С. Сунакава
Квантовая
теория
рассеяния
! I
Издательство
«Мир»

С.Сунакава
Квантовая теория
рассеяния
Перевод с японского
канд. физ,-мат. наук и. И. ИВАНЧИКА
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук и. М. ДРЕМИНА
Издательство «Мир»
Москва 1979

УДК 539.1
В книге японского физика-теоретика, профессора Осакского
университета С. Сунакавы излагаются основные методы и резуль-
результаты нерелятивистской квантовой теории рассеяния: стационар-
стационарная теория рассеяния одной частицы на потенциале, разложение
но парциальным волнам, нестационарная теория рассеяния (об-
(общая теория S-матрицы), теория рассеяния в задаче трех тел.
Книга предназначена для физиков, аспирантов и студентов
старших курсов, специализирующихся по квантовой теории, а
также для тех, кто, работая в'других областях физики, хотел бы
получить основную информацию о квантовомеханическом реше-
решении задач рассеяния.
Редакция литературы по физике
1704020000
20402—050 © Iwanami Shoten, 1977
041@1)—79 © Перевод на русский язык» «Мир», 1979

Предисловие
редактора перевода
Книга С. Сунакавы представляет собой подробное
изложение одного из наиболее важных разделов кван-
квантовой механики — теории рассеяния. Автор ограничи-
ограничивается лишь нерелятивистской областью энергий, не
затрагивая непосредственно вопросов теории взаимо-
взаимодействия квантованных полей. Вместе с тем этот раз-
раздел квантовой механики ближе всего подводит чита-
читателя к проблемам релятивистской теории, и потому
все изложение в книге (теория матрицы рассеяния,
уравнения Липпмана —Швингера и Фаддеева, диа-
диаграммное описание процессов рассеяния, использова-
использование различных представлений, упорядочение операто-
операторов и т. п.) фактически нацелено на подготовку чи-
читателя к последующему знакомству с теми методами,
которые применяются в квантовой теории поля. Нере-
Нерелятивистская теория рассеяния рассмотрена автором
очень подробно. Несомненным достоинством книги яв-
является то, что все математические выкладки поясня-
поясняются в тексте. Это особенно важно для тех, кто толь-
только начинает изучение теории столкновений и, откры-
открывая учебник, зачастую бывает поставлен в тупик фра-
фразами типа: «Легко показать, что...», за которыми^ без
пояснений следует сложная окончательная формула-
Сравнительно малый объем книги при столь под-
подробном изложении заставил автора отказаться от рас-
рассмотрения некоторых важных разделов теории рассея-
рассеяния, например аналитических свойств амплитуды рас-

6 Предисловие редактора перевода
сеяния, дисперсионных соотношений, вариационного
подхода к теории рассеяния и т. п., простейшие све-
сведения о которых можно найти в обычных курсах кван-
квантовой механики. В то же время в книге рассмотрена
привлекшая к себе в последнее время большое внима-
внимание проблема рассеяния в системе трех тел, которой
обычно уделяется значительно меньше места. Не-
Несмотря на подробно проводимые расчеты, книга не
претендует на полную математическую строгость, а
скорее преследует цель познакомить с применением
математических методов в физических задачах теории
рассеяния и с неизбежными в этом случае прибли-
приближенными подходами к решению таких задач. Боль-
Большое внимание уделяется чисто физическим трудно-
трудностям, возникающим в конкретных приложениях.
При таком выборе материала и методе изложения
книга оказывается ценным промежуточным звеном
между традиционными курсами квантовой механики и
требующими серьезной подготовки специальными мо-
монографиями, в которых дается формальная мате-
математическая трактовка теории столкновений. Она об»
ращена к широкой аудитории физиков, знакомых с
основами квантовой механики и приступающих к уг-
углубленному изучению проблем взаимодействия кван-
квантовых объектов, с которыми приходится сталкиваться
буквально во всех разделах физики, начиная от тео-
теории конденсированных сред до теории элементарных
частиц.
При переводе были устранены все опечатки, обна-
обнаруженные в японском тексте. В ряде мест добавлены
краткие примечания, поясняющие мысль автора или
терминологию,
И. М. Дремин

Введение
Самый общий метод изучения структуры вещества
состоит в исследовании распределения частиц, рассеи-
рассеиваемых при их столкновениях. Экспериментальные
данные в современной физике почти всегда сравни-
сравнивают с результатами расчетов, основанных на кванто-
квантовой теории рассеяния. Поэтому естественно, в курсах
теоретической физики при изложении квантовой ме-
механики рассматривается и теория рассеяния. Но в
учебниках квантовой механики обычно ограничи-
ограничиваются изложением простой стационарной теории по-
потенциального рассеяния и первого приближения не-
нестационарной теории возмущений. Между тем еще в
первые послевоенные годы Липпман и Швингер раз-
разработали общую операторную теорию, трактующую
рассеяние с точки зрения переходов между кванто-
квантовыми состояниями. Основанное на их идеях дальней-
дальнейшее развитие теории рассеяния привело к большим
успехам, и в настоящее время исследования проблем
рассеяния базируются на теории 5-матрицы.
В Японии до сих пор не издано ни одной моногра-
монографии по теории рассеяния. Потребность в такой моно-
монографии давно назрела. Это станет особенно очевид-
очевидным, если учесть место теории рассеяния в современ-
современной теоретической физике и ее бурное развитие в по-
последнее время. Я вряд ли решился бы писать книгу
по теории рассеяния, если бы с самого начала знал
эту теорию достаточно глубоко. Для понимания моей

Введение
книги необходимо знакомство с основами квантовой
механики в объеме, сообщаемом студентам старших
курсов; книга доступна аспирантам, прослушавшим
магистерский курс квантовой механики, и специали-
специалистам-физикам. Моя цель будет достигнута, если кни-
книга поможет студентам или специалистам применять
теорию рассеяния в своей работе.
При изложении материала я стремился не к фор-
формально-математической строгости, а к физически
строгой формулировке картины рассеяния. При напи-
написании книги важен принцип отбора материала. Гово-
Говорить вскользь об известных или исследованных ве-
вещах — по существу то же самое, что и вообще о них
не упоминать. Поэтому я ограничился рассмотрением
нерелятивистских систем, так как в противном случае
нужно было бы объяснять основы квантовой теории
поля, что невозможно в книге столь малого объема.
Полностью опущены также эффективные в физике
элементарных частиц методы, например современные
способы анализа S-матрицы, дисперсионные соотно-
соотношения, полюса Редже и т. д., так как они важны
только в релятивистской области высоких энергий.
Из-за нехватки места пришлось отказаться от изло-
изложения ряда приближенных методов, например вариа-
вариационных. Если эту книгу рассматривать как учебник
по теории рассеяния, то можно сказать, что в ней
вводятся основные понятия, необходимые для студен-
студентов и специалистов по физике элементарных частиц
и достаточные для тех, кто специализируется в дру-
других областях физики.
В гл. 1 дается определение сечения рассеяния (ве-
(величины, наблюдаемой в этих явлениях) и кратко из-
излагается теория рассеяния в классической механике.
Гл, 2 посвящена стационарной теории рассеяния од-

Введение 9
ной частицы на потенциале. В гл. 3 дано рааложение
введенных во второй главе величин по парциальным
волнам. Разложение это давно и хорошо известно, оно
напоминает анализ рассеяния воли в классической ме-
механике. В гл. 4 рассмотрена нестационарная теория
рассеяния — общая теория переходов между кванто-
квантовыми состояниями (теория 5-матрицы). Эта глава —
ядро книги. Теорию S-матрицы можно применять к
системам, не имеющим потенциала (существование
которого подразумевалось в гл. 2), например к слу-
случаю взаимодействия поля с полем и к более сложным
системам. В последней главе (гл. 5) изложена теория
рассеяния с перегруппировкой частиц, развитая в са-
самое последнее время. Таким образом, по содержанию
книга заметно отличается от других монографий.
В данной книге ни разу не употреблена формули-
формулировка, встречающаяся в иных монографиях: «как сле-
следует из результатов расчета...». Все вычисления под-
подробно комментируются. Поэтому часто попадаются
места, написанные нетрадиционно, в связи с чем я
опасаюсь, что в изложение вкрались какие-нибудь не-
неожиданные ошибки.
Эта книга вышла в свет главным образом благо-
благодаря искренним и настойчивым побуждениям со сто-
стороны М. Макино, сотрудника издательства «Ивана-
«Иванами». В ходе печатания книги огромную помощь ока-
оказал X. Мияути. Пользуюсь случаем выразить им глу-
глубокую благодарность.
Осень 1976 г. Ct Сунакава

Глава 1
Рассеяние и наблюдаемые величины
$ 1. Сечение рассеяния
Если мы хотим выяснить атомную структуру веще-
вещества, узнать внутреннее строение атомов, молекул, а
тем более элементарных частиц, мы не можем взять
интересующий нас объект в руки и разглядеть его, а
должны действовать как-то иначе. Мы можем, напри-
например, заставить изучаемые частицы сталкиваться с дру-
другими частицами и исследовать распределение частиц,
рассеиваемых в результате столкновений. Пусть в де-
деревянном ящике, показанном на фиг. 1, укреплены
в каком-то порядке мелкие камушки определенной
формы. Если мы хотим узнать форму и расположение
камушков в ящике, не вскрывая его, то мы можем
попробовать не целясь стрелять в ящик из пистолета,
посылая пули параллельно друг другу в направлении
ящика, О форме камушков и их расположении в ящи-
ящике можно судить, рассматривая распределение по на-
направлениям вылета пуль, отклонившихся в результате
удара о камушки, и подсчитывая число пуль, вышед-
вышедших из ящика в прежнем направлении (не попавших
в камушки). Разумеется, предварительно нужно, сде-
сделав какие-то предположения о форме и расположении
камушков, рассчитать на основе законов механики для
каждого случая число пуль, проходящих сквозь ящик
без соударений, и угловое распределение отклоняю-
отклоняющихся пуль. Тогда вывод о форме и расположении ка-
камушков в ящике можно сделать, сравнив результаты
расчета с результатами измерений.
Если в нашей аллегории заменить слово «пуля»
словами «квант света», «электрон», «нейтрон», «про-
«протон», а вместо камушков в деревянном ящике думать
об атомах, молекулах, ядрах, элементарных частицах,

12 Гл. 1. Рассеяние и наблюдаемые величины
то окажется, что мы говорим о современных спо-
способах обращения с указанными объектами. При этом
в роли пистолета выступает циклотрон или какой-
либо другой ускоритель частиц.
В любой области физики — будь то физика эле-
элементарных частиц, ядерная физика или физика кон-
конденсированного состояния вещества — почти все экспе-
эксперименты в сущности сводятся к тому, что на изучае-
изучаемый объект заставляют падать какие-нибудь частицы
Фиг. 1. Рассеяние пуль на мелких камнях в деревянном ящике
и исследуют распределение рассеянных частиц. При
таком взгляде на вещи становится очевидным важное
значение теории рассеяния для современной физики.
Определим теперь физическую величину, наблю-
наблюдаемую в таких экспериментах. Пусть, как показано
на фиг. 2, классическая или квантовая частица, падая
на мишень, рассеивается ею. В эксперименте непо-
непосредственно измеряют число частиц, рассеянных в
некоторое место, достаточно удаленное от расположен-
расположенной в начале координат мишени. Пусть N — число па-
падающих частиц, проходящих в одну секунду через
единичную площадку в направлении оси г, a AN —
число рассеиваемых частиц, проходящих через пло-
площадку dS в одн/ секунду, т. е. интенсивность потока
частиц, падающих по нормали на элемент dS сфери-
сферической поверхности радиусом г с центром в начале
координат О. Имеем
ANozNdS/r2.

§ 1. Сечение рассеяния
13
Вводя телесный угол cfQ = dS/r2, под которым пло-
площадка dS видна из начала координат О, можно на-
написать
AN = o(Q)NdQ, A.1)
где коэффициент пропорциональности а (9) — функция
угла 9, показанного на фиг. 2. Угол 9 называют уг-
углом рассеяния. Из формулы A.1) ясно, что а(9) —
Детектор
Отверстш
коллиматора
Фиг. 2. Схема типичного эксперимента по рассеянию частиц.
Стрелками изображены рассеянные частицы.
доля числа частиц, рассеиваемых в единичный телес-
телесный угол в направлении угла рассеяния 6 при условии,
что в падающем пучке в одну секунду через единич-
единичную поверхность проходит одна частица. Величина
а(9) имеет размерность площади, так как [N] =
= см~2-С", a [AW] = сгх. Поэтому ее называют диф-
дифференциальным сечением рассеяния. Интеграл от
а(9) по телесному углу называют полным сечением
рассеяния:
аполн _ С а (е) dQ. A.2)
Полное сечение показывает, какая доля падающих
частиц рассеивается при условии, что на единицу пло-
площади в единицу времени падает одна частица. Пусть
мишень—небольшой диск, Если на него падают

14 Гл. 1. Рассеяние и наблюдаемые величины
классические частицы, то полное сечение их рассеяния
равно площади диска. Аналогично, если для боров-
ского радиуса атома принять значение а0 == 5,29 X
X Ю~9 см, то полное сечение рассеяния электронов на
атоме по порядку величины будет аполн ~ а2 =2,80 X
X Ю~17 см2. Если же мишень — атомное ядро или эле-
элементарная частица, то по порядку величины сечение
рассеяния составляет 10~24 см2. Поэтому в ядерной
физике и физике элементарных частиц в качестве еди-
единицы измерения сечения рассеяния пользуются вели-
величинами
16=1 барн s=1(T24cm2,
1 мб=* 1 миллибары = Ю"7 см2.
Разумеется, отдельные атомы или атомные ядра не
могут быть мишенями в реальном эксперименте. В ка-
качестве мишеней применяют тонкие пластинки веще-
вещества, состоящие из огромного числа атомов или моле-
молекул. Пусть в точке, находящейся внутри мишени на
расстоянии г см от поверхности, число падающих час-
частиц равно N(z) см-2«с-1. Тогда число частиц, выбы-
выбывающих из пучка за счет рассеяния в слое вещества
от г до г + dz, будет равно
nonojl"N(z)dz.
Здесь п — плотность числа частиц мишени. Если ми-
мишень достаточно толстая, падающие частицы могут
совершить внутри ее последовательно одно, два, три
соударения, т. е. может происходить многократное рас-
рассеяние. Тогда число рассеянных частиц не будет про-
пропорционально толщине мишени. Чтобы предотвратить
это, мишени делают достаточно тонкими. Пусть в точ-
точке z + dz такой тонкой мишени число частиц, еще не
рассеянных и сохраняющих направление движения
падающего пучка, будет N(z + dz). Имеем
N(z + dz) = N (z) - nonojlHN (z) dz.
Это эквивалентно дифференциальному уравнению

§ 2. Теория рассеяния в классической механике 15
решая которое, получаем для числа частиц N[z) на
глубине г выражение
N(z)=*N @) ехр (- пополнг), A.3)
где N@)—число частиц, падающих на поверхность
мишени (при 2 = 0). Таким образом, полное сече»ие
рассеяния аполн можно определить экспериментально,
измерив число частиц N(z), проходящих через мишень
без соударений в направлении оси г, при всевозмож-
всевозможных толщинах мишени г. Такой метод измерения пол-
полного сечения называют методом ослабления.
Дифференциальное сечение а F) можно опреде-
определить, измерив относительную плотность потока рас-
рассеянных частиц при разных углах рассеяния 0. Сумма
дифференциальных сечений по всем телесным углам
должна равняться полному сечению.
Из сказанного ясно, что цель теории рассеяния —
теоретический расчет сечений.
§ 3. Теория рассеяния
в классической механике
В качестве первого шага целесообразно рассмот-
рассмотреть теорию рассеяния в классической механике. Тог-
Тогда станут понятнее особенности квантовомеханичеоких
задач рассеяния.
Пусть классическая частица рассеивается на по-
потенциале, сферически-симметричном относительно на-
начала координат О. Этот случай показан на фиг. 3.
Траектория классической частицы после прохождения
ею прямоугольного отверстия полностью определяется
ее положением и скоростью в плоскости отверстия.
(В противоположность этому в силу соотношения не-
неопределенностей положение квантовой частицы в пло-
плоскости отверстия неизвестно, если точно определена
ее скорость.) Если скорость v падающей классической
частицы до рассеяния задана, то направление рассея-
рассеяния полностью определяется показанным на фиг. 3
расстоянием Ь от траектории падающей частицы до

16
Гл. 1. Рассеяние и наблюдаемые величины
оси г. В конечном итоге угол рассеяния 0 оказывается
функцией расстояния Ь. И наоборот, можно считать,
что Ь есть функция угла 0, т. е. 6 = 6@). Величину Ь
называют прицельным расстоянием или параметром
удара. Ясно, что частицы, рассеянные в малый телес-
телесный угол йп в направлении 0, прошли сквозь отвер-
отверстие через бесконечно малый элемент площади Ь db
dq>, где ср — азимутальный угол относительно оси г.
Отверстие
коллиматора
Фиг. 3. Рассеяние в классической механике.
Если на единицу площади отверстия в одну секунду
падает одна частица, то вероятность прохождения в
единицу времени через элемент площади отверстия
bdbdy равна площади bdbdcp этого элемента. По*
этому
do = bdbdq) = 60 —-4-
Написанное выражение дает вероятность рассеяния в
бесконечно малый телесный угол dQ = sin 0 dQ d(p. Сле-
Следовательно, вероятность рассеяния в единицу телес-
телесного угла, т. е. сечение рассеяния а@), выражается
формулой
а@):
do
sinO
b @)
db(B)
B.1)
Итак, в классической механике дифференциальное се-
сечение можно рассчитать по формуле B.1), если пред-
предварительно определить функцию траектории 6@),

§ 2. Теория рассеяния в классической механике 17
А. Рассеяние на потенциальной яме
Применим изложенную выше общую теорию рас-
рассеяния к случаю рассеяния классической частицы мас-
массы m на сферической потенциальной яме радиусом г
с центром в начале координат О:
0 при r>a.
По определению Vo > 0. Обозначим через v скорость
падающей частицы, а через Ь — ее прицельное рас-
Фиг. 4. Рассеяние классических частиц на потенциальной яме.
стояние. Пусть скорость частицы внутри потенциаль-
потенциальной ямы будет v\ sl расстояние от начала координат
до траектории частицы в яме обозначим через Ь\ За-
Закон сохранения энергии дает
±mv2 = jmv'2-V0. B.3)
Кроме того, согласно закону сохранения момента ко«
личества движения относительно начала координат О,
mvb = mv'b'. B.4)
Из уравнения B.3) получаем
Пусть а — угол падения частицы на поверхность по-
потенциальной ямы, a (J — угол преломления. Как видно

18 Гл. 1. Рассеяние и наблюдаемые величины
из фиг. 4, можно написать
Ъ a=s a sin a, b' — a sin р. B.5)
Следовательно,
sin а Ь
sin p 6' '
Учитывая равенство B.4), получаем закон преломле-
преломления частицы на границе потенциальной ямы:
sing _?l ^ Ур2 + 2Ур/т ^ j
Сравним эту формулу с законом преломления света.
Обозначим скорость света в вакууме через v, а в сре-
среде— через vf (v > у'). Закон преломления света имеет
вид
sina v
обратный закону B.6I).
Из фиг. 4 ясна формула
е = 2(а-р), B.7)
которая позволяет связать угол рассеяния в с при-
прицельным расстоянием Ъ B.5). Сначала, пользуясь фор-
формулой B.7), напишем
Вводя обозначение у =¦ v'/v и исключая угол прелом-
преломления с помощью B.6), получаем
sin2 a:
у2 sin2 (8/2)
Y2-2ycos(9/2) + 1 *
Подставляя это выражение в первую из формул B.5),
находим
б2 (9) - a2 sin2 а - flY si (9/2) B 8)
о \р) a sin a y2_2ycos(9/2) + 1 ' ^^
Формулу B.1) можно, в частности, переписать в виде
m B.9)
f) Отмеченное автором несоответствие обусловлено тем, что
в формулу B.6) входят групповые скорости частиц, а в формулу
для закона преломления света — фазовые скорости волн. — Прим.
перев.

§ 2. Теория рассеяния в классической механике 19
Поэтому, чтобы найти дифференциальное сечеиие,
можно продифференцировать непосредственно выра-
выражение B.8). Получаем
п fflv __ <*2У2 [У ~ cos F/2)] [1 - у cos F/2)] {С) im
° \Р) — 4cos F/2) [у2 - 2y cos F/2) + I]2 ' **'IU'
Здесь у s= v'/v > 1 и а ^ 6 ^ 0, Поэтому угол рассея-
рассеяния 8 в формуле B.10) ограничен. В указанных пре-
пределах величина B.10) всегда положительна. Полное
сечение можно найти, проинтегрировав B.10) по 0, но
проще воспользоваться соотношениями B.5). В самом
деле, из фиг. 4 ясно, что угол падения а изменяется
от 0 до я/2. Следовательно,
а Я/2
аполн _ 2я f b db = 2па2 \ sin а cos а da = па2. B.11)
о о
Это совпадает с геометрическим поперечным сечением
прямоугольной ямы.
Б. Резерфордовское рассеяние
Резерфордовским называют рассеяние а-частиц
на тяжелых ядрах. Рассмотрим это явление на основе
классической механики. Пусть масса ядра гораздо
больше массы т а-частицы. Тогда можно считать,
что до и после столкновения с а-частицей ядро по-
покоится1). Между тяжелым ядром с зарядом Ze и а-
частицей, заряд которой равен Q, действует кулонов-
ская сила отталкивания. Хорошо известно, что в клас-
классической механике рассеиваемая а-частица движется
по гиперболе. На фиг. 5 эта гипербола обозначена
буквой Я. Точка К на чертеже указывает положение
ядра, это фокус гиперболы #', показанной на черте-
чертеже справа пунктиром:_3ная свойства гиперболы,
можно написать О А = OL = а, АВ = ГК= Ъ. Тогда
*) Так как скорость ядра отдачи гораздо меньше скорости
налетающей частицы. — Прим. ред.

20
Гл. 1. Рассеяние и наблюдаемые величины
Кроме того, а = е cos 9' и Ь = е sin 0'. Из этих соот-
соотношений следует, что
g9=^tg-^. B.12)
Здесь Ь — прицельное расстояние а-частицы.
Фиг. 5. Резерфордовское рассеяние.
Законы сохранения энергии и момента количества
движения, записанные в точке отверстия (на фиг. 5
точка — оо) и в точке Л, дают
1 о 1 о . ZeQ
— mv2 = y mv\ H—f-,
mvb = mvAl.
B.13)
B.14)
Здесь v — скорость падающей частицы до рассеяния,
a va — ее скорость в точке А. Исключая из формул
B.12) — B.14) величины / и Va, получаем
В последнем из равенств B.15) использовано соотно-
соотношение 8'= (я—0)/2. Подставляя B.15) в B.1), на-
находим диффернциальное сечение рассеяния:
_ ( ZeQ.
B.16)

§ 3. Лабораторная система и система центра масс 21
Дифференциальное сечение B.15) велико при малом
0, т. е. для рассеяния вперед, и при 0 = 0 оно обра-
обращается в бесконечность. Ввиду этого интеграл B.16)
по телесному углу расходится. Причина расходимости
состоит в том, что кулоновская сила отталкивания
действует на а-частицу, как бы далеко та ни находи-
находилась от ядра. В действительности же вблизи атом-
атомных ядер всегда имеются электроны, «экранирую-
«экранирующие» положительный заряд ядра, в результате чего
на а-частицу, находящуюся даже на сравнительно
небольшом расстоянии1) от ядра мишени, не дейст-
действуют кулоновские силы. Если учесть такое экраниро-
экранирование, то дифференциальное сечение рассеяния впе-
вперед становится ограниченным и полное сечение не
расходится.
§ 3. Лабораторная система
и система центра масс
В опытах по рассеянию часто встречается случай,
показанный на фиг. 2, когда частицы падают на не-
неподвижную мишень. Такую систему отсчета, в кото-
которой до столкновения частицы мишени покоятся, назы-
называют лабораторной. С теоретической точки зрения,
однако, удобнее рассматривать движение центра
масс падающей частицы и частицы мишени отдельно
от их относительного движения. Дело в том, что чис-
число степеней свободы, равное шести в системе двух
частиц, сокращается до трех в системе одной части-
частицы, возникающей после отделения движения центра
масс. Поэтому теоретическое рассмотрение движения
стремятся проводить в системе отсчета, в которой
центр масс покоится. Ее называют системой центра
масс. Многие результаты теории рассеяния получены
в этой системе отсчета. Поэтому сравнивать их с экс-
экспериментальными данными можно только после
того, как сечения рассеяния, рассчитанные в системе
*) Превышающем радиус экранирования. — Прим. ред.

22
Гл. I. Рассеяние и наблюдаемые величины
центра масс, пересчитаны к лабораторной системе1).
Разъясним метод такого пересчета.
Движение частиц с массами т\ и т?, в системе
центра масс показано на фиг. 6, а. Сначала частицы
Фиг. 6. Система центра масс (а) и лабораторная система (б).
Ц. М. —центр масс.
сближаются со скоростями, удовлетворяющими усло-
условию равенства нулю полного импульса системы, а за-
затем, испытав столкновение, расходятся, и при этом
скорости частиц вновь удовлетворяют условию равен-
равенства нулю полного импульса системы. Пусть до рас-
рассеяния частицы движутся вдоль оси г, сближаясь со
*) Имеются в виду данные, полученные на покоящейся ми-
мишени. В случае экспериментов, проводимых со встречными пуч-
пучками одинаковых частиц равной энергии, экспериментальные дан-
данные, естественно, получают прямо в системе центра масс— Прим.
ред.

§ 3. Лабораторная система и система центра масс 23
скоростями v\ и v*v а после столкновения разлетают-
разлетаются от оси z со скоростями v[ и v\r Тогда по закону
сохранения импульса
m\V\ ~~ m2Vi = m\V\ ~~ m2V2 = 0- C.1)
Так как частицы не взаимодействуют в областях про-
пространства, достаточно удаленных от точки соударе-
соударения, то по закону сохранения энергии
{ m, (v О2 + i т2 («0» - i- т, («, JJ + у ^2 (о О2- М
Теперь рассмотрим лабораторную систему, в которой
частица 2 покоится, а частица 1 до столкновения дви-
движется со скоростью Vl в положительном направлении
оси г. Для простоты положим, что m2 ^ ть Следова-
Следовательно, вначале полный импульс системы равен m\VL.
Поэтому скорость движения центра масс двух частиц
такова:
Следовательно, выполняются следующие соотноше-
соотношения между скоростями двух частиц в системе центра
масс и их скоростями в лабораторной системе:
Из формул C.1) —C.3) можно получить скорости
двух частиц в системе центра масс после столкнове-
столкновения:
<3'4>
Обозначим угол рассеяния в системе центра масс че-
через 8. Тогда ц- и г-компоненты векторов скорости

Гл. 1. Рассеяние и наблюдаемые величины
частиц в системе центра масс равны
v\ = v\ cos 6 = —jj?— v. cos 6,
m'+Z C.5)
t>? = — oj cos в = — m ?_' oL cos 8.
Чтобы получить у- и г-компоненты векторов скорости
в лабораторной системе после столкновения, надо к
г-компоненте скорости в системе центра масс доба-
добавить скорость центра масс vc> To есть
/721 -j- ttl2 COS 9
> z Ttl\ Ar tVii L>
C-6)
i. ____ /711 — ttl\ COS 9
Пусть углы рассеяния первой и второй частиц в лабо-
лабораторной системе будут 0ц и 02l. Тогда
Здесь t = mi/m2 ^ 1. Формулы C.7) выражают
связь между углами рассеяния в системе центра масс
и в лабораторной системе. Их можно также преобра-
преобразовать к виду
vf
VL z
sin
T + C
1
9
sin 9
— cos 9
cos9lL = —=l+cose . C.8)
1L Vi+2tcos6 + t2 V '
Пусть сечение рассеяния частицы 1 в телесный
угол dQ = sin 0 dQ dy в системе центра масс равно

§ 3. Лабораторная система и система центра мисс 25
o(Q)dQ> а сечение рассеяния той же частицы в телес-
телесный угол dQn = sin 0ц dQu dcpu в лабораторной си-
системе —o(Q\L)dQ\L. Телесные углы dQ и dQu соот-
соответствуют одной и той же области в разных системах
отсчета. Следовательно, число частиц, рассеиваемых
в эту область, не зависит от системы отсчета:
C.9)
В нашем случае dcpu = d<p, откуда
dQlL dcosQlL
~Ш~= dcosQ ' (ЗЛ0^
Подставляя C.8) в C.10) и выполняя дифференциро-
дифференцирование, получаем соотношение между сечениями рас-
рассеяния в системе центра масс и лабораторной си-
системе
Из формулы C.8) видно, что при тг > гпи т. е.
при т < 1, имеет место равенство cos 8ц « cos 8, или
Biz, « 0. В этом случае угол рассеяния в лаборатор-
лабораторной системе почти равен углу рассеяния в системе
центра масс. Это естественно1). В то же время при
гп\ = п%2 имеем cos 0U = cos @/2), т. е. 0ц = 0/2.
Следовательно, при изменении угла 0 от нуля до я
угол в лабораторной системе изменяется от 0 до я/2.
Таким образом, максимальный угол рассеяния в ла-
лабораторной системе равен 90°.
*) Поскольку в этом случае лабораторная система практиче-
практически совпадает с системой центра масс. — Прим. ред.

Глава 2
Стационарная теория рассеяний
§ 1. Выделение движения центра масс
в системе двух частиц
Лабораторной системой отсчета удобно пользо-
пользоваться лишь в случае бесконечно тяжелой мишени.
В противоположном же случае систему «рассеивае-
«рассеиваемая частица — мишень» с самого начала нужно трак-
трактовать как систему двух частиц, и тогда, как указы-
указывалось в гл. 1, § 3, удобнее перейти к системе центра
масс. Займемся этим.
Фиг. 7. Координаты центра масс и относительные координаты.
Пусть массы частиц равны т\ и тг, а потенциал V
действующих между ними сил —функция расстояния
между частицами. Уравнение Шредингера имеет вид
%\ 0
dt ~
Х.А1-^-А2+У(|г,-г8|)]ч»(ГьГй/). A.1)
где ri и г2 — радиус-векторы частиц, показанные на
фиг. 7.
Радиус-вектор R центра масс и вектор г расстоя-
расстояния между частицами определяются формулами
тг ' Г — Г, — Г2. A.2)

§ 1. Выделение движения центра масс 27
Чтобы переписать уравнение Шредингера A.1) в пе-
переменных R и г, в принципе нужно было бы произ-
произвести замену переменных по формулам A.2). Но та-
такие выкладки оказываются неожиданно громоздкими
и не очень наглядными, особенно в случае используе-
используемых ниже более сложных систем координат. Поэтому
мы рассмотрим на примере преобразования A.2) бо-
более общий и более прозрачный метод, применимый в
любых, самых сложных случаях.
Пусть г ез dr/dt. Лагранжиан системы, описывае-
описываемой уравнением A.1), имеет вид
V(ln-r,l>, A.3)
а импульсы, канонически сопряженные координатами
П и Гг, таковы:
р1 = -^" —т^ь Р2 = ~^-= т2г2. A.4)
ОГ\ ОТ2
Продифференцируем A.2) по времени:
Решая систему уравнений A.5) относительно г\ и г а
и подставляя результат в формулу A.3), получаем
Введем импульсы, канонически сопряженные коорди-
координатам R и г:
^ f. A.7)
dR dr mx + m2
Здесь М = m\ + ni2. Подставляя выражения A.5) в
правые части равенств A.7) и учитывая формулы
A.4), приходим к соотношению между каноническими
импульсами

28 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Пока что мы оперировали со всеми величинами
как с с-числами, т. е. так, как будто это классические
величины. Учтем теперь их квантовый характер (то,
что они ^-числа), т. е. учтем канонические перестано-
перестановочные соотношения. Для старых переменных п, pi
и г2, р2 эти соотношения имеют вид
[Гь Pi] = [r2, fed —M A.9)
(в остальных перестановочных соотношениях в пра-
правой части стоит нуль). С помощью формул A.2) и
A.8) выводим коммутаторы новых пар переменных
R, Р и г, рг:
[R, Р]«[г.рг]«/Л A.10)
(остальные пары переменных коммутируют между со-
собой). Таким образом, преобразования A.2) и A.8)
сохраняют неизменными перестановочные соотноше-
соотношения, т. е. это — канонические преобразования.
Гамильтониан правой части уравнения A.1) в ка-
канонических переменных рь Т\ и рг, г2 имеет вид
Преобразуя его на основе соотношений A.2) и A.8),
получаем
где m — приведенная масса, которая определяется ра-
равенством
— = — + —. A.13)
Система с гамильтонианом A.12) отвечает урав-
уравнению Шредингера
A.14)
Это — искомое уравнение, записанное в координатах
центра масс и относительных координатах.

§ 2. Интегральное уравнение рассеяния 29
Если в уравнение A.14) подставить
](l)'(U5)
то для \|э(г) получим уравнение
A.16)
Здесь Р'— собственное значение оператора импульса
Р, a exp(/P'-R/fi)—плоская волна, соответствующая
движению центра масс с импульсом Р'. В уравнение
A.16) входит только вектор г, зависящий лишь от
относительных координат. Тем самым движение цент-
центра масс отделено от относительного движения. По
форме уравнение A.16) полностью аналогично урав-
уравнению Шредингера для одной частицы, которая дви-
движется в поле с потенциалом V, зависящим только от
пространственных координат. Под массой m в урав-
уравнении A.16) подразумевается приведенная масса
A.13).
§ 2. Интегральное уравнение рассеяния
Возможны два подхода к анализу рассеяния —
стационарный и нестационарный. Их можно пояснить
следующей классической аналогией. Пусть из шланга
хлещет вода. Преградим ей путь тяжелым камнем.
Ударившись о камень, струя воды разлетится во все
стороны. Если вода течет очень долго, то картина яв-
явления будет стационарной и ее можно сфотографиро-
сфотографировать. Фотография, показывающая не изменяющуюся
с течением времени картину рассеяния падающей
воды камнем, символизирует стационарный подход к
рассеянию. Другой, нестационарный подход — сле-
следить за отдельной капелькой воды, вылетающей из
шланга, отмечая, как она движется во времени в ходе
рассеяния.
Исходный пункт квантовой теории рассеяния —
уравнение Шредингера
ff B.1)

30 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
При первом из указанных выше подходов вместо урав-
уравнения B.1) рассматривают стационарное уравнение
?г|з, B.2)
решая его при соответствующих граничных условиях.
С математической точки зрения, такая задача в сущ-
сущности не отличается от задачи о рассеянии классиче-
классических волн, например рассеяния звука твердым телом.
Единственное различие в том, что квантовая волно-
волновая функция дает вероятность, а классическая волна
имеет смысл колебаний плотности вещества. Второй
из указанных выше подходов (нестационарный) в
квантовой механике состоит в следующем. Рассмат-
Рассматривают начальное состояние, в котором падающая
частица и мишень находятся далеко друг от друга.
Под влиянием взаимодействия между частицами со-
состояние изменяется с течением времени согласно
уравнению Шредингера B.1). Решая его, находят ве-
вероятность того, что по прошествии некоторого вре-
времени это состояние будет заключать в себе другие
наблюдаемые состояния, т. е. вычисляют вероятность
перехода из начального в конечное состояние. Второй
подход более, чем первый, соответствует специфике
квантовомеханического способа мышления и обладает
большей общностью. Но ответ на вопрос, согласуются
ли друг с другом результаты, получаемые при двух
разных подходах, отнюдь не самоочевиден.
В данной главе мы примем для квантовой теории
рассеяния первый подход. Нестационарная же тео-
теория, основанная на втором подходе, будет изложена
в гл. 4 и 5.
Стационарные задачи в квантовой механике раз-
разделяются на два класса. Первый класс — задачи на
собственные значения. В этом случае ищут решения
уравнения B.2), обращающиеся в нуль на бесконеч-
бесконечности. Собственные значения энергии Е не могут
быть любыми, они принимают только некоторые раз-
разрешенные значения Еп. Задачу определения собствен-
собственных значений и отвечающих им собственных функций
называют задачей на собственные значения. Ко вто-
второму классу стационарных задач квантовой механики

§ 2. Интегральное уравнение рассеяния 31
относятся задачи рассеяния. В отличие от задачи на
собственные значения в задаче рассеяния энергия си-
системы определена заранее экспериментальной ситуа-
ситуацией как энергия, которую имеют падающая частица
и мишень. Задача состоит в решении дифференциаль-
дифференциального уравнения B.2) при граничных условиях, отве-
отвечающих рассеянию.
Перейдем к рассмотрению взаимного рассеяния
(столкновения) двух частиц в системе центра масс.
Исходный пункт этой задачи — уравнение Шредин-
гера A.16). Энергия Е задана экспериментальной си-
ситуацией. Она, естественно, положительна. Введем обо-
обозначения
,2_2т? Т1 _ 2mV
где k= |k| —волновое число. В этих обозначениях
уравнение A.16) примет вид
(Д + *2)Ыг) = ?/(г)Ыг). B.4)
Если в правой части принять U = 0, то мы придем к
хорошо известному в классической физике уравнению
Гельмгольца. Будем считать, что потенциал V(r) —
функция только расстояния г = ]г|, достаточно бы-
быстро стремящаяся к нулю при больших г. Случаи,
когда на бесконечности потенциал убывает медленно,
подобно кулоновскому потенциалу, рассматривать не
будем. В случае кулоновского потенциала уравнение
B.4) решается строго (решение подробно излагается
во всех учебниках квантовой механики), но соответ-
соответствующие методы решения не приложимы к задачам
с другими потенциалами.
Дифференциальное уравнение B.4) нужно допол-
дополнить граничным условием, соответствующим задан-
заданной картине рассеяния. Картина рассеяния показана
на фиг. 8. В местах, достаточно удаленных от центра
потенциала О, волновая функция состоит из плоской
волны, распространяющейся в положительном на-
направлении оси z, и сферической волны, расходящейся
от точки О как от центра. Следовательно, на

32
Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
бесконечном удалении от центра асимптотика волно-
волновой функции имеет вид
¦Л (г) ^ BяГа/' [exp (ikz) + Ш еХр (ikr)]. B.5)
Это и есть граничное условие для задачи рассеяния.
Уравнение B.4) нужно решать при условии B.5).
Здесь /@)—амплитуда рассеянной волны, обычно
Фиг. 8. Граничные условия на бесконечности для задачи рас-
рассеяния.
Слева —плоская волна падающих частиц, справа-»расходящаяся сфериче*
екая волна.
зависящая от угла 9. Ее называют амплитудой рас-
рассеяния. Каков смысл плоской волны (первое слагае-
слагаемое) и расходящейся сферической волны [второе
слагаемое в формуле B.5)], можно понять, приняв
во внимание множитель ехр(—i'Et/Ъ) в выражении
A.15). Коэффициент Bя)-3/а в условии B.5) соответ-
соответствует условию нормировки падающей плоской вол-
ны на 6-функцию
Bл)

ехр {- / (к' - к) • г} dh — б3 (к - к'), B.6)
при котором в кубе объемом BяK см3 содержится
одна частица:
2я 2л 2л
-$&\dx\dy\dz\ exp (ikz) ? - 1. B.7)

§2. Интегральное уравнение рассеяния 33
Вернемся к дифференциальному уравнению B.4).
Будем теперь считать его правую часть отличной от
нуля. Тогда его решение представится суммой обще-
общего решения уравнения Гельмгольца
О B.8)
и частного решения х*(г) неоднородного уравнения
(Д + *2)Х*(г) = ?/(г)гЫг). B.9)
Чтобы решить уравнение B.9), рассмотрим диффе-
дифференциальное уравнение
B.10)
Пусть его решение будет Go(r). Тогда решение урав-
уравнения B.9) можно записать в виде
$ B. И)
Очевидно, что
(Д + k2) %k (r) = J dV63 (r - г') U (г') ъ (г') - U (г) ¦* (г).
Следовательно, величина х*> определенная формулой
B.II), удовлетворяет уравнению B.9). Величину
Go (г) называют функцией Грина.
Чтобы решить уравнение B.10), представим функ-
функции в обеих его частях в виде интегралов Фурье:
г) = \ Go (k') ехр (/к'. г) dsW,
б3 (г) = BяГ3 J ехр (Л" • г) d3kr.
Подставляя эти разложения в уравнение B.10), по-
получаем
откуда с учетом первого из выражений B.12) нахо-
находим
^K^^. B.13)
2 Зак, 1271

34
Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Для вычисления интеграла в правой части выбираем
ось z в направлении г, как показано на фиг. 9. Пе-
Перейдя к сферическим координатам (&', 0', ф') в про-
пространстве к', получим
\
00
1 1 f k'slnk'r
Интеграл по W содержит полюс в точке W я= k\ по*
этому сам по себе он не имеет смысла и для опреде-
определения Go (г) необходимо установить правила обхода
z
г
Фиг. 9. Сферические координаты.
полюса. Для этвго прежде всего, учитывая, что по-
подынтегральная функция четна относительно *', пере-
перепишем последний из интегралов B.14) в виде
-/Л B.1б)
где

§ 2. Интегральное уравнение рассеяния
35
Интегралы Л и h имеют полюса в двух точках к' =
¦=» ±к. Поэтому, рассматривая плоскость комплекс-
комплексного переменного k\ изменим пути интегрирования,
направив их по замкнутым контурам, показанным на
фиг. 10. Возможны различные способы обхода полю-
полюсов. В случае интеграла Л путь интегрирования замк-
замкнем в верхней полуплоскости (сплошные линии) и
обойдем полюса двумя способами (контуры С+ и CJ).
Фиг. 10. Пути интегрирования С+ и С. в плоскости комплекс-
комплексного переменного к'.
Тогда для интеграла 1\ вычеты дадут
Ii = 2niexp(ikr) (контур С+),
/i = 2mexp(— ikr) (контур С.).
В интеграле h путь интегрирования замыкаем в ниж-
нижней полуплоскости (пунктир). Тогда
/2 = — 2ш exp {ikr) (контур С+),
/2== — 2шехр(— ikr) (контур С).
Таким образом, выражение B.15) принимает вид
О^±) (г) - - -j^exp (± ikr\ B.18)
где знак зависит от пути интегрирования. В этой фор-
формуле Go** отвечает пути С+, a Go""* — пути С.
Иначе говоря, контуру С+ отвечает функция Грина
в виде расходящейся сферической волны, а контуру
С- — в виде сходящейся. Вместо того чтобы обходить
полюса, лежащие на действительной оси, можно

36
Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
сместить их так, как показано на фиг. 11. Тогда, поло-
положив Л'=±(*-Нв'), е'-+О+, для контура С+ полу-
получим результат, совпадающий с B.18). Если ввести
е ss 2е'&, то можно написать
k'2 = (k + U'f « ft2 + 2/e'fe = k2 + /e.
Для контура С- нужно принять k' = ±(А — *У).
Фиг. 11. Смещение полюсов.
Тогда k'2 = k2 — ie. С учетом этих определений ин-
интегрирование B.13) даст1)
B.19)
Если в качестве решения однородного уравнения B.8)
выбрать плоскую волну, распространяющуюся вдоль
оси г:
то решение уравнения B.4), отвечающее расходящей-
расходящейся сферической волне, запишется в виде
- ~Ш \
U {Г'
') В дальнейшем символ предельного перехода, имеющийся
в формуле B.19), всегда будем опускать. Это не должно приво*
дить к недоразумениям.

§ 2. Интегральное уравнение рассеяния
37
а решение, отвечающее сходящейся сферической вол-
волне,—в виде
(г) = Bя)-^ехр Aкг)-
Мы назвали выражения B.20) и B.21) решениями
уравнения B.4), но они содержат неизвестную волно-
волновую функцию г^** (г) и потому в действительности еще
Фиг. 12. Граничные условия, которым удовлетворяет интегральное
уравнение B.21).
Слева—сходящаяся сферическая волна, справа—плоская волна.
не являются решениями. Эти равенства — интеграль-
интегральные уравнения, эквивалентные дифференциальному
уравнению B.4) с заданными граничными условиями.
Их считают основными уравнениями теории рас-
рассеяния.
Интегральное уравнение B.20), как будет показа-
показано ниже, удовлетворяет асимптотическим граничным
условиям B.5). Уравнение B.21) соответствует таким
асимптотическим граничным условиям, при которых
на бесконечности есть сходящаяся сферическая вол-,
на и плоская волна (фиг. 12). Уравнение со сходя-
сходящейся сферической волной, так же как и уравнение
B.20), находит применение в теории рассеяния.
Соответствие уравнения B.20) граничному усло-
условию B.5) устанавливаем следующим образом. На
фиг. 13 в виде сферы показана область, в которой по-

38 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
тенциал V отличен от нуля. Область изменения
переменной интегрирования г' ограничена, очевидно,
этой сферой. Следовательно, при г -* оо справедливо
приближенное выражение
где п' — единичный вектор в направлении г. Имеем
Фиг. 13. Асимптотика функции Грина.
Подставляя это выражение в B.20), получаем
ехр (-/к' • г') U (г') 4+) (г') dV}].
B.22)
Здесь к' и kn' — волновой вектор в направлении рас-
рассеяния. Очевидно, что выражение B.22) асимптотиче-
асимптотически удовлетворяет условию B.5). Точно так же не-
нетрудно убедиться, что интегральное уравнение B.21)
соответствует граничному условию фиг. 12. Сравни-
Сравнивая B.22) и B.5), видим, что для амплитуды рассея-
рассеяния справедлива формула
B-23)

§ 2. Интегральное уравнение рассеяния 39
Это соотношение наряду с интегральным уравнением
B.20) — одно из наиболее важных в теории рас-
рассеяния.
Интегральные уравнения B.20) и B.21) можно
переписать в форме, применимой к задаче рассеяния
более общего вида. Рассмотрим часть гамильтониана
И A.12), остающуюся после отбрасывания членов,
отвечающих движению центра масс:
+ V(r). B.24)
Заметим, что в выражении B.19)
^ B.25)
Тогда выражения B.20) и B.21) можно переписать
в виде
¦<*>-BЯ)-'''ехрAкг) + BяГ3$ dV \ Л' Е^±иХ
X ехр (Л' • г) ехр (- tk' • г') V (г') ф<*> (г') —
=BяГ'/'ехр(/*гЖ2яГгУг' \ Л' I <•—X
X ехр (ft' • г) ехр (- Л' ¦ г') V(r') %»(г') -
= Bя)-'/'ехр(ikz) + Bя) Ек_щ±1й X
X J dY J d\' ехр {&' • (г - г')} V (г') ф<*> (г')
BяГ'''ехр (ikz) + Ek_lHo±l6 V (r) *f> (r)
В этой формуле, вообще говоря, нельзя переставлять
между собой #о и V. Так как Но в знаменателе ¦—
дифференциальный оператор, последнее равенство в

40 Гл. 2, Стационарная теория рассеяния
действительности есть интегральное уравнение. Вве-
Введем обозначения
Ыг)=BяГ8/2ехр(/**); <Mflb ± *в)"^ _ Д,±/в B.26)
и напишем
¦l** fr> = Фк (г) + Go (Ek ±*0 ^(О ЧГ (г). B.27)
Представленное в такой форме интегральное уравне-
уравнение рассеяния называют уравнением Липпмана —
Швингера.
Метод исследования задач рассеяния, основанный
на уравнении в форме B.27), разработан после вто-
второй мировой войны. Появление этого уравнения сти-
стимулировало резкий подъем теоретических исследова-
исследований, одна из причин которого связана с возмож-
возможностью применять уравнение B.27) к более сложным,
чем рассеяние на потенциале, случаям. В самом деле,
если мишень состоит из большого числа частиц и
имеет сложную структуру, то гамильтониан в фор-
формуле B.26) не имеет простого вида B.25). Тогда
функцию Грина Go* (г) нельзя представить в простой
конкретной форме B.19) и интегральное уравнение
рассеяния, соответствующее уравнению B.20), прини-
принимает крайне сложный вид. Поэтому математическое
решение задачи затрудняется, а расчеты становятся
весьма темными. Если же интегральное уравнение
записано в виде B.27), то нужно только заменить ве-
величину #о, входящую в Go, выражением, отвечающим
указанной сложной системе частиц, и теоретический
анализ становится очень прозрачным. Примеры этого
нам встретятся ниже. Вторая причина быстрого подъ-
подъема в области исследования задач рассеяния после
появления уравнения Липпмана — Швингера состоит
в том, что величину V в уравнении B.27) можно счи-
считать не потенциалом, а взаимодействием более общего
вида, например гамильтонианом взаимодействия поля
с полем. Таким образом, область применимости урав-
уравнения рассеяния в форме B.27) шире, чем уравнения
B.20): например, оно применимо в квантовой теории
поля. О расширении области применимости этого

§ 2. Интегральное уравнение рассеяния 41
уравнения будет дополнительно сказано в гл. 4. Там
уравнение вида B.27) мы выведем путем рассмотре-
рассмотрения переходов между квантовыми состояниями. Ме-
Метод переходов между квантовыми состояниями при-
применим не только к случаю одн<дй материальной точки,
он совершенно так же может быть использован в бо-
более общей квантовой механике поля. Третья причина
отмеченного подъема в области исследований по тео-
теории рассеяния после появления уравнения Липпма-
на — Швингера состоит в том, что оно позволяет напи-
написать формальное решение, ценность которого в тео-
теории необычайно велика. В заключение данного па-
параграфа напишем такое формальное решение.
Рассмотрим два некоммутирующих оператора А й
В, для которых существуют обратные операторы. Как
нетрудно убедиться, приведя к общему знаменателю
дроби в левой части, выполняется соотношение
Хотя формула эта очень проста, она является мощ-
мощным орудием теоретических выводов. Полагаем в ней
А = Ek — Но± /е, B = Ek — Н± to.
Так как Н — Но= V, мы имеем
1 1
~ Ek — Н ± *е
-"¦ Ek - Я ± /8 V Ek— Но ± is '
Если ввести обозначение
H±e B.30)
то равенство B.29) примет вид
GQ(Ek±ie) = G(Ek±ie)-G(Ek±ie) VG0(Ek±ie). B.31)
Положив в формуле B.28) А = Ek — Н ± is и В =
= Ek — Hq± te, получим следующее интегральное
уравнение для G (Go считаем известным):
О {Ek ± U) = Go(Ek ± fc) + Go{Ek ± to) VG (Eh±is). B.32)

42 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Применяя B.31) к B.27), получаем
¦?«-** + Q(Ek±ie)[l - VGQ(Ek ±
B.33)
Два последних равенства в формуле B.33) напи-
написаны с учетом соотношения B.27). Подставив выра-
выражение B.30), получим
В формулах B.33) и B.34) волновая функция рас-
рассеяния "ifj** выражена через волновую функцию фн
падающей частицы. Это одна из форм решения интег-
интегрального уравнения B.27). Но чтобы узнать, какое
состояние получится в результате действия оператора
G(Ek±is)V на волновую функцию падающей час-
частицы, необходимо заранее знать полную систему стро-
строгих решений для гамильтониана всей системы Я.
В этом смысле B.34) всего лишь формальное реше-
решение. Тем не менее для современной теории рассеяния
очень существенна возможность получить такое фор-
формальное решение.
§ 3. Амплитуда рассеяния
и дифференциальное сечение
Асимптотика волновой функции на бесконечности
дается формулой B.5). Пользуясь ею, выведем соот-
соотношение между амплитудой рассеяния и дифферен-
дифференциальным сечением.
Плотность \г потока падающих частиц в положи-
положительном направлении оси г, т. е. число частиц N, па-
падающих в секунду на единицу площади в этом на-
направлении, дается волновой функцией падающей
волны

§ 3. Амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение 43
Поэтому
т. е. в 1 с на единицу площади падает и/BлK частиц.
В формуле C.2) звездочкой обозначены комплексно-
сопряженные величины, v = bk/m — скорость падаю-
падающих частиц относительно мишени.
Плотность потока частиц /V, рассеиваемых в на-
направлении вектора г (в направлении угла рассеяния
О, который по предположению отличен от нуля), дает-
дается выражением
где %г — расходящаяся часть сферической волны, т. е.
v _ * exp (ikr)
В формуле C.3) отброшены члены, убывающие на
бесконечности быстрее, чем 1/г2.
Согласно формуле C.3), число частиц, проходя-
проходящих в 1 с по нормали через элемент поверхности dS
в точке наблюдения, находящейся на большом рас-
расстоянии г от центра потенциала О, равно
Здесь dQ — телесный угол, под которым элемент dS
виден из точки О. Следовательно, дифференциально^
сечение а (8) дается выражением
0(9)rfQ—^—|f(9)prfQ. C.4)
Это соотношение между амплитудой рассеяния и
дифференциальным сечением — наиболее важное и
фундаментальное в теории рассеяния. Но амплитуда
рассеяния f@) дается формулой B.23). Следователь-
Следовательно, если бы удалось найти решение t|^+ (г) интеграль-
интегрального уравнения B.20), то, подставив его в формулу

44 Гл. 2. Стационарная, теория рассеяния
B.23) и выполнив интегрирование, можно было бы
найти дифференциальное сечение по формуле C.4).
Используя дираковские обозначения «бра» и
«кет», формулу B.23) можно переписать в виде
|г) \ Г„ (•") V (г') dp
C-5)
Подставив сюда выражение для г|^+) [формула
B.34)], получим для амплитуды рассеяния
f (в) - - -^ (-§¦) <** I Г (?А + /в) | fc>. C.6)
Здесь Т — оператор, определенный соотношением
C.7)
В дальнейшем он играет важную роль. Оператор
T(Ek + ie) зависит, как от параметра, от собствен-
собственного значения некоторой величины, называемой энер-
энергией падающей частицы. В связи с этим нужно пом-
помнить, что этот оператор не имеет смысла, если его
рассматривать независимо от полной системы соб-
собственных состояний. Пользуясь формулой C.6),пред-
C.6),представим дифференциальное сечение в виде
C.8)
Плотности потока в падающей [формула C.2)]
и в расходящейся сферической [формула C.3)] вол-
волне мы вычисляли отдельно. Но при рассмотрении
свойств потока частиц всей системы в целом надо
учитывать полную волновую функцию г|4+)(г) [фор-
[формула B.20)]. Тогда плотность потока запишется
в виде
i+(r) — v*(+)*(r)ty+)(r)]. C.9)

§ 3. Амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение 45
Взяв дивергенцию этого выражения и воспользовав-
воспользовавшись уравнением Шредингера B.4), получим
h
—--г Г'ф!"*"** (г) Ai|>*+) (г) — Д\|)(+)* (г) ^i+) (г)! = 0.
C.10)
Это обычный закон сохранения плотности потока час-
частиц. Интегрируя C.10) внутри сферы достаточно
большого радиуса и переходя на основании теоремы
Гаусса к поверхностному интегралу, получаем
\ j(r).ndS = 0. C.11)
г->оо
Здесь п — направленный наружу единичный вектор
нормали к поверхности сферы. В качестве волновых
функций г|^+ в выражение для вектора j(r) в интег-
интеграле по поверхности сферы C.11) подставим асимп-
асимптотики при г->оо [формула B.5)]. Тогда, кроме оп-
определенной ранее плотности потока в плоской падаю-
падающей волне \г и в расходящейся сферической волне /г,
появятся еще интерференционные ч^ены
JHHT /„\ ft 1 Г**/Л\ СХО (— ikr) wrj /., v
(г) = -ШШ!-[' W~^ vexp(iftz)-
exp (— ikr)
Взяв составляющую этого выражения вдоль вектора
г и заметив, что кг = kr cos 9, получим, если оставим
лишь члены порядка г, а члены более высокого по-
порядка отбросим:
Г(г)~^ A+;°se)[
Если расстояние г очень велико, то экспонента в пра-
правой части последнего равенства при 1-— cos 0=^=0
сильно осциллирует при незначительном изменении к
и усреднение по узкому интервалу значений к дает

46 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
нуль. Эффективно это выражение отлично от нуля
только при cos 8== 1. Поэтому можно написать
+ /@)exp{/*r(l-cose)}]. C.12)
Таким образом, интерференционный член /гинт дает
плотность потока частиц, рассеиваемых в положи-
положительном направлении оси г, т. е. вперед. Поэтому для
Фиг. 14. Интенсивность потока при рассеянии вперед.
определения числа частяц, рассеиваемых в 1 с впе-
вперед, надо проинтегрировать выражение C.12) по
участку сферической поверхности, примыкающему к
оси г, т. е. по области малых углов рассеяния 69
вблизи угла рассеяния 8 = 0 (фиг. 14). Тогда полу-
получим
69
2nr hk Г с* /пч 1 — ехр {— ikr A — cos 68)}
W-7^|/ @) jg
При выводе второго из равенств C.13) учтено, что
вклад экспонент при 68 ф 0 равен нулю вследствие
сильной осцилляции при небольших изменениях k.

§ 3. Амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение 47
Подытожим сказанное. Согласно формуле C.2),
при г-> — оо интенсивность падающего потока, вхо-
входящего внутрь сферы большого радиуса, равна
/- C14)
а при г -> +оо интенсивность волнового потока, вы-
выходящего вперед при угле 8 = 0, получается сложе-
сложением выражений C.14) и C.13) и равна
C.15)
В то же время полная интенсивйость потока частиц,
3*™
Фиг. 15. Оптическая теорема.
рассеиваемых в направлениях 0 Ф 0, согласно фор-
формуле C.4), равна
C.16)
Следовательно, в силу формулы C.11), имеем
откуда
1т/@) = ^аполн. C.18)
Полученное соотношение называют оптической теоре-
теоремой. Мы вывели его из закона сохранения потока ве-
вероятности. Иллюстрация баланса потоков приведена
на фиг. 15*

48 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Оптическую теорему можно сформулировать в ви-
виде следующего представляющегося естественным
утверждения: рассеяние в сторону происходит за счет
выбывания частиц из падающего пучка.
§ 4. Борновское приближение
Задача о рассеянии частицы на потенциале V(r)
сводится к тому, чтобы сначала, решив интегральное
уравнение рассеяния B.20), найти волновую функ-
функцию t(fe+), затем, подставив г^ в формулу B.23).,
вычислить амплитуду рассеяния и, наконец, опреде-
определить дифференциальное сечение, подставив ампли-
амплитуду рассеяния в C.4). Но точное решение интег-
интегрального уравнения B.20) почти никогда невозмож-
невозможно. Поэтому рассмотрим приближенные методы его
решения.
Наиболее простое приближение получится, если в
точной формуле для амплитуды рассеяния
предположить, что в области с отличным от нуля по-
потенциалом U [т. е. в области, по которой идет интег-
интегрирование в формуле D.1)] расходящаяся сфериче-
сферическая волна пренебрежимо мала по сравнению с па-
падающей плоской волной, и, отбросив сферическую
волну, взять в качестве \|>j+ первое слагаемое правой
части интегрального уравнения B.20). Такое прибли-
приближение называют первым борновским приближением.
Тогда амплитуда рассеяния принимает вид
/A) (9) = - -L J ехр (- Л' • г') U (r') exp (ikz') dV. D.2)
Введем единичный вектор п в направлении оси z и
единичный вектор п' в направлении рассеяния
(фиг. 16):
kz' = kn • г', Ы • г' = kn' • г', D.3)

§ 4. Борновское приближение 49
Абсолютная величина вектора изменения импульса
йК = йк — Ш' будет такой (фиг. 16):
АЯ-А|К1 —2A*siny. D.4)
С учетом соотношений D.3) и D.4) перепишем фор-
формулу D.2) в виде
/A) (в)« _ -L J ехр (Ж • г') U (г') dY. D.5)
При интегрировании по углам в формуле D.5) вос-
воспользуемся сферической системой координат с осью г
Фиг. 16. Изменение направления импульса при рассеянии.
вдоль вектора К так же, как делали при интегриро-
интегрировании в формуле B.14). Получим
оо я 2Я
- -L J rn dr> J sin е/ dQ> J d(f> exp (iKr> cos 0/} x
0 0 0
X U (/¦') = - ± 5 dr' r' sin Kr' U (г'). D.6)
0
Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния
дается выражением
а«> (9) = ~г J dr' r' sin К/ U (г') . D.7)
Остается выполнить интегрирование по г' в формуле
D.6). Заметим, что, согласно формуле D.7), диффе-

50 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
ренциальное сечение не зависит от знака потенциала.
Полное сечение рассеяния получается интегрирова-
интегрированием выражения D.7) по полному телесному углу.
Пользуясь соотношением
sine dB^-p
вытекающим из равенства D.4), легко свести расчет
к интегрированию по К:
я 2k
crWполн = 2я Jrf9 sin9а(9) = Щ- J a(K)KdK. D.8)
о о
Л. Упругое рассеяние электронов
на атомах
В качестве примера применим первое борновское
приближение к расчету сечения упругого рассеяния
электронов на атомах. Будем считать, что, поскольку
масса атома велика по сравнению с массой электро-
электрона, можно пренебречь смещениями атомов. Пусть
электрон с массой m и зарядом —е рассеивается
нейтральным атомом с номером Z. Примем, что об-
облако внутренних электронов атома сферически-сим-
сферически-симметрично с центром в ядре и что плотность заряда в
нем равна —ер {г). При этом
= Z. D.9)
Потенциальная эйергия статического электрического
поля, действующего на падающий электрон, дается
выражением
V(r) Ц-Л
Здесь первый член — потенциальная энергия взаимо-
взаимодействия падающего электрона с ядром, а второй —
электростатическая потенциальная энергия взаим-
взаимного отталкивания падающего электрона и электрон-
электронного облака, окружающего ядро атома. Оба члена
формулы D.10) кулоновского типа, т. е. при больших
/ они обратно пропорциональны г, Но в выражении

§ 4. Борновское приближение 51
D.10) эти медленно убывающие члены взаимно унич-
уничтожаются, и в целом оно достаточно быстро убывает
с расстоянием. Физически это обусловлено тем, что
электронное облако экранирует заряд атомного ядра
(вне электронного облака атом электрически нейтра-
нейтрален). Следовательно, к потенциалу D.10) применима
изложенная выше общая теория и можно пользовать-
пользоваться первым борновским приближением D.7).
Подставив D.10) в D.5) и введя обозначение
U = 2mV/h2t получим
—й"Тг
где
DЛ2)
D.13)
Начнем с вычисления интеграла /г. Полагая
AW-J-^F?^. D-14)
приводим его к виду
D.15)
Величину Л (г) [формула D.14)] можно истолковать
как электростатический потенциал, создаваемый рас-
распределением электрического заряда с плотностью
ехр(/К-г). Следовательно, Л (г)—решение дифферен-
дифференциального уравнения
ДЛ (г) = - 4я ехр (/К • г). D.16)
Частное решение такого уравнения имеет вид
) . D.17)

52 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Величина 1\ [формула D.12)] не что иное, как Л@).
Поэтому с учетом выражения D.17) имеем
/,-Л@)—jfj-. D.18)
Подставив D.17) в D.15), получим для h выражение
h - \ dh" $ ехр (/К • г") р {г"). D,19)
Интегрируя по углам в формуле D.19), так же как
интегрировали в формуле D.6), получаем
h — ^f- 5 r"p (r") sin Kr" dr". D.20)
0
Подставляя D.18) и D.20) в D.11), приходим к ре-
результату
где
оо
$ ^lL D.22)
есть так называемый атомный формфактор. Посколь-
Поскольку в силу равенства D.4)
выражение D.21) принимает вид
где v — скорость падающей частицы. Следовательно,
дифференциальное сечение рассеяния дается форму-
формулой
чгпш • D'24)
Пусть Л (8) = 0. Тогда формула принимает вид

$ 4. Борновское приближение 53
согласующийся с формулой для дифференциального
сечения резерфордовского рассеяния, полученной в
гл. 1 [формула B.16) ] из классической механики. Это
выражение согласуется также со строгим результа-
результатом для рассеяния электронов кулоновскими силами,
вывод которого в настоящей книге опущен. Но пола-
полагать А @) = 0 в формуле D.24) недопустимо по суще-
существу дела, так как тогда асимптотика потенциала при
больших г приняла бы вид V(r) ос г-1 и изложенная
выше общая теория оказалась бы неприменимой. Во
втором борновском приближении, о котором говорит-
говорится ниже, амплитуда кулоновского рассеяния расхо-
расходится (бесконечно велика). Таким образом, отмечен-
отмеченное совпадение первого борновского приближения с
точным результатом D.25) носит случайный харак-
характер. Кстати, полное сечение, получаемое интегриро-
интегрированием D.25) по всем телесным углам, расходится,
тогда как полное сечение, получаемое на основании
формулы D.24), конечно.
Б. Границы применимости борновского
приближения
Решив интегральное уравнение B.20) методом по-
последовательных приближений, получим
= Bя)"*'¦ [exp (ikz) + J Gi+) (г - г') U (r') exp (tkJ) d\r +
+ \ \ °{°+) (г - г'} и (г'> °{°+) (г' -f//) u (г'7) х
X exp {ikz") dh' dh" + ... ]. D.26)
Аналогично, производя итерационное разложение
уравнения Липпмана — Швингера B.27), можно на-
написать
+ Go (Ek + /в) VG0 (Ек + /в) Уфъ+ .... D.27)

Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Подставив D.27) в C.5), представим амплитуду рас*
сеяния в виде
+ (ф*\ VG0(Ek + to) VG0(Ek + is) V \фк) +...]. D.28)
Это разложение по степеням потенциала V. Первое
слагаемое в формуле D.28)—первое борновское при-
приближение. Второе слагаемое называют вторым бор-
новским прии лужением Величина O0(Ek )
Фиг. 17. Диаграммы Фейнмана.
Цифрами 1, 2 и 3 обозначены 1-е, 2-е и 3-е борновские приближения.
функция Грина, отвечающая распространению расхо-
расходящейся сферической волны. Ряд D.28) можно пред-
представить в виде диаграмм, показанных на фиг. 17. На-
Например, член второго борновского приближения на
диаграмме можно представить так: падающая час-
частица в состоянии фку взаимодействуя с потенциалом V,
изменяет направление своего движения [причем ее
распространение описывается функцией Go(e* + to)],
затем она вновь взаимодействует с V, опять изменяет
направление и распространяется в конечном состоя-
состоянии фк„ Такие диаграммы, наглядно представляющие
подобные процессы, называются фейнмановскими. Но
даже вычисление второго борновского приближения
в разложении D.28) очень сложно. Кроме того, ряд
D.28) сходится только в очень ограниченном числе

§ 4. Борновское приближение 55
случаев. Во многих случаях приближения более высо-
высоких порядков не улучшают результат первого при-
приближения. Тем не менее ввиду его простоты первое
борновское приближение применяют довольно часто.
Начиная работать с какой-либо задачей, прежде всего
вычисляют первое борновское приближение. И только
если это не дает приемлемых результатов, начинают
думать о других приближениях.
Поэтому мы остановимся на условиях сходимости
разложения D.28). Строгий математический анализ
этого вопроса очень сложен. Мы дадим только доста-
достаточное условие сходимости ряда D.28), вытекающее
из физических соображений. Рассматривая ряд D.26),
можно видеть, что при больших г он, а следовательно,
и ряд D.28) сходятся при выполнении условия
| J
D.29)
Пусть максимальное значение потенциала U есть С/о>
а радиус области, в которой потенциал отличен от
нуля, равен а. Интегрирование по углам в формуле
D.29) дает
-^ | exp Bika) - 2ika - 11< 1. D.30)
В случае падающих частиц низкой энергии при ма-
малых ka экспоненту в формуле D.30) можно разло-
разложить в степенной ряд по ka. Тогда условие D.30)
примет вид
L\U0\a2<l. D.31)
Таким образом, степенной ряд D.28) сходится при
рассеянии с малой энергией на потенциале, очень ма-
малом по величине. В противоположном случае рассея-
рассеяния частиц высокой энергии произведение ka велико,
экспонента в формуле D.30) сильно осциллирует при
небольших изменениях k и в среднем обращается
в нуль. Тогда условие D.30) принимает вид
-^-<1. D.32)

56 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
С учетом соотношений Uo = 2mVo/h2, v = tik/m по-
последнюю формулу можно записать иначе:
D.33)
Полученное условие выполняется, если потенциал
мал, а скорость частицы велика. Физический смысл
его таков: частица рассеивается слабо, если время
a/vy за которое она проходит область отличного от
нуля потенциала, мало по сравнению с временем
H/Vq, в течение которого потенциал может оказать на
нее заметное влияние.
§ 5. Квазиклассическое приближение
Условие применимости борновского приближения
D.33) может нарушиться при большом \Vo\ и до-
достаточно большой скорости частицы v. Поэтому
в случае рассеяния с высокой энергией при доста-
достаточно сильном взаимодействии нужно рассмотреть
другие приближения. В интегральном уравнении рас-
рассеяния
J G<+> (r - г') U (г') Щ+> (г') dV EЛ)
величина Go+) определена интегралом
(г г ) —
ехр{ф.(г-г')}
Bя)8 J а Р ?2 _ р2 + ie
Рассмо1рим случай, когда почти все движущиеся
с большой скоростью частицы не испытывают влия-
влияния потенциала («пролетают мимо»). Если ввести но-
новую функцию ф:
Ч4+) (г) = уЩГ Ф (г) exp dkz), E.3)
то уравнение E.1) можно переписать в виде инте-
интегрального уравнения для ф(г)
ф /г)_ 1 +—L- С d3pexpU(p~k).rn
E.4)

§ 5. Квазиклассическое приближение 57
(здесь принято г — г'звзг"). Предположим, что f/q)
в правой части — медленно меняющаяся функция.
Тогда при ka ^> 1 экспонента в формуле E.4) сильно
осциллирует при интегрировании по г" и дает вклад
в интеграл только, если векторы к и р почти равны
по величине и параллельны. Поэтому положим
а в знаменателе напишем приближенно
Тогда E.4) примет вид
Xt/<|r-r"|)<p(r-r")d3r". E.5)
Поскольку вектор к параллелен оси г, его можно за-
записать в виде @,0, k). Выполним в формуле E.5)
интегрирование по х:
X
BяJ S Ос") б (у") ^- J Ле, ^A^? . E.6)
Правило обхода полюса в оставшемся интеграле уже
определено условием е' = e/2k. Поэтому при z" > О
замкнем путь интегрирования в верхней полуплоско-
полуплоскости, как показано на фиг. 18. Определяя вычет, по-
получим
jj(i? 2">0. E.7)

58
Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
При г" < 0 путь интегрирования нужно замкнуть
в нижней полуплоскости. Но там нет полюсов, а по-
поэтому
Следовательно, в данном случае мы имеем только
Фиг. 18. Пути интегрирования (в плоскости комплексного пере-
переменного х« в формулах E.7) и E.8)).
рассеяние при г" > О, г. е. рассеяние вперед. Введем
ступенчатую функцию
ПрИ 2>0,
при 2<0
и перепишем выражение E.6) в виде
. E.10)
Подставив его в формулу E.5) и проинтегрировав
результат по х", у", придем к уравнению для <р
или, после замены г? = г —г", к уравнению
<Р(*. у.
1 -
, У. «О. E.11)

§ 5. Квазиклассическое приближение 59
Решение этого интегрального уравнения таково:
U.0.aO«te/J. F.12)
Подставив его в формулу E.3), с учетом выражения
U = 2mV/h2 получим
^ J ]• E.13)
Ниже будет показано, что условие применимости
борновского приближения \V0\a/bv ^ I соответст-
соответствует требованию малости второго члена показателя
экспоненты в формуле E.13), т. е. требованию, чтобы
экспоненту можно было разлагать в ряд. В квази-
квазиклассическом же приближении второй член показа-
показателя должен быть мал не абсолютно, а по сравнению
с первым членом показателя. Значит, условие суще-
существования приближения E.13) имеет вид
Если, кроме того, предположить, что
ka>\, E.15)
то оказывается, что на параметр |Vo|#/*t> не нало-
наложено никаких ограничений, т. е. при рассеянии с вы-
высокой энергией формулу E.13) можно применять
также и в случае сильного взаимодействия |Vo|.
В этом смысле область применимости приближения
E.13) шире, чем борновского. Его называют прибли-
приближением эйконала. Корень этого слова «эйкон» соот-
соответствует греческому слову eixov, которое означает
«изображение»1). Приближение эйконала соответст-
соответствует приближению геометрической оптики. Решение
E.13) не удовлетворяет асимптотическому условию
B.5). Тем не менее его можно подставить в интеграл
D.1) для амплитуды рассеяния, так как от подынтег-
*) Ср. русское сикона». — Прим. ред<

60
Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
ральной функции D.1) требуется, чтобы она верно
передавала поведение истинной волновой функции
при малых г, когда потенциал отличен от нуля, а ее
свойства при больших г несущественны. Поэтому
асимптотическое условие B.5) можно не принимать
во внимание.
Фиг. 19, Приближение эйконала.
Подставляя E.13) в D.1), получаем
—JL J d3rexp{*(k-k') • r)U(r) X
Xexp<-^
E.16)
На основании схемы, представленной на фиг. 19,
можно написать
г = Ь + гп, E.17)
где п — единичный вектор в направлении оси z, a b —
составляющая вектора г в направлении, перпендику-
перпендикулярном оси z (величина, соответствующая прицель-
прицельному расстоянию классической механики). Как видно
из схемы, в рассматриваемом приближении волновой
вектор рассеянной волны к' почти параллелен век-
вектору п, а вектор К = к — к' почти перпендикулярен
вектору п. Поэтому приближенно имеем
K-r — K-b + zK-nfeK-b, E.18)
/( = | К 1 = 2* sin (9/2). E.19)

§ 5. Квазиклассическое приближение 61
Подставив E.17) и E.18) в E.16), перепишем E.16)
в виде
00
- Г S d*b \ ^ехр(/К • b) U (Ь + гп) X
X ехр | - ^ j\и <b + *'n) ^'} • E-2°)
Интеграл по г в формуле E.20) можно взять следую-
следующим образом:
) Г"+о°
'n)dz4 =
J |г оо
n)^j- ij.
Отсюда
fW = ^F S Л«Р(« • Ь)[ехр{*х(*. »)} - 1], E.21)
где
оо
%(k, Ь) = - JL J ?/(Ь + г'п) d2'. E.22)
— оо
Разложив экспоненту в E.21) в ряд по % и огра-
ограничившись первым членом разложения, получим
оо
/ (в) = - -^ \ d2b \ dz' ехр (/К • Ь) U (Ь + г'п).

62 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Переходя от переменных (Ь, г7) к переменной г и учи-
учитывая соотношение К-Ь « К-г, записываем послед-
последний результат в виде
соответствующем первому борновскому приближению.
Вектор Ь перпендикулярен оси г, а вектор К почти
перпендикулярен ей. Следовательно, угол ф между
этими векторами фактически есть угол поворота вок-
вокруг оси г, ввиду чего интеграл E.21) можно предста-
представить в виде
оо
- у J Ъ db /о (ЬК) [ехр {/х (k, Ь)} - 1]. E.23)
О
Здесь /о(*) — функция Бесселя нулевого порядка:
Подытоживая, сформулируем следующее правило вы-
вычисления амплитуды рассеяния в приближении эйко-
эйконала: интегрируя по г', находим функцию % [формула
E.22)], подставляем ее в E.23) и интегрируем но
прицельному расстоянию. Правда, во многих случаях
интеграл в формуле E:23) не берется в аналитиче-
аналитическом виде, и тогда не остается ничего иного, как ин-
интегрировать численно.
Л. Оптическая теорема
Докажем, что амплитуда рассеяния в приближении
эйконала E.21) удовлетворяет оптической теореме
C.18). Амплитуду рассеяния вперед получим, если в
E.21) положим К = 0:

§ 5. Квазиклассическое приближение 63
Ее мнимая часть дается выражением
Im / @) - JL J сРЪ [ 1 - Re exp {i% (k, b)}]. E.24)
Рассматривая амплитуду рассеяния как функцию
волнового вектора падающей к и волнового вектора
рассеянной волны к' и записывая ее в виде f@) га
as/(к7, к), получаем для полного сечения рассеяния
os выражение
$|/(к\
$ ^ SrfQk' ехР W • (ь - ь')} х
X [ехр {/х (*. Ь)) - 1] [ехр {- if (k, 60} - 1]. E.25)
Функция i(k,b), вообще говоря, комплексна, посколь-
поскольку у потенциала U [формула E.22)] имеется мнимая
часть, учитывающая поглощение падающих частиц ми-
мишенью. Элемент угла dQk в формуле E.25)—малый
телесный угол, окружающий волновой вектор рассеян-
рассеянной волны к', а так как в рассматриваемом случае
почти вся рассеянная волна концентрируется в на-
направлении вперед, интеграл по поверхности сферы,
соответствующий этому телесному углу, можно заме-
заменить двумерным интегралом по плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси г и касающейся указанной сферы,
т. е. можно принять
Тогда в силу соотношения
интеграл E.25) принимает вид
as- \d?b\ ехр{/х(*, Ъ)} - 1 f. E.26)
Если в этой формуле % — действительная величина, то
as = 2 [ <РЪ [ 1 - Re ехр {1% (*, Ь)}]. E.27)

64 Гл. 2. Стационарная теория рассеяния
Сравнивая этот результат с выражением E.24), за-
завершаем доказательство оптической теоремы:
1т/@) E.28)
Если же происходит поглощение падающих частиц
мишенью, т. е. х — комплексная величина, то, состав-
составляя разность выражений E.24) и E.26), приходим к
соотношению
-f-Im/@) -as = J d2bA -|exp{1%(ft. *)} I2). E.29)
В гл. З будет показано, что правая часть соотношения
E.29) есть сечение поглощения падающих частиц ми-
мишенью. Обозначив его символом сгг, перепишем E.29)
в виде
^ E.30)
Это — обобщенная оптическая теорема.
Б. Рассеяние на непрозрачном шаре
Рассмотрим в приближении эйконала рассеяние
частиц на так называемом абсолютно черном шаре,
т. е. на шаре, поглощающем все падающие на него
частицы. В этом случае потенциал — комплексное
число: U = Do + Ш\. Если прицельное расстояние Ь
больше радиуса шара а, то потенциал на частицу не
действует, Uq = U\ = 0. Следовательно, в этом случае
exp[t'x(ft, Ь)\ = 1. Если же прицельное расстояние Ь
меньше радиуса шара а, то все частицы поглощают-
поглощаются, а поэтому можно принять U\ = oq. В этом случае
ехр[/х(&, Ь)) =0 и выражение E.23) принимает вид
а
/ (в) =— j- J Wo (Kb) db = ika21±<?р-, E.31)
о
а сечение рассеяния as — вад
Это точно соответствует картине дифракции классиче-
классических волн.

Глава 3
Разложение по парциальным волнам
§ 1. Уравнение Шредингера
в сферических координатах
В предыдущей главе мы рассмотрели задачу рас-
рассеяния, пользуясь декартовыми координатами (х, у, г).
Но в случае когда механическая система инвариантна
относительно вращений вокруг некоторой точки (при-
(пример — движение частицы в центрально-симметричном
поле) или оси, удобнее сферические координаты. Хо-
Хорошей иллюстрацией может служить задача о соб-
Фиг. 20. Система сферических координат.
ственных значениях энергии атома водорода. В этой
главе мы и рассмотрим задачу рассеяния, пользуясь
сферическими координатами. Связь между декартовы-
декартовыми и сферическими координатами ясна из фиг. 20:
x = r sin 9coscp,
y = r sin 9 sincp, A.1)
2 = Г COS 9.
Ниже нам встретятся различные специальные функ-
функции. Все необходимые сведения о свойствах этих функ-
функций собраны в приложении в конце книги,
3 Зак. 1271

66 Гл. 3 Разложение по парциальным волнам
Хорошо известно, что гамильтониан относительного
движения двух частиц
H^-^br+Vir) A.2)
в сферических координатах A.1) принимает вид
Для компонент орбитального момента L
сферических координатах имеем
Lx — 0/>* - «Л» = *Л (sin Ф -^ + ctg в cos ф -щ
-|^), A.4)
Отсюда вытекает, что
Сравнив это выражение с выражением A.3), можно
переписать гамильтониан в виде
Член L2/2mr2 можно интерпретировать как потенциал
центробежной силы. В самом деле, если частица вра-
вращается вокруг начала отсчета О с орбитальным мо-
моментом L, то ее угловая скорость <о = L/mr2y а цент-
центробежная сила moJr = U/mi*. Потенциал этой силы
равен L2/2mr2. Очевидно, что [L2, Lz] =0. Следова-
Следовательно, L2 и Lz мокно одновременно привести к
диагональному виду. Их собственные функции и соб-
собственные значения даются формулами

§ 1. Уравнение Шредингера в сферических координатах 67
где К/, тF, ф) — шаровые гармонические функции, а
индексы / и m в правой части пробегают значения
/ = 0, 1,2,...,
m = -l9 —Л- 1 О /— 1, /. { '
Разложим решение t(?(fe+)(r) уравнения Шредингера
задачи рассеяния
A.9)
в ряд по собственным функциям углового момента
У/, т'
/«О т——/
Подставив этот ряд в формулу A.9), придем к урав-
уравнениям для радиальных функций R\+) (r)
г). A.11)
Введя новые неизвестные фуикции
«z(r) = rtf(,+)(r), A.12)
приведем уравнение A.11) к виду
[-?г + *2- ^^-1/(г)]«|(г)-О, A.13)
где
Заметим, что уравнение A.13) имеет вид одномерного
уравнения Шредингера для частицы, движущейся в
потенциале U + 1A+ \)/г2.
Рассмотрим теперь дополнительные условия, кото-
которым должны удовлетворять решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений A.11) и A.13). Если при всех г потен-
потенциал U(г) ограничен, то должно выполняться условие
0. A.15)
3*

68
Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
В самом деле, запишем уравнение Шредингера A.9) в
виде
Правая часть здесь ограничена при всех значениях г.
Бели допустить, что в окрестности начала координат
(+) растет до бесконечности по закону г~а (а > 0),
V(r)i
0
-к,
с
/
f'a+e/Z z
а-е/2
Фиг. 21. Условие непрерывности.
то величина Дг^+уг^-и в левой части последнего ра-
равенства будет расходиться при г-^0 как г~2, что про-
противоречит поведению правой части при г -> 0. Отсюда
вытекает, что функция \|)(+) в начале координат долж*
на быть ограниченной, т. е. ограниченными в начале
координат должны быть также функции R\*)(r) в ряде
A.10). Следовательно,
что и утверждалось в равенстве A.15).
Пусть в некоторой точке г = а потенциал U(r)
имеет разрыв непрерывности. Рассмотрим условия,
накладываемые уравнениями A.13) на функции
щ(г) и их производные в точке г = а. На фиг. 21 по-
показан случай, когда потенциал V{r) при г = а имеет
разрыв конечной величины. Запишем уравнение A.13)
„..б,

§ 1. Уравнение Шредингера в сферических координатах 69
Правая часть этого равенства при г = а ограничена.
Поэтому функция щ(г) при г = а должна быть не-
непрерывной. Если бы это было не так, например, если
бы она имела в точке г = а разрыв, то ее первая про-
производная не существовала бы при г = а, а следова-
следовательно, не существовала бы и вторая производная,
что противоречит правой части равенства A.16). Да-
Далее, рассмотрим условие для первой п/роизводной
dui/dr в точке г = а. Представим потенциал, разрыв-
разрывный при г = а> как предел гладкого потенциала, по-
показанного на фиг. 21 пунктиром, и проинтегрируем
уравнение A.16) по узкой области, в которой он от-
отличается от разрывного потенциала. Получ<им
a+e/2
]
а-г/2
Так как в правой части подынтегральная функция ог-
ограничена и непрерывна в области интегрирования,
можно написать
Правая часть = — Ik2 ^ — U(аI щ (а)е.
При е-*0 получаем 0, откуда вытекает, что первая
производная функции щ(г) при г = а непрерывна.
Итак, мы получили, что в точке разрыва потенциала
решение щ(г) должно быть непрерывным и гладким:
A.17)
Здесь и«нутр (г) — решение при г < а, a wfHeuiH (г) — ре-
решение при г>а. Из равенства A.12) вытекает, что
таким же условиям должны удовлетворять и радиаль-
радиальные функции:
внутр

70 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
Возвратимся к уравнению A.11). В области доста-
достаточно больших г, где потенциал V(r) равен нулю, оно
принимает вид
^^] (U9)
Общее решение этого дифференциального уравнения
2-го порядка равно линейной комбинации двух его не-
независимых решений — шаровой функции Бесселя
ji(kr) и шаровой функции Неймана ni(kr):
R\+) (г) = Atjt (kr) + Btm (kr). A.20)
Если воспользоваться шаровыми функциями Ханке-
ля А}1' и Af>
то o-бщее решение можно записать также в другом
виде:
R\+) (г) = A/A/n (kr) + B'lhT (kr). A.22)
В формулах A.20) и A.22) величины Аи Ви Pii и
В\ — постоянные интегрирования, определяемые
асимптотикой волновой функции ^+)(г) [гл. 2, фор-
формула B.5)] и условиями непрерывности A.18). Этими
постоянными мы займемся в следующем параграфе.
§ 2. Разложение асимптотики волновой функции
по парциальным волнам
В предыдущем параграфе, пользуясь разложением
в ряд A.10) по собственным функциям углового мо-
момента, мы свели задачу построения волновой функции
ф?+| к определению радиальных волновых функций /?<+)
и коэффициентов разложения Сш- Такой метод полу-
получения решения называют анализом парциальных волн.

§ 2. Разложение асимптотики волновой функции 71
Рассмотрим общие свойства задачи рассеяния, раз-
разлагая по парциальным волнам асимптотику волновой
функции при г->оо:
^Н BЛ)
Разложение плоской волны в B.1) дается формулой
Рэлея
оо
exp (ikz) = exp {ikr cos 6) = ? B1 + 1) i'// (йг) Pt (cos 9).
/-о
B.2)
Множитель B/+ 1) возник за счет суммирования по
квантовым числам m (полная волна не зависит от уг-
угла поворота ф вокруг оси z). Пользуясь асимптотикой
функций ji(kr)
JIV ;г-к» kr
приведем формулу B.2) к виду
exp (ikz) — S'' ^Чг1 sin (kr ~ Т") Р' (cos e>
/0
/-0
- <~ !)' ехР (- '*г>] Pi (cos 9).
/-о B.4)
Далее, разлагая амплитуду рассеяния /(9) по полной
системе функций P/(cos6), напишем
V- l]P,(cose). B.5)
Вообще говоря, /(9)—неизвестная величина. Данное
обстоятельство отражается в наличии неизвестных по-
постоянных Ti/ в выражении B.5). Подставляя B.4) и
B.5) в B.1), приходим к разложению асимптотики
волновой функции рассеяния \|)(^> по парциальным вол-
вол- (- 1)' exp (- ikr)] Pi (cos 8). B.6)

72 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
В той области пространства, где потенциал V(г)
равен нулю, нам известно точное решение дифферен-
дифференциального уравнения A.11) —оно дается формулами
A.20) и A.22). Поэтому, подставляя A.22) в разло-
разложение A.10), учитывая, что волновая функция ф<+> не
зависит от угла ф в силу сферической симметрии по-
потенциала V(r), и переобозначая константы [обозначая
константы, возникающие при суперпозиции Сш с ко-
коэффициентами Ль В\ в формуле A.22), вновь сим-
символами Л/, В\\ запишем следующее разложение точ-
точной волновой функции вне области действия потен-
потенциала в ряд по парциальным волнам:
'-0
Неизвестные коэффициенты А\ и В\ определим, срав-
сравнивая асимптотику B.7) с асимптотикой B.6).
Асимптотики функций Ханкеля h\l) и hf] имеют вид
Подставив их в B.7), определим асимптотику функ-
функций ^+'()
(+) (г)
сравнивая которую с B.6), находим

§ 2. Разложение асимптотики волновой функции 73
С учетом этих выражений в B.7) получаем из форму-
формулы точное решение вне области действия потенциала,
удовлетворяющее асимптотическому условию B.6) :
B.10)
Разумеется, коэффициенты x\i в выражении B.10)
пока не определены. К их определению и сводится за-
задача рассеяния. Разъясним это утверждение подроб-
подробнее.
Прежде всего, подставив разложение B.5) ампли-
амплитуды рассеяния /(9) по парциальным волнам в фор-
формулу C.4) гл. 2, найдем следующее выражение для
дифференциального сечения рассеяния:
/-о
s 6)
. B.11)
Полное сечение рассеяния получим интегрированием
B.11) по телесному углу:
аполн =2я Ja(9) sin erf6 = -~- ? B1+ 1)| 1 -<П/ Р. B.12)
0 f->0
При интегрировании надо воспользоваться условием
ортогональности полиномов Лежандра
J P, (cos 9) Pv (cos 9) sin 9 dQ
0
Таким образом, сечяние рассеяния можно получить,
определив t\i.
Возвратимся к асимптотике B.6) волновой функ-
функции о|)(+\ Пер1вый член в скобках правой части B.6)
выражает расходящуюся, а второй — сходящуюся
сферическую волну. Рассмотрим сферу достаточно
большого радиуса. Если внутри ее нет накопления

74 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
частиц (все входящие частицы выходят), то по закону
сохранения потока вероятности абсолютные значения
амплитуд двух указанных сферических волн должны
равняться друг другу, т. е. должно выполняться
условие
14/1-1. B.13)
Тогда, согласно выражению B.5),
/-о
WT-l?. B.14)
f-0
Сравнивая это с B.12), получаем
Это оптическая теорема, о которой мы уже говорили
в гл. 2 [формула C.18)].
Введем безразмерные действительные величины
б/ и представим условие B.13) в виде
Л/ = ехрBй,). B.16)
Величины б/ называют фазами 1) рассеяния или фазо-
фазовыми сдвигами. Смысл термина «фазовый сдвиг» бу-
будет разъяснен несколько ниже. Пользуясь фазами,
можно написать
т|/ — 1 = 2/ exp (ibt) • sin 6/f | 1 — т), |2 = 4 sin2 fy.
Тогда амплитуду рассеяния B.5), дифференциальное
сечение B.11) и полное сечение B.12) можно перепи*
*) В оригинале—изменение фазы (английский термин phase
shift — фазовый сдвиг), но, как принято в отечественной литера-
литературе, мы будем говорить просто о фазе. — Прим. перев.

§ 3. Разложение интегрального уравнения рассеяния 75
ехр (<б|) sin 6t Pt (cos 9),
B/ + 1) ехр (ib,) sin 6, P, (cos 0) , B.17)
/-0
Пользуясь разложением полного сечения
аполн = ^ аполН> аполн = *? B/ + 1) Sin2 Ьи B.18)
I -О
можно дать максимальную оценку сечения рассеяния
аполн для отдельных парциальных волн
^). B.19)
При этом
сг, = (/! + !¦)я, /1 = 0, ±1, ±2, .... B.20)
Когда фазы принимают значения B.20), говорят о ре-
зонансном рассеянии. Если же б/ = mt, то аполн = 0
(рассеяние отсутствует). О физическом смысле этого
явления будет оказано ниже.
§ 3. Разложение интегрального уравнения
рассеяния в ряд по парциальным волнам
Пока мы определили разложение по парциальным
волнам асимптотики волновой функции ^+) B.6), а
также разложение B.10) точной волновой функции
вне области действия потенциала и показали, что за-
задача рассеяния сводится к определению фаз б/. Обыч-
Обычно фазы определяют гладким сшиванием, пользуясь
условием непрерывности A.18) волновой функции

76 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
B.10) вне области действия потенциала и волновой
функции в области, где потенциал отличен от нуля.
Этот метод определения фаз мы рассмотрим в следую-
следующем параграфе, а сейчас займемся определением фаз
с помощью интегрального уравнения рассеяния B.20),
полученного в предыдущей главе. Так как это урав-
уравнение содержит всю информацию о рассеянии, то из
него, в частности, можно определить и фазы. Чтобы
сделать это, разложим интегральное уравнение рас-
рассеяния в ряд по парциальным волнам.
Выпишем еще раз интегральное уравнение рассея-
рассеяния B.20) гл. 2:
Разложим в ряд волновую функцию \|)(fe+) (r):
по
фно (г) = _!__ J] B/ + 1) /'С,/?<+) (г) Р^ (cos 9). C.2)
/¦¦О
Здесь Ci — неопределенные коэффициенты, а 7?/*^ (г) —
решение уравнения A.11). Определим интегральное
уравнение, которому должна удовлетворять эта
функция.
Разложим в ряд по парциальным волнам функцию
Грина из правой части интегрального уравнения C.1):
- '* i * (<)(>) <(
'-° C.3)
В этой формуле г< — меньшее, а г> — большее из
значений г, г', а % — угол между векторами гиг'
(фиг. 22). Имеет место соотношение
Р; (cos х) = Р/ (cos 9) Р/ (cos 60 +
+ 2 ? f=^ P? (cos 9) Р? (cos 9') cos m (<p - q>'). C.4)
1
m-1

§ 3. Разложение интегрального уравнения рассеяния 77
Подставим в интегральное уравнение C.1) формулу
Рэлея B.2), разложение C.2) волновой функции г|^+)
и разложение C.3). Замечая, что интегрирование по
q/ второго члена правой части C.4) дает нуль, при-
О z
Фиг. 22. Разложение функции Грина по парциальным волнам.
ходим к интегральному уравнению для радиальной
фуйкции:
<;,*}+> (г) =
= /, (kr) - ikC, J U {кГ<) Л</> (кГ>) U (г') /?<+> (г') г'2 dr'.
0 C.5)
Чтобы найти входящие сюда неизвестные постоянные
Ci, перепишем C.5) с учетом определений A.21):
Г
- ikC, [/, (kr) + in, (kr)] J ]t (kr') U (r') #<+> (rf) r'4r' -
0
-ikCl (kr)U {jt (kr') + int (kr')}U(r')#<+>(г')л'2^'1=
= /z (kr) \ 1 - ikC, \ lt (kr') U (r') R^ (r1) r'2 dr'] +
kC, \ i, (kr<) n, (kr>) U (r') R\+> (r') r'2 dr'. C.6)
0

78 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
Полагая
оо
С, - 1 - ikC, \ и (kr') U (г') /?<+> (г') r'* dr', C.7)
О
получаем, что R\+)(r) удовлетворяет интегральному
уравнению
сю
Л<,+) (г) - /, (kr) + k\jt (кГ<) nt (kr>) U (л') Щ+> (г') г'Чг'.
0 C.8)
Решая C.7), находим Сг.
С/ = = {- . C.9)
Чтобы выяонить физический смысл найденных таким
образом постоянных С/, рассмотрим уравнение для
радиальной функции /?/+) (г > а) вне области дейст*
вия потенциала в случае, когда потенциал отличен от
нуля только внутри сферы радиусом а. Уравнение
C.8) принимает тогда вид
R\+4r>a)*=u(kr)+knt{kr) \ jl(kr')U(r')Ril+4r')r'*dr' +
О
00
+ ki, (kr) \ п, {.kr') U (г') /?<+> (г') г'2 dr' =
г
00
= /, (kr) + knt (kr) \ /, (kr') U (г') /?<+^ (г') г'2 dr'. C.10)
О
При выводе C.10) нужно воспользоваться тем, что
интеграл от г до оо равен нулю, так как U(r) =0 три
г > а\ по той же причине интеграл от 0 до г можно
распространить от 0 до оо. Если принять, что
00
tg ft, -. - k \ lt (kr') U (г') R\+> (r') г'2 dr\ C.11)
О

§ 3. Разложение интегрального уравнения рассеяния 79
то (ЗЛО) можно переписать в виде
>а) = \{ (кг) - tg б, п% (кг). C.12^
Тогда для постоянных С/ получаем, согласно C.9) и
C.11),
>/)cos6/. C.13)
Подставляя C.12) и C.13) в разложение C.2) и
учитывая определения A.21), приходим к выражению
для волновой функции ф?+)(г) вне области действия
потенциала:
I- ^Се
+ hf4kr)]Pt(cosQ), r>a, C.14)
сравнивая которое с B.10) и B.16), убеждаемся, что
величины б/, даваемые формулой C.11), не что иное,
как введенные ранее [формула B.16)] фазы рассея-
рассеяния. Таким образом, для решения задачи рассеяния
нужно решить интегральное уравнение C.8) для
/$+)(г) и, подставив полученные радиальные функции
в формулу C.11), определить фазы б/.
Объясним, наконец, почему величины б/ называют
иногда фазовыми сдвигами. Подставляя асимптотику
B.8) в C.14), получим асимптотику функции
Е
X sin [кг - Щ- + 6t) Р, (cos 9). C.15)
Асимптотика же падающей плоской волны имеет вид
1 _/«.-v * \7 2/ + ! ;'Х
X sin (Ar-^P/fcose). C.16)

80 Гл 3. Разложение по парциальным волнам
Сравнивая эти два выражения, видим, что состояние
рассеяния отличается от плоской волны только сдви-
сдвигом фазы. Именно поэтому они получили такое на-
название.
Л. Борновское приближение для парциальных
волн
Так как получить точное решение интегрального
уравнения C.8) обычно бывает трудно, то необходимо
рассмотреть приближенные способы его решения. Наи-
Наиболее простой из них состоит в последовательном
разложении C.8) по степеням U и подстановке этого
разложения в C.11). Это — борновское приближение
в применении к парциальным волнам. Первое борнов-
борновское приближение получится, если/?/+>(г) приближен-
приближенно заменить первым членом выражения C.8). Подста-
Подставим его в C.11). Тогда
оо
tg б<» = - k \ [/, (kr)J U (г') г'2 rfr'. C.17)
о
Если получаемые при этом фазы малы, то соответ-
соответствующее приближение во многих случаях лучше
обычного первого борновского приближения, рассмот-
рассмотренного нами в гл. 2, § 4.
Чтобы обосновать это утверждение конкретно, рас-
рассмотрим фазу S-волны (/ = 0) при рассеянии на пря-
прямоугольной сферической потенциальной яме
— ?/0 при г <а,
0 при г>а <ЗЛ8)
(?/о>О). Подставляя C.18) в C.17) и полагая
/ = 0, получаем
C.19)

§ 3. Разложение интегрального уравнения рассеяния 81
Рассмотрим рассеяние с низкой энергией (ak<\).
Разложим выражение C.19) в ряд по степеням ak
и примем tg6oU«6o\ Тогда получим
6q * « у UQa2 (ak). C.20)
Этот результат согласуется со строгим решением, ко-
которое будет получено ниже, в § 6. Там показывается,
что фаза S-волны при рассеянии на прямоугольной
сферической потенциальной яме дается формулой
C.21)
Б. Знаки фаз рассеяния
Из сравнения формул C.15) и C.16) ясно, что фа-
фазы рассеяния определены лишь с точностью до целого,
кратного 2я. Для устранения этой неопределенности
Фиг. 23. Знаки фаз рассеяния,
а—отталкивание, б| < 0; б—притяжение, б^ > 0.
воспользуемся соотношением C.11). Примем, что фаза
б/ равна нулю, если равен нулю потенциал в выраже-
выражении C.11). Тем самым неопределенность фазы устра-
устраняется.
Посмотрим, какова связь между знаками фазы б;
и потенциала. Воспользуемся тем, что при малом б/

82 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
выражение C.11) можно заменить формулой борнов-
ского приближения C.17). Тогда при положительном
U {г') (потенциал сил отталкивания) фаза б/ отрица-
отрицательна, а при отрицательном потенциале (потенциал
сил притяжения) — положительна.
Сказанное можно наглядно пояснить следующим
образом. На фиг. 23, а показано, что в случае оттал-
кивательного взаимодействия волновая функция рас-
рассеяния смещается по сравнению с волновой функцией
в отсутствие потенциала во внешнюю область (вытал-
(выталкивается из области действия потенциала). Волновая
функция в отсутствие потенциала показана на
фиг. 23, а пунктиром, а волновая функция рассеянной
частицы — сплошной линией. Выталкивание соответ-
соответствует тому, что вторая запаздывает по фазе относи-
относительно первой (величина б* отрицательна). В случае
же сил притяжения (фиг. 23,6) волновая функция
втягивается в область действия потенциала и опере-
опережает по фазе свободную волну (величина б/ положи-
положительна).
§ 4. Определение фаз рассеяния
из условия непрерывности волновой функции
Для определения фаз б* нужно решить интеграль-
интегральное уравнение C.8) и подставить решение в формулу
C.11). Зная б/, по формулам B.17) можно вычислить
дифференциальное и полное сечения. Но найти точ-
точное решение интегрального уравнения C.8) удается
только в простейших случаях, например в случае 5-
волны для сферической прямоугольной потенциаль-
потенциальной ямы, а вообще точно решить его необычайно
трудно, в частности потому, что ядро подынтегрально-
подынтегрального выражения C.8) определено по-разному для слу-
случаев г>г/иг<г/. Поэтому мы рассмотрим другой
метод определения фаз. Вернемся к дифференциаль-
дифференциальному уравнению A.11) и найдем фазы из условия не-
непрерывности A.18). На этом пути мы получим доста-
достаточно компактные выражения, которыми можно поль-
пользоваться для определения сечения рассеяния.

§ 4. Определение фаз рассеяния 83
Пусть вне сферы радиусом а потенциал равен
нулю. Решения для областей внутри и вне области
действия потенциала обозначим символами /$+) внутр
и ^+)внешн и потребуем, чтобы на сфере радиусом
г— а решение было непрерывным и гладким, как
должно быть по условию A.18). Это условие эквива-
эквивалентно требованию непрерывности логарифмической
производной волновой функции М+) (г), т. е. ра&енству
Л ь(+) внутр //Ы+) внешн
Щ dr (а)/^ВЙУТР (а) = dRtdr Ш»внеши (а).
D.1)
В правой части этого равенства стоит точное реше-
решение вне области действия потенциала, определенное
ра»нее формулой B.10). Оно имеет вид
#<+) внешн (Г) ос ?Ч|Лр) (Лг) + hf {Щ. D.2)
Решение в области ненулевого потенциала, вообще го-
говоря, неизвестно, но если мы предположим, что оно
существует, то в левой части D.1) стоит некая опре-
определенная величина. Поэтому положим
Величина /внутр отражает свойства волновой функции
в области ненулевого потенциала. Подставляя D.2) и
D.3) в D.1), получаем
.внутр
U
D.4)
Здесь штрих, обозначающий дифференцирование,
имеет следующий смысл:
Из D.4) найдем r\i:
A)" (ka) /f-УтР - hf>' (ka)

84 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
Выражение D.6) означает, что для определения x\t
или, что эквивалентно, фаз б/ достаточно зюать вол-
волновую функцию и ее производную с внутренней сто-
стороны потенциальной стенки и не нужны сведения о
волновой функции в глубине области ненулевого по-
потенциала. Данное обстоятельство позволяет предло-
предложить плодотворный метод систематизации да.нных о
рассеянии частиц на сложных системах, таких, как
атомные ядра. Например, в случае рассеяния нейтро-
нейтронов на ядрах, ввиду сложности внутреннего строе-
строения ядра, точно определить волновую функцию нейт-
нейтрона внутри ядра практически невозможно. Свойства
ядра характеризуют специальными физическими вели-
величинами /*нутр, заданными на его поверхности (о>ни
входят в сечения как параметры). Величины /®нутр оп-
определяют, подгоняя расчетные сечения под экспери-
экспериментальные данные. Таким методом можно упорядо-
упорядочить дашые о рассеянии нейтронов ядрами, не вда-
вдаваясь в сложную задачу о внутренней структуре атом-
атомного ядра. В то же время ясно, что величины /*нутрэ
найденные путем сравнения с экспериментом, дают
важную информацию о строении ядра.
Из формулы D.6) можно вывести выражения для
фаз б/. Соглаоно B.16),
D.7)
Подставляя сюда D.6), получаем
. [><¦> (ka) + hf> (ka)] /Р?тр - \hf (ka) + hf (ka)]
tg 6/ ' [A<" (*«) - hf* (ka)] /fro - [A»»' (ka) - hf (ka)]
Здесь /^нутр — действительные величины. При написа-
написании последнего равенства в формуле D.8) надо вос-
воспользоваться формулами A.21).
Рассмотрим рассеяние на твердом шаре. В этом
случае высота потенциала внутри сферы радиусом а

§ 4. Определение фаз рассеяния 85
бесконечно велика. Волновая функция не может про-
проникнуть внутрь шара, а поэтому на его поверхности
#}+)внутр(а) = 0. Это значит, что [формула D.3)]
^внутр __ бесконечно большая величина. Обозначим в
случае твердого шара г)/ через t]f\ ad, — через б[С).
Тогда из D.6) и D.8) получим
Разумеется, в данном случае по-прежнему выполняет-
выполняется соотношение
4}с> —ехрB/бр). D.10)
Выделяя в правой ча:сти формулы D.6) члены, со-
соответствующие рассеянию на твердом шаре, приводим
D.6) к виду
{2Y lf ka)
% fBHyTP _ h<l)> (
Выделим в этом выражении действительные и мни-
мнимые части логарифмических производных:
Тогда формула D.11) примет вид
Подставив это выражение в формулу B.12), с учетом
соотношения D.10) легко получить для аполн выра-
выражение
с
**"
[1-ехрB/бр)] +
^ D.14,

86 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
Член в квадратных скобках в этом выражении соот-
соответствует рассеянию на твердом шаре. Другой член
зависит от /*нутр if отражает свойства волновой функ-
функции в области ненулевого потенциала. При рассеянии
частиц на атомных ядрах первый член учитывает рас-
рассеяние за счет отражения от поверхности ядра, когда
частица не проникает внутрь ядра. В ядерной физике
его называют потенциальным; рассеянием. Второе сла-
слагаемое учитывает рассеяние с проникновением части-
частицы внутрь ядра. Этот тип рассеяния называют резо-
резонансным. Таким образом, второе слагаемое отражает
внутреннюю структуру ядра.
§ 5. Сечение реакций
Кроме рассмотренного выше упругого рассеяния,
когда ядро рассеивает нейтроны без изменения своего
внутреннего состояния, при рассеянии нейтронов на
ядрах возможны и другие процессы. Нейтроны с вы-
высокой энергией испытывают неупругое рассеяние, при
котором нейтрон рассеивается с потерей энергии, а
ядро возбуждается. Ядро может поглотить нейтрон с
низкой энергией и испустить другую частицу, напри-
например дейтрон. При таких процессах уменьшается число
нейтронов с энергией, равной энергии падающего ней-
нейтрона. Процессы, связанные с какими-либо изменения-
изменениями внутренней структуры ядра, называют ядерными
реакциями. Полную вероятность всех таких процес-
процессов, или их полное сечение, называют сечением реак-
реакций и обозначают символом аг.
Когда идут ядерные реакции, амплитуда расходя-
расходящейся волны должна быть меньше амплитуды сходя-
сходящейся волны нейтрона. В этом случае условие B.13)
не имеет места, его нужно заменить условием
1Л/К1- F.1)
Чтобы найти сечение ядерных реакций аг, нужно
рассмотреть сферу 5 достаточно большого радиуса г
с центром в ядре, найти эффективную плотность по-

§ 5. Сечение реакций 87
тока нейтронов /(г), проходящих внутрь сферы по нор-
нормали к ее поверхности и накапливающихся внутри ее,
и разделить /(г) на плотность потока падающих нейт-
нейтронов /*. Так как радиус г достаточно велик, для вол-
волновой функции нейтронов можно взять асимптотиче-
асимптотическое выражение B.6). При этом надо помнить, что
имеет место не соотношение B.13), а соотношение
E.1). Величина /(г) дается интегралом по поверхности
сферы радиусом г от г-й составляющей плотности по-
потока частиц /,:
Минус перед интегралом означает, что поток направ-
направлен внутрь сферы. Подставляя асимптотику B.6) в
E.2), удерживая члены с самой низкой степенью г*1
и интегрируя по углам с использованием ортогональ-
ортогональности Pi (cos 0), легко вывести следующее выражение:
Лг) зт bk V"* 2/ + 1 Г1 | |2"| /|.«\
т /-о
Согласно формуле C.2) из гл. 2,
>* = W^> E.4)
поэтому для сечения реакций получаем
-hiPl. E.5)
/-о
Сечение же упругого рассеяния дается формулой
B.12):
оо
-г\,? E.6)
/-0
[при выводе формулы B.12) условие \г\\ *** 1 еще не
использовалось]. Полное сечение аполн, включающее

88 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
в себя сечение упругого рассеяния и сечение реакций,
равно сумме сечений E.5) и E.6):
I. E.7)
В какой форме нужно писать оптическую теорему,
чтобы она охватывала общий случай, когда идут ядер-
ядерные реакции? Этот вопрос мы уже рассматривали в
гл. 2 [формула E.30)], когда речь шла о приближении
эйконала. Дадим здесь строгий, а не приближенный
вывод. В силу формулы B.5) имеем
/@)-Г@) =
/-о
откуда
Сравнивая E.8) и E.7), приходим к обобщенной опти-
оптической теореме:
at + ar-ij-Im/@). E.9)
Из формулы E.5) явствует, что при \r\i\ = 1 вы-
выполняется равенство аг = 0, а os совпадают с полным
сечением упругого рассеяния B.17). Это естественно.
Далее, при т]/ = 0 сечение реакций E.5) принимает
свое максимальное значение. При этом
ors = ar. E.10)
В общем случае при \t\i\ < 1 ядерные реакции обяза-
обязательно сопровождаются упругим рассеянием. Чтобы
пояснить причину этого, рассмотрим гипотетический
случай, когда все падающие частицы, сталкиваясь с
ядром, принимают участие в ядерных реакциях, но не
рассеиваются упруго. Энергия падающих частиц при
этом должна быть велика. Следовательно, длина вол-
волны частицы X = 2n/k мала по сравнению с радиусом
ядра а, и выполнено условие ka > 1, при котором за-

§ 5. Сечение реакций
89
дачу можно рассматривать квазиклассически, вводя
прицельное расстояние Ъ (фиг. 24). Частица с при-
прицельным расстоянием Ь и импульсом Ыг имеет отно-
относительно центра ядра О угловой момент, равный
hkb. Так как собственные значения этого момента рав-
равны Ы% величина Ь может принимать значения l/k. Из
Фиг. 24. Дифракционное рассеяние.
фиг. 24 ясно, что частица сталкивается с ядром, вы-
вызывая ядерные реакции, только при Ь < а. Если же
Ь > а, то частица пролетает мимо и, не сталкиваясь
с ядром, не может вызывать ядерных реакций. В то
же время, по нашему предположению, в этом случае
нет и упругого рассеяния. Таким образом, в силу со-
соотношения Ъ = l/k возможны два варианта:
1) при К ak обязательно происходят ядерные
реакции, т. е. ту = 0 и as = <тг;
2) при / > ak нет ни ядерных реакций, ни упру-
упругого рассеяния. Тогда rj/ = 1, os = or = 0. Следова-
Следовательно, в нашем случае формулы E.6) и E.5) дают
ak
«na2. E.11)
/-0
Мы учли здесь, что 1 < ka. Итак, в нашем случае
сечение упругого рассеяния и сечение реакций равны
каждое па2 (геометрическому сечению ядра). Равен-

90 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
ство сечения ядерных реакций геометрическому сече-
сечению ядра легко объяснить с классической точки зре-
зрения 1). Но с классической точки зрения не очень ясно,
почему сечение упругого рассеяния тоже должно рав-
равняться геометрическому сечению ядра. Дело же в
том, что волны падающих частиц дифрагируют, от-
отклоняясь в область за ядром, как показано на фиг. 24.
Отклоняющиеся в область за ядром волны можно
представить в виде суперпозиции плоских волн
в «тени» ядра и волн, расходящихся от центра ядра.
Эти сферические волны наблюдаются как упругое рас-
рассеяние. Такое рассеяние называют дифракционным.
Из-за наличия дифракционного рассеяния сечение уп-
упругого рассеяния не равно нулю даже в случае пол-
полного поглощения падающих частиц ядром.
§ 6. Приближенные методы, основанные
на разложении по парциальным волнам
БорнО'Вокое приближение (гл. 2, § 4) и приближе-
приближение эйконала (гл. 2, § 5) относятся в основном к слу-
случаю высокой энергии падающей частицы. Типичное
же приближение для случая низкой энергии падаю-
падающей частицы основано на разложении по парциаль-
парциальным волнам. Пусть при квазиклассическом подходе
импульс падающей частицы равен bk, а ее прицель-
прицельное расстояние Ь. Тогда угловой момент частицы от-
относительно центра потенциала будет bkb = й/. Радиус
действия потенциала обозначим через а. Для рассея-
рассеяния необходимо, чтобы выполнялось условие b ^ а,
/<а?. F.1)
При малых ak (при низкой энергии) в рассеяние, со-
согласно F.1), будет давать вклад только малые собст-
собственные значения углового момента /. При больших ak
верхний предел значений /, дающих вклад в рассея-
рассеяние, велик. Даже при не очень большом возрастании
*) Все частицы, сталкивающиеся с ядром, выбывают из по-
потока. — Прим. перев.

§ 6. Приближенные методы 91
энергии падающей частицы этот верхний предел мо-
может стать равным 30—40. В такой ситуации разложе-
разложение по парциальным волнам практически теряет
смысл. При низких энергиях падающей частицы
(ak ^ 1) главный вклад в рассеяние вносит S-волна
(/= 0) с небольшой примесью Р-волны (/=1).
В этом случае можно полностью пренебречь вкладом
от волн с /^2 и задача существенно упрощается.
А. Рассеяние на твердом шаре
Пользуясь известным нам точным решением задачи
о рассеянии на твердом шаре, посмотрим, как умень-
уменьшается с ростом / вклад в рассеяние больших / при
малом ka. Согласно D.9), в данном случае фазы
даются выражением
Учитывая, что при ka <tC I
1 - О"
получаем для фаз при низкой энергии формулу
lgO/ B/ + l)!f B/ — l)!f '
из которой видно, что фазы быстро уменьшаются с
ростом /, в частности,
F.5)
Поскольку величина ka мала, можно, например, при
/ = 0 написать
bf ъ-ka F.6)

92 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
и пренебречь остальными фазами. Тогда амплитуда
рассеяния S-волны будет рав«а
f (9) = 1 exp (/*iC)) sin б@С) « \- = - а. F.7)
а дифференциальное и полное сечения выразятся фор-
формулами
Таким образом, сечение рассеяния для S-волны в
4 раза превышает геометрическое сечение твердого
шара па2. Связано это с тем, что парциальная волна
с 1 = 0 в разложении падающей плоокой волны по
формуле Рэлея концентрируется в направлении к
центру потенциала и колебания в ней сферически-сим-
сферически-симметричны. Поэтому сечение рассеяния для S-волны
пропорционально полной площади поверхности шара
Ana2, а не площади его поперечного сечения па2.
Рассмотрим теперь случай очень больших ka. В си-
силу асимптотических формул
r F.9)
соотношение F.2) принимает вид
откуда для фаз получается явное выражение
tf^-ka+jtn. F.11)
Полагая ka = /макс, получаем для полного сечения
макс
B/+ 1) sin2 (ka - j In).

§ в. Приближенные методы 93
Сумму в правой части можно преобразовать следую-
следующим образом:
+ 2 { sin2 {ka - ~) + sin2 (to - я)
+ 3 { sin2 (ka - я) + sin2 {ka - -| Jt) } + ...].
Все выражения в фигурных скобках здесь равны 1, а
поэтому
макс
Опол„ = to. ?, = uj. (fca)(te + l) ^ 2яа2> (б ,2)
Итак, при большой энергии нужно суммировать вплоть
до максимального /, а получаемое полное сечение
оказывается вдвое больше геометрического. Мно-
Множитель 2 здесь можно объяснить так: одмо па2 учиты-
учитывает рассеяние падающей волны на передней поверх-
поверхности шара, а другое па2 — показанное на фиг. 24 ди*
фракционное рассеяние в область тени.
Б. S-волна при рассеянии на прямоугольной
сферической потенциальной яме
Ранее мы уже отмечали, что при рассеянии с низ-
низкой энергией (&a<Cl) достаточно учесть S-волну
(/ = 0). Рассмотрим подробнее случай S-волны при
рассеянии на центрально-симметричной потенциаль-
потенциальной яме (V0>0)
{—70, при г <а,
л ^ FЛЗ)
0 при r> a, v '
показанной на фиг. 25.

94
Г л 3. Разложение по парциальным волнам
В области ямы нужно решить дифференциальное урав-
уравнение
?г + <*2 + *А>>] "онутр (г) - 0, F.14)
получаемое из A.13) при / = 0. Здесь Uo = 2mVo/ft2.
V(r)k
Фиг. 25. Прямоугольная потенциальная яма.
При г = 0 функция agHyTP(r) должйа удовлетворять
условию A.15):
и5иут1)@) = 0, F.15)
откуда следует, что решение F.14) имеет вид
и™™ (г) = Л sin кг, F.16)
где
h=V^T^o, F.17)
Для определения константы А решение F.16) нужно
сшить с решением вне ямы, пользуясь условием A.17),
но в данном случае нет необходимости определять эту
ко'нстанту. В самом деле, радиальная функция внутри
ямы /?о+) внутр (г) дается выражением
пнутр (
I ВНУТР / ч _ "О
sinxr
F.18)

§ 6. Приближенные методы
откуда следует, что величина foHyTp, определенная
формулой D.3), не зависит от константы А:
-l). F.19)
Для удобства последующего изложения введем функ-
функции Fo(ka):
Fo(ka) = kafBoHyT?+l. F.20)
В нашем случае
F.21)
На основании формул B.16), DЛ0) и D.13) можно
написать
f«:M)\ ft*™ - ro(ka) + isQ{ka)
По - exp Biбо) - exp B/б<0 >) ^ _ ,o(fcg) _ tej Aц •
F.22)
Так как, согласно D.9),
то
6i)C) = - ka. F.23)
Далее, пишем
откуда вытекает, что
г0 (ka) = -jf> s0 (ka) = 1. F.24)
Подставляя выражения F.20), F.23) и F.24) в F.22),
получаем
= ехр (- Ша) ^((ff 1^ . F.25)

96 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
где
Fo (ka) = ^(kaJ + U0a2 ctg ^{kdf + U«x2 F.26)
есть четная функция аргумента ka. Разлагая функцию
F.26) при ka «С 1 в ряд по степеням ka, получае^
Fo (ka) = Fol) + Fl (akf + ... . F.27)
Сначала рассмотрим случай, когда Fol) Ф 0. Пре-
Пренебрегая в правой части F.27) вторым и более высо-
высокими членами, перепишем F.25) в виде
ехр B/б0) = ехр (- Ша) ^ц*)** . F.28)
Разлагая обе стороны F.28) три малых ka в ряд, по-
получаем для фазы б0 выражение
где _ _
F^^a^Uodga-y/Uo. F.30)
Упомянутое выше (гл. 3, § 3) соотношение C.21) по-
получается разложением F.29) в ряд при малых a V^o"«
Из F.29) вытекает следующее выражение для полного
сечения S-рассеяния (/ = 0):
^-^2. F.31)
В частности, если в F.29) Fol)= 1, то б0 = 0 и рас-
рассеяние отсутствует. Вообще, при 6/ = ля (я = 0, 1,
2, ...) sin б/= 0 и а{1ОЛН = 0. Данное явление назы-
называют эффектом Рамзауэра — Таунсенда, оно наблю-
наблюдается при столкновениях медленных электронов с
атомами инертных газов.
Рассмотрим теперь случай, когда в F.30) Fq] = 0.
Первый член правой части F.27) в этом случае равен
нулю и выражение F.25) принимает вид
= ехр.B/б0) - ехр (- Ша) ^J*^ ¦ F.32)

§ 6. Приближенные методы 97
Разлагая правую сторону при малых ka в ряд, полу*
чаем
ехр B/б0)» -1 + 2ika (l + Ff\ F.33)
или
б0 =j - ka (l + /$0. F.34)
откуда следует, что при ka-*0 мы имеем бо = я/2 и
сечение принимает максимально возможное значение
(резонансное рассеяние). Такой резонанс называют
резонансом при нулевой энергии. Полное сечение
аполн в 4« sjn26o ^ 4^ COS2 [^a (l + ^2))] & -§¦ F.36)
U /v К /С
в данном случае расходится в пределе при &->0.
Чтобы понять, почему возник резонанс, сначала по«
смотрим внимательнее, как ведет себя волновая функ«
ция рассеяния в пределе k = 0 при Fq} Ф 0 и при
f(ol) = o.Согласно C.14), вне ямы (при г>а) волно*
вая функция ^+) (г) в приближении S-волны имеет
вид
> (г) « -^gr 1[ехр B/бо) W (kr) + А» (Аг)] -
expWcos5o[sinfer+tg60cosfer]. F.36)
Следовательно, в пределе при k->0 для и§нешн(г) по-
получаем
^внешн (Г) ^ г^+) — const (r + Цт JS*!^. F.37)
Введем величину а:
^ F.38)
Тогда при k->0 волновая функция принимает вид
(г) я const (г — а). F*39)
Величину а F.39) называют длиной рассеяния. Рас*
смотрим сначала потенциал отталкивания, В этом
4 Зак, 1271

98
Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
случае (фиг. 26, а) волновая функция вытесняется из
области ненулевого потенциала наружу и в наружной
области имеет вид прямой линии F.39). Из чертежа
ясно, что а>0 (длина рассеяния положительна).
г ее о
е г
Фиг. 26. Длина рассеяния.
В отличие от этого в случае потенциала притяжения
возможны три варианта, показанные на фиг. 26,6—г.
Согласно F.29),
откуда следует, что при F^Kl, когда величина
a V^o мала, т. е. мал потенциал, величина а отрица*
тельна. Этот случай показан на фиг, 26, б. Если здесь

§ 6. Приближенные методы 99
использовать понятие длины рассеяния, то F.29) и
F.31) можно переписать в виде
бо=-Ь, аполн = 4яа2. F.41)
Далее, если потенциал притяжения велик, а величина
Fq} в формуле F.3Q) равна нулю, то возникает резо-
резонанс при нулевой энергии. При этом в силу выраже-
выражения F.40) а-> — оо, а волновая функция и (г) прини-
принимает вид, показанный на фиг. 26, в. Это станет понят-
понятнее, если рассмотреть соотношение
duff*™
F.42)
вытекающее из формул F.19) и F.20). Условие
/^1)*а0 означает, что в пределе при &->0 величина
F.42) обращается в нуль. Следовательно, обращается
в нуль производная duBHyrv/dr при г = а. На фиг. 26, г
показан случай еще более сильного потенциала при-
притяжения, когда образуется связанное состояние и вол«
новая функция при больших г стремится к нулю. Здесь
величина а становится положительной.
Вернемся к вопросу о причинах появления резо-
резонанса. Резонанс при нулевой энергии F.35) возникает,
если выполняется условие
F{o] = а лДТоctgа У77О = 0. F.43)
Каков его смысл? На фиг. 27 показаны энергетиче-
энергетические уровни связанных состояний для кулоновокого
потенциала и прямоугольной потенциальной ямы.
Уровни устойчивых связанных состояний отрицатель-
отрицательны. Предположим, что энергия частицы в области не-
ненулевого потенциала несколько больше нуля. Куло-
новский потенвдал своей формой напоминает воронку,
у него отсутствуют четко выраженные перегибы. По-
Поэтому частица со сколь угодно малой положительной
энергией удаляется на бесконечность и не может об-
образовать даже временно связанного состояния. Пря-
моугольнай же сферическая потенциальная яма, по-

100
Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
казанная на фиг. 27,6, имеет ясно выраженный пере-
перегиб при г = а. Волна частицы с положительной энер-
энергией, находящейся в яме, отражается от этого пере-
перегиба, и часть ее выходит из ямы наружу. Причина от-
отражения— резкое изменение волнового числа волно-
волновой функции при выходе волны из ямы наружу. Отра-
Отраженная стенками ямы частица вновь и вновь бомбар-
бомбардирует стенки, пытаясь выбраться из ямы. Многократ-
Многократное отражение внутри ямы равносильно образованию
U(r)
0
U(r)i
U(r)\
0
Фиг. 27. Энергетические уровни связанных и метастабильных со-
состояний.
а—кулоновский потенциал; б—прямоугольная потенциальная яма; в—прямо-
в—прямоугольная потенциальная яма и потенциал центробежной силы. Энергетиче-
Энергетические уровни показаны горизонтальными линиями: выше оси г— метаста-
бильные, ниже оси г—уровни связанных состояний.
связанных состояний с дискретными положительными
собственными значениями, при которых частица вре-
временно запирается внутри ямы. Связанные состояния
с положительной энергией отличаются от связанных
состояний с отрицательной энергией тем, что частица
в конце коюцов уходит из ямы. Поэтому такие состоя-
состояния называют метастабильными. До сих пор мы рас-
рассматривали только случай S-волны (/ = 0). В случае
Р-волиы (/=1) и волн с большими значениями орби-
орбитального момента на потенциал прямоугольной потен-
потенциальной ямы накладывается потенциал центробеж-
центробежных сил. Форма ямы для этого случая показана на
фиг. 27, в. Потенциал центробежных сил образует по-
потенциальный барьер вне прямоугольной ямы. Следо-
Следовательно, при этом образуются квазистационарные со-
состояния, более стабильные, чем в случае S-волны, и

§ 6. Приближенные методы 101
разрешены сравнительно более высокие дискретные
собственные значения энергии. Если энергия падаю-
падающей частицы соответствует метастабильному собствен-
собственному значению, то возникают резонансные явления и
сечение рассеяния становится необычно большим.
Рассмотрим с этой точки зрения эффект резонанс-
резонансного рассеяния для S-волны. Волновая функция внут-
внутри ямы F.16) имеет вид
F 44)
Решение вне ямы дается формулой F.36). Оно содер-
содержит сходящуюся и расходящуюся сферические волны.
Но при резонансе сходящаяся волна отсутствует (ре-
(решение выражается одной только расходящейся вол-
волной), потому что проникшая однажды в яму сходя-
сходящаяся волна запирается в ней, образуя метастабиль-
ное состояние, а затем запертая в яме частица проса-
просачивается наружу и уходит из ямы. Итак, наружная
волновая функция имеет вид расходящейся волны
ивнешн (г) = в exp (Ikr). F.45)
Согласно условию A.17), волновая функция в яме
F.44) и волновая функция вне ямы F.45) должны
гладко и непрерывно переходить друг в друга, т. е.
должно выполняться соотношение
^„внешн
Fo № = а -V- (я)/«Гшн (а). F.46)
Согласно F.42),
Fo {ka)« а
Подставляя F.45) и F.44) в F.46) и F.47), получаем
Fo (ka) — а л/W+Voctga л/k2 + UQ = ika. F.48)
При k = 0 это равенство переходит в условие резо-
резонанса с нулевой энергией F.43),
Соотношение F.48) представляет собой уравнение
на собственные значения. Оно налагает ограничения
на возможные значения k. Но в правой части этого

102 Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
уравнения стоит шищая единица, ввиду чего его ре-
решения k комплексны. Комплексность собственных зна-
значений означает, что уравнение F.48) не соответствует
задаче о собственных значениях в строгой постановке.
В частности, это отражается в том, что собственная
функция, отвечающая комплексному собственному
значению k> принадлежит нестабильному связанному
состоянию. Раоомотрим теперь приближенное решение
уравнения F.48) при условии |fe| <?/<>. Первое при-
приближение получаем, пренебрегая правой частью
F.48):
Fo (Es) - a V*5 + Uо ctg a V*l + Uo = 0. F.49)
Решение этого уравнения таково:
я = 0, ±1, ±2,...,
Собственные значения энергии в данном случае при-
принимают дискретный ряд значений:
Если выполняется условие А2я2/8т = V0a2, to при
п ~ 0 мы имеем ?$ = 0и
Это соответствует резонансу с нулевой энергией.
Если глубина ямы несколько больше, чем Vo55*
= h2k2/8ma2, то в окрестности Е = 0 появляется мета-
стабильное состояние и возникает резонанс при нуле-
нулевой энергии.
В общем случае разложим левую часть F.48), рас-
рассматриваемую как функция от Ей =* h2k2/2m, в^ ряд
Тейлора в окрестности одного из решений F.49).
С учетом выражения F.49) получим

§ 6. Приближенные методы 103
Тогда соотношение F.48) принимает вид
(б#52)
или
V dEk Л
Введем величину
rs=- fFa , F.63)
называемую шириной резонанса, и перепишем выра-
выражение F.52) в виде
/?t р L. г (R ъа\
ck — E>s — Y s> [РшОу
a F.51) — в виде
FQ (kd) = - ^ (Eh - Es). F.55)
Подставив F.55) в F.25), получим
щ -» ехр B/б0) — exp (- 2ika) I^^I^jl^ • F-56)
что равносильно соотношению
tg Fo + ka) = n ip „i ? \ » F.57)
из которого ясно, что при Е% = Е$
a = f. F.58)
Подставляя F.25) и F.55) в формулу для полного
сечения B.12), получаем
4я л-sf* i ^/;ал\л;« и~Г F 59)

104
Гл. 3. Разложение по парциальным волнам
Первый член последней из форм F.59) учитывает ре-
резонансное рассеяние, а второй — раосеяние на потен-
потенциале твердого шара. Если энергия падающей частицы
глолн
Es Ek
Фиг. 28. Сечение резонансного рассеяния.
Ek достаточно далека от энергетического уровня Е8
метастабильното состояния, то вкладом первого члена
можно пренебречь и получится результат, соответ-
-ПОЛИ
4л/кг(макс)
Фиг. 29. Интерференция потенциального и резонансного рассея*
ния.
ствующий полному сечению рассеяния на твердом
шаре в случае S-волны:
sIn2 ka
F.60)
Если величина ka мала, а величина Ek близка к
энергетическому уровню Es, то, наоборот, можно пре«

§ 6. Приближенные методы 105
небречь вкладом второго слагаемого последней из
форм F.59), оставив только первое слагаемое. Тогда
полное сечение выразится формулой
в которой всюду, кроме ?*, величина k заменена ве-
величиной ks ввиду того, что сечение F.61) имеет острый
максимум (фиг. 28). Согласно формуле F.58), в дан-
данном случае 60« я/2, как и должно быть в случае ре-
резонансного рассеяния. В действительности же резкая
картина резонансного рассеяния наблюдается только,
если величина ka мала, а собственное значение энер-
энергии мета стабильного состояния чуть-чуть больше нуля.
Для более высоких энергетических уровней резкий
максимум, показанный на фиг. 28, пропадает. Сечение
F.61) достигает максимума при En = ESt а величина
Ts есть ширина максимума при значении сечения, рав-
равном половине максимального («на половине высоты»).
Поэтому Ts называют полушириной максимума резо-
резонансного рассеяния. Формулу F.61) называют форму-
формулой Брейта — Вигнера с одним уровнем.
Первый и второй члены формулы F.59), вообще
говоря, интерферируют. Интерференция максимальна
пр'И Ek = Es и ka = я/2. Тогда величина бо в формуле
F.58) равна нулю, а следовательно, agOJIH = 0. Зави-
Зависимости полного сечения F.59) от энергии Ел пред-
Ставлена на фиг. 29,

Глава 4
Нестационарная теория рассеяния
§ 1. Представление Гейэенберга
и представление взаимодействия
В гл. 2 и 3 при рассмотрении задачи рассеяния мы
исходили из стационарного уравнения Шредингера.
Состояние рассеяния мы представляли в виде суперпо-
суперпозиции плоской (падающая частица) и сферической
(рассеянная частица) волн, а сечение рассеяния на-
находили с помощью амплитуды сферической волны. Та-
Такой подход в сущности тождествен подходу к задаче
о рассеянии волн в классической физике. Единствен-
Единственное отличие от классической теории рассеяния волн
состоит в том, что в квантовой механике волновая
функция интерпретируется как волна вероятности. Но
в гл. 2, в начале § 2, мы указывали на другой возмож-
возможный подход к решению задачи о раосеянии, состоящий
в том, чтобы следить за ходом временных изменений
кйантового состояния системы и определять вероятно-
вероятности перехода этого состояния в конечное состояние,
наблюдаемое в данный момент. Это чисто квантовый
подход, не имеющий аналога в классической физике.
Он применим не только к рассмотренной в гл. 2 и 3
сравнительно простой задаче о взаимном рассеянии
двух тел, взаимодействие которых характеризуется
неким потенциалом, но также к рассеянию на мише-
мишенях, имеющих сложное строение, и к системам кван-
квантованных полей. В этом смысле излагаемая в данной
главе теория рассеяния — более общая, чем теория,
изложенная в предыдущих главах.
Перестраивая с указанной точки зрения теорию
раосеяния, мы покажем, в частности, что выводы из
этой новой формы теории, если ее применить к про-
простому частному случаю потенциального рассеяния в

§ L Представление Гейзенберга и представление взаимод. 107
системе двух частиц, полностью соответствуют резуль-
результатам гл. 2.
Прежде чем начинать построение нестационарной
теории раосеяния, остановимся сначала на способах
описания изменения квантовой системы со временем.
Для этой цели чаще всего пользуются представлением
Шредингера, в котором принимают, что волновая
функция ^s(t) изменяется со временем, согласно урав-
уравнению Шредингера,
ШГ /Л
A.1)
а операторы физических величин от времени не зави-
зависят. В уравнении A.1) Н — оператор энергии (полный
гамильтониан системы), являющийся функцией каио-
нически сопряженных эрмитовых операторов, удОвлет*
воряющих перестановочным соотношениям
Г<7ь Р/1 — ii&u h fo. ЯЛ —JPiP/l = 0- A -2)
Шредингеровокому представлению против0постав*
ляется представление Гейзенберга, в котором волно*
вая функция от времеии не зависит, а операторы фи-
эических величин изменяются с течением времейи*
Пусть в момент / = 0 волновая функция есть V; тогда
в момент t, согласно уравнению Шредингера A.1),
волновая функция будет равна
Чг5@ = ехр(-/Я//А)>Г. A.3)
Это — формальное решение уравнения Шредингера
A.1). Пусть А — оператор некоторой физической вели-
величины в представлении Шредингера. Разумеется, опе-
оператор А эрмитов. Вообще говоря, он является функ-
функцией координат <7ь ..., qN и импульсов ри •¦¦, Pn*
Кроме того, следовало бы ввести зависимость А от
операторов спина. Но учет спина не изменит после-
последующих выводов. Поэтому ради простоты спин мы
опустим. Среднее значение оператора А в момент t
дается выражением

108 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
в котором применены символы скобок Дирака. В под*
робной записи формула A.4) выглядит так:
(
X Ts (<7ь Цъ • • •, Цы\ 0 d4i аЙ2, • • • > dqN.
Подставив величину A.4) в выражение A.3), перепи-
перепишем его в виде
<Ws(t)\A\4S(t)) = (W|exp(iHt/h) Aexp(- iHt/h |W)в
-0F|A(/)|Y>, A.5)
где A (*) —оператор, определяемый выражением
A (/) -a exp (iHt/h) A exp (- iHt/h), A.6)
который изменяется со временем. Представление, в
котором операторы физических величин изменяются
со временем по закону A.6), а волновые функции от
времени не зависят, называют представлением Гейзен-
берга.
В формуле A.6) гейзенберговский оператор обо-
обозначен жирной буквой. Но это не означает, что он век-
вектор, просто этим подчеркивается сложность гейзенбер-
гейзенберговских операторов (как мы увидим ниже, в них уч-
учтено влияние взаимодействия). При выводе формулы
A.6) из A.5) мы рассматривали среднее значение опе-
оператора Л. Но для ее вывода можно взять произволь-
произвольный матричный элемент. Тогда для произвольной пол-
полной системы мы получим соотношение, эквивалентное
соотношению A.5), откуда будет следовать, что для
операторов справедливо соотношение A.6). Рассмат-
Рассматривая A.3) и A.6), видим, что при * = 0 шредииге-
ровское и гейзенберговокое представления совпадают.
Момент t = 0 выбран ради удобства. Если взять дру-
другой момент времени t0 и принять, что волновая функ-
функция в этот момент есть Ч*, то будет
а оператор в гейзенберговском представлении примет
вид
А @ = ехр {/Я (t - to)/h} A exp {iH (t - tQ)/h).

§ 1. Представление Гейзенберга и представление взаимод. 109
Но в нашей книге всюду принято to = 0. Этот момент
времени нужно определить один раз и не менять его
на промежуточных этапах рассмотрения. Иначе неиз-
неизбежны путаница и недоразумения. Преобразование
A.6) не изменяет вида канонических перестановочных
соотношений A.2)
Й*./. М0,Ч/@]НЫ0,Р/@]-0. A.7)
В самом деле, например:
— eiHt/hpte~"iHt/h •
- exp (lHt/П) [gh Pi] exp (- IHt/h) =
*= ihbi% j exp (iHt/h) exp (— iHt/h) = 1Щщ /.
Следовательно, A.6)—каноническое преобразование.
Дифференциальное уравнение, которым опреде-
определяется зависимость от времени оператора А@ в пред-
представлении Гейзенберга, получается дифференцирова-
дифференцированием соотношения A.6) по времени и имеет вид
A.8)
Это операторное уравнение называют гейзенбер-
гейзенберговским уравнением движения. В представлении Гей-
Гейзенберга оно играет такую же роль, как и уравнение
A.1) в представлении Шредингера. При вычислениях
с эти-м уравнением, вообще говоря, нельзя изменять
порядок следования операторов А и Я. Так как опе-
оператор Я коммутирует сам с собой, можно пользовать-
пользоваться соотношением
Н = exp (iHt/h) Я exp (- iHt/h) = H. A.9)
Чтобы предупредить возможные недоразумения, пояс-
поясним смысл формулы A.9). Гамильтониан в представ-
представлении Шредингера является функцией кашничеаких
операторов
Яь Ч2> •••, Чю Ръ Р2> •••» Pn>

110 Гл. 4. Нестационарная теорий рассеяния
удовлетворяющих перестановочным соотношениям
A.2), т.е.
Н — Н (<7i, Gг> • • •» 4n\ Ри Ръ • • • t
азуя эту функцию к представле
получаем
u ...,pN)=exp(iHt/h)H(qu ..., PiV)exp(-/#//ft)
Преобразуя эту функцию к представлению Гейзен-
берга, получаем
Это значит, что, пользуясь жирным шрифтом, соотно-
соотношение A.9) можно записать в виде
Pi@,
(МО)
где q*@» Р/@ — операторы в представлении Гейзен-
берга, удовлетворяющие перестановочным соотноше-
соотношениям A.7). Отметим, что оператор Н в последнем пе-
перестановочном соотношении формулы A.8) имеет
смысл оператора A.10). Форма функциональной зави-
зависимости H(q\(t), ..., p/v(O) в A.10), такая же, как
в Н[ди •••> Рн)> а в силу соотношения A.9) они рав-
равны и как операторы.
Гейзенберговские уравнения движения A.8) яв-
являются операторными уравнениями, по своей форме
соответствующими каноническим уравнениям движе-
движения классической механики. Чтобы показать это, по«
ложим в A.8) А @ — 4/@* Тогда перестановочные со-
отношения A.7) дают
откуда
dqt (t) дН
Далее, полагая А@ = Р*@ и учитывая соотношение

§ L Представление Гейзенберга и представление взаимод. Ш
получаем
Очевидно, что уравнения A.11) и A.12) имеют вод
классических уравнений движения.
В классической механике механические величины
q<*>(/), р{в)(/) определяются как решения канонических
уравнений движения [по форме совпадающих с урав*
нениями A.11) и A.12)], в которых время t играет
роль параметра. В квантовой же механике при ее фор-
формулировке в представлении Шредингера (обычно
квантовую механику начинают изучать в этой форме)
механические величины qu pi представляют не завися-
зависящими от времени операторами, удовлетворяющими пе-
перестановочным соотношениям A.2) [например, в пред-
представлении, в котором оператор qi диагоналей] соглас-
согласно A.2), pi=(b/i)(d/dqi), а изменение механической
системы со временем целиком включают во времен-
временную зависимость амплитуды вероятности Ws(/)— ве-
величины, не имеющей классического аналога. В связи
с этим студент, впервые знакомящийся с квантовой
механикой по представлению Шредингера, в котором
методы описания природы не имеют ничего общего с
методами клаооичеокой физики, испытывает крайнюю
растерянность и чувство неудовлетворенности. В этом
смысле представление Гейзенберга выгодно отличает-
отличается тем, что в нем так же, кале и в классической меха-
механике, механические величины q«(/)> p/@ зависят от
времени, а уравнения движения A.11) и A.12) имеют
ту же самую форму, что и классические уравнения.
Гейзенберговское представление проясняет соответ-
соответствие между классической и квантовой механикой и
способствует более глубокому пониманию последней.
В отличие от классической механики механические ве-
величины А СО в представлении Гейзенберга— опера-
операторы, и, чтобы получить численные значения, соответ-
соответствующие классическим механическим величинам,
цужно брать среднее значение этих операторов

112 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Допустим,^ что в представлении Шредингера га-
гамильтониан Я можно разбить на два слагаемых:
Я = Я0+У. A.13)
В задачах о рассеянии Яо — обычно гамильтониан па-
падающей частицы и мишени, а V— гамильтониан взаи-
взаимодействия между ними. Оператор Яо будем называть
свободным гамильтонианом, а оператор V — гамиль-
гамильтонианом взаимодействия. Например, в случае по-
потенциального рассеяния в системе двух частиц, рас-
омотренном в гл. 2 и 3, Яо представляет энергию от-
относительного движения двух частиц (после отделения
движения центра тяжести), а V — потенциала взаимо-
взаимодействия частиц. В случае A.13) уравнение движения
в представлении Шредингера имеет вид
A.14)
Пользуясь свободным гамильтонианом, произведем
следующее преобразование:
Y(O-exp(/tfof/A)?s(O. A.15)
Волновая функция ?(/). даваемая формулой A.15),
удовлетворяет уравнению
(М6)
где
V @ = ехр (iHot/h) V ехр (- Шф). A.17)
В самом деле, продифференцируем формулу A.15) по
времени. Учитывая уравнение A.14) и помня, что Яо
и V, вообще говоря, не коммутируют, получаем
dWit) n dW^tt)!
-jp-Л^ Hoexp(iHQt/h)Vs(t)+exp(iHQ№ -f^J==
- Яо? @ + ехр AНф) (Яо + V) ехр (- Ш/А) ?(/)=*

§ 1. Представление Гейзенберга и представление взаимод. 113
В общем случае, пользуясь преобразованием A.15),
для среднего значения произвольного оператора А в
представлении Шредингера можно написать
- OF (t) I exp (ilU/h) A exp (- tH№ \ V (t)) -
-<?(О|Л(*)|ЧГ(О>, A.18)
где
Л @ = exp (iHot/h) A exp (- 1Нф). A.19)
Дифференцируя формулу A.19) по времени и дейст-
действуя так же, как и при выводе формулы A.8), прихо-
приходим к уравнению движения для оператора A{t):
^ { A.20)
из которого видно, что в отличие от оператора А(/) в
представлении Гейзенберга зависимость оператора
A(t) от времени определяется только свободным га-
гамильтонианом Но [гамильтониан взаимодействия V{t)
на оператор A{t) не влияет]. Изменение же волновой
функции со временем в данном случае, как видно из
уравнения A.16), определяется гамильтонианом взаи-
взаимодействия V(t). Таким образом, представление, зада-
задаваемое формулами A.15) и A.19), является промежу-
промежуточным между представлениями Шредингера и Гей-
Гейзенберга. Его называют представлением взаимодей-
взаимодействия.
Полагая в формуле A.19) А = #о, получаем
Но (<7ь ..., qifi Ри • • • > Pn) —
= exp (iHot/h) Но (<7ь •.. • <3W Рь ... • Рлг) exp (- Шф) ==
= Ho (e*w/*^-'«/*,..., ewihpNe"iH^h) =
= #o (<7i W. • • •. Ян @; Pi @, •. •, Pn W). A.21)
Это значит, что преобразованный свободный гамиль-
гамильтониан как оператор равен непреобразованному Но и
что преобразование A.19) не изменяет форму зависи-
зависимости Но от динамических переменных. Далее, Яо в
правой части уравнения A?20) нужно рассматривать

114 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
как оператор, имеющий последнюю из форм A.21).
Следовательно, операторы qt(t)9 pi(О» получаемые как
решения уравнения A.20), определяются только сво-
свободным гамильтонианом Яо и не испытывают влияния
взаимодействия. Оператор
Яо-Яо(?1(О,..., Ы0; Pi@. .... PN(t)) A.22)
представляет энергию свободной системы. Заметим,
однако, что величина
A.23)
не имеет смысла полной энергии системы с учетом
взаимодействия. Полная энергия всей системы
— #o(<7i,..., pN) + V(qu ..., qN) A-24)
определяется либо гейзенберговскими операторами
Q*@> Р<@> либо операторами в представлении Шре-
Шредингера qu ри Это естественно. Рассмотрим, напри-
например, частицу, движущуюся под действием силы тя-
жести в классической механике. Чтобы получить пол-
полную энергию системы, в формулу A.24) нужна под-
подставить решения qJc)(O» P\c4t) уравнений движения в
поле тяжести. Если же подставить величины q\c)(t)r
р^>(/), описывающие свободное движение (не подвер-
подверженное влиянию силы тяжести), аналогичные величи-
величинам в формуле A.23), то результат не даст полной
энергии системы.
Представление взаимодействия, определенное фор-
формулами A.15) и A.19), при / = 0 совпадает с пред-
представлением Шредингера. Так же как и при переходе
от представления Шредитагера к представлению Гей-
зенберга, выбор момента времени, в который рассмат*
риваемые представления совпадают, определяется со-
соображениями удобства. Можно было бы считать, что
представления взаимодействия и Шредингера швпа«
дают в некоторый момент времени t\, не равный нулю.
Иногда принимают U — — оо. Следует иметь в виду,
что разные последователи выбирают этот момент вре»
мени по-разному.

§ 7. Представление Гейзенберга и представление взаимод. 115
Преобразование, определенное формулами A.15) и
A.19), не изменяет канонических перестановочных со-
соотношений A.2). В самом деле
[Я1 @ Pi (>)] = exp (iHot/h) [<7<Р/]ехр(- Шф) - Шм.
A.25)
Остальные перестановочные соотношения тоже не из-
меняются *
fo (')>?/ @1 - [ft @. Pi @1 = 0. A.26)
Следовательно, преобразование от представления
Шредингера к представлению взаимодействия — кано-
каноническое.
Одно из достоинств представления взаимодействия
состоит в том, что для простых свободных гамильто-
гамильтонианов #о можно решить уравнение движения опера-
операторов физических величин A.20), тогда как уравнения
движения A.8) в представлении Гейзенберга решить
почти никогда не удается. Оператор А@ в представ-
представлении Гейзенберга — крайне сложный оператор. Слож-
Сложность его обусловлена тем, что в нем полностью уч-
учтено взаимодействие. Именно чтобы подчеркнуть это
обстоятельство, мы и обозначаем в данной книге гей-
гейзенберговские операторы жирными буквами. В кван-
квантовой теории поля гейзенберговские операторы назы-
называют «одетыми операторами». И наоборот, об опе;ра-
торах в представлении взаимодействия говорят, как о
«голых операторах». Это значит, в частности, что в от-
отличие от оператора A(f) оператор A(t)i так же как и
оператор в представлении Шредингера, имеет вполне
ясный смысл. Поясним это примером. Гамильтониан
частицы в поле потенциала V в представлении Шре-
Шредингера дается формулой
Я«Я0+У=2^р2+У. 0-27)
Операторы qt(t), pi{t) (/==1,2,3) в представлении
взаимодействия суть решения уравнений
A.28)

116 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Пусть в начальный момент времени f операторы бу-
будут qi(f)> Pi(t'). Тогда в произвольный момент вре-
времени t, согласно уравнениям A.28), эти операторы
вьфазятся формулами
Уравнения движения для гейзенберговских операто-
операторов решить не удается (если не считать небольшого
числа случаев крайне простых взаимодействий). С по-
помощью решений A.29) можно определить перестано*
вочные соотношения в разные моменты времени. На-
Например, пользуясь перестановочными соотношениями
в одинаковые моменты времени A.25) и A.26), мож-
можно вывести соотношение
[ft (>) ft (?)] - [^-p-fl - О + ft П ft (О] =
из которого видно, что операторы, коммутирующие в
одинаковые моменты времени, вообще говоря, не ком-
коммутируют, если моменты времени различны. В частно-
частности,
A.31)
Такова же ситуация в представлении Гейзенберга:
два оператора, коммутирующие в одинаковые момен*
ты времени, в разные моменты времени, вообще го-
говоря, не коммутируют. Но в представлении Гейзен-
Гейзенберга в отличие от представления взаимодействия,
как правило, невозможно выписать явно величину
коммутатора.
Хорошо известно, что в теории относительности по-
понятие одновременности зависит от выбора системы от-
отсчета. В связи с этим в релятивистской квантовой тео-
теории поля очень важно доказать, что обычная про-
процедура квантования (при которой коммутаторы поле-
полевых величин определяют в одинаковые моменты вре-
времени) имеет лоренц-инвариантный смысл. Для дока-

§ 1. Представление Гейзенберга и представление взаимод. 117
зательства этого нужно вывести значения коммутато-
коммутаторов в разные моменты времени и доказать ковариант-
ковариантность полученных величин относительно преобразова-
преобразований Лоренца. Но в представлении Шредингера опера-
операторы не зависят от времени и ковариантность комму-
коммутаторов показать невозможно. В представлении Гей-
Гейзенберга невозможно записать вид коммутатора в
разные моменты времени. Поэтому для доказатель-
доказательства ковариантности коммутаторов приходится приме-
применять сложный математический аппарат. В представ-
представлении же взаимодействия коммутаторы в разные мо-
моменты времени определить легко и ковариантность их
ясна с первого взгляда. В известных работах Томо-
нага — Швингера квантовая теория поля перестроена
на основе представления взаимодействия так, что ко-
ковариантность коммутаторов и других основных урав-
уравнений движения непосредственно очевидна.
С помощью канонических преобразований A.3) и
A.6) мы перешли от представления Шредингера к
представлению Гейзенберга, а с помощью A.15) и
A.19) — от представления Шредингера к представле-
представлению взаимодействия. А каково преобразование, овя-
зывающее представление Гейзенберга с представле-
представлением взаимодействия? Произведя в формуле A.6) пре-
преобразование, обратное преобразованию A.19),
А — ехр (- iHot/h) A (t) exp (+ iHQt/h),
получим, что оператор A(t) в представлении Гейзен-
Гейзенберга связан с оператором A(t) в представлении взаи-
взаимодействия преобразованием
А @ = ехр {iHt/h) ехр (- iHJlh) A (t) exp (iHot/h) X
A.32)
Кроме того, гейзенберговская волновая функция свя-
связана с волновой функцией в представлении взаимодей-
взаимодействия соотношением
? = ехр (iHt/h) ехр (- ВДй) W (/), A.33)

118 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
при выводе которого нужно воспользоваться соотно-
соотношениями A.3) и A.15). Преобразование, обратное
A.33), дается формулой
? (/) жж exp {IHot/h) exp (- iHt/h) W, A.34)
в которой Я и Но — гамильтонианы в представлении
Шредингера. Так как Я и Яо, вообще говоря, не ком-
коммутируют, нужно следить за порядком следования
двух экспонент в формулах A.32), A.33) и A.34).
Вернемся к уравнению A.16), определяющему из-
изменение волновой функции со временем в представле-
представлении взаимодействия. Введем оператор U(t,t')> связы-
связы/') в момент V
д д рр (,)>
вающий волновую функцию ?(/') в момент V с вол-
волновой функцией XF(/) в момент /:
V(t) — ?/(/, /'ЖО. A.35)
Чтобы найти явный вид этого оператора, подставим
выражение A.34) в A.35):
ехр (/#о//Л) ехр (- ШЩ W =
— U (/, О ехр (/Яо/'/Й) ехр (- ШГ/h) V#
Полученное соотношение справедливо для любой вол-
волновой функции, а поэтому должно выполняться опе-
операторное соотношение
ехр {Шф) ехр (- iHt/h) »
— U (/, О ехр (/Я//А) ехр (- Шф).
Действуя на обе части этого равенства слева обрат*
ными операторами, придем к формуле, выражающей
оператор временнйх изменений волновой функции в
представлении взаимодействия через шредингеровокие
операторы Я й Яо:
- iH(t-t')/h) X
/ A.36)

§ /. Представление Гейзенберга и представление взаимод. 119
На основании формулы A.36) можно доказать сле-
следующие свойства оператора U(t,f):
?/(/,0-1.
.Пи(Г9п.
?/* (/, nu(t, П = щи t')u%f) = 1.
Здесь через 1Л* обозначен эрмитово-сопряженный опе-
оператор. Свойства A.37) эквивалентны утверждению,
что множество операторов U образует группу. Фор-
Формулы A.32) и A.33), связывающие гейзенберговское
представление с представлением взаимодействия, мож-
можно на основании формулы A.36) преобразовать к виду
U(Oft)A(t)U(t,Q). (i-6b)
В формуле A.36) оператор U выражается через опе-
операторы в представлении Шредюнгера. А как выразить
его через операторы в представлении взаимодействия?
Чтобы ответить на этот вопрос, подставим выражение
A.35) в формулу A.16):
щ ди(^П W (/') -» V (t) U (/, О V (О.
Так какЧг(/')—произвольная волновая функция, спра-
справедливо операторное соотношение
Пользуясь тем, что U(f,f)=l [формулы A.37)],
представим соотношение A.39) в виде интегрального
уравнения
U (/, О = 1 - ? [ V (П U (/", П dt"t A,40)
позволяющего выразить оператор V через оператор
V(t) в представлении взаимодействия.
Чтобы выразить U в уравнении A.40) только через
гамильтониан взаимодействуя V{t), нужно итериро*

120 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
вать это уравнение, т. е. многократно подставлять V
из левой части в правую часть. Проделав это, получим
ряд
t
t'
t U
=f) \dtx\dt2... \ dtnV(t{)V(t2)...V(tn).
Так как V(t) в правой части ряда — операторы в пред-
представлении взаимодействия, следует иметь в виду, что
они, как отмечено в соотношении A.31), вообще го-
говоря, не коммутируют. Чтобы сделать одинаковыми
верхние пределы многократных интегралов по вре-
времени в правой части A.41), воспользуемся ступенча-
ступенчатой функцией 8(/):
(О при / < 0, '
с помощью которой перепишем ряд A.41) в виде
л-0 V V
t
J Л„в (/,-/,)• в (/а-
... в(/„_,-/„) V(/,) У(/я) ... V(tn). A.43)
Введем оператор Р:
... V(/„)) =
en, 2 m
A.44)

§ 1. Представление Гейзенберга и представление взаимод. 121
где сумма взята по всевозможным перестановкам п
параметров t\t <2> ..., tn- Такой оператор Р называют
хронологическим оператором Дайсона. Если выраже-
выражение A.44) проинтегрировать по t\t h, ..., tn от f до /
и в каждом слагаемом правой части соответствующим
образом переписать подынтегральную функцию, то все
п\ слагаемых окажутся одинаковыми. Следовательно,
с учетом определения A.44) ряд A.43) можно перепи-
переписать в виде
t
... \dtnP{V(tx)V(t2)... V(tn)). A.45)
Ряд A.45) называют разложением Дайсона. В этой
формуле оператор U(t,f) выражается через оператор
в представлении взаимодействия V(t) в наиболее сим-
симметричной форме.
В заключение настоящего параграфа представим
интегральное уравнение A.40) для U{t,f) в несколь-
несколько иной форме (это понадобится нам в дальнейшем).
Дифференцируя обе части равенства A.35) по t\ по-
получаем
dU(U')
Ввиду произвольности W(t') имеет место дифферен«
циальное уравнение
тЩЬД U(t,nvn A.46)
от которого, так же как и в случае A.40), переходим
к интегральному уравнению
0.47)

122 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
§ 2. Теория S-матрицы
В данном параграфе мы начнем строить нестацио-
нестационарную теорию рассеяния, в основе которой лежит
учет изменения состояния системы со временем. Для
большей ясности при изложении все время будем
иметь в виду рассеяние двух частиц — протона и ней-
нейтрона. Задолго до столкновения частицы находятся на
достаточно большом расстоянии друг от друга, между
ними нет взаимодействия, и они движутся свободно и
независимо. Постепенно они сближаются, взаимодей-
взаимодействуют друг с другом, а затем онова расходятся как
свободные частицы. Чтобы описать протекание такого
процесса во времени, удобно воспользоваться пред-
представлением взаимодействия. Начальный момент вре-
времени (перед столкновением) мож«о взять в бесконеч-
бесконечном прошлом, а конечный момент (когда столкнове-
столкновение закончилось)—в бесконечном будущем, когда чао
тицы рассеялись. При t» — <х> частицы не взаимодей-
взаимодействуют [в уравнении A.16) гамильтониан взаимодей*
стаия V(— оо) равен нулю], находясь в некотором соб*>
ствеийом состоянии ?(— оо) свободного гамильтониа-
гамильтониана. Это значит, что при / = — оо мы вводим следую*
щее начальное состояние:
—Я*Ф*. B.1)
Волновые функции Ф* удовлетворяют условиям орто*
тональности и нормировки
<Ф*|Ф/>-«*./. B-2)
Тогда в силу соотношения A.35) волновая функция в
произвольный последующий момент времени запишет*
ся в виде
Y@ —?/(/, -«ОЧЧ-оо) —tf (/, -во)Ф|в B.3)
После столкновения в момент t — + оо наши частицы
удалятся далеко друг от друга и перейдут в оостоя-
ние, описываемое волновой функцией
Щ+ оо) - U (+ оо, - оо) ф,. B.4)
В данной главе мы рассмотрим только тот случай,
когда состояния частиц при / = + оо определяются

§ 2, Теория S-матрицы 123
собственными функциями того же самого свободного
гамильтониана. То есть будем считать, что картона
аналогична упругому рассеянию протона на нейтроне:
разбиение A.13) гамильтониана на два слагаемых
после столкновения такое же, как и до столкновения.
Случай, когда свободный гамильтониан после столк-
столкновения отличается от свободного гамильтониана до
столкновения, мы рассмотрим в гл. 5. Разложив вол-
волновую фуекцию ?(+ °°) B.4) по полной системе соб-
собственных функций {Ф,} гамильтониана #о и обозна-
обозначив коэффициенты разложения символами 5/,/, пред-
представим ее в виде суперпозиции собственных функций
Ф
,Ф/. B.5)
Амплитуда вероятности того, что в состоянии
V (-J- оо) можно найти состояние, описываемое соб-
собственной функцией Фf гамильтониана Но, такого, что
Я0Ф, = ?,Ф,, B.6)
дается выражением
^Smo^Sm, B.7)
при выводе которого использовало условие ортого-
ортогональности B.2). Иными словами, матричный элемент
Sfti^(Of\U(+oo9 -оо)|ф<> B.8)
дает амплитуду вероятности того, что система, нахо-
находящаяся в момент t = — оо в собственном состоянии
Ф; гамильтониана #о, под влиянием взаимодействия
V(t) перейдет в момент t= + oo в собственное со-
состояние Ф/*того же гамильтониана #о. Совокупность
этих матричных элементов называют S-матрицей или
матрицей рассеяния, а оператор
S^U(+оо, -оо) B.9)
называют S-оператором. Матрица B.8) дает вероят-
вероятности перехода из состояния Ф* в состояние Ф/, зная

124 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
которые, можно определить сечение рассеяния. Сле-
Следовательно, S-матрица— важнейшая физическая ве-
величина, играющая в нестационарной теории рассеяния
центральную роль. В данном параграфе мы займемся
изучением свойств S-матрицы, укажем методы ее оп-
определения и в заключение покажем, как с ее помощью
получить результаты, совпадающие с результатами
стационарной теории рассеяния.
А. Предельные операции
Выше мы исходили из предположения, что взаимо-
взаимодействие отсутствует при t= ± оо. Но волновые функ-
функции двух частиц (например, протона и нейтрона), оп-
определенные как собственные состояния гамильтониана
Но (плоские волны), отличны от нуля во всем про-
пространстве. Следовательно, они накладываются друг на
друга при t = ± ©о, т. е. между частицами, вопреки
предположению, есть взаимодействие. Иными слава-
славами, два утверждения: 1) начальное и конечное состоя-
состояния суть собственные состояния гамильтониана Но и
2) между частицами при t = ± оо нет взаимодей-
взаимодействия—противоречат друг другу. На математическом
языке это означает, что при действии оператора
U(tyt') [формула A.36)] на собственные состояния га-
гамильтониана Но получаются величины, предел кото-
которых при f-*-f~oo» t'-+—оо не существует. В самом
деле, при действии оператора A.36) на собственную
функцию Ф/ гамильтониана Но появляется множитель
exp(—iEit'/h)f который, очевидно, неограниченно ос-
осциллирует при f -» —оо. Но с физической точки зрения
состояние частицы, падающей из прямоугольного от-
отверстия, вовсе не должно быть строго плоской волной,
т. е. чистым собственным состоянием оператора Но.
Физически в начальном состоянии мы имеем два не-
неперекрывающихся волновых пакета, центры которых
достаточно удалены друг от друга. Такова же ситуа-
ситуация и в конечном состоянии. О взаимодействии же
можно говорить только в том случае, когда волновые
пакеты перекрываются. Таким образом, чтобы обойти
указанную трудность, при построении теории нужно

§ 2. Теория S-матрицы 125
задавать начальное и конечное оостояние не с по-
помощью точных собственных функций оператора Яо,
как сделано в формулах B.1) и B.6), а в виде волно-
волновых пакетов (суперпозиций этих собственных функ-
функций) и следить за движением волновых пакетов во
времени.
Построить теорию с использованием волновых па-
пакетов, разумеется, можно1), но все вычисления тогда
становятся чудовищно сложными. Поэтому предложен
другой способ преодоления указанной трудности: вме-
вместо того, чтобы задавать начальное и конечное состоя-
состояния с помощью строгих собственных функций опера-
оператора Яо, можно принять, что при t = ± оо гамильто-
гамильтониан взаимодействия V(t) обращается в нуль. Такую
операцию называют выключением взаимодействия. Но
если ее провести в некоторый определенный момент
времени ±Го, то в силу соотношения неопределенно-
неопределенностей Л? ЬЛ ~ й энергии системы будет придана боль-
большая неопределенность. Если в стационарной теории
рассеяния рассматривать энергию Ek (входящую в
волновую функцию ^+N) как энергию падающей час-
частицы, то момент выключения взаимодействия лучше
сделать максимально неопределенным. Тогда при Д/-*
-*оо неопределенность энергии А? будет стремиться
к нулю. Такую операцию выключения взаимодействия
называют адиабатическим выключением взаимодей-
взаимодействия. Термин «адиабатическое выключение» озна-
означает, что выключение производят достаточно медлен-
медленно, чтобы не портить состояние. Поэтому вместо тер-
термина «адиабатическое выключение» уместнее был бы
термин «квазистатшеское выключение» взаимодей-
взаимодействия. Но термин «адиабатическое выключение» об-
общепринят, и мы будем им пользоваться. Самый пря-
прямой способ адиабатического выключения — заменить
гамильтониан взаимодействия V{t) в правой части
уравнения A.16) величиной ехр(—B\t\/h)V(t). Тогда
*) О систематическом использовании метода волновых паке-
пакетов см. монографию М. Гольдбергера, К. Ватсона «Теория столк»
новений», «Мир», 1967, — Прим. ред.

126 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
это уравнение примет вид
B.10)
где 8 — бесконечно малый положительный параметр.
После завершения всех вычислений нужно перейти к
пределу при е = 0. Интегральное уравнение для опе-
оператора U{t, — оо), определенного равенством
Т (/)-?/(/,-оо) Ф,, B.11)
принимает вид
t
U(/, - оо) = 1 - j- \dt'ехр(-в11' Щ V (/')U(f, -oo).
B,12)
Оператор U{t, — оо) в формулах B.11) и B.12)—это
предел оператора U(t,t') [формула A.40)] при ^->
->—оо. Но для целей последующего изложения очень
неудобно определять U(t, — оо) как решение интег-
интегрального уравнения B.12), поскольку при точном ре-
решении этого уравнения изменяется первоначальный
смысл оператора U(t, — оо). Кроме того, решить урав-
уравнение B.12) практически можно лишь в случае, когда
решение представляется рядом A.45), который по су-
существу не отличается от ряда, получаемого последо-
последовательным применением борновского приближения.
Во многих случаях сходимость этого ряда не гаранти-
гарантирована.
Чтобы устранить недостатки операции выключения
взаимодействия B.10), в данной книге операторы
U(t, =Foo) при V = ±оо определим формулами
t
-? J di'U(t,t')exp(-e\t'\/h)V(t'),
±со B.13)
t
? \
i0° B.14)
которые получаются из формул A.47) и A.40), если
в них принять пределы интегрирования равными соот-

§ 2. Теория S-матрицы 127
ветственно f's==Foo, /=±oo и ввести под интеграл
множитель ехр(—е|*|/8), обеспечивающий сходи-
сходимость. При таком определении в отличие от определе-
определения B.12) величина U(tJ') в правой части равенства
определяется соотношением A.36) и смысл операто-
операторов U(t, =Foo) не изменяется при взятии интегралов
в правых частях равенств B.13) и B.14). Иными сло-
словами, определения B.13), B.14) понятнее определе-
определения B.10). Их удобство более ясно проявится в гл. 5
при изложении теории рассеяния в системе трех тел.
Из определений B.13) и B.14) непосредственно
вытекают следующие свойства:
,0,
?/+(± оо, /) = [/(/, ±оо). ( ' '
Далее, в пределе при е -* 0 выполняются соотношения
U (/, ± оо)« U (/, П U (/', ± оо),
U (± оо, () - U (± оо, tf) U (Г% /), BЛ6)
что можно доказать следующим образом:
±оо
O-y \ dt"Uittn&V{-
±00
t
J \ dt"V^ Иехр(- е| Г \/h)V(t") -
±00
±00

128 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
При доказательстве второго из трех равенств нужно
воспользоваться свойствами A.37), а третьего — урав-
уравнением A.47) и учесть, что в интегралах с конечными
пределами интегрирования безразлично, добавлять
или нет обрезающий множитель в пределе при е -> 0.
Б. Волновые функции
Определим волновые функции \Р*+):
Чг[±) ге U (О, =F oo) ф/# B.17)
Подставив сюда выражение B.13), получим
Т»
ЧР^вяф^ +4" \ Л'ехр(—e|/7I/A)t/(О,ОV(/ОФ/• B.18)
ft j
о
На основании определения A.17) и формулы A.36),
переписав все операторы в представлении Шредин-
гера, приведем последнее уравнение к виду
хрЫ = ф, + j J df ехр (-el/7 Щ ехр (iHt'/h) X
X ехр (- /Яо/'/А) ехр (/#//ft) F ехр (-
о
В силу формулы B.28) из гл. 2 выполняется соотно-
соотношение
-H±ter ^2-

§ 2. Теория S-матрицы 129
с учетом которого из выражения B.19) находим, что
т. е. волновая функция B.17) удовлетворяет интег-
интегральному уравнению
формальное решение которого таково:
Очевидно, что этот результат по форме совпадает с
выражениями B.27) и B.34) из гл. 2. В самом деле,
уравнение B.22) не что иное, как уравнение Липпма-
на — Швингера [формула B.27) из гл. 2], а ЧГ1±) —
волновая функция стационарной задачи рассеяния при
условии, что волновая функция падающей частицы
есть Ф;. Таким образом, в нестационарной теории рас-
рассеяния мы вывели интегральное уравнение рассеяния,
полностью совпадающее с соответствующим уравне-
уравнением гл. 2. Но в уравнении B.24) из гл. 2 оператор
#о — гамильтониан относительного движения свобод-
свободных частиц, а V — потенциал их взаимодействия, тог-
тогда как свободный гамильтониан #0 и гамильтониан
взаимодействия V, входящие в формулу B.22), могут
быть и более сложными операторами. Следовательно,
уравнение Липпмана — Швингера B.22), выведенное
здесь, — более общее, чем в гл. 2, интегральное урав-
уравнение рассеяния.
Подытоживая, можно сказать следующее. Волно-
Волновая функция ф/ состояния, задаваемого в момент / =
= HF оо уравнением
#0Ф|=?|Ф„ B.24)
под действием оператора f/@, =F oo) постепенно «вби-
«вбирает» в себя эффект взаимодействия и к моменту
5 Зак, 1271

130 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
t = 0 развивается в волновую функцию Wj** собствен-
собственного состояния полного гамильтониана Н с собствен-
собственным значением энергии Ей равным начальному значе-
значению энергии, т. е. состояния Ч^**, удовлетворяющего
уравнению
Н^=-ЕМ±]. B.25)
Сформулированное положение называют адиабатиче-
адиабатической теоремой. Оператор, переводящий начальное со-
состояние Ф( в состояние ЧР"!^, т. е. оператор [/@, ^Р оо),
цазывают волновым оператором Мёллера1).
Из формул B.17), B.24) и B.25) вытекает соот-
соотношение
#?/@, =Роо)ф, = ?,?/@, Тоо)ф,=
= ?/@, =F оо)?,Ф, =?/@, =F оо) #0Ф,,
Поскольку оно справедливо для произвольной функ-
функции Ф|, принадлежащей полному набору {Ф„} соб-
собственных функций оператора Яо, имеет место опера-
операторное соотношение
HU @, =F оо) = U @, ч= оо) Яо. B.26)
fi. Ортогональность и нормировка волновых
функций и волновой оператор
В гл. 2 падающую плоскую волну мы определяли
формулой
ехр (/к • г).
BяK KV ;
Эта волна нормируется в соответствии с условием
оо
^г \ ехр {/ (к - к') • г} dh = б3 (к - к'), B.2 7)
которое мож)Но истолковать как требование, чтобы на
каждую клетку объемом BяK приходилась одна час-
') Соответствующую матрицу называют иногда «половинной
S-матрицей». — Прим. ред.

§ 2. Теория S-матрицы
131
тица [такое толкование мы давали уже в формуле
B.7) из гл. 2]. По аналогии с нормировкой B.27) не-
нетрудно сообразить, что волновую функцию Чг|±) нуж-
нужно нормировать следующим образом. Рассмотрим
1п
Фиг. 30. Соотношение между размером волнового пакета и пара-
параметром выключения взаимодействия.
большой куб с ребром L и в нем одну частицу. Соот-
Соответствующая функция ф/ будет иметь вид
B.28)
На границах куба потребуем выполнения периодиче-
периодических граничных условий. Тогда придем к следующему
условию нормировки начального состояния:
Р
>
-jr $
ехр {/ (к - к'). г
B.29)
где каждое из kx, ky, k2 пробегает значения 2nnfL
(n = 0, 1,2, ...).
Такой выбор нормировки обусловлен тем, что вол-
волновая функция Чг^±) зависит от бесконечно малого па-
параметра е, связанного с длиной ребра введенного выше
куба. Обрезающий фактор введен нами в качестве за-
замены волнового пакета, чтобы сделать падающую
волну неплоокой. В качестве простой иллюстрации
рассмотрим рассеяние частицы в случае потенциала,
показанного на фиг. 30. Пусть а — радиус области, в
которЬй потенциал отличен от нуля. Волновой пакет

132 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Фи занимающий область, объем которой равен при-
приблизительно L3, можйо представить в виде
Ф, (г) = -JLr ехр (- $п | г \IL) exp (Л • г). B.30)
Этот пакет нормирован в соответствии с условием
= 1. B.31)
Если L » а, то область, в которой потенциал отличен
от нуля, очень мала по сравнению с областью, зани-
занимаемой волновым пакетом. При t = 0 волновой пакет
перекрывает o-бласть ненулевого потенциала и потен-
потенциал на него действует. Из фиг. 30 ясно, что волновой
пакет уйдет из области ненулевого потенциала за вре-
время, равное приблизительно L/vot где vo — групповая
скорость пакета. Тогда волна уже не будет взаимодей-
взаимодействовать с потенциалом, откуда следует, что время
й/е, за которое выключается потенциал, должно по по-
порядку величины совпадать с L/vo- Иначе говоря, па-
параметр L, описывающий переход волнового пакета
B.30) в плоскую волну (предельный переход при
L->~oo), должен быть связан с параметром е, описы-
описывающим выключение потенциала (предельный пере-
переход при е-»0), соотношением
в»-^. B.32)
Основываясь на этих предварительных соображе-
соображениях, рассмотрим условия ортогональности и нормиг
ровки волновых функции Ч^. Волновая функция
Ч^— амплитуда вероятности. Ввиду этого из условий
ортогональности и нормировки начальных волновых
функций
(ф<Р\фР) = 6и B.33)
вытекает, что в пределе при L->oo функции Ч^*
должны быть ортонормированы в соответствии с усло-
условием
(f)\?)) = 6u. B.34)

§ 2. Теория S-матрицы 133
Чтобы проверить, выполняется ли условие B.34), пре-
преобразуем сначала формулу B.23)
B.35)
С учетом этого результата получаем
>1 <2-36>
Далее^ с помощью уравнения Липпмана —Швингера
B.22) находим
П B.37)
Точно так же получаем
)=о,,+^г
Подставляя B.37) и B.38) в B.36), приходим к фор-
формуле
] B.39)
которую с учетом соотношения
(фГ | у I wi+)>*=(фГ | Ft/ (о, -
=<o>Ht/+(o, -оо)
^ ((у (о, _ оо) ф'/-> 1 V \ Ф(/?)> = <>F[+) | У | <bf >) B.40)

134 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
можно переписать в виде
. B.41)
Рассмотрим матричный элемент (ф^) К|^+)). При
интегрировании по облати L3 нужно учитывать, что он
отличен от нуля только там, где есть взаимодействие,
т. е. в области размером порядка а3, ввиду чего спра-
справедливо приближенное выражение
B.42)
где Vq — максимальное значение потенциала V, а ве-
величина L3 в знаменателе связана с параметром нор-
нормировки B.28). Аналогичное выражение справедливо
и для (O/L) I V | Ч^+))\ Поэтому формулу B.41) можно
переписать в виде
Т Е,-
Если Е(ФЕ^ то величина B.43) в пределе при е-*0
обращается в нуль. Если же Ei = Я/, то с учетом со-
соотношения B.32) получаем
,„ B.44)
Тем самым доказано, что условие ортогональности и
нормировки B.34) действительно выполняется. Анало-
Аналогичным образом можно показать справедливость та-
таких же условий ортогональности и нормировки и для
волновой функции ЧГ\~\ описывающей рассеяние со
сходящейся волной.
Из условий ортонормированности волновых функ-
функций ЧГ1±) можно вывести ряд свойств волнового опе-
оператора t/@, Too). На основании определения B.17)

§ 2. Теория S-матрицы 135
и условия полноты
?|фИ<фН-1 B.45)
получим
т. е.
U [0, =Foo) = ?|4'i±)><0(Jt)|. B.46)
Из формул B.15) можно вывести, что
U (=F оо, 0) - Uf (О, Ч= оо) = ?I Ф^> W |. B.47)
Следовательно, выполняется соотношение
С/+@, Ч=оо)С/@, =роо)«
-ЦфРХ^И^фРI-Z|of><#»l-1. B.48)
при выводе которого нужно воспользоваться форму-
формулами B.43) и B.45). Из соотношения B.48) вытекает,
что
U(Too, 0)C/@, =Foo)<DjL) —фр.
Далее, так как
f/(=Foo, 0)f/@, =Роо)ф(^==[/(=роо, 0)^,
мы имеем
(/ (=F оо, 0) М±] = Ф^. B.49)
Значит, при действии на волновую функцию ЧГ1±) опе-
оператором U^ оо,0) мы возвращаемся к моменту вре-
времени / = Тоо и к состоянию OlL). Изменим теперь
порядок действия операторов в формуле B.48). Полу-
Получим соотношение
С/@, =Foo)f/+@, Too) —?/(Of too) С/(Too, 0) =
- ZI ^) (of} I фГ) WI = ZI wl*>>
= 1 -EI^bX^bI, B.50)
в

136
Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
в котором Wb — волновые функции связанных состоя-
состояний, принадлежащие полной системе {Ч^**, Ч^} соб-
собственных функций полного гамильтониана Н:
HWB = EB4>Bt EB<0. B.51)
Итак, если полный гамильтониан допускает существо-
существование связанных состояний, то произведение B.48)
f-0
Фиг. 31. Свойства волнового оператора.
равно единице, а произведение B.50) (с обратной по-
последовательностью операторов) единице не равно. Это
значит, что при наличии связанных состояний волно-
волновой оператор (/@, =F oo) не унитарен.
А каков результат действия волнового оператора
?/(±оа, 0) на волновые функции связанных состоя-
состояний?. На основании определения B.14) получаем
U(±oo9
±00
-Ув = 0. B.52)
Собственные значения Е; оператора Яо обычно поло-
положительны, а з-начения Ев — отрицательны. Поэтому

§ 2. Теория S-матрицы 137
энергетические знаменатели в формуле B.52) не
имеют особых точек и можно принять е = 0. Из ре-
результата B.52) вытекает, что связанные состояния ор-
ортогональны состояниям рассеяния1), так как
(Wв IЧ^) = OF* | U @, ч= оо) | ФР) =
== (U (=F оо, 0) Чв | OlL)> = 0. B.53)
Подытоживая, свойства волнового оператора можно
представить диаграммой, показанной на фиг. 31. Го-
Горизонтальная линия и точки в верхней части диаграм-
диаграммы изображают спектр собственных значений полного
гамильтониана Н при / = 0 и соответствующие соб-
собственные состояния. Горизонтальной линией в нижней
части диаграммы показан спектр собственных значе-
значений и соответствующие собственные состояния свобод-
свободного гамильтониана Яо при f = q=oo. Состояние рас-
рассеяния и начальное (или конечное) состояние могут
быть связаны волновым оператором, причем, согласно
адиабатической теореме, собственные значения энер-
энергии сохраняют одно и то же значение. При действии
же на связанные состояния полного гамильтониана
волновой оператор дает нуль. Это значит, что с по-
помощью волнового оператора нельзя вывести связан-
связанные состояния из собственных состояний свободного
гамильтониана.
*) В отечественной литературе термин «состояние рассеяния»
не принят. В частном случае системы двух тел вместо «состояния
рассеяния» иногда говорят о состояниях непрерывного спектра.
Но термин «состояние непрерывного спектра», понимаемый как
«состояние, зависящее только от непрерывных квантовых чисел»,
более узок, чем термин «состояние рассеяния», так как в случае,
когда в рассеянии участвует не менее трех тел, «состояние рас-
рассеяния» может содержать связанные состояния подсистемы пол-
полной системы частиц (т. е. наряду с непрерывными зависеть также
и от дискретных квантовых чисел). В то же время термин «со-
«состояние рассеяния» отличается и от термина «конечное *юстоя-
ние», так как в конечном состоянии, в частности, может образо-
образоваться связанное состояние полной системы частиц. Можно ска-
сказать, что термин «состояние рассеяния» является антонимом тер-
термина «связанное состояние полной системы частиц». — Прим-
перед.

138 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Г. S-матрица и ее свойства
Если рассеяние рассматривать как переходы ме-
между состояниями, то для определения вероятности та-
таких переходов нужно вычислить оператор S [формула
B.9)]. Поскольку аргументы оператора S = U(+oot
— оо) бесконечно велики, необходимо определить пре-
предельный переход f->±oo. Определим оператор
?/(±оо, =Foo), положив в формуле B.14) / = =Foo:
U(±oo, =роо)^
:fcoo
¦в 1 -1 J df exp (- e | tr I/A) V (/') U {f, =F oo). B.54)
Too
Оператор U(f9 =F oo), стоящий под знаком интеграла,
дается формулой B.13). Но оператор 5 можно также
получить, положив / = ±оа в формуле B.13):
sfcoo
i f ^, ._„ / -u/.^п/, -o,t')V if). B.55)
Здесь величина t/(±oo, t') дается формулой B.14).
Совпадают ли эти два выражения? Чтобы ответить на
это^ вопрос, рассмотрим U(+oo, —оо). Подставляя
а формулу B.55) выражение B.14), получаем
— 00
?/'(+оо, _oo) =
X [1 ~ Т \dt" ехР (~ ъ' Il" 4h) v {п и V'
00

§ 2. Теория S-матрицы 139
X J di"Q (/" - О ехр (- в' 11" Щ V (/") U (Л /') F (/')
X J dt'Q (f -1") ехр (- в | f I/A) 7 (/') f/ (*',
X Г1 - j J Л" ехр (- в' | /" |/ft) U (Г, П V (/")! =
= [/(+«>, ~оо). B.56)
Таким образом, величина (У(+оо, — оо), даваемая
формулой B.54), совпадает с величиной [/'(+«>,
— оо), даваемой формулой B.55). Точно так же мож*
ной показать, что
[/Ч-оо, +оо) = [/(-оо, +оо). B.57)
При доказательстве B.56) во втором равенстве надо
применить ступенчатую функцию A.42), а в третьем
равенстве поменять местами в и в7 и переобозначить

140 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
переменные интегрирования f и t". Далее, из выра-
выражений B.54) и B.55) вытекает равенство
[/(-со, + oo) = ?/f(+oo, -оо). B.58)
Но, с другой стороны, исходя из формул B.13) и
B.14), оператор (/(+оо, —оо) можно также опреде-
определить как произведение:
U" (+ оо, - оо) . U (оо, /) U (/, - оо). B.59)
Не будет ли это навое определение противоречить оп-
определениям B.54) и B.55)? Оказывается,- нет, так
как из определения B.54) и соотношений B.16) выте-
такет, что
о, -оо)-
оо
-| J dt'exp(-t\t'\/h)V(t')U(f,O)U(O, -oo) =
—i К dt'exp (- e \tf Щ V (О U (/', 0) +
о -.
\ dt'exp(-e\t'\/h)V(t')U(t', 0)\U@, -oo)==
— 00 J
f -оо)-
-{t/(-oof 0)— 1>?/@, -оо)-
= l + f/(+oo, 0)f/@, -oo)-?/(-oo, 0)?/@, -oo) =
— U (+ оо, 0) U @, - оо) — (/" (+ оо, - оо). B.60)
Для доказательства третьего из равенств B.60)
надо использовать формулу B.14), а пятого — фор-
формулу B.48).
Исходя из указанных определений S-оператора,
найдем элементы S-матрицы, рассматривая 5-опера-
тор как оператор в представлении Шредингера. Обо-
Обозначив начальное состояние символом Ф^\ а конеч-

§ 2. Теория S-матрицы Ul
ное — символом OfL), вычислим матричный элемент пе-
перехода между ними:
dt'exp(-*\t'\/h)V(t')U(t', _oo)|of») =
X К (О ^ С, 0) | С/ @, — оо) of»)
V ехр (- /ЯОI Ч\+)) =
оо
X ехр {/ (Et -
= бм - 2шб (?f - ft) <(p;L) | F |^+)>. B.61)
Вскоре станет ясно, что именно такое представление
элементов S-матрицы играет наиболее важную роль в
нестационарной теории рассеяния, поскольку с их по-
помощью можно рассчитать сечение рассеяния. Но, пре-
прежде чем переходить к этой задаче, исследуем свойства
определенного здесь S-оператора.
Перепишем S-матрицу в виде
= W |\U (+ оо, 0) U @, - оо)
=<г/+ (+ оо, о) ф?> | и (о, - оо) of >) =
= (U @, + оо) Of» 11/ @, - оо) Of») =
). B.62)

142 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Аналогично,
- <Ф<? | U+ (+ во. - во) | Ф
. B.63)
Следовательно,
>-«*». B.64)
a
Здесь использовано соотношение полноты собствен-
собственных функций гамильтониана всей системы
Z I Yi) Ы^ | + ZI У в) <*РВ | = 1 B.65)
и равенства B.34) и B.53). Волновые функции Ч?в в
формуле B.65) принадлежат связанным состояниям
оператора Н. Совершенно аналогично можно доказать
соотношение
из которого вытекает, что в отличие от волнового опе-
оператора С/(О, Ч1 оо) S-оператор унитарен независимо от
того, имеет или нет полный гамильтониан Н связан-
связанные состояния:
S*S = SS*=*l. B.66)
Это значит, что в ходе рассеяния сохраняется полная
вероятность.
Согласно формуле B.26),
HU (О, =F оо)» U @, qF оо) #0. B.67)
Произведем в этой формуле эрмитово сопряжение:
г=#о^(±оо, 0). B.68)

§ 2. Теория S-матрицы 143
Тогда, умножив обе части равенства B.67) на
U(+ оо, 0) слева, получим
(/(+оо, 0)#(/@, -оо) =
= U (+ оо, 0) U (О, - оо) #0 — SH0. B.69)
Умножив же абе части равенства B.68) на i/@,— оо)
справа, получим
f/(+oo, 0)#?/@, -оо) —
— H0U (+ оо, 0) U(О, - оо) — H0S. B.70)
Это означает, что оператор S коммутирует со свобод-
свободным гамильтонианом Но:
[S, #0] = 0. B.71)
Следовательно, Но и S одновременно приводятся к
диагональному виду, т. е. в ходе рассеяния сохраняют-
сохраняются собственные значения энергии свободного гамиль-
гамильтониана. Подчеркнем, что речь идет не о сохранении
полной энергии (в чем нет ничего необычного), а имея-
но о сохранении анергии свободного гамильтониана.
Такое утверждение нетривиально. Отметим, что при-
причиной сохранения собственных значений свободного
гамильтониана является адиабатическое (квазистати-
(квазистатическое) включение взаимодействия.
Д. Вероятность перехода и сечение рассеяния
В связи с фбрмулой B.8) мы уже указывали, что
элемент матрицы рассеяния B.61)
Sf,i = <<D}L)|?/(oo, -oo)|<D<L)> =
= 6f,, - 2ш6 (Ef - Et) (Ф\и | V | ^+)> B.72)
дает амплитуду вероятности перехода системы из соб-
собственного состояния ф\и оператора Яо (в котором
она находилась при t = — оо) в собственное состоя-
состояние ф\ц этого оператора при t = + °°- При f Ф i ве-
вероятность перехода Wf, i из состояния i в состояние /
дается формулой
*м -1 Sf. t f - [2пЬ(Е,- - Ег)J | <Ф? \V\?V) I2. B.73)

144 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Зная свойства б-функции, можно написать
00
\
<2-74>
где т — бесконечный интервал времени (от —оо до
+ оо). Величина Wf,i — вероятность перехода за бес-
бесконечно большой интервал времени т. Вероятность же
перехода в единицу времени Wft i выразится формулой
1- B-75)
Рассмотрим рассеяние частицы в случае статиче-
статического потенциала, т. е. столкновение двух частиц. Соб-
Собственное значение энергии такой системы в конечном
состоянии Ef принадлежит непрерывному спектру.
Реально наблюдают суперпозицию состояний, энергии
которых лежат в узком интервале AEf вблизи Ef, а на-
направление рассеянной частицы реально можнд указать
только с точностью до малого телесного угла AQf.
Следовательно, в конечном состоянии нужно брать
сумму выражений B.75) по состояниям в пределах
AEf AQf. Соответствующие состояния характеризуются
волновыми векторами kf, число которых в малой об-
области kkx&kyAkz (с учетом соотношений типа kx =
= 2nnx/L) равно
^ &kx Д^ Ыгг. B.76)
Если Ef — fr2k2f/2mt то kEf = (h2/m) kfkkf и можно
написать Ыгх Ыгу Afe* = k) Afy AQf = (m/ft2) kf A?f AQf,
откуда вытекает, что число состояний в области A?f AQf
равно
^ AQf. B.77)

§ 2. Теория S-матрицы 145
Взяв сумму конечных состояний B.75) по этой обла-
области, получим для вероятности перехода выражение
!- B-78)
Энергия начального состояния Et заключена в интер-
интервале A?f. В противном случае вероятность перехода
равна нулю. Это — следствие закона сохранения энер-
энергии.
Итак, если начальное состояние Фр задано, то
вероятность перехода имеет вид B.78). Число частиц
Nu падающих в единицу времени на единицу поверх-
поверхности, согласно формуле B.28) и формуле C.2) из
гл. 2, равно
"- <2-79>
Учтем теперь, что дифференциальное сечение рассея-
рассеяния а@) есть вероятность того, что при переходе час-
частица рассеивается в единичный телесный угол в на-
направлении под углом 0 к вектору к/, при условии что
в одну секунду на единицу площади падает одна час-
частица. Тогда, согласно формуле B.78), можно напи-
написать
B.80)
Нормировка волновых функций OfL) и Ч^+) в формуле
B.80) дается формулами B.33) и B.34), тогда как в
формуле B.27) из гл. 2 у нас были нормированная
плоская волна <f>f и волновая функция i|5(.+). Поэтому

146 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
при сравнении формулы B.80) с формулами C.4) и
C.5) из гл. 2 волновые функции в формуле B.80)
нужно заменить волновыми функциями гл. 2. Ясно, что
в пределе при L->oo выполняются соотношения
B.81)
с учетом которых, положив в формуле B.80) ki = kf>
придем к выражению
Воспользовавшись формулой C.5) из гл. 2, приведем
выражение B.82) к виду, полностью соответствую-
соответствующему результату C.4) из гл. 2:
сгF)-|/F)р. B.83)
Подставляя в формулу B.80) формальное решение
B.23), выполним следующие преобразования:
lvIO^) B.84)
[здесь учтено, что в выражения B.80) Et = E{[. С уче-
учетом формулы B.24) перепишем B.80) в виде
Чтобы вычислить сечение рассеяния по формуле
B.80) или B.85), нужно решить уравнение Липпма-
на — Швингера B.22) и подставить его решение в

§ 2. Теория S-матрицы 147
B.80) или B.85). Но можно поступить иначе. Напи-
Напишем
| у | Wi+)> — <Ф^ | Т (Ei -f it) | Ф^>, B.86)
где по определению
/в) в V + VG (Bt + U) V. B.87)
Тогда нужно будет решать интегральное уравнение
B.32) из гл. 2 для G. Чтобы исследовать свойства
этого интегрального уравнения, положим
где г — комплексное число. Интегральное уравнение
для G(z) имеет вид
. B.89)
Уравнение B.89) можно решать в той области г, где
легко найти решение, а затем аналитически продол-
продолжить полученный результат в точку z = ?/ -f- fc [вели-
[величина О(г) имеет физический смысл только в точке
г = Eidt is]. Аналитическое продолжение этой функ-
функции на произвольные значения г называют ее значе-
значением вне энергетической поверхности. Такое продол-
продолжение очень полезно при изучении общих свойств ин-
интегральных уравнений, например уравнения B.32) из
гл. 2.
Выше мы свели задачу определения сечения рас-
рассеяния к задаче нахождения функции Грина G. Если
в соответствии с формулой B.87) положить
T(z)**V+VG(z)V, B.90)
то из уравнения B.89) можно вывести игнтегральное
уравнение для Г (г):
шш V+ VG0(z)(l + VG(z)) V= V+ 7О0
B.91)
решив которое, можно найти Т(z), а затем принять
z = Et + /в.

148 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Е. Оптическая теорема
В заключение параграфа докажем на основе не-
нестационарной теории рассеяния оптическую теорему.
Из условия унитарности 5-матрицы B.64) вытекает
равенство
S+1 Of >> (Ф\ц 1SI <tf>> = 1. B.92)
? <
Подставив сюда выражение B.61), на основании со-
соотношения B.40) получим
S [б,, + 2шб, fi {fit -
откуда следует, что
Преобразуя второй член в левой части этого равен-
равенства с учетом формулы B.75), получаем соотношение
M B.93)
f
выражающее оптическую теорему в нестационарной
теории рассеяния.
Докажем, что оптическая теорема B.93) совпадает
с оптической теоремой C.18) из гл. 2. Пользуясь со^
отношениями B.81), изменим нормировку волновых
функций. Тогда на основании формулы C.5) из гл» 2
получим
^ §? B.94)
Принимая во внимание формулу B.78) и учитывая,
что сумма в правой части равенства B.93) берется

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени 149
по числу конечных состояний, напишем
Изменим здесь нормировку волновых функций, выне-
вынесем интенсивность потока в падающей плоской волне
Hki/Lzm в виде отдельного множителя, положим ki =
= kf и выполним преобразование:
1ът
—& J
Подставляя выражения B.94) и B.95) в формулу
B.93), получаем
1т/@)=-^-аполн, B.96)
что совпадает с формулой C.18) из гл. 2.
§ 3. Принцип детального равновесия
и обращение времени
Выражение B.75) для вероятности перехода в бор-
новсясом приближении принимает вид
Вероятность обратного процесса в борновоком при-
приближении будет
J У|Ф««>|2. C.2)
Поскольку
<Ф?» | У | ФР>' = <Ф?> | V(t) | Ф?>> = <Ф^> | V | Ф<«>, C.3)
вероятность w^b перехода из состояния ф^> в со-
состояние Ф(^ равна вероятности обратного перехода —
р р
из области Ф{а} в состояние ^
<}а- C.4)

150 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Соотношение C.4) можно переписать в виде соотно-
соотношения для дифференциальных сечений. С учетом фор-
формулы B.82) получим
Если волновое число кй состояния Ф{а] не равно вол-
волновому числу кь состояния <D&L), то, согласно формуле
B.80), соотношение C.5) перепишется в виде
Соотношения C.4) — C.6) выражают так называемый
принцип детального равновесия. Цель настоящего па-
параграфа—выяснить, выполняется ли этот принцип
точно независимо от каких бы то ни было приближе-
приближений или нет.
Легко сообразить, что принцип детального рав-
но&ееия связан с обращением времени. Поэтому сна-
сначала рассмотрим отражение времени в ньютоновской
механике. Пусть частица массы Ш движется в поле
с потенциалом V(r). Уравнение ее движения имеет
вид
^0). C.7)
Пусть его решением будет некая функция
г-г@. C.8)
Схематически эта траектория показана на фиг, 32, а.
Обратим ось времени (как показано на фиг. 32, й
пунктиром). Тогда старая и новая временные коорди-
координаты одной и той же мировой точки Р связаны соот-
соотношением
t' = -t. C.9)
После перехода к новой временнбй координате if по-
получим
г(/)-г(-О-г'(О. (ЗЛО)
Второе из равенств C.10) выражает изменение формы
функции при замене ее аргумента —f аргументом /'.

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени
Функция г'(*'), представляющая траекторию в системе
с новой временной осью, описывает движение той же
самой частицы, но форма траектории отличается от
траектории г(/). Новая траектория показана на
ф«г. 32,6. Если в функции г'{?) аргумент f заменить
а
Фиг. 32. Обращение времени,
а—инверсия временнбй оси координат; б—обращение времени; в—обратное
движение.
аргументом t, то полученная функция r'(t) будет опи-
описывать движение, обратное движению, описываемому
функцией r(t). Это обратное движение показано на
фиг. 32,б. Таким образом, движение г'(/), обратное
движению г@, дается соответствием
г(/)-*г'@. C.11)
Выясним теперь соответствие импульсами частицы.
Цепочка равенств
р {i) _ „ dt (t) __ _ dt (- П df (П
•т
-т-
dt "" dt' ™ dv F к*J
показывает, что соответствие между импульсом р(/)
прямого движения и импульсом р'A) обратного дви-
движения таково:
Р @-*-/>'(/). C.12)
Переписывая уравнение C.7) с учетом C.9) и C.10),
получаем
""/Ч =-grad'V(r'(O). C.13)

152 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Заменим здесь величину V величиной /:
У(г'Ц)). C.14)
Сравнивая полученное равенство с равенством C.7),
видим, что если r(t)—решение уравнения движения,
то решением того же самого уравнения будет и обрат-
обратное движение r'(t). Следовательно, в ньютоновской
механике движение обратимо. Имеется ли подобная
обратимость движения также и в квантовой механике?
Чтобы выяснить связь между прямым и обратным
движением в квантовой механике, рассмотрим сна-
сначала движение, описываемое плоской волной. Если
волновая функция прямого движения имеет вид
<D<,L) (t) - -JL ехр (/p . г/А) ехр (- iEpt/h), C.15)
то переход к обратному движению должен выразиться
заменой р-> — р:
<D(f > (/) = JL- ехр (- /р • г/А) ехр (- iErfh). C.16)
Здесь мы воспользовались соотношением Ер = Ер.
Так же как и при выводе обратного движения в клас-
классической механике, произведем замену C.9) в выра-
выражении C.15):
<D;<L> (О . of > (- П - -^ ехр {/ (р • г + Ept')/h}. C.17)
Заменяя здесь V на t, получим функцию, описываю-
описывающую движение в направлении —р:
р-ехр {/ (р'г + Ept)/h)' C-18)
которая, однако, не совпадает с волновой функцией
обратного движения C.16). Функция C.16) получит-
получится, если произвести комплексное сопряжение:
(() = JL- ехр {- / (р • г + Epi)lh) = ФЮ (/). C.19)

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени 153
Таким образом, для получения обратного движения
в квантовой механике к процедуре, производимой в
классической механике, нужно добавить комплексное
сопряжение волновой функции.
Учтя эти предварительные соображения, рассмот-
рассмотрим общее уравнение Шредингера
/ft .ЁШ »//?(/). C.20)
Выполняя преобразование C.9), получаем
rfyJ° О. C.21)
Переписывая волновую функцию в виде
^(-0 = ^@ C.22)
и заменяя V на t, приводим уравнение к виду
— ih-^iu в= НЧГ @. C.23)
Следуя процедуре C.19), произведем комплексное со-
сопряжение обеих частей равенства:
ih dVdt(t) = Н*Ч'* (t). C.24)
Если гамильтониан бесспиновых частиц имеет вид
то
#* = #, C.26)
откуда следует, что уравнение C.24) эквивалентно
уравнению
dW'{t) '*(t). C.27)
Итак, если ^@—решение уравнения Шредингера
C.20), то его решением является также и волновая
функция обратного движения 4?*{t)t т. е. квантовое
движение тоже обратимо.
Выше гамильтониан Н мы считали действительным
оператором, удовлетворяющим соотношению C.26),

154 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Но вообще Я не действительный, а эрмитов оператор,
t. e. Я ш Я+, ? не Я «s Я*. Например, при наличии
спш-орбитального взаимодействия (L — орбиталь-
орбитальный, и S — спиновый момент) гамильтониан Я имеет
вид
b+V(r) + LSl(r) C.28)
Спиновый момент s можно записать в видев = (й/2)а,
где а — двухрядные двухстолбцовые матрицы Паули
/О 1\ /0 -/\ (\ 0\
C.29)
удовлетворяющие соотношениям
= кгх> C.30)
а оператор орбитального момента можно представить
в виде
— ГЛР—ТГ Д »• \О,О1)
Следовательно, комплексное сопряжение слагаемого
0-L в формуле C.28) дает, согласно C.29) и C.31),
== — oxLx + OyLy — o2L2, C.32)
откуда ясно, что Я* Ф Я, несмотря на то, что осталь-
остальные величины V(r) и |(г), входящие в Я, действи-
действительны. Следовательно, для таких Я уравнение C.27)
не имеет места и можно получить только уравнение
C.24). Поэтому рассмотрим оператор /?, действующий
только на спиновые переменные, так, чтобы выпол-
выполнялось условие
Я* D~"^ MD /О ОО\
или, что то же,
Г1. C.34)

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени E5
Подставляя C.33) в C.24), придем к уравнению
(/), C.35)
показывающему, что если W(t) удовлетворяет урав*
нению C.20), то R4F* тоже решение этого уравнения.
Эта величина и будет в данном случае волновой функ-
функцией обратного движения. Обозначив волновую функ-
функцию обратного движения символом ?*(/), напишем в
общем случае
Ч?*Ц) КЧГ®. C.36)
Введем оператор комплексного сопряжения, который
мы обозначим через /С. Тогда
' (t) = RKV (-1)
и можно доказать соотношения
(RK) a W)~{ =?-<*, (RK) L (RKf1 - - L,
(RK) г (Л/С) = r, (RK) p (Л/С)^1 = - p,
из которых вытекает, что RK не унитарный, а антиуниг
тарный оператор. Больше оператор К нам не пона-
понадобится.
Но существуют ли реально операторы /?, удовлетво-
удовлетворяющие соотношению C.33)? Не рассматривая этот
вопрос в общем виде, заметим, что в случае примера
C.28) можно принять R=*R-1=Qy. В самом деле, ис-
используя соотношения C.30) и имея в виду формулу
C.32), получим
q + oya2ayLz —
= -oxLx + oyLy-ozLz = (o-L)* C.37)
Заметим еще, что, хотя асе результатй выше были по-
получены нами с использованием определенных частных
представлений операторов г, р, <у, можно доказать, что
они справедливы независимо от представления этих
операторов. Применим теперь изложенные общие со-
соображения об обращении времени к задаче о рассея-

156 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
нии. Полный гамильтониан Н системы, в которой про-
происходит рассеяние, разделим на два слагаемых:
H = H0+V. C.38)
Обычно как #о, так и V содержат спиновые перемен-
переменные or. Предположим, что оператор /?, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям
V* = R~lVRt C.39)
существует, т. е. рассматриваемая система обратима.
Состояние Ф{а)г*, в котором движение обращено по
сравнению с движением в собственном состоянии Ф^
гамильтониана Яо, согласно формуле C.36), дается
выражением
ф?>'* = #(&?>*. C.40)
Но в силу формулы C.19) для пространственной час-
части волновой функции Ф^ выполняется соотношение
ф?> = ф<?>,. C.41)
Далее, например, в результате действия оператора
R = oy на состояние v(+) со спином, ориентирован-
ориентированным вверх, это состояние переходит в состояние v(—)
со спином, ориентированным вниз:
Rv (+) - о, (I) - / A) - exp (in/2) v (-).
Следовательно, если включить в определение вол-
волновой функции Фд^ фазовый множитель ехр (/я/2), то
в общем случае можно написать
Ф^-ЯФ^-Ф^а. C.42)
Здесь индекс а означает совокупность квантовых чи-
чисел импульса и спина. В формулах C.40) и C.41) мы
рассматриваем стационарные, т. е. не зависящие от
времени, состояния. Поэтому нам не нужно изменять
форму функциональной зависимости [при переобозна-
переобозначении временнбй переменной в C.36) и C.19), вообще
говоря, изменяется форма функциональной зависимо-

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени 157
сти]. Далее, согласно формуле B.19), волновая функ-
функция состояния рассеяния имеет вид
\р<+> = U (О, - оо) ф?> = A + Е _{у + /е У) ФаЬ)- C.43)
Для состояния с обратным движением
iL)\ C.44)
Пользуясь здесь предположением C.39) и свойством
C.42), получим
a_J._/e Г)/?-'/?Ф
Картина рассеяния в этом состоянии показана на
фиг. 33, б. Движение в нем, несомненно, обратно дви-
движению в состоянии Ч?а+). Заметим, что состояния рас-
рассеяния Чга~) и Ч'а**' ^» содержащие сходящуюся сфери-
сферическую волну, различаются тем, что в них противопо-
противоположное направление распространения плоской волны.
Рассмотрим теперь амплитуду рассеяния. Замечая,
что /?+ = /?-1, выполним на энергетической поверхно-
поверхности Е — Еа = Еь следующее преобразование:
{
V+V
Е - Я - /е

168
Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
при выводе которого для получения второго равенства
нужно воспользоваться свойством C.42), третьего —
услрвием R*=R-1, четвертого — гипотезой C.39), а
в
Фиг. 33. Волновые функции задачи рассеяния,
волновая функция ^д+)*. б—волновая функция ^+)* *; в—волновая
функция *?"*•
седьмого —эрмитовостью операторов Н и V. Тем са-
самым мы доказали, что если верна гипотеза об обра-
обратимости системы, то выполняется соотношение
C.46)

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени 159
которое с помощью формулы B.75) можно привести
К виду
W-b.-a = Wa,b. C.47)
Полученное соотношение называют соотношением
взаимности в отличие от принципа детального равно-
равновесия, выражаемого равенством
ttJfca—«>а.Ь. C.48)
хотя и напоминающим C.47), но не совпадающим с
ним. Различие между соотношениями C.47) и C.48)
наглядно показано на фиг. 34.
«к*
Х-
Ч
\
Начальное
состояние
t г ^ , л dftfft.
X
Фиг. 34. Соотношение взаимности и детальное равновесие.
При каких условиях справедлив принцип деталь-
детального равновесия? Рассмотрим столкновение двух час-
частиц. В качестве квантовых чисел а состояния ф??) возь-
возьмем импульс относительного движения частиц рЛ и
собственные значения спина s\ и S2, а в качестве юван-

160 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
тавых чисел Ъ состояния O^L) соответственно р6, s'v s^
Подчеркнем, что в силу соотношения C.42) в обрат-
обратном движении, кроме знака относительного импульса,
меняются на обратные и знаки спинов. Следователь-
Следовательно, амплитуды вероятности прямого и обратного дви-
движения будут такими:
ie)\pb, s[, s'2), C.49)
= <- Рь, -s[-s'2\T(E + /в) | - pa, - sv - s2). C.50)
Здесь T(E-j-is)—оператор, определенный в формуле
B.87); кроме того, использованы символы Дирака
«бра» и «кет»:
\Ф?)*з\а), (фР\^(Ь\, C.51)
в которых, как в явном виде записано в формуле C.5)
из гл. 2, подразумевается интегрирование по перемен-
переменной г волновой функции. Перепишем интеграл по от-
относительной координате г как интеграл по -—г. При
этом меняется знак показателя в ехр(фг) плоской
волны и величины Я0(г, р) и У(г), входящие в опе-
оператор T(E + ie), нужно заменить величинами #0(—г,
—р) и V(— г). Если при инверсии пространственных
координат эти величины не изменяются, т. е. если
Но (г, р) = Но (- г, - р), V (г) =* V (- г), C.52)
то формулу C.50) можно переписать в виде
ai -5j, -s2). C.53)
с учетом соотношения взаи
«p..
Тогда с учетом соотношения взаимности C.47) полу*
чим
Рь> -«I. ~8'2\Т(Е+1г)\ра, -sv -s2)f. C.54)
Рассмотрим вероятность перехода, при котором в
обеих частях последнего равенства нужно просумми-

§ 3. Принцип детального равновесия и обращение времени 161
ровать по положительным и отрицательным собствен-
собственным значениям спина. С учетом формулы B.75) для
соответствующих процессов можно тогда написать
X ? |<Рв. *„ 8г\Т(Е + Ь)\рь, s[, s'2)\\ C.55)
52lS2
X ? 1<Р»» -«I» -в»1Г(?+/в)|рв, -sv-s2)f, C.56)
откуда явствует, что
ИРа> Р&) = ИР&> ра). C.57)
Итак, мы показали, что в случае обратимой системы,
для которой Но и V инвариантны относительно инвер-
инверсии пространственных координат, принцип детального
равновесия справедлив для вероятности перехода,
просуммированной по спинам.
Перепишем соотношение C.57) в виде соотношения
для дифференциальных сечений рассеяния. Усреднив
вероятность по спинам начального состояния и взяв
сумму по спинам в конечном состоянии, получим с уче-
учетом формулы B.80)
, ч ka L6 2nm2 I v>
*<Р fc>-¦^ет'~ x
X ? |(Р„, «,, ва|Г(? + /в)|рв, 8[, s^f, C.58)
*Г*2
х
6 Зак, 1271

162 Гл. 4. Нестационарная Теория рассеяния
откуда вытекает, что соотношение между дифферен-
дифференциальными сечениями рассеяния таково:
C.60)
Бели при раасеянии спин не изменяется, то можно оп-
определить спин неизвестной частицы, измерив диффе-
дифференциальные сечения в обеих частях равенства C.60) •
§ 4. Взаимное рассеяние тождественных
частиц
До сих пор мы считали, что рассеиваемая частица
отличается от частицы-мишени. Бели же рассматри-
рассматриваемая система содержит тождественные частицы, то,
согласно принципам квантовой механики, ее волновая
функция должна быть симметринной или антисиммет-
антисимметричной относительно перестановок тождественных час-
частиц. Рассмотрим столкновение двух тождественных
частиц, взаимодействие которых описывается потен-
потенциалом. Вопрос о симметрии или антисимметрии вол-
волновой фушции в несколько более сложной системе бу-
будет рассмотрен в гл. 5.
Дифференциальное сечение упругого столкновения
двух частиц выражается формулой B.82). Но в дан-
данном случае волновые функции начального <pi и конеч-
конечного fa состояний нужно заменить симметризованными
или антисимметризованными волновыми функциями
ff и фf^ Именно, для сечения нужно написать
а(в) = ^1|<^|Г(?< + /е)|^>р, D.1)
где
m—приведенная масса сталкивающихся частиц, г —
вектор их относительного положения, к и к' — волш>

§ 4. Взаимное рассеяние тождественных частиц 163
вые векторы относительного движения в начальном п
конечном состояниях. Множитель 1/У2 в выражениях
D.2) обусловлен нормировкой. В случае тождествен-
тождественности частиц очевидно, что
Яо(-р.-г)-Яв&,г), V(-r) = V(t) D.3)
(эти величины не изменяются при перестановке двух
частиц). Следовательно, при перестановке двух час-
частиц не изменяется также и величина
Е^_н + и Г (г), D.4)
т. е. выполняется соотношение
Г-г (Ei + is) - Г+г (Ei + /в). D.5)
Поэтому если во втором и третьем членах выражения
1 (г) Г, (Et + /в) фк (г) +
произвести замену переменной интегрирования
с учетом равенства D.5), то можно написать
Щ D.6)
откуда вытекает, что дифференциальное сечение D.1)
дается формулой
, D.7)

164
Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
а полное сечение аполн — формулой
я/2 2я
аполн = -- J а (в) rfQ = J sin в rf9 ^
о о
r (в). D.8)
Таким образом, в случае тождественных частиц пре-
пределы интегрирования по углу рассеяния вдвое меньше,
чем в случае различимых частиц: по 0 нужно инте*
грировать от 0 до я/2. Причина этого объяснена на
а 6
Фиг. 35. Интеграл полного сечения.
фиг. 35: в случае различимых частиц процессы, по-
показанные на фиг. 35, а и б, разные, а в случае тож-
тождественных частиЦ они неразличимы (оба случая соот-»
ветствуют одному и тому же процессу), вследствие
чего при интегрировании по углу рассеяция 0 в пре-
пределах от 0 до я число рассеянных частиц было бы за-
завышено вдвое.
Вычислим выражение D.7) в борновском прибли-
приближении. Приняв для волновых функций выражения
ехр(/Ьг); ^(r)texp(tVr)' D-9)
подставив эти выражения в формулу D.7) и вычислив
первое борновокое приближение, получим
\ dh exp (+&' • г) V (г) ejcp (+ /k. г) |2. D.10)

§ 4, Взаимное рассеяние тождественных частиц 165
Вводя обозначения (фиг. 36)
К = к'-к, L = k' + k, D.11)
напишем
К = 2k sin F/2), L — 2k cos F/2). D.12)
Интегрируя выражение D.10) по углам, получаем
Г/Г1
L
ow F) = 4g- Г/Г1 J rF (г) sin (Kr) dr ±
L
со -2
±L~l\v(r)rsln(Lr)dr\ . D.1
о J
J .13)
Если потенциал имеет вид
У(г)-?ехр(-хг), D.14)
то
j'yWrstoW*-^ —?. D.16)
о
При >с->0 выражение D.14) переходит в кулоновокий
потенциал. Имея в виду, что первое борнотское при-
приближение случайно дает правильный результат для
к
Фиг. Зб> Изменение волновых векторов при рассеянии.
резерфордо©окого рассеяния, вычислим для этого слу-
случая сечение по формуле D.13). Она даст
L sin4 (9/2) + соз4 F/2) ± sin2 F/2) cos2 @/2)J' ^4'1

166 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Первый член, разумеется, совпадает с резерфордов-
ским сечением рассеяния. Следует помнить, что в
данном случае m — приведенная масса. Второй член
учитывает симметрию (или антисимметрию) волновых
функций, а третий — интерференцию первого и вто-
второго слагаемых.
Бели спин частиц равен нулю (бозе-частицы), то
их волновую функцию нужно симметризовать. Напри*
мер, при рассеянии двух а-частиц (заряд которых ра-
равен е), дифференциальное сечение рассеяния выразит-
выразится в виде
„(В) (ь\ — е* Г * i 1 , 2 ]
а w 4/n2t>4 L sin4 (8/2) "*" cos4 (9/2) "*" sin2 F/2) cos2 (8/2) J'
D.17)
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние двух фер-
ми-частиц со спином !/г» например электрон-электрон-
электрон-электронное рассеяние. Если, спиновая волновая функция двух
частиц симметрична (частицы находятся в триплетном
состоянии), то пространственная волновая функция
должна быть антисимметричной. Если же спиновая
волновая функция антисимметрична (синглетное со-
состояние), то пространственная волновая функция
должна быть симметричной. Следовательно, диффе-
дифференциальное сечение рассеяния выразится формулой
а(е) = |а<<>(в)+1ог<*>(в), D.18)
где <т('> (9)— дифференциальное сечение рассеяния в
триплетном состоянии, a a(s)(9)—в синглетном состоя-
состоянии. Для о<'>(8) в формуле D.16) нужно взять минус,
а для cr<s>(9) — плюс. Тогда получим
мв) ш\ _ g4 Г * i 1 1 1
w~ 4mV L sin4 (8/2) "^ cos4 (9/2) sin2 (8/2) cos2 (9/2)J#
D.19)
Второе слагаемое в выражениях для дифференци-
дифференциального сечения рассеяния D.17) и D.19) появится
также и в классической механике, если рассмотреть
случай неразличимых частиц, а третье слагаемое —
чисто квантового происхождения. Приведенные трех-
трехчленные выражения, однако, не являются точными

$ 4. Взаимное рассеяние тождественных частиц
1В7
(они получены в борновском приближении), Точюые
формулы для дифференциальных сечений рассеяния в
случае кулоновского потенциала приведены ниже.
30° 60е 90° 120° 150е
а
30° 60° 90° 120° 150е
6
Фиг. 37. Угловые распределения дифференциальных сечений вза-
взаимного рассеяния тождественных заряженных частиц,
а—сплошная линия соответствует формуле D.20), пунктир—0° (ф;
б—сплошная линяя соответствует формуле D.21), пунктир—Окл (8).
Дифференциальное сечение взаимного рассеяния двух
а-частиц имеет вид
0F):
Lsin*(
1
cos* (в/2)
+
sin2 (в/2) cos2 (8/2) J
D.20)
(здесь принято, что заряд а-частиц равен е), а диф-
дифференциальное сечейие электрон-электронного рассея-
рассеяния — вид
1
lsin*(
4m2v4 I sin* (в/2) ^ cos* (в/2)
s2 (8/2)

168 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Чем больше безразмерный параметр e2/hv в третьем
слагаемом формул D.20) и D.21), тем сильнее осцил-
осцилляции этого слагаемого. На фиг. 37 представлены уг«
левые зависимости дифференциальных сечений D.20)
и D.21) при e2/bv = 5. Здесь символом аклF) обозна-
чены классические дифференциальные сечения, кото-
которые получаются, если в формулах D.20) и D.21)
пренебречь третьим слагаемым. Сечения по вертикаль-
вертикальной оси отложены в относительных единицах. Как не-
нетрудно видеть, в случае бозе-частиц (фиг. 37, а) при
6 = я/2 имеется максимум, а в случае ферми-частиц
(фиг. 37, б)—минимум.
§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях
Изучая столкновения частиц, например нейтронов,
с физическими телами (построенными из многих ато-
мо©) или с атомными ядрами (состоящими из боль*
шого числа нуклонов), можно получить сведения об
атомной структуре тел или о структуре атомного ядра.
Рассмотрим рассеяние частицы млогочастичной систе-
системой, предполагая, что падающая частица отличается
от атомов или нуклонов мишени.
Итак, пусть частица сталкивается с мишенью, со-
состоящей из N тождественных частиц. Гамильтониан
всей системы в целом представим в виде
H = H0+V; Ho=Hn+HA, E.1)
где Нп — гамильтониан свободного движения падаю-
падающей частицы. Бели ее масса т, то
Далее, На—сложный гамильтониан мишени, построен-
построенной из N частиц, V — взаимодействие падающей час-
частицы со всеми частицами мишени, причем
F=? Ke-f Kfe-rJ, E.3)
a-i a-i
где г„ — оператор положения падающей частицы, а
га —операторы положения частиц мишени, Начальное

§ б. Рассеяние на многочастичных мишенях 169
(или конечное) состояние системы определяется реше-
решениями уравнения
Ноф(ка, Аа) = Еаф (ка, Аа), F.4)
в котором
ехр(/катя),
F.5)
Если энергия Ei начального состояния равна
Ei = &i-\-E?, то интегральное уравнение B.91) мож-
можно записать в виде
Г(Я,)-К+ГОо(Я|)Г(Д,), E.6)
где Ei — сокращенное обозначение величины Ei + ie.
Ниже всюду, где это не может привести к недоразуме-
недоразумениям, мы будем пользоваться таким сокращенным
обозначением. В формуле E.6)
Go^-to-tfo + fer1. E.7)
Производя последовательное разложение выражения
в правой части формулы E.6) и подставляя выраже-
выражение E.3) для F, получаем
V+VGo(Ei)V+VGo(Ei)VGo(Ei)V+ ... -
УаОо (Ed Vfio (Et) Vy + ..., E.8)
где сумма по а, р, у, ... берется по всем частицам ми-
мишени. В разложении E.8) взаимодействие падающей
частицы с различными частицами мишени входит не-
неупорядоченно, в связи с чем трудно дать ясную физи-
физическую интерпретацию процессов рассеяния, Упорядо-

170 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
чим ряд E.8). Введем оператор ЛаB?<):
Kv+ ... . E,9)
Очевидно, что
Е E.Ю)
Разобьем сумму по р на два слагаемых — член с а =р
плюс сумма остальных членов:
Va+VaGQ(Et) VMEt) ? Vy+...
Y
+ VaG0(Et)
+ VaG0(Et) ?a[V(i+Vf>Go(Et)ZV4+ ...]. E.11)
Сравнивая последнее из выражений E.11) с E.9),
получаем
откуда
Aa №i) = l-
VeG0 (?,) Ло (?,) + KoG0 (?,) Е A. (Et),
E.12)
yG(?) Z Л^)' <5ЛЗ>
Положив здесь
приведем формулу E.13) к виду
Та(Е,)О0(Е{) Е A.(Et). E.15)

§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях 171
Производя последовательное разложение интеграль-
интегрального уравнения E.15) и пользуясь формулой E.10),
получаем выражение
+ Е Z Z Ta(El)Go(Et)T^(Et)Qo(Ei)Ty(Ei)+ ...,
E.16)
гораздо более прозрачное, нежели выражение E.8),
В самом деле, величина Ta(Et) [формула E.14)] дает
° * в г
Фиг. 38. Многократное рассеяние.
амплитуду рассеяния падающей частицы на а-й ча-
частице мишени, полностью включающую в себя эффект
взаимодействия Va. Первое слагаемое в выражении
E.16)—сумма по всем частицам мишени амплитуд
рассеяния падающей частицы на отдельных частицах
мишени. Графически это слагаемое представлено на
фиг. 38, а. Второе слагаемое в формуле E.16) учиты-
учитывает рассеяние падающей частицы на двух частицах
мишени (фиг. 38,6), т. е. двукратное рассеяние. Та-
Таким образом, формула E.16) дает разложение по про-
процессам многократного рассеяния. В третьем слагаемом
содержится член с 7=<*-Это процесс, при котором ча-
частица, рассеянная частицей мишени а, сталкивается
с другой частицей р, а затем второй раз с частицей а.
График такого процесса показан на фиг. 38, г.

172 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Далее, согласно формулам B.17) и B.19),
Введем оператор U(Ei):
Выше мы уже упоминали, что операторы такого вида
имеют физический смысл только при действии на на-
начальное состояние <f>(kiAi). Величина E.17) не являет-
является оператором в строгом смысле этого слова, потому
что при действии истинного оператора [например, one-*
ратора U@,—с»)] на любое состояние должен полу-
получиться результат, имеющий смысл. Преобразуем one*
ратор E.17), пользуясь формулой B.87):
E.18)
Подставляя сюда разложение F.16), получаем
+ ? ? Go(Et)Та(Et)Go(ЕдГэ(Е,)+ .... E.19)
Далее, введем оператор йа(?;) как решение уравне-
уравнения
Qo (Вй) - 1 + Go (Et) Za Tz (Et) Qp (Ed. E.20)
Разложим уравнение E.20) в ряд:
) +
(?<) Go (fid Ty (Ed+ ....

§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях 173
Сравнивая этот ряд с рядом E.16), замечаем, что
Z E.21)
Кроме того, через Q можно выразить также и величи»
ну F.19):
E . E.22)
по всем н н
0
Очевидно, что различие между формулами E.20) и
E.22) сводится к тому, включен или нет в сумму по
Р член с р = а. Сравнивая формулу E.21) с уравне-
уравнением E.20), замечаем, что амплитуду рассеяния
T(Ei) можно было бы вычислить, если бы сначала ка-
каким-либо образом найти амплитуду рассеяния на од-
одной частице мишени Ta(Ei)t а затем найти решение
системы интегральных уравнений E.20), подставить
его в формулу E.21).
Но как найти амплитуду рассеяния на одной ча-
частице мишени? Разлагая формулу E.14) в ряд, полу-
получаем
Ta(Ei) = Va+VaGo(Ei)Va+VaGo(Ei)VaGo(Ei)Va+....
E.23)
Согласно определениям E.1) и E.7), входящая сюда
величина Go(Ei) дается выражением
Нв- F-24)
Примем для этой величины следующее приближение.
Если падающая частица сталкивается с одной из ча-
частиц мишени, то изменение состояния мишени как це-
целого мало и им можно пренебречь. Тогда На в знаме-
знаменателе формулы E.24) можно заменить собственным
значением энергии начального состояния Ef. Итак,
для Go приближенно принимаем
E.25)

174 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Такое приближение называют импульсным приближе-
приближением. Пользуясь тем обстоятельством, что ехр(—/рл*
•Го/ft) есть оператор сдвига тп на величину —га, пере-
перепишем потенциал Va — V(rn — га), входящий в выра-
выражение E.23), в виде
V (гЛ — гв) = ехр (— /рд • rjft) V (Гц) ехр (+ ipn • ra/ft),
E.26)
где рл—оператор импульса падающей частицы. Вы-
Вычислим ряд E.23), учитывая приближение E.25) и со-
соотношение E.26):
Та (?,)« ехр (- /рЛ • rjh) [ V (тп) + V (гл) Gn (*,) V (rn) +
+ V (тп) Gn (St) V (rn) Gn (gt) V(rn) + ...]exp(/pA • ra/A)=
= exp(-/pn • Гв/А)/(*,)ехр(/рл • rj*). E.27)
Здесь
1 (*<) - V (O + F (гл) Gn (St) t if%). E.28)
В полученное интегральное уравнение входят только
величины, зависящие от переменной гп падающей ча-
частицы, и не входят величины, зависящие от координат
частиц мишени, а значит, оно совпадает с рассмотрен-
рассмотренным выше уравнением рассеяния одной частицы на
потенциале V(rn). Решая его и подставляя решение
в формулу E.27), найдем приближенное выражение
для Ta(Ei). Для матричного элемента Ta(Et) E.27)
получим
- (ф (к,, Af) | ехр (- /рв • rjh) t (ff,) X
Xехр(ф„• rjh)\ф(к{, А()) = (ф(kfI1(В,)|ф(k,)>X
X(Ф(Af)|ехр(-ikt • ra)exp(ikt -га)\ф(At)). E.29)
Если энергия падающей частицы мала, то, пользуясь
формулой C.6) из гл. 2, а также формулами B.17) и
F.38) из гл. 3, можно приближенно написать
E.30)
где а —длина рассеяния падающей частицы потен-
потенциалом V(rn). Подставляя выражение E.30) в форму-

§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях 175
лу E.29), получаем следующее выражение для мат-
матричного элемента Ta(Ei):
р^а(^№) |ехр«к • Га) ЖЛ)>, F.31)
где
к = kf — kf E.32)
есть изменение импульса падающей частицы при рас-
рассеянии.
Л. Рассеяние медленных нейтронов в веществе
Хорошо известно, что для исследования атомной
структуры вещества, состоящего из огромного числа
атомов, пользуются дифракцией рентгеновских лучей,
рассеиваемых внутренними электронами атомов. Но
интенсивность такого рассеяния на атомах с малым
числом электронов, например атомах водорода, мала,
и определить положение таких атомов трудно. В то
же время медленные нейтроны от ядерного реактора,
длина волны которых одного порядка величины с дли-
длиной волны рентгеновских лучей, совершенно не взаи-
взаимодействуя с электронами, сильно взаимодействуют
с атомными ядрами. Следовательно, медленные ней-
нейтроны удобны для определения положений атомов с ма-
малым атомным номером. Применим изложенную выше
теорию к задаче о рассеянии нейтронов в веществе.
Итак, пусть падающая частица — медленный нейт-
нейтрон. В разложении E.16) второй и следующие члены
правой части учитывают многократное рассеяние ней-
нейтронов. Но если толщина мишени невелика, то эффек-
эффектом многократного рассеяния можно пренебречь. По-
Поэтому рассмотрим только первый член правой части
формулы E.16). Подставляя в него выражение E.31),
получаем
|f At)\ =
a ? <* {А*]'exp (/k ¦fo)' * (Л<})- E-33)

176 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Согласно результату, полученному нами в § 2, п. «Д»э
дифференциальное сечение, приходящееся на единич-
единичный интервал энергии рассеянного нейтрона, выразит-
выразится формулой
da (В) Г BяJт-J2 kf
~щ~=1 v J17"
X
Af,At
в которой Pi — статистический вес распределения на-
начальных состояний мишени. Подставляя формулу
E.33) в E.34) и записывая б-функцию в формуле
E.34) в виде интеграла Фурье, получаем
ОО
х Z
Это выражение преобразуем следующим образом:
а, 3 Л^, Л?
X # (Af) | ехр (/Я^/А) ехр (/к. гр) ехр (- ШАЦП) \ ф (А{)).
«p[-ft.re @)]exp[ft

§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях 177
X ? «ехр [- /к • га (9)] ехр [flc • гр (<)]». E.35)
При выводе формулы E.35) нужно воспользоваться
соотношением полноты волновых функций мишени
и принять, что при рассеянии энергия нейтрона изме-
изменяется на величину
Йсо = ^ — gf9 E.36)
Величина гр (*) в формуле E.35) — гейзенберговский
оператор:
гэ (/) = ехр (iHAi/ft) гэ ехр (- iHAt/h)9 E.37)
а га@) = га. Гейзенберговские операторы выражают
механические свойства мишени. Наконец, двойные уг-
угловые скобки « » в формуле E.35) обозначают ста-
статистическое усреднение по мишени.
Формулу E.35) можно переписать в виде
E.38)
X ? «ехр {- /к • г0 @)} ехр {/к . гр (/)}». E.39)
Выражение E.38) называют формулой Ван-Хова, а
величину S(k, со) — динамическим структурным факто-
фактором. Измеряя экспериментально дифференциальное
сечение, входящее в правую часть формулы E.38),
можно находить величину S(k, со) и тем самым выяс-
выяснить структуру пространственного и временного рас-
распределения атомов в веществе мишени. Поэтому фор-
формула E.38) — основа метода исследования атомной

178 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
структуры тел по рассеянию нейтронов. Выражение
E.39) можно переписать иначе:
S (к, ю) —sir S л ехР <~ ш) \ dh ехР (- * • г) G (г, 0.
E.40)
а,0
E.41)
Величину О (г, 0 называют пространственно-времен-
пространственно-временной парнокорреляционной функцией. Заметим, что
G(r, t) — не действительная величина, так как опера-
операторы га@) и г^Ц) в формуле E.41), вообще говоря,
не коммутируют. Но если мишень можно считать
классической системой, то га@) и r$(t) будут с-чис-
лами, и тогда величина
0{с) (г. 0 —у Е «* (г - [гр @ - f» @)] )))# E.42)
а, &
будет действительной. Она равна вероятности того,
что расстояние между положением атома в момент
t = 0 и его положением в момент t есть г. Выражение
E.41) можно разбить на два слагаемых:
О (г, t) = Gs(r, t) + Gd(r, 0, E.43)
где
(г, 0 = 4-2 «б (г ~ f/ +
а
(г, 0 = y Е «б (г - г' + г« @» б ^ ^ h (О)»- E.45)
Величину Gs(r,/) называют автокорреляционной, а
величину Gd(rtt) —кросс-корреляционной функцией.
Первая учитывает корреляцию в положениях одной и
той же частицы в разные моменты времени, а вто-
вторая — корреляцию пар разных частиц. Рассмотрим
для примера идеальный газ из N атомов и рассчитаем

§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях 179
для него сечение рассеяния медленных нейтронов.
В идеальном газе все частицы движутся независимо
друг от друга (парная корреляция между частицами
отсутствует), а поэтому в формуле E.43) можно огра-
ограничиться вычислением автокорреляционной функции.
В рассматриваемом случае формула E.39) дает
X ? «ехр {/к • га @)} ехр {- ik . га (/)}». E.46)
Поскольку атомы газа движутся свободно, решение
гейзенберговского уравнения движения
^-Т [Яд, г. «I
имеет вид
r«@-re@) + -^pe@)f, E.47)
где М — масса мишени, а ра@)—оператор импуль-
импульса частицы в момент t = 0. Если коммутатор двух
произвольных операторов А и В есть с-число, то спра-
справедливо равенство
ехр (А) ехр (В) = ехр { А + В + 1 [Л, В]}. E.48)
Согласно формуле E.47), в нашем случае
МО), гв(/)]—ff [r@)f pe@)l—g-/, E.49)
ввиду чего к произведению экспонент в формуле
E.46) можно применить соотношение E.48):
ехр{А.гв@)}ехр.{-Л.гв@}-
.re(O)fk.re(O]}-
E.50)

180 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Подставив полученный результат в формулу E.46),
приведем его к виду
(ра) |в(со-йк2/2М-ра • к/М)|*(ра)>
E.51)
где р = (kT)~l, Г — абсолютная температура, k — по-
постоянная Больцмана и учтена тождественность всех
N атомов газа. Интеграл E.51) легко берется, и ре-
результат имеет вид
?{BK?)"} <8-52>
Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния
дается формулой
E.53)
Б. Оптическая модель
Рассматривая столкновения нейтронов с ядрами,
действие ядра на нейтрон можно приближенно опи-
описать потенциалом, отличным от нуля в области, зани-
занимаемой ядром. Такую модель ядра называют оптиче-
оптической моделью, а соответствующий потенциал — опти-
оптическим потенциалом. Дадим вывод оптического по-
потенциала, рассматривая ядро как систему многих тел
(нуклонов) и основываясь на представлении о много-
многократном упругом рассеянии нейтронов внутренними
нуклонами ядра.
Для решения задачи о многократном рассеянии
нужно, решив систему N уравнений E.20), найти

§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях 181
Qa (E{) и подставить полученный результат в формулу
E.21). Мы применим здесь приближенный метод. Пе«
репишем формулу E.22) для U(Ei) в виде
E.64)
Учитывая, что число нуклонов внутри ядра велико,
пренебрежем вторым членом в выражении E.54) по
сравнению со всей суммой при р ф а. Такое прибли-
приближение называют оптическим приближением. В опти-
оптическом приближении можно считать, что величина
U(Ei) [формула E.54)] совпадает с величиной
&a(Ei) [формула E.20)]:
Qa (Я*) «?/(?,). E.55)
Тогда формулу E.22) можно записать в виде
U (Et) = 1 + Go (Et) Г ? Та (ЕМ U (Et). E.56)
LBce a J
Сравнивая полученное уравнение с выражением
E.17) > переписанным в виде интегрального уравнения
1 +Goto) W/(?,), E.57)
получим для оптического потенциала Vom выражение
? Ta(Et). E.58)
все a
Если энергия падающего нейтрона мала, то с учетом
соотношения E.30) имеем
<* (kf) I / (&,) I ф (к,)> - -^ а. F.59)
Пользуясь формулами (б.б), представим соотноше-
соотношение E.59) в виде
-JL- \ dhn exp Ц (к, - к,) • rn} t(*,) = -j^- a, E.60)
откуда вытекает выражение для t{<?i)\
). E.61)

182 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Подставляя его в формулу E.27), получаем
Та (?,) = ехр (- /рЛ • rjh) t (#,) exp (ipn - rjh) =
(^ /ря. rjhN*(rn)exp(ipn . rjft)-
E.62)
Тогда, согласно формуле E.58),
N
Vom (tn) - ^ a 2 б3 (гя - Го). E.63)
a-l
Пользуясь выражением
N
a-l
для распределения плотности внутри ядра, придем к
окончательной формуле для оптического потенциала:
^ E.65)
Согласно этой формуле, ядро воспринимается нейт-
нейтроном как потенциал, отличный от нуля в пределах
ядра. В принятом нами приближении длина рассеяния
E.59) действительна, но если энергия нейтрона не-
несколько возрастет, то матричный элемент t{&i), вооб-
вообще говоря, становится комплексным. Тогда оптический
потенциал приобретает мнимую часть, описывающую
процессы поглощения (ядерные реакции).
§ 6. Резонансное рассеяние
В гл. 3, § 6 мы рассмотрели резонансное рассеяние
на прямоугольной потенциальной яме в случае S-вол-
ны. Рассмотрим теперь несколько более общий подход
к этому явлению. Гамильтониан системы запишем
в виде
tf*=/fo+V, F.1)

§ 6. Резонансное рассеяние 183
где Но — сумма гамильтонианов падающей частицы и
мишени, а V — потенциал взаимодействия между
ними. Тогда начальное состояние дается собственными
функциями гамильтониана Яо:
F.2)
имеющими вид
Ф(кЛ)-^ехр№ ч-)Фв(«*)> F.3)
где фв(а0 —связанное состояние мишени. Кроме со-
состояний гамильтониана Но вида F.3), могут сущест-
существовать еще состояния Ф@, аг), в которых падаюшая
частица поглощена мишенью. Предположим, что эти
состояния удовлетворяют уравнению
г), F.4)
а собственные значения энергии в них — положитель-
положительные дискретные величины. Эти состояния должны
быть ортогональны состояниям F.3):
<Ф(кя>ая)|Ф@,аг)> = 0. F.5)
При рассеянии на потенциальной яме состояниям
F.4) соответствовали метастабильные состояния и
соотношение ортогональности не выполнялось строго.
В случае же падающих частиц, которые могут рож-
рождаться и аннигилировать, например фотонов или п-
мезонов, соотношение F.5) точное. Плоскую волну в
формуле F.3) будем интерпретировать как волновую
функцию падающей частицы, волновую функцию свя-
связанного состояния q>fl(a*)—как волновую функцию
внутренних электронов атомов, а волновую функцию
Ф@, аг) — как волновую функцию электронов, пере-
перешедших в возбужденное состояние после поглощения
фотона.
Согласно формулам E.6) и E.7) предыдущего па-
параграфа, можно написать
T(Ei)=V+VG0(Ei)T(Ei), F.6)

184 Гл. 4. Нестационарная теория рассеяния
Формальное решение уравнения F.6) имеет вид
<б-8>
Подставив его в правую часть уравнения F.6), полу-
получим
Т (?,) - V + VG0 (Et) x_vGom V. F.9)
Сделаем предположения о величине матричных эле-»
ментов взаимодействия V. Будем считать, что матрич*
ный элемент
(г\У\кп,ап)^(Ф(О,а,)\У\Ф(кп,ап))
есть величина первого порядка малости по константе
взаимодействия, а матричный элемент
есть величина второго порядка малости. Примем так-
также что
<г|У|г)^Ф@,аг)|У|Ф@,аг)) = 0. F.10)
Высказанные предположения равносильны требова-
требованию, чтобы члены в гамильтониане взаимодействия V
имели первый порядок по константе связи, если они
содержат один оператор рождения и поглощения фо-
фотона, и второй порядок, если они содержат два таких
оператора.
Исходя из сделанных предположений, вычислим при-
приближенно матричный элемент F.9). Предполагая, что
существует только одно состояние Ф@, ar), удовлет-
удовлетворяющее уравнению F.4), напишем приближенно
(к,, о, | Т (?,) | М,> »(kf, a, I V (Et) | M,>
k)i frl
F.11)

§ 6. Резонансное рассеяние 185
Кроме того, примем следующее приближенное выра-
выражение:
<rllr>
(r\[l + VGo(Ei)+VGQ(Ei)VGo(Ei)+ ...]|г>»1 +
(r\VG0(Ei)V\r) ?<,jf + /8 +{г\УО0(Ей)У\г)Х
F.12)
при выводе которого нужно воспользоваться тем, что,
согласно условию F.10), вклад членов нечетного по-
порядка по V равен нулю. Ряд F.12) можно просумми-
просуммировать:
fr'dtf)|r>»
Подставив выражение F.13) в формулу F.11), полу-
получим
<к„ щ \T(Et)\kh at) = <kf, at
Бели энергия начального состояния ?* очень близка к
энергии резонанса Ег, то можно принять
(r\VGo(Et)V\r)&(r \VG0(Er)V\r). F.15)
Пользуясь соотношением г)
-PMM. F.16)
1) Справедливость соотношения F.16) можно показать еле*
дующим образом. Преобразуем левую часть равенства F.16):
1 х «в
х + /е х2 + г2 х2 + е2 #
Первый член правой части последнего равенства дает
Следовательно, для функции, не имеющей особенностей в начале

186 /"л. 4. Нестационарная теория рассеяния
преобразуем выражение F.15) к виду
(r\VG0(Er)V\r) = (r\V Er__^ + ieV\r) =
^). FЛ7)
Символ Р в формулах F.16) и F.17) означает, что
интеграл берется в смысле главного значения Коши.
Вводя в формулу F.17) полную систему функций
{Ф(кл, art), Ф@, ctr)} и принимая во внимание усло-
условие F.10), получаем
-inYb(Er-En)\{kn,*n\V\r)?. F.1$)
п
Первый член в правой части этого равенства дает
сдвиг собственного значения энергии резонансного со-
состояния за счет взаимодействия V [на языке кванто-
координат, имеем
Предел этого выражения — интеграл Коши в смысле главного
значения. Второй член правой части полученного выше равенства
в пределе при е -*- 0 дает
( О при хфО,
ton / 2» 1
e+о х +е (Т = оо при х«0.
Эта величина расходится в начале координат, а в остальных точ-
точках равна нулю, т.е. имеет свойства б-функции. Следовательно,
оо оо
С « Го
lim \
— 00
я/@) = я \ i(x)f(x)dx.
— 00 —00
00

§ 6. Резонансное рассеяние 187
вой теории поля это — собственная энергия электрона
в состоянии Ф@, аг)]. Поэтому
Второе слагаемое в выражении F.18) можно связать
с суммой вероятностей перехода (ЗЛ) по всем воз-
возможным конечным состояниям:
>1г- F.20)
Иначе говоря, F.20) — полная вероятность испуска-
испускания в единицу времени частицы с импульсом кп при
распаде резонансного состояния Ф@,от), вычислен-
вычисленная в борновском приближении. Поэтому, положив
Tr = bZwn.» F.21)
п
выражение F.18) можно переписать в виде
(r\VGo(Er)V\r) = bEr-±T,. F.22)
Подставляя этот матричный элемент в формулу
F.14), получаем
{kfaf\T(Et)\kiat) =
с учетом формулы B.80) придем к следующему выра-
выражению для дифференциального сечения:
+ /Гг/2
Сравнивая лолученный результат с формулой F.59)
из гл. 3, видим, что первый член под знаком абсолют-
абсолютного значения учитывает потенциальное, а второй —
резонансное рассеяние»

Глава 5
Теория рассеяния в системе трех тел
§ 1. Проблемы теории рассеяния
с перегруппировкой частиц
В теории, изложенной в гл. 4, мы считали, что раз-
разбиение полного гамильтониана системы частиц на два
слагаемых
H = H0+V A.1)
не изменяется в ходе рассеяния: от момента t = — oo
до момента t = +oo взаимодействие все время рав-
равно V, и в моменты t = ±oo система оказывается в
собственных состояниях Ф^ одного и того же гамиль-
гамильтониана #о, образующих полную ортонормированную
систему функций. Но, например, в случае системы
трех различимых частиц, полный гамильтониан кото-
которой записывается в виде
t+Vv+Vn+Vbu A.2)
ситуация усложняется и простые соображения, выска-
высказанные выше, становятся непригодными. В формуле
A.2) Кг, #2 — операторы кинетической энергии трех
частиц, a Vit / — потенциалы взаимодействия частицы I
с частицей /.
Пусть в начальном состоянии первая и вторая ча-
частицы, взаимодействующие с потенциалом V^, обра-
образуют связанное состояние и с ним сталкивается третья
частица. Тогда полный гамильтониан нужно разбить
по схеме
Я - [(Кг + Кш + Vl2) + Kz] + [V2Z + V3l] A.3)
и начальное состояние выразится собственными функ-
функциями <D/L), удовлетворяющими уравнению
К* 1 + *2 + VX2) + Кг] <№ тш EML\ A.4)

§ 1. Проблемы теории рассеяния с перегруппировкой частиц 189
Далее, пусть в конечном состоянии частица 1 свобод-
свободна, а частицы 2 и 3, взаимодействующие с потенциа-
потенциалом Угз, объединены в связанное состояние. Тогда в
конечном состоянии полный гамильтониан разбивает*
ся по схеме
И - [Кг + (К* + К3+ V2Z)] + [Vl2+ Veil A.6)
и волновые функции конечного состояния ф\1) удовлет-
удовлетворяют уравнению
[Кг + (К2 + К2+ V23)] O\L) - EflP. A.6)
Такое рассеяние, в ходе которого изменяется гамиль*
тониан, определяющий состояние, называют рассея-
рассеянием с перегруппировкой частиц. В случае системы,
образованной более чем тремя частицами, гамильто-
ниан Н можно разбить разными способами, напри-
например такими:
H = Ha+Va = Hb+Vb = Hc+Vc= ... . A.7)
Соответственно этому начальное и конечное состояния
могут определяться как собственные состояния га-
гамильтонианов На, Нь> Нс и т. д.
Как приспособить теорию гл. 4 к описанию подоб-
подобных ситуаций? Посмотрим, в чем суть теории, приме-
применявшейся нами до сих пор. Пусть начальное состоя-
состояние Ф^ — собственное состояние гамильтониана На:
На<№=*ЕаФ%\ A.8)
а дифференциальное уравнение Шредингера полной
системы имеет вид
A.9)
Соответствующее интегральное уравнение, учитываю-
учитывающее расходящуюся волну в асимптотике, имеет вид
Аналогично, если конечное состояние ф\1) — решение
уравнения
ML) ML) (l.li)

190 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
то можно написать
С учетом формулы B.28) из гл. 2 формальные реше-
решения интегральных уравнений A.10) и A.12) прини-
принимают вид
ЧР-ФУ+ Ea_lH + iBVM\ A.13)
f* ?> Х № A.14)
Заменяя в формуле A.13) индекс а индексом Ь и вы-
вычитая получившееся выражение из A.14), получаем
2я/б (ЕЬ - Ю УъФ?. A.15)
Обобщая формулу B.62) гл. 4 для 5-матрицы, вве-
введем S-матрицу рассеяния с перегруппировкой частиц:
^-^ 0.16)
Переписав выражение (l.lbj с учетом формулы A.15)
и исключив vi"""*, придем к обобщению формулы B.61)
4
из гл. 4:
Sb$ а = (w{b+) + 2я/б (Еь
- 2я/ <O(&L) | Vbb {Еь - Н) | wL+)> -
= вв| » - 2я/б (?6 - Еа) Ы1) I П | ^(в+)). A.17)
Если же заменить в формуле A.15) индекс Ь ин-
индексом а и исключить из выражения A.16) ЧРа+), то мы
придем к выражению
Sh% а - во. 6 - 2Я/6 (?, - Яо) (^ | Va | Ф(а?)>. A.18)
К этому и сводится сущность применявшейся нами
до сих пор теории. Рассмотрим ее затруднения. Пер-
Первое затруднение такое. В формуле A.17) принято, что
)-*, . A.19)

§ 1. Проблемы теории рассеяния с перегруппировкой частиц 191
Верно ли это соотношение нормированности? В гл. 4
[формула B.44)] доказано, что в пределе при L-*-oo
выполняется соотношение
W* | *Р*> - <Фр» I Of) - в,. /, A.20)
на основе которого там доказана унитарность S-мат-
рицы и оптическая теорема. Но в гл. 4 обе функции
©iL) и <X>/L) были собственными функциями гамильто-
гамильтониана Но, а потому второе равенство формулы A.20)
было естественным. Здесь же Ф{а] — собственная
функция гамильтониана На, а Ф^ — собственная
функция гамильтониана #&. Вообще говоря, собст-
собственные функции разных гамильтонианов не ортого-
ортогональны друг другу. Таким образом, в отличие от фор-
формулы A.20) в данном случае, вообще говоря,
Но, может быть, все-таки есть какие-то основания для
соотношения A.19)? С физической точки зрения оно
представляется верным. В самом деле, пусть, напри-
например, в одном конечном состоянии Ф(а] частица L сво-
свободна, а частица 2 и 3 связаны, а в другом конечном
состоянии Ф{а]все три частицы свободны (не взаимо-
взаимодействуют друг с другом). Эти два конечных состоя-
состояния мож1но различить экспериментально, а следова-
следовательно, ойи должны быть ортогональны друг другу.
Нельзя ли поэтому доказать соотношение A.19), при-
применив без изменений метод гл. 4, § 2, п. «В»? Формулу
A.13) можно переписать в виде выражения
+ <я
пользуясь которым и действуя так же, как при выводе
формулы B.36) в гл. 4, получаем
i )Г.
A.23)

192 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Подставив в правую часть этого равенства решение
уравнения Липпмана — Швингера A.13), придем к
выражению
4
о-24)
Наиболее существенный пувкт доказательства орто-
нормированности состояний рассеяния в гл. 4, § 2,
1
Фиг. 39. Система трех тел, в которой третья частица неподвижна.
п. «В» состоял в том, что остальные члены правой части
были более высокого порядка малости по L, чем
первый член б/, /, и, следовательно, исчезали в пределе
при L -> оо. Будут ли второй и следующие члвды пра-
правой части формулы A.24) более высокого порядка ма-
малости по L", чем первый член? Чтобы выяснить это,
рассмотрим простой пример. Примем, как показано на
фиг. 39, что маоса третьей частицы бесконечно велика
и она покоится. Взяв положение третьей частицы за
начало отсчета, представим гамильтониан системы в
виде
Я - Кг + *2 + Vx (г,) + V2 (г2) + Vl2 (г, - г2). A.25)
Пусть все потенциалы отличны от нуля в областях
размером порядка а3. Далее, пусть в состоянии Ф^
частица 1 свободна, а частица 2 связана около начала

§ 1. Проблемы теории рассеяния с перегруппировкой частиц 193
координат 3 потенциалом V2. Тогда гамильтониан Н
нужно разбить по схеме
а волновая функция Ф^ примет вид
?^ г,)^(гЛ A.27)
где ^в(г2) —волновая функция связанного состояния
второй частицы, отличная от нуля в области поряд-
порядка а3 и нормированная (по порядку величины) в со-»
ответствии с соотношением |^в|2а3= 1. Пусть, далее,
в состоянии Ф{ь] первая и вторая частицы находятся
далеко как от третьей частицы, так и друг от друга.
Тогда гамильтониан Н разбивается по схеме
Нь - Кг + К* Vb = Vx + V2 + V* A.28)
и волновая функция O&L) дается выражением
ФР
Согласно формулам A.27) и A.29), в этом случае
A.30)
С другой стороны, например, третий член правой чао
ти формулы A.24) можно преобразовать к виду
В первом члене этого выражения оценим слагаемое,
отвечающее потенциалу V2 [напомним, что, согласно
формуле A.28), Vb = Vi + V2+Vi2]. При Еа = Еь
получим
X J rf3r2 exp (- /k2 • r2) V2 (r2) фв (Га)~ -^ д/|Г. A -31)
7 Зак. 1271

104 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
где Vo— амплитуда потенциала V2. Учитывая соотно-
соотношение с «в bvo/L, видим, что член A.31) более низкого
порядка по L, чем член A.30). Таким образом, мы
показали, что третий член в выражении A.24) в це-
целом более низкого порядка малости по L-1, чем пер-
первый член. Ситуация еще более обостряется, если
учесть вклад остальных слагаемых третьего члена
A.24). Таким образом, формулу A.20) нельзя дока-
доказать, применяя метод гл. 4, § 2, п. «В». Это — первое
затруднение теории рассеяния с перегруппировкой
частиц.
Второе затруднение связано с вопросом об инте-
интегральном уравнении Липпмана — Швингера A.10).
Обозначим совокупность переменных, указывающих
положение частиц системы, символом ?. В случае си-
системы трех тел |—это совокупность векторов п, Гг,
и г3. Тогда можно выполнить следующее преобразова-
преобразование уравнения A.10):
V
X Va (SO ^+) F0 di' - O(i° (I) +
В третьем равенстве формулы A.32) введена полная
система собственных функций {Ф^} гамильтониана
На. Последняя из формул A.32) показывает^ что амп-
амплитуда рассеяния, отвечающая этому интегральному
уравнению, содержит только члены типа
WlVaW") A.33)
(в качестве конечных состояний разрешены только
собственные состояния оператора Яа). Таким образом,
если оператор На определен, например, формулой

§ 1. Проблемы теории рассеяния с перегруппировкой частиц 195
A.4) (содержит только взаимодействие V12), то в ка-
качестве конечных состояний разрешены лишь связан-
связанные состояния первой и второй частицы и состояния
рассеяния в потенциале V\b а, скажем, связанные со-
состояния первой (или второй) частицы с третьей ни
в коем случае не могут появиться. Но если бы инте*
гральное уравнение правильно описывало переходы в
любые физически возможные состояния, то, естествен-
естественно, должны были бы появляться также и конечные
состояния, в которых первая (или вторая) частица
связана с третьей. Следовательно, уравнение Липпма-
на —Швингера A.10) неправильно учитывает асимп-
асимптотические граничные условия рассеяния.
Интегральное уравнение A.10) неудовлетворитель-
неудовлетворительно также в следующем отношении. Рассмотрим два
интегральных уравнения
Егнь + 1г A.35)
Пользуясь тождеством
Ei-H + ie ~ Ei-Ha+ie L ^ a Ei-H + ie ]'
формальное решение
уравнения A.35) можно преобразовать следующим
образом:
Можно доказать, что в общем случае, когда а Ф 6, в
пределе при е -> 0 первый член последнего выражения
7*

196 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
в формуле A.36) обращается в нуль. Следовательно,
в указанном пределе уравнение A.36) превращается
в однородное интегральное уравнение
Ei-Ha + u
Поэтому линейная комбинация решения Чгд+) уравне-
уравнения A.34) и решения Ч^ уравнения A.37)
A.38)
тоже будет решением уравнения A.34). Здесь р —
произвольная постоянная, короче говоря, решение
уравнения A.34) определено неоднозначно. Но так
как интегральное уравнение эквивалентно граничной
задаче для дифференциального уравнения, то по сути
дела его решение должно быть определено однознач*
но. Если же это не так, то интегральное уравнение
A.34) не корректно с математической точки зрения.
Причина возникновения такой ситуации будет ука-
указана ниже.
Итак, формальная теория рассеяния с перегруппи-
перегруппировкой частиц встречается со многими неясностями,
т. е. неудовлетворительна. Ее нужно перестроить так,
чтобы устранить отмеченные противоречия и неяс-
неясности. Для простоты ограничимся случаем трех ча-
частиц.
§ 2. V-координаты')
Начнем с первого затруднения теории рассеяния с
перегруппировкой частиц (проблема ортогональности
состояний рассеяния). Пусть в начальном (или в ко-
конечном) состоянии системы трех частиц частица 1
движется свободно, а частицы 2 и 3 образуют связан-
связанное состояние. Обозначим такое состояние системы
*) По-видимому, символ V введен в название этих координат
потому, что ориентированный граф радиус-векторов в данном
случае напоминает латинскую букву V. Граф радиус-вектооов
для этого случая показан на фиг. 4\,а. — Прим. перге.

§ 2. V-координаты 197
трех частиц цифрами
Состояние же, в котором все три частицы свободны,
обозначим цифрами
1 + 2 + 3.
Эти два начальных (или конечных) состояния отли*
чаются одно от другого (их можно различить экспери-
экспериментально). Будем считать, что они относятся к раз-
разным процессам рассеяния, которые назовем каналами.
Тогда для системы трех частиц возможны следующие
четыре канала:
канал А: 1 + B + 3), канал В: 2 + A + 3),
канал С: 1 + 2 + 3, канал D: A + 2) + 3. ^2Л^
Связанное состояние всех трех частиц A+2 + 3) не
может быть взято в качестве начального состояния
рассеяния, а в качестве конечного состояния оно за-
запрещено законами сохранения энергии и импульса.
Волновая функция связанного состояния B + 3)
носле исключения движения центра масс зависит от
вектора относительного расстояния этих двух частиц
Ггз и записывается в виде фв(ггз). Когда же частицы
2 и 3 свободны, волновая функция их относительного
движения имеет вид плоской волны L-8/2exp(/k23#
• г2з). Очевидно, что в волновой функции фв(г2з) учтен
эффект взаимодействия Угз, а в плоской волне взаи-
взаимодействие не учтено, ввиду чего эти два состояния не
ортогональны. Но если вместо плоских волн взять
волновые функции ср(±)(г2з) состояний рассеяния в по-
потенциале V23> то они будут ортогональны волновой
функции фа(г2з). Ибо это — связанное состояние и
состояния непрерывного спектра для одного и того
же гамильтониана, ортогональные вследствие того, что
отвечающие им собственные значения энергии раз-
различны. Следовательно, в § 1 мы неправильно выби-
выбирали взаимодействия в раэных каналах, что и внесло
в теорию элемент неясности. Чтобы правильно распо-
распорядиться с взаимодействием, приходится ввести спе-
специальную систему координат, к рассмотрению которой
мы и переходим.

198 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
А. V-координаты и асимптотические состояния
Назовем V-координатами такую систему коорди-
координат, в которой за начало отсчета берется положение
третьей частицы. При этом движение частиц 1 и 2 рас-
рассматривается с точки зрения частицы 3. Система К-
координат показана на фиг. 40. Вместо радиус-векто-
радиус-векторов трех частиц г^ г2, г3, определенных относительно
Фиг. 40. У-координаты.
начала отсчета О, в системе V-координат мы поль«
зуемся радиус-векторами г<?, ria и г2з. Величины г0,
ri3 и Ггз определены формулами
г^г.-гз, B.2)
г23=г2 — тъ>
где го — радиус-вектор центра масс трех частиц, а
Г1з и г2з — радиус-векторы положения частиц 1 и 2 от-
относительно частицы 3. Вместо положения частицы 3
за начало отсчета можно было бы взять также поло-
положение частицы 1 (или 2). Соотношения между им-
импульсами pi, р2, рз, канонически сопряженными коор-
координатам гь г2, г3, и импульсами ро, pi3, ргз, канони-
канонически сопряженными координатам Го, Пз, г2з, таковы:
Ро = Pi + р2 + Рз»
Р1-^Р2---^Рз, B.3)

§ 2. V-координаты 199
Их легко вывести, пользуясь методом гл. 2, § 1. Под-
Подставив выражения B.3) в полный гамильтониан си-
системы трех частиц
+ Vl3 (r13) + Кгз (Ггз) + Vl2 (г12), B.4)
получим
+ К13 (Г13) + V23 (г23) + Vn (r12), B.5)
где г12 ^ Из — Г2з и
it тхтъ т%тъ
Первый член выражения B.5) дает энергию движе-
ния центра масс всей системы. Отделяя его, запишем
оставшийся гамильтониан в виде
Первый и второй члены формулы B.7) дают энергию
движения первой и второй частицы относительно
третьей частицы, а третий член дает энергию взаимо-
взаимодействия первой и второй частиц. Слагаемое
mf1Pi3# Ргз третьего члена соответствует непрямому
взаимодействию первой и второй частиц через третью
частицу. В самом деле, даже если бы между частица-
частицами 1 и 2 и не было прямого вааимодействия V\2X они
все равно могли бы взаимодействовать непрямым об-
образом через частицу 3, например так: частица 1,
сталкиваясь с частицей 3, вносит изменение в ее дви-
движение, что влияет на движение частицы 2. Взаимо-
Взаимодействие т?1рхз • р^ и учитывает такой эффект. Не-
Непрямое взаимодействие исчезает в пределе при
тз-*оо, как и должно было бы быть. Но в теории
рассеяния его нельзя ставить в ряд с потенциалом
взаимодействия, так как непрямое взаимодействие не
исчезает, когда три частицы далеки друг от друга,

200 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Для устранения непрямого взаимодействия произ-
произведем унитарное преобразование
г13 =з ехр (iX) Г13 ехр (— iX) = г13 ch a + г23 • sh а,
г23 S3 ехр (iX) г23 ехр (— iX) — г23 ch а + г!3 sh а,
Р1з в ехр (IX) р13 ехр (— /X) = р13 ch а — р23 sh а, B.8)
р23 нз ехр (iX) р23 ехр (— IX) = р23 ch а — р13 sh а,
р0 н ехр (IX) р0 ехр (— iX) = р0,
в котором X — оператор вида
X = а (р13 • г23 + р23 • г13), B.9)
а параметр а дается выражением
th2a = 2 ms ^^+V23) К lf BЛ0)
После преобразования B.8) гамильтониан B.7) при-
принимает вид
Н 35 ехр (iX) Нс ехр (- IX) —
где
Р3 Ml ttl2 ^3 *-» -лу
11 1 1 BЛ2)
-=— = — sh2 a -\ ch2 a -\ (ch a — sh aJ
и _ _ _
Г12 = Г13 — Г23 = в~аГ12. B.13)
В гамильтониане B.11) в отличие от гамильтониана
B.7) все слагаемые взаимодействия обращаются в
нуль, когда расстояния между частицами велики. Сле-
Следовательно, этот гамильтониан пригоден для построе-
построения теории рассеяния. Разобьем гамильтониан B.11)
на два слагаемых:
Я = Яо+^, B.14)
где
#0 - 1*18 + V,d + IKn + V23],
iw __ гтг т/ l i г77 лт л I Г? * •юм

§ 2. V-координаты 201
причем
л 13 ШЛ Д^Г р13
Vis (Па) = VI3 (r13 ch a + r23 sh а), B.16)
V23 (Г2з) = V23 (Г23 ch а + г13 sh а),
Если, исходя из гамильтониана B.14), считать, что
состояние в момент / = ±оо дается собственной функ-
функцией оператора B.15), а рассеяние обусловлено чле-
членом W, то теорию рассеяния можно построить почти
в полной параллели с гл. 2. Собственные функции сво-
свободного гамильтониана Но B.15) ниже будем назы-
называть асимптотическими состояниями. С их помощью
можно определить каналы рассеяния. Тогда вместо
обозначений B.1) для этих каналов можно принять
обозначения
канал Л: 1 + C + 2), канал В: 2 + C + 1),
¦-Г-4 " B.17)
канал С: 1+3 + 2, канал D: A +2) + 3.
s s s
Их смысл таков. Например, C + 2) так же, как и
выше, означает связанное состояние с потенциалом
взаимодействия У2з, а 1 + 3 — состояние рассеяния
частицы 1 относительно частицы 3 в потенциале взаи-
взаимодействия Viz-
Исходя из выражения B.15), для гамильтониана
Но и обозначений B.17) запишем асимптотические
состояния <р<Р в канале А в виде
B-18)
где ф^3 (9) — волновая функция связанного состояния
в потенциале ]/%ъ> удовлетворяющая уравнению
<0> B.19)

202 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
а ф^ (Я) — волновая функция состояния рассеяния,
которая дается выражением
VH?(*) Е > 0,
B.20)
где и^ (?) — плоская волна, удовлетворяющая урав-
уравнению
B.21)
«J?(?)—^reip (ft. г„). B.22)
Построенная таким образом волновая функция B.18),
разумеется, является собственной функцией в кана-
канале А
аде.-адл- <2-23>
Аналогично, асимптотические состояния в каналах В
и С даются выражениями
Волновые функции q>f3 и ф^ с помощью который
выше построены асимптотические состояния, — это
волновые функции, первая — связанного состояния,
а вторая — состояния рассеяния в задаче одного тела
с потенциалом V\z- Следовательно, собственные функ-
функции связанных состояний qpf3, принадлежащие разным
собственным значениям, ортогональны друг другу.
Кроме того, связанные состояния ф^ ортогональны
состояниям рассеяния ф^, так как им отвечают раз*
ные собственные значения энергии. Доказательство
ортогональности состояний рассеяния ф^ в пределе
?->оо дано в гл. 4 [формула B.44)]. Аналогичные
утверждения справедливы также и для волновых
функций фЦр ф^, из которых строится еще одно
асимптотическое состояние. Следовательно, асимпто-
асимптотические состояния в каналах А, В, С ортонормиро*
ваны:
> = 6Af.A.* M,N~A,B,C. B.25)

§ 2. V-координаты 203
Асимптотические состояния в канале D имеют другой
смысл. В самом деле, в свободный гамильтониан Яо
не входит взаимодействие Vn или Pi2, с помощью ко-
которого образуется овязанное состояние первой и вто-
второй частиц. Ограничимся здесь указанием, что асимп-
асимптотические состояния yD, n в канале D определяются
решениями интегрального уравнения
(#13 + #23 + Vi2) фд, п = EnyDt n. B.26)
Б. Состояния рассеяния и волновой оператор
Асимптотические состояния в каналах Л, В и С —
собственные состояния оператора Яо. Поэтому состоя*
ния рассеяния Wiv^, выводимые с помощью взаимо-
взаимодействия W из этих асимптотических состояний qpjf^,
так же, как и в гл. 4, определяются формулой
Ч?Шп - U (W; 0, =F оо) ф(=ь>п. B.27)
Входящий сюда волновой оператор U(W;0,Too)
можно определить выражениями, аналогичными фор-
формулам B.13) и B.14) из гл. 4:
о
U(W;0, TooJssl-i. J^exp(-e|/|/ft)f/(lF;O, t)W(t),
ЗГоО
B.28)
U(W; ±oo, 0)sl+1 J dtexp(-e\t \/h)W(t)U(W; t, 0).
Здесь
U (W; t, П = exp (Шф) exp {- /Я (/ - t')/h} X
ХехР(Ш//А),
IF @ — exp (IHot/h) W exp (- /Я^/Й). l J
При выводе соотношений B.29) нужно действовать
так же, как и в гл. 4: рассмотреть представление
взаимодействия, в котором роль свободного гамильто*
ниана играет Яо, а роль гамильтониана взаимодейст-
взаимодействия — W. Подставляя формулы B.28) и B.29) в
B.27) и интегрируя по времени, получаем

204 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Очевидно, что волновая функция состояния рассеяния
Ч^л удовлетворяет уравнению Липпмана — Швин-
гера
^^ B-3D
Формулу B.30) можно также представить в виде
Все эти формулы аналогичны формулам гл. 4.
Докажем теперь, что волновые функции состояний
рассеяния в каналах Л, В и С удовлетворяют усло-
условиям ортонормированности A.19). Вычисляя скаляр-
скалярное произведение величин B.32), получаем
Эта формула выводится так же, как формула A.23),
Далее, пользуясь формулой B.31), получаем
№,»№>=
L
Подставив эти результаты в формулу B.33), придем к
выражению
К
К
B.34)
полностью совпадающему по форме с выражением
B.39) из гл. 4. При написании первого члена в выра*
^сении B.34) нужно воспользоваться условиями орто-
ортонормированности асимптотических состояний B.25).
Наша задача — оценить второй член этого выраже-
выражения. Согласно определению B.15), взаимодействие

§ 2. V-координаты 205
W дается формулой
W = Vl2+ F13 + V23 - К,з - V2Z. B.35)
Нужно, в частности, иметь в виду, что V\$ зависит не
только от Г1з, но и от г2з, а Р23 зависит от г2з и ri3.
Рассмотрим случай, когда М = Л, N = С. В этом
случае первый матричный элемент второго члена в
выражении B.34) имеет вид
= W ' < | WU (W; 0, - оо) | <р<+> • <р?>). B.36)
Оценим порядок малости этого матричного элемента
по малому параметру H~l)(L-*- оо), рассматривая от-
отдельные слагаемые потенциала взаимодействия W
[формула B.35)]:
B.37)
Здесь Vo — амплитуда потенциала, а3 — размер об-
области, в которой потенциал отличен от нуля, Lr*1* —
нормировочный множитель волновых функций ф^ и
q>W. Множитель arv* появился из условия нормиров-
нормировки волновой функции ф|3 связанного состояния, кото-
которое (по порядку величины) имеет вид |ф|3|2а3= 1. Из
формул B.37) видно, что даже с учетом множителя
е = hvo/Ly даваемого первым множителем второго
члена в формуле B.34), матричный элемент B.36)
имеет порядок малости самое большее Lrxi* и в пре-
пределе при L->-oo обращается в нуль. То же самое
можно сказать и о другом матричном элементе вто-
второго члена формулы B.34). Следовательно, второй
член в выражении B.34) при L-*oo обращается в
нуль и функция ^Um ортогональна функции Ч^д. То

206 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
же самое справедливо и для других скалярных про-
произведений при М ф N (все они равны нулю, а соответ-
соответствующие волновые функции ортогональны).
Несколько сложнее рассмотрение скалярного про-
произведения при М *= А и N = А (в одном и том же
канале). В этом случае матричный элемент
W. I * IПТО=№ф?, I wu (if; о, - оо) | ф(+)Ф|)
B.38)
содержит члены вида
Пз|ф?,>~П- B-39)
Пр»и Еп = Ет в формуле B.34) появляется слагаемое
вида e^Vo, расходящееся при L->oo. Для всех ос-
остальных потенциалов, слагающих взаимодействие W
(кроме потенциала —УгзЬ справедливы оценки B.37)
и опасаться нечего: с учетом результата для
U(W;0,—оо) члены самого высокого порядка, воз*
шикающие от потенциалов, отличных от —V^, стре-
стремятся к нулю при L -> оо [так же, как и в случае
B.36)]. Остается рассмотреть случай, когда в выраже-
выражении WU(W\0,— оо) формулы B.38) величина W
равна —V23. Но вклад члена —Угз с учетом оценки
B.39) равен нулю. Чтобы показать это, заменим вели-
величину W в формуле B.38) величиной —V2Z-
Еа- {(/С„ + Vl3) + (Кгъ + Vn) - Vis) + ie
B.40)
Здесь cpf3 — волновая функция связанного состояния,
удовлетворяющая, согласно формуле B.19), уравне-
уравнению
1

§ 2. V-координаты 207
#з которого ясно, что в формуле B.40)
(в данном случае энергетический знаменатель в фор-
формуле B.40) не обращается в нуль, так как &' < 0, а
собственные значения /Сгз обычно положительны и
можно принять /в = 0). Таким образом, матр>ич<ный
элемент B.38) обращается в нуль при L ->• оо. То же
верно для другого матричного элемента второго чле-
члена в выражении B.34). Не равен нулю только пер-
первый член. Следовательно, при М = А и N = A вол-
волновые функции Vjfw ортогональны и нормированы.
Совершенно то же самое можно сказать о скалярных
произведениях в других каналах (отличных от канала
М = Л, N — А). Итак, окончательно для Mf N = Л,
В, С имеем
СИ?* I V$n) = бМ, А*. д- B-43)
Пользуясь условием ортонормированности B.43),
выяоиим свойства волнового оператора U(W\ 0, Тоо)*
Рассмотрим результат действия волнового оператора
на собственную функцию оператора Яо
Фо — (PfзфS B-44)
we принадлежащую каналам Л, В, С. В состоянии
B.44) обе частицы 1 и 2 овязаны с частицей 3. Его
волновая функция — решение уравнения
"Офо, п 0*13> 1*2з) s=s -^пфо, л (^13> 1*23/ B.45)
с отрицательным собственным значением энергии Еп-
В этом случае
U(W;0, =F<
Но собственные значения полного гамильтониана Н
либо положительны и равны Es (состояния рассея-»
ния), либо отрицательны и равяы Ев (связанные со-»
стояния трех частиц). Если в формуле B.46) в каче-
качестве собственного значения оператора Я взять Е$, то

208 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Еп — Es Ф 0 и, следовательно, при е -> 0 правая часть
обращается в нуль. Отрицательные же собственные
значения энергии, отвечающие связанному состоянию
трех частиц ?в, вообще говоря, не совпадают с отри-
отрицательными собственными значениями Еп гамильто-
гамильтониана Но, так как собственные значения Ев гамиль-
гамильтониана Н получаются с учетом взаимодействия W.
Следовательно, Еп — Ев ф 0 и в пределе при е -* 0
правая часть равенства B.46) обращается в нуль,
U(W; 0, =Роо)Фо>л = 0. B.47)
С учетом определения B.27) имеем
; 0, Too)^Efl с|фШп)(фГп|, B.48)
П
а согласно формуле B.47),
0 = U (W; 0, =F оо) ? | ф0, п) (ф0> п |. B.49)
п
Складывая почленно равенства B.49) и B.48), полу-
получаем (с учетом полной системы собственных функций
гамильтониана)
к
<Ро, „> (Фо,„|]=^(W; О, Т оо). B.50)
Эрмитово сопряжение формулы B.50) дает нам
U*{W; 0, Too) = ?/(№; qFoo, 0) =

§ 2. V-координаты 209
Тогда, согласно формулам B.50) и B.51),
?/+(Г; 0, + o°)U(W; О, Т «>) =
~U(W-t =Foo, 0)U(W; О, тоо) =
Af, ЛГ-Д В, С ¦ '
тп, ix
- „ ?, сIФ*»><Ф*»I = ! " ^ IФо.п><Фо,п|- B-52)
П
Аналогичное выражение в гл. 4 [формула B.48)] рав-
равнялось единице, а в данном случае это не так. При вы-
выводе третьего из равенств B.52) надо воспользовать-
воспользоваться условием B.43). Далее,
U(W;09 Т
У I \p<±) \ /q)(±) I а)(±) \ /ш(±) I
^4, в, с'
= 1 - E I Vtfn) (CI - 11 Wo. „> <%. „ I. B.53)
n n
При выводе второго из этих равенств следует восполь-
воспользоваться ортонормированностью асимптотических со-
состояний, а при выводе последнего — условием полно-
полноты системы собственных функций {^Рд}П9 Ч^п» ^ctn»
?дп, ^о.Л гамильтониана Я, где Ч*"^ — волновая
функция состояния рассеяния в канале Z), о которой
скоро пойдет речь, а%,« — волновая функция связан-
связанного состояния трех частиц. Во всяком случае ясно,
что волновой оператор U{W\ 0, Too) не унитарен.
Формула B.43) выражает условие ортошрМ'Иро-
ванности асимптотических состояний рассеяния в ка-
каналах Л, В, С. Но будут ли волновые функции ЧГ^п
состояний рассеяния в канале D (в которых учтено
связанное состояние в потенциале F12) ортогональны
волновым функциям состояний рассеяния в других

210 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
каналах? Согласно определению B.11), волновая
функция Ч^л дается формулой
»+ (?
Еп-Н±и
B.64)
в которой фл, п — асимптотическое состояние, которое
определяется решением уравнения B.26)
Vi2) Фх>. п (Г13э Газ) — Enq>Dt n (г13, Ггз). B.55)
Волновая функция Тд;» B.54) удовлетворяет инте-
интегральному уравнению
B.56)
Чтобы представить член взаимодействия этого урав-
уравнения в виде W (таком же виде, как и в других кана-
каналах рассеяния), выполним с учетом формулы B.28)
из гл. 2 следующее преобразование:
(^ - ^ - ^) та». - ъ.
En-H0±ie [(Pl3 ~ Fl3) + Gм ~
Здесь
k Уи + V*~ ?АЪ,г B-58)

§ 2. V-координаты 211
Величину у^>п можно разложить на множители:
»- <2-59)
Чтобы выяснить свойства функции %^>Л, рассмотрим
гамильтониан
^=l^P?3 + 2jbp|3 + iP1a-P23 + Vl2(f12). B.60)
Произведем преобразование
Pl2—
эквивалентное переходу в систему центра масс первой
и второй частиц. Тогда он примет вид
пц
"D ~~ 2 (m, + m%) m, я R "^ 2m,m2 ^ + ^12 (Г1г)' B-62)
Его собственные волновые функции можно записать
в виде
h. п (*> Г1г) = uf (R» Еп ~~ s) ^2 О» B-63)
где ufM — плоская волна, удовлетворяющая уравнению
. 2 (тх + т2)
B.64)
а ^В—волновая функция связанного состояния пер-
первой и второй частиц, являющаяся решением урав-
уравнения
А + к« " *]«(г«- ^ - °> * < °- B-65)

212 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Сравнивая определения B.7), B.11) и B.60), выво«
дим соотношение
(*is + #23 + Vl2) = exp (iX) HD exp (- IX), B.66)
из которого вытекает, что асимптотическое состояние
4>о,п [формула B.55)] и функция фо, п [формула B.63)
связаны формулой
<Pz>. i» (ris, г23) = ехр {IX) Фь п (R, г12). B.67)
Поэтому величину B.59) можно вычислить следую-
следующим образом:
х t1 ~ дв-(*.» + *») +a. FlJ exp {iX) exp (~
+ Еп-к±1г <У* + Мехр(IX)X
J] exp (/JO «<« (R, E-
L
Г! - . («, + m^-T Ун (f12I +5 W " °- B-68)
L *" 2m,m2 pi2 J
При выводе последнего из равенств B.68) нужно вос-
воспользоваться тем, что ф^ — волновая функция связан-
связанного состояния, удовлетворяющая уравнению B.65).
Довольно громоздкие выкладки B.68) показывают,
что неоднородный член интегрального уравнения
B.57) равен нулю, т. е.
Таким образом, волновая функция ?дй состояния
рассеяния B.54) удовлетворяет однородному уравне-
уравнению B.69), если в качестве взаимодействия взять W,

§ 2. V-координаты 213
(так же, как в каналах рассеяния Л, В, С). Равенство
нулю неоднородного члена в уравнении B.69) озна-
означает, что волновую функцию УРд^я состояния рассея-
рассеяния нельзя построить с помощью волнового операто-
оператора, как мы делали в формуле B.27). Это естественно:
хотя волновой оператор и «строит» состояния рассея-
нйя для взаимодействия Vn, он, разумеется, не мо-
может построить связанных оостояний для этого взаи-
взаимодействия *).
Пользуясь интегральным уравнением B.69), мож-
можно доказать ортогональность волновых функций Ч^т
и 4>ffn (N = A,B,C):
1
Пользуясь формулами B.55) и B.56), можно так же,
как мы доказывали справедливость равенства B.43),
доказать, что функции W^ нормированы:
Wml^ii)-*».». B.71)
Ортонормированность асимптотических состояний
лучше всего доказывать, пользуясь соотношением
B.67):
<Ф/>. » IФ*. п) = (Фв, m I exp (- IX) ехр (И) | фОщ п) =
-<#D.«l*D.»>-*m.ii. B.72)
Заметим, что член, подобный члену B.39), здесь не
появляется, поскольку потенцилы взаимодействия V\$
и Ргз в формуле B.54) не зависят от переменных ri3
и Ггз. Итак, нами доказано, что условия ортонормиро-
ванности B.43) выполняются во всех каналах рас-
рассеяния Л, В, С и D.
Интегральные уравнения B.31) и B.69) неудов-
неудовлетворительны в том отношении, что к решению Ч^»
*) Эти связанные состояния учтены в волновой функции
состояния рассеяния в канале D. — Прим. перев.

214 Гл. б. Теория рассеяния в системе трех тел
уравнения B.31) можно добавить решение ^*
уравнения B.69), умноженное на произвольную кон-
константу C, и такая линейная комбинация
Yjfti + P^g?,» B.73)
тоже будет решением уравнения B.31). Следовательно,
решение интегрального уравнения B.31), в котором
учтены граничные условия, неоднозначно. О таком не-
недостатке интегрального уравнения Липпмана—Швин-
гера мы уже говорили в § 1. Но в излагаемой здесь тео-
теории волновая функция Wj^» определяется не реше-
решением интегрального уравнения B.31), а действием
волнового оператора на асимптотическое состояние
срА,^ по формулам B.27) или B.30). При этом слу-
случайно оказывается, что она удовлетворяет интеграль*
ному уравнению B.31). Таким образом, полученное
здесь состояние рассеяния определено однозначно и
отмеченной выше неоднозначности в действительности
нет. То же можно оказать о волновой функции ?/>*»
состояния рассеяния в канале D: оно определено фор-
формулой B.54), и случайно оказывается, что определен-
определенная так величина удовлетворяет однородному и>нте«
тральному уравнению. Но если определять величину
Ч?^\ согласно теории § 1 [как решение интегрально*
го уравнения A.10)], то определение оказывается не-
неоднозначным. В этом смысле правильнее пользовать-
пользоваться не интегральным уравнением B.31), а предельной
операцией B.28), посредством которой выводится
формула B.30).
То обстоятельство, что определение на основе фор-
формулы B.30) более приемлемо, чем на основе инте-
интегрального уравнения B.31), подтверждается следую-
следующими соображениями. Подставим в уравнение B.31)
условие полноты собственных функций свободного
гамильтониана #о, т. е. условие полноты асимптоти-
асимптотических состояний
U% B.74)
m

§ 2. V-координаты 216
Но собственные функции оператора Яо не учитывают
вклад состояния qp0 п = <pf3q>23> в котором обе частицы
1 и 2 связаны с частицей 3. В самом деле, ввиду от-
отрицательности собственного значения энергии в этом
состоянии энергетический знаменатель в формуле
B.74) никогда не обращается в нуль (что и означает
отсутствие рассеяния при большом удалении частиц
1 и 2 от частицы 3). Таким образом, уравнение B.74)
разрешает в качестве конечных состояний только со-
состояния в каналах Л, Б, С и не оставляет места для
появления состояний в канале D. Иными словами, ин-
интегральное уравнение Липпмана — Шшнгера непра*
вильно отражает асимптотические граничлые условия.
А в определение B.30) нужно подставлять условие
полноты собственных функций полного гамильтониан
на Я
L En~Em±i8 W * ) 9H. n (| )• BJ5)
Ai-i4, В. С, D;
m
В формуле B.75) не учтен только вклад связанного
состояния трех частиц То, я. Эта формула описывает
также и переходы в канал ?>, т. е. в ней учтены вое
возможные конечные состояния. Но уравнение B.75)
нелинейно относительно W^n> и решить его практи-
практически невозможно. Разложение B.30) функции Грина
(Еп — Я=Р/е)~1 в ряд по степеням взаимодействия
W по существу означает работу с уравнением B.75).
Один из подходов к проблеме, позволяющий обойтись
без уравнения B.75), основан на методе Фаддеева,
который рассматривается ниже, в § 4.
В. S-матрица и S-оператор
Можно определить 5-матрицу формулой, эквива-
эквивалентной формуле A.16):
5м, f; n. i - W.t I Vfift). B.76)
Здесь М, W означают все каналы рассеяния Л, В, С
и D, Если среди каналов М и # не содержится канал

216 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
D, то, согласно определению B.27), можно написать
So.ft *«-№/1U" W> 0, + «о)?/(Г; 0. - оо)
ФН;\), B.77)
где S(№)—оператор, следующим образом опреде-
определяющийся для каналов А, В и С:
UW; 0, +оо)?/(И7;0, -оо) =
; + оо, 0) U (W; 0, - оо). B.78)
Пользуясь формулой B.28), преобразуем оператор
S(W):
= U(W; +00, 0)U(W;0, -co) —
J
XU(W; 0, -оо)-?/AГ; 0, -оо)
; /, 0)]
о
5Лехр(в|/|/А)Г@?/AГ;/0)?/ОГ;0, -оо)-
; -оо, 0)U(W;0, -оо)-
ОО
f 5 dtexp(-e\t\/h)W(t)l/(W', t, -oo) =
— 00
- Xl<Po.nX<Po.J-
п
00
--J- J Лехр(-в|/|/ЛIГ@1/ОГ; ^ - оо).
B.79)
При выводе четвертого из равенств B.79) нужно
воспользоваться формулой B.28), определяющей
U(W\t} —оо), а при выводе последнего равенства при-

§ 2. V-координаты 217
менить формулу B.52). Последнее выражение в фор-
формуле B.79) отличается от формулы B.54) из гл. 4
наличием второго слагаемого. Применяя вывод, ана-
аналогичный выводу B.61) из гл. 4, для матричных эле-
элементов B.79) в каналах Л, 5, С можно получить вы-
выражение
5л,, ft н., = <4feW«> ~ Z (qtf, | Фо. „> <Фо..
Второе слагаемое равно нулю в силу ортогональности
асимптотических состояний ц^т и ф0 п. Первое сла-
слагаемое равно нулю при М Ф N. Поэтому можно на-
написать
- 2ш6 (В, - Et) (qtf, | W | ЧЭД). B.80)
Если же начальное состояние принадлежит одному из
каналов Л, 5, С, а конечное — каналу D, то 5-матрицу
B.76) нельзя выразить через S-оператор B.79).
В этом случае для элемента матрицы рассеяния
имеем
2шб (В, - E{) (Vfc|>f | W | q^),). B.81)
Для вывода третьего из этих равенств нужно вос-
воспользоваться уравнением B.69). Если начальное со-
состояние принадлежит каналу Z), то можно воспользо-
воспользоваться У-координатами с началом отсчета в частице
1 или 2. Тогда роль канала D будут играть канаяы А

218 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех, тел
или В. Следовательно, случай, когда начальное со-
состояние принадлежит каналу D, не нуждается в осо-
особом рассмотрении.
Докажем, наконец, оптическую теорему, пользуясь
тем обстоятельством, что совокупность собственных
состояний полного гамильтониана Я
„,
B.82)
образует полную ортонормированную систему функ-
функций. Здесь 4*0, п — волновая функция связанного со-
состояния трех частиц, собственное значение энергии
Еп в котором отрицательно. Условие полноты системы
B.§2) имеет вид
Е $Ш)Ш B.83)
в7с\ D
Подставляя его в условие ортонормированности со-
состояний рассеяния B.43), получим с учетом рртого*
нальности волновых функций Tjjtn и Vo,п (послед-»
няя волновая функция принадлежит состоянию с от*
рицательным собственным значением энергии)
2 2
Т L"cA'd'
(М, N = A, В, С, D).
B.84)
Если М, N принимают значения А, В, С, то, пользуясь
формулами B.77) и B.81), формулу B.84) можно пе-
переписать в виде
\S(W)\ ф^>л>
6м. iv6m, ft, B.85)
откуда ясно, что S-оператор не унитарен. Но, со-
согласно формуле B.84), S-матрица унитарна. Неуни-
Неунитарность 5-оператора связана с тем, что переходы в
состояний W^i (содержащие связанные состояния в
потенциале Vw) играют для 5-оператора роль реак*

§ 3. Переход к Т-координатам 219
ций. Далее, полагая в формуле B.85) М «* N » А,
m = д = iy / = /э получаем
f IU № 0, - oo) | <p<+>,) p -1. B.86)
Подставляя сюда выражение B.80) и B.81) и вводя
определения
а, ,; л. г
B.87)
1 Dt f; A, i \x
Ь, Т» А, 1 Л
получаем
J] /о;л. f; а, Н
-0^f — ?J|i
г.-в, с, d
(iV
L, Ь А,
¦В, С),
it
2
= -TIm
B.89)
B.90)
Та, и л, и
B.91)
Это — обобщенная форма оптической теоремы B.93)
из гл. 4. Волновая функция и$\ входящая в формулу
B.87), — плоская волна:
r13) - -jp exp (/k13 • г13). B.92)
§ 3. Переход к Г-координатам')
При построении теории рассеяния в системе трех
тел в предыдущем параграфе мы пользовались V-ko-
ординатами (фиг. 41, а) и для устранения появляю-
появляющегося в этом случае взаимодействия A//Из)р1з'р2з> не
') Символ Т введен в название этих координат, по-видимо-
по-видимому, на том основании, что граф радиус-векторов (фиг, 41,6—г)
в данном случае напоминает латинскую букву Г. — Прим. перев.

220
Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
исчезающего на бесконечности, применяли канониче-
каноническое преобразование B.8). С помощью К-координат
мы показали полноту и ортонормированность асимп-
асимптотических состояний и состояний рассеяния (чего мы
не могли сделать в § 1) и провели общий анализ
2
1
(Н
Фиг. 41. Различные системы координат.
а—V-координаты; б—Гд-координаты; *—Гд-координаты; г—Гд—коор-
г—Гд—координаты.
свойств рассеяния. Таким образом, система V-коорди-
нат очень удобна для изложения общей теории рас-
рассеяния. Но она не очень неудобна при решении кон-
конкретных задач. Рассмотрим, например, канал А.
В этом случае (фиг. 41, а) частицы 2 и 3, взаимодей-
взаимодействующие с потенциалом Кгз, образуют связанное со-
состояние, с которым сталкивается частица 1. С учетом
формул B.14), B.15) и B.16) можно принять, что
взаимодействие низшего порядка между частицами 1
и 3 есть Vi3(ri3>, но между частицами 1 и 2 взаимо-
взаимодействие низшего порядка обязано быть2)
*) Так как в случае частиц 1 и 2 в формуле B.15) нет дру»
гих слагаемых взаимодействия, кроме Fia. — ирим. перев

§ 3. Переход к Т-координатам 221
Р12 = Vnie-aXn)- Пусть для простоты первое из этих
взаимодействуй будет кулоновоким притяжением, а
второе — кулоновским отталкиванием. Известно, что
при сложении потенциалов —е2/г\$ и е2/гп возникает
потенциал диполя, обратно пропорциональный квад-
квадрату расстояния между частицей 1 и центром масс
связанной ^системы B + 3K). Но в нашем случае
аргумент ri2 потенциала V\2 содержит множитель
ехр(—а). Поэтому при сложении Fi3 и Fi2 члены пер-
первого порядка малости по г~1 не уничтожатся взаимно
и сумма потенциалов будет обратно пропорциональна
не второй, а первой степени расстояния. Если св»ерх
того учесть взаимодействия F13 и Ргз, то ситуация ус-
усложнится еще больше. Таким образом, форма потен-
потенциала взаимодействия в F-координатах, получаемая
после унитарного преобразования B.8), неестествен-
неестественна. В этом случае очень трудно цридумать систему
приближений, рациональную с физической точки зре-
зрения. Поэтому рассмотрим преобразование физических
величин от К-координат к координатам более есте-
естественным с точки зрения физической интуиции.
Л. Начальное и конечное состояние в системе
Т-координат
Начнем с канала А. Так как в нем частицы 2 и 3
связаны, то естественно воспользоваться системой ко-
координат Тау показанной на фиг. 41, б, в которой систе-
система частиц характеризуется вектором р относительного
положения частиц 2 и 3 и вектором г, соединяющим
цеятр масс этих двух частиц с частицей 1. Перемен-
Переменные р, г связаны с соотношениями переменными ri3,
Г23 К-координат
Г = Г'3—^Т^Г23. Р = Г23. C.1)
Пользуять методом гл. 2, § 1, легко убедиться, что
соотношения между канонически сопряженными к ним
переменными имеют вид
8) Это верно при больших г. — Прим. перев,

222 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Преобразуя выражение B.7) с учетом соотношений
C.1) и C.2), получаем
+ V23 (р) + Vl3(r, р) + Va (r, р), C.3)
где ni; 2, з «= гп\ (/П2 + Шз)/М. Начальное (или конеч-
конечное) состояние системы Фа, я (г, р) описывается соб«
ственной функцией гамильтониана
удовлетворяющей уравнению
Так как и начальном (или конечном) состоянии ка-
канала С нет связанных комплексов, в этом канале, так
же как и в канале А, можно использовать систему ко-
ординат 7д. Тогда начальное (или конечное) состоя-»
ние #с, л(г, р) будет решением уравнения
.яСшЯ C.6)
где
^р)' CJ)
В канале В овязанное состояние образуют частицы
1 и 3. В этом случае более целесообразно иопользо-
вать систему координат Тв, показанную на фиг. 41, е.
Преобразование от V-координат к Гд-коордиаатам
имеет вид
C.8)

§ 3. Переход к Т-координатам 223
Преобразуя к этим координатам выражение B.7), по-
получаем
', р'), C.9)
; 1. 3 = т2 (т1 + тз)/М-
В этом случае начальное (или конечное) состояние
фв, я (г', р') описывается собственной функцией гамиль-
гамильтониана
C.10)
удовлетворяющей уравнению
ЩКп(г'> р')=^Л.„(^ рО. (з.п)
Наконец, в канале D удобно воспользоваться си-
системой координат TD, показанной на фиг. 41, г, так
как в этом канале связаны частицы 1 и 2. В этом слу-
случае
^2Pljf — /*»•«— _ . \ •* /
а волновая функция ^х>, „(R, ri2) удовлетворяет урав-
уравнению
в котором
(ЗЛ4)

224 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Б. Состояния рассеяния и S-матрица
в Т-координатах
Волновые функции \PJv\n состояний рассеяния в
каналах Л, В, С в ^координатах даются формулой
B.30):
( ) <зл5>
Запишем это выражение в Г-координатах соответ*
ствующих каналов.
Волновые функции начальных (или конечных) со-
состояний Фм,п в V-координатах являются решениями
уравнений
[* и + №з + V23)] ФА,п = ЕпФА, пг
[(/Ci3 + Via) + #2з] Фв. i» = ЕпФв, п> C.16)
Части этих волновых функций, ответственные за учет
взаимодействий Vi3 или V23, описывают связанные со-
состояния, отвечающие этим потенциалам. Асимптота*
веские состояния Ф^, входящие в формулу C.15),
связаны с Фм, п соотношениями
* ]в.п>
На основании этих соотношений из формулы C.15)
получаем
+ C^ W]Ь +
C.18)

§ 3. Переход к Т-координатам 225
При выводе третьего из равенств C.18) нужно вос-
воспользоваться формулами B.28) из гл. 2. Путем ана-
аналогичных преобразований можно получить
C.19)
+ ?д - я ± ie (Гц + V23 + Щ Фс> п. C.20)
Формулы C.18)—C.20) выражают волновые функ-
функции состояний рассеяния в У-координатах. Их можно
преобразовать к Г-координатам. Для этого сначала
рассмотрим связь между Фы, л, определенными в V-
кюординатах, и фы, п, определенными в соответствую-
соответствующих Г-координатах. Чтобы записать первую и вторую
формулы C.16) в координатах Та, выполним преоб-
преобразование, обратное унитарному преобразованию
B.8):
ехр (- iX) [*,з + (/(за + ^2зI ехр (iX) ехр (- iX) ФА, п =
= ?лехр(-ШФл.*, C.21)
ехр (- IX) [/Ci3 + Ы ехр (iX) ехр (- iX) Фс, п =
В силу формулы B.11) имеем
Второе равенство здесь вытекает из формул C.4),
Положим
С» s ехр (- iX) Vjs ехр {iX). C.23)
Тогда формулы C.21) примут вид
^23 (Р)) ехр (- iX) ФА, п, C.24)
(Бп- Н{Р)ыр(-1Х)Фс,п = 0. C.25)
8 Зак. 1271

226 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Теперь запишем в Г-координатах вторую формулу
C.16). Выполняя преобразование, обратное преобра-
преобразованию B.8), получаем
exp (- iX) [(JCa + V13) + *23] ехр (IX) ехр (- IX) Фв, п -
-^Яехр(-«)ФЛЯ. C.26)
Пользуясь соотношением
ехр (- IX) (/Ci3 + /С2з) ехр {IX) - -^— р'г? + -^~ р$,
*t*2; 1, 3 ^3
C.27)
вытекающим из формулы C.10), перепишем формулу
C.26) в виде
П. C.28)
Здесь принято
Ul3» ехр (- iX) Vl3 exp (IX). C.29)
Сравнивая формулы C.24) и C.28) с формулами
C.5) и C.11), приходим к соотношениям
X [t/,3 - Vi8 (PO ]} фВш п (г', Ю- C.30)
Сравнивая же формулы C.6) и C.25), получаем для
канала С
ехр (-«)ФС.Я = *<>.-» (г. Р). C.31)
Умножая формулу C.18) слева на ехр(—iX) и под-
подставляя в нее первую формулу C.30) и формулу

§ 3. Переход к 1'-координатам 227
C.23), получаем
-ехр(-iX)[l + En_lH±le(VI3 + 723- Кгз + Vl2)] X
Хехр(/Х)ехр(-/Х)ФЛ(П =
Хехр(-а)Ф>1>„
C.32)
где #c — гамильтониан, определенный формулой
C.3), а при выводе последнего равенства применена
формула B.28) из гл. 2. Совершенно аналогично для
канала В получим формулу
', Р')]} Фв.п(г', РО.
C.33)
в которой Яс — гамильтониан, даваемый формулой
C.9). Для канала С получим следующий резучьтат:
, Р)]} #с. »(г. Р).
C.34)
Наконец, рассмотрим качал D. В этом случае вол-
волновая функция асимптотического состоякия <ро, п оп-
определена решением уравнения B.55)
(Ki3 + /С23 + ^12) фд. п = ^пФл, »• C.35)
8*

228 Гл. 5. Теория рассеянии в системе трех тел
Выполним преобразование, обратное преобразованию
B.8), пользуясь формулой C.14):
ехр (- iX) (Ki3 + Я» + Vi«) exp (iX) =
C-36)
Тогда оказывается, что уравнение C.35) можно пре-
преобразовать к виду
C.37)
Сравнивая полученное уравнение с уравнением C.13),
замечаем, что
Фо, п (R, г12) = ехр (- iX) <fD, n (г13, гй). C.38)
Действуя на волновую функцию Ч^л [формула B.54)]
слева оператором ехр(—iX), получаем
+?№-яс±/е(К'з+ ^^.„(R, fit), C.39)
где Нс — гамильтониан, выражаемый формулой
^г*3; 1,2 к ^12
+ ^12 (г,2) + V* (R, г12) + Км (R, Гц). C.40)
Достаточно подробные вычисления, проведенные
выше, ясно показывают, что волновая функция W^
(iV = Ау В, С, D) состояния рассеяния в V-координа-
тах переводится преобразованием ехр(—iX) в волно-
волновую функцию Vfr/if*, построенную из начальных (или
конечных) состояний в Г-координатах, выбранных по-
разному в разных каналах. Иными словами, волновые

§ 3. Переход к Т-координатам 229
функции 4?%,{п] состояний рассеяния для каждых Г-
коордияат связаны с волновыми функциями Vffin со-
состояний рассеяния в V-координатах унитарным пре-
преобразованием
грт.ш = ехр (_ „, чфя (fi3> Ггз). C.41)
Если формулы A.13) и A.14) переписать в Г-коорди-
натах, соответствующих каждому каналу, и сравнить
полученные выражения с выражениями C.32) —
C.34) и C.39), то можно заметить их полное совпа-
совпадение. Это значит, что из соотношения C.41) можно
вывести следующее важное заключение:
, > - (ЧЙ?» | ехр (iX) ёхр (- IX) | Чфп) =
) = ЬмА,п (M, N = A,B, С, D). C.42)
Последнее равенство здесь основано на формулах
B.43), B.70) и B.71). Иными словами, волновые
функции УР/^п, выраженные в соответствующих Г-
координатах, ортонормированы. Именно это соотно-
соотношение ортонормированности принято в качестве до-
допущения в формуле A.19). Подчеркнем, что соотно-
соотношение нормированности в Г-координатах [формула
C.42)] доказано нами кружным путем, путем перехо-
перехода к V-координатам. Если же не переходить к V-коор-
данатам, а сразу рассматривать волновые функции
состояний рассеяния в Г-координатах, определенных
по-разному в разных каналах, то доказать указанное
соотношение ортонормированности не представляется
возможным.
В заключение данного параграфа рассмотрим 5-
матрицу в Г-координатах. Пользуясь формулами
B.76) и C.42), получаем
| ехр (- iX). ехр (IX) \ Ч&(?>> -
C.43)

230 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Собрав вместе формулы C.5), C.6), C.11) и C.13),
представим их в виде
Щ%,п = Епф^п. C.44)
Введем разбиение гамильтониана
Hc = H{P+Vh. C.45)
Объединяя результаты C.32) — C.34) и формулу
C.29), получаем
0 АМ»-»' C-46)
откуда вытекает, что
ЧВД - Т&/2 - 2я/6 (*. ~ Но) УмФм, я. C-47)
Подставляя последнюю формулу в выражение C.43)
и учитывая условия C.42), приходим к результату
-**.Лi~2я/б(?f-Ед(Кt\vM\П-.П. <3-48>
который можно представить в виде
C.49)
Формальные выражения A.17) и A.18) представлены
здесь в виде строго доказанных формул C.48) и
C.49). Далее, если полную систему собственных
функций гамильтониана Н B.82) путем унитарного
преобразования ехр(—IX) перевести в систему соб-
собственных функций гамильтониана Нс
{< п, чЯ;?». <;f\ чк?, ч^П (з.5О)
то ясно, что полученная система функций будет тоже
полной и ортонормированной. Здесь ФоРп1"
s= ехр (— IX) ^Ро, л- Следовательно, выполняется соот-
соотношение
I Z Ml/J' I ^ Г> (Wl; J"> 14ft»*) - бм, ^m. „,
^ t-д, з, с, ^
C.51)

§ 4. Метод Фаддеева 231
соответствующее формуле B.84). Подставляя сюда
выражение C.48), выводим оптическую теорему в
Г-координатах для случая, когда начальное состояние
принадлежит каналу А:
— jlmTAl>AI. C.52)
L-B.C.D
ь. л a i —!r *(Ef-Ед{КАЧП(^+)>I2- C-53)
§ 4. Метод Фаддеева
В предыдущем параграфе мы показали, пользуясь
Г-координатами в каждом канале, что волновая функ-
функция состояния рассеяния дается формулой C.46). Со-
Соответствующее этой формуле интегральное уравнение
типа Липпмана — Швингера
не дает правильного описания конечных состояний во
всех каналах рассеяния. Кроме того, решение этого
уравнения определено неоднозначно. Отмеченные не-
недостатки можно связать с отсутствием сходимости
процесса последовательных приближений для уравне-
уравнения D.1). Вычислить же волновую функцию непо-
непосредственно по формуле C.46) практически невоз-
невозможно. Тем не менее оказывается, что путем подходя-
подходящего преобразования формулы C.46) можно вывести
новое интегральное уравнение, правильно отражаю-
отражающее граничные и асимптотические условия во всех ка-
каналах рассеяния, для которого гарантирована сходи-
сходимость процесса последовательных приближений. Ре-
Решение этой задачи дает метод Фаддеева.
А. Недостатки уравнения Липпмана—
Швингера
Прежде чем отбрасывать интегральное уравнение
D.1) и браться за построение нового метода, попро-
попробуем понять причину неоднозначности решения этого

232 Гл. 5. Теория раесеАния в системе трех тел
уравнения. Это поможет нам найти путеводную нить
вывода нового интегрального уравнения. Рассмотрим
например, рассеяния в канале С. Формула C.45) для
канала С имеет вид
D.2)
а S-матрица [с учетом формул C.48) и C.46)] —вид
=6f,, - 2nib(Ef- Е{)(Фс.{\ Vc+ VcEi_ic±lB
D.3)
Введем оператор Tc(z), зависящий от произвольного
комплексного числа г:
TcW^Vc+Vcj^Vc D.4)
Он удовлетворяет интегральному уравнению
TcW-Vc+Vc ^ТсСз). D-5)
Z — Л q
Найдя решение этого уравнения и подставив его в
формулу D.3), определим элементы S-матрицы. Так
как уравнение D.5) по существу совпадает с уравне-
уравнением Лишшана — Швингера D.1), вое недостатки по-
последнего должны быть присущи также и уравнению
D.5). Поэтому вместо свойств уравнения D.1) рас-
рассмотрим свойства уравнения D.5).
Решение уравнения C.6)
Wc.fr. р> - ад».. <'.р>
имеет вид
ехР (*г *г) -^Г ехР (Рр •
где р = (рг, Рр)— ква«тоэое с-число, характеризующее
состояние. Переходя в условии нормировки волновой
функции D.6) к пределу континуума 1) и вводя o6q-
*) То есть к пределу при L -> оо. — Прим. перев.

§ 4. Метод Фаддеева283
значения рэг^, гззрр ррИр^, рг=рь запишем
волновую функцию D.6) в виде
B^ргр1). D.7)
Отметим, что в формуле D.7) символ ргз имеет иной
смысл, нежели в формулах B.3) и C.2). Пользуясь
Фиг. 42. Плоские волны в канале.
переменными, показанными на фиг. 42, запишем рас-
рассматриваемую волновую функцию в следующих фор-
формах:
Вычисляя на основании введенных волновых функ-
функций первое борновское приближение для уравнения
D.5), получаем
На фиг. 43, а показаны фейнмановские диаграммы для
членов этой формулы. Изолированные линии на
фиг. 43, а соответствуют членам, содержащим б-функ-

234 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
ции. Второе борновское приближение дается фор-
формулой
.-КХ-М01 v-^
| уя
Первые три члена этого выражения показаны на
фиг. 43, б, а четвертый — на фиг. 43, в. Частицы, не
взаимодействующие с остальными, показаны на
фиг. 43, а и б изолированными линиями. В процессе,
изображенном на фиг. 43, в, изолированных линий нет
(все частицы взаимодействуют). Появление процессов
без взаимодействия указывает на математическую не-
некорректность уравнения D.5) и соответствующего ему
уравнения Липпмана — Швингера D.1).
В общем случае для единственности решения ин-
интегрального уравнения и сходимости процесса после-
последовательных приближений необходимо, чтобы ядро
уравнения было ядром Гильберта — Шмидта (или
класса L2). Это означает следующее. Представим
уравнение D.5) в виде уравнения для матричных эле-
элементов по полной системе волновых функций фс$ /:
т\Ус\+са) (ф^ЛТсШФсп). D.11)
L
Тогда сумма квадратов модулей ядер

§ 4. Метод Фаддеева 235
должна быть ограниченной. В нашем случае ядро
имеет вид
г
показывающий, что некоторые слагаемые суммы
D.12) содержат члены
D.H)
очевидно, расходящиеся из-за множителя 63@). Сле-
Следовательно, ядро уравнения D.11) не принадлежит
классу L2. Наличие 6-функций, вызывающих расхо-
расходимость ядра, на диаграммах фиг. 43 соответствует
появлению изолированных линий. Когда все три час-
частицы связаны взаимодействием, например, так, как
показано на фиг. 43, в, 6-функци1И не возникают.
Иначе говоря, причина неоднозначности решения ин-
интегрального уравнения D.11) кроется в том, что оно
допускает процессы без взаимодействия. Это же вызы-
вызывает расходимость процедуры последовательных при-
приближений.
Если в системе двух частиц обозначить символом
ri2 вектор их относительных координат, а символом
рз — радиус-вектор центра масс, то окажется, что ядро
интегрального уравнения для величины Тг в этой си-
системе примет вид первого члена в выражении D.13).
Выделением движения центра масс устраняется из
ядра множитель 63(р3~"~Рз)- Если потенциал взаимо-
взаимодействия двух частиц V\2 достаточно быстро убывает
с расстоянием, то ядро интегрального уравнения^

236
Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
возникающего после выделения движения центра
масс, принадлежит классу L2. Решение соответствую-
.wv»
К*
ч
р;
*
р;
1 23
ч»
р р
1 2 3" 1 12 3 1 2 23
щ
1 2 3
Фиг. 43. Борновское приближение в системе трех тел.
а—первое; б—второе; в—третье.
щего интегрального уравнения Липпмана — Швингера
определяется однозначно.
Б. Метод Фаддеева
Выше мы указали на процессы без взаимодействия
как на источник несовершенств интегрального урав-
уравнения Липпмана — Швингера. Фаддеев предложил ме-
метод устранения указанного недостатка. Вообще го-
говоря, определение C.46) можно записать в виде
П'<±> = [1 + G(En + /в) У„]фМп9 D.15)
где
-^Лг- DЛ6)
г пс
Тогда
D.Ш

§ 4. Метод Фаддеева 237
Величина, даваемая формулой D.17), имеет смысл
элемента S-матрицы C.48). Выбрав подходящие Г-ко-
ординаты, представим гамильтониан Нс [формула
B.7)] в виде
Нс = HP + Vc\ Vc = F12 +Vn+ Vsi D.18)
и введем оператор
0eB)=«jF* DЛ9)
Пользуясь формулой B.28) из гл. 2, можно вывести
тождество
» ' ' 1/ 1
г-Нс z-H<-? + z-H<P Vc г-Нс
1 . 1
эквивалентное соотношениям
G (г) - Go (г) + Go (z) T (z) Go (z), D.20)
^^). D.21)
Таким образом, решив уравнение D.21) относительно
Т (г) и подставив результат в уравнение D.20), можно
найти G(z), а затем и матричный элемент D.17). Пока
мы не сказали ничего нового.
Чтобы найти T(z) из уравнения D.21), введем опе-
операторы ТХ2, Г23, Пи
Г2з (*) - V2Z + F23G0 B) Г B), D.22)
Очевидно, что
Т (z) - Г12 B) + Г23 B) + Г.1 (г). D.23)

238 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Кроме того, введем операторы, описывающие процес-
процессы рассеяния пар взаимодействующих частиц:
- VX2 + VMz)tl2(z) = Vl2 + tl2(z)G0(z) Vl2,
fa (z) - V23 + V2ZQ0 (z) /23 (г) = V23 +123 (z) G2 (z) K23, D.24)
/31 (г)- K8i + ^3iOo(«)/si («) = Vzl + /3i (г) GoB) K31.
Исключим из формулы D.22) потенциалы Vu и т. д.
Например, оператор T\2(z) перепишем в виде
7*12 (г) = [/,2 (г) - /й (г) Go (z) Vl2] +
+ [hi (г) - tl2 (z) Go (z) Vl2] Go (г) Т (z) =
+ /12 (г) + tl2 (г) Go (z) T (z) - tl2 (z) (Vl2 + Vl2G0 (z) T (z)] -
= /12 (г) + /ц W Go (z) [T (z) - rI2 (z)] =
Go (г) [Г23 B) + Г81 (г)]. D.25)
При выводе первого равенства здесь использована
формула D.24), третьего—D.22), а последнего —
D.23). Совершенно так же получим
Г2з (z) = /м (г) + '2з (*) Go B) [Г31 (г) + Г12 (г)],
*8i W -/м B) + /si (г) GoB) [Г12 (г) + Г23(г)].
Объединив результаты D.25) и D.26) и представив их
в матричной форме, придем к уравнению
/12 \ /0 /i2 /,2\ /ТП\
/23 + /2з 0 /23 JGO Г23 , D.27)
hJ ^/31 /з1 0 / \Гз1'
называемому уравнением Фаддеева. Оно заменяет ин-
интегральное уравнение D.21). Решая систему интег-
интегральных уравнений D.27) и составляя сумму получен-
полученных решений D.23), можно определить T{z).
В п. «А» мы указывали, что при разложении в ряд
решения интегрального уравнения для Т(z) [формула
D.21)] возникают члены без взаимодействия (несвяз-
(несвязные графы), обусловливающие расходимость процесса
последовательных приближений. При разложении же

§ 4. Метод Фаддеева 239
решения уравнения D.27) в ряд по tt, / несвязные гра-
графы не возникают. В самом деле,
Ti2 (г) — /i2 (г) + Ы (г) Go (z) /23 (г) +
... D.28)
В этом разложении не появляются члены вида
ti2(*)G0(z)tl2(z).
Во втором и последующих членах разложения D.28)
не возникают б-функции, а следовательно, ядро интег-
интегрального уравнения D.25) соответствует потенциалу,
достаточно быстро убывающему с увеличением рас-
расстояния, и принадлежит классу ZA Чтобы показать
это, вычислим матричный элемент D.28). Взяв мат-
матричный элемент в канале С, получим с учетом формул
D.8)
<^С, р' | ^ 12 (^) I ^С, р) == б3 (РЗ - Рз) <« (Р^2) | ^12 (^) | ^ (Pl2»+
+ <" (Pis) и (Р01 /12 (г) Go (z) /23 (z) | и (р23) и (Pl)> + • • • •
Если подставить сюда полную систему функций
{фс р„}, то с учетом формул D.7) и D.8) можно напи-
написать
Фс. р» - « (РГ2) и (РО - и (й (р?. РзО) " (РГ (PS- Рз))-
Тогда
(Фс, р-1 Т{2 (г) | Фс> р> = б3 (pj - Рз) (и (Р;2) | /12 (z) а (р12)) +
«о^6» (pj - pf) (а (Р;2) | tl2 (z) | a (pS)> X
(р23)>+ .... D.29)
Очевидно, что б-функции во втором члене пропадают
при взятии интегралов по р^ и р{2.
Далее, так как здесь отделено движение центра
масс, члену, соответствующие взаимному рассеянию
двух частиц, например tw, тоже не дают б-функций.
В первом члене выражения D.29) б-функция имеется,

240 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
но это неоднородный член интегрального уравнения
D.25), а следовательно, 6-функция этого члена не свя-
связана с интегральным ядром задачи рассеяния. То же
самое можно оказать и об уравнениях D.26). Следо-
Следовательно, в отличие от интегрального уравнения D.21)
решение системы интегральных уравнений D.27) опре-
определено однозначно, а процесс последовательных при-
приближений сходится.
Вернемся к задаче определения оператора T(z)
D.21)» введенного для вычисления матричных элемен-
элементов D.17). Выясним, как определяется Т(г) методом
Фаддеева. С этой целью рассмотрим на примере ка-
канала А меЮд определения волновой функции W§, (*)
D.15). Из формул D.15) и D.18) вытекает, что она
удовлетворяет уравнению Шредингера
(*. - m Wl « - VJW?. D.30)
Введем разбиение
и напишем систему интегральных уравнений для от-
отдельных слагаемых ${*\ и т. д.
^g.» (#. ?.), D.32)
(БЛ - Нф - V31)
Ясно, что сумма этих трех уравнений даст уравне-
уравнение D.30) для Yl/n** D.31). Учитывая, что начальное
(или конечное) состояние в канале А дается функ-
функциями фл,п C.5), систему D.32) можно переписать в
виде системы интегральных уравнений

§ 4. Метод Фаддеева 241
где, например, Gi2 дается выражением
и удовлетворяет интегральному уравнению
G12 = Go + G07i2Gi2. D.35)
Ниже всюду, где это не приведет к недоразумению,
мы не будем в явном виде указывать, что Go — функ-
функция переменной z или Еп± *е. Согласно определениям
D,19), D.24) и D.34), выполняется соотношение
на основании которого мы представим систему D.33)
в виде
или, в матричной форме,
0 \ /0 » и
U 0 ^ 1.D.38)
Полученное матричное уравнение называют уравне-
уравнением Фаддеевадля волновой функции.Чтобы сравнить
его с уравнением Липпмана — Швингера, рассмотрим
несколько подробнее систему уравнений D.37). Под-
9 Зак, 1271

242 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
ставив в формулы D.33) выражения типа D.36), в ко*
торые входит Go, получим
- (О, + O0Vi2Gl2) Vl2 (Ч#>„
При выводе третьего из равенств D.39) нужно вос-
воспользоваться уравнениями D.33), а при выводе по*
следнего — соотношением D.31). Совершенно так же
получим
О
А „ + (Go + G0F23G23) V23
а, п
При выводе здесь мы воспользовались тем, что фл,п —
волновая функция связанного состояния в потенциале
^23, удовлетворяющая уравнению
Подставляя выражения D.39) — D.41) в уравнение
D.33), получаем
- К п + O«^«P. (Ул + Vl2) 4% W, D.42)
=°л w*+^з) п. ^
Взяв сумму трех интегральных уравнений D,42), по-
получим интегральное уравнение
заменяющее в канале А уравнение D.1). Последнее
в канале А имеет вид
f. D.44)

§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода 243
Уравнение D.44) допускает в качестве конечных
состояний состояния из канало© А и С (связанные и
раосеянные состояния в потенциале У2з) и не допу-
допускает состояний из каналов В и D. В противополож-
противоположность этому три функции Грина G12, G23, G31 входят во
второй член правой части уравнения D.43) симмет-
симметрично, благодаря чему конечные состояния могут при-
принадлежать всем каналам. Кроме того, очевидно, что
интегральное ядро уравнения D.43) принадлежит
классу L2 и при последовательном разложении урав-
уравнения D.43) не возникают члены, отвечающие свобод-
свободным частицам. Уравнение D.43) получено для канала
Л. Соответствующие уравнения для других каналов
можно вывести аналогично.
Интегральное уравнение D.43)—основное уравне-
уравнение теории рассеяния в системе трех тел. Решают его
методом последовательных приближений. Вид урав-
уравнения, однако, таков, что даже приближенное решение
будет достаточно сложным. В заключение заметим,
что уравнение D.43) можно вывести, подставив выра-
выражение D.23) в урав-нение D.20), применив соотноше-
соотношения D.36) и
Tl2G0=Vl2O D.45)
й подставив результат в формулу D.15).
§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода
В качестве примера рассеяния в системе трех тел
рассмотрим упругое и неупругое рассеяние электронов
на атоме водорода. Аналогичную задачу мы уже рас-
рассматривали в гл. 2, § 4, но там мы предполагали, что
распределение электронов в облаке, окружающем
ядро, задано, и не учитывали механических свойств
электронов вне ядра. Здесь мы учтем также и кван-
квантовое движение электронов внутри атома водорода,
т. е. построим более общую теорию. Поскольку масса
ядра водорода (масса протона) гораздо больше мас-
массы электрона, примем приближенно, что она бесконеч-
бесконечно велика (в процессе рассеяния протон остается не-
неподвижным). Если протон выбрать в качестве третьей

244 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
частицы, то показанные на фиг. 41 V- и Гл-коорди-
наты совпадут друг с другом. Поэтому применим здесь
теорию в V-координатах, изложенную в § 2. Ввиду ус-
условия тпъ = оо различные формулы в ^координатах
очень сильно упрощаются. Прежде всего, исчезает
взаимодействие ЩхЪ\гщЪъ [формула B.7)]. Следова-
Следовательно, унитарное преобразование B.8) становится не-
ненужным, параметр а B.10) обращается в нуль_, а вме-
вместе с тем исчезает различие между Х\ъ и Пз, Ггз и Ггз,
?i2 и ri2 в формулах B.8) и B.13). В данном случае
2
Фиг. 44. Рассеяние электрона на атоме водорода.
частицы 1 и 2 — электроны с массой т. Гамильтониан
B.15) сводится к виду
W =я V12, AI3 == tjjj1 p13, /C23 = -j? p23.
Для упрощения записи введем обозначения п ai Г13,
Pi ¦¦ Pl3, Г2 ¦¦ Г23, Р2 3s p23, Kl ¦¦ Kl3, K2 ¦¦ K23» V =
= V13 == V23 (фиг. 44). Тогда гамильтониан системы
примет вид
#=#o+F12(r12),
+ V(r2)]f
где V — потенциал кулоновского притяжения электро-
электрона и протона, a Vw — потенциал взаимного отталки-
отталкивания электронов.
Каналу А (§ 2) теперь отвечает ситуация, когда
частица 1 падающая, а частица 2 связана с ядром.
Матричный элемент S-матрицы для случая, когда ко-

§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода 245
нечное состояние вновь принадлежит каналу Л, со-
согласно формуле B.80), дается выражением
Sa, , л. , - №r I «> ~ 2«'S & - ?,) <Ф<л->,| V12m+\>.
E.2)
Подставив сюда определение B.30), напишем
*А, ft л, , - Wf f <P<ft> - 2шб (?, - ?f) <^)f | Г| Ф^,),
E.3)
где
Г - Г (rlf r2) - Vi2 + Vl2 EiJH + u Vl2. E.4)
Согласно определению B.18), асимптотическое состоя-
состояние <pj+>, входящее в формулу^ E.3), записывается
в виде
где ф(±) — волновая функция, которая является реше-
решением уравнения
[Кг + V (г,)] ф<±> (ri; Е) = ?ф<*> (гь ?), ? > 0 E.6)
для рассеянного состояния, а ф? — решение уравне-
уравнения
)( *я<0, E.7)
для связанного состояния.
Но в квантовой механике падающий электрон 1 не-
неотличим от электрона 2, входящего в состав атома.
Следовательно, волновую функцию1) этих двух элект-
электронов нужно симметризовать (или антисимметризо-
1) Речь идет о координатной волновой функции. Полная вол-
волновая функция двух электронов (с учетом спиновой волновой
функции) антисимметрична относительно перестановки частиц,—
tfpuM. перев.

246 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
вать). Поэтому напишем для асимптотического со«
стояния E.5)
^ ф(+> ('.; Bt - &п) ф« (r2) ±
±?-^Bt^g^4i(rt)l E.8)
Тогда матричный элемент S-матрицы E.3) примет вид
E.9)
Рассмотрим сначала первый член выражения E.9),
Подставляя в него выражения E.8), получаем
+ Т<Ф
=ьт<ф
±^<ф
1<-)(г2;
¦<->(г2;
т)ф^(Г.)|ф(+)(Г2-.^-
т)Фт(г2)|ф(+Чг2;^-
Тт)ч>1(г.)Ш+Нт.;Е.-
E.10)
Для удобства записи в формуле E.10) указаны аргу-
аргументы Г1 И Г2 ВОЛНОВОЙ фуНКЦИИ, НО НуЖНО ПОМН'ИТЬ,
что в действительности по ним производится интегри-
интегрирование. Выполнив перестановку г\ «-> г2 переменных
интегрирования во втором и третьем членах выраже-
выражения E.10), можно убедиться, что второй член совпа-
совпадает с первым, а третий —с четвертым, Следователь-

§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода 247
но, выражение E.10) принимает вид
- (*-> (',: Б, - 8т) Ф* (г2) | ф<+> (г,; Et - ёп) Ф* (r2)> ±
± <ф(-> (г2; Егёт) | Ф* (г2)> <фв (г,) | ф<-н (г,; Et-*J)-
, E.11)
откуда следует, что первый член формулы E.9) со-
совпадает с соответствующим членом формулы E.3).
При выводе последнего равенства использовано усло-
условие ортогональности рассеянного и связанного состоя-
состояний при взаимодействии V:
(Фы|ф^> = (фт|ф(+)) = О- EЛ2)
Рассмотрим теперь второй член формулы E.9). Ввиду
тождественности электронов гамильтонианы #о и Vi2
E.1) не изменяются при перестановке п и Гг. Следо-
Следовательно, оператор Т E.4) тоже симметричен:
Г(гь г2) = Г(г2, п). E.13)
Имея это в виду и переставляя радиус-векторы в фор-
формуле E.10), получаем
- <Ф<->(г,; ErSm)Фв (г2) | Т | ф<+> (г,; Ег-$п)Ф* (г2)>±
± <Ф<-> (г,; ЕГ9Я) Ф« (г,) | Т | ф<+> (г,.; Et-
Для вывода второй из форм E.14) надо воспользо-
воспользоваться первой формулой B.24).Следовательно,ампли-
B.24).Следовательно,амплитуда рассеяния для оимметризованных (или антисим-
метризованных) волновых функций дается суммой
(или разностью) амплитуд рассеяния из канала А в А
и из канала Л в В. Первое из этих рассеший назы-
называют прямым, а второе — обменным рассеянием. Из
формул E.11) и E.14) ясно, что симметризованный

248 Гл. 6. Теория рассеяния в системе трех тел
(или антисимметризованный) матричный элемент S-
матрицы имеет вид
?>f | Vl214%\)l E.15)
Для вычисления матричного элемента E.15) необ-
необходимо определить волновую функцию WAf], поль-
зуясь уравнением Фаддеева D.43), записанным в V-
координатах. Но в первом борновском приближении
по взаимодействию Fi2 уравнение Фаддеева не отли-
отличается от уравнения Липпмана — Швингера, в чем
можно убедиться, сравнив формулы D.43) и D.44) в
Г-координатах. Поэтому запишем следующее прибли*
женное выражение для матричного элемента E.15):
,) \va\ №) ± <ф<в;', | Vl214fi)i E.16)
Пользуясь формулой E.5), вычислим первый член вы-
выражения E.16):
X«(t)(ri;ki)>}. E.17)
Здесь использовано условие ортонормированности
связанных состояний в потенциале V
Ьт,п- E-18)
Появившаяся в формуле E.17) волновая функция
дается решением уравнения
к) = ? ЪМЩгй к). E.19)

§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода 249
Это плоская волна
^г,). E.20)
Кроме того, в формуле E.17)
l ^ m. E.21)
Аппроксимируем в формуле E.16) волновую функ-
функцию ер*** состояния рассеяния в потенциале V плоской
волной u,(L\ Тогда, согласно формулам E.16) и E.17),
получим
А«-2яй <SBt-Et) [бт.„ (и<" (г,; kf)\V\ а<« (г,;
+ <«« (г,; к,) Фв (г2) | Vn | *» (г,; к,) Ф« (r2)) ±
± <«№' (г2; к,) Ф« (г,) | VB | «Ю (г,; к,) Ф« (Г2)>]. E^2)
Здесь первый член в квадратных скобках соответст-
соответствует рассеянию падающей частицы 1 на протоне 3
(фиг. 44). Состояние второго электрона, связанного
в атоме, в этом члене остается неизменным. Множи-
Множитель 6т, л учитывает то обстоятельство, что этот член
дает нулевой вклад в процессы неупругого рассеяния
при пгФ п. Второй член соответствует рассеянию
электрона 1 на связанном электроне 2. Наконец, тре-
третий член описывает процесс рассеяния, при котором
связанный электрон 2 переставлен в межэлектронном
взаимодействии V\2 с электроном 1.
Применим теперь борновское приближение к S-
матрице в Г-координатах [формула C.48)]. Запишем
гамильтониан взаимодействия в каналах А и В:
Здесь учтено, что при т% = с» координаты Та и Тв со-
совпадают с ^-координатами (это ясно из фйг. 41).Сим-
метризованное (или антисимметризованное) выраже-

250 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
ние C.48) имеет в борновско-м приближении вид
(*%) SI 5 I*А\ S) « fim, A I " 2Ш>6 (Ef ~ Е<) X
)l E.23)
Сравнивая это выражение с формулой E.22), заме-
замечаем, что во втором члене в квадратных скобках в
выражении E.23) имеется лишнее слагаемое
<«(L) (V kf) Ф* (г,) | V (г2) | цс« (ty, k,) Ф^ (г2)> -
- <Ф? (r0 I «(L) OV kf)> <rf« (r2; kf) | V (r2) | Ф^ (г2)> ^ 0.
E,24)
Оно описывает процесс, при котором связанный элек-
электрон 2 меняется местами с падающим электроном 1
в потенциале V взаимодействия связанного электрона
и протона. Но из физических соображений ясно, что
в отсутствие межэлектронного взаимодействия V\2 при
гпъ = оо обмен электродами не должен происходить.
Следовательно, член E.24) в формуле E.23) появился
из-за ошибки. Причина ее — неправильное введение
взаимодействия в выражение для S-матрицыв Г-коор-
динатах. При строгом учете эффекта взаимодействия
в формуле E.16) нужно заменить плоскую волну u{L)
в формуле E.24) рассеянной волной ф(±). Тогда в силу
условия ортогональности
связанного и рассеянного состояний при взаимодей«
ствии V формула E.24) примет вид
К С) | Ф(+) (г,; Bt - JT.)) <Ф<-> (г,; Е, - *я) | X
)> = 0. E.25)
Таким образам, при правильном учете взаимодействия
V выражение E.24) обращается в нуль, а лишщш

§ 5. Рассеяние электронов нй атоме водорода 251
член в формуле E.23)—нереальный призрак, возни-
возникающий вследствие неверного приближения. Итак,
нужно иметь в виду, что необдуманное использование
приближенных методов (вроде борновского приближе-
приближения) в применении к 5-матрице C.48) в Г-координа-
тах связано с большим риском совершить ошибку.
Полагая в формуле E.22)
г,; kf) | V (г,) | *« (г,; к,)) +
+ <«(t) (',! kf) < Ы | Vn | «W (г,; к,) ф» (г2)>, E.26)
к,) ф? С) I Гu I «(L) (',; к,) f» (г2)>
E.27)
и учитывая формулу B.75) из гл. 4, получаем для ве-
вероятности перехода выражение
Заметим, что здесь, вообще говоря, Щфки Согласно
формуле B.80) из гл. 4, дифференциальное сечение
рассеяния примет вид
Здесь 9 — угол рассеяния электрона. В формулах
E.26) и E.27) нормировочные постоянные плоских
волн определены формулой E.20). Если заменить их
величиной
и (IV, к) = JL— ехр (/к • тг), E.30)
то формула E.29) приведется к виду
[ h2 j ~Щ I Гж, f; n, i ± Tm, f,n,i\. E.31)

252 Гл. 5. Теория рассеяния в системе трех тел
Входящие сюда величины Гщ, /; п, i и т. д. получаются
из величин E.26) заменой плоских волн w<L> плоскими
волнами и E.30).
Если учесть симметричность (антисимметричность)
спиновых состояний электрона [так же, как в формуле
D.18) из гл. 4], то дифференциальное сечение рассея-
рассеяния электронов на атомах водорода примет вид
TE I2 Л-
+ j\Tm, f; n, I — Tm. fmtt\ j • E.32)
Рассмотрим упругое рассеяние (m = nt kf = fa).
Пусть до и после рассеяния атом водорода находится
в основном состоянии
Фв(г)= -L^expt-r/a0), F.83)
где ао — Ь21те*—борновский радиус. Полагая
Р(г) = |ф?(г)|2, К = к,-кр
придем, пользуясь формулой E.26), к результату
Щ\ -77)ехР№
ехр (- ikf • г,) (-^-) exp (/kf • г,) р (r2) d3r, d3r2]
E.34)
полностью совпадающему с результатом D.11) из гл.2
при Z= 1.
В гл. 2, § 4, п. «А» мы не учитывали член Tf, i, co«
ответствующий обменному рассеянию. Он появляется,
если в теории учесть квантовое движение электронов

§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода 253
внутри атома. Для амплитуды упругого обменного
рассеяния получаем с учетом формулы E.27)
r,, E.35)
Взять этот интеграл — сложное дело. Мы наметим
лишь схему его вычисления. На основании тождества
1 Г Аг„ exp {tx • (г, - га)>
In-r2|
E.36)
приведем формулу E.35) к виду
X ехр {- / (к, + х) • г2} Фв (г2) \ d\ X
Хехр{/(к/ + «)т
Учитывая выражение <р?(г) E.33), получаем
Поэтому
E.37)
Последний интеграл можно взять методом параметри-
параметрического интегрирования Фейнмана, применяемым в
квантовой теории поля. Вычисление это довольно гро-
громоздкое и здесь не проводится. Отсылаем читателей,
интересующихся методом интегрирования Фейнмана,
к руководствам по квантовой теории поля. Амплитуда
обменного рассеяния, составляет около 10% прямого
рассеяния. Если, кроме того, учесть неточность бор-
новокого приближения самого по себе, то с физиче-
физической точки зрения нет смысла слишком точно вычис*
лять интеграл E.37),

Приложение
А. Полиномы Лежандра и шаровые
гармонические функции
Полиномы Лежандра Pi(x) определяются в интер-
интервале —1 ^х ^ 1:
РЛх)=~Ш17{х2~~1I> /===0' *' 2' •"• • (АЛ)
Выпишем несколько первых полиномов Лежандра при
малых /:
При произвольном /:
Pi(D-i, /M-O-(-lI.
Полиномы Лежандра удовлетворяют дифференци*
альному уравнению
--^2)-^L] + /(/+l)P/W = 0 (A.2)
[показывается прямой подстановкой формулы (АЛ) в
уравнение (А.2)]. Умножая уравнение (А.2) на (АЛ)
и интегрируя по частям, получаем
Вычитая из последнего выражения выражение, полу-
получающееся из него заменой 2-»-Г, получаем
-i

Приложение 255
Следовательно, при 1'Ф1 полиномы Лежандра орто-
ортогональны:
1
\ Pi>(x)Pt(x)dx = 0. (A.3)
1
\
-1
Используя определение (АЛ) и производя последова-
последовательное интегрирование по частям, можно доказать
соотношение
1
$5HJT (А.4)
-1
Объединяя результаты (А.З) и (А.4), получаем
i
\ Pv (x) Pi (x) dx - —Ij-p 6у, |. (А.5)
Присоединенные функции Лежандра Р?{х) опреде-
определяются соотношением
dm?JxH, I, 2, •.., t. (A.6)
При малых / и т они имеют вид
-х2)х;
Pl(x)=l5(l-x2L'
и т.д.
Эти функции — решения уравнения
(А.7)

Приложение
Пользуясь формулами (А.6) и (А.7), можно доказать,
что
¦./. (A.8)
-1
Шаровые гармонические функции определяются фор-
формулой
РТ (cos 9)exp (im Ф).
(А.9)
Операторы
— это операторы: первый орбитального момента ко-
количества движения, а второй — его z-составляющей.
Легко убедиться, что, действуя на функции (А.9), эти
операторы дают
L%,m(e, q>) = /m/+l)y/>m(e, ф), / = 0, 1, 2 ....
LzYt,m(Q, (р)=ЙтУ,>т(е, ф), m—/, -/+1 1-1,1.
(А. И)
Из формулы (А.9) следует, что
у*.-т<0. ф)-(- 1)тк;,т(е, Ф). (А.12)
При малых I, m функции У/, т(Э, ф) имеют вид
v _!.
- °=л/"й"cos 9; у».«— - д/гsin е ехР (/<р);
s'n ^ cos 9 ехр (йр);

Приложение 257
Они удовлетворяют соотношениям ортонормированно-
сти
5 dq>$sinetfer;,m,(e,ф)у/>м(о, Ф)«вг^т. (алз)
о о
5. Шаровые функции Бесселя
Уравнение Гельмгольца
в сферических координатах принимает вид
W + *'] *(г' 9' ф) = °- (Б<2)
Если нет зависимости от <р, то решение уравнения
(Б.2) можно разложить в ряд по ортогональной си-
системе функций P/(cos0):
, 0) - Е Rt (r) Pi (cos 9). (Б.З)
Подставляя это разложение в уравнение (Б.2), прихо-
приходим к дифференциальному уравнению для функций
Положив здесь х = kr, приведем дифференциальное
уравнение к виду
Введем новую неизвестную функцию
*,(*). Lrh(x). (Б.5)
У*
Получаем, что она удовлетворяет уравнению Бесселя

258 Приложение
Два независимых решения этого уравнения даются
функцией Бесселя //+*/,(*) и функцией Неймана
Ni+y2(x). Функции Неймана определяются через функ-
функции Бесселя:
а сами функции Бесселя определены степенным рядом
? Г" •
С учетом преобразования (Б.5), определим шаро-
шаровые функции Бесселя и Неймана соотношениями
^ ^+*w- (Б-9)
Поскольку это — два независимых решения уравнения
(Б.4), общее решение уравнения (Б.2) в случае, когда
отсутствует зависимость от <р, дается формулой
¦ (г. в) = t [Atlt (kr) + Вт (kr)] Pt (cos 9). (Б. 10)
Входящие сюда константы AL и BL определяются гра-
граничными условиями, которыми нужно дополнить диф-
дифференциальное уравнение (Б.2). Далее,определим ша-
шаровые функции Ханкеля 1-го и 2-го рода:
l(x). (Б. 11)
Из сравнения формул (Б.9) и (Б.8) ясно, что при ма-
малых / они выражаются через элементарные функции:

Приложение 259
В общем виде
Пользуясь рядом (Б.8) для функции Бесселя, можно
видеть, что вблизи начала координат
2B/ + 3)
Таким образом, функция щ(х) в начале координат
расходится. В формулах (Б. 13) по определению
B/+1)!!«B/+1)B/-1)<2/-3) ... 5-31,
B/ — 1)!! = B/ — 1)B/ — 3)B/ — 5) ... 5-3.1.
В то же время при больших х:
Далее, докажем формулу Рэлея
exp {ikz) — ехр (/^г cos в) — ? B/ + 1) j'/1, (Jfer) P, (cos в).
/-о
(Б. 15)
Левая часть — плоская волна, распространяющаяся в
направлении оси г, следовательно, —это решение урав-
уравнения Гельмгольца (Б.1). Оно ограниченно при т = 0.
Поэтому в общем решении (Б. 10) нужно принять
S0
ехр (ikr cos в) — ? AiU (kr) Pi (cos в). (Б. 16)

260 Приложение
Коэффициенты Ai определим, сравнивая обе части ра«
венства. Так как соотношение (Б. 16) справедливо при
любых г, можно рассмотреть случай малых г. Разла-
Разлагая левую часть в ряд по степеням &rcos9 и применяя
в правой части формулу (Б. 13), получаем
\7 (ikr cos 6)*
/!
Согласно определению (АЛ), коэффициент при стар-
старшей степени (cos 6)' в P/(cos6) таков:
{2t)lf2l(llJ.
Поэтому должно выполняться равенство
(ikr cos ВI _ . B/I Frcos8)*
Я / 2l(l\)% B/+1)!! '
откуда
Подставляя найденное значение в формулу (Б.16),
приходим к искомой формуле Рэлея (Б.15).
Наконец, докажем справедливость разложения в
ряд по парциальным волнам для функции Грина, да-
даваемой формулой C.3) из гл. 3:
ik ? B/ + 1) -h (кГ<) Af> (kr>) Pt (cos x),
(Б.17)
exp (ikR)
R
t
Здесь /? = |г —г'|, а % — угол между векторами г и
г'. При Иф0 левая часть равенства (Б.17) удовлет-
удовлетворяет уравнению Гельмгольца (Б.1). Сначала рас-
рассмотрим случай г > г', Тогда в левой части при г-*~оо

Приложение 261
мы имеем расходящуюся сферическую волну. Следо-
Следовательно, левую часть равенства (Б. 17) можно разло-
разложить в ряд по степеням функций Ханкеля первого
рода hW(kr) [(формула (БЛ1)]:
(Б.20)
Z-0
Но при фиксированном г и переменном г' левая часть
равенства (Б.17) тоже есть решение уравнения Гельм-
гольца. И так как г ф О, в начале координат по г' нет
особенности. Следовательно, можно написать
Bt (kr) \t (kr') Pt (cos x). (Б.21)
Разложения (Б.20) и (Б.21) допустимы одновременно,
откуда вытекает, что искомое разложение должно
иметь вид
00
f^ Z > Pi <cos «)• (Б-22)
Для определения постоянных коэффициентов С/ срав-
сравним обе стороны равенства (Б.22) при г-^оо. В левой
части равенства (Б.22) при этом R-*r — r'cosx, а в
правой части можно использовать асимптотические
формулы (Б.14). Тогда формула (Б.22) при г->-оо
примет вид
-г exp {ik (г — г cos x)} =
т
//«(Лг'Х-^+'-^^-РДсозх),
/-0
т. е.
exp (— lkrf cos x) =
(Б.23)

262 Приложение
Положив в формуле Рэлея (Б.15) 0 = я —х> на осно-
основании соотношения
приведем ее к виду
ехр (- ikrf cos x) - ? B/ + 1) (- iI it {kr') Pt (cos %).
(Б.24)
Сравнивая формулы (Б.23) и (Б.24), находим
Подставив этот результат в формулу (Б.22), придем
к выражению (Б. 18). Мы рассмотрели случай, когда
г > г'. Путем аналогичных рассуждений, можно до-
доказать формулу (Б. 19) и в случае, когда r<Lr\ Объ-
Объединив оба случая, получим формулу (Б. 17),

Литература
ИЗБРАННЫЕ МОНОГРАФИИ
ПО ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
1. Wu Т. У., Ohmura Г., Quantum Theory of Scattering, Prentice-
Hall, 1962. (Имеется перевод: By Т. Ю., Омура Г. Квантовая
теория рассеяния. — М.: Наука, 1969.)
2. Goldberger М. L., Watson л. М., Collision Theory, John Wiley
& Sons, 1964. (Имеется перевод: Гольдбергер М., Ватсон К.
Теория столкновений. — М.: Мир, 1967.)
3. Mott N. /\, Massey H. G. №., The Theory of Atomic Collisions,
3rd ed., Oxford, 1965. (Имеется, перевод: Мотт Я., Месси Г.
Теория атомных столкновений. — М.: Мир, 1969.)
4. Newton R. (/., Scattering Theory of Waves and Particles
McGraw-Hill, 1966. (Имеется перевод: Ньютон Р. Теория рас-
рассеяния волн и частиц. — М.: Мир, 1969.)
5. Joachain С. /., Quantum Collision Theory North-Holland, 1975.
На японском языке есть только одна книга:
6. Томонага С, Тани Д., Миядзима Г., Кай Ц., Миядзава X.
Математические методы квантовой механики, Иванами. (Со-
(Современная прикладная математика.)
Упрощенное изложение теории рассеяния дается во многих учеб-
учебниках по квантовой механике.
Статей по приложениям теории рассеяния необозримо много (не-
(несколько тысяч или несколько десятков тысяч), и все их перечис-
перечислить здесь невозможно. Из типичных классических статей ука-
укажем три:
7. Metier С, Danske Videnskab. Gelskab. Mat-fys. Medd., 23
A945).
8. Lippmann B. A., Schwinger /., Phys. Rev., 79, 469 A950).
9. Gell-Mann M., Goldberger M. Ly Phys. Rev., 91, 368 A953).
Далее, в книге
10. Blatt J. M, Weisskopf V. F., Theoretical Nuclear Physics, John
Wiley & Sons, 1952 (имеется перевод: Блатт Дж., Вай-
скопф В. Теоретическая ядерная физика. — М.: ИЛ, 1954)
подробно даны приложения теории рассеяния к ядерной физике.
Предельные операции в гл. 4 изложены по статье
И. Sunakawa S., Progr. Theor. Phys., 14, 175 A955).
Метод описания системы трех тел с помощью V-координат в гл. б
изложен по статьям
12. Sunakawa S., Progr. Theor. Phys., 24, 963 A960).
13. Hirooka M., Sunakawa S.} Progr. Theor. Phys., 52, 131 A974).
14. Matsuda K.t Hirooka M.. Sunakawa S.. Progr. Theor. Phys., 5.
79 A975).

264 Литература
Методу Фаддеева посвящены статьи
15. Фаддеев Л. Д.-ЖЭТФ, 1961, т. 41, в. 6 A2), с. 1850.
16. Wetnberg S., Phys. Rev., B133, 232 A9Б4).
Обзор на японском языке по проблеме рассеяния в системе трех
тел содержится в статьях
17. Сасакава Г., сНихон буцуригаку дзасси», 23, 736 A968); 26,
658 A971).
Дополнение редактора перевода
1. Базь А. #., Зельдович Я. />., Переломов А. М. Рассеяние, реак«
ции и распады в нерелятивистской квантовой механике. — М.:
Наука, 1966.
2. Мигдал А. 5., Краппов В. П. Приближенные методы квантовой
механики. — М.: Наука, 1966.

Предметный указатель
Адиабатическая теорема 130
Амплитуда рассеяния 32
Атомный формфактор 52
Волновые пакеты 125
— групповая скорость 132
Выключение взаимодействия
адиабатическое 125
квазистатическое 125
Граничное условие задачи рас-
рассеяния 32
Параметр удара 16
Парциальные волны 71
анализ 70
Полиномы Лежандра 73, 254
Представление взаимодействия
113
— Гейзенберга 107
— Шредингера 107
Приближение оптическое 181
— первое борновское 48
— эйконала 59
Приведенная масса 28
Принцип детального равнове-
равновесия 150, 159, 161
Длина рассеяния 97
Динамический структурный
фактор 177
Корреляционная функция 178
Матрица рассеяния 123
Метод ослабления 15
Обращение времени 150
Оператор волновой Мёллера
130
— хронологический Дайсона
121
Оптическая теорема 47, 62, 148
обобщенная 88
Оптическая модель 180
Оптический потенциал 180
Рассеяние дифракционное 90
— многократное 14, 171
— многочастичной системой 168
— на абсолютно черном шаре
64
— на потенциальной яме в
квантовой механике 93
в классической ме-
механике 17
— на твердом шаре 84
— нейтронов в веществе 175
— обменное 247
— потенциальное 86
— прямое 247
— резерфордовское 19
— резонансное 76, 86, 182
S-волна 101
— с перегруппировкой частиц
162
— тождественных частиц 162
— электронов
на атомах 50
— — на атоме водорода 243

266
Предметный указатель
Резонанс при нулевой энергии
97, 99, 102
Сечение рассеяния дифферен-
дифференциальное 13
полное 13
— реакций 86
Система отсчета лабораторная
21
— центра масс 21
Соотношение взаимности 159
Состояние асимптотическое 20,1
— метастабильное 100
— рассеяния 137
— связанное 99
Угол рассеяния 13
Уравнение Гельмгольца 31
— движения гейзенберговское
109
— Липпмана — Швингера 40,
129, 192, 194, 195, 231
— Фаддеева 238
для волновой функции
241
Фазовый сдвиг 74, 79
Фазы рассеяния 74
— знаки 81
Фейнмановские диаграммы 54
Формальное решение задачи
рассеяния 42
Формула Брейта — Вигнера с
одним уровнем 105
— Ван-Хова 177
— Релея 71
Функция Грина 33
Шаровые функции 67
Бесселя 70, 258
Неймана 70, 258
Ширина резонанса 103
Эффект Рамзауэра — Таунсен
да 96
Ядерные реакции 86

Оглавление
Предисловие редактора перевода ... 5
Введение 7
Глава 1. Рассеяние и наблюдаемые величины .,,.,, И
§ 1. Сечение рассеяния 11
§ 2. Теория рассеяния в классической механике . . 15
§ 3. Лабораторная система и система центра масс 21
Глава 2. Стационарная теория рассеяния 26
§ 1. Выделение движения центра масса в системе
двух частиц 26
§ 2. Интегральное уравнение рассеяния 29
§ 3. Амплитуда рассеяния и дифференциальное се-
сечение 42
§ 4. Борновское приближение 48
§ 5. Квазиклассическое приближение 56
Глава 3. Разложение по парциальным волнам 65
§ 1. Уравнение Шредингера в сферических коорди-
координатах 65
§ 2. Разложение асимптотики волновой функции по
парциальным волнам 70
§ 3. Разложение интегрального уравнения рассеяния
в ряд по парциальным волнам 75
§ 4. Определение фаз рассеяния из условия непре-
непрерывности волновой функции 82
§ 5. Сечение реакций 86
§ 6. Приближенные методы, основанные на разло-
разложении по парциальным волнам 90
Глава 4. Нестационарная теория рассеяния ....... 106
§ 1. Представление Гейзенберга и представление
взаимодействия 106
§ 2. Теория S-матрицы 122
§ 3. Принцип детального равновесия и обращение
времени 149
§ 4. Взаимное рассеяние тождественных частиц . .162
§ 5. Рассеяние на многочастичных мишенях . . . 168
§ 6. Резонансное рассеяние 182

268 Оглавление
Глава 5. Теория рассеяния в системе трех тел 188
§ 1. Проблемы теории рассеяния с перегруппиров-
перегруппировкой частиц • . 188
§ 2. V-координаты 196
§ 3. Переход к Г-координатам 219
§ 4. Метод Фаддеева 231
§ 5. Рассеяние электронов на атоме водорода . . . 243
Приложение 254
Литература 262
Предметный указатель 265

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, каче-
качестве перевода и другие просим посылать по адресу: 129820, Мо-
Москва, И-ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изд-во «Мир».

С. Сунакава
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Ст. научный редактор Е. Куранский
Мл. научные редакторы Г. Сорокина» Р. Зацепина
Художник Ю. Урманчеев
Художественный редактор Л. Безрученков
Технический редактор Г. Алюлина
Корректор С. Денисова
ИБ JSfe 1624
Сдано в набор 24.08.78. Подписано к печати 19.12.78. Формат
84Х108'/з1. Бумага типографская № 2. Латинская гарнитура.
Высокая печать. Объем 4,25 бум. л. Усл. печ. л. 14,28. Уч.*
изд. л. 12,61. Изд. № 2/9859. Тираж 5000 экз. Заказ № 1271.
Цена 1 р. 60 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-НО, ГСП, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типогра-
типография. № 2 имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29

К сведению читателей
В МОСКОВСКОМ ДОМЕ КНИГИ
ОТКРЫТА ФИРМЕННАЯ СЕКЦИЯ
ПО ПРОДАЖЕ КНИГ ИЗДАТЕЛЬСТВА «МИР»
Здесь представлены книги по естественным наукам
и новой технике, выпущенные издательством «Мир».
Секция принимает заказы на готовящиеся к выпу-
выпуску научно-технические книги, а также высылает на-
наложенным платежом вышедшие ранее и имеющиеся
в продаже книги.
Адрес для заказов: 121019, Москва, Г-19, Проспект
Калинина, дом 26, п/я № 42. Московский Дом книги
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»