ГЕОМЕТРИЯЛЫҚСАЛУ
ЕСЕПТЕРІ
^(Loiicii^oLjtjbtcLi joL^^oic-bo^tcK,
;|ci^foJql*c *yokc j/LaJiJdx, joj|jU uK.L
Л,lli;
C.tc|0jb<y0 blttCO^tcJ

ӘЛ ФӘРӘБИ
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ САЛУ ЕСЕПТЕРІ
(ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ФИГУРАЛАРДЫҢ
ЖУМБАҚТАРЫ ЖАЙЛЫ РУХАНИ АЙЛАЛЫ
ТӘСІЛДЕР МЕН ТАБИҒИ СЫРЛАР КІТАБЫ)
Алматы, 2017

ӘОЖ514
КБЖ 22.151
Б52
Қазақша нусқаны дайындагандар:
Бидайбеков Есен Ықласұлы,
Бостанов Бектас Ғаниұлы, Білэл Шерэлі,
Үмбетбаев Қайрат Үсенбайұлы
Пікір беруіиілер:
ӨтелбаевМ. - Қазақстан Ғылым Академиясының Математика жэне матема-
тикалық модельдеу институтының бас ғылыми қызметкері, Қазакстан Ғылым
Академиясының академигі, ф.- м .ғ .д ., профессор;
Тоқыбетов Ж. Ә . - Ә л -Фараби атындағы Қазак ұлттық университеті, Меха­
ника-математика факультеті, Іргелі математика кафедрасының профессоры ,
ф.-м.ғ.к.
Бидайбеков Е.Ы . және т.б.
Б52 Геометриялықсалу есептері(Геометриялықфигуралардын
жұмбақтары жайлы рухани айлалы тәсілдер мен табиғн
сырлар кітабы): Оқу құралы. Алматы; Абай атындағы
ҚазҮПУ, 2017. -
156 б.
Бұл оқу кұралы эл Фәрәбидің «Геометриялық фигуралардың жумбактары
жайлы рухани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабы» атты еңбегінің
арабша нұсқасының негізінде қазақшага тэржімеленіп, ұсынылып отыр. Оку
кұралы оқытушылар, оқушылар , студенттер мен өз бетінше кызығушыларға
арналған.
ӘОЖ514
КБЖ 22.151
ISBN 978-601-289-128-7
Көбесов Ауданбек
© Бидайбеков Е.Ы., Бостанов Б.Ғ ,
Білэл Ш„ Үмбетбаев Қ.Ү., 2017
© Қазакстан Республнкасы жогары ок>
орындарының кауымдастығы. 2017

МАЗМ¥НЫ
К ірісп е................................................................................... 4
БІРІНШІ КІТАПША. Дөңгелек центрін
анықтау т у р ал ы .................................................................... 11
ЕКІНШ І КІТАПША. Тең қабырғалы
фигураларды салу турал ы ................................................. 23
ҮШІНШІ КІТАПША. Дөңгелекке іштей сызылған
фигураларды салу турал ы ................................................. 34
ТӨРТІНШІ КІТАПША. Фигураларға сырттай
дөңгелек салу т ур ал ы ......................................................... 47
БЕСІНШІ КІТАПША. Фигураларға іштей
дөңгелек салу т ур ал ы ......................................................... 52
АЛТЫНШЫ КІТАПША. Кейбір фигураларға іштей
басқа фи гураларды салу турал ы ...................................... 54
ЖЕТІНШІ КІТАПША.Үшбұрыштарды бөлу туралы ..74
СЕГІЗІНШІ КІТАПША. Төртбұрыштарды бөлу
т у рал ы .................................................................................... 82
ТОҒЫЗЫНШЫ КІТАПША. Шаршыларды (квадратты)
бөліктеу жэне оларды құрастыру туралы ....................... 107
ОНЫНШЫ КІТАПША. Сфераларды бөлу іуралы ..... 134
«Геометриялық фигуралардың жұмбақтары
ж айлы рухани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар
кітабына»
ЕСК ЕРТУЛ ЕР....................................................................... 145
--- -- ---- ---- -- ---- --- й ( Г > , --------------------

КІРІСПЕ
Ортағасырлық ұлы ойшыл, данышпан , энциклопе -
дияшы, ғұлама ғалым бабамыз эл Фәрәби (870-950 жж)
өзінің артында аса бай ғылыми мұра қалдырды. Ғұла -
маның математикалық мұрасы да оның зерттеулерінде
қомақты орын алады. 1972 жылы мұсылман Шығысы
ғылым тарихы мен педагогикасы бойынша көрнекті та­
лым, профессор Ауданбек Көбесовтің құрастыруымен эрі
редакторлығымен эл Фәрәби бабамыздьщ белгілі мате-
матикалық еңбектері жинастырылып, араби түпнұсқадан
тэржімеленіп, орыс тілінде толық жинақ болып Ғылым
Академиясының «Ғылым» баспасынан «Математикалық
трактаттар» деген атпен жарық көрді. Оған «Әл Фәрә-
бидің математикалық еңбектері туралы» деген кіріспе
мақаланы физика-математика ғылымдарының кандидаты
А. Көбесов пен профессор Б. А . Розенфельд жазды . Ал біз
қарастырғалы отырған сол көп трактаттардың бірі «Гео-
метриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы рухани
айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабы»1- трактатьш
С. А. Краснова мен А. Көбесов орыс тіліне тәржімелеген .
Біз оны орысшадан араби нұсқаны негізге ала отырып,
қазақшаға тәржімеледік. Бұнымыз ұлы бабамыздың ма -
тематикалық трактаттарының, оның ішінде геометриялық
трактатының қазақ тіліндегі алғашқы нұсқасы болмақ.
«Геометриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы ру­
хани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабы» - т рактат
қолжазбасының жалғыз данасы Торнберг қаласы, Упсаль
университеті (Швеция) кітапханасында сақталған.

Ауданбек Көбесов ағамыз анықтағандай. немістің
белгілі арабтанушысы Штейншнейдер (М. Steinschneider.
Alfarabi. D es arabischen Philosophen Leben und Schriften.
St - Petersburg, 1869.) кателесіп, бұл еңбекті эл Фәрәбидің
«Үміт мақсаты құм өнерінде және фигураларды түзету»
деген трактатымен шатастырған. Ол Бодлеян кітапхана -
сында (Оксфорд) сақталған және ол геометрияға емес,
геомантияға арналған болатын. Ал біз қолга алып отырған
бірінші еңбек геометриялық салу есептеріне арналған
және толығымен дерлік Абу-л -Ваф ал -Бузджанидың
(940-998 жж.) «Геометриялық салулардан қолөнершіге не
қажеттілігі туралы кітап» трактатына енгізілген [1-сурет].
[ 1-сурет] Әл Фәрәбидің геометрияльщ салулар туралы трак­
таты цолжазбасының алгашқы беттері.
Бұл кітапта әл Фәрәби жалпы сипаты арифметикалық,
алгебралық, геометриялық есептерді шешудің , ең ал-

дымен, есептеу математикасы , есептеу жүргізу алгоритм -
дер! болып келген ортагасырлық Шығыс математикасына
сәйкес геометриялық салулардың алгоритмдеріне басты
назар аударған.
Әл Фәрәбидің бұл еңбегі тұтасымен жер өлшеудегі,
архитектурадағы, техника мен геодезиядағы маңызды
геометриялық салуларға арналған он кітапшадан (мақа-
латтан) тұрады.
Бірінші кітапшада циркуль мен сызғыштың көмегімен
орындалатын қарапайым салулар қарастырылған. Мұнда
сонымен қатар «өртегіш айна», яғни парабола салудың
екі нұсқасы, куб пен шарды екі еселеудің механикалық
шешімі, сонымен бірге бұрыштың трисекциясын салу
көрсетілген.
Екінші кітапша берілген кесінді бойынша дұрыс
көпбұрыштарды салуға арналса, ал үшінші кітапша дон­
гелекке іштей дұрыс көпбұрыштарды салуға арналған.
Төртінші кітапшада үшбұрыш пен дүрыс
көпбұрыштарға сырттай дөңгелек салуға арналған есеп-
тер шешіледі де, ал бесінші кітапша үшбұрышка іштей
дөңгелек салуға арналған. Алтыншы кітапша бір бірінің
іштеріне салынған дұрыс көпбұрыштарды қарастырады.
Кейбір есептерде үшбұрыштарды салу гомотетия әдісін
қолдануға негізделген.
Жетінші кітапшада үшбұрышты тең бөліктерге бөлу,
оны бірнеше есе үлкейту және кішірейту есептері қара-
стырылып, гомотетия әдісі қолданылады .

Сегізінші кітапша параллелограмды және трапецияны
әртүрлі шарттарды қанағаттандыратын түзулермен бөлуге
арналған. Мұнда да гомотетия эдісі қолданылады .
Тогызыншы кітапшада п2шаршылардан шаршыға түр-
лендірудің, 2п2 және п2+ш2 шаршылардан шаршы құра-
стырудың бірқатар есептері мен кері есептері шешілген
де, теңдей үш шаршыдан шаршы құрастырудың эртүрлі
әдістері келтірілген.
Оныншы кітапша сферада әртүрлі салуларды салуға,
оның ішінде төбелері көпбұрыштардың төбелері бола-
тын іштей сызылган дұрыс көпжақтардың салынуымен
бірдей, сфераны дұрыс сфералық көпбұрыштарға бөлуге
арналған.
«Геометриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы
рухани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабы» -
трактатында Кеңес одағында қабылданған араб әліпбиі
эріптерінің транскрипциясы бойынша сызбаларда араб
әріптері латын әріптерімен мына тәртіп бойынша алмас-
тырылған:
абДЖДX3Xтик
АВСDЕGНFIК
лмнсФскРшт
LМN
XРZQRSТ
Ы.ІУ

Мэтінге кейбір сөздердің кірмей қалуынан немесе сөз
қосу қажеттілігі туғанда ол сөздер, түсінікті болу үшін тік
жақшаға алынып жазылады.
Кітаптың бір ерекшілігі, осыдан он ғасырдан астам
бұрын жазылғанына қарамастан, бүгінгі оқулықтар
сияқты, жаттығы білінбей жеңіл оқылатындығы жэне
түсініктілігі. Осы қалпында оқулықтарға енгізіп жіберсе
болғандай. Бұл біріншіден, ұлы бабамыздың данышпан-
дығының белгісі болса, екіншіден Бас тәржімен Ауданбек
Көбесов ағамыздың ғылым атауларын дэл тауып, баяндау
тэсілін жетік меңгеруінде біліктілік танытуынан дегеніміз
жөн болар. Біздің мақсатымыз, жалпы ұлттық тәржімен-
дер мақсаты ұлы бабамыздың шығармасын бэз қалпында,
шынайы дәлдікпен қазақ тілінде айшықты сөйлете білу.
Сол үшін аянбай еңбек етуге тура келетіндігі даусыз.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ФИГУРАЛАРДЫҢ
ЖҰМБАҚТАРЫ ЖАЙЛЫ РУХАНИ АЙЛАЛЫ
ТӘСІЛДЕР МЕН ТАБИҒИ СЫРЛАР КІТАБЫ

Аса қамқор, ерекше мейірімді Алланың атымен бастай-
мын.
Біздерге ақыл сыйлаушының даңқы шексіз арта берсін,
оған шексіз - шетсіз мадақтау мен мақтау буйырсын, Му­
хаммед пен оның ұрпағына2Алланың нуры жаусын!
Ғылым салалары тым көп жэне өнерлерді де санап
шығу мүмкін емес болғандықтан, біз оны бурын да, сол
туралы3 жазғанымызда білгенбіз, ал геометрия өнері
табигаттану ғылымдары үшін де, философия мәселелері
үшін де қажет, жэне де мен ғалымдардың кітаптарының
жеңіл-желпі нәрселерге толы екенін, ал көп пайдалы нәр-
селердің елеусіз қалдырылганын көрдім, сондықтан да
осы, «Геометриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы
рухани айлалы тэсілдер мен табиғи сырлар кітабы »4деп
аталатын кітапты жаздым. Мен оны он кітапшадан тура-
тындай тэртіпке келтірдім. Басында да жэне соңында да
Алланың даңқы арта берсін!

Центрдің бөліктері жайында5
БІРІНШ І КІТАПША
Дөңгелек центрін анықтау туралы6
[I] Егер ол сегментті толық дөңгелекке дейін қалай
толықтыру керек десе, онда ABC сегментін саламыз да,
В нүктесінде қақ бөлеміз. АВ жэне ВС сызықтарын жүр -
гізіп, АВ мен ВС сызықтарындағы А жэне С нүктелерінің
әрқайсысына BCD жэне BAD тік бұрыштарын тұрғыза-
мыз. BD сызығын жүргізіп, оны Е нүктесінде қақ бөлеміз.
Сонда Е нүктесі ABC7доғасының центрі болып табылады.
Міне оның суреті [2-сурет].
[II] Егер ол центрі D нүктесі болатын ВС дөңгелегіне A
нүктесінен қалай жанама жүргізуге болады десе, онда AD
D
В
[2-сурет]

сызығын жүргіземіз. Ол ВС дөңгелегін В нүктесінде қия -
ды. D центрінен DA қашықтықта АЕ дөңгелегін салайық.
В нүктесінде АВЕ тік бұрышын тұрғызып, ВС дөңгелегін
С нүктесінде қиятын ED сызығын жүргіземіз. А мен С -ны
қосамыз. Сонда АС ВС8 дөңгелегіне жүргізілген жанама
болып табылады. Міне оның суреті [3-сурет].
[III]
Егер ол жанаманы
қолөнершінің тэсілі бойьшша
сал десе, онда сызғышты ВС
сызығына орналастырып цир­
куляр бір шамаға ашамыз. Егер
оның бір ұшы сызғыш бойымен
қозғалатын болса, онда екінші
үітты А нүктесі арқылы өтіп,
ВС9-ға параллель сызықты
береді. Міне оның суреті [4-су-
рет].
--------------------------
[4-сурет]

[IV] Егер ол: А нүктесінен АВС дөңгелегінің шеңберіне
жанаманы қалай жүргізеді десе. онда А нүктесін дөңге -
лектің центрі D нүктесімен косамыз, демек А мен D-ны
[AD сызығымен] қосамыз. А нүктесінде AD сызығының
бойымен DAE тікбүрышын тұрғызамыз. Сонда АЕ сы -
зыгы ABC дөңгелегіне жанама болады10 Міне оның суреті
[5-сурет].
[V] Егер ол ABC үшбүрышының АВ және АС сызықта-
рының арасына ВС-ға параллель болатын жэне егер ВС
сызығы D сызығынан кіші болған жағдайда берілген D
сызыгына тең сызық сал десе, онда ВС сызығын оның
бағытында [BE D-ға тең болатындай Е нүктесіне дейін]
созып, ал [егер ВС D сызығынан үлкен болса] D-ға тең
BE сызыгын ВС сызыгына саламыз. Е нүктесінен АВ
сызыгына параллель сызық жүргіземіз. Ол АС -ны G нүк-
тесінде қиып өтеді. G нүктесінен ВС сызыгына параллель

сызық жүргіземіз; Бұл АВ-мен қиылысатын GH сызыгы.
Сонда GH D сызығана тең жэне ВС11сызығына параллель.
Міне оның суреті [6-сурет].
[6-сурет ]
[VI] Егер ол ABC үшбұрышының АВ және АС сы-
зықтарының арасына ВС сызығына параллель, мысалы
АВ сызығында ол қиып алатын
кесіндіге тең, яғни ЕВ сызығы-
на тең DE сызығын салу керек
болса, онда АСВ бұрышын BD
сызығымен қақ бөлеміз де, D
нүктесінен ВС-ға параллель
DE сызығын жүргіземіз. Сонда
DE сызығы ЕВ12 сызығына тең.
Міне оның суреті [7-сурет].
А
[7-сурет]

[VII]
Егер ол АВС үшбұрышында, мысалы, ВС сы-
зыгына параллель және BE мен Ғ сызықтарына тең DE
сызығын сал десе, онда ВС сызыгына F сызығына тең
BG сызығын салып, G нүктесі арқылы АВ-ға параллель
GH сызығын жүргізіп, HGC бұрышын қақ бөлетін GD сы-
зығын [G нүктесі арқылы] жүргіземіз де D нүктесінен ВС
сызыгына параллель DE сызығын жүргіземіз. Сонда DE
сызыгы BE және F13сызықтарына тең. Міне оның суреті
[8-сурет].
A
[8-cypem]
[VIII] Басқа үшбұрышқа тең үшбұрьппты салу туралы.
Егер ол қабырғалары басқа үшбұрыштың қабырғалырына
тең үшбұрышты сал десе [мысалы АВС], онда DE түзу сы-
зығын жүргіземіз де, АВ сызығына тең DG, ВС сызығына
тең GH жэне СА тең HF сызығын саламыз. G нүктесін
центр ретінде қабылдап GD қашықтығында дөңгелек
бөлігін келтірейік, сол сияқты Н нүктесін центр ретінде

қабылдап НҒ қашықтығында дөңгелек бөлігін келтіреміз.
Бірінші бөлігі [екінші бөлігін] I нүктесінде қиып өтеді.
Ары қарай GI және ІН сызықтарын жүргізейік. Онда G1H
үшбұрышының қабырғалары ABC14 үшбүрышының қа-
бырғаларына тең. Міне оның суреті [9-сурет].
ЕF
Н
G
DC
Е
[9-сурет]
[IX] Бұрышты тең үш бөлікке бөлу туралы. Егер ол ABC
бұрышын тең үш бөлікке бөл десе, онда ABC бұрышы
тік бұрышты болса, ВС сызығында тең қабырғалы DBC
үшбұрышын тұрғызамыз. Сонда ABD бүрышы тік бұрыш-
тың үштен бір бөлігі. DBC бұрышын қақ бөлеміз15. Міне
оның суреті [10-сурет].
[10-сурет]

[X]
Егер бұрыш тік бұрыштан кіші болса, онда В
нүктесін центр ретінде қабылдап ВА қашықтықта DAC
дөңгелегін келтіреміз. BD ны ВС-ға тік бұрыш бойынша
қойып, СВ-ны дөңгелекпен қиылысқанша Е нүктесіне
созамыз. Сызғышты А нүктесіне әкеліп, оны CDE дөңге-
легінің шеңбері бойынша DB перпендикуляры және DE
доғасының арасында жатқан HF сызығы DB сызығына
тең болғанша қозғайтын боламыз, бүл жағдайда сызғыш
А нүктесінен таймайды. Ары қарай ЕҒ доғасына тең ЕК
догасын саламыз да, КВ жүргізіп L нүктесіне дейінгі
бағытта жалғаймыз. Онда LBC бұрышы ABC бұрышының
үштен бірі болады. Әрі қарай ABL бұрышын қақ бөлеміз16
Міне оның суреті [11-сурет].
[11-сурет]
[XI] Бұрышты тең үшке бөлудің басқа тәсілі. ABC сүйір
бұрышын түрғызайық та және егер біз оны тең үш бөлікке
бөлгіміз келсе, А нүктесінен АН перпендикулярын [ВС

сызығына нүктеден түсіреміз]. В нүктесіне сызғышты
әкеліп, AD мен АН сызықтарының арасына орналасқан
сызық екі еселенген АВ болғанша қозғайтын боламыз.
Бүл мысалы DEB сызығы, демек DE сызығы екі еселен­
ген АВ сызығы болып табылады. Ендеше DBC бұрышы
ABC17 бұрышының үштен бір бөлігі. Міне оның суреті
[12-сурет].
[XII] Доғаны тең үш бөлікке бөлу туралы. Егер ол ABD
доғасын тең үш бөлікке бөлу керек десе, онда осы доға
орналасқан дөңгелектің центрін табамыз. Бүл Е нүктесі
болсын. А мен Е-ні, Е мен D-ны қосып, ABCD доғасын
В мен С нүктелерінде қиып өтетін ЕВ және ЕС сызықта-
рымен AED бұрышын үш тең бөлікке бөлеміз. Сонда
ABCD доғасы үш тең бөлікке АВ, ВС жэне CD18доғала-
рына бөлінетін болады. Міне оның суреті [13-сурет].

A
В
С
П
[13-сурет]
[XIII] Екі еселенген басқа үйге немесе шарға тең немесе
басқа қатынаста алынған үй немесе шар салу туралы. Егер
ол ұзындыгы, ені, биіктігі өзара тең екі еселенген басқа
үй болып табылатын квадрат үйді салу керек болса неме­
се басқа екі еселенген болып келген шарды салу, немесе
қақ бөліп немесе басқа бір қатынастарда болып табылатын-
шарды қалай салу керек десе, онда үй үзындыгына жэне шар
диаметріне тең АВ сызығын түрғызамыз, екі еселенген тік
бұрыш бойынша АВ сызығына АС сызығын салып, DABC
жазық фигурасын толықтырамыз. AD мен ВС диагоналда-
рын жүргіземіз. Олар F нүктесінде қақ бөлінеді. Олардың
бағытында DC мен DB сызықтарын созамыз. Сызғыштың
шетін А нүктесіне қоямыз да оны GC және ЕВ сызықтары
бойынша [ол оларды Е жэне G нүктелерінде қиылысқанша]
GF пен FE тең болатындай болганша қозғайтын боламыз.
Сонда үйдің үзындығы немесе шардың диаметрі BE19 сы-
зығы болады. Міне оның суреті [14-сурет].

I
[XIV] Өртегіш айна жасау туралы. Егер біз күн сәу -
лелерінің көмегімен бір қашықтықтан затты өртейтін
айнаны жасағымыз келсе, онда алдымен айнаны айқын -
дайтын (лекало) даяр үлгісін жасайық. Ол үшін дөңгелек
салайық, оның жарты диаметрі өртегіміз келетін заттьщ
арақашықтығының шамасына тең. Бұл ABC дөңгелегі
болсын. Оның ADC диаметрін жүргізейік. DC сызыгына
С нүктесінен бірнеше тең кесінділер салайық. Бүл кесін -
ділер кіші болған сайын даяр үлгі жақсырақ және дэл бо-
лады. Бұл кесінділер CF, FH, HG, GE жэне ED болсын. D
нүктесі арқылы [CD-ға] тік бүрыш бойынша Е, G , Н жэне
F сызықтарын жүргізейік те, оларды екі жағына да В, I, К ,
L жэне М нүктелеріне дейін созайық. С мен В, С мен I, С
мен К, С мен L, С мен М нүктелерін қосайық. СМ сызыгы­
на тең FN сызыгын, CL-ге тең НХ, СК -ға тең GO, СІ-ге тең
ЕР жэне СВ-га тең DS сызығын салайық. С, N, X, О, Р және
S нүктелерін қосайық та, осы сызық бойынша даяр үлгісін
-------------------------- --- ------------------------------------

(лекало) жасайық. Сосын металдан, мысалы темірден, қо-
ладан, мыстан немесе цинктен айна дайындайық та, егер
мүмкін болса, оны ысып жалтыратайык. Егер айна қисық
болып шықса, оны даяр үлгісі бойынша даяр үлгіні айнаға
С нүктесі даяр үлгінің ортасына дәл келетіндей айнаның
даяр үлгімен беттесуіне қол жеткізетіндей етіп даяр үлгіні
айнаға беттестіріп түзетеміз. Сонда үлкен өртегіш күші20
бар өртегіш айнаны аламыз. Міне оның суреті [15-сурет].
[15-сурет ]
[XV] Өртегіш айна жасаудың екінші тәсілі. Егер оны
біз жасағымыз келсе, онда кез келген қашықтықты [оның
жартысы АВ сызығы болсын] аламыз да, оны С нүтесі-
не дейінгі оның бағытына созамыз. В нүктесіне ВС-ға
перпендикуляр DB сызығын қарама-қарсы екі жағына да
орнатайық та, ВС сызығына өзара тең кіші сызықтарды
BE, EG, GH және НС салайық. F нүктесінде АЕ-ні қақ
бөліп, F центрінен FA қашықтықта дөңгелек сызайық.
Ол BD сызығын I нүктелерінде қияды. I нүктелерінен АС

сызықтарына параллель IL сызықтарын жүргізейік те Е
нүктесінен BD сызығына параллель сызықты L нүктелері-
не дейін жүргізейік. Сосын AG сызығын М нүктесінде қақ
бөліп, М нүктесінен МА қашықтықта дөңгелек сызамыз .
Ол BD сызығын N нүктелерінде қияды. N нүктелерінен
АС сызығына параллель NX сызықтарын X нүктесіне
дейін жүргіземіз. Сосын АН сызығын О нүктесінде қақ
бөліп, О центрінен ОА қашықтықта дөңгелек сызамыз . Ол
BD сызығын Р нүктелерінде қияды. Р нүктелерінен ВС -ға
параллель Z нүктелеріне дейін сызықтар жүргізейік. В, L,
X және Z нүктелерін сызықпен қосьш, даяр үлгі аламыз.
Егер біз даяр үлгіні тексеретін болсақ, оны В нүктесін
айнаның ортасына орналастырамыз. Сонымен біз үлкен
өртегіш күші бар өртегіш айна аламыз21 Міне оның су-
реті [16-сурет].

ЕКІНШІ КІТАПША
Тең қабырғалы фигураларды салу туралы.
[I] Үшбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына
тең қабырғалы үшбұрышты қалай тұрғызамыз десе, онда
центрлер ретінде А мен В нүктелерінің эрқайсысынан
АВ қашықтықта дөңгелек сызамыз. Олар С нүктесінде
қилысады. С нүктесін А және В нүктелерімен СА жэне
СВ түзу сызықтарымен қосайық. ABC22 тең қабырғалы
үшбұрышы шығады. Міне оның суреті [17-сурет].
[II] Шаршы салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең
қабырғалы [және тең бұрышты] төртбұрышты қалай
тұрғызамыз десе, онда А мен В нүктелерінің әрқайсысына
перпендикуляр өзара тең АВ сызықтарын орнатамыз. Ол —
АС мен BD сызықтары. С мен D-ны қосып тең қабырғалы
[және тең бұрышты] ABCD23 төртбұрышын аламыз. Міне
оның суреті [18-сурет].
с
в
А
[17-сурет]

с
D
В
А
[18-сурет]
[III] Бесбурышты салу туралы. Егер ол АВ сызыгын -
да тең қабырғалы бесбұрышты қалай тұрғызайық керек
десе, онда В нүктесіне АВ -ға тең ВС перпендикулярын
орнатамыз. АВ [сызығын] D нүктесінде қақ бөліп, D
нүктесін центрі ретінде DC қашықтықта СЕ доғасын сы-
замыз да, АВ сызығын Е нүктесіне дейін созамыз . Сосын
А мен В нүктелерінің эрқайсысын центрі ретінде алып
АЕ қашықтықта доғалар сызамыз. Олар G нүктесінде
қиылысады. AG жэне BG сызықтарын жүргізейік. ABG
үшбүрышын - бесбұрыштың үшбұрышын аламыз . Бұл
көптеген салуларда қажет болады. Содан соң А мен G нүк-
телерін центрлер ретінде алып, АВ қашықтықта доғалар
сызамыз. Олар Н нүктесінде қиылысады . Сосын центрлері
ретінде В мен G нүктелерінен F нүктесінде қиылысатын
доғалар сызамыз. AH, HG, GF және FB сызықтарын жүр-
гізіп, тең қабырғалы , тең бұрышты ABFGH24бесбұрышын
аламыз. Міне оның суреті [19-сурет].

G
E
A
В
H
[19-cypem ]
[IV] Егер ол AB сызығына тең циркуль ашасымен ғана,
оның күйі өзгермейтіндей етіп АВ сызығына тең қабыр-
ғалы бесбұрыш тұрғыз десе, онда АВ сызығына оган
перпендикуляр АВ сызығына тең ВС сызыгын орнатамыз.
АВ сызығын D нүктесінде қақ бөліп, С-мен қосамыз да
D нүктесін центр ретінде алып, АВ қашықтықта DC
сызығында I нүктесін белгілейміз, DI-ді К нүктесінде
қақ бөліп, АВ сызыгын Е нүктесінде қиып өтетін К
нүктесіне КЕ перпендикулярын тұрғызамыз. Ары қарай
А мен Е нүктелерінің әрқайсысынан центрлері ретінде
АВ қашықтықта доғалар сызамыз. Олар М нүктесінде
қиылысады. ВМ -ді жүргізіп, оны G-ға дейін оның бағы-
тында созамыз да, MG-ді АВ сызығына тең етеміз. А мен
G-ді қосамыз. А мен G-ді центрлер ретінде қабылдап, АВ
қашықтықта Н нүктесін белгілейік. В мен G нүктелерін
центрлер ретінде қабылдап, АВ қашықтықта А нүктесін

белгілейік. AH, HG, GF және FB сызықтарын жүргізейік.
Тең қабырғалы AFBGH25бесбұрышы шығады. Міне оның
суреті [20-сурет].
G
[20-сурет]
[V] Алты бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына
тең қабырғалы және [тең бұрышты] алты бұрыш тұрғыз
десе, онда ол үшін тең қабырғалы ABC үшбұрышын
тұрғызамыз. АС мен ВС сызықтарын олардың бағытта -
рында Е мен G нүктелеріне дейін созайық. ВС -да тағы
бір тең қабырғалы BCD үшбұрышын тұрғызайық. DC
сызығын оның бағытында Н нүктесіне дейін созып, СЕ,
CG жэне СН сызықтарын СА сызығына тең етеміз де. DE,
EG, GH және НА сызықтарын жүргіземіз. Тең қабырғалы
және тең бұрышты ABDEGH26 алты бұрышы шығады.
Міне оның суреті [21-сурет].
________________ ________________________

в
I
н
А
G
[21-сурет]
[VI] Жеті бұрышты салу іуралы. Егер ол АВ сызыгы -
на тең қабырғалы жеті бұрышты тұрғыз десе, онда ВС
сызығын АВ сызығына тең етіп, АС сызығына тең қабы -
рғалы DAC үшбұрышын тұрғызамыз да бесінші тарауда
көрсетілгендей ABC үшбұрышына сырттай дөңгелек
сызамыз. Онда АВ сызығына тең АЕ сызығын -хорданы
жүргізіп G нүктесінде АЕ-ні қақ бөлеміз, GH перпендику-
лярын орнатып, оны дөңгелек шеңберіне дейін созамыз.
АВ-ны F нүктесінде қақ бөліп, оған GH перпендикулярына
тең FI перпендикулярын тұрғызайық. А, В және I нүкте-
лері арқылы АВІ дөңгелегін жүргізіп [оған] АВ доғасына
тең АК, KL, LI, ІМ, MN жэне NB доғаларын саламыз. АК,
KL, LI, ІМ, MN жэне NB сызықтарын жүргізейік; бұл тең

қабырғалы жэне тең бұрышты жеті бұрыш27 Міне онын
суреті [22-сурет].
[22-сурет]
[VII] Сегіз бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына
тең қабырғалы сегіз бұрышты қалай тұрғызу керек десе,
онда АВ-ны оның бағытында С мен D нүктелеріне дейін
созып А мен В нүктелерінің әрқайсысы үшін тікбұрыштың
жартысына тең ЕАС және GBD бұрыштарын саламыз. АЕ
және BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең
етіп алып Е мен G нүктелерінің әрқайсысынан DC сы-
зығына ЕС жэне GD перпендикулярын түсіреміз де CHKD
шаршысын толықтырамыз. HI, HF, KL жэне КМ сызықта-
рының әрқайсысын СЕ сызығына тең етіп алып I және F,
L және М-ді қосамыз . Тең қабырғалы ABGMLFIE28 сегіз
бұрышы шығады. Міне оның суреті [23-сурет].
________________ ________________________

к
L
Р
Н
М
J
G
Е
D
В
Л
С
[23-сурет]
[VIII] Егер ол АВ сызығына тең циркуль ашасымен
гана, оның күйі өзгермейтіндей етіп, АВ сызығына тең
қабырғалы сегіз бұрыш тұргыз десе, онда АВ сызығына
тең қабырғалы және тең бұрышты ABCD төртбұрышын
тұрғызып, СА жэне BD сызықтарын жүргіземіз де, олар-
дың бағыттарында Е жэне G нүктелеріне дейін созамыз.
АЕ мен BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең
етіп алып EG-ны қосамыз, EG сызығына АВ сызығына
тең [ЕІ жэне GM] перпендикулярларын орнатамыз да М
жэне І-ді қосамыз. ЕІ мен GM сызықтарының әрқайсысын
олардың бағыттарында К жэне Н нүктелеріне дейін соза­
мыз да, ІМК және МІН бұрыштарының әрқайсысын MLF
сызықтарымен қақ бөлеміз. ML жэне IF сызықтарының
әрқайсысын АВ сызығына тең етіп алып FL-ді қосайық.
Тең қабырғалы тең бұрышты ABGMLFIE29 сегіз бұрыпіы
шығады. Міне оның суреті [24-сурет].

[24-cypem J
[IX] Тоғызбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызыгына
тең қабырғалы жэне тең бұрышты тоғыз бұрыш тұрғызу
керек десе, онда центрі G нүктесі болатын кез келген өл-
шемді CDE дөңгелегін сызып, ондағы С нүктесін белгілеп
оны центр ретінде қабылдайық та дөңгелектен жарты
диаметрлік қашықтықта Е мен D нүктелерін белгілейік.
DE доғасын тең үш бөлікке бөлейік. Сондай доғаның бірі
ЕН болсын. EG, ЕН және HG сызықтарын жүргізіп, EG
мен HG сызықтарының арасында АВ сызығына тең жэне
ЕН сызыгына параллель FI сызығын саламыз. А мен В
нүктелерін центр ретінде қабылдап FG қаш ықтықта К
нүктесінде қиылысатын дөңгелектер сызайық. К нүктесін
центр ретінде қабылдап КА қашықтықта ABL дөңгелегін
сызамыз. ABL доғасын тең сегіз бөлікке бөліп, олардың
бөліну нүктелерін хордалармен қосайық. АВ30сызығында

тең қабырғалы жэне тең бұрышты тоғыз бұрыш шығады.
Міне оның суреті [25-сурет].
[X] Он бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына
он бұрышты қалай тұрғызу керек десе, онда АВ сызығын
С нүктесінде қақ бөліп В нүктесіне АВ сызығына тең BD
перпендикулярын орнатамыз. С нүктесін центр ретінде
қабылдап АВ сызығында CD қашықтықта Е-ні белгілей -
міз. Ары қарай А мен В нүктелерінің әрқайсысынан
центрлер ретінде АЕ қашықтықта G нүктесінде қиылыса-
тын екі доға сызайық. G нүктесін қабырғасы АВ сызығы
болып келген он бұрышқа іштей сызылған дөңгелектің
центрі ретінде қабылдаймыз. Ендеше, егер біз G центрі
бар AG қашықтықта ABHF дөңгелегін сызып алып, AG
мен GB сызықтарын олардың бағыттарында дөңгелектің
шеңберіне дейін F пен Н нүктелеріне дейін созсақ, АН пен
BF доғаларын тең торт бөлікке бөліп хордалармен қоссақ,
онда тең қабырғалы жэне тең бұрышты он бүрышты ала-
мыз31. Міне оның суреті [26-сурет].
[25-сурет]

н
ғ
[ 26-сурет]
[XI] Егер ол АВ сызығына тең циркуль ашасымен ғана,
АВ сызығына тең қабырғалы тең бұрышты он бұрышты
тұрғызу керекдесе, ондаоған жоғарыдатөртінші ұсыныста
көрсетілгендей бесбұрыштың үшбұрышын тұрғызамыз.
G нүктесі АВ сызығына қарсы жатқан бұрыштың [төбесі]
болсын. А жэне G, В жэне G сызықтарын қосамыз. G
нүктесін центр ретінде қабылдап, АВ қашықтықта CDFH
дөңгелегін сызайық. AG, BG сызықтарын олардың бағы-
тында дөңгелектің шеңберіне дейін [F жэне С нүктелеріне
дейін] созайық. HF және DC доғаларының әрқайсысын
тең төрт бөлікке бөліп, FI, IK, KM, МН, CL, LN, NX, XD
бөліктерін аламыз. GF, GI, GK, GM, [GL], GN, GX, [GC],
GH сызықтарын жүргіземіз де CDH дөңгелегінің центрі-
нен шығатын осы сызықтардың әрқайсысында AD сы-

зығына тең сызықтарды косамыз. Бұл соңында О тұрған
сызықтар. Оларды өзара және А мен В нүктелерімен
түзу сызықтармен қосайық. Тең қабырғалы тең бұрышты
АВО32 шығады. Міне оның суреті [27-сурет].
[27-сурет]

ҮШІНШІ КІТАПША
Дөңгелекке іштей сызылған фигураларды
салу туралы
Қолөнершілер дөңгелекке іштей сызылған және сырт-
тай сызылған фигураларды дөңгелекті қалауынша [тең]
бөліктерге бөлу арқылы тұрғызатындығын біліп қой. Мы-
салы дөңгелекке іштей сызылған бесбұрышты салу үшін
оны тең бес бөлікке бөліп, бөлу орындарын қосады жэне
бөлу орындарынан дөңгелекті жанап өтетін сызықтар
жүргізеді де, сонымен тең қабырғалы, тең бұрышты іштей
сызылған бесбұрыш жэне сырттай сызылған [сондай
бесбұрыш] түрғызады. Бұл салу алтыбұрыш үшін тіпті
ысылмаған қолөнерші үшін де күрделі емес. Жақсы өнер
жасау үшін қолөнерші осы тарауды біздің дэлелдеген -
дерімізге сәйкес бесбұрыш, алтыбұрыш, онбұрыш, тағы
басқа фигуралардың қабырғаларына [тең қашықтықта]
қосылған бірнеше таңбаларды айналдыра ұрғылап [сала-
ды]. Циркульді көп рет аш ып жауып қозғалта бөлуді іске
асыратындар тілегіне тек үлкен еңбекпен жуықтап қана
жетеді. Егер сіз біз көрсеткендей бұл фигуралардың қабы-
рғаларын анықтауда белгілі өнер жолына кіріссеңіз, онда
білгін, егер сен осы фи гуралардың біреуінің дөңгелекке
іштей сызылғанын салсаң жэне осы фигураны салуың
дұрыс болса, онда егер сен бөлу орындарьшан дөңгелекті
жанап өтетін сызықтар жүргізсең, сызбада оны сырттай
салған фигура шығады” . Ф игураларға сырттай сызылған
жэне оларға іштей сызылған дөңгелектер жайында айтсақ,

онда олар алуан түрлі, ал бұл кітапта олардың әркайсысы
туралы оларды қалай салу керектігі дәлелденген33.
[I] Дөңгелекке іштей салынған үшбұрышты салу. Егер
біз дөңгелекке іштей сызылған теңқабырғалы үшбұрышты
салғымыз келсе, онда центрі D нүктесінде болатын ABC
дөңгелегін салып, оның ішіне ADE диаметрін жүргіземіз,
Е нүктесін центр етіп қабылдаймыз да ED қашықтықта В
мен С нүктелерін белгілеп, АВ , АС жэне ВС сызықтарын
жүргіземіз. Сонда теңқабырғалы ABC үшбұрышын ала-
мыз34. Міне оның суреті [28-сурет].
A
[28-сурет]
[II] Шеңберге сырттай сызылған үшбұрышты салу.
Егер біз дөңгелекке сырттай сызылған теңқабыргалы
үшбүрышты салгымыз келсе, онда оның ішіне теңқа-

бырғалы ABC үшбұрышын сызамыз да, А. В жэне С
нүктелерінің әрқайсысынан G, Н жэне F нүктелерінде
кездескенге дейін жанама сызықтар жүргіземіз. Сонда
теңқабырғалы HG F'5 үшбұрышын аламыз. Міне оның
суреті [29-сурет].
Н
[29-сурет]
[III] Шеңберге іштей сызылған шаршыны салу. Егер
ол дөңгелекке іштей сызылған теңқабырғалы жэне тең
бұрышты төртбұрышты қалай салу керек десе, онда АВ[С]
D дөңгелегін түрғызып, оның ішіне тік бұрыш бойынша
қиылысатын АС және BD диаметрлерін саламыз да АВ,
ВС, CD және DA сызықтарын жүргіземіз. Сонда теңқа -
бырғалы жэне тең бұрышты ABCD36төртбұрышын ала­
мыз. Міне оның суреті [30-сурет].

A
Б
D
С
[3 О-сурет ]
[IV] Егер ол ABCD дөңгелегінің жарты диаметріне
тең циркуль ашасын пайдаланып теңқабырғалы жэне тец
бұрышты төртбұрышты дөңгелекке іштей қалай салу ке-
рек десе, онда АС диаметрін жүргіземіз. А нүктесін центр
ретінде қабылдап циркуль ашасымен Е және G нүктелерін
белгілейік те, Е мен G-ді қосайық . С нүктесін центр ретінде
қабылдап АЕ қашыктықта Н пен F-ті белгілейміз де Н пен
Ғ-ті қосамыз . KG жэне IF сызықтарын жүргізейік, олар М
нүктесінде қиылысады. М нүктесімен центрді қосып осы
сызықты оның В мен D нүктелеріне дейінгі бағытында
созайық. АВ, ВС, CD жэне DA сызықтарын жүргіземіз.
Теңқабыргалы жэне тең бүрышты ABCD37 төртбұрышы
шығады. Міне оның суреті [ЗІ-сурет].

A
[31-cypem]
[V] Егер қаласаңыз А жэне C нүктелерін центр ретін-
де қабылдап, Е, G, Н және Ғ нүктелерін белгілейік . АС
сызығын I жэне К нүктелерінде қиып өтетін EG жэне HF
сызықтарын жүргізейік. Центрлері осы нүктелер болатьш
циркульдің ашасындай қашықтықта L жэне М нүктелерін-
де қиып өтетін екі дөңгелек сызайық. L жэне М-ді өзара
қосайық та [LMJ-ді В мен D нүктелеріне дейін созайық.
АВ, ВС, CD жэне DA сызықтарын жүргізейік. Теңқабыр -
ғалы жэне тең бұрышты ABCD төртбұрышын аламыз.
Міне оның суреті [32-сурет].
________________ ________________________

A
D
G
F
В
c
[32-cypem ]
[VI] Егер қаласаңыз E, G, H және F нүктелерін центр
ретінде қабылдап, I және К нүктелерін қилысатын дөңге-
лектер салайық. ІК сызығын жүргізейік, ол дөңгелекті В
және D нүктелерінде қиып өтеді. Теңқабырғалы және тең
бұрышты ABCD төртбұрышын аламыз. Міне оның суреті
[33-сурет].
А
D
F
G
Н
Е
В
с
[33-сурет]

[VIIJ Егер қаласаңыз A, F және С, G нүктелерін қо-
сайық. A. Ғ жэне С, G нүктелерін қосатын сызықтар М
нүктесінде қиылысады. Оны центрмен қосып ол сызықты
В мен D нүктелеріне дейін созайық. Міне оның суреті
[34-сурет].
с
[34-сурет]
[VIII] Шеңберге іштей сызылған бесбұрьшіты салу.
Егер ол ABCD дөңгелегіне іштей сызылган тең қабыргалы
жэне тең бұрышты бесбұрышты қалай салу керек десе.
онда D нүктесін центр ретінде алып, онда ADC диаметрін
жүргіземіз де D нүктесіне DB перпендикулярын орна-
тамыз. AD-ны Е нүктесінде қақ бөліп Е нүктесін центр
ретінде алып, ЕВ қашықтықта G нүктесін белгілейік те, В
нүктесін центр ретінде алып, BG қашықтықта F нүктесін
белгілейік. Сонда дөңгелектің бестен бір бөлігі BF дога-
сын аламыз. IF, IK, КН жэне НВ доғаларын BF догасына
________________ __ _ __ __ __ _ _ __ __ _ _________

тең ете жүргізіп, ҒВ, ВН. НК, КІ, IF сызықтарын сыза-
мыз. Сонда тең қабырғалы және тең бұрышты BFIKH38
бесбұрышын аламыз. Міне оның суреті [35-сурет].
[IX] Егер ол ABC дөңгелегіне іштей тең қабырғалы
жэне тең бұрышты бесбұрышын егер D - дөңгелек цент-
pi болса жэне ашасы жарты диаметрге тең циркулмен
қалай салу керек десе, онда DA сызығына АВ сызығына
бесбұрыш салу кезінде салынған үшбұрышты салайық.
Бүл ADG үшбұрышы болсын, ол ABC дөңгелегін С нүк-
тесінде қияды. ABC доғасын В, Н, Е жэне С нүктелерінде
төрт тең бөлікке бөліп, АС, СЕ, EH, НВ жэне ВА сызықта-
рын жүргізейік. Соңда тең қабырғалы жэне тең бұрышты
АСЕНВА39бесбұрышын аламыз. Міне он ың суреті [36-су-
рет].
в
с
н
А
[35-сурет ]

A
[Зб-сурет ]
[X] Шеңберге іштей салынған бесбұрышты салудың
басқа жолы. DA сызығына DA сызығына тең АЕ пер-
пендикулярын тұрғызып, DA сызығын G нүктесінде қақ
бөлейік, GE жүргізіп, AD сызығына тең GH сызығын
салайық, оны Ғ нүктесінде қақ бөліп , DA-ны I нүктесінде
қиятын ҒІ перпендикулярын тұрғызайық. I нүктесін центр
ретінде қабылдап, DA қашықтықта М жэне L белгілейік.
Сонда ML доғасы - дөңгелектің бестен бірі. Міне оның
суреті [37-сурет].

[XI] Шеңберге іштей сызылған алтыбұрышты салу.
Егер ол дөңгелекке іштей сызылған тең қабырғалы және
тең бұрышты алтыбұрышты қалай салу керек десе, онда
А және С нүктелерінің эрқайсысын центр ретінде алып,
АС диаметрін жүргізіп, диаметрдің жартысына тең
қашықтықта В және Н, Е жэне G белгілейік. АВ . BE, EG,
CG, GH жэне HA сызықтарын жүргізейік. Тең қабырғалы
жэне тең бүрышты ABECGH40 алтыбұрышын аламыз.
Міне оның суреті [38-сурет].
[38-сурет]
[XII] Шеңберге іштей сызылған жетібұрышты салу.
Егер ол дөңгелекке іштей сызылған тең қабырғалы жэне
тең бұрышты жетібұрышты қалай салу керек десе, онда
ADC диаметрін жүргіземіз де, AD, яғни жарты диаметр
қашықтықта В жэне Е белгілеп, BE жүргізейік, ол АС
сызығын G нүктесінде қияды. В нүктесін центр ретінде
қабылдап, BG қашықтықта Н нүктесін белгілейік. Сонда

ВН доғасы - дөңгелектің дэл емес, жуық жетіден бірі.
Сондықтан, егер АВСЕ дөңгелегін ВН доғасына тең
бөліктерге бөліп, бөлу орындарын өз ара қоссақ, онда тең
қабырғалы және тең бұрышты FBHIKLM41 жетібұрышын
аламыз. Міне оның суреті [39-сурет].
[XIII] Шеңберге іштей сызылған сегізбұрышты салу.
Егер ол дөңгелекке іштей сызылған тең қабырғалы және
тең бұрышты сегізбұрышты қалай салу керек десе, онда
оған тең қабырғалы және тең бұрышты төртбұрышты
іштей саламыз да, эр доғаны қақ бөліп, бөлу орындарын
жаңа нүктелерде түзу сызықтармен қосамыз. Тең қабы-
рғалы тең бұрышты да сегізбұрыш аламыз. Міне оның
суреті [40-сурет].

[40-cypem]
[XIV] Шеңберге іштей сызылған тоғызбұрышты салу.
Егер ол дөңгелекке іштей сызылған [тең қабырғалы және
тең бұрышты] тоғызбұрышты қалай салу керек десе,
дөңгелекке тең қабырғалы үшбұрышты іштей салып, әр
доганы тең үш бөлікке бөлеміз де, бөлу орындарын түзу
сызықтармен қосамыз. Тең қабырғалы [тең бұрышты да]
тоғызбұрыш аламыз. Міне оның суреті [41-сурет].

[XV] Шеңберге іштей салынған онбұрышты салу. Егер
ол дөңгелекке іштей салынған онбұрышты қалай салу ке-
рек десе, онда егер қаласақ , оған іштей бесбұрыш салып ,
доғаның әрқайсысын қақ бөлеміз [де, бөлу нүктелерін сы -
зықтармен қосамыз], іштей сызылған онбұрыш шығады .
Егер қаласақ, алдыңғы салынғанға ұқсас іштей бесбұрыш
саламыз да, сосын бұрынғыдай DG сызығын [саламыз].
Бұл онбұрыштың хордасы. Шеңберді DG сызығына
тең бөліктерге бөлейік те, бөлу орындарын өзара түзу
сызықтармен қосайық. Дөңгелекке іштей салынған тең
қабырғалы [тең бұрышты да] онбұрыш42 шығады. Міне
оның суреті [42-сурет].
[42-сурет]

ТӨРТІНШІ КІТАПША
Фигураларға сырттай дөңгелек салу туралы
[I] Егер ол ABC үшбұрышына сырттай дөңгелек сызу
керек немесе бір сызықтың бойында жатпайтын эртүрлі
үш нүкте арқылы дөңгелек салу керек десе, онда бұл екі
сұрақтың мағынасы бірдей. А жэне В нүктелерін центр
ретінде қабылдап, D жэне Е нүктелерінде қиылысатын
екі дөңгелек тұрғызамыз. DE сызығын жүргіземіз. Ары
қарай А жэне С, сол сияқты А және В нүктелері арқылы
G жэне Н нүктелерінде қиылысатын екі дөңгелек сызып,
GH сызығын жүргіземіз. [GH сызығы] DE сызығымен F
нүктесінде қиылысады. Сонда А, В жэне С4Я нүктелері
арқылы өтетін дөңгелектің центрі - F нүктесін аламыз.
Міне оның суреті [43-сурет].

[II] Үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелекті тұрғы-
зудың екінші тэсілі. А жэне С нүктелерінен АВ жэне ВС
сызықтарына AD жэне DC перпендикулярларын тұрғыза-
мыз; олар D нүктесінде қиылысады; BD жүргіземіз және
оны Е нүктесінде қақ бөлеміз; Сонда Е - А , В жэне С нүк -
телері арқылы өтетін ізделінді дөңгелектің центрі43 Міне
оның суреті [44-сурет].
в
[44-сурет]
[III] Шаршыға сырттай сызылған дөңгелек жайлы. Егер
ол ABCD шаршысына сырттай дөңгелекті қалай сызу
керек десе, он да Е нүктесінде қиылысатын АС жэне BD
диагональдарын жүргіземіз. Е
-
А, В, С және D44 нүкте-
лері арқылы өтетін дөңгелектің центрі. Міне оның суреті
[45-сурет].

D
В
[45-cypem ]
[IV] Бесбұрышқа сырттай сызылған дөңгелекті тұрғызу
жайлы. Егер ол ABCDE бесбұрышына сырттай дөңгелекті
қалай тұрғызамыз десе, онда А және В нүктелерін центр
етіп алып, G жэне Н нүктесінлерінде қиылысатындай
екі дөңгелек тұрғызамыз да, GH сызығын жүргіземіз.
Ары қарай дәл осындай А жэне Е нүктелерін центр етіп
алып, I жэне К нүктелерінде қиылысатындай екі дөңгелек
тұрғызамыз. GH сызығымен L нүктесінде қиылысатьшдай
ІК [сызығын] жүргіземіз. Сонда L - А, В, С, D, Е45 нүкте-
лері арқылы өтетін дөңгелектің центрі. Міне оның суреті
[46-сурет].

н
[46-cypem]
[V] Алтыбұрышқа сырттай сызылған дөңгелекті тұрғы-
зу жайлы. Егер ол ABCDEG алтыбұрышына сырттай
дөңгелекті қалай тұрғызамыз десе, онда А және В нүк -
телерінің әрқайсысын центр етіп алып, АВ қашықтықта
Н нүктесінде қиылысатындай екі дөңгелек тұрғызамыз.
Сонда Н - А, В, С, D, Е, G46 нүктелері арқылы өтетін
дөңгелектің центрі. Міне оның суреті [47-сурет].

[VI] Егер [теңқабырғалы] көпқабыргалы жэне көпбұ-
рышты фигура берілсе, онда оған сырттай дөңгелек салу
үшін жоғарыда бесбұрышқа сырттай дөңгелек салга-
нымыздай, қабыргаларын қак бөліп, перпендикулярлар
тұрғызамыз. Бұл тұрғызылымның бесбұрышқа сырттай
дөңгелек салудан еш айырмашылығы жоқ, қабырға саны
көп немесе аз [фигуралар үшін].

БЕСІНШІ КІТАПША
Фигураларға іштей дөңгелек салу туралы
[I] Егер ол ABC үшбұрышына іштей қалай дөңгелек
сызу керек десе, онда В нүктесін центр етіп альш , АВ
жэне ВС сызықтарында D жэне Е [нүктелерін] белгілей-
міз. Осы [нүктелердің] эрқайсысьш центр етіп қабылдап,
G нүктесінде қиылысатын екі дөңгелек [тұрғызамыз] да,
BG сызығын жүргіземіз. Ары қарай С нүктесін центр
етіп аламыз жэне АС жэне СВ сызықтарының бойынан
Н жэне F [нүктелерін] белгілейміз; Н жэне F нүктелерін
центр етіп алып, I нүктесінде қиылысатын екі дөңгелек
[тұрғызамыз] да, I жэне С-ны қосамыз . СІ сызығы BG сы-
зығымен К нүктесінде қиылысады. ABC47 үшбүрьнпына
іштей сызылған дөңгелектің центрі К-нүктесін аламыз .
Міне оның суреті [48-сурет].
A

[II] Осындай әдіспен басқа да тең қабырғалы және тең
бұрышты фигураларға іштей дөңгелек сызуға болады:
оның екі бұрышын как бөлеміз. Сызықтардың қиылы -
суы үшбұрышқа [төртбұрышқы, бесбұрышқы жэне т.с.с]
іштей сызылған дөңгелектің центрін береді.

АЛТЫНШЫ КІТАПША
Кейбір фигураларға іштей басқа
фигураларды салу туралы
[I] Теңқабырғалы төртбұрышқа іштей үшбұрыш салу
туралы. Егер ол теңқабырғалы төртбұрышқа іштей теңқа -
бырғалы үшбұрышты қалай салу керек десе, онда ABCD
шаршысын тұрғызамыз, DC сызығын Е нүктесіне дейін
созамыз жэне СЕ-ні CD-ға тең қыламыз . ED сызығына
жарты дөңгелек түрғызамыз, D нүктесін центр ретінде
алып, DC қашықтықта G нүктесін белгілейміз. Ары
қарай Е нүктесін центр ретінде қабылдаймыз және EG
қашықтықта Н нүктесін белгілеп, DH -қа тең АҒ түрғызып ,
В-мен Ғ -ті, В-мен Н -ты, Ғ-пен Н -ты қосамыз. ABCD шар-
шысына іштей сызылған BFH теңқабырғалы үшбұрышын
аламыз. Міне оның суреті [49-сурет].
[49-сурет]

[II] Теңқабырғалы төртбұрышқа іштей үшбұрыш
салудың екінші әдісі. Егер қаласақ, BD сызығында BDE
теңқабырғалы үшбұрышын тұрғызамыз, EBD бұрышын
BG сызыгымен қақ бөлеміз, AF сызығын DH сызығына
тең қыламыз, ВН , BF жэне FH сызықтарын жүргіземіз,
ABCD шаршысына іштей сызылған теңқабырғалы және
теңбұрышты BFH үшбұрышын аламыз. Міне оның суреті
[50-сурет].
[III] Теңқабырғалы төртбұрышқа іштей үшбүрыш
салудың үшінші әдісі. Егер қаласақ, эрбір AD жэне ВС
сызықтарын Е жэне G нүктелерінде қақ бөлеміз, EG-ні
қосамыз, А нүктесін центр ретінде аламыз жэне АВ
қашықтықта ВН доғасын сызамыз. Екі еселенген GH сы-
зығына тең CF және АІ сызықтарын саламыз. BE BF жэне
FI сызықтарын жүргіземіз; ABCD шаршысына іштей сы-

зылған теңқабырғалы ВҒІ үшбұрышы пайда болады. Міне
оның суреті [51-сурет].
Б
[IV] Теңқабырғалы төртбұрышқа іштей үшбұрыш
салудың төртінші әдісі. Шаршы салып , әрбір AD және
ВС сызықтарын Е жэне Н нүктелерінде қақ бөлеміз, ЕН -
ты қосамыз, В нүктесін центр ретінде аламыз жэне ВС
қашықтықта G нүктесін белгілейміз, ЕН сызығын GF
сызығы GH сызығына тең болатындай, оның бағытында F
нүктесіне дейін созамыз, BF -ті қосамыз , ол AD сызығын
К нүктесінде қияды. АК -ға тең СІ -ді салып , ВК , ВІ және
ІК сызықтарын жүргіземіз. ABCD шаршысына іштей
сызылған теңқабырғалы ВКІ үшбұрышын аламыз. Міне
оның суреті [52-сурет].

[52-cypem]
[V] Теңқабырғалы төртбұрышқа іштей үшбұрыш салу-
дың бесінші әдісі. Егер біз осыны салғымыз келсе, ABCD
шаршысына сырттай дөңгелек сызамыз, оның центрі Е,
BD диаметрін сызамыз, D нүктесін центр ретінде аламыз
жэне DE қашықтықта Н және G нүктелерін белгілейміз,
BG және ВН сызықтарын, F жэне I нүктелерінде қиылыса-
тын AD және DC сызықтарын жүргіземіз жэне Fl-ді коса -
мыз. ABCD шаршысына іштей сызылған теңқабырғалы
BFI үшбүрышын аламыз. Міне оның суреті [53-сурет].

[VI] Ш аршыға сырттай сызылған үшбұрыш салу ту-
ралы. Егер ол ABCD шаршысына сырттай теңқабырғалы
үшбұрышты қалай салу керек десе, онда АВ сызығына
теңқабырғалы АВЕ үшбұрышын тұрғызамыз, ЕА , ЕВ
сызықтарын олардың бағытында созамыз, сондай -ақ CD
сызығын ЕА, ЕВ сызықтарының жалғасымен G және Н
нүктелерінде қиылысқанға дейін созамыз. Сонда ABCD
шаршысына сырттай сызылған теңқабырғалы EGH
үшбұрышын аламыз. Міне оның суреті [54-сурет].
[VII] Үшбұрышқа сырттай сызылған шаршыны салу
туралы. Егер ол теңқабырғалы үшбұрышқа сырттай
теңқабырғалы жэне теңбұрышты төртбұрышты қалай
салу керек десе, онда ABC теңқабырғалы үшбұрьппын
тұрғызамыз, АС қабырғасын D нүктесінде қақ бөлеміз,
BD сызығын Е-ге дейін созамыз, DE сызығын AD-ға тең
қылып аламыз, Е мен А-ны , Е мен С-ны қосамыз , ЕА жэне
ЕН сызықтарына В нүктесінен BG жэне ВН перпендику-

лярларын түсіреміз. Теңқабырғалы үшбұрышка сырттай
сызылган BGEH теңқабырғалы және теңбұрышты төрт-
бүрышын аламыз. Міне оның суреті [55-сурет].
Е
[VIII] Теңқабырғалы емес үшбұрышқа сырттай шар-
шы салу туралы. Егер ол қабырғалары эртүрлі ABC
үшбүрышына сырттай теңқабырталы жэне теңбұрышты
төртбұрышты қалай салу керек десе, онда С нүктесінен
СА сызығына CD перпендикулярын түсіреміз, оны осы
сызыққа тең етіп, D мен В-ны қосамыз және DB-ны оның
бағытында созамыз, СЕ -ға С нүктесінен CG перпендику­
лярын жүргіземіз, А нүктесінен СЕ -ға параллель сызық
жүргіземіз, бұл НА сызығы . Қабырғалары эртүрлі ABC
үшбүрышына сырттай теңқабырғалы жэне теңбұрышты
HGCE төртбұрышын аламыз. Міне оның суреті [56-сурет].

[56-сурет]
[IX]
Үшбұрышқа сырттай сызылған шаршыны са-
лудың екінші тэсілі. Егер ол қабыргалары әртүрлі ABC
үшбұрышына сырттай теңқабыргалы және теңбүрышты
шаршыны қалай салу керек десе, онда С нүктесінен СА
сызыгына CD перпендикулярын түсіреміз, оны осы сы-
зыққа тең етіп, D мен В-ны қосамыз жэне DB-ны оның
бағытында созамыз, СЕ-ға С нүктесінен CG перпендику­
лярын жүргіземіз, А нүктесінен СЕ-га параллель сызық
жүргіземіз, бұл НА сызығы. Қабырғалары әртүрлі ABC
үшбұрышына сырттай теңқабыргалы жэне теңбұрышты
HGCE төртбұрышын аламыз. Міне он ың суреті [57-сурет].
[57-сурет]

[X] Үшбұрышқа сырттай сызылған шаршыны салудың
үшінші тәсілі. Егер қаласақ , АВ қабырғасына тең қылып , A
нүктесінен АВ сызығына AD перпендикулярын түсіреміз.
ABC үшбұрышына тең ADE үшбұрышын тұрғызамыз.
Сонда DE ВС-ға тең , ал АЕ АС -ға тең . ЕВ қосамыз жэне С
нүктесінен ЕВ сызығында СН перпендикулярын түсіреміз,
ал А нүктесінен ЕВ жэне СН сызықтарында AF жэне AG
перпендикулярларын түсіреміз. Сонда AGHF-шаршы бо -
лады. Міне оның суреті [58-сурет].
[XI] Үшбұрышқа іштей сызылған шаршыны салу ту-
ралы. Егер ол ABC үшбұрышына іштей теңқабырғалы
жэне теңбұрышты шаршыны қалай салу керек десе, онда
В нүктесінен ВС сызығына тең BD перпендикулярын
түргызамыз жэне AD-мен қосамыз; AD сызығы ВС-мен
Е нүктесінде қиылысады. Е нүктесінен ЕВ сызыгына EG
перпендикулярын тұрғызамыз, ол АВ сызығымен G нүк-
тесінде қиылысады. G нүктесінен ВС сызыгына параллель

GH сызығын жүргіземіз жэне Н нүктесінен ВС сызығына
HF перпендикулярын түсіреміз. Сонда ABC үшбұрышына
іштей сызылған теңқабырғалы және теңбұрышты EGHF
төртбұрышы пайда болады. Міне оның суреті [59-сурет].
A
[59-сурет]
[XII] Үшбұрышқа іштей сызылған шаршыны салудың
екінші әдісі. ВС сызығына тең болатындай В нүктесінен
BD перпендикулярын түсіреміз. А нүктесінен АЕ перпен­
дикулярын түсіреміз, D мен Е-ны қосамыз , DE АВ сы-
зығымен G нүктесінде қиылысады; G нүктесінен ВС сы-
зығына параллель болатын GH сызығын жүргіземіз жэне
ВС сызығына GF және HI перпендикулярларын түсіреміз,
сонда ABC үшбұрышына іштей сызылған теңқабырғалы

және теңбұрышты GHIF төртбұрышы аламыз. Міне оның
суреті [60-сурет].
D
[XIII] Теңқабырғалы үшбұрышқа іштей сызылған шар-
шыны салу іуралы . Егер қаласақ ВС-да BDEC шаршысын
тұрғызамыз, G нүктесінде ВС сызығын қақ бөлеміз, DG
және EG сызықтарын жүргіземіз, олар АВ жэне АС сы-
зықтарымен Н және F нүктелерінде қиылысады, Н-ты
F-пен қосамыз. Одан НК жэне FL перпендикулярларын
түсіреміз, сонда ABC үшбұрышына іштей сызылған шар-
шы аламыз. Міне оның суреті [61 жэне 62-суреттер].
________________ ________________________

A
С
E
В
D
E
L
G
К
D
В
[61-cypem]
[62-cypem]
[XIV] Қабырғалары әртүрлі үшбұрышқа іштей теңқа-
бырғалы үшбұрыш салу турал ы. Егер ол бір қабырғасы
ВС сызыгына параллель қабырғалары әртүрлі ABC
үшбұрышына іштей теңқабырғалы үшбұрышты қалай
түргызамыз десе, онда ВС сызығында BDC теңқабыргалы
үшбұрышын түрғызамыз, АІ жэне DE перпендикуляр-
ларын тұрғызамыз, В нүктесінен ВС-ға BG перпендику-
лярын түсіреміз, ВН сызығын АІ сызығы на тең етеміз.
ал HG сызығын DE перпендикулярына тең етіп аламыз.
С-мен G-ді қосып, Н нүктесінен GC сызыгына параллель
HF сызыгын жүргіземіз, сонда BF сызығы бір қабыргасы
ВС сызыгына параллель және қарсы жатқан бұрыштың
төбесі ВС-да жататын ABC үшбұрышына іштей сызылган
үшбұрыштың қабырғасы.

Сондықтан егер біз ABC үшбұрышында ВС-ға парал­
лель және BF-ға тең LN сызыгын жүргізіп, L нүктесін
центр ретінде қабылдаймыз және LN қашықтықта ВС сы-
зығынан М нүктесін белгілесек, онда ABC үшбұрышына
іштей сызылған теңқабыргалы LMN үшбұрышын аламыз.
Міне оның суреті [63-сурет].
[63-сурет]
[XV] Қабырғалары эртүрлі үшбұрышқа сырттай
теңқабырғалы үшбүрыш салу туралы. Егер ол қабырға -
лары әртүрлі ABC үшбұрышына сырттай теңқабыргалы
үшбұрышты қалай саламыз десе, онда ВС сызығына

параллель сызық жүргіземіз, ВС сызығында қабырғалары
эртүрлі BDC үшбұрышын тұрғызамыз, DB жэне DC сы-
зықтарын өз бағыттарында созамыз да, А нүктесінен ВС
сызығына параллель жэне DB мен DC сызықтарын E жэне
G нүктелерінде қиятын GAE сызығын жүргіземіз. Сонда
теңқабырғалы DEG үшбұрышын аламыз. Міне оның су-
реті [64-сурет].
[XVI] Бесбұрышқа іштей үшбұрыш салу туралы. Егер
ол теңқабырғалы ABCDE бесбұрышына іштей теңқабыр-
ғалы үшбұрышты қалай саламыз десе, онда В нүктесінен
DE-ге BG перпендикулярын түрғызамыз, оны Н нүктесін -
де қақ бөлеміз, Н нүктесін центр ретінде қабылдап , НВ
қашықтықта BG дөңгелегін сызамыз. G нүктесін центр
ретінде қабылдаймыз жэне GH қашықтықта дөңгелектің
бойынан Ғ жэне К нүктелерін белгілейміз. ВК жэне КҒ

сызықтарын жүргіземіз, олар АЕ жэне CD сызықтарын М
және N нүктелерінде қияды, ВМ , BN жэне MN сызықта-
рын жүргіземіз. ABCDE бесбұрышына іштей сызылған
теңқабырғалы BMN үшбұрышы пайда болады. Міне оның
суреті [65-сурет].
в
[XVII] Бесбұрышқа сырттай сызылған үшбұрыш салу
туралы. Егер ол теңқабырғалы ABCDE бесбүрышына
сырттай теңқабырғалы жэне теңбұрышты үшбұрышты
қалай саламыз десе, онда бесбұрышқа іштей теңқабыр -
ғалы үшбұрыш саламыз, бұл BGH үшбұрышы, А және
С нүктелерінен BG жэне ВН сызықтарына параллель FL
және FK екі түзу сызықтарын жүргіземіз, DE сызығын
оның екі бағытымен L жэне К нүктелеріне дейін созамыз.
ABCDE бесбұрышына сырттай сызылған теңқабырғалы
FLK үшбұрышын алдық. Міне оның суреті [66-сурет].

в
[66-сурет]
[XVIII] Бесбұрышқа іштей шаршы салу туралы. Егер
ол теңқабырғалы жэне теңбұрышты ABCDE бесбұрышы-
на іштей теңқабыргалы және теңбұрышты төртбұрышты
қалай саламыз десе, онда С нүктесінен АЕ сызығына CG
перпендикулярын түсіреміз, оны Н нүктесінде қақ бөлеміз
де, ол арқылы АЕ сызығына параллель FHK сызығын
жүргіземізжәнеСменҒ,СменК, КменG,GменF
нүктелерін сызықтармен қосамыз. ABCDE бесбұрышына
іштей сызылған теңқабырғалы жэне теңбұрышты CFGK
төртбұрышын аламыз. Міне оның суреті [67-сурет].

[XIX] Бесбұрышқа сырттай шаршы салу туралы. Егер
ол теңқабырғалы ABCDE бесбұрышына сырттай теңқа-
бырғалы және теңбұрышты төртбұрышты қалай саламыз
десе, онда АЕ сызығын G нүктесінде қақ бөлеміз де, СЕ
сызығына тең болатындай GH перпендикулярын түрғы-
замыз, Н пен Е-ні, Н -пен А -ны қосамыз да, өз бағытта -
рында жалғастырып сызамыз, В жэне D нүктелерінен HF
жэне HL еызықтарьгаа BF жэне DL перпендикулярларын
түсіреміз де, оларды К нүктесіне дейін өз бағыттарында
созамыз, сонда ABCDE бесбұрышына сырттай сызылған
теңқабырғалы жэне теңбұрышты FKLH төртбұрышын
аламыз. Міне оның суреті [68-сурет].

к
[68-сурет]
[XX] Шаршыға іштей сызылған бесбұрыш салу тура-
лы. Егер ол ABCD шаршысыньщ дйагоналында іштей Е
бұрышты қалаған шамадағы EGHFI бесбұрышына ұқсас
теңқабырғалы жэне теңбұрышты бесбұрышты қалай сала-
мыз десе, онда қалаған шамадағы KLMNX теңқабырғалы
бесбұрышын тұрғызамыз жэне оның маңайына шаршы
тұрғызамыз. Оның қабырғаларының бірі
-
ZQ болсын.
ZO сызығын жүргіземіз, АВ қабырғасына тең болатындай
QP аламыз, Р нүктесінен ZO сызығына параллель PG
сызығын жүргіземіз, ал R нүктесінен MN қабырғасының
ортасы мен Q нүктесі арқылы өтетін сызық жүргіземіз. АС
қосамыз, QR сызығына тең CS белгілейміз, АС сызығына
-----------Й0Ь.----------

перпендикуляр HSF түруін жүргіземіз. Содан соң Н жэне
Ғ нүктелерін центр етіп алып НҒ қашықтықта АВ жэне AD
сызықтарының бойынан G жэне I нүктелерін белгілейміз.
G жэне I нүктелерін центр етіп алып, GFI қашықтықта Е
нүктесін белгілейміз де, HG, GE, ЕІ жэне ІЕ сызықтарын
жүргізіп, ABCD шаршысына іштей сызылған EGHFI
теңқабыргалы жэне тең бұрышты бесбұрышын аламыз48
Міне оның суреті [69-сурет].
[XXI] Шаршыға іштей сызылған сегізбұрыш салу
туралы. Егер ол теңқабырғалы жэне теңбұрышты сегіз -
бұрышты қалай саламыз десе, онда ABCD шаршысьш
тұрғызамыз, Е нүктесінде қиылысатын диаметрлерін
жүргіземіз, Е нүктесін центр етіп алып , шаршының
қабырғасының жартысына тең қашықтықта G нүктесін
белгілейміз, G нүктесін центр ретінде алып, D жэне G
нүктелері қашықтығында Н пен F нүктелерін белгілейміз,

шаршының қабырғаларының эрбір бұрышынан DF және
DH-қа тең сызықтар белгілейміз. Бұл МА, AL, BN, ВХ,
СК, СІ сызықтары. НҒ, IK, LM жэне NX сызықтарын
қосамыз. IKLMNXHF теңқабырғалы және теңбұрышты
сегіз бұрышты пайда болды. Міне оның суреті [70-сурет].
В
N
М
А
[XXII] Шаршыға іштей сызылған сегізбұрыш салудың
басқа эдісі. Егер қаласақ циркульдің ашасымен шаршы
диагоналінің жартысьгадай, яғни АЕ қашықтықта шар-
шының эрбір бұрышынан М, N, X, Н, Ғ, I, К және L нүк-
телерін белгілейміз де, LM, NX, НҒ және ІК сызықтарын
жүргіземіз. Теңқабырғалы жэне теңбұрышты LMNXHFIK
сегізбұрышты пайда болады. Міне оның суреті [71-сурет].
-------------------------- ---------------------------------------

[71-cypem]
[XXIII] Сегізбұрышқа сырттай сызылған шаршы салу
туралы. Егер ол теңқабырғалы ABCDEGHF сегізбұрышы-
на сырттай шаршыны қалай саламыз десе, онда АВ, CD,
EG, HF сызықтарын I, К, L, М нүктелерінде қиылысқан -
ша созамыз. Сонда ABCDEGHF сегізбұрышына сырттай
сызылған теңқабырғалы жэне теңбұрышты IKLM төрт-
бұрышын аламыз. Міне оның суреті [72-сурет].

ЖЕТІНШІ КІТАПША
Үшбұрыштарды бөлу туралы
[I] Егер ол ABC үшбұрышын сызықпен қалай қақ
бөлеміз десе, онда оның бір бұрышынан сызық жүргі-
земіз; біз сызық жүргізетін бұрышымыз А бұрышы бол-
сын. ВС сызығын D нүктесінде қақ бөлеміз де, А жэне D
сызықтарын қосамыз. AD сызығымен қақ бөлінген ABC
үшбұрышын аламыз.
Міне оның суреті [73-сурет].
[II] Егер ол ABC үшбұрышын сызықпен қалай қақ
бөлеміз десе, онда [A] нүктесінен қарсы жатқан қабырғаға
перпендикульяр түсіреміз; бұл D нүктесі. Егер біз осы -
ны алғымыз келсе, онда ВС сызығын қақ бөлеміз . Егер
бөлінді D нүктесімен сэйкес келсе, онда AD сызығын жүр-
гіземіз де, AD сызығымен қақ бөлінген ABC үшбұрышын
A
С
D
[73-сурет]
В

аламыз. Егер ВС сызыгы D нүктесінде қақ бөлінбесе, ВС
сызығының ортасы Е нүктесі болсын деп есептейік. Онда
егер А мен Е-ні, А мен D-ны қосып , Е нүктесінен AD
сызығына параллель EG сызығын жүргіземіз де, D мен
G-ні қосамыз , сонда ABC үшбүрышы DG сызығымен қақ
бөлінеді. Міне оның суреті [74-сурет].
A
A
[III] Егер ол АВС үшбүрышын сызықтармен теңдей
төрт бөлікке қалай бөлеміз десе, онда В нүктесінен бастап
ВС сызыгын теңдей төрт бөлікке бөлеміз. ВС сызығына
AD перпендикулярын тұрғызамыз. Бөлінген орыннан AD
сызығына параллель болатындай EL, GK, HF сызықтарын
жүргіземіз жэне D мен L-ді, D мен К-ны , D мен F-ті сы-
зықтармен қосамыз. Сонда BDL, DLK , DKF жэне DFC-ra
теңдей төртке бөлінген ABC үшбұрышын аламыз. Міне
оның суреті [75-сурет].

A
[75-cypem ]
Дәл осындай жолмен үшбұрышты тендей үш бөлікке,
бес бөлікке, немесе басқа да теңдей бөліктерге бөлуге
болады.
[IV] Егер ол ABC үшбұрышын ABC үшбұрышының бір
қабырғасына параллель сызықпен қалай қақ белуге бола­
ды десе, бұл ВС қабырғасы болсын делік, онда АС-ның
жартысына тең АС сызығының бағытында белгілейміз
AD. DC сызығына жарты дөңгелек тұрғызамыз да, DC-ға
АЕ перпендикулярын түрғызамыз, АЕ-ге тең болатындай
AG сызамыз да, ВС сызығына параллель GH сызығын
жүргіземіз, сонда GH сызығымен қақ бөлінген ABC
үшбұрышын аламыз.
Міне оның суреті [76-сурет].

E
С
[ 76-cypem]
[V] Егер ол АВС үшбұрышын ВС сызығына параллель
екі сызықпен қалай теңдей үшке бөлу керек десе, онда
АС сызығының бағытында АС-ның үштен біріне тең AD
сызығын белгілеп, АС -ның үштен екісіне тең АЕ сызығын
салып, DC және СЕ сызықтарынының әрқайсысына жар­
ты дөңгелектер жүргіземіз де, АС сызығына AGH перпен­
дикуляр тұрғызып, AG сызығына тең АҒ сызығын және
АН сызығына тең болатын AJ сызығын белгілейміз. ВС
сызығына параллель IK және FL сызықтарын жүргіземіз,
сонда тең үш бөлікке бөлінген ABC үшбұрышын аламыз:
Бұл ALF, FLKJ және BKJC. Міне оның суреті [77-сурет].

н
[77-cypem]
Егер біз үшбұрышты терт немесе одан да көп тең
бөліктерге бөлгіміз келсе, тағы да осы салуларды пайда-
ланамыз.
[VI] Үшбұрышты теңдей үш бөлікке бөлудің екінші
тәсілі. Егер қаласаңыз , АС сызығының үштен екісіне тең
AD сызыгын жүргіземіз, DC сызығына жарты дөңгелек са-
ламыз, АЕ сызығына перпендикуляр саламыз , АЕ перпен -
дикулярына тең AG сызығын аламыз және ВС сызығына
параллель GH сызығын жүргіземіз. Бүдан кейін осы тара -
удың басында сипатталғандай AGH үшбұрышын тең екіге
бөлеміз, теңдей үш бөлікке бөлінген ABC үшбұрышын
аламыз: AFI, FHGL, HBCG. Міне оның суреті [78-сурет].

E
С
D
В
[78-cypem]
[VII] Үшбұрыш туралы басқа есеп. Егер ол ABC
үшбұрышын оған тең ауданға ВС сызығына параллель
сызық арқылы қалай үлкейтуге болады десе, онда АС
сызығына екі еселенген AD сызыгын саламыз. CD сы-
зығына DEC жарты дөңгелегін сырттай жүргіземіз де, АС
сызығына АЕ перпендикулярын түсіреміз, АЕ сызығына
тең АН сызығын жүргіземіз, Н нүктесінен ВС сызығына
параллель HG сызығын жүргіземіз, АВ сызығын [HG]
сызығымен қиылысқанша созамыз. Сонда CG фигурасы
ABC үшбұрышына тең болады. Міне оның суреті [79-су -
рет]. Егер үшбұрышты үш , [төрт] немесе оданда көп есе-
ге49 үлкейткіміз келсе, дәл осылай жасаймыз.

E
[79-cypem ]
[VIII] Егер ол ABC үшбұрышына A нүктесі арқылы
өтетін сызықпен, осы үшбұрышқа тең немесе одан екі, үш
және бірнеше^есе үлкен фигураны қалай қосуға болады
десе, онда ВС сызығын екі немесе үш есеге үлкейтеміз;
сөйтіп BD сызығын аламыз да, А мен D-ны қосамыз. Сон-
да ABD үшбұрышы ABC үшбұрышына тең немесе одан
екі есе үлкен болады. Міне оның суреті [80-сурет].

[IX] Егер ол АВС үшбұрышының ортасына оған ұқсас
жэне оның жартысына немесе үштен біріне немесе баска
бөлігіне тең үшбүрышты қалай салу керек десе, онда
оның ортасынан D нүктесін белгілеп, А мен D-ны, В мен
D-ны жэне D мен С-ны қосамыз да АЕ сызыгы AD-ның
жартысына немесе үштен бір бөлігіне немесе төрттен
бір бөлігіне тең болатындай етіп AD бағыты бойынша Е
нүктесіне дейін созамыз. ED -нің бойына жарты дөңгелек
саламыз да, AG перпендикулярын түрғызамыз, DH -ты
AG-re тең етіп саламыз. Басқа сызықтармен де осы салуды
орындаймыз. Сонда Н, F жэне J нүктелері пайда болады.
Осыларды қосып, ABC үшбүрышының ішінен өзіміздің
салғымыз келген-HFJ үшбүрышы аламыз. Міне оның
суреті [81-сурет].
G
Е
С
В
[81-сурет]

СЕГІЗІНШІ КІТАПША
Төртбұрыштарды бөлу туралы
[I]
Егер ол ABCD жазық фигурасын оның бұрыш-
тарының бірі арқылы өтетін сызықпен қалай қақ бөлу
керек десе, онда А бұрышын аламыз да , Е нүктесінде
қиылысатын АС жэне BD сызықтарын жүргіземіз.
Онда егер BE сызығы ED сызығына тең болса, онда АС
сызығы ABCD фигурасын қақ бөледі50. Міне оның суреті
[82-сурет].
В
А
[II] Егер BE ED-ға тең болмаса, онда BD-ны G нүк-
тесінде қақ бөлеміз, ол арқылы АС сызығына параллель
GH сызығын жүргіземіз, А -ны Н -пен қосамыз . Сонда
ABCD фигурасы АН сызығымен қақ бөлінеді. Міне оның
суреті [83-сурет].

[83-cypem]
[III] Егер ол ABCD жазық фигурасын фигураның бір
қабырғасындағы Е нүктесі арқылы өтетін сызықпен қалай
тең екіге бөлеміз десе, онда ABCD фигурасын В нүктесі
арқылы өтетін сызықпен тең екіге бөлеміз, ІІ-сөйлемде
дэлелденгендей бұл - BG сызығы. EG мен ЕС-ны қосамыз .
Егер EG сызығы ВС сызығына параллель болса, онда ЕС
сызығы ABCD фигурасын қақ бөледі. Міне оның суреті
[84-сурет].
[84-сурет]
\
[IV] Егер EG сызыгы ВС сызығына параллель болмаса,
онда В нүктесінен EG сызығына параллель ВН сызығын
________________ _ _______________________

жүргіземіз, онда ол фигура ішінде немесе сыртында бо-
лады. Бастапқыда ол фигура ішінде болсын . Е -ні Н -пен
қосамыз. Сонда ЕН сызыгы ABCD фигурасын қақ бөледі.
Міне оның суреті [85-сурет].
[V] Енді ВН сызығы ABCD фигурасының сыртында
болсын. DC сызығын ВН пен Н нүктесінде қиылысқанша
жалғастырамыз, Н нүктесінен ЕС сызығына параллель HF
сызығын жүргіземіз жэне Е-ні F-пен қосамыз . Сонда ЕҒ
сызығы ABCD фигурасын қақ бөледі. Міне оның суреті
[86-сурет].
[86-сурет]
СG

[VI]
Егер ол ABCD трапециясын CD сызығына па­
раллель сызықпен қалай қақ белуге болады десе, онда
АС жэне BD сызыгын Е нүктесінде қиылысқанга дейін
созамыз, Е нүктесінде BE сызығына тең, BD сызығына
перпендикуляр EG сызыгын саламыз. DG-ды қосамыз
және DG сызығын Н-қа дейін GH GD-дің жартысына тең
болатындай етіп созамыз. HD -ға HFD жарты дөңгелек
жүргіземіз, DH -қа перпендикуляр GF тұрғызамыз, GF
сызығына тең ЕІ-ді аламыз және CD-re параллель IK
сызыгын жүргіземіз. Сонда ABCD трапециясы КІ сы-
зығымен қақ бөлінеді. Міне оның суреті [87-сурет].
н

[VII] Егер ол ABCD паралелограммын қандай да бір
қабырғасындағы нүкте арқылы өтетін сызықпен қақ белу­
ге болады десе: мысалы , Е нүктесі арқылы CD сызығы.
онда АВ сызығында DE сызығына тең AG сызығын кесіп
алып, GE сызығымен қосамыз. Сонда AGEC трапециясы
BGED трапециясына тең болады. Міне оның суреті [88
жэне 89-суреттер].
[88-сурет]
[89-сурет]
[VIII] Егер ол AD кесіндісінен өтетін нүкте арқылы
ABCD параллелограмынан сызықпен қалай бөліп алуға
болады десе, онда үштен бір бөлігін бөліп аламыз. AD
сызығындағы Е нүктесі белгіленген болсын, Е нүктесі'
арқылы АВ сызығына параллель EG сызығьш жүргіземіз.
Егер АЕ-кесіндісі AD сызығьшың үштен бірін құрайды
деп есептесек, онда мен ABCD фигурасынан оның үштен
бірі ABEG фигурасын бөліп алдым. Міне оның суреті
[90-сурет].

параллель HI сызығын
[90-cypem]
[IX] Егер АЕ AD-ның үштен бірі болмаса, онда AD-ның
үштен бірі AH-ты аламыз . Онда Н нүктесі АЕ сызыгында
немесе DE сызыгында жатады. Егер Н нүктесі бірінші
суреттегідей АЕ сызыгында жатса, онда АВ сызыгына
жүргіземіз, F нүктесінде қақ
бөлеміз, EFG жүргіземіз. GIF
үшбұрышы HFE үшбүрышы-
на тең. Онда ABGE ABCD фи-
гурасының үштен бірі. Міне
оның суреті [91-сурет].
[X] Енді Н нүктесі ED сы­
зыгында жатсын. HI сызығын
F нүктесінде қақ бөлеміз, EF
сызыгын жүргіземіз және оны
G нүктесіне дейін созамыз.
Сонда AEGB трапециясы
ABCD-ның үштен бірі. ЕН
сызығы ВІ сызыгына тең бол-
сын не тең болмасын. Егер тең
болса, В нүктесін Е нүктесімен
н

қосамыз. Сонда ABE үшбұрышы ABCD фигурасының
үштен бірі, АНВ үшбұрышы ABCD фигурасының үштен
бірінің жартысы.
[XI] Егер ЕН сызығы ІВ сызығынан қысқа болса, онда
ЕН сызығына тең GI сызығын сызамыз жэне Е нүктесін G
нүктесімен қосамыз, сонда ABFH - ABCD фигурасының
үштен бірі. Міне оның суреті [92-сурет].
[XII] Егер ЕН сызығы ІВ сызығынан ұзынырақ болса,
онда ІВ сызығын FB сызығы ЕН сызығының артығына тең
болатындай етіп, F нүктесіне дейін созамыз (ІВ сызығы-
ның үстінен), Е жэне В нүктелерін қосамыз. BE сызығына
параллель FG сызыгын жүргіземіз жэне GE-ні қосамыз.
Сонда AGE үшбұрышы - ABCD фигурасының үштен бірі
болады. Міне оның суреті [93-сурет].

[XIII] Егер ол ABCD трапециясын AD қабырғасында
жатқан нүктеден, мысалы , Е нүктесінен өтетін сызық
арқылы қалай қақ белуге болады десе, онда ВС сызығын
G нүктесінде қақ бөліп, GE-ні қосамыз . Онда егер АЕ
сызығы ED сызыгына тең болса және BG сызыгы GC сы-
зығына тең болса, онда EG сызығы ABCD фигурасын қақ
бөледі. Міне оньщ суреті [94-сурет].

[XIV] Егер де АЕ сызыгы ED сызығына тең болмаса,
онда АН сызыгын HD сызығына тең болатындай етіп са-
ламыз. Сонымен катар BG сызыгы GC сызығына тең. Н
жэне G нүктелерін қосамыз, HG сызыгын Ғ нүктесінде
қақ бөлеміз және ЕҒК сызыгын жүргіземіз. Онда ЕК сы­
зыгы трапецияны қақ бөледі. Міне оның суреті [95-сурет].
[95-суpent]
[XV] Егер ол ABCD параллелограмын оның сыртында
жатқан нүктеден, мысалы , Е нүктесінен , өтетін сызық
арқылы қалай қақ бөлу керек десе, онда AD-ны қосамыз ,
AD сызыгын G нүктесінде қақ бөліп, EGH сызыгын жүр-
гіземіз. Сонда EGH сызыгы ABCD фигурасын қақ бөледі.
Міне оның суреті [96-сурет].
С
[96-сурет]

[XVI] Егер ол ABCD параллелограмынан, мысалы
оның сыртында жатқан Е нүктесінен өтетін сызық арқылы
үштен бір, төрттен бір немесе одан да басқа бөліктерін
табу керек десе, онда ABCD фигурасын үшке бөлеміз,
алдыңғыдай АВ сызығына параллель GH сызығын жүр-
гіземіз. Е нүктесі арқылы GHCD фигурасын бөлетін EFI
сызыгын жүргіземіз. Сонда FIDC трапециясы ABCD фи-
гурасының үштен бір бөлігі. Міне оның суреті [97-сурет].
[XVII] Егер ол ABCD трапециясынан, мысалы , бел-
гіленген нүктеден Е нүктесінен өтетін сызықпен үштен
бір, төрттен бір немесе басқа бір бөлігін бөлу керек десе,
онда AD сызығы ВС сызыгы параллель, оның үштен бір
бөлігі. ВС сызыгының үштен бір бөлігі болып табылатын
BG сызығын қоя тұрып, Е және G нүктелерін қосамыз.

Сонда егер AD-ның АЕ жэне ВС -ның BG үштен бір бөлігі.
онда EG сызығы ABCD трапециясының үштен бір бөлігін
бөліп алады51 Міне оның суреті [98-сурет].
D
Е
[XVIII] Егер АЕ сызығы AD-ның үштен бір бөлігі
болмаса, онда AD-ның үштен бір бөлігі болатын AG -ды
қоя тұрамыз, және AG АЕ-ден қысқа болсын . Сол сияқты
ВС-ның үштен бір бөлігі ВН -ты қоя тұрып , G жэне Н нүк-
телерін қосамыз. GH-ты ортасынан Ғ нүктесімен бөлеміз .
ЕҒ нүктелерін қосып оны I нүктесімен жалғастырып
қосамыз. Онда ЕҒІ сызығы ABCD трапециясын үшке
бөледі, бұл - АЕІВ трапециясы болады . Міне оның суреті
[99-сурет].

[9 9-сурет]
[XIX] Егер ол ABCD трапециясын, трапецияға тиісті
емес, мысалы , Е нүктесінен өтетін сызықпен қалай қақ
бөледі десе, онда АВ сызығы G нүктесінде қақ бөлеміз,
G нүктесі арқылы GD сызығына параллель GF сызығын
жүргіземіз жэне AD сызығын Н нүктесімен қиылысқан-
ша жүргіземіз [GF сызығымен]. HFCD параллелограмы
шығады. Е нүктесі арқылы ЕІК сызығын жүргіземіз, ол
HFCD фигурасын қақ бөледі. Онда ЕІК сызығы ABCD
трапециясын қақ бөледі. Міне оның суреті [100-сурет].

[XX] Егер ол ABCD трапециясының қандай да бір
бөлігін, одан тысқары жатқан , мысалы , Е нүктесі арқылы
өтетін сызықпен қалай белуге болады десе, онда АВ -ны
G нүктесінде қақ бөлеміз, ол нүкте арқылы DC-re па­
раллель HG сызығын сызамыз, Е нүктесі арқылы HFCD
параллелограмынан бөліп тұратын ЕІК сызығын HFCD
параллелограмынан қажетті үлесті бөлетін EJK сызығьш
сызамыз; сонда ABCD трапециясынан қажетті бөлікті
аламыз. Міне оның суреті [101-сурет].
[XXI] Егер ол ABCD трапециясының үштен бір бөлігін
қалай бөліп алуға болады десе, онда АС мен BD-ні қо -
самыз. Олар Е нүктесінде қиылыссын . Егер BE сызығы
BD-нің үштен бірі болса, онда ABCD фигурасынан үштен
бір бөліктің бөлінгені; бүл - ABD улпбұрышы. Міне оның
суреті [102-сурет].

A
В
[102-cypem]
[XXII] Егер BE BD-ның үштен біріне тең емес болса,
онда CD-ны BD-ның үштен біріне тең болатындай етіп
аламыз, G нүктесі арқылы АС түзуіне паралель GH түзуін
жүргіземіз және AH-ты қосамыз. Сонда ABCD фигу-
расынан үш тен бірі бөлініп алынады. Міне оның суреті
[103-сурет].

[XXIII] Егер ол ABCD фигурасынан оның қабырға-
сында жатқан нүкте арқылы, мысалы , Е нүктесі арқылы
өтетін сызықпен үштен бір бөлігін қалай бөлуге болады
десе, онда ABCD пішінінен үштен бір бөлігін бөлетін В
нүктесі арқылы BG сызығын сызамыз жэне EG мен ED
сызықтарын сызамыз. Егер EG сызыгы BD сызығына па­
раллель, ал DC АЕВ сызыгына параллель болса, онда ED
сызыгымен ABCD фигурасынан үштен бір бөлік бөлінді.
Міне оның суреті [104-сурет].
[104-сурет]
[XXIV] Егер BD сызыгы EG-ға параллель болмаса , онда
В нүктесі арқылы фигураның ішінде немесе одан тысқары
орналасқан EG сызыгына параллель ВН сызығын сыза­
мыз. Алғашында ол сызық фигура ішінде болсын . Е -ні
Н-пен қосамыз . Сонда ЕН сызығы ABCD фигурасынан
үштен бір бөлігін бөледі. Міне оның суреті [105-сурет].

[105-cypem ]
[XXV] Егер BH сызығы фигурадан тысқары орналасқан
болса, онда ED-ні қосамыз, CD-ні Н-қа дейін созамыз,
DE-re параллель HF сызамыз жэне Е-ні Ғ-пен қосамыз.
Сонда EF сызығы ABCD фигурасынан үштен бір бөлік
бөледі. Міне он ың суреті [106-сурет].

[XXVI] Егер ол ABCD шаршысын суретте көрсетілген
шаршыға тең болатындай етіп, оның эрбір қабырғасы
ұзартылатын болып, қалай үлкейтуге болады - десе , онда
DB сызығын өз бағытымен ВЕ-нің , BD-нің екі еселен -
ген ұзындығына тең болатындай етіп, Е нүктесінё дейін
созамыз. DE сызығының бойына EGD жарты дөңгелегін
сырттай сызамыз, АВ сызығын G нүктесіне дейін созып,
квадраттың эрбір қабырғасына AG сызығының жартысы-
на тең сызықтар өлшеп салып, шаршыны толықтырамыз;
ABCD шаршысы өзіне тең шамага ұлғаяды52. Міне оның
суреті [107-сурет].
Егер біз шаршыны бірнеше есе ұлғайтқымыз келсе,
жогарыдағыдай орындаймыз: бұл жагдайда BE сызыгын
элгі еселік санмен бірдей болатын BD сызығына тең
______________
етеміз.

[XXVII] Егер ол ABCD шаршысының ортасына суретте
көрсетілгендей шаршының жартысына тең болатын шар-
шыны қалай салу керек лесе, онда BD сызығынан мұның
жартысына тең болатын BE сызығын өлшеп саламыз.
DE сызығының бойына АВ-ні G нүктесінде қиятын DGE
жарты дөңгелегін сырттай сызамыз да, AG сызығының
жартысына тең ВН сызыгын саламыз. А, В, С жэне D сы-
зығының бұрыштарынан НВ сызығына тең сызықтарды
өлшеп саламыз жэне де бөлу тұстарынан шаршының қа-
бырғаларына параллель сызықтар сызамыз. Сонда ABCD
шаршысының ортасында FJLK шаршысы пайда болады,
бұл ABCD-ның жартысына тең болады . Міне оның суреті
[108-сурет].
[108-сурет]

[XXVIII] Егер ол АВС дөңгелегінің үштен бір неме-
се төрттен бір немесе басқа бөліктерін параллель екі
сызықпен қалай бөлуге болады десе, онда D нүктесін
дөңгелектің центрі деп, дөңгелектің ішіне оның үштен
бір бөлігіне тең болатын хорда сызамыз, бұл - АС сызығы
болады, АС-ге параллель BD-ні сызамыз және В мен
С-ні қосамыз . АС доғасын Е нүктесінде қақ бөлеміз де,
Е нүктесі арқылы ВС-ге параллель EG сызығын сызамыз.
Сонда дөңгелектің ішіндегі параллель екі сызық арасында
орналасқан GBCE пішіні дөңгелектің үштен бір бөлігі
болып табылады. Міне оның суреті [109-сурет].
[XXIX] Егер ол ABC секторын қалай қақ белуге болады
десе, онда ВС доғасын D нүктесінде қақ бөлеміз де, А мен
D-ні қосамыз , сонда, егер СА сызығы АВ -ға тең болса,
онда ABC пішіні AD сызығымен қақ бөлінетін болады.
в
Е
[109-сурет]

Егер де АС сызығы АВ-ге тең болмаса, онда СВ сызыгын
Е нүктесінде қақ бөлеміз, AD сызығына параллель EG-ді
сызамыз жэне де D мен G-ді қосамыз. Сонда ABCD пішіні
DG сызығымен қақ бөлінетін болады. Міне оның суреті
[110-сурет].
[110-сурет]
[XXX] Із қалдыру туралы. Егер ол ABCD шаршысын
ені DH-ке тең із қалдырып қалай қақ белуге болады десе,
онда СА-ны бағыты бойынша МА сызығын СН-қа тең
болатындай етіп М-ге дейін созамыз, ВА-ны оның бағыты
бойынша L-re дейін созамыз, дөңгелектің С ортасынан
CM аралығында ВА сызығын L нүктесінде қиятын сы-
рттай дөңгелек сызамыз да, L -ді С-мен қосамыз. СН-қа
тең LK-ны өлшеп саламыз, AL сызығына параллель KEG
сызыгын сызамыз жэне DB сызыгына параллель HF-ті сы­
замыз. Сонда НЕ фигурасы ЕВ фигурасына тең болады53
Міне он ың суреті [111-сурет].
________________ ________________________

D
Н
С
[111-сурет]
[XXXI] Егер ол ABCD шаршысын CD қабырғасында
екі тең кесінді арасында орналасқан белгілі бір ені MN
болатын із қалдырылып, үш тең бөлікке қалай бөлуге
болады десе, онда AJ сызығы СМ-ге тең болатындай етіп
СА-ны J-re дейін, ВА-ны бағыты бойынша Е-ге дейін
созамыз, С нүктесін дөңгелектің центрі ретінде алып, Е
нүктесінде ВА сызығымен киылысатын CJ аралығында
сырттай дөңгелек сызамыз және СЕ-ні қосамыз. СЕ сы-
зығының бойына CM сызығына тең EG сызығын өлшеп
саламыз және G нүктесі арқылы ВАЕ сызығына параллель
GHL сызығын сызамыз. М жэне N нүктелері арқылы АС
сызығына параллель MF жэне NK сызықтарын сызамыз.
Сонда МН, NL және AL пішіндері тең болады. Міне оның
суреті [112-сурет].
________________ ________________________

J
D
N
C
[112-cypem]
[XXXII]
Егер ол: ABC үшбұрышын белгілі енімен
із қалдыра отырып және егер із ені - CD болса, тең екі
бөлікке белуге болады десе: онда CD-ны Е нүктесінде қақ
бөлеміз, ВС-ға параллель EG мен DH-ты жүргіземіз, АС-
ға параллель HF-ті жүргіземіз, G мен F-ті қосамыз, HG-ra
тең НК-ны аламыз, GF-re параллель KL-ді жүргіземіз,
AL трапециясының жартысына тең келетін жэне ABC
үшбұрышы сияқты NMG үшбұрышын тұрғызамыз. MN -
ді О-га дейін жалғастырамыз. Сонда ABC үшбұрышы екі
бірдей бөлікке бөлінеді: ВМО үшбұрышы жэне АХ тра-
пециясы, олардың арасында ені CD-re тең ХС із қалған.
Міне оның суреті [113-сурет].
________________ ________________________

в
[ 113-сурет]
[ХХХШ] Егер ол: ені ED-re тең із қалдырылып, ABC
үшбұрышын үштен бір, үштен екі бөлікке қалай бөлуге
болады десе, онда CD-нің үштен бір бөлігіне тең СЕ -ні
өлшеп саламыз, ВС сызығына параллель DH жэне EG-ні
сызамыз, Н нүктесі арқылы АС сызыгьша параллель HF
сызығын саламыз, СҒ-ті қосамыз және HG-re тең НК-ні
өлшеп саламыз. Одан кейін GF-ке параллель KL-ді сыза­
мыз, AL трапециясының үштен бір бөлігіне тең жэне ABC
үшбұрышына ұқсас GMN үшбұрышын саламыз жэне
MN-ді О -ға дейін созамыз. Сонда ABC үшбұрышы үштен
бір бөлікке жэне үштен екі бөлікке тең, сонымен қатар
үштен бір бөлік ВМО үшбұрышына, ал үштен екі бөлігі
АХ трапециясына тең. Міне оның суреті [114-сурет].
________________ ________________________

в
[XXXIV] Егер ол: ABCD трапециясын ені ED-re тең із
қалдырып, ВС AD сызығына параллель болғанда қалай қақ
бөлуге болады десе, онда G нүктесінде DE-ні қақ бөлеміз,
CD сызыгына паралель GH жэне EF түзуін жүргіземіз, АВ
жэне GH сызықтарын М нүктесінде қиылысқанша соза-
мыз жэне AF трапециясының жартысына тең жэне MAG
үшбүрышы сияқты MLK үшбұрышын тұргызамыз. AD
сызыгына параллель KXLN жүргіземіз. NXED ізі қалған
теңдей екі ХКАЕ және NCBK трапециялары шығады.
Міне оның суреті [115-сурет].

м

ТОҒЫЗЫНШЫ КІТАПША
Шаршыларды (квадратты) бөліктеу және
оларды құрастыру туралы.
[I] Шығармашылықтың алдыңғы кітаптарында фигу-
раларды қалай құру керектігін түсіндірдік, өзара іштей
сызылған жэне өзара сырттай сызылған, олардың түрге
бөлінуі жэне қолөнершілердің жиі пайдаланатындары.
Математикадан білімі жеткіліксіз жандар үшін осының
жеткілікті болатындығына үміттімін. Бұл кітапта мен
қолөнершілер жиі қолданатын және көп сұрақ қойылатын
фигуралардың бөліктері туралы баяндаймын. Бұл шар -
шыны (квадратты) бөліктеу, оларды құрастыру, [іштей
сызылған фигураларды] тұрғызу. Біз пайдалануға қажетті
ережелерді анықтадық. Қолөнершілердің пайдаланатын -
дарының бэрі де осы кітаптағы мәселелер бойынша көп-
теген қателіктері бар бөліктеу мен құрастыру [пішіндеу]
бірінсептері негізінде жасалады. Алла қалауына не керек
болса соны қиындықсыз орындалатындай етіп баяндай-
мыз.
Біз сандардың арасында квадраттысы да, квадратсызы
да бар дейміз. Квадраттыларына келер болсақ , ол - егер
саны өзіндей санға көбейтсек, онда, мысалы төрт пайда
болады. Ондай сан - екі. Себебі екіге екіні көбейтсек төрт
болады. Мысалы , жиырма бес, өзіне - өзін көбейткенде
жиырма бес болатын сан табылады, ол - бес. Өзіне -өзін
көбейткенге тең болатын бір сан квадратты сан деп атала-

ды. Өзіне -өзі көбейтілетін сан сол санның түбірі немесе
жағы деп аталады. Егер сан шаршылы болмаса, онда ол
екі шаршылы саннан тұруы немесе екі шаршылы саннан
тұрмауы мүмкін. Мысалы , он үш [саны] екі квадратты
саннан: тоғыз бен төрттен тұрады . Тоғыз - квадратты жэнё
оның жағы - үш , төрт - квадратты жэне оның жағы
-
екі.
Мысалы, қырық бір [саны] екі квадратты түрады: оның
бірі - он алты , оның жағы - төрт, ал екіншісі - жиырма
бес, оның жағы - бес .
Екі квадраттан тұрмайтын сан үшін, мысалы , жеті үшін
қосындысы өзіне тең болатын екі квадрат табылмайды
немесе он бір үшін де қосындысы өзіне тең болатын екі
квадрат табылмайды. Сондықтан да , егер әңгіме 'квадрат -
тардан тұратын квадрат сандар туралы болса, онда квадрат -
тарды тек квадрат болатын сандарға және квадраттардан
құралған (тұратын) сандарға жіктеуге болады. Егер эңгіме
квадраттың қанша квадраттың қосындысынан тұратын-
дығы туралы немесе квадраттардан түратын квадрат тура­
лы болса, онда мен ол санды былай құрастырамын : егер
бұл сан шаршыны немесе екі шаршыдан тұратын болса,
онда бұл істің қарапайым да жеңіл болғаны, ал егер бұл
сан шаршыны да емес жэне квадраттардан құралмаған
(тұрмайтын) болса, онда бұл істің қиын ауыр болғаны . Біз
бұл араны егер Алланың қалауы болса, осындағы әрбір
түр үшін құрастыру жұмыстарын жүргізе аламыз.
Егер тең шаршылардың шаршылар санынан
құралған шаршыны бөлшектеу туралы сұрай қалса, онда

ш аршының әрбір жағын тең шаршыларға бөлеміз, олар-
дың саны шаршылардың өзін құрастырған шаршыларға
бөлінетін жағына тең. Бөлінетін жерлері арқылы сол
жерлерге сәйкес келетін қарама-карсы жакка түзу жүргі-
земіз. Сонда берілген шаршыны оған үксас шаршыларға
бөлшектейтін боламыз. Егер біз бір шаршыны тоғыз шар-
шыға бөлмек болсақ, онда шаршының бір қабырғасын тең
үш бөлікке бөлеміз. Дэл осылай қалған қабырғаларды да
тең үш бөлікке бөлеміз, бұл тоғыз санының түбірі болады.
Әрі қарай қарсы жатқан қабырғадағы әрқайсысы арқылы
түзу сызықтар жүргіземіз. Сонда шаршымыз тең тоғыз
шаршыға бөлінеді. Міне оның суреті [116-сурет].
[ 116-сурет]
[II] Дәл осылай, егер шаршыны төрт шаршыға бөлу ке-
рек болса, эр қабырғаны екіге бөлеміз - бүл төрт шаршы-
ның қабырғасы, қарама-қарсы бөліктерін қосамыз, сонда

шаршы өзара тең бөлікке бөлінеді.
Міне оның суреті [117-сурет].
[III] Ш аршылардың жарты са-
нынан шаршы тұрғызу туралы.
Егер біз шаршылардың көп
шаршы сандарынан бір шаршы
тұрғызғымыз келсе, онда қабырға -
сы осы шаршылардың қабырғасы-
на тең бір шаршы аламыз. Оған
мысал. Егер біз он алты басқа шаршылардан бір шаршы
тұрғызғымыз келсе, онда берілген шаршыларды қатар
тізіп, оған қалғандарын тіземіз , сонда бір шаршы шығады .
Міне оның суреті [118-сурет].
[117-сурет]
□□□□
□□□□
□□□□
□□□□
[118-сурет]
[IV] Екі шаршыдан тұратын шаршылардан шаршы
тұрғызу іуралы.

Егер біз осыны тұрғызғымыз келсе, онда екі шаршы
санын алып, осы екі шаршыны қарастырамыз. Егер олар
өзара тең болса, онда екі өзара тең шаршы тұрғызамыз.
Олардың әрқайсысын диагоналды түрде бөлсек, төрт өза-
ра тең шаршы шығады. Олардың диагоналдары ізделетін
шаршының қабырғасына тең. Егер осы үшбұрыштарды
бір-біріне өздерінің тік бұрыштары арқылы қосатын бол -
сак, шаршы шығады .
Оның мысалы. Егер біз екі басқа шаршыдан жаңа шар­
шы құрғымыз келсе, онда олардың әрқайсысын диагонал­
дары арқылы қиямыз, онда бүйір қабырғалары мен табаны
тең төрт үшбұрыш пайда болады. Осы үшбұрыштарды тік
бұрыштары жалгасатындай етіп қосамыз да қабырғасы
үшбұрыштың табанына тең болатын шаршы тұргызамыз.
Міне оның суреті [119-сурет].
[119-сурет]

[V] Егер біз сегіз өзара тең шаршыдан жаңа шаршы
тұрғызғымыз келсе, онда ол әрқайсысы төрт шаршыдан
тұратын екі шаршы тұргызайық. Сонан соң оларды диа-
гоналдар арқылы бөлеміз; сонда төрт өзара тең үшбүрыш
пайда болады. Олардан жоғарыда айтылгандай етіп шар­
шы тұрғызамыз. Міне оның суреті [120-сурет].
[VI] Егер саны екі өзара тең емес шаршьшардан тура-
тын шаршылар берілген болса, онда әрқайсысьшьщ ұзын-
дығы үлкен шаршының қабырғасына, ал ені кіші шаршы
қабырғасьша тең болатын екі тік төртбұрыш тұрғызамыз.
Олардың әрқайсысын диагональ арқылы тең екі жартыға
қиямыз; сонда өзара тең төрт үшбұрыш пайда болады,
олардың қабырғалары шаршылардың диагоналдары
ізделетін шаршының қабырғасына тең болады. Егер біз
ортасына қабырғасы берілетін екі шаршының қабырға-
ларының айырымына тең шаршыны орналастырсақ және
үшбұрыштың қабырғаларын оның қабырғаларына орна-

ластырсақ, онда шаршылардан құрылған бір ғана шаршы
шығады.
Оның мысалы. Егер біз тең қабырғалы жэне диагонал -
дары да тең он үш шаршыдан бір шаршы тұрғызғымыз
келсе, онда бір шаршы бірлік шаршылардан тұрады ,
олардың саны тоғыз, бұл шаршының қабырғасы үшке тең;
екіншісі төрт бірлік шаршыдан құралған, оның қабырғасы
екіге тең. Бір қабырғасы үшке, екінші қабырғасы екіге тең
екі тік төртбұрыш тұрғызайық. Әрқайсысы алты шар­
шыдан тұратын екі тік төтбұрыш пайда болады. Оларды
диагонал бойынша қиямыз; сонда төрт үшбұрыш пайда
болады, олардың ұзын катеті - үш , қысқасы - екі, ал гипо-
тенузасы - он үштің түбірі [121-сурет].
[121-сурет]

Шаршылардан бірлігін бөліп алып, оны ортасына орна-
ластырамыз да оған үлкен катеті бар үшбұрыштарды шар-
шының қабырғасына қосамыз. Олардан әрбір қабырғасы
үшбұрыштың гипотенузасы болатын. яғни он үштің түбірі
болатын шаршы құрылады54. Міне оның суреті [122-су -
рет].
[VII] Егер біз өзара тең он шаршыдан бір шаршы түрғы-
зғымыз келсе, онда оны екі шаршыдан құрастырылған ,
оның біреуі - тоғыз да түбірі үш , ал екіншісі - бір де түбірі
бір. Бір қабырғасы үш те екінші қабырғасы бір болатын
екі тік төртбүрыш тұрғызайық. Оларды диагоналдары
арқылы тең екіге бөлейік. Оннан торт шаршы қалады .
Торт шаршыдан бір шаршы тұрғызайық та, оны ортасы­
на орналастырып, оның қабырғаларына үшбұрыштарды
жалгаймыз. Әрбір қабырғасы үшбұрыштың гипотенузасы

болатын (яғни, онның түбірі) шаршы пайда болады. Міне
оның сурет [123-сурет].
[123-сурет]
Тура осы сияқты он жеті өзара тең шаршылардан да
шаршы тұрғызамыз [124-сурет].
Екі шаршыдан құрастырылған сан сәйкес келетін
шаршылардан бір шаршы тұрғызу осы жоғарыдағыға
негізделген.
[VIII] Саны екі шаршы болатын шаршыларға бір шар-

шыны бөлу туралы. Бір шаршы берілген болсын . Егер біз
екі шаршы санды шаршыға бөлеміз десек, онда ол сандар -
ды қарастырамыз. Егер өзара тең болса, онда шаршыны
диагоналдармен бөлеміз; онда төрт өзара тең үшбұрыштар
пайда болады. Егер осылардың әрбір екеуін шаршының
қабырғасы болатын қабырға бойымен қосатын болсақ, біз
әрқайсысы екі үшбұрыштан тұратын екі шаршы тұрғыза-
мыз. Міне оның суреті [125-сурет].
[IX] Егер біз- шаршыларды алып , олардьщ эр қабы -
рғасын тең бөліктерге бөлсек, олардьщ саны өзара тең
шаршылардың қабырғасына тең болады да, сонымен біз
шаршыны ізделетін шаршыларға бөлеміз.
Оның мысалы. Егер біз бір шаршыны сегіз шаршыға
бөлмек болсақ, онда оның диагоналдарын жүргіземіз;
сонда төрт өзара тең үш бүрыш аламыз. Әрбір екі
үшбұрыштан шаршы құрастырамыз; содан екі шаршы
аламыз. Әрі қарай екі шаршының әр қабырғасын екі тең
бөлікке бөлеміз де, бөліктің қарама -қарсы жақтарын

тузу сызықтармен қосамыз (жалғаймыз). Сонымен біз
сегіз өзара тең шаршылар тұрғызамыз. Міне оның суреті
[126-сурет].
[126-сурет]
[X] Дэл осылай, егер біз шаршыны он сегіз өзара тең
шаршыға бөлмек болсақ, оның диагоналдарын жүргіземіз,
төрт бірдей өзара тең үшбұрыштар аламыз, осы сызбада
екі шаршы тұрғызамыз. Әрі қарай екі шаршының эр қабы-
рғасын үш тең бөлікке бөліп, бөлінген жақтарын қосамыз.
Тең қабырғалы он сегіз шаршы пайда болады. Оның сурет
мынау [127-сурет].

[XI] Бір шаршыны саны екі өзара тең емес шаршыдан
тұратын шаршыларға бөлу туралы. Бір шаршыны екі бір -
дей әртүрлі шаршыдан тұратын шаршылар санына бөлу
үшін шаршының бір қабырғасын тең бөліктерге бөлеміз,
олардың саны үлкен шаршы қабырғасына тең, ал берілген
сан солардан құралған. Әрі қарай берілген шаршының эр
қабырғасынан оның төбесінен бір бағытта кіші шаршы
қабырғасына тең сызықты өлшеп аламыз да, шаршының
әр бүрышынан қарама-қарсы жатқан бөлшектеу орнына
қарай түзу сызықтар жүргіземіз; сонда ортасында шаршы
жэне сол шаршыны коршаған төрт үшбұрыш пайда бола-
ДЫ.
Бұл шаршы шаршылардың қабырғаларының айыры-
мының шаршысына тең. Осы шаршының қабырғаларын
айырымға тең болатын бөліктер санына бөлеміз; сонда
айырым шаршысына тең шаршылар саны шығады. Ал
үшбұрыштарға келер болсақ, егер оларды екеуден бірік-
тіретін болсақ, онда ұзындығы үлкен шаршы қабырға -
сына тең болатын тік төртбұрыштар алынады, ал оның
ені екі шаршының ең кішісінің қабырғасына тең болады.
Сондықтан да егер осы екі тік төртбүрышты тұрғызып,
олардың қабырғаларын шаршылардың қабырғаларының
санына тең бөлікке бөлетін болсақ, онда қалған ізделетін
шаршылар алынады. Оған мысал . Егер біз бір шаршыны
он шаршыға бөлмек болсақ, онда онның екі шаршыдан -
тоғыз бен бірден түратындығын, біреуінің қабырғасы - үш
те, екіншісінің қабырғасы - бір екендігін аңғарамыз . Шар -

шының бір қабырғасын тең үш бөлікке бөліп, эр қабырға-
сына бірге тең кесінді саламыз, қарсыдағы бүрыштардан
бөліну нүктелеріне түзу сызықтар жүргіземіз; сонда орта-
да бір шаршы және оны қорша орналасқан төрт үшбұрыш
пайда болады. Міне оның суреті [128-сурет].
[128-сурет ]
Әрі қарай ортадағы шаршының қабырғасын екіге
бөлеміз, яғни онды құратын шаршы қабырғаларының
айырымына бөлеміз. Бөліну нүктелерінен параллель сы-
зықтар жүргіземіз: ортада төрт шаршы пайда болады. Әр-
бір екі үшбұрыштан үзындығы - үш, ал ені - бір болатын
тік төртбүрыштар тұрғызамыз да, оларды үш шаршыға
бөлеміз, сонда он шаршы пайда болады.
[XII] Дэл солай, егер біз бір шаршыны жиырма шаршыга
бөлмек болсақ, онда жиырмамыз екі шаршыдан тұрады:
біреуі он алты [оның қабырғасы - торт], екіншісі - торт
[оның қабырғасы - екі]. Ш аршының қабырғасын тең торт
бөлікке бөлеміз, қабырғаларына екінші шаршының қабы-
рғасына тең сызықты орналастырамыз да, бұрыштардан

бөліну нүктелеріне сызық жүргіземіз; сонда қабырғасы
екі шаршы қабырғаларының айырымы болатын және оны
қоршаган төрт үшбұрыш пайда болады.
Шаршыны қоршаған осы үшбұрыштардың эрбір екеуі-
нен ұзындығы —төрт, ені екі болатын тіктөртбұрыш құра-
мыз. Ортада тұрған шаршыны төрт шаршыға жіктейміз , ал
екі тік төртбүрышты - он алты шаршыға жіктейміз . Сонда
жиырма шаршы алынады. Міне оның суреті [129-сурет].
[XIII] Саны екі шаршыдан тұратын шаршылдарды
бөлшектеу әдістері, егер шаршылардың саны екі шаршы­
дан тұрмайтын болса, оларды бөлшектеуді шаршы түзуге
ауыстыруға болмайды. Көптеген геометрлер мен қолөнер -
шілер осы шаршыларды түрғызу жэне оларды құрастыру
жолында қателіктер жіберді: геометрлер тәжірибенің
аздыгынан, ал қолөнершілер дәлелдеуге қажетті білім -
дерінің жетіспеушілігінен. Себебі, геометрлер тұрғызу -
дың тәжірибелік эдістерін білмейді, сондықтан да оларга

сызықтарда дәлелдеу арқылы жуықтап тұргызудың дұрыс
тэсілдерін табу қиынға түсті.
Қолөнершілерге келер болсақ, олар жуықтап тұргызу
жолын тапқанда, біздің сезінетін және көретін нәрсе-
лерімізді алады, сызықтардың көмегімен дэлелдеуге жэне
геометрлерге көңіл аудармайды. Теориялық пайымдаулар
арқылы бірнәрсені дэлелдеуге қол жеткізген адам, оның
тұрмыста қаншалықты ақиқаттылығын тексермейді.
Қолөнершілердің білгенінің бэрі де геометрлер дәлелдеген
шындық екендігіне мен күмәнданбаймын және дәлелдеу-
лер осының дұрыс екендігін көрсетеді. Бірақ қолөнерші
мен жерөлшегіш істің маңыздылығын қарастырады, оны
қалай дәлелдеуді ойламайды, сондықтан да олар қате жібе-
реді. Геометрлерге келеек , оларға біздің дәлелдеу арқылы
не алгымыз келетіндігі түсінікті, егер олар қолөнершілер -
мен жер өлшегіштердің нені пайдаланатындығын дәлел-
дейтін болса. Геометрлерге, пішіндерді бөлшектеу мен
сызықтарды көбейту туралы сұрақ қойғанда олар әбігерге
түседі де, оларға ойлануға көп уақыт керек болатындығы
тэн. Кейде бұл оларды шешімге жақындатады , кейде
алыстатады. Мен қолөнерршілер мен жер өлшегіштер
қатысқан кейбір тартыстарға қатыстым. Олардан үш шар -
шыдан бір шаршы тұрғызу туралы сұралды. Геометрге
келсек, ол үш шаршьщан тұратын шаршының қабырғасын
жеңіл табатын. Бірақ ол қолөнершілерді қанағаттандыр -
мады, себебі оған бір гана шаршы құралатын бүл үш шар-

шыны бөліктерге бөлу қажет, мұндай нәрсе екі жэне бес
шаршы жағдайында орын алған.55 Қолөнершілер болса,
бұл үшін бірнеше тәсілдер ұсынды. Олардың кейбіреулері
үшін дәлелдеулер келтірілді, ал қалғандары жалған болып
шықты. Дәлелдеуге болмайтындары шындыққа өте жақын
болып көрінді және осы тұрғызуларға қарап тұрған адам
оларды дұрыс деп ойлайды.
Олардың қайсысы дұрыс, қайсысы бұрыс екенін білу
үшін сол тәсілдерді келтіреміз. Біз көзге сүйене алмай -
мыз, себебі көз , егер осыны Алла қаласа , бұл тәсілдердің
қайсысы жалған екендігін айтуға көзіңіз жақсы көмекші
бола алмайды.
Кейбір қолөнершілер бір шаршыны ортаға қояды, екін -
шісін диагональ арқылы бөледі де, осы екі бөлікті шаршы -
ның қабырғаларына орналастырады. Үшінші шаршының
ортасын бір диагоналда жатпайтын төбесімен екі сызық
арқылы қосады да, шаршының ортасын екі сызық және
шаршының қабырғасы арқылы жасалған үшбұрышқа
қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосады. Бұл шаршы
екіге трапеция мен үшбұрышқа бөлінеді. Бұл үшбұрышты
бірінші шаршының төменгі қабырғасына орналастырады.
ал екі трапецияны оның жоғарғы қабырғасына олардың
ұзын қабырғалары ортада болатындай етіп орналастыра­
ды. Мына суретте келтірілгендей шаршы пайда болады
[130-сурет].

с
В
А
J
Ол тұрғызған суретке келер болсақ, мұнда бір қулықбар.
Геометрия өнерін үйренбеген адам бұл тұрғызуды дұрыс
көреді, егер оны барынша жан -жақты қарайтын болсақ ,
онда бұл тәсіл дұрыс болмай шыгады. Бізге дұрыс болып
көрінсе де, бірақ бұрыштар мен қабырғалардың теңдігіне
қатыстысы оның әрбір бұрышы тік, ал қабырғалары тең ,
сондықтан да бұл тәсіл дұрыс сияқты көрінеді. Шаршы -
ның бұрыштар саналатын С, В, D үшбұрыштарының әр-
бір бұрышы тік, ал төртінші бұрыш әрқайсысы - түзудің

жартысы, яғни екі трапецияның Е және G бұрыштарынан
болатын екі бұрыштан тұрады. Қабырғаларына келер бол -
сак, олар - түзу сызықтар жэне өзара тең .
Бұл қабырғалардың әрқайсысы шаршының қабырға-
сынан тұрады. Сондықтан да олар өзара тең . Бұл тұрғы -
зуда олардың түзу екендігі тұрғысында болса, онда бұл
дәлелденген, себебі түзулердің қиылысу нүктесіндегі бар-
лык бұрыштардың қосындысы екі тік бұрышқа тең жэне Н
нүктесіндегі үш бұрыштың қосындысы да екі тік бұрышқа
тең, себебі бұл бұрыштардың біреуі шаршының бұрышы ,
ал қалған екі бұрышы - үшбұрыштардың бұрышы , оның
әрқайсысы - тік бұрыштың жартысы . Ғ бұрышы да сон -
дай. I бұрышына келер болсақ, ол екі бұрыштан түрады ,
оның бірі - үшбұрыштың бұрышы , яғни тік бұрыштың
жартысы, ал басқа бұрышы - трапеция бұрышы , яғни бір
жарым тікбұрыш. Бұл жағдай К нүктесіндегі бүрьпптарға
да қатысты. Сондықтан да егер бұрыштар тік болса, ал қа-
бырғалары өзара тең түзу сызық болса, онда әр адам үшін
үш шаршыдан түратын бір шаршы шығатындығы айдан
анық та, ол қай жерде қате жібергендігін білмей әлек.
Дегенмен, белгілі болғандай бір шаршының әрқайсысы
шаршылардың бірінің қабырғасына жэне оның диагона-
лының жартысына тең болғандығын байқаймыз. Бірақ үш
шаршыдан тұратын шаршының қабырғасы бұл шамаға
тең болуы мүмкін емес, себебі ол шамадан үлкен болуға
тиіс. Мейлі, шаршының эр қабырғасы екі шынтақ болсын;
онда әрбір сауатты адамға үш шаршыдан тұрғызылған
шаршының қабырғасы шамамен он жеті шынтаққа жэне

оның үштен біріне тең, ал бұл шаршының қабырғасы - он
жеті жэне жетіден бірінің жартысына тең болатындығы
бесенеден белгілі.
Бүл шаршылардың арасында үлкен айырмашылық бар.
ВС шаршысын екіге бөлгенде оның эрбір жартысын HI
мен FK сызықтары арқылы ВС шаршысының жартыла-
рынан бөлінген шаршының қабырғаларына қойғанда бұл
мүмкін емес, себебі ВС шаршысының диагоналы үшінші
шаршының қабырғасына тең емес. HI сызығы ВС шаршы-
сының қабырғасына тең жэне оның екінші қабырғасының
жартысына тең, бірақ ол бұл қабырғадан кіші, себебі ВС
ш аршысының диагоналы шамамен он төртке және жеті-
ден бірге тең, ал HI сызығы он беске тең. Осымен бұл
бөлшектеу мен тұрғызудың жарамсыздығы дәлелденді56
[XIV] Кейбір адамдар бұл шаршыларды басқа тәсілдер
арқылы бөлшектейді, бірінші бөлшектеуге қарағанда бұл
бөлшектеудің жарамсыздыгы айқын көрінеді. Олар екі
шаршының диагоналі ортасынан осы шаршы қабырғасы-
на тең кесіндіні бөліп алып, төбелерден диагоналдар бо-
йынша төрт үшбұрыш кесіп шығарады. Сонымен екі шар-
шыдан төрт эрқабырғалы бесбұрыш пен төрт үшбұрыш
пайда болады. Содан соң олар эрбір бесбүрышты үшінші
шаршының қабырғасына орналастырды және төрт
бұрышты төрт үшбүрышқа орын табылады екен. Осы
үшбұрыштарды сол орындарға көшіріп, үш шаршыдан
тұратын шаршы алады. Міне оның суреті [131-сурет].

с
D
[131-сурет]
Бұл геометрия мен дэлелдеулермен айналыспайтын-
дар үшін дұрыс болып көрінуі мүмкін, ал олар ойлана
бастағанда бұл тэсіл жарамсыз больш шығады, себебі
олардың шаршы төбесіндегі бос орындарға шығарған
үшбұрыштар ол орындардан үлкен, себебі ол бос орындар
екі қабырға арасында орналасқан, ал үшбұрыштың эр
қабырғасы шаршыдан қиылған үшбұрыштың гипотенуза-
сының жартысына тең. Сондықтан ол бұл үшбұрыштың
қабырғасы бос орындағы үшбұрыштың гипотенузасына
тең.
[XV] Шаршыны біз көрсеткен қажетті дәлелдемелер
арқылы анықталған дұрыс тәсіл бойынша бөлу туралы
эңгіме етсек, онда үш шаршының екі шаршысын диа -
гоналдары бойынша бөлеміз (төрт тіктөртбұрыш пайда
болады), осылардың әрқайсысының қабырғасын үшінші
шаршының қабырғаларына орналастырамыз, сонымен
қатар үшбұрыштың тікбұрыштың жартысына тең бо-
латын бұрышын шаршының бір бұрышының үстіне, ал
үшбүрыштың гипотенузасын шаршының қабырғасына

орналастырамыз; сонда үшбұрыштың екінші бұрышы
жағындағы бөлігі сыртқа шығып тұрады. Үшбұрыштың
тікбұрыштарының төбелерін түзу сызықтармен қосамыз;
сонда ізделуші шаршының қабырғасы анықталады. Үлкен
үшбұрыштың әрқайсысынан кіші үшбұрыш бөліп аламыз
да оны үшбұрьпптың қабырғасының екінші жағындағы
жетіспей тұрған орынға орналастырамыз.
Осының мысалы. Егер біз бұны ABCD, EPGH және
FJKL үш тең шаршылардан салмақшы болсақ, онда осы
шаршылардың екеуінің BD және PG диагоналдарын
сызып екі бөлікке бөлеміз, бұларды үшінші шаршының
қабырғаларының үстіне орналастырамыз. Содан соң
үшбұрыштардың тікбұрыштарының төбелерін BO, GP,
PD жэне DB сызықтарымен қосамыз. Үшбұрыштың қабы -
рғасының сыртында үлкен үшбұрыштың эрбір қабырға-
сының бойында осы үлкен үшбұрыштан бөлініп алынған
үшбұрышқа тең кішкене үшбұрыш бар. Сондықтан ВМ
үшбүрышы MFG үшбұрышына тең, себебі С бүрышы
тікбұрыштың жартысына тең жэне MFG бұрышы да
тікбұрыштың жартысына тең, М бұрышының бойындағы
үшбұрыштың екі вертикаль бүрышы да тең, ВС қабырғасы
FG қабырғасына тең, сондықтан бір үшбұрыштың өзге қа-
бырғалары екінші үшбұрыштың басқа қабырғаларына тең
жэне бір үшбүрыш екінші үшбұрышқа тең. Сондықтан ,
егер біз ВСМ үшбұрышын MFG үшбұрышының орнына
орналастырсақ, BG сызығы үш шаршыдан құралған шар-
шының қабырғасы болады. Осы тәсіл дұрыс эрі ақиқатқа

барынша жуықтау, себебі бұл дэлелдемелер арқылы
анықталған57 Міне оның суреті [132-сурет].
[XVI] Егер де геометрден саны көп немесе саны аз шар-
шылардан шаршы салу туралы сұраса, онда ол шаршысы
осы шаршыларға тең сызықты табады да шаршыларды
белуге мэн бермейді. Сондықтан одан үш шаршыдан
шаршы салу туралы сұралса, онда ол бір шаршының
диагоналын сызады да, диагонал сызығының бір ұшынан
оған шаршының қабырғасына тең болатын перпендикуляр
тұргызады, перпендикулярдың ұшын диагоналдың басқа
ұшымен түзу сызықпен қосады; сонда үш тең шаршыдан
құралган шаршының қабырғасы анықталады.
Осының мысалы. Біз әрқайсысы ABCD шаршысына
тең үш тең шаршы салмақшымыз. AD диагоналын сы-
замыз. Сонда AD —екі шаршыдан салынган шаршының
қабырғасы болады. Одан соң AD сызығына А нүктесінде

АЕ перпендикулярын тұрғызамыз да, Е-ні D-мен қосамыз.
Сонда ED сызығының әрқайсысы ABCD шаршысына тең
үш тең шаршының қабырғасы болады.
Геометр осы сызықты анықтаған соң, ол осы шаршы-
ларды бөлу тәсілін іздемейді, ED сызығының бойына үш
шаршыға тең шаршы салуды ғана ойлайды. Міне оның
суреті [133-сурет].
Егер біздің үштен көп немесе одан аз шаршылардан
құралған шаршы салғымыз келсе, дэл осы секілді салуды
жүзеге асырамыз58.
[XVII] Қабырғаларының шамасы белгісіз эртүрлі екі
шаршыдан шаршы салу туралы. Егер біз баяндап өткен
шаршылар салу жұмысына ұқсас салу орындалса, біз шар­
шы немесе эртүрлі екі шаршы салудың жалпы әдісіне тап
боламыз, бұған екі шаршыны қосу кезінде сүйенуімізге
тура келеді. Егер біз үш шаршыдан шаршы салмақ болсақ,
онда біз екі шаршыдан шаршы саламыз. Кіші, яғни үшін-
ші шаршымен салыстырғанда үлкен шаршы жасаймыз.
________________ ________________________

Егер біз әлгілерден шаршы салсақ, ізделуші шаршы пайда
болмақ. Егер біз осы шаршыны салмақ болсақ, онда кіші
шаршының бір бұрышы үлкен шаршының бұрышының
біреуімен беттесетін етіп, кіші шаршыны үлкен шаршы-
ның үстіне беттестіреміз, ал екі қабырғасын екі қабы-
рғаның үстіне дэл етіп орналастырамыз. Содан соң кіші
шаршының қабырғаларын үлкен шаршының қабырғала-
рымен қиылысқанша созамыз да, үлкен шаршыдан кіші
шаршының қабырғасындай, үлкен шаршының екінші қа-
бырғасына параллель тіктөртбұрышты бөліп шыгарамыз.
Сонда үлкен шаршының ішінде тіктөртбұрыш қалады.
Тіктөртбұрыштан үлкен шаршыдан бөлініп алынған, кіші
шаршымен бірге басқа бір тіктөртбұрыш қүрайтын бөлік-
ті қиып аламыз. Сонда үлкен шаршыда кіші шаршы қана
қалады. Оны сақтап қоямыз. Одан соң екі тіктөртбұрышты
олардың диагоналдарымен қиямыз; сонда төрт үшбүрыш
пайда болады. Бұлардың гипотенузасы ізделуші шаршы-
ның қабыргасы болып табылады. Сонан соң, сақталып
қойылған кіші шаршыны ортаға орналастырамыз да оған
торт үшбұрышты біріктіреміз, бұлардың әрқайсысы оның
бір қабырғасына шаршының тікбұрышы үшбүрыштың тік
бұрышына қабысатындай болып орналастырылады. .Сон­
да екі шаршыдан қүралған үлкен шаршы пайда болады.
Міне он ың суреті [134-сурет].

[134-cypem]
Мұның дұрыстығын дэлелдеу үшін ABCD үлкен шар-
шысы мен GEHF кіші шаршысын саламыз. Кіші шаршы -
ны үлкен шаршының үстіне былайша саламыз, F бұрышы
D бұрышының үстіне, GF сызығы CD сызығының үстіне,
ал HF сызығы BD сызығының үстіне түсетіндей болып
орналастырылады. Үлкен шаршыны HE қабырғасымен
J нүктесінде қиямыз; сонда үлкен шаршыдан HJAB тік-
төртбұрышы бөлінеді. HJAB тіктөртбұрышынан JEGC
тіктөртбұрышына тең КВНЕ тіктөртбұрышын қиып алып
тастаймыз. Үлкен шаршыдан кіші AKEJ шаршысы қалады.
Бұдан соң екі тіктөртбұрыштан төрт үшбұрыш құраймыз,
яғни тіктөртбұрыштарды диагоналдарымен қиямыз. Осы -
ның нәтижесінде төрт үшбұрыш жэне кіші шаршы пайда
болады. Кіші шаршыны ортаға орналастырып , оның айна -
ласына төрт үшбұрышты DCH үшбұрышының С бүрышы
К бұрышына, ал DC қабырғасы КА қабырғасына, CHD
үшбұрышының D бүрышы А бұрышына, ал CD сызыгы
AJ қабырғасына жанастырып орналастырамыз. Қалған екі
үшбұрышты да осы екі үшбұрыш секілді жанастырамыз.

Сонда, біздің бұрын сызғанымыздай сурет [135-сурет]
пайда болады:
[135-сурет]
[XVIII] Бір шаршыны шаршылардан құралмаған шар-
шыларға бөлу туралы. Біз әрқайсысының қабырғалары -
ның шамасы белгілі шаршыны үлкен жэне кіші шаршы-
ларға осылайша бөлуді түсіндірген болатынбыз. Егер де
қабырғалардың шамасы беймәлім болса, онда шаршыны
екі шаршыға бірнеше рет белуге тура келеді, яғни үлкен
шаршыдан белгілі шамадағы кіші шаршыны қалай бөлуге
болатыны жэне шаршының қалған бөлігінен басқа шар­
шыны қалай құрастыруға болатыны жайлы сұралатын
басқа мәселені шешуге тура келеді. Егер біздің айтқаны -
мыздай істейтін болсақ, онда жоғарыда баяндалған салуға
көңіл аударуымыз керек.
Үлкен шаршы, мысалы, ABCD шаршысы, кіші шаршы.
мысалы, Е шаршысы берілген болсын . Үлкен шаршыдан
кіші шаршыға тең шаршыны қалай салу және қалған
бөліктерден басқа шаршы қалай құрастыру айтылған

болатын, сондықтан жоғарыда айтылғанды істейміз. Егер
біз ABCD шаршысынан Е-ге тең шаршы бөліп алмақ жэне
қалған бөліктерден басқа шаршы салмақ болсақ, онда
ABCD шаршысының әрбір қабырғасына сырттай жарты
дөңгелек сызамыз. А, В, С жэне D бұрыштарының эрбір
төбесін дөңгелектің ортасы ретінде алып, Е шаршысының
қабырғасындай аралықта жарты дөңгелек бойынан G, Н,
F жэне J нүктелерін белгілейміз де, AGH, BJG, DFJ және
CHF сызықтарын сызамыз. Сонда ортасында шаршы пайда
болады, ал СН , DF, BJ, AG сызықтарының әрқайсысы кіші
шаршының қабырғасына тең. Сондықтан төрт үшбұрыш
және кіші шаршы пайда болады. Әрбір екі үшбұрыштан
тіктөртбұрыш құрастырамыз, ортада орналасқан шаршы-
ны осы, тіктөртбұрыштың бірінің үстіне бір -біріне тақап
бастыра саламыз. Сонда тіктөртбұрыштың ұзындығының
шаршының ұзындығынан артылған бөлігі екі тіктөрт-
бұрыштың қиысуы болып табылатын екі шаршының
кішісін құрайды. Осы шаршыны ескермей тастасақ үлкен
шаршы пайда болады. Міне оның суреті [136-сурет].

ОНЫНШЫ КІТАПША
Сфераларды бөлу туралы
[I] Егер ол сферада үлкен дөңгелекті қалай жүргізуге
болады десе, онда осында кез келген С полюсті ABG
дөңгелегін саламыз, ары қарай ABG дөңгелегін А және
В нүктелерінде кақ бөлеміз де А, С, В жэне D нүктелері
арқылы өтетін сферада дөңгелек саламыз. Бұл сферадағы
үлкен дөңгелек болады. Міне оның суреті [137-сурет].
[II] Егер ол сферада тік бұрышпен қиылысатын екі үл-
кен дөңгелекті қалай жүргізуге болады десе. онда сферада
үлкен дөңгелек жүргіземіз, мысалы , ABCD дөңгелегі, жэне
оны А, В, С, D нүктелері арқылы тең төрт бөлікке бөлеміз.
Ары қарай А нүктесін полюс ретінде қабылдап, [А-дан]
_______________
________________________

В жэне D ара қашықтығында дөңгелек саламыз. Бұл BED
дөңгелегі болады. ABCD жэне BED екі үлкен дөңгелек тік
бұрыш арқылы қиылысады. Міне оның суреті [138-сурет].
[138-сурет]
[III] Егер ол сферада тік бұрышпен қиылысатын үш
үлкен дөңгелек жүргіземіз десе, онда бұрынғыдай A
жэне С нүктелерінде тік бүрышпен қиылысатын екі үл-
кен дөңгелек саламыз. Бұл тік бұрышпен қиылысатын
ABCD жэне BEDG дөңгелектері. Ары қарай BCD доғасын
С нүктесінде қақ бөлеміз, В нүктесін полюс етіп алып
ВС қашықтықта CEAG дөңгелегін саламыз. Сонда бір -
бірімен тік бұрышпен59 қиылысатын ABCD, BEDG жэне
CEAG үш дөңгелегін аламыз. Міне оның суреті [139-су-
рет].

с
G
[139-сурет]
[IV] Егер ол сфераның екі нүктесі арқылы өтетін үлкен
дөңгелекті қалай жүргізуге болады десе, онда осы нүкте-
лердің әрбірін [бұл А және В нүктелері болсын] полюс
ретінде қабылдап үлкен дөңгелектің төрттен біріндей
қашықтықта CDEB жэне CGEA дөңгелектерін саламыз.
Бұл дөңгелектер С жэне Е нүктелерінде қиылысады. Әрі
қарай бұл дөңгелектердің қиылысу орнын полюс ретінде
қабылдаймыз жэне {осыдан} {берілген} нүктеге дейінгі
қашықтықта дөңгелек түрғызамыз, бүл үлкен дөңгелек
болып саналатын АВН болсын. Міне оның суреті [140-су -
рет].

[140-cypem]
[V] Тең қабырғалы үшбұрыш болатындай сфераны тең-
дей төрт бөлікке бөлу туралы. Егер ол тең қабырғалы жэне
тең бүйірлі үшбұрыш болатындай сфераны қалай теңдей
төрт бөлікке бөлу керек десе, онда үш дөңгелек жүргіземіз:
бұл дөңгелектер ABCD, BEDG және CEAG. Сонда сфе­
раны теңдей сегіз үшбұрышқа бөлеміз; бұл үшбұрыштар
ABE, AED, ADG, AGB, СВЕ , CED, CDG жэне CGB.
Үшбұрыштардың біреуінің центрі жэне осы үшбүрыштың
әр бұрышы арқылы үлкен дөңгелектер доғаларын жүргі-
земіз жәнечшарды тиіп тұрған үшбұрыштардың центріне
дейін жалғастырамыз. Егер біз эрбір үшбүрыш үшін осы
центрден қалған екі бүрышқа дейін доғалар жүргізсек
жэне оларды [тиіп тұрған] үшбұрыштардың центріне
________________ ________________________

дейін жалғастырсақ, онда біз тең қабырғалы жэне тең бү-
йірлі үшбұрыш болатындай сфераны теңдей төрт бөлікке
бөлеміз: бүл үшбүрыштар IHF, ІКН және FKH жэне FIK60
Міне оның суреті [141-сурет].
[VI] Тең қабыргалы және тең бұрышты үшбұрыш
болатындай сфераны теңдей төрт бөлікке бөлудің басқа
[тәсілі]. Егер ол тең қабырғалы және тең бұрышты теңдей
үш үшбұрыш болатындай сфераны қалай теңдей төрт
бөлікке бөлу керек десе, егер сфераның диаметрі белгілі
болса, онда егер сфераның диаметрі АВ сызығына тең бол-
са, АВ сызығында жарты дөңгелек түрғызамыз да АВ -ның
үштен біріне тең АВ-ны белгілейміз, АВ -і а перпендику -
льяр CD сызыгын жүргіземіз. Ол жарты дөңгелекпен D
нүктесінде қилысады. дөңгелектен кез келген Е нүктесін
[141-сурет]

белгілеп, оны полюс ретінде қабылдап BD-қашықтықта
FGH дөңгелегін сызамыз да, G, Н, Ғ нүктелерінде теңдей
үш бөлікке бөлеміз жэне полюс пен G, Н, Ғ нүктелерінің
әрқайсысы арқылы I нүктесінде қиылысатын үлкен дөң-
гелектің доғаларын, ал эрбір екі G, Н және F нүктелері
арқылы үлкен дөңгелек доғаларын жүргіземіз. Сонда тең
қабырғалы жэне тең бүйірлі үшбұрыш болатындай теңдей
төрт бөлікке бөлінген сфера аламыз. Бұл IHF, IHG, FIG
жэне ОНҒ61үшбұрыштары. Міне оның суреті [142-сурет].
[142-сурет]
[VII] Тең қабырғалы жэне тең бұрышты төртбұрыш
болатындай сфераны теңдей алты бөлікке бөлу туралы.
Егер біз осыны түрғызғымыз келсе, онда тік бұрышпен
қиылысатын үш үлкен дөңгелек тұрғызамыз. Ары қарай
сферада өзіміз алған сегіз үшбұрыштың эрбір екеуінің
ценрті арқылы үлкен дөңгелектер доғасын жүргіземіз.

Сонда сфера тең қабырғалы және тең бүйірлі төртбұрыш
болатындай теңдей алты бөлікке бөлінеді және не салгы-
мыз келсе, соны аламыз62 Міне оның суреті [143-сурет].
[143-сурет]
[VIII] Сфераны тең қабырғалы жэне тең бұрышты
алты төртбүрышқа бөлудің келесі бір эдісі. Егер ол сфе­
раны қалай тең қабырғалы жэне тең бұрышты алты төрт-
бұрышқа бөлуге болады десе, егер сфераның диаметрі АВ
кесіндісіне тең болса, онда АВ кесіндісі бойьшан жарты
дөңгелек сызамыз, АВ -ның үштен біріне тең болатын АС -
ны белгілейміз, С нүктесінен АС ға перпендикуляр CD-ны
тұрғызып, А мен D нүктелерін қосамыз, сфераға Е және
G нүктелерінде тік бұрышпен қиылысатын екі дөңгелекті
саламыз, эрбір Е жэне G нүктелерін полюс ретінде қабыл-
дап AD қашықтықта Н, Ғ, I, К, L, М, N жэне X нүктелерін
белгілейміз, осы нүктелердің эрқайсысынан үлкен дөңге -

лек жүргіземіз, яғни төрт доға Н, F, I және К нүктелерінің
жэне L, М, N, X нүктелерінен арасынан жүргіземіз.
Сонда сфера алты тең қабырғалы және тең бүрышты
төртбүрышқа бөлінеді63. Міне оның суреті [144-сурет].
[IX] Тең қабырғалы жэне тең бұрьппты үшбұрыш бо-
латындай сфераны теңдей жиырма бөлікке бөлу туралы.
Егер ол тең қабыргалы және тең бұрышты үшбүрыш бо-
латындай сфераны қалай теңдей жиырма бөлікке бөлуге
болады десе, онда полюсы Н жэне G нүктелері болатын
сферада үлкен ABCD дөңгелегін тұрғызамыз. Бүл дөңге -
лекті теңдей он бөлікке бөлеміз; Бұл бөліктер АВ, ВС, CD,
DE, EF, FI, IK, KL, LM жэне MA. А жэне В нүктелерін
полюс терінде қабылдап, ВС доғасы қашықтығында Н
жағында Z нүктесінде қиылысатын екі дөңгелек сызамыз.
Содан соң В жэне С нүктелерін полюс терінде қабыл-

дап, ВС доғасы қашықтығында Q жағында G нүктесінде
қиылысатын екі дөңгелек сызамыз. Үлкен дөңгелектің
он бөлігінің әрбірінде, он бөлікке бөлінген. Н жағында
Z нүктесінде жэне G жағында Q нүктесінде қиылысатын
дөңгелектер сызамыз. Бізде Z-пен белгіленетін Н пОлюсі
жағынан бес нүкте жэне Q-мен белгіленетін Н полюсі
жағынан бес нүкте пайда болады. Осы нүктелердің эрбір
екеуін, яғни Z жэне Q-ді үлкен дөңгелектің доғаларымен
қосамыз. Төбелері Z жэне Q болатын, ал табандары QQ
жэне ZZ сызықтары болатын он үшбұрыш пайда болады.
Ары қарай эрбір Z нүктесі мен Н полюсі жэне эрбір Q
нүктесі мен G полюсі арқылы үлкен дөңгелек доғаларын
жүргіземіз. Төбелері Н нүктесінде болатын бес үшбүрыш
және төбелері G нүктесінде болатын бес үшбүрыш пайда
болады. Осындай әдіспен сфераны теңдёй тең қабырғалы
жэне тең бұрышты жиырма үшбұрышқа бөлеміз64 Міне
оның суреті [145-сурет].
[145-сурет]

[X] Осы салудың басқа әдісі. Егер біз тең қабырғалы
жэне тең бұрышты үшбұрыш болатындай сфераны тең-
дей жиырма бөлікке бөлгіміз келсе және сфераның диа­
метр! АВ сызығына тең болса, онда АВ сызығының бой-
ында АВС жарты дөңгелегін тұргызамыз, АВ -ның бестен
біріне тең BD-ны белгілейміз, DB сызыгына перпендику­
ляр DC тұрғызамыз, В нүктесін центр ретінде қабылдай -
мыз және ВС қашықтықта CEG дөңгелегін саламыз. CEG
дөңгелегінің бестен біріне тең СЕ доғасын белгілейміз.
Сферада кез келген Н нүктесін белгілеп, оны полюс ретін -
де қабылдаймыз және СЕ қашықтықта сферада дөңгелек
тұрғызамыз. Дөңгелекті F нүктесінде теңдей бес бөлікке
бөлеміз, әрбір екі осындай нүктелер арқылы үлкен дөңге-
лек доғаларын жүргіземіз жэне эрбір осы нүктелер мен
полюс арқылы дэл сондай үлкен дөңгелек доғаларын жүр-
гіземіз. Сферада төбелері Н нүктесінде жэне табандары FF
болатын тең қабырғалы жэне тең бүрышты бес үшбұрыш
аламыз. Ары қарай F нүктесінің эрбірін полюс ретінде ала-
мыз жэне I нүктесінде қиылысатын, алынган қашықтықта
дөңгелектер тұрғызамыз. Содан соң әрбір екі Ғ нүктесі
жэне эрбір екі I нүктесі арқылы үлкен дөңгелек доғаларын
жүргіземіз. Сонда тең қабырғалы жэне тең бұрышты он
үшбұрыш аламыз. Содан соң эрбір екі I нүктесін полюс
ретінде аламыз жэне сондай қашықтықта К нүктесінде
қиылысатын дөңгелектер сызамыз. Содан соң эрбір I нүк-
тесіне жэне эрбір К нүктесіне үлкен дөңгелек доғаларын
тұрғызамыз. Сонда тең қабырғалы жэне тең бүрышты бес

үшбұрыш аламыз. Сәйкесінше, сфераның жоғарғы бетін
тең қабырғалы және тең бұрышты үшбүрыш болатындай
жиырма бөлікке бөлеміз65. Міне оның суреті [146-сурет].
Бұл кітапты бітірудің кезі келді. Мұхаммед пен оның
ұрпағы үшін дұға және екі дүниенің билеушісі Аллаға
шексіз алғыс! Осы жұмыс ғалым Мухаммед Әбу Насыр
ибн Мухаммед ибн Узлағ ибн Тархан әл Фәрәбидің қо-
лымен үш жүз жиырма бірінші жылы он бірінші раджабта
аяқталды. Біздерге ақыл сыйлаушының даңқы шексіз арта
берсін!66

«Геометриялық фигуралардың
жұмбақтары жайлы рухани айлалы тәсілдер
мен табиғи сырлар кітабына»
ЕСКЕРТУЛЕР
'«Геометриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы ру­
хани айлалы тәсілдер мен табиги сырлар кітабы» (Китап
ал-хийал ар -руханййа ва -л -асрар ат -таб ’иййа фи дакаик
ал-ашкал ал -хандасиййа) Упсала (Торнберг, 324) универ-
ситетінің кітапханасындағы қолжазбадан аударылған.
Басқа қолжазбалар табылмады. Бұл трактаттың мазмұнын
құрастырған А. Көбесов (А. Көбесов . Фэрэбидің геомет -
риялық трактаты, «Білім ж эн е ең бек», Алматы, 1969, No7).
Әл Фәрәбидің бұл еңбегі 10 кітапшадан тұрады, бұның
барлығы дерлік кейінірек Абу-л -Вафы әл -Бузджанидің
(940-998) «Геометриялық салулардан қолөнершіге не қа-
жеттігі туралы кітап» («Шығыс мемлекеттерінің физика
-
математикалық ғылымдары», I басылым (IV). М ., 1966,
56-130 бет. қараңыз). атты трактатына енген . Әл Фәрәбидің
I кітапшасы Абу-л -Вафының II бөлімінің екінші жартысын
құрайды, ІІ-ІХ кітапшалары толығымен Абу -л -Вафының
ІІ-Х тарауларымен сэйкес келеді, X кітапшасы Абу-л -Ва -
фының XI тарауының бірінші жартысын құрайды.
2 Ислам мемлекеттері ғалымдары шығармаларының
басы дәстүрлі түрде ол заманда Алланы жэне Мухамед
пайғамбарды еске алмастан ешқандай шығарма туындауы
мүмкін емес болатын.

3Ғылымдарды атап шығу мәселелеріне әл Фәрәбидің
«Ғылымдарды атап шығу» трактаты арналған (осы жи-
нақтың 1 5 -5 1 беттерін қараңыз).
4Әл Фәрәбише «Айлалы тэсілдер» бұл - математика-
ның практикада, басқа ғылымдар мен өнерде қолданылу
мэселелері қарастырылатын математиканың ерекше тара-
уы («Ғылымдарды атап шығу» математикалық тараудағы
47 - ескертпені қараңыз).
5«Центрдің бөліктері жайында» (фи аксам ал-марказ)
тақырыбы, бэлкім, қандай да бір мэтіннің бұрмалануы
болуы мүмкін.
6Дөңгелектің центрін анықтауға арналған тапсырмалар
қолжазбада жоқ, бірақ Абу-л -Вафының көрсетілген трак-
татында бар.
7Евклид «Бастамалары» III кітабындагы 25-тұж ырым-
ның салынуына сәйкес келеді (Евклид. «Начала», т.1. 105-
бет).
8Евклид «Бастамалары» III кітабындағы 17-тұжырым-
ның салынуына сэйкес келеді (т.1, 99-бет).
9 Әл Фәрэби бұл жерде сызтыш пен ашасы тұрақты
циркуль арқылы дөңгелектің берілген нүктесіне жанама
салудың эдісін баяндап отыр.
10Евклид «Бастамалары» III кітабындагы 16-тұжырым-
ның салынуына сэйкес келеді (т. 1, 97-бет).
11 Салудың дұрыстыгы Евклид «Бастамалары» I кіта-
бындағы 34-тұжырымнан шығады (т. 1, 45-бет).
12Салудың дұрыстығы Евклид «Бастамалары» I кіта-

бындағы 29 және 6-тұжырымдардан шығады (т.1 ,41 және
20-бет).
13 Салудың дұрыстыгы BEKG фигурасының парал­
лелограмм екендігінен жэне алдыңгы тұжырымдардан
шығады.
14 Шын мэнінде Евклид «Бастамалары» кітабының
22-тұжырымымен бірдей (т. 1, 34-бет).
15 Салудың дұрыстығы теңқабырғалы үшбұрыштың
эрбір бұрышы тікбұрыштың үштен екісіне тең екендігінен
шығады.
16 Шын мәнінде Архимедтің «Леммалар кітабындағы»
8-тұжырымның салынуымен бірдей (Архимед. Шығарма -
лар, аударған Веселовский И .Н ., ар аб м әт ін ін ен аударган
Розенфельд Б.А ., 1962, 395-бет).
17Бұл салу да «ендірмені» қолдануға негізделген.
18Салудың дұрыстыгы Евклид «Бастамаларының» III
кітабының 26-тұжырымнан шыгады (т.1, 106-бет).
19 Геронның «Механикасындагы» салумен бірдей (Ар­
химед. Шығармалар, 161 -бет).
20«Өртегіш айна» - парабола, «зат жанатын жерге дей-
інгі қашықтық» - фокустық қашықтық.
Әл Фәрәби лекалоны сызғыш, яғни «мастара» деген
сөзбен атаған.
21Мұнда «Өртегіш айна» - параболаны жасаудың баска
бір тәсілі келтірілген.
22Евклид «Бастамалары» I кітабының 46-тұжырымның
салынумен бірдей (I т., 15-бет).

23Евклид «Бастамалары» I кітабының 46-тұжырымның
салы нумен бірдей (I т., 57-бет).
24 Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс
бесбұрыш салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуының дұрыстыгы
«Бастамалардың» II кітабындағы сызықтарды орта және
шеткі қатынастарға бөлу туралы 2-тұж ырымнан (I т.,
75-бет) жэне Евклид «Бастамаларының» IV кітабында
табанындағы бұрышы 72о, ал төбесіндегі бұрьппы 36о
болатын тең бүйірлі үшбұрыш салу туралы 10 - тұжырым-
нан (т. I, 132-бет) шығады.
25Бұл да сызғыш пен ашасы тұрақты берілген қабырғаға
тең циркуль арқылы салу болып табылады.
26Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс алты
бұрыш салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуы Евклидтің теңқа-
бырғалы үшбұрыш салуына сүйенген.
27Дұрыс жетібұрыштың қабырғасының мэні мыңдық
дәлдікке дейін сырттай сызылған дөңгелек радиусының
0,868-не тең, эл Фэрэбидің салуы 0,866-радиусқа тең
кесіндіні береді. Бұл жуық мән Геронның «Метри-
касында» бар (Hero Alexandrinus, Rationes dimetiendi
(Vermessungslehre), herausg undubers. H. Sehone,-»Heronis
Alexandrini opera quae supersunt omnia», Bd. III. Leipzig,
1907, S. 1-185, S. 55.). Мұнда әл Фәрәби өзінің салуьшың
жуық сипатта екенін айтпаған, бірақ ол төменде осыған
ұқсас дөңгелекке іштей сызылған жетібұрышты салл’
кезінде айтқан (41-ескертпені қараңыз).
28 Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс

сегізбұрышты салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуы гипоте -
нузасы берілген қабырғаға тең, теңбүйірлі тікбұрышты
үшбұрыштарды салуға келтіріледі.
29Мұнда да сызғыш пен ашасы тұрақты берілген қабы-
рғаға тең циркуль арқылы шешілетін есеп.
30Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс тоғы-
збұрыш салу жоқ, дұрыс тоғызбұрыштың қабырғасы
циркуль мен сызғыш арқылы дэл салынуы мүмкін емес.
Бүл тұста эл Фәрәби өзінің салуының жуық сипатын айт-
пайды.
31 Евклидте берілген қабырғасы бойынша дүрыс он-
бүрыш салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуы радиуспен берілген
қабырғаны орта және шеткі қатынастарға бөлу кезінде
үлкен кесінді болып табылатын сырттай сызылған дөң-
гелектің сол радиусын салуға келтіріледі, бұл Евклид
«Бастамалары ның » XIII кітабындағы 9-тұжырымнан
шығады. (т. III, 114-бет).
32Мүнда да сызғыш пен ашасы тұрақты берілген қабы-
рғаға тең циркуль арқылы шешілетін есеп.
33 Мұнда эл Фәрәби қолөнершілер өнерлерінің геоме-
триялық негіздері туралы тағы да еске салады.
34Бүл есеп Евклид «Бастамаларыньщ » IV кітабындағы
теңқабырғалы үшбүрыштарға арналған 2-тұжырымының
дербес жағдайы болып табылады. Әл Фәрәби салуы
Евклид «Бастамаларының » іштей сызылған дұрыс ал-
тыбұрьшіты салу туралы IV кітабының 15-тұжырымына
сүйенген (т. I, 138 бет).

35 Бұл Евклид «Бастамаларының » IV кітабындағы
теңқабырғалы үшбұрыштар үшін 3-тұжырымдағы есептің
дербес жағдайы болып табылады (т. I, 124-бет).
36Евклид «Бастамаларының » IV кітабындағы 6-тұжы -
рымды салумен бірдей (т. I, 128-бет).
37 Мұнда тағы да сол есеп сызгыш және дөңгелектің
радиусына тең тұрақты ашалы циркульмен шешіледі. Әрі
қарай осы есептің сызғыш пен ашасы бұрынғыдай цир­
кульмен шешілетін тағы да үш шешімі келтіріледі.
38 Шын мэнінде Евклид «Бастамаларының » IV кіта-
бындағы 2-тұжырымының салуымен бірдей (т. I, 133-бет).
Әл Фэрэбидің аталмыш салуы жэне оның дұрыстыгынын
дәлелдеуі Птоломейдің «Алмагест» (Ptolem aus, H andbuch
der Astronomie, 25-бет) I кітабындағы 1-тұжырымында
бар.
39 Мұнда тағы да сол есеп сызғыш жэне дөңгелектің
радиусына тең тұрақты ашалы циркульмен шешіледі. Әрі
қарай сол есептің тағы бір шешімі келтірілген.
40Евклид «Бастамаларының » IV кітабындағы 15-тұжы -
рымды салумен бірдей (т.І, 138-бет).
41 Мұнда әл Фэрәби өзі салған доғаның - дөңгелектің
жетіден бірінің дэл емес, ал жуық екендігін атап өтеді.
42Мұнда іштей сызылған дұрыс онбұрышты салудың
нақты екі әдісі келтірілген.
43Евклид «Бастамаларының » IV кітабындағы 5-тұжы -
рымды (т.Е 126-бет) салумен бірдей. Ары қарай осы
есептің тағы бір шешімі келтірілген.

44 Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 9-тұжы -
рымды (т.І, 131-бет) салумен бірдей.
45Есеп Евклид «Бастамаларының » IV кітабындағы 14-
тұжырыммен бірдей (т.І, 138-бет), бірақ Евклид сияқты ,
сырттай сызылған дөңгелектің центрі екі биссектрисаның
қиылысуынан табудан өзгеше, әл Фәрэби оны қабырға -
лардың ортасына тұрғызылған екі перпендикулярдың
қиылысуынан табады.
46Салу іштей сызылған дұрыс көпбұрыштың қабырға-
сы дөңгелектің радиусына тең деген дерекке сүйенген.
47Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 4-тұжы -
рымды салумен бірдей (т.І, 125-бет).
48 Мұнда төрт төбесі шаршының қабырғаларында, ал
бесінші төбесі шаршының диагональгада болатындай
бесбұрышқа сырттай сызылған шаршыны салу жэне осы-
лайша шаршыға іштей дұрыс бесбұрыш салу келтірілген.
Екінші салу, қабырғасы осы шаршының қабырғасына
QR түзуі MN қабырғасының ортасынан өтетіндей каты-
наста болатын бесбұрыш салынатындығынан тұрады;
бесбұрышқа сырттай сызылған шаршы салынады да,
ізделініп отырған бесбұрыш салынған бесбұрыштан оның
қабырғаларын сол қатынаста созу арқылы алынады.
49 Мүнда берілген үшбұрыштан көрсетілген сан рет
үлкен не кіші үшбұрыштар салу келтірілген. Салынатын
үшбұрыш берілгенге ұқсас болатын бірінші және үшінші
жағдайларда үшбұрыштарды түрлендіру - гомотетия бо -
лып табылады; бірінші жағдайда дөңгелектің центрі оның

төбелерінің бірінде, үшінші жағдайда центрі үшбұрыштың
ішкі нүктелерінің бірінде. Екінші жағдайда үшбұрыштар-
ды түрлендіру түзуден созуды білдіреді.
50Мұнда төртбұрыштарды қақ бөлудің жеті тәсілі кел-
тірілген.
51 Мұнда трапециядан оның үштен бірін жэне басқа
үлестерін бөліп алудың тоғыз тәсілі және оны қақ бөлу
қарастырылған.
52Салу центрі шаршының центрінде болатын гомотетия
болып табылады.
53Мұнда шаршыны, үшбұрышты жэне трапецияны екі
жэне үш тең бөліктерге жэне «жол қалдыра отыра» үштен
бір мен үштен екіге бөлудің бес есебі қарастырылған. Бұл
жаңа телімдерге берілген енді қалдыру әдістерімен жер
телімдерін бөлу есептері. Әл Фәрәбидің салуы жолдың
белгілі бір енінде ғана дұрыс.
54 Шаршыны ш2+п2 тең шаршылардан салу ш2+п2
=(m-n)2+2mn қатынасына негізделген.
55 Шаршылардың қосындысына теңшамалы шаршы
салудың «Геометрлер тэсілі» тікбұрышты параллеле-
пипедтің диагоналының квадраты оның өлшемдерінің
квадраттарының қосындысына тең болатын Пифагордың
жалпылама теоремасына негізделген (58-ескертуді қа-
раңыз). Геометр әл Фәрәбидің сегізінші кітабының XXVI
есебінде қолданылған салуына ұқсас, осы есепті, шаршы­
ны үш ретке гомотетиялық ұлғайту арқылы шеше алар еді.
Бұл тәсілдер қолөнершілерді қанағаттандырмайды, өйт-

кені үш берілгендерге тең шаршылар құрастырылатындай
үш шаршыга тең боларлық бөліктерге пішудің рецептін
бермейді.
56 «Қолөнершілердің тэсілі» бойынша салынған шар-
шының қабырғасы 10(l+V2/2) =17,0713 тең, 10V3=17,321
кіші болады. Әл Фәрәби осы шамаларды жуықтап мына
бөлшектермен: 17 1/14 = 17,0714 жэне 17 1/3 = 17,333
өрнектейді.
57Мұнда эл Фәрәби үш тең шаршының қосындысына
тең Шаршы салудың керемет эдісін ұсынған. Әл Фәрәбидің
пікірінше, мұндай тәсіл қолөнершілер үшін өте ыңғайлы
болады, өйткені бұл тәсіл арқылы үш кіші шаршыдан бір
үлкен шаршы құрастыру оңай.
58Мұнда әл Фәрәби үш шаршының қосындысына тең
шаршы салудың «геометрлер тэсілін» егжей-тегжейлі
баяндайды. Бұл есепті п шаршы жағдайында эл Фәрәби
сегізінші кітапта қолданғандай салуға ұқсас шаршыны п
рет гомотетиялық үлкейту арқылы шығаруға да болады;
бұл есепті Пифагор теоремасын (п-1) есе пайдаланып та
шешуге болады. Мүнда «геометрлер тәсілі» жазықтықта
салу емес, кеңістіктікте салу ретінде тұжырымдалган -
дықтан, эл Фәрәбидің «егер біз үштен көп немесе үштен
аз шарщылардан тұратын шаршыны салгымыз келген
кездегідей жагдайға дэл келеді» деген сөзі, шамамен көп
өлшемді кубта ойша салуды меңзейді. XIII ғасырдьщ та-
рихшысы Ибн Аби Усейби өзінің «Дэрігерлер санаттары
туралы мәліметтер көзідерінде» бізге дейін жетпеген

эл Фәрәбидің «Қиялдағы геометрияға кіріспе» (Китаб
ал-мудхал ал -хандаса ал -вахмиййа) трактаты туралы еске
салады, онда кубтың көп өлшемді жалпылануына байла-
нысты мэселелер қарастырылған болуы барынша мүмкін.
Осыған байланысты ІХ-Х ғасырларда Шығыста үштен
жоғары «квадрато-квадрат», «квадрато-куб», «кубо-куб»
т.с.с. Диофант терминдерінің аудармасын білдіретін
геометриялық дәрежелер кеңінен тараған болатын, сон -
дықтан да, эл Фәрәбидің осы дэрежелерді кубтың көп өл -
шемді жалпыламасы ретінде қабылдауы өте табиғи нәрсе
екендігін ескертеміз.
Қорытындылай келе әл Фэрәбидің көпбұрыштарды
бөлу туралы есептерінің де әл-Кинди секілді ізашары
болған, оған Ибн ан -Надимнің айтқандай бізге дейін жет -
пеген, «Үшбұрышты жэне шаршыны бөлу жэне оларды
салу туралы трактат» (Рисала фи таксим ал-мусаллис
ва-л -мұрабба ва амалхума) жататындығын айта кетейік.
59 Евклид «Бастамалары » XIII кітабының 14-тұжыры -
мьшдағы сфераға іштей сызылған дұрыс октаэдр салумен
пара-пар (т.ІІІ, 124-бет).
60 Евклид «Бастамалары» XIII кітабьшың 13-тұжыры -
мындағы сфераға іштей сызылған дұрыс тетраэдр салумен
пара-пар (т.ІІІ, 121-бет).
61Шын мэнінде Евклид «Бастамалары» XIII кітабының
бұрын айтылған 13-тұжырымын салумен пара -пар .
62Евклид «Бастамалары » XIII кітабының 15-тұжыры -

мындағы сфераға іштей сызылған куб салумен пара-пар
(т.ІІІ, 125-бет).
63 «Бастамалардың» XIII кітабындағы 15-тұжырымда
айтылғандай салумен бірдей.
64Евклид «Бастамаларының » XIII кітабының 16-тұжы -
рымындағы сфераға іштей сызылған икосаэдр салумен
пара-пар (т.ІІІ, 127-бет).
65Евклид «Бастамаларының » XIII кітабының 16-тұжы -
рымында айтылған салумен бірдей. Суретте кемістік бар.
66Хиджраның 321 жылының 11 раджабы -933 жылдың
7 шілдесі.

ӘЛ ФӘРӘБИ
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ САЛУ ЕСЕПТЕРІ
(Геометриялык фигуралардың жұмбақтары жайлы
рухани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабы)
Қалыбы: 70x108/32. Қағазы офсеттік.
Қарпі «Times N ew Roman». Баспа табағы 9,75
Таралымы - 400 дана.
Тапсырыс No46
ЖШС "BookPrint" баспаханасы
Тел.: 386-58 -80
E-mail: sd.bookprint@mail.ru