ί МБертшй
ΠΦ.Χ
*<ъ

Ю. М. Березаткий
Г.Ф.Ус
З.ПШефтт
шшл
НИИ
Курс лекций
Допущено Министерством высшего
и среднего специального
образования УССР
в качестве учебного пособия
для студентов университетов,
обучающихся по специальности
«Математика»
КИЕВ
«ВЫЩА ШКОЛА»
1990

ББК 22.162я73
Б48
УДК 51 (07)
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. М. 3. Соломяк
(Ленинградский государственный университет) и д-р физ.-мат. наук,
проф. М. Л. Г о ρ б а ч у к (Институт математики АН УССР)
Редакция литературы по математике и физике
Редактор Л, И, Г ρ инь
Березанский Ю. М. и др.
Б48 Функциональный анализ. Курс лекций: Учеб. пособие/
Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, 3. Г. Шефтель.— К.: Выща шк.,
1990.— 600 с; ил.
ISBN 5-11-001329-2.
Изложены основы функционального анализа и теории операторов:
теория меры и интеграла, нормированные пространства и
функционалы и операторы в них, спектральная теория самосопряженных
операторов в гильбертовых пространствах (включая неограниченные
операторы и теорию разложений по обобщенным собственным векторам),
элементы теории обобщенных функций как конечного, так и
бесконечного порядка, теория интегральных уравнений.
Теоретический материал иллюстрируется большим числом
примеров и упражнений для самостоятельной работы. Изложение ведется
с учетом возможных приложений к задачам современной
математической физики.
Для студентов университетов, обучающихся по специальности
«Математика». Может быть использовано студентами втузов и
пединститутов, аспирантами и научными работниками,
„ 1602080000—220 „„„, пп ,nn „
Б М211(04)-90 БЗ-12-6-90 ББК 22.162я73
ISBN 5-11-001329-2 © F/gJftTfiS^ 1990

ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы предлагаемой книги в течение ряда лет читали курсы
функционального анализа (общие и специальные) студентам-математикам Киевского
университета и Черниговского пединститута. Они убедились, что, несмотря
на обилие хороших учебных пособий по функциональному анализу, трудно
указать такое из них, которое могло бы с достаточной полнотой отражать тот
курс функционального анализа, который сейчас принято читать (название
курса в различных университетах обычно варьируется). В результате
родилась мысль о написании пособия на базе конспектов ряда студентов. Эта
книга — реализация такой идеи.
Весь материал пособия условно можно разбить на три примерно
одинаковые по объему части: теория меры и интеграла (гл. I—V); сведения по
основам функционального анализа, вплоть до теории компактных операторов
(гл. VI—X); спектральная теория ограниченных и неограниченных
операторов и некоторые ее применения, обобщенные функции (гл. XI—XVI).
Первые две части и начальные главы третьей части соответствуют общему курсу
функционального анализа, заключительные главы (XIV—XVI) — спецкурсам.
Изложение теории меры и интеграла в курсе функционального анализа
обычно порождает желание излагать эти разделы математики с точки зрения
функционального анализа (например, построение интеграла по схеме
Даниэля). Однако нам представляется это нецелесообразным — понятие меры
и соответствующих конструкций достаточно первичные, техника обращения
с мерами и выработка должной интуиции — важная задача обучения этому
разделу анализа. Поэтому гл. I—V изложены в «классическом» стиле
абстрактной теории меры. Если говорить в общих чертах — изложение есть нечто
среднее между хорошо известными книгами П. Халмоша [90] и И. П.
Натансона [66]. Отметим, что сведения о метрических и топологических
пространствах предполагаются известными — обычно они входят в курс
математического анализа.
Во второй части излагаются классические сведения о банаховых и
гильбертовых пространствах, их геометрии, функционалах и ограниченных
операторах. Естественно, что большое внимание уделяется теоремам Хана —
Банаха и Банаха — Штейнгауза и их многочисленным приложениям.
Изложена теория компактных операторов и исследована разрешимость
уравнений с такими операторами. На этой основе приведена теория интегральных
уравнений и даны некоторые другие приложения общих фактов.
В третьей части изложены также классические результаты: сведения
о неограниченных операторах в гильбертовом пространстве и спектральная
теория самосопряженных и нормальных операторов. Здесь же содержатся
как начальные сведения по обобщенным функциям, так и результаты,в
которых переплетаются обобщенные функции с теорией операторов (оснащенные
пространства и их приложения — теорема о ядре, обобщенные собственные
функции, теория полуограниченных билинейных форм и др.). Последняя
глава пособия содержит ряд начальных сведений о дифференциальных
операторах, прежде всего эллиптических второго порядка. Соответствующие
факты слабо отражены в учебниках. Так, например, даже для того, чтобы
убедиться в самосопряженности оператора Шредингера в ограниченной
области с нулевыми граничными условиями, нужно обращаться к специальным
монографиям. В конце главы изложены соответствующие факты и для
обыкновенных дифференциальных операторов.
Из беглого перечня результатов, включенных в пособие, следует, что
многие классические разделы функционального анализа, даже относящиеся
к теории операторов, сюда не вошли (теория рассеяния, классификация и
исследование спектра, теория полугрупп, несамосопряженные операторы и
теория пучков операторов). Тем более не вошла теория нормированных алгебр,
8

топологические группы и их представления и др. Включение этих разделов
привело бы к дальнейшему росту объема книги. А путь конспективного
изложения вряд ли приемлем.
Пособие снабжено большим количеством упражнений различной степени
трудности. Часть из них — совершенно элементарные. Наличие последних,
вне сомнения, будет раздражать вдумчивого читателя. Но опыт преподавания
функционального анализа говорит о том, что большая часть студентов, не
специализирующихся по функциональному анализу или близким разделами
математики, воспринимает этот курс при его конспективном чтении столь
формально, что малейшие самостоятельные попытки его практического
применения приводят студентов в замешательство. Поэтому глубокое
продумывание этих элементарных упражнений — необходимое условие при чтении
книги. Вместе с тем в пособии содержатся примеры и упражнения, которые
могут быть предметом рассмотрения на семинарах и в кружках.
Насыщенность материала упражнениями уменьшается по мере
приближения к концу книги. Это объясняется не только усталостью авторов, но
и тем, что последние главы посвящены более глубоким вопросам, а читатель,
их изучающий, несомненно, будет смотреть и другие книги по
соответствующим разделам. Необходимость продумывания различных подходов и
ситуаций вполне будет восполнять отсутствие упражнений.
Список^ использованной и рекомендуемой литературы в конце книги,
разумеется, не претендует на полноту. Он содержит лишь основные, и, на
наш взгляд, наиболее удачные пособия в этой области, а также книги,
содержащие результаты, на которые приходится ссылаться по ходу изложения.
Списку литературы предшествуют краткие комментарии, которые послужат
читателю ориентиром.
Как следует из сказанного, книга задумана как учебное пособие для
университетов, но основные его разделы могут быть использованы студентами
втузов и педагогических институтов. Некоторые главы книги окажутся
полезными для аспирантов и всех тех, кто хочет пополнить свои знания по
функциональному анализу.
Несколько слов об обозначениях. Через №, Ζ+, Ζ, (Q, IR, С обозначаются
соответственно множества натуральных, целых неотрицательных, целых,
рациональных, действительных и комплексных чисел. В обозначениях мы
старались придерживаться однотипности во всей книге. Подмножество точек χ
из R, обладающее заданным свойством, обозначается, как обычно, {х 6 R \
заданное свойство}. Однако там, где подобные подмножества часто
повторяются, мы применяем упрощенные обозначения, например, {/ > 0} = {χ £
6 R | / (х) > 0}. То же относится к записи переменных в интеграле ($ fdx =
R
= J / (х) dx)t обозначению пространств (L2 (R, ft, μ) = L2 (R, άμ (χ)) = L2)
R
и т. п. Мы надеемся, что из контекста всегда будет ясен точный смысл
обозначения. Кроме того, в книге приведен список принятых обозначений.
Далее, принадлежность функции / от переменной χ множеству А обычно
обозначается как / 6 Л, однако часто из чисто лингвистических соображений
удобно писать и / (х) 6 А. Комплекснозначная функция /, заданная на
множестве R, иногда обозначается как отображение R Э х ι-*- / (х) 6 С Подобные
обозначения в некоторых главах приходится довольно часто применять.
Множества мы обычно обозначаем прописными латинскими буквами: Л, В, С, ...,
однако в тех разделах книги, где они в большом количестве фигурируют
наряду с операторами, мы множества обозначаем греческими строчными
буквами: α, β, γ, ... .
Кванторы V, 3» 31 имеют обычный смысл: «для любого», «существует»,
«существует и единственно».
Нумерация формул, теорем, лемм, упражнений, замечаний и следствий
в каждой главе автономная. Так, теорема 3.5 — это теорема 5 в § 3 любой
главы. При ссылках на теорему 3.5 из главы II она обозначается во всех
главах, кроме второй, как теорема II.3.5. Аналогично нумеруются формулы,
упражнения и др. Знаком Щ отмечается конец доказательства утверждения,
следствия, замечания.

ГЛАВА I. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Общее понятие меры множества является абстрактным аналогом таких
понятий, как длина, площадь, объем, масса, заряд и т. п. Возникнув в начале
века в работах А. Лебега по теории интегрирования, понятие меры затем
проникло в теорию вероятностей, математическую физику, функциональный
анализ и другие разделы математики. В частности, существенно повлияла
на дальнейшее развитие теории вероятностей трактовка А. Н. Колмогоровым
вероятности события как меры множества. В этой главе изучается общая
теория меры, рассматриваются различные конкретные меры, а также
знакопеременные меры, или заряды.
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Операции над множествами. Напомним основные
определения, относящиеся к операциям над множествами, и свойства этих
операций.
Множества будем обозначать прописными латинскими буквами;
0 — пустое множество. Знаком cz обозначим строгое включение.
Пусть А и В — произвольные множества. Их объединением
называется множество А [} By состоящее из всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств Л, В (рис. 1). Пересечением
множеств А и В называется множество Α Г) Β> состоящее из всех
элементов, принадлежащих каждому из множеств Л, В (рис. 2).
Аналогично определяются объединение и пересечение любого числа
множеств: если (Ла)—произвольная система множеств, где индекс
α пробегает некоторое конечное или бесконечное множество, то
(J Ла состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя
α
бы одному из Ла., а Г) ^а — из элементов, принадлежащих каж-
α
дому Ла.
Разностью двух множеств А и В называется множество А\В,
состоящее из тех элементов Л, которые не входят в В (рис. 3) (при
этом не предполагается, что В ^ Л).
ж
лив и η в
Рис. 1 Рис. 2
5

Часто рассматривают также
симметричную разность Л Δ β двух
произвольных множеств Л, В (рис. 4):
ΑΔΒ = (Α\Β)[}{Β\Α).
Часто рассматривают системы
множеств, являющихся подмножествами
некоторого определенного множества R
(например, рассматривают точечные
множества на плоскости). В этом случае
естественно ввести понятие дополнения А множества Л (рис. 5):
A Ш R\A.
С понятием дополнения связаны важные формулы двойственности,
или законы де Моргана,,
Рис. 5
U Ла= Π Аа; П Αχ= U Αα.
(1.1)
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Доказать соотношения (1.1).
1.2. Показать, что :
ΑΔΒ = (Л и В)\(А П В); А П В = (A U В)\(А Δ В).
1.3. Показать, что:
A U В = (ΑΔ£) Δ (Л η ^); Л\Я = ΑΔ (А П θ).
1.4. Пусть (Ап)^=я1 — некоторая последовательность подмножеств R.
Обозначим через А* множество всех x£R, которые принадлежат бесконечно многим
Лп, а через А* — множество всех x£R, которые принадлежат всем Ant за
оо во
исключением конечного числа. Доказать, что: а) Л* ^ Л*; б) Л* = (J П Ат\
п=1 т=п
в) А* - η L) -4m·
/г=1 т=гс
Обычно Л* и Л* называют соответственно нижним и верхним пределами
последовательности (Л^),^ и обозначают
Л* = lim АПУ А* = lim Л№.

1. 5. Доказать, что lim Άη = Jim An.
1.6. Найти верхний и нижний пределы последовательности А, В, А, В,
А, В, ... (At В — заданные множества).
2. Упорядоченные множества и лемма Цорна. Напомним также
некоторые сведения об упорядоченных множествах.
Множество X называют частично упорядоченным, если для
некоторых пар его элементов введено бинарное отношение <,
обладающее следующими свойствами:
1) а <а (рефлексивность),
2) a<b/\b<c=>a<c (транзитивность),
3) a<b/\b<a=>a = b (антисимметричность). Отношение
< называется отношением порядка.
Примерами отношения порядка могут служить отношение < для
вещественных чисел, отношение включения s для подмножеств
некоторого множества.
Элементы а, Ь£Х называются сравнимыми, если либо а < Ь,
либо b < а. Множество X называется линейно упорядоченным, если
любые два элемента из X сравнимы.
Пусть X — частично упорядоченное множество. Подмножество
Y^ X называется ограниченным сверху, если (Н6 ζ X) (Vy ζ Y):y <
<: b. Элемент b в этом случае называется верхней гранью
множества Y.
Элемент с ζ Χ называется максимальным элементом в X, если
из того, что а > с, следует а = с.
В различных разделах математики используется следующее
утверждение, которое доказываеся с помощью аксиомы выбора
Цермело (см., например, [40, 65]).
Лемма (Цорна). Если в частично упорядоченном множестве X
для всякого линейно упорядоченного подмножества существует
верхняя граньj то в X существует максимальный элемент.
§ 2. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
1. Кольца и алгебры множеств. В этом параграфе
рассматриваются различные системы множеств, являющихся подмножествами
некоторого фиксированного множества R. Это множество называют
пространством. Системы множеств обозначаются прописными
готическими буквами. Мы будем рассматривать системы множеств,
замкнутые относительно некоторых операций.
Определение 2.1. Непустая система множеств 9Ϊ называется
кольцом, если изА^ШиВ^Ш следует, что А\] 5 £ 9Ϊ и А\В £ 9ΐ.
Если 9Ϊ — кольцо, то для любых А, В ζ 9Ϊ будет также Α Δ Β ζ
ζ№ и A Q ΒζΐίΙ. Это следует из равенств Α Δ В = (А \ В) (J
U (В\А) и АС\ В = (А U Β)\(ΑΔΒ) (см. § 1). Далее, 0 £ 9ΐ,
так как 0 = А \ А.
Упражнение 2.1. Пусть %—система множеств, удовлетворяющая
одному из условий: (V4, В 6 К): а) ААВ, A f) В £ К; б) A U В, ΑΔΒ 6 Ή;
в) ААВt А\В 6 Ή. Доказать, что 9Я — кольцо.
7

Ясно, что кольцо замкнуто и относительно любых конечных
объединений и пересечений, т. е. если Αΐ9 ..., Αη £ 9Ϊ, то также
ι=1 ί=1
Определение 2.2. Алгеброй множеств называется кольцо ΐϋ
подмножеств множества /?, содержащее R.
Из ^того определения, в частности, вытекает, что если 9Ϊ —
алгебра, то из Α £ 31 следует, что Α £ 9Ϊ (так как Л = i? \ Л).
Упражнение 2.2. Показать, что алгебра — это непустая система
подмножеств 9Я множества R, обладающая следующими свойствами: 1) если Л 6 ^
то Л 6 9V, 2) если Л, В 6 К, то Л U В 6 'Л.
ПРИМЕРЫ
2.1. Пусть # — произвольное множество. Тогда система Ш (R) всех
подмножеств R, очевидно, является алгеброй множеств. (Проверить!)
2.2. Система всех конечных множеств натуральных чисел — кольцо
множеств (но не алгебра).
2.3. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является
кольцом (но не алгеброй).
2.4. Пусть Л — произвольное множество; тогда система {0, Л} является
алгеброй множеств.
В теории меры оказывается полезной следующая лемма.
Лемма 2.1. Пусть Аъ Л2, ..., Ат ... —произвольная
последовательность множеств, принадлежащих кольцу 31. Тогда
существуют множества Въ В2, . *.., Вп, ...£3fc, обладающие
следующими свойствами: 1) Bj^Aj (/ = 1, . ..); 2) Bj[\Bk = 0
ЦФк)\ 3) UB/= [} Ah
Доказательство. Множества В\ построим так:
В1 = А19
В2 = Л2\Л1,
B, = Az\(AlOAt),
Ва = Ап\[)1А,,
/=1
Поскольку Л/ принадлежат кольцу 9Ϊ, то и Bj принадлежат
этому кольцу и, очевидно, обладают требуемыми свойствами. ■
2. σ-Кольца и σ-алгебры. В теории меры часто приходится
рассматривать не только конечные, но и счетные объединения и
пересечения. Поэтому естественно ввести следующие понятия.
Определение 2.3. Кольцо множеств называется σ-кольцом,
если оно вместе с любой последовательностью множеств Аъ Л2,...,
00
Дп, ... содержит и их объединение \] Ап.
/ι=1
8

Определение 2.4. Алгебра множеств называется о-алгеброй,
если она вместе с любой последовательностью множеств Alf Л2,...,
оо
Ап> ... содержит и их объединение []Ап.
/ι=1
Упражнение 2.3. Доказать, что σ-кольцо (и, следовательно, σ-алгебра)
вместе с любой последовательностью множеств Аг, А2, ..., Ап, ... содержит
оо
и их пересечение (] Ап.
п=1
Примером σ-алгебры может служить система 3R (R) всех
подмножеств произвольного множества R (например, система всех
подмножеств числовой прямой).
3. Порожденные кольца и алгебры. В теории меры часто
требуется расширить произвольную систему множеств до кольца (алгебры)
или до σ-кольца (σ-алгебры). Установим соответствующие
утверждения.
Теорема 2.1. Для любой непустой системы 9t подмножеств
множества R существует одно и только одно кольцо ffi (3t),
содержащее 9t и содержащееся в любом кольце, включающем St.
Доказательство. Кольца, содержащие 3t, существуют.
Таким кольцом является, например, система 3R (R) всех
подмножеств множества R. Рассмотрим пересечение всех колец,
содержащих 91:
где Σ —множество всех колец, содержащих St. Очевидно, 9Ϊ (9t)
является кольцом, содержащим 91; поскольку кольцо 9Ϊ (91) —
пересечение всех колец, содержащих 9ί, то оно содержится в каждом из
этих колец. Отсюда же следует и единственность такого кольца. ■
Построенное в этой теореме кольцо 9Ϊ (91) называют кольцом,
порожденным 91, или кольцевой оболочкой системы 91.
Замечание 2.1. Приведенное доказательство теоремы 2.1 не
является конструктивным. Однако можно указать способ
построения 9ΐ(91). Так, нетрудно видеть, что ЩЩ — это система множеств,
получающихся из множеств системы 9t в результате применения
конечного числа операций объединения и вычитания.
Упражнение 2.4. Доказать сформулированное в замечании утверждение
о составе ίΚ (21).
Аналогично доказывается существование порожденного
σ-кольца, порожденной алгебры, σ-алгебры. Сформулируем, например,
теорему о порожденной σ-алгебре.
Теорема 2.2. Для любой непустой системы 91 подмножеств
множества R существует одна и только одна о-алгебра,
содержащая 9t и содержащаяся в любой а-алгебре, содержащей 91.
Предлагаем читателю доказать теорему самостоятельно.
9

ПРИМЕРЫ
2.5. Пусть R = IR—числовая прямая, 51 — система всех
полуинтервалов вида [α, β). Ясно, что 21 не является кольцом— ни объединение, ни
разность двух полуинтервалов, вообще говоря, не являются полуинтервалами.
Построим кольцевую оболочку !Н (21). Нетрудно видеть, что она состоит из
множеств, являющихся объединениями конечного числа полуинтервалов из
JR. Это следует из того, что разность двух полуинтервалов вида [α, β) есть
либо пустое множество, либо полуинтервал того же вида, либо объединение
двух таких полуинтервалов. Заметим, что !Н (21) не является алгеброй, так
как R gf ft (21).
2.6. Пусть R = [а, Ь) — фиксированный полуинтервал, 21 — система
всех полуинтервалов [α, β) ^ [а, Ь). В этом случае кольцевая оболочка
!К (21) также состоит из объединений конечного числа полуинтервалов вида
[α, β) ^ [а, Ь). Очевидно, теперь !Н (21) — алгебра (но не σ-алгебра).
УПРАЖНЕНИЯ
2.5. Показать, что система множеств JH, обладающая одним из свойств: а)
(V Л, В£П):А U В, А П ΒζΚ; б) (γ Л, В£Щ:А (] В, А\В£<Я, не
является, вообще говоря, кольцом.
2.6. Пусть f : Ri -> R2 — некоторое отображение и 9^ — кольцо
подмножеств Rx. Показать, что система {/ (Л) \ А 6 9^ι) подмножеств R2 не
является, вообще говоря, кольцом.
2.7. Пусть f : X ->· Υ — некоторое отображение, 9Л — система
подмножеств У. Доказать, что ft ({Г1 (Л) | Л 6 Щ) = {Г1 (В) | В € W (ЯЛ)}.
2.8. Индикатором множества Л s R называется функция
υ λλ_ Π, если χ ζ Α,
λ Α \χ) — jo, если x£R\A.
Пусть ^ — некоторая система подмножеств R, § — совокупность
индикаторов множеств из ЯГ. Доказать, что W — кольцо множеств тогда и только
тогда, когда % — алгебраическое кольцо относительно умножения и сложения
по модулю 2.
2.9. Пусть 21 = {В cz R | одно из множеств В, В конечно}. Доказать,
что 21 — алгебра, но не σ-алгебра.
2.10. Пусть 21 = {В cz R | хотя бы одно из множеств 5, В не более чем
счетно}. Доказать, что 21 — σ-алгебра.
2.11. Пусть / : X -> Υ и Ж — σ-кольцо подмножеств Υ. Доказать, что
система множеств /~х (3V) = {/_1 (Л) | Л 6 Ж) является σ-кольцом
подмножеств X.
2.12. Привести пример, показывающий, что объединение двух колец не
является, вообще говоря, кольцом.
2.13. Доказать, что пересечение произвольной совокупности σ-алгебр
является σ-алгеброй, а объединение двух σ-алгебр не является, вообще
говоря, σ-алгеброй.
2.14. Найти ft (21), если : а) 21 = {Л}; б) 21 = {Л, £}; в) 21 = {{*}| χ ζ
eRl
2.15. Пусть R = {α, b, с}. Описать все кольца и все алгебры
подмножеств R.
2.16. Пусть Wl = {F()G\FczlR — замкнутое, G cz IR — открытое}.
Доказать, что 9Л является алгеброй, но не σ-алгеброй.
§ 3. ПОНЯТИЕ МЕРЫ МНОЖЕСТВА. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА МЕРЫ
Определение 3.1. Пусть β некотором пространстве* R
задана алгебра множеств ?И и на 8t задана вещественнозначная
функция μ:
9ί3Αι->μ(Λ)ζΚ.
* Напомним, что пространством называют произвольное множество.
10

Функция μ называется мерой, если выполняются следующие два
условия:
1) νΛζ3ϊ:μ(Λ)>0; μ(0) = θ;
2) (счетная аддитивность, или σ-аддитивность). Для любых
оо
Л1У Л2,..., ζ 9ί, таких, что Aj Π ЛЛ = 0 (/ Φ k) и (J Л/ £ 9Ϊ, выпол·
няется равенство
μ(ϋ л7)= |>(л,).
/=ι /=ι
Упражнение 3.1. Показать, что: а) мера μ является аддитивной функцией
множеств, т. е. для любых Л, В 6 ΣΗ, таких, что Л Л ^ = ?5, μ (Л (J 5) =
=* μ (Л) + μ (В); б) равенство μ (0) = 0 является следствием σ-аддитив-
ности μ.
Установим простейшие свойства меры.
1. Монотонноеть меры. Если А, В ζ?ϋ и 4gfi, то
μ (А) <з μ (В).
Доказательство. Поскольку В = A (J (В\А),
причем А, В\А £ ΐϋ и Л Π (£\Л) =0, то в силу аддитивности меры
μ (В) = μ (Л) + μ (Я\Л), (3.1)
откуда μ (β) > μ (Л). ■
2. Субтрактивность меры. Если А, В ^Ш, А ^ В,
то μ (Β\Α) = μ(Β)-μ (Л).
Доказательство следует из равенства (3.1). ■
3. Счетная полуаддитивность меры. Пусть Аг,
оо
А2, .. ,ζΐϋ, причем О Л/ £ St. Тогда
оо °°
μ( ϋ Л/)< Σμ^/)
/=ι /=ι
(ряд в правой части может и расходиться к +<х>).
Доказательство. Воспользовавшись леммой 2.1, построим
множества Въ В2, . ..£3ί такие, что Bj[)Bk = <Z> Цфк), Bj^Aj
оо оо
и 0 β/= U Л/. Тогда μ.(β/)<μ^/) и в силу σ-аддитивности
/=ι /=ι
меры получаем
μ(0^/)-μ(ί5β/)=Σμ(β/)<ΣμΗ/). ■
7=ι /=ι /=ι /=ι
УПРАЖНЕНИЯ
3.2. Пусть μ — мера на алгебре ίΚ подмножеств R. Доказать, что для
любых А, В, С 6 ίΗ имеют место следующие равенства и неравенства:
а) μ (Л (J В) < μ (Α) + μ (В) (полуаддитивность μ);
б) μ (A U В) = μ (Α) + μ (5) - μ (Л П В);
в) μ (Л АЛ) = μ (Α) + μ (В) — 2μ (А Л Я);
г) | μ (Л) - μ (Л) | < μ (Л АВ);
д) μ (ЛАЯ) < μ (ЛАС) + μ (ЛАС);
е) μ (Л U θ U С) = μ (Л) + μ (Л) + μ (С) - μ (Л Л В) - μ (Л fl
П С) - μ (Л Л Q + μ (Л Л В Л Q;
11

ж) Ι μ (A U В) Χ μ (A f) В) -μ (Α) μ (Β) |< | μ2 (Ли θ).
3. 3. Зная меру множеств /?, Л, 5, А П #> найти меру следующих
множеств: A U (if П В), Aft (A U В), А П θ, A (J Л.
3.4. Пусть μ (Л) и μ (В) не меньше чем 0,8μ (R). Доказать, что μ (Л Π
П В) > 0,6μ (R).
3. 5. Пусть μχ, μ2 — меры на алгебре ίΗ. Доказать, что γ {αχ, α2} с: [0, + оо)
функция множеств ν = аг μ1 + α2 μ2 является мерой на JR.
3. 6. Являются ли мерами следующие функции множеств:
а) μ (0) = 0, μ (А) = 1, если Л # 0;
б) μ (А) = %А (х0), где а:0 — фиксированная точка, %А — индикатор
множества Л;
в) μ (Л) = %А (хх) + %А (*2), где *χ, χ2 — фиксированные точки;
оо
г) μ (0) = Ο, μ (Л)= £(-1)"+1 2~ηχΛ (*#ι). гДе (*η)^ι —Фиксирован-
/2=1
ная последовательность;
д) ν (0) = 0 и ν (Л) = 1 + μ (Л) (μ из г)), если Л непустое множество.
3.7. Пусть R — (П. На σ-алгебре 9Л (Я) определить меру μ так, чтобы
мера каждого рационального числа была положительна, а μ (R) = 1.
3.8. Пусть 91 — алгебра множеств и ίΚ Э Λ ι-*- Θ (Л) 6 [0, + оо) —-
аддитивная функция множеств. Доказать, что Θ является мерой на JR тогда и
только тогда, когда Θ является σ-полуаддитивной на ίΚ.
§ 4. ВНЕШНЯЯ МЕРА
Пусть R — произвольное пространство, 9ϊ — алгебра
подмножеств R, μ — мера на алгебре 9ΐ. Естественно попытаться
распространить меру μ на более широкий класс подмножеств /?, например
на некоторую σ-алгебру. Для этого используем понятие внешней
меры.
Произвольное множество Л s R всегда можно покрыть множе-
оо
ствами из 9Ϊ, т. е. найти такие El9 Е2, ... ζ 91, что (J £/— ^·
Например, можно положить Ег = 7?, Е2 = £3 = ... = 0. Для
произвольного Л s /? положим
μ*(Λ)-ΙπίΣιμ(β/), (4.1)
где инфимум берется по всевозможным покрытиям Л множествами
ε j б эг.
Функция μ* называется внешней мерой] она определена для
любых подмножеств R:
Установим некоторые свойства внешней меры.
Теорема 4.1. Если Αζΐϋ, то μ* (Α) = μ (Л).
Доказательство. Поскольку Α £ 9ΐ, то А покрывается
оо
одним множеством Ег = Л, поэтому среди чисел Σ Н> (£/) в (4.1%
есть число μ (Л), следовательно,
μ* (Л) «μ (Л). (4.2)
12

Кроме того, по определению точной нижней грани для любого
ε > 0 найдется такое покрытие {£/} множества А множествами
Ef £ 9ϊ, что
во
Σμ(£/)<μ*Η) + β. (4.3)
/-ι
оо оо
Поскольку А = А П ( U Я/) ^ ϋ (A f) £/), то, учитывая счетную
/=ι /=ι
полуаддитивность и монотонность меры, получаем
оо оо
μ(Λ)<Σ μ^Π^/ΧΣ μ (ЯД
/=ι /=ι
и в силу (4.3) μ(Α)<.μ*(Α) + г. Так как ε произвольно, то
отсюда следует, что
μ(Α)<μ*(Α). (4.4)
Из (4.2) и (4.4) получаем μ*(Α) = μ(Α). Щ
Теорема 4.2. Внешняя мера любого множества
неотрицательна: μ* (А) > О, причем μ* (0) = 0.
Доказательство. Неотрицательность внешней меры
следует непосредственно из формулы (4.1). Далее, поскольку 0 ζ 8t,
то в силу теоремы 4.1 μ* (0) = μ (0) = 0. ■
Теорема 4.3. Внешняя мера монотонна, т. е.
Α<=Β=*μ*(Α) <μ*(Β).
Доказательство. По определению внешней меры
μ*(β)=ίηί Σμ(^),
где F/£3l и [} Fj^B, но тогда множества {Fj} образуют также
оо
покрытие множества Л, поэтому μ* (А) < inf Σ μ(/ν), т. е.
μ*(Α)<μ*{Β). Ш
Теорема 4.4. Внешняя мера счетно-полуаддитивна, т. е. для
любых Аг, А2, ... s R имеет место неравенство
μ*( \}Α,)< Σ μ* (Aj).
/=1 /=1
Доказательство. Если ряд в правой части расходится,
то требуемое неравенство имеет место. Пусть этот ряд сходится. Из
определения внешней меры следует, что для любого ε > 0 и
фиксированного / можно найти последовательность множеств (Ejk)kL\
оо
такую, что Eik ζ 3ί, U Щк ^ Aj, и при этом
Σμ{Ββ)<μ*(Α,) + Α. (4.8)
13

Просуммировав неравенства (4.5) по / от 1 до оо, получим
оо оо оо
Σ Σ μ(£/*)< Σ μ*(Αι) + β. (4.6)
/=1 4=1 /-1
οο οο
Кроме того, очевидно, (J f?# 5 U Л/ и по определению внеш-
/, ft-1 /-1
ней меры
μ*(Μ/)<ΣΣ μ(£/*). (4.7)
Из (4.6) и (4.7) получаем
оо °°
μ*( U Aj-χΣ μ*(Αΐ) + *,
/=ι /=ι
откуда в силу произвольности ε следует требуемое. ■
Замечание 4.1. Иногда оказывается удобным задавать внешнюю
меру не с помощью меры, заданной на алгебре множеств, а
аксиоматически. Вещественнозначную функцию μ*, определенную на
совокупности всех подмножеств R, называют внешней мерой, еслш
1) μ* (А) >0 (V А <= R), μ* (0) = 0; 2) μ* монотонна; 3) μ*
счетно-полуаддитивна.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Доказать, что внешняя мера полуаддитивна.
4.2. Пусть μ* — внешняя мера на подмножествах R. Доказать, что
(уЛ, В, Сс R) справедливы неравенства:
а) μ* (ААВ) < μ* (Л AQ + μ* (ВАС);
б) | μ* (Α) -μ* (Β)\ <μ*(ΑΑΒ).
4.3. Определим внутреннюю меру μ* (А) множества A czR, полагая
μφ(Α) = μ (R) — μ* (Л). Доказать, что:
а) для μ# справедливы утверждения теорем 4.1—4.4;
б) (УА с R) : μ* (Л) < μ* (Л).
4.4. Являются ли внешними мерами (в смысле определения, данного
в замечании 4.1) следующие функции множеств:
а) μ* (Л) = χΑ (х0), где х0 — фиксированная точка R;
б) (V4 с: R) : μ* (Л) = 1;
в) R = {*, у}9 μ* (0) = 0, μ* ({*}) = μ* ({у}) = 10, μ* (R) = 1;
г) R — множество, состоящее из 100 точек, размещенных в квадратной
таблице из 10 столбцов по 10 точек в каждом; μ* (Л) равняется числу
столбцов, имеющих непустое пересечение с Л;
д) R ==№, пусть νη (Л) равно числу элементов множества А () {19 .. 9 ,п)
и μ* (Л) = lim η"1 νη (Л).
Я-*оо
4,5. Привести пример немонотонной функции множеств,
удовлетворяющей условиям 1), 3) замечания 4.1.
4. б. Доказать, что если μ^, μ2* — внешние меры, то
а) V* (Л) = тах {μι* (Л), μ2* (Л)} (Л с: Я);
б) (V «χ, аа> 0) αχ μ* + α2 μ2* также являются внешними мерами.
14

§ 5. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
И ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
В этом параграфе показано, как с помощью понятия внешней
меры можно продолжить меру, заданную на алгебре множеств 5К,
на некоторую σ-алгебру, содержащую 91. Пусть, как и в § 4, R —
произвольное пространство, 91—некоторая алгебра подмножеств
/?, μ — мера, заданная на 9ΐ, μ* — внешняя мера, определяемая по
формуле (4.1) для любого A s R-
Определение 5.1. Множество A s R называется измеримым
(или μ*-измеримымt или измеримым по Каратеодори), если для лю·
бою множества Ε s R имеет место равенство
μ* (Ε) = μ* (Ε Q A) + μ* (Ε П А). (5.1)
Совокупность всех измеримых множеств обозначим через й,
а сужение внешней меры μ* на ΐϋ — через μ:
μ*ϊ& = μ.
Замечание 5.1. Поскольку Ε = (Ε () А) [} (Е[)А)У то в силу
полу аддитивности внешней меры
μ*(Ε)<μ*(Ε()Α) + μ*(Ε[}Α) QfEsR).
Поэтому для доказательства измеримости данного множества А
достаточно проверить справедливость лишь противоположного
неравенства.
Теорема 5.1 (о запасе измеримых множеств).
Совокупность 9ϊ измеримых множеств образует σ-алгебру
множеству содержащую исходную алгебру 9Ϊ. Сужение μ внешней „меры
μ* на измеримые множества является мерой на о-алгебре ϋϊ.
Доказательство проведем в несколько этапов. 1).
Покажем сначала, что если Аъ Д2£ Й, то и At (J Α2ζ 3ΐ.
Действительно, поскольку множество Л2 измеримо, то для любого Ε г R
и А = Л2 выполняется равенство (5.1). Запишем это равенство,
заменив Ε на Ε Г) Αχ\
μ*{Ε[\Α1) = μ*{Ε[\Α1[\Α2) + μ*{Ε[\Α1[\Α%). (5.2)
Аналогично, заменив в (5.1) Ε на Ef]Alt получим
μ* (Ε Π Χ) = μ* (Ε П Χ П Α%) + μ* (Ε Π Χ Π Χ). (5.3)
Сложим (5.2) и (5.3); поскольку Аг — измеримое множество, то
в левой части получится μ*(Ε). Следовательно,
μ*(Ε)^μ*{Εί]Α1ηΑ2) + μ*(Ε(]Α1ί\Χ) +
+ μ*(Εί)Α1[)Α2) + μ*(Εΐ\Χϊ)Χ) (YEsR). (5.4)
Заменим в последнем равенстве Я на £ Π (Аг (J Л2). Нетрудно
видеть, что при этом первые три слагаемых правой части не изме-
15

нятся (проверьте это!), а четвертое слагаемое обратится в
/\
μ*(£Π(Λυ^2)θΗ1υ^2)) = μ*(0)-Ο
(мы здесь воспользовались законом де Моргана), поэтому
μ*(Ε[)(Α1{}Α2)) = μ*(ΕαΑ1[)Α2) +
+ μ* (Ε П Аг П Α2) + μ* (Ε Л Ах Л Л,) (V£ s /?). (5.5)
Сравнивая (5.4) и (5.5), получаем, что для любого E^R
μ*(£)= μ*(£ П Hi U i*.)) + μ* (5 П (Аг U Л2)),
т. е. множество AiU^2 измеримо^
2). Поскольку при замене А яг А равенство (5.1) не изменяется,
то из измеримости А следует измеримость его дополнения А. Таким
образом, мы показали, что Αν Α2ζΰί=>Α1[}Α2ζΊ& и Л£$К=>
=»Л£Э1, т. е. SR — алгебра множеств.
3). Пусть Аъ Л2£91, Аг[)А2=* 0. Тогда формула (5.5) при
мет вид
μ* (Ε П (Аг U А2)) = μ* (Ε Л Λχ) + μ* (5 Q Л2) (V£ s Я).
По индукции эта формула распространяется на любое конечное
число множеств: если Аъ А2, ...9 Αηζ&, Aj[\Ak = 0 (]Фк), то
μ* (Ε Л ( U А,)) = Σ μ* (Ε Л Л,) (Vfi s Я). (5.6)
/=ι /=ι
4). Покажем теперь, что & является σ-алгеброй. Для этого
«— °° ~ш
достаточно доказать, что если Αν Α2, ...ζ91, то U Л/£§К. Вос-
пользовавшись в случае необходимости леммой 2.1» можем считать,
что Aj(]Ak = 0 (]фк). В силу замечания 5.1 для доказательства
оо
измеримости множества U А\ достаточно показать, что
μ*(Ε) > μ*(Я Л ( g{ A,)) + μ*(Ε П ( Uι A,)) (YE = R). (5.7)
Так как Ш — алгебра, то U А^Ш (У/г£И)> поэтому
μ*{Ε)>μ*{Ε[\ ( U 4/)) + μ*(£η ( 6 A,)) QfEsR).
16

Воспользовавшись формулой (5.6) и монотонностью внешней меры
(теорема 4.3), получим отсюда
/\
μ* (Ε) > Σ μ* {Ε Л А,) + μ* (Ε f) ( 0 A,)) (VE Ξ R) (5.8)
/=1 /=1
οο tl
(так как, очевидно, Ε f] ( U Л/) s 5 Π ( U Λ/)). Перейдя в неравен-
стве (5.8) к пределу при /г->оо, найдем, что
/\
μ* (Ε) > Σ μ* (Ε Γ) Λ/) + μ* (£ Γ) ( 0 Λ,·)) (ΥΕ <= Я). (5.9)
Но в силу счетной полуаддитивности внешней меры
μ*(£Π ( U Ai)) =" ^*( U (ЯП ^/)) <S Σ μ*(^П Л/)
/=Ι /=1 /=>1
и из (5.9) следует, что
/\
μ* (£) > μ* (fi П ( U Л/)) + μ* (fi П ( U Л/)),
/=ι /=ι
поэтому U Αι ζ SR, т. е. 31 является σ-алгеброй.
/=ι
5). Покажем теперь, что сужение μ внешней меры μ* на 31
является на $Я мерой. Для этого достаточно показать, что
внешняя мера μ* счетно-аддитивна на $. Пусть Аъ Л2, ... ζ &, Л/ Q
оо
ЛЛ* = 0 (]¥=k). Положив в (5.9) Ε = [} Л/, получим
μ* (U Α,)>Σ μ* (Aj).
/=ι /=ι
Поскольку в силу счетной полуаддитивности внешней меры
(теорема 4.4) имеет место противоположное неравенство, то
μ* (U Л,) = 2 μ·(^/).
/=ι /-ι
и счетная аддитивность доказана.
6). Остается доказать, что SR^SK, т. е. что любое множество
Л ζ 91 измеримо. Достаточно установить для любого множества
Α ζ SR неравенство
μ* (Ε) > μ* (Ε П Л) + μ* {Ε Π Л) (V£ <= R). (5.10)
17

Из равенства (4.1), определяющего внешнюю меру, по
определению точной нижней грани для любого ε>0 существуют мно-
оо
жества Еъ Е2, ...ζΐϋ такие, что U £, з Е, причем
/=ι
μ*(£) + ε>Σμ(£/). (5.11)
Каждое из множеств Ef представим в виде
Е, = (Е, П A) U (£/ П А);
но в этом равенстве оба слагаемых в правой части входят в 9ΐ и
имеют пустое пересечение, поэтому
μ(Ε,) = μ(Ε,()Α) + μ(Ει()Α)9
и неравенство (5.11) примет вид
μ*(£) + ε>Σ μ{Ε,Ι)Α)+Σ μ{Ε,(\Α). (5.12)
Кроме того,
Ε()Α<=(ΐ) E,)t)A= ϋ (Ε,Ι)Α),
/=1 /=1
E[\A^{ U Ej)[\A= U {Ej[\A\
/=i /=i
откуда в силу определения внешней меры
оо оо
Σ μ(ΕΙΓ{Α)>μ*(Ε()Α); Σ μ(£/Л Л) > μ*(£β Л).
/=ι /-ι
Теперь из (5.12) получаем
μ*(Ε) + ε>μ*(ΕηΑ) + μ*(Ε[\Α) {VE <Ξ R),
откуда в силу произвольности ε следует (5.10). ■
Теорема 5.2 (о существовании продолжения
меры). Пусть 9Ϊ — некоторая алгебра подмножеств пространства
/?, μ — мера на 9ί. Тогда существует σ-алгебра 31х э 9Ϊ и л*е/?а μχ wa
9ΐχ такая, что μ^ = μ.
Доказательство сразу следует из теоремы 5.1. Действи-
тельно,_построим по мере μ внешнюю меру μ* и за 9ΐχ возьмем σ-ал-
гебру Й всех μ*-измepимыx множеств, а за μλ — меру μ. Очевидно,
это и будет искомое продолжение меры на σ-алгебру. ■
Замечание 5.2. Пусть снова μ — мера на алгебре 31 подмножеств
R. Обозначим через 9ϊσ порожденную этой алгеброй σ-алгебру, т. е.
минимальную σ-алгебру, содержащую 9ΐ, и построим продолжение
μσ меры μ на 9ϊσ. Такое продолжение называют минимальным про·
должением меры.
18

Поскольку £R 3 91, το ΐϋσ ^ !гЯ; поэтому можно положить μσ=
= μ f ϋΚσ. Очевидно, μσ является мерой. При этом μσ fSl = μ \ SR =
=μ, т. е. μσ — минимальное продолжение меры μ. Мы видим,
что минимальное продолжение меры всегда существует.
Единственность такого продолжения будет установлена в §7.
Замечание 5.3. Если μ* — аксиоматически определенная
внешняя мера (см. замечание 4.1), то для нее можно ввести, как и в
определении 5.1, понятие измеримого множества. При этом остаются
справедливыми все утверждения теоремы 5.1, кроме того, что 9Ϊ з
3 9Ϊ (так как алгебра 9Ϊ теперь вообще не вводится).
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Пусть μ* —внешняя мера. Доказать, что: а)
(уЛ, В 6 R) : μ* (Л [} В) + μ* (Л (] В) < μ* (Л) + μ* (В);
б) если хотя бы одно из множеств Л, В измеримо, то имеет место равенство.
5.2. Пусть μ — мера на алгебре 9Я, μ* и μ* —внешняя и внутренняя
меры, построенные по μ (см. упр. 4.3). Доказать, что множество А измеримо
в том и только в том случае, когда μ* (Л) = μ* (Л).
5.3. Пусть μ — мера на алгебре ίΗ, μσ — ее минимальное продолжение.
Доказать, что (у Л с: R):
μ* (Л) = min {μσ (В) \ А с В, В £ Κσ},
μ* (Л) = max {μσ (С) \ С с Л, С ζ Κσ}.
5.4· В условиях упр. 5.3 доказать, что Л с R измеримо тогда и только
тогда, когда Л = В [) С, где В £ ίΗσ, μ* (С) = 0.
5.5. В условиях упр. 5.3 доказать, что множество Л с R,
удовлетворяющее условию (Υ ε > 0) (Я Съ С2 £ ίΗσ): Сх с: Л с: С2, μσ (С2\С,)<е, измеримо.
5.6. Найти совокупность μ*-измepимыx множеств для функций μ* из упр#
4. 4, являющихся внешними мерами.
5.7. Пусть μ — мера на алгебре ίΗ, μ* — построенная по ней внешняя
def
мера. Доказать, что отношение Л ~ В <=> μ* (Л Δ В) = 0 является
отношением эквивалентности на 9Л (R). Пусть 9Л = 9Л (R)/~—соответствующее
фактор-множество, Л, В — его элементы. Доказать, что функция d (Л, В) =
= μ*( Л Δ B)t где A£At В ζ В, задает расстояние на 9Л.
§ 6. СВОЙСТВА МЕР И ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ
Определение 6.1. Мера μ, заданная на алгебре 9ϊ, называется
полной, если из А £Ш, В а А и μ (Л) = 0 следует, что В £ ffi.
Теорема 6.1. Пусть μ — мера на алгебре 9ϊ подмножеств
пространства R9 μ* — соответствующая внешняя мера. Если μ* (А) = 0
для некоторого А ^ R, то множество А измеримо и μ (А) = 0.
Доказательство. Для доказательства измеримости А
достаточно установить (см. замечание 5.1), что
μ* (Ε)> μ* (Ε ПЛ) + μ* {Ε [\Α) (VE<=R).
Поскольку Ε Π Α ^ А, то в силу монотонности и
неотрицательности внешней меры 0< μ*(Ζ?Γ] А) < μ* (Α) ~ 0=»μ*(£Π А) = 0.
19

Кроме того, Ε f] Л = Еу поэтому благодаря монотонности внешней
меры получаем
μ*(Ε)> μ*(Ε (]А) = μ* (Е ()А)+ μ* (Ε ПА),
т. е. множество А измеримо. Но тогда μ (А) = μ* (Л) = 0. ■
Следствие 6.1. Мера μ, полученная сужением внешней меры μ*
на σ-алгебру Ш измеримых множеств, является полной.
Доказательство. Пусть Л ζ 92, ВсЛ и μ (Л) = 0. Тогда
и μ* (А) = 0 и в силу монотонности внешней меры μ* (Β) < μ* (Л),
поэтому μ*(β) = 0. Но тогда в силу теоремы 6.1 ΒζϊΚ и μ (5)=
= 0. ■
Теорема 6.2 (о непрерывности для
объединений). Пусть μ — мера, заданная на а-алгебре §К подмножеств R.
Если задана возрастающая последовательность множеств: Axs
<=Л,с=...., Л/бЭЦУ/), mo
μ( Ο Αί) = Ιιπιμ(Αη).
Доказательство. Заметим, что
U Л, = Лх U (Л2\Лх) U (48\А) U · · -.
причем в правой части стоит объединение попарно не
пересекающихся множеств. Поэтому, воспользовавшись счетной
аддитивностью и субтрактивностью меры, получим
оо °°
μ (0 А,) = μ {Аг) + Σ μ (Λ/\Α-ι) = μ (At) +
/=1 /=2
+ lim Σ μ (A,\AHi) = lim (μ (AJ + Σ (μ (Л,) - μ(Л/-,))) =.
П-*°о f=2 П-юо /=2
= Ηΐημ^η). ■
Теорема 6.3 (о непрерывности для пересечений).
Пусть μ — мера, заданная на о-алгебре ΐϋ подмножеств R. Если
задана убывающая последовательность множеств: Аг з Л2з ..., Л/ £
gK(V/), то
оо
μ( Π Λ,) = Ηηΐμ(Λ„).
Доказательство. Рассматривая Лх как пространство!
содержащее все множества Л/, имеем по закону де Моргана,
откуда
20
Λι\ П Л/ = и {AtKAj),
/=1 /=1
П Л/^Л^и (A1\AJ)
/=ι /-ι

и в силу субтрактивности меры
μ ( П χ Α,) = μ {Аг) - μ ( Д^ (А^А,)).
Однако последовательность множеств (A1\Aj)JLi расширяющаяся,
и по предыдущей теореме
μ ( П Aj) = μ (Аг) - lim μ (Аг\Ап) = μ (Αχ) —
— lim (μ (4,) — μ(Λ„))=Ηηΐμ(Λ„). ■
Замечание 6.1. Возрастающие и убывающие
последовательности множеств будем называть монотонными. Введем для таких
последовательностей понятие предела:
def °·
Если Аг ^ А2 s . . ., то lim Ап = [} А\\ если Аг s А2 з ...,
П-+оо /=1
def °°
то НтЛп = Π 4/. В этих обозначениях теоремы 6.2 и 6.3 можно
сформулировать в виде одного утверждения, а именно:
Теорема 6.4. Пусть μ — мера, заданная на G-алгебре SR
подмножеств R. Если (An)n=i^R — монотонная
последовательность множеств, то
μ(\ίπιΑη) = ηπΐμ(Αη).
Этим и объясняется название «теоремы о непрерывности».
Теорема6.5 (необходимое условие
измеримости). Пусть μ — мера на алгебре ffi подмножеств /?, μ —
продолжение меры μ на α-алгебру ffi измеримых множеств. Тогда для
любого измеримого множества А и д ля любого е >> О найдется такое
множество Аг £ 9Ϊ, что
μ(ΑΔΑΒ)<ε. (6.1)
Доказательство. По определению внешней меры для
любого ε > 0 найдется такое покрытие {Ej\ множества А
множествами Ej£SR, что
оо
μ*Η) + |>5]μ(β/). (6.2)
/=ι
Но μ* (Α) = μ (Л), поскольку Α £ Ш и μ (£/) = μ (Я/), поскольку
£/£&. Поэтому (6.2) запишется так:
№) + γ>Σμ(Ε,),
/-ι
31

откуда в силу счетной полуаддитивности меры
ε
"2
μ(Λ)+|->μ(υ Ει). (6.3)
/=ι
Далее, очевидно, и Ej = E1[} (Ег \] Е2) U (Ег [) Е2 [] Е3) U ...,
причем множества в правой части образуют возрастающую
последовательность. Тогда по теореме 6.2
μ( U 5/) = Ηπΐμ( U Ef).
/=1 П-*-оо /=1
Выберем η настолько большим, чтобы выполнялось неравенство
iI(U β/)-μ(δ Д/)<4· (6.4)
/=1 /=1 Δ
и положим
/=ι
Покажем, что множество Л8 является искомым, т. е. что имеет
место неравенство (6.1), или, что то же самое, неравенство
μ((Α\Αε)[](Α8\Α))<ε.
В силу аддитивности меры для этого достаточно установить два
неравенства:
μ(Α\Λβ)<4; (6.5)
2
ε
7
μ(ΑΛ\Α)<±. (6.6)
Поскольку A s U Ej, то Л\Ле s U £/\Ле, откуда, учитывая
/=1 /=1
монотонность и субтрактивность меры и (6.4), получим
Р(Л\Лв)<и((и £/)\4β) = μ(υ £/)-μ(4)<{,
/=ι /=ι 2
οο
и неравенство (6.5) доказано. Далее, поскольку А ^ U Е}- и
/•=1
оо
Ле s U £/, то, учитывая монотонность и субтрактивность меры,
/=ι
получим
μ (АВ\А) < μ (( U ι Е,)\А) = μ ( ^ £/) - μ И),
откуда в силу (6.3)
^(Ле\Л)<|,
и неравенство (6.6) также установлено. ■
22

УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Пусть μ — мера на σ-алгебре %. Положим
def def
<К0 ={А UB\A£<Rt БсСе^Я, μ (С) = 0}, μ0 (А \) В) = μ (Л).
Доказать, что ft0 — σ-алгебра и μ0— полная мера на 9*0 (меру μ0 называют
пополнением меры μ).
6.2. Пусть !Н Э Α '-*- Φ И) 6 [0, + оо) — аддитивная функция множеств
на алгебре 1R. Доказать, что любое из следующих условий достаточно для
σ-аддитивности φ:
а) для каждой возрастающей последовательности (ΛΟ^Ι,ι множеств из 51
такой, что lim An £ ίΗ,
φ (lim An)= lim φ (Αη)\
П-ЮО П-+00
б) для каждой убывающей последовательности (Ап)^=1 множеств из %
такой, что lim Лп£91,
φ (lim Лп) = Нт φ (Αη)\
П-*оо п-ьоо
в) для каждой убывающей последовательности (Ап)™аХ множеств из !Н
такой, что lim Лп = 0,
lim φ (Αη) = 0.
n-foo
6.3. Пусть μ —мера на σ-алгебре SR, (Ai),Jli с: К. Доказать, что
μ (jlim_ Ап) < Jim_ μ (л„), μ (ТЕГ Ап) > ΤϊπΤ μ (Л„).
Привести пример, когда выполняются строгие неравенства.
оо
6.4. В условиях упр. 6.3 предположим, что ^] μ (Ап) < оо. Доказать
что μ ( lim An) = 0.
rt-^oo
6.5. Пусть AczR таково, что (γε>0) (3Λε£9ί):μ* (ΑΔΑΒ)<ε. До-
казать, что А — измеримое множество.
6.6. Доказать, что метрическое пространство (9Л, d), определенное в
упр. 5. 7, является полным.
6.7. В условиях упр. 5.7 положим 9Л1 = 91/~, 9Л2 = Й/~. Доказать, что
ЯЛ2 совпадает с замыканием множества ЭД^ в (9Λ, d).
§ 7. MOHOTOHHbSE КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕРЫ
При изучении вопроса о единственности продолжения меры
(а также и в других случаях) удобно воспользоваться понятием
монотонного класса множеств. В определении монотонного класса
используется введенное в § 6 понятие предела монотонной
последовательности множеств (см. замечание 6.1).
Определение 7.1. Система SR подмножеств пространства
R называется монотонным классом, если вместе с любой монотон·
23

ной последовательностью множеств Al9 Л2, ... она содержит и ее
предел lim An.
П-*-оо
ПРИМЕРЫ
7.1. Совокупность 9Л (R) всех подмножеств пространства R является
монотонным классом.
7.2. Всякое σ-кольцо 9Л является монотонным классом, так как оно
содержит счетные объединения и пересечения любых последовательностей
множеств из 9Л (а не только монотонных).
Лемма 7.1. Если кольцо множеств SR — монотонный класс,
то 3R является σ-кольцом.
Доказательство. Пусть задана любая последовательность
множеств (Лп)^=1 с 9R. Докажем, что тогда и Л/£ЗК.
η
Положим Вп— [J Л/. Поскольку SR — кольцо, то Bn£®l(Vn).
Последовательность (Вп)п=\— монотонная (возрастающая), и так
как 3R — монотонный класс, то ИтВп£$Ш. Остается заметить, что
G Aj = lim U Λ/ = Ηηιβ„£ξΚ. ■
Теорема 7.1. Пусть ΐϋ — некоторое кольцо подмножеств
пространства R. Обозначим через ΐϋσ порожденное кольцом 9Ϊ
о-кольцо, а через $Ят — минимальный монотонный класс,
содержащий ΐϋ (такой класс, очевидно, существует). Тогда ΐϋσ = Шт.
Доказательство. Поскольку 9ϊσ содержит всевозможные
счетные объединения, a 3tm — лишь объединения монотонных
последовательностей, то ΐϋηι^ΐϋσ. Если мы покажем, что SROT—
кольцо множеств, отсюда в силу леммы 7.1 будет следовать, что
SRm является σ-кольцом. Поскольку 3ίσ — минимальное σ-кольцо,
содержащее ΐϋ, то 91σ ^ 9lm, откуда 3ίσ = 9lm. Итак, достаточно
показать, что §Кт — кольцо. Проведем доказательство этого в
несколько этапов.
1). Зафиксируем множество В ^ R и рассмотрим класс
множеств
&B = {A<=R\AUB, A\B, В\А£Шт}.
Из симметричности этого определения относительно А и В
следует, что если Α £ $б, то Βζ®Α.
2). Покажем, что $в — монотонный класс. Пусть дана
возрастающая последовательность множеств Аг ^ А2 ^ .. ., Л/ £$я
(V/). Докажем, что Л = lim Л„£$я. Так как по определению
П-+оо
предела ШпЛ„=и Ah то ЛиЯ=(0 4;)L)B=U 04/US) =
24

= Hm (An U Β) ζ. ^т, поскольку (Л/ [) В%=\ — возрастающая после-
довательность множеств из монотонного класса 3fcm. Аналогично
А\В » U А,\В - U (А,\В) = lim (Ап\В) £ «m.
/=1 /=1 rt->~
Далее,
B\A = S\ U Aj = η (θ\Α/) - Hm 05\Л„) 6 9lm,
так как (5\^/)/Li — убывающая последовательность множеств
из монотонного класса 9lm. Следовательно, А£Яв.
Аналогично устанавливается, что если ^2>122..., Aj ζ Яв
(V/), то ИтАп£Яв. Итак, Яв— монотонный класс.
3). Пусть Βζΐϋ. Покажем, что тогда Шт^Яв. Для этого
установим сначала, что 91 s Яв. Пусть Α ζ 91. Так как 31—кольцо,
то A (J В, Л\5, 5\Л£91 и тем более Α Ό В, А\В, B\A£lRmt
т. е. Αζ$Β- Таким образом, 91 ^Яв> т. е. $в — монотонный
класс, содержащий 91. Поскольку 9lm — минимальный монотонный
класс, содержащий 9Ϊ, то $Ят S Яв.
4). Покажем, что если fi£9lm, то Э1т^$в. Для доказательства
возьмем любое множество Α £ 91, тогда по доказанному в п. 3)
$Ят^$А' Поскольку 5£9lm, то В£Яа, и по доказанному в п. 1)
А£Яв. Таким образом, 91^ Яв и, следовательно, 9ims$B (см.
конец п. 3)).
5). Покажем теперь, что 9lm — кольцо, что завершит
доказательство теоремы. Пусть Л, β ζ 9im. Докажем, что А [} В, А\В£ 9lm.
Поскольку В £ 3im, то по доказанному в п. 4) Шт s Жв, в
частности А £ Яв. Но тогда из определения Яв следует, что Л ϋ β»
Л\Б£9^т, т. е. dlm — кольцо. ■
Теорема 7.2 (о единственности минимального
продолжения меры). Пусть $t — некоторая алгебра
подмножеств пространства R, 9ϊσ—σ-алгебра, порожденная алгеброй 9Ϊ,
и пусть на 9ΐσ заданы две меры — μ и v. Если эти меры совпадают
на 91, т. е. μ fa = ν \9ϊ , то μ = v.
Доказательство. Надо доказать, что (ΥΑζ$ϊσ):μ(Α) =
= ν(Λ). Если Л£9£, то это следует из условия теоремы. Пусть
А 3 &, тогда Α £ 3im, поскольку в силу теоремы 7.1 9ΐσ = ffim.
Поэтому А является пределом монотонной последовательности
множеств (Αη)η=ι σ 9Ϊ, А = lim An. Воспользовавшись теоремой
6.4, получим
μ(Λ) = μ(Ηπι.4Λ) = Ηπιμ(^4/Ι) = lim v(An) =
= v(lim.An) = v(i4). ■
25

УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Доказать, что пересечение любого числа монотонных классов
является монотонным классом.
7.2. Пусть 21 — система подмножеств R, 21 σ — наименьшая σ-алгебра,
содержащая 21, 2Im— наименьший монотонный класс, содержащий 51. Доказать,
чтоИдаеИа.
7.3. Пусть 51 = {0, Л, 5, С}, где А (\ В = 0, А [} В с С.
Положим μ (0) = 0, μ (Α) = μ (β) = μ (С) = 1. Доказать, что: а) μ —
σ-аддитивная на 51; б) μ нельзя продолжить до меры на 9Я (51). Не
противоречит ли этот результат теореме 5.2?
7.4 Пусть 51 = {0, А, В}, где множества Л, В таковы, что А[)В, А\В,
В\А непусты. Положим μ (0) = 0, μ (Α) = μ (В) = 1. Доказать, что: а)
μ — σ-аддитивна на 51; б) существует бесконечно много продолжений μ до
меры на !Н (51). Не противоречит ли этот результат теореме 7.2?
7.5. Пусть R = [0, 1] X [0, 1], 51 — система всех прямоугольников
Пс^,у которых длина или ширина равна 1. Для произвольного Π £ 51
положим μ (Π) равной площади прямоугольника П. Доказать, что μ
σ-аддитивна на 51. Указать два различных продолжения μ на 5ίσ. Не противоречит ли
этот результат теореме 7.2?
§ 8. МЕРЫ, ПРИНИМАЮЩИЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В определении 3.1 меры множества предполагалось, что всегда
μ (А) < оо. Однако часто приходится рассматривать меры, которые
могут принимать и бесконечные значения. Примеры таких мер
рассматриваются в этом и последующих параграфах. В отличие от них
меры, изученные в предыдущих параграфах, называют конечными.
Приведем соответствующие определения.
Определение 8.1. Пусть & — некоторая алгебра подмножеств
пространства R. Функция μ, определенная на 9Ϊ, называется
мерой у если:
1) (4Α£ΪΆ)ιΟ<μ(Α)<+οο, μ(0) = Ο;
2) (счетная аддитивность). Для любых Αν Л2, .. .£9i,
оо
таких у что Ajf\Ak=:0 (j ФЩ и U А\ ζ 9Ϊ, выполняетвя ра-
7=1
венство
оо °°
μ( U Α,) = Σ μ(Α,).
/=1 /=1
Нетрудно проверить, что для таких мер остаются справедливыми
все утверждения § 3 и 4, а также теоремы 6.1—6.4; лишь в теореме
6.3 следует добавить условие, что хотя бы одно из множествЛ/ имеет
конечную меру (соответствующий контрпример приведен в § 10).
Для справедливости остальных установленных выше
утверждений о мерах приходится несколько сузить класс рассматриваемых
мер, а именно: ограничиться лишь так называемыми σ-конечными
мерами.
Определение 8.2. Мера μ, принимающая бесконечные
значения, называется ^-конечной, если, существует последователь-
ность множеств Аъ Ла,... ζ 81 такая, что Аг s A2 s А3 ^ ...,
μ(Λ„)<+οο (Ул) и Я= U Ап.
26

ПРИМЕРЫ
8.1. Пусть R = К. Введем меру μ на σ-алгебре 9Л (К) всех подмножеств
R, полагая μ (/5) = 0, μ (Л) = + оо при Л ^ 0. Ясно, что эта мера не
является σ-конечной.
8.2. Пусть R = №. Введем на σ-алгебре Ш (Ы) меру μ, полагая μ (Л) =
= л, если множество А состоит из η элементов, и μ (Л) = + оо, если А —
бесконечное множество. Легко проверить, что μ является σ-конечной мерой;
в качестве множеств Ап можно взять, например, {1, 2, ..., /ι}.
Важный пример σ-конечной меры рассмотрен в § 10.
УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Показать, что в определении 8.2 можно опустить условие Аг s
s Л2 <= А3 <= ... .
8.2. Показать, что если мера μ, заданная на алгебре Η подмножеств R,
σ-конечна, то./? можно представить в виде объединения счетной системы
попарно не пересекающихся множеств конечной меры.
8.3. Пусть R = Ы. Положим μ (Л) = 0, если Л — конечное
множество, и + оо, если Л — бесконечно. Доказать, что μ — аддитивная функция
на 9Л (Ы). Является ли μ мерой?
8.4. Пусть / : R -> [0, + оо]. Положим μ (0) = 0, μ (Л) = ^ м / (*)· Д°'
k^A (J №
казать, что μ — мера на 9Л (IR). Когда μ является σ-конечной мерой?
8.5. Пусть μ — мера на σ-алгебре *R. Доказать, что:
а) 51 х = {Л £ % \ μ (Л) <+ <*>} является кольцом;
б) 212 = {Л£!К| Л= U Λι, ЛП£<Н, μ^)< + οο, я£ Ν} является
σ-кольцом.
8.6. Пусть μ — мера на алгебре ίΚ. Доказать, что для любых Л, В £ !Н
справедливы равенства:
μ (Л) = μ (Л \ Л) + μ (Л П θ); μ (Л) + μ (5) = μ (Л U θ) +
+ μ (Л П Β); μ (ЛАЯ) + 2μ (Л П θ) = μ (Л) + μ (В)
(ср. с упр. 3.2).
§ 9. МЕРА ЛЕБЕГА
ОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ МНОЖЕСТВ
Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега
на числовой прямой. Эту меру ввел Лебег, стремясь расширить
понятие интеграла на «очень разрывные» функции.
Пусть R = [а, Ь) — некоторый фиксированный полуинтервал
числовой прямой, алгебра множеств 91 — кольцевая оболочка
множества всех полуинтервалов [α, β) ξ [#, Ь). Таким образом,
каждый элемент алгебры 31 имеет вид
A=U [«/, β/). (9.1)
где полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются (так
как объединение двух пересекающихся полуинтервалов — снова
полуинтервал).
Длина полуинтервала [α, β), как и отрезка [α, β] и интервала
(α, β), равна β — се. Длиной множества (9.1) называют суммарную
27

длину составляющих его полуинтервалов:
k
дл. Л = Σ (β/ — «/).
Теорема 9.1. Введем на алгебре 9Ϊ функцию μ, полагая
μ(Λ) = #ι. Л (Лей» Л#0), μ(0)«Ο.
Функция μ является мерой на алгебре 9Ϊ.
Доказательство. Поскольку из определения
непосредственно следует, что μ (Л) >0, μ(0)= Ο, то остается лишь
проверить, что μ обладает свойством счетной аддитивности.
Пусть Αν Л2, . ..£9ϊ, Aj[)Ak=0 {j¥=k)f причем Α =
оо
== U ΑίζΐίΙ. Надо доказать, что
оо
Дл. Л = Σ дл. Л/. (9.2)
Поскольку Л как элемент 9ΐ есть объединение конечного числа
η
полуинтервалов и U Α,-^Α при любом /г, то
/=ι
η
Σ дл. Л/ < дл. Л;
перейдя к пределу при /г-^оо, получим
оо
Σ дл. Л/<дл. Л. (9.3)
Докажем противоположное неравенство. Зададим число ε > 0.
Множество Л — это объединение полуинтервалов вида (9.1).
Сдвинем правые концы полуинтервалов β/ влево настолько, чтобы для
объединения Л8 получившихся замкнутых промежутков
выполнялось условие
дл. Л<дл. Л8+ 8. (9.4)
Далее, для каждого из множеств Л/ сдвинем влево левые концы
составляющих полуинтервалов и обозначим через А] объединение
получившихся открытых промежутков. При этом сдвиги берутся
настолько малыми, чтобы выполнялось условие
дл. Л/е<дл. Aj + ψ. (9.5)
оо
Поскольку Л =5 (J Л/, то, сузив множество Л и расширив каждое
из Л/, получим
Л8 с 5 Л?.
28

Компакт Л8 (объединение конечного числа замкнутых
промежутков) покрыт открытыми множествами А)\ поэтому по лемме Гейне—
Бореля из этого покрытия можно выделить конечное покрытие,
т. е. для некоторого η
Лео U А).
Поскольку здесь и в левой и в правой частях — объединения
конечного числа промежутков, то
η
дл. Л8 < Ц дл. Л/.
/=ι
Отсюда, учитывая (9.4) и (9 5), получаем
η η
дл. А < дл. Л8 + г < Σ дл. А) + ε < Ц дл. А/ +
+ Σ ~· + ε<Σ ДЛ. А, + 2в,
/=1 2' /-ι
откуда
00
дл. Л < Σ дл. Л/ + 2ε.
/=ι
Поскольку ε > 0 произвольно, то, переходя к пределу при ε -> О,
получаем
оо
дл. Л < Σ Дл. Л/,
что вместе с (9.3) доказывает требуемое равенство (9.2). ■
Определение 9.1. Пусть μ*— внешняя мера, построенная
по введенной в теореме 9.1 мере μ; μ*'-измеримые множества
называют измеримыми по Лебегу, а продолжение т меры μ на
σ-алгебру $t = $ft([a, b)) измеримых по Лебегу множеств
называют мерой Лебега.
Упражнение 9.1. Показать, что мера Лебега ограниченного множества
не зависит от выбора полуинтервала [а, Ь). Точнее, пусть А ^ [а, Ь) и A s
£ [а'у Ь'); т и т' — меры Лебега, построенные соответственно для
полуинтервалов [а, Ь) и [а', Ь'). Если А измеримо по мере т, то оно измеримо и по
мере т', и т (А) = т! (А).
Указание. Воспользоваться определением измеримости множества.
Установим некоторые свойства меры Лебега ограниченных
линейных множеств.
Теорема 9.2. Множество, состоящее из одной точки, измеримо,
и мера его равна нулю.
Доказательство. Пусть Л = {х} — множество,
состоящее из одной точки. В силу теоремы 6.1 достаточно показать, что
29

m* (A) = 0, где m* —внешняя мера, по которой построена мера
Лебега.
По определению внешней меры
оо 00
0 < т* ({*}) = inf Σ т {Ej) (Ει ζ Μ, U Я/ => {*}).
Однако в качестве покрытия точки всегда можно выбрать любой
полуинтервал [α, β), содержащий эту точку. Поэтому
0<т*({х})< inf m([a, β)) = inf (β — α) = 0,
[α, β))χ [α, β)}*
откуда m* ({a:}) = 0. Следовательно, множество {я} измеримо
и т({х}) = 0. ■
Теорема 9.3. Всякое не более чем счетное ограниченное
множество точек прямой измеримо и мера его равна нулю.
Доказательство. Пусть А — не более чем счетное
множество, А = {хъ х2, ...}, тогда А = [} {#/). Измеримость множества
А следует из того, что совокупность Й измеримых множеств
является σ-алгеброй. Благодаря счетной аддитивности меры имеем
т(Л) = 2тфс/}) = 0. ■
Пример 9.1. Множество рациональных точек отрезка [0, 1] имеет меру
нуль.
Теорема 9.4. Любой промежуток (открытый, замкнутый,
полузамкнутый) измерим и его мера равна его длине:
т ((α, β)) = т ([α, β]) = т ((α, β]) = т (Ια, β)) = β — а.
Доказательство. По определению меры т ([α, β)) =
= β — а. Далее, [α, β] = [α, β) [} {β}, поэтому
т (Ια, β]) = т ([α, β)) + т ({β}) = β — а + 0 = β — α.
Аналогично рассматриваются остальные случаи. Я
Теорема 9.5. Любое ограниченное открытое или замкнутое
множество измеримо по Лебегу..
Доказательство. Как известно, всякое ограниченное
открытое множество G c= IR является объединением не более чем
счетного множества открытых промежутков!
G= IHa/, β/). (9.6)
Поскольку (α/, β/)£$(¥/), то и GgSt.
Пусть теперь F — ограниченное замкнутое множество. Возьмем
любой интервал (α, β) id F\ тогда G = (α, $)\F — открытое
множество, поэтому
F = (a, β)\0
измеримо как разность двух измеримых множеств. ■
30

Замечание 9.1. Как известно, промежутки в представлении (9.6)
всегда можно выбрать попарно не пересекающимися. В этом случае,
благодаря счетной аддитивности меры Лебега,
оо
m(G)= Σ (β/-α/). (9.7)
/=ι
В случае замкнутого множества F = (α, β) \ G получаем
m(F) = fi — a — m(G)9
где m(G) можно вычислить по формуле (9.7).
Определение 9. 2. Пусть R — произвольное топологическое
пространство. Борелевской σ-алгеброй называется а-алгебра 25 (/?),
порожденная совокупностью всех открытых множеств из R.
Элементы борелевской о-алгебры называются борелевскими множествами.
Борелевскими множествами являются, в частности, все
открытые и замкнутые множества, множества типа Gq (счетные
пересечения открытых множеств), типа Fa (счетные объединения замкнутых
множеств), типа ΰδσ и Fg& (соответственно счетные объединения
множеств Gq и счетные пересечения множеств FG) и т. д.
В частности, при R = [а, Ь) мы получим борелевскую σ-алгеб-
ру 25 ([#, Ь)). Множество В с= IR будем называть ограниченным бо-
релевским множеством на прямой, если оно входит в некоторую
борелевскую σ-алгебру 25 ([а, Ь)).
Теорема 9.6. Любое ограниченное борелевское множество
на прямой измеримо по Лебегу.
Доказательство. Пусть В ζ 25 ([α, b)). Покажем, что
множество В измеримо по Лебегу. Как установлено выше, все
открытые множества полуинтервала [а, Ь) входят в σ-алгебру Ш ([af b))
измеримых множеств. Но тогда σ-алгебра 25 ([а, £?)), порожденная
совокупностью всех этих открытых множеств, также входит в
91 ([я, b))t т. е. всякое ограниченное борелевское множество
измеримо по Лебегу.
Теорема 9.7. Если Ε — ограниченное измеримое множество на
прямой, то для любого ε > О найдется такое ограниченное
открытое множество G c= 1R, что G =э Бит (G\E) < ε.
Доказательство. Поскольку Ε измеримо, то т (Б) =
= т* (£), где т* — внешняя мера, по которой построена мера
Лебега. Вспоминая определение внешней меры (см. формулу (4.1)),
а также определение меры μ в теореме 9.1, получим, что для любого
ε > 0 найдется такое множество А вида
А = U [ak9 fa)
k
(объединение не более чем счетного множества полуинтервалов),
для которого
Ε с A, m{A)<m(E) + Y. (9.8)
31

Далее, для каждого из полуинтервалов [ak, βΛ) рассмотрим
содержащий его открытый промежуток (a'k, β^), где ak*=s<xk щ,
и положим
k
Ясно, что G — открытое множество. Покажем, что оно является
искомым. Действительно, очевидно, GzdA. Далее,
G\A = у (α;, β,)\[α„ β,),
к
откуда, благодаря субтрактивности и полу аддитивности меры,
«(о)-«(Л)<2?5т<|..
k
Отсюда и из (9.8) находим
m(G)«m(i4) + Y<m(fi) + e.
Следовательно, m(G\E)<e и GzdE. ■
УПРАЖНЕНИЯ
9.2. Доказать, что множество, имеющее положительную меру Лебега,
несчетно.
9.3. Пусть А а [а, Ь) — измеримое по Лебегу множество, имеющее хотя
бы одну внутреннюю точку. Доказать, что т (А) > 0.
9.4. Чтобы построить на отрезке [0, 1] канторово множество D, сначала
удаляют из этого отрезка интервал (1/3, 2/3). Затем каждый из двух
оставшихся отрезков делят на три равные части и удаляют средние интервалы,
т. е. (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9). На следующем шаге каждый из оставшихся
отрезков опять делят на три равные части и удаляют средние интервалы.
Множество D точек [0, 1], оставшихся после неограниченного продолжения этого
процесса, называют канторовым. Доказать, что: a) D — борелевское
множество и т (D) = 0; б) D имеет мощность континуум; в) D — совершенное
множество, т. е. каждая его точка является предельной; г) D — нигде не плотное
множество.
9.5. Найти меру Лебега множества точек из [0, 1], в разложении которых
в бесконечную десятичную дробь не участвует какая-либо одна цифра.
9.6. Доказать, что 93 (IR) совпадает с σ-алгеброй, порожденной любой из
следующих систем множеств: а) всех замкнутых множеств; б) всех интервалов
(а, Ь); в) всех отрезков [а, Ь]\ г) всех полуинтервалов [а, Ь)\ д) всех
полуинтервалов (а, Ь]\ е) всех интервалов (сегментов, полуинтервалов) с
рациональными концами.
9.7. Доказать, что множество А с [а, Ь) измеримо по Лебегу тогда и
только тогда, когда А = В [) С, где В 6 93 ([a, b))t a т (С) = 0.
9.8. Доказать, что для любого А с [а, Ь) справедливы равенства
т* (А) = inf {mG (G) | G => Л, G — открытое}, m* (A) = sup {m0 (F) \ Fez A,
F — замкнутое}, где тс — минимальное продолжение меры т.
9.9. Пусть А с: [а, Ь) измеримо по Лебегу. Доказать, что: а) (уе >
> 0) (Hi7 с: Л, F — замкнутое): т (А \ F) < ε; б) т (А) = inf {m (G) |_G=>
=> Л, G — открытое} = sup {m (F) \ F a A, F — замкнутое}.
32

9.10. Доказать, что множество А с: [at b) измеримо по Лебегу тогда
и только тогда, когда (γε > 0) (3Λ G : F с А с G, F — замкнутое, G —
открытое) : т (G \ F) < ε.
9.11. Доказать, что для каждого измеримого по Лебегу множества А с
с [а, Ь) найдутся такие множества В и С типа Fa и Gq соответственно, что В с:
сДсС, т (С \ В) = α
9.12. Доказать, что: а) σ-алгебра 33 ([а, 6)) имеет мощность континуум;
б) σ-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств [а, Ь) равномощна 9Л ([а, 6)).
9.13. Пусть А с [а, 6) измеримое по Лебегу множество, т (А) = р.
Доказать, что для любого q 6 [0, ρ] найдется измеримое по Лебегу Ад cz А
такое, что m(Aq) = q.
9.14. Пусть множество A cz [α, b) измеримо. Положим / (χ) = т (A f|
Π [я» *)) (* > я)· Доказать, что / 6 С ([а, Ь)).
9.15. Доказать, что в каждом множестве А положительной меры Лебега
найдется пара точек, расстояние между которыми: а) иррационально; б)
рационально.
9.16. Для х, у 6 [0, 1] положим χ ~ у, если χ — у 6 Q· Доказать, что:
а) ~ является отношением эквивалентности; б) множество Л, содержащее по
одной точке каждого из классов смежности по отношению ~, неизмеримо по
Лебегу.
§ 10. МЕРА ЛЕБЕГА НА ПРЯМОЙ
В предыдущем параграфе была построена теория меры Лебега
для ограниченных множеств на прямой. Однако совокупность всех
ограниченных измеримых множеств прямой не является не только
σ-алгеброй, но даже σ-кольцом (счетное объединение ограниченных
множеств может быть неограниченным). В этом параграфе будет
построена теория измеримости по Лебегу для произвольных (даже
неограниченных) множеств на прямой. Эта мера, которая может
принимать и бесконечные значения, σ-конечна; при этом
совокупность всех измеримых множеств является σ-алгеброй.
Определение 10.1. Множество А <= IR называется измеримым
по Лебегу у если Vn £ RJ измеримо по Лебегу ограниченное множество
А Г) I—л, п).
Совокупность всех измеримых подмножеств IR обозначим
через 9Ϊ. Из теоремы 9.6, в частности, следует, что любое борелев-
ское множество В с: IR измеримо по Лебегу.
Теорема 10.1. Совокупность dt всех измеримых по Лебегу
подмножеств IR является о-алгеброй.
Доказательство. 1) IR £ 91, так как Vn £ RJ множество
IRf) I—я> я) = t—Пу л) — ограниченное измеримое множество.
2) Пусть Л, В £ 9Ϊ, тогда V/г £ RJ множество
(А\В) П 1-я, η) = (А П [-я, п))\(В П [-/г, η))
является ограниченным измеримым множеством как разность двух
ограниченных измеримых множеств. Следовательно, Α\Βζ№.
3) Пусть Αν Α2, ... £9ί. Тогда множество
оо оо
(1М/)П[-л,л)= и(4/Ш-л. п))
/=1 /=1
2 9-227
33

является ограниченным измеримым множеством как объединение
множеств из σ-алгебры измеримых подмножеств полуинтервала
[—п> ή). Поэтому U Л/ £ 91, т. е. 91 является σ-aлгеброй. ■
/=1
Пусть Л — произвольное измеримое множество на прямой.
Рассмотрим числовую последовательность тп (Л) = т (A f) [—/г, /г)).
Поскольку т (Л Г) I—л» л)) </я (Л f| t—(я + 1), η + 1)) , то
эта последовательность неубывающая; поэтому она имеет предел
(конечный или бесконечный).
Определение 10.2. Пусть Αζ ffi. Мерой Лебега множества
А называется предел (возможно, бесконечный)
т{А) = limт (Л Π [—η, η)).
П-+оо
Построенную меру мы обозначаем той же буквой т, так как
в том случае, когда Л — ограниченное множество, получаем ту же
меру, которая была изучена в предыдущем параграфе.
Покажем, что это определение правомерно, т. е. что функция
множества т(А) действительно является мерой (см.
определеннее.!).
Теорема 10.2. Введенная в определении 10.2 функция т
является σ-конечной мерой на σ-алгебре 9ϊ измеримых множеств.
Доказательство. Покажем сначала, что т — мера.
1) То , что всегда т(А) > 0 и т (0) = 0, следует
непосредственно из определения.
2) Установим счетную аддитивность функции т. Пусть Al9 Л2,...
.. . £ 9ί, Α ι Π Ak = 0 (/ ψ k). Тогда по определению
оо оо оо
т( U Л/) = limm(( (J Aj) Л [—η, η)) = limm( U (Λ,- Л [—η, η)),
/=1 /Ζ-*οο /=1 П-*оо /=1
откуда в силу счетной аддитивности меры Лебега для ограниченных
множеств, лежащих на фиксированном полуинтервале [—/г, /г),
т ( U А,) = lim Ц m {A, Л [-/г, η)).
/=1 η-+οο /=1
Переходя к пределу почленно (чтодопустимо, так как члены ряда
неотрицательны), получаем
оо °° £L
т( U Л7)= Σ Hm/л(Л/П [—/г, л)) = Σ™(Λ/),
и счетная аддитивность доказана. Итак, т—мера.
оо
3) Поскольку IR = U [—/г, п) и все слагаемые в этом пред-
/1=1
ставлении имеют конечную меру, то мера т является σ-конечной. ■
Упражнение 10.1. Показать, что теорема 6.3 в случае меры,
принимающей бесконечные значения (см. § 8), верна лишь при дополнительном
условии, что хотя бы одно из множеств А, имеет конечную меру.
34

Указание. В качестве контрпримера рассмотреть меру Лебега и
последовательность множеств Ап = [п, + оо) (п — 1, 2, ...).
Замечание 10.1. Естественно поставить вопрос, существенно ли,
что в определении 10.2 рассматриваются пересечения данного
множества с полуинтервалами [—п, п). Ответ на этот вопрос дает
следующая теорема.
Теорема 10.3. Измеримость множества и значение меры
Лебега не зависят от выбора системы расширяющихся полуинтервалов.
Иными словами, в определениях 10.1 и 10.2 вместо полуинтервалов
[—/г, п) можно взять любую систему полуинтервалов [απ, βη),
оо
такую, что [alf fi^cz [α2, β2)(= . .. и [} [αη, β J = IR; от этого
п=\
запас измеримых множеств и их меры не изменятся.
Доказательство. Пусть {[ап, β^)}, {[α"η, β«)} — две системы
полуинтервалов, обладающие указанными в теореме свойствами.
Покажем сначала, что запас измеримых множеств не зависит от
выбора системы полуинтервалов. Пусть Υη £ ЭД, множество Α (] [αη, β„)
измеримо. Покажем, что тогда и все множества А П [аС β*')
измеримы. Взяв т достаточно большим, имеем [а"п, β") cz [a'm, $m). Тогда
множество А (] [а„, β") = (А (] [а'т, β^)) Π [<С К) измеримо как
пересечение двух измеримых, множеств. Таким образом, выбор системы
полуинтервалов не влияет на запас измеримых множеств.
Покажем теперь, что этот выбор не влияет и на меру. Пусть А—
любое измеримое множество. Положим
т'(А) = \\тт(А[\ [ап, β,',)),
т"(А) = \шт{А{\[а"п, β^)) (10.1)
(эти пределы, очевидно, существуют). Надо показать, что т'(А) =
= т"(А) (УЛбЙ).
Положим
< =min{a;, апп], β^'= max (β„, β;'};
тогда, очевидно,
[ап, βη)-Κ, ffl, [а"п, β;) Ξ Κ, %) (VnGRJ).
Если теперь положить аналогично (10.1),
т'"{А) = \шт{А[\[а"п', β^'),
то для доказательства теоремы, в силу равноправия т' и /п",
очевидно, достаточно показать, что т! (А) = тш(А) (УА£Щ.
Поскольку Α Π [α;, β„)^ Α [] [α™, β^) (V/г £ RJ), то в силу
монотонности меры
т (А П [α;, β.)) <т(А{] Κ", β")) (V/г 6 ft)),
2* 35

и в пределе при п-»-оо получаем
т'(А)< т'" {А) (УЛ ζ R). (10.2)
оо
Установим противоположное неравенство. Так как U [а'п, β^) =
= IR, то для любого η ζ ЭД найдется такое kn£^, что [α^, β^) s
— [oV Р*я); П0ЭТ0МУ Л П [<', β") = Л П [«;n, pkn) и благодаря
монотонности меры
т(ЛП[<'>Р1))<«(ЛП[а;л-Р·
Поскольку в правой части стоит подпоследовательность сходящейся
к т! (А) последовательности, то, переходя к пределу при /г->-оо,
получаем
тт{А) < т'(А) (VA £&). (10.3)
Из (10.2) и (10.3) следует, что т! (А) = т'"(А). Аналогично т*(А)=
= tri" (Л), следовательно, т! (А) = т" (А). ■
Теорема 10.4. Если Ε a IR — измеримое множество, то для
любого ε > 0 найдется такое открытое множество G cz IR, wzo G zd E
um(G\E)< ε.
Доказательство. Если множество Ε ограничено, то
требуемое открытое множество G построено в теореме 9.7. В общем
случае положим
Еп = Ε Π [—/г, /г),
и для каждого Еп построим открытое множество Gn id En такое, что
Если теперь положить
то G — открытое множество, GzdE и
G\E c= и (Gn\En).
Поэтому
оо
m(G\£)<2|i = e. ■
/ι=1
Теорема 10.5. Если Ε cz IR измеримое множество, то для
любого ε > 0 найдется такое замкнутое множество F cz E, что
m(E\F)<s.
Доказательство. Поскольку Ε измеримо, то измеримо
его дополнение Е. Тогда по теореме 10.4 для любого ε>0 най-
36

дется такое открытое множество Gс: IR, что Gzd Ε и m(G\£)<e.
Положим F = G. Тогда F — замкнутое множество, Fez E
и E\F = G\E, откуда m(E\F)<e. ■
УПРАЖНЕНИЯ
10.2. Привести пример неограниченного множества A cz IR, мера
Лебега которого равна: а) нулю; б) α 6 (0, + оо); в) + оо.
10.3. Построить пример убывающей последовательности (Ап)^>==1 с: 33 (IR)
такой, что т (Лп) = + оо (л£ Ы) и В= lim An таково, что выполняется одно
Я-юо
из следующих условий: а) т (В) = 0; б) т (В) = 1; в) т (В) = + оо; г) В => (П,
т(В) = 0; д) £=>(Q, т (£)=1; е) β =э (Q, m (5) = + оо. ^
10.4. Построить пример последовательности (An)^Ll попарно
непересекающихся борелевских множеств, удовлетворяющей одному из условий: а) т (Ап) =
= 1 (/igN), U An = \R;
б) т (Ап) = + оо (л g Ы); в) m (Лл) = + оо (л g N), J Αι = IR.
л=1
10.5. Доказать, что утверждения упражнений 9.7, 9.8, 9.10—9.13
останутся справедливыми, если заменить в их формулировках [а, Ь) на IR.
10.6. Пусть А с IR — множество положительной конечной меры
Лебега. Доказать, что (γα 6 (0,1)) (Η (α, Ь)) : т (А (] Ια, Ь)) > α · т (А).
10.7. Пусть Л с: ir — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что существует ε> 0 такое, что (—ε, ε) с: {# — у \ χ, у £ А).
§ 11. МЕРА ЛЕБЕГА В W-MEPHOM
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Мера Лебега в IR^ строится по той же схеме, что и мера Лебега
в IR. Поэтому построение меры Лебега в ]RN будет лишь намечено.
Читатель при желании легко восстановит все детали этого
построения.
Пусть даны две точки а, Ъ £ IR^, а = (ах, а2, . . . , aN)y Ь =
= (&i, Ь2, . . . , bN)> причем а1<Ь1, а2<.Ь2, . . . , aN<bN.
Назовем Af-мерным полуинтервалом, или полуоткрытым
параллелепипедом (при N = 2 — прямоугольником), множество
[а, Ь) = {х = (*1э .. . , xN)£!RN\a1<x1<bl9 . . . , aN < xN < bN}.
Объемом полуинтервала [а, Ь) назовем число
V([a, &)) = (&! — аг){Ь2—а2) ... (bN — aN).
Нетрудно показать, что пересечение двух полуинтервалов —
полуинтервал, а разность двух полуинтервалов — либо
полуинтервал, либо объединение конечного числа полуинтервалов.
Зафиксируем теперь некоторый полуинтервал [а, Ь) и
рассмотрим множество полуинтервалов
Λί = {[α, β) Ι [α, β)<=[α, 6)}.
37

Если через ΐϋ обозначить алгебру, порожденную множеством М, то
каждое множество Α ζ 9ϊ представимо в виде
А= U [ak, β,) ([αΛ> βΛ)Ε[α, &)), (11.1)
где полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются.
Объемом V (А) множества Α ζ 9Ϊ назовем сумму объемов составляющих
его полуинтервалов.
Теорема 11.1. Введем на алгебре 9Ϊ функцию μ, полагая
μ{Α) = ν(Α) (А£Ж,АФ0), μ(0) = Ο.
Функция μ является мерой на 9ϊ.
Доказательство практически ничем не отличается от
доказательства теоремы 9.1. ■
Определение 11 Л. Пусть μ*—внешняя мера, построенная
по введенной в теореме 11.1 мере; μ*-измеримые подмножества полу-
интервала [а, Ь) называются измеримыми по Лебегу, а продолжение
т меры μ на о-алгебру Ш = $ί ([α, b)) измеримых по Лебегу множеств
называется мерой Лебега,
Как и в IR, мера ограниченных множеств в IR^ не зависит от
выбора исходного полуинтервала [а, Ь). Теоремы 9.2 — 9.7 также
непосредственно переносятся на случай R^.
Ограниченное многообразие Г cz IR^, dim Г < Ν, назовем
регулярным, если Υε > 0 существует конечная система А
полуинтервалов, покрывающая Г и такая, что μ (4) < ь. Так, например, для
регулярности (Ν— 1)-мерного многообразия достаточно, чтобы его
можно было задать уравнением вида
xk == / \хг> · · · 9 xk-i> xk+i> · · · » xn)>
где / определена и непрерывна на некотором компакте.
Теорема 11.2. Если Г — ограниченное регулярное многообразие
в H{N, размерность которого меньше N, то Г измеримо по Лебегу
и т (Г) = 0.
Доказательств о сразу следует из того, что μ* (Г) = 0
в силу регулярности Г. ■
Мера неограниченных множеств в IR^ определяется по той же
схеме, что и мера неограниченных множеств в IR в § 10; теперь
[—п, п) — полуоткрытый куб. Теоремы 10.1—10.5 также
непосредственно переносятся на случай меры Лебега в Цм.
УПРАЖНЕНИЯ
11.1. Пусть f£C ([α, b]) такова, что / (χ) > 0 (χζ[α, b]). Доказать, что
множество A={(xlf х2) | а < хг <: Ь, 0 <: х2 < f (х{)} борелевское и т (А) =
ь
= J f(x) dx.
а
11.2. Найти меру Лебега следующих множеств:
a) A = {(xl9 x2)t\R2\x\ + xt<l}; б) Цх19 *a)g(IR\Q)a|*J + *2<l};
38

в) подмножества Л, состоящего из точек, декартовы и полярные
координаты которых иррациональны.
11.3. Найти меру Лебега множества Л, где
а) A = {(xlt лг2)€ [0,2] Χ [— 1,1] | sin π (xL + χ2) |< γ , cos π (xt — χ2)ζ
eiR\(Q};
б) A={(xlf xit *3)£lR3|*i + *2 + *3<l> *i>0, x2>0, x3>0, Xi +
+ x2 + x3£\R\Q].
11.4. Найти меру Лебега следующих подмножеств^ единичного
квадрата а) «ковра Серпиньског о» А = [0,1] X [0,1] \ (D X D); б) «кладбища Сер-
пиньского» В = D X D\ в) «канторовой гребенки» £ = [0, 1] X D (D — кап-
торово множество, см. упр. 9.4).
11.5. Построить пример убывающей последовательности (Ап)™=х cz 33 (IR2)
такой, что т (Ап) = + сю (л£ №) и В = lim An таково, что выполняется одно
/1-»-оо
из следующих условий: а) т (В) = 0; б) т (В) = 1; в) т (В) = + оо; г) В => (Г) χ
X(Q> m (В) = 0; Д) S=d(Qx(Q, m (θ) = 1; e) β => (QX(Q, m (θ) = + oo.4*
11.6. Построить пример последовательности (^JJJLj попарно
непересекающихся множеств из 33 (IR2), удовлетворяющей одному из условий: а) т (Ап) =
= 1 (/igN), (] Л„ = 1К2; б) /72 (Л„) = + оо (/igN); в) т (Лп) = +оо,
/г=1
U Л„ = IR2.
п=\
11.7. Доказать, что утверждения упр. 9.7—9.13 останутся
справедливыми, если в их формулировке заменить [а, Ь) на RN.
11.8. Пусть α £ К^, 7" : (R -> К — невырожденное линейное
преобразование. Доказать, что для произвольного борелевского множества Л с: RNt
т (ТА + а) = т ({Тх+а \ χ 6 Л}) = | det Τ | m (Л). Вывести отсюда, что
мера Лебега множества не меняется при параллельных переносах и
ортогональных преобразованиях.
11.9. Доказать, что любая мера μ на 33 (RN), принимающая конечные
значения на компактах и такая, что μ (Л) не меняется при параллельных
переносах, имеет вид μ = cm, где с = μ ([0, 1)).
§ 12. ДИСКРЕТНАЯ МЕРА
Рассмотрим один из простейших способов построения меры в
произвольном пространстве — построение дискретной меры. Эта
мера имеет простой физический смысл — она соответствует
точечному распределению масс. Весьма важный способ построения меры
по произвольной неубывающей функции изложен в § 14 после
предварительного изучения свойств неубывающих функций.
Пусть R— произвольное пространство, (xj)]Li— фиксированная
последовательность различных точек R, (μ/)/1ι — заданная
последовательность неотрицательных чисел. На σ-алгебре 91 = $51 (R) всех
подмножеств R зададим числовую функцию
μ{Α)2£ Σ μ/, μ(0)=ΓΟ. (12.1)
i:xjiA
Теорема 12.1. Функция μ, определенная равенствами (12.1),
является мерой на о-алгебре $L Ее называют дискретной мерой.
39

Доказательство. Доказательства требует лишь
счетная аддитивность μ. Пусть Аъ Л2, . ..£3ί, А{()А,-=0 (ьф]).
оо
Тогда и U Aj ζ 91, поскольку 91 является σ-алгеброй; надо пока-
/=ι
зать, что
μ( U Aj)= Σμ(Αι).
/=ι /=ι
Поскольку члены абсолютно сходящегося ряда можно
переставлять и группировать, то из определения функции μ получаем
μ( и Aj) = Σ μ* = Σ v>k = Σ Σ μ* =
/=1 οο οο /=1 к'.хЛА г
k:xki U A: U {k\xkiA}}
/=1 оо /=з1 '
= Σ μ И/). ■
Из определения дискретной меры следует, что если множество
А не содержит ни одной из точек хр то μ (А) = 0. Если ряд
оо оо
Σ μ7 сходящийся, то μ(R) = Σμ/<°°, поэтому в этом случае
00
мера μ конечна. Если же Σμ/ = +°°> то меРа μ может прини-
/=ι
мать и бесконечные значения.
УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Докажите, что в последнем случае мера μ является σ-конечной.
12.2. Пусть μ (А) (А с: IR) равно числу элементов множества A f| Z,
если оно конечно, и + оо в противном случае. Доказать, что μ — σ-конечная
дискретная мера на 9Л (IR).
12. 3. Построить пример дискретной меры на 9Л (IR) такой, что (Yq£Q)'
:μ (q)>0, μ (IR) = 1, μ (IR \ (Q) = 0.
§ 13. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
О НЕУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ
В этом параграфе будут изучены некоторые свойства
неубывающих функций, которые понадобятся в дальнейшем. Все эти
свойства (с понятными изменениями) имеют место и для невозрастающих
функций.
1. Точки разрыва монотонной функции. Пусть задана
неубывающая функция / : [а, Ь] ->- IR, т. е. (а < хг < х2 < Ь) =* (/ (хг)<
<£ / (я2)). Хорошо известно, что для неубывающей функции в любой
точке х0 ζ (α, b) существуют односторонние пределы:
/(x0-0)=f Umf(x) = sup{f(x)\a<x<x0}; (13.1)
Х<Х0
/ (х0 + 0) d^f Hm / (χ) = inf {/ (χ) Ι χ0 < χ < b}, (13.2)
x-+x0
x>x0
40

а в точках α и δ — соответственно правосторонний предел / (а + 0)
и левосторонний/ (Ь — 0). Из равенств (13.1) и (13.2) и определения
неубывающей функции, очевидно, следует, что
/ (*о - 0) < / (*о) < / (*о + °) (V*o 6 (α, δ))·
Определение 13.1. Скачком функции f в точке χ £ (α, b)
называется число
^(x)aJif(x + 0)-f(x-0).
Скачки в концах отрезка определяются так:
Δ/(α) = /(α + 0)-/(α); Δ,(6) = /(&)_/(&_0).
Последние формулы становятся более естественными, если, как
это обычно делают, продолжить функцию за пределы отрезка [а, &]
константами
/ (*) = / (a) (V* < а), /(*) = / (6) (V* > Ь).
Ясно, что скачок неубывающей функции в любой точке
неотрицателен, причем функция / непрерывна в точке χ тогда и только
тогда, когда Δ/ (х) = 0.
Теорема 13.1. Пусть f — неубывающая функция на отрезке
[а, Ь] и с1у с2) .. . , сп — любые точки этого отрезка, тогда
£Ыс,)<№-№. (13.3)
Доказательство. Не ограничивая общности, можем
считать, что точки с1эса» ···>£« занумерованы в порядке возрастания.
Кроме того, так как при отбрасывании некоторых точек с\ левая
часть (13.3) не увеличивается, то неравенство (13.3) достаточно
доказать для того случая, когда концы отрезка входят в число точек
е., т. е. а = сг < с2 < · · · < сп = Ь. Тогда
t Af(c.) = f(a + 0)-f(a) + f(c2 + 0)-f(c2-0) +
'~+f(Cs + 0)-f(c3-0)+...+f(b)-f(b-Q). (13.4)
Сгруппируем слагаемые в правой части (13.4):
t^f(oj) = 4(a) + (f(a+0)-f(c2-0)) + (f(c2 + 0)-
-/(c8~0))+...+(/(iWi + 0)-/(6-0)) + /(6). (13.5)
Но поскольку / — неубывающая функция, то все разности в
скобках неположительны, и из (13.5) непосредственно следует
требуемое неравенство (13.3). ■
Упражнение 13.1. Выяснить геометрический смысл неравенства (13.3).
41

Теорема 13.2. Множество точек разрыва неубывающей на
отрезке функции не более чем счетно.
Доказательство. Пусть D — множество точек разрыва
функции /, неубывающей на отрезке la, b], т. е.
D = {x£[a, Ь]|М*)>0}.
оо
Тогда, очевидно, D = {] Dk, где
Dk = {x£[a, b]\bf{x)>\],
и для доказательства теоремы достаточно установить, что каждое
из множеств Dk конечно.
Рассмотрим некоторое Dk и пусть съ . . . , сп ζ Dk\ тогда
η
V Δ/(с.) >|·/ί,ΗΒ силу теоремы 13.1 получаем f(b) — f{a) > у,
/=ι
откуда n<k{f{b) — /(a)); поэтому η не может быть как угодно
большим, т. е. Dk конечно. ■
Следствие 13.1. Если съ с2) ...— точки разрыва неубывающей
на отрезке [а, Ь] функции /, то ряд $] Δ/ (с) сходится и
/=ι '
Σ Μ*) </(&)-Да). (13.6)
/=ι у
Для доказательства достаточно записать неравенство (13.3) для
точек разрыва съ с2, ... , сп и перейти к пределу при η -> оо. ■
2. Функция скачков и непрерывная часть неубывающей
функции. Пусть / — неубывающая на отрезке [a, b] функция. В
дальнейшем всегда предполагается, что функция / нормирована
условием непрерывности слева, т. е.
/(* —0) = /(х) (V*G[a, Ь]). (13.7)
Если это условие не выполнено, то всегда можно добиться его
выполнения, изменив значения функции / в точках разрыва , т. е.
положив / {ck) = / (ck — 0) в каждой из точек разрыва ck. Из условия
(13.7) следует, что
Δ/ (x) = f{x + 0) — f Μ (V*€ [α, &]).
Определение 13.2. Функцией скачков данной функции!
называется функция fd: [a, b] ->■ IR, определяемая следующим образом:
Ы*) = 0, fd(x)= Σ Δ/(су), x6(fl. *Ь (13.8)
j:cj<x
еде cv с2, ... — точки разрыва функции /.
Теорема 13.3. Функция скачков неубывающей на отрезке
непрерывной слева функции — также неубывающая и непрерывная слева
функция.
42

Доказательство. То, что fd — неубывающая функция,
сразу следует из (13.8), так как скачки Δ/ {сι) неотрицательны.
Покажем, что fd непрерывна слева, т. е. что lim fd (χ) = fd (x0)
(V#0£(a, b]). Это означает, что для любого ε>0 найдется такое
δ>0, что {x0 — &<x<x0)=*(fd(x0) — fd(x)<e), т. е.
Σ A,(c.)<e. (13.9)
X<Cj<X0
Если левее х0 лежит лишь конечное число точек разрыва, то выбрав
δ так, чтобы в интервале (х0 — δ, χ0) не было точек разрыва,
получим fd(x0) — f(i(x) = 0 (Υχζ(χ0 — δ, χ0)). Пусть имеется
бесконечное множество точек разрыва с.<.х0. Обозначим эти точки
00
qv q2, .... Тогда в силу следствия 13.1 ряд Σ^/Ο?/) сходится,
00
поэтому найдется такое /г, что Σ Δ/(я.) < ε. Выбрав δ так, чтобы
точки qv q2, q3> · . . > Qn лежали левее х0 — б, получим, что при
х0 — 6<л:<а:0 выполняется (13.9). ■
Определение 13.3. Пусть fd— функция скачков неубывающей
на отрезке [а, Ь] функции /. Тогда функция fc = f — fd называется
непрерывной частью функции /.
Название «непрерывная часть» оправдывается следующей
теоремой .
Теорема 13.4. Пусть f — неубывающая на отрезке [а, Ь]
непрерывная слева функция. Тогда ее непрерывная часть fc — неубывающая
и непрерывная на отрезке [а, Ь] функция.
Доказательство. 1) Покажем сначала, что fc —
неубывающая функция. Пусть а < х' <%" < Ьу тогда
fc (**) - fc (*') = f (*") - fd (*') - (/ (*') - h (*')) =
= (/(*")- /(*')) -(fAx')-fAx'))· (13.10)
Но, как следует из определения функции скачков и из неравенства
(13.6),
/Д*")-/Л*') = Σ Δ/ (су) < f {*')-№),
i'.x'<Cj<x"
поэтому правая часть (13.10) неотрицательна, следовательно, fc(x")—
— /Л*') > 0» т· е· fc — неубывающая функция.
2) Функция fc непрерывна слева как разность двух
непрерывных слева функций; поэтому для доказательства непрерывности f0
достаточно показать, что она непрерывна и справа, т. е. что fc(x0+0) =
= /Л*о) (V*0£[a, b)). Если х>х0, то
fd (*) - fd (*о) = Σ Δ/ (*,) > Δ/ (Χο) = / (*ο + 0) - / (*0).
43

Отсюда, переходя к пределу при х-+х0, получим fd(xo + 0)—
— fd(Xo) > / (*о + 0) — / (х0), откуда fc(x0 + 0) —fc(x0) « 0. Поскольку
fc — неубывающая функция, то отсюда следует, что fc (x0 + 0) —
-/Д*о) = 0. ■
Замечание 13.1. Из равенства / = fd + fc сразу следует, что
точки с. являются точками разрыва функции fd со скачками A/rf(c;.)=
= Δ; (с,) и что во всех остальных точках отрезка [а, Ь] функция
скачков непрерывна.
Замечание 13.2. Если точки разрыва функции / можно
занумеровать в порядке возрастания (или убывания), то функция скачков
fd в интервалах между соседними точками разрыва постоянна и ее
график представляет собой ступенчатую линию. Однако функция
скачков может иметь и более сложную структуру. В частности,
функция скачков может вовсе не иметь интервалов постоянства.
Приведем пример такой функции. Пусть rlf r2, .., гп, ...—
последовательность всех рациональных чисел отрезка [а, Ь] и пусть скачок
функции / в точке rk равен 2~k. Тогда функция скачков fd {χ) =
= Σ 2"Λ разрывна во всех рациональных точках отрезка [а, 6],
rk<x
непрерывна в иррациональных точках и строго возрастает на
\а, Ы
УПРАЖНЕНИЯ
13.2. Пусть /—неубывающая на [а, Ь] непрерывная справа функция.
Доказать, что Jd (x)— .b2j Δ* (с.) (χζ[α, b]) также неубывающая и
непрерывная справа функция.
13.3. Найти fd и fc для следующих функций:
а) / (*)=-[-*] **; б) f (*) = -arctg [-χ].
§ 14. ПОСТРОЕНИЕ МЕРЫ ПО НЕУБЫВАЮЩЕЙ
ФУНКЦИИ. МЕРА ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА
Пусть, как и при построении меры Лебега в § 9, R = [а, Ь) —
фиксированный полуинтервал числовой прямой, 9Ϊ — алгебра,
порожденная системой всех полуинтервалов [α, β) s [я, &), т. е.
алгебра множеств вида
Л= U [α,, β,), αί+1>β„ (14.1)
причем полуинтервалы в правой части можно считать попарно
непересекающимися .
На [а, Ь) задана неубывающая, ограниченная и непрерывная
слева функция / (х). Для такой функции, как известно, существует
и / (Ь — 0), поэтому можно считать, что функция задана на [а, Ь].
Приращением функции f на полуинтервале [α, β) cz [а, Ь)
естественно назвать величину
Δ(α,β)/ = /(β)-/(α).
44

Для любого множества Α (f dt вида (14.1) положим
k k
Δ(4)/= Σ Δ (α,, β£)/ = Σ(/(β(·)-ίΚ)). (14.2)
ί=1 ι=1
Если функция / непрерывна на [я, 6], то той же формулой (14.2) мы
будем определять Δ (Л)/ для множества Л, являющегося конечным
объединением открытых (замкнутых) промежутков.
Заметим, что если/ (х) = я, то Δ (Л) / совпадает с длиной А и все
дальнейшие построения совпадают с построением меры Лебега
в §9.
Теорема 14.1. Введем на алгебре dt функцию μ/, полагая μ/ (Л) =
= Δ (A) f {Α ζ 9ϊ, Α Φ 0); μ/ (0) == 0. Функция щ является
конечной мерой на 9ΐ.
Доказательство. Поскольку / — неубывающая
функция, то μ? (А) > 0 (VA £ 9ΐ). Поэтому надо проверить только
счетную аддитивность μ^. Если fd и fc — соответственно функция
скачков и непрерывная часть функции /, то / (х) = fd (χ) + f2c (x). Тогда
в естественных обозначениях получим
μ[(Α) = μ^(Α) + μ^{Α),
и счетную аддитивность достаточно проверить для каждой из
функций μ^ и μ^.
1) Обозначим, как и выше, (cj)]Li—последовательность всех
точек разрыва функции / на [а, Ь) и положим μ} = Δ/ (с). Тогда
для любого полуинтервала [α, β)^[α, b) получим
μ/„ «α. β)) = fd (β) - fd («) = Σ Δ/ (* ) = Σ μ,,
поэтому для любого множества Л £91
μ/ (^)= Σ μ,·
00
причем ряд Σ μ,· сходится. Таким образом, μ, — конечная дискрет-
/=1 ' 'd
ная мера (см. § 12), поэтому, в частности, μ. счетно аддитивна.
'd
2) Покажем, что μ^ также является счетно аддитивной
(конечная аддитивность μ^ очевидна). Это доказательство совершенно
аналогично проведенному в § 9 доказательству счетной
аддитивности при построении меры Лебега. Пусть Αν Л2, . . . £ 91, А{ Π Л/=
оо
= 0 (i Ψ j) и А = О Л/ £ 9Ϊ. Покажем, что тогда
/=i
μ^Α)=Σμίΐ(Αί). (14.3)
45

Поскольку множество Л как элемент ΐϋ является объединением
η
конечного числа полуинтервалов и В Л/ s Л при любом /г, то
в силу конечной аддитивности μ^
Отсюда, переходя к пределу при /г->оо, получаем
Ϊ^^Χμ^Λ). (14.4)
Установим противоположное неравенство. Зададим
произвольное число ε > 0. Множество Л — это объединение конечного числа
полуинтервалов вида (14.1). Поскольку fc — непрерывная
неубывающая на [а, Ь) функция, то для каждого из правых концов
полуинтервалов β, найдется такое ft, cct· <β! <β,, что /, (β/) —/, (βί )<
< -τ. Если заменить правые концы β; точками β,, то для
объединения Л8 полученных замкнутых промежутков выполняется
неравенство
A(A)fc<A(Ae)fc + e. (14.5)
Аналогично для каждого из множеств А\ сдвинем влево левые
концы составляющих полуинтервалов и обозначим через Л/
объединение получившихся открытых промежутков. При этом,
воспользовавшись непрерывностью fc, возьмем сдвиги столь малыми, чтобы
выполнялись неравенства
А{А))!с<Ь(А,)!с + 1]. (14.6)
оо
Поскольку Л8 с: Л, AjCZjAf, то из Л= (J Л/ следует, что
/=i
Л8 с: ϋ Л8,
/=1
По лемме Гейне—Бореля из покрытия компакта Л8 открытыми
множествами можно выбрать конечное покрытие, т. е. при
некотором η
Л8 с: 0 Л8.
Тогда, учитывая (14.5) и (14.6), получаем
^(Л) = Д(Л)/Г<Д(Л8)^+8<|Д(Л^)/С+8<|1А(Л/)/^
η η
46

откуда
ео
μ,,(Λ)< .Σμ/,(Α·) + 2ε;
поскольку ε>0 произвольно, то, переходя к пределу при ε-*О
получаем
оо
Ще(А)< Σμ^/),
что вместе с (14.4) доказывает требуемое равенство (14.3). ■
Определение 14.1. Пусть μ* — внешняя мера, построенная по
мере μ/, определенной равенством (14.2). Продолжение меры μ/ на
σ-алгебру μ*-измеримых мнооюеств называют мерой Лебега — Стил-
тьеса, построенной по неубывающей функции f.
Очевидно, щ — конечная полная мера. Заметим, что, как уже
указывалось выше, в случае функции f (х) = χ мера Лебега — Стил-
тьеса совпадает с мерой Лебега.
Установим некоторые свойства меры .Лебега — Стилтьеса; эту
меру будем для упрощения записей также обозначать μ/.
Теорема 14.2. Всякое одноточечное множество { х) с= [а, Ь)
измеримо, причем
^({*}) = М*). (14.7)
Доказательство. Измеримость одноточечного
множества [х] следует из того, что его можно представить как пересечение
полуинтервалов:
W-JL[** + t).
где k выбрано таким, что χ + -τ- <cb. Поскольку полуинтервалы
в правой части образуют убывающую последовательность, то по
теореме о непрерывности
μ/ ({х}) -= Jim μ, ([χ, χ + -^ = Hm (/ (* + ^) — / (*)
n"=f(x + 0)-f(x) = bt(x). Μ
Теорема 14.3. Любой промежуток (открытый, замкнутый^
полузамкнутый), лежащий на [а, Ь)у измерим.
Действительно, промежуток вида [α, β) измерим по определению.
Любой другой промежуток измерим как объединение или разность
измеримых множеств:
[α, β] = [α, β) U {β}, (α, β] = [α, β]\{α},
(α, β) = (α, β]\{β}. ■
Теорема 14.4. Любое борелевское подмножество полуинтервала
[а, Ь) измеримо.
47

Действительно, система борелевских множеств 25 (la, 6)), как
минимальная σ-алгебра, порожденная системой всех интервалов,
входит в σ-алгебру всех измеримых множеств. ■
Замечание 14.1. Пусть R = IR, Ш — алгебра, порожденная
системой всех полуинтервалов [α, β), —оо <а <β < + «>. На
IR задана неубывающая, ограниченная и непрерывная слева
функция /(я). Для такой функции, как известно, существуют пределы
/(—оо) =5 lim f(x), /(+οο)=; lim f(x). Проведя для этого слу-
X-*· — оо Х-* + °о
чая все предыдущие рассмотрения, мы получим конечную меру
Лебега—Стилтьеса на всей числовой прямой IR.
Замечание 14.2. Пусть / — неубывающая непрерывная слева
на la, Ь) функция, для которой \\mf(x) = + оо. В этом случае
по функции / также можно построить меру Лебега — Стилтьеса, но
она уже не будет конечной. Для построения этой меры заметим, что
для любого ε > 0 функция / на Re = Ь, Ь — ε) ограничена и по ней
можно построить конечную меру Лебега — Стилтьеса щ на R£.
Множество A s la, b) назовем измеримым, если для любого ε > О
множество Α Г) Ια, Ь — ε) измеримо в пространстве Re. В этом
случае
μ, (А) Ш lim μ,(А П [α, b-ε)).
Предел в правой части (конечный или бесконечный) существует,
так как благодаря монотонности меры μ/ (А Г) la, b — ε)) —
неубывающая функция от е.
Построенная мера σ-конечна, поскольку [a, b) = U \а, b ),
а множества \а, b — —) имеют конечную меру.
Замечание 14.3. Аналогично строится мера Лебега — Стилтьеса
на всей прямой IR по неубывающей на IR непрерывной слева
неограниченной функции. Это построение проводится как и при
построении меры Лебега на прямой (см. § 10) с помощью расширяющейся
системы полуинтервалов. Полученная мера σ-конечна.
Замечание 14.4, Все рассмотрения этого параграфа без
существенных изменений переносятся на случай η -мерного пространства
IR". Так, мера Лебега — Стилтьеса в IR" строится по функции
f (*i, х2> ··> хп)> непрерывной слева по каждой из переменных
и удовлетворяющей условию
Δι(αι> &ι)Μ*2» h) ··· Δ«Κ» *π)/(*ι. ···> χη)>®
(Va = (alf ... > an), b = (bv ...,bn) 6 R", ak < bk), (14.8)
где ΔΛ— разностный оператор по k-й переменной—определяется
формулой:
Δ* (ak> bk) f (xv · · · > xn) ^ / (xv · · · » xk-v bk> xk+v · · · j xn)
"— / (#1» · · · > xk-l> ak> Xk+V · · · ι Xn)*
48

В частности, мера Лебега ограниченных множеств в IR" (см. § 11)
строится по функции / (х19 х2, ..., хп) = хгх2 ... хп. В общем случае
мера /г-мерного полуинтервала [at b) определяется равенством
μ/([α. ^)) = Δι(%» &ι)Δ2(α2, b2) ... Δ„(α„, bn)f.
Полученная мера конечна, если функция/ ограничена, и σ-конечна
в случае неограниченной функции /.
УПРАЖНЕНИЯ
14.1. Пусть / — неубывающая на 1R непрерывная слева ограниченная
функция, μ*—построенная по ней мера Лебега—Стилтьеса. Найти меру μ,
следующих множеств: (я, Ь), (а, Ь], [а, Ь], \Ь, +©о), (—-оо, а], (—оо, а), (Ь, +оо).
14.2. Доказать, что мера μ^, построенная по функции / (х) — — [—х],
совпадает с мерой из упр. 12.2.
14.3. Пусть f(x) = х— [— х], *glR. Доказать, что μ^ (Л) = т(А) + μ (Л),
где А с IR — измеримое по Лебегу, μ—мера из упр. 14.2. Определить μ* (Л),
если: а) Л = [—αζ, η) (ηζΝ); б) Л = (—л, n)\Q (/igN); в) {χζ IR | ln*<2}.
14.4. Пусть /^—неубывающая на IR непрерывная слева функция (&=1, ...
η
... > /ι). Доказать, что / (*lf .. . , а:п) = [~[ fk (xk) удовлетворяет условию
(14.8). Определить μ^ ([α, 6]), где μ^ — построенная по / мера
Лебега—Стилтьеса в IRn.
14.5. Пусть / (xlf х2)— дважды ^непрерывно дифференцируемая функция
на IR2 такая, что (γ (xlt х2) ζ IR2): f'i2(xlt *2) > О· Доказать, что: а) /
удовлетворяет условию (14.8); б) μ^ ([α, b))= \ f"2 (#1? x2)dx1dx2,
[a,b)
14.6. Привести пример функции f (xlt x2), неубывающей и непрерывной
слева по каждой из переменных, но не удовлетворяющей условию (14.8).
§ 15. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
ПО МЕРЕ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА
В § 14 было показано, что каждая неубывающая непрерывная
слева функция определяет на прямой конечную или σ-конечную
меру Лебега — Стилтьеса. Следующая теорема показывает, что
этот способ построения мер на прямой является в определенном
смысле единственным.
Теорема 15.1. Пусть задана о-конечная мера μ на о-алгебре
21 подмножеств IR, содержащей систему всех борелевских множеств
25 (IR). Тогда существует неубывающая непрерывная слева функция
f : IR ->■ IR, такая, что мера μ совпадает на 25 (IR) с мерой Лебега —
Стилтьеса μ/, построенной по функции f.
Доказательство. Для простоты ограничимся
доказательством для того случая, когда мера μ конечна. Положим
/(*) = μ((_οο, χ)) (х£Щ (15.1)
и покажем, что эта функция является искомой.
49

1) Покажем, что функция / неубывающая. Если χχ<χ2, то
(—оо, хг) cz (— оо, х2)у и в силу монотонности меры
/ (*ι) = μ ((— оо, хг)) < μ ((—оо, х2)) = f (χ2).
2) Покажем, что функция / непрерывна слева, т. е. что
f(x — 0)=/(л;) (V*£]R). Пусть (х/г) ,7=1 — произвольная возрастаю-
00
щая последовательность, такая, что Нтл;/г = х. Тогда (J (—оо, хп)=
П-*<х> /2=1
= (—оо, л;) и в силу теоремы о непрерывности для объединений
Ηπι/(^) = Ηπιμ((—οο, ^^μ^—оо, *)) = /(*).
П-*· оо n-t- оо
3) Пусть μ/ — мера Лебега — Стилтьеса, построенная по
функции /. Покажем, что μ/ = μ на 35 (IR). Пусть [α, β) ^ IR —
произвольный полуинтервал. По определению меры Лебега —
Стилтьеса имеем, учитывая субтрактивность меры μ:
μ/ (Ια, β)) = / (β) -/ И = μ ((-σο, β)) - μ ((-οο, α)) =
= μ ((-οο, β)\(-οο, α)) = μ ([α, β)),
т. е. на любых полуинтервалах вида [α, β) меры μ/ и μ совпадают.
Отсюда следует, что они совпадают и на алгебре 9ΐ, порожденной
системой всех полуинтервалов [α, β) s IR. Теперь из теоремы о
единственности минимального продолжения меры следует, что
μ/ (Α) = μ (А) для любого Α £ 25 (IR). ■
Замечание 15.1. В случае σ-конечной меры μ функцию /
нельзя определить формулой (15.1), так как может оказаться , что
μ ((—оо, х)) == +оо. В этом случае функцию / можно определить,
например, так:
ί μ ([Ο, χ)), χ>0,
f(x)= \ О, χ = О,
1— μ([*, 0)), х<0.
Предлагаем читателю самостоятельно доказать теорему для этого
случая.
УПРАЖНЕНИЯ
15.1. Определить функцию / из замечания 15.1 для меры Лебега.
15.2. Пусть μ — конечная мера на $$ (!Rrt). Доказать, что функция f(xlt...
η
... > хп) = μ ( ГТ (— оо, xk)) (xk £ IR): а) непрерывна слева по каждой
переменной; б) удовлетворяет условию (14.8); в) мера Лебега—Стилтьеса μ^
совпадает с μ.
§ 16. ЗАРЯДЫ И ИХ СВОЙСТВА
1. Понятие заряда* Разложение в смысле Хана. В этом
параграфе будет введено понятие заряда — простое и естественное
обобщение понятия меры, и изучены свойства зарядов. Слово «заряд»
60

заимствовано из физики. Заряд в физике отличается от массы тем,
что масса всегда неотрицательна, а заряд может быть любого знака.
Таково же отличие заряда от меры.
Определение 16.1. Пусть в пространстве R задана о-алгебра
подмножеств 9ΐ и παΐϋ задана ьещественнозначная функция ω:
Функция ω называется зарядом, если выполнены следующие условия:
1) ω(0) = Ο;
2) функция ω счетно аддитивна, т. е. если Л1? Л2, ... £ 9ΐ,
А{ β Л/ = 0 (ίΦΙ), то
00 °°
ω( ϋ Aj)= Σ ω (Л/).
/=ι /=ι
Подчеркнем, что мы рассматриваем заряды, принимающие лишь
конечные значения.
Из определения сразу следует конечная аддитивность и суб-
грактивность заряда, а также теоремы о непрерывности для
объединений и пересечений, совершенно аналогичные теоремам 6.2 и 6.3.
Пример 16.1. Пусть μ, ν — конечные меры, заданные на σ-алгебре 91
подмножеств R. Положим
ω (Α) = μ (Л) — ν (Л) (V Л g W).
Тогда ω — заряд. Действительно, проверим выполнение условий 1), 2):
1) ω(0)=μ(0)-ν(0) = Ο;
2) ω( U Α.) = μ ( U Α.))-ν( U Α Λ = fj μ (Α.) - £ ν (Л.) =
/=1 /=1 /=1 /=1 /=ι
οο οο
/=1 /=1
Ниже будет показано, что этот пример имеет общий характер,
т. е. что всякий заряд можно представить в виде разности двух мер.
Для этого понадобятся некоторые предварительные рассмотрения.
Теорема 16.1. Всякий заряд ограничен, т. е. существует
такое С >0, что | ω (Е)\ < С (VE ζ 81).
Доказательство. Покажем, что множество {ω (Ε) \ Ε ζ
ζ Щ ограничено сверху; ограниченность снизу доказывается
аналогично. Допустим противное, пусть sup ω (Ε) = + οο. Назовем мно-
Ет
жество Α £ 3Ϊ неограниченным для заряда ω, если
sup ω (Ζ?) = + оо.
Сделанное допущение означает, что все пространство R является
неограниченным для ω.
51

Возможны следующие два случая:
1) Всякое неограниченное множество из ffi содержит
неограниченное подмножество, заряд которого как угодно велик.
2) Существует неограниченное множество Л £ 9Ϊ и такое число
N > 0, что для любого неограниченного множества В ^ Л
выполняется условие ω (В) < N.
Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.
В первом случае рассмотрим произвольное неограниченное
множество А (например, А = R): Тогда существует такое
неограниченное множество Αγ s Л, что ω (Лх) > 1. Аналогично построим
неограниченное множество Л2^ Аг такое, что ω (Л2) > 2, и т. д.
Мы получим убывающую последовательность множеств (Αη)Ζ=ι
такую, что ω (Ап) > /г. Тогда по теореме о непрерывности для
пересечений получаем
00
ω( ίΐ 4) = limω(Αη)'= +οο,
/7=1 П-*-оо
т. е. построено множество, заряд которого бесконечен, что
невозможно .
Во втором случае рассмотрим неограниченное множество Л,
о котором говорится в условии 2). Поскольку Л —
неограниченное множество, то существует Al cz А такое, что ω (Лх) > N. Это
неравенство показывает, что множество А1 не может быть
неограниченным, поэтому неограниченным является Л\ЛХ.
Аналогично найдем такое множество Bxcz A\Al9 что ω (BJ >1.
Поскольку Ах Π #ι = 0, то ω (Л1 (J Вг) = ω (Аг) + ω (BJ >
> Ν + 1, и, следовательно, Лх (J βχ не является неограниченным.
Поэтому Л\(ЛХ U Вг) — неограниченное множество. Аналогично
строим В2 с= Лх \(ЛХ U βχ) такое, что ω (В2) > 1, причем ω(Αχ[]
U fii U В2) = ω (Лх) + ω (5J + ω (β2) > Ν + 2, т. е.
множество Лх U Вг U Б2 также не является неограниченным, значит,
Л\(ЛХ U Вг U β2) — неограниченное множество. Продолжая этот
процесс, мы получим последовательность попарно
непересекающихся множеств В1у В2, .. . , ВП9 ... £31 таких, что ω(Bj) > 1. Тогда
оо оо °°
U Βηζ31 и ω( (J Вп) = Σ ω(β„) = +оо, что невозможно. Следо-
Я=1 /2=1 /7—1
вательно, допущение о неограниченности заряда неверно. ■
Определение 16.2. Множество Ε называется положительным
(отрицательным, нулевым) для заряда ω, если Ε £ 9ΐ и ω(/Γ)>
> О (ω (F) < О, ω (F) = 0) для любого F^ E, F G 8t.
Пустое множество, очевидно, является и положительным, и
отрицательным, и нулевым.
Лемма 16Λ. Положительные (отрицательные, нулевые)
множества образуют в-кольцо.
Доказательство проведем для положительных
множеств; для отрицательных и нулевых оно совершенно аналогично.
1). Пусть Еъ Е2—положительные множества. Покажем, что
и множество Ζ?ι\£2 также положительно. Пусть F £ 9ΐ, F s Ег\Е2,
52

тогда F cz Ег и по определению положительного множества ω (F) >
> 0. Следовательно, Е^\Е2 положительно.
2). Пусть Е1У Е2, ... — положительные множества. Покажем,
оо
что и U Ει также положительно. По лемме 2.1 построим попарно
непересекающиеся множества Вг> В2, ... такие, что Β[ζΐϋ, Βι^Ει
и 5 Be = U Et. Пусть F £31, fg 5 £*. тогда
ι'=1 t=l t=l
ί=1 t=l i=l
и в силу счетной аддитивности заряда
00
ω(/0= Σω^ηΒ/). (16.1)
Но Τ7 Π Β( ζ. $t и F Π £* s £V, поэтому в силу определения 16.2
все слагаемые в правой части (16.1) неотрицательны. Следовательно,
оо
ω (F) >0, т. е. U Е, —положительное множество. ■
i=i
Если электрический заряд распределен на некоторой
поверхности, то эта поверхность естественным образом разбивается на две
части, одна из которых несет положительный заряд, а другая —
отрицательный. Следующая теорема дает математическое
обоснование этого факта.
Теорема 16.2 (о разложении в смысле Хана).
Для любого заряда ω существуют такие непересекающиеся
множества R+ и i?_, что
R = Я+ U R-,
причем множество R+ — положительное, a R^ — отрицательное
для заряда ω.
Говорят, что R+ и R_ образуют разложение в смысле Хана
пространства R относительно заряда ω.
Доказательство. Поскольку в силу теоремы 16.1 заряд
ограничен, то существует а = inf ω (£), где точная нижняя грань
берется по всем отрицательным множествам Ε ^ R. Покажем, что
этот инфимум достигается на некотором отрицательном множестве.
Пусть (Еп)п=\ — последовательность отрицательных множеств такая,
оо
что Нтю(£л) = а. Положим R_ = U Еп. В силу леммы 16.1
/1-юо /1=1
/?_ — отрицательное множество. Покажем, что ω(7?_) = α. Очевидно,
оо Π Π
R- = U ( U Ek), причем множества Сп = \] Ek образуют возра-
стающую последовательность отрицательных множеств. Кроме того,
функция множеств — со является, очевидно, конечной мерой на
σ-кольце отрицательных множеств. Применив теорему о
непрерывности и монотонность меры, получим
53

—ω(/?_) =-ffl(UQ = lim(—ω (Сn)) = — Нтш( U £*) >
> —lim ω (Εп) = —α,
откуда ω(7?_)<·α. Так как α = ίηίω(£), то отсюда следует, что
ω(#_) = α.
Покажем теперь, что множество R+ = /?\/?_ является
положительным. Предположим, что R+ не является положительным, т. е.
что R+ содержит подмножество В0 £ Ш такое, что ω (Β0) <. 0.
Множество В0 не может быть отрицательным, так как в противном
случае множество 7?_ (J ^о также было бы отрицательным и при этом
ω (i?_ (J В0) = ω (ft.) + ω (BQ) < ω (/?_) = α, что невозможно.
Поэтому BQ содержит подмножество, на котором ω принимает
положительное значение. Пусть пх — наименьшее натуральное число, для
которого множество В0 содержит подмножество Вг ζ ffi такое, что
ω (BJ > —. В силу субтрактивноети заряда
ω(β0\β1) = ω(β0)-ω(β1)<ω(β0)-^-<0.
Как и В0у множество £0\ Вг не может оказаться отрицательным.
Подобно предыдущему обозначим через п2 наименьшее натуральное
число, обладающее тем свойством, что существует подмножество
Β2ζΐΚ множества В0\ВЬ для которого ω(β2)> —. Продолжив
этот процесс неограниченно, получим последогательность множеств
{Bk)k=i таких, что Bk a B0\ (J Bh ω(Β/ί) > — и nk — наимень-
шее натуральное число, обладающее этим свойством. При этом
оо оо
V — < 2j (0(^/е) = ω( U Bk) < +00 в силу конечности заряда,
поэтому lim— = 0. Положим
F0 = ΰ0\ υ Bk
и покажем, что F0— отрицательное множес1 во. В противном случае
существовало бы подмножество F c= F0> F £ 9Ϊ, ω (F) > 0.
Положим т = —гр- + 1 и выберем настолько большое ky чтобы
было nk > т. Тогда
BkUF czB0\{j Bh ω(β*υ^) = ω(β*) + ω(^)>
nk^ v J^nk^ m^nk nk—\'
что противоречит минимальности nk.
54

Итак, F0 — отрицательное множество, причем F0 Г) /?_ = 0 и
оо
ω (Fо) = ω (В0) - £ ω (£ft) < ω (Β0) < 0.
Тогда/?_ U F0 — также отрицательное множество и ω (R_ [) FQ)=
= ω (i?_) + ω (FQ) < ω (/?_), что противоречит минимальности
заряда R_ . Итак, сделанное допущение привело к противоречию,
поэтому R+ — положительное множество. ■
Замечание 16.1. Легко видеть, что разложение в смысле Хана
единственно с точностью до нулевых множеств для данного заряда.
Действительно, пусть имеются два разложения в смысле Хана:
R = R+[) R-, R = R'+ (J R\ Покажем, что тогда симметричные
разности R+kR+ и R„kR' — нулевые множества для заряда ω. Пусть
ΕζϊΚ, E<=R+AR'+. Поскольку
я+ая; = (/?+\я;) и (R'+\R+) = (R+ η Ri) и (/?; η /г.),
то Е s R+ [} R'+ и Ε^ R_[)RL, поэтому ©(£)>0и одновременно
ω (£)<(), т. β.·ω(£)=0. Таким образом, R+kR'+ — нулевое
множество. Аналогично доказывается, что и R-ARi является нулевым
множеством. ■
2. Разложение в смысле Жордана. Пусть на σ-алгебре 9Ϊ
подмножеств пространства R задан заряд ω и пусть
/? = /?* U #- (16.2)
— разложение в смысле Хана пространства 7?. Для любого
множества Ε ζ 9Ϊ положим
ω* (£) = ω (Ε П Я+), ω. (£) *-ω{Ε Π #-)·
Из замечания 16.1 следует, что функции ω+ и ω_ однозначно
определены на σ-алгебре 9ΐ (τ. е. не зависят от разложения (16.2)).
Определение 16.3. Функции множества ω+ и ω_ называют
соответственно положительной и отрицательной
вариациями заряда ω. Π о л но й вариацией заряда ω
называют функцию множеств |ω| , определяемую равенством
Η (Ε) = ω+ (Ε) + ω. (Ε) (Ε £ Й).
Из определения непосредственно следует, что положительная,
отрицательная и полная вариации произвольного заряда являются
конечными мерами. При этом имеет место следующая теорема.
Теорема 16.3. Всякий заряд можно представить в виде
разности двух конечных мер:
ω (Ε) = ω+ (Ε) — ω_ (Ε). (16.3)
Доказательство. Воспользовавшись разложением в
смысле Хана (16.2), получаем для любого Ε £ 9ϊ:
£ = (£f) Д+) U (Ε () «О.
55

причем множества в правой части не имеют общих точек. Отсюда
в силу аддитивности заряда
ω (Ε) = ω (Ε f] #+) + ω (Ε (\ #_) = ω* (Ε) - ω. (Ε). Ш
Представление заряда в виде разности его положительной и
отрицательной вариаций называется разложением заряда в смысле
Жордана.
Замечание 16.2. Представление заряда в виде разности двух мер
неединственно. Действительно, пусть ω = ω* — ω. —
разложение в смысле Жордана и пусть ρ — произвольная конечная мера.
Тогда
ω = (ω+ + ρ) — (ω_ + ρ)
— также представление заряда в виде разности двух конечных мер.
Отметим, что разложение в смысле Жордана является
минимальным в следующем смысле: если ω = ω+ — ω_ — разложение в
смысле Жордана и ω = μ — ν — другое представление ω в виде
разности конечных мер, то ω+ (Ε) < μ (Ε), ω. (Ε) <$ ν (Ε) (VZ?£9i).
Действительно,
ω+ (£) = ω(£ f] R+) = μ (Ε [} /?+)-ν(£ П R+) <
<μ(Ε Π #J <μ(Ε).
Аналогично
ω, (£) = -ω (Я П /?-) = - (μ № П Λ.) - ν (Я П #-)) =
= v(£f] #_)_μ(β П /?.) <ν(£ П Д-) <ν (Ε). ■
Замечание 16.3. Все рассмотрения этого параграфа нетрудно
перенести на заряды, которые могут принимать и одно из
бесконечных значений + оо или —оо.
Замечание 16.4. В некоторых случаях приходится
рассматривать и заряды, принимающие комплексные значения. Если на
σ-алгебре 9ϊ подмножеств/? заданы два заряда ωχ и ω2, то функцию
множеств ω = ω1 + ίω2 называют комплекснозначным зарядом.
Таким образом, в этом случае
Комплекснозначный заряд, как и вещественнозначный, счетно
аддитивен и ограничен.
УПРАЖНЕНИЯ
16.1. Обозначим через W (R) совокупность всех зарядов на (R, !Н).
Доказать, что W (R) является линейным пространством над полем R. Описать
W (R) в случае, когда R = {1, 2, ..., Ν}, П = 9Л (/?).
16.2. Пусть μ — мера на ίΗ, θ : ίΗ —>- [R — аддитивная функция множеств,
удовлетворяющая условию (Ve > 0) (36 > 0) (Vi4 g К : μ (Л)< δ): | θ (Λ) |< ε.
Доказать, что θ — заряд.
16.3. Пусть μ, ν — конечные дискретные меры на R. Найти разложение
Хана для заряда ω = μ — v.
56

16.4. Доказать, что: a) (VA g Щ : ω+ (А) = sup {ω (В) \ В с А, В ζ Щ,
ω. (А) = sup {—ω (В)\В <=А, В$Щ\ б) с < | ω| (/?) < 2с, где с =
= sup{ |со(Л) 11 Л€ 9*}.
16.5. Для ων ω2 6 W (R) положим d (ων ω2) = | ωί — ω2 \(R).
Доказать, что (W (R), d) является метрическим пространством, сходимость ωη-+ω
в котором равносильна тому, что sup { \ωη(Α) — ω (А) \ \ А £Щ -> 0 при п-+оо.
16.6. Доказать, что ( W (R), d) — полное метрическое пространство.
16.7. Пусть μ — конечная дискретная мера на IR. Найти разложение
Хана для заряда ω = т — μ и разложение Жордана для ω.
§ 17. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
С ЗАРЯДАМИ
В этом параграфе будет показано, что любая функция
ограниченной вариации определяет некоторый заряд. Его построение
совершенно аналогично построению меры Лебега — Стилтьеса по
неубывающей функции.
Напомним сначала определение и основные свойства функций
ограниченной вариации. Пусть задана функция / ι [α, b\ ->· IR.
Рассмотрим произвольное разбиение η отрезка [a, b]\ а = х0 <.хг<.
<х2 < ..· <Ολ-ι <хп — b и положим
V„(/; [я, 4)«Σ \f(xk+i)-f(Xk)\.
Если множество {νπ(/; [α, b])} ограничено, то функция /
называется функцией ограниченной вариации. Вариацией функции
называется число
V (/; [а, Ь]) = sup Σ Ι / (хш) - f {xk) |.
π fc=o
Нетрудно видеть, что ограниченную вариацию имеют функции
следующих классов:
1) ограниченные монотонные функции; для таких функций
V(/; [a, b]) = \f(b)-f{a)\;
2) функции, удовлетворяющие условию Липшица, т. е. такие
функции /, для которых
(3c>0)(V*', хГ£[а, Ь]): |/(*') — /(*") \ < с\х'— х"\.
В частности, всякая функция f ζ С1 [а> Ь] является функцией
ограниченной вариации.
Хорошо известны следующие свойства функций ограниченной
вариации:
1) сумма и произведение двух функций ограниченной вариации
являются также функциями ограниченной вариации;
2) если с — любая точка интервала (а, &), то
V (/; [а, Ь\) = V (/; [а, с]) + V (/; [с, Я);
57

3) теорема Жордана. Функция f имеет ограниченную
вариацию на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда она представима
на этом отрезке в виде разности двух неубывающих функций.
Указанное представление функции ограниченной вариации
может быть построено, например, так:
где φ {χ) = V (/; [а, χ]), ψ (χ) = φ (χ) — f (χ). При этом если /
непрерывна слева (справа ) в точке х0 £ [a, ftj, то и φ непрерывна
слева (справа) в этой точке.
4) множество точек разрыва функции ограниченной вариации не
более чем счетно.
5) в силу теоремы Жордана для функции ограниченной вариации,
как и для неубывающей функции (см. § 13), имеет место
представление
f(x)*=fdix) + fAx)>
где fd (χ) = Σ Δ/ (cj) — функция скачков, fc (x) — непрерывная
j:cj<x
на [a, b] функция (Cj — точки разрыва функции f).
Рассмотрим теперь вопрос о построении заряда по функции
ограниченной вариации.
Пусть / — непрерывная слева функция ограниченной вариации
на отрезке [а, Ь\. Тогда имеет место представление
/М-ФМ-ФМ. (17.1)
где φ* ψ — неубывающие ограниченные функции, непрерывные
слева. Обозначим через μφ и μψ построенные по этим функциям меры
Лебега — Стилтьеса, определенные, по крайней мере, на σ-алгебре
борелевских множеств 25 ([а, Ь)), и положим
ω/ (Ε) ^f μφ (Ε) - μΨ (Ε) (VΕ ζ % ([α, 6)). (17.2)
Поскольку μφ и μψ — конечные меры, το ω/ — заряд. Покажем, что
он не зависит от выбора функций φ и ψ в представлении (17.1).
Действительно, если [α, β) s [a, b)t то
ω/ ([α, β)) = μφ ([α, β)) - μψ ([α, β)) = φ (β) - φ (α) - (ψ (β) -
-ψ (α)) = φ (β) -ψ (β) - (φ (α) -ψ (α)) = / (β) - / (α),
т. е. ω/ ([α, β)) не зависит от вида представления (17.1). Отсюда
следует, что и для любого Ε £ %> ([a, b)) значение щ (Е) не зависит
от выбора φ и ψ в представлении (17.1).
Теорема 17.1. Пусть ω/ —заряд, построенный по функции /,
имеющей ограниченную вариацию на [а, Й, | ω/1 — его полная
вариация. Тогда
|ω/|([α, b)) = V(f; [a, &]).
Доказательство. Построим для заряда оу его
разложение в смысле Жордана:
58

поскольку (о^)+ и (со/)_ — конечные меры на 55([а, Ь)), они
являются мерами Лебега — Стилтьеса для некоторых неубывающих
функций: (ω/)+ = ω/+, (α>/)_ = ω/., причем / (χ) = f+ {χ) — /L (x).
Пусть π: а = xQ < x1 < x2 < ... < хпят1 <Cxn = b —
произвольное разбиение отрезка [а, ft]. Тогда
So'f {Xk+l) ~ f {Xk)' < So'/+ {Xm) ~ f+ {4)' + So' f-{Xk+l) ~
- /- (Χύ I = if* (ft) - U (*)) + (/- (ft) - Ϊ- (*)).
так как f+ и /L— неубывающие функции, откуда
V(/; [a, ft]) = supgol/(^+i)-/(^)l «
< U (&) - /+ (*) + /- №) - /- (*)· (17.3)
Кроме того,
|ω/|([α, b))*=<uf+([a, 6)) + ω/β([α, ft)) =
= f+(b)-f+(") + fAb)-f-(a). (17.4)
Сравнивая (17.3) и (17.4), получаем
Ι ω, Ι ([α, ft))>Vtf; [α, ft]). (17.5)
Установим противоположное неравенство. Положим
a(*)=T(V(Ma, *]) + /(*)).
PM = y(Vtf; [α, *])-/(*)).
Непосредственно проверяется, что α, β — неубывающие функции,
причем
/(*) = « (*) - β (х).
Этому представлению f в виде разности двух неубывающих
функций соответствует представление заряда ω/ в виде разности двух мер
Лебега — Стилтьеса:
ω/ = μα — μβ.
Отсюда в силу минимальности разложения в смысле Жордана (см.
замечание 16.2) получаем
|ω/|([α, 6)) = ω/+([α, ft)) + cof_([a, ft))<Mlfl> 6))+
+ μβ([α, ft)) = (α (ft)-α (α)) + (β (ft)-β (α)) =
= |(V(/;[a,ft]) + /(ft)-/(a)) + i-(V(/; [a, 6])-
-/(ft) + /(fl)) = V(/; [a, ft]). (17.6)
Из (17.5) и (17.6) получаем
Ι ω/1 ([a, ft)) = V(/; [a, ft]). ■
59

УПРАЖНЕНИЯ
17.1. Пусть ω — заряд на [а, Ь], Положим / (χ) = ω ([α, χ)) (χ > α),
/ (α) = 0. Доказать, что: а) / — непрерывная слева функция ограниченной
вариации на [а, Ь] (совокупность всех таких функций, равных нулю в точке
а, обозначим V ([а, Ь]))\ б) заряд ω^ построенный по /, совпадает с ω; в)
соответствие W ([а, Ь]) Э ω \-*· f ζ V ([а, Ь]) является изоморфизмом линейных
пространств W ([а, Ь]) и V ([а, Ь]).
17.2. Пусть flt f2 — функции из V ([a, b])t соответствующие зарядам
(olt ω2 6 W ([α, b]). Положим р (flt /2) = d (ωΐ9 ω2). Доказать, что (V ([a, b])t
ρ) — метрическое пространство, и описать сходимость в нем. Доказать, что
метрическое пространство (V ([а, Ь]), р) полно.
17.3. Множество К в линейном пространстве X называется конусом, если
(V* 6 К) (γα > 0) : ах £ /С. Доказать, что множество всех конечных мер на
S3 ([a, b\) (всех неубывающих функций из V ([а, Ь])) является: а) конусом
в W ([а, Ь]) (в V ([а, Ь]))\ б) замкнутым в (W ([a, b])f d) (соответственно
в (V ([a, b])t p)) множеством.

ГЛАВА II. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Понятие измеримой функции ввел в математику А. Лебег в связи с
построением теории интегрирования. Через некоторое время Η. Η. Лузин
установил так называемое С-свойство измеримых функций, которое, нестрого
говоря, заключается в том, что всякая измеримая функция «почти
непрерывна». В этой главе изучаются свойства измеримых функций, а также
различные виды сходимости последовательностей измеримых функций и связь
между ними. В последнем параграфе доказано С-свойство.
§ 1. ИЗМЕРИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА
С МЕРОЙ. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
В этом параграфе вводится ряд понятий, которые будут широко
использоваться в дальнейшем.
Множество Rt в котором задана некоторая σ-алгебра
подмножеств 9ΐ, называется измеримым пространством и обозначается.
(Ry 9ΐ). Там, где нет опасности путаницы, мы будем обозначать
измеримое пространство той же буквой R, что и само множество.
Подмножества Ry входящие в ffi, называют измеримыми, или Ш-измери-
мыми. Подчеркнем, что это понятие измеримости никак не связано
с понятием измеримости относительно внешней меры:
^-измеримость множества не означает, что это множество измеримо
относительно некоторой внешней меры, заданной на R.
Пример 1.1. Пусть R = \R — числовая прямая, © = © (К) — σ-алгебра
всех борелевских подмножеств IR (см. § 1.9). В измеримом пространстве
(ER, S3) измеримые множества — это все борелевские подмножества R; эти
множества часто называют измеримыми по Борелю. Аналогичную
конструкцию можно рассмотреть в К" и в любом топологическом пространстве.
Пространством с мерой называют измеримое пространство
(Rt 9Ϊ), в котором на σ-алгебре 9ΐ подмножеств R задана мера μ.
Пространство с мерой обозначают (R, 9ϊ, μ). Впрочем, и
пространство с мерой мы часто будем обозначать одной буквой R.
В предыдущей главе (в частности, в § 5, 7, 14) получен ряд
результатов, относящихся к превращению измеримых пространств
в пространства с мерой.
Пусть, например, (IR, 25) — измеримое пространство,
рассмотренное в предыдущем примере, т — мера Лебега на числовой
прямой. Тогда (IR, Ъу т) — пространство с полной σ-конечной мерой
т. Ясно, что пространством с мерой является и (IR, 2, т), где 2
σ-алгебра всех подмножеств IR, измеримых по Лебегу.
Упражнение 1.1. Пусть (R, ίΗ, μ) — пространство с полной σ-конечной
мерой μ; μ* — внешняя мера, построенная по мере μ. Тогда всякое μ*-Η3Μβ-
римое подмножество R измеримо, т. е. входит в 9Я. Таким образом, в случае
полной σ-конечной меры оба понятия измеримости эквивалентны.
61

В дальнейшем будут изучаться функции, определенные на
измеримых пространствах. Введем основное понятие, относящееся к
таким функциям,— понятие измеримой функции.
Определение 1.1. Пусть (R, Щ и (Rly 9^) — измеримые
пространства и пусть задана функция f ι R ->■ Rt. Функцию f называют
измеримой, если для нее прообраз любого 9ϊ ^измеримого множества
^it-измерим, т. е. если для любого множества A1£?ft1 его
прообраз /-1 (ллея.
Особенно часто приходится рассматривать измеримые числовые
функции. Остановимся подробнее на этом случае.
Пусть (R, ?И) — измеримое пространство, IR = IR (J { —οο,οο} —
расширенная числовая прямая. Всюду в дальнейшем будут
рассматриваться числовые функции /:/?->■ IR, т. е. функции, которые
могут принимать не только конечные значения, но и значения
+ оо и — оо. Применим предыдущие определения, считая в IR
измеримыми борелевские множества. Тогда измеримость функции /
означает, что для любого борелевского множества В s IR его
прообраз измерим, т. е. /_1(Б) £ 9Ϊ.
Если такая функция задана на измеримом пространстве (IR", $>,
то ее называют измеримой по Борелю, а если она задана на
(Πν\δ) — измеримой по Лебегу. Измеримой по Борелю называют
также измеримую числовую функцию, заданную на измеримом
пространстве (Т, 35 (Т) ), где Τ — произвольное топологическое
пространство, а 35 (Т) есть σ-алгебра борелевских подмножеств Т.
Следующая теорема показывает, что определение измеримости
в случае числовой функции допускает гораздо более простую
формулировку, При этом для сокращения записей мы будем в
дальнейшем обозначать через { / (х) < а) или {/ < а) множество {χ £
£ R \f {χ) <а). Аналогичный смысл имеют обозначения {/<а},
{/ = а], 1/>а), {a <f <Ь) и т. п.
Теорема 1.1. Числовая функция f, заданная на измеримом
пространстве (R, Ш), измерима тогда и только тогда, когда для любого
я £ IR множество {f<.a} измеримо.
Доказательство. Необходимость следует из того, что
интервал Μ = (—сю, а) при любом α ζ Ц является борелевским
множеством, поэтому для измеримой функции / его прообраз
f'1 {Μ) = {/ <я) измерим.
Достаточность. Заметим, что для любой функции f:R -^/?ι
и любых подмножеств А, В, At c= Rx имеют место равенства
f-чЪ Ал-иг-ЧАд* о·1)
г=1 1=1
f-l(A\B) = r1(A)\f-1{B), (1.2)
в частности,
f-4A) = t4A). (1.3)
62

Из этих равенств, в частности, следует, что для любой функции
/, заданной на измеримом пространстве, множества, прообразы
которых измеримы, образуют σ-алгебру.
Пусть выполнено условие теоремы, т. е. {/(#)< а} £31 (Va£IR).
Покажем, что функция / измерима. Для любых аъ а2€К, аг<.а2
имеем в силу (1.2)
{a1<f<a2}=f-1([aL, α2)) = f'1^— оо, а2)\(— оо, ах)) =
= /-ΐ((_οο, β2))\/-ΐ((_οο, α1)) = {/<α2}\{/<α1},
поэтому {a1<f<.a2}£dl.
Таким образом, система подмножеств IR, прообразы которых
измеримы, является σ-алгеброй, содержащей все полуинтервалы вида
Ιαν α2), и поэтому содержит все борелевские множества. Щ
Упражнение 1.2. Доказать формулы (1.1) — (1.3).
Теорема 1.2. Утверждение теоремы 1.1 остается
справедливым, если заменить множество {/ <а} любым из множеств {/>а},
(/ <а},{/ >а}.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция /
измерима. Тогда измеримость каждого из указанных множеств
следует из того, что они являются прообразами промежутков (а, + оо),
(—оо, а], [а, +оо), являющихся борелевскими множествами. В этом
можно убедиться и иначе. Измеримость множества {/ <за} при
любом α ζ IR следует из равенства
{/<«}=£,{/<«+-?}·
если использовать теорему 1.1. Измеримость двух других множеств
следует из равенств
/\ /\
{/>α} = {/<α}> {f>a} = {f<a}.
Достаточность устанавливается такими же рассуждениями,
как в теореме 1.1. ■
Упражнение 1.3. Доказать, что если числовая функция / измерима, то
при любом а 6 IR множество {/ = а} измеримо. Верно ли обратное?
Рассмотрим важный пример измеримой числовой функции.
Напомним, что индикатором множества A cz R называется функция
%а$ определяемая следующим образом:
γ (у\-{1 ПРИ *£А>
ХМ*)-\о при х\А.
Теорема 1.3. Индикатор подмножества А измеримого
пространства (7?, Ш) измерим тогда и только тогда, когда множество
А измеримо {т. е. Α ζ Щ.
63

Доказательство сразу следует из того, что для любого
!0 при а <: О,
А при 0<а< 1,
R при а > 1. ■
Теорема 1.4. Пусть Τ — топологическое пространство и
функция f : Τ ->■ IR непрерывна на Т. Тогда f измерима по Борелю.
Доказательство сразу следует из того, что для
непрерывной функции прообраз любого открытого множества открыт.
Поэтому для любого α ζ IR множество {/ <α} открыто, т. е. является
борелевским подмножеством Т. ■
УПРАЖНЕНИЯ
1.4. Пусть f:R-+\R— измеримая функция и A£$t. Доказать, что %Af—
измеримая функция.
1.5. Пусть (R, 3Ϊ), (Rlt Stj) — измеримые пространства. Функцию f:R-+Rlt
удовлетворяющую условиям определения 1.1, назовем (9t, Э^-измеримой.
Если σ-алгебра @ с: St, то всякая (@, ^-измеримая функция является (St, 9ΐχ)-
измеримой, а обратное неверно. Если σ-алгебра @х с: 9tx> то всякая (9х, 9it)-
измеримая функция является (9t, ©-^-измеримой, а обратное неверно. Доказать.
1.6. Описать совокупность всех измеримых функций /: /?-HR, если; a) 3t=
= {0, /?}; б) 3ft = 3R(/?).
1.7. Пусть (/?, 9ΐ)—измеримое пространство, (Ап) ™{ α 9t, (J ΛΛ =/?,
«=1
АпОАт — 0 (пфт). Положим / (х) = ап £ IR для α:ζ Лп. Доказать, что / —
измеримая функция.
1.8. Доказать, что монотонная функция /: R -> IR измерима по
Борелю.
1.9. Доказать, что числовая функция /, заданная на измеримом
пространстве (R, Й), измерима тогда и только тогда, когда измеримы множества
{/ < q) для любого q 6 Q-__
1.10. Пусть / : R -> IR измеримая функция. Доказать, что измерима
функция | / |. Верно ли обратное?
1.11. Пусть числовая функция / измерима. Доказать, что для любого Μ
измерима функция (f)M, совпадающая с ff если |/(л:)| < М, и равная нулю
в противном случае.
§ 2. СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть (R, 9Ϊ) — измеримое пространство. Обозначим через M{R)
множество всех измеримых числовых функций / : R ->» IR. В этом
параграфе изучаются свойства множества Л (R); в частности, будет
показано, что это множество замкнуто относительно арифметических
операций, взятия модуля и поточечного перехода к пределу.
Теорема 2.1. Пусть f: R -> IR — измеримая функция. Тогда
для л/обой измеримой по Борелю функции g : IR -> IR их композиция
h (x) = S if (x)) — также измеримая функция на R.
64

Доказательство. Согласно теореме 1.1 достаточно
показать, что для любого α ζ IR множество {h (x) < а) измеримо,
т. е. принадлежит 9ϊ. Однако {Η (χ) <α} = h'1 ((—oo, a )) =
= /~1 (g _1(—°°> #))· Но поскольку g — измеримая по Борелю
функция, το Ε = g'1 ((— oo; α)) £ 55 (IR), откуда, в силу измеримости/,
находим, что
{А (*)<*}-Ζ'1 (*)€».
т. е. функция h измерима. ■
Замечание 2.1. Ясно, что доказанная теорема применима, в
частности, если функция g непрерывна, поскольку всякая непрерывная
функция в силу теоремы 1.4 измерима по Борелю. Отметим, что
если g измерима по Лебегу, то даже в случае непрерывной функции
f композиция g (/ (χ)) может оказаться неизмеримой функцией.
Соответствующий пример см. в [18, 90].
Теорема 2.2. Если f {χ) = с = const на R, то f — измеримая
функция.
Доказательство сразу следует из того, что
\f<ra\-\R ПРИ й>Су
\1 <- «/ — \ 0 при а < с.
Теорема 2.3. Пусть /, g£^(R), с = const. Тогда
следующие функции измеримы на R· 1) cf, 2) | /1, 3) /2, 4) / + g", 5) fg,
6) — (при условии, что g(x):¥=0 на R), 7) max{/, g} и min {f,g}.
Доказательство. 1) Измеримость функции cf при с = 0
очевидна. При сфО она следует из очевидного соотношения
{cf<a} =
{/<|}при с> О,
{/>у}при с<0.
2) Измеримость |/| следует из того, что
0 при а < О,
{]il<a]~]{f<a}Q{f>-a} приа>0.
3) Измеримость функции /2 следует из соотношения
1*2^ ι \ 0 при а<0>
{/<а} = 1{|/К>^}приа>0,
поскольку последнее множество измеримо в силу измеримости |/|.
Впрочем, измеримость р следует и из теоремы 2.1.
4) Докажем, что f + g£Jt(R). Пусть (Q = (г^=1 —
последовательность всех рациональных чисел. Покажем, что тогда Va£IR
if + g<a}=U ({f<rk}f){g<a-rk}). (2.1)
3 9-227 65

Пусть x£{f + g<a], т. е. /(χ) + g(x)<а, тогда /(x)<a — g(x),
и поэтому найдется такое число rk£Q, что f(x)<irk<.a — g(x).
Отсюда f(x)<rk9 g(x)<a — rk, и поэтому x^{f<rk}{][g<a —
— rk). Следовательно, х входит в правую часть (2.1).
Пусть теперь χ входит в правую часть равенства (2.1). Тогда
хотя бы при одном k будет x£{f<rk} f] {g<a — rk}, т. е.
/(*)<>* и g(x)<a — rk> откуда f(x)<rk<.a — g{x).
Следовательно, f(x)<.a — g(x), т. е. χζ \f + g<а}. Тем самым доказано
равенство (2.1) и вместе с тем измеримость f + g.
5) Измеримость fg следует из формулы
fg=}((f + g)2-(f-g)2)
в силу уже установленных свойств.
/ 1 f
6) Так как — ==/· — , то для доказательства того, что — £ JC (R),
её ё
достаточно показать, что —ζΜ(R). Однако измеримость — сразу
& ё
следует из того, что
{g<a} при а = 0,
•^<а\ =
■>\) U {g<0) при а >0,
[{g<0} (]{g>^\ при а<0.
7) Для доказательства достаточно заметить, что
max{/, g)-=±(f+g+\f-g\),
min{f>g)=i(f + g-\f-g\)· Ш
Теорема 2.4. Пусть последовательность (fk)Z=i измеримых
функций в каждой точке x£R сходится к функции /. Тогда
и функция f измерима.
Доказательство. Пусть (Vx£R) i\imfk(x) = f (x). Пока-
&-*·οο
жем, что тогда для любого α £ IR
{f<a}= UUn {/*<*-i}· С2·2)
Действительно, пусть x£{f<.a}> т.е. f(x)<,a. Тогда при
некотором m£№ f(x)<a , и поскольку Нт/Л(χ) =/(*), το най-
дется такое /гζ И, что при β > /г /*> (#) < α — — . Это означает, что
χ принадлежит правой части равенства (2.2). Наоборот, пусть χ
входит в правую часть (2.2). Это означает, что найдутся такие
т, η ζ И, что при k > η fk(x)<a . Переходя в этом
неравенстве к пределу при £->- оо, получаем / (х) <а— —, поэтому
66

f(x)<a, т. е. χ входит в левую часть равенства (2.2). Тем самым
равенство (2.2) доказано.
Но \fk<La \ζ?ϋ в силу измеримости fk, а так как 31
является σ-алгеброй, то из (2.2) следует, что (/<a}£8t, т.е. / —
измеримая функция. ■
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Пусть /χ, ..., fn — измеримые числовые функции, g (tlt ..., tn) —
непрерывная на 1R" вещественнозначная функция. Доказать, что h (χ) =
~ g (/ι (*)ι ···» fn(x)) — измеримая функция на R.
2.2. Доказать, что числовая функция f измерима тогда и только тогда,
когда измерима функция /3. Описать те числа я, при которых из измеримости
функции fn следует измеримость /.
2.3. Доказать, что функция / измерима тогда и только тогда, когда
измерима функция a) arctg^/; б) sin /. Показать, что измеримость каждой из
следующих функций /2, е'^'» cos/ не влечет, вообще говоря, измеримости /.
2.4. Пусть /, g—измеримые числовые функции. Доказать, что
множества {/ (х) < g (*)}, {/ (χ) > g (x)}, {f (χ) = g (χ)} измеримы.
2.5. Пусть f : R-+ |R, положим /+ (χ) = шах {/ (χ), 0), /_ (χ) =
= —min {/ (#), 0}. Доказать, что функция / измерима в том и только в том
случае, когда измеримы / и /_.
2.6. Пусть / — функция ограниченной вариации на [а, Ь], Доказать,
что / измерима по Борелю.
2.7. Комплекснозначная функция / (х) = и (χ) + ίυ (χ) называется
измеримой, если измеримы ее вещественная часть и и мнимая часть υ. Доказать
измеримость модуля и аргумента /, если / измерима.
2.8. Доказать, что для измеримости комплекснозначной функции f
необходима и достаточна измеримость всех множеств вида {| / (х) — г\ </*},
где ζ 6 С, г > 0.
2.9. Вектор-функция / со значениями в конечномерном пространстве X
называется измеримой, если измеримы координаты вектора / {х) относительно
некоторого базиса в X. Доказать, что это определение не зависит от выбора
базиса.
2.10. Пусть / : IR-> IR такова, что (Υλ; ^ IR) существует }'(х). Доказать,
что функция /' измерима по Борелю.
2.11. Пусть (fn)n=\ — последовательность измеримых функций. Доказать,
что измеримы следующие функции: a) sup {fn \ η ζ Ν}; 6) inf {fn \ ηζ Ν};
в) lim /„; г) lim/n.
2.12. В условиях упражнения 2.11 доказать измеримость множества тех
точек х, где существует lim fn (x).
rt-voo
2.13. Пусть /£ С ([О, 1]). Индикатрисой Банаха N^(y) функции /
называется число корней уравнения / (х) = у (если оно бесконечно, то полагаем
Nf (У) = +<*>). Доказать, что N* измерима по Борелю.
Указание. Разобьем [0, 1] на 2k равных частей и для у ζ [min{/(*) | χζ
£[0, 1]}, max {/(*) Ι χζ [О, 1]}] определим Nk(y) как число тех частей, в
которых имеется' хотя бы один корень уравнения / (х) = у. Докажите, что Л^^—
измеримая функция и Nf (у) = lim Nk (у)-
k-+ оо
2.14. Пусть & — несчетное семейство измеримых функций /: /?->IR.
Показать, что функции /* (*) = sup {/ (χ) I / £ Ρ), /„ (λ-) = inf {/ (χ) I / ζ &-}, вообще
говоря, неизмеримы.
2.15. Пусть & — произвольное семейство непрерывных на [а, Ь]
функций. Доказать, что определенные выше функции /* и /* измеримы по Лебегу.

§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФУНКЦИЯ
Начиная с этого параграфа мы будем изучать числовые функции
заданные на пространстве с мерой (R, 9Ϊ, μ). Меру μ всюду считаем
(если не указано противоположное) конечной.
Определение 3.1. Говорят, что некоторое свойство
выполняется μ-почти везде (или выполняется (mod μ)), если это свойство
выполняется на множестве R\N, где μ (Ν) = 0.
Все числовые функции / : R ->- IR, которые будут встречаться
в дальнейшем, всегда предполагаются μ-почти везде конечными.
В соответствии с определением 3.1 это означает, что μ ({/ {χ) =
= ± оо}) = 0.
Определение 3.2. Две функции fug называют
эквивалентными, если они совпадают μ-почти везде, т. е. если μ ({/ Φ
Φ δ)) = 0. Обозначают эквивалентность функций так. f ~ g или
f = g (mod μ).
Теорема 3.1. Если μ — полная мера, то функция,
эквивалентная измеримой функции, также измерима.
Доказательство. Если g измерима и / = g (mod μ),
то множество {g < а) измеримо при любом α ζ IR. Но тогда
измеримо и {/<#}, поскольку множества {/ <а} и {g <а} отличаются на
некоторое подмножество множества нулевой меры {fφg}i
измеримое в силу полноты меры, щ
Теорема 3.2. Отношение эквивалентности рефлексивно,
симметрично и транзитивно на множестве Л· (R) всех измеримых
функций.
Доказательство. Рефлексивность (/ — /) и симметрия
(/~g=*.g— /) отношения эквивалентности очевидны. Установим
его транзитивность. Пусть f, g, h£ Μ {Κ), f ~ g, g —h. Положим
Ni = {/ Φ g}> N2 = {ёФ Щ. Из условия следует, что μ (Λ^) =
= И (N2) = 0. Но для любого χ £ R\(Ni (J N2) имеем / (x\ = g (χ)
и g (x) = h (χ), поэтому / (χ) = h (x), причем μ {Νχ [f N2) <!
< μ (Α^) + μ (Ν2) = 0. А это означает, что / —h. Ш
В силу этой теоремы можно рассматривать фактор-множество
Л {R)/~, т. е. множество классов, каждый из которых состоит из
эквивалентных функций. При изучении теории измеримых
функций и теории интегрирования часто можно пренебрегать значениями
функций на множестве меры нуль. Это значит, что измеримую
функцию можно заменить любой функцией, ей эквивалентной, т. е.
любой функцией из одного с ней класса. Иными словами, при
рассмотрении указанных вопросов мы, говоря о функции, имеем в виду
не одну эту функцию, а класс эквивалентных функций. Эти
замечания будут в дальнейшем конкретизированы.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Пусть μ—дискретная мера на (R, 9Л (R) }. При каких условиях
/ = g (mod μ)?
3.2. Доказать, что любая измеримая по Лебегу функция на (IR, 2, m)
эквивалентна борелевской функции.
68

3.3. Построить на 10,1] измеримую по Лебегу функцию такую, что она
сама и любая ей эквивалентная по мере Лебега функция разрывны в каждой
точке.
3.4. Пусть f,g £С ([0, 1]) и / = g (mod т). Доказать, что (У χ 6 10, 1]) :
/(*) = *(*).
3.5. Пусть (fn)n=i — последова!ельность измеримых по Лебегу функций
таких, что (Υπ ζ Ν) fn = 0 (mod m). Положим g (x) = sup {fn (χ) | η £ Ы}, h (χ) =
oo
= Л inW» если Ряд сходится, и h(x)==-\-oo в противном случае. Доказать,
что g ~ 0, h ~ 0.
§ 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим различные виды сходимости последовательностей
измеримых функций и изучим связи между ними. Все функции
предполагаются заданными на пространстве (/?, 9Ϊ, μ) с конечной
мерой.
Напомним вначале известные из анализа понятия равномерной
и поточечной сходимости.
Равномерная сходимость fn^tf означает, что
(Ve>0)(ZN)(Vn>N)(Vx£R):\fn(x)-f(x)\<E.
Поточечная сходимость fn->f (сходимость в каждой точке)
означает, что
(Vx£R)(Ve>0)(ZN)(Vn>N):\fn(x)-f(x)\<z.
Очевидно, равномерно сходящаяся последовательность
функций сходится и поточечно. Известно, что из поточечной сходимости,
вообще говоря, не следует равномерная сходимость.
Выше было показано (теорема 2.4), что предельная функция для
поточечно сходящейся (а следовательно, и для равномерно
сходящейся) последовательности измеримых функций также измерима.
В теории измеримых функций часто приходится рассматривать
также сходимость функциональной последовательности μ-почти
везде, или по модулю μ. Сходимость fn-*f (mod μ) означает, что
существует такое множество Ε g R, что μ (Ε) = 0 и
(V*€/?\ £):/„(*)-*/(*)·
Пример 4.1. Рассмотрим на отрезке R = [0,1] последовательность
функций fn (χ) = χη (п = 1, 2, . ..). Ясно, что
Ит*«=Л0пРи<)<*<1·
п-юо ( 1 при х= 1,
поэтому можно записать, что lim хп = 0 (mod m), где т—мера Лебега.
П-+оо
Упражнение 4.1. Доказать, что если (fn)n=\ — последовательность
измеримых функций и /л->/ (mod μ), где μ — полная мера, то функция / также
измерима.
Указание. Воспользоваться теоремой 2.4 и полнотой меры.
69

Введем теперь еще один вид сходимости функциональных
последовательностей, который имеет важное значение при изучении
измеримых функций и в теории интеграла.
Определение 4.1. Последовательность конечных измеримых
функций (fn)™=1 называется сходящейся по мере к измеримой
функции f, если для любого σ>0
Ηπΐμ({|/„-/|>σ}) = 0.
П-+оо
Обозначают сходимость по мере так: fn-+f.
Установим сначала единственность предела по мере. Для этого
потребуется простая лемма.
Лемма 4.1. Пусть h—измеримая функция и μ({/ζ> 0})>0.
Тогда найдется такое ε>0, что μ({Λ > &})>0.
Доказательство. Очевидно,
{h>0}= О {л>|},
/ι=1 ν η '
откуда в силу счетной полуаддитивности меры
с»
0<μ({Λ>0})<Σμ({Λ>ΐ}),
/1=1
поэтому хотя бы одно слагаемое в правой части положительно. ■
Теорема 4.1. Если fn^f и fn^g, то f = g(moay).
Доказательство. Допустим противное, пусть μ({f¥=§})>
> О, т.е. μ({|/_ £|>0})> 0, тогда в силу леммы 4.1 найдется
такое ε>0, что μ({|/— g1>s})>0. Кроме того, при любом η
имеем
{|/-г1>в}е{|/-/я|>|}о{|/я-*|>у}. (4.1)
Действительно, из очевидного неравенства |/ — g|<4/ — fn\ +
+ \fn — g\ следует, что если точка χ не входит в правую часть
(4.1), то она не принадлежит и левой части.
Теперь из (4.1) в силу монотонности и полуаддитивности меры
получаем
μ({Ιί-?Ι>β})<μ({|^-/^>|}) + μ({|/η--ίΙ>-|}).
Но при п-^оо оба слагаемых правой части стремятся к нулю в силу
определения сходимости по мере, поэтому μ({|/ — g| > ε}) = О,
и мы приходим к противоречию. ■
Следующая теорема показывает целесообразность введения
понятия сходимости по мере.
Теорема 4.2 (Лебега). Пусть последовательность {fn)Z=i
конечных измеримых функций μ-почти везде сходится к
измеримой функции f. Тогда fn^f.
70

Доказательство. Обозначим через А множество, на
котором fn (χ) не стремится к / (х)\ по условию μ (А) = 0. Положим
Ek(°) = {\fk-f\>o), Rn(°)= U Ek(a)t M= о Rn(o).
k=n n— 1
Все эти множества, очевидно, измеримы. Далее,
R1(o)^R2(o)s ...
Поэтому в силу теоремы о непрерывности (теорема 1.6.3)
Ηπιμ(^(σ)) = μ(Μ). (4.2)
Л->оо
Покажем, что М^А. Действительно, пусть х§А. Это
означает, что \imfn(x) = f(x)y поэтому для σ>0 найдется такое/г, что
П-юо
при всех k>n \fk(x) — f(x)\<<*> т. е. x$Ek{o) (VA>/z). Отсюда
следует, что χ ή Rn(o) и, следовательно, χ § Μ. Итак, М^А и
поскольку μ(Α) = 0, то и μ(Μ) = 0. Теперь из (4.2) следует, что
Ηπιμ(^(σ)) = 0,
/г-»-оо
и для завершения доказательства остается заметить, что Еп(о)^
sRn(a). Ш
Замечание 4.1. Теорема Лебега не допускает обращения:
сходящаяся по мере функциональная последовательность может не быть
почти везде сходящейся. Приведем пример такой
последовательности .
На полуинтервале R = [0, 1) с мерой Лебега т зададим для
каждого натурального k систему k функций fkV fk29 fk3, .. . , fkk
следующим образом:
/*(*) =
1, если *£Г—£-1 -j)>
0, если χ § 1—г~ , у
Все эти функции занумеруем подряд в одну последовательность
(φΧ=ι· Φι = /шФа = /21» Фз = /гз> Ф* = /si» Фб = /з2> ···
Нетрудно проверить, что φη^0. Действительно, при σ> 1 все
множества {|φ„|>σ} пусты; если же σ<1 и φ„ = /^, то
ίΙΦι.Ι>σ}β[πΓ·τ)
и /я (II Ф,г I > σ}) = τ стремится к нулю при /г-> оо.
Покажем теперь, что последовательность (φη)™=1 не является
m-почти везде сходящейся к нулю. Более того, покажем, что ни
в одной точке промежутка [0, 1) не выполняется соотношение
71

Ιίτηφη(χ) = 0. Действительно, пусть *0£[0, 1). Тогда для любого
Я-+-0О
k ζ И найдется такое i <: ky что
и, следовательно, /^ (л:0) = 1. Таким образом, в числовой
последовательности (φη(χο))Ζ=ι есть члены с как угодно большими
номерами, равные 1, поэтому эта последовательность не сходится
к нулю. ■
Как показывает приведенный пример, из сходимости по мере,
вообще говоря, не следует сходимость почти везде. Тем не менее,
справедлива следующая теорема.
Теорема 4.3 (Рисса). Пусть последовательность {fn)™=1
конечных измеримых функций сходится по мере к функции f.
Тогда из этой последовательности можно выделить такую
подпоследовательность (/„.)Γ=ι> для которой lim/ =/(mod μ).
Доказательство. Возьмем произвольную
последовательность σχ > σ2 > ... > 0, для которой lim ση = 0, и пусть (η^)^ —
последовательность положительных чисел, для которой сходится ряд
ηχ + η2+ ... (4.3)
Построим требуемую последовательность индексов пг <; п2 < я3 < ···
Поскольку /„-^/, то
Ηπιμ({|/η-/|>σ1}) = 0,
поэтому найдется такое ην что
μίίΙ/ιΐ! —/1>σι})<ηι.
Аналогично найдется такое п2 > пъ что
μ({|^2 —/1>σ2})<η2.
Продолжая этот процесс, мы для любого k найдем nk>nk_v для
которого
μ({Ι/^-/Ι><^})<η*.
Покажем, что построенная последовательность индексов
является искомой, т. е. что /„ -^/(ιηοάμ). Положим
Ri= U {\fnk-f\>Okb Q=n Rt. (4.4)
Ясно, что
Rt^R2=>R3=> ...,
72

поэтому в силу теоремы непрерывности p{Ri)-+p(Q). Кроме того,
μ№)<Σ μ({|/πΛ-/Ι>σΛ})<Σ η,
и в силу сходимости ряда (4.3) μ (#,.)->-О при i->-oo. Поэтому
μ(Φ) = 0. Покажем, что
Wx£R\Q):\imf (x) = f(x).
Пусть xQ£R\Q, тогда x0$R{0 при некотором i0. Но тогда из
(4.4) следует, что (Vk > i0):x0 $ {|/njfe —/| > σ^}, т. е. что
(VA>i0):|/„ft(x0) —/Ю1<^·
Так как σ^-^O, то последнее соотношение означает, что limf (х0)=*
&-*оо
=/w· ■
Замечание 4.2. Теорема Рисса допускает усиление, а именно —
она остается справедливой и в том случае, когда мера μ не конечна,
а лишь σ-конечна.
Действительно, σ-конечность меры μ означает, что существует
последовательность множеств конечной меры A1czA2cz ... cz
оо
сэ Ап С2 ... такая, что R = (J Л„, но μ(7?) = + °°·
/2=1
Поскольку fn^f на /?, то fn^f и на Лх, поэтому по теореме
Рисса существует подпоследовательность (fki)t=i такая, что
lim/fc! = /(mod μ) на Лх. Далее, последовательность (fki)Z=v оче"
видно, сходится к f по мере на Л2, поэтому из нее можно
выделить подпоследовательность (fk2)Z=i такую, что Umfk2 = f (mod μ)
k-+ оо
на Л2. Продолжая эти рассуждения, получим ряд
последовательностей
(/Х=1э(/н)Г=1э(/,2)Г=1э ... =>(fki)7=1=> ...,
причем lim fkj = f (mod μ) на Л/.
к -+-00
Рассмотрим теперь диагональную последовательность (jkk)™ t
также являющуюся подпоследовательностью данной
последовательности (fn)Z=i- Ясно, что /^-*/(πιο(Ιμ) на каждом из множеств
оо
Л/, поэтому lim/fcfc = /(mod μ) и на (J Л/ = #. ■
&-*оо /=1
Замечание 4.3. В отличие от теоремы Рисса, теорема Лебега не
имеет места в случае σ-конечной меры. Приведем соответствующие
примеры.
ПРИМЕРЫ
4.2. Пусть R = Ы — множество натуральных чисел, 91 — система всех
подмножеств R, μ ({&}) = 1 (уб 6 №)· Ясно, что эта мера σ-конечна.
Выясним, что означает сходимость по мере в этом пространстве.
73

Поскольку μ принимает лишь целые неотрицательные значения, то
условие
(Υσ>0):1^μ({|/„~/|>σ})=0
означает, что
(Υσ > 0) (d/z0) (Υπ > п0) (Vk £R):\fn(k)-f (k) | < σ,
т. е. сходимость по мере в рассматриваемом пространстве является
равномерной сходимостью.
Рассмотрим теперь последовательность (/л)~=1, где fn — индикатор
множества {1, 2, ... ,л}, т. е. /„ (k) = 1 при k <: η и /л (&) = 0 при k > п. Ясно,
что /„->/ = 1 в каждой точке, но эта сходимость неравномерна, и поэтому
fn не сходится к / по мере. Щ
4.3. Рассмотрим пространство с мерой (IR, £ (IR), m), где т — мера
Лебега. Эта мера, как известно, полна и σ-конечна. Зададим
последовательность функций (fn)n=v гДе fn — индикатор отрезка [л, л+1]. Ясно, что
(V#£IR) :/я->-0, т. е. последовательность сходится к нулю в каждой точке и,
тем более, почти везде. В то же время для любого σ£(0, 1) имеем
m({\fn-0\>a}) = m({fn=£0}) = m([nt /ι + 1]) = 1
и, следовательно, fn не сходится по мере к нулю. ■
Теоремы Лебега и Рисса устанавливают связь между
сходимостью почти везде и сходимостью по мере. Следующая теорема
показывает, что тесная связь имеется также между сходимостью почти
везде и равномерной сходимостью.
Теорема 4.4 (Егорова). Пусть (fn)Z=i —
последовательность измеримых функций, μ-почти везде сходящаяся к измеримой
функции f. Тогда для любого δ>0 найдется такое измеримое
множество R&, что: 1) μ(ΙΪ\Ιϊ(!>)<.δ', 2) на Rt
последовательность (fn)n=1 сходится к f равномерно.
Доказательство. Для любого σ>0 положим
Rn(°)= Ό {|/*-/Ι>σ}.
k=n
При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что
1πημ(#η(σ)) = 0. (4.5)
Возьмем теперь любую последовательность σ1>σ2> ... > 0
такую, что 1ίΓησ„ = 0, и сходящийся ряд с положительными членами
ηι + η2+ ... + η„ + ·.. (4.6)
В силу (4.5) для любого igftj найдется такое п{£№, что
Далее, в силу сходимости ряда (4.6) найдем такое т, что
Σ ηι<δ, (4-7)
i=m
74

и положим
Из (4.7) следует, что μφ)<δ. Если положить
то, очевидно, \x{R\Rb) = μ(£>)<δ.
Остается показать, что fn^f на R&. Для любого л:ζ/?β имеем
χ 3 А т. е.
*3 #л,(<*/) (Vi>m).
Выберем-теперь i0 > m так, чтобы было σίο<ε. Тогда
следовательно,
**{1Лк-Л>*/§} (VA>ni§).
Это означает, что
(VA > л,.) (V* ζ Яв): | /ft (*) - fk (x0) I < оСо < ε,
что и доказывает равномерную сходимость fk к / на Rq. ■
Замечание 4.3. Как и теорема Лебега, теорема Егорова не имеет
места в случае меры, принимающей бесконечные значения, даже
если эта мера σ-конечна.
Действительно, последовательность (/J^Li, построенная в
примере 4.2, сходится в каждой точке и, тем более, почти везде. В то же
время (fn)Z=i не сходится равномерно на R. Если взять δ <1, то из
условия μ (R\R6) <δ следует, что R& = R, и поэтому
последовательность не может сходиться равномерно на Rd. Ш
УПРАЖНЕНИЯ
4.2. Доказать, что следующие последовательности: а) /л (*) = sinn*;
б) in (х) = «Χ[ο, ι/η] (*); в) fn(x) =^ΛΧ[-ΐ,ΐ] (χ) сходятся к нулю почти всюду
по мере Лебега.
4.3. Пусть fn-*-f (mod μ) и grc-*-g(mod μ). Доказать, что: а) для любой
функции φ£ C(IR2):q)(/n, £„)-*"ф(/. g) (mod μ); б) если (Vaz£N):/
το f ~ g; в) если (Vrc £ Ν) :/„ < g„ (mod μ), το /<£(πκ^μ); г) /„ + #„->
-^ / + g (mod μ), /л^я -+ fg (mod μ).
4.4. Пусть μ—конечная мера. Доказать, что каждое из следующих
условий необходимо и достаточно для того, чтобы последовательность (/Λ)~=1
измеримых функций сходилась к измеримой функции / μ-почти везде: a) (Ve >
>0):μ(Πτπ{|/η-Π<ε}) = 0; б) (Ve >0) : lim μ ( U { Ι/*-/| > β}) «0.
/l-voo П-+о° k=n
4.5. Если для последовательности (fn)Z=i измеримых функций и измери-
мой функции / для любого 8>0 выполняется условие JJ μ ({ | fn— /|>
> ε}) < оо, то fn -> / (mod μ). Доказать.
75

4.6. Если для последовательности (fn)n=i измеримых функций и
измеримой функции / выполняется условие: (Ve > 0) (3Αβ£ 9ϊ; μ (^ε)< ε) (Υχζ
ζ Ae): lim fn (χ) = / (χ), το /„ -»■ / (mod μ). Доказать.
4.7. Пусть fn-+f, gn^-gy где μ — конечная мера. Доказать сходимость
по мере μ следующих последовательностей: а) |/л| к |/|; б) fn + gn к / + g;
в) если / = 0 (mod μ), то /* к 0; г) fng к fg; д) /* к /»; е) /„g„ к fg.
4.8. Доказать, что в случае μ (R) = оо первые три утверждения упр.
4.7 остаются справедливыми, а остальные, вообще говоря, неверны.
4.9. В условиях упр. 4.7 предположим, что (Vaz£W): fn < gn (mod μ).
Доказать, что / < g (mod μ).
4.10. Пусть fn^fy gn-^fy где μ —конечная мера. Если μ ({fn <: hn <:
<£/Π)-*-μ(£). το hn-if. Доказать.
4.11. Последовательность (fn)n=i измеримых функций называется
фундаментальной по мере μ, если
(Va>0)(Ve>0)(3tf€N)(Ve, ΐΒ>ΛΟ:μ({|Λ·-Λι,|>σ})<β.
Доказать следующие утверждения:
а) Пусть fn = χΑ (η £ Η). Тогда (fn)£L\ фундаментальна по мере μ в том
и только в том случае, когда μ (АпААт) -> 0 при п, т-*-оо.
б) Если 1п -+■ f, то (fn)n=\ фундаментальна по мере.
в) Пусть (fn)n=\ — последовательность измеримых почти везде конечных
функций, фундаментальная по мере μ. Тогда существует измеримая конечная
функция / такая, что fn^f-
4.12. Сходятся ли по мере Лебега последовательности из упр. 4.2?
4.13. Пусть последовательность (fn)n=\ измеримых функций удовлетворяет
условиям: 1) (Vrc£ №) : 0 </„+1 <: fn (mod μ); 2) fn ->■ 0. Доказать, что fn -►
-+ О (mod μ).
4.14. Пусть μ — конечная дискретная мера. Доказать, что fn-+f в том
и только в том случае, когда fn-+ [(τηοάμ).
4.15. Пусть μ — конечная мера. Доказать, что fn-+f (mod μ) тогда и только
тогда, когда sup {\fm — / 11 m ;> я} -* О, /г -> оо.
4.16. Выделить сходящуюся m-почти везде подпоследовательность из
последовательности (ψη)^ замечания 4.1.
4.17. Доказать, что последовательность (fn)n=\ измеримых функций
сходится по конечной мере μ к измеримой функции / тогда и только тогда,
когда каждая подпоследовательность (fnj)£=x содержит в себе
подпоследовательность, сходящуюся к / μ-почти везде.
4.18. Рассмотрим т последовательностей {fn^)^=l измеримых функций
таких, что fn^ ->- /(/) (/ = 1, ... , т). Пусть g : IRm-HR — непрерывная функция.
Доказать, что последовательность (g(fnl\ . .. , fnm^)) сходится по мере μ к
измеримой функции g(f^\ . . . , /(m)).
4.19. Пусть /„-> / (πκ^μ), где μ — конечная мера. Доказать, что
существует последовательность (Αη)^=ι с: !Н такая, что: 1) μ ( U ^п) = 0; 2)(V/z£
€ Ν) :/*=£/ на Ап.
4.20. Пусть последовательность (fn)n=\ измеримых функций удовлетворяет
условиям теоремы Егорова. Доказать, что существуют измеримая μ-почти
всюду конечная функция F и монотонно убывающая к нулю последователь-
76

ность (ε^)^! такие, что для всех η справедливо неравенство [ f (χ) — fn (χ) | <
<enF(x).
4.21. Перенести теорему Егорова на последовательность функций,
сходящуюся к + оо μ-почти всюду.
§ 5. ПРОСТЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ
ФУНКЦИИ ПРОСТЫМИ. ТЕОРЕМА ЛУЗИНА
При построении теории интегрирования, а также при изучении
некоторых свойств измеримых функций оказывается полезным
рассмотрение простейших измеримых функций — так называемых
простых функций.
Определение 5.1. Числовая функция f: R ->- IR, заданная на из-
меримом пространстве (R, 5R), называется простой, если она
принимает лишь конечное число различных значений (подчеркнем,
что все значения простой функции предполагаются ко не ч-
н ы м и).
Примером простой функции может быть индикатор %е (х)
множества Ε cz R — функция, принимающая лишь значения 0 и 1.
Легко видеть, что всякая простая функция является линейной
комбинацией индикаторов попарно непересекающихся множеств.
Действительно, пусть clt с2, ... , сп— все различные значения
простой функции /. Положим
Ei = {x£R\f(x) = ci};
тогда
/?= U £/, Ει [\Ek = 0 (]фк). (5.1)
При этом
/Μ=Σ caEjixl (5.2)
где %Ej — индикатор множества Е}.
Ясно, что если имеет место (5.1), то функция (5.2) является
простой функцией, принимающей значения ci9 c2, с3, ... ,сп (даже если
не все ct различны). ■
η
ТеоремаЗЛ. Простая функция / = Σ οβ,Ερ построенная по
разбиению (5.1), измерима тогда и только тогда, когда все
множества Е\ измеримы.
Доказательство. Необходимость. Если / измерима, то
каждое из множеств Ej = {x£R\f (χ) = cj) =/"1({cy}) измеримо
как прообраз борелевского множества — одноточечного множества
{cj) cz IR.
Достаточность. Если все множества Ej измеримы, то по теореме
1.3 каждая из функций %Ej измерима, и функция / измерима как
линейная комбинация измеримых функций. ■
77

Следствие 5.1. Линейная комбинация и произведение простых
измеримых функций также являются простыми измеримыми
функциями.
Следующая теорема показывает целесообразность рассмотрения
простых функций.
Теорема 5.2. Для любой измеримой функции f:R->H{,
заданной на измеримом пространстве (R, 9ΐ), существует
последовательность (/rt),7=i простых измеримых функций,
сходящаяся к f в каждой точке R. Если функция f ограничена на
R, то последовательность (//7)„=1 можно выбрать равномерно
сходящейся к f на R. Если f(x)>0, то можно так выбрать
функции fn > 0, чтобы последовательность (fn)n=i была
неубывающей.
Доказательство проведем вначале для неотрицательной
функции. Пусть f(x)^>0 на R. Для любого ηζ^ положим
fn(x)= (^' если^ </W< ί> A=l, 2, ... , л.2я, м
( п, если f(x) > п.
Ясно, что последовательность (fn (x))~=1 — неубывающая и что
fn — простая неотрицательная функция, так как она принимает не
более 2п · η + 1 значений. Измеримость fn следует из измеримости
/ в силу теоремы 5.1.
Покажем, что
(Vx£R): \imfn(x) = f(x). (5.4)
П->оо
Если f(x)<. + oo, то для достаточно больших η будет f(x)<.n,
и поэтому из (5.3) следует, что
ΙΜ*)-/(*)Ι<έ·
Таким образом, fn(x)-+f(x). Если же f(x) = + оо, то fn(x) = η
и, следовательно, fn(x)->—{· оо. Итак, равенство (5.4) установлено
для неотрицательной функции.
Пусть дополнительно известно, что функция / ограничена, т. е.
0<f(x)<M (Vx£R). Тогда при η> Μ имеем в силу (5.3)
(V*e#):|M*)-/(*)l<i>
а это означает, что fn-£f. Таким образом, в случае
неотрицательной функции теорема доказана.
Пусть теперь f — измеримая функция произвольного знака.
Рассмотрим положительную и отрицательную части функции /:
/+ (х) = max {/(χ), 0} = \f&\ + f(x).
Ux) = -min(f(x), 0} = '^W|-/W.
78

Поскольку /+ и /. — измеримые неотрицательные функции, то для
них теорема уже доказана. Остается воспользоваться тем, что
Если R s IR^, то, как было показано выше (теорема 1.4), всякая
непрерывная функция /:/?->■ IR измерима по Борелю (и тем более
по Лебегу). Естественно поставить вопрос, насколько класс
измеримых функций шире класса непрерывных функций. Следующая
теорема, установленная Η. Η. Лузиным, показывает, что эти
классы в определенном смысле очень близки. Свойство измеримых
функций, установленное в этой теореме, Η. Η. Лузин назвал С-свой-
ством .
Теорема 5.3 (Лузина). Пусть R czKN —измеримое по
Лебесу множество конечной меры и пусть функция f : R ->· IR
измерима по Лебегу и почти везде конечна. Тогда для любого ε > 0
существует такое замкнутое множество Fscz R, что сужение f \ Fe
функции f на F& —непрерывная функция, и при этом т (R\Fe) <e
(т — мера Лебега в IR/V).
Доказательство проведем в два этапа.
1) Пусть сначала/— простая измеримая функция,
η
где Ev £2, . .. , Εη— измеримые множества,
R= (J Eh Ε, П Ek= 0 ЦФЩ.
Воспользовавшись теоремой 1.10.5 (или аналогичным утверждением
для IR^), построим для каждого из Ej замкнутое множество Fj cz
ε η
czEj такое, что m(Ej\Fj)<. —, и положим FB = U Fj. Мно-
n /=ι
η
жество Fe замкнуто, FeaR и R\Fe^ U (E/\Fj)y поэтому
m(R\Fe)<% m(Ei\Ff)<e.
/=i
Кроме того, очевидно, сужение f f Fe—непрерывная функция.
Итак, для простых функций утверждение теоремы доказано.
2) Пусть теперь /— произвольная измеримая функция,
заданная на R. Согласно теореме 5.2 существует последовательность
(fn)Z=\ простых измеримых функций, сходящаяся к/ на R. По
теореме Егорова существует такое измеримое множество F0cz Rf
чтот (R\F0) < — и fn =$/ на F0. При этом в силу теоремы 1.10.5
можно считать, что F0 — замкнутое множество. Теперь, благодаря
79

доказанному в пункте 1), можно для каждой функции fn найти
такое замкнутое множество Fn cz Ry что
m(R\Fn)<£ri (/г=1, 2, .. .)
и сужение fn \ Fn — непрерывная функция.
Положим
FQ= Ь Fn.
/ι=0
Поскольку каждая из функций fn\Fe непрерывна и fnz£f на Fe,
то и предельная функция f\F8 непрерывна. Кроме того,
/\
R\Fe = Fs = Π Fn = U (R\Fn),
n=Q /ι=1
поэтому
m
(R\Fe)<Ym(R\Fn)<Y£ri = E.
/г=о п=0
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Пусть f(x) = \x\f * £ IR. Построить последовательность простых
функций, сходящуюся поточечно к / на IR. Будет ли сходимость
равномерной на IR? _
5.2. Пусть функция / : R -+■ К измерима и μ-почти всюду конечна.
Построить последовательность (fn)^=i измеримых функций, таких, что
множество значений каждой функции fn не более чем счетно и fn zt f на R.
5.3. Показать, что теорема Лузина остается справедливой и в том
случае, когда т (R) = + оо.
5.4. Пусть Ε — измеримое множество и функция / : Ε -> IR такова, что для
нее справедливо заключение теоремы Лузина. Доказать, что / — измеримая
функция.
5.5. Доказать, что для измеримой и m-почти всюду конечной на R ^\RN
функции / существует последовательность (O^Li функций, непрерывных на
R, такая, что fn-+ f (mod m). Всегда ли можно эту последовательность
выбрать монотонной?
5.6. Разрывную функцию /, представимую в виде поточечного предела
последовательности непрерывных функций, называют функцией первого
класса Бэра. Функции, не входящие в первый класс, но предстазимые во всех
точках как пределы сходящихся последовательностей функций первого
класса, относят ко второму классу Бэра. Доказать, что каждая измеримая почти
всюду конечная функция эквивалентна некоторой функции второго класса
Бэра.

ГЛАВА III. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
Из курса математического анализа хорошо известно понятие интеграла
Римана. Существенным его недостатком является то, что интегрируемы по
Риману лишь функции, имеющие «не слишком много» точек разрыва (точный
смысл этих слов выясняется в теореме 3.2). Во всяком случае, легко привести
пример ограниченной измеримой функции, не интегрируемой по Риману
(например, функция Дирихле, т. е. индикатор множества (П рациональных
чисел, не интегрируема по Риману ни на каком отрезке).
Идея построения интеграла «Лебега заключается в том, что, в отличие
от интеграла Римана, область интегрирования разбивается на части так, что
в одну часть объединяются не близкие значения аргумента, а такие, для
которых значения функции близки между собой. Такой подход позволяет
распространить процесс интегрирования не только на сколь угодно
разрывные измеримые функции, но и на измеримые функции, определенные на
произвольном абстрактном пространстве с мерой.
В этой главе строится интеграл Лебега, изучаются его свойства, а также
выясняется связь между интегралами Лебега и Римана.
Построение интеграла Лебега удобно начинать со случая простых
измеримых функций.
§ 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть (/?, 3ΐ, μ) — пространство с конечной мерой, /:/?->
-> IR — простая измеримая функция, т. е.
f(x) = tcj%E ,(*), (1.1)
где
Й Ef = R, Ef П Ek= 0 Цфк), (1.2)
причем все Ef — измеримые множества.
Определение 1.1. Интеграл Лебега от функции f(x) no
пространству R обозначается символом j / (χ) άμ {χ), или j /ώμ,
R R
и для простой функции (1.1) определяется равенством
η
ί/*μ^Σ</μ(*/)- (1.3)
R /=1
Покажем, что это определение корректно, т. е. что значение
интеграла не зависит от того, каким образом простая функция записана
в виде (1.1).
Очевидно, среди представлений данной функции f в виде (1.1)
имеется такое, в котором все числа с\ различны. Для определенно-
81

сти предположим, что все числа с,- различны в записи (1.1), и пусть
задано другое представление той же функции
™ m
f(x) = Σ bklfAx), U Fk = R, Fk П Ft = 0 (k^i).
Ясно, что каждое из множеств Е\ является объединением тех Fk9
для которых bk = Cj. Поэтому, воспользовавшись аддитивностью
меры, получаем
η η η т
Σ ед*(£/) = Σ β/μ( U Ft) = Σ с/ Σ μ(^*) = Σ ^μ(^).
что и доказывает корректность определения 1.1. Например, пусть
Ecz R — измеримое множество, Хе — его индикатор. Тогда
) %Ε(χ)άμ(χ)= μ (Ε).
Пусть задано произвольное измеримое множество Ε a R. Если
/ — простая измеримая функция, то произведение lEf — также
простая измеримая функция. Это замечание дает возможность
определить интеграл от простой измеримой функции по любому
измеримому множеству:
J ϊ{χ)άμ{χ) ^ I /V= $ %ΕΪάμ. (1.4)
Ε Ε R
Рассмотрим важный частный случай. Пусть R = [af b], ffi—
класс всех измеримых по Лебегу подмножеств [а, Ь], μ = т — мера
Лебега. Тогда интеграл по всему отрезку [а, Ь] обозначают через
ь
j f(x)dx, или j f(x)dx, а интеграл по измеримому по Лебегу
[а, Ь] а
подмножеству Ε а [а, Ь] — через j / (χ) dx.
Ε
Установим простейшие свойства интеграла от простых
измеримых функций.
Теорема 1.1 (о линейности интеграла). Если /,
g — измеримые простые функции, α, β ξ IR, то
R R R
Доказательство. Пусть
/ (x) = Σ bjlF. (χ), Uι Fi = R,Ft[) Ff =0 (ίφ jh
g(x) = Σ Ck%ok(x), U Gk = R,Gki)Gl=0 (кф1).
82

Ясно, что функция а/ + [3g принимает значение ab/ + β^ на
множестве Ε β = Fj Π G/г, т. е.
η т
α/ (х) + β£ (*) = Σ Σ («*/ + ββ*) Хя« (*),
причем (J Ε β = R и множества Εβ попарно не пересекаются.
/»k
Поэтому, используя (1.3), а затем аддитивность меры, имеем
η т
J (α/ + β^Γ)^μ = Σ Σ И/ + Μ I*(f/ П Οα) -
η т т η
= α Σ &/ Σ μ(^/ П 0*) + β Σ ** Σ μ(/>/ П Οα) =»
/г m
= α2 */μ(^/) + βΣ ^(Gft) = oti/^μ + βί^μ· ■
Теорема 1.2 (о неотрицательности интеграла).
£&/ш f—простая измеримая функция и f > 0 (mod μ), mo j /ώμ>0.
/г
Доказательство. Пусть /(я) = Σ °ι!ε}{χ), тогда
неотрицательность / почти везде означает, что если с\ < 0 при некотором
/, то μ(£/) = 0. Поэтому
ί/^μ = Σ ^/μ(£/)>0. ■
Теорема 1.3 (о монотонности интеграла). Если f%
g — простые измеримые функции uf > g (mod μ), mo j /<ίμ ^> j gi/μ.
Доказательство сразу следует из теоремы 1.2, примененной
к функции / — g. Ш
Следствие 1.1. Если / — простая измеримая функция и а < f(x) <
< Ь (mod μ) на измеримом множестве A s R, то
αμ(Α)< \fd\i <cb\k(A).
Теорема 1.4 (об интеграле от функции,
эквивалентной нулю). Если f — простая функция и f = 0(modμ),
то j }άμ = 0.
Доказательство непосредственно следует из формулы
(1.3). Действительно, если С\ Φ 0 при некоторых /, то μ (£,) = 0
при этих / ■

Следствие 1.2. Если /, g— простые измеримые функции и / =
= g(mod μ), то
ί №μ = $ gd\k.
R R
Теорема 1.5 (об оценкемодуля интеграла). Если
f — простая измеримая функция, то
|$Λ*μ|<$Ι/Ι<*μ·
R R
Доказательство. Пусть / — простая измеримая
функция. Тогда, очевидно, |/| — также простая измеримая функция.
При этом
CfxtR):-\f(x)\<f(xK\f(x)\9
откуда в силу теоремы 1.3
-$|/Ημ<$/ώμ<$|/|φ,
R R R
т. е.
\^άμ\<1\1\άμ. Ш
R R
Пусть / — некоторая фиксированная простая измеримая
функция. Определим на σ-алгебре 9Ϊ измеримых множеств числовую
функцию ν : 9ΐ -> 1R по формуле
ν(Α)=$ϊάμ (А£Щ. (1.6)
А
Ясно, что ν (0) = 0. В следующей теореме устанавливается
важное свойство этой функции множеств.
Теорема 1.6 (о счетной аддитивности интеграла).
Функция множеств ν (Л), определенная формулой (1.5), счетно-
оо
аддитивна: если А = U A£, At ζ % А£ Г) Л/ — 0 {1Ф /), то
ν(Λ)= Σ ν (Α,),
причем ряд в правой части сходится абсолютно.
Доказательство. Пусть
/(*)= Σ ***/:,(*)■ [} Ek = Rt Ε,{]ΕιΦ0 &Φί). (1.6)
k=*l k=l
84

Тогда, воспользовавшись формулами (1.3) и (1.4) и счетной
аддитивностью меры μ, получим
η
v(A) = J ίάμ = J flA άμ = У] ο»μ(£Λ f] A) =
= Σ **μ(£* П (О Л)) = Σ β*μ(0 (Я* Π Λ,)) =
k=\ i=\ k=l 1=1
= tck Σμ(£*Π4·)·
В правой части мы имеем линейную комбинацию сходящихся
знакоположительных рядов, поэтому можно поменять порядок
суммирования и полученный в результате ряд будет сходиться абсолютно:
ν (Λ) = Σ £ w{Ek П At)= Σ j/^ = £ ν (Λ,). ■
ί=1 fc=l г=1 At ί=1
Следствие 1.3. Функция множеств ν (Л), определяемая формулой
(1.6), является зарядом (см. § 1.1.16).
Определение 1.2. Функция множеств λ ι 3ΐ —>- IR называется
абсолютно непрерывной относительно меры μ, если для любого ε > О
найдется такое δ > О, что для любого множества Ε £ 9ΐ, удовлетво*
ряющего условию μ (Ζ?) < δ, выполняется неравенство \λ (Ε)\ < ε.
Теорема 1.7 (об абсолютной непрерывности
интеграла). Заряд ν, определяемый формулой (1.5), является
абсолютно непрерывной функцией множеств относительно меры μ.
Доказательство. Пусть / — простая измеримая
функция и пусть с = sup [ / (χ) |. Для любого ε > 0 положим δ = — .
Тогда при μ(£)<δ имеем
|ν(£)| = ||/4ι|< 5ΐ/|ώμ<φ(£)<^.| = ε. ■
Ε Ε
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Пусть /:/?->IR — измеримая простая функция. Доказать следующие
утверждения:
а) Если / ^ О (mod μ) и \ /ф = 0, то / = 0 (mod μ).
R
б) Если (ΥΛ ζ П): f fd\i = 0, то / = 0 (mod μ).
A
в) Если / > 0 (mod μ) и \ /ίίμ = 0, το μ (Β) = 0.
β
г) Если / ~ g, το f /φ = J gdμ.
R R
1.2. В условиях упр. 1.1 доказать, что (Υε>0): μ({|/|>ε})<
1 Г
] I / Μ Ι Φ (*) (неравенство Чебышева).
ε
/?
85

1.3. Пусть R = [α, b], m—мера Лебега. Вычислить: a) \%^(x)dx;
« Щ
б) £ XIR\Q (*) d*; в) С вН>] d*.
Я R
1.4. В условиях упр. 1.3 доказать, что для неотрицательной на [а, 6]
простой функции / справедливо равенство \ f (х) dx = т ({(х11 *a)€'Ral*i€
€[α, Ь], 0 <*а </(*!)}).
1.5. Пусть # = {1,2, ..., iV}. Проверить, что: а) всякая измеримая
функция / : R -> IR является простой; б) все свойства интеграла \ [άμ сводятся
R
к свойствам конечных сумм.
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИЗМЕРИМЫХ
ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе будет введен интеграл Лебега на множестве
всех измеримых ограниченных функций и установлены основные
свойства интеграла.
Пусть, как и в § 1, (/?, 9ΐ, μ) — пространство с конечной мерой,
/ ι R ->- IR — измеримая ограниченная на R функция. Введем для
такой функции понятие интеграла Лебега.
Согласно теореме II.5.2, существует последовательность
простых измеримых функций (fn)nLi> равномерно сходящаяся к / на R.
Рассмотрим последовательность соответствующих интегралов
,n=\fn άμ
R
и покажем, что эта числовая последовательность фундаментальна.
Действительно, из равномерной сходимости /„ =£ / следует, что
(V8>0)(HA0(V/n, n>N)(Vx^R):\frn(x)-fJx)\<jj^.
Тогда при т, п>N имеем
\Im-ln\ = \\frndv-\fndv\ = \\{fm-fn)dv\^
§\ίηι-ϊη\άμ<-^τ·μ№) = ζ,
R
т. е. последовательность {1п)п=\ фундаментальна. Поэтому
существует предел
/ = lim/n = lim j ϊηάμ.
Покажем, что этот предел не зависит от выбора
последовательности (/я)|Г-ь Пусть (/„)~=ι и (gn)n=i — две последовательности
86

простых из1меримых функций, равномерно сходящиеся к / на R.
Тогда для любого ε>0 найдется такое Ν9 что при η>Ν будет
одновременно
(У*бЯ):|/л*)-/WI<з^. lfir»W-/WI<sir7«·
Поэтому при п> N
и, таким образом,
lj/^μ — J gn^\< у fn — ёп^<-~щ- · μ(#) = β.
Я R R
Отсюда следует, что
lim j fnd\x = Y\m\gnd\x,
т. е. предел интегралов не зависит от выбора последовательности
простых измеримых функций, равномерно сходящейся к/.
Проведенными рассуждениями установлена корректность
следующего определения.
Определение 2.1. Пусть f:R^R— измеримая
ограниченная на R функция, (/„)Γ=ι — последовательность простых
измеримых функций, равномерно на R сходящаяся к f. Интеграл
Лебега (функции f определяется равенством
\ ϊ(χ)άμ(χ)^$ fV=Hm{ !ηάμ. (2.1)
R R n-*°° R
Пусть / — измеримая ограниченная функция, А—измеримое
множество, т. е. Α £ 3Ϊ. Тогда индикатор %а множества А — также
измеримая ограниченная функция и, следовательно, таково же и их
произведение /Хл. Поэтому естественно дать следующее определение.
Определение 2.2. Если f — измеримая ограниченная функция,
А — измеримое множество, то интеграл Лебега от функции f no
множеству А определяется формулой
J/V=$/%^. (2.2)
A R
Из этих определений видно, что всякая измеримая ограниченная
функция интегрируема по Лебегу.
Установим основные свойства интеграла Лебега от измеримых
ограниченных функций. Отметим, что эти свойства совершенно
аналогичны соответствующим свойствам интегралов от простых
измеримых функций, а их доказательства легко следуют из
соответствующих утверждений для простых функций.
87

Теорема 2.1 (о линейности интеграла). Если /, g —
измеримые ограниченные функции, α, β£Κ, то
$(α/ + β£Ημ = αί/^μ + βί^μ.
R R R
Доказательство. Пусть (/tt)~=i, (gn)n=i —
последовательности простых измеримых функций, fnztf, gnztg. Тогда afn-\*
+ ⣄=£α/ +β£· Воспользовавшись определением (2.1) и
теоремой 1.1, получаем
J (α/ + β£) άμ = lim J (α/, + ⣄) 4μ =
= lim (α J /л Λμ + β ί gn ^μ) = α lim J ίηάμ +
+ β 1 im J £„ ίίμ = α { / ώμ + β J g 4μ. ■
tt-°° Я Я Я
Теорема 2.2 (о неотрицательности интеграла).
£с/ш / — измеримая ограниченная функция и f > 0 (mod μ), mo
5/<4μ>0.
R
Доказательство. Пусть (fn)n=\ — последовательность
простых измеримых функций, равномерно сходящаяся к /на R. Из
доказательства теоремы II.5.2 видно, что функции fn можно
выбрать так, чтобы выполнялось условие fn > 0 (mod μ). Тогда по
теореме 1.2 имеем \[ηάμ->0 и остается перейти в этом нера-
R
венстве к пределу при /г-^оо. ■
Теорема 2.3 (о монотонности интеграла). Если Д
g — измеримые ограниченные функции и f > g (mod μ), то
j f d μ > j δ"^μ.
я r
Доказательство. Достаточно применить теорему 2.2 к
функции f — g. Ш
Следствие 2.1. Если / — измеримая ограниченная функция и
а < f(x) < 6 (mod μ) на измеримом множестве A s R, то αμ(Α) <
<: } [άμ <bμ (Л).
А
Теорема 2.4 (об интеграле от функции,
эквивалентной нулю). Если f — ограниченная функция и / = О
(mod μ), то j f άμ = 0.
R
Доказательство. Достаточно применить следствие 2.1
при а = Ь = 0. ■
Следствие 2.2. Если /, g — измеримые ограниченные функции
и / = g-(mod μ), то
R R
88

Теорема 2.5 (об оценке модуля интеграла). Если
f—измеримая ограниченная функция, то
|$Мц|<$ШФ.
Доказательство. Пусть (fn)n=\ — последовательность
простых измеримых функций, /„=£/· Тогда, очевидно, функции |/Л| —
также простые измеримые и \fn\z£\f\. В силу теоремы 1.5
|$/*ф|< ίΐ/«Ι^μ;
перейдя в этом неравенстве к пределу при /г-> оо, получим
требуемое. ■
Пусть / — фиксированная измеримая ограниченная функция.
Как и в § 1, определим на σ-алгебре ffi всех измеримых множеств
числовую функцию
ν(Α)=^άμ Ие»).· (2.3)
А
Из определений 2.1 и 2.2 следует, что ν(0) = Ο.
Теорема 2.6 (о счетной аддитивности интеграла).
Функция множеств ν (Л), определенная формулой (2.3), счетно-
оо
аддитивна: если А= [} Alt Ас ζ ffi, Al |"| Aj = 0 (г =#= /), пго
v(4)=Jj ν (Λ,), (2.4)
причем ряд в правой части сходится абсолютно.
Доказательство. Установим сначала конечную
аддитивность интеграла: при любом m£f^
$ /^μ= Σ ί/^μ, τ. e. v( U\At)= Σν(^)· (2·5)
m
U Α.
г=1 *
ί=1 Α{ ί=1 г=1
Пусть (fn)n*=i — последовательность простых измеримых функций,
fn^tf- Тогда в силу теоремы 1.6
переходя в этом равенстве к пределу при /г-^оо, получим (2.5).
Далее, при любом m£f^ имеем
©о т оо
л= IM, = (IM*)U( U ^);
89

воспользовавшись уже установленной конечной аддитивностью
функции ν, получим отсюда
т е.
ν(Α)= Σ ν(4,) + ν( U At). (2.6)
οο
Оценим последнее слагаемое в (2.6). Поскольку Σ1μ{Α{) =
= μ(Λ)<οο, то для любого ε>0 найдется такое k£ft&, что при
оо
m>k V μ(/4,·)<^-, где с = supt f (л:)]. Для таких т имеем
|v( U Л)1 = | J Μμ|< ί ΙΠΦ<βμ( υ 4,) =
U ϋι ϋ Α.
i=m+l l f=m-H *
οο
= ί Σ μ (Л,)< 0 · γ « β,
т. е.
lira ν ( U Д) = 0.
Переходя в равенстве (2.6) к пределу при т-^ оо, получим
требуемое равенство (2.4). Абсолютную сходимость ряда легко доказать,
проведя аналогичные рассуждения для функции | / {х) |. ■
Следствие 2.3. Функция множеств ν (Л), определенная формулой
(2.3), является зарядом.
Теорема 2.7 (об абсолютной непрерывности
интеграла). Заряд ν, определенный формулой (2.3), является
абсолютно непрерывной функцией множеств относительно меры μ.
Доказательство ни чем не отличается от доказательства
теоремы 1.7. ■
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Пусть / — измеримая ограниченная функция. Доказать, что \ [άμ =
R
= sup I j gap, | g < /, g — простая| .
2.2. Доказать, что утверждения упр. 1.1, 1.2 справедливы для любой
ограниченной измеримой функции.
2.3. Доказать, что утверждение упр. 1.4 справедливо для любой
неотрицательной на [а, Ь] ограниченной измеримой функции.
2.4. Пусть на [а, Ь] задана измеримая ограниченная функция /. Если
(Vc g [a, b]): С / (χ) dx = 0, то / = О (mod m).
90

2.5. Вычислить I / (χ) dx, если функция / равна х2 в точках канторова
[0,1]
множества и равна 2 п на удаляемых из [0, 1] интервалах, длина которых
равна 3~п (см. упр. 1.9.4).
2.6. Вычислить \ / (х) dx, если / (х) = 10 (χζ D), а на удаляемых интер-
[0,1]
валах графиком функции служат: а) верхние полуокружности, опирающиеся
на эти интервалы, как на диаметры; б) равнобедренные треугольники с
высотой!, основаниями которых являются эти интервалы.
2.7. Доказать σ-аддитивность интеграла Лебега, используя результат
упр. 1.16.2 и теорему 2.7.
§ 3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛАМИ
РИМАНА И ЛЕБЕГА
Для простоты изложения рассмотрим эту связь в одномерном
случае.
Напомним сначала определение интеграла Римана. Пусть
задана произвольная функция / \ [a, b\ ->- IR. Рассмотрим
произвольное разбиение π отрезка [я, Ь\\
а = х0 < хг < х2 < · · · < хп-г <хп = Ь
и положим Axk = х!г+1 — xk, \п | = max{&xk\k = 0, ..., η—1},
mk = inf [f (x)\ x£[xk, xk+1]}, Mk = sup [f(x) \x£[xk, xk+1]}. (3.1)
Суммы
η—1 n—1
s(/, π)= Σ ЩЬх» «(/. π)= Σ Mkbxk (3.2)
k=0 k=0
называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.
Согласно теореме Дарбу существуют пределы
ь
1 im s (f, π) = sup s (/, π) = \ f dx,
Jjxi-0 η -J
α
b
lim S (/, π) = inf s (/, π) = I f dx,
|π|-0 π £
называемые соответственно нижним и верхним интегралами
данной функции. При этом, очевидно, для любого разбиения π
ь ?
* (/, π) < ] f dx < j / dx <: s (/, π).
а а
Функция / называется интегрируемой по Риману на отрезке
[а, 6], если ее верхний и нижний интегралы равны; в этом случае
их общее значение называется интегралом Римана от функции / по
ъ
отрезку [а, Ь] и обозначается (в этом параграфе) через (R) \ f dx.
а
91

Для отличия от интеграла Римана интеграл Лебега по м ере Лебега
ъ
обозначается здесь через (L) \ / ах. Как известно, ограниченность
а
функции / на отрезке [а, Ь\ является необходимым условием ее
интегрируемости по Риману.
Теорема 3.1. Если функция f интегрируема по Риману на
отрезке [а, 6], то она интегрируема на этом отрезке и по Лебегу и при
этом
ь ь
(L) Jfd* = (R)Jfd*. (3.3)
а а
Доказательство. Мы знаем, что всякая измеримая и
ограниченная на [а, Ь\ функция интегрируема по Лебегу. Но
ограниченность функции / сразу следует из ее интегрируемости по Риману;
поэтому для доказательства интегрируемости / по Лебегу
достаточно доказать ее измеримость.
Произведем разбиение пт отрезка [а, Ь] на η == 2т равных
частей точками а = х0 < хг < · · · < хп-г <*хп = Ь и положим
2m-l 2m-l
U*)= Σ ЗД(4 ?«(*)= Σ Mk%k(x), (3.4)
где mk9 Mk определены по формулам (3.1), a %k(x)— индикатор
полуинтервала [xk, xk+1). Ясно, что в каждой точке f1 (x) <f*(x)< ■ · ·
• · · < / (χ) и /i (χ) > /a (χ) > · · · > / (χ), поэтому существуют
пределы
f(x) = \im fm(x), ](x) = lim'fm{x), f(x)<f(x)<l(x),
причем в силу теоремы II.2.4 функции f и / измеримы. Поскольку
f и /,„ — простые измеримые функции, то в силу определения
2.1 имеем
ь ь ь ъ
(L) { /щ dx < (L) J f dx <: (L) J J dx < (L) j fm dx. (3.5)
a a a a
Кроме того, из формул (3.4) и определения 1.1 интеграла
Лебега от простой функции следует, с учетом (3.2), что
Ь 2ш-^1 2Ш~1
V)\fmdx= Σ *νη([*Λ, Xk+1))= Σ mk&Xk=**(f> У
и аналогично
b
(L)J?mdx«stf, nM).
a
92

Поэтому неравенство (3.5) запишется так:
ь ь
s (/, пт) <: (L) j / dx <: (L) j "/ dx < s (f, nm). (3.6)
a a
Поскольку f интегрируема по Риману, то при m-+oo обе суммы
Дарбу s(f, nm) и s(/, лт) стремятся к общему пределу, равному
ь
(R) j f dx. Переходя в неравенстве (3.6) к пределу при т-^оо,
а
получаем
ь ь ъ ь
(R) J fdx < (L) J [dx < (L) J f Лс <: (R) J fdx,
a a a a
откуда
b b b
(L) J / dx = (L) J ] dx = (R) j f dx. (3.7)
α α α
Из последнего равенства имеем
ь
(L)$(f-f)dx=0,
α
и поскольку J (я) — f(x) > О, то в силу теоремы 2.2 / — / =
= 0(modm), поэтому f(x) = [(x) = ](x)(modm). Отсюда следует
измеримость функции /. Теперь из равенства (3.7) получаем
b b
(L) ]fdx = {K)\fdx. Ш
a a
Доказанная теорема дает частичный ответ на вопрос о вычисле
нии интеграла Лебега. Приведем еще без доказательства критерий
интегрируемости по Риману. (Доказательство см., например,
в [66].)
Теорема 3.2 (Лебега). Для того чтобы функция,
ограниченная на отрезке [а, Ь], была интегрируема по Риману на этом
отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва
имело меру Лебега, равную нулю.
Из этой теоремы, в частности, следует теорема об
интегрируемости по Риману монотонной функции (так как множество точек
разрыва монотонной функции не более чем счетно).
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Пусть g— интегрируемая по Риману на [а, Ь] функция. Если
b b
f ~ g (mod m), то (L) \ / (x) dx = (R) \ g (x) dx. Доказать.
a a
93

π/2
3.2. Вычислить (L) f / (χ) dx, где: а) / (*)=sinx\ 6) / (x) = { ^*■ *JQ ;
в) f (*) = ί sin*· cos * S 0 ; r) / (*) = f */ * g D „ Л . Интегрируемы ли
''W bin2*, cos*(ElR\(Q ;iw I sin π*, *£D p f'
по Риману на [0, π/2] функции из примеров б) — г) ?
ι
3.3. Чему равен (L) \ f (x) dx, если / равна х2 во всех точках пересечения
о
канторова множества и произвольного (даже и неизмеримого) множества Ε
и равна хъ в остальных точках отрезка?
Следующие упражнения являются этапами доказательства теоремы 3.2.
3.4. Доказать, что / (х) = lim inf {/ {χ)\χξ (х0 — δ, χ0 + δ)}, / (*) =
δ-+ο
= lim sup {/(*) |*£ (*<, — δ, x0 + δ)} (функции /, /, введенные при доказа-
б-*+о -
тельстве теоремы 3.1, называют соответственно нижней и верхней функциями
Бэра для /).
3.5. Доказать, что функция / : [а, Ь] ->- IR непрерывна в точке х0 тогда
и только тогда, когда J (x0) =_/ (х0) (теорема Бэра).
ь
3.6. Доказать, что sup {s (/, π) | Υπ} = (L) Γ / (χ) dx, inf {s (/, π) | Υπ} =
α
= (L) W (x) dx, т. е. нижний (верхний) интеграл Римана функции / совпадает
а
с интегралом Лебега нижней (верхней) функции Бэра для /.
3.7. Доказать, что равенство / = / (mod m) является необходимым и
достаточным условием интегрируемости / по Риману на [а, Ь].
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
При распространении интеграла Лебега на случай
неограниченных функций удобно сначала рассмотреть интегрирование
неотрицательных функций и лишь после этого перейти к рассмотрению
функций любого знака.
Пусть, как и выше, (R, 9ΐ, μ) — пространство с конечной мерой,
функция / измерима на R, μ-почти везде конечна и / (х) > 0 на R.
Для любого натурального N обозначим через /W срезку функции /,
определяемую равенством
f λλ-Ш*)· если f(*)<N,
ΓΝΚΧ)-\Ν9 если f(x)>N.
Измеримость fu сразу следует из того, что
7f ^n\ _|{/<я} ПРИ a<N,
94

Лемма 4.1. Имеет место равенство
Ηιημ({/>#})=.<).
Доказательство. Легко видеть, что
{/>1}э{/>2}2{/>3}=...(
поэтому в силу теоремы о непрерывности для пересечений
(теорема 1.6.3)
lim μ({/ > Ν}) = μ( f] {f > Ν}) = μ({/ = +οο}) = Ο,
поскольку функция / по условию μ-почти везде конечна. ■
Поскольку все срезки /W — измеримые ограниченные функции,
то они интегрируемы по Лебегу. Так как
(4xtR)'.fi(x)<U(x)<fs{x)<'··*
то в силу теоремы 2.3
$ ίι άμ < J /2 άμ < J /3 άμ < · · -.
R R R
Поэтому существует предел (конечный или бесконечный)
lim \ ΪΝάμ. (4.1)
Определение 4.1. Если предел (4.1) конечен, то функция
f называется интесрируемой по Лебегу, или суммируемой, а ее
интеграл Лебега определяется равенством,
\ f {χ) άμ (*) = J / άμ =f lim J ^ άμ.
R R Ν~*°° R
Если же предел (4.1) бесконечен, то по определению полагают
\ϊάμ = +оо.
R
Ясно, что интеграл — неотрицательное число (или + оо).
Если, в частности, /—измеримая ограниченная функция, то
Ϊν (х) = / (х) для всех достаточно больших N. Поэтому для
ограниченных функций определение 4.1 дает то же значение интеграла,
что и определение 2.1.
Лемма 4.2. Пусть /, g измеримы, 0 <f (x) <g (x) (mod μ)
на R и g суммируема. Тогда f также суммируема и
\ϊάμ<[Βάμ. (4.2)
R R
Доказательство. Из условия следует, что /W (х) <
<ёы(х) (mod μ) при любом N. Воспользовавшись теоремой 2.3
и определением 4.1, получаем отсюда
^Νάμ<^Νάμ<^άμ<οο. (4.3)
R R R
95

Из этого неравенства следует конечность предела lim \ fN άμ, т. е.
N-*-0О η
суммируемость /. Переходя в неравенстве (4.3) к пределу при
N ->■ оо, получим требуемое неравенство (4.2). ■
Пусть / — суммируемая на R функция, А — измеримое
подмножество R, %а — его индикатор. Тогда 1αΪ — измеримая функция*
причем 0 <%A(x)f{x) <f(x)> и в силу леммы 4.2 функция %Af
также суммируема. Эти рассуждения объясняют естественность
следующего определения.
Определение 4.2. Если множество A cz R измеримо и функция
На суммируема на R, то функция / называется суммируемой на А
и ее интеграл по множеству А определяется равенством
\ !{χ)άμ{χ)^\ fdyLaM\lAf dp.
A A R
Ясно, что если/суммируема на R> то она суммируема и на любом
измеримом множестве A cz R.
Установим некоторые свойства интеграла от неотрицательных
неограниченных функций.Часть свойств будет отнесена к
упражнениям.
Теорема 4.1 (о линейности интеграла). Если /, g—
суммируемые функции, f(x) > 0, g(x) > 0, α, β > О, то функция
af + βδ" также суммируема и
R R R
Доказательство проведем в два этапа.
1). Установим сначала аддитивность. Легко видеть, что (/ +
+ S)n (*) < Ϊν (*) + Sn (χ) ПРИ любом натуральном Ν, поэтому в
силу теоремы 2.3 и определения 4.1
ί (/ + S)n Φ < ί fN dV> + ί 8ν dV> < J fdV· + ί SdV>< °°·
R R R R R
Отсюда следует, что функция f + g суммируема. Переходя в
последнем неравенстве к пределу при N -> оо, получим
l(f+g)dμ^lfdμ+<jgdμ. (4.4)
R R R
С другой стороны,
М*)+ £*(*)</(*) + £(*)■
Поскольку суммируемость f + g уже установлена, то, применяя
лемму 4.2 и теорему 2.1, получим
$ fN ^μ + ί Sn dv < ί (/ + s) <*μ·
R R R
96

Перейдем в этом неравенстве к пределу при N-+- оо:
Ιϊάμ+1§άμ<$(ί + §)άμ. (4.5)
R R R
Сопоставляя (4.4) и (4.5), видим, что
R R R
2). Остается установить однородность интеграла. Пусть /
суммируема, f(x) > 0, а > 0. Надо показать, что функция а/ также
суммируема и
{α/Λμ = α5/φι. (4.6)
R R
При а =5 0 утверждение тривиально. Пусть α > 1. Тогда
(ocf)N(x) <afN(x) при любом Л/, откуда в силу теоремы 2.3 и
определения 4.1 находим
£ (α/)^ φ < J а/д, φ = α J fN άμ < а ] f άμ.
R R R R
Отсюда следует суммируемость функции α/, а после перехода
к пределу при N ->■ оо — неравенство
£α/φ<α£/φ. (4.7)
R R
Кроме того, afN(x) < af(x). Поскольку суммируемость α/ уже
установлена, то, применив лемму 4.2 и теорему 2.1, получим
α j fN άμ < J α/ άμ
R R
и после перехода к пределу при N -> оо
α ] f ίίμ< J α/ύίμ. (4.8)
Сопоставляя (4.7) и (4.8), получаем требуемое равенство (4.6) в
случае а > 1.
Пусть теперь 0 < α < 1. Так как а/ (х) </ (я), то в силу леммы
4.2 функция а/ суммируема. Поскольку — > 1, то по уже
доказанному
J ^μ = J "S" # α^μ = 4" j afd^
R R R
откуда следует равенство (4.6) и в этом случае. ■
4 9-227 97

Пусть / — некоторая фиксированная неотрицательная
суммируемая на R функция. Для любого измеримого множества A s R
положим
ν(Α) = ^άμ. (4.9)
А
Как и в § 1,2, установим абсолютную непрерывность и счетную
аддитивность функции множеств ν : 9ΐ ->· R.
Теорема 4.2 (об абсолютной непрерывности
интеграла). Если f — неотрицательная суммируемая
функция, то неотрицательная функция множеств ν, определенная по
формуле (4.9)у абсолютно непрерывна относительно μ.
Доказательство. Из определения 4.1 следует, что для
любого ε > 0 найдется такое Af £ RJ, что
R Я R
Положим δ = 2дг. Тогда для любого измеримого множества Ε с: R,
удовлетворяющего условию μ (Ε) < δ, получим
О < ν (Ε) = J f άμ = j (/ — fN) άμ + J fN άμ <:
ЕЕ Е
Теорема 4.3 (о счетной аддитивности интеграла).
Функция множеств ν, определенная формулой (4.9), счетно-ад-
00
дитивна: если А = [} Ас, А{ £ % Aj f) A{ = 0 (/ φ ΐ)} то
ν (Λ) = J v (4,). (4.10)
Доказательство. Установим сначала конечную
аддитивность функции v. Для любого т£Щ
т т
ν(ΐΜί)= Σ ν (Λ,). (4.11)
ί=\ ί=\
Действительно, для любого натурального N имеем в силу
теоремы 2.6
] fN άμ = 2j \ fN άμ,
m ί=1 A,
откуда, переходя к пределу при N -+ оо, получим (4.11).
98

Докажем теперь счетную аддитивность функции v. В силу
теоремы 4.2 для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что μ (Ε) < δ =φ
=^ ν (Ε) <ε. Поскольку мера μ счетно-аддитивна, то
Σμ(4) = μ04)<οο,
ί=1
поэтому найдется такое mGRJ, что μ( U A() = 2j ΜΉι)<δ.
Тогда, воспользовавшись уже доказанной конечной аддитивностью
ν, получим
т
ν(Λ) = Σν(^ + ν( U At), (4.12)
oo
причем 0<v( [J Д)<в. Поэтому из (4.12) следует, что
i=m-fl
т °о
ν(Λ) = 11т Σ v(i4,)= Σ ν (Л,). ■
Замечание 4.1. В отличие от рассмотрений §§ 1,2, функция
множеств ν в рассматриваемом случае является даже не зарядом, а
мерой, поскольку ν (А) > О (VA £ 9Ϊ).
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Пусть / — измеримая функция, / (х) > 0 и / = 0 (mod μ). Дока-
вать, что f суммируема и \ fd\i = 0.
R
4.2. Доказать, что неотрицательная измеримая функция может быть
суммируема лишь в том случае, если она μ-почти везде конечна.
4.3. Доказать, что утверждения упр. 1.1, 1.2 справедливы для любой
неотрицательной измеримой функции.
4.4. Доказать, что утверждение упр. 1.4 справедливо для любой
неотрицательной на [а, Ь] измеримой функции.
4.5. Пусть f(x)=0(x£D) и f (χ) = η на удаляемых из [0, 1]
интервалах длины 3~п. Доказать, что \ f {x) dx = 3.
(0, 1]
4.6. Доказать, что неотрицательная измеримая функция / суммируема
тогда и только тогда, когда множество В = \ I gd\i \ g < f, g— простаяУ огра-
R
4.7. Доказать, что измеримая неотрицательная функция суммируема тогда
ничено, причем \ fd\i = sup В (см. упр. 2.1)
R
4.7. Доказать, что измеримая неотрицат<
и только тогда, когда ограничено множество \ \ [άμ \ Α ζ ίΗ, (3£>0)(Υλ:£
А
SA):f(x)<c}.
4.8. Пусть /, g — неотрицательные измеримые функции такие, что (Va£
€ IR) : μ ({/ <α}) = μ ({g< а}) (такие функции называют равноизмеримыми).
4* 99

Доказать, что равноизмеримые функции одновременно суммируемы или нет и
R R
4.9. Доказать, что неотрицательная измеримая функция суммируема
тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:
а) Σ£μ({6</<£+1})<οο;
k=\
00
б) £ μ({/>£})<οο;
/е=1
в) £ 2"μ({/>2"})<οο.
4.10. Пусть / — неотрицательная измеримая функция. Доказать, что
условие μ ({/ > k}) = о (&"1), k ->· оо необходимо, но недостаточно для
суммируемости /.
4.11. Пусть / — суммируемая функция. Доказать, что
[ /άμ = lim Υ Ыщ ({kh < / < (k + 1) h}).
4.12. Пусть π={/0, tlt . ..} — разбиение [0, +oo), ^kZUh tk+i)* k = 0,
1, . . . , | π | = sup {tk+i — 4 | β = 0, 1, . ..} — диаметр разбиения. Доказать,
что в условиях упр. 4.11
С ^μ= lim Vi^ ({ί4</<ί*+1}).
M-°k=o
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ЛЮБОГО ЗНАКА
Пусть, как и выше, (R, 3ϊ, μ) — пространство с конечной мерой,
/ — заданная на R вещественнозначная измеримая μ-почти везде-
конечная функция. Как и в § П.5, рассмотрим положительную и
отрицательную части функции /:
/+ (х) = max{f(χ), 0} = \П*)\ + Пх) .
f_{x) = _min{f(χ), 0} = I/WI-/W .
Ясно, что /+ и /_ — неотрицательные измеримые μ-почти везде
конечные функции, причем
/« = /+«-/-(*). 1/(*)1 = М*)+ /-(*)■ (5.1)
Поэтому для /+ и /_ имеет смысл понятие суммируемости, введенное
в § 4. Учитывая (5.1), естественно дать следующее определение.
Определение 5.1. Функция! называется суммируемой (или
интегрируемой по Лебегу) на R, если суммируемы обе функции /+ и Д..
При этом интеграл Лебега функции f определяется равенством
\ϊ{χ)άμ{χ)^\ϊάμά^\ί+άμ-\ϊ_άμ. (5.2)
R R R R
100

Теорема 5.1. Для суммируемости измеримой функции f
необходимо и достаточно, чтобы была суммируема функция\[\ . При
этом
|$Μμ|<ίΐ7Μμ· (5.3)
R R
Доказательство. Необходимость. Пусть / суммирует^
т. е. суммируемы неотрицательные функции /+ и /_ . Тогда в силу
теоремы 4.1 суммируема также функция |/| =/+ +/L и при этом
ίΐ/|φ = ί/+£ίμ+ί/.φ. (5.4)
R R R
Достаточность. Пусть | f | — суммируемая функция. Поскольку
/*(*)<!/(*)!» f-(x)^\f(x)\> то в СИЛУ леммы 4.2 функции /+
и jL суммируемы, следовательно, суммируема и функция /. При
этом, учитывая (5.4), получаем
\1ίάμ\ = \^+άμ-^_άμ\<
R R R
<$Μμ+ίΜμ = ίΐΠ<*μ- ■
R R R
Следствие 5.1. Если функция f измерима n\f(x)\ < g(x) (mod μ),
где g > 0 — суммируемая функция, то и функция f суммируема.
Для доказательства достаточно применить лемму 4.2 и
теорему 5.1. ■
Если f — суммируемая функция, A cz R — измеримое множество,
%л — его индикатор, то %д} также суммируема, поскольку | Ια (χ) Χ
X f(x)\ <\f(x)l Поэтому естественно дать следующее
определение.
Определение 5.2. Если множество A cz R измеримо и функция
f%A суммируема на R> то функция f называется суммируемой на А
и ее интеграл по мнооюеству А определяется равенством
\ί{χ)άμ{χ)^\ϊάμά^\ΐΑί<Ιμ.
A A R
Ясно, что если/ суммируема на R, то она суммируема и на
любом измеримом множестве A cz R.
Теорема 5.2 (о линейности интеграла). Если
функции /, g суммируемы, α, β £ IR, то функция α/+β§ также
суммируема и при этом
$ Ы + β£)φ = a J ίάμ + β \ξάμ. (5.5)
R R R
Доказательство проведем в несколько этапов.
1). Докажем сначала суммируемость функции α/ + β§. Имеем,
очевидно,
\af(x) + V>g(x)\<\a\>\f(x)\+\$\.\g(x)\. (5.6)
101

Поскольку / и g суммируемы, то в силу теоремы 5.1 суммируемы
также |/[ и |g| и по теореме 4.1 суммируема правая часть
неравенства (5.6). Но тогда из теоремы 5.1 следует суммируемость α/ + β£.
2). Установим аддитивность интеграла: если/, g — суммируемые
функции, то
ί](ί + £)άν = ^άνί + ΐ8ά^ (5·7)
R R R
Поскольку / + g = /+ —/_ + g+ — g_ и / + g = (/ + g)+ — (/ + g)_,
то (/ + g)+ —(/ + g)-=/+ —/- + g+ —g-> откуда (f + g)+ + f_ +
+ g- = (/ + g)- + /+ + g+. Воспользовавшись теоремой 4.1,
находим отсюда
R R R R R R
ИЛИ
$ (/ + g)+ Ф— J (/ + g)- άμ = J /+ άμ — J /_ άμ + J g+ φ— Jg- φ,
Я # Я Я R R
а это и есть требуемое равенство (5.7).
3). Пусть / — суммируемая функция, а > 0. Тогда (α/)+ =α/*,
(а/)_ = а/_, поэтому
j α/ φ = ] (а/)+ φ — j (α/Χ, άμ = j α/+ φ — j α/_ φ.
я R R r r
Применив теорему 4.1, получим
j α/ φ, = α j /+ φ — α j /_ φ,
tf R R
J α/φ = α J/φ. (5.8)
т. е.
4). Для завершения доказательства достаточно установить
равенство (5.8) для а= — 1. Поскольку (—/)+=/-, (—/)„ — /+, то
ί (-/) φ = J (-/)+ άμ - J (-/). άμ =
tf R R
= J /_ άμ — J /+ φ = — J / άμ. Ш
R R R
Пусть / — некоторая фиксированная суммируемая на R
функция. Для любого измеримого множества А ^ R положим
v(A) = J/φ. (5.9)
А
Как и в § 1, 2, 4, покажем, что функция множеств ν ζ dt ->■ IR
является счетно-аддитивной и абсолютно непрерывной.
102

Теорема 5.3 (о счетной аддитивности интеграла).
Функция множеств ν, определенная формулой (5.9), счетно-
оо
аддитивна: если А= ,(J А> Л Π ^/= 0 (ιΦί)> Α{ζίΆ, то
ν(Α)= Σν(Α{),
причем ряд в правой части сходится абсолютно.
Доказательство. Введем в рассмотрение две
неотрицательные функции множеств
А А
Ясно, что
ν(Α) = ν+(Α) — ν_(Λ). (5.10)
Как было установлено в теореме 4.3, эти функции счетно аддитивны
(т. е. являются мерами), поэтому
ν+(Λ)= Σ ν+(Λ). МЛ) = Σν-Ηι)·
Отсюда получаем
оо оо
ν (Л) = ν+ (Α) — ν_ (Л) = Σ ν+ (Л<·) — Σ ν_ (Л,) =
ί=1 ί=1
= ΣΚ(^)-ν-(4·))= Σ ν (Α{),
причем ряд в правой части сходится абсолютно как разность двух
положительных рядов. ■
Замечание 5.1. Доказанная теорема показывает, что функция
множеств ν (А) является зарядом. Заметим, что равенство (5.10) —
не что иное, как разложение заряда в смысле Жордана, т. е.
представление заряда в виде разности двух конечных мер (см. теорему
1.16.2).
Теорема 5.4 (об абсолютной непрерывности
интеграла). Если f — суммируемая функция, то функция
множеств ν, определенная формулой (5.9), абсолютно непрерывна
относительно μ.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями,
введенными при доказательстве теоремы 5.3. В силу теоремы 4.2
функции множеств ν+ и ν_ абсолютно непрерывны, поэтому для любого
ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого множества Ε ζ lit,
удовлетворяющего условию μ (Ε) < δ, будет ν+ (£)< -Ι- и ν_ (£)< 4-.
103

Тогда, воспользовавшись оценкой (5.3) и равенством (5.4), получим
|v(i4)| = |J/^|<J|/|^-i/+^ + i/.^=.
А А А А
= V+(A) + Va(A)<{ + | = 8. ■
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Доказать, что если / суммируема, / > 0 (mod μ), то \ /ф > 0.
R
5.2. Доказать, что утверждение упр. 4.1 справедливо для измеримых
функций любого знака.
5.3. Доказать, что утверждения упр. 1.1, 1.2 имеют место для любой
измеримой функции.
5.4. Пусть / суммируема на R и (ΥΛ£ίΚ) \ /ф>0. Доказать, что />
А
>0 (mod μ).
5.5. Доказать, что утверждение упр. 4.8 справедливо для измеримых
функций любого знака.
5.6. Доказать, что утверждения упр. 4.9—4.12 с заменой / на | /1
справедливы для измеримых функций любого знака.
5.7. Доказать, что для любой измеримой функции / существует
измеримая функция φ, положительная для всех χ 6 R и такая, что / · φ
суммируема на R.
5.8. Доказать, что для каждой суммируемой на R функции / существует
такая возрастающая на [0, оо) функция Ф, что lim Φ (и) = оо и \ |/(л:)|Х
ХФ(|/(*)|)ф(*)<оо.
5.9. Пусть / — измеримая функция. Предположим, что существуют такие
константы А > 0 и α > 1, что (VM > 0) : μ ({ | / | > М}) < А · М~а, Доказать,
что / суммируема на R.
5.10. Пусть/ — суммируемая на Я функция, (An)^=l cz JR —
последовательность множеств такая, что μ (Ап) -»■ 0. Доказать, что \ /ф -> 0.
Ап
5.11. Пусть (Ап)™=1 с: % — последовательность попарно непересекающихся
множеств и функция / суммируема на любом А& Доказать, что / суммируема
00
на А = (J Ak в том и только в том случае, когда S \ I / Ι Φ < °°· Пока-
k=\Ak
оо
зать, что абсолютная сходимость ряда V \ /Ф недостаточна для суммируе-
k=\Ak
мости / на А.
5.12. Пусть /—измеримая функция. Доказать, что / суммируема на R
в том и только в том случае, когда существует и конечен один из пределов:
a) lim f /φ; б) lim [Ν,μ ({/ < Ν,}) + f /φ +
Λ^- —00 J Λ^-—00 J
+ Ν2μ(ϋ>Ν2})]
(Nlt Ν2 стремятся к своим пределам независимо). При этом если /
суммируема, то \ /ф совпадает с общим значением этих пределов.
R
104

5.13. Доказать, что для каждой суммируемой на R функции / и (Ve>0)
найдется такая простая функция р, что \ | / (х) — ρ (χ) | άμ (χ) < ε.
R
§ 6. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Хорошо известна теорема о предельном переходе под знаком
интеграла Римана: если последовательность (fl)%=i равномерно
сходится к / на [а, Ь], то
ь ь
j /(χ) dx = lim j fn (x)dx.
a n-00 a
В то же время поточечная сходимость недостаточна для
возможности предельного перехода не только для интеграла Римана, но, как
показывает следующий пример, и для интеграла Лебега.
Пример 6.1. Пусть μ — мера Лебега на σ-алгебре !Н всех измеримых по
Лебегу подмножеств отрезка R = [0, 1]. Рассмотрим последовательность
функций
M*) = *X[Ofl//i](*)·
Тогда
J fn{x)dx=^fn(x)dx=l.
[О, Π о
Вместе с тем предельная функция / (х) = lim fn (χ) = 0 при дс^=0, поэтому
/ = 0 (mod μ) и, следовательно, \ f(x)dx = 0.
[0,1]
Рассмотрим ряд утверждений о предельном переходе под знаком
интеграла Лебега в пространстве (R, 9ϊ, μ) с конечной мерой.
Теорема 6.1 (Лебега об ограниченной
сходимости). Пусть последовательность {fn)™=i суммируемых функций
сходится по мере к функции f и пусть существует такая
суммируемая функция g > 0, что
(Vn€N)HM*)l <*(*)· (6.1)
Тогда функция f суммируема и
[ ίάμ = 1ίπι<\ίηάμ. (6.2)
R n-*°° R
Функцию g естественно назвать суммируемой мажорантой
последовательности (fn)n=i-
Доказательство. Поскольку /„-4-/, то по теореме Рисса
существует подпоследовательность fnk->f (mod μ). В силу (6.1)
имеем
(ТОШ:|М*)|<*(*).
105

Переходя в последнем неравенстве к пределу при k ->■ оо, получим
\f(x)\^g(x)(modμ)i
и в силу следствия 5.1 функция / суммируема.
Для доказательства равенства (6.2) положим для любого σ> О
Я»(а) = {|/я-/|>а}, Fn(o) = {\fn-f\<u),
тогда
δ„ = |ί/^μ-ί/^μ|<ίΐ/«-/Ι^μ =
R R R
= ί \ίη-ί\άμ+ J |/„-/|ф. (6.3)
Поскольку
υη(χ)-ί(χ)\<\Μχ)\ + \ί(χ)\<^{χ)(™οάμ),
то из (6.3) получаем
δη<2 J £φι + σμ(#). (6.4)
*„(σ>
Теперь для любого ε > 0 положим σ = 0 /m . Далее, восполь-
ζμ (/<;
зовавшись абсолютной непрерывностью интеграла (теорема 4.2),
найдем такое δ>0, чтобы из μ(£)<δ следовало
ί
gdμ<G
4 ·
Наконец, из того, что fn-^f, следует существование такого
номера п0, что при η > /г0
μ(βη(σ)) = μ({|/η-η>σ})<β.
Тогда при п>п0 получаем из (6.4), что
δη<2.| + |=,ε,
т. е. δ„->-0 при /г-)-оо. ■
Замечание 6.1. Ясно, что утверждение теоремы Лебега остается
справедливым, если (6.1) выполняется, начиная с некоторого
номера п0.
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Показать, что теорема Лебега остается справедливой, если (6.1)
при каждом η выполняется лишь μ-почти везде.
6.2. Вывести из теоремы Лебега следующее обобщение на интеграл Лебега
теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана: пусть
(fn)%L\> / — суммируемые функции, /ΛΙ$/. Тогда имеет место равенство (6.2)·
106

6.3. Пусть φ — измеримая ограниченная функция. Доказать, что если
выполнены условия теоремы Лебега, то
[ <р/ф = lim [ φ/ηφ.
Следующее утверждение часто оказывается весьма полезным.
Теорема 6.2 (лемма Фату). Пусть (fn)Z=i —
последовательность неотрицательных измеримых функций, сходящаяся по
мере к функции f. Тогда
}ϊάμ< ]im £ fn άμ. (6.5)
R n-+°° R
Доказательство. Отметим прежде всего, что функции
/„не предполагаются суммируемыми, так что интегралы в правой
части (6.5) (и даже их нижний предел) могут равняться + оо.
Доказательство проведем в два этапа.
1). Докажем сначала неравенство
^ f άμ <sup j !ηάμ. (6.6)
R n R
Поскольку fn-^fy то по теореме Рисса существует
подпоследовательность fnk-+f (mod μ). Тогда, рассматривая срезки (см. § 4) для
любого Л/>0, получим (fnk)N ->■ (f)N (mod μ). Но тогда (Vx£R)
(Yk £ ЭД) : 0 < (fnk(x))N < Л/. Применяя теорему Лебега об
ограниченной сходимости, получаем
limj(/„ft)Jv^ = i(f)Jv^. (6.7)
Кроме того, для любых k, N
fnk άμ.
R R k R
Переходя в этом неравенстве к пределу при k ->■ со и учитывая
(6.7), получаем
R k R
Переходя в последнем неравенстве к пределу, найдем
R k R
Тем более справедливо неравенство (6.6).
2). Докажем теперь неравенство (6.5). Если lim j }ηάμ s=s +oo,
то доказательство не требуется. Пусть
lim \ Ιηάμ = Л<+оо.
107

По свойству нижнего предела для любого ε > 0 найдется такая
возрастающая последовательность индексов /г1</г2< ... , для
которой
^η]·άμ<Α + ε (/=1, 2, . . .).
R
Поскольку fni-^f при ;-^оо, то, применив доказанное в п. 1)
неравенство (6.6), получим
£ f άμ < sup £ /л/ ώμ < А + ε.
Поскольку последнее неравенство верно при любом ε>0, то,
переходя к пределу при ε-*-О, получим требуемое неравенство
R
Теорема 6.3 (Бе π по Леви). Пусть (fn)n=i — неубывающая
последовательность измеримых неотрицательных функций:
{Vx£R):0<f1(x)<f2(x)< .··
и пусть f(x) = limfn(x). Тогда
\ϊάμ = \\χη\ϊη(1μ. (6.8)
R n-»°° R
Доказательство. Поскольку [j /η^μ]~=1 — неубывающая
R
числовая последовательность, то она имеет предел (конечный или
бесконечный) и в силу леммы Фату
] / άμ < Hm ] fn άμ = lim j /rt άμ. (6.9)
Кроме того, поскольку fn(x) < f {х)> το
$/«<ίμ<$Μμ.
я я
Отсюда, переходя к пределу при /г->оо, получаем
Нт{/Яф< J/ίίμ. (6.10)
Из (6.9) и (6.10) следует (6.8). ■
Замечание 6.2. Ясно, что в условиях доказанной теоремы
функция f суммируема в том и только в том случае, когда
последовательность интегралов Π fn^jn^i ограничена.
r ^
108

Следствие 6.1. Если (uk)k=\ — последовательность
неотрицательных измеримых функций, то
ΗΣ"*)^^ Σ ί Μμ·
R k=l k=\ R
Для доказательства достаточно применить теорему Леви к по-
п
следовательности частичных сумм fn = Σ uk- ■
УПРАЖНЕНИЯ
6.4. Пусть (fn)n=i — невозрастающая последовательность неотрицательных
суммируемых функций и / (х) — lim fn (χ). Доказать, что
\ /ф = lim \ [ηάμ.
# R
Указание. Применить теорему Леви к последовательности функций
Sn = fi — fn-
6.5. Пусть (/η)/Π=ι — последовательность суммируемых функций такая, что
fn^tf на А, где μ (А) = 0. Доказать, что / — суммируемая функция и
справедливо равенство (6.2).
6.6. Пусть fn:R-+\R, п£Ы — последовательность измеримых функций,
сходящаяся по мере μ к функции f : R-*-IR, Доказать, что для любой
непрерывной и ограниченной на IR функции φ справедливо равенство \ φ (fn) άμ ->-
R
-> £ Φ (/) Φ·
R
6.7. Пусть Τ cz\R, {f (t, χ) \ t£ Τ} — совокупность суммируемых функций,
имеющая интегрируемую мажоранту. Если для μ-почти всех χ £ R функция
/ (·, χ) ζ С (Т), то / (/) = \ / (/, χ) άμ (χ) непрерывная на Τ функция. Доказать.
R
6.8. Пусть /, fn (η £ Ν) — суммируемые функции. Если \ \fn — / | άμ->09
R
то справедливо равенство (6.2), а обратное неверно. Доказать.
6.9. Пусть (fn)n=i — последовательность неотрицательных суммируемых
функций, сходящаяся μ-почти всюду к суммируемой функции /. Если
\ ίηάμ^*- \ /ф, то \ \fn — /1 άμ -*■ 0. Доказать.
R R R
Указание: показать, что последовательность ((fn — f)j£-\
удовлетворяет условиям теоремы 6.1.
6.10. Построить последовательность (fn)n=\ суммируемых на [0, 1] по мере
Лебега функций такую, что: a) /rt->/(modm), где /—суммируемая функция;
б) выполняется равенство (6.2); в) не существует суммируемой функции g
такой, что (V η ζ Ν): \fn(x)\<g (x) (mod m)>
6.11. Пусть (fn)n=i — последовательность суммируемых функций такая,
что: a) fn ΐ> 0 (mod μ) (Vaz £ Ν); б) (НЛ4 ζ IR) (V/ι g Ν): f /яф < Μ. Доказать,
R
109

что функция lim fn — h суммируема и справедливо неравенство (6,5) с заме-
нон / на п.
6.12. Вывести теорему Лебега об ограниченной сходимости из
результата упр. 6.11.
6.13. Показать, что в условиях упр. 6.11 функция g (χ) = Urn fn(x) может
П-*оо
оказаться несуммируемой.
6.14. Пусть (ίη)η=ι — последовательность измеримых функций, имеющая
интегрируемую мажоранту. Доказать интегрируемость функций h и g из
упр. 6.11, 6.13 и следующие оценки:
\ Ηάμ < lim ί fnd\i < lim \ fnd\i <: Ι ^μ.
R П-юо R R R
Показать, что в каждой из оценок возможно строгое неравенство.
6.15. Последовательность (fn)Z=*\ интегрируемых функций называется
равномерно интегрируемой, если sup |\ %, , 1/л№И я£ Щ -*-0, с->+оо.
R
Доказать, что: а) последовательность, имеющая интегрируемую мажоранту,
является равномерно интегрируемой; б) для равномерной интегрируемости
(fn)n=\ необходимо и достаточно выполнение условий: 1) (ЯМ > 0) (Уп £
€ Ν): \ I fn Ι άμ < Μ; 2) функции flt /2, ... имеют равностепенно абсолютно
R
непрерывные интегралы, т. е. (Υε > 0) (Ηδ > 0) (УЛ £ ίΗ: μ (Λ) < δ) :
sup || £/ηφ||/ιξΝ}<ε.
л
6.16. Доказать следующее обобщение теоремы Лебега об ограниченной
сходимости: если последовательность (fn)n=\ суммируемых функций равномерно
интегрируема и fnj^f, то / — интегрируемая функция и имеет место равенство
(6.2) (теорема Витали).
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПО МНОЖЕСТВУ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕРЫ
Пусть (R, 9ΐ, μ) —пространство g σ-конечной мерой (см. § 1.8)
так что μ (/?) = +со. В силу определения σ-конечности
существует неубывающая последовательность измеримых множеств
оо
Аг s А2 s ..., для которой μ (Лп) < + оо (Vn) и R = U Лл.
л=1
Введем сначала понятие интеграла Лебега по множеству
бесконечной меры в случае неотрицательной функции. Пусть / —
измеримая функция, f(x) >0 на R. Поскольку все Ап — измеримые
множества конечной меры, то для них имеют смысл интегралы
\ f άμ < +οο. Очевидно,
Ап
j /άμ < j ϊάμ<···9
At Az
поэтому' существует предел lim J f άμ < +oo.
rt-> оо я
ПО

Определение 7.1. Интеграл Лебега от неотрицательной
измеримой функции f по множеству R с о-конечной мерой μ
определяется равенством
\ f (χ)άμ(χ) =j / ^=flim ^ f άμ. (7.1)
Если ]/<ίμ<;+οο, то функцию f называют суммируемой, или
R
интегрируемой по Лебегу на R.
Покажем, что это определение корректно, т. е. не зависит от
цыбора расширяющейся системы (An)Z=\. Пусть задана другая
последовательность множеств Вг s В2 S · · ·, Вп £ 9ΐ, μ {Βη) < + оо,
оо
U Вп = R. Покажем, что
lim \ Ιάμ= lim J f άμ. (7.2)
η η
Действительно, при любом т£Щ имеем
вт = вт η (jj л„) = вт η (Лх и (Λ,μο и И,\Л) и · · ·) =
"= (Вт П Лх) U (β„ П {A,\AJ) U · · ·,
откуда в силу счетной аддитивности интеграла
$Μμ= J Μμ + { Μμ+···<ί/^μ +
+ ] /ίίμ) = lim ] fd\i.
Переходя в полученном неравенстве к пределу при т-^оо,
получаем
lim \ f άμ < lim \ f άμ.
т η
Поскольку последовательности (Αη)Ζ=\ и (Βη)Ζ=ι равноправны, то
имеет место и противоположное неравенство, что и доказывает
равенство (7.2) и вместе с тем корректность определения 7.1. ■
Пусть теперь / — измеримая функция произвольного знака. Как
и в § 5, вводим неотрицательные функции /+ и /_ так, что
f (*) = /+ W- /- (*). \П*)\ = П(*) + К (*)■
Тогда естественно дать следующее определение.
111

Определение 7.2. Функция f называется суммируемой, или
интегрируемой по Лебегу на R, если суммируемы на R обе функции /+
и /L . При этом по определению
Ιί(χ)άμ(χ)^^άμά=Μ$ΐ+άμ-^_άμ.
R R R R
Как и в § 5, нетрудно доказать, что для суммируемости
измеримой функции / необходимо и достаточно, чтобы функция | /1 была
суммируема.
Все свойства, установленные в § 5, остаются справедливыми
и для интегралов по σ-конечной мере. Теоремы о предельном
переходе (Лебега, Фату и Леви) также верны и в этом случае. Читателю
предлагается самостоятельно проверить справедливость этих
утверждений.
Замечание 7.1. Нетрудно заметить, что в случае σ-конечной меры
ограниченная измеримая функция может не быть суммируемой.
В частности, отличная от нуля константа не является суммируемой
функцией.
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Показать, что индикатор %Д суммируем тогда и только тогда, когда
μ (Л) < + оо.
η
7.2. Показать, что простая функция /= JJ с flA . (с}- Φ 0) суммируема
тогда и только тогда, когда (V/) : μ (Л.-Х+оо.
7.3. Вычислить [ f (χ) dx, где: а) / (χ) = е~м; б) f (χ) = ([χ + 1] χ
Χ[* + 2])-ΐ; в) /(*)=!$!)-!.
7.4. Доказать, что в случае μ (R) = + оо: а) утверждения упр. 4.6,
4.8 верны; б) утверждение упр. 4.7 верно при дополнительном ограничении
μ (А) < оо; в) утверждение упр. 4.9 неверно.
7.5. Доказать, что неотрицательная измеримая ограниченная функция
суммируема на множестве бесконечной меры в том и только в том случае,
со
когда сходится ряд J] 2""μ ({/ > 2"rt}).
/ι=0
7.6. Доказать, что измеримая ограниченная функция / суммируема на R,
если выполняется условие (ЯА>0)(За < 1)(Υε>0):μ({| /1 >е})< А.е~"а.
7.7. Пусть (fti)n=l — последовательность функций, суммируемых на
#(μ (#) =+оо) такая, что fnZtf на/?. Всегда ли суммируема наRфункция/?
§ 8. СУММИРУЕМОСТЬ
И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
1. Интегралы от неограниченных функций. Ограничимся для
простоты интегралами по одномерному промежутку. Пусть функция
/ неограничена на полуинтервале [а, Ь) и интегрируема по Риману
на любом промежутке [а, Ъ — ε]. Тогда, как известно, она не инте-
112

грируема по Риману на Та, Ь] и интеграл Римана может
существовать лишь как несобственный:
(R)f/(x)dx^flim(R) \ f(x)dx. (8.1)
b
Если этот предел существует и конечен, то интеграл (R) J f(x)dx
а
называют сходящимся. Несобственный интеграл Римана называют
ь
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (R)
а
Интеграл Лебега по мере Лебега на [а, Ь\ в этом параграфе
ь
обозначается через (L) j / (χ) dx.
а
Теорема 8.1. Для абсолютной сходимости несобственного
ъ
интеграла (R) ^f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы функ-
а
ция f была суммируема на [а, Ь]. При выполнении любого из этих
условий имеет место равенство
ь ь
(R)J/(*)d* = (L)J/(*)d*. (8.2)
а а
Ъ
Доказательство. Необходимость. Пусть (R) J | /(х)\ dx<
а
< + оо. Для любого η £ Щ положим fn (χ) = f (χ) %r _ι_ι (χ).
Ясно, что \fn\ — \f\n. Поскольку последовательность (\f\n)n=\ —
неубывающая и Нт|/Я(х)| == |/(х)| (V*€ [α, &)), то, воспользовав-
шись теоремой Беппо Леви и теоремой 3.1, получаем
П
(L)J|/(x)|rfx=lim(L)J|M*)|d* = Hm(L) J \f(x)\dx =
а л-~ α »-" a
η
lim(R) f \f(x)\dx = (R)[\f(x)\dx. (8.3)
a
b
Отсюда следует, что (L) ] |/|^<+°°> т. е. / суммируема.
а
Достаточность. Цепочка равенств (8.3) остается верной, если
заменить — любой убывающей последовательностью еп-*0. Читая
ИЗ

(8.3) в обратном порядке, находим, что из суммируемости / сле-
ь
дует конечность интеграла (R) j | / (χ) \ dx.
а
Остается доказать равенство (8.2). Поскольку limfn(x) = f(x)
(Vx£[a, b)) и \f„{x)\<\f(x)\, a / суммируема, то, применяя
теорему Лебега о предельном переходе, получаем
Ь-1/л
(L)\ f(x)dx = hm(L)\fn(x)dx = hm(L) f f(x)dx=>
a n^°° а /г-00 а
Ь—1/п b
= lim(R) J f(x)dx = (R)^f(x)dx. Ш
Совершенно аналогично проводится исследование в тех случаях,
когда / (х) обращается в оо в точке а или в одной или нескольких
точках внутри отрезка [а, 6].
2. Интегралы по множеству бесконечной меры. Здесь мы также
ограничимся одномерным случаем. Пусть функция f определена на
промежутке [а, + оо) и интегрируема по Риману на любом отрезке
[a, b] (b>a). Тогда несобственный интеграл по промежутку [а,
+ оо) определяют как предел
(R) [f(x) dx = lim (R) \f(x)dx. (8.4)
i b-+~ a
Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся; его называют абсолютно сходящимся, если сходится
интеграл ] | / (χ) \ dx.
а
Поскольку / интегрируема по Риману на каждом отрезке [а, Ы
(Ь > а), то она измерима (см. теорему 3.1), и поэтому интеграл
Лебега по мере Лебега на [а, + оо) можно ввести по схеме § 7
(поскольку эта мера σ-конечна).
Теорема 8.2. Для абсолютной сходимости несобственного
оо
интеграла (R) f / (χ) dx необходимо и достаточно, чтобы функ-
а
ция f была суммируема на [а, +оо). При выполнении любого из
этих условий имеет место равенство
(R)<jf(x)dx = (L)^f(x)dx. (8.5)
а а
Доказательство. 1). Пусть сначала f(x)>0 на [α, +оо).
При определении интеграла Лебега по схеме § 7 можно
положить Ап = [<2, Ьп], где φη)η=ι — произвольная неубывающая после-
114

довательность, для которой limb„ = +oo. Тогда, воспользовав-
шись определением 7.1 и теоремой 3.1, получим
(L) f f(x)dx = lim(L) f f(x)dx = lim(R) f f(x)dx =
a a a
+ 00
= (R)J/(*)d*.
a
что доказывает теорему в случае неотрицательной функции.
2). Если / — функция произвольного знака, то по доказанному
в п. 1) имеем
(L)J|/W|dx = (R)J|/(x)|rfxl
а а
т. е. суммируемость функции/эквивалентна абсолютной сходимости
интеграла Римана. Тогда, воспользовавшись определением 7.2 и
доказанным в п. 1) равенством интегралов Лебега и Римана от
неотрицательных функций, получим
-J-00 -j-OO -j-OO
(L) J / (χ) dx = (L) J U (*) dx ~ (L) J /- (*) dx =
α α α
= (R) J /+ (*) dx - (R) j /. (x) dx = (R) J / (*) <**· ■
a a a
УПРАЖНЕНИЯ
ι
8.1. Вычислить (L) I f(x) dx, если:
о
a)/(*) = . I 6) / (at) = ] f" ' *€<Q'
U"T*j?D; \ln*.*6IR\Q.
8.2. При каких значениях параметров аир функция f(x) = xasinx^
(х£(0, 1]): а) интегрируема по Лебегу; б) несобственно интегрируема по
Риману?
8.3. При каких значениях параметров α и β функция / (х) = ха cos х^
(x£[U +°°))5 а) интегрируема по Лебегу; б) несобственно интегрируема по
Риману?
§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть (Ri 91, μ> — пространство с мерой (конечной или σ-κο-
нечной), / — комплекснозначная функция* заданная на #, /1 R ->
-> (£. Тогда можно записать
/ (*) = и (*) + to Μ, и (χ) = Re/ (α;), υ {χ) = Im/ (a:).
115

Определение 9.1. Комплекснозначная функция называется
измеримой, если измеримы ее действительная и мнимая части.
Пусть задана измеримая функция /:i?-^(C, т. е. измеримы
Re/ и Im/. Естественно определить интеграл Лебега от комплексно-
значной функции по формуле
def
J /άμ = J Re [άμ + i [ Im /</μ. (9.1)
R R R
При этом каждое из слагаемых в правой части может быть как
конечным, так и бесконечным.
Определение 9.2. Комплекснозначная функция называется
суммируемой, если суммируемы ее действительная и мнимая части.
Ясно* что все основные свойства интеграла Лебега и
суммируемых функций непосредственно переносятся на случай комплексно-
значных функций. В частности, для суммируемости функции /
необходимо и достаточно, чтобы была суммируема функция |/|. При
этом
υ#μ|<ίΐ/Μμ· (9.2)
R R
Остановимся на доказательстве последнего неравенства.
Положив а = —arg f [άμ и воспользовавшись формулой (9.1), получим
R
I J [άμ I = е™ j [άμ = J {el*f) άμ = J Re (е*«[) άμ +
R R R R
+ ί[ΐτη(βία[)άμ.
R
Поскольку выражение в правой части должно быть вещественным,
то второе слагаемое равно нулю, поэтому
| J [άμ\ = J Re (е*«[) άμ<^\ Re(ei«f)\άμ <ι J [/| άμ. Ш
R R R R
Упражнение 9.1. Доказать, что комплекснозначная функция /
суммируема тогда и только тогда, когда суммируема функция | / |.
§ 10. ИНТЕГРАЛ ПО ЗАРЯДУ
1. Интеграл по заряду. Пусть на измеримом пространстве (/?,
9Ϊ) задан заряд ω (см. § 1.16). Тогда, как известно* его можно
представить в виде ω = ω+ — ω_, где ω+ (ω.) — положительная
(отрицательная) вариация заряда ω. Если функция /! R ->- IR
суммируема по каждой из мер ω+ πω., то естественно назвать /
суммируемой по заряду ω и определить ее интеграл Лебега по заряду ω
следующим образом?
J [άω « J [ащ — J /Adl. (ЮЛ)
R R R
116

Как известно, заряд можно представить в виде разности двух
конечных мер различными способами. Легко видеть, что если ω =
= μ — ν, где μ и ν — конечные меры, и функция / суммируема по
каждой из этих мер, то наряду с (10.1) имеет место формула
J /d(u = J/όμ — J/dv.
R R R
Действительно, это следует из того, что (см. замечание 1.16.2) при
таком представлении μ = ω+ + ρ, ν = ω_ + ρ, где ρ — некоторая
конечная мера.
Легко видеть, что интеграл по заряду обладает многими
свойствами обычного интеграла Лебега по мере; в частности, он линеен,
счетно аддитивен и абсолютно непрерывен. Предлагаем читателю
убедиться в этом самостоятельно.
Пример интеграла по заряду будет рассмотрен в следующем
параграфе.
Пусть теперь задана комплекснозначная функция fi /?->-£,
причем функции u = Refuu = lmf суммируемы по заряду ω.
Тогда естественно назвать функцию / суммируемой по заряду ω
и определить ее интеграл формулой
def
Г fa® = f ιιάω + i f υάω.
R R R
2. Интеграл по комплекснозначному заряду. Пусть ωΧί ω2 —
заряды, определенные на измеримом пространстве (Rf 9ϊ>. Тогда,
как известно, функцию множеств ω = ωχ + ίω2 называют комплеке-
нозначным зарядом. Если комплекснозначная функция / s R ->- (С
суммируема по каждому из зарядов ωχ и ω2, то ее называют
суммируемой по заряду ω и соответствующий интеграл определяют по
формуле
def
Г fa® = Г fdtoi + i f fd(d2.
R R R
Легко проверить, что так определенный интеграл линеен, счетно-
аддитивен и абсолютно непрерывен.
§ 11. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА.
СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА
Пусть на отрезке [а, Ь] задана неубывающая непрерывная слева
функция g. Тогда, как известно (см. § 1.14), эта функция
определяет на σ-алгебре борелевских множеств отрезка [а, Ь] конечную
меру μg — меру Лебега — Стилтьеса. Интеграл Лебега, построен-
ный по дтой мере, называют интегралом Лебега—Стилтьеса и
обозначают так:
ь ь ь
\ f (*) d\ig (χ) *= J ϊάμΒ s= J / (χ) dg (χ).
117

Если, в частности* g — функция скачков, то μg — дискретная мера,
и интеграл Лебега — Стилтьеса сводится к сумме
lf(x)dg(x) = ^f(ok)^{pk)9 (11.1)
a k
где суммирование проводится по всем точкам разрыва^ функции g,
a Ag (ck) — скачки функции g в этих точках.
Пусть теперь g — непрерывная слева на ία, b] функция
ограниченной вариации. Тогда (см. § 1.17) ее можно представить в виде
разности двух неубывающих на [а, Ь\ непрерывных слева функций:
g{x) = φ(*) —ψ(*).
Поэтому интеграл Лебега — Стилтьеса по функции g естественно
определить равенством
ь def ь ь
^f(x)dg(x) = ^f(x)d<p(x)-$f(x)dy(x). (11.2)
а а а
Ясно, что этот интеграл — не что иное, как интеграл Лебега по
заряду (Og, построенному по функции ограниченной вариации g
(см. § 10 и § 1.17). Поэтому интеграл Лебега — Стилтьеса (11.2)
не зависит от того, как функция g представлена в виде разности
двух неубывающих функций.
Изучим связь между интегралом Лебега — Стилтьеса и
известным из курса анализа интегралом Римана — Стилтьеса. Для этого
напомним определение последнего.
Пусть на отрезке [а, Ь] заданы непрерывная слева функция
ограниченной вариации g и некоторая функция /. Произведем
разбиение π отрезка [а, Ы:
π : а = х0 < хг <· · · < хп^г < #„ =* Ь, Axk = xk+\ — xk,
Ι π Ι = тахДя^ (11-3)
выберем произвольные точки \k £ [xk> Xk+i] и составим
интегральную сумму Римана—Стилтьеса
S (A g, η) = Σ f (Ik) (g (**+0 - g (**)). (11.4)
k=0
Если эти интегральные суммы при | п\-+0 имеют конечный предел»
не зависящий от способа разбиения отрезка и от выбора точек ξΛ§
то этот предел называют интегралом Римана — Стилтьеса от
функции / по функции g
HmS(/, g, π) = Г/(*)**(*). (Н-Б)
|JtI-^0 J
Чтобы отличать интеграл Римана — Стилтьеса от интеграла
Лебега — Стилтьеса, мы в этом параграфе будем писать перед знаком
интеграла соответствующие буквы.
118

Теорема 11.1. Если функция f непрерывна на отрезке [а9 Ы,
то ее интеграл Римана — Стилтьеса по g существует и
(R-S) J f(x)dg(x) = (L-S) $f(x)dg{x).
a a
Доказательство. Рассмотрим любую последовательность
разбиений (пп)п=\ вида (11.3) с |лл|->0 при /г-^оо, выберем для
каждого разбиения точки \k ζ [xk, Xk+ι] и рассмотрим
последовательность простых функций
Согласно определению интеграла Лебега от простой функции (§ 1)
получаем из (11.4)
S (/, fir, π„) = (L - S) J fn (x) dg (x). (11.6)
a
Кроме того, из непрерывности функции / на отрезке [а, Ь] следует,
что последовательность (fn)Z=i сходится к / равномерно на [а, 61.
Поэтому (см. упр. 6.2) в (11.6) можно перейти к пределу под знаком
интеграла. Тогда, учитывая (11.5), получаем
ь
(R-S) f f(x)dg{x) = HmS(/, g, nn) =
J ft-*·»
a
= ]i™JL-S^bfnWdg(x) = (L-S)lf(x)dg(x). ■
УПРАЖНЕНИЯ
11.1. Пусть μφ(Л) = χл (с), где с—фиксированная точка IR. Построить
пример функции: а) суммируемой по мере μ , но не суммируемой по мере
Лебега; б) суммируемой по мере Лебега, но не суммируемой по μφ.
β
11.2. Пусть на [0, 1] дана мера μφ ([α, β)) = I In -_L_ dx (0 < α < β < 1).
a
Построить пример функции: а) суммируемой по μ , но не суммируемой по mi
б) суммируемой по т, но не суммируемой по μ .
§ 12. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ТЕОРИЯ РЯДОВ
Пусть R = И, 9Ϊ — система всех подмножеств множества
натуральных чисел. Зададим на измеримом пространстве (^, Ш)
дискретную меру μ с помощью условия
(У"Ш: μ (W)=l.
119

Ясно, что эта мера σ-конечна: если положить Ак = {1, 2, ... ,k)
(k = 1, 2, ...), то μ(Α>) =*k, J Л4 = И.
Пусть задана любая функция / : ^ -> IR, т. е. числовая
последовательность. Ясно, что эта функция измерима.
Выясним, что представляет собой интеграл Лебега от функции
f по этой мере. Если (V/г £ И): / {η) > 0, то из определения
интеграла по σ-конечной мере сразу следует, что
£#μ = £/(*), 02.1)
причем суммируемость функции / эквивалентна сходимости ряда
в правой часги. Поэтому в случае функции/любого знака ее
суммируемость эквивалентна абсолютной сходимости указанного ряда.
При этом для суммируемой функции сохраняется формула (12.1).
оо
Таким образом, всякий абсолютно сходящийся ряд Σ / (/г)мож-
/г=1
но рассматривать как интеграл Лебега по дискретной мере. Это
позволяет применять к рядам факты, установленные для интегралов
Лебега, в частности теоремы о предельном переходе под знаком
интеграла. Так, например, теорема Леви в случае рядов
превращается в следующее утверждение.
Пусть (amn)Z,n=i — бесконечная матрица с неотрицательными
элементами. Если
(Ул £ И) ·' Ъп < Я2п < а3п < . .. и Jim а^п— ani
ТО
оо оо
Ца„ = НтЦат„.
п=1 т-*-°° п=1
УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Сформулировать в случае рядов теорему Лебега о предельном
переходе и лемму Фату.
12.2. Сформулировать в случае рядов понятие равномерно
интегрируемой последовательности функций, необходимое и достаточное условие
равномерной интегрируемости и теорему Витали (см. упр. 6.15, 6.16).

Г Л Л В Л IV. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ.
ТЕОРЕМА ФУБИНИ
В этой главе показано, как снабдить мерой декартово произведение двух
или нескольких пространств с мерой. Центральный результат этой главы —
теорема Фубини о приведении двойного интеграла к повторному. Даны
примеры, показывающие существенность условий теоремы Фубини.
§ 1. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВ,
СЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИИ
Пусть (X, 5К> и (Y, 91) — измеримые пространства (см. § II. 1),
т. е. два множества, в каждом из которых задана некоторая σ-алгеб-
ра подмножеств («измеримых множеств»). Как известно, прямым
(декартовым) произведением множеств X и Υ называется множество
упорядоченных пар (х, y)f т. е.
XxY = {<x, y>\x£X, y£Y).
Введем в прямом произведении Χ Χ Υ структуру измеримого
пространства. Пусть А и В — измеримые подмножества
соответственно в X и Υ, т. е. Α ζ 3R, В £ 31 .
Прямоугольником со сторонами А и В естественно назвать
прямое произведение
АХВ = {(х, у)£Хх Y\x£A, y£B).
Обозначим через ЗЛ ■)£ 91 алгебру подмножеств Χ Χ Υ,
порожденную системой всех таких прямоугольников (см. § 1.2). Эта алгебра
не является, вообще говоря, σ-алгеброй.
Легко видеть, что SR χ 9Ϊ состоит из всевозможных конечных
объединений попарно непересекающихся прямоугольников с
измеримыми сторонами.
Обозначим σ-алгебру подмножеств X -)f Y> порожденную
системой всех таких прямоугольников, через ЗЛ X 31. Эту σ-алгебру
назовем прямым произведением σ-алгебр 3R и 31, а входящие в 3R Χ9Ϊ
подмножества Χ Χ Υ— измеримыми. Тем самым прямое
произведение Χ Χ Υ снабжено структурой измеримого пространства. Это
измеримое пространство назовем прямым (или декартовым)
произведением данных измеримых пространств:
(X, Ж> Χ (Υ, Я1> = (Χ χ Υ, Ж χ 3Ϊ).
Пример 1.1. Пусть X = Υ = IR — числовая прямая, Ш = 91 = S3 — σ-
алгебра всех борелевских множеств на прямой. Легко видеть, что в этом
случае
(IR, 93)x(IR, 93) = (IR2, 93 (IR2)),
где 93 (IR2) — σ-алгебра всех борелевских подмножеств плоскости.
121

Определение 1.1. Пусть Ε— произвольное подмножество
прямого произведения X X Υ, χ £ Χ — произвольная точка.
Сечением мно жестваЕ посредством точки χ или х-сечением Ε
называется множество Ех^ Υ, определяемое равенством
Ex = {y£Y\(x, у)£Е}.
Аналогично для фиксированного у ζΥ определяется у-сечение Еу
множества Е\
Ε» = {χζΧ\(χ, у)£Е).
Заметим, что сечение множества Ε α Χ Χ Υ не является
подмножеством X X Yi а является подмножеством соответственно Υ
или X.
Пример 1.2. Пусть Л s X, BsF, £ = Л Χ β — прямоугольник.
Тогда
Г Д при χ g Л, = Г Л при у ζ В,
* I 0 при х$А; I 0 при у $В.
Лемма 1.1. Каждое сечение измеримого множества измеримо.
Доказательство. Пусть Ε — любое измеримое
подмножество X X У, т. е. Ε £ SR X 31. Надо доказать, что при любых
х£Х>У£ У множества Ех и Еу измеримы, т. е. Ех ζ 3ϊ, £^ ζ SR.
Докажем измеримость множества £V, измеримость £^ доказывается
аналогично.
Обозначим через 3t систему всех множеств Е^ Χ Χ Υ, все
х-сечения которых измеримы. Легко видеть, что 91 является σ-ал-
геброй. Это следует из того, что
%Ε{)χ==£Ά{Εέ)χ (EtsXxY>.
(£),=?, {Ε<=ΧχΥ).
Пусть теперь £ = 4 ХВ — произвольный прямоугольник с
измеримыми сторонами. Тогда (см. пример 1.2) Ех — это либо β, либо
пустое множество, т. е. Ех измеримо при любому ς Χ. Это означает,
что ££31. Поскольку SR X 31 — минимальная σ-алгебра,
содержащая все прямоугольники с измеримыми сторонами, то SR Χ 3Ϊ s
e3t. ■
Определение 1.2. Пусть на множестве Е^Х Χ Υ задана ее-
щественнозначная функция f (χ, у) и пусть χ ζ Χ — фиксированная
точка. Сечением данной функции посредством точки х9 или
х-сечением, называется функция fXi определенная на множестве Ех
равенством
fx(y) = f(*> У) (У£ЕХ)-
Аналогично определяется у-сечение fy данной функции:
fw =■/(*. у) (*е#о.
122

Лемма 1.2. Каждое сечение измеримой функции есть измеримая
функция.
Доказательство. Пусть / (х, у) — измеримая функция,
т. е. это функция, измеримая относительно σ-алгебры SR Χ 9Ϊ.
Надо доказать измеримость сечения fx относительно σ-алгебры 31
при любом χζ Χ и измеримость fy относительно σ-алгебры 3R при
любом у ζΥ. Докажем, например, измеримость fx.
Измеримость данной функции / (х, у) означает, что при любом
а£Ц
{<*> У)£ХХ Y\f{x, У)<а) £3)ίχ3ϊ.
Надо доказать, что при любом χ ζ X сечение fx измеримо, т. е. для
любого а £ IR
{y£Y\fx(y)<a)S®·
Но последнее включение следует из равенства
{ytY\fx{y)<a} = {<x> ί/)^Χ Y\f{x> У)<а}#
поскольку в силу леммы 1.1 я-сечение множества из Ш χ 9Ϊ
входит в 9Ϊ. ■
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Доказать, что непустой прямоугольник А X В измерим тогда и
только тогда, когда его стороны измеримы.
1.2. Пусть χ — индикатор прямоугольника А X В\ %А, %в —
индикаторы его сторон. Докажите, что χ (#, у) = %А (х) %в (у).
1.3. Доказать, что любое сечение простой функции является простой
функцией.
1.4. Пусть χ — индикатор множества Ε cz Χ X У. Докажите, что
сечения %х и %у являются индикаторами соответственно сечений Ех и Еу.
1.5. Пусть (X, Зй), (У, 9Ϊ) —два измеримых пространства, 91 = {А X
X В\ Л£$К, βζ9ϊ}—система всех измеримых прямоугольников. Доказать,
что: а) если σ-алгебры SR, 9Ϊ состоят более чем из двух множеств, то 91 не
является кольцом; б) 91 является полукольцом множеств, т. е. (Y-Д, В^Щ:
Α(]Βζ%1, а разность А\В представима в виде объединения конечного числа
попарно непересекающихся множеств из 91; в) для любой последовательности
<4Л^=&:ГМ,,€*.
П
1.6. Пусть X = Υ = [0,1], 9tt = *ft — σ-алгебра, порожденная не более
чем счетными подмножествами [0,1]. Доказать, что каждое сечение диагонали
^ = {(х> У)\ χ = У) измеримо, тогда как само множество d не измеримо (т. е.
лемма 1.1 не обратима).
1.7. Пусть Υ = IR, f:X-+Y— измеримая функция. Доказать, что
следующие подмножества Χ Χ Υ измеримы: V* (/) = {(х, у) | χ £ X, 0 <:*/<: / (x)};
М/) = {<*. </>!*€*, 0<*</(*)}; Г (/) = {<*, у>|лр6-^, */ = /(*)}.
§ 2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МЕР
Пусть (X, SR, μ) и (У, 91, ν) — пространства с мерой.
Покажем, как можно ввести меру в прямом произведении (X X У,
5К Χ 9Ϊ). Эту меру λ естественно подчинить условию, что для лю-
123

бого измеримого прямоугольника она определяется по формуле
λ (Л Χ В) = μ {Α) ν (В).
Покажем, что этим условием мера λ определяется однозначно. Для
построения меры λ можно определить ее вначале на алгебре 3R-X-31,
а затем продолжить ее на σ-алгебру SR Χ 3Ϊ. Однако такой способ
оказывается довольно громоздким. Рассмотрим другой способ
конструирования меры λ.
Теорема 2.1. Пусть {Х^, μ) и (7,91, ν) — пространства о
конечными мерами, Ε — любое измеримое множество в Χ χ Υ
(т.е. Εζ$Ά χ 3Ϊ). Тогда функции f и g, заданные соответственно
на X и Υ равенствами f(x) = v (Ех) и g(y) = μ (Ε% измеримы и
при этом
{Κ*)<*μ(*) = $βΓ(ίΟ<ίν(0. (2.1)
Χ У
Доказательство. Обозначим через St систему всех тех
множеств £sXx Y, для которых справедлива теорема.
Покажем сначала, что 3t содержит все измеримые прямоугольники.
Пусть Ε = А X В — непустой измеримый прямоугольник, т. е. Α £
ζ Ж, β£3ϊ. Тогда (см. пример 1.2) f = v(B)%A и g = μ(Α)χΒ\
поэтому / и g измеримы. При этом f fd\\, = С ν(Β)%Αάμ = ν (β) μ{Α)\
χ χ
f gdv = f μ (Л) %βάν = μ (Л) ν (β), т. е. равенство (2.2) в этом слу-
у у
чае выполняется, и поэтому А X S£St.
Покажем теперь, что 9R ■)£ 31 s St. Пусть £ £ 3R ^f 3Ϊ, т. е. £ —
объединение конечного числа попарно непересекающихся
измеримых прямоугольников, Ε = U А/ х Bk. Тогда
f (х) = ν (£,) = Σ ν (Bk) %A (x), g (у) = μ (£*) = Σ μ И/) Xsft (у).
/ι ^ Μ
Поэтому fug измеримы и
Χ Υ j,k
Это означает, что Ε ζ 3t, т. е. 3R -)f 3Ϊ ^ St.
Заметим, что 9R X 31 является σ-алгеброй, порожденной
алгеброй SR ■)£ 3Ϊ, и в силу теоремы 1.7.1 9ΚΧ3Ϊ совпадает с
минимальным монотонным классом, порожденным алгеброй 3R -)f 31. Поэтому
если покажем, что St — монотонный класс, то отсюда следует, что
9R Χ 3Ϊ с St, и тем самым теорема будет доказана.
Итак, остается доказать, что 31 — монотонный класс, т.е. что
если (Ef)JL\ — монотонная последовательность подмножеств St, то
и lim/j/^St. Пусть, например, задана неубывающая последова-
тельность Ег s E2 s ... ; Ej £ St. Покажем, что Е = 0 Ej £ St.
/=1
124

Положим fj(x) = v(EJx), gi(y) = VL(E4). Поскольку £/ζ31, το ff и
gl измеримы при всех / и
\fid\x = \gjdv (/ = 1, 2, ...)· (2.2)
Χ Υ
По теореме непрерывности
lim/,(χ) - limν(Ε,χ) = ν( U £/*) = v(((j £,),) = ν(Ex) = /(*).
/-00 /-*00 /=1 /=1
Аналогично limgj(y) = g(y) = p(Ey), и функции f и j измеримы
/-oo
как пределы измеримых функций. Поскольку последовательности
(//)/Li и (g/)/Li — неубывающие, то, воспользовавшись теоремой
Беппо Леви (теорема III.6.3) и перейдя к пределу в (2.2), получим
J /Φ = J gdv,
г. е. £х £ St. Аналогично доказывается, что 3t содержит предел не-
возрастающей последовательности множеств. При этом вместо
теоремы Беппо Леви следует воспользоваться результатом упр. III.6.4.
Таким образом, 3t — монотонный класс. ■
Теорема 2.2. Пусть (X, 9R, μ) и (Υ, 31, ν) — пространства
с конечными мерами. Тогда функция множеств λ, заданная на
множествах Ε £ 9R Χ 9Ϊ равенством
λ (Ε) = J ν (£,) <ίμ (χ) = J μ (£*) dv (г/), (2.3)
Χ У
является конечной мерой, причем для любого измеримого
прямоугольника А X В
λ (Л X 5) = μ (Л) ν (В). (2.4)
Условием (2.4) функция λ определяется однозначно.
Доказательство. Для доказательства того, что λ —
мера, достаточно установить счетную аддитивность функции λ
(конечность и неотрицательность λ и равенство λ(0) = Ο очевидны).
Пусть Ег, Е2, ... £ 3»Χ9Ϊ, Ε{ {] Ej = 0 {i Φ]'), тогда в силу
счетной аддитивности меры ν имеем
λ( U Еп) = Г ν(( ϋ Εη)χ)άμ(χ) = f v( U (Εη)χ)άμ(χ) =
/1=1 jJ /2=1 g /2=1
= ίΣν((£η)χ)φ(χ)·
Воспользовавшись следствием III.6.1 из теоремы Беппо Леви*
получаем
λ(裄) = 2 f ν «Я»)*) <*μ (*) = £>(£»).
"-1 η=1 Χ /1=1
125

т. е. функция λ счетно-аддитивна и поэтому является конечной
мерой.
Равенство (2.4) установлено в теореме 2.1. Покажем, что мера λ
определяется этим равенством однозначно. Пусть λ' — другая мера
на σ-алгебре 9R X 31, причем λ' (Л X В) = μ (Α) ν (В) для любого
измеримого прямоугольника А X В. Отсюда следует, что λ и λ'
совпадают на алгебре 9R ■)£ 3Ϊ, порожденной системой всех
измеримых прямоугольников. Тогда из теоремы 1.7.2 о единственности
минимального продолжения меры следует, что λ и λ' совпадают и на
Ж X 31. ■
Замечание 2.1. Нетрудно проверить, что теоремы 2.1 и 2.2
остаются справедливыми и в том случае, когда меры μ и ν являются σ-
конечными. В этом случае мера λ, определяемая равенством (2.3),
также σ-конечна. Доказать это предлагаем читателю
самостоятельно.
Определение 2.1. Пусть (X, 3R, μ) и (Υ, 31, ν)
—пространства о σ-конечными мерами. Мера λ, определяемая на о-алгебре
SR Χ 3Ϊ равенствами (2.3), называется произведением мер μ uv и
обозначается λ = μ X v. Пространство с мерой (Χ Χ Υ > 3R Χ 3Ϊ,
μΧν) называется прямым (декартовым) произведением про-
странств (X, 9R, μ) и (Υ, 3Ϊ, ν).
Пример 2.1. Пусть X = Υ = IR; т — мера Лебега на σ-алгебре 23 всех
борелевских подмножеств (R. Легко видеть, что в этом случае произведение
мер. m X т — это обычная плоская мера Лебега на множестве всех
борелевских подмножеств IR2 (см. § 1.11).
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Пусть (X, 9Л, μ)— измеримое пространство с σ-конечной мерой
μ, / : X -»■ IR — неотрицательная интегрируемая по μ функция, мера λ =
= μ χ т. Доказать, что λ (V* (/)) = λ (У* (/)) = \ / άμ, где множества 1/* (/)
χ
Vt(f) определены в упр. 1.8 (ср. упр. III.1.4, III.2.3, III.4.4).
2.2. В условиях упр. 2.1 доказать, что график Г (/) любой измеримой
функции имеет λ-меру, равную нулю.
2.3. Пусть μ, ν—дискретные меры на Χ, Υ соответственно. Описать
меру μ Χ ν.
2.4. Произведение двух полных мер может не быть полной мерой.
Доказать.
Указание: пусть X = У = [0,1], μ = ν = т. Рассмотреть
множество А X {у}, где А — неизмеримое по Лебегу подмножество [0,1].
2.5. Показать, что утверждение теоремы 2.1, вообще говоря, неверно,
если меры μ и ν не σ-конечны.
Указание: пусть X = Υ = [0, 1], Ш = П = 23 ([0,1]), μ = m, a
ν (В) равно числу точек множества В. Показать, что диагональ d квадрата
[0,1] X [0,1] — измеримое множество, для которого не выполняется
равенство (2.1).
§ 3. ТЕОРЕМА ФУБИНИ
Пусть (X, SR, μ) и (У, 3ϊ,ν) — пространства с σ-конечными
мерами. Тогда, как показано в предыдущем параграфе, на прямом
произведении пространств (X X Y, ЗК X 31) определена σ-конеч-
126

ная мера λ = μ Χ ν. Рассмотрим функцию h: Χ Χ Υ -»· IR, для
которой имеет смысл интеграл по мере μ Χ ν:
J/φ, υ)ά(μχν)(χ, y) = ^hdfaXv) (3.1)
ΧχΥ ΧχΥ
(например, h может быть измеримой неотрицательной или
суммируемой функцией). Интеграл (3.1) называют двойным.
Пусть теперь функция h такова, что для нее существует
интеграл f (χ) = f hx (у) dv (у) (здесь hx — сечение функции /ι), при-
у
чем интеграл Ϊ f (χ)άμ(χ) также имеет смысл. В этом случае по-
х
ложим
ί ίάμ = ί (ί h (*' У) dv Ц άμ {Χ) = ί ί Ηάνάμ· (3·2)
ΧΧΥ Χ Υ
Аналогично, если имеют смысл интеграл g(y)= f hy (χ) άμ (χ) и
χ
интеграл Г g (y) dv (у), то можно положить
у
J S (У) ^ (у) = { (J h {χ, у) άμ (χ)} dv (у) = J J Ηάμάν. (3.3)
Υ Υ Χ Υ Χ
Интегралы (3.2) и (3.3) называют повторными. Возникает
вопрос, при каких условиях имеет место равенство двойного и
повторных интегралов. Ответ на этот вопрос дают следующие две
теоремы.
Теорема 3.1 (Т о н е л л и). Если h = h (χ, у) — измеримая на
Χ Χ Υ неотрицательная функция, то
f ha (μ Χ ν) = f f Ηάνάμ = f f Ιιάμάν. (3.4)
ΧΧΥ Χ Υ Υ Χ
Доказательство. 1). Пусть h — индикатор измеримого
множества, h (χ, у) = 1е {х, у), где Ε ζ SR X 3Ϊ. Тогда
С Ad (μ Χ ν) = (μ Χ ν)(Ε).
ΧΧΥ
Кроме того,
J hdv = j χβ(*, y)dv(y) = J %Ex{y)dv(y) = v(Ex)
Υ Υ
и аналогично
f /ΐίίμ = μ(£,ί/).
χ
127

Поэтому из теоремы 2.2 и определения 2.1 получаем
J J hdvdy = J ν (£,) άμ {χ) - (μ Χ ν) (£),
# Υ Χ
J J Μμίίν = J μ (£*) dv (г/) ^ (μ Χ ν) (Ε).
Υ Χ Υ
Следовательно, равенство (3.4) в этом случае доказано
2). Пусть h — произвольная измеримая неотрицательная
функция. В силу теоремы II.5.2 существует неубывающая
последовательность неотрицательных простых измеримых функций (hn)Z=i,
сходящаяся к h в каждой точке. Поскольку простая функция —
это линейная комбинация индикаторов измеримых множеств, то для
каждой из функций hn утверждение теоремы имеет место. При этом
в силу теоремы Беппо Леви
lim Г Ηηά(μ Χ ν) = [ Ηά(μ Χ ν). (3.5)
Π-*· οο J J
χχγ χχυ
Вычислим левую часть этого равенства другим способом.
Поскольку для hn утверждение теоремы имеет место, то
J Μ(μ Χ ν) = J (J hndv) άμ = J ίηάμ, (3.6)
ΧΧΥ Χ Υ Χ
где
/п(*) = JM*> y)dv(y)
γ
— измеримые неотрицательные функции.
Поскольку последовательность (hn(xy y))Z=\ при каждом
фиксированном χ — неубывающая и функции hn(x, у) измеримы
относительно меры ν как сечения измеримых функций, то по теореме
Беппо Леви
limfn(x) = f(x)=[h(χ, у)dv(у) (Vx6Χ). (3.7)
Отсюда, в частности, следует измеримость функции /. Вновь
применив теорему Беппо Леви, получим
lim Г }ηάμ = f /ίίμ,
П-*· οο J J
Χ Χ
или, учитывая (3.6) и (3.7),
lim f hnd (μ Χ ν) = [ [ Ηάνάμ.
Π-*· οο ν 0 J
ΧΧΥ Χ Υ
Сравнивая последнее равенство с (3.5), получаем
f hd (μ χ ν) = f f Ηάνάμ.
χχγ χ γ
128

Аналогично доказывается, что
f /id(μ Χ ν) = f f Ηάμάν.
χχγ γ χ
Теорема 3.2 (Фубини). Если функция h суммируема на
Χ χ Υ, то почти все ее сечения суммируемы. При этом
функции fug, определяемые равенствами f(x)=^ [h (x, у) dv (у) и
γ
g(y) = f h (χ, у) άμ (χ), суммируемы и
χ
[ hd (μ Χ ν) = С f Ηάνάμ = f f /wfydv. (3.8)
ХХУ А" У УХ
Доказательство. Пусть /ι (я, у) > 0. Тогда равенство
(3.8) следует из предыдущей теоремы. Поскольку h суммируема,
то левая часть конечна, поэтому конечны оба повторных интеграла,
т. е. интегралы J fd\x и j gdv. Это означает, что функции / и g сум-
X У
мируемы и поэтому почти везде конечны. Но последнее как раз и
означает, что почти все сечения функции h суммируемы. Итак, для
неотрицательной функции теорема доказана.
Пусть теперь h — суммируемая функция любого знака. Тогда
ее можно представить в виде h = h+ — ft_, где /ι+ и /&_ —
неотрицательные функции, причем суммируемость h эквивалентна
суммируемости обеих функций А+ и /l. . Поскольку для h+ и Ъ>_ утверждения
теоремы имеют место, то они имеют место и для h. Ш
Замечание 3.1. Нетрудно показать, что теорема Фубини
справедлива и для комплекснозначных функций. Читателю предлагается
провести соответствующие рассуждения.
Замечание 3.2, Формулу (3.8) легко распространить и на тот
случай, когда двойной интеграл берется не по всему пространству
XxY, а по его измеримому подмножеству А. А именно, если h
суммируема на А, то почти все ее сечения суммируемы и имеет место
формула
С ω (μ Χ ν) = f \hdvdyi. = f fftifydv. (3.9)
A Χ Αχ Υ ЛУ
Эта формула аналогична формуле сведения двойного интеграла
Римана к повторному.
Действительно, суммируемость h на А означает суммируемость
функции h%A на XXY. Применив теорему Фубини, получим
j" Ы(μ Χ ν) = Γ Η%Αά(μ Χ ν) = [ ([ h%Adv\ άμ = f (f ftdvW.
Α ΧχΥ Χ Υ Χ Αχ
Второе равенство доказывается аналогично.
5 9-227
129

Замечание 3.3. Отметим, что условие суммируемости функции h
является существенным· из конечности и даже равенства повторных
интегралов не следует суммируемость функции. Об этом
свидетельствует следующий пример.
Пример 3.1. Пусть X = Υ = [—1, 1], μ = ν = т — мера Лебега. Рассмотрим
XII
функцию h(x, у) = , 2л_ υψ ПРИ (*» У) ^ (°» °)» Л(0, 0) = 0. Ясно, что при
любом фиксированном χζ[—1, 1] эта функция непрерывна по у, и поскольку
она нечетна, то
ι
(Х2 + у*)2йУ -U.
Следовательно,
и аналогично
Ы
ху
νι ^+У2)2
■ = 0
1 1
ху _
(*2 + ^2)2 О* = 0.
Вместе с тем функция h (χ, у) не является суммируемой на [—1, 1] X
X [—1» 1]. Действительно, если бы она была суммируема на этом квадрате,
то она была бы суммируема и на его части [0,1] X [0,1]. Но тогда по теореме
Фубини был бы конечен и повторный интеграл
ι ι
но это не так, поскольку
1
ί
ху ι_ χ
(*2 + У2)2 dy~~2x~~2 (χ2 + 1) '
а последняя функция не суммируема на [0, 1].
Отметим, что в рассмотренном примере повторные интегралы
равны, хотя функция и не суммируема. Следующий пример
показывает, что для несуммируемой функции повторные интегралы могут
быть конечными и неравными.
Пример 3.2. Пусть Х=К = [0, 1], μ = ν —мера Лебега, Рассмотрим
в квадрате [0, 1] X [0, 1] функцию
л2 —у2
Λ (Xt У) = (χ2 _!_ у2\2 ·
Поскольку
h(*· y)zi=FyU2 + У*) = ~~дх\х*+ у2)'
130

1
dx π
00 0
it 1
π
4 '
Таким образом, повторные интегралы не равны, хотя и конечны. Отсюда,
очевидно, следует, что функция не суммируема. Щ
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Если функции f (х) и g (у) суммируемы соответственно на X и К,
то функция h (xt y) — f (х) g (у) суммируема на Χ χ Υ и
С hd (μ Χ ν) = f / 4μ f gdv.
οο со
3.2. Доказать, что для двойного интеграла \ \ е~"ху sin x sin ydxdy cy-
0 0
ществуют и равны повторные интегралы. Существует ли двойной интеграл?
3.3. Положим
оо
/ (X, У) = J] (2 /1Х[2-Я| 2^п+1]х[2-л, 2-"+1] (*' ^ ""
Доказать, что повторные интегралы от /по [0, 1] X [0, 1] не совпадают.
3.4. Пусть Е, F—измеримые множества в Л" χ У такие, что ν (Ех) =
= ν (Fx) (mod μ). Доказать, что λ (Ε) = λ (F).
3.5. Пусть /:X->IR — измеримая функция. Доказать, что для любого
ρ > О справедливо равенство
оо
^\f\pdv(x)=^pf-lF(t)dt,
X о
где F(t) = v.({\f\>t}) (/>0).
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА МЕР
Построения предыдущих параграфов нетрудно распространить
на случай произведения конечного числа пространств с мерами.
Это проще всего сделать по индукции. Наметим соответствующие
рассуждения.
Пусть (Xit 3R,, μ,) (/ = 1, . . . > η)— пространства с σ-конеч-
ными мерами. Рассмотрим декартово произведение X = Хг χ
X · · · χ Χη и снабдим его структурой измеримого пространства.
Прямоугольником в X назовем множество вида Лх X · · · хАп, где
η
Αζ£$α(. Через Зй = 3^ χ · · · X 3R„ = X SR, обозначим σ-алгебру,
порожденную всеми такими прямоугольниками. Тем самым про-
5*
131

странство X наделено структурой измеримого пространства, его
естественно назвать прямым произведением данных пространств;
(X, Ж) = (Χν «χ) χ - · · χ (Χη, Ж„>.
Пользуясь методом математической индукции, нетрудно доказать,
что в измеримом пространстве (X, SR) можно единственным
образом ввести σ-конечную меру μ, которая на прямоугольниках
определяется равенством
μ(Α1Χ ... χΑά = μ1(Α1)...μη(Αη).
Эту меру называют прямым (декартовым) произведением мер μν
.. . , μη и обозначают μ = μχ Χ · · · Χ μη. Полученное
пространство с мерой (Ху 3R, μ) называют прямым произведением данных
пространств:
(X, Ж, μ> = (Хъ ©χ, μχ> X · · · X <Х„, Зйл, μ„> =
*= X (Х£, 3R,, μ,>.
Теорема Фубини также легко обобщается на рассматриваемый
случай, что позволяет заменить л-кратный интеграл (т. е. интеграл
по мере μ) любым из повторных интегралов.

ГЛАВА V. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР, ЗАРЯДОВ И ФУНКЦИЙ.
ТЕОРЕМА РАДОНА — НИКОДИМА.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ ЛЕБЕГА
Если функция / суммируема по мере μ, то согласно теореме III.5.4
заряд ρ (Ε) = J fd\i абсолютно непрерывен относительно меры μ. Здесь дается
Ε
более удобное, чем в главе III, определение абсолютной непрерывности и
доказывается важная теорема Радона — Никодима, согласно которой всякий
абсолютно непрерывный заряд может быть представлен в указанном виде.
Эта теорема позволяет ввести понятие производной Радона — Никодима
и при помощи этого понятия доказать теорему о замене переменной в
интеграле Лебега. С помощью теоремы Радона — Никодима легко доказывается и
теорема Лебега о представлении любого заряда в виде суммы абсолютно
непрерывного и сингулярного зарядов. Затем эти результаты применяются к
изучению функций ограниченной вариации.
§ 1. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ МЕРЫ
И ЗАРЯДЫ
С понятием абсолютной непрерывности функции множеств мы
уже встречались в главе III (определение III. 1.2). Напомним здесь
соответствующее определение.
Определение 1.1. Пусть (X, SR, μ) — пространство с мерой.
Мера (или заряд) р, определенная на множествах из 9R, называется
абсолютно непрерывной относительно меры μ, если
(νε>0)(Ηδ>0)(ν£65Κ):(μ(£)<δ)^(|ρ(£)|<ε). (1.1)
В главе III было показано (теорема 5.4), что если функция/
суммируема, то заряд р, определяемый формулой
ρ(Ε)~^(χ)άμ(χ) (Е£Щ, (1.2)
Ε
абсолютно непрерывен относительно меры μ.
В следующем параграфе будет доказана важная теорема
Радона — Никодима, согласно которой любой абсолютно непрерывный
заряд может быть задан формулой (1.2). Таким образом, формула
(1.2) дает общий вид всех абсолютно непрерывных относительно μ
зарядов.
Для дальнейшего нам потребуется другое определение
абсолютной непрерывности.
Определение 1.2. Мера (или заряд) ρ называется абсолютно
непрерывной относительно меры μ (ρ < μ), если
(ν£^):(μ(£)=0)=»(ρ(£) = 0). (1.3)
Упражнение 1.1. Пусть р+, р_ —соответственно положительная и
отрицательная вариации заряда ρ, ρ = р+ — р_ — разложение в смысле Жорда-
133

на (см. теорему 1:16.3). Показать, что ρ < μ тогда и только тогда, когда
р+ < μ и р.« μ.
Указание. Воспользоваться определением положительной и
отрицательной вариации заряда.
Теорема 1.1. Если ρ — конечная мера (или заряд), то
определения 1Л и 1.2 эквивалентны.
Доказательство. 1.1=* 1.2. Пусть ρ — абсолютно
непрерывна относительно μ в смысле определения 1.1 и пусть Ε ζ SR
и μ (Ε) = 0. Тогда при любом ε > 0 будет | ρ (Ε) | < ε (поскольку
μ {Ε) < δ) и, следовательно, ρ (Ε) = 0, т. е. р < μ в смысле
определения 1.2 (отметим, что здесь конечность ρ не требовалась).
1.2 =» 1.1. Пусть ρ <С μ в смысле определения 1.2. Тогда (см.
упр. 1.1) р+ <С μ и р_ <μΒ смысле этого определения. Поскольку
р+ ир. — конечные меры, то доказательство достаточно провести
для случая, когда ρ — конечная мера.
Допустим, что ρ не является абсолютно непрерывной в смысле
определения 1.1, т. е. (1.1) не выполняется. Значит найдется такое
ь0 > 0, что для любого δ > 0 существует такое множество Еь ζ SR,
что μ (£δ) < δ и в то же время ρ (Еь) > ε0.
Для любого натурального η положим δ == 2^п и ЛЛ=£,2-Л и
рассмотрим множество
/i=l k=n
Оценим μ (Л) и ρ (Л). Воспользовавшись счетной полуаддитивностью
меры, получаем
ОО 00
μίίΛ} < Σ μ(4*) < Σά=§U.
/г=л k=n
откуда в силу теоремы 1.6.3 (о непрерывности для пересечений)
имеем
μ(Α) = Ιίπιμ(ϋ Ak) = 0.
С другой стороны, в силу монотонности ρ
00
P(U Ak)>p(An)>s0,
поэтому в силу конечности ρ имеем в силу теоремы 1.6.3 (см.
также упражнение 1.10.1)
ОО
р(Л) = Птр(0 Ak)>e0,
и мы пришли к противоречию. ■
134

УПРАЖНЕНИЯ
1.2. Пусть μπν— две любые меры на измеримом пространстве (X, Ю1).
Доказать, что ν < μ + v.
1.3. Показать, что в теореме 1.1 нельзя отбросить условие конечности р.
Указание. Пусть X = №, Ш — система всех подмножеств №. Для
любого Ε s Ы положим
μ(Ζ?)=£ 2-", ρ (Ζ?) = £2".
п{Е п{Е
1.4. Доказать транзитивность отношения абсолютной непрерывности
мер: если λ < ν, ν < μ, то λ < μ.
1.5. Меры μ и ν называются эквивалентными (обозначение μ ~ ν), если
μ < ν и ν < μ. Доказать, что «~» является отношением эквивалентности.
1.6. Пусть (fn)n=t\ — последовательность измеримых функций. Если μ < ν,
то из сходимости fn —> / или fn->· / (mod ν) вытекает, что fn —> f или fn->
-*/(πκχ1μ), а обратное, вообще говоря, неверно. Доказать.
1.7. Пусть μ и ν — две дискретные меры на X. Найти необходимые и
достаточные условия того, что: а) μ < ν; б) μ ~ ν.
1.8. Обозначим через Wv (X) совокупность всех зарядов, абсолютно
непрерывных относительно меры v. Доказать, что Wv (X) — линейное
пространство яад полем IR.
1.9. Являются ли эквивалентными меры μ и μψ на [0, 1], порожденные
следующими неубывающими функциями: а) φ (χ) = χ, ψ (χ) — χ2] 6) φ (χ) =
= λ,ψ (χ) = ех\ в) φ (χ) = χ, ψ (χ) = [3α:]?
§ 2. ТЕОРЕМА РАДОНА — НИКОДИМА
Лемма 2.1. Пусть μ«τ — конечные меры на (X, 9R), причем
% <ξίμ и τ (X) > 0. Тогда существуют число в > 0 и множество
Τ ζ 3R такие у что μ (Τ) > 0 и множество Τ является
положительным относительно заряда τ — εμ.
Доказательство. Для любого натурального η рассмот-
1
рим заряд ωη = ъ — μ и пусть
X «= Хп+ [) Хп^
— разложение в смысле Хана относительно заряда ωη (см. § 1.16)
Положим
Л= U Хп+, В=П Хп„. (2.1)
/1—1 .п=1
Поскольку В^Хп^у то ω(β)<ί0 при любом /г, т. е. τ (В) χ
Χ μ (Β) <0, откуда
0<τ(β)<1μ(β).
Переходя к пределу при η ->■ оо, находим, что τ(Β)= 0. Поскольку
А = Х\В, то т (Л) > 0. Отсюда в силу абсолютной непрерывности
τ относительно μ следует, что μ (А) > 0. Но тогда из (2.1) следует,
что μ (Х„*)>0 хотя бы при одном п. Для этого значения η положим
Τ « Хп+, ε » - . в
135

Теорема 2.1 (Радона — Никодима). Пусть (Х,$Я, μ)—
пространство с а-конечной мерой. Если заряд р, заданный на 9R,
абсолютно непрерывен относительно μ, то на X существует конечная
суммируемая функция R (х) такая, что
9(Ε) = ^(χ)άμ(χ) (УЕ£Щ. (2.2)
Ε
При этом функция R определяется единственным образом е
точностью до ее значений на множестве нулевой меры μ.
Доказательство. 1). Докажем сначала единственность
функции R. Если имеются две суммируемые функции Rn Rt такие,
что
р(£) = ^(χ)άμ{χ), ρ(χ) = ^Λχ)άμ(χ) (VE £Щ,
Ε Ε
TO
^(R(x) — R1(x))dμ(x) = 0 (ΥΕζΜ).
Ε
Отсюда следует, что R (χ) — Rt (χ) = 0 (mod μ) (см. упр. III.5.3).
2). Поскольку любой заряд можно представить в виде разности
двух конечных мер, а для абсолютно непрерывного заряда эти меры
можно выбирать абсолютно непрерывными (см. упр. 1.1), то теорему
достаточно доказать лишь для того случая, когда ρ —
конечная мера. Этим случаем мы и ограничимся.
3) Докажем теорему сначала для случая конечной меры μ.
Обозначим через К множество (очевидно, непустое) всех
неотрицательных суммируемых по мере μ функций / j X->-IR, для которых
^ϊ(χ)άμ(χ)<ρ(Ε) (УЕ£Щ. (2.3)
Ε
Поскольку мера ρ конечна, то
а = sup Г /(χ)άμ(χ)<. + οο. (2.4)
Φ*
Покажем, что эта точная верхняя грань достигается, т. е. что
существует функция φ £ К, для которой
[φ(χ)άμ(χ) = α. (2.5)
χ
Из (2.4) следует, что существует последовательность (fn)Z=icz
g /С, для которой
lim С ίη(χ)άμ(χ) = α.
η—χ
Положим φη(χ) = max{f1(x)i ... , fn(x)}. Каждая из этих
функций измерима (см. теорему II.2.3) и неотрицательна. Покажем,
136

что φ„£/( (л=1, 2, . . .). Достаточно показать, что для этих
функций выполняется неравенство (2.3).
Положим
X1 = {xtX\<Pn(x) = h(x)),
XM = [x£X\(fn(x)=f,(x)}\Xi,
Χ„ = {χζΧ|φη(χ) = /„(Λ:)}\(Χ1υ ··· 0 *„~ι).
Тогда
Х = Х1ц ... и Ха, Xt П Xt = 0 (ίΦΙ).
Теперь для любого ££3R имеем
Е^Еги ■·· ϋ Еп (Ек = Ε П Xk, k = 1, ... , η),
откуда, учитывая, что φ„(χ) = fk(x) (Vx£Ek) и fk£K, получаем
^φη(χ)άμ(χ) = Λ£ί ^φη(χ)άμ(χ) = Τ?ί J fk(χ)άμ(χ) «S
Ε k=\ Ek k=\ Ek
<^p(Ek) = p(E)t
т. e. φη(χ)ζΚ (л « 1, 2, . ..).
Если положить φ0 (χ) = sup {/χ (χ), /2 (λ:), . . . }, то, поскольку
(Φη(*))/£=ι — неубывающая последовательность, φ0 (χ) = lim φ^ (χ)
(Υλ^Χ). Поэтому φ0 измерима и по теореме Беппо Леви
f φ0 (χ) άμ (χ) = lim f φη (α:) ίίμ (χ) < ρ (£), т.е. φ0 ζ /(. Отсюда, в
частности, следует, что φ0 суммируема.
Поскольку ер0£#, то
Г φ0 (χ) άμ (χ) < α. (2.6)
χ
С другой стороны,
J φ„ (*) Λμ (χ) > J /я (*) άμ (χ) (Vn g И),
χ χ
откуда, переходя к пределу при η -> оо, получаем
f ср0(л;)4Ф)>а. (2.7)
χ
Из (2.6) и (2.7) следует, что
f φ0 (α;) άμ (χ) = α.
χ
Поскольку φ0 суммируема, то она μ-почти везде конечна, т, е.
существует конечная функция φ такая, что φ = φ0 (mod μ) и имеет
137

место равенство (2.5). Таким образом, супремум в (2.4) достигается
на функции φ £ /(.
Покажем теперь, что
ρ(Ε) = ^<ρ(χ)άμ(χ) (¥££391). (2.8)
Ε
Этим будет завершено доказательство теоремы для случая
конечной меры μ. Рассмотрим на X меру т?, определяемую формулой
τ(£) = ρ(£) — ^φ(χ)άμ(χ) (Е£Щ.
Ε
Если допустить, что т (X) > 0, то по лемме 2.1 найдутся такие
е>0 и TgSR, что μ(Τ)>0 и множество Т является
положительным для заряда τ — εμ.
Рассмотрим функцию ψ = φ + е%т- Для любого ££ЗЙ имеем
С ψ (х) άμ (χ) = f ψ (я) 6?μ (α;) + С ψ (я) <ίμ (α;) =;
Ε Ε\Τ Ε ft Τ
= J φ(χ)άμ(χ) + Γ φ(Λ;)β?μ(Λ;) + εμ(£ П Τ). (2.9)
Я\Г Яр 7*
Поскольку Τ — положительное множество для τ — ζμ и Ε [\ Т&
sT, то τ(£ Π Τ1) — εμ(£ Π Τ) > О, или
ρ(£ П Γ)— J φ(χ)άμ(χ)-εμ(Ε (] Τ) > 0,
EftT
откуда
εμ(£ П Τ)+ J φ(^)ώμ(^)<ρ(β П Τ).
EftT
Теперь из (2.9), учитывая, что ср£/С, находим
[ψ(χ)άμ(χ)< [φ(χ)άμ{χ) + ρ(Ε Π Τ) <
<р(£\Г) + р(£пГ) = р(£),
т.е. ψ £ /(. Кроме того,
f ψ (α:) <ίμ (*) = f φ (x) άμ (χ) + εμ (Τ) = α + εμ (Τ) > α,
# χ
что противоречит определению α. Таким образом, τ ξ== 0, т. е. имеет
место (2.8), и для конечной меры μ теорема доказана.
4) Докажем теперь теорему для случая σ-конечной меры μ. По
определению σ-конечной меры существует последовательность
множеств
AxsA2s...9 μ{Αη)<°ο, Х= U Ап.
/г=1
138

По доказанному в п. 3) для каждого из множеств Ап существует
единственная неотрицательная суммируемая функция Rn, равная
нулю вне Ап и такая, что
ρ(Ε) = ^η(χ)άμ(χ) (ΕζΜ,Ε<=Αη).
Ε
При этом из единственности Rn следует, что Rn (χ)»Rn+l (χ)
(mod μ) в Ап9 и без ограничения общности можно считать, что
Rn (χ) = Rn+i (χ) всюду в Ап. Функции Rn(n = l, 2, . . .) образуют
неубывающую последовательность. Положив R(x) = limRn(x) и
At-*· οο
воспользовавшись теоремой о непрерывности и теоремой Беппо Ле-
ви, получим для любого множества E£$R
ρ (Ε) = limp(£ П Лп) = lim [ Rn(χ)άμ(χ) = [ϋ(χ)άμ(χ). Ш
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Пусть (X, 9Л, μ) — пространство с мерой, ρ (Ε) = \/#μ для любого
Ε
Ε € Xft. Показать, что
* = {/ > 0} и {/ < 0}
есть разложение в смысле Хана относительно р.
2.2. Показать, что теорема Радона — Никодима справедлива и в том
случае, когда ρ является σ-конечной мерой (в этом случае функция R может
оказаться несуммируемой).
2.3. Показать, что теорема Радона — Никодима верна и в том случае,
когда μ — заряд.
Указание. Пусть X = Х+ (J Х- — разложение в смысле Хана
относительно μ. Применить теорему Радона — Никодима отдельно к μ+ на Х+
и к μ_ на Х_.
2.4. В условиях упр. 1.7 в случае, когда μ < ν, найти функцию R из
равенства (2.2).
2.5. Пусть ω — заряд, ω+, ω_ — его положительная и отрицательная
вариации. Показать, что ω+ и ω_ абсолютно непрерывны как относительно
|ω |, так и относительно ω, так что в силу теоремы Радона — Никодима
ω± (Л) = J R± (χ) άω (χ) = J S± (χ) d | ω | (χ) (Α ζ Щ.
Α Α
Определить функции R±, S±.
2.6. Пусть flt /2—суммируемые относительно меры μ функции. Положим
ω, (Λ) = \ f. (χ) άμ(χ) (i = 1, 2). Указать условия на fb /2, необходимые и
А
достаточные для того, чтобы: а) ω1 < ω2; б) ωχ ~ ω2.
2.7. Пусть (X, 9Л, μ) — пространство с σ-конечной мерой, Ш( —σ
-подалгебра ЯЛ. Доказать, что для любой 9Л-измеримой функции /, суммируемой
относительно μ, существует единственная (mod μ) ЗЛ'-измеримая функция gt
суммируемая относительно μ и такая, что (V^€^0: 1 g (χ) άμ (χ) = \ f (χ) Χ
Α Α
Χάμ(χ). Функция g называется условным средним функции f относительно
σ-подалгебры 3R' (в теории вероятностей — условным математическим
ожиданием) и обозначается Μ (/ | $Г) = g,
139

2.8. Доказать следующие свойства условного среднего:
а) М(/|Ж) = /;
б) если W = {0, X}, то Μ (/1 9R') = f /(χ) άμ (χ);
χ
в) если h — 3R-измеримая, суммируемая относительно μ функция, то
Μ(Λ|^') = Λ;
г) если h — 3R'-измеримая, ограниченная функция, то Μ (hf | 9R') =а
= ЛМ(/| SRf);
д) если / > 0 (mod μ), то Μ (/ | Ш') > 0 (mod μ);
е) JM(/|3R,)^< jl/Μμ;
ж) если 9R" — σ-подалгебра Ж', то М(/| Ж") = М(М(/| SR') | Ж") =
= М(М(/|Ж")| Ж');
з) если φ : (R-> IR — непрерывная выпуклая вниз функция, то для
любой суммируемой относительно μ функции / из суммируемости φ (/) следует
суммируемость φ(Μ(/|$Κ)), при этом выполняется неравенство Иенсека
Μ (φ (/) I 3R') > φ (Μ (/ | 3R')) (mod μ).
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ РАДОН Α — НИКОДИМА.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ ЛЕБЕГА
Пусть (X, 3R, μ) — пространство с σ-конечной мерой и ρ (£) =
= \ /ф для любого Ε ζ 9R, тогда совершенно естественно ввести
Ε
обозначение
/ = ф. <*Р = М»· (зл)
При этом функцию / называют производной Радона — Никодима
заряда (меры) ρ по мере μ.
Обозначения (3.1) оказываются весьма удобными, поскольку
основные правила дифференцирования функций справедливы и для
производных Радона—Никодима. В некоторых случаях такое
обобщение тривиально, как, например,
άμ г άμ ' 2 άμ
доказательство других требует определенных усилий. Здесь будут
доказаны правило дифференцирования сложной функции и
формула замены переменной в интеграле Лебега (точнее, формула «замены
меры»).
Теорема 3.1. Пусть на измеримом пространстве (Ху 3R)
заданы конечные меры λ и μ и заряд р, причем μ <§С λ и ρ <k μ. Тогда
Доказательство. Записав разложение в смысле Жордана,
мы видим, что достаточно доказать теорему для того случая, ког-
140

да ρ — конечная мера. Положим ^ = /, -тт = g. Поскольку
J/^ = p(£)>0 (V££3R),
Ε
то / > О (mod μ). Изменив в случае необходимости значения / на
множестве нулевой меры μ, можем считать, что / > О всюду в X.
Точно так же и g > 0 в X.
В силу теоремы II.5.2 существует неубывающая
последовательность (fn)n=i неотрицательных простых измеримых функций,
сходящаяся к / в каждой точке X. Тогда \im fng = fg и по тео-
реме Беппо Леви имеем для любого Εζ$Ά
lim Г {ηάμ = Γ ίάμ, Urn [ fngdX = f fgdX. (3.3)
П—Е Б " Ε Е
Пусть теперь А — любое измеримое множество, %а — его
индикатор. Тогда
J 1Αάμ = μ(£ Q A)= j gdk = ^ %Agd%,
Ε EftA Ε
поэтому и для любой простой измеримой функции имеет место
аналогичное равенство:
\fnd\x = \ingdb (/2=1, 2, ...).
Ε Ε
Но тогда из равенств (3.3) следует, что
9(Ε) = ^άμ = ^§άλ (V££3R),
Ε Ε
dp с dp άμ
Τ· e· d% ~~ iS ~~ Τμ * dX * "
Теорема 3.2. Пусть λ, μ —конечные меры, причем μ<λ
и f — конечная суммируемая по мере μ функция. Тогда
χ χ
Доказательство. Введем в рассмотрение заряд ρ по
формуле
ρ(Ε) = ^άμ (ΕζΜ).
Тогда по теореме 3.1
dp dp άμ ? άμ
dk ~~ Έμ ' Ίλ ~ * ~d\ '
141

откуда
p(^)=j/;
для любого множества ££3R, в частности для Е = Х. ■
Замечание 3.1. Естественность понятия производной Радона —
Никодима и обозначения (3.1) становятся яснее, если рассмотреть
одномерный случай. Пусть X = [а, 6), 5Й= 35 ([а, 6)) и на (X* 3R)
заданы конечная мера μ и заряд ρ <^ μ. Тогда
р(£) = ^(χ)άμ(χ) (УЕ£Щ.
Пусть, в частности, /— непрерывная функция, Ε = [α, β). Тогда
ρ([α. β)) = ί/(*)^μ(*) = ^μ([α, β)),
[α,β)
где ξ ζ [α, β), откуда
f/tx _ Ρ ([<*> β))
'^-μ([α, β))·
Если теперь полуинтервал [α, β) стягивается к точке х £[α, b), то
ξ-^χ, и мы получаем
Можно показать, что б общем случае, когда функция f суммируе*
мау предельное соотношение (3.5) выполняется μ-почти везде.
Равенство (3.5) объясняет естественность обозначения / = —-.
Отметим, что соотношение (3.5) непосредственно не обобщается
на /г-мерный случай.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Показать, что теоремы 3.1 и 3.2 справедливы и в том случае, когда
меры λ и μ являются σ-конечными.
3.2. Пусть σ-конечные меры λ и μ таковы, что λ «< μ и μ < λ. Показать,
что тогда
άμ __ ίάλΥ1
d% - \άμ) *
3.3. Пусть μ, ρ — конечные меры и р < μ. Показать, что тогда
>-»})=«■
3.4. Пусть μ^, ν^ — конечные меры на (Xk, Шк) такие, что μ^ < vk, k =
= 1, ... у п. Рассмотрим на (Хг χ ... χ Хп, Щ χ ·.· χ Шп) меры μ =
= μ1 Χ · · · Χ μ„, ν = νχ Χ ... Χ νη. Доказать, что μ < ν и άμ/dv (xlf ...
η
....*л) = πrf*vdv*(**)·
142
ρ И*

3.5. Пусть μ«ν и / — производная Радона — Ыикодима меры μ
относительно μ + v. Доказать, что 0 <: / < 1 (mod ν) и άμ/dy = / (1 — f)'1 (mod v).
3.6. Пусть μ0, μχ, μ2 — конечные меры на (X, ЗЛ). Обозначим через /,
fit /2 производные Радона — Никодима меры μ0 относительно μ0 + μχ + μ2>
Μό + μι» Μό + Μ-2 соответственно. Доказать, что (μ0 + μ1 + μ2)-πο4τπ всюду
f Μ = /ι Μ h W (/1 Μ + f% Μ - /1 (*) /ι Μ), если h (χ) /2(^0и/ (*) = О,
если /ι (α:) = /2 (а:) = 0.
3.7. Пусть (μΙί)^=ί— последовательность конечных мер на (X, ЗЛ) таких,
что: а) £ μ^ (χ) < оо; б) (Ην): μΗ < ν (£ = 1, 2, ., .)· Положим μ/ζ = £ μ^,
fc=l _ _ 6=1
Л - Φι. Ф-Л , , ν
μ = Σ 1**· Доказать, что μ < ν и τ·=1ιηι -τ- (mod v)·
§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ С МЕРОЙ.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ ЛЕБЕГА
(ДРУГОЙ ПОДХОД)
Пусть X и Υ — некоторые множества и задано отображение
φ: X -> Υ. Дополнительно предположим, что Υ снабжено
структурой пространства с мерой: Υ = (К, 9Ϊ, ν). Покажем, что тогда
X также можно наделить аналогичной структурой, причем так, что
отображение φ окажется измеримым (см. определение II. 1.1).
Покажем сначала, как в X вводится структура измеримого
пространства. Положим
3» = {φ-χ (/0 1 /^ £ SW}
и покажем, что Ж является σ-алгеброй.
Действительно, Γζ3ϊ, поэтому Χ=φ-1(7)£3Κ. Пусть, далее,
Εζ$Ά. Это означает, что Ε = φ"1^), где F£9Ϊ. Но тогда и f £9Ϊ
и поэтому (ср. §11.1)
έ = φ-4;^) = φ-1(^)6^.
Пусть, наконец, E££$R(i =* I, 2, ...). Это означает, что £* =*
= ср~1(Л), где /7ίζ31(ί = 1, 2, ...). Поскольку 91 является σ-ал-
оо
геброй, то U Τ7/ ζ 91. Но тогда (ср. §11. 1)
ί=1
UEi= 5 Ф"1(/?0 = Ф"1( ϋ WSR,
т. е. 9R является σ-алгеброй, а (X, SR) — измеримым
пространством. Вместе с тем при таком способе определения σ-алгебры 9R
отображение φ оказывается измеримым (т. е. прообраз любого
измеримого множества измерим).
Введем в (X, SR) меру μ. Если Εζ$Ά, то Ε = φ_1(^)> где
F £ 9Ϊ. При этом φ (£) = φ (φ"1 {F)) = F. Положим теперь μ (£)=
= ν (F), т. е.
μ (Я) = ν (φ (£)), или V (F) - μ (φ"1 (F)).
143

В связи с таким определением естественно ввести обозначение μ =
= νφ. Покажем, что μ — мера. Достаточно проверить, что μ счетно
аддитивна. Пусть £,· £ 9R (/=1,2,.. .), причем Е,- Q Е(= 0 (/ φ ί).
Тогда и φ(£/) Π φ (£*)== 0 (/=И=0> и в СИЛУ счетной
аддитивности ν получаем
ОО 00 00 °° °°
μ( U Ει) = ν(φ( U £,)) = v( U Φ(£ί)) = Σ ν (φ (£,))= Σ μ(£().
ί=1 г=1 г=1 t=l г=1
Итак, μ — мера; ее называют отображением меры v. Легко видеть,
что если ν конечна (σ-конечна), то и μ конечна (σ-конечна). Таким
образом, множество X наделено структурой пространства с мерой:
Χ=<Χ,3»,μ>.
Пусть теперь задана произвольная вещественнозначная функция
g: Υ -> IR. Эта функция естественным образом порождает функцию
/: X ->■ IR, которую мы определим для любого χ ζ Χ формулой
/(*) = £(Ф(*))
и обозначим f = gcp.
Теорема 4.1. Если функция g \ Υ -» IR измерима относительно
σ-алгебры 9Ϊ, то функция f = gcp измерима относительно о-ал-
гебры $$.
Доказательство. Для доказательства достаточно
убедиться в том, что для любого α ζ IR имеет место равенство
A^{x\(g^)(x)<a}=^1({y\g(y)<a}) = B.
Пусть χ0ζΑ. Это равносильно тому, что g (φ (χ0)) <α, или
g (ί/ο) <α> где г/0 = φ (χ0). Но последнее как раз и означает, что
φ (*о) £{y\g(y)< «}» т. е. *0 £ 5. ■ _
Теорема 4.2. Если функция g \ Υ -> IR суммируема по мере ν,
mo имеет место формула замены переменной:
$ g (ί/) dv (ί/) = J g (φ (*)) d (νφ) (*). (4.1)
У Χ
Доказательство достаточно провести для случая
неотрицательной функции g. Пусть вначале g = %F — индикатор
множества F£iR.Tor№g{q)(x)) = XF(y(x)) = χφ_1(/?) (я), и в этом случае
J S (У) dv (у) - 5 If (У) dv (у) = ν (F) = (νφ) (φ"1 (F)) =
У У
= J Χφ-w (*) d (V(P) (*) = ί ff (Φ (*))d (νΦ) (*)·
Равенство (4.1) установлено. Отсюда следует, что равенство
имеет место и для простых измеримых функций.
Пусть теперь g (у) — неотрицательная суммируемая функция,
(gn (У))п=\ — неубывающая последовательность неотрицательных
простых измеримых функций, сходящаяся к g(y) в каждой точке.
144

Тогда, очевидно, последовательность (gn (φ (#)))~=ι — также
неубывающая последовательность неотрицательных простых измеримых
функций, сходящаяся в каждой точке к g(y{x)). Поскольку
J 8п (У) dv (у) = J gn (φ (χ)) d (νφ) (χ) (/2=1,2,.. .),
Υ Г
то, переходя в этом равенстве к пределу и воспользовавшись
теоремой Беппо Леви, получим требуемое равенство (4.1). ■
Следствие 4.1. Если задано любое множество F £ SR, то, заменив
в формуле (4.1) функцию g на If g, мы получим формулу замены
переменной в интеграле по любому измеримому множеству;
$ g (У) dv (у) = J g (φ (χ)) d (νφ) (χ).
Ε φ-ЦЕ)
Замечание 4.1. Пусть (Χ, 9R, μ) — пространство с мерой и
задано отображение φ · X -> Υ. Тогда, подобно предыдущему, можно
наделить Υ структурой пространства с мерой. Положим 9Ϊ =
= {F cz Υ |φ_1 (F) ζ Щ. Ясно, что 3Ϊ является σ-кольцом (σ-алгеб-
рой, если φ(Χ) =Υ)· Как и выше, легко проверяется, что
функция множеств ν на (φ (X), 31), заданная равенством ν (F) =
= μ (φ-1 (F)) (F ζ 9Ϊ), является мерой. Меру ν называют образом
меры μ при отображении φ и обозначают ν = μφ"1.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Пусть X — Υ = RNу μ = т. Определить /жр"1, если отображение φ
имеет следующий вид: а) φ (χ) = Lx + с, где L — невырожденное линейное
преобразование IR^, с — фиксированный элемент !R^ ; б) φ — взаимно
однозначное отображение класса С1 (\RN) с отличным от нуля якобианом.
4.2. Пусть φ — измеримое отображение пространства с мерой (X, 9Л, μ)
в пространство с мерой (7, ft, v) такое, что μφ"1 < v. Доказать, что
существует неотрицательная измеримая функция h на Υ такая, что I g (φ (χ)) χ
x
Χ άμ(χ) = \ g (у) h (у) dv (у) для любой измеримой функции g в том смысле,
У
что из существования одного из этих интегралов вытекает существование
другого и оба интеграла равны.
4.3. Если φ — измеримое отображение пространства (X, 9Л) в пространство
(К, 91) и меры μ и ν на (X, 9Л) таковы, что μ < ν (μ ~ ν), то μφ"1 < νφ-1
(μφ-1 ~ νφ"1). Доказать.
4.4. Пусть φ : Χ -> Χ — измеримое отображение пространства с мерой
(X, 9Л, μ). Если μφ"1 = μ, то мера μ называется φ-инвариантной, а φ —
сохраняющим меру μ преобразованием. Если μ — φ-инвариантная мера, то для
любой суммируемой относительно μ функции / справедливо равенство \ /(ср(л:))Х
X
X ф W = / (х) ф (х). Доказать.
х
4.5. Пусть μ—σ-конечная мера на (IR^, 23 (IR^)), инвариантная относительно
любого сдвига х\-*х-\-у на у g IR^. Доказать, что5 а) (V* 6 IR^) * μ ({*}) = 0;
145

б) если μ (IR^) > 0, то мера μ любого шара положительна; в) мера μ любого
компакта конечна.
4.6. Мера μ на (X, УП) называется φ-квазиинвариантной, если μφ""1 <С μ.
Доказать, что: а) φ-инвариантная мера является и φ-квазиинвариантной;
б) мера, эквивалентная φ-инвариантной, является φ-квазиинвариантной;
в) эквивалентные меры одновременно являются или не являются φ-квазиин-
вариантными; г) утверждение упр. 4.5 верно для меры, квазиинвариантной
относительно сдвига на любой элемент из \RN.
§ 5. СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР И ЗАРЯДОВ.
РАЗЛОЖЕНИЕ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА
Пусть ρ — произвольный заряд (или мера) на измеримом
пространстве (X, ЗК>.
Определение 5.1. Говорят, что заряд ρ сосредоточен на
множестве Α £ 3R, если
р(£) = р(£П Α) (ΥΕζΜ).
Определение 5.2. Пусть на пространстве с мерой (X, 9R, μ)
задан заряд р. Говорят , что заряд ρ сингулярен относительно меры
μ (ρ JL μ), если он сосредоточен на множестве нулевой меры μ, т. е.
(H46SR)(V£6»)ip(S) = p(£ QA)h»(A)**0.
Пример 5.1. Пусть X = [а, Ь), μ — мера Лебега на системе 33 ([а, Ь))
борелевских множеств; ρ — дискретная мера, сосредоточенная на конечном
или счетном множестве A cz [α, b). Тогда μ (Α) = 0, т. е. ρ _]_ μ.
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Пусть ρ, μ —две меры, заданные на измеримом пространстве (X, 9Л).
Докажите, что: а) если р]_1_ μ и ρ сосредоточена на Л, то μ сосредоточена
на А = X \ Л; б) если ρ ι μ, то μ 1 p.
5.2. Если заряд р и сингулярен, и абсолютно непрерывен относительно
меры μ, то ρ = 0. Доказать.
5.3. Доказать, что если рх _]_ μ, р2 i. μ, то рА + р2 1 μ.
Теорема 5.1 (Лебега). Пусть на измеримом пространстве
(X, 9К> заданы конечная мера μ и заряд р. Тогда этот заряд ρ
можно всегда представить, причем единственным образом, в виде
Ρ = Ρα + psi где ра < μ, ps ± μ. (5.1)
Доказательство. 1). Докажем сначала единственность
представления (5.1). Предположим, что имеется еще одно такое
представление:
Ρ = ρά + Ps (pa <С μ, ps JL μ).
Тогда ρα + ps = pi + pi, откуда ρα — pi = ps — ps. Отсюда видно,
что заряд ω = ра — pi = Ps — ps одновременно и абсолютно
непрерывен, и сингулярен относительно μ, поэтому ω = 0 (см. упр. 5.2),
и единственность доказана.
2). Поскольку заряд ρ можно представить в виде разности двух
конечных мер, ρ = ρ* — Ρ- , то доказательство возможности пред-
146

ставления заряда в форме (5.1) достаточно провести для того случая,
когда ρ — конечная мера.
Итак, пусть μ и ρ — конечные меры; введем в рассмотрение меру
τ = ρ + μ. Очевидно, ρ < τ, поэтому по теореме Радона — Нико-
дима существует такая неотрицательная суммируемая по мере τ
функция R, что
p(E) = ^R(x)dx{x) (V££3R).
Ε
Поскольку для любого Ε £ 9R
J (1 -R(x))dx(x) = %(E)-p(E) = μ(Ε) > О,
Ε
то R (%) < 1 (mod τ). Изменив в случае необходимости значение
R (х) на множестве меры нуль, можно считать, что R (х) < 1 при
всех χ £ Χ.
Рассмотрим множество
A = {x£X\R(x) = l)
и для любого Εζ$51 положим
р5(£) = р(£П4
Покажем, что мера ps сингулярна относительно μ. Действительно,
для любого Εζύ
ps(£fl Л) = р((£[) Л) Π А)-р(Е Q Л) = рД£),
т. е. мера ps сосредоточена на Л. Кроме того,
р(Л) = { R (χ) dx(x) = J dx(χ) = χ(Α) = ρ(Α) + μ(Α),
Α Α
поэтому μ (Α) = О, т. e. ps JL μ.
Рассмотрим теперь меру ра, определенную для любого ££5Я
формулой
ра(Е) = р(Е {] А).
Поскольку
ps(E) + ра(Е) = Р(£пЛ) + р(£0 А) = р(Е),
то ρ = ps + ρα, и остается показать, что ра < μ.
Пусть μ (Ε) = 0. Надо доказать, что ρα (Ε) = 0. Поскольку
J (l-R{x))dx{x) = x(E (] А)-р(Е П Α) = μ(Ε П Л) = 0,
еП а
а 1 — R(x) > 0, то τ{Ε f) Л) = 0. Но тогда
ра(Е) = р(Е (] Α) = τ(Ε [] Α)-μ(Ε Л Л) = 0,
т. е. ρα<μ. ■
147

УПРАЖНЕНИЯ
5.4. Показать, что теорема 5.1 верна и в том случае, когда мера μ
является σ-конечной, а также и тогда, когда ρ и μ являются σ-конечными мерами.
5.5. Пусть ω—заряд, ω+, ω_ — его положительная и отрицательная
вариации. Доказать, что ω+ j_ ω_. Справедливо ли это утверждение для
произвольного разложения заряда ω в разность двух мер?
5.6. В условиях упр. 2.6 указать необходимые и достаточные условия
сингулярности зарядов ωχ и ω2.
5.7. В условиях упр. 4.3 показать, что из μ J_ v, вообще говоря, не
следует μφ""1 JL νφ"3·.
5.8. Пусть (μ^)^=ι—последовательность конечных мер на (X, ЗЛ) таких,
что μ;· J_ \ik (/ Φ k). Построить последовательность (Ап)™=1 попарно
непересекающихся множеств из Ш такую, что (Υηζ Ы): μη сосредоточена на Ап. До-
оо
казать, что μ = J] μ^ —конечная мера на (X, 9Л).
§ 6. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
Теорема 6.1. Для функции f · [a, b] ->· IR следующие три
условия эквивалентны.
A. Для любого г > О найдется такое δ >0, что для любой
конечной системы попарно не пересекающихся интервалов (ak, bk)
(k = 1, 2, ..., /г), для которой
Σ(&α —яа)<8. (6.1)
k=\
имеет место неравенство
t\f(bk)-f(ak)\<e. (6.2)
Б. Для любого е>0 найдется такое δ>0, что для любой
счетной системы попарно не пересекающихся интервалов (а^ bk)
(k=l9 2, .. .), для которой
00
%(bk-ak)<d, (6.3)
k=l
выполняется неравенство
t\f(bk)-f(a„)\<s. (6.4)
B. Для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любой
конечной системы попарно не пересекающихся интервалов (ak> bk) (k =
= 1,2, .., η), для которой выполняется (6.1), имеет место
неравенство
t(f(bk)-f(ak))\<*.
148

Доказательство проведем по схеме В «=► А <=»■ Б.
Поскольку импликации А =* В и Б =* А тривиальны, то остается
проверить две импликации.
А =» Б. Пусть выполнено условие А. Зададим произвольное ε >
> 0 и найдем такое δ > 0, чтобы из (6.1) следовало
η
Σΐ/(6*)-/(α*)Ι<1· (6·5)
Пусть теперь для счетной системы попарно не пересекающихся
интервалов (ak, bk) (k = 1,2,...) имеет место (6.3), тогда при любом η
выполнено неравенство (6.1) и, следовательно, имеет место (6.5) при
любом η ζ Щ. Перейдя к пределу при η -> оо, получим
Ц|/(ы-/ы1
В =» А. Пусть выполнено условие В. Возьмем произвольное
е > 0 и найдем такое δ > О, чтобы из (6.1) следовало
ΙΣ (/(**)-/(**))
ft=l
<l
Покажем, что тогда выполняется и неравенство (6.2).
Действительно, обозначим знаком Σ' сумму тех членов, для которых / (bk) —
— / (ak) > 0, а знаком Σ" — сумму тех членов, для которых / (bk) —
— f(ak)<0. Тогда
^\f(bk)-f(ak)\=^\f(bk)-f(ak)\ + ^\f(bk)-f(ak)\ =
= |2'(/(&*)-/(a*))| + |Z'(f(ft*)-f(a»))|<| + J-e,
т. е. выполняется условие А. ■
Определение 6.1. Функцию f: [я, b] ->- IR называют абсолютно
непрерывной, если она удовлетворяет любому из условий А, Б, В,
сформулированных в теореме 6.1.
Упражнение 6.1. Показать, что если функция / : [at b] -> 0?
удовлетворяет условию Липшица
I fbi)- f (*а) \<К\хг-Хг\ (V*i, *а6 R).
то она абсолютно непрерывна. В частности, если / имеет на [а, Ь]
ограниченную производную, то она абсолютно непрерывна.
Теорема 6,2. Если функция абсолютно непрерывна на отрезке,
то она на этом отрезке равномерно непрерывна.
Доказательство. Достаточно записать условие А для
п = 1.И
149

Теорема 6.3. Всякая абсолютно непрерывная функция является
функцией ограниченной вариации.
Доказательство. Пусть функция /! [a, b] ->■ IR
абсолютно непрерывна. В условии А положим ε = 1 и найдем
соответствующее δ. Разобьем отрезок [а, Ь] точками а = а0 <ах <я2 < ... <
<Caw-i <а# = 6 на Af частичных отрезков так, чтобы выполнялось
условие α/_μ — щ < δ (/ = 0, 1, ..., N — 1), и зафиксируем это
разбиение.
Пусть теперь α;· = х0 < хг < . .. < χη_ι <.Хп = я/-н —
произвольное разбиение отрезка [α;·, α/+ι]. Тогда
/г—1
Σ (Xjfe+i — Xk) = Я/+1 — A/ < β
fc=0
и, следовательно,
ΛΣΙΝ**+ι)-/(*α)Ι<ι.
fc=0
Перейдя в этом неравенстве к точной верхней грани, получим
(см. §1.17)
V(/; [α7, α/+ι])<1 (/ = 0, 1,..., Ν),
откуда
V(/; К 6]) = Σ V(/; [ah аж]) < tf. ■
/=о
Теорема 6.4. Пусть /, g — абсолютно непрерывные на [ауЬ]
функции, с = const. Тогда абсолютно непрерывны на [а, Ь] и функции
f =t gr, /gr, с/, -L (последняя — /г/ш дополнительном условии g (χ) Φθ).
S
Доказательство. Докажем абсолютную непрерывность
произведения fg. Остальные утверждения предлагаем читателю
доказать самостоятельно.
Поскольку fug абсолютно непрерывны на [а, 61, то они
непрерывны и поэтому ограничены на [а, 6]. Пусть [/ {х)\ < A,\g {x)\ < В
на [а, Ы. Тогда
\f(bk)g(bk)-f(ak)g(ak)\<\f{bk)\ -\g(bk)-g(ak)\ +
+ \g(dk)\<\f(bk)-f(ak)\^A\g(bk)-g(ak)\+B\f(bk)-f(ak)U
откуда и следует абсолютная непрерывность fg. ■
УПРАЖНЕНИЯ
6.2. Доказать, что: а) если / — абсолютно непрерывная функция, то
функция |/| абсолютно непрерывна; б) если / непрерывна на [а, Ь], а |/|
абсолютно непрерывна на [а, Ь], то / абсолютно непрерывна.
6.3. Пусть на отрезке [а, Ь] задана последовательность (fn)^L\ неубываю·
оо
щих абсолютно непрерывных функций. Доказать, что если ряд 2J fk(x) cxo"
150

дится для всех χ ζ [a, b\ и / (χ) — его сумма, то функция / абсолютно
непрерывна.
6.4. Пусть функция / абсолютно непрерывна на [а, Ь], а функция φ : IR-*
-> IR удовлетворяет условию Липшица. Доказать, что функция φ (/)
абсолютно непрерывна на [а, Ь].
6.5. Пусть функция φ : IR -> IR такова, что для каждой абсолютно
непрерывной на [а, Ь] функции / функция φ (/) абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Доказать, что φ удовлетворяет условию Липшица.
6.6. Пусть / : [a, b] -> \R такова, что для каждого ε > 0 найдется такое
δ > 0, что для произвольного набора интервалов (ait bt) cz[a,b], i = 1, ..., η
(а не только для попарно непересекающихся, как в определении абсолютной
η
непрерывности), для которых Σ (Ь{ — а{) < б, справедливо неравенство
η
Σ \ί Φι) — /(a/)|<e· Доказать, что / удовлетворяет на [а, Ь] условию
1=1
Липшица.
6.7. Пусть f:[a, 6]-*IR такова, что для произвольной счетной системы
оо
интервалов (а{, Ь{) с: [a, b], i = 1, 2, . . . , такой, что Σ (bi — fl^X ©°, ряд
оо
Σ (/ №i)~~~ / (ai)) сходится. Доказать, что / удовлетворяет на [а, Ь] условию
Липшица.
§ 7. СВЯЗЬ АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
С ЗАРЯДАМИ
Лемма 7.1. Если функция f абсолютно непрерывна на [a, 6J, то
и функция φ (х) = V (/; [а, х]) также абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Доказательство. Поскольку φ — неубывающая на
[а, Ь] функция, то в соответствии с определением 6.1 (условие А)
достаточно показать, что для любого ε > 0 найдется такое δ > О,
что для любой системы попарно не пересекающихся интервалов
(akf bk) (k = 1, ..., η), удовлетворяющей условию
η
Σ {bk — ak) < δ,
ft=l
выполняется неравенство
η
Σ (φ(б*) — φ(α*))<β,
ft=l
т. е. неравенство
Σν(/; [Ok, bk})<&. (7.1)
ft=l
Возьмем произвольное ε>0. Поскольку / абсолютно
непрерывна, то найдется такое δ>0, что из (6.1) будет следовать (6.2).
Рассмотрим произвольные разбиения каждого из отрезков [ak, bk]
на конечное число частей:
ak = Xq < Xl < . . . < Xmk-\ < xmk = bft·
151

Поскольку при этом
тх тп η
Σ (x)-xU) +... + Σ W—4-ύ = Σ (bk-ak)<6,
то благодаря выбору числа δ получим
Σι/(4)-/(^ι)Ι+..· + Σι/(^/)-/(^ι)ι<8.
/=L /=1
Перейдя в последнем неравенстве к точной верхней грани по
всевозможным разбиениям отрезков [ak, bk], получим требуемое
неравенство (7.1). ■
Пусть / : [a, b] -> IR — функция ограниченной вариации. В
§ 1.17 было показано, что любой функции ограниченной вариации
можно сопоставить некоторый заряд. Обозначим его через ω/.
Теорема 7.1. Пусть f: [a> b] -> IR — функция ограниченной
вариации, ω/ —соответствующий заряд. Для того чтобы функция f
была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы
заряд (Of был абсолютно непрерывен относительно меры Лебега т на
\а, Я
Доказательство. 1). Докажем теорему вначале для
неубывающей функции. Пусть φ (χ) — заданная на [а9Ь]
неубывающая, ограниченная, непрерывная слева функция, μφ —
соответствующая ей мера Лебега— Стилтьеса (см. § 1.14). Мера μφ
определена на измеримом пространстве(X, SR), где X = [a, b)> a σ-алгеб-
ра 3R = 25 ([а, Ь)) — система борелевских подмножеств [а, Ь). Эта
σ-алгебра порождена алгеброй 9Ϊ всех конечных объединений
попарно не пересекающихся полуинтервалов. При этом на множествах
из 9ϊ мера μφ определяется равенством:
η »
μφ ( U [ak9 bk)) = 2j (φ (bk) — φ (α*)).
Покажем, что функция φ абсолютно непрерывна тогда и только
тогда, когда μφ < т.
Достаточность. Пусть μφ <С т. Это значит, что
(Υε > 0) (3δ > 0): (т (Ε) < δ) =» (μφ (Ε) < ε).
Возьмем произвольное ε > 0 и найдем соответствующее δ > 0.
Пусть Ε — конечное объединение попарно не пересекающихся
полуинтервалов
Ε = 5 [аь bk) cz [а, Ь),
k=l
причем /η(Ζ?)<δ1 τ. е.
Σ(6α—α*)<β.
k=l
152

Тогда μφ(£)<ε, т. е.
η
Σ(Φ(^) —Ф(^))<е.
А это означает, что функция φ абсолютно непрерывна.
Необходимость. Пусть функция φ абсолютно непрерывна.
Возьмем произвольное ε > 0 и найдем соответствующее ему значение
δ>0 по определению 6.1 (условие Б). Пусть теперь £"£$}, т(Е) <
< γ. Покажем, что тогда μφ (Ε) <ε. Это значит, что μφ < т.
Поскольку Ε измеримо, то его мера Лебега совпадает с внешней
мерой, и по определению внешней меры
т (Е) = т* (Я) = inf Σ m (Aj) {Α, ζ 31, О Λ/ э Ε).
/=ι /=ι
Но так как т (Е) < — > то существуют такие Л/ £ 9Ϊ (/ = 1, 2, .. .),
что
оо °°
О Л/э£» Σ«Μ)<β.
/=1 /-1
оо
Кроме того, О Л/ представляет собой объединение не более чем
/=ι
счетного числа попарно не пересекающихся полуинтервалов
ϋ Af = 0 [ан, Ьк)
и в силу счетной полуаддитивности меры Лебега
ОО 00 °°
Y>(pk—ak) = m{\) [aky bk)) =; т( Ό Aj) < Σ"*(Λ/)<δ,
k=l k=l /=1 /=l
откуда благодаря выбору δ из условия абсолютной непрерывности
φ получаем
оо
Σ (φ Фк) — φ Фи)) < ε.
Теперь имеем
оо оо *L
μφ (Ε) <μφ({) Aj) = μφ( (J [ak> bk)) = Σ μ<ρ(N> Ы) =■
/=1 k=l k=l
oo
= Σ (ΦФк)—φ(λ*))<е»
k=i
т. е. μφ</η.
2). Докажем теперь теорему для того случая, когда / —
функция ограниченной вариации.
Достаточность. Пусть ω/ <с т. Покажем, что функция /
абсолютно непрерывна. Запишем для заряда ω/ разложение в смысле
Жордана
«V = (ω/)+ — (ω/)_,
153

и пусть f+(f-)— неубывающая функция, соответствующая мере
(щ)+ (соответственно (ω/)_). Поскольку щ<Ст, то (со/)+<^т и
(ω/)_<^/η. Тогда, по доказанному в п. 1), функции /+ и Д.
абсолютно непрерывны, следовательно, абсолютно непрерывна их
разность f.
Необходимость. Пусть функция / абсолютно непрерывна.
Запишем ее каноническое представление в виде разности двух
неубывающих функций
f(x) = φ (*) — ψ (*),
где <p(*) = V(/; [α, χ]), ψ (χ) = φ (χ) — f(x). В силу леммы 7.1
функция φ абсолютно непрерывна, поэтому и ψ абсолютно
непрерывна. Тогда по доказанному в п. 1) μφ<^ίη, μψ</7ί и,
следовательно, заряд ω/ = μφ — μψ абсолютно непрерывен относительно
меры т. Ш
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Доказать, что абсолютно непрерывная функция представима в виде
разности неубывающих абсолютно непрерывных функций.
7.2. Доказать, что если функция h интегрируема на [а, Ь] относительно
χ
меры Лебега, то ее неопределенный интеграл Лебега Η (χ) = \ h (χ) dx + С
a
является абсолютно непрерывной функцией на [а, Ь].
7.3. Пусть функция / абсолютно непрерывна на [а, Ь]. Доказать
следующие утверждения: а) если А с [а, Ь] таково, что т (А) = 0, то и т (/ (А)) =
= 0; б) если A cz [a, b] измеримо по Лебегу, то и / (А) измеримо по Лебегу.
§ 8, ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА.
СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА
Теорема 8.1. Пусть функция f \ [a, b] -* IR абсолютно
непрерывна. Тогда почти в каждой точке χ ζ [а, Ь] (в смысле меры Лебега)
существует производная /' {х). При этом f суммируема по мере
Лебега и имеет место формула Ньютона — Лейбница
ь
U'(x)dx = f(b)-f{a). (8.1)
а
Доказательство. Построим по функции /
соответствующий заряд ω/. В силу теоремы 7Λ заряд о^ абсолютно непрерывен
относительно меры Лебега т и по теореме Радона — Никодима
существует такая суммируемая функция R (х), что для любого боре-
левского подмножества Ε отрезка [а, Ь]
(ot (Е) = J R (x) dx.
в
154

Но тогда, как известно (см. замечание 3.1), почти для всех χ ζ [a, b]
R Μ - lim afUx>x + h» _ ,im f(*+h)-f(x) _ f, ,s
поэтому f суммируема и
ω/(£) = J/'(*)<&.
Ε
В частности, при Ε = [α, Ъ) получаем
ъ
f(b)-f(a) = \f'(x)dx. Ш
а
Следствие 8.1. Если функция / ■ [a, b] -> IR абсолютно
непрерывна и f {χ) = 0 (mod m), то / (χ) = const.
Действительно, применив формулу (8.1) к отрезку [а, х],
где а <: χ < δ, получим
/(*)-/(а) = |п*)Жс = 0,
откуда / (х) = / (α) (V# ζ [я, &]). ■
Замечание 8.1. Естественно возникает вопрос, нельзя ли
формулу (8.1) распространить на более широкий класс функций,
поскольку требование абсолютной непрерывности является весьма
ограничительным. Прежде всего для этого требуется существование
суммируемой производной. В следующей теореме, которую мы
принимаем без доказательства*, указан достаточно широкий класс
таких функций.
Теорема 8.2 (Лебега). Если fi [a, b] -> IR — функция
ограниченной вариации, то почти для всех χ £ [α, b] существует
производная f (χ), причем f суммируема по мере Лебега на [а, 6].
Вместе с тем, как показывают следующие примеры, для
произвольной функции ограниченной вариации равенство (8.1) может
и не выполняться.
ПРИМЕРЫ
8.1. Рассмотрим на отрезке [0,2] функцию / (х) = X[i,2] (*)· Очевидно,
/ — неубывающая функция (и, значит, имеет ограниченную вариацию) и
/' (х) — 0 почти везде (кроме точки χ = 1). В то же время
2
0=Jr«^/(2)-/(0) = l. ■
о
Может показаться, что едесь причина в том, что функция / разрывна.
Следующий пример показывает, что это не так.
8.2. Приведем пример непрерывной неубывающей функции, производная
которой почти везде равна нулю и для которой поэтому не имеет места фор-
См., например, [66].
155

yi мула (8.1). График этой функции
jl « называют лестницей Кантора, а
саму функцию — функцией
Кантора.
Функцию / (х) будем строить
на отрезке [0, 1] поэтапно.
2| Вначале положим / (0) = 0,
/ (1) = 1. Затем разобьем отрезок
[0, 1] на три равные части и на
средней части определим функцию
t^ l l 2
+*. f Μ = 2" ПРИ "з" < * < Τ ·
ι
τ τ ? t τ 9 '
Каждый из двух оставшихся краи-
р β них отрезков снова разделим на
ис* D три равные части и на средних
частях определим / (х) так:
11 η 3 7 8
/ W = "4" при у < а: < -g-; / (а:) = j при у < а: < -g-.
Далее, каждый из оставшихся четырех отрезков снова разделим на три
равные части и зададим / (х) на средних частях, положив ее равной 1/8, 3/8,
5/8, 7/8 соответственно на
Γΐ 1] \L Αϊ \ι2 ??1 Γ?5 26]
отрезках !^7 , 27J , ^27 , 27J , ^2? , 2?J , ^27 , 2?J
(на этом шаге процесс построения / (х) изображен на рис. 6). Продолжив этот
процесс до бесконечности, мы получим функцию, определенную и неубывающую
на множестве
°.-(τ.τ)υ(τ.4)υ(7.7)υ(έ.Ι)υ-
(/ определена и на концах соответствующих интервалов). Множество G0 —
открытое, и его мера Лебега равна
λ 2 ± 8 1/3
т (G0) = з + 9 + 27 + 81 + ' " ~ 1 — 2/3 ~ L
Поскольку составляющие интервалы множества G0 не имеют общих
концов, то дополнение D = [0, 1] \ G0 — совершенное множество. Его
называют канторовым совершенным множеством (см. упр. 1.9.4),
Осталось определить / (х) в точках D, не являющихся концами
составляющих интервалов G0. Если х0 — такая точка, то положим
f (х0) = sup {f (x) \x< x0, x£GQ].
Теперь функция / определена на всем отрезке [0, 1] и монотонна.
Непрерывность / (х) следует из того, что она монотонна и ее значения (даже на G0)
плотны на [0, 1].
Вместе с тем /' (х) = 0 на G0, т. е. почти везде на [0, 1]. Поэтому
1
o = J/'(*)tf*<f(i)-/(0) = i.
Определение 8.1. Непрерывную отличную от конетанты
функцию ограниченной вариации называют сингулярно щ если
ее производная равна нулю почти везде.
Примером сингулярной функции может служить функция
Кантора, построенная в примере 8.2.
156

Сингулярная функция не может быть абсолютно непрерывной,
так как в этом случае (см. следствие 8.1) она была бы постоянной.
Теорема 8.3. Всякую непрерывную функцию ограниченной
вариации f : [а, Ь]-+Ц можно единственным образом представить
о β]](Ί Ρ
/Μ = φ(*) + ΨΜ. (8-2)
где функция φ абсолютно непрерывна, ψ — сингулярна и φ {а) =
= f (а). При этом одно из слагаемых может отсутствовать.
Доказательство. Поскольку / — функция
ограниченной вариации, то ее производная /' существует почти везде и
суммируема. Положим
χ
<р(х) =/(а) + J /' (t)dt, ψ (χ) = /(*) -φ(*).
α
Тогда / (χ) = φ (χ) +ψ (χ). При этом φ (α) = / (α) и φ абсолютно
непрерывна, причем φ' (χ) =/' (χ) (mod/η). Поэтому ψ' (χ) =
= Γ Μ — φ' Μ — 0 (mod /η), т. е. функция ψ сингулярна.
Докажем единственность представления (8.2). Пусть также
f(x) = <Pi(*)+iM*),
где ср! абсолютно непрерывна, ψχ сингулярна и φχ (α) = / (α). Тогда
Φ Μ + Ψ Μ = Φι Μ + Ψι (*), откуда
φ Μ — Φι Μ = Ψι (*) — Ψ Μ-
Однако функция φ — φχ абсолютно непрерывна и в то же время
(ф — Φι)' == 0 (mod т), поэтому φ — φχ = const. Поскольку φ (α) —
— Φι (α) = 0, το φ — φ! ξ= 0, т. е. φ = φχ, и, таким образом,
ψ=Ψι· ■
Следствие 8.2. Всякую функцию ограниченной вариации /:
[а, Ь\ -> 1R можно единственным образом представить в виде
f(x)=fa(x) + fs(x)+fd(x)> (8.3)
где функция fa абсолютно непрерывна, /s сингулярна, a fd —
функция скачков, причем fa (а) =з / (а) (некоторые слагаемые в (8.3)
могут отсутствовать).
Представление (8.3) называют разложением функции
ограниченной вариации в смысле Лебега.
Действительно, функцию ограниченной вариации / можно
единственным образом представить в виде (см. § 1.17): f (χ) = fc (x) +
+ Α/Μ» гДе fc — непрерывная функция, fd — функция скачков,
причем fc (α) = / (α). Применив к функции fc теорему 8.3, получим
требуемое представление. ■
Выведем некоторый аналог формулы Ньютона — Лейбница.
Пусть /: [α, δ]-> IR — произвольная функция ограниченной
вариации. Записав для нее разложение в смысле Лебега (8.3) и
продифференцировав полученное равенство, имеем
/'(*) = Ъ(Х) (mod/я),
157

откуда
b h
j /' (χ) dx = j fa (χ) άχ.
a a
Применив к функции fa теорему 8.1, получим окончательно
f'(x)dx = fa(b)-fa(a). (8.4)
ι
УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Используя теорему 8.2, доказать следующие утверждения: а) если
/ интегрируема относительно меры Лебега на [а, Ь], то для m-почти всех χ
X
d Ρ
τ- I f (t)dt = f (дс); б) функция / удовлетворяет условию Липшица на [а, Ь]
а
в том и только в том случае, когда она является неопределенным интегралом
от измеримой ограниченной функции.
8.2. Пусть функции / и g абсолютно непрерывны на [а, Ь]. Доказать, что
справедлива формула интегрирования по частям:
ъ ь ь
\ f (х) g' (x) dx = / (x)g(x) | - J f (*)*(*) dx.
a a a
8.3. Пусть функции /, flt /2, ... имеют ограниченную вариацию на [α, b]
и V (fk — Λ ία, Ь]) -> 0 при k -> оо. Доказать, что: а) если flt /2, ... являются
функциями скачков, то / является функцией скачков; б) если flt /2, ... —
абсолютно непрерывные функции, то / абсолютно непрерывна; в) если
/ι» /г» ···— сингулярные функции, то / сингулярна.
8.4. Пусть / — неубывающая на [а, Ь] функция. Доказать, что если
ъ
\ /' (х) dx = f (b) — / (α), то / абсолютно непрерывна.
а
8.5. Доказать, что если / абсолютно непрерывна на [а, Ь], то V (/, [а, Ь]) =в
ь
= $ IГ (χ) I dx.
а
8.6. Доказать, что если φ — неубывающая сингулярная функция на [а, Ь]9
то lim μφΗ 2// ^ " = + оо (mod μφ).
8.7. Рассмотрим функцию ψ (#) = χ + f (χ), χ 6 [0, 1], где / — функция
Кантора. Проверить, что функция ψ а) непрерывна; б) возрастает; в)
устанавливает взаимно однозначное соответствие [0, 1] -> [0, 2]; г) μ (ψ (D)) = 1, где
D — канторово множество. Из утверждения г) следует, что существует
неизмеримое по Лебегу подмножество С с: ψ (D). Доказать, что ψ"1 (С) —
измеримое по Лебегу неборелевское множество (ср. § 1.9).

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ
И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
С этой главы по существу начинается изучение функционального
анализа. Одним из основных объектов изучения в функциональном анализе
являются линейные нормированные пространства, т. е. множества, наделенные
структурой линейного пространства и нормой (аналогом понятия длины
вектора). Особенно важный класс линейных нормированных пространств
составляют банаховы пространства, или пространства типа В — пространства,
полные относительно сходимости по норме. Эти пространства были введены в
математику С. Банахом и Н. Винером. Важную роль в функциональном анализе
играют и гильбертовы пространства — пространства, в которых норма
определяется через скалярное произведение.
В этой главе приведены простейшие свойства банаховых и гильбертовых
пространств и рассмотрены примеры таких пространств.
§ 1. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Для метрических пространств хорошо известны понятия
внутренней и предельной точки множества, открытого и замкнутого
множества, предела последовательности и др. Однако все эти
понятия можно ввести, не используя понятия метрики. Такой подход
приводит к понятию топологического пространства. Напомним
соответствующие определения. Пусть Τ — произвольное множество.
Зададим в Τ некоторую систему Σ его подмножеству называемых
окрестностями. Окрестность U ζ Σ называют окрестностью точки
χ и обозначают через Ό (я), если χζίί. Пару (Τ, Σ) называют
топологическим пространством (хаусдорфовым), если выполнены
следующие условия:
1) (ν*£7)(3ί/£Σ):χ£ί/;
2) (V* € Г) (V £/(*), V (χ)£Σ) (Ш (χ)ζΣ) \W (х) gzU (х) Q V(x);
3) (аксиома отделимости Хаусдорфа):
(V*, у$Т> хфу)ри(х), υ(ΰ)ζΣ)ιϋ(χ)Ω U(y)**0.
Систему Σ называют базой окрестностей в Т. Говорят, что Σ
задает в Τ топологию. Вместо (Г, Σ) пишут также 7V
В топологическом пространстве естественным образом вводится
понятие предельной точки множества, а именно.· точка χ ζ Τ
называется предельной точкой множества А, если любая окрестность
ι/ (χ) ζΣ содержит хотя бы одну точку α £ А, отличную от х.
Совокупность всех предельных точек множества А называется
производным множеством и обозначается через А'. Множество А = А [} А'
называется замыканием множества Л. Множество А е Τ
называется замкнутым, если А = Л. Множество GsT называется
открытым, если его дополнение G = T\G замкнуто. Легко Еидеть, что
159

множества Т и 0 являются одновременно и открытыми, и
замкнутыми. Говорят, что базы Σ1 и Σ2 задают в Τ эквивалентные
топологии, если они определяют один и тот же запас открытых
(замкнутых) множеств.
Множество^ А а Т называется плотным в открытом множестве
В д7, если А з В. В частности, Л называется всюду плотным в 7\
если А = Ту т. е. если в любой окрестности ί/(Α:) любой точки χ ζ Τ
имеются точки множества А. Пространство Τ называется сепара-
бельным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество.
Множество А называется нигде не плотным в Г, если Т\А всюду плотно
в Т. Иными словами, это означает, что А не плотно ни в каком
непустом открытом множестве G^ Т.
Топологическое пространство называется компактным, если
всякое его покрытие открытыми множествами содержит конечное
подпокрытие. Топологическое пространство называется
счетно-компактным, если всякое его бесконечное подмножество имеет
предельную точку. Для метрических пространств (а также для любых
пространств со счетной базой) понятия компактности и счетной
компактности совпадают.
Пусть (χη)η=ι — некоторая последовательность точек
топологического пространства Т. Точка χ ζ Τ называется ее пределом, х =
= ИтхП9 если
(Vt/ (х) С Σ) (Η# = N (U (χ)) (Ул >N):xn£U(x).
ПРИМЕРЫ
1.1. Т= IR, Σ = {(α, b) | α, b £ IR, a < b). Пространство (Τ, Σ) — это
числовая прямая с обычной сходимостью, определяемой метрикой ρ (χ, у) =
= | χ — у\, и обычным запасом открытых множеств.
1.2. Τ = (Т, р) — метрическое пространство с метрикой ρ, Σ
—совокупность всех открытых шаров Вг (а) = {х 6 Τ | ρ (xt a) < г). Нетрудно
проверить, что тот же запас открытых множеств мы получим, принимая за Σ
совокупность всех открытых шаров с рациональными радиусами.
1.3. Пусть (7\, Σχ) и (Т2, Σ2) — топологические пространства. Их
декартово произведение Τ = 7\ χ Т2 с Σ = {U1 X U2\ ίί1ζ Σχ> U2 £ Σ2} является
топологическим пространством.
Более подробные сведения о топологических пространствах
можно найти, например, в [2, 4, 5, 40, 71]. См. также § XIV.2.
Упражнение 1.1. Проверить выполнение аксиом 1—3 в приведенных
примерах.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Напомним известное из алгебры определение линейного (или
векторного) пространства над полем |χ. Поле К (поле скаляров) всегда
будет либо полем вещественных чисел IR, либо полем комплексных
чисел (С.
160

Определение 2.1. Множество Ε называется линейным
пространством, если в нем определены операции сложения и умножения
на скаляр, обладающие следующими свойствами:
1) (Ух, у£Е)\х + у = у + х (коммутативность);
2) (Ух, у у г £ Ε) ι χ + (у + г) = (х + у) + ζ (ассоциативность);
3) (HI 0 £ Е) (Ух £ Ε): χ + О = χ (существование нуля);
4) (Ух £ Ε) (HI (—χ) ζ Ε) ι χ + (—χ) = О (существование
противоположного элемента);
5) (Υα, β £ QO (V* e E)! α (β*) = (αβ) χ;
6) 1 · χ = χ (1 — единица поля К);
7) (Vcc, β б Π<) (Vx £ Я) : (α + β) χ = α* + β*;
8) (Va ζ QO (Vx, у £ £) ι α (χ + у) = αχ + ay.
Отметим, что знаком 0 обозначается как нулевой элемеьт
пространства Е, так и число нуль — элемент поля Q<. Это не
приведет к путанице, поскольку всегда ясно, о каком нуле идет речь.
Определение 2.2. Множество Ε называется линейным
топологическим пространством, если оно является как линейным, так и
топологическим пространством, причем операции сложения и
умножения на скаляр непрерывны , т. е.
1) (Ух, у g Ε) (УU (х + у)) (Hi/ (x), U (у)) ι U (χ + у) 2
=>U (х) + U(y)= {х' + у'\ х' £U (x), у' g U (у)};
2) (V* 6 Ε) (Υλ ζ К) (УU (λχ)) (Ηί/ (χ)) (Ηί/ (λ) s
sqo ■» ί/ (λ*) э ί/ (λ) ί/ (*) = {λν ι λ' e ί/ (λ), *' g ί/ (*)>.
Ясно, что IRn и (Сп являются линейными топологическими
пространствами соответственно над IR и (£. Другие примеры
рассмотрены в следующих параграфах.
Введем еще некоторые понятия, которые в дальнейшем будут
часто использоваться.
Пусть Ε — линейное топологическое пространство. Линейное
подмножество L s E называется подпространством, если оно
замкнуто в топологии пространства Е.
Пусть Μ — произвольное подмножество линейного
топологического пространства Е. Линейной оболочкой множества Μ называется
множество
η
л.о.(М) = {Σλ***μ*€Κ. Xk£E, ηζ^}.
Замыкание множества л.о.(М) называется замкнутой линейной
оболочкой множества Μ и обозначается з. л. о. (М).
Множество называется тотальным в Е, если л. о. (Λί) всюду
плотна в Ε или, что то же самое, если з. л. о. (М) = Е.
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Доказать, что л. о. (Λί) совпадает с пересечением всех линейных
подмножеств £, содержащих Λί.
2.2. Доказать, что з. л. о. (Λί) совпадает с пересечением всех подпр о-
странств Е, содержащих Λί.
6 9 227
161

2.3. Пусть С ([а, Ь])—линейное пространство всех непрерывных на
fa, b] функций χ : [a, b] -> IR с топологией, определяемой метрикой ρ (χ, у) =
=тах | χ (ή — у (t) |. Рассмотрим множество А = {х 6 С ([a, b]) \ x (t0) = 0},
a<t<b
где t0 — фиксированная точка отрезка [а, Ь]. Проверить, что А —
подпространство С ([a, b]).
2.4. Доказать, что множество Μ = {1, /, t2t t3, ...} тотально в С ([a, b]).
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ И БАНАХОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
Определение ЗА. Пусть Ε — линейное пространство над
полем (К- Числовую функцию
называют нормой, если она обладает следующими свойствами:
1) (V*G£):||*||>0f причем \\х\\ = 0=>х = 0;
2) (Υλ 6 К) (V* 6 Е): || %х || = | λ | · | \х \\ {однородность);
3) (V*, у £ Е): || χ + у \ \ <\\х\\ + \\у\\ (неравенство треугольника).
Линейное пространство Е, в котором задана норма, называют
линейным нормированным пространством над полем (К. Его
называют вещественным линейным нормированным пространством при
К = R и комплексным при К==(С· Норму в £ обозначают
также ||х||Е.
Легко видеть, что || 01| = 0. Действительно, при любых χ £ Ε
имеем || 01| = || 0 · я || =* 0 · || я || == 0. Докажем еще так называемое
второе неравенство треугольника:
(Vx, у£Е)1\\х-у\\>\\\х\\-\\у\\\. (3.1)
Применяя неравенство треугольника, находим
11*11 = 11 (х-у) + у\\<\\х-у\\+\\у II,
откуда
11*-*/11>1И1-1Ы|. (3.2)
Из этого неравенства получаем
\\х-У\\=\\(-1)(У-х)\\=\\У-х\\>\\У\\-\\х\\. (3.3)
Из (3.2) и (3.3) следует (3.1). ■
Пусть Ε — линейное нормированное пространство. Для любых
х, у ζ Ε положим
Р(*, У) = \\х — У\\. (3.4)
Легко проверить, что функция ρ удовлетворяет всем аксиомам
метрики. Действительно, из 1) следует, что всегда ρ (я, у) > 0 и
Р(*. ί/)>0 при χ Φ у\ р(#, х) = || χ — χ || = || 0 [| = 0. Проверим
симметрию расстояния: в силу условия 2) ρ (у, х) = || у — χ || =
= || (— 1) (х — у) || = || χ — у || = ρ (χ, у). Проверим, наконец, нера-
162

bchgtbo треугольника для метрики. Для любых х, у, ζζΕ имеем
в силу условия 3):
p(x,z)=>\\x-z\\ = \\(x-y) + (y-z)\\<i\\x-y\\+\\y-z\\ =
= Р(*> У) + Р(У9 2). ■
Итак, всякое нормированное пространство Ε является
метрическим с метрикой, определяемой формулой (3.4). Поэтому в
линейном нормированном пространстве можно рассматривать все
понятия и объекты, вводимые в метрических пространствах. В
частности, можно рассматривать открытый шар и сферу радиуса г с
центром в точке а:
Вг(а) = [х£Е\\\х — а\\<г}9 Sr(a) = {х£Е\\\х — а\\ = г}.
Легко видеть, что линейное нормированное пространство
является и линейным топологическим пространством. Надо проверить, что
операции сложения и умножения на скаляр непрерывны. Проверим
непрерывность сложения. Очевидно, для этого достаточно показать,
что
(V*f y£E)(YE>0):B1(x)+BL(y)c=Be(x + y). (3.5)
2 2
Если x'£BL(x)f y'£BL(y), то \\* — χ\\<γ, \\у'—у\\<±> и в
2 2
силу неравенства треугольника имеем
\\(х' + у')-(х + у)\\ = \\(х'-х) + (у'-у)\\<\\х'-х\\ + \\у'-
II ^ 8 ι «
-ί/ΙΙ<γ + Τ = ε,
т. е. χ' + у' £ Ве {χ + у)у что и доказывает включение (3.5).
Аналогично доказывается непрерывность умножения на скаляр. ■
Упражнение 3.1. Пусть Ε — линейное пространство, снабженное
метрикой р, обладающей следующими свойствами: а) (ух, у, ζ 6 Ε) : ρ (χ + ζ,
У + г) = Р(х, у); б) (V* 6 Ε) (γλ 6 К) : Ρ (0, λχ) = | λ | · ρ (0, χ). Пока-
зать, что Е является линейным нормированным пространством с
нормой || χ || = ρ (0, χ).
Поскольку линейное нормированное пространство является
метрическим, то в нем определено и понятие предела
последовательности: хп-+ χ означает, что lim ||л;п — *|| =0. Из второго неравен·
П-+О0
ства треугольника (3.1) сразу следует непрерывность нормы.
Действительно, в силу (3.1) имеем
0<|||*я||-||*|||<||*Л-*||,
поэтому \хп — *||-*0^||;ь||-Н|*||.
В теории метрических пространств важную роль играет понятие
полноты. Напомним это понятие. Последовательность (хп)п=\
элементов метрического пространства (X, р) называется фундамента-
б* 163

льной, если llmp(Xm9 хп) = 0, т. е. (Ve>0)(3iV = N(e)) (Vm, n>
>N):p(xmy Χη)<&· Метрическое пространство называется полным,
если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится
к некоторому элементу χζΧ, т. е. limp^, χ) — 0.
Определение 3.2. Линейное нормированное пространство
Ε называется полным, если полно метрическое пространство (Е, р)
с метрикой ρ (χ, у) = \\х — у\\. Полное вещественное (комплексное)
линейное нормированное пространство называется вещественным
(комплексным) банаховым пространством.
Ряд примеров банаховых пространств рассмотрен в § 7—9.
УПРАЖНЕНИЯ
3.2. Привести пример метрики на IR, не обладающей свойствами а), б) из
упр. 3.1.
3.3. Пусть Ε—линейное нормированное пространство. Доказать, что
для любых элементов х, у ζ Ε выполняется неравенство \\х\\ <: max {|| # + у ||,
II* —У||>·
3.4. Пусть хп, х, уп, у ζ Ε (η£ Ν). Доказать, что: а) если хп -> х, то || хп Ц-*
-HI* ||; б) если хп-*х и \{хп — уп\\-»0, то уп-+х; в) если хп->х, Уп->У,
то \\хп — Уп1\-+\\* — У\\·
3.5. Являются ли нормами в С ([а, Ь]) следующие функции: а) || χ || =
= max{|*(0| \t£[a,b]}; б) || χ || = max { \x(t) | |/g[flf ^j} ; в) ||*|| =
ь
= \\ p (f) \ x (t) \2 dt\ , где /7 — фиксированная положительная функция из
с alt])?
3.6. Являются ли нормами в линейном пространстве С1 ([а, Ь]) непрерывно
дифференцируемых на [а, Ь] функций следующие функции: а) || χ || = max {| x(t)\
|*€[α, Ч}; б) || аг|| =тах { | аг'(0 I I ^€ [«, 6]}; в) || *|| = | х(Ь) -χ (α) \ +
+max{\x'(t)\\t£[a, b]}; г) \\х\\ = \х(а)\+тах{\х'(t)\\t£[a,b]}; R)\\x\\=
ь
~ j|*«)|<tt + niax{|*'W||fg[a,4>?
а
3.7. Пусть Ε — линейное нормированное пространство. Расстоянием от
def
точки χ до множества А с Ε называется число ρ (а:, А) = inf {|| χ — у \\ \ у ζ А}.
Доказать, что: а) функция р(·, А) непрерывна на Е; б) р(х9 А) = ρ (а:, Л);
в) р(х, А) = 0 в том и только в том случае, когда χ ζ А; г) если А —
конечномерное подпространство, то расстояние от χ до А достигается, т. е. (3#* €
€Λ):ρ(*, Л) = ||*-У*||.
3.8. Доказать, что линейное нормированное пространство Ε является бана-
00 ОО
ховым тогда и только тогда, когда всякий ряд ^] xk, для которого J] || xk || <
< оо, сходится в Е.
3.9. Пусть Ε — банахово пространство, (ВГп (хп))™=1 — последовательность
замкнутых шаров, вложенных друг в друга, причем limrrt = 0. Доказать, что
П-+оо
в Ε существует, и притом единственная точка, принадлежащая всем шарам.
3.10. Пусть в линейном нормированном пространстве Ε любая
последовательность шаров, удовлетворяющих условиям упражнения 3.9, имеет
непустое пересечение. Доказать, что Ε — банахово пространство.
164

§ 4. ПОПОЛНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ
ПРОСТРАНСТВ
В курсе математического анализа доказывается важная
теорема о пополнении метрического пространства. Напомним
формулировку этой теоремы и основные этапы ее доказательства.
Теорема 4.1. Для любого метрического пространства (X, р)
существует полное метрическое пространство (X, р) такое,
что: 1) Χ α Х\ 2) (Vxy^ у ζ Χ): ρ (х> у) = ρ (χ, у); 3) X всюду плотно
в X. Пространство X называют пополнением пространства X.
Доказательство состоит из нескольких этапов, которые
здесь будут лишь намечены.
1). Рассмотрим множество всех фундаментальных
последовательностей в X. Две фундаментальные последовательности (χη)η=ι и
(уп)п=\ назовем эквивалентными ((хп) ~ (уп)), если limp(xn, уп) = 0.
Нетрудно проверить, что отношение — рефлексивно, симметрично
и транзитивно, т. е. действительно является отношением
эквивалентности. Поэтому множество всех фундаментальных
последовательностей распадается на классы эквивалентности. Множество
этих классов обозначим через X.
2). Пусть даны два класса \ ι/ζΧ и пусть (хп)п=\ £х, (yn)Z=i£
ζ у — некоторые последовательности из этих классов. Тогда
полагаем
def
р(х, у) = limp(^, у η).
П-»· οο
Доказывается, что это определение корректно, т. е. что предел
всегда существует и не зависит от выбора последовательностей
(Xn)n=U (Уп)п=1·
3). Проверяется, что ρ является метрикой.
4). Доказывается, что (X, р) — полное метрическое пространство.
5). Для любого χ ς Χ обозначим через χ класс, содержащий
стационарную последовательность (х, х> ...). Доказывается, что
образ пространства X при отображении X 3 χ ι-* χ £ X является
всюду плотным в X множеством. Щ.
Аналогичные рассуждения позволяют доказать теорему о
пополнении линейного нормированного пространства.
Теорема 4.2. Для любого линейного нормированного
пространства Ε существует банахово пространство Ε такое, что
1) Ε a E\ 2) (Υχζ Ε): || х\\Е = \\х \\^\ 3) Ε всюду плотно в Ё.
Пространство Ε называется пополнением пространства Е.
Доказательство проведем в несколько этапов.
1). Две фундаментальные последовательности {хп)п=\ и (yn)n=i
элементов Ε назовем эквивалентными (и запишем {хп)п=\ ~ {Уп)п~\),
165

если lim || хп — уп || ч= 0. Проверим, что отношение ~ рефлексивно,
П -+■ во
симметрично и транзитивно. Очевидно, в проверке нуждается лишь
транзитивность. Пусть (хп) ~ [уп), (Уп)~{*п)- Тогда lim \\xn —
П-уоо
— уп || = 0 и lim || уп — zn\\ = 0. Но в силу неравенства треугольника
\\хп — гп\\ = Нхп — Уп) + (Уп — гп)\\ ^\\Хп — Уп\\+\\Уп — гп\\,
откуда lim || хп — гп \\ = 0, т. е. (хп) ~ (zn). Транзитивность доказана.
Таким образом, множество всех фундаментальных
последовательностей элементов Ε распадается на классы эквивалентных
последовательностей. Множество этих классов обозначим через Ё
и покажем, что Ε является искомым^банаховым пространством.
2). Покажем прежде всего, что Ε можно наделить структурой
линейного пространства. Для этого нужно определить в Ε операции
сложения и умножения на скаляр и проверить свойства этих
операций. Пусть % ϊ/£Ё и пусть (хп)п=\ ζ х,(уп)п=\ £у — некоторые
последовательности из этих классов. Поскольку (хп)п=\, (Уп)п=\—
фундаментальные последовательности, то и последовательность (хпЛ-Уп)п=\,
очевидно, также фундаментальна. Поэтому она входит в некоторый
класс, который мы обозначим через χ + у. Проверим корректность
этого определения, т. е. его независимость от выбора
представителей классов Тс и у. Пусть (хп)п=\£х, (Уп)п=г^у- Тогда по
определению классов (хп)~ (х'п) и (уп)~(Уп), т. е. \\хп — л^[|->0
и || уп — уп || ->· 0. Воспользовавшись неравенством треугольника
пол учаем
II (Хп + Уп) — (хк + Уп) II = II (хп — Хп) + (Уη — Уп) II <
<\\хп — х'п\\ + 1\Уп — Уп\\-+0,
поэтому (хп + Уп)~(*?п + у'п), т. е. (хк + у'п)?=1^х + У> что и
доказывает корректность определения сложения.
Пусть λ £ Κ, χ £ Ё. Возьмем любую последовательность (χη)η=ι £ χ.
Поскольку (хп)п=\ фундаментальна, то и последовательность (%χη)η*=\
также фундаментальна, так как || Ххт —λχη\\ = \λ\ \\хт — хп\\-
Поэтому (λχη)η=\ принадлежит некоторому классу, который мы
обозначим через λχ. Проверим корректность этого определения.
Если (x'n)Z=i£x, то (хп)~ {х'п)> т. е. \\хп — х'п\\-+0, поэтому и
\\λχη — λχη\\-+0, τ. е. (λχη)~(λχη). Следовательно, (λχη)η=ϊ£λχ,
т. е. λχ не зависит от выбора последовательности (χη)η=\ζχ.
Выполнение перечисленных в определении 2.1 свойств операций
в Ε непосредственно следует из того, что они выполняются в Е.
Итак, £ —линейное пространство.
Выясним, в частности, какой класс играет роль нулевого
элемента 0 в £. Этот элемент определяется условием χ + б = χ
166

(Vx£E). Взяв (Хп)п=\£х> получим отсюда, что класс 0 содержит
стационарную последовательность (0, 0, . . .).
3). Введем в пространстве Ε норму. Для заданного χ ζ Ε
выберем некоторую последовательность (xn)n=i(z~x- В силу второго
неравенства треугольника
\\\Хт\\ — \\Хп\\\<\\Хт — Хп\\,
поэтому из фундаментальности последовательности (хп)п=\ с Ε
следует, что числовая последовательность (|| хп \\)п=\ фундаментальна,
поэтому она сходится. Положим
def
р||~ = Нт||*л||я (х£Е; {хп)п=\£х). (4.1)
Независимость этого определения от выбора последовательности
(χη)η=ι ζ'χ следует из того, что если (x'Jn=\ ζχ, то в силу второго
неравенства треугольника
IIIхп\\-IIхпII |<IIХп — х'п\\-+Ъ.
Проверим, что формула (4.1) действительно определяет норму
на £, т. е. что выполняются свойства 1) — 3), перечисленные в
определении 3.1. Очевидно, p||g>0. Пусть р||£ = 0. Это
означает, в силу (4.1), что
Ъ = \\т\\хп\\ = \\т\\хп — 0||,
т. е. (хп) ~ (0, 0, ...). Таким образом, класс χ содержит
стационарную последовательность (0, 0, . . .), т. е. χ = 0.
Переходя к пределу в соотношениях || λχη\\ =\ λ| · || хп \\ и
П^ + Ум||<11^||+||^||, получим ||λ*|| =|λ| · р|| я\\х + у\\<
<\\х\\ + \Гу\1
4). Покажем, что пространство Ε можно рассматривать как
часть Е. Каждому χ £ Ε можно поставить в соответствие некоторый
класс χ £ Ё, а именно тот класс, который состоит из
последовательностей, сходящихся к а: (и, в частности, содержит стационарную
последовательность (х, х, ...)). При этом по формуле (4.1)
\\х\\ъ = \ш\\хп\\Е=\\х\\Е.
Поэтому естественно отождествить элемент χζΕ с классом йЭ(я,
xf . . .). Тем самым Ε можно рассматривать как часть Ίι.
5). Покажем, что Ε всюду плотно в Ё. Возьмем любой класс
χζΕ и произвольное ε>0. Нужно показать, что в шаре Ве(х)
найдется хоть одна точка из Е. Возьмем некоторую
последовательность (xn)n=i(zx. Поскольку она фундаментальна, то существует
167

такое Ν, что при η>Ν имеет место неравенство || хп —хт \\е < к ·
Тогда при п> N имеем
II Хп — хI\е = lim II ** — Хш\\е<1<е,
т. е. χηζΒΒ(χ) (Vn>N).
6). Покажем, наконец, что пространство Ε полно. Пусть задана
фундаментальная последовательность (хп)п=\ с Ё. Поскольку Ε
всюду плотно в Ё, то для каждого ~хп можно найти такой χηζΕ,
что ||хп — хп ||< 1/л. Покажем, что последовательность (x^)^Li
фундаментальна. Действительно,
||*т — ЛГл || = || (Хт — Хт) + (*т — **) + (** — Хп) \\ < \\Хт — Хт \\ +
+ 11 ίη — Хп\\+\\Хп — Хп\\<\\Хт — Хп\\ + Ъ+^>
и фундаментальность (хп)п=\ следует из фундаментальности (xn)n=v
Обозначим через χ класс, содержащий последовательность (χη)η·=ι-
Очевидно, \\тхп=х. Тогда имеем
/г->оо
\\Хп — х\\< \\Хп — Хп\\ + \\хп — х\\<^ + \\Хп — х\\'
Поэтому lim хп = х, т. е. (хп)п=\ — сходящаяся последователь-
П-+ оо
ность. ■
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Пусть Ε — банахово пространство, Lc£ — линейное
многообразие. Доказать, что пополнение L по норме Ε совпадает с замыканием L.
4.2. Пусть в линейном нормированном пространстве Ε имеется
линейное многообразие L, которое в норме Ε является полным пространством.
Доказать, что L — подпространство Е,
4.3. Две нормы || · \\г и || · ||2 в линейном пространстве Ε называются
эквивалентными, если (За >0)(3(3 >0)(V*££): а|| х\\г < ||*||2 <: β||*||ι·
Доказать, что если на Ε заданы две эквивалентные нормы, и в одной из них Ε —
банахово пространство, то Ε является банаховым и в другой норме.
4.4. Доказать, что если на Ε заданы две эквивалентные нормы || · \\г и
|| · ||2 , то пополнения Ε в || · ||j и || · ||2 совпадают.
4.5. Доказать, что две нормы, введенные на одном линейном
пространстве, экв ивалентны тогда и только тогда, когда из сходимости
последовательности π о одной из этих норм вытекает ее сходимость по другой норме.
4.6. Являются ли эквивалентными а) на С ([а, Ь]) нормы из упр. 3.5 а)
и 3.5 в); б) на С1 ([а, Ь\) нормы из упр. 3.6 а) и 3.6 д)?
§ 5. ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
Во многих случаях норму в линейных пространствах можно
вводить, как в евклидовом пространстве, через скалярное
произведение. Рассмотрим этот способ введения нормы.
168

Определение 5.1. -Говорят, что в комплексном линейном
пространстве Η задано скалярное произведение, если каждой паре
элементов х, у ζ Η поставлено в соответствие комплексное число* (х, у)
так, что выполнены следующие аксиомы:
1) (Υ* £ Η): (χ, χ) > О, причем (χ, χ) = Ο «*■ χ = 0;
2) (VXlf λ2 £ (C) (V*lf *2, у € #): (λΛ+ λ2χ2, у) = λχ (%, у) +
+ λ 2 (л: 2, у) (линейность по первому сомножителю);
3) (Vx, у ζ Η): (χ, у) = (у, х) (эрмитовость).
В вещественном линейном пространстве скалярное
произведение (х, у)—вещественное число, удовлетворяющее условиям 1) и 2)
(λχ, λ2 £ Щ и условию 3') (Υχ, у£Н)\ (х, у) = (у, х) (симметрия).
Определение 5.2. Линейное пространство, снабженное
скалярным произведением, называется предгильбертовым.
Конечномерное вещественное предгильбертово пространство
называют также евклидовым, а комплексное — унитарным.
Установим некоторые свойства скалярного произведения. Мы
будем рассматривать комплексные пространства, поскольку всегда
ясно, какие изменения происходят в случае вещественного
пространства.
1. Антилинейность по второму сомножителю
(Υλχ, λ2 £ (С) (V *, уг, у2£Н): (χ, КУг + КУ2) ==\ (*. Ух) +\ (*> У2)-
Доказательство. Из аксиом 3 и 2 получаем
(х, 1гуг + λ2ί/2) = (КУг+КУ^ х) = К(Уъ *) + λ2(ί/2, χ) =
= М*> ί/ι) + λ2(^, у2).
Ясно, что в вещественном пространстве скалярное
произведение линейно и по второму сомножителю. ■
2. Неравенство Коти — Буняковского
(Ух, У^Н):\(х, у)\*<(х, х)(у, у). (5.1)
Доказательство. В том случае, когда хотя бы один из
элементов х, у равен нулю, неравенство очевидно. Пусть у Φ 0.
Найдем такое λ, чтобы (л; — Ку, у) = 0. Из этого равенства находим
(х, у) — λ (у, у) = 0, откуда λ = (χ, у)1(у, у).
Теперь в силу аксиомы 1) имеем
0 <: (х — 'ку, χ — %у) = (х — \у, х) — λ (а: — \у, у) =
= (х — Ху, х) = (*, х) — λ (у, х) = (х, х) — \(х, у)\2/(у, у),
откуда \(х, у)\2 < (х, х) (у, у). Ш
Теперь легко снабдить предгильбертово пространство
структурой линейного нормированного пространства. Для любого χ £ Η
определим его норму [[ χ [[ формулой
def
IIх II = V(x, x). (5.2)
* Иногда во избежание недоразумений скалярное произведение в
пространстве Η будет обозначаться (х, у)ц.
169

В этих обозначениях неравенство Коши — Буняковского
принимает вид
(V*. у£Н):\(х, у)\<\\х\\-\\у\\. (5.3)
Теорема 5.1. Предгильбертово пространство, в котором введена
норма равенством (5.2), является линейным нормированным
пространством.
Доказательство заключается в проверке аксиом
нормы в определении 3.1. Первое свойство нормы непосредственно
следует из аксиомы 1) скалярного произведения. Проверим
однородность:
\\%x\\=V(U, Kx) = Vxk(x, x)=V\K\*(x, *) = |λ| · 11*11-
Докажем неравенство треугольника. Для любых х, у ζ Η имеем
ΙΙ* + ί/ΙΙ2=Φ + ίΛ х + у) = (х> *) + (*> y) + Qj, x) + (y> у) =
= ||*ll2 + 2Re(*, if)+||y||2<||x||a + 2|(xf y)\ + \\y\\\
откуда, воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского,
получаем
ΙΙ* + ^ΙΙ2^ΙΙ*ΙΙ2 + 2||^||.||.ί/ΙΙ + ΙΙί/ΙΙ2 = (ΙΙ*ΙΙ + ΙΙί/ΙΙ)2,
т. е. ||*+*/||<ЧИ| + 1Ы|. ■
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Показать, что знак равенства в неравенстве Коши — Буняковского
имеет место в том и только в том случае, когда χ = Ху, где λ 6 С
5.2. Доказать, что для любых х, у ζ Η справедливо равенство
параллелограмма
Н* + У\\* + \\х-У\\* = 2(\\х\\* + \\У\\%)· Μ
5.3. Доказать формулу
1х.У)=-Т(\\х + У\\,-\\х-У\\* + Ч\х+*У\\Л-Ц\х-1у\\*)· (5-5)
5.4. Пусть Ε — линейное нормированное пространство, в котором для
любых xt у выполняется равенство (5.4). Показать, что а) формула (5.5) задает
на Ε скалярное произведение; б) Ε — предгильбертово пространство ■<=>-
каждое двумерное подпространство Ε является предгильбертовым.
Поскольку предгильбертово пространство является линейным
нормированным пространством, то в нем можно рассматривать
понятие полноты по норме, определенной скалярным произведением.
Определение 5.3. Предгильбертово пространство, полное
относительно нормы \\х\\ = V(x, χ), называется г и ль бе ρ то вым
пространством.
Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств
приведены в следующих параграфах.
Теорема5.2 (о пополнении предгильбертова
пространства). Для любого предгильбертова пространства
170

Я существует гильбертово пространство Η (пополнение Η) такое,
что Я cz Я, Я всюду плотно в Η и (χ, у)н = (х, у)н (Va:, у ζ Η).
Доказательство. По доказанному в теореме 5.1 Я
является линейным нормированным пространством. Поэтому в силу
теоремы 4.2 существует банахово пространство Я, являющееся
пополнением Я. Введем в Я скалярное произведение и покажем, что Я
является искомым гильбертовым пространством.
Пусть % у£Н, т. е. х, 7/— классы фундаментальных
последовательностей. Выберем в этих классах некоторые
последовательности (Χη)Ζ=1 ζ. % (Уг1)п=\ £У И ПОЛОЖИМ
def
(*» i/)// = lim(*"> Уп)н- (5.6)
/2-*-оо
Покажем, что это определение корректно, т. е. что предел в
правой части (5. 6) существует и не зависит от выбора представителей
классов х, у. Рассмотрим числовую последовательность ((хп, yn))ZLi
и покажем, что она фундаментальна. Действительно,
|( Хт, Ут) — (Хп, Уп)\<\ (Хт, Ут) ~ (Хт, Уп)\ + \ (*т, Уп) ~ (*я, Уп) | =
= |(*т, Ут — Уп)\+\(Хт — Хп, Уп)\ <\\Хт\\ ■ \\Ут — Уп\\ +
+ \\Хт — Хп\\ '\\Уп\1
Поскольку фундаментальная последовательность в метрическом
пространстве ограничена, то существует такое с >0, что
\{Хт, Ут)—(Хп, Уп)\<С{\\Хт — Хп\\ + \\Ут — Уп\\\
и из фундаментальности последовательностей (χη)Ζ=ι и (уп)^=\
следует, что числовая последовательность ((хп, yn))Z=\ фундаментальна,
поэтому предел в (5.6) существует. Покажем, что он не зависит
от выбора представителей классов. Пусть также (x'n)Z=i £x> (Уп)%=\£у>
тогда аналогично предыдущей оценке имеем
\(хп> yn) — (xh, yk)\<\\xn\\ · \\Уп — Уп\\+ \\χη — χ'η\\ · Ш1 <
<С(\\Хп — Хп\\+\\Уп — У'п\\).
Поскольку (хп) ~ (х'п) и (уп)—(у'п), то последнее выражение
стремится к нулю, поэтому lim(#rt, уп) ==\im(Xn, y'n), и корректность
П-+оо П-уоо
определения (5.6) доказана.
Проверим, что (х, ~у)% удовлетворяет аксиомам скалярного
произведения. Понятно, что (х, х)% > 0 как предел последовательности
неотрицательных чисел. Если £ = 0, то (0, 0, ...)£я и,
следовательно, (х, 5с)д = 0. Обратно, если 0 = (х, 5c)g = lim(xny хп) =
= lim || хп\\2, то (хп) — (0, 0, ...), т. е. χ = 0. Выполнение аксиом
Я-юо
2 и 3 очевидно.
171

Если теперь ввести в Η норму по скалярному произведению
\х\\ = VGc> *)й» т0
||χ||н = Vlim{xn, хп) - НтЯет = Нт||хп||,
П-*-оо П-+оо гс-юо
т. е. эта норма совпадает с нормой в банаховом пространстве
Н. Поэтому Η — гильбертово пространство.
Отождествим элемент χζΗ с классом χ £ Я, содержащим ста.
ционарную последовательность. Тогда можно считать, что НаН.
При этом для любых ху у ζ Η имеем
(*> У)н = (*> #)л = lim(*> У)н = (*» #)*·
Плотность Я в Η непосредственно следует из теоремы 4.2. ■
УПРАЖНЕНИЯ
5.6. Доказать, что в комплексном предгильбертовом пространстве Я
справедливы равенства:
N
а) (*, У) = "37 Σ || *+ **"*'^ ||2 *2да, W > 3;
2π
б)(*.у) = 4.) ΐ|*+β<β*ΐΐ'βΜ<ίθ·
о
5.6. Доказать, что в предгильбертовом пространстве: а) для любых элемен
тов х, у, z имеет место тождество Аполлония
б) для любых элементов х, уу ζ, ν имеет место неравенство Птолемея
\\x-Z\\.\\y-v\\<\\x-y\\.\\t-O\\+\\y-t\\.\\X-O\\.
5.7. Проверить выполнение аксиом скалярного произведения, если:
а)Я = С", (х,у)Ш% xJk;
b
б) Η = С ([а, Ь]), (х, if) = J * (ОЙО Λ.
Являются ли эти пространства гильбертовыми?
§ 6. КВАЗИСКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
И ПОЛУНОРМЫ
Рассмотрим одно обобщение понятия скалярного произведения.
Определение 6.1. Пусть Η — комплексное линейное
пространство и пусть каждой паре элементов х, у ζ Я поставлено в
соответствие комплексное число (я, у) таким образом, что выполняются
все аксиомы скалярного произведения, за исключением условия (х> х) =
172

= О =* χ = 0. Тогда {χ, у) называют квазискалярным
произведением.
Легко видеть, что квазискалярное произведение антилинейно по
второму сомножителю и удовлетворяет неравенству Коши—Буня-
ковского-
Рассмотрим множество L = {x£H\(x, х) = 0}. Из неравенства
Коши — Буняковского сразу следует, что если хотя бы один из
векторов х, у входит в L, то (я, у) = 0. Покажем, что L —
линейное множество. Действительно, пусть х, y£L, λ, μ ζ (С, тогда
(λχ + μΰ, λχ + Μ) = \%\*{χ,χ) + λμ{χ^) + ϊμψ, χ) + |μ|2(ί/, */) =
= 0, т. е. λχ + \xy£L.
Назовем элементы χ> χ' ζ Η эквивалентными (χ ~ χ'), если
χ — χ' ζ L. Из линейности L сразу следует, что отношение ~
рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением
эквивалентности. Рассмотрим совокупность классов смежности по
этому отношению, т. е. фактор-пространство H/L. В HIL естествен·
ным образом вводятся операции сложения и умножения на скаляр:
суммой X + Υ классов Χ, Υ £ HIL назовем класс, содержащий
вектор χ + у (где χ ζ X, у £ Υ). Аналогично через λΧ обозначим
класс, содержащий элемент λχ(χζΧ). Из линейности L
легко следует, что это определение операций корректно, т. е. не
зависит от выбора представителей классов. Непосредственно
проверяется также выполнение свойств этих операций. Отметим, в
частности, что роль нулевого элемента в HIL играет класс L. Итак,
HIL — линейное пространство.
Введем теперь в HIL скалярное произведение. Положим
(X, Y)h/l = {х, у), где χ ζ X, у ζ Υ. Проверим корректность этого
определения. Пусть также χ' £ X, у' ζ Υ. Тогда (х> у) — (х\ у') =
= (*> У) — (х\ У) + (*'» У) — (*'» У') = (* — *'. У) + {х\у —у') =
= 0, поскольку χ — х', у — у' ζ L. Следовательно, (xf у) =
^ (*'»*/')> т. е. приведенное определение корректно. Ясно, что
(X, Y)h/l—квазискалярное произведение. Покажем, что оно
является скалярным произведением. Пусть (X, X)h/l = 0. Это означает,
что (Vx £ Χ): (я, χ) = 0, т. е. χ £ L. Таким образом, X = L, т. е.
X — нулевой элемент в H/L.
Таким образом, по линейному пространству Я, снабженному
квазискалярным произведением, всегда можно построить фактор-
пространство HIL, являющееся предгильбертовым. ■
Определение 6.2. Функцию Ε Э х '->- ||я|| 6 IR, заданную на
линейном пространстве Е, называют полунормой, если она
удовлетворяет всем аксиомам нормы (определение 3.1), за исключением условия
И = 0 =* χ = 0.
Легко видеть, что если (я, у) — квазискалярное произведение,
то ||я|[ = V(x, x) является полунормой. Примеры полунорм и
квазискалярных произведений будут рассмотрены в последующих
параграфах.
173

УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Пусть || #||—полунорма на линейном пространстве Е. Доказать,
что:
а) L = [χ ζ Ε 11| л: 11 = 0} — линейное множество;
б) отношение χ ~ х', если χ — χ' £ L, является отношением
эквивалентности;
в) функция || Х\\дп = || * || (χζΧ) является нормой на
фактор-пространстве E/L.
6.2. Проверить выполнение аксиом квазискалярного произведения,
определи
лить множества L и H/L, если: а) # = ©^, (х, у) = JJ &пхпУп> гДе ίαι» ···
п=\
... » а//} — фиксированный набор неотрицательных чисел; б) Η = С ([а, Ь]),
а+Ь
2 Ъ
(*,*/) = J x(t)yU)dt; в) Н = С([а, Ь]), (х, y) = ^p(f)x(f)W) M, где
а а
ρ (t) > 0 (t£[at b]) — фиксированная функция из С ([а, Ь]).
6.3. Проверить выполнение аксиом полунормы, определить множества
L и EIL, если : а) Е = С1 ([а, 6]), ||*|| из упр. 3.6, б); б) Ε = С1 ([а, 6]), || * ||
из упр. 3.6, в).
6.4. Пусть Ε — линейное нормированное пространство, не
предполагаемое полным, и F — его подпространство. Доказать, что если F и E/F —
банаховы пространства, то и Ε — банахово.
§ 7. ПРИМЕРЫ БАНАХОВЫХ
И ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
1. Пространства £Ν и IR^. Рассмотрим различные способы
нормировки линейного пространства £N упорядоченных наборов
(хъ х2, ... , xn), #/£(С· Для IR^ эти рассмотрения совершенно
аналогичны.
а) для * = (*!,..., xn) wy — (yv . .. , у ν) введем скалярное
произведение по формуле
N
(*» у) = Σ xj7h
Легко видеть, что аксиомы скалярного произведения выполнены.
Это скалярное произведение порождает норму
ΙΙ*Ι|2 = (ΣΙ*/ΙΤ2;
б) введем в $N норму
ΙΙ*ΙΙι«Σΐ*/Ι·
Аксиомы нормы здесь, очевидно, выполняются;
в) обобщая рассмотренные в а) и б) нормы, можно при любом
ρ > 1 рассмотреть норму
ιι*ιΐρ«(£ιι*/ΐ')1".
174

Первые две аксиомы нормы, очевидно, выполняются. Неравенство
треугольника следует из неравенства Минковского для сумм:
(Σ I */ + vi \р)1/р < (ΣI*/ \РУ/Р + (Σ IУ1 П1р.
Это неравенство доказывается совершенно аналогично неравенству
Минковского для интегралов, которое доказано в следующем
параграфе. В частности, при ρ = 1 и ρ = 2 мы получаем нормы из
п. а), б);
г) наконец, пространство €Ν можно снабдить нормой
||*||о = тах{|*/||/= I, ... , Ν).
Выполнение аксиом нормы здесь проверяется непосредственно.
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Доказать, что ||л;||0=Нт ||*|L.
р-+оо
7.2. Доказать, что сходимость в €N по любой из рассмотренных норм
эквивалентна покоординатной сходимости. Отсюда, в частности, следует,
что пространство ©^ полно по любой из этих норм.
7.3. Изобразить сферы ^ (0) в IR2 и IR3 в каждой из норм || χ ||0, || χ \\lt \\x\\2.
7.4. Доказать, что при любом ρ >> 1 существуют положительные
постоянные ср и ср такие, что
ίρΙΙ*ΙΙο<ΙΙ*ΙΙρ<^ΙΙ*ΙΙο.
т. е. нормы || · ||0 и || · ||р эквивалентны (см. упр. 4,3). Доказать, что все
нормы в С^ эквивалентны.
2. Пространство С (Q). Пусть Q — компакт, т. е. компактное
хаусдорфово топологическое пространство. Рассмотрим множество
С (Q) всех непрерывных комплекснозначных функций
Q Э<71-**(<7)€ (С·
Очевидно, С (Q) является линейным пространством с естественными
операциями сложения функций и умножения на число. Введем
норму
||x|| = max{|x(?)||?6Q}.
Этой норме соответствует метрика
p(*f y) = max{\x(q) — y(q)\\q£Q}.
Как известно из курса математического анализа, сходимость в
метрическом пространстве (C(Q),p) — это равномерная сходимость
на компакте Q, причем это пространство полно. Таким образом,
С (Q) — банахово пространство.
Упражнение 7.5. Доказать полноту пространства С (Q).
Замечание 7.1. Пусть Q — [qv ... , qn}. Каждой функции x(q)
на таком компакте отвечает вектор X = (х{цг) *(9")) =*
175

*= (χν ... > χη)ζ£η и наоборот. Таким образом, в этом случае
^(0) = (Сл с нормой \\х\\0, рассмотренной в п. 1г).
3. Пространство Μ {R). Пусть R — произвольное множество
(вообще говоря, не наделенное топологией). Обозначим через Μ (R)
i овокупность всех ограниченных функций
RBq -**(?) 6 (С·
Очевидно, Μ (R) — линейное пространство. Введем в этом
пространстве норму
||*|| =sup{|*fo)||<76*}.
Выполнение аксиом нормы проверяется непосредственно. Проверим,
например, аксиому треугольника. Очевидно,
(УЯ^Я)г\х(д) + у(Ч)\<\х(Ч)\+\у(Ч)\<\\х\\ + \\у\\9
поэтому
\\x + y\\=sup{\x(q) + y(q)\\q^R}<\\x\\ + \\y\\. Ш
Теорема 7.1. Пространство Μ (R) полно, т. е. является
банаховым пространством.
Доказательство. Пусть (хп)п=\ — фундаментальная
последовательность в M(R). Тогда при каждом фиксированном q£R
числовая последовательность (xn{q))n=i фундаментальна, поскольку
(Vт, η£ RJ) 11 хп (q) — xm(q)\<\\хп — хт\\. Поэтому при каждом
q£R существует предел x(q) = \imxn(q).
Покажем, что x£M(R) и х=\\тхпу т. е. \\хп— *||->0. Пос-
кольку последовательность (xn)n=i фундаментальна, то (Υε > О
(Htf(e))(V/i, m>N(s))i\\xn — *m||<8, т. е. (Vq£R):\xn(q) —
— Xm(q)\<.&- Переходя в последнем неравенстве к пределу при
т-^оо, получим
(Vn>N (e))<yqtF)\\Xn{q) — x{q)\<*. ί7·1)
Кроме того, поскольку последовательность {хп)п=\
фундаментальна, то она ограничена по норме, поэтому (Яс>0)(Чп)1\\хп\\<
< t, т. е. (Vq£R)i\xn(q)\<c. Тогда
<Уч£Я):\х{Я)\<\ХпШ + \х(я) — Хп(я)\<с + г9
а это означает, что x£M(R). Теперь из (7.1) следует, что
(Ve > 0) (5N (ε)) (Vn > Ν (ε)): || χη - χ || <: ε,
т. е. χ = limxn. Ш
П-юо
Замечание 7.2. Пусть Q — компакт. Рассмотрим пространства
C(Q) и M(Q). В силу теоремы Вейерштрасса C(Q)^M(Q). Кроме
того, если x£C(Q), то ||x||aw) = ||*||с(С). А поскольку C(Q)
линейно и замкнуто (так как C(Q) полно), то C(Q) является
подпространством M(Q).
176

4. Пространство Cm(G). Пусть G— ограниченная область
пространства IR^, G— ее замыкание. Обозначим через Cm(G) линейное
множество всех функций
бЭ91-**(<7)6(С»
имеющих на компакте G непрерывные производные до порядка т
включительно. Это означает, что каждая такая функция χ является
сужением на G функции y£Cm(!RN). Норма в этом пространстве
определяется так:
\\x\\=max{\(D"x)(q)\\qtG, \а\<т).
Здесь используются обозначения
α = (αν . . . , ам)> | ос | = αχ + ... + α#,
Πα _ Π«ι Γ}αΝ П. — JL
υ -их ... υΝ , υj - ^.
Упражнение 7.6. Доказать, что Ст (G) с указанной нормой является
банаховым пространством.
5. Пространство С°° (G). Пусть, как и в предыдущем примере
G — ограниченная область в IR^. Обозначим через О (G) множество
всех бесконечно дифференцируемых в G комплекснозначных
функций. Понятно, что это линейное пространство. Для χζΟ°°(δ)
определим серию норм
II*IU = II*IIc*(g> (m = 0, 1, 2, ...).
Ясно, что || χ||0 < ||χ||χ < ... По этой серии норм в С°°(5) можно
выделить следующую систему окрестностей:
Σ = Κ/(*ο> т, e)|xb£C-(Q; т = 0, 1, ... ; ε>0},
где
U(x0, m, e) = {x£C-(G)\\\x — x0|U<e}.
УПРАЖНЕНИЯ
7.7. Показать, что (С°° (G), Σ)—линейное топологическое пространство.
7.8. Введем в С°° (G) метрику по формуле
*» У) = 2j
1 II* —«/
т=0
Показать, что сходимость хп -> χ по этой метрике эквивалентна сходимости
в смысле топологии Σ.
7.9. Доказать, что в С°° (G) нельзя ввести норму ||*|| так, чтобы
сходимость || хп—*||-»-0 была эквивалентна ρ (хп, #)->0 (т. е. С°° (3) не
является линейным нормированным пространством).
177

7.10. Доказать, что при р< 1 и N > 2 \\х\\р = (JJ \Xj\pyiP не является
/=1
нормой в С .
7.11. Обозначим через Lipa([a, b]) линейное пространство функций,
удовлетворяющих на [a, Ь] условию Гельдера (или условию Липшица с
показателем a): \x(q)—x(q')\ <M\q — q'\(X, ag(0, 1]. Доказать, что: а) Lipa([a, b\)
является банаховым пространством относительно нормы ||*||а = max {\x(q) \\
qtla, b]}+ sup { \x{q) — x{q')\ · \q-q'T~\q> Я' € [α, b] q + q'}\
6) Lipa([a, b]) является подпространством С ([a, b])\ в) || . ||a и || . \\С([а,Ы)
на Lipa([a, b]) не эквивалентны.
m
7.12. Положим для x£Cm (G): || * \\t = J] max {\(Dax) (q)\\q£G, | α | = /},
m
ΙΙ*ΙΙι-(Σ max{|(Da*)(<7)|2|<7£G, |a| = /})1/2. Доказать, что || . |li. II · На
/=°
являются нормами на Cm (G), эквивалентными введенной в п. 4.
7.13. Какие из введенных в упр. 3.6 норм на С1 ([a, b]) эквивалентны
норме из п. 4?
§ 8. ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. ПРОСТРАНСТВА 1р
1. Неравенства Гельдера и Минковского. Определение пространств
Lp. Пусть (R, ΐϋ, μ) — пространство с σ-конечной мерой и /? > 1.
Измеримая функция xiR$qi-*x{q)£(£ называется суммируемой
с /?-й степенью, если
(8.1)
ίΐ*(?)Ι'*μ(?)·
Совокупность всех таких функций обозначается Lp (R, άμ) или
короче, Lp. Если, в частности, R с: T^N и μ — мера Лебега, то это
пространство обычно обозначают через Lp (R). Ближайшая цель —
показать, что Lp — линейное пространство (с естественными
операциями сложения и умножения на числа), и снабдить это
пространство нормой. Всюду в дальнейшем для ρ >1 мы будем через р'
обозначать так называемый сопряженный показатель, определяемый из
условия XI ρ + lip' = 1.
Лемма 8.1 (неравенство Юн·
г а). Для любых а, 6 > 0 и р>\ имеет
место неравенство
η-ξΡ-1
ab
аР,ЬрГ
р+р'
(8.2)
Рис. 7
Доказательство. Рассмотрим в
первом квадранте плоскости S-Οη кривую
η = ξ"-1 (рис. 7) и вычислим площади 5Х
и 52 криволинейных треугольников, огра-
178

ничейных этой линией, осями координат и прямыми ξ = α, η = b:
а
О
ь ι ъ
о о
Теперь (8.2) следует из очевидного неравенства ab ^.S^-^S^ щ
Теорема 8-1 (неравенство Гельдер а). Пусть р>\.
Тогда (Υχ£Lp){Чу ζLp>) :xy^Lx и имеет место неравенство
$|*(?Ж?)|ф(?)<($|*М^^ (8.3)
R R R
Доказательство. Положим в неравенстве Юнга (8.2)
R R
и проинтегрируем полученное неравенство. Получим
\\ху№{1\х\ы^~ир{1\у\г'а»у1'Р' = ± + ± = \,
R R R
откуда и следует, что j |л#|ф><оо, т. е. xy£Llf и имеет место
R
неравенство (8.3). ■
Теорема 8.2 (неравенство Минковского). Пусть
р>1. Тогда (V#> y£Lp):x + y£Lp и имеет место неравенство
(ίΐ^(?) + ί/(?)№(?))1/Ρ<(ίμ(^)Ι^μ(9))1/Ρ +
R R
+ (\\y{q)\pd^q)jlP. (8.4)
R
Доказательство. При ρ = 1 утверждение теоремы
тривиально. Пусть р>1, тогда включение x + y£Lp, т. е.
суммируемость | χ + у \р9 следует из неравенства (a + b)p <ic (аР + Ьр)9
где а, Ь — произвольные неотрицательные числа, с—некоторая
константа, зависящая от р. Далее
\\x + y\pd\x = \\x + y\ >\x + y\p-ld\i<
R R
l\x\>\x + y\p-ld\b + \\y\*\x + y\>-ld)x. (8.5)
R
179
R
R

Поскольку (р—1)р' = р, то, применив к каждому из слагаемых
правой части (8.5) неравенство Гельдера, получим
J \х + ΰ\Ράμ < (J \χ\Ράμ)1/Ρ (J \х + у ράμ)1* +
R R R
+ {\\уЫ1р{\\Х + у\ы»)Ур\
R R
и для завершения доказательства достаточно разделить обе части
полученного неравенства на (j \χ + 1/\ράμ) Ρ . Ш
R
Вернемся к введенному в начале параграфа пространству
LP(R, άμ). Из теоремы 8.2 следует, что это пространство линейно.
Для x£Lp(R, άμ) положим
ΙΙ^ΙΙρ = (ίμ(?)!^μ(ί))1/Ρ.
R
Легко видеть, что ||*||ρ>0, ||λ^||ρ = |λ| · ||х||р, а из неравенства
Минковского (8.4) следует, что || χ + у \\р < \\ χ \\р + \\у \\р. Таким
образом, \\х\\р удовлетворяет всем аксиомам нормы, за
исключением условия || л; ||р = 0=»д; = 0. Действительно, из того, что
j Iх (?) \р Φ (?) = 0» следует лишь, что χ (q) = 0 (mod μ). Итак,
R
\\x\\p — это не норма, а полунорма (см. § 6).
Обозначим через L линейное множество {χ £ Lp {R, άμ) \ \\ χ ||^=0}
и рассмотрим фактор-пространство Lp/L. Для X£LP[L положим
IIΧ IIlp/l = 11 x \\ρ (x £ Χ). Это определение корректно, и \\Х\\Ьр/Ь
является нормой на Lp/L (см. упр. 6.1). Таким образом, Lp/L —
линейное нормированное пространство, нулем этого пространства
является класс функций, равных нулю μ-почти везде. В
дальнейшем пространство Lp/L будем обозначать через Lp, его элементы
(т. е. классы) будем называть функциями, суммируемыми с /?-й
степенью. Сходимость по норме пространства Lp обычно называют
сходимостью в среднем степени ρ (в частности, при ρ = 2 —
в среднем квадратичном, при /7=1—в среднем).
Теорема 8.3. Пространство Lp при любом ρ > 1 полно,
т. е. является банаховым пространством.
Доказательство проведем в три этапа.
1). Докажем сначала теорему для случая ρ = 1. Пусть задана
фундаментальная последовательность {хп)п=\ с: Ьг (Ry άμ). Нужно
доказать, что существует такой элемент x^L1(Rt άμ)> что
lim || хп — ^ ||ι = 0. Поскольку последовательность (χη)η=ι фунда-
ментальна, то достаточно показать, что она содержит сходящуюся
подпоследовательность. Эту подпоследовательность мы выберем
следующим образом. Так как (хп)п=*\ фундаментальна, то НтЦлг^—
т,п-+ ©о
180

— #m||i = 0, поэтому существует такая последовательность
индексов п1<л2 < ... , что
(V/ζ И): II*Я/+1 — *», III·— J IS+ifa)_ *n/ WI d^(?)< ^ · (8·6)
я
Рассмотрим функциональный ряд
Ъ(ч) + {Хпш(Я) — *п1(ч)) + (ХпЛя) — ХпаШ+ ... , (8.7)
для которого хп% (q), хП2 (q), ... — частные суммы, и составим ряд
из модулей членов этого ряда
Мч)\ + \хпЛч)—*п1(д)\ + \хпш(я)—хпЛч)\+ ·.. (8.8)
Члены этого ряда неотрицательны, и интегралы от его частичных
оо
сумм в силу (8.6) не превосходят Г | χηι \ άμ + V -γ = Г | хп± \ άμ-\-1.
R /=i R
По следствию из теоремы Леви ряд (8.8) сходится μ-почти везде
к некоторой суммируемой функции у (q) > 0. Следовательно, и ряд
(8.7) сходится μ-почти везде к некоторой функции x(q)> т. е.
xni(q)^x {q) (mod μ).
Остается показать, что х^Ьх и \\хп. — я||1->*0 при /->*оо.
Поскольку последовательность (χη)Ζ=ι фундаментальна, то при
фиксированном ε>0 при достаточно больших /, /
I |хл/ —*Л/|ф = \\Xnj — ^ΙΙι<ε.
R
Воспользовавшись леммой Фату, перейдем в этом неравенстве к
пределу под знаком интеграла при / ->оо. В результате получим
) \χηί — Χ\άμ<.Β.
R
Отсюда следует, что хп. — χ £ Lb поэтому и χ = хп. — (хп. — х) gLx
и Нт||хя, — α:||ι = 0, и полнота пространства LX доказана.
/-00
2). Пусть р> 1 и мера μ конечна. Если {хп)п=\ czLp(R, άμ) —
фундаментальная последовательность, т. е. \\хп — хт \\р->■ О при
ту /г-^оо, то в силу неравенства Гельдера имеем
\\Xn — Xm\\i= j \Χη — Χηι\άμ<{\\χη — Χηιγάμ)ΙΙΡ Χ
R R
X (J άμ)1"' = \\Xn-XmbW)W>
и, следовательно, последовательность {хп)п=\ фундаментальна и в
норме Ζ,χ. По доказанному в п. 1) существует
подпоследовательность {xn])jLv сходящаяся μ-почти везде к некоторой функции x(q).
181

Поскольку последовательность (χη)η=ι фундаментальна в норме
Lpt то для фиксированного ε > 0 при всех достаточно больших
/, / имеем
]\ Χη} — Χηι\ράμ<ζ.
R
Применив лемму Фату и перейдя в этом неравенстве к пределу
при I ->- оо получим
\хП} — х\р άμ<ε9
я
поэтому x£Lp и \\xnj — х\\р-+0 при у'-^оо.
Поскольку последовательность (хп)п=\ фундаментальна, отсюда
следует, что Нт||д;п — χ\\ρ = 09 и полнота Lp в случае конечной
меры μ доказана.
3). Пусть теперь ρ > 1 и μ является σ-конечной мерой. Из
определения σ-конечной меры следует, что
R =5 д, (#.пя/=0 ПрИ i¥sj9 μ(/?,)<«,). (8.9)
Пусть (хп)п=[С2 Lp(Rf άμ)— фундаментальная последовательность.
Тогда ясно, что каждая из последовательностей (Χη)η=ι
фундаментальна в норме Lp(Riy άμ) (здесь х{п — сужение функции хп на Rc).
Воспользовавшись доказанным в п. 2), мы можем из
последовательности (Хг)п=\ выделить подпоследовательность (*/)/1ι,
сходящуюся μ-почти везде на Rx к некоторой функции х1. Далее, из
последовательности (*l/)/Li выделим подпоследовательность (#/)/1ь
сходящуюся μ-почти везде на R2 к функции х2. Продолжая этот
процесс, мы сможем затем построить диагональную
последовательность (#/)/1ь которая будет сходиться μ-почти везде на R
к функции х, определяемой условием
*(?) — *'(?) ПРИ ?€#*.
Остается проверить, что x^Lp{R, άμ) и что \\хп. — #||ρ->-0
при /-^оо. Это доказывается точно так же, как в п. 2). ■
2. Всюду плотные множества в Lp. Условия сепарабельности.
Напомним, что топологическое пространство называют сепарабель-
ным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество.
Следующая теорема поможет изучить вопрос о сепарабельности
пространств Lp в зависимости от свойств меры μ.
Теорема 8.4. В пространстве LP(R, άμ) всюду плотно
множество S простых функций вида
η
*(<7) = Σ (α/ + Φ/)Χ*/(ί).
где α/, β/ — рациональные числа, 5/£9ΐ, причем μ(β/)<οο.
182

Доказательство. Из определения σ-конечной меры
следует, что имеет место представление (8.9). Пусть x£Lp(R, άμ).
Согласно определению интеграла по σ-конечной мере,
оо
11*112-ίΐ*Ι'Φ = Σί И'4*· (8Л0>
Поскольку ряд в (8.10) сходится, то
(Ye>0)(3Af = Af(e)): £ ||*Гф<(|)Р. (8.11)
Ν
Положим R' = U Rk. Ясно, что μ^')<. оо. Если теперь положить
k=l
v /лч_ /*(?)> если *£#'>
*iWJ- \ 0, если *$#,
то из (8.11) следует, что \\х— *illp<e/4. Далее, согласно
определению интеграла от неограниченной функции, найдется такая
о
«срезка» х2 функции хъ что || хг — х2 \\р < -^ . Воспользовавшись
определением интеграла от измеримой ограниченной функции,
η
найдем такую простую функцию х3 = ^j ci ^вр чт0 II хъ~ хз \\р < "f"·
Наконец, числа Cj £ (С можно приблизить числами α;· + /β/ (а/,
p/£Q) так, что || Σ (с,· —α, —ίβ/)χβ/||Ρ<ε/4, т. е. || х3 — *4 \\р <
Π
<ε/4, где #4 = Σ (а/ + ф/)%в,£5. Тогда
/=ι '
II χ — ч IIρ < \\χ — χι \\р + II χι—*2 \\Р +11*2 — *з Нр +
+ IUs — *4llp<e. ■
Определение 8.1. Мера μ, заданная на измеримом
пространстве (R, 9Ϊ), называется сепарабельной, если
существует такой счетный набор 9ί = {Av Л2, ...} измеримых
множеству что
(Ye > 0) (Vfi ζ Щ (ЗЛ* g Я): μ (Λ*Δβ) < ε
(напомним, что Δ — знак симметричной разности).
Иными словами, сепарабельность меры μ означает, что сепара-
бельно метрическое пространство (9Ϊ, р> с метрикой
def
ρ (Л, β) = μ (ЛАЯ). (8.12)
Сепарабельную меру называют также мерой со счетным базисом 3f.
183

Сепарабельной является, например, мера Лебега на [а, Ь). Для
этой меры можно положить, например,
» = {JJ [α/, β/) К, pyGQ П [а, 6); л € И}
(см. теорему 1.6.5).
УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Показать, что функция р, определенная по формуле (8.12),
удовлетворяет аксиомам метрики, кроме ρ (Л, В) = 0 =¥ А = В (ср. упр. 1.5.7).
8.2. Показать, что мера Лебега на IR^ сепарабельна.
8.3. Пусть μ — мера на счетной алгебре 9ΐ'. Доказать, что ее продол же-
ние μ на σ-алгебру измеримых множеств является сепарабельной мерой.
Следующая теорема показывает целесообразность рассмотрения
класса сепарабельных мер.
Теорема 8.5. Если μ — сепарабельная мера на измеримом
пространстве (R, 9ΐ), то пространство Lp (R> άμ) сепарабельно.
Доказательство. Покажем, что счетное множество
простых функций
η
S' = [χ(q) = Σ (α/ + ЩΙα: (q) Ι α,·, β/ζ (Q, Л, £ «, μ (Л,) < οο}
/=ι
всюду плотно в LP(R, άμ). Возьмем сначала произвольное
множество В ζ dt. Тогда, по определению сепарабельности меры,
(У8>0)(аЛ/е»):ц(Л/А5)<вР. Но
μ (Л/ ΔΒ) = £ χ^/Δβ β?μ = £ | χ^. — χβ| άμ =*
= J I Хлу — Хб I" φ = || 1aj — 1b \\pp.
R
Следовательно,
(Ye>0)(Vfi6JR)(H4/e»):||X^/—Хв||р<8. (8.13)
Теперь нетрудно доказать плотность S' в Lp. По теореме 8.4
для любого x£Lp(R, άμ) и для любого ε>0 найдется простая
функция хг£8 такая, что \\х — *1||/?<ε/2. Далее, из (8.13)
следует, что для Α:χζ5 найдется такая простая функция x2(zS', что
II *ι — *81 k < 8/2· ТогДа IIх — х2 \\р < ε· ■
Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай,
когда R = (R, р) — метрическое пространство.
Определение 8.2. Пусть R — метрическое пространство и σ-
алгебра 9Ϊ его подмножеств содержит все открытые множества.
Мера μ, заданная на (R, 9ΐ>, называется регулярной, если
(ΥΑ ζ 9Ϊ): μ (Α) = sup {μ (F) \ F α A, F — замкнутое} =
s= inf {μ(G) |G о Л, G — открытое].
184

Легко видеть, что это определение эквивалентно следующему:
(VЛ ζ Щ (Ve > 0) (3F8, G8): F8 с Л с: G8, μ (Ge\FB) < ε
(FQ — замкнутое, Ge— открытое). Из теорем 1.10.4 и 1.10.5 сразу
следует, что мера Лебега регулярна.
Упражнение 8.4. Доказать, что теорема Лузина (С-свойство измеримых
функций) справедлива в любом пространстве с регулярной мерой.
Обозначим через С (R) пространство всех непрерывных на R
функций. Вообще говоря, С (R) φ Lp (R, άμ) (например,
константа не суммируема по множеству бесконечной меры), но пересечение
этих пространств непусто.
Теорема 8.6. Если мера μ регулярна, то С (R) [) Lp (R, άμ)
всюду плотно в LP(R, άμ).
Доказательство. В силу теоремы 8.4 достаточно прове-
рить,что функциями из С (R) можно с произвольной точностью
приблизить индикатор 1а любого множества Α £ 9ϊ (μ (Л) < оо)).
Поскольку мера μ регулярна, то для любого ε>0 найдутся замкнутое
множество Fe и открытое множество G8 такие, что Fe a A a Ge и
μ (Ge\Fe) < ε. Рассмотрим функцию
Ш = J^ . (8.14)
Здесь G8 = R\G&, а расстояние от точки до множества, как обычно,
определяется формулой р(д, В) = M{p(q, s)\s£B).
Функция хе непрерывна, поскольку р(·, ·) — непрерывная
функция и знаменатель в (8.14) не обращается в нуль. При этом
xe{q) равна нулю на Ge, единице на F8 и принимает значения из
интервала (0, 1) на Ge\Fe. Кроме того,
] хре άμ < J xe άμ < μ (Ge) < μ (Α) + ε < со,
r R
так что xe(:Lp(R, άμ). Наконец, учитывая, что |%л(<7) — лг8(#)|<
< 1 (Vq £ R) и Χα (?) — *ε (q) = 0 на F8 и Ge, получим
№а — х* \\р = J \1Α—Χζ\ράμ <μ(ΰΒ\ΡΒ) < ε. ■
R
Упражнение 8.5. Пусть метрическое пространство R является
объединением не более чем счетного множества компактов и пусть μ— регулярная
мера на (R, !Н), принимающая на компактах конечные значения (примером
такой меры является мера Лебега на IR^). Доказать, что в Lp (R, άμ) всюду
плотным является множество С0 (R) всех финитных непрерывных на R
функций (непрерывная функция χ (q) называется финитной, если она равна нулю
вне некоторого компакта).
3. Различные виды сходимости в Lp. Элементы пространства
1Ρ№>άμ) — измеримые функции, а для последовательностей
измеримых функций ранее (в гл. II) изучались различные виды сходи.
185

мости. Выясним, как эти виды сходимости соотносятся со
сходимостью хп (q) -> χ (q) в среднем степени р, т. е. со сходимостью в норме
а) Покажем прежде всего, что из сходимости хп -> χ в норме Lp
следует сходимость по мере хпЛ~х. Это следует из того, что для
любого σ > О имеет место неравенство
^\χη — χ\ράμ>> j I *„ — χ\Ρ(Ιμ>>σρμ({η\ \χη — x\ > σ}).
б) Напротив, из сходимости хп-+х в норме Lp, вообще говоря,
не следует сходимость μ-почти везде. Действительно, рассмотрим
последовательность (φη)^ι, построенную в замечании Н.4.1. Эта
последовательность сходится к нулю по мере Лебега, но не
сходится почти везде. Кроме того, из ее построения сразу следует,
что если yn = fki, то ||φ„||£ =-£-, поэтому φ„-^0 в норме Lp.
в) Из сходимости хп-+х (mod μ) {а значит, и из хп-+х), вообще
говоря, не следует сходимость в норме Lp. Действительно,
рассмотрим в Lp([0, 1], dq) (с мерой Лебега) последовательность хп =
= /ζχΓο i-1 · 0чевиДН0> (V?€[0, l]):xn(q)-+0.
ι
Но в то же время j \x(q)\p dq = ηΡ-χ > 1, и поэтому хп++ О
о
в Lp.
г) Пусть мера μ конечна и р2> Ρι>·1· Покажем, что тогда
LP2(R, ίίμ) s L^ (/?, άμ) и из сходимости хп-+х в норме LPt
следует сходимость и в норме LPi.
Действительно, пусть г ζ LPz (R, άμ). Применяя неравенство
Гельдера (8.3) при p = p2/Pl, x(q) = \z(q)\P*£Lp(Rf άμ), y(q)=lt
получим
J Н^-1 -£<μ -< (ίΐβΙ^^μ)^"' -(μί/?))1^ = ||2T||g · (μ(/?Λ1/ρ' < cx>,
R R
τ. e. z£LPl(R, άμ). При этом из последней оценки, очевидно,
следует, что
И*1к<С(л, Λ) II г Ik-
Заменяя здесь z на хп— х, получим утверждение относительно
сходимости.
4. Пространство 1Р. Пусть R = И, 9ΐ — совокупность всех
подмножеств И, μ — дискретная мера на (R, 9ΐ) такая, что (Vn^f^)·
ί μ ({/г}) = 1. Пространство LP (Ry άμ) в этом случае обозначается через
lp, его элементы — это функции, заданные на ЭД, т. е.
последовательности комплексных чисел (Xq)£=u Для которых (см. § III. 1, III.2)
\\x(q)\p άμ^) = Yt\xq\> <оо.
R Q=\
186

Норма элемента χ — {χχ, х2, .. -)ζΙρ определяется по формуле
оо
№ = (Σ К1р)1/р. (8-15)
(7=1
Из доказанной в общем случае полноты пространства Lp (R> άμ)
следует полнота lp, т. е. 1Р — банахово пространство.
Отметим некоторые свойства пространств 1Р. Легко видеть, что
пространство 1Р сепарабельно — в нем всюду плотно счетное
множество
S=* {(rv . . . , гл, 0, 0, .. .)I^€Q» k =5 1, .. . , η; п£Щ.
Сопоставим различные виды сходимости в 1Р. Совершенно ясно,
что из сходимости χ(η) ->■ χ в норме 1Р следует покоординатная
сходимость:
(У?6й):Ит4п)=^.
При этом ясно, что покоординатная сходимость срвпадает со сходи-
димостью χ(η) -+х μ-почти везде, ноне по мере μ (см. пример 1.4.2).
Вместе с тем из покоординатной сходимости не следует сходимость
в норме 1Р. Действительно, рассмотрим последовательность
элементов
№ = (1, 0, 0, . . . ), *<*> = (0, 1,0,.. .), *<з> = (0, 0, 1,0,.. .), ...
Ясно, что эта последовательность покоординатно сходится к
элементу χ = (0, 0, 0, ...) ζ Ιρ. В то же время эта последовательность
не является фундаментальной, поскольку || #(т) — х^п) || = 2х1р при
тфп. Ш
Упражнение 8.6. Пусть ρ2>Ρι>·1· Показать, что а) 1р с 1р ; б) это
включение строгое; в) из сходимости χ(η'-*-χ в норме / следует сходимость
в норме 1р .
5. Пространства L2 (R, άμ). Завершим изучение пространств
Lp (R, άμ) рассмотрением случая /7 = 2. Для любых х> у ζ L2(R,
άμ) в силу неравенства
\_
2
\*(ч)у(я)\<т(\*Ш2 + \уШ2)
определена комплекснозначная функция
(*. 0 = J *(?)£(?) *μ(?)- (8.16)
R
Легко видеть, что (я,у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного
произведения и что ||я||а =У(х, х). Поэтому пространство L2(R,
άμ) (и, в частности, 12) является гильбертовым.
6. Функции, в существенном ограниченные. Пространство L^R,
άμ). Пусть (R, 9ϊ, μ> — пространство с мерой. Измеримая функ-
187

ция χι R^fc называется в существенном ограниченной, если
существуют с>0 и множество Αζΐϋ нулевой меры μ такие, что
(Vq£A):\x(q)\<c. Точную нижнюю грань таких констант с
называют существенной верхней гранью функции x(q) и обозначают
ess sup I x (q)\ (иногда применяют также обозначение vraimax| x(q)\).
Таким образом,
def
esssup|A;(g)| = inf sup\x(q)\. (8.17)
Понятно, что любая в существенном ограниченная функция почти
везде конечна. Однако, обратное неверно. Действительно, в случае
σ-конечности меры μ из теоремы о непрерывности для
пересечений (см. §1.8) следует, что для μ-почти везде конечной функции
x(q) мера множества {\x{q)\ >c} либо стремится к нулю при с ->■
->- + оо, либо бесконечна при любом с > 0. (Приведите примеры
таких функций.) Если же χ (q) в существенном ограничена, то
(3c>0)(Vc'>c)'^({\x(q)\>c'}) = 0.
Упражнение 8.7. Обозначим через L^ = L^ (R, άμ) множество всех в
существенном ограниченных функций, заданных на пространстве с мерой (R,
JR, μ). Доказать, что
а) LTO (R, άμ) — линейное пространство;
б) II х II оо == ess SUP I х (Q) I является нормой на фактор-пространстве L^/L,
где L = {x£Loo\x(q) = 0 (modμ)};
в) если мера μ конечна, то (V/? > 1): L^ cz L и при этом
(V*€£J:H*IL = Hm lUllp.
β-*· οο
В дальнейшем пространство LJL будем обозначать через Loo,
а его элементы (т. е. классы) будем называть в существенном
ограниченными функциями.
Теорема 8.7. Пространство Loo полно, т. е. является
банаховым пространством.
Доказательство. Пусть задана фундаментальная
последовательность (хп)п=\ czLoo. Положим
An = {qGR\\Xn(q)\>\\Xn\\-},
Anm = {q£R\ \Xn(q)—Xm(q)\>\\Xn—xm\\-}.
Из определения нормы Ц-IU сразу следует, что (Vm, /г£И)з
00
:μ(Λ,) = 0, μ04„,η) = 0. Если q § А! = U ^ww то числовая по-
следовательность (хп (q))Z=i фундаментальна, поэтому существует
предел x(q) = limxn(q). В точках q£Ae значения x(q) доопреде-
П-*-оо
ляются произвольно.
188

Поскольку последовательность (χη)Ζ=ι фундаментальна, то она
ограничена, т. е. (Зс>0)(У/г£И): || хп IU < с, поэтому и (Vq §
оо
3 А" = U Ап): | хп Ш < с. Отсюда следует, что (Vq § А = А [}
/г=1
\}А")\ \x(q)\ <с. Так как μ(Λ) = 0, то x(q)^L00.
Покажем, что хп-+х в Loo. Поскольку последовательность
(хп)п=\ фундаментальна, то
(Υε > 0)(HA0(Vn, m > АО : \\хп — хт ||~ < ε.
Отсюда следует, что
(V? 6 Л)(Ут, /г > Ν): | хя (?) — *„, (?)| < ε.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при /η->*οο, получим
(Vq £ А)(V/i > ЛО: I ** (?) — * fo)| < ε,
а поскольку μ(Λ) = 0, то это означает, что ||яя — хЦ» <: ε, τ. е.
#„->;(; в норме L^,. ■
7. Пространство /оо. Пусть, как и в п. 4 этого параграфа,
R = RJ» μ — дискретная мера, заданная на всех подмножествах f^j
условием (У/г£И): μ ({я}) = 1. В этом случае пространство Loo(R,
άμ) обозначается через /«,. Элементами этого пространства
являются ограниченные последовательности комплексных чисел χ =»
=*x(q) = (xt, x2, ...) с нормой
||*IU«sup{|*,||<7€M}·
Пространство /«> — банахово (это следует из теоремы 8.7, хотя
непосредственно это доказывается проще, чем указанная теорема).
Сходимость χ(η) -> χ в норме /то — это равномерная покоординатная
сходимость.
Упражнение 8.8. Доказать, что а) (у ρ > 1): lp с: 1Ж; б) (У ρ > 1) (ух ζ lp):
'•ll*IL<ll*ll,.
8. Соболевские пространства. Пусть G— ограниченная область
в KN, G— ее замыкание, Cl(G)— рассмотренное в п.4 §7
пространство / раз непрерывно дифференцируемых в ~G комплекснознач-
ных функций xiG-^(C (в частности, C°(G) = C(G)). Кроме того,
G можно наделить структурой измеримого пространства с мерой
Лебега, поэтому можно рассмотреть пространство Lp (G) = Lp (G,
dq) при любом ρ > 1. Поскольку δ — компакт, то непрерывные
на G функции ограничены (и измеримы) и, следовательно,
суммируемы на δ с любой степенью ρ > 1 по мере Лебега. Поэтому
189

для любой функции x(q)£Cl(G) при любом ρ > 1 имеет смысл
(и конечно) следующее выражение:
11*11/., = (,Σ \\D*x\W", (8.18)
где || ·||^ —норма в LP(G).
Упражнение 8.9. Показать, что (8.18) задает норму на С1 (G).
Линейное нормированное пространство С1 (β) с нормой ||·||/ιΡ
оказывается, как нетрудно показать, неполным. Соболевским
пространством Wlp(G) называется пополнение Cl(G) no норме ||·||/ιΡ,
определенной формулой (8.18). В частности, W°P(G) = LP(G). Ясно,
что
(Vx£C<(G)):\\x\\p<\\x\\i,p. (8.19)
Поэтому из фундаментальности в Wlp(G) последовательности
(xJnLi с: С1 (G) следует ее фундаментальность в Lp (G), и из полноты
Lp (G) — включение Wlp (G) cz Lp (G). Таким образом, элементами
Wlp(G) являются функции, во всяком случае принадлежащие LP(G).
При этом неравенство (8.19) справедливо для всех x£Wlp(G).
Можно показать, что при определенных соотношениях между
U ρ и N функции из Wlp(G) обладают теми или иными свойствами
гладкости. Соответствующие теоремы называются теоремами
вложения. Приведем формулировку одной из них (см. например, [34]).
Теорема 8.8. Если 1>Ν/ρ, то Wlp(G)czC(G)i причем (Зс>
>0№х^р(О)):\\х\\ф)<с\\х\и,р.
Доказательство этой теоремы (в общем случае довольно
громоздкое) мы приведем лишь для простейшего случая: /=1,
N=l9 G = (a, ft). Докажем, что если р>1, то W\({a, b))cz
с: С ([α, ft]), причем
(Яс>OXVx6 W\((α, ft))): || χ\\ciM) <c\\x\\ψι{(α. вд. (8.20)
Пусть χ £ С1 ([α, ft]). Зафиксируем произвольное q£(a, ft), тогда
для любого ζζ(α, ft) имеем
I
x(q) = x(Q—$*(t)dt. (8.21)
Я
Проинтегрировав это равенство по ξ в пределах от q до ft и
изменив порядок интегрирования в повторном интеграле, получим
ь ь \
(b-q)x(q) = J χ&)άξ- $ (J τί (t)dt)dl =
я я я
b b
= J x{l)dl + { (t-b)x'(t)dt. (8.22)
я я
190

Аналогично, проинтегрировав (8.21) по ξ от α до q, сложив
результат с (8.22) и разделив на Ь — а, получим
ь ь
*(Ф=Г=Га[§Х W dt + JК(q>l)%t (ί) dt)> (8'23)
a a
где функция K(q, t) ограничена в квадрате (а, Ь)Х(а, 6).
Из (8.23) при помощи неравенства Гельдера получаем
\x(q)\ < сг\\х\\р + с2\\х'\\р < max [съ с2Щх\\р + ||*'||р) <:
<c(\\x\\pp + \\xXr^c\\x\\wip{{atb)y
откуда
(Ух € С1 ([а, 6])): || χ ||С([в, 6]) < с || * |Ц «,, 6)>. (8.24)
Если теперь последовательность (хп)п=\ <= С1 ([а, Ь])
фундаментальна в норме Wp((ay &)), то она фундаментальна и в норме С {[а, Ь]),
и поэтому предельная функция входит в С ([af b]). Неравенство
(8.20) для x£Wl((a, b)) выводится из (8.24) предельным
переходом. ■
Замечание 8.1. Пространство W2(G) со скалярным произведением
{х, У)1 = Σ (D«x, D«y)L2(G)
la\<l
является гильбертовым пространством. Действительно,
справедливость аксиом скалярного произведения непосредственно
проверяется, а полнота следует из совпадения V(x, χ)ι с нормой (8.18) при
ρ = 2.
УПРАЖНЕНИЯ
8.10. Пусть / ζ Lp (R, φ), g £ Lq (#, άμ), h^Lr (R, άμ), где числа ρ, q,
связаны соотношением ρ"1 + q~1+r~1=\. Доказать, что функция fgh £ Lx (Rt άμ)
и что WfghW^WfWp.WgWqWhW,.
8.11. Построить в Lt (IR) бесконечномерное подпространство: а)
состоящее из непрерывных функций; б) не содержащее ни одной ненулевой
непрерывной функции.
8.12. Пусть μ — конечная мера. Доказать, что если р2 φ plt то
LP2 (Ry άμ) = LPi (R, άμ) в том и только в том случае , когда мера μ
сосредоточена в конечном числе атомов (атомом меры μ называется измеримое
"множество В положительной меры μ, не имеющее измеримых подмножеств,
кроме (А и В).
8.13. Доказать, что при ргф р2 ни одно из пространств LPl (IR), LPi (IR)
не содержится в другом.
8.14. Доказать, что если Ьг (R, άμ) сепарабельно, то мера μ имеет
счетную базу.
8.15. Доказать, что пространство Lp (R, άμ) (ρ > 1) сепарабельно тогда
и только тогда, когда сепарабельно Ьг (R, άμ).
8.16. Доказать, что конечная мера на борелевской σ-алгебре 23 (R)
метрического пространства (R, р) регулярна.
191

Указание. Пусть 51 — совокупность всех борелевских множеств!
для которых выполнено условие определения 8.2. Покажите, что 51 —
монотонный класс, содержащий все замкнутые множества, и поэтому 51 = © (R).
8.17. Пусть мера μ на (R, 23 (R)) удовлетворяет условию: (3*0 6 R) (У?>
> 0) : μ (Вг (х0)) < оо. Доказать, что μ — регулярная мера.
8.18. Доказать, что любая функция f£Lp(\RN) непрерывна в среднем по-
р ядка р, т. е.
lim f \f(q + ()-f(q)\pdq = 0.
Указание. Докажите утверждение для / 6 С0 (\RN) и примените
результат упр. 8.5.
8.19. Обозначим через с0 (с) линейное пространство всех сходящихся
к нулю (всех сходящихся) последовательностей комплексных чисел. Очевидно,
что с0 а с а 1^. Доказать, что: а) с0, с — подпространства в 1^; б) c0t с—
сепарабельные пространства; в) 1ж — несепарабельно.
8.20. Доказать, что пространство L·^ (R> άμ) либо конечномерно, либо
несепарабельно.

ГЛАВА VII. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе продолжается изучение банаховых и гильбертовых
пространств. Здесь рассматриваются главным образом линейные функционалы,
т. е. аддитивные, однородные и непрерывные числовые функции, заданные
на таких пространствах. Рассматриваемые здесь вопросы в основном
группируются вокруг двух фундаментальных фактов —- теоремы Хана — Банаха
о продолжении линейных функционалов и теоремы Банаха — Штейнгауза
(принципа равномерной ограниченности). Изучены также общий вид
линейных непрерывных функционалов во многих важных пространствах и
некоторые геометрические вопросы теории гильбертовых пространств.
§ 1. ТЕОРЕМА О ПОЧТИ ОРТОГОНАЛЬНОМ ВЕКТОРЕ.
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Теорема 1.1 (о почти ортогональном векторе).
Пусть Ε — линейное нормированное пространство, G — его
правильное подпространство. Тогда
(V8>0)(3i/^G, \\уг\\ = i)(V*eG):||0e-*||>l-e.
Вектор уе называют почти ортогональным к G.
Доказательство. Пусть ζ § G. Тогда δ = ρ (г, G) =
= inf{||z — л: || |a:^G}>0. Действительно, если р (ζ, G) = О, то
ζ — предельная точка G, не принадлежащая этому множеству, что
противоречит замкнутости G. По определению точной нижней грани
(νη>0)(Η^ηζΟ):δ<:||2-^||<δ + τι. (1.1)
Выберем η так, чтобы η(δ + η)"1 = ε, и покажем, что вектор уг =
= \\ζ — ΧηΙΙ'Η* — #η) — искомый. В самом деле, ясно, что уе § G
и ΙΙί/ell = 1. Далее, для любого χζΰ имеем
НУв —*ΙΙ = ΙΙΙ|ζ — Μ"1 (ζ — *η)~ χ\\ =
= \\*-χ*\\-4*-{χ*+ Χ\\*-*Μ· (1.2)
Поскольку χΆ-\- х\\ ζ — хц\\ £G, то из (1.2) с учетом (1.1) следует,
что
||^β-*ΙΙ>||ζ-χη||-1δ>5^= 1-^ = 1-8. ■
Замечание 1.1. Поясним название «почти ортогональный век»
тор». Если Ε = IR2 с евклидовой нормой, G — прямая, проходящая
через начало координат, то существует единичный вектор у,
ортогональный к G. Для него, очевидно, \\ у — х\\ > 1 (Vx£G). При
других нормах и в других пространствах такого вектора может не
7 9-227 193

существовать, но всегда существует вектор с близкими свойствами,
о котором идет речь в теореме 1.1. Поэтому такой вектор
естественно назвать почти ортогональным к G. ■
Напомним некоторые известные из алгебры определения и
факты. Пусть Ε — линейное пространство над полем К вещественных
или комплексных чисел. Векторы хг, ..., хп £ Ε называются линейно
независимыми, если
λΛ+ ··· +Кхп = 0 (λ,£0Ο=*λι= ·'· =λ„ = 0.
Пространство Ε называют конечномерным (а именно, п-мерным),
если в нем существуют η линейно независимых векторов, а любые т
векторов при т> η линейно зависимы. Число η называют
размерностью пространства Ε и обозначают η = dim E. Если же при
любом η £ И в Ε существуют η линейно независимых векторов, то
пространство Ε называют бесконечномерным.
Любая система η линейно независимых векторов {еъ ...,£„}
в л-мерном пространстве Ε называется базисом этого пространства.
η
Каждый вектор χ £ Ε однозначно представим в виде χ=Σ хие&
Линейные пространства Ег и Е2 называются алгебраически
изоморфными, если между ними можно установить взаимно
однозначное соответствие, сохраняющее операции. Такое соответствие
называется изоморфизмом. Конечномерные линейные пространства Ег
и Ε2 алгебраически изоморфны тогда и только тогда, когда dim E1=
= dim£2.
Определение 1.1. Линейные нормированные пространства Ех и
Е2 называются изоморфными, если они алгебраически изоморфны
и этот изоморфизм Uявляется гомеоморфизмом, т.е. оба
отображения U ι £χ ->■ Е2и U~\ £2 -*■ Ег непрерывны. Изоморфизм U
называют изометрическим изоморфизмом, если (V*ζЕг) :\\х\\Е =
«lit/* Ik.
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Доказать, что алгебраический изоморфизм U линейных
нормированных пространств тогда и только тогда является гомеоморфизмом, когда
(H*i, с2 > 0) (V* € Ег) :сг\\х \\Εχ <■ || Ux ||я§ <с2\\х \\Е^
1.2. Если линейное нормированное пространство полно, то и изоморфное
ему пространство также полно. Доказать.
Теорема 1.2. Конечномерные линейные нормированные
пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют
одинаковую размерность.
Доказательство. Необходимость сразу следует из того,
что алгебраически изоморфные конечномерные линейные
пространства имеют одинаковую размерность.
194

Достаточность.Пусть, для определенности, Ε— комплексное
N-мерное линейное нормированное пространство. Покажем, что
Ε изоморфно пространству £Ν с нормой
N
ΙΙξ|Ιι = ΙΙ(*ι. ... . *")ΙΙι = (Σ l**l2)1/2·
Для этого выберем в Ε базис [ev ... , е^} и рассмотрим соответствие
N
Ε3χ=Σ xtfk+>(xv ... , χν) = 1£$ν. (1-3)
Ясно, что это соответствие является алгебраическим
изоморфизмом.
Покажем, что это соответствие является гомеоморфизмом. Для
этого достаточно показать (см. упр. 1.1), что
(Hclf c2>0)(Vx£E):c1\\x\\b<\\1\\1<c2\\x\\e. (1.4)
Воспользовавшись аксиомами нормы и неравенством Коши —
Буняковского для сумм, получаем
Ν Ν
ΙΙ*ΙΙ* = ||Σ хнвк\\в< Σ l**HI**IU<
k=l k=l
<(Σ |χ*Ι"),/2(Σ Ι|β*ΙΐΙ)^ = ΙΙ6ΙΙι(Σ 11<Ы1я)1/2> (1.5)
откуда сразу следует левое неравенство в (1.4).
Поскольку соответствие (1.3) является алгебраическим
изоморфизмом, то в силу однородности нормы достаточно доказать правое
неравенство в (1.4) лишь для векторов ξ из единичной сферы 5Х(0).
Итак, надо доказать, что
(Эс2 > 0)(V6 6 Sx (0)): 1 = || ξ \\г <с2\\х \\Е.
Рассмотрим функцию
5ι(0)9ξι->/β) = Ι|χ||£€Κ.
Из неравенства (1.5) сразу следует, что эта функция непрерывна,
поэтому в силу теоремы Вейерштрасса она достигает на компакте
Si (0) своего минимума. Положим δ = min {/ (ξ) [ ξ£ S1 (0)}. Ясно,
что δ > 0. Покажем, что δ > 0. Действительно, если бы было δ = 0,
то это означало бы, что существует вектор ξοζ^ίΟ) такой, что
\\хо\\е = 0 для соответствующего ему вектора х0 £ Ε. Но тогда
х0 = 0, а поскольку (1.3)—алгебраический изоморфизм, то ξ0 ==
= 0 и, следовательно, ξ0 § S± (0). Полученное противоречие
показывает, что δ > 0, т. е. (V^S^O)) :|| х\\Е > δ = δ || ξ||1β ■
Следствие 1.1. Всякое ограниченное подмножество
конечномерного банахова пространства Ε предкомпактно.
Действительно, по доказанному в-теореме 1.2 ограниченное
подмножество Ε изоморфно ограниченному подмножеству £Ν (или IR^),
а последнее предкомпактно в силу теоремы Больцано —
Вейерштрасса. ■
7* 195

Покажем, что установленное свойство конечномерных
пространств является их характеристическим свойством.
Теорема 1.3. Любое ограниченное подмножество линейного
нормированного пространства Ε предкомпактно тогда и только тогда,
когда Ε конечномерно.
Доказательство. Достаточность условия установлена
в следствии 1.1.
Необходимость. Пусть линейное нормированное пространство Ε
над полем К бесконечномерно, т. е. для любого η £ ^ в Ε имеется
система η линейно независимых векторов. Покажем, что замкнутый
единичный шар В1(0) = {χζΕ\ || х\\ < 1} не является компактом.
Для этого достаточно построить последовательность (хп)п=\ <=£,
|| #„11= 1, из которой нельзя выделить сходящуюся
подпоследовательность.
В качестве хг возьмем любой вектор единичной сферы и
положим Gi= {λ^χΙλζΚ}. В силу теоремы 1.1 найдется вектор х2 =
= #1/2 3 G1 такой, что || х2 || = 1 и (Vx^Gj) : \\х% — χ|| > 1/2, в
частности, || х2 — хг || > 1/2. Положим G2 = з. л. о. {х19 х2} и за х3
возьмем существующий в силу теоремы 1.1 вектор г/1/2, так что
*зЗ<32> 11*811 = 1 и (Vx^G2):||л;3 — л;||> 1/2. В частности, \\х3 —
— *ill> 1/2 и \\х3—*211> 1/2. Если уже построены векторы xv ...
... , хпу то полагаем Gn = з. л. о. [хъ ... , хп). Поскольку dim G„</z,
а пространство Ε бесконечномерно, то Gfl=£E, и поэтому, вновь
применив теорему 1.1, найдем вектор xn+i §Gn, \\χη+ι\\ = 1 и (Υχζ
G Gn): || Xn+\ — * II > 1/2. Таким образом, получаем бесконечну ю
последовательность (χη)Ζ=ι <= Вг (0) такую, что (Vm, /г £ ftO 11| #m —
— хл||>1/2. Ясно, что из этой последовательности нельзя
выделить фундаментальную подпоследовательность. Ш
УПРАЖНЕНИЯ
1.3. Доказать, что следующие линейные пространства бесконечномерны;
а) С (la, «); б) Lipa ([а, % в) О ([а, Ь\)\ г) 1Р (1 <· ρ < оо); д) Lp (Χ, φ)
(1 <: ρ < оо) в том и только в том случае, когда мера μ не сосредоточена
в конечном числе атомов.
1.4. Не используя утверждение теоремы 1.3, показать, что замкнутый шар
ёх (0) не компактен в: а) С ([а, Ь])\ б) 1р (1 <: ρ < оо).
1.5. Используя критерий Хаусдорфа компактности множества в метрическом
пространстве, доказать, что: а) множество [χ £ ίρ \ (Υηζ Ы): \хп | <: 2~п}
компактно (р^1); б) множество М^1р предкомпактно тогда и только тогда,
когда оно ограничено в 1р и выполнено условие: (Υ& > 0) (Зл (ε)) (γχζΜ):
: Σ Κ1"<ε·
n=/i(e)
1.6. Используя теорему Арцела, проверить, являются ли предкомпактными
следующие подмножества С ([0, 1]): а) {ίη, η ζ Ы}; б) {sin/ι/1 л g Ν}ϊ
в) {et+a\a£\R}; г) {^"a|a>0}; д) шар в пространстве С1 (f0, 1]),
196

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. СОПРЯЖЕННОЕ
ПРОСТРАНСТВО
Пусть Ε — линейное нормированное пространство над полем К
вещественных или комплексных чисел. Отображение Ε Э х «->
/-»■ / (χ) £ [К называют функционалом. Функционал / называется
непрерывным, если отображение /: £~>К непрерывно на Е.
Функционал / называется линейным, если (Υλ, μ£[Κ)(νχ, У ζ Ε): Z(Lr +
-U μί/) = λΖ (%) + μ/(ζ/). Линейный функционал / называется
ограниченным, если (Rc>0)(Vx£E):\l(x)\ <с с\\х\\ (т. е. если он
ограничен в любом шаре).
Отметим, что из линейности функционала / следует, что / (0) = 0.
Действительно, / (0) = I (0 · х) = 0 · / (х) = 0.
Лемма 2.1. Ест линейный функционал непрерывен в одной
точке, то он непрерывен всюду.
Доказательство. Пусть линейный функционал I
непрерывен в точке х0. Покажем, что тогда он непрерывен в
произвольной точке χ Φ х0- Возьмем произвольную последовательность
(хп)п=1, такую, что хп-*х. Тогда хп — х + х0^х0, и поскольку /
непрерывен в точке х0, то 1(хп—х +х0)-> 1(х0). Воспользовавшись
линейностью функционала /, получаем 1(хп) — / (х) + / (х0) -> I (х0),
откуда l(xn)-+l(x). Ш
Теорема 2.1. Линейный функционал непрерывен тогда и только
тогда, когда он ограничен.
Доказательство. Достаточность. Пусть линейный
функционал ограничен, т. е. (Яс>0)(Ух£Е):\1(х)\ ^ с\\х\\. Если
Хп->0, то | /(хп)\ < с|| χ,ι ||, поэтому /(хп)-+0 = 1 (0), т. е.
функционал / непрерывен в точке χ = 0. В силу леммы 2.1
/—непрерывный функционал.
Необходимость, Пусть линейный функционал / непрерывен.
Допустим, что он неограничен. Тогда (У/г£ И)(Яхп£Е):\1 (хп)\>
>η\\Xn\l Если теперь положить уп=(п\\хп\\)~1Хп, то (V/гζ
£Ю'*\1(Уп)\>1. Кроме того, || г/„|| = 1//г, поэтому ул->0и так
как функционал / непрерывен, то /(у«)->0. Это противоречит тому,
что (УлШ:|/(ул)|>1. ■
Определение 2.1. Нормой линейного непрерывного функционала
I {х) называется число
\\l\\=sup^l\x£E}=sup{\l(x)\\x(:Ey ||х||=»1}. (2.1)
Из теоремы 2.1 сразу следует, что норма линейного
непрерывного функционала конечна, причем
(Vx£E):\l(x)\<\\l\\.\\x\\. (2.2)
Упражнение 2.1. Показать, что || /1| равна наименьшему из значений с, для
которых | / (х) | <з с || χ || (\χ ζ Ε).
Изучим линейные функционалы в конечномерных пространствах.
Пусть Ε — конечномерное банахово пространство , {ех, ..., eN) —
197

базис в Ε. Тогда любой вектор χ ζ Ε однозначно представим в виде
х = Σ x^k- Легко видеть, что функция
N
ί{χ)=Σ hxk (/ι, ... , ^€(Κ) (2.3)
k=l
является линейным непрерывным функционалом на Е.
Покажем, что формула (2.3) дает общий вид линейного
непрерывного функционала на конечномерном пространстве Е.
Действительно, пусть / (х) — линейный функционал на Е. Тогда
Ν Ν
1(χ) = 1(Σ Xkek) = Ti l(ek)Xk,
и для получения представления (2.3) достаточно положить lk—l (ek).
Отсюда, в частности, следует, что всякий линейный функционал
в конечномерном пространстве непрерывен. При этом представление
(2.3), разумеется, зависит от выбора базиса в Е.
Упражнение 2.2. Определить норму функционала / на С^ с каждой из
норм, рассмотренных в п. 1 § VI.7.
Пусть Ε — линейное нормированное пространство (не
обязательно полное) над полем Q< вещественных или комплексных чисел.
Обозначим через Е' совокупность всех линейных непрерывных
функционалов на Ε. Β Ε' естественным образом вводится
структура линейного пространства: (V/, т £ Ε') (Υλ £ Q() (V* ζ Ε) : (I +
+ m) (χ) = I (x) + m (χ)у (λ/) (χ) = λΐ (χ). Ясно, что все аксиомы
линейного пространства выполнены, причем нулем в Е' является
нулевой функционал 0 (х) = 0 (Vx ζ Ε).
Введем теперь в Е' норму по формуле (2.1). Первые две аксиомы
нормы, очевидно, выполняются. Проверим неравенство
треугольника. Воспользовавшись неравенством (2.2), получаем для любых
/, т £ Ε' и χ £ Ε
\(l + m)(x)\ = \l(x)+m(x)\<\l(x)\ +
+ \m(x)\<(\\l\\+\\m\\)\\x\\,
откуда ||/ + m||<||/|| + ||m||.
Итак, Е'—линейное нормированное пространство. Его
называют сопряженнымк пространству Е.
Теорема 2.2. Сопряженное пространство Е' полно, т. е.являет-
ся банаховым пространством.
Доказательство. Пусть задана фундаментальная
последовательность (1п)п=\ с= Е'. Выберем произвольный вектор χ ζ Ε
и покажем, что числовая последовательность (1п(х))п=\
фундаментальна.
Действительно,
\Ш-1т(х)\ = \(1п-1тМ<\\1п-Ш\х\\9 (2.4)
198

поэтому из фундаментальности последовательности (Ιη)η=ι следует
фундаментальность числовой последовательности (ln(x))Z=\-
Поскольку поле (К полно, то при любом χζΕ существует предел
def
limln(x) = l(x). Функционал I линеен, поскольку для любых
λ, μ6ОС х>У£Е имеем Ζ(λχ + μι/) = limln(λχ + \\,y) = λlim ln(x) -f
Π-*· «ο rt-*-eo
+ μ lim /„ (у) = λΙ(χ) + μΙ (у).
Покажем, что / — непрерывный функционал. Действительно, из
фундаментальности последовательности (1п) следует, что она
ограничена, т. е. (Яс > 0)(У/г £ И): || Ц\ <: с. Поэтому
фпШФх£Е)-А1п{х)\<\\1пИ\х\\<.с\\х\\.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при /г-^оо,
получаем, что (Vx£E):\l(x)\< с\\х\\, т. е. / — линейный непрерывный
функционал.
Остается проверить, что \\1п — /||->0. Поскольку
последовательность (//г)п=1 фундаментальна, то
(Vs > 0)(ЯЛ0(Ут, η > Ν) 11| ln - lm\\ < ε.
Поэтому из (2.4) следует, что (Vx£E):\ln(x) — lm(x)\<Cs\\x\\.
Перейдя в этом неравенстве к пределу при т-^оо, получим
(ΥχζΕ):\Ιη(χ)-1(χ)\<ε\\χΙ
а это означает, что || 1п— /||<в. Следовательно, lim (| 1п— /1| =0. ■
УПРАЖНЕНИЯ
2.3. Пусть Ε — вещественное линейное нормированное пространство.
Доказать, что: а) линейный функционал I в Ε непрерывен тогда и только
тогда, когда для любого с 6 IR множества {/ (*) > с), {I (х) < с} открыты;
б) ||/|| = sup {/(*) |*6 Я, ||*|| = 1}.
2.4. Пусть /=7^0 линейный непрерывный функционал в Е. Доказать, что
||/||^ = inf{||*|||/(*) = l}.
2.5. Пусть / — линейный функционал в Ε такой, что для любой сходящейся
к нулю последовательности (*rt)~=i с£ множество {1(хп)\ ηζΝ) ограничено.
Доказать, что / непрерывен.
2.6. Доказать, что линейный функционал / в линейном нормированном
пространстве над полем []ζ непрерывен в том и только в том случае,когда образ
единичного шара / (Bt (0)) не совпадает с [}ζ.
2.7. Доказать, что на бесконечномерном нормированном пространстве
существует разрывный линейный функционал.
2.8. Доказать, что линейный функционал в Ε непрерывен тогда и только
тогда, когда множество Кет / = {* 6 Ε \1 (х) = 0}, называемое ядром
функционала /, замкнуто.
2.9. Пусть / 6 Ее, ίφΟ. Доказать, что любой элемент * 6 Ε однозначно
представим в виде * = хх + *2, где хх 6 Кег /, χ2 £ L, dim L = 1.
2.10. Пусть /lt /2 £ Ε'. Если Кег 1± = Кег /2, то (Ηλ g []ζ) : /х= λ/2. Доказать.
2.11. Пусть / £ Ε'. Доказать, что для любого χ ζ Ε ρ (χ, Ker I) = \l (x)\ / 11 /1|.
2.12. Пусть / £ Ε'. Если для некоторого χ $ Ker / найдется у £ Кег / такой,
что ρ (*, Кег/) = || я — у \\9 то / достигает своей нормы на BL (0). Доказать.
199

2.13. Пусть Elt £2 — банаховы пространства такие, что ЕХ^Е2 и из
сходимости хп->х в Ει следует сходимость хп->х в Е2· Доказать, что Е{ Ξ> Е2.
2.14. Проверить линейность, непрерывность и найти нормы следующих
функционалов в С ([0, 1]): а) 1(х) = χ (0) + *(1) — 2* (1/2); б) / (х) = {tx(t)dt;
о
ι ι
в) / (х) = I * (0 sign (/ — 1/2) dt; τ) Ι (χ) = \ ρ (t) x (t) dt, где ρ — фиксированная
ό о
функция из С([0, 1]); д) функционал из п. г), если ρ — фиксированная
функция из Lx ([0, 1]).
2.15. Проверить линейность, непрерывность и найти нормы следующих
ι
функционалов: а) С1 ([0, 1)] Эхι-**(0)+*' (0); б) С1 ([0, 1]) Э* ■-* [x(t)p(t)dt+
о
ι
+ \ х' (t) Pi (ή dt, где ρ, pL — фиксированные функции из С ([0, 1]); в) L2 ([0,
о
1/2 1
1]) Э х /-^ * (0Л; г) L2 ([0,1]) Э α: ι-* £ i""1/3* (0 Л; д) к Э х ι-* JJ **; е) /^ * ·-*·
i->*5] fkXfo гДе (/:1,/!2,.»)~ФиксиРованный элемент из 1ж; ж) /2^'-^5j xklVk (&+!)·
1
2.16. Пусть Ε = С ([0, 1]) с нормой || * || = \ | х (f)\ dt. Является ли непре-
о
рывным функционал ЕЭ х\-**х (0)?
2.17. Линейный функционал /: С ([a,b])->\R называется неотрицательным, если
для любого х£С ([а, Ь]), х>0 выполняется неравенство 1(х)>0. Доказать, что
неотрицательный функционал непрерывен, причем || /1| = / (хг), где хг (Q=l, t£ [a, b].
2.18. Доказать, что для любого /ζ С ([а, Ь]) существуют неотрицательные
h> ^2 £ С' (ta» Ч) такие, что / = /х — /2.
§ 3. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИОНАЛОВ
Ϊ. Продолжение по непрерывности. Задача продолжения
линейного непрерывного функционала заключается в следующем. Пусть
Ε — линейное нормированное пространство, G — линейное
подмножество Е. Ясно, что G также является линейным
нормированным пространством (с той же нормой ||jc||, что и в Е). Предположим,
что на G задан линейный непрерывный функционал L Здесь будет
изучен вопрос о продолжении функционала, т. е. о существовании
такого функционала L££", сужение которого на G совпадает
с /: L\G = I. Отметим, что при продолжении функционала норма
его не уменьшается: ||L|| > ||/||. Действительно,
\\L\\ = sup{\L(x)\\xtE, ||*||= 1}>
>sup{|L(*)ii*eo, н*и = n = imi.
Наибольший интерес представляют продолжения функционала без
увеличения нормы, т. е. такие продолжения, для которых.||L|| =
= ||/||. При рассмотрении вопроса о продолжении функционала мо-
200

гут представиться два существенно различных случая. В этом
пункте рассмотрим первый из них: продолжение по непрерывности
линейного непрерывного функционала, заданного на всюду плотном
множестве.
Теорема 3.1. Пусть Ε — линейное нормированное
пространство, G — линейное подмножество, всюду плотное в Е. Тогда для
любого линейного непрерывного функционала I на G существует
единственный функционал L £ £" такой, что L\G = I. При этом \\Ц\ =
= Ц/||.
Доказательство. Поскольку G = E, то для любого χζΕ
существует последовательность (gn)n=\ c=:G такая, что χ = limg„,
/г-+-00
т. е. lim||g„ — я|| = 0. Положим
L(x) = \iml(gn).
Существование этого предела следует из неравенства \l(gn)·-
— I(gm)\ <\\l\\-\\gn — gm\\, поскольку последовательность (gn)n=i
сходящаяся и, следовательно, фундаментальная. Проверим
корректность этого определения. Пусть gn->x, gh-^x, тогда \l(gn)—
— l(g'n)\ < || /1|· II gn — gn II-* 0 при /г->оо, поэтому \iml(gn) =
Π-*- οο
= lim I(gn), т. е. определение L(x) корректно. Если χζΰ, то
в качестве (gn)n=i можно выбрать стационарную
последовательность: (V/г) :gn = x, поэтому L (х) = lim L (gn) = Ι (χ), τ. e. L Ϊ G=l.
П-* οο
Линейность функционала L сразу следует из определения. По»
кажем, что при продолжении функционала норма не изменяется.
Переходя в неравенстве | l(gn)\ < II ^Ihllffnll к пределу при л-^оо,
получим |L(x)|< ||/||.||х||, откуда ||L|| < || /1|. Кроме того, как
было отмечено выше, при любом продолжении || L || > || /||.
Следовательно, || L || = || /||.
Остается доказать единственность продолжения. Предположим,
что Lx и L2 — продолжения функционала /. Для любого χ £ Ε
найдем последовательность {gn)n=\^-G, gn-^x- Тогда в силу
непрерывности функционалов Lx и L2 имеем
Lx (χ) =s lim Lx(gn) = lim l(gn) = \im L2 (gn) = L2 (x),
т. e. Lx^L·^
2. Продолжение функционала, заданного на подпространстве.
Рассмотрим более сложный случай, когда требуется продолжить
линейный непрерывный функционал, заданный на подпространстве
G а Е. Теорема Хана — Банаха о существовании такого
продолжения является одним из важнейших фактов функционального
анализа и имеет многочисленные применения.
Теорема 3.2 (Хана — Банаха). Пусть Ε — линейное
нормированное пространство, G — подпространство Е. Тогда для
201

любого линейного непрерывного функционала /, заданного на G,
существует такой функционал L £ £", что L\ G = / и \\Ц\ = ||/||.
Доказательство проведем в несколько этапов. Сначала
докажем теорему для случая сепарабельного вещественного
пространства, затем для произвольного вещественного пространства и,
наконец, для комплексного пространства.
1). Пусть G— подпространство вещественного пространства Е,
причем ОфЕ, и пусть у § G. Рассмотрим множество F = л. о.
(G U {у}). Легко видеть, что F — подпространство Е, причем
каждый элемент χ ζ F единственным образом представляется в виде
x = g + ty(g£G, λ£]R).
Покажем, что функционал Ι ζ G' можно продолжить без
увеличения нормы на F (отметим, что по непрерывности его продолжить
нельзя, так как G = G Φ F). Поскольку продолженный
функционал L должен быть линейным, то для любого χ = g + λζ/ ζ F
должно быть L (χ) = L (g + λ#) = L (g) + XL (у) = 1(g) + λί (у),
или, положив с = L (у)у
L(x) = L(g + Xy) = l(g)+Xc. (3.1)
Покажем, что число с ζ IR можно выбрать так, чтобы
выполнялось условие ||L|| = ||/|| (отсюда, в частности, получим, что
линейный функционал L непрерывен). Поскольку, как отмечалось
в начале параграфа, всегда \\Ц\ >||/||, то достаточно установить,
что ||L|| <||/||. Для этого надо доказать, что число c£IR можно
подобрать так* чтобы
(VfirGGXVXg R): I L(fir + λ^)| =
= \Hg) + bc\<\\l\\.\\g + Xy\\. (3.2)
Поскольку g + %y = — (—g + (—λ) у), то при рассмотрении
неравенства (3.2) достаточно ограничиться случаем λ>0. Перепишем
(3.2) в виде
-\\iH\g + by\\-i(g)^te<\\i\\.\\g + Xy\\-i(g).
Разделив все члены этого неравенства на λ и положив λ~1£ = /ι,
придем к следующей задаче: доказать существование такого с £ IR,
чтобы
<yhtG):-\\l\\-\\h + y\\-l(h)<
<c<\\lH\h + y\\-l(h). (3.3)
Для доказательства воспользуемся следующим неравенством,
имеющим место для любых hl9 h2 £ G:
/(Λ,)-/(Λι)<|/(Λ.-Λι)ΚΙ|/||·Ι|Λ.-ΛιΙΙ =
= Ι|/|Ι4Ι(Λ. + ^)-(Λι + »)ΙΙ<Ι|/||·(ΙΙΛι + ^ΙΙ + Ι|Λ, + ί(||).
Отсюда следует, что
m1,h^G):-\\l\\.\\hi-by\\-l(h1)<\\l\\.\\hi + y\\-l(ht)
202

и, таким образом,
α1 = 5υρ(-||/||.||Λ1 + ί/||-/(Λι))<
= inf(|| Ζ||·|Ι Λ· + УII-'(Μ = а.·
haG
Если теперь выбрать с так, чтобы было а± < с <: а2, то выполняется
(3.3) и, следовательно, (3.2), и функционал L, определенный по
формуле (3.1), будет искомым продолжением на F без увеличения
нормы.
2). Пусть Ε — вещественное сепарабельное пространство, G—
подпространство Ε, Ιζ G', и пусть Л = {хъ х2, ...} — счетное всюду
плотное в Ε множество. Обозначим через хП1 первый из элементов Л,
не входящий в G. По доказанному в п. 1) существует продолжение 1г
функционала / без увеличения нормы на Gt = л. о. (G [} {хп))-
Далее, обозначим через хПг первый из элементов Л, не входящий
в Glt и продолжим 1г без увеличения нормы до функционала /2 на
G2 = л. о. (С?! U {хп})·Продолжая этот процесс, получим
возрастающую последовательность подпространств G cz Gx с: G2 cz ... и
последовательность линейных непрерывных функционалов ll9 /2, ...
таких, что
IntG'n, ln\G = l и ||/.|| = ||/||(Υ/26И).
оо
Положим Μ = U Gn. Очевидно, Μ — линейное множество.
Опрела Ι
делим на Μ функционал L0 следующим образом. Пусть χ ζ Μ,
тогда χ £ Gn для некоторого ηζ^. Положим L0 (a:) = ln (а:). Ясно,
что функционал L0 линеен и непрерывен, причем ||L0|[ = ||/||.
Поскольку Μ <=> Л, то множество Μ всюду плотно в Е. Остается
применить теорему 3.1 и продолжить L0 по непрерывности до
функционала L££". При этом ||L|| = ||L0|| = ||/||. Итак, в случае сепара-
бельного вещественного пространства Ε теорема Хана — Банаха
доказана.
3). Пусть Ε — произвольное вещественное линейное
нормированное пространство (вообще говоря, несепарабельное).
Обозначим через 1р продолжение функционала / с сохранением нормы на
подпространство Ρ zd G. Как было показано в п. 1), такие
продолжения существуют. В множестве X всех продолжений / с
сохранением нормы введем отношение <, полагая lP </q, если
Ρ cz Q и Iq(x) = lp (x) {Vx £ Ρ). Непосредственно проверяется, что
отношение < является отношением порядка на X (см. § 1.1) и что
множество X с этим отношением частично упорядочено.
Пусть Υ = {/ρα|α(Ε Α) — произвольное линейно упорядоченное
подмножество X. Покажем, что Υ имеет верхнюю грань. Положим
Ρ* = ϋ Ρα и зададим на Р* функционал /* следующим образом:
а(Л
если χζΡ*, то χζΡα0 при некотором а0£Л; тогда положим /*(*)=
= 1а0(х). Ясно, что функционал /* линеен и ||4|| =||/||.
Продолжив /* по непрерывности на Ρ = Р#у получим функционал lPi
являющийся верхней гранью для Υ.
203

Поскольку лю5ое линейно упорядоченное подмножество X имеет
верхнюю грань, то по лемме Цорна (см. § 1.1) в X существует
максимальный элемент L. Функционал L определен на всем
пространстве, так как в противном случае его можно было бы продолжить
и он не был бы максимальным элементом в X. Итак, в случае
вещественного пространства Ε теорема Хана — Банаха доказана.
Отметим, что рассмотрения п. 2) приведены лишь для того, чтобы
показать, что в случае сепарабельного пространства можно
доказать теорему без помощи леммы Цорна.
4). Прежде чем доказать теорему Хана — Банаха для
комплексного пространства, сделаем некоторые общие замечания. Пусть
Ε— комплексное линейное нормированное пространство. Отметим,
что если в Ε ограничиться умножением лишь на вещественные числа,
то Ε можно рассматривать как вещественное линейное
нормированное пространство. Это пространство мы будем обозначать через E\r
и называть ассоциированным с Ε вещественным пространством.
Подчеркнем, что Ε и E\r как множества совпадают, но как линейные
пространства различны.
Пусть / ζ Ε'. Положим т (х) = Re / (χ), η (χ) = Im / (χ) и
покажем, что m, η ζ E{R. Действительно, пусть α, β £ IR, χ} у £ Ε>
тогда
т {ах + βί/) + in (ax + $y) = Ι (αχ + β#) —α / (χ) + β/ (у) =
= а (т (χ) + in (χ)) + β (т (у) + in (у)) = (am (χ) + β#ι (у)) +
+ i (an (x) + β я (г/)),
откуда следует линейность функционалов т, п. Непрерывность т
следует из неравенства
\m{x)\<\m(x) + in(x)\=\l(x)\<\\l\\-\\x\\ (ΥχζΕ).
Аналогично доказывается непрерывность /г.
Отметим также следующую связь между функционалами тип
(V* € Ε): η (χ) = — т (ix). (3.4)
Действительно, для любого χ ζ Ε имеем
m(ix) + in (ix) = / (ix) = il(x) =
= i (m (x) + in (x)) = — n(x) + im (x)y
откуда и следует (3.4). Таким образом, функционал / можно
восстановить, зная т:
1(х) = т (х) — im (ix). (3.5)
5). Докажем теперь теорему Хана — Банаха в случае
комплексного пространства Е. Пусть E\r и Gr— вещественные пространства,
ассоциированные соответственно с£иС Функционал /, заданный
на G, определяет вещественный функционал т £ G\r. По доказанному
функционал т можно продолжить с сохранением нормы до
функционала Μ ζ E\r. Положим теперь по аналогии с (3.5).
(V* £Е):Цх)=* Μ (χ) — IM (ix), (3.6)
204

Ясно, что функционал L аддитивен: (V#, у ζ Ε) : L {χ + у) =
= L (χ) + L (у) (поскольку аддитивен функционал М). Покажем,
что L однороден, т. е. что
(VX£([,)(Vx£E):L(%x) = XL{x). (3.7)
Для λ £ IR равенство (3.7) выполняется, так как оно имеет место для
функционала М. Поэтому достаточно проверить это равенство для
λ = i. Имеем
L(ix) = M(tx) — ίΜ (—χ) = Μ (ix) + iM (χ) =
= / (Μ (χ) — iM(ix)) = iL (x).
Итак, функционал L линеен.
Остается показать, что ||L|| = ||/||. Для этого, как мы знаем,
достаточно убедиться в том, что || L \\ < ||/||. Запишем L (х) в виде
L (х) =? | L (x)\ eia, где а = arg L (χ). Тогда
| L {х)\ = e~iaL (χ) = L (e-iax) = Μ (e~ia χ) =
= \M(e-<«x)\<\\M\\.\\e-i«x\\=\\m\\.\\x\\<£\\l\\.\\x\l
т. е. ||L || <· || /||. Здесь мы воспользовались тем, что если L(y)£R,
то L(y) = M(y). Ш
Замечание 3.1. Отметим, что если G — линейное множество, но
не подпространство, то утверждение теоремы Хана — Банаха
остается справедливым. Действительно, в этом случае G —
подпространство Ε и функционал / можно продолжить по непрерывности на
G, а затем применить доказанную теорему.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. В пространстве IR2 на подпространстве G = {(xlt 0) | xL £ IR} задан
функционал ί(χ)=αχι, где a£lR фиксировано. Описать все продолжения L
функционала /. Для каких из этих продолжений ||L||=||/||, если IR2
рассматривается с нормой: а) ||.||0; б) ||.|Ιιϊ в) Ц.||а (см. §VI. 7).
3.2. Пусть G = {χζ С ([0, 1]) | χ (0) =0}. Построить линейный непрерывный
функционал на С ([0, 1]), равный нулю на G и принимающий значение 2 на
функции χ(f) = f+l, fg[0, 1].
3.3. Пусть G = {χ £ L (IR) | χ = 0 почти всюду на Л}, где А — измеримое
подмножество IR, р> 1, и пусть а£ LQ (Л), где /Г1 +q~x = 1. Описать все
линейные непрерывные продолжения L на Lp (IR) функционала / (χ) = \ a (t) x (t)dt,
А
x£G. Для каких из этих продолжений ||L|| = ||/||?
3.4. Пусть G = {х 6 L2 ([0,1]) | * = 0 почти всюду на Л}, где Л —
измеримое подмножество [0, 1]. Построить линейный непрерывный функционал
/ на L2([0,1]), равный нулю на G и принимающий значение 1 на функции
*(/) = *, teio, i].
3.5. Пусть G — подпространство гильбертова пространства Я и / 6 G''.
Описать все продолжения L функционала / на Н. Доказать, что существует
единственное продолжение с сохранением нормы.
3.6. Пусть / — непрерывный линейный функционал, заданный на
подпространстве с0 а /то. Доказать, что существует единственное продолжение /
на все 1Ж с сохранением нормы.
205

Указание. Проверьте, что в этом случае числа аг и а2 из этапа 1)
доказательства теоремы Хана — Банаха совпадают.
3.7. Рассмотрим с0 как подпространство с. Описать все продолжения
функционала / 6 c'Q на с.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
ИЗ ТЕОРЕМЫ ΧΛΗΛ — БАНАХА
Теорема 4.1. Пусть Ε— линейное нормированное
пространство над полем \К вещественных или комплексных чисел, G— его
подпространство. Тогда для любого вектора у § G существует такой
функционал Ι £ £", что \\1\\ = 1; / (у) = ρ (у, G), / Ϊ G = 0.
Доказательство. Определим на подпространстве F =
= л. о. (G U {у}) функционал /0, полагая
def
/о (g + Ц) = λρ Q/, G) (Vg £ G, Υλ ζ Κ).
Легко видеть, что /0 £ f', /0 (у) = ρ (у, G), /0 (g) = /0 (g + 0у) = 0
(Vg£G). Вычислим || /0||:
11 /о»-sup \й+Щ \g + %у ^F) ~sup \ГХйГ^+711
g+by£F) = p(y,G)sup{\\g'-y\\-1\g'tG\ = l
(здесь введено обозначение g' =—X^g^G). В силу теоремы
Хана— Бахана существует продолжение /££" функционала /0 с
нормой || /1| = || /01| = 1. Функционал / является искомым. ■
Упражнение 4.1. Выяснить геометрический смысл доказанной теоремы
в том случае, когда Ε = IR3, a G — прямая, проходящая через начало
координат.
Следствие 4.1. Для любого у £ Ε (уФ 0) существует такой
функционал / £ £', что |1 /1| = 1 и / (у) = || у \\.
Для доказательства достаточно в теореме 4.1 положить G = {0},
Упражнение 4.2. Выяснить геометрический смысл этого следствия
в IR2 и IR3.
Следствие 4.2. Линейные непрерывные функционалы разделяют
точки линейного нормированного пространства Е, т. е. если х19
χ2ζΕ, Χιφχ2, то существует функционал ΙζΕ' такой, что
Доказательство. Согласно следствию 4.1, для элемента
у = хг — х2 Φ 0 существует функционал / £ Ε' такой, что / (у) =
= \\У\\Ф0. Тогда
1{Хг) — /(*,) = /(*! — х*) = 1(У)Ф0. Ш
Замечание 4.1. Доказанное следствие дает ответ на важный
вопрос о запасе множества линейных функционалов. Выше было
показано (теорема 2.2), что пространство Е1 всегда является бана-
206

ховым, однако неясно, не может ли оно в некоторых случаях
оказаться пустым. Следствие 4.2 показывает, что запас линейных
непрерывных функционалов достаточен для разделения элементов
данного пространства.
Теорема 4.2. Для того чтобы множество М^Е было тотально
в Е, необходимо и достаточно, чтобы из того, что функционал Ι ζ Ε'
обращается в нуль на всех элементах М, следовало I = 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть множество Μ
тотально и пусть (Υχ £ Μ): / (χ) = 0. В силу линейности / отсюда
следует, что / {х) = 0 (Уд: ζ л. о. (М)). Поскольку з. л. о. (Λί) =
= Ε, то, продолжая I по непрерывности, получим / (х) = 0 (Vx£E)y
т. е. / = 0.
Достаточность. Пусть любой функционал Ζ ζ Ε', равный нулю
на М, тождественно равен нулю. Предположим, что Μ не является
тотальным множеством. Тогда з. л. о. (М) = ОфЕ и поэтому
Яу £ E\G. В силу теоремы 4.1 существует функционал Ι ζ Ε'
такой, что || /1| = 1 и I \ G = 0. Но это невозможно, так как по условию
из / Ϊ G = 0 следует / = 0. И
Рассмотрим некоторые геометрические понятия, связанные с
линейными непрерывными функционалами. Пусть Ε — линейное
нормированное пространство, ΙζΕ'. Рассмотрим множество Г0 =
= Кег / = {χ £ Ε 11 (χ) = 0}. Легко видеть, что это множество
является подпространством Е. Покажем, что
Г0—гиперподпространство, т. е. подпространство коразмерности 1. Это означает, что
если у £ Г0, то л. о. (Г0 U {у}) = Е.
Действительно, пусть у ^ Г0. Покажем, что любой элемент
χ ζ Ε можно представить в виде χ = g + \у, где g £ Γ0, λ £ Q(.
Положим λ = Ι (χ)/1 (у) и рассмотрим вектор g = χ — λί/. Поскольку
/fe) = /(*)-W(iO = 0,
το g ζ Γ0. Следовательно, х = g + Ky и есть искомое
представление. ■
Пусть задан фиксированный функционал ΙζΕ. Для любого
с £ [К назовем множество Тс = {χ ζ Ε \ Ι (χ) = с} гиперплоскостью.
Покажем, что существует такое ζζΕ, что Тс = Г0 + ζ = {g +
+ z I g 6 Г0}. Действительно, пусть ζ — фиксированный вектор из
Тс. Тогда для любого χ £ Тс имеем Цх — ζ) = Ι (χ) — / (ζ) = 0,
т. е. g = χ — ζ ζ Γ0, следовательно, χ = g + z. Ш
Пусть Ε —вещественное линейное нормированное пространство,
А С2 Ε, х0 — точка, принадлежащая границе Α, Ι ζ £",. с £ IR.
Гиперплоскость Гс = {χ ζ Ε | / (χ) = с} называется опорной
гиперплоскостью множества А, проходящей через точку х0, если х0 £ Тс
(т. е. / (х0) = с) и множество А лежит по одну сторону от
гиперплоскости Гс, т. е. 1{х) — с не меняет знака на А.
Пусть, в частности, А = Вг(0)с=2 {χζΕ \ \\х\\ < г} — замкнутый
шар с центром в нуле; его граница — сфера Sr (0) = {#£ Ε | || я|| = г).
Теорема 4.3. Через любую точку x£Sr (0) проходит опорная
гиперплоскость шара ВГ (0).
207

Доказательство. В силу следствия 4.1 для любой точки
*о € Sr (0) существует / ζ Ε' такой, что || I \\ = 1 и / (х0) = || х01|= г.
Тогда гиперплоскость Гг является искомой. Действительно, χ0ζ ΓΓ,
поскольку / (д:0) = г. Далее
(4x£Br(0))il(x)<\l(x)\<\\x\\<r,
т. е. весь шар лежит по одну сторону от Гг. ■
УПРАЖНЕНИЯ
4.3. Доказать следующие утверждения: 1) если линейное нормированное
пространство Ε бесконечномерно, то и Е' бесконечномерно; 2) если Е1 сепа-
рабельно, то и Ε сепарабельно.
4.4. Доказать, что существует ненулевой линейный непрерывный
функционал / на L^ ([α, Ь]) такой, что: а) (V* € С ([а, Ь])): I (х) = 0; б) (V* £ С ([а, Ь\)):
1{х) = х(а).
4.5. Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве Ε для
любого λ £ IR и любого ненулевого /£ Е' гиперплоскость {χζ Ε | / (χ) = λ} =
= Γλ— непустое множество.
4.6. Пусть Ε — линейное нормированное пространство, χ £ Ε. Доказать, что
||*|| = sup{|/(*)| \ΙζΕ', || /1| = 1}.
4.7. Пусть Ε — линейное нормированное пространство, х0£Е и для
любого / £ Ε' такого, что || /1| = 1, выполняется неравенство | / (*0)| < 1. Доказать,
что ||*оИ<1.
4.8. Доказать, что для любой последовательности (хп)п=\ линейно
независимых элементов Ε существует последовательность (Ι^η^ι с Е' такая, что
(Vaz, ££№): || 1п || = 1, 1п (*k) = &nk (ee называют биортогональной к
последовательности (xn)n=i)*
4.9. Пусть \хъ ... , хп} — набор линейно независимых элементов из Е,
{с±1 ... , ^/ι} € (К- Доказать существование функционала / £ Ε' такого, что
l(xk) = ck> k=l> - . η·
4.10. Пусть (хп)™^ —последовательность элементов банахова пространства
£, (сл)~=1 ^ К и Μ — положительное число. Доказать, что для существования
функционала / £ Ε', удовлетворяющего условиям / (хп) = сп {ηζΗ) и || / || <: Λί,
необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного набора {λχ, ... , Ят}с:[]^
т т
выполнялось неравенство . ^ ^kck I "^ ^ II Σ ^kxk ||·
4.11. Пусть (xn)n=i —фиксированная последовательность элементов
линейного нормированного пространства Е, L—ее линейная оболочка. Доказать,
что χ £ L тогда и только тогда, когда из / £ £', {(xk) = 0 (k £ №) следует / (х)=0.
4.12. Пусть Elt Е2 — линейные нормированные пространства, Ε — Z^-f- Е2—
их прямая сумма. Доказать, что всякий функционал т£Е' однозначно
представим в виде т(х1) х2) = 1г (xj + ί2 (х2), где ц£ Е'., i = 1, 2.
4.13. Пусть Ε — линейное нормированное пространство, Μ α Ε —
произвольное множество. Положим М1 = {/ £ Ε' | / (χ) = 0, χ ζ Μ], а) Доказать, что
Μ1—подпространство в Ε', б) Что представляет собой Αί1, если Ε —
гильбертово пространство? в) Доказать, что если Μ — подпространство, то Μ =
= {χξΕ\1(χ) = 0, ΙζΜ1}.
4.14. Доказать, что всякий замкнутый шар в вещественном линейном
нормированном пространстве является пересечением некоторого семейства
полупространств вида {/ (х) < с}, где / £ £', с ζ IR.
4.15. Представить шар В1(0) в IR^ с нормой ||·|| в виде пересечения
счетного числа полупространств.
208

§ 5. ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИОНАЛОВ В НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
1. Понятие о базисе Шаудера. Пусть Ε— банахово
пространство над полем Q(, (хп)п=л— последовательность элементов Е. Ряд
оо
Σ Xk называют сходящимся, если сходится последовательность
(sn)n=\ его частичных сумм: sx = xv s2 = х1 + x2i ... , sn = хг + · · ·
щф'+Хпу ... В этом случае элемент s = limsn называют суммой
П-+оо
оо
ряда и пишут s = Σ W·
Определение 5.1. Последовательность (elt e2> ...)czE
называется базисом Шаудера банахова пространства Е, если любой
элемент χζΕ можно представить (и притом единственным об-
ОО
разом) в виде суммы ряда χ = Σ Xkek (Xk £ К)·
Легко видеть, что если в Ε существует базис Шаудера, то
пространство Ε сепарабельно. Действительно, в этом случае всюду
плотно в Ε счетное множество конечных линейных комбинаций
элементов базиса с рациональными коэффициентами (или, если
К = С, с коэффициентами вида Xk = α* + i$k, где ал, β* £ (Q).
Во многих банаховых пространствах построены базисы Шаудера
(например, в 1Р, Ьр ([а, Ь]), С ([а, 6])). Еще в 1927 г. Ю. Шаудер
сформулировал известную «проблему базиса»: выяснить, в любом
ли сепарабельном банаховом пространстве существует базис. Эту
проблему решил в 1972 г. П. Энфло, построив пример сепарабель-
ного банахова пространства, в котором нет базиса Шаудера.
Приведем пример базиса Шаудера.
Теорема 5.1. В пространстве 1Р (1 </?<оо)
последовательность векторов ег =(1,0,0, ...),е2=(0, 1,0, ...),е3=(0,0, 1, 0, ...), ...
является базисом Шаудера. Точнее: любой элемент χ = (х1у
*2>···)6^ единственным образом представляется в виде суммы
сходящегося в 1Р ряда по системе (ek)k=\> а именно, в виде
оо
х = Σ Xkek.
k=\
Доказательство. Положим sn=*x1e1+ ··· + хпеп и
покажем, что последовательность (sn)n=i фундаментальна. При п>т
имеем
η т
II sn — sm ||р «* || Σ Xkek — Σ XkBk lip «
k=l k=*l
η
= 11(0, ..., 0, xm+l, ... , xn, 0, ...)||p «s ( Σ |*a|p)1/p,
209

и фундаментальность последовательности (sn)Z=i следует из сходи-
оо
мости числового ряда Σ \xk\p- В силу полноты пространства 1Р
оо
ряд Σ Xk^k сходится к некоторому элементу 1Р. Покажем, что он
сходится к элементу х, т. е. что χ = limsrt. Действительно,
/г->оо
η
II*—sn\\P = р—Σ Хквн\\Р = Н(о,..., о,
оо
Χη+U Хп+2, ...)11Р = ( Σ \Xk\p)llp,
следовательно, lim || χ — sn\\p = 0. ■
2. Пространство, сопряженное к lp (1</?<оо).
Теорема 5.2. Пусть р>\ и 1/р+ \\р' = 1. Тогда для
любого функционала f£(lp)' существует такой элемент (fk)k=i£lpf,
что для любого χ = (Xk)k=\ ζ 1Ρ
оо
/(*)=Σ fkXk- (5.1)
Обратно, для любого элемента {fk)k=\^lPf формула (5.1) опреде-
оо
ляет функционал f£(lp)'. При этом |[/|Ι=(Σ \fk\p,)l/p>'.Иными
словами,, формула (5.1) устанавливает изометрический
изоморфизм пространств (1Р)' и 1Р' (обычно соответствующие элементы
(1РУ и 1Р> отождествляют и пишут (1РУ = 1Р').
Доказательство. Пусть (fk)k=i£lpf- Покажем, что
функционал f(x), определяемый формулой (5.1), принадлежит (1Р)'.
Действительно, в силу неравенства Гельдера имеем
\f(x)\<Ct IfkFWli \Xk\py/p = c\\x\\p<+oo. (5.2)
k=l k=l
Отсюда следует ограниченность функционала f и неравенство
|| /|| < с. Линейность f очевидна. Тем самым показано, что 1Р> ^(1Р)'.
Пусть теперь f^(lp)f. Покажем, что этот функционал можно
представить в виде (5.1). В силу теоремы 5.1 имеем
оо П П
f(x) = /(Σ x&k) = / (Hm Σ *kek) = lim Σ **/(**) =*
~ def *
= li Xkf (ek) = 2j fkXk.
Покажем, что (fk)k=i^lP'\ тем самым будет доказано обратное
включение (lp)' s/p*· Для этого при любом фиксированном п£Щ
210

рассмотрим элемент у ζ Ιρ, определяемый следующим образом:
У = (1 к |''-'e-iarg К...,\U \р'~1е-> *πί /„, 0, 0, ...).
Тогда
/(У) = Σ h\IkΥ-'e-t·«/* = Σ Ι/*Υ- (5.3)
k=l k=\
Из ограниченности / следует, что
Ι/(ί/)Ι<Ιΐηΐ·ΙΙ^ΙΙ = ΙΙ/η·(ΣΐΙΜ"'-Ιχ
k=l
χ e-'«if*/p)i/p = ||/||(Σ \h\pJlp. (5.4)
Здесь мы воспользовались тем, что ρ (ρ'— 1) — ρ'. Сравнивая (5.3)
и (5.4), получаем
Σ i/fti"'<imi(t \fkYY,p,
откуда находим, что при любом /г£И
(Σ \fk\p')w <\\f\V
00
Из последней оценки следует, что (fk)k=i £ 1Р> и с = (Σ Ι Ь Ю1/р'<
< ||/||. Поскольку выше из (5.2) было получено неравенство
ИЛ1<*, то 11/11 = с. ■
3. Пространство, сопряженное к 1г.
Теорема 5.3. IIространство (1г)' изометрически изоморфно
пространству L. Соответствующий изоморфизм (/х)' Э f *+ (fk)k=i ζ
£ /οο устанавливается формулой (5.1) при любом χζΙν Обычно
пишут короче: (/х)' = L·.
Доказательство. Пусть (jk)k=\ — ограниченная
последовательность комплексных чисел, т. е. / = (/&)Γ=ι £/~, ||/||оо =
= sup{| fk\ I &£И}. Тогда функционал /(я), определенный по
формуле (5.1) для χ £ 1Ъ линеен. Покажем, что он ограничен.
Действительно,
Ι/(*)Ι = |Σ fr**l<suP{iMifteN}i! 1^1 = 11/11-11 *lli-
т. е. функционал f(x) ограничен и ||/|| <||/|Ι~· Тем самым
установлено и включение /οο^(/ι)\
Упражнение 5.1. Доказать обратное включение (/J'g^, т. е. показать,
что для любого функционала /£ (/;,)' существует такой элемент / = (/^)^=1 € ^оо»
оо
что Cfx ζ /J: /(*) = £ /Л, причем || / || = || / Ц,..
211

4. Пространство, сопряженное к U. Понятие о банаховом
пределе. Нетрудно установить включение (/«,)' ^ /1# Действительно,
пусть (fk)k=i£lu тогда функционал /(я), определенный по
формуле (5.1) для x£L, очевидно, линеен. Его ограниченность следует
из оценки
Ι/(*)Ι<Σ 1/^*1 <sup{μΛ||Α6Μ}Σ ΙΜ = 11*11-S \fk\.
oo
Таким образом, (/«,)' э /х и при этом ||/|| <: Σ I fk\. Полагая в (5.1)
oo
x = {Xk)k=u где xk = erl*Tsfk (&£И), получим /(χ) = Σ I/H т. е.
11/11 = Σ Ι/*Ι = ΙΙ/ΙΙι·
fe=l
Покажем, что (/«>)' Φ Ιχ (полное описание пространства (/«,)'
можно найти, например, в [28]). Приведем пример функционала
из (Zoo)', не представимого в виде (5.1) ни при каком (/>)Γ=ι6Ί·
Для этого рассмотрим линейное множество с, состоящее из
сходящихся последовательностей комплексных чисел.
Определим на с линейный функционал /, полагая
(Ух = (χν χ29 ...)£c):f(x) = \imxk. (5.5)
k-*- oo
Так как \f(x)\ = | \\mxk \ < sup{|x*| \k£ Щ} = || х\\, то f ζ с\ причем
k-+ oo
11/11 < 1. По теореме Хана — Банаха функционал / можно
продолжить с сохранением нормы до функционала F£(L·)'. Легко видеть,
что функционал F не может быть представлен в виде (5.1).
Действительно, выражение (5.1) меняется при изменении конечного
числа членов последовательности (Xk)k=i £ с, в то время как
выражение (5.5) остается неизменным. ■
Отметим, что продолжение F функционала / определяется,
конечно, не единственным образом. Можно показать (см., например,
17, с. 28]), что существует такое продолжение F^{L·)' (его
обозначают F(x) = 'L\mxk и называют банаховым пределом), которое
k-+ oo
обладает следующими свойствами:
1) если (Yk):Xk > 0, то Limx* > 0;
2) Lim;cA; = Lim^+i.
k-+<» k-*· oo
При этом всегда Unix* <Lim^ <: limx^.
£T»7 fc-°° k-*°°
5. Пространство, сопряженное к Lp(#, άμ) (1 </?<oo).
Теорема 5.4. Пусть 1 < р< oo, l/p+ 1//?' = 1, (R, 9ϊ, μ) —
пространство с σ-конечной мерой. Пространство (LP(R, άμ))'
изометрически изоморфно пространству Lpr(Rf άμ). Соответ-
212

ствующий изоморфизм \LP(R, άμ))'3l<+h£Lp>(R, άμ) задается
формулой
(Vx(?) g Lp (R, άμ)): I(x) = \h{q)x (q) άμ(q). (5.6)
R
Обычно этот изоморфизм записывают как равенство (Lp (R, άμ))' =
= ^{^άμ).
Доказательство. Если h£Lp>(R, άμ), x£Lp(R, άμ), то,
определив линейный функционал I по формуле (5.6), получим
в силу неравенства Гельдера
\Нх)\ = \$Шх(Я)*Мч)\<\\Чр'\\х\\р.
R
Отсюда видно, что функционал / ограничен и || Z|| < || h\\p>; тем
самым доказано включение Lp>(R, άμ)^(Lp(Ry άμ))'.
Остается проверить, что любой функционал l£(Lp(R, άμ))'
представим в виде (5.6) и что имеет место неравенство ||А||/?'<||/||.
При доказательстве этого мы ограничимся случаем конечной
меры, предоставив читателю провести соответствующие
рассуждения для о-конечной меры.
Пусть l£(Lp(R, άμ))'. Если А— измеримое множество, то его
индикатор %а входит в Lp(Ry άμ), и поэтому имеет смысл /(%л).
Тем самым определяется отображение ω: Л/-^/(%л). Покажем, что
ω — заряд на измеримом пространстве (R,ffi). Достаточно прове-
оо
рить σ-аддитивность ω. Пусть А = (J Aki Ak£ 9ΐ, Ak [)Aj = 0
(k Φ> /). Тогда %л = Σ %Ak, причем этот ряд сходится в норме
k=\
Lp(R,άμ). Поэтому в силу линейности и непрерывности функцио,
нала / имеем
оо оо оо
k=\ k=l k—\
следовательно, ω — заряд. Если μ(Α) = 0, то Χα = 0 (mod μ), τ. е.
%а—нулевой элемент Ιρ^,άμ), и поэтому ω(Α) = 0. Таким
образом, заряд ω абсолютно непрерывен относительно меры μ и по
теореме Радона — Никодима существует такая функция h<^L1(R,
άμ), что (ΥΑ ζ St): ω (Α) = J h (q) άμ (q).
A
Покажем, что h£ Lp> (R, άμ) и что имеет место представление
(5.6). Это представление непосредственно проверяется для
индикаторов измеримых множеств:
Ι (χΑ) = ω (А) = J h (q) άμ (q) = J h (q) %A (q) άμ (q).
A R
Отсюда следует справедливость представления (5.6) для простых
измеримых функций.
213

Если χ (q) — ограниченная измеримая функция, то по теореме
П.5.2 существует последовательность (хп (q))Z=i простых
измеримых функций, равномерно на R сходящихся к χ (q). В силу теоремы
Лебега об ограниченной сходимости (см. также упр. II 1.6.2) в
равенстве
l(xn) =\h{q)xn{q)d\i(q)
можно перейти к пределу. В результате получим представление
(5.6) для ограниченной измеримой функции χ (q).
Положим теперь для каждого η £ f^J
M9)-t 0 при | h(q)\ > η
и рассмотрим функции yn(q) = \hn(q)\pf-le-iaTeh^\ Каждая из этих
функций ограничена, измерима и
II Уп \\р = (J I hn (q^'-VP άμ (q)) ^ = (\\K {q)\P' άμ(q))Up. (5.7)
R R
Далее, в силу (5.6), имеем
I (Уп) = \h{q)\hn fo)|P'-i ег* ■* ^ άμ {q) = \\ hn {4ψάμ (q). (5.8)
R R
Так как | l(yn)\ <: ||/||·||#/ι lip» т° из (5.7) и (5.8) получаем
$ ΙΜ?)ΙΡ'Φ (ς) < || /1|(J ΙΚ(4ψάμ(4))νρ,
R R
откуда
($\*ηϋΨ*μ(4))1ίΡ'<\\1\\. (5 9)
R
Поскольку последовательность \hn(q)\p' сходится в каждой точке
к \h(q)\p'9 то> применив лемму Фату, получаем из (5.9)
$\h(q)№(q)<\\l\\'§9
R
т. е. h£Lp,(R, άμ) и ||ft||P'< ||/||.
Таким образом, линейный непрерывный функционал / совпадает
с линейным непрерывным функционалом j 1ι^)χ^)άμ^) на плот-
R
ном в LP(R, άμ) множестве ограниченных функций. В силу теоремы
3.1 (о продолжении функционала по непрерывности) эти
функционалы совпадают на всем Lp (R, άμ\ т. е. имеет место
представление (5.6). ■
6. Пространства, сопряженные к L1(7?, άμ) и L·00{R1άμ).
Теорема 5.5. Пусть (R, 9ΐ, μ) — пространство с σ-конечной
мерой. Пространство (L^R, άμ))' изометрически изоморфно про-
214

странству L*, (R, άμ). Соответствующий изоморфизм (L1(R7d^)),3
5l*+h£Loo(R9 άμ) задается формулой
Cfx 6 Lx (R} άμ)) 11 (χ) = J h (q) x(q) άμ (q). (5.10)
R
Доказательство. Если h^iL00(Ri άμ), то для любого χ ζ
£Li(i?, άμ) функция h(q)x(q) суммируема, поэтому формула (5.10)
определяет линейный функционал на LX(R, άμ).
При этом
μ(χ)1=ΐίΛ(?)^(?)£ίμ(?)Ι<ίΐΜ?)*!(«)Μμ(?)<
<esssup|fc(?)|.||^||i=l|/i|UI|x|li. (5.11)
Отсюда видно, что функционал / ограничен, т. е /£(£χ(#, άμ))\
следовательно, L*. (R, άμ) s (^(R, άμ))' и || I || < [| h \\ж.
Обратное включение и неравенство ||ή||°ο <: ||/|| доказываются
примерно так же, как и в предыдущей теореме. Предлагаем
читателю самостоятельно провести соответствующие рассуждения.
Замечание 5.1. Если h ζ Lx (R, άμ), то из оценки, аналогичной
(5.11), непосредственно следует, что формула
1(χ) = $Ηη)χ(η)άμ(η)
R
определяет линейный непрерывный функционал на /,«> (R, άμ).
Таким образом, Lx (R, άμ) a (LTO (R, άμ))'. При этом включение
строгое, если только мера μ не сосредоточена в конечном числе точек
(ср. п. 4). Полное описание пространства (Loo(R, άμ))' можно найти
в [28, 34].
7. Пространство, сопряженное к C(Q). Пусть Q — метрический
компакт, 25 (Q) — σ-алгебра борелевских подмножеств Q. Заряд ω,
заданный на измеримом пространстве (Q, 25 (Q)), назовем
регулярным, если его положительная и отрицательная вариации ω+ и ω.—
регулярные меры (см. определение VI.8.2). Ясно, что множество
W (Q) таких зарядов является линейным пространством. Положим
II ω II = Ι ω I (Q)> где [ ω [ — полная вариация заряда ω, | ω | (Е) =
= ω+ (Ε) + ω. (Ε). Нетрудно проверить, что аксиомы нормы
выполняются, причем пространство W (Q) полно относительно этой
нормы, т. е. W (Q) — банахово пространство.
Пусть С (Q) — пространство вещественнозначных непрерывных
на Q функций х: Q->- IR. Имеет место следующая теорема.
Теорема 5.6 (Маркова). Пространство (С (Q))'
изометрически изоморфно пространству регулярных зарядов W (Q). При этом
соответствующий изоморфизм (С (Q)Y Э I <-> ω £ W (Q) задается
формулой
Q
215

Доказательство этой теоремы (даже в более общем
случае) имеется в книге [28].
Здесь докажем частный случай приведенной теоремы, а именно
теорему об общем виде линейного непрерывного функционала в
вещественном пространстве С (Ю, 1]).
Теорема 5.7 (Рисе а). Для любого функционала Ι £ (С ([0, 1]))'
существует такая функция g ограниченной вариации, что
функционал I представляется с помощью интеграла Римана — Стилтьеса
1
(V*€C([0,1])) ι /(*) = l x(t)dg(t), (5.12)
о
причем V(g;[0,l]) = l|/||.
Доказательство. Как известно (см. замечание VI.7.2),
пространство С ([О, 1]) можно рассматривать как подпространство
пространства Μ ([О, 1]) ограниченных на [0, 1] вещественных
функций. По теореме Хана — Банаха функционал I можно продолжить
с сохранением нормы до линейного непрерывного функционала L
на Μ ([О, 1]).
Для любого if [0, 1] положим ut= Х[о, о- Поскольку щ£ Μ ([О,1]),
то имеет смысл L(ui). Положим g (t) = L (щ) и покажем, что
функция g искомая.
Проверим вначале, что g — функция ограниченной вариации.
Рассмотрим произвольное разбиение π отрезка [0, 1] точками
О = t0< tx< . . . < tn^i < tn=l и положим 8t-=sign {g(ti+i) — g(ti))>
Тогда
νπ(£; [0, 1]) = Σ |*(</+ι)-£(ωΐ = Σ *t{g(tt+i)-g{tt)) =
η—1 η—Λ
= Σ βι {L(un+l) — L(ut,.)) = L (£ 8<(щ.+1 — u,.)) =
= *·(Σβ,Χ(/„,ί+ι]). (5.13)
/г^1
Поскольку функция ζ = 5j 8t%<ft4 ί4·. χ] принимает лишь значения
0,1 и — 1, то || ζ|| = sup (I z(/)||0 < t < 1) = 1, и из (5.13) получаем
V«te;[0,l])<||L||.||2|| = llb 11=11 ЛЬ
откуда следует, что g- — функция ограниченной вариации и
V(g;[0, 1])<||/||. (5.14)
Докажем теперь представление (5.12). Пусть х£С([0, 1]).
Для любого ηζ^ положим
216

Тогда
и поэтому в силу определения интеграла Римана — Стилтьеса
ι
lim L(xn)=\x(t)dg(t). (5.15)
ΓΖ-οο о
Кроме того, (χη)Ζ=ι — последовательность простых функций,
равномерно сходящаяся к я, поэтому \\хп — я||->0 и в силу
непрерывности функционала L имеем L(x) = \imL(xn). Отсюда в силу
(5.15) получаем
ι
L{x)=\x(t)dg(t),
О
а поскольку х£С([0, 1]), то L(x) = l(x), и формула (5.12) доказана.
Наконец, из (5.12) имеем
ι ι
\Hx)\ = \U(f)dg(t)\<\l\x{f)\dg(f)\<
О О
<max\x(f)\ · Vfc; [0, 1])=||*|| · V(g; [О, 1]),
откуда [| 1\\ <: V(g; [0, 1]). Учитывая (5.14), получаем [[/[[ =
-V(gr;[0, 1]). ■
Замечание 5.2. Ясно, что теорема остается справедливой, если
заменить отрезок [0, 1] произвольным отрезком \а, Ь].
Замечание 5.3. Если g (t) — произвольная функция
ограниченной вариации на [0, 1], то формула (5.12) задает линейный
непрерывный функционал на С ([0, 1]). Однако установленное в теореме
5.7 соответствие между (С ([0,1]))' и множеством функций
ограниченной вариации не является взаимно однозначным. Действительно,
если заменить g (t) на g (ί) + const или изменить значение g {ί) на
конечном или счетном множестве, то соответствующий функционал
(5.12) не изменится. Поэтому функцию g (t) можно подчинить,
например, условию g (0) = 0 и считать непрерывной слева. В этом
случае соответствие становится взаимно однозначным, причем ||/|| =
= V (g\ [0,1]). Таким образом, пространство, сопряженное к С ([а,
Ь])у изометрически изоморфно пространству V (la, b]) (см. упр.
1.17.1, 1.17.2).
УПРАЖНЕНИЯ
5.2. Найти сопряженное пространство Е\ если Ε — это С с нормой
а) ||.||р, \<р\ б) ||.|10.
5.3. Пусть р> 1 фиксировано. При каких a£lR следующие функционалы
принадлежат соответствующим сопряженным пространствам: а) 1рЭх\-*
217

h*2 ft-»**; 6) Lp([0, l])3xi-^'\tax(f)dt; в) Lp([\, оо))Ъх\-^ [t^x({)df,
ft=l 0 !
oo
r) L ([0, ©о)) Эл:I-»· \ 1^е~*х (t) dt7 Найти нормы этих функционалов.
о
5.4. Доказать, что с' = /х.
Указание. Рассмотреть при любом # ξ/i функционал
00
I (х) = Ух Hm ^ + Σ уЛ+1*А (а: £ с).
5.5. Описать пространство, сопряженное к пространству с0.
5.6. Пусть M(\Rn) — совокупность всех ограниченных вещественных
функций на IRrt с нормой ||*|| = sup {| x(t)\ \ t£\Rn}. Доказать, что существует
линейный непрерывный функционал Lim х(х£М (\Rn))f обладающий свойствами:
a) inf {χ (t)\t£ \Rn} <: Lim χ <: sup {χ (t)\ t ζ \Rn}; б) если существует lim χ (t) = at
1|/ц-юо
то Lim χ = а; в) (ys £ IR") : Lim χ (t) = Lim χ (t + s).
5.7. Доказать, что / ζ С ([α, b]) и найти || / ||f если* а) / (*) = оис (а) +
+ β*(&) (α, β ^ IR); б) Ι (χ) = \ χ (t) p (t) dt, где р — фиксированная функция
а
ь
из С ([а, Ь]); в) /(*)= Г а: (О Л - χ (^χ^)-
α
5.8· Пусть Q — метрический компакт, / £ С* (Q) — положительный
функционал. Положим для любого компакта /(cQ μ (Κ) = inf {/ (χ) | 1 > χ > χ^}
и для борелевского множества Л cz Q μ (Л) = sup {μ (К) \ К с: Л, /С — компакт}.
Доказать, что μ—мера.
5.9. Описать сопряженное пространство к С1 [О, 1].
§ 6. ВЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО НОРМИРОВАННОГО
ПРОСТРАНСТВА ВО ВТОРОЕ СОПРЯЖЕННОЕ.
РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть Ε — линейное нормированное пространство, Е' —
сопряженное пространство> т.е. пространство линейных непрерывных
функционалов на Е. Поскольку Е' — банахово пространство, то
для него определено сопряженное пространство (£")' = £"',
которое естественно назвать вторым сопряженным для Е.
Теорема 6.1. Если Ε — линейное нормированное пространство,
то Е<=^Е". При этом
®х^Е):\\х\\Е = \\х\\Е„. (6.1)
Доказательство. Элементы пространства Ε обозначим
через х, yf ... , Ε' — через /, ту ..., Е" — через Ь} М9 ... .
Определим отображение
полагая Lx(l) — 1(х) (V/££")· Покажем, что Lx — линейный непре-
218

рывный функционал на Е'. Действительно, если /, т£Е\ λ, μ £ [К, то
Lx (λ/ + μ/η) = (λ/ + μ/η) (*) = λ/ (χ) + μ/η (α:) = λί,* (/) + μΙχ (m),
т. е. функционал Lx линеен. Далее,
1Ы01 = 1'(*)1<1Ш1· 11*11.
т. е. функционал Lx непрерывен и при этом ||L^|| < || х\\.
Покажем, что φ — линейное отображение. Для любых х9 у£Е,
λ, μ ζ К имеем при любом / £ Ε
ίλχ+м (0 = / (λχ + μy) = λ/ (*) + μ/ (у) =
= λΐχ (I) + pLy (I) = {%LX + pLy) (0,
поэтому Ελχ+μμ = XLX + \iLy, т. е. отображение φ линейно. Покажем,
что оно инъективно. Для этого рассмотрим ядро этого
отображения Кег φ = [χζΕ\ Lx = 0) и покажем, что Кегср={0}.
Действительно, допустим, что это ядро содержит элемент χ Φ 0.
Тогда в силу следствия 4.1 (из теоремы Хана — Банаха) существует
такой функционал /££", что ||/|| = 1 и 1(х) = \\х\\. Тогда Lx(l) =
= 1{х) = \\х\\ Φ 0, т. е. ЬхФ0 и, следовательно, х^ Кег φ.
Остается доказать, что \\х\\ = \\Ьх\\(Ух£Е). Выше было
показано, что \\LX\\ <з || х\\. Покажем, что ||л:|| <: \\LX\\. При я = 0это
очевидно. Если χ Φ 0, то в силу того же следствия 4.1
существует ΙζΕ' такой, что ||/||= 1, 1(х)= \\х\\. Тогда
\\x\\ = l(x) = Lx(l)<\\Lx\\.\\l\\ = \\Lx\\
и, следовательно, || χ || = || Lx \\ (ΥχζΕ).
Итак, φ : Ε ->■ Ε" — линейное инъективное отображение,
сохраняющее норму, т. е. Ε изометрически изоморфно части (или всему)
£"'. Поэтому естественно отождествить каждый элемент χ ζ Ε с
соответствующим элементом Lx £ £"'. Тогда мы получим вложение
Ε ^ Е" и равенство (6.1). ■
Определение 6.1. Банахово пространство Ε называют
рефлексивным, если Ε" = φ (Ε).
Из результатов § 5 следует, что при 1 </? <оо пространства 1Р
и Lp (R, άμ) рефлексивны, а пространства 1г и L нерефлексивны.
Нерефлексивны также L^R, άμ) и L^ (R, άμ), если только мера μ
не сосредоточена в конечном числе точек. Нерефлексивно и
пространство С (Q), если Q — бесконечное множество.
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Доказать рефлексивность конечномерного нормированного
пространства.
6.2. Пусть Ε — рефлексивное банахово пространство, F — его
подпространство. Доказать, что (F1)1 = F (см. упр. 4.13). Справедливо ли это
равенство для нерефлексивного £?
6.3. В условиях упр. 6.2 доказать рефлексивность F и E/F.
6.4. Пусть Ε — банахово пространство, F — его подпространство. Если
F и E/F рефлексивны, то и Ε рефлексивно. Доказать.
6.5. Пусть Ε — рефлексивное банахово пространство. Доказать, что
(V € £')(Н* € £, *Ф0): / (*) = || χ || || /1|.
219

6.6. Доказать нерефлексивность с0.
1/2
6.7. Доказать, что функционал / (g) = \ dg (t) является линейным и не-
δ
прерывным функционалом на С ([0, 1]). Вывести отсюда нерефлексивность
пространства С ([0, 1]).
§ 7. ТЕОРЕМА БАНАХА — ШТЕЙНГАУЗА.
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ
1. Теорема Банаха — Штейнгауза. В функциональном анализе
важную роль играет следующая теорема, которую часто называют
принципом равномерной ограниченности.
Теорема 7.1 (Банаха — Штейнгауза). Пусть Ε —
банахово пространство, (Ιη)η=ι — последовательность
функционалов из Е'. Если эта последовательность ограничена в каждой точке,
т. е.
(Υχ ζ Е) (Не, > 0) (V/г 6 N): I /я (*) I < сх,. (7.1)
то последовательность их норм ограничена, т. е.
(Яс>О)(УлШ|||/я||<!0. (7.2)
Доказательство. Пусть последовательность (1п)п=\
удовлетворяет условию (7.1). Покажем, что тогда существует
замкнутый шар Вг(а), в котором множество {ln(x)}n=i ограничено.
Предположим противное, пусть множество [ln(x)}Z=i не ограничено ни
в одном замкнутом шаре и, следовательно, ни в одном открытом
шаре. Возьмем произвольный шар ВГо(х0). Так как в открытом
шаре ВГо(х0) множество {ln(x)}Z=i не ограничено, то найдутся
такие х1^ВГо(х0) и /ΐχζ^, для которых \1П1(Хг)\> 1. В силу
непрерывности функционала 1Пх неравенство 11,ч (х)\>\ выполняется
и в некоторой окрестности точки х19 поэтому оно будет
выполняться в некотором замкнутом шаре ВГх (#i)c= ВГо(х0). При этом
можно считать, что г1<г0/2. Поскольку в шаре ВГ1(хг)
множество {1п(х)}п=\ не ограничено, то найдутся такие χ2ζΒΓι(χ1) и
номер п2>пъ что |/п2(*2)|>2. В силу непрерывности
функционала 1Пг неравенство 11Пг (χ) | > 2 выполняется в некотором шаре
ВГ2(х2), причем можно считать, что г2 < г0/22. Продолжая этот
процесс, получим последовательность вложенных замкнутых шаров
Br0(x0)^Bri(x1)zD Ъг2{х2)=) ,..(rk-+0 при А-* оо) и натуральные
числа /г1</г2<... такие, что \lnk(x)\>k при x£Brfl(Xk). По
теореме о пересечении вложенных замкнутых шаров в полном
метрическом пространстве существует точка х*, принадлежащая всем
указанным шарам (х* = limx*). Поэтому | ln/i (х*) | > k при всех k,
что противоречит условию (7.1). Полученное противоречие доказы-
220

вает существование шара Вг(а), на котором множество {/п(л:)}^=1
ограничено:
(Ы>0)(Чх£Вг(а))<упШ'\Ш\<*· (7·3)
Поскольку для любого линейного непрерывного функционала
|[ /1| = sup {| Ζ (χ) 111| χ || < 1}, то для доказательства теоремы
достаточно показать, что множество {1п (х)}п=\ ограничено на единичном
шаре 5^(0). Для любого χζΕ>ι(0) положим tf=rx + a, тогда
χ = — (х' — а). Ясно, что χ' ζ ΒΓ (α), поэтому (Vn): \ 1п (*') |< с'.
Тогда имеем
\Ш\ = \ln{\{x' -α)) |=7 11п&)-Ш\ <т(\ ln(x') 1+1 Ш\).
Отсюда, учитывая (7.3) и (7.1), получаем
\1п(х)\<^у± = с,
что и доказывает ограниченность {1п(х)}п=>\ на единичном шаре. ■
Упражнение 7.1. Привести пример, показывающий, что условие полноты
пространства Ε в теореме 7.1 нельзя отбросить.
2. Слабая сходимость линейных непрерывных функционалов.
Определение 7.1. Пусть Ε — линейное нормированное
пространство. Говорят, что последовательность функционалов
(ln)n=\czE- слабо сходится к функционалу /££", если
фх£Е):1п(х)-+Цх).
Слабую сходимость обозначают так: /л -> / или I = w . lim ln.
w
Пусть пространство Е банахово и ln-+l. Тогда в силу
определения 7.1 при любом х£Е последовательность (1п(х))п=\
ограничена. Поэтому по теореме Банаха — Штейнгауза (Не > 0) (Vn ζ f^J):
II ln\\< с
В банаховом пространстве Е' можно рассматривать и другой
вид сходимости, а именно, сходимость по норме этого пространства:
ln->U если lim || 1п — 11| = 0. Из неравенства \ln(x) — l(x)\<-\\ln—
П-+оо
— 'II · II х\\ следует, что сходимость по норме 1п-+1 влечет слабую
w
сходимость 1п-+1. Однако обратное утверждение неверно.
Упражнение 7.2. Привести пример банахова пространства Ε и
последовательности функционалов (ln)%Li ^ &'* сходящейся слабо, но не сходящейся
по норме.
Теорема 7.2. Пусть Ε — банахово пространство и пусть
последовательность функционалов (ln)n=\czEf такова, что для
любого χ ζ Ε последовательность (ln(x))n=i фундаментальна. Тог-
221

да существует такой функционал /££, что 1п-*~1. Иными
словами, пространство Е' слабо полно.
Доказательство. В силу условия теоремы при любом
def
фиксированном х£Е существует предел limln(x) = 1(х). Переходя
к пределу при /г->-оо в равенстве Ιη {λχ + \ху) = λΙη (χ) + μΙη (у)
(λ, μ€Κ> х> У£Щ> убеждаемся в линейности функционала /.
Покажем, что он ограничен. При каждом фиксированном χ £ Ε
последовательность (ln(x))n^i сходится и поэтому ограничена.
В силу теоремы Банаха — Штейнгауза нормы |[/„|| ограничены
одной константой с, т. е. (V/z ζ И) (Vx ζ. Ε): | ln (χ) \ < с \\ χ ||. Переходя
в этом неравенстве к пределу при η ->■ оо, получим (V* £ £): | / (х) | <
<-с\\х\\> т. е. функционал I ограничен. Таким образом, / =
= w. lim/„££". Ш
Теорема 7.3 (критерий слабой сходимости
функционалов). Пусть Ε—банахово пространство и множество
Μ всюду плотно в Е. Для mono чтобы последовательность (/Jn°Lic:
с Е' слабо сходилась к Ιζ Ε', необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия: 1) (Vx ( Μ): ln (χ) -> I (x)\ 2) (Яс >
> 0) (Vn e Μ): HU <c
Доказательство. Необходимость условий теоремы
очевидна. Для доказательства достаточности нужно показать, что при
выполнении условий теоремы
(Vy£E):\imln(y) = l(y). (7.4)
Π-*- οο
Если χ ζ Μ, то
\Ш-Пу)\<\Ш-Ш\ + \Ш-Чх)\+\Чх)-Цу)\<
^\\1п\\-\\у-х\\ + \Ш-1(х)\ + \\1\\>\\х-у\\<
<(с + \\1\\)\\х-у\\ + \Ш-1(х)1 (7.5)
Поскольку М = Е, то (Vy £ Я) (Ve > 0) (Я* £ Μ): || * — у ||<
<е/2(с+||/||). Далее, в силу условия 1), (Υε>0)(3Λ0 (V/i>
>N):\ln(x) — l(x)\<s/2. Тогда из (7.5) находим, что (Ve > 0)
(3N)(Yn>N)i\ln(y) — 1{у)\<г, т. е. выполняется (7.4). ■
Замечание 7.1. Из доказательства видно, что условия 1), 2)
остаются достаточными и в том случае, если Ε — линейное
нормированное пространство (не обязательно полное). Ясно также, что в
формулировке теоремы достаточно требовать, чтобы множество Μ было
тотально в Е.
Теорема 7 А. Пусть Ε — сепарабельное линейное
нормированное пространство. Тогда в сопряженном пространстве Е' любой
шар Вг (0) = {/£ Е' \ || /1| <г) предкомпактен β смысле слабой
сходимости функционалов, т. е. любая последовательность
функционалов (1п)п=\ аВг(0) содержит подпоследовательность {1п^)и=-и
слабо сходящуюся к некоторому функционалу.
Доказательство. Пусть Μ = {χν χ2, ...} — счетное
множество, всюду плотное в Е. Рассмотрим числовую последователь-
222

ность (1п (хг))^\ . Поскольку | ln(хг) | <: || /Л || ■ || хг || < г \\ хг ||, эта
последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся
подпоследовательность {Ιηι(Χι))η=ι- Теперь рассмотрим числовую
последовательность (1п\ (х2))п=\- Она также ограничена и поэтому
содержит сходящуюся подпоследовательность (1п2 (х2))п=\- Продолжая
этот процесс, построим диагональную последовательность (1Пп)п=\
такую, что для любого Xk £ Μ существует предел Vim lrm(Xk)= /fe).
Продолжив 1 на л. о. (Λί), а затем по непрерывности на все Е,
получим функционал ΙζΕ', к которому в силу теоремы 7.3 слабо
сходится последовательность (1пп)п=\. Ш
Следствие 7.1. В пространстве, сопряженном к сепарабельному
линейному нормированному пространству, любое ограниченное
множество слабо предкомпактно.
3. Слабая сходимость в (С ([а9 &]))'. Теоремы Хелли. Применим
рассмотренные вопросы к изучению слабой сходимости
функционалов на пространстве непрерывных функций.
Обозначим через V ([а, Ь]) пространство всех непрерывных
слева на [а, Ь] вещественнозначных функций g(0» имеющих
ограниченную вариацию на [а, Ь] и удовлетворяющих условию g (а) = 0.
Легко видеть, что \\ g\\ = V (g; [α, b\) является нормой на V ([а, Ь]).
Из § 5 (см. теорему 5.7 и замечание 5.3) следует, что (С ([а, &]))' =
= V ([а, &]), причем соответствие (С ([a, b]))' Bl*+g(zV([a, b\)
задается формулой
ь
(V*€C([а, &])):/(*) = {*(*)<**(*)·
а
Теорема 7.5 (первая теорема Хелли). Пусть задана
последовательность функционалов (1п)п=\ с (С ([а, fr]))'; (gn)n=i с:
cV([a, b]) — соответствующая ей последовательность функций
ограниченной вариации. Предположим, что выполнены следующие
условия: 1) <yt£[a,b]):gn{t)-+g{ty, 2) (Не> 0) (Υη ζ Ν): || gn || =
— V{gn, [a, b])^o. Тогда g£V([a,b]) и ln^U где
ь
l{x) = \x{t)dg{t). (7.6)
а
Доказательство. В силу условия 1) для любого разбиения
а = t0 < tx <C.. . < tn^i <Цп*=Ь отрезка [α, b] имеем
Σ Ι ^ (4+ι) — g (tk) I = Hm Σ \gn (tk+i) — gn (tk) I < c,
поэтому функция g(t) входит в V([a,b]) и, следовательно,
определяет функционал l£(C([a, b]))', действующий по формуле (7.6).
Покажем теперь, что / = w. \imln. Положим
F = n. о. (С([а, Ь])и{%[а,а)\а<а<$<Ь})
223

и введем в этом линейном пространстве норму |[ χ \\F = sup {| x (t) \ \ a <
<t<b]. Для любой h£V([a> b\) интеграл Лебега — Стилтьеса
j x(t)dh(t) определяет функционал из F'. Обозначим через ΐη
функционал из F', отвечающий функции gn£ V ([а, Ь]), а через
/'— функционал из F', отвечающий функции g. Ясно, что
сужения этих функционалов на С ([а, Ь\) совпадают соответственно с 1п
и /. Поэтому для завершения доказательства достаточно убедиться
w
в том, что l'n-^Г. Воспользуемся теоремой 7.3. Ясно, что (Vn^^J):
■ΊΙ Ι'η \1 = II gn II < с. Далее, для любого полуинтервала [α, β) с: [а, Ь)
имеем
ь
In (%[а, β)) = { Х[а, β) (0 dgn (t) = gn (β) - gn («) -+
a
->g®)-g(a) = l'(%[a,v).
Остается заметить, что множество Μ = л. о. {χ[α,- β) | а < а < β < b]
всюду плотно в F. Ш
Теорема 7.6 (вторая теорема Хелли). Пусть А —
бесконечное множество функций из V (la, Ь]) такое, что все функции
из А и их полные вариации равномерно ограничены, т.е.
(5K>0){Vg£A):sup{\g(t)\\t£[a,b]}<K,V(g;[a,b))^K.
Тогда из А можно выбрать последовательность (g-(m))^=i,
сходящуюся в каждой точке [а, Ь] к некоторой функции g£ V([a, b]).
Доказательство. Пусть F — пространство, введенное
в доказательстве теоремы 7.5. Обозначим через В множество
функционалов из F'9 построенных, согласно формуле (7.6), по функциям
из А. Поскольку В с Вк(0)с2 F', то в силу теоремы 7.4 из В
можно выделить такую последовательность функционалов (1п)п=\,
что числовая последовательность (1п(х))п=\ фундаментальна при
любом x£F. Пусть (^^ — последовательность функций из А,
соответствующих этим функционалам. Множество Сп точек разрыва
функции gn не более чем счетно, поэтому все функции последо-
оо
вательности (gn)n=\ непрерывны всюду на [а, Ь]\С, щеС =[]Сп—
не более чем счетное множество.
Зафиксируем произвольное α £ [a, b]\C. Поскольку в силу
условия теоремы числовая последовательность {gn(a))n=i ограничена,
то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность
(gnk(a))k=u Если теперь взять любое β ζ [α, b]\C и положить
X(t) = %[α,β)(0> TO
ν β
lnk{x) = ] x(t)dgnk(t) = J dgnk{t) = gnkQ)-gnk(a).
a a
224

Однако тогда из фундаментальности числовой последовательности
(lnk{x))k*=\ следует, что {gnk(β))Γ=ι — сходящаяся последовательность.
Итак, последовательность функций (gnk)k=i сходится во всех точках
множества [а, Ь]\С, где С — не более чем счетное множество.
Применив к этой последовательности диагональный метод, выделим
из нее подпоследовательность (g(m))m=i, сходящуюся в каждой
точке отрезка [а, Ь]. Если теперь положить g(t) = limg-(m>(/), то
в силу теоремы 7.5 g(t)£V([a, b]). Ш
4. Слабая сходимость в линейном нормированном пространстве.
Пусть Ε— линейное нормированное пространство.
Последовательность (χη)Ζ=ι с: Ε называют слабо сходящейся к элементу х£Е>
если
(VlGE')iliml(xn) = l{x).
Обозначают слабую сходимость в Ε так: хп-**х9 или χ = w. lim^.
Из неравенства \l (xn) — I (x) \< \\l\\ · || xn — jc|| сразу следует,
что из сходимости хп к χ по норме вытекает слабая сходимость.
Обратное утверждение неверно. Так, если рассмотреть пространство
1р (1 <Ср <С оо), то в нем последовательность элементов лу =
= (1,0, 0, ...), х2 = (0, 1,0, ...), *3 = (0, 0, 1, 0, ...), ... слабо
сходится к нулевому элементу (0, 0, ...) (Почему?) Однако || хп\\ = 1
при всех η и поэтому {хп)™=\ по норме не сходится к нулю.
Выясним смысл слабой сходимости в £, учитывая вложение
Ε s Ε" (см. § 6). Напомним, что это вложение определяется
следующим образом: Ε Э х »-* Lx ζ £", где L^ (/) = / (χ) (V/ ζ Ε').
Нетрудно показать, что слабая сходимость χηΖ~ χ эквивалентна слабой
сходимости последовательности функционалов LXn Д. Ьх.
Действительно, по определению слабой сходимости функционалов
сходимость LXn ^ Lx означает, что (V/ £ Ε'): LXn (I) ->- Lx (Z), т. е.
/ (xn) ->· l(x), а это значит, что *„-»-*. В силу отмеченной связи
ряд утверждений, доказанных выше для слабо сходящихся
последовательностей функционалов, можно переформулировать для слабо
сходящихся последовательностей элементов исходного пространства.
Так,, имеет место следующее утверждение.
Теорема 7.7 (критерий слабой сходимости в
линейном нормированном пространстве).
Пусть Ε — линейное нормированное пространство, Μ —
тотальное подмножество в сопряженном пространстве Е'. Для того чтобы
последовательность {xn)™=i cz E слабо сходилась к элементу χζΕ,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) (41ζΜ):1{χη)-+1(χ); 2) (Нс> 0) (Vn^):\\xn\\<c. Ш
Отметим, что теорема 7.2 о слабой полноте сопряженного
пространства не переносится на случай слабой сходимости элементов
исходного пространства (даже если оно банахово). Поясним это об-
8 9-227
225

стоятельство. Пусть последовательность (χη)Ζ=ι с: Ε такова, что
для любого / ζ £" числовая последовательность (/ (χη))™=ι
фундаментальна. Отсюда в силу теоремы 7.2 следует, что
последовательность (LXn)ZLi C2 Е" слабо сходится к некоторому функционалу
L £ Ε". Однако если Ε не рефлексивно, то функционал L, вообще
говоря, не порождается никаким элементом χ ζ Ε. ■
Хотя слабо сходящаяся последовательность может и не
сходиться по норме, тем не менее имеет место следующая теорема.
Теорема 7.8. Если хп^х, то существует последовательность
конечных линейных комбинаций элементов х1у х2, ..., сходящаяся к χ
по норме.
Доказательство. Положим G = з. л. о. (хп). Для
доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что χ ζ G.
Предположим противное. Тогда в силу теоремы 4.1 существует такой
функционал / ζ £", что || 1\\ = 1, I (а:) = ρ (χ, G) и / \ G = 0. Отсюда
следует, что 1{хп) =0 при всех η и поэтому Ит I (хп) Φ I (х), что
/г-*-оо
противоречит условию. ■
УПРАЖНЕНИЯ
1
7.3. Для x£L2{[—1, 1]) положим 1п (х) = I x (t) cos nntdt. Доказать, что
—1
w
a) ln — линейный непрерывный функционал; б) 1п-+0. Сходится ли 1п к нулю
по норме?
1/я
7.4. Для х£С([0, 1]) положим 1η (χ) = η \ x(t)dt. Доказать, что после*
о
довательность (1п)п=\ слабо сходится. Сходится ли (^η)~=ι πο норме?
7.5. Для л: 6 С1 ([—1, 1]) положим 1п (х) = j Ы — ) — *( — — П.
Доказать, что: а) 1п — линейный непрерывный функционал; б) последовательность
(1п)п=\ слабо сходится. Сходится ли (Ιη)"=ι по норме?
7.6. Пусть Ε — банахово пространство, последовательность (/η)~=ι ^ £'
такова, что \imln(x) = (χ) существует для всех х£Е. Доказать, что тогда
ΙξΕ' и ||/|Γ<1ύπ||/Λ||.
7.7. Пусть L—подпространство банахова пространства Е. Если
последовательность (хп)п=\ ^ ^ слабо сходится к х, то χ £ L. Доказать.
7.8. Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве слабая
сходимость совпадает со сходимостью по норме.
7.9. Пусть (^^l^j с /р (Р>1). Доказать, что: а) х^^хв 1р тогда
и только тогда, когда выполнены условия: 1) sup {|| х^\\р | п£ Ы} < оо;
2) (V& € №) Игл х^ —х& б) хп~**х по норме в / (р > 1) тогда и только тогда,
когда выполнено условие 2 из а) и условие (Ve>0)(3& (ε) £ ^) (V^€
€N): fj Uf>|'<e.
226

7.10. Доказать, что слабая сходимость в вещественном пространстве 1г
совпадает со сходимостью по норме.
w
7.11. Пусть хПУ x£Lp([0, 1]) (η £ W, p > 1). Доказать, что хп-*-х в Lp([0,
1]) тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) sup {|| хп\\ \ η £ Щ < <χ>;
τ τ
2) (Vre[0, 1]):£χΛ(0Λ-*£*(0Λ.
о о
w
7.12. Доказать, что: а) для хп-^х в С ([а, 6]) необходимо и достаточно
выполнения условий: 1) sup {|| хп \\ \ η ζ Ν} < оо; 2) (γί £ [α, 6]) : *„ (/) -> χ (/);
б) пространство С ([α, έ]) не полно относительной слабой сходимости.
7.13. Пусть Ε — банахово пространство, χ, χη £ £, /, /„ ζ Ε' (η£ Μ).
Доказать, что //1(*л)->/(*), если выполнено одно из следующих условий:
а) Хп-*х и Ιη~*Ί по норме; б) *„->-#, 1п->1 по норме; в) /„-*- /, χη-+ χ по
норме.
7.14. Пусть Я — гильбертово пространство, хп, х, уп, у ζ Η (п£Ы). Если
хп Ζ- х, а уп -► у по норме, то (#„, уп)->(х, у). Доказать. Построить пример
последовательностей (хп)п=\> (Уп)п=1 таких> чт0 *ПЛ-*, Уп~+У> а (*я> О^
7.15. Пусть Η — гильбертово пространство, х, х,г £ Η (п£Ы) и хп-+х.
Доказать, что хп-**х по норме, если выполнено одно из следующих условий:
а) 11*п1(->11*1|; б) (V"(EN) II *«IK II*II; в) 11т||*я||<||*|[.
7.16. Какие из последовательностей (χ{μ))ζ=χ а /2, (y/I)^L1 cz L2 ([0, 1])
сходятся по норме, а какие слабо: а) х^ = (1, 1/2, ... , 1/я, 0, ...); б) *(/г) =
- (^^0, 1, 1/2, ...); в) jW-^^J, ^j-f, ^-f2» ...); r) yn(t) = /«;
/г
д) *я (0 = **"; е) ^ (О = 2/1 (1 - я/) χΓ t Ί(θ?
§ 8. ПОНЯТИЕ ТИХОНОВСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И СЛАБАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Тихоновское произведение топологических пространств. Пусть
{(Та, Σα> | α ζ Л} — произвольное семейство хаусдорфовых
топологических пространств (см. § VI. 1). Декартово произведение Τ =Υ\Τα
а{А
состоит из всевозможных функций А Э α ι-+ α (α) = αα ζ Тау причем
равенство двух элементов определяется как равенство всех
соответствующих компонент, т. е. а = Ь тогда и только тогда, когда
(Va£A):aa = ba.
Для того чтобы снабдить Τ структурой топологического
пространства, выделим в Τ базу окрестностей. Для построения любой
из окрестностей базы зафиксируем конечное число индексов ах , ...,
ап и окрестности Uai> . . . , ί/α/ι, взятые соответственно из баз
2αι» ·. . , Σα^. Тогда соответствующая этому выбору окрестность
в Τ определяется таким образом:
U(alf ... , α„; ί/αι, . .. , i/aJ = [a£T\aak ££7^, k=lf . . . , η},
8*
227

т. е. ограничения накладываются лишь на конечное число
компонент, остальные же могут быть произвольными. Выбирая любые
конечные системы индексов и соответствующие окрестности ί/α ,
получим в Τ систему окрестностей
2 = {U(av . . . , α„; ί/αι, . . . , ί/αη)|αΛ£ Д
t/α^Σ^, 4=1 л; п$Щ.
Нетрудно проверить (см. например, [2,71]), что (Г, Σ) — хаусдор-
фово топологическое пространство. Его называют тихоновским
произведением пространств (Та, Σα).
Теорема Тихонова утверждает, что тихоновское произведение
любого множества компактов есть компакт.
2. Слабая топология в сопряженном пространстве. Пусть Ε—
банахово пространство (для определенности комплексное).
Рассмотрим тихоновское произведение £Е = Π £χ> гДе (С* = (С при всех
χζΕ. Поскольку Σχ — это совокупность открытых кругов в (β, то
топология Σ в £Е определяется окрестностями вида
и (χν ..., хп] иΧι, ..., UXrj = U (xl9 ..., хп\ с1у ... f сп\ гι9 ... у гп) =;
= {a££E\\a(xk) — ck\<rki k= 1, ... , η} fog(C, rk>0).
Выясним смысл сходимости последовательности в (£Е. Пусть
последовательность (ak (λ-))/Γ=ι с £Е такова, что (Υχ £ Ε): lim au (χ) =*
ft-»· oo
= а(л:). Ясно, что тогда ak->a в ((£Е, Σ). Обратно, пусть a^->a
в смысле тихоновской топологии. Тогда для любой точки х0£Е
и любой окрестности вида U(х0\ а(х0); ε)ζΣ найдется такое Af£^J,
что при любом n>N будет an(x)£U(x0; а(х0); ε), т. е. \ап(х0) —
— α(Λ:0)|<ε. Таким образом, сходимость в тихоновской топологии
совпадает с поточечной сходимостью.
Пространство £Е содержит, в частности, все линейные
непрерывные на Ε функции, т. е. Е' cz (CE. Система окрестностей
ΣηΕ, = [υηΕ'\υζΣ)
задает на Е' топологию, называемую слабой топологией. Из
сказанного выше следует, что сходимость 1п-+ I в слабой топологии Е'
совпадает со слабой сходимостью 1п ->- /.
Теорема 8.1. Если Ε — банахово пространство, то замкнутый
единичный шар В1(0) = {ΙζΕ' \\\1\\ < 1} является компактом в
слабой топологии Е'.
Доказательство. Из определения нормы линейного
функционала сразу следует, что
Й1(0) = В = П{«бС|И<||дс||}.
Поскольку в последнем произведении каждый из сомножителей —
компакт, то по теореме Тихонова В — компакт. Поэтому для дока-
228

зательства теоремы достаточно убедиться в том, что В[ (0) —
замкнутое множество в слабой топологии.
Пусть а£(С^ — предельная точка множества В1(0). Покажем,
что αζΕ'. Проверим сначала, что а — аддитивная функция, т. е.
что а(х + у) =а(х) + a(y)(Vx> у ζ Ε). Зафиксируем χ, у ζ Ε и для
произвольного ε>0 рассмотрим окрестность U(х, у, х + у\ а(х),
а (у), а (х + у); ε, ε, ε). По определению предельной точки в этой
окрестности найдется функционал I = 1(χ)ζ:Β1{0). Тогда
\<*{*+У) — я(*) — а(У)\ =s\a(x + у) — 1(х + у) + 1(х) — а(х) +
+ Цу) — а(у)\*\а(х+у) — 1(х + у)\ + \Цх)-а(х)\ +
+ \1(у)-а(у)\<3е.
В силу произвольности ε отсюда следует, что а (х + у) = а (х) +
+ а(у). Аналогично доказывается, что а(х) — однородная
функция. Покажем теперь, что линейный функционал а(х) ограничен.
При фиксированном χ для любого ε > 0 в окрестности U (х, а (х), г)
найдется функционал Ιζ Ъг (0). Таким образом,
\а(х)\<\а(х)-1(х)\ + \1(х)\<г + \\х\\,
откуда в силу произвольности ε следует, что \а(х)\ <||л;[|, т. е.
функционал а ограничен и, более того, ||а||<з1, следовательно,
α€5ι(0).
Замечание 8.1. Пусть Ε — сепарабельное банахово
пространство. Рассмотрим в сопряженном пространстве Е' две системы
окрестностей: систему Σ, определяющую слабую топологию в £", и ее
счетную подсистему
Σι = {У{Упх, . . . , Упк\ аг + Ъги ... , ak + bki\ qv . .. , ?*)},
гДе (Уп)п=\ — счетное всюду плотное в Ε множество, а/, Ь/, q/ ζ Q
Нетрудно показать, что топология в £", порожденная системой
окрестностей Σΐ9 совпадает на ограниченных множествах со слабой
топологией. Таким образом, в пространстве £", сопряженном к се-
парабельному банахову пространству, слабая топология на
ограниченных множествах имеет счетную базу; поэтому такая
топология определяется заданием класса сходящихся
последовательностей. Следовательно, эта топология задается слабой сходимостью
функционалов. В этом смысле теорему 8.1 можно рассматривать
как обобщение теоремы 7А на случай несепарабельного
пространства Е.
УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Доказать, что введенное в п.1 (Τ, Σ) является хаусдорфовым
топологическим пространством.
8.2. Доказать утверждение о совпадении топологий, сформулированное
в замечании 8.1.
229

§ 9. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ОБЩИЙ ВИД
ЛИНЕЙНОГО НЕПРЕРЫВНОГО ФУНКЦИОНАЛА
1. Ортогональность. Теорема о проекции вектора на
подпространство. Продолжим изучение гильбертовых пространств,
определенных в § VI.5. Здесь будут изучены некоторые
геометрические факты, относящиеся к этим пространствам. Всюду в этом и
следующих параграфах Η — гильбертово пространство (для
определенности, комплексное) со скалярным произведением (х, у) = (х, у)н-
Лемма 9.1. Скалярное произзедзние является непрерывной
функцией относительно сходимости по норме.
Доказательство. Пусть хп -> х9 уп-+ у. Тогда (||#J|)~=i
и (ΙΙ#/ιΙΙ)/ι=ι —сходящиеся числовые последовательности, поэтому
они ограничены некоторым числом М. Используя неравенство Ко-
ши — Буняковского, получаем
I (Хт Уп) — (х,У)\<\ (Хп, Уп) — (X, Уп)\ + \ (х, Уп) — (X, У)I =
= \{Хп — х> Уп)\+\ (х, Уп — у)\<\\Хп — х\\-\\ Уп II +
+ \\х\\-\\Уп-у\\<М\\Хп-х\\+\\х\\.\\уп-у\\,
откуда видно, что lim (xn, уп) = (х, у)- ■
П-+оо
Определение 9.1. Два вектора х, у £ Η называются
ортогональными (χ ± у), если (х, у) = 0.
Определение 9.2. Вектор χ £ Η называется ортогональным
множеству Μ с: Η {χ J_ Λί), если (χ, у) = 0 (Чу £ Μ). Множество
векторов у ортогональных множеству М, называется его
ортогональным дополнением и обозначается через ML.
УПРАЖНЕНИЯ
9.1. Доказать, что ортогональное дополнение к любому подмножеству Η
является подпространством Я.
9.2. Доказать, что если χ ± у, то || χ + у ||2 = || χ ||2 + \\у ||2 (теорема
Пифагора). Обобщить эту формулу на случай η попарно ортогональных
векторов.
Определение 9.3. Пусть G — подпространство Н. Проекцией
вектора χ на G называется такой вектор у ζ G, что χ — у J_ G.
Обозначать проекцию будем так: у = прсх.
Докажем теперь одну из основных теорем теории гильбертовых
пространств.
Теорема 9.1 (о π ρ оекци и на подпространство). Если
G — подпространство гильбертова пространства Я, то для любого
χζ Η существует единственная проекция у = прея.
Доказательство. Если χ ζ G, то upGx = х. Поэтому
считаем, что χ £ G, тогда d = ρ (χ, G) = inf || χ — у || > 0. Пусть
последе
довательность (yn)Z=\ <= G такова, что dn = || χ — yn II ->■ d при η ->- oo.
Покажем, что последовательность (yn)Z=i фундаментальна.
230

Пусть h£G — любой ненулевой вектор. Тогда yn + &h£G при
любом е£(С, поэтому || χ— (уп + ε^)||2 >· d2, т. е.
\\x-yn\\2 — b(x — yn,h)-s(h,x — yn)+\e\*-\\h\\*>d*.
Полагая в этом неравенстве ε = || h ||"2 (х — yn,h), получим
II* — SMI ПГЙ2 >«,
или
1(дс-»»,Л)12<1|й||а-(^-^),
откуда
|(*-^)l<l|ft||/4-da. (9.1)
Поскольку последнее неравенство верно и при ft = 0, то при любом
h ζ G имеем
|(#ι —#я, /01<|(У* —*.ft)l + l(* —Ут, ft)| <
Положив в последнем неравенстве h = уп — уш получим
\\yn-ym\\<Vdl-d* + Vdl-d\
Из этого неравенства следует, что (yn)Z=i — фундаментальная
последовательность. Поскольку Η полно, то существует предел у =
= \imyn, а так как множество G замкнуто, то y£G.
П-*-оо
Переходя в неравенстве (9.1) к пределу при я->-оо, получим,
что (л: — y,h) = 0 при любом ft£G, т. е. χ — у ±G. Это и
означает, что у = npGx.
Остается доказать единственность проекции. Пусть также
у' = прея, т. е. y'£G и χ — у' ±G. Тогда для любого h ζ G имеем
(y — y',h) = (x — y',h) — {x — y,h)=0.
Положив здесь h = у — у' ζ G, получим \\у — у' ||2 = 0, откуда
у = у'. ш
Следствие 9.1. Пусть G — подпространство гильбертова
пространства Н, G1 — его ортогональное дополнение (оно также является
подпространством Я, см. упр. 9.1). Тогда каждый вектор χ ζ Η
единственным образом представляется в виде χ = у + z, где у ζ G,
ζζϋ1. При этом у = проХ> ζ = πρσΑΛ;.
УПРАЖНЕНИЯ
9.3. Доказать, что (γλΐ9 λ2 £ ©)(V*i> Η € Щ : πΡο(^Λ + ^2*2) == ^ii1Pga:i+
9.4. Доказать, что (V* g Я): || npG* ||a + || χ - npG* ||2= || * ||2 (ср. упр. 9.2).
9.5. Доказать, что (V* g Я): || npG* || < || χ ||.
231

2. Ортогональные суммы подпространств.
Определение 9.4. Два подпространства Gly G2 гильбертова
пространства Η называются ортогональными (Gx _L G2), если χ JL у
для любых векторов χ £ Gx, у ζ G2.
Определение 9.5. Пусть Glf G2, ···,£?„ — попарно
ортогональные подпространства гильбертова пространства Н, т. е. Gj _L Gl%
/г/ш j фк. Ортогональной суммой этих подпространств называется
множество
G = {x£H\x = gx + . .. +g-«, g-fe^Gfe}.
Обозначается ортогональная сумма так: G = Gx 0 G2 0 ... 0 G^,
#>ш G = 0 G^.
Например, из предыдущего следует, что если G —
подпространство Я, то Я = G 0 G1.
Теорема 9.2. Ортогональная сумма конечного числа попарно
ортогональных подпространств гильбертова пространства также
является его подпространством.
η
Доказательство. Пусть G = φ G^, где подпространства
k=\
Gx, ... , Gn попарно ортогональны. Легко видеть, что G —
линейное подмножество Я. Покажем, что оно замкнуто. Пусть χ =
= gi + ··· + gn£G, тогда x — gk = gi + ... + gh-,i + gk+i + ... +
+ gn J-G*, т. e. g* = npG χ и поэтому ||gfe|| <||x|| (k = 1, ... , η).
Пусть теперь χ — предельная точка множества G, тогда существует
последовательность (xm)Z=\ с: G такая, что хт-+х. Положим л:т =
= gm\ + ... + gmn> где g-m* ζ G*>, тогда II gmk — gik || = || пр k (xtn —
— χι) II < II (xm — xi) II. Отсюда следует, что последовательность
(g\k, g2k, ...) фундаментальная, поэтому при каждом значении
&=1, 2, ... существует предел gk = lim gm*£G*. Но тогда х =
= lim*m = lim(gml + ... + gmn) = gi + ... + gVtGG, т. е. множе-
ство G замкнуто и, следовательно, является подпространством Я. д
УПРАЖНЕНИЯ
/г
9.6. Доказать, что для любого вектора /^ 0 Gft имеется единственное
k=l
представление вида / = /ι + · · · + /я (/Л € <?й).
9.7. Доказать, что если / = /ι + · ■ · + /я> Я = £ι+£2 Ч bgn — любые
η я
векторы из φ Gfc, то (/, g) = 2J (/*. £й).
3. Линейные непрерывные функционалы в гильбертовом
пространстве. Из результатов, полученных в §5, следует, что (/2)' = 12
и (L2 (R, άμ)Υ = L2 (Rf άμ). Оказывается, эти совпадения не
случайны и имеют место для любого гильбертова пространства. Этот
результат доказывается в следующей теореме.
232

Теорема 9.3 (Ρ и с с а). Пусть Η — гильбертово пространство.
Тогда для любого функционала Ι £ Η' существует единственный
элемент и£Н такой, что
(Vx£H):l{x) = (x9u). (9.2)
При этом || /1| = || и ||. Обратно, для любого и £ Η формула (9.2)
определяет функционал ΙζΗ' с нормой ||/|| =* ||и||.
Доказательство. Из свойств скалярного произведения
непосредственно следует, что при любом и £ Η формула (9.2)
определяет линейный непрерывный функционал на Я. При этом в силу
неравенства Коши — Буняковского | / (х) | = | (х, и) \ < \\ χ || · || и ||,
откуда || /1| < || и ||. Кроме того, из (9.2) при χ = и получаем |[ и ||2=
= I (и) < || /1| · || и ||, откуда || и \\ < || /1|. Поэтому для функционала,
определенного формулой (9.2), ||/||=||и||.
Пусть теперь задан произвольный функционал /£ Η''. Покажем,
что он допускает представление по формуле (9.2). Положим G =
= {χ £ Η 11 (χ) = 0}. Β § 4 было показано, что G —
гиперподпространство Η, В случае гильбертова пространства это, очевидно,
означает, что dim G1 = 1. Пусть е £ G1, || е [| = 1. Тогда любой элемент
χ ζ Η можно представить в виде χ = g + %е, где g £ G, λ £ (С. Отсюда
получаем Ζ (χ) = / (g + Xe) = I (g) -f XI (e) = (xy e) I (e) = (x, I (e) e) и
для получения представления (9.2) достаточно положить и = 1(e)е.
При наличии представления (9.2) равенство ||/|| = ||и|| уже было
доказано.
Остается доказать единственность элемента и, соответствующего
данному функционалу I. Пусть имеется также элемент υ ζ Η такой,
что (Vx £ Η) ι / (χ) = (χ, υ). Тогда при всех χ £ Η будет (х, и) =
= (χ, и), откуда (χ, и — υ) = 0. Взяв, в частности, χ — и — υ,
получим || и — υ\\ = 0, т. е. и = υ. Ш
Замечание 9.1. В силу теоремы Рисса существует сохраняющее
норму взаимно однозначное соответствие Н' Э I &- и ζ Η'. Нетрудно
проверить, что соответствие φ антилинейно, т.. е.
(Υλ, μ € (С) (V/, т ζ Η') \ φ (λ/ + \хт) = λφ (/) + μφ (m).
Это позволяет отождествить Η и И'. Отсюда, в частности, следует,
что теорему 4.2 в случае гильбертова пространства можно
сформулировать так: для того чтобы множество Μ с Η было тотально в Я,
необходимо и достаточно, чтобы из ортогональности вектора h к Μ
следовало h = 0.
УПРАЖНЕНИЯ
9.8. Пусть G—подпространство гильбертова пространства Я. Доказать,
что вектор χ ± G в том и только в том случае, когда (уу £ (?): || χ || <: || χ — у \\.
9.9. Пусть Μ, Ν — такие множества в гильбертовом пространстве Я, что
Μ £ N. Доказать, что М1 з Ν1.
9.10. Доказать, что для любого множества Μ cz Η имеет место равенство
(Л11)1 = з.л. о. (М).
233

9.11. Β Ι2([—!» 1]) построить проекцию любой функции на
подпространство: а) четных функций; б) нечетных функций.
9.12. Найти в L2 ([0, 1]) ортогональное дополнение к следующим
множествам: а) множеству Ρ ([0, 1]) всех многочленов, рассматриваемых на [0, 1];
б) {*(о«и*»), /€[о, i]|ye*([of 1])}; в) {*еР([о, i])i*(0) = o}.
9.13. Пусть Η — пространство С ([—1, 1]) со скалярным произведением
(х,у)=[ x(t)y(t)dt. Найти М1, если: а) М = {χ ζ Н\ x(t) = 0, /£[0, 1]};
—ι
б) М = {х£Н\х(0) = 0}\ в) M = {x£ff\x(t)=x(—t)f '€[0, 1]}.
9.14. Привести пример такого подмножества Μ ^ /2, что Λ!-ί-Λί ={# +
+ г/|л:£М, ^М1} не совпадает с /2.
§ 10. ОРТОНОРМИРОВЛННЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
И ОРТОНОРМИРОВЛННЫЕ БАЗИСЫ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Ортонормированные системы векторов. Неравенство Бесселя.
Систему (ek)k=i = (ev е2) е3, ...) векторов гильбертова пространства
Η называют ортонормированной, если для любых /, fe£M
, ч « / 1 при / = k,
(е,9 ek) = bjk = {о при у ф ku
Примером такой системы может служить система векторов
*ι = (1, 0, 0, . ..), е2 = (0, 1, 0, .. .), е3 = (0, 0,1, .. .)', ■ - - в
пространстве 12.
Упражнение 10.1. Доказать, что если в Я имеется счетная ортонормиро-
ванная система, то пространство Η бесконечномерно.
Лемма 10.1. Пусть (^)/Γ=ι — ортонормированная система в Н.
оо
Для сходимости в Η ряда Σ Ck4 (Ck ζ (С) необходимо и
достаточных
00
но, чтобы сходился числовой ряд Σ |с*12·
k=l
Доказательство. Поскольку пространство Η полное, то
оо
для сходимости ряда Σ ckek необходимо и достаточно, чтобы по-
k=\
следовательность его частичных сумм была фундаментальна. Но
при η > т имеем
η т η η _
|| Σ с&к — Σ ckek ||2 = || Σ сивы II2 = Σ CjCk(ej, ek) =
k=\ fe=l fc=m-{-l /»fe=/n+l
= Σ \ck\\
k=m+\
Отсюда в силу критерия Коши сходимости числового ряда следует
утверждение леммы, щ
234

Теорема ЮЛ. Пусть (ek)k=\ —ортонормированная система
00
в Н. Тогда для любого вектора χζΗ ряд Σ (*> ek)ей сходится
k=\
в Η и имеет место неравенство Бесселя
Σ|(*.^Ι2<ΙΙ*ΙΙ2- (ЮЛ)
k=\
Доказательство. Поскольку в силу леммы сходимость
ряда следует из неравенства (10.1), то достаточно доказать это
неравенство. Используя свойства скалярного произведения и условие
ортогональности, имеем при любом η £ |^J
η η η
0«||χ —Σ (χ, **)ek||2 = (χ — Σ (x,ek)ek, χ—Σ {x,ek)ek) =
k=\ /Μ k=l
η η
= II * II2 — Σ (*> ek) fa, x) — Σ (x> ek) {x, ek) +
k=l ft=l
+ Σ (x, e,) (£1*) (eh ek) = \\x ||2 - Σ I (*, ek) |a,
/| k=>\ k = \
поэтому
Σ k*,**)i2<ii*ii2 (vneM).
k=l
Перейдя в последнем неравенстве к пределу при η -> оо, получим
требуемое неравенство (10.1). ■
Для любого вектора χζΗ числа хь = (я, ek) называют
коэффициентами Фурье вектора χ по ортонормированной системе (^)Г=ь
оо оо
а ряд Σ Xk^k = Σ (х* ek)ek — рядом Фурье по этой системе. Дока-
fe=l k=\
занная теорема показывает, что ряд Фурье любого вектора
сходится по норме. В следующем пункте будет рассмотрен вопрос о том,
при каких условиях сумма ряда Фурье вектора χ равна самому
этому вектору.
Отметим также, что из неравенства (10.1) следует, что
lim {χ, е^ = 0 для любого χζΗ. Это означает, что если (^)Γ=ι—
&-+-00
ортонормированная система, то ^-^0. Вместе с тем по норме
последовательность (ek)k=i не сходится, поскольку ||еп — ет\\ = У2
при тфп.
2. Ортонормированные базисы в Я. Равенство Парсеваля.
Пусть (ek)k=i — ортонормированная система в гильбертовом
пространстве Я. Положим G = з. л. о. (£fc)JfeLi. Тогда для любого χζΗ
имеет место равенство
оо
npG* = Σ (x,ek)ek. (10.2)
k=*\
235

Действительно, ясно, что Σ (χ, е£) ek ζ G и для любого / £ |
k=l
{χ — Σ (*, ek) ek, e}) = (χ, e}) — Σ (*» ек) (ek, ej) = (χ, £?/) — (*, */) = 0.
Определение 10.1. Ортонормированная система (^)Γ=ι с: Я
называется о ρ топор жированным базисом в гильбертовом
пространстве Я, если она тотальна в Я, т. е. если з. л. о.
(ek)k=i = Я.
Если (ej£U — ортонормированный базис в Я, то, поскольку
в этом случае G = Я, из формулы (10.2) следует, что любой вектор
л; £ Я представим в виде
оо оо
* = Σ (х, ek)ek = Σ ****. (Ю.З)
k=\ k=\
Ясно, что при таком представлении скалярное произведение
вычисляется так:
ОО 00
(*» у) = Σ (*, **) (уТ^о = Σ **#* (ν*, у е я), (Ю.4)
в частности
ΙΙ*ΙΙ2 = Σ № (Ух ζ Η). (10.5)
/г=1
Равенство (10.5) называют равенством Парсеваля, или уравнением
замкнутости. Иногда равенством Парсеваля называют и
равенство (10.4).
Упражнение 10.2. Доказать единственность представления (10.3).
Теорема 10.2. Ортонормированная система (eJILi с: Я
является ортоноржированным базисом в Я тогда и только тогда, когда
для любого χζΗ имеет место равенство Парсеваля (10.5).
Доказательство. Необходимость условия теоремы была
только что установлена. Докажем достаточность этого условия.
При доказательстве теоремы 10.1 было показано, что при любом
χ £ Я и любом η ζ И имеет место равенство
II*-Σ χ^\\2 = \\χ\\2-Σ \xk\2.
Поэтому из (10.5) следует, что
η
lim \\х— Σ Xkek\\ = 0.
fe=l
Но это означает, что х£з. л. о.(вк)м- Следовательно, з. л. о.
(ek)k=i = Η, т. е. (£*)£=! — ортонормированный базис в Я. —
236

Пример 10.1. Пусть Я = L2 ([0, 2π]). Положим
еп = (2п)~ 2 еш (п £ Ζ). (10.6)
Легко видеть, что система векторов (10.6) ортонормирована. Покажем, что
она является базисом в Я. В рассматриваемом случае л.о. (гДЦ^оо—это
совокупность всех тригонометрических полиномов на [0, 2π]. Согласно теореме
Вейерштрасса, любая функция f (f) ζ С ([0, 2π]), удовлетворяющая условию
/ (0) = / (2π), может быть с любой точностью равномерно приближена
тригонометрическими полиномами. Поскольку С ([0,2π]) плотно в Я (см. теорему
VI.8.6) и из равномерной сходимости следует сходимость в Я (т. е. в среднем
квадратичном), тол. о. (e/i)£L_oo всюду плотна в Я, т. е. система (10.6)
является ортонормированным базисом в Я. Таким образом, любой элемент / 6
6 L2 ([0, 2π]) представим (в смысле сходимости в среднем квадратичном) в
виде суммы ряда Фурье
/(о= Σ //*.
/г=—.оо
где
2π
/» = έ J"'««"*"*·■
о
При этом имеет место равенство Парсеваля
2π оо
J I f{f)\4t = 2π ^ I fn Ρ W € L2 ([0, 2π]).
0 /г=—,оо
3. Ортогонализация системы векторов. Пусть в гильбертовом
пространстве Я задана счетная система {ип)п=\ ненулевых векторов.
Ортогонализовать эту систему — это значит построить такую орто-
нормированную систему (en)Z^u что л. о. {ип)п=\ = л. о. {еп)п=\.
Рассмотрим один из возможных способов ортогонализации
данной системы (ип)п=\. Вначале исключим из данной системы каждый
вектор, который линейно зависим от предыдущих. Полученную
систему обозначим через (υη). Ясно, что л. о. (ип) = л. о. (υη)
(при этом система (υη) может оказаться конечной).
Положим β1 = ϋ1/\\υ1\\ и построим вектор е\ = ν2— hnev где
λη выберем из условия е2 JL ег. Из этого условия получаем 0 =
= (4> е\) = (^2 — λχι^ι, ( <?ι) = (v2, ег) — λη, откуда λη = (v2y ех).
Теперь полагаем е2 = е'2/\\ е21|.
Далее построим вектор вида е3 = ν3 — λ21β1 — к22е2,
ортогональный к^и е2. Из этих условий находим 0 = (е'3, e^) = (v3—
— λ2ι^ι — λ22£2, ^ι) = (ϋ3» ^ι) — λ21, откуда λ21 = (и3, έ>χ) и
аналогично λ23 = (υ3, е2). Теперь полагаем е8 = е'3/\\е31\.
Продолжая этот процесс, мы получаем не более чем счетную
ортонормированную систему (еп). Из ее построения ясно, что
л. о. (еп)<=л. о. (υη). Кроме того, каждый из векторов системы
(υη) представляется в виде νη+1 = еп+1 + λη1βλ + · · · + ληηβη, т. е.
^η+ι€^. о. (ev ..., еп+1), поэтому л. о. (о„)ел. о. (О.
Следовательно, л. о.(^) = л. о. (υη) = л. о.(ип). щ
237

Упражнение 10.3. Выяснить геометрический смысл процесса ортогона-
лизации.
Теперь мы можем доказать один из фундаментальных фактов
теории гильбертовых пространств.
Теорема 10.3. Всякое бесконечномерное сепарабельное
гильбертово пространство Я изометрически изоморфно пространству 12.
Доказательство. Поскольку пространство Я сепара-
бельно, то в нем существует счетная система векторов (ип)%=1>
тотальная в Я. Ортогонализовав эту систему, мы получим ортонор-
мированную систему (еп)™=\> также тотальную в Я, т. е. ортонорми-
рованный базис. Поскольку пространство Я бесконечномерно, то
этот базис является счетным.
Построим теперь требуемый изоморфизм. Любой вектор χ ζ Я
допускает однозначное представление в виде суммы ряда χ =
оо
= Σ xkek- Установим соответствие между Я и /2 следующим
образом:
# Э *£(**)£=! €/2.
Ясно, что это соответствие взаимно однозначно и сохраняет
операции сложения векторов и умножения на скаляры. Из равенств
(10.4) и (10.5) следует, что при соответствии и сохраняются и
скалярное произведение и норма, т. е. и — изометрический
изоморфизм. ■
Следствие 10.1. Все бесконечномерные сепарабельиые
гильбертовы пространства изометрически изоморфны между собой.
Доказанная теорема особенно полезна благодаря тому, что по.
своей структуре пространство 12 гораздо проще других сепарабель-
ных гильбертовых пространств (например, пространства L2 (ία, 6])),
поскольку /2 является бесконечномерным аналогом конечномерного
координатного евклидова пространства.
4. Примеры ортогональных полиномов. Пусть R — некоторый
промежуток на числовой прямой или вся числовая прямая и пусть
на измеримом пространстве (R, %>(R)) задана такая мера μ, что
§\ί\ηάμ(ή<οο(η = 0, 1, 2, ..·.). Тогда tn£L2(R, άμ) при п =
R
= 0, 1, 2, ... и мы получаем счетную систему (1, t, /2, Р, .. .)с:
czL2(R, άμ). Ортогонализовав эту систему, получим ортонорми-
рованную систему (е0, еи е2, ...), причем, как легко понять,
en = Pn(t) — полином степени п. Полученную систему (Pn(t))n=o
называют системой полиномов, ортогональных относительно меры μ.
Рассмотрим ряд примеров систем ортогональных полиномов.
Пример 10.2. Пусть /? = [—1, 1]. Меру μ зададим формулой
μ(Α) = j(l_0a(l+^ (α, β>-1, Λ£23([-1, 1])).
Α
238

Соответствующие ортогональные полиномы называют полиномами Якоби и
обозначают р£*» ® (t). В частности, при α = β = 0 получаем полиномы Лежандра
**пЮ = спЗГп(Р-ф.
При α = β = —1/2 — полиночы Чебышева первого рода
Тп (ή = dn cos (n arccos t),
при α = β = 1/2— полиномы Чебышева второго рода
ί/„ (/) = 6/г sin ((я + 1) arccos О (si n arccos t)'1.
Поскольку С ([—1, 1]) плотно в L2 ([—1, 1], άμ), то из теоремы Вейер-
штрасса непосредственно следует, что полиномы Якоби образуют ортонормиро-
ванный базис в L2 ([—1, 1], άμ).
Упражнение 10.4. Вычислить коэффициенты сП1 dn, kn в приведенных
формулах для полиномов.
Пример 10.3. Пусть R = IR, а мера μ задана формулой
μ(Α)=[έ~**άί (4 6»(IR)).
А
Соответствующие ортогональные полиномы
dn
Н,гМ = с1г(-1)пе*'.Ш1е~*'
называют полиномами Эрмита.
Пример 10.4. Пусть R = [0, +°°)» а меРа μ задана формулой
μ (Л) = J е-'Л И6»([0, +ео)).
л
Полученные в этом случае ортогональные полиномы называют полиномами
Лагерра. Они с точностью до постоянных множителей равны
ι dn
е-'&(№).
Более подробные сведения о полиномах Лежандра, Чебышева,
Эрмита и Лагерра можно найти, например, в [40j. Там, в частности,
доказано, что системы полиномов Эрмита и Лагерра образуют
ортогональные базисы в соответствующих пространствах.
5. Ортонормированные системы векторов произвольной
мощности. Пусть 9t — множество любой мощности. Систему векторов
{еа | α ζ Щ cz Η назовем ортонормированной, если (еа> е$) = 0
(α Φ β) и || еа||2 = 1 (α ζ 31). Ясно, что если 3t несчетно, то
пространство Η не может быть сепарабельным. Как и в случае счетной
системы, назовем коэффициентами Фурье вектора χ ζ Η числа #α=
= (х, еа).
Лемма 10.2. Пусть в гильбертовом пространстве Η существует
ортонормированная система{еа | α £ &}, где множество 9t несчетно.
Тогда для любого χζ Η не более чем счетное число коэффициентов
Фурье ха = (а:, еа) отлично от нуля.
Доказательство. Для любого π ζ И положим
*π = {α€*ιΐ(*.*Λ>£}.
239

Покажем, что 21 „— конечное множество. Действительно, в
противном случае из St„ можно выбрать счетное множество (а^)Г=ь
оо
Тогда, с одной стороны, Σΐ(*> £aJ|2 = +o°> с другой стороны,
оо
в силу неравенства (10.1), Σ Κ*» еаь)\2 <ΙΙ*ΙΙ2< °°. Остается
заметить, что
{α6®|(^, *α)^0)= U^. ■
Как и в случае счетной ортонормированной системы,
непосредственно доказывается, что если положить G=?3. л. о. {еа|а£31}>
то для любого χ £ Η
Систему {еа | α ζ at} называют ортонормированным базисом в Я,
если G = Н. В этом случае любой элемент #£# можно
представить в виде
X = 2j #α£α,
причем множество Slz = {α ζ 311 #α =#= 0} не более чем счетно.
Равенства Парсеваля в этом случае имеют вид
(χ> у)= Σ ада, н*на = Σ ι^αΐ2 (v^, ί/ея).
аШ а£&
Пусть Я — несепарабелыюе гильбертово пространство.
Выберем в Η всюду плотное множество векторов А минимальной
мощности. Ортогонализовав множество Л, получим ортонормированный
базис {еа\ α ζ Щ той же мощности, что и множество Л. Мощность
этого базиса называется размерностью пространства Н.
Для несепарабельных пространств можно доказать следующее
утверждение, аналогичное теореме 10.3. Для множества 3t любой
мощности обозначим через 12(Щ множество функций &Эа'->-
-^%(a)£(C, каждая из которых отлична от нуля лишь для счетного
множества значений а и таких, что Σ Ι*"(α)Ι2< °°· Скалярное
«си
произведение в 12(Щ определяется формулой (л:, у) = Σ *(<*)# (α).
аШ
Нетрудно показать, что любое гильбертово пространство Η
изометрически изоморфно пространству 12(Щ> где мощность
множества 3t равна размерности Н.
240

УПРАЖНЕНИЯ
10.5. Пусть Η — гильбертово пространство, (*„)~=1 — ортогональная сие-
оо
тема элементов. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: a) S\ хп
оо оо
сходится; б) JJ хп слабо сходится; в) ]►] || *„ ||2 < <х>.
10.8. Доказать, что з. л. о. ({eint\ η £ Ζ}) = L2 ([α, b]) тогда и только
тогда, когда Ь — а < 2π.
10.7. Доказать, что система функций Хаара {*Л/11 1 < k < 2", я£№}, где
xkn W β 2/г/2ХгЛ_г4 fe-im (0 ~ 2n/2Xrfe^i/2 Л\ W. является ортонормирован-
ным базисом в L2 ([0, 1]). _
10.8. Доказать, что функции *„(/) = l/"2 sin μ^/sin μ , где μη —
положительные корни уравнения tgμ = μ, образуют ортонормированный базис
в L2([0, 1]).
10.9. Система функций Радемахера {q>m (t) \ т ζ Ы} определяется формулой
<рт (0 = (—l)t2m^, где [·] обозначает целую часть числа. Доказать, что система
Радемахера ортонормирована, но не является базисом в L2 ([0, 1]).
Указание. Проверить, что функция χ (t)=zt(t— 1) + 1/6 ортогональна
всем φ .
10.10. Положим В = л. о. ({егм | λ ζ IR}) и определим для х} у^В
скалярное произведение следующим образом:
т
(*» У)в =» Hm g7 1 * (0 У W Л·
Доказать, что а) (·, *)5 — скалярное произведение; б) система {ei<Kt \λζ IR} op·
тонормирована; в) пополнение В по заданному скалярному произведению —
несепарабельное гильбертово пространство.

ГЛАВА VIII. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Одним из важнейших и наиболее изученных классов отображений
линейных нормированных пространств является класс линейных непрерывных
операторов. В этой главе рассматриваются элементы теории таких
операторов. Линейные непрерывные функционалы, т. е. отображения Ε -> [|ζ,
рассмотренные в предыдущей главе, являются частным случаем линейных
непрерывных операторов. Естественно, что часть свойств линейных
непрерывных операторов аналогична соответствующим свойствам функционалов.
Другой важный частный случай — это линейные отображения
конечномерных пространств, изученные в курсе линейной алгебры. Многие понятия и
результаты теории линейных непрерывных операторов являются обобщением
соответствующих фактов линейной алгебры.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть Еъ Е2 — линейные нормированные пространства.
Отображение Ег Э χ '->· Αχ £ Ε2 называется линейным оператором^
если для любых λ, μ ζ [К и χ, у ζ ЕгА (λχ + \ху) = λΑχ + уЛу.
Если отображение ΑιΕ1-^Ε2 непрерывно, то А называется
непрерывным оператором.
Если Ε2 = Q\, то линейное непрерывное отображение А : Ег ->■
-*·[Κ является линейным непрерывным функционалом. В § VII.2
были установлены простейшие свойства линейных непрерывных
функционалов. Аналогично доказываются следующие свойства
линейных непрерывных операторов.
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Если А —линейный оператор, то АО = 0. Доказать.
1.2. Доказать, что линейный оператор непрерывен тогда и только тогда,
когда он непрерывен в одной точке.
1.3. Доказать, что линейный оператор непрерывен в том и только в том
случае, когда он ограничен, т. е. когда выполнено условие
(Я*>0)(V*£ £ι): II Αχ ||2 < с \\х\\1ш (1.1)
Рассмотрим примеры линейных непрерывных операторов.
Примеры.
1.1. Пусть Ε1=£2 = $Ν с нормой || χ \\ = J] | xk | и {еъ ... , eN} — не-
k=\
который базис ортов в С^. Если А — линейный оператор в (D , то
N N
Αχ = Α(Σ *Λ) = Σ *И*А =
242

def
где a,k = (Aek)j—/-я координата вектора Aek. Как известно из курса
линейной алгебры, посредством равенства (1.2) устанавливается взаимно однозначное
соответствие между пространством всех линейных операторов в CN и
множеством всех матриц (а-^Уk=l (α^ £ С). Покажем, что А ограничен.
Действительно,
N N N N
и л* н = Σ ΙΣ */***!< Σ (Σ i*/*i)i**i<
/=1 k=\ k=\ /=1
ν
<max{£ \aik\ \k = 1, ... , Ν] .|| x\\. (1.3)
/=i
Заметим, что непрерывность оператора А вытекает из свойств
непрерывных отображений конечномерных пространств, изученных в курсе
математического анализа.
1.2. Пусть £х = £2 = С ([а, Ь]) и а — фиксированная непрерывная
функция на [а, Ь]. Положим (Ах) (t) = α (t) x (t) (t 6 [α, b]). Такой оператор
называется оператором умножения на функцию а. Линейность оператора А
очевидна, его ограниченность следует из неравенства
|α(0*(0|<||α||·||*|| (*€[«, Ь]).
1.3. Пусть Е1 = Е2 = С ([а, Ь]) и K(t9 s) — фиксированная функция из
С ([а. Щх[а, Ь\). Положим для х£С([а, Ь])
Ь
(Ax)(t) = ^ К (t, s)x(s)ds. (1.4)
а
Из свойств интеграла, зависящего от параметра, следует, что (Υ χ 6 С ([а,
Ь]) : Ах 6 С ([а, Ь]). Определенный посредством (1.4) оператор А называется
интегральным оператором с ядром К. Линейность А следует из линейности
интеграла, а ограниченность — из такого неравенства:
ь ь
\(Ax)(t)\<ijj\K(t9s)\\x(s)\ds<max^\K(ti s)\ds | /g [а, Ь]}.\\х ||. (1.5)
а а
1.4. Пусть Εί = Е2 = L2(X, άμ) и пусть К — фиксированная функция из
L2 (Χ χ Χ, ά(μχμ)). Определим подобно (1.4) интегральный оператор с ядром
К в L2 (Xy άμ), полагая для χ £ L2 (Xt άμ)
(Ax)(t) = §Κν,8)χ(8)άμ{8).
Χ
Корректность этого определения (т. е. принадлежность функции Ах
пространству L2 (Χ, άμ)) и ограниченность оператора А следуют из неравенства
J \(Αχ)(ή\* άμ (/) = J J J К (/, s) x (s) άμ (s)? άμ (t) <
X XX
< J |^(/,5)|»ίί(μχμ)(/,5).||χ||«, (1.6)
ΧχΧ
а линейность — из линейности интеграла Лебега. Ш
Как и для линейных непрерывных функционалов (см. § VI 1.2),
введем понятие нормы линейного непрерывного оператора.
243

Определение 1.1. Нормой линейного непрерывного оператора
Α ι Ег~* Е2 называется число
IIAII^supfl^lxg^ x^o} = sup{||^||1|||x||1-.l}. (1.7)
Поскольку Л—ограниченный оператор, то, согласно (1.1),
множество
IwH*1'^0} (1·8)
ограничено и, следовательно, определение ||Л|| корректно.
Удовлетворяющая условию (1.1) постоянная с является верхней гранью
множества (1.8). Поэтому ||Л|| как точная верхняя грань множества
(1.8) совпадает с наименьшей из постоянных, удовлетворяющих
соотношению (1.1).
Подсчитаем нормы операторов из примеров 1.1—1.3.
Из неравенства (1.3) следует, что для нормы оператора из
примера 1.1 справедлива оценка
||Л|| = 8ир{||Л*||||И| = 1}<
Ν Ν
< max { Σ I aik I 1 k = 1, ... , Ν) = Σ Ι α/*01·
/=ι /=ι
Ν
Согласно (1.2) имеем, что || Аен0\\ = Σ \ajk0\, и поэтому
/=ι
ν
||Л|| =шах{ Σ |α/Λ| |ft= 1, ... , Ν}.
/=ι
Из приведенного в примере 1.2 неравенства следует, что норма
оператора умножения на функцию α не превосходит ||а||. Пусть
y(t)=h тогда || Ау || = || а ||, откуда и следует ||Л || = ||а ||. ■
Отметим, что \\А\\ — это точная верхняя грань множества зна
чений непрерывной функции
Ε^χ^\\Αχ\\2ζ^ (1.9)
на единичной сфере. В конечномерном пространстве Ег единичная
сфера компактна и согласно теореме Вейерштрасса
(ΖχζΕν Pll!-1): ||Л*||2 = ||Л||.
В бесконечномерном пространстве сфера не является компактом
(см. § VII.I) и поэтому функция (1.9), вообще говоря, не достигает
на ней наибольшего значения.
Найдем норму оператора из примера 1.3. Из неравенства (1.5)
следует, что
ь
\\А\\ <max{J|/((/, s)\ds\t$[a, b]} = с.
а
244

В силу теоремы Вейерштрасса
ь
(3ί0ζ[α,«): \\Щй, s)\ds=e.
а
Если функция K(t0,s) знакопостоянна на [af b], то, полагая
χ (ί) га 1, получим || Ах || = с, т. е. || А || = с. Покажем, что
последнее равенство справедливо и в случае, когда K(tQf
s)—знакопеременная функция. Для этого рассмотрим функцию x(s) =
= sign К (t0, s) (s ζ [α, b\). Ясно, что χ (s) = X[K(ioi s)>0} (s) —
— %{K(tot s)<o} (s), т. e. χ — измеримая по Борелю простая функция,
и, следовательно, x^L1([a, b]). Согласно теореме VI.8.6 для
любого ε>0 найдется непрерывная на [а, Ь] функция хе, ||д:е||= 1,
ь
такая, что s/0>j \x(s) — xe(s)\ds. Как легко видеть, ||Лх8||>
а
>с — ε, откуда и следует требуемое.
Отметим еще, что из неравенства (1.6) вытекает такая оценка
для нормы интегрального оператора в L2(X, άμ) ι \\ А || < || /С||.
В заключение этого параграфа рассмотрим пример
неограниченного линейного оператора.
Пример 1.5. Пусть £х = С1 ([О, 1]) с нормой || л: ||i = max {| x(t)\ | /£[0, 1]},
Е2=С([0, 1]). Положим
(Ax)(t) = x'(t) (/g[0f l]). (1.10)
Легко показать, что множество {|| Αχ ||2 | || χ ||ι = 1} неограничено.
Действительно, положим хп (t) = sin nnt (η £ Ы). Тогда || хп \\г = 1 # || Ахп ||2 = πη, τ. е.
множество {Αχ \ χ ζ S± (0)} неограничено.
УПРАЖНЕНИЯ
1.4. Доказать, что линейный непрерывный оператор А : Ег ->■ Е2
останется непрерывным после замены норм в Elt E2 на эквивалентные (см. упр.
VI.4.3).
1.5. Вычислить норму оператора А: Ег-> E2t если Е1 = Е2 = (DN с нор-
N
мами: а) ||*||ι = || * ||а = max \xk\\ б) || χ \\г = £ | xk |, || χ ||2 = max | xk |;
k=lt...,N £_j «=1 Ν
Ν
в) II*Hi = max \xk\, ||*||2=£ \*k\-
*=1 N k=\
1.6. Найти норму оператора Л, действующего в Lp([a, b]) по формуле
(Ла:)(0 = a (t) χ (f) (t£[a, b])t где α — фиксированная функция из: а) С ([α, Ь])\
б) ^ ([а, 6]).
1.7. Пусть /С£С([а, b]X[a, b])t λ<1. Доказать, что оператор, определя-
ь
емый равенством (Ax)(t) = \ /С(^, s) | / — s Ι λ £fs (/£ [α, 6]), является
непрерывным в С ([α, b]).
245

1.8. Пусть K(t, s) (t, s£[a, b]) измеримая по Лебегу функция, удовлетво-
ь
ряющая таким условиям: 1) (3^ > 0) (yt ζ [α, b])i I \ К (t, s)\ ds < c\ 2) (Y^G
a
b
£ [α, b]): lim \ | К (t, s)—К (tlt s)\ ds = 0. Доказать, что интегральный
'-'«i
оператор с ядром K(t, s) непрерывен в С ([α, b]).
1.9. Пусть Ег = С1 ([a, b])t Е2 = С ([а, b])\ a) найти норму
тождественного оператора, действующего из Ег в Е2\ б) доказать, что оператор Л : Ех ->■
->- Е2, где (Ах) (t) = χ' (t) (t 6 [β, b])9 является непрерывным.
1.10. Пусть L — подпространство гильбертова пространства Я, а РLx —
проекция на L элемента л: 6 Я. Доказать, что оператор Η Э xi-^PLx 6 Η
линеен, непрерывен, и найти его норму.
1.11. Найти норму оператора Л, задаваемого в L2 ([0, 2π]) формулой
2π
(Лл;)(/) = \ * (s) cos (t — s) ds.
о
1.12. Пусть К 6 ^oo ([at b] Χ [α, b])> λ < 1. Доказать, что оператор А,
определенный в упр. 1.7, непрерывно действует в L2 ([a, b]).
1.13. Пусть Лг^-^Яа линейный непрерывный оператор. Доказать,
что: а) ядро оператора А Кег А = {х 6 ^Ί I Л* == 0} является
подпространством; б) обла'сть значений 3R, (Л) оператора Л — линейное многообразие в Е2.
Всегда ли ^ (Л) — подпространство?
1.14. Пусть Ε—банахово пространство, Л : Ε -»■ Ε такой линейный
непрерывный оператор, что (3^> 0): || Ах\\ > с\\ х\\ (х£Е). Доказать, что
Μ (А) является подпространством.
1.15. Пусть Ε — банахово пространство, Л : Ε -> Ε линейный
непрерывный оператор. Является ли нормой в Е: а) || χ ||х= || Ах ||; б) ||*||а=
= || χ ||+ || Ах\\? Будет ли в этой норме Ε банаховым пространством?
1.16. Доказать, что линейный оператор, действующий в линейном
нормированном пространстве £, непрерывен в том и только в том случае, когда
множество {х 6 Е\ || Ах \\ < 1} имеет внутренние точки.
1.17. Пусть Л—линейный оператор в банаховом пространстве такой,
что для всякой сходящейся последовательности (хп)^=^ последовательность
(Ахп)™=1 слабо сходится. Доказать, что Л — непрерывный оператор.
§ 2. ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
Пусть Еъ Е2 — линейные нормированные пространства.
Обозначим символом &(Е1У Е2) совокупность всех линейных
непрерывных операторов, действующих из £Ί в £2. В случае, когда
Е1 = Е2 = Ε у вместо & (£, Е) будем использовать символ &(Е).
Если Е2 = [К, то множество &(Е19 (К) совпадает с сопряженным
к Е1 пространством Е\. В § VI 1.2 в Е[ была введена структура
линейного пространства и норма || /1| и было показано, что Е\
является банаховым пространством (см, теорему VII.2.2).
Действуя по аналогии, введем в g (Ev Е2) структуру
линейного пространства следующим естественным образом: для любых
Л, В^&(ЕЪ Е2), λ ζ [К, χζΕ положим
(А + В) χ ~f Ах + Вх, (λΑ) * = λ (Αχ). (2.1)
Справедлив следующий результат.
246

Теорема 2.1. Множество з?(Еъ Е2) е заданными
посредством (2.1) операциями и нормой 9? (Ег, Е2) Э Α ι-> \\ А || £ IR является
линейным нормированным пространством. Если Е2—банахово
пространство, то и 9?(ЕЪ Е2)— банахово.
Доказательство первого утверждения теоремы предлагаем
читателю провести самостоятельно.
Второе утверждение доказывается по схеме доказательства
теоремы VII.2.2. Именно, пусть задана фундаментальная
последовательность (Αη)η=Λεζ&(Εϊ9 Ε2). Возьмем произвольный вектор
χξ:Ε1 и покажем, что последовательность (Anx)£L\CZ E2
фундаментальна. Действительно, это следует из неравенства \\Апх —
— Атх ||2 < II Ап — Ат || ·||# ||ь справедливого для любого χζΕλ.
Поскольку Е2 — банахово пространство, то при любом х£Ег
существует предел lim Anx = Ах. Оператор Ег5х\-+-Ах£ Е2 линеен,
поскольку Α(λχ-\- μί/) = \imAn(Xx + μί/)== λΙιπιΑηχ + \л\\тАпу =
= λ Αχ-\-μ Ay для любых λ, μ £ Κ, χ, y£Ev Покажем, что А —
непрерывный оператор. Действительно, из фундаментальности
последовательности {Ап)п=\ следует ее ограниченность, так что найдется
такая константа с, что || Апх\\2 < с · \\х\\г (ηζ ЭД, λ;££Ί). Переходя
здесь к пределу при η ->- оо, получим || Ах \\2 <г с \\ χ \\г (χζ £Ί),
т. е. А£ЗГ(Ег, Е2).
Проверим., что \\Ап — Л||->0, п->оо. Из фундаментальности
последовательности (Αη)η=ί следует, что
(Уб>0)(ЗЛ/Ш(У/г, m>N)(Vx£E1):\\Anx-Atnx\\2<e\\x\\1.
Переходя здесь к пределу при т-+оо, получим, что \\(Ап —
— Λ)*||2<β.||*ΙΙι. т. е. lim || Ап — А || = 0. В
П-+оо
Последовательность (Ап)п=\ cz^(Elf E2) назовем сходящейся
по норме к оператору А£9?(ЕЪ Е2), если lim|| Ап—Л|| = 0.
П-+оо
Поскольку || Ап — А || = sup {|| (Лп — Л)*||2| ||#||i = l}, то
сходимость Ап к А по норме называют также равномерной сходимостью
и обозначают Ап^А9 /г-^оо.
Рассмотрим несколько примеров сходящихся
последовательностей операторов.
ПРИМЕРЫ
2. 1. Пусть Е2 = [К, тогда 9? (Еъ К) = Е[ и сходимость по норме в 9? (Е1, Е2
совпадает со сходимостью по норме в £j последовательности линейных
непрерывных функционалов.
2. 2. Пусть Е1 = Е2 = (0 . Как отмечалось в примере 1. 1, каждому
оператору Л £ 9? ((DN) соответствует матрица (ajk)tjk=l. Легко понять, что это
соответствие между 9? (€N) и множеством матриц размера Ν χ Ν является
изоморфизмом линейных пространств. Предлагаем читателю убедиться в том,
что равномерная сходимость последовательности операторов (А,·),^ с=5" (С^)к
247

оператору Α £ & ((DN) эквивалентна тому, что lim aty — a-k (/', k = 1,..., Ν),
где (fly^)/[*«l» (βί/^)/^^^! — матрицы, отвечающие Ап и А соответственно.
2. 3. Пусть £ι = £2 = С ([а, Ь]) и Ап — интегральный оператор вида (1.4)
с ядром Кп€ С ([а, Ь] χ [α, b]). Предположим, что Kn^tK на [о, 61 χ [α, 6].
Тогда в силу неравенства (1.5) для всех х£С ([а, Ь]) имеем || (Лп — Α) χ || <
< (Ь — а) · || /(„ — /С || · || # || . Отсюда следует, что последовательность
(Ап)™={ равномерно сходится к оператору А вида (1.4) с ядром К
2.4. Пусть Ег = Е2 = /2. Положим Рпх равным проекции вектора х£12
на подпространство, натянутое на первые η векторов ортонормироваиного базиса
η
(ek)kL\ в h* τ· е· ρηχ = $] (*» *7e) £fc С* € ^a» л € №). Легко проверить, что
Рп — линейны"! оператор в /2 (см. упр. 1. 10). В силу неравенства Бесселя
II Рп х II < II х II . так что Рп£ & йъ)· Предлагаем читателю убедиться в том
что при пфт || Рп — Рт || = 1. Таким образом, последовательность (Ρη),Τ=ι с=-
С^ (/2) не является фундаментальной и поэтому не сходится по норме в
3? (/2). Вместе с тем заметим, что для любого χ £ /2
00
II Рпх-х II = ( Σ U*I2)1/2->0,az->oo. (2.2)
Последнее замечание дает основание для введения в £?(EV E2)
других видов сходимости последовательности линейных операторов.
Последовательность (An)n=lcz&(Ev Е2) называют поточечно
(или сильно) сходящейся к Αζ&(Εν Ε2) и обозначают АпЛ-А
или А = s. lim Ап, если для любого х£Ег || Апх — Ах||2 -> 0.
В случае Е2 = [К поточечная сходимость последовательности
(1п)п=\ с= Е\ есть слабая сходимость последовательности линейных
непрерывных функционалов. Напомним, что сходимость по норме
в Е\ влечет слабую сходимость в Е\, но не наоборот (см. § VII.7).
Аналогичная ситуация имеет место и для общего пространства Е2.
Действительно, из неравенства || Апх — Ах ||2 < || Ап — А\\х
X \\х\\г следует, что равенство lim || Ап — А\\ = О влечет стремление
к нулю \\Апх — Ах\\2 при любом χζΕν Таким образом, Ап-ХА.
Последовательность {Рп)п=\ из примера 2.4 сильно сходится
к тождественному оператору й£-^(^)· Это вытекает из равенства
(2.2). Однако || Ря — й|| = 1 (я ζ И), так что равномерно (Ρη),Ζ*
к й не сходится.
В пространстве & (Εν Ε2) рассматривают также слабую
сходимость последовательности операторов. Именно, последовательность
(Ап)п=\ cz &(EV E2) называют слабо сходящейся к оператору
А£Я?(ЕЪ Е2) и обозначают Ап^А {или Λ = \ν. НтАп)> если
(Vx£Et)t Αηχ·ΧΑχ> /г-^оо.
Упражнение 2.1, Доказать, что из Αη-ί А следует Ап-> А. Привести
пример слабо сходящейся последовательности операторов, которая не
сходится сильно.
248

Если Ех — банахово пространство, то Е\ полно относительно
слабой сходимости функционалов. Иными словами, пространство
& {Еъ Е2) в случае Е2 = (К полно относительно поточечной
сходимости операторов. Аналогичное утверждение справедливо и для
общего банахова пространства Е2. Основную роль в доказательстве
этого факта играет следующая теорема Банаха — Штейнгауза (или
принцип равномерной ограниченности).
Теорема 2.2. Пусть Εν Ε2 — банаховы пространства. Если
последовательность (Ап)п=\с=.&{Еъ Ε2) ограничена в каждой
точке, то последовательность норм (|| Л^Ц)^ ограничена.
Упражнение 2.2. Доказать теорему 2.2, следуя схеме доказательства
теоремы VII. 7.1.
Важным следствием теоремы Банаха — Штейнгауза является
следующее утверждение — аналог теоремы VII.7.2.
Теорема 2.3. Пусть Εν Ε2 — банаховы пространства. Тогда
£?{EV E2) полно относительно сильной сходимости операторов,
т. е. любая последовательность (Ап)^[ а& (Еи £2), для которой
(Vx^E-l) : (Апх)п=[ —фундаментальная последовательность векторов
из Е2, сильно сходится к некоторому оператору Αζ&(Εν Ε2).
Доказательство аналогично доказательству теоремы VI 1.7.2.
УПРАЖНЕНИЯ
2. 3. Доказать, что для последовательности {Лп)^=1 с & (C2V) равномерная,
сильная и слабая сходимости совпадают.
2. 4. Пусть Ап ζ 3? (С([а, Ь])) — оператор умножения на функцию ап €
£ С ([а, Ь]). Найти условия, обеспечивающие: а) равномерную; б) сильную; в)
слабую сходимость (Ап)™=[ к оператору умножения на функцию а£С ([а, Ь\).
2.5. Для x£LD (IR) положим (As χ) (t)=x (t + s) (s ζ IR). Доказать, что
ASn сходится к Аш сильно, но не равномерно, если sn -> s.
2.6. Исследовать в L2 ([—я, π]) и в С ([ — π, π]) на слабую, сильную
π
и равномерную сходимости последовательность операторов (Апх) (t) = \ ®п (t—
—π
— s) x (s) ds, где @n (t) = (sin —^— 0/л sin ^/2 (я € №).
ч-i
2.7. Доказать, что последовательность (Апх) (t) = χ (t n) (η £ Η) в
С ([О, 1]) сходится к 41 сильно, но не равномерно.
2. 8. Доказать, что последовательность операторов, действующих в /2 по
формуле Ап (х1г х2, .. .) = (0,..., 0, хъ х2, ., ,), сходится к нулевому оператору
η
слабо, но не сильно.
2.9. Пусть EL — пространство из примера 1.5. Положим (Апх) (t) —
= п (х (t + —) — χ (t)) (для t + — > 1 полагаем χ (t + —■) = χ (1)). Доказать,
что: а) последовательность (Ап)™=\ сильно сходится, и найти ее предел; б) по-
249

следовательность (|| Ап || )™=1 неограничена.Как согласуются эти утвержден ия
с принципом равномерной ограниченности?
2.10. Пусть Еъ Е2— банаховы пространства, Α, Αη£^(Εν Ε2,) (ηζΜ)9
Доказать, что Ап-*А тогда и только тогда, когда выполняются условияз
1) последовательность(|| Ап \\ )£=1 ограничена; 2) Апх->Ах для любого χ из-
тотального в Ег множества.
2.11. Пусть Α, Αηζ3! (Еъ Е2) (п£Ы). Доказать, что (Ап)™=1 сходится
к А равномерно на любом компакте Q с Elf если Ап-*· А,
2. 12. Пусть последовательность (Ап)^==х аЗ? (Elt Е2) удовлетворяет
одному из условий: 1) (Я Αζ<2 (Еъ Е2)): АпЛ А; 2) (γ χ£Et) (γ /£ Ε^Υ-
(I (An #))/ILl ограничена. Доказать ограниченность последовательности
(II Ап || )~=1,
2.13. Пусть At An£&(Elf £2), х, хп£Ег (п£Ы). Доказать, что
Апхп ->■ Ах, если Ап ->■ А и хп -> х.
2. 14. Пусть Η — гильбертово пространство, Л, Ап ζ 3? (Я), х, хп £ Η (η £ Ν).
Если Ап-+А и хп->х, то Αηχη^>Αχ. Доказать. Привести пример
последовательностей (Ап)™=1 и (хп)п=\ таких, что An-lA, хп^х, но (Апхп)™=1 не
сходится слабо к Ах.
2.1о. Пусть Ε — банахово пространство, ΕΧΕ ^ (х1у х2) ι-^ Β (χί9 χ2) ζ
6 К— билинейное (т. е. линейное по каждой переменной) отображение.
Доказать, что билинейное отображение, непрерывное по каждой переменной,
непрерывно и по совокупности переменных.
§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ.
ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР
1. Произведение операторов. Пусть А: Ег ->■ £2, В : Е2 ->■ Е3—
линейные непрерывные операторы. Произведением операторов В
и А называется оператор, действующий из Егв Е3по закону
{ВА)х = В(Ах) (х£Ег).
Очевидно, что В А — линейный оператор. Отображение В А: Е1->Е3
является композицией непрерывных отображений В и А и поэтому
В Α £ ^ (El9 Е3).
Заметим, что непрерывность оператора ВА можно установить
иначе. Именно, для любого χ ζ Ег справедливо неравенство
\\ΒΑχ\\9<\\Β\\\\Αχ\\Λ<\\Β\\\\Α\\\\χ\\ν
откуда следует ограниченность (а в силу упражнения 1.3 и
непрерывность) оператора ВА и такая полезная оценка!
\\ВА\\<\\В\\.\\А\\. (3.1)
ПРИМЕРЫ
3.1. Пусть Α, Βζ& (<DN), (cijk)fk==li (bjkYjk=zl — соответствующие этим
операторам матрицы. Положим c,k=^(ABek)j (/, β=1,.·., Ν)* Так как, с
250

Ν Ν
одной стороны, (AB)ek= J] cjkej> a c Другой—· (ЛЯ)ел = Л (J]*/***)553
/=i i=i
Ν Ν Ν Ν
"= Σ ^ Σ a/V ei~ Σ ( Σ α/ί ^) eV τ0 пРоизвеДению ^5 операторов А и В
1=1 i=l /=1 /=1
отвечает произведение соответствующих им матриц. Впрочем, этот факт
известен из курса линейной алгебры.
3. 2. Пусть Аи А2 — интегральные операторы в С ([а, Ь]) с ядрами Κι, К2
соответственно. Для любой функции х£С ([а, Ь]) имеем
ъ
(АгА2х) (/) = J Кг (t, τ) . (А2 χ) (τ) d τ =
6 b b b
==\Kl ('' τ) (J ^2 (τ, s) at(s)^s) rf τ= J (J Кг (t, τ) Κ2 (τ, s) rf τ) χ (s) ώ,
а а а а
т.е. Лх Л2 — интегральный оператор с ядром
ь
X (U s)=S^i С τ) ^2 (τ, s) </τ. (3.2)
α
Заметим, что, полагая в (3.2) Κι = /С2 — ^С, получим ядро квадрата
интегрального оператора (1.4), которое называют итерацией ядра К и обозначают
К(2). Последующие итерации ядра /С, т. е. ядра степеней оператора (1.4),
определяются индуктивно. Для нахождения К(п) (п > 2) следует положить в (3.2)
Кг = К(ПГ1К К2 = К.
3.3. Пусть Л, В—действующие в С ([а, Ь]) операторы умножения на
функции α и β соответственно. Понятно, что АВ является оператором
умножения на функцию αβ.
2. Понятие нормированной алгебры. Рассмотрим линейное
нормированное пространство з?(Е). В 5" (Е) определено произведение
его элементов. Предлагаем читателю убедиться в том, 4fo для
любых Α', В, С ζ Я" (Ε), α ς К имеют место следующие равенства:
1) (АВ) С = А (ВС);
2) (А Л-В) С = АС + ВС, А (В + С) = АВ + АС\
3) а (АВ) = (аА) В = Α (αβ); (3.3)
4) ЦЛ = Лй = А.
Таким образом, & (Е) является алгеброй с единицей. (В случае
Ε = £Ν этот факт был установлен в курсе линейной алгебры.)
Дадим следующее общее определение. Пусть R — линейное
нормированное пространство у в котором введена операция умножения
его элементов так, что выполняются равенства 1) — 3) из (3.3)
с заменой А, В, С ζ Я? (Е) на х, у, ζζ R. Если норма β R
удовлетворяет условию
(V*. y£R):\\xy\\< ||*|| -ΙΙίΗΙ.
то R называется нормированной алгеброй. Если дополнительно R—
банахово у то R называют банаховой алгеброй. Нормированная алгебра
R, в которой существует элементе такой, что (Υχζ R): ex = хе =х9
называется алгеброй с единицей.
251

Норма в 3? (Ε) удовлетворяет оценке (3.1), и поэтому & (Е) —
нормированная (банахова, если Ε — банахово) алгебра с единицей.
Другие примеры нормированных алгебр приведены в упражнениях.
3. Обратный оператор. Пусть / : Χ ->- Υ — некоторое
отображение, / (Χ) ^ Υ — область его значений. Для существования
обратного отображения f'11 f (X) ->■ Χ необходимо и достаточно,
чтобы/ являлось инъекцией. Если А : £Ί->- Е2— линейный оператор,
то его инъективность эквивалентна выполнению условия
Кег А = {χ ζ Ег | Ах = 0} = {0}. (3. 4)
Действительно, если А — инъекция, то из АО = 0 следует,
что Αχ φ 0, если χ Φ 0. Обратно, пусть Кег А = {0}.
Предположив существование хъ х2 ζ Ег таких, что хг =μ χ29 Ах1 = Ах2У
получим в силу линейности Α (χλ — х2) = 0, т. е. (хг ~ х2) £ Кег А.
Таким образом, выполнение условия (3.4) необходимо и достаточно
для существования обратного отображения А'1: Л (Α) —Α (£Ί)->
-> Εν Очевидно, что А ~г — линейный оператор.
Дадим следующее определение.
Если Α ζ & (Еъ Е2) удовлетворяет условию (3.4), то оператор
А"1: Л (А) -> Ег будем называть алгебраическим обратным к А.
ПРИМЕРЫ
3. 1. Пусть Ег = Е2 = <DN% Предположим, что оператор Αζ2 (С^) удовлет-
N
воряет условию (3. 4), т. е. система однородных линейных уравнений V а^х^ =
= 0 (/ = 1,.,., N), где (uj^k=x — матрица, отвечающая оператору Л, имеет
только тривиальное решение хг = л;2 = .,. = х^=0щ Как известно, это равносильно
обратимости матрицы, отвечающей оператору Л, а это в свою очередь
эквивалентно равенству 3R, (А) = (DN. Итак, алгебраический обратный к А оператор
действует из С^вС^, ему соответствует матрица, обратная к (а*^** kss±%
Отметим еще, что оператор Л"1 непрерывен.
3.2. Пусть Л 6 ьв (С ([а, Ь])) — оператор умножения на положительную
функцию α 6 С ([а, Ь]). Понятно, что условие (3.4) выполнено, что
алгебраический обратный к Л является оператором умножения на α"1 £ С ([а, Ь]) и
потому непрерывен. Предлагаем читателю проверить, что «% (Л) = С ([a, b])f
так что Л"1 £ SB (С (la, b])).
3.3. Пусть Л 6 X (С ([0, 1])) действует по закону
t
(Ах) (t) = ^x(s)ds (/€[0,1]).
о
Нетрудно проверить, что №(А) = {х 6 С1 ([0,1]) | χ (0) = 0} и что Л
удовлетворяет условию (3.4) (доказательство этих утверждений предоставляем
читателю). Из свойств интеграла как функции верхнего предела следует, что
алгебраический обратный к Л действует на функцию у 6 $t (А) по следующему
закону: (A~ly) (t) = у' (t) (t 6 [0, 1]). Как было показано в § 1, этот
оператор неограничен.
Итак, алгебраический обратный к оператору Α ζ 2 {Еъ Е2)
может быть определен как на всем Е2, так и на его части, может быть
как ограниченным, так и неограниченным.
252

Определение 3.1. Оператор Α ζ& (Ег, Е2) назовем обратимым,
если выполняются следующие условия: 1) $2 (Л) = Е2\ 2) существует
алгебраический обратный А -1; 3) А _1 непрерывно действует из Е2
в Ег. При этом А ~г называется обратным к оператору А.
Замечание 3.1. Выполнение условия (3.4) для оператора Α £
£ 3? (Е1у Е2) равносильно существованию и единственности
решения уравнения Ах = у для любого у £ &? (А). Если же Л —
обратимый оператор, то это уравнение имеет единственное решение х=
= Л ~гу для любой правой части у ζ Е2, и это решение непрерывно
зависит от у. В таком случае говорят, что уравнение Ах = у
корректно разрешимо на Е2.
Приведем ряд утверждений об условиях обратимости линейных
непрерывных операторов.
Теорема 3.1. Оператор Α ζ& (Е1У Е2) с 9t (Л) = Е2 обратим
тогда и только тогда, когда выполнено условие:
(Я/п > 0) (V* 6 Ег): \\ Ах \\2 > т \\ χ \\г. (3.5)
Доказательство. Необходимость. Пусть Л _1 ζ 25 {E2i
Ег), тогда для любого у ζ Ε2
·Μ-νΐΙι<ΙΙ^"ΊΙΙΙ^ΙΙ..
Поскольку Л — биекция, то (31л: £ £Ί): у = Л#. Подставляя это
значение в последнее неравенство, получим, что справедливо (3.5)
с m = || Л-1 II"1·
Достаточность. В силу (3.5) из Ах = 0 следует, что χ = 0,
и поэтому условие (3.4) выполняется. Следовательно, существует
алгебраический обратный Л*"1: Е2 -+Е1ш Полагая в (3.5) х = А~гу>
получим, что || А~!у \\г < т~г \\ у \\2 (у £ Е2), т. е. Л"1 ζ & (£2, Ег). щ
Теорема 3.2. Пусть Ε — банахово пространство. Если
Αζ&(Ε) таков, что ||Л|| = <7<1, то оператор fl— Л обратим
и справедливо равенство
(u-i4)-1 = u + i4 + i42+···, (3.6)
где ряд сходится равномерно.
Доказательство. Покажем, что последовательность Sn =
= JL + Л + · · · + Ап (η ζ И) частичных сумм ряда из правой части
(3.6) фундаментальна в ^(Е). Действительно, с помощью
неравенства (3.1) получаем, что для любых /z, p£M || Sn+P — Sn\\ ^
< || An+1 |Ц h || Ап+Р || <: <?Λ+1 Η h <?"+p, откуда в силу
q<.\ следует требуемое.
Поскольку Ε — банахово пространство, то последовательность
(Sn)n=\ равномерно сходится к некоторому оператору S^^(E).
Покажем, что S (ft — Л) = (Ц — A) S = Ц. Для этого заметим,
что||(й-Л)5Аг-(й-Л)5||<:||11-Л||.||5-5Л^0,/г^оо.
Поэтому достаточно доказать равномерную сходимость
последовательности ((£ — Л) Sn)n=i к единичному оператору. Имеем (fl —
— A)Sn= 5rt(H— 4) = fl + Л + · · · + Ап—А — А* Ап+1=
253

= β — Л"+\ т. е. ||(й — A)Sn — {L\\ = \\An+1\\<qn+19 что
стремится к нулю при п-^оо. Таким образом, 5 = (Ц. — Л)"1. ■
Упражнение 3.1. В условиях теоремы 3. 2. доказать, что || (й—Л)"11| <ι
<(1-Μ||)-ι.
Замечание 3.2. Пусть Л ζ 3? (£), где Ε— банахово
пространство. Согласно теореме 3.2 при || А ||< 1 уравнение (Ц — А) χ = у
корректно разрешимо на Ε и его решение χ = (fl — Л)"1 у является
пределом последовательности яя = 5^ (η £ ^). Иными словами,
хп является приближенным решением уравнения (fl — А) х = у,
и при этом погрешность допускает такую оценку: Ця — *„[[<
<qn(l—9)"1!! У\\(п£ RJ). Это обстоятельство весьма часто
используется в приложениях.
Теорема 3.3. Пусть Еъ Е2 — банаховы пространства. Если
Α ζ& (Εν Е2) обратимый оператор, а оператор В £ 5? (Elt Е2)
удовлетворяет условию \\В\\ <|| Л"1!!"1, то оператор А + В
обратим.
Доказательство. Рассмотрим оператор, действующий в Ег
по закону E^xx+x + A^Bx^Ei. Так как || А~гВ \\ < || Л'11| X
Χ ||β|[<1, то по теореме 3.2 оператор (й + Л'1/?) обратим и
оо
(й + Л-1^)-1 = Σ (—If (A^Bf.
Заметим, что Л + В -= Л (fl + Л_15) · £Ί ->■ £2, где операторы
Αζ&(Εΐ9 Е2)у Ц + Л_15ζ5"(Ег) обратимы. Тогда обратим и
оператор Л + β, причем верно равенство (Л + β)-1 = (Л + А^В)"1 X
ХЛ-1. ■
УПРАЖНЕНИЯ
3.2. Доказать утверждение, сформулированное в конце доказательства
теоремы 3.3.
3. 3. В условиях теоремы 3.3 доказать, что || (А + В)'1 — А'11| <: |] А'1 ||2 χ
Х||5||(1~||Л-1|| |j 5 || Г1.
В заключение приведем один из важнейших результатов теории
линейных операторов — теорему Банаха об обратном операторе.
Теорема 3.4. Пусть Elt Е2 — банаховы пространства. Если
оператор Αζ& (Ег, Е2) является биективным, то он обратим.
Доказательство. Необходимо доказать лишь
ограниченность оператора Л'1 :Е2-^Е1. Для этого рассмотрим множества
E2t п = {у ζ Е21 || А-*у ||х <п\\у ||2}. Очевидно, что Е2 = 0 Ett n.
п=1
Действительно, всякий у£Е2, у φ 0, попадает в одно из множеств
£2t n\ для этого достаточно взять в качестве η наименьшее целое
число, превосходящее || Л"1*/]^!! у Ι]"1. Нам понадобится такой
результат: хотя бы одно из множеств Е2 п всюду плотно в Е2 (см.
упр. 3.4).
254

Итак, пусть E2t m всюду плотно в Е2. Возьмем любой элемент
у£Е2, пусть ||г/||2 = /. Так как 5,(0) f| E2j m — всюду плотное
подмножество 5,(0), то найдется элемент y1£E2tm такой, что
IIУ — Ух Иг < 2"1/, || У\ || < I- Найдем далее элемент у2 ζ E2t m такой,
что || {у — уг) — у2 \\2 < 2"2 · /, || у21|2 < 2-1 · / jTaKoft ' элемент
найдется, так как E2itn f| ё//2 (0) всюду плотно в 5//2(0)).
Продолжая этот процесс, построим последовательность {уп)п=\ czE2 m
такую, что \\у — (уг+ ··· +yk)\\2<2-4, ||lfc||a < 2~*+1Л Такам
η
образом, получим у = lim Σ yk. Положим xk = А'гук. Тогда
П-fOO k=\
\\4\\x<m\\yk\\2^m-l-21-k.
Π
Последовательность ( 5] Xk)n=\ сходится к некоторому пределу
χζΕν так как
п-\-р η п-\-р
ΙΙΣ**-Σ**ΙΙι<Σ iixAii1<m/.21-*
η
и Ех — банахово пространство. Следовательно, #=lim5j* =*
Я-*оо k=l
оо
*= Σ Xk· Далее, в силу Αζ&(Εν Ε2) имеем
k=l
η η
Αχ = lim Σ Axk = lim Σ Ук= У·
П-уоо k=l П-*-о° k=l
Отсюда следует, что
lli4-Vlli = ll^lli = Hm||t^lli<Hm Σ ΙΙ**ΙΙι<
П-юо k=\ П-+00 k=\
оо
< Σ 21-kml= 2ml = 2m\\y\\2.
k=\
Поскольку у — любой элемент из Е2, то ограниченность, а
следовательно, и непрерывность оператора А ^доказана. ■
Замечание 3.3* Согласно теореме Банаха выполнение условий
1) и 2) определения 3.1 влечет обратимость оператора А в случае,
когда Elf E2 — банаховы пространства.
УПРАЖНЕНИЯ
3.4. Пусть (X, р) — полное метрическое пространство. Доказать, что
пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных
подмножеств X всюду плотно в X. Получить отсюда результат, использованный в
доказательстве теоремы 3.4.
3. 5. Найти я-ю степень оператора Л, действующего в С ([0,1]) по формуле:
t t
а) (Ах) (t) = Г χ (s) ds; б) (Ах) (t) = [sx (s) ds.
255

3.6. Пусть Ε—банахово пространство, Л, 5, Ant Βηζ3? (Ε) (ηζΗ).
Доказать, что: а) если Ап ζ^: Л, Вп ζ$. 5, то ЛпВп ζ£ АВ\ б) если Ап Л- Л, Вп -t В,
то АпВп-*~АВ. Привести пример последовательностей (Ап)™=1, (Вп)™=1 таких,
W
что Ап^А, Bn^Bt но АпВп++АВ.
3.7. Доказать, что умножение в банаховой алгебре непрерывно справа,
непрерывно слева и непрерывно по обоим аргументам.
3.8. Доказать, что С ([а, Ь]) с естественной операцией умножения
является коммутативной банаховой алгеброй с единицей.
3.9. Доказать, что Lx (IR) с умножением, задаваемым сверткой (х# У) (t) =
= j x (t— s) у (s) ds, является коммутативной банаховой алгеброй без едини-
IR
цы.
3.10. Доказать, что непрерывные функции ограниченной вариации на
{0,11 с естественными операциями и нормой || χ || = max {\ x (t) \ \ t£ [0,1]} +
+ V (χ, [0,1]) образуют банахову алгебру.
3.11. Доказать, что пространство Сп ([0,1]) с нормой
||*|| =maxj V '* *(/)' \t£[a, b]\
и естественными операциями образует банахову алгебру.
3.12. Определим покоординатное умножение в 1г: ху = (хгу1у #2#2» ···)·
Доказать, что 1г с обычной нормой и этим умножением является банаховой
алгеброй без единицы.
3.13. Доказать, что множество двусторонних абсолютно суммируемых
последовательностей с покоординатным сложением и умножением на элемент
оо ОО
поля К, со сверткой (х ^^)„= >►] хп-кУк(п £ ^) и нормой || χ || = £ \xk\
k——ιοο k=—OO
образует банахову алгебру.
3.14. Доказать, что множество абсолютно сходящихся тригонометри-
оо
ческих рядов χ (t) = ^ x^kt (t £ [0,2 π]) с естественными операциями и
оо
нормой || х || = JJ I #£ I образует коммутативную банахову алгебру, изометри-
k=—оо
чески изоморфную алгебре из упр. 3. 13.
3.15. Пусть Л £ 9? (lp) (р > 1) действует по закону Ах = А (xlf х2, ...) =*
= (αι*ι> «2^2»···)» гДе (αι» α2,...) — фиксированная последовательность из
/^, Доказать, что: а) Л имеет алгебраический обратный тогда и только тогда,
когда (Υ п£Щ: апФ0: б) А обратим в том и только в том случае, когда
inf {\ak\\k£ N}>0.
3.16. Доказать следующее обобщение теоремы 3.1: оператор Α ζ 3? (El9
Е2) обратим тогда и только тогда, когда его область значений плотна
в Ε2 и выполняется условие (3.5).
3.17. Доказать, что Л 6 & (Е) обратим тогда и только тогда, когда
обратим оператор Л2.
3.18. Пусть А^З? (Lp (X, d μ)) (ρ>· 1) действует по закону (Ах) (*) =
= α (/) χ (/), где а —фиксированная функция из L^ (Xt d μ). Доказать, что
Л обратим тогда и только тогда, когда ess inf {|α (t) \ | ££X}>0.
3.19. Пусть Ег = {χ g С1 ([0, 1]) | χ (0) = 0}, Е2 = С ([0, 1]). Доказать, что
Αζ& (Elt Е2), действующий по закону (Ах)(t) = χ' (t) — χ (t) (fg[0, 1]),
обратим, и найти Л 1.
3.20. Пусть Л и 5 — операторы в С (Г—1, 1]), определяемые формулами
(Ах) (t) = χ (t2), (Вх) (t) = χ (t*)y t 6 1—1,1]. Доказать, что: Л не имеет
алгебраического обратного, В — обратим. Найти В "К
256

3. 21. Найти А"1 для оператора Α ζ 3? (С ([О, 1])), действующего по закону
(Ax)(t) = x (0- f *(s)ds(/g[0, l]).
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Определение 4.1. Пусть Е1У Е2— линейные нормированные
пространства, Αζ^(Εν Ε2). Оператор Л*, действующий из
Е'2 в Е\ по закону
(АЧ)(х) = 1(Ах) (ΚΕ',,χζΕ^ (4.1)
называется сопряженным к оператору Л.
Теорема 4.1. Данное определение корректно, т. е.
соотношение (4.1) однозначно определяет оператор Α*ζ&(Ε2) Ε\), при
этом || Л* || = || А ||.
Доказательство. Определенное посредством (4.1)
соответствие Е'2$1*-+ Α*ΙζΕ\ является отображением Е\ в Е\.
Действительно, предположим, что существует ΙζΕ'2, которому
поставлены в соответствие два различных функционала: т1у т2 ζ
ζΕ[. Так как т1Фт29 то найдется χζΕτ такой, что тх (χ) Φ
Φ т2 (х). Но согласно (4.1) (V* ζ Ег) ι т1 {х) = т2 {х) = I (Ах).
Проверим линейность отображения Л*. Согласно (4.1) для
любых λν λ2£(Κ> h> U^E'2> * ζ Ει имеем (Α*(λ111 + λ919))(χ) =
=-(λΛ+ λ2/2) (Αχ) = λΜΑχ) + λ212(Αχ) = λ, {А*1г) (χ) + λ2 (Α %) (χ).
Далее, согласно (4.1) \(A*l)(x)\ <\\l\\\\ Α\\\\χ\\(ΙζΕ'2, χζΕ^
откуда вытекает неравенство || Л*/1| < || Α \\ \\ Ι \\ (Ι ζ £"2). Таким
образом, Л* — ограниченный оператор и его норма не
превосходит || Л ||.
Для доказательства равенства ||Л*||=|[Л|| поступим
следующим образом. Возьмем произвольный элемент χ £ Εν пусть у = Ах.
Согласно следствию VII.4.1 из теоремы Хана—Банаха найдется
такой элемент /£ £"2, что || /1| = 1, I(у) = \\у\\. Тогда /(Ах) =*
= || Л* || и в силу (*Л)\\Ах\\ = \(А*1>{х)\<\\А*\\-\\1\\.\\х\\=*
= ||Л*||||а:||. Итак, для любого х£Ег \\ Ах\\ < || Л* || ||*||, т.е.
||Л||<||Л*||.
ПРИМЕРЫ
4. 1. Пусть E1=E2=(DN и оператор А £3? (<DN) задается матрицей (ajk)^kaK:l.
Всякий линейный непрерывный функционал / на (DN представим в виде / (х) -с
N
= Σ lkxk, где (llt. .. , lN) £ <DN (см. § VII. 2). Тогда
k=l
Ν Ν Ν Ν
ι (Αχ) = Σ (Σ aik*h) ί/ =· Σ *k (Σ V/) = m w-
/=1 k=\ k=l /=1
Ν Ν
т. е. функционал т = А*1 задается элементом ( Σ α/ι^/» · · ·» Σ a/Nh)< Таким
/=i /=l
9 9-227
257

образом, действие оператора А* задается матрицей (akj)kj=l,
транспонированной к матрице оператора А.
4. 2. Пусть EL = Е2 = С ([а, Ь]) я А — оператор умножения на функцию
а£С ([а, Ь]). Согласно теореме Рисса (см. § VII. 5) всякий функционал /£
ь
ζ С'([а, Ь]) имеет вид / (χ) = [χ (t) dg (t), где g £ V ([α, b]). Согласно (4. 1) имеем
а
Ь Ь t
I (Ах) = ^ a (t) χ (t) dg (t) = ^x (t) d^a (τ) dg (τ)) = m (x)t
т. е.
(A*g) (/) = {<* (τ) dg(T) (ίζ[α, b]).
4. 3. Пусть Ег = Е2 = Lp (X, d μ) (p> 1) и Л — интегральный оператор,
ядро которого /С для простоты будем считать ограниченной измеримой
функцией. Используя описание пространства Lp (Χ, ί/μ) (см. § VII. 5), получим
$($*(*,
I (Лх) = J U K(t, s) χ(8)άμ(8)) Η(ήάμ(ί),
Χ Χ
где h £ Lp, (X, d μ). После перемены порядка интегрирования (возможной в
силу теоремы Фубини) получим, что
/ (Ах) = т (х)=)[\ К (t,s)h (t) dp (t)) x(s) άμ(s),
x χ
т.е. А* — интегральный оператор в Lp, (Χ, άμ) с ядром K*(t, s) = К (s, t).
Замечание 4.1. В рассмотренных примерах для построения
сопряженного оператора использовались теоремы об общем виде
линейных непрерывных функционалов, которые позволяют
рассматривать вместо Е' изоморфное ему пространство, более удобное для
вычислений. Следует отметить, что вид сопряженного оператора
зависит от способа реализации сопряженного пространства.
Например, изоморфизм между ((fcN)' и £N можно задать так. Зафиксируем
N равных по модулю единице комплексных чисел av ... , αΝ и по-
N
ложимдля/е((С^)' и χζ£Ν 1(χ)= Σ ajkxk, где (ίΐ9 .. . , Ϊν)£(£ν.
При такой реализации пространства изоморфного (bNY вид
оператора Л* будет отличаться от установленного в примере 4.1.
Упражнение 4.1. Найти вид оператора А* для указанной в замечании
4.1 реализации (С^)'.
В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматриваются
комплексные гильбертовы пространства.
Пример 4.4. Пусть Ег = Hlt E2 = Я2, где Hlt Н2 — гильбертовы
пространства. В силу теоремы Рисса пространство Hi можно отождествить с
258

Ht (i — 1, 2). Поэтому сопряженный к Л 6 & (Ηλ, Н2) оператор Л* действует
из Н2 в Нг. При этом согласно (4.1) имеем для / 6 #2, χ 6 #χ
(Л*/) (*) = (*, Л*/)х = I (Ах) = (Лл:, /)2.
Таким образом, для А$.3?(НЪ Я2) сопряженный оператор Α*ζ&(Η2, Нг)
определяется равенством
(Ах, у)2 = (х, Л* у), (х£Нъ у£Н2). (4.2)
Если, в частности, Нг = Н2 = <DN и оператор Л задается матрицей (afk)jk==it
то, подобно примеру 4. 1, нетрудно показать, что сопряженному оператору Л*
соответствует матрица (^;)w=i» эрмитово сопряженная с (ajk)jtk==l. Если же
Я1 = Я2 = 12 (X, d μ), то, подобно примеру 4.3, находим, что сопряженный
к интегральному оператору Л с ядром К оператор Л* является интегральным
с ядром К* (t, s) = К (s, t) (/, s £ Χ).
Отметим некоторые свойства сопряженного оператора.
Упражнение 4.2. Пусть Л, В 6 ^ (£"lf £2), λ 6 К. Доказать, что: а)
(Л + 5)* = Л* + Л*; б) если Elt E2 — линейные нормированные
пространства, то (ХА)* = ЯЛ*; в) если Elt E2 — гильбертовы пространства, то
(ЯЛ)* ="~ХЛ*.
Теорема 4.2. Пусть Αζ<? (Elt £2), В ζ 2? (Е2у Ε3). Тогда
(ВА)* = Л*Б*.
Доказательство. Для любых / ζ Ε'3, χ ζ Ег имеем
согласно (4.1) ((ВА)* I) (х) = I (ВАх) = I (В (Ах)) = (5*0 (Ах).
Обозначим через т функционал Β*ΙζΕ'2. Тогда в силу (4.1)
т (Ах) = (Α */η) (α:) (χ ζ EJ. Таким образом, получаем, что
((ВА)* 1)(х) = (А*В*1) (х) (16 £'3> х € Ει)· ■
Теорема 4.3. Предположим, что пространства El9 Е2
рефлексивны. Тогда (Л*)* = А.
Доказательство. Поскольку Л* \ Ε'2 -> Е'19 то
сопряженный к нему оператор (Л*)* действует из Е'[ в Ё2, а в силу
рефлексивности Еъ Е2 получим, что (А*)*£&(Е19 Е2). Напомним
(см. § VI 1.6), что соответствие между Ε и Е" устанавливается
следующим образом: E^x\-^LX^E\ где Lx(l) = l(x) (ΙζΕ'). Тогда
для любых / ζ Е'2 и χ £ Ег имеем
((A*)*Lx)(l)= Lx(A*l) = (A*l)(x) = l(Ax) = (ALx)(l),
откуда и следует требуемое. ■
Замечание 4.2. Если Еъ Е2— гильбертовы пространства, то
равенство Л** = А устанавливается совсем просто. Согласно (4.2)
(А*у, x)j = (г/, Л**х)2 (д: £Н19у£ Н2). Но, кроме того, (Л *г/, л;)^
= (а;, Л*г/)х = (Лх, г/)2 = (у, Ах)2. Таким образом, для любых
х£ Н\> У £ Η2 (Уу Л***)2 = (у, Ах)2, что и означает равенство
операторов А и А**. Ш
В заключение приведем несколько общих определений,
относящихся к рассмотрениям п. 2 предыдущего параграфа.
9* 259

Пусть R — алгебра над полем (С. Инволюцией в R называется та-
кое отображение R Э х >-»- ** ζ R> что для любых х> у ζ R, λ £ (£
выполнены условия: 1) (х*)* = х\ 2) (х + у)* = я* + у*\ 3) (λ^:)* ==
= λχ*\ 4) (ху)* = у*х*. Алгебра R над полем (С, в которой
задана инволюция, называется инволютивной алгеброй. Банахова
алгебра R, снабженная такой инволюцией х\-+х*, что (Υχ £ R): || χ \\ =
= ||л:*|[, называется инволютивной банаховой алгеброй. Из теорем
4.1—4.3 и результата упражнения 4.2 вытекает, что банахова
алгебра & (Я), где Η — гильбертово пространство над полем (£, является
инволютивной банаховой алгеброй. Другие примеры таких алгебр
приведены в упражнениях.
УПРАЖНЕНИЯ
4. 3. Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в / : а)
A (xlt х2, . . .) = (0, х19 х2, . . .); б) A (xlt х2,. ..) = (х2, х3, . ..); в) A (xL,
*2» · · ·) = (αΛ» α2*2» · · ·)» где (ап)^==1 — фиксированная последовательность
из /„; г) А (хь х2,...) = (0, 0, a±xlt а2 х2,.. .); д) A (xlt х2, ...) = (xlf
*2> · · · » хт> 0, . . . )ι т € ^ фиксировано; е) Л (*lf а:2, . . ,) = (0, . ,, , 0, хъ О,
.. .); ж) A (xlt х2, ...)== (<Vm> am+1xm+ii. ..). «ι
4. 4. Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в L2 (IR):
а) (Ах) (t) = a (t) χ (t), где α — фиксированная функция из L^ (IR); б) (Лат) (/) =
= α (f) а: (^ + s), где s ζ IR фиксировано; в) (Ах) (/) = 2"1 (а: (/) + а: (— ή);
г) (Л*) (0 = 2-i (*W_* (_*)).
4.5. Пусть Я — гильбертово пространство. Найти сопряженный к
оператору Л, действующему по закону Α χ = (χ, у) z, где у, ζ —
фиксированные элементы из Я.
4.6. Пусть Αζ& (Е1у Е2). Доказать, что сужение на Ег оператора Л** £
ζ&(Ε\9 Ε^) совпадает с Л (ср. с теоремой 4.3).
4.7. Пусть Л ζ 9? (Elt E2) обратим. Доказать, что Л* также обратим и
справедливо равенство (Л*)-1 = (Л"1)*.
4. 8. Пусть Л £ 2 (Ех§ Е2). Доказать, что St (А) = {у £ Е2 | (V / £ Ker Л*):
:/(у) = 0}.
4. 9. Пусть Л £ J2" (Я). Доказать соотношения: Кег Л* = («^ (Л))1, (Кег Л)1 =
«3fc (Л*).
4. 10. Доказать, что оператор Л £ .2* (Z?lf £2) обратим в том и только в том
случае, когда (3 с > 0): (Va:£ Ег) || а: || г <с . \\ Ах || й, (V /g^) || / ||<*- || Л* / ||.
4.11. Пусть Я — гильбертово пространство и Л, Лп£^ (Я) (/г£№). Дока-
зать, что: а) Αηζξ:Α равносильно Αηι£Α*; б) Ап-*- А равносильно Лп->- Л*.
Привести пример последовательности (^4/г)^=1 такой, что из Ап -*■ Л не следует
4.12. Элемент я инволютивной алгебры R называется эрмитовым, если
х* = х. Доказать, что: а) элементы χ + x*t i (* — я*), *** эрмитовы; б)
всякий элемент χ однозначно представим в виде χ = и + to, где и, υ —
эрмитовы элементы.
4.13. Какие из алгебр, введенных в упражнениях 3.8—3.14, являются
инволютивными банаховыми алгебрами?
260

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Билинейные формы. При изучении операторов, действующих
в гильбертовом пространстве Я, оказывается полезным следующее
понятие. Функция Я X Я Э (*> У) /->- Ъ (х, у) £ (С называется
билинейной формой у если она линейна по первой переменной и антили-
нейна по второй. Примером билинейной формы может служить
скалярное произведение в Я. Более общим примером является форма
Ьа (х, у) = (Axf у)у порожденная оператором Α ζ 3? (Я) (Ьа
называют также формой, соответствующей оператору А). Понятно, что
форма (х, у) соответствует единичному оператору.
Билинейная форма Ъ называется эрмитовой, если для любых х,
у ζ Η b (х, у) = b (уу х). Примером эрмитовой билинейной формы
может служить скалярное произведение.
Упражнение 5.1. Доказать, что для всякой билинейной формы имеет
место равенство
4Ь (х, у) = Ь (х + у, χ + у) — b (χ — у, χ — у) +
+ i [Ь (х + iy, χ + iy) —b(x — iy, χ — iy)] (x, у 6 #), (5.1)
называемое поляризационным тождеством (ср. упр. VI.5.3).
Значение билинейной формы b (xf χ), χ ζ Η на диагонали
декартова произведения Η Χ Η называется квадратичной формой.
Заметим, что в силу поляризационного тождества (5.1) значения
билинейной формы определяются через значения квадратичной формы.
Это обстоятельство неоднократно используется в дальнейшем.
Билинейная форма называется ограниченной, если выполнено
условие:
(Zc>0)(Vx, y£H):\b(Xy у)\<с ·\\χ\\ .\\у\\. (5.2)
Понятно, что билинейная форма, порожденная оператором
А £ 9? (Я), ограничена. Действительно, для любых х,у£Н \ЬА (х, у)\ =
= | (Аху у) | < || А [| · || χ || · || у | |. Интересно, что справедливо и
обратное утверждение.
Теорема 5.1. Для всякой ограниченной билинейной формы b
существует единственный оператор Αζ& (Я) такой, что b = Ьа.
Доказательство. При фиксированном χζ Η b {х, у) =
= f (у) является ограниченным линейным функционалом на Я,
и в силу теоремы Рисса найдется, и притом единственный, вектор
ах ζ Я такой, что b {χ, у) = (у, ах) (у £ Я), т. е. b (χ, у) = (ах, у).
Тем самым определено отображение Я Э х ι-* αχζ Я. Положим
ах = Ах и покажем, что отображение А : Я -> Я является
линейным и непрерывным.
Поскольку форма b линейна по первой переменной, то для
любых alf а2 £ (С, #i, x2 (Ε Η имеем (А {агхг + а2х2), у) = b (α^ +
+ а2л:2, у) = аф \хъ у) + аф (х2, у) = аг (Ах1у у) + а2 (Ах29 у),
откуда и следует линейность отображения Л. Согласно (5.2) имеем
261

\(Ax, y)\ <c · || a:|| · || y\\t откуда вытекает, что || Ax\\ <: c\\ x\\
(χ ζ Η). Таким образом, оператор Л принадлежит & (Н).
Единственность оператора А очевидна. Щ
УПРАЖНЕНИЯ
5.2. Доказать, что всякую билинейную форму b можно единственным
образом представить в виде Ь (х, у) = (х, Су), где С 6 & (Н)-
5.3. Пусть Ь — ограниченная билинейная форма. Ее нормой || Ь ||
называется наименьшая из констант с, для которых выполняется условие (5.2).
Доказать, что || Ь \\ совпадает с нормой порождающего Ь оператора А.
Перейдем теперь к рассмотрению основных классов линейных
непрерывных операторов, действующих в Н.
2. Самосопряженные операторы. Оператор Α ζ g (H) называется
самосопряженным, если Л* = Л, т. е. согласно (4.2) {Ах, у) =
= (х, Ау) (*, у£Н).
Используя пример 4.4, получим, что оператор Α ζ^(ΐ,Ν)
самосопряжен в том и только в том случае, когда соответствующая
ему матрица (a//?)/, k=\ эрмитова, т. е. αμ = ащ (&, / = 1, . . . , АО-
Аналогично, интегральный оператор в L2 (Χ, άμ) самосопряжен
в том и только в том случае, когда его ядро К удовлетворяет
соотношению: Kit, s) = K(s> t) (mod μ Χ μ). Такие ядра называют
эрмитовыми.
Самосопряженные операторы имеют важное значение в
функциональном анализе и его приложениях. Рассмотрим основные
свойства этого класса операторов.
Теорема 5.2. Любой оператор Α ζ & (Η) единственным образом
представим в виде Re А + ИтА = Л, где Re A, lm A
—самосопряженные операторы.
Доказательство. Положим
Re Л = 1/2(Л + Л*), 1тЛ = 1/2/(Л-Л*). (5.3)
Используя свойства сопряженного оператора, получим
(Re Л)* = (d+i!)# = *+ϋ! = d+ϋ = Re A,
/τ λ\* (A—A*\* A* — A** A —A* T ,
Единственность разложения оператора Л предлагаем проверить
читателю. ■
Теорема 5.3. Следующие утверждения равносильны: 1)
оператор Α £ 9? (Я) самосопряжен\ 2) билинейная форма Ъа, порожденная
оператором А, эрмитова; 3) порожденная оператором А
квадратичная форма Ьа (χ, χ) {χ £ Η) принимает только вещественные
значения.
Доказательство. Докажем равносильность утверждений
1) и 2). Если Л = Л*, то для любых х,у£Н согласно (4.2) имеем
Ъа (х, у) = {Аху у) = (*, Ау) = (Ау, х) = ЬА(у, х), (5.4)
262

т. е. форма Ьа—эрмитова. Ясно, что из этой цепочки равенств
следует и обратная импликация.
Покажем эквивалентность утверждений 2) и 3). Если форма
Ьа эрмитова, то в силу (5.4) Ьа (я, х) вещественное число. Обратно,
пусть Ьа (χ, χ)ζΚ(χζΗ). Используя поляризационное тождество
(5.1), получим 4ЬА(у, х) = ЬА(у + х, у + х) — Ьа(у — х, у— х) +
+ 1Ьа{У + ix> У + ix) — ibA(у — ix, у — ix) = bA{x + y, х + У) —
— bA{x — y, х —у) Л- ibA(x — iy, x — iy) — ibA(x + iy, χ + iy),
откуда в силу вещественности Ьа(х, χ) следует требуемое. ■
Замечание 5.1. Из теорем 5.1 и 5.3 следует, что ограниченная
билинейная форма эрмитова в том и только в том случае, когда
порождающий ее оператор самосопряжен.
Упражнение 5.4. Пусть А, В — самосопряженные операторы. Доказать,
что: а) А + В — самосопряженный оператор; б) оператор АВ самосопряжен
тогда и только тогда, когда операторы А и В коммутируют, т. е. А В = В А.
3. Неотрицательные операторы. Оператор Α £ 9? (Я) называется
неотрицательным, если порожденная им квадратичная форма
неотрицательна, т.е. Ьа(х, х) > 0 (χζΗ). Неотрицательность
оператора А обозначается следующим образом: А > 0. Если А — В > 0,
то говорят, что А > В.
Упражнение 5.5. Доказать, что отношение «>» на 9? (Я) является
отношением частичного порядка.
Введем также понятие полуограниченного оператора. Оператор
Αζ9?(Η) называется полуограниченным снизу числом с ζ IR, если
(V χ ζ Η): Ьа {χ, χ) > с \\х\\2. Преобразовав это неравенство к виду
(Ах, х) — с [х, х) = ((Л — сЦ) х, х) > 0, получим, что
полуограниченность снизу числом с оператора А равносильна тому, что
A >cQ. Ясно, что неотрицательный оператор — это оператор,
полуограниченный снизу нулем. Аналогично вводится понятие
полуограниченного сверху числом d оператора.
Квадратичная форма, порожденная полуограниченным
оператором, принимает только вещественные значения, так что согласно
теореме 5.3 полуограниченный оператор самосопряжен. Заметим
еще, что самосопряженный оператор Α ζ 9? (Η) полуограничен
снизу числом—|| А [|, а сверху числом ||Л||. Это вытекает из
неравенства \(Ах, х) | < || А || И* ||2, справедливого для всех χ ζ Η.
Упражнение 5.6. Доказать, что полуограниченный снизу
положительным числом оператор обратим.
4. Проекционные операторы. Пусть G — некоторое
подпространство Н, G1- — его ортогональное дополнение. Как было
показано в § VII. 9, каждый вектор χ ζ Η единственным образом
представляется в виде χ = у + z, где у = прся, г = npGj_;c. Проекционным
оператором (или ортопроектором) в Η на G называется
оператор PG, действующий по закону Η Э χ '->■ Pqx = npG#. Если (£*)*>ι—
ортонормированный базис в G, то Pqx = Σ (#> ek)ek (CM· § VII. 10).
263

Теорема 5.4. Пусть G— некоторое подпространство в Я.
Ортопроектор на G обладает следующими свойствами: 1) Pg£
ζ&(Η) и, если G Φ {0}, то ||PG|| = 1; 2) Pg— идемпотентный
оператор, т. е. Pq==Pg\ 3) PG — неотрицательный оператор.
Доказательство. Линейность оператора Pg следует из
соответствующего свойства проекции вектора на подпространство
(см. упр. VII.9.3). Из неравенства ||πρβ*|| < ||χ||, справедливого
для всех χζΗ, следует, что ||Л?||< 1. Если G = {()}, то PG = 0.
В противном случае (Vg £ G): PGg = g, откуда получаем, что
|| Pg 11=1. Из этого же свойства проекции следует, что {Υχζ
€ Я): {Pg)2 x = Pg (Pqx) = Pgx, т. е. P2G = PQ.
Наконец, для любого χ ζ Я имеем {Pgx, x) = (npGA:, npG# +
+ nPG.L*) = || Pgx\\ 2 > 0, что и означает неотрицательность Pg. щ
Интересно, что самосопряженность и идемпотентность являются
характеристическими свойствами ортопроектор а. Точнее говоря,
справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.5. Пусть Α £ 2 (Η) — самосопряженный
идемпотентный оператор. Тогда существует подпространство G сз Η
такое, что А = Pg·
Доказательство. Рассмотрим множество G = {g £ Η \
Ag = ё}· Так как G = Кег (А — fl), то G является
подпространством в Η (см. упр. 1.13). Покажем, что А = Pg- Из
идемпотентности А вытекает, что для любого χζ Η вектор Ах входит в G.
Подпространству G принадлежит также и вектор Pqx- Поэтому
достаточно проверить, что для любого g ζΰ {Ах, g) = (PgX, g)· Но это
следует из такой цепочки равенств: {Ах, g) = {χ, Ag) = {χ, g) =
= (x> Pug) = {Pgx, g) (здесь мы воспользовались
самосопряженностью операторов А и PG и определением G).M
5. Нормальные операторы. Оператор Α ζ 2 (Я) называется
нормальным, если он коммутирует со своим сопряженным, т. е. А*А =
= АА*. Обозначим символом [А, В] = АВ — В А коммутатор
операторов А и В. Тогда определение приобретает такой вид: оператор
Α £ 2 (Я) — нормальный, если [А, А*] = 0. Описание класса
нормальных операторов содержится в следующем утверждении.
Теорема 5.6. Оператор Α £ 2 {И) является нормальным β том
и только β том случае, когда [Re Л, 1тЛ] = 0.
Доказательство, основанное на использовании равенств (5.3),
предлагаем выполнить читателю самостоятельно, щ
6. Унитарные и изометрические операторы. Линейный оператор
U : Η ->- Η называется унитарным, если выполнены два условия:
1) оператор U сохраняет скалярное произведение, т. е.
{Vx, y£H):{Ux, Uy) = {x, у); (5.5)
2) область значений Jl(U) оператора U совпадает с Я. Из (5.5)
следует, что оператор U сохраняет норму, т. е. \\Ux\\ = \\х\\
{х£Щ, и поэтому U ζ 2(H) и его норма || U\\= 1.
Упражнение 5.7. Доказать, что сохраняющий норму линейный
оператор удовлетворяет условию (5.5).
264

Замечание 5.2. Если dim#<oo, то равенство Jfl(U) = H
является следствием (5.5). Действительно, пусть dim Η = η и
{еъ ..., еп) — ортонормированный базис в Я. Согласно (5.5)
(Uej, Uek) = (e}, ek) = fi/*, т. е. {ί/^, ... , ί/βΛ} —-ортонормирован-
ная система в Я, состоящая из η векторов. Это значит, что
{Uely . .. , Uen) — базис в Я, и
(ΥχζΗ):χ = Σ *'/£/*/ = ί/ ( Σ *'/*/).
/=ι /=ι
τ. e. J?(i/) = #. В бесконечномерном пространстве, как показывает
следующий пример, равенство 9t (ί/) = Я не является следствием
(5.5). Пусть Я = /2, положим Т^, яа, . ..)=(0, хх, х2, .. .).
Очевидно, что оператор Τ сохраняет скалярное произведение. Ясно
также, что Я (Г) Φ Я, так как вектор (1, 0, 0, . ..) \_ Я{Т).
Теорема 5.7. Унитарный оператор U обратим, причем
ί/-1 совпадает с U* и также является унитарным оператором.
Доказательство. Поскольку || Ux\\ = ||х|| (*£#), то
обратимость U следует из теоремы 3.1. Проверим унитарность ί/"1.
Положим у = Ux, тогда \\у\\ = \\ Ux || = || χ || = || U~xy ||, т. е. ί/"1
сохраняет норму. Условие ^(U'1) — Ну очевидно, выполняется.
Совпадение ί/"1 и U* является следствием такой цепочки
равенств: (*, U*y) = (Ux, y) = (Uxy υυ-^) = (χ, и~гу) (χ, у ζ Я). ■
Упражнение 5.8. Доказать, что унитарный оператор является
нормальным.
В заключение рассмотрим понятие изометрического оператора.
Пусть Ях, Я2 — гильбертовы пространства. Линейный оператор V,
действующий из Ях в Я2, называется изометрическим, если для
любых х, у ζ Я (Vxy Vy)2 = {x, y)i- Из результата упражнения 5.7
следует, что это условие равносильно следующему: (Vx ζ Ях) ι
' IIVx\\2= II*Ι1ι· Подчеркнем, что область значений изометрического
оператора, вообще говоря, не совпадает с Я2, и поэтому в случае
Нх = Я2 = Я существуют изометрические операторы, не
являющиеся унитарными. Примером такого оператора может служить
оператор Τ из замечания 5.2.
УПРАЖНЕНИЯ
6.9. Пусть Ъ — эрмитова билинейная форма. Доказать, что справедливы
следующие равенства: а) Ь (*, у) = Ν'1 £ Ь(х + e2n{k/N у, х + e2nik'N у) χ
k=\
2π
Xe2nik/N (Xt y £ H. N > 3); 6) b (Xf y) = (2 π)-χ J ^ (A. + eiv yf χ + ^φ ^ 6ίφ ^ φ
(х,У£Н).
5. 10. Пусть (alf a2,.. .) —фиксированный элемент 1^. Оператор A £ 9? (l2)
задается формулой Ax = (сад, α2*2, . . . ). Выразить в терминах чисел ап (ηζ Ы)
следующие свойства оператора А: а) А = А*\ б) Л>0; в) Л>с Ц; г) А —
унитарный оператор.
£65

5. 11. Пусть (<х>п)™=\> ($n)£Li> (Уп)^=1 — фиксированные элементы 1^.
Оператор Α ζ 3? (/2) задается следующим образом: (Ax)1=aix1 + βχΑ:2, (Αχ)η = уп_г Χ
Χ χη-ι + αηχη 4" β/ι*/ι-μι (д > 2). При каких условиях на числа ап, β„, γη (я £ №)
А = Л*?
5.12. Пусть Л — оператор умножения в L2 (X, d μ) на функцию α£
£ Loo(X, d μ). Доказать, что: а) Л = Л* эквивалентно тому, что а = α (mod μ); б)
Л :> 0 равносильно тому, что оО-О (mod μ); в) Л — ортопроектор в том и
только в том случае, когда а = Хс (mod μ), где С — измеримое подмножество
X; г) Л — унитарный оператор тогда и только тогда, когда | α | = 1 (mod μ).
5. 13. Пусть Л £ 9? (Η)— обратимый самосопряженный оператор. Доказать,
что Л"1 самосопряжен.
5. 14. Инволютивная банахова алгебра R называется С*-алгеброй, если для
любого x£R справедливо равенство || χ* χ || = || χ || 2. Доказать, что & (Н)
является С*-алгеброй.
5. 15. Пусть Α ζ 2 (Я) — неотрицательный оператор. Доказать что: а) (γ χ,
у£Н):\ (Ах, у)\2< (Αν, χ) (Ay, у); б) (V*£ Η) : || Ак\\ 2 <: || Л || (Лаг, х).
5.16. Пусть Glt G2—подпространства Я и Ρ и — ортопроектор на Gk (k —
= 1,2). Доказать следующие утверждения: а) Р1 > Р2 равносильно тому,
что G± ^ G2; б) РгР2 = О равносильно тому, что Gx _L G2; в) Рг — Р2 —
ортопроектор в том и только в том случае, когда Gx ^ G2, г) Рх + Р2 —
ортопроектор в том и только в том случае, когда РгР2 = 0; д) РХР2 — ортопроектор
в том и только в том случае, когда [Р1г Р2] — 0.
5.17. Пусть (en)%=i—ортонормированный базис в Я, σ : №-> №
фиксированная биекция. Доказать, что оператор Л, действующий в Я по формуле
оо оо
Ах = А ( Σ *kek) — Σ xkea(k)> является унитарным.
k=l k=l
5.18. Доказать, что U 6 2 (Я)—унитарный оператор в том и только
в том случае, когда выполнены два условия: 1) U — нормальный; 2) (Rei/)2+
+ (Imi/)2 = й-
5.19. Доказать, что: а) монотонно убывающая последовательность
ограниченных положительных операторов сильно сходится; б) монотонная
последовательность ортопроекторов сильно сходится к некоторому ортопроектору;
в) если последовательность ортопроекторов (Ρη)^\ слабо сходится к
ортопроектору Р, то Рп -¥· Р.
§ 6. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Линейный оператор в сепарабельном пространстве. Пусть
Η — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство,
{еп)п=\ — некоторый ортонормированный базис в Я. Рассмотрим
оператор Αζ&(Η). Раскладывая по базису (еп)п=\ вектор Αχ (χ £ Я),
получим для любого /ζ^|
оо оо
(Ах, ej) = Σ xk {Aek, ej) — Σ ЦкХь (6.1)
где a}k = (Aek, ej) (/, A£M). Так определенные числа щи образуют
бесконечную матрицу (α/δ)/%=«ι, элементами k-το столбца которой
являются координаты вектора Aek (k £ И). Из равенства (6.1) следует,
что, подобно линейным операторам в конечномерных пространствах
(см. пример 1.1), действие оператора А ^ 2(H) задается матрицей
266

(ajk)Jlk=u Точнее говоря, по матрице (ajk)?,k=i и базису 0?„)η°1ι
с помощью формулы (6.1) восстанавливается значение оператора Л
на любом χζΗ. В таком случае говорят, что оператор А
допускает матричное представление в базисе (£α>)Γ=ι. Числа а\ъ.
называют матричными элементами оператора Л. Из вышесказанного
следует, что каждый оператор Αζ&(Η) допускает матричное
представление в любом ортонормированном базисе в Н.
Как известно, каждому линейному оператору в Af-мерном
пространстве отвечает матрица (ajk)f k=l и, наоборот, каждой
матрице размера NxN отвечает линейный непрерывный оператор в
N-мерном пространстве. В отличие от этого, далеко не каждой
бесконечной матрице (ajk)J%k=\ соответствует линейный непрерывный
оператор в Я,
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Доказать, что матрица (а.^)д^=1 (a-k£(D) определяет линейный
непрерывный оператор в Я в том и только в том случае, когда выполнены усло-
оо оо
вия: 1) ряд ]У] djkxk сходится для любых /£М и х = J] χ^β/ιζΗ; 2) (V*£
оо оо оо оо
^):ΣΙ %alk*k\*<-\ 3) (3*>0) (V χζΗ): £| Σα/Λ|2<:*ΙΙ*ΙΓ.
/=1 k=[ /=1 k=\
6. 2. Для того чтобы матрица (^)J^=i определяла линейный непрерыв.
ный оператор в Я, необходимо и достаточно выполнение условия: (3 Μ > 0)
η т
(V /г, т£Ы) (V (*i,..., xn. Vi Ут) с С): | £ % αβχ^\<Μχ
/=i k=i
η т
χίΣ^/Ι2)1/2 ( Σΐ^Ι2)Ι/2· Доказать.
ч/=1 k=l
6.3. Пусть (ajk)ftk=\> (^)д^=1 — матрицы, отвечающие в базисе (ek)k=i
операторам Л, В ζ 5? (Я) соответственно. Определить матрицы, отвечающие
операторам А + В, АВ.
Приведем одно простое достаточное условие ограниченности
определяемого матрицей оператора.
Теорема 6.1. Матрица (α;·£)/%=ι> удовлетворяющая условию
Σ Κ·*|2<οο, (6.2)
/, k=i
определяет линейный непрерывный оператор А в Я.
Доказательство. В силу неравенства Коши—Буняковского
имеем для любого χζΗ
ОО 00
I {Ax, ei) |2 = | Σ atkXk f < Σ I a,h |21| χ ||2 (/ € Щ) ■
267

Суммируя по /, получим
Н*112= Σ \{Ах, */)|2< £ \"β\2<\\χ\\2.
Таким образом, оператор Α ζ Я" (Η) и его норма \[А\\ не пре-
оо
восходит числа ( Σ \ajk\2f/2- ■
/, k=i
Замечание 6.1. Условие (6.2) весьма ограничительно. Так,
матрица единичного оператора a/k = 8jk{jy &(ER]) ему не
удовлетворяет (см. также упр. 5.10 и § 7). ■
В дальнейшем рассматриваются матрицы, удовлетворяющие
условиям 1—3 из упражнения 6.1. Выясним характерные
особенности матриц, отвечающих операторам из рассмотренных в § 5
классов.
2. Самосопряженные операторы. Пусть Αζ£?(Η)
самосопряженный оператор. Тогда из равенства (Ае^ ej) = (е*, Aej) = (Aej, ей)
следует, что а^ — ащ (/, ££И). Таким образом, отвечающая
самосопряженному оператору в Η матрица является эрмитовой.
Справедливо и обратное утверждение. Пусть (ay^'jUi— матрица,
которой отвечает оператор Αζ&(Η). Если матрица эрмитова,
то оператор А самосопряжен. Действительно, для любых х,
у ζ Η имеем
ОО ОО 00 00
(АХ, у) = Σ ( Σ ujkXk) У; = Σ ( Σ UkjXk) У; =
j=\ k=l ' /=1 k=\ i
ОО ОО
= Σ Ч ( Σ aklyf) = (χ, Ay).
3. Неотрицательные операторы. Пусть Α ζ & (Η) неотрицателен,
η
т. е. (Vxζ Я): (Ах, х)>0. Полагая здесь χ = Σ 4ek> получаем
(V/г 6 Rj) (V (хъ . . . , хп) cz (С): Σ aJhXixk > 0. (6.3)
у, k=.\
Таким образом, отвечающая неотрицательному оператору А
эрмитова матрица (ajk)Jtk=\ удовлетворяет условию (6.3), т. е.
для любогоп£Щ матрица (а^)1},k=i неотрицательно определена.
Легко видеть, что верно и обратное. Действительно, пусть χ =
оо Π
= Yixkek£H- Положим χ№ = Σ xkek (я£:И). Согласно (6.3)
(AxW, x^) >0 (я£И). Последовательность (χί*))^ сходится к х>
и поэтому (Αχ(η\ xW)-*(Ax, χ). Таким образом, (Ах, х) > О (χ ζ Η).
Используя известный критерий Сильвестра неотрицательной
определенности матрицы, получим, что отвечающий эрмитовой
матрице самосопряженный оператор Αζ3?(Η) неотрицателен
263

в том и только в том случае, когда все главные миноры этой
матрицы det (ар?, k=i (л£№) неотрицательны.
4. Ортопроекторы. Пусть Ра — ортопроектор на подпространство
GczH, (p.k)°? k==l — отвечающая PG матрица. Так как Pg
самосопряжен, то матрица (pJk)J k=x эрмитова. Из идемпотентности PG
следует, что
Ρ,„ = %ΡμΡΛ (/. *€И). (6.4)
(Здесь мы использовали результат упр. 6.3). Согласно теореме 5.5
любой самосопряженный идемпотентный оператор является орто-
проектором. Поэтому отвечающий эрмитовой матрице (pjk)°?,k=i
самосопряженный оператор Ρ £ 3? (Η) является ортопроектором в Η
тогда и только тогда, когда выполняется условие (6.4).
Пример 6. 1. Пусть G —конечномерное подпространство и ег, . . . , eN —
ортонормированный базис в G. Дополним его до ортонормированного базиса
(en)%L{ в Я. В таком базисе отвечающая PG матрица имеет следующий простой
вид: pLl = . . . = pNN = 1, все прочие элементы ρ β равны нулю.
5. Изометрические операторы. Пусть V— изометрический
оператор в Н. Из условия (5.5) следует, что для элементов
ортонормированного базиса (еп)п=\ в Η справедливо равенство
(Ve,, Vek) = 8ik (/, Α ζ И)· (6-5)
Используя линейность и непрерывность оператора V, легко
убедиться в том, что верно и обратное. Действительно, для х, у ζ Η
в силу (6.5) и непрерывности скалярного произведения имеем
η η η
(Vx, Vy) = lim {V ( Σ ****). V{ Σ y&)) = lim Σ 44k = (*, У).
Поскольку координаты вектора Vek являются элементами &-го
столбца матрицы (ujk)?, k=u отвечающей оператору У, то матрица
(Vjk)Jtk=\ определяет изометрический оператор в Η в том и
только в том случае, когда ее столбцы являются координатами
относительно базиса (еп)п=\ некоторой ортонормированной
системы векторов.
Замечание 6.2. Последнее утверждение справедливо и для
оператора V: #х->- Н2. В этом случае матричные элементы v\k
оператора V определяются следующим естественным образом: vjk =
= (^fe> */)з> гДе MnLu (/m)m=i — ортонормированные базисы в Н1
и Η2 соответственно, формула (6.1) имеет вид
оо
(Vx, /y)a= Σν,-kXk (/СИ; χζΗλ).
269

6. Якобиевы матрицы. Матрицу (ajk)" k=i называют якобие-
вой, если ajk = 0 при |/ — k\> 1, т. е. отличные от нуля
элементы могут находиться только на трех диагоналях: главной
(αηη)Ζ=ι и двух соседних {ап,п+\)п=л> {ап+\,п)п=\- Матрицы такой
структуры встречаются в различных задачах функционального
анализа и его приложений (подробнее об этом см. [6, 9]). Мы
рассмотрим лишь простейшие свойства якобиевых матриц.
Теорема 6.2. Якобиева матрица задает ограниченный оператор
в Η в том и только в том случае, когда ее элементы равномерно
ограничены.
Доказательство. Достаточность. Пусть sup{|a;^| |/, k£
ζ щ) = с < оо. Положим а10 = О, х0 = 0. Тогда имеем для любого
χζΗ, что (Ах, ej) = aitf—iXf-i+aiiXi + af9f+iXj+i. Поэтому
II Ах|| = ( Σ Ia/f /_i^/_i + auxi + au /+1*/+112)1/2 <:
oo oo
<(Σ|α/.Μ*/-ιΙ,),/ί + (Σΐα,Λ|·)Ι'" +
oo
+ ( Σ I a/, i+lxi+l |2)1 n « 3c || χ || (χ ζ Η),
откуда и следует требуемое.
Необходимость. Пусть Л£5*(#). Тогда | a,·* I = I (Aek, е,)К
<М**1КМН (/, *€N). ■
Замечание 6.3. Обобщенной якобиевой матрицей называют
матрицу (cifk)ftk=i9 удовлетворяющую условию: а,*. = 0, если |/ —
— k\>r, где г—некоторое фиксированное натуральное число.
Ясно, что утверждение теоремы 6.2 справедливо и для обобщенных
якобиевых матриц.
Замечание 6.4. Пусть Α £ & (Н) — оператор, отвечающий
якобиевой матрице, у которой отличны от нуля все элементы, стоящие
вне главной диагонали. Рассмотрим уравнение Ах = ζχ (ζζ (£),
т. е. такую бесконечную систему уравнений: (Ах)г = апхг +
I #12-^2 == 2Х[> \ЛХ)2 == #21 %1 ~Г ^22-^2 ~Т" #23^3 =: 2Х2> \^^/3 ==
= а32^2 + #зз*з + #34*3 = гхз> ··· Полагая д:х = Р0 (ζ) = 1,
найдем из первого уравнения х2 = (ζ — αη) · α12" = Pj (г), из второго
уравнения х3 = Р2 (ζ) и т. д. С помощью индукции легко убедиться
в том, что Рп {ζ) — многочлен от ζ степени η — 1 {η ζ ЭД).
Оказывается, что для эрмитовой матрицы {ajk)Jtk=\ многочлены P0(z),
Рг (ζ), Р2 (г), . . . образуют ортонормированную систему относительно
некоторой меры. В частности, если апп = 0, afh /I+1 = an+li n = 1/2
(я € И)> то эти многочлены совпадают с многочленами Чебышева
второго рода (подробнее об этом см. [6, 9]).
В заключение отметим связь якобиевых матриц с разностными
операциями. Пусть / = (//)/°Li—числовая последовательность.
Напомним, что правой (соответственно левой) разностью / в точке /
270

называется (Δπ/)/ = //+ι — // (соответственно (Дл/)/ = // — //-ι,
/ζ И, /о = 0). Рассмотрим две якобиевы матрицы:
Ап=
(-\
0
0
/ ι
-1
0
1
—1
0
0
1
—1
0 0...
10...
—1 0. . .
0 0 . . . х
0 0...
10...
Ад
Понятно, что (Anf)i = (Δπ/)/, (Ал/)/ = (Дл/)/. Нетрудно указать
якобиевы (или обобщенные якобиевы) матрицы, связанные с более
сложными разностными операциями. Например, для ΔΛΔΠ/ имеем
(ΔΛΔπ0/ = (Δπ/)/-
-(ΔπΟμ = //+ι - fi - if I - //-О = //+i -
— 2/7 + fi-u т. e. aJf = —2, аж,, = au/+i = 1 (/ £ И).
УПРАЖНЕНИЯ
6.4. Указать условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
матрица (M/fe)yjfe=i определяла унитарный оператор в Н.
6.5. Пусть г, р£№ фиксированы. Найти обобщенную якобиеву матрицу,
связанную с разностными выражениями Δ£ · Aj, Δ£ . ΔΓΠ.
6.6. Доказать, что оператору умножения на независимую переменную
(Αχ) (ή = tx (/), а: 6 ^2 ([—1»П) в базисе полиномов Лежандра (см.
§ VII. 10) отвечает якобиева матрица.
Указание. Для любых трех последовательных полиномов Лежандра
справедливо следующее соотношение: (п + 1) Ln+1 (t) — (2/2 + 1) tLn (t) +
+ azL„_1 (0 = 0 (/igN, fg[-l, 1]).
§ 7. ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА
1. Абсолютная норма.. Пусть Η— сепарабельное гильбертово
пространство, (en)Z=\, (fn)n=\— Два ортонормированных базиса в Я.
Предположим, что оператор Α £ 5? (Η) удовлетворяет условию
ΣΙΗ/*, */)Ι2<°ο. (7.1)
Поскольку (Afk, ej) (j £Щ) суть коэффициенты Фурье вектора Afk
оо оо
в базисе (еп)п=и то Σ \(Afk, e})\2 = Σ ||i4/ft||a и, следовательно,
левая часть (7.1) не изменяется при замене базиса (en)Z=u
Кроме того, рассматривая скалярные произведения (Afk, ej) =
2=5 (fk* A*ej) как коэффициенты Фурье вектора A*ej в базисе (fn)n=u
271

получим, что Σ II A*ej ||2 = Σ I (Afk9 ef) |2. Таким образом, левая
/=i j,k=\
часть (7.1) не зависит от выбора базисов (fn)Z=i и (£rt)~=i, а
зависит лишь от оператора А. Вышесказанное влечет корректность
следующего определения.
Оператор Αζ£?(Η) называется оператором Гильберта—
Шмидта, если для некоторого (а значит, и для всякого) орто·
нормированного базиса (en)n=i сходится такой ряд:
00 ОО
Σ\\Αε,ψ= Σ |a/ft|2<°°. (7.2)
Совокупность всех операторов Гильберта—Шмидта, дейст-
ОО
вующих в Н, обозначают S2(H). Величину (Σ II ^/Н2)1/2
называют абсолютной нормой (или нормой Гильберта—Шмидта)
оператора А и обозначают \А\.
Очевидно, что S2(#)=£ 0. Действительно, любой оператор,
у которого лишь конечное число матричных элементов щь отлично
от нуля, принадлежит S2 (Η). Ясно также, что S2 (Я) не совпа-
ОО
дает с &(Н). Так как Σ U £/||2 = оо, то й $ S2 (#). Другие при-
/=ι
меры операторов Гильберта—Шмидта, свойства множества S2(H)
и | · I приведены в упражнениях.
Отметим, что операторы Гильберта — Шмидта часто называют
квазиядерными операторами.
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы
оператор, соответствующий а) диагональной; б) якобиевой матрице, являлся
оператором Гильберта — Шмидта.
7. 2. Доказать, что (V Α ζ S2 (Я)): || А || < | А |. Для каких операторов
имеет место знак равенства?
7. 3. Доказать, что Α ζ S2 (Я) в том и только в том случае, когда Α* ζ S2 (Я)
и|Л| = |Л*|.
7.4. Доказать, что (V A£S2(H)) (V С ζ 2 (Я)): СА, AC£S2 (Я), причем
верны неравенства | СА | <: || С || . | А |, | АС | < || С \\. | А |,
7. 5. Доказать, что: а) 52 (Я) — линейное пространство; б) 52 (Я) 3 A i->- | A \
является нормой; в) пространство 52 (Я) с нормой | · | изометрически изоморфно
пространству /2.
7. 6. Зафиксируем в Я ортонормированный базис (ert)/£L=i и положим для
ОО
Л, B£S2(H)(A, В) = £ aJkbJk, где (α/Λ)~Λβ1, (6^)^ — матрицы, отвеча-
ющие операторам Л, В в базисе (б^)^. Доказать, что: а) (.,.) является
скалярным произведением на 52 (Я); б) 52 (Я) — гильбертово пространство; в)
52 (Я)—сепарабельно, ортонормированный базис в S2 (Я) образуют операторы
Лтп (т, п£Щ> действующие по формуле Атпх = (х,еп) fm, где (ert)£Li,
(/m)m=i — некоторые ортонормированные базисы в Я.
272

Замечание 7.1. Из результатов упр. 7.5, а) и 7.4 следует, что
S2 (Я) является двусторонним идеалом в алгебре з? (Я). (Напомним,
что линейное множество f es R называется двусторонним идеалом
алгебры R, если (Υχ £ R) {Vy £ f)\ xy, yx^f.) Из результатов упр.
7.6 б) и 7.2 следует, что 52 (Я) — подпространство в g (Я).
Замечание 7.2. Можно ввести понятие абсолютной нормы для
операторов, действующих из Ях в Я2. Именно, пусть Α £ 9? (Hlt
Я2), (еп)п=\, (fn)n=\—ортонормированные базисы в Нг и Я2
соответственно. Абсолютной нормой оператора А называется величина
M| = (I|(^(//)l2)1/2 = (i]|a/ft|2)1/2.
Если \ А | <ро , то А называется оператором Гильберта—Шмидта.
Совокупность всех операторов Гильберта—Шмидта,
действующих из Нг в Я2, обозначается символом S2 (Яь Я2). Предлагаем
читателю убедиться в том, что результаты упр. 7.2,7.5, 7.6
имеют место и для множества S2(Hlt Я2).
2. Интегральные операторы Гильберта — Шмидта. Пусть Я =
= L2 (R, άμ) = L2, К (t, s) {t, s£ R) — измеримая функция двух
переменных. Выясним сначала, при каких условиях интегральный
оператор с ядром К (Af) {ή = \ К (t, s) f (s) άμ (s) непрерывно дей-
R
ствует в L2. В примере 1.4 было показано, что достаточным, условием
непрерывности А является принадлежность К пространству
L2 (R X R,d^X μ)). В упражнении 6.1 сформированы
необходимые и достаточные условия для случая R = {1, 2, ...}, μ ({/г}) = 1.
Действительно, в этом случае L2 = l2 и интегральный оператор А
с ядром К имеет такой вид:
~ def ~
(Ах) (/) = Σ К (/, k) xk = Σ a>ikXk·
По аналогии с доказательством результата упр. 6.1 нетрудно
показать, что для непрерывности интегрального оператора с ядром
К необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) для любой функции x£L2 интеграл f K(t, s)*(s)^i(s) =
R
= y(t) сходится для μ-почти всех t£R;
2) (Vx£L2):y£L2;
3) (3c>0)(Vx£L2):\\y\\<c\\x\\.
Доказательство этого утверждения, равно как и доказательство
аналога упр. 6.2, предоставляем читателю.
В дальнейшем предполагаем, что пространство L2 сепарабельно.
Лемма 7.1. Пусть (en(t))n=i, (fn(t))n=i — два ортонормиро-
ванных базиса в пространстве L2(R, άμ). Система (£/(0 / Л s))/!fc=i
является ортонормированным базисом в пространстве L2(R χ R,
ά(μΧμ)).
273

Доказательство. Из равенства
\ei{t)fk{s)en(t)fm{s)d{\iX]x){U s) = \ej{t)iJt)X
RxR R
Χ άμ (0 J fk (s)Tjs) άμ (s) = 6!ffikm
R
следует, что (ej (t) fk (s))~tk=\ — ортонормированная система функций.
Пусть функция h£L2(Rx R, ά(μΧ μ)) такова, что (V/, &£И):
:h ± ej(t)fk(s). Покажем, что h = О (modμ Χ μ), откуда и
следует требуемое. Имеем
о = (Л, *//*)β $ (ίΛ(ί' s)^}ώμ(s))^d|4(i)' (7,3)
Положим hk(t)= \ h(t, δ)/^(δ)ίίμ(δ) (&£И). Функция hk принад-
R _
лежит L2 как значение на функции fk ζ L2 интегрального оператора
с ядром /ι, интегрируемым с квадратом по мере μ χ μ (ем.
пример 1.4). Из (7.3) следует, что все коэффициенты Фурье hk в
базисе (*/ (t))JL\ равны нулю. Поэтому (Vk £ Щ): hk (t) = 0 (mod μ).
Положим Rk = {t$R\hk(t) = 0} (А€И). Тогда μ(/?\/?Λ) = 0
(£(ЕИ)· Таким же свойством обладает множество Я0 = {^£:#|
[ I h(t> s) \2άμ (s) < oo}. Это следует из сходимости интеграла
f (f I h (t, s) \2άμ (s) \ άμ (t) = \\ h ||2. Рассмотрим множество Q = Q Rk.
Ясно, что μ^\0) = 0. Далее, для любого i£Q все hk(t) равны
нулю, т. е. коэффициенты Фурье функции h(t, «)£L2(J?, άμ)
в базисе (fk{s))k=i равны нулю. Таким образом, для t£Q функция
h(t, s) = 0 (mod μ), т. е. h = 0 (mod μ Χ μ). ■
Теорема 7.1. Интегральный оператор в L2 является
оператором Гильберта—Шмидта в том и только в том случае, когда
его ядро K£L2(R χ R, ά(μχ μ)). При этом \ А | = |[ Κ ||.
Доказательство. Пусть (ef(t))JL\ — ортонормированный
базис в L2. Найдем матричные элементы оператора А. Имеем
fl/ft = (Aek, ej) = J (J К (t, s) ek (s) άμ (s)) erf) άμ (t) =
R R
= J/C(i, ^/(<)^)ί/(μΧμ)(<, S) (/, A€N).
ЯхЯ
Согласно лемме 7.1 система (£/(/) £fe (s))/!fc=»i является ортонорми-
рованным базисом в L2(R χ Rf ά(μ Χ μ)). Если K£L2(R χ R,
ά(μΧ μ)), то в силу равенства Парсеваля
ΙΙ#ΙΙ2 = Σ|α/Η2<°ο.
274

Обратно, если A£S2(L2), то |Л|2 = Σ |α/*|2 < °°, откуда сле-
дует принадлежность К пространству L2(R χ /?, rf (μ Χ μ)). ■
Замечание 7.З. Оказывается, что интегральными операторами
Гильберта—Шмидта исчерпывается весь класс S2 (L2 (R, άμ)).
Действительно, пусть Л— оператор Гильберта—Шмидта в L2(R, άμ).
оо
Положим K(t, s) = Yl(Aek, ej)ej(t)ek(s), где (ef(t))]Li — ортонор-
мированный базис в L2 (R, άμ). Предлагаем читателю проверить,
что а) этот ряд сходится по норме L2(R χ Ry ά(μ Χ μ)); 6) ||/(|| =
= |Л|; в) {Vf£L2(R, άμ)) :(Af)(t) = J K(t, 8)}(8)άμ(8).
R
УПРАЖНЕНИЯ
7. 7. Пусть Αζ S2 (L2 (R, άμ)), К — его ядро. Доказать, что ядро K(n) (s, t)
оператора Ап удовлетворяет оценке || К^ \\< \\ К II п.
7. 8. Доказать, что: а) функции sh t, eint (η £ Έ) образуют ортогональный
базив в Соболевском пространстве W\ ([— π, π]) (см. § VI.8); б) оператор
вложения W\ ([—π, π]) 3 х ι^>~Οχ = χζ L2 ([—π, π]) является оператором
Гильберта— Шмидта.
7.9. Оператор Αζ9? (Я) называется ядерным, если он имеет вид конеч-
п
ной суммы А = J] B^Cfo, где Blt..., £„, Clt... , Cn£S2 (Я). Совокупность
k=\
всех ядерных операторов в Я обозначим символом SL (Я). Доказать
утверждения: а) Sx (Я) czS2 (Я); б) 5Х (Я) двусторонний идеал в 5" (Я); в) Л ζ
ζ 5Х (Я) -*=► Л* ζ Sj (Я); г) если Л ζ S± (Я) и (е/1)^=1 — некоторый ортонормирован-
оо оо
ный базис в Я, го J] | (Ле^, в^)|<оо, причем выражение Тг (Л) = J] (Л^,
£=1 /г=1
ert), называемое следом оператора Л, не зависит от выбора базиса; д) Л£
£ 5Х (Я) тогда и только тогда, когда Л = ВС, где Б, С £ 52 (Я); е) если Л > 0, то
A^Sl(H) тогда и только тогда, когда для некоторого ортонормированного
оо
базиса (еп)^{ ряд £ (Лб„, еп) < оо.
я=1
§ 8. СПЕКТР И РЕЗОЛЬВЕНТА ЛИНЕЙНОГО
НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА
Напомним определения некоторых понятий линейной алгебры.
Рассмотрим в л-мерном линейном пространстве Ε линейный
оператор Л, пусть (ajk)j,kL\ —его матрица. Ненулевой вектор φ ξ£
называется собственным вектором оператора Л, отвечающим
собственному значению λ ζ (С, если Л φ = λφ. Совокупность всех
собственных значений оператора Л называется спектром оператора Л.
Спектр оператора Л совпадает с множеством корней {λχ, .. . , %m}
(m <: η) характеристического уравнения det {ajk — λδ/ιΟ/,Λ-ι = 0.
Однородное уравнение (Л — λβ) φ = 0 имеет нетривиальное
решение только для λ = λ^ (k = U · · · » m). Если ζ § {λχ, .. ., λ^}, το
Кег (Л — zfl) «= {0} и оператор Л — ζ Ц. обратим.
276

Перейдем к обобщению этих понятий на случай
бесконечномерных линейных пространств. Пусть Ε — линейное нормированное
пространство, А — линейный непрерывный оператор в нем. Как
и в случае конечномерного Е> ненулевой вектор φ £ Ε назовем
собственным вектором оператора А, отвечающим собственному
значению λ £ (С, если Л φ = λφ. Однако определение спектра оператора
в конечномерном пространстве не допускает подобного прямого
переноса на случай aim Ε — оо. Как показывает следующий
пример, в бесконечномерных пространствах существуют операторы, не
имеющие собственных значений.
УПРАЖНЕНИЯ
Пример 8.1. Пусть Ε =■ L2 ([α, b]). Рассмотрим в Ε оператор Л
умножения на независимую переменную: (Ах) (t) = tx (t). Покажем, что А не имеет
собственных значений. Действительно, пусть ненулевая функция φ ξ
6 L2 ([α, b]) удовлетворяет уравнению Лср = λφ. Это означает, что для т -
почти всех t 6 [β, b] (t — λ) φ (/) = 0. Так как первый множитель отличен
от нуля при ^=τ^λ, то с необходимостью φ = 0 (mod m). Следовательно,
оператор А не имеет собственных значений.
8.1. Доказать, что рассмотренный в примере 1.2 оператор умножения на
функцию α £ С ([а, Ь]) но имеет собственных значений, если α отлична от постоянной
8.2. Пусть А — оператор в /2, действующий по формуле (Ах)п =«=
= п"ххп (п 6 Ы). Найти собственные значения и собственные векторы
оператора Л. Показать, что нуль не является собственным значением оператора Л,
однако оператор Л необратим.
8.3. Найти собственные значения и собственные функции оператора
(Ах) (t) = χ[0>1] (/) χ (t) в L2([-l, 1]).
Определение 8.1. Пусть Е — линейное нормированное
пространство, Αζ&{Ε). Регулярной точкой оператора А
называется ζ £ (С такая, что оператор А — zfl обратим. Дополнение к
множеству ρ (А) всех регулярных точек оператора А называется спектром
оператора А и обозначается S (А).
Если Ε — конечномерно, то обратимость оператора А — zfl
равносильна тому, что Кег (А — ζβ) = {0}. Поэтому в случае dim Ε <
<С оо точка λ входит в 5 (Л) в том и только в том случае, когда
имеет ненулевые решения уравнение {А — λ^) φ = 0. Таким
образом, в случае dim Ε < оо определение 8.1 спектра оператора А
совпадает с известным из линейной алгебры определением спектра как
совокупности всех собственных значений оператора.
Пример 8. 2. Найдем спектр оператора Л из примера 8. 1, Пусть ζ(£ [α, b].
ь
Тогда для ^α2 имеем || (Л — ζ 11.) χ \\ 2 = \ \t — ζ \ 2 \x (t) | 2 dt > d2 || χ || 2,
а
где d>0 — расстояние от ζ до [а, Ь]. Очевидно, что функции χ (t), x (t)/(t — ζ)
одновременно принадлежат или не принадлежат L2 ([a, b]). Поэтому 01 (А—
— 2U) = L2 ([я, b]). Применяя теорему 3. 1, получим, что оператор Л —гЦ.
обратим, т.е. z£p (Л). Если ζ £ [α, b], то 31 (A —z JL)^L2 ([α, b]).
Действительно, χ (i)sl не входит в Bl (A —z U), поскольку функция (t—z)'1^^-
Следовательно, 5 (Л) = [а, Ь].
Теорема 8.1. Спектр линейного непрерывного оператора А
является замкнутым подмножеством круга {z£(C | [ ζ \<\\А\\}=В\\а\\{0).
276

Доказательство. Покажем, что внешность круга Ъца\\(0)
содержится в ρ (Л). Пусть | ζ | > || Л [|. Тогда А — ζβ =— ζίй ),
где оператор —А имеет норму меньше единицы. Согласно теореме
3.2 оператор £ Л, а следовательно, и Л — гЦ обратим, т.е.
ζ является регулярной точкой оператора Л.
Покажем, что ρ (Л)— открытое множество. Пусть ζ0—
регулярная точка. Докажем, что она является внутренней точкой
множества ρ (Л). Для ζ £ (£ рассмотрим оператор Л — zj[= A — z0fl —
— (ζ — z0)fl. Оператор Л — z0fl обратим, и если ||(z—z0)fl||<
<||(Л — ζ^)-1!!-1 =г, то согласно теореме 3.3 обратим и
оператор Л — zft. Таким образом, шар Br(zQ) с- ρ (Л). ||
Замечание 8.1. Нормы операторов (Л — zfl)-1 равномерно
ограничены при z£Br(z0). Действительно, из равенства (Л — z0{L)(u—
— (ζ — ζ0) (Л — ZoiL)-1) = A — zQ следует в еилу результата упр. 3.2
и неравенства (3.1), что ||(Л — zfl)-11| < ||(Л — ZqU)-1 || ||(й — (ζ —
— z0)(A — ZqH)"1)"1!!. Отсюда, в силу результата упр. 3.1, следует,
что
Где с =s || (Л — ZqH)-1!!. Подобную оценку можно получить и
другим способом, используя результат упр. 3.3.
Определение 8.2. Пусть А£&(Е)У ζ— его регулярная
точка. Оператор (Л — zfl.)-1 называется резольвентой оператора А
и обозначается Rz или RZ(A).
Изучим свойства резольвенты.
Теорема 8.2. Пусть zv z2 — две регулярные точки оператора
А. Справедливо следующее тождество Гильберта для
резольвенты оператора А:
/?*-*,. = (*!-«,) *Λ· (8.2)
Доказательство. Рассмотрим очевидное равенство (Л —
— z2u) — (Л — zxfl) = (z1 — z2)fl. Умножая его слева на RZl,
получим RZx (Л — г2Д) — 4L = (*i — z2) #zt. Умножая полученное ра«
венство справа на /?Zjs, приходим к (8.2). ■
Следствие 8.1. В условиях теоремы 8.1 операторы RZt и RZi
коммутируют.
Действительно, из тождества Гильберта следует, что RZlRz2 =
= (zi-z,)"1^ - Rz,) = (га -Ζι)-1^, - RzJ = RztRtl, т. е. [RXl,
Rz2] = 0. ■
Теорема 8.3. Операторнозначная функция
p(A)Bzi-+Rz(A)£!?(E) (8.3)
непрерывна на ρ (Л).
Доказательство. Из тождества Гильберта следует, что
\\Rz-Rz0\\<\z-Zo\\\Rz\\\\Rz0\\.
277

В силу (8.1) для ζ, достаточно близких к г0, справедлива оценка
\\Rz-Rz0\\<\z-z0\.c*(l-\z-z0\c)-\
Поэтому Rz =£ RZo при ζ -> ζ0. α
Теорема 8.4. Операторнозначная функция (8.3) имеет
производную в каждой точке ζ £ ρ (Л), т.е. существует предел по
clef
норме пространства & (Е) lim /r1 {Rz+h — Rz) = Rz (ζ ζ ρ (Α)).
Доказательство. Из тождества Гильберта следует, что
разностное отношение /г1 (Rz+h — Rz) равно Rz+hRz- Последнее
выражение в силу теоремы 8.3 стремится по норме £?(Е) к R22 при /ι-»
-» 0. Таким образом, для любой регулярной точки г существует
Rz = Rz* И
Замечание 8.2. Как известно, числовая функция (С =э G9 ζ/-*/ (ζ)£
£ (С, имеющая производную в каждой точке области G, называется
аналитической на G. Естественно назвать аналитической на G опе-
раторнозначную функцию (С =э G Э z ι-*· ί1 (г) ζ ^ (£"), имеющую
в каждой точке области G производную F (z) =lim ft-1 (f (г +
+ h) — F (z)) (предел по норме 3? (Ε)). Тогда утверждение теоремы
8.4 формулируется так: резольвента линейного непрерывного
оператора является операторнозначной аналитической функцией на
множестве регулярных точек оператора.
Замечание 8.3. Пусть G Э zi-> F (ζ) ζ & (Ε) —
операторнозначная функция. Положим для χ ζ Ε, Ιζ Ε' FXtl{z) = I (F (ζ) χ). Если
F аналитична на G, то таким же свойством обладает и числовая
функция FX)l (ζ) для любых χ £ Ε и / £ Ε'. Действительно, для
ζ, ζ + h ζ G имеем
I (Fx,i (z + h)- Fx j (z)) = / ([{ (F (z + h)-F (z))]x).
Выражение в квадратных скобках при h ->■ 0 сходится по норме
& (Е) к F' (z). Так как / — непрерывен, то существует производная
ΡχΛ (.) = / (F (.) χ). Интересно, что справедливо и обратное
утверждение: если для всех χ ζ Ε и / ζ Ε' функции FXtl {z) аналитичны
в области G, то F (z) — аналитическая в G операторнозначная
функция (см. [28]).
Теорема 8.5. Спектр любого линейного непрерывного оператора
непуст.
Доказательство. Предположим противное. Если 5 (А )=
= 0, то ρ (А) = (С и согласно теореме 8.4 Rz является
аналитической на (С, т. е. целой функцией. Покажем, что sup {\\RZ (A)\\ \ z £
Поскольку R2 (A) — непрерывная функция на (С, то такой же
будет и функция (СЭ *1-Ч|/?2||. По теореме Вейерштрасса
функция / (г) = || Rz || ограничена на круге Л2|/л1|(0). Для г, лежащих
вне этого круга, имеем
И Д. II
1(4-1
= Ζ
Α \-ι
ι-ί)
<
278

< (2 II Л ID"1 (l-'{т]11)"^ ИГ1. (8.4)
Таким образом, sup {|| Rz \\ \ ζ ζ £} = d < оо. Заметим, что из (8.4)
следует, что при | z | > 2 || А || || Rz ||< 2 | z |"\ т. е. || Rz \\ -> О при
|z|-*oo.
Пусть χζΕ, ΙζΕ'. Рассмотрим числовую функцию fx,i(z) =
= l(Rzx). Функция fxj является целой. Кроме того, из
неравенства | fXti (ζ) | « || Ζ || || Rzx \\<-d-\\1\\-\\х\\ следует, что функция fxJ
ограничена на (£. Согласно теореме Лиувилля любая ограниченная
целая функция является постоянной, так что fx,i(z) = c (z£(C). Из
Hm || Rz || = 0 следует, что fxj (z) = 0 (ζ'£ (β). Таким образом, имеем
(Vx£E)(Vl£E')(Vz££)il(Rzx) = 0. (8.5)
Это невозможно, поскольку из (8.5) следует, что (А — zft)"1* = О
(ΥχζΕ), т. е. (А — zfl)""1 = 0, что абсурдно. ■
УПРАЖНЕНИЯ
8.4. Доказать следующие утверждения: а) если λ — собственное значение
оператора Л £ 9? (Ε), то λη — собственное значение оператора Ап (η £ Ν);
б) если λ — собственное значение оператора Л2, то У λ или—У λ является
собственным значением оператора Л; в) S (Л2) = {λ2 | λ £ S (Л)}.
8.5. Найти спектр и резольвенту операторов из упр. 8.1 — 8.3, 4.4 а),
8.6. Пусть (ttn)jfL{ — фиксированный элемент из 1^. Найти множество
собственных значений, спектр и резольвенту оператора /2 Э х ■->- Ах = (а^,
а2А:2, . . .).
8.7. Доказать, что любое непустое компактное множество может быть
спектром некоторого оператора.
8. 8. Пусть Л £ 2 (£) обратим. Доказать, что S (А'1) = {λ"11 λ g 5 (Л)}.
8.9. Пусть Α, Βζ&(Е). Доказать, что ненулевые элементы 5 (АВ) и
5 (ВА) совпадают.
8.10. Пусть Αζ3?(Ε), λ£ Си существует такзя последовательность
(xn)%L\ d Е, что || хп || = 1 и Ахп — λχη -»■ 0. Доказать, что λ £ 5 (А),
8.11. Пусть Я— гильбертово пространство, Αζ3?(Η). Доказать, что: а)
5 (Л*) = {λ | λ ξ 5 (Л)}; б) если Л = Л*, то S (Л) <= [— || Л || , || Л || ]; в) если
Л>0, то S (Л) ξ [0,|| Л ||].
8. 12. Пусть ί/ — унитарный оператор в Я. Доказать, что 5 (U) ^ {λ £ (D I
|λ| = 1>.
8. 13. Показать, что спектр ортопроектора Ρ в Я, отличного от 0 и Ц,
совпадает с {0, 1}.
8.14. Пусть Ην #2 — гильбертовы пространства и^/^(Я1·), ί = 1,2.
Операторы Лг и Л2 называются унитарно-эквивалентными, если Лг = U~1A2Ut
где U \ Нг-*~ Н2 — изометрический оператор с £R, (U) — Я2. Доказать, что
5№)=SM2).
8. 15. Доказать, что спектр оператора /2Э х \->~Ах = (0, xlt х2, .. .)
совпадает с {룩||λ| <1}.
8. 16. Доказать, что спектр оператора, действующего в L2 (IR) по закону
(Αχ) (ΐ) =5 χ (t + s), где s £ IR фиксировано, совпадает с {λ £ С 11 λ | == 1},
8.17. Пусть Αζ9! (Я) удовлетворяет соотношению Ап + ολΑη~χ + . .,+
-j- crtu = 0, где Ci, .. ., crt— заданные комплексные числа. Если λ^5 (Л), то
%п + ^λ""1 + . ♦»+ сп =^ 0. Доказать, Верно ли обратное утверждение?

ГЛАВА IX. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
УРАВНЕНИЯ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
В этой главе изучается важный класс линейных непрерывных
операторов — компактные (или вполне непрерывные) операторы. С одной стороны,
компактные операторы интересны тем, что они наследуют многие свойства
операторов в конечномерных пространствах. С другой стороны, компактными
являются важные в приложениях операторы, в частности интегральные
операторы с «достаточно хорошими» ядрами.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА КОМПАКТНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
Определение 1.1. Пусть ЕЪЕ2 — линейные нормированные
пространства. Линейный оператор Αι Ε1->Έ2 называется
компактным у если он отображает всякое ограниченное множество
пространства Ег в предкомпактное множество пространства Е2.
Совокупность всех компактных операторов, действующих из Ехв Е2,
обозначается символом % (Еи Е2) ($ (Е) — в случае, когда Е1 = Е2 = Е).
Замечание 1.1. В силу линейности оператора А предкомпакт-
ность образа любого ограниченного множества следует из предком-
пактности образа единичного шара Вг (0) сз Ег.
Замечание 1.2. Компактный оператор переводит единичный шар
Вг (0) в предкомпактное, а следовательно, ограниченное множество.
Поэтому любой компактный оператор ограничен, т. е. ё (Е19 Е2) с
с: g? (El9 Е2). Однако свойство компактности линейного оператора
является, вообще говоря, более сильным, чем непрерывность, что
отражено в другом названии компактных операторов — вполне
непрерывные операторы. Примером непрерывного оператора, не
являющегося компактным, может служить единичный оператор в
бесконечномерном пространстве Е. Действительно, он отображает
единичный шар на себя, а В1(0) в случае dim Ε = со не предком-
пактно.
Замечание 1.3. Пусть Α £ % (El9 Е2). Если (хп)п=\ ^ Ег —
ограниченная последовательность, то из последовательности (Αχη)Ζ=\
можно выделить сходящуюся в Е2 подпоследовательность.
Предлагаем читателю проверить, что оператор А \ Е1 -> Е2У
переводящий любую ограниченную последовательность в
последовательность, содержащую сходящуюся подпоследовательность, является
компактным.
Рассмотрим несколько примеров компактных операторов.
ПРИМЕРЫ
1.1. Пусть Е2 = ©W. Так как любое ограниченное подмножество С# пред-
компактно, то каждый оператор из 2 (Ev C#) является компактным.
280

1.2. Оператор Αζ2 {β1% Ε2) называется конечномерным, если dim ^ (Л)<
< оо. Из предыдущего примера следует, что любой конечномерный
оператор компактен. Конкретным примером конечномерного оператора является
интегральный оператор с вырожденным ядром, действующий в L (R, άμ)
или в С (Q) (это пространство ниже обозначается символом Е). Ядро К
называется вырожденным, если оно имеет вид конечной суммы
К (t, s)= j]ac(t) b£ (s), (1.1)
где a£t bi(i = 1, ..., η) — некоторые фиксированные функции из Ε. Ясно,
что область значений интегрального оператора с ядром (1.1) содержится
в линейной оболочке функций аг, ..., ап, т. е. этот оператор является
конечномерным.
1.3. Пусть Ег= Е2= С ([a, b])t A — интегральный оператор с
непрерывным ядром К (см. пример VIII. 1.3). Покажем, что А компактный
оператор. Согласно замечанию 1.1, достаточно проверить предкомпактность
множества АВХ (0). Из ограниченности оператора А следует, что функции из
множества АВг (0) равномерно ограничены, так что первое условие теоремы
Арцела выполняется. Установим равностепенную непрерывность функций
из ABt (0). Поскольку функция К равномерно непрерывна на [а, Ь] X [а, Ь],
то (V 8>0) (Я δ>0) (V s£[a, b]) (V tl9 t2e[a, b] : |^- t21< δ): | К (tlt
s) — К (t2, s) | < ε · (b — a) x. Поэтому для любой функции χ £ Вг (0) имеем
ь
I (Ax) (tj) — (Ax) (t2) \<[\K (tlt s) — K (t2, s) | | χ (s) \ ds < ε. Таким образом,
a
АВг (0)— предкомпактное множество в С ([а, Ь]) и компактность оператора А
доказана.
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Доказать, что: а) ^ (Elf E2) является линейным пространством; б)
(Υ Αζ<8 (Еъ Е2)) (V Вг£<? (Ег)) (V В2£& (E2)):ABlt B2A£<$ (Elt E2).
1.2. Доказать, что оператор умножения на независимую переменную
в С ([0, 1]) не является компактным.
1. 3. Пусть (oik)kLi—фиксированная последовательность из /^, Используя
результат упр. VII.1.5, доказать, что оператор Ιρ ^χ\-+Αχ = (ахх1} а2х2, ...)£
£1р компактен тогда и только тогда, когда Игл ап = 0.
П-+оо
Изучим основные свойства компактных операторов. Для
упрощения записи рассматриваются операторы, действующие в одном
пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Ε— банахово пространство, (Лп)~=1 —
сходящаяся по норме пространства 3?(Е) к А последовательность
компактных операторов. Тогда оператор А—компактный.
Доказательство. Пусть {хп)п=\— ограниченная
последовательность из Е. Согласно замечанию 1.3, нужно доказать, что
из последовательности (Axn)^Li можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Для доказательства этого факта применим
диагональный метод.
Поскольку оператор Аг ζ % (Ε), то из последовательности (A^x^Ui
можно выделить сходящуюся подпоследовательность (A^nij^u Так
как оператор Л2 £$(£), то из последовательности (Α2χη\)Ζ=ι можно
281

выделить сходящуюся подпоследовательность (Α2χη2)η=ι и т. д.
Рассмотрим диагональную подпоследовательность (χηη)η=ι и покажем,
что последовательность (Αχηη)Ζ=ι фундаментальна и поэтому
сходится. Заметим, что для любого k £ ^ последовательность (Akxnn)Z=i
сходится. Это следует из включения {xnrL)Z=k с: (xnk)n=i и
сходимости последовательности (Akxnk)n=i. Тогда для /п, я£ЭД имеем
II АХтт ΆΧηη || -^ || АХщщ — А^Хщпг \\ ~Г \\ А^Хщ/п — AkXnn || -f"
+ || Ахпп - Akxnn \\<\\A-Ak || (|| хтт \\ + \\ хпп ||) + || Akxnn -
-Akxmm\\<2c\\A-Ak\\ + \\Akxnn-Akxmm\\, (1 .2)
где c = sup{||*J||/ze№}.
Пусть ε>0 задано, выберем номер k0 такой, что |[Л— Л&0||«<
<ε/3£. Последовательность (Ak0xnn)Z=i сходится, поэтому, начиная
с некоторого N, \\Ак,х1Ш — Аь0хтт\\<е/3. Тогда, согласно (1.2),
|| Ахпп — Ахтт\\<.г. Таким образом, Л £$(£). Ш
Следствие 1.1. Пусть Ε — банахово пространство. с& (Е)
является подпространством в ^ (Я).
Действительно, требуемое вытекает из теоремы 1.1 и результата
упр. 1.1, а).
Замечание 1.4. Очевидно, что утверждения теоремы 1.1 и
следствия 1.1 имеют место и для операторов, действующих из Ех в Е2,
где Ε2 — банахово пространство.
Замечание 1.5. % (Е) является двусторонним идеалом в алгебре
2? (Е). Это утверждение следует из результата упр. 1.1. Отметим еще
одно следствие этого результата: компактный оператор,
действующий в бесконечномерном пространстве Е, необратим.
Действительно, в случае непрерывности Л-1 оператор А X Л-1^(£) как
произведение компактного оператора А и ограниченного оператора
Л"1. Но А А'1 = Ц., а единичный оператор не является компактным
в случае dim Ε = оо.
Теорема 1.2. Если Αζ%(Ε), то Л*£$(£')·
Доказательство. Пусть (Ιη)η=\ α Ε' — ограниченная
последовательность. Покажем, что из последовательности (Α*Ιη)Ζ=\
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Заметим, что
[| АПп || = sup {| (АПп) (у) \ | || у || = 1} = sup {| 1п (Ау) \ \ у g Sx (0)} -
= 8ир{|/п(г)||геЛ51(0)}. (1.3)
Поэтому для доказательства утверждения достаточно установить
предкомпактность множества (ln)ZL\ с: C(Q), где Q— компактное
множество (Л5!(0))~.
Проверим выполнение условий теоремы Арцела. Имеем для ηζ
6M:|'n(2)|<:||/«||||2||<^-Ci, где * = sup{||U|/ieNb ci =
= sup {|| ζ || Ι ζ £ Q}, так что функции Ιη (η ζ И) равномерно
ограничены. Равностепенная непрерывность следует из неравенства | /„(ζ^—
— ln(z2)\<c\\zi — Z2II (я Ε И; zv Z2^Q)· Таким образом,
существует подпоследовательность {lnk)k=\ такая, что || lnk — 1Пт || =
282

==тах{|/Я/г(г) —/,,т(г)| |z£Q}-*0 при k,m->oot Согласно (1.3),
это значит, что || А*1п — АЧп ||-> О при k, m->oot Таким
образом, Л* €»(£')-"■
Теорема 1.3. Пусть Я — сепарабельное гильбертово
пространство. Оператор Гильберта — Шмидта Л, действующий в Я,
является компактным у т. е. S2 (Я) s % (Я).
Доказательство. Покажем, что любой оператор
Гильберта — Шмидта является пределом равномерно сходящейся
последовательности конечномерных операторов, откуда в силу
теоремы 1.1 следует требуемое.
Зафиксируем в Я ортонормированный базис (ek)kL\. Пусть
(fl/fr)£k=i—матрица, отвечающая оператору А в этом базисе.
Определим оператор Ап следующим образом: (Anx)k = (Ax)k при 1 <
< k < η и (Anx)k = 0 при k > η + 1 (х£ Я), т. е. первые η строк
матрицы оператора Ап совпадают с соответствующими строками
матрицы оператора Л, а остальные состоят из нулей. Понятно,
что #(Лл) = л. о. (ev ..., еп), поэтому ΑηζΓβ(Η) (η £ И). Заме-
оо · ОО
тим, что А — Апа = Σ Σ I aik |2 -* 0 при п -> оо как остаток схо-
/= л+1 /г=1
00
дящегося двойного ряда ΣΙ^/λΙ2· ^о тогда и Нт||Л—Ля|| = 0,
j,k=l ггн-оо
поскольку ||Л — Лп||< А — Ап. Щ
Замечание 1.6. Если (НтЯ=оо, то S2 (Я) с: % (Я). Это
следует из сравнения условия компактности оператора, отвечающего
диагональной матрице (αΛ6/*)/^βι: Нтал = 0 (см. упр. 1.3), и уело-
k·* оо оо
вия конечности абсолютной нормы такого оператора: Σΐα*!2<
<оо. ■
В заключение докажем одно утверждение о связи между
компактностью оператора и его степеней.
Теорема 1.4. Оператор Α ζ S? (Я) компактен тогда и только
тогда, когда для некоторого η ζ И компактен оператор (А*А)п.
Доказательство. Необходимость. Если Л £ % (Я), то,
согласно теореме 1.2, Л* ζ % (Я). Используя результат упр. 1.16),
получаем требуемое.
Достаточность. Доказательство проведем в три этапа: для
п= 1, для η — 2т и для произвольного п.
1) Предположим, что Α^Α^^(Η). Пусть {xn)Z=\czH—
ограниченная последовательность, с = sup {||*я|| |я£И}. Используя
неравенство Коши—Буняковского, получим, что для п, т£ Щ
IIА (хт - хп) ||2 = (А*А (хт - хп), хт -хп) < || А*А (хп -
-хп)\\\\Хп-хт\\<^\\А*А(хп-хт)\\. (1.4)
Так как А^А ζ % (Я), то найдется сходящаяся
подпоследовательность (А*Ахп)£=\. В силу (1.4) будет сходиться и (Axrik)k=u так
что А£<в{Н).
283

2) Из свойств сопряженного оператора (теоремы VIII.4.2, VIII.4.3)
следует, что (А*А)2 «(Л*Л)* Л*Л. Поэтому
(Vm ζ И): {A*Afm = ((ЛМ)2"1"1)*(Л*Л)2т"!. (1.5)
Предположим, что (Л*Л)2т £$(#). Тогда из (1.5) в силу
доказанного на первом этапе следует компактность (ЛМ)2"1'1.
Применяя такой прием т раз, получим, что Л*Л £$(#). Поэтому по
доказанному выше Л £$(#).
3) Пусть (Л*Л )"£$(#), где η — произвольное натуральное
число. Обозначим через т наименьшее натуральное число,
обладающее свойством η < 2"\ пусть 1 = 2т — п. Тогда (А^А)2"1 = (А*А)пХ
X (А*А)1, где (А*А)п компактен по предположению, а (А*А)1
непрерывен. Поэтому (Л *Л)2/П £$(#), откуда в силу доказанного на
втором этапе следует Л £$(#). щ
УПРАЖНЕНИЯ
1.4. Может ли оператор умножения на функцию (см. пример VIII. 1.2
в С ([а, Ь]) быть компактным?
1.5. Найти необходимое и достаточное условие компактности оператора
из 9? (/2), задаваемого якобиевой матрицей.
1.6. Доказать, что интегральные операторы, введенные в упр. VIII. 1.7,
VIII.1.8, VIII.1.11, VIII.1.12, компактны.
1.7. Доказать, что для любого / £ Ζ+ оператор вложения С1+1 ([а, 6])Э
3 χ ι-*· Ο* = α: ζ С ([а, 6]) компактен.
1.8. Пусть Я -г- гильбертово пространство, Α ζ & (Н), Доказать
следующие утверждения: а) операторы Л, Л* и А*А одновременно компактны или
некомпактны; б) оператор А 6 *& (Я) тогда и только тогда, когда существует
последовательность конечномерных операторов из 9? (Я), равномерно
сходящаяся к Л; в) любой оператор А 6 9? (Я) является сильным пределом
последовательности компактных операторов.
1.9. Пусть Αζ3?(Η), (^)^j — ортонормированный базис в Я.
Предположим, что sup {|| Ах HI χ ± е& k= 1, ... , η\ \\ χ || = 1}->0 при л-> оо.
Доказать, что А£<£(Н).
1.10. Может ли компактный оператор в бесконечномерном пространстве
удовлетворять уравнению с0Ц + сгА + · · · + спАп = 0 (clt . ·. , сп £ С)?
1.11. Пусть т = 2,3, .... Привести пример оператора А £ 9! (Я) такого,
что А , ..., Ат-Щ <g (Я), Ат 6 ^ (Я).
1.12. Пусть Ε— рефлексивное банахово пространство, Α ζ 9? (Е).
Доказать, что А 6 ^ (£) тогда и только тогда, когда он переводит всякую слабо
сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.
1.13. Пусть Я — гильбертово пространство, А£9*(Н). Доказать, что
А £ % (Я) тогда и только тогда, когда для всякой слабо сходящейся к нулю
последовательности (хп)п=,\ с Η выполняется условие lim (АхП9 хп) = 0.
1.14. Доказать, что множество Μ в банаховом пространстве Ε предком-
пактно тогда и только тогда, когда выполнены условия: а) М — ограничено;
б) существует последовательность (Ап)^=х cz <g (Е) такая, что Ап 4- Д
и sup { || Апх — χ || | χ £ Μ} ->■ 0 при η -> оо.
1.15. Пусть Ε — рефлексивное банахово пространство. Используя
результат упр. VII.7.10, доказать, что 9? (Et lt) = 43 (£, /х).
284

§ 2. ТЕОРИЯ РИССЛ — ШЛУДЕРЛ РАЗРЕШИМОСТИ
УРАВНЕНИЙ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Пусть А — компактный оператор в банаховом пространстве Е,
положим Τ = А — Ц. В этом параграфе рассматриваются
следующие линейные уравнения с оператором Τ и сопряженнымч к нему
оператором Г* = А* — Ц:
Тх = у (х, у£Е), (2.1)
Тх = 0 (χζΕ), (2.2)
T*/ = m (/, m£E'), (2.3)
Г*/ = 0 (/££'). (2.4)
Пусть Ε конечномерно. Из курса линейной алгебры известен
следующий результат: уравнение (2.1) разрешимо для тех и только
тех правых частей у, которые удовлетворяют условию: / (у) = О
для всех решений / уравнения (2.4). Аналогичный результат
справедлив и для уравнения (2.3), соответствующее условие имеет вид
m (χ) = О для всех решений χ уравнения (2.2). (Это свойство
уравнений (2.1) и (2.3) называется нормальной разрешимостью.)
Известно также, что уравнение (2.1) разрешимо для любой правой части
в том и только в том случае, когда уравнение (2.2) имеет только
тривиальное решение и что число линейно независимых решений
уравнений (2.2) и (2.4) одинаково.
Оказывается, что эти результаты линейной алгебры переносятся
на случай уравнений (2.1) — (2.4) g компактным оператором Л,
действующим в произвольном банаховом пространстве. Для
интегральных уравнений, т. е. уравнений (2.1) — (2.4) с интегральным
оператором А, такие теоремы доказал И. Фредгольм. Как показал
впоследствии Ф. Рисе, основные результаты теории линейных
интегральных уравнений Фредгольма справедливы и для общих
уравнений (2.1) — (2.4).
Докажем сначала два вспомогательных утверждения.
Лемма 2.1. Пусть Τ = А — Ц, где Α £ % (Ε).
Подпространство Кег Τ конечномерно.
Доказательство. Пусть Μ σ Кег Τ — произвольное
ограниченное множество. Для любого χ £ Кег Τ имеем Ах = х,
так что оператор А переводит множество Μ в себя. С другой
стороны, в силу компактности Л множество AM предкомпактно.
Следовательно, всякое ограниченное множество Μ <з Кег Τ
предкомпактно, откуда в силу теоремы VII.1.3 следует конечномерность
подпространства Кег Т. Ш
Лемма 2.2. Область значений Я(Т) оператора Τ является
подпространством .
Доказательство. Очевидно^ что Л (Т) — линейное
множество. Необходимо доказать лишь замкнутость Μ (Τ).
Сначала покажем, что существует постоянная с, зависящая
только от Т, такая, что всякий раз, когда уравнение (2.1) разрешимо,
285

по крайней мере для одного из его решений χ выполняется
неравенство
11*11 <*Ш. (2.5)
Пусть х0 — одно из решений уравнения (2.1). Тогда любое
решение этого уравнения имеет вид χ = х0 + ζ, где ζ — решение
однородного уравнения (2.2). Покажем, что среди этих решений имеется
решение χ с минимальной нормой и что именно для него имеет
место (2.5).
Положим d = inf {|| χ \\ \ Тх = у] = inf {|| х0 + ζ || | ζ £ Кег Г},
пусть (zn)™=\ cz Кег Τ такая, что || х0 + zn\\-+ d. Так как
последовательность (||х0 -\-ζη\\)Ζ=ι имеет предел, то она ограничена. Но
тогда ограничена и последовательность (|| zn\\)n=u поскольку || гп || =
= ll(z„ + *0) — *oll< 11*0 II + 11*0 + гп\\. Таким образом, (ζχ=ι —
ограниченная последовательность в конечномерном пространстве
Кег Τ и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность (zn b)k=\- Пусть z0 = \\mzn у тогда || xQ + z0 \\ =
= lim|| xQ + zn || = d. Ho г0£КегГ и поэтому χ = χ0 + ζ0 явля-
ется решением уравнения (2.1). Таким образом, в случае
разрешимости уравнение (2.1) всегда имеет решение χ с минимальной
нормой. В дальнейшем χ называется минимальным решением
уравнения (2.1).
Покажем, что для минимального решения имеет место (2.5).
Предполагая противное, получим, что
фпШ&Уп£Я(Т)):\\хЛ>п\\уп\\, (2.6)
где хп— минимальное решение уравнения Та: = уп. Положим %п =
= РЛ"1 · *«> Άη = II *η Ι Γ1 · Уп· Очевидно, что ξη является
минимальным решением уравнения Γξ = η„. Так как
последовательность (|л)~=1 ограничена, то последовательность {Α\Χ=\ содержит
сходящуюся подпоследовательность (Л£„J^Li, пусть ξ0 = НтЛ|я .
Заметим, что ||η„|| -> 0 в силу (2.6). Поэтому переходя к пределу
в уравнении А\ч — \ч = гц при k -* оо, получим, что ξ0 = НтЦ,
и в силу непрерывности Л Л£0 = НтЛ£я . Итак, Αζ0 = ξ0,
т.е. ξ0 £ Кег Г, и поэтому \nk — ξο является решением уравнения
7ξ = η Поскольку ξ —минимальное решение этого уравнения,
то || lnk — ξ01| > || ξΠ/? || = 1, что противоречит сходимости (|„Λ)£-ι κ ξ0*
Таким образом, отношение ||3с|| /|| у\\ ограничено и неравенство
(2.5) имеет место, если положить с = sup {||£|| || у\\~г \ у£&(Т)}.
Пусть теперь дана последовательность (yn)n=i с: & (Т),
сходящаяся к у0. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности,
286

можно считать, что || уп — у0 || < 2-"-1, откуда || уп+\ — уп || < 2~п
(п£Щ). Пусть х0— минимальное решение уравнения Тх = уг и
хп — минимальное решение уравнения Тх = уп+\ — уп(п£Щ). Тогда
в силу (2.5) \\хп\\ < с\\ Уп+ι — Уп \\<ο· %~~η· Из этой оценки вы-
оо
текает, что ряд Σ х. сходится, причем для суммы χ этого ряда
имеем
η η
Тх =. Τ (lim Σ **) = lim Σ У** = lim [Уι +
/г
+ Σ (Ул+ι — №)] = lim Уп+ι = Уо-
Таким образом, у0£32(Т). Щ
Доказываемые ниже теоремы 2.1 и 2.2 называют обычно первой
и второй теоремами Фредгольма о нормальной разрешимости.
Теорема2.1. Уравнение (2.1)разрешимо для тех и только тех
у ζ Ε, которые обладают свойством: I (у) = 0 для любого решения
I сопряженного однородного уравнения (2.4).
Доказательство. Необходимость. Пусть у ζ Ε таково,
что уравнение Τ χ = у разрешимо. По определению сопряженного
оператора имеем 1(у) = I (Тх) = (Г*/) (х). Поэтому I (у) = 0 для
любого решения уравнения Г*/ = 0.
Достаточность. Пусть у ζ Ε таков, что/ (у) = 0 для любого
решения уравнения (2.4). Предположим, что уравнение Тх =у
неразрешимо, т. е.у g; Я (Т). В силу леммы 2.2 Л (Т) — подпространство. По
следствию из теоремы Хана — Банаха (теорема VII.4.1) найдется
функционал 10 £ £", равный нулю на Л (Т) и ρ (ζ/, ΊΗ (Т)) на
векторе у. Итак, (Υχ ζ Ε): (Г*/0) (χ) = /0 (Тх) = 0, т. е. 10 является
решением уравнения (2.4). Однако 10 (у) Ф0У что невозможно. ■
Следствие 2.1. Уравнение Тх= у разрешимо для любой правой
части у ζ Ε в том и только в том случае, когда Кег Г* = {0}.
Теорема 2.2. Уравнение (2.3) разрешимо для тех и только тех
т £ £", которые обладают свойством: т (х) = 0 для любого
решения χ однородного уравнения (2.2).
Доказательство. Необходимость. Пусть т ζ Ε' таков,
что уравнение Г*/ = т разрешимо и пусть χ ζ Кег Т. Тогда т (х) =
= (7*0 (х) = I (Тх) = 1(0) = 0.
Достаточность. Пусть m £ £" таков, что (Vx ζ Кег Τ): т (χ) =
= 0. Построим решение I уравнения Т*/ = т. Для этого на
подпространстве Л (Т) определим функционал /0, полагая /0 (у) =
= m (χ)у где χ — один из прообразов элемента у при отображении
Т. Хотя χ по у определяется неоднозначно, определение
функционала /0 корректно. Действительно, если х1 — другой прообраз
элемента у, то Τ (χ — χτ) = 0 и поэтому m (хг) = m (χ + (хг — χ)) = m (x).
Линейность функционала 10 следует из линейности т.
Ограниченность /0 устанавливается так. Как было установлено при
доказательстве леммы 2.2, для минимального решения χ уравнения Тх =у
287

имеет место оценка (2.5). Тогда получаем, что | 10 (у)\ = \т(х) | <
< II mll|l *|| <с ' \\т\\ · \\У\\> т· е· Ό ограничен.
Применяя теорему Хана — Банаха, продолжим функционал
/0, заданный на подпространстве Μ (Г), и пусть ΙζΕ' —
продолжение 10. Имеем тогда для χ £ Ε : (Τ*Ζ) (я) = Ι (Τχ) = Ζ0 (7*) = т (х),
т. е. / является решением уравнения (2.3). ■
Следствие 2.2. Уравнение T*l = m разрешимо для любой
правой части m £ Ε' в том и только в том случае, когда Кег Τ = {0}.
Замечание 2.1. Если £ — рефлексивное пространство, то в
силу равенства (Г*)* = Τ утверждение теоремы 2.2 является прямым
следствием теоремы 2.1. Щ
Следующая теорема показывает, что между разрешимостью
однородного и неоднородного уравнений в одном и том же
пространстве также существует тесная связь.
Теорема 2.3. Для того чтобы уравнение (2.1) было разрешимо
при любой правой части у ζ Ε, необходимо и достаточно, чтобы со-
ответствующее однородное уравнение (2.2) имело лишь тривиальное
решение. В этом случае решение уравнения (2.1) определяется
однозначно и оператор Τ обратим.
Доказательство. Необходимость. Положим G„ = KerT/z
(я€М). Так как из Тпх = 0 следует, что Тп+1х = 0, wGn^Gn+\.
Пусть уравнение (2.1) разрешимо при любом у. Предположим,
что однородное уравнение (2.2) имеет ненулевое решение х1и Пусть
х2 — решение уравнения Тх = хх и, вообще, Xk+i — решение
уравнения Тх = xk (k£ И). Имеем Txk = Xk-u T2xk = xk_2, . . . ,
Tk-[xk =хгФ0, в то время как TkXk = Тхх = 0. Поэтому Xk£Gk\
\Gfe_i, т. е. каждое подпространство Gk-i является частью
следующего подпространства Gk. Тогда по теореме VII. 1.1 (о почти
ортогональном векторе) в Gk найдется элемент ун такой, что ||^|| =
= 1 и (V*€Gft-i):||ifc —*||>1/2. Так как \\yk\\ = ЦАШ'и Αζ
£$(£), то последовательность (AyfikLi содержит сходящуюся
подпоследовательность. Кроме того, рассмотрим два таких элемента
уп и ум для η > т. Поскольку Тп-1 (ут + Туп — Тут) = Тп~хут +
+ Тпуп — Тпугп = 0, то ym + Tyn — Tym£Gn-t и поэтому
II Луп - Аут || = || уп - (ут + Туп - Тут) || > 1/2.
Таким образом, наше предположение о том, что разрешимость
уравнения (2.1) для любой правой части совместима с наличием
ненулевого решения у уравнения (2.2), неверно.
Достаточность. Пусть уравнение (2.2) имеет только
тривиальное решение. Согласно следствию 2.2, уравнение T*l = m
разрешимо для любой правой части m ζ Ε'. Так как Л* ζ % (Ε'), то в силу
необходимости условия доказываемой теоремы уравнение (2.4) имеет
только тривиальное решение. Но тогда в силу следствия 2.1
уравнение (2.1) разрешимо для любой правой части и достаточность
доказана.
Условие теоремы Кег Τ = {0} обеспечивает существование
алгебраического обратного 71"1 к оператору Т. Единственное решение
288

χ = т~гу уравнения (2.1) является в то же время и минимальным,
так что в силу (2.5) \\Т"ху\\ <с\\у\\, т.е. Τ-χξ&(Ε). ■
Теорема 2.4. Однородные уравнения (2.2) и (2.4) имеют
одинаковое конечное число линейно независимых решений, т.е. dim Кег Т=
= dim КегТ* <оо.
Доказательство. Конечномерность Кег Τ и Кег Т*
установлена в лемме 2.1. Если Кег Τ = {0}, то в силу теоремы 2.3
уравнение (2.1) разрешимо для любой правой части, откуда,
согласно следствию 2.1, Кег Т* = {0}. Так что в этом случае dim Кег Τ =
= dim Кег Τ* = 0.
Рассмотрим общий случай. Пусть х19 ..., хп — базис
подпространства КегТ, fv . . . , fp—базис подпространства Кег Г*.
Используя следствие теоремы Хана—Банаха (см. упр. VII.4.8),
построим набор функционалов φΐ9 ... * φη, биортогональный к х1у
.. ., хП9 т. е. φ, (χ/) = 6// (/, / = 1, ..., /г), и набор элементов
zl9 . .. , ζρ пространства Е, биортогональный к fl9 . . . , fp.
Предположим, что η < р. Определим оператор В £ & (Е)
следующим образом:
η
Вх = Ах + Σ 4>k (х) *k (x 6 Ε). (2.7)
Этот оператор компактен как сумма компактного и конечномерного
операторов. Покажем, что уравнение Вх — χ = 0 имеет только
нулевое решение.
Действительно, пусть х0 — решение этого уравнения. Поскольку
/а € КегТ* и fk(zt) = 6tk, то
0 = fk (Bx0 — *0) = fk (Тх0 +Σ Φί (*Ь) h) =*
= (T*fk) (χο) + Σ φ; (χο) fk (*,) = Σ βΛΦί{χ0) (* = ι,...» ρ). (2.8)
i=l t=l
откуда следует щ (*ο) = 0 (А = 1, ... , /ζ). Поэтому Вх0 — Л#0 и,
значит, #0 ζ Кег Т. Поскольку хъ . . . , *я— базис в КегТ, то#0 =
η
— ΥΛΐΧρ где It =* φ, (*ο). Ηο Φ/(*ο) = 0 (ί = 1 /г) и потому
х0 = 0.
Поскольку уравнение Вх — χ = 0 имеет лишь нулевое решение,
то, согласно теореме 2.3, уравнение Вх — χ = у разрешимо для
любой правой части, в частности для у = ζη+1. Пусть х' — решение
этого уравнения. Тогда, с одной стороны, подобно (2.8) имеем
fn+i (zn+l) = /„.и (Тх' + Σχ% (х') «ί)=
= (Γ·/π+ι) (*') + Σ Φ, (х') fn+i (zt) - 0,
i=i
а с другой — по построению fn+\ (zn+\) Φ 0. Полученное
противоречие доказывает невозможность неравенства п<.р.
10 ^-227 289

Предположим, что, наоборот, ρ </г. Рассмотрим в пространстве
Е' оператор
Β*1 = Α*1 + Σΐ(ζ{)φ{ (/££').
Легко проверить (учитывая, что ρ </г), что этот оператор является
сопряженным к В вида (2.7), где η заменено на р.
Покажем, что и уравнение В*1 — / = 0 имеет только
тривиальное решение. Для всех k = 1, ..., гиимеем подобно (2.8)
(В*1 — I) (xk) = (T*l) Xk+Σΐ (*д Ф, Ы =
= l(Txk)+l(zk) = l(zk). (2.9)
Поэтому если /0 — решение уравнения β*/ — / = О, то из
равенства (2.9) получаем, что /0 (Zk) = 0 (k = 1, . . . , η).
Следовательно, B*l0 = А*10 и 10 является решением уравнения Т*1 = 0. Но
тогда
Ρ Ρ
Ιο = Σ^{=Σΐ0(ζι)ίι = 0·
Так как β* £$(£"), то по теореме 2.3 неоднородное уравнение
В*1 — 1 = пг разрешимо при любом т, в частности при /η = φ/?+ι.
Ьсли V—решение такого уравнения, то, с одной стороны,
срр+1 (χρ+i) = (ВЧ - Г) (Χρ+ι) = (Т*Г) (хр+1) +
+ Σ V (2,) φ, (Χρ+ι) = Г (Тхр+1) = 0,
а с другой — по построению φρ+ι (χρ+ι) = 1. Полученное
противоречие доказывает невозможность неравенства р<п. Таким
образом, п = р. Ш
Объединяя результаты теорем 2.1—2.4, получим следующее
предложение, являющееся обобщением.на уравнения с компактными
операторами альтернативы Фредгольма из теории интегральных
уравнений.
Даны уравнения (2.1), (2.3), где А £ % (£), Л* ζ % (£'), Τ =
= А — fl, Τ* = Л* — fl. Тогда:
либо уравнения (2.1), (2.3) разрешимы при любых правых
частях и в этом случае однородные уравнения (2.2) и (2.4) имеют
нулевые решения;
либо однородные уравнения (2.2), (2.4) имеют одинаковое
конечное число линейно независимых решений х1у..., хп9 llf ..., ln и в этом
случае, чтобы уравнение (2.1) (соответственно (2.3)) имело решение,
необходимо и достаточно, чтобы 1{ (у) = 0, i = 1 , , η
(соответственно m (xt) = 0, i = 1, ..., η).
Общие решения уравнений (2.1) и (2.3) имеют вид χ = х0 +
η η
+ Σ αΛ» Ι = Α) + Σ V;> гДе Чу Ιο— частные решения уравнений
290

(2.1) и (2.3), соответственно, a av . , . , ап9 λν . . . ■, λη— произ-
п η
вольные постоянные (т. е. $] aixi и Jl Μ; — общие решения одно-
родных уравнений (2.2) и (2.4) соответственно).
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Пусть Л 6 ^ (Ε), Τ = А — Ц. Доказать, что Ε разлагается в прямую
сумму Ε = Кег Τ 4- L, причем оператор Г биективно отображает L на ^ (Г).
2.2. Пусть Л 6^ (£), 71 = А — Ц. Доказать, что в цепочке вложенных
подпространств Gx cz G2 cz ... (G^ = Кег 7^), начиная с некоторого п,
выполняются равенства G n= Gn+1 = ... .
2.3. Пусть А 6 Χ (Ε) и уравнение Ах — χ = О имеет только
тривиальное решение. Следует ли отсюда, что уравнение Ах — χ = у имеет решение
при любом у 6 Е?
2.4. Привести пример банахова пространства Ε и оператора Α ζ 3? (Е)
такого, что уравнение Ах — χ = О имеет бесконечное число линейно
независимых решений.
2.5. Пусть А — конечномерный оператор, Τ = А — Ц. Провести
независимое доказательство теорем 2.1—2.4 для уравнений (2.1) — (2.4) с таким
Т. Записать условие, при выполнении которого имеет место первый случай
альтернативы Фредгольма.
2.6. Доказать теоремы 2.1—2.4 для: а) уравнения Ах — Вх = у, где
А 6 ЯВ (Е), В — обратим; б) уравнения (Аг + А2) х — χ = ζ/, где \\Аг\\ < 1,
А2 — конечномерный оператор; в) уравнения (2.1), где А $ % (Е), но (Ня >
> 1) : Л" 6 # (Е).
2.7. Оператор Τ £ Χ (Ε) называется нетеровым, если выполняются
условия: 1) Кег Ту Кег Τ * — конечномерны; 2) 3& (Τ) —- подпространство, а)
Проверить, что оператор А — Ц, где А £ % (Е), нетеров. б) Для
каких α £ С ([а, Ь]) нетеров оператор умножения на а из примера VIII. 1.2?
в) Найти необходимые и достаточные условия нетеровости оператора,
действующего в С ([а, Ь]) по формуле (Тх) (t) = α (ί) χ (t) + (Ах) (t), где а £
6 С ([а, b]), Ae<g(C ([а, Ь])).
2.8. Доказать следующие утверждения: а) сумма нетерова и
компактного операторов — нетеров оператор: б) произведение нетеровых
операторов — нетеров оператор; в) если Τ — нетеров, то и Г* — нетеров; г)
множество нетеровых операторов открыто в X (Е).
2.9. Индексом нетерова оператора Τ называется целое число ind Τ —
= dim Кег Τ — dim Ker Τ*. Найти индекс операторов из упр. 2.7.
2.10. Доказать следующие утверждения: a) ind (ТХТ2) = ind Тг +
+ ind Т2\ б) если А 6 Φ (Ε), то ind T = ind (Τ + A)\ в) ind Τ + ind Τ* =
= 0; г) если Г—нетеров, то (3e>0)(V7\: | |Г —7\ || < ε) : ind Тг = ind Г.
2.11. Рассмотрим уравнение Ах = у, где А —компактный оператор
в бесконечномерном банаховом пространстве Е. а) Доказать, что существует
у 6 Ε такой, что уравнение не имеет решения, б) Предположим, что решение
этого уравнения существует и единственно. Доказать, что для у 6 3ft (А) нет
непрерывной зависимости решения от правой части.
2.12. Пусть А 6 & (Elf Е2). Доказать, что для нормальной
разрешимости уравнения Ах = у необходима и достаточна замкнутость 3ft (A).
2.13. Пусть А £ & (E-l, Е2). Доказать, что условие (γ/ 6 Кег А*): I (у) =
— 0 необходимо для существования решения уравнения Ах = у. На при-
t
мере оператора (Ах) (t) = \ χ (s) ds в L2 ([0, 1]) показать, что оно не является
о
достаточным для разрешимости этого уравнения.
10*
291

§ 3. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФРЕДГОЛЬМА
1. Некоторые классы интегральных операторов. Выясним
условия, обеспечивающие компактность интегральных операторов,
действующих в пространствах С (Q) и Lp (R, άμ). Мы ограничимся
рассмотрением просто доказываемых результатов, более полное
изложение см. , например, в [34].
В § 1 была установлена компактность следующих трех классов
интегральных операторов: операторов с вырожденными ядрами,
операторов в С ([а, Ь]) с ядрами Κζ С ([а, Ь] Χ [α, Ы), операторов
Гильберта — Шмидта в L2{R,d\x), Напомним, что доказательство
компактности операторов из первых двух классов основывалось на
использовании критериев компактности множеств из (С^и С ([а, 61).
Замечание 3.1. С помощью теоремы Ар цела можно установить
компактность интегрального оператора в С ([а, Ь]) и при меньших
ограничениях на ядро. Анализ доказательства равномерной
ограниченности и равностепенной непрерывности в примере 1.3
показывает, что требование К £ С ([а, Ь] X [я, Ь]) можно заменить на
более слабые условия, сформулированные в упр. VIII.1.8.
Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.
Для доказательства компактности оператора Гильберта —
Шмидта строилась равномерно сходящаяся к нему
последовательность компактных операторов. Заметим, что этот прием можно
применить и для доказательства компактности интегрального оператора
в С ([а, Ь\) с ядром К £ С ([а, Ь] Χ [α, δ]).
Действительно, в силу теоремы Вейерштрасса существует
последовательность многочленов (Рп)™=\, сходящаяся к функции К
равномерно на [а, Ь] Χ \а> Ь]. Как было показано в примере VIII.2.3,
последовательность интегральных операторов с ядрами Рп (t, s)
равномерно сходится к оператору с ядром К- Так как Рп (t, s) —
вырожденное ядро, то отсюда получаем требуемое.
Такой же аппроксимационный прием применяется и при
доказательстве следующего утверждения.
Теорема 3.1. Пусть р, q>\. Если функция К£Lr' ([a9 b]X
Χ \ау b]), где г = min {/?, q'}, то интегральный оператор А с ядром
К принадлежит % (Lp ([а, £>]), Lq ([α, £>])).
Доказательство. Если ρ = q = 2, то А—оператор
Гильберта — Шмидта и требуемое следует из теоремы 1.3.
В общем случае, пользуясь неравенством Гельдера, имеем для
x£Lp(la,b])
ь ь
\{Ax){t)\ < ({ \K(t, 8)Г dsf/r' (J \x(s)\' dsfr <
a a
b
<(J|/C(i, s)\r'dsf/r' · ||χ ||p.
292

Отсюда
b Ъ
\\Ax\\q^{\^\K{t, s)Y άέ)φ' di)Xlq .\\x\\v.
a a
Учитывая, что г <: q' и, следовательно, г' > q, применим к
внешнему интегралу неравенство Гельдера с показателем гг = r'lq.
Это даст
\\Ах\\,<(Ь-а)*'^\\КЫх\\р> (3.1)
т. е. А непрерывно действует из Lp([a, b]) в Lg([a, b]).
Ядро /С — элемент пространства Lr> ([α, b] X [α, £>]), поэтому
найдется такая последовательность многочленов (Рп)п=и что \\Рп —
— К\\г'->0. Обозначим через Ап интегральный оператор с ядром
Pn(t, s); Лг€^(^р([^, b])> Lq([a, b])) как интегральный оператор
с вырожденным ядром. Осталось заметить, что в силу (3.1)|[ЛЛ —
— А\\<с\\Рп—К\\г; т. е. An=tA. Ш
Для получения более тонких условий компактности
интегральных операторов в пространствах суммируемых функций наряду
с аппроксимационным приемом применяются критерии
компактности множеств в пространствах Lp (R, φ). Мы приведем
формулировку одного из таких результатов (доказательство см. [34]).
Теорема 3.2. Пусть ядро K{t, s) (t, s£[a, b]) удовлетворяет
условиям:
ь
1) (Яг > 0) (Эсх > 0): J IΚ (ί, s) \r ds <: сг (mod /η);
a
b
2) (Ησ > 0) (Яс2 > 0): J I /С (/, s) |σ dt < c2 (mod m);
3) (3/7, <7> 1) :?>/?, ?>о, (l—o/q)p'<r.
Тогда интегральный оператор с ядром К является компактным
оператором из Lp ([а, Ь\) в Lq ([a, b\).
Замечание 3.2. Утверждения теорем 3.1 и 3.2 сохраняются, если
заменить [а, Ь] на ограниченную область N-мерного пространства.
2. Теория разрешимости интегральных уравнений Фредгольма
второго рода. Интегральным уравнением Фредгольма второго рода
называется уравнение вида
$/((*, s)x{s)d]x{s)-x(t) = y{t), (3.2)
R
где χ — неизвестная функция из пространства Еу ядро /С, мера μ
и правая часть у £ Ε заданы.
Рассмотрим вопрос о разрешимости уравнения (3.2) в некоторых
функциональных пространствах путем сведения его к
разрешимости уравнения (2.1).
а) Пусть Ε = L2(R, άμ). Предположим, что ядро K^L2(R X
X Rf ά(μ Χ μ)). В силу теоремы 1.3 интегральный оператор А
293

с ядром К является компактным в L2 (R, άμ), так что уравнение
(3.2) имеет вид (2.1): (А — Ц)х = у, где Α ζ Γβ (Ε). Поэтому для
интегрального уравнения Фредгольма второго рода справедливы
теоремы 2.1—2.4 и их следствия. Приведем их формулировки,
предварительно напомнив, что сопряженное уравнение (2.3) имеет
сейчас следующий вид:
\ K(s, t)l(s) άμ(ε) — 1(f) = m(t), (3.3)
R
где I, rn^L2(R, άμ) (см. пример VIII.4.4).
ТеоремаЗ.З. Интегральное уравнение (3.2) разрешимо для тех
и только тех у £ L2(R, άμ), которые удовлетворяют условию
J У (О/W Φ (0 = 0, (3.4)
R
где I — любое решение сопряженного однородного уравнения (т. е.
уравнения (3.3) с т =0). Уравнение (3.2) разрешимо для любой
правой части в том и только в том случае, когда сопряженное
однородное уравнение имеет только тривиальное решение.
Теорема 3.4. Интегральное уравнение (3.3) разрешимо для тех
и только тех т£ L2(R, άμ), которые удовлетворяют условию
^(ί)1φ)άμ(ί) = 0, (3.5)
R
где χ — любое решение соответствующего (3.2) однородного
уравнения. Уравнение (3.3) разрешимо для любой правой части в том и
только в том случае, когда соответствующее (3.2) однородное
уравнение имеет только тривиальное решение.
Теорема 3.5. Для того чтобы уравнение (3.2) было разрешимо
при любой правой части, необходимо и достаточно, чтобы
соответствующее ему однородное уравнение имело только тривиальное
решение. В этом случае решение уравнения (3.2) определяется однозначно
и непрерывно зависит от правой части, т.е. уравнение (3.2)
корректно разрешимо.
Теорема 3.6. Подпространства решений однородных
уравнений, соответствующих уравнениям (3.2), (3.3), конечномерны и их
размерности совпадают.
б) Пусть Ε = Lp (G), где G czlRN — ограниченная область, ρ > 1.
Предположим, что ядро К таково, что оператор А с этим ядром
компактен в Lp (G). Как и выше, для уравнения (3.2) верны теоремы
2.1—2.4. Отметим, что сейчас сопряженное уравнение (3.3)
рассматривается в пространстве Lp> (G) и при ρ ф2 имеет следующий вид:
J/C(s, t)l(s)ds — l(t)=m(t)
G
(см. пример VIII. 4.3), условия (3.4), (3.5) приобретают при рф2
такой вид: \ y(t)l(t)dt =0, ] т(/)χ(t)dt = 0.
a g
294

в) Пусть Ε = С (Q), где Q — метрический компакт, μ —
конечная мера на борелевских подмножествах Q (например, Q = [а, Ь]9
μ — мера Лебега). Предположим, что К £ С (Q X Q). Подобно
тому, как в примере 1.3 с помощью теоремы Арцела устанавливается
компактность интегрального оператора А с ядром К· Как и выше,
для уравнения (3.2) справедливы теоремы 2.1—2.4. При этом
следует учитывать,что сопряженное к (3.2) уравнение рассматривается
в пространстве С (Q), которое, согласно теореме VI 1.5.6,
изоморфно пространству регулярных зарядов на 25 (Q). Напомним, что
действие функционала / ζ С (Q) на χ ζ С (Q) задается формулой / (х) =
= \ χ (f) dl (ί) (здесь буквой / обозначен также и соответствующи й
Q
функционалу заряд).
Найдем сопряженный оператор. Имеем
(АН) (х) = / (Ах) = J (Ax) (t) dl(t) = \(\K (t, s) x(s) άμ (sj) dl (t) ^
Q Q Q
= J x(s) ({ K(t, s)dl(t)) dμ(s) = J x(s)d(A*l)(s),
где
(Λ*/)(Δ) = {({*(*, ί)άΙ(8))άμ(ί) (Δ6β(<2)).
Δ Q
Поэтому сопряженное уравнение для зарядов /, т имеет такой
вид:
J $*(*» /)d/(s)^(0-/(A) = m(A) (Δζ$ (Q)).
Δ Q
Отметим еще, что условия (3.4), (3.5) в рассматриваемой ситуации
выглядят так! ] у (t) dl (t) = О, J x (t) dm (t) = 0.
Q Q
3. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Решение
интегрального уравнения (3.2) с вырожденным ядром сводится к
решению системы линейных уравнений, что, естественно, упрощает
рассмотрения предыдущего пункта.
η
Пусть K(t, s) = Σ dj(t) · bf(s), где (α/(/))/=ι и (6/(s))]Li — линей-
но независимые наборы функции из L2(R, άμ). (Предлагаем
читателю проверить, что предположение линейной независимости не
ограничивает общность). Уравнение (3.2) с таким ядром К имеет вид
Σαί{ί)\^(8)χ(8)άμ(8)-χ(ί) = ΰ(ί). (3.6)
/=1 R
Положим Xj = ] &/(s)x(s)*fy(s), djk = J ak(t)bj(t)dμ(t),
У/ = ) υ(ί)^ί(ί)άμ(ί) (/, £= 1, ... , /г). Домножая (3.6) на b£(t)
R
295

и интегрируя по R, получим следующую систему η линейных
уравнений:
η
Σ aijXj — Xi^ iji (i=l,...f η). (3.7)
Пусть x(t)— решение уравнения (3.6). Очевидно, что (xv . .. ,
хп), где xj= j x(t)bj(t)d\\,(t) (/= 1, ... , л), является решением
я
системы (3.7). Обратно, если (χν ... , хп) — решение системы (3.7),
то функция
*(*)= %Xkak(t)-y(t) (3.8)
является решением уравнения (3.6). Действительно, подставляя
η η
выражение (3.8) для x(t) в (3.6), получим y(t) = Σ aj(t) ( JJ aikXk —
— xi — #/) + #(')» τ· e· *(0~~ решение уравнения (3.6). Таким
образом, теория разрешимости интегральных уравнений Фредголь-
ма второго рода с вырожденными ядрами содержится в известных
теоремах линейной алгебры, формулировки которых приведены в
начале §2.
Замечание 3.3. Интегральным уравнением Фредгольма первого
рода называется уравнение вида
lK{U s)x(s)d\i{s) = y{t).
R
Как следует из результатов упр. 2.11—2.13, теория разрешимости
таких уравнений принципиально отличается от рассмотренной
выше теории для уравнений второго рода. В частности, если
интегральный оператор с ядром К компактен в соответствующем
пространстве, то отсутствует непрерывная зависимость решения от правой
части, т. е. уравнение первого рода не является корректно
разрешимым.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Пусть А — интегральный оператор с ядром K(t, s) (t, s£[0, 1]).
Доказать следующие утверждения: а) Αζ & (^([0, 1]), Lq([0, 1]), если
выполнено условие 2) теоремы 3.2 ca = q, при этом ||Л||<с2; б) А £
ζ3? (Lp ([0, 1]), Loo ([0, 1])), если выполнено условие 1) теоремы 3.2 при некотором
г>р', при этом ΙΙ^ΙΚ^χ·, в) Α £ 2?{Lp ([0, 1]), ^([0, 1])), если выполнены
условия теоремы 3.2, при этом || Л || < c\~G,q X cfg.
Указание. Для доказательства а), б) применить неравенствоГельдера.
Для доказательства в) в случае ρ = q применить неравенство Гельдера,
а в случае ρ φ q — его обобщение из упр. VI.8.10 с показателями qt (ρ"1 —
- г1)"1, ρ'-
3.2. Доказать, что утверждение теоремы 3.1 справедливо для оператора,
ядро которого удовлетворяет условию \ ( \ \К (t, s)\ ds) dt <^oo.
a a
296

3.3. Пусть ядро К удовлетворяет условиям теоремы 3.2. Положим Кп =
= (К+)п—(К-)п, где, как обычно, К+ = max {К, 0}, /С_ == /С+ — /С, (К±)п-
срезка по уровню η функции К±. Доказать, что: а) оператор Ап с ядром Кп
является .компактным оператором из Ьр ([а, Ь]) в Lq([a, Ь])\ б) Αηζ$:Α.
3.4. Пусть G — ограниченная область в IR^ и пусть /С—слабополярное
ядро, т. е. К имеет вид K(t, s)=K0(t, s) || t— s\\~~a (t, s£G, t^s), где
^o (U s) — измеримая ограниченная функция, a<N/2. Доказать, что
интегральный оператор с ядром К компактен в L2 (G).
3.5. Пусть /C^Li(IR). Определим в L2 (IR) оператор А следующим
образом: (Ax)(t) = f K(t — s)x (s) ds. Доказать, что: а) А £ 2? (La (IR)); 6) A %
IR
£« (MIR))·
3.6. Решить интегральные уравнения с вырожденными ядрами:
π/2
а) χ (t) — 4 f sin2 f * (s) rfs = 2t—π;
о
π
б) x(t) — X f cos (2/ + s) * (s) Λ = sin t (λζ©);
о
1
в) * (/) — λ С (ί2 — is) x(s) ds = t2 + t.
—ι
3.7. При какой правой части у£С([0, л]) разрешимо в пространстве
π
С ([0, я]) уравнение I sin (t + s)x (s) ds — x(t) = y (t)?
о
3.8. При каких λξ\Κ разрешимо в Lp ([α, b]) (р>1) уравнение χ (t) —
— λ С e^s*(s)ds = 1?
§ 4. СПЕКТР КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА
Пусть А — компактный оператор в банаховом пространстве Е.
Из общих теорем VIII.8.1 и VIII.8.5 следует, что спектр S (А)
оператора А — непустое замкнутое подмножество круга {λ ζ (С | |λ| <
< ||Л||}. Применяя теоремы Фредгольма о разрешимости уравнений
с компактными операторами, можно существенно уточнить эту
информацию о S (А).
Теорема 4Л. Пусть А—компактный оператор в
бесконечномерном банаховом пространстве Е. Справедливы следующие
утверждения: 1) спектр S (А) оператора А — не более чем счетное
подмножество круга {λζ (С | ||λ|| < 1ИЦ}, содержащее точку 0; 2)
отличные от нуля точки S {А) являются собственными значениями
конечной кратности, т. е. отвечающие им собственные подпространства
конечномерны, 3) если S (А) — бесконечное множество, то 0
является единственной предельной точкой S (А).
Доказательство. Так как компактный оператор в
бесконечномерном пространстве необратим (см. замечание 1.5), то
0 ζ 5 (А).
297

Пусть ζΦΟ. Рассмотрим уравнение (Л—ζβ) χ = у. Записав
его в виде (ζ~Μ — Ц) χ =' г~гу, получим, согласно теореме 2.3, что
при данном ζ либо уравнение (Л — гЦ) χ = у разрешимо для любой
правой части и решение непрерывно зависит от у, либо уравнение
Ах — гх = О имеет ненулевое решение. Иными словами, каждая
точка ζ£ (С\{0}либорегулярна, либо является собственным
значением и других ненулевых точек спектра, кроме собственных
значений, у оператора А нет.
Пусть λ Φ О— собственное значение оператора Л. Оператор
λ"Μ — й удовлетворяет условиям леммы 2.1, поэтому
подпространство его решений, т. е. собственное подпространство оператора,
соответствующее собственному значению λ, конечномерно.
Для завершения доказательства достаточно показать, что вне
круга Вг (0) с· (С произвольного радиуса г > 0 лежит лишь
конечное число точек из 5 (Л). Предположим противное. Пусть вне
некоторого круга Вг (0) существует бесконечно много собственных
значений оператора А. Тогда можно выделить последовательность
(λ^)^! различных собственных значений оператора таких, что | λη | >г.
Пусть (хп)п=1 — последовательность собственных векторов,
отвечающих этим собственным значениям.
Докажем, что элементы хъ ... , Xk при любом k £ И линейно
независимы. Для k = 1 это тривиально: хг Φ 0. Пусть хг , . . . , Xk —
k
линейно независимы. Если предположить, что Xk+\ = Σ fy*7> то,
/=ι
подействовав на обе части этого равенства оператором Л, получим,
k
что λβ+ιΛΓβ-μ = Σ CjXjX/. Так как λ^+ι Φ 0, то из этих равенств
следует, что
k
ΣΟ—λ/7λ*+ι)£?/*/=0.
Но это невозможно, поскольку λ,-φλ^ι (/ = 1, . . . , k) и хъ ...
Xk — линейно независимы.
Положим Gk = л. о. (хг, . . . , Xk)- По доказанному Gk является
собственным подпространством пространства Gk+ι. В силу теоремы
VII. 1.1 найдется элемент yk+i £0Λ+ι, || Ук+\ II = 1 такой, что || Ук+г —
— я||>1/2 для любого x^Gk. Оценим \\Ауп — Аут\\, считая для
определенности, что т> п.
Заметим, что Аут — Ауп = %тут — {КУп + (Л — λ„41) уп — (Л —
т
— КИ)Ут). Далее, из f/m£Gm следует, что ут = Σ с*хл, и поэтому
/г=1
m m—1
(Л —Xmfl)y = Σ сд.(λΛ — λ,η)α:λ = Σ CkiU — K)xk£Gm-{.
Отсюда Аут — Ауп = Kym — hmy, где у = λ"1 {КУп+{А — Кпй)Уп—
— (Л — ХпгЦ) Ут) £ Gm_i. Таким образом,
\\Аут—Ауп\\ = \\ЬтУт — ЬтУ\\ = I λ/η | || Ут — У || > Г β
298

и, следовательно, ни последовательность (Ayn)Z=u ни любая ее
подпоследовательность не сходятся. Кроме того, так как {yn)n=i —
ограничена, то (Ayn)n=i— предкомпактное множество в силу
компактности оператора А. Полученное противоречие доказывает
теорему. ■
Замечание 4.1. Пусть А — компактный интегральный
оператор в L2 (R, άμ). Собственные значения оператора А — это такие
λξϋ, для которых имеет нетривиальные решения интегральное
уравнение j К (t, s) φ (s) άμ (s) = λφ (t). В теории линейных ин-
R
тегральных уравнений принято записывать это уравнение в такой
форме:
o\k{U δ)φ(5)ίίμ(δ) = φ(0, (4.1)
R
а уравнение второго рода —
x(t) — aJ/C(/, s)x(s)dμ(s) = y(t). (4.2)
R
Число σ ζ (С, для которого (4.1) имеет нетривиальное решение,
называют характеристическим числом уравнения (4.1) (или ядра /С),
само решение φ — собственной функцией, отвечающей
характеристическому числу σ.
Понятно, что σ£([; является характеристическим числом (4.1)
в том и только в том случае, когда λ = — является собственным
числом интегрального оператора с ядром /С, и что соответствующие
σ и λ = 1/σ собственные функции равны. Переформулируем теорему
4.1 в терминах характеристических чисел. Множество
характеристических чисел уравнения (4.1) не более чем счетное
подмножество внешности круга Вца\\ (0). Если это множество счетно, то
1 im | σΛ | = оо, т. е. в любом круге может содержаться лишь конеч-
ное число характеристических чисел уравнения (4.1).
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Какое из следующих множеств может быть спектром компактного
оператора: а) [0, 1]; б) {0, 1}; в) (η~χ=ύ г) {0} U (лЛГ-Р *) O-^Ci'.
е) {*, 1+/}?
4.2. Привести пример компактного оператора в /2, для которого: а) 0 не
является собственным значением; б) 0 является собственным значением
конечной кратности; в) 0 является собственным значением бесконечной
кратности.
4.3. Доказать, что Αζ<& (Ε) и найти 5 (Л), если: а) Е = /2, Ах = (0, xlf
x2j2, *,/3, ...); б) £ = L2([_1,1]), (Ax)(t)= J t4 x (s) ds\ в) Е = L2([0, 1]),
—ι
1
(Αχ) (0= f ts (I — ts) χ (s) ds.
0
299

4.4. Как найти спектр интегрального оператора с вырожденным ядром?
4.5. Пусть А £<£ (Я), (λ„)~=1 — все ненулевые собственные значения А,
тп — кратность λη. Доказать, что S(A*) = {0}U (λη)η=ΐ и кратность
собственного значения Хп равна тп,
4.6. Пусть (еп) ~=1 — ортонормированный базис в Я, (λ^)^ — сходящаяся
к нулю последовательность действительных (комплексных) чисел. Пусть А : Н-*Н
оо
такой линейный оператор, что (V#£ Я) : Ах = JJ λη (я, ert) £rt. Доказать, что
п=1
Л — компактный самосопряженный (нормальный) оператор,
4.7. Пусть А — оператор, определенный в упражнении 4.6. Найти
решения уравнения (Л — ХЦ) χ = у, если: а) λ отлично от всех собственных
значений λη; б) (3/ 6 №) : λ = λ/. Для каких г/ разрешимо уравнение в
случае б)?
4.8. Пусть А = А*> Αζ<@(Η). Доказать, что: а) Q*i € Si (0)) : sup { | (Αχ
χ)\ Ι 11*11 — U =1 (Λ*ΐι *ι)|; 6) *χ является собственным вектором
оператора Л, а соответствующее собственное значение λχ удовлетворяет равенству
| λ! | = sup { | (Λ*. х)\\ || *|| = 1} = || Л ||; в) (3*2 € Si (0)): sup {| (Ах, х)\\
11| χ || = 1, (#, ^ = 0} = | (Ах2, х2)\; г) х2 является собственным вектором
оператора Л с собственным значением λ2, | λ2 | <: | λχ |; д) описанным в а),
в) процессом можно получить все отличные от нуля собственные значения
с учетом их кратностей.
§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС ОПЕРАТОРА
1. Степенные ряды с операторными коэффициентами. Пусть
Ε— банахово пространство, (Ап)п=\<^ &(Е). Рассмотрим степенной
ряд с операторными коэффициентами
00
Σ «Μ* (г 6 (С). (5.1)
Говорят, что этот ряд сходится в точке ζ0 £ (С, если
последовательность его частичных сумм сходится по норме пространства 3? (Е).
Многие результаты о числовых степенных рядах допускают
обобщение на степенные ряды с операторными коэффициентами. Мы
докажем такие обобщения леммы Абеля и формулы Коши — Адамара.
Лемма 5.1. Предположим, что для ζ0Φθ последовательность
(ΖοΑη)η=ι ограничена. Тогда при |ζ|<|ζ0| сходится степенной
ряд (5.1).
Доказательство. Из неравенства
п+р п+р
II Σ ζ*ΑΠΚ Σ \z\k\\Ak\\ (5.2)
'k=n+l k=n+\
следует, что достаточно установить сходи мость при | ζ | < | г0 \
оо
числового ряда Σΐ^ΗΙΑι!!· Имеем, что \z\n\\An\\<cqn> где с =
/г=0
Ζ
= sup{||zW„|||n£M}, q
оо
ряд Σ \\*пАп\\ сходится.
л=0
300
<1. В силу признака сравнения

Доказанное утверждение является обобщением известной леммы
Абеля. С его помощью, как и в случае числовых степенных рядов»
вводятся понятия области сходимости и радиуса сходимости
степенного ряда с операторными коэффициентами. Радиус сходимости ряда
(5.1) находится по формуле, аналогичной формуле Коши — Адамара.
Лемма 5.2. Пусть дан степенной ряд (5.1). Положим ρ =
= lim V^II ^4лг II- Радиус сходимости ряда (5.1) равен
П-*· оо
{О, если ρ = +оо,
ρ"1, если 0<р<+оо, (5.3)
+оо, если ρ = 0.
00
Доказательство. Рассмотрим числовой ряд Σζη||Αχ||.
/г=0
Его радиус сходимости г определяется по формуле Коши —
Адамара (5.3). Покажем, что таким же будет и радиус сходимости ряда
(5.1). Из неравенства (5.2) следует, что это верно для г = Ои
/·== -f- оо. Если О <г <+ оо, то из того же неравенства следует
сходимость ряда (5.1) при \г\ <г.
Пусть г0£(С таково, что |г0|>г. Если бы ряд (5.1) сходился
00
в точке z0, то ряд Σ II z"Ai II сходился бы для ζ таких, что г <
<ΙζΚΙζοΙ· Это следует из доказательства леммы 5.1. Последнее
оо
противоречит тому, что г — радиус сходимости ряда Σ II ztlAn II. ■
/1=0
Докажем еще одно утверждение о числовых
последовательностях, которое используется в доказательстве основного результата
этого параграфа.
Лемма 5.3. Пусть {ап)п=\— последовательность
неотрицательных чисел, удовлетворяющая условию: ап+т < апат (п, т£^).
Тогда существует и конечен Нт-|/"ал.
/г-*оо
Доказательство. Последовательность (αιη/η)η=ι ограничена.
Зто следует из такой цепочки неравенств:
ап < α&η-ι < αια„_2 < . . . < α? (η ζ Щ).
Поэтому если limai/rt существует, то он не превосходит av
Зафиксируем k £ И, тогда любое натуральное число представимо
в виде η = mnk + ln, где О < ln < k. Отсюда следует, что ап <
<: α£ηαιη (α0 полагаем равным единице). Таким образом, имеем
α№<αΐη/ηα\'ηη = β„ (л 6 И). (5.4)
Положим a = lim alJn = lim a](ni. Подпоследовательность (β,(/ )Д=1
сходится. Это следует из того, что при / -> оо
mnj 1щ = тп. /( mnj k + lnj)->- Аг1, a[£j -*· 1
301

(α/η/ принимает конечное число значений: а0, ... , a,k-\)- Тогда
из (5.4) следует, что (Vk ζ И): а <: αψ\ а поэтому lim а][п <. lim α«Λ,
т. е. последовательность (μ\Ιη)η=\ сходится. ■ п*°° rt~*0°
2. Спектральный радиус линейного непрерывного оператора.
Пусть Αζ£?(Ε), S(A) — его спектр. Спектральным радиусом
оператора А называется число
Pa =*max{\z\\z£S(A)}. (5.5)
Так как функция \г\ непрерывна, a S(A) — компактное
подмножество (С, то определение рЛ посредством равенства (5.5) корректно.
Теорема 5.1. Пусть А£&(Е). Тогда
рА = Нту^ЙЛЧГ (5.6)
Доказательство. Заметим сначала, что последовательность
аЛ = ||Лп|| удовлетворяет условию леммы 5.3: ап+пг = \\ Ап+т \\ <.
< || Ап || || Ат || = апат. Поэтому существует и конечен предел в
правой части (5.6).
Рассмотрим резольвенту Rz = (Л —zfl)"1 оператора А. В силу
(5.5) спектр оператора А содержится в круге ВРА (0). Поэтому,
согласно теореме VIП.8.4, операторнозначная функция Rz аналитич-
на вне этого круга (на окружности радиуса рл с центром в нуле
имеются точки спектра, т. е. аналитичность нарушается). Положим
/(ζ) = /?ι/ζ. Операторнозначная функция /(ζ) аналитична внутри
круга радиуса 1/р^, на его границе есть точки, где аналитичность
нарушается.
Представим функцию / (ζ) в виде степенного ряда с операторными
коэффициентами. Если | ζ | <: || А Ц"1, то, согласно теореме VIII. 3.2,
имеем
/ (ζ) = (Л - ζ-ЧГ1 = -ζ (й - ζΑ)'1 = -ζ Σ ζΜ". (5.7)
Радиус сходимости ряда в правой части (5.7), согласно лемме 5.2,
равен (\im\\An\\Vn)-1==(lim\\An\\Vn)-1. Кроме того, функция /(ζ)
аналитична внутри круга радиуса pj, на границе этого круга
аналитичность /(ζ) нарушается. Поэтому имеет место равенство
(5.6). ■
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Пусть А£&(Е). Доказать, что рА < || А ||.
5.2. Привести пример ненулевого оператора А 6 & (© ) такого, что
РА = 0.
5.3. Оператор Τζ2 (Е) называетсяквазинильпотентным, если lim \\Tn\\ /п—0
(нильпотентным, если (Я& €Щ ' Tk = 0). Показать, что Τ квазинильпотентен
тогда и только тогда, когда S(T) « {0}.
302

5.4. Как найти спектральный радиус оператора: а) из &(€Ν); б) из $ (£),
если известны все его собственные значения?
5.5. Если Л, В 6 3! (Е) такие, что [Л, В] = 0, то рА,в< рА+ рв.
Доказать, что если [Л, В] Φ О, то это неравенство, вообще говоря, не имеет
места даже в случае Ε = (D2.
5.6. Пусть Ж—коммутативная подалгебра алгебры & (Е). Доказать, что
функция Ж 3 Λι-*ρΛ = II ^ Hi является полунормой на Ж, удовлетворяющей
условию || ЛВЦ^Ц А \\г\\В \\х. Описать множество Ь={А£Ж | || Лг ||=0} иЖ/L.
3. Решение уравнений методом последовательных приближений.
Пусть Ε— банахово пространство. Рассмотрим уравнение второго
рода χ — Ах = уу где Α £ & (Ε). Если || А\\ < 1, то, согласно
теореме VIII.3.2, это уравнение корректно разрешимо на Ε и его
решение χ = (fl — А) "гу имеет вид
*= iiAky = lim(y + Ay+ ... + А«у). (5.8)
k=0 П-+оо
Этот результат можно получить и другим путем, используя
теорему Банаха о сжимающих отображениях. Для этого преобразуем
def
уравнение к виду χ = F (х), где F (х) = Ах + у. Если ||Л|[ =
= q < 1, то отображение F ι Ε -> Ε является сжимающим.
Действительно,
\\F{x')-F{x") || = || А(х' -х")|| <: q \\ x'-x" || (*', *"££).
Поскольку Z? — полное пространство, то, согласно теореме
Банаха, уравнение χ = F (χ) имеет единственное решение, которое
можно найти методом последовательных приближений. Для х0 £ Ε
положим
*2=F (х ι) = У + Ау + Α2χ0, (59)
xn = F (XnLi) = У + Ay + '..'. + A"-'y + A»xQ (η ζ И).
Последовательность (хп)п°=о сходится к решению χ уравнения χ —
— Ах = у. Из неравенства || Апх0 \\ < qn \\ х0 || следует, что Апх0 ~> О,
т. е. выполняется соотношение (5.8).
Оказывается, уравнение χ — Ах — у можно решать методом
последовательных приближений при, вообще говоря, более слабых
ограничениях на оператор А. Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.2. Пусть Αζ&(Ε). Если рл<1, то уравнение
χ — Ах —у корректно разрешимо на Ε и его решение можно найти
методом последовательных приблиоюений.
Доказательство. Пусть рл < 1 · Тогда 1 — регулярная
точка оператора Л, так что Ц — А обратим. Таким образом,
уравнение χ — Ах = у корректно разрешимо на Е. Покажем, что
решение χ = (Ц— А)'1 у можно найти методом последовательных
приближений, т. е. χ = lim (у + А у + . .. + Ап~1у + Апх0) (х0 £ Ε).
Заметим, что Л%-*0, тг->оо. Действительно, из рл<1
следует, что (Я# ζ И) (V/i > Ν): || Ап ψη < (1 + рл)/2 = q < 1. Тогда
303

И Αηχ01| < || Αη || ||*01| < qn || χ01|, что стремится к нулю при η ->оо.
оо
Наконец, из рл < 1 следует, что степенной ряд Σ ztlAn сходится
П оо
в точке ζ=1. Поэтому существует lim ^Aky = ^Аку=*х,
П-foo k=0 k=0
который совпадает с пределом последовательности (5.9). ■
Замечание 5.1. Требование рл <1 менее ограничительно, чем
|| А ||< 1. Это следует из результатов упр. 5.1—5.3 (см. также § 6).
УПРАЖНЕНИЯ
5.7. Доказать, что спектральный радиус оператора Α ζ 9? (Е) не
изменится, если в Ε перейти к эквивалентной норме.
5.8. Доказать, что Рав=9ва (А, В£&(Щ)·
5.9. Пусть Α £ 9? (Ε). Доказать, что при |ζ|>ρΛ выполняется неравенство
||*«(Л)||«|2|-||Л||)-*
5.10. Пусть Η — гильбертово пространство. Чему равен спектральный
радиус: а) ортопроектора; б) унитарного оператора?
§ 6. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО РОДА
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Пусть А — интегральный оператор g ядром /С-, непрерывно
действующий в пространстве Lp (R, άμ) или C(Q), которое ниже
обозначается через Е. Применим для решения интегрального
уравнения Фредгольма второго рода в пространстве Ε
(И — оА)х = у (ag(C) (6.1)
результаты п. 3 предыдущего параграфа. Ясно, что Рал = Мрл.
Если |а|рл < 1, то, согласно теореме 5.2, уравнение (6.1) корректно
разрешимо на Ε и его решение можно найти методом
последовательных приближений.
В теории интегральных уравнений формулу типа (5.8) для
решения уравнения (6.1) принято записывать в следующем виде!
оо оо
х = Σ опАпу = у + σ Σ on-lAny *= у + оШау. (6.2)
Оператор 9ϊσ из правой части (6.2) называется резольвентой ядра
К, или уравнения (6.1) (в упражнении 6.1 приведено соотношение,
связывающее 9ϊσ и /?ι/σ (Л)).
Пусть Ε = С (G), где G с IR^ — ограниченная область. Можно
доказать, что 9ϊσ — интегральный оператор с ядром
&(t, s; σ) = io^/CWft s) (f, s£~G, \a\pA<l), (6.3)
TAtK{n) (t, s) — п-я итерация ядра К (точная формулировка приве-
304

дена в упражнении 6.2). Поэтому решение уравнения (6.1)
представляется в следующем виде:
*(0 = #(*) + σί ^(*. s; <*)y(s)ds (Мрл<1).
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Доказать, что_Я1/(Т (А) = σ (β - о%) (| σ | рА < 1).
6.2. JlycTb K£C (G X G). Доказать, что ряд в правой части (6.3) сходится
(VY, s£G) в круге В = {σζ С | | σ | рА < 1}, а его сумма Μ (tt s; σ)
непрерывна на G χ G χ В и аналитична по σ в круге θ (если рл = О, то В — С).
6.3. В условиях упражнения 6.2 показать, что 3ft, (t, s; σ) удовлетворяет
при σζΒ каждому из следующих уравнений:
а) *Я (t, s; σ) = σ С Κ (t, τ) SR, (τ, s; ο) dx + Κ (t, s);
б) *Я (t, s; σ) = σ С /<Γ (τ, s) ^ (f, τ; σ) dx + К (t, s);
G
Β) ^^(^σ5; ^ = J ^ & T> σ) * (Χ» S' σ) rfT-
σ
6.4. Пусть К £ L2(R χ R, ά(μ Χ μ)). Доказать сходимость ряда в правой
части (6.3) по норме пространства L2 (R X R, d (μ χ μ)) в круге {σ ζ С | | σ| <
<ιι*ιγ}.
Напомним, что квазинильпотентным называется оператор Α £
£ ^ (Ζ?) такой, что ρ л = 0, т. е. 5 (А) = {0} (см. упражнение 5.3)
Уравнение (6.1) с таким оператором корректно разрешимо на Ε для
любого σ ζ (£. Решение этого уравнения находится методом
последовательных приближений и имеет вид (6.2). Оказывается, что
свойством квазинильпотентности обладают интегральные
операторы Вольтерра, т. е. операторы, ядра К (tf s) (t, s£G) которых
обращаются в нуль при tt <$ι,..., Ϊν <Lsn (по этой причинеквазинильпо-
тентные операторы называют иногда вольтерровскими). Докажем
соответствующую теорему, рассматривая для упрощения записи
G = [atb].
Теорема 6.1. Пусть К {t, s) (ίζ [α, b], a <s < t) измеримая
ограниченная функция. Интегральный оператор Вольтерра,
действующий в L2 (la, b]) no формуле
t
{Αχ) (ί) = J /((f, s) χ (s) ds (t ζ [α, &]), (6.4)
a
является квазинильпотентным.
Доказательство. Функция K(t, s) определена на
треугольнике {t, s£]R2\t£[a, b], a<s<.t). Продолжим ее нулем на
{t < s < by t ζ [α, b]}. Полученную функцию обозначим символом К.
305

По условию теоремы (Hc>0)(VY, s£[a, b]):\K{t, s)\<c. Отсюда
следует, что K£L2{[a,b] x [a,b]) и поэтому оператор А вида (6.4)
является оператором Гильберта — Шмидта. Легко видеть, что для
его абсолютной нормы справедлива оценка | А | < с (Ь — а).
Покажем, что для абсолютной нормы оператора Ап имеет место
неравенство
Из (6.5) следует требуемое, так как || Ап \\{/п <ic(b — a) ((η —
— 1)1)Г1'п-+09 п-+оо.
Для η = 2 имеем
ь ь
(A2x) (t) = J (J К (t, χ) Κ (τ, s) dx) χ (s) ds =
a a
b t
= J (J К (t, x) Κ (τ, s) dx) χ (s) ds. (6.6)
Здесь мы воспользовались тем, что К (t, τ) = О при τ > t, а К (τ, s) = 0
при τ<$, так что произведение этих функций отлично от нуля
только для t£[s, /].
Из (6.6) следует такая оценка для ядра K{2)(ty s) оператора
A2:\K(2)(t, s)\<cc2(t — s) (a *cs<t < Ь), откуда легко вьгоести
(6.5) для η = 2.
С помощью индукции установим неравенство
ι кы a, s) ι < g^J^1 (α <s <·t <ь)· (6·7)
Действительно, если (6.7) справедливо при η = т, то
t
| яои+d (/, S) ι = I j #<«> μ, τ) # (τ, s) dr | <:
s
/.w+1 f» rm+l (f __ -χ/η
<(^ΓΓ)ίΙ ('-4-»*-« £ } ·
S
Из (6.7) следует, что \\К(п)\\ < cn(b— а)п/(п—1)!, т. е.
неравенство (6.5). ■
УПРАЖНЕНИЯ
6.5. Провести доказательство теоремы 6.1 для оператора Л,
действующего в L2 (G), где G cz JRN — ограниченная область.
6.6. Доказать, что в условиях теоремы 6.1 оператор, действующий
в Lp ([α, b]) по формуле (6.4), является квазинильпотентным.
6.7. Пусть К (t, s) — функция, непрерывная на треугольнике {а < s <
< t, t 6 [я> b]}. Доказать, что интегральный оператор, действующий в С ([а,
Ь]) по формуле (6.4), является квазинильпотентным.
306

6.8. Найти резольвенту ίΗσ интегрального уравнения Вольтерра x(t)—
t
— σ[ K(tt s)x(s)ds = y(t)(t£[0, 1]), если: a) K(t, s) = l; 6) K(t, s) = / —
о
— s(0<s<f <l).
6.9. Показать, что дифференциальное уравнение х^ + % (0 я*'1""1) + ...
• · · + ап (t) χ = / (f) (/£ [0, Τ]) с непрерывными на [О, Т] коэффициентами а&
k=l, ,,. , η при начальных условиях х^ (0) = *л> 6 = 0, 1, ,. . , /г— 1 рав-
несильно интегральному уравнению Вольтерра χ (t) — у (t) + σ \ К (t, s) X
о
Xx(s)ds (t£[0, T])t в котором
η
К (/, s) =2 ak (t) (\~^*~*> У (0=/ (0 - Wi (0 - (W + **-.) fl, (0 — ■ ·
л—1
-Σ*^«.μ.
fc=n

ГЛАВАХ. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
ДЛЯ КОМПАКТНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
Известная теорема линейной алгебры о приведении эрмитовой матрицы
к диагональному виду может быть переформулирована так: для любого
самосопряженного оператора Л, действующего в конечномерном гильбертовом
пространстве С^, существует ортонормированный базис (^k)k=v состоящий из
собственных векторов А. Обобщение этого результата на случай оператора
А = Л*, действующего в бесконечномерном гильбертовом пространстве Я,
посредством «перехода к пределу при N -»■ с»», вообще говоря, невозможно,
так как самосопряженный оператор в случае dim Η = оо может не иметь
собственных векторов (см. пример VIII.8.1). Однако если А — компактный
самосопряженный оператор, то такое непосредственное обобщение
спектральной теоремы для А = А* £ & (GN) возможно. Доказательству этого
посвящен § 1 этой главы. В § 2 изучается разложение по собственным функциям
самосопряженных интегральных операторов.
Дальнейшее изучение спектральной теории самосопряженных
операторов проводится в гл. XIII, XV. При этом используются интеграл Бохнера
от векторнозначных функций, введенный в § 3 этой главы, и аналитические
функции от операторов, рассмотренные в § 4.
§ 1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
ДЛЯ КОМПАКТНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
1. Одно свойство эрмитовой билинейной формы. Напомним
(см. § VIII. 5), что билинейная форма называется эрмитовой, если
(V*, у£Н):Ь(х, у) = Ь {у> х). Согласно теореме Рисса (теорема
VIII. 5.1) и теореме VIII. 5.3, ограниченная билинейная форма b
является эрмитовой в том и только в том случае, когда (НЛ £ & (Н): А =
= А*): Ь (х, у) = {Ах, у). Напомним также введенное в упр. VIII.5.3
понятие нормы ||&|| ограниченной билинейной формы й:||&|| —
это наименьшая из констант с, удовлетворяющих условию (Vx,
y£H):\b(x, y)\< c\\x\\\\y\\. Имеет место следующий результат
(ср. упр. VIII. 5.3).
Лемма /./. Пусть Ь — ограниченная эрмитова билинейная
форма. Утверждается, что
def
||MI = sup{|ft(*, дО||||*|| = 1} = ||Ь||1. (1.0
Доказательство. Так как {\Ь(х, х)\ \ \\ х\\ = 1} s {| Ь (х,
0)1111*11 = 1Ы1=1}> то || Ь || > || b|li. Покажем, что || Ь || не
превосходит || & ||ι·
Для произвольной билинейной формы имеет место равенство 2 (Ь (я,
У) + b(y, x)) = b(x + y, x + y)—b(x — y, х — у). Из него следует,
что
\Ь(х, У) + Ь(у, x)\<j(\b(x + y, х+у)\ + \Ь(х — у, х — у)\)<
^^llblwax+yr+llx-y^^llbllAllxr + llyr)^^)
308

(Здесь мы воспользовались равенством параллелограмма.) Полагая
в (1.2) || х\\ = || у || = 1, придем к следующему неравенству:
\Ь(х, У) + Ь(у, х)\<2\\Ь\\г. (1.3)
Заменим в (1.3) у на ку, где |λ|=1. Тогда левая часть (1.3)
преобразуется так:
\Ь(х, Ьу) + Ь(Ху, х)\ = \Ь(х9 у)\\№« + Хе*\, (1.4)
где a = avgb(x, у), β = arg Ь (ί/, χ) (здесь использовано равенство
\b(x, y)\=\b(y, х)1 имеющее место для эрмитовой формы Ь).
. α—β
Полагая в (1.4) λ = е 2 , получаем (Vx, y£H:\\x\\= \\у\\= 1):
*\Ь(х, У)I < IIЬ||ц откуда и следует требуемое. ■
Замечание 1.1. Утверждение леммы 1.1 имеет место для
любой ограниченной билинейной формы, удовлетворяющей условию
(V*, у£Н):\Ь(х, у)\ = \Ь(у, х)\.
2. Теорема о существовании собственного вектора у
самосопряженного компактного оператора. Как известно, ограниченный
самосопряженный оператор может не иметь собственных векторов (см.
пример VIII .8.1). Если же дополнительно потребовать компактность
оператора, то ситуация изменится. Справедлива следующая
теорема.
Теорема 1.1. Всякий отличный от нуля компактный
самосопряженный оператор А имеет собственный вектор, отвечающий
собственному значению λ такому, что |λ| = ||Л||.
Доказательство. В конечномерном гильбертовом
пространстве утверждение теоремы следует из упоминавшейся уже
теоремы о приведении эрмитовой матрицы к диагональному виду.
Рассмотрим общий случай. Поскольку Л = Л*, то форма Ъа,
порожденная оператором А, является эрмитовой, и, согласно лем-
ме 1.1, [Ι А || = || ЬА || = sup {] {Αχ, χ) 111| χ || = 1}. Поэтому существует
последовательность ортов (хп)п=\ такая, что lim[(AKm *„) I = || Л ||.
П—°о
Так как Α ς % (#), то (Ахп)п=\ содержит сходящуюся
подпоследовательность {Axnk)k=\- Для удобства записи обозначим xnk = yk-
Так как \(Ахп, хп)\-*\\А\\, то последовательность действительных
чисел ((Лун, yk))kLi содержит подпоследовательность {{Ayku yki))T=u
сходящуюся к числу λ £ IR : | λ | < || Л ||. Покажем, что yut ->■ φ, Ayut ->
->λφ при /->-оо. Так как Лг/^-*·^, то достаточно проверить, что
ИтЦЛ^-λ^ΙΙ^Ο. (1.5)
/-»-оо
Имеем
II Aykl — %ykl ||2 = || Ayui II2 — λ (Aykh yhi) - λ (ykh Aykl) + λ2 =
= \\Aykl ]|2 - 2λ (Ayklt ykl) + λ2 ->1| ψ ||2 - λ2.
Кроме того, из неравенства || AyuiW < || Л || = |λ| следует, что
11Ψ II < |λ |. Поэтому равенство (1.5) доказано. Из него в силу Ауц ->
309

->ψ следует, что (Ηφ£#ϊ||φ|| = 1):#Λ/->φ. Так как А£&(Н),
то Лу^-^Лср, т. е., согласно (1.5), Αφ = λφ. ■
Замечание 1.2. Спектр самосопряженного оператора А является
подмножеством сегмента [—||Л||, ||Л||] (см. упр. VIII.8.11).
Согласно теореме 1.1, по крайней мере один из концов этого сегмента
входит в спектр компактного самосопряженного оператора, откуда,
в частности, следует, что спектральный радиус такого оператора
совпадает с его нормой (ср. упр. IX.5.1).
Замечание 1.3. Условие Α ζ % (Я) в теореме 1.1 отбросить
нельзя, поскольку некомпактный самосопряженный оператор может не
иметь собственных векторов. Нельзя отбросить и условие А = А *.
Нетрудно привести пример несамосопряженного компактного
оператора, не имеющего собственных векторов, которые отвечают
ненулевым собственным значениям. В (£Ν таким является, например,
нильпотентный оператор. В бесконечномерном гильбертовом
пространстве таким примером может служить любой квазинильпотент-
ный компактный оператор. Например, в L2 ([0, 1]) интегральный
t
оператор Вольтерра {Ах) (t) = \ χ (s) ds. Согласно теореме IX.6.1,
о
А —квазинильпотентный оператор, т. е. 5 (А) = (0). Поэтому А не
имеет собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным
значениям. Ясно, что ядро этого оператора не является эрмитовым,
поэтому А Ф А*. Ясно, что оператор А компактен как оператор
Гильберта — Шмидта.
3. Спектральная теорема для компактного самосопряженного
оператора. Для доказательства основного результата этого
параграфа нам понадобится два вспомогательных утверждения.
Лемма 1.2. I) Собственные значения самосопряженного
оператора Αζ& (Η) вещественны. 2) Различным собственным значениям
оператора А = А* отвечают ортогональные собственные векторы.
Доказательство. 1) Пусть φ — собственный вектор
самосопряженного оператора Л, отвечающий собственному значению
λ. Тогда (Лср, φ) = λ (φ, φ). Кроме того, (Αφ, φ) = (φ, Αφ) =
= λ (φ, φ). Поэтому λ £ 1R.
2) Пусть λ, μ — собственные значения оператора Л, φ, ψ —
отвечающие им собственные векторы. Тогда имеем, что λ (φ, ψ) =
= (Л(р,г|;) = (φ, Ля|)) = μ (φ, ψ), τ. е. (λ — μ) (φ,ψ) = 0.
Поскольку λ Φ μ, το φ JL ψ. ■
Для формулировки следующего утверждения нам понадобится
понятие инвариантного подпространства. Подпространство G а Н
называется инвариантным для оператора Α £ 3? (Я), если AG cz G.
Примером инвариантного подпространства для оператора Л может
служить собственное подпространство Φ (λ) = [χ ζ Η\ Αχ = λχ)
этого оператора, отвечающее собственному значению λ (проверку
того, что Φ (λ) — подпространство, предоставляем читателю).
Лемма 1.3. Если G — инвариантное подпространство для
оператора Αζ^(Η), то Gx является инвариантным
подпространством для оператора Л*.
310

Доказательство. Пусть χ £ G, у ζ GL. Тогда из
инвариантности подпространства G для оператора А следует, что (Ах,
у) = 0. Кроме того, (Ах, у) = (х, А*у). Поэтому (V* ζ G): A*yJ_x,
т. е. для любого у ζ G1 вектор А *у принадлежит G1. ■
Следствие 1.1. Подпространства G и G± одновременно являются
или не являются инвариантными для самосопряженного оператора
ле^(я). ■
Переформулируем в удобных для дальнейшего терминах
теорему о приведении эрмитовой матрицы к диагональному виду.
Рассмотрим самосопряженный оператор А, действующий в N-
мерном гильбертовом пространстве Я. Пусть λχ <λ2 <... <
<λΛ (η < Ν) — собственные значения оператора А, Ф (ik) —
собственное подпространство, отвечающее Kk9 Ρ (Xk) — ортопроектор
в Я на Φ (λ^) (k = 1, ..., /г). Тогда любой вектор χ ζ Η представим
в виде
η
χ= %Pfrk)x, (1.6)
а действие оператора А на вектор χ имеет вид
η
Αχ= Σλ*Ρ(λ*)*. (1-7)
Сформулированный результат называют теоремой о
спектральном разложении самосопряженного оператора в конечномерном
пространстве. Эта теорема допускает непосредственное обобщение
на случай компактных самосопряженных операторов.
Теорема 1.2. Пусть А — компактный самосопряженный
def
оператор в Я, {λ„, η > 1} = S (Л)\{0} = s (A) — совокупность всех
ненулевых собственных значений Α, Ρ(λη) — ортопроектор на
собственное подпространство Φ(λη). Для каждого вектора χζΗ
справедливо представление
х= Σ Ρ(λη)χ + Ρκ*ΑΧ, (1.8)
еде ряд сходится по норме Я. Действие оператора А на вектор χ
имеет вид
Ах= Σ ΚΡ(λη)χ. (1.9)
ЬпШ)
Доказательство. Согласно теореме 1.1, у оператора А
существует собственный вектор <рь отвечающий собственному
значению λχ: |λχ Ι = || А ||. Иными словами, множество {*% | ζ £ (С} с:
С2 Φ (λ^, так что отвечающее λχ собственное подпространство
нетривиально.
Подпространство Я1 = Ф(Х1)1 инвариантно для
самосопряженного оператора А. Поэтому, сузив оператор А на Нг, получим
самосопряженный компактный оператор А19 действующий в Нг. Если
311

дг = о, то теорема доказана. В противном случае в силу теоремы
1.1 оператор Аг имеет собственный вектор φ2, отвечающий
собственному значению λ2ι|λ2| =||Л1||.
Заметим, что λ2 Φ λχ. Действительно, из неравенства || Аг || =
= sup {| (Лх, *)||*€Si(0) П Я1}<8ир{|(Л^, x)\\x£S1(0)} = \\A\\
следует, что | λχ | > | λ21. Если λχ = λ2, то в Н1 найдется
последовательность ортов (хп)п=\ такая, что lim (Axn, хп) = λχ. Как и в
доказательстве теоремы 1.1, отсюда вытекает существование в Нг
собственного вектора оператора Л, отвечающего собственному
значению %lf а это невозможно.
Согласно лемме 1.2, подпространства Φ (λχ) и Φ (λ2)
ортогональны. Положим #2 = (Φ (λχ) 0 Φ (λ2))1ί Η\ является инвариантным
подпространством для оператора Л, поэтому Л2 = А \Н2 —
компактный самосопряженный оператор. Если Л2 = 0, то теорема
доказана. В противном случае применим теорему 1.1 и т. д.
Положим W =φΦ(λ„). Все собственные векторы оператора
А у отвечающие ненулевым собственным значениям, содержатся в Я.
Отсюда следует, что Η Q Η' = Кег А. (Если это не так, то,
согласно теореме 1.1, в Я © Я' найдется собственный вектор оператора Л,
отвечающий ненулевому собственному значению.) Таким образом,
для любого χζ Η имеет место разложение (1.8), откуда легко
следует (1.9). ■
Замечание 1.4. Спектральное разложение (1.6), (1.7) для оператора
Л в конечномерном пространстве можно детализировать, выбирая
ортонормированный базис в Φ(λ„) (%n£s(A)). Аналогично можно
поступить и с разложением (1.8), (1.9). Согласно теореме IX.4.1,
каждое из подпространств Φ(λ„) (Хя£я(Л)) конечномерно, пусть
Ν (λη) = άίπιΦ{λη). Если выбрать в Φ(λη) ортонормированный
базис (φα (λ„))α=Γ\ а в Кег Л — (ω*)*>ι, то С1-8), (1.9) приобретают
такой вид:
Ν(λη)
х= Σ Σ (х> Φα (λ«)) φα (λ„) + Σ (*> ω*) ω*, (1.10)
ЬпЫА) α=1 fe>l
Ν(λη)
Αχ= Σ λη Σ (*. φα(λ„))φα(λ„). (1.11)
Knis(A) α=1
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Привести пример неэрмитовой билинейной формы,
удовлетворяющей условию замечания 1.1.
1.2. Пусть А компактный самосопряженный оператор в Я,
спектральное разложение которого имеет вид (1.8), (1,9). Доказать, что: a) (Υρ£Ν):Αρ=
= Σ Κρ№η)> где ряд сходится по норме -2" (Я); б) (γζζρ(Α))
(Υχ ζ Η): RZ(A) χ = 2 (λ/ι~ζ)"1 Ρ(λη)*> ГДе РЯД сходится по норме Я.
1.3. Пусть А — компактный самосопряженный оператор в Я. Используя
спектральное разложение Л, сформулировать альтернативу Фредгольма для
уравнения второго рода (£ — σΑ) χ = у (σ 6 С) и найти его решение.
312

1.4. Пусть Л— неотрицательный компактный оператор в Я. Используя
спектральное разложение Л, доказать, что (V/? € F^l) (HI В € ^ (#), В > 0): ВР=А.
(Оператор θ обозначается символом -/А и называется корнем р-й степени из
оператора Л).
1.5. Пусть Л £^(/7). Тогда А*А — неотрицательный компактный оператор.
Положим | Л | = Υ А* А. Доказать, что Л=У | Л|, где V— частично изометрический
оператор в Я, т. е. V £ & (Я) и (V* g Я θ Кег К): || Vx || = || χ ||. Представление
оператора Л в виде Л = V\ А\ называется полярным разложением оператора Л.
1.6. Пусть Л£<^(#). Рассмотрим его полярное разложение Л = У|Л|.
Пусть {sn, η > 1} = 5 (IЛ I )\{0} = s ( | Л |). Доказать, что оператор Л
представим в виде равномерно сходящегося ряда Л = J] snVP (sn), называе-
snis(\A\)
мого рядом Шмидта. Числа snt я>1, называются сингулярными числами
оператора Л.
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
С ЭРМИТОВЫМИ ЯДРАМИ
1. Спектральное разложение самосопряженного интегрального
оператора. Рассмотрим применение спектральной теоремы для
компактных самосопряженных операторов к частному случаю
интегральных операторов в L2 (Ry άμ). Будем предполагать, что ядро
К интегрального оператора А — μ Χ μ-почти везде отличная от
нуля функция из L2(R X R, ά(μ Χ μ)), удовлетворяющая
условию К (t, s) = К (s, t) (mod μ Χ μ). Тогда А — отличный от нуля
самосопряженный оператор Гильберта — Шмидта в L2 (R> άμ).
Приведем формулировку теоремы 1.2 о спектральном разложении для
этого оператора.
Теорема 2.1. Пусть [λη, η > 1}=$(Л)— совокупность всех
ненулевых собственных значений оператора А. Выберем орто-
нормированные базисы (φα(λ„; t))a=ni и ((uk{t))k>i в
подпространствах Φ(λη) (η ζ И) и Кег Л соответственно. Для любой
функции x£L2 (R, άμ) справедливо представление
Ν(λη)
* (0 = Σ Σ (Χ> Φα (λ„)) φα (λ„; ί) +
λη t s(A) α => 1
+ Σ (χ, <ofe)cu*(0, (2.1)
действие оператора А на функцию χ имеет вид
Ν(λη)
(Αχ)(ί)^ Σ λ* Σ (*> φα(λ„))φα(λ„; Ο- (2.2)
λη £ s (Α) α= 1
Ряды в (2.1), (2.2) сходятся в среднем квадратическом
относительно меры μ.
Замечание2.1. Представления (2.1), (2.2) обычно называют
разложением по собственным функциям оператора А и записывают
в другой, более удобной форме. Для этого перенумеруем
собственные значения и собственные функции оператора А следующим об-
313

разом. Каждое собственное значение λη повторим столько раз,
def
какова его кратность: {λν ... , λν λ2, ... , λ2, ...} = {λΑ, η > 1}.
νΊκ) ' ν (λ2>
Все собственные значения λ'η однократны; собственную функцию,
отвечающую λ^, обозначим %(t). Тогда формулы (2.1), (2.2)
приобретают следующий вид!
*(0= Σ {*> %)%{t)+ Σ (*, (*k)(uk(t); (2.3)
η > 1 k > 1
(Лд;) (0 = Σ λ; {χ, ψ„) ψ„ (0. (2.4)
η> 1
2. Билинейное разложение эрмитова ядра. Дополним теорему
2.1 рядом результатов, справедливых только для операторов
рассматриваемого сейчас вида.
Теорема 2.2. Пусть А —самосопряженный оператор
Гильберта— Шмидта в L2(R,d\i)i спектральное разлооюение которого
имеет вид (2.3), (2.4). Ядро К этого оператора допускает следующее
представление:
K(t, s)=* Σ Κι%(ί)ψΛε) (mod μ Χ μ), (2.5)
η > 1
называемое билинейным разложением эрмитова ядра К. Ряд в
(2.5) сходится по норме пространства L2(R X R, ά(μ χ μ)).
Доказательство. Функции {tyn{t), (Ok(t)\n9 &>1}
образуют ортонормированный базис в пространстве L2 (Ry άμ). Согласно
лемме VIII.7.1, система функций {% (t) i|>m (s), ψ„ (t) G)m (s),
ω„ (/) o>m (s), (un(t)tym{s)\n, m > 1} образует ортонормированный
базис в L2(R χ R, ά(μχ μ)). Поэтому функцию K£L2(R χ R,
ά(μΧ μ)) можно разложить в ряд Фурье по этому базису.
Подсчитаем коэффициенты Фурье функции К. Имеем
(К> %Цт) = $ К (t, s) % (0 ψ^~00 d (μ Χ μ) (t, S) =ι
RXR
= $($*<'■ s)^m(s)^(s))^0^(0==
R R
= (Лг|)т, ψ„) =s λΑ/η (я, "* > 1).
Покажем, что остальные коэффициенты Фурье функции К равны
нулю. Действительно, для любой функции x£L2(R, άμ) имеем
{ (K{t, 5)χ(ί)ω,η(8)ά(μΧμ)(ί, s) = (Лсот, л;) =; 0,
откуда следует, что (/С, я|)„(от) = (/С, (u„(om) = 0 (/г, т > 1).
Наконец,
{ /С(/, 5)ω„(0ψ/η(*)Λ(μΧμ)(/, 5) =
314

= $ Ψ/π (s) (J К (U s) ω„ (Ο ώμ (θ) ώμ (s) *=
R R
= J ψΛ (s) (J К (s, /) ω„ (Ο άμ (t)) άμ (s) = (ψ„, Ла>„) = 0.
Таким образом, для эрмитова ядра К имеет место билинейное
разложение (2.5). ■
3. Теорема Гильберта — Шмидта. В теории интегральных
операторов функцию у (t) = (Ах) (t) называют истокообразно предста-
вимой (более полно: «истокообразно представимой через ядро К (t, s)
при помощи функции χ (t)»). Для всякой истокообразно
представимой функции имеет место разложение (2.4) в ряд по собственным
функциям оператора А, сходящийся в среднем квадратическом
относительно меры μ. Важно знать, когда ряд (2.4) сходится в
обычном смысле или даже абсолютно и равномерно.
Лемма 2.1. Пусть μ — конечная мера. Предположим, что
эрмитово ядро К удовлетворяет условию
(Не > 0) (Vt £ R): 5 IК (t, s) |2 άμ (s) <: с. (2.6)
R
Тогда собственные функции (%(t))n>i интегрального оператора
А с ядром К ограничены на R.
Доказательство. Из условия (2.6) следует, что К £
£ L2 (R X R, d (μ Χ μ)). Поэтому А — самосопряженный
оператор Гильберта — Шмидта и для него имеет место разложение (2.3),
(2.4). Используя неравенство Коши — Буняковского, получаем
I Кп^п (0 I2 = | ί К (i, s) % (s) άμ (s) |2 <
R
< J|/C(i, *)|24Ф)||яМ <с (л>1),
R
откуда следует, что (Vt £R):\ % (t) | < V~c | λ« Γ1. ■
Теорема 2.3 (Гильберта — Шмидта). Пусть эрмитово
ядро К удовлетворяет условию (2.6). Тогда разложение в ряд (2.4)
истокообразно представимой функции сходится абсолютно и
равномерно на R.
Доказательство. Пусть у (t) = (Ax) (t) —
истокообразно представимая функция из L2(R, άμ). Как элемент L2(R,
άμ) функция у разлагается в ряд Фурье по ортонормированному
базису {ψΛ(<), tok(t)\n, k>l). При этом коэффициенты Фурье
(Уу ω*) = (Αχ, ω*) = 0 (k > 1), так что
y(t)= Σ (ίΛ Ψ„)ψη(0= Σ Xn(x, ψ«)Ψ«(0, (2.7)
π > 1 π > 1
где ряд сходится по норме L2 (R, άμ).
315

Покажем, что ряд (2.7) сходится абсолютно и равномерно на R.
Имеем
Σ μΐ(*, ψα)ψ*(οι<( "ς \{χ,
k=n+\ k=n+l
ψ*)ι2 "ς ΐλ^*(οι*)ι/8<( "ς" \(χ,
Ψ*)ΐ2Σΐλ^(0ΐ2)1/2. (2.8)
η > 1
Легко доказать, что второй множитель из правой части (2.8) не
превышает числа с из условия (2.6), что, очевидно, влечет требуемое.
Действительно, фиксируя t£R, получим
K%(t)=i\>K(t9 5)ψι(β)ίίμ(*) =(/((*, s), %(s))Li{Rf d[x(s)h
R
откуда в силу неравенства Бесселя следует, что
Σ l^(0la<ilff(f, в)|аф(в)<* {tSR). Ш
η > I R
Замечание 2.2. Пусть R — компакт, μ — конечная мера на
8 (R). Предположим, что эрмитово ядро К ζ С (R X R). Тогда
К удовлетворяет условию (2.6) и для интегрального оператора А
с таким ядром справедливы все доказанные выше теоремы.
Непрерывность ядра К позволяет получить дополнительную информацию.
Оказывается, что собственные функции ψ^ (t), отвечающие
ненулевым собственным значениям λ„, можно переопределить на
множестве нулевой меры μ так, чтобы они стали непрерывными на R.
Делается это следующим образом. Равенство
(А^п) (t) = j K(t, s)ψ„(s) φ(β) =* &%(ή
R
выполняется для μ-почти всех t£R. Переопределим функцию ψη
на множестве нулевой меры так, чтобы это равенство выполнялось
для всех t £ R. Функция % непрерывна на R, это следует из свойств
интеграла, зависящего от параметра (см. упр. III.6.7).
Отметим еще, что билинейное разложение непрерывного ядра
по так переопределенным собственным функциям % при
фиксированном t сходится в L2 (R, φ (s)) и* наоборот, при фиксированном
s — в L2 (R, φ (t)). Действительно, в силу непрерывности К
функция К (t0i s)£ L2 (/?, φ (s)) для любого t0 £ R* а функция К (ί* s0) £
£ L2 (R, φ (ή) (Vs0 ζ R), откуда в силу (2.5) и получаем требуемое.
Заметим, что даже для непрерывных ядер ряд в разложении (2.5),
вообще говоря, не сходится равномерно на R X R.
4* Интегральные операторы с положительно определенными
ядрами. Теорема Мерсера. Напомним (см. § VIII.5), что оператор
316

Α £ 3? (Я) называется неотрицательным, если (Vx ζ Η): {Αχ, χ) >
> 0. Неотрицательный оператор А самосопряжен, его спектр
содержится на сегменте [0, ||Л||] (см. упр. VIII.8.11). Отсюда следует,
что все ненулевые собственные значения неотрицательного
компактного оператора положительны.
Определение 2.1. Ядро К (i, s) (t, s£ R) назовем положительно
определенным (п. о.), если интегральный оператор А с ядром К
неотрицателен в L2(R> άμ), т. е.
(Yx£L2(R, άμ)): J K(t> δ)*(β)*(ί)ίί(μχμ)(ί, s) > 0.
RXR
Интегральный оператор с п. о. ядром К самосопряжен, поэтому
п. о. ядро К является эрмитовым. Следовательно, в случае К ζ
£ L2(R X R, ά(μ Χ μ)) для оператора Л с п. о. ядром К
справедливы все доказанные ранее теоремы. При этом дополнительно
утверждается, что все ненулевые λ'η положительны.
В дальнейшем рассматривается случай, когда R — компакт,
μ — конечная мера на 23 (R), принимающая положительные
значения на открытых множествах (например, R = [а, Ь], μ = m), a п. о.
ядро К ζ С (R X R). В этом случае для оператора А с ядром К
справедливы дополнительные результаты из замечания 2.2. Более
того, условие положительной определенности ядра позволяет
доказать равномерную сходимость билинейного разложения.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.4 (М е ρ с е ρ а). Пусть R — компакт, μ —
конечная мера на 25 (R), положительная на открытых множествах.
Билинейное разложение (2.5) п. о. ядра K^C(RXR) сходится
абсолютно и равномерно на R X R.
Доказательство. Покажем, что (V* ζ R): К (/, t) > 0.
Имеет место следующий общий факт. Если функция χ непрерывна
в точке τ ζ Rt то
*(t) = lim μ(β3(τ))-1 \ χ(ί)άμ(ί). (2.9)
ε - ° *β(τ)
Действительно, легко видеть, что
= й^1 (*(·0-*(0)Φ«). (2Л0)
Βε (τ)
Функиия χ непрерывна в точке τ, т. е. (Vp, > 0)(Ηδ> 0)(V/£
£ Βδ(%)):\χ(χ) — x(t)\<Bt. Тогда из (2.10) следует, что при ε<
Дб модуль левой части (2.10) меньше гг.
317

Аналогично получаем
К (τ, τ)=Ηιημ(βΓ(τ))-2 J K(t, β)</(μΧμ)(ί, s) =
г - ° Br (τ) χ Br (τ)
= lim ί ^№^Γ(0^(μΧμ)(^), (2.11)
г -+0 RxR
где ΜΟ^μ^ΜΓΧΒΜτίίΟί^ί/ί, φ).
Поскольку К — п. о. ядро, то правая часть в (2.11), а
следовательно и К (τ, τ), неотрицательна.
Пусть
00
К (t, s) = Σ λ'ηψη (t) %(έ) (mod μ Χ μ) (2.12)
П= 1
билинейное разложение ядра К. Собственные функции ψη(/2£^)
непрерывны на R и поэтому ядро
def N
ln (t, s) = k (t, s) - Σ &% (t) % (s) =
n — 1
oo
= Σ λ^„(0ψΓ(δ) (2.13)
я = Ν + 1
непрерывно на RxR. Покажем, что LN — п. о. ядро. Ряд в
правой части (2.12) и (2.13) сходится по норме пространства L2(RxR,
ά(μΧμ))> поэтому для x£L2(R, άμ) получаем
J LN(ty 8)Ίΐ(ί)χ(8)ά(μΧμ)(ί, s) =
RxR
= Σ ^|$ыо*(ОФ(оГ>о,
n=*N + l R
т. e. LN— п. о. ядро. Но тогда (V t£R)(V Ν ζ И): £,#(*, /) > О,
TV
т. е. Σ λή|ψη(012 < K(t> f). Из последнего неравенства следует,
« = ι
что ряд
ΣΚ\%ν)\2 (2.14)
сходится на 7? и его сумма Μ (/, £) не превосходит К {t, t).
Покажем, что ряд в правой части (2.12) сходится на R X R и его
сумма M(t,s) совпадает с K{t,s) для любых t,s£R. Отсюда,
в частности, будет следовать, что Μ (t, t) — непрерывная на R
функция. Члены ряда (2.14) суть непрерывные на R
неотрицательные функции, поэтому непрерывность суммы ряда (2.14), согласно
известной теореме Дини, влечет его равномерную на R сходимость.
318

В силу неравенства Коши — Буняковского имеем
Σ λΗΨΗ0ΨΦ)Ι<( Σ λ*|ψ*(012χ
Χ "Σ λΠψ*00Ι2)ι/2> (2.15)
откуда вытекает равномерная на R X R и абсолютная сходимость
ряда из (2.12). Таким образом, для завершения доказательства
теоремы достаточно показать, что равенство (2.12) имеет место для
всех t, s£R.
Покажем, сначала, что ряд из (2.12) при фиксированном t£R
абсолютно и равномерно на R сходится. Используя неравенство
(2.15) и оценку для суммы ряда (2.14), получаем, что
Σ ЯИЫ0ЫГ)1<*(5, s) Σ λΗψ*(0Ι*<
< IIКII "Σ" λ·Α|ψΗί)Ι2,
k — η -f l
откуда в силу сходимости ряда (2.14) следует требуемое. Анало
гично доказывается абсолютная и равномерная на R сходимость
ряда из (2.12) при фиксированном s.
Таким образом, ряд из правой части (2.12) сходится абсолютно
на R X R и его сумма Μ {ty s) непрерывна по каждой из
переменных. Кроме того, Μ (t, s) = К (t, s) (mod μ Χ μ), так что
(Vi £ R): μ ({s ζ R \ Μ (t, s) Φ Κ (t, s)}) = 0. Поскольку мера μ
принимает положительные значения на непустых открытых
множествах, то (Vt£R):{s£R\M(t, $)ΦΚ(ί, s)} = 0. Отсюда следует,
что (Vf, s£R):K(t, s) = M(t, s). ■
Замечание 2.3. В теории интегральных уравнений теоремы 2.1—
2.4 обычно формулируются в терминах характеристических чисел
ση ядра/С, где оп = (К)"1 (см. замечание IX.4.1).
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. В условиях теоремы 2.2 доказать следующие утверждения:
а) 2 λη Ι Ψ* (0 I2 = j I K (U s) |2 άμ (s) (mod μ);
n>\ R
6) 2λ«,= ί ι*β δ)ΐ2^(μχμ)(^ *
rt>l RxR
в) (Αχ, χ) = J] λ,; Ι (*, ψ„) I» (*g L2 (/?, φ));
η>1
Γ) (Vmg N): K{m) (t, s) = £ λ^ψ„ (0 ψ^Φ (mod μχμ);
д) £λ,Τ = J |^>№ί)|Μ(μΧμ)(/, s);
η>1 RXR
319

e) (Vz£p(A)):R2(t, s)= ^ (г--λ^-ι ψ„ (Ο Ψ/ζ 00 (πιοάμΧμ) (J Rz(t,
s)x(s) ίίμ(δ) = (Ζ?;ζ04)*)(θ) » гДе РЯДЫ в г)> е) сходятся по норме L2(R χ R,
ά(μχμ)).
2.2. В условиях теоремы 2.2 найти билинейное разложение для ядра
3ft, (t, s; σ) резольвенты ядра К (см. § IX.6).
2.3. Пусть К 6 L2 ([—π, π]) — четная 2я-периодическая вещественно-
значная функция. Доказать, что интегральный оператор А с ядром К (tt s) =
= k (t — s) самосопряжен в L2 ([—π, π]). Найти собственные значения и
собственные функции оператора А и билинейное разложение ядра /С.
2.4. Пусть ядро К 6 L2 (R X R, d (μ Χ μ)) удовлетворяет условию
Κ (t, s) = —К (s, t). Доказать, что собственные значения интегрального
оператора с таким ядром чисто мнимые. Построить билинейное разложение
ядра К.
2.5. Пусть (R, ίΗ, μ) такие же, как в теореме 2.4, f(£C(R χ R) —
эрмитово ядро. Доказать, что К^ (t, s) = JJ λ„2ψη (t) ψ„ (s), где ряд сходится аб-
п>1
солютно и равномерно на R χ R.
2.6. Пусть выполнены условия упражнения 2.5 и пусть σ 6 С не
является характеристическим числом ядра К. Доказать, что (единственное) решение
уравнения второго рода x(t) = V K{tt s) χ (s) άμ (s) + У (0 можно представить
в виде ряда χ (t) = σ J] ((λ^)""1 — σ)"1 (г/, ψΛ) ψ^ (0 + # (t), равномерно схо-
«>ι
дящегося на R.
2.7. Найти собственные значения и собственные функции интегрального
оператора в L2 ([0, 1]), если его ядро К (t, s) задано в виде: a) t (0 <: t <: s <1),
s (0 < s < t << 1); 6) sin * sin (1 — s) (0 < t < s *£ 1), sin (1 — t) sin s
(0 < s < ^ < 1).
2.8. Решить интегральное уравнение x(t) = o\ К (t, s) χ (s) ds-\- y(t), если
о
y£C*([0, 1]), /C(f, s) — из упр. 2,7 а).
2.9. Пусть /<"£С([а, 6] χ [α, 6]) — эрмитово ядро. Назовем величину
ь
ар = \ КР (t, t)dt (р£Ы)—р'М следом ядра К (t, s). Доказать, что: а) от-
а
ношение а2П+2/а2Д1) не убывает и ограничено; б) существует lim (α2„+2/α2/2)
и этот предел равен наименьшему характеристическому числу ядра К\
в) JI (^)р = аР \р^ 2)> гАе (Vz)^L=i — совокупность ненулевых собственных
л>1
значений оператора А с ядром К\ г) | λί | = Hm Va2P+2/a2P = lim (α2Ρ)1//7.
2.10. Пусть (/?, ίΗ, μ) удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Доказать,
что ядро K£C(RX R) является п. о. в том и только в том случае, когда
п
(Уп^Ы) (ΥΊ, .- , *ng«)(VEi. .... ξ/16 С): Σ Ж'/. Ά>6/ΐ*>0.
/, ft=i
§ 3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
В дальнейшем (§ Х.4, гл. XIV, XV) нам понадобится понятие
интеграла J / (ί) άμ (/), где fiR-+ X — функция, принимающая
значения в банаховом пространстве. Интегралы такого вида можно
320

вводить по-разному. Здесьмырассмотрим метод введения интеграла
от функции со значениями в банаховом пространстве,
принадлежащий С. Бохнеру и являющийся естественным распространением на
векторнозначные функции метода Лебега построения интеграла
от вещественнозначных функций на R.
Пусть </?, 9ΐ, μ) — измеримое пространство с σ-конечной мерой
μ. Функцию / ι R ->- X, где X — банахово пространство, назовем
простой, если
/(О = Σ сОвк if) (Ck С Х\ k =* 1, .. . > /г), (3.1)
где множества Еъ ... , Еп измеримы, имеют конечную меру и
η
Ε, П Ek = <Z> при \Фк (ср. § II.5). Ясно, что ||/(/)||= Σ II С* IIX
XXEk(t) — вещественнозначная простая функция на R.
Определение 3.1. Функцию f:R-+X назовем сильно
измеримой, если существует последовательность простых функций
(fn)n*~i такая, что
lim || /„ (0 -f(t) ||= 0 (mod μ). (3.2)
Замечание 3.1. Пусть /— сильно измеримая функция. Тогда
||/(f) || = lim || fn{t) || (mod μ), так что ||/||i/?-*IR измерима как
П -*■ оо
предел сходящейся (mod μ) последовательности простых функций.
Отметим еще, что линейная комбинация сильно измеримых
функций, как легко видеть, является сильно измеримой функцией.
Определение 3.2. Интеграл Бохнера от функции f:R-+X
по пространству R обозначается символом J f(t)d\\){t) и для
R
простой функции (3.1) определяется равенством
η
С/(ОФ(о= Σ *«*(£*)■ (3·3)
R *-1
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Доказать, что определение интеграла посредством (3.3) не зависит
от того, каким образом простая функция / записана в виде (3.1).
3.2. Доказать следующие свойства интеграла Бохнера от простых
функций: а) линейность; б) неравенство \ / (t) άμ (t) < \ || / (0 || άμ (/); в) / =
R R
= g (mod μ) ^ j / (t) άμ (t) = J g (t) άμ (t).
R R
3.3. Пусть /: R -> X — простая функция, ££iR. Положим I / (/) όμ (*) =
Ε
= \ ^Ε (Ο / (Ο ί/μ (/). Доказать, что векторнозначная функция множества
R
И ^-227 321

ίΗ Э Ε l-*- ν (Ε) = \ ϊ(ήάμ(ήζΧ обладает следующими свойствами: 3)(γ(£·π)~= jc:
cztR:Enf\Em = 0):v( Ц|Щ= JJ v(^я)» гДе Ряд сх°Дится по норме про-
п=1
странства X (счетная аддитивность); б) (γε> 0) Q6 > 0) (γ£ζ ft : μ(£)<
< δ): || ν (Ε) | Κ ε (абсолютная непрерывность относительно меры μ).
Пусть теперь / — произвольная сильно измеримая функция и
(fn)n = ι — последовательность простых функций, удовлетворяющая
условию (3.2). Тогда ||/rt(·)— /(·)ΙΙ — неотрицательная измеримая
функция и имеет смысл интеграл j ||/л(0— /(0Μμ(0 <+°°·
R
Предположим, что j \\fn(t) — f (ί)\\άμ(ί)->·0. Тогда последователь-
R
ность (j fn (0 άμ (t))n elcX — фундаментальна. Действительно, ис-
r ""
пользуя результат упражнения 3.2 а), б), имеем
/i.(o^(o-i/»(o^(o||-||J(/i.(o-
Н R R
-/»(0)Ф(о||<$и/|.(о-/«(011Ф(о<
R
J ΙΙ/»(0-/(0ΙΙ^μ(0+J ll/«(0-/(OII^(0->of
R R
Так как Χ — банахово пространство, то последовательность
(j ΜΟΦ(θ)Γβι сходится, и поэтому корректно следующее оп-
R =
ределение.
Определение 3.3. Функция f:R->X называется
интегрируемой по Бохнеру на R, если она сильно измерима и для любой
последовательности простых функций (fn)n=u удовлетворяющей условию (3.2),
имеет место равенство
lim $||/„(0-/(0Μμ(0==0. (3.4)
rt- °° R
Тогда, как показано выше, существует предел
Jdef л»
Μ0*μ(0 = ]/(0Φ(0. (3.5)
" "* те R R
который называется интегралом Бохнера от функции f на R.
Предлагаем читателю убедиться в том, что предел (3.5) не
зависит от выбора аппроксимирующей последовательности простых
функций, удовлетворяющей условиям (3.2), (3.4).
322

Теорема 3.1. Для того чтобы сильно измеримая функция f
была интегрируема на R по Бохнеру, необходимо и достаточно,
чтобы ее норма \\f\\ была интегрируемой на R по мере μ.
Доказательство. Необходимость. Пусть (/Λ)~~ι—
последовательность простых функций, удовлетворяющая условиям (3.2)
и (3.4). Так как $ 1| МО№№<«>. а $ 11/(0-МОΜμ(0 + 0,
R R
н, следовательно, величина ограниченная, то из неравенства
11/(0II <II/(0-/«(011 + IIU (011 (*€Я; *€М) следует, что
ίΐΙ/(0ΙΜμ(0<οο.
R
Достаточность. Пусть / — сильно измеримая функция такая,
что ||/||ζ£ι(/?, Φ)· Для любой последовательности простых
функций (/„)„=,!, удовлетворяющей условию (3.2), построим
вспомогательную последовательность (£η)/Γ-ι> полагая
= (/» W· если Ι /»(0II < II / (0II (1 + л"1).
ff/ι U — |о в противном случае.
Понятно, что lim II/(0 — gn(t) II = 0 (mod μ). Кроме того, (V/i£
6 И) HI £д (0 II < ΐί7"(0 IK 1 + л"1) < 2II / (0II» так что
последовательность (||/(·)— #п(.)||)£=1имеет интегрируемую мажоранту 3||/(·)||.
Применяя теорему Лебега о предельном переходе, получим, что
lim \ ||/(0 — gn(t)\\dy.(t) = 0, т. е. функция / интегрируема по
Бохнеру на R. Ш
УПРАЖНЕНИЯ
3.4. Пусть Ε — измеримое подмножество R. Сильно измеримую функцию
f назовем интегрируемой по Бохнеру на Е, если интегрируема по Бохнеру на
R функция %Ef. Доказать, что интегрируемая на R функция / интегрируема
на любом измеримом подмножестве Ε cz R.
3.5. Пусть / — интегрируемая по Бохнеру на R функция. Доказать,
что интеграл Бохнера от функции / обладает свойствами, сформулированными
в упр. 3.2, 3.3.
3.6. Пусть (/д (· ))/!Li последовательность интегрируемых по Бохнеру на R
функций, удовлетворяющая следующим условиям: 1) || fn (t) — / (t) || -►
-►0(mod μ); 2) существует интегрируемая на R функция φ такая, что (γ/ι£
€ Щ '· IIU (0II < II ф (0 II (*€ R)· Доказать, что функция / также интегрируема
на R и
flm С/я(0Ф(0-(/(0Ф(0·
n"mR R
3.7. Пусть /?=»|R, μ—мера Лебега. Используя результат упр. V.8.1,
доказать, что для интегрируемой по Бохнеру на IR функции / справедливо
равенство
*+*
/(O-s.limpe)·* [ t(i)dm(x) (modm).
Η· 323

В заключение докажем утверждение об операторнозначных
функциях, интегрируемых по Бохнеру.
Теорема 3.2. Пусть X = & (Еъ Е2), где Εν Ε2 — банаховы
пространства. Если функция А : R ->■ & (Еъ Е2) интегрируема по
Бохнеру на R, то для любого х£Ег векторнозначная функция
R ζ 11-> f (f) = A (t) χ ζ Е2 интегрируема по Бохнеру на R и
J Л (0 χάμ(ί) = (J Α (ί)άμ(ί)) χ. (3.6)
R R
Доказательство. Функция A(t) (t£R) сильно измерима.
Пусть (Ап (·))~= ι — последовательность простых операторнозначных
функций, удовлетворяющая условию (3.2) (с заменой fn и f на
Ап и А соответственно). Тогда Ап(-)х (х^Ег) является, очевидно,
простой векторнозначной функцией, причем из неравенства \\A(f)x —
— An{f) х || < || A (t) — An(t) |11| л: || следует, что функция A (t) x сильно
измерима на R для любого х^Ег. Далее, из интегрируемости А
на R, согласно теореме 3.1, следует, что j || A (t)\\ ώμ(/)<οο.
R
Но тогда имеем для χζΕχ
\\\A{t)x\\d^(t)<\\\A{t)\\d^{t)\\x\\<oo
R R
ив силу теоремы 3.1 функция А (·) χ интегрируема на R. Равенство
(3.6), очевидное для простых функций Ап, получается в общем
случае с помощью предельного перехода. ■
УПРАЖНЕНИЯ
3.8. Пусть / : R -> X — интегрируемая по Бохнеру на R
векторнозначная функция, А 6 & (Ху Υ), где Υ — банахово пространство. Доказать, что
функция Af (') : R-* Υ интегрируема по Бохнеру на R и справедливо
равенство
л({/(0Ф(0) = {л/(0Ф(0*
R R
3.9. Операторнозначная функция А : R -> 5" (Elt Е2) называется слабо
измеримой, если (Yx £ Ег) (γ/ £ Е% ) скалярная функция / (A (t) χ) = φ^ ^ (ΐ)
измерима. Доказать, что: а) сильно измеримая функция является слабо
измеримой, а обратное, вообще говоря, неверно; б) если последовательность
(Λι(·))Γ=ι простых функций слабо в 3?(Elt Е2) сходится к А(·), то Л(·) —
слабо измерима; в) пусть Ег = Е2 = Я — гильбертово пространство, (ej)JLx —
ортонормированный базис в Я; если (у/, k£N) функция (A(-)ek, e·)
измерима, то операторнозначная функция A: R-+& (Я) слабо измерима.
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
1. Пусть Ε — банахово пространство, А —линейный оператор,
действующий в Е, и пусть F (ζ) (ζ ζ (£) — некоторая комплексно-
значная функция. Возникает естественный вопрос: можно ли по-
324

строить функцию F (А) от
оператора Л? Ответ утвердителен, если
η
Ρ (ζ) = Σ akzk — полином. В этом
случае
F(A) = а0Ц + а±А + . .. + anA".
(4.1)
Ниже описывается построение F (А)
для функций F, являющихся ана- Рис. 8
литическими в некоторой
окрестности спектра оператора А. Дальнейшие результаты теории
функций от операторов приводятся в гл. XIII.
Итак, пусть Α £ 3? (£), 5 (А) — спектр оператора Л,
являющийся, согласно теореме VIII.8.1, замкнутым подмножеством круга
{ζ £ (С [ | г| < || А ||}. Рассмотрим аналитическую функцию F (ζ),
определенную в некоторой окрестности D (F) спектра оператора А
(окрестность D (F) не обязательно связна). Совокупность всех таких
функций обозначим Л (S (А)) или, короче, Л (если это не приведет
к недоразумению).
Легко видеть, что Л является алгеброй относительно операций
сложения и умножения. Действительно, если Р^Л аналитична
в D (F) и G ζ Л. — аналитична в D (G), то их сумма F + G и
произведение F G аналитичны в области D (F) f] D (G), содержащей
5 (А). Следовательно, {YF, G £ Л): F + G , FG £ Л.
Определим отображение Л (S (A)) BF \-+F (Α) ζ 2? (Ε), полагая
для F$J,(S(A))
Р(А) = -Ы§р(*)Ъ(А)аг, (4.2)
г
где замкнутый контур Г α D (f), состоящий из конечного числа
спрямляемых жордановых кривых, ориентированных в
положительном направлении, охватывает 5 (А) (см. рис. 8). Проверим
корректность данного определения.
Контур Г содержится во множестве ρ (А) регулярных точек
оператора Л, поэтому операторнозначная функция
D(F) П p(A)3z\-+F(z)R,(A)tsr(E) (4.3)
аналитична на своей области определения (см. теорему VIII.8.4 и
замечание VIII.8.2). Отсюда следует, что функция (4.3) сильно
измерима по Борелю и ограничена. Поэтому интеграл в правой части
(4.2) определен, во всяком случае, как интеграл Бохнера
относительно меры Лебега на Г. Предоставляем читателю проверить, что
этот интеграл является пределом по норме з? (Е) интегральных сумм
/г — 1
типа римановских: Σ F(ζ*)(г* — Zfe-i)> где z0 = гл, zl9 ... , гп-\
k = 0
образуют разбиение Г, ζ^ —точка дуги Zk-iZk (k = 1, ... , η— 1).
325

Далее, интеграл в правой части (4.2) не зависит от выбора
контура Г cz D (F), охватывающего 5 (А). Действительно, для любых
х £ Ε, Ι ζ Ε' комплекснозначная функция D {F) fl ρ (А) Э г '->-
ι->- / (F (z) Rz (A) χ) является аналитической. Из теории
аналитических функций известно, что интеграл $ / (F (г) Rz (A) х) dz не за-
г
висит от выбора контура указанного вида, откуда и следует
требуемое.
Пример 4.1. Пусть £ = (D. Любой линейный непрерывный оператор в Ε
имеет вид Ах = αχ (χ £ С), где а — фиксированное комплексное число, его
резольвента Rz (Α) χ = (α — ζ)"1 χ, где z @ S (Α) = {а}. Пусть F (ζ) —
аналитическая функция, определенная в некоторой окрестности точки а. Согласно
формуле Коши, имеем
Г
т. е. определение функции F (А) от оператора А посредством (4.2) совпадает
с естественным определением функции от оператора, действующего в
одномерном пространстве.
Теорема 4.1. Отображение
Л (S (А)) Э F «-> φ (F) = F (Α) ζ & (Е) (4.4)
является гомоморфизмом алгебры A(S (А)) в алгебру 2?(Е). При
этом ф(1) = й» <р(*) = Л.
Доказательство. Пусть F, G£^(S(4)), ΓσΟ(ί)0
G D (G) — контур, охватывающий 5 (А). Тогда имеем
<p{F+G) = -±j)(F(z) + G(z))Rzdz-
г
= -M§F(z)Rzdz-±§G(z)Rzdz=4(F) + <$(G).
Г Г
Для доказательства равенства φ (FG) = φ (F) X φ (G) (F, G £ J)
рассмотрим два контура Г1э T2cz D (F) f] D (G), охватывающих
5 (А) и не имеющих общих точек. Ясно, что тогда один из этих
контуров охватывает другой. Пусть, для определенности, Г2 охватывает
1\. Применяя тождество Гильберта для резольвенты, получим, что
4>(F)y(G) = F(A)G(A) = (-^)2j)F(z)x
Г!
xRzdz§G&)R,dt = (-^2j)j)F(z)Gtt)x
г, г, г2
X R2R,dzdl = (- g]L)2 (j) (j) F (z) G (ζ) ^^ άζάζ =
г» г2
326

+(ά),$(^Λ)°ω1?Λ. (4.5)
г, г,
Второе слагаемое в (4.5) равно нулю. Действительно, точка
ζ ζ Г2 не входит в область Dl9 ограниченную контуром Г\, и
поэтому функция (г— ζ)-1F (г) аналитична на Dx (J I\. Согласно
теореме Коши, внутренний интеграл во втором слагаемом из (4.5)
равен нулю.
Рассмотрим внутренний интеграл в первом слагаемом. Точка
ζζΤτ входит в область, ограниченную контуром Г2, и, согласно
той же теореме Коши, этот интеграл равен G (г). Таким образом,
Γι
т. е. отображение 4\<Α\-+&(Ε) является гомоморфизмом.
Для доказательства равенства φ(1) = β рассмотрим контур Г,
лежащий вне круга {z£(CI | г\ < || Л||}. Тогда для г£Г имеем
i?.M) —1(Л + 4 + рг' + ···).
где ряд сходится по норме &(Е). Интегрируя в (4.2) почленно,
получим
г г г
Согласно формуле Коши, при η > 2 (ρ z*-ndz = О, а (ρ ζ~Ηζ = 2м.
г г
Поэтому ср(1) = й. Проверить равенство φ (z) = А предлагаем
читателю самостоятельно. ■
Замечание 4.1. Поскольку φ — гомоморфизм, то (V k £ И): φ (zk) =
= Ak. Поэтому для полинома Ρ (ζ) = а0 -f αχζ + . .. + αηζη
получаем φ (Ρ) = а0Ц + #ХЛ + .. . + αηΑη. Таким образом, определение
полинома Ρ (А) от оператора А с помощью формулы (4.2)
совпадает с обычным, т. е. посредством равенства (4-1)·
Замечание 4.2. Для любых функций F, G£A, операторы F(A)
и G (А) коммутируют: F (A) G (А) = (FG) (А) = (GF) (А) = G (A) F (Л).
Замечание 4.3. Отображение у\Л\-*&(Е), вообще говоря, не
является изоморфизмом. Например, пусть А — нильпотентный
оператор. Тогда, начиная с некоторого р>1, y(zp) — Api=Q, так
что Кегф=7^{0}.
Замечание 4.4. Пусть функция ΡζΛ представима степенным
рядом
F(z) = F(z0) + ^(z-z0)+... (z£D{F))9 (4.6)
327

где z0 — регулярная точка оператора Л. На контуре Г с D(F) ряд
(4.6) сходится равномерно и поэтому
F(A) = -±§F(z)Rzdz =
Г
00
--24ΐΦ(Σ^ο)(2-*ο)*)*^
Г k = Q
fc=0 Г
Применяя теорему 4.1, получим следующее представление
аналитической функции от оператора Л в виде сходящегося по норме
&(Е) степенного ряда:
F{A)=%I^(A-z0Vk. (4.7)
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Пусть функции Fn ζ j& (S (Л)) (ηζΜ) аналитичны в некоторой
фиксированной окрестности D спектра S (А). Предположим, что FnzX.F на D»
Доказать, что Fn (A) z£ F (Л), η -> оо.
4.2. Пусть функция F ζ <?& такова, что 1/i7 6 «^· Доказать, что оператор
F (А) обратим и F (Л)"1 = (1/F) (Л).
4.3. Пусть χ 6 Ε — собственный вектор оператора Л, отвечающий
собственному значению λ, и F 6 с& (5 (Л)). Доказать, что # является собственным
вектором оператора F (Л), отвечающим собственному значению F (λ).
4.4. Пусть Я — гильбертово пространство, Л 6 & (Я) —
неотрицательный оператор. Доказать, что (Υρ 6 Щ (3^ 6 ^ (Я), В > 0) : В? = Л.
(Оператор 5 называется корнем р-й степени из оператора Л и обозначается
символом ^ЛЛ; ср. с упр. 1.4.)
Теорема 4.2 (Д а н φ ο ρ д а). Пусть F £<A{S (Л)), оператор
F (А) определен посредством (4.2). Тогда
S(F(A)) = F(S(A)).
Доказательство. Пусть ζ ^ F (S (Л)). Покажем, что ζ
является регулярной точкой оператора F (А), т. е. ζ ^ S (F (А)).
Заметим, что G (г) == (F (г) — ζ)"1 ζ Λ, и поэтому определен
линейный непрерывный оператор G (А). Кроме того, φ {{F (z) — ζ) G (z))=
= ψ 0) = й» откуда следует, что G (А) = (F (Л) — ζϋ.)"1· Таким
образом, доказано включение S (F (A)) ^ F (S (Л)).
Установим включение F (S (Л)) ^ S (F (Л)). Пусть λ £ S (Л);
пркажем, что F (λ) ζ S (F (А)). Рассмотрим функцию G (г) =
= (F (z) — F (λ)) (z — λ)"1. Легко видеть, что функция G входит
в Л (S (Л))· Применяя к равенству G (г) (г — λ) = F (г) — F (λ)
отображение φ, получим, что
G(A)(A -XH) = F(A)-F(K)ll.
328

Поэтому если оператор F (Л) — F (λ)β имеет ограниченный
обратный В, то G (А) В будет ограниченным оператором, обратным
А —λ^Ι, что невозможно. ■
Теорема 4.3. Предположим, что F £ Л (S (А)), G £ Λ (S (F (А))).
Тогда сложная функция Η (·) = G {F (·)) £ Л (S (А)) и Η (А) =
= G(F(A)).
Доказательство. Согласно теореме 4.2, S (F (А)) =
= F (S (Л)), так что функция G аналитична в некоторой окрестности
F (S (А))у а функция Η (·) = G (F (·)) аналитична в некоторой
окрестности S (А).
Установим равенство Η (А) = G (F (А)). Пусть Г — контур из
D (G), охватывающий S (F (А)). Рассмотрим контур у cz D (F)
такой, что ограниченная им область D содержит 5 (Л), a F (D U у)
содержится в области, ограниченной контуром Г.
Тогда
R, (F (А)) = - ± j)( F (ζ) - гГЯс (Α)άζ (4.8)
V
для всех z £ Г,так как оператор, стоящий в правой части (4.8)
(обозначим его через В), удовлетворяет равенству (F (Л) — zfl) В =
= В (F (Л) — zfl) = Ц.. Применяя формулу Коши, получаем
0(^(Л))=-^^0(г)^(^^))^ =
г
г ν
ν г
что и требовалось доказать. ■
2. Пусть Αζ&{Ε) таков, что 5 (Л) = S1 [}... U Sn, где Slf
Sn — замкнутые попарно непересекающиеся множества, и пусть
функция F£ A(S (Л)). Рассмотрим контур Г = I\ U . . . U Γ„ с: D (F),
где контур Г/ охватывает множество 5/, Г/ Q Г^ =* 0 при / =й= &.
Тогда имеем, что
F(A) = -±j)F(z)Rzdz =
Г
/=ι г/
Изучим свойства слагаемых в правой части (4.9). С этой целью
рассмотрим функцию (С £z'->X/(z), равную единице в некоторой
329

окрестности множества 5/, непересекающейся с S* при кФ], и
нулю в остальных точках (/ = 1, ... , ή). Ясно, что X/6*^(5 (Л)).
Положим
Pf = %i(A)=-±j)Rzdz (/=1, ...,/2). (4.10)
г/
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4.4. Пространство Ε совпадает с прямой суммой
подпространств G/ = & (Р/):
E=>Gt+m.. + Gn. (4.11)
Каждое из подпространств Gv . . . , Gn является инвариантным
подпространством для любой функции F(A) (Р£^(5(Л))).
Доказательство. Заметим сначала, что %/(г)Xk (ζ) ==
=» S/feX/ (2:) (/, fe=l, ..., /г). Согласно теореме 4.1, получаем,
что PjPk = PkPj = δ/^Ρ/ (/, k = 1, . . . , η). Таким образом, Р/ =
= Ρ/ и G/ = & (Pj) = {x£E\PjX = x} (/ = 1, . . . , /г), откуда
следует, что G/ — подпространство. Действительно, пусть хп-ух, где
(^η)η°-=ι cz G/. Переходя к пределу в равенстве xn = PjXn, получим,
что x = Pjx, т. е. x^Gj.
η
Рассмотрим функцию %(ζ) = Σ Х/(*)· Ясно, что χ (г) равна
единице в некоторой окрестности спектра оператора А и нулю
в остальных точках. Применяя теорему 4.1 и равенство (4.9),
получим, что Ц «= χ (Л) = Хх(Л)+ ... + χ„ (Л) = Рх + ... + Рпу
откуда следует, что
(ΥχζΕ):χ = хг+ ... + хп (Xk = PkX£Gk;
&=1, ... , /г). (4.12)
Убедимся в единственности представления χ в виде (4.12). Пусть
χ *=* х'г-{·...·{-хп — другое такое представление. Применяя к этому
равенству оператор Рь получим, что PkX = Рнх\ + . . . + PkXn =
= РъРхА + · · · + PkPnX'n = Pkn = x'k, т. е. xk = x'k (k = 1, ..., /г).
Итак, равенство (4.11) доказано.
Докажем теперь, что G/ является инвариантным
подпространством для оператора А и что спектр 5 (Aj) сужения Af'=A\Gj
оператора А на подпространство G/ совпадает с S/ (/ = 1, . .. , /г).
Пусть x£G,·. Тогда д: = Pjx = %/(Л)#. Согласно замечанию 4.2,
функции от оператора А коммутируют. Поэтому Ах = A%j(A)x =
= χ/ (Л) Л* = PjAx, т. е. (Va^G/) : Л*£ G/. Оператор Л/^Л^/
совпадает на G/ с оператором ЛР/ = A%j(A) = ψ/(Л), где ψ/(ζ) =
= z%/(2). Так как %6^(5(Л)), то, согласно теореме Данфорда,
•S (ψ/(Л)) = яр/(S (Л)) = S/u{0}. Поскольку Л/ совпадает с ψ/(Л)
только на G/, то 5(ЛУ) = 5/ (/ = 1, . .. , /г).
Предлагаем читателю проверить инвариантность подпространств
G/ (/—1, ..., п) для Р(Л)^и что F(A)x = F(A1)x1 + ...+
+ *4Λι)*« (F£d(S(A)y9 χζΕ, xk$Gky k= 1, ... , /г). ■
330

ПРИМЕРЫ
4.1. Пусть А — компактный оператор в Е, S(A) — его спектр. Согласно
теореме IX.4.1, S(A) = {Kn, rc>l}U{0}. Положим Sx = {λ^, ... , 5m={Xm},
Sm+1 = {λη, Az>m+l}U{0}. Согласно теореме 4.4,
(V* £ Ε) : χ = Ргх + · · · + Ртх + Рт+1х, (4.13)
причем подпространство 3R, (Рд.) = G^ (k — 1, ... , т) совпадает с собственным
подпространством Φ (λ^) оператора А. Поэтому
т
Ах = APlX +···+ АРт+1х = £ λΛ* + ЛРт+1х. (4.14)
k=\
Предположим, что дополнительно известно следующее: (у* £ Е):
Pm+i#-> 0, т-> оо. Тогда в (4.13) и (4.14) можно перейти к пределу при
т-> оо и получить для компактного оператора А представление, подобное
спектральному разложению (1.8), (1.9) для компактного самосопряженного
оператора в гильбертовом пространстве.
4.2. Пусть Ε = CN', (ej)f=i — некоторый базис в Е. Оператору Α £ 9? (<ΩΝ)
в этом базисе отвечает матрица (Я/&Ъ k=l· Спектр оператора А — это
множество корней {λχ, .,. , λη] (η <: Ν) характеристического полинома det ((α,^—
- №jk)lk=l) = @N (λ) матрицы (ajk)ftk==l. Ясно, что 5 (А) = 5ги . .. [)Sn,
где Sfe= {λ^} (k — 1, .. . , η), и поэтому для построения функций от
оператора А можно применить описанную выше схему. Поэтому для F£&&(S(A))
получаем F (А) = F (Аг) Η f- F (Ап), где Af = APf (j = 1, . .. , n).
Разложим F (z) в степенной ряд в некотором круге с центром в точке
v<Fik) <V *
λ<: F (ζ) = /ц —Т\— (г — Л/) · Согласно (4.7), получим, что
ft=o
F' (λ,)
/?μ/) = ,Ρ(λ/)Ρ. + —j-ί-(Л;. - λ/Ρρ + ... (/=1 η);
F (Α) = J] (f (λ;) Ρ, + ^ΙΜ (Лу -λ7Ρ7)+ · · ·) · (4.15)
/=ι
Особенность рассматриваемой ситуации состоит в том, что 0/7=* 1» ··· » п)
(3^/ £ №) : (Aj — 'KjPj) ' = 0, т. е. в (4.15) ряды заменяются конечными
суммами. Докажем это утверждение.
Как известно из линейной алгебры, в ©# существует базис, в котором
отвечающая оператору А матрица имеет каноническую жорданову форму. Если
все собственные значения однократны, то эта каноническая форма —
диагональная матрица (λ^δβ)^ k=l. В этом случае (V/= 1, ... , п) :mj = 1 и (4,15)
имеет вид
N
FiA^F^Pj (/=1, ... 9N);F(A)=y£iF(XJ)Pf.
В противном случае в упомянутом базисе матрица оператора А имеет
квазидиагональный вид
1Kb
331

где |λβ| — канонический блок Жордана, отвечающий λ^.ν Канонический блок
Жордана— также квазидиагональная матрица, диагональными блоками
которой служат такие матрицы:
-Г
X
(т£> > 0, ««> > т<2> > · · · > «<*> > 0; fj mf> = JV (λ»)).
Таким образом, (γ/ =1, ... , п):т- = mi1* и формулы(4.15) приводятся
к следующему виду:
FH/)-f(*/)P/ + VM/-W + -+ ЦП)-!),
т(1)_, « Ш/ =1
Х(Л-Я.Р.) / ;^(Л)=2 Σ (^-ι^ίλρμ.-λ^/. (4.16)
Напомним, что числа т^, 4.» , т^ находятся следующим образом. Пусть
@N—\{ty — наибольший общий делитель всех миноров N— 1-го порядка
матрицы (ajk~^jk?]tk=v Отношение (—1)Ν^Ν(λ)/^Ν_ι(λ) совпадает с произ-
п * m(i)
ведением |"1(λ —λ^) k.
k=\
Формулы (4.16) имеют смысл не только для аналитических в окрестности
5 (А) = {λ-t, \.., λη} функций, но и для функции, имеющей в точках λχ, ..., λη
производные достаточно высоких порядков. Поэтому посредством (4.16)
можно определить неаналитические функции от матриц.
УПРАЖНЕНИЯ
4.5. Пусть Α £ 5" (Ε) и пусть ζ0 g С — изолированная особая точка опера-
торнозначной аналитической функции ρ (А) Э ζ ι-*· Rz (A) £3? (Ε). Доказать, что
00
R2(A) можно разложить в ряд Лорана Rz (А) = ]£] (z — z0)nCn. Коэффи-
Л=—оо
циенты Сп^З?(Е) определяются следующим образом:
)(z-zorn-lRz(A)dz (/igZ),
г
где Г — граница круга {ζ g С | | z — ζ0 | < ε} достаточно малого радиуса, не
содержащего других особых точек RZ(A), кроме z = z0, интегрирование
выполняется в направлении положительного обхода Г.
4.6. В условиях предыдущего упражнения доказать, что коэффициенты
Сп (ηζΖ) ряда Лорана для резольвенты обладают следующими свойствами:
а) (уя, тg Ζ): СпСт = СтСп; б) (γη g Έ): АСп = СпА; в) (γη g Ζ+) (Vm g
€ Ν): CnC_m = 0; г) (γη g Ν) : Сп ~ (-1)" CJ+1; д) (Vm, л g N): C_m_„+1 -
= С.тС_л; е) (γη g Z+): Cn = (Л - ζ0β) См; ж) (Yn g Ν): (A - z0fl) C.„ -
= C.rt_! = (Л — z0fl)" C_x; 3) C_, - 4 = (A - z0H) Cn.
- —25i^<

Г Л Л В Л XI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В этой главе излагаются начала теории обобщенных функций
Соболева — Шварца. Рассматриваются классические пространства обобщенных
функций @' (IR^) и $' (IR^), т. е. пространства линейных непрерывных
функционалов на финитных и соответственно быстро убывающих гладких
функциях. Отбор материала продиктован в основном потребностями дальнейшего
изложения (гл. XIV — XVI). Следует отметить, что имеется много книг,
в которых теория и применение обобщенных функций рассмотрены подробно
и доступно (см., например, [13, 14, 21, 22, 82, 96]).
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Пространство основных функций ^(IR^). Напомним, что
носителем непрерывной на RN функции называется замыкание
множества тех точек iglR^, где Ι(ήΦ0\ носитель f обозначается
supp/. Функция f^C(]RN) называется финитной, если supp/—
компактное множество. Совокупность всех финитных функций из
C{W) обозначается CQ(RN).
Рассмотрим линейное пространство С~ (1RN) финитных бесконечно
дифференцируемых функций на Ц1*. Элементы этого пространства
обозначим буквами φ, ψ, ... . Пространство основных функций
^(IR^) — это пространство С™(ЦМ), наделенное следующей
сходимостью. Пусть φ, q)n£@(RN) (η ζ ЭД). Последовательность (φ„)~= ι
сходится к φ в ^(JR^), если выполнены условия:
1) носители <φη равномерно ограничены, т. е. (Hr>0) (V/z£
€N):supp<p,, = fir(0);
2) (Vvlf ..., vN£Z+):Dvq>n = a— -^-D> на Вг(0)
(здесь и далее используются обозначения из § VI.7).
Пример 1.1. Примером основной функции, отличной от нулевой, может
служить «ε-шапочка», т. е, функция
ωβ(θ=ίέ?ββχΡ\-β»-μι»}·,/|<8· (Ы)
I 0, |f|>e,
где постоянная с& такова, что \ ωε(ί)άΐ = L
333

УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Изобразить график функции ω8 (Ν = 1). Проверить, что (γε>0):ωε£
£@(\RN).
1.2. Доказать, что (Уг> 0) (γαζ \RN) функция IR* Э /»-*- [ ХВг(а) (5) *
Χ ωε(* — s) ds входит в @(\RIV).
1.3. Пусть <p£^(IR^). Сходятся ли в &(\RN) следующие
последовательности: а) ("-ΐφ)-^; б) (п~^ (nt))^0 в) (/Γ^φ {η'4))^λ?
1.4. Доказать, что: а) φη-*φ, ψ/ι-*Ψ в ^ (IR^)=*<P/i + Ψπ-*"Φ + Ψ
в ^(IRN); б) (prt-*<pB ^(^)π=^(γλ^ί)):λφη->λφ в 0(IRN), т. t.
операции сложения и умножения на λ £ С непрерывны в & (IR ).
1.5. Доказать, что (Υη £ С80 (IR^)) из <prt-*<p в & (IR") следует, что ηφ«-^
->ηφ в ^(IR"), τ, е. оператор умножения на rj^C00^") непрерывен
в @(\RN).
1.6. Доказать, что (ΥνζΖ*^) из φη-*φ в ^ (IR") следует, что Dv(pn->
-*Dv<p в @(\RN)t т. е. оператор £>v непрерывен в ^(IR^).
Замечание 1.1. В пространстве @(1RN) можно указать такую
систему окрестностей Σ, что сходимость φ„->φ в топологическом
пространстве (^(IR"), Σ) совпадает с введенной выше сходимостью
ф/ι-^φ в ^>(IR") (см. § XIV.4). Поэтому из результата
упражнения 1.4 следует, что пространство основных функций ^>(IR")
является линейным топологическим пространством (см. § VI.2).
2. Операторы осреднения. Выше приводился пример ненулевой
основной функции. Покажем, что основных функций достаточно
много. С этой целью введем и изучим понятие оператора осреднения.
Функцию f(t) (iglR"), удовлетворяющую условию %Af (E^iCR^
для любого ограниченного Α £ 8 (IR"), назовем локально
суммируемой на IR" по мере Лебега. Совокупность всех таких функций
обозначим символом Llf ^(IR"). Положим для /£ Li$ i0cCR^) и
ε>0
(Sef) (t) = $ ωε (t - s) f (s) ds = (ωβ Χ /) (0, (1.2)
где ω8 — функция вида (1.1). (Функцию ωεχ/ называют сверткой
функций ω8 и f.) Определенный посредством (1.2) линейный
оператор Se называют оператором осреднения, а функцию (Sef) (t) =
= (ω8χ/)(/)—средней функцией / (или регуляризацией /).
Равенство (1.2) определяет оператор 5ε и на функциях f£
£ LP(G) (p > 1), где G cz IR" — ограниченная область, нужно лишь
предварительно продолжить / нулем на все IR". Ясно, что так
продолженная функция /, т. е. %af, входит в Z-i, i0G (IR^).
Среднюю функцию S8 (%<?/) назовем значением оператора SB на f£
Продолжение / нулем вне G излишне, если f£Lj(G) финитна,
т. е. / обращается в нуль (mod m) вне открытого множества G'
такого, что G' cG (β таком случае говорят, что G' строго
corn

держится в G). Совокупность всех финитных функций из LP{G)
обозначим символом LPt0(G).
Лемма 1.1. Пусть G с: IR^ — ограниченная область, е>0.
Оператор 5в обладает следующими свойствами: 1) (V f ζ
ebbl0C(^)):Se/eC-(IR^; 2) (V ρ > 1): S8£ <?(LP(G)); 3) (V f ζ
tC0(G)):Sj ~->J в C(G); 4) (V f £LPt 0(G)):S6f-~>Qf в LP(G).
Доказательство. 1) Подынтегральная функция в (1.2)
бесконечно дифференцируема по t. Это следует из результата
упр. 1.1. Включение S8f£C~(lRN) вытекает из свойств интеграла,
зависящего от параметра.
2) Если f^Lp{G), то, как легко видеть, функция SBf входит
в С~ (IR^). Применяя неравенство Гель дера, получим
$ | (S*f){t)\Pdt « J I J /(s)co8(* -s)ds\Pdt <
G Q \RN
«$ $l/(s)l'(oe(f — s)ds(J(oe(/ — s)ds)P^1dt^
G \RN \RN
«S $\f{s)\'Vt(t — s)dsdt<$\f(t)\'>dt = \\f\\pp. (1.3)
G \RN G
Отсюда следует, что S8 непрерывно действует в LP(G).
3) Пусть f£C0(G). Тогда из оценки
l(Se/)(0-/(OI-|i <»e(t-S)f(s)ds-
\RN
— ^e(t-s)f(t)ds\<l(oe(t — s)\f(t)-f(s)\ds<
\rn \rn
<max{\f(t) — f(s)\ \t, s£G,\t — s\<e)
и из равномерной непрерывности функции / на G следует, что
/е=£/ на G при ε->0.
4) Пусть f£Lp,0(G). Для всякого δ>0 найдется функция
g£C0(G) такая, что ||/ — g\\P<8/ 3. Используя свойство 3),
получим, что
(Zs0>0)(V8<z0):\\g-Seg\\p<№.
Отсюда с помощью неравенства (1.3) имеем для всех ε<ε0, что
\\f-SJ\\P<\\f-g\\p + \\g-SBg\\p +
+ \\St(g-f)\\p<2\\f-g\\p + \\g-Seg\\p<
< 26/3 + 6/3 = δ,
т. е. Sj£bf в LP{G). Ш
Следствие 1.1. Пространство ^(Щ^) всюду плотно в Lp (IR^)
(р>1У
Пусть f£Lp(!RN) и δ>0 заданы. Найдется такое
ограниченное измеримое множество AczW, что ||/— /%л ||р<6/2. Рас·
335

смотрим ограниченную область G = {x^IR^ | ρ (л:, Л)<е|. Так как
GzdA, то || / — /Xg||p<6/2. Согласно свойству 4) оператора S8,
(3е>0): ||/JCG— S8(/%g) II/? < -g-. При этом, как отмечалось выше,
S8 (/%<?)€ ^(R^), откуда и следует требуемое. ■
Замечание 1.2. При определении оператора Se и изучении его
свойств использовались не явный вид функции ωε, а такие ее свой-
cruai 1) ωΒζ^(ΚΝ) (в>0); 2) ωβ(ί) = 0 при |ί|>β; 3) ωβ(ί)>
>0 (i^IR^); 4) j (ue(t)dt= 1. Предлагаем читателю убедиться
в том, что для построенного с помощью (1.2) по удовлетворяющей
условиям 1)—4) функции ω8 оператора 58 справедливы
утверждения леммы 1.1 и следствия 1.1.
УПРАЖНЕНИЯ
1.7. Провести подробное доказательство свойства 1) оператора 5g.
1.8. riycTbGclR —ограниченная область, / — финитная функция из
J-oo (G). Доказать, что Sj ^Qf в L„ (G).
1.9. Пусть Gcz\RN — ограниченная область с кусочно-гладкой границей
dG, G' — содержащаяся строго внутри G подобласть с кусочно-гладкой
границей. Пусть / g СМ (δ) (ν £ Ζ£, Ι ν Ι = Vi + ... + vN). Доказать, что
(Υσ ζ Έ% : | σ | <: | ν |): (D°Sef) (ή = (SeDPf) (0,
где 0<e<p(G', dG) = inf{p(t, s)\t£G't s£dG}.
1.10. Пусть GdR —ограниченная область. Говорят, что функция f£
£Ck (\RN): а) входит в Cq(G)9 если она обращается в нуль вне открытого
множества, лежащего строго внутри G; б) входит в Cq(G), если / обращается
в нуль на dG вместе со всеми производным11^ до порядка k включительно.
Доказать, что замыкание Cg°(G) по норме Ck(G) совпадает с С\ (Ъ) (k£Z+t
C°(G)=C0(G)).
1.11. Пусть / £ Llt loc (IR^). Положим для е > 0
(Se7)(0=m(Se(0))-i { f(s)ds
(ср. § Χ.2, формула (2.9)). Доказать, что так определенный оператор
осреднения S'e: а) обладает свойствами 2) — 4) оператора 5g; б) (Yf£C(G)):S'ef£
6 С» (3), S'J^f в L2(G), (DkSijJ)^ сходится в 1,(0), где GclR*-
огранич§нная область, k = 1, ... > N.
3. Разбиение единицы. Пусть G ξ R^ — некоторая область.
Предположим, что имеется покрытие этой области не более чем
счетной системой открытых множеств О = {Oki k > 1}, лежащих строго
внутри G. Говорят, что покрытие О локально-конечно, если всякая
ограниченная подобласть G', лежащая строго внутри G,
пересекается лишь с конечным числом множеств Ok. Справедлив следующий
результат.
336

Теорема 1.1. Пусть О = {Ok, k > 1} — локально-конечное
покрытие G. Существует система функций lk£C™(Qk) (k>l)
такая, что 0<%k(t)< 1, Σ 2C*(0 = 1 (*£G) (npu каждом t£G
k > ι
в сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля).
Система функций {%k, k>l} называется разбиением единицы, по-
строенным по локально-конечному покрытию О области G.
Доказательство. Докажем, что существует другое
локально-конечное покрытие О' = [Q'k, k>>\} множества G такое,
что 0\ лежит строго внутри Ok (k>> 1). Построим 0\. Для этого
рассмотрим Кг = G\ 0 Ok· Множество Κι содержится в Оъ
ft > 2
лежащем строго внутри G, и замкнуто в G. Поэтому Κι
содержится строго внутри Ol9 так что (3 ε > 0): ρ (Κν дОг) > ε. В
качестве 0\ возьмем открытое множество (i^IR^ |ρ(ί, ΛΊ)<β}. Ясно,
что 0\у 02, ... образуют локально-конечное покрытие множества
G. Аналогичным способом построим и открытое множество 0'2,
лежащее строго внутри 02, и т. д. В результате получим
требуемое покрытие О' = {&ky k > 1}.
Построим систему функций {τμ, β>1) таких, что(У&>1)!
ι Tift 6 0° (Ok), r\k (t) = 1 (ίζ Oft), 0 <: ηΛ (0 < 1 (* € ©ft). Тогда (V ί ζ
£G): ^ v\k(t)>- I, причем в этой сумме при каждом t£G лишь
ft> ι
конечное число ненулевых слагаемых. Полагая
ΧΛ(0 = η*(0/Ση*ίΟ (*>1),
ft > 1
получим требуемое разбиение единицы.
Функции r\k (k> 1) строятся следующим образом. Пусть р((%,
dOk) = tek. Поскольку 0\ лежит строго внутри Ok, то ε^>0
(& > 1). Положим
Сл. = {^ е пч^ ι ρ σ, o*)<28fc},
ηΛ(0 = (5β*4)(0 (*>!)·
Понятно, что функция η*, обращается в нуль вне открытого
множества {ίζΚ^|ρ(/, 0ft) <3ε^}, лежащего строго внутри 0*. С
учетом леммы 1.1 получаем, что v\k£C~(0'k) (k>l). Предлагаем
читателю проверить выполнение остальных свойств функций т^. ■
Замечание 1.2. Пусть задано любое (не обязательно счетное)
локально-конечное покрытие О области G открытыми множествами
θα (α £ Τ), лежащими строго внутри G. Тогда при помощи леммы
Гейне—Бореля из О можно выделить счетное подпокрытие 0αι,
0α2, ... , по которому строится разбиение единицы (χα/)~=1. Таким
образом, любому локально-конечному покрытию О отвечает
разбиение единицы, строящееся описанным выше образом.
4. Пространство обобщенных функций §f (1R^). Обобщенной
функцией называется всякий линейный непрерывный функционал
на пространстве основных функций ^(IR^). Обобщенные функ-
337

ции обозначим буквами α, β, ..., значение функционала
(обобщенной функции) а на основной функции φ будем записывать в виде
α (φ) или (α, φ). Совокупность всех обобщенных функций на
пространстве основных функций & (IR^) обозначим символом @>' (IR^).
Линейность функционала
0(№)ЭФ'-*а(<р) = <а, φ)ζ (С (1.4)
означает, как обычно, выполнение условия
(VXlf λ2£(Π) (Vcpi, Фа €*(№)) ι
α (λχψ! + λ2φ2) = λχα ίφχ) + λ2α (φ2). (1.5)
Непрерывность функционала (1.4) означает, что
(Υ φ ζ & φ*)) (Υ (фя)Г-1 с 0 (R"):
φ«->ψΒ^(R*)): lim α (φ„) = α (φ). (1.6)
Π -*■ οο
Как и для линейного непрерывного функционала на линейном
нормированном пространстве Е, непрерывность функционала (1.4) на
& (IR^) эквивалентна его непрерывности в нуле.
Как и в сопряженном к Ε пространстве £" в & (IR^) естественно
вводится структура линейного пространства:
(Υλχ, Xae(C)(Valf α2ζ^(^))(νφζ^(^)):
(λ^! + λ2α2) (φ) = λ1α1 (φ) + λ2α2 (φ).
Определим сходимость последовательности обобщенных функций
(ап)п^\ cz@'(lRN) к αζ@'(1RN) как слабую сходимость
функционалов, т. е. ссп^сс в &' (IR"), если (Уср£^(П^)): ая(ф)л·^ α (φ).
Предлагаем читателю убедиться в том, что операции сложения и
умножения на λ ς С непрерывны в §f (IR^), т. е. что ^'(IR^)
является линейным топологическим пространством.
Рассмотрим примеры обобщенных функций из §f (IR^).
ПРИМЕРЫ
1,2. Пусть /6^ifioc(lRiV)· Положим
α,(φ)= J f(t)4>(t)dt (φ g * flR*))· (1.7)
Очевидно, что функционал α*линеен. Проверим его непрерывность. Пусть срп-мр
в ^ (IR^), покажем, что
af Ы = J f (0 φ« (0 *„тГоо $ / W φ W л = «/ (φ). 0.8)
Согласно определению сходимости в В (\RN), имеем, что интегрирование
в левой части (1.8) ведется по некоторому шару В = {ΐ 6 fR^| | t\< r) и
последовательность (ф/ι)^! сходится к φ равномерно на В. Используя теорему
338

Лебега о предельном переходе (теорема III.6.1, см. также упр. III.6.5),
получаем, что (1.8) имеет место. Таким образом, α/ £ В' (IR^).
Обобщенные функции вида (1.7), порожденные функциями из 1·Χχ0Ζ (IR^)
называются регулярными обобщенными функциями. Остальные обобщенные
функции называются сингулярными.
Отметим, что регулярные обобщенные функции а, и а совпадают в том
и только в том случае, когда порождающие их функции fug эквивалентны, т. е.
f = g (mod m).
Достаточность этого условия очевидна. Для доказательства
необходимости покажем, что для любого ограниченного множества Α ζ 23 (IR^) \ | / (/) —
А
— g(t)\dt=* 0. По лемме 1 ♦ 1 существует последовательность функций (чп)п=\ cz
cz@(\RN), сходящаяся к функции е^^8^^"8^ %А (t) m-почти везде, причем
(V/i £ N): | <рп (01 < 1 (mod m). Пользуясь теоремой Лебега о предельном
переходе, получим
J I / (0 - g (01 dt = J (/ (t) - g (o) e-fc'tff<o-*<o> dt =
A A
= lim f (/ (0 -*(/)) <P„ (0 dt = lim (af - α ) (<ря) = 0.
Ввиду произвольности множества А заключаем, что (1.8) имеет место. Щ
Из доказанного утверждения следует, что всякая регулярная
обобщенная функция из В' (IR^) определяется единственным элементом из
пространства Lj |oc (IR^). Таким образом, формула (1.7) определяет вложение
пространства L{ loG (IRiV) в В' QRN), т. е. можно отождествлять локально
суммируемую функцию и порожденную ею обобщенную функцию.
1.3. Более широкий класс обобщенных функций, содержащий
регулярные обобщенные функции, порождается комплекснозначными зарядами на
(Кп, 93 (IR^)>, принимающими конечное значение на компактных множествах.
Напомним (см. § 1.16), что каждый такой заряд ω имеет вид ω = (μ1 — μ2) +
+ * (М-з — М^)» гДе Μί» ···» М-4 — меры на (IR^, 33 (IR^)), принимающие
конечные значения на компактах. Поэтому достаточно определить обобщенную
функцию, порожденную мерой. Положим
(УФ € В (IR*)): αμ (φ) == J φ (t) ф (t). (1.9)
IR*
Ясно, что αμ — линейный функционал на @ (\RN)t Непрерывность функционала
αμ доказывается, как и в предыдущем примере. Обобщенная функция αω
определяется как соответствующая линейная комбинация αμ (k = 1, ♦. · , 4), τ· е.
αω = %t - αμ, + *(αμ, - S>
Предположим, что мера μ абсолютно непрерывна относительно меры
Лебега. Тогда обобщенная функция α имеет вид
«μ(φ)= J «Р(0£(0^ (q>€*(IR*)).
du, »»
где производная Радона — Ник од има ^ £ Lx t Ioc (IRN) (см. § V.2). Таким
образом, в случае μ < т обобщенная функция αμ £ &' (IR^), порожденная
мерой μ, является регулярной.
339

Вместе с тем среди обобщенных функций αμ вида (1.9) имеются и
сингулярные. Простейшим примером сингулярной обобщенной функции, поро жден-
ной мерой, является б0-функция Дирака, действующая по правилу
*(Κ")3φι-*Μφ)=Φ(0)€«>.
Очевидно, что δ0 £ ^' (IR^). Покажем, что δ0 — сингулярная обобщенная
функция.
Предположим противное, т. е.
(Я/ 6 Lu loc (IR*)) (Vq>G* (IR")): δ0 (φ) = J / (t) φ (/) at. (1.10)
IR#
Ν
Так как | t |2 φ (t) = ][j ζ φ (ήζ& (\RN), то из (1.10) следует, что
(Υφ^(^)): J /(От2Ф(0^ = т2ф(01^о=0.
IRW
Таким образом, обобщенная функция, порожденная локально суммируемой
функцией | /|2 / (/), равна нулю. По доказанному в примере 1.2 утверждению
I * I2 / (0 = 0 (mod m), откуда следует, что / = 0 (mod m). Но это
противоречит равенству (1.10). Полученное противоречие и доказывает
сингулярность б0. Щ
УПРАЖНЕНИЯ
1.12. Доказать, что условие μ < т является и необходимым для
регулярности обобщенной функции а .
1.13. Доказать, что для αμ £ @>' (\RN) вида (1.9) выполняется одна из трех
взаимоисключающих возможностей: а) αμ — регулярна; б) αμ—сингулярна;
в) а = α + β, где ос =^= 0 — регулярна, а β — сингулярна.
1.14. Пусть-Ν = 1. Положим δ'0 (φ) = —φ' (0) (φ £ Β (IR^)). Доказать, что:
а) δό (смысл обозначения прояснится в § 2) является сингулярной
обобщенной функцией; б) не существует меры μ на (IR, 33 (IR)} такой, что δό = а .
5. Порядок обобщенной функции. Линейные функционалы на
& (IR^) не обязаны быть непрерывными в & (IR^7)· Используя
аксиому выбора, можно доказать существование линейного разрывного
функционала на §> (IR^) (см., например, [37], [40]). Следующая
теорема дает необходимые и достаточные условия непрерывности
линейного функционала на & (IR^).
Теорема 1.2. Для того чтобы линейный функционал а на & (IR^)
принадлежал @>' (IRN), необходимо и достаточно, чтобы для любой
ограниченной области G a H{N существовали числа К = К (G) > 0
и т = т (G) ζ Ζ+ такие, что
<νΦ€ С" (G)): | α(Ф)| <s: iC|| Φ ΙΙ^(3)- <1Л1>
Доказательство. Достаточность условия очевидна.
Необходимость. Пусть α ζ §f (IR^) и G cz 1RN — ограниченная
область. Если неравенство (1.11) несправедливо, то
(Υ/г ζ Ν) (3cp„ g С0~ (G)): | α (φη) 1 > η ]| φη \\cnfo.
340

Положим
% (t) = Фи (t)/Vn || φ„ ||Ся(2) (η ζ Щ).
Последовательность ψη->-0 в ^(IR^), так как (У/г£ И) -supp %ciG
и при /г > | ν |
1(Ονψ„) (0|=| (D4>„) (01/КЙ || φ. ||с»й < Έ4=-* 0.
В силу непрерывности α ζ ^' (IR^) имеем, с одной стороны, α (ψη) -* 0.
С другой стороны,
|α(φ„)| = J;((p"" >Κή (д6Μ).
Полученное противоречие и доказывает теорему. ■
Пусть α £ ^' (IR^). £с./ш β неравенстве (1.11) можно выбрать
число т ζ Ζ+ не зависящим от G, то говорят, что обобщенная функция
α имеет конечный порядок; наименьшее такое число т называется
порядком обобщенной функции а. Легко видеть, что обобщенные
функции, порожденные мерами, имеют порядок 0, обобщенная
функция 8'0 из упражнения 1.14 имеет порядок 1, обобщенная функ-
оо
ция α (φ) = Σ (Dj φ) (/г, ... , η) не имеет конечного порядка.
6. Носитель обобщенной функции. Обобщенные функции, вообще
говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно
говорить об обращении в нуль обобщенной функции в открытом
множестве. Говорят, что обобщенная функция αζ@' (IRN) обращается
в нуль в открытом множестве G, если
(Υφζ С; (]RN): supp φ a G): α (φ) = 0.
Пусть обобщенная функция α £ sf (IR^) обращается в нуль в
открытом множестве G. Тогда она, очевидно, обращается в нуль и
в некоторой окрестности каждой точки множества G. Справедливо
и обратное утверждение.
Лемма 1.2. Если обобщенная функция αζ@' (IR^) обращается
в нуль в некоторой окрестности U (t) каждой точки t открытого
множества G, то она обращается в нуль и во всем множестве G.
Доказательство. Рассмотрим покрытие {U(t), t£G}
множества G. Построим по этому покрытию локально-конечное
покрытие О = {Ojy /> 1} такое, что каждое 0/ содержи! ся в
некоторой окрестности U (t). Если {%/, / > 1} — разбиение единицы,
соответствующее покрытию 0, то
(V/ > 1) (Υφ € С; (G)) (Я* С G): supp φχ, с U (t).
Следовательно,
α (Φ) = α (Σ Χ/Φ) = Σ α (χ,φ) = 0.
/>1 />1
341

Покрытие О строится следующим образом. Представим
множество G в виде G= U0/\ где О) (/ > 1) — открытые ограничен-
/>1
ные множества, каждое из которых содержится строго внутри
последующего. По лемме Гейне—Бореля компакт 02 покрывается
конечным числом окрестностей U (t): U (^), ..., U{tN)\ компакт
03\0ι покрывается также конечным числом таких окрестностей:
U (tNi+i), ... , U{tN±+Ni) и т. д. Положив Ok = U(tk)[\0'2, k=l,
..., tflf 0ft = i/(^)n(0'3\0i), £ = ^+1, ..., NX + N% и т. д.,
получим требуемое покрытие 0. ■
Пусть α £ ^' (IR^). Объединение всех окрестностей, где α
обращается в нуль, образует открытое множество Ga, которое называется
нулевым множеством обобщенной функции а. По лемме 1.2 а
обращается в нуль в Ga, причем Ga — это наибольшее открытое
множество, в котором α обращается в нуль. Носителем обобщенной
функции называется дополнение к множеству Ga, т. е. замкнутое
множество supp a = Ga. Если множество supp α компактно, то
обобщенная функция α называется финитной.
Из вышесказанного следует, что, во-первых, если носители
a£^'(IR^) и φζ@(${Ν) не имеют общих точек, то α(φ) = 0;
во-вторых, точка t£ supp α в том и только в том случае, когда a
не обращается в нуль ни в одной окрестности точки t.
УПРАЖНЕНИЯ
1.14. Показать, что supp 60 = {0}.
1.15. Пусть f£C0 (IR^), о^ — порожденная ею регулярная обобщенная
функция. Доказать, что supp a* = supp/.
1.16. Вычислить пределы в »· (IR) при ε-* 0 +: а) /8 (t) = (2ε)-1 χ^ β] (t);
6) /β (0 = ε (π (** + β»))-ΐ; в) fe (t) = -jL· е-'*'&; г) /, (0=ε-* /(ε"^) (/(^ (IR)).
1.17. Доказать, что ряд ][] a^ сходится в В' (IR) при любых aA£©
(βΛ(φ) = φ(*). φ€^(κ».
7. Понятие о регуляризации. Каждой локально суммируемой
на IR функции отвечает регулярная обобщенная функция из @>' (IR)
вида (1.7). Предположим, что функция / локально суммируема на
G = IR\{/0}, а при i-*f0 f{t)~\t — tQ\-m, где m£RJ. В этом
случае интеграл в (1.7) сходится, если основная функция φ входит
в ^(G) = {φ€^(Κ)Ι ^о ^ supp φ}. Нетрудно проверить, что @{G) —
замкнутое линейное подмножество пространства ^(IR). Таким
образом, функция f£Lit\0C(G) порождает линейный непрерывный
функционал на подпространстве & (G) пространства основных
функций ^(IR):
0(G)5<pi-+af(<t) = $№<p(t)dt (1-12)
G
(непрерывность функционала а/ проверяется, как и в примере 1.2).
342

Для линейного непрерывного функционала, заданного на
подпространстве линейного топологического пространства,
справедлива теорема Хана — Банаха о продолжении (см., например, [34],
I40J, [54]). Всякое продолжение функционала af вида (1.12) с
^(IR\{/0}) на ^ (IR), полученное с помощью теоремы Хана —
Банаха, называется регуляризацией функции /. Ясно, что регуляризация
определяется неоднозначно, поскольку продолжение функционала
с подпространства, вообще говоря, неединственно.
ПРИМЕРЫ
1.4. Пусть f£Llfl0C(IR\ {t0}) и при t-+t0 f(f)~\t—t0\-m, где т^Ы.
Регуляризацией f с помощью отрезка ряда Тейлора называется следующий
функционал на В (IR):
k
«л л(ф) — J/ (о [ф (о —Σ ^т/^^-/о)/а(0 JЛв (1,13)
IR /=0
Здесь k>-m—1, функция a£^(IR) равна единице в некоторой
окрестности точки t0. Выражение в квадратных скобках в (1.13) в окрестности
точки /0 не превосходит c\t—t0\k+l. Поэтому интеграл в (1.13) сходится.
Ясно, что для функций φ, обращающихся в нуль в некоторой окрестности
точки /0, значение а^ k (φ) совпадает с ^ (φ) вида (1.12). Регуляризация/
с помощью отрезка ряда Тейлора, очевидно, зависит от k и функции а.
1.5. Пусть f(t) = t~x (ίφΟ). Функционал (1.13) для k = 0 имеет вид
оо оо
«,,о(ф)= j у[ф(0-ф(0)а(0]^= j (φ(0-φ(0)α(0)<Πη|*|.
^,ΟΟ ΙΒΒ.ΟΟ
Интегрируя здесь по частям, получим
00
«/.о(ч>) = - $ ΐπ|/|[φ'(0-φ(0)β'(0]Λ (1.14)
— ОО
(внеинтегральный член отсутствует из-за финитности функций φ и а).
1.6. Функцию /(0 = ^~1 можно регуляризовать иначе. Именно, положим
т. е. значение обобщенной функции fp-г на основной функции φ равно глав-
*■>■№■
ному значению V. р. I —г- dt расходящегося, вообще говоря, интеграла
ι—ОО
00 ι
\ y(t)/tdt. Ясно, что функционал & γ линеен. Его непрерывность следует
^—00
из такой оценки:
343

|(^})wl=|v.p,jif„|-[v.p.j<"o'v"·"^
— oo _Д
R
J | φ' (/') | dt < 2R || φ Н^.^ *]) (supp φ с (-Я, /?)),
здесь /' — некоторая точка из интервала (—R, R). Таким образом, &γ (:
€ 0' (IR).
Интегрируя в (1.15) по частям, получим, что
-ε
y)(q>)= Urn (j φ (/) d In |/1 + j φ(0<Πη|*|) =
—«oo ε
oo
= lim [(φ (~ε) — φ (ε)) In ε] — [ In | f | φ' (t) dt.
8-0+ J
—.oo
oo
/ 1 \ f φ (t)
Следовательно, на функциях из ® (G) [&*~г)(Ч>) совпадает с \ —τ—dt, и
1-9 ОО
поэтому ^у является регуляризацией функции \jtb Ясно также, что &η-
отличается от регуляризации вида (1Л4).
УПРАЖНЕНИЯ
1.18. Доказать, что функционал <?-г— сингулярная обобщенная функция,
1.19. Доказать, что функционал а, 0 вида (1.14) — сингулярная
обобщенная функция.
1.20. Доказать, что функционал & -ж, действующий по формуле
оо
\9> -ρ) (φ) = V. p. j φ(0^φ(0) dt (φ ζ® (IR)),
— сингулярная обобщенная функция,
§ 2. ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
1. Определение операций в &' (IR^). Структура линейного
пространства и сходимость в пространстве обобщенных функций
§f (IR^) вводились по аналогии с пространством линейных
непрерывных функционалов на линейном нормированном пространстве.
Эта же аналогия используется для определения операций над
обобщенными функциями.
Именно, пусть А —линейный непрерывный оператор в линейном
нормированном пространстве Е. Сопряженный к нему оператор А
(см. § VII 1.4) действует в Е' так:
(V/ 6 Е) (V* ξ Ε) ι {АН) (х) = / (Ах). (2.1)
344

Операции над обобщенными функциями определяются подобно (2.1).
При этом, по существу, используются элементы теории линейных
непрерывных отображений линейных топологических пространств
(см., например, [16, 32, 34, 40, 54, 78, 94, 98]).
Пусть А : & (Цы) -> & (IR^) — линейное непрерывное
отображение. Определим сопряженное к А отображение А* :@' (]RN)-+-
->^'(П^) следующим образом!
(Va ζ й? (R*)) (Vq> ζ & (R")) I (A*a) (φ) = α (Αφ). (2.2)
Очевидно, что определенное посредством (2.2) отображение линейно.
Нетрудно проверить и его непрерывность. Действительно, пусть
α„->α в &'(И{% т. е. (V^£0(IR*O)s αη(ψ)->α(ψ). Полагая здесь
ψ = Лф, получим требуемое.
Прежде чем перейти к реализации изложенной схемы для
конкретных отображений Л, отметим одно обстоятельство.
Отображение Л* определено, в частности, на регулярных обобщенных
функциях. Как отмечалось в § 1, можно отождествить регулярную
обобщенную функцию af, порожденную f£Lit\oc(H{N)9 с функцией
/. Поэтому можно говорить, например, о производной γ- локально
суммируемой функции f в смысле обобщенных функции понимая
под £L функционал Ш* а} £&(№) (к = 1, ..., Ν).
2. Умножение обобщенной функции на гладкую. Пусть α ζ
£C°°(RN). Положим (Лср)(0 = а(0<Р(0 (ФС^(К^)). Ясно, что
функция Лф^^(^). Из результата упражнения 1.5 следует, что
линейное отображение Л:@(JS{N)->@(1[{N) непрерывно в @(1RN).
Применяя равенство (2.2), получим, что произведение обобщенной
функции а на гладкую функцию а — это обобщенная функция
ααζ@' (ΚΝ) такая, что
(Υφ € &(№)):<аа9 φ) *= (α, αφ). (2.3)
Если a/ — регулярная обобщенная функция, порожденная /£
ξ^ι,ΐοοίίν^), то из (2.3) с учетом (1.7) следует, что aa/ = afl/, т.е.
aaf — это регулярная обобщенная функция, порожденная локально
суммируемой функцией af.
ПРИМЕРЫ
2.1. Пусть α = δ0, тогда (Υφ £ Si (\RN))\ (αδ0, φ) = (δ0, αφ) = α (0) φ (0)=
= (α (0) δ0, φ), т. е. αδ0 = α (0) δ0.
2.2. Покажем, что произведение обобщенной функции & -г из примера 1.6
на функцию a(t) =zt совпадает с регулярной обобщенной функцией,
порожденной /(/) = 1, т. е. 1 = ^у. Действительно, для <p£^(IR^) имеем
\&Т><Р/=\&Т>*У/= j Φ(0* = <1·φ>.
345

УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Доказать, что (γα £ ®' (IR^)) (Va € С°° (\RN)): supp aassupp a[\ suppa.
2.2. Пусть a^f (IR^). Доказать, что справедливо равенство a = ηα, где
T]£C°° (IR^) — любая функция, равная единице в некоторой окрестности
носителя а.
Замечание 2.1. Возникает вопрос: нельзя ли определить
умножение для любых обобщенных функций из §>' (IR^) так, чтобы это
умножение было коммутативным и ассоциативным и совпадало бы
с определенным в (2.3) умножением на гладкую функцию? Как
показал Л. Шварц, такое умножение определить нельзя.
Действительно, если бы такое умножение существовало, то, используя
примеры 2.1 и 2.2, можно было бы получить такую противоречивую
цепочку равенств: 0 = O^i- = (/б0)^у = δ0 (t? -U = δ0.
3. Замена переменных в обобщенных функциях. Пусть C£&(1£{N)
обратим; положим t = Cs + а, где α £ ]RN — фиксирован. Определим
обобщенную функцию a(Cs-j-a). Если f^Lit\oc(]RN)f то
(V<pG^(R")): $ f(Cs + a)y(s)ds = |detСр1 χ
X J f(t) φ (С1 (t — a)) at.
Примем это равенство в качестве определения обобщенной
функции a(Cs + a) для любой a(t) из ^'(IR^):
(a (Cs + α), φ(s)> = (a (t), | det С Γ1 φ (С1 (t - α))) (φ ζ® (R")).
Предлагаем читателю проверить, что отображение (Лср)(/)=г
= φ (С"1 (t — а)) линейно и непрерывно в ^(IR^) и что равенство (2.4)
есть не что иное, как равенство (2.2) для такого отображения А.
В частности, если С=£, то замена переменных t = s— а —
сдвиг на фиксированный вектор αζ${Ν и (2.4) имеет вид (a(s —
— α), φ) = (α(ί), φ(ί + α)>. Полагая здесь a =s δ0, получим (60(s —
def
— ^), Φ> = (δ0 (t), Φ С + я)> = Ψ (α) == (δα, φ>.
4. Дифференцирование обобщенных функций. Пусть ν£Ζ+>
положим (Αφ)(ί) = (Dvcp)(i) (φ^^ (ПЧ^)). Из результата упр. 1.6
следует, что линейное отображение А непрерывно действует в ^(IR^).
Найдем действие отображения Л* на порожденную функцией
/£0'(П^) регулярную обобщенную функцию.
Интегрируя по частям, получим
<а,,Лср> = J /(/)(Ζ)νφ)(ί)Λ = (-1)Μ $ φν/)(ί) χ
Χ φ (0 at = (A*ah φ) (φ 6 0 (Β?)), (2.5)
т. е. Л*а/ — это регулярная обобщенная функция, порожденная
локально суммируемой функцией (—l)M(Dv/)(i). Основываясь на
346

(2.5), определим производную (в смысле обобщенных функций) Dva
обобщенной функции α ζ Sf (IR^) следующим образом:
(D^a, q>> = (—1 )М (α, Ονφ) (φ ζ & (R*)). (2.6)
Отображение Dv:^f(1iRlN)-^S>'(Wf) является сопряженным к
непрерывному отображению (— 1)М Dv = (— 1)М А: & (IR^) -> @> (IR^) и
поэтому непрерывно.
Предлагаем читателю проверить справедливость следующих
утверждений.
1) Любая обобщенная функция α ζ &' (IR^) (в частности, любая
локально суммируемая функция) бесконечно дифференцируема
в смысле обобщенных функций.
2) Если /£СМ(П^), то производные D°f (|σ|<3|ν|) в смысле
обобщенных функций совпадают с обычными производными
функции /.
3) Если a£@'(RN), a£C°°(W), то справедлива формула
Лейбница для дифференцирования произведения аа.
4) Справедливо включение supp Dva с supp α.
ПРИМЕРЫ
2.3. Пусть /V = 1. Рассмотрим кусочно-непрерывно дифференцируемую
в (а, Ь) функцию / (/). Пусть tx < t2 < ... —точки из (а, Ь), в которых / или
f имеют разрывы первого рода. Тогда производная в смысле обобщенных
функций функции / равна
D? = /м + Σ V Vk + 0)-f(tk- О)) S, (2.7)
где /^(^ — классическая производная функции f(t)t равная /'(*) при ίφ tk,
и не определена в точках ^ (k > 1).
Действительно, для любой φ £ С~ ((а, 6)) имеем
<Д/, Φ>=-(/,φ'> = -£ J /«φ'ίΟΛ-Σ $ fw(t)V(t)dt-
k>\ th k>l tk
b
- J] [/ (**+i - 0) φ (tk+l) - / (*Λ + 0) φ (**)] = J £„ (0 φ (0 # +
k>l a
+ Σ (/(^ + 0)-/(^-0))φ(^),
что и доказывает формулу (2.7).
В частности, если f — функция Хевисайда θ (t) = χ^ +оо) (*), то D9 = 60.
2.4. Рассмотрим тригонометрический ряд J] ukeiktt коэффициенты кото-
рого удовлетворяют условию:
(Hmg N) (3* > 0) (VH Z): | ак | < *(1 + \k |)™.
Этот ряд сходится в Ф' (IR). Действительно, ряд
апГ+2
347

ak \ (I k I + \)m ι
сходится равномерно на IR, поскольку 1 m+2 <: с ifcimj_2— ^ ci £2 · ^°"
этому ряд, представляющий его производную порядка m-f-2 (в смысле
обобщенных функций), т. е. J] ciketkt у сходится в В' (IR).
2.5. Рассмотрим ряд (2Я)"1 J] еш. Согласно предыдущему примеру,
этот ряд сходится в &' (IR), Докажем, что его сумма равна J] ^2π6* ^ля
этого разложим 2я-периодическую функцию / (t) = у — τζ (0 < / <: 2π)
в равномерно на IR сходящийся ряд Фурье
• {ΐ) - 6 2π L· k* e '
Этот ряд можно дифференцировать почленно в @>' (IR) любое число раз.
В результате получим
(β/)»-Π0-τ-έ-δΣτ«"
(D2« W = - L· + Σ δ2*π = Τη Σ «'* <' 6 [0, 2π)),
откуда и вытекает требуемое. При вычислении D2/ использовалась формула
(2.7).
УПРАЖНЕНИЯ
2.3. Показать, что D In 111 = ^ γ , D^ у- = & ψ (t ζ IR).
2.4. Вычислить £>«θ, Design*, Drt|*|, D" [t], где я 6 N, И — целая
часть t.
2.5. Доказать равенство D21 sin * | + | sin t | = 2 J] δΛπ.
οο
2.6. Пусть ряд ^] сф^ сходится в ^'(IR). Доказать, что (3#о€^)
(Yk>ko):ck = 0.
2.7. Пусть a£^'(IR) и suppa = {0}. Доказать, что α однозначно пред-
п
ставима в виде a = V ck& \
fe=o
§ 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1. Пространство основных функций §(1RN) (быстро убывающих).
Пусть φ — основная функция из^(11^). Поскольку основные
функции из ^(IRN) финитны и, следовательно, суммируемы на IR^, то
определено преобразование Фурье
φ (ζ) = (2n)-NV j e^> Οφ (t) dt (ζ ζ R"). (3.1)
IR*
348

Используя известные из анализа свойства преобразования Фурье,
нетрудно убедиться в том, что функция φζΟ°° (Цы), но не
является финитной. Таким образом, операция преобразования Фурье
выводит из пространства ^(IR^). Как будет показано ниже, этого
недостатка не имеет пространство быстро убывающих основных
функций 8(KN).
Отнесем к пространству &(ЩМ) все функции из С°°(ЦМ),
убывающие при 111 ->■ оо вместе со всеми своими производными быстрее
любой степени 11 Г1. Ясно, что так определенное пространство
^(IR^) является линейным. Введем в нем последовательность
норм (|| · Щ*°1о, полагая для φ£§(Ε^)
||9[|p = max{(l+m2)'"? \(D^)(t)\ |fg]R"}. (3.2)
Очевидно, что последовательность норм монотонна:
ΙΙφ|Ιο<ΙΐΦΐΙι<ΙΐΨΐΙ2<... (φ €*(«"))· (3·3)
Пусть φ, (φ/ι)^=ι cz: §(IR^). Будем говорить, что последовательность
φ«-^ψΒ 8{RN), если (Υ ρ ζ Ζ+) :||φ„ — φ||Ρ -> 0.
П-УОО η-+οο ·
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Какие из функций е~т\ е"т, (tx + \-tN) e~ui\ (l + \t I2)"1
принадлежат пространству cf? (IR^)?
3.2. Пусть φ £ &(\RN) и Ρ— полином. Доказать, что Ρφ £ $ (IRN).
3.3. Пусть φ £ dp (IR^). Какие из последовательностей (Αζ_1φ (0),Π=ι>
(/ι-ΐφ(Αζ/))~=1, (п-\(гГЩ%=1 сходятся в # (IR*)?
3.4. Доказать, что φη —>■ 0 в $ (\RN) в том и только в том случае, когда
выполнено одно из следующих условий: 1) (ур £ Ζ+) : || φ^ ||^ = max {(1 +
+ 11 |2)Р/2 | (Dv<p„) (t) I \t e IR*. | ν | < p} -> 0; 2) (Vv. σ £ Z#: Г (Dayn) (0=£
Г£0 на R*.
3.5. Доказать, что В (IR^) cz $ (IR^) и что из сходимости φη -> φ в ^ (IRN)
следует φη-> φ в $ (IR^).
Легко видеть, что 8(RN) шире, чем ^(IR^). Например,
функция е-№ принадлежит &(ΰ{Ν)9 но не принадлежит ^(IR^), так как
она финитна. Тем не менее @(1RN) плотно в S(IRiV), т. е. (Υφ£
ζ8(4Ν)) (Н(Фл)^.1с:^(^)):фя^Ф в 8(W).
Действительно, пусть r\£@(l£{N) такова, что η(/)= Ι (|ί|<1).
Положим φ/ι(ί) = φ(0τΐίΛ~10 (П^И). Предлагаем читателю
проверить, что последовательность (φη)η=ι cz ^(IR^) сходится к φ в
*(R").
Из определения сходимости в пространстве §(IR^)
непосредственно вытекает непрерывность линейных отображений
дифференцирования 8 {KN) Э Ψ '-*■ #νΨ £ §(ΚΝ) (ν ζ Ζ+) и замены переменных
349

8(W)b<t(t)*-+<P(Ct + a)£8(RN) (ае^;КегС = {0}). Однако,
в отличие от пространства ^(R^), умножение на a£C°°(li{N) может
вывести за пределы &(№), например e-VW = 1£S(1RN).
Пусть функция agC°°(IRN) растет на бесконечности вместе
со всеми своими производными не быстрее полинома, т. е.
(Vve^)(Hmv6Rj)(Hcv>0):
:\(D^a)(t)\<cv(l+\t\f\ (3.5)
Функцию а, удовлетворяющую условию (3.5), называют
мультипликатором в 8(RN). Нетрудно проверить, что линейное
отображение 8(${Ν)Βφι-*αφζ8(ΐ{Ν), где а —мультипликатор в 8(RN)9
непрерывно в 8(H{N).
Действительно, если φξ&(1!{Ν), то αφ £ О (IR^), и в силу (3.5)
||шр||р=тах{(1 + т2)*/2 Σ \(0^αψ))(ί)\\ίζ^}<
/ν/<ρ
<max{(l + |i|^ Σ Σ cVa\(D^)(t)(D^a)(t)\ |
\ν\<ρ σ<ν
tW}<KPmaK[(l+\t\2Y>W2 Σ ΙΦνφ)(0||*€
\ν\<ρ
где Ν„ > max {/ην | | ν | < ρ}, σ <: ν означает σ1<.νν . .. , σ^ < νΝ,
коэффициенты cVq вычисляются по формуле Лейбница. ■
Замечание 3.1. Рассмотрим банахово пространство Sp(W*),
являющееся пополнением 8(ΰ{Ν) по норме || · ||р. Из (3.3) следует, что
справедливы вложения
g0 (IR^) =d §! (IR^) => §2 (IR^) =d ...,
причем из сходимости φη -> φ в 8ρ+ι (IR^) следует сходимость φ„ -> φ
в 8ρ(ΐ{Ν) (ρ(ζΖ+)· Оказывается, что оператор вложения §Р+1(1К^)Э
Э φ ι-* φ £ 8Р (RN) компактен для любого ρζ%+ (см., например,
[14], § 1.5). Можно также доказать, что линейное топологическое
пространство 8(ЦМ) совпадает с линейным множеством П^ЛК^),
р>0
наделенным специальной топологией (см. по этому поводу § XIV. 4).
2. Пространство обобщенных функций S' (R ) (медленного
роста). Обобщенной функцией медленного роста называется всякий
линейный непрерывный функционал на пространстве быстро
убывающих основных функций 8 (RN). Совокупность всех обобщенных
функций медленного роста обозначим S' (RN)- Подобно тому, как
в ^'(IR^), в $'(IRN) вводятся структура линейного пространства
и сходимость. Последовательность обобщенных функций (an)n=i c=
с 8' (RN) сходится к обобщенной функции α ζ 8' (IRN), если
(Уф6*(^)):а»(Ф)-^а(ф). (3.6)
Линейное пространство 8'(1RN) с так введенной сходимостью
называется пространством обобщенных функций медленного
роста.
350

Так как & (IR^) с 8 (RN), то любая обобщенная функция
медленного роста является линейным функционалом на ^(П^). Из
результата упражнения 3.5 и определения сходимости в §'(1RN)
следует, что всякая обобщенная функция из $'(${N) является
линейным непрерывным функционалом на ^(R^). т. е. 8'(lRN)cz
C2@'(${N). Кроме того, из сходимости αη->α в 8' (RN) следует,
что ofo-^a в ^'(IR^).
Рассмотрим примеры обобщенных функций медленного роста.
ПРИМЕРЫ
3.1. Рассмотрим измеримую функцию /, растущую при | t\ -> <х> не
быстрее некоторого полинома, т. е.
(3w6N): $ l/(OI(l + Hl)-m^<eo.
IR*
Ясно, что /φ ζ Z.j (IR^), если (pgtiPflR^), и поэтому равенство типа (1.7)
α/»= ί /W ФОЛ (ф €*(!&*))
определяет регулярную обобщенную функцию а^ из <$?' (IR^). Понятно также,
что не всякая / £ Lx loc (IR^) порождает регулярную обобщенную функцию
медленного роста. Например, функции / (t) = β' *' (t £ \RN) отвечает регулярная
обобщенная функция из & (\RN)\&' (\RN).
3.2. Пусть μ —мера на (IR^, 93 (IR^)>, удовлетворяющая условию
(3m^):(l+|/|)-^ai(IR^ άμ)
(такую меру называют мерой медленного роста). Подобно примеру 1.3 дока-
вывается, что равенство
αμ(φ)= J Φ (0 Φ (0 (φ € * (IR")>
IR*
определяет обобщенную функцию a £ &' (IR ). Ясно, что не всякая мера,
принимающая конечные значения на компактах, порождает обобщенную
функцию из #' (IR^), Например, мере μ (Δ) = С e1 f' dt (Δ ξ 33 (IR^)) отвечает об*
Δ
общенная функция из @' (\RN)\8r (}RN).
УПРАЖНЕНИЯ
3.6. Доказать, что (Vv g Έ\): Dv60 ζ <g>' (\RN).
3.7. Доказать, что: а) ряд JJ ek*bk сходится в &' (IR), но расходится
в $' (IR); б) ряд J] ak^k сходится в $' (IR), если его коэффициенты удов-
летворяют условию: (Я* > 0) (Я"* € ^+) (V* € Щ : I «a I < с (1 + I b \)т.
351

Для множеств линейных непрерывных функционалов на S (JRN)
справедлива теорема, являющаяся аналогом принципа
равномерной ограниченности (см. § VII.7).
Теорема 3.1 (Шварца). Пусть М! cz §'(IR^) — слабо
ограниченное множество, /л. е. (Vq> ζ 8 (IRN))(H^ > 0) (Va ζ Μ'): | α (φ)|<
<ΖСер. Тогда существуют числа о-Ь и m£Z* такие, что
(Va 6 Μ')(Υφ€ §(IR^)): Ι α(φ) Ι < с || φ ||m. (3.7)
Доказательство. Предположим, что неравенство (3.7)
неверно. Тогда найдутся последовательности (ап)п=\ а М' и (φη)η=ι^
czS(RN) такие, что
ΙΜφ/ι)Ι>Λ||φ/ι||/ι {η £ И).
Положим ^ηβ) = [Уη || φη Ι^)"1 φη (t). Так как при k > η \\ ψ* \\n =
^\\Vk\\n[Vk\\ffn\\nY1<k'^9 τοψ^ΟΒ S'(1R").
Последовательность обобщенных функций (an)n=i cz M!
ограничена на каждой основной функции (pCSflR^) по условию. Можно
доказать (см. [14], § 1.4), что отсюда следует an(tyn) -*. 0.
Вместе с тем из свойств последовательностей (αη)η=ι и (φη)η=ι
вытекает, что
I ая (%) I = {Vn || φ„ || η)'11 α (φ„) | > Vn.
Полученное противоречие и доказывает теорему. ■
Следствие 3.1. Всякая обобщенная функция α медленного роста
имеет конечный порядок, т. е. существует такое т ζ %+ » что α
допускает продолжение до линейного непрерывного функционала на
8m(KN)> Неравенство (3.7) для α принимает вид
|а(ф)|<||а||^||ф||т (φ €«(№)),
где ||а||-«п — норма функционала в SmOR^), τη— порядок a.
Таким образом, справедливы соотношения $0 (IR^) cz $i (R^) cz
cz... , §'(П^)= U S'P(W), двойственные к S0 №") = «! («")=> ···>
УПРАЖНЕНИЯ
3.8. Доказать, что любая мера μ, порождающая обобщенную функцию
из $' (IR^), является мерой медленного роста.
3.9. Доказать, что оператор вложения &р+\ (\RN) ->$р (^N) (P£%+)
компактен.
3.10. Доказать, что оператор вложения 3"р {\&Ν)->$ρ+ι (IR^) (р£ Z+)
компактен.
3.11. Доказать, что: а) всякая сходящаяся последовательность ((Хг)п=\ с:
с: $" (\RN) слабо сходится в некотором пространстве 3"р (\RN) (p£Z+); б)
пространство $' (IR^) полно.
352

Замечание 3.2. Операции умножения на функцию a£C°°(lRN)y
замены переменных и дифференцирования в пространстве 8' (ti{N)
вводятся как и в § 2, с тем лишь отличием, что функция а
должна быть мультипликатором в §(ΰ{Ν).
3. Преобразование Фурье. Рассмотрим сначала преобразование
Фурье функций из §(IR'V). Поскольку основные функции из 8(Ц^)
суммируемы на IRN, то на них определено классическое
преобразование Фурье (см. (3.1))
φ (ξ) = (2π)-"/2 J φ (t) e*& 0 at (ξ g К"). (3.8)
При этом функция φ — преобразование Фурье основной функции
φ — ограничена и непрерывна на IR^.
Так как 9g§(IR^) убывает при |ί[-^οο быстрее любой степени
КГ1, то, используя известные свойства классического
преобразования Фурье, получаем, что φ ζ С°° (JRN) и
(Vv ζ Ζ+): Φν$) (ξ) = (2π)-"/2 { (ity φ (t) № '> X
χ^ = ((«)νφ)Λ(ξ). (3.9)
Любая производная Ονφ основной функции входит в L1(1RN),
поэтому определено ее классическое преобразование Фурье
(Ονφ)Λ(ξ)=(2π)-^2 J (^ф)(0^')Л = (-/|Гфй).(ЗЛ0)
IR*
Из последнего соотношения, в частности, следует, что φ £ Lx (IR^).
Поэтому на функции φ определено обратное преобразование Фурье
(φ)ν, где
ψ(0 = (2π)-"/2 J ψ (*)*-«'· δ) dg (Ψ^Μ^)). (3.11)
причем из свойств классического преобразования Фурье следует,
что (Υφξ:8(ΐ{Ν)): φ = (φ)ν = (φ)Λ. Более того, справедлив
следующий результат.
Теорема3.2. Преобразование Фурье (3.8) является линейным
взаимно непрерывным биективным отобраоюением 8 (IR^) на 8 (IR^).
Обратным к нему отображением является обратное преобразование
Фурье (3.11).
Доказательств о= Преобразование Фурье, очевидно,
линейно. Из (3.9) и (3.10) вытекает, что
(Vv, σζ Ζ+):((- ίξ)ν ΟσΦ) (δ) = (Dv ((*ϊ)σ Ψ (0))Λ (ξ). (3.12)
12 9-227
353

Действительно,
(ξν£>σφ) (ξ) = (2π)-^/2 J ξν (/ί)σ ^(ξ· '> φ (0 χ
Xdt = (2n)~NV Γ -1ί(Ο>^·/>)(ί0σφ(0^ =
ir" '
= (— ψ\ (2π)-^/2 J β*& 0 Dvt{{it)° φ(ί)) Λ,
IR*
откуда и следует (3.12).
Пусть /e£RJ таково, что (1 + |*|2)~*£М1^)· Используя (3.12),
имеем
Π13Χ{|ξν(Οσφ)(ξ)| | ξζ]^| <(2Я)-Л/2Х
X J 1ϋ?(^φ(/))|Λ<(2π)-^ J (1+|ί|2)"*Λχ
IRtf IR^
Xmax{(l + |i|a)*|D7(iff9(0)l !*€№}. (3.13)
Из (3.13) следует, что (Υφζ§(^)): φ G S (IR^). Более того,
используя формулу Лейбница, несложно вывести из (3.13), что
(Ур62+)(Нс>0)(3?ег+)(У<рб*(^)):||Ф||р<с||Ф1к. (3.14)
Соотношение (3.14) влечет непрерывность преобразования Фурье
в 8 (IR^). Доказательство непрерывности обратного преобразования
Фурье аналогично.
Как уже отмечалось, из свойств классического преобразования
Фурье следует, что φ = (φ)ν = (φ)Λ (φ ζ § №ы))- Из равенства
(φ)Λ = φ следует, что отображение § (IR^) Э Φ «-^ Φ € S (IR^) сюръек-
тивно, а из (φ)ν = φ — что это отображение инъективно. Ц
Определим теперь преобразование Фурье на ^'(IR^. Следуя
изложенной в § 2 схеме, зададим преобразование Фурье α
обобщенной функции a^S^IR^) следующим равенством·
(Υφ6*(ΚΝ)):<α>φ> = (α>φ>. (3.15)
Так как по теореме^3.2 отображение φι^-φ линейно и
непрерывно, то функционал а, определенный правой частью равенства (3.15),
представляет собой обобщенную функцию из §'(1И^) и
отображение S' №Ν)$αι-+άζ8' (1RN) линейно и непрерывно в S'(W).
Используя равенство Парсеваля для классического
преобразования Фурье, получим, что
\y{t)W)dt= { φ(ξ)ΐ(ί)έίδ (φ, ψ €*(«")). (3.16)
IR^ \RH
Подставляя вместо ψ функцию θ = θ, получим
αέ(ψ) = ί θ(0φ(0Λ- $θ(ξ)φ(ξ)ίίξ =
IR* IR*
= αθ(φ)=αθ(φ) (φ G «(№)),
354

где ае, aj— регулярные обобщенные функции из §' (IR^),
порожденные быстро убывающими функциями θ и θ соответственно.
Отсюда следует, что преобразование Фурье на S' (IR^) есть
продолжение преобразования, определенного ранее на §(JRN).
Можно доказать (см., например, [14], § 1.5, [72], § V.3), что
S(IRA') всюду плотно в &'QRN). Это обстоятельство позволяет
заключить, что преобразование Фурье (3.15) является линейным
взаимно непрерывным биективным отображением §' (IR^) на S' (IR^).
Обратным к нему отображением является (a(—f))^ = a.
Предлагаем читателю убедиться в этом.
В заключение отметим важное свойство преобразования Фурье
в 8' (RN):
(Va6r(R"))(Vv6Z+):
D^a = ((it)v α)Λ, (Dva)A = (— /ξ)ν £. (3.17)
Действительно, Уср£$(П^) имеем
(Dva, φ) = (— 1)М (α, Dvq>) = (— 1)М (α> (D^)*),
откуда с помощью (3.10) получаем
</>£, φ) = (—1)М (a, (_ /ξ)νφ) = {{Ufa, φ> = <((/Υ)να)Λ, φ>.
Доказательство второго из равенств.(3.17) предоставляется
читателю.
Пример 3.3. Вычислим преобразование Фурье δ-функции δα (α £ IR^).
Имеем, согласно (3.15),
(δβ, φ>= (δα, ^> = ^(а) = (2пГ"'2 J φ (ή е«а>f) dt =
= ((2пГ"'2е{(а> *\ <p> (φζ^(^)).
Таким образом, Ъа = (2n)"N/2ei(a*f). В частности, δ0 = (2π)~~Ν/2. Применяя
к этому равенству обратное преобразование Фурье, получаем, что αλ =а
= (2π)^/2δ0, где ах—регулярная обобщенная функция, порожденная / (t) =
= 1 (/ £ IR^).
УПРАЖНЕНИЯ
N\.
3.12. Доказать следующие свойства преобразования Фурье в S" (IRyv)
а) (γ/0 g IR"): (a (t - /0)Γ = el& '°>а; 6) (γξ0 ζ IR"): α (ξ+ξ0) = («ί(δβ· '^Γ (6).
3.13. Найти преобразование Фурье следующих обобщенных функций:
а) Dv60; б) af, где f(t) = tv (v£^).
3.14. Пусть φ, ψ £ <ί? (|R^), (φ % ψ)(ί) = ί φ (* — s) ψ (s) ds — их свертка.
IR^V
Доказать, что: а) для каждой функции φ отображение $ (IR^) Э ψ ι-* φ % ψ €
€ <g> (IR^) непрерывно; 6) (γ<ρ, ψ, η £ # (IR*)): φ *ψ = ψ >(c φ, φ %(Ψ * θ) =
= (<Ρ*Ψ)*Θ; в) (γφ, ψ£ в (IR*)): (φψΓ = (2πΓΝ'2φ * ί, (φ * ΨΓ =■
= (2π)^/2φψ.
12· 355

3.15. Пусть i|)£<*?(IR ), a£<£?'(IR )· Определим свертку α>{<ψ как
обобщенную функцию из #'(IR^), задаваемую равенством (α%ψ, φ) = (α, ψ (—/)%
Χ φ) для всех φ £ $ (\RN). Доказать, что: а) для каждой функции ψ £ <fp (IR^)
отображение $' (\RN) Эαι->α% ψ £ #' (IR^) непрерывно; б) (γαζ <g>' (IR^))
(Υφ 6 <*? (IR^)): α % ψ £ C00 (IR^), причем α >fc ψ растет не быстрее полинома;
в) (γν £ Ζ?): Dv (α >|с ψ) = α ^ (Dvo|>) = (Dva) ^f ψ; д) пусть ωε — функция из
примера 1,1; α%ω8->α в $' (\RN) при е->0+.

ГЛАВА XII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Большинство операторов математической физики не являются
ограниченными. Как правило, они строятся с использованием операции
дифференцирования. В этой главе мы изложим ряд общих положений, касающихся
неограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА.
ГРАФИК ОПЕРАТОРА
1. Некоторые определения. Начнем с простейшего примера
неограниченного оператора. Рассмотрим гильбертово пространство
Η = L2 ((α, b)) = L2 суммируемых с квадратом функций / (χ)
относительно лебеговой меры на конечном интервале (а, Ь). На
линейном множестве С1 ([a, b\) s L2 определим оператор А в L2, полагая
с1([а,ь])э/'-л/ = | = /'. (1.1)
Он, разумеется, линеен. Однако ограниченным он не будет:
положим U (х) = е<™ (п е RJ)> тогда (V/i ζ И): || Afn \\ц= II infn ||Lf= η \\ fn \\L%.
Поэтому неравенство || Af \\l2< c\\f \\Lt (f ζ С1 ([α, b])) с некоторым
О О невозможно.
В этом примере введенный оператор А был определен не на всем
гильбертовом пространстве Η = L2, а лишь на плотном в нем
линейном множестве С1 ([а, Ь]). Позже мы увидим, что такая ситуация
в известном смысле общая: оператор, определенный на всем Η
и удовлетворяющий некоторому достаточно общему требованию,
будет автоматически ограниченным (см. теорему 3.4). Пусть Η —
заданное гильбертово пространство. Рассмотрим некоторое
линейное множество & (A) s H и определим на нем линейное
отображение @(А)Э!*~*А[£Н (т. е. такое отображение, что (V/, g£H)
(¥λ, μ ζ (С): Α (λ/ + μg) =s %Af + V>Ag). Это отображение
называют линейным оператором с областью определения @>(А). Под
равенством двух линейных операторов А и В понимается
совпадение их областей определения и действия: А = В, если @(А) =
= @(В) и Af = Bf(f£@(A)). Область определения оператора Л мы
всегда будем обозначать @(А) (часто применяется и обозначение
dom(i4)). Она, вообще говоря, может быть и неплотной в Я. Ее
плотность или неплотность либо будет ясна из контекста, либо
будет оговариваться.
Пусть А и В — два оператора такие, что @(А)^@(В) и Af =
= Bf(f£@(A)). В этом случае говорят, что оператор В является
357

расширением оператора А (или А — сужение В) и пишут:
А^В, В \9(А) = А.
Пример 1.1. Положим подобно (1.1) Η = L2 ((a, b)) = L2, В (А^) =
= Ck ([α, b])t L2 => Sf (Ak) 3f*->f'£L2(k£ N). Ясно, что Ах э A2 э ... ; (Vfc£
ζ №) @ {Ak) плотна в L2.
Операции над линейными операторами определяются
естественным образом, нужно лишь следить за областями определения
встречающихся операторов. Так, пусть Л, В —два оператора,
действующие в Я, λ £ (С. Положим
1) (λΑ) f = λ (Af) (f e 0 (АЛ) = & (Л));
2) (Л + B)f = Af + Bf (f g 0 (Л + β) = & (Л) Π ^ (β));
3) (ЛЯ)/ = Л (β/) (/£ * (Л5) ={/6^ (β) | β/t ^ (Л)}). (1.2)
Иными словами, области определения в (1.2) строятся максимально
возможным для данной операции образом. При этом, разумеется,
& (Л + В) и & (АВ) могут оказаться неплотными в Я, хотя & (Л)
и ^ (В) плотны. Эту ситуацию всегда необходимо иметь в виду и>
если это существенно, дополнительно требовать плотность & ( A +
+ В) или @(АВ).
Напомним, что область значений оператора Л, т. е. линейное
множество векторов вида Л/, где f £ @ (Л), мы обозначаем Ά (Л)
(или ran (Л)). Предположим, что Л осуществляет взаимно
однозначное соответствие между @ (А) и <% (Л). Тогда существует обратный
оператор Л"1, определяемый равенством Л"х(Л/)=/ (/(Е^(Л)У
Таким образом, 0 (Л -1) = ^ (Л), ^ (Л -1) = 0 (Л). Критерий
существования взаимно однозначного соответствия: ядро оператора
А равно нулю: Кег Л =» {/£ ^ (Л) | Л/ = 0} = {0}.
Определенный сейчас обратный оператор мы обычно будем
называть алгебраическим обратным, так как под обратным к Л
принято понимать оператор Л _1 в том случае, когда & (Л _1) = ^ (Л) =
=* Я и Л "х ограничен.
2. Понятие графика. При рассмотрении неограниченных
операторов возникают трудности, связанные с тем, что одновременно
с действием Л нужно следить за его областью определения & (Л).
В связи с этим в теории неограниченных операторов весьма
удобной является техника графиков операторов.
График оператора Л, действующего в Я, вводится совершенно
естественным образом. Так, рассмотрим ортогональную сумму
Η (£) Η пар (/, g), где f, g£ H. Напомним, что линейные операции
для этих пар определяются «покоординатно», а скалярное
произведение вводится равенством
(</i> gi>> </2> ё2»н®н =» (/1, f%)H+(gi, g2)n (/1. fa. gv ft €#)· (1-3)
Под графиком ГА оператора А понимается следующее множество
Г* =l<f9Af)SH®H\ft*(A)}. (1.4)
Из этого определения и линейности Л следует, что Та —
линейное множество в Я 0 Я. Возникает естественный вопрос — всякое
358

ли линейное множество L в Я φ Я будет графиком некоторого
оператора (возможно, с неплотной областью определения)? В случае
одномерного вещественного пространства Я графиком оператора
будет любая прямая, проходящая через начало координат
плоскости IR2 = Я φ Я, но не совпадающая с осью ординат.
Ясно, что подобное условие должно выполняться и в общем
случае: линейное множество L α Я φ Я будет графиком некоторого
оператора Л, действующего в Я, тогда и только тогда, когда
любое /, для которого (/, g) ζ L, однозначно определяет координату g
(т. е. для векторов из L «вторая координата однозначно
определяется по первой»). В этом случае полагаем @ (А) = [f £ Я | (/, g) £ L},
Л/ = g. Из линейности L следует линейность множества & (А) и
оператора Л; L = Гл. Можно также сказать, что линейное множество
L а Я φ Я является графиком некоторого оператора, если из того,
что (0, h) £ L, следует h = 0. Если первые координаты векторов
(/, g)(z L образуют плотное множество в Я, то Л будет плотно
определенным.
Подчеркнем, что задание оператора Л в Я (т. е. задание его
области определения и закона действия) эквивалентно заданию его
графика Г^. Соотношение Л ^В и включение ГА s Γβ
эквивалентны.
При изучении операторов при помощи их графиков удобно
ввести следующие два оператора, действующие в Я φ Я. Положим
H@Hb<f,g>i-+U<f,g> = <g9f>GH®H9 (1.5)
H®H5<f,g>*-+0<f9g) = <-g,f)£H®H.
Эти операторы изометричны: согласно (1.3),
<V<flf fiTl>» U<fv §2»Η@Η = «gv /i>, <g2, f2))H@H =
= (gl> ёъ)Н + (/l> /2)// = ((/l» gl>f </2» g2»H®H,
(0(/i, gi>, 0(/2 ft))«eff = (<—gv fi), <— g2> Ϊ2»η®η =
= (— gi, —ft)" + (/l, /a)// = «/l» £ΐ>> </2> g2>h®H ί/i, /2, g"l, g"2 € #)·
В силу (1.5) <%((/) = ЯфЯ, ^(0) = ЯфЯ, поэтому ί/ и О
унитарны. Из определения (1.5) легко следует, что
i/* = fl, 02 = —fl, OU = — UO. (1.6)
Для графиков операторов справедливо известное «школьное»
правило построения графика обратной функции: нужно исходный
график симметрично отобразить относительно биссектрисы первого
координатного угла. Сейчас оно выглядит следующим образом.
Теорема 1.1. Пусть А —некоторый операторе, вообще говоря,
неплотной областью определения. Для того чтобы существовал
алгебраически обратный оператор А -1, необходимо и достаточно, чтобы
множество UTA было графиком некоторого оператора. Справедливо
равенство
Га-* = ЦГа. (1.7)
359

Доказательство. Пусть Л'1 существует и (/, g)£TA, т. е.
/€0(Л) и г = Л/. Тогда g^H"1) и f = A^g, т. е. U(f,g) =
= (g> />£Гл-1. Иными словами, ί/Γ/ι^Γ^-ι. Применяя к этому
равенству оператор ί/ и пользуясь первым из равенств (1.6),
получаем противоположное включение. Итак, справедливость равенства
(1.7) установлена.
Осталось убедиться, что если UTA—график некоторого
оператора, то Η Л -1. Но UTA состоит из векторов (g> /), где / ζ @> (Л) и g =
= Л/. Сказать, что первая координата g такого вектора однозначно
определяет / — то же, что утверждать существование Л "1. ■
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Пусть Л, В, С — линейные операторы в Я. Доказать, что:
а) А + В = В + Л; б) (Л + 5) + С = Л + (В + С); в) ОЛдО; г)
(ЛЯ) С = Л (ЯС); д) (А + В) С= АС+ ВС; е) Л (Я + С) э ЛЯ +
+ АС. Привести пример операторов А, В, С таких, что в е) имеет место
строгое включение.
1.2. Если операторы Л, В имеют алгебраические' обратные Л-1, В"1, то
справедливо равенство (АВ)~Х — θ~Μ~ι. Доказать.
1.3. Пусть Л£ .2* (Я). Говорят, что Л перестановочен с оператором В, если
Л5^5Л (обозначение: A^j В). Доказать следующие утверждения: а) Ли Blt
A kj Яа=М^ (B1 + B2)t А^> ΒλΒ2\ б)А1^> В,А2^> B=^(A1 + A2)kj В, AxA2kj
kj В; в) если существует алгебраический обратный В'1 и Ли5, то Л ^ В"1.
1.4. Привести примеры операторов в Я таких, что: а) (#(Л))~=Я,
^(Л2) = {0}; б) (&(А))~ = Н, (&(В))~ = Н, ^(Л + Я) = {0}.
1.5. Пусть (еп)п={ — ортонормированный базис в Я и φ £ Я\л. о. ((ел)~=1).
Определим на & (Т) = л. о. (φ, (еп)™=]) оператор 7\ полагая Τ (λφ + J] λ^)=
= λφ. Показать, что замыкание графика оператора Τ не является графиком
линейного оператора в Я.
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ,
ДОПУСКАЮЩИЕ ЗАМЫКАНИЕ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Введем два важных класса неограниченных операторов, для
которых можно строить достаточно детальную теорию — без
дополнительных ограничений понятие неограниченного оператора слишком
широко.
1. Замкнутые операторы. Приведем прежде всего три
эквивалентных определения замкнутого оператора Л, действующего в Я.
1). Оператор А называется замкнутым, если его график Υ а
замкнут бЯфЯ.
2). Оператор А замкнут, если для любой последовательности
(fn)n=i^ @(А) из сходимости при /г->оо /„->/£# и Afn-^g^H
следует, что f£@(A) и Af = g (таким образом, это определение
можно воспринимать как некоторое ослабление понятия обычной
непрерывности оператора: в случае непрерывности Afn-+g
автоматически).
360

3). На области определения ^ (А) оператора А введем т. н.
скалярное произведение графика
(Л ё)тА = (/, gh + (Af, Ag)H {f,g£0(A)). (2.1)
Оператор А замкнут, если @> (А) — полное пространство
относительно скалярного произведения графика. Заметим также, что
отвечающая (2.1) норма называется нормой графика, для нее имеем
11/11гд = ИЛ1я + М/11я tfeatf». (2.2)
Теорема 2.1. Приведенные три определения замкнутости
оператора эквивалентны.
Доказательство. 1) =» 2): сходимость в Η fn-+f и Afn-+ g
означает, что ((/„, Afn))n=\ s Гл сходится в Я φ Я к точке </, g)9
которая в силу предполагаемой замкнутости Г л в #0# обязана
принадлежать Гл. Это означает, что f£@(A) и Af = g.
2) =¥ 3): пусть (fn)n=i S & (А) — фундаментальная
последовательность относительно [| · \\гА. Из (2.2) следует, что {fn)n=\ и (Afn)Z*i—
фундаментальные последовательности в Я, пусть /, g — пределы,
к которым соответственно они сходятся. В силу 2) f£@(A)uAf=g.
Нетрудно видеть, что \\fn — /Цгл->0 при /г-^оо. В самом деле,
(Ve>0)(HW = N(e)) такое, что \\fn — fm\\rA<b при /г, m>N.
Учитывая вид (2.2) нормы || · ||гл и переходя в последнем
неравенстве к пределу при т-*оо, получаем \\fn — /||гл <^ε (n>N), что
и требовалось доказать.
3) =» 1): пусть при п^оо TA3(fn, Afn>-+(f9 g>; из (2.2)
следует, что последовательность (fn)n=i фундаментальна
относительно нормы графика и, согласно 3), она сходится по этой норме
к некоторому вектору h£@(A). Но тогда в силу (2.2) ||/л — Л||я-> О
и || Afn — Л/ι [|//-^0. В силу единственности пределов h = / и
Ah = g, откуда (/, g)£TA. Ш
Пример 2.1. Каждый оператор А^ (k£N), фигурирующий в примере 1.1,
не является замкнутым. Например, рассмотрим оператор Аг. Он не замкнут,
так как из того, что последовательность fn £ @(Αλ) = С1 ([a, b]) сходится
в L2 к / 6 L2> a fn — B ^2 к g £ ^2» eu*e не следует, что / £ С1 ([α, b]).
Убедиться в последнем высказывании можно, например, так. Положим [а, Ь] =
«Ы. 1]. /М=1*1 и fn(x) = (S\J\(x)(*£l—U Ι], η £ Ν), где оператор
осреднения S& определяется формулой
Х+8
(SJ) (х) = ^ J / (Ι) <ίξ (ε > 0; χ ξ IR) (2.3)
χ—ε
(функция под знаком интеграла продолжена нулем вне [—1,1]).
Требуемые свойства построенной последовательности вытекают из свойств
операторов осреднения (см. лемму XI. 1.1, упр. XI. 1.11).
2. Операторы, допускающие замыкание. Если оператор А,
действующий в Я, незамкнут, то на первый взгляд его всегда легко
361

«замкнуть», т. е. расширить до замкнутого оператора А, добавив
к области определения & (А) те векторы f £ Η, для которых
существует последовательность (fn)n=i ^ ® (А) такая, что при η -> оо
|л->/ и 3 \imAfn = g' На добавляемом векторе /, естественно,
/l-t-oo
полагаем Af = g. Однако эта процедура, вообще говоря,
некорректна: Af может зависеть от аппроксимирующей / последовательности
1). Говорят, что оператор А допускает замыкание А (или
замыкаем), если приведенная процедура корректна (при каждом
f £ Η, для которого существует требуемая последовательность
(ΛΛΓ-ι).
Вместо этого несколько описательного определения удобно
пользоваться следующими двумя.
2). Оператор А замыкаем, если из того, что
последовательность (fn)rUi сз & (А) такова, что lim/„ = 0 и lim Afn = h£ Η, еле-
дует h = 0.
3). Оператор А замыкаем, если замыкание ТА его графика
является графиком некоторого оператора.
Теорема 2.2. Приведенные три определения замыкаемости
оператора эквивалентны.
Доказательство. 1) =* 2): это очевидно, так как,
согласно определению 1), h = АО = 0.
2) =* 1): пусть вектор f ζ Η таков, что ЭД, fn£f(A) (η ζ $$),
для которых при /г-*оо f'n-+f, f'n~+f и Af'n-+g', Af'n-+g".
Требуется показать, что g' = g". Но это следует из определения 2),
если положить fn = f'n — /£.
2) =# 3): Гл^Я0Я является линейным множеством; пусть
(0, Н)£Та. Последнее включение означает, что существует
последовательность (jn)n=u fn£@(A) такая, что при /г->оо //2-^0 и
Afn ->· h. Но тогда в силу 2) h = 0, а это означает, что Та — график,
3) =* 2): очевидное обращение рассуждений предыдущего шага, щ
Пусть оператор А допускает замыкание А. Еще раз подчеркнем,
что значения Af подсчитываются следующим образом:
рассматриваются все те f ζ Η, для которых существуют последовательности
(/я)|Г=ь fn(z@(A) такие, что lim fn = f и Я lim Afn = g". Векторы /
составляют область определения А и Af = g.
Из этой конструкции ясно, что А—линейный замкнутый
оператор. Отметим, что
Г3 = Гл. (2.4)
Если исходный оператор А был непрерывен, то А — непрерывный
оператор, определенный на Ш(А) = (^(Л))~. В этом случае про-
362

цедура замыкания—обычная процедура продолжения оператора по
непрерывности.
Замечание 2.1. Пусть оператор А допускает замыкание. Тогда
@{А) = (@(А))~Га, где *>Та обозначает замыкание по норме
графика. Это немедленно вытекает из сопоставления определения Ά
и формулы (2.1).
Замечание 2.2. Пусть А ^ В и оператор В допускает
замыкание. Тогда и А допускает замыкание, причем А ^ В. В самом
деле, Α ξ В ^ ГА s Тв. Отсюда ТА <= Тв = Tg, т. е. ТА является
частью некоторого графика Tg и поэтому будет графиком. Из
последнего включения и (2.4) следует, что Ά ^ β. ■
Отметим, что в этом параграфе мы не предполагали плотность
области определения оператора Л в Я.
Перейдем к некоторым примерам.
Пример 2.2 (оператор, не допускающий замыкания). Пусть Я = L2 ((a, b)) =
= L2, @ (А) = С ([а, Ь]) и (Л/) (*) = / (а). Очевидно, всегда можно построить
последовательность функций (jn)n=v fn^C (ia> ЭД)> fn (°) = 1 таких, чтобы
|1 //г II l ""* ° ПРИ п ~~* °°· Таким образом, сейчас Л/л = /1=1^0(я(=№)и /rt-*0;
согласно 2), оператор Л не замыкаем.
3. Дифференциальные операторы. Введем целый класс
операторов, допускающих замыкание — это важные для современной
математической физики дифференциальные операторы. Пусть G —
ограниченная область N -мерного пространства Цм точек χ = (xl9 ...
..., χν). Для простоты ее граница до будет предполагаться гладкой,
т. е. каждый достаточно малый участок грайицы задается
уравнением вида Xj = q>j(xv . . . , */-ь */+ь · · . > χν)* где / — свой для
каждого участка номер выделенной переменной (/ = 1, . . . , Ν),
а <р/ — I раз непрерывно дифференцируемая функция остальных
переменных (/£^+ U °°)· О такой границе говорят, что она
принадлежит классу С1. В дальнейшем / — достаточно большое число
(достаточное для проведения соответствующих выкладок).
Мы будем рассматривать дифференциальное выражение 9? вида
(&и)(х)= Σ aa{x)(D*u)(x) (χζΟ). (2.5)
|а|<г
Здесь использованы следующие обозначения (см. § VI. 7):
Da = D^ ... DIP, a = (οχ, . . . , адг), αν .. . , αΝ ζ %+,
\α\=αι+ ... +an,Dk=£. (k=l Λ0· <2·6>
Таким образом, (2.5) —линейное дифференциальное выражение
общего вида порядка г с комплекснозначными коэффициентами аа (х).
Предполагается, что они достаточно гладкие, точнее αα £
6 ΟΙ (G) (I α I <r).
363

Подчеркнем, что обозначения (2.6) будут постоянно
использоваться в дальнейшем.
Дифференциальное выражение з? вида (2.5) — это еще не
оператор, так как не указаны классы (пространства) функций, к
которым применяется &. Просто функция и из (2.5) должна быть
достаточно гладкой — выдерживать производные, фигурирующие в 5".
С 3? полезно связывать так называемое формально сопряженное
к з? (или сопряженное по Лагранжу) дифференциальное выражение
3?+. Для его введения рассмотрим достаточно гладкие в G функции
иу υ, одна из которых аннулируется в окрестности границы области
G. Путем интегрирования по частям получим (внеинтегральные
члены не появятся благодаря аннуляции)
^(3?u)(x)u~(x)dx = Jj ^a(x)(Dau)(x)uJx)dx==
G \a\<r G
= Σ"(—1)W ^ ti(x)(Da^jT)ul^))(x)dx = J и {х)(ШЩ~х)ах, (2.7)
\a\<r G G
(2>+v)(x) = Σ (-1)Ια|Οα(^Μ-Ж*)· (2.8)
\a\<r
Дифференцируя ααυ по формуле Лейбница, можно, конечно,
записать з?* в виде (2.5), однако такая запись нам не понадобится.
Ясно, что в силу произвольности и, υ в (2.7) выражение з?*
определяется из (2.7) однозначно.
Дифференциальное выражение & называется формально
самосопряженным (или эрмитовым), если 3? = 3?*. Важный пример
такого выражения — выражение Шредингера
ν
(3>и) (х) = — Σ (Dfy) (x) + q(x)u (x) = — (Μ) (χ) + q(x)u (x) (2.9)
/=ι
с вещественнозначным коэффициентом q = a0 (он называется
потенциалом). Другой пример: (&и) (х) = —i (Dku) (x) {k = 1, ..., Ν
фиксировано).
Сказанное выше, разумеется, справедливо и для неограниченной
области G (в частности, G = IR^).Нужно лишь требовать, чтобы одна
из функций и, υ из (2.7) дополнительно аннулировалась в
окрестности оо.
С выражением з? вида (2.5) прежде всего связывается так
называемый минимальный оператор, действующий в гильбертовом
пространстве Η = L2 (G) = L2 (G ограничена или нет). Для его
определения обозначим через Cl0 (G) (Ιζ Z+ U °°) линейную
совокупность I раз непрерывно дифференцируемых финитных функций
(т. е. функций и, каждая из которых аннулируется в некоторой
зависящей от и окрестности границы G и оо, если область неогра-
ничена). Очевидно, Cl0 (G) плотно в L2. Введем в L2 оператор U по
формуле
L2ZDCr0(G) = @(L')Bf^3>f£L2. (2.10)
364

Теорема 2.3. Оператор U вида (2.10) допускает
замыкание. Это замыкание L = L' называется минимальным
оператором, отвечающим выражению & в области G.
Доказательство. Пусть fn £ & (L') = С[ (β) {η ζ ЭД) таковы,
что при п-*оо в L2 fn-+0 и L'fn = ^fn^^h. Требуется доказать,
что h =: 0. Пусть u£Cr0(G), в силу (2.7)
(ft, v)L2 = \im{&fn, v)Li = lim(fn, ^v)L% = 0 (2.11)
(ясно, что &*υ £ L2). В силу произвольности υ и плотности
Cr0(G) в L2 из (2.11) заключаем, что ft = 0. ■
Замечание 2.3. Из замечания 2.1 следует, что область
определения минимального оператора L состоит из пополнения CJj (G)
относительно скалярного произведения
(/. g>L = (/. gh, + W, Sg)Lt (f, g ζ Cr0 (G)). (2.12)
В некоторых случаях такое пополнение можно описать более
явно — см. по этому поводу § XVI. 1.
Замечание 2.4. Обозначим через Lk (k = г, г+ 1, . . . , оо)
оператор, определяемый соотношением (2.10), но на @(L'k) = C%(G)
(таким образом, U =L'r). Очевидно, Lr з^+1э .... Вместе с тем
(Yk = r+ 1, г+ 2, ..., оо): L'k = L'r=L (поэтому при
определении L в (2.10) можно заменить Cr0(G) на C%(G) с указанным k).
В самом деле, так как L^Im2 ... , то достаточно доказать,
что @(Lr) ^^(Z/oo). Согласно замечанию 2.3, для этого достаточно
убедиться, что (V/ С С5(О))(¥8>0)(НфеС0°° (G)) · || f - φ ||L, < ε, || arf—
— &y\\Lt<.&. Но эти соотношения следуют из плотности С£ (G)
в Cr0(G) по норме пространства Cr(G). ■
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Пусть А — замкнутый оператор в Я. Доказать, что: а) Кег А —
подпространство; б) если В 6 ^ (Я), то Л + 5 — замкнут. Верны ли
утверждения а), б) для незамкнутого оператора Л?
2.2. Пусть А — замкнутый оператор в Я. Верно ли, что: а) В (А) —
замкнутое множество; б) ЗЯ (А) — замкнутое множество?
2.3. Пусть оператор А ограничен на ® (Л). Доказать, что Л замкнут
в том и только в том случае, когда (@ (Л))~ = В (Л).
2.4. Пусть Л —линейный оператор в Я, удовлетворяющий условиям:
1) (31 (А)у = 3t,(A)\ 2) (Нет > 0) (γ* ζ В (Л)): || Ах || > т \\ χ ||. Доказать, что
Л замкнут.
2.5. Пусть Л—линейный оператор в Я, удовлетворяющий условию
Кег Л = {0}. Рассмотрим следующие дополнительные утверждения об Л:
1) Л —замкнутый оператор; 2) (3i(A))~ = H\ 3) 3t (Л) — замкнутое множество;
4) (Я/я > 0) (V* € ^ И)): || Л* || > /и || * ||. Доказать, что: а) из 1) — 3) следует 4);
б) из 2) — 4) следует 1; в) из 1) и 4) следует 3).
2.6. Замкнут ли оператор умножения на независимую переменную (Ах) (/) =*
= **(/), заданный в L2 (IR), на: а) С~ (IR); б) L2 (IR, (! + /*)#)?
365

2.7. Обозначим через АС ([О, 1]) множество всех абсолютно непрерывных
на [0, 1] функций, производные которых входят в L2 ([О, 1]). Является ли
замкнутым оператор дифференцирования (Ах) (t) = ix' (i), заданный
L2([0, 1]) на: а) АС ([0,1]); б) {х £ АС ([0, 1]) | *(0) = 0}; в) {χ ζ АС ([О, 1]) |
лг(0) = л: (1) =0}; г) {х£АС([0, I]) 1 *(1) = е1ах (0)}, где α ζ IR фиксировано.
2.8. Доказать, что оператор умножения на функцию а £ С (IR), заданный
в L2 (IR) на С~ (IR), замыкаем и найти его замыкание.
§ 3. ПОНЯТИЕ СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
1. Определение и свойства сопряженного оператора. Напомним,
что сопряженный оператор Л* к ограниченному оператору Л,
действующему в гильбертовом пространстве Я, определяется из
равенства (см. § VIII. 4)
(Af, g)H = (f, A*g)H (f, g£H). (3.1)
В случае неограниченного Л определение Л* более сложное,
так как нужно следить за областями определения операторов. Итак,
пусть Л — некоторый оператор в Я с плотной областью
определения @) (Л). Рассмотрим вектор g£H, для которого существует
g* £ Я такой, что
И/. £)„ = (/> g*)H (Vfe^(^)). (3.2)
Из линейности скалярного произведения следует, что совокупность
всех таких векторов g (которую мы сейчас несколько условно
обозначим через ^(Л*)) образует линейное множество, причем
(λ£ + μ/ι)* = kg* + μ/ι* (g, 1ιζ@(Α*); λ, μ ζ (С). Вектор g*
определяется no g однозначно: если наряду с (3.2) имеется второе
представление (Л/, g)H = (f, g*% (/<Е^(Л)), то (/, g*-g*')„:=
= 0 (f ζ@(Α)) и в силу плотности @){А) в Я g*' = g*.
Для g ζ @ (Л *) положим Л*£ = g*. Так определенный
оператор в силу сказанного выше линеен, он и называется сопряженным
к Л. Таким образом, и сейчас справедливо равенство (3.1), при
этом §& (Л*) состоит из всех тех g, для которых имеет место (3.2)
(последнее соотношение еще выражают и так: g ζ §) (Л*) «=»■
функционал ^(Л)Э/ '-*М/) = 04/, g)tf£(C непрерывен).
Замечание 3.1. Сопряженный оператор к оператору Л
корректно определен тогда и только тогда, когда ^ (Л) плотно в Я.
Действительно, нам осталось лишь показать, что если существует
оператор Л*, связанный с Л посредством равенства (ЗЛ)(в котором
\ζβ (Л), g£^> (Л*)) и однозначно по Л определяемый, то й> (Л)
плотно в Я. Но это очевидно: если @) (Л) не плотна, то вектор A*g
по g из (3.1) определяется неоднозначно, так как к нему можно
добавить любой вектор h J_ & (Л). ■
Мы пока ничего не говорим об области определения оператора
Л*, ясно лишь, что 0 в нее входит (однако может оказаться, что
^(Л*)={0}, см. пример 3.2). Несколько ниже будет выяснена
связь между плотностью @) (Л*) в Я и замыкаемостью Л, но пока
мы остановимся на важных разложениях Η Q) Н, связанных с Л*.
366

Лемма 3.1. Пусть @(А) плотна в Η и поэтому Л*
существует. Справедливо равенство
ТА, =(0Гл)х =(#Θ#)Θ№), (3.3)
где оператор О определен в (1.5).
Доказательство. Пусть (g, Л*g}£Γл*. Это означает, что
g£@(A*) и справедливо равенство (Л/, g)H=(f, A*g)H (/£^>(Л)),
которое, в силу (1.5) и (1.3), дает
«г, А*е>, о (/, л/»ЯфЯ = «g, л*£>, (_л/, /»яея =
= -(*. Af)H + (A*g, f)„ = О (К*(А)). (3.4)
Поскольку <g, A*g)±0(f, Af)9 то Гл* <=:(ОГл)х.
Обратно, если (g, /^(ОГл)1, то прочитывая (3.4) в обратном
порядке, получим (Vf£0(A)):O = ((g, h\ 0(/, Af»H(BH = —(g,
Af)H+(K f)H. Иными словами, g£@(A*) и h = g* = A*g, т.е.
<g> h)£TA*. Итак, (ОГл)1^^*. Этим доказано (3.3). ■
Равенство (3.3) эквивалентно следующему ортогональному
разложению:
Я0Я = Гл*ф(ОГлГ. (3.5)
Подчеркнем, что в (3.5) фигурирует замыкание (ОТаУ линейного
множества ОТ а. Однако если оператор Л замкнут, то ТА, а
значит, и ОТ а замкнуты в Я φ Я (О — унитарный оператор) и поэтому
(3.5) переходит в разложение
ЯфЯ = Гл*фОГл. (3.6)
Лемма 3.1 допускает следующее обращение.
Лемма 3.2. Пусть действующий в Я оператор А таков,
что подпространство (ЯфЯ)©(ОГл) = (ОГл)1 является
графиком некоторого оператора. Тогда @>{А) плотна в Я, поэтому
существует А* и справедливо равенство (3.3).
Доказательство. Если f£@(A), то векторы из ОТ a s
^ЯфЯ имеют вид (—Af, /), а векторы (g, /ι)ζ(Ο^)1
удовлетворяют соотношению
0 = ((-Л/, f), (g, h»HeH = (f, h)H-(Af, g)H (f£@(A)). (3.7)
Предположим противное: пусть @(A) неплотна в Я и пусть
0=£/z _l ^>(Л). Вектор (0, /1}£ЯфЯ удовлетворяет (3.7) и поэтому
входит в (ОТа)1. Поскольку /г#0, то этот вектор не может
принадлежать какому-либо графику. Итак, (ОГл)1 не есть график, что
противоречит допущению. ■
Теорема 3.1. Пусть в Я действует оператор А с плотной
областью определения, Л* —сопряженный к нему оператор. Тогда:
1) Оператор Л* замкнут.
367

2) Если А допускает замыкание, то (Л)* = Л* (замыкание не
влияет на сопряженный оператор).
3) Предположим, что {& (Л))~= Η и существует алгебраически
обратный Л-1. Тогда существует (Л*)"1 и справедливо равенство
(Л"1)* -(Л*)-1. (3.8)
4) Если оператор В такого же типа, как и Л, то
Вз Л =>/1*2В*. (3.9)
5) Пусть оператор В такой же, как и А, и дополнительно
& (Л + В) плотна в Н. Тогда
(Л + £)*=> Л*+ 5*. (3.10)
6) Пусть оператор В такой же, как и А, и дополнительно §) (ВА)
плотна в Η. Тогда
(5Л)*:=> Л*В*. (3.11)
Доказательство
1) Замкнутость Л* вытекает из (3.3), так как ортогональное
дополнение — всегда замкнутое множество.
2) При помощи (3.3) и (2.4) получаем
Гй)* = №)" = (ΟΫΑγ = ((ОГлГ)1 = (ОГл)1 = ТА.
и поэтому (Л)* = Л*.
3) Оператор (Л"1)* существует, так как ^(А~1) = ^(А) плотно
в Н. Найдем его график, используя формулы (3.3), (1.7) и (1.5).
Имеем:
Г(^>. = (ОТл-ή1 = (OUTa)1 = (-UOTa)1 = (Н 0 Н) Q (UOTA) =
= U((H®H)e(OrA))=UTA*.
Таким образом, UTA* является графиком некоторого оператора,
поэтому в силу теоремы 1.1 оператор (Л*)"1 существует и T{A*ri =
= [/Гл* = Ги-1)*, а значит, и (Л*)"1 = (Л"1)*·
4) Так как 5=>Л, то Гя=>Гл, ОГв=>ОГА и, согласно (3.3),
Гв* = (ОТв)1 s (ОГл)1 = Гл*. Следовательно, θ* = Л*.
5) Пусть £(=^(Л* + 5*) = ^(Л*) Π 0(β*)ι тогда можно
написать два равенства:
(Af, g)H = (f, A*g)H(f£0(A))9 (Bf, g)H = (f, B*g)H (je*(B)).
Беря здесь f£@(A) f) 0 (β) = & (A -f β) и складывая оба эти
равенства, получаем
(И + Я)Л г)д = (/,л*£ + я**)я = (ЛИ*+я*}*)„ (/^(Л+Б)).
Но последнее равенство означает, что g £ @> ((А + В)*) и (А +
+ В)* g = (Л* + В*) g. Итак, Л* + £*£=(Л + £)*.
368

6) Пусть g£0(A*B*)= {g£&(B*)\B*g£0(A*)}, тогда V/€
£&(BA) = {f£&(A)\Af£&(B)} имеем
(BAf, g)H = (Af, B*g)H = (/, Л*B*g)H (3.12)
(первое равенство в (3.12) написано на том основании, что Af£@(B)
и g£@{B*)9 а второе —что f£@(A) и B*g£0(i4*)). Соотношение
(3.12) означает, что g£9((BA)*) и (ВA)* g = A*B*g. Итак, Л*В* s
<=(ЯЛ)*. ■
В случае, когда хотя бы один из операторов в соотношениях
(3.10), (3.11) ограничен, они превращаются в равенства. Точнее,
справедлив следующий результат.
Теорема 3.2. Пусть, как и ранее, А — оператор в Η с плотной
областью определения, аВ £& (Н). Тогда
{А + В)* = Л* + В*, (ΒΑ)* = Л*Я*. (3.13)
Доказательство. Докажем первое из соотношений
(3.13). В силу (3.10) достаточно убедиться, что (Л + В)* s
<=А*+В*. Пусть g£0((A+B)*), т. е. ((Л + В) /, g)H =
= (/>£*)// с некоторым g*6# (равным (А + В)* g) для всех
f£0(A + B) = a(A). Но ((Л + В)f, g)H = (Л/, g)„ + (/, B*g)H)
поэтому предыдущее равенство дает
И/, £)„ = ((Л + Я)/, ί)*-(Λ **ί)*ΗΛ^-5*ί)* (/^(Л)).
Отсюда g £ ^ (Л*), Л*^г = g* — S*g = (А + β)* g — B*g и, значит,
( Л + В)* с Л* + β*.
Второе из соотношений (3.13) следует из (3.11) и включения
( ВА)* s Л*Я*, которое мы сейчас докажем. Пусть g£^> ((ΒΑ)*),
т. е. (BAf,g)H= (f,g*)H с некоторым g*£H (равным (5Л)*#)
для всех f£® (ΒΑ) = & (Л). Но (ЯЛ/, g)/, = (Л/, 5*g)/y, поэтому
предыдущее равенство можно записать в виде
(л/, B*g)B = (бл/, g)„ = (/, g*b (/ е а (Л)).
Отсюда B*g£@(A*), A*B*g = g* = (ΒΑ)* g. Тем самым g£
£^*5*)={g£//| 5*g£^04*)} и (A*B*)g = (BA)*g.
Таким образом, (5Л)* = Л*Б*. ■
2. Второй сопряженный оператор. Следующая теорема обобщает
тривиальное для операторов Α ζ & (Н) равенство (А*)* = А.
Теорема 3.3 (о втором сопряженном
операторе). Пусть А —оператор б Η с плотной областью определения.
Предположим, что А допускает замыкание. Тогда существует
второй сопряженный (А*)* и справедливо равенство
(Л*)* = Л. (3.14)
Обратно, пусть А имеет плотную область определения и
существует (Л*)*. Тогда А допускает замыкание и верно (3.14).
Доказательство. Предположим сначала, что А замкнут:
А = Л. Тогда, согласно (3.6), Я 0 Η = Гл* 0 ОТА. Применяя
369

к этому равенству унитарный оператор О и пользуясь
соотношением 02 = — Ц (см. (1.6)), получим Я0Я = ОГл*0Гл. Отсюда
(ОТа^^Та, (3.15)
г. е. это ортогональное дополнение является графиком некоторого
оператора. Согласно лемме 3.2, ^>(Л*) плотна в Η и поэтому
существует (Л*)*. Поскольку Л* замкнут, то, согласно (3.6), Η φ Η =
= Г(л*)*0ОГл*. Сравнивая эту формулу с (3.15), заключаем, что
Г(л*)* = Гл. Отсюда следует (3.14) для замкнутого Л.
Пусть теперь Л допускает замыкание А. Применим доказанную
часть теоремы, заменив в ней А на А. Согласно (3.14), получим
((Л)*)* = Л. Но (Л)* = Л*, поэтому последнее равенство приводит
к (3.14).
Докажем обратное утверждение теоремы: 3 (Л*)*=$* замыкае-
мость Л. Так как О — унитарный оператор в Я0Я, то (ОГл)~ =
= Of л, и поэтому равенство (3.5) можно переписать в виде Я φ
φ Η = Та* φ ОТ а. Применяя к этому равенству оператор О и
пользуясь тем, что О2 = — {L, найдем
Яф# = ОГл*фГ\*. (3.16)
Кроме того, разложение (3.6), записанное для замкнутого
оператора Л*, дает ЯфЯ = Г(л*)* фОГл*. В этом разложении
и в (3.16) слагаемое ОТа* одинаковое, поэтому Та = Г(л*)*. Таким
образом, замыкание графика оператора Л является графиком, т„ е.
Л замыкаем, щ
ПРИМЕРЫ
3.1. Из теоремы 3.3 следует, что для оператора Л, фигурирующего в
примере 2.2, второй сопряженный (Л*)* не существует. Выясним, какова будет
@ (А*). Равенство (3.2) сейчас означает, что (V/ 6 С ([а, Ь])):
ь ъ
f (a) J W) dx = J / WFW dx (3.17)
a a
с некоторой g*£L2. Рассмотрим последовательность функций fn£C([a, b])
(ηζΜ) таких, чтобы (γη) : fn (a) = 1 и \\!п\\ь ~*° ПРИ я-*00· Заменяя
в (3.17) / на fn и переходя к пределу, получаем, что (1, g)Lz fc=0. Но тогда
из (3.17) следует, что (γ/ £ С ([а, Ь])): (/, #*)£з = 0 и поэтому g* = 0. Таким
образом, сейчас & (А*) неплотна в L2 и состоит из всех функций из L2,
ортогональных к 1, а А* — нулевой оператор на такой & (А*).
3.2. Нетрудно понять, как усовершенствовать пример 3.1 с тем, чтобы
получить оператор Л, для которого ^(Л*) = {0}. Как и в примерах 2.2 и 3.1,
положим, Η = L2 ((α, b)) = L2 и зафиксируем некоторую тотальную в L2 по-
оо
следовательность функций (q).)JLlf Φ/ € С ([а, &]), для которой ряд У] 1ф/(*)|
равномерно на [а, Ь] сходится. Зафиксируем также последовательность {aj)?i
370

точек dj £ [α, b], плотную на [a, b]. Положим ^(Л) = С([а, b]) и (Л/)(л;) =
оо
= Σ f (α/) Φ/ W (V/ £ ^ И))· ^тот Ряд Равномерно сходится, поэтому Л— кор-
/=1
ректно определенный оператор в L2 с плотной областью определения. Равенство
(3.2) сейчас подобно (3.17) означает, что (V/£C([a, b])):
оо Ь Ь
£ / (af) J Ф/ (x) ffW dx = J f (x) gTffi dx. (3.18)
/=1 α a
Зафиксируем / = /0 и рассмотрим последовательность равномерно ограниченных
функций fn^C (fa, 6]) (л £ Ν) таких, чтобы (уя): /п(д.) = 1 и fn (χ) = 0 при
* Μ а/о """ "я" ' а/ ~1~~/Г) ' Подставляя /л в (3.18) вместо / и переходя к
пределу при я->оо, легко найдем, что (<ру , g)Ljj = 0. В силу произвольности
/0 g Ν, g = о, т. е. & (Л*) = {0}.
Для дифференциальных операторов, фигурирующих в конце § 2,
сопряженный оператор, разумеется, существует. Однако выяснение
характера его действия — достаточно сложная задача (так как g из
(3.2) лишь входит в L2 и его гладкость априори нельзя
предполагать). Ее мы коснемся в § XVI.2.
3. Теорема о замкнутом графике. К рассматриваемому сейчас
кругу вопросов примыкает следующая важная теорема.
Теорема 3.4 (Банаха о замкнутом графике).
Пусть в гильбертовом пространстве Я действует замкнутый
оператор Л, определенный на всем Я : @ (А) = Я. Тогда А обязательно
ограничен.
Доказательство. Сперва докажем, что Л* ограничен
на @) (Л*) (он, разумеется, сейчас существует). Предположим
противное. Тогда существует последовательность (gn)n=i c= @) (Л*),
\\ёп\\И= 1 такая, что M*gJ|w-*oo при «-►оо.
Рассмотрим Уп£Щ функционалы
U/) = (A А*ёп)н (/еЯ); ||/я|| = \\A*gn\\Hn^ оо. (3.19)
С другой стороны, в силу равенства (Л/, g)H = (f, A*g)H (f£@ (A) =
= Я, g£0(A*)) имеем: /„(/) = (Af, gn)H и поэтому |/л(/)|<
< || Л/ Ия = с (f £ Я, η £ И). В силу теоремы Банаха — Штейнгауза
(VII. 1) нормы ||/„|[ ограничены по /г, что противоречит (3.19).
Поскольку Л замкнут, то в силу теоремы3.3 @) (Л*) плотно в Я
и поэтому Л* ζ g (Я). В силу этой же теоремы
Л = (Л*)* = (Л*)*£5ЧЯ). ■
Таким образом, весьма часто встречающиеся неограниченные
операторы (замкнутые или допускающие замыкание) не могут быть
определены на всем Я — они должны иметь нетривиальные области
определения. Об этом говорилось еще в § 1.
371

Замечание 3.2. Теорему Банаха о замкнутом графике можно
вывести из теоремы Банаха об обратном операторе (теорема VIII.
3.4). Для этого на подпространстве Глс=#ф# определим
оператор ГлЭ<7> Af)i-+P1(f, Af) = /£#. Это линейный непрерывный
оператор, отображающий Г^ на все Η взаимно однозначно. По
теореме Банаха об обратном операторе существует обратный
оператор Рг :Н\-+Та, являющийся линейным и непрерывным. Далее
оператор Р2 (/, Af) = Af, действующий из ГА в Н, также линеен
и непрерывен. Но тогда и А = Ρ2ΡιΧ является линейным
непрерывным оператором в Я.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Пусть (βη)™^ — ортонормированный базис в Я, (art)^Li cz С — фикси-
оо
рованная последовательность. Положим Ах = J] апхпеп для χζ@(А) =
=л. о. ((еХж1). Найти Л*.
3.2. Найти А* для следующих операторов, действующих в L2 ([0, 1]):
ι
a) (Ax)(t)=x(t*)t ^Л) = {* £ МГО, П)| j|^HI2*<ooJ; б) (Л*)(0 =
= ix (0), * (Л) = С ([0, 1]).
3.3. Найти сопряженные к операторам из упр. 2.6—2.8.
3.4. Пусть Л — оператор дифференцирования {Ах) (t) = χ' (t), заданный
в L2 ([0, оо)) на: а) &г = С0°° ([0, оо)); б)@2 = {х\х(0) = 0, 3*' € ^ ([0, оо))}.
Найти Л*.
3.5. Найти сопряженный к оператору Лапласа Δ = Dx+ ·.· + DN,
заданному bI2(IR*) на Co(\RN).
3.6. Пусть Л плотно заданный линейный оператор в Н. Доказать, что
$1 (Л))1 = Кег Л*. Верно ли соотношение (Кег А)1 = (^ (Α*))~ϊ
§ 4. ДЕФЕКТНЫЕ ЧИСЛА ОБЩИХ ОПЕРАТОРОВ
Рассмотрим некоторые конструкции для операторов, связанные
с понятием обратимости.
1. Дефектные подпространства. Пусть в гильбертовом
пространстве Η действует оператор А с некоторой областью определения
& (А) (возможно, и неплотной в Я; вместе с тем равенство
@(А) = Яи ограниченность А не исключаются). Точка z£(C
называется точкой регулярного типа оператора А, если существует
сг > 0 такое j что
\\{A-zft)f\\H>cz\\f\\H (/6 «И». (4.1)
Обозначим (А — zfl)/= g, тогда (4.1) означает, что на & (А — гЦ)
существует обратный оператор (А — ζβ)_1 g, действующий в
& (А) с Я, и он непрерывен. В соответствии с определением
в § VII 1.8 точку ζ регулярного типа естественно назвать регуляр-
372

ной, если & {А — гЦ) = Н\ таким образом, точка регулярного
типа — некоторое обобщение понятия регулярной точки.
Установим несколько простых фактов, касающихся точек
регулярного типа.
1). Для данного оператора А множество точек регулярного типа
открыто.
В самом деле, пусть z0 — точка регулярного типа оператора А.
Требуется доказать, что существует некоторая ее окрестность,
состоящая из точек регулярного типа. Имеем для ζ £ (£ и / £ Ш (А)
|| (А - zfl) / ||я = || (Л - гД) / - (г - г.) /||„ > || (Л - z0fl) f\\H -
-|2-20|||/||я>с2о||/||я-|2-г0|||/||я = (сго-|2-20|)||/||я.
Q
Отсюда для ζ из круга |ζ — ζ01<-£ получаем: \\(А — zQ)f\\ >
Q
>-§°\\f\\H- Это означает, что каждое такое ζ является точкой
регулярного типа. ■
2). Пусть А замкнут и точка ζ£([) — точка регулярного
типа. Тогда &{А — zfl) является подпространством (т.е.
замкнуто).
Действительно, пусть gn£3?(A— zfl) и при п-+оо gn-+g£H.
Нужно доказать, что g^^(A— zfl). Рассмотрим fn£@(A) такое,
что (А — гЦ) fn == gn. Имеем Vn, m £ f^j
\\gn-gm\\H = \\(A-ztt)(fn4m)\\H>cz\\fn-fJ\H.
Отсюда следует, что последовательность (/rt)„=1 фундаментальна.
Пусть f = \imfn. Далее, Afn = gn + zfn^g + 2/. В силу замкну-
П-+оо П-+о°
тости А \^т{А) и Af = g + zf, т.е. g£&{A — zj[). ■
3). Пусть оператор А допускает замыкание А. Каждая точка
ζ регулярного типа для оператора А является точкой
регулярного типа и для А, при этом справедливо равенство
Я?(Л —гй) = (#(Л —zfl))*\ (4.2)
Действительно, ζ является точкой регулярного типа и для А —
это непосредственно следует из определения А путем предельного
перехода в неравенстве (4.1). Так как ЛдА и последний оператор
замкнут, то, учитывая 2), &(Α — ζβ)^&(Ά — ζβ)=>(&{Α —
— гй)Г5=#(Л —*fl).
Докажем обратное включение. Пусть g^9l{A — zfl), g = (Ά —
— zH)f (f£@{A)). Согласно определению Л, существует (fn)^sslci
cz@(A) такая, что при /г-^оо fn-+f и Afn^Af. Но тогда
&(А — гЦ)Э(А — zj[)fn-+gy поэтому g£(&(A — ζβ))~. Таким
образом, & (А — zfl) s (& {A — zfl))^. ■
Пусть для рассматриваемого оператора А точка ζ £ J) является
точкой регулярного типа. Подпространство Νζ = Η Q {Я (А —
373

— z&)) = (^ (Л—zfl))1 называется дефектным подпространством
оператора А, отвечающим г. Таким образом, можно написать
разложение
Я = (*(Л-гй)ГФ#,. (4.3)
Если оператор Л допускает замыкание или замкнут, то, согласно
3) и 2), разложение (4.3) можно переписать соответственно в виде
Я = {я(Л - *Щ) 0Nzi Н = Я(А- гЦ) 0#2. (4.4)
Опишем теперь дефектное подпространство несколько иным
способом. Подобно сказанному в § VIII.8, будем говорить, что вектору
является собственным для оператора В с областью определения
& (В) у если О Φ φ ζ §) {В) и Βφ = λφ с некоторым λ £ (β —
соответствующим собственным значением. Все собственные векторы,
отвечающие данному собственному значению λ, и 0 образуют линейное
множество Φ (λ). Если В замкнут, что легко видетьдо Φ (λ)
замкнуто; оно называется собственным подпространством, отвечающим λ.
4). Предположим у что А имеет плотную область определения
и поэтому существует А*. Тогда дефектное подпространство Νζ
совпадает с собственным подпространством оператора А*,
отвечающим собственному значению ζ.
В самом деле, пусть φ ζ Nz> тогда (V/ 6 В {А)): ((А — zft) f, ср)я =
= 0=Ф-(Л/, φ)Η = (/, ζφ)Η=$~φζ@(Α*) и Л'ьср = ζφ. Таким образом,
Л/2^Ф(г), где Φ (z) обозначает указанное собственное
подпространство. Обратно, если Л*ср = гср, то (У/£0(Л)): (г/, <р)я = (/,
Л*(р)я = (Л/, ф)я, откуда (р_1^(Л —zfl), т. е. Ф(г)£#2. И
2. Дефектные числа. Перейдем к формулировке основного
результата параграфа. Пусть задан оператор Л с некоторой
(возможно, и неплотной) областью определения §> (Л), г — его точка
регулярного типа. При изменении z дефектное подпространство Nz
будет, разумеется, изменяться. Однако замечательным
обстоятельством является неизменность его размерности dim Nz (под dim Nг
понимается обычная размерность, если Nz конечномерно, и оо в
противном случае). Точнее, справедлива следующая теорема
Теорема 4.1 (Красносельского — К ρ е й н а). Пусть
А — замкнутый оператор в Я, тогда nz= dim Nz остается
постоянной при изменении ζ в связной компоненте множества точек ζ
регулярного типа оператора Л. Таким образом, каждой такой
компоненте G можно сопоставить фиксированное число ηζ, где
ζ ζ G. Это число называется дефектным числом оператора А (в
компоненте G).
Доказательство. Прежде всего локализуем задачу.
Несколько ниже будет показано, что для каждой точки z0 регулярного
типа существует ее окрестность U (z0), состоящая из точек
регулярного типа и такая, что (Vz£ U (z0)) ι dim Nz = dim NZo. Этого
будет достаточно для доказательства теоремы. В самом деле, пусть
*ι· z2 ζ G, где G — связная компонента открытого множества точек
регулярного типа. Соединим z1 и z2 замкнутой спрямляемой кривой
374

у cz G. Для каждой точки ζ £ γ рассмотрим окрестность U {ζ) s G,
существующую в силу нашего предположения, и из покрытия у
этими окрестностями выберем конечное покрытие. Для ζ из каждой
такой окрестности dim Nz сохраняется. Двигаясь шаг за шагом от
точки zt к z2, получим, что dim NZi = dim VZj}.
Перейдем к основной части доказательства — нахождению
требуемой окрестности U (z0). Предположим противное. Тогда найдется
такая последовательность (ζ„)~=1 точек zn регулярного типа, что
limzrt = z0 и вместе с тем ά\χηΝΖηΦά\χηΝΖο (ft£Rj). Здесь воз-
можны две ситуации:
а) Из последовательности (zj^i можно выбрать такую ее
подпоследовательность, которую мы по-прежнему обозначим (zj~=1i
что dim NZn < dim ΝΖο (η £ R|);'
б) (Vrt6M):dimtf^>dim^e.
Рассмотрим сначала случай а). Обозначим через PnZq
(ортогональный) проектор на подпространство NZo. Соответствующий образ
pN2Nzn таков, что d\m{PNzNZn) < dimN2n <dimNZo (при
проектировании размерность подпространства не может увеличиться).
Поэтому можно выбрать ®¥=gn£NZQQPNzNZn {η£Ц).
Нетрудно понять, что gn _Г Ν2 ι пусть h £ Νζ и h = h1-\- h2
(hx = PnJi) — разложение этого вектора при проектировании PnZq-
Тогда (gn, h)H = (gn, кг)н + (gn, h2)H = 0, так как первое
слагаемое обращается в 0 ввиду того, что gn^N^QP^ NZn$ a h£NZn,
а второе — так как /i2 J_ NZo.
Для замкнутого А справедливо разложение вида (4.4) (вторая
формула):
Η = &(Α-ζΜ®ΝΖη (л6 Μ). (4.5)
Так как gn j_ Nz , то в соответствии с (4.5) gn£&(A — гД), т. е.
можно написать: Щп£й)(А), fn¥=0, такое, что gn = (А — гД)/,?.
Умножая fn на скаляр, можем считать, что И^Н^ = 1. Кроме
того, gn£NZo, поэтому gn±&(A — гД), в частности gn ± (А —
— гоЛ)//г· Таким образом, можно написать
((A-znu)fnAA-z0Jl)fn)H = 0 (л 6 М). (4.6)
Левую часть (4.6) преобразуем следующим образом:
0 = ((А - гД) f„(A- г0й) L)H = (Μ - *(Д) f » - (*,. - *о) /*.
(Л - гД) /„)„ = || (А - гД) /я Ц», - (гя - z0) (/„, (А - гД)/я)я,
откуда
UA-z0H)fn\\%<\zn-z0\\{fnt {A-z&)fn)H\<\zn-zQ\ X
X IIfn\\HII(А-гьй)/Ля» 11И-^)/Ля<1^-^оИ1/Л/у
(Ш1я=1> лбМ).
375

Поскольку при п-^оо ζη-+ζω то последнее неравенство
противоречит тому, что ζ0 — точка регулярного типа для А.
Случай б) рассматривается аналогично. Рассмотрим проектор
Ρνζ уже на подпространство Νζ , тогда a\m(PNz NZq) < dimNZo <
< dim NZn. Выберем 0Φ gn£ NZfi Q PnzNz0, как и ранее, gn ± NZo
(η £ И). Воспользуемся разложением Η = (& (А — гД)) φ ΝΖο.
Поскольку gn£&(A-—z0ll)> то найдется /Я£0(Л) такое, что g,2 =
*= {А — гД) fni при этом можно считать || fn \\н = 1 (/г ζ И). Кроме
того, gn£NZn, поэтому gn±&(A — znil), и, в частности, gn \_
±(А — гД)/п. Соотношение (4.6) приобретает вид
((А - г«Д) fnf {А - *Д) fn)H = 0, || /я ||н = 1 (/г ζ Rj),
Из него приходим к противоречию точно так же, как и в случае а)
из (4.6).■
Замечание 4.1. Теорема 4.1 сохраняется в той же формулировке
и для операторов А, допускающих замыкание. Точнее, в 3) мы
убедились, что если точка z—регулярного типа для Л, то она будет
такой же и для Л, причем справедливо равенство (4.2). Из этого
равенства следует, что дефектные подпространства N2 для А и А
совпадают, у них одинаковые связные компоненты множества точек
регулярного типа и одинаковые соответствующие дефектные числа.
Замечание 4.2. Под dim Nz выше можно было бы понимать
размерность подпространства Nz и в смысле § VII. 10, т.е. как мощность
ортонормированного базиса в этом подпространстве. При этом
теорема 4.1 сохраняется, а ее доказательство лишь слегка усложняется.
Разумеется, что замечание имеет смысл только для несепарабель-
ных пространств.
Отметим также, что теорема 4.1 остается справедливой и для
незамыкаемых операторов (на доказательстве мы не
останавливаемся).
§ 5. ЭРМИТОВЫ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ
ОПЕРАТОРЫ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Как мы уже видели в гл. VIII, X, среди ограниченных
операторов, действующих в гильбертовом пространстве //, весьма важную
роль играют самосопряженные операторы, т. е. такие операторы Л,
для которых {Af,g)H =(f,Ag)n (/, g(zH), или, иными словами,
Л* = А. В случае неограниченных операторов подобные
операторы играют столь же важную (если не большую) роль. Однако при
соответствующем обобщении возникают уже два класса операторов
в зависимости от того, какое из двух выписанных равенств принять
за основу.
1. Понятие эрмитова оператора. Итак, пусть А—некоторый
оператор в Η с плотной областью определения. Такой оператор
называется эрмитовым у если справедливо равенство
(Af>g)H = (f>Ag)H (/, 8ζ*(Α)). (5.1)
376

Оператор А с плотной областью определения называется
самосопряженным, если
А*=А. (5.2)
Пусть А эрмитов, т. е. выполняется (5.1). Это равенство
означает, что g входит в §) (Л*) и A*g — Ag, т. е. А ^ Л*. Из
последнего включения, разумеется, следует и (5.1). Итак, в случае Л
с плотной областью определения эрмитовость эквивалентна
включению
Л s Л*, (5.3)
а самосопряженность — равенству (5.2). Отметим, что именно на
самосопряженные операторы переносится теория спектральных
разложений, которая излагалась в гл. X, теория более общих
эрмитовых операторов значительно беднее. (Заметим также, что
эрмитовость можно определить посредством (5.1) и в случае неплотной
области определения, однако такие операторы мы изучать почти
не будем).
Эрмитов оператор Л всегда допускает замыкание — это следует
из включения (5.3) и замкнутости Л* (см. замечание 2.2). Его
замыкание Л также эрмитово: А^А*=>А^А* = А* = (Л)*, т. е.
(5.3) выполнено.
Еще одно полезное определение — оператор А называется
существенно самосопряженным (или в существенном самосопряженным),
если его замыкание А самосопряжено.
Лемма 5.1. Любое ζ £ (C\IR является точкой регулярного типа
для произвольного эрмитова оператора.
Доказательство. Имеем Vf£@(A) и ζ = χ -f- iy (x, У^Щ
II (A - гй) f HI, = ((A -xtof- iyU (A -x$)f- iyf)H =
= II (Л - x{L) f \\% + iy ((A - хЦ) f, f)H - iy (f, (Л - хй) f)H +
+ y2\\f\\2H>y2\\f\\% (5.4)
(мы воспользовались эрмитовостью оператора Л — xj\). Из (5.4)
следует
\\(A-z4)f\\H>\lmz\\\f\\H (ϊξ0(Α)), (5.5)
т. е. выполняется (4.1) с cz= |Imz|. ■
Таким образом, у эрмитова оператора имеются две связные
компоненты множества точек регулярного типа: верхняя и нижняя
полуплоскости. Согласно теореме 4.1, им отвечают дефектные числа
т= dimNz (lmz>0) и η = dim Nz (Im ζ <0); napalm, n)
называется индексом дефекта оператора Л. Разумеется, Л и Л имеют
одинаковые индексы дефекта.
Как и в случае ограниченных операторов, легко доказывается,
что собственное значение эрмитова оператора всегда вещественно.
377

В самом деле, если Л эрмитов и при некотором 0φφζ@(Α)
Αφ = λφ, то λ (φ, φ)Η = (Αφ, φ)Η = (φ, Αφ)Η = λ (φ, φ)Η, откуда
λ£Ή. ■
2. Критерий самосопряженности оператора. Справедлив
следующий критерий самосопряженности оператора.
Теорема 5.1. Замкнутый эрмитов оператор самосопряжен тог-
да и только тогда, когда его дефектные числа равны нулю: т = η = 0.
Иными словами, эрмитов оператор А самосопряжен, если при
некоторых zlt ζ2 ζ (С, где Im z2 < 0, lmz± > 0, справедливы равенства
<% (А — ггЦ) = Н, &(А — гай) = Н. (5.6)
Обратно, если А самосопряжен, то равенства (5.6) имеют место
для произвольных указанных zlt z2.
Доказательство. Необходимость. Пусть А = Л*,
требуется доказать, что (Vz ζ (£\IR) : Nz ={0}. Однако, в силу
утверждения 4) из § 4 Nz совпадает с собственным подпространством
оператора А*, отвечающим невещественному собственному значению ζ.
Предположение ΝΖ Φ {0} противоречит только что установленной
вещественности собственных значений эрмитова оператора.
Достаточность. Докажем, что Л* ^ А. Отсюда и из (5.3) будет
следовать требуемое равенство Л* = А. Зафиксируем z£(£\JR,
так как т = η = 0, то Nz = Ν- = {0}. Пусть g ζ & (Л*), тогда
(A* — zQ)g£H и в силу равенства Nz = {0} 3/£^>(Л) такое, что
(Л — z{L)f = (Л* — ζϋ) g·. Но Л = Л*, поэтому Л/=Л*/ и последнее
равенство можно переписать в виде (Л* — 2й)/ = (Л*— zfl) g или
Л*(/-£) = г(/-£). (5.7)
Равенство (5.7) означает, что/ — g- — собственный вектор
оператора Л*, отвечающий ζ. Согласно утверждения 4) из §4 / —g£
£ УУ2 = {0}, откуда g = / ζ & (Л). Итак, ^ (Л*) s 0 (Л), откуда
Л* сА
Осталось доказать последнюю часть теоремы, относящуюся к
равенствам (5.6). Она является перефразировкой ее первой части, если
только установить, что наличие хотя бы одного из соотношений (5.6)
влечет замкнутость Л. Это легко доказать непосредственно, но
можно воспользоваться и теоремой 1.1. В самом деле, например, первое
равенство (5.6) означает, что существует ограниченный определенный
на всем Я (и поэтому замкнутый) оператор (Л —Ziu)"1. Тогда,
согласно (1.7), график Г τι = ί/Γ л замкнут, т. е. оператор
А—2tlL (Л—«2i 1L)~
Л — zl'u, а вместе с ним и оператор Л замкнуты. ■
Следствие 5.1. Пусть Л —эрмитов, вообще говоря,
незамкнутый оператор. Если его дефектные числа равны нулю, то Л
существенно самосопряжен.
3. Полуограниченные операторы. Если для эрмитова
оператора Л известно, что на вещественной оси лежит по крайней мере одна
точка регулярного типа, то множество всех точек регулярного типа
у Л становится связным и поэтому его дефектные числа равны:
378

m = η (заметим, что это — лишь достаточное условие их равенства).
Существует важный класс подобных эрмитовых операторов — это
полуограниченные операторы.
Пусть Л — некоторый оператор с плотной областью
определения ® (Л), для которого 3 α ζ Ц такое, что
И/, /)„>α||/|β (/6*04)). (5.8)
Такой оператор называется полуограниченным (снизу), а число а —
его вершиной (а, разумеется, по Л определяется неоднозначно).
Аналогично определяется полуограниченный сверху оператор —
неравенство в (5.8) должно быть противоположным. Если А
полуограничен, то — А полуограничен сверху. Полу ограниченный
оператор с вершиной а = 0называется неотрицательным (ср. § VII 1.5,
п. 3).
Из вещественности (Л/, /)#и поляризационной формулы следует,
что (Л/, g)H = (/, Ag)H (/, g ζ 0 (А)), т. е. А — эрмитов (по поводу
этого" равенств а см. § VIII.5; в § XIV. 8 при изучении билинейных
форм мы еще раз остановимся на этих вопросах). Если А
полуограничен и допускает замыкание А, то ясно, что А также полуограничен
с прежней вершиной.
Лемма 5.2. Пусть А —полуограниченный оператор с вершиной
α ζ IR. Любое z £ Ц \ [а, + оо) является для него точкой
регулярного типа.
Доказательство. Положив ε = а — z>0, V/£^>(Л), имеем
11&4-гЛ)Л1Ь = (И-ай)/ + 8/, (A-au)f + sf)H =
= HA-*tof%+*({A-afoUf)H + *ti* (Л-ай)/)я +
+ B%\\f\\%>*4f\\%·
Здесь мы воспользовались тем, что (5.8) эквивалентно неравенству
((А - аЦ) /, f) = (/, (Л - аЦ) f)H > 0. ■
Теорема5.2. Пусть А — замкнутый полуограниченный
оператор с вершиной α ζ IR. Он имеет равные дефектные числа. Для его
самосопряженности достаточно, чтобы при некотором г £ (£ \[а,
+ оо) имело место равенство
&(А — гЦ) = Н. (5.9)
Доказательство. Равенство дефектных чисел ту η
следует из леммы 5.2, из нее же и леммы 5.1 вытекает, что каждое
г £ (С \ ία, +οο) является точкой регулярного типа. Поэтому (5.9)
эквивалентно равенству т = η = 0, далее применяем теорему
5.1. ■
Пусть оператор Л = Л*. Напомним, что точка ζ £ (С называется
его регулярной точкой, если существует ограниченный обратный
оператор Rz = (А — z{L) ~\ определенный на всем Н,— резольвента
А. Таким образом, точка ζ — регулярная, если она регулярного
типа и & (Л — zfl) = //. Как и в случае ограниченных операторов
легко доказывается, что множество регулярных точек открыто в (С
379

и для любых двух таких точек ζ, ζ справедливо тождество
Гильберта
Я.-Яс = (2-Е)Я*Дс· (5.10)
Для доказательства нужно повторить выкладки § VIII.8.
Спектром самосопряженного оператора А называется дополнение
в (С к его множеству регулярных точек. Таким образом, спектр
S (А) — замкнутое, вообще говоря, неограниченное множество,
расположенное на вещественной оси.Если оператор А
дополнительно полуограничен с вершиной а, то S (А) ^ [а, + оо) (см. леммы
5.1 и 5.2).
ПРИМЕРЫ
5.1. Пусть G ^ \RN —ограниченная или нет область, фигурировавшая
в § 2, Я = L2 (G) = L2, & — дифференциальное выражение (2.5) с
коэффициентами аа 6 С,а' (G). Если 3? формально самосопряженное, т. е. 2?* = .2%
то минимальный оператор L, отвечающий 5й, эрмитов. Действительно, для
оператора V (см. (2.10)) это непосредственно следует из (2.7). Далее нужно
вспомнить, что L = L'. В частности, эрмитовым будет оператор Шрединге-
ра — минимальный оператор, порожденный выражением (2.9).
Вместе с тем этот оператор L, как правило, не будет самосопряженным.
Выяснение условий его самосопряженности или самосопряженности его
расширений (задаваемых теми или другими граничными условиями на dG) —
сложная и вместе с тем весьма важная задача. О ней будет идти речь в
§ XVI.4. Сейчас мы лишь ограничимся приведением следующего примера.
5.2. Пусть G — ограниченная область в \RN и Я! = Я?* — формально
самосопряженное, отличное от тождественного 0, выражение (2.5) с
постоянными коэффициентами аа. Тогда отвечающий ему минимальный оператор L
будет эрмитовым, но не самосопряженным (заметим, что условие формальной
самосопряженности сейчас выглядит так: (γα : | а | <: г) : аа = (—1)'"а ^а, т. е.
коэффициент аа вещественен, когда |а| четно, и чисто мнимый, когда |а|
нечетно, см. (2.8)).
В самом деле, рассмотрим экспоненту IR^3* = (*i» ··· , %)|-*ф(*) =
= ехр (χ, ζ)Κ^£ ©, где ζ = (£lf ... , ζΝ) ζ &Ν — заданный вектор. Так как G
ограничена, то (γζ): 0 Φ φ £ L2. Вместе с тем интегрированием по частям для
/€CJ(G) и z£©\IR получаем
((L'-zu)/, Ф)£2 = ((^-г41)/, q>)Lf-(/, (*-HL)q>)Lf. (5.11)
Но
(^exp (., ζ)η„) (χ) = г [ζ] ехр (χ, QrN, (5.12)
* га = Σ а*? (ζα = ε?1... ε*"; * 6 ir". ε 6 ©").
Поэтому если ζ удовлетворяет уравнению 5?[ζ] = ζ, то (3? —гЦ.) φ = 0 и
из (5.11) следует, что 3ft, (L — гЦ) = (3ft, (Z/ — zll))~ неплотно в 12. Поскольку
&Ф0, то НС€®^ такое, что Ιτη(&[ζ])Φ0. Положим z = 2 [ξ] £ C\IR,
тогда ΝΖ Φ {0} и оператор L несамосопряжен.
Это рассуждение не проходит, если G неограничена (вообще говоря,
теперь φ $ L2). Более того, если G = IRW, то позже будет доказано, что L
всегда самосопряжен (см. § XVI.4).
380

В заключение отметим, что иногда применяется другая
терминология для обозначения рассмотренных классов операторов. Так,
эрмитовы операторы называют симметрическими, а
самосопряженные — гипермаксимальными или эрмитовыми.
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Пусть Л, В — эрмитовы оператрры с общей областью определения
^, α, β 6 IR. Доказать, что оператор а А + β£ эрмитов.
5.2. Пусть А — эрмитов оператор с областью значений Μ (Л), плотной
в Н. Доказать, что: а) существует алгебраический обратный Л"1; б) оператор
Л"1 эрмитов.
5.3. Являются ли эрмитовыми операторы из упр. 2.6, 2.7? Найти
необходимые и достаточные условия эрмитовости операторов из упр. 2.8, 3.J.
5.4. Пусть А — эрмитов оператор, (т, п) — его индекс дефекта.
Доказать следующие утверждения: а) если т = О, η > О, то S(A) = {z£
£©|1тг<:0}; б) если т>0, η = О, то 5 (А) = {г £© \lrnz > 0}; в) если
т>0, л>0, то 5(Л)=©.
5.5. Найти индекс дефекта: а) операторов из упр. 2.7; б) оператора (Ах) (t) =
= ix' (f)t заданного в L2 ([0, оо)) на областях ^ и ^2 из упр. 3.4; в)
оператора из б), заданного в L2((—оо, 0]) на С£ ((—с», 0]).
5.6. Пусть Ап—-эрмитов оператор в Нп с областью определения @ (Ап).
00
Рассмотрим в Ж — 0 Нп на области @ векторов х=.(х1у х2, .. .), где хп ζ
ζ@(Αη) и все, кроме конечного числа, хп равны нулю. Доказать, что: a) one-
оо
ратор А = JJ Ап на ® (А) = В эрмитов в Ж\ б) его дефектные числа т —
/2=1
ОО 00
= N] mk, п= V nkt где (mk, nk) — индекс дефекта Ak (k$N).
fe=i k=\
5.7. Используя результаты упр. 5.5 и 5.6, построить эрмитов оператор
с любыми заданными дефектными числами т, η 6 Ζ+.
5.8. Пусть А—эрмитов оператор. Показать, что следующие условия
эквивалентны: 1) Л в существенном самосопряжен; 2) Л* не имеет
невещественных собственных значений; 3) (Уг£ ©\IR) : (3t (Л—- гЦ))~ = Я; 4) (3?!:
: Im ζχ > 0) 0ζ2: Im г2 < 0): {01 (A - z^T^ (31 (A — ζ>&)Υ = #·
5.9. Являются ли: а) в существенном самосопряженными; б)
самосопряженными операторы из упр. 2.6, 2.7, 5.5, б), в), 3.5?
5.10. Пусть выполняются условия эрмитовости операторов из упр. 2.8,
3.1 (см. упр. 5.3). Являются ли эти операторы: а) в существенном
самосопряженными; б) самосопряженными?
5.11. Установить критерий существенной самосопряженности
полуограниченного оператора.
5.12. Пусть Alt Л2 — операторы умножения на t в L2 (IR) с областями
определения Ш (Лх), В (Л2). Известно, что Alt Л2 — в существенном
самосопряжены. Возможно ли, что @ (Аг) Π ® (Л2) = {0}?
5.13. Найти два плотных в L2 (IR) линейных подмножества @г и ^2,
f i f] ^2 = {0} такие, что оператор умножения на t в существенном
самосопряжен на @lt а оператор умножения на t2 в существенном самосопряжен
на ^2.
5.14. Пусть Л — эрмитов оператор с областью определения В (Л). Пусть
ft£^ (Л) — плотное линейное подмножество в Н. Предположим, что
оператор Лх = Л \ Юх в существенном самосопряжен. Доказать, что Л также
в существенном самосопряжен и Л = Av
381

§ 6. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ
1. Дефектные числа изометрических операторов.
Изометрические и унитарные операторы мы уже рассматривали в § VIII.5.
Сейчас приведем некоторые дополнительные факты и установим связь
с эрмитовыми и самосопряженными операторами. Как и ранее, все
фигурирующие ниже операторы будут действовать в одном
гильбертовом пространстве Я.
Оператор £/, действующий из подпространства @) (Ό) дЯв
подпространство &t (i/) s Η называется изометрическим, если
(*//, ug)H = (f, g)H (/, ге *(£/». (6.i)
Такой оператор называется унитарным, если @ ((/) = & (U) = Η.
Подчеркнем, что изометрический оператор U обязательно
непрерывен, поэтому рассматривать его на незамкнутом линейном
множестве & (U) особого смысла не имеет — путем замыкания по
непрерывности всегда можно перейти к рассмотрению Ό на (^ (ί/)Γ ==
= §> {U). Итак, у нас всегда & (i/), &t (ί/) — подпространства и U
замкнут. Далее, напомним (см. § VIII.5), что для справедливости
(6.1) достаточно это равенство требовать при g = f^^(U)i т. е.
требовать сохранения нормы.
Выясним, где с гарантией будут лежать точки регулярного типа
для изометрического оператора.
Лемма 6.1. Любое ζ £ (С, \г\ Φ 1 является точкой регулярного
типа изометрического оператора.
Доказательство. Пусть U — изометрический оператор,
|z|<L Тогда
|1(^-гй)/11я>11^/11я-и111/11// = (1-121)11/11//·
Аналогично при | ζ | > 1
Н(£/-гй)/||||>|г|||/1и-||£//|||,-(|2|-1)|1П1я. ■
Таким образом, у изометрического оператора, как и у эрмитова,
таюке имеются две связные компоненты множества точек
регулярного типа: {z£(C||z|>l} и {z£(C||z|<l}. Им согласно теореме
4.1 отвечают дефектные числа соответственно т и п\ (т, п) —
индекс дефекта оператора U.
Справедлив следующий результат, подобный теореме 5.1.
Теорема 6.1. Изометрический оператор U унитарен тогда и
только тогда, когда его дефектные числа равны нулю: т = η = 0.
Доказательство. Оно непосредственно вытекает из
двух следующих полезных формул:
m = dim(HQ0(U)), η = dim(HQ <%(U)). (6.2)
Вторая из них очевидна: n = dimN2 при |г|<1, в частности,
n = dimNQ, N0 = HQ&(U).
382

Для доказательства первой рассмотрим оператор С/"1, где
@>(U~1) = &(U) и ^(i/-1) = @(U). Этот оператор, разумеется,
существует и является изометрическим. Пусть пг — его второе
дефектное число, тогда согласно второй из формул (6.2), примененной
к ί/"1, можем написать (Vz£(C) :| г|< 1:
dim(HQ<%(U-1 — zH)) = n1 = dim(HQ@(U)).
Осталось убедиться, что & (U'1 — zfl) = ^ (ί/ — ζ-1^) (0 < | г |<
< 1). Имеем
<% (ί/-1 — zfl) = С ί/-1 — гЦ) & (ί/-1) = (ί/-1 — гЦ) & (ί/) =
= (й — M)0(U) = {u — z-iu)@(U) = &(u—z-1^). m
2. Прямое преобразование Кэли. Из сказанного в § 5 и
изложенного выше просматривается аналогия между эрмитовыми и
самосопряженными операторами, с одной стороны, и изометрическими
и унитарными — с другой. Она не случайна. Существует некоторое
преобразование — преобразование Кэли, переводящие
соответствующие классы друг в друга. Перейдем к его изложению.
В тривиальном случае одномерного Η линейными операторами
являются операторы умножения на комплексные числа. Сейчас
преобразование Кэли — классическое дробно-линейное преобразование
переменных а в и, задающееся формулой (z£(£\IR фиксировано)·.
£Эа-^ = ае(С. (6.3)
Отображение (6.3) переводит IR в единичную окружность. Аналогом
вещественных чисел служат эрмитовы операторы, а чисел на
единичной окружности — изометрические. Поэтому можно ожидать
переход классов операторов § 5 в классы операторов § 6 посредством
соответствующего обобщения (6.3) (отметим, что такое обобщение
хорошо известно в теории матриц).
Итак, пусть Η —■ гильбертово пространство, А — замкнутый
эрмитов оператор в Я с областью определения & (А), возможно,
и неплотной в Н. Зафиксируем ζ £ (С, Im ζ > 0.
Рассмотрим вектор g ζ &t (A — zfl), он имеет вид g = (А — zft) f9
где / £ & (А). Построим отображение g\-+(A —~zj[) f = Ug. Такое
определение корректно, так как вектор/ nogопределяется
однозначно благодаря оценке (5.5). Ясно также, что U — линейный
оператор с областью определения & (А — zfl) и областью значений
Μ {А — zfl). Мы имеем формулы
g = (A-zti)f, Ug = (A-n)f (ft®(A)); (6.4)
&ф) = 91{А — *й), θίψ) = 91{Α— Щ. (6.5)
Конечно, вместо (6.4) можно было бы написать более компактную
формулу, подобную (6.3):
Ug = (A-n)(A-zH)^gm (6.6)
383

Однако она менее удобна, так как нужно оговаривать, в каком
смысле существует обратный оператор и следить за областями
определения.
Оператор U называется преобразованием Кэли оператора Л.
Установим его простые свойства.
1). Преобразование Кэли замкнутого эрмитова оператора
является изометрическим оператором.
В самом деле, из (6.4) следует: (V/lf f2£@{A)):
№. t/ft)/, = (И - *й) fv (А - гЦ) f2)H =
=Wi. Aft)H-l(Afv h)H-z(flt Af2)H + \z\*(fl9 1%)H%
fei. ft)* = ((4-*u)/i. (A-n)f2)H = (Afl9 Af2)H-
-*(Afl9 h)H-z(fv Af2)H + \z\*(fl9 f2)H.
В силу эрмитовости А правые части в этих равенствах
совпадают, поэтому (Ugl9 Ug2)H = (gl9 g2)(gv g2£@{U)). ■
2). Пусть т(А)9 п (А) и m(U), n(U) — дефектные числа
операторов А и U соответственно. Тогда
т(А) = т (U), п(А) = п (U). (6.7)
Действительно, эти формулы вытекают из сравнения равенств
(6.2) и (6.5) (напомним, что Im ζ > 0). в
3). Преобразование Кэли самосопряженного оператора является
унитарным оператором.
Этот факт — следствие формул (6.7). Ш
4). Пусть В э А — замкнутое эрмитово расширение оператора
А, тогда его преобразование Кэли V является изометрическим
расширением оператора U.
Действительно, этот факт — непосредственное следствие формул
(6.4) и 1). ■
3. Обратное преобразование Кэли. Рассмотрим теперь обратное
преобразование Кэли. Для этого выразим из формул (6.4) оператор
А через f/. Вычитая из второго равенства в (6.4) первое, получим
(U-H)g = (z-z)f (ft 0(A)). (6,8)
Далее, умножая второе (первое) равенство в (6.4) на ζ (ζ) и опять
вычитая, получим
(zU-mg = (z-z)Af (ft 0(A)). (6.9)
Равенства (6.8) и (6.9) перепишем в виде
/ = —-(£/-й)£. Af = -U(zU-n)g. (6.10)
2 — Ζ Ζ — 2
Предположим теперь, что имеется изометрический оператор ί/,
действующий в Я. Тогда на векторах / вида f = (z — z)"1 (U — Ц) g,
где g£0(U)9 определим оператор Л, полагая Af = (ζ — ζ)-1 (zU —
384

— zfl) ft Это определение будет корректным и приведет к
линейному оператору А, если
Ker(t/-41) = {0}. (6.11)
Условие (6.11) будем предполагать выполненным. Построенный
оператор А называется обратным преобразованием Кэли оператора
ί/, при этом
а(А) = Я(и — Ц), Я(А) = Я(ги — г{\). (6.12)
Опять на несколько формальном уровне оператор А можно
выразить через U посредством формулы типа (6.6) и являющейся ее
обращением;
Af = (zU - 2fl) (U — и)"1/· (6.13)
Отметим некоторые свойства обратного преобразования Кэли.
5). Обратное преобразование Кэли изометрического оператора
является замкнутым эрмитовым оператором.
В самом деле, из (6.10) вытекает (Vft, g2£@(U))i
(Afb h)H = (^ (*U - Щ ft, ^U (t/ - й) ft)H =
= |737Ja (г (u8i> υ8*)Η — z (u8v 82) H — * (ft. Ug2)H + * ten й)я)»
tf ι. ^.)* = (τΓϊ(ί/ ~ u) **■ Г=1(" " ~ Щ е*)н β
= ГтЬт2 (5 (^ffι» ^2)// ~ z (u8i> ft)« — 2 (ft. i^ft) + 2 (ft» ft)//)·
Из этих двух равенств в силу изометрии U следует, что (Afr, f2)H =
= (/ъ ^/2)я (/ι. /а€^(Л)), т. е. Л эрмитов.
Этот оператор замкнут: пусть (/„)~=1, fn£9{A) = &(U — fl)
такова, что при п-+оо fn-+f и Л/л ->- /г. Имеем fn = (z — ζ)"1 χ
X (^ - 41) ft, 4/„ = (г- г)"1 (^- *fl) ft. где цп$&(ί/). Находя
отсюда ft, в соответствии с (6.4) имеем gn = (A— z$)fn, Ugn =
= {A — zQ)fn. Переходя здесь к пределу, получим: 3g- = limft=:
= h — zf, Ug = h—zf, причем g£@(U) (так как @(U) замкнута).
Выражая из последних двух уравнений f и h через g, придем
к формулам (6.10), в которых Af заменено на ft. Но это и
означает, что f£@(A) и ft = Af. Ш
6). Дефектные числа операторов Ό и А связаны прежними
равенствами (6.7).
_В самом деле, из (6.10) следует, что (А — ziDf — g и (Л —
— гЦ) / = Ug, поэтому & (А — zfl) = & (U) и & (А — гЦ) = 91 (U).
Отсюда и из равенств (6.2) следует (6.7) (напомним, что Im z > 0). ■
7). Обратное преобразование Кэли унитарного оператора
является самосопряженным оператором, если только дополнительно
известно, что @)(А) = 9t(U — Ц) плотна в Н.
Это следствие формул (6.7). Плотность & (А) в Я, необходимую
для существования А*, нужно предполагать. Щ
13 9-227
385

Справедливо, разумеется, и утверждение, подобное 4): V 3 ί/=»
=-* В з А. Однако при этом для изометрического оператора V
нужно требовать выполнение условия (6.11). Поскольку мы будем иметь
дело лишь с плотно заданными эрмитовыми операторами, то
удобнее воспользоваться следующей леммой.
Лемма 6.2. Если & (U — Ц.) плотно в Я, то Ker (U — fl) = {0}.
Доказательство. Пусть /i£Ker(t/ — fl), т. е. Uh = h(h£
£@>(U)). Тогда Yg£@(U) в силу изометричности U имеем
((£/ - Л) g, Щн = (i/g, hj„ - (g, Л)д = (I/jr, Uh)H - (g, h)„ = 0.
Так как (&(U — fl))~ = Я, то отсюда следует, что ft = 0. Ш
Теперь аналог 4) удобно сформулировать следующим образом.
8). Пусть Уэ[/ — изометрическое расширение
изометрического оператора U, для которого &{U—Ц) плотна в Я. Тогда
для V существует обратное преобразование Кэли В, являющееся
замкнутым эрмитовым расширением замкнутого эрмитова
оператора А.
В самом деле, согласно лемме 6.2 для U выполнено условие
(6.11) и поэтому Л можно построить. Но V э ί/, поэтому & (V—Д)э
ЭЙ(£/-Ц) также плотно в Я и опять согласно этой лемме
можно построить и В. Соотношение В э А следует из (6.12) и 5).|
Наконец, сопоставляя конструкции (6.4), (6.10) прямого и
обратного преобразований Кэли, приходим к следующему
заключению.
9). Построим по А его преобразование Кэли U и затем по U
построим обратное преобразование Кэли, в результате получим
А : A i-> U ι->· А. Аналогично U ι-*· Α ι-* ί/.
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Найти преобразование Кэли операторов из упр. 2.6.
6.2. Предположим, что выполнены условия эрмитовости операторов из
упр. 2.8, 3.1 (см. упр. 5.3). Найти преобразование Кэли этих операторов.
6.3. Пусть U — унитарный оператор, действующий в пространстве /2
последовательностей (^)Г=—оо по правилу (Ux)k=Xk„i (k£Z). Найти обратное
преобразование Кэли оператора U,
§ 7. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ ЭРМИТОВЫХ ОПЕРАТОРОВ
ДО САМОСОПРЯЖЕННЫХ
В следующей главе мы убедимся, что обобщение важной теории
разложения по собственным векторам самосопряженных
компактных операторов (см. § Х.1) справедливо именно для
самосопряженных, а не для эрмитовых операторов. В связи с этим возникает
вопрос о возможности расширения данного эрмитова оператора до са-
386

мосопряженного. Для минимального оператора, порожденного
формально самосопряженным дифференциальным выражением-
& (см. примеры 5.1, 5.2), этот вопрос будет сводиться, грубо
говоря, к заданию оператора посредством формулы (2.10), но
не на финитных функциях, а на большем запасе функций,
удовлетворяющих на границе dG определенным однородным граничным
условиям.
1. Конструкция расширения. Построение теории расширения
эрмитовых операторов будет сведено посредством развитого в § 6
преобразования Кэли к теории расширения изометрических
операторов, выглядящей геометрически очень простой.
Ниже под дефектными числами т, η оператора, действующего
в гильбертовом пространстве Я, будут пониматься числа 0,1, ... или
оо (см. § 4). Такое соглашение вполне достаточно, если Η сепара-
бельно. Для общих Η m, η будут уже кардинальными числами (см.
замечание 4.2). Излагаемые ниже факты и в этом случае
сохраняются, а их доказательства нужно лишь модернизировать в духе
сказанного в § VII. 10.
Теорема 7.1. Пусть U — изометрический оператор в Η
с областями определения и значений @(U) и &(U) и дефектными
числами m = dim (HQ@(U))>0 и η = dim (HQ&{U))>0.
Зафиксируем k < min (m, /г), выберем два подпространства F^HQ
Q@(U) u G^HQ&(U) каждое размерности k и построим
некоторый изометрический оператор W, действующий из всего
F во все G, т. е. @ (W) = F, 91 (W) = G. Ортогональная сум-
mclV = U®W, @(V) = @(U)®@(W),&(V)==&(U)(B&(W)
будет изометрическим расширением оператора U. Всевозможные
изометрические расширения этого оператора получаются
указанной процедурой посредством перебора всевозможных k, F,
G и W.
Доказательство. Оно непосредственно вытекает из
понятия и свойств ортогональной суммы подпространств (см. § VI 1.9)
и определений расширения оператора и его изометричности. ■
Следствие 7.1. Если, по крайней мере, одно из дефектных чисел
/η, η оператора U равно нулю, то этот оператор не допускает
нетривиальных изометрических расширений.
Следствие 7.2. Для того чтобы оператор U имел унитарные
расширения, необходимо и достаточно, чтобы его дефектные числа были
равны: т = /г. Для получения унитарного расширения нужно
положить F = Η Q @ (ί/), G = Η Q & (U) и взять некоторый
изометрический оператор W с @ (W) = F, &(W) = G.
В случае, если одно из чисел /η, η равно 0, а второе больше
нуля, оператор U естественно назвать максимальным.
Унитарный оператор с этой точки зрения можно называть
гипермаксимальным.
Перечисленные несколько простых фактов составляют теорию
расширения изометрического оператора до изометрического или
унитарного. Перейдем к рассмотрению эрмитовых операторов.
13*
387

Пусть Л — замкнутый эрмитов оператор с плотной областью
определения, В з Л — его замкнутое эрмитово расширение.
Поскольку β* g^4* и Л с Л*, то получаем следующую цепочку:
AsBsB* д=Л*. (7.1)
В случае, если В самосопряжен, (7.1) переходит в цепочку
А дВсЛ*. (7.2)
Нам предстоит выяснить, когда по заданному А можно построить В,
удовлетворяющие (7.1) или (7.2), и описать такие В.
Теорема 7.2. Пусть А —замкнутый эрмитов оператор с
плотной областью определения и дефектными числами т, п. Для того
чтобы у А существовали нетривиальные замкнутые эрмитовы
расширения В ^ Л, необходимо и достаточно, чтобы т, η были
положительны. Для того чтобы у А существовало самосопряженное
расширение В = β* э Л, необходимо и достаточно, чтобы его дефектные
числа были равны: т — п.
Эти расширения конструируются следующим образом.
Зафиксируем точку ζ £ (С, lmz>0. Выберем в дефектных подпрост^
ранствах Nz = HQ&(A — ziL), N- = ΗQ&(A — zj[)
размерностей m, /г>0 соответственно подпространства F^Nzi G^N-,
одинаковой размерности и построим некоторый изометрический
оператор W, переводящий все F = @(W) во все G = &(W). Пусть
U — преобразование К эли оператора Л; @(U) = &(A — zfl),
&(U) = &(A — Щ). Рассмотрим изометрический оператор V =
= U{BW,@(V)=@(U)($@(W), 3t(V) = a(U)(B&(W). Обратное
преобразование Кэли В оператора V является замкнутым
эрмитовым расширением оператора А. Перебирая всевозможным
образом F, G и W (при фиксированном ζ), получим множество всех
замкнутых эрмитовых расширений В оператора А.
Если т = п, то, в частности, можно положить F = Nz, G =
= Ν-. В этом случае оператор В э Л будет самосопряженным
расширением Л. Перебирая всевозможным образом W, получим
множество всех самосопряженных расширений В оператора А.
Доказательство. Оно, по существу, приведено в
сформулированной выше процедуре построения расширения В, если
использовать свойства 1) — 9) из § 6 преобразования Кэли и теорему
7.1. При этом нужно учесть, что оператор Л плотно задан, поэтому
в силу первой из формул (6.10), примененной при переходе Л ■-> U,
&t(U — Ю будет плотным в Н. Поэтому предпосылка результата 8)
выполняется и для оператора V = U 0 W s U можно строить
обратное преобразование Кэли В, расширяющее Л. То, что
описанная процедура дает все замкнутые эрмитовы расширения В ^ Л,
также понятно: любое такое расширение согласно 4) после перехода
к его преобразованию Кэли V дает изометрическое расширение U,
описываемое теоремой 7. К ■
388

Разумеется, при изменении параметрической точки z£(C,
Im ζ > 0 объекты F, G, W, приводящие к одному и тому же
расширению ВэЛ, будут меняться. Не представляет большого труда
вывести формулы, описывающие эти изменения. На этом мы
останавливаться не будем.
Из теоремы 7.2 следует, что если одно из чисел т, η равно О,
а второе положительно, то оператор Л не имеет замкнутых
эрмитовых расширений в Я. В этом случае он называется максимальным.
Если т = η = 0, то он самосопряжен, или в теперь понятной
терминологии — гипермаксимальный. Заметим также, что если В —
эрмитово расширение Л, то β — уже замкнутое эрмитово его
расширение. Поэтому изложенная теория дает описание и незамкнутых
эрмитовых расширений Л.
Мы не будем касаться вопросов расширения А с выходом в более
широкое пространство, чем Я. Заметим лишь, что если т Фп, то
эти дефектные числа можно «выравнять», вложив Я должным
образом в более широкое гильбертово пространство Я. Интерпретируя
оператор А как действующий в Я, можно строить его расширения.
Так, если положить Я = Я φ Я, А = А φ (— Л), & (Л) = 9(A) φ
ф^(Л), то нетрудно убедиться, что А будет иметь уже равные
дефектные числа т + /г, т + /г. Его расширения будут давать
некоторые расширения исходного Л.
2. Формулы Неймана. Изложенная выше теория расширений
и результаты § 6 принадлежат в основном Нейману. Приведем
теперь две «аналитические» формулы, связанные с этой теорией
(см.ниже 1), 2)), которые называются соответственно первой и
второй формулой Неймана.
1). Приведем формулу, описывающую действие оператора Л*.
Предварительно напомним, что о линейном множестве L s Я
говорят, что оно является прямой суммой линейных множеств Ll9...
... , Lns Я, если V/ £ L представим в виде / = /ι Η +fn, где
fj ζ Lj, и это представление единственно (иными словами: 0 =
= /ι + ,ι, + /η!Β^/ι = · · · = fn = 0). Прямую сумму обозначим
следующим образом:
1 = 1! + ^+--.+ !„. (7.3)
Пусть А — замкнутый эрмитов оператор в Η с плотной
областью определения, z £ (£\IR фиксировано. Тогда справедлива
формула
@(А*) = @ (Л) + Nz 4- Nv (7.4)
Таким образом, Vg£@(A*) согласно (7.4) справедливо
единственное разложение
g = f + hz + h;(f = f(g)£@(A), hz = hz(g)£N2y /i- = ft-(£)^*)·
(7.5)
389

Действие оператора Л* на вектор (7.5) теперь подсчитывается
весьма просто: так как Л* э Л, с учетом 4) из § 4 получим
A*g = Af + zhz + zh? (7.6)
Доказательство формулы (7.4) сводится к доказательству
существования разложения (7.5) и установлению его единственности.
Установим существование.
Пусть g £ & (Л*), тогда согласно разложению Η = ^ (Л — zfl) φ
0Ν2 вектор (Л*—£U)g£# записывается следующим образом:
(A*-ztt)g = (A-zlL)f+(z-z)hz (7.7)
(нам удобно указанным образом обозначить компоненты (Л*—
— ΖΌ) g B соответствующих подпространствах). Оказывается, что
векторы/, hz из (7.7) и будут первыми двумя компонентами в (7.5).
Для доказательства нам достаточно убедиться, что вектор g — / —
— hz£@(A*) (где f и hz взяты из (7.7)) входит в N-, т. е.
является собственным для Л* с собственным значением ζ. Имеем в силу
(7.7)
A*(g-f-hz) = A*g-A*f-A*hz = (A*-z<H)g + zg-Af-
-zhz = (A-z&)f + (z-z)hz + zg-Af-zh2 = z(g-f-hz).
Докажем единственность разложения (7.5). Пусть имеем
разложение
0 = f + hz + h- (f£@(Л), hzζ Νζ, h-ζ Ν-). (7.8)
Подействуем оператором Л* на (7.8):
О = Л */ + Л *hz + A*h- = Af + zhz + zh- = (Л — zft) f + lhz +
+ ζ (h-, + f) = (A-zj\)f + zhz + z(-hz) = (Л-гЦ)/ +
+ (z —2)ftz. (7.9)
Ho (A — z{L)f£3t(A—zti)9 (z — z)hz£Nz и &{A — zfl)®#2 = #,
поэтому из (7.9) следует, что (Л — zfl)/ = 0, (г— г)/г2 = 0. Отсюда
/ = 0 (точка ζ — регулярного типа для Л) и hz = Q. Но тогда из
(7.8) следует, что и h- == 0. ■
2). Сейчас мы опишем действие замкнутого эрмитова
расширения В оператора Л, пользуясь разложением (7.4). Зафиксируем
z£(£, lmz>0 и пусть И? — оператор, отвечающий расширению
В согласно теореме 7.2; &(W) = F ^Nz, &(W) = GsN-. Cnpa*
ведливо разложение
0(B) = @(A) + (W — u) F, (7.10)
т. е. Vg£@(B) ^@(A*) разложение (7.5) имеет вид
g = f-hz+Whz (/е*(Л), hz£FczNz> Whz£WF^N-z). (7.11)
390

Так как Б^Л*, то действие В на векторе g задается
посредством (7.6):
Bg = A*g = Af — zhz + zWhz. (7.12)
Доказательство. Согласно первой из формул (6.12),
примененной к У = [/0?, получим
ϋ?(β) = ^(Ι/_ H) = ^(i/ — i) + ^(№ —й) =
= @(A) + &(W — $)=@(A) + (W — $)F (7.13)
(поясним, что хотя & (V) = 9t (U) φ Я (W), после вычитания
единичного оператора в (7.13) можно писать лишь прямую сумму —
множества Я (U — fl) и &(W — й)> вообще говоря,
неортогональны). ■
В заключение этого параграфа приведем еще одну теорему
Неймана, связанную с результатами § 3.5.
Теорема 7.3. Пусть в Η действует некоторый замкнутый
плотно заданный оператор А. Тогда оператор А* А самосопряжен и
неотрицателен.
Доказательство. Напомним, что согласно определению
произведения операторов @(А*А) = {f£&(A)\Af£0(A*)}9 поэтому
при /£<^(Л*Л) (A^Afy /)я = (Л/, Л/)//>0, т. е. оператор А*А
неотрицателен.
Докажем его самосопряженность. В силу замкнутости Л и
теоремы 3.3 (Л*)* = Л, поэтому формула (3.6), записанная для Л*
(вместо Л), дает
Н®Н = ГА®ОТА*. (7.14)
Для Vh£H вектор (h, 0} разложится в соответствии с (7.14)
следующим образом: Н/£^>(Л) и Н££^(Л*), для которых
(А, 0> = </, Af) + <-A*g, g)~h=f-A*g, 0 = Af + g. (7.15)
Выразим из второго равенства в правой части (7.15) вектор g
и подставим его в первое равенство. Получим (Vh£H):
h = f + A*Af = ({L + A*A)f (f£0(A), Af£0(A*)). (7.16)
Ниже докажем, что @(А*А) плотна в Н. Равенство (7.16)
означает, что &(А*А + Ц) = Н, поэтому согласно теореме 5.2
этот оператор самосопряжен (сейчас а = О, z = —1£(С\[0, оо)).
Итак, осталось убедиться, что (^>(Л*Л)) ~ = #. Предположим
противное: пусть (@(А*А))~ фН. Тогда ΆΟφΗζΗ такой, что
h±@(A*A). В силу (7.16) Я/ζ@(А*А), для которого/ + A*Af=h,
и поэтому
О = (h, f)H = (f + A*Af, f)„ = || / \\% + (A*Af, f)H = || /1|2„ + \\Af \fH.
Отсюда следует, что / = 0=»/ι=/ + A^Af = 0, что абсурдно. ■
Заметим, нто аналогичная теорема справедлива и для оператора
ЛЛ* . Для ее доказательства в теореме 7.3 нужно заменить А на Л*.
391

УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Доказать, что самосопряженный оператор А не имеет эрмитовых
расширений, отличных от А.
7.2. Пусть А — эрмитов оператор. Доказать, что любое эрмитово
расширение А является сужением оператора Л*.
7.3. Пусть А — замкнутый эрмитов оператор, имеющий
самосопряженное расширение. Возможно ли, чтобы А имел замкнутое эрмитово
расширение В, у которого нет самосопряженных расширений?
7.4. Сохраняющее норму отображение I : Η-*-Η называется
инволюцией, если / антилинейно, т. е. (Υ λ, μ £ С) (γ xt у £ Η): / (λχ + μ у) =
= λΐχ + μΐυ, и Ι2 = β. Пусть А — эрмитов оператор такой, что /:^(Л)->
->^(Л) и ΑΙ = ΙΑ. Доказать, что дефектные числа оператора А равны.
7.5. Доказать утверждение о «выравнивании» дефектных чисел,
сформулированное в конце п. 1.
7.6. Доказать, что все самосопряженные расширения оператора
дифференцирования в L2 ([0, 1]) из упр. 2.7, в) описаны в упр. 2.7, г), где а 6 [О,
2π), при этом различным а из [0, 2π) отвечают различные самосопряженные
расширения.
7.7. Используя результат упр. 7.4, показать, что дифференциальный
оператор с вещественнозначными коэффициентами имеет равные дефектные
числа.

ГЛАВА ХШ. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ, УНИТАРНЫХ
И НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ. КРИТЕРИИ
САМОСОПРЯЖЕННОСТИ
Напомним в удобном для нас виде спектральную теорему для
самосопряженного оператора, действующего в конечномерном гильбертовом
пространстве Я, о ней мы уже говорили в § Х.1.
Итак, пусть Я— конечномерное гильбертово пространство
размерности dim Я = η <. оо, А — самосопряженный оператор, действующий в нем.
Пусть λχ < λ2 < ...< %т (т < п) — собственные значения этого оператора.
Каждому λ$ отвечает собственное подпространство Φ(λ^), состоящее из всех
собственных векторов оператора А с собственным значением λ^: Φ (λ^) = {φ£
£ Я I Αφ = λ^φ}; его размерность Ν (λβ) = dim Φ (λ^) <: η. Β Φ (λ^) можно
выбрать (разумеется, неоднозначно) ортонормированный базис φι(λ^), ...,
Спектральная теорема для А состоит в том, что векторы φα(λ^) при
различных k и α образуют ортонормированный базис в Я. Таким образом, γ/ζ
ζ Я справедливо разложение по этому базису:
/= Σ Σ (/. Фа(^))яФа(^)· 0)
k = 1 а=1
Поскольку Лсра (λβ) = λ^φα(λ^), то действие оператора А в соответствии с (1)
приобретает диагональный вид:
т ΝΗ)
Af= Σ Σ λ*(Λ ФаМяФа^· (2)
fe = 1 α=* 1
Если через Ρ (Xk) обозначить (ортогональный) проектор на подпространство
Φ (λ*), то
/>(λ*)/ = Σ ^ Φα(λ*))//Φα(λ*).
α—1
и поэтому равенства (1), (2) можно переписать следующим образом:
т т
ц= Σ ρ(λ*>> л== Σ ^p(h). (3)
Естественно, возникает вопрос о возможности перенесения формул (1) ,
(2) или, в иных обозначениях, (3) на случай самосопряженных операторов,
действующих в произвольном гильбертовом пространстве Я. Мы уже знаем,
что даже у ограниченного самосопряженного оператора А спектр, как
правило, не дискретный и не обязательно существуют собств енные векторы <ρα (λ)
(подробнее об этом см. в § VIП.8). Поэтому непосредственное обобщение этих
формул «переходом к пределу при η -> оо» невозможно.
Однако формулы (3) можно переписать в виде следующих интегралов
по операторнозначной мере» Е:
оо оо
fl = f dE(K), Л= Г ЫЕ(%)\
|R9a.->£(a)= £ Р(Щ*(Я)· (4)
393

Оказывается, формулы (4) уже переносятся на общие самосопряженные, даже
неограниченные, операторы и это основная цель настоящей главы. Мы ее
начнем с рассмотрения операторнозначной меры Е, которая должна
фигурировать в таком обобщении,— разложения единицы.
§ 1. ПОНЯТИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ
И ЕГО СВОЙСТВА
1. Понятие разложения единицы. Разложение единицы — это
некоторая проекторнозначная мера, поэтому мы начнем с
доказательства одного свойства проекторов, дополняющего сказанное
о них в § VIII.5.
Лемма 1.1. Пусть PGxy Pg2 — проекторы соответственно
на подпространства Gb G2^H. Сумма Ρ = Pgx + Pg2 будет
проектором тогда и только тогда, когда Gx _L G2, т. e. PgxPg2 = О
(или, что то же, PGiPGi = 0). В этом случае Ρ — проектор на
G1®G2:P = PGi@g2.
Доказательство. Необходимость. Пусть Ρ = Pqx + Pg2—
проектор, тогда Ρ2 = Ρ или
Рог + Po2=(Pg1 + Pg2)2 = P2Gi + PGxPGi + Pg2PGi + Pg2 =
- P0l + PGiPg2 + Pg,PGi + Pat; (1.1)
PQlPot + PQuPQi = 0. (1.2)
Рассмотрим f£H. Нужно доказать, что g = Pg2PgJ = 0. В силу
(1.2) PGig = PG1PG2PG1f = -PG2(PG1)4 = -PGzPGj = -g. Итак,
g = -Patg. (1.3)
Применяя к равенству (1.3) оператор Λ?,, найдем, что PGig = 0.
Следовательно, g" = 0, т. е. PGzPGl=0.
Достаточность. Поскольку Pg2Pgx = 0 «-·■ G1 ± G2 «=*· PGiPGi=^ 0,
то в силу (1.1) Р2 — Р. Ясно также, что Ρ самосопряжен. Тогда
этот оператор— проектор, причем на подпространство G = {/£
£H\Pf = f} (см. § VIII.5). Но равенство / = Pf = PQJ®PGJ
означает, что /ζ01φΰ2. Таким образом, G =Gi®G2. ■
Перейдем к определению общего разложения единицы. Пусть
R — абстрактное пространство, dt — некоторая σ -алгебра его
множеств. Иными словами, задано измеримое пространство (R, ffi).
Кроме того, имеется гильбертово пространство Я. Операторнознач-
ная функция 91Э α '-*-£ (α)(Ε Я? (Я) называется разложением
единицы (на R), если выполнены следующие требования:
а) Va£3t): Ε (а) — проектор в Я; £(0) = О, £(i?) = fl.
б) Имеет место счетная аддитивность, т.е. для любой
последовательности (α;·)/Ξι, состоящей из непересекающихся мнооюеств из
8Ϊ, справедливо равенство
£(0α,) = Σ £(«,), (1.4)
/=ι /=ι
где ряд сходится в смысле сильной сходимости операторов (т. е. на
каждом векторе / £ Я по норме Н).
394

Теорема 1.1. Разложение единицы Ε обладает свойством
ортогональности:
Е(а)Еф) = Е(а{] β) (α, β ζ»). (1.5)
Разумеется, свойство типа (1.5) для обычной скалярной меры Ε
выполняется лишь в тривиальных случаях.
Доказательство. Пусть сперва α η β = 0. Тогда
согласно б) Ε (α [J β)=£ (α) + Ε (β) и в силу леммы 1.1 Ε (α)) Ε (β) =
= 0. Таким образом, свойство (1.5) выполнено, так как Ε (af] β) =
= £(0) = О.
Рассмотрим общий случай. Положим γ = α η β. Тогда а =
= (α \γ) (J γ, β = (β \γ) [} у— разложения α, β на
непересекающиеся множества из ffi и согласно уже доказанному Ε (α \
\γ) £ (γ) = 0, Ε (β \γ) Ε (γ) = 0, Ε (α \γ) £ (β \γ) = 0. Учи-
тывая эти равенства и б), получим
Е(а)Е®) = (Е(а\у) + Е(у))(Е® \у) + Ε (у)) =
=Е (а \у) Ε (β \γ) + Ε {α \у) Е (у) + Е(у) Ε (β \y) +
+ Е*(у) = Е(у). Ш
Следствие 1.1. Из (1.5) вытекает, что операторы Ε (α) (α £ 9Ϊ) —
коммутирующие.
Замечание 1.1. В требовании б) сильную сходимость ряда (1.4)
можно заменить его слабой сходимостью.
Действительно, вне зависимости от характера сходимости ряда
(1.4) из б) следует конечная аддитивность E{ah за исключением
конечного их числа, заменяем на 0). Как вытекает из доказательства
теоремы 1.1, в нем использовалась лишь конечная аддитивность Е,
поэтому если требовать в б) слабую сходимость ряда (1.4), то
теорема 1.1 сохраняется. Но тогда V/ ζ Η векторы E(aj)f в (1.4)
взаимно ортогональны, а мы знаем, что для рядов, составленных из
взаимно ортогональных векторов, понятия сильной и слабой
сходимости эквивалентны (см. упр. VII. 10.5). ■
Пусть 9Ϊ Э α ι->- Ε (α) — разложение единицы. Зафиксируем / ζ
ζ Η, тогда функция множеств
Ж Э а ,-> р,,, (а) - (Е (а) /, f)H = || Ε (a) f \\2И > 0, (1.6)
очевидно, является неотрицательной конечной мерой на Ш (в (1.6)
мы воспользовались тем, что (Е (а))2 = Ε (α), (Ε (α))* = Ε (α)).
При фиксированных f, g^H функция множеств
ЯЪы+РгА*) =>№(*)f, *)*€(С (1.7)
будет комплекснозначной мерой (зарядом) на 9ΐ — она является
линейной комбинацией мер (1.6), что вытекает из поляризационной
формулы (см. § VIII.5). Меры (1.6), (1.7) будут в дальнейшем часто
использоваться.
Приведем простейшие примеры разложения единицы.
395

ПРИМЕРЫ
1.1. Пусть R = IR, (λ^,)~= j — некоторая последовательность точек из IR
(возможно, и конечная), (P^j^L, j — последовательное! ь проекторов в Η такая,
оо
что ^] Рд. = β. Возьмем в качестве ΣΗ произвольную σ-алгебру множеств
из IR, содержащую одноточечные множества (например, борелевскую σ-алгебру
93 (IR)), и положим (Va£91):
Я(а) = Σ Ρ*. (1.8)
Легко видеть, что построенное во введении разложение единицы (4) —
пример такого разложения единицы.
1.2. Пусть (/?, *Я) — измеримое пространство, μ — некоторая мера на
нем, возможно, и бесконечная. Положим Η = L2 (Rf ίΗ, άμ) = L2 и
рассмотрим в этом пространстве оператор умножения Ε (α) на индикатор χα (·)
множества α £ 9ί, т. е.
(£(α)/)(λ) = χα(λ)/(λ) (f£L2). (1.9)
Из ограниченности χα следует ограниченность оператора (1.9), из веще-
ственнозначности χα—его самосопряженность, а из равенства (χα (λ))2 =
= Χα Μ (^ ^ ^) следует £2 (а) = Я (а). Таким образом, Ε (α) — проектор.
Он проектирует на подпространство тех / 6 ^2» Для которых χα (λ) / (λ) =
= / (λ) μ-почтн для всех λ 6 R (т. е. таких / £ L2, которые аннулируются
μ-почти везде при λ @ α).
Функция множеств *Я^ α \-* Ε (α) будет разложением единицы в L2.
Единственное, что в этом утверждении не вполне очевидно, — счетная
аддитивность (1.4). Но если воспользоваться замечанием 1.1, то вопрос сводится
к справедливости равенства (у/, g ζ L2):
оо
j /(λ)£7λ)"φ(λ)= J] j /(λ)ί(λΜμ(λ),
оо / = 1 a/
U a/
/=ι
которое следует из того, что / (λ) g (λ) ζ Lx (R, ίΗ, ίίμ). Отметим, что
равенство (1.5) сейчас отражается в соотношении χα (λ) Χβ (λ) = χα ~ β (λ) (α, β£
€«; λ€Λ).
Пример 1.2 по существу является общим видом разложения
единицы — можно показать, что всякое разложение единицы близко к
построенному в этом примере.
Отметим еще некоторые свойства разложения единицы Е. Из
аддитивности легко следует монотонность Ε ι Va, β £ dt
ας=β^£(α)<:£(β), (1.10)
где неравенство между операторами понимается в смысле формы
(т. е. (УЛ, B£<?{H)):A<B~(Af, f)H<(Bf, /MV/€#); см. по
этому поводу § VIП.5).
В самом деле, поскольку β = a U (β\α), то Ζ?(β) = £?(α) +
+ Ε (β\α), Ε (β\α) > 0 =* £ (β) > £ (α). ■
Как и для скалярной меры, справедлив следующий результат.
396

Теорема 1.2. Пусть (а>п)п=\, фп)п=\— убывающая и воз рас*
тающая последовательности множеств ап, β/ζζ 9ΐ:α!^α2 э ... ,
β1εβ3^... . Тогда в смысле сильной сходимости в Я
Нш£(а„) = £(ПаД ПтЕфп) = Е( U β„). (1.11)
/г-^оо п=Л /х->оо /г=1
оо
Доказательство. Положим а=(1апи γ„ = α„\α (/г£И),
во
тогда γχ э γ2 э ... , Π уп = 0. Рассмотрим при фиксированном
гс=1
/£Я меру (1.6), тогда согласно известному результату для
скалярных мер (§1.6) || Ε (уп) f [I2// = pttf (уп) -+■ О, т. е. сильно Ε (уп) -^0.
П-+ со
Но Ε (уп) = Ε (ап) — Ε (α), откуда следует первое равенство в (1.11).
Второе доказывается аналогично, нужно лишь положить β =
= U $п и γ„ = β\β„ (/гШ. И
2. Теорема о продолжении. Отметим еще один результат
относительно разложения единицы. Как и в случае скалярной меры, при
конструировании разложения единицы часто удобно его задавать
на некоторой алгебре множеств, а затем применять теорему о
продолжении, подобную теореме 1.5.2, и с ее помощью
доказывающуюся.
Итак, пусть R — некоторое пространство и 9ΐ — алгебра
множеств из R. Функция множеств Ш Э ос ι -^ Ε (α) ζ 3? (Я), как и
ранее, называется разложением единицы, если выполнены
требования а) и б), однако в б) нужно дополнительно предполагать, что
оо
U α;·£9ΐ. Теорема 1.1 и замечание 1.1 в случае, если 9ΐ— алгебра,
очевидно сохраняются.
Теорема 1.3. Пусть Ε — разложение единицы на алгебре 91,
тогда существует его продолжение до разложения единицы Еа
на ее σ-оболочке 9ΐσ, т. е. сужение Εσ fffi = Ε. Εσ по Ε
определяется однозначно.
Доказательство. Фиксируем /ζЯ и рассмотрим конечную
меру ?H^ai-^pftf(a) = (£(α)/, f)H > 0. Согласно^обычной теории
продолжения (§ 1.5) существует мера 9ΐσ}α ι-+ pj,f(a) > 0 такая,
что pfj fiR = pftf. Заряд 9ΐ3α '^Pu(a) = {E (α)/, g")//£(C
благодаря поляризационной формуле выражается в виде линейной
комбинации четырех мер вида Phth(h^H). Продолжая каждую из
этих мер с 9ΐ на 9ΐσ и беря соответствующую линейную комбинацию,
находим, что заряд р[ g также продолжается до заряда №σ5α,ι-+·
КР/.*(а)€(С·
При фиксированном αζυισ отображение
ЯфЯЭ(/, g>'-Pu(aK(C (Ы2)
билинейно. В самом деле, мы знаем, что 9ϊσ совпадает с монотонной
оболочкой 9Ϊ (§ 1.7) и pfjt а значит, и p/tg строится путем последо-
397

вательных монотонных продолжений, начиная с множеств α £ 8t.
Так как при монотонных продолжениях билинейность сохраняется,
то требуемое свойство вытекает из билинейности (1.12) при α £ 31.
Отображение (1.12) непрерывно: при α £ 9ϊσ pftf (α) > 0, поэтому
в силу неравенства Коши — Буняковского
|рЫа)12<Ыа)р^
Обозначим через Εσ (α) ограниченный оператор в Я, отвечающий
непрерывной билинейной форме (1.12) (§ VIII.5). Таким образом,
Pf,g(a) = (Eo(a)f, g)H (/, g£H; αζ3ίσ). (1.13)
При α ζ 9ϊ £σ (α) = £ (α) является проектором. Последовательные
монотонные продолжения pftg означают продолжения с α£9ΐ
с помощью слабых пределов монотонных последовательностей
проекторов, поэтому и Εσ(α) — проектор яри любом α ζ ΐϋσ (§ VIII.5).
Разумеется, £σ(0) = Ο, £σ(#) = 41. Функция множеств 9ΐσ9αι->-
»->■ Εσ (α) счетно аддитивна в смысле слабой сходимости
соответствующего ряда — это согласно (1.13) перефразировка счетной
аддитивности заряда pffg (f, g£H). Итак, Е0 — разложение
единицы, определенное на 3ίσ. В силу конструкции оно совпадает
на 9ϊ с Е. Последнее утверждение теоремы следует из
однозначности продолжения заряда с dt на 9ϊσ. ■
Замечание 1.2. В определении разложения единицы (как на σ-
алгебре, так и на алгебре) можно не требовать выполнения условия
Ё (R) = й- Для такого квазиразложения единицы все предыдущие
результаты, очевидно, сохраняются.
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Пусть (R, 9ΐ) — измеримое пространство. Рассмотрим аддитивную
операторнозначную функцию множеств % 3 ос »->- F (α) £ 3? (Я),
удовлетворяющую условию а) из определения разложения единицы. Доказать, что F
является разложением единицы в том и только в том случае, когда выполнено одно
из условий: 1) (V * € Н) (у (а„) ~= г s 51): (Ε ( (J «*) x, x)H < Σ (Я (α«) *>
*)//; 2) (Υ (β^-.^Λιβ! ξ β2£Ξ. . .) : s. lira Ε φη) = Ε ( U β„);
/1 ■* οο /1 = 1
3) (V Ы~= ! ξ Κ : αι э α2 э . . ,): Ε( П α„) = s. lim Ε (αη).
/1 = 1 /ι -> οο
1.2. Пусть (#, 9t) — измеримое пространство, ίΗ Э α !->■ ^ (α) £ 5* (Я) —
операторнозначная функция множеств, удовлетворяющая условиям: 1) (Υα£
$<R):F(Gt)=(F(ct))*\ 2) (γα, β£ И): F (α) Ffl) = F(a П β); 3) (V«i, «лб
£ ίΚ : ах Π «2 = 0): ^ (ai U a2) = F (αχ) + F (a2). Доказать, что: а) F
удовлетворяет требованию а) из определения разложения единицы; 6} условия 1) —
3) эквивалентны условиям 1), 2) и 3)' F (0) = О, (Υ α£ ίΗ): F (a) = β — F (a);
в) условие 2) следует из условия 1), 3) и 3) F (0) = О, F (R) = Д.
1.3. Пусть Ε — разложение единицы на (IR, 23 (IR)). Доказать, что проек-
торнозначная функция IR 3 11-*· # (t) = Я ((—©о, /)) удовлетворяет условиям:
398

1) (V*, s£IR) :<§(/)<§ (s) = <£(min{i, s}); 2) (V*glR):s. lim 8 (τ) = & (/);
3) s. lim <§(*) = £, s. lim « (0 = 0; 4) (V^ s€ IR :f <sl: 5(0 < Я (*)·
/ -». _|_oo / -*. —oo
1.4. Пусть ё (t) (/£IR)— проекторнозначная функция, удовлетворяющая
условиям 1) —3) упр. 1.3. Доказать, что на (IR, © (IR)} существует
единственное разложение единицы Ε такое, что (у t£ IR): & (t) = £((—oo, ή).
Указание. Применяя теорему о построении меры по неубывающей
функции, построить по функциям (<§ (0 Ху у)н (х, у£Н) семейство зарядов
ίωχ, у\х> У$.Щ- Доказать, что при фиксированном а£ 23 (IR): Η χ Η Э
Э(х, У)\-+®х у(а)^С является ограниченной билинейной формой. По
теореме Рисса (уа ζ 33 (IR)) (3 F (α) g 2 (Η)) (У χ, у g Η): ω^ y (α) = (F (α) а:, */)я.
Проверить, что F(·) — разложение единицы. См. также теорему 6.4.
1.5. Пусть H = L2(R, ίΗ, μ), .{ίΗ/, / > 0} — семейство σ-алгебр множеств
из R такое, что: 1) (У /, s£R : t< s): <Rt s Ks; 2) (y /> 0): ( U Κ_)σ = <K,.
τ </
Положим £(0=M(.|W*) (^g(0, oo)) (см. упр. V.2.7, V.2.8). Доказать, что
$ (t) удовлетворяет условиям 1)—4) упр. 1.3.
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Для доказательства формул типа (4) необходимо определить
спектральные интегралы, т. е. интегралы, являющиеся операторами
в #, от комплекснозначных функций R Э λ ι-* F (λ) £ (£ по
разложению единицы:
[FCk)dEil·). (2.1)
я
Приведем требуемую конструкцию. Она подобна обычной
конструкции интеграла Лебега по скалярнозначной мере (см. гл. III) и
проводится постепенно, начиная с наиболее простых классов
функций. При этом некоторые сложности наступают лишь в случае
неограниченных функций F. Итак, считается заданным измеримое
пространство (R, dt) и разложение единицы Ε на R. Точки
^обозначаются λ, μ, ... .
1. Интеграл от простых функций. Напомним, что функция
R Э ^ '-* F (λ) £ (С называется простой (или ступенчатой), если она
является линейной комбинацией индикаторов χα (λ) множеств α ζ 31.
Совокупность всех простых функций обозначим S (R, Щ = S; 5
является алгеброй относительно обычного сложения и умножения,
содержащей все постоянные.
Каждая простая функция, очевидно, может быть записана в
виде линейной комбинации индикаторов непересекающихся множеств:
/7(λ) = Σ FkXaAb), (F*e(C; cck Па/=0, кф j\ λ£#). (2.2)
По определению полагаем
п п
J F (λ) dE (λ) - J (S Λ 4 <λ))d£ M = Σ F"E («*) б * (Я)· (2·3)
399

В (2.2) можно, разумеется, считать, что множества ak образуют
η
разбиение пространства R ■ [| ak = R. Представление (2.2) про-
стой функции F, ясно, не единственно — множества о^не
определяются по F однозначно (например, их можно подразбить на меньшие).
Тем не менее интеграл (2.3) определен корректно и не зависит от
представления (2.2).
Это следует из конечной аддитивности Ε и доказывается как
для обычного интеграла Лебега. Именно, берем два представления
η
(2.2), отвечающие двум разбиениям пространства: R = [} а* =
т
= ϋ β/. Затем строим наложение этих разбиений, т. е. разбиение
η т
/? = U ϋ oik П β/ι и показываем, что интеграл, построенный в еоот-
/Ь=1 /=1
ветствии с каждым исходным разбиением, равен интегралу,
отвечающему наложению разбиений. Построенный интеграл обладает
рядом простых свойств.
1). Линейность:
J (aF (λ) + bG (λ)) dE (λ) = a j F (λ) dE (λ) + b J G (λ) d£ (λ)(2.4)
(α,ьеε; лее5).
В самом деле, для доказательства (2.4) нужно записать F и G
в виде (2.2) с общим разбиением R, наложив имеющиеся разбиения
для F и G. После этого равенство (2.4) следует из (2.3). ■
2). Следующее свойство необычно и называется
мультипликативностью интеграла
\FCk) άΕ(λ) · §G{K)dE(X) = ^F(K)G(l)dE(X) (F9 G£S); (2.5)
R R R
оно влечет коммутируемость любых двух интегралов.
В самом деле, это свойство — простое следствие
ортогональности меры Ε (см. (1.5)). Для доказательства путем наложения
разбиений R запишем F и G с помощью одного и того же разбиения:
F (λ) = Σ Ff χα/ (λ), G (λ) = Σ Gk lak (λ).
Тогда в соответствии с (2.3) и соотношениями E(aj)E(a,k) =
= 6д£ (α/) получим
л л
J /> (λ) dE (λ) J Ο(λ) d£ (λ) = (Σ F/ Ε (α/)) (Σ G* £ (α,)) =
R R /«1 k=l
η η
- J F, GkE (α,) £ (α*) = Σ /?, G/ £ (α/) = [ F (λ) G (λ) dE (λ). ■
/·*-1 Μ R
400

3). ($F(X)dE(b))* = §F(X)dE{%) (F£S). (2.6)
R R
Действительно, в силу самосопряженности Е (а) имеем
η η
(J F (λ) dE (λ))* = (%Fk Ε (ο*))* = J ?ь Е Μ = f ~F (λ) <*Я (λ). ■
R k=l k=\ p>
4). (dF(%)dE(X))f, g)H = lF(\)d(E(X)f, g)„
ρ ρ
(F£S; f, g£H) (2.7)
(здесь d(E(X)f, ц)н означает интегрирование по заряду (1.7)).
Доказательство непосредственно следует из (2.3). ■
5). \\{\F(X)dE{l))fl2ff^^\F(%)\^d(E(k)f> f)H
(F£S;ftH). (2.8)
В самом деле, в силу (2.5) — (2.7) имеем
||( ί F (λ) dE (λ)) f || \ = ((J F (λ) dE (λ)) f, (J F (λ) d£ (λ)) /)„ =
R R R
= ((J F (λ) d£ (λ))* ({ F (λ) d£ (λ)) /, f)H =
= ((ί?4λ)^(λ))(ί^(λ)^(λ))Α f)H =
R R
= (($\Ρ(λ)\*άΕ(λ))ΐ,ήΗ = $\Ρ(λ)\*ά(Ε(λ)ί, f)H. Ш
R R
6). 11 J F (λ) dfi (λ) || < sup {IF (λ) 11 λ e /?} (F£S). (2.9)
В самом деле, согласно (2.8) получаем (Vf£H):
||({^(λ)^(λ))/||^ = {|^(λ)ΐ^(£(λ)/, /)„<
R R
<ίsup{\F(λ)\*\λζR}(E(R)f, /)^ = sup {| /^ (Я) |21 λ G ^} II / II?/. ■
2. Интеграл от ограниченных измеримых функций. Обозначим
совокупность всех ограниченных измеримых функций, связанных
е измеримым пространством (R, Щ, через L^ (R, 9t) = L^. Как и S,
эта совокупность является алгеброй относительно обычных
алгебраических операций.
Уже доказывалось (см. теорему II.5.2), что каждую функцию
F^Loo можно равномерно аппроксимировать должным образом
подобранной последовательностью (Fn)n=i простых функций Fn£S:
ι sup {I Fn (λ) — F (λ) 11 λ £ R} ->- 0 при η ->■ oo. По определению
положим (VF^Loo):
2(H)$[f (λ) dE (λ) = lim [ Fn (λ) dE (λ), (2.10)
R n-*°° R
где предел понимается по норме операторов.
401

Это определение корректно. Во-первых, предел в (2.10)
существует, так как согласно (2.4) и (2.9)
|| J Fn (λ) dE (λ) - \ Fm(λ) dE (λ) II = ||{ (Fn (λ) - Fm(λ)) dE (λ) II «
R R R
<sup{\Fn(%)-Fm(X)\\X£R} -0, (2.11)
n,m-+°°
а пространство операторов з? (Я) полно. Далее, предел (2.10) не
зависит от выбора последовательности (Fn)™=i, аппроксимирующей
F. Если (F'n)n=i — другая такая последовательность, то оценка
типа (2.11) показывает, что соответствующие интегралы имеют
одинаковые пределы.
7). Свойства 1) — 6) сохраняются для интегралов от
ограниченных измеримых функций F, G £ Loo.
Для доказательства нужно записать соотношения (2.4) — (2.9)
для аппроксимирующих функций из 5, а затем перейти к пределу.
Легко видеть, что всюду переход к пределу возможен. ■
3. Интеграл от неограниченных измеримых функций.
Рассмотрим совокупность L0 (Ry ffi, Ε) = L0 функций вида R Э λ '-*■ F (λ) £
£ (С U {оо), измеримых относительно 9t и почти везде конечных
относительно операторнозначной меры Е. Последнее, естественно,
означает, что
E({X£R\F (λ) = οο}) = 0. (2.12)
Как 5 и Loo, совокупность L0 в силу аддитивности меры Ε
образует алгебру относительно обычных операций сложения и
умножения функций (с обычными формальными правилами опери-
рованиясоо). Определение интеграла (2.1) для F £ L0 сейчас
усложняется, так как такой интеграл уже будет, вообще говоря,
неограниченным оператором с некоторой областью определения. Мы
начнем именно с ее описания.
Лемма 2.1. Пусть F£LQ, тогда множество
0F = {f£H^\F(X)\*d(E(b)f9 f)H<oo} (2.13)
R
является линейным и всюду плотным в Н.
Доказательство. Очевидно, f£@р=*afζ@ρ(α£(£)-
Докажем аддитивность &р\\у g £ ®р =ф / + g £ @f. Пусть α £ Й, согласно
(1.6)
(E(a)(f + g)9 f + g)H = \\E(a)(f + g)\\2H<(\\E(a)f\\H +
+ \\E{a)g\\Hy<2(\\E(a)f\\2H + \\E(a)g\\2H) =
= 2((E(cc)f, f)H + (E{a)g, g)H). (2.14)
Отсюда следует, что существование интеграла в (2.13) для мер,
фигурирующих в правой части (2.14), влечет его существование для
402

меры в левой части (2.14), т. е. / + g £ &Fu Итак, mF — линейное
множество.
Для доказательства плотности ^вЯ рассмотрим множества
ап = [λζ R\\ F (λ)\> η} ζ?ϋ (η £ И). Очевидно, аг э а2 => ... иа =
оо
= Π а,г состоит из тех точек, где | Τ7 (λ) | = оо. Поскольку функция
F почти везде конечна относительно меры Е, то Ε (α) = 0. Легко
заключить, что
9t(E(R\an)) = 9F (ηζ И). (2.15)
В самом деле, согласно (1.5) (Υγ£9ΐ) (Υ/ι ς Я):
(£ (γ) £ (/?\ая) ft, Ε (R\an) h)H=(E (R\an) Ε (γ) E(R\an) ft, ft)„=
= (£(7fl (/?\a„))ftf h)H=*d(E(K)E{R\an)hy
E(R\an)h)H = %R\an(b)d(E(b)h, h)H, (2.16)
где %R\an — индикатор множества R\ctn. Поэтому при подстановке
в интеграл из (2.13) вектора / из &(E(R\an)) интегрируется
ограниченная функция \Ε(λ)\2%κ\αη(λ). Интеграл конечен, т. е.
(2.15) справедливо.
Из (2.15) и теоремы 1.2 легко следует, что @f плотно в Я:
(VftH):0F3E(R\an)f-+E(R)f-E(*)f = f. Ш
П—оо
Перейдем к определению интеграла (2.1). Как обычно, для
F £ L0 и N > 0 обозначим через Fn ее срезку — ограниченную
функцию вида FN (λ) = F (λ) при λ g {λ g R \ \ F (λ) | < N] и J7* (λ) =
= N для остальных λ£/?. По определению для /ζ^ положим
в смысле сходимости в Я
dFf = \F (λ) d£ (λ) / - lim J FN (λ) d£ (λ) f. (2.17)
R Ν~*°° R
Легко видеть, что этот предел существует. Так, (VM, N > 0)
согласно (2.4), (2.8) (для функций из LTO) имеем при f£0tp
|| J /^ (λ) dE (λ) / - J />(λ)6ί£ (λ) /|| 2Я - J J (Fμ (λ) - /Ъ (λ)) Χ
R R R
X d£ (λ)/|| h=[\Fm (λ) - ^ (λ) \4(Ε (λ) /, /)„ > 0.
^ Μ,Ν — οο
Последнее соотношение следует из того, что интеграл в (2.13)
существует.
Итак, интеграл Vf (2.17) существует как, вообще говоря,
неограниченный оператор с плотной в Я областью определения @> (£7f) =
= @f> задаваемой формулой (2.13).
Перейдем к выяснению свойств интеграла Зр- Прежде всего
заметим, что 6) не имеет смысла.
403

8). Свойства 4), 5) сохраняются для интегралов от
неограниченных функций F £ L0, причем в (2.7) и (2.8) / £ & {3F).
Для доказательства нужно записать (2.7), (2.8) для срезок и
затем совершить предельный переход при N -> оо. ■
4. Дальнейшие свойства спектрального интеграла. Сложнее
выглядит перенесение свойств 1) — 3). Результаты мы сформулируем
в виде двух теорем.
Теорема 2.1. Пусть F£L0. Тогда оператор 3F вида (2.17)
с плотной областью определения @0f) —@>f является
замкнутым. Справедливо равенство {?If)* = &f> ®((&f)*) = @f> m. е.
обобщающее свойство 3) равенство
(Jf {λ)άΕ(λ)Υ = ^7{λ)άΕ(λ) (F£L0). (2.18)
R R
Сразу отметим, что если F£L0 вещественнозначная, то
оператор $f самосопряжен.
Доказательство. Пусть f, g£@F, в силу (2.6) (для
функций из Loo) имеем (YN > 0):
($FN(%,)dE{X)f, g)H = {f, <ir^W)dE(X)g)H.
R R
Переходя здесь к пределу при Af-^oo, что возможно на
основании равенства &j = @Fi получим: (tJFf, g)H = (f, tJ-pg)H. Это
означает, что S^^(S^)*.
Докажем противоположное включение. Имеем
(8W, g)H={f,g*)H (f£0(9F) = 0F, г6*((^)*).
ff* = (^)*i). (2.19)
Введем такие же обозначения, как и при доказательстве леммы 2.1,
и подставим в (2.18) / = E(R\an)h (ft£#); это возможно в силу
(2.15). Тогда подобно (2.16) в силу (1.5) Ε (γ) E(R\an) ft =
= £(γί1 {R\an))К и поэтому
9Ff =( Jf (λ) dE (λ)) (Ε (R\an) ft) = J F (λ) χ* ν„ (λ) dE (λ) ft. (2.20)
R R
Подставляя это выражение в (2.19) и пользуясь ограниченностью
функции F(λ)χ^\αη(λ) и (2.6), получим
[]F^)U\an(r)dE(%)K g)H = (h> l^)^\anWdE{X)g)H=
= (E{R\an)h, g*)/i = (ft, E(R\an)g*)H.
Отсюда вследствие произвольности ΗζΗ
J ТЩ%R\an(λ)dE(X)g = E {R\an) g*.
R
404

Согласно (2.8) (для функций из L0) из этого равенства вытекает:
J I F (λ) %Rs^n (λ) |2 d (Ε (λ) g, g)H = || Ε (R\an) g* ||2„ <
<Hlg*H2„ (π 6 И).
Переходя здесь к пределу при /г-^оо, получим, что g£@F =
= 0(3^). Итак, (9F)*s3?9 т. е. (#f)* = ^.
Замкнутость оператора #f следует из равенства #f = (^)*. И
Теорема 2.2. Пусть F, G£L0; а, &£(С. Справедливы
следующие равенства, обобщающие свойства 1), 2):
{ (of (λ) + bG (λ)) d£ (λ) = (a { f (λ) d£ (λ) + b J G (λ) dE (λ))~;
Я Я R
(2.21)
{/7(λ)0(λ)ίί£(λ) = (5/:,(λ)ίί£(λ) jG(X)d£(X))"". (2.22)
Я R R
Доказательство. Установим (2.21), т. е. равенство 3F+G =
= (&р + 3в)~ (соотношение 3aF = a?JF очевидно). Пусть /£@(£/F+
+ gG)=@(3F) () @{3G) = @Fn@G. Из оценки | F (λ) + G(X) |2 <
<2(|/?(λ)|2 + |0(λ)|2) следует, что тогда /G^f+g = 0(§^+(?).
В силу (2.4) (для ограниченных функций) при N > 0 3pN+GNf =
= ^FNf + ^GNf- Переходя здесь к пределу при УУ->оо, получим,
что #f+g/ = flFf + 3Gf {3FN+GNf-+3F+Gf, так как f£@F+G).
Таким образом, ?/F + ?lG^ S^f+g.
Для доказательства включения &F+G s (3F + $g)~ обозначим
множества ап, построенные при доказательстве леммы 2.1, для F,
G, F + G соответственно через ап, β„, уп. Положим δ„ = αΛ U
U β* ΰ γ„ (леи), δχΞδ,,ΞΞ ... , Двп= 0.
Пусть / ς £i (2/f+g) = 0^-н?, тогда /л = £ (R\bn) f £ ^ (#f+g) Γ)
Π <^(#f) Π 0(#g), причем при п-+оо в Я/„->/, 9ρ+β^-+$ρ+βί.
Последнее соотношение вытекает из того, что (см. (2.20), (2.8)
для F£LQy 8))
#f+g /λ = J (i7 (λ) + G (λ)) %R Vn (λ) d£ (λ) /, (2.23)
R
X d(Я(λ)/, /)/,->0, /ι-*οο.
Кроме того, Η 1 im (3F + %о) fn = lim 3F+G fn, так как Э lim 3Ffn,
ННш^ в силу аргументов типа (2.23). Это показывает, что
П-+ оо
/ £ & ($F + $g)~) и S?f+g f = (&f + &β)~ί- Требуемое включение
доказано. Итак, &f+g = Фр + S^?)~.
405

Перейдем к доказательству равенства (2.22). Прежде всего
заметим, что Υγζ9ΐ справедливо соотношение
(Е (у) 3G /, 9q f)H = J I G (λ) |2 Xv (λ) d (Ε (λ) /, Пи (f ζ & (Ρα)). (2.24)
R
Действительно, для GgLoo согласно 3), 2) (для ограниченных
функций) имеем (E(y)&Qf9 &?/)// = (ЭДу %, /)я = @{Gl4yf, /)//,
а это и есть соотношение (2.24). В общем случае G£L0 запишем
(2.24) для срезки Gn, а затем перейдем к пределу при N-+oo.
Этот предельный переход возможен слева, так как ύβΝϊ->&β!
в силу (2.17), а справа — в силу оценки | GN (λ) |2 < | G (λ) |2 и
включения f£@(vG)'
С помощью (2.24) нетрудно заметить, что
a 0f За) = & (3fq) 0 & Фа). (2.25)
В самом деле, на основании (2.24)
0(9Ρ9β) = {ί£0(9α)Μζ9@ρ)} = {ίζ0@ο)\1 Ι^(λ)|2Χ
R
xd(E(l)3Gf, ^/)//<oo} = {/e^(Sr0)|J |^(λ)|2χ
R
X\G(X)\2d(E (λ)/, f)H < oo} = &φΡ0) η 0(27G).
Из (2.25) вытекает, что 3f3g^$fg. Так, пусть 1£@(3н$с)^
<=@(3FG) [\9(Vq).
Для срезок можно, очевидно, написать: ^FN^cMf = ^FNcMf-
Перейдем в этом равенстве к пределу при М-^оо. Поскольку
tfGMf->-&Gf, a &fn непрерывен, то слева получим S^^g/. Справа
получим &FNGfif £@>(&fng) = &fng из-за ограниченности FN. Далее
нужно перейти к пределу при Μ -> оо под знаком интеграла в
выражении \\&FNGMf — ^FNof\\2H (записанном как интеграл согласно 5),
см. 8)). Итак, $Fn &Gf= $PNQf (Ν > 0).
Теперь переходим к пределу при N -> оо в последнем равенстве.
Это возможно, так как /£0(3^). В результате получим, что
на рассматриваемых / ^F^cf = &FGf. Включение $f&g^3fg
доказано.
Включение 3fg ^ фрЗв)~ доказывается подобно включению
3f+g ^ 0f + $g)~ в первой части теоремы. Именно, обозначаем
множества аЛ, построенные при доказательстве леммы 2.1, для F,
G, FG соответственно апу βΛ, γΛ. Полагаем δ„ = αη (] βη Π Ίη
(ПСИ); δ1^δ22... , ηδ„=0. Далее, для /ζ0(3^ο) = 0™
строим последовательность /я= £(R\8n) f£@($fg) Π 0(^/0 Π ^$g).
Она, как легко понять, и будет давать требуемую
аппроксимацию. ■
406

Замечание 2.1. Если в теореме 2.2 одна из функций Fy G
ограничена, то в равенствах (2.21), (2.22) справа не нужно брать
замыкание. Так, пусть, например, GgLoo, тогда оператор $g
ограничен и @(3F + #G) = & (#f), & (3f&g) = & (&fg) и тогда уже
в первых частях доказательств формул (2.21) и (2.22) мы будем
получать не включения ^F + ^G^^F+Gy 3f$g^3fg, а равенства
операторов. ■
Как и при интегрировании по скалярной мере, полагаем (Υαζ9ΐ,
J F(λ) dE (λ) = { F (λ) 1α (λ) dE (λ). (2.26)
α R
Интегралы вида (2.26) будут часто фигурировать. Область
определения такого интеграла, разумеется, записывается формулой (2.13),
в которой R заменено на а. Подчеркнем также, что интегралы (2.17),
(2.13) не изменяются при изменении подынтегральной функции на
множестве меры Е, равной нулю.
Введем следующее важное определение, обобщающее понятие
ограниченного нормального оператора (см. § VIII.5). Оператор А,
действующий в гильбертовом пространстве Я, называется
нормальным, если он плотно задан и коммутирует со своим сопряженным:
АА* = А*А. (2.27)
Ясно, что самосопряженные и унитарные операторы нормальны.
Справедливо следующее важное утверждение: V F ζ L0 оператор
(2.17) является нормальным.
В самом деле, согласно теореме 2.1 оператор Вг = 0f)* &f =
= 3-р?1ру а согласно теореме XII.7.3 он замкнут. Поэтому
равенство (2.22) сейчас дает: Вг = Вг = U\f\». Кроме того, аналогично
в силу замечания после доказательства теоремы XII.7.3 получаем:
^2 = 3f{3f)* = #if|2. Таким образом, Вг = β2, τ. е. оператор $f
нормальный. ■
Подчеркнем, что если F, G^L^ (или более обще: F^L*,,
G£L0), то операторы S^f, &g коммутируют (см. 2) и замечание 2.1).
Если F, G£L0, то коммутация несколько условная: {3f$g)~ =
^{3g$f)~. Это вытекает из (2.22).
§ 3. ОБРАЗ РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ И ЗАМЕНА
ПЕРЕМЕННЫХ В СПЕКТРАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛАХ.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ЕДИНИЦЫ
Здесь будет пояснено, как делать замену переменных в
спектральных интегралах и строить декартовы произведения
разложений единицы. Конструкции эти аналогичны случаю скалярных мер
(§§ IV.2, V.4).
1. Образ разложения единицы. Итак, пусть (/?, Ш)—
измеримое пространство, R' — некоторое другое пространство точек λ',
μ', .. и R Э λ ->- φ (λ) ζ /?' — фиксированное однозначное отобра-
407

жение7?в7?'. Без ограничения общности можно считать, что φ (R) =
= R'. По 9ΐ и φ на R' определяется стандартным образом σ-алгебра
9Ϊ', состоящая из всех множеств a' s i?', для которых полный
прообраз φ"1 (α') ζ 81. В § V.4 было показано, что U' действительно
является σ-алгеброй. Итак, построено измеримое пространство
Предположим, что на (#, 9ΐ) задано некоторое разложение
единицы Е. Существует стандартный способ построения по нему
разложения единицы Е' на (/?', iff) — образа Е. Именно, положим
81' Э а'.- Е' {а) = Ε (φ-1 (α')). (3.1)
Нетрудно проверить, что операторнозначная мера (3.1)
является разложением единицы, т. е. удовлетворяет требованиям а), б) из
§ 1: а) совершенно очевидно, а б) следует из равенства
β'(ΰαί) = £(φ"1(0 а))) = Е([} qr1 («/)) =
оо оо
= Σ ^ (Φ-1 («/)) = Σ Я' (а/) («/ € «Ί «} По*=0,/# *> (3.2)
/=ι /=ι
ОО ОО
(здесь мы воспользовались тем, что φ"χ(ϋ α/) = Ο Φ"1 (α/) и мно-
/=1 /=1
жества φ"1 (α/) взаимно не пересекаются (см. § V.4).
Пусть Rf Э λ' ■-► F' (λ') ζ (С U {оо}— некоторая функция,
заданная на R'. Образуем функцию на R, полагая R$h\-+F' (φ(λ)) =
= (F'Οφ)(λ)£(0 U{°o}> т. е. беря суперпозицию двух отображений
φ и F', Для любого борелевского множества б^(С включение
(Ζ7')"1 (δ) £ 9Ϊ' эквивалентно тому, что (Τ7' Ο ψ)"1 (δ) € ^ (так как
Ф"1^/7')""1^)) = (^'Оф)""1 (з) (z£ (С)), поэтому функция Т7' будет
измеримой относительно iff тогда и только тогда, когда ^'Оф
измерима относительно Ж.
Следующая теорема дает правило замены переменных в
спектральных интегралах.
Теорема 3.1. Пусть L0(R\ 9Г, £")— совокупность измеримых
относительно Of Е'-почти везде конечных комплекснозначных
функций на R'. Если F'£L0(R', 91', Ε'), то F'Oq>£L0(R9 9ΐ, Ε)
и справедливы формулы замены переменных:
J F' (φ (λ)) dE (λ) = \ F' (λ') άΕ' (λ') = 3^; (3.3)
*(^) = {few|J|f (9(X))i«d(£(X)ff /)я<оо} =
я
= {/(Ξ#|$|^4λΟΙ2^(£'(λ')/, /)я<оо}. (3.4)
R'
Доказательство. Пусть а! = {λ'ζ R'\ F'(λ') = оо}, тогда
Φ"1 (<*') =» {λ ξ # I Fl (φ (λ)) *= оо}. Поэтому равенство Ε (φ*1 (α')) «■
408

=:£"(α') = 0 означает 5-почти везде конечность функции -Р'Оф.
Первое утверждение теоремы доказано.
Равенство (3.3) в случае простых функций F'£S(R', 9ΐ') сразу
следует из определения интеграла (2.3) и разложения единицы E'J
(3.1): для разбиения R' на непересекающиеся множества ak ζ 9ΐ'
η η
J F' (λ') άΕ' (λ') = J (Σ Fi χα· (λ')) <*£' (λ') ~ Σ FJ Д' (α*> =*
η я
=. £ FkE (φ"1 (α») =: J (Σ ^Χφ-(α,)(λ)) άΕ (λ) = $F (φ (λ)) άΕ (λ).
Здесь мы воспользовались тем, что для a! s /?': %α'(φ(λ)) =
=» Χφ-*(α')(λ).
На функции F из класса Loo(R'y 9ΐ') равенство (3.3)
распространяется очевидным образом путем предельного перехода при
равномерной аппроксимации Ff^Loa(R,y 91') посредством F'n£
£S(R', 3F).
В случае F' ζ L0 {R'y 9ΐ', E') используется предельный переход
(2.17), при этом нужно иметь в виду соотношение Fn (φ (λ)) =
= (F'J Ο ψ)ν (λ) и равенство интегралов в (3.4). Такое равенство
обеспечивается обычной заменой переменных в интеграле по
скалярной мере. ■
2. Произведение разложений единицы. Остановимся еще на
одной общей конструкции, связанной с разложением единицы,— на
прямом произведении.
Пусть (Rv 3ΐχ>, (R2, 9ΐ2)—два экземпляра измеримых
пространств, на которых заданы соответственно разложения единиц Еъ
Ε2, значениями которых являются проекторы в одном и том же
гильбертовом пространстве Я. Предположим, что Еъ Е2 коммутируют,
т. е. Υαχ £ 9ΐχ, Υα2 £ 3ϊ2 коммутируют операторы Ег (αχ), Ε2 (α2).
Можно, подобно случаю скалярных мер, пытаться строить на
пространстве R = Rr X R2 прямое произведение Ε разложений
единицы Ег и Е2. Точнее, обозначим через ffi прямое произведение
9?! Χ 9ΐ2 σ-алгебр ffil9 9ΐ2, составленное из всех множеств в /?1ХУ?2,
входящих в σ-оболочку всевозможных прямоугольников аг Χ α2
{аг ζ 9?!, α2 ζ 9ΐ2) (см. § IV. 1). Требуется построить разложение
единицы Ε на измеримом пространстве (R, 91) такое, что
Ε (αχ Χ α2) - Ег Κ) £2 (α2) (αχ £ 8^, α2 ζ 9ΐ2) (3.5)
т. е. мера Ε прямоугольника — произведение соответствующих
мер его двух сторон). Отметим, что в силу коммутируемости Е^а^),
Е2 (а2) оператор (3.5) — проектор. Такое Ε называется прямым
произведением Еъ Е2 и обозначается Ε = Ег X Е2.
Несколько неожиданным оказывается, что в отличие от
скалярного случая прямое произведение Ε существует не всегда. Тем не
менее в «хороших» случаях оно существует.
409

Так, пусть R— полное метрическое сепарабельное
пространство, 9Ϊ == 25 (R) — σ-алгебра его борелевских множеств.
Разложение единицы, определенное на 25 (R), называется борелевским.
Теорема 3.2. Пусть Ег, Е2 — два коммутирующих борелевских
разложения единицы в пространствах Rlt R2соответственно. Тогда
существует однозначно определяемое условием (3.5) разложение
единицы Ε = Ег Χ Ε2, заданное наШ = 25 (Rx X R2).
Прежде чем доказывать эту теорему, напомним следующий факт
(§ VI.8): всякая скалярная конечная мера 25 (R) Э α ι->- μ (α) > О
автоматически является регулярной, т. е.
μ (α) = inf {μ (ο) Ι ο 3 α, ο —- открыто} (α ξ 25 (/?)). (3.6)
Переходя к дополнениям, легко убеждаемся, что (3.6) эквивалентно
соотношению
μ(α) = sup {μ(φ) |φΞα, φ —замкнуто} (α £ 25 (/?)), (3.7)
более того, в (3.7) sup можно распространять лишь по компактам
φ ^ а.
Доказательство. Обозначим через 9ΐ' алгебру,
натянутую на совокупность всех прямоугольников ахХ а2 (ах £25 (^х),
а2 € $ №2))· Функция £ (ах X а2) = £Ί (αχ) Е2 (а2) по
аддитивности однозначно распространяется до конечно аддитивной опера-
торнозначной функции 9ΐ' Э ос ι->- Ε (α), что доказывается обычным
рассуждением, как и в случае скалярной меры (§ IV.2). Каждое
значение Ε (α) (α £ 9ΐ')— проектор, так как а представимо в виде
объединения конечного числа непересекающихся
прямоугольников ах Χ α2, и поэтому Ε (α) равно конечной сумме проекторов
Ε (α^), которые взаимно ортогональны в силу соотношения
ортогональности для Е1 и Е2. Таким образом, 9Ϊ' Э α ■-* Ε (α)
является проекторнозначной конечно аддитивной функцией
множеств на алгебре 9ΐ', £ (0) = 0 и Ε (^Χ i?2) = fl. Докажем,
что она счетно аддитивна.
Заметим, что для каждого прямоугольника αχΧα2 (a1£25(i?1),
α2£25(/?2)), f£H и ε>0 можно найти два таких прямоугольника
вида огХо2 и φχΧ φ2 (ох ^ аг, о2^а2 — открыты, φχ^ αν φ2 s α2 —
компакты), что
(£ (0ι Χ ο2) /, /)» - (£ (ttl X α8) /, Ля < ε, (3.8)
(Я^Ха,)/, f)H —{Ε (φχΧφ2) /, /)*<β.
Установим, например, первое соотношение. Пользуясь сказанным
относительно регулярности скалярных мер на 25 (i^) и 25(/?2),
подбираем по δ > 0 открытые ог э ах, о2 э а2 так, чтобы (£Ί χ
Χ (ΟχΧαΟ /, /)я <β, (£2 (ο2\α2) /,/)//< δ. Поскольку (οχΧ о2)\(агχ
Χ α2) = (КЧ^) Χ ο2) 0 («χ Χ (ο2\α2)), το
(£(θιΧο2)/, /)//-(£ (αχ Χ α,)/, /Ь-(£((о1\а1)Хо2)/,/)я +
+ (β (αχ Χ (ο2\α2)) f9 f)H - (Ег (ог Vi) £2 К) /> !)н +
+ (£iK)£2(o2V3)/, /)/y<||/||^(||£1(o1Vi)/lk +
410

+ II E2 (o2\a2) f \\„) = || f \\H ((Et (оЛо,) /, /)Г +
+ (E2(o2\a2)f, /)я/2)<2||/||яб1/2.
Беря δ>0 достаточно малым, получаем требуемое.
Пусть теперь аъ а2, ... £9ΐ' взаимно не пересекаются и таковы,
оо
что α=υαΛς9ΐ/. Для доказательства счетной аддитивности Ε
достаточно убедиться, что при любом f £ Η
оо
(Ε (α) f, /)η<Σ (E(ak)f, f)„ (3.9)
k=\
(противоположное неравенство следует из конечной аддитивности
и монотонности функции 9ΐ' 9β'-4£(β)/> /)я > 0, поэтому (3.9)
означает равенство этих выражений). Доказательство (3.9) подобно
изложенному в § 1.9 и 1.11 и выглядит так.
Поскольку α равно объединению конечного числа
непересекающихся прямоугольников, то, применяя к каждому из них второе
неравенство в (3.8), находим по заданному ε>0 такой компакт
9Ϊ'Эф^сс, что (E(a)fy /)// — (£■ (φ)/, /)//<ε. Аналогично с
помощью первого неравенства в (3.8) можно для каждого k£^
найти открытое множество 9ΐ' Э Ok э ock такое, что (Е (ok) f, /)я —
— (E(ak)f, /)//<e/2fe. Семейство (Ok)kL\ покрывает φ. В силу
η
компактности φ (3/г £ И): U Ok 3 φ. Отсюда и из монотонности
и конечной полуаддитивности скалярной меры с помощью двух
последних неравенств получаем
(E(a)f, /)*<(£ (φ)/, f)H + s<(E(U ok)f, f)H + ε <з
< Σ (Ε {Ok) /, /)я + ε < Σ (£ Κ) /, /)// + 2ε.
k=l k=l
Переходя здесь к пределу при ε->0, получаем (3.9). Счетная
аддитивность Ε доказана.
Таким образом, на алгебре 9ΐ' построено разложение единицы Е.
Продолжим его по теореме 1.3 до разложения единицы Е0на (9ΐ')σ=
= 9Ϊ; это разложение единицы, очевидно, будет требуемым.
Равенство 9ϊ = 25 (/?! X R2) вытекает из определения топологии в
Ri X Я2. ■
Разумеется, приведенный результат справедлив и для любого
конечного числа разложений единицы. Он может быть обобщен и на
случай их бесконечного числа.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Пусть Е1У £2 — разложения единицы на (IR, 93 (IR)} из примеров
1.1 и 1.2 соответственно. Найти образы этих разложений единицы при
отображении: а) фд (λ) = λ3; б) φ2 (λ) = λ2.
411

3.2. Пусть Elt ,♦. , Εη — попарно коммутирующие борелевские
разложения единицы в пространствах Rlt ,., , Rn соответственно. Доказать, что на
η / η \
( χ #£, 23 ( χ Rk\) QI разложение единицы Е такое, что (Va/fc€^(#fc)
&= 1, ..., n):
Я(а1Х...Ха„) = Я1 (aj .. ♦ £rt (ая) = ( X ^ Ek J ^ χ ^ a* J .
3.3. Пусть (Εη)™=ι — последовательность попарно коммутирующих
разложений единицы на (IR, 23 (IR)). Рассмотрим совокупность (Г множеств из
|R°° = |R χ |R χ . .. вида {а X IR°° | αζ S3 (IR*), n£ Ы} (такие множества назы-
ваются цилиндрическими). Определим на (IR°°, (£} проекторнозначную
функцию множеств Е, полагая на aXlR°°> где а£ 93 (IR"), £ (aXlR00) = ί χ Ek) (a)*
\fc = ι /
Доказать, что: а) d — алгебра множеств; б) £ является разложением
единицы на (IR°°, <£}, Продолжение Ε на (Γσ называется произведением
оо
X Еь бесконечного числа разложений единицы Elt E2t ....
k = ι
§ 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Представляется целесообразным начать построение
спектрального разложения для случая ограниченных самосопряженных
операторов, где оно выглядит наиболее простым и естественным.
Существуют различные доказательства спектральной теоремы.
Приведем одно из наиболее поучительных: «спуск на спектр» в теории
аналитических функций от операторов (§ Х.4). Начальные шаги
конструкции полезно провести для общего ограниченного оператора
с вещественным спектром.
1. Спектральная теорема. Пусть в гильбертовом пространстве
Η действует ограниченный оператор Л, спектр 5 (А) которого —
множество (замкнутое) на конечном интервале {a, b) a IR.
Обозначим через Rz = (А — гЦ)"1 (ζ £ (С \5 (Л)) его резольвенту.
Пусть F (ζ)— аналитическая функция, определенная в
некоторой (комплексной) окрестности интервала [а, 6]. Совокупность
всех таких функций обозначим через si {(a, b)). Для любого
замкнутого контура γ, охватывающего спектр 5 (А) и лежащего в области
определения функции F, можно построить интеграл
V
Как мы знаем (§ Х.4), этот интеграл не зависит от выбора
контура γ указанного типа. Отображение
j*{{a9b))5Fi+F(A)t*{H) (4.2)
является гомоморфизмом алгебры функций <£ ((я, Ь)) в алгебру
&(Н) ограниченных операторов в Я, переводящим функцию F (z)=
а 1 в единичный оператор, а F (ζ) = г — в оператор А.
412

,
0
ι α+1ε
ν
ь
Θ
b+ie
,
°
S(A)
b
Λ
Ι α+ίε0
у
λ
α+ίε|—
δ- ιε tf/ b-ΐε
Рис. 9
ы*®
ί.
ίβ+/ε
Рис. 10
Напомним, что ^ ((а, Ь)) является алгеброй относительно
обычных алгебраических операций: (VF, G £ *£ ((а, &))) : (Т7 + G) (г) =
= F(z) + G(z), {FG)(z) = F(z)G(z), где функции f + G, FG
определены на пересечении областей определения функций F и G
(заметим, что постоянные входят в Л ((а, &))).
Таким образом, высказанное утверждение означает выполнение
равенств
(F + G)(A) = F(A) + G(A),
(FG)(A) = F(A)G(A), (4.3)
1(Л) = Ц, z(A) = A.
Лемма 4.1. Справедлива следующая формула, в которой предел
понимается по норме операторов:
ь
а
b
= lim± [F(k)RwBRx-iBdk (F£j*((a,b))). (4.4)
α
Доказательство. Выберем в качестве контура γ в
формуле (4.1) контур, указанный на рис. 9, с ε > 0 достаточно малым,
а затем разобьем его указанным способом на дуги γΐ9 ...,γ4·
Пусть Ik— интеграл (4.1) по yk. Получаем
р(А)--Ы§р(г)^аг = 1г + 12 + 13+1,=
у
ь ь
^-^F(X-ie)R^{QdX+^F(K+ie)R^isdK +
а а
b
+ h + h = 2Й? J (f (λ + /ε) ^+ie ~ F <λ - ί8> ^-<β)άλ + 7* + '*·
413

Оценим интеграл /2. Так как точки на γ2 находятся на
положительном, не зависящем от ε расстоянии от спектра 5 (Л), то ||/?2||^ci
для ζ£γ2 равномерно по ε. Так же \F(z)\ < с2 для ζ£γ2
равномерно по ε, где ε>0 достаточно мало. Теперь ясно, что ||/2||<
<: επ"1^^. Аналогично оценивается /4. Из этих оценок следует,
что по норме операторов
ь
F (Л) = lim± J (F (λ + is) Яц_,в - F (λ - ίβ) Ял_,е) Λλ. (4.5)
Чтобы перейти от представления (4.5) к левому из равенств
(4.4), нужно доказать, что
ь
φ (е) = || $ (F (λ + /ε) - F(λ)) RK+is dX \\ 8ГГ00, (4.6)
a
и аналогичное соотношение с заменой λ + is на λ — /ε. Докажем
(4.6), второе соотношение устанавливается подобным образом.
Обозначим через δε горизонтальный отрезок, соединяющий точки
α+ί'ε, b+ is, а через κ8— путь, соединяющий эти же точки и
проходящий через a+is0, b-\-is0 (см. рис. 10); κ0 = κε при ε = 0.
Благодаря аналитичности функции от ζ F(z) — F(z — is) (ε£(0, ε0],
εο > 0 достаточно малое фиксированное) и аналитичности Rz вне
спектра 5(Л) получим требуемое:
ь
\ (F (Χ + ίε) - F (λ)) Rx+ie dX=^(F (z) — F(z — is)) Rz dz =
= l(F(z)-F(z-is))Rzdz; φ (ε) = || J (F (z) - F(e- ίε)) Χ
κε κε
Χ /?2ώ||<$ |f W~F (z-te)U\Rz\\ds<l\F(z) — F(z — is)\X
κε κ0
X||#2||ds<:cmax{|f (ζ) — F(z — ίε) | |ε£κο}-^0.
8->0
Здесь мы воспользовались тем, что путь κ0 удален на
положительное расстояние от S(A) и поэтому || Rz\\ (ζζκ0) ограничена.
Правое из равенств (4.4) непосредственно вытекает из формулы
Гильберта Rz — R^ ~ (ζ — t) Rz Rr (ζ, ζ — регулярные точки)
(§ VIII.8). ■
Формула (4.4) показывает, что функция F {А) от оператора А
вычисляется при помощи скачка резольвенты на спектре. В
зависимости от характера резольвенты, в частности ее поведения вблизи
спектра, предел в (4.4) может существовать и для более широких
классов W функций F(X), чем аналитические в окрестности спектра,
и поэтому этот предел можно принять в качестве определения
функции F (А) от А при F £ Ψ. Если в W входили бы индикаторы χα(λ)
множеств α £ 1R, то операторнозначная функция множеств α ι->
»"*" Χα (Л) = Ε (α) была бы типа разложения единицы.
414

Именно так будет сейчас получено разложение единицы для
самосопряженного оператора. Для других операторов при
определенном поведении резольвенты вблизи спектра в качестве W можно
брать достаточно гладкие функции. Это также дает некоторые
представления типа спектральных, но на этих вопросах мы
останавливаться не будем.
Теорема 4.1. Пусть А — ограниченный самосопряженный
оператор. Тогда на σ-алгебре 25 (R) борелевских множеств на оси
определено разложение единицы Ε такое, что справедливо
спектральное представление
Α = \ΜΕ{%). (4.7)
IR
Доказательство (4.7) приведет к мере Еу сосредоточенной на
конечном интервале, охватывающем спектр Л, поэтому пределы
интегрирования в (4.7) в действительности конечны. Более того, позже
будет доказано, что IR в (4.7) можно заменить на спектр 5 (А)
оператора А.
Итак, пусть оператор А самосопряжен. Тогда R* = ((А—гЦ)~1)* =
= (Л* — ζβ)-1 = ^и формулу (4.4) можно переписать в виде
ь
F(А) = lim 4 f F (λ) Kt+tsRwe dl {F£<A {{a, 6))). (4.8)
a
Лемма 4.2. Пусть F £ <Ж ((α, b)) принимает вещественные
значения на вещественной оси (линейное множество таких F обозначим
•^Re((#, b))). Оператор F {А) самосопряженный, и справедлива оценка
\(F(A)f> g)H\<max{\F(X)\\X£[a, b]}\\f\\H\\g\\H
(/, g£H; F^jtRe((a,b))). (4.9)
Доказательство. Подынтегральное выражение в (4.8)
в силу вещественнозначности F (λ) является самосопряженным
оператором, поэтому такими операторами будут интеграл и F (А).
Так как (R*+iBRi+ief, fh > О, то (¥/£#):
ь
|"Sί ^(λ>(^Μ-'βΛλΗ-ίβ/, !)нак \< max{| F(K)\\X£[a, b]} X
a
b
a
Переходя к пределу при ε->0, найдем (см. (4.3))
\{F(A)f,f)H\<max{\F(XWt[a9b])(l(A)f,f)H =
~max{\F{X)\\K£[a,b]}\\f\fH. (4.10)
415

Но для ограниченного самосопряженного оператора В из оценки
|(В/, f)H\<c\\f\\% (/£//) следует оценка \(Bf9 g)H\< c\\ f\\„ \\g\\H
(/. g£H) (§X.l)· Поэтому (4.10) влечет (4.9). ■
Доказательство теоремы. 1). Рассмотрим пространство
CRe ([α> b]) = CRe вещественнозначных непрерывных функций φ
на [а, Ь] с обычным определением нормы: || φ ||с = max {| φ (Я) 11 λ ζ
£ [а, Ь]}. Напомним (§ VII.5), что линейный непрерывный комплексно-
значный функционал / на CRe имеет вид
ь
Ζ(φ)=|φ(λ)6ίω(λ) (<p€CRe), (4.11)
а
где ω — однозначно по / определяемый (комплекснозначный)
заряд, заданный на σ-алгебре борелевских множеств из [a, b] : 25 ([я,
Ь]) =) α ι-> ω (α) £ (С, при этом
|| 11| = V (ω [а, Ц); (Υα £ 55 ([а, Ц)): | ω (α) | <
= ν(ω[α, Ь]) = ||/||. (4.12)
Зафиксируем /, g^H и рассмотрим линейный относительно J7
функционал
CRe =э Аъ ((а, 6)) Э F ι-> /Λ , (f) = (F (A) f, g)H£{£9 (4.13)
определенный на плотном в CRe множестве (плотность следует из
классической теоремы Вейерштрасса, так как в Л^{{а, Ь)) входят
полиномы с vвещественными коэффициентами). На Лпе((а, Ь)) этот
функционал непрерывен в силу (4.9); ||//fiIK ||/||//||g||//.
Распространим его по непрерывности на все CRe и сохраним
обозначение lftgt Согласно (4.11), (4.12) получим представление с
некоторым зарядом (uf9g (§ VII.5)
ь
ί/.*(φ) = ίφ(λ)<%,,(λ) (9eCRe); (Va£*([a, 6])): |a>ff,(a)| <
< II h. * IK II / \\и II g Ы h. g (П = (F № I 8)h
(Ug$H\ F£JRe((a,b))). (4.14)
Зафиксируем теперь а£25 ([α, b\) и рассмотрим отображение
Я0ЯЭ(/, г>'-*о>л,(а)€(С. (4.15)
Легко видеть, что оно является билинейной формой. В самом
деле, пусть аъ α2ζ(£; fl9 f2, g£H, тогда
ь
\ F (λ) Λ»βι/ι+βΛ, , (λ) = laj1+aj2, g (F) = (F (А) (а,П +
a
+ a2f2), g)H = (h(F(A)fv 8)H+a,(F(A)h, g)H=*
ь
= <hh»i{F) + attl,,g{F) = lF(k)d(alvfl,t(%) + w,nt{lk)).
a
416

Ввиду плотности Λκζ({α, b)) в CRe отсюда заключаем, что агщий+
+ ci2(dftfg==(ua1f1+aifitgy т. е. (4.15) линейно по первой переменной.
Аналогично доказывается его антилинейность по второй переменной.
Билинейная форма (4.15) непрерывна — это вытекает из оценки
в (4.14). Таким образом, по теореме о представлении билинейной
формы (§ VIII.5) существует оператор Ε(α)ζ^(Η) такой, что
ω/§,(α) =(£(«)/, g)H (а€«([а, 6]); f,g£H). (4.16)
Покажем, что функция множеств 25([a, b])$a\-+E(a)G&(H)
является разложением единицы на измеримом пространстве ([а,Ь]9
^([я, Ь])). Мы будем пользоваться следующим равенством,
вытекающим из (4.16) и (4.14):
ь
(F {A) f, g)n = \F (λ) d (Ε (λ) f, g)H (F 6 JRe ((a, b))\ /, g g Η).
(4.17)
Прежде всего заметим, что Va£25([a, b\) оператор Ε (а)
самосопряженный. Так, в силу самосопряженности F(A)
ь
J F (λ) d (Ε (λ) f, g)H = (F (Л) f, g)H = (F(A)g, f)„ =
a
b
= $F(K)d(E(l)g, f)H (F£<ARe({a,b)); f, g£H). (4.18)
a
Отсюда в силу плотности Л^{{а, b)) в CRe заключаем, что
(Е (а) /, g)H = (E(a)gf f)„, т. е. (£ (α))* = £ ία).
2). Теперь убедимся, что если α £ 25 (fa, &]) — объединение
конечного числа непересекающихся полуинтервалов вида [с, d) сз
сз [а, 6], то £ (а) — проектор. В самом деле, для индикатора χα(λ)
множества указанной структуры легко построить равномерно
ограниченную последовательность (Fn)n=i функций Frt£^Re((a, b))
таких, что (Υλ£[α, b])ι Fn(l)-+%a(k) при /г-^оо (сперва строим
последовательность непрерывных функций, удовлетворяющих этому
требованию, а затем каждую такую непрерывную функцию
аппроксимируем достаточно близко аналитической функцией в
метрике С).
Записывая формулу (4.17) для F = Fnn совершая затем
предельный переход под знаком интеграла (что, очевидно, возможно),
получаем
ь
lim(Fn(A)f, g)H = lim\ Fn(X)d(E(λ) f, g)H =
b
= J %a (λ) d (Ε (λ) /, g)„ = (E (a) f, g)„,
a
т. e. £ (a) является слабым пределом при/г-^оо операторов Frt (Л).
14 9-227 417

Далее, пользуясь самосопряженностью Fn (Л), вторым равенством
из (4.3) и формулой (4.18), получим Vn, т£И и V/, g£H
(Fm(A)f, Fn(A)g)H = (Fn(A)Fm{A)f, g)H = ({FnFm)(A)f, g)„ =
ь
= [Fn{K)Fm{%)d{E{%)U g)H.
a
В левой и правой частях равенства перейдем к пределу при η -> оо,
а затем при т-> оо. В результате найдем (Ε (α) /, Ε (ос) g)H =
= (Ε (α)/, g-)# (/, g£ Я). Это вместе с установленной ранее
самосопряженностью Ε (а) означает, что Ε (α) — проектор.
Утверждение 2) доказано.
3). Рассмотренные объединения полуинтервалов образуют
алгебру множеств пространства [а, Ь), обозначим ее через 9ΐ. Проектор-
нозначная функция множеств 9?Эа /-*-Ζ? (α) удовлетворяет
условию счетной аддитивности (со сходимостью ряда в слабом смысле)—
это следует из счетной аддитивности заряда ω^^ на 25 ([a, b]) zd ?H
и формулы (4.16). Поэтому она является квазиразложением
единицы (в смысле, указанном в конце § 1; в действительности Ε —
обычное разложение единицы: нетрудно показать, что Ε ({&}) = О
и поэтому Ε ([α, b)) = Ε ([α, b]) = 1 (A) = β, см. (4.17)).
В силу теоремы 1.3 Ε продолжается с 91 до квазиразложения
единицы Εσ на σ-оболочке 9ΐσ = 25([α, &]). Итак, V/, g£H на σ-
алгебре 25 ([а, Ь]) имеется два заряда ω/, g(α) = (E(a)f, g)H и
Pf, g(°0= (^σ(α)/ι ё")я- Они совпадают на 9Ϊ, поэтому в силу
единственности продолжения скалярной меры они совпадают и
на 9ϊσ, т. е. Ε (α) = Εσ(α) и, следовательно, £(а) будет проектором
Va£25([a, Ь)). Так как Е{[а, Ь]) = Ц, то 5(a) — проектор и при
α ζ 35 ([α, Ь]). Итак, £, определенное формулой (4.16), — разложение
единицы на пространстве ([a, b],25([a, &])).
Полагая в формуле (4.17) ^(λ) = λ и пользуясь (4.3), получим
ь
Α = ΙλάΕ(λ). (4.19)
а
Построенное разложение единицы можно перенести с ([а, Ь],
93 ([а, &])} на <R, 25(R)>, доопределяя его нулем вне [а, &]. Точнее
полагаем его на a£25(IR) равным Е(а[)[ау Ь]). При этом формула
(4.19) перейдет в (4.7), и мы получим утверждение теоремы. ■
2. Функции от оператора и его спектр. Замечание 4.1.
Аналитические функции вида (4.1) от самосопряженного оператора
Αζ&(Η) выражаются в виде следующего спектрального
интегралах
F{A) = \f (λ) dE (λ) (F £ Λ ((α, 6))) (4.20)
IR
(β (4.20) предполагается, что 5 (А) с (α, δ), поэтому Е
сосредоточена на (α, δ)).
418

В самом деле, для F £ *#Re ((я, b)) формула (4.20) эквивалентна
(4.17). Для общей F ζ *& ((α, b)) имеется следующее разложение,
справедливое в некоторой комплексной окрестности (а, Ь):
F (z) = F, (z) + iF2 (ζ), Fx (z) = ± (F (г) + F(!)),
F2{z) = ±r{F{z)-TW)). (4.21)
Функции Fl9 F2 ζ ^Re ((α> &))· Написав представление (4.20) для
них и применив (4.21), получим общую формулу (4.20). ■
Спектральное представление (4.7) дает возможность
распространить понятие функции от оператора А с аналитических функций на
класс L0(IR, $(IR),Z?) функций вида IR Э λ i-*F(X)G£ U {oo},
измеримых относительно S3 (IR) и почти везде конечных относительно
Е. Именно, положим
L0 (IR, 35 (IR), 5) Э F ,-* F (Л) = J F (λ) d£ (λ),
IR
^(F(A)) = {f£H\\\F(K)\"d(E(X)fyf)H<oo}. (4.22)
IR
Если F ζ## ((a, b)), (4.22) превращается в старое определение
(4.1).-В общем случае согласно § 3 (4.22) — замкнутые нормальные
операторы, причем для соответствия (4.22) выполняются равенства
(2.21), (2.22), обобщающие первые два равенства в (4.3).
Подчеркнем, хотя читатель, разумеется, это уже заметил, что второе из
соотношений (4.3) (мультипликативность) влечет ортогональность
(1.5) для Е, которая в свою очередь обеспечивает
мультипликативность (2.22) для более широкого, чем аналитические, класса
функций.
Подобно скалярной мере под носителем некоторого общего
разложения единицы Ε на измеримом пространстве (IR, 25 (IR)> будем
понимать пересечение всех замкнутых множеств φ ^ IR полной ме"
ры Е, т. е. таких φ, что Ε (φ) = fl. Как и ранее, этот носитель
обозначим через supp Ε. Он замкнут и, следовательно, входит в 25 (IR).
Легко видеть, что
£(supp Ε) = β. (4.23)
В самом деле, пусть supp Ε = Л φ?, где φ& s IR —
всевозможна
ные замкнутые множества полной меры. Переходя к дополнениям,
заключаем,что IRXsuppZ; = (J (Κ\φξ) = о. Можно выбрать счетное
число множеств П\\ср|, объединение которых равно о — это следует
из того, что каждое открытое множество [R\<P£ на оси может
быть получено как объединение рациональных открытых
интервалов (т. е. интервалов с рациональными концами), которых всего
оо
счетное число. Итак, IR\suppZ7 = U (IR\q>|). Но £(IR\cp|)=s
14*
419

= Z?(IR)— Е(щ) = 0. Из счетной аддитивности для Ε теперь
следует, что и Ε (R\supp E) = 0, т. е. E(suppE) = -Ц. ■
Заметим также, что если о — открытое множество на оси R
такое, что о Π supp Ε Φ 0, то Ε (ο) ΦΟ. Действительно, в
противном случае замкнутое множество φ = IR\o должно быть одним
из тех, которые фигурируют в пересечении при построении supp E.
Но это множество не содержит supp E, что абсурдно. ■
Из сказанного ясно, что в формулах (4.7), (4.20) и (4.22)
интегралы по R можно заменить интегралами по supp E.
Теорема 4.2. Спектр самосопряженного оператора Αζ&(Η)
совпадает с носителем его разложения единицы: S (А) — supp E.
Таким образом, в формулах (4.7), (4.20) и (4.22) интегралы по IR
можно заменить интегралами по S (А).
Доказательство. Пусть z£(£\supp£. Докажем, что эта
точка регулярная для А, т. е. что S (A)^ supp E. Так, функция
supp Ε Э λι-> (λ — ζ)"1 £ (β является ограниченной. Поэтому
спектральный интеграл В = j (λ — ζ)'1 dE (λ) — ограниченный опера-
supp E
тор, который в силу (4.7) и (2.5) (для ограниченных функций)
удовлетворяет равенству
(А — zfl) В = { (λ — ζ) dE (λ) J (λ — ζ)'1 dE (λ) =
supp Ε supp E
= J (λ — ζ) (λ — г)-М£(Я) = £.
supp E
Иными словами, Ά (А — zfl)"1 = В.
Докажем, что suppE^S(Л). Предполагая противное, найдем
регулярную для А точку Xo^supp/?. В точке λ0 должно
выполняться неравенство || (А — λ0β) /||я > ολο \\ f \\н (/ £ Н) с некоторой
постоянной £λ0>0. Поэтому мы придем к противоречию, если
докажем, что существует последовательность (fn)n=i векторов
fn£H таких, что
Ш|я= 1, \\(A-Mufn\\H^0. (4.24)
Согласно доказанному второму свойству supp£ (Υ/2 £ ^J): 0 =^
=^£((λ0 — /r\ λο + η-1)). Пусть ^£^(£((λ0 — /ζ-1, λο + zr1))) и
|| /rt||//=< 1. При помощи формулы (2.8) (для ограниченных
функций) получим
\\(A-X0lL)fn\\2H = l\X-%0\*d(E(X)fn, U)H^
IR
« J \λ-λ0\4(Ε(λ)ϊη> /*)я->0, /г->оо.
420

Здесь мы воспользовались тем, что fn = Ε ((λ0 — /г"1, λ0 -f /г"1)) fn
и в силу ортогональности Ε пределы в спектральном интеграле
можно было обрезать.
Итак, (4.24) установлено и тем самым доказано, что supp Ε ^
<=S (А), в
Напомним, что формула (4.1) справедлива для любой функции
F (ζ), аналитической в комплексной окрестности спектра (а не
интервала (а, Ь) з S (А)) (§ Х.4). Нетрудно убедиться, что так
определенный оператор F (А) совпадает с оператором, определенным
посредством (4.20), где IR заменено на 5 (Л).
Замечание 4.2. По самосопряженному оператору Α ζ & (Η)
разложение единицы Еу фигурирующее в (4.7), определяется однозначно.
Его называют разложением единицы оператора Л.
В самом деле, пусть имеются два представления Л с помощью
разложений единицы Ег и Е2. Согласно теореме 4.2 интегрирование
в (4.7) можно проводить по 5 (Л).Возводя Л в целые степени и
пользуясь (2.5) (для ограниченных функций), получим (У/г£ %+):
J λη^(λ)= J ληάΕ2(λ)=> J λ^((^(λ)/, g)H-
S (A) S (A) S (A)
-(*ι(λ)Λ g)n) = 0 (/, г6/0- (4.25)
Беря линейные комбинации, заключаем, что последнее равенство
имеет место и для любого полинома Ρ (λ) (вместо λΛ), а затем,
переходя к равномерным пределам,—что и для любой непрерывной
функции F (λ) (напомним, что 5 (Л) ограничено). Но отсюда следует,
что заряд, по которому ведется интегрирование, равен нулю:
(Ег(a)f, g)H -(Е2 (а)/, g)H = 0 (Va £ 35 (IR), V/, g^H)^Et=E%m Ш
В заключение этого параграфа отметим, что понятие носителя
разложения единицы можно ввести и в общем случае измеримого
пространства (R, 9ΐ>, если только R топологическое, а среди
множеств из 9ΐ имеются замкнутые. Будем считать supp £ равным
пересечению всех замкнутых φ ζ 9Ϊ полной меры. В общем случае для
так определенного носителя могут иметь место различные
патологии (например supp Ε = 0, хотя среди множеств из 9t достаточно
много замкнутых полной меры). Вместе с тем имеет место
следующее утверждение.
Замечание 4.3. Если R — топологическое пространство со
счетным базисом окрестностей, α 9Ϊ — σ-алгебра 25 (R) его борелевских
множеству то приведенные выше свойства носителя, в частности
равенство (4.23), сохраняются.
В самом деле, для доказательства нужно воспользоваться
прежним рассуждением, заменив интервалы с рациональными концами
окрестностями счетного базиса. ■
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Найти разложение единицы следующих операторов в L2 ((a, b)) :
a) (Af) (χ) = xf (x); 6) (Af) (x) = a (x) f (x)9 где α = ΈξΟ ([α, b]).
421

4.2. Пусть А = Л* £ Я? (Я), £ — его разложение единицы, a£93(IR).
Положим #α = Ε (а) Я. Доказать, что: а) #а — инвариантное подпространство
для А; б) 5 (А \ На) <= а.
4^3. Пусть А = Л* £ 5" (Я), Я — его разложение единицы. Положим | А \ =«
= /Л2, А+ = 1/2 (| Л | + Л), Л_ = 1/2 (| Л | — Л). Найти разложение единицы
операторов |Л|, Л+, Л_.
4.4. Пусть Л = Л*£5'(#), £— его разложение единицы. Доказать, что
5 (Л) = {λ £ IR I (γ ε > 0): Ε ((λ - ε, λ + ε)) Φ 0}.
4.5. Пусть Α = Α*£&(Η), Ε — его разложение единицы. Доказать, что
(Υ с, d£\R:c<d):^(E((c, d)) + Ε ([с, d])) =
a
=s. lim i- Г ((с — λ)2 + ε2)"1 d% (ср. (6.17)).
е-*о π J
§ 5. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ УНИТАРНОГО
И ОГРАНИЧЕННОГО НОРМАЛЬНОГО ОПЕРАТОРОВ
1. Спектральная теорема для унитарного оператора. Спектральное
разложение для унитарного оператора строится аналогично
конструкции § 4 с заменой оси на единичную окружность, правда,
в этом случае построение менее наглядно. Вместе с тем это
построение в определенном смысле более общее: в следующем параграфе
мы покажем, как из спектрального разложения для унитарного
оператора можно вывести такое разложение для самосопряженного,
даже неограниченного, оператора.
Итак, пусть U — унитарный оператор в Я, его спектр S (U),
как известно,— замкнутое множество на единичной окружности
Т= {г £ (С || г| = 1}. Обозначим через <Ж (Т) совокупность всех
аналитических в окрестности Τ функций. Подобно <& ((a, b)) класс
«^ ОТ) является алгеброй относительно обычных алгебраических
операций.
Справедливы также формулы (4.1) — (4.3) с заменой А на U,
<Ж ((а, Ъ)) на ^ (ТР) и γ на контур, который охватывает единичную
окружность и обходится в соответствующем направлении.
Например, γ = уг υγ2, гдеу1(72) — окружность радиуса >1 (<1), которая
обходится против (по) часовой стрелки (§ Х.4).
Рис. И
Рис. 12
422

Роль перехода (£3ζ\-+ζζ([, сейчас играет отражение
относительно единичной окружности: (С\{0} Э ζ ■-* ζ* = ζ"1 £ (С\{0}.
Вместо рис. 9, 10 будут фигурировать рис. 11, 12.
На рис 11 ylt γ2 — окружности с центром в 0 радиусов р> 1
и р"х<;1 соответственно. Каждой точке λζΤΓ отвечают точки
2 = ρλ ζ γχ и ζ* = ρ~χλ ζ γ2 (подобно λ ■->■ λ — ίε, λ + ίε на рис. 9).
Для F^iACTF) при р'1 достаточно малом можно написать
(направление обхода γ2 против часовой стрелки):
^---етфад*·*--^ §F(z)R2dz-
- (j) F (z) Sz dz) = -L. (j) (j0-iF (/гЧ) /?ρ-.λ - pF (ρλ) RpX) άλ. (5.1)
Vi Τ
Формула (5.1) аналогична (4.5). Подобно (4.6) справедливы
соотношения
\\${pFW-F(b))R*dX\\-^0,
τ
|| φ (p-*F (ρ-*λ) - F(λ) Rr+ьάλ || -^-> 0. (5.2)
Τ
Докажем, например, первое из них. Будем считать р0 > 1
достаточно близким к 1 и фиксированным, р£(1, р0]. Функция F1(z) =
= pF(z) — F(p"1z) аналитична в области, содержащей кольцо
g границей ΤϋδΡο (см. рис. 12), Rz аналитична вне S(U). Интеграл
под знаком нормы равен ^{pF{z) — F{p^1z))Rzp"1 dzy благодаря
ьР
указанной аналитичности этот интеграл равен такому же, но
распространенному по δΡο. Переходя в этом последнем интеграле
к пределу при р-^1, придем к первому из соотношений (5.2).
Соотношения (5.1), (5.2) и тождество Гильберта приводят к
следующей формуле, подобной (4.4) (в ней сходимость понимается по
норме операторов):
F (U) = Нш -gjg- φ F (λ) (Rp-^ - RpK) άλ «
= lim^^-j)kF(X)R^Rpxdk (F€^(T))· (5.3)
"-1 τ
>*
Докажем аналог леммы 4.2. Роль равенства Rz = R; для
самосопряженного А теперь будет играть формула
r*z^-?*rzM («*«2^;2€(C\{0})f (5.4)
получаемая простым вычислением: #* = ((U — zfl)-1)* = (U* —
- Μ)"1 = (ί/"1 - ЭДГ1 = {—zU-1 (t/^^u))-1 = —г-Щ-_хи.
423

Из (5.4) следует, что Rz* = —zU^Rt. Подставляя это
выражение в (5.3), выведем аналог формулы (4.8) (λ = ei(t>, φ ζ [0, 2π)):
F(U) = Um^^^XFMi-plU-^R^R^dX.
2π
2π
= ί/-ι lim ^i J ^ F(e*) R^R^ Λρ.
^ о
Умножая это равенство на ί/ и заменяя функцию zF(z) на ^(г),
получим требуемую формулу
2π
Fii/J-Hm-^ijF^)/?^^,^ (f^(T))· (5.5)
(Поясним, что произвольная F^A^T) может быть представлена
в виде F(z) = zFx (ζ), где Fx £ ^ (Τ)» поэтому эта замена корректна.)
Лемма 5.1. Обозначим ^Re(T) класс функций из </£(Т),
принимающих вещественные значения на ТТ. Утверждается^ что
оператор F{U) самосопряженный и справедлива оценка
\{F(U)f, г)я1<тах{|^(Я)||ЯбТ}|1/|1я|1г11я
(F£ARe(Ty> /, g£H). (5.6)
Доказательство. Оно ведется совершенно аналогично
доказательству леммы 4.2. Так, из (5.5) и вещественности F (е{ч>)
следует, что оператор F (U) самосопряженный. Далее, (5.6)
вытекает из аналогичной'оценки при g= /, которая есть следствием
неравенства
2π
О
2π
< max {| F (λ) 11 λ ζ ψ] ^- j 1 · (<^pe.<p/, /)« <*Φ (/ € Я). ■
δ
Справедлива следующая теорема, аналогичная теоремам 4.1
и 4.2 и замечаниям 4.1, 4.2.
Теорема 5.1. Пусть U — унитарный оператор. Тогда на σ-
алгебре 35 (X) борелевских множеств на единичной окружности1^ =
= {ζ £ С | |ζ| = 1} определено разложение единицы Ε оператора U
такое у что справедливо представление
2Л
U = J λ dE (λ) = I el·* dE (el·*). (5.7)
424

В (5.7) Τ можно заменить на спектр S(U) оператора U.
Для любой функции F (ζ), аналитической β окрестности S (ί/),
справедливо равенство
F(U) = J F(l)dE(K), (5.8)
S(U)
где оператор F (U) строится посредством контурного интеграла
типа (4.1). Разложение единицы Ε из (5.7) определяется
однозначно.
Доказательство. Оно является повторением
доказательств из § 4 и основывается на оценке (5.6). Так, при
фиксированных /, g £ Я рассматриваем линейный функционал CRe (Τ) =>
в ^Re (Τ) Э F К h, g (П *= (F (U) Л ё)н 6 (С. где CRe (Τ) = CRe -
пространство вещественнозначных непрерывных функций на X с
равномерной нормой. Он непрерывен в CRe благодаря оценке (5.6).
Вместе с тем ^Re(TT) плотно в CRe в силу тригонометрического
варианта теоремы Вейерштрасса. Поэтому этот функционал может
быть распространен по непрерывности на все CRe и допускает
представление типа (4.14) с однозначно определяемым зарядом ω/,^
(заданным на 25(Т)):
h. g(Φ) = ί Φ(λ)<%. *(λ) (Φ€ c*e); (Va€ ® (Τ)):
|ω^ΗΙ<ΙΙ^^ΙΙ<ΙΙΠΙ//Ι|^||//,
lf,g(F) = (F(V)f> В)н (Л £(Ξ#; F Мне (Τ))· (5.9)
Из (5.9) совершенно аналогично § 4 выводится, что <Dftg (α) при
фиксированном α является непрерывной билинейной формой
относительно /, g £ Я и поэтому допускает представление щуё (а) =
= (Е (а) /, g)H с некоторым оператором £ (α)ζ ^ (Я). Для а,
совпадающего с объединением конечного числа полуинтервалов на
окружности ТГ, при помощи (4.3) доказывается, что Ε (α) — проектор.
Затем с помощью теоремы 1.3 устанавливается это же и для
произвольного α ζ 8 (ТР). Отсюда следует, что 25 (ТР) Э α ι-* £ (α) —
разложение единицы.
Формула
£(i/) = §F(K)dE(X) (5.10)
Τ
для ££^Re(T) является следствием последнего равенства в (5.9).
Затем для F^JliT) она выводится из разложения:
F(z) = F, (z) + iF2 (z); F,(z) = 1(F (z) + F(?))f
^2 (*) = ^T (^ (2) - Τψ)) € ^Re (T).
В частности, при £ (г) = z из (5.10) получаем (5.7).
425

Введем supp Ε (см. замечание 4.3). Буквальное повторение
доказательства теоремы 4.2 приводит к равенству supp Ε = S (U).
Это дает возможность заменить ТГ в (5.10) на 5 (ί/), а затем перейти
к такой же формуле и для функций F (ζ), аналитических только
в окрестности 5 (ί/).
Доказательство однозначности определения Ε по U из формулы
(5.7) проводится аналогично замечанию 4.2, нужно только брать
η £ Ζ и воспользоваться тем, что линейные комбинации функций
λ" (η G Ζ) плотны в С (Τ)· ■
Как и в случае самосопряженных операторов, представление
(5.7) дает возможность распространить понятие функции от
оператора U на любые функции класса L0 (Τ» ® (Т)> £)> измеримых
относительно 25 (ТГ) £-почти везде конечных функций на тр.
Распространение дается посредством формулы
МТ, »(Т), E)3Fi-»F(U)= \F(X)dE(X),
Τ
*(F{U)) = {ftH\l\F(X)\*d(EMf, f)H<oo). (5.11)
Τ
Свойства отображения (5.11) описаны в § 2.
2. Спектральная теорема для нормального оператора. Перейдем
к построению спектрального разложения для ограниченного
нормального оператора А. Соответствующее разложение единицы
будет строиться как прямое произведение разложений единиц двух
связанных с А коммутирующих самосопряженных операторов.
Прежде всего докажем следующую теорему.
Теорема 5.2. Пусть Аг и А2 — два самосопряженных
ограниченных оператора. Для того чтобы коммутировали их разложения
единицы, необходимо и достаточно, чтобы коммутировали их
резольвенты RZt (Лх) и RZi (А2) при некоторых фиксированных z1 и z2,
регулярных для операторов Ах и А2 соответственно.
Доказательство. Пусть Е19 Е2 — разложения единицы
операторов Аг и А2 соответственно. Если Е1 и Е2 коммутируют, то
из представления RZf(Aj) = ] (λ — Zj)"1dEi{,k) (/ ==» 1, 2) вытекает
IR
кохммутируемость резольвент: для доказательства нужно
воспользоваться определением (2.10) интеграла от ограниченной функции
как равномерного предела.
Обратно, пусть RZl (Лх), RZt(A2) коммутируют. Докажем сперва,
что коммутируют i?Cl(Лх), R%2(A2) для любых ζν ζ2, регулярных
для операторов At и А2 соответственно.
В самом деле, пусть В — некоторый оператор, действующий
в Я, ζ, ζ ζ (£ — две его регулярные точки. Тогда оператор (Ц —
— (z — ζ) Rt (5))"1 существует и справедливо равенство
ML - (* - 0 #с (В))-1 - Л + (* - ζ) Rz (В) (5.12)
426

— в этом убеждаемся простой проверкой с использованием
тождества Гильберта. При помощи этого тождества и (5.12) имеем
Яс4 (Λι) - RZl (Аг) = (Ь - zx) RZl (A,) /?Cl (Лх),
Я с, Их) (Л - (ζχ - *i) RZl (А,)) = RZl (Лх),
Яс, ИО = (й - (Ь - «ι) Я* {Αύ)-1^ (Аг).
Из последнего равенства и коммутируемости /?Zl (Л^ и RZ2 (Ла)
следует, что ^(Л^ и /?2,(Ла) также коммутируют. Аналогичным
образом отсюда вытекает, что и R^ (Лх) и i?Ca (Л2) коммутируют.
Пусть (а, Ь) — достаточно большой интервал, содержащий
спектры 5 (Лх) и 5 (Л2). Из установленной коммутируемости резольвент,
формулы (4.1), записанной для Лх и Л2, и определения
контурного интеграла как предела по норме операторов соответствующих
интегральных сумм следует, что Fx (Лх) и F2(A2) коммутируют
Рассмотрим множества αΐ9 а2, каждое из которых состоит из
объединения конечного числа непересекающихся полуинтервалов
вида [с, d) c= [а, 6); такие множества образуют некоторую алгебру
9t на [а, Ь). Построим, как это указывалось в п. 2) доказательства
теоремы 4.1, последовательности (F\%n)n=\, (^2,m)m=i функций из
<Аяе((а, Ь)) такие, что слабо в Я : F\tn(A^ -^^ Е1(а1) и
F2. т (А2) ^Т Е2 (аа). Так как (V/, g ζ Я): (Л, „(Лх) /, К, т(Л2) g)H =
= (^2, т (Л2) Fu п (Аг) f, g)H = (Fltn Щ F2,«(Ла) f, g)H = (F2t m (A2) U
Fi,n(i4i) g)//, то, переходя в полученном равенстве к пределу
при т-+оо, а затем при п-+ оо, имеем (£Ί (αχ) Д £2 (а2) g·)// =
= (£2(α2)/, E1(a1)g)H- Это означает коммутируемость ^(αχ) и
^2 (аг) Valf a2 ζ &. Распространение этой коммутируемости на
произвольные alf a2£25([a, &)) производится простым способом
с использованием единственности продолжения скалярной меры.
Так, зафиксируем α2£ 3Ϊ и /, g£H. На 35 ([а, &)) — 9ΐσ имеются
два заряда относительно аг ι ω (αχ) *= (£Ί (αχ) /, £2 (α2) g)H и ν (αχ) =
= (E2(a2)f, E1(a1)g)H, совпадающие на ffi. Но тогда они
совпадают и на 9ΐσ. Затем фиксируем аг £ 25 ([a, &)) и рассматриваем
заряды относительно а2. В результате получим: (E^a^f* Е2{а2) g)H =
= {Е2 (а2) /, £Ί (ax) g·)//, т. е. требуемую коммутируемость Ех
и ^з. ■
Отметим, что окончание доказательства теоремы можно
провести и несколько иначе (см. теорему 6.3 в следующем параграфе).
Замечание 5.1. В рассматриваемом сейчас случае ограниченных
самосопряженных операторов справедливо следующее утверждение:
для того чтобы коммутировали разложения единицы операторов Ах
и А ^необходимо и достаточно,чтобы коммутировали сами эти one*
раторы.
В самом деле, если Е1$ Е2 коммутируют, то, как и выше, из
представления Л/ = \ λ<ϋ?/(λ) (/ =а 1, 2) следует коммутируемость
IR
427

Al9 Ла. Обратно, из коммутируемости Av Л2 и формулы Rz{Aj)=^
оо
= — Σ 2""Л"М/ (/= 1, 2), справедливой при \г\ достаточно боЛЬ-
шом, вытекает коммутируемость RZ{A^), RZ(A2) для таких ζ, и
вопрос сводится к теореме 5.2. ■
Рассмотрим ограниченный нормальный оператор в Я, т. е.
такой А £ & (#), что А*А = ЛЛ*.
Теорема 5.3. Пусть А —ограниченный нормальный оператор.
Тогда на о-алгебре $> (£)борелевских множеств на комплексной
плоскости определено разложение единицы Ε оператора А такое, что
справедливо спектральное представление
А = { λάΕ(λ). (5.13)
с
В (5.13) (С мооюно заменить на спектр S (Л) оператора Л. Для
любой функции F (ζ), аналитической в окрестности S (Л),
справедливо равенство
F(A) = J F(X)dE(K), (5.14)
S(A)
где оператор F (Л) строится посредством контурного интеграла
типа (4.1) (§ ΧΛ).Разложение единицы Ε из (5.13) определяется
однозначно.
Доказательство. Рассмотрим стандартное разложение
Л на ограниченные самосопряженные операторы
A = A1 + iA2 (л1 = КеЛ=-^(Л +Л*),
Л2 = 1тЛ = -1-(Л-Л*)). (5Л5)
В силу нормальности Л операторы Лхи Л2 коммутируют, но тогда
согласно замечанию 5Л коммутируют и их разложения единицы
Ег и Е2.
Построим согласно теореме 3.2 прямое произведение Ε =
= Ег X Е2. Для этого разложения единицы можно написать:
Л/ - J λ/ dE (λ) (/ = 1, 2; (С Э λ = λχ + *λ2, λχ, λ2 ζ R). (5.16)
с
В самом деле, пусть / = 1. Так как £\ и Е2 сосредоточены на
конечных интервалах (αΐ9 &ι) и (α2, δ2), то Ε сосредоточено на
(аъ Ьг) Χ (α2, й2), т. е. в (5.16) фактически интегрируется
ограниченная функция. Пользуясь определением (2.10) спектрального
интеграла и аппроксимируя функцию F (λ) = λχ функциями Fn (λ)
переменной λχ, получаем, что интеграл в (5Л6) равен
$λ1άΕ1(λ1) = Α1. (5Л7)
IR
428

Иными словами, мы сделали в (5.16) следующее преобразование:
J λχ dE (λ) = { J λχ dEx (λχ) Ε2 (λ,) = J λχ άΕχ (λχ) £2 (R) = Αν (5.18)
С IR |R |R
т. е. сперва проинтегрировали по переменной λ2, от которой не
зависит интегрируемая функция, и воспользовались тем, что
Е2 (IR) = fl.
Сложив равенство (5.16) при/ = 1 с этим равенством,
умноженным на ι, при/ = 2, придем к (5.13).
Как и ранее, при помощи замечания 4.3 введем supp E и
повторением доказательства теоремы 4.2 установим, что supp A = S {А).
Это позволяет заменить в (5.13) С на 5 (Л).
Для доказательства равенства (5.14) достаточно убедиться, что
при ζ £ S (А) имеет место представление
RZ = (A — гЦ)"1 = [ (λ —ζ)-Μ£(λ). (5.19)
S(A)
В самом деле, нужно (5.19) подставить в (4.1), изменить порядок
интегрирования (что легко обосновывается) и воспользоваться
формулой Коши для F (г). Представление (5.19) в свою очередь следует
из (5.13) и (2.5) для ограниченных функций.
Наконец, докажем однозначность определения Ε в (5.13) по А.
Пусть L — еще одно разложение единицы на 25 ((С), для которого
справедливо равенство
А = \%dL{%). (5.20)
с
Как и выше, с помощью замечания 4.3 и теоремы 4.2 убедимся, что
в (5.20) (С можно заменить на 5 (Л), и поэтому в (5.20)
интегрирование производится по ограниченному множеству, т. е.
подынтегральную функцию можно считать ограниченной.
При помощи (2.4), (2.6) для ограниченных функций и (5.15) из
(5.20) получаем:
Аг = J λχ dL (λ) = J λχ dLx (λχ). (5.21)
С |R
Здесь Lx — «проекция на ось λχ разложения единицы L», т. е.
образ L при отображении R = (£ Э λ = λχ + Ιλ2ι-* Κ € R = R'
(см. § 3). Второе равенство в (5.21) — это формула (3.3) для частного
случая при F (λχ) = %г. Из (3.1) следует, что
» (Щ Э «ι »->■ Li (αχ) = L (αχ Χ IR). (5.22)
Равенства, аналогичные (5.21) и (5.22), имеют место и для Л2,
при этом $ (1R) Э а21-> L2 (α2) = L (IR X α2). Из этого равенства
и (5.22) в силу ортогональности L получаем (V<xlt α2 £ 03 (IR)):
Li (αχ) L2 (α2) = L (at X IR) L (IR χ α2) =
= L((axXlR) Π (IRXa2)) = L(aixa2).
429

Таким образом, L определяется по Llf L2 g помощью формулы (3.5),
и так как в теореме 3.2 имеет место однозначность определения
прямого произведения, то для доказательства требуемой однозначности
достаточно убедиться, что L1 = £,1hL2 = £,2.
Но по А оператор Ах определяется однозначно и для него
имеются два спектральных представления· (5.17) и (5.21). Так как он
самосопряжен, то согласно замечанию 4.2 Lt = Ег. Аналогично
L2 = £2· Ш
Конечно, для спектрального представления (5.13) можно
сделать все те выводы из рассмотрений § 2, которые делались для
самосопряженного и унитарного операторов.
Заметим также, что теорема 5.3, разумеется, охватывает
теорему 5.1 ς для унитарного оператора U U* = f/~\ и поэтому он
нормален. Представление (5.13) для f/, где (С заменено на 5 (ί/)^Τι
перейдет в представление (5.7).
Пример унитарного оператора поучителен еще и в том
отношении, что из доказательства теоремы 5.3 может создаться ложное
представление, что 5 (A) = S (Аг) X S(A2) (подобно носителям
скалярных мер при их перемножении). Мы сейчас видели, что возможно
лишь утверждать наличие включения
S (А) = 5 (Аг) X 5 (Л2); (5.23)
для А = U унитарного оно будет строгим (равенство в (5.23)
отсутствует, так как из соотношения Ег (ах) Е2 (а2) = 0 не
следует равенство нулю хотя бы одного из сомножителей).
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Пусть и 6 С (IR) такова, что (у/ 6 0?) : | и (0 | = 1. Найти
разложение единицы действующего в L2 (IR) оператора умножения на функцию и.
5.2. Пусть а £ С (IR) ограничена. Найти разложение единицы оператора
умножения на функцию а, действующего в L2 (IR).
5.3. Пусть Аг = А*у А2 = Α* ζ 3? {Η). Доказать, что разложения единицы
Аг и А2 коммутируют в том и только в том случае, когда выполнено одно
из условий: 1) (у^, s£\R):[eiiAl, etsA*] = 0; 2) преобразования Кэли
операторов Аг и А2 коммутируют.
5.4. Пусть Л = Л* 6 .2* (Я), |Л|, Л+, А_ — операторы, определенные
в упр. 4.3. Доказать, что | А | (соответственно Л+; А_) является наименьшим
из неотрицательных операторов В 6 3? (#), коммутирующих с Л и таких, что
В > А, В > —А (соответственно В > Л; В > — Л).
§ 6. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
1. Случай самосопряженного оператора. В этом параграфе будут
получены результаты типа имеющихся в § 4,5 в случае
неограниченных операторов. Начнем с самосопряженного оператора А. Для их
получения сейчас удобнее всего воспользоваться сведениями из §3
об отображении пространств. Идея здесь такова: для получения
разложения единицы Ε оператора А мы найдем некоторый
ограниченный оператор (самосопряженный или унитарный), для которого
430

разложение единицы уже построено и его должный образ и дает
требуемое Е.
Теорема 6.1. Пусть А — произвольный самосопряженный
оператор. Тогда на о-алгебре 25 (R) борелевских множеств оси
определено разложение единицы Ε оператора А такое, что справедливо
спектральное представление
Α=$λάΕ(λ), @{A) = {f£H\\%*d{E{%)f, /)я<оо}. (6.1)
IR IR
В (6.1) IR можно заменить на спектр S (А) оператора А.
Разложение единицы Ε из (6.1) определяется однозначно.
Доказательство. Мы приведем два доказательства
представления (6.1): при помощи теоремы 4.1 и теоремы 5.1. В
первом случае нужно, к сожалению, дополнительно требовать наличия
вещественной регулярной точки у А. В соответствии с
обозначениями §3 Л, Ε и λ из формулировки теоремы на время ее
доказательства удобно обозначать через А', Ее и λ'.
1). Пусть у заданного самосопряженного оператора А' имеется
регулярная точка λό ζR. Выберем столь малый интервал {а', Ь')Ъ
Э λΌ, чтобы он состоял из регулярных точек А'. Обозначим R' =
= (—оо, a']U[&'i +°°)> R = [a, Ь], где а = {а' — λί,)-1 < О, Ь =
= (Ь' — λό)-1 > 0. Иными словами, R — образ R' при отображении
#' Э V /-* λ = (λ' — λό)"1 g R. (6.2)
Рассмотрим также отображение
#3λι+λ' = φ (λ) = λ"1 + Κ ζ #', (6.3)
т. е. обратное к (6.2).
Введем в соответствии с (6.2) оператор
Α = (Α'-λ'0ύ)-\ (6.4)
т. е. резольвенту оператора А' в точке λ'0 £ IR. Его спектр, как
легко показать, например, из (5.12), лежит в интервале (а, Ь).
Оператор А ограничен и самосопряжен, пусть Ε— его разложение
единицы на 9ΐ = 25 (R)f существующее согласно теореме 4.1.
Обозначим через Е'у образ Ε при отображении (6.3), задаваемый формулой
(3.1) на σ-алгебре 9Ϊ', совпадающей, очевидно, с 25 (R').
Легко показать, что Е' является искомым разложением единицы
оператора А\ т. е. справедливо (6.1). В самом деле, на основании
формулы замены переменных (3.3) для функции R' Э λ1 ι-* /*"(λ') =
= λ' £ R в силу (6.4) имеем
$ %> dE' (λ') « f (λ-1 + λ'0) dE (λ) = Л-Х + λ^ = А'.
Формула (3.4) дает область определения ^(Л'), указанную в (6.1).
2). Пусть Л' — произвольный самосопряженный оператор.
Положим R' = IR ϋ {°°Ь R β Τ (единичная окружность), вместо
431

(6.2) рассмотрим дробно-линейное (взаимно однозначное)
отображение вида (6.3), гл. XII с ζ = ii
/?'3λΊ-Η.λ = -ρ±^£Α. (6.5)
В качестве ср берется обратное к (6.5) отображение
#3λ. + λ' = φ(λ) = ί|^Γ£^. (6.6)
Введем в соответствии с (6.5) оператор
V = (A' + i{L)(A'-UL)-\ (6.7)
т. е. преобразование Кэли вида (6.6), гл. XII, где ζ = i. В силу 3)s
§ XII.6 оператор (6.7) унитарен, пусть Ε — его разложение
единицы на 9ϊ = 25 (Τ), существующее согласно теореме 5.1.
Обозначим через Е' образ Ε при отображении (6.6), задаваемый формулой
(3.1) на R'. Множества из этой σ-алгебры совпадают с множествами
из 25 (IR) к их объединениями с точкой оо. Но Ε ' ({оо}) = Ε ({1}),
а Е ({1}) = 0, так как в противном случае у оператора U были бы
собственные векторы, отвечающие собственному значению 1, а это
невозможно в силу плотности @ (А) (см. 7), § ХП.6). Итак,
Е' ({оо}) = 0, и поэтому можно считать Е' разложением единицы,
заданным на 25 (IR).
Построенное Е' является разложением единицы оператора ΑΊ
как и ранее, имеем на основании формул (3.3) и (3.4) для функции
R' Э λ' /-* F (λ') = λ' ζ IR
J λ' dE' (λ') = f λ' dE' (λ') = j i -^t} d£ (λ) =
= i{U + K){U-&y* = A'.
Здесь мы воспользовались формулой (6.13), § XII.6, для обратного
преобразования Кэли. Соотношение (6.1) доказано.
3). Поясним остальные утверждения теоремы. Как и ранее, в
теоремах 4.1, 5.1 и 5.3, сейчас IR можно заменить на 5 (А) — это
следствие замечания 4.3 и доказательства теоремы 4.2.
Однозначность определения Е' по А' из (6.1) может быть
доказана, например, следующим образом. Пусть V — еще одно
разложение единицы на 25 (IR), для которого имеет место (6.1) с заменой Е' на
V'. В обозначениях 2) рассмотрим отображение φ"1 вида (6.5),
отображающее R' на R. Оно по конструкции § 3 породит разложение
единицы L на R. Повторяя рассуждение 2) в обратном порядке,
очевидно убедимся, что L будет разложением единицы для
унитарного оператора U. Благодаря однозначности определения
разложения единицы для унитарного оператора L = Ε =* V = Ε'. Ш
Замечание 6.1. Отметим одно полезное рассуждение,
позволяющее доказать однозначность определения Ε по А из (6.1). Оно
основывается на следующем хорошо известном факте анализа. Пусть
432

25 (IR) Э α ι-> ω (α) ζ (£ — некоторый заряд на оси, являющийся
линейной комбинацией конечных мер. Функция
φ (2)=* ί(λ —Ζ^Λοίλ) (*G(D\1R). (6·8)
IR
аналитическая вне supp ω, называется преобразованием Гильберта
заряда ω. Оказывается, что по φ заряд ω определяется однозначно.
Более того, для каждого конечного открытого интервала δ с IR
справедлива формула
i- (ω (δ) + ω (δ)) = lim JL f (φ (ζ) - φ (*)) dz (6.9)
2 8-.+0 ^ б J/e
(как легко видеть из сказанного в § 1.17, знание Υδ левых частей
в (6.9) определяет заряд, см. также доказательство теоремы 6.3).
Отметим, что для доказательства (6.9) нужно в его правую часть
подставить выражение для φ из (6.8), поменять порядок
интегрирования и совершить предельный переход под знаком интеграла
Лебега — Стилтьеса* После вычислений придем к (6.9).
Однозначность доказывается так. Пусть Ε и L — два
разложения единицы, фигурирующие в представлении (6.1) для некоторого
самосопряженного оператора Л. Тогда для его резольвенты
справедлива формула
^ζ = (^-^)-1 = {(λ-2)-1^(λ) (*G(C\IR) (6.10)
IR
и такая же с заменой Ε на L — это следует из свойств
спектральных интегралов от ограниченных функций (точнее, из (2.5)).
Вычитая одну формулу из другой и переходя к скалярным
произведениям, найдем (V/, g £ Η):
0 = J (λ — z)-1 da>u g (λ), 25 (IR) Э α ι-* ω/, g (α) ^
IR
= ((E(a)-L(a))f9 g)« € (С
откуда Е = L, поскольку в (6.8) φ однозначно определяет ω. ■
Посредством спектральных интегралов, как и в § 4,5, можно
построить теорию функций операторов и для неограниченных
самосопряженных А. Так, для F ζ L0 (IR, 25 (IR), E), где Е —
разложение единицы, отвечающее А, строится оператор
F(A) = $F(X)dE(X), 0(F(A)) =
IR
«tfetf|J|F(λ)|Μ(£(λ)/, /)я<оо}. (6.11)
IR
Свойства соответствия L0(IR, 25 (R), Ε) Э F ι-> F (А) описаны в §2.
Отметим некоторые важные функции от самосопряженного
оператора А (операторы (6.14) — (6.16), вообще говоря, неограни-
чены).
433

1). Разложение единицы! для индикатора 9Са множества
Ε (α) = χα (А) = J χα (λ) dE (λ). (6.12)
IR
2). Резольвента: пусть ζ § S (Л), тогда справедливо представление
Rz = (A-zH)'1= J —L^dfift). (6.13)
S(A)
3). Корень квадратный из неотрицательного оператора А:
00
Y~A =J l/λd£(λ) = J ]/λd£(λ) > 0; ("|/л)2« Л. (6.14)
S(A) О
4). Абсолютная величина оператора-
|Л|=5 \λ\άΕ(λ) = \\λ\άΕ(λ)>0. (6.15)
5 (A) IR
5). Экспонента! Vz£(Q
ехр(гЛ) = *^ = J βζλάΕ(λ). (6.16)
2. Формула Стоуна. Остановимся еще на трех вопросах,
связанных g разложением единицы Ε самосопряженного оператора А.
Так, развивая сказанное в замечании 6.1, с помощью (6.9),
получим полезное выражение для Ε через резольвенту А.
Теорема 6.2. Пусть Ε — разложение единицы
самосопряженного оператора, Rz— его резольвента. Тогда в смысле сильной
сходимости для любого открытого конечного интервала δ ез IR
справедлива формула
l(£(6) + £(6)) = lim gig J (Rz-RJdz. (6.17)
Доказательство. Справедливость (6.17) в смысле слабой
сходимости непосредственно следует из (6.9): зафиксируем /, g ζ Я,
тогда φ (z) = (Rzf, g)H является преобразованием Гильберта заряда
ω (α) s= (Ε (α) /, g)H (это следует из (6.13)), затем применяем (6.9).
Для доказательства сильной сходимости теперь достаточно
убедиться, что при фиксированном δ = (α, b) (V/£#): || j (Rz —
— R-) dzf |L ограничено относительно ε > 0. Пусть ζ = χ + iy,
согласно (6.13) имеем!
1 $ (Rz-R;)dzffH=\\ J (${{λ-ζ)*-(1-Ι)-*)άΒ(λ))χ
434

Χώ/Ця = \\^(^ ((λ — χ — ιε)-*—(λ — χ + l%Y1)dx)dE{7Cjf^H
IR б
b
IR α
Внутренний интеграл, как легко подсчитать, равен arctg (ε"1 (b—
— λ)) — aictg (ε"1 (α — λ)) = χ (λ, ε). Поэтому в силу (2.9) (для
ограниченных функций) Υε > О
ψ(ε) = 4$χ(λ, s)dE(X)f^H<
IR
< 4 sup {| χ (λ, B)\*\XtB)\\f\fH<c\\f\\%. Ш
3. Коммутирующие операторы.
Теорема 6.3. Для общих самосопряженных операторов Av A2
справедлива теорема 5.2 в прежней формулировке.
Доказательство. Как видно из доказательства теоремы
5.2, оно сохраняется для неограниченных Alf A2 до того места,
когда установлена коммутируемость R^iAj и R^2(A2). Теперь
доказательство можно завершить с помощью соотношения (6.17).
Из него следует, что операторы Bj (δ/) = Ej (δ/) + Ej (δ/) Υδ/ =
— (α/, bj) коммутируют при различных / = 1, 2.
Пусть c^IR и 6иэ612з... —последовательность интервалов,
стягивающаяся к сг ζ δ1η. Тогда {^} = Π δ1η = ΓΙ δ±η и согласно
теореме 1.2 в смысле сильной сходимости при /2->оо Β1(δ1η)^-
-+2Е1({с1}). Кроме того, (Υη £ И): 5Х (δ1η) коммутирует Υδ2 с
52(δ2), поэтому и £Ί({£ι}) будет коммутировать. Но 2E1([altb1))=
= βι ((αι> Μ) + £Ί ({αϊ}) — £Ί ((Μ)> поэтому с β2 (δ2) будет
коммутировать и £Ί([αι, &ι)); здесь δ2 — любой открытый интервал*
a [alt fcx) — любой полуоткрытый.
Проделывая аналогичную процедуру при / = 2, заключаем, что
Ег ([alt &})) и £2 ([α2, &2)) коммутируют для любых [alf Ьг), [а2, 62)сн
с= DR. Для произвольных аъ а2 ζ 25 (IR) коммутируемость £Ί (αΧ)
и £2 (а2) достигается с помощью теоремы 1.3 процедурой, уже
применявшейся в конце доказательства теоремы 5.2. ■
Замечание 6.2. Полезно отметить, что, подобно замечанию 5.1,
на основании тех же аргументов, если в теореме 6.3 один из
операторов Al9 A 2 ограничен, то в ее формулировке вместо
коммутируемости его резольвенты с резольвентой другого можно требовать
коммутируемости самого этого оператора со второй резольвентой.
4. Функция Е%. В случае разложения единицы, заданного на бо-
релевских множествах вещественной оси, подобно случаю
скалярных мер, вместо операторнозначной меры часто вводят операторно-
значную неубывающую функцию, ее также называют разложением
единицы (функцией). Приведем соответствующее определение.
436

Операторнозначная функция IR Э λ ι->- Ει, значения которой —
проекторы в фиксированном гильбертовом пространстве Н,
называется разложением единицы, если выполнены следующие
требования.
а) Монотонность: (Υλ, μ ζ IR, λ < μ) => Εχ < £μ.
б) Полнота: в смысле сильной сходимости lim Εχ=0, lim £V=U.
в) Непрерывность слева: в смысле сильной сходимости lim Εχ =Εμ.
λ-μ—Ο
Теорема 6.4. Пусть Ε — разложение единицы (мера) ,
заданное на 25 (IR). Тогда
R э Хы*Ελ = Ε ((—οο, λ)) (6.18)
является разложением единицы (функцией). Обратно, по заданному
разложению единицы Εχ можно на 25 (IR) построить разложение
единицы Ε такое, что Εχ и Ε будут связаны посредством (6.18).
Доказательство. Пусть на Ъ (IR) задано Е, построим Εχ
согласно (6.18). Свойство а) выполняется в силу (1.10). Для
доказательства соотношения Ηιη£(λ) = 0 достаточно убедиться,
λ-»· — оо
что если λ1>λ2>... и λΛ->-—оо при /г->оо, то Εχ -^0.
В силу теоремы 1.2 имеем:
Ηιη£λ =lim£((—оо, λ„)) = £(η (—«>, λ„)) = £(0) = 0.
П-foo П П-*оо П=1
Аналогично устанавливается, что lim£\ = u.
λ-*·-|-οο
Для доказательства в) достаточно проверить, что если λχ<
< λ2 <... < μ и lim λη = μ, το Εμ — Εχη ->- 0. Но Εμ — Εχη =
rt-t-oo
οο
= Ε([λη, μ))-^0 в силу теоремы 1.2, так как [) [λη, μ) = 0.
rc=l
Обратное утверждение теоремы доказывается с помощью
теоремы 1.3. Обозначим через 9Ϊ алгебру множеств а, каждое из которых
является объединением конечного числа полуинтервалов вида [λ#
μ). На каждом таком полуинтервале положим Ε ([λ, μ)) = Εμ —
— Εχ. Из того, что Εμ, Εχ— проекторы и Εχ^Ε^, нетрудно
заключить, что и Ε([λ, μ)) проектор (поясним, что из этого
неравенства следует включение Кег Εμ ^ Кег Εχ и, следовательно,
<%(Εχ)<=<%(Εμ)).
Полученная функция множеств будет аддитивной на 9Ϊ. Для
доказательства ее счетной аддитивности зафиксируем / ζ Η и
рассмотрим скалярную меру 9Ϊ Э α ι-»- ρ/, f (a) = (£ (α) /, /)я > 0. Она
строится по неубывающей ограниченной функции
ΠΟλ.->φΜ(λ) = (£λ/, /)*>0
(в соответствии с построением/?) обычной процедурой § 1.14. В
силу теоремы 1.14.1 p/j абсолютно аддитивна на 9Ϊ, а это благодаря
произвольности / дает абсолютную аддитивность Е. Теперь
согласно теореме 1.3 продолжаем Ε до разложения единицы Εσ на
8t„ = 55 (IR); £σ и есть требуемое разложение единицы, ■
436

Обычно Е и связанное с ним Е% идентифицируют — как в теории
интегралов Стилтьеса.
5. Случай нормальных операторов. Перейдем к нормальным
операторам. Напомним, что замкнутый плотно определенный оператор
Л называется нормальным, если Л*Л = ЛЛ*.
Теоремаб.5. Пусть А — произвольный нормальный оператор.
Тогда на σ-алгебре 25 ((С) борелевских множеств комплексной
плоскости определено разложение единицы Ε оператора А такое, что
справедливо спектральное представление
Α = \λάΕ{λ), @(Α) = {ϊ£Η\\\λ\*(1(Ε{λ)1 /)*<οο}.(6.19)
с с
В (6Л9) (С можно заменить на спектр S (Л) оператора Л.
Разложение единицы Ε из (6Л9) определяется однозначно.
Доказательство. Мы приведем, как и в случае теоремы
6Л, два доказательства представления (6Л9). Первое из них весьма
простое, сводящее вопрос к ограниченному нормальному оператору
и подобно первому доказательству теоремы 6Л. Для его проведения
нужно предполагать существование ограниченного обратного А~х
(или, более обще, наличие регулярной точки у Л).
Второе доказательство годится для общего случая, но будет
сравнительно сложным.
1). Как и ранее, на время первого доказательства Л, £ и λ в
формулировке теоремы удобно заменить на Л', Е' и λ'. Итак, сейчас
предполагается, что λ' = О является регулярной точкой
оператора Л', пусть ε'>0 столь мало, что круг {λ'ζ £ \ | λ'| <ε'}
состоит из регулярных точек Л'. Обозначим R' = {λ' £ (С | |λ' | >е},
R = {λ € (С 11 λ | < ε"1}. Пространство R является образом R' при
отображении R' }λ'ί->λ = λ'"1^. Рассмотрим обратное к этому
отображение
R э λ \-> λ' = φ (λ) = λ"1 ζ Rf. (6.20)
Введем ограниченный оператор Л = А' "*, его спектр
расположен на R. Этот оператор нормален: в силу (3.8) и (ЗЛЗ), гл. XII
А*А = (Л'-^Л'-1 = (Л'ТМ'"1 = (Л'Л'*)"1 =
= (А'ЬА'Г1 = А"1 (Л'*)"1 = Л'-1 (Л'"1)* = АА*.
Пусть Ε — разложение единицы оператора Л, существующее
согласно теореме 5.3; оно может считаться заданным на 9Ϊ = 25 (R).
Обозначим через Е' образ Ε при отображении (6.20), Е' задается
формулой (3.1) на 91' = 25 (R'). Как и ранее, Е1 будет разложением
единицы Л': на основании (3.3) для функции R' Э λ' /->- F (λ') =
= λ* ξ (С имеем требуемую формулу
J V dE* (λ') = J λ-1 dE (λ) = Л"1 = Л';
<ΗΛ') = {/€#|ί \K?d{E'{%')f, f)„<oo}.
437

2). Итак, пусть Л — общий нормальный оператор. Образуем
два оператора
В = Ц + А*А, С = Л(й + Л*Л)-1. Г6.21)
Согласно теореме XI 1.7.3 оператор Л*Л самосопряжен и
неотрицателен, поэтому В самосопряжен и обратим. Оператор С определен
корректно, так как ^((Ц + А*А)'1) = & (А*А) = & (А).
Установим некоторые вспомогательные факты (они очевидны,
если считать, что для А уже имеется представление (6.19)— нужно
воспользоваться свойствами спектральных интегралов, см. § 2).
Лемма 6.1. Оператор С ограничен. Справедливы формулы
С - А (Ц + А* А)'1 = ((й + ЛМ)-М)~; (6.22)
С* = ((й + Л*Л)"М*Г = А* (Ц + ЛМГ1. (6.23)
Доказательство. Ограниченность С означает выполнение
неравенства (3с>0) (V/ζЯ): || А(Ц + Α*Α)-η ||я <с|| f\\H или
после замены (fl + А*АJ"1/ = g· — неравенства || 4g ||я < с || (й+
+ лм)г||я(ге^(лм)).
Имеем
II Ag ||2я = (Л§, Ag)H = (Л*Л^, gb < «й + A*A) g, g)H <
< || (й + Λ*A) g \\н || g||/, < || (Λ + ЛМЩ || (й + Л*Л) £||2„,
что и требовалось доказать.
Докажем (6.22). Достаточно убедиться, что при f£@(A)
Л(й + Л*Л)-^ = (й + Л*Л)-М/. Сделав замену (1L +A*A)-1f=g9
получим эквивалентное соотношение
Ag = (й + А"А)'1 А (й + Л*Л) g (gr ς β (Л (и + Л*Л))). (6.24)
Но Л (Ц + Л*Л) £ = Ag + AA*Ag = Ag + A*A*g = (fl + ЛМ)Л&
поэтому (6.24) действительно имеет место.
Докажем первое равенство в (6.23). Имеем (V/ £ Я) (Vg-ς §) (Л*)):
(с/, ^ = (л (й + лм)-1/, г)// = «й + Λ*Α)-η, A*g)H =
= (/, (й + Л*Л)-М*£)//,
что и дает требуемое. Второе равенство в (6.23) получаем, как и
(6.22), заменив Л на Л* (из теоремы XII.3.3 следует, что
нормальность Л влечет нормальность Л*). ■
Лемма 6.2. Оператор С нормален.
Доказательство. Нужно доказать, что С*С = СС* или,
что то же,
(С/, cg)„ = {сс*!> ё)н = (С*е/, g)H =
= (С*/, С*г)я (/, £6 Я). (6.25)
Применяя первое из равенств (6.22) и второе из (6.23), перепишем
(6.25) в виде
(А (fl + ЛМ)-1/, Л (fl + ЛМГ^Ь te
«(АЧй + ΛΜ)-1/, А*(Ц + А*АГ^)н (f> g£H). (6.26)
438

Векторы (fl + Л*Л)"1/=/1, (й + A*A)~1g=gi пробегают все &(А*А),
если /, g пробегают Н. Поэтому (6.26) эквивалентно равенству
Ши Ag1)H=(A*flf A*gJ (/i, g1£@(A*A)), а это соотношение имеет
место в силу нормальности А. Ш
Лемма 6.3. Разложения единицы самосопряженного оператора
В и ограниченного нормального оператора С коммутируют.
Доказательство. Так как разложение единицы
оператора С строится как прямое произведение разложений единицы
ограниченных самосопряженных операторов Re С и ImC (см. теорему
5.3), то достаточно убедиться, что коммутируют разложения
единицы операторов В и ReC и β и ImC. Согласно теореме 6.3 и
замечанию 6.2 для этого достаточно проверить коммутируемость β"1 и
ReC, Л"1 и ImC, или, что то же, β-1 и С, β-1 и С*.
Проверим коммутируемость β"1 и С. При помощи (6.22)
получаем:
В^С — СВ-1 = (й + А* А)'1 А (й + А* А)'1 —
— ((й + ЛМ)-М)~ (й + Л* Л)"1. (6.27)
Но последнее выражение действительно равно 0, так как & ((й+
+ А*А)"1) = & (A*A) s §> {A)j и поэтому волну во втором
слагаемом в (6.27) можно убрать. Аналогично при помощи (6.23)
доказывается коммутируемость β"1 и С*. ■
Перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Для
самосопряженного положительного оператора В согласно теореме 6.1
справедливо представление:
оо
B = $tdEB(t), (6.28)
ι
где£в — разложение единицы В. Так как В > fl, то 5 (β)^ [Ц, оо),
поэтому в (6.28) именно такие пределы интегрирования. Для
нормального ограниченного оператора С согласно теореме 5.3
справедливо представление
С= [zdEc(z), (6.29)
с
где Eg — разложение единицы С. Ввиду ограниченности С supp£e
ограничен, точнее, supp Ес s {ζ ζ (С 11 г | <s || С ||} ~ Вщ\ (0).
В лемме 6.3 доказано, что Ев и Ес коммутируют. Построим в
соответствии с теоремой 3.2 их прямое произведение Ε = ЕвХ Ес,
оно является разложением единицы на борелевских множествах
пространства R = [1, оо) X (С, точки которого будем обозначать
посредством λ = (t, z); supp Ε ^ [1> оо) χ Вщ\ (0). Формулы
(6.28) и (6.29) можно в терминах Ε переписать соответственно в виде
(см. (5.18)):
В = J t dE (λ), С = J z dE (λ), (6.30)
R R
439

где в первом интеграле интегрируется функция R Э λ = (ί, ζ) ι->
ι-> t £ [1, οο), а во втором — функция R Э λ = {tt ζ) ■->- ζ £ (С,
которую можно считать ограниченной (заменив i? в (6.30) на supp Ε).
Согласно (6.21) Л = СБ. Кроме того, произведение
спектральных интегралов (6.30) равно интегралу от произведения функций
(см. § 2). Таким образом получаем спектральное представление
для Л:
А = J tzdE(X), @(A) = {/£Я| J ί21 г |2<ί(£(λ)/, /)я < οο}. (6.31)
R R
Формулу (6.31) легко преобразовать в (6.19), если произвести
отображение R Э λ = (t, ζ) /->- λ' = tz ζ (£ = R(. Пусть Ε' — образ Е
при этом отображении; Ε' будет разложением единицы на 25 (R')=
= 25 (С). На основании (3.3) для функции R' = (С Э λ'ι-> λ' £ (С
имеем
$λ'έί£'(λ') = J fe d^ (λ) = Л,
с я
^(л) = {/ея|{|Г|^(£'^)/, /)*«»}.
с
Представление (6.19) доказано в общем случае.
3) Переход в (6.19) от (£ к 5 (Л) устанавливается точно так жeί
как и в теоремах 4.2, 5.3* 6.1, с помощью замечания 4.3 и
доказательства теоремы 4.2.
4) Однозначность определения Ε из (6.19) доказывается
некоторым усложнением соответствующего рассуждения из доказательства
теоремы 5.3, мы его предоставляем читателю. При этом вместо
формул (5.15) нужно пользоваться их уточнением в неограниченном
случае, которое ниже будет приведено (см. (6.34)). ■
Отметим некоторые полезные факты относительно нормальных
операторов, которые мгновенно вытекают из представления (6.19)
и свойств спектральных интегралов (§ 2).
Если Л нормальный, то Л* также нормальный и & (Л*) = & (Л),
||Л*/||я = 1|Л/||я (f£*(A)). Если Л имеет вид (6.19), то
Л* = { λάΕ(λ). (6.32)
с
Абсолютная величина \А\ нормального оператора, которая
определяется формулой | Л | = VA*A, имеет спектральное представление.»
Α\=1\λ\άΕ(λ), *(\A\) = {ftH\l\X\*d(E(X)f9f)H<oo}=*
с с
= @(А)=@(А*). (6.33)
По Л вида (6.19) введем операторы Re Л и Im Л посредством
спектральных интегралов
Re Л = J Reλd£(λ), Im Л = J ΙπιλdE(к) (6.34)
с с
440

с должными областями определения. Тогда формулы (5.15)
видоизменяются следующим образом:
А = (Re A + i Im Af. (6.35)
ReA и ImA определяются по А однозначно, и, обратно, они
однозначно определяют А.
Замечание 6.3. Используя теорему 6.1, можно доказать
следующий результат, называемый спектральной теоремой в терминах
операторов умножения (см., например, [72, с. 287—288]).
Приведем его формулировку. Пусть А — самосопряженный оператор в Я
с областью определения & (Л). Утверждается, что существуют·
измеримое пространство (R> 9ϊ> с конечной мерой μ, унитарный
оператор U · Η -> L2 (R, Sft, άμ) и вещественнозначная μ-почти
везде конечная функция φ на R такие, что 1) /£^(Л)«=*ср(·) X
Х(£//)(-)еМЯ, Я Ф); 2) если g£U(*(A))t то (UAU^g)(.) =
= Φ (·)&(·)· Результат переносится и на нормальные операторы А.
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Пусть a£C(IR). Рассмотрим оператор умножения на a: L2 (IR) э
=>0(A) = {f£L2(\R)\af£L2(\R)}5f\-+Af = af£L2(\R). Доказать, что Л —
нормальный (самосопряженный, если а = а) оператор, и найти его
разложение единицы.
6.2. Найти разложение единицы оператора L2 (IR) :э 0(A) = {f£
€ I9(IR) I 3 /' € £2 (IR)} 3fi-+Af=* if £ £2 OR)·
6.3. Найти разложение единицы самосопряженного расширения оператора
L2 (IR) => 0 (А) = С~ (IR) 3fi-+Af = /" € £2 (IR)·
6.4. Действующие в Я операторы А и В называются метрически равными
т
(обозначение: А = Я), если 0 (А) = 0 (В) и (Vf£0(А)): || Л/ || = || Bf ||.
Доказать, что метрически равные операторы одновременно являются: а) замкну-
~ т м
тыми, б) замыкаемыми, при этом Л = В.
6.5. Доказать, что метрически равные неотрицательные операторы
равны.
6.6. Доказать, что для любого оператора А с 0 (Л)~ = Н: а) (31 В > О,
tn пг
В <= В*): В =А; б) (3! С > О, С<=С*):С = А*. Показать, что В = уА*А,
c = Vaa*.
т
6.7. Пусть Л = В. Доказать, что существует унитарный оператор U
в Η такой, что Л = UB.
6.8. Доказать, что Л — нормальный оператор в том и только в том слу-
т
чае, когда А* = А.
§ 7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
УНИТАРНОЙ ГРУППЫ И ОПЕРАТОРНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Теорема Стоуна. Пусть А —самосопряженный оператор,
действующий в гильбертовом пространстве Н,Е — его разложение еди-
441

ницы. По функции IR χ IR Э <λ> /)|->ейя£(С в соответствии с
(6.16) построим операторнозначную функцию
R Э t \-+ U (t) = J еиЧЕ (λ) = eitA ζ s (Я). (7.1)
IR
Из свойств спектральных интегралов (§ 2) немедленно
заключаем, что Vi£R оператор U(t) унитарен и справедливо равенство
U(t + s) = U(t)U(s) (ifs€R). (7.2)
Функция (7.1) сильно непрерывна, т. е. (У/£Я) (V* £ IR): £/(s)/-»
-*£/(*)/ при s -► /. В этом убеждаемся при помощи формулы (2.8):
\\U(s)f-U(t)f\\^\\^(e^-e^)dE(l)f\\%^
IR
-il^-^|»d(J?(X)/t ЛяДО.
IR
Более того, U(t) сильно непрерывно дифференцируема, т. е.
Yf£@(A) и Vi£R существует сильная производная
ί/' У) f = lim 1 ψ (t + h) — U (0) / =- /I/ (t) Л/, (7.3)
являющаяся непрерывной вектор-функцией.
В самом деле, с помощью формул (7.1), (6.16), (2.8)
заключаем, что
\\iU(t)Af—L(U(t + h)-U(t))f\\%=>\\ Uie^-k-
IR
_ 1 (6ί«+Α)λ_β«λ)) dE (λ) f || 2 = J | (·λ _
-χ(β/&λ-ΐ)Γ<ί(£(λ)/, Пн.
Подынтегральное выражение в правой части Υλζ IR стремится к
нулю при ft^-Ο и равномерно относительно h ограничено функцией
сХ2. Так как /£^> (Л), то в силу теоремы Лебега (§ III.6) можно
перейти к пределу под знаком интеграла, и мы получим (7.3).
Непрерывность производной следует из включения / £ & (Л). ■
Формулы (7.1), (7.3) полезно интерпретировать следующим
образом. Рассмотрим операторное дифференциальное уравнение
u' (t) = lAu (t) (# € R), (7.4)
где IR Э 11-*- u (t) £Я — искомое решение. Функция и
предполагается сильно непрерывно дифференцируемой и (Vt) iu(t)£ @> (Л).
Такие решения называются сильными. Сильное решение
уравнения (7.4), удовлетворяющее начальному условию и (0) = и0 £ & (Л),
442

т. е. решение соответствующей задачи Коши, существует и задается
формулой
u(t)=U(t)u0 (fglR). (7.5)
Нетрудно доказать единственность решения такой задачи Konmf
более подробно на этих вопросах мы остановимся в § 8.
Другая точка зрения на приведенные формулы такова. Будем
говорить у что задана однопараметрическая унитарная группа,
если задана функция IR Э ' i-*· U W» значения которой — унитарные
операторы в Я, такая, что выполняется равенство (7.2) (в иных
терминах — задано унитарное представление группы Щ. Таким
образом, (7.1) является примером однопараметрической унитарной
группы, дополнительно сильно непрерывной. Следующая теорема
показывает, что формула (7.1) дает общий вид таких групп.
Теорема 7.1 (Стоуна). Сильно непрерывная
однопараметрическая унитарная группа U (t)(t ζ IR) всегда допускает
представление (7Л)с некоторым однозначно определяемым по ней разложением
единицы Е. Соответствующий оператор А называется инфини-
тезимальным оператором этой группы.
Доказательство. Построим линейное множество ^^ Я,
плотное в Я, такое, что V/ ζ й> вектор-функция
R5t*-+U{t)fGH (7.6)
сильно непрерывно дифференцируемая (фигурирующая ниже
конструкция — частный случай построения т. н. области Гординга).
Пусть F£C™(1R), g£H, рассмотрим вектор из Я вида
gF= §F{s) U(s)gds£H, (7.7)
IR
где интеграл (7.7) понимается как предел в Я интегральных сумм
Римана. В силу непрерывности F (·) и U (·) / и финитности F (·)
легко показать обычными рассуждениями, что интеграл (7.7)
существует и обладает естественными свойствами римановых
интегралов. В качестве & возьмем линейные комбинации векторов (7.7)
при F£C~(IR), g£H.
Множество έ& плотно в Я. Для доказательства рассмотрим
вектор ЯЭй±^. Умножая скалярно на него (7.7), получим
(VFeCJ>(IR)):
О = (gF, K)h = \f (s) (U (s) g, h)„ ds.
IR
В силу произвольности в этом равенстве F и непрерывности
функции IR Э s i-> (U (s) g, ft)//6 (С (вытекающей из наших
предположений) заключаем, что (V s £ IR): (U (s) g, h)H = 0 (g£H). В
частности, полагая s = 0 и пользуясь равенством U (0) = £ (следствие
(7.2)), найдем: (g, h)H = 0(V g£H)=*h = 0. Итак, & плотно.
443

Для доказательства сильной непрерывной дифференцируемости
функции (7.6) достаточно рассмотреть / вида (7.7). С помощью (7.2)
и замены переменной в интеграле (V/, h g Щ получаем
Y(U(t + h)gp-U{t)gF)= j-$F(s)(U(t + h)U(s)-
-U{t)U{s))gds=±$F(s)(U(t + h + s)-U(t + 8))gd8 =
n IR
= l\(F(s-t-h)-F(s-t))U(s)gdsr,-iF\s-t)U(s)gds=,
IR П h->° |R
= g-F>(.-4)=U'(f)gF. (7.8)
Предельный переход в (7.8) легко обосновать с помощью просто
проверяемой (предельным переходом от интегральных сумм) оценки
\\$G(8)U(s)gds\\H<U\U(8)gy\G(8)\ds <GgC0(R); g£H).
IR IR
(7.9)
Вектор-функция в правой части (7.8) сильно непрерывна—это
доказывается опять с помощью (7.9). Подчеркнем, что (VfglR):
& (t) gF имеет вид (7.7).
Введем на & оператор А в пространстве Η посредством
формулы
@ = @(A)3fi-+Af = \U'(0)f£@<=H. (7.10)
Отметим, что @) инвариантно относительно действия Л. Применяя
к (7.7) оператор U (t), пользуясь (7.2) и делая замену переменных
в интеграле, находим, что @ инвариантно и относительно действия
t/W(V*€
Приведенный оператор А эрмитов. Для доказательства
достаточно проверить, что (AgFi hG)H={gF, AhG)H9 где F, GgCg°(IR);
gt h£H. Согласно (7.8) имеем
(AgF> hah = Hm (* (U (h) — Ц) gF, hQ) = lim(gFt
h-*Q\lh J Η ft-0
- TR V (- й) - Λ) h^H - <8f. AhG)H.
Более того, докажем, что А существенно самосопряжен.
Пусть zg(C\R и (р£^>(Л*) таковы, что Α*φ = ζφ; нужно
убедиться в равенстве φ = 0. Для этого прежде всего покажем, что
справедлива формула
U' (t) gF - iAU (t) gF (F g C~ (IR), g g H, 1g IR). (7.11)
Для ее доказательства нужно заметить, что U(t)gF опять имеет
вид (7.7) (этот вектор равен grF(.-o)» и затем вычислить AU(t)gF
согласно (7.10).
444

Учитывая (7.11), получим (VF£C~(IR), g£H):
i(U(t)gF> 4>)H = (U'(t)gF, <p)H = i(AU(t)gF, фЬ-
= HU(t)gP,A*<p)H = tz(U(t)gF, φ)Η (ί6«).
Таким образом, комплекснозначная ограниченная функция a(t) =
= Ψ if) gF> ф)я удовлетворяет уравнению а' = Па, поэтому a (t) =*
= еша(0) (t£JR) и в силу условия ΙπιζφΟ может быть
ограниченной лишь тогда, когда а(0) = 0. Итак, (g>, φ)// = α(0) = 0
(FeC-(R), ggtf), т.е. φ±^ =► φ = 0.
Итак, оператор А самосопряжен. Построим по нему в
соответствии с формулой (7.1) операторнозначную функцию IR^1""*"
\-+V (t) == еал ζ g (#). Осталось показать, что V (t) = U (t) (t £ IR).
В соответствии с (7.4), (7.5) v{t) = V(t)v0 (υ0ζ@(Ά)) является
сильным решением задачи Коши
υ'(ί) = ί~Αυ(ί) (iglR, υ(0) = υ0). (7.12)
Положим υ0 = gF с некоторыми F g Cg° (IR) и g"£#. Согласно
(7.11) функция u(t) = U(t) gF также является сильным решением
задачи (7.12) (А в (7.11) можно заменить на Л, так как U(t)gp£
ζ@.) Позже в § 8 (теорема 8.1) будет показано, что сильные
решения уравнения (7.12) с самосопряженным Л, отвечающие одним
и тем же начальным данным, совпадают. Поэтому V(t)gF =*
= U (t) gF, и в силу плотности & в Η V(t) = U(t) (ίζ IR).
(Можно, разумеется, это совпадение доказать и без ссылки на
общую теорему 8.1.)
Для доказательства однозначности определения Ε из (7.1)
заметим, что (V/, g£H):
(U(t)f, §)н = $е»Ч(Е(к)!, g)H (fgR), (7.13)
IR
т.е. функция в левой части (7.13) является преобразованием Фурье-
Стилтьеса заряда 35(IR)\-+(E(a)/, g)//£(C, a хорошо известно
(см. [95]), что заряд по своему преобразованию Фурье
определяется однозначно. Это доказывает однозначность определения
Е. Ш
Замечание 7.1. Сильная непрерывность однопараметрической
унитарной группы эквивалентна ее слабой непрерывности, т.е.
непрерывности V/, g£H функции IR Э ^ '->(t/(0/> £)//£ (С.
В самом деле, надо лишь доказать, что из слабой
непрерывности вытекает сильная. Для / ζ Η имеем:
\\U(t)f-U(8)f\\*H = ((U(t)- U(s))f, (U(t)-U(s))f)H=*
= {(U(f)-U(8))*(U(t)-U(s))f, f)H = ((2-{L-U(t-8)-
-U(s-t))f9 /fo^O. ■
443

С учетом этого замечания можно понятным образом
видоизменить формулировку теоремы 7.1.
Замечание 7.2. Функция IR3^'-^&(06(C называется
положительно определенной, если (V tlf ... , ?rt g IR) (V ξχ, ... ■, ξηζ£)
(V η ζ Щ) выполняется неравенство
Σ * (</-</) 6/1/>0. (7.14)
Хорошо известна теорема Бохнера — Хинчина (см. [95]),
утверждающая, что непрерывная положительно определенная функция
допускает представление
А(/) = 1^Лт(Я) (ίζΚ), (7.15)
IR
где S5 (IR) Э α \-> σ (α) > О — некоторая однозначно по ней
определяемая конечная мера. Обратно, каждая функция вида (7.15)
положительно определена. Сравнивая (7.13) и (7.15), заключаем, что
функция
ИЭ*«-**(*) = (£/(*)/, Пм (/6/0 (7.16)
будет положительно определенной. На этом пути можно дать
другое полезное доказательство теоремы 7.1. Так, непосредственно
легко проверить, что функция вида (7.16) будет непрерывной
положительно определенной. Затем можно написать для нее представление
вида (7.15) с мерой σ/,/ (α), зависящей от /ξ Η. При помощи
рассуждений, подобных примененным в доказательстве теоремы 4.1,
можно показать, что σ/,^ (α) = (Ε (α) /, /)я, а это уже приводит
к представлению (7.1).
2. Операторные дифференциальные уравнения. Выше у нас уже
фигурировало операторное дифференциальное уравнение (7.4), и мы
убедились, что формулы (7.5), (7.1) дают решение соответствующей
задачи Коши. Несколько обобщим эти рассмотрения.
Пусть в гильбертовом пространстве Я действует плотно
определенный оператор В ; / ξ IR — конечный или бесконечный
замкнутый, открытый или полуоткрытый интервал; г ζ f^j (в
действительности будут использованы случаи, когда г = 1,2). Под сильным
решением уравнения
(*^(t) + Bu(t) = 0 (*6/) (7.17)
на I понимается вектор-функция I Э 11-* и (t) £ Я, г раз сильно
непрерывно дифференцируемая (т. е. имеющая г сильных
производных на /, последняя из которых непрерывна), такая, что при
каждом t£ I u(t)£@{B) и удовлетворяется равенство (7.17).
446

Сильно непрерывно дифференцируемая f раз вектор-функция
I 5t\-+u(t) ζΗ будет сильным решением уравнения
(^)(t) + B*u(t) = 0 С 6 Л (7.18)
тогда и только тогда, когда выполняется «слабое» равенство
(ё?)ю./)„ + («('), β/)« = ο (fe*(B);/e/). (7.19)
Это утверждение сразу вытекает из определения сопряженного
оператора, так как из (7.19) следует, что при каждом t£I и (t) ζ
ζ@ (В*) ввиду включения f/(r) (t) £ Η.
Будем говорить, что для уравнения (7Л 7) на /=[0, Ь) (0<&<оо)
имеет место единственность сильных решений задачи Коти, если
каждое сильное решение этого уравнения на [0, Ь) такое, что и (0) =
= ...= и(г-1) (0) = 0, аннулируется и для всех t £ (0, Ь).
Замечание 7.3. Если имеет место единственность на [0, Ь) при
некотором Ь > 0, то она имеет место и на [0, оо). В самом деле,
пусть [0, oo)^t\-*u(t)$iH — сильное решение уравнения (7.17)
на [0, оо) такое, что и(0) = . . . = и(г~1Ц0) = 0. В силу
предполагаемой единственности можем заключить, что u(t) = 0 при t£
(0, b), в частности u(t) = 0 в окрестности точки с = Ь/2, поэтому
и (с) = · · · = и*'-1) (с) = 0. Функция [0, оо) 311-> «χ (0 = и (t + с) —
сильное решение (7.17) на [0, оо) такое, что иг(0) = и (с) = 0, ... ,
и[-1 (0) = иг~х (с) = 0, и поэтому иг (t) = 0 при t ζ(0, b). Повторяя
предыдущие рассуждения, заключаем, что функция [0, оо)Э
^t\-+u2 (t) = u^t + с) = u(t + 2с) аннулируется при i£(0, b).
Затем построим функцию u3(t) и т.д. В результате u(t) = 0 (ίζ
[0, оо)). ■
Если оператор В в (7.17) имеет вид В = ζΑ9 где ζ ζ С —
фиксированное число, a A — самосопряженный оператор, то при
соответствующих ограничениях на начальные данные будет
существовать решение задачи Коши для (7.17), и можно выписать формулу
для этого решения через разложение единицы Ε оператора А.
Приведем некоторые примеры.
ПРИМЕРЫ
7.1. Задача Коши
(з?){t)+ζΑα (t) β ° (/ е [а °°); и (0) = u°G Я)' (7,20)
Формальное выражение для решения:
и (ή = J β^«λΑΒ (λ) и0 = <?-ζΜ«0 (* g [0, оо)). (7.21)
IR
Подобно (7.1) выражение (7.21) будет сильным решением задачи (7.20), если
и0£@(Ае~иА).
447

В частности, при ζ = —i («нестационарное уравнение Шредингера»)
достаточно требовать, чтобы и0£@(А) (этот случай мы рассмотрели в начале
параграфа).
При ζ = 1 и А > 0 («уравнение теплопроводности») достаточно
требовать, чтобы и0 £ Н.
7.2. Задача Коши
g") (t) + Ли (t) = 0 (^[0, оо); и (0) = и0 g Я,
«'(0)=«ι^). (7.22)
Формальное выражение для решения:
и (t) = [ cos УШЕ (λ) «0 +
JR
+ Γ S-~^ rf£ (λ) ttl = (COS ПО «0 +
+(~7т)и1 ('е[0, ^ (7,23)
В случае «гиперболического» уравнения (7.22), когда оператор А
полуограничен снизу, выражение (7.23) будет сильным решением задачи (7.22), если
и0 6 @ (А) и иг 6 @> (У \А\ ). Сейчас, как легко убедиться, функция (7.23)
будет дважды сильно непрерывно дифференцируема.
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Пусть U (ή — однопараметрическая группа в L2 (IR), заданная
равенством (U (t) f ) (χ) = / (χ + t). Найти инфинитезимальный оператор
группы U (f).
7.2. Однопараметрическая группа унитарных операторов в Η обладает
свойством U (1) = 41. Доказать, что спектр инфинитезимального оператора
этой группы содержится в Ζ.
7.3. Для всякого ли унитарного оператора U существует
однопараметрическая группа U (t) такая, что U (1) = U?
7.4. Пусть V (f), t > 0 — семейство самосопряженных операторов в Я,
удовлетворяющее условиям: 1) (Я с £ IR) (γ t > 0): || V (t) || < ect; 2) (V*, s >
>0):V(t)V (s) = V(t + s)\ 3) отображение [0, oo) 3 * 1-*- V (t) £ 2 (Н) сильно
непрерывно; 4) V (0) = β. Следуя доказательству теоремы Стоуна, показать,
что (31А = А*) (у * > 0): V (/) = б~м, причем Л > — cQ.
§ 8. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ КРИТЕРИИ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ
В этом параграфе мы покажем, что самосопряженность оператора
тесно связана с единственностью сильных решений задачи Коши
для соответствующих эволюционных уравнений. Начнем со «шре-
дингеровского» критерия самосопряженности.
1. Шредингеровский критерий самосопряженности.
Теорема 8.1. Пусть А— эрмитов оператор, действующий в Н.
Для его существенной самосопряженности необходимо, чтобы для
обоих уравнений
(ί)(0±(Μ·)α(ί) = 0 (f6[0,b)) (8.1)
448

имела место единственность сильных решений задачи Коши на [О, b)
при любом Ъ £ (О, оо], и достаточно, чтобы она имела место при
некотором таком Ь.
Доказательство. Проведем его в несколько этапов.
1). Установим достаточность, предполагая, что А имеет равные
дефектные числа. Предположим противное: пусть Л-не самосопря-
женно. Тогда у А существуют два различных самосопряженных
расширения А1 и А2 в Я. Пусть Elt Е2 — соответствующие
разложения единицы. Для любого g^^(A)(^^{A1) интеграл
j X2d(E1(X)g, g)n сходится, поэтому вектор-функция
IR
[О, оо) Э ί■- иг(t) = J е{ЩЕ1 (λ) g (8.2)
IR
будет один раз сильно непрерывно дифференцируемой и u[(t) =*
= / J 'keMdEiCk) g. Легко видеть, что она будет сильным ре-
IR
шением уравнения (8.1) на [0, оо) со знаком «+». Действительно!
нужно проверить соответствующее слабое равенство (7.19),
которое сейчас будет выглядеть так;
(Й?) W' /)„ + ("i(0» М/)я = 0 (/€*(Л); ί€ΙΟ, оо)).
λ
Так как d(Ег (λ) g, Af)H = d (Ex (λ) g, A1f)f]= d ( J μά{Ει(μ)8, /)«)=.
—оо
= Xd(E1(X)g, f)Ht то
- i J *wd (£t (λ) if Af)H - 0 (f g · (Л); ί ζ [0, oo)),
IR
т. е. требуемое соотношение выполнено.
Аналогично функция и2 (ί), построенная согласно (8.2) по Е29
будет сильным решением этого же уравнения; иг (0) = и2 (0) = g.
Таким образом, и и (t) = иг (t) — и2 (t) — сильное решение
уравнения (8.1) со знаком «+» на [0, со), причем и (0) = 0. В силу
условия теоремы и замечания 7.3 единственность имеет место на
[0, оо), поэтому и (ή = 0 при / ζ [0, оо). Отсюда
$ e»*d{(Ег(λ)-Е2 (λ))g, h)H = 0 (g£@(Л),ίιζΗ,ίζ [Ο,οο)). (8.3)
IR
Рассмотрим теперь уравнение (8.1) со знаком «—».Можно
повторить приведенные рассуждения, заменив в (8.2) еш на е~~ш . В
результате получим соотношение (8.3), где произведена аналогичная
замена. Поэтому если ввести заряд ω (α) = ((Εχ (α) — Ε2 (a)) g, К)н
15 9-227 449

(a£25(IR)), то согласно (8.3) и этой его модификации (V/£IR):
j еша(£> (λ) = 0. Согласно уже применявшейся в § 7 теореме един-
IR
ственности для преобразования Фурье — Стилтьеса заряда
заключаем, что ω = 0, т. е ((Е1 (а) — Е2 (a)) g, h)H = 0 (a£25(IR)). Так
как g£@(A) и /ι£# произвольные, то отсюда следует: Ег =» Е2.
Мы пришли к противоречию.
2). В случае различных дефектных чисел у А воспользуемся
следующей леммой.
Лемма 8.1. Построим пространство #0# векторов f =
= (fv /2) (/1» /2 £ Η) и в нем оператор С с плотной областью
определения & (С) = @(А)®@ (Л), полагая Cf = (Afl9 — Af2)
(f£@(C)). Рассмотрим на вектор-функциях со значениями в #0
Η уравнение (Ь£(0, оо])
(ш)® + №*и® = ° (fg[0, b)). (8.4)
Утверждается, что если имеет место единственность сильных
решений задачи Коши на [0, Ь) для обоих уравнений (8.1), то такая
единственность имеет место и для сильных решений уравнения (8.4),
и наоборот.
Доказательство. Пусть [0, Ь) Э ί '->· и(t) = (иг(t), u2(t)}£
£Я0Я — сильное решение задачи Коши для уравнения (8.4). Так
как C*f = <A*flt — A*f2) (f£0(C*) = 0(А*)@0(А*))9 то [0, Ь)Ъ
Э t '->- их (t) £ Я и [0, Ь) § t /-> «2 (/) ζ Η являются сильными
решениями уравнения (8.1) со знаками «+» и «—» соответственно.
Отсюда и из предполагаемой единственности сильных решений задачи
Коши на [0, Ь) для (8.1) вытекает единственность для (8.4). Столь
же просто выводится и обратное утверждение. ■
3). Докажем теперь достаточность в теореме для оператора А
с индексом дефекта (т, п). Построим, как и в лемме 8.1, оператор С.
Легко проверить, что индекс дефекта этого оператора равен (т+ п>
т + п). В силу леммы 8.1 имеет место единственность для (8.4) на
10, Ь). Применив эту лемму к случаю, когда А заменено на —А,
находим,что такая единственность имеет место и для уравнения (8.4),
в котором знак «-(-» заменен на «—». Так как дефектные числа
оператора С одинаковые и равны т +/г, то к нему можно применить 1)
и заключить, что С существенно самосопряжен. Но тогда т + η —
= 0, откуда т = η = 0, т. е. и А существенно самосопряжен.
4). Для доказательства необходимости установим одну общую
лемму, отражающую в нашей ситуации принцип Хольмгрена в
теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Лемма 8.2. Рассмотрим уравнение (7.18) на [0, b) (b £ (0, оо]).
Пусть существует плотное в Η множество Φ такое, что для любых
Τ ζ (0, b) и φ0,..., φΓ_χ £ Φ существует сильное решение задачи Коши
(з?){t) +(_ 1)г βφ {ί) - ° Ρ6 [0>Т]); φ (Γ) = φ°' · ■ ■ · ч)Сг""1) (Т) =
= φ,-ι. (8.5)
450

Тогда имеет место единственность сильных решений задачи Коши
для (7.18) на [0, 6).
Доказательство. Проведем его, например, для случая
г = 2. Просто проверяется следующая формула интегрирования по
частям: пусть [О, Т] Э 1ι-*- a (t)y β (t) £ Η — дважды сильно
непрерывно дифференцируемые вектор-функции. Тогда
τ τ
f (a" (О, β ®)нЯ = J (α (0, β" {t))Hdt + [(α' (0,
ο ο
β(0)*-(«(0. β'(ΟΜ/οΓ· ί8·6)
Пусть и (ί) — сильное решение задачи Коши для уравнения
(7.18) при г = 2 на [0, δ) такое, что и (0) = и' (0) = 0, а φ (ί) —
сильное решение, о котором идет речь в формулировке леммы. При
помощи (8.6) получаем
τ
J ((и* (*), Ψ (0)я - (и (*), Ф" (t))H)dt = {μ' (Τ), φ0)„ - (и (Τ), Φι)„.
(8.7)
Так как при каждом s ζ [0, Τ] φ (s) £ 0 (β), то согласно равенству
(7.19) с / = φ (s) можно написать (и" (t), φ (s))h + (и (t), Βφ (s))h =
= 0(ί£[0, δ)). Полагая здесь ί = s и заменяя затемз на ί, получаем
{и" (/), φ (0)я = -(и (ή, βφ (0)я (* 6 Ю, Т]). В силу (8.5) при г = 2
имеем (и (ί), φ" (ί))// = — (и (/), 5φ (*))я (ί 6 [0, Τ]). Из этих двух
равенств заключаем, что выражение в левой части (8.7) обращается
в нуль, поэтому (μ' (Γ), φ0)// — {и (71), фх)я = 0 (φ0, φχ ζ Φ). Из
плотности Ф в Я теперь заключаем, что и (Т) = и' (Т) = 0. Так
как Τ ζ (0, &) произвольно, то отсюда следует утверждение.
В случае г = 1 рассуждения аналогичны, нужно только
пользоваться формулой интегрирования по частям
τ τ
J (α' (0- β (0)я Λ = - J (α (0, β' (<))* Λ + [(α (/), β (0)*] 1*, (8.8)
справедливой для один раз непрерывно дифференцируемых
вектор-функций [0, T)^t\-^a (ί), β (t) ζ Η. В случае общего г нужно
г раз проитерировать формулу (8.8) (формула (8.7) —два раза про-
итерированное равенство (8.8)) ■
5). Перейдем к доказательству необходимости. Пусть А
самосопряжен и Ε — его разложение единицы. Применим лемму 8.2,
оо
полагая г =1, В = (iA)* = — iA и Φ = (J £((— /г, /г)) Я.
СИЛЬЯМ
ное решение задачи Коши (8.5), сейчас имеющей вид φ' (ί) +
+ ιΆφ(ή=*0 (ίζ[0, Τ]), φ(Τ) = φ0, существует и равно
φ (0 = ί e-W-T)dE (λ) φ0 (ί ζ [0, Τ]) (8.9)
1β·
451

(так как φ0ζΦ, то интеграл в (8.9) фактически распространен по
конечному интервалу, и поэтому функция [О, Т] Bt\-+y(t) один
раз непрерывно дифференцируема; ясно, что она является решением
требуемой задачи). Таким образом, в силу этой леммы для
уравнения (8.1) со знаком «+» имеет место единственность на [О, Ь).
Аналогично рассматривается уравнение (8.1) со знаком «—». Теперь
В = —(iA)* = L4.B
2. Гиперболический критерий самосопряженности. Следующие
две теоремы составляют содержание «гиперболического» критерия
самосопряженности.
Теорема8.2. Пусть А —эрмитов оператор, действующий в Н.
Для его существенной самосопряженности необходимо, чтобы для
уравнения
(5)(0 + Л*и(0 = 0 (fg[0, Ь)) (8.10)
имела место единственность сильных решений задачи Коши на [0, Ь)
при любом Ъ £ (0, оо], и достаточно, чтобы А был полуограничен
снизу и такая единственность сильных решений имела место при
некотором Ь > 0.
Доказательство. Достаточность. Предположим, что А
не является самосопряженным. Тогда у А существует два
различных самосопряженных расширения Аг и А2 в /^ограниченные
снизу числом с>— оо (ср. § XII.7). Пусть Еъ Е2 —
соответствующие разложения единицы. Для любого g£@(A) ^@(Аг)
интеграл j λ2 d (Ег (λ) g, g)n сходится, поэтому вектор-функция
IR
с»
[0, οο)3/ι-»·«1(9 = $α>8θ/λ0ίίβ1(λ)£ (8.11)
С
будет дважды сильно непрерывно дифференцируема. Как и при
доказательстве теоремы 8.1, легко убеждаемся, что она является
сильным решением уравнения (8.10) на [0, оо)—для этого надо
проверить выполнение соответствующего слабого равенства вида
(7.19). Кроме того, u1(0) = g, и1(0) = 0. Аналогично, заменяя
в (8.11) £Ί на Ε2, построим функцию и2 (ί)- Разность и (t) = иг (/)—
— и2 (t) также будет сильным решением уравнения (8.10) на [0, оо)
таким, что и (0) = и' (0) = 0. В силу предполагаемой
единственности сильных решений задачи Коши и (t) = 0 при t > 0. Умножая
это равенство скалярно на h £ Η, получаем
оо
J cos {Vlt) d ((Ex (λ) - E2 (λ)) g, h)H =0 (t € [0, oo)).
С
Отсюда в силу единственности определения заряда ω по его
косинус-преобразованию Фурье — Стилтьеса (см. [95]) заключаем, что
Ег = Ε2, а это абсурдно.
452

Необходимость. Пусть А самосопряжен и Ε — его
разложение единицы. Применим лемму 8.2, полагая г = 2, В = Л* =Л
оо
иФ= [!£((— п, п))Н. Сильное решение задачи Коши (8.5),
сейчас имеющей вид φ" (t) + Α φ (О = 0 (t £ [0, Τ]), φ (Τ) = φ0,
φ' (Τ) = φν существует и равно
φ (0 = J cos (|/λ (f - Τ)) dE (λ) φ0 + J l/Vl sin (]/~λ (t - Τ)) Χ
IR IR
Χ dE (λ) φχ
(здесь интегрирование, как и в (8.9), фактически распространяется
по конечному интервалу).Поэтому согласно этой лемме имеет место
единственность сильных решений задачи Коши для (8.10) на [0, Ь)
при каждом Ъ £ (0, оо]. ■
Эту теорему обычно удобно применять в простой комбинации
с леммой 8.2. Сформулируем соответствующий результат.
Теорема 8.3. Пусть А — эрмитов полуограниченный снизу
оператор, действующий в Н. Предположим, что существует плотное
в Η линейное множество Ф^Я такое, что для некоторого Ъ > 0
при любых Τ £ (0, b), φ0, φχ £ Φ задача Коши
(S?) (0 + Λφ (t) = 0 ((ί g [0, Г]); φ (Г) = φ0, φ' (Τ) = Φι)
(8.12)
имеет сильное решение. Тогда оператор А существенно
самосопряжен.
Доказательство. Из условия теоремы в силу леммы
8.2 вытекает, что имеет место единственность сильных решений
задачи Коши на [0, Ь) для уравнения (8.10). Но тогда согласно
теореме 8.2 А самосопряжен. ■
3. Параболический критерий самосопряженности.
Теорема 8.4. Пусть А — эрмитов оператор^ действующий
в Н. Для его существенной самосопряженности необходимо, чтобы
для уравнения
(ί) (t) + A*u(t) = 0 (fg[0f оо)) (8.13)
имела место единственность сильных решений задачи Коши, и в
случае полуограниченности А снизу такой единственности достаточно.
Доказательство. Необходимость, как и в теоремах 8.1,
8.2, доказывается с помощью леммы 8.2, в которой положено г =1,
оо
В = А и Ф==! U Е((—п, п))Н, где Я —разложение единицы А.
Сильное решение соответствующей задачи Коши, сейчас имеющей
453

вид ψ' (О — Α φ (t) = О ((ί ζ [Ο, Τ]), φ (Τ) = φ0 £ Φ), существует и
равно
φ(0 = ί*λ(/-Γ)^(λ)φ0 Се [О, Л).
IR
Установим подобно теоремам 8.1, 8.2
достаточность.Предположим, что А не является самосопряженным. Пусть Аги А2 — два
различных самосопряженных расширения Л, ограниченные снизу
числом с> — оо, и Еъ Е2— соответствующие разложения
единицы. Вектор-функция
оо
[0, оо) Эtι- «χ (0 = $ e~»dE1 (λ) g (g ζ * (Л) Ξ <§? (i40) (8.14)
будет один раз сильно непрерывно дифференцируема, причем
ux(f)£&(Au ^@(А*). Производная u\(t) выражается интегралом
(8.14) с множителем — λ перед е~и, подобный вид имеет и
А*игУ) = Л1^1(^). Таким образом, (8.14) является сильным
решением уравнения (8.13), причем ut(0) = g. Далее, аналогично
строим u2(t) по Е2 и рассматриваем разность u(t) = ^(t)—u2(t).
Для нее и (0) = 0 и поэтому в силу предположенной
единственности сильных решений и (t) = 0, откуда (V h £ Я):
оо
<jje-Ud({El{%) — E2(%))g,h)H = 0 (/б[0, оо)). (8.15)
Это соотношение означает, что преобразование Лапласа — Стилть-
еса фигурирующего в (8.15) заряда равно нулю, но тогда и сам заряд
нулевой (см. [95]). Отсюда заключаем, что Εχ=Ε2ί а это абсурдно. ■
Приведенные эволюционные критерии самосопряженности мы
будем применять в § 9 и в § XVI.4.
§ 9. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
САМОСОПРЯЖЕННОСТИ И КОММУТИРУЕМОСТИ
1. Квазианалитический критерий самосопряженности.
Предварительно напомним некоторые факты теории квазианалитических
функций (см. [57]).
Пусть [а, 6] cz R — конечный сегмент,
(rtin)^—фиксированная последовательность положительных чисел. Классом С{тп]
называется линейная совокупность всех функций /£С°°([а, Ь]),
для каждой из которых справедливы оценки
\{D"f){t)\<Knfmn (t£[a, &]; η ζ И), (9.1)
где Kf — константа, зависящая от /.
Как известно, класс аналитических на [а, Ь] функций
характеризуется оценками (9.1), в которых положено тп = п\. Для этого
класса С {я!}, очевидно, имеет место следующий факт. Если /£
454

£ С{я!} такова, что в фиксированной точке t0 £ [a, b] (Dn f) (t0) = 0
при всех η £ ^| и / (t0) = 0, то / (t) = О при / £ [а, 6]. С целью
обобщения этой ситуации вводится следующее определение. Класс С{тп}
называется квазианалитическим у если из того, что в некоторой
фиксированной точке t0 £ [a, b] для f £ С {тп} справедливы равенства
№пШ = 0 (п б И), / (ί0) = 0, следит f(t) = 0 (/ £ [а, &]).
Справедлива следующая теорема Данжуа — Карлемана: класс С [тп\
квазианалитический тогда и только тогда, когда
Σ (inf [m\lk I k > /г))-1 = oo. (9.2)
Например, класс С{npn} квазианалитический ■** ρ *c I.
Пусть Η — некоторое гильбертово пространство, А — эрмитов
оператор в нем. Вектор φ ζ Η называется квазианалитическим
оо
(относительно А)> если φ £ Q & (Ап) и класс С {\\ Ап φ || н]
квазианалитический. п=^
Лемма 9.1. Вектор φ£ Л @(Αη) квазианалитический тог-
да и только тогда, когда
Σ МяФНя1/я=оо. (9.3)
Доказательство. Ясно, что С [\\ Αηφ \\ н] =С {\\ Ап (λφ) ||я},—
где λ>0 фиксировано. Отсюда следует, что лемму
достаточно проверить для вектора φ, норма которого ||ср||я = 1. Для
такого вектора последовательность
(ΙΗ"φ«ιΛ°1ι (9·4)
неубывающая. Действительно, || Лф||^ = (Лф, Αφ)η = (Л2ср, ср)# <
< IIΑ2φ || я || φ || я, т.е. || Αφ \\ н < || Л2Ф \\ψ.
Пусть уже доказано неравенство || Ап φ \\Цп <ί || Αη+ιφ |i }/(rt+1).
Докажем, что и \\Αη+ιφ\\ψη+1^\\Αη+2ψ\\ι^η+2Ηη^Μ). С учетом
предполагаемого неравенства
|| Αη+ιφ || 2Н = (Л^ф, Ап+1у)н = (Αη+2φ, Αηφ)Η <
< || Л*+2ср ||я|| Α*φ \\н <: || Л"+2ср \\„ \\ Л'И-ΐφ || ψη+1)-
Отсюда || Л,г+1ф|])+1/(п+1)<|| Л/г+2ф||я, что и требовалось доказать.
Итак, последовательность (9.4) неубывающая.
Применим к классу С{|| Л"фЦ//} (|| φ \\н = 1) критерий Данжуа—
Карлемана. Так как последовательность (9.4) неубывающая,
то inf {|| Л*ф || ψ | k > η) = || Л^Ф Щп. Поэтому условие (9.2)
квазианалитичности этого класса, т. е. квазианалитичности вектора φ,
перепишется в виде (9.3). ■
Теорема 9.1. Пусть А — замкнутый эрмитов оператор,
действующий вН.Он самосопряжен тогда и только тогда, когда в Η су-
455

щствует тотальное множество, состоящее из квазианалитических
векторов.
Доказательство. В одну сторону утверждение
тривиально: пусть А — самосопряжен, тогда достаточно доказать
квазианалитичность каждого вектора φ вида φ = Ε ((α, b)) /, где Е —
разложение единицы, отвечающее Л, a, b£R (a<b)> f£H. Оче-
оо
видно, φ ζ Π @>{Ап). Далее имеем
ΜΛφ||2„ = 5λ^(β(λ)Λ f)H<C*4\f\\%
(с = тах(\а\, |Ь|); л ζ И),
поэтому ряд (9.3) расходится и согласно лемме 9.1 вектор φ
квазианалитический.
Предположим теперь, что у А существует тотальное множество
Μ квазианалитических векторов φ. Так как А замкнут, то
достаточно доказать его существенную самосопряженность или согласно
теореме 8.1 единственность сильных решений задачи Коши для
уравнений (8.1) при b = оо. Пусть и {t) — сильное решение задачи
(g) (0 - М)* «(0 = 0 (ί 6 [0, оо), и (0) = 0), (9.5)
где ζ = ± ί. Достаточно установить, что для любого Т>0
u(t) = 0 для /£[0, Т].
«Слабое» равенство (7.19) для (9.5) с квазианалитическим век-
оо
тором / = φ £ П & {Ап) дает
η=\
~f(u(t), φ)Η = ((|)(0, φ)Η = ("(0, (ζΑ)φ)Η (ίζ[0, Τ]).
οο
Но (ζ^4)φ£ П ^(Λ"), поэтому
η=1
§(u(f), (W)q>)* = (n(f), М)2Ф)я (*€[0, Τ])
и т.д. Отсюда следует, что (u(t), φ)//£θ°([0, Л) и
D" (и (t), <Р)я = D""1 (и (/), (ζΑ) φ)// = · · · = (и (f), (ζΛ)" φ)«
(*€№, Л; лСЯ+). (9.6)
Так как значения w(i) на [0, Т] ограничены, то из (9.6)
заключаем, что
\D"(u(t)tq>)H\<c\\&Ayy\\H = c\\Any\\H (*€[0, Л; "€£+)>
т.е. скалярная функция [0, T\^t\-^f{f) = {u(t), φ)// принадлежит
классу С{\\ Αηφ\\Η}' Из (9.6) и равенства и(0) = 0 следует, что
(Dn f) (0) = 0 (η £ J£_|_), поэтому вследствие квазианалитичности
С (|| Л"ср ||//} справедливо равенство /(ί) = (и(/), <р)л = 0 (ίζ [0, Л).
456

Так как множество М векторов φ тотальное, то u(i) = 0 (t£
£[0, Τ]). ■
2. Другие критерии самосопряженности. Полезно также
следующее определение. Пусть по-прежнему А — эрмитов оператор,
действующий в гильбертовом пространстве Н. Вектор φ £ Η называется
оо
аналитическим (относительно А), если φ£ Π &{Ап) и степен-
/ι=1
ной ряд
оо
Го *' (9-7}
имеет отличный от нуля радиус сходимости, и целым, если этот
радиус равен бесконечности. Разумеется, всякий аналитический
вектор будет и квазианалитическим, но не наоборот. Отметим, что
при доказательстве первой части теоремы 9.1 мы установили
следующий более сильный факт: если А самосопряжен, то у него
существует тотальное множество целых векторов (каждый
рассмотренный в этом доказательстве вектор φ = Ε ((α, b)) f удовлетворяет
оценке || Л"ср||// < спЦср||// (ft^RD и поэтому будет целым).
Установим еще одну теорему, уточняющую теорему 9.1 для
полуограниченных снизу операторов.
Пусть А—эрмитов оператор, действующий в Я. Вектор φ ζ
оо
ζ Η называется стилтьесовским (относительно А)у если ср£ Q @(An)
n=l
и класс С{\\ Апу \\ψ) квазианалитический, или, иными словами,
оо
Σ ΜηφΙΙϊ71/(2,ί) =°° (9·8)
/г=1
(эквивалентность стилтьесовости вектора условию (9.8) вытекает из
того, что последовательность (|| Ллф ΙΙ/^(2λ))^=ι пРи Пф1|я=1
неубывающая вместе с (9.4); затем нужно применить критерий Дан-
жуа — Карлемана).
Ясно, что каждый квазианалитический вектор — стилтьесов-
ский, но не наоборот. Таким образом, если обозначить множества
всех целых, аналитических, квазианалитических и стилтьесовских
векторов относительно оператора А соответственно через % (А),
Л(А), Q(A) и 8(A), то получим включения
V(A)<=<A(A)<=Q(A)c=g(A). (9.9)
Теорема 9.2. Пусть А — замкнутый эрмитов
полуограниченный снизу оператор. Если в Η существует тотальное множество,
состоящее из стилтьесовских векторов, то А самосопряжен.
Обратное утверждение очевидно в силу уже доказанного и (9.9).
Доказательство. Согласно теореме 8.2 достаточно
доказать единственность сильных решений задачи Коши для
уравнения (8.10) при Ь = оо. Пусть и {t) — сильное решение этой задачи
457

такое, что и (0) = и! (0) = 0. Покажем, что для любого Τ >
> 0 и (t) = 0 {t £ [0, Τ]). Пусть Μ — тотальное множество стил-
тьесовских векторов φ, фигурирующее в условии теоремы.Положим
[0, Т] Э 1ι-*·/ (i) = (и (/), ф)я, где φ £ Λί. Из соотношения (7.19),
записанного для (8.10), вытекает, что / ζ С2 ([0,. TJ) и
@)(0 = -И0> ^Ф)я (ί€[0, Г]).
оо
Так как Лср£ Q ^(Лп), то таким же образом заключаем, что
(" (0, Λψ)Η б С2 ([0, Г]), ^ (и (0, ЛФ)я - - {и (t), А\)н
(/ею, т\)
и т. д. В результате получим /£С°°([0, T]) и
(D2*/) (ί) - D2* (и (0, φ)// - - DW-D (и (/), Лφ);/ = · ·.
··· =(-l)*(a(/)f Л*ср)я(^[0, Т]; k£Z+). (9.10)
Аналогичное равенство можно написать и для нечетных
производных. Действительно, дифференцируя (9.10), получаем
(D2*+7)(0-(-l)*("'(0, Ак<Р)н (t£[0,n k£Z+h (9.11)
Значения и (t) и и' (ί) на [0, Τ] ограничены, поэтому из (9.10),
(9.11), эрмитовости и неравенства Коши — Буняковского следует)
что
| (D2kf)(t) |, | (D*k+4) (t) I < о || Л*Ф \\н < с|| φ ||^ χ
Х||Л2*ср||1/2 (/б[0, Л; *€£+),
т.е. f£C{mn}9 где (m„)£LL — последовательность чисел (||φ||^2,
Ι|φ||^Ηφ||^,||Λφ||}/2,||Λ2φ||ΐ/2, \\Α*φ\\\Ι*9...). Класс С {т.} не
изменится, если мы нормируем φ. Но тогда, как уже говорилось,
последовательность (|| Α^φ ||^/(2/i))^Ll неубывающая. Отсюда следует,
что условие Данжуа — Карлемана (9.2) для рассматриваемой
последовательности может быть записано в виде (9.8). Таким
образом, класс С{пгп} квазианалитический.
Кроме того, из соотношений (9.10), (9.11) и условия и (0) =
= и' (0) = 0 находим, что (Dnf) (0) = 0 (η £ £+). Поэтому {и (/),
<р)я = / (t) = 0 (ίζ [0, Г]). Из тотальности Μ заключаем, что и (ί)=
-0 (ίζ[0, ΤΙ). ■
3. Коммутируемость операторов. Приведем еще одно применение
понятия квазианалитического вектора. Если Ах и Л2— два
ограниченных самосопряженных оператора, то для коммутируемости их
разложений единицы Е19 Е2 необходима и достаточна
коммутируемость этих операторов: А1А2 = А2Аг (см. § 5). В случае
неограниченных Лх и Л2 их формальная коммутируемость, т. е.
коммутируемость на некотором плотном множестве векторов из Я,еще не
приводит к коммутируемости El9 Е2 (см. ниже пример 9.1). Следующая
458

полезная теорема дает дополнительные условия, которые
обеспечивают коммутируемость Е1У Е2.
Теорема 9.3. Пусть Alt А2 — два эрмитовых оператора с
областями определения ^(Лх), @{А2), действующие в Н;
линейное множество Ш^^(АХ) Г) @>(А2). Предположим, что они на
@ коммутируют, т.е. А1^^^(А2), А2^^^(Аг) и AxA2f =
^A2Atf if ξ 9).
Пусть дополнительно у Alt А2 и сужения Аг \ ((А2 — zfl) 9)
при некотором невещественном ζ существуют тотальные множества
квазианалитических векторов. Тогда операторы Аъ А2 существенно
самосопряжены и их разложения единицы коммутируют.
Доказательство. Согласно теореме 9.1 операторы А1 и А2
самосопряжены. Пусть Rz(Ai) и RZ(A2)— их резольвенты. В силу
теоремы 5.2 для доказательства коммутируемости разложений
единицы операторов Αν Ά2 достаточно проверить коммутируемость
RZ{A1)^RZ{A2). Для f£@ в силу коммутируемости Ах и А2 имеем
Rz(Л) Rz(А2)(Аг-z{[)(A2-zi[)f = Rz(A,)Rz(А2)(А2-
~z^)(A1-z^)f = f^Rz(A2)Rz(A1)(A1-zi[)(A2-zu)l·
Поэтому для коммутируемости RziA-^ и RZ(A2) достаточно
убедиться, что (А1 — ζΌ)(Α2—zQ)@ плотно в Н. Но это множество
совпадает с областью значений ^(Α1\((Α2 — ζΌ)9)— гЦ), а
оператор А1\((А2—zfl)^) в силу той же теоремы 9.1 существенно
самосопряжен, поэтому указанная область значений плотна в Я.
Пример 9.1. Пусть R —риманова поверхность функции Υ~ζ, τ. е.
расположенные одна над другой плоскости хОу с разрезами вдоль полуоси
(—оо,0), склеенные в месте разрезов накрест в два листа R (верхний край
разреза верхнего листа склеен с нижним краем нижнего и наоборот). Каждая
точка ρ 6 R имеет в стандартной локальной системе координат две
координаты х, у. Пусть dxdy — мера Лебега, введенная на каждом листе, L2 я
= L2 (R, dx dy). На функциях /, определенных на R и входящих в L2,
определим у/ £ IR два оператора
(Utf)(*> V)=f(*-t, у), (Vtf){x, y) = f(x, y-t)
(это определение корректно, так как мера разреза равна нулю). Операторно-
значные функции R Э 11-> Ut, Vt очевидно образуют две группы унитарных
операторов в L2. Эти группы не коммутируют: возьмем, например, в качестве
/ индикатор малой окрестности точки (—1,1) на верхнем листе, тогда V_2U2f
отлична от нуля в окрестности точки (1, —1) на верхнем листе, a U2V_2f —
такая же, но относительно нижнего листа.
Обозначим через @ линейное множество бесконечно дифференцируемых
функций на R, аннулирующихся в окрестностях 0 и оо (на обоих листах).
Операторы в L2 @3f \-+Af = Г1 (^-) (х, у) и &Э f /->■ Bf = Г1 Ш (х, у)
будут плотно определенными и эрмитовыми. Более того, нетрудно доказать,
что они существенно самосопряжены и (у t£ IR): eliA =Uti ettB = V/ (по этому
поводу см. § XVI.4).
459

Операторы А и В формально коммутируют в том смысле, что Α® ε ^,
В@ ε & и ABf = ЯЛ/ (/ 6 ^). Вместе с тем разложения единицы их
замыканий Л, Л не коммутируют, так как если бы была такая коммутируемость,
то (как легко понять) коммутировали бы и их функции Ut , Vt , а мы видели,
что при tx = 2, t2 = —2 они не коммутируют. *
§ 10. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ ВОЗМУЩЕННОГО
ОПЕРАТОРА
Результаты предыдущих параграфов показывают, что весьма
важно знать, когда данный эрмитов оператор в действительности
является самосопряженным. Приведем некоторые полезные факты,
позволяющие утверждать самосопряженность оператора Л+ В,
если Л — самосопряженный, а В — некоторое его эрмитово
возмущение. Прежде всего отметим следующее.
Замечание 10.1. Пусть А—самосопряженный оператор β
гильбертовом пространстве Н, а В — ограниченный самосопряженный
оператор. Тогда оператор А + В самосопряженный.
В самом деле, для произвольного плотно заданного оператора А
и ограниченного оператора В справедливо равенство (А + В)* =
= А* + В* (теорема XII.3.2). Отсюда вытекает утверждение. ■
Однако в случае неограниченного возмущения В ситуация
несоизмеримо более сложная, и здесь имеются лишь отдельные
результаты. Приведем одну из наиболее широко применяющихся
теорем.
Введем следующее определение. Пусть в Η действуют
операторы Л и β, причем & (В) э & (А). Будем говорить, что В подчинен
А у если выполняется неравенство
\\Bf\\H<p\\Af\\H + q\\f\\H (ft® (A)) (10.1)
с некоторыми постоянными /?, q > 0 (константами подчинения).
Если (V/? > 0) (Я<7 = q.(p)) такое, что выполняется (10.1), то
говорят, что оператор В бесконечно малый относительно А.
Теорема 10.1 (Ре л лиха — Кат о). Пусть в Η
действуют самосопряженный оператор А и эрмитов Ву & (В) з@(А).
Если В подчинен А с константой подчинения ρζ[0, 1), то
оператор А + В(@(А + В)=@ (А)) самосопряжен.
Доказательство. В соответствии о теоремой XII. б. 1
достаточно доказать, что при достаточно большом у>0 &(А + В —
— iy И) = И и ^ (Л + В + 1у Ц) = Я. Докажем, например,
первое из этих соотношений. Иными словами, докажем, что Yg£H
уравнение
(A + B-iy{l)f = g if$m{A)) (10.2)
разрешимо при достаточно большом у > 0.
Так как А самосопряжен, то (Л — 1у β)"1 £ 2 (Η) (у > 0), и
поэтому (10.2) можно преобразовать следующим образом!
(H + BiA-iyu^HA-iylDf^g (f£0(A)). (10.3)
460

Обозначим С(у) = В(А— м/fl)"1. Если удастся доказать, что
при г/>0 достаточно большом \\С (у)\\ можно сделать меньше единицы,
то разрешимость (10.3) будет установлена. В самом деле, тогда
существует (й + ^г/))""1 (см. § VIII.3) и (10.3) можно переписать
в виде (А — iy fl) / = (fl + С (у))'1 g, а разрешимость относительно
/ £ & (А) этого уравнения очевидна, так как оператор А
самосопряжен и & (А — iy й) = Н.
Для оценки нормы ЦС(г/)|[ установим некоторые неравенства.
Пусть f£@ (А), для у > 0 имеем
II (Л - iy й) / ||2„ = ((А - iy й) Л (А - iy u) f)H = (Af, Af)H +
+ iy(Af, f)H-iy(f, Af)H+y2(f, /)* = M/|ft + 0*||/||?,.
Положим (А — iy Ц) / = g", тогда последнее равенство можно
переписать в виде
II ё \\2н = IIЛ (А - iy i)-1 g \\% + у> || (А - iy A)"1 g \\% (g ζ Я).
Отсюда следует две оценки:
\\A{A-iy{[)-ig\\H<\\g\\H,\\(A-iyi\)-1g\\H<j\\g\\H (g£H).
(Ю.4)
При помощи (10.1) и (10.4) получаем yf£tf (заметим, что
{А-1уЦ)-Ч£0(А)):
IIС (у)} \\н = || В (А - iy U)-1 \\\и<р\\А(А- iy й)"1/1|„ +
+ q\\(A-iyflr1/Ия <ΡII/Нн + f II/11* =
= (ρ + f) II / ll«. (Ю.5)
Так как ρ ζ [0, 1), то при у>0 достаточно большом ρ + д/г/ станет
меньше единицы и тогда из (10.5) следует, что || С (у) || < 1. ■
Замечание 10.2 (теорема Вюста). Если выполняются условия
теоремы 10.1 при ρ = 1, то можно утверждать, что тогда оператор
А -+■ В б удет существенно самосопряжен. Доказательство
предоставляется читателю. Для его проведения нужно рассмотреть семейство
самосопряженных операторов А + tB, где ί£[0, 1), и сделать
предельный переход при f-* 1.
Поясним, что самосопряженность А + β в этом случае может
не иметь места. Так, если А — самосопряженный неограниченный
оператор (таким образом, & (А) Ф Я), то можно положить В =
= —А. Все ограничения замечания 10.2 будут выполняться,
однако А + В = 0 лишь на & (Л), а не на всем Я. Такой оператор
самосопряжен лишь после его замыкания.

ГЛАВА XIV. ОСНАЩЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Как мы видели в гл. XI, в теории обобщенных функций Соболева —
Шварца по существу фигурирует следующая цепочка пространств:
&' (IR*) => L2 (\RN) а & (IR*), (1>
где L2(\RN) построено по мере Лебега; @f (\RN)— пространство основных
функций, состоящее из финитных бесконечно дифференцируемых функций; В' (IR^) —
пространство обобщенных функций — антилинейных непрерывных
функционалов на & (IR*). Роль пространства L2 (IR*) сводится к тому, что скалярное
произведение в нем (/, g) N может быть распространено по непрерывности
до билинейной формы, задающей действие обобщенной функции α £ В' (IR*)
на основную и £ В (IR*); эту билинейную форму можно обозначить (а, и) N .
Отметим, что В' (IR ) является замыканием L2 (IR ) в определенной
топологии. Говорят, что в (1) пространство L2 (IR*) оснащено линейными
топологическими пространствами В (IR*) и В' (IR*).
Точка зрения на обобщенные функции, связанная с построением
цепочки (1), оказывается весьма удобной. При этом полезно строить цепочки типа
(1), в которых пространства & (IR*), & '(IR*) заменяются гильбертовыми.
Подобные «гильбертовы оснащения» полезны не только для изучения
обобщенных функций, а, например, для теории полуограниченных билинейных форм.
В этой главе будет построена теория оснащенных пространств, причем на
абстрактном уровне. Ее приложения будут даны как в этой главе (§ б, 8),
так и в последующих двух главах.
§ 1. ГИЛЬБЕРТОВЫ ОСНАЩЕНИЯ
1. Позитивные и негативные нормы. Пусть Я0 — гильбертово
пространство со скалярным произведением (·, ·)// и нормой || · ||Яо, /, g — его
элементы. Предположим, что в Я0 плотно линейное множество Я+, само
являющееся гильбертовым пространством относительно нового скалярного
произведения (·, »)я+» II* И//+— норма в Я+, причем
№в<11"11я+ («ея+). О·1)
Элементы Я+, играющие роль основных функций, будем обозначать и, ν, ,, · .
Каждый элемент / £ Я0 порождает антилинейный непрерывный функционал
L на Я+ по формуле
lf(u) = (f, u)Ho (u£H+); (lt2)
его непрерывность следует из оценки | If (и) | = |(/, u)Hq \<\\f \\Hq \\ и \\Hq <:
< ΙΙ/ΙΙ//β II w 11//+· Введем в Я0 новую норму || · ||Я-, считая нормой / норму
отвечающего ему функционала L:
ll/b^ll^l^supj-y^
и$НЛ. (1.3)
462

Из свойств нормы нужно проверить только следующее: если \\f\\H =0, то
/ = 0. Но если || Л1//_=°» то (/» ")//0 = ° Для всех и£Я+. А так как Я+
плотно в Я0, то / = 0.
Пополняя пространство Я0 по норме (1.3), получаем линейное
нормированное пространство Я_, называемое пространством с негативной нормой.
Итак, мы построили цепочку
Н_=>Н0=*Н+ (1.4)
пространств соответственно с негативной, нулевой и позитивной нормами .
Их элементы будем обозначать α, β, ... £ Я_, /, g, .. 6 Я0; м» ϋ» ··· 6 ^+ и
иногда называть соответственно обобщенными, обычными и гладкими векторами.
Будем также говорить, что (1.4) является (гильбертовым) оснащением
пространства Я0 пространствами Я+ и Я_.
В силу линейности и взаимной однозначности отображения Я0Э//->-/*£
£ (Я+)' легко понять, что Я_ можно считать входящим в сопряженное
пространство антилинейных функционалов над Н+: Н_^ (Я+)'. Поэтому имеет
смысл выражение а (и), которое подобно форме (а, и) Ν в теории
обобщенных функций Соболева—Шварца будем обозначать через (а, и)н = (и, а)н .
Билинейная форма
Н_ХН+ Э (а, и) /-* (а, u)Hq g О (1#5)
является расширением по непрерывности формы Я+хЯ+ Э (ν, и) ι-ν (о, и)н £ ([)
на Η_χΗ+. Очевидно, справедливо следующее обобщение неравенства Коши—
Буняковского:
\(a,u)Ho\<\\a\\HJ\u\\H+ (а£Я_, и£Я+), (1.6)
Докажем несколько простых, но важных фактов.
Теорема 1.1. Негативное пространство Я_ является гильбертовым.
Подчеркнем, что будет важна излагаемая ниже конструкция скалярного
произведения в Я_.
Доказательство. Сконструируем скалярное произведение в Я,.
Рассмотрим билинейную форму
Я0хЯ+3(Л«>/-^6(А") = (Л"Ь0^С· (1.7)
Она непрерывна: \b{f%u)\<\\f ||Яо || и \\н^ < \\ f ||Яо || и \\н+ и поэтому
допускает представление
*(/,«) = (М")я0 = И*/,«)я+,
где А: Я+ ->Я0, А* : Н0-+ Н+ — взаимно сопряженные непрерывные операторы
(§ VIII.5). Согласно (1.7) А равен оператору вложения О: Н+->Н0.
Обозначим / = О*. Итак,
(/.")я0 = (А°")я0 = №")я+ (/6Я0, «£Я+), /:Я0->Я+. (1.8)
Введем в Я0 квазискалярное произведение
σ.«)ι/_=№'ί)*+ = σ.'«>*.-('/.«)«. (/.se^o)· (1.9)
Согласно (1.3), (1.8) и (1.9)
il If ιΔ.. Ι [
«6Я+ =
- sup (' (f ")я+ ' 1 ii 6 h\ = || // ||я+ - V(Kf)Z (f£Ho)<
{ II u 1I//+ I J
Так как || · ||я — норма в Я0, то (1.9) в действительности определяет
скалярное, а не квазискалярное произведение. В результате пополнения это
463

скалярное произведение переносится с Я0 на Я_, и последнее пространство
превращается в гильбертово. ■
Итак, в Я_ введено скалярное произведение
(α. β)//.. II«11я_ = /(^Ζ («. β € Ό·
Так как || /|| = || 0\\ = 1, то || / ||„_ = II'/ 11я+ < II / lltf0 tf€ Я0).
Первое равенство в (1.9) показывает, что / является изометрическим one-
ратором из Я_ в Я+, определенным на плотном множестве пространства
Я_. Замыкая его по непрерывности, получаем изометрический оператор
I: Я_-> Я+, действующий из всего Я_ в Я+; / = ί f Я0.
Легко видеть, что I — изометрия между всем Н_ и всем Я+ (т. е. &t (I) =
= Н+).
В самом деле, «^ (Ϊ) плотно в Я+: если и£Н+ таково, что в Н+ и _L
JL «% (I), то при любом / £ Я0 согласно (1.8) имеем 0 = (I/, и)н = (//, и)я =
= (/, и)И , откуда и = 0. Кроме того, ^ (I) замкнуто в Я+, Поэтому ^ (I) =
= я+. ■
Далее, справедливо равенство
(а,и)Яо = (1а, и)я+ (аб Я_, и£Я+). (1.10)
Действительно, пусть в Я_ при я->-оо Я0Э/я*>а. Тогда в силу (1.6)
(1.8) и непрерывности I
(а, и)н = lim (fn, u)H = lim (I/„, u)H =
= (ϊα. «)//+· ■
Теорема 1.2. Справедливо равенство
т. е. негативное пространство можно воспринимать как сопряоюенное
пространство антилинейных функционалов к позитивному.
Доказательство. Нужно только установить, что любой функционал
/£(Я+)' имеет вид /(«) = (<%, и)н (и £ Я+) с некоторым а£Я_. По теореме
Рисса (теорема VII.9.3) существует а£Я+: 1(и) = (а, и)н+ (и£Н+). Так как
31 (I) = Я+, то, полагая а = !~1а^Я_ и учитывая (1.10), получим
/(и) = (а, «)//+=» О 1"Ч «)я+= (Ια» ")я+ = (а> «)я0 ("£я+)· ■
Подчеркнем, что отождествление сопряженного пространства (Я+)' с Я+
(классическое отождествление) и с Я_ зависит от того, как мы записываем
функционал / 6 (Н+)' (Yu 6 Я+): в виде / (и) = (а, и)я или в виде / (и) =
= (а, и)н (а 6 Я_, а 6 Я+). При использовании второй записи говорят, что
имеется спаривание пространств Я. и Я посредством формы (·, >)н вида
(1.5).
Отметим, что все приведенные результаты очевидным образом
распространяются на вещественные пространства Я0, Я+ и Я_.
Следующая теорема дает полезное разложение оператора I.
Теорема 1.3. Изометрия I : Я_ -> Я+ допускает разложение в
произведение двух изо метр ий
1 = Л; Л:Я_->Я0, /:Я0->Я+, OJ = J f Я0. (1.11)
Доказательство. Положим А = О/ : Я0 -> Я0. Этот оператор
ограничен и неотрицателен: по (1.8)
ΜΛ Пн. = (WA /)яв = С/. '/)л+ > о (/6 Но).
Положим В = "КЛ :Н0-+Н0 и рассмотрим этот оператор как действующий
464

из плотного множества Я0 пространства Я_ в Я0. Тогда он будет
изометрическим:
(Bf, Bg)Ho = (β·/, g)Hu = W. !§)н+ = (Л *)//_ (Л 8 6 Я0)
и его замыкание по непрерывности дает изометрический оператор J:#_->#0.
Докажем, что «%(.!) =Я0. Достаточно показать, что из / JL £Я (У) в Я0
вытекает / = 0. Для произвольного g £ Я0 0 = (Jg, /)я = (Bg, f)H = (g,
Bf)H , откуда 5/ = 0. Тогда Olf = β2/ = 0, т. е. If = 0, а значит, и / = 0.
Покажем, что ОЯ (В) s Я+. Для этого достаточно убедиться в равенстве
BJ = OI. (1.12)
При / £ Я0 имеем BJf = Я2/ = Olf = Οϊ/. В силу плотности Я0 в Я_ и
непрерывности операторов J: Н_->Н0, В: Н0-+Н0, 01: Н_-+Н0 отсюда и следует
(1.12).
Обозначим через / оператор В, понимаемый как оператор из Я0 в Я+.
Тогда из П. 12) следует, что 7J = I, и осталось лишь доказать изометричность
J и «%(«/) = Я+. Но это вытекает из равенства 7 = IJ"1, так как J"1: Я0-*-
->Я_, I: Я_->Я+-—изометрии. ■
Выпишем основные соотношения, связанные с построенным оснащением
гильбертова пространства Я0 пространствами Я+ и Я_:
/ = 0*
II II
Н_=>Н0=>Н+ (1.13)
Ί ίΙ ίΐ
ΙΙ·ΙΙ*_<ΙΙ·ΙΙ//β<ΙΙ·ΙΙ*+.
01= J \H0t I=/J,
(а, «)Яо = (la, u)H+ = (a, 1~ги)н_9
(l*,V)Ho = (*,mHo, (Ja, /)„o = (a, '/)*,
(α, β£#_; /£Я0; « g Я+)
(для получения последних двух равенств в (1.13) нужно в предыдущем
положить и = Ιβ или и = Jf соответствен но).
Заметим, что вместо (1.1) можно требовать выполнения неравенства
II и 11#о ^ с II и \\н+ (и € ^+) с некотоРым с > 0; простой перенормировкой Я+
этот случай сводится к (1.1).
Введем важное определение. Оснащение (1.4) называется квазиядерным,
если оператор вложения О : Я+ -> Я0 квазиядерный, т. е. Гильберта—
Пример 1.1. Приведем один простой и вместе с тем полезный пример
гильбертова оснащения. Пусть Я0 = L2 (R, άμ (χ)) = L2 (R, ?t, μ), где /? —
пространство с мерой μ, заданной на некоторой σ-алгебре !Н множеств из R,
μ (Ζ?) < оо. Положим Я+ = L2 (R, ρ (χ) άμ (χ)), где ρ (χ) > 1 (* 6 #) —
некоторый почти везде конечный измеримый вес. Разумеется, Я+ плотно в Я0
и выполнено неравенство (1.1).
Для построения Я_ найдем оператор /. Равенство (1.8) имеет вид
J / (χ) и (χ) άμ {χ) = J (//) (χ) и (χ) ρ (χ) άμ(χ), (1.14)
R R
Μ, ЧТО
(//) (*) = /7-ι (χ) f (χ) (/ 6 L2 (/?, 4μ Μ), a g L2 (Я, ρ (χ) άμ (χ))).
R
откуда заключаем, что
465

Из (1.9) теперь вытекает, что Я_ = L2 (R, ρ'1 (χ) άμ (χ)). Итак, цепочка
(1.4) имеет вид
L2 (R, р~г (x) άμ (χ)) э!2(/?, άμ (χ)) ξ> L2 (R, ρ (χ) άμ (χ)). (1.15)
Оператор Ι задается той же формулой (1.14), но на функциях из L2 (R,
ρ'1 (χ) άμ (χ)), оператор (//) (χ) = p~i/2 (χ) f (χ) (/ £ L2 (R, άμ)), J задается
последней формулой на L2 (R, ρ'1 (χ) άμ (χ)).
Полезно отметить частный случай цепочки (1.15), когда R = Ν, μ ({£}) =
= 1 (k 6 Ы). Сейчас (1.15) приобретает вид
l2(p^)^l2^l2(p), (1,16)
где через /2 (q) обозначено пространство /2 с весом q = (^)^°= х (<7fc>0), т.е.
оо
к (?) = ί/ = (fk)k = p fk € С I Σ I fk |2 </Λ < оо}. Таким образом «гладкость»
вектора и£/2(р) и «обобщенность» а£/2(р-1) проявляется лишь в сходимости
рядов:
оо оо
Σ \4\2Pk<°°, Σ \4\*Ρΐι<*>.
Так как pk > 1 (&£№), то гладкость означает достаточно быстрое убывание
Uk при &->-оо, а обобщенность — даже возможный рост а^ при &-*оо.
2. Операторы в цепочках. Рассмотрим еще один способ построения
цепочек (1.4) и дадим обобщение понятия сопряженности.
Из формул (1.13) получаем:
("» v)h+=(J~1u> j~1v)h0 («. σ€#+),
(α, β)„_ = (Ja, ^)„о (α, β ζ Я_). <M7J
Эти соотношения подсказывают, что можно строить оснащения Я0, исходя
из некоторого оператора в этом пространстве, аналогичного J или, что
удобнее, У"1.
Пусть в Я0 задан замкнутый оператор D с плотной областью определения
^ (D) и такой, что
II0"Ik>II"Ik («6*Φ». (1.18)
В силу замкнутости D множество ^ (D) будет гильбертовым пространством
со скалярным произведением
(и, »)я+ = (£>и, Оу)Яо (и, σ € * (D)). (1.19)
Примем его в качестве позитивного пространства Я+ и построим
соответствующее ему сопряженное относительно Я0 гильбертово пространство #,
по уже изложенной схеме.
Пусть J — оператор изометрии, отвечающий построенной цепочке Я_ э
г H0^H+t (J'1)^ —оператор J'1: Н+-+ Н0, но понимаемый как оператор
в Я0 с областью определения Я+. Из доказательства теоремы 1.2 следует,
что (^_1)// = 5"1 и поэтому является положительным самосопряженным
оператором в Я0. Сравнивая (1.17) и (1.19), заключаем, что IK^k/Н//0 =
в II Я/II// (/£#+)> т· е· операторы (^_1)//0 и ^ метрически равны. Отсюда
нетрудно установить (см. упр. XIII.6.5, XIII.6.6), что
('-%, = V~D*D. (1.20)
Связь (1.20) между операторами D я J упрощается, если в качестве D
взят дополнительно самосопряженный оператор. В этом случав (J~1)h0 = D.
Из (1.17) заключаем, что (/, g)H_ = (D~1j1 D~1g)fj0 (Л#€#о)· Негативное
466

пространство Я_ получается как пополнение Я0 относительно последнего
скалярного произведения.
Перейдем к обобщению понятия сопряженности для операторов,
непрерывно действующих между пространствами цепочки (1.4) («сопряженность
относительно Я0»). Например, пусть Л 6 & (Я+, Я_), тогда сопряженный
к Л относительно Я0 оператор Л* 6 & (#+» Я J задается равенством
(Ли, v)Ho = (u, A+v)Ho (и, νζΗ+). (1.21)
Легко видеть, что оператор А+ существует и просто выражается через
обычный сопряженный Л* £ 3! (Я_, Я+). Так, воспользуемся вытекающим из
(1.10) соотношением (а, и)н = (а, I~lw)#_ («£#_, «€ #+)·· Получим (ум, t; £
£Я+):(Ли, o)Ho = (Au, lV)^ = («, Л*Г%)я+ = («, ГМ*1-^)Яо, т. е.
Л+ = I'M*!"1 (Л* : Я_ -> Я+). (1.22)
Операцию сопряжения относительно Я0 можно ввести и для операторов,
действующих между другими пространствами цепочки (1.4). Так, пусть
Αζ&(Η+, Я0), тогда Α+ζ&(Η0, Я_) задается равенством типа (1.21):
И". f)Ho = ("> А+Пн0 (" € Я+, / ζ Я0). (1.23)
Оператор Л+, как легко видеть, существует и справедливо равенство Л+=
= ГМ*, Л*£^(Я0, Я+): имеем в силу (1.10)
И«. Яя. = (и. Л*/)я+ = («, !"1Л*/)//0 («6Я+, /€Я0).
При аналогичных (1.21), (1.23) определениях можно написать: I+=I, J+=
= /, /+ = J.
Для операторов Αζ3?(Η+> Я_) обобщается понятие самосопряженности:
б#деж говорить, что А самосопряжен, если (V«, t/£ Я+): (ы, Αν)Η = (Ли, у)я ,
т. е. А+ = Л. Аналогично назовем неотрицательным такой оператор А £
£3?(H+t Я_), для которого (Аи,и)н > 0 (и£Н+). Неотрицательный оператор,
конечно, самосопряжен.
Обычный самосопряженный ограниченный оператор Л в Я0 будет,
разумеется, самосопряженным и в этом смысле, если его понимать как оператор
из Я+ в Я_. Вообще оператор Л 6 & (Я+, Я J будет самосопряжен во
введенном обобщенном смысле тогда и только тогда, когда оператор \А 6.2* (Я+, Я+)
самосопряжен в Я. (Л1"1 самосопряжен в Я ). Это вытекает из равенства
(см. (1.13))
(Ш, o)h+ = (Au, v)Hq = (u, Ao)Ho = (u, \Αυ)Η+ (и, νζΗ+).
Оператор Л 6^(Я+, Я_) будет неотрицательным, если \А £&(Н+, Я+>
неотрицателен в Я+.
В заключение заметим, что рассмотренное выше понятие сопряженности
Л ι-ν Л+ по существу обобщает конструкцию формально сопряженного
дифференциального выражения &+ к выражению ^ (§ XII. 2). И в формуле (2.7}
гл. XII и в формулах (1.21), (1.23) мы «перебрасываем» оператор в
фиксированном скалярном произведении (·, ·)Η (или (·, *)L ,G, в гл. XII), по
существу не обращая внимания, в каких пространствах этот оператор действует»
§ 2. ОСНАЩЕНИЕ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
ЛИНЕЙНЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
Мы сейчас перейдем к построению цепочки типа (1.4), но роль Я+ и Я,
будет играть некоторое линейное топологическое пространство и сопряженное
к нему (это построение будет охватывать ситуацию цепочки (1)).
Предварительно напомним в требуемом аспекте основные понятия теории линейных
топологических пространств (§ VI.2). Начнем с топологических пространств.
467

1. Топологические пространства. Пусть R — некоторое абстрактное
множество, оно превращается в топологическое пространство, если выбрано
семейство (система) Σ его подмножеств U, V, ... ^R, называемых
окрестностями. Пусть χ ζ R и U — некоторая окрестность из Σ, содержащая х. Тогда
говорят, что U является окрестностью точки х, это обозначается так: £/=
= U (х). Чтобы понятие окрестности было содержательным, необходимо
выполнение следующих двух аксиом относительно семейства Σ:
а) Каждая точка χ ζ R входит в некоторую окрестность, причем (γ#,
У € R · х Φ У) существуют непересекающиеся окрестности U (х) , U (у) этих
точек (т. н. аксиома отделимости Хаусдорфа, мы рассматриваем только
пространства, удовлетворяющие этой аксиоме).
б) Для каждой χ £ R и любых ее окрестностей U (х), V (х) существует
окрестность этой точки W (х) ^ U (х) (] V (х).
В топологических пространствах вводятся понятия, аналогичные хорошо
известным топологическим понятиям анализа на действительной оси. Так,
для γα s R определяется его замыкание а как множество, состоящее из всех
точек χ ζ R, для которых γ С/ (χ) пересечение U (χ) fl α непусто. Ясно, что
α э α. Множество a s R называется замкнутым, если α = а, и открытым,
если его дополнение R \ а замкнуто.
1). Каждая окрестность U 6 Σ является открытым множеством, т. е. ее
дополнение R \ U замкнуто.
В самом деле, достаточно показать, что (R \U)~ ^R\U. Предположим
противное, пусть x£(R\U)~ и x$R\U, но тогда χ£ϋ, τ, е. U —
окрестность х, не пересекающаяся с R\U. Это означает, что χ не может входить
в (R\U)~. ■
2). Множество а ^ R является открытым тогда и только тогда, когда
каоюдая его точка входит в а вместе с некоторой своей окрестностью,
В самом деле, пусть условия утверждения выполнены. Тогда R\a
замкнуто, так как если χ ζ (R \α)~ и χ$R \α^το χζα и найдется окрестность
U (χ) ^ α. Это означает, что U (х) f\ (R \а) = 0, т.е. χ g (R \ а)~. Обратно,
пусть α открыто, χζα η вместе с тем (YU (х)): U(x) f\ (R \α) непусто.
Следовательно, x£(R\a)~, а это абсурдно. ■
Столь же просто доказывается и ряд других свойств, известных для
обычным образом топологизированной прямой R = IR. Мы на них не
останавливаемся и отметим лишь следующее. Фиксируя в R то или иное семейство Σ
окрестностей, будем получать, разумеется, различные топологические
пространства, которые удобно обозначать 7?Σ. Говорят, что топологии в двух
таких пространствах Ry и R%, совпадают, если γα ^ R замыкания,
вычисленные посредством Σ и посредством Σ', совпадают. В этом случае семейства
Σ ι/ Σ' называются эквивалентными; пространства R^ и 7?2, считаются
совпадающими: Rz — Rlf.
Возникает вопрос, каким свойствам должны удовлетворять семейства Σ
и Σ1, чтобы они были эквивалентными? Ответ выглядит так.
3). Для эквивалентности Σ и Σ' необходимо и достаточно, чтобы (γ χ £
£ R) и (γ U (χ) £ Σ) (3 U' {χ) £ Σ'): U' (χ) ^ U (χ) и то же имело место с заменой
Σ на Σ' и Σ' на Σ.
В самом деле, ясно, что если условие утверждения выполнено, то (γα с
с: R) его замыкание в обоих топологиях одинаковое. Докажем необходимость.
Пусть χ £ R, U (х) — некоторая окрестность точки χ в топологии Σ, она
является открытым множеством в этой топологии, а значит, и в топологии Σ\
Но тогда согласно 2) χ должна входить в U (х) вместе с некоторой
окрестностью в топологии Σ', т. е. 3^'Ws^W· Η
Простейшая иллюстрация к этому утверждению: одну и ту же (обычную)
топологию на прямой R=\R можно задавать при помощи семейства окрестностей,
состоящего из открытых интервалов U = (а, Ь) с рациональными концами
а, Ь, с иррациональными а, Ъ и с произвольными а, Ъ 6 IR.
Итак, пусть R = Rj, — топологическое пространство, топология в
котором определяется семейством окрестностей Σ. Обозначим через Σ'
совокупность всех открытых множеств этого пространства; Σ' ^ Σ. Нетрудно
468

видеть, что семейство Σ' удовлетворяет аксиомам а), б) топологического
пространства. Так, а) следует из включения Σ' 2Σ и а) для Σ, а аксиома б)
вытекает из того, что пересечение двух открытых множеств открыто (что
в свою очередь следует из 2) и аксиомы б) для семейства Σ).
Это позволяет топологизировать R посредством семейства Σ', т. е.
считать окрестностями любые открытые множества. В силу 2) и 3) семейства
окрестностей Σ и Σ' эквивалентны, поэтому мы придем к прежнему
топологическому пространству: R%r =■ R^== R (опять же в классическом случае R = IR
мы получаем известный факт: без нарушения топологии окрестностями могут
считаться любые открытые множества на прямой). Во избежание путаницы
в дальнейшем для топологического пространства R = Rz окрестности из Σ
будем называть базисными, а само Σ — базисом окрестностей или системой
базисных окрестностей.
В топологическом пространстве можно ввести понятие сходящейся
последовательности: говорят, что последовательность (χη)η^ точек хп 6 R
сходится к точке χ 6 R, если (γϋ (χ) 6 Σ) QAf = N (U (x))) такой, что хп 6 U (#)
при η > N. Хорошо известно, что в классическом случае прямой (R = IR)
все топологические понятия можно строить, исходя из понятия сходящейся
последовательности. Однако в общем случае это не так: в одно и то же
множество R можно ввести две топологии посредством неэквивалентных семейств
окрестностей Σ и Σ' таким образом, что из сходимости любой
последовательности в одной топологии вытекает ее сходимость в другой топологии и
наоборот. Иными словами, запасы сходящихся последовательностей не определяют
однозначно топологию. Это не будет иметь место, если семейства Σ и Σ'
счетпы (или молено выбрать эквивалентные им счетные семейства базисных
окрестностей). Доказать это мы предлагаем читателю.
Еще одно замечание, касающееся топологических пространств. Пусть R1=t
= ^1, Σ и ^2 = #2 Σ ~Два топологические пространства, R = #, xR2 — их
прямое произведение, состоящее из точек x=*(xlt x2), где xl£Rl, x2£R%,
Прямое произведение R мы всегда будем топологизировать посредством
семейства Σ, состоящего из всех прямоугольников ί/ = ί/1χί/2, где U1 ζ Σχ, U2£
£Σ2 (легко проверить, что для Σ выполнены аксиомы а), б) топологического
пространства).
2. Проективные пределы пространств. Перейдем к понятию линейного
топологического пространства. Пусть Φ — линейное пространство векторов
φ (для определенности над полем С комплексных чисел), одновременно
являющееся топологическим пространством с базисом окрестностей Σ =
= № (ф) |ф 6 Ф}. Если линейная структура в Φ и топология определенным
образом согласованы, то Φ называется линейным топологическим
пространством. Согласованность заключается в выполнении следующей аксиомы:
в) Отображения Φ Χ Φ Э (ф, Ψ) !->■ ф + Ψ 6 Φ и © Χ Φ Э (λ, φ) ι ->·
-> λφ 6 Φ непрерывны. Иными словами, операции сложения и умножения
на скаляр непрерывны.
Непрерывность этих отображений, очевидно, означает следующее. Для
первого отображения: (Уф, Ψ € Ф) (W (ф + Ψ)) {ЗУ (ф), U (ψ)) : U (ψ) + U (ψ)ξ
S С/ (φ + ψ); для второго - (γλ ζ ©) (Υφ ζ Φ) (γϋ (λφ)) {gU (λ), U (φ)): U(k) χ
Χ U (φ) ^ U (λφ) (здесь U (λ) обозначает окрестность точки λ в обычной топо-
логии С; (γα, β Ξ Φ): α + β = {φ + ψ| φ 6 α, ψ£β}; (Υα ξ С) (Υβ s Φ):
αβ = {λφ|λ£α, φ£β}).
Таким образом, базисные окрестности линейного топологического
пространства Φ должны удовлетворять аксиомам а) —в). Благодаря наличию
линейной структуры у Φ часто удобно первоначально задавать семейство Σ0
множеств i/, Vt... из Φ, которые должны служить окрестностями нуля, а
затем строить сдвинутые на векторы <рх 6 Φ множества
{φ€Φ|φ-Φι6£/} (ί/(ΕΣ0, φιςφ) (2.1)
и брать в качестве базиса Σ окрестностей всевозможные множества (2.1)
(подобно тому, как это делается в линейном Нормированном пространстве:
рассматриваются сперва открытые шары с центром в 0, а затем производятся их
469

всевозможные сдвиги). Аксиомы а) — в) нетрудно переформулировать в
терминах семейства Σ0, на этом мы останавливаться не будем.
Ясно, что линейное нормированное пространство является примером
линейного топологического с упомянутыми сейчас базисными окрестностями —
открытыми шарами с произвольными центрами и радиусами (проверка
аксиом а) — в) по существу была произведена в § VI.3). Мы не будем изучать
общие свойства линейных топологических пространств и перейдем к
основному для нас их подклассу — проективным пределам банаховых (в
частности» гильбертовых) пространств.
Пусть задано семейство банаховых пространств (Βχ)χ,τ,
параметризованное элементами произвольного индексирующего множества Т. Предположим,
что множество Φ = [) Вх плотно в каждом Вх и семейство (Βχ)χ,Τ направлено
по вложению:
(Υτ', τ" £ Τ) (Ητ'" ζ Τ): Βχ,„ s Βχ„ Β%„, s Βτ„, (2.2)
причем вложения плотные и непрерывные. Введем на Φ проективную
топологию относительно семейства банаховых пространств (Βχ)χ,Τ и естественных
вложений Οτ:Φ—>βχ. Системой Σ базисных окрестностей в этой топологии,
по определению, служит семейство всевозможных множеств
ί/(φι; τ; ε) = {φ £ Φ 11| φ- cPl || ^< ε} (φ^Φ, τ £ Τ, ε>0). (2.3)
Таким образом, базисные окрестности (2.3) — это пересечения с Φ
открытых шаров в пространствах Βχ при произвольном индексе τ, радиусе
шара и его центре. Система (2.3) получена в соответствии с (2.1) посредством
сдвига на φχ 6 Φ соответствующих шаров с центрами в 0.
Система (2.3) удовлетворяет аксиомам а) — в) линейного топологического
пространства.
В самом деле, аксиома а) очевидна: пусть φ, ψ £ Φ, φ Φ ψ; зафиксируем
τ 6 Τ и рассмотрим два непересекающиеся шара в пространстве Βτ с
центрами в точках φ и ψ; их пересечения с Φ и будут требуемыми в а) отделяющими
окрестностями из Σ.
Проверим аксиому б). Пусть q>£U(q>L; τχ; εχ) f) ί/ (φ2; τ2; ε2) с некоторыми
Φ/£ Φ, τ/£7\ 6/>0 (/ = 1ι 2). В соответствии с (2.2) найдем τ3ζΤ такое,
что вложения Βχ ^ #τ , Βχ cST будут плотны и непрерывны. Отсюда
следует, что (Н*„ £2>0) :ΙΐΧ||£τι<^||χ||βτ3, \\%\\Вхш<с%\\%\\в^ (Х£ЯТз).
Поэтому существует столь малое ε > 0, что имеет место вложение шаров
{X € ^Тз 1 !| X — ΨII зТз < β} = {κ € ^Тз IИ X — Φι llj3Ti < e±} П
Π{Χ€\3|||χ-φ2||βτ2<ε2}. * (2.4)
Беря пересечение включения (2.4) с Ф, заключаем, что U (φ; τ3; ε) = ί/ (φΧ;
V» ει) Π ^(Фг! τ2» ε2)· Окрестность ί/(φ; τ3; ε) £ Σ точки φ требуемая —
она входит в пересечение заданных окрестностей.
Проверим аксиому в), касающуюся первого отображения. Пусть U (φΧ;
τ, ε) — некоторая окрестность точки φ + ψ £ Φ. Шар α = {% ζ Βχ \ \\ χ — ς^ ||β <
< ε} является окрестностью вектора φ + ψ в банаховом пространстве Βχ.
В силу непрерывности операции сложения в этом пространстве существуют
два шара β = {X (Ε Βχ | || χ - φ Ц^ <δ} и γ = {χ £ Βχ \ \\ χ- ψ ||βτ < 0} такие,
что β + γ ^ ее. Беря пересечение этого включения с Ф, получим требуемые
окрестности в Φ из системы Σ : U (φ; τ; δ) + U (ψ; τ; δ) s U (φ,; τ; ε). Столь же
просто проверяется аксиома в), касающаяся второго отображения. Щ
Пространство Φ = f) Βχ, снабженное топологией, введенной с помощью
базисных окрестностей (2.3), называется проективным пределом банаховых
пространств Βχ и обозначается
Φ = pr lim BT. (2.5)
470

Иногда так введенный проективный предел называется приведенным — этим
подчеркивается плотность Φ в каждом Βτ (мы не будем останавливаться на
обобщениях предела (2.5), когда естественных вложений Οτ:Φ->Βτ нети
к конструкции добавляется заданная система операторов 0τ (τ £ Τ)). Отметим,
что сходимость последовательности (φ^)^ векторов <prt £ Φ κ φ £ Φ в смысле
пространства (2.5) означает, что (Υτ £ Τ): || φη—φ||β -»0 при /ι-» οο.
Если Τ счетно, то проективный предел (2.5) называют счетно-но ρ миро-
ванным пространством. В случае Τ = Й+ его также обозначают Φ = ρ г lim Вп.
П-+оо
При этом часто возникает ситуация, когда нормы пространств Вп монотонны:
Воа^а — , ||φ||^<||φ||Β <... (φ € Φ = Л Вп); (2.6)
1 п=0
условие направленности по вложению, очевидно, выполняется. Впрочем,
можно показать, что для счетно-нормированного пространств путем
некоторой перенормировки Βχ (τ 6 Τ) общий случай можно свести к
монотонному (2.6).
Если пространства Βτ= Ητ— гильбертовы, то (2.5) называется
проективным пределом гильбертовых пространств. При счетном Τ пространство
Φ называется счетно-гильбертовым. Из класса проективных пределов
гильбертовых пространств выделяется важный подкласс ядерных пространств
(в частности, ядерные пространства будут существенно использованы в гл.
XV). Определение таково. Проективный предел гильбертовых пространств
Φ = рг lim Η- называется ядерным, если (γτ £ Τ) (3τ' £ Τ) такое, что Η , s
τ{Τ
£ ΗΊ и оператор вложения Ητ, -+· Ηχ является квавиядерным.
3. Оснащения с помощью проективного предела. Пусть Φ — некоторое
линейное топологическое пространство над полем С. Антилинейный
непрерывный функционал I над Φ определяется как непрерывное отображение Φ Э Φ ι-*-
ι-W (φ) £ (D, удовлетворяющее условию антилинейности: Ι (λφ + μ ψ) =
= λ/ (φ) + μ/ (ψ) (φ, ψ 6 Φ; λ, μ 6 ©). Совокупность всех таких
функционалов (при фиксированном Ф), очевидно, образует линейное пространство над
С относительно обычного сложения функций и умножения их на скаляр.
Это пространство, как и ранее, называется сопряженным к Φ и обозначается
черев Ф'. (Поясним, что нам сейчас удобно рассматривать антилинейные
функционалы, а не линейные, в связи с конструкциями § 1.)
Имеется ряд способов введения топологии в сопряженное пространство
Ф'. Мы остановимся лишь на слабой топологии. Слабая сходимость β Φ'
определяется обычным образом: последовательность (ln)Z=i функционалов 1п £ Ф'
называется слабо сходящейся к /£ Ф', если (Υφ£Φ) при я->оо /п (<р)-»/ (φ).
Слабая топология в Ф', сходимость относительно которой дает только-что
введенную сходимость, определяется системой базисных окрестностей в Ф' вида
uih\ Φι Φ„)=4'<ΕΦΊΙ'(φ*)--'ι(φ*)Ι<ΐ; *=-ι, ... . *}
('ι€Φ'; <pfcgOf *=1, ... , η;ηζΝ). (2.7)
То, что Φ', снабженное системой базисных окрестностей (2.7),
удовлетворяет аксиомам а) — в) линейного топологического пространства, проверяется
повторением рассуждений, с помощью которых доказывался аналогичный
факт для банаховых пространств (§ VII.8). Заметим, что и сейчас семейство
окрестностей (2.7) — сдвиг (2.1) окрестностей нуля.
Справедлива следующая простая, но важная теорема, поясняющая
структуру Ф' в случае, когда Φ — проективный предел.
Теорема 2.1 (Шварца). Пусть Φ — проективный предел банаховых
пространств: Φ — pr lim Br. Справедливо равенство:
τ{Τ
Ф'= U θ' (2.8)
471

которое нужно понимать следующим обравом: (\1 £ Φ') (3τ £ Τ) такое, что
I продолжается по непрерывности с Φ на Вх до элемента из Βχ и обратно,
если Ι £ Βχ при некотором τ £ Τ, то Ι \ Φ £ Φ'.
Доказательство. Пусть /ζ ££, тогда / f Φ является антилинейным
функционалом на Ф. Из непрерывности / в 0 в топологии пространства Βχ
следует, что для (γε > 0) (^U (0; τ; δ)) такое, что | / (φ) | < ε при φ £ U (0;
τ; δ), а это означает непрерывность / \ Φ в топологии Ф, т. е. / [ Φ ζ Ф'т
Обратно, пусть / 6 Ф'· Из непрерывности / в 0 следует, что для ε = 1
существует такая базисная окрестность 0 в топологии Φ вида U (0; τ; δ) (τ £ Tt
δ > 0), что I / (φ) Ι < 1 при φ 6 U (0; τ; δ). Рассмотрим пространство Βν
Антилинейный функционал / определен на плотном в Βχ линейном
множестве Φ и ограничен единицей на пересечении Φ с шаром в пространстве В%
вида {%£ #τ| || % ||β < δ}. Таким образом, он непрерывен на Ф, снабженном
нормой пространства Βχ. Распространяя его по непрерывности на все Βχί
получим требуемый функционал из Β'τ. Щ
Разложение (2.8) позволяет наряду со слабой вводить в Ф' т. н. топологию
индуктивного предела пространств. Так, соотношение (2.2) влечет следующее
свойство направленности семейства (Βχ) ^ :
(Ух', τ" £ Τ) (Ητ/" £ Τ): Βχ,„ ξ> Β'τ» Β'χ„, =2 Β'χ„, (2.9)
причем вложения плотные и непрерывные. При помощи (2.9) легко убедиться,
что в Ф' образуют систему базисных окрестностей всевозможные множества
вида
Ufa e(-))=U {*€Φ'μ-Ί€θτ, Ι|/-ΊΙΙ^<β(τ)}
τ{Τ τ
(/^Φ'; Γ3τ/-^ε(τ)>0). (2.10)
Иными словами, при 1г = 0 всевозможные объединения открытых шаров
с центрами в нуле положительного радиуса в пространствах Βτ (τζΤ)
составляют систему базисных окрестностей в нуле. Затем эти окрестности
сдвигаются на произвольное lt 6 Φ'.
Отметим что мы сейчас по существу привели общее определение
индуктивного предела банаховых пространств. Так, пусть (Вх)хгТ— заданное
семейство банаховых пространств, обладающих следующим свойством
направленности типа (2.9): (VV, τ" £ Τ) (Ητ/" £ Τ) : ΒχΙ„ Ξ> Βχ,, Βχ„, э Βχ„. В этом случае
объединение {) Βχ=Ψ естественным образом наделяется линейной структурой:
пусть φ, -феи βτ=ΚΗτ', τ* ζ Г): φ £ Βχ,> ψ £ Βχ, =Φ(Ητ"' ζ 71): φ, ψ ζ Βχ,„ и
поэтому выражение λφ+μψ имеет смысл как вектор в Βχ,.,, а значит и в Ψ.
Линейное пространство Ψ называется индуктивным пределом пространств
Вх (обозначение: Ψ = ind lim ВТ), если β него ввести систему базисных
окрестит
ношей вида (2.10), где Ф' и Вх заменены, соответственно, на Ψ и Βχ.
После изложения этих простейших сведений о линейных топологических
пространствах перейдем к оснащению гильбертова пространства линейными
топологическими пространствами.
Пусть #0 — гильбертово пространство с элементами /, g, ♦.. , в которое
плотно и непрерывно вложено линейное топологическое пространство Φ
с элементами φ, ψ,... . Как и в § 1 каждый элемент / 6 #0 порождает по
формуле Ц (φ) = (Д φ)^ (φ £ Φ) антилинейный непрерывный функционал на
Ф. Отождествляя f с L (что возможно ввиду плотности Φ в Н0), получаем
вложение Я0 в пространство Ф' антилинейных непрерывных функционалов
на Ф. Если снабдить Ф' слабой топологией, то, очевидно, вложение Я0 ->■ Ф'
окажется непрерывным. Итак, построена обобщающая (1.4) цепочка
Ф'эЯ0эФ, (2,11)
472

Будем говорить также, что (2.11) — оснащение пространства Я0
пространствами Φ и Ф', или что имеется спаривание Φ и Ф' посредством Я0. Если
Φ — ядерное, то оснащение (2.11) называют ядерным.
В дальнейшем будут встречаться исключительно оснащения (2.11), где
Φ — проективный предел гильбертовых пространств:
Ф = ргПтЯ_. (2.12)
Дополнительно предполагаем, что каждое Нх плотно и непрерывно вложено
в Я0, причем || φ \\Η <||φ||# (φ£#τ, τ £ Τ) и Τ содержит индекс 0 (это
по существу не ограничение: общую ситуацию можно свести к такому случаю).
Таким образом, (Υ%ζΤ) можно построить цепочку вида (1.4):
Η^ζ>Η0^Ητ, (2.13)
где Н% — позитивное пространство, а Я_х—соответствующее негативное.
Так как Я_т=(//Т)/ (см. теорему 1.2), то равенство (2.8) дает:
Ф'= U #__. (2-14)
τζΤ
Особенно просто все сказанное выглядит в случае, когда Φ — счетно-
гильбертово пространство, причем нормы пространств монотонны (см. (2.6)).
В этом случае имеем следующую цепочку:
Ф'= [J Я.„Эм.эЯ.2эЯ.1эЯ0эЯ1эЛ2э...э f) Нп = Ф, (2.15)
л=1 /г=1
причем каждое пространство Нт+1 плотно вложено в Нт и
11фИят<11ф||//да+1 («рея^тег).
Отметим, что все сказанное в этом параграфе справедливо и для
вещественных пространств.
Приведем простой, но важный пример проективного предела
гильбертовых пространств и соответствующего оснащения.
Пример 2.1. Пусть Я0 =/2— пространство квадратично суммируемых
последовательностей / = (fk)°k=i, fk£®' Обозначим через Τ множество
всевозможных весов τ = (τ^)^=1, %k > 1. Каждому весу τ поставим в соответствие
гильбертово пространство /2 (τ) (см. пример 1.1):
^τ = '2(τ)={/€ΜΣ \fk\24 = \\f\\\<<*>}> (2.16)
оо
V.8)h =Σ Шк> #ι = #ο.
τ λ=ι
Понятно, что Ях плотно в Я0 и || φ ||// > ||ф||//0 (τ€ Л· Пересечение Π Ях
содержит совокупность С~ всех финитных последовательностей ψ = (Ц>^^=\*
φΛ£© и поэтому (γτζΓ) плотно в Яг Семейство гильбертовых пространств
(Ητ)χ,τ направлено по вложению: для заданных τ' = (τ^)^ £ Τ9 τ" = (τ£)/™=1ζ
£ Τ выберем, например, τ'" = (τ^ = %'k + тр£=1 £ Т> тогда плотно и
непрерывно Ят,/, £ Ят,, Ητ,„^Ητ„% Таким образом, можно образовать проективный
предел
Ф = ргПтЯх. (2.17)
τίΤ
473

Покажем, что Ф = С~, т. е, построенное пространство — это совокупность
всех финитных комплекснозначных последовательностей, топологизированная
определенным образом.
В самом деле, пусть φ = (φ^)^ £ Φ и нефинитна, т. е. существует
бесконечная последовательность индексов 6, для которых <pk =h 0. Рассмотрим
вес τ£ Г, у которого xk = \ yk |~а + 1 при условии cpft Φ 0 и %k — 1 в против-
оо
ном случае. Тогда φ£#τ> но это невозможно, так как ряд J] I Фа> I2 Tk> оче"
видно, расходится. ■
Пространство (2.17) ядерное,
В самом деле, пусть τ£ Т. Образуем вес τ' = (2 t^^Lj ζ Γ и рассмотрим
оператор вложения Οτ, τ-Ηχ, -»#г Утверждается, что он квазиядерный.
Так, пусть (е^)^=1 —естественный базис в /2 (б^= (б^)^). Тогда в #τ базис
образуют векторы О^Г1''2^)^!, так что для гильбертовой нормы оператора
оо оо во
вложения О,, τ имеем | Οχ,, τ|2 = Σ II (τ*ΗΙ/2** «ят =Σ W)"1 τ* = Σ 2~*<
< оо. ■
Выясним, что означает сходимость последовательности векторов в Ф,
Утверждается, что последовательность векторов (φ^)™=ι, ф^ £ Φ сходится
в Φ ас φ £ Φ тогда и только тогда, когда векторы φ^ равномерно финитны
и (V& £ №) и* координаты φ^-^Фд, яр" л-> °° (напомним, что равномерная
финитность означает: Q/ ζ №) такое, что (\[п ζ Ы) (\k >· I) : φ^ = 0).
В самом деле, так как окрестности (2.3) для (2,17) получаются сдвигом
окрестностей 0, то достаточно рассмотреть ситуацию, когда φ = 0. Ясно, что
если указанная выше сходимость имеет место, то в силу (2.16) (Υτ£ Τ) || φ^ \\И
становится сколь угодно малой, т. е. <р*п)->0 в Ф.
Докажем обратное утверждение. Пусть в Φ φ^->0 при η—>οο. Прежде
всего убедимся, что векторы <р(^ равномерно финитны. Предположим
противное. Тогда найдутся последовательности индексов (km)m=zU (nn)m=\> ki<-
<62< ·*· · Λι<^2< ··· такие, что qkm фО (т£Ы), Рассмотрим вес τ =
= (%k)k=\ £ Т* У которого (Ym £ Ν) %k = | <pfe |"2 + 1 и xk = 1 для
остальных 6£N. Согласно (2.16)
и поэтому || у^ 1\н не стремится к 0 при я->оо, т. е. φ^ не сходится к 0.
Итак, векторы φ*'2* равномерно финитные. Пусть их координаты при β>/
равны нулю. Но тогда
Σ |ф^)11 = 11ф(я)1й§^о|я^оо|
откуда φ^ι) -> 0 при Λ-» оо (k б Ы). Ш
При каждом τ £ Τ сопряженным к #τ = /2 (τ) относительно Я0 = /2 будет
гильбертово пространство Я_т =/2(τ~ι), τ"1 = (τ£)£=\ (см· пример 1.1).
Согласно приведенным выше рассмотрениям пространство Ф' совпадает с U #^τι
474

и поэтому Ф/ = С°° (С°° — множество всех комплекснозначных
последовательностей). Действительно, для каждого вектора а = (UfJkLi £C°° возьмем τ£7\
где %k = (| αΛ Ι + Ι)2 2* (Λ ζ Ν). Тогда
И«11я τ=Σ Ι«*Ι20 + Ι«*Ι)-^-*<~>
т. е. α £ #_τ. Скалярное произведение в Н0 = /а определяет естественное
оо
спаривание элементов С~ и €°°: (α, <р)я = J <*>№к (а£®°% Φ € ®о°)· Таким
образом, мы построили ядерное оснащение
С00 Ξ2 /2 (τ-1) э /а => /2 (τ) а С" (τ g T). (2.18)
§ 3. СОБОЛЕВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
1. б-функция. Рассмотрим важный класс оснащенных пространств,
связанных с понятием Соболевского пространства. Напомним соответствующие
определения и факты (см. § VI.8). Пусть G — ограниченная область
пространства IR^ с достаточно гладкой границей dG. Соболевское (позитивное)
пространство Wl2 (G), где ΙζΖ+, определяется как пополнение С°° (G)(G = G[)dG)
относительно скалярного произведения
<«.*V/(0)e Σ (°μ»> d[Xu)l2(G) («.о 6 С-(δ),
μ = (μι, . .. , μ#). μ* 6 ^+» Ι μ Ι = μι + · · · + μ#; £>μ =
-Djf* ... D^f Dk = d/dxk) (3.1)
(пространство L2 (G) построено по мере Лебега на G; W\ (G) = La (G)).
Элементами Соболевского пространства W (G) являются функции на G, которые
будут даже гладкими, если индекс / достаточно большой. Так, имеет место
следующая теорема вложения: пусть /, k£ Z+ таковы, что
l—k>N/2. (3.2)
Тогда справедливо вложение Wl2 (G) cz С (G) Соболевского пространства в
банахово пространство k рае непрерывно дифференцируемых функций на G,
причем оператор вложения компактен. (В частности, при l>N/2 W1(G)C2
с С (G) с компактным оператором вложения). Пространство W2 (G), разумеется,
плотно в Ck (G). Нетрудно доказать, что при /">/' (I', I" £Z+) плотно и
непрерывно W2' (G) s Wl2 (G) (см. в связи с этим пример 7.4).
Очевидно, || и \\L%{G) < \\ и || , (" £ W{ (G)), причем Wl2 (G) плотно
в L2 (G). Поэтому можно построить цепочку (1.4), положив H0 = L2(G) и
H+ = Wl2(G). Обозначив соответствующее негативное пространство #_ через
W^1 (G), получим
W2-l{G)^L2(G)^W[(G) (/gZ+). (3.3)
Пространство W~ (G) обобщенных функций называется негативным
Соболевским пространством. Перейдем к его изучению, поступая несколько
475

окольным путем (прямой подход более сложен ввиду необходимости
выяснения свойств оператора /, связанного с (3.3)).
Приведем общее определение δ-функции (ср. с§ XI. 1). Пусть R —
абстрактное пространство, Φ — линейное топологическое пространство,
состоящее из некоторых функций R 9 χ \-* Φ (*) 6 © и обладающее тем свойством,
что из сходимости Φ Э ф/1 -> φ 6 Φ следует при каждом χ 6 R φη (χ) -> Φ (*).
/г-*-оо /г-»-оо
Зафиксируем χ ζ R и рассмотрим антилинейный функционал / на Ф, полагая,
/ (φ) = φ (χ) (φ 6 Φ). Согласно сделанному предположению он непрерывен,
т. е. /6 Ф'· Этот функционал и называется δ-функцией, сосредоточенной
в точке х, и обозначается δ^. В частности, подобная ситуация имеет место,
если R — компакт, а Ф ^ С (R) плотно и непрерывно. Отметим, что
II ^xWc(R) = 1 (х£ Ю— это следует, например, из выражения для нормы
функционала в С (R) (см. § VII.5).
Теорема 3.1. Если /> N/2, то в пространстве W^1 (G) определена δ-
функция δχ, сосредоточенная ex£G, причем вектор-функция G3x ΐ-**δχ € W~l (G)
сильно непрерывна.
Доказательство. Согласно упомянутой выше теореме вложения
Wl2(G)czC(G) плотно и непрерывно (даже компактно), поэтому 8x(x£G)
определена как элемент W\~l (G).
Докажем непрерывную зависимость δχ от х. Прежде всего отметим, что,
очевидно, справедливы соотношения
W2l (G) => С (G) => L2 (G) эС(б)э W[ (G), (3.4)
причем все вложения плотны и непрерывны. Здесь мы воспользовались тем
простым фактом, что если Е1г Е2 — два банаховых пространства, причем Ех s E2
плотно и непрерывно, то Е'2 ^ Е[ плотно и непрерывно (ср. с упр. VII. 2.13).
Пусть «S — компактный оператор вложения W[ (G) -> С (G). Сопряженный
в обычном смысле к нему оператор S*: С (G) -> W\~l (G) будет также
вложением, причем компактным.
Предположим противное к доказываемому: пусть в некоторой точке х0 £ G
вектор-функция 5э х ι-*δχ £ Ψ\~ι (G) не является сильно непрерывной. Тогда
существует последовательность точек хп ζ G, сходящаяся к х0, и ε0 > 0 такие,
ч™ №xn-S*Jwrl(G)>e,> (П^Щ- ТЭК КЭК "ЧНсй"1 {П£Ы)· Э ВЛ°-
жение С (G) -> Wfl (G) компактно, то последовательность (δ^ )™==ι предком-
пактна в Wj~l (G), поэтому существует ее подпоследовательность (δ„ )?, такая,
лП\к) к 1
что δ^ при £->оо сильно сходится в W\~l (G) к некоторому элементу а£
ζ W\~l (G). Легко видеть, что α= δ^: для и ζ Wl2(G) имеем
(«. ")l2(G) = Дт $Χφγ u)Lm = lim^ u (xrl(k)) =u (x0) = (δ^, u)Lz(G).
Итак, сильно δ^ —♦ δ^ , что противоречит выбору точек хп. Щ
2. Вложения Соболевских пространств. Справедлива следующая
существенная теорема.
Теорема 3.2. Пусть Wl2 (G), W2'(G) — два Соболевских пространства
таких, что 1" — 1*>·γ (/', ln g Z+). Тогда вложение Wl2 (G) —> Wl2 (G) квази-
ядерно.
Доказательство. Рассмотрим сперва основной случай, когда /' = 0.
Нам нужно доказать, что при / >N/2 в цепочке (3.3) вложение 0:Wlz(G)-*
476

-» L2 (G) квазиядерно. Пусть J : L2 (G) -> W2 (G) — изометрия, связанная с
цепочкой (3.3). Квазиядерность О эквивалентна квазиядерности 0/:L2(G)-*
->L2(G). В самом деле, пусть (^y)yLi — ортонормированный базис в L2(G),
тогда (Jej)J={—ортонормированный базис в W2(G) и
|0|«=Σ I|0/ey|l2i(0) = |0/|».
Установим квазиядерность OJ. Для f£L2(G) при помощи (1.13) получим
(OJf) (χ) = (Jf) (х) = (//, bx)LdQ) = (Л /+θχ)Μ0) =
= V. «*)*,«?) = J Ш (Щ^) ^ (3-5)
G
(поясним, что Лбж ς L2 (G)). Положим /С (*, #) = (ίδχ) (у), тогда
J J I К (х, У) ? dxdy=\ || 1δχ ||» f(e) <fc = j || δ, ||^, Λ <
О G G G 2
<:тах{||6х||^ /(G)|*6 3}m(G)<oo. (З.б)
Здесь мы воспользовались непрерывностью скалярной функции GBxi-*·
'""HI ^* IL·—/,^ €IRi вытекающей из теоремы 3.1. Соотношения (3.5) и (3.6)
показывают, что О J — оператор Гильберта — Шмидта.
Доказательство теоремы в общем случае основывается на уже
доказанной ее части и следующих двух общих леммах.
Лемма <?./. Пусть Ε — линейное множество, в котором заданы линейный
оператор Ε Э f /->■ Tf £ Ε и два скалярных произведения (/, ц)И и (/, g)G
4>g£E)· Построим скалярные произведения (/, g) H =(f,g)H + (Tf, Tg)H
и (Л £)(?2 = (Л g)0l + (77, ^)0l (/» £££)· Обозначим2 через я/, Glt Я2, G2
'пополнения Ε относительно соответствующих скалярных произведений и пред-
положим, что Нх s Gx плотно и непрерывно и, кроме того, Я2 s Я1#
Утверждается, что если вложение 0L: Hl-> Gt квазиядерно, то Я2д02 « влооюение
О : H2-+G2 квазиядерно.
Доказательство. Так как ||/|1я ^11/II// (/££)> то Я2 непрерывно
вложено в Я1# В свою очередь, согласно предположению вложение H1-+Gi
квазиядерно. Поэтому вложение H2-+G1 квазиядерно и, следовательно, если
(ej)°f=\—ортонормированный базис в Н2 (который можно составить из
векторов е} £ £), то
Σ \\Ά<«>· (3·7)
Введем в Е, вообще говоря, квазискалярные произведения (/, g)H = (Tf,
Tg)n и (/, g)G = (Tf, Tg)G (/, g ζ Ε). Отождествление Е по каждому из
таких произведений дает одно и то же линейное множество Ε полных
прообразов / = Τ"1/' = {/£ Ε I Tf = /'} векторов /*££. Последующее пополнение
приводит к гильбертовым пространствам Я3, G3, причем плотно и непрерывно
Я3 ξ G3. Вложение H3->G3 квазиядерно. Действительно, пусть (ls)7Li—
ортонормированный базис в Я3, построенный из векторов /. £ Е, lj ζ Ε— некоторый
представитель класса /у. Тогда (Tl}, Tlk)Ht = (/;·, lk)H^ = (?;·, lk)Hs = bjk (/, & £
£ №), τ, e, (ΤΐΛΤ_ι будет ортонормированной системой в Я^, и в силу квази-
477

ядерности вложения Нг ->· Gt Σ || 77у ||G < оо. Но || Tlj \\Gi = || /у ||0 и
последнее условие означает квазиядерность вложения А : Я3 ->■ G3.
Отображение EBfi-+Bf = f£E в силу неравенства || / \\н = || Tf \\H <:
<||/||# распространяется по непрерывности до непрерывного отображения
5:Я2->Я3. Отображение АВ:Н2-+Н3 будет квазиядерным. Поэтому если
(ед7=\ — ортонормированный базис в Я2, составленный из векторов из Е, то
~>Σ иABei||2яз = Σ и*/4 = Σ ιι^/ifi,-
Отсюда и из (3.7) заключаем, что
Σ "6/ΐΐο2=Σ (ΐι«/ΐιό,+ιΐΓ«/ΐι^)<οο.
/=1 /=1
Но это неравенство, как легко видеть, влечет вложение Я2 s G2 (более
подробно по этому поводу хсм. § 7). Ясно также, что 02 квазиядерный. Щ
Замечание 3.1. Пусть в формулировке леммы 3.1 оператор Τ обратим, т# е.
КегТ = {0}. Тогда ее утверждение остается справедливым, если скалярные
произведения (·, ·)// , ('» *)<? в ее формулировке заменить на (/, g)H —(Tf,
Tg)H , (/, g)G2 = (Tf, Tg)Gi (/, g£E). Доказательство этого факта следует из
приведенных выше рассуждений.
Лемма 3.2. Пусть Ε — линейное множество, в котором заданы
скалярные произведения (·, ·)Η и (·, -)G (6=1, .,. , η). Положим (·, ·)//=
η η
*= Σ ('' 'W (·' *Ь= Σ ('» 'hk- Пусть Hk, Gk, Я и G —соответствую-
щие пополнения Е. Тогда если Н ^Hk^Gku вложения Hk -+ Gk квазиядерны
(6=1, ... , η)у то Я sG и это вложение также квазиядерно.
Доказательство. Зафиксируем 6=1,... , п. Так как Я ^ Hk и
||/||яk<\\f\\H (f€E)> т0 это вложение непрерывно. Но тогда вложение
H-+Gk квазиядерно, и поэтому если (?j)7--\— ортонормированный базис в Я,
оо оо
то V || е, \\2G < оо. Суммируя эти неравенства по всем 6, получаем V || е- \fG <
/=l k /=1
<: оо. Отсюда, как и ранее, нетрудно заключить, что Η ^G\ ясно также,
что это вложение квазиядерно. ■
Закончим доказательство теоремы. Нам требуется установить, что если
/ > N/2 целое, то вложение W™+1 (G) -> Wf (G) при любом т £ Ζ+ квазиядерно.
Имея в виду применение леммы 3.1, положим £ = C°°(G), (Tf) (x)= (Dvf) (χ),
где Dv — фиксированная производная порядка | ν | < т, (/, g)H = (/, g) , ,
(ff g)Q = (/, g)L ,G) (/, g£E). Согласно доказанной части теоремы вложение
Нг — W[ (G) -> L2 (G) = Gx квазиядерно, поэтому согласно лемме 3.1
квазиядерным будет и вложение H2->G2, где Я2 и G2— пополнения Ε
относительно скалярных произведений
(/. 8)о2 - (/. 3h2(G) + iDVU 0v*)La(C) <f,S 6 Ε) (3.8)
(наличие вложения Нг ξ Ηλ нетрудно доказать, см. пример 7.4).
478

Обозначим скалярные произведения (·, -)н t (·, ·)σ в (3,8) через (·, *)н >
(·, »)G соответственно и применим лемму 3.2, считая Ε = С°° (δ); η равно
количеству векторных индексов ν = (vlf ... , νΝ) таких, что | ν | <: m. По
доказанному при каждом таком ν #ν -> Gv квазиядерно, поэтому квазиядерно
также вложение #-*-(?, где Я и G— пополнение Ε относительно скалярных
произведений
a,s)H^n(f,g) t + ς (DVf,Dvg).
iw |v|<m "Vu'
(/. 8)0 - П (/, g)Li{G) + Σ (DVA OVe)L,(0) # · * ζ Я>
|v|<m
(вложение #s#& легко устанавливается, см. пример 7,4), Первое из них
эквивалентно (·, ·)^π,+/(0)» втоРое ~ ('» 'Vm(G)· ПоэтомУ # == ^2m_H (Ф>
G = W™(G). ■
Отметим, что при />Af/2 оператор О/ для цепочки (3,3) будет
интегральным с ядром К (х, У)£С (G X О) (и, разумеется, с конечным следом).
Доказывается это так же, как и основной случай теоремы 3,2, только
оператор J нужно заменить на Л Тогда К (х, у) = (1δχ) (у), и так как I — изо-
метрия между Wfl (G) и Wl2(G)ciC (G), a GЭх/-* δχζ Wjl (G) —
непрерывная вектор-функция, то отсюда следует требуемая непрерывность /С.
Пример 3.1. Приведем простой и важный пример счетно-гильбертова
ядерного функционального пространства. Он является модельным для
классических пространств $ (\RN) и Ш (IRN), которые будут рассмотрены в § 4.
Пусть G — ограниченная область пространства IR с достаточно гладкой
границей, для τ £ Ζ+ положим Βχ= Сх (δ), где Ст (δ) — пространство τ раз
непрерывно дифференцируемых функций на G с обычной равномерной
нормой
|| и || ~ = max { Σ ΙΦΜΜΙΙ * € Щ (и ζ С (в), С» (G) = С (G)). (3.9)
Нормы (3.9), очевидно, монотонны; f] CT(G) = C°°(G) и последнее линейное
τ=0
множество плотно в каждом Сх (G). Таким образом, можно рассмотреть
проективный предел пространств Cx(G)t т. е. счётно-нормированное пространство
С°° (δ) = pr limCT (δ). Базис окрестностей нуля в C°°(G) составляют множества
(7(0; τ; 8) = {ф^С°° (δ)| ||φ ||^τ ~ <ε} при произвольных τζΖ+ и ε>0.
Сходимость последовательности (9rt)^Li, φη £ С°° (δ), κ φ ζ С00 (G) означает
выполнение соотношения || <рп — φ || τ ->■ 0 при л-> оо (γτ £ 52+).
Рассмотрим теперь Соболевские пространства W\{G)> где τ£Ζ+. Из (3.1)
оо
следует, что нормы в этих пространствах монотонны. Далее, f) ^2 (G) =*
τ=ο
= С°° (δ), так как согласно теореме вложения (γτ >N/2 + k) ϊ W\(G) cz Cfe (δ)
00 OO ^
и поэтому Π ^2 (G) =» Π С (б) «β С00 (б). Последнее линейное множество
τ=0 fc=0
по определению пространства W\ (G) плотно в нём (\τζΖ+). Таким образом,
можно образовать проективный предел pr lim W\ (G) = C°°(G)t Окрестности
τ-» оо
479

в нём задаются аналогично предыдущему, с заменой норм ||·|| τ ~ на |HLT ·
Нетрудно убедиться, что оба эти проективных предела совпадают не
только как множества, но и как топологические пространства. Для этого
нужно проверить условия 3) из § 2 на окрестности в обоих проективных
пределах, обеспечивающие совпадение топологий. С учетом вида окрестностей
вопрос сводится к установлению неравенств:
(V* € Ζ+)(Ητ' € Ζ+)&οττ, > 0): || φ || ψΧ{β) <
< °ττ> II Φ Wcv {Sy (V* £ ^+)(3τ' € %+)Шх%, >
> 0) : || φ HcTfG) < άτχ, || φ Ц, ((?) (φ g C~ (δ)). (3.10)
Первое из неравенств (3.10) элементарно и получается оценкой
интегралов в (3.1) через максимум подынтегральной функции; сейчас τ' = τ. Второе
из неравенств (ЗЛО) вытекает из теоремы вложения — это запись
непрерывности оператора вложения. Молено положить τ' = τ + [Nj2] + 1.
Итак, пространство С°° (G), которое строилось сперва как счётно-нормиро-
ванное, оказалось счётно-гильбертовым. Это пространство ядерное: согласно
теореме 3.2 (Υτ£ Ζ+)(Ητ' £ Ζ+) такое, что вложение Wf (G) -> W\ (G) квази-
ядерно (можно положить τ/ =τ+ [Ν/2] + 1).
§ 4. СОБОЛЕВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. КЛАССИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. б-функция. Перейдём к рассмотрению соболевских пространств в
неограниченных областях. Пусть G s \R — вообще говоря, неограниченная область
пространства ER (N £ Ы) с достаточно гладкой границей. На функциях и, υ £
— совокупность бесконечно дифференцируемых
финитных функций в RN) введём скалярное произведение (и, ν) , при помощи
выражения (3.1). Соответствующее пополнение (С~ (RN)) f Gt как и в случае
ограниченной G, навивается Соболевским пространством W2 (G) (I £ Z+).
Ясно, что и сейчас Wl2 (G) и L2 (G) можно принять в качестве позитивного
и нулевого пространства и построить цепочку. Для нее мы сохраним
обозначение (3.3). В случае неограниченной G, разумеется, сохраняется сказанное
в п. 1 § 3 о вложениях соболевских пространств с увеличением индекса /.
Пусть G' — ограниченная подобласть G, тогда || и\ G' \\ , < II "II „./„„
W^(G') w2{G)
{u£(Cq (\Rn)) \G), и поэтому в результате пополнения получим, что для и ζ
£ Wl2 (G) сужение (и \ G') £ Wl2 (G'). Таким образом, функции пространства
Wl2 (G) имеют те же локальные свойства, что и функции такого пространства
в ограниченной области. Глобальные же свойства W2(G) могут быть другими,
например, теорема 3.2 о квазиядерности вложений уже, как правило, не
сохраняется.
При введении пространства Wl2 (IR^) полезен переход к преобразованию
Фурье, уже фигурировавшему в § XI.3,
С£° (IR*) Э и (χ) ι-> й (s) = (2n)-N/2 j" и (х) е~''(5' х) dx
(s £ IR*. (5, χ) = 5Λ + ... + sNxN). (4.1)
480

Для u£Cq (IR*), очевидно, (DHy (s) = №s4 (s), где μ = (μχ, . .. , μ^),
$и = s^1 ., # sJJ^ (s£ IRW), Поэтому в силу равенства Парсеваля
(и. %i N = J и Μ »(s) Ρ/ (s) ds> Pi (s) = ^ «2μ > ί
2( * \RN \μΙ<1
(/gZ+; и, iKEC0°°(IR")). (4.2)
Так как (С* (IR^)) плотно в L2(\RN), то (4.2) показывает, что Wl2 (\RN) изо-
метрично пространству L2 (IR , pj (s) ds). Отсюда следует, что (4.1) после
замыкания по непрерывности устанавливает изометрию между пространствами
цепочки W^~l (\RN) э L2 (\RN) a W\ (IR^) и соответствующими пространствами
цепочки типа (1.15)
L2 (\RN, pf (s) ds) a L2 (IR*) s L2 (\RN, Pl (s) ds) (Ι £ Ζ+). (4.3)
Отметим, что в (4.3), как легко доказать, вложение позитивного
пространства в нулевое ни при каком выборе веса не может быть квазиядерным;
это подтверждает сказанное о несохранении теоремы 3.2. Покажем, как
можно видоизменить понятие Соболевского пространства, чтобы добиться
квазиядерности вложения. ^
Пусть q (x)£Cl(G), q (χ) > 0 (χ £G) фиксирована. На функциях и, ν ζ
ζ (Cg° (IR^))fG введем скалярное произведение
Пополнение (CJ° (IR^)) \ G относительно этого скалярного произведения
обозначим ψψ q) (G). Понятно, что и (χ) £ W2 ' ^ (G) тогда и только тогда, когда
и (х) q (χ) £ W2 (G). Отсюда следует, что локальные свойства функций из
W$* q>i (G) такие, как и функций из W2 (G)t τ, е. как у соответствующих
функций в ограниченной области.
Предположим дополнительно, что q(x)>>l (χζό). Тогда
II"ιЦ<>%> = ι' »Ί\νι3(0) > II«и^в) («б ^· «>(О),
поэтому W%* ^ (G) и L2 (G) можно принять в качестве позитивного и нулевого
пространств. Строя соответствующее негативное пространство, получаем
цепочку
WJ«> q) (G) a L2 (G) a Wf · *> (G). (4,5)
Теорема 4.1. Если I > W/2, mo <s пространстве W^l> ^ (IR^)
определена δ-функция δχ, сосредоточенная в x£\RN, причем вектор-функция \RN Э
Э * ι-* δ* € W^~il> Q) (\RN) непрерывна и
\\bx\\w__{ltg)(]RN)<cq-Hx) (*€IR*; c>0). (4.6)
Доказательство. Пусть χ ζ \RN обозначим через В некоторый
открытый шар с радиусом, равным единице, такой, что χ ζ В. Согласно теоремам
вложения Wl2 (В) с С (В) и
\vW\<c\\»\\wt{B) (yte>v£Wl2(B)). (4.7)
16 9-227 481

Поэтому W%* q) i}RN) cz С (\RN) и ввиду (4.7) при ν = uq и у = χ справедливо
неравенство
\u(x)\=q-1(x)\u(x)q(x)\^cq-i(x)\\(uq)[B\\ , <
< с?-1 (χ) и«ις(/, ?)(IrJV) (χ е ir"; «е w(a1·q) or"». (4.8)
Это неравенство показывает, что о^ определена как элемент W£ ^' ^ (IR^)
и справедлива оценка (4.6).
Для доказательства непрерывности δχ заметим, что для любого открытого
шара В с радиусом, равным единице, справедлива оценка
II θ, - by \\w_(li g)(RN) < И <f * (*) 6X- <Г to) by |ς_Ι(Β) (дс, у ζ Β). (4.9)
Действительно, для и £ W%· ?) (\RN), подобно (4.8), имеем
Ι (β, - Ьи, «)ti(RiV) I = I « W - » to) I = I (<?_1 W «*- Г1 to) ^,
<«?) r s)i2<b) I < II <?_1 W «* - f"1 to) δ«/ 1Ц-/(В) II to?) \ в 1Ц(В) <
< || ?-i (*) 6X - ?-i ft,) ba \\ ^ || «9 |ςt N) = ||,-1 (*) β, -
- 9-1 ωβ* ΙΙ^ι,β, II "li^/.,)^,,
откуда и следует (4.9).
Из (4.9) и непрерывности q"1 (χ) и вектор-функции Β^χ\-^δχ^
6 W^1 (В) (см. теорему 3.1) следует требуемая непрерывность δχ. Ц
Утверждение теоремы 4.1 справедливо не только для G = \RNt но и для
более широкого класса областей. Область G cz RN с один раз
кусочно-непрерывно дифференцируемой границей назовем регулярной, если существует
ограниченная область К cz \RN страницей такого же класса и некоторое R > О
такие, что для любой точки x£q> \x\>R> найдется область Кх, полученная
из К путем некоторых ортогонального вращения и трансляции и
удовлетворяющая условию χ б Κχ, КхЯк(3 (таким образом, исключаются, в частности,
области с уходящими на бесконечность «остриями»). Если G ξ IR^—регулярная
область, то утверждение теоремы 4.1 сохраняется для пространства
W^1*^ (G), причем в ее формулировке x£G.
Действительно, сейчас сохраняется неравенство (4.7) с с, не зависящим
ot#£G, |#|>/?, а значит, и неравенство типа (4.8) | и (х) | < cq'1 (χ) χ
Χ II "II (/, q) (x£Gt \x\^R)» Отсюда вытекает оценка типа (4.6). Доказа-
2
тельство непрерывности б* не отличается от приведенного выше. Щ
Теорема 4.2. Пусть G = \RN или, более общо, G является регулярной
областью, q (χ) ^ 1 (χ ζ G). Вложение Ψ$*q>> (G) -> L2 (G) будет квазиядерным,
если выполнены условия
I > Ν/2, [ q'2 (x) dx<oo. (4.10)
G
Доказател ьство. Оно мало отличается от доказательства
теоремы 3.2 в основном случае. Действительно, рассмотрим цепочку (4.5) и
связанные с ней операторы. Нужно доказать квазиядерность оператора
01 : L2 (G) -> L2 (G). Для него, очевидно, справедливо представление (3.5).
482

Полагая К(х, У) ={3$х) (у), получаем при помощи (4.6) для G и (4.10)
J J Ι Κ (χ, у) |2 dxdy = \ || J6X ||2 i(0) dx = J || δ, |£_(/f ^ ^ <
(?(J G G 2
<c2 (V2 (*)<** <°°. Ц
Как и в случае ограниченной G, для регулярной области оператор 01
при / > N12 будет интегральным с ядром из С (G X G). Более того, для
доказательства этого факта используется лишь непрерывность вектор-функции
G Э х '->- $*€ W^1*^ (G), а оценка (4.6) не нужна. Поэтому он, как это видно
из доказательства теоремы 4.1, верен и для нерегулярных областей.
2. Вложения Соболевских пространств с весом. Пространства W%' ^ (G)
играют в основном вспомогательную роль. Гораздо чаще встречаются
Соболевские пространства с весом Wl2 (G, ρ (χ) dx), которые определяются
следующим образом.
Пусть G ^ IR^ — вообще говоря, неограниченная область пространства
\RN (ΝζΗ) с достаточно гладкой границей, p£C(G), p(x)>0 (x£G) —
фиксированный вес. На функциях и, ν g (С™ (IR )) f G введем скалярное
произведение
<"■ OKhr ,^=Σ UD»u)(x)(D»v)(x)p(x)dx (/gZ+); (4.11)
wl2(G, p(x)dx) определим как пополнение (Cq (\RN)) \G относительно (4.11).
Ясно, что локальные свойства функций из Wl2 (G, p(x)dx) будут такими же,
как и функций из Wl2(G') с ограниченной G'. Сравнивая (4.4) и (4.11), очевидно
получаем на функциях и g (С™ (IR^)) \ G оценку
II « II π п\ <с.\\ и\\ , о (ci>0),
где введено обозначение
?(/) (х) = max { | (D^) (*) | | | μ | < /} (* g 3). (4.12)
Отсюда следует непрерывность вложения
^2 № Я2(1) Μ ^) s ^' <} (G) (/ g Z+), (4.13)
причем первое пространство плотно во втором.
Предположим, что /?(*)> 1 (χζδ), тогда ^(^ p(x)dx) и L2(G) можно
принять в качестве позитивного и нулевого пространств и построить
соответствующее негативное пространство W^iG, p(x)dx). В результате получим
цепочку, которая часто будет использоваться,
WJl (G, ρ (χ) dx) э L2 (G) э ^ (G, ρ·(a:) d*) (/ g Z+). (4.14)
Роль теоремы 3.2 будет играть следующая теорема.
Теорема 4.3. Пусть G = \RN или, более общо, G является регулярной
областью, т£ Z+ и lj> M/2 целое. Если веса qlt q2£Cl(G) таковы, что 0<
< Й1 (х) < Й2 (*) (* g 3) и
^q\(x)fql(x)dx<oo, (4.15)
G
то вложение W^1 (G, q\ (/) (χ) dx) ^ W% (G, q\ (χ) dx) квавиядерно.
16* 483

Доказательство. Сравнивая условия этой теоремы и теоремы 4.2,
еаключаем, что вложение Нг = W2 Q (Q ""*" ^2 (Φ = ^ι» будет квазиядерным.
Применим теперь к этим пространствам замечание 3.1, полагая Ε = (Cq(\Rn))\G
и (Τ/) (χ) = q1 (χ) f (χ) (x£G; f £ Ε). Нетрудно заметить, что все необходимые
требования будут выполняться. В результате получим, что вложение Я2 =
& у(/. Яш) (G) -, L2 (G, q\ (x) dx) = G2 квазиядерно. Согласно (4.13) вложение
Wl2 (G, qlf (/) (x) dx) ->- W%* Qi) (G) непрерывно, поэтому вложение W2 (G,
q\ (t) (x) dx) -> L2(G, ^ (д:) d#) квазиядерно.
Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично доказательству
теоремы 3.2. Так, применяем лемму 3.1, полагая Ε = (С™ (\RN)) \G, (Tf)(x) =
= (Dv/)(jc), где Dv —фиксированная производная порядка |v| </n, (/, g)H —
■=(/> 8)mi,r 2 , ,. 4· (Λ £)g =(Λ Я), _ 2/ w ч (/. ^e^)· Учитывая до-
W2(G, q^ щ{х)ах) u* L2(G, q\{x)dx)
казанную квазиядерность вложения Я1->-С1, получаем, что таким будет и
вложение #2 ->- G2, где Я2 и G2 — пополнение £ относительно скалярных
произведений
2 w^G, ?2, (/)<*)<**> W2^G* д2, {1)(χ)άχ)
Применяя затем лемму 3.2, заключаем, что квазиядерно вложение #->G, где
Η и G—пополнение Ε относительно скалярных произведений
W2(G, <72f (/>(*№) |vf3m ^2<G' *2, (/)(*)^*)
L2{G,qx{x)dx) (v^m L2{Gyqx(x)dx)
Очевидно, Я= W£+/(G, ^# (/n) (л:) dx) и 6=^(6, q\(x)dx), откуда и
следует теорема. Законность применения лемм 3.1 и 3.2, как и при
доказательстве теоремы 3.2, легко обосновать с помощью § 7. Щ
При рассмотрении пространства Шварца S> (\RN) основных функций нам
понадобятся соболевские пространства со специальным весом. Положим
Si(\RN) = Wl2(\RNt (1+ \x\2)ldx).
Тогда
iu> V)s (IR*)= Σ J {DH) {X) {DlXv) (X) V+\x^1 dx (4Л6)
' |μ|<ί/ IR^V
(ΙζΖ+; и, OtSt(\RN)),
а последовательность норм || . \\s N монотонная: || · II^0<irA^) < Hls (|Rtf} <
<:... . Следующая теорема по формулировке вполне аналогична теореме 3.2
для ограниченной области.
Теорема 4.4. Если l" — l'>N/2 (/', 1"ξΖ+), то вложение Sr(IR^)->
->«S/, (IR^) квазиядерно.
Доказательство. Пусть т£ Z+i I> Ν/2 целое. Требуется дока-
зать, что вложение Sm+t (\RN)-+Sm(\RN) квазиядерно. Применим теоре-
484

му4.3, где q1(x) = (l+\x\2)m/2 и <7а(*) = (1 + |*|2) 2 ; условие (4.15),
очевидно, будет выполнено. Следовательно, вложение W™^~1 QRN 9 q^ n\(x)X
X dx) -> 5m (IR^) квазиядерно.
Для рассматриваемого веса q2 (χ) справедлива оценка q2f m (x) <■ ст ;χ
X q2 (χ) (χ ζ \RNf cMt t > 0), поэтому топологически Sm+l (\RN) s ^+ί (IR*,
q\^t)(x)dx). Беря суперпозицию последних двух вложений, заключаем, что
sL*i№N)-*Sm№N) квазиядерно. ■
3. Классические пространства основных функций. Покажем теперь,
что два классические пространства S> (IR ) и В (IR*), которые рассматривались
в XI. 1, XI.3, являются проективными пределами Соболевских пространств.
Начнем с пространства Шварца $ (\RN). Оно обычно определяется как счетно-
нормированное пространство следующим образом. Введем на С™ (\RN) (N £ Ы)
монотонную последовательность норм, полагая
II " 'I* fiRAf, = пик {(1 + | * \ψ2 Σ I (°Д«) Μ I I * € IRW} (τ <E Ζ+). (4.17)
τ |μ|<τ
Пусть #τ (IR*) — пополнение Cg° (IR*) относительно (4.17). Тогда # (IR*) =
= prlim(S>1.(|R^)> где Γ = Ζ+, т.е. $(IR*) = Π $T(IR*), и базис окрестностей
нуля в Θ (\RN) составляют множества U (0; τ; ε) = {φ £ <*? (IR*) | || φ || © ,ιολλ<
<ε} при произвольных τζΤ и ε > 0. Таким образом, <*?(!R*) состоит из
бесконечно дифференцируемых функций на IR , каждая из которых вместе с
любой своей производной убывает при |#|->oo быстрее любой степени \x\~l-t
сходимость в <*?(IR*) описана указанным базисом окрестностей. Покажем, что
оно подобным же образом строится и по соболевским пространствам S/ (IR ).
Теорема 4,5, Пространство <*? (IR ) совпадает с проективным
пределом пространств ST (IR*): $ (IR*) = рг lim SJ\RN) Это пространство ядерно.
Доказательство. Для вывода соотношения $ (\RN) = рг limS (IR^)
достаточно доказать два неравенства: для каждого τ £ Τ найдется τ' ζ Τ такое,
что при некотором с%%, > 0 || φ ||s (]rN) < схх, JJ φ ||^ (|rN) (cp £ Cg°(IR*)) и
аналогичное неравенство, в котором 5τ (IR ) и ®χ, (IR*) необходимо поменять
местами (с другими τ' и с%%,).
Первое неравенство тривиально: пусть / > Ν β целое, тогда согласно (4.16)
Для <v£C£(\RN)
|| cp \f^(RN) <:max {(1 + \х \*f+l Σ | (№φ) (χ) |« | χζ \RN\ χ
χ J (1+μΐ2Γ/^<4'ΙΐΦΐΙ2*τ/(^) (τ£Γ;τ/=τ + /).
IR^V
Покажем теперь, что для каждого τ £ Τ найдется τ' g T такое, что при
некотором <?ττ,>0 || φ Ц^ (|rN) < схх, || φ Hs (IRtf) (φ6 C^° (IR*)), Зафиксируем
целое / > Ν/2 и обозначим через Вх открытый шар 'с радиусом, равным
единице, и с центром в точке #£IR*. Согласно теоремам вложения ||cp|L,s· ч <
485

< ci II Φ II ζ (φ £ ^2 (Βχ)) с константой clt не зависящей от х. Отсюда
W2(BX)
следует, что для φ £ Cg° (IR^)
Ι Φ W К *i || φ Γ 5, |Цад < сг II φ ||^(|RiV) (* £ IR"). (4.18)
Подставляя в (4.18) вместо <р(л;) функцию (1 + | χ |2)2 (Ζ)μφ) (χ), где φ ζ
£ Cq (\Rn) и |μ| <:τ, получаем
(1 + \χ |V/2 Ι ΦμΦ) W I < q || (1 + \x |2)τ/2 (Ζ>μφ) Μ |l, „ =
=Ci ( Σ ί ι Φν «ι +1 * Ι2)τ/2 (°μφ) (*) ι2 ^)1/2 =
β ^ ( Σ ί | Σ W Φ" Ο + Ι * 12)Τ/2) ΦλΦ> Μ f ^)1/2 · (4.19)
|v|</|Rtf Ικ|</, |λ|<τ+*
Здесь ομκνχ — некоторые коэффициенты, получающиеся из формулы Лейбница.
Тан как | D* (1 + | χ |2)τ/2 | < с2 (1 + | χ |2)τ/2 (x^\RN; | κ | < /η), то, оценивая
при помощи элементарных неравенств правую часть (4.19) сверху, получаем
О + | χ |2)τ'2 I (D»*q>) (x)\<c8 J ( J | (Ζ^φ) (*) |»(1 +1 * |2)τ ^)1/2 <
|λ|<τ+/ RN
Отсюда и из (4.17) вытекает, что ||φ ||^> (|RiV) < α„, || φ||5 ^|rA^ где φ g
6 C~ (IR*), τ' = τ + /.
Итак, <*?(IR^> = рг limST(IRiV). Ядерность & (\RN) очевидно следует из
теоремы 4.4. ■ τ^τ
Отметим, что из теоремы 2.1 вытекает существенное равенство
Оно показывает, что каждая обобщенная функция из <*?' (JRN) имеет
«конечный порядок», точнее, является элементом некоторого негативного
Соболевского пространства, сопряженного к пространству функций-конечное
число раз дифференцируемых.
Перейдем к рассмотрению пространства @J (\RN) (ΝζΜ). Оно обычно
определяется как линейное множество функций C™(\RN), в котором введена
следующая классическая сходимость: Cg° (IR^) Э Φ/* —»Ф 6 ^о° 0^)> если Функции
φη равномерно финитны (т. е. существует г>0, зависящее от (yJflLi такое,
что <prt (χ) = 0 при | χ | > г и всех η £ Ы) и для каждой производной
(Ομφη)(χ) η·^ο (£>μφ) (а:) равномерно. Такая сходимость возникает, если в С™ (\RN)
ввести должным образом индуктивную или проективную топологию (эти
топологии не эквивалентны). Мы остановимся лишь на основной для
нас проективной топологии. Сперва построим & (IR^) как проективный
предел (не счетно-нормированный) банаховых пространств.
486

Обозначим через Τ совокупность всех пар τ = (τΐ9 τ2 (x))t где τχ £ Z+t
а т2^С°° (\RN) и т2(л:)>1 (at^(R^). Для каждого τζΤ определим банахово
пространство @х (\RN) как пополнение Cg° (IR^) относительно нормы
II ttll*/iRJV>e,mx {*■<*> Σ Ι (^μ«) W I U€ IR^} («g C0°° (|R*)). (4.21)
Если τ' = (τ/ , τ2 (χ)) £ Τ1 таково, что τ{ > τ1χ τ2 (χ) > τ2 (a:) (a: £ IR^), то
очевидно || . ||^ (RN)<\\ ■ ll# (|Rtf)· Нетрудно доказать, что ®r(\RN)<=@x(\RN)
и оператор вложения непрерывен (в связи с этим см. пример 7.4).
Отсюда следует, что семейство (^T(IR^))X^ направлено по вложению: (Vx/,
τ"£Τ) (Ητ'" g Τ): @>τ,„ (IR*) s ^τ, (IR*), ^X,„(IRN) s Sf^ (IR*)f причем
вложения плотные и непрерывные. Так, достаточно положить, например, τι = τ^ +
+ τ'ί, τ2" Μ = τ2' (*) + τ;' (χ) (χ ζ \RN).
Пересечение
П 0-(\RN)=>C?(\RN) (4.22)
и, разумеется, плотно (Υτ^Γ) в ^T(IR^). Легко понять, что в (4.22) в
действительности имеется равенство. В самом деле, пусть φ входит в левую
часть (4.22), тогда φ £ С°° (RN). Функция φ финитна. Так, предполагая
противное, найдем последовательность точек (хп)п=\ с ^ таких, что \хп\ —> оо
и φ (χη) φ 0. Пусть Вп — некоторый открытый шар в |R^ с центром в точке
хп такой, что | ф (л:) |>εη>0 (χζΒη, я£ Ы). Построим функцию τ2£ C°°(\RN)9
τ2 (χ) > 1 (χ ζ \RN)t для которой τ2 (χ) > —- при χ ζ Βη (η ζ Н)ч Тогда φ ξ£
л/
j?^T(IR ), где τ = (0, τ2(χ)), и мы приходим к противоречию. Щ
Таким образом, можно рассмотреть pr lim^T(IR^), и он как множество
совпадает с С™ (\RN). Под пространством ^(|R ) мы и будем понимать этот
проективный предел (то, что сходимость совпадает с требуемой классической,
мы покажем несколько позже). Базис окрестностей нуля в нем составляют
множества U (0; τ; ε) = {φ£ ^(IR^) | || φ ||^ ώΝ <ε} при произвольных τ@ Τ
и ε>0.
Покажем, что пространство Β (IR^) может быть построено и как
проективный предел Соболевских пространств. Пусть Τ прежнее, положим
D% (|R*) = Wf (\RN9 τ2 (*) <fe) (τ = (τ1§ τ2 (*)> £ Γ). (4.23)
Система норм (4.23) также направлена: для каждых τ', τ"£ Γ можно по-
прежнему положить τ'" = (τί + τ", τ2 (α:) + τ2"(*)) £ ^· Тогда плотно и
непрерывно DxW (ir") s Dt, (IR*)f Dt„, (IRN) s Dt„ (IR*).
Теорема 4.6. Пространство В (IR ) совпадает с проективным пределом
пространств Ώχ (IR^): & (IR^) = рг lim DT (IR^). Это пространство ядерно.
Доказательство. Оно аналогично доказательству теоремы 4.5. Пусть
ρ (*)£ С"(IR^) такова, что ρ (χ) > 1 (*glR*)f и f ρ"1 (*) d* < оо. Тогда со-
\rn
487

гласно (4.11) для каждого τζΤ при любой (p£CJ°(IR ) имеем
II ср ||2 „ <тах{та(*)р(*) £ №»") (χ) \* \ χ ζ \RN} X
τΙΙΚ ' М<ъ
Χ £ ρ"1 (*) d* < с\%, || φ ||^τ,(^, (τ' = (τ1§ (τ2 (α:) ρ (χ))ι/2)).
IR*
Докажем противоположное неравенство. Зафиксируем τ = (τ1, т2(а:)}£7\
целое />W/2 и подставим в (4.18) вместо φ (а:) функцию τ2 (α:) (ϋμφ) (χ), где
cp^CoOR^) и |μ|<^ι· Получим аналогичную (4.19) оценку
ч (*)Ι Φμφ) w |< ci ( J {I J] *μνκλ ФЧ) Μ χ
Χ (Ωλφ) (χ)\2 αχ}1'2. (4.24)
Обозначим через τ2 (а:) функцию из С°° (IR^) такую, что | (£>κτ2) (л;) |2 <: τ2 (а:)
(at^IR^) для всех |κ| </. Оценивая теперь правую часть (4.24) сверху, найдем
τ2 (χ) | (D"9) (*) |< с, £ ( J Ι Φλφ) (χ) Ρ τ,' (*) d*)'/2 <
Отсюда и из (4.21) вытекает, что || φ \\@ ([R^ <с^, \\ φ ||D ^rN) (φ ζ
CfflR")), где τ'-^ + Ζ, τ2'(*)>6Γ.
Итак, ^(IR^) = pr limD IR^). Ядерность @f (\RN) следует из тео-
τ{Τ
ремы 4.3. И
Из теоремы 2.1 вытекает аналогичное (4.20) равенство
#'(|R*) =UDt (IR^), D_r {\RN) = ГГ* (IR*, τ2 (а:) Ле). (4.25)
Смысл его прежний: каждая обобщенная функция из В' (IR*) имеет
конечный порядок.
Итак, пространство В (IR*) понимается как проективный предел банаховых
пространств @% (IR ) или гильбертовых DT(\RN). Убедимся, что сходимость
в этом пространстве совпадает с классической сходимостью, которая
вводится в ^(IR*).
В самом деле, пусть в классическом смысле СГ (IR ) Э φ^ —> φ €
C?(\RN). Тогда в силу (4.21) (γτζ Τ) : || φ„ - φ ||^ (|RjV) -* О при az->oo. До-
кажем обратное: пусть С™ (IR*) Э φη —> фб Со° 0^) в ^ (IR^)> тогда эта
сходимость классическая. Будем по-прежнему пользоваться окрестностями,
определяемыми нормами (4.21). Из сходимости φ^ κ φ по каждой такой норме
очевидно следует сходимость (Ζ)μφ/2) (χ) κ φμφ) (at) для любой производной
ϋμ, равномерная на каждой ограниченной области из IR*. Поэтому
утверждение будет доказано, если установить равномерную финитность функций φη·
Ясно, что достаточно рассмотреть случай φ = 0.
Предположим противное. Тогда найдутся последовательности индексов
(пт)т^х и точек из ,RiV (*m)m=i такие, что пг < пг < ... , lim | хт | = оо
т-*оо
488

и (рПт (хт) Φ 0 (m£N). Обозначим через Вт некоторый открытый шар в D?^
с центром в точке хт такой, что | cp„m (χ) \ > гт > 0 (χ £ Вт, т£ Ы). Построим
функцию τ2 £ С00 (IR^), τ2 (*) >· Ι (χζ \RN), для которой τ2 (#) > ε"1 при х£Вт
(т£Ы) и рассмотрим соответствующее пространство @τ (IR^), где τ = (0, τ2(χ)).
Тогда согласно (4.21) (Vm€ N) : II Фят Нф irA, > 1, и поэтому
последовательность (φ^)^! не стремится к φ = 0 в топологии пространства @ (fR^). Пришли
к противоречию. ■
Таким образом, мы пояснили, как классические пространства теории
обобщенных функций связаны с Соболевскими пространствами —
позитивными и негативными.
На введении индуктивной топологии в В (IR ) детально мы останавливаться
не будем. Заметим лишь следующее. Пусть Вг — открытый шар в IR^ радиуса
г>0 с центром в точке 0. Через С$ (Вг) обозначим совокупность всех функций
из Cq (\Rn)> аннулирующихся вне шара Вг и некоторой окрестности его границы.
Ясно, что Cq (\Rn) = jj С0°° (Вп). Каждое С£ (Вп) топологизируется
относила
тельной топологией, индуцированной пространством С°° (В/г) id Cq (Вп) (т. е.
окрестности в С~ (Вп) — пересечения с С£° (Вп) окрестностей с С°° (Вп),
построенных в примере 3.1.)· «Индуктивные» окрестности в @(R^) подобны (2.10),
однако вместо шаров в правой части (2.10) рассматриваются указанные
окрестности пространства CJ° (Вп). Таким образом, 3 (\RN) с этой точки зрения —
индуктивный (счетный) предел проективных пределов.
§ 5. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ
В функциональном анализе играет важную роль понятие тензорного
произведения пространств, процедуры, абстрактно описывающей построение по
пространству функций одной переменной пространства функций нескольких
переменных. Мы изложим это понятие и связанные с ним конструкции для
сепарабельных гильбертовых пространств, где оно особенно просто, их
оснащений и проективных пределов. Случая бесконечного числа переменных
мы касаться не будем.
1. Тензорные произведения пространств. Пусть (H^)^==l —конечная
последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, (e^)yL0— некоторый ор-
тонормированный базис в #£. Образуем формальное произведение
*α=*(α!® ··· ®С <5Л>
a = (alt .,♦, α/2)£Ζ^ = Ζ+Χ ... Χ Ζ+ (η раз), т. е. рассмотрим
упорядоченную последовательность (е^, ...» ^) и на формальные векторы (5.1)
натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонорми-
рованный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство
называется тензорным произведением пространств Нъ , .. , Нп и обозначается
η
#ι ® ... ® Нп — ® #£. Его векторы имеют вид
k=l
f= Σ fa?a (/«6©). IIffn = Σ Ι/αΙ8<". (5-2)
(/. e)» „ = Σ fJ^· s= Σ *<*««€ £ нь
489

Пусть /(fe) = J] №е№ £Hk (k=l n) — некоторые векторы. По
/=o
определению
/=/^>® ...*/w- Σ /Si.../ig««. (5.3)
Коэффициенты /α = /^ ... /W разложения (5.3) удовлетворяют условию
/г
(5.2), поэтому вектор (5.3) принадлежит ® #£, при этом
η
и/н я = Пшк· (5·4)
Ясно, что функция #!0 ...0ЯлЗ(/(1), .... /(rt)>/-*/(1)® ··· ®/(η)ί
/г
£ ® #£ линейна по каждому аргументу, а линейная оболочка L векторов (5,3)
η
плотна в ® #£—эта линейная оболочка называется алгебраическим (непо-
k=\
полненным) тензорным произведением пространств Hlt .. . , Нп и обозначается
η
а. ® #£. Если Lk — линейное множество в Hk (k = 1, ... , η), то аналогично
£=l
а. ® ^ = л. о. {/(1) ® ... ®f{n)\f{k)£Lh k = l9 ... , η],
k=l
® L* = 3. л. о. {/(1>® ... ®/М|/(Л)€1*, Ы я},
Приведенное определение тензорного произведения, разумеется, зависит
от выбора ортонормированного базиса (ej^)5Lo B кажДом сомножителе Η&
Однако, как легко понять, при изменении базисов получаем тензорное
произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.
По существу приведенная конструкция тензорного произведения в случае
двух гильбертовых пространств Нг и Н2 означает следующее.
Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений /ί1) ® /(2), причем
считается, что
(/(1)+8(1)) ® /(2) = /"> ® /(2>+8(l) ® /<2>. /(1) ® (/(2)+g(2)) -
=/<·> ®/<2>+/о·®g<2>, (v(1>) ® /<2>=λ (/(»® /<2>), /<·> ® (λ/<2)) =
= λ tf<» ® /<2>) (/<»>, ff(» € Я1: /<2>, g<2> € Я2; λ е С). (5.5)
Иными словами, линейное пространство L факторизуется по его линейному
подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей
между правыми и левыми частями равенств (5.5).
Затем в L вводится скалярное произведение, оно на векторах вида
/^ (£) /^ считается равным
(/(1U(1>№ f<2\ir(2)etf2),
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L
билинейным образом.
490

Пример 5.1. Пусть Hk = L2 (Rk, №k> dpk(xk))> где /^ — измеримое
пространство с мерой μ^, заданной на σ-алгебре ίΗ^; μk(Rk) <:+<*> (&=1, , ..
•.. , п). Тогда
<Х> Hk = L2 ( X Rk> X *ь d ( χ μ*,) (α:)) = L2 (б.б)
fc=l &=1 k=\ k=l
(x = (x1, ..., xn)£ X Rk)-
k=l
В самом деле, для доказательства (5.6) нужно вектору вида (5.1) е(
а
η
■= 4J) ® ... ® е£) £ <8> #£ поставить в соответствие функцию βα (χ) = б^ (л^)
... е^п (хп) £ L2. Такие функции образуют ортонормированный базис
пространства L2 (см. лемму VIII.7.1), поэтому такое соответствие порождает
η
требуемый изоморфизм между (£) Я^ и L2.
2. Тензорные произведения операторов. Перейдем к определению
тензорного произведения ограниченных операторов.
Теорема 5.1. Пусть (Hk)nk==i, (G&)!L=l— две последовательности
гильбертовых пространств, {А^=х — последовательность операторов А^ £
η
ζ& (Hk, Gk). Определим тензорное произведение Ах ® ... ® Ап = ® Ak
формулой £=1
(/£ ® #*)· (5.7)
k=\
η
Утверждается, что ряд в правой части (5.7) сходится слабо в (%> 0^ и on*
k=\
η η η
ределяет оператор ® Ak£ 37 (<& Hk, ® £/?)> причем
k=\ k=\ k=\
11®^||=П||^||. (6.8)
k=l k=\
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай η = 2, так как в
силу равенства Я1 <g> · · · ® Яп = (Ях ®«·. ® Я,^) ® Я„ (ассоциативности
тензорного произведения) общий случай получается затем по индукции.
Итак, пусть η = 2. Обозначим (ly)JL0 некоторый ортонормированный
базис в Gk (k = 1, 2) и пусть g = У] g^o1* ® Й2) ζ Gx ® G2. В качестве / возьмем
вектор из Н1(2) Н2 с конечным числом отличных от нуля координат /а. Зафи-
оо
ксируем α2, βχ £ Ζ+ и обозначим через / (α2) ζ Ях вектор / (а2) = JJ /«*«! и
at=0
оо
через g (βχ) g G2 — вектор g (βχ) = J] gp/R Получим
β2=ο
|( Σ /a^S!®^2'^.»0tr = | Σ Ufl^VRV*
491

α2=Οβ!=0
oo oo
< Σ Σ iMif(«.). ^V1 Σ Σ iMs'eifc). 4%ja=
α2=0βι=0 α2=0β!=0
= Σ ΙΜι/(α«)ΙΙ20ι Σ \\αΖ8(Μ\\ηλ<\\Αι\\*\\α£\\2*
οο α2=0 те β1=0
χ Σ ιι/Ю ιι^ Σ ιι^(βι)ΐβ,=ιι^ιΐΊΐ^ιΐ2 Σ \υ2χ
α2=0 fc-Ο α€Ζ2_
χ Σ Ι^βΐ2·
Из этого равенства, очевидно, следует слабая сходимость в Gt ® G2 ряда
Σ fa^iea* ® вс? Уже ПРИ пРоизвольном / £ Ях ® Я2 и оценка его нормы в
Gx ® G2 сверху через || Лх || || Л2 \\ \\ f \\ц <%ц . Таким образом, оператор Лг ®
® Л2 : Нг ® Я2 -*■ С?1 ® <j2 определен посредством (5.7) корректно, ограничен и
его норма не превосходит || Лх || || Л2||.
С другой стороны, согласно (5.4) и (5.7)
IIHi^^X/i^Wllo^o.^lHi/illoJI^MIo, ft^*. * = i. 2).
Подбирая должным образом орты /lf /2, последнее произведение можно сделать
сколь угодно близким к || А1 \\ \\ А2 ||, поэтому неравенство ||^!(Χ)/ί2||<
< II ^ι II II ^2 II не может выполняться, т. е. (5.8) при η = 2 доказано, т
Замечание 5.1. Из определения (5.7) следует равенство
( ® Ak) (/<" ® · · · ® f <">) = Л,/« ® · · · ® iW« (5.9)
ft=l
tfwetft: д-ι η),
η
которое однозначно определяет оператор ® Л^. Отображение
&=1
X &(Hkt Gk)B(Alt ... , Лп>1-> ® Ak£<?( ® ЯЛ> ® G*)
линейно относительно каждого аргумента. Отметим, что при помощи (5.7)
получаем для Ak£&(Hk> Gk), BkZ&iGfa F^) (k = 1, . ,. , η) соотношения
(® Bk)( <£) Л*) = ® (5Иа), (<X> Ak)*= ® Л£. (5Л0)
Замечание 5,2. Пусть каждый из операторов Л#, фигурирующих в теореме
η
5.1,— Гильберта—Шмидта. Тогда и ® Л^ — оператор Гильберта—Шмидта,
feral
причем
^li л*|=П1л*|· (5Л1)
492

Действительно, согласно (5.7) и (5.4)
ι® Akp= ς Ц(®л*)*а11\ = Σ il·4^®···®
® A< \W = Π (Σ ii MX) - Π ι^2· ■
Следствие 5.1. Пусть заданы гильбертовы пространства #& s ft такие, что
η
оператор вложения 0& :#£->-ft непрерывен (/г = 1, ... , п). Тогда © #£ s
/г «
S ® G/e, причем соответствующий оператор вложения О = ® 0£. Если (V6)·
fe=o fc=o
: Ok квазиядерны, то таким же будет и О.
Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 5.1 и замечания
5.2, если рассмотреть отображение
®_НкЪ Σ fafia^ Σ /α^οί®"·®0^?^ ® ft. ■
3. Тензорные произведения цепочек. Перейдем к рассмотрению
тензорных произведений цепочек гильбертовых пространств, введенных в § 1.
Пусть задан набор цепочек вида (1.4)
Н_лзHok aH+k (ft=l я). (5.12)
Согласно следствию 5.1 из теоремы 5.1 имеем
J> Я_,* aj&j # o.fc э J, я+,*· (5.13)
Теорема 5.2. Гильбертово пространство ® Н_ k можно понимать как
k=i у
η
негативное пространство относительно нулевого ® Н0 k и позитивного
k=\ '
η
® ^_i_£.» т.е. (5.13) является цепочкой.
k=i "t"'
Доказательство. Обозначим <3_ негативное пространство относительно
/г η
нулевого ® #0 fe и позитивного ® Я_^ ft. Пусть О и/ — операторы, связан-
п η
ные с цепочкой G_ э (£) #п *, э ® Я, fc, a Оь, /ь — такие же операторы,
/г /г
связанные с (5.12). Тогда 0= ® 0А и по (5.10) / = 0* = ® 7^. Однако
k=\ fe=l
η
G является пополнением ® #0 fe относительно скалярного произведения (/,
k=l ·
η
g)G = (//, g) rt , которое в силу равенства /= ® /^совпадает на плот*
ном множестве а. ® #0,fc с0 скалярным произведением в ® ^«^· ■
493

Из приведенного доказательства следуют равенства для операторов,
связанных с цепочками (5.12), (5.13):
/= ® Ik\ 1= ® \k\ J = ® Jk; J = ® J*. (5.Н)
Λ=1 fc=l fe=l Аг=1
4. Случай проективных пределов. Используя доказанные выше
утверждения о тензорных произведениях гильбертовых пространств, можно
рассмотреть аналогичный вопрос для оснащений линейными топологическими
пространствами, изученных в § 2. Пусть задан набор оснащений типа (2.11)
Ф4аЯмэФЛ (* = 1, .... л), (5.15)
в котором (p£ = prlim Я, — проективный предел направленного по вло-
жению семейства гильбертовых пространств (Я, τ )τ ,τ (£=1, ... , ή),
удовлетворяющего необходимым требованиям § 2. Для всякого мультииндекса τ =
η
= (τΐι «· · » Τ/ι) € Τ = Χ Tk рассмотрим набор гильбертовых оснащений
k=l
Н_ча Я0.ч а Н+ч (k = \ я), (5.16)
где Я__ τ —сопряженное к Я , τ относительно Hok гильбертово
пространство. Согласно теореме 5.2 тензорное произведение цепочек (5<16) есть при
фиксированном τ £ Τ снова цепочка
Лн-ч^Ан°^Лн+^ (5Л7)
В силу направленности каждого семейства (Я, ) ,т (/г = 1, ... , η
η
семейство гильбертовых пространств ( ® Я+д )%,т, как это следует из (5.8),
η
также направлено по вложению, причем множество Π ® #_μ τ плотно в
χξ-Τ k=l ~Гг k
каждом пространстве этого семейства. Так как по предположению (V^fe £ Τ^):
• II ' Няп ь < II ' 11я ι » то в СИЛУ следствия 5.1 из теоремы 5.1 заключаем, что
(V-c € Г): || .||η <||·||„
η
Определим тензорное произведение ® Ф^, пространств Ф& (k = lt ·,, , η)
fe=i
как проективный предел:
® Фй = рг lim ® Я, (Г = χ" Tk). (5.18)
Таким образом, изменяя в (5.17) мультииндекс τ = (xlt ,,, , τη) по
индексирующему множеству Τ, получаем семейство цепочек вида (2.13) с Я0 =
= ® Я0 ^. Это дает возможность применить схему §2 и построить цепочку
k=\ '
Ф'зЯ0= ® Я0 . э рг lim ® Я , = ® Ф^ = Ф.
494

Пространство Ф' можно топологизировать топологией индуктивного предела
η
негативных пространств ® Я _ цепочки (5.17). По .определению
k=i ~~*Tk
® φί= ind lim ® Я_т , (5.19)
В конечном счете получаем цепочку
® Ф£э ® Яола ® ΦΛ. (5.20)
Из следствия 5.1 вытекает, что в случае ядерности каждого Ф& (& = 1, .. · ι
η
η) пространство ® Φ/fe также ядерно. Мы пришли к следующей теореме.
k=\
Теорема 5.3. Тензорное произведение цепочек
Фа а Ям а Ф* (6=1, ... , /ι),
β которых Φα = рг lim Я , τ , является снова цепочкой
4iTk k
® Ф*э ® Я0>4= ® Ф*.
ft=l k=l k=l
η η
где пространства (£) Φ& и ® Ф£ определяются равенствами (5.18) и (5.19).
Б случае ядерности каждого оснащения (5.16) построенное таким образом
оснащение (5.20) также ядерно.
§ 6. ТЕОРЕМА О ЯДРЕ
С понятием тензорного произведения пространств тесно связан вопрос
о возможности записи билинейной формы ограниченного оператора (или,
более общо, произвольной непрерывной полилинейной формы) в виде
«интегрального оператора с ядром». Будет показано, что такая запись всегда
возможна, однако ядро в общем случае — обобщенная функция.
Первая версия этого результата принадлежит Шварцу, относится к
пространству основных функций $ (IR ) и утверждает, что каждая непрерывная
билинейная форма α (φ, ψ) (φ, ψ 6 $ (IR )) может быть -представлена в виде
β (Φ» Ψ) = (α. φ® Ψ)» (6.1)
где α £ $' (\R2N) — «обобщенное ядро»; (φ ® ψ) (хг χ2Ν) = φ (xlt . .. ,
*#)Ψ(%+1 *2Λτ)·
Подобного типа результаты удобно излагать в абстрактном виде,
пользуясь понятием тензорного произведения пространств (§ 5). Мы сразу будем
вести изложение для полилинейных форм; билинейные формы будут
рассмотрены в конце параграфа. В случае классических пространств $ (IR^) и В (IR^)
основных функций приведенные результаты переходят в известные факты
теории обобщенных функций.
1. Случай гильбертовых оснащений. Прежде всего введем понятие
обобщенного ядра. Пусть задано η цепочек
H-.k э Ho,k a H+,k (* = 1. . · · . η). (6.2)
495

Рассмотрим их тензорное произведение
έ H_k э ® Hok э ® Н+л (6.3)
η η
и будем называть элементы F, G, .,. £ ® Я0 ^, ί/, V, . .. ζ ® Я, < и А, В,
η
... ζ (£) #_ ь ядрами соответственно обычными, гладкими и обобщенными.
Рассмотрим непрерывную я-линейную форму a(f^\ .,., f№)—
непрерывную функцию
ff0,i θ · · · Θ Н0п Э<[(1\..., /<">> м- а (/<»>, .... /<">) ζ С, (6.4)
линейную по каждому переменному /^ при фиксированных остальных.
Непрерывность (6.4) эквивалентна наличию оценки с некоторым с>0:
И/(1) /<n)) I < « П II f{k) ||я0.» (/(А) 6 Щ,к-, k = \ η) (6.5)
(доказывается это, как и в случае л=1, см» § VII. 2), Зафиксируем в
каждом пространстве H0fk ортонормированный базис (е^)^0* Пусть f^k) =
оо
= 2j /α β« — разложение вектора f^ £ HQ k no этому базису. Положим а=
β(θ!, ., , αη)£ Ζ Т. Из непрерывности и полилинейности следует
представление а в виде сходящегося ряда через ее координаты аа и координаты векторов f™
* (/(1) /(η)) = Σ «Λ>. · · /ζ. *«=- eg. · · ·. *£> ίβ а
Доказательство теоремы о ядре опирается на следующие две леммы.
Лемма 6.1. Пусть а — непрерывная η-линейная форма (6.4), А^ £ 3? (#o,fc)
(& = 2, ,.. , η) — операторы Гильберта—Шмидта. Рассмотрим непрерывную
η-линейную форму
я0>1 е- · · θ Щ,п э </(1) /(п)>'-> ъ (/(·> /W) =
= α (/<·>, Л2/<2> ΛΛ
Утверждается, что координаты (Ьа)ас%п формы Ь таковы, что
"Г
Si*J2<°°· <6J>
Обратно, если A^S (Я0 k), Ak Φ 0 (k = 2, ... , η) и для любой
непрерывной формы а координаты формы Ь удовлетворяют условию (6.7), то все
операторы А^ — Гильберта—Шмидта.
Доказательство. Зафиксируем /(А) £ H0fk (k = 2, ... , η). Тогда
Η0 j 3/(1) '-*/(/(1)) = α(/(1),... , /(rt)) является линейным непрерывным функ-
п
ционалом на H0tl с нормой, не превосходящей (в силу (6.5)) с J~| ||/( Μΐ//0£·
k=2 '
496

Так как /(/(1))= (/(1), Ί)η0)ι· гДе координаты (ha)a=0 вектора h£Hol в
базисе (e^),J=o имеют вид а(е^, /(2), ... , /!(,1)), то получаем
fw)ii=imi,<c,r
(/<*><ея0,%. fe = 2 η).
Σ Ιβ<. /(2) /(π))Ι2 = II'II* «2 Π И'(ft) 11я0*
at=0 fe=2
Из этой оценки следует
Σ κι2= Σ ι*<«8>. —.^g>ι- — Σ i«<^g.···.
<*Έ\ 066 Ζ^. α(Ζ^
Обратное утверждение получается с помощью конструкции для заданного
k = 2, ,,. , я такой непрерывной формы а, что Σ I ^а I2 == с£ I ^k ί2 с неко-
торым Cfe > 0 (6 построена по форме а). Тогда сходимость последнего ряда
влечет |Лд,|<оо. Форма а задается своими координатами aa, имеющими вид
^«Л-э.-'-Ч-лЛ+Л+х'^Чеп^62^· где б'*~ символ Кроне"
кера, а β2, ,.. , β^, β#+1, ... , βη = 0, 1, ..., фиксированы. Подсчитывая
для нее ^ l^al2» легко получаем требуемое равенство с константой
Так как Л;. =£ 0 (/ = 2, ... , л), то всегда можно подобрать такие β;·,
чтобы <?£ > 0. Щ
Лемма 6.2. Пусть Яод φ... 0 Я0§я Э (/(1), ..., /(/г)> Ι-*δ(/(1), .♦.>
— непрерывная п-линейная форма. Она предспгавима в виде b(f^x\ ,.. ,
fW) = (/ί1) ®... ®/M, /С)м , sde /C£ ® //0Jfe, тогда и только тогда,.
когда для ее координат (6α) выполнено условие (6.7).
Доказательство, Пусть (6.7) выполнено. Положим
_./- Γ77Λ1 Λ 1
*ίΈ\
а, очевидно,
ГДе (ea)af^n —базис в ® #0 Λ вида (5.1). Тогда,
(/ω ®... ® /w, ю п = Σ ^ · · · 4П) *«= * (/(1) /(л))
(f(k)tffo,k· *=■!. -.·»")·
ί 2 9-227 497

Обратно, если требуемое представление формы Ъ имеет место, то Ь (е^\ ... ,
6α)) = (βα» *)« = /<α (<*£%+)' ТогДа в СИЛУ включения К ζ ® Н0 k
выполнено условие (6.7). ■
Теорема 6.1. Пусть цепочки (6.2) таковы, что вложения 0^:Н, Λι-»»
\-+Н0 k (k = 2, ... , η) квазиядерны. Тогда каждой непрерывной п· линейной
форме
Яод θ ■ · ■ Θ Я0||| Э </(1), .... /(я)> 1«ь а (/Ч .. . , /И) g (D
однозначно сопоставляется обобщенное ядро A g #0 L ® #_ 2 ® · · · ® Я_ „
для которого
а (/(1>, и<2>, ... , и<»>) = (/<»> ® «<2> ® · · · ® «W, Α) Λ
(/(1)€Я0>1; и(*>€Я+>л; Λ = 2, .... я).
Обратно, если для каждой формы а указанного вида справедливо
представление (6.8) с А£#0д ®Я_>2 ® · · · ® Я_>п, то вложения Ok (6 = 2, ... , η)
квазиядерны.
Доказательство. Пусть 0^, /& (k = 2, . *. , η) — операторы,
связанные с цепочкой (6.2); при & = 1 будем считать Я+д = Н01 = Я 1# Для
f{l)$Hotv u(k)£H+,k (6 = 2, ... , я) имеем
α (/<*>, «(2), ... , *<">) = α (/(1>, 0272^"(2). ..- OnJntfuM) =
= 6(/ω, УГУ2>, ,..,/"1^)), (6,9)
где
6 (Ζ'1*, ... , /<»>) = α (/('>, 02/2/(2> 0Я/^ <">) (6.10)
(f{k)£H0fk, k = \ я).
При k — 2, .,. , я 0#— оператор Гильберта—Шмидта. Таким же будет А^ =
= Ofc/fe : Я0 /ζ, -> Я0 д.. По лемме 6.1 в этом случае координаты Ьа формы Ь
удовлетворяют условию (6.7) и, следовательно, в силу леммы 6.2 имеет
место представление
ь (fa\ .... /(л)) = (/<'> ®...® fW, к)п . к е ® нок.
Поэтому (6.9) можно продолжить следующим образом:
а (/<», «<2> «<">) = (/<" ® /Γ'"(2) ®' · · ® С1"'"'. *) η
= ((£®/2_1®···®/-1)(/:(Ι)®«(2)®···®"(',)), ϋ0„
= (/<» ® И(2> ® · · · ® «<">, (Д ® /^ ® · · · ® Ζ*1)**) η
= (/(1)®и(2>®...®и(',>> (u®Ja®.-.®J„)/C)„ . ,.m
6®1Я°·*
498

η
Здесь мы воспользовались соотношением ( <g> Jk )+ = <g> J k*, где сопряжение
+ берется относительно цепочки (6.3). Теперь, положив в (6.11) A = (^<g)
® J^"1 ® · · · ® J"1) /С ^ Я0>1 ® #__>2 ® · · · ® #_ rt» придем к требуемому
представлению (6.8). Однозначность определения ядра А по форме а следует из
плотности в Н0 J <g> #^ 2 ® · · ■ ® #_ Л линейной оболочки векторов /^ <g>
® «(2) ® - · · ® и01') (/(1) € Я0,1' "(fe) 6 Я+,Л; Л = 2 л).
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть для формы а
справедливо представление (6.8). Тогда для формы Ь, введенной равенством (6.10),
получим подобно предыдущему представление
Ь (/<'>, ... , /<">) = (/<*> ® J2fW ® ... ® /Λ Α) η
λ=1
= (/(1) ®-..®f(W, (й® J,®···® Ля)А)я
(f(k)£H0tk> k=l η).
.®/Ό,α
η
Но ('Л ® J2 ® · · · · ® J«) Α ζ ® Я0 £, поэтому при помощи леммы 6.2 заклю-
&=1 *
чаем, что для координат Ьа формы Ъ выполняется условие (6.7). Так как
форма а произвольна, а 4 = Ok^k Φ 0, т0 лемма 6.1 дает | Аь | < оо, т. е. | 0^ |<с
< оо (6 = 2, . .. , л). ■
Следствие 6.1. Утверждение теоремы 6.1 можно сформулировать более
симметричным образом (несколько загрубляя полученный результат): пусть
в (6.2) каждое вложение #+,£-> HQyk(k = 1, ..., η) квазиядерно. Тогда
любая л-линейная непрерывная форма (6.4) допускает представление
а («(1) и(л)) = («(,) ® · · · ® и(п), А) „
k®Ho,k (6Л2)
(«<*>€ tf+>/k, *=1 ")
/г
с однозначно определенным ядром А £ ® Н_^щ
Именно в такой форме теорема 6. 1 чаще всего применяется.
2. Случай ядерных оснащений. Приведем еще одну модификацию теоремы
6.1, относящуюся к случаю ядерных оснащений и форм на ядерных
пространствах. Пусть задан набор η ядерных оснащений вида (2.11), (2.14)
Ф\ а Нол з Фк = рт Шп Я+1Та (k = 1 Я). (6ЛЗ)
Образуем согласно конструкции § 5 (см. 5.20) ядерную цепочку
® Ф'4= ® Я0,*= ® фк (6.14)
fe=l fe:=l fe=l
и будем, подобно (6.4), рассматривать я-линейные формы
® Φ*3(φ(1), ..., φ(η))ΐ->α(φ(1), .,,, φ(,ι))€©, (6.15)
£=1
η
непрерывные на прямом произведении ® Фд, линейных топологических про-
k=l
странств Φβ. Так как
® Ф* = рг lim ® Я, (Г= χ rfe),
499

то легко доказать, что непрерывность формы (6.15) эквивалентна ее непрерыв·
η
ности по норме пространства ® ^+,τ с некоторым набором τ = (τ1, ...,
τη), а значит, и наличию оценки
Ια(φ(1), ...,Φ^Κβ,ΠΐΙφ^ΙΙ^.. (6.16)
ft=l Τ· *
(ct>0, ф(*'ёЯ+>ТА;й=1 η).
Теорема 6.2. Пусть заданы ядерные оснащения (6.13). Каждая
непрерывная п-линейная форма (6.15) допускает представление
α (φ(1> φ(η)) = (φ(1) ® · · · ® φ(η>, Α) „
(Ф(*>еФ*. * = ι «),
га
β котором обобщенное ядро Α £ ® Φ' определяется по а однозначно,
k=i k
Доказательство. Исходя из непрерывности α выберем τ = (τχ, . ♦. ,
τη)£Τ так, чтобы выполнялось (6.16). Для каждого τ&, используя ядерность
Φβ, находим T'k£Tk, для которого Я, χ, ε Я, τ и оператор вложения
Οτ' τ : Я . τ» ->Я, τ является квазиядерным. Рассмотрим набор цепочек
Я_,т; а Я„,А = H0ik а Я+>Тй а Я+>т- (А = 1 я)
и их тензорное произведение
η η η η η
©Я ' Э ® Я_ э (X) Я0 fe э (X) Я , э ® Я, ι.
η
Форма α(φ(1), ..., φ^) (φ^ £ Фд») непрерывна на ® Я, , вложение
Η, τ» ->Я, τ квазиядерно (6 = 1, ... , я), поэтому в силу следствия 6Л
из теоремы 6.1 имеем представление
α(φ(1), ..., φ(η)) = (φ(1)®···®φ(/ι), Α) η
£,"+.**
(6.18)
(Ф(Л,бФл, * = 1, ..., /ι).
Здесь ядро А£ <g> #2\' » где пространство Я_^т, сопряженное к #_|_ τ! от-
«=1 k k
носительно #_|->τ » т.е. элемент цепочки Я_Д, эЯ|Т эЯ^ · (& = 1, .·. »
/г). Обозначим IT,fe : Я_Д, ->Я, τ' изометрии, связанные с последними це-
почками. Тогда (6.18) запишется в виде
α (φ(1) φ(η>) = (<ρ(Ι> ® · · · ® φ(η), Β) „
(6.19)
где В = ( ® lJft))A6 ® Я, .,
500

Наконец, с помощью изометрий Ιτ' : #_>τ» -»■ #_j_ τ' преобразуем (6.19) к
нужному представлению (6.17) с ядром
А = ( ® 1~^) В € 9 H_<cz £ φ'
k=\ %k k=i »τ* k=i k
Однозначность определения ядра А по α, как и ранее, следует из плотно-
п
сти в ® Φβ линейной оболочки векторов
φ(1) ®..·®φ(Λ) (q>(fe)€<I>*). ■
Замечание 6.1. В случае, когда каждое Ф^ в (6.15) счетно-гильбертово,
любая полилинейная форма (6.15), раздельно непрерывная, т. е.
непрерывная относительно каждого переменного при фиксированных остальных, будет
η
непрерывной и относительно совокупности переменных, т. е. в χ Фк. По-
k=l
этому для таких Ф^ теорема 6.2 сохраняется и для раздельно непрерывных
форм. Подобная ситуация имеет место и для некоторых других Ф^, например
для пространства В (IR^).
3. Случай билинейных форм. С помощью теоремы 6.1 можно получить
теорему о ядре и для билинейных (полуторалинейных) форм. Так, рассмотрим
цепочку
Я_ э Я0 =э Я+ (6.20)
и предположим, что в Я+ введена инволюция, являющаяся инволюцией и в
Я0. Это означает, что в Я+ задано антилинейное отображение Я+ 3 «/->«*£
£#+ такое, что («*)* = и, (и*, v*)H = (и, υ)Η+ и (и*, ν*)Η = (и, υ)Η (и, υ£
£ Я+; ср. § VIII. 4).
Нетрудно видеть, что тогда («*, v*)h_ = (ut v)H_t т. е. операция * является
инволюцией и в Я_ и, следовательно, распространяется по непрерывности
до инволюции на всем Я_ : Я_ 3 α |—> ос* £ Я_. Сужение этого отображения
Я_ э Я0 3 / |-> /* £ Я0 будет инволюцией в Я0. Очевидно, (Ια)* = Ια* (α £ Я_).
Если в пространствах цепочки (6.20) введена описанная выше инволюция, то
будем говорить, что (6.20) — цепочка с инволюцией *.
Пусть а (/, g) — некоторая билинейная форма на Я0, т. е. непрерывная
функция Н0 (& Н0} (/, g) /-> а (/, g) 6 С линейная по первому и
антилинейная по второму переменным. Справедлива следующая теорема.
Теорема 6.3. Пусть в цепочке (6.20) вложение Я+ -> Я0 квавиядерно.
Тогда по каждой непрерывной билинейной форме a(f, g) (/, g £ Я0) можно
однозначно построить такое обобщенное ядро Аа 6 Я0 ® Я_, что
α (и, я) = (А*, я ® "*)я0фя0 (" 6 Я+; g£ Я0). (6.21)
Обратно, если для каждой формы а указанного вида справедливо
представление (6.21) с Аа 6 Я0 (£) Я_, то вложение Н+ -> Я0 квазиядерно.
Доказательство. Построим непрерывную двулинейную форму 6,
полагая &(/, g) — a(g*> f) (f, g£H0). По теореме 6.1 существует обобщенное
ядро А £ Я0 ® Я_ такое, что 6 (/, «) = (/ ® и, А)н^Но (/ ζ Я0, и ζ Я+).
Поэтому для м£ Я+, #£Я0
«(и, g) = ftfe, и*) = (g ® и*, А)ЯЛЯв = (А, я 0 и*)НЛН%9
т, е. справедливо представление (6.21) с Аа = А. Однозначность определения
Аа по α очевидна.
Обратное утверждение сразу же следует из аналогичного утверждения
в теореме 6.1: представление (6.21) влечет представление (6.8) для
соответствующей о, которая в силу произвольности а также произвольна. Щ
501

Замечание 6.2. Разумеется, в теореме 6.1 можно было фиксировать не
первое, а любое другое переменное. Поэтому и для а наряду с (6.21) имеет
место представление
а (/, ν) = (Α^, υ ® Пц&н. V 6 Ηό> Ό ζ Я+), (6.22)
где ядро А'а£ Я_ ® Я0 и однозначно определяется по а» Из (6,21), (6.22)
следует, что для и, ν£Η+ α (ν*, и) = (Аа, и ® с)//0®#0 = (А'а, «®^)#0®#0, т· е·
сужения функционалов Аа, А' на Я+ ® Я+ совпадают. Обозначив это общее
сужение А, получим, в условиях теоремы 6.3, представление
а (и, и) = (Α, ν ® u*)Ho<gH0 ("> υ 6 #+) (6.23)
с ядром А £ Я_ ® Я_.
Замечание 6.3. На билинейные формы легко переносятся и результаты
теоремы 6.2, связанные с ядерными оснащениями. Так, пусть Φ — ядерное
пространство с естественным образом определяемой инволюцией * : Φ -> Φ.
Рассматривается билинейная форма на Φ — непрерывная функция Φ Χ Φ Э
Э (φ» Ψ) '-* а (φ» Ψ) 6 С, линейная по первому и антилинейная по второму
переменным. Тогда α (φ, ψ) = (Α, ψ ® Ф*)# лЯо, где А 6 Ф' © Ф'·
Пусть Αζ3?(Η0). Введем по А непрерывную билинейную форму а (/, g)=
= W» &)// (/» ££Я0), а по ней согласно (6.23) построим ядро <?£A = j££
£ Я_ ® Я_. Это ядро называется ядром оператора Л:
(Ли, ϋ)^ = (**, о ® "*)я0®л0 (и. * ^ #+)· №.24)
Пример 6.1. Пусть Я0 = L2 (Rt ίΗ, ί/μ) = L2, где /? — пространство с мерой
μ, заданной на некоторой σ-алгебре !Н; А — оператор Гильберта — Шмидта
в Я0, т. е.
(Af)(x) = ^K(xt y)f(y)d^{y)t K£L2(RXR, ίΗΧ94β ^(μΧμ)) = Я0 <g> Я0.
Я
(6.25)
Тогда
И/, £)я0 = J * (*. *) / (у) *Wd (μχμ) (*. rt = (*· £ ® /*)//.»/*.·
(6.26)
где/* (.)=/(Т)"Сравнивая (6.26) и (6.24), заметим, что в этом случае ^= /С.
Формула (6.24) показывает, что произвольный ограниченный оператор А в L2
допускает в некотором смысле представление (6.25) с /С = ^, т. е. является
«интегральным с обобщенным ядром». Кроме того, она поясняет
целесообразность расстановки переменных в правых частях (6.21) — (6.23).
4. Еще одна теорема о ядре. Для формулировки теоремы о ядре в случае
полилинейных или билинейных форм на пространствах L2(G)(G ^IR^,
Ν 6 Ν) относительно лебеговой меры годятся Соболевские пространства,
квазиядерно вложенные в L2 (G) (см. теоремы 3.2, 4.3, 4.4) или, в случае
ядерных оснащений, пространства С°° (G), <i? (IR^) и В (IR^).
Справедлива также следующая «элементарная» теорема о ядре.
Теорема 6,4. Пусть L2 (G) ф L2 (G) э (/, g)i^a(f,g) 6 С —
непрерывная билинейная форма. Существует ядро Τ ζ С (IR X IR^) такое, что
на финитных относительно G гладких функциях
«(«,»)= J T(x,y)(m)(y)(®v)(x)dxdy (@=D1...DN-utO£CNQ{G)).
GXG
(6.27)
Доказательство. Рассмотрим индикатор открытого
параллелепипеда в IR^, образованного координатными и параллельными им, проходя-
502

щими через некоторую точку χ = (xl9 ..., χΝ) 6 IR^, гиперплоскостями.
Произведение этой функции на индикатор области G и на (-—1)^ sign хг ... sign xN
обозначим ω (λ:, ·). Прежде всего установим равенство
[ (Л ω (χ, .))Lf(0) (WW dx = (/, u)Li{G) (f g L2 (G), и € C^ (G)). (6.28)
G
Действительно, продолжая функции /им нулями вне G и интегрируя по
частям, получаем
xt χΝ
Jtf. <■>(*, -))^(0)(ΛΟΜ^=Μ)^ J (J —J /(6)<*b...*6jv)>X
G |RiV 0 0
|rW 0 0
При помощи (6.28) доказывается (6.27). Так, пусть Α £ 3? (L2 (G)) —
оператор, отвечающий α, т. е. а (/, g) = (Л/, g)Ljt(G) (/, g€MG)) (CM· § VIII.5).
Положим Τ (а:, у) = (Лео (г/, ·)» ω (*> -))l2(G) (*» #£^) и подставим это
выражение в правую часть (6.27). Применяя (6.28), получим
J Τ (χ, у) (»и) (у) (0и) (х) dxdy=^ (Αω (у, .)· ω (χ, .))Ls(G) X
XG G G
(m)(y)(@v)(x)dxdy = J {J (Ло)(г/, .)» ω (*, .))l,(0) WTW λ} Χ
G G
X (5te) (г/) dy=^ (Αω (у, ·), o)Lf(G) (^ы) (г/) Ж/ =
= £ (о, Лео (у, -Ml^g) W (У) ^ = J (л*у> ω (#> ·))ι„(0) (^") (У) аУ =
G G
= (A*v, u)L%{G) = (Ли, v)L%{G) = a (ut υ) (и, v£C$ (G)).
Непрерывность ядра Т следует из непрерывности вектор-функции IR^ 3
5 χ /-> ω (χ, .) ζ L2 (G). ■
Поясним, что если ядро Τ гладкое, то (6.27) имеет вид (6.26) с К =
=^л = @х@>уТ. В общем случае эти производные нужно понимать в смысле
обобщенных фу нкций (см. § XI.2) и последнее ядро будет обобщенным. Можно
указать такое квазиядерное оснащение (6.20) пространства Н0 = L2 (G), при
котором (6.23) превращается в (6.27). Отметим также, что формула типа (6.27)
справедлива и для полилинейных форм.
Формула (6.27) связана с выражением для элементов матрицы (a-k)lJlk=l
оператор а Л в /n-мерном пространстве Ст
afk = (Лвл, б.)ст (/,Ы «). (6.29)
Здесь δ. = (δ.η)™=1 — векторы ортонормированного базиса в С . Поясним
это. При переходе от Сш к L2 (G) роль δ^ должны играть δ-функции δ^ (ξ)
(χ £ G), однако они не входят в L2 (Φ» поэтому формула (6.29) лишена смысла.
Вместе с тем в (6.29) можно перейти к преобразованному базису, положив
ω7 = 2j б/ (/ = 1 /и), и образовать матрицу tjk = (Лсоь ω;)€/η (/, £ =
= 1, ... , m). С помощью этой матрицы легко записать действие оператора-
503

Ядро Т аналогично матрице (^)7 k=\> например, если G = (0, оо) cz IR, то
X
формально можно написать, что ωχ(ξ)= \ δζ (ξ) dz (χ ζ (0, оо)). Обобщенное
о
ядро @х@уТ аналогично матрице (6.29), а формула (6.27) — формуле
восстановления действия оператора А по матрице (tjkff k=\·
§ 7. ПОПОЛНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА
ПО ДВУМ НОРМАМ
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос, по существу возникавший
неоднократно ранее: на некотором линейном пространстве заданы две нормы,
одна из которых больше или равна второй. Производим пополнение по
каждой из норм. В результате получаем два банаховых пространства.
Спрашивается, можно ли утверждать, что пространство, построенное по большей
норме, является частью пространства, построенного по меньшей.
Вообще говоря, это не так. Хотя в большинстве ситуаций такое вложение
и имеет место и поэтому мы не акцентировали этот вопрос ранее, чтобы не
загромождать изложение. Он будет существенен для следующего параграфа,
посвященного билинейным формам.
1. Пополнение по двум нормам. Итак, пусть L — линейное пространство,
L 3 /1-»-1| / | \β > 0 — норма в нем, Ε — пополнение L по этой норме. Напомним,
что Ε состоит из классов fE эквивалентных между собой фундаментальных
последовательностей (fn)n=i (fn £ L)\ эквивалентность (/n)^Li ~ (&/ι),Π=ι означает, что
l| fn — 8п\\е "**" О ПРИ п "*" °°· «Линейные операции над последовательностями
индуцируют линейную структуру в Е< Если норма || · \\Е гильбертова, т. е. в L
введено екалярное произведение (/, g)E(f, g£L) и || · \\Ε=*(·, ·ΫΕ29 το Ε—
гильбертово пространство. Пространство L вкладывается в Ε посредством
отождествления / £ L с классом, содержащим стационарную последовательность
Предположим теперь, что L — линейное множество, в котором заданы две
нормы: L 3 / /-> || / \\е >> ° и L Ъ f '-*- II / We > 0, Ζ?χ и Е2 — соответствующие
пополнения L. Будем считать, что эти нормы сравнимы в следующем смысле:
ΙΙ/ΙΙβ^ΙΙ/Ня, (f$L) С7·1)
(разумеется, вместо (7.1) можно было бы писать неравенство: (З.О0) (у/£
6ί.):ΐι/ιιΒι<βΐι/ιΐΕ;.
Если говорить не вполне аккуратно, то неравенство (7.1) в результате
пополнения влечет включение Ег э Е2 и неравенство || / \\Е < || / ||£ (f£E2).
В действительности, как уже говорилось, это не так. Поясним возникающую
ситуацию.
Предположим, что (/n)~=1 (fn £ L) — фундаментальная последовательность
относительно нормы ||·||£ . Тогда в силу (7.1) она будет фундаментальной
и относительно || · lis,· Пусть (/Χ^ι £/я2 € £2, (/Χ=ι € fE± € Е1ш Поставим
в соответствие вектору fE вектор fE · Такое отображение определено
корректно, так как если (gn)^\ € fE%· τ· е· (frXUi ~ (&n)n=\ относительно
II · IIje" > то согласно (6.1) такая же эквивалентность имеет место и относительно
«•и*;.
Итак, построено отображение Е2 Э fE '-*■ Qf e = fE £ ^ι· Из способа
введения линейной структуры в пополнение следует,что Q линейно; оно непрерывно
в силу (7.1): ||<2^,1к = 11/£41|£4 = Нт||/„||£ <lim||/J|£s = ||/£J|£i
504

Шп)п=\ £ Ϊε £ ^г)· Отметим, что сужение Q [ L является оператором вложения,
вкладывающим L s Е2 в множество L, понимаемое как множество из Ех.
Рассмотрим подпространство
KerQ={/££2|Q/ = 0}<=£2. (7.2)
Если Ker Q = {0}, то Е2 можно отождествить с областью значения $1 (Q)
и считать, что Е2 s Et и || / Ц^ < II /11ея (/€^2)· в общем случае подобное
включение и неравенство имеют место для фактор-пространства: £2/Ker Q ^£V
В случае, когда £2 гильбертово, вместо фактор-пространства можно
брать ортогональное дополнение Е2 Q Ker Q. Отметим, что второй крайний
случай (Ker Q = Е2) невозможен. Более того, L η Ker Q = {0} —- это
следует из того, что Q \ L — указанное вложение.
Резюмируя сказанное, получаем следующее утверждение.
Теорема 7.1. Пусть L — линейное пространство, на котором заданы две
сравнимые в смысле (7.1) нормы: \\*\\Е и \\·\\Ε , Ег и Е2 —
соответствующие пополнения L, Q — введенный выше оператор. Тогда
Ег а Я2/Кег Q, || / \\Е± < \\ f ||£a/KerQ (/ £ £2/Ker Q). (7.3)
Если Е2—гильбертово, то роль ф актор-пространств а в (7.3) играет E2Q
θ Ker Q. Если KerQ={0}, mo E,^E2t \\ f \\E± < || f\\E% (f£E2).
Из построения оператора Q и (7.2) непосредственно получаем следующую
теорему.
Теорема 7.2. Ядро Ker Q = {0} в том и только в том случае, когда
любая фундаментальная по норме \\ · \\Е последовательность (/rt)^Li (/„££)»
сходящаяся кО по норме || · Ц^ , сходится к 0 и по норме || · ||2.
2. Примеры. Приведем несколько примеров, описывающих классические
ситуации.
ПРИМЕРЫ
7.1. Пусть G с IR^ (#£№) — ограниченная область, Ь^&ф), \\f\\E =
HI/IIl,<g). 11/1Ь,--11/11^(0)- 3Десь ^2(G)=L2(Gt »(G), dx) построено1 по
мере Лебега dx, ψ\ (G) — соболевское пространство. В этом случае Ker Q = {0}.
Действительно, пусть (fn)^=i с: L фундаментальна относительно нормы
Б2= Wl(G), причем f„ -> 0 в EX — L2(G). Тогда для каждой производной
D, (D.fn)™=1 фундаментальна в L2(G). Пусть hj£ L2 (G) — соответствующий
предел в L2(G). Для финитной относительно G функции g£C°° (G) имеем
(V 8)ья«3) = ln[™JDifn> SKw^-^Un' DA,a(G)=°>
откуда заключаем, что hj = 0 (/ = 1, .·. , W). Переходя в выражении
IIU С; (0)= II /»lll,(0) + ^ II о,/я Illi{fl,
к пределу при я->оо, получаем /п —>- 0 в №2 (G). Щ
Итак, сейчас £Ί = L2 (G), £2 = №2 (6) и можно писать включение №2 (6) ^
с: L2 (G) (как обычно и делается).
7.2. Пусть G с: IR^ — ограниченная область, L = C (G),
11/11^ = 11/11^.(0). (/· *)*,=</. ^2((?)+/ωίω (/, *α). (7.4)
505

где x0£G — фиксированная точка. Рассмотрим гильбертово пространство
i^2 (G) θ ®t состоящее из пар (/, р) (f£L2(G), р£<0). С (б) можно^вложить
в La (G) θ С, отождествляя f £ С (δ) с парой (/, / (*0)}'> очевидно, С (G) плотно
в La (G) φ С Из сказанного вытекает, что £2 = L2(G)0(D, £Х == L2 (G).
Оператор Q имеет вид
Q(f, P)=f «Л Р>6£2). KerQ = {(0, p>|peC}c£2)
т. е. KerQ = ©, понимаемое как подпространство Е2.
7.3. Пусть G с IR^— ограниченная область, L = C1 (δ), || / \\Е = || / ||£п((?) и
(/. ё)в2 = (Л *У + / (*о) ff (*о) (/. Я € « (7.5)
(*о £ δ фиксирована). В случае N = 1 в силу теоремы вложения И?2 (G) cz С (G),
причем это вложение непрерывно. Таким образом, скалярное произведение
(7.5) эквивалентно скалярному произведению в ψ\ (G) и поэтому Е2 = W\ (G),
Ег = L2 (G). Согласно примеру 7.1 Кег Q = {0}.
Пусть N^>2. Рассмотрим гильбертово пространство W\ (G) φ С пар (φ, ρ)
(φΕ W2(G), Р£©)· С1 (δ) вкладывается в это пространство, если отождествить
(p£Cx(G) с (φ, φ (х0)). В связи с отсутствием вложения W\ (G) в С (G)
множество С3· (δ), как легко видеть, будет плотно в W2 (G) ф (D. Таким образом,
£2 = ^2 (С) Θ ©. £ι = ^2 (G)· Оператор Q имеет вид Q (φ, ρ) = φ ((φ, ρ) £ £2);
KerQ=Cc£2.
7.4. Пусть G c= IRW — ограниченная область,
l=c~(g), 11/11^=11/11^.imil2=n/Ci(G)+ii^ii;i(0). σ.«ο
где Ιζ Z+ и некоторая производная фиксированы. В этом случае Кег Q = {0}.
В самом деле, поступим как в примере 7.1. Пусть (fn)^=lczL
фундаментальна относительно нормы Е2, причем fn -»- 0 в Ег. Тогда последователь-
ность (Dvfri)n=\ Фундаментальна в W2 (G). Пусть h£Wl2 (G) — ее предел в
этом пространстве. Для функции g£C™ (G) имеем
(Л> «Vim = Ит (Z)V/"' gW, =(_1),V| lim(/»' DVgVrm "°-
Ввиду произвольности g отсюда следует, что h = 0. Переходя в выралсе-
нии ^fnu2 = \\fn\\^iG)+\\DVfn\l^l(G) к пределу при л->оо, заключаем,
что /„„·+ 0 и в Е2. ■
Совершенно аналогично рассматривается случай, когда в выражении (7.6)
для квадрата нормы в Е2 стоит сумма нескольких производных от /. В
частности, случай, когда L = C°° (δ), Ег = W[ (G), £2 = №? (G), где /и > /.
Примеры 7.1—7.4 легко перефразировать на случай неограниченной G
и Соболевских пространств с весом.
7.5. Пусть L— некоторое линейное пространство, нормы || · \\Е , || · ||^ —
сравнимы и гильбертовы: Et = Hl9 Е2 = Н2. Пусть (e-)jLicz L—ортонормиро-
ео
ванный базис в Я2, причем JJ || еЛ\н < ©о. Тогда Н2 s Hlt причем вложение
506

плотное и квазиядерное. Ясно, что нужно доказать лишь вложение Я2 в Ях.
00 ОО
Всякий вектор /£#2 имеет вид: /= 2 //£/, где JJ |//|2<°°· Для доказа-
тельства того, что /£ЯХ, достаточно убедиться в фундаментальности в Нг
η
последовательности частичных сумм J] / ·£ · (я £ №). Однако
m m mm
II Σ /л \к < (Σ ι //1 и ч ΚΥ < Σ ι // ia Σ и ч «*, „^ о
/=/г /=п /=/г /=гс
ввиду сходимости рядов с членами \fj\2 и ||*у||//.
§ 8. ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
В § УП1.5,было доказано, что произвольная непрерывная билинейная
форма а в гильбертовом пространстве Я допускает представление а (/, g) =
= (Af* g)fi (/» g 6 Я), где Л — некоторый ограниченный оператор в Я.
Важную роль играют подобные теоремы о представлении и для форм, не
являющихся непрерывными, но обладающих определенными дополнительными
свойствами. Дело в том, что часто физические объекты появляются в виде
форм, вместе с тем для применения математического аппарата существенно,
чтобы с этими объектами ассоциировались операторы.
В этом параграфе будет изложена соответствующая теория
представления и ее связи с гильбертовыми оснащениями. Точнее, будет показано, как
простые результаты о гильбертовых оснащениях интерпретируются как
теоремы теории билинейных форм.
1. Лемма о гильбертовых оснащениях. Изложение будет базироваться
на фактах о пополнении пространства по двум нормам (§ 7) и одной лемме,
касающейся гильбертовых оснащений. Сформулируем ее.
Лемма 8.1. Положим @(А) — {и £ Я+ | \~ги ζ Я0}. Рассмотрим в Я0
оператор А — \~Х\В (Л). Утверждается, что А самосопряжен и удовлетворяет
соотношениям А > Ц, || Аи \\н >-\\и\\н (и£@ (А))
(и, ν)Η+ = (Аи, v)Hq (и£@ (Л), ν £ Я+), (8.1)
("> v)H+ = (УМ VAu)Ho (и, ό ζ Я+ = В (-\ГА)).
Доказательство. Так как Я0 плотно в Я_, то В (Л) плотно в Я+
и, следовательно, в Я0. Далее, согласно (1.13) (a, v)Hq = (Ια, ν)Η (а£Я_,
ΌζΗ+) и поэтому
(и, ν)Η+ = (Г*и, ν)Ηο (и, ν g Я+). (8.2)
Из (8.2) и определения Л следует, что (и, ν)Η+ = (Аи, v)H (и£@ (Л), υ £ Я+),
т. е. первое из соотношений (8.1). Полагая в нем v = u, получаем (Аи, и)н =
= (и, и)н+>>0 (и£@(А)), что означает эрмитовость Л и выполнение
неравенства Л>£. Далее, имеем (\и£@(А)) : \\ Аи \\н =\\\'^\\Η > || ϊ_1μ ||я =
= 11"Ня+.
Установим второе соотношение (8.1). Будем использовать операторы,
указанные в (1.11). Согласно доказательству теоремы 1.3 / = 1^0/, если оператор
справа понимать как действующий из Я0 в Я+. Поэтому (V^OIf, V01g)H =
= (/> £)//0 (/» £€яо) и ^(/67) = Я+. Иными словами,
(и, υ)Η+ = ((0/Г1/2«, (ΟΙΓ1/2ν)Ηο (и, *£Я+). (8.3)
Но / = I f Я0, следовательно, (0/)~х = Л. Тем самым равенство (8.3)
переходит в требуемое второе соотношение (8.1). Л
507

2. Положительные формы. Введем близкое к цепочке понятие предце-
почки. Задание предцепочки эквивалентно заданию положительной формы,
и на этом основана связь теории билинейных форм с оснащенными
гильбертовыми пространствами.
Пусть Я0—гильбертово пространство, L — плотное в нем линейное
множество, в котором задано скалярное произведение (/, g)L (/, g £ L) такое, что
II/II//0<II/IIl+ (II/IIl+ = ((A /)L+)l/2> /€«. Взтом случае говорят, что
задана пред цепочка
Я0 э U (8.4)
Обозначим через L+ пополнение L относительно нормы \\>\L . Сейчас
выполняются предпосылки схемы § 7 при Ег = Я0, Е2 = L+. Пусть Q : L+ ->
-> Я0 — соответствующий оператор. В соответствии с (7.3) по предцепочке
(8.4) можно построить цепочку
H_=>H0=>H+ = L+Q Ker Q. (8.5)
Будем говорить, что предцепочка (8.4) замкнута, если L полно относительно
ΙΙΊΙ L и замыкаема (или допускает замыкание), если Ker Q = {0} (из
замкнутости, разумеется, следует замыкаемость). В соответствии с теоремой 7.2
критерий замыкаемости таков: предцепочка (8.4) замыкаема в том и только
в том случае, когда любая фундаментальная по норме || · ||,
последовательность (fn)n=i с: L, сходящаяся к 0 по норме || · \\н , сходится кО и по норме
II · ΙΙι+·
Предцепочка Н0 ^ L+1 построенная по замыкаемой предцепочке (8.1)
посредством пополнения L относительно || · ||L , называется ее замыканием.
Всюду в этом параграфе будем рассматривать замкнутые или замыкаемые
предцепочки Н0 ^ L (в случае замкнутости L+ = L). Каждую такую пред-
цепочку можно продолжить до цепочки
Н_=>Н0=>Н+ = L+, (8.6)
построив негативное пространство, а затем применять общие факты § 1
(теории незамыкаемых предцепочек и, соответственно, форм в этой книге
касаться не будем).
Перейдем к языку форм. Билинейной (полу то ρ а линейной) формой а
в гильбертовом пространстве Я0 называется функция В (а) X @ (а) 3 (/, g) /-*-
/->- а (/, g) 6 ©> линейная по первому переменному и антилинейная по
второму (здесь В (а) — линейное плотное в Я0 мнооюество —- область определения
формы а). Диагональные значения а образуют квадратичную форму α[·],
ассоциированную с билинейной: В (а) } / г->- а [/] = а (/, /) £ С Билинейная
форма однозначно определяется по своей квадратичной при помощи
поляризационной формулы (см. § VIII.5):
α (Л g) = jlalf+g]-alf-g] + taU + tg]-i"U-tg]) (8·7)
(Л g$0(a)).
На билинейных формах естественным образом вводится линейные операции.
Так, если а и Ь — две такие формы, причем В (а) (}@ (Ь) плотно в Я0, то
билинейная форма а + Ь определяется равенством (а + Ь) (/, g) = а (/, g) +
+ b(f,g) (f,g€&(a+b) = 0(a) (] В (b)). Произведение λα, где λ 6 ©,
определено всегда: (λα) (f, g) = λα (/, g) (/, g £ & (λα) = & (α)).
По билинейной форме а строится сопряженная к ней билинейная форма
а* при помощи равенства а* (/, g) = α (g, /) (/, g 6 ® (а*) = В (а)).
Билинейная форма а называется эрмитовой, если а* = а. Из (8.7) следует, что для
эрмитовости а необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма α [·] при-
508

нимала вещественные значения. Всякая билинейная форма а выражается
в виде линейной комбинации эрмитовых форм Re α и Im а:
a=Re a + /Im a, Re a = -к (а + a*), Im а = к? (а — #*)·
Билинейная форма а называется положительной с вершиной а > 0, если
aV. f)>«\\f\\H0 tf€*(a)). (8.8)
В этом пункте удобно считать, что α = 1. Положительная форма всегда
эрмитова, так как а[·] вещественнозначная.
По положительной форме а в Н0 естественным образом строится предце-
почка (8.4): нужно положить L — & (а), (/, g)L = а (/, g) (/, g £ L).
Обратно, поедцепочка (8.4) определяет положительную форму а (/, g) = (/, g);
(f,gk®(a) = L).
Введенные выше определения, касающиеся предцепочек, автоматически
переносятся на положительные формы. Так, положительная форма а
называется замкнутой, если такова связанная с ней предцепочка. Замыкание а
замыкаемой формы а определяется равенством а (/, g) = (/, g)L , где f, g£& (a)=
= L+, a L и (·, -)L построены по а. Таким образом, для подсчета а (/\ g)
ПРИ f» g£@(a) — Но нужно построить последовательности (fn)™=l, (gtn)^L==l cz
с В (а), фундаментальные относительно нормы (α Η)1/2 и сходящиеся в Я0
к / и g соответственно. Тогда а(/, g) = lim a(/n, gm).
η, m->oo
Лемма 8.1 приводит к следующей теореме о представлении
положительной формы.
Теорема 8,1. Пусть а — замкнутая положительная билинейная форма
с вершиной α = 1. Утверждается, что существует действующий в простран-
тве #о самосопряженный оператор А > β такой, что
а(/, g) = (Л/, g)Ho (fd@(A)^@(a), g£@ (a)). (8.9)
Область определения В (А) плотна в В (а) относительно нормы (α[·])1/'2, при
этом || Af \\н > (а [Л)1/2 (/ £ В (а)). Наряду с (8.9) справедливо следующее
представление при помощи оператора Υ А:
a(f, g) = (fAf, VAg)Ho (/, g£0(VD=S(a)). (8.10)
Доказательство. Перейдем описанным выше способом от формы
а к замкнутой предцепочке (8.4) и затем к цепочке (8.5). Применяя к (8.5)
лемму 8.1, получаем утверждение теоремы. Щ
Если форма а незамкнута, но допускает замыкание а, то формулы (8.9),
(8.10) можно написать для_а. Полагая в них соответственно f£@>(A) f] В {a)t
g£B (а) или f,g£ В(ΥΑ) Π В (а), получаем представление исходной формы.
Заметим еще следующее. Пусть а, Ь — две положительные формы такие,
что В (а) П В (Ь) плотно в Н0. Тогда а + b — также положительная форма.
Легко видеть, что если а и b замкнуты (замыкаемы), то и а + b будет
замкнутой (замыкаемой). Этот факт непосредственно следует из определений и
критерия замыкаемости, если заметить, что фундаментальность
последовательности относительно нормы (а [·] + b [·])Ι/2 эквивалентна ее
фундаментальности относительно обеих норм (α [·])1/2, (b t·])1^2.
Пример 8.1. Примеры 7.1 и 7.2 интерпретируются как стандартные примеры
форм, допускающей замыкание и его не допускающей. Так, в обоих случаях
Н0 = L2 (G). Форма а (/, g) = (/, g) ι (/, g ζ С1 (G)) — положительная и
допускает замыкание. Форма а (/, g) = (/, g)Li(G) + f (x0) g (x0) (f,g£C(G)) —
609

положительная и замыкания не допускает. Аналогичная ситуация имеет место
и в примерах 7.3—7.5.
3. Полу ограни ченные формы. Теория представления строится, в
основном, для полуограниченных форм. Мы переходим к ее изложению.
Билинейная форма а в пространстве Н0 называется полуограниченной
(снизу) с вершиной а 6 О?, если
α (/./)> «||/ ||^о if ζ» {а)). (8.11)
При а = 0 форма а называется неотрицательной, при а > 0 получаем
уоюе введенную положительную форму. Ясно, что полуограниченная форма
эрмитова.
Свяжем с полуограниченной формой а положительную (с вершиной,
равной единице) форму ар, полагая
ар (/, g)=*a (/, g) + (1 - α) (/, g)H(j (/, g£B (ap) = 9 (a)). (8.12)
Определения, связанные с формой α, будем выражать в терминах формы ар : а
замкнута (замыкаема), если ар замкнута (замыкаема), замыкание а
замыкаемой формы а определяется в соответствии с (8.12) формулой
а(/, g) =ϊρ(/,ί)-(1- ее) (Л g)Ho V> g€ *&ί = В (ар)); (8.13)
оно является полуограниченной формой с той же вершиной а.
В случае положительных форм можно поступить и иначе: если а —
положительная форма с вершиной а, то — а — положительная форма с вершиной,
1
равной единице, и определения п.2, примененные к — а, приводят к
определениям для а (так как нормы (α [·])1/2 и (—- α[·]Ι эквивалентны). Отсюда
также следует, что в случае полуограниченных форм ар можно было бы
определять и формулой (8.12), в которой единица заменена на ε>0.
Теорема 8.1 принимает для полуограниченных форм следующий вид.
Теорема 8.2. Пусть а—замкнутая полуограниченная билинейная форма
с вершиной а 6 IR. Существует действующий в пространстве Н0
самосопряженный оператор А > аЦ такой, что справедливо представление (8.9).
Область определения В (А) плотна в В (а) относительно нормы (ар[-])1/2.
В случае неотрицательной а справедлива и формула (8.10).
Доказательство. Запишем представление (8.9) для формы ар.
Пусть Ар > Ц — соответствующий оператор. Учитывая связь (8.12),
получаем (8.9) для а с оператором А = Ар — (1 — a) fl > аЦ. Для получения
представления (8.10) в случае положительной формы а достаточно его
записать для —а, Пусть теперь форма а неотрицательна и А — отвечающий ей
неотрицательный самосопряженный оператор. При каждом ε>0 форма а(/, g)+
+ 8(/> ё)н0 (Л ё£@(а)) положительна и потому a(f9g) + e(f, g)Ho =
= [у А + еЦ/, уА-\- siLgjH (Л g £ В (α)). Из спектрального разложения
оператора А (теорема XIII.6.1) следует, что при каждом /£^(ΐΛ4) =
f при ε->0. Поэтому с помощью
предельного перехода заключаем, что (8.10) имеет место и для а. Щ
Если форма а допускает замыкание а, то для него можно записать (8.9)
и (8.10), откуда будут следовать представления самой формы а.
Остановимся на одной важной процедуре расширения
полуограниченных операторов до самосопряженных, принадлежащей Фридрихсу.
Предположим, что в #о задан эрмитов полуограниченный оператор А > afl (a £ IR)
510

(с плотной областью определения). Он стандартным образом порождает
полуограниченную форму а с вершиной а
а (/, g) = (Л/, g)Ho (f,gt& (a) = 0(A)). (8.14)
Относительно этой формы справедливо следующее утверждение.
Теорема 8.3 (Φ ρ и д ρ и χ с а). Билинейная форма (8.14) допускает
замыкание а, для которого справедливо представление а (/, g)=(AFf, g)H (f£@(AF) S
£Ξ0(α), g £ e% (a)), где AF ^ ай— самосопряженный оператор в Я0, являющийся
расширением оператора А (так называемым расширением по Фридрихе у).
Оператор AF — единственное самосопряженное расширение А, область определения
которого входит в 0(а).
Доказательство. Положим Ар = А + (1 — а) 41>й. Тогда ар (/, g) =
= iApf> ё)н (f* §£®(Ар) =@(А)). Замыкаемость а означает, что а
замыкаема. Покажем последнее. Пусть (fn)n=\ (/rt€^(^p)) такова, что
Ир (/и-Ли)· fn-fnJH0 = «PUn-fml-*0' п* т->°°
и П/лНяо"^0» "-*00· Нужно доказать, что (Apfn, fn)Ho = ар [/J ->0, л->оо.
Для произвольного ε> 0 найдется Ν (ε) такое, что при я, т> Ν (ε)
(Лр(/П —/m), /n — /т)//о < ε. Так как фундаментальная последовательность
ограничена, то при помощи неравенства Коши — Буняковского получаем для
/г, т">Ы(г)
l+KV»·
< ( V»· 1Л\ (ΑΡ Vη - /m). fn ~ Ufi + I (V«· U*. I <
«a^ + KV-W·
Переходя в последнем неравенстве к пределу при m-*■«>, получаем, что
(Apfn* fn^H <.°ε^2 Для Λ>Λ^(ε), а это и требовалось доказать.
Применяя теорему 8.2 к замкнутой полуограниченной форме а с вершиной
а, получаем представление α (/, g) = (4F/, g)Ho (/ £ 0 (Л^) с= 0 (α), g ζ 0 (α)),
где Л^ >. αί. — самосопряжен.
Покажем, что если эрмитов оператор ЛэЛ таков, что 0(Л)ρ0(a), то
Л^Лр, Для этого установим равенство
(Λ ^)я0 = «(Λ *) (/ 6 0 (2), я 6 * (В)). (8.15)
Пусть сперва /£0 (Л) <ΞΞ0 (β), тогда (/, Bg)Ho = (Bft g)H^(Af, g)H^
Так как 0 (β) ^ 0 (а), то существует последовательность (^)^Li (^Λ € ^ (α) =
= 0 (Л)) такая, что по норме (αρ[·])1/? gn~*g при /ι->-οο. Отсюда следует,
что (/, Bg)H =(Aft g)H=\im(Aft gn)H=Uma(ft gn)=~a(f, g).
Π-*-οο " /Z-too
Итак, для /£0(Л) (8.15) установлено. Пусть теперь /g0(a) и (/я)~=1
(/^ £ 0 (а) = 0 (Л)) такая последовательность, что по норме (ар[·])^2 fn-*-f
при/г->оо# Записывая (8.15) для f = fn£&(A) и переходя в полученном
равенстве к пределу, придем к (8.15) в полном объеме.
Используя определение AF и (8.15), получаем (AFf, g)H = α(/, g) =
= (/ι %)я0 (f^^(Af) £0(α), g£@(B)). Отсюда и из самосопряженности
Л^ следует, что ^€0(Л/?) и AFg = Bg, т. е. Л^эЛ.
511

Из доказанного включения легко следует теорема: полагая В = Л,
получаем: AF^A. Далее, если В—дополнительно самосопряжен, то из
включения AF э В следует, что В = Ар. Щ
Если А самосопряжен, то, разумеется, AF = Л. Пусть А
самосопряжен и положителен, из его спектрального разложения (теорема XIII.6.1)
следует, что <^а) = <И/Л) ио(/, g) = (V"Af. VAg)Ho (/, g$&(a)).
Отсюда заключаем, что в случае неограниченного А форма (8.14) обязательно
незамкнута.
В заключение кратко остановимся на секториальных формах —
обобщении полуограниченных форм. Билинейная форма а в пространстве Я0
называется секториальной с вершиной α 6 IR, если в комплексной плоскости
существует угол S (a, k) (k 6 [0, оо)) раствора, меньшего π, с вершиной в точке
α вида
5(a, k) = {z£C\RQZ >а, \lrnz \ <£ k(Rez —а)}
такой, что
a if. f)t\\f\\H9£S(a9 k) (ft 0(a)).
В случае k = О получаем полуограниченную форму с вершиной а. Если а —
секториальная форма с вершиной а, то Re а — полуограниченная форма
с той же вершиной.
По секториальной форме а определим секториальную форму ар
посредством формулы (8.12) (ар связана с углом S (1, k)). Форма Re ар будет
положительной с а = 1. По ней описанным уже способом на L = В (Re ар) =
= В (ар) = В (а) вводится скалярное произведение (f , g)L = (Re ap) (/,
β) (/, g 6 L).
Изучение секториальных форм базируется на следующем простом
замечании. Пусть форма а секториальна, тогда для формы ар выполняется
неравенство
I ар (/, g) | < (k + I) || / ||L+ || g ||L+ (f, g ζ L). (8.16)
В самом деле, так как ар (/, /) ||/ ||# €S (1» k), то
| Im (ар (/, /) || / fH]) \<k(Re (ар (/, f) \\ f \Q - 1)<
<kRe(ap(f, f)\\f\\jft (/6Ц.
Иными словами, | (Imap)(/, /) |<fc||/ \\\ (/££). Так как форма 1тар
эрмитова, то из последней оценки заключаем, что | (Ima) (/, g) | < k \\ f\\L \\ g\\i,
(/» ё£Ц- Отсюда, учитывая разложение ар = Reap + Птар и вид (·, -)L+,
получаем (8.16). ■
Секториальная форма а называется замкнутой (замыкаемой), если
Re ap замкнута (замыкаема). Для замыкаемой формы а ее замыкание
^определяется следующим образом: пополняем L до пространства L+, тогда в силу
(8.16) ар по непрерывности распространяется до формы ар, определенной на
В (ар) = L+, затем определяем а согласно (8.13).
Справедливо следующее обобщение формулы (8.9). Пусть а —
замкнутая секториальная форма, тогда для нее справедливо представление (8.9) с
некоторым действующим в Н0 замкнутым оператором Л, область определения
которого плотна в В (а) относительно нормы ((Re ар) [•])1/'2.
Действительно, сейчас пространство L полно и неравенство (8.16)
приводит к представлению
% (/. в) = (Bf, g)L+ = (Re ap) (Bf, g) (f, g$L). (8.17)
где В — некоторый ограниченный в L оператор. Так как
II Bf ||L+ || / ||I+> I (Bf, Пц. I = I «P (f. f) I > (Re ap) (f, f) = || / ||*+,
512

то ЦЯ/II^ >||/| ι (/££)> что гарантирует существование обратного в L
оператора ВТ1.
Применим теперь теорему 8,1 к форме Reap. Тогда (8.9) дает (Reap)(/,
g) = (С/, g)Ho (f£@(C)^L, g£ L), где С > й — самосопряжен. 0 (С)
плотна в L, причем || С/ ||//о> || /1|^ (/££)· Из (8.17) и этого представления
получаем
а(/. rf = (Reap)(£/, g) = (CBf, g)Ho (f ζ L (\ 0(CB), g£L). (8.18)
Множество ^ (А ) = {f£L\ Bf£ & (С)} плотно в L (а значит, и в Я0),
так как §6 (С) плотна в L, а В — обратимый в L оператор. Определим
оператор Ар в Н0> полагая A f — CBf (f£@(Ap)). Таким образом, на основании
(8.18) fl(/, g) = (Apf, g)Ho (f£®(Ap), g£ L).
Из обратимости операторов С и β в соответствующих пространствах
следует, что Μ (Αρ) = Я0. Далее,
|| Apf \\Нй = || СВ[ \\Но > || Bf ||L+> || Я"* Г \\ f \\L+> \\ В^ ||-11| / ||Яо (/ g * (Ар)).
Поэтому в пространстве Н0 существует обратный оператор Л"1. Отсюда,
в частности, вытекает замкнутость Ар.
Для получения представления (8.9) нужно взять оператор А = Ар —
-(1 - а) Ц. ■
Оператор А, действующий в Я0, называется секториальным (с вершиноС
а 6 IR), если отвечающая ему билинейная форма (8.14) секториальна
(обобщение понятия эрмитова полуограниченного оператора). Доказанная сейчас
формула (8.9) показывает, что всякая замкнутая секториальная форма
порождается некоторым секториальным оператором, причем этот оператор, в
отличие от произвольного секториального, обладает некоторым свойством
максимальности, получаемым из представления А = СВ — (1 — a) fl, где В —
ограниченный обратимый оператор в L, а С — самосопряженный обратимый
в #о (максимальный секториальный оператор, обобщающий понятие
самосопряженного полуограниченного оператора).
Не будем выяснять свойства максимального секториального оператора
и описывать такие операторы внутренним образом. Эти свойства достаточно
просто получить из приведенной формулы для А. Отметим также, что
нетрудно доказать обобщение теоремы 8.3 на случай расширения произвольного
секториального оператора до максимального секториального.
4. Форм-сумма операторов. Остановимся на задаче, которую мы уже
рассматривали в § XIII. 10. Пусть А — самосопряженный, а В — эрмитов
операторы в пространстве Н0. Требуется выяснить, когда оператор А +
+ В (@ (А + В) = В (Α) Π ® (В)) будет самосопряженным или
существенно самосопряженным. Изложим некоторые подходы к подобному вопросу,
связанные с использованием форм.,,
Приведем прежде всего хорошо известный результат для форм, в
некоторых случаях позволяющий придать разумный смысл оператору А + В
даже в том случае, когда В (А) (] В (В) = {0}.
Теорема 8.4. (КЛМН*-т е о ρ е м а). Пусть а — замкнутая полооюи·
тельная форма, Ь — эрмитова форма на & (Ь) = @ (а) такая, что при
некоторых ρ 6 [0, 1), q 6 IR
ΙΜΛ f)\<pa(f> П + яи, Пн0 tf€*(a)). (8-19)
Тогда форма α + b (В (а + Ь) = В (а)) полуограничена и замкнута.
* Результат Т. Като (1955), П. Лакса и А. Мильграма (1954), Ж.-Л. Ли-
онса (1961), Э. Нельсона (1964К
V217 9'297 513

Доказательство. Из положительности а следует, что при некотором
ε£(0, 1) а (/, /) > ε || / ||^ (f£@(a)). Из (8.19) и этой оценки вытекает
неравенство
а||/Ня0<(1-р)я(/, /)-<?(/, f)Ho<a(f, f) + b(f, /)<(1+ρ)α(/, f) +
+ (1 - a + q) (/, f)Ho (/ ζ JF (a)). (8.20)
обеспечивающее, в частности, полуограниченность формы а + Ь. В
соответствии с (8.12) и (8.20) заключаем, что
(1-р)д(/, /)<(1-ρ)α(Λ /) + (1-α-?)(Λ f)Hb<(a + b)p(f, f)<
<{l+p)a(f, /) + (l-a + <?)(/, /)Яо (/€*(α)).
Отсюда и из неравенства а (/, /) ^ ε || / \\н следует, что нормы (α[·])ι/2
и ((а+ £)«[·]) на Φ (α) эквивалентны. Из замкнутости и положительности a
вытекает полнота $& (а) относительно (а [·]) , а значит, и относительно
({а + Ь)р [·])1/2. Последнее означает замкнутость а-{-Ь. Щ
Приведем одну схему, которая, в частности, позволит придать
доказанной теореме операторный характер. Пусть Л > Ц — самосопряженный
оператор в пространстве Я0. Положим D = Л1/2 и построим в соответствии с
процедурой (1.19) цепочку
Я.эЯ0эЯ+ = ^ (Л1/2), (и, У)я+ = (Л1^, Л1'2^ (и, у € Я+). (8.21)
Сейчас (/, g)^_ = (Л""1/2/, A~~ll2g)H (/, g£ Я0) и Я_ совпадает с пополнением
Я0 относительно этого скалярного произведения. Оператор Л можно
рассматривать как изометрически действующий из @ (А) ^ Н+ в Я_ : || Аи \\н_ =
^ЦЛ1/2^!!^ =||и||и (и£&(А)), и поэтому он распространяется по
непрерывности до оператора j£ : Я+ -> Я_, осуществляющего изометрию между Я+ и
Я_ (и совпадающего с I"1). Очевидно, Л=^ Ϊ ^ (Л), при этом ^ (Л)={«£ Я+ |^м £
ζ Я0}. Оператор j£ самосопряжен относительно Я0: (^ut v)H = (и, #&ν)Η .
Определим по Л согласно (8.14) форму
оо
α (Λ *) = И/, Я)//0 = J Μ (Е (λ) Λ Я)я0 (Λ S € * И)),
ι
где £— разложение единицы, отвечающее Л. Из написанного интегрального
представления следует, что для ее замыкания а @> (а) = Я+,
β (Λ 8) = И1/2/> ^1/2§)я0 = (/> 8)н+= W. 8)н> V' Ζζ Η+>·
Будем теперь задавать возмущение оператора Л следующим образом.
Предположим, что имеется оператор <$, непрерывно действующий из всего
Я, в Я_, и самосопряженный относительно нулевого пространства цепочки
(8.21). Поэтому оператор В = 39 \ 9 (В), где В (В) = {и 6 Н+\ЗВи 6 Я0}
будет эрмитов, хотя, возможно, и неплотно определенным или равным нулю
на В (В). Сумма Л + В, определенная непосредственно, задана на В (Л) f)
Π В (В) и может совпасть с Л или оказаться определенной только на 0,
поэтому говорить в последнем случае о ее самосопряженности, вообще говоря,
нельзя. Однако можно поступить следующим образом.
Введем в Я0 по 39 билинейную эрмитову форму Ъ (/, g)=($f, g)H (/, g£@ (b)=
= H+ = @(a)) и предположим, что для нее выполнено условие (8.19), имеющее
сейчас вид
I (*/, Пи, I < Ρ И'72/- Л'/2/Ч + Я (/. /)я0 (/ 6 Я+; ρ ζ [0, 1), q ζ IR). (8.22)
514

Тогда согласно теореме 8.4 форма а + Ь (В (а + Ь) = Я+) полуограничена и
замкнута. В силу теоремы 8.2 о представлении существует самосопряженный
полуограниченный оператор С в Я0 такой, что а (/, g) + Ь (/, g) = (С/, g)H
(f£@(C) сЯ+, g£H+), Таким образом, связь между Л, В и С следующая:
(Л1/2/, Al!2g)Ho + (#/, £)я0 = (С/, £)я0 (/ g 0) (С) сЯ+ = # (Л1/2), я € Н+).
(8.23)
Так определенный оператор С называется форм-суммой операторов А и В
и обозначается через A -j- В (точнее было бы обозначение A -j- S9). Форм-сумму
можно определить и следующим естественным образом:
А + В = (^ + &)\@(А + В), @(А + В) = {и£Н+\(Л + &)и£Н0} (8.24)
(сужение понимается как оператор β Я0). В самом деле, обозначим
определенный посредством (8.24) оператор через F. Легко видеть, что С <= F: так
как (Л1/2/, Al/2g)Ho = (j#f, g)Ho (/, g£H+)t то из (8.23) для/^^(С) следует
равенство Я0 3 Cf ==■ (j£-\-3&) f = Ff. Далее, Ζ7 очевидно эрмитов в Я0.
Поэтому благодаря самосопряженности С справедливо равенство F = С. |
Итак, если выполняется условие (8.22), то определенный посредством
(8.23) или (8.24) оператор Л -j- В самосопряжен в Я0. Отметим, что выше мы
задавали форму Ь посредством оператора В. Ясно, что для фигурирующей
в теореме 8.4 формы Ь такой оператор всегда существует, так как условие
8.19) гарантирует ее непрерывность на*#+ = ® (а). Поэтому можно говорить
о «возмущении оператора Л формой Ь».
Замечание 8.1. Форма а+ Ь может оказаться замкнутой и без
предположения (8.22); в этом случае, разумеется, также определена форм-сумма
Л + В.
Замечание 8.2. Понятие форм-суммы может быть обобщено следующим
образом. Предположим, что задан оператор Я+ э В (39) Э f '->■ <%tf € Н_ с
плотной в Я+ областью определения, неотрицательный относительно Я0, т. е.
(.3&f, f)H >0 (f ζ &($?)). (Можно было бы рассмотреть и случай
полуограниченности: (На £ IR): (<#/, f)H >а(/, f)H (f ζ &($))- Построим в
пространстве Я0 форму
ьV, g) = (#/, g)Ho(Λ * € *(Ь) = ®W)<=H+c= н0).
Нетрудно доказать, что форма а + Ь (@ (а + Ъ) — @ (Ь)) допускает
замыкание. Самосопряженный неотрицательный оператор С в Я0, отвечающий
согласно равенству (8.9) этому замыканию, и есть требуемое обобщение форм-
суммы А -\. В.
Убедимся, что действительно форма J+ Ь замыкаема, В самом деле, ее
можно представить в виде
(а + Ь) (/, g) = ((*# + #)/, g)Ho = (Л-ЦЛ + &lf, g)H+ (J,gt0 (#))
и поэтому согласно началу доказательства теоремы 8.3 она замыкаема как
форма в Я,, т. е. соответствующее пополнение В (<$) входит в Я,, а значит,
и в Я0 =>+Я+. ■
V.17*

Г Л Л В А XV. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОБОБЩЕННЫМ
СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОРАМ
Как уже пояснялось во введении к гл. XIII, формулы разложения век-
гора по собственным векторам самосопряженного оператора А в
конечномерном гильбертовом пространстве Я, имеющие вид (1)» непосредственно на
бесконечномерное Я не переносятся, так как у оператора А собственные векторы
могут отсутствовать.
Соответствующий тривиальный пример самосопряженного оператора А,
не имеющего собственных векторов, мы приводили в § VIII.8. Сейчас
полезно его вкратце напомнить. Полагаем Я = L2 ((а, Ь)) по лебеговой мере,
( Af) (χ) = xf (χ) (f 6 L2 (α, b), χ 6 (a, b). Этот оператор — ограниченный
самосопряженный со спектром S (А) = [а, Ь]. Уравнение для собственного
вектора φ 6 L2 ((a, b))i отвечающего точке λ £ [я, Ь] спектра, имеет такой вид:
почти для всех χ 6 (а, Ь)
(*-λ)φ(*) = 0. (1)
Отсюда, с одной стороны, следует, что φ (χ) = О почти везде, т. е. φ (χ) =
= Ов L2 ((α, b)), и поэтому не является собственным вектором из Я, с
другой — уравнению (1) удовлетворяет, хотя бы формально, δ-функция,
сосредоточенная в точке λ : φ = δλ. Она отлична от нуля как элемент
соответствующего пространства и поэтому может считаться собственным вектором.
Таким образом, у данного оператора нет обычных собственных векторов
и вместе с тем имеются собственные векторы, являющиеся обобщенными
функциями. Оказывается, это общая закономерность для сепарабельного
пространства Я, и ниже будут изложены соответствующие результаты.
Покажем, что при некоторых ограничениях спектральную теорему для Л, т. е.
формулы
00 ОО
fl = $ dE(X), Л= J %dE(%), (2)
— ОО ОО
можно записать в виде, близком к случаю дискретного спектра, когда
k=l k=l
А именно, формулы (2) переписываются так:
ОО ОО
fl= Ι Ρ (λ) ф (λ), Α= Ι λΡ(λ)<ίρ(λ), (3)
— οο —οο
где ρ—некоторая мера, а Ρ (λ)— оператор «обобщенного проектирования»,
область значений которого состоит из обобщенных собственных векторов
оператора Л, отвечающих собственному значению λ.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРНОЗНАЧНОЙ
МЕРЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ
Ниже будет доказана теорема типа Радона — Никодима о
дифференцировании операторнозначной меры по ее следу и приведено следствие,
касающееся дифференцирования разложения единицы. С помощью этого факта
устанавливается основной результат гл. XV.
516

1. Дифференцирование операторнозначной меры. Зафиксируем цепочку
ЯэЯ0эЯ+, (1.1)
все пространства которой сепарабельны (для этого, разумеется, достаточно,
чтобы таким было Я+). Напомним (см. § XIV. 1), что оператор А : Н+ -> #_
называется неотрицательным, если (Аи, и)н > 0 (и 6 Я+). След
неотрицательного оператора по определению равен
Тг(Л) = 2 (AeJt ej)Ho,
где (β/·)Π=1 — ортонормированный базис в Я+, Величина щ Тг (Л) не зависит
от выбора такого базиса: если I — изометрия, связанная с (1.1), то вследствие
соотношения (а, и)н =(1а, и)н (а£#_, и£Н+) заключаем, что
неотрицательность А эквивалентна обычной неотрицательности ΙΑ: Η^-*·Η+ и Тг(Л) =
Следующее определение связано с определением общего разложения
единицы, приведенным в §ХШ.1. Пусть R— абстрактное пространство, в которое
необязательно введена топология; !Н — некоторая σ-алгебра множеств из R.
Функцию !Н 3«ι-)-θ(α) будем называть операторнозначной мерой с конечным
следом, если выполнены следующие требования: а) θ (α) — неотрицательный
оператор из Н+ в #_, Θ(0) = Ο, Тг (θ (/?))< <χ>; б) выполняется свойство
счетной аддитивности: если α;·£ ίΚ (/ζ Ν) взаимно не пересекаются, то
θ
( и а,) = Σ θ(α;·), где ряд сходится в слабом смысле.
/=ι /=ι
Из аддитивности θ и ее неотрицательности следует монотонность: если
a's а", то θ (α') <: θ (α"). Поэтому θ (α) < θ (R) и Тг (θ (α)) < Tr (Q(R)) (α £ Κ).
Введем числовую неотрицательную функцию множеств *К 3 α ι->- ρ (α) =
= Тг (θ (α)). Если α;· £ % (/ £ Ν) взаимно не пересекаются, то вследствие
условия б) и неотрицательности слагаемых
р( U ay) = Tr(9( U α/)) = ΤΓ(|;θ(α/)) =
/—I /—1 j^i
ОО 00 00 ОО
= Σ «Σ θ(«/»**> *дн. = Σ Σ (θ («/)**> ek)Ho =
= Σ ΤΓ(θ(α/))-Σ Ρ(α/)·
/=ι /=ι
Таким образом, ίΚ Э α '-*■ Ρ (α) является числовой неотрицательной конечной
мерой; меру ρ будем называть следовой мерой для меры Θ.
Теорема 1.1. Операторнозначную меру θ с конечным следом можно
продифференцировать по ее следовой мере р. Это означает^ что существует слабо
измеримая относительно Η определенная р-почти для всех λ 6 R операторное
вначная функция Q (λ) : Н+ -> #„, Q (λ) > О, \Q (λ) / <: Tr (Q (λ)) = 1
такая, что
β(α) = 1<2(λ)άρ(λ) (α£Κ) (1.2)
α
(интеграл сходится по норме Гильберта — Шмидта). Функция Q (λ)
определяется однозначно с точностью до ее значений на множестве нулевой
меры ρ и называется производной Радона — Никодима (dQ/dp) (λ) = Q (λ).
Поясним, что сходимость интеграла (1.2) по норме Гильберта — Шмидта
означает его сходимость в смысле Бохнера, если Q (λ) понимается как век-
17 9-227 617

тор-функция со значениями в пространстве операторов Гильберта — Шмидта
из Н+ в Н_ (см. § Х.З).
Доказательство. Зафиксируем ортонормированный базис (е)fj
в пространстве Я+. Мера θ абсолютно непрерывна относительно р, т. е. если
ρ (α) = 0, то и θ (α) = 0 (α £ ft):
Ι (θ (α) ej9 ek)H9|2 < (θ (a (ejt ef)Ho (θ (α) eb ek)Ho < ρ2 (α) == 0 (/, k £ Ν).
Отсюда следует, что при фиксированных и\ ΌζΗ+ комплекснозначная мера
УХ 3 α\->-(θ(α) и, ϋ)Η £© также абсолютно непрерывна относительно р, и по
обычной теореме Радона—Никодима (см. § V.2) имеем
(θ (α) и, v)Hq = \q (λ; и, υ) dp (λ) (α £ И; и, с, ζ Я+), (1.3)
а
где производная <7 (λ; и, ν) определена на множестве βΜ υ ξ Ζ? полной меры р,
измерима относительно ίΚ и суммируема; при и = υ она неотрицательна.
Обозначим через L линейную оболочку векторов (efljLi c рациональными
комплексными коэффициентами; L = Я+. Так как L счетно, то множество Г) βΜ
и, u^l '
также полной меры; для λ из него определены все функции q(X; и, ν) (и,
v£L) и ?(λ; и, и) >> О (и £ L).
Из однозначности производной с точностью до ее значений на множестве
меры нуль вытекает, что билинейность левой части (1.3) относительно и, v
влечет билинейность и q (λ; и, ν). Точнее, существует множество полной меры
β ^ Π βΜ υ такое» чт0 Для λ £ β
и, v{L '
q(k\ р^+р^, r1ui + r2v2) = p1r1q(%; ult иг) +
+ Ргг^(%\ ult ϋ2)+/ΥΊ<7(λ; u2, ϋι)+/νν7(λ; u2t υ2)
при любых ult u2, vlt v2 ζ L и комплексных рациональных pl9 p2, rx, r2. Для
доказательства, используя билинейность (θ (α) и, υ)Η и принадлежность α £ 9t
в (1.3), сначала заключаем, что указанное равенство справедливо для λ из
множества полной меры Рл п г . „ „ „ ^ f) β а затем в ка-
Г ' Pit Pit rU ГИ «1» "2» VU υ2 ц yLl, U*
честве β берем пересечение (счетное) всевозможных таких множеств. Кроме
того, для таких λ, как отмечалось, q (λ; и, и) > О (и ζ L). Из подобной
билинейности и неотрицательности обычным образом следует неравенство Коши—
Буняковского
| q (α; и, ν) |2 <: q (λ; и, и) q (λ; ν, ν) (λ £ β; и, ν £ L). (1.4)
Полагая в (1.3) и = υ = £, и суммируя по / 6 Ν, получаем при помощи
теоремы Фубини (см. § IV.3)
оо
ρ W = ί ( 2 я (λ; */, «,)) dp (λ) (« e Я).
α /=1
Отсюда следует, что почти для всех λ£β
оо
£ ?(λ; e/f ey) = l. (1.5)
/=ι
Уменьшая, если понадобится, множество β, можно считать, что (1.5)
справедливо для всех λ£β. Из (1.4) и (1.5) вытекает неравенство
оо оо
Σ \ΐ(λ'> el> «*>!■ < Σ 9 (λ; е-, e,)q{%; ek, ek) = 1 (λ ζ β). (1.6)
/. k=i ι, *=ι
Б18

Зафиксируем λ ζ β и обозначим через Α (λ) оператор в Я+, отвечающий
в базисе (<?,·)£= ι матрице (^(Ч)дЫ, где afk(X) = q (λ; еь ej). В силу (1.6)
этот оператор корректно определен и является оператором Гильберта—Шмидта.
Из измеримости каждой функции β3λι-*<7(λ; е^ ek) (/, k£H) следует, что
операторнозначная функция β3λ/->Λ(λ) слабо измерима. Введем непрерывный
оператор Q(X) = \~1Α(λ): Н+-+Н_ и покажем, что он будет искомым.
Из измеримости Α (λ) вытекает слабая измеримость β Э λ ι-* Q (λ). Далее
00 ΟΟ
для и = J] р^, σ = Σ r7·^ g L
fc=i /=i
(Q (λ) и, 1>)Яв = (I-M (λ) и, у)Яо « (Л (λ) и, »)я+ -
ео
= £ ? (λ#» **> */) wv = ? (λ; φ» Ψ)· (ΐ .7)
/, fe=L
В частности, (Q (λ) а, и)н = ? (λ; и, и) > 0. При помощи предельного
перехода заключаем, что неравенство сохраняется и для произвольного и £ #.,
т. е. ζ>(λ)>0. Согласно (1.5), Tr (Q (λ)) = Тг (Л (λ)) = 1 (λ £ β). Таким
образом, | Q (λ) Ι < 1, причем Q (λ) (λ £ β) слабо измерима. Поэтому существует
сходящийся по норме Гильберта — Шмидта интеграл \ Q (λ) dp (λ) (α £ ft).
α
Согласно (1.7) и (1.3), для и, v£L и α ζ ft
(( J Q (λ) φ (λ)) и, ν)Ηο = J (Q (λ) и, о)Яв φ (λ) =
α α
= ] <7 (λ; μ, σ) φ (λ) = (θ (α) u, v)Hq9 (1#8)
α
т. е. выполняется (1.2).
Наконец, установим единственность φ(λ). Пусть существует наряду с Q(K)
операторнозначная функция такого же типа Q1 (λ), для которой J Q (λ) dp (λ)=
α
= J Qi (λ) φ (λ) (α £ ft). Отсюда следует, что для каждых и, v£L (Q (λ) и,
а
v)H =(Q1(h)u, υ)Η для λ из множества β1#ίί у ε/? полной меры. Но тогда
для λ из множества полной меры βχ= f| β,. υ
u,viL * *
(Q (λ) α, c)//0 = (QiW«, v)Hq
при любых и, c£L. Отсюда и из непрерывности операторов Q(X), Qf (λ) при
каждом фиксированном λ ζ βχ заключаем, что Q (λ) = Qx (λ). Щ
Замечание 1.1. Можно рассматривать операторнозначную меру с σ-κο-
нечным следом. Это означает, что существует последовательность (Rk)k=i ^
cz ft такая, что Rt s Я2 ε · .., U /?λ = /? и Тг (θ (Ял)) < <χ> (k £ Ν). Форму-
k=l
лировка теоремы 1,1 и ее доказательство сохраняются, только следовая мера
будет не конечной, а σ-конечной, и представление (1.2) имеет место для
каждого ft 3 α ^ Rk ПРИ некотором β £ №.
Замечание 1.2. Теорему 1.1 можно по формулировке приблизить к
обычной теореме Радона — Никодима. Именно, пусть заданы
операторнозначная мера θ с σ-конечным следом и σ-конечная неотрицательная числовая мера
ft Э α ι->· р (а) 6 [0, оо], относительно которой θ абсолютно непрерывна: если
при некотором α 6 ft Ρ (α) = О, то и θ (α) = 0. Тогда справедливо
представление (1.2), где ft Э α ξ Rk (k ζ Ν), Q (λ) — определенная р-почти для всех
17* 619

λ 6 R слабо измеримая операторнозначная функция. Значениями этой
функции являются неотрицательные операторы из Я+ в Я_, каждый из которых
имеет конечный след, суммируемый относительно ρ по Rk (k 6 Ν) (нужно
написать представление (1.2) со следовой мерой, а потом в нем ее
продифференцировать по р).
2. Дифференцирование разложения единицы. Перейдем к
дифференцированию разложения единицы и понятию спектральной меры.
Пусть R — абстрактное пространство, 91 — некоторая σ-алгебра его
множеств и % Э α /->· Ε (α) — общее разложение единицы, действующее в
пространстве Я0. Как правило, мера Ε не обладает конечным или σ-конечным
следом, поэтому непосредственное применение теоремы 1.1 сейчас
невозможно. Однако удобно поступить следующим образом.
Предположим, что имеется оснащение (1.1) пространства Я0. Пусть О : Я+->-
->■ Я0, 0+:Я0->Я_—соответствующие операторы вложения (из равенства
(/, Ou)Hq = (/, u)Hq = (0+f, и)Но (f € #о, и £ Я+) следует, что 0+ действительно
сопряжен к О относительно Я0). Функция
<R 3 α l-> θ (α) = 0+£ (α) 0, (1.9)
значениями которой служат непрерывные операторы из Я+ в Я_, является
операторнозначной мерой (0+Е (а) О > 0, так как при а £ Я+ (0+£ (а) Ои, м)я ==
= (Е(а)0и, 0и)н >0). Напомним, что оснащение (1,1) называется квази-
ядерньш, если квазиядерный оператор вложения О.
Лемма 1.1. Если оснащение (\.\) квазиядерное, то операторнозначная
мера (1.9) обладает конечным следом.
Предварительно отметим: если А: Н0-+ Н0 неотрицателен, то 0+А0:Я+->
->■ Я_ также неотрицателен и
Тг (0-МО) < || A HI О |2. (1.10)
В самом деле, неравенство 0+Л0 > 0 только что было пояснено на
примере А = Е(а). Далее пусть (£/)/Li — ортонормированный базис в Я+, тогда
Tr (0+A0) = £ (0+ΛΟβ/, е,)я = fj (ΛΟ*/( Об/)Яо <
/=ι /=ι
<ΜΙΐΣ ||Ое/||Яо=||Л||.|Ор. ■
/=1
Доказательство леммы. Согласно (1.10),
Tt(Q(R)) = Tt(0+E(R)0)<\0\*<oo. ■
Зафиксируем квазиядерное оснащение (1.1). Неотрицательная конечная
мера Я Э α \-*- Ρ (α) == Тг (0+ £ (а) О) 6 [0, оо) называется спектральной
мерой разложения единицы Е. Ясно, что Ε и ρ абсолютно непрерывны одна
относительно другой: равенства Ε (α) = 0 и ρ (α) = 0 при некотором а £*Я
эквивалентны. Применяя к (1.10) и ρ теорему 1.1, получаем следующее
утверждение.
Теорема 1.2. Пусть ίΚ =) α /->- Ε (α) — разложение единицы, действующее
в пространстве Я0, (1.1) — фиксированное квазиядерное оснащение, 9ί =) α /-*-
|->- ρ (α) 6 [0, оо) — соответствующая спектральная мера. Тогда справедливо
представление з виде сходящегося по норме Гильберта — Шмидта интеграла
0+Е (а) О = £ Ρ (λ) dp (λ) (α£9ί). (1.11)
α
Здш> Ρ (λ): Η+->-Η_ — слабо измеримая относительно ίΚ определенная р-
почти для всех λζ R операторнозначная функция такая, что Ρ (λ) > 0,
ΙΡ (λ) | < Тг (Ρ (λ)) = 1. Ρ (λ) называется обобщенным проектором,
520

Как уже говорилось, в случае разложения единицы Ε одного
самосопряженного оператора в Я0 с дискретным спектром (kj)JLl справедливо равенство
Ε (α) = JJ Ρ(λ·) (a£23(IR)), где Ρ (λ;·) — проектор на собственное подпро-
странство Л, отвечающее собственному значению λ·. Сравнение этой формулы
и (1.11) определило термин «обобщенный проектор».
Замечание 1.3. В соответствии с замечанием 1.2 можно ввести понятие
и общей спектральной меры, отвечающей разложению единицы Е: такой
мерой называется σ-конечная неотрицательная мера !Н 3 α \->- ρ (α) £ [0, оо],
обладающая тем свойством, что ρ и Ε абсолютно непрерывны одна
относительно другой. Представление (1.11) сохраняется и для общей спектральной меры,
лишь оператор Ρ (λ) приобретает скалярный множитель.
3. Случай ядерного оснащения. Результаты, аналогичные приведенным
выше, можно получить, если использовать вместо квазиядерного оснащения
(1.1) гильбертова пространства Я0 его ядерное оснащение
Ф'эЯ0^Ф (1.12)
(напомним, что оснащение называется ядерным, если Φ = рг lim Я- —
τ{Τ χ
ядерное пространство, см. § XIV.2). Точнее, случай цепочки (1.12) сводится
к цепочке (1.1). Покажем это.
Рассмотрим оснащение (1.12) и обозначим через О, 0+ операторы
вложения Φ ^ #о, #о ^ Ф' соответственно. Будут рассматриваться
непрерывные операторы А : Φ -»■ Φ'. Такой оператор называется неотрицательным
(Л > 0), если (Лср, ср)я > 0 (φ 6 Ф). В частности, если ίΚ 3 a '-*■ £ (a) —
разложение единицы, фигурирующее выше, то оператор 0+ Ε (α) Ο : Φ -► Φ'
является неотрицательным. Функция *Н 3 a /->■ θ (α) = 0+£ (α) О будет
мерой, подобной рассматривавшимся в п. 1, 2, но со значениями в & (Φ, Ф').
Теорема 1.3. Пусть % 3 a l->- £ (α), ρ (α) — разложение единицы,
действующее в пространстве Я0, и некоторая его спектральная мера, (1.12)—
фиксированное ядерное оснащение. Тогда справедливо представление (1.11)
в виде слабо сходящегося интеграла, где 0 <: Ρ (λ) : Φ -> Φ' (обобщенный
проектор) — слабо измеримая относительно *R определенная р-почти для всех
λ 6 R операторнозначная функция.
Доказательство. Как было изложено в § XIV. 2, каждое #τ(τ 6 Τ)
вложено плотно и непрерывно в Я0, причем 0 6 Т. Выберем такое τ, чтобы
вложение Н% ^ Я0 было квазиядерным, это возможно благодаря ядерности
Ф. В результате получим цепочку
Ф' эЯ_тэЯ0эЯтэФ (1.13)
с плотными и непрерывными вложениями. Примем теперь в качестве (1.1)
среднюю часть цепочки (1.13) и введем операторы вложения Ог: Ηχ-+Η0 и
θγ: Я0 ->- Я_т. Тогда в силу теоремы 1.2 и замечания 1.3
0\Е (а) Ох = J Рг (λ) rfp (λ) (α 6 Я), (1.14)
а
где Ях (λ) :Ητ·*+Η_τ— соответствующий обобщенный проектор.
Рассмотрим вложения Оа : Φ -> Ят и 03:Я_т->Ф'. Умножая (1.14)
справа и слева соответственно на Оа и 03, получаем требуемое равенство
(1.11), где положено Ρ (λ) = 03Рг (λ) 02. Сходимость интеграла (1.14) по
норме Гильберта — Шмидта (из Н% в Я__т) влечет, очевидно, слабую
сходимость интеграла (1.11). ■
Результаты этого параграфа, в частности, справедливы и для разложения
единицы, отвечающего заданному самосопряженному или нормальному
оператору. В следующем параграфе мы детально изучим эту ситуацию.
521

§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
И ПРОЕКЦИОННАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
1. Случай самосопряженного оператора. Рассмотрим наиболее простую
классическую ситуацию одного самосопряженного оператора Л,
действующего в оснащенном гильбертовом пространстве Н0. Предположим, что
существует линейное топологическое пространство D, плотно и непрерывно
вложенное в Я+, такое, что D ^ В (Л) и сужение A f D непрерывно
действует из D в Н+. Таким образом, сейчас вместо (1.1) возникает оснащение
(цепочка)
H_=>H0=>H+=>D. (2.1)
Об операторе А, обладающем описанными свойствами, и оснащении (2.1)
будем говорить, что они стандартно связаны (или А допускает (2.1)). Цепочка
(2.1) называется продолжением (1.1). Как и ранее, (2.1) по определению
квазиядерное, если таким будет вложение (сепарабельного) Н+ в Н0.
Ненулевой вектор φ 6 Н_ называется обобщенным собственным
вектором оператора А с собственным значением λ 6 ©, если
(φ, Л«)Яо = Х(Ф, u)Hq (u£D). (2.2)
Если φ 6 @ (Л), то в (2.2) оператор А можно перебросить на φ, и ввиду
произвольности и 6 D получим, что Лф = λφ, τ. е. φ является обычным
собственным вектором Л с собственным значением λ. Таким образом,
приведенное определение является обобщением классического понятия.
Совокупность собственных значений, отвечающих всевозможным
обобщенным собственным векторам, называется обобщенным спектром g (Л)
оператора Л. Этот спектр, разумеется, связан с выбором оснащения (2.1) и
отличается, вообще говоря, от спектра S (Л) оператора Л.
Пример 2.1. Пусть #0 = L2(IR, dx) относительно лебеговой меры dx, A —
минимальный оператор, порожденный выражением (&и) (х) = —iu'(х), т. е.
замыкание оператора Н0 ^ Cq (IR) 3 « '-*■—iV (χ) ζ Η0 (см. § XII.2; этот
оператор самосопряжен и 5(Л) = ^ (см. §XVI.4). Положим #+ = L2(IR, ex* dx)t
.D = ^(IR). Требования, связанные с оснащением (2.1), выполнены, #_ =
= L2(IR, e~~x*dx). Для каждого 룩 φ(χ)=βιλχ (*£|R) входит в Н_ и
удовлетворяет (2.2). Таким образом, g (Л) = С Φ IR = 5 (Л); g (Л) =э 5 (Л).
Рассмотрим этот же оператор Л, но положим Н+ = Н0. Теперь Н_ = Н0.
Не существует векторов #__ Э ф Φ 0, удовлетворяющих (2.2): каждое φ£ @ί' (IR) zd
zd Я0, удовлетворяющее (2.2), является обобщенным решением уравнения
—φ' = λφ и поэтому у(х) = сеах (*£|R, €ЭсфО) (см. §XVI.4). Но такая
функция φ ни при каком λ ζ С не входи г в Н0=Н . Итак, g(A) = 0 ^[R=
= 5 (Л); g(A)czS(A).
Перейдем к спектральной теореме. Пусть Л — самосопряженный
оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н0 и
стандартно связанный с квазиядерным оснащением (2.1). Для его разложения
единицы Е, определенного на σ-алгебре борелевских м ножеств 23 (IR), согласно
теореме 1.2, справедливо представление (1.11):
0+Е (а) О = j Ρ (λ) dp (λ) (α ζ 33 (IR)). (2.3)
а
Напомним, что здесь 33 (IR) 3 α \->· ρ (α) = Тг (0+Е (а) О) £ [0, оо) — по
определению спектральная мера Л, Ρ(λ):Η+-+Η_ — слабо измеримая относительно
33 (IR) определенная р-почти для всех λ £ IR операторнозначная функция такая,
что Ρ (λ) > 0, | Ρ (λ) Ι < Тг (Ρ (λ)) = 1. Поскольку для Β ζ 2 (tf+, tf J, В > О,
равенства 5 = 0 и Тг (В) = 0 эквивалентны, то 5 (Л) = supp Ε = suppp.
Поэтому выше можно считать λ изменяющимся не по IR, a no S (Л). Общей
спектральной мерой оператора Л, разумеется, называется такая мера,
связанная с разложением единицы этого оператора.
522

Теорема 2.1. (БГКМ*-р изложение). Пусть А —
самосопряженный onepamopt действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н0
и стандартно связанный с квазиядерной цепочкой (2.1), в которой D сепара-
бельно. Тогда существует оператор позначная функция Ρ (λ), слабо измеримая
и определенная почти для каждого λ из спектра S (А) в смысле спектральной
меры р, вначения которой — неотрицательные операторы из Н+ в #_,
|Р (λ)| < Тг (Ρ (λ)) = 1, дающая следующее представление разложения
единицы Ε оператора А и самого этого оператора:
Е(а)и = (\ P(k)dp(X))u (α£23 (IR), u£H+),
а
Аи = ( \ λ Ρ (λ) dp (λ)) и (и£@(А)[)Н+). (2.4)
S(A)
Область вначения 91 (Ρ (λ)) s H_ состоит из векторов φ, являющихся
обобщенными собственными для А с собственным значением λ, т. е.
(φ, Au)Hq = λ (φ, u)Hq (u£D). (2.5)
Таким образом, формулы (2.4), действительно, имеют вид
представлений (3), в которых выделены «проекторы на собственные подпространства»,
состоящие из обобщенных собственных векторов. В связи с этим спектральная
теорема для А в форме (2.4) называется проекционной.
Доказательство. Сопоставляя формулировку доказываемой
теоремы с теоремой 1.2 в частном случае разложения единицы Е, отвечающего А
(см. (2.3)), видим, что нам нужно лишь доказать последнее ее утверждение.
Поясним при этом, что второе равенство в (2.4) вытекает из (6.1) гл. XIII
и формулы dE (λ) и = Ρ (λ) dp (λ) и для и 6 #+, являющейся иной записью
первого из равенств (2.4), т. е. (2.3).
Итак, докажем, что φ 6 ^ (Ρ (λ)) удовлетворяет (2.5). Иными словами,
нужно установить соотношение : (Ηβ 6 *3 (IR)) полной спектральной меры ρ
такое, что (γλ £ β):
(Ρ (λ) и, Αν)Ηο = λ (Ρ (λ) u, v)Hq (и ζ Η+, ν £ D). (2.6)
Прежде всего заметим, что достаточно установить существование
множества β ^ 33 (IR) полной меры ρ такого, что при λ£β соотношение (2.6)
выполняется для и и ν, меняющихся соответственно по заранее
фиксированным множествам G ^ Я+ и F ^ D плотным в этих пространствах.
В самом деле, пусть и £ Я., νζ D и G^un > и в #,, F Э vm >■ ν
в D. По предположению,
(Ρ (λ) иП9 Аит)Но = λ (Ρ (λ) unt vm)Ho (λ £ β; л, /η 6 Ν). (2.7)
Перейдем в (2.7) сначала к пределу при /г->оо, а затем при т->оо. Такой
предельный переход возможен, так как Ρ(λ)ζ &(Н+, Н_) и A \D£&(D, H+).
В результате получим требуемое соотношение (2.6).
Зафиксируем и, νζϋ. При помощи (2.3) получим
J (Ρ (λ) и, Av)Ho dp (λ) = (( J Ρ (λ) dp (λ)) и, Av)Hq =
α α
= (Ο* Ε (α) Ou, Αν)Ηο = (ΑΕ (α) u, v)Ho = ((\%dE (λ)) и, 0)Ηφ =
α
= ) Ы (0+Ε (λ) Ou, ν)Ηο (α £ 93 (IR)). (2.8)
α
* Результат Ю. Μ. Березанского (1956). Л. Гординга (1954), И. М. Гель-
фанда и А Г. Костюченко (1955), Г. И. Капа (1958), К. Морена (1958).
523

Здесь мы воспользовались соотношением
АЕ (α) = \ λ dE (λ) (α £ 93 (IR))f
а
вытекающим из равенств (6.1) и (2.22) гл. XIII (см. также замечание 2.1
в этой главе). Далее, заменяя дифференциал в последнем интеграле из (2.8)
в соответствии с (2.3), находим
[ Ρ (λ) и, Αν) Hq dp (λ) = { λ (Ρ (λ) и, о)Яв φ (λ) (α g 23 (IR)).
α α
Вследствие произвольности α отсюда вытекает, что существует множество
Р« t, € 33 (IR) полной меры ρ такое, что при λ£βΜ υ выполняется (2.6).
Пусть теперь L — счетное множество, плотное в пространстве D, а
значит, и в Я,. Рассмотрим счетное пересечение (] βω ν ~ β· Это множество
полной меры р, и для λ 6 β выполняется соотношение (2.6) при всех и, ν £ L.
Но тогда, согласно замечанию, сделанному в начале доказательства теоремы,
это соотношение выполняется и при всех и ζ Η+, ν ζ D. Щ
При несколько более жестких ограничениях на оператор Л эта теорема
допускает перефразировку в терминах ядерных оснащений пространства Н0.
Приведем необходимые определения.
Рассмотрим оснащение Н0 линейными топологическими пространствами :
Ф'эЯ0э Ф. (2.9)
Будем говорить, что самосопряженный оператор А в Н0 и цепочка (2.9)
стандартно связаны (или А допускает (2.9)), если Φ ^ @5 (А) и А \ Φ
непрерывно действует в Ф. Определение обобщенного собственного вектора, по
существу, остается прежним: должно выполняться равенство (2.2), где и 6 Ф;
обобщенный спектр g (Л), как и ранее,— совокупность всех собственных
значений, отвечающих обобщенным собственным векторам.
Отметим, что если А стандартно связан с (2,9) и Ф = ргНт#х, то А
таким же образом связан с любой цепочкой τ(Γ
#_τ Ξ2 tf0 => Н% => Φ = D (2.10)
вида (2.1). Применим теперь к разложению единицы Ε оператора А вместо теоремы
1.2 теорему 1.3 и используем схему ее доказательства. Поскольку А стандартно
связан с (2.10), то при помощи теоремы 2.1 получаем следующий результат.
Теорема 2.2. Пусть А — самосопряженный оператор, действующий в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве Н0 и стандартно связанный с ядерной
цепочкой (2.9). Тогда справедливы все заключения теоремы 2.1 лишь с тем изменены'
ем, что Ρ (λ) непрерывно действует «зФбФ' (и нельзя говорить о его
гильбертовой норме и следе). Мера ρ сейчас—некоторая спектральная мера оператора Л.
2. Случай нормального оператора. Покажем, как изменяются
формулировки приведенных результатов, если оператор А — нормальный. Сейчас
требуются некоторые усовершенствования в определении обобщенного
собственного вектора.
Так, пусть А — нормальный оператор в #<,, φ 6 #о — его собственный
вектор, отвечающий собственному значению λ0, в некоторой окрестности
U с (D которого нет других точек спектра А. Тогда спектральное
разложение А имеет вид (см. (6.19), гл. XIII):
Α = [λ^(λ) = λ0Ρ(λ0)+ J XdE(k), (2.11)
С C\U
где Ε — разложение единицы оператора Л, а Я (λ0) — проектор на
собственное подпространство, отвечающее λ0 и состоящее из векторов φ. Согласно
(6.32), гл. XIII, для сопряженного оператора из (2.11) следует
А* = ] λ dE (λ) = λ0Ρ (λ0) + ) XdE (λ). (2.12)
С <D\i/
624

Формула (2.12) показывает, что φ является и собственным вектором
оператора Л* с собственным значением λ0. Учитывая это, удобно следующее
определение.
Будем говорить, что рассматривавшаяся цепочка (2.1) и нормальный
оператор Л, действующий в Я0, стандартно связаны, если Dgf (Л) и
сужения A f D и Л* \ D непрерывно действуют из D в Я+. Под обобщенным
собственным вектором оператора Л, отвечающим собственному значению
λ £ С, понимается такой вектор φ 6 #_, что
(φ, Л*«)Яо = Я(Ф, и)Яо, (φ, Л«)Яо = Ч(р, u)Hq (agD). (2,13)
Как и ранее, из (2.13) следует, что если дополнительно φ 6 ® (Л), то
Л<р = λφ и Л*<р =*"λφ. Таким образом, (2.13) обобщает понятие собственного
вектора нормального оператора. Равенство (2.3), очевидно, сохраняется,
только α £ 33 (С). Понятие спектральной меры ρ оператора Л вводится
аналогично предыдущему. Теорема 2.1 преобразуется в следующую.
Теорема 2.3. Пусть А — нормальный оператор, действующий в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве Н0 и стандартно связанный с квави-
ядерной цепочкой (2.1), в которой D сепарабельно. Тогда справедливы все
утверждения теоремы 2.1 со следующим изменением формул (2.4):
£(α)Μ = ({ρ(λ)£ίρ(λ))α (α g 8(C), и£#+),
α
Аи = ( [ XP(X)dp(k))u, Л*а = ( ) λΡ(λ)φ(λ))« (и€#(Л)ПЯ+); (2.14)
5(i4) 5(Л)
формула (2.5) приобретает вид (2.13).
Доказательство. Как и в случае теоремы 2.1, вопрос сводится
к установлению следующего: Ηβ 6 8 (С) полной спектральной меры такое,
что (γλ£β):
(Ρ (λ) и, Л*у)Яо = λ (Ρ (λ) и, u)Hq9 (Ρ (λ) и, Лу)Яо = я (Ρ (λ) и, о)Яв
(«6#+. irgD). (2.15)
Сначала доказываем существование множества βχ 6 33 (С) полной меры ρ
такого, что (γλ 6 βι) выполняется первое из соотношений (2.15). Делается
это точно так же, как и доказывалась теорема 2.1 с использованием вместо
представления (6.1), гл. XIII, представления (6.32) этой же главы.
Затем аналогично похазываем, что (3β2 6 23 ((D)) полной меры ρ такое,
что (γλ 6 β2) выполняется второе из соотношений (2.15) (используем вместо
(6.32) представление (6.19) гл. XIII). Наконец, полагаем β = βχ П β2· ■
Подобно самосопряженным операторам в случае нормального оператора
может быть использована ядерная цепочка (2.9), стандартно с ним связанная.
Определение стандартной связи аналогично приведенному только что,
аналогично и определение обобщенного собственного вектора. Теорема 2.2
переформулируется при этом с очевидными изменениями, мы ее приводить не
будем.
В частном случае результаты этого пункта могут быть применены к
унитарным операторам. Соответствующие теоремы о разложении по обобщенным
собственным векторам унитарного оператора мы приводить не будем, их
легко может сформулировать читатель.
3. Семейство коммутирующих операторов. Остановимся еще на одном
вопросе, касающемся самосопряженных операторов. Предположим, что
в гильбертовом пространстве Н0 действуют неограниченные
самосопряженные операторы Alt .,, , Ап, их разложения единицы обозначим
соответственно через Et, ..., Еп. Говорят, что эти операторы коммутируют,
если коммутируют их разложения единицы: Е- (а·) Ek (ak) = Ek (ak)Ε*(αλ
(ay, a^6 93(IR); /, k=l, ..., η). Β §ΧΙΙΙ.9 мы выяснили условия, которые
обеспечивают коммутируемость операторов Alt ..., Ап. Напомним, что если
525

они ограничены, то для этого необходимы и достаточны соотношения AjAk =
= AkA- (/, £== 1, . .. , η). Β неограниченном случае ситуация намного
сложнее и выполнение таких соотношений, например, на некоторых плотных
множествах еще не обеспечивает коммутируемость соответствующих разложений
единицы, т. е. коммутируемость А·.
Предположим, что семейство А = (Ajfj=x коммутирующих
самосопряженных операторов в Н0 задано и построим разложение по их обобщенным
совместным собственным векторам. Вектор О Φ φ £ Н0 называется (обычным) совместным
собственным вектором семейства - А, если φ £ ^ (А,) и Л;.(р = λ,φ с
некоторыми λ- £ IR (/ = 1, .. . , η); λ = (λχ, .. . , λη) £ \Rn — собственное значение
семейства А, отвечающее φ.
В соответствии с этим определением вводится понятие обобщенного
совместного собственного вектора. Рассмотрим цепочку (2.1), стандартно
связанную с каждым Ai(j=l, . .., η). Тогда по определению
<р£#_—обобщенный совместный собственный вектор семейства А, отвечающий
собственному значению λ = (λχ, . .. , λη) £ С", если
(φ, AJu)H^Xi(^t u)Hq (/=1, ..., η; u£D); (2.16)
совокупность всех таких λ образует обобщенный спектр g(A) семейства,
С семейством А естественным образом связывается т. н. совместное
разложение единицы Ε—это разложение единицы в пространстве IR", заданное
на σ-алгебре 93 (IRrt) как прямое произведение разложений единицы Elt ...
η
... , Еп\ Ε — χ Ε, (см. § ΧII 1.3). Носитель меры Ε — по определению спектр
/=ΐ
η η
A:S(A) = suppE^ Χ supp Ε, = χ 5 (А,) (см. гл. XIII, (5.23)). По Е и
/=ι /=ι
квазиядерной цепочке (2,1) подобно предыдущему строится спектральная мера
семейства А : 93 (\Rn) Э α\->- ρ (а) = Тг (О+Е (а) О). Аналогично вводится и общая
спектральная мера семейства А. Как мы уже видели (см. гл. XIII, (5.16)),
операторы А- восстанавливаются по Ε при помощи формулы
А; = ) λ.dE(λ) (/ = 1 η). (2.17)
IR«
Теорема 2.4. Пусть А = (Aatj=1 — семейство коммутирующих
самосопряженных операторов, действующих в сепарабельном гильбертовом
пространстве #о, каждый из которых стандартно связан с квавиядерной
цепочкой (2.1), в которой D сепарабельно. Тогда справедливы все утверждения
теоремы 2.1 со следующим изменением формул (2.4):
Ε (а) и = ( j Ρ (λ) dp (λ)) и (α £ 93 (IR«), ы£#+),
α
А;и = ( J λ.Ρ(λ)φ(λ))« (/=1, ..., η; и£@(А,)ПН+); (2.18)
S(A)
формула (2.5) приобретает вид (2.16).
Доказательство. Как и в случае теоремы 2.1, вопрос сводится
к установлению соотношения: (3β 6 93 (IRrt)) полной меры ρ такое, что(у^бР):
(Ρ(λ)«, ^^λ^Ρ^ί/, v)Hq (/=1, ..., η; u£H+f υζϋ). (2.19)
Подобно доказательству теоремы 2.1 (V/= 1, .. . , п) существует множество
β/ ζ 33 (IR'1), для которого соотношение (2.19) выполняется, но при
фиксированном /. Нужно повторить это доказательство, используя вместо (6.1)
η
гл. XIII представление (2,17), Затем нужно положить β = П β/. Η
526

Теорема 2.4 сохраняется и для коммутирующих нормальных операторов
(т. е. таких операторов, у которых коммутируют их разложения единицы).
Можно дать также варианты этих результатов с использованием вместо
квазиядерной цепочки (2.1) ядерной (2.9). В случае бесконечного семейства
коммутирующих самосопряженных (или нормальных) операторов приведенные
факты также сохраняются, однако их формулировка и доказательства
усложняются (особенно это ощутимо в случае более чем счетных семейств).
4. Циклические векторы. Под спектральной мерой самосопряженного
оператора А в #0 мы понимали следовую меру: 23 (IR) } α ι->- ρ (α) =
= Тг (0+ Ε (α) 0) 6 [0, оо), построенную с помощью квазиядерной цепочки
(2.1). Было введено также понятие общей спектральной меры — такой
скалярной меры р, что ρ и Ε абсолютно непрерывны одна относительно другой
(см. замечание 1.3).
Рассмотрим важный случай, когда роль спектральной меры ρ может
играть мера, отличная от следовой.
Орт Ω£#0 называется циклическим вектором оператора А (или
вакуумом), если Ω£ Π @(Ат) и множество векторов {ΑηΊΩ\ητζΖ+} тотально.
Теорема 2.5, Пусть самосопряженный оператор А с разложением
единицы Ε обладает циклическим вектором Ω. Тогда конечная
неотрицательная мера 33 (IR) Э α/->ρ (α) = (Ε (α) Ω, Ω)^ £ [0, оо) является одной из
спектральных мер этого оператора.
Доказательство. Если Ε (α) = 0 при некотором α £ © (IR), то ρ (α) =
= 0. Докажем противоположную импликацию. Пусть 0 = ρ (α) = (£(α)Ω, Ω)^ =
= || Ε (α) Ω ||^ т. е. Ε (α) Ω = 0. Тогда (Ут £ Ζ+): 0 = АтЕ (α) Ω = £(α),4"2Ω,
а значит, и Ε (α) / = 0, где / входит в линейную оболочку векторов AmQ'
Но такая оболочка, по предположению, плотна в Я0, поэтому £(а)=0. ■
Точно так же формулируется теорема в случае нормального оператора.
Для семейства коммутирующих операторов А = (Α,)^=1 вместо Ат нужно
брать произведения Л™1. ,, А™п, где mlt ,. ♦ , тп ζ Ζ+,
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПО ОБОБЩЕННЫМ
СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОРАМ
И ПРЯМОЙ ИНТЕГРАЛ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Во введении к гл. XIII первоначальные формулы (1), (2) разложения
по собственным векторам самосопряженного оператора в конечномерном
пространстве выглядят иначе, чем доказанные формулы (2.4). Именно, в них
фигурировали не проекторы Ρ (λ), а сами собственные векторы. Покажем,
что аналогичные разложения можно получить и в общем случае.
Мы будем вести изложение для одного самосопряженного оператора,
однако полученные факты легко обобщить на нормальные операторы и на
рассмотренные ранее семейства коммутирующих операторов.
Формулировки и доказательства в этих случаях мы предоставляем читателю.
1. Преобразование Фурье. Пусть выполнены условия, обеспечивающие
справедливость проекционной спектральной теоремы 2.1 для
самосопряженного оператора Л. В силу первой из формул (2.4)
(Е(а)и9 v)Ho=$(Pfa)u, ν)Ηοά9(λ)
(и, v£H+; a€»(IR)). (3.1)
В частности, при a = IR (3.1) дает разложение (u,v)H в интеграл от
(Ρ (λ) и, ν)Η . Последнее выражение определяет скалярное произведение
и равенство (3.1) переходит в разложение Я0, в так называемый прямой ин-
527

теграл соответствующих гильбертовых пространств. Остановимся на этом
подробнее.
Зафиксируем λ 6 IR такое, что Тг (Ρ (λ)) = I. Точки λ, обладающие
этим свойством, образуют множество полной спектральной меры. Значения λ,
фигурирующие ниже, берутся именно из этого множества. В силу
соотношений Ρ (λ) > 0 и | Ρ (λ)| < Тг (Ρ (λ)) = 1 оператор J Ρ (λ) J: Я0 -> Η0 —
неотрицательный Гильберта—Шмидта (см. (1.1), (1.2)). Пусть hy(X) £ Н0 (у = 1,
2 Ν (λ) < оо) — ортонормированная последовательность собственных
векторов оператора 3P(k)J9 отвечающих собственным значениям ν (λ). Поскольку
JP (λ) J зависит от параметра λ слабо измеримым относительно 23 (IR) образом,
то можно считать 1гу(Х) (слабо) и ν (λ) (γ=1, 2, ... , Ν (λ)) измеримыми.
(Это нетрудно доказать.) Тогда
Ν(λ)
(Ρ (λ) Jfy Jg)Ho = (JP (λ) //, g)Ho = Σ νν (λ)(/, hy (λ))ΗοΧ
v=i
ЩЦ
Xfe. hy(X))Ho= Σ (Jf, <py(b))Ho(Jgt <ρν(λ))Ηο (f,g£H0), (3.2)
v=i
где положено
φν W = / νΛ) J-% (λ) = ρ (λ)((νν (λ))-1/2 Jhy (λ» g & (Ρ (λ)) s #,.
Векторы φ (λ) (λ, ^ IR; γ=1, 2, ... τ Ν (λ) <: со) являются
индивидуальными обобщенными собственными векторами оператора Л.
Из (3.2) вытекает р-почти для каждого λ £ IR
ΛΤ(λ)
(Ρ (λ) «, ^ = Σ («, φν (λ))^ο (У, φν (λ))Ηο (и, ν £ Я+). (3.3)
ν=ι
Обозначим /2 (оо) = /2 и /2 (W) = (D^ (jV< оо), причем последнее
пространство считается вложенным в /2 (все координаты вектора, начиная с УУ + Ьй,
равны нулю). Преобразованием Фурье, отвечающим оператору А, называется
отображение
Н+Эи l-> Ι (λ) = (иг (λ), «2 (λ), ...) £ /2 (W (λ)),
"ν(λ) = («, φν(λ))„ο (Υ= 1, 2, ... э ^(λ)) (3.4)
(включение в /2 (Λ/ (λ)) следует из (3.3) при Ό = и). Фурье-образ и (λ) вектора
к определен р-почти для всех λ£|&, каждая его координата измерима
относительно 33 (IR). Подставляя (3.3) в (3.1) и используя обозначение (3.4),
получаем равенство Парсеваля для преобразования Фурье
(Ε (α) и, v)Ho = J (и (λ), ν(λ))1ί{Ν{λ)) dp (λ) (3.5)
(a£23(IR); u,v£H+).
Отметим важное обстоятельство.
Лемма 3.1. При фиксированном λ мнооюество {и(%)\и£Н+} совпадает
с /2 (Ν (λ)) при Ν (λ) < оо ы содержит все финитные векторы ив /2 яры
ΛΤ(λ) = οο.
Доказательство. Достаточно показать, что всякий вектор (0, ... , О,
1, 0, ...) с единицей на k-ы месте входит в это множество. Положим и —
= (vk(k)rx!2Jhk(k)iH+, тогда
(", Φν М)я0 = «ν* МГ1/2 (Щ (λ)), φν (λ))„β = (ν* (λ))"1/2 (hk (λ),
J<pv (λ»//β = (Λ* Μ> Λν№hq = δ*ν (у = ι.2» - > ^ W)·
528

2. Прямой интеграл гильбертовых пространств. Рассмотрим прямой
интеграл гильбертовых пространств /2 (# М), распространенный по IR с мерой р:
12 = {θ/2(^(λ))φ(λ).
IR
Он определяется как совокупность всех заданных р-почти для всех λ вектор-
функций IR Э λ ι-> F (λ) £ /2(ΛΓ(λ)), измеримых относительно 93 (IR) в том смысле,
что измерима каждая из координат Fy (λ) (γ = 1, 2, ... , Ν (λ)), для которых
\ IIΡ Mil/ <Ν(λ))άΡ (λ)<<χ>. Нетрудно доказать (ср. с § VII.9), что прямой
IR
интеграл является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(F(-), G (.))Lf = J (F(λ), G (λ))ΜΛ,(λ)) £fp (λ) (3.6)
IR
(/>(.). ο(.)α2).
Сравнивая (3.5) и (3.6), заключаем, что при α = IR выражение в правой
части (3.5) задает скалярное произведение в прямом интеграле, поэтому
равенство Парсеваля может быть записано в виде (и, v)H = (и (·), ν (·))£ (ы, ν £ Я+).
Распространяя по непрерывности это равенство на все Я0, получаем его в форме
(/> ё)Но = J tf (λ)> i <λ»/, <w» Φ (λ) (Λ я € Яв). (3.7)
IR
где Фурье-образ / (λ) вектора f понимается как предел Фурье-образов (3.4) по
норме прямого интеграла (для /ν(λ) уже, разумеется, нельзя писать
последнюю формулу из (3.4)).
Теорема 3.1. Если D для оператора А является базой, т. е. замыкание
A\D в Я0 совпадает с А, то Фурье-образы и (λ) (u£jl+) плотны в прямом
интеграле и поэтому преобразование Фурье Я0 Э /1-»· / (λ) £ L2 осуществляет
изоморфизм между пространствами Я0 и L2.
Итак, в указанном смысле можно считать Я0 разложенным в прямой интеграл
Я0 = J ®ί2(Ν(λ))άρ(λ). (3.8)
IR
Лемма 3.2. При отображении (3.4) оператор А\ D переходит в
оператор умножения на λ : р-почти для всех λ £ IR
(АиГ (λ) = λ« (λ) (u£D). (3.9)
Доказательство. Обозначим через β £ 93 (IR) множество полной
спектральной меры ρ такое, что при λ £ β ^ (Ρ (λ)) состоит из обобщенных
собственных векторов оператора А с собственным значением λ. Существование
этого множества гарантирует теорема 2.1. Пусть λ £ β, так как (Υγ=1, 2, ...
... , #(λ)):φν(λ)ζΛ(Ρ(λ)), то, согласно (2.5) и (3.4), (Vu£D):
(АиГ (λ) = (Λ"> φν (λ))„ο = (cpv (λ), А«)Яо =
= λ (φν(λ), ύ)Ηο = λ (ttf φγ (Я))Яо = Хи ? (λ).
Это равенство—координатная запись требуемого равенства (3.9). И
Доказательство теоремы. Зафиксируем невещественное ζ £ С.
Утверждается, что для каждого ы £ Я+ (λ— г)"1 φ (λ) £ Я0 с: L2: вследствие
529

ограниченности (λ — ζ)'1 как функции точки X£\R оператор умножения на
неё непрерывен в La и поэтому для ΌζΩ, согласно (3.9) и (3.7), имеем
ΙΚλ-z)-hi(λ)-нщ\ь <CW« W-(λ-*Μλ)ΙΙц =
= c\\ и (λ) - ((А-гЦ) νΓ mLi = c||« - (A -HI) v\\Ht.
Поскольку D образует базу самосопряженного оператора А, то правая часть
в этой оценке может быть сделана сколь-угодно малой, что и доказывает
утверждаемое.
Пусть F(X)£L2 ортогонально в L2 к Я0. Тогда, в частности, для
невещественного г^Си и £ Я+, выбранного таким образом, чтобы и (λ) = (1, 0, 0,,..)
(это возможно, см. лемму 3.1), получим
0 =
IR
[ίρ(λ)9 -J_ 5(λΛ φ(λ) =
J\ λ""Ζ //.(Λ^(λ))
= {-L^F1(X)d9(X)= Г_Цжо(Х);
J λ — ζ J λ — ζ
IR IR
ω (δ) = J Ζ7! (λ) φ (λ) (β 6 » (IR))-
б
Отсюда следует, что ω = 0, а значит, и /^ (λ) = 0 р-почти для всех λ, ^ 1R
(это вытекает из хорошо известного факта: если заряд ω ограниченной
вариации, заданный на 93 (IR), таков, что \ (λ — г)~Чсо (λ) = 0 для всех невеще-
_ IR
ственных z£(C, то ω = 0; см., например, [6,95]). Аналогичное рассуждение
проводим g F2(X) и т. д. В конечном счете получим, что F (λ) = 0 в L2,
откуда Я0 = £2. ■
Из предыдущего вытекает, что Ν (λ) = dim(«% (Ρ (λ))), τ. е. является
«кратностью» собственного значения λ. В случае, когда /V (λ) = 1 для р-почти
всех λ, т. е. когда «спектр простой», и (λ) = иг (λ) = (и, φχ (λ))^ £ С (и ζ Я+)
и (3.8) дает разложение Я0 в прямой интеграл комплексных плоскостей С = /2(1).
Теорема 3.2. Предположим, что самосопряженный оператор А, для
которого выполнены условия проекционной спектральной теоремы 2.1,
обладает циклическим вектором Ωζϋ таким, что (ΥηιζΝ): AmQ ζ D и линейная
оболочка этих векторов плотна не только в Я0, но и в Я+. Тогда его спектр
простой.
Доказательство, Предположим, что Ν (λ) > 1 для множества λ
положительной меры р. Тогда найдётся λ £ IR такое, что Ν (λ) > 1, Тг (Ρ (λ)) =1
и «% (Ρ (λ)) состоит из обобщенных собственных векторов, отвечающих λ. Из
(3.2) при / £ Я0 и g = У"1 Ω получаем
Ν(λ)
(Ρ (λ) Jf, Q)Hq= £ νν(λ)(Λ Λν(λ))„β(/ΐΩ, νλ»"ο =
ν=ι
Ν (λ)
= Σ </. Μλ»*Λ· (ЗЛ0)
ν=ι
Поскольку (/г (λ))^^ — ортонормированная последовательность в Я0, то
векторы &(/) = ((/, ht(k))HQi (/, η2(λ))Ηο, ...)ζ12(Ν(λ)) при изменении / по Я0
пробегают все /2 (W (λ)). Отсюда следует, что при Ν (λ) > 1 (Н/0 € #о)> Для
которого 6(/0)=^0 и ортогонален в 12(Ν(λ)) вектору а = (alt a2i ...),
введенному в (3.10) (вектор αζ12(Ν (λ)), так как /_1Ω £ Я0, а множители νγ (λ)
ограничены). Полагая в (ЗЛО) / = /0, получаем (Ρ(λ)//0, Ω^^Ο,
530

Поскольку Ρ (λ) Jf0 — обобщенный собственный вектор оператора А,
отвечающий λ, то при помощи последовательного применения равенства (2.2)
получаем
(Ρ (λ) Jf0, AmQ)Ho = λ* (Ρ (λ) Jf0t Ω)Ηο = 0 (m ζ ΖJ.
Отсюда благодаря плотности линейной оболочки векторов Α,ηΩ в Я+ заключаем,
что Ρ (λ) 7/0 = 0.
Полагая в (3.2) / = /0, получаем
0 = £ vy(X)by(f0)by(g) (^Я0).
ν=ι
Векторы b(g)£l2(N(λ)) при изменении g по Я0 пробегают все /2(Ν(λ)), по"
этому из последнего равенства и соотношений 0< νγ (λ) <: с< оо следует, что
b (f0) n= 0. Пришли к противоречию. ■
Замечание 3.1. Во всех формулах этого параграфа можно, разумеется, IR
заменить на спектр 5 (А) оператора А и 23 (}R) на 93 (5 (А)).
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
КАРЛЕМАНОВСКОГО ОПЕРАТОРА
При построении разложения по обобщенным собственным векторам
самосопряженного оператора А предполагалось, что вложение Я+ ^ Я0 в
цепочке (2.1) квазиядерное. В этом параграфе будет установлено, что квазиядер·
ность такого вложения является и необходимым условием для возможности
разложения для произвольного оператора Л. Вместе с тем для конкретных
операторов А подбор цепочки (2.1) может оказаться более свободным.
Важным классом таких операторов являются т. н. карлемановские операторы.
1. Обратная теорема. Теорема 4.1. Пусть имеется цепочка (2.1) такая,
что для равлооюения единицы Ε любого самосопряженного оператора А в Я0
справедлива формула (1.11), где 93 (IR) Э α ι-*- ρ (α)— конечная мера, α IR ^
3 λ ι ->- Ρ (λ) £ 9? (Η+, Η_) — определенная р-почти везде операторнозначная
функция такая, что р-почти для всех λ £ IR || Ρ (λ)|| <: с < оо. Тогда вложение
Я+ -> Я0 квавиядерно.
Лемма 4.1. Пусть Я—гильбертово пространство, (ej)jLi— ортонор·
мированный бавис β нём и Αζ3?(Η). Если матрица этого оператора имеет
вид (aik)Jk==v afk=(Aek, βήΗ = ajakM где a = (a>i)JL\G hi то А —оператор
Гильберта — Шмидта и
| Л | = || Л || = f] |ay|». (4.1)
Доказательство. Очевидно,
Μΐ2= Σ ι^ΐ2 = (Σΐα/ΐ2)<^
J,k=l /=1
причём всегда ||Л|| <| А\% Поэтому для доказательства (4,1) достаточно про·
верить неравенство || А || > || a \\t , Оно же вытекает из соотношения Af =*
= || α||*/( где/-J] α,β,ζΗ. Ш
Доказательство теоремы. Рассмотрим операторы О, О*, У и J,
связанные с цепочкой (2.1), и произвольное разложение единицы 23 (IR) Э «ι—»
531

\-+Е(а) в Я0. Положим C = OJ :Н0->Н0. Очевидно, С* = J0+: Н0-*Н0.
оо
Для любых непересекающихся щ ζ 93 (IR) (/ £ Ы) таких, что U щ = IR, при
помощи (1.11) и условий теоремы получаем
Σ \\C*E(al)C\\ = fl \]JO*E(ai)OJ\\<^ || О+Я («,) 011 =
г=1 ί=ι /=ι
оо оо
=ΣΙ ίр (λ) rfp (λ)Ι * Σ $ ιιρ (λ)ΐιdp(λ> <
1=1 Щ /=1 щ
οο
<£?2 p(a,) = £ip(IR)<oo. (4.2)
1=1
Построим теперь следующее одномерное разложение единицы в Я0. Пусть
(е/)Т=\ — некоторый ортонормированный базис в Я0; Р/— проектор на
одномерное подпространство, натянутое на е(; (λ/)^— монотонно возрастающая
к +оо фиксированная последовательность вещественных чисел. Положим
93 (IR) Э α ι-»· £ (a) = J] ^/ — таким образом построенная функция множеств
/(а
будет требуемым разложением единицы.
Применим к нему оценку (4.2), где <%! = (—оо, λχ], α2 = (λχ, λ2], α3 =
= (λ2, λ3], .... В результате получим
2 || С*Р,С И = Σ И С*£ (α,) С ||< оо. (4.3)
Но матрица (^)^fe=l оператора C*Pfit как легко подсчитать, имеет вид
а^й — CijC^y где (Cjk)?,k=l—матрица оператора С. Поэтому применима лемма
00
4.1, на основании которой || C*Pfi || = ]Г] |£/у|2. Таким образом, (4.3) приво-
оо
дит к условию V 1с//12<°°» т· е· C = OJ является оператором Гильбер-
/, /=1
та — Шмидта в Я0. Но так как / — изометрия между Я0 и Я+, то отсюда
следует, "что О — оператор Гильберта — Шмидта из Я+ в Я0. Щ
2. Неквазиядерные оснащения. Как уже говорилось, при
фиксированном А выбор цепочки (2.1) может оказаться более свободным. Приведем
некоторые результаты. Итак, пусть Л — самосопряженный оператор,
действующий в Я0, Ε— его разложение единицы. Если нам удастся так
построить стандартно связанную с А цепочку (2.1), что операторнозначная мера
93 (IR) ^ α ι-> θ (а) = 0+ Ε (а) О будет иметь σ-конечный след ρ (а), то тогда,
согласно замечанию 1.3, ее можно будет продифференцировать по этому следу
и повторить все рассуждения § 2, 3. Формулировка теоремы 2.1 не
изменяется, лишь спектральная мера 93 (IR) Э α ι->-ρ (α) = Тг (0+ Ε (α) 0) не будет,
вообще говоря, конечной.
Теорема 4.2, Пусть оператор А и стандартно связанная с ним цепочка
(2.1) таковы, что существует определенная на его спектре S (А)
ограниченная непрерывная и отличная от нуля комплекснозначная функция α (λ) такая,
что оператор а (Л) О : Я+ -»- Я0 квазиядерный. Тогда операторнозначная мера
93 (IR) ^ а \-> 0+ Ε (α) О имеет σ-конечный след и, следовательно, цепочка (2.1)
пригодна для построения разложений по обобщенным собственным векторам
оператора А.
Сперва докажем следующую лемму.
532

Лемма 4.2. Если существует определенная на S (Л) ограниченная
непрерывная положительная функция b(k) такая, что Тг (3b(A) 0J) < со, то
мера 93 (IR) Э α ι-> 0+£ (α) О имеет σ-конечный след.
Доказательство. Положим Sn (Л) — 5 (Л) Π [—η, η] (ηζΜ). Тогда
для каждого η найдётся εη>0 такое, что Ь (λ) > εη (K£Sn(A)). Поэтому
0<εηΕ ([—я, я]) = ел£ (S„ (Л)) < ^ 6 (λ) d£ (λ) <
< С δ(λ)<ί£(λ) = &(Λ).
S(A)
Отсюда при любом С £ ^ (Я0) 0 < e„C*£ ([—я, я]) С < С*6 (Л) С. Полагая
C — OJ и учитывая, что С* = J0+, получаем 0<J0+£([—я, я]) ОУ <:
<е~1.10+&(Л) ОУ, а значит, и
Tr (SO+E ([—я, я]) ОУ) < e^Tr (J0+6 (Л) ОУ) < оо (я ζ Ν).
Кроме того, если С£3?(Н+, Я J неотрицателен, то JCJ £2(Н0) также
неотрицателен и
Тг С = Тг (ЛСУ). (4.4)
В самом деле, пусть (e,)JLi—ортонормированный базис в пространстве Я+,
тогда (У"1^·)^—ортонормированный базис в Я0 и мы имеем
Тг(С) = £ (Се,, в;.)Яо=| (JCyyi^, J-ief)Ho = TT(JCJ).
Теперь из (1.11) при помощи (4.4) получим, что
Тг (О+Е ([—я, я]) О) = Тг (30+Е ([—я, я]) О/) < оо (я ζ Ν). ■
Доказательство теоремы. Будем пользоваться следующим
очевидным соотношением: для любого С £ 2 (Я0) Тг (С*С) <: | С |2 < со, Применяя его
к С = α (Л) О J £ 2 (Я0), получаем общую формулу
Тг (J0+ (| а |2(Л)) ОУ) = Tr (JO+ (а (Л))*а (Л) ОУ) =
= | а (Л) OJ |2 = | а (Л) О |2 < оо.
Осталось применить лемму 4.2 при b (λ) = | α(λ)|2. И
3. Карлемановские операторы. Применим результаты п. 2 к более
конкретным ситуациям. Пусть Я0 = L2 (Rt Я, άμ) = L2 (R, άμ), где R —
пространство с мерой μ, заданной на некоторой σ-алгебре Я множеств из R;
μ (R) < ©о. Самосопряженный оператор Л, действующий в этом
пространстве, называется карлемановским, если существует определенная на его
спектре ограниченная непрерывная и отличная от нуля комплекснозначная
функция α (λ) такая, что а (Л) является интегральным карлемановским
оператором. Последнее означает, что существует измеримое относительно Я X Я
и определенное μ Χ μ — почти для всех (х, у) 6 R X R ядро К (х, у) такое,
что для некоторого плотного в L2 (R> άμ) множества функций / справедливо
представление (а (Л) f)(x) = \ К (*, у) f (у) άμ (у) и μ-почти для каждого у £ R
R
Ji
Κ(χ^)\2άμ(χ)<οο. (4.5)
R
Примеры карлемановских операторов будут приведены в § XVI.5.
Теорема 4.3. Пусть А—самосопряженный карлемаповский операторt
действующий в пространстве L2 (R, άμ). Тогда существует такой R-измери.
533

мый вес ρ (χ) > 1 {χ 6 R), что для построения разложения по обобщенным
собственным функциям оператора А пригодна цепочка (см. пример XIV. 1.1)
L2 (R, ρ'1 (χ) άμ (χ)) э L2 (R, άμ (χ)) э L2 (R, ρ (χ) άμ (χ)) (4.6)
после её продолжения должным образом до (2.1).
Доказательство. Рассмотрим произвольную цепочку вида (4.6). Для
неё (If)(x) = ρ'1 (χ) f (x) (f £ L2 (R, άμ)), поэтому
(//)(*) =p-l/2 (χ) f (x) (f g L2 (R, άμ)). (4.7)
Следовательно, непрерывно действующему в пространстве L2 (R, άμ) оператору
a (A) OJ отвечает ядро Κι (χ, У) — К (х, у) р""1/2 (у), причём
| а (А) О р = | a (A) 0J |» = J J | К (х, у)\2Р~г (у) άμ (χ) άμ (у)< оо. (4.8)
R R
Согласно (4.5), функция k(y) = V | К (#, y)\2 άμ (χ) измеримая и почти
R
везде конечная. Поэтому можно подобрать так измеримый вес р(у)>>1, чтобы
\ k(у)р~г(у) άμ(у)<С ©о. Последнее условие, как это следует из (4.8), означает,
R
что | а (А) О | < оо. Видим, что условие теоремы 4.2 выполнено с цепочкой (4.6)
и так подобранным весом р(х). Щ
Подчеркнем, что вес ρ (χ), фигурирующий в доказанной теореме, —
произвольный измеримый вес ρ (χ) > 1 (χ 6 R), для которого интеграл (4.8)
сходится.
Таким образом, для карлемановских операторов обобщенность
собственной функции заключается лишь в том, что она принадлежит не L2 (R, άμ (x))t
а пространству L2 (R, ρ'1 (χ) άμ (χ)) с указанным весом ρ (χ). Разложение по
его индивидуальным собственным функциям производится согласно общей
схеме § 3. Приведем четыре простых утверждения, относящихся к карлема-
новским операторам А.
1). Оператор Ρ (λ): L2(R, ρ (χ) άμ (χ)) ->- L2 (R, ρ'1 (χ) άμ (χ)) является
интегральным, т. е.
(Ρ (λ) и)(х) = j Ρ (χ, у; λ) а (у) άμ (у) (и £ L2 (R, ρ (χ) άμ (χ))), (4.9)
R
причём ядро Ρ (χ, у\ λ) (спектральное ядро А) положительно определено,
удовлетворяет р-почти для всех λ £ R оценке
J Ι Ρ (х. У\ λ)| V1 (*) Ρ'1 (у) ά (μχμ)(*. у) < 1 (4.10)
RXR
и измеримо по совокупности переменных относительно ЯхЯхЯЗ (IR).
Действительно, р-почти для всех λ \Ρ (λ)|<Ίϊ(Ρ(λ))=1. Рассмотрим оператор
JP (λ) : L2 (R, άμ) -*- L2 (R, άμ), \ JP (λ) J \ = | Ρ (λ)| < 1 р-почти везде. Поэтому
при соответствующем фиксированном λ этот оператор интегральный в L2 (R,
άμ), ядро К (χ, у) которого удовлетворяет оценке \ | К (х, у)\2 ά(μΧμ)(χ,
RxR
у) <1. Благодаря (4.7) Ρ (χ, у; λ) = К {х, у) pXf2 (x) pl/2 (у) является ядром
оператора Ρ (λ), откуда следуют соотношения (4.9), (4.10). Измеримость Ρ
также можно доказать. ■
2). Пусть IR Э λ ι->- с (λ) £ © — измеримая по Борелю функция такая, что
| с (λ)| <: | α (λ)|2 (λ £ 5 (А)). Тогда j | с (λ)| dp (λ) < оо.
IR
534

Действительно, для α £ 93 (IR) имеем
ρ (α) = Тг (0+Ε (α) 0) = Тг (Ю+Е (α) Ο J) =»
oo
= £ (JO+£ (a) OJejt ef)H = lira p„ (a),
Ρ„(α) = Σ (JO+E(a)OJeJt ej)H.
/=i
где (е -)/Li — некоторый ортонормированный базис в H0 = L2(R, άμ). При
помощи теорем Хелли (см. § VII. 7) легко обосновать следующий предельный
переход:
η
(β(λ)φ(λ) = 1ΐπι f |c(X)|rfp (X) = Hm { У |*(λ)| χ
IR "Wr "-"IR,^
Xd(JO+£(X)0/e,, e,)H = lim J (JO* (Μ(Λ)) ΟΛ,, eJ„ <
< lim 2 (J0+ | a |» (A) OJejt в,)„ =
= Tr(W+\a\2(A)OJ) = \a(A)\2<oo. |
3). Для всякой функции с (λ), фигурирующей в утверждении 2), оператор
0+c(A)0:L2(Rt ρ (χ) άμ (χ))-* LZ(R, ρ1(χ)άμ(χ)) является интегральным,
причём его ядро К (х, У) € L2 (RXR> (Ρ'1 (*) Φ М)Х(Я~* (#) φ (у))).
Действительно, в силу (1.11)
0+с (А)0=[с (λ) d (0+Е (λ) 0)=^с(Х)Р (λ) φ (λ),
IR IR
Но, согласно утверждению 1, Ρ (λ) — интегральный оператор, поэтому
формально 0+с (А) О также будет интегральным оператором с ядром
К(х, У)=^с(Х)Р(х,у; λ) dp (λ) (χ, y£R). (4.11)
IR
Для доказательства утверждения достаточно установить, что функция (4.11)
входит в L2(RxR, (ρ'1 (χ) άμ (χ)) Χ (ρ'1 (у) άμ (у)). При помощи неравенства
Коши — Буняковского и (4.10) имеем
J \^с(Х)Р (х, у; λ) dp (λ)|2 ρ-ι (χ) pi (у) d (μχμ)(*. у) <:
X/? IR
{μ(λ)|φ(λ) J (§\ο(λ)\Ρ(χ, у; 42d9(X)}p-i(x)p-i(y)x
RxR IR
Χά(μΧμ)(χ, y)< (J |*(λ)|</ρ(λ))*
ЯхЯ IR
4). £сл« ^ля самосопряженного действующего в пространстве L2 (R, άμ)
оператора А и некоторой фигурирующей в определении карлемановости
функции α (λ) удается так подобрать оснащение (4.6), что \ а (А) 0\2 = Тг (JO+X
Х(| а \2){А) 0J) < оо, то А — карлемановский оператор.
В самом деле, очевидно, что | а (А) О J | < со. Поэтому действующий в
L2(R, άμ) оператор a(A)0J является интегральным с ядром Кх (х, у),
суммируемым с квадратом по двум переменным. Но тогда К (х, У) = Κι (χ, у) р1^2 {у}
будет требуемым ядром для а (А). Ш

ГЛАВА XVI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В этой главе рассмотрим применения некоторых результатов теории
неограниченных операторов, изложенных в гл. XII—XV, к наиболее важному
классу операторов математической физики — дифференциальным
операторам. Для обыкновенных дифференциальных операторов соответствующие
приложения содержатся в большом количестве книг (см., например, [6, 29,
55, 63]), изложения же для уравнений с частными производными
встречаются реже. В этой главе делается упор именно на этот случай, причем
рассматривается наиболее важная ситуация эллиптических уравнений. Здесь
требуется довольно сложная техника, которая содержится в § 1, 2 в достаточно
замкнутом виде. Мы рассматриваем случай уравнений второго порядка, по
поводу общего порядка см., например, [9]. Подчеркнем, что ниже не
излагается полная спектральная теория эллиптических дифференциальных
операторов (например, не исследуется характер спектра и т.п.), материал главы
нужно воспринимать лишь как иллюстрацию к общим теоремам на важных
примерах.
§ 1. Теорема об изоморфизмах
для эллиптического оператора
1. Предварительные сведения. В области G ^ IRW с достаточно гладкой
границей dG рассмотрим общее линейное дифференциальное выражение
порядка г 6 №
(ЗГи)(х) = Σ aa(x)(Dau)(x) (*gG). (1.1)
la\<r
Такие выражения фигурировали в § XII. 2, при этом от коэффициентов аа
требовалась принадлежность классу C'a'(G). В этой главе в связи с изучением
краевых задач мы всегда будем предполагать достаточную гладкость аа вплоть
до границы области: аа £ Ck (δ) с некоторым k = k (a) > | a | (напомним, что
принадлежность функции классу Ck (G) означает, что она является сужением
на G некоторой функции из Ck (\RN)). Таким образом, для достаточно гладких
и (£ёи)(х) определено и при х^Ъ.
Выражение 3? называется эллиптическим в δ, если для всякого отличного
от нули вектора ξ = (ξχ, ... , g^J^IR^ г — линейная форма
*о(*.Е>= Σ ««MS* (la = t?-tNN) 0-2)
la|=r
отлична от нуля при χ ζ δ. Так как старшие коэффициенты формально
сопряженного выражения &+ равны (— \)гаа(х), то выражение & и формально
сопряженное к нему ^+ одновременно эллиптичны или нет.
Будем изучать операторы, строящиеся как расширения минимального
оператора L, отвечающего .2% на функции, удовлетворяющие некоторым
граничным (краевым) условиям. Рассмотрение выражений произвольного
порядка г достаточно сложно, мы его не будем проводить и ограничимся
выражениями второго порядка и вещественнозначными коэффициентами аа (х)
536

при производных. Коэффициент а0 (х) может быть комплекснозначным. При
этом для простоты будут рассматриваться только нулевые граничные условия
(их еще называют граничными условиями Дирихле). Дифференциальное
выражение (1.1) в случае г = 2 удобно также записывать в виде
N
(<?и)(*)= Σ «/*w(ww+
ν
+ £ aj (x)(DfU)(x) + a(x)u (x) (x g δ). (1.3)
/-ι
Таким образом, например, ajk = аа, где мультииндекс состоит из нулей за
исключением (при )фк) /-й и fc-й координат, равных 1; при / = k /-я координата
равна 2. Форма (1.2) сейчас имеет вид &0(х, I) = JJ fl/ft W ^/?λ· Поскольку
/, *=l
D,D£ = D^D., то матрицу (ajk (x))^ k=sl в (1.3)· удобно считать симметрической.
В этом параграфе будут рассматриваться лишь ограниченные области
G с IR^ с границей класса С1, где / 6 № достаточно большое. Нам понадобятся
еще два факта, вытекающие из теорем вложения для Соболевских
пространств (см. [34, 59]).
1. Пусть I 6 ^ произвольно у тогда оператор вложения Wl2 (G) s L2 (G)
компактен. Поясним, что если I > N/2, то этот оператор даже
квазиядерный (теорема XIV.3.2), в общем же случае можно установить лишь его
компактность (этот результат связан с теоремой IX. 1.4 о том, что компактность
оператора Ап при некотором η 6 № влечет компактность А). Более того,
компактен и оператор вложения Wl2(G) s^(G), где k£Z+ и />&.
° /
2, Пусть /£№, обозначим черев W2(G) подпространство пространства
Wl2(G), равное замыканию класса финитных относительно G гладких функций
С[ (G). Утверждается, что Wl2 (G) — правильное подпространство Wl2 (G)>
совпадающее с замыканием в W2 (G) функций ив С (G), у которых на границе
dG аннулируются все производные до порядка I — 1 включительно. Таким
образом, ввиду интегральности метрики в W2 (G) производные до порядка / — 1
«удерживаются» при замыкании, а более высокие производные теряются (тот же
эффект, что в L2 (G) = W°2 (G) плотен класс C0(G); см. в связи с этим § XI. 1).
Впрочем нам этот результат понадобится лишь в случае /= 1, когда его
нетрудно доказать, сделав посредством замены переменных локальное
спрямление границы dG, т. е. перейдя локально к случаю полупространства вместо G.
Обозначим
Wi (G, гр) = W\ (G) П Wl (G) (l ζ Ν). (1.4)
Из сказанного выше следует, что Wl2 (G, гр) — правильное подпространство
Wl% (G), состоящее из замыкания всех функций из С1 (G), аннулирующихся на
dG, Мы будем воспринимать W2 (G, гр) как гильбертово пространство
относительно скалярного произведения в Wl2 (G) («пространство гладких решений
краевой задачи с нулевыми граничными условиями»).
Краевая задача со спектральным параметром для (1.3) с нулевыми
граничными условиями заключается в нахождении решения уравнения
(*и)(*)-Хм (*) = /(*) (*gG), (1.5)
равного нулю на границе dG. В (1.5) / — заданная правая часть, λ ξ © —
фиксированное число (спектральный параметр).
13 9-227 637

Будем считать, что /£ WS2(G), где s£ Z+— некоторое фиксированное число.
С этой задачей связывается оператор As (гр), действующий из пространства
Wl+s(Gt гр) в пространство W2(G) по закону
W22+s (О, гр) 3 и /->■ As (гр) и = ^и g №s2 (G). (1.6)
Для корректности его введения нужно предполагать достаточную гладкость
коэффициентов выражения 3! именно в терминах (1.1) аа £ Стах *'аЬ s) (G).
Оператор As (гр) — т. н. сильный оператор задачи. Этот оператор в
случае s = 0, если его рассматривать как оператор L (гр) в L2 (G), является
расширением минимального оператора L, отвечающего &. Точнее, положим
9 (L (гр)) = W* (G, гр), L2 (G) => 9 (L (гр)) Э и Ь> I (гр) и =
= А0 (гр) и =<2и ζ L2(G). (1.7)
Ясно, что L(rp) zd L. Оператор L (гр) является замыканием в L2(G) оператора,
определенного соотношением (1.7), но на функциях из С2 (G), аннулирующихся
на dG. Это следует из того, что W 2 (G, гр) совпадает с замыканием в ψ\ (G)
совокупности всех таких функций.
В дальнейших параграфах мы подробно изучим оператор L (гр),
например установим его самосопряженность и карлемановость. Сейчас же
остановимся на операторе As (гр) и его расширении на обобщенные функции.
С этой целью наряду с обычным негативным Соболевским пространством
^Т1 (6) 0· € %+) (§ XIV.3) рассмотрим соболевское пространство W\~l (G, гр),
где / £ N. Это пространство определяется как негативное пространство в цепочке
WTl (G, гр) a L2 (G) a Wl2 (G, гр) (/ g N)- (1.8)
Поясним, что W2(G, гр), снабженное скалярным произведением из W2(G)t
будет плотным в L2 (G) и может быть принято в качестве позитивного
пространства. Удобно также положить W2(Gt гр) = L2 (G).
2. Основной результат.
Теорема /./(об изоморфизмах). Пусть 3? — эллиптическое
выражение (1.1) второго порядка (г — 2) с вещественнозначными коэффициентами
при производных, для которого 0 не является собственным значением
соответствующей задачи с нулевыми граничными условиями (т. е. уравнение 3?φ = О,
где φ 6 №§ (^' ГР)' имеет только нулевое решение)). Тогда введенный оператор
As(rp) является взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением
между следующими пространствами:
As (гр): W22+s (G, гр) -+ Ws2 (G) (s = 0, 1, 2, .,.). (1.9)
Оператор А0(гр) по непрерывности расширяется до такого же отобра-
жения между пространствами
W\(G, rp)-+WTl{G9 гр) (s = -l),
W22+s (G) -* PPJ (G, rp) (s = -2, -3, ...). (1.10)
При этом делаются следующие предположения о гладкости
коэффициентов аа выражения 3? и границы dG: в случае s = —1, 0, 1, 2, ... αα£
g Cmax (|α|. в) ((j}> ^ G С2 +'s', б οφναβ 8 = -2, -3, ... αα€ С|а« + I2 + s| (G),
a(?€C2 + |2-f sl^
Таким образом, оператор типа и \-+- Я'и осуществляет топологический
изоморфизм (гомеоморфизм) между парами пространств в (1.9) и (1.10). В
случае (1.9) и удовлетворяет нулевому граничному условию, в случае (1.10) эти
условия после замыкания теряются, однако при этом расширяется класс пра-
538

вых частей: они становятся обобщенными функциями. Подчеркнем, что
индекс s, характеризующий степень гладкости правой части / в (1.5) —
произвольное целое число, т. е. / может быть обобщенной функцией. Действие 9?
единообразно — оно, грубо говоря, ухудшает гладкость на порядок JST, т. е.
на 2.
Доказательство теоремы основывается на неравенстве коэрцитивности,
которое заключается в следующем. Для рассматриваемого 9? и s 6 Z+ при
предположениях гладкости dG£ C2+s, aa£Cmax ('α'' s) (G) существуют такие
ρ > О и с > 0, что
II^IIV^(G) + PII"H2L2(G)>^II"IIV22+S(i?) (i.ii)
(u£W2+s(Gt rp))
(доказательство неравенства (1.11) см., например, в случае5 = 0 в книге [49, с.
116—125]у в общем случае — в [9, с. 135—152], [88, с. 463—474]; отметим, что
неравенство (1.11) при s=0 обеспечит справедливость теоремы при s=0, —1, —2).
Установим четыре леммы.
Лемма 1.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 с фиксированным
s£Z+. Тогда (Η^ι> с2>0) такие, что
'ill «II 2ч- <ll*ttILs,„ «'2II"II 2+s „ О·12)
^2 «?) W\ (G) W2^ (G)
(u£W22+s(G, гр)).
Доказательство, Правое неравенство в (1.12) достаточно очевидно:
норма II · || ς от выражения &и, где u£Wl+s(G, гр), с помощью неравен-
w2(Q)
ства треугольника и формулы Лейбница оценивается сверху через || и || 2·. .
w2T (G)
Необходимая гладкость коэффициентов аа требуется: они заведомо входят в
с* (δ).
Для доказательства левого неравенства в (1.12) предположим противное
Тогда (γη (Ε Ν) (3«„ € W2+s (G, гр)) :\\&ип\\ s < /ι"11| ип || 2+s. Нормируя ия.
W2 w2
можно считать, что || un\\w2+s= 1 (ηζ Ν). Так как оператор вложения
W^~s (G) s L2 (G) компактен (см. 1), то из последовательности (u^sss:l
можно выбрать подпоследовательность (unb)k=\ такую, что при k-ь-ооъ
Lz{G) "м^-^ф» где φ—некоторая функция из L2(G).
Вместе с тем, благодаря неравенству (1.11) и соотношению || 8?Un. || s ^
<nTl fc-Tt0, имеем при ki 1~*°°
II <Ч - *л/ C|+s((?) < <П (II Л«4 - *«я/ 4| (G) + Ρ || и„л - ия/1 li2(G)) -> 0.
Таким образом, (ип^£=х фундаментальна в W2^~s (G) и сходится в L2 (G) к
φ ζ L2 (G), Это означает, что φ £ ^+S(G) и в смысле этого пространства
unkkToo^' Поскольку unk^Wl~^s(Gt гр), а это множество замкнуто в ^+S(G),
то <р£ Wi"1"S (^» ГР) и» кРоме того, || φ ||^ 2+s = 1.
Далее в смысле сходимости в W% (G) &у = lim Suh =0,0^φ€ W^s (Qt
гр) с W\ (G, гр). Таким образом, 0 является собственным значением задачи (1.5)»
а это противоречит условиям леммы. Левое неравенство в (1.12) также
доказано. Щ
18* 539

Условие эллиптичности, примененное к (1.3), означает, что (Υξ « (glf .. · ,
Ν
1Ν)ζ№:ΙΦ0)(νχζΟ):&0Ιχ, ξ) = Σ fl/A Μ Ε/6α ^ 0. Поскольку, по
/, fc=i
предположению, α^(χ) вещественнозначны, то &0(х, ξ) сохраняет знак для
указанных ξ и *. Будем всюду ниже считать, например, что 5*0 (л:, ξ) <: 0.
Лемма 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 при s = 0. Тогда
можно подобрать q> 0 настолько большим, что при некотором с3 > 0 будет
выполняться неравенство
Re((2> + <7fl)a, и)^(<?) > <?, || «llV (wg^I(Gf гр)). (1.13)
Доказательство. Используя обозначение (1.3), посредством
интегрирования по частям для u£W\(G, гр) найдем:
N г
Re ((* + <7fl) и, и)£,(0) = Re Σ J aik (*) (D/D^) Μ " Μ ^ +
+ Re J Jfl/WtDyttiWJTW^+JiReeW + rtHMI1^»
/=1 G G
Ν Ν Ν
=- Σ J a/fc (x) (DjU) (x) (Dku) (x) dx + ReJl {[- Σ Φ*α/λ) W + a, W] X
X(DjU)(x)u(x)dx+\ (Rea(x) + q)\u(x)\*dx>e Σ J \Ψ/α)(χ)ράχ +
G /=1 G
+ Re ^ J */W№/tt)MttW^+J (Rea(x) + q)\u(x)\*dx. (1.14)
/=1 G G
Здесь ε>0 таково, что выполнено неравенство (V£=(£lf ···» £w) g C^) (фх&):
- Σ fl/*Wt^*>e|;iC/l1 = e|C|i. (1.15)
Существование такого е>0 вытекает из положительной определенности
(Ух £ δ) и невырожденности квадратичной формы (относительно ££IR^)—&0 (*» 5)
и непрерывной зависимости ее коэффициентов от *£<j. В (1,14) через bj (х)
обозначено выражение в квадратных скобках.
Интегрируя по частям, заключаем, что
Re
G
J bi (x) {DjU) (χ) и (χ) dx = —*. j (Dfo) (x) | и (χ) |· dx
(u£Wl(G, rp))
и поэтому оценку (1.14) можно продолжить следующим образом: при q > 0
достаточно большом
Ν Ν
Re ((if + ql) и, u)Lm > ε J] J | (Dy«) (*) I2 ^ + J [- у ^] Ф/ V (*) +
/=1 G G /=1
+ Re a (*) + (/] | и (χ) fdx>.z\\u ψ . ,
540

Замечание 1.1. В оценке (1.13) с3 = ε, где число ε > 0 из (1.15), q >■ О
должно быть взято настолько большим, чтобы выражение в последних
квадратных скобках стало >■ ε при χ 6 G.
Следствие 1.1. Нуль не является собственным значением задачи (1.5), где 3?
заменено на 5*+ qQ с достаточно большим q > 0 (неравенство (1.13)
противоречит существованию функции φ 6 №2 (G, гр), φ фО, такой, что (S' + qH) φ=
= 0). ■
Отметим также, что из доказательства леммы 1.2 вытекает
справедливость и близкого к (1.13) неравенства: правая часть в (1.13) может быть
заменена на с4 || u\\2L ,Gj, где с4 > 0 можно сделать сколь угодно большим путем
выбора достаточно большого q > 0.
Рассмотрим (\76 [0, 1]) дифференциальное выражение
N
S2 (t) = A?—(l—0 Δ, Δ = £ Я/· (Мб)
/=l
Оно также эллиптическое, так как — (3? (ή)0 (χ, ξ) = —13?0 (χ, ξ) + (1 —
— /) Ι ξ Ι 2 > (1 — (1 — ε) t) Ι ξ 12, где ε — фигурирующее в (1.15) число. Из
доказательства леммы 1.2 и следствия к ней заключаем, что постоянную
q >> 0 можно подобрать настолько большой, чтобы 0 не являлся собственным
значением задачи (1.5) для выражения 9? (t) + qQ (t 6 [0, 1]).
Лемма 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 с фиксированным
s ζ Ζ+. Тогда существует столь большое q > 0 и некоторое съ > 0, что
выполнено неравенство (tft 6 [0, 1]):
II (& (t) + dl) и II . > *в и и 11 а+. (" е w\+s (g, гР)). (ΐ.ιζ)
Доказательство. Как только что было пояснено, можно
выбрать q>0 столь большим, чтобы 0 не был собственным значением задачи (1.5)
для &(f) + qQ (t 6 [0, 1]). Произведем такой выбор. Предположим
противное, пусть сб>0, удовлетворяющее (1.17), подобрать нельзя. Тогда (ΥηζΝ)
(3«п € W%+* (G, гр)) и Wn € [0,1]) такие, что || (^ (tJ+q1L)un\\ s <п^\\ип\\ 2 , s.
w2 wy
Можно считать, что \\ип\\ 2-i_s =1 (п£Ы). Пользуясь компактностью опе-
W2 (G)
ратора вложения U?|+s (G) s L2 (G) и компактностью отрезка [0, 1], выберем
такую подпоследовательность (ип^£=1, чтобы при k-+oo в L2(G) ип.-+
-><p£L2((j) и ^->τ£[0, 1]. Нетрудно видеть, что
В самом деле, согласно (1.16) и правой оценке в (1.12), имеем:
||(-? (τ) + qJL) unk - i* (tnk) + q&) Unk\\ , < || (τ- tnk) Sunk || s+
+ II (*—'«*) Δμ„λ μ < св I τ - ^ | || unk\\ = ce |τ—^ | -* 0, fc -> 00.
Отсюда и из того, что
вытекает сказанное.
541

Теперь поступаем аналогично доказательству леммы 1.1. Так, в силу
неравенства (1.11), записанному для S? (τ) + qQ, имеем при k, /-> оо
II «nk - ит l^2+s((?) < о'1 (I \(* (τ) + qH) unk _ {ЗГ (τ) + qft) unl \\^G) +
+ Ρ Kk~»ηΐ ll!2(G))
последовательно, (unk)^==l фундаментальна в Wp~s (G) и поэтому φ £ W^iG» rP)»
II φ || 2+s = 1 и эта последовательность сходится к φ в 1^2+s (Q)· Но тогда
(* (х) + id) φ = Hm (<? (τ) + <?fl) «nft = 0,
т. е. 0 является собственным значением задачи (1.5) для выражения 3? (τ) +
+ ^ΊΙ. Это противоречит выбору q. Щ
Докажем теперь следующую общую лемму («лемма о продолжении по
параметру»).
Лемма 1.4. Пусть Е' и Е" — два банаховых пространства, А0 и Аг —
линейные непрерывно действующие из Ε' β Ε" операторы, причем А0
осуществляет гомеоморфизм между Е' и Е". Предположим, что существует
семейство непрерывно действующих из Ε' β Ε" операторов Bt, которые
непрерывно (по норме операторов) зависят от t 6 [0, 1], соединяют А0 и Аг (т. е.
В о — Л о, Вх = Аг) и таковы, что
\\Btu\\E„>b\\u\\Ef (и$Е') ' (1.18)
с независящим от t ε > 0. Тогда и Аг осуществляет гомеоморфизм между
Е' и Е".
Доказательство. В силу равномерной непрерывности
Bfотносительно / найдем такое δ > 0, что при | V — t" | < δ || Bt, — Bv, || < ε. Покажем
теперь, что если Bt —гомеоморфизм между Е' и Е"', то и Bt, 11 — ^0 | < δ
будет гомеоморфизмом. Имеем Bf = Bf — (Bt(j — Bf), откуда BflBf = Ц —
— B~l (Bt —Bf). Норма оператора Я7"1, согласно (1.18), не превосходит ε"1,
поэтому норма действующего в Е' оператора ВТ1 (BtQ—Bf) не превосходит
|| В~^1\\ || #*0 — Bf || < ε"1 · ε= 1. Следовательно, оператор в Е' B~l Bf имеет
непрерывный обратный {B~j~l Bf)'1, но тогда (BJ1 Bt)~x BJX будет непрерывным
обратным к Bf. Существование В~1 и означает, что Bt осуществляет
гомеоморфизм.
Завершение доказательства леммы очевидно: расположим на [0, 1] точки
0= t0, tlf ... , tn_v tn = 1 с меньшим, чем δ, расстоянием между соседними.
Поскольку Bt = А0 — гомеоморфизм, то шаг за шагом Bi , Bt , .. . будут
гомеоморфизмами. В результате получим, что и Аг = Btn — гомеоморфизм. Щ
Доказательство теоремы. Будем его проводить по этапам.
1). Докажем, что оператор As(rp) (s£Z+) осуществляет гомеоморфизм
между пространствами (1.9). В силу неравенств (1.12) достаточно убедиться, что
^(Л5(гр)) = ИЗД. (1.19)
Прежде всего покажем, что область значений оператора
W22+s (G, гр) 5ui->(<? + q&)u£ Ws2 (G) (1.20)
заполняет все Ψ\ (G); здесь неотрицательное число q выбрано согласно лемме 1.3.
Будем использовать лемму 1.4, полагая Е' = W22+S(G, гр), Е" = й?|(<3).
542

Операторы вводятся соотношением: WP~S (G, гр) 3 и \-+Btu = S(t)u^W\ (G)
(3? (f) имеет вид (1.16), t£ [О, 1]); очевидно, они непрерывно зависят от t.
Оператор Л0 = В0 имеет вид: Wp~s (G, гр) 3 и /->■ Л0а = —Дм + qu £ W2 (G).
Из классических результатов о разрешимости краевых задач, связанных с
оператором Лапласа, вытекает, что уравнение — (Аи) (х) + qu (χ) ·= f (χ) (χ £ G),
где f£ С1 (δ), имеет решение и£С2(<3), удовлетворяющее граничному условию
и(х)=0, x£dG (см., например, [13, 49]). Отсюда следует, что ЗЯ (Л0) плотна
в W\(G), но тогда, в силу оценок (1.12) (для 3? = — Δ + ?41), заключаем, что
M(A0) = WS2(G).
Тем самым А0 осуществляет гомеоморфизм между W^~s(Gt гр) и W2(G).
В силу леммы 1.4 А1=>=В1 также осуществляет такой гомеоморфизм и поэтому
область значений оператора (1.2) совпадает с W2 (G).
Докажем (1.19). Обозначим через А оператор (1.20), рассматриваемый как
оператор в пространстве W2 (G) с областью определения & (А) = W^s (G, гр)
(неплотной при s>0). Оператор Л"1 в силу оценок (1.12) (для 5" + ^й) и
теорем вложения (см. 1) компактен, поэтому (А'1 — ЯЦ)"1 существует тогда
и только тогда, когда λ=^0 и отлично от собственного числа оператора Л"1
(см. § IX. 4). Пусть (А'1 — λϋ)'1 существует, тогда существует и (Л — λ"1 β)""1
(легко проверить, что последний оператор равен — λ (Л-1 — XlD'M"1), поэтому
$1 (А — λ_111) = w2 (G). Поскольку (Л — λ_111) u = 3?u = As (гр) и при λ = дП,
то ^(As(rp)) = W2(G), если только показать, что это значение λ не является
собственным для Л"1. Пусть <p£W2(G) (φ^=0) таково, что Л_1ф = <Г1(Р.
Тогда φ £ Wl+S (<j, гр) и мы получаем φ = ?~Μφ, т. е. 0 = (Л — ?£) φ = ^φ,
а это противоречит условию теоремы. Итак, (1.19) имеет место и в случае
s = 0, 1, 2, ... , теорема доказана.
2). Докажем теорему в случае s = —2, —3, ... . Доказательство сейчас
проводится «по сопряжению» к случаю 1). Для формально сопряженного
выражения 3?+ к 3? справедливо равенство'"
(*и, u)l2(G) = («. ^)l2(G) («. v£ wl(G> ГР))· (1.21)
Поясним, что это равенство отличается от определяющего 3?+ равенства
(2.7) гл. XII тем, что ни одна из функций и, ν вообще говоря, не финитна
относительно G. Однако при перебрасывании интегрированием по частям
производных с и на ν интегралы по границе не появляются, так как обе функции
и и υ равны нулю на д(3, а перебрасываются производные максимум второго
порядка.
Как уже отмечалось, 3?+ опять будет эллиптическим выражением.
Покажем, что 0 не является собственным значением задачи (1.5) для выражения
&+, т. е. покажем, что если ψ £ W\ (G, гр) таково, что 3?+г§ = 0, то ψ = 0.
В самом деле, пусть и ζ W22(G, гр), тогда в силу (1.21)
(*«. *)l2(G) = ("> ^)l2(G) = 0. (1.22)
Но при изменении и по W2 (G, гр) функция 3*и пробегает все L2 (G) — это
вытекает из этапа 1) доказательства при s = 0. Поэтому (1.22) влечет
равенство ψ = 0.
Положим σ = —s= 2,3, ... и докажем оценку типа (1.12), но в
негативных нормах. Имеем
I („. *ъКт 1=1 (**. vhii0) ,< ,| *и ις__№ гр) ||, ц^в1 гр) <
<c"^uWio,rJ^%rw (1·23)
543

Здесь мы воспользовались соотношением (1.21), неравенством Коши — Буня-
ковского для цепочки (1.8) (с I = о) и левой оценкой из (1.12) для ^+:
:cellull 2 <ΙΙ·^+ϋΙΙ σ—2 · Согласно 1), примененному к ·2*+, функ-
W2(Gt гр) Щ (G)
ции 3?+v в (1.23) пробегают все W°2~2 (G), поэтому неравенство (1,23) означает,
что || и 11 2 < %11| яги || (« 6 ^ (0, гр)).
^2 (°) w2 (°· ΓΡ)
Получим оценку || 3?и || _σ сверху. Пусть по-прежнему и £ W\ (G, гр),
w2 (G, гр)
v£W2(G, гр). Имеем с помощью (1.21), неравенства Коши — Буняковского
для цепочки обычных Соболевских пространств и правой оценки (1.12) для
I (*«. »)i2(0) I = I («. ^)м<5) КII«llr2-V) II ^ II гГ2((?) <
<«»llBlL*-.,0,11 "II - . (1.24)
^2 (G) ^2^G)
В (1.24) υ пробегает все W\ (G, гр), поэтому (1.24) означает, что || 5?и || σ <:
W2(G, гр)
< οη || и || 2_σ (м £ ^2^» ГР))· Итак, мы доказали оценку типа (1.12):
W2 (G)
cr II «II 9 « <ll^«ll -гт < ^ II«II 9 гт
11 V22->) " Vrv.rp) 7" ν2-σ«?)
(«^(G, гр)). (1.25)
Рассмотрим оператор Л0 (гр) как действующий из пространства W2<^° (G)
в W^a (G, гр). Его область определения W\ (G, гр) плотна в L2 (G) и тем
более — в негативном пространстве W\~a(G), область значений совпадаете
L2 (G) и плотна в W^~a(G, гр). Благодаря неравенствам (1.25) этот оператор можно
замкнуть на все №|~~σ (G) и он будет осуществлять требуемый гомеоморфизм
между W\-a(G) и WJa(G, гр).
Предполагаемые в формулировке теоремы требования гладкости при
s = —2, —3, ... таковы, что для 9?* можно написать оценки (1.12) с s = σ — 2,
поэтому проведенные сейчас рассуждения корректны.
3). Осталось доказать теорему в случае s =— 1. Как и ранее, необходимо
установить оценку
с8|| «|| , < ||*и || _i <*9ll«ll ι (»£W*(G, гр)). (1.26)
W2(G) W2 l(Gt гр) W2(G)
Установим сначала левое неравенство в (1.26). Для этого выберем ? > О
таким, как указано в лемме 1.2. В силу (1.13) и неравенства Коши —
Буняковского получим
с3 11« 112 ι < Re ((<? + qH) и, u)L(G) <
W2(G)
<||(* + ?й)«|| , II«\\ , , (1.27)
W2 (°) W2(G>
откуда
«к || н || , <||(* + ?Α)«ΙΙ _, <||*«|l _, + ?||и|| _ι <
Щ(в) W2l(0) W2(Q) W2\G)
<ΙΙ^«ΙΙπ,-ι//>ν+ί1Ι«Ιΐ£1(β) («€^(0, гр)).
W о (G)
544

Предположим противное к доказываемому левому неравенству из (1.26)
Тогда существует последовательность («Х=1с Wl (G, гр), \\ип\\ , =1,
W2\G)
такая, что \\&ип\\ __, <пг (ηζΗ). Поскольку оператор вложения
w2 (G.rp)
W\(G)^L2(G) компактен (см. 1), то можно выделить подпоследовательность
(Mttfe)JfeLl такУю» что в L2(G) unkkzX, φ к некоторой <p£L2((j). Применяя (1.27)
к unk — unV заключаем, что (ип^£=х фундаментальна в W\{G) и поэтому
Ф € ^а (°)! "„* ft^ «Р в w\(0) и так как || и || , = 1, то и || φ || , = 1.
к w2(G) w2\Qi
Имеем, с помощью (1.21), (Yv^W\(Gt гр)):
(φ, 2+o)L{G) = Hm («w ^)L2(G) = Hm (Stu^ o)L (0) = 0. (1.28)
Здесь мы воспользовались тем, что \(3?и > u)Lo/Gx | <: || ^мпь|| . Χ
* 21 / Л и?2 (<з,гр)
Χ||ϋ|| , <ΛΓ1|ΙϋΙΙ ι ~^^ ПРИ ^-*-°°· По, как и ранее, в силу
W2(G, гр) ^2(°'ГР)
1) для &+ функции &+υ (v£Wl(G, гр)) пробегают все L2 (G), поэтому из
(1.28) следует, что φ = 0. Пришли к противоречию. Итак, левое неравенство
в (1.26) доказано.
Докажем правое неравенство в (1.26). Пусть и £ W\(G, гр), v£Wl2(G, гр).
Перебрасывая в слагаемых вида (ajk (x)D.Dku, v)L^Gy фигурирующих в
выражении {&и, v)L ,Gy производные D, с и на ν и производя очевидную оценку,
получим: \(&и, v)l^G)\<c1q\\u\\ 1 || v\\ j . Поскольку в последнем
неравенстве ν — произвольная функция из W\ (G, гр), то из него получаем
требуемое: || ЯГ и || , < с10 || и || , (и g ^|(G> гр))> 0ценка (L26)
и^2 '"» ГР) w2(u>
доказана.
Теперь доказательство заканчивается, как и в 2). А именно, рассмотрим
Л0 (гр) как оператор, действующий из пространства Wl2 (G, гр) в W^1 (G, гр).
Его область определения W\(Gt гр) плотна в W2(G, гр) (снабженном метрикой
W2(G))t область значений совпадает с L2(G) и плотна в W^1 (G, гр). Благодаря
(1.26) после замыкания получаем требуемый гомеоморфизм между Wl2(Gt гр)
и WJl (G, гр).
Указанные в формулировке теоремы ограничения гладкости при s = —1
достаточны для проведения изложенного доказательства. Щ
§ 2. Локальное повышение гладкости
обобщенных решений эллиптических уравнений
В этом параграфе мы применим теорему об изоморфизмах, приведенную
в § 1, к доказательству одного из основных фактов теории эллиптических
уравнений — теоремы о повышении гладкости обобщенных решений.
1. Обобщенные решения внутри области. Введем общее определение.
Пусть S? — линейное дифференциальное выражение вида (1.1) в
ограниченной области G с коэффициентами аа£С°° (G), Рассмотрим дифференциальное
уравнение в G
<?ti = f. (2.1)
545

Пусть /£ W^(G), где s£Z. Таким образом, f может быть обычной функцией
(если s>0) или обобщенной (s < 0). Функция (обычная или обобщенная)
и£№*2 (G), где t£ Z, называется обобщенным решением уравнения (2.1) внутри
области G, если (Υυ ζ С™ (G)) выполняется равенство
(и. &+vh2(G) = (Л v)l2(G)· (2.2)
Поясним, что если u£Cr(G) (r — порядок выражения -2*), то в (2.2)
интегрированием по частям выражение -2*+ можно перебросить на и и соотношение
(2.2) приобретает вид (3?и, v)L^G) = (/, v)L (G) (ν £ C^° (G)). Благодаря
произвольности и отсюда следует, что (Я'и) (х) = f (χ), т. е. а является классическим
решением уравнения (2.1) (правая часть / сейчас, очевидно, должна быть
обычной функцией). В общем же случае соотношение (2.2) определяет некоторое
понятие обобщенного решения. Подчеркнем также, что «пробные» функции ν
в (2.2) — финитные, поэтому наличие равенства (2.2) не регулирует граничные
(на до) свойства функции и.
Если G's G — подобласть G с достаточно гладкой границей и
соотношение (2.2) выполняется (Yv £ Cq (G')), то говорят, что и — обобщенное
решение уравнения (2.1) внутри G'.
Отметим также, что бесконечная дифференцируемость коэффициентов аа
может быть заменена конечной их дифференцируемостью — вхождением
аа в некоторое С^а) (G). Числа / (а) 6 %+ должны быть такими, чтобы левая
и правая части в (2.2) имели смысл (напомним, что и и /, вообще говоря,
обобщенные функции). Подсчет этих чисел легко может произвести читатель.
Введем естественные и полезные для дальнейшего понятия. Рассмотрим в
фиксированной ограниченной области GczIR^ с достаточно гладкой границей
негативное соболевское пространство Wg (Φ (^ € №)» пусть αζψ^ (G) и
X£C°°(G). Произведение Χα вводится естественным образом как элемент из
W^~l (G)> определяющийся соотношением (χα, u)L^G) = (α, %(χ) и (x))i^q)
(и6 W [(G)).
Пусть G' ^G— подобласть G с достаточно гладкой границей, a£W^~l (G)
(/ £ Ы). Может случиться, что для любой X £ С°° (G), аннулирующейся в
окрестности множества G\G't произведение Χα входит не только в W^~ (G), но
и в W\ (G), где &— некоторое число вида —/ + 1» — I + 2, .. . В этом случае
говорят, что α внутри G' входит в W%(G). Записывать это будем так: а£
ζψ\ \0C(G'). Поясним, что X аннулируется в окрестности границы dG\
поэтому идет речь о вхождении α внутри G'. Ясно, что для обычных функций a
подобное определение означает большую гладкость α в G'. Поскольку X
аннулируется в окрестности G\G't то включение la£W\(G) можно заменить
естественно определяемым включением Xa£H?|(G').
С помощью разбиения единицы (см. § XI. 1) несложно доказывается
следующая естественная лемма о локализации.
Лемма 2.1. Пусть для каждой точки x£G' существует ее шаровая
окрестность U (x) s G' такая, что a £ W%. loc (U (х)). Тогда a £ W^ loc (G')·
Доказательство. Выберем в силу локальной компактности IR из
покрытия G' окрестностями U (χ) (χ £ G') счетное покрытие U (хх)у U (х2), ....
Пусть (Ху (x))JLi — соответствующее разбиение единицы, т. е. X/€CJ°(G),
оо
неотрицательны, аннулируются вне U(xj)n J] X,· (*) = 1 (x£Gf). Для χ£
546

£ C°° (G), аннулирующейся в окрестности G\G't можно написать: χ (χ) =
η (χ)
= Σ И/ Μ λ Μ, где я (χ) £ № зависит от χ. Поэтому γ и ζ Wl2 (G) имеем
/==ι
л(х)
(Χα> u)l2(G) = (α> Χ (*) и W)L>(G) = Σ <α> χ/ W κ (*)" W)z.2(G) =
л(х) «(χ)
= Σ (να> иК(в) = (( Σ χ/**)· "k(G)·
Таким образом, χα = Σ %/%α> Η0 %/%α πο условию входит в W\ (G), поэтому
χα ζ ^2 (G)· Таким образом, α e И?£ loc (Gf), Щ
2. Повышение гладкости внутри области. Сформулируем теорему о
повышении гладкости решения эллиптического уравнения внутри области. Как
и теорему 1.1 об изоморфизмах, мы приводим формулировку для
эллиптических выражений второго порядка: г = 2.
Теорема 2,1, Пусть 2 — эллиптическое выражение (1.1) второго
порядка с достаточно гладкими коэффициентами (вещественнозначными при
производных)у <р£ W*2 (G) (t£ Ζ) —обобщенное решение уравнения (2.1) внутри
области G с правой частью f £ W2 (G) (s £ Ζ). Тогда, в действительности,
решение φ входит внутри G в пространство Wf^s (G), т. е. φ € H^lcfc (Φ·
Мы умышленно не выписывали требования гладкости коэффициентов,
чтобы не загромождать формулировку теоремы; эти требования будут
сформулированы позже в замечании 2.1. Таким образом, обобщенное решение
уравнения (2.1), грубо говоря, внутри области «глаже» правой части / ровно
на порядок уравнения (г = 2 в данном случае). Этот эффект специфичен для
эллиптических уравнений, он может служить критерием, выделяющим эти
уравнения среди других уравнений с частными производными.
Прежде, чем доказывать теорему, приведем один результат о краевой
задаче (1.5). Он составит содержание леммы 2.3. Для его доказательства
используем следующий факт.
Лемма 2.2. Пусть G с: IR^ — ограниченная область с достаточно
гладкой границей, d = sup {| χ — у 11 х, y£G]— ее диаметр. Для произвольной
u£W\(G)> аннулирующейся на границеdGt справедлива оценка
\\uhM«i)<d\\u\Litr (ti^w\(G)), (2.3)
W 2{G)
Доказательство. Мы ограничимся случаем выпуклой области
G (только такие G нам понадобятся). Рассмотрим точку χ = (хг , ..., xN)t
пусть при фиксированных х2, ... , χΝ она принадлежит G, если хг меняется
в пределах от аг (х2, ... , χΝ)=αλ (χ') до Ьг (х2, ... , χΝ) = Ьг (х') (через
х1 обозначена точка (х2, ... , xN)). Очевидно, для и ζ С1 (G),
аннулирующейся на dGt имеем
Χι
и(х)=и (xlf χ') = j (Dtu) (6lf x') dlx (хг ζ [αχ (*'), Ьг (х')]). (2.4)
аАх')
При помощи (2.4) и неравенства Коши — Буняковского получим:
Μ*') Μ*') Χι
J \u(xti *')|2<**ι = J | J (0ia)(6i.*')d6i | ■<**!<
at(x') at(x') cLt{x')
547

ЬЛх') *х
$ fe-fliM) J ΙΦι«)(ξι. *')Ι2^ι^ι<
at(x') at{x')
Ьх(х') bt{x')
у (Μ*')-Μ*'))2 f ΙΦι")(ξι, *')|2^ι«*2 J Ι Φι") (ξι, *')Ι24ι
Интегрируя это неравенство относительно χ' по соответствующей проекции
области G, найдем
[\ и (х) |2 dx < d* С I (D^) (a:) |2 d* <: d2 \\ и ||2 ,
Лемма 2.3. Пусть 3? — эллиптическое выражение (1.1) второго порядка с
вещественнозначными коэффициентами при производных; аа £ С*' α ' (G), dG ζ С2.
Рассмотрим подобласть G' ^ G с границей dG' ζ С2 и на ней краевую
задачу (1.5). Утверждается, что если диаметр G' достаточно мал, то О не
является собственным значением этой задачи.
Доказательство. Приведенные условия гладкости — это
условия гладкости в теореме 1.1 при s = 0. Таким образом, применима в области
G' лемма 1.2 и можно написать оценку Yu£Wl2(G'), аннулирующегося на
dG',
Re ((з> + qH) и, u)l2{G>) > с3 \\ и ||2 , (2.5)
W2{G') ·
Как следует из замечания 1.1, числа q > 0 и с3 > 0 в (2.5) можно
выбрать общими для любой G' ^ G — они определяются поведением
коэффициентов 5" в G Зафиксируем так выбранные q и с3. Из (2.5) имеем для
указанных и
cz II и ||2 ! < | ((& + q$) и, u)Lm | <
W2(G')
<1(*«. «>£,((?') | + ^ II "IIl,((?t (2·6)
Пусть диаметр G' не превосходит (с3/(2?))1/2, тогда в силу (2.3) || и |/2 т>\<
< £ || и ||2 ! и (2.6) дает: | (Л, иЬ«?') | > % || и ||2 , .Из последнего
неравенства следует, что если Я'и = 0, то и и = 0. В
Доказательство теоремы. Согласно лемме 2.1, ее достаточно
установить в следующей локальной формулировке: пусть х0 £ G, существует
ее шаровая окрестность U(x0)^G такая, что <р£ ^f~*ioc(^ (*<>))·
Выберем радиус открытого шара Vc центром в х0 столь малым, чтобы 0
не являлся собственным значением краевой задачи (1.5) для 3?+ в шаре V.
Это возможно в силу леммы 2.3. Зафиксируем V и будем применять теорему
1.1 об изоморфизмах к &+ в V, считая, что | s | <: т, где т некоторое
достаточно большое число (его выбор будет ясен из дальнейшего). Ниже (гр)
обозначает нулевые граничные условия на dV, W2(V, гр)—соответствующее
подпространство W2 (V).
Доказательство будем проводить по этапам, причем в первых шести из
них мы убедимся, что если t < 2 + s, то в действительности и £ H^ioc (^)· Итак,
в 1) — 6) считается t<2-\-s. Далее всюду ниже через % обозначена функция
из C°°(G), аннулирующаяся в окрестности G/V.
1)» Рассмотрим случай t = —1, —2, ... и докажем, что если y£W2(G)
удовлетворяет внутри G уравнению 2?u = f, где f£W2(G), то Xy^Wt^1 (V).
548

В самом деле, пусть w£ W^iV, гр), тогда iw^W2^ (G) и финитна и
поэтому ее можно подставить в (2.2). Поясним при этом, что предельным
переходом (2.2), очевидно, распространяется на финитные функции из Wl2(G)t
где / = 2, 3, ... настолько велико, чтобы имели смысл левая и правая части
в (2.2). Итак,
(φ, 2+ №)Ьш(0) = (Л W)Li(G) (w g W*T* (V, гр)); (2.7)
(2+ (χα;)) (χ) = χ (χ) (g+w) (χ) + (<2>) (χ) (χ £ G), (2.8)
где 5^ — дифференциальное выражение первого порядка. Поскольку χ
аннулируется в окрестности G\V, то в (2.7) L2 (G) можно заменить на L2 (V).
Оператор W1^ (V) 3 ν\-> Αυ= &χυ £ W^~fy очевидно, действует непрерывно
между этими позитивными Соболевскими пространствами. Пусть
А+—сопряженный к нему оператор, действующий между соответствующими негативными
пространствами (см. § XIV. 1).
Таким образом, (Va £ W{ 0О)(У»€ Wl2~* (У)) : <а» ^vk9(V) = (а> Av)l%{V) -
= (Л+а, v)L(V); здесь A+a^Wif1 (V). В частности,
(Φ» *х*>кшт = (Ψ» w)l2(V) (Ψ = Л+Ф 6 ^2-1 00.
w g Г|-' (F, гр) с: ^"' (V)). (2.9)
Подставляя (2.8) в (2.7), где L2 (G) заменено на L2 (V)t и пользуясь
полученными соотношениями, найдем
(χφ, 3*w)L%{y) = (φ, XS*aOLf(V) = (Λ Xa»Ll(v)-(q>, 5»Li(V) «
= (X/ - ψ, »)La(V) = (θ, w)Li{V) (w g UP*"* (У, гр)), (2.10)
где θ = χ/-ψ^^2-1(^).
В силу того что отображение Wlf* (V, гр) bwi-+&+w£ Ψζ~*~~~ι (V) является
гомеоморфизмом (согласно теореме 1.1), можно написать
1(0, w)L оо КII θ II t-ι Ww\\ ι-t <ΊΙΙΘΙΙ ί-ι x
X II &+w II _f*i f/ (»6 ^ (V. rp)). (2.11)
Из неравенства (2.11) вытекает существование \*>£WfJ~l(V) такого, что
(θ> WK(V) = (μ. ^+α,)£2(7) (ю 6 У\-* (V, гр)) 2.12)
(мы это докажем чуть позже). Подставляя (2.12) в (2.10), получим
(Χφ, &+w)Li{V) = (μ, 3»w)U{y) w £ W*f* (V, rp)).
Но здесь 2+w в силу теоремы 1.1 пробегает все №|(К), поэтому последнее
равенство означает, что Χφ — μ £ Wy~l (V), что и требовалось.
Установим теперь представление (2.12). Из оценки (2.11) следует, что
выражение (Θ, w)L (V) в действительности линейно зависит от &+w, а не до
(Θ фиксировано): (Θ, w)L (V) = / (&+w). Для функционала / в силу (2.10)
справедлива оценка | / (&+w) \ <c2\\ 2+w \\ _t_x (до £ №\~* (V, гр)), причем
w2 (V)
&+w пробегает все W^'"1 (V). Иными словами, он непрерывен на W^"1 (V)
и поэтому допускает представление через элемент μ £ W*^~l (V): I (2+w) =
= (μ, g+w)Lt{V)(w£ Wl"* (У, гр)). Равенство (2.12) доказано.
549

Как легко проследить, для проведения этого доказательства достаточно
требовать, чтобы аа £ 0 а 1 """* (G).
2). Сделаем некоторые замечания, необходимые при рассмотрении случая
t = 0, 1 Пусть φ £ W\ (V) (t = 1, 2, . . .), w ζ U^ (7); интегрируя по
частям, получаем для введенного выражения ^χ
(φ, ЯГ w)L {V) = Σ (φ, ca (*) Яаш)^ (V) =
I a\ < 1
= Σ (^Μ^Φ. »)l,(V) (2-13)
|α|<1
(здесь не появляются интегралы по dV, так как коэффициенты са выражения
3? вместе со всеми своими производными аннулируются на dV благодаря
множителю X; da — некоторые новые коэффициенты). Таким образом, если
t= 1, 2, ... , то имеет место подобное (2.9) равенство:
(φ, <?%w)Li {V) = (ψ, w)L% (V) (ψ £ Wif1 (V),
Φ €^00, w£W22(V)). (2.14)
Покажем, что (2.14) справедливо и при tf = 0. Зафиксируем индекс β,
|β Ι <: 1 (a = 0 в (2.13)) и рассмотрим непрерывный оператор w\ (V) Э tn->- AQaV =
= с0о (χ) D$v£ L2 (V); Ajfc непрерывно действует из L2 (V) в W^~l (V), Имеем,
в частности, (φ, c0^w)L% {V) = (φ, A^w)L2 {V) = (Л^ср, w)L% {V) (φ £ L2 (F),
ш g U^2 (^))· Подставляя эти выражения в (2,13) (в случае ^ = 0), получим
(2.14), где ψ= Σ A^<ptW?l(V).
Ιβ|<ι
3). Ниже мы убедимся, что 1) справедливо и при t = 0, 1 Для
этого пока установим аналог (2.10): повторяя рассуждения при доказательстве
1) и пользуясь (2.14), получим
(χφ, a»w)L% {V) = (θ, w)Li (V) (w £ W\ (V, rp),
θ = χ/-ψ£^-1(ΐ/)). (2,15)
4). Установим 1) в случае / = 0. Согласно теореме 1.1, отображение
^(У, гр) Э α>'->· &+w£ L2 (V) после замыкания в соответствующих нормах
является гомеоморфизмом между fl^i^» ГР) и W^1 (V, гр). Сейчас θ £ W^l(V)f
поэтому (yw £ ^(F, rp)):
Κθ> »)/ ml<PII -л II«ΊΙ ι =
= IIе II _i Nil ι < ca|| θ|| , ||^+ау|| ι . (2.16)
11 V"1 (V) " "w\ (V, rp) 2 M V"1 (V) M UW~l (V, rp) V '
Из неравенства (2.16), подобно выводу (2.12) из (2.11), вытекает
существование μ £ W\ (V, гр) такого, что
(θ> wk2 (V) = (μ. &*w)l2 (V) (w 6 ^2 (^ rP))· (2-l7)
Соотношения (2.15) и (2.17) и то, что 2*w пробегает все L2 (V), дают
включение: χφ = μ £ W\ (V, гр) с ψ\ (V). Утверждение 1) в случае t = 0 доказано.
Легко проследить, что для проведения этого рассуждения достаточно
требовать, чтобы аа g С1 α ' +l (G).
550

5). Установим 1) в случае t= 1, 2, . . . . Опять, согласно теореме 1 I,
отображение W%(V, гр) Э w \->-&+w £ L2 (V) после замыкания в
соответствующих нормах является гомеоморфизмом между Ψ^~*+ι (V) и №^~*~~1 (V, гр).
Сейчас Q^W^iV), поэтому (Vw £ W% (V, гр)):
Κθ·^.(ΐοΐ< Иθ ll^i (V)ll» ll^+i (V)<
Отсюда вытекает существование μ £ Wi^~l (V, гр), для которого справедливо
равенство (2.17). Из него, (2.15) и того, что &+w пробегает все L2(V),
заключаем: χφ = μ £ Wf2+l (V, гр) с: W2+1 (V). И в этом случае 1) доказано.
Требования гладкости сейчас таковы: аа £ С'α ' + '1""t' (G).
6). Итак, мы доказали, что если y£W2(G)— обобщенное решение
уравнения (2.1) cf£Ws2(G) (t, s£Z) внутри G и t<2 + s, то VX£C°°(G),
аннулирующейся в окрестности G\V, имеем %q>£Wp~l(V) (ясно, что это
включение можно записать и так: Χφ £ W*2 (G)). Из доказательства видно,
что оно без изменений подходит и в том случае, когда φ — решение
уравнения (2.1) только внутри V.
7). Если £+l=2 + s, то доказательство теоремы закончено. Если t-\-
+ 1 < 2 + s, то продолжим его следующим образом. Пусть Vx = Vx (д-0) —
шаровая окрестность точки х0 радиуса меньше, чем радиус V = V (х^ а Χι ξ
£С°° (G) аннулируется в окрестности G \V и равна 1 в Уг. Тогда φ = χ1φ£
£ W2+l (G) является обобщенным решением того же уравнения (2.1) внутри
Vlu В самом деле, (Υ ν £ CJ° (Fx)) имеем, согласно (2.2),
(χιΦ, 3»o)l% (G) = (φ, Xi^+u)Lf (G) = (φ, 3*ό)1% {G) = (/, o)l% (G)
(здесь мы воспользовались тем, что (V χ £ G): %x (χ) (Si+v) (χ) = (&+v) (χ), так
как (&+v)(x) отлично от нуля только при х£ Vlt а здесь %(х) = 1).
Применим утверждение этапа 6) к обобщенному решению φΧ £ W2^~l (G)
уравнения (2.1) внутри Vx. В результате VX£C°°(G), аннулирующейся в
окрестности G \ Vlt Χφ € Wf2+2 (G).
Если t + 2 = 2 + s, то доказательство теоремы закончено. Если * + 2 <
<2 + s, то будем его продолжать аналогично предыдущему: выберем
шаровую окрестность V2 = V2 (х0) точки х0 радиуса, меньшего, чем радиус Vx »
= ^ι (хо)> построим соответствующую функцию Х2 £ С°° (G), образуем φ2 = %2ψ1
и т. д. В результате через конечное число шагов мы получим, что <р£
£ ^!мос(^л)» где Vn — соответствующая окрестность точки х0. Эту окрестность
и примем в качестве V (х0). Таким образом, теорема доказана в локальной
формулировке, а этого достаточно. Щ
Замечание 2.1. Условия на гладкость коэффициентов 9? в теореме 2.1
удобно сформулировать следующим образом. Пусть аа£ с' а' + /7 (G) (|а|<
<2), где ρ ζ Ζ+ — фиксированное. Тогда можно брать t£ [—ρ, ρ + 2) и
автоматически обобщенное решение φ £ №ij11f10£2+s· ^"^ (^)· Достаточность этого
требования гладкости для проведения доказательства теоремы легко
прослеживается.
Замечание 2.2. Теорема 2.1, как легко понять, может быть сформулирована
и в следующей «локальной» форме: если Gr sG — подобласть G с достаточно
гладкой границей, φ £ W2 (G) (t£ Z) — обобщенное решение уравнения (2,1)
внутри G' с правой частью f£Ws9(G') (s£Z), то φ £ u^joc (G').
551

Замечание 2.3. Теорема 2.1, по существу, в приведенной формулировке
справедлива и для эллиптических выражений произвольного порядка г.
Сейчас автоматически решение φ 6 ^2 toe (^)· Доказывается это с помощью
соответствующего обобщения теоремы 1.1.
3. Повышение гладкости вплоть до границы. Перейдем теперь к
исследованию гладкости вплоть до границы области обобщенных решений
эллиптических уравнений. Подчеркнем, что выполнение равенства (2.2) для
финитных относительно G функций ν влечет вхождение в соответствующее соболев-
ское пространство не самого решения φ, а его произведения χφ на
«обрезающую» функцию χ (т. е. дает гладкость внутри области). Однако если
равенство (2.2) выполняется для большего запаса функций ν, то это дает и более
сильные свойства решения φ. Как и в теореме 1.1 об изоморфизмах, мы будем
сейчас рассматривать только нулевые граничные условия.
Пусть G cz IR — ограниченная область, на границе которой
расположен некоторый достаточно гладкий кусок у (т. е. у с 3G — область в
топологии поверхности dGt имеющая достаточно гладкую на до границу ду).
Через класс Cl0(G, у) (ΙζΝ U {оо}) будем обозначать класс финитных
«относительно G вне γ» функций, т. е. функций из & (G), аннулирующихся в
окрестности (в IR^) множества dG\dy; Cl0(G, у, гр) — подкласс этого класса,
состоящих из функций, аннулирующихся на у.
Рассмотрим то же уравнение (2.1), но обязательно второго порядка.
Будем говорить, что и ζ W2 (G) является обобщенным решением (2.1) внутри G
вплоть до куска у (где удовлетворяет нулевым граничным условиям), если
равенство (2.2) выполняется для всех v£Cq (G, γ, гр).
Пусть G' с(} — подобласть G с достаточно гладкой границей дС; причем
кусок γ s dG', тогда можно говорить об обобщенном решении и ζ W^(G) внутри
G' вплоть до у, если равенство (2.2) выполняется для всех v£Cq(G', у, гр)
(продолженных нулем на всю G).
Естественным образом также формулируется вхождение обобщенной
функции а£ W^1 (G) (/£ Ы) в W\ (G) внутри G' вплоть до куска у: как и ранее,
χα £ ψ\ (G), однако обрезающая функция χ £ С°° (G) аннулируется лишь в G \ G'
и в окрестности (в IR^) множества dG' \ду. Такое вхождение а в W% (G)
будем обозначать включением а£ W2 \0c№'' ^)·
Для такого вхождения справедлив следующий аналог леммы 2.1 о
локализации.
Лемма 2.4. Рассмотрим G, G' и у такие, как выше; α £ ψ^1 (G) (I £ Ы),
k = — / + 1, — / + 2, .... Пусть для каждой точки x£G' (J Y существует
ее шаровая окрестность (в \RN) U (x)t причем U(x)^G' пои x£G' такая,
что α6 У* loc(£/(*)n(G'UY), y(]U (χ)). Тогда a$Wk2t loc (G', γ).
Доказательство. Оно, по существу, повторяет доказательство
леммы 2.1. Так, выберем из покрытия локально компактного пространства
G' U γ окрестностями W (х) = U (χ) Π (Gf (J γ) (χ ζ G' (J Υ) счетное покрытие W {хг)%
и7 (х2)> .... Пусть 0Cj(*))/°ei—соответствующее разбиение единицы, т. е·
оо
%jGCq(G, y)t неотрицательно, аннулируется вне W (xf) и ]►] %f (χ) = 1 (χ £
€ Ο' U γ). Строится такое разбиение единицы аналогично стандартному
построению в § XI.1.
Далее, пусть χ £ С°° (G)—■ введенная выше обрезающая функция, тогда
η (χ)
χ(*) = J] χ, (χ) Χ (χ) (Λ(χ)ξΜ) и можно повторить простые рассуждения,
/-1
552

с помощью которых доказывалась лемма 2.1, Это приведет к доказательству
сформулированного результата. Щ
Теорема о повышении гладкости обобщенного решения вплоть до
границы области подобна теореме 2.1 и формулируется следующим образом.
Теорема 2.2. Пусть 3? — эллиптическое выражение (1.1) второго
порядка с достаточно гладкими коэффициентами (вещественнозначными при
производных), ваданное β G (J γ, где у — некоторый достаточно гладкий кусок
на dG. Рассмотрим обобщенное решение φ £ U^ (G) (t £ Ζ) уравнения (2.1)
внутри G вплоть до куска у с. правой частью f£Ws2 (G) (s £ Ζ). Тогда, в
действительности, решение φ входит внутри G вплоть до куска у в
пространство W22+s (G). т. е. φ £ H^ioo (G> ?)· Eom 2 + s > !' mo <P W = ° npu x 6 V-
Требования гладкости коэффициентов аа и куска у будут приведены в
замечании 2.4.
Доказательство. Оно в основном повторяет доказательство
теоремы 2.1. Приведем необходимые изменения.
В силу леммы 2.4 доказательство локализуется. При этом если х0 £ G и
шаровая окрестность W (х0) = U(x0) s <j, то включение φ £ ^2+ioc (^ (*ο)) вы"
текает из теоремы 2.1, точнее, из замечания 2.2 к ней. Рассмотрим случай,
когда х0£у. В качестве V рассмотрим область с достаточно гладкой границей
и достаточно малого диаметра, граница dV которой имеет общий кусок с γ,
содержащий точку х0. Если мы докажем, что <р£ И^^ос^» д^ПУ) и в случае
2 -f- s > 1 φ (χ) = 0 при χ ζ dV f] у, то теорема будет доказана: нужно
воспользоваться локализационной леммой 2.4, взяв в качестве окрестности W (х0) =
= ^ (*о) Π (G U У) достаточно малую окрестность такого рода, входящую в V,
Пусть /<2 + s, χ — обрезающая функция из С°° (G), аннулирующаяся
в G\V и в окрестности (в IR^) множества dG \ду. Как и ранее, докажем,
что χφ £ И?2+1 (У) (т· е· Φ £ ^2/ioc (У* д^ Π Υ))· Рассмотрим, как при
доказательстве теоремы 2.1, t, увеличивающееся от —оо до +оо.
В случае t =—1, —2, .». достаточно повторить без изменения
рассуждения этапа 1). Необходимая гладкость при этом: ααζ С* а l~l (G[)y), y£C2~t.
На этапе 2) будут изменения: так как χ, вообще говоря, не аннулируется
на дVП V, то коэффициенты^ дифференциального выражения 9! не
аннулируются с гарантией на dV (] у и переброску производных (2.13) в случае t =
= 1, 2, ... произвести нельзя. Однако ее можно произвести, если
дополнительно считать, что обобщенное решение φ аннулируется на д V (] у. Итак, если
*=1, 2, ... и φ (φ ϊ V ζ W\, (V)) аннулируется на dVf\yt то справедливо
(2.13) и, следовательно, (2.14).
В случае / = О рассуждения этапа 2) остаются неизменными и
равенство (2.14) сейчас справедливо.
Этапы 3) и 4) остаются неизменными. При этом подчеркнем, что в
результате 4) (случай t = 0) доказывается включение χφ == μ 6 W\ (V, гр).
Поэтому если взять обрезающую функцию χ такой, чтобы заведомо χ (χ) Φ 0 при
* 6 dV Π γ, то получим φ (χ) = 0 (χ 6 dV f| Υ).
Этап 5) (t = 1, 2, ...) остается неизменным, если дополнительно считать,
что φ аннулируется на dV fl у — в этом случае, как говорилось,
сохраняются соотношения (2.13) и (2.14).
Сказанное в 6) после должной модификации, очевидно, сохраняется. Не
изменяется и заключительный этап 7). Нужно только в качестве Vlt V2, ...
выбирать области типа V, т. е. «скользить» по куску у и учитывать следующее
отмеченное выше обстоятельство: при движении t от — оо до + оо при
переходе через 0 окажется, что φ 6 W\ loc (V, гр) и аннулируется на dVfly.
Поэтому дальнейшее увеличение t оказывается возможным.
Еще одно дополнительное пояснение. Пусть мы повышаем гладкость φ
лишь со значений t = 1,2,.... Непосредственно переходить к гладкости
/ + 1 сейчас нельзя, так как не предполагается, что φ аннулируется на у.
553

Однако сейчас φ^2 (G) и поэтому можно начать движение с / = 0 и на
первом же шаге доказать, что φ аннулируется на dV Π Υ· Β
Замечание 2.4. Ограничения на гладкость коэффициентов 3 такие же,
как и в замечании 2.1. Гладкость куска у следующая: у 6 С2+р. При этих
предположениях возможно применение теоремы 1.1 об изоморфизмах для
требуемых s.
Замечание 2.5. Сейчас, разумеется, справедлив аналог замечания 2.2
о формулировке теоремы 2.2 в локальной форме для G's(j таких, что
γ s dG'.
Замечание 2.6. Результаты теорем 2.1 и 2.2, сформулированные в
локальной форме в замечаниях 2.2 и 2.5, как легко понять, могут быть
сформулированы и в случае неограниченной области G ^ IR^. Например,
обобщение теоремы 2.1 выглядит следующим образом. Рассмотрим эллиптическое
выражение указанного в этой теореме вида, заданное в области G ^ IR^»
G' ^ <j — ограниченная подобласть G с достаточно гладкой границей. Пусть
φ ζ W^0, P(x)dx> (t£Z) — обобщенное решение уравнения (2.1) внутри G'
с правой частью f£W%(G') (s£Z). Тогда φ£ l^ljoc (G')·
Условия гладкости сейчас такие же, как в замечании 2.1, 0 «< ρ (χ) 6
6 С (G) — некоторый вес. То, что указанное φ является обобщенным
решением внутри G'', означает выполнение соотношения (2.2), в котором ν 6 Cq° (G').
Аналогично видоизменяется и теорема 2.2.
§ 3. Эллиптические дифференциальные операторы
в области с границей
1. Случай ограниченной области. Пусть G cz \RN — ограниченная
область с достаточно гладкой границей dG. В G рассмотрим эллиптическое
формально самосопряженное дифференциальное выражение 3? второго порядка
вида (1.1) с вещественнозначными коэффициентами. Отметим, что если
воспользоваться для & записью (1.3), то условие 3?+ = 9? формальной
самосопряженности означает выполнение соотношения
N
Μ*) = Σ (А*/*)М (*£°)· (3.1)
По 2 обычным образом можно в L2(G) ввести минимальный оператор
L — замыкание оператора L2 (G) => Cl (G) Э и /->■ L'u = 3?и £ L2 (<j). Рассмотрим
теперь расширение А оператора L, отвечающее нулевым граничным условиям
(гр) на dG. Оно строится как замыкание оператора в L2 (G) L2 (G) =э С2 (G,
гр) Эи\~*А'и = 3u£L2(G)t являющегося расширением L'. Напомним, что
С2 (G, гр) = {и£Са(<5)|и \dG =0}. Введенный сейчас оператор А', а значит,
и А эрмитов.
Для доказательства полезно выписать следующую общую формулу
Грина, справедливую для любого эллиптического '2 второго порядка вида (1.1),
(1.3), (V*. » 6 с» <й)):
= J|AWvW|(fe)wiw-iiw(g)w)^ +
dG
Ν
+ [a(x)u(x)V(x)dx, α(χ)=γ^(α}(χ) —
dG / = ι
Ν
- Σ (Dkaik)(x)vi(x)) (x£dG). (3.2)
554

Здесь через ν (χ) = (va (x), ..., ν^ (χ)) обозначен орт внешней нормали dG
в точке χ 6 dG, μ (χ) обозначает орт конормали, который определяется
следующей формулой:
μ(χ) = \a\TvW\' Aix)==(a,'k(x))<'k=l WG)· (3-3)
Формула (3.2) просто доказывается интегрированием по частям, при
этом определение (3.3) орта μ (χ) оказывается возможным в силу
невырожденности матрицы А (х), следующей из эллиптичности 3? (см. (1.2)). Заметим
также, что в случае 9?+ = 9? функция α (χ) = 0 согласно (3.1). Из (3.2),
очевидно, вытекает эрмитовость оператора А''.
Отметим, что равенство типа (3.2) справедливо и для общего 9? второго
порядка, необязательно эллиптического. В этом случае первый интеграл
в правой части (3.2) распространяется не по dG, а по его части dG\X, где
X = {х 6 dG | Α (χ) ν (х) = 0}.
Легко понять, что область определения @ {/§ оператора Л совпадает
с подпространством W2 (G, гр) = {и ζ W2 (G) \ и \ dG == 0} пространства W2 (G)
(которое может быть также определено как пополнение в метрике W\ (G)
множества С2 (G, гр). При этом нужно предполагать, что dG£C2.
Доказательство следует из неравенства: (3 Ρ > 0, сг > 0, с2 > 0) такие, что
Ci IIи К2«?)<''Su и*. <*>+ р ии "L* (°>< с* ии К2 (О)
(figC*(£ гр)) (3.4)
(левая часть неравенства (3.4) — неравенство коэрцитивности (1.11) при
s = 0, правая часть — элементарная оценка).
Оператор А будет не только эрмитовым, но и самосопряженным.
Теорема 3.1. Пусть G — ограниченная область с границей dG£C*,
9?—формально самосопряженное эллиптическое выражение (1.1) второго по-
pяdκa, коэффициенты которого ααζ С' α' ~*~2(δ). При этих npedположениях
ZAadKocmu оператор А = L (гр), отвечающий 9? и нулевым граничным
условиям, самосопряжен в L2 (G) и полуограничен (снизу).
Доказательство. Пусть g £ @> (Л*), тогда (у / £ В (А)): (Л/, g)L (G) =
= (/. a*8)l2 «?)· b частности, (Υ ν £ С2 (G, гр)): (&ό9 g)L% {G) = (υ, A*g)Li {Gy
или, так как & = 9?*,
te. &*v)l2 (G) = (&g> v)l2 (G) (v€ C2 (G, rp)). (3.5)
Соотношение (3.5) показывает, что g£L2(G) является обобщенным
решением уравнения 3?и = A*g £ L2 (G) внутри G вплоть до у = dG (где заданы
нулевые граничные условия). Применяя теорему 2.2 при s = 0 и t = 0,
заключаем, что g£W2(G), gfdG = 0 и 3?g = A*g. Иными словами, g€@(A) и
Л*£ = Ag, т. е. Л* s Л. Отсюда Л = (Л*)* з Л*, т. е. Л* = Л.
Применение теоремы 2.2 законно — это следует из замечания 2.2 и
сделанных предположений гладкости.
Полуограниченность Л следует из неравенства (1.13). Щ
Замечание 3.1. В формулировке теоремы 3.1 мы не старались
минимально понизить гладкость коэффициентов и границы. Отметим здесь лишь, что
при кусочно-гладкой границе эта теорема может оказаться неверной. Так,
она не имеет места в случае 3? = —Δ в области G cz IR2, если dG содержит
угловую точку с внутренним углом, большим π.
Замечание 3.2. Теорема 3.1 сохраняется и для операторов А = L (гр),
отвечающих ряду других граничных условий (гр). Так, можно рассматри-
Ьи
вать условие Неймана -у- \ dG — 0 или третье граничное условие
[дй, + σ (*) ") f dG = 0 (σ вещественнозначна) и определять оператор А
555

прежним образом, считая лишь, что и 6 В (А') не аннулируется на dG,
а удовлетворяет этим условиям. Как следует из (3.2), оператор Л', а значит,
и А будет эрмитовым. При некоторых дополнительных ограничениях
гладкости, которые мы не формулируем, оператор А будет и самосопряженным.
Это доказывается аналогично теореме 3.1 с помощью техники § 1, 2, которую
можно развить и для упомянутых граничных условий. Щ
Остановимся еще на следующем. Пусть 3? =■ &* — общее
дифференциальное выражение второго порядка; для него, как говорилось, справедлива
формула (3.2), где в первом интеграле в правой части dG заменено на dG \ X,
а второй интеграл отсутствует. Таким образом,
(*". v)l2 (в) - («. &v)l2 (О) = J Ι Α Μ ν (х) | ((g) (х) V(x) -
dG\X
— и (χ) (у \ (х)) ах (и, v£C* (5)). (3.6)
Возникает вопрос, как найти «формально-самосопряженные» граничные
условия (гр) для данных 3? и С, т. е. такие условия, что если и и ν им
удовлетворят, то правая часть в (3.6) обращается в 0, и, более того, если и 6 С2(д)
им удовлетворяет и произвольна, a v 6 С2 (G) такова, что эта правая часть
обращается в 0, то и ν им удовлетворяет. (Приведенные выше три типа
граничных условий в эллиптическом случае будут такими.) Легко понять, что
именно этим (гр) может отвечать самосопряженный оператор, порожденный
SZ. При подборе таких (гр) существенную роль играет обстоятельство, что
- ди
при изменении и по С2 (G) граничные значения и \ dG и -^-— \ dG
принимают достаточно произвольные значения, плотные в пространстве L2,
построенном на dG. Более детально на решении этой задачи мы останавливаться
не будем. Подчеркнем лишь, что если по .2% G и таким (гр) построить в L2 (G)
подобно эллиптическому случаю оператор А = L (гр) э L, то он далеко не
обязательно окажется самосопряженным.
Характер спектра построенного оператора описывается следующей
простой теоремой.
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и А = L (гр) —
построенный самосопряженный оператор в L2 (G). Уmβepжdaemcяt что спектр
А состоит ив nocлedoβameльнocmu (λΛ)~β1 вещественных собственных вначений,
стремящихся к + оо; KaotcdoMy λη отвечает конечномерное собственное
подпространство.
Доказательство. Расположение спектра 5 (А) на полуоси вида
[а, + оо) (а 6 IR), очевидно, следует из самосопряженности А и его
полуограниченности. При помощи лемм 1.2 и 1.1 заключаем, что существуют
достаточно большие β>0 и сх>0 такие, что выполняется неравенство ||(5? +
+ *4Ь " Hl, (G) > ci IIи \\w2 (G (u € W\ (G, гр)). Отсюда следует, что || (А +
"2
+ biL) f \\Lz {G) > *i II / 11^2 {G) (/ 6 К (G)), поэтому -kgS (Л), существует
A + kiL)'1 = R.k и || R.kg \\w2 < cp1 \\S\\Lt (O) (g$L2 (Ф). Из последнего
неравенства заключаем, что R_k переводит единичный шар в L2 (G) в шар
в Wl(G), а так как по теоремам вложения (см. XIV.3) последний шар
компактен в L2 (G), то оператор R_^ компактен. Из свойств компактных
операторов (см. § IX.4) следует, что спектр S (R_k) состоит из последовательности
собственных значений конечной кратности, стремящейся к нулю. Но если λ£
£5(Л), то (λ + k)'1 £ 5 (R_k) и наоборот, причем соответствующие собственные
векторы совпадают. Поэтому указанный характер спектра оператора R_b влечет
требуемые свойства спектра оператора А. Щ
556

2. Случай неограниченной области. Перейдем к рассмотрению
операторов, порожденных эллиптическим формально самосопряженным
дифференциальным выражением 9? второго порядка с вещественнозначными
коэффициентами, заданным в неограниченной области G с |R^, не совпадающей со
всем |R^ и имеющей достаточно гладкую границу dG.
Сейчас оператор А = L (гр) в L2 (G) определяется аналогично: строится
оператор L2 (G) => CjJ (δ, гр) Э и \-* А'и = 3?u£L2 (G), где С20 (G, гр) обозначает
класс финитных функций C\(\RN), суженных на сГ и принимающих на dG
нулевые значения. Из (3.2) следует эрмитовость А'. Оператор А определяется
как замыкание А'. Ясно, что А является эрмитовым расширением
минимального оператора L, отвечающего 3? и G.
Неравенство (3.4), очевидно, остается справедливым на функциях и£
£C0(G, гр), однако постоянные р, clt с2 зависят от области, вне которой
финитная функция и аннулируется. Поэтому можно лишь сказать, что и ζ
ζ@(Α) локально входит вИ72и аннулируется на dG, Точнее, это означает,
что если обозначить через G^ (R > 0) пересечение G с открытым шаром
радиуса R с центром в 0, то для и£@{А) u\GR £W2 (G^) и аннулируется на dG.
Разумеется, и сейчас предполагается, что до ζ С2.
Самосопряженность А зависит от поведения его коэффициентов при
|*|-»· оо. Мы не приводим соответствующие результаты, они подобны
теоремам, которые будут доказаны в § 4 для .2*, рассматриваемых во всем
пространстве \RN. Сейчас ограничимся лишь доказательством того, что «изменение 3?
в конечной области» не влияет на самосопряженность соответствующего
оператора А. Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.3. Пусть G — неограниченная область с границей dG £ С4,
& — формально самосопряженное эллиптическое выражение (1Л) второго
порядка, коэффициенты которого аа 6 С,а'~*~2 (G) и вещественны. Предположим,
что соответствующий оператор в L2 (G) А — L (гр), построенный по 3? и
нулевым граничным условиям на dG, самосопряжен.
Пусть Л — другое выражение такого же вида, как и 9?, совпадающее с 2
при \х\ > R, где R > 0 — некоторое число, В = Μ (гр) — аналогичный А
оператор, построенный по Л. Утверждается, что В самосопряжен.
Доказательство. Достаточно доказать, что сопряженный
оператор В* эрмитов (так как тогда В* ^ (В*)* = В, что наряду с В ^ В*
дает: В* = В). Аналогично теореме 3.1 доказывается, что В (В*) состоит из
функций и, локально входящих в W2 и аннулирующихся на dG, B*u =
= Ли (и 6 ® (В*)). Нужно заметить, что g 6 ® (В*) является обобщенным
решением уравнения Ли — B*g внутри G' вплоть до dG' (с нулевыми
граничными условиями), где G' — любая ограниченная подобласть G с границей
dGr 6 С4. Это следует непосредственно из определения обобщенного решения.
Затем применяется в G' теорема 2.2 с s = 0.
Пусть, как и ранее, Gr— пересечение G с шаром {χζ \RN \ | χ |< г}, тогда
в силу доказанного, согласно (3.2), (γ и, νζ@(Β*)):
(B*ut v)L%(G) — (и, Β*ό) Li{G) = (Ли, v)Li{G) - {a, Jtv)L%{G) =
= Пт((Ли, v)L%{Qr) - (и, *O)L%{Qr)) = Hm [ J | Α (χ) ν (x)\ ^ (x) ТЩ -
Vr
-и(х)(т^(х))ах}' Vr={x^N\\x\ = r}()G (3.7)
(здесь мы использовали аннуляцию и, ν на dG). Отметим, что при г > R орт
конормали μ (χ), фигурирующий в квадратных скобках из (3.7), такой же,
как и в случае выражения 2?. Для доказательства теоремы требуется
установить, что предел в правой части (3.7) равен нулю.
557

Совершенно аналогично равенство (3.7) можно записать и с заменой^
на ^ и ΰ* на Л* = Л, при этом благодаря эрмитовости Л его левая часть
равна 0. В результате (V#it υχ 6 В (Л)) имеем
Отсюда следует, что равенство нулю предела в правой части (3.7) будет
установлено, если доказать, что (γνζ@ (В*)) и обрезающей неотрицательной
функции Х£С°° (G), равной 0 при |*| < /?x и 1 при | χ | > R2 (R <RX< R2),
произведение Χ (χ) ν (χ) принадлежит В (Л). Покажем это.
Пусть и £ Cjj (<?, гр), тогда J( (%u) = %Jtu + Jt%u = %3?u + Л%и. Здесь
Jt„ — дифференциальное выражение первого порядка, все коэффициенты
которого содержат множителями производные первого и второго порядка от χ и
поэтому аннулируются при \х\ > R2. Учитывая это разложение, для ϋ£^(5*)ι
согласно определению В*, можно написать: (\[и ζ Cq (G, гр)):
(и, %B*v)L2(G) = (%u, B*v)L2{G) = (B(%u)t o)Lm(Q) = (Л (χ«), v)Lm**
= (%&и, v)LiiG) + (^xut O)La{G) = (3ru9 %v)Li{G)+(ut (J(^v)Lz{Gy (3.8)
В (3.8) (Jt' )+ обозначает формально сопряженное к Jt выражение;
перебрасывание можно было произвести, используя аннулирование и, υ на dG.
Поскольку ν входит в W\ локально, то (Ji^v ζ L2 (G) и поэтому %Β*υ —
-(^%)+u = h£L2(G).
Из (3.8) следует, что (Vm£Cq(G, гр)): (^w, Xv)L2(G) = (ut h)Lz(G)t откуда
%υ £ Β (Л*) = В (Л). Требуемое включение и вместе с ним теорема доказаны. Щ
Сказанное в замечании 3.1 относительно гладкости, конечно,
сохраняется в случае неограниченной G. Теорему 3.3 можно доказать и в случае (гр),
фигурирующих в замечании 3.2. Вместе с тем отметим, что в случае
неограниченной G оператор Л может оказаться и неполуограниченным, а его спектр,
разумеется, будет дискретным уже только в специальных случаях.
§ 4. Дифференциальные операторы в IRyV
1. Оператор умножения. К теме этого параграфа имеют отношение
операторы умножения (это будет ясно из п. 3), с них мы и начнем изложение.
Пусть R — абстрактное пространство точек х, д\ — некоторая σ-алгебра
его множеств, 9Я Э α ι->- μ (α) 6 [0, <*>] — σ-конечная мера. В пространстве
Η — L2 (R, 9Я, άμ) по заданной измеримой относительно !Н почти всюду
конечной комплекснозначной функции а определим оператор умножения на нее
Яэ^(Л)Э/ (х) 1-> (Л/) (χ) = α (x)f(x) g Я,
@(A)={f£H\a(x)f(x)£H}. (4.1)
Область определения В (Л) плотна в Я: любая функция из Я, аннулирующаяся
на ап = {х £ R | | а (х) | > п) при некотором η £ №, входит в В (Л). Кроме того,
для каждой /£ Я В (Л)Э/ (х) Х#ч α Μ-WW в Я при л->оо, так как
μ (αΛ)-> 0 при л-» оо (χα — индикатор множества а). Легко убедиться, что
оператор Л —нормальный, причем Л* строится аналогично по функции а(х);
он ограничен (самосопряжен) в том и только в том случае, когда а в
существенном ограничена (вещественнозначна).
Резольвента Rz (Л) — оператор умножения на функцию (а (х) — г)"1,
где z 6 С такое, что эта функция в существенном ограничена. Отсюда следует,
что разложение единицы, отвечающее Л, равно
Я э / (χ) ι-* (Е (a) f) (х) = la (a (x)) f (χ) = Χα-1(α) (χ) f (x),
558

где а'1 (α) обозначает полный прообраз множества а при отображении а.
Пусть В — аналогичный А нормальный оператор, построенный по
функции Ъ. Операторы Л я В коммутируют в смысле § XIII.5, т. е. коммутируют
их разложения единицы. Доказать все эти простые утверждения предлагаем
читателю самостоятельно (см. упр. ΧΙΙΙ.4.1, XIII.5.2, XIII.6.1).
2. Возмущение оператора. Перейдем к рассмотрению
дифференциальных операторов, порожденных выражением 3? (1.1) порядка г, заданным во
всем IR^ (ΝζΝ). Напомним, что минимальный оператор L определяется в
L2 (\RN) как замыкание оператора L2 (IR^) => Cr0 (\RN) э и ι-*- L'u = &u£ L2. Мы
будем рассматривать исключительно случай формально самосопряженного 9!.
Оператор L эрмитов, ниже будут приведены некоторые условия на
коэффициенты 9?, обеспечивающие его самосопряженность.
В случае эллиптических 3? сейчас также справедлива теорема типа
теоремы 3.3. Для выражений второго порядка она формулируется аналогично
следующей теореме.
Теорема 4.1. Пусть 9! — формально самосопряженное эллиптическое
выражение (1.1) второго порядка, коэффициенты которого аа 6 C^'-1-2 (RN)
и вещественны. Предположим, что соответствующий минимальный оператор
L в L2 (RN) самосопряжен.
Пусть JC — другое выражение такого же вида, как и 9?, совпадающее с 9?
при \х\ > R, где R > 0 — некоторое число, Μ — соответствующий
минимальный оператор. Утверждается, что Μ самосопряжен.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 3.3 и
выглядит даже более простым, так как вместо теоремы 2.2 использует,
естественно, теорему 2.1 о повышении гладкости решения внутри области. Роль уг
сейчас играет сфера радиуса г с центром в 0. Щ
3. Выражения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим выражение
3! = 9?+ порядка г с постоянными коэффициентами в RN (Ν 6 Μ). В этом
случае минимальный оператор L всегда самосопряжен: если говорить не совсем
точно, то после преобразования Фурье такой оператор переходит в оператор
умножения, а он, согласно п. 1, самосопряжен.
Построим по 9? полином
* © = Σ α* (Φα «Фа=№Jai · · · (<ыа">
06 Υ=(ξχ, ..., 6*)glR"). (4.2)
Теорема 4.2. Минимальный оператор L, порожденный формально само-
сопряженным выражением (1.1) с постоянными коэффициентами, самосопря·
жен. Его спектр совпадает с замыканием множества значений полинома (4.2):
S(L) = {<?(l)\l£\RN}~.
Доказательство. Рассмотрим пространство Шварца cf? (IRN),
состоящее из функций (p£C°°(\RN), убывающих при |*|-»-оо вместе с каждой
производной быстрее, чем любая степень | χ \~η (ηζΗ) (см. § ΧΙ.3, § XIV.4).
Очевидно, (γφ£ # OR*') <= L2 (\RN)) :9?(p£L2 (jRN)t поэтому наряду с V можно
рассмотреть оператор в L2 (IR^) L2 (\RN) z> & (\RN)B <P !->Ζ/φ = ^φ€ L2 (\RN),
являющийся расширением Ζ/.
Как известно, С£° (IR^) плотно в <*? (IR^) в топологии этого пространства
(см. § XI.3). Напомним, что (Vq)£ci?(IR )) можно положить <ря (*) = Хл (*)X
Х<р(х)£С% (\Rn), где %λ (χ) — функция из С™ (\RN), равная 1 в окрестности 0
и аннулирующаяся при \х | > 1, а %п(х) = %Л (п~гх) (п£ N). Легко подсчитать,
что в топологии <^ (IR^) при п->оо φ„-»-φ, τ. е. ср„ является требуемой
аппроксимирующей последовательностью). Так как сходимость в $ (IR^) влечет
сходимость в L2(\RN), то из этой плотности вытекает равенство L" = V — L.
Напомним известные факты, приведенные в § XI.3. Рассмотрим прямое
преобразование Фурье <*? (IR^) Э ф (х) \-> φ (ξ) € $ (\RN). Оно непрерывно пере-
559

водит пространство $ (IR ) функций от χ во все пространство $ (IR^) функций
от ξ, обратное преобразование Фурье ^ действует аналогично. Преобразования
^ и Чх соответствующие пространства L2 (IR^) также унитарно переводят друг
в друга. Далее (Υφ£ <£ (IR*)) имеем: (^φ)^(ξ) = ^ (ξ) φ (ξ) (ξ£ IR^), где <2>(ξ)
имеет вид (4.2).
Поэтому унитарным образом L" оператора L" является оператор
умножения^ пространстве L2 (\RN) (по ξ) на полином 2? (ξ) с областью определения
В (£") = <*?(IR^). Этот оператор отличается от оператора умножения типа (4.1)
(является его некоторым сужением), но тем не менее легко доказывается
самосопряженность его замыкания. Так, пусть z£(D\IR, тогда ИЯ (L" — гЦ) =
= <§> (IR^) в силу^того, что для (Υφ £ Θ (IRN)): (9? (ξ) — ζ^φ (ξ) 6 # (IR^). Сле-
довательно, ffi,(L" — гй) плотно в L2(\RN) и поэтому (L") ~ самосопряжен. Но
(L") = (L") , откуда вытекает самосопряженность Z/= L.
Утверждение теоремы относительно спектра L вытекает из того, что при
г £ С функция IR^ Э ξ ι-+ (& (ξ) — ζ)"1£ С ограничена тогда и только тогда,
когда *g4*ffi)l6€IR"r· ■
Комбинируя эту теорему с теоремой 4.1, заключаем, что если 9?—
эллиптическое выражение второго порядка указанного в теореме 4.1 вида,
коэффициенты которого вне некоторого шара в DR^ становятся постоянными,
то соответствующий минимальный оператор L·1 самосопряжен. В
следующем пункте при помощи более сильных средств мы докажем, по существу,
гораздо более общую теорему.
4. Полуограниченные выражения. Теорема 4.3. Пусть 9? — формально
самосопряженное эллиптическое выражение (1.1) второго порядка,
коэффициенты которого аа 6 С2+^/2] (IR^) и вещественны. Предположим, что 9?
полуограничено снизу (на финитных функциях), а старшие коэффициенты аа(х),
| α | = 2, ограничены при χ 6 RN. Тогда минимальный оператор Lt
отвечающий £?, самосопряжен.
Поясним, что под полуограниченностью снизу выражения 9? понимается
выполнение неравенства: при некотором α £ DR
(^«. иК (в) > «II«111. «?> (»е с0~ or"» . (4.з)
Легко привести достаточные условия для коэффициентов 5",
обеспечивающие выполнение (4.3). Так, в важном случае, когда 3? — выражение Шре-
дингера с вещественнозначным потенциалом qt т. е.
(9?u)(x)=-(bu)(x) + q(x)u(x) (x£\RN), (4.4)
очевидно, достаточно требовать полуограниченности снизу самого
потенциала q, т. е. выполнение неравенства: (3 с 6 R) такое, что q (χ) > с (χ 6 R^)
(подчеркнем, что это условие лишь достаточное).
Согласно общей теореме 4.3, применительно к выражению Шредингера
нужно предполагать высокую гладкость потенциала: q 6 C2^N^ (\RN), одна-,
ко приводимое ниже доказательство в случае выражения Шредингера
подходит, если, например, q 6 С (RN). Ограничения гладкости могут быть
ослаблены и в случае общего 9?.
Доказательство теоремы. Оно основывается на двух
фактах: гиперболическом критерии самосопряженности в форме теоремы XIII.8.3
и классических результатах о разрешимости задачи Коши для
гиперболических уравнений (см. [68]).
Согласно этому критерию, для установления самосопряженности L
нужно рассмотреть задачу Коши для вектор-функции φ (t) со значениями в L2(RN)
(gE)W + ivW-o то. П. (4>5)
φ (Т) = φ0, φ' (Г) = Φι
660

и доказать, что существует плотное в L2 (\RN) линейное множество Φ та
кое, что для некоторого Ь > О при любых Τ 6 (О, Ь) и φ0, φχ 6 Φ задача
(4.5) имеет сильное решение. При этом требуется полуограниченность
эрмитова оператора L, но в нашем случае она предполагается — это условие (4.3).
Рассмотрим на [О, Т] (Т > 0) задачу Коши для гиперболического
уравнения
/я \ (4·6)
и (*, Т) = <р0, Щ (*, Τ) = Φι (φ0, φχ g С0~ (IR*)).
В силу упомянутых классических результатов теории уравнений с
частными производными задача (4.6) имеет решение и 6 С2 (\RN X [0, Г]), причем
это решение и (xt f) при каждом t 6 [0, Τ] финитно относительно χ
(вследствие конечной скорости распространения возмущения для (4.6)). Поэтому
u('yt) можно интерпретировать как вектор-функцию φ (t) со значениями
в L2 (RN), являющуюся сильным решением задачи Коши для (4.5) с Φ =
= Cg° (RN). Итак, имеется требуемая разрешимость (4.5). Оператор L
самосопряжен. Щ
Условия гладкости, налагаемые на коэффициенты 5", достаточны для
разрешимости (4.6) (они могут быть ослаблены для выражения Шредингера
указанным образом). Ограниченность старших коэффициентов 3!
обеспечивает (4.6), которая приводит к тому, что для финитных начальных данных
решение и (χ, ή для каждого t финитно по х. Условие ограниченности также
возможно ослабить — старшие коэффициенты 3? могут расти при | χ | -> оо,
и допускаемый характер роста можно указать.
5. Негладкий потенциал. В теоремах о самосопряженности L, которые
фигурировали выше, предполагается достаточная гладкость коэффициентов
&. Однако часто необходимо устанавливать самосопряженность, если
подобной гладкости нет. Приведем сейчас некоторые простейшие результаты,
касающиеся оператора L, порожденного выражением Шредингера (4.4) — т. н.
оператора Шредингера.
Первый из них совершенно элементарен и применим (это будет очевидно)
в ряде других случаев. Он основывается на элементарном замечании: если
в гильбертовом пространстве Η действует оператор А с плотной областью
определения и ограниченный оператор Bt то (А + В)* = А* + В* (теорема
XI 1.3.2). Поэтому если дополнительно А и- В самосопряжены, то А +
+ В (β (А + В) = В (А)) также самосопряжен.
Рассмотрим дифференциальное выражение Шредингера 9? (4.4) с вещест-
веннозначным потенциалом q, входящим в L2 локально (q £ L2 loc (IR^)), т. еч
ограничение q на любой шар из IR^ входит в L2 на этом шаре. В этом случае
обычное определение оператора Шредингера как минимального оператора L,
приведенное в п. 2, сохраняется, так как q(χ) и (χ) £ L2 (\RN) при u£Cl(\RN)
(Lf и L, разумеется, эрмитовы). Заметим, что условие q£L2 loc (IR^) является,
очевидно, и необходимым для такого определения минимального оператора.
Для выражения Лапласа &Ό = —Δ соответствующий минимальный
оператор L0 самосопряжен в L2 (RN) — это вытекает из теоремы 4.2. Пусть
q — в существенном ограниченная функция (т. е. (3 с >0): | q (χ) | < С почти
для всех Ar£IR^). Тогда q£L2 loc (IR^) и определение оператора Шредингера L
по (4.4) корректно. Но сейчас оператор L2 (\RN) Э f (x) /-*■ q (x) f (x) ζ L2 (\RN)
ограничен и самосопряжен, поэтому, в силу сказанного выше, L также
самосопряжен.
Перейдем к более сложной ситуации, основывающейся на применении
теоремы Реллиха — Като (теорема XIII. 10.1). Справедлива следующая
теорема.
561

Теорема 4.4. Пусть вещественнозначный локально суммируемый
с квадратом потенциал q 6 Lp (\RN), где ρ > N12. Тогда оператор Шредингера
самосопряжен.
При доказательстве этой теоремы будет использовано следующее
обобщение неравенства Гельдера. Пусть р, plt p2 6 [1, °о] таковы, что
тг^тг + тг- (4J)
Ρ Pi Ръ
Если /х£ LPlt f2 £ Lp2, то fx (χ) f2 (χ) g Lp и справедливо неравенство
II/i/.IIld<II/iIIlpJI/iIIlp, <4·8)
(здесь Lr — Lr(Rt ίΗ, φ), где μ — неотрицательная σ-конечная мера, заданная
~на σ-алгебре !Н множеств пространства R).
В самом деле, на основании обычного неравенства Гельдера, примененного
к I /i (x) \р и | /2 (х) \р, имеем
п /i/2 Hlp = (J ι /ι м /2 м ρ φ μ)1//7 <
<[(Jl/iMlw»p-1^w)P/Plx
x(J IU W Ι"^' Φ м)1'^']l/P= II /ι H*Pl II/. Hw (4.9)
Здесь 1 = (ргР"1)"1 + ((ΡιΡ^1)'V1 — обычная связь между исходным
показателем Ρι/Γ^Π, ©о] и ему сопряженным (ΡιΡ~1)''. В (4,9) использовано легко
проверяемое соотношение ρ (ΡχΡ-1)' = р2. Ш
Отметим, что последовательно применяя (4.8), нетрудно получить и
следующее его обобщение. Пусть plt . .. ,. рп, pgfl, оо] таковы, что р"1 =
= р~1 + . .. + ρ'1 (п = 2, 3, ...). Если fi^LPl, . .. , /„g L%, то /х . . . /„g
gLp и справедливо неравенство
Hfi.../nlli<,<ll/illtft...ll/»llLPn· (4-Ю)
Кроме того, мы будем пользоваться следующим неравенством Хаусдор-
фа — Юнга (см., например, [73]). Рассмотрим преобразование Фурье $ (RN) Э
Э f (χ) |_)" f (Ό 6 $ (К^)· Для ρ 6 [2, оо] справедливо неравенство,
обобщающее равенство Парсеваля в случае ρ = 2:
m^m<wN'^^\\?\\v^ (4Л1)
(Ρ^ + ίρΤ^ι. /etfflR")).
Доказательство теоремы. Как уже отмечалось, мы будем
пользоваться теоремой XIII. 10.1, беря в качестве А оператор L0,
порожденный выражением Лапласа &0 = —Δ» а в качестве θ — оператор умножения
на потенциал q. Докажем, что В бесконечно мал по сравнению с L0 в смысле
§ XIII. 10, т. е. (γα > 0) (£Ь = Ь (а) > 0) такое, что
11 If HLi (IR^ < β И V llL2 m + b"f HL2 <,r"> (4Л2)
(/g^(i?a)S^(B)).
Это влечет самосопряженность L.
Для доказательства (4.12) произведем следующие оценки. Пусть / 6
6 <*? (\RN). Выберем α таким, чтобы 1/2= lip + 1/a. Используя (4.8) при
562

ρ = 2, рг = ρ и р2 = α и затем (4.11) (сейчас α > 2), получим для
фиксированного t > О
1+ίΐξ|2?(ΐ)
^ m <
1 + *Ш2
<4ill(i + i|6l,)nllLMRA,)ll(i + 'l6l1)/\(RAr)
(Cl = (Ця)1"*-»'*, ca = Cl || q \\Lp). (4.13)
Поясним, что здесь мы вторично применили неравенство (4.8), полагая
в нем ρ = α', рх = ρ, р2 = 2 (так как 2"1 = /Г1 + а"1, 1 = а"* + (а')"1, то
(а')"1 = /Г1 + 2"1, и поэтому соотношение (4.7) выполнено).
Делая в выражении нормы || (1 +t | ξ I2)"1 || ,rN через интеграл замену
переменных ξ = /Γη, получим ΓΝ/2ρ || (1 + | η I2)"1 HLp (|RiVj = ^/2/7с3 (функ-
ция (1 + |η l2)"1^ LP(\RN) благодаря требованию p>N/2). Подставляя это
выражение для нормы в (4.13) и пользуясь равенством Парсеваля, продолжим
оценку (4.13) следующим образом:
II «/ II,, (IRW) < W""'2' и ((. - ,Δ)/)ΊΙ£ι m =
= c2c3rN<2» || (1 - Щ f И LAiRN) < Cicsi-N/2p (|| f \\Lt (|RW) +
+< iiд/ К т >=<w(2p-")/2' ii ши т+
+ ^ο3ΓΝ'2"\\ί\\^{]κΝ). (4.14)
Беря в (4.14) t > О достаточно малым, придем к (4.12) на функциях
f 6 $ (R^) (так как 2р — W > 0). Далее, строя замыкание L0 с его сужения
на # (IR^) посредством предельного перехода в (4.12), заключаем, что @ (В) э
э В (L0) и (4.12) имеет место. ■
6. Оператор Шредингера как форм-сумма. Как отмечалось выше,
требование q 6 L2 ]0C (IR^O при сопоставлении выражению (4.4) минимального
оператора L является необходимым. Вместе с тем приходится рассматривать
выражения Шредингера с более сингулярным потенциалом q, не входящим
в L2 loc (IR^). В этом случае возникает проблема реализации выражения
(4.4) («формального оператора») как некоторого самосопряженного оператора
в пространстве L2(RN). Иногда это можно сделать с помощью теории полу-
ограниченных билинейных форм, развитой в § XIV.8. Проиллюстрируем на
простом примере, как такую реализацию можно произвести с помощью
КЛМН-теоремы (теорема XIV.8.4).
Рассмотрим в IR3 выражение Шредингера с сингулярным потенциалом
<7(*) = 1--J_, a>0. (4.15)
\х\а
Для включения q £ L2 joc (IR8) нужно предполагать, что a < 3/2, однако
представляет также интерес случай, когда a £[3/2, 2) и q$L2 ioc (IR3). Сейчас
поступаем следующим образом
563

Обозначим через С™0 (IR3) совокупность функций из Cq (IR3), каждая из
которых аннулируется в некоторой окрестности 0. Рассмотрим билинейную
форму
С% о (IR3) X С0" о (IR3) Э (/, g) ι-» a(f9g) = ((-Δ + fl) /, g)Li (|R3) =
3
= ί(Σ (ZV>w (^^Tw+zw ?w) ^ б с
IR3 /=1
Эта форма, очевидно, положительна и замыкаема, пусть α — ее замыкание.
Наряду сЪ рассмотрим эрмитову неположительную билинейную форму,
определяемую равенством
С% о (IR3) X С0~ о (IR3) 3 (/, g) i-> Ь' (/, g) =
J ι*ια
IR»
Форма Ь' подчинена а в смысле (8.19) гл. XIV: (Υρ>0) (3? = q (ρ) >0)
такое, что
1*'(Л f)\<pa(f, f)+qb'(f9 f) (/£C0~0(IR3)). (4.16)
В самом деле, предлагаем читателю доказать следующее неравенство
(для доказательства нужно перейти к сферическим координатам):
з
ί-4ϊ^ι,Μ|1Λ<ί(Σι№/ΛΜ|1)Λ
IR8 IR3 /=1
(/€C0~0(IR3)). (4.17)
Зафиксируем α £ [3/2, 2), (Υρ > 0) (3ε > 0) такое, что при | χ |< ε \χ |~"α <:
<ρ(4| λ: Ι2)"1. Учитывая эту оценку и (4.17), получим
(V/€C0~0(IR3)):|6'[/]|=J-^r|/(x)|2^ =
f(x)\*dx +
IR»
1
" ί ••■+ ί -«' ί "Ϊ|.Ι
{U|<8} {l*/>8} {Ul<8}
+ 1 Γ ι/Μΐ»^<ρα[/]+Ιιι/ιι|β(κν
ε2
{Ι *ί>ε}
Итак, (4.16) установлено. Переходя в (4.16) к пределу, распространим
это неравенство на / 6 ® (я), причем в нем а заменится на а, а Ъ'— на форму
by получающуюся из Ь' продолжением по непрерывности. В результате
получаем неравенство вида (8.19) гл. XIV, достаточное для применения
теоремы XIV.8.4. Согласно этой теореме, форма а + b полуограничена и замкнута
и поэтому применима теорема XIV.8.4, сопоставляющая а + b некоторый
самосопряженный оператор А. Этот оператор и считается отвечающим
выражению Шредингера (4.4) с потенциалом (4.15). Он связан с Δ и q
соотношением типа (8.23) гл. XIV.
Теория билинейных форм в ряде случаев позволяет сопоставлять
выражению Шредингера оператор даже в том случае, когда роль потенциала q
играет обобщенная функция (такие ситуации достаточно типичны, например,
для квантовой теории поля). Поясним сказанное на простейшем примере
564

оператора Шредингера с δ-образным потенциалом в случае N= 1. Мы будем
пользоваться схемой § XIV.8, п. 4.
В пространстве L2 (IR) рассмотрим самосопряженный по теореме 4.2
минимальный оператор А = L, порожденный дифференциальным выражением
(S?u) (χ) => — и" (χ) + и (χ) (χ £ IR). Построим по нему форму a (f, g) = (Af,
£)l, (IR) (/» 8$Я(А)), пусть α —ее замыкание. Согласно сказанному в § XIV.8,
п. 4, Н+ = В (а) = В (Л1/2) = W\ (IR) с: С (IR) (последнее заключаем на
основании теоремы вложения, см. § XIV.4). Определим оператор Я+ Э W\ (IR) Э и ι-*-
>-»- «^φ = φ (0) δ0 ζ W£~l (IR) = #_ (δ0 — δ-функция, сосредоточенная в 0, «# ζ
ζ&(Η+, Η_) и неотрицателен относительно Я0).
Нетрудно убедиться, что отвечающая S9 форма Ъ удовлетворяет оценке
(8.22) гл. XIV со сколь угодно малым ρ £ (0, 1) и некоторым q = q (ρ) ζ [0, οο).
В самом деле, благодаря теореме вложения (Я^€(0> °°)) (Υ" €^0°° (IR)):
I и (0) I < с || и || , < с || и || - β
-=*fll^HLi(IR) + IHIli,(IR))1/2·
Заменим в этом неравенстве и (х) на иг (х) — и (εχ) ζ С£° (IR) (ε£ (0, оо)). Тогда
после дифференцирования и замены переменных εχ = у получим
| и (0) | = | «, (0) | < с (ε || «'|l£a (|R) + ε"11| и |||, (IR))1/2.
Это неравенство приводит к (8.22) гл. XIV со сколь угодно малым ρ ζ (0, 1)
и поэтому форм-сумма А -\- В определена. Для нее можно писать соотношение
(8.23) гл. XIV, показывающее, что в точке 0 происходит компенсация
особенности оператора $ посредством особенности ^.
Построенный оператор А 4· В можно понимать как операторную
реализацию дифференциального выражения — и" + и + 60и. Сейчас
существенна была одномерность оператора Шредингера — в случае большего числа
измерений нет требуемой теоремы вложения. Подчеркнем также, что В = 0 на
Я (В) = {φ 6 W\ (R) I φ (0) = 0}.
§ 5. Разложение по собственным функциям
и функция Грина эллиптических
дифференциальных операторов
1. Обобщенные собственные функции дифференциального оператора.
Если самосопряженный оператор А = L (гр) порожден эллиптическим
дифференциальным выражением & и нулевыми граничными условиями в
ограниченной области G, то, согласно теореме 3.2, его спектр состоит из
последовательности вещественных собственных значений с конечномерными
собственными подпространствами. Тогда разложение по собственным функциям
(векторам) этого оператора, очевидно, записывается в виде формул (1), (2) гл.
XIII, в которых только сумма по k бесконечна.
Однако в случае появления недискретного спектра (неограниченная
область G, неэллиптическое 5", более сложные граничные условия) ситуация
усложняется и для построения разложений нужно пользоваться общей
схемой гл. XV.
Рассмотрим общий случай формально самосопряженного
дифференциального выражения 5? порядка г (1.1) во всем пространстве JRN с бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами: аа 6 С°° (RN). Предположим, что
соответствующий минимальный оператор L самосопряжен. Для построения разложе-
565

ния по его обобщенным собственным функциям сейчас можно рассмотреть
ядерное оснащение пространства L2 (IR^) вида
Φ' = 0' (\RN) э L2 (RN) = tf0 э 9 (RN) = Φ, (5.1)
где 0 (IR ) = C^ (IR ) — классическое пространство основных функций. Оно
ядерно согласно теореме XIV. 4.6; цепочка (5.1) стандартно связана с оператором
I, так как (V и £ C£ (\RN)) :&u£C™ (RN), и отображение & (\RN) } и !->■ & и £
€^(R ) непрерывно. Теперь к оператору L и цепочке (5.1) можно применить
общие факты о разложениях, изложенные в § XV. 2. По существу, никаких
особых упрощений по сравнению с общей ситуацией гл. XV сейчас не будет.
Если коэффициенты αα выражения 2! не являются бесконечно
дифференцируемыми, то вместо ядерной цепочки (5.1) нужно применять должным
образом построенную квазиядерную цепочку. Так, если (Η Ιζ № : /> Ν/2) такое, что
(V<х):аа£С* (\RN), то в качестве цепочки можно взять
Я_ = Щ1 (RN, ρ (χ) dx) => L2 (RN) = H0 э H+ = Wl2 (\RN), ρ (χ) dx) э
э 0 (IR*) = Dt (5.2)
где вес ρ £Cl (IR ) настолько быстро растет к+ оо при | χ |-> оо, чтобы
вложение W2 (JRNt ρ (χ) dx) s L2 (RN) было квазиядерным (возможность такого
выбора обеспечивает теорема XIV. 4.3). В (5.2) & (\RN) плотно и непрерывно
вложено в W[ (RNt p(x)dx), отображение 0 (RN)3u\^2?u £Wl2 (RN, pxdx)
также непрерывно. Таким образом, квазиядерная цепочка (5.2) и оператор L
стандартно связаны. Сейчас опять можно применить общие факты о
разложениях, изложенные в § XV. 2.
Если коэффициенты 3? менее гладкие, чем сейчас указано, то построение,
аналога цепочки (5.2) более сложное и на нем мы не останавливаемся.
Если 5? рассматривается в области G a IR (ограниченной или нет) с
границей dGt то вместо пространства В (IR*) в цепочках (5.1), (5.2) можно
рассматривать множество С~ (G), топологизированное должным образом, а
позитивное пространство Н+ в (5.2) заменяется, естественно, на W2 (G, ρ (χ) dx) с
так подобранным весом р, чтобы вложение Н+ ^ Н0 было квазиядерным.
Однако для учега влияния граничного условия D в (5.2) нужно подбирать
более тонко. Поясним это для выражения второго порядка и нулевых
граничных условий. Пусть аа£С1 (δ) (|α|<2), где / > Ν/2. В качестве Я+ берем
подпространство W\ (G, гр, p(x)dx) аннулирующихся на dG функций из
указанного сейчас Wl2 (G, p(x)dx), а в качестве D—-класс Cl^~2 (δ, гр),
составленный из всех функций из С1^2 (IR*), суженных на δ и принимающих на
dG нулевые значения. Он топологизируется следующим образом: С1^~2 (δ, гр) Э
Эип-*~и ζ С10~*~2 (G, гр) при я->оо, если все ип аннулируются вне некоторого
достаточно большого шара и сходимость их к и на этом шаре равномерная
вместе с производными до порядка / + 2 включительно (легко построить
топологию, отвечающую этой сходимости). Ясно, что сейчас D s H+ плотно и
непрерывно и отображение С10+2 (δ, гр)Э" /-*■ &u£W2 (G, гр, p(x)dx)
непрерывно. Таким образом, в качестве квазиядерной цепочки, стандартно
связанной с L (гр), можно принять
Нш=*ХГ£г (G, гр,р(*) Л)аЯ0 = L2 (0)эЯ+ = ^ (G, гр, p(x)dx)=>
2CJ+2 (G, гр) = Д (5.3)
566

где W2 (G, rp, p(x)dx) обозначает соответствующее негативное пространство.
Выбор цепочки (5.1) — (5.3), пригодной для построения разложений по
обобщенным собственным функциям оператора L или L (гр), разумеется,
неоднозначен. В связи с этим лишь заметим, что цепочка (5.3) в случае G =
= \RNt когда D = Cl0+2 (G), годится для разложения оператора L (она
отличается от (5.2) пространством D).
Общие результаты по теории разложений существенно упрощаются в
случае эллиптических выражений 3?. Это связано с теоремами о локальном
повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений,
изложенными для г = 2 в § 2. Поясним сказанное. Пусть 3? — формально
самосопряженное эллиптическое выражение второго порядка в |R^, L —
соответствующий минимальный оператор в L2 (R ), который предполагается
самосопряженным. Как только что говорилось, для разложения по обобщенным
собственным функциям оператора L пригодна цепочка (частный случай (5.3))
Я. = W-ς1 Or*, ρ (χ) dx) э H0 = L2 (И?*) а^ = У| (ir* , ρ (χ) dx) a
^+2(|R*0=D. (5.4)
Обобщенная собственная функция <p£W^~l (R , ρ (χ) dx) оператора L,
отвечающая собственному значению λ, согласно (2.2) гл. XV и виду (5.4)
цепочки, удовлетворяет соотношению
(Ф- ^иК (R*, = λ (φ, «)tl (R«, (и 6 C'0+2 OR")). (5.5)
Иными словами, φ является обобщенным решением в эллиптического
уравнения (9?—λ-fl.) φ = 0 и, согласно теореме 2.1 (см. также замечание 2.2),
будет гладкой функцией. Степень ее гладкости определяется степенью
гладкости коэффициентов аа выражения 9? (сейчас / = 0£С°° (IR^)). Так, если aag
£С/а| + / (|Rtfj (|а|<2), то φζ^^ (lRA'),T.e.Y χ g С%> (R^)
произведение %φ£Ψι+2(№Ν) и, следовательно, по теоремам вложения φ£
Аналогичная ситуация будет в случае замены R^ на область G
(ограниченную или нет) с границей до, на которой заданы нулевые граничные
условия (гр). Сейчас рассматривается соответствующий оператор А = L (гр)
(который предполагается самосопряженным), он, как уже говорилось,
стандартно связан с квазиядерной цепочкой (5.3). Определение обобщенной
собственной функции q>g №£"' (G, гр, ρ (χ) dx), отвечающей λ, будет иметь
вид соотношения (5.5), в котором и пробегает С1^2 (G, гр). Применяя вместо
теоремы 2.1 теорему 2.2 о локальном повышении гладкости до границы
области, заключаем, что φ — гладкая функция, аннулирующаяся на dG. Если aag
С /<* / +1 QRN) (| α | < 2) и граница dG g С2+', то φ g W^0G (G, гр), т. е. (V χ g
CJ° (IR^)) произведение (χ [ G) φ g Wl+2 (G) и, следовательно, <pg
φ f dG = 0.
Подчеркнем, что приведенные ограничения гладкости завышены. Ясно
также, что при фиксированных цепочках (5.4) или (5.3) чем глаже
коэффициенты αα, тем глаже и φ.
В целом можно резюмировать, что в случае оператора L или L (гр),
порожденного эллиптическим дифференциальным выражением и «хорошими»
граничными условиями, обобщенные собственные функции будут гладкими
функциями, удовлетворяющими этим граничным условиям.
Аналогичная ситуация возникает для обыкновенных
дифференциальных выражений (ее мы коснемся в § 6), а также для некоторых специальных
неэллиптических выражений (в частности, для класса т. н. гипоэллиптиче-
ских выражений, для которых имеется аналог теорем о повышении
гладкости).
567

Таким образом, для самосопряженных операторов L и L (гр),
порожденных эллиптическими 9?, теория разложений, развитая в § XV.2, упрощается
в том отношении, что обобщенные собственные функции становятся обычными
гладкими функциями, удовлетворяющими (гр). Полезно привести другой
вариант изложения этой ситуации — доказать, что операторы L, L (гр) —
карлемановские, и применить общие результаты § XV.4. Эти результаты
дают более полную картину разложений в эллиптическом случае. Такое
изложение мы приведем в п. 3.
2. Функция Грина (ядро резольвенты). Предварительно полезно
выяснить характер резольвенты эллиптического оператора (т. е. оператора,
порожденного эллиптическим 9? и «эллиптическими» (гр), например нулевыми при
г =2). Мы это сначала сделаем в случае 9? во всем JRN (и, разумеется, в силу
§2 — только в случае выражений второго порядка).
Итак, пусть & — эллиптическое формально самосопряженное
выражение в второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами, L —
соответствующий минимальный оператор, который предполагается
самосопряженным. Его резольвента Rz = (L — гЦ.)"1» где г невещественно или, более
общо, лежит вне спектра 5 (L) оператора L, является ограниченным
оператором в L2 (\RN). Поэтому к Rz применима теорема о ядре в форме теоремы
XIV.6.3 и замечания XIV.6.2.
Так, рассмотрим цепочку
Н_ = W? Or", ρ (χ) dx) => #0 = L2 (\RN) эЯ+ = ^ (R*,
P(x)dx)f (5,6)
где / > N/2, а вес р выбран таким, чтобы вложение Н+ s HQ было
квазиядерным; в пространствах цепочки определена инволюция L2 (JRN) Э / (х) \ ->■ / (χ)£
€ L2 (RN). Для билинейной формы оператора Rz справедливо представление
(6.23) гл. XIV:
(Я* "» v)l2 OR*) = (Γζ> ? W И5))г,8 (|R2tf,
(и, υζψι2 (\RN, p(x)dx)), (5.7)
где Tz$(W£l <JRN, p(x)dx)) ® (W£l (\RN\ p(x)dx)). Поясним, что мы здесь
приняли во внимание равенства L2 (\RN) <&L2(\RN) = L2 (\R2N), (f ® g) (x, y) =
~f(*)g(y) V. g^L2(\RN))
Обобщенное ядро Yz (z%S (L)) называется ядром резольвенты или
функцией Грина оператора L. Удобно писать переменные, по которым эта
обобщенная функция действует: Г2 = Гг (х, у). Тогда в несколько формальной записи
соотношение (5.7) принимает вид
(Rz»>v)L2(RN)= ) ) Yz(x,y)u(y)W) dxdy. (5.8)
IrW \Rn
Сейчас мы увидим, что формула (5.8) имеет и более точный смысл.
Предварительно убедимся, что Г2 можно понимать как элемент
негативного Соболевского пространства относительно переменных х, у £ IR^.
Лемма 5. /. Справедливы следующие вложения:
W^21 (R2N, ρ (χ) ρ (φ dxdy) э (WT1 (R*. Ρ Μ dx)) ®
® {Щ1 (RN, ρ (y) dy)) э L2 (R2N) э (Wl2 (\RN, ρ (χ) dx)) ® (Wl2 (RN, ρ (у) dy))a
aWf (R2N, ρ (χ) ρ (у) dxdy), (5.9)
где ΙζΖ+, ρ ζ С (\RN) —некоторый неотрицательный вес, В (5.9) каждое
пространство плотно в левее его стоящем и непрерывно в него вложено*
568

Доказательство . Обозначим Ях = Wl2(\RN, р(х) dx), Я2 *= ψ\ι (IR2^
Ρ (х) Ρ (υ) dxdy). Очевидно, достаточно доказать, что Н2^Н1(^) Ях непрерывно
и плотно. Пусть г/у, vj£C™ №Ν) (/= 1» · · · > я)> положим
α (χ, у) = Σ И/ (*) о, (у) ζ C~ (\R2N) (x9 y£\RN). (5.10)
Имеем
п п (
/,A=1 /,*=.! lal</ \RN
(D^uk){x)P(x)dx)(J^J{Dlvi)(y)
X
ΙβΚ/ IR^
X Pg *л)(0Р(0 * = Σ Σ J (D* и,) (*) (Dj оу)(у)Х
/,fc-l /a|. Oj</IR2^V * '
X (^«ЙМО^ШР (x) ρ (у) dxdy = Σ Σ i (D2 ^ "/) W X
* /,Ы /a|, №<l\R™
X try (у)) (Dj D* uk (x) vk (y)) ρ (χ) ρ (у) dxdy = Σ (D« d£ «,
D?0^)Ln^)<lv|S/liD^"l|2L2(IR^ (5Л1)
(здесь, как обычно, DXt Dy, Ώχ^ обозначают производные по χ, у и а:, у).
Функции вида (5.10) при изменяющихся и-, ν, и ηζΝ пробегают множество,
плотное в Н1®Н1 и в Яа, поэтому из неравенства (5.11) следует вложение
Яа ξ Ях ® Ях и его непрерывность. Ясно также, что Я2 плотно в Нг ® Ях, |
Из леммы 5.1 вытекает включение
Г2 ζ (WT' (R*. Ρ (*) ΛΟ ® (^^ №Ν> Ρ Μ <**)) =
sU?72' (°^' ρ (χ) ρ (υ) dxdy)
(z$S(L)). (5.12)
По рассматриваемому эллиптическому выражению .2* второго порядка,
действующему на функции и (х) (x£\RN), построим «сдвоенное» выражение Л,
действующее на функции и (х, у) по закону
(Л и) (х, у) = (&х и) (х, у) + (ЗГУ и) (х, у) (х, у ζ ΚΝ)Λ (5.13)
Для старшей части Л0 выражения Л имеем (Л0 и) (х, у) = (5*0 и) (#,
y) + (£Ot уи) (х, у) и поэтому, заменяя DJ и D^ в ^0 на ξα и η Ρ (ξ, η £
£]RN) соответственно, найдем //0 ((ξ,η» = ^0, χ (5) + -2'о, # (л)· Поскольку
&о (?) < 0 и равно 0 лишь когда ξ = 0 (условие эллиптичности, см. (1.2)), то и
^о ((ξ. η» < 0 и ^о ((?» Л» = 0 лишь в случае (ξ, η) = 0. Таким образом,
Л—формально самосопряженное эллиптическое выражение рассматриваемого
в § 2 типа, заданное в IR2;v.
Лемма 5.2. Пусть 3? — формально самосопряженное эллиптическое
выражение второго порядка в \RNt коэффициенты которого аа 6 С21 (\RN) (I >
> Ν/2). Предположим, что соответствующий минимальный оператор L са-
19 9*2?7 569

носопряжен в L2 (|R^). Тогда отвечающая ему функция Грина Тг удовлетворяет
соотношению
(Г2, (JC — 2гЦ) и), (|R2A0 = 2 J и (χ, χ) dx (и (х, у) £
\RN
£C2l+2(R2N), zgS (I)). (5.14)
Доказательство. Равенство (5.14) достаточно доказать для
функций и вида и (х, у) = и г(х) vx (у), где ult v1 6 С2/+2 (\RN) : оно будет
справедливо и для линейных комбинаций таких функций, а такими
равномерно финитными линейными комбинациями можно аппроксимировать
в смысле С2/+2 (R2N) любую и$ C2l+2 ({R2N).
Учитывая (5.13), (5.7) и вещественность коэффициентов 5\ получим
(Γζ, (^r-254l)a1Mtr1to))Li(,R2A0 = (r„ ((**-И)М*))Х
X «Ί W)l, flR2") + (Γ*> "ι W (&y-ztt) ϋι (y)))Li aim =
- (Λ, vlt {2 - 5 fl) Wi)l2 <|r"> + «, (i?-iu)cilftti)Li (|Rjv, =
= (5lf /?; (L - ifl) "i)Lz (irJV> + (Rz (L - zu) ιζ, M1)Lf (IR^ =
:2(^4)L,(|R^) = 2 ί £-ад
^- ν') »1 (*) <**. ■
Равенство (5.14) показывает, что Γζ является обобщенным решением
некоторого эллиптического уравнения. В самом деле, снабдим С2/"**2 (IR2")
естественной топологией: ип-*-и в С2/+2 (IR2") при я->-оо, если ип равномерно
финитны и вместе со всеми своими производными порядка <: 2 / + 2 равномерно
сходятся к и. Определим теперь на Cf^2 (\R2N) антилинейный непрерывный
функционал Д («диагональ») посредством формулы
(Д, u)L% (R™} = J ΪΓ&Τχ) dx (и (*, у) (Ε C2l+2 (\R2N)). (5.15)
IR
Тогда в соответствии с § 2 соотношение (5.14) означает, что TZ£W^ (IR ,
ρ (χ) ρ (у) dxdy) является обобщенным решением внутри IR2" эллиптического
уравнения
(Jt— 2гЦ) и = 2Д. (5.16)
Из сказанного при помощи § 2 почти сразу получаем следующий
результат.
Теорема 5Л. Пусть 2 — формально самосопряженное эллиптическое
выражение второго порядка в IR^, коэффициенты которого йа £ С'а^+2/ (IR^)
(|а | < 2), где I > N/2 фиксировано. Предположим, что соответствующий
минимальный оператор L самосопряжен в L2 (IR ). Тогда отвечающая ему
функция Грина Υζ (ζ $ S (L)) вне диагонали у = {(х, у) £ \R2N \ χ = у} является
обычной функцией ΥΖ (χ, у), локально входящей в пространство
относительно переменной (х, у). При фиксированном значении одной из
переменных у или χ Γζ (χ, у) удовлетворяет уравнениям
(&х - HL) Vz (х9 у) = Ьу (у £ IR"), (SV - 2U) Γζ (χ, у) =
= δ, («glR*). (5.17)
570

Приведем необходимые пояснения к этой формулировке. Локальное
вхождение Т2 вне у в Wf+2 в духе определений § 2 означает, что для любой
обрезающей функции Х£С£° (IR2iV), аннулирующейся в окрестности диагонали γ,
произведение χΓζ£ Wf+2 (\RW). Далее, в первом из уравнений (5.17) 6У
обозначает δ-функцию, сосредоточенную в фиксированной точке у, а само это
уравнение означает выполнение равенства
(Г2 (х, у), (&Х—Ш) v)Lz {{RN) = vW
(v£Cl+2 (\RN), y£\RN). (5,18)
Если IR^ 3 x Φ #, то (&x — zH.) Τζ (х,у)=0. Аналогичный смысл имеет и
второе уравнение (5.17).
Доказательство. Обобщенная функция Д, как видно из формулы
(5.15), сосредоточена на диагонали у, поэтому вне у уравнение (5.16)
превращается в (JC — 2гЦ) и—О. Применяя к эллиптическому выражению Л — 2гЦ
в IR2A^\Y теорему 2.1, заключаем, что Tz локально входит вне у в Wf+2.
Для вывода первого из уравнений в (5.17) подставим в (5.7) вместо ν
функцию Ц&х — гй) ν) (*), где υζΟι0+2 (\RN). Получим
(Γζ, ((<?,- zu) υ) (χ) и~Щ)1й (IR2^ = {RzUt (L - zfl) v)L% (IR^ =
= (ttt Rz (L - zfl) v)Li (|R^ = (u9 o)l% (IR^ (u g ^ (|R"f /7 (*) <fc). (5.19)
Левую часть в (5.19) можно переписать в виде ((Γζ, (&х — гЦ) v(x))L (iR^,
и (y))L (|R^)» так как легко убедиться, что если А £ Н_ ® #_, то Y^c #+
существует вектор из #_, который обозначается (Л, t/)# и такой, что (Л, у ®
®и)н0®н0 = ((А> р)/у ц)я0 ("€#+)· В результате получим ((Γζ, (^ж —
—zu) 0 W)/v2(|R^), " (^/))/v2 (|R^) = ("» u)l2(I^)' откУДа в СИЛУ произвольности
следует первое неравенство в (5.18), что и требовалось доказать.
Аналогично выводится второе уравнение в (5.17). Щ
Замечание 5.1. Подчеркнем, что ситуация с гладкостью Τζ (χ, у) вне у
такова. Выберем сначала целое / > Ν/2, тогда если при некотором №Эт>2/
аос £ С,а'~*~т (IR^) (|а|<з2), το Υζ (χ, у) как обобщенная функция входит в
пространства (5.12) и вне у локально входит в W™~^2 по переменной (х, у).
Это легко увидеть из доказательства теоремы 5.1.
Характер обобщенности ядра Г2 (х, у) при χ = у определяется формулой
(5.12), где существует единственное требование на /: / > N12 (вес р,
разумеется, определяет лишь характер обобщенности на оо). Его можно описать
более точно, используя понятие фундаментального решения. Мы этого делать
не будем и приведем лишь результат. При \ χ — у \ достаточно малом
Г2 (х, У) = е2 (х, у) + Fz (χ, у), (5.20)
где ez (χ, ^ — фундаментальное решение для выражения 9? — гЦ, a Fz (x, у) —
гладкая функция точки (xt у). Отметим, что фундаментальное решение (а
значит, и Г2 (х, у)) имеет особенности вида \х — у \2~N при N > 2 и log | χ —
— у \ при N = 2. По поводу фундаментальных решений см, [9].
Равенство (5.20) доказывается достаточно просто: разность Tz (xt у) —
—ez (x> У) является обобщенным решением однородного уравнения
(Ji—2zQ) и = 0, так как справа δ-функции вычитаются. Затем применяется
теорема 2.1 о повышении гладкости.
19* 571

Из теоремы 5.1 вытекает, что формула (5.8) справедлива для функций
и, υ £ L2 (1R^), носители которых удалены на положительное расстояние.
Приведенный сейчас характер особенности ядра Γζ (χ, у) при χ = yf
следующий из (5.20), позволяет эту формулу писать и для большего запаса
функций и, v.
Остановимся теперь вкратце на ситуации, возникающей, если &
рассматривается в некоторой (ограниченной или нет) области G с: ir" с границей
dG, на которой заданы нулевые граничные условия. Пусть L (гр) —
соответствующий самосопряженный оператор в R2 (G), Rz(z$ S (L (гр)) — его
резольвента. Для нее можно повторить все сказанное выше, заменяя пространства
Wl2(\RN, ρ (χ) dx) на должным образом подобранные W\ (G, ρ (χ) dx) (см. в связи
с этим § XIV. 4).
Уравнение (5.16) сейчас будет рассматриваться в области G X G с границей
d(G X G) = (dG Χ δ) (J (δ X dG) и равенство (5.14), как легко проследить,
выполняется для функций и (х, у) £ С2/+2 (G X G), финитных на оо
аннулирующихся в окрестности U «углового множества» dG X dG и на остальной
части границы d(GxG). Таким образом, уравнение (5.16) сейчас
удовлетворяется вплоть до куска д (G X G) Г) (\R2N\U) границы области G X G, где
заданы нулевые граничные условия. Это позволяет вместо теоремы 2.1
применять теорему 2.2 о гладкости вплоть до границы и заключить, что сейчас
функция Грина Г2(лг, у) (х, у^Ъ, хфу) имеет прежний характер гладкости
и дополнительно удовлетворяет (гр): аннулируется, если по крайней мере
одна ив точек х, у лежит на dG. При этом нужно предполагать, что
dG(EC2/+2.
Отметим, что результаты, подобные изложенным выше в этом пункте,
справедливы для эллиптических выражений произвольного порядка и более
общих граничных условий — для тех ситуаций, когда справедливы аналоги
теорем § 1, 2.
В заключение приведем простой пример. Рассмотрим в IR3 выражение
Лапласа ^ = —Δ, соответствующий минимальный оператор L (оператор
Лапласа) будет самосопряжен в L2 (IR3) в силу теоремы 4.2, в силу этой же
теоремы 5 (L) = [0, оо). Функция Грина этого оператора имеет вид
Г* (*.У) = ^е \х^у\ (*.0€IR8. *ФУ\ *#[0, оо)). (5.21)
Этот факт доказывается следующим образом, пригодным и для других
дифференциальных выражений с постоянными коэффициентами в RN.
Применяется, как и при доказательстве теоремы 4.2, преобразование Фурье
££, которое переводит оператор L в оператор L умножения на функцию | ξ |2(ξ6
6 'R3) в пространстве L2 (IR3). Резольвентой оператора L служит оператор
умножения на (| ξ |2 — г)"1 (ζ ξ [0, + оо)). Совершая обратное
преобразование Фурье, приходим к формуле (5.21).
3. Карлемановость эллиптического оператора. Как уже говорилось
в п. 1, разложение по обобщенным собственным функциям эллиптических
операторов удобно строить, доказав предварительно карлемановость такого
оператора, а затем воспользоваться общими фактами о разложении для кар-
лемановских операторов (§ XV.4). Приведем соответствующие результаты,
как и для функции Грина, сначала в случае выражений в IR".
Мы докажем, что достаточно высокая степень R™ (ζ $ S (L) фиксировано)
резольвенты такого оператора L является интегральным карлемановским
оператором, т. е. для некоторого плотного множества функций / 6 L2 ((R^)
справедливо представление с измеримым ядром К (х, у)
(Я?/) Μ = J К (х. У) f (У) dy (x 6 IR"), (5.22)
IR^V
572

причем выполняется условие карлемановости в следующем виде:
£ \К(х, y)\2dx<dn< оо (\у\<п, ηζΝ). (5.23)
Роль плотного множества будут играть финитные функции / из L2 (IR^).
Теорема 5.2. Пусть & — формально самосопряженное эллиптическое
выражение второго порядка в \RN\ коэффициенты которого аа £ c'a,~*~2m—2 (IR^)
(| а| < 2), где № Э т > N/4 фиксировано. Предположим, что соответствующий
оператор L самосопряжен в L2 (\RN), пусть Rz(zg S (L))— его резольвента.
Тогда ее степень R™ (z(£S (L)) является интегральным карлемановским
оператором (5.22) с оценками (5.23) (и тем самым L — карлемановский
оператор) .
Доказательство. Будем проводить его по этапам.
1). Докажем, что (V/ £ L2 (\RN)): Rff ζ W%\oc (\RN). Обозначим /0=
= f, //+i = RJi = R!J € L2 (\RN) (/ = 0, . .. , m— 1). Функция //+1 является
обобщенным решением внутри IR^ уравнения ((2? — гй) и) (х) = f. (χ) (χ £\RN),
т. е. Cfv ζ Cl (\RN)): (//+1, (<? - И) o)l^rN) = (RJ,, {L -7Ц) v)L^N) = (/,,
v) N (/ = 0, ... , m—1). Поэтому последовательно применяя теорему 2.1,
заключаем: /0 ζ L2 (\RN)=*h £ W\% loc (IR*)-*/,€ W\9 loc (IR*)=» */m€
£ U?|mloc (IRN), что и требовалось доказать.
2). Зафиксируем ограниченную область G'1 cz IR с достаточно гладкой
границей. Утверждается, что (3^ι = сг (G') > 0):
IIЮ) 10' 11^,, < с, II / lltfjrat, (/ € i, OR"))· (5.24)
В самом деле, рассмотрим оператор Нг — L2 (\RN) Э f /->■ Af — (Rff) [ G' £
ζ ψψ1 ^') = Я2, отображающий все гильбертово пространство Нг в
гильбертово пространство Н2. Для таких операторов справедлива теорема Банаха
о замкнутом графике — в случае Н1 = Н2 это теорема XII.3.4, ее
доказательство без изменений переносится и на случай различных Hlf H2 (понятие
замкнутости обобщается очевидным образом).
Неравенство (5.24) означает ограниченность Л, поэтому для его
доказательства в силу этой теоремы достаточно установить замкнутость Л, т. е.
доказать, что если при л->оо H1^fn~^f и в #2 Afn-+g, то Af = g. Иными
словами, нужно проверить, что если /„->/bL2 (IR^) и (Rff) f G'->g в W22m(G')t
то (R™f) \ G' ■= g. Но это очевидно, так как в силу непрерывности оператора
F» в L2 (\R") Rffn -* R?f и, следовательно, (R™fn) \ G' -+ (R™f) \ G' в L2 (<?').
Итак, (5.24) справедливо.
3). Так как 2m>W/2, то, согласно теоремам вложения,
^f(G')c=C(G') и ||tt||C(3')<c»llllllir2«(G,)(tt6^(G/). C2 = c2(G')).
Поэтому отсюда и из (5.24) получаем
|(R?f) (χ) \<сг\\ (R?f) f О'\\ψ2ηί{αΊ <c3\\f \\la{rn) (χe G·, c3 = c3 (О'))· (5.25)
Зафиксируем x£G' и рассмотрим линейный функционал L2 (|R^) 3/ /-*■
'-* ^ (/) = (Я™/) W € ©· В СИЛУ (5.25) он корректно определен и непрерывен,
причем || 1Х || < св. Поэтому по теореме Рисса он допускает представление
573

Ιχ (/) = (/> A*)Lt(|Rtf, (^ΜΛ W hx£L2(iRN) и IIM,tiRtf,==||'*l|<
< c3. Иными словами, имеем
COM- \hx!F)f(y)dy, J |Л,(у)|«^<
IR# |RW
< cj = 4 (G') (/ ^ L2 (R^)f * ζ G'). (5.26)
4). Если вместо G' взять ограниченную область G" zd G't то для нее также
справедливо представление (5.26) с новой функцией hx (у), которая в силу
однозначности при ее построении совпадает со старой функцией для χ ζ δ'.
Беря последовательность шаров с центрами в 0 радиуса η и применяя к
каждому из них описанную конструкцию, построим функцию hx (у) (х, у £\RN)
такую, что
(О (х) = J hx (у) f (у) dy (f ζ I, (0?"), χ ζ \R\
£ \hx(y)\idy<dn (| χ | <: η; η ζ Ν). (5.27)
IR"
5). Сейчас удобно переписать (5.27), заменив г, /, х, у соответственно на
г, g, у, х. В результате получим
<*?«) (У) = J Μ*) 8 Μ dx (g£L2 (\RN), y£\R%
j | hy (x) |2 dx < d„ (I у | <: /ι; η ζ N). (5.28)
Введем ядро /f (χ, у), полагая К (х, у) = hy (χ) (χ, y£lRN). Тогда (5.28)
(R~g) (У) = J №7) ЙТ Μ dx (g ζ L2 (\RN), у ζ JR%
\RN
J J \K (x,y)\2dxdy <oo (5.29)
RJVO'
для любой ограниченной области О' с: 0?^.
Пусть ftmJR") и финитна, g£L2(RN). С помощью (5.29) получаем
IR* |R*
= J ( J К (x, У) f (V) dy)T@jdx (5.30)
IRtf IR^
(здесь можно было поменять порядок интегрирования благодаря последнему
соотношению в (5.29) и финитности /). В силу произвольности g из (5.30)
следует представление (5.22) для финитных / 6 L2 (\RN). Так как К (х, у) =
— hy (χ), то неравенство в (5.28) обеспечивает выполнение (5.23). Щ
Итак, эллиптический оператор L, фигурирующий в теореме 5.2,
является карлемановским, и для построения разложений по его обобщенным
собственным функциям можно пользоваться теорией разложений для карлема-
новских операторов. Нет надобности повторять соответствующие общие фак-
574

ты § XV.4 применительно к L. Отметим лишь, что в силу (5.23) вес ρ можно
выбрать ограниченным в каждой ограниченной области RN. Это следует из
доказательства теоремы XV.4.3.
Отметим лишь, что обобщенная собственная функция φ оператора L,
отвечающая собственному числу λ, является гладким решением уравнения
(5"φ) (χ) = λφ (χ) (χ 6 ,RiV) и ее обобщенность состоит лишь в том, что она
входит не в L2 (^N), а в L2 (IRN, ρ"1 (χ) dx), где ρ (χ) > 1 —достаточно
быстро растущий при | χ |-> оо вес. Тем самым она может расти при | х\ ->■ оо.
Характер ее роста может быть оценен. Мы на этом останавливаться не будем
и лишь заметим, что из доказательства теоремы XV.4.3 следует связь между
ростом веса ρ и поведением ядра К в представлении (5.22) (требуемый
характер его поведения может быть выяснен). Степень гладкости φ определяется
степенью гладкости коэффициентов 3? и описана в п. 1.
Спектральное ядро Ρ (χ, у; λ) (ядро оператора Ρ (λ) обобщенного
проектирования, см. (4.9) гл. XV) играет существенную роль в спектральных
задачах для эллиптических операторов и мы остановимся на нем несколько
подробнее.
Теорема 5*3. Пусть выполнены условия теоремы 5.2. Тогда
спектральное ядро Ρ (χ, у; λ) оператора L при фиксированном λ как функция точки
(х, у) 6 R2N локально входит в пространство ψψ1 и при фиксированном
значении одной из переменных у или χ удовлетворяет уравнениям
&ХР (*, У\ λ) = λΡ (χ, у; λ) (x£RN)f
<?уР (χ, у; λ) = λΡ (χ, у; λ) (у ζ \RN). (5.31)
Доказательство. Функция Ρ(·, ·; λ) £ L2> loc (RM) в силу (4.10)
гл. XV. Нетрудно показать, что она является обобщенным решением внутри
IR27V уравнения
(<Ж —2Яй)и = 0, (5.32)
где JC — эллиптическое дифференциальное выражение (5.13).
В самом деле, требуется доказать, что (V« € С\ (IR2Ar)) выполняется
равенство
(Р, (Л - 2λΛ) n)Li(|RlW) = °> (5.33)
где действие Ρ на функцию из С0 (R2N)9 разумеется, задается интегралом по R2N.
Соотношение (5.33) достаточно установить для функций и вида и (х, у) =
= u1(x)v1(y)t где и19 Уг£С1 (RN)9 так как линейными комбинациями таких
функций можно аппроксимировать в смысле С2 (R2N) любую и £ С\ (IR2;v). Для
этих и имеем:
(Р, (Л - 2λΛ) иг (х) v± (y))Lt(R2N) = (р> (*χ- λ^) "ι (*) *ι (У))Ьй(Ящ +
+ (P,u1(x)(*y-XJbO1(y)) W)= J Ρ (χ, у; λ) χ
\R2N
x((s?x — K{L)l^))43y)dxdy+ J Ρ (у, χ\ λ)Έ^ή ((2Μ -λΛ) όχ (у)) χ
lR2N
Xdxdy = (Ρ (λ) ϋΐ9 (L -λΐί) tti)L>(|RjV) + ({L - λΛ) £, Ρ (λ) a1)L (|RiV = 0.
(5.34)
Здесь мы воспользовались вещественностью коэффициентов 29
эрмитово стыо ядра Ρ (х9 у; λ), равенством (4.9) гл. XV и тем, что έί (Ρ (λ)) состоит
из обобщенных собственных векторов оператора L, отвечающих λ.
575

Итак, Р — обобщенное решение внутри \R2N уравнения (5.32) и поэтому,
согласно теореме 2.1, входит в W^l0G (>R2/V).
Первое равенство (5.31) следует из соотношения
£ Ρ (*. У\ λ) ((&χ - λ£) «! (χ)) U^Jy) dx dy =
= (Ρ (λ) Tl9 (L - Xfl) tti)L>(|RjV) = 0, (5.35)
которое фигурировало в (5.34). В (5.35) Ρ (·, ·; λ) по доказанному
достаточно гладкое, а %, υχ — произвольные из С% (\RN), что дает: (&х — λϋ)Ρ (χ,
у; λ) = 0. Аналогично получаем и второе равенство в (5.31). Щ
Рассмотрим теперь ситуацию, когда прежнего вида дифференциальное
выражение S? определено в (ограниченной или нет) области G с JRN с
границей dG, где заданы, например, нулевые граничные условия (гр). Пусть L(rp)—
соответствующий оператор, который предполагается самосопряженным,Rz (z g
@ S (L (гр))) — его резольвента. Аналог теоремы 5.2 сейчас выглядит
следующим образом.
Теорема 5.4. Пусть выражение 3?, удовлетворяющее условиям теоремы
5.2, задано в области G с ^N с границей dG 6 С2т. Тогда при т > N/4
существует измеримое ядро К (х, у) такое, что
(R^f)(x) = ^K(xty)f(y)dy (x£G),
G
£ \К(х, y)\2dx<szdn<oo (y$Gt \y\<n9 n£N) (5.36)
G
для произвольной f 6 L2 (G), аннулирующейся вне некоторого шара.
Доказательство.- Оно ведется аналогично доказательству
теоремы 5.2 со следующими изменениями. На этапе 1) нужно вместо теоремы 2.1
пользоваться теоремой 2.2, которая дает вхождение R™ f в ψψ1 (G) внутри G
вплоть до произвольного ограниченного куска на границе до. В
рассуждениях этапов 2) —4) следует в качестве G'9 G" брать пересечения G с шарами
с центром в 0. Это обеспечит сходимость интеграла от | К (х, у) |2,
распространенного по G X G', что, в свою очередь, дает возможность провести
выкладки (5.30) для / 6 L2 (G), аннулирующейся вне некоторого шара. ■
Таким образом, и сейчас оператор L (гр) карлемановский, причем в силу
оценки в формуле (5.36) вес ρ можно выбрать ограниченным в каждой
ограниченной части G. Как и в случае IR^, обобщенность обобщенной собственной
функции проявляется лишь в том, что она может расти при | я | -> оо. На
границе dG она аннулируется. Это дает теорема 2.2, которую сейчас нужно
применять вместо теоремы 2.1.
Для соответствующего спектрального ядра Ρ (χ, у; λ) сохраняется
теорема 5.3, причем дополнительно оно будет гладким по (х, у) вплоть до
границы области G X G и аннулироваться, если хотя бы одна из переменных у
или χ лежит на dG. Ясно, что это следует из теоремы 2.2.
4. Пример — оператор Лапласа. Выпишем спектральные меру и ядро
для оператора Лапласа L в (R3. Для этого воспользуемся формулой (5.21),
выражающей его функцию Грина (ядро резольвенты), и общей формулой
(6.17) гл. XIII, выражающей разложение единицы через резольвенту. Эта
формула сейчас может быть переписана в виде: для любого конечного
открытого интервала δ a IR
*(δ)ββ%-ά ί iRz~Rz)dZ' (5'37)
6+ί8
576

Такая запись возможна в силу того, что (Уй 6 О?) : Ε {{а}) = 0. Для
установления последнего равенства достаточно в соответствии с
доказательством теоремы 4.2 перейти от L клего Фурье-образу L, равному оператору
умножения на | ξ]2 в пространстве L2 (1R3) функций от ξ: разложение
единицы Ε оператора L таково, что Ε ({а}) = 0 в силу формул п. 1 из § 4.
При помощи (5.37), (5.21), общих формул (2.4) и (4.9) γ«, ν £ С0 (IR3)
и конечного открытого интервала δ получаем
J J ^P(x,y;X)dp(X))u(y)u(x)dxdy =
IR4R» б
= (Ε (δ) и, iOLf(IRl) =βΗπτ_ J- (J (tf2 - Д-) dz и, tr)Lt(IRi) =
IR» IR» б-Κε
= lim _ Li . f_ dz)u(y)v(x)dxdy=*
IR»IR· 6+ie
= f f (fa*"^^^^*'» (5-38)
IR· IR· б
В силу произвольности и, t/ и δ из (5.38) вытекает (Υ#, у £ ir8) равенство
ί 1 8ΐη(^λ|^^|)
Ρ (л:, у; λ) rfp (λ) = 4π» | -яс— у\ "Κ Λ > ϋ'
Ι ο, λ<ο.
Эта формула показывает, что в качестве спектральной меры (общей, см.
замечание XV. 1.3) можно принять dp (λ) = άλ при λ > 0, dp (λ) = 0 при λ < 0.
Тогда спектральное ядро имеет вид
Р(*.у-Л) = ±$%Х1ху-у]) (*.*€*;*><»>.
Равенство Парсеваля (3.7) (или (3.1) при а = Щ, как легко понять,
сейчас будет иметь вид равенства Парсеваля для трехмерного классического
преобразования Фурье, если его записать по ξ в сферических координатах.
§ 6. Обыкновенные дифференциальные операторы
1. Теорема о повышении гладкости решений. Перейдем к краткому
изложению теории обыкновенных дифференциальных операторов. Пусть в
открытом интервале (конечном или бесконечном) G = (a, b) ^ IR задано
обыкновенное дифференциальное выражение порядка г £Ы
г
(ЗГи) (х) = 5] аа (х) (Dau) (χ) (d = γχ , χ £ Ο) (6.1)
α=0
с комплекснозначными непрерывными в G коэффициентами αα, т. е. задано
выражение (1.1) при А^ = 1. Старший коэффициент всегда предполагается
отличным от нуля: аг (χ) φ 0 (χ 6 G).
Мы сначала докажем некоторую теорему о повышении гладкости
обобщенных решений уравнения 9?и = /, заменяющую теорему 2.1 и 2.2 в
эллиптическом случае. Доказательство сейчас отличается от доказательств этих
577

теорем и базируется на понятии фундаментального решения для (6.1).
Напомним это классическое понятие (см., например, [33, 38]).
Будем ниже в п. 1 считать интервал G = (а, Ь) ограниченным. Под
фундаментальным решением понимается непрерывная функция G Χ (Γ$ (χ, ξ) ι->■
Ι"** β (χ> ί) 6 С, обладающая следующими свойствами:
1). При каждом фиксированном ξ ζδ и хф\ существуют частные
производные (D^e) (χ, ξ), β = 0, ... , г, непрерывные по (х, ξ) в каждом из
треугольников {(х, g)£G X G \х < ξ}, {(*, ξ}£(Γχ(?|*>.ξ}. Если β = О,...
... , г — 2, то^такие производные существуют и непрерывны по (χ, ξ) во всем
квадрате δ Χ G.
2). При ξ g G
МЕГ
3). Справедливо равенство
(6.2)
причем интеграл под знаком -2* входит в Cr (G).
4). Фундаментальное решение всегда существует. Оно определяется
неоднозначно и может быть сконструировано по любой системе г линейно
независимых решений иг (х), ,.. , иг (х) уравнения {9?и) (х) = О (х £ G) при помощи
формулы
I иг (ξ) ... иг (ξ)
\(DUl)a) ... (Dur)(l)
е(*> Ό-
sign (χ—Ι)
:2ar(l)W(l)
W(l) =
«ι©
(Du,)(l)
ux{x) ♦ ., иг(*)
... ur®
. · · фиг) (Θ
(Dr~\) (I)
(Dr~\) (l)
(*. E6 0).
Из этой формулы видно, что если коэффициенты аа £ Cg (G) (α = 0, .,.
• ·. , г) с некоторым #£ ^+» то при χ Φ ξ существуют производные (£РО|£)(л:,
ξ) для β = 0, ... , г -f- q\ γ = 0, ... , 1 -\-q. Все эти производные
непрерывны по (χ, ξ) в указанных двух треугольниках.
Для того чтобы излишне не завышать требования гладкости
коэффициентов 3?, докажем утверждения о повышении гладкости решения сначала
отдельно для однородного уравнения.
Функцию φ £W\(G), где ίζΖ, назовем обобщенным решением уравнения
&+и = 0 внутри G, если γ υ £ С~ (G) выполняется соотношение
(Φ. &*)ьш(0) = °·
(6.3)
При этом в случае /<0 предполагается, что αα 6 С'^ (G) (а = 0, ..., г).
Ясно, что это определение соответствует определению (2.2), хотя из-за
негладкости коэффициентов выражение 3?+ может и не существовать.
578

Лемма 6.1. Будем предполагать, что aa£Cr+p~l (δ) (а = 0, . . . , г)
с некоторым ρζΖ+. Тогда всякое обобщенное решение φ £ w{ (G) уравнения
&+u = О, где 11 | <: г + ρ -— 1, в действительности входит в Щ+10С (G).
Доказательство. Согласно лемме 2.1, эту лемму достаточно
установить локально. А именно, показать, что для каждой точки х0 6 G
существует ее шаровая окрестность U (х0) — (х0 — е, х0 + ε) ξ G такая, что
φ £ W^oc (^ (*о))· Будем проводить доказательство по этапам.
1). Зафиксируем x0£G и выберем ε>0 столь малым, что^ы (х0 — 3ε,
х0 + 3ε) Ξ G. Пусть k(tf) £ С°° (IR) аннулируется при 11 | > ε и равна 1 в
некоторой окрестности нуля. По w£C£ (U (х0)) построим функцию на Ъ вида
v{x) = \e(x,l)k(\x-l\)w(l)dl= J *(*.ξ)[*(|*-6Ι)-1]Χ
G Щх0)
Xw(l)dl+ J e (x, I) w (I) dl (x £ G). (6.4)
U(x0)
Функция (6.4) аннулируется при | л: — лг01 > 2е и поэтому финитна
относительно G. Она достаточно гладкая — входит в Сцг~*~р~1 ((?). Это следует при
помощи дифференцирования под знаком интеграла и наличия у е при χ φ. ξ
производных (D$e) (χ, ξ) (β = 0, .., 2г + ρ — 1), непрерывных в обоих
треугольниках из 1). Такую же гладкость будут иметь и оба интеграла в правой
части (6.4). Но тогда функцию ν (6.4) можно подставить в (6.3) с указанным
в формулировке леммы L
В самом деле, в (6,3) можно перейти к пределу по ν от функций υ £ C™(G)
к менее гладким финитным функциям. В крайнем случае тогда φ £ W^r~^~p~!) (G),
достаточно вхождение предельной ν в C%r+P~~l (G), а это обеспечено, В случае
меньшей обобщенности φ такая подстановка тем более возможна.
2). Имеем в силу 3)
(5Ί0(*)= J &x(e(x,t)lk(\x-t\)-l])w(l)dl + w(x) (x£G). (6.5)
U(X0)
Рассмотрим ядро К (х, ξ) = 2Х (е (χ, ξ) [k (| χ — ξ |) — 1]) (χ, ξ £ δ).
Учитывая предполагаемую гладкость коэффициентов 3?, аннуляцию множителя
k (| χ— ξ Ι) — 1 в окрестности диагонали χ = ξ и приведенные свойства
фундаментального решения е, заключаем, что существуют производные (D^plK) (χ, ξ)
при β = 0, ..♦ , r + p — 1, £= 0 г + ρ для всех χ, ξ £ δ, причем они
непрерывны по (л:, ξ) ζ δ X G.
Определим оператор А в L2 (G), полагая
(АО (*) = [* (*, I) « © dl (и ζ L2 (G)). (6.6)
G
Этот оператор можно распространить по непрерывности до оператора (по-
прежнему обозначаемого через Л), действующего непрерывно из Ц7^(r+/7) (G)
в Wr2+P"~l (G). В самом деле, пусть при я->оо L2 (G) 3"„->0 в №£+p(<j),
тогда V* £ δ и β = 0, .,. , г + р— 1 имеем:
I Ф£лд w I = | J (D^) <*■ э"«© «| = l К. (D^)(*> -))L2(i?) I <
< II (DgO <*. ·) ll„r+P(0) II "„ Vj-h-p)^ < ί И»»t-(r+P)(G) <« * Ν)·
579

Отсюда заключаем, что (γα = О г + ρ — 1): D*%Aun ->- 0 равномерно по
*£G, а значит, и \\D$xAun\\ +р_х -»■ 0. Итак, Л действует непрерывно из
дег—(r+ρ) ^ в ψΓ+ρ—\ ^ j^0 тогда сопряженный относительно L2 (G)
оператор Л+ (см. § XIV. 1, п. 2) действует непрерывно из №7(г+р~1) (G) в Wr2+P (G).
Сейчас это обстоятельство будет использовано.
3). Итак, в силу (6.5), (6.6) ^v = Aw + wt причем w£C™ (G). Как уже
говорилось в 1), это выражение можно подставить в (6.3). В результате получим
0 = (φ, 2υ) Li{G) - (φ, Aw)Lz(G) + (φ, т)ьл(}) = (Л+φ, w)Li{G) + (φ, w)L2(Gy
Таким образом, (Yw£C~ (U (x0))) : (φ, w)Lt{G) = (—Λ+φ, a>)L2(i?), где —Л+φζ
ζ Wr2+P (G). Это означает, что φ £ №r2+foc (G). ■
Подчеркнем, что, согласно доказанной лемме, порядок гладкости
обобщенного решения φ уравнения &+u = 0 зависит лишь от порядка гладкости
коэффициентов &. Это естественно, так как правая часть этого уравнения равна
0£C°°(G).
Лемма 6.2. Будем предполагать, что аа£С (G) (а = 0, ... , г). Тогда
Vf£L2(G)
*« = {«(*, Of(®dUWr2(G), z[\e{xtl)f{l)dl)=*f(x) (*6G). (6.7)
G G
Доказательство. Рассмотрим последовательность функций fn £ С (G)
таких, что в L2 (G) при я->оо fn-+f. Согласно 1)—3), (Уя£№):
(DxSn) Μ = D% (J e (*, J) /„ (Ι) άή = j (Dxe) (*, ξ) fn (I) dl (β = 0 r—1).
причем ядра (D^e) (α:, ξ) ограничены при (χ, ξ) ζ G χ G. С помощью неравенства
Коши — Буняковского получаем (γβ = 0, ... , г—» 1):
II D*gn - DJ&, ||· i(fl) = j I { (D^e) (χ, ξ) <fn (|) -/m (ξ)) rf| |* dx <
в в
<*illf»-MfM(?)—0. (6.8)
Далее из равенства 3?gn~fn и (6.1) заключаем, что
г—\
№,) Μ = ^ (fn (x) - J] αα Μ (D°fcn) W) (^ δ' " 6 Ν). (6.9)
α=0
Оценка (6.8) обеспечивает фундаментальность в L2 (G) последовательности
(DxSn)n=i (Υβ = 0, ... , г— 1), но тогда равенство (6.9) дает
фундаментальность и (Drxgn)^==l. Иными словами, последовательность (gJ^Li фундаментальна
в И?2 (G). Это приводит к соотношениям (6.7). ■
Частным случаем (2.2) служит следующее определение. Рассмотрим
уравнение в G = (а, &)
<2b = /(EL2(G), (6.10)
где 2! имеет вид (6.1). Функция <р£ w{ (G) (/ = ...,—1,0 г— I)
называется обобщенным решением уравнения (6.10) внутри G, если Vu£C0°° (G)
выполняется равенство
580

Для существования -2*+ и того, чтобы (6.11) имело смысл при /<0
требуется некоторая гладкость коэффициентов аа выражения 3?. Достаточно
полагать, что аа£Са+"' (G) (а=0, ... , г).
Несложное объединение результатов лемм 6.1 и 6.2 приводит к
следующей теореме.
Теорема 6.1. Рассмотрим уравнение (6.10); предполагается, что
аа 6 Са+г*~1+/7(<5) (а = 0, ... , г), где ρ£Ζ+ фиксировано. Пусть y£W{(G)t
где t£[— (г + ρ — 1), г), — обобщенное решение этого уравнения внутри
области G. Тогда в действительности φ£ W2(G). Если правая часть в (6.10)
/ = 0, то можно считать, что t£[— (г + Ρ — 1). г + р), и тогда φ £ С~^р (G).
Отметим сразу важное отличие этой теоремы от теоремы 2.1 — в случае
эллиптических уравнений обобщенное решение внутри области будет
гладким только внутри области, сейчас же гладкость вплоть до границы G
появляется автоматически. Тем самым результаты типа теоремы 2.2 для
обыкновенных дифференциальных уравнений становятся несущественными.
Заметим также, что для вопросов спектральной теории, которые ниже
будут рассматриваться, достаточен результат с правой частью / 6 L2 (G) или
равной нулю, приведенный в теореме.
Доказательство. Ограничения гладкости коэффициентов аа,
сформулированные в теореме, как легко понять, приводят к
таким же ограничениям для 3?*\ коэффициент этого выражения при Da входит
в Ca+r—l^~p(G) (а = 0, ..., г). Тем самым каждый такой коэффициент
входит в С"""1"^ (G) и применима лемма 6.1 с заменой 5? на ^+. На основании
этой леммы мы можем пока заключить, что обобщенное решение уравнения
(6.10) внутри G в случае / = 0 имеет следующую гладкость:
ч>еП^ос(°)· (6·ΐ2)
Пусть теперь f£L2(G) произвольная. Сведем вопрос к однородному
уравнению. Согласно лемме 6.2, g£ W2(G) и &g = f. Положим ψ = φ — g.
Поскольку Wr2 (G) s W{ (G) (ίζ [— (г + ρ - 1), r)), то ψ £ W[ (G). Функция φ « g
очевидно удовлетворяет соотношению (6.11) и поэтому (γυ £ С™ (G)) : (ψ,
^+v)l2(G) = °· Применяя лемму 6.1 (с заменой S на 5*+), заключаем, что
ПЩ%(0). Тогда
φ = Ψ + £<Ε^,1οο(φ. (6.13)
Покажем теперь, как избавиться от индекса 1ос во включениях (6.12),
(6.13). Рассмотрим, например, (6.13). Согласно теоремам вложения, W\^ loc (G) е
с С^1 (G) (Λί = 1). Зафиксируем с ζ (а, Ь) и введем по φ решение w задачи
Коши на Ъ = [а, Ь]:
(&w) (х) = f (χ) (χζΟ); w (с) =, φ (с), . . ., (Dr-lw) (с) = (D^cp) (с).
В силу классических теорем это решение существует и входит в Wr2 (G). Кроме
того, функция φ (χ) (χ 6 О) также является решением этой задачи Коши
в G — в силу ее доказанной гладкости можно в (6.11) перебросить 3?+ на φ
и воспользоваться произвольностью υ. Вследствие единственности решения
задачи Коши φ (χ) = w (χ) (χ 6 G) и, следовательно, φ 6 Wr2 (0).
В случае / = 0 решение задачи Коши w£CrJ(~p(G), поэтому таким же
будет φ. ■
Замечание 6.1. Подобно замечаниям 2.2, 2.5, 2.6 сейчас возможно
сформулировать теорему 6.1 в локальной форме: если G' gG — открытый
интервал, /£ L2(G') или 0 и (6.11) выполняется для γνζ С™ (G'), то φ входит в
581

W2 (G') или Cr+p ((?'). Исходный интервал G может быть и неограниченным,
тогда предполагается, что φ £ W[ (G, ρ (χ) dx) с некоторым весом 0 </?(#)£
€С(б). ■
На этом мы закончим рассмотрение вопроса о повышении гладкости
решений обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим лишь, что
теорема, подобная 6.1, но относящаяся только к гладкости внутри области,
справедлива и для эллиптических 9?. Она использует фундаментальное
решение для 5Ήβ известной мере заменяет теорему 2.1.
2. Самосопряженность дифференциальных операторов. Некоторые из
теорем, доказанных ранее, применимы к исследованию самосопряженности
операторов, порожденных обыкновенным дифференциальным выражением.
Это теоремы 4.2, 4.1, 4.3, 4.4, относящиеся к самосопряженности
минимального оператора в [R, причем в последних трех теоремах в качестве 3? берется
дифференциальное выражение Штурма — Лиувилля с вещественнозначным
потенциалом q 6 С ((R):
(<?и) (х) = — и" (х) +q(x)u (χ) (χ £ IR) (6.14)
(т. е. одномерное выражение Шредингера (4.4), N = 1). При
доказательстве теоремы 4.1 нужно вместо теоремы 2.1, разумеется, пользоваться
теоремой 6.1.
Сейчас мы лишь поясним, как теорема 6.1 применяется для
доказательства самосопряженности в случае наличия границы у G, т. е. когда G = (а, Ь),
(а, оо). Для простоты рассмотрим G = (а, Ь) и выражение (6.14) на нем.
Итак, на G = (а, Ь) задано (6Л4) с q ζ С (G) и граничные условия (гр):
и (a) cos α + и' (a) sin α = 0, и (b) cos β + и' (b) sin β = 0. (6.15)
Здесь α, β£[0, π) фиксированы. В пространстве L2 (G) построим оператор
L2 (G) :=> С2 (δ, гр) Э и\->- А'и = 9?и^Ъ2 (G), где С2 (G, гр) обозначает
подпространство всех функций из С2 (G), удовлетворяющих (6.15).
Оператор Л' эрмитов. Действительно, 3?+ = .2% а формула Грина (3.2)
сейчас имеет вид (V"» ν £ С2 (8)):
(*и, υ)ΙΛβ) - (и, 3>o)l%{G) = - (* (Ь)Щ-и (Ь) ^Щ) +
+ (и' (a) vja) — и (α) υ' (а)) = д (и, ν). (6.16)
Если и, v£C2(Gt гр), т. е. удовлетворяют (6.15), то, как легко видеть,
граничная форма д (и, ν) = 0. Отсюда следует эрмитовость А.
Как и ранее, в § 3 обозначим замыкание А' через А = L (гр). Этот
оператор также эрмитов. Ясно, что он является некоторым расширением
минимального оператора L, построенного по 9? и G.
Теорема 6.2. Пусть в G = (а, Ь) рассматривается выражение Штурма—
Лиувилля (6.14) с вещественнозначным потенциалом q ζ С (δ). Оператор А =
= L (гр), отвечающий этому выражению и граничным условиям (6.15),
самосопряжен и полуограничен (снизу).
Доказательство. Оно, разумеется, близко к доказательству
теоремы 3.1, однако сейчас появляются некоторые особенности, на которые
полезно обратить внимание.
Пусть g6*(Λ·), тогда (Yf £@ (A)) :(Af, £)l2(G) = (f > А*ё)ь2{оу в
частности, №£С\ф)):(ЗГь, g)Li{G) = (ν, A*g)Lt(Q)f или
(*. ^)l2(C) = И**. v)L%{Q) (υ £ C20 (G)). (6.17)
Это равенство показывает, что g£L2(G) является обобщенным решением
уравнения 3?и = A*g £ L2 (G) внутри G (см, (6.11)) и поэтому возможно
применение теоремы 6,1. Однако при непосредственном ее применении нужно
предполагать, что q^a0^C1(G) (г=а2, р = 0). Для того чтобы избежать это
ограничение, перепишем соотношение (6.17), согласно (6.14), в виде (g9
582

-о^^гг^-^ v)L (v£C20(G)). Таким образом, g является
обобщенным решением внутри Q уравнения —и" = A*g—qg== h, причем h £ L2 (G),
так как g£L2(G) и q ограничена как функция из С (G). Теперь на основании
теоремы 6.1 заключаем, что g£W\(G) и 3?g = A*g-
Для доказательства самосопряженности А нужно убедиться, что g
удовлетворяет (гр) вида (6.15) (подчеркнем, что w\ (G) с С1 (G) и эти (гр) имеют
смысл для g). Имеем (V/ £ & (А)) : (Л/, g)L%{G) = (/, A*g)Lt(G) = (f,arg)LtiQ)m
Беря здесь / = и£@(А') = С2 (G, гр) и используя (6.16), получим
О = (ЗГи, g)Lt{G) - (и, #g)Li{G) = - ("' 1Р)Ш-» (Ь) gHto) +
+ (и' (а)1Щ-и(а) ί7*^))· (6.18)
Пусть дополнительно и аннулируется в окрестности точки Ь, тогда (6.18)
дает
u,(a)f(Sj-u(a)ZT^^Ot (6.19)
причем значения и (а), и1 (а) произвольны и лишь связаны первым из
равенств (6.15). Определяя из него и' (а)1и(а) (или и (а)/и' (а)) и подставляя
в (6.19), получим, что g также удовлетворяет (гр) (6.15) в точке а. Аналогично
исследуется (гр) в точке Ь. Докажем полуограниченность А. Интегрируя
по частям, γιιζΟ2 (G, гр) получаем
ь ь
i*u> u)l2(G) = J (-"'' Μ + ίΜ« Μ) «Μ dx = J (I tf (χ) |2 +
a a
+ q(x)\u (x) |2) dx — и' (b) 1ГЩ + и' (а) йЩ. (6,20)
Рассмотрим слагаемое и' (а) и (а) в (6.20). Оно либо равно нулю (если а =
= 0 в (6.15)), либо равно —ctga| и (а) |2.
В последнем случае воспользуемся оценкой, вытекающей из леммы 6.3,
которая чуть ниже будет доказана: (Vе > 0) (н^ (ε) ^ 0) такое, что
\u(a)\*<.s\\u'\\lt(a)+k(B)\\u\\li(a) («€C»(GJ). (6.2I)
Аналогично поступим и со слагаемым ur (b) и (Ь). В результате
последних два слагаемых в (6.20) по модулю оценятся сверху через выражение
справа в (6.21). Беря ε< 1 и учитывая ограниченность q, оценим правую
часть в (6.20) снизу через a \\и \\l ,G, . Полученная оценка и означает
полуограниченность Л.
π
Ясно также, что в случае (гр) вида (6.15) с α, β = 0, -ψ оценка (6.21)
излишняя. Щ
Оценка (6.21), очевидно, вытекает из следующей общей леммы.
Лемма 6.3. Пусть cQ[a, Ь]=Ъ и р£(1, ©о] фиксированы. Тогда (Vе>
<0) (3& (ε) > 0) такое, что
| и (с) | < ε || и1 \\Lp{G) + k (ε) || и \\Lp{G) (и g Ci (δ)). (6.22)
Доказательство. Интегрированием по частям несложно проверить
следующее равенство: (γи £ С1 (G)) (γη £ (0, оо))
и (с) = (и', fn)Li{G) + (и, gn)Lz{Gy (6.23)
583

где в случае с £ (α, b)
и естественно измененные fn, gn при с = а, Ь. Непосредственное вычисление
приводит к неравенствам: (V>'6[1, <*>))
/ Ь-а y^f
/Jl^iG^^' + p'+l/
Л+1
1 *" "V<G) < (b-a)l-l""(np' + l)l">' * (6,24)
Пусть 1/p-f- 1/р'== 1. Применяя к представлению (6 23) неравенство Гель-
дера и пользуясь оценками (6.24), придем к (6.22). В самом деле, Ц/^^ ,~
согласно (6.24), может быть сделана сколь угодно малой при п-+оо. Щ
Итак, теорема 6.2 полностью доказана.
Замечание 6.1. Из доказательства теоремы 6.2 следует, что $& (L (гр)) =
= ψ\ (G, гр) (мы показали, что & (А*) = ψ\ (G, гр) и Л* = А = L (гр)). Сейчас
также справедливо неравенство коэрцитивности для 9? вида (6.14): (3>*>0)
l3O0)(V"^2№ гр)):
II з* ll2L8(G) + ρ II«lll,(0, > ΊΙ«1^.(б). (6.25)
В самом деле, пусть λ<0 настолько большое, что (А — λβ)&1 существует.
Согласно только что сказанному, 3ϊ ((А — λϋ)"1) = В (А) = W2 (G, гр), поэтому
(А — λί.)"1 можно рассматривать как оператор из L2(G) в W2 (G). Он будет
замкнутым — в этом легко убедиться подобно замкнутости оператора А в этапе
2) доказательства теоремы 5.2. Поэтому, согласно теореме Банаха о замкнутом
графике, он ограничен, т. е. || (<?— λϊ) «||L?(G)>ciH u Ww\G) (иб^(0,гр)).
Продолжая это неравенство налево, придем к (6.25).
Для построенного оператора А = L (гр) справедливы теоремы 3.2 и 3.3,
которые и формулируются, и доказываются совершенно аналогично § 3.
В частности, спектр А состоит из последовательности (^п)п=\ вещественных
собственных значений, стремящихся к + оо. Каждому λη отвечает
одномерное собственное подпространство.
Это доказывается следующим образом. Пусть в (6.15) α =# 0 и λ = λη
отвечают собственные функции ψι(χ; λ) и φ2 (χ; λ); φ'· (α; λ) = — ctga χ
Φι (0; λ)
Χ φ7 (α; λ) (/ = 1, 2). Тогда функция ψ (χ) = щ (χ; λ) — /Q; ^ φ2 (χ\ λ)
удовлетворяет уравнению (.^ψ) (χ) = λψ (#) (#£[α, Ь]) и нулевым начальным
условиям. Поэтому она тождественно равна 0, т. е. φ^ и φ2 пропорциональны.
Аналогично рассматривается случай а = 0. Щ
Результаты этого пункта без труда переносятся на формально
самосопряженные выражения вида (6.1) произвольного порядка г на (a, b). Сейчас
возникают лишь технические трудности, связанные с написанием формулы
Грина (3.2) и выбором в соответствии с этой формулой граничных условий.
Заметим при этом, что граничные условия могут связывать значения
функции и производных в обеих точках a, b (разумеется, такое же замечание
относится и к выражению Штурма—Лиувилля (6.14)). Например, условия типа
584

периодических. Функции из области определения соответствующего
оператора A = L(rp) входят в №2(G, гр) — подпространства IfJ (G), состоящего из
функций, удовлетворяющих (гр).
3. Функция Грина. Рассмотрим теперь выражение (6.1) на всей оси R
или на полуоси G = (а, оо) (или (—оо, а)). С ним в случае всей оси
связывается минимальный оператор L, а в случае полуоси — некоторое расширение
L (гр) минимального оператора L на полуоси, отвечающее граничным
условиям в точке а. Например, в случае выражения Штурма — Лиувилля (6.14)
и (гр) — первого из соотношений (6.15)—оператор L (гр) строится как
замыкание в L2 (G) оператора L2 (G) => С20 (G, гр) 3 и \^ 3?и £ L2 (G), где С\ (G, гр)
состоит из всех функций из C2(G), удовлетворяющих в точке а этому
соотношению, с фиксированным α и финитных на оо4
Предположим, что операторы L и L (гр) самосопряжены. Для них без
труда повторяется сказанное в § 5 о разложении по собственным функциям
и функции Грина. Укажем на те изменения, которые при этом возникают.
Схемы п. 1, § 5 годятся и для размерности N = 1. В цепочках (5.2) —
(5.4) можно считать /= 1; естественно, вместо теорем 2.1, 2.2 применяется
теорема 6.1. Сейчас полезно лишь пояснить, почему в случае полуоси G =
= (а, оо) обобщенная собственная функция φ, входящая, согласно теореме 6.1,
в Cr (G), удовлетворяет (гр) в точке а.
Пусть, например, & — выражение Штурма — Лиувилля (6.14) и (гр) —
первое из соотношений (6.15). В качестве цепочки (2.1) гл. XV сейчас
целесообразно выбрать цепочку
Н_ = W? (G, ρ (χ) dx) Ξ> tf0 = L2 (G) эЯ+ = ^2 (G, ρ (χ) dx) => D, (6.26)
где вес ρ £ С1 (G) таков, что вложение Н+ -> Н0 квазиядерно, a D = C]+r (G, гр)
с естественной топологизацией. Соотношение (2.2) гл. XV, имеющее сейчас
вид (φ, 3'u)L iG. = λ (φ, u)L ^ (и ζ D), согласно теореме 6.1, дает требуемую
гладкость φ и равенство 3?φ = λφ. Из него следует, что (&и, cp)L ,G) —
— (и, &(p)L (G) =0 (ιιζ C0 (G, гр)). Отсюда заключаем, что φ в точке а
удовлетворяет (гр): нужно повторить 'простые рассуждения, при помощи которых
в теореме 6.2 доказывалось, что g удовлетворяет (гр) (см. (6.18)). Щ
Перейдем к рассмотрению ядра резольвенты (функции Грина)
минимального оператора L, порожденного выражением (6.1) порядка г в [R. Теорема 5.1
сейчас полностью сохраняется. Ее доказательство в случае четного г остается
неизменным, так как лемма 5.2 сохраняется, а выражение Л в R2 сейчас
эллиптическое— соответствующая форма М0 (х> ξ) = af (хх) ξ[ + аг (х2) ξ2 Φ 0
(* = (#!, *2), ξ = (ξ1, £2)£IR2)· ПРИ нечетном τ видоизменяется
доказательство гладкости ΤΖ (χ, у) по паре переменных (х, у) вне диагонали. Здесь можно
воспользоваться рассуждениями типа доказательства теоремы 6.1, но
применяемыми сразу по χ и у; соответствующее доказательство изложено в [9]. Ц
Фундаментальное решение е (дс, ξ) для i?, описанное в п.1, можно
видоизменить таким образом, что оно будет фундаментальным и относительно
переменной ξ для выражения ^+. Для такого фундаментального решения
ez (*» У)> построенного по 3? — гЦ, справедливо разложение (5.20).
Для операторов L (гр), порожденных 3? в конечном или полубесконечном
интервалах сохраняется сказанное о функции Грина ΤΖ (χ, у). Она
дополнительно относительно каждого из переменных х, у удовлетворяет граничному
условию, по которому строится L (гр). Соответствующее пояснение
приводилось в п. 1.
Впрочем функция Грина для обыкновенного дифференциального
выражения & (в отличие от эллиптических выражений) несложно строится в виде
некоторой детерминантной формулы, подобной приведенной в 4)). Так,
рассмотрим, например, выражение Штурма — Лиувилля (6.14) в G = (а, Ь)
с граничными условиями (6.15) и обозначим через иг (х\ z), и2 (χ; ζ) решения
уравнения (%и) (х) = zu (χ) (χ 6 [α, b\), где ζ ξ S (L (гр)) фиксировано, удов-
585

летворяющие согласованным с (6.15) начальным условиям
иг (a; z) = sin α, и'г (α; ζ) = — cos α; u2 (b\ z) = sin β, u2 (b; ζ) = — cos β. (6.27)
Тогда
-Г* (*, у)
»ι(*> А и2(у\ z), х<у,
W(z)
1
:и2(х\ z)u1(y\ z), *> у,
\W(z)1
W (ζ) = иг (χ; ζ) и2 (х\ ζ) — и{ (χ; ζ) и2 (χ, ζ) (6.28)
(напомним, что определитель Вронского W для уравнения Штурма — Лиу-
вилля от χ не зависит). Легко непосредственно дифференцированием
убедиться, что (6.28) действительно дает ядро резольвенты Rz оператора L (гр).
В случае полуоси G = (а, оо) сохраняется формула (6.28), в которой их
имеет прежний вид, а решение и2 определяется некоторым поведением на оо
(оно должно входить в L2(G)). В случае IR оба решения ult u2 выделяются
соответствующим поведением на — оо и + оо.
4. Разложение по обобщенным собственным функциям. Разложение по
собственным векторам самосопряженного оператора L (гр) для 3? на (а, Ь)
описано в п. 2. В случае полуинтервала {а, оо) или всей оси IR, когда, как
правило, появляется непрерывный спектр, можно поступать по схеме п. 1,
§ 5, используя цепочки типа (6.26). Однако, как и для эллиптических
операторов, удобнее сначала доказать карлемановость оператора, отвечающего
формально самосопряженному 2 вида (6.1), а затем использовать общую
теорию разложения для карлемановских операторов.
Доказательство карлемановости оператора L или L (гр) ничем не
отличается от доказательства теоремы 5.2. Отметим лишь, что сейчас
представление (5.22), (5.23) (при N = 1) и (5.36) (при G = (а , оо), (а, Ь)) справедливо
уже в случае т = 1, т. е. для самой резольвенты Rz. Это связано с теоремой
вложения:
WUG')<= C(G'), если G' — открытый интервал оси (R (см. этап
3) доказательства теоремы 5.2). Поэтому для проведения этапа 1) этого до"
казательства достаточна теорема 6.1 —не нужно рассматривать степени
резольвенты и пользоваться повышением гладкости решения уравнения (6.10)
для /, лежащей в позитивном соболевском пространстве. Далее нужно
повышать гладкость только обобщенного решения φ из L2 (как и для
доказательства самосопряженности, см. п. 2). Поэтому теорему 6.1 применяют лишь
в случае t = 0, а так как ρ 6 2/+, то достаточно считать ρ = 0 в требованиях
гладкости коэффициентов аа (в случае оператора Штурма — Лиувилля —
q 6 С (G), см. доказательство теоремы 6.2). Итак, мы, по существу, пришли
к следующему результату.
Теорема 6.3. Пусть 3? — формально самосопряженное выражение (6.1)
в <j = IR, (α, оо), коэффициенты которого αα 6 Ca+r—1 (δ). Построим по нему
в случае G = IR минимальный оператор L, а в случае G = (а, оо) — оператор
L (гр), отвечающий некоторым граничным условиям в точке а. Предположим,
что операторы L, L (гр) самосопряжены в L2 (G).
Утверждается, что операторы L, L (гр) карлемановские и для
разложения по их обобщенным собственным функциям применимы результаты
§ XV.4. В частности, их обобщенные собственные функции входят в C2r"*1 (G)
и в случае L (гр) удовлетворяют (гр) в точке а. Сейчас существует
спектральное ядро Ρ (χ, у; λ) (χ, у 6 δ), входящее относительно (χ, у) в C2r—1 (G Χ δ)
и удовлетворяющее по каждой из переменных χ и у (гр) (для L (гр)).
В случае выражения Штурма — Лиувилля (6.14) достаточно требовать,
чтобы потенциал q£C (G); тогда C2r_1 (G) и C2r_1 (G Χ δ) заменяются на
сг (δ) и сг (δ χ δ).
Поясним, что гладкость Ρ (χ, у; λ) относительно каждой из переменных
х, у при фиксированной другой следует из теоремы 6.1. Гладкость относи-
586

тельно (х, у) в случае четного г доказывается так же, как и в п. 3, с помощью
эллиптического выражения Л. В общем случае нужны некоторые
дополнительные рассмотрения.
5. Спектральная матрица. Равенство Парсеваля при разложении по
обобщенным собственным функциям в случае рассматриваемых сейчас кар-
лемановских операторов, согласно формулам (3.1) и (4.9) гл. XV, выглядит
следующим образом:
("» v)l2(G) = J ($ J P (*: ^ λ) u (У) vJfidx dy) dp (λ). (6.29)
IR G G
Здесь G = IR, (a, oo); u, ν 6 C0 (δ), τ. е. входят в С (G) и финитны на оо
(в действительности, и, ν можно брать из соответствующего более широкого
позитивного пространства).
Обычно равенство (6.29) для обыкновенных дифференциальных
операторов переписывают иначе. Так, обозначим через ψ0 (х\ λ), ., . , ψΓ (х\ λ)
фундаментальную систему решений уравнения (3?и) (χ) = Хи (χ) (χζδ),
удовлетворяющих начальным условиям
(Dk^j) (с\ λ) = dJk (/, k = 0, . .. , г - 1; λ £ IR), (6.30)
где с — некоторая фиксированная точка G. Каждое решение и этого
уравнения выражается через ψ/ по формуле
и (х) = Σ (D'u) (с) ψ, (χ; λ) (χ £ б). (6.3П
/=ο
Спектральное ядро Ρ (χ, у; λ) удовлетворяет уравнениям
&χΡ (*. У1 λ) =λΡ (χ, у; λ), ~&уР (*, у; λ) = λΡ(*. у; λ) (a:, yg G). (6.32)
Эти уравнения являются уравнениями (5.31), записанные для обыкновенного
дифференциального выражения. Комплексная черта над 3?υ появилась в связи
с комплёкснозначностью коэффициентов 2? (в § 3—5 рассматривались только
вещественнозначные аа). Применяя дважды формулу (6.31), получим
г—ι
ρ (*. у; λ) = Σ (°№ (с> у* λ) Ψ/ to λ) =
/=0
г—1
= Σ Pxtyfa c* λ)Ψ/(*; λ)Ψ*(#> λ) (*> У 6 0). (6.33)
/, fe=0
Подставляя это представление в (6.29), получим равенство Парсеваля
в виде
г—ι
(«. v)l2(G) = Σ ί "* (λ) S/(X> rfc7/* (λ)> (6'34>
/, fe=0 IR
«Λ (λ) = I u Μ Ψλ (*5 λ) dx> dojk (λ) =
G
=(D[DkyP) (с, с; λ) dp (λ) (и, σ 6 C0 (G); /, /г = 0, ,.. . τ - 1), (6.35)
Таким образом, каждой функции, и£С0 (G) мооюно сопоставить ее
преобразование Фурье
« (λ) = (Μ0 (λ) Им (λ)), (6.36)
компоненты которого вычисляются согласно (6.35), при этом равенство
Парсеваля имеет вид (6.34) (разложение Крейна —· Кодаяра).
587

Матрица (dojk (X))rst ^=0 носит название спектральной. Эта матрица, точнее
(Va£93 (IR)): (σ^ (α))Γ}~£=0 — положительно определенная. В самом деле,
подыщем г точек ха ζ<3 (α = 0, ., ., г—1) таким образом, чтобы матрица
(ψ. (χα; λ))^=0 была невырожденной. Поскольку выполняется (6.30), то это
легко сделать. Тогда каждый вектор ξ = (ξ0, . . ., ξ ) £ Сг можно
представить в виде
г-\
α=0
Используя это представление и равенство (6.33), получим
Σ (Фур) (*· ν ^) й, = 'ς (Фур) (с>с·λ> χ
/, ft=0 /, k=0
Χ Σ ¥αΨί(¥1»ίΜ)= Σ φα {'Σ (dIAp)(c,
α, β=0 α, β=0 /, fc=0
r—L
с; λ)ψ^(Λ:β; λ)ψ,(*α; λ) = JJ Ρ(*β, *α; λ)*β*α>0.
α, β=0
Последнее неравенство написано на основании положительной
определенности ядра Ρ (χ, у\ λ). |
Равенство (6.34) можно продолжить по непрерывности на и, ν 6 L2 (G)
введя должным образом понятие интеграла по спектральной матрице. Мы
этого делать не будем.
Преобразование Фурье (6.36), (6.35) и равенство Парсеваля (6.34)
отличаются от аналогичных преобразований (3.4), (3.5), гл. XV — последние можно
воспринимать как «диагонализацию» первых. Подчеркнем, что
преобразование Фурье (6.36) аналитически зависит от λ 6 С (как и ψ7· (χ; λ)), в то время,
как зависимость от λ преобразования Фурье (3.4) гл. XV достаточно
нерегулярна.
Отметим, что фундаментальную систему решений а|ь уравнения 3?и = Хи
можно выбирать и иначе — с отличными от (6.30) начальными условиями.
Это удобно делать в случае G = (а, оо) — выбирать начальные условия
в точке с = а согласованными с (гр): функция, им удовлетворяющая,
удовлетворяет и (гр). Таким образом, можно выбрать некоторое количество s <C r
начальных условий, дающих возможность писать разложение типа (6.31) по
решениям ψ., удовлетворяющим этим начальным условиям, любого решения
уравнения (3?и) (х) = Хи (х) (х 6 G), дополнительно удовлетворяющего (гр).
Поскольку спектральное ядро Ρ (χ, у\ X) по χ и у удовлетворяет (гр), то для
него можно получить разложение типа (6.33), где ψ. — именно эти решения.
Существенно, что г в (6.31) сейчас заменится на s < г, т. е. размерность s X s
спектральной матрицы (6.35) уменьшится.
В случае выражения Штурма — Лиувилля (6.14) г =*= 2 и в разложениях
(6.34) — (6.36), связанных с оператором L на оси GR, фигурирует двухмерная
спектральная матрица.
Однако, если рассматривать полуось G = (а, оо) и в точке а первое из
граничных условий (6.15), то для соответствующего оператора L (гр)
можно писать «скалярные» разложения (6.34) — (6.36) с s = 1, т. е. спектральная
матрица будет обычной скалярной спектральной (общей) мерой. Сейчас в
качестве г^ (х\ X) нужно брать решение уравнения (3?и) (х) = Хи (х) (х 6 δ),
удовлетворяющее первому из начальных условий (6.27).
Классическое преобразование Фурье — частный случай рассмотрений этого
пункта для минимального оператора, порожденного (2?и) (х) = —iu'(x) на оси.
Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лвизов Т. Я», Иохвидов Я. С. Основы теории линейных операторов в
пространствах с индефинитной метрикой.— М.: Наука, 1986.— 352 с.
2. Александрии Р. Л., Мирзаханян Э. А. Общая топология.— М.: Высш.
шк., 1979.—336 с.
3. Антоневич А. Б., Князев П. Я., Радыно Я· В. Задачи и упражнения по
функциональному анализу.— Минск: Вышэйш. шк., 1978.— 206 с.
4. Антоневич А. Б., Радыно Я- Б. Функциональный анализ и
интегральные уравнения.— Минск: Изд-во «Университетское», 1984.— 351 с.
5. Архангельский А. В., Пономарев В. Я. Основы общей топологии в
задачах и упражнениях.— М.: Наука, 1974.— 424 с.
6. Ахиезер Я. Я., Глазман Я. М. Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве: В 2 т.— X.: Выща шк. Изд-во лри Харьк. ун-те,
1977—1978.— Т. 1.— 1977.— 316 с; Т. 2.—1978.— 288 с.
7. Банах С. Курс функщонального анал1зу.— К.: Рад. шк., 1948.— 216 с.
8. Барут Α., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения:
В 2 т.— М.: Мир, 1980.—Т. 1.—456 с; Т. 2.—396 с.
9. Березанский ΙΟ. Μ. Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов.— К.: Наук, думка, 1965.— 800 с.
10. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в
бесконечномерном анализе.— К.: Наук, думка, 1988.— 680 с.
11. Березин Φ. Α., Шубин М. А. Уравнение Шредингера.—М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1983.— 393 с.
12. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряженных
операторов в гильбертовом пространстве.— Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1980.—264 с.
13. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.: Наука,
1971.—512 с.
14. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.— М.:
Наука, 1979.—320 с.
15. Владимиров В. С, Дрожжинов Ю. Я., Завьялов Б. Я. Многомерные таубе-
ровы теоремы для обобщенных функций.— М.: Наука, 1986.— 304 с.
16. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ.—М.: Наука, 1967.—
416 с.
17. Вулих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной переменной.—
М.: Наука, 1973.—352 с.
18. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.— М.: Мир, 1967.—
251 с.
19. Гельфанд Я. М., Виленкин Я. #. Некоторые применения гармонического
анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. — М.: Физматгиз,
1961.—472 с.
20. Гельфанд Я. М., Райков Д. Α., Шилов Г. Е. Коммутативные
нормированные кольца.— М.: Физматгиз, 1960.— 316 с.
21. Гельфанд Я. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над
ними.— М.: Физматгиз, 1958.— 440 с.
22. Гельфанд Я. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных
функций.— М.: Физматгиз, 1958.— 308 с.
23. Гихман Я. Я., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.—
М.: Наука, 1965.—656 с.
24. Глазман Я. М. Прямые методы качественного спектрального анализа
сингулярных дифференциальных операторов.— М.: Физматгиз, 1963.—
340 с.
25. Глазман Я. Λί., Любич Ю. Я. Конечномерный линейный анализ в
задачах.—М.: Наука, 1969.—475 с.
26. Горбачук В. Я., Горбачук М. Л. Граничные задачи для
дифференциально-операторных уравнений.— К.: Наук, думка, 1984.— 284с.
27. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов.— М.: Наука, 1965.— 448 с.
589

28. Данфорд Я., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.-— М.:
Изд-во иностр. лит., 1962.— 896 с.
29. Данфорд Я., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная
теория .— М.: Мир, 1966.— 1064 с.
30. Дьедонне Ж. Основы современного анализа.— М.: Мир, 1964.— 432 с.
31. Дэй М. Нормированные линейные пространства.— М.: Изд-во иностр.
лит., 1961.— 232 с.
32. Иосида /С. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.—624 с.
33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—
М.: Наука, 1971.— 576 с.
34. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука
1984.— 752 с.
35. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мир, 1972.—
740 с.
36. Кириллов А. Л. Элементы теории представлений.— М.: Наука, 1978.—
344 с.
37. Кириллов Л. Л., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального
анализа.— М.: Наука, 1988.— 400 с.
38. Коддингтон Э. Л., Левинсон Я. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений.— М.: Изд-во иностр. лит., 1958.— 475 с.
39. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.—
М.: Мир, 1969.— 447 с.
40. Колмогоров А. Я., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа.— М.: Наука, 1989.— 624 с.
41. Костюченко Л. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений.
Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы.— М.:
Наука, 1979.— 400 с.
42. Красносельский М. Л., Вайникко Г. М., Забрейко Я. П. и др.
Приближенное решение операторных уравнений.— М.: Наука, 1969.— 456 с.
43. Красносельский М. Л., Забрейко Я. Я. Геометрические методы
нелинейного анализа.— М.: Наука, 1975.— 512 с.
44. Красносельский М. Л., Забрейко Я. Я., Пустыльник Е. Я.,
Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых
функций.— М.: Наука, 1966.— 500 с.
45. Красносельский М. Л., Лифшиц Е. Л., Соболев Л. В. Позитивные
линейные системы. Методы положительных операторов.— М.: Наука, 1985.—
256 с.
46. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве.— М.: Наука, 1967.— 464 с.
47. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.— М.:
Наука, 1971.— 104 с.
48. Кутателадве С. С. Основы функционального анализа.— Новосибирск:
Наука, 1983.— 222 с.
49. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.:
Наука, 1973.— 408 с.
50. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма — Лиувилля.— М.: Наука,
1984.— 240 с.
51. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и
Дирака.—М.: Наука, 1988.—432 с.
52. Лионе Ж.-Л.у Мадоюенес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения.— М.: Мир, 1971.— 372 с.
53. Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1956.— 252 с.
54. Люстерник Л. Л., Соболев В, И. Краткий курс функционального
анализа.— М.: Высш. шк., 1982.— 272 с.
55. Лянце В. Э., Сторож О. Г. Методы теории неограниченных операторов.—
К.: Наук, думка, 1983.—211с.
56. Мавья В. Г. Пространства С. Л. Соболева.— Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1985.—416 с.
57. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация
последовательностей, Применения,— М.: Изд-во иностр. лит., *1955.·— 268 с.
590

58. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.—
К.: Наук, думка, 1977.—332 с.
59. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.—
М.: Наука, 1976.— 392 с.
60. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.— М.:
Физматгиз, 1959.— 232 с.
61. Морен /С. Методы гильбертова пространства.— М.: Мир, 1965.— 572 с.
62. Мынбаев Д". Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства
и спектр дифференциальных операторов.— М.: Наука, 1988.— 288 с.
63. Наймарк М. Л. Линейные дифференциальные операторы.— М.: Наука,
1969.— 528 с.
64. Наймарк М. Л. Нормированные кольца.— М.: Наука, 1968.— 664 с.
65. Наймарк М. А, Теория представлений групп.— М.: Наука, 1976.—
560 с.
66. Натансон Я. Я. Теория функций вещественной переменной.— М.:
Наука, 1974.—480 с.
67. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения.— М.: Наука, 1977.— 456 с.
68. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.—
М.: Физматгиз, 1961.—400 с.
69. Петровский Я. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.— М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1984.— 136 с.
70. Плеснер Л. Я. Спектральная теория линейных операторов.— М.: Наука,
1965.— 624 с.
71. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М.: Наука, 1984.— 520 с.
72. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. В 4 т.—
М.: Мир, 1977—1982.—Т. 1: Функциональный анализ.— 1977.—357 с.
73. Рид М., Саймон Б, Методы современной математической физики: В 4 т.—
М.: Мир, 1977 —1982.— Т. 2: Гармонический анализ.
Самосопряженность.— 1978.—395 с.
74. Рид M.t Саймон Б. Методы современной математической физики: В 4 т.—
М.: Мир, 1977—1982.—Т. 3: Теория рассеяния.—1982.—443 с.
75. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: В 4 т.—
М.: Мир, 1977—1982.—Т. 4: Анализ операторов.— 1982.—428 с.
76. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.—
М.: Мир, 1979.—592 с.
77. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: В 2 т.—
М.: Мир, 1982—1984.— Т. 1.— 1982.— 488 с; Т. 2.— 1984. — 381 с.
78. Робертсон Л., Робертсон В, Топологические векторные пространства.—
М.: Мир, 1967.—260 с.
79. Рудин У. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1975.— 448 с.
80. Садовничий В. Л. Теория операторов.—М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.—
368 с.
81. Самойленко Ю. С. Спектральная теория наборов самосопряженных
операторов.—К.: Наук, думка, 1984.—232 с.
82. Сборник задач по уравнениям математической физики / В. С.
Владимиров, В. П. Михайлов, А. А. Вашарин и др.—М.: Наука, 1982.— 256 с.
83. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.— М.: Наука,
1974.— 808 с.
84. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике.—М.: Наука, 1988.—336 с.
85. Теляковский С. Л. Сборник задач по теории функций действительного
переменного.—М.: Наука, 1980.—112 с.
86. Треногий В. А. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1980.— 496 с.
87. Треногий В. Л., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения
по функциональному анализу.— М.: Наука, 1984.— 256 с.
88. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,
дифференциальные операторы.— М.: Мир, 1980.— 664 с.
89. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна.— М.: Наука,
1972.— 544 с.— (Справочная матем. б-ка).
90. Халмош Я. Теория меры.— М.: Изд-во иностр. лит., 1953.— 290 с.
591

91. Халмош /7. Гильбертово пространство в задачах.— М.: Мир, 1970.—
352 с.
92. Хатсон В., Π им Дж. Приложения функционального анализа и теории
операторов.— М.: Мир, 1983.— 432 с.
93. Хилле £., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.:
Изд-во иностр. лит., 1962.—829 с.
94. Шефер X. Топологические векторные пространства.— М.: Мир, 1971.—
360 с.
95. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.— М.: Физмат-
гиз, I960.— 388 с.
96. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс—М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1984.— 208 с.
97. Шилов Г. Е., Гиревич Б. JI. Интеграл, мера, производная.— М.: Наука,
1967.— 220 с.
98. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.— М.: Мир,
1969.— 1071 с.
КОММЕНТАРИЙ К СПИСКУ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прежде всего укажем книги, являющиеся общими курсами
функционального анализа или наиболее полными монографиями: [4, 16, 28, 29, 30,
32, 34, 40, 54, 72, 73, 76, 79, 80, 86, 98]. Справочник [89] содержит сведения
по основным разделам функционального анализа.
2. Изложению основ теории операторов в гильбертовом пространстве
специально посвящены книги: [6, 12, 61, 70].
3. Обзор применения методов функционального анализа в
математической физике приведен в [77, 92], а позициями [3, 18, 25, 37, 82, 85,'87, 91]
обозначены сборники задач различной трудности по курсу функционального
анализа или его частям. При этом [25, 37] написаны таким образом, что по
существу являются учебными пособиями по функциональному анализу,
изложение в которых основано на последовательном решении задач.
Перейдем к указанию дополнительной литературы по главам.
4. Главы I — V. Дополнительные сведения по теории меры и интеграла
см. в [17, 23, 66, 90]. Конструкция интеграла на основе схемы Даниэля
изложена в [53, 76, 95, 97]. Меры в бесконечномерных пространствах рассмотрены
в [10, 19].
5. Главы VI — VII. Как уже говорилось, мы предполагаем известными
из курса математического анализа понятия метрического и топологического
пространств и основные конструкции, с этими понятиями связанные. В
нашей книге они только напоминаются. Соответствующие сведения содержатся
также в большинстве курсов, названных в п. 1 ив [71]. Большое количество
дополнительных результатов можно найти в [2, 5].
Подробное изложение общей теории линейных топологических
пространств см. в [34, 78, 94]. Углубленное изучение линейных нормированных
пространств приведено прежде всего в классической книге С. Банаха [7],
а также в [31, 48]. Соболевским пространством и теоремам вложения
посвящена огромная литература, мы отметим лишь [56, 59, 67, 88] и книги С. Л.
Соболева [83, 84]. Более общее, чем в гл. VI, и вместе с тем элементарное
изложение теорем вложения есть в книге [34] (здесь они рассмотрены в jV-мерном
случае).
6. Главы VIII — IX. Классические результаты, изложенные в этих
главах и касающиеся общих ограниченных и компактных операторов,
дополняют книги, указанные в п. 1, 2 и [95]. Теория классов компактных
операторов, обобщающих классы ядерных операторов и операторов Гильберта —
Шмидта (так называемые идеалы Неймана—Шэттена), связанные с
понятием s-числа операторов, содержится в [12, 27, 80]. Разрешимости
уравнений в банаховых пространствах посвящена книга [47]. Классическое
изложение интегральных уравнений приведено в [60, 69]. Свойства интегральных
операторов (линейных и нелинейных) и их приложения к интегральным
уравнениям изучены в [44]; интегралы Бохнера —в [32, 54],
592

7. Глава XI. Классическая теория обобщенных функций более подробно
изложена в [13,14, 15, 21, 22, 88, 96],
8. Главы XII — XIII. Более подробно некоторые разделы теории
неограниченных операторов и спектральных представлений рассмотрены в [6,
10, 12, 35, 61, 70, 72, 73, 79, 81]. В частности, обобщенные разложения
единицы и описание М. Г. Крейна всех самосопряженных расширений содержатся
в [6], произведения коммутирующих разложений единицы — в [16, 12, 70],
доказательство спектральной теоремы на основании теории коммутативных
банаховых алгбер — в [32, 61, 79]. Некоторые другие способы
доказательства самосопряженности операторов изложены в [10, 73], спектральные
представления семейств коммутирующих операторов и их применения к теоремам
типа Стоуна, гармоническому анализу, некоммутирующим операторам,
связанным соотношениями — в [10, 81].
Подробные сведения по дифференциальным уравнениям в банаховом
пространстве можно найти в [46], сведения о квазианалитических классах
функций—в [57].
9. Главы XIV — XV. Подробные сведения об оснащенных пространствах
имеются в [9, 10, 19, 26, 55, 61], о пространствах основных функций
конечного числа переменных — в [22], бесконечного числа переменных — в [10].
Варианты теоремы о ядре приведены в [9, 10, 19, 61, 72]. Дальнейшие
результаты по билинейным формам содержатся в [10, 35, 72, 73] в
Разложения по обобщенным собственным векторам изложены в [9, 10,
И, 19, 61]. В [10] приведено разложение по совместным обобщенным
собственным векторам для семейства коммутирующих нормальных операторов
произвольной мощности. Прямые интегралы гильбертовых пространств
рассмотрены в [61, 64].
10. Глава XVI. Теорема 1.1 об изоморфизмах и результаты о локальном
повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри
области и вплоть до границы в весьма общих ситуациях содержатся в [9]
и в журнальных статьях. Близкие результаты содержатся и в [52].
Необходимые сведения об эллиптических задачах имеются в [9, 13, 49, 59, 68, 88].
Вопросы повышения гладкости внутри области изложены в [61].
Результаты, касающиеся самосопряженности дифференциальных
операторов с частными производными, содержатся в [9, 73], а в случаях
бесконечного числа независимых переменных— в [10]. Здесь же и в книгах [И, 24,75]
приведены дальнейшие спектральные свойства дифференциальных
операторов с частными производными (включая обыкновенные дифференциальные
операторы). В работах [6, 29, 50, 51, 58, 62, 63] подробно изучены
спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов, а в [26] —
таких операторов с операторнозначными коэффициентами (включающих
некоторые классы операторов с частными производными). Сюда же по
содержанию примыкает книга [55].
Теория разложения по обобщенным собственным функциям
эллиптических операторов и свойства функции Грина в общем случае изложены в [9,
10], а для обыкновенных дифференциальных операторов — в [6, 29, 38, 41,
50, 51, 58, 63]. Необходимые сведения по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, используемые в настоящей книге, приведены в [33, 38].
И. Некоторые разделы функционального анализа в нашу книгу не
вошли. Укажем литературу по части из них: теория полугрупп — [32, 35,
61,73, 93]; теория рассеяния — [6, 74]; возмущение операторов — [6, 35];
несамосопряженные операторы, пучки операторов — [27, 80];
полуупорядоченные пространства—[16, 34, 45]; пространства с индефинитной
метрикой— [1]; банаховы алгебры (нормированные кольца) — [20, 32, 53, 61, 64,
79, 93]; топологические группы и их представления — [8, 36, 53, 65, 71];
дифференциальное исчисление в бесконечномерных пространствах и
нелинейный функциональный анализ—[10, 30, 34, 40, 43, 54]; приближенные
методы в функциональном анализе [34, 39, 42],
593

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность функции
множеств 85, 133
σ-аддитивность функции множеств 11
Алгебра банахова 251
— множеств 8
σ-алгебра множеств 9
Алгебра (σ-алгебра), порожденная
системой множеств 9
Альтернатива Фредгольма 290
База окрестностей 159
Базис Шаудера 209
Билинейная форма 261, 508
полуограниченная снизу 510
эрмитова 261, 508
Борелевская σ-алгебра 31
Вариация заряда отрицательная 55
полная 55
положительная 55
— функции 57
Гиперплоскость 207
— опорная 207
График оператора 358
Дефектное число оператора 374
Дифференциальное выражение 363
формально самосопряженное 364
сопряженное 364
Штурма — Лиувилля 582
эллиптическое 536
Заряд 50
— комплекснозначный 56
Изоморфизм изометрический 194
— линейных пространств 194
— нормированных пространств 194
Инвариантное подпространство
оператора 310
Инволюция 260, 392
Индикатор множества 10, 63
Интеграл Бохнера 321
— Лебега 81, 87, 95, 100, 111
— Лебега — Стилтьеса 117
Интегральное уравнение Фредгольма
второго рода 293
первого рода 296
Канторово множество 32, 156
Квадратичная форма 261, 508
Квазискалярное произведение 173
Кольцо множеств 7
σ-кольцо множеств 8
Коэффициенты Фурье 235
Критерий самосопряженности
гиперболический 452
квазианалитический 454
шредингеровский 448
— слабой сходимости функционалов
222
в нормированном пространстве
225
Лемма Фату 107
—Цорна 7
Мера 11
— внешняя 12, 14
— дискретная 39
— σ-конечная 26
σ-конечная 26
— Лебега в R^ 38
на прямой 29, 34
— Лебега — Стилтьеса 47
— полная 19
— регулярная 184
—сепарабельная 183
Множество борелевское 31
— измеримое по Лебегу 29, 33, 38
Каратеодори ^-измеримое)
15
— тотальное 161
Монотонный класс множеств 23
Неравенство Бесселя 235
— Гельдера 179
— Коши — Буняковского 169
— Минковского 175, 179
— Юнга 178
Норма 162
— абсолютная 271
— билинейной формы 262
— линейного оператора 244
функционала 197
Нормальная разрешимость 285
Носитель обобщенной функции 342
— разложения единицы 419
Обобщенная функция 337
Обобщенный проектор 520
— собственный вектор 522
— спектр оператора 522
Оператор алгебраический обратный
252
— Гильберта — Шмидта
(квазиядерный) 272
— допускающий замыкание 362
— замкнутый 360
— изометрический 265
— интегральный 243
Вольтерра 305
Гильберта— Шмидта 273
— карлемановский 533
— компактный (вполне непрерывный»
280
— Лапласа 372
— линейный 242, 357
непрерывный 242
594

— неотрицательный 263, 379
— нормальный 264, 407
— обратимый 253
— обратный 253
— осреднения 334
— полуограниченный 263, 379
— самосопряженный 262, 377
— сопряженный 257, 366
— существенно самосопряженный 377
— унитарный 264
— эрмитов 376
— ядерный 275
Ортогонализация 237
Ортогональная сумма 232
Ортогональное дополнение 230
Ортогональные векторы 230
— подпространства 232
— полиномы 238
Ортонормированная система 234
Ортонормированный базис 236
Ортопроектор 263
Оснащение гильбертово 463
— квазиядерное 465
Подпространство 161
Полунорма 173
Пополнение меры 23
— нормированного пространства 165
—предгильбертова пространства 171
Предел индуктивный 472
— проективный 470
Преобразование Кэли 384, 385
— Фурье классическое 348
обобщенных функций 354
основных функций 353
— —, отвечающее оператору 528
Продолжение меры 18
Проекционная спектральная теорема
529
Проекция вектора на подпространство
230
Произведение измеримых пространств
121
— мер 126
— операторов 250
— разложений единицы 409
Производная Радона — Никодима 140,
517
Пространство банахово 164
— гильбертово 170
— измеримое 61
— линейное 161
нормированное 162
топологическое 161
— линейных непрерывных операторов
246
— обобщенных функций 338, 350
— основных функций 333, 349
—предгильбертово 169
— рефлексивное 219
негативной нормой 462
позитивной нормой 462
— счетно-нормированное 471
— топологическое 159
— ядерное 471
Равенство Парсеваля 236, 528
Разбиение единицы 337
Разложение в смысле Жордана 56
Лебега заряда 146
Хана относительно заряда 53
— единицы 394, 436
Расширение оператора 358
Регулярная обобщенная функция 339
Резольвента линейного оператора 276
— ядра 304
Ряд Фурье вектора 235
Сечение множества 122
Сильная сходимость операторов 248
Сингулярная мера 146
— обобщенная функция 339
— функция 156
Скалярное произведение 169
Слабая полнота 222
Слабая сходимость 221, 225
операторов 248
— топология в Е' 228
След оператора 275
Соболевское пространство 190
негативное 475
Собственное значение 276
— подпространство 374
Собственный вектор 276, 374
Сопряженное пространство 198
Спектр 276
Спектральная мера 520, 521
— теорема для нормального
оператора 426, 437
самосопряженного операторя
415, 431
Спектральный интеграл 399
— радиус оператора 302
Сходимость по мере 70
— μ-почти везде 69
— равномерная операторов 247
Тензорное произведение гильбертовых
пространств 489
операторов 491
цепочек 493
Теорема Банаха об обратном
операторе 254
о замкнутом графике 371
— Банаха — Штейнгауза 220, 249
— Беппо Леви 108
— вложения 190
— Гильберта — Шмидта 315
— Егорова 74
— Красносельского —М. Г. Крейна
374
— Лебега 70, 93, 155
об ограниченной сходимости 105
— Лузина 79
595

— Маркова 215
— Мерсера 317
непрерывности для объединений
20
пересечений 20
полноте Lp 180
почти ортогональном векторе 193
существовании продолжения
меры 18
проекции 230
ядре 498
— Радона — Никодима 136
— Реллиха — Като 460
— Рисса 72, 216,233
— Стоуна 443
— Тонелли 127
— Фубини 129
— Хана —Банаха 201
Теоремы Фредгольма 287
— Хеллп 222, 223
Тождество Гильберта 277
— поляризационное 261
Точка регулярная 276
— регулярного типа 372
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
\А\
[А, В]
8 (Я)
@(А)
Е'
ПА
О1
h
и
Ά (А)
S(A)
ΎτΑ
(272)*
(264)
(31)
(357)
(198)
(18)
(230)
(186)
(189)
(246)
(276)
(275)
·* (S (A))
ЕР, Dj
/Λ/
fn-+f (mod μ)
φ Gk
Η., Η0, Η+
Hi ® ... ® Ηη
Ι, !, J, J
<R, Λ>
Wlp(G)
W? (G)
%Α(χ)
* В скобках указаны страницы,
Унитарная группа 443
Формулы Неймана 389, 390
Функционал линейный непрерывный
197
Функция абсолютно непрерывная 149
— в существенном ограниченная 188
— измеримая 62
по Борелю 62
— интегрируемая по Бохнеру 322
(суммируемая) по Лебегу 95, 100
— множеств аддитивная 11
— от самосопряженного оператора
418
— простая 77
— сильно измеримая 321
— суммируемая с р-й степенью 178
Цепочка 463
Циклический вектор (вакуум) 527
Эквивалентные нормы 168
— функции 68
Якобиева матрица 270
(325)
(177)
(70)
(68)
(232)
(463)
(489)
(464)
(61)
(150)
(475)
(10)
Ъ(ЕЪ Et). <S(E)
<?(Elt Et), ST(E)
л. ο. (Μ), з. л. о.
Lp (R, άμ)
Ь. (R, *μ)
Rz (A) = Rz
(Τ, Σ>, Tj,
ν(Λ la, b])
s. MmAn, An-+A
1· 1 1 W 1
fl-*■ oo
(Μ)
(XXY, ЖхП, μχν)
ω+, ω_, Ι ω I
(280)
(246)
(161)
(178)
(157)
(277)
(159)
(57)
(248)
(221)
(126)
(55)
которых вводятся данные обозначения

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Теория меры 5
§ 1. Операции над множествами. Упорядоченные множества .... 5
§ 2. Системы множеств 7
§ 3. Понятие меры множества. Простейшие свойства меры 10
§ 4. Внешняя мера 12
§ 5. Измеримые множества и продолжение меры 15
§ 6. Свойства мер и измеримых множеств 19
§ 7. Монотонные классы множеств и единственность продолжения меры 23
§ 8. Меры, принимающие бесконечные значения 26
§ 9. Мера Лебега ограниченных линейных множеств 27
§ 10. Мера Лебега на прямой 33
§11. Мера Лебега в jV-мерном евклидовом пространстве 37
§ 12. Дискретная мера 39
§ 13. Некоторые сведения о неубывающих функциях 40
§ 14. Построение меры по неубывающей функции. Мера Лебега —
Стилтьеса 44
§ 15. Восстановление неубывающей функции по мере Лебега —
Стилтьеса 49
§ 16. Заряды и их свойства 50
§ 17. Связь функций ограниченной вариации с зарядами 57
Глава II. Измеримые функции 61
§ 1. Измеримые пространства и пространства с мерой. Измеримые
функции 61
§ 2. Свойства измеримых функций 64
§ 3. Эквивалентность функций 68
§ 4. Последовательности измеримых функций 69
§ 5. Простые функции. Приближение измеримых функций простыми.
Теорема Лузина 77
Глава III. Теория интеграла 81
§ 1. Интегрирование простых функций 81
§ 2. Интегрирование измеримых ограниченных функций 86
§ 3. Связь между интегралами Римана и Лебега 91
§ 4. Интегрирование неотрицательных неограниченных функций . . 94
§ 5. Интегрирование неограниченных функций любого знака . . . 100
§ 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега 105
§ 7. Интегрирование по множеству бесконечной меры ПО
§ 8. Суммируемость и несобственный интеграл Римана 112
§ 9. Интегрирование комплекснозначных функций 115
§ 10. Интеграл по заряду 116
§11. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Связь с интегралом Римана —
Стилтьеса 117
§ 12. Интеграл Лебега и теория рядов 119
Глава IV. Меры в произведениях пространств. Теорема Фубини .... 121
§ 1. Прямое произведение измеримых пространств, сечение множеств
и функций 121
§ 2. Произведение мер 123
597

§ 3. Теорема Фубини 126
§ 4. Произведение конечного числа мер . . 131
Глава V. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер, зарядов и
функций. Теорема Радона — Никодима. Замена переменной в интеграле
Лебега 133
§ 1. Абсолютно непрерывные меры и заряды 133
§ 2. Теорема Радона — Никодима 135
§ 3. Производная Радона — Никодима. Замена переменной в
интеграле Лебега 140
§ 4. Отображения пространств с мерой. Замена переменной в интеграле
Лебега (другой подход) 143
§ 5. Сингулярность мер и зарядов. Разложение в смысле Лебега . . .146
§ 6. Абсолютно непрерывные функции. Простейшие свойства . . .148
§ 7. Связь абсолютно непрерывных функций с зарядами 151
§ 8. Формула Ньютона — Лейбница. Сингулярные функции.
Разложение функции ограниченной вариации в смысле Лебега . . . .154
Глава VI. Линейные нормированные и гильбертовы пространства * · .159
§ 1. Понятие топологического пространства 159
§ 2. Линейные топологические пространства 160
§ 3. Линейные нормированные и банаховы пространства 162
§ 4. Пополнение линейных нормированных пространств 165
§ 5. Предгильбертовы и гильбертовы пространства 168
§ 6 Квазискалярное произведение и полунормы 172
§ 7. Примеры банаховых и гильбертовых пространств 174
§ 8. Пространства суммируемых функций. Пространства 1Р .... 178
Глава VII. Линейные непрерывные функционалы и сопряженные
пространства . « 193
§ 1. Теорема о почти ортогональном векторе. Конечномерные
пространства 193
§ 2. Линейные непрерывные функционалы и их простейшие свойства.
Сопряженное пространство 197
§ 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов 200
§ 4. Некоторые следствия из теоремы Хана — Банаха 206
§ 5. Общий вид линейных непрерывных функционалов в некоторых
банаховых пространствах 209
§ 6. Вложение линейного нормированного пространства во второе
сопряженное. Рефлексивные пространства 218
§ 7. Теорема Банаха — Штейнгауза. Слабая сходимость 220
§ 8. Понятие тихоновского произведения и слабая топология в
сопряженном пространстве 227
§ 9. Ортогональность и ортогональные проекции в гильбертовом
пространстве. Общий вид линейного непрерывного функционала 230
§ 10* Ортонормированные системы векторов и ортонормированные базисы
в гильбертовом пространстве 234
Глава VIII. Линейные непрерывные операторы 242
§ 1. Линейные операторы в нормированных пространствах .... 242
§ 2. Пространство линейных непрерывных операторов 246
§ 3. Произведение операторов. Обратный оператор 250
§ 4. Сопряженный оператор 257
§ 5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах .... 261
§ 6. Матричное представление операторов в гильбертовом пространстве 266
§ 7. Операторы Гильберта — Шмидта 271
§ 8. Спектр и резольвента линейного непрерывного оператора 275
598

Глава IX. Компактные операторы. Уравнения с компактными
операторами . · 280
§ 1. Определение и свойства компактных операторов 280
§ 2. Теория Рисса— Шаудера разрешимости уравнений с компактными
операторами 285
§ 3. Разрешимость интегральных уравнений Фредгольма 292
§ 4. Спектр компактного оператора 297
§ 5. Спектральный радиус оператора ♦ . . 300
§ 6. Решение интегральных уравнений второго рода методом
последовательных приближений 304
Глава X. Спектральное разложение для компактных самосопряженных
операторов. Аналитические функции от операторов 308
§ 1. Спектральное разложение для компактного самосопряженного
оператора 308
§ 2. Интегральные операторы с эрмитовыми ядрами 313
§ 3. Интеграл Бохнера 320
§ 4. Аналитические функции от операторов 324
Глава XI. Элементы теории обобщенных функций 333
§ 1. Основные и обобщенные функции 333
§ 2. Операции над обобщенными функциями , , . 344
§ 3. Обобщенные функции медленного роста. Преобразование Фурье . 348
Глава XII. Общая теория неограниченных операторов в гильбертовом
пространстве 357
§ 1. Определение неограниченного оператора. График оператора 357
§ 2. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание.
Дифференциальные операторы 360
§ 3. Понятие сопряженного оператора 366
§ 4. Дефектные числа общих операторов 372
§ 5. Эрмитовы и самосопряженные операторы. Общие сведения . . . 376
§ 6. Изометрические и унитарные операторы. Преобразование Кэли 382
§ 7. Теория расширения эрмитовых операторов до самосопряженных 386
Глава XIII. Спектральные разложения для самосопряженных, унитарных
и нормальных операторов. Критерии самосопряпенности 393
§ 1. Понятие разложения единицы и его свойства 394
§ 2. Построение спектральных интегралов 399
§ 3. Образ разложения единицы и замена переменных в спектральных
интегралах. Произведение разложений единицы 407
§ 4. Спектральное разложение для ограниченных самосопряженных
операторов 412
§ 5. Спектральное разложение для унитарного и ограниченного
нормального операторов 422
§ 6. Спектральные разложения для неограниченных операторов . . . 430
§ 7. Спектральное представление однопараметрической унитарной
группы и операторные дифференциальные уравнения 441
§ 8. Эволюционные критерии самосопряженности 448
§ 9. Квазианалитические критерии самосопряженности и
коммутируемости 454
§ 10. Самосопряженность возмущенного оператора 460
Глава XIV. Оснащенные пространства 462
§ 1. Гильбертовы оснащения 462
§ 2. Оснащение гильбертова пространства линейными топологическими
пространствами 467
§ 3. Соболевские пространства в ограниченной области 475
§ 4. Соболевские пространства в неограниченной области.
Классические пространства основных функций 480
599

§ 5. Тензорные произведения пространств 489
§ 6. Теорема о ядре 495
§ 7. Пополнение пространства по двум нормам 504
§ 8. Полуограниченные билинейные формы 507
Глава XV. Разложение по обобщенным собственным векторам 516
§ 1. Дифференцирование операторнозначной меры и разложения
единицы 516
§ 2. Обобщенные собственные векторы и проекционная спектральная
теорема 522
§ 3. Преобразование Фурье по обобщенным собственным векторам и
прямой интеграл гильбертовых пространств 527
§ 4. Разложение по собственным функциям карлемановского оператора 531
Глава XVI. Дифференциальные операторы 536
§ 1, Теорема об изоморфизмах для эллиптического оператора . . . 536
§ 2. Локальное повышение гладкости обобщенных решений
эллиптических уравнений 545
§ 3. Эллиптические дифференциальные операторы в области с границей 554
§ 4. Дифференциальные операторы в \RN 558
§ 5. Разложение по собственным функциям и функция Грина
эллиптических дифференциальных операторов 565
§ 6. Обыкновенные дифференциальные операторы 577
Список использованной и рекомендуемой литературы 589
Комментарий к списку литературы. 592
Предметны й указатель 594
Список основных обозначений 596
Учебное пособие
Березанский Юрий Макарович
Ус Георгий Федорович
Шефтель Зиновий Григорьевич
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Курс лекций
Переплет художника В. В. Капустовича
Художественный редактор С. В. Анненков
Технический редактор Л. Я. Швец.
Корректор Л. М. Байбородина
ИБ № 12904
Сдано в набор 31.12.88. Подписано в печать 16.04.90. Формат 60X90Vie. Бум. тип № 2.
Гарнитура литературная. Високая печать. Усл. печ. л. 37,5. Усл. кр.-отт. 37,5. Уч.*
изд. л. 44,92. Тираж 3600 экз. Изд. № 8799. Заказ № 9-227. Цена 1 р. 90 к.
Издательство «Выща школа», 252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7
Книжная ф-ка им. М. В. Фрунзе, 310057, Харьков-57, ул. Донец-Захаржевского, 6/8.
600