971) (Eden R. J.) Theorems on high energy collisions of elementary particles.— Rev.
Mod. Phys., v. 43, p. 15 (русский перевод: [01], с. 131—180).
Изергин А. Г., Корепин В. Е. A982) Квантовый метод обратной задачи.— ЭЧАЯ, т. 13, с. 501.
Ильин В. А., Славное Д. А. A978) Алгебра наблюдаемых в S-матричном подходе.— ТМФ,
т. 36, с. 32.
Ингвасон A973) (Yngvason J.) On the algebra of test functions for field operators.— Commun.
Math. Phys., v. 34, p. 315.
Ингвасон A977) (Yngvason J.) Remarks on the reconstruction theorem for field theory with in-
indefinite metric.— Rep. Math. Phys., v. 12, p. 57.
Инграхам A962a) (Ingrakam R. L.) Stochastic Lorentz observers and the divergences in quantum-
field theory.— Nuovo Cim., v. 24, p. 1117.
Инграхам A9626) (Ingraham R. L.) Relativistic invariance and the tacit uniqueness postulate-
in quantum field theory.— Nuovo Cim., v. 26, p. 328.
Иордан, фон Нейман A935) (Jordan P., von Neumann J.) On inner products in linear metric spa-
spaces.— Ann. of Math., v. 36, p. 719.
583
Иордан, Паули A928) (Jordan P., Pauli W.) Zur Quantenelektrodynamik ladungsfreier Felder.—
Zs. Phys., Bd 47, S. 151.
Иордан, Сударшан A962) (Jordan Th. F., Sudarshan E. С G.) Reduction of operator rings and
the irreducibility axiom in quantum field theory.— J. Math. Phys., v. 3, p. 587.
Иофа M. 3., Файнберг В. Я- A969а) Вайтмановская формулировка для нелокализуемой кван-
квантовой теории поля, I.— ЖЭТФ, т. 56, с. 1644.
Иофа М. 3., Файнберг В. 0. A9696) Вайтмановская формулировка для нелокализуемых тео-
теорий поля, II. Теория асимптотических полей и частиц.—¦ ТМФ, т. 1, с. 187.
Иохвидов П. С., Крейн М. Г. A956, 1959) Спектральная теория операторов в пространствах
с индефинитной метрикой, I, П.— Тр. Моск. мат. о-ва, 1956, т. 5, с. 367; 1959, т. 8, с. 413.
Ито A980) (По К- R.) Construction of two-dimensional quantum electrodynamics.— J. Math.
Phys., v. 21, p. 1473.
Ициксон и др. A970) (Itzykson С, Kadyshevsky V. G., Todorov I. T.) Three-dimensional formula-
formulation of the relativistic two-body problem and infinite-component wave equations.— Phys.
Rev., v. Dl, p. 2822.
Йоос A962) (Joos H.) Zur Darstellungstheorie der inhomogenen Lorentz-gruppe als Grundlage
quantenmechanischer Kinematik.— Fortschr. Phys., Bd 10, S. 65.
Йоос A965) (Joos H.) Complex angular momentum and the representations of the Poincare group
with space-like momentum.—[Л1], p. 132—138.
Йоос, Веймар A976) (Joos H., Weimar E.) On the covariant description of spontaneously broken
symmetry in general field theory.— Nuovo Cim., v. 32A, p. 283.
Йост A957) (Jost R.) Eine Bemerkung zum CTP-Theorem.— Helv. Phys. Acta, v. 30, p. 409.
fiocm A958) (Jost R.) Ein Beispiel zum Nukleon-Vertex.— Helv. Phys. Acta, v. 31, p. 263.
Йост (I960) (Jost R.) Das Pauli-Prinzip und die Lorents-Gruppe.—In: Theoretical Physics
in the Twentieth Centure/Ed. Fierz M., Weisskopf V. E.—N. Y.: Interscience Publ.,
P- 107—136 (русский перевод: Веб.: Теоретическая физика XX века.— М.: ИЛ, 1962,
с. 128—161).
Йост A961) (Jost R.) Properties of Wightman functions.— In: Lectures on Field Theory and
Many-Body Problems/ Ed. Caianiello E. R.— N.Y., L.: Academic Press, p. 127—145.
Йост A963) (Jost R.) TCP-Invarianz der Streumatrix und interpolierende Felder.— Helv. Phys.
Acta, v. 36, p. 77.
Йост A966) (Jost R.) Uber das zeitliche Verhalten von glatten Losungen der Klein-Gordon Glei-
chung.—Helv. Phys. Acta, v. 39, p. 21.
Йост A974) (Jost R.) Die Heisenberg-Weylschen Vertauschungsrelationen: zum Beweis des von
Neumannschen Satzes.— In: Physical Reality and Mathematical Description.— Dordrecht-
Boston, p. 234—238.
Йост, Леман A957) (Jost R., Lehmann H.) Integral-Darstellung kausaler Kommutatoren.—
Nuovo Cim., v. 5, p. 1598.
Йост, Xenn A962) (Jost R., Hepp K-) Uber die Matrixelemente des Translationsoperators.—
Helv. Phys. Acta, v. 35, p. 34. s--si
Кадисон A963) (Kadison R.) Remarks on the type of von Neumann algebras of the local
observables in quantum field theory.—J. Math. Phys., v. 4, p. 1511.
Кадисон A965) (Kadison R. V.) Transformation of states in operator theory and dynamics.— To-
Topology, v. 3, Suppl. B), p. 177.
Кадышевский В. Г. A972) Квантовая теория поля и импульсное пространство постоянной кри-
кривизны.— В сб.: Проблемы теоретической физики.—М.: Наука, с. 52—95.
Кадышевский A978) (Kadyshevsky V. G.) Fundamental length hypothesis and new concept of
gauge vector field.—Nuel. Phys., v. B!41, p. 477.
Кадышевский В. Г. A979) Новый подход к теории электромагнитных взаимодействий.— ЭЧАЯ,
т. 11, с. 5.
Камефучи, Умэдзава A951) (Kamefuchi S., Umezawa H.) The vacuum in quantum electrodyna-
electrodynamics.— Prog. Theor. Phys., v. 6, p. 543.
Камефучи, Такахаши A962) (Kamefuchi S., Takahashi Y.) A generalization of field quantization
and statistics.—Nucl. Phys., v. 36, p. 177.
Камефучи, Cmpacdu A963) (Kamefuchi S., Strathdee J.) A generalization of field quantization
and statistics, II. Interacting fields.— Nucl. Phys., v. 42, p. 166.
Камефучи и др. A961) (Kamefuchi S., О'Raifeartaigh L., Salam A.) Change of variables and equi-
equivalence in quantum field theories.— Nucl. Phys., v. 28, p. 529.
Капри, Феррари A981) (Capri A. Z., Ferrari R.) Schwinger model, chiral symmetry, anomaly
and 0-vacuums.— Nuovo Cim., v. 62А, p. 273.
Кари и др. A982) (Carey A. L., Hurst С A., O'Brien D. M.) Automorphisms of the CAR's and
index theory.—J. Funct. Anal., v. 48, p. 360.
Каровский, Вейс A978) (Karowski M., Weisz P.) Exact form factors in (l-(-l)-dimensional field
theoretical model with soliton behaviour,—Nucl. Phys., v. B193, p. 455.
Картан, Туллен A932) (Carton #., Thullen P.) Regularitats- und Konvergezbereiche.—Math.
Ann., Bd 106, S. 117.
Кастлер A964) (Kastler D.) A C*-algebra approach to field theory,— In: Proc. of a Conference
on the Theory and Applications of Analysis in Function Space, held at Endicott House in
Dedham (Mass.), 1963 / Ed. Martin W. Т., Segal I.—Cambridge (Mass.): M.I.T. Press,
p. 179—191.
Кастлер A965) (Kastler D.) The C*-algebras of a free boson field. I. Discussion of the basic facts.
— Commun. Math. Phys., v. 1, p. 14.
584
Кастлер и др. A966) (Kastler D., Robinson D. W., Swieca J. A.) Conserved currents and associa-
associated symmetries.— Commun. Math. Phys., v. 2, p. 108.
Кахил, Cmann A972) (Cahill K- E., Stapp H. P.) A basic discontinuity equation.— Phys. Rev.,
v. D6, p. 1007.
Кац Г. И. A960) Обобщенные элементы гильбертова пространства.— Укр. мат. журн., т. 12,
с. 13.
Кашер и др. A974) (Cosher A., Kogut J., Sussklnd L.) Vacuum polarization and the absence of
free quarks.— Phys. Rev., v. D10, p. 732.
К~ммер A939) (Kemtner N'.) The particle aspect of meson theory.—Proc. Roy. Soc, v. A173,
p. 91.
Киббл A967) (Kibble T. W.) Symmetry breakdown in non-abelian gauge theories.— Phys. Rev.,
v. 155, p. 1554.
Киббл A968) (Kibble T. W.) Coherent soft-photon states and infrared divergences. I. Classical
currents.—J. Math. Phys., v. 9, p. 315; II. Mass-shell singularities of Green functions.—
Phys. Rev., v. 173, p. 1527; III. Asymptotic states and reduction formulas.— Ibid., v. 174,
p. 1882; IV. The scattering operator.— Ibid. v. 175, p. 1624.
Киношита A964) (Kinoshita T.) High-energy p"-p elastic scattering.— Phys. Rev. Lett., v. 12,
p. 257.
Киношита и др. A964) (Kinoshita Т., Loeffel J. J., Martin A.) Upper bounds for the scattering
amplitude at high energy.— Phys. Rev., v. 135B, p. 1464.
Кириакопулос A968) (Kyriakopoulos E.) Dynamical groups and the Bethe-Salpeter equation.—
Phys. Rev., v. 174, p. 1846.
Кириллов A. A. A962) Унитарные представления нильпотентных групп.— УМН, т. 14,
вып. 4, с. 57.
Клайбер A964) (Klaiber В.) Analyticity with respect to the coupling constant in certain two-
dimensional field theoretic models.— Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 555.
Клайбер A968) (Klaiber B.) The Thirring model.— In: Lectures in Theoretical Physics / Ed.
Barut A. O., Brittin W. E.— N.Y.: Gordon and Breach, p. 141—176, v. 10A.
Клейн A938) (Klein 0.) Quelques remarques sur le traitement approximatif du probleme des
electrons dans un reseau cristallin par la mecanique quantique.— J. Phys. Rad., v. 9, p. 1.
Кляйнкнехт A974) (Kleinknecht K-) Weak decays and CP violation.— In: Proc. of the 17th
International Conference on High Energy Physics (London, 1974) / Ed. Smith J. R.— Chil-
ton, Didcot: Science Research Council, p. 23—57.
Кольм, Нагель A968) (Kolm A., Nagel B.) A generalized edge of the wedge theorem.— Commun.
Math. Phys., v. 8, p. 185.
Комар А. А., Сладь Л. M. A969) Замечание относительно спектра масс бесконечномерных ре-
релятивистских инвариантных уравнений.— ТМФ, т. 1, с. 50.
Коммон, Индюрен A970) (Common А. К., Yndurain F. J.) Contraints on the derivatives of the
яя scattering amplitude from positivity.— Commun. Math. Phys., v. 18, p. 171.
Конн A973) (Connes A.) Classification des facteurs de type III.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.,
v. 6, p. 133.
Конн A976) (Conner A-) Classification of injective factors.— Ann. of Math., v. 104, p. 73.
Константинеску A971) (Constantinescu F.) Analytic properties of nonstrictly localizable fields.—
J. Math. Phys., v. 12, p. 293.
Корепин В. Е. A979) Непосредственное вычисление S-матрицы в массивной модели Тиррин-
га.— ТМФ, т. 41, с. 169.
Корниль A964) (СотШе Н.) Bounds for tha high-energy nuclean-nucleon scattering amplitude
at angle 0^0 or я and at fixed momentum transfer Ф0.— Nuoyo Cim., v. 31, p. 1101.
Корниль A970) (Cornille H.) Constraints on the asymptotic behaviour of symmetric and anti-
antisymmetric amplitudes from positivity and unitarity.— Nuovo Cim., v. 70, p. 165.
Костант A966) (Kostant B.) Orbits, symplectic structures and representation theory. Proc. of
US-Japan Seminar on Differential Geometry (Kyoto, 1965).— Tokyo.
Костант A970) (Kostant B.) Quantization and unitary representations. Lect. Not. Math.—
B. e. a: Springer — Verlag, v. 170, p. 87.
Костант A975) (Kostant В.) On the tensor product of a finite and infinite dimensional represen-
representations,— J. Funct. Anal., v. 20, p. 257.
Костер, Cmann A970) (Coster J., Stapp H. J.) Physical region discontinuity equation.—J.
Math. Phys., v. 11, p. 2743.
Коулман A966) (Coleman S.) The invariance of the vacuum in the invariance of the world.—
J. Math. Phys., v. 7, p. 787.
Коулман A975а) (Coleman S.) Secret symmetry: an introduction to spontaneous symmetry break-
breakdown and gauge fields.— In: Laws of Hadronic Matter, 1973 International School of Sub-
nuclear Physics, course 11, part A, Erice / Ed. Zichichi A.—N.Y., L.: Academic Press,
p. 139—215 (русский перевод: [К7], с. 23—119).
Коулман A9756) (Coleman S.) Quantum sine-Gordon equation as massive Thirring model.— Phys.
Rev., v. Dll, p. 2088.
Коулман A977) (Coleman S.) Classical lumps and their quantum descendants.— In: New Pheno-
Phenomena in Subnuclear Physics, part A, 1975 International School of Subnuclear Physics, co-
course 13, part A, Erice / Ed. Zichichi A.— N.Y., L.: Plenum Press, p. 297—421.
Коэн-Таннуджи и др. A968) (Cohen-Tannoudji G., Morel A., Navelet H.) Kinematic singulari-
singularities, crossing matrix and kinematical constraints for two-body helicity amplitudes.— Ann.
of Phys., v. 46, p. 239.
19 H. H. Боголюбов и др. 585
Крайст A974) (Christ N.) Application of conformal symmetry to quantum electrodynamics.-^
Phys. Rev., v. D9, p. 946.
Красников и др. A980) (Красников Н. В., Матвеев В. А., Рубаков В. А., Тавхелидзе А. #.,
Токарев В. Ф.) Структура основного состояния в двумерной безмассовой квантовой элект-
электродинамике.— ТМФ, т. 45, с. 313.
Краус, Ландау A972) (Kraus К-, Landau h. J.) Conserved currents and symmetry transformations
in local scattering theory.— Commun. Math. Phys., v. 24, p. 243.
Крейн М. Г. A965) Введение в геометрию индефинитных /-пространств и теорию операторов
в этих пространствах.— В сб.: Вторая летняя математическая школа (Кацавели, 1964).—
Киев: Наукова думка, т. 1, с. 15—92.
Крейц, Тудрон A978) (Creutz M., Tudron T.) Higgs mechanism in the temporal gauge.— Phys.
Rev., v. D17, p. 2619.
Крюзер A976) (Crewther R.) Asymptotic behaviour in quantum field theory.— [K4], p. 435—457.
Куго, Оджима A979) (Kugo Т., Ojitna I.) Local covariant and operator formalism in non-abelian
gauge theories and quark confinement mechanics.— Suppl. Prog. Theor. Phys., № 66, p. 1.
Кузьмин В. А. A970) СР-неинвариантность и барионная асимметрия Вселенной.— Письма
в ЖЭТФ, т. 12, с. 335.
Кук A953) (Cook J. M.) The mathematics of second quantization.— Trans. Amer. Math. Soc,
v. 74, p. 222.
Куликов А. В. A983) Бозонизация фермионов в двумерных моделях.— ТМФ, т. 54, с. 314.
Кулиш П. П., Фаддеев Л. Д- A970) Асимптотическое условие и инфракрасные расходимости
в квантовой электродинамике.—¦ ТМФ, т. 4, с. 153.
Куртрайт, Торн A982) (Curtright Т. L., Thorn С. В.) Conformally invariant quantization of
the Liouville theory.— Phys. Rev. Lett., v. 48, p. 1309 (E: p. 1768).
Куткоски A960) (Cutkosky R. E.) Singularities and discontinuities of Feynman amplitudes.—
J. Math. Phys., v. 1, p. 429.
Лазур В. Ю., Химич И. В. A977а) Доказательство интегрального представления Йоста —
Лемана — Дайсона для причинного коммутатора в рамках локализуемых теорий.—
Укр. мат. журн., т. 29, с. 599.
Лазур В. Ю., Химич И. В. A9776) Аналитичность и поведение амплитуды рассеяния при
высоких энергиях в локализуемой квантовой теории поля.— Укр. физ. журн., т. 22,
с. 1062.
Лазур В. Ю., Химич И. В. A981) Слабое взаимодействие и дисперсионные соотношения.—
ТМФ, т. 48, с. 216.
Лангакер A981) (Langacker P.) Grand unified theories and proton decay.— Phys. Reports,
v. 72, p. 185.
Лангер A962) (hanger H.) Zur Spektraltheorie J-selbstadjungierter Operatoren.— Math. Ann.,
v. 146. p. 60.
Лангер A963) (hanger H.) Eine Verallgemeinerung eines Satzes von L. S. Pontrjagin.— Math.
Ann., Bd. 152, S. 43.
Лангерхолк, Шроер A965) (hangerholc J., Schroer B.) On the structure of the von Neumann al-
algebras generated by local functions of the free Bose field.— Commun. Math. Phys., v. 1,
p. 215.
Ландау Л. Д. A959) Об аналитических свойствах вершинных частей в квантовой теории поля.—
ЖЭТФ, т. 37, с. 62 (английский перевод: Nucl. Phys., 1959, v. 13, p. 181).
Ландау Л. Дж. A970) (handau h. J.) Asymptotic locality and the structure of local internal
symmetries.— Commun. Math. Phys., v. 17, p. 156.
Ландау, Вихман A970) (handau h. J., Wichmann E. H.) On the translation invariance of local
internal symmetries.— J. Math. Phys., v. 11, p. 306.
Лассаль A974) (Lassalle M.) Analyticity properties implied by the may-particle structure
of the n-point function in general quantum field theories, I. Convolution of я-point functions
associated with graph.— Commun. Math. Phys., v. 36, p. 185.
Ласснер A972) (hassner G.) Topological algebras of operators.— Rep. Math. Phys., v. 3, p. 279.
Ласснер, Тиммерман A972) (hassner G., Timmermann W.) Normal states on algebras of unboun-
unbounded operators.— Rep. Math. Phys., v. 3/4, p. 295.
Ласснер, Ульман A968) (hassner G., Uhlmann A.) On positive functionals of algebras of test
functions for quantum fields.— Commun. Math. Phys., v. 7, p. 152.
Лаутруп A967) (hautrup B.) Canonical quantum electrodynamics in covariant gauges, Kgl.
Danske Videnskab. Selsk., Mat.—Fys. Medd., v. 35, № 11.
Лезнов, Савельев A979) (heznov A. N., Saveliev M. V.) Representation of zero curvature of the
system of non-linear partial differential equations xa, 2г=ехр (kx)a-—Lett. Math. Phys.,
v. 3, p. 489.
Лезнов А. #., Федосеев И. А. A983) Двумерные точно интегрируемые динамические системы
в квантовой области.— [Т2], т. 2, с. 344—349.
Лезнов А. #., Хрущев В. В. A983) Суперсимметричное управнение Лиувилля в квантовом слу-
случае.— [Т2], т. 1, с. 328—333.
Леман A954) (hehmann H.) Uber Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormie»
rungskonstanten quantisierter Felder.— Nuovo Cim., v. 11, p. 342.
Леман A958) (hehmann H.) Analytic properties of scattering amplitudes as functions of momen-
momentum transfer.—Nuovo Cim., v. 10, p. 579.
Леман A959) (hehmann H.) Scattering matrix and field operators.— Nuovo Cim. SuppL, v. 14,
p. 153.
586
Леман A966) (Lehmann H.) Analytic properties of scattering amplitudes in two variables
Commiin. Math. Phys., v. 2, p. 375.
Леман и др. A955) (Lehmann #., Symanzik K-, Zimmermann W.) Zur Formulierung quantisier-
ter Feldtheorien.— Nuovo Cim., v. 1, p. 205.
Леман и др. A957) (Lehmann #., Symanzik К., Zimmermann W.) The formulation of quantized
field theories, II.— Nuovo Cim., v. 6, p. 319.
Ли A974) (Lee B. W.) Renormalization of gauge theories — unbroken and broken Phvs
Rev., v. D9, p. 933.
Ли, Зин-Жюстен A972—1973) (Lee В. W., Zinn-Justin J.) Spontaneously broken gauge theories,
I. Preliminaries; II. Perturbation theory and renormalization; III. Equivalence; IV. Gene-
General gauge transformations.—Phys. Rev., v. D5 A972), p. 3121, 3137, 3155; D2 A973), 3155.
Ли A966) (Lee T. D.) Weak interactions and questions of С, P, Г-noninvariance.— In: Oxford
International Conference of Elementary Particles, 1965.—Oxford: Rutherford High Energy
Laboratory, p. 225—239.
Ли A967) (Lee T. D.) Time reversal symmetry, Physikertagung (Miinchen 1966).— Stuttgart:
B. G. Teubner, Teil 2, S. 243—261.
Ли, Вик A966) (Lee T. ?>., Wick G. C.) Space inversion, time reversal and discrete symmetries
in local field theories.— Phys. Rev., v. 148, p. 1520.
Ли, Ян(г) A956) (Lee T.D., Yang С. N.) Question of parity conservation in weak interactions.—
Phys. Rev., v. 104, p. 254.
Лиидр. A957) (Lee Т. D.,0ehme R., Yang С N.) Remarks on possible noninvariance under time
reversal and charge conjugation.— Phys. Rev., v. 106, p. 340 (русский перевод: в сб. [Н6]).
Лион A952/53) (Lions J. L.) Supports dans la transformation de Laplace.—J. Analyse Math.,
V. 2, p. 369. - _
Липшуц A966) (Lipshutz N. R.) Invariance principles and the K°—K° propagator matrix.— Phys.
Rev., v. 144, p. 1300.
Лихт A963) (LichtA.L.) Strict localization.—J. Math. Phys., v. 4, p. 1443.
Лихт, Тол A961) (Licht A. I.,Toll J. S.) Two-point function and generalized free fields.— Nuovo
Cim., v. 21, p. 346.
Ловенштейн A971) (Lowenstein J. H.) Normal-product quantization of currents in Lagrangian
field theory.— Phys. Rev., v. D4, p. 2281.
Ловенштейн, Свиека A971) (Lowenstein J., Swieca J.) Quantum electrodynamics in two dimen-
dimensions.— Ann. of Phys., v. 68, p. 172.
Лович, Томозава A962) (LovitchL., Tomozawa Y.) The spectral representation of the two-point
function and local commutativity.— Nuovo Cim., v. 24, p. 1147.
Логунов A. A. A958) Дисперсионные соотношения для реакций с переменным числом частиц.—
ДАН СССР, т. 120, с. 501.
Логунов, Соловьев A959) (Logunov A. A., SolovievL. D.) Dispersion relations for virtual photo-
production.— Nucl. Phys., v. 10, p. 60.
Логунов, Тавхелидзе A958) (Logunov A. A., Tavkhelidze A. N.) Generalized dispersion relations.—
Nuovo Cim., v. 10, p. 943.
Логунов и др. A957) (Logunov A- A., Tavkhelidze A. N., SolovievL. D.) Photoproduction pro-
processes and dispersion relations.— Nucl. Phys., v. 4, p. 427.
Логунов и др. 0958) (Logunov A. A., Bilenkij S. M., Tavkhelidze A. N.) On the theory of desper-
sion relations.—- Nuovo Cim., v. 10, p. 953.
Логунов и др. A962) (Логунов А. А., Тодоров И. Т., Черников Н. А.) Обобщение теоремы Си-
манзика о мажоризации диаграмм Фейнмана.— ЖЭТФ, т. 42, с. 1285.
Логунов и др. A963) (Logunov A. A., Nguyen van Hieu, Todorov 1. Т., KhrustalevO. A.) Asym-
Asymptotic relations between cross sections in local field theory.— Phys. Lett., v. 7, p. 69.
Логунов и др. A966) (Логунов А. А., Нгуен Ван Хьеу, Тодоров И. Т.) Асимптотические соотно-
соотношения между амплитудами рассеяния в локальной теории поля.— УФН, т. 88, с. 51.
Логунов и др. A967а) (Logunov A. A., SolovievL. D., Tavkhelidze A. N.) Dispersion sum rules
and high energy scattering.—¦ Phys. Lett., v. 24B, p. 181.
Логунов и др. A9676) (Logunov A. A., Mestvirishvili M. A., Nguyen van Hieu) High-energy be-
behaviour of inelastic cross sections.— Phys. Lett., v. 25B, p. 611.
Логунов и др. A968) (Logunov A. A., Mestvirishvili M. A., Nguyen van Hieu, Nguyen ngoc Thu-
an).— In: Topical Conference on High-Energy Collisions of Hadrons.— (Geneva, 1968)
(Sci. Rep./CERN: 68—7), v. 2, p. 74—92.
Логунов и др. A972) (Логунов А. А., Меспгвиришвили М. А., Хрусшалев О. А.) Ограничения
на поведение сечений упругих и неупругих процессов при высоких энергиях, I;
П.— ЭЧАЯ, т. 3, с. 3; с. 515 (сокращенный вариант: ТМФ, 1971, т. 9, с. 3; с. 153).
Логунов и др. A974) (Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Петров В. А.) О некоторых новых
ограничениях на функцию распределения инклюзивного процесса.— ТМФ, т. 21, с. 305.
Логунов и др. A977) (Логунов А. А., Медведев Б. В., Мествиришвили М. А., Павлов В. П.,
Поливанов М. К-, Суханов А- Д.) Дисперсионное соотношение для амплитуды 3-»-3 рас-
рассеяния вперед и обобщенная оптическая теорема.—• ТМФ, т. 33, с. 149.
Логунов и др. A978) (Logunov A. A., Mestvirishvili M. A., Petrov V. A.) General principles of
quantum field theory and strong interactions at high energies.— Ann. of Phvs., v. 114, p. 46
(см. также [01], с. 181—276).
Логунов и др. A979а) (Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Рчеулишвили Г. Л'., Само-
хин А. П.) Особенность амплитуды в cos 0-плоскости и рассеяние при высоких энергиях.—
ТМФ, т. 39, с. 147.
19* 587
Логунов и др. A9796) (Логунов А. А., Музафаров Л- М., Павлов В. П., Суханов А. Д.) Анали-
Аналитическая структура амплитуды процесса 3->3 вперед.— ТМФ, т. 40, с. 179.
Логунов и др. A983) (Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Петров В. А.) Инклюзивные про-
процессы и динамика сильных взаимодействий.— ЭЧАЯ, т. 14, с. 493.
Лойтвилер A965) (Leutwyler H.) Symmetry breaking solutions of the Thirring model.— Helv.
Phys. Acta, v. 38, p. 43.
Ломонт A960) (Lotnont J. S.) Decomposition of direct products of representations of inhomoge-
neous Lorentz group.— J. Math. Phys., v. 1, p. 237.
Лопе, Меннесье A977) (Lopez С, Mennessier G.) Bounds on the я°я0 amplitude.— Nucl. Phys.,
v. B118, p. 426.
Лукашук, Мартен A967) (Lukaszuk L., Martin A.) Absolute upper bounds for nn scattering.—
Nuovo Cim., v. 52A, p. 122.
Лупиа, Миракль-Соль A966) (LoupiasG., Miracle-Sole S.) C*-algebras des systemes canoni-
ques.— Commun. Math. Phys., v. 2, p. 31.
Лэм A972a) (Lam Y. M. P.) Perturbation Lagrangian theory for scalar fields — Ward-Takanasht
identity and current algebra.— Phys. Rev., v. D6, p. 2145.
Лэм A9726) (Lam Y. M. P.) Perturbation Lagrangian theory for Dirac fields — Ward-Takahashi
identity and current algebra.— Phys. Rev., v. D6, p. 2165.
Лю-И-Чень, Тодоров И. Т. A963) Интегральное представление вершинной части в теории воз-
возмущений.— ДАН СССР, т. 148, с. 806.
Людерс A954) (Luders G.) On the equivalence of invariance under time reversal and under partic-
le-antiparticle conjugation for relativistic field theories.-—Kgl. Danske Viderskab. Selskab.,
Mat.-Fys. Medd., v. 28, № 5.
Людерс A957) (Luders G.) Proof of the TCP theorem.— Ann. of Phys., v. 2, p. 1.
Людерс A961) (Luders G.) TCP theorem and related problems.— In: Lectures on Field
Theory and the Many-Body Problem / Ed. Caianiello E. R.—N. Y.: Academic Press,
p. 1—26.
Людерс, Зумино A958) (Luders G., Zumino B.) Connection between spin and statistics.— Phys.
Rev., v. 110, p. 1450.
Майорана A932) (Majorana E.) Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbit-
rario.— Nuovo Cim., v. 9, p. 335.
Мак A975) (MackG.) Osterwalder-Schrader positivity in conformal invariant quantum field
theory.— In: Trends in Elementary Particle Theory. Lecture Notes in Physics / Ed. Roll-
nik H., Dietz К.— В.: Springer-Verlag, v. 37,
Мак, Салам A969) (Mack G., Salam A.) Finite component field representations of the conformal-
group.— Ann. of Phys., v. 53, p. 174.
Мак, Тодоров A973) (Mack G., Todorov I. T.) Conformal invariant Green functions without ultra-
ultraviolet divergences.— Phys. Rev., v. D8, p. 1764.
Макдоуэл, Мартен A964) (Macdowell S., Martin A.) Unitary bounds of the scattering amplitude
and the diffraction peak.— Phys. Rev., v. 135B, p. 960.
Макки A952) (Mackey G. W.) Induced representations of locally compact groups, I.—Ann. of
Math., v. 55, p. 101.
Макки A958) (Mackey G. W.) Unitary representations of group extensions, I.— Acta Math.,
v. 99, p. 265.
Макферлен A962) (Macfarlane A. J.) On the restricted Lorentz group and groups homomorphi-
cally related to it.— J. Math. Phys., v. 3, p. 1116.
Мальгранж A953) (Malgrange В.) Equations aux derivees partielles a coefficients constants, I.
Solution elementaire.— Compt. Rend. (Paris), v. 237, p. 1620.
Мандельстам A958) (Mandelstam S.) Determination of pion-nucleon scattering amplitude from
dispersion relations and unitarity. General theory.— Phys. Rev., v. 112, p. 1344 (русский пе-
перевод: В сб.: Новый метод в теории сильных взаимодействий. Двойные дисперсионные со-
соотношения.—М.: ИЛ, 1960).
Мандельстам A959) (Mandelstam S.) Analytic properties of transition amplitudes in perturba-
perturbation theory.— Phys. Rev., v. 115, p. 741.
Мандельстам A960) (Mandelstam S.) Some rigorous analytic properties of transition amplitu-
amplitudes.— Nuovo Cim., v. 15, p. 658.
Мандельстам A962) (Mandelstam S.) Quantum electrodynamics without potentials.— Ann. of
Phys., v. 19, p. 1.
Мандельстам A970) (Mandelstam S.) Dynamical applications of the Veneziano formula.— [Л2],
v. 1, p. 165—281.
Мандельстам A975) (Mandelstam S.) Soliton operators for the quantized sine-Gordon equation.—
Phys. Rev., v. Dll, p. 3026.
Манин Ю. И. A981) Калибровочные поля и голоморфная геометрия.— В сб.: Итоги науки и
техники. Современные проблемы математики.— М.: ВИНИТИ, т. 17, с. 3—55.
Манохаран A962) (Manoharan А. С.) The primitive domains of holomorphy for the 4 and 5 point
Wightman functions.— J. Math. Phys., v. 3, p. 853.
Мансфилд A983) (Mansfield P.) Light-cone quantization of the Liouville and Toda field theori-
theories.— Nucl. Phys., v. B222, p. 419.
Манюсо A968a) (Manuceau J.) Etude de quelques automorphismes de la C*-algebre du champ de
bosons libres.— Ann. Inst. H. Poincare, v. 8, p. 117.
Манюсо A9686) (Manuceau J.) C*-algebre de relations de commutation.— Ann. Inst. H. Poin-
Poincare, v. 8, p. 139.
588
Манюсо, Бербер A968) (Mnnuceau J., Verbeure A.) Quasifree states of the CCR. —ComniunV.
Math. Phys., v. 9, p. 293.
Мартен A963a) (Martin A.) Unitarity and high-energy behavior of scattering amplitudes.—
Phys. Rev., v. 129, p. 1432.
Мартен A9636) (Martin A.) A lower bound for elastic cross-sections in the very high energy re--
gion.— Nuovo Cim., v. 29, p. 993.
Мартен A965a) (Martin A.) Minimal interactions at very high energy.—Nuovo Cim., v. 37,,
p. 671.
Мартен A9656) (Martin A.) A general proof of the Pomeranchuk theorem and related theorems.—
Nuovo Cim., v. 39, p. 704.
Мартен A966a) (Martin A.) Improvement of the Greenberg—Low bound.—Nuovo Cim. v. 42A,
p. 901.
Мартен A9666) (Martin A.) Extension of the axiomatic analyticity domain of scattering ampli-
amplitudes by unitarity, I, II.— Nuovo Cim., v. 42A, p. 930; v. 44A, p. 1219.
Мартино A964) (Martineau A.) Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes.—
In: Theory of Distributions.— Inst. Gulbenkian Ciena, Lisboa, p. 193—326.
Матвеев и dp. A971) (Матвеев В. А., Мурадян Р. М., Тавхелидзе А. Н.) Автомэдельность, ком-
коммутаторы токов и векторная доминантность в глубоконеупругих лептон-адронных взаимо-
взаимодействиях.— ЭЧАЯ, т. 2, с. 5.
May, Мартен A968) (Mahoux G., Martin A.) Extension of axiomatic analyticity properties,
for particles with spin, and proof of superconvergence relations.— Phvs. Rev., v. 174,
p. 2140.
May, Мартен A970) (Mahoux G., Martin A.) Extension of analyticity domains of functions with*
positivity properties and axiomatic proof of superconvergence relations.—In: Analytic methods-
in mathematical physics / Ed. Gilbert R. P.,' Newton R. G.— N. Y. e. a.: Gordon and Bre-
Breach, p. 265—277.
Медведев Б. В. A961) О функциональном разложении матрицы рассеяния по нормальным про-
произведениям асимптотических полей.— ЖЭТФ, т. 40, с. 829.
Медведев Б. В. A964) Уравнения для радиационных операторов.— ЖЭТФ, т. 47, с. 147.
Медведев Б. В. A965) К аксиоматическому построению матрицы рассеяния. 3. Гейзенбергово и
асимптотическое представление.— ЖЭТФ, т. 48, с. 1479.
Медведев Б. В. A966) К аксиоматическому построению матрицы рассеяния. 4. Лагранжева
форма теории.— ЖЭТФ, т. 49, с. 1518.
Медведев Б. В., Поливанов М. К- A961) Степени роста матричных элементов в аксиоматическом
методе.—ЖЭТФ, т. 41, с. ИЗО.
Медведев Б. В., Поливанов М. К- A964) К аксиоматическому построению матрицы рассеяния.—
[М7], т. 1, с. 77—139.
Медведев Б. В., Поливанов М. К- A967а) О формулировке адиабатической гипотезы в аксиома-
аксиоматической теории поля.— ДАН СССР, т. 177, с. 816.
Медведев Б. В., Поливанов М. К. A9676) Модель взаимодействия с производными, допускающая
точное решение.— ЖЭТФ, т. 53, с. 1316.
Медведев Б. В., Поливанов М. К- A969) К вопросу о перенормировке операторов поля.— В сб.:
Проблемы теоретической физики.— М.: Наука, с. 125—139.
Медведев, Суханов A975) (Medvedev В. V., Sukhanov A. D.) Г-products in Bogoliubov's axioma-
tics.— [M8], ч. I, с. 198—200.
Медведев и др. A968а) (Медведев Б. В., Поливанов М. К-, Суханов А. Д.) Проблема динамиче-
динамического аппарата квантовой теории поля в аксиоматическом методе.— ЖЭТФ, т. 55, с. 179.
Медведев и др. A9686) (Медведев Б. В., Поливанов М. К., Суханов А. Д.) Перенормировка
оператора поля в аксиоматической теории поля.— ЖЭТФ, т. 55, с. 512.
Медведев и др. A968в) (Медведев Б. В., Поливанов М. К., Суханов А. Д.) К вопросу об унитар-
унитарности S-матрицы в теориях с производными.— ЯФ, т. 8, с. 396.
Медведев и др. A971) (Медведев Б. В., Павлов В. П., Суханов А. Д.) Лагранжиан и матрица
рассеяния.— ТМФ, т. 8, с. 153.
Медведев и др. A972) (Медведев Б. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А. Д.) Метод
расширенной S-матрицы в квантовой теории поля.— ТМФ, т. 13, с. 3.
Медведев и др. A977а) (Медведев Б. В., Павлов В. П., Поливанов М. К-, Суханов А. Д.) Алгеб-
Алгебраическая структура совокупности обобщенных запаздывающих операторов.— [Мб],
с. 187—197.
Медведев и др. A9776) (Медведев Б. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А. Д.) Условие
причинности Боголюбова и носители обобщенных запаздывающих операторов.— [Мб],
с. 198—204.
Медведев и др. A982) (Медведев Б. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А. Д.) К ана-
аналитическим свойствам «-частичных амплитуд.— ТМФ, т. 52, с. 163.
Мейман Н. Н. A962) Об асимптотическом равенстве полных сечений частицы и античастицы.—
ЖЭТФ, т. 43, с. 2277.
Мейман Н. Н. A964) Принцип причинности и асимптотическое поведение амплитуды рассея-
рассеяния.—ЖЭТФ, т. 47, с. 1966.
Мессиа, Гринберг A964) (Messiah A. M. L., Greenberg О. W.) Symmetrization postulate and its
experimental foundation.— Phys. Rev., v. 136B, p. 248.
Мествириишили М. А., Тодоров И. Т. A963) Аналитические свойства мезонно-нуклонной вер-
вершинной части и амплитуды рассеяния псевдоскалярных мезонов в теории возмущений.—
ДАН СССР, т. 148, с. 562.
589
Meme A954) (Methee P. D.) Sur les distributions invariantes dans le groupe des rotations de Lo-
rentz.— Comment. Math. Helv., v. 28, p. 225.
Meme A955) (Methee P. D.) Transformed de Fourier de distributions invariantes.— Compt.
Rend., v. 240, p. 1179.
Meme A957) (Methee P. D.) L'equation des ondes avec second membre invariant.— Comment.
Math. Helv., v. 32, p. 153.
Мёллер A962) (Moller N. H.) The analyticity domain of the five point function.— Nucl. Phys.,
v. 35, p. 434.
Мигдал A971) (Migdal A. A.) Conformal invariance and bootstrap.— Phys. Lett., v. 37B, p. 387.
Минковскпй и др. A965) (Minkowski P., WilliamsD. N., Seiler R.) On Stapp's theorem.— [Л1],
p. 173—189.
Минчев М. X., Тодоров И. Т. A981) Аксиоматический подход в теории калибровочных полей и
механизм Хиггса.— В сб.: XIV Межцунар. школа молодых ученых по физике высоких
энергий (Дубна, 1980).—Дубна: ОИЯИ, с. 150—174.
Минчев М. X., Тодоров И. Т. A985) Аксиоматический подход к локальной калибровочной
квантовой теории поля и спонтанное нарушение симметрии.— ЭЧАЯ, т. 16, с. 59.
Минчев и др. A976) (Mintchev M. С, Petkova V. В., Todorov I. T.) Scale and conformal covarian-
ce in quantum electrodynamics.— Rep. Math. Phys., v. 9, p. 355.
Мишель A964) (Michel L.) Invariance in quantum mechanics and group extension.—[Г13],
p. 135—200.
Мишель A970) (MichelL.) Applications of group theory to quantum physics. Algebraic aspects,
Lecture Notes in Physics.— B.e. a.: Springer-Verlag, v. 6 (русский перевод: [МП], с. 7—110).
Морен A963а) (Maurin К) Mathematical structure of Wightman formulation of quantum field
theory.— Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys., v. 11, p. 115.
Морен A9636) (Maurin K-) On some theorem of H. J. Borchers.— Bull. Acad. Polon. Sci.,
Ser. sci. math., astr. et phys., v. 11, p. 121.
Моркио, Строкки A980) (Morchio G., Strocchi F.) Infrared singularities, vacuum structure and
pure phases in local quantum field theory.— Ann. Inst. H. Poincare, v. A33, p. 251.
Музафаров Л. М., Павлов В. П. A978) Аналитичность амплитуды 3-»-3 вперед в окрестности
физической области.— ТМФ, т. 35, с. 181.
Мураскин, Нишиджима A961) (Muraskin M., Nishijima K-) Time-ordered Green's functions
and perturbation theory.— Phys. Rev., v. 122, p. 331.
Mycca, Cmopa A965) (Moussa P., Stora R.) Some remarks on the product of irreducible represen-
representations of the inhomogeneous Lorentz group. — [Л1], p. 37—69.
Мутце A975) (Mutze U.) Unified free quantum fields for massive and masslcss particles.—
Fortschr. Phys., Bd23, S. 113.
Мэсон, Pee A971) (Maison D., Reeh H.) Non-existence of Goldstone bosons with non-zero helici-
ty.— Commun. Math. Phys., v. 24, p. 67.
Мэсон, Цванцигер A975) (Maison D., Zwanziger D.) On subsidiary condition in quantum electro-
electrodynamics,— Nucl. Phys., v. B91, p. 425.
Мюллер A970) (Mueller A. H.) О B, 1) analysis of single-particle structure at high ensrgy.—Phys.
Rev., v. D2, p. 2963.
Мюллер A981) (Mueller A. H.) Perturbative QCD at high energies.— Phys. Reports, v. 73,
p. 237.
Наймарк М. A. A964) Бесконечномерные представления групп и смежные вопросы.—
В сб.: Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование,
1962.—М.: ВИНИТИ, с. 38—62.
Найт A961) (Knight J. M.) Stricht localization in quantum field theory.— J. Math. Phys.,
v. 2, p. 459.
Наканиши A959) (Nakanishi N.) On the validity of dispersion relations in perturbation theory.—
Prog. Theor. Phys., v. 21, p. 135.
Наканиши A961) (Nakanishi N.) Integral representations for scattering amplitudes in perturba-
perturbation theory,— Prog. Theor. Phys., v. 26, p. 337, 927.
Наканиши A962—-1964) (Nakanishi N.) Fundamental properties of perturbation theoretical in-
integral representations.— Phys. Rev., A962) v. 127, p. 1380; J. Math. Phys., A963) v. 4,
p. 1385, A964) v. 5, 1458.
Наканиши A966) (Nakanishi N.) Covariant quantization of the electromagnetic field in the Lan-
Landau gauge.— Prog. Theor. Phys., v. 35, p. 1111.
Наканиши A972) (Nakanishi N.) Indefinite-mstric quantum field theory.— Prog. Theor. Phys.,
Suppl., №51, p. 1—95.
Наканиши A973) (Nakanishi N.) Indefinite-metric quantum theory of genuine and Higgs-type
massive vector fields.— Prog. Theor. Phys., v. 49, p. 640.
Наканиши A974) (Nakanishi N.) Lehmann-Symanzik-Zimmermann formalism for manifestly
covariant quantum electrodynamics.— Prog. Theor. Phys., v. 49, p. 640.
Накано A959) (Nakano T.) Quantum field theory in terms of Euclidean parameters.— Prog.
Theor., Phys., v. 21, p. 241.
Намбу A957) (Nambu Y.) Parametric representations of general Green's functions.— Nuovo Cim.,
v. 6, p. 1064.
Намбу A958) (Nambu Y.) Dispersion relations for form factors.— Nuovo Cim., v. 9, p. 610.
Намбу A960) (Nambu Y.) Axial vector current conservation in weak interactions,— Phys. Rev«
Lett., v. 4, p. 380.
590
Намбу A966а) (Nambu Y.) Relativistic wave equations for particles with internal structure and
mass spectrum.— Suppl. Prog. Theor. Phys., №37—38, 368.
Намбу A9666) (Nambu Y.) A systematics of hadrons in subnuclear physics.—In: Preludes
in Theoretical Physics /Ed. de Shalit A., Feshbach H., van Hove L.—Amsterdam:
North-Holland, p. 133—142.
Намбу A967) (Nambu Y.) Infinite-component wave equation with hydrogen like mass spectra.—
Phys. Rev., v. 160, p. 1171.
Намбу, Иона-Лазинио A961) (Nambu Y., Yona-Lasinio G.) Dynamical model of elementary par-
particles based on an analogy with superconductivity, I, II.— Phys. Rev., v. 122, p. 345; v. 124,
p. 246.
Нарнхофер, Тирринг A978) (Narnhofer H., Thirring W.) The taming of the dipole ghost.—
Phys. Lett., v. 76B, p. 428.
Фон Нейман A931) (von Neumann J.) Die Eindeutigkeit der Schrodingerschen Operatoren.—
Math. Ann., Bd 104, S. 570.
Фон Нейман A936) (von Neumann J.) On an algebraic generalization of the quantum mechanical
formalism.— Мат. сб., т. I, с. 415.
Нельсон A959) (Nelson E.) Analytic vectors.— Ann. of Math., v. 70, p. 572 (русский перевод:
Математика, 1962, т. 6, № 3, с. 89).
Нельсон A973а) (Nelson Е.) Quantum fields and Markoff fields. Proc. AMS. Summer Institute on
Partial Differential Equations, held at Berkeley (Calif.), 1971.— Providence (R. I.).
Нельсон A9736) (Nelson E.) Construction of quantum fields from Markoff fields.— J. Funct.
Anal., v. 12, p. 97.
Нельсон A973b) (Nelson E.) The free Markoff fields.—J. Funct. Anal., v. 12, p. 211.
Нельсон A973r) (Nelson E.) Probability theory and Euclidean field theory.— In: Constructive
Quantum Field Theory.—/ Ed. Velo G., Wightman A. S.—B. e. a.: Springer-Verlag,
p. 94—124 (русский перевод: В сб.: Конструктивная теория поля.— М.: Мир, 1977,
с. 74—98).
Нишиджима A957) (Nishijima К.) On the asymptotic conditions in quantum field theory.— Prog.
Theor. Phys., v. 17, p. 765.
Нишиджима A958) (Nishijima K) Formulation of field theory of composite particles.— Phys.
Rev., v. Ill, p. 995.
Нишиджима A960) (Nishijima K-) Asymptotic conditions and perturbation theory.— Phys.
Rev., v. 119, p. 485.
Оберсон и др. A974—1975) (Auberson G., Epole L., Mahoux G., Sitnao F. R. A.) Regorous abso-
absolute bounds for pion-pion scattering, I. Solving a first extremum problem.— Nucl. Phys.,
1974, v. B73, p. 319; II. Solving modified Szego — Meiman problem.— Ann. Inst. H. Poin-
care, 1975, v. 22, p. 317; III. Dispersion relations on algebraic manifolds and computation of
bounds.—Nucl. Phys., 1975, v. B94, p. 311.
Огиевецкий В. И., Мезинческу Л. A975) Симметрии между бозонами и фермионами и суперсим-
суперсимметрия.—УФН, т. 117, с. 637.
Огиевецкий В. И., Чжоу Гуан Чжао A959) Свойство зарядовой симметрии и представления
расширенной группы Лоренца в теории элементарных частиц.— УФН, т. 36, с. 264.
Оджима, Хата A979) (Ojima L., Hata H.) Observables and quark confinement in the covariant
canonical formalism of Yang-Mills theory, II.— Z. Phys. C, Bdl, S. 405.
Ока A953) (Oka K.) Stir les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, IX. Domains
finis sans point critique interieur.— Jap. J. Math., v. 23, p. 97.
Оксак A976) (Oksak A. I.) On invariant and covariant Schwartz distributions in the case of a com-
compact linear group.—¦ Commun. Math. Phys., v. 46, p. 269.
Оксак А. И. A981) Нефоковские линейные бозонные системы и их применения в двумерных мо-
моделях.— ТМФ, т. 48, с. 297.
Оксак, Тодоров A968) (Oksak A. /., Todorov I. T.) Invalidity of TCP-theorem for infinite-compo-
infinite-component fields.— Commun. Math. Phys., v. 11, p. 125.
Оксак, Тодоров A969) (Oksak A. I., Todorov I. T.) On the covariant structure of the two-point
function.— Commun. Math. Phys., v. 14, p. 271.
Оксак А. И., Тодоров И. Т. A971) Двухточечные функции локальных бесконечнокомпонентных
полей.— ТМФ, т. 7, с. 153.
Окубо A958) (Okubo S.) Dispersion relations for the photoproduction of K-mesons.— Prog. Theor.
Phys., v. 19, p. 43.
Окунь Л. Б. A966) Нарушение СР-инвариантности.— УФН, т. 89, с. 603.
Олив, Турок A983) (Olive D. /., Turok N.) Algebraic structure of Toda systems.— Nucl. Phys.,
v. B220, p. 491.
Онэ A960) (Omnes R.) Demonstration des relations de dispersion.— [PI], p. 317—388.
Орцалези A970) (Orzatesi С A.) Changes and generators of symmetry transformations in quantum
field theory.— Rev. Mod. Phys., v. 42, p. 381.
Остервальдер A973a) (Osterwalder K.) Euclidean Green's functions and Wightman distributions.—
In: Constructive quantum field theory / Ed. Velo G., Wightman A. S. (Lecture Notes in
Physics).— B.e.a.: Springer-Verlag, p. 71—93, v. 25 (русский перевод: В сб.: Конструктив-
Конструктивная теория поля.— М.: Мир, 1977, с. 48—73).
Остервальдер A9736) (Osterwalder К.) Duality for free Bose fields.—Commun. Math. Phys.,
v. 29, p. 1.
Остервальдер, Шрадер A973) (Osterwalder К; Schroder R.) Axioms for Euclidean Green's func-
functions.— Commun. Math. Phys., v. 31, p. 83.
591
Остервальдер, Шрадер A975) (Osterwalder K-, Schroder S.) Axioms for Euclidean Green's func-
functions, II.— Commun. Math. Phys., v. 42, p. 281 (русский перевод: В сб.: Евклидова кванто-
квантовая теория поля. Марковский подход.— М.: Мир, 1978, с. 9—45).
Павлов В. П. A978а) Аналитическая структура амплитуды 3->-3 вперед.— ТМФ, т. 35,
с. 3.
Павлов В. П. A9786) Теория обобщенных запаздывающих операторов.— ТМФ, т. 37, с. 154.
Палев A982) (Palev Т. D.) Para-Bose and para-Fermi operators as generators of orthosymp-
lectic Lie superalgebras.— J. Math. Phys., v. 23, p. 1100.
Парк, Еле A965) (Parke W. C, JehleH.) Covariant spinor formulation of relativistic wave
equations under the homogeneous Lorentz groups.— [Л1], p. 297—397.
Партхасарати A969) (Parthasarathy K- R-) Projective unitary antiunitary representations of
locally compact groups.— Commun. Math. Phys., v. 15, p. 305.
Паули A936) (Pauli W.) Contributions mathematiques a la theorie des matrices de Dirac.— Ann.
Inst. H. Poincare, v. 6, p. 109.
Паули A940) (Pauli W.) Connection between spin and statistics.— Phys. Rev., v. 58, p. 716
(русский перевод: В кн.: В. Паули. Релятивистская теория элементарных частиц.— М.:
ИЛ, 1947).
Паули A943) (Pauli W.) On Dirac's new method of field quantization.— Rev. Mod. Phys., v. 15,
p. 175.
Паули A950) (Pauli W.) On the connection between spin and statistics.— Prog. Theor. Phys.,
v. 5, p. 526.
Паули A955) (Pauli W.) Exclusion principle, Lorentz group and reflection of space-time and char-
charge.— In: Niels Bohr and the Development of Physics / Ed. Pauli W.— N. Y.: McGraw-Hill,
p. 30—51 (русский перевод: В сб.: Нильс Бор и развитие физики.— М.: ИЛ, 1958).
Пауэре A971, 1974) (Powers R. Т.) Self-adjoint algebras of unbounded operators, I.— Commun.
Math. Phys., v. 21, p. 85; II. Trans. Amer. Math. Soc, v. 167, p. 261.
Пауэре, Штёрмер A970) (Powers R. Т., Stermer E.) Free states of the canonical anticommuta-
tion relations.— Commun. Math. Phys., v. 16, p. 1.
Первушин. В. Н. A979) Квантовая топология калибровочных полей.— В сб.: Проблемы кванто-
квантовой теории поля. Тр. V Междунар. совещ. по нелокальным теориям поля (Алушта, 1979).—
Дубна: ОИЯИ, с. 223—232.
Первушин В. Н. A980) Квантовая хромодинамика как микроскопическая теория сверхтеку-
сверхтекучести.— ТМФ, т. 45, с. 394.
Пешкова и др. A983) (Pelkova V. В., Sotkov G., Todorov I. T.) Physical meaning of intertwining
maps between exceptional representations of the conformal group. Lecture at the 1982 Varna
School.
Петрина Д. Я- A961) О невозможности построения нелокальной теории поля с положительным
спектром оператора энергии-импульса.— Укр. мат. журн., т. 13, № 4, с. 109.
Петрина Д. Я. A963) Аналитические свойства вкладов диаграмм Фейнмана.— ДАН СССР,
т. 149, с. 808.
Петров В. А. A977) Об асимптотической связи между процессами глубоконеупругого рассея-
рассеяния и инклюзивной аннигиляции.— ТМФ, т. 33, с. 280.
Плимен A968) (Plymen R. J.) C*-algebras and Mackey's axioms.— Commun. Math. Phys.,
v. 8, p. 132.
Погребков A- /(. A973) Модель Тирринга. Асимптотическое поле и S-матрица.— ТМФ, т. 17,
с. 47.
Погребков А. К-, Сушко В. Н. A975) Квантование (sin фJ-взаимодействия в терминах ферми-
онных переменных.— ТМФ, т. 24, с. 425.
Погребков А. К-, Сушко В. Н. A976) Квантовые солитоны и их связь с фермионными полями
при (sin фJ-взаимодействии.— ТМФ, т. 26, с. 419.
Поливанов М. К- A958) Вопросы порождения тяжелых мезонов и гиперонов с точки зрения дис-
дисперсионных соотношений.— ДАН СССР, т. 118. с. 679.
Поливанов М. К- A965) (Polivanov M. С.) Causal S-matrix in the axiomatic approach.— In:
High Energy Physics and Elementary Paritcles. Lectures at Trieste Seminar, 1965.— Vienna:
IAEA, p. 121—136.
Поливанов и др. A973) (Поливанов М. К-, Сушко В. Н., Хоружий С. С.) Аксиомы алгебры
наблюдаемых и понятие поля.— ТМФ, т. 16, с. 3.
Полицер A974) (Politzer П. D.) Asymptotic freedom: an approach to strong interactions.— Phys.
Reports, v. 14C, p. 12Э.
Полкинхорн A956) (Polkinghorne J. C.) General dispersion relations.— Nuovo Cim., v. 4, p. 216.
Полкинхорн A957) (Polkinghorne J. C.) Causal products in quantum field theory.— Proc. Camb.
Phil. Soc, v. 53, p. 260.
Полкинхорн, Сари-тч A950) (Polkihghorne J. C, Screaton G. R.) The analytic properties of
perturbation thaory, I, II.— Nuavo Cim., v. 15, p. 289, 925.
Полмайер A938) (Pohlm-гуег K-) Eins schsinbara Abschwachung der Lokalitatsbedingung.—
*q Commun. Math. Phys., v. 7, p. 8D.
Полмайер A939) (Po'xlnzyer K-) Thj Jost-Schroer theorem for zero mass fields.— Commun. Math.
Phys., v. 12, t>. 204.
Поляков А. М. A974а) Нггамильтонэз подход к конфэрмной квантовой теории поля.— ЖЭТФ,
т. 66, с. 23.
Поляков А. М. A9746) Спектр частиц в квантовой теории поля.— Письма в ЖЭТФ, т. 20, с. 430.
Поляков А. М. A975) Изомерные состояния квантовых полей.— ЖЭТФ, т. 68, с. 1975.
592
Померанчук И. Я- A958) Равенство полных сечений взаимодействия нуклонов и антинуклонов
при больших энергиях.— ЖЭТФ, т. 34, с. 725.
Понтрягин Л. С. A944) Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой.— Изв.
АН СССР. Сер. мат., т. 8, с. 243.
Понцано и др. A969) (Ponzano О., Regge Т., Speer E. R., Westwater M. J.) The monodrcmy rings
of a class of self-energy graphs.— Commun. Math. Phys., v. 15, p. 82.
Пот A978) (Poth H.) Test of CPT with antiprotons.— Phys. Lett., v. 77B, p. 321.
Прадхан A958) (Pradhan T.) On the one-dimensional spinor model of Thirring.— Nucl. Phys.,
v. 9, p. 124.
Препарата A972) (Preparata G.) Lectures in light-cone physics.— In: Proc. of the 7th Finnish
Summer School in Physics (Loma-Koli, Finland, 1972).— University of Helsinki, p. 209—
277.
Пронько Г. П. A974) Низкоэнергетические теоремы в S-матричной электродинамике.— ТМФ,
т. 18, с. 203.
Пронько Г. П., Соловьев Л-Д. A974) Инфракрасная асимптотика функции Грина.— ТМФ,
т. 19, с. 172.
Пью A963) (Pugh R. E.) Finite formulation of quantum field theory.— Ann. of Phys., v. 23,
p. 335.
Пью A965—1966) (PughR.E.) S-operator theory, I. Formulation; II. Quantum electrody-
electrodynamics.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 740; 1966, v. 7, p. 376.
Радюшкин А. B. A983) Анализ жестких инклюзивных процессов в квантовой хромодинамике.—
ЭЧАЯ, т. 14, с. 58.
Разумов А. В. A977) Преобразование Н. Н. Боголюбова и квантование солитонов.— ТМФ,
т. 30, с. 18.
Рашевский П. К- A955) Теория спиноров.— УМН, т. 10, вып. 2, с. 3.
Рашевский П. К. A958) О математических основах квантовой электродинамики.— УМН, т. 13,
вып. 3, с. 3.
Редже A959) (Regge Т.) Introduction to complex orbital momenta.— Nuovo Cim., v. 14, p. 951.
Pee A971) (Reeh H.) Remarks concerning a spontaneous breakdown of dilations.— Nuovo Cim.,
v. 4A, p. 566.
Pee, Реквард A980) (ReehH., Requardt M.) Some properties of the electric charge operator.—
Rep. Math. Phys., v. 17, p. 55.
Pee, Шлидер (!961) (Reeh H., Schlieder S.) Bemerkungen zur Unitaraquivalenz von Lorentzinva-
rianten Feldern.— Nuovo Cim., v. 22, p. 1051.
Pee, Шлидер A962) (ReehH., Schlieder S.) Uber den Zerfall der Feldoperator-algebra im Falle
einer Vakuumentartung.— Nuovo Cim., v. 26, p. 32.
Рей A968) (Wray J. G.) Current formalism, I. Ordering theorems for currents; II. The S-matrix
in perturbation theory.— J. Math. Phys., v. 2, p. 537, 552.
Реквард A976) (Requardt M.) Symmetry conservation and integration over local charge densities
in quantum field theory.— Commun. Math. Phys., v. 50, p. 259.
Pudo A975) (Rideau G.) On the realization of the Landau gauge.— Lett. Math. Phys., v. 1, p. 17.
Puck A968) (Risk C.) Analyticity of envelope diagrams.— J. Math. Phys., v. 9, p. 2168.
Puce A949) (Riesz M.) L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy.— Acta Math.,
v. 81, p. 1.
Рихсенар A982) (Ruijsenaars S. N. M.) Scattering theory for the Federbush, massless Thirring
and continuum Ising model.— J. Funct. Anal., v. 48, p. 135.
Роберте A976a) (Roberts J. E.) Statistics and the intertwiner calculus.— In: C*-Algebras and
their Applications to Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Scuola Internaz. di
Fisica «Enrico Fermi», 1973, corso 60 / Ed. Kastler D.— Amsterdam e.a.: North-Holland,
p. 203—225.
Роберте A9766) (Roberts J. E.) Local cohomology and superselection structure.— Commun.
Math. Phys., v. 51, p. 107.
Роберте, Рёпшторф A969) (Roberts J. E., Roepstorff G.) Some basic consepts of algebraic quantum
theory.— Commun. Math. Phys., v. 11, p. 321.
Робинсон A962) (Robinson D. W.) Support of a free field in momentum space.— Helv. Phys.
Acta, v. 35, p. 403.
Робинсон A964) (Robinson D. W.) On a soluble model of relativistic field theory.— Phys. Lett.,
v. 9, p. 189.
Робинсон A966) (Robinson D. W.) Algebraic aspects of relativistic quantum field theory.— In:
Axiomatic Field Theory. Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics,
v. 1, 1965/ Ed. Chretien M., Deser S.— N. Y. e.a.: Gordon and Breach, p. 389—516.
Рорлих A964) (Rohrlich F.) Functional differential calculus of operators.— J. Math. Phys., v. 5,
p. 324.
Рорлих, Вилнер A966) (Rohrlich F., Wilner M.) Functional differential calculus of operators,
II.—J. Math. Phys., v. 7, p. 482.
Рорлих, Рей A966) (Rohrlich F., Wray J. G.) Ordering theorems.— J. Math. Phys., v. 7, p. 1967.
Poccu A982) (Rossi P.) Exact results in the theory of non-abelian magnetic monopoles.— Phys.
Reports, v. 86, p. 317.
Pome, Ceue/ca A977) (RotheK- D., Swieca J. A.) Gauge transformations and vacuum structure in
the Schwinger model.— Phys. Rev., v. D15, p. 541.
Pome, Свиека A978) (Rothe H. J., Swieca J. A.) Quantization ambiguity and non-trivial vacuum
structure.— Nucl. Phys., v. В138, p. 26.
593
Рчеулишвили Г. Л., Самохин А. П. A975) Об аналитических свойствах дифференциального се-
сечения неупругого процесса.— ТМФ, т. 25, с. 425.
Рюгг и др. A967) (Ruegg #., Ruhl W., Santhanam T. S.) The SUF) model and its relativistic
generalizations.— Helv. Phys. Acta, v. 40, p. 9.
Рюль A967) (Rilhl W.) Complete sets of solutions of linear Lorentz covariant field equations with
an infinite number of field components.— Commun. Math. Phys., v. 6, p. 311.
Рюль A973) (Rilhl W.) On conformal invariance of interacting fields.— Commun. Math. Phys.,
v. 34, p. 149.
Рюэль A959) (RuelleD.) Analyticity of Wightman functions at completely space-like points.—
Helv. Phys. Acta, v. 32, p. 135.
Рюэль A961а) (RuelleD.) Domain of holomorphy of the three-point function.— Helv. Phys.
Ada, v. 34, p. 587.
Рюэль A9616) (RuelleD.) Connection between Wightman functions and Green functions in p-
space.— Nuovo Cim., v. 19, p. 356.
Рюэль A962) (RuelleD.) On the asymptotic condition in quantum field theory.— Helv. Phys.
Acta, v. 35, p. 147.
Салам, Страсди A978) (Salatn A., StrathdeeJ.) Supersymmetry and superfields.— Fortschr.
Phys., Bd26, S. 57.
Сахаров А. Д. A967) Нарушение СР-инвариантности, С-асимметрия и барионная асиммет-
асимметрия Вселенной.— Письма в ЖЭТФ, т. 5, с. 32.
Сахаров А. Д. A979) Барионная асимметрия Вселенной.— ЖЭТФ, т. 76, с. 1172.
Де Сварт A974) (de Swart J. J.) Projective representations of connected linear Lie groups.— In:
Proc. of the Third International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, v. 2,
Centre de Physique Theorique.— Marseille: CNRS, p. 379—387.
Свиека A970) (Swieca J.) Goldstone theorem and related topics.— [КЗ], р. 215—233.
Свиека A976) (Swieca J. A.) Charge screening and mass spectrum.— Phys. Rev., v. D13,
p. 312.
Свиека A977) (Swieca J. A.) Solitons and confinement,— Fortschr. Phys., Bd 25, S. 303.
Сенеор A969) (Senior R.) A generalization of Dyson's formula.— Commun. Math. Phys., v. 11,
p. 233.
Сигал A947) (Segal I. E.) Postulates for general quantum mechanics.— Ann. of Math.,
v. 48 B), p. 930.
Сигал A956) (Segal I. E.) Tensor algebras over Hilbert spaces.— Trans. Amer. Math. Soc, v. 81,
p. 103; Ann. of Math., v. 63 B), p. 160.
Сигал A958) (Segal I. E.) Distributions in Hilbert space and canonical systems of operators.—
Trans. Amer. Math. Soc, v. 88, p. 12.
Сигал A959a) (Segal I. E.) Characterisation mathematique des observables en theorie quantique
des champs et s?s consequsnces pour la structure des particules libres.— In: Colloque Interna-
Internationale sur les Problerms Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs (Lille, 1957).—
P.: C.N.R.S., p. 57—103.
Сигал A9596) (Segal I. E.) Foundations of the theory of dynamical systems of infinitely many de-
degrees of freedam, I. Kgl- Dansks Vidsnskab. Salskab., Mat.— Fys. Medd., v. 31, № 12.
Сигал A960) (Segal I.) Quantization of nonlinear systems.— J. Math. Phys., v. 1, p. 463.
Сигал A961) (Segal I. E.) Foundations of the theory of dynamical systems of infinitely many de-
degrees of freedom, II. A generating functional for the states of a linear boson field.— Canad.
J. Math., v. 13, p. 1.
Сигал. A962) (Segal I. E.) Foundations of the dynamics of infinite systems, III. Mathematical
characterization of the physical vacuum for a linear Bose-Einstein field.— Illinois. J. Math.,
v. 6, p. 500.
Сигая A967) (Segal 1. E.) Notes towards the construction of nonlinear relativistic quantum
fields. I. The Hamiltonian of two space-time dimensions as the generator of a C*-auto-
morphism group.— Proc. Nat. Acad. Sci., v. 57, p. 1178.
Симанзик A957) (Symanzik K-) Derivation of dispersion relations for forward scattering.— Phys.
Rev., v. 105, p. 743.
Симанзик A958) (Symanzik K.-) Dispersion relations and vertex properties in perturbation theo-
theory.— Prog. Theor. Phys., v. 20, p. 690.
Симанзик A960) (Symanzik K-) On the many-particle structure of Green's functions in quantum
field theory.—J. Math. Phys., v. 1, p. 249.
Симанзик A964) (Symanzik K-) Application of functional integration to Euclidean quantum field
theory.— In: Proc. of Conf. on the Theory and Applications of Analysis in Function Space,
held at Endicott House in Dedham (Mass.), 1963 / Ed. Martin W. Т., Segal I,— Cambridge
(Mass.): M. I. T. Press, p. 197—206.
Симанзик A966) (Symanzik K-) Euclidean quantum field theory, I. Equations for a scalar model.—
J. Math. Phys., v. 7, p. 510.
Симанзик A969a) (Symanzik K-) Euclidean quantum field theory.— In: Local Quantum Theory.
Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi», corso 45 / Ed. Jost R.— N. Y., L.: Academic
Press, p. 152—226.
Сим2нзик A9696) (Symanzik K.) Eucliedean quantum field theory.— In: Coral Gables Conference
on Fundamental Interactions at High Energy / Ed. Gudehus Т., Kaiser G., Perlmutter A.—
N. Y., p. 19—32.
Симанзик A971) (Symanzik K-) Lectures in Lagrangian quantum field theory.— Internal Bericht,
DESY.
594
Симмс( 1971) (SimmsJ.) A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective represen-
representations of Lie groups.— Rep. Math. Phys., v. 2, p. 283.
Синг, Рой A970) (Singh V., Roy S. M.) Upper bounds on the elastic differential cross section.—
Ann. of Phys., v. 57, p. 461.
Скарф A959a) (Scarf F. L.) Anticommutator for a nonlinear field theory.— Phys. Rev., v. 115,
p. 463.
Скарф A9596) (Scarf F. L.) Equations of motion for renormalized fields.— Nuovo Cim., v. 14,
p. 849.
Скарф, Весе A962) (Scarf F. L., Wess J.) A consistent operator solution of the Thirring model.—
Nuovo Cim., v. 26, p. 150.
Скирм A961) (Skyrme T. H. R.) Particle state of a quantized meson field.— Proc. Roy. Soc,
v. A262, p. 237.
Славное A. A. A972) Тождество Уорда в калибровочных теориях.— ТМФ, т. 10, с. 152.
Славное Д. А. A977) Принцип причинности и теория рассеяния.— ТМФ, т. 30, с. 147.
Сладь Л. М. A970) К вопросу о СРТ-инвариантных теориях бесконечнокомпонентных полей.—
ТМФ, т. 2, с. 67.
Сланский A981) (Slansky R.) Group theory for unified model binding.— Phys. Reports, v. 79,
p. 1.
Смирнов В. А. A978) О связи между асимптотическим поведением электромагнитных форм-фак-
форм-факторов и сингулярностями их фурье-образов.— ТМФ, т. 35, с. 273.
Снайдер A947а) (Snyder H.) Quantized space-time.— Phys. Rev., v. 71, p. 8.
Снайдер A9476) (Snyder H.) Electromagnetic field in quantized space-time.— Phys. Rev., v. 72,
p. 68.
Соболев A936) (Soboleff S. L.) Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equa-
equations lineaires hyperboliques normales.— Мат. сб., т. 1, с. 39.
Соловьева. Д. A965) (Soloviev L.D.) Low energy photons in elementary particle collisions.—
Nucl. Phys., v. 64, p. 657.
Соловьев!!. Д. A966) Дисперсионные правила сумм и SU (б)-симметрия.— ЯФ, т. 3, с. 188.
Соловьев Л. Д. A973) Аксиоматический метод в квантовой электродинамике.— ТМФ, т. 15,
с. 59.
Соловьев Л. Д., Щелкачев А. В. A975) О росте полных сечений при высоких энергиях.— ЭЧАЯ,
т. 6, с. 571.
Соловьев М. А. A971) О выборе класса обобщенных функций, совместимом с локальностью.—
ТМФ, т. 7, с. 183.
Соловьев М. А. A980а) Теория Рюэля и теория квазианалитических классов функций.— ТМФ,
т. 42, с. 3.
Соловьев М. А. A9806) Релятивистски-инвариантная формулировка причинности в нелокаль-
нелокальной теории экспоненциального роста.— ТМФ, т. 43, с. 202.
Соловьев М. А. A980в) Пересечение пространств Джаффе.— ТМФ, т. 45, с. 147.
Стапп A968) (Stapp H. P.) Crossing, hermitian analyticity and the connection between spin and
stetistics.— J. Math. Phys., v. 9, p. 1546.
Cmann A971) (Stapp H. P.) Inclusive cross sections are discontinuities.— Phys. Rev., v. D3,
p. 3177.
Степанов Б. М. A963) К вопросу о построении S-матрицы.— ДАН СССР, т. 151, с. 84.
Степанов Б. М. A965) О построении S-матрицы по теории возмущений.— Изв. АН СССР. Сер,
мат., т. 29, с. 1037.
Стоянов, Тодоров A968) (Stoyanov D. Tz., Todorovl. T.) Majorana representations of the Lo-
rentz group and infinite-component fields.— J. Math. Phys., v. 9, p. 2146.
Cmpumep A960a) (Streater R. F.) Some integral representations in field theory.— Nuovo Cim.,
v. 15, p. 937.
Cmpumep A9606) (Streater R. F.) Double commutator in quantum field theory.— J. Math. Phys.,
v. 1, p. 231.
Cmpumep A962a) (Streater R. F.) Analytic properties of product of field operators.-^ J. Math.
Phys., v. 3, p. 256.
Cmpumep A9626) (Streater R. F.) Fields satisfying the asymptotic condition.— Nuovo Cim.,
v. 25, p. 274.
Cmpumep A964) (Streaier R. F.) Almost local field theories of the S-matrix.— Phys. Rev., v.
136B, p. 1748.
Cmpumep A965a) (Streater R. F.) Spontaneous breakdown of symmetry in axiomatic theory.-^-
Proc. Roy. Soc, v. A287, p. 510.
Cmpumep A9656) (Streater R. F.) Generalization of Goldstone theorem.— Phys. Rev. Lett., v. 15,
p. 475.
Cmpumep A967a) (Streater R. F.) Uniqueness of the Haag-Ruelle scattering states.—J. Math.
Phys., v. 8, p. 1685.
Cmpumep A9676) (Streater R. F.) Local fields with the wrong connection between spin and sta-
statistics.— Commun. Math. Phys., v. 5, p. 88.
Cmpumep A968) (Streater R. F.) Infinite-component fields and mass plitting.— [Э2], p. 149—
156.
Cmpumep A972) (Streater R. F.) Connection between the spectrum condition and the Lorentz
covariance.— Commun. Math. Phys., v. 26, p. 109.
Cmpumep A974a) (Streater R. F.) Gauge theories of superselection rules. Schladming Lectures/
Ed. Urban P.—В.: Springer.
59S
Стрингер A9746) (Sireater R. F.) Currents and charges in the Thirring model.— In: Physical
Reality and Mathematical Description / Ed. Enz. СР., Mehra J.— Dordrecht, Boston:
Reidel, p. 375—386.
Cmpumep A975) (Streater R. F.) Outline of axiomatic relativistic quantum field theory.— Rep.
Prog. Phys., v. 38, p. 771.
Cmpumep A978) (Streater R. F.) Spontaneously broken symmetry.— In: Many degrees of freedom
in field theory / Ed. Streit L.— N. Y.: Plenum Press, p. 197—223.
Cmpumep, Уайльд A970) (Streater R. F., Wilde I. F.) Fermion states of a boson field.— Nucl.
Phys., v. B24, p. 561.
Строчки A966) (Strocchi F.) On the physical implications of gauge invariance.— Nuovo Cim.,
v. 42, p. 9.
Строкки A967) (Strocchi F.) Gauge problem in quantum field theory.— Phys. Rev., v. 162,
p. 1429.
Строкки A968) (Strocchi F.) Gauge problem in quantum field theory, II. Difficulties of combining
Einstein equations and Wightman theory.— Phys. Rev., v. 166, p. 1302.
Строкки A970) (Strocchi F.) Gauge problem in quantum field theory, III. Quantization of Max-
Maxwell equations and weak local commutativity.— Phys. Rev., v. D2, p. 2334.
Строкки A976a) (Strocchi F.) Superselection rules and infrared problem in Yang-Mills theories.—
Lett. Nuovo Cim., v. 16, p. 397.
Строкки A9766) (Strocchi F.) Locality, charges and quark confinement.— Phys. Lett., v. 62B,
p. 60.
Строкки A976b) (Strocchi F.) Gauge grjups in local field theory and superselection rules.— In:
Group Theoretical Methods in Physics / Ed. JannerA. et al.; Springer Lecture Notes in
Physics.— В.: Springer-Verlag, v. 50.
Строкки A977) (Strocchi F.) Spontaneous symmetry breaking in local gauge quantum field theo-
theory; the Higgs mechanism.— Commun. Math. Phys., v. 56, p. 57.
Строкки A978) (Strocchi F.) Local and covariant gauge quantum field theories. Cluster property,
superselection rules and infrared problem.—• Phys. Rev., v. D17, p. 2010.
Строкки A981) (Strocchi F.) Gauss' law in quantum field theory.— In: Field Theory, Quantiza-
Quantization and Statistical Physics/Ed. Tirapegui E,— Dordrecht: Reidel, p. 227—236.
Строкки, Уашпман A974) (Strocchi F., Wightman. A. S.) Proof of the charge superselection rule
in local relativistic quantum field theory.—J. Math. Phys., v. 15, p. 2198 (E: 1976, v. 17,
p. 1930).
Сугавара A965) (Sugawara M.) Resonances and high-energy limit of scattering.— Phys. Rev.
Lett., v. 14, p. 336.
Сугавара, Каназава A961) (Sugawara M., Kanazawa A.) Subtractions in dispersion relations.—
Phys. Rev., v. 123, p. 1895.
Сударшан A968) (Sudarshan E. C. G.) A new formulation of relativistic quantum theory of fields
with applications to particles travelling faster than light.— [Э2], p. 335—343.
Сурьё A966) (Souriau J.-M.) Quantification geometrique.— Commun. Math. Phys., v. 1,
p. 374.
Суханов А. Д. A961) О гамильтониане взаимодействия в квантовой теории поля.— ЖЭТФ,
т. 41, с. 1915.
Суханов А. Д. A964) О связи операторов в представлении Гейзенберга и взаимодействия в ло-
локальной квантовой теории поля.— ЖЭТФ, т. 47, с. 1303.
Суханов А. Д. A955) Уравнение движения «половинной» S-матрицы и его следствия.— ЖЭТФ,
т. 49, с. 1812.
Суханов А. Д. A966) «Квазилокальные» гейзенберговы операторы и проблема перенормировки
в квантовой теории поля.—ЖЭТФ, т. 51, с. 1195.
Сушко В. Н. A978) Фгрмионизация (sin фJ-взаимодействия в ящике.— ТМФ, т. 37, с. 171.
Сушко В. И., Хоружий С. С. A970) Векторные состояния на алгебрах наблюдаемых и правила
суперотбора, I. Векторные состояния и гильбертово пространство; II. Алгебраическая тео-
теория правил суперотбора.— ТМФ, т. 4, с. 171, 341.
Тавхглидзе A965) (Tavkhelidze A.) Higher symmatries and composite models of elementary partic-
particles.— In: High Energy Physics and Elementary Particles. Lectures at Trieste Seminar, 1965.—
Vienna: IAEA, p. 753—762.
Такабаяши A969) (Takabayashi T.) Group of relativistic internal motion, its unitary representa-
representation and wave equation.— Prog. Theor. Phys., v. 42, p. 423.
Тарский( 1964) (Tarski J.) Representation of fields in a two-dimensional model theory.— J. Math.
Phys., v. 5, p. 1713.
Тейлор Дж. Дж. A971) (Taylor J. G.) Local commutativity for nonlocalizable fields.— Ann. of
Phys., v. 68, p. 484.
Тейлор Дж. К- A971) (Taylor J. С.) Ward identities and charge renormalization of Yang-Mills
field.—Nucl. Phys., v. B33, p. 436.
Тейлор Дж. К. A983) (Taylor J. С.) Fundamentals of QCD.— In: Proc. of the CERN School of
Physics (Cambridge, 1982).— Sci. Rep. CERN: 83-5.
Тикпгопулос, Трейман A968a) (Tiktopoulos G., Treiman S. B.) High energy bound for production
reactions.— Phys. Rev., v. 167, p. 1408.
Тиктопулос, Трейман A9686) (Tiktopoulos G., Treiman S. B.) Angular dependence of scattering
at high energies.— Phys. Rev., v. 167, p. 1437.
Тиктопулос, Трейман A972) (Tiktopoulos G., Treiman S. B.) Bounds on inclusive cross sections.—
Phys. Rev., v. D6, p. 2045.
596
Тирринг A958) (Thirring W.) On interacting spinor fields in one dimension.— Nuovo Cim.,
v. 9, p. 1007.
Тирринг, Весе A964) Solution of a field theoretical model in one space one time dimension.— Arm.
of Phys., v. 27, p. 331.
Тодоров A960) (Todorov I. T.) Analytical properties of the scattering amplitude for inelastic pro-
processes involving strange particles.—Nucl. Phys., v. 18, p. 521.
Тодоров И. A964) Аксиоматический подход в квантовой теории поля.— [М7], т. 1, с. 5—76
(немецкий перевод: Fortschr. Phys., 1965, Bdl3, S. 649).
Тодоров A965) (Todorov I.) On some recent achievements in the axiomatic approach to quantum
field theory.—Acta Phys. Hung., v. 19, p. 199.
Тодоров A972) (Todorov I. T.) Conformal invariant quantum field theory.— In: Strong interaction
physics, Lecture Notes in Physics.— В.: Springer-Verlag, p. 270—299, v. 17.
Тодоров A973) (Todorov I. T.) Conformal invariant Euclidean quantum field theory. Lectures
presented at XII International Universitatswochen fur Kernphysik, Schladming, 1973.—Acta
Phys. Austriaca, Suppl., v. 11, p. 241.
Тодоров A976) (Todorov I. T.) Conformal expansions for the Euclidean Green functions.— In:
Mathematical Physics and Physical Mathematics / Ed. Maurin K.., R^czka R.— Dordrecht:
Reidel, p. 57—95. ¦
Тодоров A979) (Todorov I. T.) Topics in gauge theories.— В сб.: XII Междунар. школа молодых
ученых по физике высоких энергий (Приморско, Болгария, 1978), Д 1,2—12450.— Дубна:
ОИЯИ, с. 317—392.
Тодоров, Зайков A969) (Todorov I. Т., Zaikov R. P.) Spectral representation of the covariant two-
point functions and infinite-component fields with arbitrary mass spectrum.— J.Math. Phys.,
v. 10, p. 2014.
Тодоров, Хрусталев A959) (Todorov I. Т., Khrustalev О. A.) Spectral representations for some
vertex parts.— Nucl. Phys., v. 13, p. 675.
Тодоров Т. С. A975) Алгебраический подход и суперотборная структура элементарных час-
частиц.— В сб.: Высокие энергии и элементарные частицы (Варна, 1974).— Дубна: ОИЯИ,
с. 95—115.
Томозава A963а) (Totnozawa Y.) A note on local commutativity.— Nuovo Cim., v, 27, p. 543;
II. Ibid., 28, 667.
Томозава A9636) (Tomozawa Y.) Local commutativity and the analytic continuation of the Wight-
man functions.— J. Math. Phys., v. 4, p. 1240.
Тюрин, H. E., Хрусгпалев О. А. A975) Продолжение амплитуды рассеяния в перекрестный
канал в случае растущих полных сечений.— ТМФ, т. 24, с. 291.
Уайльд A976) (Wilde I. F.) Aspects of algebraic quantum theory.—S3o Paulo (Brazil) (Pre-
(Preprint / Instituto di Fisica).
Уайтман A956) (Wightman A. S.) Quantum field theory in terms of vacuum expectation valu-
values.— Phys. Rev., v. 101, p. 860.
Уайтман A959) (Wightman A. S.) Quelques problemes rnathematiques de la theorie quantique
relativiste.— In: Colloque Internationale sur le Problemes Mathematiques de la Theorie Quan-
Quantique desChamps (Lille, 1957).— P.: C.N.R.S., p. 1—38.
Уайпгман A960a) (Wightman A. S.) L'invariance dans la mecanique quantique relativiste.—
[PI], p. 159-226.
Уайтман A9606) (Wightman A. S.) Analytic functions of several complex variables.— [PI],
p. 227—316.
Уайтман A960/61) (Wightman A. S.) Quantum field theory and analytic functions of several
complex variables.— J. Indian Math. Soc, v. 24, p. 625.
Уайтман A963) (Wightman A. S.) Recent achievements of axiomatic field theory.— In: Theore-
Theoretical Physics, Lectures at Trieste seminar, 1962.— Vienna: IAEA, p. 11—58 (русский перевод
второй части: [В1], с. 145—180).
Уайтман A964) (Wightman A. S.) La theorie quantique locale et la theorie quantique des
champs.— Ann. Inst. H. Poincare, v. 1A, p. 403.
Уайтман A967а) (Wightman A. S.) Introduction to some aspects of the relativistic dynamics of
quantum fields.— In: High Energy Electromagnetic Interactions and Field Theory, Cargese
Lectures in Theoretical Physics, 1964 / Ed. Levy M.— N. Y.: Gordon and Breach, p. 171—
291 (русский перевод: [Bl], с. 9—144).
Уайтман A9676) (Wightman A. S.) Progress in the foundations of quantum field theory.— In:
Proc. of the 1967 Intern. Conf. on Particles and Fields (Rochester, 1967) / Ed. Hagen С R.,
Guralnik G., Mathur V. S.— N. Y. e.a.: Interscience Publ. (Wiley), p. 187—232.
Уайтман A968) (Wightman A. S.) The stability of representations of the Poincare group.— In:
Symmetry Principles at High Energy, The 5-th Coral Gables Conf., 1968 / Ed. Perlmutter A.,
Hurst С A., Kur§unogiu В.— N. Y.: Benjamin, Inc., p. 291—314.
Уайтман A973) (Wightman A. S.) Relativistic wave equations as singular hyperbolic systems.—
In: Proc. AMS Summer Institute on Partial Differential Equations (Berkeley, Calif., 1971),
Providence (R. I.).
Уайтман A976) (Wightman A. S.) Hilbert's sixth problem: mathematical treatment of the axioms
of physics.— In: Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems (Symposium in
Pure Mathematics, 28), Providence (R. I.).— Amer. Math. Soc, p. 147—240.
Уайтман, Барут A959) (Wightman A. S., Barut A. O.) Relativistic invariance and quantum
mechanics, Notes by A. Barut.— Nuovo Cim. Suppl., v. 14, p. 81.
597
Уайтман, Гординг A965) (Wightman A. S., GdrdingL.) Fields as operator-valued distributions
in relativistic quantum field theory.— Arkiv Fys., v. 28, p. 129.
Уайтман, Швебер A955) (Wightman A. S., Schweber S.) Configuration space methods in relati-
relativistic quantum field theory.— Phys. Rev., v. 98, p. 812.
Уитни A934) (Whitney H.) Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets.—
Trans. Amer. Math. Soc, v. 36, p. 63.
Ульман A961) (Uhlmann A.) Spectral integral for the representation of the space-time translat-
translation group in relativistic quantum theory.— Ann. of Phys., v. 13, p. 453.
Ульман A962) (Uhlmann A.) Uber die Definition der Quantenfelder nach Wightman und Haag.—
Wiss. Zeits. Karl-Marx-Univ., Bd 11, S. 213.
Ульман A976) (Uhlmann A.) The «transition probability» in the state space of a *-algebra.— Rep.
Math. Phys., v. 9, p. 273.
Уорд A981) (Ward R. S.) A Yang-Mills-Higgs monopole of charge 2.— Commun. Math. Phys.,
V. 79, p. 317.
Утияма A956) (Utiyama R.) Invariant theoretical interpretation of interaction.— Phys. Rev.,
V. 101, p. 1597.
Фабри и др. A967) (FabriE., Picasso L. E., StrocchiF.) Broken symmetries in quantum field
theory.— Nuovo Cim., v. 48 A, p. 376.
Фаддеев Л- Д. A969) Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов.— ТМФ, т. 1, с. 3—18.
Фаддеев Л- Д- A979) Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля.— В сб.: Пробле-
Проблемы квантовой теории поля. Тр. V Междунар. совещ. по нелокальным теориям поля (Алуш-
(Алушта, 1979).—Дубна: ОИЯИ, с. 249—299.
Фаддеев Л. Д-, Корепин В. Е. A975) Квантование солитонов.— ТМФ, т. 25, с. 147.
Фаддеев, Корепин A978) (Faddeev L. D., Korepin V. Е.) Quantum theory of solitons.— Phys.
Reports, v. 42C, p. 1.
Файнберг В. Я- A961) Об условиях причинности в квантовой теории поля.— ЖЭТФ, т. 40,
с. 1758.
Файнберг В. Я- A964) Уравнения квантовой теории поля в аксиоматическом подходе.— [М7],
т. 1, с. 140—170.
Файнберг В. Я- A972) О квантовых теориях с неполиномиальным ростом матричных элемен-
элементов.— В сб.: Проблемы теоретической физики.— М.: Наука, с. 119—145.
Файнберг, Соловьев A978) (Fainberg V. Ya., Soloviev M. A.) How can local properties be descri-
described in field theories without strict locality?—Ann. of Phys., v. 113, p. 421.
Файнберг Дж. A967) (Feinberg G.) Possibility of faster-than-light particles.— Phys. Rev., v. 159,
p. 1089.
Файнберг, Вайнберг A959) (Feinberg G., Weinberg S.) On the phase factors in inversion.— Nuovo
Cim., v. 14, p. 571.
Фаулер A963) (Fowler M.) Second-type singularities in perturbation theory.— Nuovo Cim.,
v. 27, p. 952.
Федербуш A961a) (Federbush P.) A two-dimensional relativistic field theory.— Phys. Rev.,
v. 121, p. 1247.
Федербуш A9616) (Federbush P.) Operator equations in two field theory models.— Prog. Theor.
Phys., v. 26, p. 148.
Федербуш A965) (Federbush P.) Calculation of some homology groups relevant to sixth-order
Feynman diagrams.— J. Math. Phys., v. 6, p. 941.
Федербуш, Джонсон A960) (Federbush P. G., Johnson K- A.) The uniqueness of the two-point
function.— Phys. Rev., v. 120, p. 1926.
Фейнман A969) (Feynman R. P.) Very high-energy collisions of hadrons.— Phys. Rev. Lett.,
v. 23, p. 1415.
Фелл A960) (Fell J. M. G.) The dual spaces of C*-algebras.— Trans. Amer. Math. Soc., v. 94, p. 365.
Фельдман, Метьюс A966) (FeldmanG., Matthews P. T.) Unitarity, causality and Fermi statis-
statistics.—Phys. Rev., v. 151, p. 1176.
Фельдман, Метьюс A967) (Feldman G., Matthews P. T.) Multimass fields, spin and statistics.—
Phys. Rev., v. 154, p. 1241.
Феррари A973) (Ferrari R.) On Goldstone's theorem for a class of currents not covariant under
translations.— Nuovo Cim., v. 14A, p. 386.
Феррари A974) (Ferrari R.) Some comments on the Higgs phenomenon.— Nuovo Cim., v. 19A,
p. 204.
Феррари, Пикассо A971) (Ferrari R., Picasso L. E.) Spontaneous breakdom in quantum electro-
electrodynamics.—Nucl. Phys., v. B31, p. 316.
Феррари и др. A974) (Ferrari R., Picasso L., Strocchi F.) Some remarks on local operators in
quantum electrodynamics.— Commun. Math. Phys., v. 35, p. 25.
Феррари и др. A977) (Ferrari R., Picasso L., StrocchiF.) Local operators and charged states in
quantum electrodynamics.— Nuovo Cim., v. A39, p. 1.
Фирц A939) (Fierz M.) Uber die relativistische Theorie kraftfreier Teilchen mit beliebigen Spin.—
Helv. Phys. Acta, Bdl2, S. 13.
Фирц, Паули A939) (Fierz M., Pauli W.) On relativistic wave equations for particles of arbitrary
spin in an electromagnetic field.— Proc. Roy. Soc, v. A173, p. 211.
Фишер и др. A976) (Fischer J., Kolaf P., Vroil.) Asymptotic correlation between total cross
sections and forward scattering amplitudes.— Czechoslovak J. Phys., v. B26, p. 86.
Фок A932) (Fock V.) Konfigurationsraum und zweite Quantelung.— Zs. Phys., Bd75, S. 622
(русский перевод: [Ф4], с. 25—51).
598
Фолди A956) (Foldy L.) Synthesis of covariant particle equations.— Phys. Rev., v. 102, p. 568.
Фрадкин, Пальчик A976) (Fradkin E. S., Palchik M. Ya.) Conformally invariant Green functi-
functions of scalar and tensor fields and conserved current.— Nuovo Cim., v. 34A, p. 438.
Фрёлих A973) (Frohlich J.) On the infrared problem in model of scalar electrons and massless,
scalar bosons.— Ann. Inst. H. Poincare, v. 19A, p. 1.
Фрёлих A974) (Frohlich J.) Schwinger functions and their generating functional.— Helv. Phys.
Acta, v. 47, p. 265.
Фрёлих A975) (Frohlich J.) Poetic phenomena in (two-dimensional) quantum field theory: non-
uniqueness of the vacuum, the solitons and all that.— In: Les Methodes Mathematiques de la
Theorie Quantique des Champs. Colloques Internationaux.— P.: C.N.R.S., № 248, p. Ill—
130.
Фрёлих A976a) (Frohlich J.) New superselection sectors in 2-dimensional Bose quantum field mo-
models.—Commun. Math. Phys., v. 47, p. 269.
Фрёлих A9766) (Frohlich J.) Quantum «sine-Gordon» equation and quantum solitons in two space-
time dimensions.— In: Renormalization Theory / Ed. Velo G., Wightman A.— Dordrecht:
Reidel.
Фрёлих A978) (Frohlich J.) An introduction to some topics in constructive quantum field theory.—
In: Many Degrees of Freedom in Field Theory / Ed. Streit L.— N.Y.: Plenum Press,
p. 1—50.
Фрёлих A979) (Frohlich J.) Lectures on Yang-Mills theories.— Bures-sur-Yvette: IHES.
Фрёлих, Парк A977) (Frohlich J., Park Y. M.) Remarks on exponential interactions and the
quantum sine-Gordon equation in two space-time demensions.— Helv. Phys. Acta, v. 50,
p. 315.
Фрёлих и др. A979a) (Frohlich J., Morchio G., Strocchi F.) Charged sectors and scattering states
in quantum electrodynamics.— Ann. of Phys., v. 119, p. 241.
Фрёлих и др. A9796) (Frohlich J., Morchio G., Strocchi F.) Infrared problem and spontaneous
breaking of the Lorentz group in QED.— Phys. Lett., v. 89B, p. 61.
Фрёлих и др. A980) (Frohlich J., Marchio G., Strocchi F.) Higgs phenomenon without a symmetry
breaking order parameter.— Phys. Lett., v. 97B, p. 249.
Фрид A962) (Fried H. M.) Axiomatic perturbation theory for retarded functions.— J. Math.
Phys., v. 3, p. 1107.
Фронсдал A967) (Fronsdal C.) Infinite multiplets and local fields.— Phys. Rev., v. 156, p. 1652.
Фронсдал A968) (Fronsdal C.) Two-particle systems and infinite-component fields.— В сб.: Во-
Вопросы теории элементарных частиц, Тр. Междунар. семинара по теории элементарных
частиц (Варна, 1968).— Дубна: ОИЯИ, с. 229—254.
Фруассар A961) (Froissart M.) Asymptotic behavior and subtractions in the Mandelstam repre-
representation.— Phys. Rev., v. 123, p. 1053.
Фруассар, Тейлор A967) (Froissart M., Taylor J. R.) Cluster decomposition and the spin-
statistics,—Phys. Rev., v. 153, p. 1636.
Фубини A982) (Fubini S.) Spontaneous breaking of symmetries.— In: From Nuclei to Particles,
Scuola Internaz. di Fisica «Enrico Fermi» (Varenna, 1980), corso 79.— Amsterdam e. a.:
North-Holland, p. 318—332.
Хааг A955) (Haag R.) On quantum field theories.— Kgl- Danske Videnskab. Selsk., Mat.-Fys.
Medd., v. 29, № 12.
Хааг A958) (HaagR.) Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditi-
conditions,— Phys. Rev., v. 112, p. 669.
Хааг A959a) (HaagR.) Discussion des «axiomss» et des properietes asymptotiques d'une theorie
des champs locales avec particules composees.— In: Colloque Internationale sur les Proble-
mes Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs (Lille, 1957).— P.: C.N.R.S., p. 151—
162 (русский перевод: Математика, 1962, т. 6, № 4, с. 134).
Хааг A9596) (HaagR.) The framework of quantum field theory.— Nuovo Cim. Suppl., v. 14,
p. 131.
Хааг A962) (Haag R.) The mathematical structure of the Bardeen — Cooper — Schrieffer mo-
model.— Nuovo Cim., v. 25, p. 287.
Хааг A963) (Haag R.) Bemerkungen zum Nahwirkungsprinzip in der Quantenphysik.— Ann.
der Phys., Bd 7, S. 29.
Хааг A970) (Haag R.) Observables and fields. — [Л2], v. 2, p. 1—89.
Хааг, Кастлер A964) (Haag R.. Kastler D.) An algebraic approach to quantum field theory.—
J. Math. Phys., v. 5, p. 848.
Хааг, Свигка A935) (Haag R., Swieca J. A.) When does a quantum field theory describe partic-
particles? — Commun. Math. Phys., v. 1, p. 303.
Хааг, Шрогр A962) (HaagR., Schroer В.) Postulates of quantum field theory.—J. Math. Phys.,
v. 3, p. 248.
Хагедорн A959) (Hagedorn R.) Note on the symmetry operators in quantum mechanics.— Nuovo
Cim. Suppl., v. 12, p. 73.
Хаджииванов, Стоянов A979) (Hadjiivanov L., Stoyanov D. Tz.) On the free scalar massless
field in two-dimensional space-time.— Rep. Math. Phys., v. 15, p. 361.
Халлер A978) (Haller K.) The Gupta-Bleuler condition and infrared coherent states.—Phys.
Rev., v. D18, p. 3045.
Хан, Намбу A965) (Han M.\Y., Nambu'Y.) Three-triplet model with double SU C) symmetry.—
Phys. Rev., v. 139B, p. 1006.
59Э
Хара A964) (Нага Y.) Analyticity properties of helicity amplitudes and the construction of ki-
nematical singularity-free amplitudes for any spin.— Phys. Rev., v. 136B, p. 507.
Xapa A972) (Hara Y.) Regge pole model and hadron physics.— Suppl. Prog. Theor. Phys., № 51,
p. 96.
Харатян С. Г. A968) Коммутативность правил суперотбора и полный набор наблюдаемых.—
ДАН СССР, т. 180, с. 564.
Харатян С. Г. A973) Алгебры наблюдаемых фон Неймана с неабелевым коммутантом и правила
суперотбора.— ТМФ, т. 14, с. 306.
Хариш-Чандра A947) (Harish-Chandra) On relativistic wave equations.— Phys. Rev., v. 71,
p. 793.
Хегерфельд A974) (HegerfeldtG. C.) From Eucledean to relativistic fields and on the notion^of
Markoff fields.— Commun. Math. Phys., v. 35, p. 155.
Хегерфельд A975) (HegerfeldtG. C.) Extremal decomposition of Wightman functions and states
on nuclear *-algebras by Choquet theory.— Commun. Math. Phys., v. 45, p. 133.
Xenn A963a) (Hepp K-) Lorentz-kovariante analytische Funktionen".— Helv. Phys Acta, v. 36,
p. 355.
Xenn A9636) (Hepp K-) On the asymptotic condition in a local relativistic quantum field theory.—
Acta Phys. Austriaca, v. 17, p. 85.
Xenn A963b) (Hepp K.-) Klassische komplexe Liesche Gruppen und kovariante analytische Funk-
Funktionen.—Math. Ann., Bdl52, S. 149.
Xenn A964a) (Hepp K.) Lorentz invariant analytic S-matrix amplitudes.— Helv. Phys. Acta,
v. 37, p. 55.
Xenn A9646) (Hepp K-) On the analytic properties of the scattering amplitude in relativistic
quantum field theory.— Helv. Phys. Acta, v. 37, p. 639.
Xenn A964b) (Hepp K-) Spatial cluster decomposition properties of the S-matrix.— Helv. Phys.
Acta, v. 37, p. 659.
Xenn A965a) (Hepp K-) On the connection between the LSZ and Wightman quantum field
theory.— Commun. Math. Phys., v. 1, p. 95.
Xenn A9656) (Hepp K..) One-particle singularities of the S-matrix in quantum field theory.—
J. Math. Phys., v. 6, p. 1752.
Xenn A966a) (Hepp K.) On the connection between Wightman and LSZ quantum field theory.—
In: Axiomatic Field Theory / Ed. Chretien M., Deser S.— N.Y. e.a.: Gordon and Breach,
p. 135—246 (русский перевод: [Х5], с. 11—114).
Xenn A9666) (Hepp K-) Proof of the Bogoliubov-Parasiuk theorem on renormalization.— Com-
Commun. Math. Phys., v. 2, p. 301.
Xenn A971) (Hepp K-) Renormalization theory.— In: Statistical Mechanics and Quantum Field
Theory. Summer School of Theoretical Physics (Les Houces, 1970) / Ed. de Witt C, Stora R.—
N.Y.: Gordon and Breach, p. 429—500.
Xenn и dp. A961) (Hepp K-, Jost R., RuelleD., SteinmannO.) Necessary restrictions on Wight-
Wightman functions.— Helv. Phys. Acta, v. 34, p. 542.
Хермандер A958) (Hormander L.) On the division of distributions by polynomials.— Arkiv
Math., v. 3, p. 555 (русский перевод: Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 117).
Хиггс A964а) (Higgs P. W.) Broken symmetries, massless particles and gauge fields.— Phys.
Lett., v. 12, p. 132.
Хиггс A9646) (Higgs P. W.) Broken symmetries and the masses of gauge bosons.— Phys. Rev.
Lett., v. 13, p. 508.
Хиггс A966) (Higgs P. W.) Spontaneous symmetry breakdown without massless bosons.— Phys.
Rev., v. 145, p. 1156.
Хитчин A982) (Hitchin N. J.) Monopoles and geodesies.— Commun. Math. Phys., v. 83, p. 579.
Ван Хов A952) (van Hove L.) Les difficultes de divergence pour un modele particuler du champ
quantifie.— Physica, v. 18, p. 145.
Ван Хов A963) (van Hove L.) An extension of Pomeranchuk's theorem to diffraction scattering.—
Phys. Lett., v. 3, p. 252.
Ван Хов A964) (van Hove L.) High energy collision of strongly interacting particles.— Rev. Mod.
Phys., v. 36, p. 655.
Холево А. С A971) Обобщенно-свободные состояния С*-алгебры канонических соотношений
коммутации.— ТМФ, т. 6, с. 3.
Холево А. С. A972) О квазиэквивалентности локально нормальных состояний.— ТМФ, т. 13,
с. 184.
Холево А. С. A976) Исследования по общей теории статистических решений.— Тр. МИАН,
т. 124.
Холл, Уайтман A957) (HallD., Wightman A. S.) A theorem on invariant analytic functions
with applications to relativistic quantum field theory.— Kgl. Danske Videnskab. Selsk.,
Mat.—Fys. Medd., v. 31, №5.
Хоружий С. С. A967) Локальные свойства неперенормируемых теорий.— ДАН СССР, т. 177,
с. 306.
Хоружий A968/69) (Khoruzhy S. S.) Some topics in axiomatic nonrenormalizable field theory.—
[A2], v. IB, p. 25—55.
Хоружий С. С. A969) Расширенная локальность и другие свойства локальных №*-алгебр.—
ТМФ, т. 1, с. 95.
Хоружий С. С. A970) О структуре локальных №*-алгебр релятивистской квантовой теории.—
ТМФ, т. 2, с. 350.
600
Хоружий С. С. A975) О принципе суперпозиции в алгебраической квантовой теории.— ТМФ,
т. 23, с. 147.
Хоружий С. С. A975—1976) Поля и алгебры наблюдаемых в моделях с правилами суперотбора,
I. Модель с абелевой калибровочной группой; II. Модель с неабелевой калибровочной груп-
группой.— ТМФ, 1975, т. 25, с. 291; 1976, т. 26, с. 3.
Т'Хофт A974) ('tHooftG.) Magnetic monopoles in unified gauge theories.— Nucl. Phys., v. B79,
p. 276.
Хури, Киношита A965) (Khuri N. N., Kinoshita T.) Real part of the scattering amplitude and
the behavior of the total cross section at hogh energies.— Phys. Rev., v. 137B, p. 720.
Цванцигер A965) (Zwanziger D.). Invariant amplitudes for massless particles and universal elec-
electromagnetic coupling.— [Л1], p. 190—224.
Цванцигер A975) (Zwanziger D.) Scattering theory for quantum electrodynamics, I. Infrared re-
normalization and asymptotic fields; II. Reduction and cross section formulas.— Phys.
Rev. v. Dll, p. 3481, 3504.
Цванцигер A976) (ZwanzigerD.) Physical states in quantum electrodynamics.— Phys. Rev.,
v. D14, p. 2570.
Цванцигер A978a) (Zwanziger D.) The lesson of a soluble model of quantum electrodynamics.—
Phys. Rev., v. D17, p. 457.
Цванцигер A9786) (Zwanziger D.) Gupta-Bleuler and infrared-coherence subsidiary conditions.—
Phys. Rev., v. D18, p. 3051.
Цванцигер A979а) (Zwanziger D.) Infrared catastrophe averted by Hertz potential.— Phys. Rev.,
v. D19, p. 3614.
Цванцигер A9796) (Zwanziger D.) Energy and momentum spectral function of coherent brems-
strahlung radiation.— Phys. Rev., y. D20, p. 2011.
Циммерман A954a) (Zimmermann W.) Uber den Zusammenhang von Bethe — Salpetergleichung
und Tamm — Dancoffmethode.— Nuovo Cim. Suppl., v. 11, p. 43.
Циммерман A9546) (Zimmermann W.) Zum Renormierungsprogramm der Feldphysik.— Nuovo
Cim., v. 11, p. 416.
Циммерман A954в) (Zimmermann W.) Einzeitige Verfahren der Feldphysik.— Nuovo Cim.,
v. 11, p. 559.
Циммерман A954г) (Zimmermann W.) Yang — Feldmanformalismus und einzeitige Wellenfunk-
tionen.— Nuovo Cim., v. 11, p. 577.
Циммерман A958) (Zimmermann W.) On the bound state problem in quantum field theory. Nuo-
Nuovo Cim., v. 10, p. 597.
Циммерман A959) (Zimmermann W.) One-particle singularities of Green functions in quan-
quantum field theory.—Nuovo Cim., v. 13, p. 503.
Циммерман A960) (Zimmermann W.) One-particle singularities of Green's functions in quantum
field theory, П.— Nuovo Cim., v. 16, p. 690.
Циммерман A970) (Zimmermann W.) Local operator products and renormalization in quantum
field theory.—[Л 2], v. 1, p. 395—589.
Чайкен A967) (Chaiken J. M.) Finite-particle representations and states of the canonical commu-
commutation relations.— Ann. of Phys., v. 42, p. 23.
Чайкен A968) (Chaiken J. M.) Number operators for representations of the canonical commuta-
commutation relations.— Commun. Math. Phys., v. 8, p. 164.
Чау A983) (Спаи L.-L.) Quark mixing in weak interactions.— Phys. Reports, v. 95, p. 1.
Челлен A950) (Kallen G.) Formal integration of the equations of quantum theory in the Heisen-
berg representation.— Arkiv Fys., v. 2, p. 371.
Челлен A952) (Kallen G.) On the definition of renormalixation constants in quantum electrodyna-
electrodynamics.— Helv. Phys. Acta, v. 25, p. 417.
Челлен A960) (Kallen G.) Properties of the vacuum expectation values of field operators.— [PI],
p. 387—454.
Челлен A968/69) (K<in G.) Gradient terms in commutators of currents and fields.— [A2], v. 2,
p. 5—68.
Челлен, Толл A960) (Kallen G., Toll J.) Integral representations for vacuum expectation of three
scalar local fields.— Helv. Phys. Acta, v. 33, p. 753.
Челлен, Уайтман A958) (Kallen G., Wightman A. S.) The analytic properties of the vacuum ex-
expectation value of a product of three scalar local fields.— Kgl. Danske Videnskab. Selsk.,
Mat.-Fys. Skr., v. 1, №6.
Чендлер A968—1969) (Chandler C.) Causality in S-matrix theory.— Phys. Rev., 1968, v. 174Bb
p. 1749; II. Helv. Phys. Acta, 1969, v. 42, p. 759.
Чендлер, Cmann A969) (Chandler C, Stapp H. J.) Macroscopic causality conditions and proper-
properties of scattering amplitudes.— J. Math Phys., v. 10, p. 921.
Чень A967) (Chen T. W.) Asymptotic quantum field theory.—Ann. of Phys., v. 42,
p. 476.
Чень и др. A966) (Chen Т. W., Rohrlich F., Wilner M.) Role of causality in quantum field theory
and the dynamical postulate.— J. Math. Phys., v. 7, p. 1365.
Черников A962) (Chernikov N. A.) The Fock representation of the Duffin — Kemmer algebra.—
Acta Phys. Polon., v. 21, p. 51.
Черулус, Мартен A964) (Cerulus F., Martin A.) A lower bound for large angle elastic scattering
at high energies.— Phys. Lett., v. 8, p. 80.
Чокод Гуан Чжао, Широков М. И. A958) Релятивистская теория реакций с поляризовавший
частицами.— ЖЭТФ, т. 34, с. 1230.
Ш
'Чоу A966) (Chow Y.) Majorization of Feynman graphs.— J. Math. Phys., v. 7, p. 1158.
Чу, Розещвейг A978) (Chew G. F., Rosenzweig C.) Dual topological unitarization: an ordered
approach to hadron theory.— Phys. Reports, v. 41C, p. 263.
Чу, Фраучи A960) (Chew G. F., Frautschi S. C.) Regge trajectories and the principle of maximum
strength for strong interactions.— Phys. Rev. Lett., v. 8, p. 41.
Чу и др. A957) (Chew G., Goldberger M. L., Low F. E., Nambu Y.) Application of dispersion re-
relations to low-energy meson-nucleon scattering.— Phys. Rev., v. 106, p. 1337.
Чунь A965) (Chung V.) Infrared divergence in quantum electrodynamics.— Phys. Rev., v. 140B,
p. 1110.
Шааф A970) (Schaaf M.) The reduction of the product of two irreducible unitary representations
of the proper orthochronous quantummechanical Poincare group. Lecture Notes in Physics.—
B.e.a.: Springer-Verlag,.. v. 5 (русский перевод: [МП], с. Ill—247).
Шайбе A960) (Scheibe Е.) Uber Feldentheorien in Zustandsraumen mit indefiniter Methik, mi-
mimeographed notes of the Max-Planck — Institut der Physik und Astrophysik.— Munchen.
Шварц A945) (Schwartz L.) Generalization de la notion de fonction, de derivation, de transforma-
transformation de Fourier et applications mathematiques et physiques.— Ann. de l'Universite de Gre-
Grenoble, v. 21, p. 57.
Шварц A952a) (Schwartz L.) Theorie des noyaux, Proceedings of the International Congress of
Mathematicians, 1950 (Providence, R. I., Amer. Math. Soc.) (русский перевод: Математика,
1959, т. 3, № 3, с. 67).
Шварц A9526) (Schwartz L.) Transformation de Laplace des distributions.— Medd. Lunds Univ.
Mat. Semin. (Suppl., p. 196.)
Шварц A953/54) (Schwartz L.) Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Seminaire
de Г Institut H. Poincare.
Шварц A954) (Schwartz L.) Sur l'impossibilite de la multiplication des distributions.— Compt.
Rend., v. 239, p. 847.
Шварц A954/55) (Schwartz L.) Seminaire L. Schwartz.—Seer. Math. (Paris), № 7.
Шварц A957, 1959) (Schwartz L.) Distributions a valeurs vectorielles, I, II.— Ann. Inst. Fourier
Grenoble, 1957, v. 7, p. 1; 1959, v. 8, p. 1.
Швингер A949) (Schwinger J.) Quantum electrodynamics, II. Vacuum polarization and self ener-
energy.—Phys. Rev., v. 75, p. 651.
Швингер A951) (Schwinger J.) The theory of quantized fields, I. Phys. Rev., v. 82, p. 914.
Швингер A958) (Schwinger J.). On the Euclidean Structure of relativistic field theory.— Proc.
Nat. Acad. Sci., v. 44, p. 956.
Швинггр A959) (Schwiag'.r J.) Euclidsan quantum electrodynamics.— Phys. Rev., v. 115, p. 721.
Швингер A962) (Schwinger J.) Gauge invariance and mass, I, II.— Phys. Rev., v. 125, p. 397;
V. 128, p. 2425.
Швингер A963) (Schwinger J.) Gauge thaories of vector particles.— In: Theoretical Physics. Lec-
Lectures at Trieste Seminar A962).—Vienna: IAEA, p. 89—134.
.Шейл A962) (Shale D.) Linear symmetries of free boson fields.— Trans. Am. Math. Soc, v. 103,
p. 149.
Шерман A956) (Sherman S.) On Segal's postulates for general quantum mechanics.— Ann. of
Math., v. 64B), p. 593.
Ширков Д. В. A970) Свойства траекторий полюсов Редже.— УФН, т. 102, с. 87.
Ширков A976) (ShirkovD. V.) Causality and renormalization group.— Lett. Math. Phys., v. 1,
p. 174.
Широков M. И. A961) Релятивистская общая теория реакций типа a-{-b->-c-{-d-\-e...— ЖЭТФ,
т. 40, с. 1387.
Широков М. И. A962) Проверка PC и РСТ-инвариантностей в процессах распада.— УФН, т. 78,
с. 471.
Широков Ю. М. A957—1959) Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской кванто-
квантовой механики, I. Общие свойства неоднородной группы Лоренца.— ЖЭТФ, 1957, т. 33,
с. 861; II. Классификация неприводимых представлений неоднородной группы Лоренца.—
ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 1196; III. Неприводимые представления классов Ро и О0 и не вполне
приводимые представления неоднородной группы Лоренца.— ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 1208;
IV. Пространственные отражения в квантовой теории.— ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 717; V. Не-
Неприводимые представления неоднородной группы Лоренца, включающие отражения в про-
пространстве и во времени.—• ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 879.
Широков /О. М. A960а) (Shirokov Yu. M.) Space and time reflections in relativistic theory.—
Nucl. Phys., v. 15, p. 1.
Широков Ю. M. A9606) (Shirokov Yu. M.) Types of symmetry of elementary particles.— Nucl.
Phys., v. 15, p. 13.
Шмидт, Бауман A956) (Schmidt W., Baumann K-) Quantentheorie der Felder als Distributions-
theorie.— Nuovo Cim., v. 4, p. 860.
.Шроер A963) (Schroer B.) Infrateilchen in der Quantenfeldtheorie.—Fortschr. Phys., Bd 11, S. I.
Шроер A964) (Schroer B.) The concept of nonlocalizable fields and its connection with norenor-
malizable field theories.— J. Math. Phys., v. 5, p. 1361.
Шрогр и др. A975) (Schroer В., Swieca J. A., Volkel A. H.) Global operator expansions in con-
formally invariant relativistic quantum field theory.— Phys. Rev., v. Dll, p. 1509.
Мтейнман A960) (Steinmann 0.) Uber den Zusammenhang zwischen Wightmanfunktionen und
retardierten Kommutatoren, I, II.— Helv. Phys. Acta, v. 33, p. 257, 347.
«€02
Штейнман A963а) (Steinmann О.) Zur Definition der retardierten und zeitgeordneten Produkte.—
Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 90.
Штейнман A9636) (Steinmann 0.) Structure of the two-point functions.— J. Math. Phys., v. 4>
p. 583.
Штейнман A968) (Steinmann 0.) A rigorous formulation of LSZ field theory.— Commun. Math.
Phys., v. 10, p. 245.
Штейнман A970) (Steinmann 0.) Scattering formalism for nonlocalizable fields.— Commun..
Math. Phys., v. 18, p. 179.
Штейнман A972) (Steinmann 0.) Connection between Wightman and LSZ field theory.— In:
Statistical Mechanics and Field Theory / Ed. Sen R. N., Weil C— N.Y., p. 269—291.
Штейнман A976) (Steinmann 0.) Haag-Kastler formulation of quantum electrodynamics.—
Nucl. Phys., v. B107, p. 339.
Штюкельберг A951) (Stueckelberg E. C. G.) Relativistic quantum theory for finite time inter-
intervals.—Phys. Rev., v. 81, p. 130.
Штюкельберг, Ривье A950) (Stueckelberg E.C.G., RivierD.) Causalite et structure de la matrice
S.— Helv. Phys. Acta, v. 23, p. 215.
Эдварде A969) (Edwards C. M.) The operational approach to algebraic quantum theory, I.—
Commun. Math. Phys., v. 16, p. 207.
Эдварде A971) (Edwards С. M.) Classes of operations in quantum theory.— Commun. Math. Phys.,
v. 20, p. 26.
Эзава, Свиека A967) (Ezawa #., Swieca J. A.) Spontaneous breakdown of symmetries and zero-
mass states.— Commun. Math. Phys., v. 5, p. 330.
Эккер A970) (Ecker G.) Quantum field theory with space-like momentum spectrum.— Ann.
of Phys., v. 58, p. 303.
Элизур A975) (Elithur S.) Impossibility of spontaneously breaking local symmetries.— Phys.
Rev., v. D12, p. 3978.
Д'Эмилио, Минчев A982a) (d'Emitio E., Mintchev M.) The asymptotic limit of the electron field
in quantum electrodynamics.— Lett. Nuovo Cim., v. 34, p. 545.
Д'Эмилио, Минчев A9826) (d'Emilio E., Mintchev M.) Locally gauge invariant charged states in
quantum electrodynamics.— Nuovo Cim., v. 69A, p. 43.
Д'Эмилио, Минчев A982в) (d'Emilio E., Mintchev M.) A nonperturbative approach to the in-
infrared behaviour in physical charged sectors of gauge theories.— Phys. Rev., v. D27, p. 1840.
Эмэ A958) (Ohme R.) Vertex function in quantized field theories.— Phys. Rev., v. Ill, p. 1430.
Эмэ, Тейлор A959) (Ohme R., Taylor J. G.) Proof of dispersion relations for the production of
pions by real and virtual photons and for related processes.— Phys. Rev., v. 113, p. 371.
Энглерт, Браут A964) (Englert F., В rout R.) Broken symmetry and the mass of gauge vector
mesons.— Phys. Rev. Lett., v. 13, p. 321.
Эпштейн A960) (Epstein H.) Generalization of the «edge of the wedge» theorem.— J. Math. Phys.,
v. 1, p. 524.
Эпштейн A963) (Epstein H.) On the Borchers class of a free field.— Nuovo Cim., v. 27, p. 886.
Эпштейн A966) (Epstein H.) Some analytic properties of scattering amplitudes in quantum field.
theory.—In: Axiomatic Field Theory / Ed. Chretien M., Deser S.—N.Y.e.a.: Gordon and
Breach, p. 1—134 (русский перевод: [Х5], с. 115—235).
Эпштейн A967) (Epstein H.) CPT invariance of the S-matrix in a theory of local observables.—
J.Math. Phys., v. 8, p. 750.
Эпштейн A968) (Epstein H.) Rigorous theoretical considerations on high energy scattering.—
In: Topical Conference on High-Energy Collisions of Hadrons (Geneva, 1968) (Sci. Rep./
CERN: 68-7), v. 1, p. 290—315.
Эпштейн, Глазер A971) (Epstein H., Glaser V.) Le role de la localite dans la renormalisation per-
turbative en theorie quantique des champs.— In: Statistical Mechanics and Quantum Field
Theory (Les Houches, 1970) /Ed. de Witt C, Stora R.— N.Y.: Gordon and Breach, p. 501—
545.
Эпштейн, Глазер A973) (Epstein H., Glaser V.) The role of locality in perturbation theory.—
Ann. Inst. H. Poincare, v. 19A, p. 211.
Эпштейн и dp. A969) (Epstein H., Glaser V., Martin A.) Polynomial behaviour of scattering am-
amplitudes at a fixed momentum transfer in theories with local observables — Commun. Math.
Phys., v. 13, p. 257.
Эренпрайс A954) (Ehrenpreis L.) Division by a polynomial of derivation.—Amer. Math. J.,
v. 76, p. 883.
Ян(г), Миллс A954) (Yang С N., Mills R.) Conservation of isotopic spin and isotopic gauge
invariance.—Phys. Rev., v. 96, p. 191.
Ян(г), Фельдман A950) (Yang С. N., FeldmanD.) The S-matrix in the Heisenbergrepresenta-
Heisenbergrepresentation.—Phys. Rev., v. 79, p. 972.
Яух, Пирон A963) (Jauch J. M., Piron C.) Can hidden variables be excluded in quantum me-
mechanics? — Helv. Phys. Acta, v. 36, p. 827.
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
^ЧЛ-.'х) 270, 271 Jt^osG 533 ^"щ, 114
А (!, t) 508 rf3x3...xn278 L (С), L+(С) 324, 325
Л (s, f, Ь. Q 499 da x,x, - x,... *n/d3x,. .. x» J?, Jfx_ ft 87
At 298, 435 277 <S?i (#f) 45
^[x] 434 daKiK2-+K /dSiK ^48 "^X (*") 69
W 47 ^kV-»*- "/d3K- 549 ^?2 ([a, 6]) 18
эту gr«- 47 ЗЛ 184 ^ <л- f*> 35
t ' 9,4 47 &* 182 -5f2 (Гт) 256
- 9Q1 3 284 M{ 248
.юс -^91 ° ^°^ aUm. 248
1(%291 7 435 Я ^ 489
а^т 174 I(SK25759 c^++. ««-. e^ 125, 128
а^г/ 154 ?7(s) 489 Ш 277' 279
^¦'(р/ш! x) 271 ?,?34,335 Ш* 406
455 <?F) 25 NJ 24g
с* (Ф), а (Ф) 265, 266 (?12, 34 (s) 502 S)t (a) 494
?"?«?6 F«,43340 9i(^L08
^(.^f) 37 tw iw 0C), O+C) 149
C, CP 273, 274 F- Fx-p 64 ovDj> 0+D^ 'С) 355
C2 156 F(K) 476 о {d), 0+ (d) 134, 135
C U ? к (U), f" v (f) 265 0(rf, C), 0+ (d, C) 191
Cn I2, J8 ^л J^ V \l, 264 ou\ 275
СЛ 282, 324 % Л W. or v W« — p -24-8 272
CM" 326 g 293 p(i 24'8
C^493 8 (g) 2% P,W531
# ([*. 61) 15 c G± 456 46i P<-J\ (v) 369
I F) 25 /3'80и PS C0 214
®Г« So 381 PS* 216
¦Cb46 I! 119 p(w< P) 182
**/ 150 ЯЙ» 202 ^<D) 199
/)л 31 ^ ^u^ 5» (И1) 296
I>mdv(x) Dm'W 320 лФ) 181 ^(CJ96
Dm (x) 304, 319 ^"". ^out 275 5»(«»; ^Г)О 140
nc oon ^fPhys217 $246
i^m (ЛГ) 320 ?[m, I] 25g $P0 246
-D<±> (x) 304, 320 .®n ^vn . лп 263 *t 246
^(ч)(*) 163 r,n gg</'*> 119
Dk 25 &M 433 J285
X»^a,(l/) 256 7*'2J*- 's* 114 Q (a, 6), Q [a, 6] 170
Й) F), 3>r F) 26 in 275 вд (fl. |) 162
й)'(в) 51 int 87 ^6(z> 5D) 194
'tv/ *ч tin Oil
3->(/l A) I19 y<x)j(^) 478 K u_
3)a,(Q) 102 /« 301 /?, , R, 99
d(/C,3D) 197 /^" ,,„ Rn 15
¦disc 157 /<x>(*L58 ^ 65
d^p 64 Л, Аж 307, 458 °Rn ]Q2
d»x 49,_65 K(P; р'Л) 159 ^ 85
'I d"z dnz I 108 ЛЬ (s), Л"з4 (s) 279 «R (ж; т)) 454
604
455
-S 275
SLB, C) 115
-S-W320
51/ B) 149
213
216
474
U.. .In ^1. ••
0 (в) 81
°(Rn) 26
"г (Rn) 26
о 134
«; .Г) 139
(Rn) 15
82
*) 50
)
134
'©CO 474
¦5» ^phys
supp 53, 54
l\ • ¦ tin Ч X
Г 272, 281
TCP 272, 338
139
139
*)
tr 44
,_,) 358
, Xn) 357
П 95
cTn329
88
. _ 264, 265
U (Is), U (It), U (Ist) 273
- ¦-.), 41 (It), U Ast) 273
SJ 259
и 279
y± "pi. y+ J13
V| 24
V;m 294
^(Ei,. .... S«-iK02
л (s) 503
•#" 129, 139
a;(s), x12(s), x3i(s) 489
у v ПК
|"*| 15
Kf (n) 532
Z, Z+,
Z2 149
a(fliA),
+ 85
250, 296
a (Is), a (!tO a (Isi) 272
a(x, x') 344
a! 182
«. rs 113, 114
-I
Y5 282
tin(p),6m(p) 258
« W 50
G 390
Gc(tfn) 67
©^ (Rn) 58
х, "х 269, 294
П 276, 279
pil YS ^'l
(Tel (s)> atot (s) 533
as, at, <Jst 247
<?tot(s) 539
^ +
116
¦ ¦. In
. 548
506
449
фех фы фои1 436 275
Ф(,я). 4f} 294
ф(х>(*.
X+ 367
297
15
») 162
14
t 279
, Z(i\) 450
280
(/) 1
17
e(/) 164
гР(п) 332
^-„0,16
. . 310, 316
* 37, 70
|0> 251, 378
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм
— группы 148
— — внутренний 148
— локализованный 314
С*-автоморфизм 38
Аксиомы
— АЛ—V 214, 217, 249, 251, 291
— LSZ. I—III 456—458
— Остервальдера — Шрадера 358, 359
— PW.I—IX 378, 379, 381, 382
— S.I—V, Г 477, 478
_ w.I—VII, VIII 294, 295
Алгебра 36
— ассоциативная 36
— банахова 37
— Даффина — Кеммера 364
— квазилокальных наблюдаемых 292
— Клиффорда 281
— Ли 150
абелева 150
нильпотентная 151
(полу)простая 151
разрешимая 151
— локальных наблюдаемых 291
— наблюдаемых 213
Иордана 214
фон Неймана 218
— фон Неймана (№*-алгебра) 46
— нормированная 37
— полевая 293
— полиномиальная 296
С*-алгебра 37
— абстрактная 37
— конкретная (или операторная) 37
*-алгебра 37
Алмаз 162, 170
Амплитуда
— инвариантная 281
— спинорная 276
Анзатц Грина 363
Базис
— Майорана 284
— Паули 284
Барьер 198
Биекция 228
Бикоммутант 46
Бистепень 109
БКП 366
Вектор времениподобный 113
— единичный 213
— изотропный 113
— пространственноподобный 113
— циклический 40
Вероятность перехода 215
Вращение вигнеровское 257
Генератор (инфинитезимальный) 151
Гиперболоид допустимый 174
Гипотеза
— дискретных правил суперотбора 220
— коммутативных правил суперотбора 223
Гомоморфизм
— групп 148
— Иордана 232
— накрывающий 115, 150
— топологический 27
— С*-алгебр (т. е. С*-гомоморфизм) 38
Граница
— подмножества 184
— Фруассара 539
График оператора 29
Группа 147
— абелева 147
¦— калибровочная 225
— Ли 149
— — комплексная 150
накрывающая 150
универсальная накрывающая 150
— Лоренца 113
— — собственная 114
— — — комплексная 325
— малая 255
— односвязная 149
— производная 147
— Пуанкаре 246
— — собственная 246
— — спинорная 246
— связная (линейно) 149
— симметрии 234
— топологическая 149
Делитель нормальный 147
Диффеоморфизм 56
Дифференцирование алгебры 150
Дополнение ортогональное 18
Дуальность (с кручением) 298
Вакуум 250
Валентность 120
Вектор 11
— вакуумный 251, 263
606
Идеал 37, 150
Изоморфизм
— гильбертовых пространсть 34
— групп 148
— Иордана 232
Изоморфизм ЛВП 28
— линейных пространств 12
— локальный 115
— С*-алгебр (т. е. С*-изоморфизм) 38
Изотония 291
Инварианты стандартные полиномиальные
136
Индекс однородности 109
КАС 268
Квантование вторичное 264
ККС 237
Класс
— Борхерса 341
— левый (правый) смежный 148
Клейниан 307
Коварианты стандартные полиномиальные
130, 140
Коммутант 46
— с кручением 298
Компакт 25
Компонента (связная) 75
Константы структурные 150
Конструкция ГНС 42
Контейнер голоморфный 202
Конус 71
— острый 71
— полиэдральный 71
— световой 94, 158
— симплициальный 71
— сопряженный 93
— усеченный 91
— элементарный 513
s-, t-, ц-канал 470
ЛВП 23
Лемма
— Цорна 13
— Шура 41, 153
Локальность 295
— слабая 340
Луч (единичный) 213
Маршрут аналитического продолжения 186
— обобщенный 187
Матрица рассеяния (S-матрица) 275
Мера спектральная 36
Метрика 14
Микропричинность 295, 477
Множество
— времениподобно выпуклое 171
— канонически замкнутое 82
— локально компактное 25
— регулярное 82
— тотальное 17
Моном
— Вика 311
— полилокальный 301
•—¦ Штейнмана 510
Мономорфизм групп 148
Мультииндекс 25
Мультипликатор 58
Наблюдаемая 213
Неравенство Коши — Буняковского —• Шва-
Шварца 17
Норма 14
— следовая 45
Носитель 53, 54
—- существенный 465
Нуль-пространство 13
Область 51
— голоморфно выпуклая 197
— голоморфности 186
— звездная 206
— «острия клина» 187
—- полутрубчатая 205
— псевдовыпуклая 199
— Рейнхарта 205
логарифмически выпуклая 205
полная 205
— трубчатая 204
— /-насыщенная 193
Обобщенная функция 50
векторная 77
— •— запаздывающего типа 94, 158
интегрируемого типа 68, 69
— — однородная 102, 109
— —¦ операторная 78
— — опережающего типа 158
Оболочка
— голоморфности (однолистная) 202
— линейная 12
— логарифмически выпуклая 205
— причинная 168
ОЗП 511
ОЗФ 511
ООФ 102
Оператор
— антилинейный 12
— антиунитарный 34
— замкнутый 31
— запаздывающий радиационный 480
— Казимира 156
— конечного ранга 45
— линейный 12
— обобщенный запаздывающий радиацион-
радиационный 481
— опережающий радиационный 480
— положительный 32
— присоединенный 218
— псевдоупигарный 376
— радиационный 478
— рассеяния (S-матрица) 275
— рождения 265
— с абсолютно сходящимся следом (ядерный)
45
— самосопряженный 32
— — существенно (в существенном) 33
— симметрический (эрмитов) 32
— строго положительный 32
— суперотборный 224
— унитарный 33
— уничтожения 265
ГСЯ-оператор 340
Орбита 148
Отображение
— аффинное 228
— открытое 27
— экспоненциальное 151
Параметры допустимые 174
Параполе 362
Парастатистика 362
Подгруппа
— инвариантная 147
— стационарная 148
Подмножество
— нераспадающееся 215
— плотное 15, 24
— Ж (О)-ограниченное 181
Подпредставление 41, 153
607
Подпространство
— инвариантное 41
— линейное 11
Поле
— бесконечнокомпонентное 296, 366
— бозонное 297
— гейзенбергово 350
— дираковское 315
— майорановское 317
— обобщенное свободное 317
— составное 341
— токоподобное 458
— фермионное 297
— физическое 293
— фундаментальное 293
Поликруг 181
Полином
— Вика 311
— Лежандра 531
— Чебышева 534
— Якоби 256
Полирадиус 182
Полунорма 14
Порядок парастатистики 363
Последовательность Коши (или фундамен-
фундаментальная) 15
Правило
— суммирования Эйнштейна 112
— суперотбора 220, 223
Представление 40, 148
— асимптотическое 484
— вполне приводимое 153
— Дирака 121
— ИЛД 153
— КАС 268
— ККС 238
— коприсоединенное 154
— кратное 217
— Майорана 371
— Мандельстама 509
— неприводимое 40, 153
— присоединенное 154
— разложимое 153
— слабое интегральное 84
— точное 42
— унитарное 153
проективное 237
— факториальное (типа I) 217
— физическое 217
— фоковское 267, 268
— циклическое 40
— Чел лена — Лемана 304
— Шредингера 238
Представления
— дизъюнктные 217
— феноменологически эквивалентные 216
Преобразование
— калибровочное 296
— Клейна 345
— Лапласа 87
— линейное 12
— Лоренца 113
— симплектическое 243
— Фурье 64, 65
Принцип
— Гюйгенса 167
— максимума модуля 184
— непрерывности 199
— — модифицированный 201
— причинной независимости Эйнштейна 292
— причинности 299
— склеивания распределений 55
«08
Продолжение
— аналитическое 186
— непосредственнее аналитическое 186
— обобщенное аналитическое 187
Проектор 33, 37
Проекция естественная 12
Произведение
•— запаздывающее 453
— нормальное 310, 316
— обобщенное запаздывающее 511
— опережающее 455
— полупрямое 149
— прямое 149
— скалярное 16
— тензорное 16
линейных пространств 14
• обобщенных функций 63
•— — операторов 34
А -произведение 455
^-произведение 412
^-произведение 453
Т-произведение 448
Производная 395
Пространство
¦— банахово 15
— векторное 11
— гильбертово 17
— линейное 11
— локальное выпуклое 23
— метрическое 14
— Минковского 112
— нормированное 14
— однородное 148
— полное 15
— Понтрягина 375
— предгильбертово 17
•— псевдогильбертово 375
— связное 149
— с индефинитной метрикой 16
— сопряженное 21, 28
— физическое 217
— Фока 264
— Фреше (F-пространство) 25
— хаусдорфово 149
G-пространство 148
Процесс
— инклюзивный 547
— квазиупругий 489
— эксклюзивный 547
Радикал (алгебры Ли) 151
Разложение
— единицы 53
— парциальное 531
Распределение 51
— голоморфное 190
— медленного роста 50
— плюрисубгармоническое 196
— частично голоморфное 191
Расстояние по лучу 194
Расширение
— борхеровское 341
— голоморфное (непосредственное) 186
— группы 148
центральное 148
Решение фундаментальное (задачи Коши) 163
Свертка 66, 70
Свертыватель 67
Свойство кластерное 251
Связь спина со статистикой 262
Сектор 215
Сеть (С*-алгебр) 291
Сечение 278
— дифференциальное 277
¦ упругое 533
— инклюзивное 548
— полное 533
— упругое 533
Симметрия 228
Система
— Вейля 239
— зацепляющаяся 220
— стандартная лоренцевская 112
Соотношение
— дисперсионное 99, 508
— квазидисперсионное 523
Состояние 213
— векторное 216
— виртуальное 374
¦— смешанное 214
— физическое 214
— чистое 214
Спектр
— инклюзивный 549
— элемента 38
Спин 140, 253
Спин-тензор 119
Спинор
— Дирака 283
— Майорана 284
Структура ЛВП 23
индуцированная 27
Сужение обобщенной функции 75
Тень причинная 168
Теорема
— Баргмана — Холла — Уайтмана 326
— Бэра «о категории» 25
— Вейерштрасса 26
— Вигнера 230
— Голдстоуна 397
— Гродского — Стритера 370
обобщенная 370
— единственности
для аналитических функций 184
обобщенная для аналитических функ-
функций 96
фон Неймана 239
— Мартена 537
— о бикоммутанте 47
— о замкнутом графике 29
— о монодромии 186
— о связи спина со статистикой 344
— «об острие клина» 187
— об открытом отображении 30
— Ока 200
— оптическая 533
— Померанчука 543
— реконструкции
Остервальдера — Шрадера 360
— — Уайтмана 307
— Стоуна 36
— Фрагмена — Линделёфа 545
— Хаага 351
— — обобщенная 352
ТСР-теорема 340
— модифицированная 340
Ток 478
Топология
— ЛВП 24
Топология сильная операторная 46
— слабая операторная 46
— ст-слабая операторная 46
Точка
— барьерная 198
— вполне пространственноподобная 331
•— евклидова 334
— — неисключительная 334
— Йоста 331
Труба
¦— будущего 95
— нижняя 303
— прошлого 303
— расширенная 327
— симметризованная 332
Уравнение
— Даламбера 162
— Дирака 284
— Клейна — Гордона 307
¦— Коши — Римана 87
— Максвелла 393
— — модифицированное 392
— Янга — Фельдмана 459
Усеченные вакуумные средние 438
Условие
— асимптотической полноты 275
— слабой локальности 340
Фактор 47
Фактор-группа 148
Фактор-представление 153
Фактор-пространство 148
Форма
— полуторалинейная 16
невырожденная 16
— — положительно (неотрицательно) опре-
определенная 16
— эрмитова 16
Формула
— Асгейрсона 168
— редукции 464
— Сохоцкого 57
Функционал
— билинейный 62
—- векторный 41
— локальный 341
— ограниченный 21
— положительный 39
неразложимый 39
— (секвенциально) непрерывный 51
— Уайтмана 306
— характеристический 242
Функция
— аналитическая 87
— гармоническая 193
— голоморфная 87
— Грина
— — ампутированная 464
— — запаздывающая 455
— — опережающая 455
— — приведенная 517
— — причинная 449
— многозначная аналитическая 186
— обобщенная запаздывающая 511
— плюрисубгармоническая 194
— плюрисупергармоническая 194
— распределения (инклюзивного процесса)
549
— спектральная 159
— субгармоническая 193
609
Функция супергармоническая 194
— сферическая 532
— Уайтмана 301
усеченная 438
л-кластерная 440
— Швингера 357
Центр
— алгебры 47
— группы 147
Цепь 13
Часть абсорбтивная 499
Щель массовая 252
Экспонента
— локальная нормальная 413
— нормальная 412
Эллипс
— Лемана (малый, большой) 489, 502
— Мартена (малый, большой) 538
Эпиморфизм групп 148
Ядро
— гомоморфизма 148
— полилинейного функционала 104, ПО
— слабого интегрального представления 84
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Место аксиоматического подхода в квантовой теории поля E). План изложения
G).
Часть I
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Краткий обзор ¦ 9
Глава 1. Предварительные сведения из функционального анализа 11
1.1. Нормированные пространства 11
А. Линейные пространства A1). Б. Прямая сумма и тензорное произведение ли-
линейных пространств A3). В. Понятие нормированного пространства A4). Г. Гиль-
Гильбертовы пространства A6). Д. Прямая сумма и тензорное произведение гиль-
гильбертовых пространств A9). Е. Линейные функционалы и сопряженные простран-
пространства B1).
1.2. Локально выпуклые пространства 23
А. Эквивалентные системы полунорм. Структура ЛВП B3). Б. Пространства
Фреше B4). В. Примеры B5).
1.3. Линейные операторы и линейные функционалы в пространствах Фреше .... 26
А. Непрерывные отображения ЛВП B6). Б. Принцип равномерной ограничен-
ограниченности. Слабая и *-слабая топологии B8). В. Теоремы о замкнутом графике и об
открытом отображении B9).
1.4. Операторы в гильбертовом пространстве 31
А. Понятие (неограниченного) самосопряженного оператора C1). Б. Изометри-
Изометрические, унитарные и антиунитарные операторы C3). В. Спектральная теория
самосопряженных и унитарных операторов C4).
1.5. Алгебры с инволюцией. С*-алгебры 36
А. Определение и простейшие свойства C6). Б. Спектр C8). В. Положительные
функционалы C9). Г. Представления D0). Д. Операторы с абсолютно сходящимся
следом D4). Е. Алгебры фон Неймана D6).
Глава 2. Техника обобщенных функций 49
2.1. Понятие обобщенной функции 49
А. Функциональное определение D9). Б. Определение в терминах фундаменталь-
фундаментальных последовательностей E2). В. О локальных свойствах обобщенных функций
E3).
2.2. Преобразование аргументов и дифференцирование 55
А. Замена переменных в обобщенной функции E5). Б. Дифференцирование
обобщенных функций. Примеры E6).
2.3. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию 58
А. В чем проблема умножения обобщенных функций? Понятие мультипликатора
E8). Б. Проблема деления E9).
2.4. Теорема о ядре. Тензорное произведение обобщенных функций 62
А. Билинейные функционалы над пространствами типа ?f F2). Б. Тензорное про-
произведение F3)»
2.5. Преобразование Фурье и свертка 64
А. Преобразование Фурье основных функций F4). Б. Преобразование Фурье
обобщенных функций F5). В. Свертыватели F6). Г. Обобщенные функции ин-
интегрируемого типа F8). Д. Свертка обобщенных функций G0^
2.6. Обобщенные функции, зависящие от параметра 71
А. Общие сведения G1). Б. Сужение обобщенной функции G3). В. Еще об умно-
умножении обобщенных функций G5).
2.7. Векторные и операторные обобщенные функции 77
А. Обобщенные функции со значениями в гильбертовом пространстве G7).
611
Б. Операторные обобщенные функции G8). В. Понятие обобщенного собственного
вектора (80).
Дополнение А. Обобщенные функции на подмножествах в R" 81
А. 1. Обобщенные функции на открытом подмножестве (81). А.2. Обобщенные функ-
функции на канонически замкнутых регулярных подмножествах (82). А.З. Примене-
Применение: обобщенные функции на компактифицированных множествах [а, оо], /?„,
[—оо, +оо] (84).
Дополнение Б. Преобразование Лапласа обобщенных функций 87
Б.1. Преобразование Лапласа как аналитическая функция в комплексной облас-
области (87). Б.2. Случай обобщенной функции с носителем в остром конусе (92).
Б.З. Пример: обобщенные функции запаздывающего типа (94). Б.4. Граничные
значения преобразования Лапласа (95). Б.5. Пример: «математика» диспер-
дисперсионных соотношений (99). Б.6. Сужение преобразования Лапласа A00).
Дополнение Ва Однородные обобщенные функции 102
В.1. Однородные обобщенные функции в R" A02). В.2. Случай одной веществен-
вещественной переменной A04). В.З. Продолжение однородных обобщенных функций A05).
8.4. Применение к ковариантным однородным обобщенным функциям A07)~
8.5. Однородные обобщенные функции в комплексной области A08).
Глава 3. Лоренц-ковариантные обобщенные функции 112
3.1. Группа Лоренца . 112
А. Геометрия пространства Минковского A12). Б. Определение общей группы
Лоренца и ее связных компонент A13). В. Универсальная накрывающая группы
Z,t A14). Г. Конечномерные представления группы SLB, С) A18). Д. Просто при-
приводимые конечномерные представления группы SLB, С). Пространственное отра-
отражение A20).
3.2. Лоренц-инвариантные обобщенные функции в пространстве Минковского . . . 123
А. Определение A23). Б. Четные инвариантные обобщенные функции. Инвари-
Инвариантные обобщенные функции с носителем в точке A24). В. Нечетные инвариант-
инвариантные обобщенные функции A27).
3.3. Лоренц-ковариантные обобщенные функции в пространстве Минковского ... 129
А. Определение A29). Б. Структура ковариантной обобщенной функции A30).
3.4. Случай нескольких векторных переменных 134
A. Обобщенные функции, инвариантные относительно компактной группы A34).
Б. Обобщенные функции, ковариантные относительно компактной группы A39).
B. Применения к лоренц-инвариантным и лоренц-ковариантным обобщенным
функциям A44).
Дополнение Г. Словарь по группам Ли и их представлениям 147
ГЛ. Абстрактные группы. Алгебраические свойства A47). Г.2. Группы Ли A49).
Г.З. Алгебры Ли A50). Г.4. Связь между группами Ли и алгебрами Ли A51).
Г.5. Локальная группа Ли. Каноническая параметризация. Теоремы Ли A52).
Г.6. Линейные представления A53). Г.7. Присоединенное и коприсоединенное
представления. Форма Киллинга A54).
Глава 4. Представление Йоста — Лемана — Дайсона, 157
4.1. Связь представления ИЛД с волновым уравнением . . 157
А. Предварительные замечания A57). Б. Набросок вывода A58). В. Выход в шести-
шестимерное пространство A60).
4.2. Свойства решений из tf" уравнения Даламбера 162
А. Обозначения A62). Б. Фундаментальное решение задачи Коши A62). В. Задача
Коши на пространственноподобной гиперповерхности; принцип Гюйгенса A65).
Г. Формула Асгейрсона и ее применение A68).
4.3. Вывод формулы Йоста — Лемана — Дайсона . . 169
А. Конструкция спектральной функции A69). Б. Дальнейшие свойства носителя
спектральной функции A72). В. Примеры A76). Г. Представления для обобщен-
обобщенных функций запаздывающего и опережающего типов A77).
Глава 5. Аналитические функции нескольких комплексных переменных 181
5.1О Свойства голоморфных функций. Плюрисубгармонические функции 181
А. Пространство голоморфных функций A81). Б. Голоморфность и аналитичность
A83). В. Аналитическое продолжение A84). Г. Обобщенный принцип аналитиче-
аналитического продолжения; теорема «об острие клина» A87). Д. Голоморфные распределе-
распределения A90). Е. Ивариантные и ковариантные аналитические функции A91). Ж- Плю-
Плюрисубгармонические функции A93).
5.2. Области голоморфности 197
А. Голоморфная выпуклость A97). Б. Псевдовыпуклость A99). В. Модифициро-
Модифицированный принцип непрерывности B00). Г. Однолистные оболочки голоморфности
B02). Д. Инвариантные области B04). Е. Пример голоморфного расширения B07).
612
Часть II
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
Краткий обзор 211
Глава 6. Алгебра наблюдаемых и пространство состояний 213-
6.1. Алгебраическая формулировка квантовой теории 213'
А. Алгебра наблюдаемых. Состояния B13). Б. Вероятность перехода B15). В. Связь
с представлениями B16).
6.2. Правила суперотбора 219
А. Роль чистых векторных состояний B19). Б. Стандартные правила суперотбора
B23). В. Связь с калибровочными группами B25). Г. Пример неабелевой калибровоч-
калибровочной группы B26).
6.3. Симметрии в алгебраическом подходе 228
А. Понятие симметрии B28). Б. Доказательство и обсуждение теоремы Вигнера
B30). В. Группы симметрии B34).
6.4. Канонические коммутационные соотношения 237
А. Роль представления Шредингера B37). Б. Бесконечное число степеней свободы
B40). В. Доказательство теоремы единственности фон Неймана B43).
Глава 7. Релятивистская инвариантность в квантовой теории 246
7.1. Группа Пуанкаре 246
А. Определение B46). Б. Отражения B47). В. Алгебра Ли группы Пуанкаре B47).
7.2. Унитарные представления собственной группы Пуанкаре 249
А. Условие пуанкгое-инвариантности B49). Б. Классификация неприводимых
представлений групгы §ро. Принцип спектральности B50). В. Описание представ-
представлений, соответствующих частицам с положительной массой B54). Г. Явно кова-
риантная реализация «физических» неприводимых представлений B58).
7.3. Пространство Фока релятивистских частиц 262
А. Пространство вторичного квантования B62). Б. Связь с каноническими (анти)-
коммутационными соотношениями B65). В. Ковариантные операторы рождения и
уничтожения B69). Г. Симметрии общей группы Пуанкаре B72). Д. Релятивистская
матрица рассеяния B74). Е. Кинематика двухчастичных процессов B79).
Дополнение Д. Четырехкомпонентные спиноры и уравнение Дирака .... 281
Д. 1. Алгебра Клиффорда над пространством Минковского B81). Д. 2. Спинорное
представление группы Лоренца; различные реализации у-матриц B83). Д. 3. Урав-
Уравнение Дирака; представления группы Пуанкаре со спином 1/2 B84).
Часть III
ЛОКАЛЬНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА
Краткий обзор 288
Глава 8. Формализм Уайтмана 291
8.1. Квантовополевые системы 291
А. Идея локализации B91). Б. Принцип локальной коммутативности B92). В. «Фун-
«Фундаментальные» поля и «физические» поля B93).
8.2. Определение и свойства локального квантового поля 294
А. Аксиомы Уайтмана B94). Б. Обсуждение аксиом B95). В. Неприводимость
полей B98). Г. Разделяющее свойство вакуумного вектора B99).
8.3. Функции Уайтмана 301
А. Характеристические свойства функций Уайтмана C01). Б. Представление Чел-
лена — Лемана для скалярного поля C04). В. Восстановление теории по функ-
функционалу Уайтмана C05).
8.4. Примеры: свободные и обобщенные свободные поля 307
А. Свободное скалярное нейтральное поле C07). Б. Свободное скалярное заря-
заряженное поле C12). В. Свободное дираковское поле C15). Г. Обобщенные свобод-
свободные поля C17).
Дополнение Е. Сводка инвариантных решений и функций Грина уравнения
Клейна — Гордона 319
Дополнение Ж- Общий вид ковариантной двухточечной функции 320
Ж-Ь Ковариантное разложение, согласованное с локальностью C20). Ж-2. Раз-
Разложение по спину C22).
Глава 9. Аналитические свойства функций Уайтмана в координатном пространстве 324
9.1. Теорема Баргмана — Холла — Уайтмана и ее следствия 324
А. Комплексные преобразования Лоренца C24). Б. Лоренц-ковариантные ана-
аналитические функции в трубе прошлого C26). В. Вещественные точки расширенной
трубы C30). Г. Аналитичность функций Уайтмана в симметризованной трубе
C32). Д. Глобальная природа локальности C35).
613
9.2. TCP-теорема 33S
A. TCP-инвариантность C38). Б. Слабая локальность C40). В. Классы Борхерса;
понятие локального составного поля C41).
9.3. Связь спина со статистикой 344
А. Формулировка результатов C44). Б. Необходимые условия для аномальных
перестановочных соотношений C45). В. Приведение формы со к каноническому
виду C47). Г. Конструкция преобразования Клейна C48).
9.4. Одновременные перестановочные соотношения. Теорема Хаага 349
А. Трехмерный вариант теоремы Хаага C49). Б. Теорема Хаага в релятивистской
теории C52). В. Истолкование теоремы Хаага C53).
9.5. Евклидовы функции Грина 355
А. Группа вращений четырехмерного евклидова пространства C55). Б. Свойства
функций Швингера C57). В. Теорема реконструкции в терминах функций Швин-
гёра C60).
Дополнение 3. Парастатистики 362
3.1. Свободные параполя и паракоммутационные соотношения C62). 3.2. Заме-
Замечание о TCP-теореме и связи спина с парастатистикой для локальных пара-
полей C65).
Дополнение И. Бесконечнокомпонентные поля .............. 366
ИЛ. Элементарные представления группы SLB,C) C66). И.2. Понятие квантового
БКП C67). И.З. Ковариантная структура двухточечной функции. Бесконечное
вырождение массы по спину C68). И.4. Отсутствие SJ5 + -ковариантности и связи
спина со статистикой в моделях БКП C71).
Глава 10. Поля в индефинитной метрике ,. 374
10.1. Псевдоуайтмановский формализм . ¦ « . 374
А. Псевдогильбертово пространство C74). Б. Аксиомы псевдоуайтмановского
типа C77). В. Вакуумный сектор и заряженные состояния C80). Г. Физическое
подпространство псевдогильбертова пространства C83).
10.2. Абелевы модели с калибровочной инвариантностью 2-го рода . . 384
А. Поле дипольного духа и градиентная модель C84). Б. Локальная формули-
формулировка квантовой электродинамики C89).
10.3. Внутренние симметрии 394
A. Симметрии и токи в формализме Уайтмана C94). Б. Теорема Голдстоуна C97).
B. Спонтанное нарушение симметрии в абелевых калибровочных теориях D00).
Глава 11. Примеры: явно решаемые двумерные модели 403
11.1. Свободное скалярное безмассовое поле в двумерном пространстве-времени . . . 403
А. Одномерное неканоническое скалярное поле D03). Б. Физическое представле-
представление D06). В. Свободные «кварковые» поля; бозонизация фермионов D12). Г. Сво-
Свободное скалярное безмассовое поле «духа» D17).
11.2. Модель Тирринга 419
А. Решение полевого уравнения D19). Б. Токи и заряды; вакуумное представле-
представление D22).
11.3. Модель Швингера 423
А. Решение в лоренцевой калибровке D23). Б. Вакуумный функционал D28). В.
Физические поля; наблюдаемые D29).
Часть IV
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ «МАТРИЦЫ
Краткий обзор ...*« . ...,. 431
Глава 12. Теория рассеяния Хаага — Рюэля „ 433
12.1. Схема квантовополевой теории рассеяния 433
А. Одночастичная проблема в квантовой теории поля D33). Б. Конструкция in- и
out-состояний D35). В. S-матрица и TCP-операторы в асимптотически полной тео-
теории D36).
12.2. Существование асимптотических состояний 438
A. Усеченные вакуумные средние D38). Б. Усиленное кластерное свойство D40).
B. Расплывание релятивистских волновых пакетов D43). Г. Доказательство основ-
основного результата D46).
Глава 13. Формализм Лемана — Симанзика — Циммермана 448
13.1. Основные понятия ...» 448
А. Т-произведения полей D48). Б. Запаздывающие произведения D53). В. Аксио-
Аксиомы LSZ D56).
13.2. Асимптотические условия и формулы редукции 458
A. Асимптотические условия LSZ D58). Б. Уравнения Янга — Фельдмана D63).
B. Частичные формулы редукции D64). Г. Редукционные формулы для матрицы
рассеяния D67).
•614
Глава 14. S-матричный метод 472*
14.1. S-матричная формулировка основных требований локальной теории 472
А. Понятие расширения 5-матрицы за массовую оболочку D72). Б. О выборе
класса основных функций D75). В. Аксиомы 5-матричного подхода D77). Г. Ра-
Радиационные операторы; ток D78).
14.2. Поля в асимптотическом представлении 481
А. Конструкция квантовых полей и их Т-произведений D81). Б. Выполнение ак-
аксиом LSZ D84).
Часть V
ПРИЧИННОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНОСТЬ — ИСТОКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
Краткий обзор 486
Глава 15. Аналитичность по переданному импульсу и дисперсионные соотношения 488
15.1. Малый эллипс Лемана 488
А. Вводные замечания D88). Б. Представление ИЛД для запаздывающих и опе-
опережающих (анти)коммутаторов D90). В. Аналитичность по t D92).
15.2. Дисперсионные соотношения 49S
А. Основные этапы вывода дисперсионных соотношений D95). Б. Выход в ком-
комплексную область по импульсам pt, /?4 D95). В. Дисперсионное соотношение при
нефизических «массах» D98). Г. Аналитические свойства абсорбтивной части ам-
амплитуды E00). Д. Дисперсионное соотношение на массовой оболочке E06).
Глава 16. Аналитические свойства четырехточечной функции Грина 510
16.1. Обобщенные запаздывающие функции 510
А. Обобщенные запаздывающие произведения E10). Б. Носители в лг-пространстве
E12).
16.2. Четырехточечные функции Грина 515
А. Обозначения E15). Б. Области совпадения в р-пространстве E16). В. Тождества
Штеймана E18). Г. Аналитичность вблизи физических точек E20).
16.3. Перекрестное соотношение 522
А. Формулировка результата E22). Б. Случай мнимых «масс» E24). В. Аналити-
Аналитическое продолжение по массовым переменным E24). Г. Переход на массовую обо-
оболочку E28).
Дополнение К. Роль унитарности 531
К. 1. Парциальное разложение амплитуды упругого двухчастичного процесса E31).
К.2. Аналитическое продолжение по t дисперсионного соотношения E35).
Глава 17. Некоторые следствия для высокоэнергетических элементарных процессов 539
17.1. Ограничения на поведение сечений при высоких энергиях 539
А. Граница Фруассара E39). Б. Сравнение сечений взаимодействия частицы и
античастицы с одинаковой мишенью E43).
17.2. Инклюзивные процессы 547
А. Физические характеристики инклюзивных процессов E47). Б. Аналитические
свойства дифференциальных сечений по угловым переменным E50). В. Асимптоти-
Асимптотические оценки E52).
Библиографические указания 555
Список литературы 570
Список принятых обозначений - 604
Предметный указатель , 606-
Николай Николаевич Боголюбов
Анатолий Алексеевич Логунов
Анатолий Иванович Оксак
Иван Тодорович Тодоров
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Редактор Л. П. Русакова
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор JI. В. Лихачева
Корректоры Т. С. Байсберг, М. Л. Медведская
ИБ,№ 12883
Сдано в набор 03.02.86. Подписано к печати 24.12.86. Т-25501.
Формат 70ХЮ8/1а. Бумага книжно-журнальная для офсетной печати
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 53,9. Усл.
кр.-отт. 53,9. Уч.-изд. л. 64,53. Тираж 5850 экз. Заказ № 2177.
Цена 7 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054 Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии нзд-ва «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубннскнй пер., 6. Заказ 196.