/
Автор: Зельдович Я.Б. Базь А.И. Переломов А.М.
Теги: физика механика квантовая механика квантовая теория поля теория рассеяния
Год: 1971
Текст
А. И. БАЗЬ, Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ, А. М. ПЕРЕЛОМОВ
Рассеяние,
реакции и распады
в нерелятивистской
квантовой механике
Издание второе,
исправленное и дополненное
издательство «наука>
главная редакция
физико-математической литературы
Москва 1971
530.1
Б. 17
УДК 530.145
Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой
механике, Б а з ь А. И., Зельдович Я: Б., П е р е л о-
м о в А. М., изд. 2-е, перераб., монография, Главная редакция
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971.
Книга посвящена вопросам квантовой механики, связанным с ее
приложениями к атомным и ядерным процессам. По характеру из-
изложения книга заполняет разрыв между учебниками и оригинальной
литературой. Наряду с конкретными задачами рассматриваются со-
современные общие методы, на примере нерелятивистской теории
разъясняется понятие перенормировки, важное для теории элемен-
элементарных частиц. Подробно рассмотрены следующие вопросы.
Свойства систем с малой энергией связи. Системы со случайным
вырождением — атом водорода, трехмерный гармонический осцил-
осциллятор. Аналитические свойства волновой функции и матрицы рас-
рассеяния. Функция Грина уравнения Шредингера. Точное решение за-
задачи об осцилляторе с переменной частотой под действием внешней
силы. Квазиклассические свойства вырожденного ферми-газа. Мно-
Многомерная квазиклассика, квазиклассическое приближение в неста-
нестационарном случае. Свойства нестабильных систем. Свойства много-
многоканальных систем. Пороговые явления. Описание системы из трех
тел с помощью уравнений Фаддеева. Изучение теории перенорми-
перенормировок на примере нерелятивистской модели Ли.
Альфред Иванович Базь,
Яков Борисович Зельдович,
Аскольд Михайлович Переломов
Рассеяние, реакции и распады в иерелятивистской квантовой механике
М., 1971 г., 544 стр. с илл.
Редактор В. В. Караваев
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры О. А. Сигал, Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 2/XI 1970 г. Подписано к печати 5/IV 1971 г. Бумага 84Х108Ч32.
Физ. печ. л. 17. Условн. печ. л. 28,56. Уч.-изд. л. 27,97. Тираж 6500 экз.
T-0651I. Цена книги 1 р. 97 к. Заказ № 851.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при
Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Глава I. Дискретный спектр 9
§ 1. Введение 9
§ 2. Состояния с малой энергией связи 18
§ 3. Точечное взаимодействие и эквивалентность его гранич-
граничному условию 26
§ 4. Частица в поле нескольких точечных потенциалов . . 30
§ 5. Кулоновский потенциал 34
§ 6. Трехмерный осциллятор 44
§ 7. Теорема вириала и ее обобщение 59
§ 8. Одинаковые частицы и статистическая физика ... 63
Глава II. Непрерывный спектр . 67
§ 1. Введение. Волновые функции непрерывного спектра
с / = 0 67
§ 2. Движение с орбитальным моментом / ф 0; движение
в кулоновском поле 76
§ 3. Волновые функции непрерывного спектра. Сечение рас-
рассеяния 85
§ 4. Оптическая теорема и ее обобщение 93
Глава III. Аналитические свойства волновой функции . . 98
§ 1. S-матрица и ее аналитические свойства 98
§ 2. «Ложные» полюса 110
§ 3. Свойства вычетов величины Si(k) 115
§ 4. Дисперсионные соотношения 122
Глава IV. Функция Грина в теория возмущений .... 130
§ 1. Введение. Функция Грина радиального уравнения
Шредингера 130
§ 2. Регулярный метод получения функции Грина .... 136
§ 3. Некоторые свойства функции Грина 143
§ 4. Функция Грина для нескольких свободных частиц . . 146
§ 5. Теория возмущений. Координатное представление . . 149
§ 6. Импульсное представление 155
§ 7. Функция Грина в импульсном представлении. Опера-
Операторная алгебра 163
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Оператор рассеяния 169
§ 9. Формулы для точечных потенциалов 175
§ 10. Теория возмущений в непрерывном спектре .... 181
§ 11. Сходимость ряда теории возмущений 186
§ 12. Временная функция Грина 194
Глава V. Квазиклассическое приближение 198
§ 1. Волновая функция в квазиклассическом приближении 198
§ 2. Квазиклассическое приближение для вырожденного
ферми-газа 204
§ 3. Многомерный случай 211
§ 4. Нестационарные задачи 224
Глава VI. Точные решения нестационарных задач для ос-
осциллятора 240
§ 1. Введение. Волновая функция осциллятора с перемен-
переменной частотой под действием внешней силы 240
§ 2. Квантовый осциллятор под действием внешней силы.-
Вероятности перехода 245
§ 3. Параметрическое возбуждение квантового осциллятора 248
§ 4. Осциллятор с переменной частотой под действием внеш-
внешней силы, вероятности перехода 256
§ 5. Квантовый осциллятор и адиабатические инварианты . 260
§ 6. Квазиэнергия системы, подвергающейся периодическо-
периодическому воздействию 236
§ 7. Гейзенберговское представление и канонические пре-
преобразования 273
Глава VII. Квазистационарные состояния 288
§ 1. Введение. Теория Гамова 288
§ 2. Волновые функции 297
§ 3. Пример квазистационарного состояния 302
§ 4. Распад квазистационарного состояния 308
§ 5. Закон радиоактивного распада 315
§ 6. Обобщение нормировки и теория возмущений для ква-
квазистационарных состояний 320
§ 7. Асимптотика волновой функции при г -> оо и t -> оо 324
§ 8. Рождение нестабильной частицы 328
§ 9. Переход от квазистационарных состояний к стацио-
стационарным 336
§ 10. Время соударения 339
§ П. Типы долгоживущих состояний 343
Глава VIII. Основные свойства многоканальных систем . . 346
§ 1. Волновая функция многоканальной системы .... 346
§ 2. Сечення. Унитарность S-матрицы 353
§ 3. Обратимость времени. Симметрия S-матрицы .... 356
§ 4. Некоторые аналитические свойства S-матрицы . . . 364
§ 5- Ограничения на величину вычетов элементов S-матрицы 367
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 6. Выражение для S-матрицы. Ее связь с /?-матрицей 371
§ 7. Среднее время жизни состояний непрерывного спектра 375
Глава IX. Пороговые явления 380
§ 1. Энергетическая зависимость сечения упругого рассеяния
при малых энергиях 380
§ 2. Энергетическая зависимость сечений двухчастичных ре-
реакций при малых энергиях начальных или конечных
частиц 285
§ 3. Энергетическая зависимость сечения рассеяния Х(а, а)Х
вблизи порога- реакции X(a,b)Y; X,a,b,Y— бесспиио-
вые нейтральные частицы 391
§ 4. Физика явлений вблизи порога неупругого канала . . 395
§ 5. Обобщение на случай частиц со спином 397
§ 6. Обобщение на случай многих каналов 432
§ 7. Форма особенностей вблизи порога рождения заря-
заряженных частиц 401
Глава X. Задача трех тел 413
§ 1. Обозначения 4\\
§ 2. Переход к уравнениям Липпмаиа—Швингера .... 42Э
§ 3. Уравнения Фаддеева 424
§ 4. Общие формулы для сечений 432
§ 5. Уравнение Скорнякова—Тер-Мартиросяна ..... 434
§ 6. Движение двух частиц во внешнем потенциальном поле.
Обозначения и постановка задачи 438
§ 7. Формулы для нахождения амплитуд различных про-
процессов 446
§ 8. Две частицы во внешнем поле. Случай точечного взаи-
взаимодействия между частицами 451
§ 9. Рассеяние нейтронов на химически связанном протоне 458
Глава XI. Модель Ли 463
§ 1. Введение. Импульсное представление ....... 463
§ 2. Координатное представление 475
§ 3. Взаимодействие с нестабильной промежуточной части-
частицей 480
§ 4. Взаимодействие частиц N и V 484
§ 5. Векторное взаимодействие 487
§ 6. Несохранение четности в модели Ли 498
§ 7. Электрический дипольный момент нестабильной частицы 505
Приложения: А. Спектр энергий уравнения Шредингера в осо-
особых случаях 513
Б. Квазиклассические свойства высоковозбужден-
высоковозбужденных уровней в кулоновском поле 529
Литература 533
Алфавитный список авторов иностранных публикаций . , , , 542
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Подобно тому как «демографический взрыв» трево-
тревожит социологов и экономистов, проблема «информацион-
«информационного -взрыва» во весь рост стоит перед научными работ-
работниками и педагогами.
Разница между этими проблемами заключается в
том, что ограничение рождаемости легче осуществить по
отношению к народонаселению, чем по отношению к по-
появлению новых статей.
Только редактор научного журнала мечтает о золотом
веке, когда авторы сами строго рецензируют и отклоняют
все свои статьи, за исключением гениальных.
Рождение статьи, содержащей хотя бы небольшое
продвижение по сравнению с достигнутым уровнем знания
доставляет авторам статьи удовлетворение, отказаться от
которого невозможно. Не следут бороться с «информа-
«информационным взрывом». Энергию этого взрыва, т. е. усилия
огромной армии научных работников нужно направить
в общее русло.
Возможно, что в химии и зоологии главным является
классификация информации и механизация поиска мате-
материалов, относящихся к тому или иному химическому
соединению или биологическому виду.
В теоретической физике, по нашему убеждению, важ-
важнейшее значение имеют обзоры и монографии, подытожи-
подытоживающие работы в определенных актуальных областях.
Такой обзор должен по возможности объективно отби-
отбирать наиболее важные результаты большого числа работ.
В принципе учебники, обновляющие материал по мере
развития науки, ставят перед собой ту же цель. На щите
(точнее — в предисловии) знаменитого Курса теоретиче-
теоретической физики Ландау и Лифшица начертано, что изучение
курса дает подготовку, достаточную для работы над
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ' 7
оригинальными журнальными статьями. Фактически в
последние годы ощущается некий разрыв между учеб-
учебниками и новыми оригинальными работами. Предлагае-
Предлагаемая книга предназначена для того, чтобы заполнить
этот разрыв и служить промежуточным звеном между
курсом квантовой механики и современным уровнем в
ряде вопросов атомной и ядерной физики и отчасти фи-
физики элементарных частиц.
Перечислим общефизические вопросы, рассматривае-
рассматриваемые в монографии.
1. Системы с малой энергией связи; примерами яв-
являются дейтон — отрицательный ион водорода.
2. Системы с кулоновым потенциалом — атом водо-
водорода.
3. Нестабильные системы — радиоактивные ядра,
автоионизационные состояния.
4. Подробная теория гармонического осциллятора
(отсутствовала в первом издании), применимая также
к колебаниям электромагнитного поля в лазерных си-
системах.
5. Системы с многоканальным сплошным спектром —
сталкивающиеся частицы, которые в ходе столкновения
перегруппировываются, т. е. вступают в ядерные ре-
реакции.
6. Системы, состоящие из трех тел (в первом издании
не рассматривались).
Наряду с объектами, относящимися к атомной и
ядерной физике, рассматриваемыми в монографии, нуж-
нужно отметить те общие методы теоретической физики, ко-
которые рассмотрены гораздо более подробно, чем это де-
делается в учебниках, например:
1. Аналитические свойства волновой функции и мат-
матрицы рассеяния.
2. Функция Грина уравнения Шредингера.
3. Квазиклассическое приближение.
Несколько особняком стоит глава о теории перенор-
перенормировки. Традиционно теория перенормировки рассма-
рассматривается на поздней стадии изучения теории квантован-
квантованных полей. При строго логическом подходе такое распо-
расположение материала вполне обосновано: теория перенор-
перенормировки в применении к элементарным частицам требует
8 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
релятивистских уравнений. Однако опыт изучения и пре-
преподавания говорит о больших педагогических трудностях
строгого подхода.
На учащегося сразу обрушиваются трудности различ-
различной природы — как те, которые связаны с самими поня-
понятиями перенормировки, так и трудности релятивистской
теории с бесконечным числом процессов и диаграмм.
Представляется целесообразным на модели, не имею-
имеющей реального физического прототипа, уяснить одну сто-
сторону дела— принцип введения перенормированной массы
и заряда. Эта задача решается на примере модели Ли,
причем способом несколько отличным от предложенного
самим Ли.
Второе издание сдано в печать через 3,5 года после
сдачи первого. Объем переработки характеризуется тем,
что общее число листов и список литературы увеличи-
увеличились примерно в полтора раза.
В книге принята новая по сравнению с предыдущим
изданием система ссылок на научную литературу; в тек-
тексте приводится не номер ссылки, а фамилия автора и
год издания. При этом фамилии иностранных авторов да-
даны в русской транскрипции. В затруднительных случаях
транскрипцию иностранных авторов можно установить
по списку, приведенному в конце книги на стр. 542.
В предисловии не принято указывать, какие вопросы
не освещены в книге, — перечисление их трудно ограни-
ограничить, и оно наносит ущерб авторам.
Отступая от традиции, мы хотим отметить два вопро-
вопроса, которые естественно было бы ожидать в современном
изложении квантовой механики: это полюса Редже и
фейнмановские интегралы по траекториям. Оба вопроса
хорошо освещены в литературе на русском языке, и по-
поэтому мы сочли возможным опустить их.
Пользуемся случаем поблагодарить В. С. Попова,
просмотревшего новый вариант книги, за ряд полезных
замечаний.
А. Базь, Я. Зельдович, А. Переломов
ГЛАВА I
ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР
§ 1. Введение
Настоящая глава посвящена описанию некоторых
свойств решений уравнения Шредингера, принадлежа-
принадлежащих дискретному спектру. Как известно, такие решения
описывают связанные состояния. Мы разберем три кон-
конкретных случая: а) состояния с малой энергией связи,
б) связанные состояния в кулоновском поле, в) состоя-
состояния трехмерного гармонического осциллятора.
Состояния с энергией связи е, малой по сравнению
с глубиной ямы и0, имеют важное значение в примене-
применениях; в качестве примера можно привести основное со-
состояние дейтона. Свойства этих состояний довольно по-
подробно рассмотрены в §§ 2 и 3, причем особое внимание
уделено тому случаю, когда е -> 0, т. е. уровень только
что появился. В следующем параграфе рассматривается
движение частицы в поле нескольких потенциальных ям.
При этом вводится и обосновывается важное понятие
псевдопотенциала.
Поскольку случаи б) и в) подробно разбираются
практически во всех учебниках по квантовой механике,
мы обратим все внимание на выяснение специфических,
качественных свойств этих состояний. В этих случаях,
как известно, существует вырождение (обычно называе-
называемое «случайным» вырождением) между состояниями с
различными значениями момента количества движения /.
Поэтому стационарными состояниями являются также
суперпозиции состояний с различными значениями /, и
наряду с обычной классификацией уровней можно ввести
и другую классификацию.
Ю ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Выражение «случайное» вырождение не надо пони-
понимать буквально!
Возникновение такой ситуации всегда не случайно.
Оно является следствием особого свойства классической
механической системы — наличия замкнутых траекторий.
В квантовой механике уравнение Шредингера для таких
систем допускает разделение переменных в нескольких
системах координат. Более важным свойством, однако,
является существование группы преобразований, кото-
которые оставляют уравнение Шредингера неизменным. Все
остальные свойства являются следствием существования
этой группы. Эти вопросы рассмотрены в § 5 для куло-
новского потенциала и в следующем параграфе для ос-
осциллятора. В § 6 рассмотрены также так называемые
«когерентные» состояния. Эти состояния, не являющиеся
стационарными, обладают рядом интересных свойств/на-
свойств/например свойством наибольшей близости (в некотором
смысле этого слова) к свойствам классического осцил-
осциллятора.
В § 7 дан вывод так называемой теоремы вириала и
рассмотрены некоторые ее обобщения. Наконец, в послед-
последнем параграфе этой главы рассматривается вопрос о ста-
статистических свойствах системы тождественных частиц.
Несколько слов о чтении книги.
Параграф первый дается лишь для того, чтобы ввести
обозначения, употребляемые далее. Читателю, недавно
изучавшему обычный курс квантовой механики, настоя-
настоятельно рекомендуем не читать дальше этот параграф.
В противном случае он получит превратное представле-
представление о содержании и может отложить книгу, не дойдя до
вещей, ему неизвестных и интересных.
Напомним теперь некоторые основные положения
квантовой механики.
Состояние системы в нерелятивистской квантовой ме-
механике полностью описывается волновой функцией Ч*", а
изменение ^-функции с течением времени определяется
уравнением Шредингера (в дальнейшем для сокращения
будем писать у. Ш.)
ib^~ = HV, A.1)
где Н — гамильтониан системы, й — постоянная Планка.
§ И ВВЕДЕНИЕ И
Мы будем рассматривать в основном (за исключением
§ 4 гл. V и гл. VI) тот случай, когда гамильтониан не за-
зависит явно от времени. При этом существуют стационар-
стационарные состояния, т. е. состояния, для которых плотность
Вероятности l^l2 с течением времени не изменяется.
Волновая функция такого состояния имеет вид
iEt
отсюда следует, что ф является собственной функцией
гамильтониана
A.2)
описывающей состояние с определенной вещественной
энергией Е.
Для случая одной частицы в постоянном внешнем
поле имеем
A.20
Волновая функция ф(г) должна удовлетворять обыч-
обычным условиям: она обязана быть однозначной*) и непре-
непрерывной во всем пространстве.
В большом числе практически важных задач потен-
потенциал U(г) является сферически симметричным, т. е.
зависит только от г. В таком поле оператор момента ко-
количества движения L коммутирует с оператором Гамиль-
Гамильтона Н (это соответствует сохранению момента количе-
количества движения в классической механике). Кроме того,
оператор Н коммутирует с оператором инверсии Р
*) Условие однозначности волновой функции подробно рассма-
рассматривалось В. Паули A939). Это условие приводит, например, к та-
таким нетривиальным эффектам, как квантование магнитного потока
в многосвязном сверхпроводнике (Ф. Лондон, 1950; Н. Байере,
Чж. Н. Янг, 1961) и возникновение квантованных вихревых нитей
в жидком гелии (Л. Онзагер, 1949; Р. Фейнман, 1955). Оно играет
существенную роль при выводе квантовых условий Бора — Зоммер-
фельда для многомерного случая, см. § 3 гл. V.
12 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
(свойство, не имеющее аналога в классической механике
(Е. Вигнер, 1964)).
Так как операторы Я, L2, Lz и Р коммутируют друг
с другом, то собственные состояния Н могут являться
одновременно и собственными состояниями L2, Lz и Р.
Иными словами, стационарное состояние может иметь:
определенное значение орбитального момента /, причем
L2 = /(/ + 1), где / — целое; определенное значение про-
проекции момента m на произвольно выбранную ось г,
причем m принимает B/ + 1) значение от —/ до +/, и
определенную четность Р = -М или Р = —1. В одноча-
стичной задаче четность однозначно определяется орби-
орбитальным моментом Р = (—1)', т. е. совпадает с четностью
числа /. Из сказанного выше следует, что существуют
решения у. Ш., имеющие вид
Rdr)Ylm(Q,q>). A.3)
Здесь 9 и ф — полярный и азимутальный углы векто-
вектора г, Yim(Q, ф) — сферические функции, a Ri(r) — функ-
функция, зависящая только от г. После подстановки A.3) в
A.2') для Ri получается уравнение
М], = 0. (..4)
Введем новую функцию
которая удовлетворяет уравнению
%'{ + [k2 - (V (г) + 1S^L)] %i = 0, A.5)
уже не содержащему первой производной. Величина k
здесь равна |/2т?/й2, a V = -^-U.
Там, где это не сможет вызвать недоразумений, мы и
V будем называть потенциалом.
Центробежный потенциал 2 можно включить в
V, после чего уравнение A.5) принимает вид
= Q. A.6)
§ 1) ВВЕДЕНИЕ 13
Свойства этого уравнения хорошо известны из курсов
квантовой механики (и в первую очередь из «Квантовой
механики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица A963). Отме-
Отметим еще весьма полный курс Р. Ньютона A966))*).
В случае несингулярного потенциала ф(г) конечна,
откуда следуют граничные условия для %ц:
+0 при г-^0, ]
_^n A.7)
тконечна при гФЪ и г->оо.
Кроме того, %k и %'k, естественно, при г>0 должны
быть непрерывными **).
Условимся также в тех случаях, когда при г -> оо
V(r) стремится к определенному пределу, таким образом
выбирать начало отсчета шкалы энергии, чтобы на бес-
бесконечности потенциал V(r) обращался в нуль.
Почти все встречающиеся в природе взаимодействия
между частицами (кроме кулоновского и некоторых дру-
других) описываются быстро падающими потенциалами,
т. е. потенциалами, убывающими быстрее, чем 1/г, при
больших г. Во многих случаях к тому же при г, большем
некоторого R, этими взаимодействиями можно прене-
пренебречь и считать, что V(r) = 0 при r>R. Такие потен-
потенциалы будем называть короткодействующими. Введение
радиуса обрезания R сильно упрощает все формулы, и
мы сначала рассмотрим именно этот случай. Центробеж-
Центробежный потенциал нельзя считать короткодействующим, и,
чтобы не усложнять дела, положим орбитальный момент
/ равным нулю.
*) История возникновения и развития квантовомеханических
представлений подробно рассмотрена в книге М. Яммера A966) и
сборнике оригинальных работ по квантовой механике под редак-
редакцией Б. ван дер Вардена A967). Математически строгое исследо-
исследование ряда принципиальных вопросов квантовой механики, например
процесса измерения, можно найти в книге И. фон Неймана A932).
Современное изложение этих вопросов дано в книге Дж. Яуха
A968). Приближенные методы в квантовой механике рассмотрены
в книге А. Б. Мигдала и В. П. Крайнева A966).
**) Это связано с тем обстоятельством, что в уравнение A.6)
входят вторые производные: в случае разрывного %k или %k правая
часть A.6) не равна нулю, а содержит 8- или б'-функцию.
14 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Итак, мы приходим к следующей постановке задачи:
найти все решения з&(г) уравнения
%b+(k2-V{r))lk = Q при r<R, 1
} A6'
= Q при г>Я, } (>)
удовлетворяющие условиям A.7). При этом волновая
функция
Ф(г) = ^о(г)Гоо@,Ф) = ^^-. -. A.3")
В области r>R, как видно из. второго уравнения
A.6'), имеются два решения*)
Х<±) = в±^. A.8)
При г < R также имеются два решения, но из них
можно использовать лишь одно, так как второе не удо-
удовлетворяет граничному условию при г = 0. Действитель-
Действительно, будем искать %k при г->0в виде степенной функ-
функции га; тогда из A.6')
a{a-l)~-r2(k2-V(r)).
Если r2V(r)—*0 **), то для а получаются два значения: 0.
и 1. Соответственно этому при г->0 у. Ш. допускает два
решения:
г|)!(г)->а при r-*0, i|52(r)->— при г->0,
где а и Ь — постоянные. Решение фг, однако, должно быть
отброшено, так как
д! = - 4я6б(г)
*) В случае быстро падающих потенциалов также существуют
два решения xj^' (О> которые при больших значениях г ведут себя
как e±thT. Эти решения часто обозначают через /(Т k, r). Их свой-
свойства были довольно подробно рассмотрены в работе Р. йоста
A947). Для потенциалов с кулоновским хвостом U « а/г при
асимптотика функций %^ (г) имеет вид е~ ' (kr~r\ln2ki')) где ^= ^
**) Если это условие не выполняется, то потенциал называется
сингулярным. Новые качественные явления, возникающие при этом;
обсуждаются в приложении А.
ВВЕДЕНИЕ
15
и, следовательно, i|J в точке г = О не удовлетворяет
у. Ш. *). Остается единственное решение i|>i, отвечающее
значению о = 1.
Приведенное рассуждение можно рассматривать как
обоснование наложенного выше граничного условия
%(г)—*-0 при г—>О. Решение, удовлетворяющее этому
условию, будем обозначать через у$ (г)-
Рассмотрим теперь области положительных и отрица-
отрицательных энергий**). Положительным энергиям соответ-
соответствуют действительные значения k. В этом случае оба ре-
решения A.8) остаются конечными при всех значениях
r^R, т. е. оба решения в этой области приемлемы.
Наиболее общее решение при г > R можно записать
как
^-S(k)xWy A.9)
При г = R это решение должно непрерывным образом
сшиваться с решением во внутренней области:
AЛ0)
Сшивку всегда можно произвести, подобрав соответ-
соответствующим образом величины А к S. Действительно, рас-
рассматривая A.10) как систему уравнений для определе-
определения А п S, легко получить
V(-
л \к) ~
_ v(+)v@)
x, xft.
_ v(+)v@)
A.11)
Таким образом, при каждом положительном значении
энергии имеется одно и только одно решение у. Ш. Фи-
Физический смысл этого решения мы обсудим позже.
*) Такого типа решение мы используем для описания точеч-
точечного взаимодействия.
**) Более подробно случай положительных энергий разби-
разбирается в гл. II.
16 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
При отрицательных энергиях положение существенно
меняется. Отрицательным Е соответствуют мнимые k:
k = i\k\*).
Решение X/T)==e'ft'r экспоненциально возрастает
при г—»-с» и, следовательно, не удовлетворяет второму
из условий A.7). Наиболее общее решение при r>R,
стало быть, имеет вид
A lk\ v(+) (r\ (\" 1 91
а условие сшивания внешней и внутренней функций —
= -\k\. A.13)
,@)
По существу, это условие является трансцендентным
уравнением для определения \k\ и, следовательно, оно
может выполняться лишь при некоторых дискретных
мнимых значениях k = kn (или соответственно при ди-
дискретных отрицательных значениях энергии Еп).
Необходимо также, как видно из A.13), чтобы лога-
логарифмическая производная функции я40) была отрица-
отрицательна. Это, как будет видно из дальнейшего, имеет ме-
место, лишь если V(r) является в основном отрицательным
(что соответствует притяжению) и достаточно большим
по абсолютной величине. В этом случае функций ди-
дискретного спектра при г > R имеют вид
т. е. экспоненциально затухают при больших г**). При
*.) Мы считаем, как это обычно принято, что k находится в верх-
верхней полуплоскости. Можно было бы рассмотреть и значения k в
нижней полуплоскости; при этом х(+) и х(-) поменялись бы ролями.
**) Заметим, что в случае быстро падающих потенциалов
функция %k (г) асимптотически ведет себя как е ' п| при г-><х>,
а для потенциалов с кулоновским хвостом U (г) при г-*оо
§ 1] ВВЕДЕНИЕ 17
r<R функции конечны, и потому интеграл
оо
J \%kn(r)\*dr A.14)
о
сходится. Функцию %kn обычно нормируют так, чтобы
этот интеграл был равен единице. Так как %k экспонен-
экспоненциально затухает при г > R, то решению соответствует
локализованное в пространстве состояние частицы. По-
Подобные решения отвечают классическому финитному
движению частицы с отрицательной энергией, а соответ-
соответствующие им состояния в обычном случае несингуляр-
несингулярного потенциала называют связанными состояниями*).
Таким образом, при положительных энергиях у. Ш.
имеет решение (удовлетворяющее граничным условиям)
при каждом положительном значении Е (т. е. при № > 0),
притом при любом значении /.
Для отрицательных энергий при фиксированном зна-
значении / решения возможны (если вообще возможны)
лишь при некоторых дискретных значениях Е = Eni- Фор-
Формулируют это обычно так: при положительных энергиях
спектр собственных значений энергии непрерывен, а при
отрицательных — дискретен.
В случае дискретного спектра каждый уровень, во-
вообще говоря, имеет определенное значение /. Уровни
с одинаковым /, но различными т, вырождены, что яв-
является следствием сферической симметрии потенциала.
Однако при / ф 0 сами решения уже не являются
сферически-симметричными; их угловая зависимость
определяется угловой частью волновой функции
*)
*) В случае сингулярного потенциала ситуация усложняется,
см. Приложение А.
**) Отметим тут же, что сумма 2 | У\т Ф> ф) |2 ие зависит от
углов 0 и ф. Отсюда следует, что если при данном / частица с оди-
одинаковой вероятностью может находиться в состояниях со всеми
возможными значениями т, то плотность вероятности иайти частицу
в заданной точке пространства обладает сферической симметрией.
С этим же обстоятельством связан и тот факт, что в случае
замкнутых электронных оболочек атома или же замкнутых оболочек
ядра плотность заряда сферически-симметрична.
18 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
При этом решение обладает также определенной чет-
четностью Р. Вырождение, соответствующее различным т
при одинаковом /, ничего не меняет — все вырожденные
уровни и любая их линейная комбинация (также являю-
являющаяся решением) обладают одним и тем же Р. Вели-
Величина |i|)|2—плотность вероятности (для заряженной ча-
частицы— плотность заряда) при инверсии координат не
изменяется, так как при такой замене i|) переходит либо
в i|j, либо в —1|з. *
Так доказывается, что распределение заряда в сфе-
сферически-симметричном потенциале всегда имеет центр
симметрии (хотя и не обязано быть сферически-симме-
тричным) и, следовательно, электрический дипольный
момент должен быть равен нулю.
В специальном, физически весьма важном случае ку-
Ze2
лоновского потенциала U = имеет место так назы-
называемое случайное вырождение, т. е. точное равенство
энергии уровней с различными /. При этом нарушается
и вывод об обязательном равенстве нулю дипольного мо-
момента, т. е. частица может находиться в состоянии с ди-
польным моментом, отличным от нуля (этот эффект бу-
будет специально рассмотрен ниже, в § 5).
§ 2. Состояния с малой энергией связи
Рассмотрим у. Ш. с U(r)<0. Заметим, что в этом
случае имеется следующее различие между классической
и квантовой механикой: в классической механике доста-
достаточно любой, самой маленькой потенциальной ямы, что-
чтобы связать частицу; частица может покоиться на дне
этой ямы, т. е. существует решение с Е = f/min < 0.
В квантовой механике в трехмерной задаче, оказы-
оказывается, есть определенные критические условия для того,
чтобы существовал хотя бы один дискретный уровень;
для этого яма должна быть достаточно «широка и глу-
глубока». Такой результат качественно понятен с точки зре-
зрения принципа неопределенности: частица может быть
связана потенциалом U(r), если она проводит опреде-
определенную долю времени в области, где потенциал отличен
от нуля и отрицателен. Но локализация частицы означает
§ 2] СОСТОЯНИЯ С МАЛОЙ ЭНЕРГИЕЙ СВЯЗИ 19
увеличение ее среднего импульса и средней кинетической
энергии. Поэтому в неглубокой и узкой яме невозможно
построить решение с отрицательной полной энергией, нет
дискретного уровня *).
Большой интерес представляет ситуация на грани
возникновения дискретного уровня, когда уровень толь-
только-только появился, т. е. когда глубина и ширина ямы
близки к своему критическому значению. При этом полу-
получается решение, отличающееся тем, что частица лишь
малую долю времени проводит в яме( эта доля стремит-
стремится к нулю при приближении к критическим условиям)
и свойства решения слабо зависят от вида U(r). С такой
ситуацией мы сталкиваемся, например, в теории дей-
тона — связанного состояния протона и нейтрона (Г. Бе-
Бете, Р. Пайерлс, 1935).
Найдем сперва условие существования уровня в слу-
случае «прямоугольной ямы», т. е. потенциала вида**)
?/ = 0
Уравнение Шредингера A.6) имеет вид
Х"+(-и2 + К0)х = 0 при г<?, |
Х//-и2х = 0 при r>R. J B>2)
Здесь мы ввели обозначение к = —ik. Так как нас инте-
интересуют связанные состояния, энергия которых отрица-
отрицательна, то k является чисто мнимым (k — i\k\), так что к
оказывается действительным: %= \k\.
*) Впрочем, это рассуждение не вполне совершенно, поскольку
оно кажется применимым также к одномерному и двумерному слу-
случаям, а в этих случаях уровень существует при любом значении
глубины и ширины ямы (см. по этому поводу примечание на стр. 22).
Отметим здесь же, что при любой глубине ямы включение сколь
угодно слабого магнитного поля приводит к появлению уровня
(Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, 1965А).
**) Мы предполагаем выполненными условия R > h/mc и
Uo < tnc2, необходимые для возможности описания взаимодействия
частиц с помощью потенциальной ямы.
20 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Удовлетворяющие граничным условиям решения B.2)
имеют вид
- а2 при г<#,
% = Ае~*г при r>R.
Приравнивая значения этих функций и их производных
в точке сшивки г = R, получаем
В sin KR = Ae-*z,
BKcosKR=-xAe-**.
Найдем абсолютную величину потенциала |?/|= Ui, не-
необходимого для возникновения связанного состояния.
Энергия состояния, которое только что появилось, равна,
очевидно, нулю. Поэтому, полагая х = 0 в B.4), полу-
получаем
уГ$ ?? & B.5)
Зависимость Ui ~ R~2 относится не только к прямо-
прямоугольной яме, а является общей. В самом деле, пусть
для определенного U(r) у. Ш. имеет решение г|э (г) с дан-
данной энергией Е. Произведем преобразование подобия
t|j(/•)-> 1|л(г) = a3/ji|j(ar). (Множитель а/г перед ijj выбран
так, чтобы сохранялась нормировка. В силу линейности
этот множитель в у. Ш. сократится.)
Для того чтобы у. Ш. с новым i|j удовлетворялось то-
тождественно, нужно произвести замену Е —*¦ Ei = a2E и
U (г) -»- azU(ar), так как
~ Дг-Ф (ar) + a2 (- U (ar) + Е) ф (ar) =
Таким образом, при преобразовании подобия умень-
уменьшение линейных размеров в а раз сопровождается уве-
увеличением всех энергий ~а2, т. е. обратно пропорцио-
пропорционально квадрату линейных размеров. Физическая при-
причина, этого в том, что импульс обратно пропорционален
длине волны, а следовательно, кинетическая энергия об-
обратно пропорциональна квадрату длины.
§ 2] СОСТОЯНИЯ С МАЛОЙ ЭНЕРГИЕЙ СВЯЗИ 21
Найдем вероятности Wi и W% того, что частица нахо-
находится «в яме» (т. е. в области г < R) или вне ямы
(г > R) соответственно; эти вероятности равны W{ =
= \%2dr и №2=J %2dr, а сумма их Wi + W2 = 1 по
о r
условию нормировки. Приведем точное значение вели-
величины W2:
Пренебрегая и2 по сравнению с Vo под корнем в B.3)
и считая VVoR *** я/2. найдем
Таким образом, при у- -> 0 частица почти все время про-
проводит вне ямы *).
Среднее значение кинетической энергии
Среднее значение потенциальной энергии
Так^ак T> \E\, \Щ > \E\, то энергия связи 8 = — Е =
= \U\ —Т является малой разностью^двух больших ве-
величин. Чтобы найти Е как сумму Т + U, надо вычислить
*) Нетрудно видеть, что это утверждение остается справедли-
справедливым для связанного состояния с Z = О и е -*- О в произвольном ко-
короткодействующем потенциале. В соответствии с этим прн 8 = 0 вол-
волновая функция уже не является нормируемой. Однако при наличии
дальнодействующего потенциала отталкивания ситуация меняется:
величина Wi стремится при e->0s определенному пределу, отлич-
отличному от нуля, а волновая функция остается нормированной и при
8 = 0: прн наличии кулоновского взаимодействия
отсутствии его, но при
22 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
следующие члены разложения Т и U по степеням kz/Vo,
что мы предоставляем проделать самому читателю*).
При данном R есть критическое значение Uu при ко-
котором Е = 0. Будем теперь постепенно «углублять» по-
потенциал и посмотрим, как изменится энергия связи.
Применяя теорию возмущений, найдем
dE = Wx dU « j Y4t dU-
Отсюда сразу же следует
V=E*^ ^""-^'. B.6)
16 ?/,
Таким образом, кривая зависимости энергии связи от
глубины ямы имеет при возникновении уровня характер-
характерную особенность — она касает-
касается оси абсцисс (рис. 1). Этот
факт является общим и не за-
зависит от конкретного вида по-
потенциала U(г), т. е. в случае
\ s-состояния (/ = 0) справедлив
для любого потенциала.
Рис- 1- До сих пор рассматривался
простейший вид потенциала —
прямоугольная яма. Оказывается, однако, что необ-
необходимое условие существования связанного состояния
можно получить и в случае произвольного потенциа-
потенциала. Заметим прежде всего, что если потенциал VW(r)<
< V(r) при всех г, то для соответствующих чисел свя-
связанных состояний njl) и nt с орбитальным моментом /
имеет место неравенство rtip~^nv Поскольку в случае
необходимости можно перейти к рассмотрению потен-
*) Легко убедиться в том, что в одномерном случае при -г?—> 0
и потому всегда существует уровень с энергией ?¦«?/=— •=—
В двумерном случае уровень также всегда существует, однако энер-
энергию связи таким способом получить не удается, поскольку в этом
случае Г«|?/|, а Е = Т — \U\ оказывается экспоненциально малой
величиной.
§ 2] СОСТОЯНИЯ С МАЛОЙ ЭНЕРГИЕЙ СВЯЗИ 23
циала VW(r) = — | V(r) |< V(r), можно ограничиться
рассмотрением всюду притягивающих потенциалов
(V()<0)
())
Начнем с рассмотрения состояний с / = О, Е = 0.
Уравнение A.6) в этом случае принимает вид
Хо' + тхо = О. B.7)
Интегрируя B.7) по г от 0 до оо, что можно сделать в
случае не слишком сингулярного потенциала, и учиты-
учитывая, что в момент появления первого уровня х'(оо)==0.
получаем
оо
J
J B.8)
о
Нормируем теперь волновую функцию %о так, что
%д@) = 1. Поскольку волновая функция основного со-
состояния не имеет нулей, то %0(г) > 0. С другой стороны,
в силу отрицательности потенциала Xq' = ^Хо^О> откуда
следует, что Хо(г) монотонно уменьшается с ростом г, и
следовательно, %0(г) < г. Подставляя в B.8) г вместо
Хо(/*), приходим к условию существования связанного со-
состояния
оо
/ = J \V\rdr^l. B.9)
о
Это условие, полученное впервые в работе Р. Иоста и
А. Пайса A951), необходимо, но, как будет видно из
простейших примеров, еще недостаточно для существова-
существования связанного состояния.
Если притягивающий потенциал (У(г)<0) является
монотонной функцией (V'(r)>0), то известно еще одно
необходимое условие существования связанного состоя-
состояния, полученное Ф. Калоджеро A967):
=V(r)dr^L B.10}
Это неравенство не может быть усилено, поскольку знак
равенства достигается для потенциала типа прямоуголь-
прямоугольной ямы.
24 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Обобщение условия B.9) на случай произвольного
орбитального момента / и не обязательно основного со-
состояния имеет вид (В. Баргманн, 1952)
nlBl+l)<j\V\rdr. B.11)
Заметим, что для потенциала V(r) — —g28(r — r0)
(здесь б (г — го)—одномерная б-функция) неравенство
B.11) в случае возникновения первого связанного со-
состояния превращается в равенство, и потому усилить его,
не накладывая дополнительных ограничений на потен-
потенциал, нельзя. Приведем простой вывод этого неравен-
неравенства, данный Ю. Швингером A960А). Заменим V(r) на
XV(г) и будем увеличивать А, от 0 до 1. При таком уве-
увеличении потенциала в нем будут последовательно воз-
возникать связанные состояния. Пусть i-e связанное состоя-
состояние возникает при X = Хг, тогда Xi < Х% < ... < Хп < 1 <
<Я,п+1. Уравнение A.5) для нулевой энергии Е = О экви-
эквивалентно интегральному уравнению (см. гл. IV)
fc = A.J dr'gl{r,r')\V{r')\%l{r% B.12)
где °
gt(r, rr) = 2[l+l rl+xr~l, r< = min (r, r'), r> = max(r, /).
B 13)
После замены ' '
Ф/ = I V Г/г X/. ^Cz (г, г') = | V (г) ik gi (r, г') | V {rr) |'/г. B.14)
приходим к уравнению с симметричным ядром
J I\l\ > ) l\ ) Л 4>i\r). [Z.LO)
о
Но след оператора равен сумме его собственных значе-
значений, откуда находим
г
5 °° ni ni
^ " -=я/, B.16)
О i = l i = l '
т. е. мы получили неравенство B.11).
состояния с малой энергией связи
25
Рассмотрим теперь условие появления первого уровня
для потенциалов нескольких простейших типов. Обозна-
оо
чим через / интеграл J \V\rdr, входящий в условие
о
Иоста — Пайса B.9), а через /о— то значение интеграла,
при котором появляется первый уровень. Как нетрудно
видеть, при рассмотренном выше преобразовании подо-
подобия V(r)-*-a2V(ar) величины /, /о не меняются. Значе-
Значения /о приведены в таблице *)
1
?,
3
4
5
6
Потенциал V
— g26 (г — /
| -К*
1 о,
К(г) =
-K.(f
'о)
г<
г>
7
Л,
R
s<2,
л2
8
ll
4
л2
6
/«
1
= 1,234
= 1,445
= 1,645
1,68
V-,
4v »
1
2-s
Здесь через t^ обозначен наименьший положительный
корень уравнения /v(?) = 0, -М?)—функция Бесселя по-
порядка V.
*) Эта таблица взята нз неопубликованной работы В. С. По-
Попова.
26 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Обратим внимание на последнюю строчку таблицы.
ЕСЛИ S-+2, ТО V->oo, ?v~v->oo И /о~779 г"^00-
4 (z S)
Это означает, что для потенциалов с сингулярностью в
начале координат, близкой к 1/г2, использовать B.9) для
оценки появления первого уровня не имеет смысла. В то
же время для потенциалов, обычно используемых в ядер-
ядерной физике (потенциалы 2—5 из таблицы), истинное
значение /о близко к единице.
§ 3. Точечное взаимодействие и эквивалентность
его граничному условию
Рассмотрим теперь явления, происходящие с части-
частицей, находящейся на связанном уровне с Е = —|Яо| или
при рассеянии частиц с энергией порядка |?о|- Будем
считать, что глубина ямы велика по сравнению с \Е0\.
В предельном случае \E0\/\U\-*0 возникает существен-
существенное упрощение теории. В этом случае при фиксирован-
фиксированном Ео надо устремить \U\ к оо; при этом R —*0 так, что
\U\R2-+ const.
Таким образом, особенности ситуации при возникно-
возникновении уровня дают также ответ на вопрос о свойствах
решения в случае сингулярного потенциала с |?/j->-oo,
R^-0 при фиксированной энергии связи. Такой потен-
потенциал описывает точечное взаимодействие, так как он от-
отличен от нуля лишь при г = 0. Будем условно называть
его трехмерным б-потенциалом *).
Решения у. Ш., а также их производные должны быть
непрерывны при г = R:
T1 Y2' dr dr
Эти два условия можно переписать в виде
¦ti = ^2» -г-р- = ~г -р- при r = R.
T1 ^ -ф] dr ty2 dr *
Но выполнение первого условия тривиально, так как
уравнение линейно и фь не удовлетворяющее первому
*) Это выражение нельзя понимать буквально, поскольку
U (r) dr ~ U0R3 ~ const
Г
§ 3] ТОЧЕЧНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 27
условию, всегда можно умножить на константу С так,
чтобы Ci^ |Г=Л = i|J |г=/;. При этом ——Jr не изменится:
следовательно, именно второе условие является нетри-
нетривиальным.
Из условия сшивания решения внутри ямы с реше-
решением вне ямы ¦ф2~/-~'е~иг следует, что на границе ямы
при г — R (а в пределе /?-»-0 при г = 0)
^=-*. C-1)
Существенно то, что в пределе при R-+0 небольшое
по сравнению с Uo изменение энергии, замена Ео на Е,
не изменяет хода вол-новой функции при г < R, а следо-
следовательно, не изменяет и граничного условия C.1).
Таким образом, глубокая потенциальная яма описы-
описывается величиной , на границе ямы, что является об-
общим свойством у. Ш.
Иными словами, точечное взаимодействие в кванто-
квантовой механике описывается одним числом — значением
логарифмической производной волновой функции в
нуле*). То же самое относится к случаю двух частиц,
взаимодействующих друг с другом точечным образом,
поскольку эта задача сводится к задаче одной частицы
т.\т<,
с приведенной массой ц =
Рассмотрим теперь общее решение у. Ш. при Е > 0
x(r) = Asin(kr + b(k)). C.2)
При отсутствии потенциальной ямы следовало бы по-
поставить условие %@) = 0, откуда 6 = 0.
При наличии потенциальной ямы условие сшивания
решения C.2) с решением внутри ямы дает
?) C-3)
*) С математической точки зрения задание логарифмической
производной определяет самосопряженное расширение оператора Н;
подробности см. в Приложении А. Читателя, интересующегося этой
стороной вопроса, мы отсылаем к работе Ф. А. Березина й
Л.. Д. Фаддеева A961).
28 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Из линейности у. Ш. вытекает наличие, как говорят
математики, группы — возможности умножить решение
на константу (причем решение остается решением) — это
позволяет понизить порядок у. Ш. и перейти к нелиней-
нелинейному уравнению первого порядка. При этом удобно на-
написать уравнение именно для z = —j^--
Замечаем, что
dr Ъ dr2
ll, следовательно, у. Ш. преобразуется к виду
^- + z2-V(r)=-k\ C.4)
причем интересующее нас регулярное решение с х@) =
= 0 отличается тем, что при г—>0, %{г)-+Сг и z -> —.
Эта возможность перехода к уравнению первого поряд-
порядка является общим свойством у. Ш. *).
Особенность задачи о сингулярном потенциале, т. е.
о глубокой и узкой яме, заключается в том, что внутри
ямы можно пренебречь k2 и решать уравнение
?+z2-V(r) = 0, C.5)
находить z на краю ямы (т. е. z (/?)), которое опреде-
определяет решение вне потенциала и при этом в случае
К-*оо, R-+0 включение k2 в уравнение не влияет
на z{R).
Как уже говорилось, необходимо точное выполнение
определенного условия, наложенного на V(r), чтобы при
подобном углублении и сужении ямы, т. е. при переходе
V-*Vi(r), Vi{r) = a2V(ar), энергия связи — Е (а сле-
следовательно, и z(R)) оставалась конечной. В явном виде
это условие не написано, оно формулируется лишь как
условие, налагаемое на решение у. Ш. Если это условие
не выполнено, то \Е\ ->оо, z(R)-+<x> при а—"О.
*) В некоторых случаях такой переход оказывается полезным.
В частности, это иногда облегчает задачу нахождения фаз рассея-
рассеяния по известному потенциалу U(r) (Ф. С. Лось, 1957).
S3]
ТОЧЕЧНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
29
Величину а=
называют длиной рассея-
рассеяНИЯ ¦*).
Мы видели выше, что если связанное состояние су-
существует, то z < 0. Длина рассеяния в этом случае по-
положительна. Она отрицательна, если связанного со-
состояния нет.
Вся развитая выше теория относится не только
к нижнему уровню: в принципе возможна ситуация,
когда нижний уровень (волновая функция %i) лежит
весьма глубоко, Е ~ U, а «ре-
«резонансным», близким к свобод-
свободным состояниям, является, на-
например, второй уровень де. Со-
Соответствующий ход волновых
функций показан на рис. 2.
В принципе возможен так-
также и резонанс в состоянии / ф
ФО.Ъ этом случае всегда есть
более низкий уровень с 1 = 0, Заметим, что в случае
1Ф0 зависимость фазы рассеяния от Е и зависимость Е
от (|?^| — Ui) отличаются от приведенных выше формул,
относящихся к / = 0. См. добавление на стр. 532 о си-
ситуации при наличии потенциального барьера.
Два наиболее важных случая, когда с хорошей точ-
точностью можно заменять истинный потенциал U(г) пре-
предельным случаем U-*oo, R-+0, относятся к ядерной
физике. Существует взаимодействие нейтрона с прото-
протоном при / = 0, которое при параллельных спинах дает
связанное состояние (ядро дейтона) с энергией связи
2,2 Мэв. Это состояние можно описать с помощью
Рнс. 2.
*) Это понятие было введено Э. Ферми A936). Длину рассея-
рассеяния можно определить также, зная асимптотику волновой функции
с нулевой энергией: при г->оо, %~С(г — а). Заметим, что если
потенциал V(r) при г->оо падает степенным образом V(r) ~ r~s,
то для существования длины рассеяния необходимо, чтобы 5 > 3.
Следующий член разложения формулы C.3) по k2 определяет так
называемый эффективный радиус r0 I k ctg 6 = — Ь — r0k2,
Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский, 1944). Для существования го
при 1 = 0 достаточно, чтобы 5 > 5 (Т. О'Маллей, Л. Шпрух, Л. Ро-
зенберг, 1961).
30 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
потенциальной ямы, глубина которой Uq имеет порядок
36 Мэв при радиусе ямы R = 2-103 см. Второй случай,
взаимодействие протона и нейтрона с антипараллель-
антипараллельными спинами, отличается тем, что z > 0. Связанного
состояния в этом случае нет. Величина fi2z2/2m, которую
называют энергией виртуального уровня, равна 0,07 Мэв.
Параметры соответствующей ямы: С/о « 13 Мэв, R «
«=» 2,5-10~13 см. Таким образом, при рассеянии нейтронов
с энергией до 1 Мэв на протонах теория точечного взаи-
взаимодействия прекрасно применима.
Возникает вопрос: нельзя ли описать с помощью то-
точечного взаимодействия систему трех частиц?
Переход к случаю трех частиц, взаимодействующих
точечным образом, оказывается, однако, далеко не три-
тривиальной задачей. В этом случае двухчастичное взаи-
взаимодействие уже не определяет полностью трехчастичную
задачу (Г. С. Данилов, 1961; Р. А. Минлос, Л. Д. Фад-
Фаддеев, 1961А). Энергия связанного состояния трех частиц
может быть задана произвольно, причем система имеет
бесконечное число уровней, энергия которых стремится
к — с». Это значит, что точечное взаимодействие для
системы трех частиц является недопустимой идеализа-
идеализацией. Более подробно система трех частиц описана
в гл. X.
В отличие от этого, в одномерном случае задача трех
и большего числа частиц с точечным взаимодействием
полностью определяется двухчастичным взаимодейст-
взаимодействием, а в случае одинаковых частиц даже допускает
явное решение (Ф. А. Березин и др. 1964; Дж. Мак-Гир
1964; Чж. Н. Янг, 1968).
§ 4. Частица в поле нескольких точечных ;
потенциалов
В предыдущем параграфе мы видели, что задачу
о движении частицы в поле б-потенциала можно сфор-
сформулировать на языке граничных условий, накладывае-
накладываемых на волновую функцию в точке г — 0. Общее выра-
выражение для решения у. Ш. при малых г и / = 0 имеет, как
известно, вид
Ф = « + 7» Х = п|) = аг + р. D.1)
§ 4] ЧАСТИЦА В ПОЛЕ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 31
При рассмотрении гладких потенциалов постоянная р
полагается равной нулю. В случае точечного потен-
потенциала это уже не так, и граничное условие теперь сво-
сводится к определенной связи между постоянными аир:
г
г=0
D.2)
где z характеризует свойства потенциала.
Такая формулировка очень удобна для решения за-
задач с несколькими потенциалами.
Рассмотрим, например, случай двух потенциальных
ям с заданным г, расположенных в точках rt и г2. При
Й2х2
заданной энергии Е= ^— ищем решение в виде
-х|г-г,| е-к|г-г2| *\
Вблизи г = fi имеем, вводя обозначение ri2 = |rt — r2|
и раскладывая первую экспоненту в ряд:
* = Т7—T-"+JV- <4-4>
Следовательно,
z = к. D.5)
Это трансцендентное относительно к уравнение позво-
позволяет определить энергию связи частицы в поле двух ям.
В частности, мы видим, что при z > 0 (т. е. в случае
ямы, которая одна не может связать частицу), две ямы
на достаточно близком расстоянии дают связанное со-
состояние; критическое условие: при х = 0 rl2 = —.
Рассмотрим далее случай бесконечного числа ям,
распределенных в пространстве с плотностью р ям на
кубический сантиметр.
*) Аналогичная волновая функция использовалась при решении
задачи рассеяния я-мезонов иа дейтоне в импульсном приближении
(К. Бракнер, 1953), а также в задачах- столкновения отрицатель-
отрицательного иона с нейтральным атомом (О. Б. Фирсов, Б. М. Смирнов,
1964; Ю. Н. Демков, 1965).
Г
32 дискретный спектр [гл. i
Аналогично случаю двух ям пишем:
^ = ll |r-rt.| • D-30
i
Величина % определяется из условия
— L^7~- D-5/)
i
Заменим сумму интегралом, полагая, что 1/х много
больше расстояния до ближайшего соседа 1/х ~Э> р~'/з;
-КГ j
— dr = — v. + 4яр —г • D.6)
Это уравнение, в отличие от предыдущего случая
двух ям, имеет решение с х > 0 всегда, при любых риг.
Условие 1/st ^> р~'/з позволяет пренебречь к по сравнению
с 4лр/х2. Таким образом, получаем
л/^ г— 4тТЛ — Р — 4тГЛ — (А. 7|
z ' z z.m
причем условие 1/х >¦ р~1/з принимает теперь вид
1/2 <С р~1/з- Весь расчет относится к случаю z > 0, когда
в случае одной ямы связанный уровень отсутствует.
Мы видим, что система ям с данной плотностью при-
приводит к появлению состояния с отрицательной энергией:
Эта энергия — такая же, как если бы каждая яма была
заменена медленно меняющимся (по сравнению с рас-
расстоянием между ямами) потенциалом U(r), подчинен-
подчиненным условию
J
Тогда потенциал в каждой точке, имеющий вид
2jU (г — г{), был бы постоянен по всему объему и рав-
равнялся бы
й2 1
Той же величине равнялась бы и энергия покоящейся
частицы в поле этого потенциала.
§ 4] ЧАСТИЦА В ПОЛЕ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 33
Это есть способ нахождения так называемого псевдо-
псевдопотенциала*), медленно меняющегося, и малого потен-
потенциала (к которому уже применима теория возмущений),
действующего на частицу так же, как сингулярная яма.
Подчеркнем то обстоятельство, что псевдопотенциал
U не может быть получен путем простого усреднения
потенциала U (r): Ucp = p J U dr. Так, в случае притя-
притяжения (U < 0) псевдопотенциал оказывается больше
среднего значения потенциала, |?^|>|С/Ср|, что объяс-
объясняется увеличением вероятности нахождения частицы
в той области, где потенциал отличен от нуля. Этот
, - т, Const
факт особенно ярко проявляется, когда и ~—-^— при
R —*¦ 0. Тогда ?/Ср = const-pR—*0, в то время как псев-
псевдопотенциал U к нулю не стремится. В случае же оттал-
отталкивания (U > 0) |?П<|?Л:р| и в пределе U-* оо, R —>-0,
z-+\/R, U~const R-+Q, тогда как при С/= const-—у-
R
и N > 3 предельное значение
C/cp = const-p-^r3--^oo.
Используя понятие псевдопотенциала, нетрудно най-
найти показатель преломления вещества.
Пусть частица с небольшой, но конечной энергией
Е = k2/2tn попадает из вакуума в среду, которая харак-
характеризуется псевдопотенциалом О (см. формулу D.8)).
Найдем значение кинетической энергии Т частицы внут-
внутри вещества:
т — р if — ^2 /1 i 4яр 1 \ _ (hknJ
1 — ^ *J п... I * Н Г5 ~ I — —7ГГ- •
Отсюда получаем формулу для показателя преломле-
преломления вещества:
- = \--ф-а. D.9)
*) Это понятие было введено Э. Ферми A936). Вопрос о при-
применимости теории возмущений подробна разбирается на стр. 107
книги Г. Бете A948) и в работе Г. Брейта A947).
34 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Отметим, что яма, в которой нет уровня (например,
?/>0), приводит все же к эффективному притяжению;
соответствующий псевдопотенциал при этом всегда от-
отрицателен, причем величина г при U—+сю и фиксиро-
фиксированном R монотонно стремится к 1/R.
Напротив, яма, в которой уровень только что появил-
появился, может удержать частицу на этом уровне. Но на те
частицы, которые не связаны, она действует как центр
отталкивания, ее псевдопотенциал положителен. Это
приводит, например, к отражению нейтронов при доста-
достаточно малой энергии от поверхности графита или берил-
бериллия, притом при любом угле падения, вплоть до нор-
нормального к поверхности. Этот эффект дает любопытную
возможность хранить холодные нейтроны в сосуде с гра-
графитовыми стенками (Я. Б. Зельдович, 1959А)*).
Заметим, что поскольку при увеличении глубины ямы
при фиксированном ее радиусе величина z обращается
в —оо, затем в +оо и уменьшается, обращаясь в нуль,
в момент возникновения второго уровня, то отсюда сле-
следует, что при изменении глубины ямы псевдопотенциал
осциллирует.
§ 5. Кулоновский потенциал
Теория частицы, находящейся в кулоновском поле,
развита во всех подробностях и содержится во всех
учебниках. Отметим особо монографию Г. Бете и Э. Сол-
питера A957), содержащую много справочного материа-
материала, а также результаты работ до 1957 г. включительно.
Поэтому в предлагаемом параграфе речь пойдет не
о новых результатах, а о несколько ином освещении
фактов, которые сами по себе известны.
В нерелятивистском приближении, т. е. без учета
релятивистских поправок, спина электрона и высших
приближений квантовой электродинамики, гамильтониан
электрона, находящегося в кулоновском поле ядра с за-
зарядом Ze, имеет вид
*) В последнее время эффект отражения холодных нейтронов
от поверхности меди был обнаружен экспериментально (Ф. Л. Ша-
Шапиро, 1969).
§ б] КУЛОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 35
а энергия уровней дается формулой
здесь
?' ^!L27Z2 эв.
Из элементарной теории известно, что уровни атома
водорода вырождены: при данном п имеются уровни с /
от 0 до п— 1; энергия этих уровней, имеющих различ-
различные /, одинакова. Это обстоятельство называют «слу-
«случайным» вырождением*), поскольку в общей теории
произвольного сферически-симметричного потенциала та-
такого вырождения быть не должно.
Рассмотрим те новые эффекты, к которым приводит
случайное вырождение. Как известно, с этим связано,
например, явление линейного штарк-эффекта у водород-
водородных атомов: возбужденные атомы водорода, т. е. атомы
в состоянии с данным п > 1, в электрическом поле могут
иметь различную энергию, т. е. образуют мультиплет,
причем расщепление энергии пропорционально электри-
электрическому полю 8:
E=--^+ka\&\, E.3)
где k меняется в пределах от —(п— 1) до (я— 1). Так,
например, при п = 2 уровень расщепляется на три под-
подуровня.
Линейная зависимость ? от |8| означает, что воз-
возбужденные атомы водорода имеют электрический ди-
польный момент: энергия нейтрального тела с диполь-
ным моментом d в электрическом поле в равна —d&.
*) В отличие от вырождения уровней с данным / и различ-
различными от, которое следует из инвариантности у. Ш. относительно
трехмерных вращений. Вывод из теории групп формулы E.2) и не-
некоторых следствий «случайного» вырождения приводится ниже. За-
Заметим здесь же, что введение дополнительного короткодействующего
потенциала, эквивалентное, согласно § 3, изменению граничного
условия при г — 0, снимает это вырождение. Дискретный спектр
в кулоновской задаче с общим граничным условием рассматривался
в работах Я- Б. Зельдовича A959Б), А. М. Переломова и др. A966)
и А. И. Никишова и В. И. Ритуса A967).
36 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Раньше, в § 1, в общем виде было доказано, что атом
не может иметь дипольного момента. В чем же дело?
Состояния с определенным / в кулоновском потенциале
не имеют дипольного момента. Отличие здесь заключает-
заключается в том, что благодаря случайному вырождению мы
имеем, например, Ew = ?21 = Е2 (первый индекс — глав-
главное квантовое число, второй индекс — /). Поэтому супер-
суперпозиция решений с разными /, но одинаковыми п, также
является решением, отвечающим данному значению Еп.
Рассмотрим, например, состояния
(^2,0,0 + ^2,1, о) И -Fj~ (Ф2, 0, 0 ~ *>, 1.о) *)• E-4)
Это — состояния с энергией, равной Е2, и с дипольны-
ми моментами, направленными по оси z и равными
+ Зеа и —Ъеа у первого и у второго соответственно. На-
Наконец, t|J, i, i и г|J,1, -i, а также любые их суперпозиции
(линейные комбинации) суть два состояния с энергией
Ег и дипольным моментом, равным нулю.
Таким образом, из четырех вырожденных состояний
(одно 2S и три 2Р) можно построить, притом в отсут-
отсутствие электрического поля, два состояния с дипольным
моментом и два состояния без дипольного момента с той
же энергией.
В электрическом поле уровень с п — 2, следователь-
следовательно, расщепляется на три уровня.
Состояния с дипольным моментом не обладают опре-
определенной четностью, поскольку они являются суперпози-
суперпозициями состояний с противоположной четностью.
При потенциале, отличном от кулоновского, можно
взять суперпозицию двух решений с разными /, но у этих
решений будут и различные энергии. Поэтому волновая
*) Такие состояния возникают при решении у. Ш. для потен-
потенциала Кулона в параболических координатах. Заметим, что разде-
разделение переменных в этом случае возможно также в эллиптических
координатах. Эта возможность разделения переменных в различных
системах координат является одним из следствий случайного вы-
вырождения; при этом различные системы координат соответствуют
возможности различного выбора полной системы коммутирующих с
гамильтонианом и между собой операторов,,
§ 5] КУЛОНОВСКИИ ПОТЕНЦИАЛ 37
функция, зависящая от времени, здесь имеет вид (ин-
(индекс указывает /)
iEit iE,t
е А . E.5)
При Ei ф Eq дипольный момент, вычисленный с такой
волновой функцией, осциллирует с периодом, равным
Е _Е , а средний по времени дипольный момент тож-
тождественно равен нулю.
Легко понять с позиций классической механики, по-
почему именно,кулоновский потенциал приводит к воз-
возможности существования дипольно-
го момента.
Классические орбиты в кулонов-
ском потенциале — это кеплеровы
эллипсы, причем заряд, создающий
потенциал, находится в фокусе эл-
эллипса (рис. 3). К тому же в точке
наибольшего удаления электрон
движется медленнее, чем в самой
близкой к протону точке. Очевидно, Рис. 3.
что при кеплеровом движении элек-
электрона в среднем по времени водородный атом имеет ди-
дипольный момент; усредненное по времени положение
электрона г соответствует точке на большой полуоси
посредине между центром и вторым фокусом эллипса.
Возьмем теперь случай потенциала, отличающегося
от кулоновского; так, например, отличается от кулонов-
ского потенциал ядра и 10 внутренних электронов нат-
натрия — тот потенциал, в котором движется одиннадцатый
внешний валентный электрон натрия. В некулоновском
поле классическая орбита представляет собой незамкну-
незамкнутую кривую*) (рис. 4), т. е. как бы эллипс с постоянно
*) Заметим, что, согласно теореме Ж. Бертрана A873), в трех-
трехмерном случае кулоновский потенциал и потенциал гармонического
осциллятора — это единственные сферически-симметричные потен-
потенциалы, для которых орбиты являются замкнутыми кривыми. (См.
в связи с этим интересные замечания П. Эренфеста A920) о выде-
ленности случая трехмерного пространства по сравнению с другими
случаями.)
38 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
поворачивающейся большой осью. Эта классическая
картина вполне соответствует квантовому результату:
дипольный момент осциллирует и
в среднем по времени равен
нулю.
Четыре волновые функции с п —
= 2 можно выбрать и иначе, так
чтобы каждое из четырех ортого-
ортогональных состояний имело один и тот
же по величине дипольный момент,
а направления вектора дипольного
р 4 момента соответствовали четырем
вершинам тетраэдра, в центре ко-
которого находится ядро*).
Пусть U (i = 1, 2, 3, 4) —четыре единичных трехмер-
трехмерных вектора, направленных из центра тетраэдра в его
4 1
вершины: ltlj = •«- 6{J — ¦«-. Введем также следующие
обозначения:
Фо = Ь. о, о, ¦ = (Ф*. fy, Ч>*), ¦»!>* = -у=- (Ь. к 1 + Ь,1. -i)>
$у = Т7=г ($2, и 1 - %. 1, -i). % = fe i,o-
Тогда, как нетрудно видеть, четыре функции
E.6)
и будут обладать указанными выше свойствами. Эти
волновые функции (так называемые о*-электроны) яв-
являются нулевым приближением при рассмотрении хими-
химической связи атома углерода с другими атомами.
Атом углерода имеет как раз четыре электрона
с п = 2. Как известно из органической химии, валентные
связи углерода действительно направлены по вершинам
тетраэдра (Ч. Коульсон, 1952). Если п = 3, то электроны
*) Этн соображения были использованы при построении мо-
модели адрона, состоящего из антнкварка и четырех кварков. В этой
модели антикварк находится в центре, а четыре кварка занимают
нижние четыре орбиты, что эффективно соответствует нх располо-
расположению в четырех вершинах тетраэдра (Я.. Б. Зельдович, А. Д. Са-
Сахаров, 1966).
§ s] кулоновский Потенциал 39
могут находиться в состояниях s(l = Q), р (I = \) и
d(l = 2). Все возможные системы волновых функций,
обладающие геометрической симметрией, были построены
в этом случае в работах Дж. ван Флека и А. Шермана
A935) и Дж. Кимбалла A940). (См. книгу: Г. Эйринг,
Дж. Уолтер, Дж. Кимбалл A946).) Мы здесь отметим
лишь, что для конфигураций электронов sd3, sp3d2 и sp3d*
соответствующие системы волновых функций обладают
симметрией тетраэдра, октаэдра и додекаэдра.
Перейдем теперь к выводу формулы E.2), причем
приведем здесь не совсем обычный, чисто алгебраиче-
алгебраический способ получения Еп*). Отметим, что примерно та-
таким путем эта формула и была получена В. Паули
A926) еще до установления у. Ш.
Прежде всего напомним, что (как известно из клас-
классической механики) в кулоновском поле, помимо векто-
вектора момента количества движения, существует еще один
сохраняющийся вектор, направленный по большой полу-
полуоси эллипса, — так называемый вектор Рунге — Ленца
(К. Рунге, 1919; В. Ленц, 1924)**):
а--^-. E.7)
Нетрудно убедиться в том, что оператор
([pi] - [Lp])) E.8)
коммутирует с гамильтонианом [А,Н] — 0, и потому опе-
оператор А является обобщением вектора А на случай кван-
квантовой механики. Перестановочные соотношения для
операторов Li и Aj имеют вид
[Lu Lj) = iellkLk, [Lh At] = iemAk,
[At, A,] - - 2iHemLk.
Рассмотрим теперь состояния с фиксированной отри-
отрицательной энергией. Для этих состояний мы можем счи-
считать Н — Е постоянным отрицательным числом и ввести
*) Читатель, которому нижеследующие рассуждения покажутся
сложными, может опустить оставшуюся часть этого параграфа.
**) Отметим, что этот интеграл движения был известен еще
П. Лапласу A829).
40 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
вместо Ai операторы М{ = (—2#)-'М;. Соотношения E.9)
принимают теперь вид перестановочных соотношений
для генераторов группы вращений четырехмерного евкли-
евклидова пространства — группы О D) (Л. Хюльтен, 1933)*).
[Lt, Lj] = iemLk, [Lh N,] = iziikNk,
[Nt, N,\ = m
Отметим следующие важные тождества, которым удов-
удовлетворяют величины Li и Ny.
Теперь удобно ввести два новых векторных оператора
/ = у (Z. + iV), / =у(? — N), E.11)
каждый из которых имеет те же перестановочные соот-
соотношения, что и операторы момента количества движения
для группы вращений трехмерного пространства — груп-
группы 0C), причем между собой /W и /B) коммутируют:
Отсюда следует, что собственные значения (/С2)J рав-
равны /i,2 (/i,2 + 1), а в силу E.10)
с и -Со '
V* J —\* ) 4 J Ч ^ Ч> ^—** 2 B/ + 1 J '
E.12)
Сравнивая E.12) и E.2), находим
/г=2/+1, / = /,=/2 = -^. E.12')
Из приведенных выше рассуждений следует также,
что кратность вырождения равна B/i + 1) B/2 + 1) =
= B/+ 1J = п2.
Известно также, что трансформационные свойства
функций относительно группы 0D) полностью опреде-
*) В я-мерном случае соотношения типа E.9) и E.9') прини-
принимают вид перестановочных соотношений для генераторов Группы
О(п + 1) (Г. Дьерди, Я. Реваи, 1965).
§ б] КУЛОНОВСКИИ ПОТЕНЦИАЛ 41
ляются заданием чисел ]\ и /2 — собственных значений
операторов (JWJ и (/<2>J (или операторов L2 + № и
LN). Если /t и /2 заданы, то говорят, что функции преоб-
преобразуются по представлению D(j\, /2) группы 0D).
В нашем случае волновые функции при фиксированном
значении Е = Еп преобразуются по представлению
Как уже упоминалось ранее, в случае вырождения
при фиксированной энергии Е < 0 можно рассматри-
рассматривать различные системы волновых функций. Так, напри-
например, в случае обычной системы волновых функций, свя-
связанной с разделением переменных в сферической системе
координат, эти функции tynim(r) являются собствен-
собственными функциями операторов Н, L2 и Lz. Можно, однако,
рассмотреть собственные функции операторов Н, if и
/<р. Оказывается, что эти функции tynkik2 появляются
при разделении переменных в у. Ш. в параболической
системе координат (В. Баргманн, 1935), при этом kt и ?2
следующим образом связаны с числами щ и Лг, которые
обычно употребляются при рассмотрении параболиче-
параболических координат:
щ
Поскольку L = JW + /B), то тем самым переход от од-
одного способа описания к другому сводится к хорошо из-
известной задаче сложения двух моментов количества дви-
движения Ji=J2==^-^— = k- Складывая эти моменты, на-
находим, что при данном п величина / принимает значения
от 0 до п— 1. Нетрудно видеть также, что связь между
функциями tynim и ^>nkJtt имеет вид (Д. Парк, 1960)
2k
, kk2\lm)%
lm,
E.13)
42 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР (ГЛ. I
где числа (jittiu }г№г\}т) суть обычные коэффициенты
Клебша — Гордана *).
Итак, мы установили, что у. Ш. инвариантно относи-
относительно группы 4-мерных вращений и что эта инвариант-
инвариантность полностью объясняет вырождение уровней. Поэ-
Поэтому термин «случайное» вырождение с нашей точки
зрения следует признать не вполне удачным.
До сих пор наше рассмотрение было несколько фор-
формальным и к тому же не давало возможности опреде-
определить явный вид волновых функций.
Преобразуем сейчас у. Ш., как это было впервые
сделано В. А. Фоком A935), к виду, инвариантному
относительно группы 0D). У. Ш. в импульсном пред-
представлении имеет вид
2т
J jp-p'P —U-
Будем рассматривать импульсное пространство как
стереографическую проекцию четырехмерной сферы, т. е.
введем новые переменные
ро=У2т\Е\, ?--¦??-.
2т
Переходя также к новой функции
ЪA) = (Р2 + Р$JЪ(Р), E.16)
получаем уравнение
Но это уравнение, как заметил Фок, есть не что иное,
как уравнение для четырехмерных сферических функ-
*) Переходя в E.13) к положительным энергиям Е > 0, полу-
получаем выражение кулоновской амплитуды рассеяния через коэффи-
коэффициент Клебша — Гордана с комплексными значениями ku k2 (A. M. Пе-
Переломов, В. С. Попов, 1968).
§ 51 КУЛОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 43
ций Ynim (?), и потому собственные значения параметра
т] равны п *).
Таким образом, мы получили следующий результат:
волновые функции кулоновскои задачи имеют вид
%iJp) = Cnlm(p2 + p^Ynlm(l) E.18)
(здесь Cnim — нормировочная постоянная).
Замечательным здесь является тот факт, что волно-
волновые функции дискретного спектра оказались пропорцио-
пропорциональными четырехмерным сферическим функциям, тео-
теория которых, так же как и теория сферических функций
n-мерного пространства, хорошо разработана. Мы не бу-
будем здесь выписывать явного вида этих функций, отсы-
отсылая интересующегося читателя к монографиям (Г. Бейт-
ман, А. Эрдейи, Т. 2; 1953В; Н. Я. Виленкин, 1965).
Заметим лишь, что использование волновых функций
в виде E.18) дает возможность получить явные выраже-
выражения для некоторых сумм, встречающихся в теории ато-
атома (В. А. Фок, 1935), и найти изящное представление
кулоновскои функции Грина для случая Е < О
(Ю. Швингер, 1964). Аналогичными, хотя и несколько
более сложными свойствами, обладают и функции непре-
непрерывного спектра.
Существенное отличие от случая дискретного спектра
заключается здесь в том, что вместо четырехмерной сфе-
сферы приходится иметь дело с четырехмерным двуполо-
двуполостным гиперболоидом, а вместо конечномерных пред-
представлений группы 0D)—с бесконечномерными унитар-
унитарными представлениями группы Лоренца. Детальное
рассмотрение случая непрерывного спектра можно найти
в работах А. М. Переломова, В. С. Попова A966),
М. Бандера, К. Ициксона A966). Заметим также, что
симметрия, аналогичная рассмотренной выше, имеет
место и для кулоновского потенциала в и-мерном про-
пространстве (С. П. Аллилуев, 1957; А. М. Переломов,
В. С. Попов, 1966; М. Бандер, К- Ициксон, 1966).
*) Отсюда видно, что в случае притяжения (ti>O)?'n= —5-,
а в случае отталкивания (ц < 0) связанные состояния отсутствуют.
44 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
§ 6. Трехмерный осциллятор
Рассмотрим потенциал
U(r) = ^, F.1)
где k > 0. Этот потенциал не стремится к определенному
пределу при r-юо и потому в реальных физических за-
задачах осуществляется только приближенно, при каких-то
не слишком больших г; дальше он неизбежно откло-
отклоняется от F.1).
Тем не менее его можно использовать в тех случаях,
когда большие значения г несущественны, например для
описания слабовозбужденных уровней ядра в модели
оболочек (см. обзор: Дж. Эллиот, А. Лейн A957)) и
коллективной модели ядра (Дж. Эллиот, 1958; В. Барг-
манн, М. Мошинский, 1960, 1961).
Важным свойством этого потенциала, которое спра-
справедливо и в одномерном случае, является эквидистант-
эквидистантность уровней. Это обстоятельство дает возможность
провести аналогию между возбужденным состоянием од-
одного осциллятора с энергией (п + '/г)^© и состоянием
системы из п тождественных частиц, энергия каждой из
которых равна Поз. На основе этой аналогии развит так
называемый «метод вторичного квантования», позволяю-
позволяющий рассматривать процессы, в которых число частиц
может изменяться. В частности, оказывается, что многие
свойства электромагнитного излучения в рамках кванто-
квантовой механики совпадают со свойствами ансамбля осцил-
осцилляторов.
Заметим также, что изучение системы большого чис-
числа частиц с двумя уровнями (такая система обычно
используется в теории лазера) также может быть све-
сведено к изучению эквидистантной системы, а именно, спи-
спина, находящегося в однородном магнитном поле (Р. Дике,
1954). Уровни энергии такой системы, также как и уров-
уровни в кулоновском потенциале, вырождены.
Мы рассмотрим это «случайное» вырождение на при-
примере трехмерного осциллятора. Будем искать решение
у. Ш. с потенциалом F.1) в виде
F-2)
§ 6] Трехмерный осциллятор 45
Тогда каждая из этих функций удовлетворяет одномер-
одномерному у. Ш. с потенциалом осциллятора. Полная энергия
складывается из энергии движения по каждой коорди-
координате
Таким образом, уровни энергии трехмерного сфери-
сферически симметричного осциллятора вырождены. Общее
выражение энергии
?„ = (/»+1) й<в,
где п — целое. Степень вырождения, т. е. число линейно
независимых решений с данной энергией равно числу
способов, которыми целое число п молено разбить на
три неотрицательных целых числа. Построим равносто-
равносторонний треугольник, ребро которого равно п единиц,
и проведем в нем сетку линий, разбивающую треуголь-
треугольник на треугольники с единичным ребром. Расстояние
каждого узла от стороны большого треугольника равно
целому числу высот единичного треугольника. Сумма
этих трех целых чисел равна п. Следовательно, степень
вырождения N равна полному числу узлов, включая
узлы, расположенные на сторонах большого треуголь-
треугольника (для них одно из трех чисел равно нулю) и в его
вершинах (два нуля, третье число равно п). Полное
число узлов, как легко сообразить, равно
Согласно общей теории уровни в сферически-симмет-
сферически-симметричном потенциале U = kr2/2 можно классифицировать
по орбитальному моменту / и его проекции т.
Состояние, заданное в форме F.2) тремя числами
Пи ri2, «з, вообще говоря, не имеет определенных I и т.
Поучительно проследить, как линейные комбинации
состояний, заданных в форме F.2), дают состояния
с определенными I и т.
При п = О состояние одно, и легко убедиться, что это
состояние с / = 0.
46 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
При п = 1 есть три состояния. Легко убедиться, что
их линейные комбинации дадут как раз три состояния
с / = 1. При этом -фо (^i) i^o (лгг)-ф1 (х3) есть состояние
с 1=1, т = 0; у=г [ij)i fo) -фо (х2) ± ufo (*i) Ь (х2)) -ф0 (*з)
есть состояние с / = 1, т = ±1.
При п = 2 есть шесть состояний. Нетрудно убедиться
в том, что из них можно построить одно состояние
с / = 0 и пять состояний с / = 2 и т, принимающим зна-
значения от 2 до —2.
В общем случае каждому п соответствует полный на-
набор состояний с / = п, I — п — 2, I = п — 4... до
/ = 1 или 1 = 0 в зависимости от четности п. Каждое /
при этом встречается один раз.
Таким образом, в трехмерном осцилляторе, так же
как и в кулоновском потенциале, имеет место вырожде-
вырождение уровней с различными /, например / = 2 и / = 0 .
Покажем теперь, что в нашем случае, так же как и
в случае кулоновского потенциала, у. Ш. инвариантно
относительно группы преобразований более широкой,
нежели группа трехмерных вращений (Дж. Яух, Э. Хилл,
1940; Ю. Н. Демков, 1953; Г. Бейкер, 1956).
Введем операторы *):
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[а,, а+] = б;/> [at, aj\ = [а+, а+] = 0. F.6>
Гамильтониан теперь принимает вид
Я = йсэ Sfl^ + 4 •
*) Читатель, знакомый с квантовой теорией поля, узнает в них
обычные операторы рождения и уничтожения колебательных квантов.
§ 6] ТРЕХМЕРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 47
Нетрудно видеть, что гамильтониан F.7) инвариантен
относительно унитарного преобразования
3 3
ai-*ai= Zi и{.а„ a+->at = 2л uuat,
F.8)
или, иными словами, гамильтониан трехмерного осцил-
осциллятора инвариантен относительно группы унитарных
матриц третьего порядка, группы UC). Нетрудно ви-
видеть, что для /-мерного осциллятора соответствующая
группа есть группа U(f).
Введем операторы A1i = a^ai. Они коммутируют с га-
гамильтонианом [а{, Н] = 0 и в то же время удовлетво-
удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
[А{, А1к] = ь\А[-ьЫ. F.9)
Эти соотношения совпадают с известными переста-
перестановочными соотношениями для генераторов группы
U C) (Дж. Рака, 1951; М. Хаммермеш, 1962), откуда
следует, что величины А\ являются генераторами этой
группы.
Рассмотрим теперь величину
Л-У А1,-— Н~-
1=1
Очевидно, что А коммутирует с Я и всеми а[, выделим
поэтому ее из девяти величин А[.
Введем для этого новые операторы
= °- F.10)
Эти девять новых величин, из которых только восемь
независимы, удовлетворяют прежним перестановочным
з
соотношениям, но в силу тождества 2 Bi = 0 являются
48 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
уже генераторами группы SUC)—группы унитарных
матриц третьего порядка с определителем, равным еди-
единице*). Заметим, что обычная группа вращений — груп-
группа SO C) — содержится в ней в качестве подгруппы.
Представления группы SUC) хорошо известны, они пол-
полностью характеризуются двумя целыми числами р и д.
Однако не все представления этой группы реализуются
волновыми функциями осциллятора. Именно, поскольку
в нашу задачу входит лишь один сорт операторов аи мы
можем построить лишь функции типа симметричного
тензора. Такие функции преобразуются по представле-
представлению D(p,q) с р = п, q = 0. Кратность вырождения и
содержание орбитальных моментов / в состоянии с дан-
данной энергией можно было бы поэтому получить и по об-
общим формулам. Однако приведенное на стр. 45 рассуж-
рассуждение достаточно для наших целей.
Заметим, что именно со случайным вырождением
связано то обстоятельство, что классическая траектория
осциллятора представляет замкнутую кривую — эллипс
с центром в начале координат.
Почему связаны между собой замкнутость класси-
классической траектории и вырождение уровней с разными /?
Классическая частица, находящаяся в определенной точ-
точке, с определенными значениями угловых переменных
0 и гр, в квантовой механике описывается волновым па-
пакетом — суперпозицией состояний с различными /. Если
вырождения нет, то с течением времени соотношения
между фазами состояний с разными / меняются и вол-
волновой пакет размазывается в соответствии с классиче-
классической картиной движения по траектории типа рис. 4.
Заметим, что вырождение уровней с разными т при
данном /, которое имеет место при любом сферически-
симметричном потенциале, соответствует классической
теореме о точном сохранении плоскости орбиты.
*) Эта группа использовалась как группа симметрии
сильно взаимодействующих частиц (М. Гелл-Манн, 1962; Ю. Не-
еман, 1961); в связи с этим многие вопросы теории этой группы
были успешно разработаны физиками. Аналогия между симметрией
сильно взаимодействующих частиц и симметрией осциллятора рас-
рассматривалась в интересной статье Ф. Дайсона A964),
§ 61 ТРЕХМЕРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 49
Характерное отличие вырождения в осцилляторе от
кулоновского заключается в том, что вырожденные уров-
уровни имеют одинаковую четность, равную (-~-1)п (п =
= 1,2, 3, ...)•
Чтобы убедиться в этом, заметим, что решения одно-
одномерной задачи имеют определенную четность, равную
(_1)« (п = 1,2,3, ...)•
Из сказанного следует, что в осцилляторе суперпози-
суперпозиция состояний с разными /, но одинаковой энергией,
также имеет определенную четность, а следовательно,
ее дипольный момент равен нулю, т. е. сконструировать
стационарное состояние с d Ф 0 невозможно.
Это понятно и при классическом подходе, так как
траектория осциллятора симметрична относительно на-
начала координат.
В заключение на примере одномерного осциллятора
разберем вопрос о так называемых «когерентных со-
состояниях». Многие важные свойства этих состояний
были изучены в фундаментальной работе Р. Глаубера
A963). Подробное рассмотрение свойств таких состоя-
состояний можно найти в книге Дж. Клаудера и Э. Судар-
шана A968).
Чем же примечательны когерентные состояния? Тем,
что, как мы увидим ниже, их свойства наиболее близки
к свойствам классического осциллятора. Использование
этих состояний позволяет естественным образом описать
когерентные свойства пучка света (например, лазерного
пучка) в рамках квантовой механики. Эти состояния по-
полезны также при рассмотрении излучения мягких кван-
квантов (В. Чанг, 1965; Т. Киббл, 1968 A —D).
Пусть осциллятор находится в л-квантовом состоянии
и описывается волновой функцией т]зп. Нам будет удоб-
удобно, следуя П. Дираку A930), обозначать это состояние
через \п). Такого рода состояния не подходят для пе-
перехода от квантовой механики к классической прежде
всего потому, что для них средние значения координаты
и импульса равны нулю*):
xn(t) = (n\X\n)=0, Pn(t)=(n\p\n) = 0, F.11)
*) Это есть общее свойство стационарных состояний дискрет-
дискретного спектра.
50 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
в то время как в классической механике
at-q>). F.12)
Если, однако, d|)@) |*1ф@)) ф 0 или (\|>@) |jd|i])(O)> ф
Ф0, то, как мы сейчас покажем, x(t) — {ty(t)\x\ty(t))
изменяется по классическому закону F.12).
Перейдем к гейзенберговскому представлению, т. е.
такому представлению, когда зависимость средних зна-
значений от времени содержится в операторах, а волновые
функции от времени не зависят. Пусть оператор S(t)
переводит начальную волновую функцию ф@) в волно-
волновую- функцию ty(t):
ф (t) = S @ф@). F.13)
Тогда, как известно, гейзенберговский оператор A(t)
определяется формулой
A(t) = S+(t)AS(t) F.14)
и удовлетворяет уравнению
ihA (t) = [A (t), H (*)], А @) = Л. F.15)
Выбирая в качестве А оператор уничтожения а =-^=Д
(т = 1), получаем
tu(t) = (aa(t), откуда а{к) = ае~ш. F.16)
Отсюда следуют выражения для операторов x(t) и p(t)
u\ 4. i sin at
X (t) = cos (at • x -\ ^— p,
p (t) = — © sin cat • x + cos (at ¦ p.
F.17)
Мы видим, таким образом, что в случае осциллятора
гейзенберговские операторы x(t) и p(t), а следователь-
следовательно, и их средние значения для произвольного начального
состояния меняются с течением времени по законам
классической механики.
Найдем теперь все состояния, минимизирующие соот-
соотношение неопределенностей (Ал:-A/J = й/2) и потому яв-
являющиеся наилучшим приближением к классическому
описанию, где переменные х и р полностью локализо-
локализованы,
§ 6] ТРЕХМЕРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР Si
С помощью формул F.17) и определения оператора
а нетрудно найти выражения для
\(a2)-(aJ\cosB<i>t-q>)\, F.18)
] F.19)
откуда
Дх2 • Др2 = Й2 [((а+а) - (а+) (а) + у)* -
- «а+2> - (а+У) «а2) - <а>2) cos2 B<в* - ф)] . F.20)
Потребуем, чтобы в любой момент времени t произве-
произведение Дл;2-Д/?2 принимало наименьшее возможное значе-
значение, равное Й2/4. Из F.20) следует, что для этого необ-
необходимо выполнение условий
{а+а) = (а+)(а) и <a2) = (a>2. F.21)
Для того чтобы увидеть, какие состояния |ч|з) могут
удовлетворять этим условиям, дополним состояние |т]з)
состояниями \tyi), /=1,2,..., так, чтобы вся совокуп-
совокупность состояний образовала полную ортогональную си-
систему. Первое из условий F.21) при этом принимает вид
Отсюда получаем
« |-ф> = 0, /=1,2,3
а это означает, что состояние а|т]з) ортогонально всем
состояниям |т]зг), / = 1, 2, 3, и следовательно, имеет
вид а|т]з), где а — произвольное комплексное число. Вто-
Второе условие F.21) при этом автоматически выполняется.
52 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ 1
Итак, мы показали, что состояния, минимизирующие
соотношение неопределенностей в любой момент време-
времени, должны являться собственными функциями опера-
оператора уничтожения а. Такие состояния называются
когерентными состояниями. Обозначая их через |а),
имеем *)
а|а> = а|а>. F.22)
Найдем разложение состояния |<х) по состояниям
\п)
00
|а>=2 (я|а)|п>. F.23)
Умножая F.22) слева на (л| и используя тождество
{п | а = Уп + 1 {п + 1 |, находим
V* |а/— уп+ j \Л|а/
и, следовательно,
оо
(п |о) = -~ @ |о), | о) = @ |о>2 -у= \ п). F.24)
Величину @|а) определяем из условия нормировки
состояния |а):
Окончательное выражение для [а) имеет вид
n), F.25)
где а — произвольное комплексное число.
*) Из вышеприведенных рассуждений следует, что такие со-
состояния представляют минимальные нерасплывающиеся волновые
пакеты. Именно с этой точки зрения они и были впервые рассмо-
рассмотрены Э. Шредингером A926А). Заметим, что когерентные состоя-
состояния естественным образом возникают при рассмотрении осциллятора,
находящегося под действием внешней силы, произвольным образом
зависящей от времени (см. § 2 гл. VI).
§ 6] ТРЕХМЕРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 53
Среднее число квантов в этом состоянии
/г = (а|а+а|а) = |а|2, F.26)
а вероятность Wn нахождения осциллятора в состоянии
\п) дается обычным распределением Пуассона
Wn{a) = e-*-%-. F.27)
Найдем теперь |<х) в ^-представлении:
<х\а)-е »
4,
Ж
Это выражение удобно записать так:
ipx
(у I „\ _ л-га^гл ft ,|, (Y р\ (р. О0\
где р = 1/2 V^аа2> ^ = V 21/ — а., а = а> + кь.
f (П
Отсюда видно, что распределение по координате
имеет тот же вид, что и для основного состояния осцил-
осциллятора, положение равновесия которого смещено в точ-
точку х. Распределение по импульсу имеет аналогичный
вид
^"^(P~P)\ F.31)
Подставим теперь в F.25) | п) = г— I 0); тогда
- F.32)
Мы нашли, таким образом, простой вид оператора,
переводящего |0) в |а). Этот оператор не является
54 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. 1
унитарным. Равенство F.32) наводит, однако, на мысль
рассмотреть унитарный оператор
D(a) = eaa+-a\ F.33)
Воспользуемся известным тождеством *)
. „ А+В+~[А.В]
еАев = е 2 , F.34)
которое справедливо в случае [А, [А, В]] = [В, [А, В]] = 0.
Полагая А = а,а+, В = —а*а, находим [Л,?] = |а|2, и
следовательно, условия применимости равенства F.34)
выполнены. Таким образом,
laj»
D(a) = eaa+-a"a = e~ 2 eaa+e-a"a, F.35)
откуда непосредственно следует, что |а) = D(a) |0). Мы
нашли таким образом унитарный оператор D(a), кото-
который переводит |0) в |а).
Заметим, что операторы D(a) обладают следующими
свойствами:
{ F.36)
(®D(a) = e 2 Яф + a), J
откуда получаем **)
D ф) D (а) = e+«a*-t*aW (a) D ф). F.37)
Нетрудно также показать, что
[a,D(a)) = aD(a), [a+, D (a)] - aD (a),
|
D+(a)aD(a) = a + a, D+(a)a+D(a) = a+ + a. J
Естественно поэтому операторы D(a) назвать операто-
операторами смещения.
*) Это тождество является весьма частным случаем известного
из теории групп ряда Бейкера—Хаусдорфа (Г. Бейкер, 1905, Ф. Хаус-
дорф, 1906). Подробное рассмотрение этого круга вопросов можно
найти в работе К. Кумара A965).
**) Равенство F.37) есть по существу не что иное, как запись
канонических перестановочных соотношений [а, а+] =1 в форме
Г. Вейля A928). Преимущество этой формы записи заключается
в том, что мы переходим от операторов а и а+, являющихся не-
неограниченными, к ограниченным операторам D(a).
§ 6] ТРЕХМЕРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 55
Эволюция состояния | а) с течением времени следует
непосредственно из уравнения F.25)
-«>. F.39)
Поэтому точка на комплексной плоскости а, изобра-
изображающая состояние |а,/), равномерно вращается по
окружности с угловой скоростью со.
Рассмотрим, наконец, вопрос об ортогональности и
полноте когерентных состояний. Найдем
' F.40)
)
Таким образом, эти состояния оказываются не орто-
ортогональными друг другу. Тем не менее они образуют пол-
полную систему состояний. Чтобы увидеть это, подсчитаем
интеграл
J (Ра. | а) (а |, где а = а, + ia^ = ре1ч>, d2a = da{ da?.
Подставляя в него выражение F.25) для |а), на-
находим
Г
J
у mini
т, п
-1 ("-«)*
j
т=0 га—0
Итак, мы получили равенство
п)(п\, F.41)
я-0
а это и есть условие полноты системы. С помощью этого
равенства можно разложить произвольное состояние по
56 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
когерентным состояниям |а). Введем обозначение:
-е 2 Ч>(«*). F-42)
Заметим, что в силу неравенства | (n|tf>)|-^ 1, нз
F.42) следует, что i|)(a*) является целой аналитической
функцией комплексной переменной а*. В то же время
имеет место неравенство |(a|if>)|-^l, откуда получаем
ограничение на рост функции ¦ф (tx*)
2 . F.43)
Из F.41) находим разложение произвольного со-
состояния по когерентным состояниям
= — Г d2ae ~t|j (а*) | а), F.44)
которое полностью определяется функцией i|)(a*). Од-
Однако в силу аналитичности -ф (ct*) нам достаточно знать
значения этой функции в точках a, (i = 1, 2, ...), после-
последовательность которых имеет предельную точку. Функ-
Функция ф(а*) тем самым будет полностью определена. Это
означает, что, по существу, уже система функций |аг-)
A=1, 2, ...) является полной. Система же всех коге-
когерентных состояний заведомо является сверхполной и
разложение по такой системе не является однозначным.
Интересный пример полной системы когерентных со-
состояний был указан в книге И. фон Неймана A932).
Как видно из F.29), a-плоскость является аналогом фа-
фазовой плоскости для классического осциллятора, причем
ячейке фазовой плоскости площади 2лЬ соответствует
ячейка а плоскости площади п. Выберем в каждой та-
такой ячейке по одному состоянию, например возьмем
квадратную решетку с постоянной \/~п: \Yn(mi +im2)),
ти т2 = 0, ±1, ±2, ... Оказывается, что такая си-
система является полной. Если же площадь ячейки взять
больше я, то такая система будет уже не полна*).
*) Доказательство полноты такого рода систем дано в работе
А. М. Переломова A971).
§ 6] ТРЕХМЕРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 57
В этой же книге утверждается (правда, никаких дока-
доказательств при этом не приводится), что если систему
| Уп(гп1+1гщ)) ортогонализовать, то мы придем к пол-
полной ортонормированнои системе |фп), обладающей сле-
следующим замечательным свойством:
Ахп^рп<с^. F.45)
Состояния |<х) показывают, насколько необычными
могут быть свойства собственных функций несамосопря-
несамосопряженного оператора. Заметим, что, в то время как опера-
оператор а имеет в качестве собственного значения любое
комплексное число а, сопряженный оператор а* вообще
не имеет собственных функций. Собственное значение
оператора а имеет вид а = ei<fn\ Можно было бы ду-
думать поэтому, что существует представление
а = Л'л, й+ = пЧге-1ф, F.46)
где ф—эрмитов оператор фазы. Однако, как заметили
Л. Сусскинд и Дж. Глоговер A964), введение операто-
оператора ф немедленно ведет к противоречию. Действительно,
подставляя F.46) в основное соотношение [а, а+]=1,
получаем
[Л, е'Ф] = - е'Ф, F.47)
откуда следует
[Л,ф]«/, F.48)
т. е. А и ф являются канонически сопряженными вели-
величинами. Возьмем теперь матричный элемент от F.48)
(л, - л2) (т I ф | п2) = + i6nin2. F.49)
При П1ФП2, (п±| ф| п2) = 0, т. е. ф диагоналей вместе
с п. Но тогда ф и п коммутируют, что противоречит
F.48). Следовательно, представления F.46) для опера-
операторов а и or1" не существует *).
*\ Приведенное доказательство носит общий характер. По су-
существу доказано следующее утверждение. Пусть оператор А имеет
только дискретный спектр Ля|з„ = ХпИрп (п = 0,1,2,...), причем все
собственные значения Хп не вырождены. Тогда не существует та-
такого оператора В, что [А, В] = +i, т. е. величина А не имеет кано-
канонически сопряженной.
58 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
То, что формулы F.46) неправильны, видно также из
следующего. Если бы существовал оператор фазыф, то
из F.48) вытекало бы соотношение неопределенностей
-j. F.50)
Однако Дл может быть сколь угодно мало, например
в стационарном состоянии An = 0; в то же время всегда
Дф-^я, откуда следует, что соотношение F.50) не мо-
может всегда выполняться.
Заметим, что аналогичный факт имеет место и для
«угловой переменной» ф (Д. Джадж, Дж. Льюис, 1963;
Д. Джадж, 1964). Если действовать формально, то
[1„Ф] = -Й F.51)
/г •<= д
(ьг= — ib-g-> z — компонента оператора момента коли-
количества движения), откуда
§- F.52)
Так же как и в предыдущем случае, это равенство не вы-
выполняется, например, для состояния с определенной про-
проекцией момента: Lztym = Ьтщт. Как было показано в
только что упомянутых работах, а также в работе
М. Боутена, Н. Маене и П. ван Леувена A965), неравен-
неравенство F.52) следует заменить на
Д1г. 12 >|. F.53)
Как видно из F.53), при Д/,2'->0 Дф->-/=-, что соответ-
ствует равномерному распределению по углу ф. Заметим,
что причиной невыполнения «классического» соотноше-
соотношения неопределенностей F.51) является нарушение перио-
периодичности волновой функции при умножении ее на вели-
величину ф.
Возвращаясь к соотношению неопределенностей для
/гиф заметим, что операторы ei<f и e~i4>, в отличие от
оператора ф, существуют. При этом оператор ei<f не со-
сохраняет норму волновой функции, оператор е~1ч>, хотя и
§ 71 ТЕОРЕМА ВИРИАЛА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 59
сохраняет норму, но зато отображает все гильбертово
пространство Ж на подпространство 36\, не содержащее
вектора |0). Такой оператор называется изометрическим.
Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует тот факт,
что в случае бесконечного пространства только из сохра-
сохранения нормы еще не следует унитарность оператора. Из
F.47) нетрудно получить тождество
= / -10) @ |. F.54)
Вместо F.50) в работе В. М. Файна A967) было полу-
получено следующее соотношение неопределенностей между
числом квантов и фазой:
-7) • F.55)
Более подробное рассмотрение вопросов, связанных с
операторами ft и е1<*, можно найти в обзоре П. Каррузер-
са и М. Нито A968).
§ 7. Теорема вириала и ее обобщение
Кулоновский и осцилляторный потенциалы являются
частными случаями степенного потенциала общего вида
U = krs. Для такого рода потенциалов имеет место тео-
теорема вириала*), дающая соотношение между средней
кинетической и потенциальной энергией.
Следуя В. А. Фоку A930), покажем сначала, как эта
теорема выводится из вариационного принципа.
Напомним прежде вариационный принцип: мы утвер-
утверждаем, что для собственного состояния \|)п оператора Н
с собственным значением Еп математическое ожидание Н
является стационарным. Это значит, что если
*) В классической механике эта теорема была известна еще
Клаузиусу. В квантовой механике она была впервые установлена
в работе М. Борна, В. Гейзенберга, П. Иордана A925). Различные
формы теоремы вириала, а также ее обобщение на случай непре-
непрерывного спектра можно найти в книге Ю. Н. Демкова A958).
60 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. 1
то величина
Н= \ ^Htydr или, лучше*),
_ f t|)*tfi|) dr
H--i-
G.1)
для \j) = \j)n + 6if> отличается от Еп на величину порядка
Fif)J; члены порядка 6if> исчезают. В частности, относи-
относительно if)o, соответствующий низшему (основному) со-
состоянию, можно утверждать, что подстановка ^э == г|э0
дает абсолютный минимум Н = Ео.
Тот факт, что имеет место вариационный принцип,
проще всего проверить, представив вариацию в виде раз-
разложения по собственным функциям оператора Н
и используя ортогональность собственных функций: оче-
очевидно, что вариация^ пропорциональна (дСтJ.
Теперь запишем H = U + T, где U_ — математическое
ожидание потенциальной энергии, Т—математическое
ожидание кинетической энергии.
Возьмем специальный вид вариации г|з: преобразова-
преобразование подобия всех координат, близкое к единице:
he) г], G.2)
где е—малая величина. Множитель перед \|з обеспечи-
обеспечивает сохранение нормировки, J | ф' I2 dr' = Г | *ф р dr.
Так как U =krs, то, очевидно, -=-= — es.
Кинетическая энергия пропорциональна I |Vxj)|2rfr, и,
следовательно, при сокращении всех масштабов кинети-
кинетическая энергия растет обратно пропорционально квадра-
квадрату масштаба -=- = 2е.
*) В формуле G.1) нет надобности заботиться о сохранении
нормировки волновой функции при ее вариации,
§ 7] ТЕОРЕМА ВИРИАЛА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 61
Потребуем экстремальности ЬН = 6U + 8Т =
— (—sU + 2Т) е. Отсюда следует
T=~U, H = I±*-U = ^-T, G.3)
а это и есть теорема вириала. В случае гармонического
осциллятора Т — U, а для кулоновского взаимодействия
полная энергия Н в стационарном состоянии равна сред-
средней кинетической энергии, взятой с обратным знаком.
Вариационный принцип позволяет дать наглядный
ответ на вопрос, «почему электрон не падает на ядро»:
приближение электрона к ядру уменьшает его потен-
потенциальную энергию (увеличивает по абсолютной величине
отрицательную по знаку потенциальную энергию), про-
пропорциональную 1/г, но одновременно, по принципу не-
неопределенности, растет как 1/г импульс электрона, а сле-
следовательно, кинетическая энергия его растет как 1/г2.
Поэтому полная энергия имеет минимум при вполне
определенном среднем расстоянии электрона от ядра:
дальнейшему приближению («падению») электрона пре-
препятствует рост кинетической энергии.
Из сказанного видно также, что при потенциале, воз-
возрастающем быстрее 1/г2 при г-*0, у. III. не может иметь
определенного нижнего уровня, и в таком потенциале
частица падает на центр притяжения.
Другой способ получения теоремы вириала заклю-
чается в вычислении среднего значения величины ~тт\гР) —
=-jr[H,rp]. Нетрудно видеть, что в стационарном состоя-
состоянии -tff(rp) = \ ([Н> гр]) — 0; более того, аналогичное со-
соотношение имеет место для произвольного оператора А:
(A) = jr([H,A}) = 0. G.4)
Это и есть обобщение теоремы вириала (Дж. Хиршфель-
дер, 1960). Нетривиальным моментом здесь является
выбор подходящего оператора А. В случае удачного вы-
выбора этого оператора можно получить некоторые инте-
интересные соотношения для средних значений.
62 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
Проиллюстрируем обобщенную теорему вириала на
примере кулоновского и осцилляторного потенциалов
(Дж. Эпштейн, С. Эпштейн, 1962). Перепишем сначала
кулоновский гамильтониан в виде
r= -i — -^rr = - Ш(-~ + -~j, [рг, г] = - й,
где p ^
• -?l • - Ь2& а
Г~т'Рг тг3 г2'
В качестве оператора А выберем prrs+l. Равенство
G.4) принимает теперь вид
¦jf (prrs+l) = (prrs+l) + (prrrs) + ... + {prr4) = 0. G.6)
Перенося в G.6) оператор г = pr/tn налево с помощью
тождества
k G.7)
получаем
(PSs+l) + Чг(РУ) + ^^^(Р/'-1) - 0. G.60
Для упрощения последнего члена этой формулы рас-
рассмотрим равенство ~м(г*) — ® или
№ + l т \г ' ~и' I
т № ' + l 2 т
* G.8)
Выражая рг и р* через г с помощью G.5) и используя
G.8), получаем
(^1 '(' + 0) <*"*> = 0. G.9)
Мы получили, таким образом, рекуррентное соотноше-
соотношение для средних значений степеней г. Это соотношение
было ранее получено X. Крамерсом A951) иным спосо-
§ 8] ОДИНАКОВЫЕ ЧАСТИЦЫ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 63
бом. Заметим, что при s = 0 мы получаем из G.9) обыч-
обычае (s2 — l)
ную теорему вириала и что член ^—- (rs~2) учиты-
учитывает некоммутативность операторов г и рг. Поэтому при
отбрасывании его получаются рекуррентные соотноше-
соотношения для классического случая.
Перейдем теперь к рассмотрению случая трехмерного
гармонического осциллятора. Имеем
Нетрудно видеть, что соотношения G.6) — G.8) в этом
случае по-прежнему выполняются. Подставляя в G.6')
величины рг и р2г, выраженные через г с помощью G.10),
находим
2E(s+l) (rs) - mo2 (s + 2) (rs+2> +
)rs-2) = 0. G.11)
Как и в предыдущем случае, при s = 0 мы получаем тео-
теорему вириала. Заметим, что, в отличие от G.9), соотно-
соотношения G.11) связывают между собой только четные или
только нечетные степени г. Это не удивительно, посколь-
поскольку гамильтониан G.10) является четным относительно г,
т. е. при замене г—*—г не изменяется
§ 8. Одинаковые частицы и статистическая физика
Задача о движении двух взаимодействующих частиц
как в классической механике, так и в квантовой механи-
механике сводится к задаче об одной частице.
Поэтому у. Ш., выписанное выше, с -ф. зависящей от
трех координат, относится не только к движению элек-
электрона в поле тяжелого неподвижного ядра, но и к двух-
двухатомной молекуле. При этом в дальнейшем мы пользуем-
пользуемся обычным приближением Борна — Оппенгеймера: при
заданном положении ядер полагаем, что электроны на-
находятся в низшем энергетическом состоянии. Энергия
всей системы, включая энергию электронов, зависящая
от расстояний между ядрами, представляет собой тот
64 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. !
эффективный потенциал, который действует на движение
ядер.
Решение у. Ш. для двухатомной молекулы имеет вид
R(r)Yim(Q,q>), где г, 8, ср характеризуют вектор ri2, со-
соединяющий 1-е и 2-е ядра.
Новый момент возникает в том случае, если оба ядра
тождественны, как, например, в молекулах Н2, С2, N2, О2.
Если ядра состоят из четного числа нуклонов, то
волновая функция должна быть симметрична: говорят,
что такие ядра являются бозонами и подчиняются ста-
статистике Бозе.
Особенно просто обстоит дело, если спин ядра равен
нулю. Условие симметрии функции относительно пере-
перестановки 1-го и 2-го ядер, т. е. относительно изменения
знака Г\2—>—fi2 (при этом г-+г, 8->я — 9, ф-хр + я),
приводит к исключению нечетных значений /.
Опыт показывает, что молекула Сг, состоящая из двух
ядер С12, находится лишь в состояниях / = 0, / = 2, / = 4
и т. д. Молекулы из разных ядер С12, С13 или С12, С14 на-
находится во всех состояниях / = О, 1=1, 1 = 2, 1 = 3
и т. д.
Иногда различие между классической (больцманов-
ской) статистикой и квантовой статистикой Бозе — Эйн-
Эйнштейна формулируют как различие в способе подсчета
числа состояний.
Пусть есть две частицы А, В и два состояния 1, 2.
В классической статистике мы различаем два состояния:
AiB2 и ВХА2; в квантовой статистике, если А и В тожде-
тождественны, мы считаем, что есть только одно состояние си-
системы: одна частица в первом состоянии и одна частица
во втором состоянии.
Пример молекулы С12С12 весьма поучителен: здесь
ясно видно, что дело не в способе подсчета; в бозе-систе-
ме оказались запрещенными и не осуществляются в при-
природе такие состояния (с нечетными /), которые сущест-
существуют в системе из разных частиц. Для тождественных
частиц мы имеем другую механику, запрещающую опре-
определенные состояния; другая статистика — это просто
следствие другой механики.
В случае фермионов ситуация проще, здесь даже на-
начинающие не делают ошибки, невозможность нахожде-
§ 8] ОДИНАКОВЫЕ ЧАСТИЦЫ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 6S
ния двух частиц в одном состоянии есть очевидный за-
запрет.
Ситуация, которая ясна для двухатомной молекулы,
не так прозрачна для независимых частиц в общем поле
и в особенности для сплошного спектра. В примере, при-
приведенном выше, при разных А и В есть два разных со-
состояния АХВ2 и ВХА2. Если свойства А и В близки, энер-
энергия этих состояний также близка. Если к тому же ме-
между А к В есть взаимодействие, то вместо указанных
двух состояний решениями у. Ш. будут
АХВ2 + ВХА2 и АХВ2 — ВХА2.
Включение взаимодействия перепутывает состояния, но
по общим теоремам не меняет общего числа состояний
B = 2), так же как поворот осей координат не меняет
размерности пространства.
Если две частицы А и В суть два совпадающих бозо-
бозона В = А, то существует только симметричное состояние
А\В2 + ВХА2, второе состояние не существует в том же
самом смысле, как не существует C12G12 с 1=1. Для
фермионов запрещено симметричное (четное) состояние
А\В2 + ВХА2 и осуществляется А\В2 — ВХА2.
В классической статистике состояния подсчитываются
так, как будто все частицы разные.
Пусть число частиц во много раз меньше числа уров-
уровней, на которых в среднем размещаются частицы. Тогда
вероятность попадания двух частиц на один и тот же
уровень (что строго запрещено для фермионов) мала.
В этом случае общее число состояний для разных частиц
отличается от числа состояний бозонов (или равного ему
числа состояний фермионов) постоянным множителем Л/!,
где N — число частиц. Постоянный множитель в числе
состояний даст постоянное слагаемое в энтропии и в сво-
свободной энергии; поэтому классическая статистика в этом
случае даст правильные представления. Наблюдаемые
величины, не зависящие от аддитивной постоянной в
бозе- и ферми-статистиках, в пределе при малых за-
заполнениях совпадут со значениями величин, даваемых
классической статистикой.
Как справляется классическая,статистика с тем, что
в двухатомной молекуле половины уровней нет? Для
66 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. I
этого вводят число симметрии молекулы 2 (для двух-
двухатомной молекулы) и делят на 2 фазовый объем или
уменьшают энтропию на k In 2.
Интересно проследить, как то же число 2 появляется
в двухатомной молекуле из ядер со спином 1/2, напри-
например Нг. Волновая функция в этом случае представляет
собой произведение орбитальной и спиновой функций.
Антисимметричная спиновая функция <xiP2— «2Pi
двух частиц со спином 1/2 соответствует полному спину 0.
Симметричная функция соответствует s = 1: таких
функций —три: sz = 1, aia2; sz = 0, aiP2 + осгРь sz = —1,
Pifc- При s = 0 орбитальная функция четная, / = 0,
1 = 2,... (параводород). При s = 1 орбитальная функция
нечетная, / = 1, / =3,... (ортоводород). Таким образом,
у одних вращательных состояний спиновое состояние
имеется одно: g = 1, у других — три спиновых состояния:
g — 3; среднее значение: g = 2.
Молекула, состоящая из двух разных атомов, напри-
например НТ (водород — тритий), имеет по четыре состоя-
состояния *) при каждом /; при любом / есть и 5 = 0, g = 1 и
5=1, ? = 3.
Уменьшение от g = 4 для молекулы из разных атомов
до g = 2 для молекулы из одинаковых атомов как раз и
соответствует числу симметрии 2.
После введения числа симметрии классическая стати-
статистика успешно и правильно справляется с задачами тео-
теории диссоциации молекул, да и вообще со всеми зада-
задачами, в которых малы все числа заполнения; в этой
ситуации результаты не зависят ни от спина, ни от ста-
статистики ядер; результаты не зависят также, как легко по-
показать, и от того, имеем ли мы дело с одним типом ядер
или со смесью изотопов.
Получение правильных результатов не исключает не-
необходимости ясного понимания самих основ классиче-
классической, бозе- и ферми-статистик, для чего и служили при-
примеры, приведенные выше.
*) Заметим, что эти четыре состояния можно было подсчитать
проще, как произведение двух состояний Н (sz = + 1/2; sz = —1/2)
и двух таких же состояний Т. Классификация их по полному спину
не меняет числа состояний.
ГЛАВА II
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
§ 1. Введение. Волновые функции непрерывного спектра
с /= О
В этой главе рассматриваются состояния непрерыв-
непрерывного спектра. Такие состояния, как известно, описывают
рассеяние частицы в потенциальном поле. Теория рас-
рассеяния, являющаяся важным разделом квантовой меха-
механики, разработана во всех деталях. Наиболее полное из-
изложение этой теории можно найти в книге Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица A963) и в монографиях М. Гольдбер-
гера и К. Ватсона A964) и Р. Ньютона A966), специаль-
специально посвященных теории рассеяния. В последней можно
найти подробную библиографию по данному вопросу.
В данной главе мы ограничимся рассмотрением лишь не-
некоторых свойств волновых функций непрерывного
спектра.
Обратимся сначала к функциям непрерывного спек-
спектра с заданными значениями Е и I. Эти функции, как
следует из A.8) гл. I, существенно отличны от нуля во
всем пространстве. Условие убывания на бесконечности
поэтому отсутствует, и остается лишь одно условие A.7)
гл. I, налагаемое на две линейно независимые функции
%№. Следовательно, при фиксированном значении энер-
энергии Е и любом / мы можем образовать решение, удовле-
удовлетворяющее условию A.7) гл. I, причем это решение мо-
можно выбрать, например, вещественным. Некоторые свой-
свойства таких решений при / = 0 рассматриваются в данном
параграфе, а случай 1Ф0 — в § 2.
Мы видим, что в случае непрерывного спектра, в от-
отличие от случая дискретного спектра, при заданном-
68 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
Е > О есть решения у. Ш. для всех значений /. Поэтому
любая суперпозиция этих решений опять является реше-
решением у. Ш. и наоборот: любое решение у. Ш. с опреде-
определенной положительной энергией можно представить в
виде суперпозиции решений с различными значениями /
и фиксированным Е. С этим же обстоятельством связана
возможность выбора различных полных систем волновых
функций.
Важным и часто используемым в теории рассеяния
видом состояний являются состояния типа плоская про-
проходящая волна + рассеянная волна, т. е. состояния,
асимптотика которых при г—> оо имеет вид eikz +
+ /@, ф) e+ikr/r. Можно построить также состояния с
асимптотикой eihz + /i(9, q>)e~ikr/r; при этом функция
f\e-ikr/r описывает сходящуюся волну, a eihz описывает
частицу, вылетающую по направлению оси г. С такими
функциями, однако, приходится работать значительно
реже. Все перечисленные выше вопросы разбираются
в§3.
Наконец, в последнем параграфе этой главы, дается
вывод так называемой оптической теоремы и рассматри-
рассматривается ее обобщение.
Перейдем теперь к более подробному рассмотрению
состояний с фиксированными значениями Е и L Посмо-
Посмотрим, чему соответствуют состояния х(±)- Напомним, что
в состоянии, описываемом функцией ip(/")> поток частиц
в точке г равен
/(/•)=- -Й- (^-W)- A-1)
Подставляя сюда функции -у=——, получим
у 4п г
/^(f) — -+- JLJL (] 21
где v = bklm — скорость, соответствующая волновому
вектору k. Таким образом, функция %^+) описывает ча-
частицы, движущиеся со скоростью v во все стороны от
начала координат (расходящаяся волна), а функция
Х^Г' — частицы, движущиеся со скоростью v по напра-
направлению к началу координат (сходящаяся волна). Пол-
§ 1] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 69
ный поток, проходящий за 1 секунду через сферу радиу-
радиуса R внутрь (в случае х(-)) или наружу (в случае %(+'),
равен, очевидно
4nR2j(±) (R) = ± v. A.3)
Таким образом, принятая в A.8) гл. I нормировка функ-
функции x[t] соответствует тому, что через сферу большого
радиуса в 1 секунду проходит v частиц, а плотность ча-
частиц р равна 1/4л/?2 частиц/см3. Отсюда непосредствен-
непосредственно вытекает, что функции %(±) не могут являться реше-
решениями у. Ш. при г = О, поскольку эта точка является ис-
источником или стоком частиц. Из двух функций х^ мы
можем, однако, образовать такую линейную комбинацию
Xk(r)' которая обладает правильным поведением при
г = 0. Согласно A.9) гл. I в %k входит %?] и %<,+). Пер-
Первая из них соответствует потоку частиц, падающих на
силовой центр из бесконечности, а вторая — потоку ча-
частиц, расходящемуся от него. Иными словами, %k{r) опи-
описывает рассеяние частиц в потенциальном поле V(r).
Рассмотрим подробнее случай 1 = 0. Пусть потенциал
тождественно равен нулю. В этом случае решения
if)(r) = e±ikr A.4)
являются точными решениями уравнения A.6') гл. I во
всем пространстве, кроме точки г = 0. Граничным усло-
условиям при г = 0 удовлетворяет единственное решение
Xk (г) = Х{~} ~ Х[+) = - 2/ sin kr -> - 2ikr. A.5)
Г>0
Ясно, что при отсутствии потенциала нет и рассеяния.
Поэтому %k описывает свободное, невозмущенное движе-
движение частиц в пространстве (с нулевым орбитальным мо-
моментом относительно точки г = 0). Величина A (k) в
— амплитуда при сходящейся волне — является, оче-
очевидно, произвольным параметром, не зависящим от по-
потенциала U (r); A(k) зависит лишь от того, сколько ча-
частиц будет «направлено» в точку г = 0 из бесконечности.
Величина S[k), напротив, определяется исключительно
70 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
видом потенциала, и именно она определяет рассеива-
тельную способность этого потенциала.
Чтобы явным образом выделить из волновой функции
часть, описывающую рассеяние в потенциальном поле,
перепишем %k{r) следующим образом:
%k(r) = A (k) [Xf> - x{k+) ~ (S (к) - 1) %?+>]. A.6)
Первые два члена в квадратной скобке совпадают при
г > R с волновой функцией, описывающей свободное дви-
движение (см. A.5)). Последний член, стало быть, описы-
описывает рассеянную волну.
При рассеянии в потенциальном поле не может про-
происходить поглощения или рождения частиц. Поэтому чис-
число падающих на силовой центр частиц должно равняться
числу частиц, уходящих от него на бесконечность. Это
означает, что \S(k)\= 1, и поэтому можно всегда запи-
записать S(k) в виде
S(k) = e2i^k\ A.7)
где б — действительная величина, называемая фазой рас-
рассеяния. В случае свободного движения имеем, очевидно,
6(&) = 0 (см. A.6)). В общем случае 6=^=0, и волновую
функцию при r^-R можно всегда записать в любой из
следующих форм:
%k (Г) = Aeib (х^е-16 - %1+)егб) = - 2lAeiu sin (kr + б) =
= - 2iA [sin kr + ei& sin 6eikr]. A.8)
Часто возникает вопрос, по какому праву мы можем раз-
разбивать волновую функцию на две части и приписывать
им смысл волновых функций, описывающих сходящийся
и расходящийся потоки частиц. Можно поставить вопрос
по-другому. Волновую функцию непрерывного спектра
всегда можно выбрать действительной. Известно, однако,
что в состоянии, описываемом действительной волновой
функцией, поток частиц равен нулю. Имеем ли мы право
отождествлять пропорциональную eihT часть функции в
последнем члене A.8) с рассеянными частицами?
Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть
движение волновых, пакетов. Обратимся, например, к з^-
8 И
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
71
даче о прохождении частиц через барьер. Потенциал
имеет вид (рис. 5)
U = Uo при — а < х < а,
U— 0 при
Волновая функция, как известно, может быть записа-
записана как
— а < х < а, 1
х < — а, а<х. )
A.9)
>(*>') =
(eikx- A(k)e~ikx)e~ h при х<-а,
A.10)
B(k)e h при х>а,
где А обычно называют коэффициентом отражения.
ил
-а а
Рис. 5.
Построим волновой пакет из состояний с энергией
Е « Ео:
Ео+АЕ
J аЕ*(х,1), A.11)
J
причем Д? будем считать настолько малой, что можно
пренебречь энергетической зависимостью величин А и В
и, кроме того, для k использовать приближенную фор-
формулу
[^\ **. A.12)
Элементарное вычисление сразу дает нам
Ф<+> (х, t)-A (k0) ф<-> (х, t) при х < - а,
>(+}(х, t), при х>а,
A.13)
где
t (±
sin (X + V0t)
(х + vot)
72
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
It Л. И
Функция ф(+>(л:, /) отлична от нуля, только если х— vot «
« 0, а функция ф(~), — только если х + vot «* 0. Рассмо-
Рассмотрим область слева от барьера, где х < 0. Из рис. 6 ви-
видим, что когда t < 0, только q>W отлична от нуля (волна
-а о л
Рис. 6.
из —оо падает на барьер). При t> О положение меняет-
меняется: теперь слева нет члена ф<+>, зато отличен от нуля
член ф<~> (волна отразилась от барьера). Справа от
барьера х > 0, поэтому условие х— vot может выполнять-
выполняться только при / > 0. Таким образом, при / < 0 справа от
барьера волновая функция везде равна нулю. При t > О
появляется волна Б(&о)ф(+), распространяющаяся по на-
направлению X—> + оо.
Коэффициенты A(k0) и B(k0), очевидно, определяют
интенсивность отраженной и прошедшей волн, и мы ви-
видим, что действительно eikx и e~ihx можно с полным осно-
основанием трактовать как волновые функции частиц, рас-
распространяющихся по направлениям х = 4- оо и х = —оо
соответственно.
Разберем еще вопрос о нормировке волновых функ-
функций непрерывного спектра. Функции непрерывного спек-
спектра %k(r) отличны от нуля во всем пространстве, и их
нельзя нормировать на единицу, как в случае дискрет-
дискретного спектра. Нормировка на единицу соответствует
условию, чтобы во всем пространстве находилась только
одна частица. Так как функция непрерывного спектра от-
отлична от нуля во всем пространстве, то ясно, что при
нормировке волновой функции на одну частицу во всем
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
73
пространстве (т. е. Г
1) нормировочный ко-
0
эффициент A (k) необходимо положить равным нулю.
Можно, правда, как делалось часто раньше, использо-
использовать предельную процедуру: считать сначала, что про-
пространство не безгранично, а заключено в большую сферу
радиуса R. При этом интервал значений 0 < г < R огра*
ничен и нормировочная постоянная A(k) получается ко»
нечной. В окончательном результате R устремляют к
бесконечности, а Л — к нулю так, что сохраняется поач>
янным произведение |Л|2/?. Эта процедура, однако, из-
излишне громоздка, и ее сейчас почти не используют.
Обычно используется нормировка на б-функцию:
A.14)
Докажем возможность такой нормировки. Рассмо»
трим два близких значения kvik\\
tt + (k2-V)xk = o, ?+(*?-V)x;,-o.
Умножим первое уравнение на %ki, второе —на х* и
вычтем одно из другого:
Проинтегрировав это равенство по г, получим
* R
J
dr =
На нижнем пределе все функции исчезают; пользуясь
асимптотикой волновых функций %k~ A (k)sin(kr + 6),
после незначительных преобразований получаем
f vy* dr A(k)A*(
74
непрерывный спектр
[ГЛ. II
Так как R-^oo, то последний член эффективно равен
нулю. Действительно, как функция k и k\ он сильно
осциллирует, причем частота осцилляции стремится к
бесконечности вместе с R. Всякий интеграл, в подынте-
подынтегральное выражение ко-
которого входит такая функ-
функция, умноженная на глад-
гладкие функции, стремится к
нулю. В этом смысле и
было сказано, что эти
функции равны нулю эф-
эффективно.
Если (k\—k) — фикси-
фиксированная конечная вели-
величина, то эффективно ра-
равен нулю и первый член.
Рассмотрим теперь слу-
чай, когда (kt — k)-+0.
Прежде всего заметим,
б
Рис 7.
р
что разностью 6(&i)—6(k) можно пренебречь по сравне-
сравнению с R (ki — k), так что
J
sin
- k) R
(Ы6)
Известно, однако, что
lim
sin ax
¦¦ яб (х).
A.17)
График функции
sin ax
изображен на рис. 7. Она велика
в области х~— и быстро уменьшается с ростом х.
В пределе а—><х> эта функция равна нулю при хФО
и равна бесконечности при х = 0. Площадь под кривой
равна
\
sin ax
dx —
§ 1] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 75
Таким образом, равенство A.17) доказано. С учетом
этого равенство A.16) принимает вид
оо
J Xk (г) %«(г) dr = | A (k) f | б (k - k'\ A.18)
о
Итак, возможность нормировки на б-функцию доказана,
и соответствующий коэффициент равен
Иногда удобно нормировать функции непрерывного
спектра на б(ф(&)—ф (&')), где <р(&)—какая-то функ-
функция k. Соответствующая нормировочная постоянная
равна
r^yA(k). A.20)
Например, при нормировке на б-функцию от энергии
Ф=~2^- и нормировочная постоянная А (Е) равна
А(Е) =
Функции дискретного спектра обращаются в нуль
при г —юо. Из формулы A.15) поэтому сразу следует
ортогональность функций непрерывного спектра ко всем
функциям дискретного спектра*). Кроме того, очевидно,
ортогональны любые две функции дискретного спектра
с разными энергиями Ет Ф Еп. Поэтому мы всегда мо-
можем так нормировать волновые функции, чтобы они со-
составляли ортонормированную систему:
/ гт (г) %п (г) dr = бтп, J гк (г) %* (г) dr = 6(k- k%
\xk(r)xn{r)dr = 0.
Здесь Ьтп — символ Кронекера.
A.22)
*) Заметим в связи с этим, что если заменить функции непре-
непрерывного спектра функциями свободного движения, что иногда и де-
делается, то последние уже не будут ортогональны функциям дискрет-
дискретного спектра, что может привести к значительной ошибке при вы-
вычислениях.
76 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. И
Система волновых функций непрерывного и дискрет-
дискретного спектров является полной. Это значит, что произ-
произвольную достаточно хорошую функцию /(г) можно раз-
разложить по этой системе, т. е. имеет место тождество
/(r)= / dkC(k)Xk(r) + %CnXn(r). A.23)
Коэффициенты C(k) и Сп нетрудно найти, умножая обе
части A.23) на %*(г) и %п{г) и интегрируя по г.
C(k)=j xl (О f (О d/, С„ = / х; (О / (О dr'. A.24)
Подставляя A.24) в A.23), получаем
/ (г) - J [2 X» х; (О + J <йх* (г) %1 И]/ (О^- A-25)
Отсюда следует, что выражение, стоящее в скобках,
можно отождествить с б-функцией:
оо
2 Х« И У* О + J rf^fe (г) %1 (г') - б (г - О. A.26)
Если функции непрерывного спектра нормированы на
б-функцию от энергии, то формулы A.23) — A.26) сохра-
сохраняют свой вид, но вместо %к в них надо подставить х? и
интегрировать не по k, a no E.
§ 2. Движение с орбитальным моментом / Ф 0;
движение в кулоновском поле
Волновая функция частицы, находящейся в состоянии
с заданными значениями орбитального момента / н его
y (г)
проекции т, имеет вид —— Ylm @, ф), где
FtoF,cp)- ^
а %ы должна находиться из уравнения A.5) гл. I.
Свойства сферических функций, описывающих угло-
угловую зависимость волновой функции с данными / и т, хо-
хорошо изучены.
> 2| ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ 1Ф0 77
Мы остановимся здесь лишь на нескольких теоремах,
чоторые легко и наглядно вытекают из общефизических
представлений и тех аналогий, которые получаются в
пределе, при классическом движении*).
Начнем с функции, отвечающей максимальному зна-
значению \т\: т — ±1. Очевидно, что в этом случае в«F)
не имеет узлов (поскольку sin тер и cos ту имеют макси-
максимальное число узлов). В пределе при большом / этот
случай соответствует орбите, лежащей в плоскости эква-
экватора так, чтобы вектор момента количества движения
был параллелен оси г. Значит, в этом предельном случае
|в„(в)Р = в(в-я/2).
Эту оценку можно уточнить и найти закон, по кото-
которому при увеличении / величина |в;/F) |2 приближается
к 6(8 — я/2), т. е. сужается, концентрируясь к экватору.
Для этого заметим, что квадрат момента равен
/(/ + 1), а проекция момента т на ось z равна /. Отсюда
находим средний угол а между осью г и нормалью к
плоскости орбиты, cos а = - «1 , а »* 1/ — .
Рассматривая плоскость, наклоненную таким об-
образом, легко определить, что средний угол р между век-
вектором, лежащим в такой наклонной плоскости, и пло-
плоскостью экватора равен Ур2 *=—7=га=у — .
Следовательно, при большом, но конечном /,
|0«(9)|2 имеет максимум при 6 = я/2 и эффективную
ширину j/l/2/. Это значит, что приближенно ее можно
заменить на ~=е ^ 2'; коэффициент перед экспо-
нентой определяется из условия нормировки сферических
гармоник.
Как представить себе наглядно противоположный
предельный случай — функцию с данным большим / и
*) Сравните с работой П. Бруссаара и X. Толхека A957), а
также с квазиклассическим рассмотрением многомерного случая
в § 3 гл. V. Заметим, что аналогичный- способ рассмотрения коэф-
коэффициентов Клебша—Гордана и Рака использовался в книге Е. Вяг-
нера A959).
?8 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. И
с т = О? С такими функциями приходится иметь дело,
в частности, в задачах рассеяния, поскольку частица,
движущаяся по оси г, тождественно имеет т = 0.
Свойства искомой функции выясним, рассматривая
частицы, движущиеся по круговым орбитам. Представим
себе совокупность всех круговых орбит с осями, перпен-
перпендикулярными к оси г, т. е. лежащими в плоскости х, у
(ясно, что у таких орбит т — 0).
Направление осей в плоскости х, у равновероятно.
Все орбиты пересекаются на полюсах и плотность
вероятности на единицу поверхности телесного угла (т. е.
на единицу поверхности сферы) максимальна, обращаясь
в бесконечность на полюсах при 6 = 0 и 6 = я.
Найдем выражение плотности вероятности: при дви-
движении по меридиану все интервалы д?6 равновероятны,
dW = dB/n. Отнесем теперь dW к площади, приходящейся
на угол dQ, dS = 2я sin QdQ. Отсюда находим
Г~п j2 &W 1
1 /й1 ~ dS ~ 2л2 sinG *
При этом надо иметь в виду, что в действительности
Уя>(8}— знакопеременная функция и имеет / узлов в ин-
интервале О^Сб<Гя (/ узловых линий — параллелей); вы-
выписанное выше выражение представляет интерес, лишь
поскольку мы отвлекаемся от этих колебаний. Для этого
нужно, чтобы было / 3> 1 и при этом рассматривались
бы интервалы Д9 > 1/1.
Полезно отметить максимальную степень отклонения
от сферической симметрии, возникающую при т = 0 и
1*Э>\. Как видно из приведенного выражения, плотность
минимальна на экваторе, при 6 = я/2 среднее | Кю |2 равно
1/2я2 при среднем по сфере 1/4я. Плотность в окрестности
экватора меньше средней в я/2 раз. Заметим, что, строго
говоря, с учетом тонкой структуры (узлов) плотность
колеблется в пределах от 0 до 4/я; при / нечетном на
экваторе в s= 0, при / четном -щ^ = —, величина 2/я
получается при усреднении по колебаниям. Замечатель-
Замечательно, что существует такое асимптотическое значение, не
зависящее от /, в пределе 1^-1. В окрестности полюсов
§2] ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ 1ф 0 79
l^ol2-*00, когда /—»¦ оо. При конечном значении / мак-
максимум достигается при 9 = 0 и 6 = я:
Если на опыте угловое распределение вытянуто вдоль
оси z сильнее и, в частности, в окрестности экватора
меньше, чем на 2/я = 0,65 среднего, то можно быть уве-
уверенным, что имеет место интерференция состояний с раз-
различными /.
Далее, асимметрия относительно экваториальной пло-
плоскости, т. е. асимметрия г > 0 и г < 0, очевидно, воз-
возможна лишь как результат интерференции состояний с
четными и нечетными /.
В случае частицы со спином 7г полный момент / —
полуцелый. Каждое значение / может быть получено
двумя способами: / = /i + 7г и / = 1% — '/г-
Волновые функции представляют собой произведения
орбитальных и спиновых функций, взятые в соответствии
с правилами сложения момента. Введем обозначения для
спиновых функций:
Выпишем конкретно несколько первых волновых
функций:
0, / = -r-, (Si/,)
m~~2'
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. И
/-2, /«¦§-, (Д.л)
3
B.1)
Замечательное свойство этих функций заключается
в том, что полная плотность частиц после усреднения по
направлениям спина зависит только от / и т, т. е. оди-
одинакова для / = 1\ + 7г и / = 4 — '/г- Так, например, для
/ = 3/г, т — 3/г получим в первом случае (А/г)
во втором случае
т. е. то же самое.
§ 2] ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ 1фй 81
В частном случае / = 7г имеет место изотропия пол-
полной плотности не только для Si/, (/ = 0), но и для
Р,,, (/=1):
Различить U + Ч2 и /2 — 7г можно только путем поляри-
поляризационных измерений, т. е. определяя как полную плот-
плотность частиц, так и их направление спина.
Интерференция между U + 7г и h — 7г создает асим-
асимметрию в полной плотности относительно экватора.
В частности, хотя состояния Sy2 и Р% каждое в от-
отдельности изотропны, интерференция между ними со-
создает анизотропию: максимум достигается для линейной
комбинации
1
При этом W -1 -ф р = -^ A =F cos 9).
Описанные выше свойства специфичны для частиц со
спином '/2, но именно такие частицы играют наиболее
важную роль.
Перейдем к рассмотрению радиальных волновых
функций.
Практически все спицифические ядерные взаимодей-
взаимодействия являются короткодействующими, т. е. их можно
полагать равными нулю вне некой сферы г = R. Входя-
Входящий же в у. Ш. при / Ф 0 центробежный потенциал, на-
напротив, простирается далеко за сферу г = R и сущест-
существенно изменяет вид волновой функции при r> R.
В области г > R уравнение для %k[ имеет вид
и с помощью подстановки х = Vr % сводится к уравне-
уравнению Бесселя. Соответственно в этой области общее реше-
решение этого уравнения имеет вид
= V7 z(*)
где Zf-i-i/, — любая из бесселевых функций порядка / + 7?-
82 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
В качестве двух независимых решений мы выберем
(г) -' У^т- Н?1ъ (kr) - (kr) h? (kr),
B-2)
где Ж1) и Ж2) — функции Ганкеля*). При больших kr
эти два решения ведут себя как
-¦?) B.3)
и соответствуют сходящимся и расходящимся потокам
частиц. Эти решения являются обобщением на слу-
случай 1Ф0 функций зСйо* и имеют тот же самый физиче-
физический смысл. Функции непрерывного спектра, описываю-
описывающие рассеяние частицы с моментом /, можно в полной
аналогии с A.6), A.8) записать как
B'4)
Здесь е2' г ^ St (k) играет ту же роль, что и 50 для / = 0.
Если потенциал U тождественно равен нулю, то выпи-
выписанное выше выражение для волновой функции должно
быть справедливым во всем пространстве. Функций %(^\
однако, при малых kr ведут себя как
№)
- 2М, (Jfe) eia' sin (ifer - 4" + 6/) при г -* оо. j
(Г — это Г-функция) и, очевидно, не удовлетворяют
условию регулярности волновой функции в нуле. Обра-
*) Эти функции имеют вид полинома степени I от аргумента
\\kr, умноженного на е к . Чтобы найти нх в явном виде,
можно использовать формулу
§ 2] ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ / Ф 0 83
щается в нем в нуль лишь разность *)
_L('Y(+)_Y(-n = 1/?E" г ,(&).--¦ V* (kr)l+l (or)
2 L[l+T)
где
есть обычная функция Бесселя.
Сравнение B.4) с B.6) показывает, что в отсутствие
потенциала фаза 6/ равна нулю и Si(k) = 1, в полной
аналогии с определениями § 1. Рассеивающая способ-
способность потенциала по-прежнему определяется величиной
\Si(k)— 1|2. Что касается самой Si(k), то для ее вычис-
вычисления необходимо знать решение %$ЧГ) у. Ш. в области
действия потенциала (r<R). Как только это решение
стало известно, St(k) находится с помощью A.11) гл. I,
куда надо вместо %(^ и %f] подставить их аналоги
Х(и) и %&• Нетрудно видеть также, что формулы A.18) —
A.26), определяющие нормировку функций, полученные
ранее для случая / = 0, сохраняют силу и для функций
%ы при произвольном /.
Итак, мы видим, что случай / Ф 0 отличается от разо-
разобранного в § 1 (/ =0) количественно, но не качественно.
Физический смысл и качественные особенности решений
у. Ш. в обоих случаях одни и те же.
До сих пор мы считали, что частица не заряжена.
Рассмотрим теперь случай, когда, кроме потенциала U(r),
на частицу действуют кулоновские силы. Заряд частицы
обозначим через еи а заряд, находящийся в точке г = 0,
через е%.
Суммарный потенциал, действующий на частицу, те-
теперь равен
„(r) + iI?+JI+2ji при г<л>
при r>R,
B.7)
где Л = -^"> ° — скорость частицы.
*) Такое поведение волновой функции прн малых г нетрудно
получить из уравнения A.5) гл. I.
непрерывный спектр [fji. ii
В области г > R у. Ш. имеет вид
*¦)*.
-О-
Свойства этого уравнения хорошо изучены. В качестве
двух независимых его решений обычно выбирают так на-
называемые регулярную и нерегулярную кулоновские функ-
функции Fi(kr,x\) и Gi(kr, т]). При г-*оо эти функции пере-
переходят в
in < kr —y + i\i — т] In 2&r >,
-sin<
, Ь b'J ', Jl B-9)
Gt ~ cos { kr —5—h y\i — т] In 2ftr >,
где t\i = argF(/ + 1 + Щ). При r-*0 FL стремится к нулю
как rl+l, a Gi обращается в бесконечность как r~h
-,
B.90
где
В дальнейшем нам будет удобнее пользоваться не
самими кулоновскими функциями, а их линейными ком-
комбинациями: .
Х&> (г) - G, ± ^ ^ е*г (—Г*^1п 2^). B.9'0
Эти функции, по аналогии с введенными выше функция-
функциями B.3), описывают расходящиеся и сходящиеся потоки
частиц (v частиц через сферу большого радиуса в 1 сек).
В этом легко убедиться, вычислив соответствующие по-
потоки. Член с In Ikr в показателе экспоненты можно счи-
считать постоянным, так как при дифференцировании по г
он дает добавку, обращающуюся в нуль при г—» оо в
г раз быстрее, чем основной член.
§ 31 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА &J
При положительных энергиях общее решение у. Ш.
в области г > R можно записать в полной аналогии с
разобранными выше случаями:
- 2iAt(k) eifi'sin (kr - Ц-+т\г + в, - ti In 2Jfer),
B.10)
Если потенциал U(r) тождественно равен нулю, то реше-
решение B.10) должно быть справедливым во всем простран-
пространстве. При этом Si = 1 и бг = 0. Действительно, мы знаем,
что лишь одна из кулоновских функций, Fi, регулярна в
нуле. Это означает, что функция B.10) не должна содер-
содержать Gt, т. е. 5; = 1.
При отличном от нуля U (г) величина 5/ Ф 1, и, следо-
следовательно, величина б< является характеристикой рассеи-
рассеивающей способности потенциала U(r). Удобно перепи-
переписать %ы, выделив из нее чисто «кулоновскую» часть:
- А (*) № - xL+) - (st -1) xtf} -
ф-ад)}. B-и)
Последний член в этом выражении целиком обязан рас-
рассеянию на потенциале U(r) и исчезает, когда потенциал
равен нулю.
§ 3. Волновые функции непрерывного спектра.
Сечение рассеяния
До сих пор мы рассматривали только состояние ча-
частицы с определенным моментом количества движения
относительно начала координат. В задаче рассеяния, од-
однако, речь идет о пучке частиц, распространяющихся с
определенной скоростью вдоль заданного направления и
рассеиваемых полем U(r). Эта задача решается следую-
следующим образом *).
*) Излагаемый ниже общий способ решения задачи впервые
применили X. Факсек и И. Хольцмарк A.927); частный случай рас-
рассеяния звуковой волны на непроницаемой сфере рассматривался
аналогичным методом еще ранее Рэлеем A871).
86 ЬШПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
Прямолинейно распространяющийся вдоль направле-
направления к пучок частиц описывается плоской волной elkr.
Действительно, вычисляя поток, соответствующий пло-
плоской волне, получаем
• ш ,.
/ = — = v.
т
Такие частицы не обладают определенным значением мо-
момента относительно начала координат, так как плотность
вероятности |е'*г|2= 1 одинакова во всем пространстве
и, следовательно, говоря классическим языком, при за-
заданной скорости возможны любые значения прицельного
параметра. Долю состояний с различными значениями
момента / относительно начала координат легко найти из
известного разложения плоской волны по сферическим
гармоникам:
оо
e"" = YilBl+l)P
?)даw -хлгчг». (з.1)
Здесь Pi — полиномы Лежандра, Ую-сферические гар-
гармоники, а х«:) определены формулами B.2). Из этого
разложения мы видим, что в плоской волне каждая схо-
„(-)
дящаяся волна —у- Уй с моментом / входит с ампли-
амплитудой Q:
Ci=~-^ilVnBl+l). C.2)
В классической физике момент количества движения
частиц относительно некой точки г = 0 равен L = [rp], a
его проекция на направление движения равна нулю. Это
утверждение остается справедливым и в квантовой меха-
механике: функция К/т F, ф) соответствует состоянию с мо-
моментом / и его проекцией т на ось квантования (т. е. на
направление движения частиц в принятой нами системе
координат). То, что elkr раскладывается исключительно
по У«ъ как раз и соответствует тому, что поток частиц,
движущихся вдоль k, содержит различные значения мо-
§ 3] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 87
мента / относительно точки г = О, но проекция момента
на направление k равна нулю.
Формула C.2) означает, что волновая функция, опи-
описывающая рассеяние прямолинейно распространяюще-
распространяющегося пучка частиц, должна иметь вид
¦* (г) - S CtYm (?) 1 (#> - 5д<|>). C.3)
Действительно, падающие на силовой центр волны (т. е.
члены при х(~')> очевидно, имеют ту же самую ампли-
амплитуду, что и волны, распространяющиеся в свободном про-
пространстве; перед амплитудами расходящихся волн (т. е.
перед х(+))> однако, из-за действия потенциала V(г) по-
появится фазовый множитель St = е21 К
Формулу C.3) для tyk удобно переписать, выделив из
нее часть, описывающую рассеянные частицы:
C.4)
где ^(9) — так называемая амплитуда рассеяния:
00
'(еL^47И^(^)Eг1), cos6 = 17-
C-5)
Если потенциал U(r) тождественно равен нулю, то все
Si равны единице, f@) = 0 и рассеяние частиц отсут-
отсутствует. Если же потенциал не равен нулю, то /@)=?О.
Вычислим поток частиц, рассеянных на угол 0 и вы-
выходящих из сферы большого радиуса через элемент по-
поверхности гг sin 0 dQ dcp = r2aQ. Рассеянные частицы
eikr
описываются членом f F) . Соответствующий поток
частиц равен
j(Q)dQ=>v\f(Q)\2dQ.
Для характеристики рассеивающей способности по-
потенциала вводится так называемое сечение рассеяния
0@). Оно определяется как величина потока рассеян-
рассеянных частиц в телесном угле dQ, вызываемого единичным
88 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
/, частица \ _
потоком частиц I —г—— , падающих на силовой
\ СМг * СВК J
центр. Падающий поток / равен v. Таким образом, се-
сечение рассеяния в потенциальном поле U(r) равно
o(Q)dQ=;\f(Q)\2dQ. C.6)
Проинтегрировав по всем углам, мы получим полное
сечение рассеяния *)
которое является суммой сечений в состояниях с различ-
различными /:
S ^Vy^-lSt-lW C.8)
Сечение рассеяния под данным углом а@) (так на-
называемое дифференциальное сечение) нельзя предста-
представить в таком простом виде. Дело в том, что о (В) имеет,
как видно из C.5) и C.6), вид
а(9) = ? 2 VBl + l)Bli + i) YloYlo (S, - l)(S'h - l),
т. е. содержит интерференционные члены Yi0Y*ll0 между
состояниями с различными орбитальными моментами /.
Интерференционные члены исчезают лишь при интегри-
интегрировании по всем углам как результат ортогональности
сферических гармоник.
*) В классической механике сечение а = оо, если потенциал U(r)
не обращается в нуль при г, большем некоторого R. Замечательной
особенностью квантовой механики является конечность сечения для
потенциалов, падающих быстрее, чем 1/г. Как нетрудно видеть, су-
существенное различие между сечениями в обоих случаях возникает
при рассеянии на малые углы,
<» з1 волновые Функций нейрёрывного сйёктрА 89
Функции -ф* (г) можно преобразовать к очень нагляд-
юму виду. Это преобразование совершается с помощью
формулы
~ 2 B/ + 1) Pi (лл.) = 2 /яB/+1) Ую (ял,) =
= 2яб A - лл,) = 2яб (л - л,), C.9)
где ft и щ — любые единичные векторы, а б (л — п{) —
б-функция. Формулу C.9) легко проверить, умножив
обе стороны на У^о (пщ) и проинтегрировав по всем
направлениям одного из векторов, скажем, л: dn ==>
= sin 6 dQ я?ф.
Из C.1) и C.4) с помощью C.9) и из известного со-
соотношения Ую (—ЛЛ1) = (—l)'Yl0 (nrii) немедленно по-
получаем, что при больших г
Лкг п
|^]} C.ю)
здесь л = k/k; л( = г/г.
Смысл C.10) очевиден: сходящийся поток частиц
имеет амплитуду, отличную от нуля лишь при щ = — л,
что и соответствует частицам, движущимся по направле-
направлению k к началу координат. Амплитуда расходящихся
частиц делится на две части: нерассеянные частицы, уда-
удаляющиеся от начала координат в направлении л, и рас-
рассеянные во всех направлениях частицы, описываемые
членом -^-/(лл,).
Перейдем теперь к построению полной ортонормиро-
ванной системы волновых функций. Вычислим для этого
интеграл:
(г) Ф*. (г) dr = BяK ^ 1ет~ 4я VBl + 1)B/, + 1) X
х
J
г) й* М * ¦/ лу» [%) IT, (If) •
90 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
Интеграл по углам берется элементарно:
J
Вспомнив также, что радиальные функции нормиро-
нормированы на 6(& — k\) -функцию, получаем
J
B/+l) Yl0 (iL) -
= BnL(k-k1). C.11)
Таким образом, совокупность функций t|^ ^
при всех значениях вектора k образует ортонормирован-
ную систему. Однако эта система не является, вообще
говоря, полной. В самом деле, помимо состояний непре-
непрерывного спектра при некоторых дискретных отрицатель-
отрицательных значениях энергии Eni (или соответствующих им мни-
мнимых волновых векторах kni = iy,n{), возможны решения
J
(Г) = - %nl (Г) Ylm F, ф),
dr
описывающие связанные состояния частицы в поле U(r)
с орбитальным моментом / и его проекцией т. Кроме
того, из предыдущего параграфа мы знаем, что функции;
дискретного и непрерывного спектров ортогональны друг
другу: J i|>retox (г) г|з2 (г) dr = 0. Известно, что функции
составляют полный набор функций у. Ш., удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям конечности и непрерывности во всем про-
пространстве. Выпишем условие ортонормированности этого
набора функций:
J
J
C.13)
§3] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 91
Из условия полноты следует, что любая функция <р(г),
интеграл от квадрата модуля которой есть конечная
величина, может быть разложена по этому набору:
Ф (г) = 2 Сп1п$пш (г) + / dkC (k) ^+) (г), C.14)
nltn
где, как легко убедиться, умножая это равенство на
¦ф*/т(г) или ^+)* (г) и интегрируя по г,
f ]
] C-15)
Совершенно очевидно, что выбор полной системы
функций можно сделать бесконечным числом способов.
Действительно, в качестве такой системы можно, напри-
например, выбрать функции
}() C.16)
или любые их линейные комбинации. Одной из таких
комбинаций функций ^(г) и являются введенные на-
нами выше t|3Jj,+) (r).
Наряду с 1|^+) иногда приходится пользоваться систе-
системой функций
t'W^»- C-17)
Эти функции имеют вид
^"' " IS* 2'' V'^WTTy Ym (?¦) е-/а'(ft) 1^ (г). C.18)
Их физический смысл легко понять из асимптотического
вида
при г->со. C.19)
Видно, что хотя сходящиеся на силовой центр частицы
движутся со всех направлений, но фазовые соотношения
92 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
между амплитудами падающих волн с различными / та-
таковы, что расходящиеся рассеянные частицы вылетают
лишь в направлении вектора k; таким образом, после
рассеяния сходящийся поток частиц «вытягивается»
в направленный пучок*).
Применяя к формулам, приведенным в первой поло-
половине параграфа, операцию комплексного сопряжения и
изменяя в них знак k, легко убедиться в том, что
функции
%iJr) и ФЬ-'М C-20)
являются ортонормированными и составляют полный на-
набор решений у. Ш. A.2') гл. I.
Уже из самого смысла функций t|^+) и г^-' видно, ког-
когда удобнее пользоваться набором C.12), когда — набо-
набором C.16), а когда — набором C.20). При разложении
какого-то состояния <р(г) по решениям у. Ш. удобно
пользоваться первым набором, если нас интересует во-
вопрос: какому распределению (по энергии и направле-
направлениям) падающих потоков частиц соответствует состояние
ф(г). Когда нас интересует распределение частиц по со-
состояниям с заданными /, т и k, удобно пользоваться
набором C.16). Наконец, если мы хотим знать распре-
распределение по направлениям и интенсивности расходящих-
расходящихся частиц, удобно пользоваться полной системой C.20).
Пусть, например, каким-то образом в потенциале
U(г) создано состояние <р(г) и мы хотим знать, сколько
частиц с волновым вектором k летит из начала коорди-
координат. Это число, очевидно, определяется квадратом моду-
модуля коэффициента
*) Заметим, что состояния ifi^ и щ ' (их часто называют in и
out состояниями соответственно) при г -*¦ оо переходят в собствен-
собственные функции свободного гамильтониана Но = р2/2т. Таким образом,
в нашем случае полный гамильтониан Н естественно разбивается на
#о и V. Можно, однако, развить теорию рассеяния, не используя
разбиения гамильтониана на две части (X. Экштейн, 1956). Чита-
геля, интересующегося строгой теорией рассеяния, мы отсылаем
зору В. Бренига и Р. Хаага A959).
§ 4] ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 93
если мы пользуемся набором C.20). Если бы мы пользо-
пользовались набором C.12), то СН (к) также можно было бы
определить, но только более сложным путем: сначала
пришлось бы разложить <p(r) no ty^ и найти коэффи-
коэффициенты
а затем уже искать C<-)(fe), используя полученное раз-
разложение:
С<-> (*) = J dr { J dkp+> (к,) ф<>> (г)} фМ* (г).
Принципиально, конечно, этот путь ничем не хуже пре-
предыдущего, но технически он неизмеримо и, главное, не-
неоправданно сложнее.
Приведем еще одну формулу, являющуюся след-
следствием полноты решений у. Ш.:
2 W'Lw('i) + J rf*ti±}(r) ti*)'(r,) = 6(r-r{). C.21)
nlm
§ 4. Оптическая теорема и ее обобщение
Как было показано в предыдущем параграфе, рас-
рассеяние частицы в потенциальном поле описывается вол-
волновой функцией
$k (г) ~ eikr + f (л, п') eikr/r, где п = k/k, ri = г Jr.
Г-»оо
Первый член в этой функции описывает проходящую
волну, второй — рассеянную волну. Поэтому на первый
взгляд кажется, что здесь имеется парадокс: мимо рас-
сеивателя проходит пучок частиц, да еще некоторый по-
поток частиц рассеивается полем, Последние как бы воз-
возникают из ничего. Как же быть здесь с законом сохра-
сохранения числа частиц или, что то же самое, с сохранением
вероятности (с унитарностью)? Правильный ответ за-
заключается в том, что существует интерференция между
падающей волной и волной, рассеянной на угол 0, и
эта интерференция приводит к выбыванию проходящих
94 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. II
частиц из пучка. Для более ясного понимания механиз-
механизма рассеяния найдем в пределе при г-*оо поток /(г),
соответствующий этой функции. Оставляя лишь наибо-
наиболее медленно убывающие члены, получаем
рг|зА = - /Wi|>A = hkneikr + hkn'-t eikr. D.1)
Подставляя это выражение в формулу A.1) для тока,
находим
-™ / = kn + у у (л + л') [f е~1 (*'-« + f V("-*">] + кп'Ц?-.
'D.2)
Наконец, используя тождество
'' = ^ 6 (л + л') ±- б (л - яО -?— , D.3)
lim eiknn
получаем
/га . , , 4я т j. / / . б (я — п') , , , | f (nn') I2
j = knkn\mf{n'ri)^L + M \n
Все три члена формулы D.4) имеют простой физический
смысл: первый член описывает поток падающих частиц;
второй член, возникающий вследствие интерференции
падающей и рассеянной волн, приводит к уменьшению
потока частиц, движущихся в первоначальном направле-
направлении, т. е. к ослаблению пучка частиц вследствие рассея-
рассеяния; наконец, последний дает просто поток рассеянных
частиц.
Проинтегрируем теперь обе части D.4) по сфере
большого радиуса г = R и преобразуем интеграл в ле-
левой части в интеграл по объему V, заключенному внут-
внутри сферы S:
J/flfS= Jdiv/flfr. D.5)
S V
Однако в стационарном состоянии div / = 0, что следует,
например, из уравнения непрерывности
§ 4] ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 95
поскольку -?¦ = 0. Выражение D.5) принимает теперь
dt
вид
0 = 0-^1т/(л, n)+j\f(n,n')fdn'. D.6)
Но последний член в D.6) есть просто сечение рассея-
рассеяния а, и поэтому
л) = -^а. D.7)
Мы получили так называемую «оптическую теорему»,
установленную впервые Е. Финбергом A932). Эта важ-
важная теорема связывает полное сечение с мнимой частью
амплитуды рассеяния вперед. Как мы уже видели, ле-
левая часть D.7) возникает как результат интерференции
между амплитудами нерассеянных частиц и частиц, рас-
рассеянных под углом 0 = 0 к падающему пучку. Иными
словами, «оптическая теорема» — это квантовомехани-
ческий эффект, связанный с волновым характером дви-
движения частиц.
Очевидно, что проведенное выше рассуждение спра-
справедливо как для функций -ф* (г), так и для любых их
линейных комбинаций
\{n)^kn{r)dn. D.8)
В этом случае требование равенства нулю интеграла от
потока при произвольных А (п) приводит к следующему
обобщению оптической теоремы:
Im f (л, л') = ± / dn"f (я, л") Г {пг, л"). D.9)
Проверку этого тождества предоставляем читателю.
Перейдем теперь к рассмотрению другой, более инте-
интересной возможности обобщения «оптической теоремы»,
указанной Б. Липпманом A965).
Эта обобщенная «оптическая теорема» справедлива
не только для случая рассеяния одной частицы в потен-
потенциальном поле, но и в ряде других случаев. Рассмотрим
поэтому общий случай. Пусть мы имеем гамильтониан
§6 НЁП^ЕРЫЁНЫЙ СПЕКТР [ГЛ. ti
Я = Но + #i, где за рассеяние ответственна часть #ь
Волновая функция г|з(+), аналогичная старой функции
i|4+) и удовлетворяющая у. Ш. (? — #0)i|3(+> = H^+\
имеет вид
ф+ Е-Н0 + ьН&Ш* D.10)
где функция Ф является решением уравнения #оФ = ?Ф
и аналогична падающей волне; функции Ф при этом об-
образуют полную систему (Б. Липпман, Ю. Швингер,
1950).
Возьмем произвольный оператор А, коммутирующий
с Но. Пусть Фа — собственная функция этого оператора:
Афа = АаФа, и пусть этой функции соответствует функ-
функция ф+К
Найдем среднее значение оператора А = -г~-[А, Н] в
состоянии г|за+):
№\ Щ+)) = (?а+), -k [А, Я,] фН")). D.11)
Подчеркнем то обстоятельство, что, вообще говоря, это
выражение, в отличие от аналогичного выражения в
случае дискретного спектра, не равно нулю, поскольку
формально оно равно разности двух выражений, каждое
из которых равно бесконечности и потому не имеет
смысла.
Используя свойство полноты функций Фь, перепишем
D.11) в виде
-а- [ А>я.] №) -1S АьIm №)фь) тьа -
{+ Еа^ь_.г\ D.12)
ъ
где величина
определяет вероятность Wba перехода из состояния а в
состояние Ь в единицу времени:
^ D.13)
§ 4]
ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
97
С помощью равенства
преобразуем правую часть тождества D.12) к виду
| Д, Im Таа + Щ. 2 А„ | Tba p б (?, - Еа). D.14)
б
Если А — единичный оператор, то мы получаем обыч-
обычную «оптическую теорему» (записанную, правда, в дру-
других обозначениях)
" -?в) = 0. D.15)
Находя отсюда Im Таа и подставляя это выражение
в D.14), получаем
D.16)
Это и есть искомое обобщение «оптической теоремы».
Формула D.16) позволяет выразить вероятность измене-
изменения величины А в единицу времени в процессе рассеяния
(правая часть равенства) через среднее значение некото-
некоторого оператора (левая часть равенства).
Рассмотрим один частный случай. Пусть Нх = V,
а в качестве оператора А выберем оператор импульса р.
Соотношение D.16) принимает теперь следующий вид:
- S (Р, - Ра) Wba.
.17)
Мы пришли к теореме о среднем передаваемом им-
импульсе в процессе рассеяния, впервые доказанной в ра-
работе Е. Герджоя A965).
ГЛАВА III
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ
ФУНКЦИИ
§ 1. S-матрица и ее аналитические свойства
В предыдущей главе было показано, что рассеяние
частицы в потенциальном поле полностью определяется
величинами Si(k) = expBidi(k)).
Если нам точно известно, какой вид имеет потенциал
взаимодействия между частицами, то, решая аналити-че-
ски или численно уравнение Шредингера, мы узнаем
все об интересующей нас системе. Если бы так было
всегда, то люди со спокойной совестью могли бы пере-
передать все задачи квантовой механики электронным маши-
машинам, а сами занялись бы более интересными делами.
Однако реальное положение в физике сейчас не достиг-
достигло такого состояния. В подавляющем большинстве слу-
случаев неизвестен вид взаимодействия между частицами.
Более того, взаимодействие между частицами, по-види-
по-видимому, не является потенциальным.
Взаимодействия, не сводящиеся к потенциальному,
рассматриваются в так называемой квантовой теории
поля. (Простейшие задачи такого типа будут рассмот-
рассмотрены в гл. XI.) Эта теория, однако, в отличие от кван-
квантовой механики, не свободна от внутренних трудностей.
Так, например, при вычислении ряда величин появ-
появляются бесконечности. Эти бесконечности, по-видимому,
связаны с неправильным описанием взаимодействия на
очень малых расстояниях.
В связи с этим В. Гейзенберг A943) выдвинул про-
программу, согласно которой эти трудности приписывают-
приписываются тому обстоятельству, что в теории используются не-
ненаблюдаемые величины, такие, например, как "ф(г), и
что в правильной теории мы должны иметь дело лишь с
наблюдаемыми величинами. К ним относятся величины
§ 1] S-МАТРИЦА И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 99
Si(k) = expB/6(F)), которые образуют так называемую
S-матрицу (матрицу рассеяния) (Дж. Уилер, 1937).
Теория S-матрицы в последние годы интенсивно разра-
разрабатывалась, особенно в связи с необходимостью описания
сильных взаимодействий элементарных частиц. При
этом особое внимание было уделено построению S-мат-
ричной теории на основе использования свойств уни-
унитарности и аналитичности. (Заметим, что важность изу-
изучения свойств аналитичности S-матрицы подчеркивалась
еще X. Крамерсом A938) и В. Гейзенбергом A946).)
На этом пути удается достичь многих важных результа-
результатов о связях между различными наблюдаемыми на опы-
опыте величинами. Так, в теории элементарных частиц боль-
большой прогресс в последние годы достигнут именно бла-
благодаря умелому использованию аналитических свойств
S-матрицы. Кроме того, в случае квазистационарных со-
состояний и в некоторых других случаях поведение систе-
системы можно описать, не используя конкретного вида взаи-
взаимодействия, а исходя лишь из общих соображений о рас-
расположении полюсов амплитуды рассеяния.
Обычно считается, что S-матричный формализм не
допускает пространственно-временного описания процес-
процессов. Отметим в связи с этим работы (М. Гольдбергер,
К- Ватсон, 1962; М. Фруассар, М. Гольдбергер, К. Ват-
сон, 1963), в которых показано, как определить про-
пространственно-временное разделение событий в рамках
формализма S-матрицы. В работах М. Гольдбергера,
X. Льюиса и К- Ватсона A963), М. Гольдбергера и
К. Ватсона A964) была установлена также возможность
использования корреляций интенсивности для определе-
определения фазы амплитуды рассеяния.
При рассмотрении аналитических свойств величин мы
будем исходить из нескольких общих положений:
а) все собственные значения энергии действительны
(эрмитовость гамильтониана); при этом волновой век-
вектор k автоматически будет действительным в случае вол-
волновых функций непрерывного спектра;
б) невозможны никакие процессы, кроме упругого
рассеяния;
в) гамильтониан инвариантен по отношению к
инверсии пространственных координат (сохраняется
100 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
пространственная четность) и к обращению времени (со-
(сохраняется временная четность).
Предположение б) необходимо нам, чтобы при за-
заданной энергии существовало только одно решение ра-
радиального у.Ш. с данным /. Сохранение временной чет-
четности эквивалентно требованию вещественности гамиль-
гамильтониана (Н* = Н); отсюда непосредственно следует, что
если "ф есть решение у. Ш., то ij)* также является его ре-
решением.
По поводу предположений о сохранении простран-
пространственной и временной четностей следует заметить, что
несохранение первой из них в так называемых слабых
взаимодействиях было поставлено под сомнение Т. Ли и
Чж. Янгом A956) и было продемонстрировано в опыте
Цз. By и др. A957). Затем было обнаружено также
нарушение закона сохранения временной четности
(Дж. Кристенсон и др., 1964).
До сих пор не обнаружено нарушения законов сохра-
сохранения пространственной и временной четностей в силь-
сильных взаимодействиях. Поэтому к ним полностью приме-
применимы все полученные ниже теоремы.
Перейдем к рассмотрению общих свойств величин
Si(k), входящих в амплитуду рассеяния*).
Мы видели, что для потенциалов U(г), падающих на
бесконечности быстрее, чем 1/г, у. Ш. имеет два реше-
решения %?\ ведущих себя асимптотически как
±'
(*-•?¦)
(кулоновский случай пока оставляем в стороне).
Из них можно построить регулярное в нуле реше-
решение **)
Хв = яД*)х?> (О-ЛФХЙ0 (г), 0.1)
*) Более детальное рассмотрение аналитических свойств вол-
волновых функций н величин Si(k) можно найти в обзоре А. Мартэна
A961) и книгах В. де Альфаро и Т. Редже A965), Р. Ньютона
A966).
**) Это решение можно нормировать условием, не зависящим
от k, например Hm r~^l+^%. (г) — 1. В этом случае, согласно
г-Ю '
теорему А, Пуанкаре A884) %(г) будет целой функцией kK
§ 1] 5-МАТРИЦА И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА @1
где ai и Ь\ — некоторые постоянные, зависящие лишь от
k. Чтобы эта функция обращалась в нуль при г = 0,
ai и bi должны, очевидно, удовлетворять соотношению
Из определения величин 5;(k) непосредственно следует
Рассмотрим общие свойства инвариантности у. Ш.
Прежде всего, так как волновой вектор k входит в него
лишь квадратично, то уравнение инвариантно относи-
относительно изменения знака k. Это означает, что если в ре-
решении A.1) заменить k на — k, то полученная функция
будет по-прежнему являться решением исходного урав-
уравнения. В силу однозначности решения, однако, оба скон-
сконструированных нами решения %ы и %_ы могут отличать-
отличаться лишь постоянным множителем. Так как из асимпто-
асимптотического вида функций xjy* следует соотношение
Х^(/-) = (-1)'Х(_1;(/-), A-4)
то мы сразу же получаем, меняя знак k в A.1):
at(k) _ bt(-k)
bt(k) ~ at(-k) •
Формула A.3) дает нам соотношение
St(k) = Srl(-k). A.5)
Еще одну важную формулу можно получить, заметив,
что в силу действительности у. Ш. при действительных k
комплексно сопряженное решение %ы{г) также должно
быть решением у. Ш. В силу единственности решения
мы снова заключаем, что %ы и %ы должны отличаться
друг от друга лишь постоянным множителем, откуда не-
непосредственно следует, что при действительных k
qt(ft) = b]{k)
hik) ~ at(k\ '
102
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ш
A.6)
т. е.
Эта формула означает, что две функции Si (k) и {Si
совпадают на всей действительной оси в комплексной
плоскости k. Согласно извест-
© ным теоремам об аналитиче-
аналитическом продолжении отсюда сле-
*/• дует, что равенство
Si (к)
A.7)
Рис. 8.
выполняется во всей комплекс-
комплексной плоскости волновых векто-
векторов k. Формулы, полученные
выше, устанавливают взаимно
однозначное соответствие ме-
меу t{) в различных квадрантах пло-
плоскости k (рис. 8): если в точке k0 величина Si(k0) имеет
значение So, то
i-ko)^ — - О-8)
жду значениями St{k)
k ( 8)
Таким образом, достаточно знать вид Si(k) в каком-
либо одном квадранте, чтобы восстановить вид функции
Si(k) во всей комплексной области. Полученные соотно-
соотношения показывают, что в точках, симметричных относи-
относительно мнимой оси, функция Si(k) принимает комплекс-
комплексно сопряженные значения. На самой мнимой оси, сле-
следовательно, Si(k) является действительной функцией,
а фаза di(k) чисто мнима:
61 ("Ь* 1 I §? I I ~~~ —•¦• Л* I ~4~* / I b I i i I Q i
/ \ v | гО I I ~~^ ^^ \JT I ' ь | rv I I• \X*«7l
Для точек, расположенных симметрично относительно
действительной оси, выполняется равенство A.7). Отсю-
Отсюда мы получаем известный результат: на действитель-
действительной оси |S;(A)| = 1, следовательно, фаза 6г(?) действи-
действительна.
Перейдем теперь к вопросу о расположении особен-
особенностей Si{k). Регулярное в нуле решение A.1) можно
§ i] i'-МАТРИЦА И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЮЗ
рассматривать во всей комплексной плоскости k, пони-
понимая под Хы° аналитические продолжения соответствую-
соответствующих функций в область комплексных k. В частности, ре-
регулярное в нуле решение имеет вид A.1) и на мнимой
оси. Пусть потенциал U(r) таков, что при некой отри-
отрицательной энергии — Ео (или мнимом ko=i\ko\) суще-
существует связанное состояние частицы. Это означает, что
при энергии Ео имеется регулярное в нуле решение, за-
затухающее на бесконечности как eikor = e~[koir. Поскольку
%ы — единственное регулярное в нуле решение, то суще-
существование связанного состояния подразумевает, что
коэффициент at(k) обращается в нуль при k = ko =
= iy тl2 ° '¦> %«"' в этои точке регулярна в нуле.
Аналогично, так как для всех значений k, лежащих на
нижней половине мнимой оси (k = —1'|
ЗСы' (г) -* °° при /-->оо, х?) (/¦)_> о при /-->оо,
то существование связанного состояния подразумевает
обращение в нуль коэффициента bi(k) в точке k = —k0.
Это является отражением отмеченного выше общего
свойства инвариантности у. Ш. относительно изменения
знака k. Обращаясь к A.3), мы приходим к заключе-
заключению, что связанному состоянию соответствует полюс
функции Si{k), расположенный на верхней половине
мнимой оси в точке k = Не-
Несоответственно установленным выше свойствам сим-
симметрии Si(k), этому полюсу соответствует нуль функции
Si(k) на нижней половине мнимой оси в точке k = —k0.
Заметим тут же, что хотя каждому связанному состоя-
состоянию соответствует полюс, обратное утверждение, вообще
говоря, несправедливо: не каждому полюсу Si(k) на
верхней мнимой полуоси соответствует связанное со-
состояние. Имеются так называемые «ложные» полюса
Si(k). Ниже мы еще вернемся к этому вопросу.
Легко видеть далее, что Si(k) в верхней полупло-
полуплоскости может иметь полюса только на мнимой оси, и со-
соответственно в нижней полуплоскости нули могут быть
расположены также только на мнимой оси. Действитель-
Действительно, с точностью до несущественного общего множителя
104 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
регулярное в нуле решение A.1) можно записать либо как
либо как
Если бы величина St(k) имела полюс в верхней полу-
полуплоскости в точке k = k0, расположенной не на мнимой
оси, то в этой точке решение A.10') содержало бы толь-
только функцию %!!' которая экспоненциально затухает на
бесконечности:
Но функция %ki(f) по определению регулярна в нуле, по-
поэтому в точке ко это решение удовлетворяло бы обоим
граничным условиям. A.7) гл. I, т. е. комплексная вели-
2?
чина -д— была бы собственным значением у. Ш. Этого
не может быть, так как всякий физический потенциал
является действительным и все собственные значения
энергии действительны.
Таким образом, требование действительности потен-
потенциала приводит к тому, что все полюса функции Si(k)
в верхней полуплоскости лежат на мнимой оси. В ниж-
нижней полуплоскости, однако, никаких ограничений на по-
положение полюсов нет, и они могут быть расположены
где угодно. Эти выводы оказываются справедливыми,
даже если взаимодействие не является потенциальным.
Важно только, чтобы гамильтониан был эрмитов.
Этой теореме можно дать другое, более формальное
доказательство. Рассмотрим временное у. Ш. и ему со-
сопряженное:
Умножим первое уравнение на г|з*, второе — на tj) и выч-
вычтем одно из другого. Получим
§ 1] S-МАТРИЦА И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 105
Проинтегрируем обе стороны по произвольному объему
V, заключенному внутри поверхности S. В результате
придем к закону сохранения числа частиц
A.11)
Пусть теперь S (k) имеет полюс в какой-то точке k0 =
= kx + ik2. Волновая функция в этой точке будет иметь
вид
1 -~ 1 i
Oj? = — %{r)e h ~—в
Подставим это выражение в A.11), выбрав в качестве
объема V внутренность сферы г = R, причем R будем
предполагать большим, так что на поверхности сферы
можно пользоваться асимптотическим выражением для
волновой функции. Элементарные выкладки дают
Так как справа стоит знак минус, то это равенство вы-
выполняется, лишь если
а) k\ = 0, т. е. полюс S(k) лежит на мнимой оси.
б) &i=?0, &2<0, т. е. полюс S(k) находится в ниж-
нижней полуплоскости.
Таким образом, теорема доказана.
Единственное условие на положение полюсов в ниж-
нижней полуплоскости заключается в том, что они должны
быть расположены парами симметрично относительно
мнимой оси*). Нули Si(k) в нижней полуплоскости, од-
однако, могут располагаться только на мнимой оси. Это
следует из A.5).
*) Для потенциалов, обращающихся в нуль при г > R, число
таких полюсов бесконечно (Ж. Умбле, 1952; X. Рольник, 1956;
Т. Редже, 1958); при этом распределение далеких полюсов полно-
полностью определяется поведением потенциала при г -*~ R. В случае пря-
прямоугольной ямы распределение полюсов детально изучено в работе
X. Нуссенцвейга A959).
106 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Полюсам в верхней полуплоскости соответствуют,
как правило, связанные состояния частиц в поле U(r).
В полюсах, расположенных в нижней полуплоскости,
регулярная в нуле волновая функция имеет асимптоти-
асимптотический вид
J ,
при r->oo, j
т. е. расходится на бесконечности.
Таким образом, эта волновая функция не удовлетво-
удовлетворяет граничному условию на бесконечности и, следова-
следовательно, казалось бы, не может претендовать на физиче-
физический смысл. Это, однако, не совсем так. Дело в том, что,
как будет показано в гл. VII, каждому полюсу Si(k)
в нижней полуплоскости соответствует так называемое
квазистационарное состояние частицы в поле потен-
потенциала U(г), т. е. такое состояние, которое, раз образо-
образовавшись, живет в течение некоторого периода времени г.
Резюмируем теперь наши сведения о топографии
функции St(k) в комплексной области. Эта функция
аналитична во всей плоскости комплексного перемен-
переменного k, за исключением, может быть, изолированных
точек и разрезов. В верхней полуплоскости она может
иметь полюса на мнимой оси. Некоторые из них соот-
соответствуют связанным состояниям, другие — «ложные»..
В следующем параграфе будет дан рецепт, как узнавать
«ложные» полюса. St(k) может иметь нули в верхней
полуплоскости и соответствующие им полюса в нижней
полуплоскости. На мнимой оси Si(k) действительна, а на
действительной оси ее модуль равен единице. Если вме-
вместо волнового вектора k пользоваться энергией, то надо
учитывать при этом, что плоскость k отображается на
двулистную плоскость энергии Е. Связанным состояниям
соответствуют полюса на левой полуоси верхней пло-
плоскости Е. Полюса на нижнем листе плоскости Е соот-
соответствуют квазистационарным состояниям.
В дальнейшем нам понадобятся свойства симметрии
фаз рассеяния. На действительной оси фаза б действи-
действительна. Из A.5) сразу следует, что для действитель-
действительных k
6,(fc) = -6,(-?). A.13)
§ 1] S-МАТРИЦА И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА Ю7
Нормированные на 6F — k') волновые функции име-
имеют асимптотику
У fsin [kr + б W ~ it) •
Пользуясь этим выражением, легко проверить, что при
изменении знака k волновые функции ведут себя сле-
следующим образом:
X*,z(/-) = (-D;+IX-fe. /И. A.14)
Выше говорилось, что Si(k) является аналитической
функцией в комплексной плоскости k. Это справедливо
для любых короткодействующих потенциалов и являет-
является следствием физического принципа причинности*).
Именно, причина должна предшествовать следствию.
Это — обязательное требование любой физической тео-
теории, и, как оказывается, это требование ведет к далеко
идущим последствиям. Постараемся сейчас хотя бы
в грубых чертах понять, к каким формальным след-
следствиям приводит принцип причинности.
Напишем выражение для волновой функции при за-
заданной энергии Е на некотором заданном расстоянии
г — а вне радиуса действия потенциала:
_ ш
{e-ika-S{E)elka)e h.
Первый член соответствует волне, падающей на рассеи-
рассеивающий центр, а второй — расходящейся волне. Постро-
Построим локализованный в пространстве волновой пакет:
J dE'{f{E')e-ik'a-g{E')eik'a)e~ H ,
')• A-15)
*) Эта идея была высказана в работе В. Шютцера, И. Тиомно
A947), однако доказательства, приведенные в ней, не являются
вполне строгими. Строгое доказательство, полученное впервые в ра-
работе Н. Ван Кампена A953), требует знания довольно тонких тео-
теорем теории аналитических функций.
108 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Очевидно, что волновой пакет, описывающий падающие
волны, есть
Фпад(а, 0= dE'\(E')e
о
а расходящиеся волны —
г, 0= f dE'g{E')e~'" *
... iE't
ik'a— ¦
Так как система линейна и амплитуда расходящихся
частиц целиком определяется падающей волной, то
между обеими амплитудами должна существовать связь
(/-ОФп«(в, f)df, A.16)
где Н — некое ядро преобразования.
И вот здесь-то вступает в игру принцип причинно-
причинности: амплитуда расходящейся волны в момент времени t
может зависеть от ФПад(О, только если t > ?. Поэтому
обязательно должно выполняться условие
H(t-f)=*Q при f>t. A.17)
Вводя компоненту Фурье h(со) оператора Я: '.
Я(т)= J" d(oe~imx А(о-), A.18)
— оо
легко убеждаемся с помощью A.15) — A.18) в том, что
h(E) = -^e2lk"S(E). A.19)
Обращая A.18), получаем
оо
e2ika S (Е) = + J eiEx H (т) dx.
— оо
В общем случае эта формула ничего не говорит о
свойствах S(E). Из принципа причинности, однако, из-
§ 1] S-МАТРИЦА И ЕЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА Ю9
вестно (см. A.17)), что #(?)=0 для х < 0. Поэтому
интегрирование надо начинать с нуля:
elEXH{x)dx. A.20)
В этом случае уже очевидно, что стоящая справа функ-
функция аналитична в верхней полуплоскости Е, так как
етх там экспоненциально затухает. На плоскости k
этому соответствует первый квадрант. Отсюда, пользуясь
свойствами симметрии S(k), получаем, что S(k) анали-
аналитична во всех квадрантах. Смысл экспоненциального мно-
множителя e2ika в A.20) состоит в том, что он учитывает
опережение по фазе волны, отраженной от поверхности
сферы г — а, по сравнению
с волной, проходящей через
центр рассеивателя (Д. Вонг,
Дж. Толл, 1957) (разность
длин соответствующих путей
равна 2а).
В случае рассеяния пло-
плоской волны на отличный от
нуля угол 0 нужно выбрать
кратчайший путь (что соот-
соответствует максимальному Рис д.
опережению по фазе), прохо-
проходящий через рассеиватель и приходящий к наблюдателю
под углом 0 (рис. 9). Нетрудно видеть, что длина этого
пути по сравнению с длиной пути, проходящего через
центр рассеивателя, меньше на величину 2аsin у. Это
приводит к тому, что величиной, аналитичной в верхней
полуплоскости Е, будет являться не амплитуда рассея-
А
ния f(E,Q), а величина е 2f(E, 0). Отсюда видно,
что наиболее простыми аналитическими свойствами об-
обладает величина f(E,O) (она аналитична в верхней по-
полуплоскости Е).
Принцип причинности можно также использовать для
получения свойств аналитичности амплитуды рассея-
рассеяния по передаваемому импульсу (X. Нуссенцвейг, 1960).
ПО АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ш
Заметим, что справедливость сделанных выше ут-
утверждений об аналитичности не зависит от конкретного
вида потенциала при г < а. Более того, даже предполо-
предположение о том, что волновая функция внутри области
взаимодействия (при г <а) удовлетворяет у. Ш., яв-
является излишним. Иными словами, свойство аналитич-
аналитичности величины S(E) в верхней полуплоскости Е яв-
является прямым следствием одного лишь принципа при-
причинности. Дискуссию по этому вопросу см. в работах
Е. Пауера и И. Сааведры A961), М. Эбеля A962).
§ 2. «Ложные» полюса
Выше уже говорилось, что в верхней полуплоскости
величина St(k) может иметь не только полюса, соответ-
соответствующие связанным состояниям и расположенные на
мнимой полуоси, но и так называемые «ложные» по-
полюса*). Природу «ложных» полюсов легко понять,
вспомнив определение Si(k): выбираются два незави-
независимых решения у. Ш. xffi и %^\ имеющие при больших
г асимптотический вид %(ы)~е > поскольку
при этом имеется в виду задача о рассеянии, то асимп-
асимптотика вычисляется при действительных положитель-
положительных k. Затем из этих двух решений конструируется ре-
регулярное в нуле решение
Для того чтобы эта функция обращалась в нуль при
г = О, необходимо и достаточно, чтобы Si(k) имела вид
A.2). Те точки в верхней полуплоскости k, где обра-
обращается в нуль знаменатель A.2) (^'(О)), соответствуют
связанным состояниям. Эти точки лежат на мнимой по-
полуоси в верхней полуплоскости. Но, кроме полюсов
такой природы, Si(k) может иметь полюса, связанные
с полюсами функции %^НГ)- При этом имеются в виду
те точки комплексной ^-плоскости, где xjy"* как Функ-
Функция k обращается в бесконечность тождественно, при
*) На существование этих полюсов впервые указал С. Ма
A947).
§ 2] «ЛОЖНЫЕ» ПОЛЮСА 111
всех значениях л Ясно, что таким точкам не соответ-
соответствуют никакие связанные состояния.
Рассмотрим конкретный пример потенциала V (г) =
г
= — Voe a. У. Ш. в этом случае имеет вид
^ = O B.1)
и после введения новой переменной у = 2а VVoe 2a сво-
сводится к уравнению Бесселя
Я (*) + 7 4 (») + [ 1 - ¦*¦¦?¦] X. (у) = о, B.2)
где р = 2ka. В качестве двух независимых решений этого
уравнения мы можем взять бесселевы функции JiP(y)
и J-ip(y), определяемые, как обычно:
т=0
С помощью этого разложения легко находим асимп-
асимптотический вид функций ±iP при г —> оо (т. е. когда
г
Таким образом, мы можем определить функции х^ (г):
5Cft±) (r) = Г A + *Р) (Va2V0)±tp J^ip \2a Yv~0 e
Х^±) (г) ~ e±ikr приг->оо.
Пользуясь определением A.2), находим
B.5)
Случаю притяжения соответствует положительное зна-
значение Vo, т. е. аргумент бесселевых функций у0 — поло-
положительное число. При действительных k, согласно опре-
определению, b{k) также действительно и, очевидно.
112 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
\S(k)\= I. На положительной мнимой полуоси —ip =
= —iiak = +2а|6| и S(k) имеет полюса в точках kn,
где
0. B-7)
Эти полюса, очевидно, соответствуют связанным состоя-
состояниям, так как волновая функция
*(г) -тт*г ^ ~ *ь+> "^" *?' (г);
х1+)С)-'е"|*я|г. r^oo; xW(r)->0, г->0
в этих точках удовлетворяет обоим граничным условиям.
Кроме полюсов этого типа, S(k) имеет также полюса
в точках
l+ip=l-2a\km\=-m (m = 0, I, 2, 3, 4, ...),'
где обращается в бесконечность ГA + ip). Эта бесконеч-
бесконечная последовательность полюсов не соответствует ника-
никаким связанным состояниям, и они, следовательно, «лож-
«ложные». Чтобы убедиться в этом, напишем выражение для
волновой функции. Используя B.5), получаем
%k (г) - (Ута-*Г A + ip) [jlp (У) - hp ff/-;(У) ] ¦ B.8)
В точках k — km множитель ГA + ip) обращается в бес-
бесконечность. При этом, однако, выражение, стоящее в
квадратных скобках в B.8), согласно известному свой-
свойству бесселевых функций J=i(y) = (—\)lJi{y), где / — це-
целое число, обращается в нуль.
Для раскрытия возникающей неопределенности вос-
воспользуемся выражением для функций Бесселя с отри-
отрицательным индексом
/_v {у) = cos rtv/v {у) - sin nvNv (у);
здесь Nv(y) — функция Неймана. С помощью этого тож-
тождества без труда получаем
(У) -/.+, (У) ^Ш-] ¦ <2'9»
§2] «ЛОЖНЫЕ> ПОЛЮСА ИЗ
Это решение регулярно в нуле, однако при г —> оо экспо-
экспоненциально растет. Хь (г) ~ е тГ при г—> оо и потому
не соответствует никакому связанному состоянию.
Попытаемся теперь разобраться в общих причинах
возникновения «ложных» полюсов. Они, как мы уже
знаем, связаны с полюсом функции у^К Мы определяем
функцию xjt,"' как такое решение у. Ш., которое при боль-
больших г ведет себя на действительной оси k как e~ihT. Но
если %?~> где-то в комплексной области k обращается
в бесконечность, то это означает, что асимптотическое
выражение %<-> ~ e~ikr не сохраняется при уходе с дей-
действительной оси в комплексную плоскость, так как e~ikr
не равно бесконечности ни при каких значениях k, кро-
кроме k — too Асимптотический вид функции не сохраняет*
ся, если в точном выражении для этой функции, кроме
члена e~ikr, содержатся также члены такого типа, что
ими можно спокойно пренебречь лишь на действитель-
действительной оси, но не во всей комплексной плоскости.
В рассмотренном нами случае экспоненциального по-
потенциала эти члены имеют следующий вид:
B.10)
На действительной оси при достаточно больших г вто-
вторым членом в B.10) всегда можно пренебречь. При пе-
переходе в комплексную плоскость положение существенно
меняется из-за наличия полюсов у Г-функции на отрица-
отрицательной полуоси. В точках полюсов второй член в B.10)
становится доминирующим по сравнению с единицей,
_ """
несмотря на малость экспоненциальных членов е а '
Теперь мы уже можем ответить на вопрос о том) ко-
когда «ложные» полюса не возникают. Действительно, как
это видно из предыдущих рассуждений, достаточным ус-
условием отсутствия «ложных» полюсов является справед-
справедливость асимптотического поведения %?)~e~ikr во всей
верхней полуплоскости, так как в этом случае %^}
нигде не имеет полюсов. Отсюда непосредственно следует,
114 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ш
что если потенциал V(r) тождественно равен нулю вне
некоего сколь угодно большого радиуса /?, то «ложных»
полюсов нет*). Дело в том, что в этом случае при
г > R функция xj^ (так же как и х^+)) является супер-
суперпозицией бесселевых функций, для которых справедли-
справедливость асимптотических выражений во всей комплексной
плоскости просто доказывается (например, с помощью
везде справедливой формулы B.3)). Таким образом,
в рассматриваемом случае xj^ не имеет полюсов нигде,
и, стало быть, «ложных» полюсов нет. Это легко про-
проверить на разобранном выше примере экспоненциаль-
экспоненциального потенциала, обрезав его при каком-то значении
радиуса г — R. При этом все полюса, соответствующие
связанным состояниям, практически остаются на своих
местах, а «ложные» полюса пропадают.
Таким образом, мы приходим к примечательному
результату: при обрезании потенциала все «ложные»
полюса, не имеющие физического смысла, исчезают, то-
тогда как «физические» полюса, соответствующие связан-
связанным состояниям, после обрезания остаются практически
на своих местах. Последнее понятно. Если мы обрезаем
потенциал где-то далеко, где он совсем мал, то это оче-
очевидным образом не может привести к изменению физи-
физических свойств системы, в частности энергий и волновых
функций связанных состояний. Такого рода ситуация,
когда обрезание какого-то рода сильно упрощает анали-
аналитические свойства функций, не меняя их физического со-
содержания, встречается в современной теоретической
физике очень часто. Пример с «ложными» полюсами яв-
является, пожалуй, наиболее простым с точки зрения ма-
математики.
Приведенные выше соображения позволяют дать
следующий общий рецепт вычисления энергий связан-
связанных состояний для потенциалов, не обращающихся
тождественно в нуль на бесконечности: надо обрезать
потенциал на некоем радиусе г = R, найти положение
полюсов Si{k) в верхней полуплоскости k и затем устре-
*) Можно показать также (Т. Редже, 1958), что «ложные» по-
полюса отсутствуют в случае потенциалов, убывающих на больших
расстояниях быстрее любой экспоненты e~w.
§3] СВОЙСТВА ВЫЧЕТОВ ВЕЛИЧИНЫ S{(k) 115
мить R к бесконечности; пределы kn(R)\R^,ao и будут оп-
определять энергии связанных состояний.
С вопросом о «ложных» полюсах 5-матрицы тесно
связан вопрос о восстановлении потенциала U(r) по
фазе рассеяния di(k), например по S-фазе 6о(&). Ока-
Оказывается, что, в отличие от случая классической меха-
механики, где данные рассеяния полностью определяют по-
потенциал U(г) (Дж. Келлер и др., 1956), решение этой
задачи неоднозначно. В. Баргманном A949) были при-
приведены примеры различных потенциалов и даже се-
семейств потенциалов, дающих одно и то же выражение
для фазы рассеяния 6o(k). При этом различным потен-
потенциалам U{r) соответствуют, вообще говоря, различные
подразделения всех полюсов величины S0(k) = e2i6«k
на «истинные» и «ложные» полюса. Это свойство, а так-
также другие интересные свойства потенциалов Баргманна,
выясняются в работе М. Фаулера A961) (см. также
К. Чадан, 1962). Любопытно, что существуют потен-
потенциалы (X. Мозес, 3. Туан, 1959), для которых фаза рас-
рассеяния 6о(?) = О, т. е. рассеяние в S-состоянии при всех
значениях k отсутствует.
Вопрос об определении потенциала по фазам рас-
рассеяния был полностью решен в работах И. М. Гельфан-
да и Б. М. Левитана A951) и В. А. Марченко A955),
где было показано, что для однозначного восстановле-
восстановления потенциала, помимо фаз рассеяния, необходимо
знать также энергии связанных состояний и коэффи-
коэффициенты Ап, определяющие при больших г асимптотику
соответствующих волновых функций
-к г
Подробно этот вопрос рассмотрен в обзоре Л. Д. Фад-
деева A959) и книге 3. С. Аграновича и В. А. Марчен-
Марченко A960).
§ 3. Свойства вычетов величины Si(k)
Пусть мы имеем связанное состояние с моментом /
и энергией связи
Пб АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Волновую функцию этого состояния будем считать нор-
нормированной:
/
Рассмотрим сначала тот случай, когда при г—> оо потен-
потенциал U(г) падает быстрее, чем 1/г. Тогда %{ ведет себя
при больших г как
Ъ-Л/е-*", C.1)
где Л/ — некая постоянная, определяемая видом потен-
потенциала.
Как мы знаем, величина Si(k) имеет полюс в точке
k = Ы:
Можно доказать, что существует универсальная
связь между С; — вычетом Si в полюсе — и постоянной
Аи входящей в асимптотику нормированной волновой
функции связанного состояния *):
Q = (-1)<+1/KP. C.3)
Эта формула позволяет по поведению фаз рассеяния
делать заключения о свойствах связанного состояния.
В полевых теориях аналогичные формулы используются
для определения констант взаимодействия между части-
частицами.
Перейдем к доказательству соотношения C.3). Регу-
Регулярное в нуле решение, имеющее асимптотику
Хы (г) ~ const • [e~l (* ~f) - St el (*' ~Щ,
должно при k = Ы с точностью до постоянного множи-
множителя переходить в функцию %i связанного состояния.
*) Отметим, что впервые формула C.3) была получена X. Кра-
мерсом A938), а затем независимо в работах В. Гейзенберга A946)
и X. Меллера A946); см. также Н. Ху A948). Обобщение на случай
потенциала, не являющегося сферически-симметричным, дано
Б. Я. Зельдовичем A965). Мы вернемся к этому вопросу в §2 гл. XI.
§ 3]
СВОЙСТВА ВЫЧЕТОВ ВЕЛИЧИНЫ S{(k)
117
Нормируем Хй/ так> чтобы этот множитель был равен
единице:
Этому условию, очевидно, отвечает нормировка
ъг _ (~*) e~ikr\.
C.4)
Рассмотрим бесконечно малую окрестность полюса:
k — Ы + е, е -* 0, е > О,
C.40
и воспользуемся законом сохранения числа частиц, ко-
который, как нетрудно видеть, справедлив как при дейст-
действительных, так и при комплексных к:
2т
iEt
r=R- C.5)
Рассмотрим сначала левую часть C.5). Энергия Е у нас
комплексна:
так что мы имеем
R
д
at
/i
C-6)
Здесь радиус R выбран настолько большим, что можно
пользоваться асимптотикой волновой функции C.1).
Теперь обратимся к правой части C.5). Вычет Ch
очевидно, есть чисто мнимая величина:
Это следует из того, что б; действительна при мнимых к
(см. § 1). Имея это в виду и подставляя C.4') в правую
118 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
часть C.5), получаем с точностью до линейных по е
членов:
|2
r=R
}¦
Сравнение этого выражения с C.6) дает
что и требовалось доказать.
Соотношение C.3) можно обобщить и на случай по-
потенциала с кулоновским хвостом (A.M. Переломов и др.,
1966Б). U(r)~—«/г при г—юо. Асимптотика волновой
функции в этом случае имеет вид
йСО-ЛИхгL*-*, Ч—fir* (ЗЛ'>
а соотношение A5.3) переходит в
Доказанная теорема позволяет установить верхнюю
границу для абсолютной величины вычетов CV Действи-
Действительно, пусть относительно потенциала U{r) известно,
что он обладает конечным радиусом R\ в этом случае
при г > R волновая функция связанного состояния обя-
обязана иметь вид функции свободного движения
nle-\kni\\ C.7)
Величина нормировочной постоянной At зависит, оче-
очевидно, от вида потенциала U{r). Перепишем теперь ус-
условие нормировки в виде
оо
j{n|2rVr. C.70
§ 3] СВОЙСТВА ВЫЧЕТОВ ВЕЛИЧИНЫ S{ (k) [ 19
В правой части стоят только положительные величины.
Поэтому получаем неравенство
C.8)
В случае 1 = 0 и /==1 получаем отсюда*), например,
1АР<2>«?2И*, C.9)
I Л, р < 2ке2и« Ц-. C.9')
Таким образом, верхняя граница для \Ai\2 и соот-
соответственно Ct определяется значением радиуса потен-
потенциала R, энергией связанного состояния и массой ча-
частицы т.
В пределе при R —*0 C.9) превращается в
|Л0|2<2н и |Л, |2<0. C.10)
Величина |Л1|2, конечно, не может быть отрицательной.
Поэтому полученное выше неравенство означает, что
в потенциале, радиус которого R—>0, невозможно суще-
существование связанных состояний с / ф 0. Неравенство для
Ло в рассматриваемом нами случае у. Ш. с точечным
потенциалом превращается в равенство, поскольку
в этом случае волновая функция связанного состояния
имеет вид Ае~т во всем пространстве и первый член
в C.8) тождественно равен нулю, так что
Если радиус R потенциала отличен от нуля, то |Л0|2
строго меньше 2ие2иЛ. Этим можно пользоваться, чтобы
оценивать радиус потенциала из данных о рассеянии.
*) Эти неравенства были получены в работе М. Рудермана и
С. Газиоровича A958).
120 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
В самом деле, хорошо зная фазу рассеяния при действи-
действительных k, можно экстраполировать величину e2i& в об-
область мнимых k. Тем самым мы найдем вычет С; и, сле-
следовательно, \Л\2. Если при этом окажется, что
|Ло|2-^2|и|, то потенциал может быть точечным, если
же |Л0|2>2|и|, то радиус потенциала конечен.
Разберем например, случай взаимодействия между
нейтроном и протоном в триплетном состоянии. Для
фазы рассеяния в состоянии с нулевым орбитальным
моментом оказывается справедливой формула
(Л. Д. Ландау, Я- А. Смородинский, 1944)
± rk2 . C.11)
где а — длина рассеяния (а = 5,4'10~13 см), а так на-
называемый эффективный радиус г0 == 2 • 10~13 см. В рас-
рассматриваемом нами случае нейтрон и протон обладают
связанным состоянием (дейтон) с энергией связи
е = 2,2 Мэв. С помощью C.11) легко находим, что вбли-
вблизи расположенного при 6 = &о = *|&о| полюса, отвечаю-
отвечающего связанному состоянию, имеет место разложение
-. C.12)
Отсюда находим (см. C.3)), что нормировочная по-
постоянная волновой функции связанного состояния равна
\Af= 2|М ,. ~ 2|feo1 , C.13)
а формула C.9) дает для радиуса взаимодействия R
неравенство
Подставляя сюда численные значения |&0| и г0, находим
окончательно: R > 1,35-10~13 см.
Оценку радиуса взаимодействия R можно произвести
и другим путем. Для этого заметим, что существует
§ 3] СВОЙСТВА ВЫЧЕТОВ ВЕЛИЧИНЫ S^k) 121
строгое неравенство *) (мы его докажем несколько
дальше)
ж+R ~ ~кsin {2kR
ж
Подставляя сюда фазу б из C.11) и переходя к пре-
пределу &—> 0, находим, что C.15) сводится к
Докажем теперь C.15). Напишем у. Ш. для двух
близких значений энергии Е и Е\\
(*/*)*-о, x?t(uEjxo
Умножим первое из этих уравнений на %?, второе—на
%Е и вычтем одно из другого. Получим
(%?,%? — %?%?,) = "в5" ( 1 ~ Щ %е%е,-
Проинтегрируем обе стороны полученного равенства по
г от нуля до R. Переходя затем к пределу при Е\-*Е,
находим
IЯ dr = ш??в т^т (Ve - %М U- (ЗЛ7)
Так как при г — R потенциал уже равен нулю, то для
волновых функций % можем использовать выражение
Хе ** у 7Г sin № + б)-
Подставляя его в C.17), после элементарных выкладок
найдем (Г. Людерс, 1955)
C.18)
*) Это неравенство впервые было получено Е. Вигнером A955),
исходя из одного лишь принципа причинности.
122 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ш
В левой части стоит заведомо положительное выраже-
выражение. Значит, положительна и правая часть, т. е. имеет
место неравенство C.15).
Прежде чем закончить этот параграф, отметим, что
полученные выше результаты относятся лишь к случаю
у. Ш. с потенциалом. Они требуют видоизменения, если
мы имеем дело с системой частиц, способных превра-
превращаться друг в друга. Более подробно об этом будет го-
говориться в гл. XI.
§ 4. Дисперсионные соотношения
Сейчас будет рассмотрено несколько примеров, ко-
когда общие свойства аналитичности величины Si(k) по-
позволяют установить полезные соотношения для волно-
волновой функции.
Выше уже говорилось, что величины St(k) являются
аналитическими функциями k, имеющими в верхней
полуплоскости полюса лишь на мнимой оси. Часть этих
полюсов соответствует связанным состояниям, кроме
того, имеются «лишние» полюса. Вблизи я-ro полюса
DЛ)
Мы знаем, кроме того, что в нижней полуплоскости по-
полюса расположены попарно симметрично относительно
мнимой оси и каждой паре соответствует так называе-
называемое квазистационарное состояние. Кроме того, могут
существовать полюса и на отрицательной мнимой полу-
полуоси. Эти полюса соответствуют так называемым вир-
виртуальным состояниям. В верхней полуплоскости каж-
каждому из этих полюсов соответствует нуль величины
St(k). Вблизи каждого из нулей
S, (k) — ct / (k k i) и —- = 2(б/ (k) — . D.2)
Мы рассмотрим сначала случай, когда общее число
полюсов 5-матрицы конечно. Пусть имеется Ыь связан-
связанных состояний, Nr «лишних» полюсов, Nq — квазистацио-
квазистационарных и Nv — виртуальных состояний. Тогда в верхней
§ 4] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 123
полуплоскости имеется (Nb+Nr) точек, где выполняется
D.1), и BNq + Nv) точек, где выполняется D.2).
Во всех остальных точках Si(k) конечна. Составим
теперь интеграл
00 оо
/ = 2* J б; (k) dk = At J б; (k) dk = At (а, о») - a, (O)).
При |?|-*oo s,(?)_*i+iiE., p = const (см. гл. IV).
Это означает, что фаза 6i(k)-+pn + $/k, где р — целое
число, а 8'(k) ~ &~2. Мы можем поэтому замкнуть кон-
контур сверху и сразу же вычислить интеграл, так как в
верхней полуплоскости нам известны все полюса и их
вычеты:
Приравнивая оба выражения для /, получаем формулу,
связывающую величину фазы на бесконечности с коли-
количеством связанных и квазистационарных состояний (мы
считаем, что б;@) = 0)
8, (оо) - а, @) = б, (оо) = -| BNg + Nv-Nb- Nr). D.3)
В общем случае, например, в случае потенциала, об-
обращающегося в нуль при r>R, имеется бесконечное
число полюсов. Число же связанных состояний в боль-
большинстве случаев конечно. Приведенное выше рассужде-
рассуждение при этом уже непригодно, поскольку мы не можем
пренебречь интегралом по верхней полуокружности.
Тем не менее, и в этом случае, как было показано
Н. Левинсоном A949), удается получить формулу, свя-
связывающую величину фазы на бесконечности с числом
связанных состояний А/&:
б,(оо)-6,@)=-я#6. D.4)
Докажем эту важную формулу. Рассмотрим величину
-ft). D.5)
Функция Di(k) аналитична в верхней полуплоскости k;
на мнимой полуоси она имеет нули, соответствующие
124 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
связанным состояниям. Как следует из A.2) и A.3), ве-
величину 5/ можно записать в виде
Составим, как и прежде, интеграл
Выражая в нем Si через Dt и замыкая контур сверху,
получаем
Сравнение двух выражений для / и дает D.4).
Ясно, что приведенное выше доказательство теоремы
Левинсона *) справедливо и в том случае, когда общее
число полюсов конечно. Из сравнения D.3) и D.4) при
этом получаем
Nr = Nb + Nv + 2Nq. D.7)
Мы получили, таким образом, любопытный факт:
в случае потенциалов, приводящих к конечному числу
полюсов в 5-матрице, число «лишних» полюсов полно-
полностью определяется числом связанных, виртуальных и
квазистационарных состояний. Простейший случай
Nb — 1, Nv = Nq — О (NV = 1, Ыь — Nq = 0) приводит при
этом к одному «лишнему» полюсу и соответствует «при-
«приближению эффективного радиуса» (М. Фаулер, 1961;
С. Фраучи, 1963) (?ctg6=--^- + y/-0&2 при го>о).
*) Иной, также довольно простой способ вывода теоремы Ле-
Левинсона можно найти в работе М. Велнера A964). Заметим, что эту
теорему можно распространить и на более общий класс гамильто-
гамильтонианов (Дж. Яух, 1957). В работах Дж. Полкингхорна A958);
М. Иды A959) было получено обобщение теоремы Левинсона.
И, наконец, Ф. Варнок A963) доказал эту теорему для релятивист-
релятивистского случая.
§ 4]
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
125
Приступим теперь к выводу общих дисперсионных
соотношений для St(k) *). Мы знаем, что величина
Sa(k) = e2ihaS(k) аналитична в верхней полуплоско-
полуплоскости к.
Рассмотрим интеграл
D.8)
где г — некая точка в первом квадранте плоскости k.
Замкнув контур сверху и замечая, что интеграл по по-
полуокружности равен нулю, сразу же пишем, что это
выражение равно
2я/ X (сумма вычетов в верхней полуплоскости) =
D.9)
(k-z)k
Здесь первый член соответствует полюсу при k = г,
а сумма — связанным состояниям. Будем теперь стре-
стремить мнимую часть z к нулю, чтобы z приближалась
к точке z0 на действительной
оси (рис. 10). Очевидно, что
Г Sa (k) dk _ р Г
J (k-z)k r J
gg(k)dk
k(k- Zo) "*"
zo
Рис. 10.
где Р означает, что интеграл
надо понимать в смысле глав-
главного значения. Приравнивая это выражение фор-
формуле D.9), где также надо перейти к пределу z-*z0, по-
получаем окончательно (Н. ван Кампен, 1953)
оо
ga (z0) _ _L р Г go (
dk
za)k
ga (kn)
kn(kn-za)
*) Простой вывод дисперсионных соотношение буд дан
Л. Д. Фаддеевым A958),
126 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ill
С помощью C.3) мы можем это так называемое дис-
дисперсионное соотношение для ga(zo) переписать как
ga (го) _ 1 р F gq(k) ,, ?.У (-1)"-Уа'*"'ЯМ„|а
г0 ~ т * J (k-zo)kaR * ZA kn(kn-z0)
—oo n
D.10)
где Л„ — коэффициент перед e~'fe«lr в нормированной
волновой функции связанного состояния. Суммирование,
как это ясно из вывода, должно быть распространено на
все связанные состояния, существующие при рассматри-
рассматриваемом значении орбитального момента.
После того как получена формула D.10), уже не
представляет труда написать аналогичное дисперсной-
ное соотношение для величины fa (k, 0) = е 2f (k, в),
где f — амплитуда рассеяния
оо
= Ж 2
~ ^ Pl (cos
Дисперсионное соотношение имеет вид
я,
Здесь суммирование во втором члене проводится по
всем связанным состояниям системы: по всем значе-
значениям орбитального момента /, для которых есть связан-
связанные состояния, и по всем состояниям (индекс п) при
фиксированном /.
Написанная выше формула может быть переписана
в несколько другом виде, если учесть соотношение
М-?, 0) = Г(?, 9).
§ 4] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 127
Тогда D.7) можно записать так:
nl
Преимуществом такой формы записи является то, что
интегрирование здесь распространено только на имею-
имеющие физический смысл положительные значения волно-
волнового вектора.
Дисперсионные соотношения, следующие из анали-
аналитичности величин Si(k) в верхней полуплоскости, накла-
накладывают довольно жесткие ограничения на энергетиче-
энергетическую зависимость этих величин, а также на энергетиче-
энергетическую зависимость амплитуды рассеяния. В частности,
они позволяют, как это видно из D.12), восстановить
действительную (мнимую) часть величины fa, если пол-
полностью известны мнимая (действительная) часть ее и
положение, а также коэффициенты Ani всех связанных
состояний. В этой связи особый интерес представляет
дисперсионное соотношение для нулевого угла 0 = 0,
так как при этом пропадает зависимость от радиуса
взаимодействия, и оно позволяет выразить амплитуду
/(&, 0) исключительно через наблюдаемые на опыте ве-
величины. Для того чтобы увидеть это, вспомним так на-
называемую «оптическую теорему»
0)-A-a(fc),
где a{k) —полное сечение. С помощью оптической тео-
теоремы и дисперсионного соотношения D.12) для угла
8 = 0 действительную часть f(k,O) можно записать в
виде
Ref(k, 0) =
p g
2л2 J k' -
128 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
Эта формула позволяет выразить амплитуду f(k,O) че-
через непосредственно наблюдаемые на опыте величины
f{k, 0) = Re / (fc, <>) + /-?-а (*), D.14)
где действительная часть определяется согласно D.13).
Соотношения D.10) — D.14) выведены нами для про-
простейшего случая потенциального рассеяния. Однако ана-
аналогичные соотношения можно получить и при гораздо
более общих предположениях о характере взаимодей-
взаимодействия частиц друг с другом. Дисперсионные соотноше-
соотношения находят себе массу применений; например, одной
из важнейших задач ядерной физики и физики элемен-
элементарных частиц является определение из опыта фаз рас-
рассеяния, так как они позволяют делать важные заключе-
заключения о характере взаимодействия частиц. Но фазовый
анализ (т. е. определение фаз 6i(k) из эксперименталь-
экспериментальных данных о сечениях при этом же значении k) неод-
неоднозначен. Это особенно просто видеть в простейшем
случае бесспиновых частиц: сечение а(8, k), как нетруд-
нетрудно проверить, не меняется при изменении знака всех
фаз. Это означает, что если найден один набор фаз, при
котором сечение сг(9, k) совпадает с экспериментальным,
то такое же хорошее согласие с опытом получится при
изменении знака всех фаз. Никакого способа определить
истинный знак фаз 8i(k) из величины ст(8, k) при этой
же энергии нет. Эту неоднозначность можно разрешить
при помощи дисперсионного соотношения D.13), кото-
которое сразу определяет f(k,O), а следовательно, и
истинный знак фаз, если известно полное сечение
a(k) при всех k, а также параметры связанных со-
состояний.
В заключение заметим, что при выводе дисперсион-
дисперсионных соотношений использовались лишь свойства анали-
аналитичности величин Si(k) в верхней полуплоскости. Ничего
не требовалось знать о поле, действующем на частицу.
Это не случайность. Дело в том, что вне зависимости от
конкретных потенциалов всякая физическая теория дол-
должна удовлетворять принципу причинности. Это приво-
приводит, как было показано в § 1, к аналитичности St(k)
§4] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 129
в верхней полуплоскости, что и обеспечивает существо-
существование дисперсионных соотношений*).
При выводе дисперсионных соотношений всегда
встает вопрос о сходимости интегралов на верхнем пре-
пределе. Например, входящий в D.13) интеграл сходится
лишь тогда, когда полное сечение при больших k убы-
убывает быстрее чем l/k, а это не всегда так. Поэтому
обычно рассматривают дисперсионные соотношения не
непосредственно для амплитуды рассеяния, а для более
быстро сходящихся величин. В качестве последних мож-
можно, например, взять частное L+'a)n или же разность
f(k, 0) —fB(k, 0), где fB(k, 9) —амплитуда, вычисленная
в борновском приближении. Из формул следующей гла-
главы будет видно, что это приближение хорошо работает
при к-*оо, так что написанная выше разность быстро
сходится при больших k.
*) Этому вопросу посвящен ряд статей (Н. ван Кампен, 1953;
Д. Вонг, Дж. Толл, 1957; X. Нуссенцвейг. 1960).
ГЛАВА IV
ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Введение. Функция Грина радиального
уравнения Шредингера
До сих пор мы имели дело с однородным у. Ш.
В ряде задач, однако, возникает необходимость решения
неоднородного у. Ш. К неоднородным уравнениям сво-
сводятся два очень важных класса задач.
Во-первых, это задачи теории возмущений, когда
ищутся поправки к волновой функции, возникающие
из-за малых возмущений гамильтониана системы. При
этом неоднородный член в у. Ш. пропорционален невоз-
невозмущенной волновой функции. Во-вторых, это задачи,
связанные с реакциями, т. е. с рождением частиц. Неод-
Неоднородность в таких задачах играет роль источника
(или стока) новых частиц. ;
Для работы с неоднородными уравнениями имеется
хорошо разработанный аппарат функций Грина. Следует
отметить, что этот аппарат применяется и при решении
уравнений гораздо более сложных, нежели у. Ш. (на-
(например, уравнений квантовой теории поля), и в настоя-
настоящее время широко используется почти во всех разделах
теоретической физики.
Мы ограничимся здесь рассмотрением функций Гри-
Грина у. Ш. Простейшей из них является функция Грина
радиального у. Ш., изучению которой посвящен данный
параграф. В следующих двух параграфах рассмотрены
некоторые свойства функции Грина трехмерного у. Ш.
В § 4 приводится выражение для функции Грина не-
нескольких свободных частиц. Затем мы переходим к рас-
рассмотрению теории возмущений. В §§ 5 и 10 разбирается
§ 11 РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 131
вопрос о применении теории возмущений в координат-
координатном и импульсном представлении.
В следующем параграфе приведены простые при-
примеры, показывающие, что в некоторых случаях теория
возмущений неприменима, а в некоторых случаях необ-
необходимо суммировать весь ряд теории возмущений.
В заключительном параграфе этой главы изучаются
свойства временной функции Грина.
Перейдем теперь к рассмотрению неоднородного
у.Ш.
Здесь Q — некая функция, называемая функцией источ-
источника или просто источником. На волновую функцию i]>
этого уравнения накладываются обычные условия одно-
однозначности и конечности.
Для функции, удовлетворяющей A.1), плотность ве-
вероятности, вообще говоря, уже не является сохраняю-
сохраняющейся величиной. Действительно, напишем эквивалент-
эквивалентное A.1) временное уравнение:
Обычным способом получаем отсюда, что
г (
V
о -JML о ±M
f
J dr.
lEt
Отделяя время: г|э (r, t) = \!p(r)e h , получаем, что да-
даже в стационарном случае поток через сферу большого
радиуса отличен от нуля:
Таким образом, Q играет роль «поставщика» или «погло-
«поглотителя» частиц.
C2 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Для решения уравнения A.1) используем аппарат
функций Грина. Функцией Грина (ф. Г.) уравнения
/ у (r\*=\A (_ (h2 _ у (г))] у, (г) — 0 (] 9.)
по определению, называется симметричная функция двух
переменных Gh(r,r'), удовлетворяющая уравнению
Т Гт (г гг\ А (г гЛ (\ "V\
^ruk v > г ) ~ ° v ' )• U -о)
Польза введения такой функции очевидна. В самом
деле, с ее помощью общее решение неоднородного урав-
уравнения ?гф = Q легко записать в виде
), A-4)
где %k{r) —общее решение однородного уравнения A.2).
Проверить то, что ф действительно является решением
неоднородного уравнения, очень просто:
оо оо
Lrq> = Lr%+ j dr'Q (г') LrGk (г, /) = J drfQ{r')b(r - /) - Q.
о о
По известной теореме, гласящей, что общее реше-
решение неоднородного уравнения можно представить в виде
суммы общего решения однородного уравнения и произ-
произвольного частного решения неоднородного уравнения,
заключаем, что A.4) является общим решением неодно-
неоднородного уравнения, если под %k понимать общее реше-
решение однородного уравнения A.2), удовлетворяющее гра-
граничным условиям.
Найдем ф. Г. однородного уравнения A.2). В на-
нашем случае это можно сделать просто. Пусть гфг', так
что
LrG(r, /) =
Так как ф. Г. симметрична относительно своих аргу-
аргументов, то она, очевидно, имеет вид
И при г>/,
(г, г') - j %f {r) xJj?) (r,} при г</ A.5)
§ 1] РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 133
где xin и %f~ какие-то два решения однородного
уравнения. При г = г' должно выполняться A.3). Это
накладывает определенные ограничения на выбор функ-
функций хA) и %B>. Действительно, условие A.3) подразуме-
подразумевает, что
г+Д
J d/LrGk(r, r>) = 1 A.6)
г-Д
при любом сколь угодно малом А. Вычислим этот инте-
интеграл. Если %A)Ф^2\ то функция A.5) конечна и непре-
непрерывна, но имеет разрыв производной при г — г'. Это
означает, что величина (k2— V) G& конечна и при интег-
интегрировании по бесконечно малой области вокруг г соот-
соответствующий член в A.6) дает нуль. Таким образом,
соотношение A.6) можно переписать в виде
г+Д
ir'-??Gk(r,r')=L A.60
rTL
I
r-Д
Вычислим первую производную
d
?" Gh (r, r')
r>r' г1
A.7)
Она имеет разрыв в точке г = г', т. е. является ступен-
ступенчатой функцией. Поэтому вторая производная j-2 Gk (r, r')
обращается в бесконечность при г = г'. Интеграл A.6),
очевидно, равен
/•+д
J dr' -§r Gk (r, г') = Xf (r) %f (r) - Xi1' (r) Xjf (r).
г-Д
Таким образом, функция A.5) является ф. Г., если
— yd) (r\ у($'<г\ = 1 (] Я\
Ль у I ль V) ¦• \1-о/
134 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. IV
Этому условию удовлетворяют две пары решений,
имеющих асимптотический вид *)
(--|- + 6/)- A.9)
Подставляя эти функции во вронскиан A.8), легко убе-
убедиться в том, что он равен единице на бесконечности,
где справедливы выписанные асимптотические выраже-
выражения. Так как вронскиан не зависит от г, то A.8) спра-
справедливо при всех г.
Итак, две ф. Г. однородного уравнения имеют вид
где г> и г< — это соответственно большее и меньшее из
г и г', а функции %ffl и %ы определены своими асимп-
асимптотическими выражениями
№ (г) ~ е^-^); %ы (г)~ /X sin (kr - f- + в,).
Соответственно двум ф. Г. имеем два независимых ре-
решения неоднородного уравнения
= J dSOtf (г, П Q (О - - Y\ \ X
о
(Г оо j
X j Xj? W J rfr% (O Q @ + xw (r) J dt>-t$ (г') Q (r') |.
l о r J
A.11)
Прежде всего, прямой подстановкой легко убедиться,
что эти функции действительно являются решениями не-
неоднородного уравнения. Так как %ы и %ffi ведут себя
при г —> 0 как rl+i и г~1 соответственно, то ф^* регу-
регулярны в нуле, если Q (г) при г —> 0 возрастает не быстрее
*) Мы считаем при этом, что потенциал V (г) = К0(г) ¦]——%
§ 1] РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 135
чем 1/г2. На бесконечности второй член в A.11) стремит-
стремится к нулю (если, как это почти всегда бывает, Q(r) до-
достаточно быстро спадает с увеличением г) и q>ffi имеет
вид расходящейся или сходящейся волны:
о
1) \
drXkl(r')Q(r'). A.12)
Заметим тут же, что, кроме Gffi, можно построить и
ряд других ф. Г. Их, однако, мы не рассматриваем, так
как они либо являются линейными комбинациями функ-
функций (?(±),либо генерируют решения неоднородного урав-
уравнения, не удовлетворяющие граничному условию при
Наиболее общее решение неоднородного уравнения
можно теперь записать так:
г), A.13)
где аир — произвольные постоянные. Амплитуды схо-
сходящихся и расходящихся потоков, вообще говоря, не
равны друг другу из-за присутствия второго и третьего
членов. Другими словами, неоднородность Q в у. Ш. со-
соответствует, как уже отмечалось выше, введению в фи-
физическую задачу механизма, ответственного за погло-
поглощение или испускание частиц. При этом следует особо
отметить, что при заданном источнике Q вероятность
рождения (или поглощения) может меняться в значи-
значительных пределах. Она целиком определяется гранич-
иыми условиями на бесконечности, т. е. значениями по-
постоянных аир.
При отрицательных энергиях обычное у. Ш., как мы
знаем, может иметь решения, удовлетворяющие гра-
граничным условиям, лишь при некоторых дискретных зна-
значениях энергии. В случае неоднородного у. Ш. положе-
положение меняется: при любом значении энергии Е мы имеем
всюду конечное, и обращающееся в нуль при г —* О реше-
решение ф(^]. То, что это решение регулярно в нуле, доказа-
доказано в абзаце, следующем за формулой A.11). Регуляр-
Регулярность qpj^ на бесконечности следует из A.12), куда надо
подставить k — i\k\. Отметим тут же, что поток частиц
136 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
при отрицательных энергиях тождественно равен нулю,
так как волновая функция (ф(+)— e~|ft|r) в этом случае
описывает частицы, локализованные в области вокруг
источника; на бесконечность частицы не могут уйти из-за
недостатка энергии. Однако при Е, равном собственному
значению однородного уравнения, решение ф<+) не суще-
существует, если только Q не ортогонально волновой функ-
функции связанного состояния.
Действительно, пусть Еп — энергия связанного со-
состояния, а ф и ф„ — решения неоднородного и однород-
однородного уравнений соответственно:
Умножаем первое уравнение на <р„, второе на ф, вычи-
вычитаем одно из другого и затем интегрируем обе части по-
полученного равенства по г от нуля до R. При этом, учиты-
учитывая регулярность обоих решений при г —> 0, получаем
При R —> оо решение ф должно оставаться конечным,
а фп — экспоненциально убывать; левая часть поэтому
обращается в нуль при R —* оо. Таким образом, если ф
существует, то мы с неизбежностью приходим к условию
J
о
dr'Q(r')<fn(r') = O. A.14)
§ 2. Регулярный метод получения функций Грина
В предыдущем параграфе мы нашли выражение для
ф. Г. радиального у. Ш. При этом был использован ку-
кустарный метод. В более сложных случаях кустарные ме-
методы очень громоздки и удобнее пользоваться общим ал-
алгоритмом построения ф. Г.
Идея очень проста. Пусть имеется дифференциаль-
дифференциальный оператор L. Собственные функции фЁ) удовлетво-
§ 2] РЕГУЛЯРНЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 137
ряющие граничным условиям, образуют полную систему
функций:
" = А (х — уГ\ 19 П
Построим функцию
II2? « B-2)
в
которая, очевидно, и есть ф. Г., так как согласно B.1),
Проиллюстрируем этот метод на примере трехмер-
трехмерного у. Ш.
Полный ортонормированный набор решений этого урав-
уравнения, как было показано в гл. II, состоит из функций
дискретного и непрерывного спектров:
^+){r)- B-3°
Построим ф. Г. уравнения
(Я - Ео) г|э?о (г) ^ (- -?- А + U - Ео) г|э?о (г) = 0, B.4)
где Ео — некая фиксированная энергия е0 = ¦ .
Согласно общему рецепту строим полный набор соб-
собственных функций оператора Н — Eq. При этом исходим
из того, что функции B.37) составляют полный набор ре-
решений этого уравнения:
Далее пишем:
О%] (г, гО -
2от f
nlm u «¦
B.5)
138
ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. IV
где у — бесконечно малая положительная величина,
смысл которой выяснится ниже, а суммирование ведется
по всем связанным состояниям. Подставляя сюда явные
выражения для 1|^+) и интегрируя по углам, получаем
для второго члена в фигурных скобках
S Ylm ("I Пп ("Я ОД (Г. П Л , B.6)
JmJ 1т\Г ) lm\r j ^-Ы \ 1 I rr> ¦> \ I
lm
где
J
k20~k2±iy
Если г и г' настолько велики, что вместо % можно
подставлять их асимптотические выражения, то инте-
интеграл B.7) легко вычисляется:
dk
Подынтегральное выражение экспоненциально мало в
верхней полуплоскости k (при /¦>/), поэтому можно
Рис. 11.
Рис. 12.
замкнуть контур интегрирования, как это показано на
рис. 11 и 12. Величина интеграла целиком определяется
полюсами подынтегрального выражения в верхней полу-
полуплоскости к. Это — полюса величины S(k) при k = kni,
отвечающие связанным состояниям, и полюс знаменате-
знаменателя при k = ± у kl ± iy,
§ 2] РЕГУЛЯРНЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА 139
В случае Q'+) полюса знаменателя расположены, как
показано на рис. 11, а полюса S(k) лежат на мнимой
оси, так что при г > г' интеграл равен
B.8)
Отсюда находим вид Gt^ (r, г7) для достаточно больших
г и г':
(r /i-_JiVy (JL) v* (SL\ > у
lm\r )' lm\r' } rr'
im
B.9)
Первый член в B.8) сократился с первым членом в B.5)
благодаря связи между вычетом S(k) и нормировочной
постоянной функции связанного состояния (см. § 3
гл. III).
Из предыдущего параграфа известно, что гриновская
функция радиального у. Ш. при больших г ж г' равна
tf (г, /"') = - jeK^-T-+6д sin[kr< - §¦ +
Поэтому B.9) можно переписать так:
У) - ~ %¦ 2 77- Gtt <'. О У/« (т) У^ (Я • B-
1
1т
Нетрудно проверить, что эта формула для ф. Г. ока-
оказывается справедливой при всех значениях г и г', если
для G{m {r,r') пользоваться точной формулой A.10).
В самом деле, подставляя B.10) в у. Ш., получаем
В2 Г 1 д ( , д \ , L2
:г+1/+"~75
X G?> (r, /)» 2 Yim (f) yL (f) 7T в (r - О - в(Г - i
140 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Здесь L2 — оператор квадрата орбитального момента:
Кроме того, было использовано очевидное равенство,
следующее из свойства полноты сферических функций
У 1т'-
2 У1т F. Ф) У]т F', ФО = б (cos 6 - cos 60 б (ф - фО,
1т
где 6, 8', ф, ф' — полярные и азимутальные углы векто-
г г'
ров 7, —.
В случае, когда в знаменателе B.5) перед у стоит
знак минус, положение полюсов подынтегрального выра-
выражения показано на рис. 12.
Рассмотрение, полностью аналогичное проведенному
выше, дает
Очевидно, что
<??> - GW. B.50
Это, впрочем, видно и из общей формулы B.5).
С помощью B.10), B.11) общее решение неоднород-
неоднородного у. Ш.
записывается как
*(±)(r) = *a(r)+ / dt'Ggir, rOQH, B.12)
где г|э?о (г) — общее решение однородного уравнения.
При больших г гриновскую функцию можно записать
в виде
Itn
§ 2] РЕГУЛЯРНЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА D1
При выводе использовались известные свойства сфериче-
сферических гармоник и определение ортонормированных функ-
функций непрерывного спектра ^^(г) (см. §§ 2, 3 гл. II).
Из B.13) следует, что решение неоднородного урав-
уравнения асимптотически ведет себя как
f
B-14)
т. е. неоднородность приводит к появлению сходящихся
или расходящихся потоков частиц, так что, так же как и
в случае радиального уравнения, она играет роль источ-
источника (или стока) частиц.
Теперь становится понятным смысл введенной в нача-
начале этого параграфа бесконечно малой постоянной у.
Если она входит в B.5) со знаком плюс, то мы получаем
функцию G<+>, генерирующую решения типа расходящих-
расходящихся волн. Если перед у стоит знак минус, то получается
комплексно сопряженная функция G(-), дающая решение
типа сходящихся волн.
В некоторых особо простых случаях для ф. Г. можно
дать замкнутые выражения. В случае свободной части-
частицы, например (U = 0), ф. Г. есть
П(±)(г /)_ 2т 1 ^Шг-гi
Ge {г, г)--^-— |г_г/| . B.15)
В случае кулоновского потенциала V = —а/г явный
вид ф. Г. был найден в работе Л. Хостлера A964). До-
Довольно простой способ получения этой функции Грина
содержится в работе Л. Хостлера и Р. Пратта A963).
Мы приведем лишь окончательную формулу
BЛ6)
_ та , ., /~ 2т (Е ± iy) . -, /"
Здесь т! = -рр ? = )/ & = ± у
" 2тЕ
J5-» х = г +
\r-r'\, y^r + r'-lr-r*], a W. i и М. ,-
известные функции Уиттекера.
142 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
При г' = 0 выражение для ф. Г. упрощается:
Gf №)(r, 0) = ^1^ГA-/Т1)^т1;1(-2//г/-). B.17)
Эта формула была получена впервые в работе
Дж. Мейкснера A933).
Заметим, однако, что наиболее простой вид ф. Г. для
кулоновского потенциала принимает в импульсном пред-
представлении при использовании свойства инвариантности
у. Ш. относительно четырехмерных вращений (при
Е<0) или преобразований Лоренца (при ?>0). При
этом удобно ввести функцию
G (?, 60 - - ~F (p2 ± k*f GE (р, р') (р'2 ± k2f. B.18)
Верхний (нижний) знак в этой формуле относится к слу-
случаю Е < О (Е > 0), а единичный четырехмерный вектор
| имеет вид
Как было показано Ю. Швингером A964), при Е < О
б(?. ?') может быть представлена в виде
ОО tl—\ I . т /л
gF, ?0=S S S "/от ;/от , B.20)
я-1 1т--1 1 + 7Г
где ynzm(|)—четырехмерные сферические функции.
После выполнения суммирования по /и m получаем
0F.60-а E-60-a,, (g1! s0,+
к x> i) - ф (e~'z'
^j^j-» F. 60 = cos х.
я-0
B.21)
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГРИНА 143
Выражение для ф. Г. G(g, g') при Е > 0 было получено
в работе А. М. Переломова, В. С. Попова A966):
С(±> (&, Г) - J dpgtl (p) ? ^m (I) C« (SO. B-22)
lm
JlL
p "" 2 j р2/4-т,2±^ »
, яр р2/4 - тJ ± tv ' } B 23)
psh-y- > ^'^^
! 2ti I, jtp
I Ctn —?-
Здесь функции YPim аналогичны сферическим функциям
для двуполостного гиперболоида Ц —12=1, а индексы
/, / указывают расположение концов векторов | и g' на
полостях гиперболоида: / = 1B), если g лежит на верх-
верхней (нижней) полости; аналогично, индекс / связан с по-
положением !'.
§ 3. Некоторые свойства функции Грина
Как было показано в предыдущем параграфе, ф. Г.
трехмерного у. Ш. выражается через ф. Г. радиального
уравнения. Поэтому займемся сначала только последней.
Рассмотрим
Как видно из этого выражения, Gkj как функция k0 ана-
литична всюду в верхней полуплоскости, кроме изолиро-
изолированных точек k = kni на мнимой оси (связанные состоя-
состояния), где она имеет полюса. Вблизи полюсов она при
больших г и / ведет себя как
1 1^
2^Z A-,
144 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Это выражение наводит на мысль, что при любых значе-
значениях г и /•'
[г, г }-*- — — = —гг—7г » (зл)
Ь + Kl 2knl k~knl k ~knl
где %п[—это нормированная волновая функция n-го свя-
связанного состояния. И действительно, эта формула всегда
имеет место. За исключением полюсов в точках k — knu
ф. Г. не имеет в верхней полуплоскости k никаких осо-
особенностей. При |&|-*оо и г > г' она экспоненциально
затухает. Проще всего это можно увидеть из ее асимпто-
асимптотического выражения:
куда надо подставить k = ki + ik2 (k2 > 0); из этого же
выражения видно, что в нижней полуплоскости k функ-
функция G<+> экспоненциально расходится при |/г|-+оо и
имеет полюса в точках, где расположены полюса вели-
величины Si(k). В дальнейшем будет показано, что полюсам
Si{k) в нижней полуплоскости соответствуют так назы-
называемые квазистационарные состояния.
Таким образом, полюса Gffi в верхней полуплоско-
полуплоскости соответствуют стационарным состояниям, а в ниж-
нижней — квазистационарным.
Несколько важных теорем можно доказать с по-
помощью интегрального представления ф. Г.
Интегрируя C.2) по k2, получаем
J rfPG<+> (г, О - - я* { 2 X* <г)
(
+ J dk%4 (г)г\ч {г') U - я/ б (/¦ - /). (з.З)
о J
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГРИНА 145
Если ввести какой-либо обрезающий множитель
С (k2) -*¦ 0, не имеющий особенностей в верхней полу-
Й->оо
плоскости /г2, например Сх (k2) = eiak* с положительным
а —> 0, то получаем, замыкая контур сверху:
[ (r, О С, (k2)dk2 = 0. C.4)
Если же обрезающий множитель не имеет особенностей
в нижней полуплоскости, например
С2(/г2) = е-'^, а>0,
то, замыкая контур снизу, приходим к формуле
оо
J dk2Gif{r, /) C2(k2) = - 2я/б(г - /). C.5)
— оо
Представление C.2) позволяет получить еще одну
интересную формулу
C.6)
доказательство которой основано лишь на ортонормиро-
ванности функций ikr
Точно таким же образом можно получить и все ос-
основные свойства функции G{u\ Мы не будем, однако,
этого делать, так как G<~> почти не встречается в рас-
расчетах.
Аналитические свойства ф. Г. трехмерного у. Ш. яв-
являются тривиальным обобщением соответствующих
свойств ф. Г. радиального уравнения. В частности,
вместо C.3), C.6) имеем
J
J dEGg* (r, /) = т я/б (г - гО, C.30
со
2т ib^ (r)
- ж ^Д;^ . C.60
146 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
§ 4. Функция Грина для нескольких свободных частиц
Пользуясь стандартным методом, можно находить
гриновские функции для случая нескольких невзаимо-
невзаимодействующих друг с другом частиц. В случае двух ча-
частиц, например, у. Ш. имеет вид
(Я,+ Я2 {(^)
(^)}E(ru г2) = 0, D.1)
где /"i и г2 — координаты частиц, mt и /п2 — их массы,
Ui и ?/2 — потенциалы действующих на них полей,
a Hi и Hz — соответствующие гамильтонианы. В каче-
качестве полного набора функций этого уравнения можно
взять все возможные произведения типа г|эА (О^^г)»
где i|^ , г|>^ — собственные функции гамильтонианов Hi
и Я2. Составляя затем выражение, аналогичное B.5), и
производя соответствующие интегрирования, нетрудно
найти ф. Г.:
r'v '3-
где Ое (rv г[) и GE_e(r2, r'2) - ф. Г. операторов (Я, — е)
и (Я2 — (Е — е)) соответственно. Для проверки этой
формулы подействуем на правую часть оператором
(Hi + Нг — Е). При этом с помощью формул предыду-
предыдущего параграфа получаем
Т
+ б (г2 - г0 О w (r,, rQ} = б (г, - г[) б (г2 - г0, D.3)
т. е. правая часть D.2) действительно является ф. Г.
уравнения D.1).
§ 4) СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ 147
Аналогично можно рассмотреть случаи трех и более
частиц. В общем случае N невзаимодействующих частиц
у. Ш. имеет вид
(г„ ...,г„) = 0, D.4)
а для ф. Г. нетрудно получить формулу
Q(±)(r Г • Г' г"| =
p '0 P( Э
^JO^^;) D.5)
где EN = E— 2 8j*, здесь знаки + и — соответствуют
случаям, когда все частицы разлетаются от центра
(знак +), либо когда все частицы сходятся к центру
(знак —).
При пользовании формулами D.2) и D.5) существен
способ обхода полюсов ф. Г., соответствующих связан-
связанным состояниям. Рецепт здесь очень прост. Поскольку
при доказательстве этих формул использовались инте-
интегральные свойства ф. Г. C.3'), постольку обход полюсов
в D.2) — D.5) должен быть таким же, что и в C.3').
Другими словами, интегрирование по г должно идти по
действительной оси, а положение полюсов гриновских
функций, составляющих подынтегральное выражение,
автоматически фиксируется знаком перед бесконечно ма-
малой у в формуле B.5). Практически это означает, что
при интегрировании G^ надо вместо Е подставить
Ei + /б (б > 0) и интегрировать по Еи а при интегриро-
интегрировании G{e] заменить Е на Ei — /б.
Чтобы закончить наш краткий обзор свойств ф. Г.,
рассмотрим их поведение при близких друг к другу
значениях аргументов. Мы видели выше, что одномерная
(радиальная) ф. Г. Ghi(r,r') остается конечной при
/¦ = /•', а ее производная по г или г' терпит в этой точке
148 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
разрыв. Функция Грина GE{r,r') трехмерного у. Ш. при
г = г' обращается в бесконечность как -JS--.—, -тт .
Это видно из следующих соображений: каждый член
в B.10) остается конечным при г = г'. Поэтому всякая
сингулярность функции может возникать лишь из-за сла-
слабой сходимости ряда B.10) при больших /. С другой
стороны, как мы увидим в следующем параграфе, вол-
волновые функции %ы в потенциале U(r) стремятся к функ-
функциям свободного движения при больших /:
Соответственно этому радиальная гриновская функция
также стремится к ф. Г. Gffiir, /) у. Ш. без потенциала:
G^(r,/) je \> г> sin [kr< -ij-j^Gffir, r).
D.6)
Таким образом, G(r,r^) имеет ту же сингулярность, что
и в случае у. Ш. без потенциала, а в этом случае гри-
гриновская функция Gft(r, г7) вычисляется до конца и, как
мы знаем, равна
G^ (г, г) = - -Tpf-j^js- J dP k*-P*±iy =
S2 4л \r-r'\ '
Это и доказывает сделанное выше утверждение о харак-
характере расходимости трехмерной ф. Г. при г—*/Л Как след-
следствие отсюда сразу же вытекает, что во всех физически
интересных случаях разность
уже не содержит сильной сингулярности при г-*г' (за
исключением, конечно, сингулярностей, обусловленных
связанными состояниями, когда гриновская функция об-
обращается в бесконечность, как функция k, при всех зна-
значениях ги г').
§ 5] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 149
Аналогичным образом можно рассмотреть многоча-
многочастичные ф. Г. D.5). Их расходимость при rt—*rft также
связана с большими орбитальными моментами. Однако
характер расходимости при этом изменяется. Так, напри-
например, двухчастичная ф. Г. D.2) при совпадающих значе-
значениях аргументов ведет себя как
§ 5. Теория возмущений. Координатное представление
Теория возмущений является, пожалуй, самой ходо-
ходовой и общеизвестной главой квантовой механики*). Ей
посвящена обширная литература, и мы будем поэтому
предельно краткими. Задача ставится следующим обра-
образом: пусть известны все собственные функции ^ и
собственные значения у. Ш.:
E.1)
Требуется найти поправки к собственным функциям и
собственным значениям, возникающие при добавлении
к гамильтониану #о небольшого возмущения W. Рас-
Рассмотрим сначала задачу о рассеянии. Наиболее общий
метод состоит в том, что решение возмущенного урав-
уравнения
(r) = 0 E.2)
ищется в виде
^ = <) + Ф*> E.3)
где добавка ср* предполагается малой. Для <рА имеем
уравнение
(Я?) Г«) + Фа). E.4)
*) Существует несколько видов теории возмущений. Наиболее
часто используется теория возмущений Рэлея—Шредингера (Э. Шре-
дингер, 1926В, см. также К. Шварц, 1959). В этом случае мы разла-
разлагаем в ряд по малому параметру как волновую функцию, так и
собственное значение энергии. Из других видов отметим теорию
возмущений Л. Бриллюэна A933), Е. Вигнера A935) (см. также
Е. Финберг, 1958), когда в ряд разлагается только волновая функ-*
ция.
150 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Вводя ф. Г. GE{r,r') невозмущенного оператора
(#о — Е), перепишем E.4) в виде интегрального уравне-
уравнения
Ф* (>")=- J dr'GE (г, /) W (r|f (г') + Фй (г')> E.5)
Последовательные итерации этого уравнения позво-
позволяют найти фй с любой степенью точности. С точностью
до членов второго порядка по W имеем, например,
=- \dr'GE{r, f
+ \drr dr"GE (r, r') WGE (г', r") W^ {r"). E.6)
Вся задача, таким образом, сводится к нахождению
ф. Г. Ge и практическому вычислению ряда E.6). В слу-
случае произвольного гамильтониана Но ф. Г. имеет вид -
W^Xt +J .E-Ep + iy '
nlm
и для ее нахождения требуется значение всех собствен-
собственных функций и собственных значений невозмущенного
уравнения. Это чрезвычайно усложняет вычисления ря-
ряда E.6).
Положение сильно упрощается, однако, если мы рас-
рассматриваем рассеяние на потенциале, т. е. если невозму-
невозмущенный гамильтониан имеет вид
Из предыдущих параграфов известно, что для нахожде-
нахождения ф. Г. Gb необходимо знание лишь решений у. Ш. при
этом же значении энергии Е (см. A.11) и B.9)). Благо-
Благодаря этому формулы теории возмущений сильно упро-
упрощаются. В первом порядке по возмущению, например,
имеем, предполагая W сферически-симметричным,
оо
X jdr'Gtf(r, OlFjCwH. E-7)
§ 5] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 1Б1
Здесь для GE{r,^) была использована формула B.10),
а для ojj^ формула C.4) гл. II.
Во всех приведенных выше формулах следует исполь-
использовать ф. Г. (?<+), соответствующие расходящимся вол-
волнам. Это легко видеть из следующих соображений. Схо-
Сходящиеся волны в невозмущенной функции 1|^0) опреде-
определяются внешними условиями: тем потоком, который
направляется на силовой центр из бесконечности. Этот
поток можно считать заданным и не зависящим от вида
взаимодействия.
Таким образом, добавка к потенциалу возмущения W
изменит лишь расходящиеся волны. А это в свою
очередь означает, что надо использовать именно функ-
функции (?(+).
Для того чтобы найти асимптотику <р при больших г,
используем B.13). При этом получаем (в первом поряд-
порядке теории возмущений)
„ikr om
где мы ввели единичный вектор п = г/г. Следует обра-
обратить внимание на то, что в матричный элемент в каче-
качестве волновой функции конечного состояния входит
функция ij^'-'. Это связано, как уже упоминалось
выше, с тем, что эти функции описывают волну частиц,
уходящих после рассеяния в строго заданном направле-
направлении (по направлению вектора kn).
С помощью формул этого параграфа легко найти по-
поправку к амплитуде рассеяния, вызываемую возмуще-
возмущением *). В первом порядке по W амплитуда рассеяния
*) Отметим следующий очевидный недостаток обычной теории
возмущений: полученная с ее помощью амплитуда рассеяния не удо-
удовлетворяет условию унитарности. В связи с этим был развит так
называемый N/D метод (Дж. Чью, С. Мандельстам, 1960; М. Ида,
1963), в рамках которого данный недостаток отсутствует. Сравнение
численных решений по этому методу с точными решениями можно
найти в работах Дж. Бьеркена и А. Гольдберга A960); П. Кантора
A965). Своеобразный метод теории возмущений в рамках форма-
формализма S-матрицы был развит в работах Ф. Дашена и С. Фраучи
A964), Д. Шарпа A965).
152 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. IV
равна
E.9)
б|0)
Здесь б|0) — невозмущенные значения фаз рассеяния, а
ЛА — П т
где %ы{г)—нормированные на б (ft— ft') радиальные
функции невозмущенного уравнения.
Необходимым условием применимости теории возму-
возмущений является условие | <pfe | «С | ф@) |.
Если возмущение W локализовано внутри некоторого
объема V, то приведенные выше формулы применимы:
1) если W —>• О,
2) при любой величине W, но при / -> оо или k —> оо.
Первый пункт очевиден, а второй связан с тем, что
входящие в теорию возмущений интегралы малы:
а) при k —> оо из-за того, что невозмущенные волно-
волновые функции сильно осциллируют;
б) при /—> оо из-за того, что функции %ы очень малы,
если энергия Е частиц меньше центробежной энергии,
т. е. при г < Ijk.
Именно на этом основаны рассуждения предыдущего
параграфа о характере расходимости гриновских функ-
функций при близких значениях аргументов. Соответствую-
Соответствующие оценки тривиально получаются из приведенных
выше формул.
В случае функций дискретного спектра задача теории
возмущений усложняется, так как, кроме поправок к
волновым функциям, необходимо найти и поправки
AEnt к энергиям связанных состояний. Стандартная про-
процедура теории возмущений в этом случае хорошо изве-
известна, и мы на ней останавливаться не будем. Отметим
лишь, что нахождение поправок к волновым функциям
требует знания всех собственных функций невозмущен-
невозмущенного уравнения. В случае потенциального взаимодей-
взаимодействия, однако, можно (как и для задачи рассеяния)
предложить метод (Я. Б. Зельдович, 1956), в котором ис-
§ 51 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 153
пользуются решения невозмущенного уравнения лишь
при одном значении энергии.
Уравнение для радиальной волновой функции имеет
теперь вид
U + (*L-Jj>iL-r-»)xBi«0, E.11)
где w = -jipr- W, a k2nl обычным образом связано с новым
значением энергии связанного состояния. Будем искать
решение в виде
%т - С. W ТС М + С2 W ФЙ W. (бЛ2)
где Ci и С2 — пока неизвестные функции, а ф<$ и %$ —
соответственно нерегулярное и регулярное решения не-
невозмущенного уравнения, вычисленные при энергии
г- Й2 Л@)\2
Eq = -x—\kni) невозмущенного связанного состояния.
Относительно функций Ct и С2 будем предполагать, что
они удовлетворяют условию
C№l + Cffl-O- E-13)
В теории дифференциальных уравнений это условие на-
называется условием Лагранжа. Подставляя E.12) в
E.11) и учитывая E.13), получаем для (У[ и Сг точ-
точные уравнения:
где мы для простоты письма опустили индексы у
и ф^ и ввели обозначения
D = фх' -
'' } E.15)
j54 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Для решения системы E.14) используем теорию воз-
возмущений. В первом приближении мы обязаны положить
в правой части уравнений Ct = 1 и С2 ==• 0. Кроме того,
необходимо учесть, что волновая функция должна быть
везде конечной и, следовательно, должны выполняться
условия
С2@) = С2(оо) = 0, E.16)
так как ср расходится в нуле как г~1, а на бесконечности
как е> nl i . Все это вместе дает:
г
-^ Jt>(p)jc(p)q>(p)dp,
E.17)
Первое условие E.16), очевидно, выполняется. Из вто-
второго условия находим kit в этом приближении:
оо
АA) Ш = (knlJ - {kfif =| w (p) f (P) dp. E.18)
Здесь подразумевается условие нормировки ) Х2(Р)^Р= !•
о
Формулы E.12) и E.17) решают задачу о нахожде-
нахождении замкнутого выражения для возмущенной волновой
функции связанного состояния в линейном по w при-
приближении. Выражение E.18), определяющее поправку
к энергии связанного состояния, не представляет ничего
нового по сравнению с обычной формулой первого при-
приближения теории возмущений. Преимущества изложен-
изложенного метода проявляются лишь при вычислении попра-
поправок к энергии в более высоких приближениях. Получим,
например, поправку к энергии во втором приближении.
Подставляя E.17) в правую часть системы E.14), мож-
можно элементарно определить Cz(r). Условие С2(оо) =0
§ 6] ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 155
тогда сразу приводит к следующему значению для сдви-
сдвига энергии:
оо оо
I I ?f ^ ~ w (рI fA(I) № ~ w ^ x
Хх(р)х(а)[х(р)ф(а) + ф(р)х(а)]. E.19)
В эту формулу, как и во все остальные, получаемые
с помощью этого метода, вместо полного набора функ-
функций невозмущенного уравнения входят только две функ-
функции ф и %. Таким образом, введение в рассмотрение не-
нерегулярного решения оказывается эквивалентным вве-
введению полного набора везде регулярных функций
tnl, lkl]-
Независимость вронскиана D от г позволяет выра-
выразить ф через %:
г
Ji^y. E-20)
Это означает, что фактически всю теорию возмущений
можно построить, пользуясь лишь регулярным невозму-
невозмущенным решением %п1.
§ 6. Импульсное представление
Во многих случаях удобнее пользоваться не коорди-
координатным, а импульсным представлением. В частности, им-
импульсное представление оказывается предпочтительным
при решении задач о поведении систем, состоящих из
большого числа частиц (нерелятивистская задача не-
нескольких взаимодействующих частиц, задачи теории
поля и т. д.). О причинах такого предпочтения будет под-
подробно говориться ниже, а сейчас мы займемся техниче-
техническими вопросами, связанными с переходом от коорди-
координатного представления к импульсному.
Рассмотрим уравнение Шредингера для частицы
в поле
156 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. IV
Переход к импульсному представлению осуществляется
введением вместо волновой функции $к(г) ее фурье-
компоненты q>k(q):
(г) = -^ / е«г щ (q) dq, F.1 а)
dr. F.16)
Подстановка F.la) в исходное уравнение Шредингера
приводит к уравнению для фй (q) — у. Ш. в импульсном
представлении:
(^Г - Е) ** D)+juD- Я') Ф* (Я') dqf = 0, F.2)
где
и (я ~ ft s W J e"' (<г"*°г ^(r) rfr F-3)
Наиболее примечательной особенностью уравнения
F.2) является то, что это интегральное уравнение, а не
дифференциальное. При этом оператор кинетической
энергии частицы является теперь оператором умножения
на число:
зато потенциальная энергия U является теперь инте-
интегральным оператором:
j U(q-q')<pk(q')dq'.
Выясним, каков вид волновой функции ф(^) в импуль-
импульсном представлении. Для этого рассмотрим сначала
уравнение свободного движения (с U = 0) с источником
в правой части
Пусть энергия положительна и равна Е=—х—. Уравне-
Уравнение F.4) имеет, очевидно, частные решения
1т
Ф* \Я) = Г ~
§ 6] ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1 57
В это выражение нам пришлось ввести бесконечно ма-
малую положительную постоянную у, чтобы избежать не-
неприятностей и неопределенностей, связанных с обраще-
обращением в нуль знаменателя при q = k0.
В координатном представлении решениям ф<-) и ф(+)
соответствуют решения, имеющие вид сходящихся и рас-
расходящихся волн. Чтобы убедиться в этом, перейдем
в F.5) обратно к координатному представлению:
<<Кф(±> (д) ({у =
q*-{k<0±iy)
Выберем г в качестве полярной оси и явно выпишем
зависимость Q (q) от декартовых координат:
Вводя обозначение ^ = —, получаем
2Я
XQ(q /l-
Интегрирование по частям по | дает
1
±f 0> ^)-e-^Q@, 0, -</)}-
-1
1
iqr _J в dlU$-
Последний член здесь, как это видно при дальнейшем
интегрировании по частям, имеет порядок 1/г2 и может
быть отброшен при вычислении асимптотического пове-
поведения волновой функции. Таким образом (обозначим
158 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. IV
Q@,0, q) через Q(q)), асимптотически при больших г
оо
1 2т 1 Г qQ(q)el"r
Здесь при переходе к последнему интегралу мы вос-
воспользовались тем, что оба члена в квадратной скобке пе-
переходят друг в друга при изменении знака q.
Предположим теперь для простоты, что Q{q) как
функция комплексной переменной q не имеет особенно-
особенностей в верхней полуплоскости*). В этом случае можно
замкнуть контур интегрирования в F.7) сверху, и пря-
прямое вычисление вычетов дает
±ko)^Q(O, 0, ±kQ) = Q[±koy).
Таким образом, действительно, два частных решения
F.5) имеют в координатном представлении вид сходя-
сходящихся и расходящихся волн. Знаку « + » в знаменателе
формулы F.5) при положительной у соответствует расг
холящаяся волна, а знаку «—» — сходящаяся.
Отрицательному значению энергии Е отвечало бы
мнимое ko' ko = i\ko\. При этом решение -ф<+>(г) обра-
обращалось бы в нуль при г->оо, а ф~Цг) —стремилась
бы к бесконечности как — e+l&l'1.
Заметим теперь, что однородное уравнение F.4)
имеет решением функции
4>f(q) = Hk-q) с \k\ = k0. F.9)
При каждом положительном Е имеется бесконечное мно-
множество таких решений, отличающихся направлением
*} Такие особенности, расположенные в точках q = q\ + iq2
(<7г>0), привели бы к появлению членов типа exp(iqir — q2r), ко-
которые не дают вклада в асимптотику.
§ 6] ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 159
вектора k. В координатном представлении этим реше-
решениям отвечают плоские волны:
eikr.
То, что функции F.9) действительно удовлетворяют од-
однородному уравнению F.4)
^(Я)"О, F.40
вполне очевидно: при \я\ Ф \k\ сама функция ф^0)G) рав-
равна нулю, так что F.4') выполняется. При \q\ = \k\ функ-
функция у^Кя) обращается в бесконечность, но произведение
в левой части F.4') по-прежнему равно нулю из-за обра-
обращения в нуль скобки 1—^— ё\ при q = k = ko. Фор-
Формально мы здесь имеем дело с неопределенностью типа
О-оо. Однако эта неопределенность легко раскрывается,
если воспользоваться свойствами б-функции. Именно, ин-
интеграл от произведения любой неособенной функции
Ф(<7) на левую часть F.4') тождественно равен нулю
при k = ko:
(Ъ2д2
J I 2m
Так как функция Ф(^) произвольна, то произведение
-2—(q2 — /г^)б (q — k) следует рассматривать как тож-
тождественный нуль при \k\ = ko.
Таким образом, функция
я4+) (я) = Фк0) (ч) + s v Q (ч) , F.Ю)
равно как и функция
фР (я) + fiV.
Р (я) = фР (я) + fiV.Q(<7) , F.1 оо
160 ФУНКЦИЯ ГРЙНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
является решениями у. Ш. F.4) при положительной
энергии.
При отрицательных энергиях Е однородное уравне-
уравнение F.4') решений не имеет, так как в этом случае
-^ ? = —х—j-|?| и ни при каких деи-
скобка (
2т ) \ 2т
ствительных q не обращается в нуль. Соответственно
этому единственным решением уравнения F.4) при
Е < 0 является функция
, « 2т Q (q)
Вернемся теперь к исходному у. Ш. F.2), описываю-
описывающему в импульсном представлении движение частицы
с энергией Е в потенциале U. Перепишем это уравнение,
перенеся интегральный член направо, чтобы оно приня-
приняло вид уравнения с источником
= - \ U {q-q'Lk(qf)dq'. F.11)
Мы знаем, что волновые функции непрерывного
спектра можно нумеровать различным образом. Если счи-
считать заданными энергию Е и импульс hk, падающих на
рассеиватель частиц, то в волновую функцию вектор k
входит как параметр. Поэтому в координатном пред-
представлении волновая функция зависит от двух векторов
ft и г В импульсном представлении вектор г заменяется
импульсной переменной q. Кроме того, оказывается
удобным выделить в качестве независимой переменной
Ъ2к2
энергию ? = -2—. Всего, таким образом, в волновую
функцию входят одна скалярная (Е) и две векторные
(k и q) переменные. Из приведенных в начале этого па-
параграфа формул видно, что при любом положительном
значении энергии Е решениями уравнения F.11) яв-
являются функции
4>i+) (q) = 6 (* ~ q) ~ bliq' *' E) , F.12)
§ 61 импульсное представление 161
где обозначено
t (q, k, E)^\lJ{q- q') q><+> {q') dq'. F.13)
Входящий в F.12) и F.13) волновой вектор k связан
с энергией Е условием bk — Y2mE, тогда как вектор
q — переменная импульсного представления — может
пробегать все действительные значения.
Как следует из F.6 — 6.8), при переходе в коорди-
координатное представление из функции <р+ {q) получается
функция г|^+) (г) с асимптотикой
Таким образом, асимптотика волновой функции в коор-
координатном представлении зависит только от величины
-р-. Значения функции
t(q,k,E) при другой величине аргумента q определяют
вид волновой функции t|? (/") при конечных значениях г.
В асимптотику они не входят. Так как, с другой сторо-
стороны, функция F.14) обязана являться решением у. Ш.
в координатном представлении, то сравнение формулы
F.14) с формулами § 3 гл. II показывает, что <р[+) (q)
является не чем иным, как фурье-образом ортонормиро-
ванных решений у. Ш. i|^+)(r) с асимптотикой
Это совершенно тривиальный результат, так как ни-
ничего другого мы и не могли получить. По дороге, одна-
однако, мы установили одну формулу, которая нам впослед-
впоследствии очень пригодится: из сравнения F.14') с F.14)
следует, что введенная выше величина t(q,k,E) обла-
обладает простым свойством: при q = k—Y2tnE/b2 она
162 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
с точностью до коэффициента совпадает с амплитудой
рассеяния /(9) :
t{q,k,E)\ , = г?-/(9), cos 9 = -^-F.15)
и, кроме того, t(q,k,E) удовлетворяет уравнению, полу-
получающемуся при подстановке F.12) в F.11):
t{q, k, E) = U(q-k)- [U(q-q') Jlf'k'E) dq'. F.16)
Это уравнение, как будет видно ниже, оказывается во
многом более удобным, чем исходное у. Ш. F.2), из ко-
которого оно получено.
Формулы F.12) — F.14) полностью описывают свой-
свойства решений у. Ш. в импульсном представлении при'по-
при'положительных энергиях (непрерывный спектр). При от-
отрицательных энергиях (дискретный спектр) структура
решений у. Ш. отличается от F.12). Именно, аргумента-
аргументация, приведенная выше после F.10'), показывает, что
решение в этом случае обязано иметь вид
Ф(+) (я) = - -jet [UD- <f) Ф(+) (?') dq'. F.17)
Это соотношение является, собственно, уравнением для
функций ф(^). Уравнения такого типа имеют решения
только при некоторых отрицательных значениях Е, и,
таким образом, уравнение F 17) определяет одновре-
одновременно и собственные значения Еп, ?, т, и собственные
функции <р„, it m (q) у. Ш. при отрицательных энергиях.
Отнормированные на единицу, функции (рп,1,т(я)
совпадают, как это должно быть, с фурье-образами со-
соответствующих функций координатного представления.
Итак, полный набор решений уравнения F.11) есть
Ф». I,
(Я) = тАг [ e-'«r4>«. I. m (r) dr.
§ 7] ФУНКЦИЯ ГРИНА В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 163
Для них выполняются условия ортонормированности,
следующие из C.13) гл. II:
j %, и т (Я) ФЯь iu т, (я) dq = bnni 6Ui
§ 7. Функция Грина в импульсном представлении.
Операторная алгебра
При построении функции Грина у. Ш. в импульсном
представлении можно действовать разными способами.
Простейший заключается в том, чтобы взять какую-либо
формулу, написанную в координатном представлении,
например формулу для решения у. Ш. с источником
G.1)
и совершить в ней полный переход к фурье-образам:
G.2)
При этом получим формулу
, q',E)Q{qf)dq\ G.1')
имеющую точно такую же структуру, как и G.1). Роль
функции Грина g(q,q',E) в импульсном представлении
играет, таким образом, фурье-образ функции Грина в
координатном представлении GE(r, r') по обеим коорди-
координатам гиг':
g {q, q', E) = -~г J e-^GB (r, /) е1^' dr df, G.3)
164 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Во многих отношениях удобнее, однако, работать
с самого начала в импульсном представлении и выво-
выводить все формулы без ссылок на соответствующие фор-
формулы координатного представления.
Чтобы упростить и унифицировать написание фор-
формул, условимся в следующей символике: операторы ки-
кинетической и потенциальной энергии обозначим через
h0 и И, причем результат действия этих операторов на
любую функцию импульсной переменной <р(<7) дается
формулами
- Г
J
Здесь импульсная переменная q, заключенная в квад-
квадратные скобки в левых частях формул G.4), относится
не к функции <р, а к результату действия на эту функ-
функцию стоящего перед ней оператора.
У. Ш. для функции непрерывного <pJ^+)(<7) и дискрет-
дискретного (pn,i,m(q) спектров выглядит теперь так:
G.5)
Функции <pjt,+) Hfn(m составляют полную ортонормиро-
ванную систему. Они также являются собственными
функциями оператора (ho+v—Е), отвечающими соб-
собственным значениям (еь — Е) и (eh,i — Е) соответ-
соответственно:
(й0 +V-E) <р(+> [q] = (е4 - Е) <р(+> (q), |
(й0 + V - Е) %_ и т [q] = (еЯ1, - Е) Фя> и т (q). j
Справедливость G.6) при любом значении Е (даже
комплексном) очевидна, так как эти равенства при лю-
§ 7] ФУНКЦИЯ ГРИНА В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 165
бом Е отличаются от равенств G.5) только формой
(добавлением к правой и левой частям G.5) одного
и того же члена—Ecp(q)), но не по существу.
При построении функции Грина g(q,q',E) опера-
оператора (й0 + v — Е) мы можем пользоваться теперь стан-
стандартной процедурой. Строим функцию
Она действительно является функцией Грина, так как
(см. уравнение G.6))
л,;, m
G.8)
В силу этого решением неоднородного у. Ш.
G.9)
является функция
4>(ч) = \ g(q, ?'- E)Q(q')dq'^gEQ[q]. G.10)
Здесь мы ввели по аналогии с G.4) оператор функции
Грина gE, действие которого на любую функцию Q(q)
определено интегралом в G.10) и определением G.7)
ядра интегрального оператора.
Введение бесконечно малой мнимой добавки iy
к энергии потребовалось нам, как и раньше, для того,
чтобы обеспечить асимптотику функций в координатном
представлении, соответствующую расходящейся волне.
Кроме того, с введением этой добавки приобретает оп-
определенный смысл целый ряд важных сингулярных ин-
интегралов.
166 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Именно, пользуясь представлением G.7), можно вы-
вычислить действие функции Грина на собственную функ-
функцию ф^+) (q) оператора энергии:
§Л+) М - J ff (Ч. *, Е) ф<+> (q') dq' = ek%(+iy) ¦ G.11)
При у= О ЭТИ интегралы теряли бы смысл при
E = —z—гэге*, и в результате этого мы не могли бы
пользоваться системой функций уп , т, ф^+) для раз-
разложения по ним других функций. С введением у ф О эти
трудности снимаются, так как становится ясным опре-
определение закона предельного перехода. Например,
(ч) \ —Фй+>(^) ПРИ •? = 8й->
+ 'Y) I 0 при Ефеь-
G.12)
Имея в виду соотношения такого типа, удобно ввести
для оператора функции Гр'ина gE символическое выра-
выражение
Se=hQ + v-(E + iy): GЛЗ)
При этом подразумевается, что при действии на любую
собственную функцию фЕ оператора (йо-|-г5): (^о+^)Фе =
= ефЕ надо заменить оператор в знаменателе G.13) его
собственным значением:
i {Е+t-Y) ф8 iq] - е _
(я)-
При пользовании символикой G.13) мы гарантиро-
гарантированы от всяких недоразумений, так как результат дей-
действия оператора G.13) на функцию фЕ всегда конечен
в случае эрмитова потенциала U. Действительно, у
эрмитова гамильтониана (й0 + б) все собственные зна-
значения е действительны, и при уфО знаменатель в G.14)
никогда нулю не равен. Поэтому, не боясь впасть в про-
противоречия, с операторным выражением типа G.13)
можно производить различные арифметические опера-
§ 7] ФУНКЦИЯ ГРИНА В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 167
ции. При этом надо только следить за порядком дей-
действия операторов.
Вычислим в качестве примера разность гриновских
функций g(q, q', Е) и g<0) {q, q'', Е) операторов (ho + v — E)
и (йо-?):
-E- iy)~l -{К-Е- <
v-E~iy)-l(ho + v-E-iy){К-Е-iy)~l ^
s (fio + д - E- iy)~l [(Ho -E- iy) -
= -(Яо+<)- E- iyy1 v(ho-E- iy)-' ^ - ^d^fl). G.15)
По-другому группируя члены, можно получить альтер-
альтернативное выражение
G-150
Входящий в эти формулы оператор g^ функций Гри-
Грина свободного гамильтониана (ho — Е) имеет простое
аналитическое выражение. Функции свободного движе-
движения в импульсном представлении имеют вид (см. фор-
формулу F.9))
<№<*)-№-q)
и из G.7) получаем в случае свободного движения
g (q,q-,c) J ад 4
где eq^—1-. Результат действия оператора g1® сво-
свободной функции Грина на произвольную функцию
Q(q) сводится поэтому к умножению функции на
(^ f)I
Это, конечно, находится в полном соответствии с G.13)
и G.14).
168 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Соотношения G.15) или G.15') с известными t)
и ^ могут рассматриваться как уравнения для функ-
функции Грина §е-
'" " ¦ G.18а)
G.186)
Тут же надо сказать, что для функции Грина gE можно
написать бесчисленное количество уравнений типа G.18).
Действительно, пусть нам известна ф. Г. gE] у. Ш. с
потенциалом v\
Iff" Я +d-? (Я-Ну)'
и мы хотим выразить gE через g™. Составим разность
gE— g1^. Произведя тождественные алгебраические пре-
преобразования того же типа, что и в формуле G.15), по-
получим для gB уравнения
U, G.18в)
Если t\ ^ 0, получаем, естественно, уже известные нам
уравнения G.18а, б). Пользуясь данными в начале это-
этого параграфа правилами, все эти уравнения для функ-
ции Грина можно расписать более детально. Например,
уравнения A8а) и A8в) в подробной записи имеют вид
g (q, qf, E) = ?<» (q, tf,E)-\ g<-» (q, q", E) X
X [U {q" - q"') - ?/, {q" - q'")] g W", qf, Щ dq" dq"'.
В такой записи эти уравнения могут быть, конечно,
получены и из исходных аналитических выражений и
уравнений G.7) и G.8) без обращения к операторной
символике. Использование операторной символики — это
лишь удобный технический прием, позволяющий упро-
§ 8] ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 169
стить запись и унифицировать вид формул. В простых
случаях без этого приема можно легко обойтись, но
в более сложных ситуациях, а с ними мы еще встре-
встретимся ниже, он сильно упрощает жизнь.
§ 8. Оператор рассеяния
В предыдущих параграфах мы видели, что для по-
построения функции Грина у. Ш. необходимо знать очень
много об этом уравнении: все собственные значения и
все собственные функции. При этом существенно, что
вся эта информация нигде по дороге не теряется. Она
вся содержится в функциях Грина. Именно это и об-
обусловливает мощь метода функции Грина. Именно по-
поэтому мы можем считать в принципе решенной любую
квантомеханическую задачу, если известна функция
Грина соответствующего у. Ш. Рассмотрим с этой точки
зрения функцию Грина g{q,q',E) у. Ш. в импульсном
представлении.
Как видно из формулы G.7), особенно просто извле-
извлекать из функции Грина информацию о связанных со-
состояниях системы (дискретный спектр). Именно, рас-
рассматриваемая как функция энергии Е, функция
g(q,q',E) имеет полюса при отрицательных Е в точках
расположения связанных состояний: Е = е„,/<0. Вы-
Вычеты ф. Г. в этих точках непосредственно дают нам уже
нормированные волновые функции связанных состояний.
Действительно,
Iim \{Е - enl) g (q, q\ ?)] = 2 Ф,,. т D) %,,. т W)- (8.1)
Зависимость волновых функций (pn,i,m от т известна:
Фя. U т (q) = Фя. I (Я) Y[. m (~) •
и входящая в правую часть (8.1) сумма легко вычис-
вычисляется:
V ( \ • { '\ у (l\ У* (¦!?-] —
4я l I at
170 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
где Pi — обычный полином Лежандра. Используя тот
факт, что q и q' в (8.1) произвольны, легко далее найти
и «радиальную» часть q>n,i(q).
Несколько сложнее обстоит дело с непрерывным
спектром. В этом случае любое положительное значе-
значение энергии является разрешенным, и надо определить
волновую функцию. Из предыдущих параграфов изве-
известен общий вид волновых функций непрерывного
спектра:
?k+) (q) =6(k-q)~ е^'(*'Д,) e < W + 6<Р* М <8-2>
где <р^0) — функция свободного движения с волновым
вектором k, а бфй — отличие функции ф^+) от ф^0) (q).
Задание величины и направления вектора k фикси-
фиксирует (вместе с условием излучения у > 0) граничные
условия задачи о рассеянии: направление, скорость и
величину потока частиц, падающего на рассеиватель из
бесконечности. Отличие волновой функции ф(й+) от функ-
функции свободного движения ф^0) учитывается в (8.2) чле-
членом бфй. Общий вид этого члена можем найти из ис-
исходного у. Ш.:
6фй(<7)=-?яшр<°>[<7], (8.3)
и, таким образом,
= gE(h0-E- iy) ф<°) = - iygE<pM [q]. (8.4)
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что
ф@) _ это решение свободного у. Ш. и
Формула (8.4) в принципе решает поставленную
выше задачу об определении волновой функции *) не-
*) Отметим тесное сходство и связь (8.4) с формулами G.11)
и G.12).
§ 8] ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ 171
прерывного спектра qp^+) по функции Грина gE- Практи-
Практическое вычисление входящего в (8.4) предела
с#-> (q) = - / lim [yg^f Щ = - i lim [yg (q, k, E)\
является, однако, отнюдь не простым делом. Поэтому
можно сказать, что хотя функция Грина и содержит
всю информацию о волновых функциях непрерывного
спектра, но извлечь эту информацию не просто: она за-
запрятана слишком глубоко в структуру функции Грина.
Во всех сколько-нибудь сложных случаях, как,
например, в задачах о движении нескольких взаимодей-
взаимодействующих друг с другом частиц (см. гл. X), это обстоя-
обстоятельство оказывается неудобным, так как окончатель-
окончательные формулы, в которые входят функции Грина, не до-
допускают наглядной физической интерпретации. Поэтому
широкое распространение получил так называемый опе-
оператор рассеяния, который содержит столь же полную
информацию, как и функция Грина, причем эта инфор-
информация содержится в нем в, так сказать, «готовом для
употребления» виде.
Наиболее простой способ введения оператора рас-
рассеяния заключается в следующем. Когда в § 6 рассмат-
рассматривался общий вид волновой функции q>[+)(q), описы-
описывающей в импульсном представлении задачу о рассея-
рассеянии, выяснилось, что величина t(q,k,E) в формуле
F.12) прямо связана с амплитудой рассеяния и, таким
образом, |/|2 при q = k = Y2mE/b2 прямо выражается
через наблюдаемую на опыте величину — сечение рас-
рассеяния:
11 {q, к, Е) I2^=w = (^гJ а (8). (8.5)
Было показано далее, что величина t(q,k,E) подчи-
подчиняется уравнению, следующему из у. Ш.:
t(q, k, E) = U(q-k)-
^я-q') 8*У(г?У) tiq"' K E)dq'dq"- (8l6)
Величина t{q,k,E) зависит от переменной импульс-
импульсного представления q, а вектор k и скаляр Е — это
172 функция грина и теория возмущений [Гл. iv
параметры, связанные с граничными условиями задачи:
k — волновой вектор падающих на рассеиватель частиц,
b2k2
а Е — их энергия: Е = —z—== е*.
Можно, однако, формально разорвать связь между
k и Е и считать, что k в (8.6) представляет собой, как и
q, произвольный вектор с 0^&<Соо. При этом полное
число аргументов функции / оказывается в точности та-
таким же, как и у функции Грина g{q,q',E)\ два вектора
q и k и один скаляр Е. Так как при таком расширении
уравнения (8.6) k можно рассматривать как импульсную
переменную, то оказывается возможным ввести соответ-
соответствующий функции t(q,k,E) оператор рассеяния ^.опре-
^.определив результат его действия на произвольную функ-
функцию Q(q) равенством
??Q [Я] ** / t (q, q', E) Q {q') dq'. (8.7)
Пользуясь введенными в предыдущем параграфе пра-
правилами операторной алгебры, напишем, исходя из (8.6),
уравнение для оператора ТЕ. Оно, очевидно, имеет вид
?E = v-vgf?E. (8.8)
Смысл этого уравнения заключается в том, что резуль-
результат действия правой и левой частей в (8.8) на произ-
произвольную функцию Q один и тот же: ,
Для оператора рассеяния может быть написан целый
ряд соотношений, устанавливающих его связь с функ-
функцией Грина. Убедимся прежде всего, что решение урав-
уравнения (8.8) имеет вид
*е = *-Чв4. (8.9)
Для проверки подставим это выражение в правую часть
(8.8). Получим
- gfvgE) v = v- vgEv = tE.
§ 8]
ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ
173
Здесь мы использовали уравнение для функции Грина
G.18а).
Другие соотношения получим, умножая в оператор-
операторном виде формулу (8.9) на g^ справа или слева:
Здесь использовано уравнение G.186). Аналогичным
образом получается формула
= gE6. (8.11)
С помощью этих формул и полученных ранее уравне-
уравнений для функции Грина легко выразить функцию Грина
через t:
й ^0)
Соотношения (8.9) — (8.12), устанавливающие взаим-
взаимно однозначное соответствие между операторами fE
и ?Е, показывают, что количество информации, заклю-
заключенное в этих операторах, одинаково. Извлекать же ее
из ?в много проще, так как волновые функции непре-
непрерывного спектра прямо выражаются через ядро
t{q,q',E) оператора ?Е
В применении к отысканию энергий и волновых функ-
функций связанных состояний операторы fag равноценны.
Действительно, из формулы (8.9) и из выражения для
функции Грина (см. G.7)) получается следующее об-
общее выражение для ядра оператора fE:
п, I, m
- J
(Здесь использована также действительность потен-
потенциала U(г), благодаря которой U*(q) = U(—q).) Как
видно из написанного выше выражения, функция
174 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
t(q,q',E) имеет полюса в точках связанных состояний
Е = гп, i < 0, а вычеты в полюсах позволяют определить
величины дуп,г,m[q]; зная последние, легко уже восста-
восстановить и нормированные волновые функции, связанных
состояний, так как из у. Ш. следует, что
$4>п, i, m [q] = (en. i - вч) фл> г, т (q). (8.14)
Прежде чем закончить этот параграф, сделаем еще
одно замечание. Хотя операторное уравнение (8.8) очень
похоже на уравнение (8.6), отличие между ними есть.
Заключается оно в том, что k и Е в (8.6) жестко свя-
h2k2
заны условием E — eh=-z—, тогда как в уравнении
(8.8) никаких ограничений на оба векторных аргумента
функции t(q,q\E) нет. Поэтому операторное уравне-
уравнение (8.8) является более общим, чем уравнение (8.6)
и эквивалентное ему у. Ш. (см. § 6). Проявляется это,
в частности, в том, что из волновой функции фА+) можно
получить величину t(q,k,E) при Е = 8а, тогда как для
вычисления t(q,q',E) при произвольных значениях q
и q' нужна более полная информация.
Докажем эти утверждения. Подставляя волновую
функцию в у. Ш., получаем
2m
D Wk2
что при E = —z— = еь дает
/fa, ft, et)=vtf+>[q]. (8.15)
Этим доказано первое утверждение. Чтобы доказать вто-
второе, достаточно воспользоваться общим представлением
для ядра оператора ?Е (8.13). Подставив в него (8.15),
имеем
п, I, m
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 175
h2k2
Здесь, как и в предыдущих параграфах, 8), = —~—. Из
только что приведенной формулы следует, что для по-
построения функции t(q,q',E) с Е ф eq, ъч- требуется
знать решения у. Ш. при всех энергиях.
§ 9. Формулы для точечных потенциалов
Для иллюстрации того, как действуют общие фор-
формулы предыдущих параграфов, рассмотрим с их по-
помощью свойства точечных потенциалов — сингулярных
потенциалов с нулевым радиусом действия. Такие по-
потенциалы часто используются в практических расчетах.
Рассмотрим сначала потенциал с малым, но конеч-
конечным радиусом действия г§:
и (г), г < г0,
0, r>rl <9Л>
Выполним для него все расчеты, а в конечных формулах
устремим Го к нулю. Используем два обстоятельства.
1. Чем меньше радиус г0, тем труднее частице с ор-
орбитальным моментом / ф 0 проникнуть в область дей-
действия потенциала из-за наличия отталкивающего центро-
центробежного барьера. Вероятность найти частицу с конеч-
конечным значением энергии ? и /=^0 в точке г = 0 вообще
равна нулю. Таким образом, в состояниях с / ф 0 то-
точечный потенциал фактически не действует, и поэтому
при стремлении радиуса потенциала к нулю нам доста-
достаточно рассмотреть случай / = 0.
2. Эффективность потенциала определяется не толь-
только его величиной, но и радиусом его действия. При
уменьшении г0 уменьшается область действия потен-
потенциала U(г) и падает его эффективность. Для компен-
компенсации приходится одновременно с уменьшением Го уве-
увеличивать абсолютную величину потенциала. Ниже мы
увидим, что условие сохранения эффективности потен-
потенциала при уменьшении его радиуса имеет вид
Го
Urn f rU (r) dr = const, (9.2)
176 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
т. е. при уменьшении г0 абсолютная величина потен-
потенциала должна расти как г~2 (см. § 2 гл. I). В уравне-
уравнение Шредингера для радиальной волновой функции
Х(г) при г*Сг0 (мы уже учли, что / = 0)
-^f + («(r)-?)X = 0. (9.3)
Энергия частицы Е входит в виде суммы с потенциалом.
Последний, однако, при г0—«-О надо в силу (9.2) счи-
считать бесконечно большим по абсолютной величине и,
следовательно, членом с энергией в (9.3) можно пре-
пренебречь:
|^ 0. (9.3')
Решение этого уравнения можно записать в виде
(9.4)
где А — постоянная, а функция %@)(г) зависит только
от вида потенциала и(г). Будем нормировать эту функ-
функцию условием
A. (9-5)
При такой нормировке вполне определенное значение
имеет интеграл (ср. с (9.2))
/¦
(9.6)
Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, до-
достаточно помножить уравнение (9.3') на г и проин-
проинтегрировать по dr, учтя при этом (9.5) и то, что при
го—>-0 имеем цепочку равенств
го
J
r; - х@) С -т^о- - х@) (го) = -
Мы увидим немного ниже, что все свойства точечного
потенциала характеризуются единственным парамет-
§ 9] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 177
ром — величиной производной функции х@)(г) ПРИ г—га.
Обозначим ее через :
dr
Свяжем величину a, которая называется длиной рас-
рассеяния, с наблюдаемыми величинами. При положитель-
положительной энергии и / = 0 нормированная на 6(k — k\) ради-
радиальная волновая функция имеет в области г > го вид
Сшивая ее при г = г0 с функцией (9.4) и используя
(9.5) и (9.7), получаем при kr0—>Q
?ctg6=-I, (9.8)
А = |/| sin б. (9.80
Таким образом, радиальная волновая функция непре-
непрерывного спектра имеет вид
| ]/|sin6.x@)(r), r^r0,
Xfeo(r) = { f- (9.9)
| у ± sin(kr + 6) r^r0,
где фаза рассеяния б связана с длиной рассеяния а со-
соотношением (9.8).
При отрицательных энергиях Е радиальная волно-
волновая функция при r^-Го обязана иметь вид
2тЕ
Сшивая это решение с функцией (9.4), находим усло-
условие существования решения, соответствующего связан-
связанному состоянию:
K = l, B = A, (9,10)
178 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Так как % по определению положительна, то, как видно
из (9.10), связанное состояние существует только при
положительной длине рассеяния. При этом соответствую-
соответствующее собственное значение энергии равно
^ (9.11)
Из условия нормировки получаем, учитывая, что об-
область г^г0 дает исчезающе малый вклад в нормиро-
нормировочный интеграл:
J \%(r)fdr = B2 J e~-Krdr = \, т.е. В = У^к.
Окончательно получаем для радиальной волновой функ-
функции связанного состояния
(9Л2)
Из предыдущего параграфа мы знаем, что оператор
рассеяния ?Е, содержащий в себе полную информацию
о потенциале, целиком определяется величинами
Utyn j m и ?/i|4+), т. е. фактически поведением волновой
функции внутри области действия потенциала.
Приведенные выше формулы позволяют нам в об-
общем виде вычислить эти величины для точечных потен-
потенциалов. Действительно, воспользовавшись формулами
§ 6 для связи между импульсным и координатным пред-
представлением, получаем
- Я') Фк+) W)
{«W+)(r)dr. (9.13)
Область интегрирования по dr здесь ограничена радиу-
радиусом действия потенциала г0. Поэтому можно заменить
§ S] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 179
экспоненту e~iqr единицей, а в разложении волновой
функции по /
/-0
удержать только член с / = 0. В результате получаем,
используя (9.9) и (9.6):
dT = ч t_.i—?,!" », (9.14)
б
Учтя далее вытекающие из (9.8) равенства
$ 1 . . ak
cos о = —, sin б = —
Vl + (akJ ' У 1 + (а*
приводим (9.14) к виду
Если длина рассеяния а положительна, то существует
одно связанное состояние с радиальной функцией
Хсв^) (см. (9.12)). Произведя для него аналогичный
расчет, находим
Ш1 u{rH{r)dr=-?-?±. (9.16)
Bл)" J 2m я
Теперь уже у нас есть все, чтобы с помощью формул
(8.13) получить выражение для ядра t{q,q',E) опера-
оператора рассеяния. В рассматриваемом нами случае точеч-
точечного потенциала первый член в (8.13)—фурье-компо-
нента потенциала—тождественно обращается в нуль:
<Ш4л\ "'
180 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Вклад в t{q,q',E) от непрерывного спектра легко вы-
вычисляется:
-J
h?X2
2m
1 fi2a \2
\ 4я2/л j
fi2
4л2т 1 -
' 2m (E +
(F
\ lV)
oo
An] dX
0
|a|
- /1 a | k '
iy) n
X2
(9.17)
где k ^ l/ ¦ ,2+ • При положительном а, когда
существует связанное состояние, оно также-дает вклад
в t{q,q',E) (см. (9.16)).
(дф М ) (офооо W] У _й^ a /q 17/ч
_ _^
eo-(?4-iv) 2m n2(\+a2k2)'
Собирая вместе (9.17) и (9Л7'), получаем
n^F- <9Л8>
При а<0, когда связанного состояния нет, вклад
в t(q,q',E) дает только непрерывный спектр (см.
(9.17)). Учитывая, что в этом случае а= — |а|, снова
приходим к формуле (9.18). Таким образом, оператор
рассеяния fE определяется формулой (9.18) как при по-
положительном, так и при отрицательном значениях длины
рассеяния а. Основное отличие этих двух случаев за-
заключается в том, что при а > 0 выражение в правой
й2
части (9.18) имеет полюс при энергии Е=—^—г>
отвечающей связанному состоянию. При а < 0 полю-
полюса нет.
Пользуясь полученным выше выражением для
t(q,q/,E) и рецептами предыдущего параграфа, легко
получить и остальные формулы для точечных потен-
потенциалов. Например, функция Грина для точечного по-
§ iol Теория возмущений в непрерывном спектре
тенциала равна
п' F) = 5 {q ~ q'] -
х /-hw+w ъ-ie+w (9Л9)
lla /-
4-2 л о
Здесь, как и выше, введено обозначение е^ =
§ 10. Теория возмущений в непрерывном спектре
Некоторые задачи теории возмущений уже рассмат-
рассматривались в § 5, где использовалось координатное пред-
представление. Основное внимание там было уделено учету
возмущений в дискретном спектре, и это не случайно.
Дело в том, что теория возмущений для задач о рас-
рассеянии имеет наиболее простую и компактную форму
не в координатном представлении, а в импульсном. Это
связано с тем, что именно в импульсном представлении
наиболее естественным образом г годится оператор рас-
рассеяния Те, столь удобный при рассмотрении задач о рас-
рассеянии.
Рассмотрим сначала простейший вариант теории, ког-
когда весь потенциал О рассматривается как возмущение.
Способ построения ряда теории возмущений сводится
при этом к повторным итерациям уравнения для опера-
оператора ТЕ'
TE = v-vgfTE= A0.1a)
- v - vgf(v - vg<VTE) = ... A0.16)
В первом приближении
ТЕ ~ fg> = v и /(I> (q, k0, E)==U(q- k0). A0.2)
Подставляя Т® в правую часть A0.1а), получаем Те во
втором приближении:
ТЕ ~ F«> + Tf - fg> - tgfv,
tf(q, ko, E)=-ju(q-qi)dqig«»(ql,q2,E)dq2U(q2-k0) =
J(q-q\) R JfJ+M u{qi-k0). (io.3)
182 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Здесь вектор ko относится к падающему на рассеиватель
2 2
пучку частиц и, как обычно, eq, = 2 q . Продолжая ите-
итерацию, находим tE в третьем порядке теории возмуще-
возмущений:
* Tl
A0.4)
Совершенно ясно, как продолжать эту процедуру
дальше:
A0.5)
Член п-го порядка ?/?' в этом разложении содержит п
операторов v и (п — 1) операторов g^K В амплитуду
рассеяния такой член дает вклад (см. F.15))
kk0 \ _ 4л2т An) (Ь ь
*, , .*
Вектор Аг относится здесь к рассеянным частицам.
Формулы A0.5), A0.6) допускают простую физиче-
физическую интерпретацию: падающая на рассеиватель ча-
частица может провзаимодействовать с ним любое число
раз. Чем больше число п актов взаимодействия, тем
в более высоком порядке возмущения этот процесс учи-
учитывается. В первом порядке теории К1' = v и учитывается
только однократное взаимодействие с потенциалом, в
§ 10] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 183
результате которого начальный импульс частицы й&о
изменяется и становится равным конечному импуль-
импульсу Ыг:
f^(Q) = --^p-U(k-k0). A0.6a)
Во втором порядке теории возмущения учитываются
уже акты двукратного взаимодействия. В амплитуду
рассеяния они дают вклад:
/B) (в) „ + *gL J и (k-qi) Zq_%\iy) U (?,-*„). A0.66)
Падающая с импульсом fifto частица в результате пер-
первого взаимодействия с потенциалом приобретает им-
импульс bqx (множитель U(q\—k0) в подынтегральном
выражении A0.66); свободно движется затем с этим
импульсом до второго взаимодействия (множитель
(eq, — (Е + iy))~ ), а в результате второго взаимодействия
(множитель U(q\—k)) приобретает конечный импульс
Ьк и уходит с этим импульсом на бесконечность. В про-
промежутке между первым и последним взаимодействием
частица может иметь произвольный импульс bqu чему
соответствует интегрирование по dq\, в A0.66), но ее
энергия Е остается фиксированной. Про такую ситуа-
ситуацию, когда нормальная связь между импульсом и энер-
tfq\
гией нарушается Е ф -^- = ед„ говорят, что частица
находится вне массовой поверхности. При этом имеется
в виду, что физически осуществимому движению свобод-
свободных частиц с массой т и кинетической энергией Е в
пространстве импульсов Ьц соответствует поверхность
(сфера), задаваемая уравнением Е——^-. Движение
(распространение) свободной частицы, находящейся вне
массовой поверхности описывается свободной ф. Г. ?@\
которой и соответствует множитель (ед — (Е + iy))~l в
A0.66). Этот множитель получил специальное назва-
название — пропагатор от английского propagate — распро-
распространяться.
Аналогично интерпретируются и остальные члены
в разложении амплитуды рассеяния A0.6): члену /<">
184 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
tt-ro приближения соответствует и последовательных
актов взаимодействия частицы с потенциалом. В ре-
результате первого акта (множитель U {qx — k0) в A0.6))
частица уходит с физической поверхности и дви-
движется с импульсом hqi и энергией Е (пропагатор
(е?, — (Е + iy)) "') до второго акта взаимодействия (мно-
(множитель U(q2 — <7i)), после чего опять движется свободно
вне физической поверхности и так далее вплоть до по-
последнего п-го акта взаимодействия (множитель
U(k — ^n_i)), в результате которого частица приобре-
приобретает импульс hk и, вернувшись таким образом на физи-
физическую поверхность, уходит с этим импульсом на беско-
бесконечность.
Аналогичную простую интерпретацию можно дать и
ряду теории возмущений для задачи о рассеянии в ко-
координатном представлении. В этом случае удобнее
исходить непосредственно из уравнения Шредингера в
координатном представлении
) A0.7)
Здесь W(r)— возмущение. Будем искать решение урав-
уравнения A0.7) в виде
* = №(r) + Vtt(r), (Ю.8)
где г])^ (г)—решение невозмущенного уравнения, а
ФАэ(г) — малая добавка. Подставляя A0.8) в A0.7),
получаем для фйо уравнение
С помощью функции Грина G^ir, /) запишем это
уравнение в интегральной форме
„„(г)- - J drGf{r, /) V«>(гО+ФJr')). A0.10)
Итерируя его, получаем ряд теории возмущений
«pJ'HSqtfW, (io.li)
§ IOJ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 185
где
«PJJ (')-(-)" \drx ...draG™(r, rn)W(rn)X
XG(E+)(rn, /•„_,) IF (/¦„_,) X ...
... X W(r2)G?\r2,
Обычно интересуются лишь асимптотикой при г—>-оо.
В этом случае, пользуясь формулой B.13), находим
rB, г„_,)Х
где k = —kQ.
Собирая вместе все формулы, получаем окончатель-
окончательное выражение для волновой функции
I г ikr -1
оо
*^ :я>(А, k0). A0.14)
Полная амплитуда рассеяния
^f(, k0) A0.15)
n=»l
складывается из «невозмущенной» амплитуды /<°>, учи-
учитывающей рассеяние на невозмущенном потенциале
U(г) в A0.7), ар)сл=1, 2, ... — это добавки, возни-
возникающие при последовательном учете возмущения W,
Поправка первого порядка имеет вид
.)CC.) (Ю.16а)
186 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
и интерпретируется следующим образом: падающая на
рассеиватель частица описывается невозмущенной функ-
функцией tyj^. В точке г\ частица взаимодействует с воз-
возмущением W(r\) и после этого уходит на бесконечность,
двигаясь в невозмущенном потенциале U(r). При этом
в качестве волновой функции конечного состояния, как
мы видим из A0.13), надо брать ip{~\ свойства ко-
которой обсуждались в § 3 гл. II.
Поправка к амплитуде во втором порядке теории
возмущений учитывает акты двукратного взаимодей-
взаимодействия с возмущающим потенциалом W:
Г (*. kQ) = ^- \ dr2 drfl?' (r2) W (r2) X
^) <>(,-,> A0.166)
При этом частица взаимодействует с потенциалом в
точках Г\ и г2; до, между и после взаимодействий она
движется в поле невозмущенного потенциала U(r). Со-
Состояние падающей на рассеиватель частицы описывается
волновой функцией начального состояния г|^+), состоя-
состояние частицы, уходящей от рассеивателя на бесконеч-
бесконечность — волновой функцией конечного состояния 4р{~\
а в промежутке между взаимодействиями с возмущаю-
возмущающим полем W движение частицы от точки гх к точке Гг
описывается функцией Грина G^"'{r%, Г\). Таким обра-
образом, роль пропагатора в координатном представлении
играет функция Грина G[e\
Точно таким же образом интерпретируются и осталь-
остальные члены в разложении амплитуды рассеяния в ряд
по возмущению W.
§ 11. Сходимость ряда теории возмущений
Вопрос о применимости теории возмущений является
довольно деликатным*). Мы рассмотрим лишь один его
аспект, связанный с широко распространенным, но со-
*) Так, например, применение теории возмущений к атому во-
водорода (за возмущение принимается весь кулоновский потенциал)
дает во втором порядке конечное, но неверное значение энергии
§ 11] СХОДИМОСТЬ РЯДА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 187
вершенно неправильным представлением об условиях
применимости теории возмущений. Именно, часто счи-
считают, что если первое приближение теории возмущений
много меньше нулевого, а второе приближение много
меньше первого, то это означает, что ряд теории воз-
возмущений сходится, и можно ограничиться первыми чле-
членами ряда. В общем случае это неправильно, и мы про-
продемонстрируем это сейчас на двух примерах.
В первом примере (Я. Б. Зельдович, 1960А) мы рас-
рассмотрим в импульсном представлении у. Ш. для ча-
частицы в поле потенциала специального вида
()
О при \q\ или \q'\>b.
Входящие сюда постоянные С и b будем считать стре-
стремящимися к разным пределам: С-*0 и Ъ—юо, но так,
что остается неизменной величина
2я2С = const. A1.2)
В координатном представлении формуле A1.1) соответ-
соответствует потенциал сложного вида с радиусом действия
г0 ~ 1/6 -*0.
Сначала решим У. Ш. с взаимодействием A1.1) точно,
а потом попробуем решить его с помощью теории возму-
возмущений-
Введя обозначение k2 = 2тЕ/Ь2, запишем у. Ш. в
виде
й2
2m
(<72-?>(?)=- ju(q, q')<t{q')dq'. A1.3)
(Е. Вигнер, 1954; Р. Трис, 1956). При наличии же связанных состоя-
состояний ряд теории возмущений начиная с некоторой энергии может
расходиться. Эту трудность удается иногда преодолеть при исполь-
использовании иных методов, например метода Фредгольма (Р. Иост,
А. Пайс, 1951; М. Бейкер, 1958; И. Маннинг, 1964) или метода ква-
квазичастиц (С. Вейнберг, 1963). В случае же сильно сингулярного по-
потенциала отталкивания ряд теории возмущений расходится, в то
время как правильный ответ конечен. Не исключено, что такого
рода ситуация может иметь место в так называемых неперенорми-
руемых теориях квантованных полей (Н. Хури, А. Пайс, 1964;
А- Пайс, Т. By, 1964; Б. А. Арбузов, А. Т. Филиппов, 1964).
188 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Если нас интересует задача о связанном состоянии
(т. е. k2 = —1&|2 = —к2; к>0), то, выбирая решение
в виде
' ^" A1.4)
I 0, q > b
и подставляя его в уравнение, получаем после элемен-
элементарного интегрирования
ь „
dqx
i = 1 - 4пС j ¦
0 — 1 — -М1Ч I о о
0
-^-1. A1.5)
^ J
Отсюда находим энергию связи уровня
BV 4ттС6-1
До сих пор мы считали константы Ъ и С конечными.
Из A1.6) видно, однако, что энергия связанного состоя-
состояния A1.6) будет оставаться постоянной при предельном
переходе Ъ—>оо, С—>0, если выполняется условие (П.2).
Другими словами, если мы хотим, чтобы во время пре-
предельного перехода оставалась неизменной энергия уров-
уровня, величина Ъ должна стремиться к бесконечности как
4лС ' ^ж"'
Это условие вполне аналогично условию, которое мы по-
получили в координатном представлении для точечных по-
потенциалов (см. § 3 гл. I).
От функции A1.4) просто перейти к координатному
представлению:
^—. A1.8)
Полученный результат можно было предвидеть. Волно-
Волновая функция A1.8) в том виде, как она записана, рас-
расходится в нуле, как это и Должно быть в случае сингу.
лярного потенциала.
§ 11] СХОДИМОСТЬ РЯДА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [89
Рассмотрим теперь задачу о рассеянии. Волновую
функцию будем искать в виде
? 01.9)
где у — бесконечно малая положительная величина.
В предыдущих параграфах было показано, что такой
вид действительно соответствует задаче о рассеянии:
первый член при переходе к координатному представле-
представлению дает плоскую волну, а второй — расходящуюся рас-
рассеянную. Подставляя A1.9) в исходное уравнение и учи-
учитывая A1.1) и тождество
q2-(k2 + iy) q2 ^ q2(q*-k2-iy) '
сводим уравнение к
ь j
f , q
J q2-
J q(k2
Используя A1.6), перепишем это как
D i 1
° ~ 2п2 k- ix '
что и решает задачу о нахождении волновой функции.
Переходя к координатному представлению, получаем
Сечение рассеяния при этом равно
а в ИГ х2 + k2 ¦ A1.12)
Попробуем теперь эту же задачу о сингулярном по-
потенциале решить с помощью теории возмущений. На пер-
первый взгляд это должно быть очень просто, так как мат-
матричные элементы взаимодействия V'qq> стремятся к нулю
при С—>-0.
190 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. IV
Процедура теории возмущений сводится к итерации
исходного уравнения A1.3). Невозмущенная волновая
функция (т. е. решение этого уравнения без правой
части) есть просто плоская волна:
qf(?) = 6 (*-?).
Поправка первого приближения равна (см. предыдущий
параграф)
0 при q>b.
Подставляя это выражение в правую часть A1.3), на-
находим
Продолжая итерации, получаем
{Щ]~\ A1.13)
Чтобы получить, наконец, точное значение волновой
функции, надо просуммировать весь бесконечный ряд
теории возмущений, что в нашем случае легко делается,
так как ряд сводится к геометрической прогрессии:
га-1
(ИЛ4)
что совпадает с полученной выше точной формулой.
Мы видели в предыдущих абзацах, что каждое при-
приближение теории возмущений обращается в нуль в пре-
пределе С—>0, т. е. при стремлении радиуса потенциала
к нулю. Ответ, являющийся суммой бесконечного ряда,
тем не менее отличен от нуля и зависит не от радиуса
потенциала, а лишь от энергии связанного состояния.
§ II] СХОДИМОСТЬ РЯДА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 191
Это служит наглядным доказательством того, что ма-
малость первого и последующих членов теории возмущений
еще не гарантирует возможности ограничиться конеч-
конечным числом приближений. Причина довольно проста:
критерий применимости теории возмущений заключается
в том, чтобы добавка к волновой функции бф(^) была
много меньше функции нулевого приближения при всех
значениях аргумента.
В рассмотренном в этом параграфе случае, напри-
например, функция нулевого приближения Ф^о)(^) равна нулю
при k Ф д. Поправки же tpfHg) отличны от нуля прак-
практически при всех q, хотя по абсолютной величине они
и стремятся к нулю. Это и приводит к тому, что любое
конечное число приближений не может дать правиль-
правильный ответ для волновой функции.
В рассмотренных выше случаях предполагалось, как
это обычно и делается, что при достаточно слабом воз-
возмущении XW (Я,—>-0) волновая функция г|) и возмущен-
возмущенная энергия Е могут быть разложены в степенной ряд
по X, или, иначе говоря, предполагалось, что эти вели-
величины аналитичны по X.
Это, однако, не всегда так. Сейчас мы приведем про-
простой пример, когда энергия Е является неаналитической
функцией величины X. Пусть фо, ..., флг и ?о = О, ...
..., EN — собственные функции и собственные значения
невозмущенного гамильтониана
#0Ф0 = ?0%, #оф„ = ?„ф„, я = 1, ..., М,
причем значения Еп распределены равномерно на ин-
интервале (—А, А). Пусть также гамильтониан возмуще-
возмущения имеет отличные от нуля матричные элементы лишь
между состояниями 0 и л, причем знак всех элементов
одинаков. Предположим, наконец, для упрощения рас-
расчета, что все матричные элементы равны друг другу,
VOn = V.
Решение у. Ш.
(?Я)
ищем в виде
(+ З) A1.15)
я=-Г
192
ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. IV
При этом не предполагаем, что сп «С 1. Для этих коэф-
коэффициентов немедленно получаем уравнения
N
E = V^cn> (E — En)cn = V. A1.16)
Находя сп из второго уравнения и подставляя это зна-
значение в первое уравнение, получаем
N
A1.17)
Это есть точное уравнение для определения энергии Е.
Из рис. 13 видно, что уравнение имеет (N—1) корень
Рис 13,
на интервале [—А, Л], один корень при ?>Аи один ко-
корень при Е < —А.
Найдем теперь в пределе N -*¦ оо энергию основного
состояния (корень уравнения при Я<—А). В этом слу-
случае мы можем заменить сумму интегралом, после чего
получаем
A1.18)
А
2Д2
§ II] СХОДИМОСТЬ РЯДА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 193
Мы получили трансцендентное уравнение для определе-
определения Е. Заметим, что для того, чтобы эффективная связь
осталась слабой (именно этот случай мы и рассмотрим),
необходимо, чтобы при N-*oo V-+0 так, чтобы коэф-
коэффициент при логарифме стремился к малому числу, т. е.
NV2
~2Д2—>a-Cl. В этом случае Е »—Д, и мы получаем
(П.19)
Мы получили формулу для энергии основного со-
состояния, которая неаналитически зависит от силы воз-
возмущения V и потому по теории возмущений не может
быть получена. Заметим, что в нашем случае расстоя-
расстояние между уровнями на интервале [—Д, Д] имеет поря-
порядок 2A./N и потому стремится к нулю при N -*оо, тогда
как расстояние между нижним уровнем и следующим за
i_
ним уровнем конечно и равно Д, ==?"+- Л = — 2Де а.
Мы получили так называемую энергетическую щель, а
на интервале [—Д, Д] сплошной спектр. Заметим еще, что
вероятность А2 нахождения состояния фо в основном
состоянии г|)о в нашем случае конечна:
9 —1-
А2^~е а. A1.20)
Рассмотренная выше модель могла показаться до-
довольно искусственной, не имеющей никакого отношения
к реально встречающимся проблемам.
Подчеркнем в этой связи, что она может рассматри-
рассматриваться как модель (правда, очень грубая) сверхпрово-
сверхпроводящего состояния. При этом роль функций фга играют
состояния фА пары электронов с противоположно на-
направленными импульсами k и —k и спинами (куперов-
ские пары (Л. Купер, 1956)), а величину 2Д можно интер-
интерпретировать как ширину размытия поверхности Ферми
(это та область, в которой происходит взаимодействие,
ответственное за сверхпроводимость). Взаимодействие
между различными состояниями в этой модели возни-
возникает за счет перехода в промежуточное состояние фо и
7 А, И. Базь и др.
194 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. IV
носит характер эффективного притяжения. Такая мо-
модель качественно передает характерные черты сверхпро-
сверхпроводящего состояния: возникновение щели при сколь
угодно слабом притяжении и неаналитическую зависи-
зависимость ширины щели от силы взаимодействия (Дж. Бар-
Дин, Л. Купер, Дж. Шриффер, 1957; Н. Н. Боголюбов,
1958).
§ 12. Временная функция Грина
Рассмотрим неоднородное временное у. Ш.
A2.1)
Частное решение этого уравнения можно записать как
Ф (г, /) = J dr* dfG (r, t; r/, f) Q (r', f). A2.2)
Входящая сюда временная ф. Г. равна
"" iE(t-t')
u ~ 2nh
Действительно, учитывая, что
/» It. [I —11
J dEGE{r, r')e *—. A2.3)
легко получаем
? (г, /; г', Г) =
С lE(t-t')
= Ш~) *ЕЬ(г-^)е~ h =6(r-r')d{t-f). A2.4)
Формула A2.3) еще неоднозначна, так как в нее
можно подставлять G^ или G^-
Как скоро будет видно, наибольший интерес пред-
представляет первая возможность (т. е. Ge~])- Она описы-
описывает естественное развитие событий от прошедшего к
будущему. Именно этот случай мы и рассмотрим.
§ 12] ВРЕМЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 195
Пользуясь явным выражением для G(+), можем на-
написать
Е1у)
При этом предполагается, что связанных состояний нет.
Их учет не прибавил бы ничего нового. Проинтегриро-
Проинтегрировав по Е и помня, что у > О, сразу же получаем
- -i- f <rf> (r) 4+)* (/) Г* ^ ^ при t > f,
й J , A2.5)
О /<^
т. е. эта функция отлична от нуля только при / > ?.
Наиболее простой вид, конечно, имеет гриновская
функция свободного у. Ш. С помощью формул B.3) —
B.5) ее можно записать в любом из видов:
o \r, г, г ,
т
2nbi(t-f)
ik\r-r'l-l?- (t-f)
т ' "Е1 ^7^r^ • A2.6)
Решение свободного уравнения с источником Q(r,t) за-
запишется как
. О- ~ 5Л» J
Смысл этой формулы кристально ясен: значение волно-
волновой функции в точке г в момент времени t является
суперпозицией сходящихся к этой точке волн
lk\r-r<\-lIL (t-П
е
Ir-fl
вышедших из точки г7 в момент времени ?. Амплитуда
этих волн определяется плотностью источника Q {rf, t),
196 ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. IV
В простейшем случае, когда точечный источник распо-
расположен в начале координат и испускание происходит
в момент времени V = О (Q = б (г') 6 {?)), имеем
где
ь т г
Испусканию частиц с фиксированной энергией г от-
отвечает экспоненциальная зависимость плотности источ-
источника от времени:
-ш
Q(r,t) = Q(r)e * . A2.9)
Действительно, в этом случае интегрирование по f и Е
в A2.7) выполняется сразу, и мы получаем
Ф(г, t)=-^\dr>-Le |f_/[ Q(/), A2.10)
_ / 2те r~ *
где у.— у —*г~ • Если (? отлична от нуля лишь в ма-
малой области пространства вокруг точки /, то при боль-
больших г получаем естественный результат:
}~ ~1^'h
Но это есть не что иное, как расходящаяся волна ча-
частиц с энергией е. Амплитуда ее есть фурье-компо-
нента по функции источника.
Другой ф. Г., явный вид которой известен, является
ф. Г. для гармонического осциллятора (U = m(i>r )
2 )
G(r, t; /, П^-Ц^^^^е4, A2.12*
где
A2.13)
§ 12] ВРЕМЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 197
Интересно отметить, что 5(г, t\r', f) (так же как и
показатель экспоненты в A2.6)) есть классическое дей-
действие, т. е.
t
S(r, t; /, f) = J L{t)di,
r
где L = T — U — лагранжиан системы, а интегрирование
производится по классической траектории частицы. Этот
факт не случаен, а связан с квазиклассичностью движе-
движения в потенциале U{r), зависящем от координат только
линейной и квадратично (Р Фейнман, 1948). Потен-
Потенциал U при этом может являться произвольной функцией
времени: V — U(r,t).
. ГЛАВА V
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ 1. Волновая функция в квазиклассическом
приближении
Квазиклассическое приближение, или метод ВКБ, для
простейшего случая одномерного движения с потенциа-
потенциалом, не зависящим от времени, широко используется в
квантовой механике. Этот метод излагается в настоящем
параграфе весьма кратко, поскольку он подробно разо-
разобран во многих учебниках. В следующих параграфах
рассмотрены более сложные вопросы квазиклассики. §2
посвящен рассмотрению квазиклассических формул для
вырожденного ферми-газа. На этом примере мы увидим,
что усреднение по большому числу частиц приближает
систему к классической. В § 3 излагается квазиклассиче-
квазиклассический метод для многомерного случая; полученные при
этом формулы, в частности условия квантования Бора —
Зоммерфельда, игравшие столь важную роль в старой
квантовой теории (М. Борн, 1925), оказываются примени-
применимыми и в том случае, когда переменные в уравнении
Шредингера не разделяются. Наконец, в § 4 рассмотрено
квазиклассическое приближение для нестационарных за-
задач и получена формула для проницаемости потенциаль-
потенциального барьера, переменного во времени. Эта формула ис-
используется для решения задачи об ионизации атома в
поле сильной световой волны.
Рассмотрим сначала качественный характер решений
одномерного у. Ш. A.6) гл. I с потенциалом, не завися-
зависящим от времени. При этом необходимо отдельно рассма-
рассматривать области, где
k2 <V{r) и к2>У{г).
§ 1] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ 199
В первой области полная энергия меньше, чем потен-
потенциальная, во второй — больше. Кинетическая энергия
при этом соответственно отрицательна или положи-
положительна.
При изучении поведения %ъ.{г) мы воспользуемся так
называемым квазиклассическим приближением*), кото-
которое достаточно хорошо передает качественные черты раз-
различных случаев.
Прежде всего перепишем уравнение A.6) гл. I в виде
где р совпадает с классическим импульсом частицы:
Будем искать решение уравнения A.1) в виде
Х(г) = е'вм. A.2)
Для а (г) получаем
iG" _ {ау + |1 = о.
Если (как мы и будем предполагать) а = ао + Gi -f ...,
oi <С он, это уравнение дает
r')dr', a,=yln —, A.3)
откуда
A.4)
*) В квантовой механике это приближение было впервые ис-
использовано в работах Г. Венцеля (Ш26), X. Крамерса A926) и
Л. Бриллюэиа A926) и потому часто называется приближением
ВК.Б. Именно в связи с необходимостью решения квантовомеханиче-
ских задач и стал интенсивно разрабатываться квазиклассический
метод, хотя отдельные задачи аналогичного типа рассматривались
еще Ж. Лиувнллем A837) и Рэлеем A912) в связи с задачей рас-
распространения коротких волн (см. по этому поводу книгу Дж. Хе-
динга A962), в которой имеется библиография по данному вопросу;
там же можно найти решение некоторых конкретных задач). Ряд
математических вопросов, связанных с квазиклассическим прибли-
приближением, рассмотрен в книге В. П. Маслова A965).
200
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
Условием применимости описанного метода,очевидно, яв-
является
ст"
(оГ
р'П
Р2
dX (r)
dr
1;
A.5)
Здесь X—длина волны частицы Мг) ——гт • Это усло-
условие выполняется лишь для достаточно гладких потенциа-
потенциалов, вдали от тех точек, где р(г) обращается в нуль (то-
(точек поворота). В случае реальных потенциалов условие
A.5) остается справедливым в широкой области изме-
изменения г.
В классически достижимой области k2>V(r), т. е.
Е > U(г) два независимых решения можно записать как
sin
г
cosj ±j p(r')dr'
т. е. оба решения имеют осциллирующий характер.
Частота осцилляции тем выше, чем больше разность
k2 — V(r).
Случай k2 < V(r) соответствует классически недости-
недостижимой области, где Е <U(r). В этой области р прини-
принимает мнимые значения p — i\p\ и в качестве двух неза-
независимых решений можно взять монотонные функции
hj\p(r')
dr'
ехр
p{r')\dr' .
A.7)
Таким образом, мы приходим к следующему заключе-
заключению о характере волновых функций.
В классически допустимой области у. Ш. имеет два
решения. Каждое из них имеет осцилляторный характер.
Частота осцилляции тем больше, чем больше разность
k*—V(r).
В классически недопустимой области также имеются
два решения. Оба они монотонны. Одно из них монотон-
монотонно убывает от точки, где k2 = V(r), другое — монотонно
возрастает.
§ И ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ 201
Заметим, что выражение, стоящее в экспоненте в A.4),
г
это не что иное, как укороченное действие 5= p{r')drf.
Учитывая зависимость волновой функции %(r,t) от вре-
мени %{r, t) = x(r)e H и выбирая для определенности
.4) знак плюс, получаем %(r, t) ~ еп , где ве-
величина S (r, t) = S{r) — Et= J L (f) dt' есть радиальная
часть полного действия, L = -$— — U (г) — функция Ла-
гранжа рассматриваемой системы. В более простом одно-
одномерном случае соответствующая формула имеет вид
iK*, t)~e H . A.8)
Эта формула имеет принципиальное значение, так
как устанавливает связь между классической и кванто-
квантовой механикой. В общем случае она является прибли-
приближенной и справедлива при тех же условиях, что и квази-
квазиклассика. Как было показано Р. Фейнманом A948) (см.,
например, книгу Р. Фейнмана, А. Хибса A965)), точный
квантовомеханический аналог формулы A.8) можно по-
получить, если ввести континуальное интегрирование, т. е.
интегрирование по всем возможным траекториям ча-
частицы*).
В общем случае такой континуальный интеграл вы-
вычислен быть не может. Если, однако, выполнены условия
применимости квазиклассики, то основной вклад в этот
интеграл дает узкий пучок траекторий, близких к клас-
классической траектории. Учет вклада одной лишь классиче-
классической траектории и дает формулу A.8), которая, таким
образом, является приближенной.
Однако в ряде простых случаев формула A.8) стано-
становится точной (Р. Фейнман, 1948). Докажем, что это
утверждение справедливо, если лагранжиан L является
квадратичной формой от переменных х и р. Для этого во
*) Отметим еще работы Р. Фейнмана A950), И. М. Гельфанда
и И. М. Яглома A956) и Л. Д. Фаддеева A969), в которых можно
найти дополнительный материал по данному вопросу.
202 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
временное уравнение Шредингера
&=Г& »е.'Н A-9)
подставим
VA0
и учтем, что действие S(x,t) удовлетворяет классиче-
классическому уравнению Гамильтона — Якоби
Тогда получаем
г Л ^ 2т I Л 5л:2 + А дх дх + г дх2 ) '
Если А (х, t) зависит лишь от t, то легко видеть, что
A.12) имеет следующее частное решение:
S(x, t) = a
A.13)
Здесь t0 — произвольный момент времени (постоянная
интегрирования). Из уравнений
и dS dS
находим общий вид гамильтониана, для которого спра-
справедлива формула A.10) cA=A(t):
H(x,t) =
2 A.14)
(at-, Pi, Y — произвольные функции времени). К этому слу-
случаю относятся:
1) свободная частица;
2) движение в однородном электромагнитном поле;
3) гармонический осциллятор с переменными массой
и частотой под действием внешней силы, произвольно за-
зависящей от времени.
§ 1]
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
203
Рассмотрим, в частности, частицу (с т— 1), движу-
движущуюся в однородном электрическом поле f{t), включаю-
включающемся в момент t0. Через ?(/) и ч(*) обозначим положе-
положение и скорость частицы, начинающей движение с нуле-
нулевыми начальными условиями:
Л(О- \f (П df, l{t)~\4{f)dt'.
и и
Найдем действие 5 (х, t; x', f) (t> f > t0)
t t
S(x, t; xf, n = j L (т) dx = J [1 v2(т) + f{x)x(т)Jdr.
f t'
A.15)
Здесь х(х) и v(x)—положение и скорость частицы,
имеющей .в момент /' координату х'\
A.16)
Величину v' определяем из условия x(t) = x, после
чего *(т) и v(x) принимают окончательный вид:
A.17)
Как нетрудно видеть, x(t')=x\ x(t) — х. Подставляя
выражения A.17) в A.15), после несложных вычисле-
вычислений получаем
, i, x , г)
2(t — f)
i
. A.18)
204 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ |ГЛ. V
Сравнивая с A.13), находим
a(t) ! , A(t) = -^L. A.19)
(Значение константы легко найти из сравнения с извест-
известной функцией Грина для свободного движения.) В итоге
получаем формулу
где S(xt;x',f) определено в A.18).
Если f(t) = F от времени не зависит, то A.18) пере-
переходит в действие для движения в постоянном поле F:
S(x,t; x',0=-^5f + f {x ^
A.21)
Наконец, при F—>0 получаем S для свободной ча-
частицы:
S(x,t; яГ, Г) - <* ~Д' . A.22)
Подставляя A.21), A.22) в формулу A.20), получаем
явные выражения для соответствующих функций Грина.
§ 2. Квазиклассическое приближение для вырожденного
ферми-газа *)
Рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть мы
имеем потенциальный ящик длины / (U = оо при х < 0 и
х > /; U — 0 при 0 ^ х ^ /). Тогда волновая функция
п-то стационарного состояния ^n (х) = |/ у sin -у- х, а
энергия Еп= ^"—^г~ -Поскольку в каждом квантовом
состоянии могут находиться лишь две частицы спина 1/2,
то при заполнении такими частицами нашего ящика мы
*) В данном параграфе излагаются результаты работы Я. Б. Зель-
Зельдовича и Е. М. Рабиновича A959). Математически строгое обосно-
обоснование этих результатов дано Э. Э. Шнолем A970).
§ 2] ВЫРОЖДЕННЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ 205
получаем следующее выражение для плотности частиц
при температуре Т = 0:
2и Vi
@)_ 2и
р1 — =
Поскольку полученное выражение не зависит от /, то
можно устремить / к оо, т. е. перейти к рассмотрению си-
системы в свободном пространстве. Поместим теперь эту
систему в потенциальное поле U(x). Тогда в квазиклас-
квазиклассическом приближении получаем выражение для плот-
плотности, аналогичное B.1):
Р. (х) = Щ~ VEn-U(x). B.2)
Для разности плотностей имеем
Ар, (х) s р, (х) - р<°> = Ц^- [VEn-U(x) - УТп\. B.3)
В трехмерном случае соответствующие величины имеют
вид:
да = VmPl (E V/. B ,а
Рз Зя2Й3 ^ "¦' ' \АЛ )
^$En-U(r))\ B.20
Арз(г) = ^~[(Е - U (г) )>' - Е3% B.30
Возникает вопрос о границах применимости этих фор-
формул. Представим себе случай U{r), отрицательного в
ограниченной области пространства и равного нулю
всюду вне этой области. Тогда казалось бы для примени-
применимости формул необходимо, чтобы число частиц, связан-
связанных в яме, было много больше единицы. В одномерном
случае при | U(x) \ <С Еп находим
Ар!(х =-
Итак, если U(x)*C0, то Ар1(л;)>0, причем с увеличением
Е суммарное изменение плотности газа над ямой умень-
уменьшается. Смысл этого результата ясен: в одномерном слу-
случае яма всегда имеет по крайней мере один связанный
206 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
уровень с Ео < 0, дающий положительный вклад в Арь
Свободные частицы с Е > 0 пролетают над ямой быстрее,
чем вне ямы, следовательно, плотность их над ямой мень-
меньше, чем вне ее. Поэтому величина Др4 есть разность
вклада связанных частиц (не зависящего от Е) и вклада
свободных частиц с Е > 0. Возникает вопрос: примени-
применимы ли формулы B.3), B.4) при одном связанном состоя-
состоянии? Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным:
именно сейчас мы покажем, что обращение Др1 (х) в нуль
при Еп —> оо справедливо независимо от применимости
квазиклассического приближения при всех энергиях
?<?„*). В частности, достаточно, чтобы квазикласси-
квазиклассическое приближение было применимо при Е — Еп. Для
доказательства этого утверждения рассмотрим малое
возмущение потенциала 6U и найдем изменение tynix)
и рп(*)= |^п(*)|2 в первом приближении теории воз-
возмущений. В одномерном случае, как известно, волновые
функции можно выбрать действительными, после чего
получаем
-2
!
тфп
где
O.U .к А77
А — —
б| 2 А, B.6)
bUmn
Рассмотрим суммарное изменение плотности частиц с
п < v:
6Pl(n<v)= 2 бр„ = 2 2 Ат, B.7)
откуда находим
)
тфп
Иными словами,
бр, (п < v) = - бр, (п > v). B.8)
*) Это объясняется тем, что вклад в Ар от связанного состоя-
состояния почти полностью компенсируется вкладом в Ар от состояний
непрерывного спектра с малой энергией.
ВЫРОЖДЕННЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
207
Поскольку это соотношение верно для произвольной
малой вариации 6U при произвольном (не малом) U(x),
то такое соотношение справедливо и для изменения
U(x) от 0 до U(x), т. е.
оо
Ар, (п < v) = - Ар, (п > v) = - Д [Р1я (х) - р{»]. B.9)
Смысл этого преобразования состоит в том, что с его по-
помощью мы переходим к рассмотрению частиц с энергией
больше граничной Е > Еп, для которых условие квази-
квазиклассичности движения в поле U(x) гораздо менее огра-
ограничительно.
Если оно выполнено, то волновые функции, нормиро-
нормированные на единичный объем, имеют вид
k(x)=Vkl-V(x),
откуда находим
B.10)
B.11)
„) = ! J
k
= ^{Vkl-V-kn), B.12)
что совпадает с формулой B.3).
Для нахождения поправок к формулам B.2), B.3)
возьмем более точное приближение для волновых функ-
функций:
-фАо = у -j-exp [i j k dx - ia2 - o3 j,
°2~ tf + 8 J A» UX> 03~ 16 U2/ 8k3 '
откуда следует
2 Г
= - » J
'2
208 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
Интегрируя, получаем ответ
Недостаток этого способа получения поправок заклю-
заключается в том, что в выражении B.13) для волновой функ-
функции мы пренебрегаем амплитудой отраженной волны
(рассматриваем только деформацию проходящей волны),
которая в случае аналитического U(x), не имеющего
особенностей на вещественной оси, не разлагается в ряд
по l/k.
Другой подход к поправкам заключается в использо-
использовании борновского приближения. При произвольном по
форме, но малом U(x), используя свойство полноты си-
системы волновых функций, получаем
Ар, (х) = J L (kn | х - у |) V (у) dy, B.16)
где функция
2х
отлична от нуля в интервале порядка единицы и вне
этого интервала быстро затухает.
Выражение B.16) выявляет тот факт, что масштабом
длины в решении является Хп = l/kn — длина волны ча-
частицы, движущейся с граничной энергией; между тем
связанные частицы и частицы с малой энергией, на кото-
которые U(x) действует особенно сильно, имеют К > Кп. Сле-
Следовательно, их вклад взаимно компенсируется.
Размазывание, описываемое функцией L(kn\x — у\),
не изменяет общего прироста числа частиц в окрестности
области действия потенциала, поскольку после интегри-
интегрирования получаем
в точном соответствии с B.3).
Отступления от формулы B.17) оказываются более
высокого порядка по U(x), тогда как отступления от ло-
локальной формулы B.3) первого порядка по U{x),
§ 2] ВЫРОЖДЕННЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ 209
Вместе со старшим поправочным членом выражение
B.17) имеет вид (ср. B.14))
J APl (х) dx - Удр- \[{E-U (х) )* - ?*] dx +
§-Jdx. B.18)
Следует иметь в виду, что эти формулы становятся
неприменимыми при малом, но периодическом U(x),
V' (х) ~ sin knx: как известно, в этом случае спектр раз-
разбивается на зоны; совпадение границы зоны с граничной
энергией ферми-распределения, существенно меняет свой-
свойства газа (в частности, превращает металл в диэлек-
диэлектрик).
Переходя к рассмотрению трехмерного случая, заме-
заметим, что при малом и (г), локализованном в области
\r\<Ro, связанные состояния отсутствуют и борновское
приближение применимо вплоть до самых низких энер-
энергий. По этой причине можно обойтись без использования
теоремы полноты и интегрировать по занятым состоя-
состояниям.
В результате получаем
дРз И = k*nj L(kn\r-г' |) V (г') dr', B.19)
где
. , . sin Bх) — 2х cos х
L W ~ 4x~* '
Разлагая V(r') в ряд по г — г', приходим к известной
формуле
К Э B'20)
Хотя общий характер формулы сохраняется, существен-
существенным здесь является различие в знаке поправки: в одно-
одномерном случае коэффициент при V2V был положителен.
Рассмотрим еще случай трехмерного потенциала, не
являющегося, однако, локализованным. Если потенциал
зависит только от одной координаты, например U — U(x),
210 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
то ky и kz — интегралы движения, и при фиксированных
ky и kz задача сводится к одномерной
Ар, (kg, kz, x) =
41 Г 12^ + 8*
где
8*5 J*
..у „г, ~Х ~П 2т
Полное изменение плотности получается при интегриро-
интегрировании по ky и kz
К
Арз (К, х) = -^ J Др, (kx, x) kx dkx. B.22)
о
Однако при подстановке в B.22) квазиклассического
выражения B.21) для Api интеграл на нижнем пределе
расходится. Для преодоления этой трудности разобьем
область интегрирования на две области. При kx < k ин-
интегрируем точное (не квазиклассическое) выражение
Дрь При kx < k пользуемся квазиклассическим выраже-
выражением
Дрз (К, х) = Дрз (k, х) + -^ J Ар, (kx, x) kx dkx. B.23)
k
В пределе fen->oo, Др3 должна удовлетворять стати-
статистической формуле без поправок, т. е.
Из сравнения этих двух выражений получаем, что для
каждого из двух поправочных членов Др{" в B.21) имеет
место формула
оо
lx)kxdkx = O, B.25)
§ 31 МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 211
откуда следует
>x)k*dK- B-26)
Эта формула несправедлива, однако, для основного ста-
статистического члена в B.21). Таким образом, в трех-
трехмерном случае принцип перенесения суммирования из
области k < kn в область k > kn применим только к по-
поправкам к статистической формуле.
В заключение заметим, что рассмотренная нами вели-
величина р(х) есть не что иное, как диагональный элемент
матрицы плотности р{х,х) при температуре Т = 0, запи-
записанной в координатном представлении. Явный вид р(х, х)
для ряда случаев можно найти в работе Ю. Н. Демкова
и И. В. Комарова A965). Некоторые формулы для мат-
матрицы плотности р при температуре, отличной от нуля,
имеются в работе С. Голдена A957).
§ 3. Многомерный случай
При переходе к многомерному случаю сразу же вы-
выясняется, что обычный квазиклассический метод здесь
применять нельзя. Поэтому обычно пытаются найти та-
такую систему координат, в которой переменные в у. Ш.
разделяются, и тем самым задача сводится к одномер-
одномерной. В случае свободного движения, помимо сферической
системы, переменные разделяются еще в десяти системах
координат (Л. Эйзенхарт, 1934). Потенциалы, допускаю-
допускающие разделение переменных, перечислены в работе
Л. Эйзенхарта A948).
Многомерная квазиклассика для систем, не допускаю-
допускающих разделения переменных, была развита совсем не-
недавно (Дж. Келлер, 1958; Дж. Келлер, С. Рубинов, 1960;
В. П. Маслов, 1965). Ее построение оказалось не совсем
тривиальным, поскольку выяснилось, что существенную
роль при этом играют топологические свойства фазового
пространства (Дж. Келлер, С. Рубинов, 1960; В. П. Мас-
Маслов, 1965; В. И. Арнольд 1967).
Рассмотрим сначала, следуя работе Дж. Келлера
A958), вывод условий квантования для частицы, находя-
212 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
щейся в многомерной потенциальной яме. Обычно счи-
считают, что в квазиклассическом приближении г|з = г|эо, где
^{qi,t) = A(ql,t)eiS(c4't)lh, C.1)
S(qi,t) — полное действие, а функция A(qut) является
однозначной функцией координат. В силу непрерывно-
непрерывности функции г|эо разность А5 любых двух значений много-
многозначной функции 5 (qu t) равна
А5 = j> pi dqt = 2пЪп. C.2)
Это уравнение должно выполняться для любой замк-
замкнутой кривой в ^-пространстве. Однако все замкнутые
кривые рассматривать не обязательно, поскольку инте-
интеграл в C.2) имеет одно и то же значение для любых
двух замкнутых кривых, которые могут быть деформиро-
деформированы друг в друга без пересечения сингулярности подын-
подынтегрального выражения. Например значение этого инте-
интеграла равно нулю для кривой, которая может быть де-
деформирована в точку. Более подробно вопрос о выборе
контура интегрирования обсуждается в тексте после
формулы C.9).
Мы пришли к условию квантования с целыми числа-
числами п. Это условие, однако, верно не всегда. Например,
в случае одномерного осциллятора, как хорошо известно,
п нужно заменить на п + '/г. Отказываясь от предполо-
предположения однозначности A(qut), вместо C.2) получаем
C.3)
Если, например, два значения А отличаются знаком, то
A In А = —in и
AS = j> pt dqt = 2яй (ft + j) • C.4)
Мы приходим, таким образом, к следующему обобщению
формулы C.1) для гро:
§ 3] МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЯ 213
где Sft и Ak — различные ветви многозначных функ-
функций S и А.
Подставляя C.5) в уравнение Шредингера Н(р, q)tyo~
— ?г|эо, получаем уравнения для S и А.
Е, C.6)
4
где Pk — A\, vl = -q— . Уравнение C.6) есть обычное
уравнение Гамильтона — Якоби. Уравнение C.7) выра-
выражает сохранение «вероятности» Pk — А\.
Из рассмотрения трубки траекторий с бесконечно ма-
малой площадью поперечного сечения do находим *)
vPk = v0^-Pk@), C.8)
где
v = -|/2 v
f
vf.
Уравнение C.3) для Ah и Sk принимает теперь вид
-^ §VInAkds\, C.9)
причем уравнения C.9) должны выполняться при инте-
интегрировании по произвольному контуру С в координатном
пространстве. Если, однако, два таких контура С\ и С2
могут быть деформированы друг в друга без пересечения
особых точек функций VS и У1пЛ (назовем такие кон-
контуры эквивалентными), то интеграл по одному из них
можно не рассматривать. Поэтому достаточно рассмо-
рассмотреть неэквивалентные друг другу контуры, которых ока-
оказывается конечное число. Очевидно, что это и есть число
условий квантования.
*) Такой способ рассмотрения использовался уже в первой ра-
работе по квантовой теории рассеяния заряженной частицы кулонов-
ским полем (В. Гордой, 1928).
214 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
Нахождение этих контуров усложняется из-за того
факта, что функции VS и У1пЛ в нашем пространстве
являются не однозначными, а, скажем, М-значными (то
обстоятельство, что степень неоднозначности функций
VS и Vln/4 одинакова, видно из уравнения C.7)). Мож-
Можно, однако (подобно тому как это делается в теории
аналитических функций), сшить М экземпляров нашего
^-пространства и получить накрывающее пространство,
на котором функции VS и Vln-4 будут уже однозначны.
Независимые замкнутые кривые в накрывающем про-
пространстве и дают нужные нам контуры С.
Вычислим при обходе контура С{ изменение величины
In Л-Д In Л = (j)Vln Ads.
Ci
Изменение величины In Л происходит в тех точках
контура, где Л обращается в оо. Из C.8) видно, что это
точки, в которых -J— = 0 или v = 0. Поверхность
da n
—г— = 0 — это каустическая поверхность, а поверхность
у = 0 — это поверхность точек остановки. Как хорошо
известно из теории дифракции (Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-
шиц, 1967), при прохождении через простую каустику
амплитуда Л умножается на е~Ш2= — i, а при прохо-
прохождении через каустику порядка d — на e~idKI2 (говорят,
, da n
что каустика имеет порядок d, если —j-—> 0 величина
порядка малости d). Точно такой же фазовый множи-
множитель приобретает амплитуда и при прохождении через
простую точку остановки (т. е. такую точку остановки,
после прохождения которой лишь одна компонента им-
импульса р меняет знак). Учитывая вклад всех особых то-
точек на контуре С,-, мы приходим к обобщенным усло-
условиям квантования Бора — Зоммерфельда
( ^j (ЗЛО)
причем эти условия справедливы и в тех случаях, когда
переменные не разделяются, т. е pt зависит от всех qt.
Здесь di—d(i)ji-df, fif(/'— число точек пересечения кон-
§ 3] МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 215
тура С,- с каустикой, df — число точек пересечения кон-
контура С,- с поверхностью точек остановки. При этом мы
должны учитывать кратности этих точек.
Простейший пример использования этих формул от-
относится к одномерному движению в потенциале типа по-
потенциала осциллятора. В этом случае накрывающее про-
пространство состоит из двух отрезков (^1,^2) (*7i и #2 —
классические точки остановки) с отождествленными кон-
концами, т. е. является окружностью. Полагая в C.10)
dx =0, d2 = 2, получаем известное условие квантования
C.11)
До сих пор мы рассматривали движение в гладком
потенциале. Интересный случай, рассмотренный в рабо-
работе Дж. Келлера и С. Рубинова A960), — это свободное
движение в области, ограниченной жесткими стенками.
Мы рассмотрим здесь кратко случай круга и эллипса.
В обоих случаях задачу можно было бы решить методом
разделения переменных. Метод Келлера и Рубинова по-
позволяет, однако, не только более наглядно получить эти
результаты, но и выявляет качественные закономерности,
справедливые в общем случае, когда переменные не мо-
могут быть разделены.
Итак, пусть частица движется свободно в области D,
ограниченной жесткими стенками В. Ее движение описы-
описывается уравнением
~, ф = 0 на В. C.12)
Аналогично предыдущему случаю решение ищем в виде
2М'И+ ••• (злз)
Подставляя это выражение для ф в C.12) и приравни-
приравнивая коэффициенты при k2 и k, получаем уравнения для
S, и Aj
(V57J=l, C.14)
2VSy- VAj + AjbSj^O. C.15)
216
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
Из C.14) следует, что поверхность S = const можно ин-
интерпретировать как поверхность волнового фронта. Со-
Соответственно лучи, являющиеся ортогональными траек-
траекториями к этим поверхностям, представляют собой пря-
прямые линии. Если s — длина пути вдоль луча, то из
уравнения C.15) следует:
tfkT- C16)
где pi и рг — главные кривизны волнового фронта при
s = 0. Уравнение C.16) выражает закон сохранения ве-
вероятности в бесконечно узкой луче-
лучевой трубке. Заметим, что для того,
чтобы удовлетворить граничным
условиям -ф = 0 на В, члены в C.13)
должны входить парами, причем на
границе В
dS,
S, = Sr, A=- Ar,
dSjf
дп
Рис. 14.
Теперь остается лишь повторить
все рассуждения, относящиеся к
случаю гладкого потенциала. При
этом особыми поверхностями здесь являются каустики,
при прохождении через которые фаза Л меняется на
—я/2, и граничная поверхность, после отражения от ко-
которой фаза А изменяется на —я.
Мы приходим, таким образом, к следующему обоб-
обобщению условий квантования:
k & VS ds = 2я (it + -| + y) •
c,-
C.17)
Здесь d — число пересечений контура С,- с каустикой,
Ъ — число точек контура, общих с границей В.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.
Пусть сначала областью D является круг радиуса а.
Рассмотрим какой-либо луч и все последующие его от-
отражения от границы (рис. 14). Нетрудно видеть, что
все они касаются окружности радиуса ао, которая яв-
является каустикой для такого рода лучей. При этом, од-
однако, через каждую точку кругового кольца проходят
§ 31 МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 217
два луча такого рода. Рассмотрим поэтому два семей-
семейства лучей (рис. 15, а, б), каждое из которых полностью
заполняет круговое кольцо, причем через каждую точку
этого кольца проходит единственный луч из данного
семейства*). (Такое семейство называется конгруэн-
конгруэнцией.) При этом лучи первого семейства, отражаясь
от границы, переходят в лучи второго семейства, а лучи
Рис. 15.
второго семейства, проходя через каустику, превра-
превращаются в лучи первого семейства.
Таким образом, в нашем случае накрывающее про-
пространство состоит из двух экземпляров кругового коль-
кольца, склеенных между собой по окружностям радиусов
а и ао, т. е. является тором.
Но, как хорошо известно, на торе имеются два неза-
независимых контура, которые не стягиваются в точку. Со-
Соответственно мы имеем два условия квантования.
*) Очевидно, что траектория, описываемая таким лучом, совпа-
совпадает с траекторией идеального биллиардного шара, двигающегося
внутри кругового биллиарда. В данном случае движение шара вну-
внутри кругового кольца будет эргодическим. Заметим, что вопрос об
эргодичности в квантовом случае является значительно более про-
простым, чем в классической механике. Доказательство эргодической
теоремы в квантовом случае было дано И. фон Нейманом A929).
Заметим здесь же, что если ввести комплексные траектории, касаю-
касающиеся каустики, то с их помощью можно найти волновые функции
и вне кругового кольца. Они оказываются экспоненциально малыми
по величине. Сравните с рассмотрением задачи о прохождении час-
частицы через потенциальный барьер, разобранной в следующем пара-
параграфе, с использованием мнимого времени.
218 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
В качестве первого контура мы выберем окружность
радиуса а^ (рис. 16). Этот контур не пересекает каусти-
каустику, что становится очевидным при небольшом увеличе-
увеличении радиуса. Первое условие кван-
квантования, таким образом, имеет вид
6-2лао = 2ят. C.18)
> Это условие квантования имеет про-
простой физический смысл: момент ко-
количества движения L квантуется и
равен mh.
Второй контур, где d = 1, Ъ — 1,
Рис. 16. удобно деформировать (что не из-
изменяет значения интеграла) в кон-
контур, показанный на рис. 16. После вычисления интеграла
®р dq получаем
2k [ /а^а§ - а0 arccos -f] = 2я [п + |). C.19)
Исключая а0, с помощью C.18) получаем
]/k2a2 -т2-т arccos -g- = я (п + |). C.20)
Это трансцендентное уравнение определяет собствен-
собственные значения k — kmn и, в соответствии с C.12), собст-
собственные значения энергии.
В двух предельных случаях m<^.ka и т ^ ka из
C.20) находим
to « я (п+ -?- + •§•), C.21)
ka « т + -— [Зя (п + 4)|/з. C.22)
В случае т « ka решение практически равно нулю,
за исключением узкой области вблизи границы. Суще-
Существование такого рода решений для круговой области
было впервые обнаружено Рэлеем A910) при рассмот-
рассмотрении явления шепчущей галереи в акустике.
§3]
МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ
219
В качестве второго примера рассмотрим плоскую об-
область D, ограниченную эллипсом с фокусами на оси х
в точках ±с/2. Отрезок, соединяющий фокусы, обозна-
обозначим через /. Все лучи, проходящие внутри D, можно
разделить на два класса; лучи, которые не пересекают/,
и лучи, которые пересекают f.
Луч, не пересекающий Д ведет себя подобно лучу,
рассмотренному в случае круга (ср. с рассмотрением
случая эллиптического биллиарда в книге Г. Биркгофа
Рис. 17.
A927)): он всюду касается эллипса С, софокусного эл-
эллипсу В*) (соответствующие конгруэнции лучей изобра-
изображены на рис. 17,а, б). Эллипс С является каустикой,
аналогичной окружности радиуса а0 в предыдущей за-
задаче, и первое квантовое условие имеет вид kL — 2ят,
где L — длина эллипса С**). Второе квантовое условие
также аналогично соответствующему условию для круга.
Иная картина возникает для луча, пересекающего
отрезок /. В этом случае он уже не будет касаться
никакого конфокального эллипса, однако он, так же
*) Утверждение, по существу эквивалентное этому, было из-
известно еще Г. Лейбницу A704).
**) Соответствующую волновую функцию обозначим через i|)m (r).
Эта функция является естественным обобщением волновой функции
с определенным значением момента количества движения в случае
круга на случай эллипса, а также произвольной области. Естествен-
Естественно назвать ее волновой функцией с определенным квазимоментом т.
Заметим, что если радиус-вектор г обходит один раз начало коорди-
координат, то комплексная величина фт('') на соответствующей плоскости
обходит начало координат ровно т раз. Это свойство функции
$т(г) является точным и не зависит от возможности одисзния gi
с помощью квазиклассического приближения.
220
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
[ГЛ. V
как и все последующие отраженные лучи, будет касать-
касаться конфокальной гиперболы (рис. 18). Нетрудно видеть,
что через каждую точку внутри такого криволинейного
четырехугольника ABCD можно провести четыре луча,
касательных к данной гиперболе. Поэтому накрываю-
накрывающее пространство в этом случае состоит из четырех
криволинейных четырехугольников, соответствующим об-
образом склеенных по границе. Более подробное рассмот-
рассмотрение показывает, что при этом получается тор.
Перейдем к эллиптическим координатам:
, у = уshцsin6,
, 0<{A<fi0.
Первое квантовое условие (d — 2, Ъ = 0) при этом имеет
вид
В я/2
2k J V5 ds = 2fcc J (cos2 60 - cos2 В)Чг dB = 2я [m +1)
Л 6о
/n = 0, 1, ... C.23)
§ 3] МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЯ 221
Для второго квантового условия (d = О, Ь = 2) мы
получаем
С До
2k J V5 ds = 2kc J (ch2 ц - cos2 60)V2 dy. = 2я (« + 1) C.24)
в о
я = 0, 1, ...
Таким образом, развитый метод позволяет сравни-
сравнительно просто написать условия квантования C.23) и
C.24). Детальный анализ этих условий квантования и
приближенного описания волновой функции в разных
областях дан в работе Дж. Келлера и С. Рубинова
A960).
Несколько по-другому эти вопросы рассмотрены в
работе В. П. Быкова и Л. А. Вайнштейна A964).
Интересный предельный случай получается, когда
А —*¦ В. При этом разрешенная область превращается
в отрезок малой полуоси эллипса; вне этого отрезка
волновая функция стремится к нулю. Из уравнений
C.23) и C.24) в этом случае следует:
2kb = пп + 4 {т + -j) (arctge^ - -|-), C.25)
где b—длина малой полуоси эллипса.
Соответствующие волновые функции получили на-
название волновых функций типа «прыгающего мячика».
Они играют важную роль при рассмотрении лазеров и
открытых резонаторов (В. П. Быков, Л. А. Вайнштейн,
1964; В. П. Быков, 1965; Л. А. Вайнштейн, 1965). Так,
например, при вырезании участка эллипса вне нашего
четырехугольника поле существенно не меняется, по-
поскольку вне четырехугольника оно экспоненциально па-
падает. Однако закрытый резонатор при этом превра-
превращается в открытый и поле, находящееся первоначально
внутри эллипса, будет медленно излучаться в простран-
пространство.
Тем же способом были рассмотрены (Дж. Келлер,
С. Рубинов, 1960) случаи, когда область D имеет вид
равностороннего треугольника или прямоугольника.
Интересно, что при этом получается полное совпаде-
совпадение с точными результатами. Заметим, что во всех этил
222 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ (ГЛ. V
случаях те же результаты могли быть получены путем
разделения переменных. Однако из способа рассмотре-
рассмотрения ясно, что и в общем случае могут существовать
волновые функции типа шепчущей галереи и типа пры-
прыгающего мячика.
В общем случае мы имеем плоскую выпуклую об-
область D, ограниченную гладкой замкнутой кривой 8.
Предположим, что можно найти однопараметрическое
семейство гладких замкнутых кривых С (а), зависящих
от параметра а и обладающих тем свойством, что луч,
касательный к С (а), после отражения остается каса-
касательным к С(а), причем при изменении параметра а
кривая С (а) может как угодно близко приближаться
к границе В. Тогда, повторяя все предыдущие рассуж-
рассуждения, мы получаем волновую функцию, сосредоточен-
сосредоточенную вблизи границы, т. е. волновую функцию типа шеп-
шепчущей галереи. Заметим, что эта же конструкция ис-
используется при рассмотрении «проблемы биллиардного
шара» в классической механике (см. книгу Г. Биркго-
фа, 1927).
Обозначим через s длину дуги вдоль б, через a(s) —
радиус кривизны на 8, через p(s) — расстояние от В
до С вдоль нормали к В. Если С близко к В, то радиус
кривизны в любой точке С приблизительно равен ра-
радиусу кривизны в соответствующей точке на границе 8.
Постоянство величины s\ + 5г — о (в случае круга со-
соответствующие величины изображены на рис. 16) при-
приводит к равенству
2 {apt - 2а arctg (^-)Чг = 4а. C.26)
Решая это уравнение, получаем
p(s) = ctV3(s). C.27)
Условия квантования принимают теперь вид
kL = 2ят и ka = я [п + j\, C.28)
где L — длина контура С(а). С другой стороны,
и и
L = J -ЯГ? ds = L0-a% J a'5(s)ds, C.29)
§ 3] МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ 223
где Lq — длина границы области В, откуда находим вы-
выражение для k:
и
^ __ 2ят . / 2лт V/» Г / . §_\ Т''/ ~' I п~!'] (сЫс f? ЧГП
L\ Г п J \ \ 4/1 I ^ • v • /
О \ *~*0 / L \ ~ / J v
о
Для круга это выражение переходит в C.22).
Помимо рассмотренного семейства волновых функ-
функций, может существовать другое семейство, аналогичное
решениям для эллипса с гиперболическими каустиками.
Это волновые функции, сосредоточенные вблизи диа-
диаметра области, перпендикулярного к границе в обоих
концах. В классической механике они соответствуют
частице, движущейся по диаметру туда и обратно.
В квантовом случае необходимо потребовать еще, чтобы
это движение было устойчиво, т. е. чтобы частица при
небольших отклонениях не выходила из окрестности
этого диаметра. Известно, что в случае выпуклой обла-
области движение по максимальному диаметру всегда не-
неустойчиво, движение же по минимальному диаметру
может быть как устойчивым, так и неустойчивым
(Г. Биркгоф, 1927). Условие устойчивости имеет вид
(Г. Бойд, X. Когелник, 1962)
где D — диаметр области, R\ и R2 — радиусы кривизны
границы на концах диаметра. Величины kmn опреде-
определяются уравнением
Еще один тип квазиклассических волновых функ-
функций— это волновые функции, сосредоточенные вблизи
устойчивых замкнутых геодезических на границе. Про-
Простейшим примером таких функций являются сфериче-
сферические функции Yu при /—»оо, сосредоточенные вблизи
экватора сферы. Эти сферические функции уже были
получены с помощью аналогичных построений в § 2
гл. И.
224 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ [ГЛ. V
Рассмотренные выше конструкции дают возможность
построить волновые функции в классически разрешен-
разрешенной области. Для нахождения волновых функций в об-
области, запрещенной классически (например, в области
г < а0 для круга), необходимо рассмотреть комплексные
траектории, касающиеся каустики (окружности радиу-
радиуса а0 в случае круга и двух малых кругов, параллель-
параллельных экватору в случае сферы).
Эта же конструкция очевидным образом обобщается
и на случай движения в потенциальном поле. Именно,
каждой устойчивой замкнутой классической траектории
соответствует своя серия волновых функций, сосредото-
сосредоточенных вблизи этой траектории.
В заключение отметим, что основным ограничением
применимости этого метода является трудность нахож-
нахождения устойчивых замкнутых классических траекторий.
§ 4. Нестационарные задачи
В стационарном случае решение задачи о прохожде-
прохождении частицы через одномерный потенциальный барьер
в квазиклассическом приближении хорошо известно.
Коэффициент прохождения D в этом приближении да-
дается формулой (см. книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шица A963))
Z>=exp \-~ \\p\dx , D.1)
где \.р\ = ]/2m{U — Е), а и Ь — классические точки по-
поворота. В нестационарном случае формулой D.1), од-
однако, пользоваться нельзя. Это видно хотя бы из того,
что она зависит от энергии Е, которая в нестационар-
нестационарной задаче не сохраняется.
В то же время имеется необходимость в решении
задач с переменным во времени барьером. В качестве
примера можно привести задачу об ионизации связан-
связанного состояния (отрицательного иона, атома) полем
сильной световой волны (световой импульс лазера, скон-
сконцентрированный в фокусе с помощью линзы).
§ 4] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 223
Теория этого эффекта впервые рассматривалась
Л. В. Келдышем A964). Полученные им результаты
уточнялись в работах А. И. Никишова, В. И. Ритуса,
A966); А. М. Переломова и др. A966А). В этих работах
используются различные вычислительные методы, яв-
являющиеся, однако, достаточно громоздкими. Между тем
«просачивание» электрона через широкий и плавный
барьер носит квазиклассический характер как в постоян-
постоянном, так и в переменном поле и для проницаемости
такого барьера может быть получена формула, обоб-
обобщающая D.1) (А. М. Переломов и др. 1966Б).
Перейдем к выводу этой формулы*). Рассмотрим
нестационарное уравнение Шредингера
^ t) D.2)
с начальным условием
Здесь начальная волновая функция фо(г) удовлетворяет
уравнению
¦—невозмущенный атомный гамильтониан (потенциал
Vo(r) в простейшем случае можно считать короткодей-
короткодействующим), V(r, t) — колеблющийся потенциал, вызы-
вызывающий туннельный переход из связанного состояния
Фо(г) в состояния непрерывного спектра. Относительно
V(r, t) будем предполагать следующее:
1) V(r, t) меняется периодически:
V(r,t + T) = V(r,t), где Г = -^-;
*) В этом параграфе изложение следует работе В. С. Попова
и др. A967). Здесь используется так называемая атомная система
единиц; е = т = ft = 1. Если к~1—характерный размер системы,
то в этих единицах к — характерный импульс, Ео ~ х2 — энергия,
к~2 — время, Fo = и3 — напряженность электрического поля в атоме;
для атома водорода Fo = m2esfi~* = 5,14 • IQF в/см.
226 КВАЗЙКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
2) в области кг^.\, где в основном сосредоточена
волновая функция ф0 (г), потенциал V (г, t) является
слабым возмущением: V(r, t)<^y.2 при кг ^ 1;
3) точки поворота в потенциале Vo (г) + V(r, t) лежат
в области кг ~3> 1 при всех значениях /.
В этих условиях вероятность туннелирования опре-
определяется далеким «хвостом» волновой функции -ф (г, /)
и имеется широкая область, в которой движение квази-
классично. Под действием возмущения V(r, t) связан-
связанный уровень превращается в квазистационарное состоя-
состояние, среднее время жизни которого много больше атом-
атомных времен ус2. Вводя функцию Грина G(r2, t2; rx, t\),
описывающую движение электрона на больших расстоя-
расстояниях (при кг > 1) и удовлетворяющую уравнению
[' 1Г+Ж А*~у (Г2> у]G{г* ** Гь tl)==i6 {Г2~Гх) б {h~ix)'
D.4)
перепишем уравнение D.2) с начальным условием D.3)
в виде интегрального уравнения
Ф (г2, /2) = - / J dtx \ drxG (r2, t2; ru t{) Vo (г,) ф (rIf U) +
и
rxG (r2, /2; г„ gФ(г„ /о). D.5)
Последний член в D.5) описывает расплывание на-
начального состояния и затухает ~ [х2 (t — to)]~ \ Устрем-
Устремляя ^о к —оо, приходим к уравнению для квазистацио-
квазистационарного состояния
¦и
Ф(»2, У = -' J ^i J rf'iGfo, ^ г„ ^)Уо(/-,)Ф(г„ f,). D.6)
—оо
Поскольку потенциал Vo (r) короткодействующий,
¦ф(г, t) можно заменить на волновую функцию невозму-
невозмущенного атома
и
Ф (г* h) = - / \ dtx J dr{e-^G (r2) ^2; ru tx) Vo (rx) qpo (r,).
D.7)
§ 4] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 227
Вычисляя с помощью этой волновой функции поток
частиц, уходящих на бесконечность, получаем вероят-,
ность туннелирования W в виде суммы вероятностей
«многофотонных» процессов:
% J(^^), D.8)
где
l^A D.9)
Величина v в D.9) дает порог туннелирования (ми-
(минимальное число квантов, поглощение которых необхо-
необходимо для отрыва электрона от атома). Для определе-
определения v учтем, что после выхода из-под барьера электрон
находится в поле
V(r, t) = 2iVn(r)cos(n<*t + an).
Рассматривая влияние V(r, t) по методу П. Л. Ка-
Капицы A951) *),' заменим быстро осциллирующее поле
V(r, t) эффективным потенциалом
Ш = -^. D.10)
Поскольку УЭфф > 0, то уход электрона на бесконеч-
бесконечность возможен лишь при условии ограниченности
( ПРИ г-*оо.Ъ этом случае
где /„= Нт/Я(г). D.11)
Добавка к единице в выражении для v пропорцио-
пропорциональна средней по периоду кинетической энергии элек-
электрона, уходящего на бесконечность в периодически ко-
колеблющемся потенциале V(r,t).
Для нахождения вероятности туннелирования Wn
с поглощением п квантов с энергией йсо каждый нам
*) Метод П. Л. Капицы изложен в «Механике» Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица A958).
228 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
нужно знать волновую функцию ф(р, t) с определенным
средним импульсом рп на бесконечности. Как нетрудно
видеть, эта функция удовлетворяет уравнению типа
D.7), в котором надо заменить G(r2, t2; гь U) на функ-
функцию Грина в смешанном р, г представлении:
dtxe-™* J drxG (p2, t2; ru *,) Vo (r,) % (r,),
D.7a)
G (p2, U\ ru U) = -^j- J e-^'G (r2, ^2; r,, f,) rfr2. D.12)
Используя для G (r2, t2; ru tt) квазиклассическое при-
приближение (P. Фейнман, А. Хибс, 1965)
(r2, /2;r,, f,)= J ({^-^(r, О) ^ D.14)
и вычисляя интеграл в D.12) методом перевала, нахо-
находим (с точностью до предэкспоненциального множителя)
квазиклассическую асимптотику для G(p2, t2; fi, t\)
V^r W = S-p2r2. D.15)
Действие 5 в D.15) вычисляется вдоль классической
траектории, определяемой условиями: r(t\) = r\, p{t2) =
= р2. Варьируя W при фиксированных t\ и t2 с учетом
известной формулы 65 = р2бг2 — pibr\, получаем б№ =
= —r2bp2 — р\Ьг\, откуда следуют выражения для г2
И pi
dW dW (л ift\
2~ ~~до~' ?х~ ~~дг~' D-16)
Для полной производной —rf-, взятой вдоль траек-
траектории, имеем из D.15)
~1Г~ ~ ИГ — ~ L- ui)>
§ 4] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 229
с другой стороны,
dW dW . dW • dW
Сравнивая эти выражения, находим
•^r-=plrx-L(tx) = H(tx). D.17)
Подставляя формулу D.15) для G в D.7а), прихо-
приходим к интегралу, содержащему быстро осциллирующую
экспоненту:
и
J
^ J \х), D-18)
— оо
где
W(p2, t2; rx, tx) = S (p2, t2; r,, t{) - p2r2 =
и
= \{L(t)+E0)dt-p2r2 D.18a)
t,
(S — так называемое укороченное действие, см. § 1).
Основной вклад в интеграл D.18) при этом вносит
точка перевала. Условия перевала по переменным t\
и гх в случае плавного потенциала Vo{r) имеют вид
Я (/«>) = Е0=-^-, р(/°) = 0. D.19)
Согласно Р. Фейнману A948), среди всех путей, вно-
вносящих вклад в Op(p2,t2), в квазиклассическом случае
«выживают» лишь пути, лежащие в окрестности класси-
классической траектории. Специфика данной задачи состоит
в том, что не существует такой вещественной траекто-
траектории, которая удовлетворяла бы уравнениям Ньютона,
начальным условиям D.19) и условию p(h) — р%, по-
поскольку прохождение частицы через потенциальный
барьер в классической механике невозможно. Это при-
приводит к тому, что «начальный момент». ?i0) уходит в
комплексную плоскость. Тем не менее формальный ап-
аппарат классической механики продолжает работать. Вы-
Вычисляя интеграл D.18) методом перевала, получаем
230 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
с точностью до предэкспоненциального множителя:
+ члены конечные при /2~>+°о- D.186)
Окончательное выражение для |F(p)|2 принимает
вид
| F(p) |2 ~ ехр { - 2 Im W(p2, t2; if, ft*)}. D.20)
Формулы D.8) и D.20) определяют вероятность
туннелирования Wn. Для нахождения предэкспоненци-
предэкспоненциального множителя, а также импульсного спектра вы-
вылетающих частиц необходимо учесть вклад траекторий,
близких к экстремальной. Детальный расчет этих вели-
величин можно найти в работе В. С. Попова и др. A967).
Подчеркнем, что в D.20) входят лишь величины, отно-
относящиеся к классической траектории частицы, причем
значение \F(p)|2 зависит только от подбарьерного
участка траектории.
Для подбарьерного движения в постоянном поле
р2 = 0 и W = 3, кроме того, в силу закона сохранения
энергии 5 = t^dt. Заменяя в D.8) суммирование
по п интегрированием (что законно ввиду со—»0), при-
приходим к формуле для проницаемости статического
барьера
D ~ ехр
-2
J pdr
= 2(E-U(r))<0. D.21)
Здесь Г\ и г2 — классические точки поворота, а интеграл
берется по экстремальной траектории, минимизирую^
щей ЬпЗ(г2, Г[). В одномерном случае вопрос о нахо-
нахождении экстремальной траектории отпадает и D.21)
переходит в известную формулу D.1).
Покажем теперь, что последовательный переход к
мнимому «времени» т = it в уравнениях подбарьерного
движения приводит к наглядной картине просачивания
частицы через барьер. Мы ограничимся ниже случаем
однородного поля: V(r,t) = —F(t)r, однако результаты
имеют более общее значение.
§ 4} НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 231
Пусть частица связана короткодействующими си-
силами. Рассмотрим сначала ионизацию такой системы
постоянным электрическим полем. В одномерном случае
классическая «траектория» определяется уравнением
Ньютона х = F и начальными условиями *(/о)=О,
x(to) = ix. Выбирая начало отсчета времени в тот мо-
момент, когда х = 0 (момент выхода частицы из-под барье-
барьера), имеем
x = Ft, * = ?(*»_/«), *0 = ?. D.22)
В процессе движения частицы «время» t изменяется от t0
(yl \
х = 0, х = х0 = -гтг] частица вы-
выходит из-под барьера, и дальнейшая часть траектории
имеет смысл и в классической механике.
Найденная «траектория» является аналитическим
решением уравнений классической механики (в частно-
частности, точка t = 0 не является точкой разрыва). При пе-
переходе в квантовую область она приобретает физический
смысл: действие 3, вычисленное вдоль такой траекто-
траектории, определяет волновую функцию Hp(x,t) (в квази-
квазиклассическом приближении). Из D.22) находим
t
W (t, /0) = 5 (t, t0) = J x2 df = -?- (t3 - Щ, D.22a)
и
Заметим, что, как следует из D.22а), ImS(Mo) после
выхода из-под барьера остается постоянной величиной.
Для коэффициента прохождения через барьер получаем
D.23)
Таким образом, D.22а) с точностью до константы
дает правильное выражение для WCT в одномерном
случае.
Переходя к трехмерному случаю, заметим, что поле
не меняет поперечного импульса частицы р±, который
остается при этом классическим (р^ >0). Подбарьер-
ное движение имеется лишь в направлении поля. Таким
23? КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
образом, задача сводится к одномерной: меняется лишь
начальное условие, теперь jt(fo) = / Yv? + p\, что экви-
эквивалентно замене
D.24)
Выполняя эту замену в D.23), получаем
откуда
?ехр(--!-?). D.26)
Точная формула для вероятности ионизации s-уровня
в короткодействующем потенциале имеет следующий вид
(Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, 1964):
-¦§•-?),
D.27)
где См — коэффициент, определяющий асимптотику нор-
нормированной волновой функции (ф «* С^ Y~Kr~xe~w при
Г->оо).
Сравнение формул показывает, что с точностью до
численного коэффициента порядка единицы значение
WCi(F) в постоянном поле также может быть получено
с помощью D.23).
Перейдем теперь к рассмотрению ионизации систе-
системы, связанной с короткодействующими силами, в поле
световой волны с линейной поляризацией. Нахождение
квазиклассического решения этой задачи возможно бла-
благодаря следующим упрощающим обстоятельствам:
1. Мы ограничимся случаем не слишком высоких ча-
стот со <С ©0 = -=— (йсоо = / — потенциал ионизации
атома, со— частота света), т. е. рассматриваем случаи
многофотонной ионизации. Поле при этом может рас-
рассматриваться классически. Кроме того, будем считать,
что напряженность поля F в световой волне много мень-
меньше атомной напряженности Fq = к3: F <§; Fq. При этом
ионизация происходит медленно по сравнению с атом-
§ 4] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 233
ными временами, а потенциальный барьер является
широким, благодаря чему оказывается возможным при-
применить квазиклассическое приближение.
2. Длина световой волны много больше радиуса
атома, в силу чего электрическое поле можно считать
однородным.
3. Поскольку электрон в атоме — частица нереляти-
нерелятивистская, действием магнитного поля можно прене-
пренебречь.
Прежде чем приступить к решению задачи, заметим,
что, помимо величины <во = //^. здесь имеется другая
важная частота — частота туннелирования <вг (здесь
l/ooi — время свободного пролета электрона с импуль-
импульсом к через потенциальный барьер, ширина которого,
как нетрудно видеть, равна —w~~f • При этом из не-
равенства F/Fo < 1 следует Ьац «С /. Введем параметр
Y = —= и?~> характеризующий «степень адиабатич-
ности». В адиабатическом случае у «С 1, со < сог </, и
формула для вероятности ионизации может быть полу-
получена путем усреднения соответствующей статической
формулы (см. раздел 2 в работе А. М. Переломова и
др. A966А)). Наиболее интересен, однако, как с точки
зрения теории, так и с точки зрения эксперимента анти-
антиадиабатический случай у ^ 1- Так, например, при иони-
ионизации нейтральных атомов светом рубинового лазера
(Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне, 1968) nmta ~ 10, F ~;
~ 107 в/см, у ~ 30—40.
Итак, пусть световая волна имеет линейную поляри-
поляризацию, направленную, например, по оси х, и напряжен-
напряженность поля F(t)= Fcos (at. Для системы, связанной
короткодействующими силами (например, для отрица-
отрицательного иона), при г > 0 действием этих сил можно пре-
пренебречь и классическую траекторию х {t) найти из урав-
уравнения *)
x = F cos at, * (/„)=¦ 0, x(to) = ix. D.28)
•J Мы рассматриваем здесь лишь экстремальную классическую
траекторию, для которой Im W в формуле D.20) принимает мини-
минимальное значение. Такая траектория дает главный вклад в вероят-
вероятность ионизации W. Нетрудно показать, что в рассматриваемом
234 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
Отсюда имеем
x (t) = px-\ sin at,
' ¦* CO
p
x @ —Px{t — ^o) г (cos (at — cos (ut0),
D.29)
p
где px — i% sin©/0; px является средним импульсом
частицы (по направлению поля) при ее движении на
бесконечность.
Частица выходит из-под барьера в момент времени
t = 0, когда поле достигает амплитудного значения. На-
Начальный момент t0 находится из уравнения
sin о*0 = -f С* " Px) = У (' - %) ' D.30)
которое можно представить в виде
=-«2. D.31)
Экстремальная траектория, соответствующая мини-
минимуму Im W, отвечает при этом рх = 0, рх — 0, со^о =
, со сох .
= ^arshY, у — — — —g-'> время t0 при этом оказывается
чисто мнимым. Для наглядного описания подбарьерного
движения поэтому удобно перейти к вещественному
времени % — it (—то-^t-^O). Уравнения, описывающие
движение, принимают теперь вид
d2x г. и dx F
х = -^щ (ch (ото — ch ©т).
D.32)
случае она соответствует движению частицы вдоль поля с равным
нулю поперечным импульсом р± — 0. Траектории с р±фО опреде-
определяют импульсный спектр вылетающих при ионизации частиц. Их
учет также возможен в рамках квазиклассического метода
(В. С. Попов и др., 1967).
§ 4] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 235
Отсюда находим длину барьера
IF
D.33)
При фиксированной напряженности электрического
поля F с увеличением частоты длина барьера умень-
уменьшается, барьер становится «более коротким», что и
объясняет возрастание W(F, со) с ростом со.
Интересно отметить, что подбарьерная траектория
x(t) может быть получена с помощью некоторого
«эффективного» потенциала, не зависящего от времени.
В самом деле, исключая время т из уравнений D.32),
имеем
где
Обращает на себя внимание довольно простой вид
фф. Несомненно, вычисление вероятности туннелиро-
вания крайне упростилось бы, если бы имелся метод
нахождения Уэфф непосредственно, без предваритель-
предварительного решения уравнений подбарьерного движения. В на-
настоящее время такой метод неизвестен.
Зная закон изменения x(t), нетрудно найти действие
о
5 @, t0) = J (-у- + Fx cos ©f - -у-) df =
Выражение для вероятности ионизации W принимает
теперь (с точностью до предэкспоненциального множи-
множителя) вид*)
D.35)
*) Эта формула для W была впервые получена иным методом
Л. В. Келдышем A964). Здесь при выводе формулы D.35) мы ис-
использовали метод работы А. М. Переломова и др. A966Б), который
обладает наглядностью рассмотрения и быстрее приводит к цели.
236 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
Функция f(y) в D.35) является монотонно возрастаю-
возрастающей, откуда следует, что при фиксированном значении
частоты со вероятность W монотонно возрастает с ро-
2
стом напряженности поля F. При у < 1, f(y) ~ -g- у и,
как и следовало ожидать, D.35) переходит в формулу
/ 2 у? \
для постоянного поля W ~ ехр I — ~$—р-\ •
20),
Г
где kQ — целая часть величины -g—f-1, что качественно
согласуется с формулой теории возмущений порядка По-
Последует особо подчеркнуть то обстоятельство, что
как многоквантовая ионизация, так и многоквантовый
фотоэффект представляют качественно новые явления,
которые стало возможно наблюдать лишь в связи с соз-
созданием интенсивных лазерных источников света. Ста-
Старые исследования одноквантового фотоэффекта, напри-
например открытие красной границы фотоэффекта и одно-
квантовой ионизации, как хорошо известно, сыграли
фундаментальную роль в экспериментальном обоснова-
обосновании квантовой теории. Исследования многоквантовых
эффектов позволяют уточнить границы применимости
основных законов фотоэффекта — законов Столетова и
Эйнштейна: строго говоря, красная граница фотоэффек-
фотоэффекта отсутствует, однако в случае обычных источников
света вероятность фотоионизации атома при йсо < /
мала. Поэтому законы фотоэффекта в этом практически
важном случае остаются справедливыми, а отклонение
от них начинается лишь при больших интенсивностях
света.
Для простоты изложения мы привели формулу
D.35) для вероятности ионизации с учетом лишь глав-
главного (экспоненциального) члена. Более сложной зада-
задачей является получение предэкспоненциального множи-
множителя, но и это может быть сделано с помощью квази-
квазиклассического метода (В. С. Попов и др., 1967). В этой
работе также детально разобран случай ионизации
уровня с орбитальным моментом / светом, поляризован-
поляризованным эллиптически.
§ 4] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 237
Следует, однако, иметь в виду, что все эти формулы,
строго говоря, относятся к ионизации системы, связан-
связанной короткодействующими силами, например отрица-
отрицательного иона. В случае реального атома из-за дально-
действующего характера кулоновских сил движение
электрона искажается на расстояниях, больших по
сравнению с радиусом атома.
Покажем, что это приводит к сильному увеличению
вероятности процесса ионизации (А. М. Переломов,
В. С. Попов, 1967). Рассмотрим простейший случай ли-
линейной поляризации света. В этом случае частица после
прохождения потенциального барьера останавливается,
и потому W = 3. Учтем кулоновское взаимодействие по
теории возмущений (условие применимости теории воз-
возмущений будет дано ниже). Пусть потенциал V имеет
вид Fo + 61/, где 6V—малая добавка к Vq. Тогда, ис-
используя D.18а) и граничное условие Н (х, t) \twmU = Ео,
можно показать, что
о
6S = - J 61/ (г @ ) dt, D.36)
и
где интегрирование производится по невозмущенной
траектории (без учета 6V).
Эту формулу можно применять, если возмущающий
потенциал 6V мал вдоль всей классической траектории.
В нашем случае это не так: при кг .<; 1, 6V = уже
нельзя считать малой добавкой. Однако здесь можно
воспользоваться процедурой сшивания. Введем та-
такое rj,4TO 1 «С кг\ < хг0. Тогда при кг\ <ЗС кг < кг0 вну-
внутриатомный потенциал уже мал, а внешним полем еще
можно пренебречь. В этих условиях волновая функция
%(г) совпадает с асимптотикой волновой функции сво-
свободного атома:
%(r) ~exp{-ImS(r)}, Im S (г) = %г --^Чпкг. D.37)
УС
Поэтому D.36) можно преобразовать к виду
о
6S = - iX In xr, - J bV(r (t) )dt, D.38)
238 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. V
где г, — r{ti), а X — —- = -г ~ величина, обычно
У- \ 'о I
близкая к единице (здесь / и /о — потенциалы иониза-
ионизации рассматриваемого атома и атома водорода).
Интеграл в D.38) в случае кулоновского взаимодей-
взаимодействия вычисляется точно, и мы получаем
т0 + т,
6S(t0, 0) = - iX In
sh
sh1 Tn~T|
т = - Ш. D.39)
С другой стороны, из D.32) следует, что при t—*-t0
кг @ = ~~ (^о — т), а благодаря множителю -—- » 1
существует такой момент п. что (то — Ti) < 1, а иг4 > 1.
Поэтому в D.39) можно перейти к пределу ti —>то, и мы
получаем
&S(t0, 0)=-ain-^, exP{-2Im6S} = (-^JX. D.40)
Таким образом, учет кулоновского взаимодействия при-
приводит к тому, что вероятность ионизации приобретает
дополнительный множитель BFo/FJX. В реальных экс-
экспериментах (Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне, 1968) F дости-
достигает величины ~ 107 в/см и этот множитель имеет поря-
порядок 106. Заметим, что зависимость 8S от частоты выпа-
выпала, т. е. кулоновская поправка к вероятности ионизации
W(F, ©) имеет тот же вид, что и для статического поля.
Для нахождения границы применимости формулы
D.40) вспомним, что мы исходили из предположения,
что кулоновская сила мала по сравнению с напряжен-
напряженностью внешнего поля. Можно показать, что при у » 1
наибольший вклад в действие дает участок подбарьер-
ной траектории вблизи точки выхода из-под барьера.
Отношение Fc к F в этой точке траектории равно
А) =^A + ^ГТ?J. D.41)
Очевидно, что теория возмущений применима, если
эта величина много меньше единицы, т. е. при
(Yc>l) D.42)
§ 4| НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 239
Учитывая, что свет, испускаемый лазером, имеет
фиксированную частоту, перепишем условие D.42) в
виде
?)Ч(?)Ч D.43)
который показывает, что кулоновская поправка имеет
вид D.40) только для достаточно сильных полей. К со-
сожалению, такие поля еще не достигаются эксперимен-
экспериментально, и потому приведенные выше формулы для веро-
вероятности ионизации нельзя непосредственно сравнивать
с экспериментальными данными.
Попытка учета кулоновского взаимодействия вне
рамок теории возмущений была предпринята в работе
А. М. Переломова и др. A968), однако найти кулонов-
скую поправку во всей области частот света не уда-
удалось. Кулоновская поправка вычислялась также с по-
помощью диаграммной техники (А. И. Никишов, В. И. Ри-
тус, 1967). К сожалению, и этот метод сталкивается
здесь с большими трудностями и пока что не привел
к решению задачи. Вопрос об учете кулоновского взаи-
взаимодействия в области у ^>, ус является в настоящее вре-
время открытым и представляет большой интерес с точки
зрения эксперимента.
В заключение заметим, что изложенный выше квази-
квазиклассический метод применим к широкому классу за-
задач о туннелировании через барьер, меняющийся во
времени. Этим методом были решены задачи (Л. П. Ко-
това и др , 1968):
1) о развале связанного состояния в кулоновском
поле ядра (в частном случае дейтона эта задача была
решена ранее Е. М. Лифшицем A939) несколько иным
способом) и ионизации отрицательного иона электрон-
электронным ударом;
2) о влиянии магнитного поля на вероятность иони-
ионизации.
Во всех случаях, когда нахождение траектории клас-
классической частицы оказывается возможным, этот метод
быстро приводит к ответу и, что не менее важно, со-
сохраняет наглядность рассмотрения.
ГЛАВА VI
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
§ 1. Введение. Волновая функция осциллятора
с переменной частотой под действием внешней силы
Нестационарные задачи квантовой механики, как
правило, решаются приближенными методами (неста-
(нестационарная теория возмущений, адиабатическое прибли-
приближение, метод внезапных возмущений и т. д.). Лишь в
редких случаях удается решить задачу точно. Важный
пример такой системы представляет осциллятор с пере-
переменной частотой со(^), находящийся под действием
внешней силы f(t). В этом случае, как показано в дан-
данном параграфе, можно получить явное выражение для
волновой функции, причем эволюция ее с течением вре-
времени определяется величинами, относящимися к клас-
классическому осциллятору. Пусть в начальный момент
времени осциллятор находится в /г-квантовом состоянии.
Тогда в любой последующий момент времени волновая
функция осциллятора является суперпозицией т-кван-
товых состояний и возникает задача вычисления вероят-
вероятностей перехода Wmn из состояния \п) в состояние
\т). В § 2 получено явное выражение для величин Wmn
в случае осциллятора с постоянной частотой, находя-
находящегося под действием внешней силы, произвольным
образом зависящей от времени. Случай осциллятора
с переменной частотой при отсутствии внешней силы
подробно рассмотрен в § 3. В следующем параграфе по-
получено выражение для вероятностей перехода Wmn в
общем случае осциллятора с переменной частотой при
наличии внешней силы.
§ 1] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 241
В § 5 вводится и обосновывается понятие квазиэнер-
квазиэнергии системы, подвергающейся периодическому воздей-
воздействию. Для осциллятора с периодически меняющимися
параметрами спектр квазиэнергий выражается через ве-
величины, определяемые из решения классической за-
задачи. В следующем параграфе подробно разобран во-
вопрос об изменении адиабатических инвариантов для
квантового осциллятора. Наконец, в § 7 рассмотрены
гейзенберговское представление и тесно связанный с
ним вопрос о канонических преобразованиях. Приведен
простой пример унитарно-неэквивалентных представле-
представлений канонических перестановочных соотношений в слу-
случае бесконечного числа степеней свободы.
В этом параграфе, следуя работе В. С. Попова и
А. М. Переломова A969), мы найдем вид волновой
функции квантового осциллятора.
Уравнение Шредингера для осциллятора с перемен-
переменней частотой со(О> на который действует сила. f(t), име-
имеет вид*)
Зависимость со(О и f(t) от времени считаем произ-
иейьной, "предполагая лишь выполнение естественных
граничных условий
0 при *-*±оо, A.2)
<в_ при /—> — оо,
, A.20
со+ при /-* + оо к '
(пределы ю± могут быть различными).
Пусть сначала f(?)=0. Обозначая через §(/) Ре"
щение классического уравнения движения для осцилля-
осциллятора
i + a>*(/)g = O A.3)
стачалъннм условием
S(/)~ele-' при *-">-«>, A.30
•) В этой главе мы всюду используем систему единиц, в ко-
которой т = Н = J.
242 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
ПОЛОЖИМ
Тогда r(t) задает масштаб длины в момент времени t,
а величина т = y(t)/(o- — соответствующий масштаб вре-
времени. Естественно искать i|)(jc, t) в виде
¦ (*, 0 - [г (ОГ*е~1ф(х' V (У, г), у-± A.5)
(множитель г~'/г обеспечивает сохранение нормировки;
<f>(x,t)—вещественная фаза). Через %- обозначено про-
произвольное решение уравнения Шредингера для осцил-
осциллятора с частотой ш_. Подставляем A.5) в A.1) и тре-
требуем, чтобы полученное уравнение не содержало членов
~ —qJt~- Этим определяется вид функции ф(х, t)
ф(х, /)=--§?. A.6)
Уравнение для %- принимает форму
C0_
A.7)
Подставляя A.4) в A.3) и учитывая A.3'), находим
Y—тг.
откуда видно, что уравнение A.7) приводится к виду
. д%_ _ 1 Э2%_ , cojy2 __ к
l~W~ 2 з^ +—г~Х-> гДе У~ТЩ' V-7 >
Таким образом, наложенные выше условия A.8) не
противоречат уравнениям A.3), A.4). В дальнейшем
нам понадобится величина
а = ах +га2 = — *'т~7а"» а @-*•<»- ПРИ t~* — oo. A.9)
Из A.4) и A.9) следует, что
ai~Y—^г> а2 2 ||j2 ~ ~ Т' v1-!0)
§ 1] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
243
Тем самым показано, что общее решение уравнения
Шредингера для осциллятора с переменной частотой
со(/) имеет вид A.5), причем фаза <j>(x, t) = -i a2 (t) х2.
Поскольку при t-*—оо r-*l, U2-+ О, y(t) ~ a-t, то %_
в A.5) есть просто начальная волновая функция осцил-
осциллятора. Этим решается задача об эволюции произволь-
произвольного начального состояния осциллятора с переменной
частотой (o(t).
Пусть теперь на осциллятор дополнительно действует
внешняя сила f{t). Для того чтобы свести задачу к слу-
случаю / = 0, сделаем в A.1) подстановку (К- Хусими,
1953)
0, *,«лг-т)(О, A.11)
отвечающую переходу в движущуюся систему коорди-
координат. В A.11) т)(/) и a{t) — некоторые, пока неизвестные
функции. Для величины ф получаем уравнение
+ (a-|fJ+ ]¦<•>?-/л) Ф- A.12)
Отсюда видно, что функция ф(х) удовлетворяет уравне-
уравнению A.1) с / = 0 при выполнении условий
со2т) = f (t),
t
\L{t')dtf,
A.13)
где L — классический лагранжиан:
A.14)
Таким образом, преобразование волновой функции, ис-
исключающее /(/) из A.1), имеет вид
L(x)dxl. A.15)
xl. A.
244 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Комбинируя A.5) и A.15), получаем в итоге общее ре-
решение уравнения A.1)
A.16)
Величины r(t), аг@. т, r\(t) и a(t), входящие в эту фор-
формулу, определены выше.
Вещественную величину ц (t) можно выразить через
комплексную величину l(t) и через f(t). Запишем для
этого выражение для функции Грина уравнения A.13)
о». o-lwr<fc*',WIOTg(»-<0. AЛ7>
где W(l,Z*)= it* — li* — вронскиан функций- |.и ?•*,
9(/ — f) — обычная ступенчатая функция:-
9(jc) = 1 при лг>0, 9(л:) = 0 при jc<0.
Отсюда находим
ЛЮ—-JL.fcT + i'4). A.18)
Здесь введена важная для дальнейшего величина d,
равная
t
^ J A.19)
Ее физический смысл состоит; в следующем. Перейдем
от координаты х и импульса р к безразмерным - пере-
переменным
Vla~H
И ПОЛОЖИМ
A.20)
(плоскость комплексной переменной а,-называется.фа-
а,-называется.фазовой плоскостью). Состояние класеичеекаго осцилля-
осциллятора в каждый момент времени изображаете».точкой
§ 2] ОСЦИЛЛЯТОР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ 245
на фазовой плоскости. При этом d(t) представляет со-
собой смещение этой точки под действием внешней силы.
В дальнейшем нас будут интересовать вероятности
перехода Wmn при t-*+oo, когда частота со @ выходит
на постоянное значение со+. При этом выражения для
l(t) и t)(t) упрощаются. Из A.3) имеем
где С\ и Сг — постоянные, для нахождения которых нуж-
нужно решить уравнение A.3) для классического осцилля-
осциллятора во всем интервале —оо < t < +00.
Введем величину
A.21)
которая при заданном отношении <в+/ю- полностью опре-
определяет модули коэффициентов Ci и Сг:
/ -./—
A.22)
Для амплитуды вынужденных колебаний r\(t) получаем
из A.18):
t -»O
ЮТ1 + 'Я _ -i/ _^+_ [па п^\п-шл.* A.23)
где
rf= lim d(t) = Vv e19. A.24)
Как будет показано в следующем параграфе, вели-
величина v = \d\2 характеризует возбуждение осциллятора
внешней силой.
§ 2. Квантовый осциллятор под действием внешней
силы. Вероятности перехода
Рассмотрим квантовый осциллятор с постоянной ча-
частотой при наличии внешней силы f(t)
246 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Относительно /(/) мы предположим выполнение гранич-
граничных условий A.2). В этом случае при t-*±oo суще-
существуют стационарные состояния
7 m ri / ^ n B.2)
(X) ==/r_i_-i/]rY
между которыми происходят переходы. Здесь Нп (х) —
полином Эрмита.
Пусть при /-¦—оо осциллятор находится в я-кван-
товом состоянии. Тогда при t -* + оо его волновая функ-
функция имеет вид tyn(x, t) = 2 Стп<рт(х, t).
т
Вычислим вероятность перехода Wmn = |Cmn|2 из
состояния \п) в состояние |т). В принципе эта задача
могла быть решена следующим образом. В силу A.15)
мы знаем волновую функцию tyn(x, t) в любой момент
времени t, в том числе и при t-+ + оо. Разлагаем эту
функцию по волновым функциям q>m(x, t). Квадраты мо-
модулей полученных коэффициентов дают искомые выра-
выражения для вероятностей. Этот способ, однако, довольно
сложен. Решение задачи можно упростить, вводя про-
производящую функцию
1)B, X, *) = 2-^=1>|.(*. О, B.3);
где z — вспомогательная комплексная переменная, а
tyn(x, t) — то решение уравнения B.1), которое при
t-*¦—оо переходит в q>n(x, t). Из B.2) находим ^{z,x,i)
при t-+— оо:
¦ф (е, X, 0-*'Фа B. X, t) =
= (-^-)</4 ехр{ - j(cojc2- 2 У2^гхе~ш + 22е~2Ш + Ы)},
B.4)
т. е. if) (г, л, /) при t —*¦ — оо является гауссовским паке-
пакетом по переменной х. С помощью A.15) получаем
ф (z, х, t) при всех значениях t
4 (г, ^, t) == (-?¦)Д ехр { - 1 (а^2 - 2бх + с)}, B.5)
§ 2] ОСЦИЛЛЯТОР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ 247
где функции а, Ь, с имеют вид
с = юту2 + 2 ]/2<в ггув-ш + г2е~2ш + Ш - 2/а- Н)ц. j
B.6)
Рассмотрим теперь интеграл
/(«„ 22, /)- J rf^B;, ^, t)^{z2, х, t). B.7)
При t—*¦ + оо он совпадает с производящей функцией
для матричных элементов Ст„(/) = (<Рт@1фЛ0), Ст„ =
ПС@*)
—Ц-С»,,-^-. B.70
Переходя в B.7) к пределу /—*¦ + оо, получаем**)
FB,, 22) = e~v/2e^+^ ^~^, B.8)
где v определено формулами A.24)» A.19).
Вычисление вероятностей Wmn сводится теперь к раз-
разложению функции F(Zi,Z2) в ряд Тейлора. Введем новые
1 1
переменные u — —p=rzu v= г=-22, после чего функ-
Уv У v
ция F(Zi,z2) принимает вид
F(zu z2) = e-v/2e-v«">-u-v). B.9)
Из B.9) следует:
F(zx, z2) = e~^-^f-(l-urev«. B.10)
л-0
*) Заметим, что Стп есть не что иное, как матричный элемент
оператора смещения D(a) (см. формулу F.33) гл. I) при а = d,
т. е. Стп = {m\D(d)\n).
**) Интеграл B.7) легко вычисляется, так как является гаус-
совским. В F(z\, г^) опущен несущественный для дальнейшего фа-
фазовый множитель и произведено преобразование переменных
Zk->-г* ехр (/ал), где ctj и аг — некоторые фазы. Эти преобразова-
преобразования не сказываются на вероятностях ЧРщп = lCmnl2-
248 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Разлагая полученное выражение в ряд по и, находим
±{- ЮГ*&"*(„)#*, B.11)
т, я=0
где Ln(x) — обобщенные полиномы Лагерра.
На первый взгляд это выражение несимметрично по
и и v, однако, используя тождество
Ln~a (*) - 5f (- x)n~mLnm-m (х), B.12)
нетрудно убедиться в том, что на самом деле коэффи-
коэффициенты разложения B.11) симметричны по тип. Из
сравнения B.7') и B.11) с учетом B.12) находим выра-
выражение для вероятностей перехода
Wmn=^-vk\Lkn<(v)\2e-\ k = \n-m\, B.13)
полученное в работе Ю. Швингера A953). Заметим, что
явное выражение для Wmn (но в несколько ином виде)
было получено впервые в работе Р. Фейнмана A951).
§ 3. Параметрическое возбуждение квантового
осциллятора
Параметрическое возбуждение квантового осцилля-
осциллятора это возбуждение осциллятора при изменении его
параметров т = m{t) и со = <o(t). Общий случай пере-
переменных во времени m(t) и (n(t) легко сводится к случаю
т = const с помощью замены f = —^т-, со' = тса.
J т (г)
Уравнение A.1) с / = 0 имеет вид
'•1--Т0 + Т«2»^. C.1)
Относительно <o(t) будем предполагать лишь выполне-
выполнение граничных условий A.2'). В этом случае при
t—*±oo существуют стационарные состояния
I (*. ffl) =
C.2)
$ 31 Параметрическое возбуждение осциллятора 249
между которыми происходят переходы. Мы вычислим
вероятность перехода Wmn = | Стп |2 из состояния $п
в состояние <р?>. Здесь С^ = <ф?> | %), г|эп {x, t) — со-
состояние, переходящее в tpJf'C*» 0 при /-*>—«>.
Как и в предыдущем параграфе, решение задачи
можно упростить, вводя производящую функцию
1n{x,t), C.3)
/1=0
где z — вспомогательная комплексная переменная.
Из C.2) находим
г|:B, х, t)^^ {z, x,t) =
<-»-оо -
= (-^-)<Л ехр { - у (<b_jc2 - 2 /2©Ггхе~ш +
+ Л""*-'+*»_*)}. C.4)
т. е. -ф является гауссовским пакетом по переменной х.
С помощью A.5) находим ty(z, x, t) при всех значе-
значениях /
Мр(г, х, 0 = (-^)</4exp{--i (ax2-2bx+c)\, C.5)
где функции а, Ь и с имеют вид
а==_/1, 6=]/2^Г|, c = -^22 + ln|(f), C.6)
\{t) определено в A.3), A.3').
В частности, разлагая C.5) по степеням г, получаем
вид волновых функций г|эп (х, t) в любой момент вре-
времени:
(.
ах*
Заметим, что ai(t) = Rea(t) ~ <в_||(/)|-2; этим обеспе-
обеспечивается правильная нормировка волновых функций
250
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Рассмотрим теперь интеграл
/(г,, г2, t) = J dx$l+ {г\, x, tL (z2, x, t). C.8)
При t-+ + oo он совпадает с производящей функцией
для матричных элементов
lim / {zb z2,
00
=r. C.9)
Интеграл в C.8) является гауссовским и легко
"т
45
аз
0,2
0,1
И/я»
0,20
0,15
0,10
0,05
10
i
20
~~т 0
\\
\
т,
б)
т;
Ютг
I
го зо
Рис. 19.
в)
вычисляется. Переходя к пределу <-
примечание**) на стр. 247, получаем
m
и учитывая
C.10)
Параметр р определен в A.21). При этом значение р
целиком определяется видом <a(f) и не зависит от внеш-
3]
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА
251
ней силы. Вычисление коэффициентов Стп свелось, та-
таким образом, к разложению функции GBi,z2) в ряд
Тейлора. Отсылая за деталями вычислений к работе
В. С. Попова и А. М. Переломова A969), приведем окон-
окончательную формулу для вероятностей перехода
I m-n I
C.11)
1,0
Здесь п<= min(m, п), п> = тах(т, п), Р™{х) — при-
присоединенная функция Лежандра. Таким образом, веро-
вероятность перехода Wmn полностью определяется одним
параметром р, для нахожде-
нахождения которого достаточно ре- л
шить уравнение A.3) для
классического осциллятора.
Графики вероятностей пе-
перехода при различных зна-
значениях п и р приведены на
рис. 19:
а) для п = 0, р = 0,75;
б) для п = 6, р = 0,11;
в) для п = 20, р = 0,12.
Отметим некоторые осо-
особенности выражения C.11). О
1. Переходы совершают-
совершаются между состояниями
\п, ©_) и \т, ©+), для кото-
кото0.5
Рис. 20.
\ ) \ +)
рых числа тип имеют одинаковую четность. Это
видным образом связано с четностью потенциала
2. Особый интерес представляет величина Д„ =
= 1 — Wnn, дающая вероятность того, что осциллятор
изменит свое начальное состояние. Графики функций
Ал = Ал(р) приведены на рис. 20. Из этого рисунка
видно, что адиабатическое приближение для вероятно-
вероятностей перехода Wmn справедливо лишь при выполнении
условий: р< 1, map «Cl.
3. Выражение C.11) для Wmn сильно упрощается
при п = 0,1 (в этих случаях переходы происходят
252 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
только вверх, т>гс):
W2n, о - ^ГЩТ V 1 — Р Р t >У2я+1,1 = 2м (га!J ^ ~р) Р#
C.12)
4. В противоположном случае, когда п ~^> 1 (и р не
слишком мало), в C.11) можно подставить квазикласси-
квазиклассическую асимптотику для функций Лежандра. Считая т
непрерывной переменной, преобразуем C.11) к виду
ТОТ 4 COS Ф/nn/q I q\
г
я у (m — mj) (m2 —
где i
а Фшп — быстро осциллирующая фаза. Множитель 4.в
C.13) обусловлен тем, что величина т изменяется на 2,
km =2 (см. п. 1); с учетом этого распределение Wmn
нормировано на единицу. Усредненное по осцилляциям
распределение вероятностей показано на рис. 19, б и в
штриховой линией. Распределение вероятностей перехо-
перехода Wmn в основном сосредоточено в области Ш\ < m <
< тг (для того чтобы разность гпч — Щ\ ^> 1, требуется
п2р ^> 1). При тп < rrii вероятности Wmn экспоненциаль-
экспоненциально падают с уменьшением ш; аналогично обстоит дело и
при m > m%. Эти области значений тп вносят пренебре-
пренебрежимо малый вклад в полную вероятность. Максималь-
Максимального значения вероятности перехода Wmn достигают при
т, близких к mi и Шг (см. рис. 19). Сравнение с форму-
формулами C.12) и C.13) показывает существенное различие
в поведении вероятностей Wmn при я~1 яп>1. Это
различие ясно видно из рис. 19, а, в.
5. Параметр р, являющийся характеристикой клас-
классического осциллятора, совпадает с квантовомеханиче-
ским коэффициентом отражения от одномерного потен-
потенциального барьера, для которого импульс частицы
к(х)=(й(х). Это обстоятельство, на которое обратил
внимание Л. П. Питаевский, позволяет использовать
для нахождения р уже известные результаты квантовой
механики. Подробнее эта аналогия рассмотрена в сле-
следующем параграфе (см. формулы D.12), D.13)). Здесь
мы ограничимся несколькими примерами, когда уравне-
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА
253
ние A.3) решается точно, а также рассмотрим особенно
интересный случай параметрического резонанса.
А. ПуСТЬ 2 2 2
со2 @ = со2, + "+ ~*w + {eyt "].ytJ C.14)
(такая зависимость (oz(t) отвечает известному из кван-
квантовой механики потенциалу Эккарта; графики этой
функции при различных значениях параметра а приве-
приведены на рис. 21). При
этом а > — ^—~ J »
иначе со2 (t) принимает
отрицательные значе-
значения. Функция (n(t) об-
обладает минимумом при
—uq < а <—а\, мак-
максимумом— при а>а\,
2l при |a|^aj моно-
монотонно изменяется от со-
до со+ (здесь
ао =
а,
Рис. 21.
Коэффициент отражения для C.14) равен (К. Эккарт,
1930)
ch(a— в) + cos б
со_
cu+
Б. С помощью C.14) можно совершить непрерывный
переход из адиабатической области к резкому скачку
(o(t). Полагая a = 0, имеем
_ rsh(a-P)/2-p _
Р =
Lsh(a+P)/2j
при
<*>±.
I Ш+ + со- ) I
C.16)
при у > со±.
254 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Значение р = I m +@ 1 соответствует резкому скач-
скачку частоты и может быть получено методом внезапных
возмущений.
В. Как видно из формул теории возмущений, замет-
заметного возрастания р можно ожидать в том случае, когда
спектр со (t) содержит компоненту с удвоенной частотой
2<во. Это случай параметрического резонанса. Полагая
©2(*) = ©§[l.+ 2esinB + e)a>,/], где | е|, |б| < 1, находим
(здесь м-=-^ |/| е2 - б21, т = ц©0*)- При |е|>|б| (об-
(область неустойчивости для уравнения Матье) р монотонно
возрастает от 0 до 1. При |е|<|6| решение носит коле-
колебательный характер, и максимальное значение ртах =
¦г-) <1. В обоих случаях возможно сильное возбу-
возбуждение осциллятора (р ~ 1) при столь угодно малых
значениях коэффициентов е и б. Этот пример может
служить моделью квантового параметрического усили-
усилителя (с одной модой).
Г. Подчеркнем, что в формулу C.11) для Wmn входит
лишь модуль отношения Сг/Ci, но не его фаза. Так бу-
будет не всегда. Рассмотрим, например, эволюцию коге-
когерентного состояния (подробнее о свойствах когерентных
состояний см. § 6 гл. I)
^ C.18)
I а) = а|за(х) =
/4{i[/^: ]} C.19)
Сравнение с C.4) показывает, что $а(х, t -*¦—оо)
с точностью до постоянного множителя ехр ( — -^ \ a p]
совпадает с производящей функцией t|)(a, x, t—*¦ — оо).
§ 3] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА 255
Поэтому и при любом t
Фв(*,0-е'т1в|*(а, *, t), C.20)
где а|)(а, х, t) дается формулой C.4). Поскольку a(t) Ф
Ф со(^) (даже при t—*oo), то состояние tya(x,t) при
t Ф — оо уже не является когерентным. Распределение
по уровням при t —»• + оо становится стационарным:
W0(a) - / П^ехр {- [1 - / p"cos 2(Ф - б)] г2},
Здесь Нт(х) —полином Эрмита,
/ C.22)
В отличие от C.11), распределение Р?т(сс) не опреде-
определяется одним лишь р, но зависит и от фазы отношения
Сг\С\. В этом проявляется квазиклассичность когерент-
когерентного состояния.
В адиабатической области (р—>0) эта формула
упрощается:
[ Bi^)] C.23)
Д. В качестве последнего примера рассмотрим осцил-
осциллятор, который при t = 0 находится в состоянии тепло-
теплового равновесия при температуре Г и потому описывается
матрицей плотности
pmn@) = (l-S)Srt6mn, ? = exp(-|?), C.24)
k — постоянная Больцмана (распределение Планка).
В этом случае при t —»• + оо населенности Wn равны
-а-~
C.25)
256 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Поскольку начальное состояние C.24) является некоге-
некогерентной смесью гс-квантовых состояний, то фаза отно-
отношения Cz/Ci в C.25) не входит.
§ 4. Осциллятор с переменной частотой под действием
внешней силы, вероятности перехода
Рассмотрим общий случай, когда на осциллятор с пе-
переменной частотой со @ действует сила f(t). Уравнение
Шредингера в этом случае имеет вид A.1). Относитель-
Относительно величин со @ и f(t) предположим лишь выполнение
естественных граничных условий A.2) и A.2'). В ос-
остальном зависимость частоты co(t) и силы f(t) от време-
времени может быть произвольной. Для того чтобы получить
явное выражение для вероятностей Wmn, воспользуемся,
так же как и в предыдущих параграфах, методом про-
производящих функций. Пусть фп(лс, t) — то решение уравне-
уравнения A.1), которое при t-+—оо переходит в фп(*, t; со-),
а г — вспомогательная комплексная переменная. Обра-
Образуем производящую функцию
п{х,г). D.1)
Тогда с помощью формулы A.16) нетрудно найти
t|)(z, х, t) в любой момент времени t
у\> (г, х, t) =
. D.2)
Здесь l(t) и r\(t)—решения уравнений движения для
классического осциллятора, определенные в A.3),
A.3'), A.13); y(t) — aTgl(t), величина a(t) дается
формулой A.13).
Рассмотрим интеграл
z2; t) = J dxVa+ (zv x, t) ф (г2, х, t). D.3)
§ 4] ОСЦИЛЛЯТОР С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ 257
При t—>+ оо он совпадает с производящей функцией
для матричных элементов Стп = {т, со+j грп @ )
lim / (zu z2; t) =
m, n=0
Опуская, как и прежде, несущественный для дальней-
дальнейшего фазовый множитель и производя преобразование
переменных Zh-*Zk.etak, где ai и аг—некоторые фазы,
после ряда преобразований получаем следующее выра-
выражение для H{z\,z2) (A. M. Переломов, В. С. Попов,
1970):
{|A -Урсоз2Ф) +
2] |. D.5)
Параметр р в D.5) дается формулой A.21). При этом
0 ^ р < 1 и значение р целиком определяется видом
u)(t) и не зависит от внешней силы. Величина v = \d\2
характеризует степень возбуждения осциллятора внеш-
внешней силой и определяется формулами A.19), A.24).
Фаза ф имеет следующий вид:
Ф = ^-Р, D.6)
где 6i, 62 и р — фазы величин Си С2 и d.
Вычисление вероятностей Wmn сводится теперь к раз-
разложению функции H(zi,z2) в ряд Тейлора; коэффициен-
коэффициенты разложения Стп можно выразить через полиномы
Эрмита от двух переменных. Согласно справочнику
Г. Бейтман, А. Эрдейи A953В) эти многочлены опреде-
определяются так:
!2 ^
2 atl (gtz, - \ ztz,) I = ? ^-^ Hnini (yv y2). D.7)
I i, t-l j /il/u
9 А. И, Базь и др.
258 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
В нашем случае
[ГЛ. VI
D.8)
(заметим, что а2 = /, а-1 = а). Отсюда находим оконча-
окончательное выражение для вероятностей перехода
™ тп
и у2) |2ехр ( - v(l - Kpcos2cp)}. D.9)
Приведем в явном виде Wmn для простейших значений
man:
^оо - l^P exp { - v(l - V? cos 2Ф)},
Wl0 - v A - p) Гоо, W01 = v (l - 2 Kp cos 2Ф + v2p)
D.10)
Если в D.7) положить одну из переменных Z\, z? рав-
равной нулю, то это выражение упрощается и принимает
вид производящей функции для обычных полиномов
Эрмита. Отсюда следует, что если при t ~* — оо осцил-
осциллятор не возбужден (л = 0), то величины Wm0 выра-
выражаются через обычные полиномы Эрмита:
D.11)
Xexp{-v(l -
Аналогичная формула имеет место для WOn:
2
X
W,
On
2пп\
гч/1/2
_
X ехр { - v A - Vp cos 2ф)}. D.1
Из явного вида формул D.11), D.1 Г) видно, что,
вообще говоря, Wo п Ф wn 0. В то же время при v = 0,
т. е. при отсутствии внешней силы величины Wmn сим-
§ 4] ОСЦИЛЛЯТОР С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ 259
метричны по т и п. Заметим, что из общих принципов
квантовой механики следует, что вероятности перехода
Wmn симметричны по начальному п и конечному т со-
состояниям, если <в(—t) = со @- Как видно из C.11), фак-
фактически равенство Wmn = Wnm в этом случае выполняет-
выполняется при произвольной зависимости со от t. Причину этой
дополнительной симметрии можно понять, если, следуя
Л. П. Питаевскому, связать р с коэффициентом отраже-
отражения от одномерного барьера. Для этого образуем из ?(f)
и |*@ линейную комбинацию %i(t) со следующими свой-
свойствами:
\1а* 1ш* при /->-оо,
. ^ D-12)
при t-> + оо.
Отсюда видно, что |i(?) совпадает с волновой функцией
одномерного уравнения Шредингера, если заменить t на
х, а со(^) на k(x). Коэффициенты R и D имеют смысл ам-
амплитуд отраженной и проходящей волн. Из сравнения
D.12) с A.3") находим
С\ — 1 _ | ^ р > С = j __ | ^ р , р = | R |2. D.13)
Таким образом, решение D.12) соответствует волне,
падающей на барьер слева. Обращение времени t -*¦ — t
отвечает переходу к волне, падающей справа. Обозначая
коэффициенты отражения для этих двух волн через р и
р', имеем Wmn(p) = Wnm(p'). Но, как известно
(Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1963), р' = р, отсюда и
вытекает дополнительная симметрия вероятностей Wmn
по индексам т и п. Из формул B.13), B.12) видно, что
величины Wmn симметричны пои и л также при р = 0.
Если же v Ф 0 и р ф 0, то для того, чтобы выяснить,
когда такая симметрия существует, рассмотрим случай
D.14)
Уравнению A.3) удовлетворяет при этом не только ?@»
но и 1(—/). Отсюда следует, что ?(—t) является линей-
линейной комбинацией %{t) и \(t) *. Нетрудно проверить,
устремляя, например, t к —оо, что
D.15)
260 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Устремляя теперь в D.15) t к +оо, получаем следую-
следующие соотношения между коэффициентами:
С, (С2 + Сз") = 0, |C,|2 + CJ;=1. D.16)
Из D.16) следует, что С% должна быть чисто мнимой ве-
величиной. Поскольку /(—t) = f{t), то в выражение A.19)
для d при t—* + оо входит величина l(t) + g(—t) —
= A — Cz)l(t) +Cil*(t). Аргумент этой величины
|C,] D.17)
оказывается не зависящим от времени. Отсюда находим
f i 1] D.18)
и
Ф = -^[argC, + argC2]-p = y[argC2-arg(l -С2)-я].
D.19)
2
С 2
Заметим, что из определения р= -^- и D.16) следу-
Vo
ет, что С2= ±/—===• • Подставляя это значение С% в
у \ -р
D.19), приходим к равенству
cos2<p= |/p- D.20)
Таким образом, в рассматриваемом случае переменные
р и ф уже не являются независимыми, а вероятности
Wmn определяются уже двумя величинами р и v и сим-
симметричны по т и п. Заметим, что во всех остальных слу-
случаях симметрия по т и п заведомо нарушается.
§ 5. Квантовый осциллятор и адиабатические
инварианты
Начнем, следуя П. Парадоксову A966), с рассмотре-
рассмотрения классического осциллятора х + a>2(t)x = 0, частота
которого со(?) медленно меняется с течением времени.
Это может быть, например, тяжелый маятник с медлен-
медленно из_меняющейся длиной подвеса /. Его частота
со— Vg/l, где g —ускорение силы тяжести. В квантовой
§ 5] АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 261
теории его энергия принимает значения (п + 1/2) им, где
п — целое число, номер состояния.
Очевидно, что при медленном изменении система, на-
находившаяся в /г-квантовом состоянии, останется в /г-м
состоянии и номер п не изменится. Это формулировка
адиабатической инвариантности в квантовой механике.
Она справедлива и при п — 0 или п — 1 для молекулы и
для п = 1030 (порядок величины п для маятника стенных
часов).
Ясно, что независимо от значения постоянной й и
конкретной величины п при адиабатическом изменении
со получается Е = const ю.
В классической механике доказательство этого равен-
равенства сложнее. При произвольном виде потенциала более
сложном чем а>2х2/2, можно применить то же самое рас-
рассуждение, только номер уровня надо будет искать иначе.
Ограничимся одномерной задачей. Стационарные волно-
волновые функции финитного движения (т. е. колебаний) ве-
вещественны. Волновая функция п-го состояния имеет п
узлов, т. е. п точек обращения в нуль. Это значит, что
в той области, в которой происходят колебания, уклады-
укладывается п полуволн.
Длина дебройлевской волны равна 2пЬ/р, где р—
импульс (р = mv), а число волн в сантиметре равно
р/2ла. При колебаниях импульс не остается постоянным,
значит, надо интегрировать при подсчете числа волн,
вкладывающихся на длине, от одной точки до другой:
Хг
= ~^ J pdx.
Х\
Нам нужно найти число узлов, т. е. число полуволн,
которое, очевидно, вдвое больше. Принято не просто
умножать интегралы на 2, а писать номер уровня в виде
ф р dx,
где интегрирование проводится по замкнутому циклу,
В данном случае цикл — это путь от Х\ до xz плюс об»
ратный путь от х% до х%, так что интеграл
262 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Итак, адиабатическим инвариантом классической ме-
механики при медленном изменении потенциала является
величина ф р dx, поскольку й и п постоянны. Так кван-
квантовая механика помогает понять выводы классической
механики.
Исторический ход развития теории адиабатических
инвариантов был, однако, совсем иным. Адиабатические
инварианты классической механики были известны за-
задолго до создания квантовой теории. В «старой» кван-
квантовой теории Бора — Зоммерфельда (до работ Гей-
зенберга и Шредингера) использовали классические
адиабатические инварианты именно потому, что их раз-
размерность (импульс, умноженный на координату) совпа-
совпадает с размерностью постоянной Планка.
Адиабатическая инвариантность важна не только для
колебательных систем. Важнейшим примером является
движение заряженной частицы в магнитном поле; мы
ограничимся ссылкой на очень наглядную, ясно изло-
изложенную работу Т. Нортропа и Э. Теллера A960).
Отметим, что квантовые представления позволяют
лучше понять также условия применимости и точность
выполнения адиабатической инвариантности. Так, в слу-
случае гармонического осциллятора воздействие, заключаю-
заключающееся в изменении со с течением времени, симметрично
по отношению к началу координат (замена х на —х).
Ясно, что такое воздействие не меняет четности функ-
ций,ч а следовательно, номер уровня п может меняться
только на 2, 4, ...
Отсюда ясно, что вероятность переходов, т. е. нару-
нарушение адиабатической инвариантности (равносильной
п = const, см. выше) зависит от фурье-компонент часто-
частоты 2о> в законе изменения u>(t), поскольку система по-
потребляет энергию порциями при переходах /г—» п ±2.
Отсюда следуют оценки зависимости точности инвариан-
инварианта от вида (a(t). Здесь же содержится и параметриче-
параметрический резонанс; если м(/) зависит от времени по закону
о) = «о A + h cos 2®ot) переходы и накачка энергии осо-
особенно интенсивны.
На этом мы закончим качественный разбор адиаба-
адиабатических инвариантов и перейдем к количественным
§ 5] АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 263
оценкам. В квантовом случае естественно определить
адиабатический инвариант / как среднее значение опе-
оператора H(t)/(a(t):
если
п
Аналогом адиабатических инвариантов, как уже го-
говорилось выше, является также распределение по уров-
уровням энергий. Вопрос о точности сохранения адиабатиче-
адиабатических инвариантов в квантовом случае рассматривался
в работах А. М. Дыхне A960) и X. Льюиса и В. Ризен-
фельда A969). Использование явной формулы C.11)
для вероятностей перехода для квантового осциллятора
позволяет уточнить их результаты.
Рассмотрим сначала случай, когда первоначальное
состояние является /г-квантовым. В адиабатическом слу-
случае, когда (a{t) —медленно меняющаяся функция, ана-
аналитическая в некоторой полосе |Im/|<le, величина р
экспоненциально мала. При этом из C.11) получаем
E.2)
Главные члены в этом, разложении были получены
А. М. Дыхне A960). Поправка имеет порядок п2р,
поэтому с ростом начального возбуждения п точность
формул E.2) быстро ухудшается. При п ^> 1 может осу-
осуществиться случай, когда р< I, а п2р ^> 1, тогда
в E.2) нужно произвести суммирование всех членов
ряда, что дает
У I (V^ I2 E.3)
(условия применимости этой формулы т, /г^>1).
Если тпр •< 1, то E.3) автоматически переходит в E.2).
264 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ, VI
В простейшем случае m = n формулу E.3) можно
обобщить на произвольное значение р. Применяя асимп-
асимптотику Хильба (см. Г. Бейтман, А. Эрдейи, 1953А) для
Pn(cos0), находим из C.11)
W =
е
E.4)
Здесь п ~> 1, a p — sin2 0 — любое.
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда со-
состояние осциллятора задается матрицей плотности p(t).
Запишем матрицу плотности начального состояния в фор-
форме так называемого Р-представленйя (условия, при
выполнении которых можно использовать это представ-
представление, обсуждаются в книге Дж. Клаудера и Е. Судар-
шана A968)):
p@)=J>aP(a)|a)(a|, E.5)
где Я (а)—весовая функция, [а) — волновая функция
когерентного состояния. Тогда при любом t
p(/)»J d2aP(a) |фв(t)) (i|)a @ I, E.6)
где i|)a@ определяется формулами C.20) и C.4). От-
Отсюда для произвольного оператора А имеем
. E.7)
Таким образом, достаточно усреднить А по состояниям
| i|)a @ )• После несложных вычислений находим с по-
помощью E.7)
E.8)
(здесь п± — средние значения А = а+а при t—*¦ ± ею, для
состояния tya(t), а = \a\eW, а ф определено в C.22). Из
E.7), E.8) следует
§ 5] АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 265
где /± — значения адиабатического инварианта / при
t-+ ± оо
А = (а+2) = J d2aP (а) а*", 5 = /_ = J d2aP(a) (|a\2 + j)-
E.9')
Из соотношения неопределенностей вытекает, что | Л|<^
^ УВ2 — 1/4. Поэтому величина е всегда заключена
в пределах
Если начальное состояние стационарное, то Р(а, to) —
= P{\ol\,U), откуда А = 0; следовательно,
1\ , .
'2'/ EЛ1)
(независимо от конкретного вида этого состояния).
В частности, формула E.11) справедлива для всех
/г-квантовых состояний. При п = 0, 1 в этом нетрудно
убедиться непосредственно из распределений C.12).
Как видно из E.10) и E.11), в среднем /+ > /_. При-
Причину возрастания / легко понять, рассмотрев осцилля-
осциллятор с медленно меняющейся частотой. Пусть м =
= соо + Дсо, Дм «С ©о- Усредняя это равенство по невоз-
невозмущенным волновым функциям, учтем, что, согласно
теореме вириала, р2 = м2,*2 = соо/0, откуда
/ = i
Аналогичным способом можно находить средние и для
операторов, более сложных чем п. Мы приведем выра-
выражение для дисперсии Д/г^ = (п2 — п2). При этом, посколь-
поскольку общая формула имеет несколько громоздкий вид,
ограничимся случаем стационарного состояния Р(а, *0) —¦
= P(\a\,to). Тогда
- ' +У tut + (TJ^l + й- + !]• E-12)
266 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Если изменение частоты а>A) происходит адиабатиче-
адиабатически, то р—>¦ 0. В этом случае формулы E.9), E.12) при-
принимают более простой вид:
% = Дп2_ +2рC Ап2_ + nl + п_ + 1),
E.13)
где R = Yре2'6 — коэффициент отражения.
Заметим, что е, вообще говоря, не определяется од-
одним лишь коэффициентом отражения R, но зависит и от
выбора начального состояния. Так, если взять в качестве
начального состояния осциллятора когерентное состоя-
состояние | а), где а = | а | ei<p, то при | а | > 1
В 1+2|а|2 е е
е = - 2 V'p" cos 2 (б - ф).
§ 6. Квазиэнергия системы, подвергающейся
периодическому воздействию
Рассмотрим квантовую систему, на которую дей-
действует сила, периодически меняющаяся во времени.
Обычно в качестве нулевого приближения рассматри-
рассматривается система с потенциалом, не зависящим от вре-
времени; состояния такой системы, обладающие определен-
определенной энергией, образуют полный ортонормальный набор.
Зависящая от времени часть гамильтониана Hi >C Но
рассматривается как возмущение, вызывающее переходы
между собственными состояниями гамильтониана Но.
Однако если Я4 не мало, то целесообразен иной под-
подход (Я. Б. Зельдович, 1965).
Согласно теоретико-групповым соображениям, если
Н = Но + Hi периодически зависит от времени, то среди
решений уравнения Шредингера
? H(t + T) = H(t) F.1)
можно выбрать i|)a@ такие, что
*,(< + П-е"Ч@. F-2)
§ 6] КВАЗИЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ 267
По аналогии со случаем не зависящего от времени Н
естественно назвать квазиэнергией *) величину
е = —, Г- — . F.3)
Состояния такого типа в случае периодически завися-
зависящего от времени H(t) играют ту же роль, что и стацио-
стационарные состояния с определенной энергией в обычной
теории.
При этом, однако, коэффициенты разложения задан-
заданной волновой функции i|)(x) по состояниям i|)a(x, t) за-
зависят от времени t, меняясь периодически (с перио-
периодом Т). Напротив, если взять произвольное точное ре-
решение г|з(х, t) уравнения Шредингера с данным H(t), то
его коэффициенты разложения по \\>a(x,t) постоянны.
Решения, соответствующие разным квазиэнергиям,
как и в теории с постоянным Н, ортогональны между
собой. В этом легко убедиться, заметив, что для любых
двух решений i|)i(x, t) и i|J(*, t) уравнения Шредингера
с произвольно зависящим от времени гамильтонианом
H(t) в силу его эрмитовости скалярное произведение
(¦фг(О. tyi(t)) не зависит от времени. Если в качестве
волновой функции выбрать состояние с определенной
квазиэнергией е, то ее можно записать в виде
ш
%(x,t) = ue(x,t)e H, ue(x, t + Т) = и,(х, t). F.4)
Поэтому для двух квазиэнергий ei и ег, если ег — ei Ф
Ф тйсо, где т — целое число, независимость от времени
требует ортогональности функций г|з8, (t) и ij)8!@ в лю-
любой данный момент времени t:
(*, *) = 0. F.5)
Для случая ег — ei = тйсо заметим, что суперпози-
суперпозиция таких решений есть также решение с той же ква-
квазиэнергией (определенной, как легко видеть, с точно-
точностью до аддитивной постоянной mba). Благодаря этому
*) Сравните также с понятием квазиимпульса частицы в перио-
периодическом (в пространстве) потенциале кристаллической решетки.
268 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
фе, и 1|)в8 при ег = ei + тЪт всегда можно ортогонали-
зовать в полном соответствии со случаем постоянного Н.
Приведем простой пример состояний с определенной
квазиэнергией. При рассмотрении ионизации атомов в по-
поле сильной световой волны (Л. В. Келдыш, 1964) конеч-
конечное состояние электрона описывается волновой функцией
1
, F.6)
где n(t) =р — A{t), A(t)—векторный потенциал,
F{t)= гг.— напряженность электрического поля (ко-
(которое считается однородным). Состояния1^ при F —* О
переходят в обычные плоские волны, а в периодическом
поле F(t) описывают движение со средним (по периоду
Т) импульсом р и квазиэнергией еР:
т
(р2 + р1)> />о=т I Л2С)dt> <6J)
(член plj2 соответствует средней кинетической энергии
осцилляции в поле F(t)). Явное нахождение \\>Р и ер
в этом примере возможно по той причине, что мы пре-
пренебрегли атомным потенциалом V(r), действующим на
электрон помимо внешнего поля F(t). В противном слу-
случае определение спектра квазиэнергий представляет со-
собой сложную задачу, которая рассматривалась лишь
в рамках теории возмущений (В. И. Ритус, 1966). Мы
покажем, что для гармонического осциллятора спектр
квазиэнергий может быть найден точно (А. М. Перело-
Переломов, В. С. Попов, 1969).
Рассмотрим сначала осциллятор с постоянной часто-
частотой мо, на который действует периодическая внешняя
сила f (t):
^^ф, /(/+г)-/(/). F.8)
Общее решение этого уравнения дается формулой A.15).
Чтобы получить из A.15) состояние с определенной ква-
§ 6J КВАЗИЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ 269
зиэнергией, наложим на r\(t) требование периодичности
(этим r\(t) определяется однозначно), а в качестве
ф(х, t) возьмем волновую функцию /г-го уровня. Тогда
= q>n(x —r\(t), ®о)ехр
еп = (л + у) «о - 4г J f it) Ц (О Л, F.10)
. F.11)
Состояния ij)n(*, 0 образуют полную систему функ-
функций и при данном t взаимно ортогональны. Физически
они соответствуют осциллятору, мгновенное положение
равновесия которого находится в точке r\(t) и периоди-
периодически колеблется.
Из F.10) следует, что спектр квазиэнергий остается
эквидистантным, испытывая лишь общее смещение Де.
Полагая
!_п = Гп, F.12)
находим
оо
Ж~1 ! F 12
;Ц-. F.13)
о
В частности, при f(t) = f cos at, Де = —^ 5Г ^ этом
4(ш -ш0)
случае Де < 0 при м < й0, Де > 0 при щ > шо. Сдвиг
Де при (и —>¦ 0 соответствует эффективному понижению
дна потенциальной ямы*). В случае высоких частот
¦» f2
(ft)v$>(uo) имеем: Ae=-j-r> что соответствует кинетиче-
кинетической энергии быстрых осцилляции частицы.
*) Сдвиг уровней осциллятора в постоянном поле F равен
Де = —F2l2®0. Полагая F(t) = f cos со t и усредняя по периоду, на-
находим в адиабатическом приближении: Де = —/2/4g>q.
270 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Более интересен случай осциллятора с переменной
частотой: (a(t + T) =a)(t). Уравнение C.1) имеет реше-
решение вида ч|) = ехр < - у (ах2 — 2Ьх + с) J-, если а, Ь и с
удовлетворяют уравнениям (К. Хусими, 1953)
ia = а2 — и2, ib = ab, id = b2 — a. F.14)
Положим
a = ai + ia2, b = ]/2a[ze-^, с =z2e~2^-^\n a, + iy, F.15)
где z — вспомогательная переменная, а au a2, у — неиз-
неизвестные функции времени. Уравнения для них следуют
из F.14):
Удобно выразить аи а.г, у в параметрической форме.
Пусть li(t), |г@ —независимые решения классиче-
классического уравнения движения | + ш2(/)| = 0. Тогда
s' L/ :'™ 3i/ F.i7)
Я() (z,
)'/4{f V]}. F.18)
Но, с другой стороны, i|)B, x, t) является производящей
функцией
Ф (х /)
где\|з„(х,/) — решение уравнения C.1) с со(t + Т) = a(t).
Отсюда получаем
^ (х, t) = Фл(дс, а, @ )ехр{ - -|-[а2х2 + Bл + 1) Y] }. F.19)
Покажем теперь, что %i{t) и %s.{t) можно подобрать та-
таким образом, чтобы состояния tyn(x,t) имели определен-
§ 61 КВАЗИЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ 271
ную квазиэнергию. Согласно теореме Флоке (см., напри-
например, «Механику» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, 1958)
6,@-e/w«!@, Ы0 = е-ш«2@ F.20)
(«ь «2 — периодические функции с периодом Т). При
этом К может быть либо вещественным (зона устойчи-
устойчивости), либо чисто мнимым (зона неустойчивости). Под-
Подчеркнем, что для определения X достаточно решить урав-
уравнение A.3) для классического осциллятора. В зоне
устойчивости %2 (t) = I* (t) и функции fli, 02, y веществен-
вещественны, причем
= а, @, a2(t + T) = a2(t), y(t+ T)
F.21)
a
X _ |/,,(,) Л-J^/* F.22)
О О
(Im (!,?*) не зависит от времени).
Заметим теперь, что волновая функция F.18) имеет
смысл лишь при а\ > 0, а знаки а\ и X совпадают.
Поэтому в качестве gi(^) необходимо выбрать решение
с К > 0. Из F.19) и F.21) получаем, что состояния
\!рп(х, t) имеют квазиэнергию
+ 1)а,. F.23)
Спектр квазиэнергий эквидистантный, но величина
«кванта» К сложным образом зависит от вида co(t). Для
нахождения X достаточно решить уравнение движения
классического осциллятора с частотой <»(/).
Переход в зону неустойчивости совершаем с помощью
F.19). Нетрудно показать, что функция вида F.19)
удовлетворяет уравнению C.1), если
(а п v
В зоне неустойчивости ?4(/) и &(t) вещественны. Поло-
Положим поэтому а4 = —ia, у = —iy' и сделаем замену
272 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
(п + 1/2) —>/v. После этой замены эффективный потен-
потенциал в F.24) принимает вид V (х) = —г а2*2, что при-
приводит к непрерывному спектру — оо < v < оо. Каждое
собственное значение двукратно вырождено.
Приведем явное выражение для волновых функций
с квазиэнергией ev = v\X\:
Т<г> = ехр [ - у а2х2 - /vy'] Ф1** (х, t),
ф^+) = ^+,vU^2ae *)> F.25)
Ф(Г} = D 1
Здесь D_i/2+IV—функции параболического цилиндра
(Г. Бейтман,.А. Эрдейи, 1953); при этом <pi+> отвечает
волне, падающей слева *):
\\e 2 + Axe 2 \x\ 2 при х-*— оо,
{ ix, \ 'F.26)
+lv
Значение Я определяется тем, что ^(t + Т) = еЯг ?i(/)-
Волновые функции ^(х, г1) не отвечают связанному
состоянию, что качественно согласуется с поведением
классического осциллятора в зоне неустойчивости (не-
(неограниченный рост амплитуды колебаний l-(t) при па-
параметрическом резонансе). Следует отметить, что мгно-
мгновенное значение потенциала V(x, t) (или его среднее по
периоду) имеет вид V =-^kx2, с ?>0, что в стационар-
стационарном случае приводит лишь к дискретному спектру.
Поэтому возникновение непрерывного спектра обязано
исключительно временным осцилляциям V(x,t).
*) При дг->±оо \Wv(x,t)\ ~\x\-lk, что можно понять из
простых классических соображений. В области неустойчивости
x(t) ~ e *, и время пребывания частицы на отрезке dx равно
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 273
Особая ситуация возникает на границе между обла-
областями устойчивости и неустойчивости X = 0. В этом слу-
случае одно из решений ?4, |г периодическое, а другое рас-
растет ~/. Здесь также можно получить явное выражение
для волновых функций с определенной квазиэнергией.
Эти функции взаимно ортогональны (при одном и том
же t) и образуют полную систему. Спектр квазиэнергий
двукратно вырожден и непрерывно заполняет полуось
0<8 < ОО.
В заключение заметим, что рассмотренные выше со-
состояния с определенной квазиэнергией допускают про-
простую теоретико-групповую интерпретацию. Читателя, ин-
интересующегося этим вопросом, мы отсылаем к работе
А. М. Переломова и В. С. Попова A969).
§ 7. Гейзенберговское представление и канонические
преобразования
До сих пор мы рассматривали шредингеровское
представление, т. е. такое представление, когда опера-
операторы, соответствующие физическим величинам, не зави-
зависят от времени, а вся зависимость от времени средних
значений физических величин определяется волновыми
функциями. Во многих случаях, однако, удобнее исполь-
использовать такое представление, когда вся зависимость от
времени средних значений определяется операторами,
а волновые функции от времени не зависят. Это пред-
представление называется гейзенберговским. Переход к нему
осуществляется с помощью формулы
A(t) = S+(t)AS(t), G.1)
где унитарный оператор 5, S~l = 5+, называемый 5-мат-
рицей, есть оператор, переводящий волновую функцию
¦ф(О) в волновую функцию $(t) *):
G.2)
*) В этом параграфе в качестве начального момента времени t
выбирается to = 0. Переход к случаю t0 -» °°, использованному е
предыдущих параграфах, производится элементарно.
274 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Отсюда следует уравнение для S(t)
i^-=H(t)S, S@)=l G.3)
и уравнение движения для A (t)
i^ = [A(t), H{t)\, Л@)-Д H(t)~S+(t)HS(t). G.4)
Уравнения G.4) представляют сложные нелинейные опе-
операторные уравнения и лишь в редких случаях их удается
решить точно., В случае осциллятора эти уравнения для
операторов 'x(t) и p(t) превращаются в линейные и при-
притом полностью совпадают с классическими уравнениями
движения. В силу этого гейзенберговское представле-
представление удобно использовать при рассмотрении осцилля-
осциллятора. Пусть сначала на осциллятор с постоянной часто-
частотой действует внешняя сила f(t), произвольным обра-
образом зависящая от времени. Для оператора a(t) =
— S+(t)aS(t) из G.4) получаем следующее уравнение:
^, a(O) = a. G.5)
Решая его, находим
~ie>i, G.6)
где
t
^jf. G.7)
j
Отсюда сразу же следует, что если при t = 0 состояние
было когерентным: |я|5@))== |сс), то с точностью до фа-
фазового множителя оно остается когерентным:
| ф (t)) = e-ia <« | (a + d (t)) е~ш). G.8)
Из G.6) видно, что учет силы приводит к дополнитель-
дополнительному (по сравнению с умножением на е~ш) преобразо-
преобразованию операторов
Ъ^й + d, B+ = d++d\ G.9)
Соотношения G.9) определяют простейшее канониче-
каноническое преобразование, т. е. такое преобразование, кото-
которое не меняет перестановочных соотношений ([Ь, й+]=1).
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ • 275
Сравнение с формулой F.38) гл. I показывает, что опе-
оператор б получается из оператора й с помощью унитар-
унитарного преобразования
б = D+ (d) aD (d), D (d) - eda+~d\ D+D = DD+ = 1.
G.10)
Равенства G.10) являются весьма частным следствием
теоремы И. фон Неймана A931), которая утверждает,
что при любом каноническом преобразовании операто-
операторов а\, ..., ау-*.Ьи ••-, bN, [Ь{, bj] = 6ij в случае ко-
конечного N эти операторы унитарно эквивалентны, т. е.
существует унитарный оператор U (U+U = UU+ = 1)
такой, что
b{ = U+aiU, bt = U+atU. G.100
Подчеркнем, что в случае бесконечного числа степеней
свободы (N = оо) теорема фон Неймана уже неспра-
несправедлива. Это значит, что существуют канонические пре-
преобразования, которые не являются унитарно эквивалент-
эквивалентными. Простой пример унитарно неэквивалентных пред-
представлений будет дан ниже.
Рассмотрим преобразование G.9) более подробно.
С помощью операторов а и а+ построим гильбертово
пространство 36, базис которого образуют состояния
^|0>, а|0) = 0. G.11)
Поскольку операторы b, b+ удовлетворяют тем же пере-
перестановочным соотношениям, что и операторы а, а+, то
аналогичным образом можно построить пространство 36
с базисом
^ 10> — 0. G.12)
В силу унитарной эквивалентности операторов а и b
переход от пространства 36 к §6 дается унитарным пре-
преобразованием
|-<0. G.13)
276 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Таким образом, коэффициенты разложения состояния
\п) по состояниям \т) совпадают с матричными эле-
элементами оператора D+(d)
(т\п) = (m\D+ (d)\n) = Dmn(- d), <0|0) =e~~ G.14)
Эти матричные элементы несущественно отличаются от
введенных в § 2 величин Стп. Явное выражение для
Стп дается формулами B.7'), B.11). Использование
гейзенберговского представления дает возможность по-
получить эти формулы чисто алгебраическим способом.
Образуем производящую функцию для величин (т\п):
GЛ5)
Вычисляя суммы по т и п, получаем
F(fi, а) = @\е*аеаЬ+\0). G.16)
Поскольку @1 а+ = 0 и й|0)=0, то удобно выразить
операторы а и Ь+ через операторы b и а+, a = b—d
и Ь+ = а+ + d*, после чего приходим к формуле
аа+|б). G.17)
Из тождества F.34) гл. I вытекает соотношение
е$Ьеаа+ _ еа$[ь, а+]е<ш+е$Ь — еа$еаа+ е&Ь^ G.18)
с помощью которого получаем
F(P, a) = eod*-fw+op (о 10) = е 2 е^+^-м. G.19)
Сравнение с формулой B.8) показывает, что
F(zlt z2; d) = F{zxei^d, z2e~l^d; -d). G.20)
Таким образом, функция F(zuZ2) несущественно отли-
отличается от функции F(z\,z2), и, разлагая ее в ряд по сте-
степеням z\ и 2г, приходим к формуле, аналогичной B.11).
Перейдем теперь к рассмотрению случая осцилля-
осциллятора с переменной частотой. Уравнения для операторов
x(t) и p(t) имеют в этом случае вид
х = р, р=-а2х, G.21)
откуда
х + со2 (/) х = 0. G.22)
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 277
Таким образом, уравнения для гейзенберговских опера-
операторов x(t) и p(t) имеют тот же вид, что и для класси-
классического осциллятора, и потому *)
р (t) = C2I (/) х @) + С22 (/) р @),
где Cij(t) — вещественные функции времени. Их можно
выразить^ через функцию ?,(t), удовлетворяющую урав-
уравнению f+co2g = 0 и начальным условиям g @) = 1,
1@) = ш-:
~2 (%, + %)> 12 = 2/й
G.24)
Обозначим через а(^) гейзенберговский оператор, удов-
удовлетворяющий начальному условию
й @) = а (©_); G.25)
здесь а (со)—оператор в шредингеровском представле-
нии:
а (а) = у==г ((ах + ip).
Из G.23) и G.25) вытекает, что
й @ = -|7= (<о_х @ + /р @). G.26)
Отсюда следует, что
a {f) = и! (/) d @) + о' (t) a+@),
= о'' @ d @) + */* @ d+ @), 1 )
*) Аналогичные формулы имеют место и для системы N свя-
связанных между собой осцилляторов. Заметим, что преобразование
координат Xi(t) и импульсов pj(t) при произвольном N является
линейным и оставляет неизменной билинейную антисимметричную
форму *iPi ~Pixi- Такие преобразования образуют группу веще-
вещественных симплектических матриц SpBN,R) порядка 2N. В случае
N = 1, как видно из G.23), это преобразование входит в группу
SLB,R), т. е. группу вещественных матриц с определителем, рав-
равным единице. Это является спецификой простейшего случая N = 1.
Как известно из теории групп, все три-группы SpB,R), SLBtR}
и SU(l, 1) изоморфны между собой.
278 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
где
)
G.270
Поскольку коммутатор [a(t), a+(t)] = 1 и не зависит
от t, то | и' |2 — | v' |2 = 1 (в чем нетрудно убедиться и
непосредственной проверкой). Отсюда следует, что пре-
преобразование G.27) (обозначим его через S(t) без «кры-
«крышки») является каноническим и принадлежит группе
SU(\,\), т. е. группе матриц второго порядка с опреде-
определителем 1, оставляющих инвариантной квадратичную
форму |г,|2-|г2|2.
Введем теперь преобразование Т, соответствующее
изменению частоты у осцилляторных функций:
7\j)n(co_) = я|)п(со+). Нетрудно видеть, что соответствую-
соответствующее преобразование операторов Т также входит в груп-
группу SU A, 1):
a(c0+) = «"a(a>_) + t;"a+(a>-),
а+ (<в+) = v"a (©_) + и"а+ (©_), К '
„ _ Ю+ + Ю- ,, _ CD+-CO-
и г ^^) v — z
2
где
„ _
и г ^^) v — г z^
2у <а+<0- 2]/со+и_
Матричный элемент перехода \п, со-) -*\ш, со+) прини-
принимает теперь вид
f G.29)
Поскольку состояния в обкладках относятся к одной ча-
частоте со_, то G.29) представляет собой матричный эле-
элемент конечного «поворота» для группы SU(l, 1).
Произвольное преобразование из SU([, 1) опреде-
определяется тремя параметрами ось J3 и аг, причем квадрат
матричного элемента зависит лишь от параметра J3
и v
и(аи ) (
8 -5"(а|+аг) 1 Р 4(а'~а2)
-|e2 y=shye2
G.30)
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 279
(область изменения параметров: О^ссь ссг < 2я,
—оо < р < + оо). Перемножая 5 и 74, находим значения
и и v, отвечающие преобразованию U = T+S:
В частности, при t—юо
э_ У 1 — о '1 — 0
th|=vT.
G.32)
Таким образом, мы пришли к необходимости рассмот-
рассмотрения канонического преобразования *)
1,1
G.33)
Дальнейшие построения во многом аналогичны тем,
которые использовались при рассмотрении канониче-
канонического преобразования смещения. В частности, с по-
помощью формул G.11) и G.12) можно построить два
гильбертовых пространства 36 и Зв, причем здесь имеют
место формулы, аналогичные G.13) и G.14) (нужно
лишь б заменить на 0). Нетрудно также найти вы-
выражение для операторов а и Ь+ через b и а+:
a = \b-±a+, b+ = ^b + }a+. G.34)
*) По поводу этой формулы заметим следующее. В развитой
Н. Н. Боголюбовым A947) теории сверхтекучести слабо неидеаль-
неидеального бозе-газа рассматривается каноническое преобразование G.33)
от операторов частиц (а,а+) к операторам квазичастиц F, Ь+). Вол-
Волновые функции с определенными числами частиц фт и квазича-
стиц г|з„ имеют вид
Vlf,__Lre+Ve, *|,
У ml
и вполне аналогичным состояниям | т, и+) и I п, ф_) для осцил-
осциллятора. Поэтому разложение функции ф„ по функциям фт мате-
математически эквивалентно рассмотренной выше задаче. В' частности,
выражение C.11) при p = |f 12/1и|г дает квадрат соответствующего
коэффициента этого разложения.
280 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Для производящей функции G($, а) матричных эле-
элементов Umn получаем
0>. G.35)
С помощью тождества F.34) гл. I находим
|р2^[а+, 6]}ехр{ - |а^[а+, Ь)\ X
X @ | е и е " 10) =
]}б. G.36)
Переходя в G.36) к новым переменным zx — e 2 а,
гаг
z2 = e 2 p (а] и а2 определены в G.30)), приходим к уже
рассмотренной ранее формуле C.10)
[e~ 2p, e 2 aj = G(p, a).
G[e 2p, e 2 aj = G(p, a). G.37)
Вводя обозначение ]/l — р =cos6 и разлагая выра-
выражение, стоящее в экспоненте, на линейные множители,
получаем
G(P, a) =
= exp {(cos 4 a - sin 4 p) (sin | a + cos -| p)} @ |0). G.38)
Таким образом,
2^-<0|0>, G.39)
где
a' = cos -g- a — sin -^ p, p' = sinya + cos у p. G.40)
Ho G.40) можно интерпретировать как преобразование
спинора (a, P)—*{af, $) при повороте на угол 6 вокруг
оси у (см., например, «Квантовую механику» Л. Д. Лан-
§7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 281
a'V
дау и Е. М. Лифшица, 1963), а величину —-^ как
волновую функцию частицы со спином s = k и проек-
проекцией спина на ось z ц = 0. С другой стороны, как хо-
хорошо известно, такие величины при повороте преобра-
преобразуются с помощью так называемых D-функций, откуда
следует
еа'й'= 2 ?>^o(cos8) i!a" . G.41)
т+п п—т
s=—— • Я—г—
Вспоминая определение G(p, a), получаем
(т |Я) = <т \U+\n) = ei(W Jm (cos 9) @ | U+ 10> =
=: ei<t у i _ р ?) j (]/ i — р). G.42)
В нашем случае ?>-функция выражается через присое-
присоединенные функции Лежандра, например при ц > 0:
), G.43)
после чего приходим к формуле C.11).
Заметим еще, что из G.42) следует неравенство
\Umn\^\Um\. G.44)
Это неравенство оказывается полезным при рассмот-
рассмотрении вопроса об унитарно неэквивалентных представ-
представлениях канонических перестановочных соотношений в
случае бесконечного числа степеней свободы. Приведем
простой пример. Рассмотрим систему бесконечного числа
гармонических осцилляторов, описываемых оператора-
операторами ар af, i, /=1, 2, ..., которые подчиняются кано-
каноническим соотношениям коммутации [а., ау+] = 6г/. Про-
Простейшее каноническое преобразование такой системы
имеет вид
bi — uiat + Vidt, bf = V{ai + Utat G.45)
(«i и Vi молено взять действительными).
282 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
Определим обычным способом вакуумные состоя-
состояния Ф{0} и Ч^о} системы: а*Ф{о} = 0, Ь№@}=0. В более
подробной записи Ф{0}=|0, 0, ..., О, ...), Чг{0} =
= | 0, б, ... О, ...). Далее построим два гильбертовых про-
пространства Ж и Ж, базисные векторы Ф{„} и *?{„} кото-
которых имеют вид*)
G-46)
Для квадрата модуля скалярного произведения
и Ф{о} получаем выражение
= |m,, m2) .;.) = _L=f-i=
1Л} I Ф{о}) I2 = П VT=7it Pi-l-g-Г- G-47)
Заметим, что хотя все множители в правой части G.47)
отличны от нуля, их произведение (в силу бесконечного
числа сомножителей) может равняться нулю. Это бу-
будет так, если величины рг- не стремятся достаточно бы-
быстро к нулю при i—> оо. При этом вакуумные состояния
4V и Ф{о} оказываются ортогональными друг другу.
Нетрудно показать, что в этом случае и любые два
базисных вектора ^{т} и Ф{„} ортогональны друг другу.
В самом деле,
I Ф<«}> I2 = П Wmint (р,), G.48)
и в силу неравенства G.44) получаем
1<^}|Ф{П})|2< 1(^@}! Ф{о})|2, G.49)
откуда и следует ортогональность базисных, а следова-
следовательно, и любых векторов пространств Ж и Ж. Теперь
*) Пространства Ж и 36 представляют собой бесконечные тен-
тензорные произведения гильбертовых пространств 36 = 36Х <S) 362 ® • • •
• • • ® 26т ® .... 36 = Жх ® 36г ® ... 036п ® • • • Математически
строгая теория таких пространств была построена И. фон Нейманом
A938).
§ 7) ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 283
очевидно, что переход от пространства Ж к простран-
пространству Ж не является унитарным преобразованием или,
иными словами, не существует унитарного преобразова-
преобразования U такого, что bt = U+uiU.
Мы привели простейший пример унитарно неэквива-
неэквивалентных представлений канонических перестановочных
соотношений. Ряд других примеров, а также детальное
рассмотрение этого вопроса можно найти в работе
А. Вайтмана и С. Швебера A955), книгах И. Сигала
A963), А. Вайтмана A964), Ф. А. Березина A965) и
обзорной статье Ф. А. Березина A969).
Переходя к общему случаю осциллятора с перемен-
переменной частотой при наличии внешней силы,, заметим, что
включение силы f(t) не меняет общего хода рассужде-
рассуждения. Укажем поэтому лишь на изменения в окончатель-
окончательных формулах.
Временная эволюция операторов ? и р имеет вид:
St (t) = С„* @) + С12р @) + г) @,
р (t) - C2lJt @) + С^ @) + г] (/),
где т] (/) — решение, описывающее вынужденные коле-
колебания классического осциллятора,
ii + co2T) = f, т)@) = г)@) = 0. G.51)
Пусть а+ и а — операторы рождения и уничтожения для
начального состояния (при © = со-), Ь+ и b — для конеч-
конечного (при со = со+). Связь между ними такова:
- и {t) {а @) + d(t)) + v (t) (a+ @) + d* (t)), G.52)
где
a функции u(t) и v(t) выражаются через l(t) (см. фор-
формулу G.31)). Таким образом, результирующее преоб-
преобразование V состоит теперь из трех частей:
V(t) = O(t)D(t) = T+S(t)D(t), G.53)
284 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
где б, Т и 5 определены выше и не зависят от силы /.
a D(t) есть просто оператор сдвига:
D+(t)aD{t) = a + d(t). G.54)
В качестве примера применения формулы G.53) рас-
рассмотрим случай, когда в начальный момент t = 0 осцил-
осциллятор находится в когерентном состоянии |сс). Посколь-
Поскольку D(t) \а) ~ |а + d(t)), то эволюция состояния |а) под
действием f(t) и со(^) дает то же самое конечное состоя-
состояние, что и эволюция когерентного состояния \a + d(t))
под действием одной лишь переменной частоты со(^).
В частности, для населенностей Wm при t—* + <х> спра-
справедлива формула C.21) с заменой a—>a + d.
Гейзенберговское представление для операторов
к(t) и p{t) тесно связано с фазовой плоскостью (X, Р)
для классического осциллятора. Введем безразмерные
переменные:
ГГГПГ a=x + iP- G'55)
Их предельные значения при t-+±oo обозначим через
Х± и Р±; при этом
Покажем, как найти вид распределения Wmn в квази-
квазиклассическом случае, когда т, п'Ш1 и Wmn «
« 2Wmn cos2 Фтп- (Здесь Фтоп — быстро осциллирующая
фаза, а Wmn — усредненная по этим осцилляциям ве-
вероятность, являющаяся плавной функцией т.) Началь-
Начальному состоянию \п, со_) отвечает состояние классиче-
классического осциллятора со случайной фазой ф, равномерно
распределенной от 0 до 2я. На фазовой плоскости
(Х-, Р-) оно изображается окружностью
Xi + Pi = ¦—=«• G.57);
Аналогично для конечного состояния \т, со+) на пло-
9 2
скости (Х+, Р+) имеем Х+ +Р+ = т. Квазиклассическое
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 285
распределение Wmn при этом определяется интегра-
интегралом
Wmn = ijdX+ dP+b (X2, + Р\ - т) б (Xl + Pi - n), G.58)
для вычисления которого нужно знать связь начальных
и конечных переменных. Изменение х и р, согласно
уравнениям G.50), приво- „
дит к тому, что окр уж- **
ность G.57) превращает-
превращается в эллипс с помощью
смещения, растяжения и
поворота осей (площадь
при этом сохраняется,
так как det C,-j(/) = 1).
Обозначая через к'/г ко-
коэффициент растяжения,
через d'(t) —смещение
центра эллипса и через
ф — угол поворота боль-
большой оси эллипса относительно
(рис. 22), находим при t—> оо
А =
Рис. 22.
направления d'(t)
d, {t) =
[C\d - C2d*) e ~Ш+* . G.59)
Входящие сюда величины d и ф определены формулами
A.19) и D.6).
Из G.59) видно, что при t—>oo эллипс вращается на
фазовой плоскости с угловой скоростью а>+, сохраняя
свою форму и размеры*). В интеграл G.58) дают вклад
лишь точки пересечения этого эллипса с окружностью
радиуса j/m, число которых может равняться 0,2 или 4
*) Это вращение соответствует зависимости операторов
()=аехр(—ia+t) от времени и не сказывается на вероятностях
перехода Wmn,
286
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. VI
(в зависимости от величины т). В качестве конкретного
примера рассмотрим случай ф = О (эллипс смещается
wa
т.
т, т
т,
т
Рис. 23.
вдоль своей главной оси). Вид распределения
висит тогда от величины v. Пусть
за-
При v<v0 имеются четыре точки пересечения и
W — *
2я У т — тг
х{Утъ-тх -
, - от, + Ут-Шх) X
чп-'А
п - т, )\
X
Здесь от изменяется от От! до т3
1-V7 „ 1-Р т _ 1
8(т2— т) X
— т, + /от — т,)]~ г}.
G.60)
т, = «
1+Кр 4/р
G.61)
(причем От1<тг<тз). Качественно вид TFmn показан
на рис. 23, а. Корневые особенности при т = Ш\, пц и
т3 соответствуют точкам касания окружности Х2+ + Р2+ —
— тс эллипсом. Область т\< т < Отз является клас-
§ 7] ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 287
сически разрешенной; вне ее вероятности Wmn экспо-
экспоненциально падают.
В случае v > vo имеются лишь две точки пересече-
пересечения, и формула для Wmn упрощается (рис. 23,6)
Wmn- ' [(j/m-m, - Vm2~ml) X
2пу т — т\
X (Утз-mi - Ут - /я,)]'''' G.62)
(т2<т< т3).
При v = vo mi совпадает с /Иг и распределения, показан-
показанные на рис. 23, а и б, переходят одно в другое. Множи-
Множитель cos2 Фтп приводит к быстрым осцилляциям веро-
ятностей перехода вокруг среднего значения Wmn ана-
аналогично тому, как это видно на рис. 19.
ГЛАВА VII
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Введение. Теория Гамова
В этой главе мы встречаемся с новым типом явлений:
распадом радиоактивных ядер или нестабильных частиц
и резонансным рассеянием частиц. Имеется широкий
круг явлений, связанных с нестабильными состояниями.
При этом в настоящее время наибольшее внимание уде-
уделяется рассмотрению резонансных состояний сильно
взаимодействующих частиц, или просто резонансов,
большое количество которых было открыто в последние
годы.
Строго говоря, с полностью стабильными состояния-
состояниями мы встречаемся крайне редко. Так, например, из
всех известных нам «элементарных» частиц стабильны
лишь протон, электрон, Y"KBaHT и нейтрино. Большая
часть состояний ядер также нестабильна.
Особый тип нестабильных состояний представляют
возбужденные состояния атомов и ядер. В нерелятиви-
нерелятивистской квантовой механике эти состояния, как правило,
считают обычными связанными состояниями. При этом
пренебрегают взаимодействием электронов с полем из-
излучения, которое приводит к переходам из верхних со-
состояний в нижние с излучением у~квантов- При более
точной постановке вопроса такое взаимодействие дол-
должно быть учтено. Существенно здесь то, что одно и то
же взаимодействие (электромагнитное) приводит как
к связи электрона, так и к переходу его из одного со-
состояния в другое. Поэтому нельзя, строго говоря, вы-
выключить взаимодействие, ответственное за переходы,
оставив взаимодействие, приводящее к связанным со-
состояниям. Это приводит к тому, что стабильным остает-
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРИЯ ГАМОВА 289
ся лишь основное состояние атома (ядра), к которому
непосредственно примыкает непрерывный спектр (ди-
(дискретный спектр исчезает). При этом состояниями не-
непрерывного спектра являются состояния рассеяния
у-кванта на атоме, находящемся в основном состоянии.
Этих вопросов далее мы, однако, касаться не будем.
Явления, связанные с нестабильностью, можно опи-
описать с помощью уже известной нам полной системы ста-
стационарных состояний. Однако при этом описании мы
встречаемся с рядом качественных особенностей. Напри-
Например, при рассеянии частицы на потенциале, который
имеет вид ямы, отделенной от внешней области потен-
потенциальным барьером, волновая функция частицы во
внутренней области (например, г|)д@)) пРи определен-
определенных значениях энергии Е = Еп резко возрастает. При
этом обычно оказывается, что волновая функция $е(г),
продолженная в комплексную плоскость Е, имеет полюс
вблизи Е„ при Е = ЕОп. В этом случае решение у. Ш. при
Е = ЕОп приводит к так называемым квазистационарным
состояниям, или состояниям с комплексной энергией.
Любопытно, что для квазистационарных состояний
можно ввести понятие нормы и развить теорию возму-
возмущений, аналогичную обычной теории возмущений для
стационарных состояний. Заметим, однако, что в на-
настоящее время теорию квазистационарных состояний
нельзя считать полностью завершенной, и потому при
рассмотрении квазистационарных состояний требуется
известная осторожность.
К счастью, многие интересные вопросы теории ква-
квазистационарных состояний можно выяснить на примере
точно разрешимых моделей. К таким вопросам относят-
относятся, например, вопросы об аналитических свойствах вол-
волновой функции квазистационарного состояния, об опре-
определении среднего времени жизни нестабильной частицы
по рассеянию продуктов ее распада друг на друге, об
экспоненциальном характере распада нестабильной ча-
частицы, о рождении нестабильной частицы, об асимпто-
асимптотике волновой функции распадающейся частицы при
г —> оо и t—> оо.
Глава заканчивается кратким рассмотрением других
типов долгоживущих состояний (например, состояний,
290 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
соответствующих виртуальному уровню. Заметим, что
ряд вопросов теории нестабильных частиц с учетом пре-
превращения их друг в друга (например, вопрос об элек-
электрическом дипольном моменте нестабильной частицы)
разобран в гл. XI.
Первым и самым важным применением теории ква-
квазистационарных состояний была теория а-распада тя-
тяжелых ядер, созданная Г. А. Гамовым A928) и незави-
независимо, но несколько позднее Р. Генри и Е. Кондоном
A929).
Эта теория сохранила свое значение для вычисления
вероятности распада радиоактивных ядер до настоящего
времени; выяснение возможности распада с испуска-
испусканием одного протона или двух протонов (В. И. Голь-
данский, 1960, 1965) тоже производится на основе этой
теории. Но в историческом плане значение теории осо-
особенно велико потому, что теория Гамова была первым
успешным применением квантовой механики к атомному
ядру.
Напомним хорошо известные исходные факты: при
а-распаде данного ядра энергия а-частиц имеет вполне
определенное значение; так, например, при распаде
иЦ8 —> Thgo4 + а (изотоп Тпэо4 носит исторически сложив-
сложившееся название UXi) энергия а-частицы равна 4,7Мэв.
Между а-частицей и дочерним ядром Th^4, несомнен-
несомненно, действует электростатическое отталкивание: потен-
потенциал взаимодействия определяется формулой
„_ Z,Z2e2 __ 902е2 _ 260 Мэв
г г г фермы, '
значит, потенциал равен 4,7Мэвна расстоянии 55 ферми.
Ядерные силы действуют лишь на расстоянии порядка
размера ядра, т. е. порядка
1,2 А1'3 ферми = 1,2 B34Oз ферми = 7,4 ферми,
где электрический потенциал равен приблизительно
35 Мэв.
То, что известно о потенциале, показано на рис. 24.
По оси ординат отложена энергия системы Thgo + a,
§ 1]
ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРИЯ ГАМОВА
291
по оси абсцисс — расстояние между а-частицей и ядром.
Правее R потенциал чисто электростатический, левее R
добавляется (отрицательное) ядерное взаимодействие.
Состояние материнского ядра Ufl8 соответствует энер-
энергии Ей показанной пунктиром, ?i = 4,7 Мэв. Очевидно,
суммарный потенциал, показанный слева от R, должен
быть ниже Ей Между R и R\ находится область, где
U > Ei, т. е. область, в которой по классической меха-
механике частица не могла бы
находиться. U
Если бы правее R по-
потенциал не спадал, а оста-
оставался постоянным (как
это показано штрих-пунк-
штрих-пунктиром на рис. 24), то
уровень энергии ?, был
бы обычным стационар-
стационарным состоянием.
В этом приближении'
исчезло самое интерес-
интересное— распад; но так как
распад есть явление редкое (период распада 4,5•109
лет!), отличие Е[ от ?, ничтожно.
Для того чтобы определить вероятность распада в
первом приближении, построим волновую функцию на
участке от R до Ri в квазиклассическом приближении.
В этом приближении
Г i Г 1 г—
гф = ехр -у \ pdr , p—±.y2m(Ei — U)
Рис. 24.
I p есть классический импульс, соответствующий полной
энергии ? = -^- + [Л. Под барьером величина р мни-
мнимая, и соответственно в показателе я|) стоит действитель-
действительная величина. Таким образом, под барьером имеются
два независимых решения, одно возрастающее, другое —
убывающее. Вероятность прохождения через барьер W
пропорциональна отношению |i|r(/?i) \2/\ty{R) I2, и оче-
очевидно, что это отношение нужно брать по убывающему
292 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
решению, для которого отношение минимально и рав-
равно*)
к,
—| I V2т (?/-?,) dr
W = e * , A.1)
-KfO-4 <*¦+•¦¦ *¦>),
Ф! = arcsin у -к-.
Величина Ri определяется той точкой, где U — ?\ = 0.
Заметим, что если продлить кулоновскую зависимость
U(г) до R = 0 и соответственно заменить R нулем в
нижнем пределе интеграла, то интеграл все равно схо-
сходится и получается простой результат
\/т~
hVl
A.2)
W — проницаемость барьера — есть безразмерная вели-
величина. Чтобы найти вероятность распада w (величину,
обратную времени распада), вероятность прохождения
через барьер следует умножить на число ударов а-ча-
стицы в единицу времени п о левый край барьера:
w = nW.
Здесь
Y
2(El-U0)
т
Это простейшее выражение**) разумно объясняет
основное свойство а-распада: ничтожно малую вероят-
*) Вывод формулы A.1) с помощью соотношения неопределен-
неопределенностей можно найти в заметке Б. Коэна A965). Задача о прохо-
прохождении волнового пакета через потенциальный барьер рассматрива-
рассматривалась в работах Л. Мак-Колла A932), Т. Хартмана A962).
**) Читателя, интересующегося более точными формулами и
деталями их вывода, отсылаем к статье Т. Сексла A933).
Отметим здесь же следующий парадокс. Найденная нами вол-
волновая функция а-частицы является сферически-симметричной, и по-
потому непонятно, как может возникнуть наблюдаемый на опыте трек
а-частицы. Этот парадокс был полностью разрешен Н. Моттом
A929), к статье которого мы и отсылаем интересующихся читателей.
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРИЯ ГАМОВА 293
ность распада при большом барьере (для урана
W ~ 10~37) и весьма сильную зависимость вероятности
распада от Е\ — энергии а-частицы.
Вместе с тем ясно, что даже в том случае, когда вы-
выполнены все физические предпосылки теории, когда
можно говорить об индивидуальной ос-частице внутри
ядра, — предэкспоненциальный множитель определяется
лишь приближенно. Точное нахождение его является
сложной задачей, требующей знания поведения я|)-функ-
ции вблизи левой точки поворота, и потому этот множи-
множитель существенным образом зависит от вида потенциала
внутри ямы.
Согласно общей теории в ситуации, изображенной
на рис. 24, есть непрерывный спектр вещественных зна-
значений энергии и только. В принципе, кроме непрерыв-
непрерывного спектра с Е > 0, возможны еще дискретные уровни
с Е < 0, но очевидно, что если Uo > 0, то их нет.
Какой же смысл имеет энергия Ей как отобрать в
непрерывном спектре одно определенное значение энер-
энергии? Решение задачи подсказывает сама физическая
картина явления. Волновая функция частицы в ядре
(О < г < R) с течением времени убывает. Справа от R\
за барьером, существует поток частиц, летящих по ра-
радиусу в сторону г-+оо.
Напомним, что стационарные состояний непрерыв-
непрерывного спектра с вещественной энергией описывают рассе-
рассеяние частиц; волновая функция на большом расстоянии
е-1р„г/к
от центра есть суперпозиция волновых функций
Jpl
и , т. е. суперпозиция волны, падающей на центр,
и волны расходящейся, удаляющейся от центра; ампли-
амплитуды этих волн тождественно равны между собой
по модулю: поток падающих частиц и поток отра-
отраженных частиц равны, частицы не возникают и не
исчезают.
При описании а-распада мы требуем, чтобы вдали от
центра была только расходящаяся волна. Это не проти-
противоречит сохранению числа частиц именно потому, что
с течением, времени уменьшается j 11|> |2 dr внутри ядра.
294 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Макроскопическое уравнение распада:
где N—число радиоактивных ядер, т. е. число частиц
внутри сферы г = R. В данном ансамбле число частиц
N ~ J \tyfdr. Значит, нужно искать решение вида
где Е = Ei — /Г/2 есть комплексная величина, а мнимая
часть ее Г/2 связана с вероятностью распада: Г = йш *).
Таким образом, в нестационарной задаче можно приме-
применить метод разделения переменных; ty(r,t) ищем в виде
произведения \р(г) на экспоненту от t так же, как это
делалось для стационарных задач.
Сходство распространяется и дальше: в стационар-
стационарных задачах дискретные уровни возникали при Е < О,
когда при больших г линейно независимые решения
имели вид e+^kir/r и e~\k\rjr\ требованию, чтобы при
г—»оо искомое решение имело вид e~^k^r/r, можно было
удовлетворить лишь при определенных дискретных Е.
Точно так же в нестационарной задаче при боль-
больших г имеются два линейно независимых решения
eikr/r и e~ikr/r, и требование, чтобы искомое решение
имело вид eihrfr, при г->оо отбирает дискретное комп-
комплексное значение Е = Ei — гТ/2. Таким образом, у. Ш.
при подстановке ф = — г|? (г) a h из уравнения в част-
частных производных превращается в обыкновенное:
*) Метод комплексных собственных значений восходит еще к
Дж. Дж. Томсону A884), рассмотревшему этим методом задачу об
электромагнитных колебаниях заряда «а идеально проводящей сфере*
$ П ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРИЯ ГАМОВА 295
и граничное условие
-»— A-4)
отбирает дискретные комплексные значения Е.
Так решается физическая задача об определении
энергии частиц в «радиоактивном» подбарьерном со-
состоянии ?i = Re(i?) и об определении времени жизни
этого состояния Г ==—21тЕ (связь Г и вероятности
распада w см. выше).
Эта процедура вызывает ряд сомнений в математи-
математической строгости и обоснованности; впрочем, любопытно,
что никто не сомневается в правильности самого резуль-
результата, т. е. в правильности найденных численных значе-
значений Ei и w; нарекания вызывает «только» способ их
получения. Критика связана с видом г|)(г). Так как Ё
комплексно, то соответственно комплексно и значе-
значение k. В асимптотике \p(r) ~ eikr. При этом легко убе-
убедиться, что отрицательному знаку мнимой части Е соот-
соответствует
. _ У2тЕ1 . Г /т
¦ (г)
iV2mEt
(мы разложили Уе, считая Г«С?",).
Таким образом, функция \р(г) при г—> оо экспонен-
экспоненциально (хотя и медленно, так как Г мало) возра-
возрастает*). Очевидно, что такая функция не может быть
нормирована, ведь Г |tf>|2dr расходится! В следующих
параграфах будет показано, как решение собственно не-
нестационарного уравнения г]э(г, t) в частных производных
приближается к решению с разделенными переменными
¦ф(г) е~"г^'/й. Нормированная функция г|)(г,/) в ограни-
ограниченной области пространства всегда приближается к не-
нормируемой г|) (г) e~l^tth.
*) Именно на этом основании метод Томсона подвергся критике
со стороны Г. Лэмба A900).
296 К6ЛЗИСТАЦЙОНАРНЫЁ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Дальше, в § б будет показано, что и для ненормируе-
мой г|)(г) есть выражение, играющее роль нормы в тео-
теории возмущений и в задаче об определении амплитуды
¦ф(г) при произвольном начальном состоянии.
Здесь же мы ограничимся физическим объяснением
возрастания ф(г) при г-*оо. Ясно, что на данном рас-
расстоянии находятся в данный момент to частицы, кото-
которые были испущены, т. е. вышли из-под барьера в мо-
момент t = to — r/v, где v — скорость частиц. Но в более
ранний момент времени в силу экспоненциальной зави-
зависимости от времени была больше амплитуда ^ в центре.
п /Г ,/!т Л
В самом деле, множитель exp l-^g-1/ -в~ П можно
переписать, учитывая связь Гида, как exp I -х—I =
= exp(^~(tQ — t)\. Отсюда и следует, что г|)(г, /0) =
В заключение отметим, что все теоремы о разложе-
разложении произвольной функции по собственным функциям
задачи, образующим полную систему, относятся к сово-
совокупности фИО для вещественных Е. Таким образом,
найденная i|)g (r) не входит в полную систему собствен-
собственных функций, что и естественно в связи с поведением
%(г) при г-»оо.
Собственные функции сплошного спектра с веще^
ственным Е при Е, близком к Е\ — Rei?, имеют особый
вид; мы увидим, что комплексное значение Е имеет
смысл полюса в комплексной плоскости энергии. С дру-
другой стороны, по этой причине определение амплитуды
•ф— (г) в реальной задаче с произвольной tf»(r, tf=0) тре-
требует особой техники, отличающейся от обычного разло-
разложения по полной ортонормированнои системе.
После этого вступления разберем более подроб-
подробно весь круг вопросов, связанных с существованием
сравнительно долгоживущих квазистационарных со-
состояний.
*) Аналогичные аргументы использовал в связи с методом
Томсона еще А. Ляв A904).
§ 2] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 297
§ 2. Волновые функции
Выше уже говорилось, что квазистационарным со-
состояниям соответствуют полюса величины 5 (k) = е2'б(А),
расположенные в нижней полуплоскости k. Это свойство
фазы рассеяния позволяет получить ряд общих резуль-
результатов относительно вида и энергетической зависимости
волновой функции при энергиях Е вблизи полюса, найти
вид сечения рассеяния и т. д.*).
Рассмотрим полюс 5 (k) = епь <k), расположенный в
комплексной плоскости в точке
В этой точке волновая функция %k(f), определяемая ее
асимптотическим разложением (для простоты считаем,
что / = 0 и что частицы не заряжены)
B.1)
обращается в бесконечность тождественно при всех зна-
значениях г.
Найдем вид S(k) вблизи полюса. Напомним, что
S(k) должна удовлетворять условиям симметрии A.5) —
A.6) гл. III: должна иметь полюса в точках ko и — ko
и нули в точках ko и —k0; на действительной оси S(k)
по модулю равна единице. Наиболее общее выражение,
удовлетворяющее этим условиям, есть
{k-k;)f + kol B.2)
где q>(&)—произвольная функция k, действительная
при действительных k и удовлетворяющая свойствам
симметрии A.5), A.6) гл. III. Как правило, ср(&) яв-
является достаточно плавной функцией, так что вблизи
полюса ее можно считать постоянной (ее иногда назы-
называют потенциальной фазой).
*) Для более детального изучения аналитических свойств вол-
волновых функций читатель отсылается к работе Р. Пайерлса A959)
и книге Р. Ньютона A966).
298 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
В задачах о рассеянии энергия и волновой вектор
частиц всегда действительны. Выражение для фазы рас-
рассеяния получается из общей формулы B.2), в которой k
теперь надо считать действительной положительной ве-
величиной. Для фазы рассеяния при k% <^L k\, k ~ k\ по-
получаем
^-. B.20
Обычно вместо волновых векторов пользуются энер-
энергиями
-^ (Л, - ik2f = -^ Ш - $ - 2ikM ^Eo--?~. B.3)
Здесь Ео называется резонансной энергией, а Г — ши-
шириной уровня (резонанса). Так как в плоскости k по-
полюса располагаются на нижней полуплоскости, то на
плоскости энергии эти полюса находятся на втором (так
называемом нефизическом) листе римановой поверхно-
поверхности; при Г < ?0 и ? ~ ?0 легко получить формулы, эк-
эквивалентные B.2) и B.2'):
§ ^-. B.4)
Пользуясь этими формулами, находим выражение для
сечения рассеяния
Первый член здесь описывает резонансное рассеяние на
квазистационарном состоянии (Г. Брейт, Е. Вигнер,
1936), последний член соответствует так называемому
потенциальному рассеянию, а второй — их интерфе-
интерференции.
Пусть потенциал V(r) обладает конечным радиу-
радиусом R- Обозначим через %(® регулярное в нуле решение
§ 2] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 299
у. Ш. внутри области действия потенциала. Будем нор-
нормировать это решение условием
¦ = 1. B.5)
о
Полная волновая функция тогда равна
A(k)xf(r) при г<Д,
у —
— sin(&r + 60) при r>R.
В точке k = ko эта функция должна тождественно
обращаться в бесконечность. В области r>R это обес-
обеспечивается обращением в бесконечность величины S(k)
и соответственно фазы рассеяния 6(&). Во внутренней
области %?] конечна по условию и волновая функция
может обращаться в бесконечность тождественно, лишь
если в бесконечность обращается коэффициент А в B.6).
Легко вычислить величину коэффициента А. Для
этого используем полученную нами формулу C.18)
гл. III. Подставляя в нее выражение для фазы рассея-
рассеяния B.2) или B.4) и оставляя лишь доминирующий
член, найдем
1
о
Среднее значение волновой функции, очевидно, равно
; *о = /^. B.70
Снаружи барьера %2 ~ 1, что намного меньше, чем мак-
максимальная плотность частиц внутри барьера, если Г до-
достаточно мало. Физически это означает, что в области
г < R происходит накопление частиц: частицы, попавшие
в эту область, живут некоторое время, прежде чем им
представится возможность вылететь наружу. Время
жизни частиц внутри барьера во столько же раз больше
времени пролета этой области т = R/vq, во сколько раз
300
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
(ГЛ. VII
плотность частиц во внутренней области больше, чем
плотность снаружи. Отсюда получаем, что среднее время
жизни то квазистационарного состояния при Е ~ Ео по
порядку величины равно (ниже будут приведены более
точные формулы)
B.8)
V
*i
Ш
Это время может быть очень большим. Именно поэтому
возникло название «квазистационарное» состояние. Под-
Подчеркнем еще раз, что форму-
формулы B.7), B.8) относятся к за-
задачам о рассеянии частиц;
энергия Е и волновой вектор k
поэтому действительны.
Качественное рассмотрение
различных частных случаев
показывает, что сильная зави-
зависимость волновой функции от
энергии вблизи некоторых (по-
(полюсных) точек может осуществляться, лишь если по-
потенциал имеет вид ямы, окруженной одним или несколь-
несколькими барьерами (рис. 25).
Действительно, пусть мы имеем яму с одним барье-
барьером. Волновая функция в этом случае имеет вид
о
f
Рис. 25.
A(k)%f{r)
j/j- sin (kr + 6)
при г < Rlt
при Rx<r<R, B.9)
при r>R.
Здесь %$ — регулярное в нуле решение у. Ш. в обла-
области /, а величины A(k), a(k) и $(k) полностью опре-
определяются из условий сшивания решений на границах
областей. Для определенности будем нормировать %<jp
условием B.5). Функции х(-) и х(+)—это два независи-
независимых решения у. Ш. в подбарьерной области //. Оба эти
решения монотонны, причем одно спадает, а другое воз-
возрастает с ростом г. Качественно их поведение дается
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
301
формулами квазиклассического приближения
Х<*> (г) = ехр ± J \k | dr ; & = rf Ц- (E - U) • B.10)
Если потенциальный барьер достаточно широк и вы-
R
1, то хотя эти функции и равны
R
сок, т. е. если
J | k \ dr
R,
Я, Я
Рис. 26.
друг другу при г = Ri (x(±)(^t) = 1). однако при г
они сильно различаются
(рис. 26):
Х(+)(/?)>Х(-)(/?). B.11)
Сами функции "$> и Хй±)
довольно слабо зависят от k,
так как ^ входит в них толь-
только через посредство члена
(Е—V) в у. Щ., который
очень слабо меняется при ма-
малых изменениях Е. При сши-
сшивании этих функций, однако, может возникнуть сильная
энергетическая зависимость. Действительно, пусть аир,
определяемые условиями сшивания, не слишком сильно
отличаются друг от друга (критерии мы получим ниже).
В этом случае благодаря B.11) внутренняя волновая
функция при r = R приближенно равна ах(+)(^) и ее
логарифмическая производная лишь слабо зависит от
энергии (так как сама х(+) слабо зависит от k). Соответ-
Соответственно фаза б(&) при этом также является слабой
функцией энергии, а сама волновая функция %(г) имеет
вид, схематически изображенный на рис. 27. Существен-
Существенно, что такой вид сохраняется в широком интервале зна-
значений аир. Критерий такой ситуации, очевидно, есть
= expj-2J
k\dr
B.12)
Положение меняется кардинальным образом вблизи
точек, где a(k) обращается в нуль. Именно в этих точ-
точках под барьером волновая функция монотонно спадает:
302
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
(ГЛ. VII
%k(г) — Рх^"'(г) и Xk(r) имеет вид, схематически изобра-
изображенный на рис. 28. Таким образом, вблизи точек k=ku
где а обращается в нуль, волновая функция резко из-
изменяется, проходя все стадии между случаями, изобра-
изображенными на рис. 27, 28. При этом видно, что зависи-
зависимость от энергии тем резче, чем меньше отношение
X(~)(R)/%{+)(R), т. е. чем шире и выше потенциальный
Я,
Рис. 28.
барьер. Если барьера нет, то описанная выше ситуация
не может осуществиться, так как х(+)(^) и Х(~Ч^) будут
всегда одного порядка величины.
§ 3. Пример квазистационарного состояния
Сейчас мы исследуем один конкретный пример по-
потенциала (см. рис. 25), в котором существует квазиста-
квазистационарное состояние частицы.
При т < Ri или г > R у. Ш.
%1 + khk = 0
имеет два независимых решения: e±ikr. В области
Ri <r<R
Найдем сначала решение, имеющее на бесконечности
вид eihr. Будем искать его в виде
гш при г > R,
xew + $e~*r при R>r>Ru C.1)
ieikr + be~ikr при r<Rx.
§3]
ПРИМЕР КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ
303
Условия сшивания этих выражений на границах обла-
областей дают нам значения коэффициентов:
+i?fe-*« -(l -/?)*},
{A - е"
C.2)
где р = /? — /?ь Взяв комплексное сопряжение от
%<+)(г), мы найдем второе независимое решение:
при
C.3)
Sin \Ki "T" O) *
C.4)
Во внутренней области, согласно C.1), эта функция
имеет вид
Общее решение записываем как
(г) = - ]^| S~4 { у [^ + ЬУ -S(a + b)] cos kr +
[(b - аУ + S(b-a)] sin kr\. C.5)
+
Чтобы она была регулярна в нуле, коэффициент перед
косинусом должен исчезать. Из этого условия опреде-
определяем с помощью C.2) матрицу рассеяния:
е-2чР+
а+Ь
x-ik
где
kctgkRI +
304 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Если барьер достаточно высок и широк, так что
хрй>-1, то е-2*р очень мало, и, опуская его в C.6), по-
получаем
S (k) = «г«« ?±?. C.7)
Отбросить е~2кр в формуле C.6) для S(k) можно вез-
везде, кроме окрестности точки k = kn, где ?,(k) обращается
в нуль. Исследуем эту область. Разложение ?(&) в ряд
по степеням (k — kn) записывается так:
?Л 0+*«*.> ^"Y^F4-
Таким образом, знаменатель в C.6) равен
и обращается в нуль при k = k0:
2кпк1 ип + iknf
bn=zb —е~2*р ¦ к ' —к —ik И \0\
0 п W+^O+Mi)""
Следовательно, S(k) имеет полюс при k = k0; как видно
из формулы для k0, полюс расположен в нижней полу-
полуплоскости. Используя C.9), C.10), запишем S(k) вблизи
полюса в следующем виде:
В непосредственной близости к полюсу первые два мно-
множителя можно считать постоянными и положить
Л±1Ь_, C.12)
/С ~~" Ik j
Переходя от волновых векторов к энергиям, перепи-
перепишем 5 как
Шг|. C-13)
где резонансная энергия ?о и ширина Г равны
B 1):
Я i • I I К /-7 /у"~^-'ЯР i Q 1 A \
0 — ' *¦ — lO-C-o" 7—о o\o . (О.14)
§ 3] ПРИМЕР КВАЗИСТЛЦИОНЛРНОГО СОСТОЯНИЯ 305
Поучительно рассмотреть физическую причину воз-
возникновения квазистационарных состояний. Устремим
правый край R потенциального барьера к бесконечно-
бесконечности. В этом случае полюс ko будет стремиться к kn, и
в пределе мы получим потенциал, который изображен
на рис. 25 пунктирной линией. Очевидно, что у такого
потенциала спектр при k < %о становится дискретным.
Исчезают все состояния, кроме одного, при k = kn, ко-
когда выполнено условие
kn ctg knR1 + х„ = 0,
при котором волновая функция на бесконечности зату-
затухает как е~у1"г. Таким образом, в пределе R —*<х> на
месте квазистационарного возникает истинно стационар-
стационарное состояние.
Пусть теперь R — большое, но конечное число.
В этом случае истинное стационарное состояние суще-
существовать не может, так как частицы из внутренней об-
области г < R благодаря туннельному эффекту могут про-
просочиться под барьером и уйти на бесконечность. Вместо
стационарного состояния в этом случае возникает ква-
квазистационарное. Поскольку вероятность «просачивания»
при больших значениях хр очень мала, то время распа-
распада Т очень велико. Ясно, что если речь идет о малых
промежутках времени, когда возможностью распада
можно пренебречь, нестабильное состояние можно рас-
рассматривать как обычное стабильное. Иными словами,
мы можем определить «квазистационарное» состояние
как состояние, возникающее вместо стационарного при
появлении возможности распада.
Используя рассуждения предыдущего параграфа,
легко оценить время жизни Т:
г_.г Г»/4 т __2Й
1 ' 'о- г •
Физически ясно, что говорить о квазистационарном
состоянии можно, лишь если Т превышает время сво-
свободного пролета т = R/v0. Это условие выполняется в
некоторой области энергией Д? вокруг Е. Предполагая,
306 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
что 7Ут.^> 1, элементарно получаем
Отсюда ясно, что понятие «квазистационарное состоя-
состояние» не является строго определенным. Для образова-
образования сравнительно долгоживущего состояния при рассея-
рассеянии частицы на потенциале с барьером необходимо
лишь, чтобы энергия частицы отличалась от Ео не боль-
больше чем на Д?. Именно в этом смысле говорят, что ква-
квазистационарное состояние с шириной Г не обладает
фиксированной энергией, а «размазано» по некоторому
интервалу энергий ~Г |/Г0/т>Г.
Для иллюстрации разберем следующий пример.
Пусть, кроме квазистационарного состояния с энергией
Ео и шириной Г, имеется также связанное состояние с
энергией Е\. Рассмотрим процесс, в котором рассеивае-
рассеиваемая на этом потенциале частица с энергией Е испускает
у-квант, переходя при этом в связанное состояние с
энергией Е\ (радиационный захват). Вероятность w(E),
как всегда, определяется квадратом матричного эле-
элемента
w(E)~\(%E, б*,) р
где 6 — оператор электромагнитного перехода, а %х —
волновая функция связанного состояния, отличная от
нуля только в небольшой области вокруг потенциала.
Поэтому и энергетическая зависимость w(E) в основном
определяется величиной %|:
Г2/4
w (Е) = const • х| « const. (? _ ЕдJ + Г2/4 .
Если рассеивается монохроматический пучок частиц,
то испускаются монохроматические у-кванты с энергией
Е — Ег. Но вероятность выхода у-квантов, как видно из
только что написанной формулы, сильно зависит от энер-
энергии частиц. w(E) велико только тогда, когда Е близко
к Ео. Предположим теперь, что на силовой центр падает
пучок частиц с различными значениями Е, причем раз-
разброс по энергиям А? ^> Г. Радиационный захват будут
претерпевать лишь частицы, энергии которых близки
§ 3] ПРИМЕР КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ 307
к Eq. Соответственно этому энергия Y"KBaHTOB будет
близка к Eq — Еи и их спектр будет иметь вид, схема-
схематически изображенный на рис. 29. Ширина резонансной
кривой определяется формой кривой w(E) и равна Г.
Итак, ширина спектра у-квантов определяется двумя
факторами: разбросом энергии АЕ в пучке падающих ча-
частиц и шириной Г резонансного уровня. При АЕ = 0 все
кванты обладают одной и
той же энергией Е — Е\. При ш(?)
увеличении АЕ от нуля до Г
разброс в энергиях квантов
также возрастает. При даль-
дальнейшем увеличении АЕ, од-
однако, разброс не увеличи-
увеличивается, оставаясь все время / -^ ?
на уровне ~Г. Таким обра-
образом, при Г—»-0 кванты всег- . Рис. 29.
да можно считать монохро-
монохроматическими вне зависимости от величины АЕ. Картина
выглядит так, как если бы рассеиваемые частицы за-
захватывались на практически стабильное состояние
с энергией Ео, а затем, испуская квант, переходили в
нижнее состояние %,.
При малой, но конечной величине Г говорят, что
квазистационарное состояние не обладает определен-
определенным значением энергии. Здесь важно подчеркнуть, что
в каждом единичном акте образуется состояние с точно
фиксированной энергией Е, равной энергии налетающей
частицы. О неопределенности энергии квазистационар-
квазистационарного состояния можно говорить лишь в том смысле,
что для всех значений энергии Е в интервале \Е—?0| с<
^ Г возможно образование сравнительно долго живу-
живущего состояния.
Выше был выведен ряд общих формул для квазиста-
квазистационарных состояний. При их выводе учитывалась лишь
энергетическая зависимость волновой функции, связан-
связанная с полюсным членом в S(k). Все остальные величи-
величины считались постоянными. Если же нас интересуют об-
области энергий, расположенные не очень близко к полюсу
(\Е — ?0|>Г), то такая процедура уже не очень на-
надежна и при вычислении энергетических зависимостей
308 КВАЗЙСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [УЛ. V»
всех физических величин необходимо учитывать конкрет-
конкретный вид потенциала. Иными словами, в таких случаях
уже нельзя вводить общее понятие о «квазистационар-
«квазистационарном» состоянии, которое зависит от потенциала только
через Ео и Г. Строгой границы между действительными
«квазистационарными» состояниями и состояниями, су-
существенно зависящими от вида потенциала, не суще-
существует. Разные авторы помещают ее в разных местах
соответственно своим вкусам и наклонностям. Зачастую
эта граница определяется желанием интерпретировать
экспериментальные данные в пользу одной из несколь-
нескольких альтернативных теоретических возможностей.
Во избежание недоразумений мы везде ниже, делая
какое-нибудь утверждение о «квазистационарных» со-
состояниях, будем понимать это утверждение лишь в том
смысле, что оно строго выполняется в пределе Г-*0."
§ 4. Распад квазистационарного состояния
Мы видели, что при строгом рассмотрении квазиста-
квазистационарного состояния неизбежно должен входить и кон-
конкретный физический процесс образования состояния.
Если речь идет, например, о рассеянии частицы на по-
потенциале с образованием «квазистационарного» проме-
промежуточного состояния, то этот процесс описывается функ-
функцией %k(r) предыдущих параграфов, соответствующей
задаче о рассеянии. «Квазистационарность» проявляется
здесь как очень большое значение волновой функции
внутри барьера. Задачам, связанным с образованием
квазистационарного состояния в реакциях, также соот-
соответствуют совершенно специфические волновые функции.
Наконец, можно поставить вопрос о распаде квазиста-
квазистационарного состояния*). Такой постановке задачи так-
также соответствует своя волновая функция. В этом пара-
параграфе мы ее получим и постараемся проанализировать.
При этом будем следовать методу Г. Ф. Друкарева A951).
Задачу ставим следующим образом. Пусть имеется
потенциал с барьером (типа, изображенного на рис. 25).
*) Различные аспекты процесса распада квазистацнонарного со-
состояния рассмотрены в ряде работ (И. Петцольд, 1959; X. Нуссен-
цвейг, 1961; Р. Винтер, 1961; Л. Розенфельд, 1965).
§ 4] РАСПАД КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ 309
В момент времени t = 0 волновая функция внутри барь-
барьера равна %о(г) и равна нулю под барьером и вне его.
Требуется найти развитие волновой функции во времени,
т. е. найти %{r, t) при t > 0. Это — нестационарная зада-
задача, и для ее решения необходимо обратиться к времен-
временному у. Ш.
с начальным условием % \ыо = %0 и, естественно, с требо-
требованием конечности волновой функции при всех rat.
Поступим, как обычно: будем искать %(r, t) в виде раз-
разложения
%(r,t)=jdkc(k)^(r)e~lJ^, D.2)
о
где %k{r)—нормированные на 6(k — kt) решения ста-
стационарного уравнения
Эти решения, как мы уже знаем, имеют вне радиуса дей-
действия потенциала вид
Функцию c(k) в D.2) определяем из начального условия:
D.4)
Зависимость функции c(k) от k должна быть, оче-
очевидно, такой же, как и у волновых функций %^. Это оз-
означает, что c(k) можно представить в виде (сравни
с D.3))
с (k) = у (a (ik) Sv' (k) - а (- ik) S"Vl (k)\ D.5)
где a{ik) — какая-то плавная функция k. Выписанные
выше формулы показывают, что подынтегральное
310
КВАЗЙСТАЦИОНАРНЫЁ СОСТОЯНИЯ
itn.
выражение в D.2) является четной функцией k. Исполь-
Используя это, приводим D.2) к следующему виду:
ikr-
lEt
dk [а Щ S(k)-a(- ik)\ e r h . D.6)
Удобно ввести новую переменную
Произведя преобразование переменных в D.6), по-
получаем
/7 оо
X(r,t) = B j dye-S[a(ik(y))S(k(y))-a(-ik(y))], D.8)
-/7
В
= - i/ m
~ V ты
Imr1
JULp~2hf
inht e
у
Путь интегрирования в этом интеграле (рис. 30) распо-
расположен очень неудобно, так как везде вдоль него е~у2 яв-
является осциллирующей вели-
величиной. Поэтому сместим путь
интегрирования на действи-
тельную ось. При этом е~У2
будет быстро спадать как в
сторону положительных, так и
в сторону отрицательных у.
Функции а гладкие, они не
содержат никаких особенно-
особенностей, которые могли бы поме-
помешать деформации пути инте-
интегрирования. Другое дело функ-
ция ^(^)> относительно кото-
которой мы наверняка знаем, что
она имеет особенности. Посмотрим, где они распо-
расположены.
Наиболее общее выражение для S(k) в случае од-
одного квазистационарного состояния есть (см. B.2))
(k-k*0)(k + k0)
¦ S(k) = S0(k)± Ц °J-.
Рис 30.
§4] РАСПАД КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ 311
Здесь So{k) —некая гладкая функция k, a ko— положе-
положение полюса. Переходя к переменной у, находим
I / ifit (mr
mr
Ы
Надо различать два случая.
1. г > vpt, где vp — скорость, отвечающая резонанс-
резонансной энергии: vp = —L, ki—действительная часть ko:
k0 2= kt — ik2. В этом случае полюса функции S(k(y))
лежат в заштрихованных областях на рис. 30 и не ме-
мешают перемещению контура интегрирования на действи-
действительную ось. Из-за наличия в подынтегральном выраже-
выражении D.8) экспоненты е~у' основной вклад в интеграл
дает область у »= 0, и мы приближенно получаем
Х„ (г, t) = BV^ S1'1 (k @)) lc (k @)), D.10)
где индекс «н» отвечает нерезонансному случаю. Здесь
S(k) и c(k) должны браться при таком значении ар-
аргумента k, которому соответствует равенство у = 0, т. е.
?@) = тг/М. Таким образом, &@)—это то значение
волнового вектора k, которым должна обладать частица,
вылетевшая в момент t = 0 из начала координат и по-
попавшая к моменту t в точку г.
Как видно из D.10), значение функции Хн(^> t) це-
целиком определяется коэффициентом c(k @)), показы-
показывающим, какая доля начального состояния соответствует
частицам с волновым вектором k@). Таким образом, %-в
описывает частицы, покинувшие начало координат в мо-
момент t = 0, т. е. сразу же после образования начального
состояния х0< Физически это означает, что частицы с та-
таким k покидают область с отличным от нуля потенциа-
потенциалом мгновенно, не задерживаясь.
Более сложная картина возникает, если выполняется
неравенство
2. г < vvt. В этом случае rut таковы, что в точке г
мы можем наблюдать не только быстрые частицы
312
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. VII
с v > vp, но и частицы со скоростями v ^ vp. Как видно
из D.9), полюса в S(k(y)) теперь располагаются так,
что один из них мешает пере-
перемещению контура интегрирова-
интегрирования на действительную ось.
Это — полюс, расположенный
в незаштрихованной области
рис. 31 в точке
У
/№ (т ( г\ .
Соответственно этому при
вычислении интеграла D.6)
возникают два члена: один из
Рис. 31. вкладов в интеграл дает об-
область у = 0; при этом мы по-
получаем член, полностью аналогичный Хн в D.10); второй
вклад в интеграл дает полюс. В результате мы получим
%(r,t) = xAr, t) + %p(r, t), 1
D.И)
%p (r, t)=- 2mBa (ik0) e *> Res S (k (yi)). J
Первый член %н имеет здесь тот же самый смысл, что
и раньше. Он соответствует частицам со скоростью
о = т-, мгновенно вылетевшим из области действия по-
потенциала.
Второй член гораздо интереснее. Несмотря на то,
что полюс у = у\ расположен далеко от действительной
оси, он дает большой вклад в интеграл, и отвечающий
ему второй член может оказаться гораздо больше пер-
первого. Это объясняется тем, что в точке полюса е~У2 не
мало. Возвращаясь от у к переменной k, запишем до-
дополнительный член в D.11) в виде
r-^l-S- (t L
D.12)
Все плавные функции здесь берутся в точке k = ko,
т. е. в точке полюса, отвечающего квазистационарному
состоянию; %р имеет вид бегущей волны, передний фронт
которой распространяется со скоростью vv.
§ 4) РАСПАД КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ 3l3
Оценим величины коэффициентов c(k) и a(iku), вхо-
входящих в Хн и хР. Для c(k) имеем
с(Ь)= jmkdr~xoR D.13)
(R — радиус потенциала). Чтобы дать оценку для a(iko),
заметим, что при k ^ ko функцию хь можем предста-
представить в виде A(k)yp)(r), где х@) нормирована на единицу
(см. B.5)), a A2(k) имеет полюс в точке k = &0 (см.
B.7)). Следовательно, имеем цепочку равенств
с (k) = I (a (ik) S'/2 (k) - а (- ik) S'4' (k)) ~
R
0
Так как при k-+k0 S~l(k)-*O, то отсюда следует:
a (flfeo) = % ^Л Hm S~Vl (й) Л (fe) =
D.14)
Отметим аналогию между c(k) и a(ik0). Введем для
этого решение
U (г) - 2/ |/f S-\k (г) ~ еш - S-1 (k) е
ш
которое при k-+ko переходит в решение хр> отвечающее
комплексному собственному значению энергии Eq — /Г/2
и асимптотически ведущее себя как eikar. Соответствую-
Соответствующий интеграл перекрытия с равен
= /2я (a (ik) - а (- /*) S (k)).
Переходя в этом равенстве к пределу k-+ko, получаем
r. D.15)
314 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЁ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. Vtl
Таким образом, и c(k) и a(iko) — это интегралы пере-
перекрытия с %'О, но для разных функций: c(k)—для функ-
функций с действительными ?, a a{iko) — для функции, отве-
отвечающей комплексному собственному значению энергии.
При анализе формул D.10) —D.15) нужно помнить
условия, при которых они получены: при вычислении
интеграла D.8) считалось, что подынтегральное выра-
выражение (за исключением е~у2) слабо зависит от у при
у ~ 0. Это справедливо, если все величины, входящие
в подынтегральное выражение D.8), мало меняются при
изменении у на единицу.
Изменению у на Ay ~ 1 соответствует изменение
)
Для правомочности вычислений необходимо, чтобы 'Aft
было меньше, чем интервал 8k, внутри которого S(k) и
oc(ik) можно считать постоянными.
В ядерной физике характерный интервал неравно-
мерностей составляет 1 кэв, а энергии порядка 1 Мэв;
8k равно
Отсюда находим время t, начиная с которого Ak < 6k:
FЕJ 10~18
В атомных явлениях б? ~ 0,1 эв, Е ~ 10 эв,
В физике элементарных частиц 6Е ~ 10 Мэв, Е
— 1000 Мэв,
,. 10~3- 10~27 1Л-20
сек.
Эти оценки показывают, что формулы D.10) — D.14)
справедливы практически при всех доступных измерению
временах. Лишь в первый момент после начала распада
эти формулы неприменимы.
§ 5] ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 315
§ 5. Закон радиоактивного распада
Физический смысл формул предыдущего параграфа
ясен: в момент времени t = 0 волновая функция ifo^)
не соответствовала состоянию с определенной энергией.
Вероятность найти частицу с энергией Е (и соответ-
соответственно с волновым вектором k) пропорциональна, со-
согласно общим правилам квантовой механики, квадрату
матричного элемента @|&)= Г ^*0\pkdr. Поэтому с точки
зрения элементарной физики следует ожидать, что кар-
картина «расплывания» начального состояния будет сле-
следующей: если частицы с энергией Е не задерживаются
внутри потенциального барьера, а сразу же из него
вылетают, то через время t они будут находиться в точ-
точке r — vt. Это как раз то, что мы видим в D.10) и в
первом члене D.11): амплитуда волновой функции в
точке г пропорциональна амплитуде состояния с энер-
энергией Е (соответствующей скорости v = fik/tn) в началь-
начальной волновой функции.
Если же энергия Е близка к энергии Ео квазистацио-
квазистационарного состояния, то мы должны на основании элемен-
элементарных кинематических соображений ожидать, что при
г > vpt этих частиц еще наблюдаться не будет: они еще
не успеют дойти до этой точки. При г < vvt, однако,
эти частицы должны наблюдаться при всех г, так как
если состояние живет в течение какого-то времени т, то
эти частицы будут наблюдаться не только в точке
г — vpt, но и в точке г = vp(t — т). Если частица живет
время т с вероятностью Р(х), то плотность частиц (на
расстоянии г от источника в момент времени /) должна
быть пропорциональна Р {% —J. Именно такому слу-
случаю и соответствует второй, резонансный член в D.11).
Более того, из вида этого члена можно заключить, что
при энергии Е ~ Ео образуется «квазистационарное»
состояние, вероятность распада которого в момент т
Гт
после образования пропорциональна е h . Мы прихо-
приходим, таким образом, к известному закону радиоактив-
радиоактивного распада. Распределение плотности вероятности
316
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. VII
\*(rft)\
частиц |ij)(r, t) |2 в момент времени / имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 32. Максимум при малых г соответ-
соответствует области внутри барьера, а максимум при боль-
больших г отвечает распаду «квазистационарного» состоя-
состояния при t — 0 сразу же после его образования; этот
максимум движется со
скоростью vp. Из-за
непрерывного распада
плотность частиц в
квазистационарном со-
состоянии постепенно
уменьшается. Справа,
т. е. при г > vpt, плот-
плотность вероятности
меньше, так как «рас-
Рис. 32. падные» частицы еще
не успели дойти туда.
Непрерывный «фон» частиц при г > vpt обязан тому,
что в начальном распределении присутствуют частицы
любых энергий.
Напомним здесь, что в стационарной теории в каче-
качестве волновой функции квазистационарного состояния
обычно берут то решение cph(r, t) у. Ш., которое удов-
удовлетворяет граничному условию при г —0, а при г—»¦ оо
ведет себя как е ч г 'h («о—комплексно).
С другой стороны, при действительных k мы имеем вол-
волновую функцию задачи о рассеянии, которая асимпто-
асимптотически равна
Xk
lEt
ft ~_
— \e
lkrS''°(k)-e
— ikr c~'l
iEt
E.1)
Квазистационарному состоянию соответствует полюс
S(k). Разделив %k(r) на — S>h(k), получим, что при
k-*k0 второй член пропадает и
S1'* (ft)
E.2)
§ 5] ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 317
Таким образом, оба типа решений тесно связаны друг
с другом. Польза введения функций фйо очевидна.
Прежде всего, значение k0, при котором у. Ш. допускает
решение типа фАо, сразу определяет положение и ши-
ширину квазистационарного состояния. Кроме того, срав-
сравнивая E.2) с D.12), мы видим, что ф^ при r<vpt пра-
правильно передает зависимость истинной волновой функ-
функции -ф (г, /) распадного состояния от г и / (здесь /
отсчитывается от момента создания распадного со-
состояния).
В литературе довольно часто дискутируется вопрос
о том, экспоненциален ли радиоактивный распад или
нет (Л. А. Халфин, 1956, 1957; Ю. Швингер, 1960В;
Р. Ньютон, 1961). По этому поводу можно сказать сле-
следующее. Из формулы D.11) предыдущего параграфа
следует, что | ф(г, /) |2 убывает как функция времени не-
неэкспоненциально. Это понятно, так как, задав произ-
произвольно начальное состояние $о(г), мы создаем суперпо-
суперпозицию квазистационарного состояния, экспоненциально
затухающего, и пакета частиц, обладающего непрерыв-
непрерывным спектром, которые и дают неэкспоненциальный
первый член в D.11)*). Такое явление физически не-
неизбежно.
Если доминирующим в ф(г, t) является резонансный
член, как это почти при всех условиях и бывает, то рас-
распад экспоненциален. В том, что резонансный член почти
всегда является основным, нетрудно убедиться. Исполь-
Используя приведенные в этой главе формулы, легко оценить
отношение квадратов модулей первого и второго членов
в волновой функции D.11) при г -С vpt. По порядку ве-
величины это отношение равно
'Фи 2 Й vt,H _ T^ t^ щ / _ А /"С О\
ib EtE*t ' °~ Г ¦ ^ '
Зависимость этой величины от / схематически изоб-
изображена на рис. 33, из которого видно, что нерезонанс-
*) При использовании полной системы стационарных состояний
неэкспоненциальность распада следует из теоремы Н. С. Крылова,
В. А. Фока A947) (согласно которой закон распада полностью опре-
определяется энергетическим спектром начального состояния), поскольку
этот спектр ограничен снизу.
318
К.ВАЗИСТАЦИ0НАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. VII
ный член в волновой функции больше резонансного
лишь при очень малых (t<ti) или при очень больших
(/ > /2) временах. Для U и t2 имеем приближенно
E.4)
При промежуточных значениях времени доминирующим
оказывается резонансный член. Это означает, что для
всех t в пределах t\<t<
</г распад можно счи-
считать экспоненциальным.
В практически наибо-
наиболее интересных случаях
а-распада Ео *» 1 Мэв *»
^ 10 эрг, to > 1 сек,
Г <5 Ю-15 эв » Ю-27 эрг.
Отсюда получаем
Рис. 33.
,//0 ~ 50.
E.5)
Из этих оценок следу-
следует, что а-распад с колос-
колоссальной точностью должен следовать экспоненциальному
закону. Отклонение от экспоненциальности могло бы на-
наблюдаться лишь в первое мгновение после создания
распадного состояния либо же при очень больших вре-
временах (t > 50 to), когда от распадающегося вещества
уже практически ничего не осталось (е~50 «* 10~20).
Итак, радиоактивный распад экспоненциален, если
ширина Г достаточно мала (Г<С.?о). В задачах ядер-
ядерной физики Ео по порядку величины равна 1 Мэв и для
экспоненциальности распада необходимо, чтобы
Г <§С 1 Мэв. В физике элементарных частиц Ео ~ 100 —
—1000 Мэв. В атомной физике Ео ~ 10 эв.
случаях имеем соответственно Г <С 100—1000
Г< 10 эв.
Нужно, однако, всегда помнить, что при этом было
использовано очень существенное предположение. При
выводе формул предыдущего параграфа считалось, что
В этих
Мэв и
§ 5] ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 319
величины @|&)= I -ф*tyhdr, So и а слабо зависят от k.
Это не всегда так. Можно создать волновой пакет с раз-
разбросом по энергии
и средним значением Е где-нибудь в интервале [Eq — Г,
Ео + Г]. В этом случае все выписанные выше величины
типа Sj, а будут очень сильно меняться в области во-
вокруг Е и, как нетрудно убедиться прямым расчетом,
в точности аналогичным проделанному в предыдущем
параграфе, закон распада не будет иметь ничего общего
с экспоненциальным.
Можно сказать по-другому, что при АЕ ^> Г вероят-
вероятность образования квазистационарного состояния с энер-
энергией Е не зависит от АЕ и дается формулой
(распределение такого вида называется распределением
Лоренца).
Если распределение вероятности не лоренцево, то
нет и экспоненциального закона распада. Этот случай
легко осуществляется на практике. Пусть, например,
атом находится во втором возбужденном состоянии,
ширина которого Гг много меньше ширины Г] первого
возбужденного состояния. Пусть при этом возможен
каскадный упереход: система излучает квант уг (энер-
(энергия йиг) и переходит на первый уровень, с которого за-
затем путем излучения кванта yi (энергия Scoi) переходит
на основное состояние. Энергия кванта уг может быть
измерена. Пусть эксперимент ставится таким образом,
что йоJ измеряется с точностью Д(йю2)<^Г1. При этом
первый уровень заселяется отнюдь не по лоренцеву за-
закону; заселяется лишь какая-то его часть. В этом слу-
случае временная зависимость распада первого уровня не
будет иметь ничего общего с экспонентой.
Если, однако, Гг ^> Г] и второй уровень заселен весь
(т. е. во всем интервале Д? ~ Гг), то первый уровень
всегда заселяется по лоренцеву закону и распадается
экспоненциально.
320 КВАЗИСТАЦЙОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
§ 6. Обобщение нормировки и теория возмущений
для квазистационарных состояний
До сих пор мы в основном говорили о специфиче-
специфических распадных свойствах квазистационарных состоя-
состояний. Формально эти состояния находятся в непрерывном
спектре, однако из-за достаточно большого времени
жизни они обладают рядом физических и формальных
свойств, сближающих их с истинно стационарными со-
состояниями. В частности, можно ввести эффективный
нормировочный интеграл для квазистационарных со-
состояний и получить ряд результатов, очень близких к
аналогичным результатам для стационарных состояний.
При описании теории возмущений для квазистацио-
квазистационарных состояний*) мы будем следовать работе
Я. Б. Зельдовича A960).
Пусть в невозмущенном потенциале V(r) частица
имеет квазистационарное состояние в точке &o = &i — ik%
Добавим к потенциалу возмущение 6V. Как изменятся
величины ki и &2 (т. е. положение Еа и ширина Г резо-
резонанса)? Эту задачу можно решить следующим образом.
Введем вместо волновой функции %k{r) ее логариф-
логарифмическую производную
С помощью у. Ш., которому удовлетворяет %k{r), легко
найти уравнение для z\C-
z'k(r) + z2k(r) + (k2-V) = 0. F.1)
Так как для состояния с моментом / регулярная в
нуле функция %h всегда ведет себя при малых г, как
art+l, где а = const, то z(r)~* независимо от вида
г->0 г
*) Такая теория впервые была развита в работе П. Капура и
Р. Пайерлса A938). Вопрос о разложении волновой функции непре-
непрерывного спектра в ряд по системе волновых функций квазистацио-
нариых состояний рассмотрен в работе В. И. Сердобольского A959).
§ 6] ОБОБЩЕНИЕ НОРМИРОВКИ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 321
потенциала. При больших г интересующее нас решение
ведет себя как е1Ы и z(r)-*ik0.
Г->оо
Введем возмущение bV. При этом у 2/, появляется
приращение bzk; кроме того, смещается и положение
квазистационарного уровня: k0 —*ko + bko. Из F.1) для
62ft находим уравнение
(bzk)' = - 2zk bzk + bV - 2k0 bk0. F.2)
Поскольку предел z(r) при г—*0 не зависит от k, bz^
должно удовлетворять граничному условию
6zfe@) = 0. F.3)
Решение уравнения F.2), удовлетворяющее этому усло-
условию, как легко видеть, имеет вид
\ \
bzk(r) = exp\ -
X J \[bV (/) - 2k0 bk0]exp 2 j 2fe (/¦") dr" dr'
о I L о
При больших г, когда %fe)~Ce'fo>rJ логарифмическая
производная всегда равна ik0, и bz(oo) = ibk0 как раз
дает поправку к энергии и ширине квазистационарного
состояния. Из F.4) в этом случае следует (при / = 0)
г г
i bk0 {Ceikrf = - 2k0 bk0 J %l(r') dr' + J bV%l (/) dr',
о о
что можно переписать как
2k0bk0 » bk20 = -^ • F.5)
322 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Заметим, что, строго говоря, эта формула верна, лишь
если V и 8V обращаются в нуль начиная с какого-то
значения радиуса г = R. Только в этом случае можно
считать, что: а) при достаточно больших г функция
СеШг = х^ и б) можно распространить верхний предел
интегрирования до бесконечности.
Формула F.5) решает нашу задачу. При введении
возмущения изменяются положение и ширина квази-
квазистационарного состояния:
Формула F.5) очень похожа на обычную формулу
теории возмущений для сдвига уровня; имеются только
два отличия: во-первых, в нее входят квадраты волно-
волновых функций Xft,t а не квадраты модулей |%&|2; во-вто-
во-вторых, в обычной формуле в знаменателе стоит норми-
оо
ровочный интеграл \\%k\2dr, а не то, что в F.5).
о
оо
В связи с этим заметим, что интеграл Г IXftJ2^/" рас-
о
ходится, поскольку подынтегральное выражение экспо-
оо
ненциально возрастает при г—»оо. Интеграл | yjj^dr в
о
обычном смысле слова также не существует, однако
подынтегральное выражение возрастает при г—>оо,
осциллируя, и, как мы сейчас покажем, этот интеграл
можно регуляризовать. Для этого недостаточно умно-
умножить подынтегральную функцию на е""' и устремить
затем а к нулю. Можно, однако, показать, что суще-
существует
оо оо
Ит J %l (r) e-~ rfr - J [xl ~ {Ce^f\ dr~^-t F.6)
a->00
§ 6] ОБОБЩЕНИЕ НОРМИРОВКИ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 323
в силу чего знаменатель в F.5) можно рассматривать
как нормировочный интеграл функции х^ *)•
Если поэтому мы условимся называть нормировоч-
нормировочным интегралом предел
J l&dr - Iim jfc-*dr. F.7)
то F.5) можно переписать в более привычной форме:
4= . F.8)
*) Действительно, как нетрудно видеть, интеграл выражается
через функцию ошибок Ф:
Г g-or42i <*.-*« rdr= Г e-
0 0
(cos 2Ajr + / sin 2ft,
Поскольку a-»-0, то для Ф можно воспользоваться асимптотическим
выражением
2 Г а я
я k0 2ik0'
о
С другой стороны, при R < г
г г
J ZiRq a->0 J
О О
Г оо
+ Iim Г e~ari {Ceik"f dr = Iim Г в -"V (r) rfr.
О О
При этом мы воспользовались тем, что обрезающий множитель e-w"
в первом интеграле при а -*¦ 0 в силу равенства нулю члена в ква-
квадратной скобке при г >_ R не меняет значения этого интеграла.
324 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Отметим тут же, что данное выше определение нор-
нормировочного интеграла для квазистационарных состоя-
состояний оказывается полезным и в ряде других задач; так,
например, в следующем параграфе будет показано, как
с помощью этой техники можно найти коэффициент а,
определяющий промежуточную асимптотику волновой
функции.
§ 7. Асимптотика волновой функции при г—»• оо и t-*oo
Этот вопрос уже рассматривался выше, но нас в
основном интересовало тогда выяснение физики про-
процесса. Теперь мы остановимся на формальной стороне
дела. Найдем асимптотический вид волновой функции
i|)(r,/) при r-»oo, t—*oo, если ijj(/-, 0) = ij)o(r).
Эта задача была решена в работе Я- Б. Зельдовича
(I960) методом Лапласа. Применим его к сферически-
симметричной задаче, в которой потенциал V(r), иско-
искомая i§{r,t) и начальная ijj(r,0) зависят только от г.
Введем новую функцию ty(r,s):
l^(r,t)dt. G.1)
о
Полагая s = ц + ш, найдем, что
оо оо
ф (г, s)=-ij e-at$ (r, t) el* dt = J f (r, t) e** dt, G.2)
j
0
т. е. г|)(г, s) есть фурье-образ функции, равной
f(r,t) = O при f<0,
f{r,t)=-ie-°^{r,t) при
По формулам обращения находим / и элементарно по-
получаем
, 1
. J
J $(r>s)e-isi<is- G.4)
t
J
co+ta
Интеграл G.2) существует для /, убывающей при
t—>оо, т. е. для <7>0. Однако мы будем рассматривать
§ 7] АСИМПТОТИКА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ 325
также i}j(r, s) и при а<0 как аналитическое продолже-
продолжение функции ijj(r, s), заданной интегралом при а > 0.
Рассмотрим у. Ш.
tti!?0.= _ *L^{r, t)+ C/(rL>(r, 0.
умножим его на — /e'sf и проинтегрируем по времени.
Получим
- fis-ф (г, s) - ^ Дф (г, s) + (/ (г) ф (г, s) - - Sih, (г). G.5),
При ;этом предполагается, что при г > R
lim e's^(r, 0 = 0,
для чего нужно о > 0, т. е. точка s должна находиться
в верхней полуплоскости комплексного переменного s
(рис. 34). Полагаем, что
г) = ?/(/-) = 0 при r>R. G.6)
Тогда при г > R
ab (r, s) = f(s) — e h +ft(s) — e й г. G 7)
При о > О определим j/ 2ms как положительный корень
на положительном луче вещественной оси в плоско-
плоскости s; для однозначности ^
сделаем разрез на отри-
отрицательном луче веще- <
ственной оси (а=0, т]<0, »
s—ц + ia). Очевидно, что
при а > 0 первый член
в G.7) при г^оо по мо-
модулю экспоненциально,
убывает, а второй член . Рис. 34.
экспоненциально возра-
возрастает. Но при а > 0, когда ф(г, s) определяется сходя-
сходящимся интегралом, г|з(г, s) заведомо не растет при боль-
больших г. Поэтому полагаем f\(s) = 0.
Другими словами, при определении if (r, s) как об-
образа решения нестационарного у. Ш., при естественных
326 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
ограничениях начального состояния t|>o(r) получается,
что на г|э(г, s) наложено условие смыкания с расходя-
расходящейся волной
Это условие первоначально получено для верхней по-
полуплоскости s. Как уже указывалось, в нижней полу-
полуплоскости 5 функция ty(r,s) определяется не как ин-
интеграл, а как аналитическое продолжение it>(r, s), за-
заданной в верхней полуплоскости. При этом необходимо
сохранить и в нижней полуплоскости то же условие
смыкания с первым членом в G.7).
Интересующее нас распадное состояние удовлетво-
удовлетворяет уравнению
- Е$Е (г) - -^ Дф? (г) + U (г) ЦЕ (г) = 0 G.8)
и условию смыкания с расходящейся волной при опре-
определенном Е = Ей — tT/2. Следовательно, потенциал U (г)
таков, что уравнение G.5) при us = Е имеет нетриви-
нетривиальное решение при равной нулю правой части.
Отсюда следует, что общее решение неоднородного
уравнения G.5) должно иметь полюс в точке us = Е,
т. е. в нижнем правом квадранте s. Решение должно
иметь вид
| ^^|) G.9)
hs-*E US-С
где if i (r, s) конечно при hs = Е.
Задача заключается в определении коэффициента а.
Для этого умножим G.5) на 1|)в(г), а G.8)—на ty(r,s),
вычтем одно из другого и проинтегрируем от 0 до R.
Используя то обстоятельство, что вне потенциала при
2тЕ , . 1/ 2ms
г 1 « V
Ca
я — E *
§7]
АСИМПТОТИКА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
32?
после несложных выкладок получим
(bs-E)< iCf{s)
л<
dr U
теперь подставляем
(r)
/(«)¦
аС 1
6s-Я г
переходим к пределу bs—*E и распространяем интегралы
до R = оо, пользуясь тем, что подынтегральные выра-
выражения при г > R равны нулю.
Получаем
а =
|/m
Г А»
2т?
(Г^0 '
G.10)
(г)J
где интеграл Г (r-$EJdr= \ %2kdr в знаменателе пони-
0 0
мается в смысле формулы F.7) предыдущего пара-
параграфа.
328 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Подставляя выражение G.9) в формулу обраще-
обращения G.4), получим вклад от обхода полюса hs = Е
iEt
J K
2—^ . G.11)
J (гм?Е (г))*
dr
В таком виде формула полностью подобна обычному
выражению, которое мы получили бы в случае отрица-
отрицательного вещественного собственного значения в ди-
оо
скретном спектре. Скалярное произведение Г /-2<ф0-ф?. dr
о
оо
и норма Г ^r2dr в смысле F.7) одинаково входят
о
как в задачу теории возмущений, так и в нестационар-
нестационарную задачу.
§ 8. Рождение нестабильной частицы
Пусть в результате реакции пара стабильных частиц
может превращаться в пару других стабильных частиц:
a + X-^b + Y. (8.1)
Что изменится в ходе этой реакции, если одна из ко-
конечных частиц, скажем, Y, является нестабильной и
с течением времени распадается, т. е.
Y-+c + d. (8.2)
Прежде всего ясно, что при г—>оо частица Y никогда
наблюдаться не будет; туда дойдут только продукты ее
распада. Это означает, что формально мы имеем дело
с трехчастичной реакцией
X+a->b + c + d. (8.3)
§ 8] РОЖДЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 329
Ниже мы увидим, однако, что этот процесс можно
представлять себе идущим по двум путям
b + c + d,
X + а (8.3')
b + Y^b + c + d,
т. е. с непосредственным образованием сразу трех ча-
частиц, и двухэтапным способом, когда сначала в реакции
образуются b + Y, а потом уже Y распадается на с + d.
Физический процесс, в котором рождаются частицы,
можно всегда представлять себе следующим образом.
При столкновении начальных частиц образуется проме-
промежуточное состояние, в котором может происходить пе-
перестройка этих частиц. Радиус R промежуточного со-
состояния (радиус реакции) обычно бывает порядка
радиуса сил взаимодействия между частицами. Через
какой-то отрезок времени промежуточное состояние рас-
распадается либо на исходные, либо на какие-то новые
частицы. В первом случае мы имеем упругое или не-
неупругое рассеяние, второй случай соответствует реакции.
Таким образом, промежуточное состояние играет роль
источника образующихся в реакции частиц. Поэтому
процесс рождения частиц, скажем, в реакции (8.1)
можно формально описать, рассматривая у. Ш. с источ-
источником:
(Hb + Hc + Hd+Ucd-E)q> = Q, (8.4)
где Нь, Нс, Hd — гамильтонианы свободных частиц Ь, с
и d, Ucd — потенциал взаимодействия между с и d, a
Q — функция источника. Q, вообще говоря, зависит от
полной энергии Е, но в тех случаях, которые будут нас
интересовать, этой зависимостью можно пренебречь.
В уравнении (8.4) мы для простоты пренебрегли
взаимодействием частицы Ь с частицами с и d. Потен-
Потенциал UCd, однако, необходимо оставить, так как именно
это взаимодействие обусловливает существование не-
нестабильной частицы Y.
Сейчас мы выведем общие формулы для определе-
определения скорости различных реакций, описываемых уравне-
330 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
нием (8.3'). Чтобы охватить наиболее важные случаи,
будем считать взаимодействие между cud таким, что
существует:
а) связанное состояние пары с + d с энергией —е0
(ео > 0); это состояние будем называть частицей Yo;
б) квазистационарное состояние пары с + d с энер-
энергией Ео и шириной Г (нестабильная частица Y).
Чтобы облегчить сравнение между процессами рож-
рождения стабильных и нестабильных частиц, положим
спины Уо и Y одинаковыми и равными нулю. В зависи-
зависимости от величины полной энергии Е возможны разные
процессы:
1) при Е <—е0 обе реакции энергетически невоз-
невозможны;
2) в случае —ео < Е < 0 возможна реакция с обра-
образованием Yo;
3) если 0 < Е < Ео, то наряду с последней реакцией
становится возможным образование всех трех частиц
b + с + d в свободном состоянии, но образование Y еще
запрещено;
4) образование частицы Y энергетически возможно
лишь при Е > Ео.
Все эти случаи будут ниже рассмотрены по порядку.
В системе центра инерции у. Ш. имеет вид
) = Q. (8.5)
Здесь г — расстояние между cud:
r = rc- rd,
р — расстояние между b и центром тяжести пары (c+d):
_ _ _
и b
mc+md '
a m и ft — соответствующие приведенные массы:
_ mb (mc + md)
mi, + trie + та '
§ 8] РОЖДЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 331
Пользуясь формулой D.2) гл. IV для функции Грина,
запишем ф как
со
ф('' P>~sr J deG*+)(r> r0G^(p» p,)Q('i. pO *irfPi.
—oo
(8,6)
где Ge и GE-e— одночастичные функции Грина:
Волновая функция ф(г,р) зависит от двух коорди-
координат. Однако ясно, что для определения полного числа
актов рождения трех частиц b + с + d достаточно найти
поток только одной из частиц, скажем Ь. Чтобы сделать
это, разложим <р(г, р) по собственным состояниям па-
пары с + d.
Полный набор волновых функций пары с + d состоит
из волновой функции связанного состояния (частица Ко)
—7=—%о(г) и из нормированных на 6(k — ki) волно-
V 4я г
вых функций непрерывного спектра ^+)(r). Таким об-
образом, разложение имеет вид
Ф (г, Р) = Фо (Р)у=- ^Г+j dkW] (r) % (Р), (8.7)
где
(gJ/)
Левые части этих выражений можно рассматривать как
волновые функции частицы b при условии, что пара
с + d образуется в связанном состоянии и в состоянии
непрерывного спектра соответственно.
332 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Пользуясь известными из четвертой главы свойства-
свойствами функций Грина, а также формулой
оо
J Ж», <??!,, (р, р,) E|_e + ,-Y = - Ge-b(P, Pi),
2л/
получаем из (8.6) — (8.7')
2т 1
в*** 2m I r tq.&- I
Фо(Р)~ ZT— dr1dplQ(rl, р,)е р -?==
р-»» р Ъ2 4л J У 4л
V J rf^^ ^ ) "~
р -w -ы J
Здесь
Яо=л у j2 (^ + &о)> Я ~ У fit \Е е), е — ~ »
для перехода к асимптотике р—>оо использовалась фор-
формула B.13) гл. IV.
В общем случае амплитуды /о и fk зависят не только
от Е и е, но и от направления вектора р. Будем считать
радиус R источника достаточно малым, так что qR -С 1.
При этом экспоненту в подынтегральном выражении
можно заменить единицей и зависимость от р/р пропа-
пропадает. Функции Ф при этом становятся сферически-сим-
сферически-симметричными. Физически это соответствует тому, что ча-
частицы b образуются только в s-состоянии.
Полный выход реакции, в которой образуются ча-
частица b и связанное состояние Уо пары с + d, равен
проинтегрированному по поверхности большой сферы
потоку:
Г 2 /Й ( * * \ I с 12
/„ = р rfQp -о— (ФоУрФо — Фо УрФо) = 4яг>л, fо ,
Vi4 = —>
dQp — элемент телесного угла в направлении вектора р.
§ 8] РОЖДЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 333
Аналогично выход j{k)dk реакции, в которой им-
импульс относительного движения частиц с + d находится
в интервале dk вокруг к, есть
-ч т
Проинтегрировав по всем направлениям вектора к и
переходя от dk к de, получим
/() 2/,м(),
lm
Jim (в) =
= "Г V | J *xWto ?) 7Г *» ('i> Q ('•• P.) ^ i f- (8-9)
Здесь /im(e) — это выход реакции при заданной энер-
энергии е и числах /, т относительно движения частиц c+d.
Сравним выходы двухчастичной и трехчастичной ре-
реакций. Для оценки jY заметим, что радиус Уо порядка
1 / й2 V/*
-т— = \-х— и, следовательно, нормированная на еди-
ницу радиальная функция %0{г) по порядку величины
равна (-^frM' '• Полный выход частиц Уо равен
= Ло Y&Q (Е + ео);
2т 1 Г - . Q (г,, Р,)
TS-^J drdp—й
1 Г -
(8.10)
Здесь Ло от энергии не зависит.
Рассмотрим теперь выход трехчастичной реакции
X + a-*b + c + d. Полную энергию Е будем сначала
считать меньшей, чем энергия Eq квазистационарного
состояния пары c + d (частица У), так что образование
последней энергетически невозможно. Все три частицы
Ь, с, d вылетают поэтому из источника Q независимо.
При малых энергиях весь выход будет определяться
только членом /Oo(e)de в (8.9). Это следует из того, что
%hi(f\) ~ (kr\)l+l и при />0 соответствующие члены
дадут ничтожный вклад. Для оценки /Oo(e)rfe заметим,
что %ho(fi) под знаком интеграла в (8.9) можно прибли-
334
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. VII
женно заменить на kR (R— радиус источника Q). По-
Получаем
^ ^ (8.11)
Здесь Ао — та же самая постоянная, что и в (8.10), а
$i — постоянная размерности энергии. Численно она рав-
равна той энергии, которую имеет частица с массой ц,
заключенная в объем радиуса R. В задачах ядерной
физики 8i ~ 1 Мэв, в задачах физики элементарных ча-
частиц ei ~ 100 Мэв.
Распределение частиц по энергиям в трехчастичной
реакции дается формулой (8.11). Вид функции /(е) изо-
изображен кривой / на рис. 35.
Полный выход трехчастичной
jm
реакции равен
Е
-?-
. (8.110
Будем теперь увеличивать
6 энергию Е до тех пор, пока
Рис. 35. она не станет сравнимой с Ео
и, следовательно, станет энер-
энергетически возможным образование нестабильной ча-
частицы У. Рассмотрим /оо (е) при е ^ Eq. Величина
радиальной волновой функции хйо (г) вблизи резонанса
сильно зависит от энергии и может достигать больших
значений. Соответствующие формулы были получены
выше (см. B.6), B.7)). Подставляя их в (8.9), полу-
получаем
/»<•)*-4, ? (f
2Е0
Г2/4
Vs(E-e)
Г (е - Е0J + Г2/4
2е,
de.
(8.12)
Как мы видим из этой формулы, /оо(е) имеет резкий
максимум при е ~ Eq (кривая 2 на рис. 35). Появление
резонансного множителя приводит к резкому увеличе-
увеличению выхода реакции при е ~ Ео. Физической причиной
этого является то, что при е »Ео вместо независимых
частиц cud вылетает квазистационарная частица Y,
§8]
РОЖДЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ
335
так что реакция практически превращается в двухча-
двухчастичную.
Ширина интервала Ае вокруг е = Ео, внутри кото-
которого доминирующей является двухчастичная реакция,
Рис. 36.
Рис. 37.
определяется условием (считаем для простоты, что
81 ~ Ео)
2Е0 Г2/4
Г (ЛеJ + Г2/4
= 1, т.е. Ае -
^- - ¦/§• Г.
Вычислим полный выход /V частиц Y при энергии Е,
близкой к Ео. Для этого надо проинтегрировать (8.12)
по е по «двухчастичной» области Ео — кг^Сг^СЕ:
Е
/V- J dejooie) - A0V^Re[E -(Ео-Щ]1' . (8.13)
?о-Де
Энергетическая зависимость выхода определяется мно-
множителем, полученным впервые в работе А. И. Базя
A961):
Для ?¦<?¦„-"о" •
2
График этой кривой изображен на рис. 36.
Итак, мы приходим к следующей общей картине.
Начиная с энергии Е — — е0 возможно образование
336 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
стабильной частицы Уо. Выход реакции b + Yo дается
формулой (8.10). Зависимость выхода от энергии изобра-
изображена на рис. 37. Начиная с Е = 0 становится возмож-
возможной трехчастичная реакция (формула (8.11)). При ма-
малых Е ее выход очень мал (~Е2). Наконец, при Е ^>, Ео
начинается образование нестабильной частицы У.
§ 9. Переход от квазистационарных состояний
к стационарным
Показательно, что энергетическая зависимость вы-
выхода У оказывается очень близкой к энергетической
зависимости выхода чисто двухчастичной реакции с об-
образованием Уо. При Г—»-0 сходство оказывается практи-
практически полным. Существенно, что абсолютные выходы
оказываются также близкими. Чтобы исключить влияние
кинематических факторов (фазовый объем конечного
состояния), следует сравнить выходы на одинаковом
расстоянии от соответствующих порогов. При этом по-
получаем
ВЫХОД (Ь + Y) _ -. /"_?!_ t
выход (b + Y0) ~ V е„ ~
Аналогия между квазистационарными и стационар-
стационарными состояниями велика, хотя на первый взгляд они
имеют существенно различный характер: стационарные
состояния составляют дискретный спектр, в то время
как квазистационарные лежат в непрерывном спектре;
волновые функции первых локализованы в определен-
определенной области пространства, тогда как у вторых они «раз-
«размазаны» по всему пространству. В пределе Г->0, од-
однако, квазистационарное состояние должно переходить
в стационарное. Физически это очевидно. Сейчас мы по-
попытаемся понять и формальную сторону дела.
О наиболее характерной особенности волновых функ-
функций, описывающих квазистационарные состояния, мы
уже упоминали раньше; это — очень большая величина
функции в области потенциала (см. B.7)):
R
/¦
§ 9] ПЕРЕХОД К СТАЦИОНАРНЫМ СОСТОЯНИЯМ 337
Например, у радия радиус R ~ Ю~12 см, энергия рас-
распада ?"о -—-10 Мэв » 10~5 эрг, а время жизни Гу, «
« 5000 лет (т. е. Г ~ 10~38 эрг). При Е = ? эта фор-
формула дает
R
1019
J i\dr
Насколько велика эта цифра, видно хотя бы из того,
что в интеграл от квадрата модуля а-частичной волно-
волновой функции по большому объему радиусом в 10 свето-
световых лет
10 световых лет
подавляющий вклад будет давать центральная область
г < 10~12 см. И лишь при интегрировании по сфериче-
сферическому объему с радиусом, большим чем 1015 км ~
~ 100 световых лет, начнет сказываться «внешняя» часть
волновой функции, имеющая вид 1/ — sin (kr + б).
Так как при всяком интегрировании (пусть даже в
бесконечных пределах) всегда имеются в виду гораздо
меньшие радиусы (порядка межатомных, например), то
ясно, что простирающимися до бесконечности «хвоста-
«хвостами» волновой функции всегда можно пренебречь.
В этом смысле волновая функция ядра радия, хотя она
формально и принадлежит к непрерывному спектру и
«занимает» все пространство, на самом деле локализо-
локализована внутри объема 10~12 см.
Другим проявлением большой величины %feB области
резонанса (или, что то же самое, большого времени
жизни квазистационарного состояния) является вид
энергетического спектра частиц Ь + с + d при Е > Ео.
Формально с + d могут иметь любую энергию в интер-
интервале 0 < е < Е, но фактически, как мы видели в пре-
предыдущем параграфе (см. рис. 35), значительная доля
частиц рождается почти с точно фиксированной энер-
энергией относительного движения е = Ео.
338 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
Аналогию между свойствами квазистационарных и
стационарных состояний можно сформулировать не-
несколько более строго.
Возьмем какую-нибудь функцию f(r), достаточно
быстро убывающую с ростом г. Разложим ее по соб-
собственным функциям Xfe(r) У- Ш- с потенциалом, имею-
имеющим квазистационарный уровень (см. рис. 25) при
k = k0.
Коэффициенты разложения C{k) находятся по фор-
формуле
C(k)= | ППгЛПйг'. (9.2)
о
Вклад интервала 0 < k < ио в разложение есть
Х„ X, оо
J С (k) tk (г) dk = \ xk (& J Ik (г,) f (r,) drx dk. (9.3)
0 0 0
Основной вклад в этот интеграл дает область k « &0
и г <R. В этой области можно написать (см. § 2)
%k (г) «Л (*)%?» (г), (9.4)
гДе Xfe0> слабо зависит от энергии. Поэтому (9.3) мож-
можно переписать как
¦ги (9-5)
о
где мы использовали явное выражение для A{k) *):
Г A2(k)dk~ [* hv (г/2)dk -_ » Г (Г/2) <*? _ !
О —оо
(9.6)
*) Как обычно, функция xjj.0' нормируется условием
§ 101 ВРЕМЯ СОУДАРЕНИЯ 339
Так как A2(k) имеет острый максимум при Е = ?, то
из формулы (9.6) следует, что приближенно
A2(k) = 6(k-kQ).
В этом приближении разложение произвольной функции
оо оо оо
/ (г) = JC (k) Xk (г) dk = х@) (г) J X@)fdrx + \c{k) tkdk
О 0 х„
(9.7)
имеет такой вид, как будто непрерывный спектр начи-
начинается лишь с k = хо, а в интервале 0^-k^.%0 имеется
только одно стационарное состояние х<0)(г)- (Это, конеч-
конечно, идеализация, связанная с приближенным характером
формулы (9.4), но поправки тем меньше, чем меньше Г
и чем меньший радиус имеет функция f(r).)
Именно то обстоятельство, что квазистационарные со-
состояния входят в различные разложения типа (9.7) со-
совершенно таким же образом, как и стационарные, яв-
является формальной причиной сходства этих двух типов
состояний.
§ 10. Время соударения
Рассуждения предыдущих параграфов о времени
жизни квазистационарных состояний носили интуитив-
интуитивный характер. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос бо-
более строго. Решим для начала следующую задачу
(А. И. Базь, 1964): пусть частица заданной энергии Е
рассеивается на потенциале V радиуса R. Каково сред-
среднее время Т(Е,а), проводимое частицей внутри сферы
с радиусом г = а\ а~^Ю
Нам нужно придумать какой-то механизм, который
работал бы как часы, отмеряя время, проводимое части-
частицей внути сферы г — а. Можно предложить следующий
«часовой» механизм: пусть внутри сферы г = а имеется
слабое однородное магнитное поле Я, направленное по
оси z и равное нулю при г > а, а рассеиваемые частицы
обладают магнитным моментом ц. Пусть, далее, рассеи-
рассеиваемые частицы поляризованы по оси х (это означает,
что магнитные моменты падающих- на рассеиватель ча-
частиц направлены по оси х). До тех пор, пока частица
340 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. VII
находится вне сферы г = а, на магнитный момент не дей-
действуют никакие силы и его направление остается посто-
постоянным. Но как только частица попадет в область г *Са,
где есть магнитное поле, магнитный момент начнет пре-
2цЯ
цессировать вокруг направления поля с частотой <в = -*=—.
(Изменением энергии частицы из-за взаимодействия
—цН при достаточно малом Н можно пренебречь.) Пре-
Прецессия будет продолжаться до тех пор, пока частица не
вылетит из сферы г = а. Если время пребывания ча-
частицы внутри сферы есть Т, то за это время магнитный
момент успеет повернуться на угол 8 = Гсо в плоско-
плоскости х, у. Таким образом, зная угол поворота магнитного
момента рассеянных частиц, легко вычислить и среднее
время, проводимое частицей внутри сферы г = а. Это
время оказывается равным
Т(Е, а) = Ц^ + а-±вт2(ка + 6)}. A0.1)
Чтобы вывести эту формулу, вычислим угол поворота
магнитного момента 8.
После введения магнитного поля у. Ш. приобретает
вид (для простоты рассматривается случай / = 0):
Член в правой части описывает взаимодействие
—цН; так как, по предположению, Н направлено по
оси z и так как вектор ц обязан иметь вид jj, = 2|xs, где
s — вектор спина частицы*), взятый нами равным '/г, то
где crz—матрица Паули. Так как спин частицы s ='/г,
то под волновой функцией % надо понимать столбец
*) Вектор спина s — это единственный псевдовектор, характери-
характеризующий покоящуюся частицу. Поэтому псевдовектор ц обязан быт>-
пропорциональным s.
§ 10] ВРЕМЯ СОУДАРЕНИЯ 341
где xi и Х2 описывают состояния с проекцией спина на
ось г, равной +'/г и —'/г соответственно.
Задачу будем решать с помощью теории возмущений.
Волновая функция нулевого приближения %°\ по усло-
условию, должна описывать состояние с ц,, направленным
по оси г. Эта функция равна
где xft (r)—решение уравнения A0.2) без правой части,
имеющее асимптотический вид
Решение уравнения A0.2) ищем в виде
/ yd) \
В первом приближении имеем
Расписывая это уравнение по компонентам, получаем
(xiy + (*2 - V) *<¦> = - ^- ця -^ xft (г),
Используя функцию Грина, запишем решение в виде
j G (r, r,) Xft (r.)
Р е
' Р V *" k J
342 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ {ГЛ. Vll
Собирая все выписанные выше формулы, получаем
асимптотическое выражение решения уравнения A0.2):
\
Первый член в фигурной скобке описывает падающие на
силовой центр частицы, а второй член — рассеянные.
Вычислим угол поворота спина 8. Средние значения
х- и ^/-компонент спина равны (при вычислении пренебре-
пренебрегаем членами ~|32 ~ Я2)
2\l 0JV2\l-i^l 2*
2\i
Таким образом, абсолютная величина угла поворота рав-
равна 8 = 2C, и для времени жизни с помощью C.18)
гл. III нетрудно получить
в
что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к квазистационарным состояниям.
Подставляя в A0.1) формулу для фазы B.4) и пренебре-
пренебрегая всеми членами, кроме основного, получаем
Этот результат подтверждает сделанные выше заклю-
заключения о среднем времени жизни квазистационарного со-
состояния и о зависимости этого времени от точного зна-
значения энергии частицы.
Формула A0.1), как следует из ее вывода, имеет
смысл выражения для среднего времени Т, проводи-
проводимого частицей внутри сферы г = а. Можно было бы ду-
думать поэтому, что само время Т пребывания частицы в
§ II] ТИПЫ ДОЛГОЖИВУЩИХ СОСТОЯНИИ 343
области г-4й не является строго определенной величи-
величиной, а имеется какое-то распределение этих времен W(T).
Нетрудно показать, однако (А. И. Базь, 1967), что это
распределение имеет вид б-функции: W(T)~&(T — Т).
Это означает, что время Т является фиксированной вели-
величиной при заданной энергии El
Отметим тут же, что это нисколько не противоречит
соотношению неопределенностей AE-At^h. Действи-
Действительно, рассматривая движение волновых пакетов, легко
убедиться в том, что входящее сюда At — это неопреде-
неопределенность в точном значении момента соударения. К дли-
длительности соударения это никакого отношения не
имеет.
§ 11. Типы долгоживущих состояний
Было бы неправильно думать, что резонансные со-
состояния, которым была посвящена эта глава, исчерпы-
исчерпывают все типы относительно долгоживущих состояний ча-
частицы, находящихся в непрерывном спектре. Существуют
еще по крайней мере два типа состояний («виртуальный
уровень» и «пороговое состояние»), времена жизни кото-
которых могут значительно превышать характерное пролет-
пролетное время (А. И. Базь, 1967).
Прежде чем перейти к их рассмотрению, разберем
случай свободной частицы, движущейся с орбитальным
моментом / = О относительно начала координат. Соглас-
Согласно общей формуле (ЮЛ) такая частица проводит внутри
сферы радиуса R время
A1.1)
Если kR > 1, т. е. К <g. R, где X — длина волны частицы,
то вторым членом в скобке можно пренебречь по сравне-
сравнению с первым, и мы получаем классический результат:
Т —Т =-^-
т
ев - * кл
Время пребывания Т равно времени пролета частицы
сквозь сферу, причем траектория проходит через центр
сферы.
344
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. VII
Положение меняется, если kR^l. В этом случае
длина волны X сравнима с радиусом сферы или больше
его. Согласно квантовой механике частица может иметь
/ = 0, не проходя в то же время через точку г = 0, а на-
находясь от нее на расстоянии порядка X. Поэтому время
пребывания частицы внутри сферы г = R должно быть
меньше классического пролет-
пролетного времени Гкл. Действи-
Действительно, из A1.1) следует, что
при kR < 1
аирт
Рис. 38.
. A1.10
Предположим теперь, что
частица движется в поле по-
** тенциала, в котором имеется
виртуальный уровень (или ре-
альный уровень) с малой энер-
энергией связи. В этом случае при-
применимы формулы § 3 гл. I и фаза рассеяния б опреде-
определяется из уравнения
Actgd -i» 01-2)
где постоянная а носит название длины рассеяния. При
а<0 имеется виртуальный уровень с энергией
а при а>0 — реальный уровень с энергией связи-^—г~.
Находя фазу б из A1.2) и подставляя ее в формулу для
времени жизни (ЮЛ), при малых kR получаем (\a\ ^R)
т - 2R 2аЧ2
Зависимость Г от энергии частицы (точнее, от k) изобра-
изображена на рис. 38. Видно, что время жизни Гвирт имеет
максимум при &~-j—г, причем в области вблизи макси-
максимума оно совпадает с классическим пролетным временем.
Это — результат притягивающего действия потенциала.
Эффект притяжения становится особенно хорошо виден,
если мы сравним ГВИрТ с временем Гсв (ИЛ') пребыва-
§ in
ТИПЫ ДОЛГОЖИВУЩИХ СОСТОЯНИЙ
345
ния свободной частицы внутри сферы г = R. Отношение
времен
W J '
г
Рис. 39.
может достигать очень больших значений при k-*0.
Взяв /? = 2,5'10~13 см, получаем, что в случае триплет-
ного нейтрон-протонного взаимодействия (а«*5,4 • 10~13сл)
отношение времен « 12; для синглетного взаимодействия
(а — —20-Ю3 см) это отно-
отношение еще больше («200).
Таким образом, «виртуаль-
«виртуальный уровень» — не просто
удобная математическая фик-
фикция, а вполне реальное физи-
физическое состояние системы, в
котором частица проводит зна-
значительный промежуток време-
времени в потенциальном поле.
Существует еще один ши-
широкий класс сравнительно дол-
гоживущих состояний («поро-
(«пороговые состояния»). В главе IX будет показано, что если
возможна какая-то реакция
X + a-+b + Y, A1.3)
го фаза б упругого рассеяния (X + а -> X + а) при под-
подходе к порогу реакции снизу ведет себя как
б « б0 + (х /?„ - Е,
где бо и а— некие постоянные, а Еш — пороговая энергия.
Производная фазы -л- стремится к бесконечности при
стремлении Е к Еп. Поэтому время жизни неуклонно
растет при приближении к точке порога снизу (рис. 39).
В принципе возможны и другие типы долгоживущих
состояний, например состояния, отвечающие кратным по-
полюсам 5-матрицы (М. Гольдбергер, К. Ватсон, 1964В;
Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, 1965Б; Дж. Белл, К. Ге-
бель, 1965). Простой вывод формул, а также обсуждение
закона распада для этого случая можно найти в работе
И. Ю. Кобзарева и др. A969).
ГЛАВА VIII
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
§ 1. Волновая функция многоканальной системы
До сих пор мы рассматривали свойства частицы в
потенциальном поле. Единственный физический процесс,
который может происходить в этом случае, это упругое
рассеяние. Как известно, к рассеянию частицы на потен-
потенциале сводится любая задача соударения двух частиц,
взаимодействие которых описывается потенциалом
?/(г,-г2).
Наряду с этим простейшим случаем задачи рассеяния
очень часто возникает необходимость рассматривать про-
процессы перехода одних частиц в другие (реакции). Рас-
Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Пусть имеет-
имеется N пар частиц а,- + Xt (i = 1, 2,..., N) способных,
если это разрешается законом сохранения энергии, пере-
переходить друг в друга:
ai + Xi^lal + Xl. A.1)
Суммарные массы частиц обозначим через Mt = ma.+
+ mxt и будем считать, что Mi < М2 < ... < MN. Во
всех физически интересных случаях взаимодействие ме-
между частицами короткодействующее, т. е. им можно пре-
пренебречь при г > R, где R — радиус взаимодействия*).
Соответственно этому везде ниже будем предполагать,
что переходы A.1) происходят только внутри объема
*) Здесь имеется в виду та часть взаимодействия, которая при-
приводит к переходу одних частиц в другие. Дальнодействующее куло-
иовское взаимодействие между парой начальных или конечных ча-
частиц, например, в задачах ядерной физики, к реакциям, как правило,
не приводит.
§ I] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 347
г < R. Это приводит к следующей картине. Во внешней
области (г > R) наиболее общая волновая функция си-
системы обязана иметь вид
W = 2 (а^Г* — Pt«|>i+)) Ф*5 Ф* = Ф (я*) Ф (Х{), A.2)
i
где Ф(а,-) и Ф(Х{)— внутренние волновые функции ча-
частиц пг и Х{ (эти частицы, вообще говоря, могут быть
составными), at- и р, — некие постоянные, t|)H и i|^+) —
два независимых решения у. Ш. для пары частиц о* + Xi
в области г > R (выше было предположено, что перехо-
переходы между частицами происходят только во внутренней
области; во внешней области между а* и Xt действуют
только дальнодействующие потенциалы кулоновского или
центробежного типа и движение частиц в них описывает-
описывается обычным у. Ш.). Для простоты будем считать частицы
бесспиновыми и рассматривать состояние с заданным /.
Волновые функции i|>J±) везде в дальнейшем нормируем
условиями (рассматривается лишь радиальная часть)
__ !_ 1 С±'(У»~~) —частицы не
°° y~vi ri заряжены,
ф<±) ]_ J_ e±l (kiri~T+r*i+a ln2V«) - частицы
^'r^oo yVi Г[ заряжены.
A.3)
Здесь vt — относительная скорость, kt — волновой век-
вектор, л,- — расстояние между а* и Х{. Такая нормировка
отвечает единичному потоку
через поверхность большой / /у
сферы. —• ' 1 1 *-
Какой вид имеет волно- О М,сг М2сг М3сг ... ?
вая функция при различных
энергиях? Ответить на это Рис- 40-
можно, исходя из физиче-
физического требования конечности г|э. Рассмотрим область
энергий М2с2 > Е > М{С2 (интервал / на рис. 40). Если
условиться взять за нуль отсчета энергии величину М\С2
и обозначить через Qi = (Mi — Mi) с2 разность энергий
348 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
покоя 1-й и i-й пар частиц, то входящие в A.3) волно-
волновые векторы i-x пар равны
= у
(?-Q.Jm,
В интервале I (E < Q2) все kj мнимы: kj = i\kj\, кроме ku
который действителен. Поэтому все функции ф*.-* с / > 1
на бесконечности экспоненциально возрастают, ^+)(/> 1)
экспоненциально затухают, а функции ф^ конечны вез-
везде при r>R.
Таким образом, условие конечности волновой функ-
функции на бесконечности можно обеспечить, лишь если по-
положить
сег = О (/>1). A.5)
При этом W при г > R обязана иметь вид
W Ф, - 2 Р,4(«+) Фг, A -6)
т. е. она содержит расходящуюся и сходящуюся волны
частиц d + Xi (первый член), и сумму 2. описываю-
описывающую экспоненциально затухающие функции остальных
каналов. Физически это соответствует тому, что при
Е < Q2 уйти на бесконечность могут лишь частицы а.\ и
Хи тогда как все остальные пары аг + Х{ (/>1) при
этом значении энергии существовать в свободном состоя-
состоянии не могут из-за нехватки энергии; они могут лишь
виртуально образовываться во внутренней области и не-
немного «вылезать» во внешнюю область (это «вылезание»
и описывается экспоненциально затухающими «хвоста-
«хвостами» во втором члене A.6)).
Таким образом, единственный физический процесс,
который может происходить в интервале энергий
E<Q2 — это упругое рассеяние частиц ах и Хх. Во вся-
всякой теории волновая функция упругого рассеяния дол-
должна полностью определяться заданием амплитуды па-
падающей волны — в нашем случае коэффициента cci. Раз-
Разделим A.6) на ai и запишем результат как
Wx = ^-)ф, - 2 ЗД+>ФГ A.7)
$ 1] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 349
Здесь величины Sji = Pt/ai определяются уже целиком
гамильтонианом рассматриваемой нами многоканальной
системы. Они, конечно, являются функциями энергии.
Определить их можно, лишь если известна волновая
функция во внутренней области; сшивая ее и ее произ-
производные при r = R с A.7), мы получим уравнения для
определения Su.
Закон сохранения числа частиц говорит, что ампли-
амплитуды падающего и расходящегося потоков должны быть
равны. Это сразу дает уже знакомое нам равенство
IS,, 1=1 при 0<?<Q2.
Остальные коэффициенты Su могут быть любыми в пре-
пределах определенных неравенств (А. И. Базь, 1966).
Повысим теперь энергию и рассмотрим интервал
<3г < Е < <?з (интервал // на рис. 40). В этом интервале
расходятся на бесконечности ф(г-) с i > 2, а функции ¦ф[±),
ф^ и ф^ всюду конечны при r>R. Поэтому условия
конечности волновой функции на бесконечности приводят
теперь вместо A.5) к условию
сег = О при />2. A.8)
Амплитуды сходящихся волн двух первых каналов ся
и яг мы можем выбирать произвольным образом. Одно
независимое решение мы получим, взяв, например, а\ =
— I, яг = 0. Второе решение можно задать условием
aj = 0, яг = 1. Физически ясно, чему соответствуют эти
решения. Первое (оно совпадает по виду с A.7)) отве-
отвечает такой постановке опыта, когда сталкиваются части-
частицы а\ и Х\ (сходящаяся волна имеется только в этом
канале); в результате их соударения может произойти
упругое рассеяние, описываемое амплитудой Su, или
реакция а{ + Х1-*а2 + Х2, описываемая амплитудой S2i
в A.7). Другие частицы с i > 2, хотя и могут образовы-
образовываться во внутренней области, но на бесконечность рас-
расходиться не могут из-за недостатка энергии (часто гово-
говорят, что такие каналы закрыты). Аналогично, решение с
«1 = 0, аг—\
350 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
описывает физические процессы, происходящие при
столкновении частиц а2 и Х2; величины Si2 определяются
взаимодействием между частицами во всем пространстве,
включая внутреннюю область.
Мы приходим, таким образом, к выводу, что в интер-
интервале Q2<E < Q3, где открыты два канала (т. е. где
энергетически возможно сушествование двух пар ча-
частиц: ах + Xi и а2 + Х2), имеются две независимые и удо-
удовлетворяющие граничным условиям волновые функции
нашей системы. Ясно, что независимых решений два и
только два, так как если бы их было больше, то, добав-
добавляя их к Wi и Ч?2, мы получили бы, что существует не-
несколько различных решений с одним и тем же значением
амплитуд <Хх перед волновыми функциями ty[~K Это озна-
означало бы, что ход процесса не определяется амплитудами
сходящихся волн, т. е., другими словами, что теория не
позволяет однозначно описывать процессы соударения
частиц, что она неполна. Во всякой физической теории
число независимых решений, приемлемых с точки зрения
граничных условий, в точности равно числу открытых
каналов.
Теперь уже, действуя по аналогии, нетрудно сообра-
сообразить, что при дальнейшем повышении энергии число не-
независимых решений будет возрастать: в интервале <?з <
< Е < Q4 будут три независимые волновые функции, в
качестве которых можно взягь Чг{, 4*2 и
^^(-^-gS^cIV A.9)
В интервале <?4 < Е < Q5 будут четыре независимых ре-
решения и т. д. В общем случае в интервале Qm < Е < QTO+i
имеется m независимых волновых функций, в качестве
которых можно взять
*,=^->ф/ -1, si№]®i -i, зд+)ф* с/ <«)•¦•
A.10)
Первый член здесь описывает падающую волну частиц
п) + Xj, второй член — расходящиеся волны частиц
§ I]
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
351
at- + Xi (i^im), образование которых энергетически
возможно. Наконец, третий член описывает экспоненци-
экспоненциально спадающие «хвосты» частиц а^ + Хь (k>m), об-
образующиеся виртуально во внутренней области, но не-
неспособные уйти на бесконечность из-за недостатка
энергии.
Величины S{j — амплитуды функций i|)[.+) — опреде-
определяются взаимодействием между частицами. Наиболее
важны амплитуды Stj открытых каналов, так как через
них, как мы увидим ниже, выражаются сечения рассея-
рассеяний и реакций. Эти коэффициенты образуют так назы-
называемую матрицу рассеяния S^- (/, j-^-tn) (или 5-матрицу).
Она имеет т строк и m столбцов, и, следовательно, ее
размерность в точности равна числу открытых каналов.
С открытием каждого нового канала размерность 5-мат-
рицы возрастает на единицу. Наиболее общая волновая
ф^ нкция имеет вид (мы выписываем только ту ее часть,
которая соответствует открытым каналам)
= 2 а Ж = S
- в
/ S
^5/*)- о-11)
Вместо того чтобы писать внутренние волновые функции
Ф* частиц каналов, можно условиться записывать W в
виде столбца из m чисел:
а
т "
» A.12)
где член в первой строке — это волновая функция частиц
первого канала, член во второй строке описывает движе-
движение частиц во втором канале и т. д. Вводя квадратные
352 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
«5ц«512 ... 5lm
ее с
°21О22 • • • °2т
С С С
от1°т2 • • • °т
A.13)
и столбцы коэффициентов перед расходящимися и сходя-
сходящимися волнами
'«Л /Р.
4-1 °2 ; Р-Г2 I. A-14)
можем записать матрицу A.12) в следующем виде:
f = (f'a-fp); p = 5a. A.15)
Связь между матрицами аир, описывающими ам-
амплитуды сходящихся и расходящихся волн, целиком
определяется 5-матрицей, которая, таким образом, со-
содержит в себе всю информацию о свойствах взаимодей-
взаимодействия нашей системы. Точнее говоря, дело обстоит сле-
следующим образом. В случае потенциального рассеяния
частицы 5-матрица вырождается в совокупность чисел
Si — eni{k). В этом случае доказано (И. М. Гельфанд,
Б. М. Левитан, 1951), что значения всех фаз рассеяния
6i(k) во всем интервале энергий 0 < k < сю позволяют
полностью определить потенциал, т. е. действительно
величины Si{k) содержат в себе всю информацию
о свойствах системы.
В случае многоканальных систем, однако, аналогич-
аналогичной теоремы, хотя она и кажется самоочевидной, никто
еще доказать не смог. Нужно подчеркнуть, кроме того,
что фактическое восстановление гамильтониана системы
по данным рассеяния представляет очень большие труд-
трудности, связанные отчасти с чисто математическими слож-
сложностями, а отчасти с необходимостью знать все элементы
5-матрицы при всех энергиях. Извлечение этих данных
§ 2] СЕЧЕНИЯ. УНИТАРНОСТЬ S-МАТРИЦЫ 353
из опыта — так называемый фазовый анализ — сопряже-
сопряжено с необходимостью проводить очень тонкие экспери-
эксперименты.
Сделаем еще одно замечание. Из общего выражения
A.2) следует, что при г > R имеется всего 2N независи-
независимых решений соответственно 2N постоянным а* и pt-. Ка-
Каждое из этих 2N независимых решений можно продол-
продолжить во внутреннюю область. Рассмотрим интервал
Qi <E < Q2. В нем, как мы знаем, имеется лишь одно
физически приемлемое решение. Условия на бесконеч-
бесконечности накладывают (N—1) условие A.5). Одну посто-
постоянную at мы можем выбрать произвольной, так как она
сответствует нормировке волновой функции. Остаются
N условии. Это — условия, накладываемые на волновую
функцию во внутренней области. Таким образом, число
граничных условий во внутренней области равно полному
числу каналов: в случае одного канала этим условием
является конечность волновой функции при г = 0. В слу-
случае N каналов волновые функции всех каналов должны
быть регулярны. Отсюда — N условий во внутренней
области.
§ 2. Сечения. Унитарность S-матрицы
Формальный аппарат S-матрицы очень полно рассмо-
рассмотрен в работе А. Лейна и Р. Томаса A958). Поэтому мы
ниже ограничимся простейшим случаем бесспиновых
частиц.
Пусть энергия заключена в интервале Qm<E < Qm+1
и мы рассматриваем процессы, происходящие при столк-
столкновении частиц uj и Xj. Паре частиц а;- + Xj в волновой
функции этого процесса отвечает член
(в матричной записи этот член находится в /-й строке).
(Совершенно аналогично тому, как это делалось во вто-
второй главе, мы выделили в первую скобку функцию сво-
свободного движения.) Амплитуда рассеянной волны равна
Sjj — 1, а сечение рассеяния
-IP. B.2)
354 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
где множитель —B/+1) возникает благодаря тому,
, частица
что нормированная на поток 1 j- плоская волна
CGfC СМ
CGfC * СМ
содержит сходящуюся волну ty^YtmF, ф) с амплитудой
^^1/-'|/яB/+1), B.3)
и, значит, расходящийся поток равен
-b^-/'-4/nB/+l)(S//-l
Полученная формула для сечения рассеяния имеет тот
же вид, что и в случае потенциального рассеяния. Един-
Единственное отличие — это то, что в случае многоканальных
систем матричные элементы |S#|4?l и, следовательно,
фазы рассеяния комплексны.
Вычислим теперь сечение оц реакций Xj(uj, at)Xi
/• ; -\ т-т /i частица \
(I Ф ]). При единичном 1 Н потоке сталкиваю-
\ С& К, * СЛъ /
щихся частиц поток расходящихся частиц я, + Хг через
сферу большого радиуса, по определению, совпадает с
сечением рождения этих частиц и равен
B.4)
Формулы B.2) и B.4) можно объединить, записав
сечение процесса Xj(uj, a^Xi как
B.5)
где 6ц — символ Кронекера.
Полученные выше формулы показывают, что сечения
всех процессов выражаются через элементы 5-матрицы.
§ 2] СЕЧЕНИЯ. УНИТАРНОСТЬ S-МАТРИЦЫ 355
Изучение общих свойств S-матрицы является поэтому
важнейшей задачей. Сейчас мы ею и займемся.
Прежде всего покажем, что элементы S-матрицы не
независимы, а подчиняются определенным ограниче-
ограничениям. Из физических соображений ясно, что в любом
физическом процессе общее число частиц должно сохра-
сохраняться. Другими словами, какую бы суперпозицию вол-
волновых функций
W^Sce/W/ B.6)
мы ни взяли, сумма потоков частиц, сходящихся к на-
началу координат, должна равняться сумме потоков рас-
расходящихся частиц.
Полный сходящийся поток, согласно A.11), A12),
равен
а полный расходящийся поток (см. A.11))
ilk
Эти потоки должны совпадать при любом значении по-
постоянных at- Приравнивая выражения, стоящие в /(~'
/ i \ #
ив/ при одних и тех же произведениях ща,, полу-
получаем условия, налагаемые на S-матрицу:
т
Матрица, составленная из элементов S^-, удовлетворяю-
удовлетворяющих B.7), называется унитарной.
Таким образом, закон сохранения числа частиц при-
приводит к унитарности S-матрицы. Записанное в матричной
форме, это условие имеет вид
S+S= 1, т. е. S+ = S-\ B.8)
где S+ обозначает матрицу, получаемую из S гранспони-
m
i = i
m
2
/
Si:/O/
356 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
рованием и комплеконым сопряжением. В простейшем
случае одноканальной системы B.8) вырождается в хо-
хорошо известное нам условие
5*5 = 1.
§ 3. Обратимость времени. Симметрия S-матрицы
Законы классической механики допускают обращение
времени. Под этим понимают следующее. Пусть имеется
система из N частиц и их движение описывается коор-
координатами и скоростями
xt(t);vt(t). C.1)
В какой-то момент времени t = Т остановим все частицы
и пустим их в обратном направлении со скоростями
-МП
Если так сделать, то система частиц начнет проходить
в обратной последовательности все этапы своего преды-
предыдущего развития, т. е. координаты и скорости при t > Т
будут равны
xft(T + x) = xt(T-x); v't(T + x)=-vt(T-x). C.2)
Для доказательства достаточно рассмотреть уравне-
уравнения движения. Они имеют вид
C.3)
dt
где F — силы между частицами. При этом мы рассматри-
рассматриваем простейший случай, когда силы зависят лишь от
взаимного расположения частиц. Если C.1) является
решением этих уравнений, то прямой подстановкой убе-
убеждаемся в том, что функции
«И0 = -М-9; *;@ = *,•(-') C-4)
также являются решениями уравнений движения C.3).
Это и доказывает обратимость времени в классической
механике.
§ 3] ОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ. СИММЕТРИЯ S-МАТРИЦЫ 357
В квантовой механике вопрос об обратимости вре-
времени ставится следующим образом (Е. Вигнер, 1932).
Волновая функция ty(x,t) развивающегося во времени
процесса должна находиться из уравнения
И-^?4 =?<,(*, 0, C.5)
где через х обозначена совокупность координат рассмат-
рассматриваемой системы. В момент времени t плотность ве-
вероятности и средний импульс равны
t)p$(x,t)dx.\
Принцип обратимости времени говорит, что наряду
с процессом, описываемым функцией ф(х, t), обязан су-
существовать и обратный процесс с волновой функцией
¦фоб (х, t) такой, что
Woa(х, t) = w (x, -t), Poa(t) = - р {-t). C.7)
Найдем вид фоб- Заменим t на —/ в C.5) и затем пе-
перейдем к комплексно сопряженному уравнению. В ре-
результате такой комбинированной операции C.5) перехо-
переходит в
Ш'Ч'Ь-О-Н-Пх, -0, C-8)
и мы видим, что если Я* = Я, то
Фоб(*, 0 = *•(*. -О C.9)
является решением исходного у. Ш. C.5). Это новое
решение описывает обратный процесс. Действительно,
даов(*, 0НФ*(*. -t)? = w(x, -t),
c,-t)dx]=-p(-t).
C.10)
Здесь мы использовали то, что, согласно определению
оператора импульса, р =—/й-^-; р*=— р, а среднее
значение p(t) действительно.
358 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI11
Таким образом, каждому процессу ty(x,t) можно со-
сопоставить обратный процесс с волновой функцией
1|эоб(*, t). Необходимым условием существования обрат-
обратных процессов является действительность гамильто-
гамильтониана
Н* = Н. C.11)
Для системы из N бесспиновых частиц, между кото-
которыми действуют обычные потенциальные силы, это усло-
условие выполняется всегда, так как полный гамильтониан
действителен.
Некоторые усложнения возникают в случае заряжен-
заряженных частиц в магнитном поле. В качестве оператора ки-
кинетической энергии теперь надо писать
1 - 2т \Р с Л) '
где А — вектор-потенциал поля, на который наложено
обычное условие div А = 0. Для Т имеем
Видно, что, в отличие от случая электрического поля,
при обращении направления движения частиц мы дол-
должны одновременно изменить знак магнитного поля или,
что эквивалентно, знак векторного потенциала. Поэтому
операция обращения времени должна содержать ком-
комплексное сопряжение и изменение знака А (или поля Н).
Как видно из вида Т, гамильтониан при такой операции
остается инвариантным:
Н(А)=Н*(-А). C.1 Г)
Для волновой функции tj506 @, описывающей обращен-
обращенный во времени процесс, как и раньше, получаем
§ 3] ОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ. СИММЕТРИЯ S-МАТРИЦЫ 359
Дальнейшие усложнения возникают при рассмотре-
рассмотрении частиц со спином. Пусть, например, спин частиц ра-
равен '/г- Тогда их волновая функция есть столбец
где верхняя и нижняя компоненты описывают состояния
с sz = V2 и sz = —V2 соответственно. Средние значения
различных компонент спина в точке х в момент t равны
фч*ш) (\ ) (J)(^+*;*о
Отсюда мы видим, что переход к комплексно сопряжен-
сопряженной функции
приводит к состоянию с другим направлением спина:
С другой стороны, при изменении направления движе-
движения частиц на обратное их момент количества движе-
движения должен изменить знак. Это — общее свойство лю-
любого момента количества движения, в частности спино-
спинового. Такому условию удовлетворяет функция
/-*;(*, -t)\
Для средних значений различных проекций спина в
данном состоянии получим
Кроме того, функция ty удовлетворяет и другим усло-
условиям обратимости:
плотность вероятности найти частицу в точке х:
360 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI11
среднее значение импульса:
= J d* [ф2 (X, - /) ptf2 (X, - t) + ф, (*, - /) р>; (Jf, - *)j mm
Таким образом, функция
по всем своим признакам должна описывать обращен-
обращенный во времени процесс. Из уравнения для ty(x,t)
находим уравнение для
ihd*°*df t] = дун-дуцоб (х, t).
Поэтому, чтобы фоб было решением у. Ш., т. е. чтобы
обратный процесс существовал, необходимо выполнение
условия
Н(А) = ауН'(-А)ау C.1 Г')
(если имеется внешнее магнитное поле, то при комплекс-
комплексном сопряжении гамильтониана одновременно надо из-
изменить и знак у поля).
Если в Я не входит оператор спина частиц, то аи
и Н коммутируют; в этом случае условия обратимости
времени сводятся снова к условиям C.11), C.1 Г). Ес-
Если Н зависит от спина, то требуется дальнейшее иссле-
исследование. Легко убедиться в том, что взаимодействия
типа аН и al, где Н — магнитное поле, а / — оператор
орбитального момента, удовлетворяют условию C.1 К').
Этому условию не удовлетворяют члены типа аЕ,
где Е — электрическое поле *).
*) Такие члены могут возникать только в теории с несохране-
ннеы четности, поскольку Е — полярный, а о — аксиальный вектор,
и потому оЕ меняет знак при инверсии.
§ 3] ОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ. СИММЕТРИЯ 5-МАТРИЦЫ 361
Присутствие в гамильтониане таких членов означает,
что у частицы имеется электрический дипольный момент
d ~ а. Таким образом, уже из обратимости времени,
как впервые указал Л. Д. Ландау A957), следует отсут-
отсутствие электрического дипольного момента у стабильной
частицы. Так и обстояло дело до 1964 г., пока не было
никаких экспериментальных указаний (и теоретических
соображений) в пользу того, что обратимость времени
может в некоторых случаях нарушаться. Тем более не-
неожиданным явилось открытие в 1964 г. в опытах по
распаду /(-мезонов слабого нарушения обращения вре-
времени (Дж. Кристенсон и др.). Из отсутствия точной
инвариантности относительно обращения времени сле-
следует, что стабильная частица со спином (например, про-
протон или электрон), вообще говоря, должна обладать не-
небольшим электрическим дипольным моментом.
После этого небольшого отступления рассмотрим
вопрос о том, к каким ограничениям на S-матрицу при-
приводит обращение времени. Запишем обычное у. LLL:
. C.12)
Так как гамильтониан действителен, то, переходя к ком-
комплексно сопряженному уравнению, получаем, что при
действительной энергии т\)*(х) также является решением
уравнения C.12). (Имеются в виду бесспиновые неза-
незаряженные частицы.) Это следствие принципа обратимо-
обратимости времени позволяет установить важные свойства
S-матрицы.
Можно рассуждать следующим образом. Асимптоти-
Асимптотический вид наиболее общей волновой функции много-
многоканальной системы в матричных обозначениях можно
записать как (см. A.15))
C.13)
В силу обратимости времени комплексно сопряженная
функция
**~[ф<+>-ф(->§1 C-14)
также должна быть волновой функцией нашей системы,
т. е. она с точностью до постоянного множителя дол-
должна совпадать с Ф. Другими словами, связь между
362 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIИ
амплитудами сходящихся и расходящихся волн у W*
должна быть в точности той же, что и у W. Умножив
выражение в квадратных скобках в C.14) справа на
(—S~')*, получим
Ф'-^-'-^+ЧЗ-1)']. C.130
Связь между амплитудами будет той же, что и в C.13),
если (S-1)* = S. С другой стороны, мы знаем из B.8),
что ¦§-' = S+. Поэтому, вспоминая определение мат-
матрицы S+, окончательно получаем
(S-T = (S+)* = STP = S, C.15)
где STp обозначает матрицу, получаемую из S транспо-
транспонированием, т. е. заменой Sij-*Sji. Так как, согласно
C.15), при такой замене S-матрица не меняется, то это
означает, что она симметрична (т. е. S^ = Sji) и, сле-
следовательно,
S+=5*=S~'. C.16)
Таким образом, обратимость времени влечет за собой
симметрию матрицы рассеяния.
В некоторых задачах асимптотику волновой функ-
функции удобно задавать не в виде суперпозиции сходя-
сходящихся и расходящихся волн г^*', а в виде стоячих
волн:
C.17)
Чтобы перейти от системы волновых функций A.13) к си-
системе функций типа стоячих волн, введем диагональные
матрицы:
2, 2,1
Выразим теперь ф;±) через фA> и фB) и подставим полу-
полученные выражения в общую волновую функцию A.15).
§ 3] ОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ. СИММЕТРИЯ S-МАТРИЦЫ 363
При этом получаем
w = [фA) A - §) - ф«/ A + s)] а - [фA) - фB)к]у, (з. is)
где через К обозначена матрица
S)-\ C.19)
ay — новая матрица произвольных коэффициентов, свя-
связанная с матрицей амплитуд а перед сходящимися вол-
волнами соотношением
Y = (l-S)d. C.20)
Введенная выше матрица К называется обычно
^-матрицей и в выбранном нами представлении стоячих
волн играет роль S-матрицы в представлении сходя-
сходящихся и расходящихся волн, /(-матрица обладает ря-
рядом важных свойств, вытекающих из унитарности и
симметрии S-матрицы. Чтобы получить эти свойства,
умножим C.19) справа на A—S) и применим эрми-
эрмитово сопряжение к обеим частям полученного равенства.
В результате получим
(l-S+)R+=(l +S+)(-i). C.21)
Учитывая далее, что S+ = S~l, умножаем это равенство
слева на S и получаем
т. е.
^+ = /(l + S)(l-S)~' = ^. C.22)
Таким образом, матрица К — эрмитова.
Учтем теперь симметрию S-матрицы, благодаря ко-
которой
S+ = S\ C.23)
Взяв комплексное сопряжение равенства C.21), с по-
помощью C.22), C.23) получаем
т. е.
Кт = К+ = К. C.24)
364 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Другими словами, /(-матрица должна быть действитель-
действительной и симметричной матрицей. Именно то, что условия
сохранения числа частиц и обратимости времени прини-
принимают такой простой вид в представлении стоячих волн,
и делает полезным это представление.
Всякая действительная симметричная тХт матрица
имеет т >2—- независимых действительных матричных
элементов, /(-матрица определяется характером взаимо-
взаимодействия между частицами. Поэтому мы можем сказать,
что вид волновой функции вне радиуса взаимодействия
зависит от характера взаимодействия только через по-
посредство т 2—-действительных параметров. Эти пара-
параметры, конечно, являются функциями энергии.
Если пользоваться представлением стоячих волн, то
т(т + \)
роль этих параметров играют ——~—- независимых
матричных элементов /(-матрицы. При переходе к пред-
представлению сходящихся и расходящихся волн число неза-
независимых параметров по-прежнему остается равным
ILSaL—li так как 5-матрица однозначно выражается че-
через /(-матрицу. Действительно, из C.19) следует фор-
формула
S = (iK+l)(iK-l)-x. C.25)
Упомянем, наконец, что существуют еще ограничения
на энергетическую зависимость элементов S-матрицы
(А. И. Базь, 1966). Мы не будем, однако, выписывать
соответствующих формул, так как, по-видимому, пока
нет задач, где они могли бы быть полезными.
§ 4. Некоторые аналитические свойства S-матрицы
Рассмотрим многоканальную систему аг- + Xi
(i = 1, 2,..., N) и будем обозначать через к\ волновой
вектор самой легкой пары частиц а.\ + Х\, а через *,¦ —
те значения k\, при которых открывается j-й канал:
§4]
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 5-МАТРИЦЫ
365
В плоскости комплексных k\ точкам лг2, х3, ..., хп
отвечают точки ветвления элементов S-матрицы. Дей-
Действительно, элементы матрицы рассеяния Sjj зависят не
только от k\, но и от волновых векторов частиц всех
каналов &г-:
k,=
Проще всего это видно из того, что элементы Sf,- опре-
определяются сшиванием «внутренних» функций с внеш-
внешними, а в последние (^f^) /tn
входят как раз &г-, а не пол-
полная энергия.
Таким образом, чтобы
сделать S,-j однозначной _
функцией комплексной пере-
переменной k\, В ПЛОСКОСТИ k\
надо сделать разрезы; мы
проведем их так, как изо-
изображено на рис. 41. На от-
отрезке (Ох2) будет иметься,
как мы уже знаем (см. § 1), лишь одно регулярное во
всем пространстве решение, на участке (лгг, х3) — два,
на участке (х3,х4) — три и т. д.
Возьмем теперь какое-нибудь из имеющих физиче-
физический смысл на участке (xt, *t+i) решений (пусть/<г):
N
Рис. 41.
л-1
N
^e/^'4>e D.1)
и аналитически продолжим его в верхнюю полупло-
полуплоскость. Так как разрезы уже проведены, то такое про-
продолжение однозначно. Функции i{^+)~ eik/ir" в
верхней полуплоскости k\ экспоненциально затухают
при г—*оо. Отсюда сразу же заключаем, что ни один
366 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
из элементов S-матрицы не может иметь полюсов в
верхней полуплоскости k\ (кроме мнимой оси). Дей-
Действительно, пусть Sin имеет полюс в точке kr. Разде-
Разделим D.1) на Sin. Полученная функция будет, очевидно,
являться снова везде регулярной волновой функцией.
В пределе k\—*kr эта функция перейдет в У-я^-^п Ф ,
которая по условию регулярна при всех г. Таким обра-
образом, -g—- являлось бы в этом случае собственным зна-
значением энергии. Но это невозможно для kr, не лежа-
лежащих на мнимой оси, так как в противном случае соб-
собственное значение энергии было бы комплексным, в
противоречии с эрмитовостью гамильтониана. Как вид-
видно из этого рассуждения, сформулированная теорема
распространяется на все без исключения элементы
S-матрицы.
Пусть теперь имеется связанное состояние нашей си-
стемы с энергией Ео= — ¦=—. Нетрудно видеть
(Г. Брейт, 1959), что в точке k\ = ik0 все элементы S*j
имеют полюс, т. е. при k-+ik0 ведут себя как
В самом деле, ty[~} в верхней полуплоскости k\ расхо-
расходится экспоненциально при больших г. Следовательно,
при аналитическом продолжении функций D.1) на мни-
мнимую ось k\ этот член должен выпасть при k\ = ik0. Но
это может быть лишь в том случае, когда хотя бы одна
из величин Sjn обращается в этой точке в бесконечность,
так как тогда всю функцию t|)j можно разделить на об-
обращающийся в бесконечность элемент S,n, и член
(,~' обратится в нуль при k\ = ik0. Вместе с тем
очевидно, что если хотя бы один из элементов S-матрицы
стремится к бесконечности, то и все остальные элементы
S-матрицы стремятся к бесконечности по тому же са-
самому закону. Действительно, волновая функция связан-
§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА ВЕЛИЧИНУ ВЫЧЕТОВ 367
ного состояния ^о должна иметь асимптотический вид
\к1 /^n + ?0), D.3)
где сумма распространяется на все каналы. Так как
частицы разных каналов могут в принципе переходить
в частицы всех других каналов, то все Ап отличны от
нуля. Поэтому при аналитическом продолжении функ-
функций D.1) с любым / в точку ik0 из выражения для вол-
волновой функции должен выпасть только один член г|з/Н
и при этом Wj —> Wo X const. Это может случиться лишь
в том случае, если все элементы Sjn в окрестности точ-
точки ik0 имеют вид D.2), причем, очевидно, для всех /
и п должны выполняться равенства
С,Я = Ь,АЯУ^. D.4)
В противном случае, используя различные функции ф;,
мы получили бы разные формулы для волновой функ-
функции ^о связанного состояния. Из формул D.2) и D.4)
сразу же следует, что детерминант, составленный из
вычетов элементов S-матрицы, и все его миноры в точке
связанного состояния обращаются в нуль. Что касается
полюсов Sij в нижней полуплоскости k\, то, как и в слу-
случае обычного у. Ш., они соответствуют квазистационар-
квазистационарным состояниям системы.
Ряд сведений об аналитических свойствах S-матрицы
можно найти также в работе М. Като A965).
§ 5. Ограничения на величину вычетов
элементов S-матрицы
Когда в предыдущих главах разбирались свойства
величины S = еш, была установлена верхняя граница
для вычета S в точке связанного состояния. Аналогичные
теоремы можно вывести и в случае многоканальных си-
систем.
Прежде всего заметим, что закон сохранения числа
частиц в случае многоканальной системы, являясь
368
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
естественным обобщением одноканальной формулы, име-
имеет вид
где поверхность S — это внешняя поверхность объема V,
i|)j — волновая функция частиц /-го канала, т, — приве-
приведенная масса частиц /-го канала.
Переходя на язык матриц, т. е. записывая полную
волновую функцию системы как
4J
перепишем формулу E.1) в виде
~
где
m:
Ч1
I 0
О
m
-rl
N
Если во всех каналах частицы бесспиновые, то из за-
закона сохранения момента следует, что переходы между
каналами
а{ + Х(<^а/ + Xj
возможны лишь, если и справа и слева частицы нахо-
находятся в состояниях с одинаковым /. Для простоты будет
рассматриваться только этот случай.
ОГРАНИЧЕНИЯ НА ВЕЛИЧИНУ ВЫЧЕТОВ
369
Пусть при заданном / наша многоканальная система
имеет связанное состояние с энергией
и нормированной волновой функцией
г|з2
E.2)
где |^io| — абсолютные значения волновых векторов ча-
частиц в 1-м канале, соответствующие энергии Ео.
При действительных k волновые функции имеют вид
E-3)
Используя формулы E.1) — E.3), можно точно таким
же способом, как и в гл. III, получить формулу
k\->iko'
kj - ikja
чо
— ik0
E.4)
связывающую величину вычета диагонального элемента
S-матрицы с нормировочной постоянной Aj в волновой
функции связанного состояния. Вспоминая формулу
D.4) предыдущего параграфа, находим, что входящая
туда постоянная bj равна
где Vjo — скорость, соответствующая волновому век-
вектору kj0.
Таким образом, приходим к общей формуле
E.6)
370
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
где вычет C;i равен
E-7)
Эта формула является обобщением соответствующего
соотношения для одноканальной системы (§ 3 гл. III)
и она позволяет установить верхнюю границу для вы-
вычетов Cji.
Для простоты будем рассматривать случай / = 0.
Если радиус взаимодействия R равен нулю, т. е.
взаимодействие точечное, то выражение E.2) для вол-
волновой функции связанного состояния верно всюду, кро-
кроме точки г = 0. Условие нормировки имеет вид
Если все А{ Ф0, то, очевидно,
\C,t\<2
Vi0V10
010
Ymimj
E.9)
E.10)
причем, в отличие от одноканальной системы, где при
R = 0 имеется равенство
E.10) представляет собой строгое неравенство. Причина
этого в том, что в одноканальной системе волновая
функция состоит из членов, соответствующих только од-
одной паре частиц. В многоканальной системе, однако,
ЧЛ) содержит в себе частицы всех каналов, так что на
долю каждого канала приходится сравнительно неболь-
небольшая часть полной волновой функции, что и отражается
неравенствами E.9) и E.10).
Существенно отметить, что данные о рассеянии и
реакциях, из которых можно в принципе извлечь все
величины Sji, позволяют с помощью E.6), E.7) найти
вычеты С^ путем аналитического продолжения S^ в
§ 6) ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 3?1
комплексную плоскость и, следовательно, — нормировоч-
нормировочные постоянные А{. Таким образом, данные о непре-
непрерывном спектре дают возможность восстановить струк-
структуру связанного состояния.
Если радиус взаимодействия R отличен от нуля, то
формула E.2) верна только при r> R. Из условия нор-
нормировки получаем аналогично тому, как это делалось
в § 3 гл. III, что
N
\Aif-~_^е-21*й1*<1, E.11)
и неравенства E.9), E.10) делаются более слабыми:
I Л I2 <? 9 I b 11? I kio И (К \9\
'°l>*. E.13)
Наиболее важным следствием этого является то, что,
сравнивая экспериментально полученные величины Сц
с неравенствами E.10), E.13), можно в принципе оце-
оценить величину радиуса взаимодействия.
§ 6. Выражение для S-матрицы.
Ее связь с /^-матрицей
В общем случае /V-канальной системы S-матрица за-
зависит от -j N(N + 1) параметров. Как правило, об этих
параметрах ничего не известно, так как, прежде всего,
мало изучены взаимодействия между частицами. Из-
Известно, однако, что эти взаимодействия обычно велики
по абсолютной величине и имеют малый радиус дей-
действия. Поэтому обычно реакцию рассматривают про-
происходящей в три этапа: 1) частицы налетают друг на
друга, но до тех пор, пока расстояние между ними
больше радиуса реакции R, они не взаимодействуют
(кулоновское взаимодействие пока не учитываем);
2) при r<^.R взаимодействие сразу становится большим
и образуется так называемая промежуточная система и
372
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
3) промежуточная система разлетается, и когда рас-
расстояние между образовавшимися частицами становится
большим чем R, взаимодействие сразу исчезает.
Оказывается, что, используя такую картину, можно
получить довольно сильные теоремы о поведении сече-
сечений рассеяния и реакций. Но для этого необходимо вы-
выразить элементы S-матрицы через значения волновых
функций и их производных в области г <R. Эта задача
впервые была решена П. Капуром и Р. Пайерлсом
A938) и Е. Вигнероми Л. Айзенбудом A947). Лэйном
и Томасом A958) был написан очень подробный обзор
на эту тему.
Идея заключается в следующем. Пусть система име-
имеет N открытых каналов а* + Xt. Вне области реакции,
т. е. при r>R, переходы Xi + at- —> X, + a;- между ка-
каналами невозможны по самому определению радиуса
реакции.
Наиболее общую волновую функцию при г > R запи-
запишем в матричном виде как
0
¦Г
О
О
090 . . .
22
>NN J
, F.1)
где матрица-столбец v состоит из произвольных чи-
чисел Vi, а г^"' и г|з[+ —волновые функции, описывающие
сходящиеся и расходящиеся волны частиц t-ro канала.
В области реакции г < R также имеется N регуляр-
регулярных решений. Обозначим их значения и значения их
§в!
ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ
373
производных при г = R через
Oil
«ш
«
(/=1, 2, .... JV). F.2)
Наиболее общее решение при г < R можем записать
как
F.3)
Матрица й опять произвольна. Аналогично запишем и
выражение для производной как
N
Ф'^Ца^. F.4)
Сошьем волновые функции и их производные на гра-
границе. Имеем два матричных уравнения
F.5)
Из них элементарно получаем
где /?i—квадратная матрица:
F.6)
Rl = Ч"?-'. F.7)
Таким образом, первая часть задачи выполнена:
связь S-матрицы с волновыми функциями во внутренней
области установлена. Остается найти свойства матри-
матрицы Ri.
374 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Известны два свойства S-матрицы — ее унитарность
и симметрия:
Исходя из этих уже известных соотношений, можно най-
найти свойства введенной матрицы Ri. Элементарные вы-
вычисления показывают, что унитарность S-матрицы при-
приводит к соотношению
RiM= MR?,
F.8)
где М — диагональная квадратная матрица масс:
от, О
ш2
О
mN
a rtii — приведенная масса частиц г-го канала. Второе
свойство S-матрицы — ее симметрия — приводит к дей-
действительности матрицы Ri:
Ri = Rl F.80
На этом этапе удобно ввести новую матрицу R:
R = Я Д
Из свойств ^i видно, что новая матрица R действитель-
действительна и эрмитова. Другими словами, ее элементы действи-
действительны и симметричны при перестановке индексов:
Rik — Rik — Rki-
F.9)
Это означает, что ^-матрица целиком определяется
N (N + \)
—х——— действительными параметрами.
В случае двухканальнои системы, например, это чис-
число равно трем:
/Яп R
р
l2 A22 I
§7]
СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ЖИЗНИ СОСТОЯНИЙ
375
Соответственно только через три действительных пара-
параметра выражается и S-матрица — уже известный нам
результат.
Рассмотрим для иллюстрации двухканальную си-
систему. Формула F.6) приводит в этом случае к следую-
следующему выражению для элементов S-матрицы:
О 2i^ °12
12 ~ °21 — g д~ >
D =
!.( + )
F.10)
В случае систем с числом каналов, большим чем
два, выражения для элементов S-матрицы получаются
более громоздкими, но структура их остается той же
самой. Они имеют вид дроби, числитель и знаменатель
которой являются полиномами jV-й степени (N — число
каналов) от внешних волновых функций ф^* и их про-
производных, взятых при г = R.
§ 7. Среднее время жизни состояний
непрерывного спектра
В § 10 гл. VII мы решали задачу о том, каково
среднее время, проводимое рассеиваемой частицей вну-
внутри сферы радиуса а, вне которой потенциал равен
нулю. Сейчас мы решим аналогичную задачу для случая
многоканальной системы и посмотрим, как многоканаль-
ность влияет на время жизни. Полученные в предыду-
предыдущих параграфах формулы позволяют полностью решито
эту проблему.
376 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Итак, пусть у системы есть N каналов а* + X*
(i = 1,2, ...,N), из которых только первый с i= 1 от-
открыт в рассматриваемом нами интервале энергий. Един-
Единственным энергетически разрешенным процессом яв-
является упругое рассеяние
а,+ Xi-*ai + Xl G.1)
Спрашивается, каково для этого процесса среднее вре-
время, в течение которого частицы системы находятся вну-
внутри сферы радиуса г = а? Радиус R области, в которой
происходят переходы из канала в канал, предполага-
предполагается меньшим чем а.
Чтобы измерить Гц, воспользуемся тем же приемом,
что в § 10 гл. VII: будем считать, что внутри сферы
г = а имеется слабое однородное магнитное поле Н,
направленное по оси г, а у всех частиц а* (/ = 1, ... ,'N)
имеется магнитный момент |л = до (один и тот же для
всех i). Сталкивающиеся частицы будем считать поля-
поляризованными вдоль оси х. Внутри области взаимодей-
взаимодействия сталкивающиеся частицы а.\ + Х\ могут перейти
в любую другую пару аи + Xk (k = 1,..., N), которая
в свою очередь может превратиться в следующую пару
0-1 + Xi и т. д. Но эти переходы не будут влиять на ра-
работу наших «часов» (т. е. на прецессию магнитного мо-
момента вокруг направления Н), так как по условию
все а,- имеют одинаковый магнитный момент \i. Поэтому
время жизни Тц можно определить как
где 6 — угол между направлением |л и осью х, опреде-
определяющей направление ушедшей на бесконечность части-
2#
2ц#
цы аи а <в = —тг частота вращения спина в магнит-
магнитном поле.
Чтобы вычислить 6, заметим следующее. В S-мат-
рицу, описывающую процесс G.1), входят величины
двоякого рода (см. F.6)): а) элементы ^-матрицы, ко-
которые зависят только от взаимодействия между части-
частицами внутри области реакции; б) функции ф^ и у${*у,
зависящие только от поведения частиц в разных кана-
S 7] СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ЖИЗНИ СОСТОЯНИИ 377
лах вне области реакции (напомним, что ф^' нормиро-
нормированы их асимптотическим поведением
Везде дальше будем считать, что граница между
внешней и внутренней областями проходит по поверх-
поверхности сферы г = а, внутри которой действует поле Н.
Хотя по условию открытым является только первый
канал, нам надо учитывать существование всех осталь-
остальных (N—1) каналов. Это будет достигнуто, если для
элементов S-матрицы мы будем пользоваться форму-
формулами § 6, которые верны вне зависимости от того,
сколько из каналов открыто при рассматриваемой энер-
энергии. Нам будет удобно поэтому рассматривать полную
N X N матрицу S, хотя процесс G.1) описывается лишь
одним ее членом.
Пусть известен вид S-матрицы в отсутствие поля*):
§ - (ф<+> - ft**)-1 ($<-> - $$-*)• G-2)
Введение поля внутри сферы г = а эквивалентно изме-
изменению энергии частиц внутри этой сферы. Для частиц со
спином вдоль Н (sz = V2) вместо энергии Е входит те-
теперь Е + \iH, а для частиц со спином против поля
(sz = —V2) входит Е—цЯ. Это приводит к изменению
элементов ^-матрицы:
для s*=±y.
В то же время «внешние» функции tykW при введении
магнитного поля при г < а не меняются. Таким обра-
образом, S-матрица для состояний с sz=±V2 превращается в
G.3)
*) Здесь используется определение /?-матрицы, данное в обзоре
А. Лейна и Р. Томаса A958).
378 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
d л Ь
где -jg — обычная производная по энергии, а -тр- озна-
означает, что при дифференцировании S все «внешние» ве-
величины считаются постоянными.
Так как ^-матрица может быть выражена с помо-
помощью G.2) через S, §(±) и §{±у, то -^г также может
быть выражена через эти величины. В результате про-
простых вычислений получаем
ЬЕ~ dE^ dE W ) * Ь[$ ) —j^- -
G.4)
где ^ — диагональная матрица волновых векторов, ве-
величины i|)(±> и г|з(±)' должны вычисляться на сфере
г = а.
Волновая функция сталкивающихся частиц сц + Xi
есть (ц направлен по оси х)
Волновая функция образовавшихся в реакции частиц
at + Xt есть, очевидно,
fSn + iiH^-\ /1+цЯ^-^
G.5)
Такая спиновая функция отвечает углу между р. и
осью х, равному
§ 7] СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ЖИЗНИ СОСТОЯНИЙ 379
Поэтому среднее время жизни Гц равно (А. И. Базь,
1967) *)
В дальнейшем нам понадобится явное выражение
Гц для двухканальной системы (/ = 0). В этом случае
S-матрицу можно всегда записать как
(эта матрица симметрична и унитарна, если аир дей-
действительны и а2 + р2 = 1). Используя G.4) и G.6), лег-
легко получаем
Тп = -? Im {/ (Ц- + а) - ^
здесь ^i, Vt и ^2, % — волновые векторы и скорости ча-
частиц в первом и втором каналах соответственно.
*) Имеются работы (например, Ф. Смит, 1960), в которых по-
. т / 1 dSn \ d
лучен результат Гц=«й1т1-= Тр~)> гв-е ~7р ~ полная произ-
производная. Этот результат в общем случае неправилен (Е. Вигнер,
1948). Он соответствует лишь квазиклассическому приближению (и
то не всегда).
ГЛАВА IX
ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Как показывает опыт, все взаимодействия между ча-
частицами (кроме кулоновского) обладают сравнительно
малым радиусом действия, но велики по абсолютной
величине. Это свойство позволяет сделать ряд важных
предсказаний о поведении сечений различных процес-
процессов. Наиболее полно этот вопрос был исследован Е. Виг-
нером A948). Он рассматривал систему с несколькими
каналами
at + Хг ->• uj + Xj
и показал, что, пользуясь лишь короткодействием ядер-
ядерных сил, можно в общем виде вычислить энергетическую
зависимость:
а) сечений упругого рассеяния Xi(ui, ai)Xi при ма-
малых энергиях рассеиваемых частиц,
б) сечений реакций Хг(сц, a\j)Xj при малых энергиях
начальных или конечных частиц.
Эти результаты были значительно расширены в ш>
следние годы, так как оказалось возможным решить
общую задачу об энергетической зависимости сечения
процесса Xi(ai,uj)Xj вблизи порога любого другого про-
процесса Xi(ai,ah)Xk.
§ 1. Энергетическая зависимость сечения
упругого рассеяния при малых энергиях
Пусть взаимодействие V между частицами а и X
имеет конечный радиус R.
Рассмотрим состояние, в котором а и X имеют за-
заданный орбитальный момент /, причем г > R. У. Ш. для
умноженной на г радиальной части волновой функции
§ 1] СЕЧЕНИЕ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 381
^(г) зэ rRi(r) при г > R имеет вид (пока рассматриг
ваем нейтральные частицы)
^)м-0, A.1)
. .. /2тЕ
где к = у —р- — волновой вектор относительного дви-
движения частиц а и X, Е — их энергия в системе центра
масс, а т — приведенная масса. Наиболее общее выра-
выражение для %ы в этой области можно записать так:
XHW-AtiQl^m-Stik^tkr)], A.2)'
где А и S — некие постоянные, зависящие от k (или
от Е), а ^ — пара решений, имеющих на бесконечно-
бесконечности асимптотический вид расходящихся и сходящихся
волн:
У v
Здесь /±(/+у2)— это обычные функции Бесселя. Норми-
Нормированные таким образом функции описывают,падающую
(—) и расходящуюся ( + ) волны, соответствующие еди-
единичным потокам через сферу большого радиуса.
При r = R решение A.2) должно сшиваться с регу-
регулярным решением при г < R. Во внутренней области
энергия частиц Е входит в уравнение движения только
в виде суммы (Е + V) с большим по величине ядерным
взаимодействием. Поэтому внутренняя волновая функ-
функция х@) должна лишь слабо меняться при малом по срав-
сравнению с V изменении энергии.
В первом приближении можно считать, что
„@)'
не зависит от Е.
Условие сшивания, таким образом, имеет вид
A.4)
r-R
382 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Учитывая, что при k-*0
находим
r-R
откуда для сечения упругого рассеяния получаем следую-
следующую энергетическую зависимость:
и~&1, A.6)
т. е. при малых Е рассеяние нейтральных частиц проис-
происходит только в состоянии с нулевым орбитальным мо-
моментом. Парциальные сечения с / ФО обращаются в нуль
при k-*0. Физически этот результат очевиден; он опи-
описывает отталкивающее действие центробежного барьера.
Если а и X— электрически заряженные частицы с за-
зарядами ех и е2 соответственно, то в уравнении A.1) по-
появляется кулоновский член
, 2 _ Ц1+1) _ 2т ete2 1 _ « ,. «
« Г2 Й2 Т ]Хи-и. \\.1)
Общее решение этого уравнения при т > R по-прежнему
можно записать в форме A.2);^\>A±), однако, теперь вы-
выражаются через кулоновские функции:
Р)]~
Vv
где л = ^j2-, p = kr, Gi и F'i — нерегулярная и регуляр-
регулярная кулоновские функции соответственно, a x\i — кулонов-
ская фаза. Общее решение при г > R запишем как
§ i] сечёниё упругого рассеяния при малых энергиях 383
Если AL положить равным -Jj- У/v B/+l)t е'\ то пер-
первый член совпадает с коэффициентом при P/(cos0) в точ-
точной волновой функции, описывающей кулоновское рас-
рассеяние. Как известно из теории рассеяния в кулоновском
поле, эта функция содержит рассеянную волну (которую
надо домножить на Л (cos 8), чтобы получить амплитуду
рассеяния в состоянии с моментом /):
1 t (kr—T|ln 2kr) fni i i \ I 2ir\j Л /j in\
2tk
Второй член в A.9) соответствует дополнительному ядер-
ядерному рассеянию, и чтобы получить полную рассеянную
волну, его надо добавить к A.10). При этом сразу полу-
получаем для полной амплитуды рассеяния в состоянии с мо-
моментом /
fi- ^тг-[«2'4'- 1 +em4S,- Ol/McosG). A.11)
При k-+0 (k > 0) кулоновские функции ведут себя как
AЛ2)
где Oi(r) — некоторая гладкая и не зависящая от k функ-
функция г, по порядку величины равная единице, а
ГB/+2)
2кЦ IV» <1ЛЗ)
Из условия сшивания A.4) получаем
St-l--2tU „r FtfF!~Z . A.14)
Как видно из разложений A.12), основная энергетиче-
энергетическая зависимость содержится в множителе
= С2
A.140
384 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
При достаточно малых k, когда ч\2\2>12, эта формула
упрощается, так как из A.12) и A.13) тогда следует:
Fi ^ const .. ,_.
7~ |e2^i|- AЛ5)
Для одноименно заряженных частиц т) > 0 и
|S,--l|«-g-«e-*"i. A.16)
В случае разноименно заряженных частиц т) < 0 и
| S, - 1 | « const. A.160
Любопытно, что правые части A.16), A.16') не зави-
зависят от / в случае тJ ^> Р. Физическая причина этого
кроется в том, что центробежный потенциал (~ 1/г2) спа-
спадает гораздо быстрее кулоновского A/г), так что именно
последний играет решающую роль.
Парциальное сечение рассеяния равно
а,«? B1
= ¦- B1 + 1) D sin2 т,, - 2 Re [(St - 1) (e2tr[i - 1)] +
+ | S, - 112} = azc + aj« + af. A.17)
Первый член здесь — это чисто кулоновская часть
рассеяния. Кулоновская фаза при малых k стремится к
бесконечности:
1, Г(/ +1
Поэтому a'l при k—*0, осциллируя, стремится к беско-
бесконечности как krz при всех /.
Второй член в A.17), описывающий интерференцию
между ядерным и кулоновским рассеянием, также яв-
является осциллирующим. По порядку величины он равен
j
е-2яц в СЛуЧае отталкивания,
* A-18)
-р- в случае притяжения,
§ 2] СЕЧЕНИЕ ДВУХЧАСТИЧНЫХ РЕАКЦИЙ 385
of> — чисто ядерная часть сечения — монотонно меняется
с изменением энергии:
e-im\ _ отталкивание,
, A-19)
-р — притяжение.
Таким образом, ядерное рассеяние (а^ + af>) в случае
одноименно заряженных частиц экспоненциально мало
при k-*0 по сравнению с кулоновским (а°) и полностью
маскируется последним. В случае кулоновского притяже-
притяжения все три члена в A.17) одного порядка величины.
Характерной чертой формул A.18), A.19) является
то, что в них не входит /. Это справедливо в области
rj2?W2, что эквивалентно условию
A.20)
При более высоких энергиях формулы A.18), A.19)
при данном / становятся неприменимыми.
§ 2. Энергетическая зависимость сечений
двухчастичных реакций при малых энергиях
начальных или конечных частиц
Пусть при столкновении двух частиц а и X, кроме
упругого рассеяния, возможна также и реакция
a + X-+b+Y, B.1)
в которой образуются частицы Ь и Y. Как и выше, будем
сначала рассматривать случай нейтральных бесспиновых
частиц. Если через г обозначить расстояние между а я X,
а через Г\ — расстояние между Ь и Y, то вне радиуса
взаимодействия волновая функция системы в состоянии
с моментом / должна иметь вид (в тех же обозначениях,
что и выше)
А {[</ (г) - Sfl™ (r)\ Ф (а, X) - Mrf? (r,) Ф F, У)}, B.2)
где выражение в квадратных скобках описывает падаю-
падающую и рассеянную волны частиц а + X (см. A.2)), а по-
последний член — расходящуюся волну образовавшихся
386 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
в результате реакции частиц b + Y. Ф(/,/)— произведе-
произведение внутренних волновых функций частиц / и /. Здесь
Mi — некая функция k, а ф(^> — это то решение у. Ш.
для частиц b + Y*), которое на бесконечности ведет
себя как
(&2 и »2—волновой вектор и скорость частиц b + Y).
Точное выражение для i|^+> дается формулой A.3), в
которой надо заменить г на ru k на k2 и т на nt\ — при-
приведенную массу пары b + Y.
Рассмотрим случай, когда реакция идет с поглоще-
поглощением энергии (Q > 0), т. е. когда она возможна, только
если энергия частиц а + X (в системе ц. м.) Е > Q. Пр-и
этом энергия образующихся частиц b + Y равна Е—Q,
и k2 и о2 равны
ko —
?
Волновая функция B.2) при Т\ = R должна непре-
непрерывным образом сшиваться с внутренней волновой функ-
функцией, и именно условия сшивания определяют значение
величин Si и Mi. Функция во внутренней области нам не-
неизвестна, так как характер взаимодействия не конкрети-
конкретизировался. Известно, однако, что она конечна. Это
означает, что при г = R должно быть конечным и про-
произведение Atyp?/(/?). При 62->0 <р!+)~&Г(г+1/а), и для ко-
конечности произведения необходимо, чтобы было
B-4)
Сечение реакции
ареак = JL B/ + 1) | Mt |2 - kf+1. B.5)
«j ftj->0
*) Заметим, что говорить об у. Ш. для частиц можно, только
если расстояние между ними т\ > R, т. е. если они свободны. При
п < R частицы b+Y нельзя рассматривать отдельно от а + X, так
как возможны переходы а + X з* b + Y и система описывается ка-
каким-то более сложным уравнением.
§ 2] СЕЧЕНИЕ ДВУХЧАСТИЧНЫХ РЕАКЦИИ 387
Таким образом, вблизи порога рождения двух медлен-
медленных нейтральных частиц их образование происходит в
основном в состоянии с / = 0.
Найдем теперь энергетическую зависимость обратной
реакции
b+Y-*a + X B.6)
при малых энергиях Е% частиц Ъ + У. Сечение этой реак-
реакции, как известно, равно
и определяется тем же самым элементом матрицы рас-
рассеяния Mi, что и прямая реакция. Для энергетической за-
зависимости сразу же получаем
of* ~ kf-1. B.7)
*0
При малых k2 реакция идет в основном в состоянии
с / = 0, а сечение реакции
Это — известный «закон 1/и», описывающий энергетиче*
скую зависимость захвата ядрами медленных нейтронов.
Так как основную роль играет состояние с / = 0, то
сечение поглощения или образования медленных частиц
сферически-симметричны.
Энергетические зависимости B.5) — B.7) определяют-
определяются исключительно видом волновых функций ф^ медлен-
медленных частиц в состоянии с данным орбитальным моментом
и условием конечности волновой функции системы; от
свойств быстрых частиц эти формулы не зависят. В ча-
частности, а я X могут быть даже заряженными частицами.
Дело существенно меняется, однако, если заряженны-
заряженными являются медленные частицы.
В этом случае q>j+) выражается через кулоновские
функции:
и с помощью A.12), A.13) получаем;
13*
388 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
для реакции X(a,b)Y (образуются медленные заря-
заряженные частицы)
г е-2яц если j и у одноименно заряжены,
~1 * «. v B-9)
(. const, если о и У разноименно заряжены;
для реакции Y(b, a)X (сталкиваются медленные за-
заряженные частицы)
_е~2яу\^ если ь и У одноименно
J
k\
заряжены, B 1Q)
-j, если b и У разноименно
заряжены.
Условие применимости этих формул — то же, что и
в случае упругого рассеяния заряженных частиц (фор-
(формула A.20) предыдущего параграфа). Характерной чер-
чертой является независимость от / величин ai при тJ->§> К
Причина этого — та же, что и раньше: кулоновский
барьер гораздо «шире» центробежного, и поэтому по-
последний играет при малых энергиях лишь сравнительно
небольшую роль. Если частицы b и У одноименно заря-
заряжены, то сечение их захвата или рождения экспонен-
экспоненциально мало и независимость ai от / не играет большой
роли.
В случае разноименно заряженных частиц, однако,
положение меняется, так как сечения ai с / Ф 0 не малы,
и даже при очень малых энергиях в реакции принимает
участие большое число парциальных волн. В результате
сечение сохраняет угловую анизотропию вплоть до са-
самых малых энергий, в отличие от случая нейтральных
частиц.
Другой любопытной чертой сечения образования мед-
медленных разноименно заряженных частиц является то, что
сечение оказывается конечным, начиная с самого порога.
В. точке порога, таким образом, сечение должно скачком
§21
СЕЧЕНИЕ ДВУХЧАСТИЧНЫХ РЕАКЦИИ
389
обращаться в нуль. На самом деле, конечно, скачка не
происходит. Дело в том, что образование заряженных
частиц сопровождается испусканием у-квантов, и учет
этого обстоятельства, как показал В. М. Галицкий, при-
приводит к хотя и очень крутому, но плавному (не скачко-
скачкообразному) спаду сечения к нулю при kz—>Q. Таким об-
образом, в этом случае сечение очень быстро возрастает
при удалении от порога реакции, приближаясь к посто-
постоянной.
Для удобства ниже приводятся табл. 1 и 2, в которых
сведены все результаты этого и предыдущего пара-
параграфов.
Таблица 1
Рассеяние медленных частиц
Между а и X
нет кулонов-
ского
взаимодействия
а и X одноименно заряжены
X (осциллирующий
множитель)
аи Xразноименно заряжены
с 4Я ,
<г,A)~*-2Х
X (осциллирующий
множитель)
of~k~2
Таблица 2
Реакции, в которых участвуют медленные частицы bY
и быстрые частицы аХ
Y (Ь, а) X
X (a, b) Y
Между Ь и У нет
кулоновского
взаимодействия
Ь и У одноименно
заряжены
Ь и У разноименно
заряжены
О[ ~ const
Все результаты этого и предыдущего параграфов
справедливы, если, ядерное взаимодействие V достаточно
390 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
быстро спадает с расстоянием. Можно показать, что до-
достаточным условием является экспоненциальное спа-
спадание
V ~ е~аг
Г->оо
со сколь угодно малым параметром а. Везде ниже мы
будем считать это условием выполненным, хотя в боль-
большинстве случаев оно и является слишком жестким.
До сих пор мы считали частицы b и Y бесспиновыми.
Все приведенные выше результаты, однако, определяются
исключительно видом радиальных волновых функций
и не зависят от спиновых функций. Поэтому все порого-
пороговые энергетические зависимости (табл. 1 и 2) непосред-
непосредственно переносятся на случай частиц со спином.
По поводу пределов применимости всех этих формул
можно сказать следующее:
1) при их выводе предполагалось, что величины
(типа z в A.4)), связанные с внутренней областью
(/¦</?), не зависят от энергии;
2) для внешних волновых функций использовались
их предельные выражения A.5) и A.12).
Первое из этих предположений зависит от характера
рассматриваемой задачи, и его справедливость должна
исследоваться в каждом конкретном случае.
Что касается второго предположения, то здесь мож-
можно высказать более определенное суждение:
а) разложения A.5) справедливы при kR<gi 1, т. е.
они справедливы в интервале энергий
«
вблизи порога,
б) разложения A.12) справедливы в интервале
Иногда, например, в случае заряженных «странных» ча-
частиц оказывается, что
(АЕ)а » (АЕ)„.
При этом возникает следующая любопытная ситуация:
непосредственно вблизи порога (?i < (Д?)&) все энерге-
§3]
СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА
391
тические зависимости имеют «кулоновский» вид. Однако
при (АЕ) ь < Е < (АЕ) а кулоновским взаимодействием
можно пренебречь и сечения следуют законам, характер-
характерным для нейтральных частиц.
§ 3. Энергетическая зависимость сечения рассеяния
X (а, а) X вблизи порога реакции X (а, Ь) Y;
X, а, Ь, Y — бесспиновые нейтральные частицы
Как мы сейчас увидим, сечение упругого рассеяния
имеет весьма специфическую энергетическую зависи-
зависимость вблизи порога реакции Х(а, o)Y (E. Вигнер, 1948;
А. И. Базь, 1957; Г. Брейт, 1957). Четыре возможных
типа зависимости изображены на рис. 42. Их изучение
позволяет получить много сведений о спинах и четностях
частиц X, a, b, Y и о взаимодействии между ними.
с
1
а)
?
Рис. 42.
в)
г)
Будем считать, что при относительной энергии Е ча-
частиц X и а, меньшей Еп, возможно только упругое рассея-
рассеяние Х(а, а)Х, а при Е~>Еп становится энергетически
возможной реакция Х(а, b)Y, и волновая функция соот-
соответственно этому имеет асимптотический вид
Здесь Ф(г, k) обозначают внутренние волновые функции
пары частиц i и k; k\ и &2 — волновые векторы относи-
относительного движения пар а, X и b, Y; vi и t>2 — соответ-
соответствующие скорости, а Л — полином Лежандра. Первый
392 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ (ГЛ. IX
член в C.1) описывает упругое рассеяние, а последний —
реакцию. Матричные элементы рассеяния и реакции Si
и Mi связаны между собой соотношением унитарности
|S,P + |Mzp=l, C.2)
выражающим закон сохранения числа частиц.
Ниже порога частицы b, Y не могут разойтись на бес-
бесконечность из-за недостатка энергии. Последний член в
C.1) в этом случае описывает экспоненциально затухаю-
затухающие «хвосты»: k2 в этом случае мнимо, k2 = i\k2\ и
eiktu _ е-\ h !/\ Закон сохранения числа частиц (т. е. ра-
равенство сходящихся и расходящихся потоков) имеет при
этом вид
|S,|2=1. C.2')
Как мы видели в предыдущем параграфе, сечение
реакции около порога зависит от энергии следующим
образом:
и, следовательно, Mi = m/&2+'/a, где mi — некая постоян-
постоянная. Подставляя эту формулу в C.2), находим для
Е>Еа
\Sl\~\-\\mi\2$+\ C.3)
J0)(l2?+1) C.30
причем I Sf' |=1. Матричный элемент Si является ана-
аналитической функцией энергии, и поэтому разложение
C.3') должно быть справедливым и при Е < Еп, где нет
неупругих процессов и где \S[\ = 1. Так как ниже порога
кг мнимо, то с точностью по крайней мере до членов по-
, 2/ + 1
рядка «2 ниже порога также выполняется равенство
|Sf'| = l. Таким образом, равенство |S/O)|=1 справед-
справедливо как выше, так и ниже порога и, следовательно, 5/0)
можно записать как е ' , где фаза щ действительна
как выше, так и ниже порога, т. е. при действительных и
§ 3] СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА 393
при мнимых kz. Это означает, что б/ содержит только
четные степени kz:
Непосредственно вблизи порога (kzR <С 1, где R—ра-
R—радиус реакции) можно пренебречь всеми степенями k2
выше первой и считать, что
где через 8i обозначено значение фазы б|0) в точке по-
порога. Таким образом, вблизи порога можно все Si с 1Ф0
считать постоянными, тогда как So является здесь ли-
линейной функцией Ра-
Разная энергетическую зависимость величин Si, можно
вычислить и энергетический ход сечения упругого рас-
рассеяния вблизи порога:
<туп(е, ?) = lf(8, E)?- f(9, ^--L^lmoP/
1 ступ (б> Еп) — 2^- Vступ F> Еп) ая (| k21) X
sinB60 —а) при Е>Еа,
XlcosB60-a) при Е<Еа.
Здесь аул (9, Еп) — дифференциальное сечение упругого
рассеяния X (а, а) X в точке порога, a = a(9)—фаза
амплитуды рассеяния при Е = Еп:
/(9, ?п) = е'а(в)|^@, Еи)\,
а огн(|&21) = —2 mol21^г1 совпадает с полным сечением
реакции, если Е > ?п.
Вблизи порога ан (|^г|) пропорционально |^г|, а все
остальные величины можно считать не зависящими от
энергии. Таким образом, аул (9, Е) является вблизи по-
порога линейной функцией | k21 ~ У\ Е — Еп |; все возмож-
возможные формы энергетической зависимости изображены на
рис. 42.
Отметим важное обстоятельство, с которым мы еще
не раз столкнемся: форма сечения упругого рассеяния
394 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ (ГЛ. IX
вблизи порога содержит очень много информации о свой-
свойствах нашей системы.
Действительно, как функция от \k2\ сечение (Туп ли-
линейно меняется по обе стороны от порога. Измерив
наклоны по обе стороны от порога и зная величину се-
сечения а(9, Еп) в пороге, можно с помощью C.5) опреде-
определить 2бо — а(8) и сечение реакции ан(|&2|). Так как,
кроме того, известна величина
If (9, ?п)|=]/ауп(в, Еа),
то мы знаем и величину
e~2i6i(Q, ?n)^e-'B«.-a)|f(e, ?n)|,
разложение которой по полиномам Лежандра непосред-
непосредственно определяет значения всех фаз рассеяния б*. Не-
Нетрудно убедиться в том, что при этом не возникает ни-
никаких неоднозначностей, освободиться от которых при
обычной процедуре фазового анализа можно, лишь зная
сечение рассеяния при всех энергиях от 0 до оо.
Для полного сечения упругого рассеяния C.5) дает
sin260 при Е>Еа,
(Е) = суп(Еп)- 2аи(| k21
Е<^
C.50
т. е. в этом случае возможны лишь два типа энергетиче-
энергетической зависимости (типы а и в) на рис. 42.
Пределы применимости формул C.5), C.5') опреде-
определяются очевидными условиями, вытекающими из приве-
приведенного выше вывода: матричный элемент реакции Мо
должен быть пропорционален kt, а его квадрат должен
быть мал: |Afo|2<Cl. Оба эти условия можно считать
выполненными, если k2R <C 1, что и определяет область
энергий вокруг порога, где применимы C.5), C.5'):
Ь <^ — т р l/l Р Р I <?? "I / Ci R\
К2 ^*^ d » Г. с. у | JZ Са | vs^ I/ OrnR2 ' \"'Ч)
Еще одним условием является отсутствие резонан-
сов промежуточной системы вблизи порога, так как в
этом случае резонансная фаза бо будет быстро меняю-
меняющейся функцией энергии, и разложение, аналогичное
C.5), будет иметь более сложный вид.
§ 4] ЯВЛЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА НЕУПРУГОГО КАНАЛА 395
§ 4. Физика явлений вблизи порога
неупругого канала
Остановимся теперь на физическом смысле получен-
полученного нами результата. Формально точка порога является
особой точкой (точкой ветвления) уравнения, описываю-
описывающего свойства нашей системы, так как при Е <Еп это
уравнение имеет только единственное решение, соответ-
соответствующее рассеянию Х(а, а)Х, а выше порога (Е > Еп)
имеются уже два независимых решения соответственно
двум возможным условиям на бесконечности: 1) стал-
сталкиваются частицы а, X и 2) сталкиваются частицы b, Y.
Ясно поэтому, что в самой точке порога волновая функ-
функция системы должна иметь какую-то особенность. В фи-
физическом характере этой особенности легко разобраться,
рассматривая асимптотическое выражение для волновой
функции C.1). Оно состоит из двух частей, описываю-
описывающих пары частиц а, X и b, Y. Ниже порога частицы b, Y,
образовавшиеся при столкновении а, X, не могут уйти
друг от друга из-за недостатка энергии. Вне области ре-
реакции их плотность убывает экспоненциально и равна
При приближении к порогу fe2~*0, и «облако» из частиц
b, Y, пространственное распределение которых пропор-
пропорционально е~2|*2'Г1, расплывается на все большее рас-
расстояние от области реакции. Другими словами, радиус
промежуточного состояния, образовавшегося при столк-
столкновении а, X, и относительное число частиц b, Y в нем
при приближении к порогу безгранично растут. Соответ-
Соответственно растет и время жизни промежуточного со-
состояния.
При прохождении через точку порога экспоненциаль-
экспоненциальные хвосты рНЫп превращаются в расходящиеся
(eik*ri) волны частиц b, Y, что соответствует возмож-
возможности существования свободных частиц b, Y при Е > Еп.
Таким образом, непосредственной причиной порого-
пороговых аномалий надо считать безграничное «разбухание»
промежуточной системы при приближении к порогу
снизу.
396 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Этот качественный вывод можно подтвердить прямым
расчетом (А. И. Базь, 1967) по формуле G.8) гл. VIII
для времени Гц, проводимого нашей системой в сфере
радиуса г = Ru где Ri больше, чем радиус взаимодей-
взаимодействия между частицами.
Матрицу рассеяния запишем как
ae
2i6*
Из предыдущего анализа мы знаем, что
при Е> Еп
Vi, 62 = v62, б, = б10,
при Е<Еп
где б10, у — ^т^^ и v —постоянные.
Подставляя эти величины в G.8) гл. VIII, находим,
что ниже порога
D-2)
Единственными быстро меняющимися функциями энер-
энергии в этой формуле являются \v2\ и \k2\. Поэтому энер-
энергетическая зависимость Tu(Ri, E) ниже порога целиком
определяется первым членом в D.2). При фиксирован-
фиксированном Ri этот член монотонно растет с приближением
к порогу. Качественный характер зависимости Гц от
энергии изображен на рис. 43. Максимального значения
Гц достигает в точке порога.
Формула D.2) дает время Tu(Ru E), проводимое си-
системой внутри сферы г = R\. Но мы уже видели выше,
что радиус промежуточной системы безгранично растет
(как 1/|^г| при приближении к порогу снизу). Поэтому
Гц(/?1, Е) меньше истинного времени жизни промежу-
промежуточного состояния, так как часть времени промежуточ-
промежуточная система обладает радиусом, большим чем R\.
§5]
ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАИ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
397
Чтобы понять, как зависит истинное время жизни от
энергии, надо взять Ri ^> 1/|йг|. В этом случае при из-
изменении энергии на АЕ время, проводимое системой
внутри сферы г = Ri, изменяется на
(Tu(Rb E + AE)-Tn(Ru Щ)—^у(*--±-\ D.3)
\ I °2\ \°2\J
где I v'A — абсолютная величина скорости, соответствую-
соответствующая энергии Е + АЕ. Очевидно, что формула D.3) дает
Исправления к стр. 397
Рисунки 43 и 44 должны иметь вид
Г„(ЯгЕ)\
Рис. 43.
Рис. 44.
В предыдущих параграфах уже говорилось, что изу-
изучение формы пороговых аномалий в сечениях позволяет
получить много информации о свойствах системы. Осо-
Особенно ярко это проявляется в случае частиц со спином.
Рассмотрим два наиболее важных случая, которые
помогут нам увидеть все характерные особенности, воз-
возникающие в случае частиц со спином (А. И. Базь, 1957;
А. И. Базь, Л. Д. Пузиков, Я- А. Смородинский, 1962).
Пусть а и X — бесспиновые частицы, спин Y равен s,
а спин Ъ — половине. При этом возможны два случая:
398 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
а) Р(а)Р(X) = Р(b)P(Y) (P(i) —четность частицы
/). Вблизи порога Ь и Y образуются в состоянии с орби-
орбитальным моментом / = 0, т. е. с полным моментом / =
= s ± 7г- Поскольку предполагается, что четности на-
начальных и конечных частиц одинаковы, реакция Х(а, b)Y
возможна, только если а + X имеют четный орбитальный
момент 1и равный либо s + 7г> либо s — V2 (в зависимо-
зависимости от того, какое из этих чисел четно). Соответственно
этому условие C.2) будет теперь связывать Мо не с So,
а с S/,, и вместо C.4) мы получим
St = e2i6i (l Ф /,).
Сечение рассеяния имеет теперь следующий вид:
ауп(9, ?) = ауп(е, Еа)- А- У^ЖЩоЛ] ^21)B/, + 1) X
sinB6л-а) при Е>Еа,
;-а) при БКЕ. E1)
и мы видим, что аномалия в сечении, описываемая вто-
вторым членом в этой формуле, исчезает при тех углах,
где Pi,— 0. Это позволяет найти величину h и тем са-
самым найти спин частицы Y.
б) Случай Р(а)Р{Х) =— P(b)P(Y) отличается or
рассмотренного только тем, что значение U теперь не-
нечетно. Так как Р2П + 1 (cos Y)~®' a ^2n(cos ~\ Ф 0, факт
исчезновения пороговой аномалии при 9 = -^ (в системе
ц. м.) сразу же позволит сказать, что четности началь-
начальных и конечных частиц разные, а если пороговая анома-
аномалия под этим углом не пропадает, то четности одина-
одинаковы.
Изучение пороговой аномалии, как видно из E.1),
позволяет получить много сведений:
1) отношение наклонов кривой сечения до и после
порога определяет величину B6/,— а(9));
2) угловое распределение дает модуль амплитуды
рассеяния |/(9, ?п) [;
3) угловое распределение аномального члена в E.1)
§ 5J ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 399
после этого позволяет найти величину k, а затем найти
все фазы упругого рассеяния;
4) абсолютная величина аномалии дает величину
полного сечения реакции ан;
5) четность и величина U дают сведения об относи-
относительной четности пар а, X и b, Y и определяют величину
спина частицы Y. Особенно перспективен такой метод
определения четности в физике «странных» частиц.
Таким образом, подробное изучение сечения упругого
рассеяния вблизи порога не только сильно облегчает за-
задачу фазового анализа и делает ее однозначной, но н
дает массу сведений о неупругом канале.
Если бы спин частицы Ъ был равен не ik, а какому-то
/, то, как легко видеть, единственным усложнением яви-
явилось бы то, что аномальный член в E.1) пришлось бы
заменить суммой таких же членов, соответствующих
всем значениям k, допустимым законами сохранения мо-
момента и четности. Это усложнило бы анализ, но на
уменьшило количество получаемых из опыта по рассея-
рассеянию сведений.
Другим случаем, который мы рассмотрим, является
случай, когда спины есть и у падающих частиц. Пусть,
к примеру, спин а равен 7г, спин X равен нулю, а отно-
относительно Ъ и Y будем, как и выше, считать, что их спины
равны 7г и s.
Отличный от нуля спин а вносит существенные усло-
усложнения в формулы, так как теперь для обоих значений
полного момента / = s ± '/г рождающихся частиц мо-
можно найти два значения 1\ и 4 орбитальных моментов
пары а, X нужной четности, таких, что соответствующие
моменты /i = /1 ± 7г и /г = к ± 7г равны s + */а и s — J/2
соответственно. Таким образом, реакция может идти че-
через оба орбитальных состояния и, следовательно, опи-
описывается двумя матричными элементами Ms+^^M',
Ms-y, = М". Линейная зависимость от k* около порога
возникает поэтому в двух орбитальных состояниях:
400
ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
Теперь уже по известным формулам легко вычислить се-
сечение и поляризацию частиц а, X:
2lm[h(Q,E)g*(Q, E)]/aya(Q, E),
E.3)
Если, например, внутренняя четность частиц до и после
реакции одинакова и если s нечетное, все S[ вблизи по-
порога можно считать постоянными, кроме
и из E.3) получаем
E)~g(Q, Ea) +
h(Q, ?) =
= Мб, Ea) -f- [ \m |2
m
" |2
< V].
E.4)
где, как и раньше, ki и k2 — волновые векторы относи-
относительного движения частиц аХ и bY соответственно, а
Р|" — присоединенный полином Лежандра. Подставляя
E.4) в E.3), легко получить энергетическую зависи-
зависимость сечения и поляризации. При этом получается уже
знакомый результат, что и сечение рассеяния, и поля-
поляризация имеют особенности в точке порога. Обе вели-
величины являются линейными функциями \kz\ вблизи по-
§ 5] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 401
рога, и поэтому опыты при данном угле 6 позволяют
определить шесть величин: аул F, ?п), & F, Яп) и на-
наклоны а и & по обе стороны от порога. Анализ экспери-
экспериментальных данных при этом не так уж прост, но из
него, тем не менее, по-прежнему можно определить чет-
четность и спин частицы Y, получить значения сечений а**'/»
и, кроме того, вычислить фазы упругого рассеяния 6j_
Ответ на вопрос, почему опыты вблизи порога дают
такую богатую информацию, заключается в том, что
вблизи порога вместо какой-либо одной величины (сече-
(сечение, поляризация, ...) измеряются три: сама эта вели-
величина и ее производные по |&г| по обе стороны от порога,
выражающиеся через фазы рассеяния в точке порога.
Таким образом, вблизи порога эксперимент дает втрое
больше уравнений для определения неизвестных, чем
обычно.
Пусть, например, частица а (спин 4/г) рассеивается
• на К (спин 0). Если в рассматриваемой области энергий
все неупругие каналы закрыты, то, как хорошо известно,
для проведения фазового анализа необходимо измерить
под всеми углами сечение рассеяния и поляризацию ча-
частиц а. Если же какие-то из неупругих каналов открыты,
то фазовый анализ возможен, только если, кроме упру-
упругого канала, изучены и все открытые при этой энергии
неупругие каналы. И даже в этом случае фазовый ана-
анализ оказывается неоднозначным. Положение существен-
существенно облегчается, если изучить область вблизи какого-то
порога.
Пусть это первый порог, т. е. при Е < Еп возможно
только упругое рассеяние. Измерив сечение до и выше
точки порога, мы получим три уравнения для фаз рас-
рассеяния. Таким образом, измерение поляризации оказы-
оказывается излишним, так как из трех уравнений, получен-
полученных при измерении а, можно получить все фазы Ь[ и но
ним уже вычислить поляризацию (при обычном методе
мы имеем два уравнения для фаз: измеренные значения
а и &). В более сложном случае, когда имеется несколь-
несколько неупругих каналов и фазы рассеяния комплексны, из-
измерение сечения и поляризации вблизи пороговой обла-
области позволяет определить эти фазы, не изучая наряду
с упругим и все другие открытые каналы.
402 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Таким образом, области вблизи порога являются вы-
выделенными и в том смысле, что сравнительно простыми
средствами в этих областях можно получить очень много
информации.
§ 6. Обобщение на случай многих каналов
Во всех рассмотренных выше случаях мы считали,
что имеются лишь два связанных друг с другом канала
(а,Х и b, Y). На практике, однако, часто приходится
встречаться с проблемой большого числа каналов. При-
Примером тому может служить большинство ядерных реак-
реакций, а также реакции между странными частицами. Мы
поэтому сейчас рассмотрим общий случай многоканаль-
многоканальной системы (А. И. Базь, Л. Б. Окунь, 1958). Пусть
имеется N + 1 пара частиц a^Xi (i = 1, 2, ..., (N + 1)),
могущих переходить друг в друга:
Будем считать, что каналы пронумерованы по вели-
величине их пороговой энергии ?г- (т. е. наиболее низкой
энергией покоя обладает канал аь Х\\ при повышении
энергии открывается канал а%Х2 и т. д.). Свойства та-
такой системы описываются (N + 1)-рядной матрицей рас-
рассеяния Su (i,j = \, 2, ..., N + I).
Изучим энергетическую зависимость элементов мат-
матрицы рассеяния в области вблизи порога (N + 1)-го ка-
канала. Сечение процесса i-+j равно Оц = ~ | 5,7 — 6tl |2,
где ki — волновой вектор в ?-м канале (мы предполагаем
для простоты, что все частицы — нейтральные бесспи-
бесспиновые и рассматриваем лишь случай нулевого орбиталь-
орбитального момента. Обобщение на спины и орбитальные мо-
моменты тривиально, хотя и громоздко). Вблизи (jV+l)-ro
порога все S<yv+i) имеют вид S^n+d — пцкхЬ\ Sn+i,n+i =
= 1, где Шг — постоянные, a k = kN+l.
Закон сохранения числа частиц приводит к унитар-
унитарности S-матрицы, т. е. между ее элементами существуют
соотношения
§ б] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ МНОГИХ КАНАЛОВ 403
где немой индекс пробегает все открытые каналы. Обра-
Обратимость времени обусловливает симметрию 5-матрицы:
Sik = Ski. ¦ F.2)
Пользуясь этими общими свойствами и известным ви-
видом S{(N+i), найдем энергетическую зависимость всех
элементов Бц вблизи порога (А/+ 1)-го канала. Разло-
Разложим все Sn с I, / Ф N + 1 по степеням k (ограничимся
двумя первыми членами):
Si, = S?l + attk. F.3)
Так как все S*j являются аналитическими функциями,
это разложение справедливо как выше, так и ниже
(N + 1)-го порога. Ниже порога открыто N каналов, k
мнимо (k = i\k\) и условие унитарности имеет вид
В точке порога (ft = 0) оно сводится к
21 sWsg; = ь1т. F.5)
1=1
Выше порога (k = \k\) необходимо учитывать новый
открытый канал и условие унитарности имеет вид
| EJ? + aak) (S^ + a*mlk) + mimmk = 6im. F.6)
Из всех этих равенств элементарно получаются следую-
следующие выражения для коэффициентов ац\
ац=--^щт,. F.7)
Эта формула и решает задачу, поставленную в на-
начале этого параграфа. Действительно, она позволяет
найти энергетическую зависимость всех сечений ctjj
вблизи порога (jV-fl)-ro канала (напоминаем, что мы
404 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
для простоты выкладок ограничиваемся случаем нуле-
нулевого орбитального момента):
41 Stjц |i; (^
^-Re [(в„ - Sff)m{m,k} =
k
Re[Fl7- SW)
при E>EN+U
F.8)
при E<EN+l,
nti и rrij с точностью до фазовых множителей пропорцио-
пропорциональны корням квадратным из ai(N+\)k~l и ej(s+i)k~l
соответственно.
Таким образом, пороговая аномалия в процессе i—*j
тем больше, чем больше сечения и, следовательно, чем
сильнее взаимодействия i—*(N+l) и /—*(N+1). Это
открывает богатую возможность исследования взаимо-
взаимодействия между какой-либо парой частиц по энергетиче-
энергетическим зависимостям реакций между другими частицами.
Основной итог можно сформулировать следующим
образом. В точке порога сечения всех процессов i—*j
имеют особенности типа, изображенного на рис. 42. Изу-
Изучение этих особенностей сулит получение богатой инфор-
информации.
§ 7. Форма особенностей вблизи порога рождения
заряженных частиц
Мы видели выше, что величина пороговых особенно-
особенностей в сечении упругого рассеяния Х(а,а)Х тем больше,
чем больше сечение порогового процесса X(a,b)Y.
Именно поэтому вклад в образование особенностей
вблизи порога рождения незаряженных частиц дает
лишь канал рождения Ъ, Y в состоянии с / = 0, ибо при
I фО рождение подавлено, так как, чтобы вылететь из
области реакции, Ъ и Y должны проникнуть сквозь
центробежный барьер.
В случае одноименно заряженных частиц Ъ и Y сече-
сечение их рождения вблизи порога из-за существования
§ 7] ФОРМА ОСОБЕННОСТЕЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РОЖДЕНИЯ 405
кулоновского барьера мало даже в канале с / = 0. Ни-
Никаких пороговых особенностей в упругом сечении воз-
возникнуть в этом случае не может.
Положение существенно меняется, если Ь и Y — раз-
разноименно заряженные частицы, и этот случай требует
специального рассмотрения (А. И. Базь, 1959). Подход,
изложенный в § 3, оказывается здесь неприменимым,
так как, если точка порога Е = ?п в случае нейтраль-
нейтральных Ь и Y является простой точкой ветвления, и разло-
разложение для 5, полученное выше порога, остается спра-
справедливым и ниже порога, то в случае заряженных b
и Y это уже не так. Точка Еп является теперь существен-
существенно особой точкой, так как в кулоновском поле имеется
бесконечное количество связанных состояний, сгущаю-
сгущающихся в точке Еа. Разложения всех физических величин
выше и ниже порога имеют теперь совершенно различ-
различный вид. Поэтому требуется более детальное рассмотре-
рассмотрение проблемы. В соответствии с этим приходится де-
делать ряд предположений о свойствах нашей системы,
так как одного закона сохранения числа частиц оказы-
оказывается недостаточно.
Мы будем предполагать ниже, что все взаимодей-
взаимодействия между частицами (кроме кулоновского) равны
нулю вне некоего радиуса R, о котором везде ниже бу-
будет говориться как о радиусе реакции. Одного этого
предположения оказывается достаточно для установле-
установления вида пороговых особенностей.
Как известно из общей теории реакций, волновая
функция, соответствующая процессу
имеет вне радиуса реакции вид (мы ограничимся пока
рассмотрением лишь одного парциального состояния,
в соответствии с чем ниже выписана лишь радиальная
часть):
^ = [^(-)-SaaV+)]O(a, X)-Sabq>{+)O(b, Y), G.1)
¦ф(±; — это радиальные функции частиц а + X, имеющие
асимптотический вид ~ г— е~ ika'', <p(+) — радиальная
406
ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
функция частиц Ь + Y:
Saa и Sab — элементы матрицы рассеяния.
Из предыдущей главы мы знаем, что в случае двух-
канальной системы элементы матрицы рассеяния зави-
зависят от взаимодействия в области реакции (г < R) толь-
только через посредство трех действительных параметров.
С их помощью нужные нам элементы S-матрицы можно
представить в виде (см. примечание к стр. 377):
2iR
Rab
Здесь та =
G.2)
— логарифмические
производные волновых функций на радиусе реакции,
k — волновой вектор пары b + Y, Rih — «внутренние»
постоянные (элементы /^-матрицы), которые опреде-
определяются характером взаимодействия при г ^ R; Rth, i])(±)
и та можно считать практически постоянными, тогда как
Ф<+) и т здесь очень сильно зависят от энергии (точка
?п является обычной, ничем не выделенной для Rik,
г|)(±) и та, тогда как для <р(+) и т эта точка является суще-
существенно особой). Поэтому мы перепишем G.2) в виде
1 - т/Л*
1-т/Д '
Д_т
G.20
где все медленно меняющиеся величины собраны в по-
постоянные б, С и Д и ясно видна зависимость от «бы-
«быстрых» величин т и ф<+>. Величины Sa& и Saa удовлетво-
удовлетворяют, конечно, условию унитарности, которое при такой
записи сводится к действительности 6 и к соотношению
т * С
1тД= —
§ 7] ФОРМА ОСОБЕННОСТЕЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РОЖДЕНИЯ 407
Чтобы найти вид энергетической зависимости упру-
упругого сечения, надо знать логарифмическую производную
т выше и ниже порога. Для ее вычисления нельзя поль-
пользоваться формулами A.12), так как они справедливы
лишь выше порога, когда к > 0. Вместо этого надо вос-
воспользоваться общим выражением для кулоновской
функции, которое остается справедливым и ниже порога.
Это выражение имеет вид
1 №п—5±~*
у
Х
/ + 2) \
Sin Я (/+1+ftp \ Ikr
ГB/ + 2) \ я
s)T{p)
X
Li Г
T(q)T(p +
s=0
Здесь z = —2kr; q = I + I + щ; p = 21 + 2, Г —это
Г-функция, а г|з — ее логарифмическая производная. Вы-
Выше порога (ft > 0) функция ф^"' превращается в
При |&|->0, г--»-const из G.3) можно получить следую-
следующее приближенное выражение для т:
где | — не зависящая от энергии постоянная,
fa B1+ 1) Г2 B/+ 1) '
= -^ [In (- 2i/er) +1|> (/ + 1 + ir\) - In | 2кцг | ].
408 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
В случае разноименно заряженных частиц г\ = 4|^
выше порога; ниже порога, где t> = t|t>|, ir\ < 0. Поль-
Пользуясь тем, что при больших значениях аргумента 1])-функ-
ция ведет себя как
)~1п w
при неотрицательных w и как
\f> (w) ~ In (— w) — л ctg nw
для действительных отрицательных w, получаем
i при Е>Еа,
при Е<Еп.
Выше порога t—постоянная, а ниже порога бесконеч-
бесконечное количество раз обращается в бесконечность:
е\е\т
2Ь*(Еп-Е) •
Энергии Еп, при которых ctg обращается в бесконеч-
бесконечность, определяются условием
1 е\е\т
?п - ?» = -^г 2Й . .(/.о)
где га — любое целое число. Эта формула совпадает с
формулой для энергии кулоновских связанных состоя-
состояний пары b + Y, которые существовали бы, если бы ме-
между Ь и Y не действовали никакие силы, кроме куло-
кулоновских.
Рассмотрим теперь поведение упругого сечения. Эле-
Элемент 5-матрицы Saa можем записать как
где а = <х\ + iai и р = f$i + ifc — комплексные постоян-
постоянные, скомбинированные очевидным образом из постоян-
постоянных Д и б в G.2') и постоянных, входящих в формулу
длят G.4).
§ 71 ФОРМА ОСОБЕННОСТЕЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РОЖДЕНИЯ 409
Выше порога t = i и сечение рассеяния Х(а, а)Х рав-
равно
1
• G.7)
Сечение реакции ^(а, 6) Y
G.8)
Оба сечения не зависят от энергии, так как ka — волно-
волновой вектор частиц а + X — можно считать постоянным
в области вокруг порога.
Ниже порога возможно только упругое рассеяние.
Его сечение имеет бесконечное количество резонансов,
которые сгущаются по мере приближения к точке по-
порога:
= ~{2l+l) sin2 б„
ка
,,. -, / e\e\m
(-1) T Sctgn 1/ fi2
K , Д 'f. ?n| . G.9)
ai + Pi (-1)
2Й2|?-?П|
Физическая причина появления резонансов заклю-
заключается в следующем. Если бы частицы Ъ + Y не были
связаны с каналом а + X и между ними действовали
бы только кулоновские силы, то при энергиях, опреде-
определяемых условием G.6), существовали бы связанные со-
состояния пары Ъ + Y. Связь с каналом а + X делает эти
состояния нестабильными относительно распада на
а + Х.
При этом в сечении Х(а, а) ^возникают резонансы,
соответствующие этим квазистационарным состояниям.
410
ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
Положение резонансов определяется условием 6
ля + у, откуда следует:
2 2
?
Это условие не совпадает с G.6), т. е. резонансы оказы-
оказываются несколько сдвинутыми относительно положений
водородоподобных уровней G.6). Это и должно проис-
происходить, так как между Ь и Y действуют не только куло-
новские силы.
Вычисленная из G.10) плотность уровней р(?) (чис-
(число резонансов на единичный интервал энергии) равна
она возрастает по мере приближения к порогу. С дру-
другой стороны, усредненное по некоторому интервалу 2Д?
сечение
Е+АЕ
Е-АЕ
oo
я J 1
+y2
G.12)
оказывается не зависящим от энергии. Это означает,
что ширина уровней по мере приближения к порогу
уменьшается как (Еп — ЕK'\ При интегрировании в
G.12) надо учесть, что при |5г|< 1, i(ap* — a*P)> 0.
Любопытно отметить, что усредненное по энергии се-
сечение обладает свойством непрерывности: сравнение
G.12) с G.7), G.8) показывает, что os = ot, где at =
= os + or — полное сечение выше порога*). Качествен-
*) Это естественно, поскольку высоковозбужденные состояния
в кулоновском поле подобны состояниям непрерьшвого спектра при
малой положительной энергии. Свойства таких состояний подробно
рассмотрены в Приложении Б.
§7]
ФОРМА ОСОБЕННОСТЕЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РОЖДЕНИЯ
411
но поведение сечений вблизи порога изображено на
рис. 45.
Заметим, что с увеличением / ширина уровней умень-
уменьшается, а положения резонансов приближаются к зна-
значениям, даваемым формулой G.6) для чисто кулонов-
ских уровней. Физическая причина этого в том, что
при / ~Э> 1 вероятность найти частицы близко друг к
другу мала, а стало быть, мала и вероятность перехода
Ь + Y —* а + X. Таким об-
образом, время жизни ква-
квазистационарных состоя-
состояний с ростом / растет, и
это приводит к уменьше-
уменьшению ширины. Количе-
Количественные оценки можно
получить из G.9), G.10),
заметив, что с ростом I
постоянная Z, быстро стре-
стремится к нулю.
Легко оценить величи-
величину интервала энергий ЬЕ,
где сечение рассеяния
имеет резонансный характер. Он должен быть по по-
порядку величины равным энергии связи первого кулонов-
ского уровня частиц Ь + Y, т. е.
•ч
1
1
111 3l
III III ^
mil Or
in
Рис. 45.
ЬЕ
тг
l
Ьс )
G.13)
Для «странных» частиц ЬЕ«0,1 Мэв, так что все
специфически кулоновские эффекты разыгрываются в
этом сравнительно очень узком интервале. В то же вре-
время условие kR <C 1 остается выполненным в интервале
порядка десятков Мэв вокруг порога. Ясно поэтому, что
хотя вблизи самого порога доминируют кулоновские
эффекты, несколько дальше от порога окажется приме-
применимой развитая в предыдущих параграфах теория для
нейтральных частиц.
В задачах атомной физики ситуация обратная: об-
область, где kR -С 1, гораздо меньше, чем ЬЕ.
Везде выше предполагалось, что рассматриваемая
система имеет лишь два открытых канала. Нетрудно
412 ПОРОГОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
обобщить все полученные выше основные результаты на
случай многих каналов. Сделать это можно, заменив
формулы для S-матрицы на более общие, выведенные
с учетом многоканальности. Формулы эти довольно гро-
громоздки, и мы их выписывать не будем. Достаточно ска-
сказать лишь, что физическая картина остается без изме-
изменений: характер особенностей остается точно таким же,
как и в случае двухканальной системы, и они имеются
у сечений всех процессов Хг(пг, uj)Xj, возможных в об-
области порога.
Учет спинов частиц проводится тривиально и также
не дает ничего нового.
Изложенная в этом параграфе теория находит осо-
особенно частое применение при изучении атомных столк-
столкновений вблизи порогов перезарядки типа А+В —>
—*• Л+ + В~ или при изучении атомного фотоэффекта
А + у —> е~ + А+ вблизи порога ионизации. В последнем
случае, в частности, наличие сгущающихся к порогу ре-
зонансов в сечении уже давно установлено эксперимен-
экспериментально.
Другим примером может служить рассеяние ц-мезо-
нов на ядрах вблизи порогов неупругого рассеяния ме-
мезона. Опыты с ц~-мезоном могут оказаться особенно
интересными, так как расположение и форма подпорого-
вых резонансов в сечении рассеяния ^--мезонов позво-
позволит хорошо измерять отклонение потенциала от чисто
кулоновского, т. е. измерять форму распределения за-
заряда в ядре.
ГЛАВА X
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Задача нескольких тел гораздо богаче по содержа-
содержанию, чем задача двух тел. Это делает задачу многих
тел очень привлекательной, так как она позволяет опи-
описать гораздо более широкий круг реальных явлений,
которыми приходится заниматься в атомной и ядерной
физике и в физике элементарных частиц. Однако за
это приходится дорого платить: задачи многих тел ока-
оказываются несравненно более трудными для решения,
чем задача двух тел. И дело здесь совсем не в том, что
из-за большего количества переменных численное реше-
решение уравнений требует большой затраты труда. Главная
трудность заключается в усложнении аналитической
природы решения задачи многих тел по сравнению
с задачей двух тел. Причина этого в том, что система
многих тел может при одной и той же энергии нахо-
находиться в нескольких существенно разных состояниях
(иногда говорят — имеет несколько каналов). Одним из
проявлений этого является то, что возникает физическая
неоднозначность решений уравнения Шредингера. Есть
и ряд других трудностей.
Все это привело к тому, что разработка методов ре-
решения задачи нескольких (более чем двух) тел заняла
много лет. Мы не будем перечислять все работы, посвя-
посвященные задаче нескольких тел. Отметим лишь главные
этапы. При этом мы ограничимся простейшим случаем
задачи многих тел — задачей трех тел, так как все спе-
специфические особенности многотельных задач в ней про-
проявляются достаточно четко. Первая серьезная попытка
корректно решить задачу трех тел для частного слу-
случая равных масс и точечных взаимодействий между
414 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
частицами (см. § 9 гл. IV) была предпринята Г. В. Скор-
няковым и К. А. Тер-Мартиросяном в 1956 г. Они встре-
встретились с целым рядом трудностей, часть из которых им
удалось преодолеть, а остальные были разрешены в по-
последующих работах (см., например, Г. С. Данилов, 1961,
Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, 1961 А, Б).
Полное математическое исследование задачи трех
тел было завершено лишь в 1960 г. (Л. Д. Фаддеев,
1960). В частности, было показано, как надо обходить
главную трудность многочисленных задач — физическую
неоднозначность решений уравнения Шредингера, свя-
связанную с существованием нескольких каналов. Зада-
Задача N тел была рассмотрена методом Фаддеева в работе
О. Я- Якубовского A967).
Ниже излагается квантовая теория рассеяния для
задачи трех тел в том сравнительно простом виде, кото-
который она приняла в настоящее время. Основное внима-
внимание при этом обращается на физические особенности за-
задачи трех тел, а не на математические тонкости. Сна-
Сначала излагается общая теория. Последние параграфы
этой главы посвящены применению общей теории к не-
некоторым упрощенным модельным задачам, имеющим
практический интерес.
§ 1. Обозначения
Рассмотрим систему трех нерелятивистских бёсспи-
новых чатиц 1, 2, 3 с массами гп\, тг, т3. Потенциал
взаимодействия между i-й и /-й частицами обозначим
Vijiri — Г}). Уравнение Шредингера (у. Ш.) имеет обыч-
обычный вид:
= 0. A.1)
Ниже почти всегда будет удобнее работать в им-
импульсном представлении. При этом везде в этой главе
в качестве переменных импульсного представления бу-
будут использоваться именно импульсы, а не волновые
векторы. Приведем соответствующие формулы переха-
§ il ЬбозначенИя 415
да. Волновая функция в импульсном представлении есть
4(ku k2, *3) =
u г2, г3) *-' <*.*+*л+*л>/* dri dr2 dr3.
Эта функция является решением уравнения *)
(#о + У12 + К,з + К2з - ?) ? [*i, *2, *sl = 0; A.2)
здесь Но — гамильтониан свободного движения:
(Л„ *,, Лз), A.3)
а взаимодействия Vi2, V\s и t?23 — это интегральные опе-
операторы, действующие на аргументы (k\,k2), {kx,kz) и
(k2, из) соответственно. Например
\k k 41- Г
X
M; A.4)
здесь уi2 (Л) — взаимодействие частиц 1 и 2 в импульс-
импульсном представлении — равно
= 7W J
г)eikrlh dr- Q -5)
Для отделения движения системы как целого перей-
перейдем к новым переменным:
3. 12 m
Кроме пары переменных fti2, p можно ввести еще две
пары векторов к{г, рч и Л2з, Рь получаемых из A.6) цик-
циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
*) Везде ниже шляпка над символом означает интегральный
оператор. Если аргументы функции заключены в квадратные скобки,
как в A.2), то это означает, что это аргументы не самой функции W,
а функции, возникающей из W под действием операторов, стоящих
слева.
416 задача Трех тел [Гл. х
В системе центра инерции (с. ц. и.) волновая функ-
функция не зависит от К. В качестве двух независимых пере-
переменных волновой функции может быть выбрана любая
пара (kij, pi) в зависимости от удобства. Если нам без-
безразлично, какую из пар переменных использовать, мы
будем опускать индексы при k{j и ри например хУ(к,р).
Все три пары переменных (kl2, рз), (Лгз, Р\) и (ЛзьРг)
однозначно связаны друг с другом.
В с. ц. и. свободный гамильтониан есть
fe2 „2 .2 „2 .,2 Л
12 Рз 23 Р\ 41 Р2
H H(k р) + = + ==?_+_; A.7)
= +
и лг — приведенные массы:
т,т,
ф
Взаимодействия Уц между частицами i и / приобре-
приобретают особенно простой вид в «своих» переменных
(*tj. Pi) •
= J
A.9)
Везде ниже, где это не будет оговорено особо, все
формулы будут писаться для с. ц. и.
В этой системе у. Ш. — интегральное уравнение в ше-
шестимерном пространстве
HW[k, p]^{HQ(k, p) + VL[k, p] = EW(k, p), A.10)
где V—полное взаимодействие
V = Vl2+V23 + V3l. A.100
Введем теперь функцию Грина G (ф. Г.) оператора
(Я — Е) как симметричное по паре своих векторных ар-
аргументов решение уравнения
(H-E)G(k,p\k',p'; E) = b{k-k')b{p-pf). A.11)
Здесь оператор (Н — Е) действует на первую пару ар-
аргументов.
4 ij оёознАченйя 417
Введем теперь, так же как и в гл. IV, операторы
Грина G как интегральные операторы, ядром которых
является ф. Г. Например:
GQ[k, р]= J G{k, p\k', р'; E)Q(k', p')dk'dp'. A.12)
Умножив уравнение A.11) справа на произвольную
функцию Q(k',p'), проинтегрировав по k', p' и учтя оп-
определение A.12), получим
(H-E)(GQ[k,p]) = Q{k,p).
Видно, что оператор G можно символически запи-
записать как
G(E) = [H-(E + iy)]-1. A.13)
К энергии Е сделана бесконечно малая мнимая добавка
iy. Это соответствует «условию излучения» и делает вы-
выбор ф. Г. однозначным. Такая запись оператора Грина
возможна, ибо все собственные значения гамильтониана
действительны, и при у ф О оператор [Я — (Е + iy)] все-
всегда отличен от нуля и, следовательно, обратный ему
оператор [Я — (E + iy)]~l конечен при действительном Е.
Наиболее простой вид ф. Г. имеет, когда V == 0. Так
как оператор кинетической энергии Но в импульсном
представлении является оператором умножения на чис-
число (см. A.3), A.7)), то
G0(lfc, p\k>, р'; Д)- б/-^б(р-р/) . A.14)
Соответствующий оператор Грина есть
§o«[-ir+ur-(?+/Y)J"Is"Go(ft, Р' Е)'
поскольку
G0Q[k, p) = k2 Q/' P) = Go(ft, p;E)Q(k, p). A.14')
418 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
Следующим по сложности является случай, когда
одна из частиц A-я) не взаимодействует с двумя осталь-
остальными (t-й и /-й частицами), и у. Ш. имеет вид
(Я17-?)Ф(г/)[*, р] = (Н0 + 9„-Е)ФA'п = 0. A.15)
Так как оператор Уц факторизуется в переменных кц,
pi (см. A.9)), то уравнение A.15) в этих переменных
имеет особенно простой вид, допускающий разделение
переменных. Записав ф('Я в виде
A.150
и подставляя его в A.15), найдем с помощью A.7) —
A.9), что Ф<г'л является решением уравнения A.15),
если ф(г'л(&«) удовлетворяет уравнению движения для
двух частиц:
где оператор 6ц — взаимодействие между частицами i
и / — определен как (ср. с A.9))
- k'n) * га dk4-
При использовании ftfj- и рг в качестве переменных
функцию Грина Gtj оператора (Яг-з — Е) можно искать
в виде произведения
{ g) 0-17)
Действительно, подставляя это выражение в уравнение
убеждаемся, что A.17) является ф. Г. оператора
(#,j — ?), если gi, является двухчастичной функцией
Грина, удовлетворяющей уравнению (ср. с A.16))
A.17)
§ I] ОБОЗНАЧЕНИЯ 419
Когда отлично от нуля более чем одно парное взаи-
взаимодействие V^, переменные в у. Ш., как правило, не раз-
разделяются со всеми вытекающими отсюда неприятными
последствиями*). Однако и в этом неприятном со мно-
многих точек зрения случае могут быть установлены об-
общие соотношения, связывающие ф. Г. G общего опера-
оператора (Я— (Е + iy)) с более простыми ф. Г. G^ операто-
операторов (Htj — (Е + iy)).
Наиболее просто эти соотношения можно получить,
исходя из определения ф. Г. G A.13) и операторного
тождества
j-i-iie-4'i{e-4- (U8)
Положив здесь
(E + i)) и С = (Ни-(Е
немедленно получим соотношение, которое можно рас-
рассматривать как уравнение для ф. Г.
G=Git- 0и0ид = Gi} - GUtiGu, A.19)
где Ut,=-V- Vu.
В качестве Vij можно выбрать любое из трех парных
взаимодействий трехтельной задачи. При этом для од-
одной и той же полной ф. Г. G будут получаться разные
уравнения вида A.19). Таких уравнений три; к ним
можно прибавить четвертое, полученное из A.18) под-
подстановкой вместо С оператора Яо—(Е + iy):
G = GQ-G0VG. A.20)
Вообще говоря, уравнений для полной функции Гри-
Грина можно написать бесконечное число, выбирая для С
выражения С = (Ho + V — (? + гу)), где V — произволь-
произвольное вымышленное взаимодействие между тремя части-
частицами. При этом, однако, теряется генеалогическая пере-
емственность задачи: задача трех тел выражается не
*) Некоторые частные случаи, когда разделение переменных
удается произвести, несмотря иа то, что все парные взаимодействия
Уц отличны от нуля, будут рассмотрены в конце главы.
420 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
только через величины Gtj и Уц, характеризующие пар-
парные взаимодействия, но и через искусственно вводимое
в задачу трех тел фиктивное взаимодействие V. По
этой причине обычно используются только четыре урав-
уравнения A.19) — A.20), полученные, так сказать, с по-
помощью натуральных продуктов. Ввиду важности этих
уравнений для всего дальнейшего мы выпишем их все
вместе в развернутом виде:
, A.21а)
G3X-G3{{V{2 + V23)G, A.216)
G23-G23(Vl2+V3l)G, A.21b)
Все входящие сюда операторы Грина, конечно, соответ-
соответствуют одному и тому же значению полной энергии трех
частиц Е.
§ 2. Переход к уравнениям Липпмана — Швингера
Всякое соударение можно условно разделить на три
основных этапа:
1. Начальное состояние — сталкивающиеся частицы
движутся навстречу друг другу. При этом часть парных
взаимодействий как бы оказывается выключенной: если
сталкивается, например, связанное состояние частиц 1
и 2 (частица {12}) с третьей частицей, то взаимодей-
взаимодействия V3i и Угз на этой стадии можно положить рав-
равными нулю, если величина этих потенциалов достаточно
быстро падает с увеличением расстояния между части-
частицами;
2. Этап самого соударения — сталкивающиеся части-
частицы подходят достаточно близко друг к другу и вступают
в игру все взаимодействия;
3. Конечное состояние — продукты соударения разле-
разлетаются в разные стороны. На этой конечной стадии про-
процесса, часть взаимодействия опять выключается: если
разлетаются частица {12} и частица 3 (произошло уп-
упругое рассеяние {12} + 3-> A 2} + 3), то выключены,
§ 2] ПЕРЕХОД К УРАВНЕНИЯМ ЛИППМАНА - ШВИНГЕРА 421
i
очевидно, взаимодействия V3i и У^.. Если произошел
полный развал системы ({12} + 3—> 1 +2 + 3), то в ко-
конечном состоянии все три частицы находятся далеко
друг от друга, и поэтому выключены все три взаимодей-
взаимодействия V\2, V31 и У2з- Если произошла какая-либо реак-
реакция, например {1 2} + 3 -»¦ 1 + {2 3}, то в конечном со-
состоянии выключены только Vi2 и Vi3 и т. д.
В задаче трех тел может существовать несколько ти-
типов начальных (конечных) состояний, принадлежащих
непрерывному спектру.
А. Все три частицы свободны. Волновая функция та-
такого движения есть
Ф(кр(к, р) = 6(*-/СN(р-Р), B.1)
где заглавной буквой (К или Р) обозначено численное
значение соответствующего импульса, а строчной бук-
буквой— переменная импульсного представления. Здесь
К — импульс относительного движения каких-либо двух
частиц, а Р — импульс оставшейся частицы относитель-
относительно этой пары. Энергия состояния B.1), очевидно, есть
2т + 2п
а сама волновая функция Ф#/> удовлетворяет свобод-
свободному уравнению Шредингера
(Яо-?)Ф$р[*, р] = 0. B.2)
Б. Две частицы (/-я и /-я) образуют связанное со-
состояние {/ /} с энергией е,^ < 0, а оставшаяся A-я) ча-
частица свободна. Импульс относительного движения /-й
частицы и частицы {i/} есть Pi. Волновая функция та-
такого состояния равна
где Фе —волновая функция связанного состояния t-й
и /-й частиц (частица {* /}). Функция B.3) отвечает со-
состоянию с полной энергией
f
422 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
а сама функция B.3) является решением уравнения
Шредингера
(Яг/-?)Ф<^[^., P/j = 0, B.4)
где
Теперь, после того как введены все обозначения, пе-
перейдем к выводу уравнений движения в нужном нам
виде. Пусть нас теперь интересует какой-то конкретный
процесс соударения, когда начальное состояние задано
и записывается волновой функцией Фа . Здесь б может
принимать значения 0, 12, 1 3, 2 3 в соответствии с че-
четырьмя возможностями (см. B.1) и B.3)). Индекс а
означает совокупность квантовых чисел начального со-
состояния: а зз [К, Р] или а = [гц, Рг]. Полную волновую
функцию естественно представлять в виде
Wa(k,p) = of + X(k, р), B.5)
где Фаб) описывает начальное состояние, а X учитывает
все искажения начального состояния в результате со-
соударения.
Подставляя B.5) в уравнение Шредингера задачи,
получим
(Я - Е) ?„ = {Я - Е)X + и6Ф(а] = 0, B.6)
где
f V-V6 при 6=12, 13,23,
?/e= ~ B.7)
6 I V при 6 = 0. ;
При переходе от левой части к правой в B.6) учтено,
что волновая функция начального состояния удовлетво-
удовлетворяет одному из уравнений B.2) или B.4). Из B.6) сле-
следует далее, что
X (k, р) = - G (?) f/аФо5* [ks p], B.8)
где G — оператор Грина
§ 2] ПЕРЕХОД К УРАВНЕНИЯМ ЛИППМАНА - ШВИНГЕРА 423
Подставляя B.8) в B.5), получаем после несложных
манипуляций с операторами
?„ = Ф!? - [Н - (Е + 1у)Г[ (?
= {1 - [Я - (?• + f-Y)]~
~6] ' § tf. B.9)
Y->+o
где мы опять воспользовались тем, что волновая функ-
функция начального состояния удовлетворяет уравнению
Уравнение B.9) в форме
?«,(*, Р) = - iyG (Е + iy) Ф(? [к, р] ^
Y->+0
=*-iyJG(k,p\ к', р\ Е) Ф?» (*', рО dk' dp B.90
обычно называют уравнением Липпмана — Швингера
для задачи трех тел. Наиболее важным свойством этого
уравнения, как и вообще всех уравнений такого типа,
введенных впервые Липпманом и Швингером, является
то, что в уравнение явно введено граничное условие
в виде волновой функции Фа начального состояния.
Теперь несколько слов по поводу немного необычного
вида уравнения B.9'). В § 1 этой главы отмечалось,
что оператор Грина A.13) всегда существует при отлич-
отличной от нуля постоянной у. Смысл этого замечания сво-
сводится к тому, что при действии оператора Грина на лю-
любую собственную функцию Ч/д, оператора Н (HWe, —
— jEo^e») получается вполне определенный конечный
результат (см. § 7 гл. IV)
Конечность результата гарантируется мнимой добавкой
iy к энергии, которая мешает коэффициенту в правой
части B.10) обратиться в бесконечность даже при
424 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
Е = Ео. Умножив теперь обе стороны B.10) на —iy и
устремив затем у к нулю, получим справа нуль во всех
случаях, кроме одного: когда оператор —iyG(E) дей-
действует на собственную функцию We, отвечающую тому
значению энергии, которое стоит в аргументе оператора
Грина. В этом последнем случае будем иметь
- iyG (Е) УЕ - ?_~Д/у) Ча - Ча. B.100
Такая процедура с введением мнимой добавки iy к энер-
энергии во всех промежуточных формулах обеспечивает схо-
сходимость всех интегралов и делает однозначным резуль-
результат расчета.
Равенства B.10), B.10') относятся к собственным
функциям гамильтониана Н, для которого построен опе-
оператор Грина. Но их легко обобщить на случай более
широкого класса функций — функций, разлагаемых по
системе функций We- Предоставляем читателю это сде-
сделать. Отметим здесь только одну формулу, получаю-
получающуюся при этом и нужную нам в дальнейшем:
- 1убь (Е) ф?Р} [k, p] = брва4б) '(*, р). B.11)
Здесь брв — символ Кронекера, Фа6) — волновая функ-
функция типа B.3) (индекс б может принимать значения
6= 1 2, 1 3, 2 3), описывающая движение связанного
состояния пары частиц относительно оставшейся части-
частицы, a Gr может быть любым из трех операторов Гри-
Грина G,2, G23, G3i (см. A.17)).
§ 3. Уравнения Фаддеев а
Уравнения Липпмана — Швингера не очень удобны
для исследования и для получения конкретных резуль-
результатов. Поэтому, хотя они были написаны довольно
давно, реальный прогресс в решении задачи трех тел
наступил только в последние годы после работ
Л. Д. Фаддеева A960, 1963). Ниже в этом параграфе мы
выведем уравнения Фаддеева (C.1), C.2), C.3), C.11)),
§ 3] УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА 425
а в следующих параграфах будет показано, как они
используются при решении различных задач.
В уравнение B.9') для волновой функции Wa вхо-
входит полная функция Грина взаимодействующих ча-
частиц G, которая может быть написана в явном виде,
только когда известен полный набор волновых функций
задачи трех тел. Поэтому в виде B.9) это уравнение
нельзя использовать для вычисления Wa; можно, од-
однако, его привести к более удобному виду, использовав
уравнения A.21) для G.
Пусть для определенности рассматривается соуда-
соударение связанного состояния {1 2} частиц 1 и 2 с третьей
частицей. Волновая функция начального состояния есть
OeJv Подставив по очереди в правую часть B.9) ра-
равенства A.21а) — A.21в) и использовав B.9) и B.11),
получим три уравнения:
Чг = Ф^Рз-е12(К2з + Кз1)Чг, C.1а)
W = -G23(Vl2 + V3lL, C.16)
? = -G3l(Vl2 + V23) ЧГ. C.1 в)
Здесь мы подошли к существенному моменту, когда
проявляется принципиальное отличие задачи трех тел
от задачи двух тел. В задаче двух тел все граничные
условия содержатся в функции Грина. В принципе дело
обстоит точно так же и в задаче трех тел, если исполь-
используется полный оператор Грина G. Однако реально по-
построить его пока не представляется возможным, и при-
приходится пользоваться его выражением через более про-
простые операторы G,j. В последних, однако, учтены не все
граничные условия задачи. Из способа их определения
A.17) следует, что G{jQ (Q— функция, на которую дей-
действует Gij в правых частях уравнений C.1)) в коорди-
координатном представлении содержит только расходящиеся
волны (у>0!) по координате Гц относительных движе-
движений 1-й и /-й частиц. Сходящихся волн по этой коорди-
координате нет. Что же касается относительного движения
оставшейся 1-й частицы и частиц / и }, то здесь положе-
426 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
ние совсем иное. Функция 6tjQ содержит и расходя-
расходящиеся и сходящиеся волны по координатам ги и Гц, что
видно из A.17). В результате получается, что в каждом
из операторов бц «условие излучения» наложено толь-
только на одну пару частиц ij, и, таким образом, в опера-
операторе G^ содержатся не все граничные условия задачи
трех тел. В частности, функция Gn(V2z + V3i)W в
C.1а) может содержать члены, описывающие сходя-
сходящиеся волны частиц {1 3} и 2 и (или) частиц {2 3} и 1.
Между тем по условию задачи таких членов в волновой
функции *F быть не должно.
Таким образом, взятое само по себе уравнение C.1а)
не обеспечивает однозначности решения. Чтобы сделать
решение однозначным, необходимо использовать все три
уравнения C.1а), C.16) и C.1в) и искать совместное их
решение. Первое из этих уравнений гарантирует самим
своим видом выполнение «условия излучения» по ко-
координате /2, второе — по координате г3ь а третье — по
координате г2з-
Совершенно аналогичные рассуждения показывают,
что если начальное состояние рассматриваемого про-
процесса есть
а,2Ф<12>
где ац—произвольные числа, то волновая функция за-
задачи должна находиться из решения системы трех урав-
уравнений:
C.2)
Уравнение A.21г) нами не использовалось. Его учет
не прибавляет ничего нового, так как все граничные
условия задачи уже учтены в трех уравнениях системы
C.2). Совершенно аналогичная ситуация возникает и
при решении задач об одновременном соударении всех
трех сначала свободных частиц (начальное состояние
Ф<°) (см. B.1)). Система уравнений, которую надо ре-
§ 3] УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА 427
шать в этом случае, есть:
у j^y -{.у ) W
(Г/., -и Т/.Л W
C.3)
F23) ^-
Входящие в три нижние уравнения функции Ч^'Л — это
собственные функции гамильтонианов Я,-,-
(H0 + Vu-E)W(lI) = 0, C.4)
отвечающие общему для всех начальному состоянию
$$ Р/ (/ = 1,2,3). Функции ?у имеет вид
- рд % (*«)• C-5)
а фд. —волновая функция относительного движения
i-й и /-й частиц, отвечающая задаче рассеяния этих ча-
частиц друг на друге с начальным импульсом Кц:
" 5 (*
*/
Так же как и в предыдущем случае, для однознач-
однозначного решения задачи о тройном рассеянии достаточно
решить систему из 2-го, 3-го и 4-го уравнений C.3).
Первое из уравнений C.3) может быть отброшено, так
как оно не несет никакой дополнительной информации.
Вопрос о неоднозначностях автоматически снимается
в задачах о связанном состоянии всех трех частиц, так
как наличие в волновой функции членов типа Ф<г'Л за-
запрещено по энергетическим соображениям (энергия ?св
связанного состояния трех частиц, очевидно, меньше,
чем энергия гц любого связанного состояния пары ча-
частиц). Поэтому в задачах на связанные состояния си-
системы частиц можно ограничиться решением лишь од-
одного какого-либо из однородных уравнений, входяших
в C.3), а не всей системы-
Задача fрёх тёЛ
[гл. х
Ниже мы ограничимся рассмотрением задачи о
столкновении частицы / с составной частицей {//}. На-
Начальное состояние в этом случае описывается функцией
где ф8 (kij) — внутренняя волновая функция составной
частицы {if).
Как будет показано в § 4, для вычисления сечений
всех процессов, происходящих в результате столкно-
столкновения:
C 8)
C8)
нужна не сама волновая функция W, а величины
C.9)
В ряде случаев найти эти величины проще, чем саму
волновую функцию (см. об этом ниже). Поэтому удоб-
удобно написать уравнение непосредственно для них. Пере-
Перепишем сначала систему уравнений для W в следующем
виде:
(ЗЛО)
Умножим в операторном смысле первое уравнение
слева на Уц, второе — слева на Уц и третье — слева
на Vji. При этом получаем следующую систему уравне-
уравнений для Г<г"л, определенных формулами C.9):
C.11)
УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА 429
где мы ввели обозначения
tmnGQ = VmnGmn. C.12)
Определяемые этими соотношениями функция Тц и
операторы fmn имеют, как мы сейчас увидим, простой
физический смысл и целиком выражаются через пара-
параметры парных взаимодействий между частицами.
Прежде всего упростим выражение для Тц. Исполь-
Используя, определение C.7), находим
Tt,(kif,Pl) =
гч\+ 2^Г~/фе. (**/)• (ЗЛЗ)
В последнем из этой цепочки равенств использовано то,
что функция фег;)- является решением у. Ш. для двух
частиц, описывающих связанное состояние с энер-
энергией 8,-j:
= 0, т. е.
Ъп,
Таким образом, с функцией Ttj все ясно; в ее выраже-
выражение C.13), помимо волновой функции феу составной
частицы {//}, входят энергия связи этой частицы
—e,-j = 18ij | и начальный импульс Pi соударяющихся
частиц {//'} и /.
Обратимся теперь к выяснению смысла операторов
tmn. Заметим прежде всего, что ф. Г. G,-,- удовлетворяет
уравнению
6ц - б0 - б0Уи6и = Go - GwKf/G0> C.14)
в которую переходит система A.21) в случае, когда все
парные взаимодействия, кроме V{j, тождественно равны
430 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
нулю. Подставляя в определение C.12) амплитуд Ттп
вместо Gmn выражения, стоящие в правой части C.14),
и сокращая затем на Go, получим тождества
Ттп — утп 'тп^О^тпу C.15)
Ттп = Vmn — VmnGmnVmn. C.16)
Первое из этих тождеств можно рассматривать как
уравнение для операторов Ттп. Второе из тождеств вы-
выражает Ттп через Vmn и Gmn. С помощью C.15) и
C.16) легко получить и формулу, выражающую Gmn
через Ттп:
Gmn = Go— GoTmnGo. C.17)
Все эти формулы по своей структуре совпадают с
формулами (8.8), (8.9), (8.11), (8.12) гл. IV, связываю-
связывающими потенциал б, функцию Грина ?Е и оператор рас-
рассеяния ?Е- Фактически соотношения C.15) — C.17) яв-
являются тривиальным обобщением этих формул гл. IV.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что операторы Vmn
и Gmn в «своих» переменных kmn и pt (t ф т, п) фак-
торизуются (см. A.9) и A.17)). Из выписанных выше
уравнений тогда следует, что операторы Ттп также об-
обладают этим свойством; из C.16), например, видно, что
ядро оператора Ттп можно представить в виде
Т«,Лктп' Р,- *™. Pi- ?) = '„„(
г-Е-А
C'18)
'«»(*!»,. *L: 8t) ЯДР° оператора fmn>8/, действую-
действующего только на функции относительного импульса kmn
и удовлетворяющего уравнению
f = V - V P@)t
tnn.Zf тп mn&st тп.г^
из которого полностью исключены координаты третьей
(*-й) частицы. Входящие сюда операторы vmn и §<°>— это
соответственно взаимодействие и ф. Г. свободного дви-
движения /и-й и /г-й частиц. Это уравнение уже не только
§ 3] УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА 431
по структуре, но и буквально совпадает с уравнением
(8.8) гл. IV, определяющим оператор рассеяния двух
частиц.
Таким образом, действительно, операторы Ттп, вхо-
входящие в систему уравнений C.11), являются обобще-
обобщением парного оператора рассеяния m-й и п-й частиц fmn
на случай присутствия третьей, t-й частицы. Ее присут-
присутствие проявляется в появлении б-функции в C.18) и
в том, что в парный оператор рассеяния входит не пол-
2
ная энергия Е, а лишь та ее часть et = E — -тг-* кото-
znt
рая остается после отделения от Е кинетической энер-
энергии движения t-n частицы относительно центра тяже-
тяжести частиц т и п.
Во избежание недоразумений следует помнить толь-
только, что везде в этой главе мы пользуемся именно им-
импульсным представлением, а не представлением волно-
волновых векторов, как в гл. VI. Отличие заключается в раз-
различной нормировке волновых функций:
в импульсном представлении typ (r) =
в представлении волновых векторов о|эй (г) = —^ еш.
Результатом является отличие в нормировках двухча-
двухчастичных операторов 6{J, gt]-, tify используемых в настоя-
настоящей главе, по сравнению с соответствующими операто-
операторами гл. IV. Например, из сравнения формул A.4),
A.5) и F.3) гл. IV немедленно получаем для ядра опе-
оператора взаимодействия первой и второй частиц (их
массы считаем одинаковыми)
) dr{ dr2
(*l-*2)-(*l-*g) t
432 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
P
Pi P2.Pl P2
-Х» X' ~T> ~T
§ 4. Общие формулы для сечений
Приведенные в предыдущем параграфе формулы
C.13) и C.18) для величин Тц и fiit Tu и fn делают
полностью определенной систему уравнений C.11) для
функций VijW ^ Л»Л. Эта система, как было доказано
Л. Д. Фаддеевым, имеет единственное решение. Не оста-
останавливаясь пока на способах конкретного отыскания
решений (об этом будет говориться в §§ 5—9), пока-
покажем, как, исходя из известной системы решений Л'Я
(i Ф\ — 1,2, 3), вычислять сечения различных физиче-
физических процессов.
Пусть происходит столкновение частиц {//} + /, так
что волновая функция начального состояния есть
Фе1^, pv а точная волновая функция, являющаяся реше-
решением системы C.10), есть Ч^/>z; ниже в этом пара-
параграфе квантовые числа начального состояния будем
обозначать символом i зэ (вц, Pi) : Ф*, Ч*",- и т. д.
Рассмотрим переход {Ц} + /—>{ii/i} + h в состояние
с волновой функцией Фву/^Р;,; квантовые числа этого
конечного состояния обозначим через / = (в/1У„ Р/,). Ве-
Вероятность d&i^f перехода i-*f, согласно общим прави-
правилам квантовой механики, записывается как
^ D.1)
5 4] ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЕЧЕНИИ 433
где df— бесконечно малый интервал квантовых чисел
конечного состояния:
df = dPh, D.2)
a ^"t-->./ — амплитуда перехода, равная матричному эле-
элементу
r (OUf?t). D.3)
Здесь Uf — часть взаимодействия, не включенная в Ф/.
В рассматриваемом случае
Gf-V-Vu-VtA + VM. D.4)
Чтобы получить сечение процесса i-*f, надо разде-
разделить вероятность D.1) на поток сталкивающихся частиц;
при принятой нами нормировке волновых функций, по-
поток сталкивающихся частиц есть
где Vi — относительная скорость сталкивающихся ча-
частиц {if} и /. В результате для сечения i -> f получаем
d
BяL h21 ^^., I2 -^- nzft,, dQP/i. D.6)
Здесь Pi и Р/, — относительные импульсы частиц / и
{ij} в начальном и частиц U и {i"i/i} в конечном состоя-
состояниях; щ и пг, — соответствующие приведенные массы,
a dupti — элемент телесного угла вокруг направления
разлета конечных частиц.
Переходя к введенным в C.9) величинам ТМ\ пере-
перепишем матричный элемент перехода D.3) как
Tt+t = - J Ф? (*, Р) Wiu W (k, Р) + Тш-/0 (k, p)} dk dp. D.7)
Совокупность формул D.6), D.7) решает задачу о вы-
вычислении сечений всех реакций с двумя свободными
частицами в начальном и конечном состояниях.
434 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
Кроме реакций такого типа, может происходить ре-
реакция развала
{//} + /-»* + / + /,
в которой все три конечные частицы свободные. Мат-
Матричный элемент такого развала есть
^Разв = - (Ф?\ VVi) - ГA2) + ГA3) + ГB3) - Т (*, p). D.8)
Конечное состояние при этом характеризуется двумя
импульсами k и р и сечение развала записывается как
|ri4^(l+)j^rf D-9)
На этом мы окончим изложение общего формализма
квантовой механики в применении к проблеме трех тел.
В следующих параграфах этой главы будут рассмот-
рассмотрены некоторые частные задачи трех тел, в которых
благодаря упрощениям различного рода можно про-
продвинуться значительно дальше общей системы уравне-
уравнений C.11).
§ 5. Уравнение Скорнякова — Тер-Мартиросяна
Мы уже отмечали, что работой, положившей начало
строгим расчетам в квантовомеханической задаче трех
тел, была работа Г. В. Скорнякова и К. А. Тер-Марти-
Тер-Мартиросяна, выполненная в 1956 г. Ими были получены од-
одномерные интегральные уравнения для решения задачи
о рассеянии в системе трех нуклонов, взаимодействую-
взаимодействующих силами бесконечно малого радиуса действия. Ниже
мы будем называть уравнениями типа Скорнякова — Тер-
Мартиросяна любое такое уравнение для трех частиц
с mi = m<i = Шг вне зависимости от спинов частиц. От-
Отметим, что уравнения такого типа не пригодны для опи-
описания связанных состояний трех частиц. Из-за наложе-
наложения сингулярных потенциалов У13, У12, "гз друг на друга
при г\—гг = г3 возникает явление, которое обычно на-
называют падением на центр. Именно, наличие сильной
сингулярности в гамильтониане приводит к тому, что
квадратично интегрируемое решение уравнения Шре-
дингера существует при любом отрицательном значении
§ 5] УРАВНЕНИЕ СКОРНЯКОВА - ТЕР-МАРТИРОСЯНА 435
полной энергии системы Е. Другими словами, спектр
уравнения оказывается непрерывным при всех Е:
—оо<?<оо. Впервые этот факт был замечен более
чем 30 лет назад, когда было доказано (Л. Томас,
1935), что у трех частиц с точечным взаимодействием,
которым принцип Паули позволяет всем находиться в
одной точке, энергия основного состояния ?0—»•—оо.
Впоследствии, правда, был предложен способ частично
обходить эту трудность (Г. С. Данилов, 1961; Р. А. Мин-
лос, Л. Д. Фаддеев, 1961).
После 1956 г. был выполнен еще ряд работ, посвя-
посвященных этим уравнениям, в которых проводилось либо
их исследование и решение, либо предлагались новые
способы их вывода. Ниже мы выведем уравнение типа
уравнения Скорнякова — Тер-Мартиросяна для простей-
простейшего случая — для трех одинаковых бесспиновых частиц.
Учет спинов и изоспинов ввел бы ненужную здесь гро-
громоздкость.
Будем рассматривать рассеяние одной из частиц на
дейтроне, сделанном из двух других частиц и будем
считать волновую функцию симметричной относительно
перестановки любой пары частиц. В этом случае все
три функции 7W) в уравнении Фаддеева типа C.11)
одинаковы. Здесь следует иметь в виду, что симметрия
волновой функции относительно перестановок частиц
требует и симметрии «начальных условий»; это озна-
означает, что при выводе уравнений Фаддеева надо исходить
из системы уравнений C.2) с 1 = ai2 = агз = ai3. В ре-
результате, вместо C.11) получится система трех одина-
одинаковых уравнений
T(l}) = ftl- Tt,G
и достаточно рассмотреть только одно из этих трех
уравнений, например
Г<12> = f 12 - Tl2G0 (Г<23> + Г<31>). E.1)
Вводим обозначения
Г<12> (k, р) = Г<23> (к, р) = Г<31> (k, р) = Г (к, р)',
Т12 =723= Г31 = Го (k, р; к', р'; Е). E'2)
436 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
Эти равенства следует понимать только как одинако-
одинаковость функций, но при этом нужно помнить, что в урав-
уравнении E.1) каждая из них входит зависящей от «своей»
пары переменных: Г<!2>— функция переменных ki2, рз,
Г<23> — переменных к2з, р\ и т. д.
Поэтому следует одну пару переменных, например,
Аг12 S3 k и рз зз р, выбрать за независимые, остальные
переменные к\з, к2з, рг, р\ следует выразить через k и р
с помощью формул A.6). Сделав это, перепишем урав-
уравнение E.1), выписав в нем переменные в явном виде и
воспользовавшись введенными в E.2) обозначениями
-J [T0\k, p; -~2+jp, -k -\; E
u ft' 3 , ., p' П\Л ^(Кр'
ь>р> -T+iP-*-i; E)\ k>> s
m Am
E.3)
Теперь обратимся к формулам C.18) и C.13), даю-
дающим выражения соответственно для функций
TQ(k,p;k',p';E) и T0(k,p). В приближении бесконечно
малого радиуса действия сил функция t(k,k',e)—ядро
оператора рассеяния частиц друг на друге — не зависит
от Л, V (см. (9.18) гл. IV)
t(k, k'\ 8) = * (в) = [2л2т D + i Уш(г + Ю) )]~*; E.4)
здесь а — длина рассеяния частиц друг на друге. В этом
же предположении щ(к)—волновая функция «дейто-
на» — имеет вид
'
**
(б.б)
где N — нормировочный множитель, га — энергия свя-
связанного состояния «дейтона». С помощью всех этих
§ Sj УРАВНЕНИЕ СКОРНЯКОВА — ТЕР-МАРТИРОСЯНА 43/
формул мы можем теперь выписать окончательные вы-
выражения для Го и То:
T0(k,p;k',p';E) = T0(p,p';E) =
= б (р - р') [2я2т (А + i УтЕ - рЩ-iO )]~*, E.6)
fo(fc,p)=fo(p) = 6(p-P)W.
Здесь Р — импульс налетающей частицы:
Так как в уравнении E.3) То иГс. от k не зависят, не
зависит от ft и неизвестная функция ?T"(ft, р). Вводим
новую функцию а{р) с помощью соотношения
{p)]. E.7)
Подставляя это выражение для Т (р) в E.3), получаем
уравнение для а(р)
а (р) = 2m [p2 + pP + P2/2 -mE- Ю] -
2т Г _±
N J р2
+ p'2/2-mE-i0' ' '
Это и есть (с точностью до обозначений) уравнение
Скорнякова — Тер-Мартиросяна для рассматриваемой
задачи. Неизвестная функция в этом уравнении зави-
зависит от одной трехмерной векторной переменной. Если
разложить ее по парциальным волнам:
а (р) = 2 o.L (р) PL (cos 9),
то из E.8) легко получить расщепленные по L уравне-
уравнения для каждой парциальной волны aL (p). Вычисления
очень просты, поэтому мы не приводим ни их, ни урав-
уравнения для aL{p). Таким образом, рассматриваемая за-
задача сводится к решению одномерных интегральных
уравнений, что не составляет особого труда при ис-
использовании вычислительных машин.
Уравнения Скорнякова — Тер-Мартиросяна явились
основой для решения ряда практических задач в си-
системе трех нуклонов. Конкретные результаты можно
438 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
посмотреть в работах Г. В. Скорнякова A956), Г.С.Да-
Г.С.Данилова A961).
Внимательный читатель, несомненно, заметил, к ка-
каким серьезным упрощениям привели два обстоятельства:
1) симметрия в. ф. W относительно перестановок коор-
координат частиц позволила систему трех уравнений Фад-
деева C.1) свести к одному уравнению для функции
&~(k,p). Эта функция, правда, зависит от двух вектор-
векторных переменных k и р, но здесь на помощь пришло
2) предположение о бесконечно малом радиусе сил ме-
между частицами. При этом исчезла зависимость от k, и
уравнение задачи свелось к уравнению Скорнякова—
Т ер-Мартиросяна для функции а(р) одной векторной
переменной р.
В следующих параграфах будет рассмотрена более
сложная ситуация, когда упрощения не столь ради-
радикальны, но тем не менее позволяют привести уравнения
задачи трех тел к виду, удобному для анализа и позво-
позволяющему находить численные решения.
§ 6. Движение двух частиц во внешнем потенциальном
поле. Обозначения и постановка задачи
Будем считать массу одной из частиц (пусть это бу-
будет частица 3) бесконечно большой: т3—юо. Тогда за-
задача трех тел сводится к задаче о движении двух взаи-
взаимодействующих друг с другом частиц (частицы 1и 2)
в поле неподвижного силового центра (обусловленного
наличием частицы 3 с бесконечно большой массой) или,
как мы будем в дальнейшем говорить, во внешнем по-
потенциальном поле; оставим за ним для обозначения
в формулах индекс 3.
К этой категории относится широкий класс задач,
имеющих физический интерес, и только несколько из
них решаются до конца в общем виде. Одной из них яв-
является задача о движении двух взаимодействующих
частиц в общем гармоническом потенциале:
А2 . А2 . ш2 , „
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 439
Переходя к новым переменным
+ т2г2
т1+т2 '
получаем уравнение с разделяющимися переменными
ш л« ~ -^7 Ar + ^~[MR2 + m'2/] + v (r))m г) = °-
Отсюда элементарно находим спектр энергии
вя, W = 0, 1,2, ..., F.1)
где первый и второй члены — это собственные значе-
/ А2 М®1 \
ния энергии гамильтонианов I — -щ- А^ Ч—-^- R ) и
/ А2 пцфУ \
\ ~ ~Ъп~ ^т "* 2 ^ V (ГЧ соответственно-
Особенно просто все получается, если взаимодей-
взаимодействие между частицами является осцилляторным
2
v (г) = —Щ-^- г2 или точечным. Первый случай совсем три-
тривиален: еп в F.1) равно ел = /г ]Ао2+ ю^C/2 + п), и об-
общий спектр является наложением спектров двух трех-
трехмерных осцилляторов с частотами а>о и У"со2, + со2.
Случай точечного взаимодействия между частицами
чуть-чуть сложнее, и мы его предоставим разобрать чи-
читателю.
В только что приведенном примере удается сразу
определить спектр энергий и, если бы мы захотели, вол-
волновую функцию. Это происходит из-за специфики гар-
гармонического осциллятора, так как в таком поле движе-
движения по координатам R и ri2 не влияют друг на друга.
В общем случае движения по этим координатам не не-
независимы, и решение задачи сильно усложняется. При
этом приходится использовать изложенную в предыду-
предыдущих параграфах общую технику решения задачи трех
тел. Она, правда, несколько видоизменяется в этом
случае.
440 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
В качестве независимых переменных можно пользо-
пользоваться векторами
k{ и k2, F.2)
т. е. импульсами частиц 1 и 2 в лабораторной системе.
Кроме того, можно использовать пару векторов •
*!2 mt+m2 » Рз-«1 + Л2, F.2-)
где вектор fei2 описывает относительное движение частиц
1 и 2, а рз — движение их центра тяжести. В дальней-
дальнейшем, в зависимости от обстоятельств, потребуются оба
набора переменных F.2) и F.2'), но, как и раньше,
если нет необходимости уточнять, какой из наборов ис-
используется для описания конфигурации частиц, мы бу-
будем писать k и р, понимая под ними либо ki2 и р3, либо
ki И k2.
Уравнение Шредингера для волновой функции W си-
системы из трех частиц запишем в виде
(H0+Vl2+V3-E)W[k,p]-0,
Но = "9^7 + -о^Г = ^7 + ^7 («3 = m, + m2) F.3)
где
'1
— гамильтониан свободного движения частиц 1 и 2,
1?12 — оператор взаимодействия между ними, действие
которого на волновую функцию определено в § 1 фор-
формулой A.9), а
^^ ^31 F.4)
— оператор взаимодействия этих частиц с внешним по-
потенциальным полем (частицей 3), действие которого на
волновую функцию определяется аналогичной форму-
формулой, но в переменных fti и k2:
3(k{, k2\k[,
- kr2) б (ftJ - k\) + o31 (k{ - k[) б (ft, - *Q. F.5)
§ 6] движение двух частиц ёо внешнем поле 441
В рамках задачи о движении двух взаимодействую-
взаимодействующих частиц во внешнем потенциальном поле можно ис-
исследовать процессы, происходящие при:
1) соударении связанного состояния двух частиц
с внешним потенциальным полем, т. е. процессы:
{1 2} + 3-*{1 2} + 3 (упругое рассеяние),
-»{1 2}* + 3 (неупругое рассеяние),
J 2 + {1 3} (реакция «срыва»; одна
I 1-f f2 3) из чаСтиЦ захватывается
внешним потенциальным F.6)
полем, вторая улетает)
-> 1 +2 + 3 (реакция развала связан-
связанного состояния во внеш-
внешнем потенциальном поле).
2) столкновении одной из частиц (пусть это будет
частица 1) с другой (частицей 2), находящейся на ди-
дискретном уровне внешнего потенциального поля, т. е.
процессы:
1+{2 3}->1+{2 3} (упругое рассеяние),
>1+{2 3}* (неупругое рассеяние),
>3 + {1 2} (реакция «подхвата»: на-
налетающая частица 1 под-
подхватывает частицу 2, на-
находящуюся на дискретном /q y\
уровне внешнего потенци- '
ального поля и при этом
образуется связанное их
состояние),
-> 1+2 + 3 (реакция выбивания ча-
частицы 2).
Мы видели в начале этой главы, что когда все три
частицы имеют конечную массу, амплитуды (сечения)
всех процессов определяются из решения системы C.11)
трех интегральных уравнений (уравнений Фаддеева).
Ясно, что эти же уравнения могут быть непосредственно
использованы и сейчас без каких-либо их изменений,
442 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
если массу одной из трех частиц в этих уравнениях счи-
считать бесконечно большой. Однако предположение о на-
наличии в системе одной частицы с бесконечно большой
массой упрощает задачу и дает возможность так пере-
перестроить эти уравнения, что проблема отыскания ампли-
амплитуд процессов сведется к решению системы, состоящей
уже всего из двух интегральных уравнений, а не из трех.
Чтобы осуществить такую перестройку, введем ф. Г.
G3(kuk2\ku kk E), отвечающую гамильтониану
H3 = H0+V3 F.8)
взаимодействующих с внешним потенциальным полем
частиц 1 и 2, но без учета их взаимодействия друг
с другом:
(Я 3 - Е) G3 [ft,, *2; k[, Ь'-, Е] - б (ft, - k[) б (ft, - k'2). F.9)
Соответствующий оператор Грина есть
\ F.10)
причем из F.10) и из операторного тождества A.18)
следует:
G3=G0-G0V3G3. F.11)
Важным для нас свойством ф. Г. G3 является возмож-
возможность представить ее в виде (см. § 4, гл. IV)
flegMde, F.12)
где gB3) и gA3) — функции Грина частиц 2 и 1 в поле
частицы 3:
B3) (**> К Е -е) =б (*. - К). F.130
(Справедливость F.12) легко проверяется подстановкой
F.12) в F.9).) Таким образом, нахождение трехчастич-
ной функции Грина G3 сводится к решению простой за-
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 443
дачи о движении отдельной частицы во внешнем потен-
потенциальном поле, т. е. к решению уравнений F.13) и
F.13') и последующему вычислению интеграла в фор-
формуле F.12).
Такое существенное упрощение является следствием
бесконечной массы т3 = оо. Благодаря этому обстоя-
обстоятельству частица 3 не испытывает отдачи при взаимо-
взаимодействии с частицами 1 и 2, и поэтому частицы 1 и 2
не влияют друг на друга. При конечной массе т3 это
было бы уже не так: частицы 1 и 2 влияли бы друг на
друга даже при Ki2 = 0 через частицу 3 с помощью три-
тривиального механизма: частица 1, действуя на 3, сдви-
сдвигает последнюю, а та «тянет» за собой частицу 2, так
что в результате движение частиц 1 и 2 оказывается
связанным.
Другим важным для нас свойством ф. Г. в виде
F.12), является то, что в ней учтены условия излучения
по двум парам координат: и по г13 и ггз. Это опять-таки
является следствием бесконечной массы т3, благодаря
чему частицы 1 и 2 движутся совершенно независимо
друг от друга.
Теперь займемся непосредственно выводом уравне-
уравнений движения двух частиц во внешнем потенциальном
поле. Удобно снова исходить из уравнений Липпмана —
Швингера для волновой функции системы трех частиц
(мы сохраняем обозначения §§ 1 и 2)
Ч'<(*, р)= - iyG(E)Op[k, p], F.14)
которые были получены в § 2 (см. B.9)) и куда входит
полный оператор Грина:
В качестве волновой функции Ф; \ характеризующей
начальное состояние нашей системы, должна быть вы-
выбрана:
1) либо функция свободного движения частицы {1 2},
если нас интересуют процессы типа F.6); эта функция
имеет вид
Рз-рз> F.15)
444 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
где Ф82— волновая функция связанного состояния ча-
частиц 1 и 2, ei2 — их энергия связи, а Р3 — импульс сво-
свободного движения частицы {1 2} до столкновения;
2) либо функция
если нас интересуют процессы типа F.7), когда частица
1 с импульсом К\ сталкивается с частицей 2, находя-
находящейся на дискретном уровне внешнего потенциального
поля (егз — энергия этого уровня, а его волновая функ-
функция Ф323(*2));
3) либо волновая функция свободного движения ча-
частиц 1 и 2, если нас интересуют процессы, происходящие
при столкновении свободных частиц с внешним потен-
потенциальным полем.
Дальнейшее преобразование уравнения F.14), как
и в §§ 2, 3, связано с использованием различных пред-
представлений уравнения для полной ф. Г. д. Нам понадо-
понадобятся только два уравнения для полной ф. Г. 6,
а именно:
G= G3-G3Vl2G F.16)
и
G = Gl2-Gl2V3G. F.160
В первом из них учтены условия излучения по коорди-
координатам г23 и /-13, а во втором — по координате г\2.
Рассмотрим сначала столкновение частицы {12}
с внешним потенциальным полем. Функция Ф/) в урав-
уравнении F.14) в этом случае должна быть выбрана в виде
F.15). Подставляя далее поочередно в уравнение F.14)
ф. Г. G, представленную в виде F.16) и F.16'), и затем
используя приемы, аналогичные тем, которые вели нас
в §§ 2 и 3 от уравнения B.9) к уравнениям C.1а) —
C.1в), находим, что точная волновая функция Ч^д,,
описывающая столкновение частицы {12} с внешним
потенциальным полем, является решением уравнений
С F.17)
F.18)
§ б] ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 445
Следует указать, что при этом мы воспользовались со-
соотношением B.11) и соотношением
при y^O,
которое следует из тех же соображений, что и B.11).
В § 3 подробно обсуждался вопрос об однозначности
решения интегральных уравнений задачи трех тел с ко-
конечными массами. Все соображения общего характера,
которые там были при этом высказаны, применимы, ко-
конечно, и к уравнениям F.17) и F.18): каждое из урав-
уравнений F.17) и F.18), взятое в отдельности, не гаранти-
гарантирует однозначности решения рассматриваемой задачи,
так как в этом случае не удается учесть все необходи-
необходимые для этого условия задачи.
Однако взятая в совокупности, пара уравнений
F.17), F.18) учитывает все граничные условия: в урав-
уравнении F.17) Gi2 учитывает «условие излучения» по ко-
координате ri2 относительного движения частиц 1 и 2.
В уравнении же F.18) учтены целых два условия из-
излучения: по координатам гх и г2. Этого удается достиг-
достигнуть благодаря тому, что Gs при т3 —> оо может быть
представлена в виде F.12), который обеспечивает су-
существование только расходящихся волн частиц 1 и 2.
Именно в этом проявляется эффект бесконечной массы
частицы 3 (отсутствие отдачи).
Совершенно аналогичная ситуация возникает и при
решении задачи о столкновении частицы 1 с частицей 2,
связанной во внешнем поле V2з- Волновая функция
Ч^д-,, которая отвечает этому случаю, является реше-
решением уравнений
F.19)
^,, F.20)
где ф^—волновая функция, описывающая рассеяние
частицы 1 на внешнем потенциальном поле в отсутствие,
частицы 2,
446 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
Уравнения F.19) и F.20) получены тем же спосо-
способом, что и уравнения F.17) и F.18) с учетом условия
{К) Фл-, (*i) = ~ Фе23 {К) Ф*. {К) ПРИ У
Как и в предыдущем случае, для однозначного решения
задачи о столкновении одной частицы с другой, нахо-
находящейся на дискретном уровне потенциального поля,
необходимо использовать оба уравнения F.19) и F.20)
и искать совместное их решение.
§ 7. Формулы для нахождения амплитуд различных
процессов
Конечной целью исследования любой реакции -яв-
-является вычисление ее амплитуды. Вычислению амплитуд
реакций F.6) и F.7), которые можно описать в рамках
задачи движения двух частиц во внешнем потенциаль-
потенциальном поле, и посвящен этот параграф.
Согласно формуле D.3) амплитуды реакций F.6)
запишем в виде
(p() G.1 а)
G.16)
G.1b)
и т. д. Здесь W тпа) — точная волновая функция, хаоак-
812Я3
теризующая столкновение частиц 1 и 2 в связанном со-
состоянии (как и обычно будем называть это связанное
состояние частицей {12}) с внешним потенциальным
полем, которая должна быть найдена, как было пока-
показано в предыдущем параграфе, из совместного решения
уравнений F.17), F.18); Ф^р(п — волновая функция
12 3
свободного движения частицы {12} после упругого рас-
рассеяния (е^' = ef^), (pe(f) — волновая функция, характери-
13
зующая связанное состояние частицы 1 во внешнем до-
§ 7] НАХОЖДЕНИЕ АМПЛИТУД РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОЁ 447
тенциальном поле Vl3 (е^ — ее энергия);
волновая функция, отвечающая непрерывному спектру
значений энергии К2)*12т2 (кТ'/Ът) частицы 2 A) во
внешнем потенциальном поле V23 (У13), удовлетворяю-
удовлетворяющая соответствующим конечному состоянию граничным
условиям: плоская волна плюс сходящаяся. Так как
в реакциях выполняется закон сохранения энергии, то
кинематика рассматриваемых реакций определяется со-
соотношениями, которые соответственно для матричных
элементов G.1а) — G.1в) имеют вид
8i2 + 2л I2 +
= p<fl 4- —
8i2 + 2n3 8i3 +
Наконец, дифференциальные сечения рассматриваемых
реакций, согласно формуле D.6), выражаются через со-
соответствующие этим реакциям амплитуды G.1а) — G.1в),
следующим образом:
G.2г)
G.2д)
Амплитуды реакций F.7) запишутся соответственно
в виде
23 1 23 1
) G-36)
23 1
) G.3в)
448 ЗАДАЧА ТРЁХ ТЕЛ (ГЛ. X
и т. д. Здесь ^@^@ — точная волновая функция задачи
столкновения частицы 1 с частицей 2, находящейся на
дискретном уровне внешнего потенциального поля, удов-
удовлетворяющая уравнениям F.19) и F.20), а обозначения
для волновых функций, характеризующих состояния, ко-
которые возникли в результате реакций, аналогичны обо-
обозначениям, использованным для соответствующих целей
в предыдущем случае.
Кинематика данных реакций определяется соотно-
соотношениями, которые соответственно для матричных эле-
элементов G.3а) — G.3в) имеют вид
2/п, 3 ' 2т,
кт2 р(п*
~ 3 ' 2m, 2m, ' 2/тг2 »
а дифференциальные сечения этих реакций, согласно
E.6), связаны с соответствующими этим реакциям ам-
амплитудами G.3а) — G.3в) следующим образом:
G.3г)
1 т1 {тх + m2) -Jj dQPi, G.3д)
^1
da
выб
dil v i ' o°'u '
G.3е)
Как и в §§ 3, 4 этой главы для вычисления этих ам-
амплитуд удобнее использовать не волновую функцию Wu
а величины
ТA2) _ у Ш Т13) _ у Ш (-7 Л\
Поэтому перейдем от уравнений для волновых функций
Wi к уравнениям непосредственно для этих величин.
Сначала рассмотрим процесс соударения частицы
{12} с внешним потенциальным полем. Умножим в one-
§ 7] НАХОЖДЕНИЕ АМПЛИТУД РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ 449
раторном смысле уравнения F.17) и F.18), характе-
характеризующие этот процесс, соответственно на V^ и V3. Да-
Далее, воспользовавшись определением C.12) для опера-
оператора Тю, введенного в § 4, находим, что уравнения F.17)
и F.18) для волновой функции W (/)_(«, описывающей
рассматриваемый процесс, переходит в систему двух за-
зацепляющихся интегральных уравнений для функций
A2) гC)
И 1
G-5a)
G.56)
Эта система тривиально расщепляется подстановкой,
например, уравнения G.56) в G.5а)
С^ ^ G-6)
Совершенно очевидно, что можно было бы расщепить
систему и с помощью подстановки G.5а) в G.56). То-
Тогда бы мы пришли к уравнению для Г^рд. Однако
удобнее воспользоваться первым способом, так как он
окажется предпочтительным для дальнейших целей.
Представим окончательно уравнение G.6) в виде
123 123 123
где
AG3 =G3-G0=:- G0V3G3. G.8)
Укажем, наконец, что первый член в правой части урав-
уравнения G.7) можно записать в виде
W^'-^ G-9)
Это соотношение выведено здесь тем же способом, что
и соотношение C.13).
Теперь перейдем к задаче столкновения частицы 1
с частицей 2, находящейся на дискретном уровне внеш-
внешнего потенциального поля, и проделаем те же преобра-
преобразования, что и в предыдущем случае, т. е. умножим
450 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
в операторном смысле уравнения F.19) и F.20) для
волновой функции W (() ц), описывающие этот процесс,
в23Л1
соответственно на операторы Vi2 и 93; приходим к си-
системе из двух зацепляющихся интегральных уравнений
ДЛЯ фуНКЦИИ ГеззК, И Те^/Ку
T^^-fuGjg^, G.10а)
Т? к = ^Л™ ~ ^зёгТТк ' GЛ06)
е23Л1 3 823 К\ 3 3 823*М
Эта система тривиально расщепляется подстановкой од-
одного из уравнений в другое. Для дальнейшего удобнее
это сделать подстановкой G.106) в G.10а). После про-
простых преобразований находим, что система интеграль-
интегральных уравнений G.10а) и G.106) сводится к одному .ин-
.интегральному уравнению для функции (\%
823*Ч
&, gi g, G.1
где
Отметим, что при выводе как этой системы интеграль-
интегральных уравнений, так и системы G.5) были использованы
оба интегральных уравнения F.17), F.18), необходимых
для однозначного определения волновой функции инте-
интересующего нас процесса. Поэтому полученные системы
G.5) и G.10) уже автоматически оказываются одно-
однозначно разрешимыми.
Теперь нам остается показать, как амплитуды реак-
реакций, которые здесь рассматриваются, выражаются либо
через решение интегрального уравнения G.7), либо
через решение интегрального уравнения G.11) в зави-
зависимости от того, какой из исследуемых процессов
рассматривается. Для этого, воспользовавшись выраже-
выражениями G.1а) —G.1в) для амплитуд реакций F.6), ко-
которые возможны при взаимодействии частицы {12}
с внешним потенциальным полем, определением G.4)
величин Те^Рз и Т{е}2Рз, операторным тождеством
G.13)
§ 81 ДВЕ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 451
и, наконец, формулами G.56) и G.9) находим, что эти
амплитуды выражаются через решение П12р3 уравнения
G.7) следующим образом:
» О GЛ4б)
GЛ4в)
Аналогичным образом находим и соотношения, связы-
связывающие амплитуды реакций F.7) (возможных при
столкновении частицы 1 с частицей 2, находящейся на
дискретном уровне внешнего потенциального поля) с ре-
решением Te^Ki уравнения G.11). Они имеют вид
GЛ5в)
Итак, в этом параграфе мы показали, что решение
частного случая задачи трех тел, а именно задачи о дви*
жении двух взаимодействующих друг с другом частиц
во внешнем поле, сводится к решению одного интеграль-
интегрального уравнения, зависящего, вообще говоря, от двух
трехмерных переменных.
§ 8. Две частицы во внешнем поле. Случай точечного
взаимодействия между частицами
В случае, когда между частицами 1 и 2 действуют
точечные силы (§ 9 гл. IV),. функция Г12, входящая
в уравнения движения двух частиц в поле (уравнения
452 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
G.7) и G.11)), имеет вид
^12 (^12' Р? К%> Рз> Щ = ^12 \^12' ^12» Е "" я~] 6 (Рз ~Ръ)==
(8.1)
Это выражение непосредственно следует из (9.18) гл. IV.
Важным для нас свойством точечного взаимодействия
является то, что Г12 в этом случае не зависит от вектор-
векторных переменных &12 и k'l2. Именно это обстоятельство мы
и используем для существенного упрощения общих
уравнений предыдущего параграфа, где вид взаимодей-
взаимодействия между частицами 1 и 2 не конкретизировался.
Со случаем точечного взаимодействия мы уже стал-
сталкивались раньше, последний раз — в § 5 этой главы при
выводе уравнения Скорнякова — Тер-Мартиросяна. Ни-
Ниже мы будем пользоваться теми же обозначениями, что
и в § 5 этой главы и в § 9 гл. IV.
Будем считать, что длина рассеяния (а) частиц 1
и 2 друг на друге положительна, так что существует
связанное состояние {12} этих частиц (дейтон). Волно-
Волновая функция дейтона есть
d^» (8-2)
а его энергия
Будем называть частицы 1 и 2 нуклонами. В этом
случае предположение о бесконечно малом радиусе
действия ядерных сил между нуклонами является обо-
обоснованным приближением при условии не слишком
большой энергии относительного движения этих ну-
нуклонов.
§ 8i ДВЕ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 453
Цель настоящего параграфа — рассмотреть задачу
о движении двух нуклонов во внешнем потенциальном
поле. При этом, хотя взаимодействие нуклонов друг
с другом предполагается точечным, форма внешнего по-
потенциального поля может быть произвольной.
Рассмотрим сначала задачу столкновения дейтона
с внешним полем. В общем случае решение этой задачи
сводится к решению интегрального уравнения G.7). По-
Посмотрим, как видоизменится это уравнение в нашем
случае. Для этой цели удобно преобразовать выражение
(8.1), используя тот факт, что полная энергия Е может
быть представлена в виде суммы кинетической энергии
налетающего дейтона Р%12пг и его энергии связи (для
удобства введем обозначение еа = —812 > 0):
С помощью (8.4) представим (8.1) в виде
Тп = 2nzN2 %E 2 у~. > (8.5)
где
есть безразмерная функция от р%. Учитывая далее, что
волновая функция дейтона фез дается уравнением (8.2),
находим с помощью G.9)
где Рзг — импульс налетающего дейтона.
Подставив теперь (8.5) и (8.7) в общее уравнение
G.7), получаем, что функция Тв®рн не зависит от k&
и может быть записана в следующем виде:
454 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
где
= в (Ра - *з<) " 1
J4 (Ра- РзО Qp3[ (РзО dp', =
ив(ръРгд-\ "У 1 V , ,; 3^ 3> (8Л0)
^. (8.11)
То, что в уравнения (8.8) — (8.11) не входит импульс
?J, является прямым следствием независимости двух-
двухчастичного оператора рассеяния Fi2 от kl2. Введенные
здесь функции Q, Т и UE, как будет видно ниже, имеют
простой физический смысл. Заметим прежде всего, что
входящую в (8.8) функцию
' **)- -МЦДРа) (8-80
можно рассматривать как волновую функцию центра
тяжести частиц 1 и 2. Действительно, переходя в ко-
координатное представление, имеем
Мв1ЛД*Р bJ-Oui'i-^z^Jri* '2> (8-12)
Так как vi2 по условию является точечным потенциалом,
отличным от нуля лишь при /"i = Гг, то правая часть
(8.12) пропорциональна значению точной волновой функ-
функции задачи -ф (rt, r2) при совпадающих значениях пере-
переменных /"i = r2 = R {R — координата центра тяжести
частиц 1 и 2). Поэтому введенную в (8.8) функцию
Qp3i(p3) можно рассматривать как записанную в им-
импульсном представлении волновую функцию центра тя-
тяжести частиц 1 и 2.
Обратим теперь внимание на то, что система урав-
уравнений (8.9), (8.10) по форме совцадает с уравнением
§ 8] ДВЕ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 455
Шредингера, описывающим в импульсном представле-
представлении рассеяние одной частицы с массой п3 = /и4 + т2 на
потенциале Ue- При этом Q играет роль волновой функ-
функции частицы, &~— роль ее оператора рассеяния (см.
формулы § 6 гл. IV), а потенциал Ue задается равен-
равенством (8.11).
Таким образом, мы приходим к нетривиальному вы-
выводу, что в случае точечного взаимодействия между ча-
частицами 1 и 2 движение по координате центра тяжести
этих частиц строго отделяется даже в присутствии внеш-
внешнего поля; движение центра тяжести описывается одно-
частичным уравнением Шредингера (8.10).
Анализ, который мы здесь приводить не будем, по-
показывает, что такое отделение центра тяжести частиц
1 и 2 возможно и в случае неточечных взаимодействий
между ними. Но в этом последнем случае отделение бу-
будет не строгим, а приближенным. Поправочные члены
будут иметь относительный порядок величины го/р, где
го—радиус взаимодействия и^, а р — радиус действия
внешнего поля (т. е. потенциалов Ui3 и И-^).
Теперь установим связь между амплитудами реак-
реакций, которые возможны при взаимодействии дейтона
с потенциальным полем (см. F.6)), и функцией Q. Для
этого воспользуемся соотношениями G.14а) — G.14в),
полученными в предыдущем параграфе и определяю-
определяющими эти амплитуды через Те^2РзГ Подстановкой (8.8)
в G.14а) —G.14в) и с помощью (8.7) легко находим:
ryap = r{p3,PZi)\Pz=Pif, (8.13)
) ?>; (Р," К) ^pa| (Рз) Фз dkv (8.15)
В этих формулах Рз/, Kif и К% — импульсы в конечном
состоянии дейтона, первой частицы и второй частицы
соответственно; <ре| — волновая функция связанного со-
состояния частицы 1 во внешнем поле, заселяемого в ре-
реакции срыва.
Из выписанных выше формул для амплитуд видно,
что в рамках сделанных в начале этого параграфа
456 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
предположений решение задачи трех тел сводится к ре-
решению последовательности более простых задач о дви-
движении одной частицы в заданном потенциале: частица
1 —в потенциале U\3, частица 2— в потенциале ?/2з и, на-
наконец, частица {1 2} в потенциале Ue, задаваемом фор-
формулой (8.11). Отметим также, что амплитуда рассеяния
дейтона совпадает с величиной 0~. Согласно данной не-
несколько выше интерпретации функции Q так и должно
быть, так как, согласно определениям, величина 0~
имеет смысл одночастичного оператора рассеяния, со-
соответствующего функции Q.
Соотношения (8.8) — (8.15) исчерпывают задачу
о столкновении дейтона с внешним полем. Сейчас мы
рассмотрим другой класс задач, возникающих при по-
попытке описать процесс соударения частицы 1 с части-
частицей 2, находящейся на одном из дискретных уровней
внешнего поля.
Уравнение, описывающее этот класс задач, было вы-
выведено в предыдущем параграфе (см. G.11), G.12)).
В развернутом виде это уравнение имеет вид
П12) к (Рз) = Т.2 (ф8 Ф/г - ДОЛ12> „ ] =
823> Kli V^3' П ^St3*Kll 3 823' K\i>
= J **„(*,«.р3; К» p' К
- J dk';dk'{bG,(k'v k>; k», Ц; Е)^^)]. (8.16)
Искомая функция Г<12) зависит только от одного век-
векторного аргумента рз, так как из-за точечности взаимо-
взаимодействия V\2 правая часть этого уравнения не зависит
от &12 (см. (8.1)). Оператор рассеяния fi2 в нашем слу-
случае удобно представить, используя введенные выше обо-
обозначения, в виде
rJ-- (8Л7>
Отсюда видно, что функцию Т&®,кх1 удобно искать
в форме
> к (P3)=2>VV2 ^Ц Ф(р3). (8.18)
§ 81 ДВЕ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 457
Подстановка (8.17), (8.18) в (8.16) приводит к урав-
уравнению
Ф (рз) = J
Фе23 (Рз - К) Ф/СИ (*l) dkX -
~" J Ji » \o-iy)
где ф и фд. - волновые функции начального состоя-
823 Л1*
ния, связанного состояния частицы 2 во внешнем поле
и налетающей на внешнее поле с импульсом Кн ча-
частицы 1 соответственно. Это уравнение имеет вид урав-
нения Шредингера для одной частицы в потенциале V,
причем последний задается формулой
J
(8.20)
Обратим внимание на тесную связь этого потенциала
с потенциалом иЕ(Рз, Р0 в формуле (8.11):
^(Рз>РзО = ^(Рз>Рз> (8.200
Само уравнение (8.19), с другой стороны, отличается
от стандартной формы у. Ш. для задачи о рассеянии
только тем, что в качестве свободного члена в (8.19)
стоит гладкая функция р3, а не б-функция. Это обстоя-
обстоятельство и существование соотношения (8.20') делает
почти очевидным тот факт, что введенная нами только
что функция Ф должна просто выражаться через рас-
рассматривавшуюся в начале этого параграфа волновую
функцию Q центра тяжести частиц 1 и 2. Мы не
будем здесь на этом дальше останавливаться, предо-
предоставив вывод соответствующих формул связи читателю.
В заключение этого параграфа приведем формулы
для амплитуд всех возможных процессов F.7), про-
происходящих при столкновении частицы 1 со связанным
состоянием частицы 2 во внешнем поле. Используя
458 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
G.15а) — G.15в), легко получаем
lfi Кц) =
ф'да (Рз - *l) ф?°* (*l) X (Рз) Ф (Рз)
-^ -2 « dp3dku (8.21)
выб CClf. K^f. ^н)
Г 4>fel* (рз - *i) «PkJ* (*0 X (Рз) Ф (Рз)
= - N2 J —2 5 ii dp3 dku (8.22)
g
3f, ^н) = iVO (P3f). (8.23)
В обозначениях § 6 процесс подхвата 1 + {2 3} -*
—* {1 2} + 3 является обратным по отношению к процессу
срыва {1 2} + 3—»¦ 1 + {2 3}. Согласно самым общим тео-
теоремам квантовой механики амплитуды этих процессов,
(8.23) и (8.14) соответственно, должны быть просто
связаны друг с другом (см. параграф об обратимости
времени в гл. VIII). Такая связь действительно суще-
существует, но чтобы сделать ее очевидной, надо выражать
функцию Ф в (8.23) через функцию Q, входящую
в (8.14). Если это проделать, то вместо (8.23) для
амплитуды подхвата получим формулу
^подхв PV *н) = J QftV,, (Рз) Фе23 (РЗ - *,) Ф*и (*,) ^Рз <»,.
(8.230
Сравнение (8.14) и (8.23') наглядно демонстрирует тот
факт, что амплитуды, даваемые этими формулами, со-
соответствуют обращенным во времени процессам.
§ 9. Рассеяние нейтронов на химически связанном
протоне
С физической ситуацией, описанной в конце преды-
предыдущего параграфа, физики встретились лет 30 назад,
когда Э. Ферми начал изучать взаимодействие нейтронов
с веществом. Тогда возник вопрос, чем отличаются се-
сечения рассеяния нейтрона на свободном протоне и на
§ 9] РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ НА СВЯЗАННОМ ПРОТОНВ 459
протоне, входящем в состав какой-нибудь молекулы.
При этом, очевидно, заметные поправки к «свободному»
сечению могут возникнуть только, когда энергия нале-
налетающих нейтронов Еп не очень велика — порядка энер-
энергий связи атомов в молекуле A — 10 эв).
Впервые сечение рассеяния нейтронов на химически
связанном протоне было рассчитано в 1936 г. (Э. Ферми,
1936) с помощью метода, получившего позднее назва-
название «метод псевдопотенциала». Им было получено при-
приближенное выражение для амплитуды этого процесса
(«приближение Ферми»). Попытки улучшить приближе-
приближение Ферми предпринимались неоднократно, но без осо-
особого успеха. Только в последние годы, уже после появ-
появления основополагающих работ по теории трех тел,
удалось корректно оценить точность «приближения Фер-
Ферми», которая, кстати говоря, оказалась совсем не такой
высокой, как считалось раньше.
Чтобы оценить характер «приближения Ферми», вос-
воспользуемся точными формулами предыдущего пара-
параграфа, описывающими процесс рассеяния частицы 1
(нейтрон) на частице 2 (протон), связанной в поле бес-
бесконечно тяжелой частицы 3 (остов молекулы). Радиус
нейтрон-протонного взаимодействия r0 ~ 2 • 10~13 см, что
на четыре порядка меньше характерных молекулярных
размеров, и это полностью оправдывает сделанное в § 8
предположение о точечном характере взаимодействия
между частицами 1 и 2.
Реальные нейтрон и протон обладают спином и взаи-
взаимодействие между ними зависит от величины их полного
спина 5 = 0,1. Приведенные ниже конечные формулы
(9.7), (9.8) годятся для каждого из этих двух случаев.
Только под а надо понимать либо синглетную, либо
триплетную амплитуду рассеяния. Для определенности
во всех рассуждениях ниже будем предполагать, что
существует связанное состояние наших двух частиц (это
соответствует случаю 5=1).
Точная амплитуда рассеяния дается формулой (8.21)
г Фл f (Рз ~ *i) <P«7?f (*i) X {Ра) ф (Рз)
F (Kt, Kt) = - N2 j -2 i : dp3 dkx,
? (9Л)
460 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. X
в которой индексами pun обозначены протонные и
нейтронные в. ф., а все остальные обозначения те же,
что и в § 8. Входящие в эту формулу величины % и Ф
определены формулами (8.6) и (8.19), (8.20). Прибли-
Приближением Ферми для амплитуда этого же процесса на-
называется следующая формула:
^Ферми (КГ Kt) = 4^Ьг J %>. f (Рз - Kf) %. I (Рз - Kt) d?V
(9.2)
где а — это амплитуда рассеяния нейтрона на свободном
протоне, фр, f и фР) i — в. ф. конечного и начального со-
состояний протона в молекуле, а Kf и К* — конечный и
начальный импульсы нейтрона.
Чтобы получить «приближение Ферми» из точной
формулы (9.1), надо сделать следующие приближения:
1) при решении уравнения (8.19) для функции Ф
надо ограничиться нулевым приближением
Ф(Рз)~фо(Рз)=
2) пренебречь взаимодействием V*i3 между нейтроном
и остовом молекулы (частица 3). При этом
3) пренебречь всеми величинами размерности энер-
энергии в (9.1) по сравнению с энергией связи дейтона
«4-. 0-5)
~-(E + ed + /v) ~ - sd. (9.6)
Подставляя (9.3) —(9.6) в (9.1) и используя (8.2), (8.3),
немедленно получаем формулу «приближения Ферми»
(9.2). Сечение рассеяния можно получить с помощью
формул § 4. Подставляя (9.2) в D.6), получаем сечение
рассеяния нейтрона на химически связанном протоне:
do (q) = [-^-J a21 J ф* f (p3 - q) фА t (p3) dp3 2я sin 9 dQ.
(9.7)
§ 9] РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ НА СВЯЗАННОМ ПРОТОНЕ 461
Здесь q— переданный нейтрону импульс: q = Kf — K.u
а 0 — угол рассеяния. Если q = О, что возможно, либо
когда энергия нейтрона очень мала и Л'/ « Л', « 0, либо
когда рассматривается упругое рассеяние вперед, фор-
формула (9.7) сильно упрощается из-за ортонормирован-
ности протонных в. ф. Интеграл от произведения волно-
волновых функций в этом случае равен символу Кронекера
8if, т. е. возможно только упругое рассеяние; его сече-
сечение равно
da(q = 0) =* (-^Ц2 а2 • 2я sin 6 dB = 4а2 • 2л sin 6 dB. (9.8)
Это сечение в четыре раза больше, чем сечение рассея-
рассеяния нейтрона на свободном протоне. Физическая при-
причина этого явления заключается в том, что при рассея-
рассеянии нейтрона на протоне, связанном в молекуле, отдачу
воспринимает не один протон, а вся молекула, масса
которой бесконечна: tn3 + m2 = оо. С другой стороны,
сечение рассеяния двух частиц друг на друге обратно
пропорционально квадрату их приведенной массы:
Поэтому, если при всех прочих равных условиях менять
массу частицы 2 от п% — /fti до т2 = оо, то сечение воз-
возрастает в четыре раза. Именно это и произошло в рас-
рассматриваемом нами случае.
В заключение этого параграфа рассмотрим кратко
характер упрощений (9.3) — (9.6), содержащихся в при-
приближении Ферми. Анализ показывает, что наиболее обо-
обоснованными являются упрощения (9.6), (9.5). Так как
молекулярные энергии и энергии медленных нейтронов
имеют порядок величины Е^-^-^^=1 эв, а энергия
связи дейтона га = 2,2 Мэв, то относительная точность
(9.6) и (9.5) составляет 10~6 и 10~3 соответственно. От-
Относительная ошибка, связанная с упрощением (9.4),
также имеет примерно такой же порядок величины, так
кач физически это упрощение соответствует пренебре-
пренебрежению эффектами перерассеяния внутри молекулы
462 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 1ГЛ. X
(нейтрон сначала рассеивается на частице 3, а уж затем на
протоне), порядок величины которых —= —г§ ~ Ю~ *
Здесь а«10~12 см— это порядок величины ампли-
амплитуды рассеяния нейтрона на остове молекулы (части-
(частица 3), a R = 10~8 см—расстояние между ядрами атомов
в молекуле.
Наибольшую ошибку вносит приближение (9.3). Как
оказывается, отбрасывание второго члена в уравнении
(8.19) для функции Ф, приведшее к (9.3), законно далеко
не всегда. Хотя ядро интегрального уравнения (8.19) и
содержит малый параметр <x/R ~ 10~4, который легко
усмотреть при обезразмеривании входящих в (8.19) ве-
величин, при определенных значениях энергии Е второй
член в (8.19) перестает быть малым. Это происходит,
когда энергия рассеиваемого нейтрона близка к порогу
возбуждения молекулы, при котором протон переходит
на один из расположенных выше уровней. Физическая
картина того, что при этом происходит, подробно разо-
разобрана в главе о пороговых явлениях. С точки же зрения
формализма происходит следующее: входящая в выра-
выражение для эффективного потенциала Ue функция AG3,
рассматриваемая как функции энергии, имеет полюса
в точках расположения дискретных уровней протона
в поле частицы 3. Наличие этих полюсов приводит к рез-
резкой зависимости Ue от энергии. В частности, когда энер-
энергия нейтрона близка к порогу возбуждения одного из
протонных уровней, потенциал Ue неограниченно воз-
возрастает; в результате второй член в уравнении (8.19)
может оказаться сравнимым с первым При этих усло-
условиях, которые не так уж редко встречаются, «приближе-
«приближение Ферми» становится очень грубым, и относительная
ошибка может достигать десятков процентов. Строгий
расчет сечений в этом случае еще никем не произво-
производился.
ГЛАВА XI
МОДЕЛЬ ЛИ
§ 1. Введение. Импульсное представление
Обычно область нерелятивистской квантовой меха-
механики (в рамках которой находится материал данной
книги) ограничивают процессами движения частиц в том
или ином поле. Процессы рождения и превращения ча-
частиц относят к релятивистской теории или, как ее иначе
называют, теории квантованных полей.
Такое разделение имеет глубокие основания, так как
при рождении новой частицы нет причины, чтобы ее
энергия была специально близка к ее массе покоя. В об-
общем случае, следовательно, рождаются частицы с
Е—тс2 ~ тс2, т. е. с релятивистскими скоростями.
Рассмотрение рождения пар частица — античастица
целиком связано с релятивистской формой теории. По-
Поэтому нерелятивистская теория рождения и превраще-
превращения частиц не может претендовать на прямые физиче-
физические приложения (мы не касаемся здесь проблемы
многих тел, где возникает понятие квазичастиц, описы-
описывающих коллективные возбуждения). Однако нереляти-
нерелятивистская теория может иметь педагогическое значение»
Релятивистская теория сразу обрушивает на обучаю-
обучающегося целый ряд новых понятий: меняется определение
плотности вероятности, возникает понятие античастиц,
необходимо рассматривать лоренц-инвариантность тео-
теории, существенную роль играет световой конус, доведе-
доведение теории до наблюдаемых результатов требует пере-
перенормировки массы и заряда, возникает проблема «мо-
«московского нуля» заряда.
В нерелятивистской теории рождения частиц, относя-
относящейся к идеализированной модели, можно в спокойной
464 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
обстановке изучить физический смысл одной части этих
новых трудных понятий. Опыт показывает полезность
такого методического приема, если не для всех, то во
всяком случае для огромного большинства физиков;
вместе с тем из этого правила есть и исключения:
Л. Д. Ландау был физиком-теоретиком, который не нуж-
нуждался в моделях и отрицательно относился к ним.
Конкретная модель такого рода была подробно рас-
рассмотрена в работе Т. Ли A954) *) и вызвала большой
интерес. Ниже будет рассмотрена модель Ли с некото-
некоторыми видоизменениями. Ли рассматривает совокупность
трех типов частиц; два типа — тяжелые V и N, третий
тип — легкая частица 8. Для такой частицы Ли поль-
пользуется релятивистским уравнением Е2 = с2р2 + mV.
При этом, однако, античастицы б не рассматриваются,
и для всей работы это весьма существенно: именно бла-
благодаря отсутствию античастиц можно ограничиться ма-
малым числом типов состояний N: или V ^ N + 0 или
0 + V +*. N + 20. Если бы мы учли античастицы, то при-
пришлось бы рассматривать неограниченную последователь-
последовательность состояний
Игнорирование 0 и делает теорию такой, что вычисле-
вычисления могут быть проведены до конца.
Но если античастицы б не рассматриваются, то реля-
релятивистское приближение для 0 становится иллюзорным,
непоследовательным.
Исходя из этого, ниже рассматривается теория, в ко-
которой 0 также является нерелятивистской:
.
*) Заметим, что способ расчета, аналогичный способу расчета
в модели Ли, использовался ранее П. Дираком A930) при рассмо-
рассмотрении резонансного рассеяния.
Видоизмененная модель Ли рассматривалась в работах Е. Кей-
зеса A959, 1960); П. Сриваставы A963). Релятивистская разреши-
разрешимая модель изучалась в работах Ф. Захариазена A961) и В. Тир-
ринга A962 А, В).
**) В этой главе мы далее всюду используем систему единиц,
в которой h = с = 1.
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 465
Такая теория может иметь непосредственный физи-
физический смысл, если разность масс N- и F-частиц близка
к массе частицы 0:
— /Пдг — |А |< Ц.
При этом, наряду с обычным в теории поля импульс-
импульсным представлением, оказывается возможным записать
все результаты и в координатном представлении.
Для волновой функции 0-частицы удается написать
у. Ш. Возможность рождения 0 описывается неоднород-
неоднородностью в у. Ш., т. е. членом, не содержащим я|э9. Бла-
Благодаря этому достигается наглядность теории. Особенно
полезна наглядная трактовка перенормировки массы и
заряда.
Модель Ли обобщена также на случай частиц N и V
со спином. При этом наглядно показано (Я. Б. Зельдо-
Зельдович, 1957А), как теория с несохранением пространствен-
пространственной четности приводит к связи между спином неста-
нестабильной частицы и направлением вылета частицы при
распаде.
Наряду с педагогическим значением рассмотрение
моделей оказалось полезным и эвристически, для пред-
предсказания качественно новых эффектов, относящихся к
взаимодействию с электромагнитным полем в теории,
в которой пространственная четность не сохраняется.
Сюда относится дипольный момент нестабильной ча-
частицы (Я. Б. Зельдович, 1960Б; А. М. Переломов, 1962)
и анапольный момент (взаимодействие с током стабиль-
стабильной частицы) (Я. Б. Зельдович, 1957Б; Я- Б. Зельдович,
А. М. Переломов, 1960).
Рассмотрим систему, состоящую из тяжелых частиц
N и V и легких частиц 0. Гамильтониан системы без
взаимодействия состоит из трех гамильтонианов свобод-
свободного движения каждой из частиц:
= f [
J [mNN
+ (r) N(r) + 1±- VN+VN] dr
+ J [w+ (r) <p (r) + ^- V<p+V<p] dr. A.1)
466 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
Здесь т0, mN и \i, V4-, F и ф+, V, N и <р — массы покоя
и операторы рождения и уничтожения частиц V, N и 0
соответственно. Свойства этих операторов подробно опи-
описаны, например, в «Квантовой механике» Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица A963).
Перейдем теперь, сделав преобразование Фурье, к
импульсному представлению. Через новые операторы,
зависящие от импульса, гамильтониан запишется в виде
A.2)
Но, как известно, вместо суммы по k можно писать ин-
интеграл по k:
Яо = jdk [Ev(k)V+kVb + EN(k)N^Nk + EQ(k)ф+ф^. (Г.2')
Здесь
E{k) = m+^. A.3)
Ясно, что при данном импульсе k кинетической энергией
тяжелых частиц можно пренебречь по сравнению с ки-
кинетической энергией 0-частицы. Поэтому в дальнейшем
мы будем пользоваться гамильтонианом
Но = J [m0V + (г) V (г) + mNN+ (г) N (г) +
+ W+ (г) ф (г) + -^ Уф+Уф] dr =
= J dk [mvVtVk + mNNtNk + (|x + Ц-) Ф+фй] A.4)
и иногда опускать индекс k у операторов Ыь, Уь и щ
для простоты письма. Итак, для 0-частицы зависимость
энергии от импульса взята нерелятивистской, в отличие
от оригинальной работы Ли, хотя и приплюсована мас-
масса покоя.
Собственные векторы Но можно классифицировать
по числу частиц того или иного сорта. Вакуумный век-
вектор 10) является собственным для этого гамильтониана,
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 467
и соответствующее значение энергии Е = 0. Собствен-
Собственными векторами являются также векторы V^ 10), N^ |0)
и ф* | 0) с энергиями Е = т0, Е = mN и ? = [х + ^- со-
соответственно *).
Заметим, что эти векторы нормированы на 8(k — ?):
Проверить равенства типа Яоф+| 0) = ?'0(^)ф+|0) легко,
используя правила коммутации операторов. Заметим,
что так как энергия V и N не зависит от импульса, соб-
собственными состояниями для Но будут являться векторы
f /i (r) V + (г)dr\ 0>, J /2 (г) Л^+ (г) dr 10) с произвольными
функциями /i(r) и /гС'')- Нам еще понадобятся состоя-
состояния, в которых одновременно имеются две частицы — N
и 0. Соответствующие векторы Л^<р?|О) нормированы
на б-функцию и
4
Включение взаимвдействия. Введем в гамильтониан
взаимодействие, соответствующее реакции V *±- N + 0.
Эта реакция описывается в гамильтониане членом типа
V+Nq> + VN+q>+. Для простоты будем считать, что все
эти операторы берутся в одной и той же точке, т. е.
+ V(r)N+(r)q>+(r)}dr. A.5)
Хотя в нерелятивистской теории возможно введение
и нелокального взаимодействия, «дальнодействия», од-
однако при переходе к релятивизму нелокальность в про-
пространстве неизбежно приведет к нелокальности во вре-
времени и вступит в противоречие с представлениями о при-
причинности. Поэтому мы и рассматриваем локальное
*) Массу «голой» частицы V, как собственное значение гамиль-
гамильтониана без взаимодействия Но, мы обозначаем т0. Обозначение
mv мы введем несколько позднее; оно относится к «физической»
частице V.
468 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
взаимодействие. В импульсном представлении Hi имеет
такой вид:
(t A ХфЭ V, А2+Аз, A.6)
где Q — объем, внутри которого находятся рассматри-
рассматриваемые частицы. Переходя от суммы по k к интегралу
по k, получаем
Hl = ТЁР I л« rf* АК> А +
ха(*,-*2-*з). A.60
Нетрудно видеть, что система, описываемая полным га-
гамильтонианом
Н = Яо + Ни
имеет два простых закона сохранения:
nv + nN = щ = const,
A 7)
= n2 = const, J
где пу, Ялг и nQ — полные числа V-, N- и 0-частиц. По-
Поэтому можно, да и естественно, в качестве собственных
состояний системы выбирать состояния с определенным
значением этих сохраняющихся чисел. Благодаря тому,
что эти числа положительны (отсутствие античастиц),
собственные функции содержат конечное число частиц,
и задача может быть решена точно (без теории возму-
возмущений, например).
Легко видеть, что свободные N- и 0-частицы остают-
остаются собственными состояниями и при включении взаимо-
взаимодействия, причем энергия этих состояний остается той
же, т. е.
(L8)
Однако «голая» F-частица — Vt\O)~ не является соб-
собственным вектором полного гамильтониана. Задачу о со-
состоянии физической V-частицы | УфЯЗ, 0) = I Vo) решим
сначала в первом порядке теории возмущений. Матрич-
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 469
ные элементы взаимодействия #i для переходов из со-
состояния Vt 10) отличны от нуля только для состояний
Af*Aq?|O). Поэтому мы должны написать:
I Уф„з, о> = I Vo) = Fo+1 0) + J dkf{k) N+_X | 0), A.9)
где f(k) — величина первого порядка по g. Коэффи-
Коэффициент при 1/о"|0) здесь принят равным единице, по-
поскольку мы используем первый порядок теории возму-
возмущений.
Мы имеем уравнение
(H0 + Hl)\V0) = mv\V0). A.10)
Очень существенно, что уже при рассмотрении первого
порядка теории возмущений мы берем точное значение
энергии состояния mv, смещенное относительно т0.
Дело в том, что хотя поправка первого порядка к энер-
энергии равна нулю, уже во втором порядке теории возму-
возмущений т0 — ту становится бесконечным.
Приравнивая члены при Ntkq>t |0), получим
p
Таким образом, вероятность найти физическую V-части-
цу в виде N и 0 с импульсами от k до k + dk в первом
порядке теории возмущений дается выражением
g2 dk
[E(k)-mvf Bn)«
A.12)
Точное решение почти не отличается от первого по-
порядка теории возмущений. Так как собственные состоя-
состояния Н образуют полную систему, то естественно искать
собственный вектор Н в виде суперпозиции собственных
векторов Но. Каждый член этой суммы должен принад-
принадлежать тому же значению «зарядов» п\ и «2. что и
V+|0): щ =- 1, п2 = 1. Такими векторами являются,
кроме К+|0), лишь двухчастичные состояния Л^ <р*а10).
470 МОДЕЛЬ ЛИ (ГЛ. XI
Поэтому решение будем искать в виде
I Vo> - Z^ [Vt | 0) + J dk{ dk2f (kv k2) Nfrl | 0)]. A.13)
Вполне нагляден смысл этой записи: состояние физиче-
физической F-частицы ищем в виде «голой» V-частицы, окру-
окруженной облаком продуктов ее распада (быть может,
виртуального). Константа Z введена для нормировки
вектора; для простоты мы рассматриваем покоящуюся
У-частицу. Теперь следует потребовать, чтобы | Vo)
было собственным вектором Но + Н\ с собственным зна-
значением mv— наблюдаемой массой V-частицы. Очевид-
Очевидно, автоматически будет выполнен закон сохранения
импульса:
Поэтому уравнение сведется к следующему:
(Яо + Я,) [Fo+ +jdk f(k) N+_b<f>t] 10) =
Приравнивая коэффициенты при W*A<Pj|0), получим
для f(k) старое выражение A-11).
Предположим, что х2 = 2\i(mN + ц — mv) > 0. Это
обеспечит стабильность F-частицы *). Далее, приравняв
члены с Vo" | 0), имеем
Г dk , ц^2 Г
k2dk
Полученное уравнение можно рассматривать как спо-
способ определить наблюдаемую массу ту через то и g.
Однако ту входит в это уравнение достаточно сложным
образом: и в виде слагаемого, и в х2. Удобнее поэтому
*) Для нестабильной У-частицы ту = Remy + ilm/лу; пра-
правило обхода полюса при интегрировании по k должно выделять
только расходящиеся волны (см. гл. VII).
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 471
определять т0 через g и наблюдаемое экспериментально
значение массы mv. Если взаимодействие строго ло-
локально, т. е. имеет вид A.5), то интеграл в A.14) рас-
расходится. Заметим, что при релятивистской зависимости
Е(к) он также расходится. Следовательно, затравочная
масса т0 должна быть взята бесконечной положитель-
положительной для того, чтобы получить конечную наблюдаемую
массу mv. Это и есть перенормировка массы V-частицы.
Вычислим теперь нормировочную постоянную Z, требуя,
чтобы (УфИЗ| Уфиз) = 1- Мы получим
При нерелятивистской E(k) в теории со скалярным ло-
локальным взаимодействием этот интеграл сходится. Од-
Однако если взять векторное взаимодействие (см. ниже),
то этот интеграл также будет расходящимся. При реля-
релятивистской же E(k) этот интеграл расходится и для
скалярного взаимодействия.
Заметим одно важное равенство:
Z-'-gj-. A.16)
Оно сохраняется и в релятивистском случае, когда обе
величины, Z-1 и т0, выражаются расходящимися интег-
интегралами.
Для того чтобы понять физический смысл этого ра-
равенства, подействуем на систему, находящуюся в со-
состоянии | Vo), малым возмущением вида АН = AmoVoVo'
Масса физической частицы V при этом изменяется:
Дот = ВАгпо, причем коэффициент В есть доля «голой»
частицы V в физической ^-частице, т. е. В = Z. Заме-
Заметим, что такой способ определения доли «голой» части-
частицы V в физической F-частице аналогичен рассмотрен-
рассмотренному в гл. VII способу определения времени столкно-
столкновения частицы с помощью магнитного поля.
Итак, вероятность найти физическую V-частицу в
виде Q п N ъ точном решении равна
dk
[E{k)-myf Bл)
з >
472 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
т. е. по сравнению с теорией возмущений g2 заменяется
величиной g2:
A.17)
Так как эта вероятность является наблюдаемой величи-
величиной, то наблюдаемой величиной должен быть именно
перенормированный заряд g2r. Очень важно, что имен-
именно g2r войдет в формулы для сечения рассеяния, которое,
несомненно, является наблюдаемым.
Рассеяние в скалярном взаимодействии. Введение
взаимодействия в гамильтониан приводит к тому, что
состояние, в котором имеются одновременно N- и 6-ча-
стицы с определенными импульсами, перестает быть
собственным. Попросту говоря, это означает, что появ-
появляется рассеяние. Рассмотрим стационарую задачу о
рассеянии 6-частицы на N*). Естественно работать в
системе центра масс (что, впрочем, для нас несуще-
несущественно, так как N та V гораздо тяжелее, чем 6). Как
и обычно, в решение включаем падающую волну
W *йоФй0 I 0), рассеянную волну и виртуально образую-
образующуюся F-частицу («голую», а не физическую):
j A.18)
и требуем, чтобы
(Н0 + Н1)Ф = Е(к0)Ф, A.19)
где
*) Более сложной является задача рассеяния 9 на V-частице,
поставленная Г. Челленом н В. Паулн A955). Амплитуда 9—У-рас-
сеяния впервые была определена в работе Р. Амадо A961), а в ряде
последующих работ (Р. Кеншафт, Р. Амадо, 1964; А. Пагнамента,
1965; Ч. Саммерфильд, 1965; Э. Кейзес, 1965; Т. Мута, 1965) были
найдены и волновые функции частицы.
§ 1] ВВЕДЕНИЕ. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 473
Из A.19) получаем систему
X (к) [Е (к) - Е (ко)] + g Bл)-3/2С = 0, | к | Ф | к0 Ц
С[то-Е (k0)] + g Bя)-'/г [ 1 + J dk % (к)] = 0. ] '2°
Функция %(к) имеет полюс при |Jfe| = |Jfeo|, %(k) «
«*-о—о • Ее вычет в этом полюсе, как нетрудно
k — kQ — 18
видеть, определяет амплитуду рассеяния А = 2п2В, а
тем самым и сечение рассеяния. Для С получаем
- Г 1=-Лг- A-21)
L "' " Bя)« J E(k)-E(ko)-iz
Интеграл в этом выражении расходится, и, на пер-
первый взгляд, вследствие этого мы должны предположить,
что С = 0, % = О и рассеяние 6 на N в нашей модели
отсутствует. Заметим, однако, что у нас получилась раз-
разность расходящегося интеграла и бесконечной величи-
величины пц. Производя перенормировку массы, выразив вели-
величину то через наблюдаемую массу mv и интеграл (тоже
расходящийся) по формуле A.14), мы получим, сло-
сложив два интеграла, конечное, сходящееся выражение
g2 Г dk
/Ио+ BяK J E (k) - Е (k0) - is
g2 f dk g2 Г dk
~ mv BяK J E(k)-mv + BяK J ? (A) - ? (jfeo) -/e
?2 Г
Г (?(^)-mK)d* "I
J [E{k)-E(ko)-ie][E(k)-mv]\ =
Точнее говоря, мы улучшили сходимость интеграла, до-
добавив в знаменатель лишнюю степень E(k) ~ k2 за счет
исключения из первоначального интеграла величины /л0.
В частности, в нашей модели этот интеграл уже
474 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
сходится, и мы говорим, что для исключения расходимо-
стей достаточно сделать перенормировку массы. Это,
однако, не имеет места при релятивистской зависимости
E(k). Поэтому, имея в виду показать способы исключе-
исключения расходимости, мы сделаем дальнейшие преобразо-
преобразования, чтобы ответ выразить через перенормированную
величину g2r. Обозначим
= _L_J
[E{k)-E(ko)-ie][E{k)-my]-
Для рассеянной волны мы имеем
Bя)з [E{k)-E(ko)][E(ko)-mv] \ + g42 ' I1""'
Выражая g2 через g*, получим
,(m=_J ! ?L_
KK ' BяK [E{k)-E(kQ)][E(k0)-mv] 1+^ (/,,-/,)'
где
Ъ-1^ Щ~* J [E(k)-E(ko)-iE][E{k)-mvf (
Теперь постараемся уяснить логическую сторону пе^
ренормировки, встав на ту точку зрения, что в.дей-
в.действительности взаимодействие не строго локально, а
размазано до малых расстояний ~р, и вследствие этого
при весьма больших значениях импульса Л ~ — про-
происходит обрезание. Это значит, что интегралы по dk мы
берем не до бесконечности, а до Л.
При фиксированном значении Л все получаемые вы-
выражения будут конечны. Однако это отнюдь не значит,
что ими удобно пользоваться и, тем более, переходить
к пределу р—>() (Л—юо). Возможность предельного пе-
перехода и удобство пользования возникают лишь в том
случае, если считать известными (и заданными, не за-
зависящими от Л) перенормированные величины mv и gr
и выражать результаты именно через mv и gr. Чтобы
наглядно продемонстрировать это, составим сводку фор-
§ 21 КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 475
мул, в которых будем считать заданными: I) /n0, g,, А;
2) tnv, g, А; 3) m'v, gr, А; Л-юо.
:
Hg / Я*
- m0 (А +
, A,26)
2)
2я ?(А0)-т7 2n2g2 / я 1 1 \ •
"*¦ я2 \2 K-ik0 A)
A.260
2лх х — iA0
Заметим, что при переходе 1)—»• 2) —»- 3) зависимость
амплитуды рассеяния А от Л при Л-*оо становится все
более слабой и в случаях 2), 3) эта величина имеет от-
отличный от нуля предел при Л—>оо.
§ 2. Координатное представление
Очень наглядные результаты получаются при реше-
решении задачи о физической V-частице непосредственно в
координатном представлении (В. Н. Грибов, Я- Б. Зель-
Зельдович, А. М. Переломов, 1961). В силу инвариантности
гамильтониана относительно преобразований Галилея
движение центра масс системы не может влиять на по-
получаемые результаты. Поэтому, как и во всех задачах
нерелятивистской квантовой механики для двух тел, мы
можем выделить это движение, и в результате задача
сведется к определению движения частицы с приведен-
приведенной массой вокруг бесконечно тяжелого (неподвижного)
центра. В нашем случае приведенная масса N и 6, рав-
равная mN\i/(mN + ц), мало отличается от массы ц самой
9-ч.а.стиды. Поэтому мы можем пренебречь, различием
476 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
между этими величинами и всюду употреблять про-
просто ц. В силу же того, что движение центра масс уже
выделено, мы можем ввести операторы рождения V-
и Л/'-частиц в какой-либо точке (для определенности в
начале координат) V+ и N+ такие, что @|VF+|0)= 1 и
@|A/W+|0)= 1. Чтобы получить конечные результаты,
мы возьмем сначала гамильтониан Hi, в котором функ-
функция взаимодействия размазана до расстояний ~р (имея
в виду последующий переход к пределу при p-vO)*).
Такой способ действий как раз соответствует программе
перенормировки. Для простоты расчетов функцию взаи-
/ \ 6 (| /-1 — р) /
модеиствия возьмем в виде g\r) = g 4jt 2 (так, что
J g (r) dr = g). Тогда
Н = На-\- Нх =
- mV+V + mNN+N + J Ф+ (г) (ц - ±- А) ф (г) dr +
+ [gV+M J *1Мр?1ф(г)Л- + э. с]. B.1)
Решение для физической V-частицы ищем в виде
I КфИЗ> = Z1' [V+! 0) + N+ J ф (г) ф+ (г) dr 10)]. B.2)
У. Ш. для этого случая дает
B.3)
B.4)
с х2 = 2ц (mN + \х — mv). (Здесь мы сразу учли сфери-
сферическую симметрию г|з(г).) Если р <; 1/и (что всегда
можно считать выполненным, так как р—vO), то уравне-
уравнение B.4) можно заменить**) на
, B.4')
*) Строго говоря, нижеследующий выбор g(r) соответствует
взаимодействию в тонком сферическом слое радиуса р.
**) Более строго решение уравнения B.4) при т% р отличается
от B.4') на величину второго порядка малости по р. Такими веди-
чинами мы пренебрегаем сразу,
§ 2] КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 477
и тогда
i|)(r)= — 2\ig —g—, B.5)
„„2 е-щ>
ttln == fTlw Т п_ • B.0)
и ' 2Л р х '
Разлагая B.6) по степеням р, отбросим члены начиная
с первого порядка по р:
itiq = т.у Н—„ — —г— х, B.6')
откуда видно, что т0 ~ 1/р при р-^0. Легко убедиться
в том, что волновая функция частицы 6 в импульсном
представлении (f(k) в A.11)) есть фурье-образ функ-
функции г|з(г) в B.5). Очевидно, поэтому и нормировочный
множитель Z = 1 + Г | г|з Рdr\ здесь совпадает с Z, вы-
вычисленным в импульсном представлении.
Формула B.6') определяет перенормировку массы.
Можно ввести и перенормированный заряд g2r-
Если обозначить
/ Л—?, B-7)
то мы будем иметь
Из последней формулы ясно, что наблюдаемое значе-
значение заряда подчиняется неравенству*)
«?</Г'--^-. B.9)
В противном случае g2 < 0, т. е. g становится мнимым.
Мнимость g означает неэрмитовость гамильтониана и
сильнейшим образом нарушает всю вероятностную
*) Это неравенство впервые было получено в работе М. Рудер-
мана и С. Газиоровича A958). Знак равенства соответствует слу-
случаю, рассмотренному Л. Д. Ландау A960). Неравенство было об-
обобщено также на релятивистский случай (Б. В. Гешкенбейн,
Б. Л. Иоффе, 1963; Н. Н. Мейман, 1963; Н. Н. Мейман, А. А. Слав-
нов, 1964).
478 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
интерпретацию квантовой механики. В частности, вели-
величина Z, равная вероятности найти физическую V-частицу
в виде «голой» V+|0), становится отрицательной. Пере-
Перенормировка массы при g2 < О приводит к тому, что
mv > m0. Но по вариационному принципу взаимодей-
взаимодействие типа превращений может лишь уменьшить энер-
энергию основного состояния. Следовательно, при g2 < О по-
появятся состояния V-частицы, отличные от физических,
с Е < mv, так называемые «духи» (Г. Челлен, В. Пау-
Паули, 1955). При рассеянии 6-частиц на физических V-ча-
стицах будут происходить переходы в «духовые» со-
состояния, и притом с отрицательной вероятностью. Все
это делает теорию при g2r>g2c= l//i неприемлемой по
физическим соображениям.
Обратимся теперь к задаче рассеяния. Решение у. Ш.
ЯФ = ?Ф с Е = mN + ц + k2/2\i ищем в виде
ф = CV+! 0) + N+ J yt (r) ф+ (г) dr 10), B.10)
где
Для величин S(k) и С получаем уравнения
AirL + f <5 + 1). B.11;)
S-l)- {2Л2)
Подставляем в B.11) значение С из B.12) и значе-
значение /По из B.6). При этом члены, содержащие 1/р, со-
сокращаются, что означает ренормируемость теории: при
р—>() /По—¦ оо, но результаты, относящиеся к рассеянию,
стремятся к пределу, не зависящему от радиуса обре-
обрезания.
Одновременно из уравнений устраняется величина
затравочной массы т0 «голой» частицы V и в ответ
входит величина х, зависящая от массы физической
F-частицы.
После элементарных алгебраических преобразований
получаем
§ 2] КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 479
Теперь нетрудно получить и выражение для амплитуды
рассеяния
$TTQ n-mv. B.14)
— ik
Заметим, что довольно часто физический (перенормиро-
(перенормированный) заряд определяют по полюсному члену в ам-
амплитуде рассеяния:
B.15)
Поскольку вычет амплитуды рассеяния в полюсе
Е = —Q равен
ЦС С2-16)
2ях
то это определение перенормированного заряда совпа-
совпадает с определением по формуле A.17).
Из B.16) находим, что вычет амплитуды рассеяния
отрицателен и по модулю ограничен сверху:
BQ^ B.17)
Заметим, что это ограничение на величину вычета сов-
совпадает с ограничением, получающимся из формулы C.9)
гл. III при R = 0. Это не удивительно, поскольку фор-
формулу B.17) можно получить, используя результат ра-
работы Л. Кастильехо, Р. Далица, Ф. Дайсона A956), ис-
исходя лишь из свойств аналитичности и унитарности,
которые выполняются как в случае потенциального рас-
рассеяния, так и в модели Ли.
Амплитуда рассеяния А как функция комплексного
x + i——I. Этот
полюс, однако, находится на нефизическом листе ком-
комплексной плоскости Е.
Перенормированный заряд gr удовлетворяет неравен-
неравенству B.9), причем предельное значение достигается при
неограниченном увеличении «голой» константы g.
480 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
При этом доля «голой» V-частицы в физической V-ча-
стице стремится к нулю, физическая V-частица в пре-
пределе целиком «состоит» из N + 6*). Таким образом,
предельное значение вычета соответствует переходу к со-
составной модели частицы V, состоящей из локально свя-
связанных N и Q.
Как видно из B.14), в пределе при g2—юо мы полу-
получаем результаты, в точности совпадающие с результа-
результатами теории потенциального рассеяния на сингулярном
потенциале с яанным положением дискретного уровня
при Е = —Q.
Мерой приближения к пределу является близость
к единице доли N + 6 в амплитуде физической V-ча-
стицы; при этом доля «голой» К-частицы стремится
к нулю. По существу, «голая» частица V как таковая
исчезает и играет только роль переносчика локального
взаимодействия, связывающего N и 6 в физической ча-
частице. Условие близости к пределу имеет вид g2^$?
Таким образом, чем ближе находится полюс, чем мень-
меньше х, тем раньше, при меньшем значении g получаются
предельные соотношения, характерные для составной
модели.
§ 3. Взаимодействие с нестабильной
промежуточной частицей **)
Перейдем теперь к решению уравнений для случая
нестабильной промежуточной частицы. При этом мы
следуем методу В. Н. Грибова, Я. Б. Зельдовича и
А. М. Переломова A961).
Предполагаем, что нестационарное у. Ш. имеет ре-
решение, экспоненциально зависящее от времени (т. е.
~ е~1Е«* с комплексным значением Ео), характеризуемое
тем, что пространственная часть решения, описываю-
*) На языке констант перенормировки это соответствует стрем-
стремлению к нулю величины Z. Условие Z = 0 и в релятивистском слу-
случае можно считать условием того, что данная частица является со-
составной.
**) Нестабильная частица в модели Ли рассматривалась в ра-
работах М. Левн A959) и Я. Б. Зельдовича A961).
§ 3] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЕЙ 481
щего частицы А и В, содержит одну только расходя-
расходящуюся волну, т. е. i|) ~ eikor/r._ При этом k0 также ока-
окажется комплексным. Для такою хотя и нестационарного,
но экспоненциального решения также можно восполь-
воспользоваться уравнениями типа B.3) и B.4).
Общий ллан решения такой же, как и в случае ста-
стабильной V: считаем известными свойства физического
4
нестабильного состояния, т. е. ?о и k0, Ео = "к—I- М- + ты>
и с помощью уравнений выражаем нефизическую вели-
величину затравочной массы т0 через физическую Ео, заряд
g и радиус обрезания р.
Затем обращаемся к задаче рассеяния, т. е. к задаче
с произвольным вещественным положительным k, со
сходящейся и расходящейся волнами и находим ампли-
амплитуду рассеяния. При этом пользуемся значением /По,
выраженным через Ео, g, p; как и раньше, члены 1/р
при этом сокращаются, т. е. расчет имеет определенный
предел при р—>(), т0—»оо. До выкладок сделаем еще
два замечания. Результат нельзя получить из предыду-
предыдущего результата для стабильной частицы, формально
заменяя х на —iko, так как затравочная масса то хотя
и является нефизической величиной, содержит член
1/р (т0—>оо при р—>()), но должна быть вещественной
для того, чтобы гамильтониан был эрмитовым, чтобы
была унитарность. Формальная замена х на —iko
в B.6') не обеспечит вещественности т0.
Второе замечание, чисто техническое, заключается
в том, что в качестве исходной величины удобно взять
k0 = v — iw и выразить ответ через v и w, вещественные
и положительные.
Итак, для нестабильного состояния
?iJ!L^ + + Ci)
При подстановке ф(г) в у. Ш. члены
(ц + rnN —-5—) г|з снова уничтожаются, и аналогично B.5)
мы получаем
. „ lvr+wr
482 Модель Ли tfvi. xi
Подставляем C 2) в B.3):
В отличие от B.6'), это уравнение комплексное. Так
как га0 вещественно, то из рассмотрения мнимой части
C.3) сразу получим
Задача со стабильной частицей V характеризовалась
двумя параметрами: Q (или х) и g. Задача с неста-
нестабильной частицей на первый взгляд характеризуется
тремя величинами v, w и g, но связь C.4) оставляет два
параметра. Для сокращения записи дальше везде вы-
выражаем g2 через w.
В частности,
C-5)
±+±
Обратимся к задаче рассеяния. Уравнения B.10) —
B.12) остаются справедливыми, разница заключается
лишь в использовании C.5) для т0, а также в том, что
в ответе g2 выражаем через w согласно C.4). После
элементарных алгебраических преобразований получаем
lk
<> (k-v- iw) (k + v- iw) ,„
(k-v + iw)(k+v + iw) ' \°-''
Функция S (а следовательно, и амплитуда рассеяния)
имеет два полюса в ^-плоскости ниже вещественной оси
при k= ±v — iw. В верхней полуплоскости k, т. е. на
первом листе Е, полюсов нет.
Очевидно, что для -ф (г) вида C.1)
d in (гф) .. S+i ,„
§ 3] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЕЙ 483
Следовательно, выражение C.8), относящееся к ста-
стабильной частице, в пределе при g2—юо дает
^=-«, C.9)
в соответствии с классической теорией Г. Бете — Р. Пай-
ерлса A935). В случае нестабильной V'-частицы C.6)
дает
dlnjnb) _ v2 , w k2 п .
что при вещественных v и w и положительном w никак
нельзя преобразовать к виду
= *„ х,>0, C.11)
который соответствовал бы рассеянию на сингулярном
потенциале с виртуальным уровнем (типа синглетного
взаимодействия нейтрона с протоном). Иными словами,
дело в том, что расчет с нестабильной частицей дает
в ^-плоскости два полюса, расположенных симметрично
относительно мнимой оси ниже вещественной оси.
Сингулярный потенциал с виртуальным уровнем со-
соответствует одному полюсу на мнимой оси ниже веще-
вещественной оси при 6 = —ixi (см. C.11)).
Если даже сделать так, чтобы два полюса от неста-
нестабильной частицы слились и попали в ту же точку
k = —i'xi, то в этой точке получится полюс второго
порядка и формулы все равно не совпадут со слу-
случаем сингулярного потенциала, где полюс первого
порядка.
В случае стабильной частицы оба полюса лежат на
мнимой оси и не совпадают, поэтому можно сделать
так, чтобы один полюс уходил на бесконечность, в то
время как второй был фиксирован; в случае нестабиль-
нестабильной частицы этого нельзя сделать из-за условия сим-
симметрии полюсов относительно мнимой оси.
Как видно из C.4), в пределе при g2-+oo до-»оо;
подставляя в C.7), получим 5 = 1 при любых конечных
# й v. Такцм образом, теория с нестабильной частицей
484 модель ли [гл. XI
не имеет никакого разумного предела при сильной связи.
В этом ее отличие от теории со стабильной частицей,
которая в пределе сильной связи переходит в теорию
дейтона.
§ 4. Взаимодействие частиц N и V
Решим задачу о взаимодействии двух тяжелых ча-
частиц V и N*). При этом мы покажем, что если выра-
выражать ответ через перенормированную массу, то резуль-
результат не будет содержать бесконечных членов. Более того,
в ответ войдет вполне естественным образом перенорми-
перенормированный заряд.
Эту задачу естественно решать в адиабатическом
приближении. Это значит, что сначала, пользуясь ма-
малостью массы 0 по сравнению с ту и т^, мы рассчи-
рассчитаем волновую функцию 6 при фиксированных N и V,
находящихся на расстоянии Ь. Энергия такого «состоя-
«состояния» зависит от Ь как от параметра и может рассмат-
рассматриваться как потенциальная энергия взаимодействия V
и N, обусловленная «испусканием» и «поглощением»
6-частиц. Далее уже нетрудно решить задачу о движении
частиц V и N в этом поле (чего мы делать не будем).
Итак, «состояние» V- и Л/'-частиц, находящихся в точках
п[ и а2 на расстоянии Ъ = \а\ — а2\ друг от друга, будем
описывать операторами Vt (Nt) и V2(n?) — оператора-
операторами рождения V(N)-частицы в точках г = а\ и г=а2.
Соответственно гамильтониан Н = Но + Hi запишется
так:
Но = mo (ytVi + У2Т2) + ты {NtNi + ЛГ2+ЛГ2) +
D.1)
*) В импульсном представлении эта задача была решена в ра-
работе С. Вейнберга A95$), ,
§ 4] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ N и V 485
Наиболее общий вид физического состояния с одной
V- и одной Л/'-частицей на расстоянии b = п\ — а% есть
| VN) =.CiVtNt №) + C2V%Nt I 0) +
+ N tNt { Ч> (r) <p+ (r) rfr 10). D.2)
Так как гамильтониан Н инвариантен относительно за-
замены 1 ^=»= 2, то собственные «состояния» можно клас-
классифицировать по числу /=±1, где Сг =/Ci. Энергию
«состояния» Е запишем в виде
Е = ту + mN + е, D.3)
поскольку заранее ясно, что при b —*¦ оо энергия Е —*
-*туЛ-тц (при этом 8-*0). Решая у. Ш., мы полу-
получим
(«о-ти-8)^+^1,.^ = 0, D.5)
где
г, = |г-а,|. г2 = | г — «з |,
if = 2|а (тдг + м- — тк — е) = х2 —
Подставляя D.4) в D.5), мы получим
(«о - «. - е) - -М- [ V + / VU ' D'6)
или
Из этого уравнения можно определить т), а тем са-
самым и 8.
Теперь мы должны рассмотреть переход к р —> 0. Раз-
Разлагая "Ф |г в D.6') по степеням р, опустим члены
первого и более высоких порядков; тогда
^L). D.7)
486 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
При фиксированном т0 и р—*0 результаты получаются
бесконечными.
Вспомним теперь формулу B.6') для перенормировки
массы, где масса пг0 выражена через mv и 1/р. Тогда
D.7) примет вид
2я J 2п К+ 2ц / ~ 2л L Р Ц Ь
Члены, содержащие 1/р, сокращаются, что и дает воз-
возможность устремлять р к нулю. Мы получаем уравнение
Если вместо g подставить его выражение через gr:
2 2 Г 1 2 ц
то уравнение примет вид
Уравнения D.8) или D.8') определяют энергию «си-
«системы» (VN) при заданном расстоянии. Из них вид-
видно, что при / = +1 частицы V и N притягиваются:
Е — (mv + m№-) =е = к 0~ л < 0, при / = —1—оттал-
киваются.
При 6>х потенциал еF) приближенно описывается
формулой Юкавы
Таким образом, потенциал взаимодействия ?/(&) ==
= е (Ь) частиц N и V зависит от того, в симметричном
(в частности, s-волна) или антисимметричном (в част-
частности, уО-волна) состояниях находятся N- и V-частицы.
Это неудивительно, поскольку взаимодействие, обуслов-
обусловленное обменом частицей 6, приводит как к обычным, так
и к обменным силам. Заметим здесь же, что наличие
двух различных потенциалов не приводит ц неортого.-.
§ 6] ВЕКТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 487
нальности волновых функций, поскольку волновые функ-
функции, являющиеся решениями у. Ш. с различными U(r),
обладают различной симметрией и потому оказываются
автоматически ортогональными друг другу.
§ 5. Векторное взаимодействие
Предположим, что фермионы V и N имеют спин '/2,
а бозоны 6 имеют нулевой спин. Тогда волновые функ-
функции V и N зависят еще и от спиновой переменной. При
s = Уг эти волновые функции являются двухкомпонент-
ными. В соответствии с общепринятым способом зада-
задания спиновых функций мы будем считать, что первая
компонента отвечает состоянию s2 — + V2, вторая sz —
= —'/2. Будем отмечать эти компоненты индексами
а, Ь. Соответственно этому следует ввести операторы
рождения частиц в состояниях со спином, направленным
вверх и вниз:
Ni, Vt-sz= + \, Nt,Vt~sz=-\.
Плотность гамильтониана взаимодействия h, отве-
отвечающего реакции V++NQ, есть скалярная величина, ко-
которую мы теперь должны построить из произведения
спинора N, эрмитово сопряженного спинора V+ и ска-
скаляра ф. Одна возможность — взять сумму произведений
одноименных компонент N и V+ (известно, что такая
сумма есть скаляр) и умножить на q>:
h, = g(F:#a + WW6)cp + 9.c. E.1)
Легко видеть, что такое взаимодействие ничем не отли-
отличается от рассмотренного нами скалярного взаимодей-
взаимодействия. Действительно, если в начальный момент времени
все частицы находились в состоянии со спином, направ-
направленным вверх, то и в дальнейшем они будут иметь спин,
направленный вверх. Частицы с противоположными на-
направлениями спинов не взаимодействуют; сохраняются
отдельно спиновый и отдельно орбитальный моменты ко-
количества движения.
Вторая возможность ввести взаимодействие, отве-
отвечающее той же реакции и не зависящее от импульсов V
488 Модель ли [гл. xi
и N (т. е. от пространственных производных V(r) и
А'(г)) —подействовать на спинор N оператором вектора
спина s = в/2 и полученный спинор умножить на эрми-
эрмитово сопряженный спинор V+. Величина V+sN есть век-
вектор, и поэтому для получения скалярной плотности га-
гамильтониана ее нужно скалярно умножить на вектор
Уф. Запишем более подробно, что такое V+sNVcp, вводя
для этой скалярной величины обозначение Ьг. Мы имеем
1 / аг ах- ia,y
sa==T\ _i_;
* \ах + Шу — аг
h2 = V+sN Уф = 1 [viNa ± + VtNb (? -i^) +
+ ViNa (^ + i-§j) - VtNb ± ] Ф (r). E.2)
Гамильтониан взаимодействия мы получим, умножая Ьг
на константу взаимодействия /, складывая с эрмитово
сопряженным выражением и интегрируя по объему:
Я2= /[/Мг) + э. с] dr. E.3)
Для того чтобы такой гамильтониан был инвариан-
инвариантен относительно инверсии координат, т. е. чтобы со-
сохранялась четность, необходимо считать произведение
трех волновых функций ^^^i^q псевдоскаляром, так
как оператор sV псевдоскалярен (последнее следует из
того, что спин s есть псевдовектор). Для этого доста-
достаточно, например, считать \|H псевдоскаляром, a ipv и
\pN — настоящими (не псевдо) спинорами. Заметим, од-
однако, что если бы модель Ли соответствовала эксперимен-
экспериментально наблюдаемым фактам, мы никак не смогли бы
установить в отдельности четности V, N и 6, наблюдая
только реакции, описываемые гамильтонианами Hi и
#2- Из таких наблюдений можно определить лишь про-
произведение их четностей (+1 для #i и —1 для Я2), так
как из-за законов сохранениям/Zi и щ. во всех реакциях
на одну V-частицу с одной стороны «равенства» прихо-
приходится по одной N и 6 с другой стороны. Аналогично
этому мы не можем установить абсолютную четность
протона (или нейтрона), где в термине «абсолютная
§ 51 ВЕКТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 48Э
четность» содержится определение, по которому четность
вакуума принимается положительной. Это происходит
потому, что во всех реакциях с участием нуклона сохра-
сохраняется барионный заряд, и мы можем установить лишь
произведение четностей частиц, принимающих участие
в реакции. В то же время четность я°-мезона (равная
—1) может быть определена абсолютно, так как точ-
точные законы сохранения не препятствуют реакции типа
N-+N + n° (здесь N — нуклон). Конкретно для я°-ме-
зона четность может быть определена также по тому,
как он распадается на два укванта. Здесь заключение
о четности я°-мезона делается по соотношению между
поляризациями двух уквантов независимо от того, ка-
какую четность мы приписываем самому электромагнит-
электромагнитному полю (четность системы двух уквантов с нулевым
суммарным импульсом равна +1 при параллельных и
— 1 при перпендикулярных поляризациях). Четность же
я+- и л~-мезонов принимается такой же, как и у я°-ме-
зона — отрицательной, исходя из соображений о том, что
эти три частицы образуют изотопический мультиплет.
Резюмируя сказанное, можно заключить, что опреде-
определение абсолютной (т. е. относительно вакуума) четности
возможно лишь для тех частиц, у которых сохраняю-
сохраняющиеся квантовые числа такие же, как и у вакуума
(именно таким является я0), и притом только тогда, ко-
когда распад частицы зависит от взаимодействия, сохра-
сохраняющего четность.
Возвращаясь к векторному взаимодействию, запи-
запишем #2 в импульсном представлении, опуская fc-индексы
у V и JV и не выписывая множителя 6(&i—k2 — ?3), от-
отвечающего за закон сохранения импульса:
Я2 = Bя)/2 J dk \ifV+ (sk) N(?b + э. с],
k = {k sin 9 cos ф, k sin 9 sin qp, 6 cos 9},
ifV+ (sk)Nq>k = if\ (VaNa cos6 + VtNb sinQe~^ +
+ VtNa sin 9е'ф - VtNb cos 9) щ. j
Как и в скалярном случае, состояния свободного дви-
движения 9-частицы фй" 10) и Af-частицы
490
МОДЕЛЬ ЛИ
[ГЛ. XI
остаются собственными состояниями полного гамильто-
гамильтониана Но + Н2. Состояние же физической F-частицы
(например, со спином вверх) ищем в виде «голой» V
со спином вверх и облака N и 6:
E.5)
Так же как и для скалярного взаимодействия, сосчи-
сосчитаем сначала фа(&) и ф&(&) в первом порядке теории
возмущений и с теми же оговорками относительно т0
и ту. Мы получим
¦-(*)-
1
BЯ)'
(
1
Bя)
ft
V, 2
ft
3/г п
k
if cos 9
E (k) - mv
t (ft) — my
if sin 9et(p
?(ft)-mK
"/! E{k)-m
E.6)
где
? (ife) =
k2/2]i.
Множители cos 6 и sin6ei('' дают сохранение момента
количества движения: V-частица со спином вверх рас-
распадается на N со спином вверх и 6 с / = 1, т = 0 или
на N со спином вниз и 6 с /= 1, т= +1. Сохранение
jz было, конечно, очевидно заранее, так как гамильто-
гамильтониан инвариантен относительно вращений. Невозмож-
Невозможность же превращения Vt в Na и 6 с / = 0 следует из
того, что четность Р такого состояния, равная произве-
произведению четности Pi координатной функции 6 (Pi=(—1)г)
на внутреннюю четность Рв = —1, отрицательна для
I = 0, в то время как для V-частицы четность равна +1.
§ 5] ВЕКТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 491
Таким образом, часть времени К-частица проводит в
виде N я Q в р-состоянии (/ = 1). Ясно, что оба слагае-
слагаемых в E.6) относятся к одному и тому же значению /2,
и поскольку для Va 10) / = 1/2, то всему состоянию сле-
следует приписать / = 1/2. Это можно заключить и по зна-
значению коэффициентов Клебша — Гордана, равных
/~~2 /~~Т
-f-T/ -5- и — "I/ —. Таким образом, в ту долю времени,
г О f О
когда физическая F-частица состоит из iV и 8, орби-
орбитальное движение 8 соответствует состоянию Рцг си-
системы Л/ и 0.
Отметим, что облако 6 вокруг N в состоянии Р1/г
сферически-симметрично (если взять сумму по обоим
значениям спина W-частицы). Поэтому, если 8 несет
электрический заряд, то, несмотря на векторный ха-
характер взаимодействия, F-частица благодаря взаимо-
взаимодействию не приобретает электрического дипольного мо-
момента. Это есть прямое следствие сохранения четности:
связь между полярным вектором дипольного электриче-
электрического момента и аксиальным вектором спина не может
быть инвариантной относительно инверсии.
В случае нестабильной F-частицы волновые функции
tya(k, 8, ф) и ^ь(к, 8, ф) характеризуют распределение
разлетающихся продуктов распада — N ив — по углам.
И в этом случае распределение вылетающих 6-частиц
сферически-симметрично. Отметим, однако, что для вы-
вылетающих под данным углом W-частиц (направление
вылета N противоположно направлению вылета 6-ча-
6-частиц) мы знаем не только отношение вероятностей на-
находиться в состояниях с sz = + '/г и sz = —'/г, но и
фазы соответствующих амплитуд. Это значит, что при
распаде поляризованных F-частиц (в нашем примере
szV — +'/г) вылетающие под любым данным углом
(8jv, флг) Л/-частицы полностью поляризованы. Это утвер-
утверждение — значительно более сильное, чем утверждение
об отношении вероятностей для szN — ± 1/2. Условимся
под направлением спина iV понимать то направление,
вдоль которого проекция спина W с достоверностью
имеет значение +V2; это направление будем ха-
характеризовать полярными углами в, Ф. Спиновая часть
492 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
волновой функции такого состояния пропорциональна
в N
cosT
sin-Je'®
E.7)
Сравнивая это выражение с \|)а и \|зь, мы получим
Ф = ц>„, 0 = 29^. E.8)
То обстоятельство, что выбранный тип Я2 соответ-
соответствует взаимодействию лишь с волной рч„ можно усмот-
усмотреть и непосредственно из гамильтониана. Для этого
введем операторы
Ф*. I. т
/. т
уничтожающие 6-частицу в состоянии свободного дви-
движения с определенным моментом / и его проекцией
4 = т, и эрмитово сопряженные им операторы рожде-
рождения. Здесь У;, т(9, ф)—нормированные сферические
функции*).
Подставляя в E.4) выражение E.9) для ф*, мы по-
получим после интегрирования по dQ
Я2 = BкГ'/г | k dk {if
~Y4
+ Vt ()/| Л/аФй,,, _, - Y\NMk. ьо)] + э. с }. E.10)
*) Заметим, что векторы ф^/,т|0) нормированы следующим
образом:
@ I Ф*. v, m'Vk, I, т I °>
§ 5] ВЕКТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 493
Если теперь с помощью коэффициентов Клебша-*—
Гордана (см., например, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц,
1963) ввести операторы уничтожения (рождения) па-
пары N и 6 в состоянии с определенными /, / и jz:
,e-Vi «"*" a^U+Vi i1 )
то #2 запишется так:
Н2 = - Bя)~3/2 f k dk {if У An [Va {NQ)\'f-' -f
+ Vt (NbL:\il] + э. с.}. E.12)
Это и означает, что с V взаимодействует только волна
р,А: волна с / = 1, / = '/г-
Так же как и в скалярном случае, точное решение
отличается от первого порядка теории возмущений лишь
нормировочным множителем Zl/\ Мы имеем уравнения
E.13)
\f
f\2 Г
яK J
На этот раз оба интеграла расходятся. Причина расхо-
расходимости интеграла для Z~x очень наглядно выступает
при рассмотрении задачи в координатном представле-
представлении. Если для s-волны решение в окрестности начала
координат ведет себя как г~1 и поэтому Г с?г 4зтг2 j-ф |2
сходится, то для /7-волны поведение вблизи г = 0 опре-
определяется членом, пропорциональным г~2, так что реше-
решение не может быть пронормировано именно из-за боль-
большой плотности 6-частиц при малых г. Также становится
понятным, как размазывание взаимодействия до ра-
радиуса ~р приводит к сходимости интегралов, причем
видно, как зависят эти интегралы от р. Введем теперь
494 МОДЕЛЬ ЛИ (ГЛ. XI
перенормированный заряд |/r|2=Z|fj2. Плотность об-
облака 6 на конечном расстоянии пропорциональна имен-
именно \fr\2. Таким образом, именно |fr|2 должен являться
наблюдаемой величиной.
Существенное отличие этого случая от скалярного
взаимодействия заключается в том, что здесь уже при
сколь угодно малом |/г|2=?0 мы получаем
if |2 = [id! = _ оо-1 =0
так как 1\ = +<х>. Это значит, что при любом {гФ0
гамильтониан системы неэрмитов со всеми вытекающими
отсюда неприятностями. Для того чтобы не вступать в
противоречие с основными принципами квантовой меха-
механики, мы должны сохранить гамильтониан эрмитовым,
для чего должны ввести обрезание при больших им-
импульсах Л ~ 1/р. Для этого необходимо требовать вы-
выполнения неравенства
л
JГ k2 4nk2dk ^ 1 ,_1С.ч
J ^ Ai
Г
J
о
Bя)' J 4 [?(*)-от ]2 ^ |fr|«- V>Ai)>
о v
Отсюда ясно, что чем меньше |/г|2, тем больше допу-
допустимое значение Л, тем с большей точностью мы можем
считать взаимодействие точечным, локальным. Напри-
Например, для квантовой электродинамики (разумеется, фор-
формулы там отличаются от E.15)) это условие запишется
так:
Л^твс-е137, E.16)
откуда видно, что мы можем надеяться, что находимся
очень далеко от той границы, когда для объяснения
экспериментальных фактов потребуется существенное
видоизменение теории. Отсюда следует также, что об-
обнаружение нарушения законов квантовой электродина-
электродинамики при энергиях, много меньших Ас, означало бы
существенную нелокальность теории. Однако при Л—>оо
мы должны требовать \fr\2—*0. В релятивистской тео-
теории элементарных частиц аналогом этого является тео-
теорема о «московском нуле» (Л. Д. Ландау, И. Я. Поме-
ранчук, 1955), которая утверждает, что при Л -> оо на-
§ 5] ВЕКТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 495
блюдаемое взаимодействие обращается в нуль (если
допускать к рассмотрению только эрмитовы гамильто-
гамильтонианы).
Рассеяние в векторном взаимодействии. Рассмотрение
рассеяния в векторном взаимодействии отличается от
случая скалярного взаимодействия тем, что теперь для
получения конечных результатов необходима перенорми-
перенормировка заряда. Рассмотрим рассеяние 6-частицы с на-
начальным импульсом k0 = @, 0, &о) на поляризованной
Л/-частице со спином, направленным вверх (рассмотрение
более общего случая не внесет никаких затруднений).
Как обычно, решение уравнения
H\A) = E(ko)\A) E.17)
ищем в виде
+ CV+\0). E.18)
Член V?\0) можно не включать с самого начала, так как
в падающей волне содержатся состояния лишь с /г =
= +7г- Получаем следующие уравнения:
= -Bn)-3/2/f{^+ J d* у [%«(*) созв+%j (ft) sin ее-
[E (ft) - E (Ль) - iB] ta (k) = 4 Bп)~ъ(ГС cos 9,
[E (ft) - E (fto) - ib] %„ (k) = 4 Bя)-'/2 ire sin 8Л
E.19)
Решая их, находим %а и С (формула для %ъ аналогична):
у (k\-Ck 3/
la W - Ь 2
496
МОДЕЛЬ ЛИ
[ГЛ. XI
Подставляя в E.20) и E.21) выражение для т0 через
перенормированную массу mv и расходящийся интеграл,
мы получим
4 BяK ?(*)-?(*o)-ie \+\f\2h " K >
Здесь интеграл
/* =
ОО
J
¦Ink2 dk
4 [?(*)-«„] [?(*)-? (*„)-*»]
E.23)
все еще расходится при больших k, хотя и слабее, чем
интеграл в E.15). Подставляя же перенормированный за-
заряд, мы добьемся сходимости интеграла
х
BяK
ОО
I
ink2 dk
4 [?(*)-/п„]2 [? (A)-^(^-ie]1
E.24)
и окончательно амплитуда рассеяния в обычном коорди-
координатном представлении (см. E.5)—E.9)) гл. IV запишет-
запишется так:
os9 |fr|2
Аа(В, Ф)=-
АЬ(В, ф)=~
- Зя
\fT
l+|fr|2/3
E.25)
Дифференциальное сечение рассеяния-^- = (| Аа |2 +1 А„ |2)
при этом оказывается не зависящим от угла.
Подчеркнем, что хотя для эрмитовости гамильтониа-
гамильтониана обрезание при больших импульсах принципиально не-
необходимо, вычисленные нами амплитуды E.25) суть пре-
пределы при Л—юо амплитуд в теории с обрезанием. Имен-
§ 5] ВЕКТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 497
но благодаря тому, что мы пользуемся перенормирован-
перенормированными величинами, зависимость амплитуд от Л такова,
что допускает предельный переход Л—> оо. Конкретные
вычисления, тем более, удобно проводить сразу для пре-
предельных значений.
На примере нашей модели удобно рассмотреть также
вопрос о поляризации рассеянных частиц.
Начнем со скалярного взаимодействия. Как мы уже
отмечали, в этом случае все частицы, которые до столк-
столкновения имели какое-то определенное значение поляриза-
поляризации, т. е. направление спина, сохраняют его после столк-
столкновения, так как этот тип взаимодействия вообще не
зависит от спина. Поэтому при неполяризованных N-ча-
стицах в мишени рассеянные Л/-частицы также неполяри-
зованы. Если частицы N имеют спин по направлению
движения, то и рассеянные N имеют спин по первона-
первоначальному направлению, т. е. в этом случае при рассея-
рассеянии поляризации не происходит, но угол между спином и
направлением движения меняется.
Для решения задачи в случае векторного взаимодей-
взаимодействия полезно заметить, что рассеяние в нашей модели
можно рассматривать как образование К-частицы— при
столкновении N и 6, — которая затем распадается. Так
как в падающей волне 9 (ее направление выбираем за
ось z) содержатся состояния лишь с т — О, то К-частицы
в «а»- и «6»-состояниях рождаются с амплитудами, про-
пропорциональными амплитудам N в состояниях «а» и «6»
соответственно. После этого образовавшиеся К-частицы
распадаются. Из того факта, что «голая» К-частица
взаимодействует лишь с р1/2,-волной N, 9 следует изотро-
изотропия рассеяния 6 (разумеется, в системе центра инерции)
при любом характере и любой степени поляризации пер-
первичных N. При этом абсолютная величина сечения не за-
зависит от поляризации. Действительно, любому «чистому»,
т. е. полностью поляризованному состоянию образовав-
образовавшейся V можно приписать определенное направление
спина. Такая К-частица, как мы видели, распадается с
изотропным распределением 9-частиц. Для частично по-
поляризованной мишени из N-частиц, описываемой не вол-
волновой функцией, а матрицей плотности (по отношению
к спиновым переменным), получаемые К-частицы также
498 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
будут описываться матрицей плотности. Так как введе-
введение матрицы плотности есть способ усреднения по ан-
ансамблю «чистых» невзаимодействующих систем, то изо-
изотропия рассеяния никак не может нарушиться.
Не происходит также и поляризации ЛЛ-частиц при
рассеянии в векторном взаимодействии, если первона-
первоначально мишень Л/ была неполяризована. Доказательство
состоит в следующем. При распаде состояния F+|0)
Af-частицы, вылетающие в направлении F, qp), имеют на-
направление спина, определяемое формулой E.8): при рас-
распаде V?\0) вылетающие под тем же углом W-частицы
имеют противоположное первому случаю направление
спина. Следовательно, если мы в мишени имеем смесь из
А/+|0) и N? 10) с некоррелированными фазами, то со-
состояния V+\0) и V?\0), а следовательно, и рассеянных
jV-частиц также будут иметь некоррелированные фазы,
откуда и следует отсутствие поляризации N-частиц. Од-
Однако при рассеянии на поляризованных N в случае век-
векторного взаимодействия направление поляризации не
остается неизменным.
§ 6. Несохранение четности в модели Ли
Первое предположение о том, что при слабых взаимо-
взаимодействиях четность не сохраняется, сразу привело Т. Ли
и Чж. Янга A956) к новым выводам о поведении элемен-
элементарных частиц, обладающих спином, а именно:
1) о возможности асимметрии распада, при которой
вылетающие частицы преимущественно направлены по
направлению момента распадающейся частицы или про-
против него, и
2) о возможности существования дипольного момен-
момента у элементарной частицы, также параллельного (или
антипараллельного) моменту частицы.
Как известно, первый вывод Ли и Янга блестяще под-
подтвердился на опытах по 0-распаду ориентированных ядер
(Цз. By и др., 1957) и (д,-мезонов (Р. Гарвин и др., 1957).
Предсказанный ими порядок величины дипольного мо-
момента лежит за пределами возможности эксперименталь-
экспериментального обнаружения. Л. Д. Ландау A957) дал законченную
§ 6] НЕСОХРАНЁНЙЕ ЧЕТНОСТИ В МОДЕЛИ ЛИ 499
теорию, соединяющую несохранение четности при рас-
распаде заряженных частиц с четностью пространства*).
В теории Ландау несохранение пространственной чет-
четности сопровождается сохранением инвариантности тео-
теории относительно изменения знака времени (t-+—t).
В 1964 г. было получено (Дж. Кристенсон и др.) экспе-
экспериментальное доказательство того, что Г-инвариантность
также не является точной. Однако взаимодействие, нару-
нарушающее Г-инвариантность, по-видимому, слабее, чем
взаимодействие, вызывающее несохранение простран-
пространственной четности**).
Поэтому представляют определенный интерес выводы
из предположений теории Ландау, т. е. выводы, относя-
относящиеся к случаю, когда имеется Г-инвариантность.
Одним из выводов, сделанных Ландау, является то-
тождественное равенство нулю дипольного момента эле-
элементарных частиц. На первый взгляд асимметрия распа-
распада неизбежно приводит к наличию дипольного момента:
представим себе, например, поляризованный нейтрон с
моментом, направленным вверх; можно считать устано-
установленным, что такой нейтрон при распаде испускает элек-
электроны преимущественно вверх. Пусть теперь такой же
поляризованный нейтрон находится в сферически-сим-
сферически-симметричном поле ядра, и энергетические соотношения та-
таковы, что нейтрон стабилен, распад его стал невозможен.
В таком случае, однако, возможен и необходим вирту-
виртуальный распад, при котором нейтрон на мгновение рас-
распадается, испуская электрон, но затем электрон снова
поглощается; можно говорить об облаке виртуальных
электронов вокруг ядра.
Казалось бы, асимметрии реального распада должна
соответствовать также и асимметрия виртуального
*) Предположение о возможности сочетания зеркального отра-
отражения с переходом к античастицам независимо высказали также
Ли и Янг.
**) Детальное рассмотрение свойств Г-неинвариантного взаимо-
взаимодействия можно найти в обзорах (М. В. Терентьев, 1965;
Л. Б. Окунь, 1966). Заметим здесь же, что обнаружение электриче-
электрического дипольного момента частицы (например, электрона или ядра),
входящей в состав нейтрального атома,. затруднено тем, что, как
показал Л. Шифф A963), учет экранировки приводит к отсутствию
эффекта первого порядка по электрическому дипольному моменту.
500 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
распада, асимметрия облака виртуальных электронов, а
следовательно, и дипольный момент. Работа Ландау в
общей форме указывает на ошибочность таких примитив-
примитивных представлений. В работе Б. Л. Иоффе A957) выяв-
выявлена зависимость асимметрии распада и дипольного мо-
момента от предположений об инвариантности теории от-
относительно обращения времени. Суть дела сводится к
тому, что предположение о линейкой связи импульса вы-
вылетающей частицы kи направления поляризации (напра-
(направления спина) распадающейся частицы s согласуется
с обращением времени: обе величины меняют знак. Ста-
Статический дипольный момент d или аналогичная ему ста-
статическая величина— координата центра тяжести облака
виртуальных частиц г—не меняет знака при обращении
времени. Поэтому связь между спином s и статическими
величинами г и d возможна лишь в теории, неинвариант-
неинвариантной относительно обращения времени.
Рассмотрим в нашей модели превращение частицы V
в N с испусканием 6-частицы в предположении о несо-
несохранении четности (спин частиц V и N равен 7г). Здесь
удается весьма наглядно выяснить зависимость асиммет-
асимметрии распада поляризованной частицы со спином 1/2 от
фаз констант связи в выражении взаимодействия, обус-
обусловливающего распад.
Оказывается, что в первом приближении асимметрия
распада зависит от мнимой части константы векторной
связи, а дипольный момент — от вещественной части этой
константы, так что между асимметрией распада и ди-
польным моментом нет прямой связи (Я. Б. Зельдович,
1957).
Мы уже отмечали, что для инвариантности полного
гамильтониана относительно инверсии координат необ-
необходимо считать произведение четностей V, Nяв положи-
положительным для скалярного (#i) взаимодействия и отрица-
отрицательным для векторного (#2). Отсюда следует, что га-
гамильтониан, содержащий одновременно и Hi и Н2, не
может быть сделан инвариантным относительно инвер-
инверсии. Поэтому до 1956 г. — до открытия несохранения чет-
четности — требование инвариантности относительно инвер-
инверсии запрещало вводить в гамильтониан сумму Hi + Н2.
В действительности для слабых взаимодействий, в кото-
НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ В МОДЕЛИ ЛИ
501
рых четность не сохраняется, необходимо исследовать
именно такое выражение Явз — Hi + Я2.
Рассмотрим распад V —> N + 9. Задачу будем рассма-
рассматривать в первом порядке теории возмущений, и поэтому
будем пренебрегать обратным процессом 9 + N—> V. По-
Поскольку вопросы перенормировки нас не интересуют, мы
не делаем здесь различия между т0 и mv.
В этой задаче оказывается более удобным пользо-
пользоваться координатным представлением. Произведем в яв-
явном виде выделение движения центра масс. Волновую
функцию V-частицы возьмем в виде плоской волны, при-
причем будем считать, что спин V направлен вверх:
IV) =
F.1)
Оператор Явз = Я, + Я2 будет превращать это состояние
в состояние с N- и 9-частицами
I N> 9> - 2 \hi (Г2' Гз)Nt (г2) Ф+ (гз) dr2 drz| 0} F.2)
l=a, Ь
(i—спиновый индекс Л/).
Уравнения первого порядка теории возмущений
имеют обычный вид:
Hn\V) = [Evik)-H0]\NB), F.3)
где Яо взят из B.1), a Ev{k) — mv + k2l2my Запишем
Явз более подробно:
э. с. | б (г, - г2) б (г2 - г3) dr] dr2 dr3. F.4)
Уравнения для
2, '"з).
, r3) будут следующими:
~
(г2, г3) =
[86 (г2 - Гз) +1 -— б (г2 - гз)],
{k)-mN-n
-^ АГз1 %(г2, г3) =
L
2 V дх3
F.5)
502 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ, XI
Обычной заменой
т г. 4- п.г_
мы разделим переменные
и для грг(г) получатся у. Ш. с правой частью, только
вместо (д. будет стоять приведенная масса Л/ и 0. Считая
теперь, что через ц обозначена именно эта величина, мы
можем написать
Здесь Е— энергия, выделяющаяся при распаде.
При Е > 0 распад возможен; при этом вылетают
9-частицы с импульсом р = ]/2|д.?'. На большом рас-
расстоянии от источника решение должно представлять со-
собой расходящуюся волну, ¦§ ~ elpr/r. Действительно, в
этом случае
elPr\-\ 1
j
При pr > 1
При Е < 0 реальный распад невозможен. Виртуаль-
Виртуальный распад описывается решением, которое должно экс-
экспоненциально убывать с расстоянием как е~кг/г, где
§61
НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ В МОДЕЛИ ЛИ
503
%212т — —Е. Здесь мы получим
F.9)
Эти выражения позволяют судить об асимметрии рас-
распада и об асимметрии облака виртуальных частиц в слу-
случае, когда распад не имеет места. Характерно появление
двух членов в выражении для г|)д: переход V-частицы в
состоянии с sz = +V2 в Л^-частицу с sz = +V2 может со-
сопровождаться образованием 9-частицы как в состоянии
5-волны (/ = 0), так и в состоянии /7-волны (/ =1, m = 0).
Именно интерференция двух членов г|)а и дает интере-
интересующие нас члены, линейные по cos 9, связанные с на-
направлением спина распадающейся F-частицы (9 есть
угол между направлением поляризации частицы V
(осью z) и направлением радиуса-вектора г).
Волновая функция ,д|)ь соответствует переходу V,
sz= +Ч2 в N, sz — —VsPh описывает 9-частицу в р-со-
стоянии, / = 1, m = +1.
Поскольку \|)а и г|)ь связаны с различными ортогональ-
ортогональными состояниями А/-частицы (спин вверх и спин вниз),
между и|за и грь интерференции нет.
Составим выражение потока 9-частиц при больших г
для случая Е > 0:
В случае Е < 0 представляет интерес только распределе-
распределение плотности р виртуально рожденных 9-частиц, так
504 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
как поток на бесконечности равен нулю:
. F.П)
Выражения F.10) и F.11) содержат основной резуль-
результат; они указывают на отсутствие тождественной связи
между асимметрией распада и асимметрией облака вир-
виртуальных частиц: одна зависит от g*f — gf*, другая — от
g*f + gf*.
Примем константу g скалярной связи вещественной
(это всегда можно сделать калибровочным преобразова-
преобразованием). Легко видеть, что гамильтониан
Н2 = J dkifV* (ok) Wcp* + э. с. F.12)
при операции обращения времени Т переходит в
Т~1Н2Т = - J dkifV+ (ok) Nq>k + э. с, F.120
поскольку при операции обращения времени меняют знак
одновременно импульс k и спин а, и необходимо произ-
производить замену с-чисел на комплексно сопряженные
(антиунитарность оператора Т). Таким образом, Г-инва-
риантность и, как следствие ее, отсутствие дипольного
момента будут иметь место именно при чисто мнимой /:
тогда Т~1Н%Т = #2.
Асимметрия распада зависит от мнимой части f и рав-
равна нулю при вещественной константе f.
Наоборот, при мнимой / распад асимметричен, но в
плотности виртуальных частиц член с cos 9 исчезает,
распределение их сферически-симметрично, а дипольный
момент отсутствует.
Можно рассмотреть более общий случай, когда ме-
между W и 9 есть дополнительное взаимодействие, описы-
описываемое потенциалом (например,кулоновское),сверх того
взаимодействия, которое обусловливается превращения-
превращениями N + 9 ^* V. Если не пренебрегать действием потенциа-
потенциала на 9-частицы, но считать его сферически-симметрич-
сферически-симметричным, то вывод об отсутствии дипольного момента при
§ 7] ДИПОЛЬНЫИ МОМЕНТ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 505
мнимой f сохраняется: в уравнении вещественному чле-
члену g соответствует сферически-симметричное веществен-
вещественное решение, мнимому члену /|fjcos9 соответствует так-
также мнимое, пропорциональное j/|cos9 решение, и интер-
интерференционные члены, пропорциональные cos 9, в выра-
выражении для плотности по-прежнему отсутствуют.
Однако в случае вещественной f, когда при отсут-
отсутствии потенциала асимметрия распада отсутствует, в сле-
следующем приближении асимметрия распада появляется:
с учетом U (г) в выражении для расходящейся волны
фаза 5-волны и фаза /7-волны изменяются на различные
величины as и ар *) и для волновой функции t|)a при
рг"^>1 получается асимптотическое выражение
г|)а = а' ехр (ikr + ias)/r + ik cos 9 • b' exp (ikr + iap)/r F.13)
и при вещественной /
/ = -~т t(a'J + & (by + 2afbr cos 9 sin (a, - ap)\. F.14)
Здесь а' и b' пропорциональны соответственно g и /, при-
причем коэффициенты пропорциональности вещественны.
В отсутствие потенциала, но при протяженном источнике
и вещественных g и / вывод об отсутствии асимметрии
распада сохраняется.
§ 7. Электрический дипольный момент
нестабильной частицы **)
В предыдущем параграфе уже говорилось о том, что
в Г-инвариантной теории стабильная частица не может
иметь электрического дипольного момента. Однако это
утверждение, как впервые было показано в работе
*) Величины а, и а„ суть зависящие от потенциала U(r) из-
изменения фазы регулярного решения однородного уравнения для
s- и р-волн по сравнению с s- и р-волнами свободной частицы, для
которой
sin kr . / cos kr sin kr
) В этом параграфе излагаются результаты работы А. М. Пе-
ова A962).
) В о
реломова A962)
506 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
Я. Б. Зельдовича A960), нельзя распространить на не-
нестабильные частицы. В самом деле, нестабильная частица
характеризуется экспоненциально затухающей ампли-
амплитудой состояния и окружена расходящейся волной разле-
разлетающихся продуктов распада. При изменении знака вре-
времени нестабильная частица превращается не в такую же
частицу с противоположным направлением спина, а в не-
нечто совершенно иное — в состояние с экспоненциально
возрастающей амплитудой, окруженное сталкивающими-
сталкивающимися продуктами распада. Поэтому
— rr>ff+ms доказательство отсутствия диполь-
ного момента не распространяется
т на нестабильные частицы.
?V В работе Дж. Белла A962), по-
посвященной этому вопросу, делается
______ ты+те утверждение об отсутствии электри-
электрического дипольного момента у не-
Рис. 46. стабильной частицы. Однако при
этом существенно используется оп-
определение нестабильной частицы, физический смысл ко-
которого не вполне ясен.
Строгий подход к этому вопросу заключается в изу-
изучении рассеяния стабильных частиц, проходящего через
нестабильное промежуточное состояние. Рассмотрим
мысленный опыт, в котором электрический дипольный
момент нестабильной частицы в промежуточном состоя-
состоянии вызывает поворот спина стабильных рассеиваю-
рассеивающихся частиц. При этом будет показано, что в стацио-
стационарной задаче в силу Г-инвариантности теории поворот
спина отсутствует. При рассеянии же волнового пакета
возникает поворот спина, однако такой, что средний по
времени поворот спина равен нулю, но отличен от нуля
первый момент поворота по времени.
Для простоты мы будем считать, что нестабильная
частица нейтральна и распадается на нейтральные ча-
частицы, на которые электрическое поле не действует. Вме-
Вместе с тем модель должна содержать заряженные ча-
частицы, на которые должно действовать электрическое
поле. Такая модель была предложена в работе
Я. Б. Зельдовича A960). Это модель с пятью частицами
9, N, V, N и б. Частицы 9 и 0 здесь имеют спин 0; N, N
§ 7] ДИПОЛЬНЫИ МОМЕНТ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 507
и V — спин '/г; B,N и V нейтральны; частица N заряжена
положительно, частица б — отрицательно. Массы частиц
выберем такими, чтобы частица V могла виртуально рас-
распадаться на частицы б и N, причем четность в этом рас-
распаде не сохраняется. Пусть также V распадается реаль-
реально на 9 и N (me + mN < mv <m§- + т%).
Схема термов такой системы изображена на рис. 46,
энергия частиц N и 8 показана пунктиром. Поместим
систему в электрическое поле напряженности F, напра-
направленное по оси z. Такая система описывается гамильто-
гамильтонианом ^
N+(r)N(r)dr + m$ J N + (r)N(r)dr +
. с
+ F J % (r)z^ (r)dr-F}%(r)zt|>e (')dr. G.1)
В теории, инвариантной по отношению к инверсии време-
времени, /* = f, g* = g, h* = h. Вектор состояния имеет вид
Ф - J [¦ (»V r2)N+ ('О Фе+ N dr, dr2 + J Ф(г,) F+ (г,) drx +
+ J Х(г„ г2)Л/ + (/-,)Ф|(r2)] dr, dr2| 0), G.2)
и в системе центра инерции уравнения ЯФ = Еф можно
записать так:
)ф + /д(г)<р, G.3)
= (mj, + Д - —) х + Яг* + (g + ihoSJ) б (г) ф> G.4)
= /поф + (g + ihoV) x (p) + /Ч|» (р), G.5}
508 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
где /по — неперенормированная масса частицы V, р —
радиус обрезания, который после перенормировки
устремляем к нулю.
В первом приближении пренебрегаем Fz. Находим
экспоненциальное решение с комплексной энергией Ео =
= 8 — iy/2. Действительная и мнимая части ?о опреде-
определяют соответственно массу частицы V и вероятность ее
распада. Для упрощения формул мы будем считать кон-
константу несохранения четности и распадную константу
малыми и пренебрегать членами с /4, h2 и т. д. Кроме
того, считаем Y/2<Cm^+ji — е, у12 <С е — mN — (д,, что
приводит к ограничениям
..2 «,2
Здесь и в дальнейшем используются обозначения
к2 = 2jl (m^ + р. - Е), k2 = 2\i{E—mN-n),
С помощью G.3) — G.5) получаем
т „ _i_ й-g2 1 I и-Р i fig2 „ п Кч
- ¦ G.7)
l
i+
2л х0
Отметим, что если второй член в знаменателе G.7)
много больше единицы, т. е. связь между частицами N, 8
и V достаточно сильная, то
i~ *&*?"• <7-8>
т. е. происходит сильное уменьшение вероятности распа-
распада частицы V. Если же частица V может превращаться
в другие частицы N и 9 и т. д., то это приводит к добав-
добавлению к знаменателю новых положительных членов и к
еще большему уменьшению этой вероятности. Этот эф-
эффект в принципе может быть использован для объясне-
объяснения малой ширины некоторых экспериментально наблю-
наблюдаемых резонансов.
Учтем теперь Fz в первом порядке. Определяя ty и % из
уравнений G.3) и G.4) и подставляя в уравнение G.5),
§ 7] ДИПОЛЬНЫИ МОМЕНТ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 509
получим, что поправки к Ео, линейной по F, нет. При
этом выражение для б^о получается таким же, как и в тео-
теории возмущений для комплексного Ео (П. Капур, Р. Пай-
ерлс, 1938; Я. Б. Зельдович, 1960), 6Е0 = F J ^l%zdr = 0.
То обстоятельство, что 8Е0 = 0, означает на первый
взгляд нарушение третьего закона Ньютона (действие
равно противодействию). В самом деле, нестабильная
частица создает дипольное электрическое поле, так как
4lp*0i\>0zdV?=0, а однородное электрическое поле не вы-
J
зывает прецессии ее спина вокруг направления поля, так
как нет расщепления &Е0 = 0. Однако это противоре-
противоречие кажущееся и означает только то, что с нестабиль-
нестабильными частицами нельзя обращаться так же, j$aK со
стабильными. Если же мы будем считать, что в начале
и конце процесса имеем стабильные частицы, т. е. не
отделяем процесс образования от процесса распада, то
такой парадокс не возникает.
Эффект прецессии может проявиться в случае рассея-
рассеяния частицы 9 на N. Если до рассеяния частица N поля-
поляризована по оси z, а электрическое поле направлено по
оси х, то можно ожидать, что после рассеяния поляриза-
поляризация ее поворачивается в плоскости yz на некоторый
угол а. Для того чтобы этот эффект имел место, необхо-
необходимо также, чтобы состояние системы 8, N не обладало
определенной энергией, т. е. необходимо рассматривать
рассеяние волновых пакетов. (Эффект электрического
дипольного момента в рассеянии есть эффект типа
[ae']F и в силу инвариантности по отношению к комби-
комбинированной инверсии исчезает, если система 9, N имеет
определенную энергию.) Заметим, что если частица V
обладает магнитным моментом и находится в магнитном
поле, то уже в стационарном случае есть поворот спина.
Наша задача сводится к решению системы уравнений
G-3°
(r)<v, G.4')
i^- - тдф + (g + ihaV) х (р) + ft (p), G.5')
510 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
Начальные условия выберем следующими:
ф (г, 0) = -ф0 (г) а, х(г, 0) = 0, ф@) = 0; G.9)
а(Р) означает, что спин частицы направлен вверх (вниз).
Подсчитаем:
G.10)
Используя G.3') — G.5'), получаем
^-{*>. t)[Fr)x(r, t)dr. G.И)
Интегрируем это равенство по времени от 0 до оо:
As = ¦ JV (г, t) [Fr] % (г, t) dr dt. G.12)
Для подсчета величины As воспользуемся тем обстоя-
обстоятельством, что функции
1 -e-*r + S{k)e»r
™ 2л УТ г V '
*^-, G.14)
|д.
(к) -
7=
образуют полную ортонормированную систему. Здесь
(формулы приведены для Е<т$ + т-§ при
§7) ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ НЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ 511
Разлагая функции гро, tp, х> Ф п0 полной системе, нахо-
находим, пренебрегая экспоненциально малыми членами, что
As = 0. Подсчитаем теперь первый момент поворота
спина, т. е. вычислим интеграл
^tdt. G.17)
Опуская вычисления, приведем результат:
С другой стороны, зная экспоненциальное решение, опи-
описывающее нестабильную частицу, нетрудно найти элек-
электрический дипольный момент:
№odr=-&-lVl _\ _\ G.19)
4п 3 xg MlJL
2jx к0
Воспользовавшись формулой G.7), получим
^-^-~\S(k)-lf, т = |. G.20)
Формула G.19) соответствует дипольному моменту экс-
экспоненциально распадающейся частицы. Дипольный мо-
момент оказывается пропорциональным у, т. е. производ-
производной от волновой функции по времени. Учитывая это, мы
интерпретируем G.20) следующим образом: в начале
процесса рассеяния, когда амплитуда волновой функции
растет, дипольный момент имеет один знак и поворот
спина происходит в одну сторону, в конце же процесса
рассеяния амплитуда нестабильной частицы падает, ди-
дипольный момент имеет другой знак и поворот спина про-
происходит в противоположную сторону. В среднем же по
времени поворот спина оказывается равным нулю. При
этом знак момента поворота спина, как и следовало ожи-
ожидать, совпадает со знаком угла поворота распадающейся
частицы. Структура полученной формулы также ясна:
пропорционально времени жизни частицы т, величине
512 МОДЕЛЬ ЛИ [ГЛ. XI
поворота спина нестабильной частицы (tFd), резонанс-
резонансному множителю -^\S(k)— I |2, равному единице в ре-
резонансе, и, наконец, множителю, слабо зависящему от
энергии, равному единице в резонансе.
Мы приходим, таким образом, к следующему выводу.
Если при рассеянии волнового пакета измерять поляри-
поляризацию рассеянной частицы как функцию времени (от-
(отсчет времени производится от момента приготовления
волнового пакета), то следует ожидать, что вектор поля-
поляризации вначале поворачивается в одну сторону, а затем
в другую.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Спектр энергий уравнения Шредингера
в особых случаях
В этом приложении мы рассмотрим более тонкие
вопросы квантовой механики.
Покажем сначала, следуя Г. Вейлю A910)*)^ что для
( а \
потенциалов V(r), регулярных в нуле [ V {r)rdr< оо ,
а в остальном произвольных, имеет место следующая
альтернатива:
1) Для любого значения Е с 1тЕф0 существует
лишь одно (с точностью до нормировочной постоянной)
квадратично интегрируемое решение уравнения A.6)
гл. I. Это случай так называемой предельной точки.
2) При любом Е с 1тЕФ0 произвольное решение
уравнения A.6) является квадратично интегрируемым.
Это случай так называемого предельного круга. Смысл
терминов предельная точка и предельный круг вскоре
выяснится.
Перейдем к доказательству сделанных утверждений.
Пусть хA)(г) и ХB)(г) —решения уравнения A.6) гл. I на
интервале @, оо), удовлетворяющие граничным условиям
х(П(О) = о, хA)'@)=1; х<2> @) = 1, 5сB)'(О) = о. (АЛ)
Общее решение этого уравнения при соответствующей
нормировке имеет вид
r) + Xf(r). (A.2)
*) Более подробно этот вопрос рассмотрен в книгах Э. Титч-
марша A946), Б. М. Левитана A950), Э. Коддингтона и Н. Левин-
соиа A955).
514 ПРИЛОЖЕНИЯ
Рассматривая %k(r) на интервале (О, R) и накладывая
граничное условие
xk(R)
получаем
Поскольку Xft° (Я) и xi2> (Я) определяются уравнением,
содержащим k2, и граничными условиями (АЛ), не зави-
зависящими от k, то %{^{R) и%(|> (R) являются целыми функ-
функциями k2, a trik(R)—мероморфная функция k2, прини-
принимающая действительные значения при действительных
k2. Если k2—комплексное число, то величина mk(R),
вообще говоря, также комплексна и может быть изобра-
изображена точкой на плоскости. Из (А.4) следует, что при
изменении и от —оо до +оо эта точка описывает окруж-
окружность CR. Нетрудно найти положение центра окружности.
Поскольку значению х= —%<l)'(R)l%^)(R) соответствует
тпк = оо, то центру окружности соответствует
и = —%k)"(R)l%^)*(R)- Подставляя это значение в (А.4),
получаем положение центра окружности
<=-
Здесь введено сокращенное обозначение для вронскиана
двух функций: WR[f, g] = f(R)g'(R)- f'(R)g(R), в част-
частности W0[f,g] есть значение вронскиана при г = 0.
Радиус pk(R) окружности CR можно определить, на-
например, как расстояние между точкой — %f (R)^ {R),
лежащей на окружности, и центром окружности
¦[^k'tki _ : (A>6)
В (А.6) использовано равенство ^[х^. У$] —
^ofx'fe0» ^2>J' которое является частным случаем весьма
А. СПЕКТР ЭНЕРГИИ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 515
полезного тождества
- k'*) J %k,%k dr - wR [г„ гк] - w0 [х*. x*r]. (A.
Полагая k' = &*, получаем
№ ~ **) Л X* |2 dr - 1ГД [х„ ?] - 1Г0 [Xtf x;]. (A.8)
о
откуда при Im k2 > 0
Таким образом, радиус окружности CR, в зависимости
оо
от того, бесконечна или конечна величина Г I x^ (r) I2 dr,
о
стремится или к нулю или к постоянной величине. Пока-
Покажем теперь, что если R > R', то CR находится внутри
С%', т. е. что не только радиус окружности CR, но и сама
окружность стремится к определенной окружности (или
точке) при R—>оо. Покажем сначала, что при Im k2 > 0
верхней полуплоскости величины х соответствует внеш-
внешность окружности Сн. Для этого найдем мнимую часть
величины и, соответствующей nih(R)= оо:
Im fe Г
JI^I'* (АЛ0)
Таким образом, при Im k2 > 0 верхняя полуплоскость к
переходит во внешность окружности CR. Рассмотрим те-
теперь решение (А.2) с произвольным т, лежащим внутри
516
ПРИЛОЖЕНИЯ
или на CR. В этом случае
Imx-
X'k
\ [X*. x;] = Im Wo \%k, г1] + 2 Im k* J | Xfe f dr \ <0,
откуда
lmmk
Пусть /?' < Я. Тогда
т. е. точка tnk лежит также внутри окружности Ср.
Таким образом, окружность CR при R> R' находит-
находится внутри окружности CR'. Следовательно, при R —* оо
окружности'Сн стремятся либо к предельной окружности,,
либо к предельной точке. Если т = mk — предельная точ-
точка или некоторая точка предельной окружности, то
оо
/
(АЛЗ)
откуда следует, что при 1т}г2Ф0 существует квадратич-
квадратично интегрируемое решение уравнения A.6) гл. I
Поскольку в случае предельной точки Г | %?> (г) \2dr =
о
= оо, то в этом случае ха(г) с точностью до нормировки
является единственным квадратично интегрируемым ре-
решением.
А. СПЕКТР ЭНЕРГИИ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 517
В случае предельного круга как%к(г), так и %^(г)
квадратично интегрируемы, и потому любое решение
уравнения A.6) гл. I будет квадратично интегрируемым.
Таким образом, если на волновую функцию наложить
лишь одно условие квадратичной интегрируемости, не
обращая внимания на граничное условие в нуле, то при
Im E Ф 0 в случае предельной точки существует одна
такая линейно независимая функция, соответственно в
случае предельного круга—две линейно независимые
функции. Таким образом, показано, что существуют
квадратично интегрируемые функции, соответствующие
комплексным собственным значениям, а это означает, что
нарушается известное свойство самосопряженности. Ма-
Математики говорят (см., например, книгу Н. И. Ахиезера и
И. М. Глазмана, 1966), что в первом случае оператор
—~тт~\-У(г) на интервале @, оо) обладает индексами
дефекта A.1), во втором случае — индексами дефекта
B.2) (здесь первое число определяет число линейно не-
независимых квадратично интегрируемых собственных
функций при 1тЕ>0, второе —при ImE <0).
Нетрудно видеть, однако, что два решения %k и %k, с
различными k и k', вообще говоря, не ортогональны друг
другу. Действительно, умножая A.6) на %^, вычитая
уравнение для %k,, умноженное на %k, и интегрируя по
г от 0 до оо, получаем
оо
-* )J
Отсюда видно, что для ортогональности решений необ-
необходимо, чтобы Xfe @)/xft @) = — и являлась действитель-
действительной величиной, не зависящей от k.
d2
Таким образом, хотя оператор — -^ + V (г) на интер-
интервале @, оо) и является формально эрмитовым (самосопря-
(самосопряженным), для того чтобы сделать его самосопряженным
по существу (или, как говорят математики, расши-
расширить его до самосопряженного оператора (Н. И. Ахие-
зер, И. М. Глазман, 1966)), на волновые функции
518 ПРИЛОЖЕНИЯ
необходимо наложить действительное граничное условие
в нуле: %'@)/%@) = —и. Оператор - -^ +V (г), опреде-
определенный на таком классе функций, уже обладает извест-
известными свойствами эрмитового оператора: в частности, все
его собственные значения действительны, а собственные
функции, соответствующие различным собственным зна-
значениям, ортогональны друг другу. Рассмотренный здесь
случай является одним из простейших: в этом случае
самосопряженное расширение оператора определяется
действительным числом и. При этом спектр энергий и вид
волновых функций существенным образом зависят от к.
Величина и в свою очередь определяется физической
постановкой задачи. Так, например, во многих задачах
из физических соображений следует считать %@) = 0,
что соответствует выбору расширения к — оо. При этом
условии наш оператор оказывается самосопряженным
в случае предельной точки. В случае же предельного
круга, для того чтобы сделать его самосопряженным,
необходимо наложить еще граничное условие на беско-
бесконечности.
Если оператор задан на интервале (—оо, +оо) (или
же если точка г = 0 является сингулярной), то его ин-
индексы дефекта (т, т) связаны с индексами дефекта на
интервале (—оо, 0) и индексами дефекта на интервале
@,+оо) простой формулой т — т_ + т+ — 2 (или
т = то + т+ — 2) (Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман,
1966).
Следует подчеркнуть, что условие самосопряженности
некоторых операторов, например гамильтониана Н имеет
важный физический смысл (подробное обсуждение этого
вопроса с рассмотрением ряда примеров можно найти
в книге А. Вайтмана A964)). Мы отметим здесь лишь
тот факт, что это условие запрещает существование сфе-
сферических функций Yim(Q, ф) с полуцелыми значениями
/ и т (В. Паули, 1939; К. ван Винтер, 1968). Следует
иметь в виду, что во многих случаях, особенно в кван-
квантовой теории поля, приходится иметь дело со значитель-
значительно более сложными операторами и решение вопроса об
их самосопряженности является далеко нетривиальной
задачей (А. Вайтман, 1964).
А. СПЕКТР ЭНЕРГИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 519
Возвращаясь к случаю предельной точки, заметим,
что величину т& можно найти по формуле
Эта предельная функция будет, по-прежнему, анали-
аналитической функцией k2 при Im k2 ФО; при Im&2 = 0 она
может иметь уже не только полюса, но, например, и
точки ветвления, которые могут получаться из полюсов
путем предельного перехода. Полюса функции ти дают
собственные значения уравнения A.6) гл. I с граничным
условием %ь@) = 0, причем, если в окрестности полюса
mfe ~ 2 " 2 » т0 соответствующая нормированная вол-
новая функция равна гпу}^{г). Точки kQ, которые не яв-
являются полюсами mk, но в которых lim Im tnk ф О
определяют непрерывный спектр уравнения A.6) гл. I.
Мы рассмотрели случай простейшего граничного
условия в нуле. Общий случай разобран в книгах Э. Тит-
чмарша A946), Б. М. Левитана A950), Э. Коддингтона
и Н. Левинсона A955).
Приведем здесь без доказательства разложение про-
произвольной квадратично интегрируемой волновой функции
/(г) с /@) = 0 по собственным функциям "$(?) опера-
тора — ~ттЛ- V (г), удовлетворяющим тому же гранич-
граничному условию. Определим коэффициенты разложения /&
по обычной формуле
00
(А Л 5)
Оказывается, что тогда
(А. 16)
520 ПРИЛОЖЕНИЯ
где
*f-° v v —'
dk2
1
2 2 = ~^m^mmft» k2 = k0 + lS, 8>0.
Условие полноты для такой системы функций имеет
вид
со
J \f{r)?dr=\\fk?d9k. (A.18)
о
Итак, зная функцию mh, можно полностью решить
вопрос о нахождении системы собственных функций и о
разложении произвольной квадратично интегрируемой
функции по этой системе.
Разложение в случае предельного круга имеет более
сложный вид. Детальное рассмотрение этого случая со-
содержится в упомянутых выше книгах.
Перейдем к рассмотрению вопросов, касающихся ха-
характера спектра уравнения Шредингера. Обычно счи-
считают, что если частица может уходить на бесконечность,
т. е. если Е > U(r) при г—>оо, то волновая функция ча-
частицы принадлежит непрерывному спектру и не является
квадратично интегрируемой. Это утверждение, однако,
верно не всегда, что впервые было замечено Е. Вигнером
и И. фон Нейманом A929). Приведем их пример.
Из уравнения A.6) гл. I нетрудно выразить потен-
потенциал через волновую функцию, соответствующую данной
энергии Ео:
Выберем начало отсчета энергии и масштаб длины так,
что Ео = 0, а г является безразмерной величиной. Волно-
Волновую функцию х возьмем в виде % = Cr~a sin rp. Тогда для
сходимости нормировочного интеграла
оо оо
J \%(r)?dr~ j r~2asin2 гЫг
о о
необходимо выполнение неравенств
2p>2a-l>0. (A.20)
А. СПЕКТР ЭНЕРГИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 521
Подставляя выражение для х в формулу (А.19), полу-
получаем
[a (°+ ° _ 2а - l)/-g
Откуда видно, что для того, чтобы потенциал V(r) не
обладал сингулярностями при г ФО, необходимо выпол-
выполнение условия
Р = 2а+1; (А.22)
после чего условие сходимости нормировочного интегра-
интеграла принимает вид а > у.
После введения величины v = 4а приходим к следую-
следующим выражениям для потенциала и волновой функции
v>2, (A.23)
V v+2
% = Cr 4sinr 2 . (A.24)
Итак, получено квадратично интегрируемое решение
уравнения Шредингера для того случая, когда частица
может уходить на бесконечность*). Следует, однако,
отметить, что потенциалы такого типа слишком быстро
стремятся к —оо при г—* оо и при рассмотрении обычных
задач квантовой механики не встречаются.
Посмотрим теперь, чему соответствует такое решение
в классической механике. Из закона сохранения энергии
при г—* оо находим
dt= - dr ~ . dr =—~^ • (А.25)
(EU) YU
т У т т
Таким образом, в случае v > 2 время, необходимое для
ухода частицы из точки г0 на бесконечность, оказывается
*) Волновая функция (А.24) имеет .бесконечное число нулей;
в соответствии с этим имеется бесконечное число аналогичных функ-
функций с Е < ?р = Q-
522 ПРИЛОЖЕНИЯ
конечным и при г0—> оо равно
-¦)
(А-26)
,-(*-¦)
Вспоминая, что в квазиклассическом приближении веро-
вероятность найти частицу на интервале dr, равная |х12^г>
пропорциональна промежутку времени dt, мы приходим
к формуле |%|2 ~ r~v/2, согласующейся с (А.24), усред-
усредненной по осцилляциям. Таким образом, квадратичной
интегрируемости волновой функции в квантовой механике
соответствует конечность времени ухода частицы на бес-
бесконечность в классической механике. Иными словами,
стационарное решение % при v > 2 описывает колебания
частицы в бесконечной области.
Мы нашли пока одно квадратично интегрируемое ре-
решение уравнения A.6), соответствующее энергии Ео = 0.
Для выяснения характера спектра оператора
й2 d2
Н = —g—17Т~Ь^(Г) рассмотрим сначала это уравнение
на отрезке @, R). Обозначим через %k решение нашего
уравнения, удовлетворяющее граничному условию: при
r—+0 %k(r) ~ r1+v/4 (второе решение мы можем не рас-
рассматривать, поскольку оно сингулярно: при г->0
Xfe~r~v/4) Потребуем, чтобы две такие функциях,,, и %к„
соответствующие различным значениям энергии Е и Е',
были бы ортогональны друг другу на отрезке @, R). Для
этого необходимо, чтобы при г = R они удовлетворяли
одному и тому же граничному условию: %гк (R) + x%k (R) = 0.
Это граничное условие может выполняться лишь при не-
некоторых фиксированных значениях k = kn('K,R), т. е.
спектр в этом случае дискретен. Устремляя R к беско-
бесконечности, находим спектр нашей задачи, который при
этом остается дискретным*). В самом деле, при г—>¦ оо
асимптотика волновой функции %h(R) имеет вид
v+2 \
^ +y(k)\, (A.27)
*) Следует подчеркнуть то обстоятельство, что хотя квадратич-
квадратично интегрируемое решение существует при любой энергии, спектр
определяется условием ортогональности и остается дискретным.
А. СПЕКТР ЭНЕРГИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 523
откуда видно, что два таких решения будут ортогональ-
ортогональны, если y(k) = y(k') — у. Итак в нашем случае как
спектр энергий, так и вид соответствующих волновых
функций определяется одним числом — фазой y волновой
функции %k(r) при г—+оо. Таким образом, рассмотрен-
ныи нами оператор #= — „—-r-y-{-u(r) не является в
данном случае самосопряженным и становится таковым
лишь при наложении некоторого условия на асимптоти-
асимптотическое поведение волновых функций на бесконечности.
Математики говорят, что величина y определяет самосо-
самосопряженное расширение оператора Н.
Приведем еще одно соображение, показывающее, что
спектр оператора Я в данном случае дискретен. Пусть
все функции %k, %k, нормированы на единицу. Обозначим
через N(k,k') величину \%^^г- Очевидно, что
N(k,k)= 1. В силу непрерывности функции N при kf, до-
достаточно близких к k, N(k,k')i=O, т. е. состояния %k и
%k> не ортогональны друг другу.
Мы рассмотрели случай потенциала, имеющего сингу-
сингулярность при г—>оо. Аналогичная ситуация имеет место
для потенциалов, которые как на +оо, так и на —оо
стремятся к —оо быстрее, чем х2. Простейшим примером
такого потенциала является U(x) = —ах4. Отличие от
предыдущего случая заключается лишь в том, что здесь
для самосопряженности задачи нужно требовать опреде-
определенного асимптотического поведения волновой функции
как на —оо, так и на +оо. При этом спектр энергий и
вид волновых функций определяется уже двумя числами
Y- и Y+-
Хотя такие потенциалы и не встречаются в физике, но,
например, потенциал —ах2 возникает как эффективный
потенциал в задаче о квантовом осцилляторе с перемен-
переменной частотой (А. М. Переломов, В. С. Попов, 1969). Мо-
Могут ли возникать в нестационарных задачах другие эф-
эффективные потенциалы такого вида — интересный во-
вопрос, ответ на который в настоящее время неизвестен.
В противоположном случае, когда U(x)-+ +оо при
|х|-*оо, мы имеем дело с одним лишь дискретным спек-
спектром. Необходимое и достаточное условие существования
524 ПРИЛОЖЕНИЯ
одного лишь дискретного спектра для потенциалов, огра-
ограниченных снизу, было найдено А. М. Молчановым A953)
и заключается в том, что после усреднения потенциала
U(х) по любому сколь угодно малому, но фиксирован-
фиксированному промежутку е усредненный потенциал
х+г
стремится к бесконечности при |jc|—>оо при всех значе-
значениях S.
До сих пор мы имели дело с потенциалами, не слиш-
а
ком сингулярными в нуле \U(r)rdr<oo. Рассмотрим
о
простейший случай потенциала притяжения, сингуляр-
сингулярного в начале координат (К. Кейс, 1950):
^ ? Е=-^к\ р>0.
(А.29)
Выбираем решение, экспоненциально затухающее при
г—> +оо, 1 ~ er™ при г—*¦ оо. При г—*0 это решение
имеет вид % ~ С,/-8- + С2г&, где рь 2 = у ± ]/ \ - ft.
Если р < lU, то имеет место обычный случай, т. е. оба
члена имеют различный порядок величины при г—>-0.
Рассматривая потенциал (А.29) как предельный случай
обрезанного потенциала, нетрудно показать, что мы дол-
должны оставить лишь первый член в х (см- книгу
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица A963)). При 0 > '/4 оба
члена в выражении для % имеют одинаковый порядок ма-
малости, и потому ни одним из них нельзя пренебречь.
В силу действительности решения коэффициенты Сх и С2
являются комплексно сопряженными друг другу и
ХЕ ~СегЧ* cos (у p--^-lnr + Y(?))¦ Как и в предыду-
предыдущем случае, для самосопряженности задачи необходимо
наложить условие y(?) = Y на асимптотическое поведе-
поведение волновых функций при л—>0, откуда видно, что
А. СПЕКТР ЭНЕРГИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 525
спектр зависит от одного параметра y и является дискрет-
дискретным. В данном случае найти этот спектр нетрудно. Заме-
тим, что оператор Н = — \ГТ~Ь~т") является однород-
однородным оператором степени —2. Поэтому если функция
%(г) является нормированным решением нашего уравне-
уравнения, соответствующим энергии Е, то функция Va%(ar)
также является нормированным решением уравнения,
соответствующим, однако, энергии а?Е. Для того чтобы
асимптотическое поведение при г—»0 осталось тем же
самым, необходимо, чтобы 1/ ($ — -j In а„ = тг, откуда
Лл 2ЯЛ J~
,Г 4 р _ р_оГ 4 ^ Л.= 0, ± 1, ±2, . . .
(А.ЗО)
Аналогичная ситуация имеет место в случае потенциала
V (г) = —j-, s > 2. Волновые функции в этом случае не-
нетрудно найти с помощью квазиклассического приближе-
приближения. При г—>-0 они имеют вид
cos
и опять условие ортогональности волновых функций тре-
требует, чтобы фаза y У всех х была одинаковой.
Следует отметить, что иногда физически более прием-
приемлемым является условие полного поглощения в начале
координат (Е. Фогт, Г. Ванье, 1954; С. П. Аллилуев,
1971). Это условие соответствует выбору y = ioo. Оба
случая (y действительно и у =i<x>) являются предельны-
предельными случаями общего граничного условия при г = 0, когда
у комплексно, y = Yi + lY2> Y2 > 0. что приводит к частич-
частичному поглощению в нуле (А. М. Переломов, В. С. Попов,
1970 Б).
Подчеркнем следующее принципиальное различие ме-
между сингулярными и несингулярными потенциалами.
В случае несингулярных потенциалов (самосопряженная
задача) квадратично интегрируемые решения уравнения
Шредингера образуют полный ортогональный набор
526 ПРИЛОЖЕНИЯ
функций. В «сингулярном» случае мы имеем дело со
сверхполным набором состояний. Для получения полного
набора состояний необходимо фиксировать фазу, т. е.
асимптотическое поведение волновых функций вблизи
сингулярной точки (или, как говорят математики, рас-
расширить оператор до самосопряженного).
Физическое различие между этими двумя случаями
заключается в следующем (К. Кейс, 1950). Если в физи-
физической проблеме потенциал взаимодействия становится
бесконечным при г — 0 (как, например, в случае куло-
новского взаимодействия, где V(г) — —а/г), то мы имеем
дело с идеализацией. В случае кулоновского взаимодей-
взаимодействия учет конечных размеров ядра изменяет поведение
потенциала на малых расстояниях. Важно здесь то, что
если закон справедлив вплоть до достаточно малых рас-
расстояний, то собственные функции и собственные значения
по существу не зависят от того, как видоизменяется по-
потенциал на малых расстояниях. Для потенциалов с син-
сингулярностью 1/г2 или обладающих более сильной син-
сингулярностью это уже не так. В этом случае собственные
функции и собственные значения существенно зависят
от вида обрезания. Из рассмотренного выше примера
видно, однако, что для описания того, что происходит на
малых расстояниях, достаточно ввести один параметр у.
Заметим здесь также, что временная функция Грина
iHt
G=e h , определяющая динамику развития процесса,
зависит от величины фазы у. G = GY, т. е. динамика раз-
развития системы не определена однозначно оператором Н
(А. Вайтман, 1964).
Характерной особенностью сингулярных потенциалов
притяжения является отсутствие основного состояния
системы (Еп —*—оо), что неприемлемо из физических
соображений. Обрезание потенциала на малых расстоя-
расстояниях устраняет этот недостаток: появляется основное со-
состояние, энергия которого Ео конечна. При этом Ео су-
существенно зависит от радиуса обрезания г0 (Ео-+—оо
при го—*О). Если /"о — малая величина, то в потенциале
V(r) имеется большое число уровней и для га-го состоя-
состояния /i»l и |?„|<С|?о| введение обрезания эквива-
эквивалентно указанному выше выбору константы y-
А. СПЕКТР ЭНЕРГИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 527
Рассмотрение такого рода случаев необходимо также
для того, чтобы понять, какая ситуация может иметь ме-
место в более сложных случаях, например в релятиви-
релятивистском случае и особенно в случае квантовой теории
поля (К. Кейс, 1950; А. Вайтман, 1964).
Нерелятивистские задачи с сингулярными потенциа-
потенциалами могут также рассматриваться как упрощенные мо-
модели так называемых неперенормируемых теорий поля
(Н. Хури, А. Пайс, 1964; А. Пайс, Т. By, 1964; Б. А. Ар-
Арбузов, А. Т. Филиппов, 1964).
Рассмотрим еще одно несколько необычное явление,
замеченное впервые Е. Вигнером и И. фон Нейманом
A929). Оказывается, что в случае непрерывного спектра
при определенных значениях энергии могут существовать
квадратично интегрируемые волновые функции.
Пусть, как и в рассмотренном выше случае, Ео = 0 и
г является безразмерной переменной. Потенциал V(r)
может быть найден при этом по формуле (А.19). Возь-
Возьмем %(г) в виде %(г) = f(r)s'mr, причем мы можем вы-
выбрать /(г) так, чтобы функция %(г) была квадратично
интегрируема. Для потенциала V(r) получаем следую-
следующее выражение:
( i^) (A.32)
Подставляя f(r) = [а2 + Bл — sin 2лJ]-1, находим *)
1 _ 49 • * а2-3B/--sin 2гJ _ . fi Br - sin 2г) sin 2r
V- 1 6Zsm r'[a2 + Br-sin2rJ]2 а2 + Bл - sin 2лJ #
(А.ЗЗ)
Из этого выражения видно, что при достаточно большом
значении а второй и третий члены в нем становятся
сколь угодно малыми величинами. Тем не менее их от-
отбросить или же учесть по теории возмущений нельзя,
поскольку именно за счет этих членов функция, при-
принадлежащая непрерывному спектру и не являющаяся
квадратично интегрируемой, превращается в функцию
квадратично интегрируемую.
*) В (А.ЗЗ) исправлена вычислительная ошибка авторов выше-
вышеуказанной работц.
528 ПРИЛОЖЕНИЯ
Этот эффект возникает из-за того, что потенциал
слишком медленно приближается к своему асимптотиче-
асимптотическому значению
V (r)^_1_l»!»*L. (A.34)
Г->оо Г
Волновая функция при этом имеет вид
2л )
откуда видно, что она квадратично интегрируема. Изве-
Известно, что для квадратичной интегрируемости волновой
функции необходимо, чтобы потенциал приближался к
своему асимптотическому значению не быстрее чем \\т
(см., например, обзор Т. Като, 1967). Это условие не
является, однако, достаточным. Так, например, потен-
потенциал с чисто кулоновским хвостом V (г) ~ — 1 , как
известно, не приводит к квадратично интегрируемому
решению. В качестве другого предельного случая мы рас-
рассмотрим потенциал Vo(r) =— 1 —е sinBr + а), который
получается при замене в (А.34) медленно меняющейся
функции 8/г на постоянную &. Имея в виду аналогию
с классической механикой, сделаем замену r-+t, v-+%,
после чего приходим к уравнению -tJ- + ю2 (t) | == О,
со2(О =l + s sin B/ + а) для классического осциллятора
с переменной частотой и граничным условием ?@) = 0.
При этом поскольку аргумент, стоящий под знаком сину-
синуса, меняется с частотой, в два раза большей чем соо = 1,
то имеет место параметрический резонанс (см., напри-
например, книгу Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшица, 1958). Поэтому,
подобрав соответствующим образом фазу а, можно до-
добиться экспоненциального затухания амплитуды коле-
колебаний l(t). В нашем случае величина 8 = 8// уже не яв-
является константой, а уменьшается с течением времени.
Это приводит к другому закону (l(t) ~ 1//2) уменьшения
| с течением времени. При этом затухает лишь состояние
с Е9 = 0, поскольку лишь оно находится в резонансе,
Б. ВЫСОКОВОЗБУЖДЕННЫЕ УРОВНИ 529
Состояния с энергией, близкой к нулю, не находятся
в резонансе а>1~ Е+ 1 Ф 1 и потому не затухают. Соот-
Соответствующие волновые функции при этом не являются
квадратично интегрируемыми. Это рассуждение, которое
ни в коей мере не является доказательством, 'поясняет
смысл полученного выше результата и роль осцилляции
потенциала типа sin 2r.
Отметим еще одну задачу с несколько необычным
спектром —случай периодического потенциала V(x + a) =
= V(x). В этом случае, как известно, спектр является
непрерывным, но заполняет не всю полуось энергии,
а отдельные энергетические зоны, разделенные проме-
промежутками.
Из рассмотренных нами примеров видно разнообра-
разнообразие спектра уравнения Шредингера. На практике, одна-
однако, особые случаи встречаются редко и характер спектра
обычно бывает ясен с самого начала.
Б. Квазиклассические свойства высоковозбужденных
уровней в кулоновском поле
Высоковозбужденные уровни (п 3> 1) электрона в
кулоновском поле отвечают состояниям, в которых элек-
электрон почти все время находится вдали от ядра*). В этом
смысле такие состояния подобны состояниям электрона
в непрерывном спектре при малой положительной энер-
энергии. Поэтому естественно, что должным образом усред-
усредненные величины (при п-*оо, Е—>0) не должны отли-
отличаться от соответствующих величин для непрерывного
спектра вблизи порога, т. е. при 0 < Е < Ес, где
me*Z2
Ес = —р атомная единица энергии, Ze — заряд атом-
атомного остатка, в поле которого находится электрон.
Как известно, процессы, в которых в конечном состоя-
состоянии получаются медленные электроны, движущиеся в ку-
кулоновском поле, отличаются тем, что соответствующие
сечения стремятся к конечной, не равной нулю величине
*) См. приложение II к работе И. Л. Бейгмана и др. A968),
написанное П. Парадоксовым. Некоторые свойства высоковозбу-
высоковозбужденных уровней в кулоновском поле рассмотрены в работе
А. М. Переломова и др. A966).
530 приложения
(То у порога при Е—>+0*). Обращение в нуль фазо-
фазового объема {dNldE~p~ ]/Е при ?->0) компенсирует-
компенсируется бесконечным нарастанием матричных элементов за
счет деформации волновой функции кулоновским полем:
при Е-+0. Здесь pc = mZe2/b—характерный импульс эле-
электрона в атоме, р— импульс налетающего электрона.
Этот результат находится в точном соответствии с
квазиклассикой. В самом деле, в этом приближении
1У°°)Р Ро So '
где poo, Ро — импульсы классической частицы на бесконеч-
бесконечности и вблизи начала координат; 5«, и 50 — соответст-
соответствующие площади поперечного сечения силовой трубки
(эти множители специфичны для трехмерного случая и
учитывают дополнительную концентрацию частиц в на-
начале координат).
Используя закон сохранения момента количества дви-
движения &оРо = &осРоо> связь Ьо и &«,: bo = (-JSJrL) о.
(здесь a =b2/Zme2—боровский радиус, Ьо и &«, — радиусы
сечения силовой трубки вблизи начала координат и на
бесконечности), получаемую из уравнения классической
траектории, и то обстоятельство, что в силу соотношения
неопределенности минимально возможное значение
hoop™ ~ S, получаем
IФ @) I2 = Рос bl _Ь0О _ й2 1 ъ_ = ?^
IФ (°°) I2 Ро Ь\ b0 b^pn, Раоа ар^ рх '
что согласуется с формулой (Б.1).
*) Хорошо известно, что без кулоновского взаимодействия се-
сечение фотоэффекта и других процессов образования медленных частиц
стремится к нулю пропорционально их импульсу р ~ ]ЛЕ. Соот-
Соответственно сечение захвата медленных частиц будет •~7/>~1Д' при
отсутствии кулоновского поля. В отличие от этого, в кулоновском
поле сечение захвата медленных заряженных частиц ~ '/р2, т. е.
обратно пропорционально энергии.
Б. ВЫСОКОВОЗБУЖДЕННЫЕ УРОВНИ 531
В силу отмеченного выше свойства высоковозбужден-
высоковозбужденных уровней, величины, относящиеся к дискретному спек-
спектру при —Ес <^ Е < 0, т. е. при я—*•«>, можно выразить
через значения соответствующих величин при нулевой
энергии:
Я! Я-1 /
?^2 2 2 \*«т(Е)*Е = а\в^ = ай. (Б.2)
n=ti[ 1=0 т=—1
При этом учитывается, что в дискретном спектре се-
сечения имеют вид б-функций (без учета ширины уровней)
или представляют очень узкие резонансные кривые (пред-
(предполагается, ЧТО П\ ^> 1, П2 ,^> 1).
Из формулы (Б.2) следует, что интеграл от сечения
по энергии для каждого отдельного подуровня с фикси-
фиксированными п, I, т в среднем пропорционален гг5; по-
поскольку число подуровней с данным п равно п2, сумма
от tii до «2 содержит
Пг
J
, , «2 "Л? С т; Ес «2-Я?
at dra = членов, а ?2 — Е{ = yt~
3 2
Таким образом,
jp Co Ее
Формулы (Б.2), (Б.З) относятся к нескольким типам
процессов.
1. Поглощение света атомом в основном состоянии.
При этом полагаем fico = / + Е (I — потенциал иониза-
ионизации атома) и сравниваем фотоэффект fioo >/,. Е > 0 и
возбуждение высоких уровней при йсо„ = / — EJ2n2.
2. Взаимодействие быстрого электрона с ионом с ис-
испусканием кванта. Если энергия электрона равна Еи то
он может излучить квант fico = Et — Е, перейдя в состоя-
состояние с меньшей энергией Е > 0, так что fico < Et (в слу-
случае тормозного излучения) или ficon = ?1 + Ес/2п2 (при
рекомбинации на п-й возбужденный уровень).
3. Безызлучательное взаимодействие электрона с по-
положительным ионом, связанное с внутренним возбужде-
возбуждением иона. Пусть W — энергия возбуждения иона; тогда
532 ПРИЛОЖЕНИЯ
при энергии электрона Et — W + Е, Е > 0 происходит не-
неупругое рассеяние электрона с уходом медленного элек-
электрона (с энергией Е) на бесконечность. При энергии же
электрона Еп = W — Ес/2п2 происходит образование ато-
атома в возбужденном состоянии с положительной энергией.
В этом состоянии возбужден внутренний электрон, и
к тому же на далекой орбите находится связанный нале-
налетевший электрон. Так, например, возможен процесс
He+(ls) + е~-+НеBр, /г/), где Не+(Is)—положительный
ион гелия в состоянии Is, n весьма велико. Поскольку
в этом процессе обязательно участвуют два электрона,
такой процесс безызлучательного захвата электрона но-
носит название диэлектроннои рекомбинации.
Диэлектронная рекомбинация имеет важное значение
в астрофизике (Д. Бейтс, 1962). С помощью формулы
(Б.З) можно получить полезные оценки для вероятности
этого процесса, поскольку нас интересуют в данном слу-
случае именно суммы по всем состояниям с высокими п. По-
Подробное рассмотрение диэлектроннои рекомбинации мож-
можно найти в статье И. Л. Бейгмана и др. A968). Как
выясняется при этом, оценки вероятности процесса, при-
приведенные в работах А. Буржесса A964, 1965), В. Тукера
и Р. Гоулда A966), сильно завышены.
Добавление при корректуре
Влияние барьера на состояния с малой энергией связи и на
рассеяние медленных частиц. Как показано в работе А. Б. Мигдала,
А. М. Переломова и В. С. Попова A971), наличие барьера суще-
существенно меняет результаты §§ 2 и 3 гл. I. S-матрица имеет вид
S = S, ехр Bкр(/г)), где Si = (* + iki) (k + й2) (k — й,)->(? — ih)'}.
При наличии связанного уровня его энергия е ~ —A,f/2, но у S
имеется второй полюс Х2, соответствующий виртуальному состоя-
состоянию. При плавном изменении глубины ямы уровень исчезает, од-
однако есть промежуточная область, где Xt и Х3 вещественны. (В слу-
случае кулоновского барьера проницаемость -> 0 при е -> 0, и эта об-
область исчезает.) Лишь после «столкновения» К{ — А,2 возникает ква-
квазистационарное состояние с комплексными Я, 2 = Л,1. В упомянутой
статье рассмотрены также свойства волновых функций; частично
для комплексных А, они исследованы также в работе В. М. Галиц-
кого и В. Ф. Чельцова A964).
ЛИТЕРАТУРА
Агранович 3. С, Марченко В. А. A960), Обратная задача
теория рассеяния, Харьков.
Аллилуев С. П. A957), ЖЭТФ 33, 200.
Аллилуева П. A971), ЖЭТФ 61, № 1.
Арнольд В. И. A967), Функциональный анализ и его приложе-
приложения 1,1.
Ахиезер Н. И., Глазман И. М. A966), Теория линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве, «Наука».
Б аз ь А. И. A957), ЖЭТФ 33, 923.
Б аз ь А. И., Окунь Л. Б. A958), ЖЭТФ 35, 757.
Базь А. И. A959), ЖЭТФ 36, 1762.
Б аз ь А. И. A961), ЖЭТФ 40, 1511.
Базь А. И., Пузиков Л. Д., С i« о р о д ински й Я. А. A962),
ЖЭТФ 42, 1249.
Базь А. И. A964), ЖЭТФ 47, 1874.
Базь А. И. A966), ЯФ 3, 658.
Базь А. И., Демин В. Ф., Кузьмин И. И. A966), ЯФ 4, 737.
Базь А. И. A967). ЯФ 5, 229.
Бейгман И. Л., Вайнштейн Л. А., Сюняев Р. А. A968),
УФН 95, 267.
Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. A961), ДАН СССР 137, 1011.
Березин Ф. А., Похил Г. П., Финкельберг В. М. A964),
Вестник МГУ № 1, 21.
Березин Ф. А A965), Метод вторичного квантования, «Наука».
Березин Ф. А. A969), УМН 24, № 4, 65.
Боголюбов Н. Н. A947), Изв. АН СССР, сер. физ., 11, 77.
Боголюбов Н. Н. A958), ЖЭТФ 34, 58.
Быков В. П., Вайнштейн Л. А. A964), ЖЭТФ 47, 508.
Быков В. П. A965), Электроника больших мощностей, Сб. 4,
стр. 66.
Вайнштейв Л. А. A965), Электроника больших мощностей,
Сб. 4, 93.
Виленкин Н. Я- A965), Специальные функции и теория пред-
представлений групп, «Наука».
Галицкий В. М., Чельцов В. Ф. A964), Nucl. Phys. 56, 86.
Гельфанд И. М., Левитан Б. М. A951), Изв. АН СССР, сер.
матем., 15, 309.
Гельфанд И. М., Я г лом А. М. A956), УМН 11, № 1, 77.
Гешкенбейн Б. В., Иоффе Б. Л. A963), ЖЭТФ 44, 1211.
534 ЛИТЕРАТУРА
Гольданский В. И. A960), ЖЭТФ 39, 497.
ГольданскийВ. И. A965), УФН, 87, 255.
Грибов В. Н., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. A961)
ЖЭТФ 40, 1190.
Данилов Г. С. A961), ЖЭТФ 40, 498.
Делоне Г. А., Делоне Н. Б. A968), ЖЭТФ 54, 1067.
Демков Ю. Н. A953), Вестник ЛГУ 11, 127.
Демков Ю. Н. A958), Вариационные принципы в теории столкно
вений, Физматгиз.
Демков Ю. Н., Д рук ар ев Г. Ф. A964), ЖЭТФ 47, 918.
Демков Ю. Н. A965) ЖЭТФ 49, 885.
Демков Ю. Н., Друкарев Г. Ф. A965А), ЖЭТФ 49, 257.
Демков Ю. Н., Друкарев Г. Ф. A965Б), ЖЭТФ 49, 691.
Демков Ю. Н., Комаров И. В. A965), Вестник ЛГУ, № 10, 18
Друкарев Г. Ф. A951), ЖЭТФ 21, 59.
Дыхне А. М. A960), ЖЭТФ 38, 570.
Дьерди Г., РеваиЯ. A965), ЖЭТФ 48, 1445.
Зельдович Б. Я. A965), Изв. вузов, Радиофизика 8, 522.
Зельдович Я. Б. A956), ЖЭТФ 31, 1101.
Зельдович Я- Б. A957А), ЖЭТФ 33, 1488.
Зельдович Я. Б. A957Б), ЖЭТФ 33, 1531.
Зельдович Я. Б. A959А), ЖЭТФ 36, 1952.
Зельдович Я. Б. A959Б), ФТТ 1, 1637.
Зельдович Я. Б., Рабинович Е. М. A959), ЖЭТФ 37, 1296
Зельдович Я. Б. A960А), ЖЭТФ 38, 819.
Зельдович Я- Б. A960Б), ЖЭТФ 39, 776.
Зельдович Я. Б. A960В), ЖЭТФ 39, 1483.
Зельдович Я. Б., Переломов А. М. A960), ЖЭТФ 39, 1115
Зельдович Я. Б. A961), ЖЭТФ 40, 1155.
Зельдович Я. Б. A966), ЖЭТФ 51, 1492.
Зельдович Я. Б., С а х ар о в А. Д. A966), ЯФ 4, 395.
Иоффе Б. Л. A957), ЖЭТФ 32, 1246.
Капица П. Л. A951), УФН, 44, 7.
Келдыш Л. В. A964), ЖЭТФ 47, 1945.
Кобзарев И. Ю., Николаев Н. Н., Окунь Л. Б. A969)
ЯФ 10, 864.
Кото в а Л. П., Переломов А. М, Попов В. С. A968)
ЖЭТФ 54, 1151.
Крылов Н. С, Фок В. А. A947), ЖЭТФ 17, 93.
Ландау Л. Д., Смородинский Я. А. A944), ЖЭТФ 14, 269.
Ландау Л. Д., Померанчук И. Я. A955), ДАН СССР 102,489.
Л а н д а у Л. Д. A957А), ЖЭТФ 32, 405.
Л а н д а у Л. Д. A957Б), ЖЭТФ 32, 407.
Л а н д а у Л. Д. (I960), ЖЭТФ 39, 1856.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A958), Механика, Физматгиз.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A967), Теория поля, «Наука».
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A963), Квантовая механика,
Физматгиз.
Левитан Б. М. A950), Разложение по собственным функциям,
Гостехиздат, 1950.
Л ифшиц Е. М. A939), ЖЭТФ 9, 237.
ЛИТЕРАТУРА 535
Лось Ф. С. A957), ЖЭТФ 33, 273.
Марченко В. А. A955), ДАН СССР 104, 695.
Мае лов В. П. A965), Теория возмущений и асимптотические ме-
методы, Изд-во МГУ.
Мейман Н. Н. A963), ЖЭТФ 44, 1228.
Мигдал А. Б., Крайнов В. П. A966), Приближенные методы
квантовой механики, «Наука».
Мигдал А. Б., Переломов А. М., Попов В. С. A971), ЯФ
(в печати).
Минлос Р. А., Фаддеев Л. Д. A961А), ЖЭТФ 41, 1850.
Мин л ос Р. А., Фаддеев Л. Д. A961Б), ДАН СССР, 141, 1335.
Молчанов А. М. A953), Труды Моск. матем. об-ва 2, 169.
Никишов А. И., Риту с В. И. (Ш66), ЖЭТФ 50, 255.
Ник и шов А. И., Риту с В. И. A967), ЖЭТФ 52, 223.
Окунь Л. Б. A966), УФН 89, 603.
Парадоксов П. A966), УФН 89, 707.
Переломов А. М. A962), ДАН СССР 146, 75.
Переломов А. М., Попов В. С. A966), ЖЭТФ 50, 179.
Переломов А. М., Попов В. С, Терентьев М. В. A966А).,
ЖЭТФ 50, 1393; A966Б), ЖЭТФ 51, 309; A966В), ЖЭТФ 51, 601.
Переломов А. М., Попов В. С. A967), ЖЭТФ 52, 514.
Переломов А. М., Попов В. С. A968), ЖЭТФ 54, 1799.
Переломов А. М., Попов В. С, Кузнецов В. П. A968),
ЖЭТФ 54, 841.
Переломов А. М., Попов В. С. A969), ТМФ 1, 360.
Переломов А. М., Попов В. С. A970А), ТМФ 3, 377.
Переломов А. М., Попов В. С. A970Б), ТМФ 4, 48.
Переломов А. М. A971), ТМФ 6, 213.
Попов В. С, Кузнецов В. П., Переломов А. М. A967),
ЖЭТФ 53, 331.
Попов В. С, Переломов А. М. A969А), ЖЭТФ 56, 1375.
Попов В. С, Переломов А. М. A969Б), ЖЭТФ 57, 1684.
Риту с В. И. A966), ЖЭТФ 51, 1544.
СердобольскийВ. И. A959), ЖЭТФ 36, 1903.
Скорняков Г. В.. Тер-Мартнросян К. А. A956), ЖЭТФ 31,
775.
Скорняков Г. В. A956), ЖЭТФ 31, 1046.
Терентьев М. В. A965), УФН 86, 231.
Фаддеев Л. Д. A958), ЖЭТФ 35, 433.
Фаддеев Л. Д. A959), УМН 14, № 4, 57.
Фаддеев Л. Д. A960), ЖЭТФ 39, 1459.
Ф адяеев Л. Д. A963), Труды МИАН, т. 69.
Фаддеев Л. Д. A969), ТМФ 1, 1.
Файн В. М. A967), ЖЭТФ 52, 1544.
Фирсов О. Б., Смирнов Б. М. A964), ЖЭТФ 47, 232.
Фок В. А. A935), Изв. АН СССР, отд. мат. и ест. наук, № 2, 169.
Халфин Л. А. A956), ДАН СССР 111, 345.
Халфин Л. А. A957), ЖЭТФ 33, 1371.
Шапиро Ф. Л. A969), УФН 98, 732.
Шноль Э. Э. A970). ТМФ 4, 239.
Якубовский О. Я. A967), ЯФ 5, 131?.
536 ЛИТЕРАТУРА
Am a do R. D. A961^, Phys. Rev. 122, 696.
Arbusov B. A., Filippov A. T. A964), Phys. Lett. 13, 95.
Baker H. F. A905), Proc. Lond. Math. Soc. BK, 24.
Baker G. A. A956), Phys. Rev. 103, 1119.
Baker M. A958), Ann. Phys. 4, 27.
Bander M., Itzykson C. A966), Rev. Mod. Phys. 38, 330, 346.
Bardeen J., Cooper L. N.. SchrifferJ. R. A957), Phys. Rev.
106, 162.
BargmannV. A935), Zs. f. Phys. 99, 576.
Bargmann V. A949), Rev. Mod. Phys. 21, 488.
Bargmann V. A952), Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38, 961.
Bargmann V., Moshinsky M. A960), Nucl. Phys. 18, 697.
Bargmann V., Moshinsky M. A961), Nucl. Phys. 23, 177.
Bateman H., Erdelyi A. A953A), Higher Transcendental Func-
Functions, v. 1, McGraw-Hill Book Co., N. Y.
Bateman H., Erdelyi A. A953B), Higher Transcendental Func-
Functions v. 2, McGraw-Hill Book Co., N. Y.
Bates D. R., ed. A962), Atomic and molecular processes, Acad.
Press, N. Y.; Атомные и молекулярные процессы, «Мир», М., 1964.
Bell J. S. A962), Nuovo Cim. 24, 452.
Bell J. S., Goebel С. J. A965), Phys. Rev. 138B, 1198.
Bertrand J. A873), Compt. Rend. 77, 849.
Bethe H. A., Peierls R E. A935), Proc. Roy. Soc. A148, 146.
Be the H. A. A937), Rev. Mod. Phys. 9, 69; Г. Бете, Физика ядра,
Гостехиздат, 1948.
Bethe H. A., Salpeter Е. Е. A957), Quantum mechanics of one-
and two-electron atoms, Springer, Berlin; Г. Бете, Э. Солпи-
тер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами,
Физматгиз, 1960.
Birkhoff G. D. A927), Dynamical systems, N. Y.; Дж. Бирк-
г о ф, Динамические системы, Гостехиздат, 1941.
Bjorken J. О., Goldberg A. A960), Nuovo Cim. 16, 92:
Born M. A925), Vorlesungen uber Atommechanik, Springer, Berlin;
M. Б о р н, Лекции по атомной механике, ОНТИ, 1934.
Born M., Heisenberg W., Jordan P. A925), Zs. i. Phys. 35,
557.
Bouten M., Maene N., van Leuven P. A965), Nuovo Cim. 37,
1119.
Boyd G. D., Kogelnik H. A962), Bell System Techn. Journ.
41, 1347.
Breit G., Wigner E. P. A936), Phys. Rev. 49, 519, 642.
Breit G. A947), Phys. Rev. 71, 215.
Breit G. A957), Phys. Rev. 107, 1612.
Breit G. П959), Theory of Resonance Reactions and Allied Topics,
Handb. d. Phys. v. 41, Springer; Г. Б рейт, Теория резонансных
ядерных реакций, ИЛ, 1961.
В г е п i g W., H a a g R. A959), Fortschr. d. Phys. 7, 183.
Brillouin L. A926), Compt. Rend. 183, 24.
Brillouin L. A933), J. Pbys. et Rad. 4, 1.
Bruckner K. A953), Phys. Rev. 89, 834.
Brussaard p. J., Tolhpek H. A. A957J. Physica 23, 955.
ЛИТЕРАТУРА 537
Burgess A. A964), Astrophys. J. 139, 776.
Burgess A A965), Astrophys. J. 141, 1588.
Byers N.. Yang С N. A961), Phys. Rev. Lett. 7, 46.
Calogero F. A967), Variable-phase approach to potential scat-
"tering, N. Y.
С а г г u t h e г s P., N i e t о M. M. A968), Rev. Mod. Phys. 40, 411.
Case К. М. A950), Phys. Rev. 80, 797.
Castillejo L., Dalitz R. H., Dyson F. J. A956), Phys. Rev.
101, 453.
Chad an K. A962), Nuovo Cim. 24, 379.
ChewG., MandelstaraS. A960), Phys. Rev. 119, 467.
С h r i s t e n s о n J. H., С г о n i n J. W., Fitch V. L., T u г 1 e у R.
A964), Phys. Rev. Lett. 13, 138.
Chung V. A965), Phys. Rev. 140, B, 1110. -S
Coddington E., Lev in son N. A955), Theory of ordinary diffe-
differential equations, McGraw-Hill Book Co, N.Y.; Э. А. Коддинг-
toh, H. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, ИЛ, 1958.
Cohen В. L. A965), Araer. J. Phys. 33, 97.
Cooper L. N. A956), Phys. Rev. 104, 1189.
Coulson С L. A. A952), Valence, Oxford University Press;
Ч. Коульсон, Валентность, «Мир», 1965.
Dashen F., Frautschi S. A964), Phys. Rev. 135B, 1190.
De Alfaro V., Regge T. A965), Potential scattering, North
Holland Publ. Co.; де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное
рассеяние, «Мир», 1966.
Dicke R. A954), Phys. Rev. 93, 99.
Dirac P. A. M. A930), The principles of quantum mechanics;
П. А. М. Д и р а к, Принципы квантовой механики, ИЛ, 1960.
Dyson F. J. A964), Sci. Amer. 211, 129.
Ebel M. A962), J. Math. Phys. 3, 68.
Eckart C. A930), Phys. Rev. 35, 1303.
Ehrenfest P. A920), Ann. der Phys. 61, 5.
E i s e n h a r t L. P. A934), Phys. Rev. 45, 428.
Eisenhart L. P. A948), Phys. Rev. 74, 87.
Ekstein H. A956), Phys. Rev. 101, 830.
Elliott J., Lein A. A957), Handbuch der Physik, v. 39, Springer;
Дж. Эллиот и А. Лейн, Строение атомного ядра, ИЛ, 1959.
Elliott J. A958), Proc. Roy. Soc. A245, 128, 562.
Epstein J., Epstein S. A962), Amer. J. Phys. 30, 266.
E у r i n g H., W a 11 e r J., К i m b a 11 G. E. A946)\ Quantum chemi-
chemistry; Эйринг Г., Уолтер Дж., К и м б а л л Дж., Квантовая
химия, ИЛ, М., 1948.
FaxenH., HoltsmarkJ. A927), Zs. f. Phys. 45, 307.
FeenbergE. A932), Phys. Rev. 40, 40.
FeenbergE. (Ш58), Ann. Phys. 3, 292.
Fermi E. A936), Ric. Sci. 7, 13.
Feynman R. P. A948) Rev. Mod. Phys. 20, 367; Сб. «Вопросы
причинности в квантовой механике», ИЛ A955), стр. 167.
Feynman R. P. A950)\ Phys. Rev. 80, 440.
Feynman R. P. A951), Phys. Rev. 84, 108.
538 ЛИТЕРАТУРА
Feynraan R. P. A955), Progress in low temperature physics,
v. 1, 17.
Feynraan R. P., Hibbs A. R. A965), Quantum mechanics and
path integrals, N. Y.; P. Фейнман, А. Хибс, Квантовая ме-
механика и интегралы по траекториям, «Мир», 1968.
Fock V. А. A930), Zs. i. Phys. 63, 855.
Fock V. А. A935), Zs. f. Phys. 98, 145.
Fowler M. A961), Ann. Phys. 16, 26.
Frautschi S. A963), Regge poles and S-matrix theory, Benja-
Benjamin, N. Y.
Froissart M., Goldberger M. L., Watson К. М. A963),
Phys. Rev. 131, 2820
Gamow G. A. A928), Zs. f Phys. 51, 204; 52, 510.
Garwin R., Lederman L., Weinrich W. A957), Phys. Rev.
105, 1415.
Ge 11-Mann M. A962), Phys. Rev. 125, 1067.
Gerjuoy E. A965), J. Math. Phys. 6, 993, 1396.
Glauber R. J. A963), Phys. Rev. 131, 2766 A963).
Goldberger M. L, Wai son К. М. A962), Phys. Rev. 127,
2284.
Goldberger M. L., Lewis H. W., Watson К. М. A963),
Phys. Rev 132. 2764.
Goldberger M. L, Watson К- М. A964), Collision theory
J. Wiley, N.Y.; M. Гольдбергер, К- Ватсон, Теория
столкновений, «Мир», 1966.
Goldberger M. L., Watson К. М. A964А), Phys. Rev. 134B,
919.
Goldberger M. L., Watson К. М. A964В), Phys. Rev. 137B,
1396.
Golden S. A957), Phys. Rev. 105, 604.
Gordon W. A928), Zs. f. Phys 48, 180.
Gurney R. W., Condon E. U. A929), Phys. Rev. 33, 127.
Hamtnertnesh M. A962), Group theory and its application to
physical problems; M. X а м м е р м е ш, Теория групп и ее при-
применение к физическим проблемам, «Мир», 1966.
Н а г t m а п Th. A962), J. Appl. Phys. 33, 3427.-
Hausdorf F. A906), Berichte Saechsischen Akad. Wiss. (Math.
Phys. Kl.). 58, 19.
Heading! A962), An introduction to phase-integral methods Met-
huen, N. Y.; Дж. X e д и н г, Введение в метод фазового инте-
интеграла (метод ВКБ), «Мир», 1965.
HeisenbergW. A943), Zs. f. Phys. 120, 513, 673.
HeisenbergW. A946), Zs. f. Naturforsch. I, 608.
HirschfelderJ. O. A960), J. Chem. Phys. 33, 1762.
Hostler L., Pratt R. A963), Phys. Rev. Lett. 10, 469.
Hostler L. A964), J. Math. Phys. 5, 591.
Hu N. A948), Phys. Rev. 74, 131.
Hulthen L. A933), Zs. f. Phys. 86, 21.
Humblet J. A952), Mem. Soc. Roy. Sci. Liege 4, 12.
Husimi K. A953), Prog. Theor. Phys. 9, 381.
Ida M. A959), Prog. Theor. Phys. 21, 625.
ЛИТЕРАТУРА 539
I da M. A963), Prog. Theor. Phys. 34, 92.
Jammer M. A966), Conceptual development of quantum mecha-
mechanics, N. Y.
J a u ch J. M., H i 11 E. A940), Phys. Rev. 57, 641.
J a uch J. M. A957), Helv. Phys. Acta 30, 143.
Jauch J. M. A968), Foundations of quantum mechanics, Addison-
Wesley.
J о s t R. A947), Helv. Phys. Acta 20, 356.
Jost R., Pais A. A951), Phys. Rev. 82, 840.
Judge D., Lewis J. T. A963), Phys. Lett. 5, 190.
Judge D. A964), Nuovo Cim. 31, 332.
К alien G., Pauli W. A955), Dansk. Vid. Selsk, Mat. Fys. Medd.
30, № 7.
Kan to г Р. A965), Ann. Phys. 33, 196. :
Kapur P., Peierls R. A938), Proc. Roy. Soc. A166, 277.
Kato M. A965), Ann. Phys. 31, 130.
KatoT. A967), Suppl. to Prog. Theor. Phys., № 40, 3.
Kazes E. A959), Nuovo Cim. 14, 815.
Kazes E. (I960), Nuovo Cim. 15, 537.
Kazes E. A965), J. Math. Phys. 6, 1772.
Keller J. В., Kay I., Shmoys J. A956), Phys. Rev. 102, 557.
Keller J. B. A958), Ann. Phys. 4, 180.
К e 11 e г J. В., R u b i n о w S. I. (I960), Ann. Phys. 9, 24.
Kenschaft R., Amado R. A964), J. Math. Phys. 5, 1340.
Khuri N. N., Pais A. A964), Rev. Mod. Phys. 36, 590.
Kibble T. W. A968A), J. Math. Phys. 9, 315.
Kibble T. W. В. A968В), Phys. Rev. 173, 1527.
Kibble T. W. В. A968С), Phys. Rev. 174, 1882.
Kibble T. W. B. A968D), Phys. Rev. 175, 1624.
Kimball G. A940), J. Chem. Phys. 8, 188.
Klauder J. R., Sudarshan E. С G. A968), Fundamentals of
Quantum Optics, N. Y , Benjamin.
Kramers H. A. A926), Zs. f. Phys. 39, 828.
Kramers H. A. A938), Hand und Jahrbuch der Chemischer Physik
1, 312.
Kramers H. A. A951), Quantum mechanics, North Holland Publ.
Co.
Kumar K. A965), J. Math. Phys. 6, 1923, 1928.
Lamb H. A900), Proc. Lond. Math Soc. 32, A), 208.
Lane A., Thomas R. A958), Rev. Mod. Phys. 30, 257; А. Лейн,
P. Томас, Теория ядерных реакций при низких энергиях, ИЛ,
I960.
Laplace P. S. A829), Traite de mecanique celeste, T. 1, p. 160,
Paris, Bachelier.
Lee T. D. A954), Phys. Rev. 95, 1329.
L e e T. D., Y a n g С N. A956), Phys. Rev. 104, 254.
Lenz W. A924), Zs. f. Phys. 24, 197.
Levinson N. A949), Dan. Vid. Selsk. Math. Fys. Medd. 25, № 9.
Levy M. A959), Nuovo Cim. 13, 115.
Lewis H. R., Riesenfeld W. B. A969), J. Math. Phys. 1Q,
D58,
540 ЛИТЕРАТУРА
Liouville J. A837), J. de Math. 2, 16, 418.
Lippmann В., Schwinger J. A950), Phys. Rev. 79, 469.
Lippmann B. A965), Phys. Rev. Lett. 15, 11.
London F. A950), Superfluids, v. 1, J. Wiley, N. Y.
Love A. A904), Proc. Lond. Math. Soc. 2, 288.
Luders G. A955), Zs. f. Natuforsch. 10a, 581.
Ma S. A947), Phys. Rev. 71, 195
Manning I. A964), J. Math, Phys. 5, 1223.
Martin A. A961), Suppl. Nuovo Cim. 21, 157.
McColl L. A932), Phys. Rev. 40, 621.
McGuire A964), J. Math. Phys. 5, 622.
M e i x n e r J. A933), Math. Zs. 36, 677.
Meyraan N. N., Slavnov A. A. A964), Phys. Lett. 10, 124.
Mdller С A946), Dan. Vid Selsk. Mat. Fys. Medd. 22, № 19.
Moses H., Tu an S. A959), Nuovo Cim. 13, 197.
Mott N. A929), Proc. Roy. Soc. 126, 79
Muta T. A965), Progr. Theor. Phys. 33, 666.
N e ' e ra a n Y. A961), Nucl. Phys. 26, 222.
Newton R. G. A961), Ann. of Phys. 14, 333.
Newton R. G. A966), Scattering theory of waves and particles.
N. Y.; Ньютон Р., Теория рассеяния волн и частиц, «Мир»,
1969.
Northrop Т. G., Teller E. A960), Phys. Rev. 117, 215.
Nussenzweig H. A959), Nucl. Phys. 3, 499.
NussenzweigH. (I960), Physica 26, 209.
Nussenzweig H. A961), Nuovo Cim. 20, 694.
O'M alley T. F., Spruch L, Rosenberg L. A961), J. Math.
Phys. 2, 491.
Onsager L. A949), Suppl., Nuovo Cim. 6, 279.
Pagnamenta A. A965), J. Math. Phys. 6, 955.
P a i s A., W u Т. Т. A964), J. Math. Phys. 5, 799.
Park D. A960), Zs. f. Phys. 159, 155.
P a u 1 i W. A926), Zs. f. Phys. 36, 336.
Pauli W. A933), Die Allgemeinen Prinzipen der Wellenmechanik,
Springer, Berlin; В. Паули, Общие принципы волновой меха-
механики, Гостехиздат, 1947.
Pauli W. A939), Helv. Phys. Acta 12, 147.
Peierls R. A959), Proc. Roy. Soc. A253, 16.
Petzold I. A959), Zs. f. Phys. 155, 422.
P о i n с а г ё H. A884), Acta Math. 4, 215.
Polkinghorne J. С A958), Proc. Camb. Phil. Soc. 54, 560.
Power E., Saavedra I. A961), Proc. Camb. Phil. Soc. 57, 121.
Racah G. A951), Group theory and spectroscopy, Lecture notes,
Princeton.
Rayleigh, (J. W. Strutt) A871), Phil. Mag. 41, 107, 274, 447.
Rayleigh A910), Phil. Mag 20, 1001; Рэлей, Теория звука,
т. 2, § 287, Гостехиздат, 1944.
Rayleigh, A912), Proc. Roy. Soc. 86A, 207.
Regge Т. A958), Nuovo Cim. 8, 671.
Rollnik H. A956), Zs f. Phys. 145, 639, 654,
RosenfeldL. A965), Nucl. Phys. 70, 1.
ЛИТЕРАТУРА 541
Ruderraan M, Gasiorowicz S. A958), Nuovo Ciraento 8,
861.
Runge С A919), Vektoranalysis, Bd. 1, S. 68, Hirzel, Leipzig.
Schjff L. A963), Phys. Rev. 132, 2194.
SchrodingerE. A926A), Naturwiss. 14, 664.
SchrodingerE. A926B), Ann. d. Phys. 80, 437.
Schutzer W., Tiorano I. A947), Phys. Rev. 83, 249.
SchwarzC. A959), Ann. of Phys. 6, 156, 170, 178.
Schwinger J. A953), Phys. Rev. 91, 728.
Schwinger J. A960A), Proc. Nat. Acad. Sci. USA 47, 122.
Schwinger J. A960B), Ann. of Phys. 9, 169. '
Schwinger J. A964), J. Math. Phys. 5, 1606.
Segal I. E A963), Mathematical problems of relativistic physics,
Providence; И. Сигал, Математические проблемы релятивист-
релятивистской физики, «Мир», 1968.
Sexl Т. A933), Zs. f. Phys. 81, 163.
Sharp D. H. A965), High energy physics and elementary particles,
p. 273, IAEA, Vienna.
Smith F. A960), Phys. Rev. 118, 349.
Sommerf iel dCh. A965), J. Math. Phys. 6, 1170.
Srivastava P. A963), Phys. Rev. 131, 461.
Susskind L., Glogower J. A964), Physics 1, 49.
Thirring W. A962A), Nuovo Cim. 23, 1064.
Thirring W. A962B), Phys. Rev. 126, 1209.
Thomas L. H. A935), Phys. Rev. 47, 903.
Thomson J. J. A884), Proc. Lond. Math. Soc. IS A) 197.
Titchmarsh E. С A946), Eigenfunction expansions associated
with second-order differential equations. Oxford; Э. Ч. Т и т ч-
м а р ш, Разложения по собственным функциям, связанные с диф-
дифференциальными уравнениями второго порядка, ИЛ, 1960.
Trees R. A956), Phys. Rev. 102, 1553.
Tucker W. H., Gould R. J. A966), Astrophys. J. 144, 244.
van der Waerden B. L., Ed. A967), Sources of quantum mecha-
mechanics, North-Holland.
vanKampenN. G. A953), Phys. Rev. 91, 1267.
van Vleck J., Sherman A. A935), Rev. Mod. Phys. 7, 167.
van Winter С A968), Ann. Phys. 47, 232.
Vogt E., Wannier G. A954), Phys. Rev. 95, 1190.
von Neumann J. A929), Zs. f. Phys. 57, 30.
von Neumann J., Wigner E. P. A929), Phys. Zs. 30, 465.
von Neumann J. A961 J, Collected works, v. I, 550, Pergamon
Press.
von Neumann J. A931), Math. Ann. 104, 570.
von Neumann J. A932), Mathematische Grundlagen der Quanten-
mechanik Springer, Berlin; И. фон Нейман, Математические
основы квантовой механики, «Наука», М. A964).
von Neumann J. A938), Composito Math. 6, 1.
VVarnock F. A963). Phys Rev. 131, 1320.
W e i n b e г g S. A956), Phys. Rev. 102, 285.
Weinberg S. A963), Phys Rev. 131, 440.
Wellnei M. A964), Amer. J. Phys. 32, 787.
642 ЛИТЕРАТУРА
Wentzel G. A926), Zs. f. Phys. 38, 518.
Weyl H. A910), Math. Ann. 68, 220.
Weyl H. A928), Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig,
Hirzel.
Wheeler J. A. A937), Phys. Rev. 52, 1107.
Wightman A. S., Schweber S. A955), Phys. Rev. 98, 812.
Wightman A. S. A964), Introduction to some aspects of the rela-
tivistic dynamics of quantized fields, Cargese, A964); А. Вайт-
м а н, Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей,
«Наука», 1968.
Wigner E. Р. A932), Gott. Nachr. (Math. Natur. Klasse) 31, 546.
Wigner E. P. A935), Math u. Natur. Anz. Ungar. Akad. Wiss.
53, 475.
Wigner E. P., Eisenbud L. A947), Phys. Rev. 72, 29.
Wigner E. P. A948), Phys. Rev. 73, 1002.
Wigner E. P. A954), Phys. Rev. 94, 77.
Wi gner E. P. A955), Phys. Rev. 98, 145.
Wigner E. P. A959), Group theory and its application to the
quantum mechanics of atomic spectra, N. Y., Academic Press;
E. Вигиер, Теория групп, ИЛ, 1961.
Wigner E. P. A964), Science 145, 995; УФН 85, 727 A965).
Winter R. A961), Phys. Rev. 123, 1503.
Wong D., Toll J. A957), Ann. of Phys. 1, 91.
Wu С S., Ambler E., Hayward R. W., Hoppes D. D., Hud-
Hudson R. P. A957), Phys. Rev. 105, 1413.
Yang С N. A968), Phys. Rev. 168, 1920.
Zachariasen F. A961), Phys. Rev. 121, 1851.
АЛФАВИТНЫЙ СПИСОК АВТОРОВ
ИНОСТРАННЫХ ПУБЛИКАЦИЙ
Айзенбад — Eisenbud Брениг — Brenig
Амблер — Ambler Бриллюэн — Brillouin
Амадо — Amado Бруссаар — Brussaard
Арбузов — Arbusov Буржесс.— Burgess
Байере — Byers Бьёркен — Bjorken
Бандер — Bander Вайтман — Wightman
Баргманн — Bargmann ван дер Варден — van der Waer-
Б ар дин — Bardeen den
Бейкер— Baker ван Винтер—van Winter
Бейтмен—Bateman ван Кампен—van Kampen
Бейтс — Bates ван Льювен—van Leuven
Белл — Bell ван Флек—van Vleck
Бертран — Bertrand Ванье — Wannier
Бете — Bethe Варнок — Warnock
Биркгоф — Birkhoff Ватсон ¦— Watson
Бонд — Boyd Вейль — Weyl
Борн — Born Вейнберг — Weinberg
Боутен — Bouten Вейнрих — Weinrich
Бракнер — Bruckner Велнер — Wellner
Брейт — Breit Вентцель — Wentzel
АВТОРЫ ИНОСТРАННЫХ ПУБЛИКАЦИЙ
343
Вигнер — Wigner
Винтер — Winter
Вонг — Wong
By,— Wu
Газиорович — Gasiorowicz
Гамов — Garaow
Гарвин — Garwin
Гебель — Goebel
Гейзенберг — Heisenberg
Гелл-Манн — Gell-Mann
Герджой — Gerjuoy
Герни — Gurney
Глаубер — Glauber
Глоговер — Glogower
Гольдберг — Goldberg
Гольдбергер — Goldberger
Гольден — Golden
Гордон — Gordon
Гоулд — Gould
Дайсон — Dyson
Далиц — Dalitz
Дашен — Dashen
де Альфаро — de Alfaro
Джадж — Judge
Дике — Dicke
Дирак — Dirac
Захариазеи —Zachariasen
Ида — Ida
Иордан — Jordan
Ициксон — Itzykson
Йост — Jost
Калоджеро — Calogero
Кантор — Kantor
Капур — Kapur
Каррузерс — Carruthers
Кастильехо — Castillejo
Като — Kato
Кей - Kay
Кейзес — Kazes
Кейс — Case
Келлер — Keller
Кеншафт — Kenschaft
Киббл — Kibble
Кимбалл — Kimball
Клаудер — Klauder
Когельник — Kogelnik
Коддингтон — Coddington
Кондон — Condon
Коульсон — Coulson
Коэн — Cohen
Крамере — Kramers
Кристенсон — Christenson
Кронин — Cronin
Кумар — Kumar
Купер — Cooper
Лаплас — Laplace
Лейн — Lane
Леви — Levy
Левинсон — Levinson
Ледерман — Lederman
Ленц — Lenz
Ли — Lee
Липпманн — Lippmann
Лиувилль — Liouville
Лондон — London
Льюис — Lewis
Лэмб — Lamb
Людерс — Liiders
Ляв — Love
Ma —Ma
Маене — Маепе
Мак-Гир — McGuire
Мак Колл — McColl
Мандельстам — Mandelstam
Маннинг — Manning
Мартэн — Martin
Мейкснер — Meixner
Мейман — Меутап
Мёллер — МбИег
Мозес — Moses
Мотт — Mott
Мошинский — Moshinsky
Мута — Muta
Нееман — Ne'eman
Нито — Nieto
Нортроп — Northrop
Нуссенцвейг — Nussenzweig
Ньютон — Newton
О'Маллей — O'Malley
Онзагер — Onsager
Пагнамента — Pagnamenta
Пайерлс — Peierls
Пайс — Pais
Парк — Park
Паули — Pauli
Пауэр — Power
Петцольд — Petzold
Полкингхорн — Polkinghorne
Пратт — Pratt
Пуанкаре — Poincare
Рака — Racah
Редже — Regge
544
АВТОРЫ ИНОСТРАННЫХ ПУБЛИКАЦИЙ
Ризенфельд — Riesenfeld
Розенберг — Rosenberg
Розенфельд — Rosenfeld
Рольник — Rollnik
Рубинов — Rubinow
Рудерман — Ruderraan
Рунге — Runge
Рэлей — Ray lei gh
Сааведра — Saavedra
Саммерфилд — Sommerf ield
Сексл — Sexl
Сигал — Segal
Славнов — Slavnov
Смит—Smith
Солпитер — Salpeter
Сривастава — Srivastava
Сударшан — Sudarshan
Сусскинд — Susskind
Теллер — Teller
Терлей — Turley
Тиомно — Tiorano
Тирринг — Thirring
Титчмарш — Titchraarsh
Толл — Toll
Толхоек — Tolhoek
Томас — Thomas
Томсон — Thomson
Трис — Trees
Туан —Tuan
Тукер — Tucker
Уилер — Wheeler
Умбле — Humblet
Уолтер — Walter
Факсен — Faxen
Фаулер — Fowler
Фейнман — Feynman
Ферми — Fermi
Филиппов — Filippov
Финберг — Feenberg
Фитч — Fitch
Фогт — Vogt
Фок — Fock
фон Нейман — von Neumann
Фраучи — Frautschi
Фруассар — Froissart
Хааг — Haag
Хадсон —Hudson
Хаммермеш — Hammermesl
Хартман — Hartman
Хаусдорф — Hausdorf
Хединг — Heading
Хейворд — Hayward
Хибс —Hibbs
Хиршфельдер — Hirschfelde
Хольтцмарк — Holtsmark
Хоппес —Hoppes
Хостлер — Hostler
Xy—Ни
Хури — Khuri
Хусими — Husimi
Хюльтен — Hulthen
Чадан — Chadan
Челлен — К a" Hen
Чью — Chew
Шарп — Sharp
Шварц — Schwarz
Швебер — Schweber
Швингер — Schwinger
Шифф — Schiff
Шмойс — Shmoys
Шпрух — Spruch
Шредингер — Schrodinger
Шриффер — Schrilfer
Шютцер — Schfltzer
Эбель — Ebel
Эйзенхарт — Eisenhart
Эйринг — Eyring
Эккарт — Eckart
Экштейн — Ekstein
Эллиот — Elliot
Эпштейн — Epstein
Эрдейи — Erdelyi
Эренфест — Ehrenfest
Яммер — Jammer
Янг — Yang
Яух — Jauch