А. Барут, R Рончна

Теория
представлений групп
и ее приложения
1

Перевод с английского

А. У. КЛИМЫКА и А. М. ГАВРИЛИНА

Под редакцией

Я. А. СМОРОДИНСНОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1980
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА.................................. 5

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ.......................... 7

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ............................................. 8

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ .	  10

ОБОЗНАЧЕНИЯ................................................... 14

Глава 1. АЛГЕБРЫ ЛИ .......................................... 15

§ 1.	Основные понятия и общие свойства..................... 15

§ 2.	Разрешимые, нильпотентные, полупростые и простые алгебры Ли 25

§ 3.	Структура алгебр Ли................................... 33

§ 4.	Классификация простых комплексных алгебр Ли............ 36

§ 5.	Классификация простых вещественных алгебр Ли........... 46

§ 6.	Разложения Гаусса, Картана и Ивасавы................... 55

§ 7.	Приложение. Об объединении алгебры Пуанкаре и алгебр вну-
тренней симметрии.......................................... 62

§ 8.	Контракция алгебр Ли............................  .	64

§ 9.	Комментарии и дополнения .............................. 66

§ 10.	Упражнения ...........................................  68

Глава 2.	ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ	ГРУППЫ ............................... 72

§ 1.	Топологические	пространства............................. 72

§ 2.	Топологические	группы................................ 82

§ 3.	Мера Хаара ............................................. 90

§ 4.	Комментарии и дополнения................................ 94

§ 5.	Упражнения	................................... 95

Глава 3. ГРУППЫ ЛИ............................................. 99

§ 1.	Дифференцируемые многообразия.......................... 99

§ 2.	Группы Ли .................................. .	. .	106

§ 3.	Алгебры Ли групп Ли.............................  .	113

§ 4.	Прямое и полупрямое произведения................... 122

§ 5.	Разложение Леви—Мальцева........................... 125

§ 6.	Разложения Гаусса, Картана, Ивасавы	и	Брюа....... 128

§ 7.	Классификация простых групп Ли ....................... 134

§ 8.	Структура компактных групп Ли...................... 137

§ 9.	Инвариантная метрика и инвариантная	мера	на	группах	Ли	139

§ 10.	Комментарии и дополнения........................... 140

§ 11.	Упражнения ........................................    144

Глава 4. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ	ПРОСТРАНСТВА	154

§ 1.	Однородные пространства................................ 154

§ 2.	Симметрические пространства............................ 155
§ 3.	Инвариантные и квазиинвариантные меры на однородных про-
странствах ................................................. 161

§ 4.	Комментарии и дополнения..................... ... -	161

§ 5.	Упражнения ........................................ .	165

Глава 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП	167

§ 1.	Основные понятия ....................................   167

§ 2.	Эквивалентность представлений.....................  .	173

§ 3.	Неприводимость и приводимость.......................... 175

§ 4.	Циклические представления.............................. 181

§ 5.	Тензорное произведение представлении................... 183

§ 6.	Разложение унитарных представлений в прямой интеграл . . .	186

§ 7.	Комментарии н дополнения............................... 193

§ 8.	Упражнения ............................................ 196

Глава 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП...................	197

§ 1.	Неприводимые представления и характеры ................ 197

§ 2.	Теоремы Стоуна и СНАГ................................   199

§ 3.	Комментарии и дополнения.............................   262

§ 4.	Упражнения ............................................ 264

Глава 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП....................... 205

§ 1.	Основные свойства представлений компактных групп ...	205

§ 2.	Аппроксимационные теоремы Петера—Вейля и Вейля......... 212

§ 3.	Проективные операторы и неприводимые представления ....	218

§ 4.	Приложения ............................................ 221

§ 5.	Представления конечных групп........................... 228

§ 6.	Комментарии и дополнения............................... 239

§ 7.	Упражнения ............................................ 241

Глава 8. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ . . .	244

§ 1.	Общие свойства представлений разрешимых и полупростых
групп Ли ................................................... 244

§ 2.	Индуцированные представления групп Ли.................. 250

§ 3.	Представления групп GL (п, С), GL (п, R), U (р, q), U (я),
SL (п, С), SL (щ R), SU (р, q) и SU (п)..................... 261

§ 4.	Представления симплектических групп Sp (п, С), Sp (п, R) и Sp (п)	266

§ 5.	Представления ортогональных групп SO (л, С), SO (р, с), SO* (/>)
и SO (ri) ........................................'......... 268

§ 6.	Фундаментальные представления................... ....	272

§ 7.	Представления произвольных групп Ли...................  274

§ 8.	Другие результаты и комментарии ....................... 277

§ 9.	Упражнения ............................................ 289

Глава 9. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ

И	ОБЕРТЫВАЮЩИЕ ПОЛЯ.......................................... 293

§ 1.	Тензорные операторы.................................... 293

§ 2.	Обертывающая алгебра ................................   301

§ 3.	Инвариантные операторы................................ 3!13

§ 4.	Операторы Казимира для классических групп Ли........... 307

§ 5.	Обертывающие поля .................................... 321

§ 6.	Дальнейшие результаты и комментарии................ .	.	329

§ 7.	Упражнения ............................................ 331
Глава 10. ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕПРИВО-

ДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ..................................................................................................... 333

§ 1.	Метод Гельфанда—Цетлина.......................................................................................... 333

§ 2.	Тензорный метод................................................................................................... 349

§ 3.	Метод гармонических	функций....................................................................................... 362

§ 4.	Метод операторов рождения и уничтожения........................................................................... 371

§ 5.	Комментарии и дополнения......................................................................................... 374

§ 6.	Упражнения ....................................................................................................... 376

Глава И. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБР ЛИ И ОБЕРТЫВА-

ЮЩИХ АЛГЕБР НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ: АНАЛИ-
ТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ....................................................................................... 380

§ 1.	Представления алгебр Ли неограниченными операторами. . .	381

§ 2.	Представления обертывающих алгебр неограниченными опера-
торами ................................................... 387

§	3.	Аналитические векторы и аналитическая доминантность	.	.	.	397

§	4.	Аналитические векторы для унитарных представлений групп	Ли	412

§	5.	Интегрируемость представлений алгебр Ли..... 417

§	6.	ФС3-теория интегрируемости представлений алгебр Ли	.	.	.	422

§ 7.	«Уравнение теплопроводности» на группе Ли и аналитические
векторы............................................... 429

§	8.	Алгебраическое построение неприводимых представлений	.	.	.	438

§	9.	Комментарии и дополнения......................................................... 446

§	10.	Упражнения.................................................................................... 447

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве
перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изд-во «Мир».
Предисловие редактора перевода

Предлагая читателям двухтомник Азима Барута и Ришарда
Рончки — крупных физиков-теоретиков, внесших существенный
вклад в развитие теоретико-группового аппарата физики, —мы
уверены, что эта книга принесет пользу как хорошо написанное
руководство по современным методам теории представлений
непрерывных групп.

Теория групп стала одним из наиболее развитых разделов сов-
ременной математической физики. Большое число работ, появляю-
щихся в журналах, все время изменяет эту науку. Однако в суще-
ствующих монографиях далеко не всегда можно найти, по крайней
мере в систематизированном виде, изложение методов теории групп,
развитых в последние годы.

Монография Барута и Рончки содержит много нового мате-
риала по сравнению с тем, который имеется в других моногра-
фиях, и является наиболее подходящей книгой для физиков,
так как в ней собрана большая часть результатов, необходимых
для использования методов теории групп в теоретической физике.
Книга написана достаточно простым «классическим» языком и
может быть прочитана без особых затруднений теми, кто серьезно
работает в области теории поля и теории элементарных частиц.
Впрочем, интенсивное проникновение методов теории поля в другие
области физики влечет за собой расширение и области применения
групповых методов.

Монография охватывает теорию групп Ли и их представлений
и большое число смежных вопросов. Она содержит наиболее
современный обзор всего этого круга вопросов.

Несмотря на достаточно большой объем, книга Барута и Рончки
по существу является лишь введением в практическое использова-
ние методов теории групп. Хотя книга и содержит большое число
примеров, но для того, чтобы научиться считать этими методами,
доводя результаты до конкретных функций, необходимо обра-
титься еще и к другим монографиям и статьям. В конце списка
литературы книги мы прилагаем краткий список тех книг и статей,
которые могут послужить иллюстрациями применения методов,
изложенных в настоящей монографии.

Авторы книги хорошо знакомы с современными работами и,
в частности, с работами советских физиков и математиков, которые
много сделали в этой области. Однако в практических применениях
очень важно знание множества фактов, касающихся конкретных
групп. Так о группах 0(4), 0(5) и о пяти исключительных группах
Ли надо знать очень много; по крайней мере в теории элементарных
частиц эти группы используются чрезвычайно широко. Много
свойств групп используется сейчас в обобщенной теории гравита-
ции (супергравитации). Классические специальные функции,
в частности ортогональные полиномы, матричные элементы в кван-
товой теории многих тел, поведение энергетических уровней
квантовых систем — все это разные аспекты теории групп, кото-
рые не очень просто получить из общих формул. Реализация об-
щих теорем при конкретном выборе параметров — системы коорди-
нат — представляет собой область, следующую за той, которая
изложена в книге Барута и Рончки. Но в этой книге читатель
найдет практически все математические теоремы и результаты,
которые используются в конкретных приложениях.

При переводе книги переводчиками была проделана большая
работа по проверке формул, поэтому русский перевод должен
рассматриваться как новое исправленное издание. Помощь в на-
шей работе авторов была очень существенной, и мы приносим им
глубокую благодарность за сотрудничество.

Я- Смородинский
Предисловие авторов
к русскому изданию

Мы рады приветствовать выход в свет настоящего русского издания
нашей книги. Нам особенно приятно представить эту книгу широ-
кой аудитории советских читателей, поскольку советские школы
математики и математической физики внесли существенный вклад
в современное развитие теории представлений групп.

Значение теории представлений групп все возрастает, и не
только в рамках физики, но также во многих других областях
естественных наук и человеческого познания. К тому, что так
красноречиво описывается теорией групп, относятся прежде всего
обнаружение и характерные свойства симметрий в природе. Но
помимо того теория представлений групп позволяет выявить более
скрытые, неочевидные высшие симметрии динамических законов
природы, эволюции, дифференциальных уравнений. Даже объеми-
стого издания, каким является настоящая монография, далеко не
достаточно, чтобы охватить все аспекты теории представлений
групп и ее приложений. Тем не менее мы попытались в полной и
строгой форме изложить основы предмета, исходя из которых
можно вывести много других приложений, например построить
представления групп, отличных от тех, которые здесь описаны.
При этом в монографии содержится много материала, впервые
опубликованного в форме книги, равно как и немало оригиналь-
ных результатов. Мы полагаем, что акцент на более глубокие
математические основания существен также и в приложениях,
ибо многие результаты, полученные ранее спорадически и частично,
могут быть выведены в рамках весьма цельного подхода теории
индуцированных представлений, поскольку последняя потен-
циально обладает широчайшим спектром приложений.

Мы благодарны профессору Я. А. Смородинскому, редактору
перевода, и кандидатам физ.-мат. наук А. У. Климыку и А. М. Гав-
рилину, взявшим на себя нелегкую задачу перевода нашей книги.
Нам хотелось бы особо поблагодарить А. У. Климыка, внима-
тельно * прочитавшего книгу, исправившего ряд неточностей и
предложившего пояснения многих вопросов в процессе перевода.
Мы надеемся, что книга будет полезной советскому читателю.

А. Барут, Р. Рончка
Январь 1979 г.
Предисловие авторов

Настоящая книга написана прежде всего для физиков, а также и
для других ученых и математиков с целью познакомить их с наибо-
лее современными и мощными методами и результатами теории
топологических групп и представлений групп и показать замеча-
тельно широкий диапазон ее приложений. В этом отношении
данная книга значительно отличается и выходит далеко за пределы
стандартных книг по теории групп в квантовой механике. С одной
стороны, мы стремились к математически строгому уровню, а с дру-
гой — старались сделать изложение весьма ясным, язык менее
абстрактным, а также проиллюстрировать результаты на многих
примерах и приложениях.

За последние два десятилетия многочисленные исследования
физиков и математиков придали теории представлений групп
известную степень зрелости и полноты. Мы имеем в виду как новые
результаты в развитии общей теории, так и множество точных
построений представлений конкретных групп. В то же время
новые приложения, в частности некомпактных групп, обнаружили
интересные структуры в симметрии, а также в динамике квантовой
теории. Математическая подготовка и объем знаний физиков также
значительно возросли. По всем этим причинам представляется
своевременным собрать новые результаты и создать книгу с го-
раздо более высоким, чем прежде, уровнем изложения, чтобы
содействовать дальнейшим исследованиям и применениям пред-
ставлений групп.

Ни в математической, ни в физической литературе не суще-
ствует другой сравнимой книги по представлениям групп, и мы
надеемся, что она окажется полезной во многих областях иссле-
дований.

Многие результаты, насколько нам известно, впервые излага-
ются в монографической литературе. В частности, к ним относятся
систематическое изложение теории и приложений индуцированных
представлений, классификация всех конечномерных неприводи-
мых представлений произвольных групп Ли, теория представлений
алгебр Ли и обертывающих алгебр посредством неограниченных
операторов, новые условия интегрируемости для представлений
алгебр Ли и гармонический анализ на однородных пространствах.

В области приложений мы рассматриваем общую проблему
симметрий в квантовой теории, в частности релятивистскую
инвариантность, теоретико-групповой вывод релятивистских вол-
новых уравнений, а также различные приложения представлений
групп к динамическим проблемам в квантовой теории.

Мы старались достигнуть определенной степени полноты,
поэтому книгу можно использовать при чтении курса современной
математической физики в качестве пособия по алгебрам Ли,
группам Ли и их представлениям. Некоторые из стандартных
вопросов до сих пор можно было найти лишь порознь в различных
курсах, а не в одном издании.

Книга, охватывающая граничную область между теоретической
физикой и чистой математикой, всегда проблематична. Поэтому
данная книга некоторым физикам может показаться слишком труд-
ной, детализованной и абстрактной, а некоторым математикам —
недостаточно подробной и полной, поскольку мы намеренно опу-
стили ряд доказательств. К счастью, потребность в знаниях в об-
ласти современной математики среди физиков постоянно растет.
А дать доказательства всех теорем в такой широкой области мате-
матики представляется невозможным даже при том большом
объеме, который имеет настоящее издание. Там, где слишком
пространные выкладки могли бы нанести ущерб ясности изложения
и где этапы доказательства не казались нам существенными для
дальнейшего развития предмета, мы опустили доказательства.

Собранный в монографии материал берет начало из лекций,
читавшихся авторами на протяжении ряда лет в Варшаве, Триесте,
Шладминге, Стамбуле, Гётеборге и Боулдере; он претерпел не-
сколько переработок. Мы особенно благодарны многим друзьям и
коллегам, прочитавшим части рукописи, внесшим в них исправле-
ния и сделавшим критические замечания. Мы хотели бы поблаго-
дарить д-ра С. Вороновича за тщательное и терпеливое чтение
всей рукописи и предложенные им многочисленные улучшения и
исправления. Многие из наших друзей и коллег, в частности
С. Дымус, М. Флато, Б. Костант, Дж. Макки, К. Морен, Л. Ми-
шель, И. Сигал, Д. Стернгеймер, С. Стрём, А. Сым, И. Щирба
и А. Вавжинчик, с которыми мы обсудили части рукописи, внесли
конструктивные замечания.

Значительную часть данной монографии составляют результаты
исследований, проведенных в рамках сотрудничества между
Колорадским университетом в Боулдере и Институтом ядерных
исследований в Варшаве. Это сотрудничество частично финанси-
ровалось Национальным научным фондом, согласно контракту
№ GF-41958. Авторы особенно признательны д-ру К. Залару,
руководителю Программы по Европе и Северной Америке, за его
любезную и эффективную поддержку американо-польского сотруд-
ничества.

Наконец, мы хотели бы выразить нашу признательность г-ну
Й. Панзу, редактору Польского научного издательства, за его
большую помощь в подготовке рукописи к изданию. Мы обязаны
также г-же 3. Осек за любезную помощь на всех стадиях подго-
товки рукописи к публикации.

А- Барут, Р. Рончка

Боулдер и Варшава, август 1976 г.
Краткое содержание книги

Книга открывается обширной главой, посвященной алгебрам Ли.
В ней дается подробное замкнутое изложение теории и приложений
алгебр Ли. Теория алгебр Ли является самостоятельным разделом
математики, и первую главу можно читать независимо от осталь-
ных глав. После введения основных понятий излагается структура
и теория произвольных алгебр Ли, описываются нильпотентные и
разрешимые алгебры и дается полная классификация как ком-
плексных, так и вещественных простых алгебр Ли. Кроме того,
подробно рассматриваются теоремы о разложении алгебр Ли,
т. е. разложения Гаусса, Картана и Ивасавы.

Глава 2 начинается с обзора свойств топологических прост-
ранств, необходимых для введения понятий топологических групп.
Рассматриваются такие общие свойства топологических групп, как
компактность, связность, метрические свойства. Далее обсужда-
ется интегрирование по групповому многообразию, т. е. инва-
риантная мера (мера Хаара) на группе. Здесь же дается фунда-
ментальная теорема Макки о разложении топологических групп.

Глава 3 открывается обзором дифференцируемых многообразий,
их аналитических структур и касательных пространств. После
этих предварительных сведений по топологическим группам и
дифференцируемым многообразиям вводятся группы Ли как
топологические группы с аналитической структурой и выводятся
основные соотношения между группами и алгебрами Ли. Осталь-
ные параграфы гл. 3 посвящены свойствам композиции и разложе-
ния групп (т. е. разложениям Леви—Мальцева, Гаусса, Картана,
Ивасавы), классификации групп Ли, некоторым результатам по
структуре групп Ли и построению инвариантной меры и инвари-
антной метрики.

В гл. 4 вводятся понятия однородных и симметрических про-
странств, на которых действуют группы. Эти понятия играют
важную роль в современной теории представлений групп и в физи-
ческих приложениях. Затем дается классификация глобально сим-
метрических римановых пространств, связанных с классическими
простыми группами Ли. В этой главе рассматривается также поня-
тие квазиинвариантной меры, поскольку инвариантные меры на
однородных пространствах в общем случае не существуют.
Теория представлений групп — основная тема книги — начи-
нается с гл. 5, где вначале даются определения, излагаются основ-
ные свойства представлений, вводятся такие понятия, как непри-
водимость, эквивалентность, тензорное и прямое произведения
представлений. Затем следуют теоремы Маутнера и Гельфанда—
Райкова о разложении и полноте представлений групп.

После этого шаг за шагом развивается теория представлений
групп, начиная с простейшего случая коммутативных групп
(гл. 6). Далее следует изложение теории представлений компакт-
ных групп (гл. 7). Для полноты изложения в качестве специаль-
ного случая дан также обзор по представлениям конечных групп.
Теория представлений компактных групп является завершенной,
и здесь приведены общие теоремы этой теории (аппроксимационные
теоремы Петера—Вейля и Вейля). Имея в виду возможные приме-
нения, мы обсуждаем также проекционные операторы, разложение
представлений и тензорных произведений представлений.

Затем (в гл. 8) следует описание всех конечномерных непри-
водимых представлений произвольных групп Ли (компактных или
некомпактных). Здесь дается, насколько нам известно, наиболее
полное по сравнению с любой другой книгой изложение свойств
представлений полупростых групп. После изложения в гл. 9
необходимых сведений по тензорным операторам, обертывающим
алгебрам, инвариантным операторам или операторам Казимира и
их спектрам (эти понятия используются для точного определения
и обозначения представлений) в гл. 10 описываются методы точного
построения конечномерных представлений. В частности, приво-
дятся метод Гельфанда—Цетлина, тензорный метод, метод гармо-
нических функций и метод операторов рождения и уничтожения.

В гл. 11 излагается теория представлений алгебр Ли и оберты-
вающих алгебр неограниченными операторами и связанные с ней
вопросы интегрируемости представлений алгебр Ли до представле-
ний соответствующих групп Ли. Эта глава является одной из
наиболее существенных в книге. Теория неограниченных опера-
торов важна и для приложений, поскольку большинство наблю-
даемых в квантовой теории представляются неограниченными
операторами. В частности, представлена теория аналитических
векторов для групп и алгебр Ли.

В гл. 12 и 13 описывается роль теории представлений групп
в различных областях квантовой теории и даются конкретные ее
применения. Математическая структура представлений групп
в гильбертовом пространстве особенно приспособлена к квантовой
теории. Действительно, вся схема квантовой теории может осно-
вываться на одной только концепции представлений групп.
К тому же в историческом плане понятия гильбертова простран-
ства и представлений групп в гильбертовом пространстве восходят
к квантовой теории. Обсуждаются также понятия кинематической
и динамической симметрий, классификация основных видов сим-
метрий в физике и использование представлений групп для реше-
ния динамических проблем в квантовой механике.

Следующие две главы (гл. 14 и 15) посвящены гармоническому
анализу на группах Ли, а также на однородных и симметрических

пространствах. Эта теория включает в себя обобщение разложения
Фурье на некоммутативные группы, соответствующий спектраль-
ный синтез и формулы Планшереля. Наряду с общей теорией
обсуждаются конкретные применения к некоторым простым
группам и полупрямым произведениям групп.

Главы 16—19 посвящены теории индуцированных представле-
ний — одной из наиболее существенных тем книги. Индуцирован-
ные представления используются уже в гл. 8 при получении
классификации, а также явного вида всех конечномерных непри-
водимых представлений групп Ли. Здесь же излагается общая
теория.

В гл. 16 мы имеем дело с основными свойствами индуцирован-
ных представлений и фундаментальной теоремой об импримитив-
ности. В гл. 17 дано описание индуцированных представлений
полупрямых произведений групп с выводом полной классифика-
ции всех представлений группы Пуанкаре. Другие свойства инду-
цированных представлений (индукционно-редукционная теорема,
теорема о тензорном произведении и теорема взаимности Фробе-
ниуса) обсуждаются в гл. 18. В гл. 19 эта теория применяется
с целью явного получения индуцированных неприводимых уни-
тарных (следовательно, бесконечномерных) представлений основ-
ных и дополнительных серий комплексных классических групп Ли.

Наконец, в гл. 20, 21 рассматривается применение теоремы об
импримитивности и индуцированных представлений группы
Пуанкаре в квантовой физике — прежде всего к концепции реля-
тивистского оператора положения и доказательству эквивалент-
ности описаний Гейзенберга и Шредингера нерелятивистской
квантовой механики (гл. 20), а затем (в гл. 21) — к классификации
всех конечномерных релятивистских волновых уравнений, к ис-
пользованию представлений с мнимой массой, к уравнениям типа
Гельфанда—Я гл ома и бесконечнокомпонентным релятивистским
волновым уравнениям, а также к проблеме группового расширения
представлений группы релятивистских преобразований дискрет-
ными преобразованиями и посредством других групп симметрии.

Ряд математических понятий, которые существенны для пони-
мания книги, но не всегда в достаточной степени известны физикам,
приведен в приложениях по функциональному анализу и по неко-
торым другим результатам из алгебры, топологии, теории интегри-
рования и т. п.

В конце каждой главы содержатся замечания относительно
дальнейшего развития затронутых вопросов, а также упражнения.
Обозначения

Пространственно-временная метрика в книге такова, что
gm = —gu = —ga = —gas == 1. Символ а* означает эрмитово
сопряжение матрицы или оператора а. Символами а и а1 обозна-

чаются комплексное сопряжение и транспонирование матрицы а
соответственно. Прямая сумма векторных пространств V, записы-
вается в виде Vi + Гг + ..., а прямая сумма алгебр Ли Lt —
в виде Li © L2 © ... . Полупрямая сумма двух алгебр Ли обозна-
чается символом -£) Li, полупрямое произведение двух групп —
символом Gi х) Gi, а прямое произведение двух групп — символом
Gi 0 Gz. Выражение «теорема 8.6.3» обозначает теорему 3 в гл. 8,
§ 6. Выражение «упражнение 9.7.3.1» обозначает первое упражне-
ние к § 3, содержащееся в гл. 9, § 7.

„ Г 1 1	( 1	1

Символы [-•rrcj и[~2'п| означают следующее:

если п = 2г,

если п = 2г 4- 1;

если п — 2г,
если п = 2г 1.

Всюду, где это не оговорено особо, используется правило сумми-
рования Эйнштейна.
Г лава 1

Алгебры Ли

Из дидактических соображений мы предпочитаем начать с рассмот-
рения алгебр Ли, прежде чем перейти к топологическим понятиям
и группам Ли. Теория алгебр Ли стала самостоятельным разделом
математики.

§ 1.	Основные понятия и общие свойства

А. Алгебры Ли

Пусть L — конечномерное векторное пространство над полем К
вещественных или комплексных чисел. Векторное пространство L
называется алгеброй Ли над К, если в L задано правило компози-
ции (X, У)—» [X, У], удовлетворяющее следующим аксиомам:

[аХ | рУ, Z] = a.[X, 2Г] [-[3[У\ Z] для a, К (линейность),

(1)

[X, У] = — [У, X) для всех X, Y (антисимметричность),

(2)
[X, )У, 2]]-|-[У, \Z, X]] + [Z, [X, У]] = 0 для всех X,Y,Z^L.

(3)

Третья аксиома является тождеством Якоби (или ассоциатив-
ностью Якоби). Операция [ , ] называется умножением Ли.
Из аксиомы (3) следует, что это умножение Ли, вообще говоря,
неассоциативно. Если К — поле вещественных (комплексных)
чисел, то L называется вещественной (комплексной) алгеброй Ли.
Алгебру Ли называют абелевой, или коммутативной, если
[X, У ] = 0 для любых X, Y £ L.

Рассмотрим два подмножества М и N векторов из алгебры
Ли L и обозначим через [AT, X] линейную оболочку всех век-
торов вида [X, У], X £ М, У £ N. Если М. и N — линейные
подпространства алгебры Ли, то имеют место следующие соот-
ношения:

+	X] + (Л12, X],

[М, Х] = (Х, М],
[L, гл/, X]] с: [Л1, [X, Lil I' [/V. IA, М]].

(4а)

(46)
(4в)
Эти соотношения легко могут быть проверены с помощью аксиом
(1)—(3). Подпространство N алгебры L является подалгеброй,
если [TV, N] с. N, и идеалом, если [L, X] с: N. Ясно, что идеал
автоматически является подалгеброй. Максимальный идеал N,
удовлетворяющий условию [L, X] = 0, называется центром
алгебры L, а поскольку [X, X] = О, то центр всегда коммутативен.

Пусть е1г ..., еп — базис в нашем векторном пространстве L.
Тогда в силу линейности коммутатор Z = [X, У), выраженный
через координаты (т. е. X = х'е; и т. д.), приобретает вид *)

= [X, У]'=	1, j, k= 1, 2, . . ., п, (5)

с [Cj, elt] = cJ-feCp Числа cj* называются структурными констан-
тами, ап — размерностью алгебры Ли L. Из аксиом (2) и (3)
следует, что структурные константы cljk удовлетворяют условиям
cljk= —Ckj,	(6)

C^sCjk	tfsCki + ckscij — 0.	(7)

Существование подалгебр и идеалов алгебры Ли L выражается
в некоторых вполне определенных ограничениях на структурные
константы. Если е,, е2, ..., ek — базисные элементы подалгебры,
то структурные константы должны удовлетворять соотношениям
csij -= 0 при 1, / < k, s ~> k,	(8)

если же они являются базисными элементами идеала, то
cSij = 0 при i < k,	и произвольном j. (9)

Несмотря на свое название, структурные константы не явля-
ются постоянными. Действительно, из определения (5) следует, что
при замене базиса в алгебре L с^ преобразуются как тензор треть-
его ранга с одним контравариантным и двумя ковариантными
индексами.

Пример 1. Пусть L — множество всех косоэрмитовых бессле-
довых 2 х 2-матриц. Очевидно, что L имеет (вещественную)
размерность три. Выберем в L базис

0

—1

_ 1 г° 1

2 | 1	0

1

бз = -2-

—1
о

о

и определим коммутатор IX, У1 в L следующим образом:

[X, У] —ХУ —УХ, X, Y £L.

(10)

*) Всюду подразумевается суммирование ио повторяющимся индексам.
Легко проверить, что этот коммутатор удовлетворяет аксиомам
(1)—(3) для умножения Ли. Используя (10), находим, что eL
удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

Ifyf ^k]	I 2, 3,

где Eik[ — полностью антисимметричный тензор в 7?3. Элементами
в L являются линейные комбинации et с вещественными коэффи-
циентами. Матрицы ak = 2iek называются матрицами Паули и
удовлетворяют соотношениям [а,-, ср,] = 2iei/;Zoz.

Следовательно, L — трехмерная вещественная алгебра Ли со
структурными константами с‘ц:, заданными в виде

iki ~ &tki-

Определенная таким образом алгебра L обозначается символом
su (2) (или о (3)) в соответствии с классификацией алгебр Ли,
которая рассматривается в § 4 и 5.

Замечание. Если Л — произвольная конечномерная ассоциатив-
ная алгебра с законом умножения (X, Y) X • Y, то алгебру Ли
можно получить, представляя правило композиции Ли [X, Y ]
в виде (X- Y — Y-Х) (см. также теорему Адо в § 2).

Пример 2. Пусть L - - векторное пространство всех веществен-
ных п х n-матриц i, k — 1,2, ..., п, над полем R веществен-
ных чисел. Это векторное пространство L с умножением Ли (10)
также является вещественной алгеброй Ли. Оно является полной
линейной вещественной алгеброй Ли, обозначаемой символом
gl (п, R).

Подмножество М, состоящее из всех кососимметрических
матриц X, удовлетворяющих равенству Хт -- —X, также замк-
нуто относительно умножения Ли (10). Поэтому М является под-
алгеброй, обозначаемой символом о (/?). Для подмножества N
матриц вида X/, кратных единичной матрице, выполняется соот-
ношение

[gl(n, R), N]=0.

Следовательно, N является одномерной подалгеброй, содержа-
щейся в центре алгебры gl (п, R).

В gl (/г, R) можно ввести так называемый базис Вейля, выбирая
в качестве базисных элементов с£/, i, j = 1, 2, ..., п, п х п-
матрицы вида

(Н)
которые удовлетворяют следующим коммутационным соотноше-
ниям:

kz, = 8ltei{ ~ дне^-, i, j, k, 1 = 1, 2.....n. (1 )
Из (11) и (12) можно немедленно получить структурные константы:
c's'm, kr =	- 6‘k6rs6'm.	(13)

Базисные векторы eik подалгебры о (и) могут быть выбраны в виде
eik = elk — eki, i, k = 1, 2, . . п.	(14)

Комплексным расширением Vc вещественного векторного про-
странства V является комплексное векторное пространство,
состоящее из всех элементов z вида z = х + \у, х, у £ V. Умноже-
ние элемента z £ Vc на комплексное число у = а 4 i|3 £ С
определяется по формуле

yz = ах — Ру 4- i (ay (- fix).

Комплексное расширение Lc вещественной алгебры Ли L — это
комплексная алгебра Ли, удовлетворяющая следующим условиям:

1)	Lc является комплексным расширением вещественного
векторного пространства L;

2)	умножением Ли в Lc является

Z = [Zlt Z2] = [Xj ф- 114, Х2 -J- ik 2] =

= [Хъ X2] - П4, K2] 4 i [Xv K2] + i [14, X2[ = X 4- iK. (15)

Комплексную алгебру Ли L размерности n с базисом (е,}’’
можно также рассматривать как вещественную алгебру Ли раз-
мерности 2п с базисными векторами \еъ ..., еп, ien. Определен-
ную таким образом вещественную алгебру Ли будем обозначать
символом LR. И наоборот, вещественная форма Lr комплексной
алгебры Ли Lc — это вещественная алгебра Ли, комплексным
расширением которой является Lc.

Алгебры А„, В„, С„ и Dn

Комплексным расширением алгебры gl (п, R) является мно-
жество всех комплексных п X n-матриц с умножением Ли (10).
Оно называется полной комплексной линейной алгеброй Ли и обозна-
чается gl(n, С). Подмножество всех комплексных п х п-матриц
с нулевым следом является подалгеброй в gl (п, С) и обозначается
si (п, С) или An-i-

Другие последовательности комплексных алгебр связываются
с различными билинейными формами. Пусть Ф (£, i]) — билиней-
ная форма, определенная в m-мерном комплексном векторном
пространстве Vm. Линейные преобразования X, действующие
в Vm и удовлетворяющие условию

Ф(Х|, ri) । Ф(?, хт|) = о, I,
генерируют линейную алгебру Ли L. Действительно, если послед-
нее соотношение справедливо для X и У, то

Ф([Х, У]Е, 1]) = Ф(ХУ?, 1]) -Ф (УХЕ, i|) = — Ф(Е, IX, Ур]),
где умножение Ли для X и У определено в виде [X, У ] = ХУ —
— УХ.

Если билинейная форма Ф (Е, т]) невырождена х) и симметри-
ческая (например, Ф = Е/rp), то L называется ортогональной
алгеброй Ли. При т = 2n + 1, п = 1, 2, ..., последовательность
соответствующих алгебр обозначается о (2/г +1, Q или Вп,
а при т = 2п — обозначается о (2и, С) или Dn.

Алгебры, связанные с невырожденными кососимметрическими
билинейными формами, называются симплектическими алгебрами
Ли. Из элементарной алгебры известно, что кососимметрические
формы в нечетномерных пространствах всегда вырождены (det —
= 0). Поэтому симплектические алгебры могут быть реализованы
только в четномерных комплексных пространствах У2п и обозна-
чаются sp («, С) или Си.

Алгебры Ап, Вп, Сп и Dn, п = 1, 2..образуют совокупность

классических комплексных алгебр Ли.

Прямые суммы алгебр и фактор-алгебры

Пусть V(-, i=l, 2, ..., k, — подпространства векторного
пространства V, и пусть

k

D^YiVi	(16)

i=i

есть совокупность всех векторов вида

k

d = l>z,	i’ = 1, 2, . . k.	(17)

i=i

Если каждый вектор d £ D единственным образом представляется
в виде (17), то мы говорим, что D является прямой суммой подпро-
странств Vi, i = 1, 2, ..., k, и записываем

k

р=у1+у2+.. .+n=£ -i-V/.	(18)

i=l

Если алгебру Ли L как векторное пространство можно записать
через прямую сумму в виде (18), т. е. L = Li + Ls -j- ... + Lk,
и, кроме того, если

[Llt LAdLi, [Lit Lj] = O, i, j=^[, 2, . . k, (19)

т) Билинейная форма Ф (£, t]) невырождена, если для всякого 5о € V"1 линей-
ная форма Ф (g0, т]) не равна тождественно нулю по ц. В координатной форме
(JI (Е> Ч) = Voip]1 невырождена тогда и только тогда, когда ее матрица 1а(-;]
невырождена, т. е. det oZ;- 0.
то об L говорят, что она разлагается в прямую сумму алгебр Ли
Li, Lz, Lk и обозначают ее L = Li @ L2 @ ... (у Lk.

Ясно, что подалгебры Lit i = 1, 2, ..., k, — идеалы в L,
поскольку

[L, ^1 = 1^, ЬДаЦ.	(20)

Более того, если N — идеал в подалгебре L,-, то N также идеал
в алгебре L.

Пусть N — подалгебра некоторой алгебры Ли L. Введем
в пространстве L отношение

Х^У(шо(1Х)	(21)

при X — ¥ £ N, т. е. вектор X является суммой вектора У
и вектора п из N. Это отношение удовлетворяет свойствам

1° X X

2° если X = У, то У X,

3° если X У, а У Z, то X Z

и, следовательно, является отношением эквивалентности. Вся
алгебра L разлагается в непересекающиеся классы Kr = = X N
эквивалентных элементов. Множество \КЛ} всех классов в общем
случае не образует алгебры Ли: в самом деле, если

X1^F1(tnodM), т. е. Х1==У1-у пъ
Х2^У2(шодХ), т. е. Х2 = У24-п2,
то

[Хь Х2] = [Уь У2] + [Уь п2] + (и,, У2] + [иг, п2].	(22)

Поэтому в общем случае соотношение

[Хъ Х2\^[УЪ y2](modX)	(22а)

не выполняется. Однако если подалгебра N, кроме того, является
идеалом, то последние три члена в (22) содержатся в N и условие
(22а) удовлетворяется. Полученная алгебра Ли называется фактор-
алгеброй Ли алгебры L по отношению к N и обозначается LJN.

Пример 3. Пусть Р — алгебра Пуанкаре с коммутационными
соотношениями

[MgY, Alpa] = gjipAlvo 4- gwAfpp gvpAf^p

[ Afpv, Pa] = gvaPц — giioPy,
[Рц> Pvl —

gpa AfVp,

(23a)

(236)
(23b)

где p, v, ... = 0, 1, 2, 3, gM = —gn - —g22 —gas = 1 и
gtiV 0 для ц ф v.
Множество /4 линейных комбинаций Рч, v = 0, 1, 2, 3 (генера-
торов трансляций), является идеалом в Р. Если ввести отношение
эквивалентности

XУ (пюс1/4), X, Y £Р,

то множество классов Кх = X + Р, X £ Р, эквивалентных
элементов образует шестимерную (фактор-) алгебру Ли, изоморф-
ную алгебре Лоренца so (3, 1) с генераторами из (23а).
С другой стороны, отношение эквивалентности

X^Y(modso(3, 1)), X,Y^P,
определяет четырехмерное векторное фактор-пространство (но не
фактор-алгебру Ли).

Б. Операции над алгебрами Ли

Рассмотрим теперь свойства различных операций, определен-
ных над алгебрами Ли. Пусть Ей L' — две произвольные алгебры
Ли над множеством вещественных или комплексных чисел, и
пусть ср — отображение L в L'. Отображение ср называется гомо-
морфизмом, если

<р(аХ j-[JjY) — а<р(Х) )-Р<р(У), X, Y £L, а, (24а)

Ф([Х, П)-[ср(Х), ср (П1, X,Y£L.	(246)

Множество

N = {X£L:q(X) = 0\

называется ядром гомоморфизма ср. Оно есть идеал в L. Действи-
тельно, если X £ L и Y £ N, то

ср ЦХ, Y]) = [cp(X), 0] = 0,

т. е. [X, Y] £ N. Нетрудно проверить, что LIN изоморфно ср (Е).
Пусть N — идеал в алгебре Ли L. Отображение

ср: X—>X-\-N

называется естественным гомоморфизмом L на UN. Взаимно
однозначный гомоморфизм одной алгебры на другую называется
изоморфизмом, а соответствующие алгебры L и L' — изоморфными-.
в этом случае будем писать L — L'. Изоморфное отображение L
на себя называется автоморфизмом. Автоморфизм ср алгебры Ли L
называется инволютивным, если ср2 = I.

Отображение о комплексной алгебры Ли в себя, удовлетворяю-
щее условиям

о (XX -ф рУ) == Хо (X) ро (У), oQX, У]) =

= [о (X), о (У)], о2 = /,	(25)

называется сопряжением. Например, если Lc — комплексное рас-
ширение вещественной алгебры Ли L, то отображение

о: X-\ iY^X-\Y, X, Y£L,
задает сопряжение в Lc. Заметим, что сопряжение о не является
автоморфизмом в L, так как оно антилинейно.

Дифференцирование х) D алгебры Ли L — это линейное отобра-
жение L в себя, удовлетворяющее

D([X, У]) = [П(Х), У] 4- IX, D(Y)], X, Y^L. (26)
Очевидно, что если DL и D2 — два дифференцирования в L, то
также является дифференцированием. Более того,
если D± и D2 — дифференцирования, то
ад,([Х, У]) = П1([П2Х, У] + [Х, О2У]} =

= [£>1£>2х, У] + (£)3х, ад + [DjX, ад4чх, ад2У[.

Меняя местами индексы 1 и 2 и вычитая, получаем

[£>!, D2]([X, У]) = [[£>1, Я2] X, У]4-[Х, (А, А1П, (27)
т. е. коммутатор двух дифференцирований снова является диф-
ференцированием. Поэтому множество ЬА всех дифференцирований
самообразует алгебру Ли, алгебру дифференцирований LA. Инте-
ресно заметить, что алгебра LA является алгеброй Ли группы всех
автоморфизмов GA исходной алгебры L. В самом деле, если =
=- exp (1А1) — однопараметрическая группа автоморфизмов L,
т. е.

<₽/([*, Г]) = [ф((Х),	X, Y£L, (28)

то дифференцирование по t дает при t = О

Л([Х, У]) = [ЛХ, У] 4- [X, AY],

т. е. генератор А однопараметрической подгруппы <р (/) автомор-
физмов является дифференцированием. Обратно, можно также
показать, что если А удовлетворяет равенству (26), то соответ-
ствующая однопараметрическая подгруппа удовлетворяет (28)
(см. упражнение 1.8).

Пусть L — алгебра Ли над вещественными числами R или
комплексными числами С. Рассмотрим линейное отображение
ad X алгебры L в себя, определенное при помощи

айХ(У) = [X, У], X, У££.	(29)

Воспользовавшись тождеством Якоби (3), получаем

ad X ([У, Z]) = [ad X (У), Z] 4- [У, ad X (Z)],	(30)

т. е. отображение ad X является дифференцированием L. Более
того, используя (29) и тождество Якоби, мы получаем

ad[X, y](Z)==[adX, ad Y](Z).	(31)

J) В более ранних публикациях называемое также инфинитезимальным
автоморфизмом алгебры L.
Таким образом, множество La = (ad X, X £ L] является линей-
ной алгеброй Ли, подалгеброй алгебры Ли ЬА всех дифференци-
рований, и называется присоединенной алгеброй. Отображение
ф : X —> ad X есть гомоморфизм алгебры L на La. Понятно, что
ядро гомоморфизма ф является центром в L.

Более того, алгебра Ли La является идеалом алгебры Ли LA
всех дифференцирований. В самом деле, при D С ЬА и V £ L мы
имеем

[О, ad X] (У) = D [X, У] - [X, ОУ] = [DX, У] = ad DX (У), (32)
т. е.

|D, adX]£Lo.

Наконец, заметим, что если <р — произвольный автоморфизм L,
то в силу (29) и (246) мы имеем

ай<г(Х)(У) = [<р(Х), У] =<Н[Х, «у1)']) = {ad X (ф-1(У)]],
т. е.

ad<p(X) = (padXq~1.	(33)

Относительно групп GA (Ga) всех (внутренних) автоморфизмов L
и их алгебр Ли мы отсылаем читателя также к гл. 3, § 3.

Пример 4. Возвращаясь к трехмерной алгебре Ли примера 1,
мы видим, что ad е, (ei) = 0, ad е} (е2) — е3, ad е1 (е3) = —е2
и т. п. Следовательно, Lu снова является трехмерной алгеброй Ли

и может быть представлена				в	базисе оог 0 0 0  -10 0	!с!  ?	посредством матриц			
ad q —	-0 0  0 0 -  0 1	0  1  0_	, ad е2 =				adea =	гО — 1 0-		9
								1  0	0 0  0 0.	
т. е. La	является		множеством		трехмерных		кососимметрических			

матриц, или о (3).

Аналогично присоединенная алгебра для gl (/г, R) примера 2
задается соотношениями ad etj (ekl) =	(размер-

ность n2), а для о (ri) — множеством n (n — 1)/2-мерных косо-
симметрических матриц.

Введем теперь важное понятие полупрямой суммы двух алгебр
Ли. Пусть Т и М — две алгебры Ли, и пусть О — гомоморфизм М
в множество линейных операторов в векторном пространстве Т,
таких, что каждый оператор D (X), X С 7И, является дифференци-
рованием алгебры Т. Снабдим прямую сумму векторных про-
странств Т М структурой алгебры Ли, используя заданные
скобки Ли алгебр Т и М в каждом подпространстве, а в качестве
скобок Ли между двумя подпространствами полагая

IX, У] = (£)(Х))(У) для Х£М, УСТ. (34)
Очевидно, что все аксиомы (1)—(3) алгебры Ли удовлетворяются;
в частности, ввиду (34) для X £ М, Y{ с Т мы имеем

\х,	у2]] + [У2, [X, yj] + [К1( [Г2, Х]] =

-£>(Х)([УЪ У2])-[О(Х)УЪ У2] - [УЬП (X) У2],
что равно нулю, поскольку D(X) является дифференцированием.
Полученная таким образом алгебра Ли называется полупрямой
суммой Т и М. Подалгебра Т ввиду (34) является идеалом полу-
прямой суммы. Другими словами, алгебра Ли L есть полупрямая
сумма подалгебр Т и М, если L = T-j-M, и

(7, Т]а:Т, [М, М]с=М, [А4, 7] с= 7.	(35)

Для полупрямой суммы мы будем использовать символ Т -t) М,
записывая на первом месте идеал 7, а на втором подалгебру М.

ПРИМЕР 5. Алгебра Пуанкаре примера 3 является полупрямой
суммой идеала 7 и алгебры Лоренца so (3, 1) с

AIy,v) (Д?) = ёл’сДл
т. е.

7 = 7-i) so (3, 1).	(36)

В. Представления алгебр Ли

Пусть L — алгебра Ли над полем /<, а Н — линейное про-
странство. Представление алгебры L в Н — это гомоморфизм
X 7 (X) алгебры L в множество линейных операторов в Н,
т. е. для X, Y из L и а, |3 из К мы имеем

аХ + [W -> аТ (X) + f>T (У),	(37)

[X, У] -> [7 (X), 7 (У)] - 7 (X) 7 (У) - 7 (У) 7 (X).	(38)

Заметим, что ввиду (38) тождество Якоби (3) удовлетворяется
автоматически.

Если пространство представления Н бесконечномерно, то допол-
нительно предполагается, что операторы 7 (X) для всех X £ L
имеют общую инвариантную линейную область определения D,
плотную в Н. (Явное построение области определения D см.
в гл. 11, § 1.)

Пример 6. Пусть L — произвольная алгебра Ли с коммута-
ционными соотношениями

[X/, Xj=7zftXp U,/=l,2, ..„л,
где структурные константы c\k взяты вещественными.

Тогда отображение

XZ->7(XZ)-CZ-{-сМ	(39)
алгебры L в п х /г-матрицы в Rn задает конечномерное представ-
ление L. Действительно, в силу (6) и (7) мы имеем

[Т (Xt), Т(X,-)] = Сё, - Cfii = Ci,T (Xs).	(40)

Представление X —> T (X) алгебры Ли L, заданное согласно (39),
называется присоединенным представлением алгебры L.

Пример 7. Пусть L — алгебра Ли, определенная следующим
набором коммутационных соотношений:

(Pl, &] = 4- 6//Z, [Р„ Z] ---= 0 == |&, Z], I, Л - 1, 2, . . ., п.

(41)
Пусть Н = L2 (/?") и D -= С“ (Д"). Тогда отображение

Qt—>xt,	I = 1, 2, . . ., п,

2-	” n> Z~iI (42>

задает представление алгебры L в пространстве Н с D в качестве
общей линейной инвариантной области определения, плотной в Н.

§ 2.	Разрешимые, нильпотентные, полупростые
и простые алгебры Ли

А. Теорема Адо

Одной из центральных задач в теории алгебр Ли является
нахождение и классификация всех неизоморфных алгебр Ли.
В § 1, А мы видели, что матричные алгебры Ап, Вп, Сп и Dn обра-
зуют большие классы алгебр Ли. Поэтому можно предположить,
что матричные алгебры исчерпывают все возможные алгебры Ли.
Это справедливо на самом деле в силу следующего фундаменталь-
ного результата.

Теорема 1. Всякая алгебра Ли над полем комплексных чисел С
изоморфна некоторой матричной алгебре *) (доказательство см.
в работе 14 1).

Эта теорема справедлива и для вещественных алгебр Ли.
Действительно, если L — вещественная алгебра Ли, то по теореме
1 ее комплексное расширение Lc является матричной алгеброй Ли;
следовательно, вещественное сужение Lc до L также является
матричной алгеброй Ли.

Фактически теорема Адо утверждает, что всякую абстрактную
алгебру Ли можно рассматривать как подалгебру полной линей-
ной алгебры Ли gl (п, С), п = 1, 2, ... . Поэтому задача классифи-
кации всех неизоморфных абстрактных алгебр Ли может быть

*) Для групп Ли соответствующая теорема справедлива локально, но не
глобально (см. [122]).
сведена к более простой задаче перечисления всех неизоморфных
линейных подалгебр Ли алгебры gl (/г, С).

Рассмотрим теперь наиболее важные классы алгебр Ли.

Б. Разрешимые и нильпотентные алгебры

Пусть N — идеал алгебры L, тогда [1V, N1 — также идеал в L.
Действительно, согласно (1.4в) имеем

[L, \N, N]]alN, [TV, £]] + [7V, [L, TV]] c [TV, TV], (1)

В частности, L — идеал в £, поэтому [L, £] также есть идеал,
который может быть меньше чем L. При этом может случиться, что
последовательность идеалов

L° = L, IS1' = [L°, L°], . . L™ = [£<">, £<«>], n = 0, 1, 2,...

(2).

обрывается, т. e. £<"> = 0 для некоторого n.

Определение 1. Алгебра Ли L называется разрешимой, если
для некоторого положительного целого п LSn> — 0.

Пример 1. Рассмотрим алгебру Ли е (2) группы движений веще-
ственной двумерной плоскости, состоящей из двумерных трансля-
ций и вращений вокруг оси, перпендикулярной к плоскости.
Генераторы этой группы удовлетворяют следующим коммута-
ционным соотношениям:

[Хъ Х2] = 0, [Хь Х3] = Х2, ]Х8, Ха] = Х1.

Мы видим, что

£(1> = р (алгебра Ли с базисными элементами Хх и Х2),
£<2) = 0.

Следовательно, е (2) разрешима.

Свойство разрешимости алгебры Ли наследственно в том
смысле, что каждая подалгебра Ls также разрешима. В самом деле,
£“»]

является идеалом в Ls, удовлетворяющим Ц1’ с £<п. Значит,
Llsn) cz L(n) = 0, т. е. Ls — разрешимая алгебра. Очевидно также,
что всякий гомоморфный образ разрешимой алгебры разрешим.
Более того, если алгебра Ли L содержит разрешимый идеал TV,
такой, что фактор-алгебра L/N разрешима, то L также разрешима.

Всякая разрешимая алгебра содержит коммутативный идеал.
Действительно, если £("> = 0, а 1Ап~О =/= 0, то £(п~— идеал
в £ и [£<«—И, £(«-!)] = 0.

Введем следующую последовательность идеалов:

£(0) = £,	£(!) = [£(□), £], . . .,	£(n+i) — [А(«), £].	(3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Алгебра Ли называется нильпотентной, если
для некоторого положительного целого п L(ny = 0.

При помощи индукции легко проверить, что сд

В самом деле, £(0> = £(о}, и если L(n> сд /-<«>, то

£(«+1) = [£("), £(„)] с [£(„b L]^Lin+i).

Таким образом, нильпотентная алгебра является разрешимой.
Обратное не верно: например, двумерная некоммутативная алгебра
Ли, определяемая коммутационным соотношением

[X, У]==Х,

разрешима, но не нильпотентна. Аналогично алгебра Ли е(2)
из рассмотренного выше примера 1 разрешима, но не нильпотентна.

Как видно из определения, всякая подалгебра и всякий гомо-
морфный образ нильпотентной алгебры нильпотентны.

Всякая нильпотентная алгебра обладает нетривиальным цент-
ром. В самом деле, если £(П) = 0, a £(n_i)	0, то ввиду (3)

£] = 0, т. е. L(n-i) — центр алгебры L.

Согласно теореме 1, всякая алгебра Ли изоморфна некоторой
линейной подалгебре полной линейной алгебры gl (п, С). Поучи-
телен вид этих линейных матричных алгебр, соответствующий
разрешимым и нильпотентным алгебрам.

Пусть ТМ обозначает векторное пространство всех верхних
треугольных т х m-матриц, a S(m> — векторное пространство
всех верхних треугольных т х m-матриц с равными диагональ-
ными элементами. Пусть	....обозначает множество

всех линейных преобразований А, действующих в пространстве

V == Vj V2 -ф • • • +
таким образом, что

1)	А ф $('"г тг‘     тА оставляет подпространства Vlt I =
= 1, 2, ..., k, инвариантными,

2)	в каждом подпространстве Vt с базисом |i0, £2°, .. .,
А ф имеет вид

(О~
aik

0	‘ X;

Коммутаторы треугольных матриц являются также треугольными
матрицами. Поэтому векторные пространства Т{т) и ......

представляют собой алгебры Ли. Более того, справедлива следую-
щая теорема.
Теорема 2. Произвольная разрешимая алгебра Ли линейных пре-
образований изоморфна подалгебре некоторой алгебры Ли
Произвольная нильпотентная линейная алгебра Ли изоморфна
подалгебре некоторой алгебры Ли "‘2’ ‘

(Доказательство см. в 1237], § 2).

Предыдущие утверждения относительно нильпотентных и
разрешимых алгебр теперь могут быть легко проверены для
треугольных матриц.

В. Форма Пиллинга

В (1.29) мы ввели гомоморфизм X — > ad X при помощи соотно-
шения

айХ(У) = [Х, У].

В координатах имеем

(ad X (У))'= (X, yf-cj^V,

(adX)L=c‘zftZ	(4)

Определим теперь «скалярное произведение» в алгебре Ли, полагая

(X, У) = Tr(ad X ad У).	(5)

Скалярное произведение (5) обладает следующими свойствами:

1)	симметричность (X, У) (У, X),	(6а)

2)	билинейность (аХ )-рУ, Z) = a(X, Х)}-[ДУ, Z) для всех

X, У, Z^L и а, |3 — вещественных либо комплексных чисел,

(66)

3)	(ad X (У), Z) 4- (У, ad X (Z)) = 0, или ([X, У], Z) Ц- (У, [X, Z]) = 0.

(6в)

Эти свойства следуют непосредственно из свойств следов. Напри-
мер, пусть

а = (айХ(У), Z) = Tr{ad(|X, y])adZ) =

= Tr (ad X ad У ad Z) - Tr (ad У ad X ad Z),
b = (У, ad X (Z)) = Tr {ad У (ad [X, Z])} =

= Tr(adyadXadZ) — Tr (ad У ad Z ad X);
тогда из равенства Tr (ABC) = Tr (CAB) имеем a + b = 0,
т. e. (6b).

Симметрическая билинейная форма (5) на L х L называется
формой Хиллинга. Выражая через координаты в некотором базисе,
из (4) получаем

(X, У) - Tr ((ad Х))г (ad У)|) -	- gisXly, (7)
где симметрический тензор второго ранга

g.'s = cifcGi	(8)

называется метрическим тензором Картана алгебры Ли L.
Заметим, что для некоторых алгебр (например, коммутативных)
форма Киллинга (5) и, следовательно, метрический тензор (8)
могут быть вырождены, т. е. det [gfcz 1 = 0.

Для произвольного автоморфизма ф заданной алгебры Ли L
ввиду (1.33) имеем

ad ф (X) = ф ad Хф-1.

В силу этого

(ф(Х), ф(У)) = (X, Y),	(9)

т. е. форма Киллинга инвариантна относительно действия группы
Ga всех автоморфизмов алгебры L.

Форма Киллинга (5) и ассоциированный с ней тензор Картана
играют фундаментальную роль в теории алгебр Ли и их представ-
лений.

Например, простой критерий разрешимости алгебр Ли через
форму Киллинга дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Если (X, X) == 0 для всякого X £ L, то L — разре-
шимая алгебра Ли х). Если алгебра L нильпотентна, то (X, X) = 0
для всех X £ L.

(Доказательство см. в [237], теорема V.)

Докажем теперь три полезные леммы.

Лемма 4. Пусть через ( , ), ( , У и ( , )к обозначены формы
Киллинга вещественной алгебры L, ее комплексного расширения Lc
и вещественной формы (Lc)r комплексного расширения Lc. Тогда

(X, К) = (Х, Y)c для X, Y£L,	(10)

(X.K/ = 2Re((X,K)9 для X,Y£(LC)K	(11)

Доказательство. Мы можем выбрать одинаковый базис (т. е.
один и тот же набор структурных констант) для L и Lc. Тогда метри-
ческие тензоры Картана в L и Lc совпадают. Это доказывает
равенство (10). Чтобы доказать (11), рассмотрим линейное преобра-
зование А и базис elt . .., еп в Lc. Пусть А = В + iC — разложе-
ние преобразования А на вещественную и мнимую части. Тогда
в базисе elt . .., еп, ie1.ie„ алгебры LR имеем

A(ek) = Bek С(iefe), 6=1, 2, . . ., п,

A (iefe) = — Се/{ ф- В (iek), k = 1, 2, . . ., п.

*) Заметим, что обратное неверно.
Значит, преобразование А в LR, индуцированное преобразованием
" В С1

А в Lc, имеет вид А =

. Полагая А = ad X ad Y и вос-

— С В

пользовавшись определением (5), получаем равенство (11).

Лемма 5. Пусть N — идеал алгебры Ли L. Если X, Y Q X, то

(X, Y)n = (X, Y)l,	(12)

т. е. значение формы Хиллинга на X, взятое по отношению к X,
такое же, как и по отношению к L.

Доказательство. Если е-2, ..., е-, ег+1, ..., ен - базис в L,
такой, что е,, е2, . . ., е-, г < п, — базис в X (т. е. индексы с чертой
относятся к идеалу X), то для X, Y £ X имеем, согласно (1.9),
(X, Y)l = Тгл (ad X ad Y) = cslkx'ckTsJ =

= chxlc-t-sy7 = Tr* (ad X ad П = (*. У)т

ЛЕММА 6. Ортогональное дополнение (по отношению к форме
Хиллинга) идеала X a L также является идеалом.

Доказательство. Пусть Х£ Xх = {X L: (X, X) - ()]. Тогда
для каждого Y £ X и Z £ L из (6в) имеем

(adZ(X), У) = —(X, adZ(K)) = 0.

Поэтому для любого Z ad Z (X) £ Xх, т. е. X1- — идеал в L.

Пример 1. Вычислим явно форму Киллинга алгебры Ли sl(n, С).
Воспользовавшись выражением (1.13) для структурных констант
алгебры gl (п, С), вычислим сначала метрический тензор Картана
(8):

gszn, s'm'	Cszn, kr^s'т', ij ~~ 2//6sm'6„,s'	26swj6s*m*.

Отсюда форма Киллинга для gl (п, С) равна

(X, Y) = gsm, S'm>xsmyS'm' ~ 2nTr (X • Y) - 2 Tr X Tr Y. (13)
Множество si (п. С) по определению состоит из элементов gl (п, С),
удовлетворяющих условию Tr X = 0; оно является идеалом
в gl (n, С). Поэтому, согласно лемме 5 и формуле (13), имеем

(X, F)si (П, С) == 2/гТг(X-К), X, Y£sl(n, С).	(14)

Множество X ~ {X/}, Z Q С, также является идеалом в gl (п, С).
Форма Киллинга (13) равна нулю, когда X или Y f X. Следова-
тельно, скалярное произведение (13) для gl (п, С) вырождено.
В разделе Г мы увидим, что форма Киллинга всегда вырождена для
алгебры Ли, содержащей ненулевой коммутативный идеал.

Подмножество в si (п, С), состоящее из всех вещественных мат-
риц, генерирует вещественную подалгебру si (п, R), комплексном
расширением которой является алгебра si (п, С). Поэтому, согласно
лемме 4 и равенству (14), форма Киллинга для si (п, R) равна

(X, K)sl („, Д) = 2nTr (X • У), X, Y £ si (n, R).	(15)

В частности, при п = 2 с базисом, заданным в примерах 1.1 и 1.4,
находим (eit = —26(/, i, j = 1, 2, 3.

Г. Простые и полупростые алгебры Ли

Из множества всех алгебр Ли мы выделили класс разрешимых
и нильпотентных алгебр. В этом разделе определим класс про-
стых и полупростых алгебр Ли, играющих существенную роль
в изучении структуры и классификации алгебр Ли.

Определение 3. Алгебра Ли L полупроста, если она не имеет
ненулевых коммутативных идеалов.

Следующая теорема дает критерий полупростоты.

ТЕОРЕМА 7 (Картан). Алгебра Ли L полупроста тогда и только
тогда, когда ее форма Хиллинга невырождена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если алгебра L не полупроста, то она имеет
коммутативный идеал N. Если Ху, Х2, . . ., Х~ — базисные эле-
менты идеала N, то структурные константы удовлетворяют усло-
вию (1.9) (индексы с чертой относятся к идеалу N), т. е.

CSrj — 0 для 7 < г, s^>r и i=l, 2, . . ., и»

= 0 для т, Т, t г.

Вследствие этого получаем

f s t s t s n

= CitC-. = c -c- . — c-c-- = 0.

ls mt is mt is mt

За счет этих исчезающих компонент метрического тензора det [g,-z ]
обращается в нуль, т. е. форма Киллинга (5) вырождена. Чтобы
доказать вторую часть теоремы, предположим, что ортогональное
дополнение L1- алгебры L нетривиально. Поскольку L — идеал
в L, ортогональное дополнение £-* также является идеалом L
согласно лемме 6. Если X £ IA-, то (X, X) = 0. Значит, в силу
теоремы ЗА1- — разрешимый идеал. Следовательно, £х содержит
нетривиальный коммутативный идеал, являющийся в то же время
идеалом в L. Таким образом, приходим к противоречию, так как L
полупроста и не имеет коммутативного идеала. Поэтому L1- = 0
и, следовательно, (X, Y) невырождена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебра Ли L проста, если она не имеет идеа-
лов, отличных от {0} и L, и если £(1> = [£, £1	0.

В § 4 мы увидим, что классы алгебр Ап, Вп, Сп и Dn являются
простыми алгебрами. Кроме них существует только пять простых
алгебр.
Условие L(1> =/= 0 исключает алгебры Ли размерности один,
которые были бы простыми, но не полупростыми. Например,
алгебра из примера 1.1 проста. Разрешимая алгебра L не может
содержать простой подалгебры; это следует из того факта, что если
L' — любая простая подалгебра, то идеал [£', L' 1 по определению
4 равен L'; таким образом, последовательность идеалов L<*’ =
= [Lt*—1), L**—1) 1, L<°) = L алгебры L всегда содержала бы L'
и поэтому никогда не обрывалась. Значит, если L содержит про-
стую подалгебру, она не может быть разрешимой.

Говорят, что алгебра Ли L компактна , если в L существует по-
ложительно определенная квадратичная форма (•, •), удовлетво-
ряющая условию ')

([X, У], Z) (У, [X, Z]) = 0.	(16)

Все остальные алгебры Ли называются некомпактными. Форма
Киллинга (5) удовлетворяет условию (16). Значит, если метри-
ческий тензор Картана полупростой алгебры Ли L положительно
(или отрицательно) определен, то L компактна.

В комплексной алгебре Ли любая инвариантная квадратичная
форма является индефинитной. Следовательно, всякая комплекс-
ная алгебра Ли некомпактна; компактная алгебра Ли является
некоторой вещественной формой If комплексной алгебры Ли L
(см. § 5). Покажем теперь, что для компактной полупростой алгебры
Ли L структурные константы crs могут быть представлены посред-
ством полностью антисимметричного ковариантного тензора 3 ранга;
в самом деле, если с помощью метрического тензора Картана gtl
в L опустить индексы контравариантных тензоров, то тензор

Crsl = crsgtl	(17)

при помощи (8) можно записать в виде

Crsl CrsCtrnCln -= Csm^tr^ln CmrC i sC in СОГЛЯСНО (1.7)

= CtsmCrtc'ln + CmrC'tsCnl СОГЛЗСНО (1.6).

Последнее выражение симметрично относительно циклических
перестановок индексов и антисимметрично по г, s в силу (1.6);
следовательно, тензор (17) полностью антисимметричен. С другой
стороны, в компактной алгебре Ли L метрический тензор Картана
может быть выбран в виде gtl = 6П; тогда ввиду (17)

==	(18)

т. е. структурные константы c‘rs и компоненты crsl тензора (17)
совпадают.

’) В гл. 3, § 8 мы покажем, что алгебра Ли компактной группы Ли компактна.
Это оправдывает распространение понятия компактности с групп на алгебры.
§ 3.	Структура алгебр Ли

Класс разрешимых алгебр Ли в некотором смысле дополняет
класс полупростых алгебр: действительно, всякая разрешимая
алгебра Ли содержит коммутативный идеал, тогда как, с другой
стороны, полупростая алгебра Ли не имеет коммутативного идеала.
Следующие теоремы показывают, что в известном смысле класси-
фикация всех алгебр Ли сводится к классификации разрешимых и
полупростых алгебр Ли.

Начнем с анализа структуры компактных алгебр Ли. Покажем,
что произвольная компактная алгебра Ли является прямой суммой
N @ S двух идеалов, где N — центр алгебры L, a S — полупро-
стой. Этот важный результат получается в два этапа.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть L — компактная алгебра Ли. Всякий
идеал N алгебры L является простым слагаемым, т. е. в L суще-
ствует другой идеал S, такой, что

N[)S=Q, N @ S = L (прямая сумма идеалов). (1)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (•, •) — положительно определенная
квадратичная форма в L, удовлетворяющая условию (2.6в). Обозна-
чим через S ортогональное дополнение пространства N в L в смысле
метрики, индуцируемой формой (•, •). Ясно, что N П = 0 и
N @ S = L. Остается показать, что S — идеал в L. Действительно,
согласно (2.6в), для произвольных I £ L, п N и s S имеем

(п, [I, s]) = — ([/, п], s) = О,

так как [I, nl £ N. Таким образом, [I, s] £ S, т. е. S — идеал
в L.

Основной структурной теоремой для компактных алгебр Ли
является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Компактная алгебра Ли L является прямой суммой

L = N@S — N@S1@Si@...@Sn	(2)

идеалов, где N — центр алгебры L, S — полупростая, a S] —
простые алгебры.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Центр N алгебры L является идеалом в L, и
значит, согласно утверждению 1, L разлагается в прямую сумму
центра N и идеала S, не содержащего центра. Если S — не про-
стой, то опять, согласно утверждению 1, S разлагается в прямую
сумму S' @ S" идеалов; каждое слагаемое должно быть неком-
мутативным, поскольку S не имеет центра. Последовательно
повторяя эту процедуру, получаем разложение L в прямую сумму
ее центра N и некоммутативных простых идеалов St.

Прямая сумма простых идеалов полу проста.

2 А. Барут, Р. Рончка
Ясно, что центр N алгебры L коммутативен. Таким образом,
задача классификации всех компактных алгебр Ли на деле сво-
дится к задаче классификации всех вещественных компактных
простых алгебр Ли. Решение этой последней задачи дано в § 5.

Обратимся теперь к структурным теоремам для произвольных
алгебр Ли и докажем сначала следующее важное свойство произ-
вольной алгебры Ли.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть L — алгебра Ли над R либо С. В L суще-
ствует максимальный разрешимый идеал N, такой, что всякий
другой разрешимый идеал алгебры L содержится в N.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть N—разрешимый идеал в L, не содержа-
щийся в любом другом разрешимом идеале, и пусть А4 — произ-
вольный разрешимый идеал алгебры L. Пусть ср — естественный
гомоморфизм N + М на (7V 4- М)/М. Тогда ср (7V) = (N 4- М)/М,
и ядро гомоморфизма ср при ограничении на N равно Aff]7H;
следовательно, (N + М)/М и N/(N f] М) изоморфны.

Поскольку N П М разрешимо, фактор-алгебра Ли N/(N П А!)
также разрешима; поэтому изоморфная ей алгебра (N + М)/М
также разрешима. Так как (N 4- М)/М и М разрешимы, N 4-
4- М — разрешимый идеал алгебры L. Следовательно, М с: N.

Максимальный разрешимый идеал N, содержащий любой другой
разрешимый идеал алгебры Ли L, называется радикалом.

Для полупростой алгебры Ли L радикал N должен равняться
нулю. В самом деле, если N 0, то = [7V(*-1»,	],

7V<°> = дг — также идеалы в L ввиду (2.2); поэтому если	у-

4= 0 и = 0, то №n~v> был бы ненулевым коммутативным идеа-
лом в L. Следовательно, если L полупроста, N должен быть равен
нулю.

Таким образом, разрешимые и полупростые алгебры образуют
два раздельных класса алгебр Ли.

В этом месте можно предположить, что если выделить радикал N
из заданной алгебры Ли L, то полученная алгебра Ли полупроста.
Действительно, имеется

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть L — алгебра Ли над R либо С. Если N —
радикал алгебры L, то фактор-алгебра L/N полу проста.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО- Пусть ф — естественный гомоморфизм L на
UN. Предположим, что S — разрешимый ненулевой идеал в L/N,
и пусть S = ф-1 (S). Ясно, что поскольку ф (N) = 0, идеал S
больший, чем N, и содержит N. Алгебры S/N и N разрешимы.
Поэтому S также разрешим и содержит N. Это, однако, противо-
речит максимальности радикала N. Значит, S = |0}. Следова-
тельно, L/N не содержит коммутативного идеала, а потому полу-
проста.
Пример 1. Пусть L — алгебра Ли Р группы Пуанкаре. Из
коммутационных соотношений (1.23) следует, что совокупность
JZ4} генераторов трансляций р, = 0, 1, 2, 3, представляет собой
максимальный разрешимый идеал алгебры Р. Фактор-алгебра

М = Р/Р

— это алгебра Лоренца, которая пол у пр оста.

Утверждение 4 устанавливает тот факт, что произвольная ал-
гебра Ли L состоит из двух частей: радикала N и полупростой
алгебры L/N. Следующая фундаментальная теорема дает более
полное описание этого разложения.

ТЕОРЕМА 5 (теорема Леви—Мальцева). Пусть L — произволь-
ная алгебра Ли над R либо С с радикалом N. Тогда существует
полупростая подалгебра S алгебры L, такая, что

L = NA)S.	(3)

Любые два разложения L вида (3) связаны посредством автомор-
физма алгебры L.

(Доказательство см. в [185], гл. V, § 4, теорема 4.)

Равенство (3) называется разложением Леви алгебры L, а под-
алгебра S называется фактором Леви.

Теорема 5 подразумевает, что

[М, TV] с: N, [S, S] <= S, [TV, S] С М,	(4)

т. е. любая алгебра Ли L является полупрямой суммой N -£> S
максимального разрешимого идеала N и полупростой подалгебры
S. Например, алгебра Пуанкаре Р, заданная соотношениями (1.23),
имеет следующее разложение Леви:

P = tl -£> М, M = so(3, 1),	(5)

с

[Z4, /4] = 0, \М, M\cz М, [Р, М\сЛ\ (6)

Теорема Леви—Мальцева позволяет свести задачу классифика-
ции всех алгебр Ли к следующим задачам:

1)	классификация всех разложимых алгебр Ли;

2)	классификация всех полупростых алгебр Ли;

3)	классификация всех дифференцирований (1-26) разрешимых
алгебр Ли, подразумеваемых классификацией полупростых
алгебр Ли.

К настоящему времени только задача (2) решена полностью,
что является одним из наиболее замечательных и значительных
результатов в теории алгебр Ли. Задачи (1) и (3) решены лишь
частично.
На втором этапе задача классификации всех полупростых ал-
гебр Ли сводится к задаче классификации простых алгебр Ли.
Действительно, имеется

Теорема 6 (Картан). Полупростая комплексная или веществен-
ная алгебра Ли может быть разложена в прямую сумму попарно
ортогональных простых подалгебр. Это разложение единственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что N — ненулевой идеал ал-
гебры L. Согласно лемме 2.6, мы знаем, что ортогональное дополне-
ние также является идеалом алгебры L. Очевидно, что N f] А-1
также идеал в Ц следовательно, если X С N fl N^,to (X, X) = 0.
Таким образом, идеал N f] Nx разрешим в силу леммы 2.5 и
теоремы 2.3. Полупростота L подразумевает, что N f] N-'- = 0.
Поэтому алгебра L имеет разложение

где [АГ, 7V-L] = 0 и (N, N±) = 0.

Если N или 2V1- все еще полупросты, повторяем процедуру до тех
пор, когда полупростая алгебра L разложится в прямую сумму
простых попарно ортогональных некоммутативных подалгебр:

£ = ^©А2© . . . @Nk, [Nh N= 0,	(7)

(M-, Az) = 0, /, /= 1, . . ., k, i=ki.

Пусть теперь Afi © М2 © ... © Ms — другое разложение
алгебры L на простые идеалы. Пусть Mk — простой идеал, кото-
рого нет среди идеалов Nt. Тогда, поскольку Mk и ДА — различ-
ные простые идеалы алгебры L, имеем

lMk, Аг]с:Л1*Г1М = {0}.

Значит, Mk принадлежит центру алгебры L, который равен нулю,
поскольку L полупроста. Следовательно, разложение (7) един-
ственно (с точностью до перестановки).

Классификация всех простых комплексных и вещественных
алгебр Ли рассматривается в следующих двух разделах.

§	4. Классификация простых комплексных алгебр Ли

В этом параграфе мы введем важное понятие системы корней,
связанной с полупростой комплексной алгеброй Ли. Затем дадим
принадлежащее Дынкину понятие простых корней, которое дает
основу для классификации всех простых комплексных алгебр Ли.
Наконец, перечислим классические и исключительные простые
комплексные алгебры Ли.

А. Система корней

Хорошо известно, что коммутационные соотношения алгебры
Ли so (3) можно записать в виде [Jo, J±] = ±J±, U+,	= Jo-

что часто используется в физике. В этом параграфе мы дадим обоб-
щение этой процедуры на произвольные полупростые алгебры Ли,
что также имеет большое теоретическое значение.

Пусть V — векторное пространство. Подпространство W с: V
называется инвариантным по отношению к совокупности Т
линейных преобразований векторного пространства V, если для
каждого т £ Г имеем т IE с: W. Множество Т линейных преобразо-
ваний называется полупростым, если дополнение каждого инва-
риантного подпространства из V по отношению к Т также является
инвариантным подпространством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. ПодалгебраН полупростой алгебры! называ-
ется подалгеброй Картана, если

1° Н — максимальная абелева подалгебра в L,

2° для произвольного X £ И преобразование ad X простран-
ства L является полупростым.

Пусть а — линейная функция на комплексном векторном про-
странстве Н с L, где Н — подалгебра Картана в L. Обозначим
через La линейное подпространство в L, определяемое условием

La = {Y£L: [X, У] = а(Х)У для всех X £Н}.	(1)

Если La =! {0}, то а называют корнем 1 , a La — корневым
подпространством, фактически корневым вектором, как мы сейчас
увидим. Из тождества Якоби следует, что

[!“, !₽]с:£а+₽	(2)

для произвольных комплексных линейных функций а, р на Н.
Свойства корней и корневых подпространств описываются следую-
щей теоремой.

ТЕОРЕМА 1. Пусть L—полупростая комплексная алгебра Ли, и
пусть Д обозначает систему ненулевых корней. Тогда'.

1° L = Н + £ + !“

ag Д

2° Для любого a £ Д dim La = 1 (т. е. корни невырождены, за
исключением а = 0).

3° Если корни а, р удовлетворяют а 4рг 0, то (La, L₽) = 0.

4° Ограничение формы Киллинга на подалгебру Картана, т. е.
на Н X Н, невырождено. Для любого корня а £ Д существует
единственный вектор На £ Н, такой, что

(X, Но) = а(Х) для всех Х£Н.	(3)

5° Если a Q Е, то —а £ Д и если Ха £ La, Х_а £ L~a, то
[Ха, Х_а] = (Ха, Х_а) На, а(На) ± 0.

х Название «корень» обязано тому факту, что [X, У] = aY является урав-
нением на собственные значения, а а могут быть получены в системе координат
Решением секулярного уравнения det [Х'СС — аб*] = 0.
6° Если а, р £ Л и а + р =£= 0, то [La, L₽ 1 L“+fi.

(Доказательство см. в [390], гл III, § 4.)

Таким образом, Н и корневые векторы La дают подходящий
базис в L. Пункт 4° теоремы 1 дает взаимно однозначное соответ-
ствие между корнями а и элементами На подалгебры Картана ЕЕ
Ясно, что вектор На £ Н соответствует корню тогда и только
тогда, когда в L существует корневой вектор Еа, удовлетворяющий
соотношению

[X, Еа] = (Х, На)Еа для всех Х£Н.

В последующем скалярное произведение (На, Др) будем для крат-
кости обозначать (а, Р).

Проиллюстрируем теорему 1 на примере алгебры Ли А„.

Пример 1. Пусть L = si (п, С). Эта алгебра натягивается иа
базисные векторы eik (1.11), удовлетворяющие коммутационным
соотношениям (1.12). Пусть i = 1, 2, ..., п, — комплексные
п

числа, такие, что = 0. Тогда ввиду (1.12) на элементы
1=1

...(4)

натягивается максимальная коммутативная подалгебра Н алгебры
si (п, С). Используя (1.12), получаем

[ х2......еа] = (Ai — ta) ^ik	(5)

Следовательно, каждое одномерное подпространство Eik из si (и, С),
натянутое на вектор eik, инвариантно по отношению к операции
ad X при X С ЕЕ Поэтому дополнение Eik в si (ti, С) при заданных
i п k также инвариантно относительно ad X, X С Н- Следова-
тельно, преобразования ad X, X £ Н, полупросты; таким обра-
зом, Н — подалгебра Картана в si(и, С) ввиду определения 1.

Кроме того, согласно (1) и (5), комплексные линейные формы

rJ-ik (А.г, х2.хп) = Ъ — й k = 1, 2, . . ., П, i A k,

являются ненулевыми корнями алгебры si (н, С). Лучи Eik =
= ((cJ) представляют собой одномерные корневые подпростран-
ства Разложение 1° теоремы 1 в этом случае принимает вид

sl(n, С) = д+ L

i, /г=1

В подалгебре И можно выбрать базис

Hi = еи — ^+1,£+1. i= 1, 2, . . ., и—L	(6)
Тогда Тг (И,) == 0. Далее определяем явный вид системы корней А.
Согласно (3), имеем

aik(X)=(X, Ha.k)

для произвольного X = Дх >.2..€ Н. С целью определить

неизвестный вектор Haik € Н представим его в виде (4), т. е.

п

НZ> Psess>

S=1

Zj Ps =0,

S=1

(7)

и получим

(Л*Г h....*„) = (Л*Г h...*n’ A»l- ^2'	=	~

С другой стороны, используя соотношения (2.14) и (4), получаем
(^1* ^й’	^2’

п

== 2«Тг(Ахг х2,.м2...........вп)= Sj^sPs-

Таким образом, равенство
п
2п Е Vs = К - К	(8)

S—1

должно выполняться при любых 7S, S = 1, 2, п, при условии,
п

что ZjXs = 0. Легко проверить, что равенство (8) имеет место
s=l

тогда и только тогда, когда

0, s =/= i, k.

Из (7) и (9) находим окончательный вид векторов Ha,k € 7/,
соответствующих корням aik:

Ha.k = -^-(eii — ekk), i, k= 1, 2, . . ., п, i=kk. (10)
Если положить

(11)

то для A-системы алгебры si (п, С) в итоге получим

A (si (п, С)) = {Ht - Hk, i, k=l, 2, . . ., n, i^k}.	(12)

Утверждения 5° и 6° теоремы читатель может легко проверить.
Следующая теорема описывает основные свойства системы
корней полупростой комплексной алгебры Ли.

ТЕОРЕМА2. К Если и. ф Д, то—а ф K,Honpuk^=	Е.

2° П редположим, что а, р £ Д, а =р ±р. Если Р/; = Р	ka

и Р/; С △ при целых k, р < k < q, но РР_Г Д, Р9+г Д, то

2 (Р, а)
(а, а)

= — (РЧ”<7)-

3 (Р, а) 2 (pg, а Г фр, а)/S (Ар, а “Ь Ц<р, а)> еде р()3 (<7ра)

<р£ а
наименьшее (наибольшее) число в последовательности рА = р ~Ь
Т- ko, р, о, р* £ Д, определенной в 2°.

4° Форма Шиллинга задает на линейном пространстве

H*=%raIia, га£К,
а (2 А

вещественную положительно определенную метрику. Более того,

н = н* + ш*.

(Доказательство см. в [3901, гл. III, § 4.)

Если выбрать в качестве базиса алгебры Ли базис подалгебры
Картана и корневые векторы, то получим так называемый набор
коммутационных соотношений Картана—Вейля для полупростой
комплексной алгебры Ли. Этот базис часто используется физи-
ками. Свойства базиса Картана—Вейля описывает следующая
теорема.

ТЕОРЕМА 3. Для каждого а ф Д можно выбрать вектор Еа £ La,
такой, что для всех а, р £ Д имеем

[Bt, Ea] = a(Hi)Ea для Н^Н,

0,
[Еа, £р] = На,
 Мх, ₽£а+₽,

если а -j- Р + 0 и а ф- р Д,
если a -J- р = 0,
если а ф- р ф Д,

(13)

где константы Кп,р удовлетворяют соотношению

/Va,p = -/V_a,_p.	(14)

Для любого такого выбора

A^₽ = ^f^-(a, а),	(15)

где числа р и q определяются последовательностью р ф- ka. из
теоремы 2.2°.

(Доказательство см. в [390], гл. III, § 5.)
Б. Схемы Дынкина

В теореме 1.4° мы видели, что каждому корню соответствует
единственный вектор На в подалгебре Картана И. С другой сто-
роны, количество корней, вообще говоря, превышает размерность
подалгебры Картана; это наглядно видно на примере 1, si (n, С),
где п2 — п корней выражаются через п — 1 базисных векторов
подалгебры Н. Значит в общем случае корневые векторы линейно
зависимы. Естественно поэтому ввести базис в корневом простран-
стве. Можно ожидать, что задача классификации всех систем
корней Л может быть сведена к более простой задаче классифика-
ции всех неэквивалентных систем базисных векторов в корневом
пространстве. Это основная идея, которая привела Дынкина
к понятию простых корней и к так называемым схемам Дынкина.

Пусть Н* — определенная в теореме 2.4° подалгебра из под-
алгебры Картана, и пусть Хх, Х2, , Xt — базис в Н*. Говорят,
что вектор X С Н* положителен, если первая отличная от нуля
его координата положительна.

Положительный корень X £ Д будем называть простым,
если его нельзя представить в виде суммы двух положительных
корней. Свойства системы П (L) простых корней полупростой
алгебры Ли L описывает следующая теорема.

Теорема 4. Г Если а С П, ф Е П, то <р — а П.

I 2° Если а £ П, <р f П, а 4= <р, то —2 (ф, а)/(а, а) — неотри-
цательное число.

3° П-система является линейно независимым множеством и
служит базисом для пространства Н*. Произвольный корень
ф С Д можно представить в виде

i

ф = е Xj ktai,

(16)

i=i

где е = ±1, kt — неотрицательные числа.

4° Если положительный корень не является простым, то
Ф = а + ф, а Е П, if £ Д, О <С ф < <рх).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1°. Пусть ф-а=фЕ А. Тогда по теореме
2.1° —ф С Д и ф = а+ф, а==ф + (—ф). Значит, поскольку
либо ф > 0, либо —ф > 0, то либо ф, либо а не является простым
корнем. Таким образом, имеем противоречие.

2°. Согласно теореме 2.2°,

= “<"+?>

где р, q — целые и р < q. Ввиду 1° р = 0. Поэтому

(а, а) '

') Ф < ф означает, что первая ненулевая координата у ф — ф положительна-
3°. Пусть X — положительный корень. Если корень X — про-
стой, то К = а,. Если же X не является простым, то X = а 4- (3,
где аир положительны. Если же а или р, или оба они не являются
простыми, то эта процедура повторяется. Наконец получаем выра-
жение (16) с е = -+1. Если к отрицательно, то применяем наше
разложение к вектору —К и получаем (16) с е = —1.

Множество положительных векторов хъ х2, ..., хт из Rm,
подчиняющихся условиям

(xh хА)<0,	(17)

является линейно независимым множеством. Действительно, допу-
стим, что векторы хх, х2, ..., хт линейно зависимы, и пусть уъ
у2, ..., уп — минимальная линейно зависимая подсистема. Тогда
мы имели бы

п

У агу{ = 0, где а( =£ О, i = 1, 2, . . ., п. (18)

<=i

Пусть и — сумма всех слагаемых в (18) с положительными
коэффициентами, а —v — сумма всех членов с отрицательными
коэффициентами. Тогда (18) запишется как и = v, откуда полу-
чаем (и, и) = (и, о). Но (и, и) > 0, а (и, о) ввиду (17) неположи-
тельно. Таким образом, имеем противоречие. В силу этого простые
корни, которые положительны и удовлетворяют условию (17),
линейно независимы. Они образуют базис пространства Н* вслед-
ствие (15) и теоремы 2.4°.

4°. Если к системе П добавим положительный корень <р £ П,
то получим линейно зависимую систему. Поэтому по крайней мере
одно из скалярных произведений типа (17) положительно, т. е.
(<р, а;) > 0. По теореме 2.2° это неравенство предполагает для
некоторого простого корня аг, что р -=г- 0 и, следовательно, ф =
= <р — а £ Д. Неравенство ф < 0 невозможно, поскольку в про-
тивном случае простой корень а представлялся бы в виде суммы
двух положительных корней.

ПРИМЕР 2. Определим теперь П-систему для алгебры si (п, С);
Д-система задана при помощи соотношения (12). Выберем Hit
i = 1, 2, ..., п, в качестве базисных векторов в Н* и определим

£ ш>о,
i=i

если первая ненулевая компонента в (Х1; л2, ..., Л„) положительна.
Тогда корни

Яа.А =	— Нк, i, k = 1, 2, .... п, i . к, i < /<,
положительны, а корни

/7 ==_*// i= 1, 2, . . п- 1,

i, t+1	1	1+1 2п 11	’

простые, где Ht задан согласно (6). Обозначая корень alt г+1 симво-
лом ос, и воспользовавшись равенством (2.14), находим

	1  п	Для	i = k,
(0Ct-, OCfe) -—(На_,	—	1  2п	ДЛЯ	|i-A|=l,	<19>
	0	для	|i-А|> 1,

т. е. углы (ос,-, ak) между корнями а, и ak равны

( 120°,	если	|i — /г 1 = 1,

(а,-, ак) = [ 90о,	если	। f _ k । > j	(20)

Метрические свойства П-системы полупростой алгебры Ли L
определяют Д-систему. Индуктивный метод построения Д-системы
содержится в доказательстве следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 5. Д (Ь)-система всех корней заданной полупростой
алгебры Ли L может быть построена по ее П (Ь)-системе простых
корней.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 2.1°, можно ограничиться
задачей построения только положительных корней. Пусть |3 —
п

положительный корень из Д, а |3 = Х^сс,- — его разложение на
i=l

простые корни, как и в (16). Назовем корень |3 корнем порядка s,
п

если У ki = s. Ясно, что все простые корни порядка один. Пред-
i=i

положим теперь, что мы уже построили все корни порядка меньше
чем s. По теореме 4.4° корни порядка s имеют вид яр + а, где яр —
корень порядка s — 1 п а £ П. Воспользуемся формулой

q^-p-

2 (яр, а)
(а, а)

(21)

(теорема 2.2°), если вектор яр + ос £ Д. Векторы ср = яр 4 fax,
А 0, —1, —2, ..., согласно теореме 4.3°, положительны и явля-
ются корнями порядка меньше чем s. Поэтому по индукции можно
определить, принадлежат они множеству Д или нет, и найти
наименьшее значение --= р. С помощью формулы (21) находим
число q. Если q > 0, то последовательность <р = яр /а, / =

- 1, 2, ..., q, содержит корень яр + а. В противном случае
вектор яр -| а не явчяется корнем.
Последняя теорема и теорема 3 показывают, что фактически
задача классификации всех простых комплексных алгебр Ли
сводится к задаче классификации всех П-систем простых корней.
В соответствии с теоремой 4 последнюю задачу можно свести
к более простой комбинаторной задаче классификации всех конеч-
ных систем Г векторов из R", удовлетворяющих следующим усло-

виям:

1° Г — линейно независимая система векторов,

оо	О у- п 2 (ct, 6)

2 если сс, р С Г, то ---------неотрицательное целое число.

Ясно, что всякая П (С)-система простых корней является Г-си-
стемой.

Задачу классификации П-систем для простых алгебр Ли можно
упростить при помощи введения аппарата схем Дынкина. Прежде
всего заметим, что, согласно теореме 4.2°, при а, £ £ П, а =1= |3,
величина

2<Р’ а) . 2<И' Р> _ 4 c0S2 /а g\
(а, а) (₽, ₽) ~ 4 cos \а> Р/

(22)

является неотрицательным целым числом; таким образом,
4 cos2 (а, р) принимает одно из значений 0, 1, 2 или 3; следова-
тельно, соответствующими углами являются 90°, 120°, 135° и 150°
соответственно.

П-систему (или Г) векторов (аъ а2, •••> ап) можно изобразить
графически как связный линейный комплекс (или граф). Вершины
(04), (а2), ..., (ап) находятся во взаимно однозначном соответ-
ствии с векторами аг П-системы. Две различные вершины комплек-
са связаны одинарной, двойной или тройной линией, когда два
соответствующих вектора образуют угол 120°, 135° или 150е
соответственно. Если все векторы а, имеют одинаковую длину,
обозначаем вершины светлыми кружками О; если векторы а,
имеют две различные длины, обозначаем вершины, соответствую-
щие векторам меньшей длины, темными кружками ф, а осталь-
ные — светлыми кружками.

ПРИМЕР 3. Пусть L == si (п, С). Строим схему Дынкина для этой
алгебры Ли. Согласно (19), все простые корни а; имеют одинаковую
длину. Кроме того, в силу (20) простые корни az и а1+1 будут
связаны одинарной линией; любая другая пара ah ak, k =/= i + 1,
простых корней образует угол (ait ak) = 90°, и поэтому они не
связаны. Следовательно, схема Дынкина для si (п, С) (~Л„_1)
имеет вид

“1	“2	“3	а„-2	«„-I

A-i- о--------о--------о------о——о

(23)

Следующая фундаментальная теорема дает описание схем
Дынкина и П-систем простых корней для всех простых комплекс-
ных алгебр Ли.
Теорема 6. Четыре бесконечные последовательности схем

4,: О		—o—	—o—	—о		—о	(24)
			-TV——		о	(25)
nn-		  C„: O=	———  ==•—	—e-—			(26)
D": rr"			—O-—-	—-O		—о	(27)

и пять отдельных схем

C2:		—D						(28)
				-ГТ					
			-——KJ						(29)
	О				.... ry			
				c/--					(30)
Er	r\							ry		(31)
						kJ		
Er:	Г)			о		-					Г\ —		(32)
								

образуют множество всех схем, которые могут быть ассоцииро-
ваны с Tl-системами. Соответствующие П-системы простых
корней имеют следующий вид:

П(А„) = ^i+1— hlt i=l, . . n),

П(Вп)^- {/ц, hi+1 — hi, i — 1, . . ., n— 1],

П(С„)= {2/1ъ /i£-+1 —/i„ i = 1, . . ., n — 1},

II (Dn) = {ftj -j- /i-г, hi+1 — hi, i — 1, 2, . . ., n — 11,

П(б2) = [h2 - hlt h&> - 3/i2),

П (Ft) = | h3 — 1ц, h2 — 1ц, 1ц,	(/i4 — 1ц — 1ц — /i3) j,

И(Ее) = {1ц+1-1ц, i=I, 2, .... 5, ±у2 1ц +
I	z

+ 4" h{6> — ~ ,lb ~ ’

П (E7) = {/lf+1 - hi, i=l, 2, . . ., G, 4 h& - 1ц - 1ц - 1ц - Ц,

П&Н^-тЛ, /1,41 ~ht, i-1, 2, . . ., 6, /i8
Векторы h; являются ортогональными базисными векторами соот-
ветствующего евклидова пространства и имеют одинаковую, хотя и
произвольную, длину, a h(r) =	+ h2 + ... + hr.

С каждой схемой (24)—(32) связывается некоторая простая
комплексная алгебра Ли.

(Доказательство см. в [237], § 7.)

Заметим, что схемы Ах, Bt и Сх тождественны. То же самое
имеет место для пары алгебр В2 и С2, а также для пары А3 и D3.
Все остальные схемы различны. Таким образом, имеем

СЛЕДСТВИЕ. Четыре бесконечные последовательности алгебр Ли

Ап, п > 1, Вп, п^>2, Сп, п^>3, D„, п>-4,

и пять исключительных алгебр Ли G2, F4, Е6, Е7, Е8 составляют все
неизоморфные простые комплексные алгебры Ли.

Последовательность Dn не содержит алгебры D2, поскольку она
не является простой (D2 — Dx@ D{ — прямая сумма двух идеа-
лов). Ясно, что ~ Вг ~ Сх, В2 ~ С2, А3 ~ D3 ввиду совпадения
их схем Дынкина.

Большое практическое значение имеет задача восстановления
простой алгебры Ли по ее П-системе простых корней. Эту задачу
можно решить посредством следующих шагов:

1° Восстановить Д-систему по П-системе (см. теорему 5).

2; Вычислить (с точностью до знака) структурные константы
при помощи формулы (15).

3° Определить знак Na,$-

Выбор знака Na,$ следует делать таким образом, чтобы выпол-
нялись аксиомы (1.2) и (1.3) алгебры Ли.

После осуществления этих шагов коммутационные соотноше-
ния произвольной простой комплексной алгебры Ли задаются
формулами (13). Размерности простых комплексных алгебр Ли
Ап, Вп, Сп и Dn можно вычислить, исходя из определяющей их
матричной реализации (см. § 1, А); они равны

Вп	Сп	Dn

Размерность п(п-{-2)	n(2n-|l)	n(2n-j-l) п(2п — 1)

Размерности исключительных алгебр Ли равны: G2 — 14,
F4 — 52, Е6 — 78, Е7 — 133, Е8 — 248. В этом случае размер-
ности также могут быть вычислены из реализаций алгебр (см.
§ 5 и § 9, Г).

§ 5.	Классификация простых вещественных алгебр Ли

В § 4 дана классификация всех простых комплексных алгебр
Ли. Эта классификация служит также естественной отправной точ-
кой для классификации всех простых вещественных алгебр Ли.
Это обусловлено тем, что с каждой простой комплексной алгеброй
Ли можно связать последовательность вещественных простых
алгебр Ли, введенных в § 1, А, при помощи следующих двух
процессов:

А. Выделение всех неизоморфных вещественных форм Lr за-
данной комплексной простой алгебры Ли L.

Б. Построение вещественной алгебры Ли LR, ассоциирован-
ной с заданной комплексной простой алгеброй Ли L.

Эти два процесса, как мы увидим, дают все простые веще-
ственные алгебры Ли.

Прежде всего заметим, что всякая вещественная форма Lr
комплексной простой алгебры Ли L является простой. Действи-
тельно, вещественная форма Lr порождается специальным бази-
сом заданной комплексной простой алгебры Ли L, в котором все
структурные константы вещественны. Однако в простой ком-
плексной алгебре Ли L нет базиса, в котором структурные кон-
станты могли бы удовлетворять условиям (1.9). Значит, Lr не
имеет идеалов и поэтому проста. При помощи тех же аргументов
заключаем, что алгебра Ли LR, ассоциированная с простой ком-
плексной алгеброй Ли L, также проста.

Утверждение, обратное последнему, неверно: комплексное рас-
ширение вещественной простой алгебры Ли может не быть про-
стым. Например, комплексным расширением алгебры Ли Ло-
ренца о(3, 1), заданной соотношениями (1.23а), является ком-
плексная алгебра Ли о (4, С) — Д2, изоморфная прямой сумме
Di © двух идеалов.

ТЕОРЕМА 1. Все вещественные простые алгебры Ли получаются
применением процессов А и Б ко всем простым комплексным алгеб-
рам Ли.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L — произвольная простая вещест-
венная алгебра Ли, a Lc — ее комплексное расширение. В общем
случае алгебра Lf может не быть простой. Соответственно разли-
чаем два случая:

1)	Lc — простая. В этом случае исходная вещественная про-
стая алгебра Ли L является одной из вещественных форм ал-
гебры Lc.

2)	Lc не является простой. Согласно лемме 2.4, Lc является
во всяком случае полупростой и может быть разложена по теореме
3.6 в прямую сумму простых идеалов. Если Lj -А (0} — простое
прямое слагаемое алгебры Дао — сопряжение Lc по отношению
к L, то oLj также является простым прямым слагаемым алгебры Lc,
так как Щ, crZ_11 =- 0.
Исходная вещественная алгебра Ли L состоит из инвариант-
ных по отношению к о элементов, т. е. из элементов вида X + аХ
с X £ Д. Отображение X -> X + аХ в L является веществен-
ным изоморфизмом, так как

X + Y — (X 4- оХ) + (У + оУ) = (X + У) + о (X 4- У),
ссХ —»а (X 4- оХ) = аХ -Д с («X), а вещественно,

[X, У] —[X, У]4-о[Х, У] = [Х + оХ, У4-оУ].

Если бы Lc содержала еще другие идеалы, отличные от L(
и о£х, то L была бы прямой суммой вещественных идеалов. По-
скольку L проста, это невозможно, поэтому Lc = Lx + oLx.

Последнее равенство следует также из соотношения [Lx,
о£х] = 0. Следовательно, вещественная простая алгебра Ли L
изоморфна комплексной простой алгебре Ли рассматриваемой
как вещественная алгебра Ли Lf удвоенной размерности.

Из доказательства теоремы 1 следует, что комплексное расшире-
ние (LR)C вещественной простой алгебры Ли LR, полученной в ре-
зультате процесса Б, не является простым, тогда как комплекс-
ное расширение (Lr)c вещественной простой алгебры Ли Lr, полу-
ченной в результате процесса А, является простым. Следовательно,
процессы А и Б дают непересекающиеся классы вещественных
простых алгебр Ли. Процесс Б связывает с каждой комплексной
простой алгеброй Ли L определяемую единственным образом ве-
щественную простую алгебру Ли LR, структурные константы
которой можно получить непосредственно из структурных кон-
стант алгебры L. Таким образом, классификация всех комплекс-
ных простых алгебр Ли, которая дана в теореме 4.6, дает в то же
время классификацию всех вещественных простых алгебр Ли,
получаемых с помощью процесса Б. Чтобы завершить классифика-
цию всех простых алгебр Ли, осталось классифицировать ал-
гебры Ли, получаемые с помощью процесса А. В решении этой
последней задачи важную роль играет компактная вещественная
форма заданной комплексной простой алгебры Ли. Поэтому по-
кажем сначала, что компактная вещественная форма алгебры L
существует.

ТЕОРЕМА 2. Всякая полупростая комплексная алгебра Ли обла-
дает компактной вещественной формой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть На, Еа, а С а, — набор генераторов,
удовлетворяющих коммутационным соотношениям теоремы 4.3.
В силу 5° и 3° теоремы 4.1 имеем (Еа, Е_а) = 1 и (Еа, Еа) = 0.
Значит векторы

Ua = i (Еа 4- Е я),

V = F — £
v а	*-_аг

На = iHa, а £ А,
удовлетворяют условиям

(f/a, t/a) = -2,

(Va, Va) = —2,

(Да, Va) = 0,

(fia, Ha) = — (a, a)<0.

Поскольку (Ea, £₽) = 0 для (a + f})	0, отсюда следует, что

форма Киллинга отрицательно определена на вещественном линей-
ном подпространстве

Lk = 2 RaHa-\- 2 RvUu+ 2 RuVa, Ra — вещественные числа.
a£ A	a£ A	a£ A

Если X, Y £ Lk, то по теореме 4.3 коммутатор [X, Y ] снова вы-
ражается через элементы Ua, Va и На с коэффициентами, пропор-
циональными 7Va, р или (а, р). Поэтому, так как и 7Va,p и (a, (V)
вещественны, а форма Киллинга отрицательно определена, то
подпространство Lk является вещественной компактной алгеброй
Ли. Кроме того, имеем

R == Rk Ч-

т. е. L — прямая сумма подалгебры L/, и векторного простран-
ства iLk.

Дадим теперь явное построение всех простых вещественных
алгебр, допускающих заданную простую комплексную алгебру L
в качестве их комплексного расширения.

Пусть Lk — компактная форма комплексной простой алгебры
L, и пусть Хъ Х2......Хп — базис Lk. Ясно, что базис

рассматриваемый над С, служит также базисом в L.

Пусть Р — линейное преобразование в L, которое переводит
базис Xit i = 1, 2, ..., п, в новый базис

П =	/=1, 2, ..., п,	(1)

в котором структурные константы с*;-, i, j, k = 1,2, ..., п, опре-
деляемые коммутаторами

[Vz, Ks] - с'^к,	(2)

вещественны. Каждому такому базису соответствует вещественная
простая алгебра Lr, натянутая на генераторы Y,, i = 1, 2, ..., п,
с коммутационными соотношениями (2). Задача классификации
всех непзоморфных вещественных форм заданной простой ком-
плексной алгебры Ли L сводится теперь к задаче отыскания всех
преобразований вида (1) в Lk, которые приводят к неизоморфным
вещественным алгебрам Ли (2). Эту задачу решает следующая
теорема.
ТЕОРЕМА 3. Пусть L — комплексная простая алгебра Ли, Lk —
ее компактная форма, аХ — множество всех инволютивных авто-
морфизмов Lk. Линейные преобразования

p^Vs	seE, (з)

реализуют все неизоморфные вещественные формы алгебры L,
Два линейных преобразования Pt и Р2, заданные при помощи (3),
преобразуют Lk в две изоморфные вещественные алгебры Ли тогда
и только тогда, когда

Р, = AP2R,

(4)

где А — автоморфизм алгебры L, a R — вещественное преобразо-
вание в Lk-

(Доказательство см. в [296], §2 и 3.)

Два инволютивных автоморфизма и S2 будем называть экви-
валентными, если соответствующие преобразования Р} н Р2
удовлетворяют равенств/ (4).

Следующая теорема дает прямой метод построения всех неизо-
морфных вещественных форм комплексной простой алгебры Ли L.

Теорема 4. Все неизоморфные вещественные формы заданной
комплексной простой алгебры Ли L могут быть получены следу-
ющим способом-.

Г Находим все неэквивалентные инволютивные автоморфизмы S
компактной формы Lk алгебры L.

2° Выбираем базис в Lk такой, что матрица S диагональна.
Базисные векторы в Lk, соответствующие собственному значе-
нию —1, умножаем на i, оставляя без изменения остальные базис-
ные векторы. Полученному таким образом базису соответствует
вещественная простая алгебра Ли IAS>.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Инволютивный автоморфизм S компактной
алгебры Ли Lk можно привести к диагональному виду с элементам!.1
+ 1 или —1 на диагонали. Это обусловлено тем, что форма Кил-
линта отрицательно определена и, следовательно, автоморфизм S
является унитарным оператором, т. е. S* = S-1. Из S2 = 1 вы-
текает, что Sl = S, или S* = S, значит автоморфизм S может
быть представлен в виде разности двух проекционных операторов

Полагая 1Д = P+Lk и Li = P~Lk, находим, что Lk является
прямой суммой ортогональных подпространств [Д и 1Д, а каждый
элемент X Ц \[Д) является собственным вектором для S с соб-
ственным значением +1 (—1). Согласно (3), преобразование
Р = KS нме зт в 1д

Выбирая в Ц и Lk произвольный базис и применяя преобразова-
ние (5), мы получаем базис в вещественной форме L(S>, описанный
в теореме 4. Если затем перебирать все неэквивалентные инволю-
тивные автоморфизмы S алгебры Lk, то, применяя теорему 3,
мы получим все неизоморфные простые вещественные алгебры Ли,
ассоциированные с заданной простой комплексной алгеброй Ли L.

Другими словами, если

д; = х + р	(6)

— разложение алгебры Lk, обусловленное инволютивным авто-
морфизмом S (т. е. S (X) = X для X С К и S (К) = —Y' для
Y £ F), то

L(s> = Jj_ ip	(7)

является вещественной формой простой комплексной алгебры
Ли L, ассоциированной с инволютивным автоморфизмом S.

Метрический тензор Картана gu? вещественной алгебры Ли
/Л'1 можно положить равным матрице X. Действительно, по-
скольку форма Киллинга для Lk является дефинитной, метри-
ческий тензор Картана в Lk можно взять в виде^№ — Значит,
g№ _ (Уs )а (Уs )fengtn = Stk.	(8)

Из этого следует, что два инволютивных автоморфизма Хх и Х2
в L,, с различными сигнатурами приводят к неизоморфным простым
вещественным алгебрам Ли L(Si) и L(S^ соответственно.

ПРИМЕР 1. Пусть L~o (3, С). Компактная форма Lft = o(3)
алгебры L определяется следующими коммутационными соотно-
шениями:

[Хь Х2] = Х3, [Х2, Х3] = Хх, [Х3, X.] = Х2.	(9;
В данном случае имеется шесть инволютивных преобразований
в о (3):

Преобразования 5(2> и 5(з> не являются автоморфизмами о (3),
так как они не сохраняют коммутационные соотношения (9).
У S(i) = / и переводит о (3) на о (3). Преобразования S(4), 5(а>
и 5(6) —инволютивные автоморфизмы о (3). Из (3) получаем

	- 1 0-		-i 0-		- i 0-	
/5(4. =	i	,	/5(5) =	1	, /S(6) =	i	•	(10)
	0 i		0 i.		0 1_	

Используя (4), покажем теперь, что автоморфизмы V 5(5) и /5(б)
эквивалентны /5(4). Действительно, автоморфизмы (10) алгебры
о (3) являются также автоморфизмами алгебры о (3, С) в базисе
(8). Кроме того, автоморфизмы о (3, С) вида

Л(5) = У^) (У5(5))3, Л(6) = У5(4) / 5(6))3

преобразуют как /5(5), так и /5(б) в /5(4). Следовательно,
в силу соотношения (4) они приводят к вещественным формам
L(s<s)) и	изоморфным L<s‘o). Используя теперь теорему

(4), получаем (Yk = (Sw)ik Xz)

[Y,, Y3] = Y3, [YZ,Y3] = -Ylt [У3. УХ] = У2,

что является алгеброй Ли о (2,1) некомпактной группы Лоренца
в трехмерном пространстве-времени (см. также упражнение 2.1°).

Задачу классификации всех неэквивалентных инволютивных
автоморфизмов компактных простых алгебр Ли можно решить
при помощи геометрических методов (см. [168]) либо алгебраиче-
скими методами (см. [295, 296] или [385], гл. III). В дальнейшем
ограничимся перечислением конкретных форм классических про-
стых вещественных алгебр Ли, выделенных при помощи этих
автоморфизмов.
I.	Вещественные формы алгебры si (п, С) (~Дя_ь п > 1)

Эта алгебра Ли имеет следующие вещественные формы.

1.	Lk = su (и) — алгебра Ли, состоящая из всех косоэрми-
товых матриц Z порядка п со следом Tr Z = 0.

2.	si (и, R) — алгебра Ли, состоящая из всех вещественных
матриц X порядка п со следом Tr X = 0.

3.	su (р, q), р + q = п, р > q, — алгебра Ли всех матриц
вида

ГЛ Л

|z2* Л.

где Z1; Zs — косоэрмитовые матрицы порядка р и q соот-
ветственно, Tr Z, + Tr Z3 = 0, Z2 произвольна.

4.	su* (2n) — алгебра Ли всех комплексных матриц по-
рядка 2п вида

Л

-Л

Л

Л.

где Zn Z2 — комплексные матрицы порядка п, Tr Zr +
+ Tr Zi = 0.

II.	Вещественные формы алгебры so (2n, С) (—£>„, п > 1)

1.	Lk = so (2n) — алгебра Ли, состоящая из всех веществен-
ных кососимметрических матриц порядка 2п.

2.	so (р, q), р Л q = 2n, р > q — алгебра Ли всех веществен-
ных матриц порядка 2/г вида

XI

где все X; вещественны, Хъ Х3 — кососимметрические
порядка р и q соответственно, а Х2 произвольно.

3.	so* (2п) — алгебра Ли всех комплексных матриц порядка
2п вида

где Zb Z2 — комплексные матрицы порядка п, причем
Zj — кососимметрическая, a Z2 — эрмитова.
III.	Вещественные формы алгебры so (2п + 1, С) (~Вп, и > 1)

1.	Lk = so (2n +1) — алгебра Ли всех вещественных косо-
симметрических матриц порядка 2n + 1.

2.	so (р, q), р + q = 2п + 1, р > q, — алгебра Ли всех
вещественных матриц порядка 2п -J- 1 вида

где все Хг вещественны, Х1Т Х3 — кососимметрические
порядка р и q соответственно, а Х2 — произвольно.

IV.	Вещественные формы алгебры sp (и, С) (~Сп, п > 1)

1.	Lk = sp (и) — алгебра Ли всех косоэрмитовых бесслед-
овых матриц порядка 2п вида

rz1 Z2‘

A Zt

где все Z, — комплексные матрицы порядка п, Z2 и Zs —
симметрические (т. е. sp (и) = sp (и, С) П su (2п)).

2.	sp (и, R) — алгебра Ли всех вещественных матриц по-
рядка 2п вида

-х, Х2
х. — х;]’

где Хх, Х2, Х3 — вещественные матрицы порядка п, Х2,
Х3 — симметрические.

3. sp (р, q), р 4” q = п, р q — алгебра Ли всех комплекс-
ных матриц порядка 2п видз

Z12	Z13	Z14

Z1*2	z22	ZL	z24

—Z13	Z14	Zu	—Z12	’

_	—Z24	—Zp2	Z22	_

где Zij — комплексные	матрицы:	ZX1	и	Z13 порядка p, Z12

11 Z14 — с p строками и q столбцами, Zu и Z22 — косо-
эрмитовы, Z13 и Z24 — симметрические.

Список глобальных вещественных групп Ли, связанных с этими
алгебрами Ли, дан в гл. 3, § 7. Среди нижайших неисключитель-
ных вещественных простых алгебр Ли существуют важные изо-
морфизмы. Они индуцируются (за исключением одного случая)
изоморфизмами соответствующих комплексных алгебр.
Изоморфизмы комплексных
алгебр

Изоморфизмы вещественных
форм"

Л1 — В, — Cr	su (2) — so (3) ~ sp (1)

si (2, R) — su (1, 1)so (2, 1) ~ sp (1, R}

B2 ~ C2	so (5) ~ sp (2)

so (3, 2) ~ sp (2, R)

so (4, 1) — sp (1, 1)

B2 Ai © Ai	so (4) so (3) © so (3)

so (2, 2) ~ si (2, R) ® si (2, R)

si (2, C) — so (3, 1)

so* (4) ~ si (2, R) © su (2)

Л — D3	su (4) ~ so (6)

si (4, R) ~ so (3, 3)
su (2, 2) ~ so (4, 2)
su (3, 1) ~ so* (6)
su* (4) ~ so (5, 1)

В табл. 1 указаны все известные изоморфизмы. Для удобства
мы включили сюда также изоморфизмы, вызванные тем фактом,
что комплексная алгебра Ли £>2 изоморфна А± ©

Существует и другой изоморфизм вещественных форм, который
не индуцируется указанными выше изоморфизмами комплексных
простых алгебр Ли. Именно

so* (8) ~ so (6, 2)

(см. [603 [).

Относительно вещественных форм исключительных алгебр Ли
см., например, [390] или [385].

§ 6. Разложения Гаусса, Картана и Ивасавы

Мы видели, что по теореме Леви — Мальцева произвольная
алгебра Ли М допускает разложение

M = N -Э L,

где N — радикал в М, a L — полупростая алгебра Ли. С целью
лучшего разъяснения структуры и свойств произвольной полу-
простой алгебры Ли мы дадим в этом параграфе три дальнейшие
разложения фактора Леви L. Эти разложения играют фундамен-
тальную роль в теории представлений алгебр Ли, так же как
и соответствующих групп Ли.
А. Разложение Гаусса

Пусть L — полупростая комплексная алгебра Ли, и пусть
Д — ее система ненулевых корней. Пусть Д+ обозначает совокуп-
ность всех положительных корней, a L+ — линейную оболочку
•собственных векторов Еа, определенных согласно уравнениям

[Hi, Еа] = а(Н{)Еа, аеД+, Н^Н.	(1)

При а, р £ Д+ из (4.13) имеем

(	0,	если	а -4- Р =г= О,	а -4- В Д,

1^а, £р]	~ |	дг	р	рсшл	г/ . I-R С Л

I	если	а|- р к Л.

Если а, р £ Д+, то а -г р также содержится в Д+. Следовательно,
в силу (2) векторное пространство L+ образует алгебру Ли. Пусть
Д' — множество всех отрицательных корней и L' — линейная
•оболочка всех собственных векторов уравнения (1) для ос С А'.
Воспользовавшись соотношениями (2), мы заключаем, что L'
также образует алгебру Ли.

Из равенств (1), (2) и коммутативности подалгебры Картана Н
•следует, что прямая сумма L+ -j- Н является подалгеброй в L.
Более того, (1) означает, что L+ — идеал в L+ + Н. Следовательно,
подалгебра L+ + Н является в действительности полупрямой
•суммой L+ 4) Н идеала £+ и подалгебры Картана Н. Аналогично
L' +) II — полупрямая сумма идеала L' и Н. Более того, имеется

Т ЕОРЕМА 1. Пусть L — комплексная полупростая алгебра Ли.
Тогда:

1° Подалгебры L+ и L~ нильпотентны.

2° Подалгебры L+ -f) Н и L~ -Э Н разрешимы.

3° L допускает следующее разложение:

L = Е+ ^Н 4-L'.	(3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1°. Покажем сначала, что L+ нильпотентна.
Поскольку Д — конечное множество, существует положительное
целое число N, такое, что

«х а2 -j- . . . -J- cty Д

для любой последовательности ах, ..., положительных корней.
Следовательно, в силу соотношений (2) многократный комму-
татор

[[• • •	^«2]’ £“31’	• • •>	~	+“л/

(4)

равен нулю. Таким образом, существует положительное целое
число N, такое, что последовательность идеалов (L+)(/;), k = О,
1, 2, ..., N, заданная при помощи (2.3), оканчивается идеалом
(L+)(W) = 0. Следовательно, L+ нильпотентна. Аналогично до-
казывается, что L~ нильпотентна.

2°. Ввиду соотношений (1) и (2) и коммутативности Н мы имеем

(L+ -В Я)(1) = [L+ -В Н, L+ -В Я] = L+.

Поскольку L+ нильпотентна, существует положительное целое-
число N, такое, что (L+ -В Я)<л?) = 0. Таким образом, L+ -В Н
разрешима в соответствии с определением 2.1. Аналогично пока-
зывается, что L' -В Н разрешима.

3°. Согласно теореме 4.1, можно записать

L =	+Т“.	(5>

а£ Д

Объединяя в (5) корневые подпространства La, соответствующие-
положительным и отрицательным корням, получаем

ос g Д+	а £ Д“

что дает равенство (3).

Разложение (3) комплексной полупростой алгебры Ли L
называется разложением Гаусса. В качестве иллюстрации найдем
явный вид разложения Гаусса для si (и, С).

ПРИМЕР 1. Пусть L = si (и, С). Подалгебра Картана Я натяги-
вается на базисные векторы Я,- = вц — el+i, t+1, i = 1, 2, ...
..., п — 1 (см. пример 4.1). На векторы esk, s, k = 1, 2, ..., и,
s k, натягиваются одномерные корневые подпространства L“s<
Равенство (1) в этом случае принимает вид

[Я^, es/L>] czs£ (Я,-) es£.

В примере 4.2 было показано, что корни ask при s < k положи-
тельны, а при s > k отрицательны. Следовательно, для si (п, С)
мы имеем

L+ = L + Га^, L- = Е +	(6)

s<fe	s>k

Векторы esk при s < k имеют неисчезающие матричные элементы
только над главной диагональю. Следовательно, L+ — ниль-
потентная подалгебра, состоящая из всех верхних треугольных
матриц. Аналогично L" — нильпотентная алгебра, состоящая из
всех нижних треугольных матриц. Таким образом, разложение
Гаусса (3) алгебры si (n, С) является не чем иным, как разложе-
нием произвольной бесследовой матрицы в прямую сумму верхней
треугольной, диагональной и нижней треугольной матриц.

Полезно расширить понятие разложения Гаусса также и на
неполупростые алгебры Ли. В общем случае мы говорим, что
алгебра Ли L допускает разложение Гаусса (3), если подалгебры
L+, Н и Г удовлетворяют условиям 1° и 2° теоремы 1. В частности,
для gl (и, С) разложение Гаусса имеет вид

gl(n, С) = L++ # + £-,	(7)

где L+ и L~ — нильпотентные подалгебры, заданные посредством
(6), а И — подалгебра всех диагональных комплексных матриц
порядка п.

Б. Разложение Картана

Разложение Картана полупростой вещественной алгебры Ли
L — это прямая сумма максимальной компактной подалгебры
и векторного пространства, натянутого на остальные некомпакт-
ные генераторы. Рассмотрим в качестве примера алгебру Ли
о (3, 1) группы Лоренца. Обозначая через Ki, i = 1, 2, 3, генера-
торы компактной подалгебры so (3), а через Nt, i = 1, 2, 3, гене-
раторы чисто лоренцевых преобразований, можно записать ком-
мутационные соотношения (1.23а) в виде

[Ко Kj] = ^ifiKi,

[Ki, N^s^Ni,	(8)

[Ni, Nfi = —eyiKi-

Если через К обозначить компактную подалгебру о (3), а через
N — векторное пространство, натянутое на генераторы N[t то
алгебру Ли L = о (3, 1) можно записать в виде

l = k-\-n.

Кроме того, коммутационные соотношения (8) означают, что

[К, К] с К, [К, АГ] с: N, [N, /V] с: К.

Аналогичные разложения существуют и для других известных
полупростых вещественных алгебр Ли, таких, как алгебра де Сит-
тера so (4, 1), конформная алгебра so (4, 2) и т. д. Это наблюдение
на самом деле является общим свойством.

ТЕОРЕМА 2 (Картан). Полупростая вещественная алгебра Ли L
обладает разложением вида

L = K + P,	(9)

удовлетворяющим

[К, К] а К, [К, Р]сР, [Р,Р]<=К,	(Ю)

и

(X, Х)<0 для Х + 0 в К,

(Y, К)>0 для Y =j=Q в Р.	)
Если условия (10) и (11) выполнены, то К — максимальная ком-
пактная подалгебра в L.

(Доказательство см. в [390], гл. III, § 7.)

Указанное в теореме 2 разложение полупростой вещественной
алгебры Ли называется разложением Картана.

Вид коммутационных соотношений, заданных согласно (10),
означает, что отображение

о(Х) = Х	для Х£К.	(12)

о (У) = —Y для У £ Р	(13)

является инволютивным автоморфизмом алгебры L (т. е. о2 = 1).
Обратно, для всякого инволютивного автоморфизма о веществен-
ной полупростой алгебры Ли в L существует базис, такой, что
формулы (12) и (13), а следовательно, и коммутационные соотно-
шения (10) имеют место. Это следует непосредственно из того
факта, что всякий инволютивный автоморфизм вещественной
полупростой алгебры Ли можно свести к диагональному виду
с элементами 4-1 или —1 на диагонали (см. доказательство тео-
ремы 5.4).

Векторные пространства К и Р ортогональны, так как

(.X, У) = (о(Х), о(У)) = —(X, У) для всякого Х£К и Y£P.

(14)

Следовательно, (X, У) = 0.

ПРИМЕР 2. Пусть L = si (и, /?). Рассмотрим подалгебру so (и),
натянутую на кососимметрические матрицы (1.14). Отображение

а: Х-->-Хт	(15)

удовлетворяет условию

о(Х) = Х при X^so(n) = K

и потому является допустимым кандидатом в качестве автомор-
физма о для разложения Картана. Векторное пространство Р
определено условием (13)

о(У) = —У=>У'Т = У,

т. е. Р — совокупность всех симметрических бесследовых матриц..
Поскольку коммутатор кососимметрической и симметрической
матриц есть симметрическая матрица, а коммутатор двух сим-
метрических матриц — антисимметрическая матрица, коммута-
ционные соотношения (10) выполняются. Форма Киллинга для-
si (п, Р) была задана равенством (2.15), т. е.

(X, У) = 2«Тг(ХУ).

Кососимметрическая матрица, будучи приведена к диагональному
виду, имеет лишь чисто мнимые неисчезающие диагональные
элементы. Следовательно, если D обозначает матрицу, которая
диагонализует заданную кососимметрическую матрицу, то

(X, X) = 2п Tr (DXD~lDXD~l) < 0.

Аналогично проверяется, что если Y — симметрическая матрица,
то (Y, Y) > 0. По этой причине условия (11) также выполняются.
Следовательно, so (и) является максимальной компактной под-
алгеброй в si (п, R). Поэтому разложение Картана L = К + Р
в данном случае есть как раз известное разложение матрицы на ее
кососимметрическую и бесследовую симметрическую части.

Разложение Картана принимает особенно простой вид для
вещественной алгебры Ли LR, ассоциированной с комплексной
простой алгеброй Ли L. Именно если U — компактная форма ал-
гебры L (которая в силу теоремы 5.2 всегда существует), то

LR = U-[-iU

(16)

является разложением Картана алгебры LR. В самом деле, оче-
видно, что коммутационные соотношения (10) выполняются.
Можно показать, что условия (11) также выполняются. Пусть
(. , ,)R и (. , .) — формы Киллинга на LR и L соответственно.
Согласно лемме 2.4, имеем

(X, У/)«==2Ре(Х, У), X, Y£LR.

Поскольку форма Киллинга (. , .) отрицательно определена на
U X U и положительно определена на iU X iU, то отсюда сле-
дуют условия (11) теоремы 2. Таким образом, разложение (16)
является разложением Картана алгебры LR.

В. Разложение Ивасавы

Третий тип разложения полупростой вещественной алгебры Ли
основан на разложении Картана и на разложении комплексной
полупростой алгебры на ее корневые подпространства.

Пусть L = К + Р — разложение Картана полупростой ве-
щественной алгебры L, и пусть Lc— комплексное расширение L.
Пусть о и т — сопряжения алгебры Lc по отношению к L и
V = К + 1Р соответственно, т. е.

о: X + iK >X-iY, X, Y £L,
т: X + iK— X-iY, X, Y£U.

(17)

В силу (1.25) ясно, что преобразование 0 = от является автомор-
физмом в Lc.

Пусть а — корень алгебры Lc. Линейная функция ае (X) =
= а (0Х) на подалгебре Картана Н также является корнем, так
как если

La = {Y£L: [X, Y] — a(X)Y для всех Х£Н}
является корневым подпространством в Lc, соответствующим
корню а, то L“e = О1//7- — корневое подпространство в Lc, соот-
ветствующее а0. Пусть теперь

Вл — {а: а^Д+, а -/ а(’}; N = У 4- La,

S0 = Hp4-N0, Hp — Hl[\P,

(18)

где HL — максимальная абелева подалгебра в L. Тогда имеет
место

ТЕОРЕМА 3. Пространства NtU No являются нильпотентными
алгебрами Ли, So — разрешимая алгебра Ли и

L = K@HP@N0.	(19)

(Доказательство см. в [390], гл. VII, §3.)

Разложение (19) вещественной полупростой алгебры Ли L
называется разложением Ивасавы.

Пример 3. Рассмотрим L = si (п, /?). Найдем прежде всего
вид нильпотентных алгебр N и No. Из примера 1 имеем, что мно-
жество Д+ положительных корней алгебры Lc = si (п, С) состоит
из

«ZA = -4г (?н — М> i <

где, согласно (4.5),

«м(Х) = /,• - К для НЭХ = У Vss. L^s = 0-
s=l	s—1

Воспользовавшись (17), убеждаемся, что

о (X) = У VS5, т (X) = У — IsebS.

оначит,	6(X) = ot(X) = —X.
Следовательно,	а%(Х) = ^-Х,^а/й(Х).

Это означает, что В+ = Д+. Поэтому нильпотентная алгебра N
имеет вид

X = У 4~Д == S 4~ ((eife))c>
а1й€д+	i<k

где ((eik))c — одномерные комплексные лучи. Алгебра si (п, /?)
натягивается на генераторы eik, i k, i, k = 1, 2, ..., п, и на
генераторы подалгебры Картана HL =	— ez+], /+!, i

= 1, 2, n — 1}. Поэтому

7V0 = Ln^=L +(№,

i<k

где (Ы)« — одномерные вещественные лучи. Эта алгебра со-
стоит из всех верхних вещественных треугольных матриц с нулями
на диагонали. Из примера 2 векторное пространство Р состоит из
всех симметрических матриц с нулевым следом. Поскольку все
элементы из HL — симметрические матрицы, мы имеем НР =
= HL П Р = HL. Следовательно, разрешимая алгебра So есть

= НР	((е^))^,

1</г

т. е. состоит из всех верхних треугольных вещественных матриц
с нулевым следом.

Разложение Ивасавы (19) для si (п, R) — это не что иное, как
разложение произвольной вещественной бесследовой матрицы
в сумму кососимметрической, бесследовой диагональной и верхней
вещественной треугольной матрицы, у которой нули на диаго-
нали.

§ 7.	Приложение. Об объединении алгебры Пуанкаре
и алгебр внутренней симметрии

В физике сильно взаимодействующих частиц, по-видимому,
эмпирическим является тот факт, что эти частицы и резонансы
можно сгруппировать в мультиплеты, соответствующие непри-
водимым представлениям некоторых так называемых алгебр Ли
внутренней симметрии, наподобие мультиплетов алгебры изо-
спина su (2) или мультиплетов алгебры su (3). Частицы из фикси-
рованного мультиплета обладают одинаковой четностью и спином,
но могут иметь различные массы х). Таким образом, алгебра
наиболее общей симметрии не может быть прямой суммой Р (+) S'
двух идеалов, алгебры Пуанкаре Р и алгебры S внутренней сим-
метрии, поскольку в противном случае все массы внутри мульти-
плета должны были бы совпадать. Естественно поэтому задаться,
вопросом, существует ли более широкая алгебра L, содержащая
Р и S в качестве подалгебр таким образом, что хотя бы один из
генераторов S не коммутирует с Р, так что оператор квадрата
массы РцРц уже не является инвариантом большей алгебры..
Поскольку собственные значения базисных элементов Н, под-
алгебры Картана Н алгебры S используются для обозначения

’) Это утверждение сейчас уже не точно. Понятие мультиплета теперь пони-
мается более широко, так что дальнейшее надо воспринимать как пример, а не-
как безусловное требование. Об этом см. в предисловии редактора. — Прим. ред._
состояний в мультиплетах, а эти так называемые квантовые числа
(подобно гиперзаряду или третьей проекции изоспина) являются
Пуанкаре-инварнантными, то естественно потребовать, чтобы Н
коммутировала с Р. Здесь мы показываем, что существуют жесткие
ограничения на вид таких объединенных алгебр Ли.

Теорема 1. Пусть L— алгебра Ли, натянутая на базисные
элементы алгебры Пуанкаре Р и на базисные элементы полупростой,
подалгебры Ли S. Если Н — подалгебра Картана в S и

[Р, /71=0,	(1)

то L является прямой суммой идеалов'.

L — P@S.	(2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Хр, р = 1, 2, ..., 10, обозначают базис-
ные элементы алгебры Пуанкаре, удовлетворяющие коммута-
ционным соотношениям

[Хр, Хо] = сроАт,	(3)

и пусть Н, и Еа — базисные элементы в S, удовлетворяющие кано-
ническим коммутационным соотношениям Вейля (4.13). Произ-
вольный коммутатор [£а, Хр] может быть записан в виде

[Д. Хр] = Л'ар£р -ф- УарНj -ф- ZapXx,	(4)

где л'ар, уар и ^ар — коэффициенты разложения алгебры L по
базису £р, Hj, Хт. Тождество Якоби

Ц£а, Хр], /7;] + ][Хр, /7г], Еа] + [[/7ь Еа], Хр] = 0	(5)

в силу равенств (1), (3), (4) и (4.13) принимает вид

L (4РВ Ш ~	(//<)) Ер - S уЬРа (//<) Hj -

/

-Z Йра(/7()Хх=0.	(6)

т

Для всякого корня а, а (//,) =/= 0 по крайней мере для одного
базисного элемента Hh а а (//,-) =/= р (Н{) по крайней мере для
одного базисного элемента Ht при a =f= Р; следовательно,

Уар — о, гкр = 0	(7)

и

х«р = $а*ар (суммирование отсутствует).	(8)

Тогда тождество Якоби

ПХр, Хр], Еа\ + []ХО, Еа], Хр] + ]]Еа, Хр], Хо] = 0	(9)

дает равенство

£ брохах/?а — хаохарЕа хархааЕа = — срахахЕа = 0. (Ю)
т	т
Коммутационные соотношения (1.23) для Р означают, что для каж-
дого т можно выбрать р и о таким способом, что СрО = 0 и СрО = О
при т т'. Таким образом, Хар = 0 в соответствии с равенством
(10). В свою очередь это подразумевает, что [Еа, ХР1 = 0 в силу
равенств (7), (8) и (4). Следовательно, L является прямой суммой
Р © S двух идеалов.

Структурная теорема 3.2 подразумевает следующее обобщение
теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Пусть L —алгебра Ли, натянутая на базисные
элементы алгебры Пуанкаре Р и на базисные элементы произ-
вольной компактной алгебры Ли К. Пусть С — максимальная
коммутативная подалгебра в К. Если

]Р,С] = Ъ,	(11)

то L является прямой суммой идеалов:

L — P@K.	(12)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 3.2, компактная алгебра Ли
является суммой идеалов N © S, где N — центр в К, a S полу-
проста. Ясно, что IP, АН = 0 ввиду (И). Пусть Н — подалгебра
Картана в S. Так как S полупроста, а [Р, П] = 0, то теорема 1
означает, что [Р, S1 = 0. Значит, L = Р © N © 5 = Р©К —
прямая сумма идеалов.

Эти результаты не исключают в принципе возможности вложе-
ния части алгебры Пуанкаре и других алгебр Ли симметрии в не-
которые более широкие алгебры симметрии. Мы вернемся к этим
вопросам в гл. 21, §3.

§ 8.	Контракция алгебр Ли

Пусть L — алгебра Ли. Контрастированную алгебру Ли L'
алгебры L можно абстрактно ввести следующим образом (впослед-
ствии мы покажем, что эта операция имеет физическое обоснова-
ние, когда определенные физические параметры стремятся к нулю
или к бесконечности). Пусть Хг, ..., Хг— базис в L. Для под-
множества А\, ..., Хр, per, базисных элементов определим

Yi = T-^Xt, i = 1, 2, . . ., р < r,	(1)

и выразим через Yt коммутационные соотношения:

[П, Уу] = C^Yk + H^cTjXm,

[У», Хт\ = ckimYk + с^Хп,	(2)

[Хт, Хп] — cmnXYi стпХSt

i, j, k ср, p < m, n, s c r.
Устремим теперь Х->-оо и выясним, когда элементы

Ylt • • Yp, Хр+1, Хг

снова образуют алгебру Ли, именно контрактированную алгебру
Ли L'p. Это имеет место, когда выполняется условие

стп = °> ‘ < р> р < т> п < Т-	(3)

Ясно, что если р = г, то L'r есть абелева алгебра Ли

[Уг, У,] = 0, I, /=1, .... г.

Имеется много важных и интересных нетривиальных случаев,
когда р О-

ПРИМЕР 1. Контракция алгебр де Ситтера о (3, 2) и о (4, 1)
в алгебру Ли группы Пуанкаре.

Алгебры Ли де Ситтера имеют базисные элементы Маь =
= —МЬа, a, b = 1, 2, ..., 5, удовлетворяющие

[Mab, Mcd\ = — IgbeM^ - gacMbd + gadMbc - gbdMaC), (4)
где

gab-------1-+ для 0(3, 2),

gab-------1 ДЛЯ 0(4, 1).

Пусть теперь Л45р = РРр, и пусть 7? -> оо. Тогда (ц, v, р = 1, 2,
3, 4)

17эц, Pv] —	1^5ц, Al5v] = —Rzgsb Aljiv 4),

[A4pv, Лр] = |^7VlPv, AlgpJ = R-(gppMvr> gvp^tii))^

~ gvpPp gpp^V	(5)

Определяя теперь генераторы 7Wpv = —7MMV, получаем для Mpv
и Pa коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре (см. соот-
ношения (1-23)).

Пример 2. Контракция алгебры Ли Пуанкаре в алгебру Ли
группы Галилея.

Эта задача имеет одно абстрактное математическое решение,
другое, отличное от первого, — физическое, как будет видно
в гл. 13. С целью формального решения рассмотрим элементы
алгебры Ли Пуанкаре Рр, с коммутационными соотношени-
ями, заданными согласно (1.23). Пусть

Mul = cKi, с—^оо.
Тогда

[Mt/, Kk] = 4"= V- SikMOl) = g,kKi - gikKj,
[Kh кд=4 [7Wo«. лзд=4 мч - °>	w

[Ki, —

Элементы Mir Klt Pit Po образуют базис алгебры Ли группы
Галилея.

Относительно упомянутой физической мотивировки и значения
процедуры контракции мы отсылаем читателя к гл. 13.

§ 9. Комментарии и дополнения

А. Следующая диаграмма иллюстрирует соотношения между
различными типами алгебр Ли:

Комплексная
полупросгпая
алгебра S

Общая
алгебра
Ли L

Разрешимый ~
максимальный
радикал N

Нильпотентные
алгебры

Абелевы
алгебры

Б. На фиг. 1 и 2 изображено множество всех вещественных
простых алгебр Ли, соответствующих классическим простым ком-
плексным алгебрам Ли (полученное обоими методами А и Б из
§ 5).

В. Первые существенные, хотя и неполные, результаты, каса-
ющиеся классификации комплексных простых алгебр Ли, были
получены Киллингом в [453]. Теория Киллинга была завершена
и расширена Картаном в его диссертации [158]. Он ввел корни
как нули характеристического полинома det [X/ — adX]. Впо-
следствии Вейль [839, 841] и Ван-дер-Варден [823] значительно
упростили теорию, используя подалгебру Картана в качестве
основного инструмента в задаче о классификации. Здесь мы сле-
дуем изящному методу, разработанному Дынкиным в [237 ].
Задача классификации вещественных простых алгебр Ли была
также решена Картаном [159]. Здесь мы следовали алгебраиче-
скому выводу Гантмахера [295, 2961.

Превосходное удобочитаемое изложение теории полупростых
алгебр Ли дано в монографии Хауснера и Шварца [385].

so(Zn +/)

so(p,q), p+q=Zn+l,p>^q
so(Zn + l,C)R

Bn~so(2n-el,C)

Фиг. 1.

C„~sp(n,C)

spin}

sp(p,q), p^q=n,pi-q

sp[n, R}

sp(n,C)R

Фиг. 2.

Г. Матричная реализация классических алгебр Ли А„, Вп,
Сп и Dn относительно проста; в самом деле, она дается при помощи
алгебры п х n-матриц, удовлетворяющих условиям косоэрмито-
вости, симметричности и бесследности (§ 5). Конкретная реализа-
ция исключительных алгебр Ли является несколько более слож-
ной; в общих чертах они имеют следующую структуру:

 S 4- V-i-V',

где S — простая комплексная алгебра Ли, V — комплексное
векторное пространство, а V — сопряженное ему пространство.
Связь между различными слагаемыми в L дают соотношения

[S, ИсК [S, V']cV’, [V, V]<=V, [V', V']czV. (9)
Например, для L = б2 имеем S = si (3, С) и V = С3 (более по-
дробно см. в [385], гл. II.4 и гл. III).

Д. Теорема 7.1 об алгебрах пространственно-временных и вну-
тренних симметрий была впервые доказана Макглинном [585],
следовавшим предложениям объединить эти две алгебры, а в об-
щем виде, представленном здесь, — Коестером, Хамермешем и
Макглинном [190]. Смотри также обзор Хегерфельдта и Хен-
нига [386], где имеется обширная библиография.

Е. Понятие групповых контракций и их представлений впер-
вые было введено Иноню и Вигнером в [426].

§ 10.	Упражнения

§ 1.1.	Покажите, что векторное произведение а X b, а, b £
£ Rs, удовлетворяет аксиомам алгебры Ли.

§ 1.2.	Покажите, что скобки Пуассона классической механики

п

fe=l

где R2n — фазовое пространство, определяют алгебру Ли. То же
покажите для скобок Якоби векторнозначных функций [f, g] =
= gyf — fyg-

§ 1.3.	Централизатор С алгебры Ли L состоит из всех элемен-
тов С, таких, что [С, X1 =0 для всех X £ L. Покажите, что С —
подалгебра.

§ 1.4.	Найдите Lc, (LC)R и ((LC)R)C для алгебры Ли L = so (3, 1)
Лоренца.

§ 1.5.	Найдите все алгебры Ли, базисные элементы которых
являются полиномами от Q = х и Р = —id/dx.

§ 1.6.	Найдите трехмерное матричное представление ниль-
потентной алгебры Гейзенберга [Р, Q1 = —И (см. теорему 2.2).

§ 1.7.	Найдите дифференциальные операторы второго порядка,
которые вместе с гамильтонианом

ы — JL Р2 । XL о2
“ 2т 2 4

образуют алгебру Ли su (1, 1), где Q = х, Р = —id/dx.

§ 1.8.	Пусть L — любая неассоциативная конечномерная ал-
гебра с законом умножения ху £ L, х £ L, у £ L, и пусть D —
дифференцирование алгебры L. Покажите, что
удовлетворяет

и

№) == ^Х)(чуУ)

ф/ 1х, у] = [фД, ф/^1 •

Указание: воспользоваться правилом Лейбница

п

D-^Ш - 2 (л Л)	.

i=0

§ 1.9.	Пусть L — алгебра Ли с базисными элементами Хъ ...
..., Хг. Пусть L' — векторное пространство, натянутое на Хъ ...
..., Хг и на новый элемент Y. Для того чтобы L' было алгеброй Ли
(расширением L), должны существовать некоторые ограничения
t t	k

на коэффициенты в уравнении

[У, Х,] = а?ХА.

Покажите, что существует тривиальное расширение L' = L @
© {У} (несобственное расширение), и определите собственное
нетривиальное расширение.

§ 1.10.	Пусть И — гамильтониан физической системы в гиль-
бертовом пространстве Ж, и пусть ,54-— множество всех линейных
операторов в Ж, коммутирующих с Н. Покажите, что — ал-
гебра Ли (вообще говоря, бесконечномерная алгебра Ли).

§ 1.11.	Покажите, что алгеброй дифференцирований алгебры
Ли (1.23) группы Пуанкаре является 11-параметрическая ал-
гебра Вейля, состоящая из алгебры Ли Пуанкаре и генератора D
дилатаций с

1Г>,	=	[Р, 4vl = o.

§2.1.	Проклассифицируйте все алгебры Ли размерности 2 и 3
(имеются две алгебры Ли размерности 2, одна абелева и одна
разрешимая, заданные при помощи [еъ е2] = ег. Алгебрами Ли
размерности 3 являются: а) абелева; б) нильпотентная lelt е2] =
= 0, [е2, es] = еъ [е3, еД = 0; в) [еь еД =- еь [еъ е3] = 0,
[е2, ез 1 = г) класс разрешимых алгебр [е1, е2] =0, [еь е3] =
= ае± + 0е2, [е2, е3] = 0^ + бе2, ар — 0у 0 (включает евкли-
довы алгебры е (3) и е (2, 1)); д) две простые алгебры so (3)
и so (2, 1).)
Более конкретно, записывая [е,, в; 1 = fk (i, j, k — цикли-
ческие), имеем

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
fl	0	0	ei	e2	ei	ei	ei	ei	C1
ft	0	0	0	—ei	e2	—«2	ei + №	e2	—r2
fs	0	ei	0	0	0	0	0	es	e3

§ 2.2.	Покажите, что следующая алгебра Ли нильпотентна:
[1,2] = 5, [1,31 = 6, [1,41 = 7, [1,5] = —8, [2,31 = 8,
[2,4] = 6, [2,6] = —7, [3,41 = —5, [3,5] = —7, [4,6] =
= —8, все остальные коммутаторы равны нулю.

§ 2.3.	Покажите, что любая четырехмерная нильпотентная
алгебра имеет трехмерный идеал.

§ 2.4.	Найдите все разрешимые подалгебры алгебр Ли
а) группы Лоренца и б) группы Пуанкаре.

§ 2.5.	Вычислите форму Киллинга для группы Пуанкаре.

§ 2.6.	Коммутационными соотношениями алгебры Ли so (р, q)
являются

[Lab, Lcdl = Sbc^-ad ' gad^bc SaJ^bd Ь gbd^ac^

где go,, — метрический тензор. Покажите, что метрический тензор
Картана

gab, а0 — (Cab)crf (Сар)с/

имеет простой вид

gab. ар = Const	- gaKgbf)-

§ 2.7.	Пусть ф (х) — нерелятивистское квантовое поле, удо-
влетворяющее при фиксированном t каноническим коммутацион-
ным соотношениям

1Ф(*), ф* (у)] = i6(3)(x - у),

1ф(лг), Ф (У)1 = [ф* (х), ф*(у)] = О.

Определим ток

Jk(x) = ^-ф*(лг)^ф(лг).

Покажите, что

[4(X), Jz(y)] = — i -Д-[4(а:)6<3) (х - у)] |

дх1

+ i ~klJdy)^3)(x- у)].
Является ли {Jk (х)} алгеброй Ли?

§2.8.	Положите в предыдущей задаче

Jk(n) = J Jk(x)e~in Xd3x.

—л

Покажите, что

[Jk (п), Jz (w)] = mtJk (т + п) — ntiJt (m ф- ri).

Найдите конечномерную подалгебру этой алгебры.

§ 2.9.	Пусть р (х) = ар* (л) ар (х) — плотность заряда из пре-
дыдущих задач. Покажите, что

1р(*), р(у)] = о
и

[р (•*). 4 (у)1 = j ~^k б<3) (* - У) Р (У)-

Покажите, что р (х) и Jk (х) образуют конечномерную алгебру Ли.

§ 3.1.	Проклассифицируйте все десятимерные алгебры Ли,
которые содержат четырехмерную абелеву алгебру (т. е. класси-
фикация всех пространственно-временных групп).

Указание: воспользуйтесь теоремой Леви — Мальцева.

§ 4.1.	Определите форму Картана — Вейля (см. теорему 4.3)
алгебр Ли su (3), su (2, 2), о (р, q).

§ 4.2.	Вещественная алгебра Ли so (4, 2) размерности 15 задана
следующими коммутационными соотношениями базисных эле-
ментов:

и Рц в точности те же, что и в (1.23):

[D, MMV] = 0,

[D, ^1 = -^,

= ёц^-^V '

[Kv, PtA = -2(gllvD~Mllv),

[D,

/Q = 0.

Покажите, что, хотя максимальная коммутативная подалгебра
четырехмерна, подалгебра Картана имеет размерность 3.

§ 4.3.	Рассмотрите отражение Sa в /-мерном корневом про-
странстве плоскостью, перпендикулярной к корню а. Покажите,
что отраженный корень

r г (аа)

также является корнем, и 2асс — —а (отражение Вейля).

§6.1. Найдите разложение Ивасавы для алгебры Ли Ло-
ренца so (3, 1).
Глава 2

Топологические группы

§ 1.	Топологические пространства

В этом параграфе мы даем описание основных свойств топологи-
ческих пространств, таких, как сходимость последовательности,
непрерывность отображений, компактность, связность и т. п.
Мы даем также соответствующие понятия для метрических про-
странств, которые являются более интуитивными.

Обозначения. Объединение Л (J В двух множеств А к В — это
множество всех точек, принадлежащих А или В, т. е.

A (J В = (х: х £ А или х £ В},

а пересечение А ("] В — это

А П В -= {х: х Е А и х Е В\.

Множества A it В называются непересекающимися, если A f|
П В = 0, где 0 — пустое множество.

А.	Топологические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Мы говорим, что пара {X, т), где X — произ-
вольное множество, ат — набор подмножеств тг с X, является
топологическим пространством, если т удовлетворяет следующим
условиям:

1° 0 Е т, X Е т.

2° Если UL Е р и U2 С т> т0	П Е2 Е т-

3° Если Us Е т Для всякого s	S, где S — множество произ-

вольного индекса, то (J Us Е г-

s£S

Каждое подмножество U cz X, принадлежащее набору т,
называется открытым множеством, а набор т — топологией
в множестве X. Будем пользоваться также выражениями: т опре-
деляет топологию на Х\ X снабжено топологией т. Из свойства 2°
следует, что пересечение произвольного конечного числа откры-
тых множеств является открытым множеством.

Окрестность элемента х (z X ~ это произвольное множество,
содержащее открытую окрестность (т. е. открытое множество,
которое содержит х).
Ясно, что множество, имеющее более чем один элемент, может
быть снабжено различными топологиями (см. упражнение 1).

Пример 1. Пусть X — произвольное множество, а т — семей-
ство всех его подмножеств. Ясно, что (X, т} является топологи-
ческим пространством; говорят, что X имеет дискретную топо-
логию, а [X, т| —дискретное (топологическое) пространство.
Если т состоит из X и пустого подмножества 0, то полученная
в результате топология называется тривиальной топологией
на X.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим вещественную прямую R и семейство т
всех множеств U a R, подчиняющихся условию: для каждого
х £ U существует е > 0, такое, что интервал (х — е, х + е) с
с U. Семейство т удовлетворяет условиям 1°, 2° и 3° определения 1
для открытых множеств и генерирует так называемую естествен-
ную топологию вещественной прямой. Семейство т состоит из всех
открытых интервалов с рациональными конечными точками, их
конечных пересечений и произвольных объединений.

Векторное пространство X над полем К с топологией т на X
называется топологическим векторным пространством, если отоб-
ражения (х, у) -> х + у пространства X х X в X и (%, х)
из К X X в X непрерывны в топологии т.

Б. Сходимость и непрерывность

Обычные определения сходящейся последовательности и не-
прерывной функции на языке открытых множеств формулируются
следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. 1°. Последовательность {х„}, хп С X, сходится
к пределу х С X, если для всякого открытого множества U, со-
держащего х, существует число N, такое, что для п > N хп С U•

2°. Отображение/: X -> Y топологического пространства jX, т}
в топологическое пространство {У, т'} непрерывно, если для каж-
дого открытого в Y множества £7 £ т' прообраз /-1 (17) открыт в X
(подобным образом определяется непрерывность в точке х С X).

Непрерывное взаимно однозначное преобразование X на Y
называется гомеоморфизмом х) (а также топологическим отобра-
жением), если f~l непрерывно. Другими словами, X и Y гомео-
морфны, если каждое открытое множество в X имеет своим обра-
зом, открытое множество в У и каждое открытое множество в Y
является образом открытого множества в X.

т) Не следует смешивать это понятие с алгебраическим понятием гомомор-
физма.
ПРИМЕР 3. Отображение [0, 1) } х у = exp (2nix) непре-
рывно и взаимно однозначно, но не является гомеоморфизмом,
поскольку обратное преобразование не является непрерывным
(другой пример см. в упражнении 1.5).

В.	Метрические пространства

Покажем теперь, что общие определения 2.1° и 2.2° непрерыв-
ности и сходимости совпадают с обычными определениями, когда
X — метрическое пространство. В этом случае понятие рассто-
яния позволяет дать точную формулировку «близости».

Метрическим пространством (X, d) называется множество X,
на котором определена вещественная двухточечная функция
d (, ) (которую называют расстоянием между двумя точками),
удовлетворяющая условиям

1° d (х, у) О,

2° d (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х у,

3° d (х, у) = d (у, х),

4° d (х, у) < d (х, z) | d (z, у) для всех х, у, z из X.

ПРИМЕР 4. 1° Двухточечная функция

d (*. у) = (LI м- - у, 12)1/2
\i=i

на п-мерном евклидовом пространстве Rn и
2° функция

d (х, у) = || х — у || = [(л- — у, х — г/)]’/2

(2)

(3)

на гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением
(-,-) определяют метрику в конечномерном и бесконечномерном
пространствах соответственно. (Другие примеры см. в упраж-
нении 1.2.)

Мы говорим, что на пространстве определена метрика', на одном
и том же множестве могут быть определены различные метрики.

Пусть х £ (X, d), и пусть г — положительное число. Множе-
ства

S(x, г) -= \у С X: d(x, у)<г},
S(x, г) = {г/ € X: d(x, у) < г}

(4)

(5)

называются открытым и замкнутым шарами радиуса г с центром
х 1(4) называют также г-окрестностью\.

Определение з. Говорят, что множество Vcz X метрического
пространства (X, d) открыто, если оно представляет собой объеди-
нение открытых шаров.
В частности, каждый шар является открытым множеством;
легко проверить, что набор т всех открытых множеств в метри-
ческом пространстве (X, d) удовлетворяет всем аксиомам опреде-
ления 1 и, следовательно, определяет топологию в X.

Если хп -> х, согласно определению 2.1°, то для каждого
открытого шара S (х, е) имеем d (хп, х) < е при п N. Значит,
согласно признаку сходимости Коши, lim хп = х. Обратно, если
хп х в смысле Коши, то для каждого открытого шара S (х, е)
существует N, такое, что при /г > TV х„ 5 (х, е); согласно опре-
делению 3, этот факт справедлив также для любого открытого
множества V в (X, d), содержащего х. Следовательно, для метри-
ческих пространств определение 2.1° и обычное определение схо-
димости по Коши совпадают.

Очевидно также, что определение 2.2° непрерывности в тополо-
гическом пространстве (X, т) совпадает с обычным определением
Коши, если X — метрическое пространство, ат — топология,
заданная метрикой d.

Таким образом, определения 2.1° и 2.2° сходимости и непре-
рывности являются прямым обобщением на произвольные топо-
логические пространства обычных определений Коши для метри-
ческих пространств. Фактически понятия окрестностей, сходи-
мости и непрерывности необходимо избавить от более узкого поня-
тия расстояния.

Пример 5. Пусть И — гильбертово пространство, и пусть фор-
мула (3) задает расстояние в Н. Пусть т — набор открытых мно-
жеств, порождаемых шарами (4) согласно определению 3. Полу-
чаемая таким образом топология называется сильной топологией,
а соответствующая сходимость — сильной сходимостью.

Пусть т — набор всех открытых множеств, которые являются
объединениями «слабо» открытых сфер вида

S^(x) = \и С Н-. I (gk, и — х)| < е, k = 1, 2, ..., т\ (6)
для всех возможных выборов положительного числа е, положи-
тельного целого числа т и векторов glt ..., gm.

Получаемая таким образом топология называется слабой то-
пологией в Н, а соответствующая сходимость — слабой сходи-
мостью.

Заметим, что последовательность ип слабо сходится к нулю,
если | (g, ин) | -> 0 для всех векторов g из //; в частности, последо-
вательность ип = еп, где еп — базисные векторы в Н, слабо схо-
дится к нулю, хотя она не сходится сильно.

Понятие слабой и сильной сходимостей в гильбертовом про-
странстве играет важную роль в теории представлений групп.

Хотя определения 2 сходимости последовательности и непрерыв-
ного отображения имеют силу для произвольных топологических
пространств, они не являются в достаточной степени ограничива-
ющими в каждом топологическом пространстве {X, т}. Например,
в дискретном пространстве X каждая функция f: X -> Й, где
Y — произвольное топологическое пространство, непрерывна,
а в тривиальной топологии т = {0, X) всякая последователь-
ность , х„ £ X, сходится к каждой точке х £ X.

Для того чтобы единственным образом определять предельную
точку сходящейся последовательности, вводится аксиома отдели-
мости (называемая также аксиомой отделимости Хаусдорфа).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Топологическое пространство называется хаус-
дорфовым пространством (или Т^-пространством), если для
каждой пары различных точек хх и х2 существуют окрестности Ь\
и Uтакие, что хх £ [Д, х2 С 0/2 и t7x П П2 = 0.

Дискретные пространства и вещественная прямая с естествен-
ной топологией являются хаусдорфовыми пространствами. Однако
вещественная прямая R с топологией т = [0, Д} не является
хаусдорфовым пространством.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. в хаусдорфовых пространствах всякая сходя-
щаяся последовательность имеет единственный предел.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть хп^-хг и хп -^-х2. Предположим, что
хх =/= х2. Из аксиомы отделимости следует, что существуют окре-
стности t/x точки хх и U2 точки х2, такие, что t/x П П2 = 0. Из
определения 2.1° сходящейся последовательности следует, что
существует целое число N, такое, что при r.>N хп£ иг. По-
этому хп U2 при п > N и, следовательно, хЛ -+-» х2. Таким
образом, хх = х2.

Дополнением А' множества А а X является множество

А' = Х\Л = (х: х £ X и х А}.

Множество А называется замкнутым в X, если его дополнение
А' = Х\Д

открыто.

Из определения замкнутого множества и топологии т непосред-
ственно следует, что во всяком топологическом пространстве
пустое множество и все пространство являются одновременно
и замкнутыми и открытыми. В дискретной топологии всякое под-
множество как открыто, так и замкнуто.

Замечание. В определениях 2.1° и 2.2° можно было использовать
замкнутые множества вместо открытых с соответствующими изме-
нениями.

Замыкание А множества А с X — это пересечение всех за-
мкнутых множеств, содержащих А, т. е. наименьшее замкнутое
множество, содержащее А.
Множество А сХ называется плотным в X, если А = X.
Простым примером плотного множества является множество всех
рациональных чисел в R.

Топологическое пространство X сепарабельно, если существует
счетное множество А а X, плотное в X.

Пример 6. Пусть X — гильбертово пространство, снабженное
слабой или сильной топологией, и пусть {е„}°° — счетный базис
{со	1

S ckek I > гДе ck раци-
k=\ J

со

ональныи У, |с*|2<С°°, плотна в X, то X сепарабельно.

k=A

Г. Индуцированная топология, топология произведений
и фактор-топология

Пусть X — топологическое пространство, S — его подмно-
жество. Рассмотрим в 5 набор ts множеств вида S ("] V, где U —
открытое подмножество в X. Пара (S, rs) удовлетворяет условиям
1°, 2° и 3° определения 1. Действительно, условие Г удовлетво-
ряется, поскольку 0 = S Q 0 и 5 == S ("] X. Воспользовавшись
соотношени ями

(Snt/1)n(Snt/2) = Sn(^nt/2),

U (S fW = S П и Uk,
k£K	k(!K

сразу видим, что условия 2° и 3° определения 1 также выпол-
няются. Таким образом, если рассматривать is как набор откры-
тых множеств в 5, то множество 5 превращается в топологическое
пространство (5, ts).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Топологическое пространство (S,ts) называют
подпространством пространства {X, т}, а топологию ts называют
топологией, индуцированной топологией в X, или относительной
топологией.

Пусть {Хъ Xj} и {Х2, т2} — два топологических простран-
ства, и пусть

X = Хг х Х2 = {xj, х2: Ад £ Хг и х2 £ Х2}	(7)

— декартово произведение пространств Х2 и Х2. Топологию произ-
ведения х на X определяем, выбирая в качестве базы для тополо-
гии т класс всех множеств вида V X U, где V £ тх и U £ т2.
Очевидно, что таким же образом можно определить топологию
произведения для любого конечного числа топологических про-
странств. В частности, топология на R1 (или С1) определяет топо-
логию произведения на R'1 (или С").
Пусть {X, тД — топологическое пространство с топологией
тх, и пусть f — функция на X с областью значений Y. Обратная
функция f~l из Y в X, определенная для у £ Y формулой Д1 (у) =
= \х С X: f (х) = у\, имеет свойства:

^(У £Л)== О ЛЖ), U[CzY,
г1 (о ^) = yrw

Значит, семейство Ту всех множеств U с Y, для которых Д1 (U)
открыто в X, является топологией на пространстве Y. Топология ту
является наибольшей топологией для Y со свойством непрерыв-
ности функции f. Топология Ту называется фактор-топологией
для Y (фактор-топологией относительно f и относительно тополо-
гии тх пространства X).

Пусть (X, тх) — фиксированное топологическое векторное
пространство, a R — отношение эквивалентности на X. Пусть
л — естественная проекция X на семейство Х/Д классов эквива-
лентности. Семейство Х/R с фактор-топологией xx/R (относи-
тельно отображения л и топологии хх на X) является фактор-
пространством.

Если U cz Х/R, то л/1 (U) =□{«:«€ И}. Поэтому U
открыто (замкнуто) относительно фактор-топологии тХ/« тогда
и только тогда, когда (J [и: и £ U] открыто (соответственно
замкнуто) в X.

Д. Компактность

Понятие компактности или локальной компактности группы
играет существенную роль в теории представлений. Это понятие
является чисто топологическим и может быть определено только
при помощи открытых множеств. Однако поучительно определить
это понятие сначала для метрических пространств на языке после-
довательностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Говорят, что метрическое пространство'X ком-
пактно, если из всякой последовательности точек ръ р2, ... из X
можно выделить сходящуюся к точке р £ X подпоследователь-
ность, т. е. существует последовательность индексов

<' k2 <_   

и точка р £ X, такие, что

Пример 7. Пусть X — замкнутый интервал а < х < b, а, b <
< оо. Классическая теорема Больцано — Вейерштрасса утвер-
ждает, что из каждой ограниченной бесконечной последователь-
ности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Следовательно, X компактно.

С помощью теоремы Больцано — Вейерштрасса и понятия коор-
динат легко доказать, что подмножество Y с Rn компактно тогда
и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено (это является
содержанием классической теоремы Бореля — Лебега, известной
также как теорема Хейне — Бореля).

Чтобы дать определение компактности в произвольном тополо-
гическом пространстве, выразим сначала компактность метри-
ческого пространства на языке открытых множеств. Действи-
тельно, имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2 (теорема Бореля — Лебега). Всякий набор откры-
тых множеств, объединение которых покрывает компактное
метрическое пространство X, содержит конечный поднабор,
объединение открытых множеств которого покрывает X.

Следовательно, для самого общего топологического простран-
ства принимается

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Топологическое хаусдорфово пространство X
компактно, если всякий набор открытых множеств, объединение
которых покрывает X, содержит конечный поднабор открытых
множеств, объединение которых покрывает X (т. е. всякое откры-
тое покрытие пространства X содержит конечное подпокрытие).

Пример 8. 1° Дискретное пространство компактно тогда и только
тогда, когда оно конечно. Если же оно бесконечно, то покрытие
X = U {%,} не содержит конечного подпокрытия.

х£Х

2° Сфера 5", п = 1, 2, ... <оо, компактна. В самом деле,
сфера 5" является замкнутым ограниченным подпространством
в /?"+!. Поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса,
она компактна.

Компактность топологических хаусдорфовых пространств ин-
вариантна не только по отношению к гомеоморфизмам, но также
и по отношению к непрерывным преобразованиям. Действительно,
имеем

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть X — компактное пространство, aY —
хаусдорфово пространство. Если существует непрерывное пре-
образование f пространства X на пространство Y, то простран-
ство Y также компактно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольное открытое покрытие 1)
пространства Y. Множества [f~x (Us)}S£s поро-

Ч Семейство {1Д} (открытых) подмножеств в X называется (открытым)
покрытием подмножества А с: X, если А С Покрытие конечно (или счетно),
если оно состоит из конечного (счетного) числа множеств.
ждают открытое покрытие пространства X. Поэтому существует
конечное число индексов sb s2, sk £ S, таких, что

г1 КУ и г1 (ty и ... игщу-х.

Взяв образы обеих частей этого соотношения, получаем

и US2 U •  • и Usk = У.

Подмножество A cz X компактно, если оно компактно как
топологическое пространство с индуцированной топологией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Топологическое пространство локально ком-
пактно, если каждая точка имеет компактную окрестность.

Ясно, что всякое компактное пространство локально компактно.
Каждое дискретное пространство локально компактно. Прямая R
локально компактна, так как каждая точка х С R имеет окре-
стность N [например, X = (х — е, х + е) 1, замыкание которой
по теореме Больцано — Вейерштрасса компактно.

Следующая важная теорема дает простую характеристику
класса пространств, не являющихся локально компактными.

ТЕОРЕМА 4 (Глисон). Локально выпуклое топологическое вектор-
ное пространство X локально компактно тогда и только тогда,
когда dim X < оо.

В частности, всякое бесконечномерное гильбертово простран-
ство не локально компактно. Это показывается непосредственно.
Действительно, например, последовательность хп = Ren, где
{еп} — ортонормированный базис в И, a R — любое положитель-
ное число, не содержит сходящейся подпоследовательности в силь-
ной топологии; следовательно, любой шар 5 (х, R) не имеет ком-
пактного замыкания.

Е. Связность

В теории топологических групп и представлений групп важно
знать, интуитивно говоря, число различных «кусков» рассматри-
ваемого топологического пространства. Введем теперь математи-
ческий формализм, описывающий эту черту топологических про-
странств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Топологическое пространство X называется
связным, если оно не является объединением двух открытых не-
пересекающихся подмножеств А и В. Подпространство У сХ
называется связным, если оно связно как топологическое под-
пространство с относительной топологией.

Пример 9. Каждое дискретное пространство X, содержащее
более одной точки, не связно, так как его можно представить как
сумму двух множеств А = {х0}, х0 £ X, и А' = Х\ кото-
рые непусты, открыты и непересекающиеся.
Связность также инвариантна не только по отношению к го-
меоморфизмам, но и по отношению к непрерывным преобразо-
ваниям.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Пусть X — связное пространство, a f: X ->
-> У — непрерывное преобразование на пространство Y. Тогда У
связно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что У не связно. Тогда суще-
ствуют два непустых открытых множества А и В в У, таких, что

A U B = f(X) = Y
и

Д П в = 0.

Из определения обратного отображения следует, что
и

ги) п ;-1(Д)=д1(Д пв)=0.

Множества Д1 (Л) и (В) непусты. Кроме того, непрерывность
отображения f предполагает, что множества fl (Л) и Д1 (В) от-
крыты. Значит, X может быть представлено как объединение двух
непустых непересекающихся открытых множеств, что противо-
речит связности X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Компонента точки х топологического прост-
ранства X — это объединение всех связных подпространств прост-
ранства X, содержащих точку х.

Замыкание связного пространства связно; следовательно, ком-
понента замкнута.

Если все компоненты пространства X — одноточечные мно-
жества, то пространство X называется полностью бессвязным.

Ж. Односвязные и многосвязные пространства

Две точки хну пространства X связывает путь Рх^у, если
можно из х непрерывным образом перейти в у, проходя через
элементы однопараметрического подмножества Р из X. Если х
совпадает с у, получается либо замкнутый путь Рх>х, либо нуле-
вой путь Р в точке х. Другими словами, путь в X — это непрерыв-
ное отображение замкнутого интервала [0, 1 ] в X.

Говорят, что два пути Рх>у и Q>.>y гомотопны (деформи-
руемы, или эквивалентны), и обозначают это Р — Q., если суще-
ствует непрерывная деформация пути Qx^.y в путь Рх^у, оста-
вляющая конечные точки без изменения.
Пример 10. Пусть X — поверхность тора. Замкнутый путь
Px-fx, который не охватывает кольцо, гомотопен нулевому пути.
Замкнутый путь Ру.>у

охватывающий один раз кольцо, не гомотопен ни Рх^х, ни пути,
охватывающему кольцо дважды.

Топологическое пространство называется односвязным, если
всякий замкнутый путь гомотопен нулевому пути. Пространство
из примера 10 не односвязно.

Аналогично, осуществляя стереографическую проекцию, за-
ключаем, что «-сфера S" односвязна при п > 1.

Определение гомотопии путей удовлетворяет следующим усло-
виям:

Р Р (рефлексивность),

Р ~ Q => Q Р (симметричность),

Р ~ Q, Q~T Р (транзитивность).

Следовательно, оно является отношением эквивалентности, и,
таким образом, все замкнутые пути (в точке х) классифицируются
на так называемые классы гомотопии.

Топологическое пространство называют п-связным, если оно
в каждой своей точке обладает и классами гомотопии.

Пример 11- Пусть X — тор. Очевидно, что замкнутый путь,
охватывающий кольцо k раз, неэквивалентен замкнутому пути,
охватывающему кольцо I раз, при k r I. Значит тор имеет беско-
нечное число классов гомотопии в каждой точке. Следовательно,
он бесконечно связан.

§ 2.	Топологические группы

Объединим понятия абстрактной группы и топологического
пространства в применении к одному и тому же множеству G
в понятие топологической группы G. Совместимость в этой комби-
нации обеспечивается непрерывностью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Топологическая группа — это множество G, та-
кое, что

1° G — абстрактная группа,

2° G — топологическое пространство,

3° функция g (х) = х"1, х £ G, является непрерывным отобра-
жением G -> G, а функция f (х, у) = х-у является непрерывным
отображением G х G -> G.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим евклидово пространство Rn как абелеву
алгебраическую группу и как топологическое пространство с то-
пологией произведения пространств R1. Функции

g (х) = х-1 = — х и f (х, у) =•- х + у

непрерывны в этой топологии. Следовательно, эта абелева группа
является топологической группой.

Условие 3° выражает совместность алгебраических и топологи-
ческих операций на множестве G. Следующий пример иллюстри-
рует, что это условие совместности не удовлетворяется автомати-
чески на множестве, которое одновременно является и абстрактной
группой, и топологическим пространством.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим циклическую группу1) С3==(1,х, х2).
Топологию определим при помощи следующих открытых мно-
жеств:

0, П), {х}, {1, х), Cs.	(1)

Функция g (х) = х'1 преобразует элемент х2 в g (х2) = х. Поэтому
обратная функция g4 преобразует открытое множество {х} на
множество {х2}, которое не является открытым. Следовательно,
циклическая группа С3 с топологией (1) не является топологиче-
ской группой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть G — топологическая группа. Множество
Н C.G называется топологической подгруппой группы G, если

1)	Н — подгруппа абстрактной группы G,

2)	Н — замкнутое подмножество топологического простран-
ства G.

Таким образом, тот факт, что G — не только абстрактная
группа, но и топологическая группа, налагает на подгруппу Н
группы G новое условие, что она должна быть замкнутой. Усло-
вие 2 можно заменить другим эквивалентным условием: действи-
тельно имеем

Н Абстрактная группа G называется циклической, если каждый элемент

Pi

группы есть степень некоторого элемента х группы, т. е. gi — х х £ Сг.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Подгруппа Н топологической группы G, кото-
рая является открытым подмножеством в G, является также
и замкнутым подмножеством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Класс|левосмежных элементов X — это мно-
жество всех элементов х из G, удовлетворяющих условию х~1х' £
£ Н, х' £ X (т. е. X = х'Н). Это определение служит отношением
эквивалентности, так что пространство G разлагается на непере-
секающиеся классы^левосмежных элементов. Поскольку Н от-
крыта, то каждый класс левосмежных элементов открыт. Допол-
нение Н состоит из объединения классов левосмежных элементов Н
и поэтому является открытым. Следовательно, Н замкнуто.

Заметим, что не всякая абстрактная подгруппа Н абстрактной
группы G является топологической подгруппой группы G, рас-
сматриваемой как топологическая группа. Например, абстрактная
подгруппа Н аддитивной группы R вещественных чисел, состо-
ящая из рациональных чисел, не является топологической под-
группой, поскольку она не замкнута в R.

Топологическая подгруппа N топологической группы G назы-
вается инвариантной подгруппой, если для каждого п £ N и
g £ G имеем

G N, т. е. g 'Xg с 7V.

Пример 3. Пусть GL (п, R) — группа всех вещественных не-
сингулярных п X n-матриц по отношению к умножению. Произ-
вольный групповой элемент х = {х(Д можно параметризовать
матричными элементами xik £ R таким образом, что GL (и, R}
есть подмножество в Rni. Выберем на GL (п, 7?) индуцированную
топологию пространства 7?"г. Так как матричные элементы zik
для z = ху являются алгебраическими функциями xlt и ylk, то
закон композиции в G является непрерывным. Аналогично матрич-
ные элементы для х"1 являются рациональными несингулярными
и поэтому непрерывными функциями х. Следовательно, GL (п, R),
снабженная индуцированной топологией пространства 7?"2, яв-
ляется топологической группой.

Подгруппа Gj = [М: Л £ R, К =/= 0) образует однопараметри-
ческую инвариантную топологическую подгруппу в GL (п, R).
Рассмотрим подгруппу О (п) =	£ GL (п, R), (x~l)ik = х*,}.

Отображение f: х -> хТх = е подгруппы О (п) является непрерыв-
ным; значит, прообраз Д1 (е) = О (п) замкнутого множества е
замкнут в GL (п, R)-, следовательно, О (п) является топологи-
ческой подгруппой группы GL (п, R). Она называется ортого-
нальной группой.

Аналогично следует, что группа GL (n, С) с индуцированной
топологией С”2 комплексных несингулярных п X n-матриц яв-
ляется топологической группой.
Различные топологические группы могут быть гомеоморфными
как топологические пространства; например, абелева группа G±,
состоящая из матриц

еа О

О еь

а, b вещественны,

и некоммутативная группа Glt состоящая из матриц

'е b

О е~а

а, b вещественны,

как топологические пространства обе гомеоморфны простран-
ству /?2.

С другой стороны, можно получить различные топологические
группы, выбирая различные топологии на одной и той же абс-
трактной группе. Это приводит к следующему понятию изомор-
физма топологических групп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Две топологические группы будем’называть
изоморфными, если между их элементами существует взаимно
однозначное соответствие, которое является изоморфизмом групп
и гомеоморфизмом пространств (т. е. сохраняет открытые мно-
жества).

Топологические группы являются примерами так называемых
однородных пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Топологическое пространство {X, т} одно-
родно, если для любой пары х, у £ X существует гомеоморфизм f
пространства {X, т} на самого себя, такой, что f (х) = у.

Каждая топологическая группа G однородна, так как любые
две точки х, у £ G могут быть связаны посредством левого сдвига

у = ТаХ = ах, а = ух 1,	(2)

который, в силу единственности и непрерывности группового
умножения, является гомеоморфизмом группы G.

Однородность топологической группы значительно упро-
щает изучение их локальных свойств. Достаточно исследовать
локальные свойства топологической группы в окрестности одной
точки, например в окрестности единичного элемента. Однородность
тогда обеспечит выполнение этих свойств в любой другой точке.

Мы говорим, что топологическая группа G обладает топологи-
ческим свойством В (например, G компактна, связна, сепара-
бельна, фактор-группа и т. д.), если G, рассматриваемая как
топологическое пространство, имеет свойство В.

Наиболее важными топологическими свойствами группы G,
с существенной ролью их в теории представлений групп, являются
компактность и связность (см. § 1). С целью иллюстрации понятия
компактности группы начнем с простого примера.

Пример 4. Г Рассмотрим ортогональную группу О (л). Веще-
ственная п X «-матрица х = {%,/,), i, k = 1, 2, ..., п, которая
соответствует элементу группы х £ О (л), удовлетворяет условию

хтх = е.	(3)

Оно означает, что столбцы матрицы х £ О (л) можно рассматри-
вать как ортонормированные векторы в Rn. Поэтому матричные
элементы xik, I, k = 1,2, ..., п, подчиняются условию

п

Е x2ik = П,	(4)

т. е. элементы группы О (л) могут быть представлены как точки
на сфере S”2—1 радиуса ]/ п. Набор всех точек на сфере, соответ-
ствующих точкам из О (л), является замкнутым множеством.
Поэтому пространство группы О (п) является замкнутым ограни-
ченным подмножеством пространства 7?"2 в топологии, индуци-
рованной топологией Т?”2. Следовательно, по теореме Больцано —
Вейерштрасса группа О (л) компактна.

2° Подобным же образом доказывается, что унитарная группа
U (л) компактна.

Хотя топологическое пространство, лежащее в основе группы
G, в Rn или Сп может быть ограничено, соответствующая тополо-
гическая группа тем не менее может быть некомпактной, по-
скольку G не замкнута. Например, однопараметрическую группу
Лоренца можно параметризовать числами vic, где v — скорость
системы отсчета, ас — скорость света; однако группа Лоренца
некомпактна, так как интервал —1 <Zvlc <1, в котором группа
определена, не замкнут.

Группа GL (л, 7?) некомпактна, но локально компактна; дей-
ствительно, отображение

ф: х —> det х, х С GL (л, 7?),	(5)

является непрерывным отображением GL (л, 7?) в 7?. Значит,
прообраз ф-1 (0) замкнутого множества {0} в 7? замкнут в Rn‘.
Дополнением для ф-1 (0) в 7?"2 является GL (л, 7?). Поэтому
GL (ti, R) — открытое множество в Т?"2. Следовательно, GL (л, 7?)
некомпактна.

Однако она локально компактна, поскольку каждая точка
открытого множества в R'1'' имеет компактную окрестность (см.
определение 1.8).

Подобным образом следует, что GL (л, С) локально компактна.
Ясно, что существуют топологические группы, которые не
компактны и не локально компактны. Фактически они играют
важную роль в теоретической физике.

Пример 5. 1° Пусть Н — гильбертово пространство с сильной
топологией т, определенной при помощи нормы || • || = рЛ(-, ).
Рассмотрим Н как абелеву топологическую группу по отношению
к сложению. В силу теоремы Глисона (§ 1, теорема 4) эта группа
не является локально компактной.

2° Физический пример не локально компактной группы являет
собой группа калибровочных преобразований классической или
квантовой электродинамики. Пусть Д(1 (х) — векторный потен-
циал. Калибровочные преобразования

Лм(х)-> Дм(х) (х)

оставляют полевые величины F)IV = /1V1M— инвариант-
ными.

Ясно, что эти преобразования образуют группу G по отношению
к сложению. Введя произвольную топологию в G, мы можем пре-
вратить пространство калибровочных функций в топологическое
векторное пространство: это пространство не является локально
компактным в силу теоремы Глисона.

Выведем теперь некоторые свойства связных топологических
групп. Заметим прежде, что если G связна, то компонента единицы
совпадает с G. С другой стороны, если компонента единицы содер-
жит только единицу, то в силу однородности топологических
групп все компоненты G являются множествами, состоящими из
одной точки, т. е. G — полностью бессвязна. Множество раци-
ональных чисел, рассматриваемое как абелева топологическая
группа с относительной топологией вещественных чисел, является
примером такой группы.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть G — топологическая группа, a Go — ее
компонента единицы (определение 1.10). Тогда Go — замкнутая
инвариантная подгруппа группы G.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО- Пусть С — связное подмножество в G; тогда
хС и Сх, х £ G, также связны, поскольку левые и правые сдвиги
являются гомеоморфизмами. Следовательно, xGfpT1, х £ G, яв-
ляется связной компонентой, содержащей единицу е группы G.
Таким образом, xGox“l совпадает с Go для каждого х из G. Мы
знаем, что любая компонента замкнута. Следовательно, Go яв-
ляется инвариантной топологической подгруппой в G.

Подгруппа Н топологической группы G называется централь-
ной, если каждый элемент из Н коммутирует со всяким элементом
всей группы G.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если G — связная топологическая группа и
Н — инвариантная дискретная подгруппа, то Н центральна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим отображение G в Н:

G3 g-> gxg ^Н, х^Н.

Этот гомеоморфизм преобразует связное множество в связное
множество. Но связными множествами в И являются лишь одно-
точечные множества {%}. Поэтому образ группы G, содержащий х,
должен совпадать с {%}.

Следующий важный пример односвязной группы будет исполь-
зоваться на протяжении всей книги.

Пример 6. Пусть G — унитарная унимодулярная группа SU (2).
Элемент g группы можно параметризовать посредством

Поскольку

условие унитарности g* = g 1 подразумевает, что

d = а и с = — Ь.

Следовательно, условие унимодулярности ad — be = 1 можно
записать в виде

аа -р bb = 1.

(8)

Полагая а == х \у и b = z + it, заключаем, что групповое
многообразие SU (2) совпадает с поверхностью X2 + у2 + Z2 +
+ t2 = 1 трехмерной сферы S3. Поскольку всякий замкнутый
путь на S3 можно стянуть в точку, группа SU (2) односвязна.

Дискретный центр в SU (2) представлен подгруппой D

D = {I, -I}.

(9)

Фактор-группа SU (2)/£> представляет двухсвязную группу вра-
щений SO (3). Таким образом, групповое многообразие SO (3)
получается в результате отождествления противоположных точек
сферы S3.

Равномерная непрерывность

Говорят, что комплексная функция <р (х) на R1 равномерно
непрерывна, если для всякого е > 0 существует 6 > 0, такое, что

I <Р(х) — ч>(х -{-г)I <е, как только |г|<б.

(Ю)
Это понятие имеет естественное обобщение на комплексные функ-
ции, определенные на групповом многообразии.

Говорят, что комплексная функция ф (х), заданная на тополо-
гической группе G, равномерно непрерывна слева, если для произ-
вольного е > 0 существует окрестность V единицы е в G, такая,
что для х~*у £ V имеем

| Ч (х) — ф (у) ] < е (или | ф (х) — ф (хг) | < е, как только z £ V). (11

Аналогично мы говорим, что ф (х) равномерно непрерывна
справа, если для любого е > 0 существует окрестность U еди-
ницы е, такая, что для xz/-1 С U имеем

| <р(х) — ф(у)| < е (или | <р (х) — ф (гх) | < е, как только z£&). (12)

О функции, равномерно непрерывной как слева, так и справа,
говорят, что она равномерно непрерывна.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть G— топологическая группа, и пусть
S — компактное подмножество в G. Тогда непрерывная функция ф,
определенная на S, равномерно непрерывна на S.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку ф непрерывна, для всякого в >0
существует для каждой точки у £ S окрестность Vy единицы е,
такая, что если х £ X и ху"1 £ Vy, то | ф (х) — ф (у) | < е/2.
Пусть Wy — окрестность единицы е, такая, что Wy с Vy, набор
открытых множеств Wyy покрывает X, а поскольку X компактно,
мы можем выделить конечное покрытие. Пусть {№у.у{}“ — ко-
нечный набор открытых множеств, который покрывает X, и пусть

п

Теперь, поскольку множества Wy.yt покрывают X при х, у £ S,
ху~1 € существует число k, такое, что уукг £ и поэтому

IФ (У) — Ф (*А) I < g/2- Далее,

хуТ1 = ху'1 ууТ1 € VWl/k с Wjk с: VVk,

так что | Ф (х) — ф (ук) | < е/2; таким образом, получаем

|ф(х) — ф(у)|<|ф(х) — ф(%)| +|ф(!/) — фЫ1<е-

Следовательно, при х £ X ф (х) равномерно непрерывна справа.
Аналогично показывается равномерная непрерывность слева функ-
ции ф (х) на X.

Понятие непрерывности слева или справа естественным обра-
зом распространяется на функцию ф (х) на G со значениями в то-
пологическом векторном пространстве Н\ например, если Н —
гильбертово пространство, то говорят, что ф (х) равномерно не-
прерывна слева, если для любого е > 0 существует окрестность V
единицы е, такая, что

||<р(х) — <р(у)||н<е, как только x~lyG:V.	(13)

§ 3. Мера Хаара

В этом разделе вводится важное понятие инвариантной меры
и инвариантного интегрирования на топологической группе G.
Пусть G — локально компактная группа, и пусть Со (G) и Go (G)
обозначают пространства непрерывных и непрерывных неотрица-
тельных функций на G с компактным носителем соответственно.
Положительная мера Радона — это положительная линейная
форма р на Со (G), неотрицательная на Со (G), т. е.

р (/)>0 для /eC<t(G).	(1)

Положительная мера Радона р, инвариантная слева, т. е.

рО = p(f), где Tgf(x) = fig-1*), x,g£G, (2)
называется левой мерой Хаара (или левым интегралом Хаара).
Аналогично определяется правая мера Хаара к, удовлетворя-
ющая условию

(T*f) = X (f), где TRgf (х) = f (xg), x, g£G.

ТЕОРЕМА 1. Всякая локально компактная группа обладает левой
мерой Хаара р. Если v — любая другая ненулевая левая мера
Хаара, то v = ср при некотором положительном числе с.

(Доказательство см. в [405], гл. IV, § 15.)

Пусть G — локально компактная группа с законом умноже-
ния ху, и пусть G* — новая группа с теми же элементами и той же
топологией, но с новым законом группового умножения х X у,
определенным согласно

х х у = ух.	(3)

Если G* имеет левую меру Хаара р, заданную согласно теореме 1,
то G имеет и правую меру Хаара: действительно, для g* С G*
имеем

№ X f) (х) = f (g*-1 х х) = f (xg”1) = T^f (x),
значит,

X(T^) = p(7f/) = p(T^_1f) = p (/) = %(/),	(4)

т. e. X — правая мера Хаара. Следовательно, существование
левой меры Хаара подразумевает существование правой меры
Хаара (см. также упражнения 4 и 6). Поэтому ввиду теоремы 1
каждая локально компактная группа имеет также и правую меру
Хаара л, определенную с точностью до положительного постоян-
ного множителя. Мера Хаара, инвариантная как слева, так
и справа, называется инвариантной мерой.

Согласно теореме Риса, с мерой р (/) можно ассоциировать
функцию множества р (X) для измеримого множества А' с 6,
такую, что

P(f) = f Hg)dp(g).	(5)

G

Инвариантность слева (2) меры Хаара означает, что

Р (gX) = р (X), или dp (gx) = dp (Л-),	(6)

для всех X с: G, g, х £ G.

Пример 1. Пусть G— группа всех комплексных 2 X 2-матриц
с равным единице определителем, т. е. G = SL (2, С). Построим

явно инвариантную меру Хаара для G.

Каждый элемент из G — это матрица g =

а р
у 6

и ее можно

отождествить с точкой в С4. Унимодулярные матрицы образуют
в С4 поверхность второго порядка ad — ру = 1. С этой поверх-

ностью свяжем дифференциальную форму cico, определенную по

формуле

da d[3 dy dd — d (ad — Py) do = Jd (ad —- py) dp dy dd, (7)
где J — якобиан перехода (a, p, у, d) —[(ad — Py), p, y, d],
откуда получаем для dco следующее выражение:

do (g) = -g- dp dy dd.

(8)

При левом сдвиге g -► gog на элемент g0 C SL (2, С) форма
dadpdydd, так же как и определитель (ad — Ру) матрицы g —

'a р
у d

, сохраняется. Следовательно, форма do также сохра-

няется. То же самое справедливо для правых сдвигов g -► gg0.
Таким образом, положительная форма

dp (g) — do do = jyp- dp dy dd dp dy dd	(9)

удовлетворяет

dp (gog) = dp (ggo) dp (g).	(10)

В силу этого равенство (9) задает инвариантную меру Хаара
на SL (2, С). Тогда, ввиду теоремы 1, любая другая мера Хаара
пропорциональна мере (9).
Заметим, что, поскольку g 1

dfi (g Л = dp (g),

, из (9) имеем еще

(И)

что выражает инвариантность меры Хаара при инверсии.
Другие примеры см. в упражнениях 2 и 5.

Инвариантность относительно инверсии

Пусть р (•)— левая мера Хаара, и пусть pg(f) = р (Tgf).
Так как левый и правый сдвиги коммутируют, мы имеем

Bi/ (Tef) = Н ТО) = Н W) = Р-i/ (Л-

Значит, линейная положительная инвариантная мера р(/ (/) яв-
ляется мерой Хаара. С помощью теоремы 1 заключаем, что рй =
= А (у) р. Следовательно,

pO^A(g)ptf)-	(12)

Поскольку отображение G Э У T^f £ Со (G) непрерывно, функ-
ция А (у) также непрерывна. Более того, она удовлетворяет функ-
циональному уравнению

A(xg) = A(x)A(g).	(13)

Действительно,

A (A-g) р (Л = р = р (7? (rff)) == А (х) р О =

= А (х) А (у) р (Л-

Функцию А (х) называют модулярной функцией для группы G.
Если А (х) = 1, то ввиду равенства (12) правая и левая меры
Хаара группы G совпадают. Если это имеет место, группу назы-
вают унимодулярной.

Ясно, что всякая абелева локально компактная группа уни-
модулярна, так как в этом случае 7g-i = 7g. Более того, имеем

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякая компактная группа унимодулярна.

Доказательство. Если G компактна, то функция f (х) = 1,
х G G, принадлежит CJ (G); следовательно, нормируя левую меру
Хаара условием р (1) = 1, получаем

A (g) = A(g)-p(l) = Р (7^1) = р(1) = 1.

Унимодулярные группы Ли описаны в гл. 3, § 10, Г.

Выведем теперь важнейшее свойство инверсии левой меры
Хаара.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть р (•) — левая мера Хаара, и пусть
f (х) f (х-1). Тогда

р (/) = Р (f 4") для каждой f €G’> (G).

(И)

Доказательство. Пусть р (f) ~ р ( f 44; тогда

(rtf)=и (wr 4-)=и (rtrt 4-) =

-д (у-1) р (rtrt	=д )д (^) р (/ 4-)=нл-

\ и 1 /

Поэтому р ( •) является левой мерой Хаара; следовательно, р (/) =
= ср (/).

Покажем теперь, что с = 1. Пусть £ — положительное число,
и пусть U — окрестность единицы е в G такая, что| 4(7) — 11 < 6
для всех х £ U. Пусть h — ненулевой элемент в Со (G), такой,
чтой — h, a h исчезает на дополнении U' окрестности U. Тогда



< ей (х) для всех х £ G;

следовательно,

р (/г) — р (h 4~) | ер(й).

Это подразумевает | 1 —с | <е, т. е. с = 1. Таким образом,
р (/) = р (J44 для всех f € Со (G).

Заметим, что для унимодулярной группы G мы имеем р (/) =
= р (/), т. е.

j f (х) dp (х) = J f (х l) dp (х) = j f (х) dp (х х),

G	G	G

(15)

что означает dp (х) = dp (х1).

Другими словами, каждая инвариантная мера Хаара ин-
вариантна также относительно инверсии; равенство (11) является
точной записью этого свойства меры Хаара для SL (2, С).
§ 4.	Комментарии и дополнения

А.	Теорема Макки о разложении

Следующая теорема дает важный тип разложения произволь-
ного элемента топологической группы G.

Теорема 1. Пусть G — сепарабельная локально компактная
группа, и пусть К — замкнутая ее подгруппа. Тогда в G суще-
ствует борелевское множество S, такое, что каждый элемент
g £ G можно единственным образом представить в виде

g — ks, k^K, s£S.	(1)

(Доказательство см. в [552], часть I, лемма 1.1.)

Разложение (1) играет существенную роль в теории индуци-
рованных представлений топологических групп (см. гл. 16).

Б. Универсальная накрывающая группа

Связь между глобальными н локальными свойствами тополо-
гических групп описывает следующая теорема.

Т ЕОРЕМЛ 2. Пусть Г — класс всех линейно связных, локально
связных, локально односвязных топологических групп, которые
локально изоморфны некоторой топологической группе G. Тогда
в классе Г существует, с точностью до изоморфизма, одна и только
одна односвязная группа G. Любая другая группа класса Г является
фактор-группой G/N, где N — дискретная нормальная подгруппа.

(Доказательство см. в [678], гл. IX, раздел 51.)

Группа G называется универсальной накрывающей группой
всех групп в классе Г.

Теорема 2 играет важную роль в теории представлений групп,
поскольку связность группового пространства непосредственно
связана с однозначностью представлений группы G.

В.	Инвариантная метрика

Интересным является тот факт, что топологическая группа G
обладает не только инвариантной мерой, по также и инвариантной
метрикой. Действительно, имеется

ТЕОРЕМА 3 (теорема Биркгсфа — Какутани). Пусть G — топо-
логическая группа, открытые множества которой в единице е
имеют счетную базу 1). Тогда существует функция расстояния
d (•, •), которая инвариантна справа, т. е.

d (xg, yg) = d (x, у) для всех х, у и g из G, (2)

и которая индуцирует на G исходную топологию.

(Доказательство см. в [597], гл. 1, §22.)

Г. Библиографические замечания

Аксиоматическое определение топологической группы в ис-
пользуемом сегодня виде было впервые дано польским математи-
ком Лейа в [510]. Этот объект стал весьма популярным в начале
30-х годов нашего века и исследовался многими видными матема-
тиками, такими, как Ван Данциг, Хаар, фон Нейман и другими.

Понятие инвариантного интегрирования на непрерывных груп-
пах было введено еще в прошлом веке Гурвицом. Позднее Вейль
[839] вычислил инвариантный интеграл для О (/г) и U (/г); вскоре
Петер и Вейль [673] показали существование инвариантного
интеграла для произвольной компактной группы. Решающим
достижением явился результат Хаара [360], непосредственно
построившего левоинвариантный интеграл для локально компакт-
ной группы со счетной открытой базой. Этот результат оказался
неожиданным даже для выдающихся математиков, например, для
фон Неймана, который не верил в существование инвариантных
интегралов для столь широкого класса топологических групп.

Конструкция Хаара была распространена Вейлем [829] на
произвольную локально компактную группу.

Инвариантная мера существует также на некоторых не
локально компактных группах. В частности, инвариантная мера
для полных метрических групп была построена Окстоби в [656].
Более подробное рассмотрение можно найти в книгах Хьюитта
и Росса [405] и Нахбина [613].

§ 5.	Упражнения

§ 1.1.	Покажите, что существует 9 топологических прост-
ранств, состоящих из 3 элементов, таких, что никакие два из них
не гомеоморфны.

§ 1.2.	Покажите, что следующие двухточечные функции [по-
мимо (1.2) и (1.3)] определяют метрику на соответствующих мно-
жествах:

1) Семейство В (х), х £ X, окрестностей точки х, обладающих тем свойством,
что для всякого открытого множества V, содержащего х, существует U £ В (х),
такая, что х С б С V называется базой топологического векторного простран-
ства (Л, т) в точке х.
а)	на множестве наборов из п вещественных чисел

d (х, у) = шах | Х[ — у, |;

б)	на множестве X всех непрерывных вещественных функций
на замкнутом интервале [0, 1 ]

1/2

d(х, у) =

(x(t)-y(i))*dt

или

d(x, «/) = max | x(i) — «/(Z)|;

в)	на произвольном множестве X

d (х, у) — 1 при х =р у,
d(x, х) = 0.

§ 1.3.	Говорят, что последовательность Ап операторов в гиль-
бертовом пространстве сходится к А в равномерной топологии
(или топологии норм), если

lim || Ап - А || = 0.

Покажите, что унитарная однопараметрическая группа сдвигов
Up. и (х)—> и (х t)

в И = £2 (У?1) непрерывна в сильной топологии, но не в равно-
мерной топологии. Заметим, что поскольку для любых t, t’, t + t',
цгл-пг|| = 2,

кривая t -► Ut дискретна в равномерной топологии. Этот пример
иллюстрирует различную природу непрерывности в различных
топологиях.

§ 1.4.	Пусть SU (3) — группа всех унитарных унимодулярных
3 X 3-матриц. Изучите связность SU (3)/Z3, где

Z3={/, е’2я/3/, е’4я/3/}

— центр в SU (3). Обобщите это на SU (n)/Z„.

§ 1.5.	Пусть (X, ту) и (/?, т2) — вещественная прямая R, снаб-
женная топологиями ту и т2 соответственно. Покажите, что вза-
имно однозначное отображение f: х -► у = х из (/?, ту) в (R, т2)
непрерывно тогда и только тогда, когда ту сильнее т2.

§2.1.	Пусть G — группа всех линейных преобразований в Сп,
оставляющих инвариантной квадратичную форму

ЗУ^У Ч- ' ' * Ч~ ZpZp ^р+1^р+1	*	- 1 •

Определите топологию т на G, такую, что G становится тополо-
гической группой.
§ 2.2.	Пусть G — группа О (и, 1) всех вещественных преобра-
зований в Rn+l, сохраняющих квадратичную форму

у2 Л	2

А0 — А1 — А2 — ' • • — Ап-

Покажите, что О (2, 1) бесконечнократно связна.

§ 2.3.	Покажите, что О (3, 1) состоит из четырех компонент.
Проверьте, что результат справедлив также для группы О (/i, 1),
п 3.

§ 2.4.	Пусть X = Rn, и пусть G — множество всех взаимно
однозначных преобразований из С“, /: Rn —> Rn, таких, что
обратное преобразование также принадлежит С”. Группа G
является группой преобразований координат (группой диффеомор-
физмов). Для f и g из G функции

d(f, g)n==maxsup|(l +1 х|2)” (j(m) (х) — g(x)(m)) |,

x(-Rn
где

/(т) (х) = (Dmf) (х), Dm = Dm' ... Dmi, Dmi =	, \m\ = l,

uXnij

определяют метрику в G. Пусть обозначает топологию в G,
заданную при помощи метрик dn. Покажите, что групповые опе-
рации непрерывны по отношению к rd и поэтому (G, rrf) является
топологической группой.

§ 2.5.	Пусть Н — гильбертово пространство. Пусть G — группа
всех унитарных операторов в Н. Определите топологию т на G
такую, что G становится топологической группой.

§ 2.6.	Рассмотрим пространство Шварца функций S на Rn
как абелеву группу. Пусть N = S х) G (G — группа диффеомор-
физмов в Rn, см. упражнение 2.3) — группа, определенная при
помощи следующего закона композиции:

(s, g)(s', g') = (s + s' о g, gog’),

где s'°g и g°g’ обозначают композицию соответствующих отобра-
жений на /?" (например, s’°g = s' [g(x)I).

Покажите, что Л\ снабженная топологией произведения
топологии Шварца на S и топологии на G, является топологи-
ческой группой. (Примечание: это глобальная группа, ассоции-
рованная с коммутационными соотношениями алгебры токов;
см. гл. 1, § 10, упражнение 2.9.)

§ 3.1.	Пусть р — левая мера Хаара на G. Определим новую
меру

И (0 = Р- (f)> ГДе 1 (х) = f (х-1).

Покажите, что р — правая мера Хаара на G.
§ 3.2.	Рассмотрим группу G всех матриц вида

X у

О 1



х, y£R,

Покажите, что левая мера Хаара имеет вид

dp (g)

dx dy

§ 3.3.	Покажите, что единственной трансляционно инвариант-
ной мерой на вещественной прямой R является мера, пропорцио-
нальная мере Лебега, т. е. dp (х) = с dx, с = const.

§ 3.4.	Пусть G — множество всех вещественных невырож-
денных 2 X 2-матриц вида

G}g =

у 6

(т. е. G = GL (2, /?)).

Покажите, что левая и правая инвариантные меры Хаара на G
имеют вид

§ 3.5.	Пусть
имеет вид

, , . da dP d-у dfi
dp(g)= (a6_pY)2 '

G = GL (n, R). Покажите, что мера Хаара

где

dp (х) =

dx =

п

П dx(p

dx

| det X I” ’

' *11 • 

Х==

• Xin

§ 3.6.	Пусть
и X п-матриц

G — группа

всех треугольных вещественных

*22

• • х1п

•	- Х2л

Покажите, что левая мера Хаара

dp (х) =

dxndx12 .

Лпп~_

на G имеет вид

•	 dxn—1, п^хпп

| *11*22

•	• х2„

хпп\’

_ xal 

• €G.

nn _

О

тогда как правая мера Хаара имеет вид

dp (х)

dxndx12 . . . dx„_lr „dxn„

I *11*22 • ‘ • Хпп |
Г лава 3

Группы Ли

§ 1. Дифференцируемые многообразия

В этом параграфе мы вводим понятия дифференцируемых (глад-
ких) и аналитических многообразий. Пусть М — хаусдорфово
пространство. Пара (U, <р), где U — открытое множество в М,
а <р — гомеоморфизм U на открытое подмножество n-мерного (ве-
щественного) евклидового пространства Rn, является картой на М.
Число и называется размерностью карты, a U — областью карты.

Другими словами, карта представляет собой систему коорди-
нат в М относительно <р.

Хаусдорфово пространство М называют локально евклидовым,
если для каждой точки р £ М существует карта (И, <р) на окрест-
ности U (называемой координатной окрестностью) точки р раз-
мерности п. В этом случае мы говорим, что (U, <р) является картой
точки р. Хаусдорфово пространство, которое является локально
евклидовым в каждой точке, называется топологическим много-
образием (размерности, равной размерности карты).

Примеры. R’1, сфера S", проективные пространства (вещест
венные или комплексные), ортогональная группа (ортогональные
и Xn-матрицы как подпространство в Rn2) являются топологиче-
скими многообразиями.

Пусть S и S' — открытые подмножества в R'1, а ф — отобра-
жение S в S'. Говорят, что отображение ф дифференцируемо (или
гладко), если координаты yi (ф (р)), / = 1, 2, ..., и, являются
бесконечно дифференцируемыми функциями координат х1 (р),
i = 1, 2, ..., и, р £ S. В этом случае мы будем писать: ф £
классу С“ (S). Говорят, что отображение ф: S S' аналитично
(или класса С“), если для каждого р £ S существует окрестность
U точки р, такая, что для q £ U каждая из координат yi (ф (д)),
j = 1, 2, ..., п, может быть выражена сходящимся степенным
рядом по xl (q) — х‘ (р), i = 1, 2, ..., и.

Определение 1. Набор карт (Ua, фа)а£Л на хаусдорфовом
пространстве М, для которого выполняются условия

1° М = (J Ua (т- е- области карт покрывают М),

сс£ А
2е для каждой пары а, (3 £ А отображение т) Фр ° Фа является
дифференцируемым отображением фй (Ua f) Up) на <р₽ (Ua f) Up),
называется дифференцируемой структурой размерности п (или
атласом класса С'*) на М.

Карта (Ua, <ра), а £ А, определяет локальную систему коор-
динат на многообразии М. Локальными координатами точки
р £ Ua являются компоненты функции <ра (р) = (х1 (р), ...,
х'1 (р)).

Условие 2° фактически означает, что преобразование фр «фа1,
связывающее различные координаты, введенные на множестве
Ua П Ц: картой (Ua, фа) и картой (Up, фр), дифференцируемо;
оно выражает сравнимость пересекающихся систем координат.

Мы определяем аналитическую структуру на хаусдорфовом
пространстве М подобным образом: просто заменяем условие диф-
ференцируемости отображения фр ° фй1 условием его аналитичности.

Хаусдорфово пространство М с дифференцируемой (аналити-
ческой) структурой размерности п является дифференцируемым
(аналитическим) многообразием размерности и.

Евклидово пространство Rn представляет собой простейший
пример аналитического многообразия. Карта (Ua, <ра) опреде-
ляется открытым множеством rUa = Rn и гомеоморфизмом фа,
который предписывает точке р £ Ua ее декартовы координаты
Фа (р) ~ (х1 (р)» х2 (р).хп (р))- Это аналитическое многооб-

разие будем обозначать через Rn.

Пример 1. Рассмотрим двумерную сферу S2 "единичного ра-
диуса, вложенную в R3 с центром в (0, 0, 0). Введем набор карт
на S2 посредством стереографических проекций. Рассмотрим пер-
вую стереографическую проекцию с центром в южном полюсе s
с координатами s = (0, 0, —1) на плоскость, проходящую через
экватор. Она представляет собой гомеоморфизм проколотой
сферы (т. е. сферы без южного полюса) в евклидову плоскость R2.
Если (х, у, z) — декартовы координаты точки р £ S2, то (	,

-г-7—) — декартовы координаты ее проекции на плоскость.
Взяв произвольную точку s' £ S2 в роли «нового южного полюса»
и использовав стереографическую проекцию, получим новую ло-
кальную систему координат. Легко проверить, что координаты
точкиq £ S2\{s} (~| S2\{s'| в первой и второй локальных системах
координат связаны между собой аналитическим преобразованием.
Следовательно, набор локальных карт, построенных с помощью
стереографической проекции с центром в каждой точке сферы S2,

J) Символ ф • ф (z) обозначает композицию отображений фиф, где ф
следует за ф, т. е. ф [ф (г)].
удовлетворяет условиям 1° и 2° определения 1 и определяет ана-
литическую структуру на S2.

Комплексное аналитическое многообразие размерности п опре-
деляется аналогичным образом. В определении карты Rn заме-
няется на Сп, а условие 2° определения 1 заменяется условием:
отображение <pp°<p„l является голоморфной функцией координат
zl (р), i = 1, 2, п, точки р £ Ua fl t/p-

Ниже под аналитическим многообразием мы будем понимать
аналитическое вещественное многообразие.

Вещественнозначную функцию f на аналитическом многооб-
разии М называют аналитичной в р (- М, если существует карта
(Ua, <ра) с р С ^а, такая, что f является аналитической функ-
цией на множестве <ра (Ua). Функцию f называют аналитичной,
если она аналитична в каждой точке р £ М. Если мы ограничим
аргумент р функции f на подмножество N с: М, то получим веще-
ственнозначную функцию, определенную на 7V; ограничение функ-
ции f до N обозначаем через f\ N.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если заданы два аналитические многооб-
разия М и N, то мы говорим, что N — аналитическое подмного-
образие в М, если

1° N с: М (теоретико-множественно),

2° для любой карты (Ua, <ра)а£Л с <ра (р) = (х1 (р), х ‘(р), ...
..., хп (р)) функции хг|М аналитичны в N, и для каждой точки
р £ N, в которой они определены, можно выбрать подмножество
(xli|M, х1"|N, ..., x'vjAf), которое образует карту точки р.

Множество Rm в Rn, т <п, большие окружности в S2 (см.
пример 1) и S2 в R3f представляют собой простые примеры под-
многообразий.

Пусть М и N — два аналитические многообразия размерности
тип соответственно. Построим произведения этих многообразий.
Рассматривая М и N как хаусдорфовы пространства, мы можем
образовать их топологическое произведение, которое состоит из
упорядоченных пар (р, q), р £ М, q £ N.

Топология в MXN определяется как топология произведения.
Аналитическая структура на многообразии M.XN определяется
естественным образом с помощью аналитических структур на М и
N следующим образом. Пусть (Ua, уа)а£А и (Ер, фр)р€в—на-
боры карт, определяющие аналитические структуры на М и N
соответственно. Через <рахфр, а £ А, fJ £ В, обозначаем отобра-
жение (р, р) -> (<ра (р), фр (р)) произведения открытых множеств
t7axVp в Рт',!. Тогда набор (UaX Ер, <ра Хфр) карт на произве-
дении М X N удовлетворяет условиям 1° и 2° и определяет анали-
тическую структуру на MxN.
А. Касательные пространства и векторные поля

Пусть М — аналитическое многообразие размерности п, р —
точка из М, а А (р) — класс функций, аналитических в р.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Говорят, что отображение L: f (р) ->• R,
f £ А (р), является касательным вектором в р, если удовлетво-
рены следующие условия:

1°. L(af + ₽g) = aL(f) + ₽L(f), «,₽£/?, f, g^A(p).

2°. L(fg) = L(f)g(p) + f(P)L(g),

т. e. если L — линейный функционал и дифференцирование.

Если L и L' — касательные векторы, то aL ф- [1L' также ка-
сательный вектор. Поэтому множество касательных векторов об-
разует линейное векторное пространство над R, которое назы-
вается касательным пространством.

Пусть (U, <р) — любая карта точки р. Если функция f анали-
тична в р, то функция f* = f ° qT1 аналитична в окрестности точки
(х1 (р), ..., хп (р)). Для простоты

будем записывать как dfldx1.

ТЕОРЕМА 1. Отображение L: f (р) -> R, f Q А (р), является
касательным вектором в р тогда и только тогда, когда оно задается
формулой

<2>
е==1

Набор всех касательных векторов в р образует п-мерное векторное
пространство. Касательные вектора

Д(р)(/) = ^г|	,	<’=1, 2, ...,п,	(3)

<?х	,•	’

х1~х1 (р)

образуют базис касательного пространства в р.

Доказательство. Если действие отображения L задается фор-
мулой (2), то очевидно, что L — касательный вектор. Для доказа-
тельства того, что действие любого касательного вектора задается
формулой (2), заметим, что если f = const, то Lf = 0. Разлагая /*
в окрестности точки х (р)

f — аи 4- а3 (х — х (р)) |-  • • 4 ап (А 4~ х (₽)) Н~

+ L (/ - X1 (р)) (х> - Х> (р)) gu 4- . . .,
I.
где

получаем

Lf = cijL (А ) [- • • • [ anL (л' ),	(4)

что эквивалентно (2).

Множество касательных векторов L, (р), определенное форму-
лой

bz(p)(f) = Xl ,	4=1, 2,

дх 1‘=л‘(₽)

образует базис касательного пространства в р. Действительно,

п

1=1

поэтому Li(p) линейно независимы. Более того, если L (р) —
любой касательный вектор, то, согласно (2),

L(p)(*0=Eb(/)Mp)(A /=1, 2,
i=l

т. е.

(5)
i=l

Поэтому касательное пространство в р является «-мерным век-
торным пространством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Отображение, которое каждой точке р £ М
аналитического многообразия М ставит в соответствие касатель-
ный вектор X (р) в р, является векторным полем X на М.

Векторное поле X иногда называют инфинитезимальным"преоб-
разованием. Говорят, что векторное поле X на М аналитично
в р, если для любой аналитической в р функции f функция Xf
аналитична в р; говорят, что оно аналитично на М, если оно ана-
литично в каждой точке р £ М. Операторы Д из формулы (3)
представляют собой простейшие примеры аналитических вектор-
ных полей. Действительно, пусть (U, <р) — карта точки р £ М,
и пусть f — аналитическая в р функция. Тогда, выражая f* =
~ f ° как функцию f* (х1, х2, ..., хп) координат

Ф (?) == Ь1 (?). Л-2 (?), . .., Л-" (<?)}, q с и,
и полагая

дх1

Х1=Х1 (р)

(6)

получаем, что отображение р ->• L(- (р) аналитично.

Если А — векторное поле, определенное на U, то в силу (3)

А(р)= it a1 (p)Li(p),
<=1

(7)

где a1', i = 1, 2, ..., п, —функции, определенные на U и задан-
ные формулой а‘ = Ахс. Следовательно, если а{, i = 1, 2, ..., п —
функции, определенные и аналитические на U, то А = ^а‘Ьг —
аналитическое векторное поле на U. Для каждой точки р £ U
имеем

WW-So-wX 	(8)

'xl~xl (р)

п

Поэтому можем представить векторное поле А символом а*‘—
t—1

о функциях а*‘ = а‘ »<р-1 говорят,"что они являются компонентами
поля А относительно координат х1, х\ хп.

Из определения 4 следует, что если X и У — векторные поля,
то аХ ф- рУ, а, Р Е также векторные поля. Поэтому набор
всех векторных полей образует вещественное векторное простран-
ство. Это векторное пространство бесконечномерно. Это следует
из того факта, что мы не можем ввести конечного множества ба-
зисных функций для компонент а{ (р), которые появляются в (7).

Согласно определению 4, векторное поле X может рассматри-
ваться как отображение X: С“ (Л4) С“ (М). Поэтому определено
произведение ХУ двух векторных полей. Однако^их произведение
ХУ не является в общем случае векторным полем. Например,
если М = Rn, А = -^~, В — ~^, то ABf-= j и отобра-
дх1	дх1	' дх1 да2 '	1

жение

' * бх’бх2 | .

Л-'=х' (р)

не является касательным вектором к /?". Однако в векторном про-
странстве аналитических векторных полей произведение можно
ввести таким образом, что это пространство превращается в ал-
гебру Ли; именно мы можем сопоставлять с аналитическими век-
торными полями А == ^a'Li и В = объект С:

С^АВ- В А = [Л, В],	(9)
который называется произведением Ли или коммутатором полей А
и В. На языке локальной системы координат {х1, х2, хп\
в р имеем

л/« = уя-‘(х)^, Bf-V ь-‘
х-х ' ’ дх‘	’ дх1

И

су* .= У (ь*1 ~~ - а‘	(Ю)

. Z-J \ дх1	дх1 j дх1

i, j =i'	'

Поэтому если А и В — аналитические векторные поля, опреде-
ленные на многообразии М, то, согласно (10), их коммутатор
[Л, В ] также является аналитическим векторным полем, опреде-
ленным на М.

Операция коммутирования (9) имеет следующие свойства:

1° [аАС| а|Л, С] -J-Р [В, С], a,fi(-R,

2° [А, В\ =	[В, Л],	(11)

3° [Л, [В, Q14-1C, [A, BJJ + 1B, [С, Л]] = 0.

Следовательно, мы видим, что набор всех аналитических вектор-
ных полей на аналитическом многообразии является бесконечно-
мерной вещественной алгеброй Ли.

Б. Преобразование векторных полей

Пусть М и N — два дифференцируемые С“-многообразия,
ай — отображение М в N. Отображение Q ’дифференцируемо
в р £ М, если Q С 0“ (р) для каждого f Q С“ (£1(р)). Отобра-
жение Q дифференцируемо, если оно дифференцируемо в каждой
точке р £ М. Аналогично определяются аналитические отобра-
жения.

Пусть <р: q -* (х1 (q), ..., хт (q))— система координат в ок-
рестности U точки р £ М, а <р': г -* (у1 (г), .... уп (г)) — система
координат в окрестности U' точки Q (р) в N, и пусть Q ((/) cz U'.
Отображение <р'“ Q <р ((7) -* <р' ((/') задается системой п
функций

...хт), 1</«щ	(12)

которые представляют отображение Q на языке координат.

Теперь мы выведем трансформационные свойства’касательных
векторов. Заметим прежде всего, что если L — касательный век-
тор в р £ М, то линейное отображение В': С“ (N) R, заданное
формулой L' (g) = L (g " Q), является касательным вектором в точке
й (р). Отображение dQp: L -* L' мы называем дифференциалом
отображения й в точке р. В силу теоремы 1 базисные векторы в ка-
сательных пространствах в точках р и Q (р) задаются формулами

е,’-f* = bq\ (13)
дх1 |q> (р)

<:	»	l«/<m,	g*^g^'~l.	(14)

dy! q>' (R (p))

Поэтому мы имеем

йЙр(^)^ = ^(^оЙ)=-^Г1!-|	•	(15)

dxl !<₽ (p)

Поскольку (g°S)* (x1, xm) = g* (y1, ym), где yi =
= »/ (x1, xm), TO

n

d“^)=2s- <• (lf'i

OX

i=l 4> (fi)

Следовательно, если представим отображение бйр как матрицу,
используя базис eit 1 с i < т, и базис а}, 1 < / < п, то получим
хорошо известную матрицу Якоби системы (12).

Векторные поля X и Y на многообразиях М и N называют
й-связанными, если

бйрХ (р) = Y (Й (р)) для всех р^М.

Утверждение 2. Пусть Х( и Y(, 1 = 1, 2, Q-связаны. Тогда
dQ[Xx,	Y2],	(18)

Доказательство. Формула (17) может быть записана в виде
(У/).Й = Х(/«Й) для всех f^C” (АГ).	(19)

Следовательно,

Кг (YJ) о й = X, (YJ . Й) = Хг (Ха (f , й)).	(20)

Меняя индексы 1 и 2 и вычитая выражения (20), получим (18).

§ 2.	Группы Ли

Рассмотрев общие свойства аналитических многообразий, мы
теперь можем определить группы Ли.

Определение 1. Абстрактную группу G называют группой
Ли, если

1.	G — аналитическое многообразие.
2.	Отображение (х, у) -* ху 1 произведения GxG в G анали-
тично.

Условие 2 эквивалентно следующим двум условиям:

2'. Отображение х х”1 группы G в себя аналитично.

2". Отображение (х, у) ху произведения GxG в G анали-
тично.

Действительно, положив в условии 2 х = е, видим, что у'1
аналитично по у, поэтому ху = х (у-1)’1 аналитично по х и у.
Обратно, если 2' и 2" удовлетворены, то (х, у) -* (х, у'1) является
аналитическим отображением GxG в себя и, следовательно, ото-
бражение (х, у) -* (х, у"1) -* ху"1 аналитично; поэтому имеет ме-
сто условие 2. Заметим, что по условию 2" левый сдвиг Т*у = ху
и правый сдвиг Т*у = ух являются аналитическими отображе-
ниями.

Любая группа Ли является топологической группой относи-
тельно топологии, индуцированной ее аналитической структурой.
Действительно, многообразие является хаусдорфовым простран-
ством, а аналитическое отображение (х, у) -* ху'1 непрерывно.
Поэтому, согласно определению 2.2.1, группа Ли является топо-
логической группой.

Более того, каждая группа Ли локально компактна. Это сле-
дует из того факта, что многообразие локально евклидово, а ев-
клидово пространство Rn локально компактно.

Аддитивная группа Rn, сопоставляемая с многообразием Rn,
является простым примером группы Ли. Очевидно, что отображе-
ние (х, у) -> ху'1 = х — У в этом случае аналитично. Следующий
пример будет играть важную роль в последующих рассмотрениях.

Пример 1. Пусть G = GL (п, R) (см. пример 2.2.3). Рассмо-
трим матричные элементы х'/, t, / = 1, 2, ..., п, элемента х =
= {х4} £ GL (п, Я) как координаты точки в Rn\ Поскольку
отображение
ф: х—>detx

является непрерывным отображением Rn‘ в R, то множество
ф-1 (0) замкнуто в Rn>. Следовательно, его дополнение (ф~’ (0))'
в GL (n, R) является открытым подмножеством в Rn‘, которое
представляет собой открытое аналитическое подмногообразие
в Rn\ Координаты г1' элемента z = ху-1 могут быть выражены
как рациональные функции от xls и ytu, и знаменатели этих ра-
циональных функций отличны от нуля на GL (п, R). Поэтому
отображение (х, у) -* ху'1 аналитично и, следовательно,
GL (n, R) — группа Ли.

К Пусть (Ue, <р) — карта единичного элемента е группы Ли G.
Через х‘ (р), i = l, 2, ..., п, обозначим координаты точки
р £ Ue, определенные гомеоморфизмом <р (р) = (х1 (р), х2 (р), ...
..., хп (р)) £ Rn. Из условия 2" следует, что для каждой окрест-
ности (]е точки е и для каждого открытого множества V X W
в GxG, такого,'^что r) VW a Ue, функции f‘, i = 1, 2, ..., n,
определенные формулой

(ху)1 = f (х1, Л-2, ..., хп, у\ у2, ..., у") = f (Л-, у), X С V, у е V, (1)

являются аналитическими функциями своих аргументов. Функ-
ции fl (х, у) называются функциями композиции группы G. Они
удовлетворяют очевидным соотношениям

f(x, е) = х‘, fl (е, у) tj,	(2)

dfl
дх1

(е, е)

~

дУ' у. е)

(3)

Из непрерывности группового умножения следует, что в локально
евклидовых топологических группах функции композиции всегда
непрерывны.

Возникает естественный вопрос: когда локально евклидова
топологическая группа является группой Ли. Этот вопрос был
поставлен в 1900 г. Гильбертом и известен как пятая проблема
Гильберта. Следующая теорема дает решение этого вопроса.

ТЕОРЕМА 1. Локально евклидова топологическая группа изо-
морфна группе Ли.

(Доказательство см. в [597], гл. IV, § 4.10.)

Теорема 1 утверждает, в частности, что существование непре-
рывных функций композиции в локально евклидовой топологиче-
ской группе предполагает существование (в некоторой собственной
системе координат) аналитических функций композиции.

Класс бесконечномерных топологических групп, которые часто
встречаются в классической и квантовой физике, представляет
собой интересный класс топологических групп, которые не яв-
ляются группами Ли. Например, абелева группа градиентных
преобразований классической электродинамики

At +

(4)

где <р — скалярная градиентная функция, не является группой
Ли, так как она не локально евклидова (см. пример 2.2.5).

Заметим, что определение 1 определяет фактически веществен-
ную группу Ли. Ниже под группой Ли всегда будем понимать
вещественную группу Ли, если не утверждается другое. Ком-
плексные группы Ли определяются следующим образом.

') Произведение VW обозначает подмножество в G, состоящее из эле-
ментов vw, v С К и С li’.
Определение 2. Абстрактная группа называется комплексной
группой Ли, если

1° G — комплексное аналитическое многообразие,

2° отображение (х, у) ху~1 произведения GxG в G голо-
морфно.

Пример 2. Пусть G = GL (n, С). Матричные элементы х‘/ £
£ С, i, j — 1, 2, п, матрицы х = {х‘>| £ GL (n, С) могут
рассматриваться как координаты точки в Сп . Так как множество
X — {х: det х = 0} замкнуто в С"2 (см. пример 1), то GL (n, С)
представляет собой открытое подмножество в С" и, следовательно,
является комплексным аналитическим подмногообразием в Gn г).
Так же, как в примере 1, проверяется, что координаты z‘i, i, j = 1,
2, ..., п, элемента z = ху'1 являются голоморфными функциями
координат xts и ytu, I, s, t, и = 1, 2, ..., п.

Любая комплексная группа Ли комплексной размерности п
может рассматриваться как вещественная группа Ли веществен-
ной размерности 2п. Действительно, комплексное аналитическое
многообразие комплексной размерности п может рассматриваться
как вещественное вещественной размерности 2п, и голоморфное
отображение (х, у) -► ху"1 становится аналитическим отображе-
нием, если его рассматривать на этом вещественном 4п-мерном
многообразии.

Заметим, что существуют истинно вещественные группы^Ли,
которые определяются комплексными матрицами, например,
группы SU (2п), п — 1, 2, ...; они не могут рассматриваться как
комплексные группы, так как они имеют нечетные размерности.

Определение 3. Пусть G — группа Ли. Говорят, что под-
множество Н cG является аналитической подгруппой в G, если
1° Н — подгруппа в G,
2° Н — аналитическое подмногообразие в G.

Аналитическая подгруппа сама является группой Ли. Дейст-
вительно, имеет место

Утверждение 2. Любая аналитическая подгруппа Н группы
Ли G является группой Ли.

Доказательство. Пусть а, Ъ £ Н. Тогда ab £ Н и сущест-
вует локальная система координат (U, <р), <р (г) = (г1, г2.г")

окрестности точки ab в G, такая, что z1’|Н, i = 1, 2, .... v, v =
= dim H, образуют локальную систему координат окрестности
точки ab в Н. Элемент ху £ G близок к ab, если х и у близки к а и Ь
соответственно. Это утверждение остается справедливым, если х

L) С" является комплексным аналитическим многообразием, определенным
пространством Сп п декартовыми координатами.
и у взяты из Н. Таким образом, отображение (х, у) -> ху, ограни-
ченное на И У. И, аналитично. Аналогично можно показать, что
отображение х х'1, ограниченное к Н, также аналитично.
Поэтому аналитическая подгруппа Н группы Ли G является груп-
пой Ли.

Так как аналитические подгруппы Ли G сами являются груп-
пами Ли, то они обычно называются подгруппами Ли группы Ли G.

Аналитический гомоморфизм t -* х (t) группы Д в группу Ли
называют однопараметрической подгруппой в G.

Пример 3. Рассмотрим подгруппу GL (т, R), т <п, группы
GL (n, R). Она представляет собой подмножество из GL (п, R),
которое, согласно примеру 1, является аналитическим подмного-
образием в GL (n, R). Следовательно, условия 1° и 2° определения
3 выполнены и GL (m, R), т < п, — подгруппа Ли в GL (n, R).

Следующая теорема дает удобный критерий того, что локально
компактная топологическая группа является группой Ли.

Теорема 3. Локально компактная топологическая группа G
является группой Ли, если существует непрерывный взаимно одно-
значный гомоморфизм G в GL (п, R).

(Доказательство см. в [597], гл. II, § 16.)

Например, группы О (n), U (п) (которая является подгруппой
в О (2п)) и Sp (л) (которая является подгруппой в О (4л)) являются
группами Ли.

А. Структурные константы

Пусть G — группа Ли, a (Vc, <р) — карта единичной точки е,
такая, что <р (а) = 0. Рассмотрим разложения Тейлора функций
композиции (1) в точке х{ = у1 = 0. Используя формулы (1),
(2) и (3), получаем

f = х1 + у1 a}kxiyk . |- b‘jk ix’xkyl dl!k tX'ykyl J_ r4,	(5)

где

Числа

c}k = a\k -	(7)

называются структурными константами. При переходе к другой
системе координат

х‘—>х*' = х1' (х*)

структурные константы подвергаются следующему преобразо-

ванию:

дх1' дх1 дхк
дх1 дх'1' дхк'

c‘jk.

о
Следовательно, c'jk — тензор с одним контравариантным и двумя
ковариантными индексами. Из формулы (7) следует также, что
1) c\k —вещественные числа,
2) для коммутативных групп с}* — О,

3)	с1^ = —c'ki,	(8)

4)	4'4-/7г 4" c/scfct 4" CfcsCij 0.

Последнее тождество является следствием ассоциативности груп-
пового умножения. Чтобы доказать его, прежде всего вычисляем,
используя разложение (5), координаты элемента w — х (yz), а за-
тем элемента w' — (ху) г. Сравнивая выражения третьего порядка,
получаем последнее тождество.

ПРИМЕР 4. Для иллюстрации найдем структурные константы
для GL (п, R). Функции композиции в этом случае (см. пример 1)
совпадают с

г11.= [!’(х, y) = xlkyk‘.

Следовательно, используя определения (5) и (6), получаем

„О'	(х, у) ____л1’л

dsm, kr — sm ь,	— OsOmfcOr,

dx^dt/" x=e
y=^e

C'sm, kr = №mk&'r ~ 8'k8rk8'm.	(9)

Заметим, что структурные константы (9) для GL (п, R) совпадают
со структурными константами для алгебры Ли gl (п, R) [см.
(1.1.13)1.

§ 3. Алгебры Ли групп Ли

Отправляясь от понятия групп Ли, мы установим теперь связь
с теорией алгебр Ли, изложенной в гл. 1, введя понятие алгебры
Ли группы Ли G.

Пусть Т (е) — алгебра дифференцируемых функций класса С1,
определенных в окрестности единичной точки е, и пусть х (0,
а < t < b, — кривая, представляющая гомоморфизм класса С1
отрезка [а, Ь] в G, такая, что х (0) = е. Вектор, касательный
к кривой х (t) в е, является отображением А: Т (е) R, опреде-
ленным формулой

= | . (1)

В локальной системе координат
точки е имеем

{х1, х2, ..., хп\ окрестности

AS — W

1 dt

Sdf I	dx'

dx' I.	dt

i=l xl~xl (e)

(2)
где

Li (f) f ~ "J- т >
ах xi=xi(e)

а числа

a' ^-^L\ , /=1, 2, ...,п,	(3)

at |/=sO	1	1	v '

являются компонентами вектора А [см. (1.7)]. Ясно, что, согласно
определению 1.3, вектор, касательный к кривой х (t) в е, является
касательным вектором в е. Более того, каждый касательный век-
тор в е может рассматриваться как вектор, касательный к кривой.
Действительно, если

А = Yia'Lj (е)
/=1

есть любой касательный вектор в е, то касательный вектор к кри-
вой

х‘ (/) = Х1 (е) 4- a‘t

в точности совпадает с SaiLj (е) = А.

Согласно теореме 1.1, касательный вектор (2) может быть пред-
ставлен своими компонентами, т. е. в виде А = (а1, а2, .... ап).
Из теоремы 1.1 мы знаем, что касательное пространство в е яв-
ляется n-мерным векторным пространством. Превращаем это век-
торное пространство в алгебру Ли, положив

с1 = [А, В]‘= с}ка’Ьк,	(4)

где структурные константы cljk заданы формулой (2.7). Действи-
тельно, из (4) и (2.8) следует, что

М + РВ, С]==а[А, С] + р [В, С],	(5)

И, В] = — [В, А],	(6)

[А, [В, С]] 4-[В, [С, А]]-|-[С, [А, В]] = 0.	(7)

Полученная таким образом алгебра Ли называется алгеброй Ли
группы Ли G.	;	i

Если представить элемент А алгебры Ли в некотором базисе
векторного пространства L как А = а1Х(, то из (4) и (5) получим

C = cZftaWiX1 = ]azXZ) bkXk] = albk [Xz, Xk],

т, e.

[^i, Хк] — c\kXi:.

(T)
Пример 1. Рассмотрим группу GL (п, R). Однопараметриче-
ские подгруппы могут быть записаны в виде

[g<‘fc>(Z)]/s = 6,s4-6"6s*x‘* (О

(8)

(суммирований по i, k, I, s — 1, 2, . .., n нет)

для «недиагональных» подгрупп и в виде

6'S, I Г 1,

(/), I --= О S = 1,

(9)

для диагональных подгрупп. Здесь индексы (Z, k), i, k = 1, 2, ...
..., n, нумеруют различные подгруппы, а индексы I, s; I, s ~ 1, 2,
..., п, нумеруют матричные элементы группового элемента
(/). Касательный вектор к кривой из (8) и (9) имеет сле-
дующие компоненты:

U(,?A))Zs =	i, k, I = 1, 2, .. ., n, (10)

где

tk d?fe (Q

“	<_=o'

Формула (10) предполагает, что базисные векторы алгебры gl («, 7?)
заданы nXn-матрицами eik, i, k — 1, 2, ..., и, вида

(ert/s = 6,z6sfc.

(И)

Коммутационные соотношения для базисных элементов eik сле-
дуют из (4):

[Csm , ^kr]-~Csm,

(12)

Используя выражение (2.9) для структурных констант группы
GL (п, R), получаем



(13)



(см. пример 1.1.2).

Заметим, что произведение Ли (13) для касательных векторов
esm и ekr совпадает с коммутатором [esffl, ekr ] = es,nekr — ekrestn
соответствующих матриц.
А. Группы преобразований

В большинстве случаев алгебры Ли появляются в теоретиче-
ской физике как алгебры Ли групп преобразований.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Группа Ли G называется (правой) группой Ли
преобразований дифференцируемого многообразия М, если каж-
дой паре (р, х), р £ М, х ^G, соответствует элемент q £ М, обоз-
начаемый через рх, такой, что

1)	отображение (р, х) -> рх произведения A4xG на М диффе-
ренцируемо,

2)	ре = р для всех р £ М,

3)	(p*i) х2 = р (ххх2) Для всех р £ М и xlt х2 £ G.

Подобным образом определяется левая группа Ли преобразо-
ваний (х, р) -> хр многообразия М.

Говорят, что группа G эффективна на М, если х = е — един-
ственный элемент из G, который удовлетворяет условию рх = р
или условию хр ~ р соответственно для всех р £ М.

Найдем теперь общее выражение для генераторов однопараме-
трических групп преобразований.

Пусть (U, ср) — карта точки е, а (V, ф) — карта точки р £ М.
Условие 1 утверждает, что координаты ql точки q = рх являются
аналитическими функциями

ql -^<j/(ps, xk),	(14)

координат ps, s = 1, 2, ..., m, точки p £ M и координат xk,
k = 1, 2, ..., n, точки x £ G.

Пусть ф — аналитическая функция на М, и пусть х1 = el -j-
+ Х'б/ — координаты элемента х в бесконечно малой окрестности
точки е. Используя разложение Тейлора для функции Т^ф (р) ~
= ф (рх) в точке р, получаем

ф (q) = ф (р) Х‘б/ (9)_

'VVi,	-г d(jk dxi

+HW1.

х=е

(15)

n	dq

Производные -Ху
дх1

функций композиции (14) обозначим и

вычислим приращение функции ф (р) при бесконечно малом пра-

вом сдвиге

бф = ф (q) — ф (р) = X/ •

| б/.

(16)

Мы здесь пренебрегли слагаемыми со степенями б/ выше первой.
Следовательно, операторы

-г-, i = 1, 2, ..., п = dimG,
играют роль генераторов однопараметрических правых сдвигов.

„ k

Лемма 1. Функции /i (q) =

дх1 с
щему уравнению'.

удовлетворяют следую-

fa, .	b ft , ,	/1оч

fk (q)-----г- fi (q) = cjkfb (q),	(18)

dq	dtp

где cbjk — структурные константы для G.

Доказательство легко следует из утверждения 1.1 и соответ-
ствующих определений, и мы его опускаем.

В силу (1.9) имеем

[X, Y] = XY - YX.	(19)

Следовательно, из (18) получаем

IY	fadfk(<d\ д J.fi д Ьу

IА*, X, = I tk --------Ij , а тт ТГ = с4Хь> (20)

\ дер	dq I dq1	dq‘

т. е. множество генераторов (17) замкнуто при умножении Ли (19).

Заметим, что если М = G, то соотношение (17) дает выражение
для генераторов правых сдвигов на G:

Тх ф («/) = ф (ух)

(см. упражнение 3.1).

Подобным образом можно определить генераторы левых сдви-
гов на М и G.

Пример 2. Группа GL (п, R) может рассматриваться как
эффективная группа преобразований на Rn. Найдем алгебру Ли
группы GL (п, R), соответствующую этой реализации. Формула
(14) в этом случае принимает вид

q‘^xikpk.	(21)

Поэтому

fsdP) = -^~	(22)

дх' х—е

и генераторы (17) однопараметрических подгрупп имеют вид

Xst^fitip)-^
др1

др1 dp

(23)

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

[X^sm, X/>r] = 6mjXsr ^rs^km	(24)

(см. (13)).
Б. Соответствие между группами и алгебрами Ли

Следующая теорема устанавливает соответствие между струк-
турой групп Ли и структурой алгебр Ли.

ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа Ли, L — ее алгебра Ли, а Н —
подгруппа Ли в G. Через N обозначим множество всех касательных
векторов век дифференцируемым кривым в П. Тогда

1)	N — подалгебра в L; она является алгеброй Ли подгруппы
Ли Н;

2)	если Н — инвариантная подгруппа, то N — идеал в L\

3)	если Н — центральная инвариантная подгруппа, то N —
центральный идеал.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 подгруппа Ли является
в то же время аналитическим подмногообразием. Поэтому под-
множество N является подпространством в L. Пусть А и В — ка-
сательные вектора к кривым х (t) и у (/) из Н. Поскольку Н —
подгруппа, то кривая g (/) = х (0 у (0 х-1 (t) у"1 (0, так же как и
кривая g(]/s), t = y^s, лежит в Н. Легко проверить, что каса-
тельный вектор С к кривой g (|/s) совпадает с вектором [Л, В ],
заданным соотношением (4). Поэтому касательное пространство N
является линейным подпространством в L, которое замкнуто для
умножения Ли, т. е. оно является подалгеброй Ли в L.

Пусть теперь Н — нормальная подгруппа в G. Обозначим через
х (0 произвольную кривую в G с касательным вектором А, а через
у (t) — кривую в И с касательным вектором В. Тогда кривая
X (0 у (0 X-1 (0 лежит в Н и, следовательно, кривая q (0 =
= х (t) у (0 х~1 (0 у"1 (0, так же как и кривая q (/s), t = |/s,
лежит в Н. Вектор С = [Л, В], А L, В N, является каса-
тельным к кривой q(i/s). Поэтому С лежит в N и, следовательно,
N — идеал в L.

В случае когда Н — центральная инвариантная подгруппа,
кривая q (t) сводится к точке е и, следовательно, касательный век-
тор С является нулем, т. е. N — центральный идеал в L.

Мы видим, что группа Ли определяет алгебру Ли с точностью
до изоморфизма. Следующая теорема дает ответ на обратный во-
прос: в какой мере алгебра Ли L определяет группу Ли?

ТЕОРЕМА3. Каждая подалгебра алгебры Ли L группы Ли G
является алгеброй Лив точности одной связной подгруппы Ли в G.
Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда их
алгебры Ли изоморфны.

(Доказательство см. в [390], гл. II, § 1 и § 2.)
В. Группы Ли с изоморфными алгебрами Ли

Мы можем также дать связь между глобальными группами Ли,
имеющими изоморфные алгебры Ли. Действительно, пусть Г —
класс всех связных групп Ли, имеющих изоморфные алгебры Ли.
Тогда, согласно теореме 5, любые две группы класса Г локально
изоморфны. Более того, в виду теоремы 2.4.2 в классе Г сущест-
вует с точностью до изоморфизма одна и только одна односвязная
группа G, которую называют универсальной накрывающей группой
класса Г. Любая группа класса Г является фактор-группой G/N,
где N — дискретная центральная инвариантная подгруппа.

Заметим, что группы класса Г, будучи локально изоморфными,
могут быть совсем различны глобально. Простейшим примером
этому является группа вращений SO (2) и группа трансляций Т1.
Эти группы локально изоморфны, так как их алгебры Ли изо-
морфны. Однако как глобальные группы они совершенно различны;
именно, SO (2) — компактная и бесконечно связная группа,
тогда как Т1 — некомпактная и односвязна (см. теорему 2.4.2).
Между этими группами существует соотношение

SO (2) = Г/М,	(25)

где дискретная центральная инвариантная подгруппа N совпадает
с подгруппой всех целых чисел.

Другой пример: SU (2) односвязна, SO (3) двусвязна; они
имеют изоморфные алгебры Ли, и SO (3) - SU (2)/Z2, где Z2 —
дискретный центр в SU (2): Z2 = (е, —е).

Г. Присоединенная группа

Рассмотрим теперь группу Ли G и обозначим через L ее ал-
гебру Ли. При фиксированном х £ G отображение

У>х(У) = хух~1	(26)

определяет автоморфизм группы G.

Автоморфизмы вида (26) называются внутренними автомор-
физмами группы G. Любой другой автоморфизм называется внеш-
ним автоморфизмом группы G. Каждому автоморфизму группы G
соответствует автоморфизм алгебры Ли L. Мы можем вычислить
явный вид индуцированного автоморфизма 1Х алгебры L путем
введения системы координат на G. Так как

то, используя координаты произведения хух~гу~\ получаем

Ух = c‘kxlyk + У1 + eZ = (cikxl 4- 60 yk 4- е1’,	(27)
где ez имеют третий порядок малости относительно координат эле-
ментов х и у. Явный вид автоморфизма 1Х алгебры L может быть
вычислен, исходя из определения касательного вектора к одно-
параметрической подгруппе у1 (/). Дифференцируя обе части соот-
ношения (27), получаем при t = О

а1 = c\kxlak,	(28)

где

а1 = d«/7d/ |/==о

— координаты вектора А = atXl £ L в базисе Х{ алгебры L.
Тогда автоморфизм 1Х алгебры Ли L имеет вид

(/^ = 4Z	(29)

где xl, I = 1, 2, п, — координаты элемента х С G. Отобра-
жение Л: х -+ 1Х является гомоморфизмом из G в группу GA всех
автоморфизмов алгебры L. Очевидно, что ядро этого гомоморфизма
совпадает с центром в G. Автоморфизмы (29) алгебры L, индуци-
рованные внутренними автоморфизмами (26) группы G, называются
внутренними автоморфизмами алгебры L. Все другие автомор-
физмы алгебры L называются внешними автоморфизмами. Группа
Ga всех внутренних автоморфизмов (29) алгебры L называется
присоединенной группой. Покажем теперь, что алгебра Ли при-
соединенной группы Ga является присоединенной алгеброй La.
Действительно, взяв однопараметрическую подгруппу 1Х (f), из
(29) находим, что координатами генератора

Р = dZx (0/df |t=o
являются

Pk = cl(kbl, где bl = dxl/dt.	(30)

Положив В = EbzX,-, находим

Р~аАВ, или Р (А) = ad В (А) — [5, А],	(31)

т. е. Р £ Lu. Размерность алгебры Ли La касательных векторов
к однопараметрическим подгруппам внутренних автоморфизмов
равна размерности присоединенной алгебры La. Поэтому La сов-
падает с La. По этой причине La также называется алгеброй вну-
тренних дифференцирований.

Д. Левоинвариантная и правоинвариантная алгебры Ли

Пусть G — группа Ли. Пусть Qgo — отображение из G на G,
заданное левыми сдвигами Qgo: g -> gog. Из определения 2.1
группы Ли следует, что — аналитический изоморфизм из G на
G. Пусть dQg() обозначает дифференциал изоморфизма Qgo, опреде-
ленный в § 1, Б. Из § 1, Б следует, что dQgo переводит касательное
пространство Le в единице е в касательное пространство Lgo в g0.

Определение 2. Векторное поле X = {Xg, g С G} на G на-
зывают левоинвариантным, если для любых g, g' £ G

dfig'g-iXg = V	(32>

Множество всех левоинвариантных векторных полей на G
образует алгебру Ли. Действительно, если X и Y — любые два
левоинвариантные поля, то очевидно, что аХ -1- также лево-
инвариантно; более того, в силу утверждения 1.2 имеем

dQ/rl ([X, KJ) = [dfi^.x (X), dQ^V)] = [X, Y]e., (33)

т. e. IX, X] также левоинвариантно. Левоинвариантная алгебра
Ли порождается правыми сдвигами и, согласно теореме 1.1, реа-
лизуется дифференциальными операторами первого порядка.
Обозначаем эту алгебру Ли через LK.

Утверждение 4. Каждое левоинвариантное векторное поле
аналитично.

Доказательство. Пусть Vx — окрестность произвольной точки
go £ G, и пусть t2, .... in]—система координат на G в окрест-
ности точки g0. Существует окрестность V2 точки g0, такая, что
условие g, h £ V2 предполагает, что ggjr1 С Vi- Для g € G
из (1), (1;17) и (1.19) получаем

XgZz = (dQ _jX \ti = X ft^l} Л.	(34)

8	( gg0 go)	go ( ggo )	'	'

Поэтому координаты t't (g, h) = tt (gg^h) аналитичны на
V2XV2; следовательно, t't (g, h) = ft (tx (g), ..., tn (g);	(h), ...

..., tn (h)), где функции (уъ ..., у„,	..., zn) аналитичны по

всем 2п аргументам в окрестности множества значений yk = tf, (g0),
zk = tk (go)< k = 1, 2, ..., n. Мы получаем

ад -	(59 L..	(®>

где индексы g, g0 означают, что частные производные взяты при
yk — tk (g)’ %k = tk (go)- Теперь, согласно теореме 1.1, величины
Xgatj являются константами и (dfJdZj) |gi go, рассматриваемая как
функция от g, аналитична в g0. Поэтому функции Xg/(- аналитичны
в g0 и, следовательно, векторное поле X = {Xg, g G\ также
аналитично.

Утверждение 4 предполагает, что левоинвариантная алгебра Ли
LR группы G состоит из аналитических векторных полей на G,
Аналогично можем ввести также правоинвариантные вектор'
ные поля и показать, что они аналитичны и образуют правоинва-
риантную алгебру Ли LL.

Утверждение 5. Левоинвариантная и правоинвариантная
алгебры Ли изоморфны. Этот изоморфизм аналитичен.

Доказательство. Пусть Л — отображение g -> g~l группы G
на себя. Ясно, что, согласно определению 2.1, е7 — аналитиче-
ский изоморфизм. Пусть X — любое левоинвариантное векторное
поле, и пусть Ye = d <^7Xg-i. Тогда Y правоинвариантно. Действи-
тельно, обозначая правые инфинитезимальные сдвиги на G через
dS, имеем

dSgyc = dSg(d^Xf) = d(2g°^)X,.	(36)

Так как (Sg°^7) отображает g0 в go1g=(g~1go)-l, имеем =
= ^7°Sg-i. Следовательно,

dSg!C = АЛ (dQg-i Хе) = АЛ (Xg-i) = Yg.	(37)

Наконец, для произвольного g0 имеем

d2g0fi-iyg = d2g0g-i (dSgyc) = d (Sg,g-i»Xg) Ye =

= dSgoFc = ygo,	(38)

t. e. Y правоинвариантно. Поскольку отображение Л аналитично,
изоморфизм АЛ также аналитичен.

Теорема 1.1 предполагает, что правоинвариантная алгебра Ли
может быть представлена дифференциальными операторами пер-
вого порядка, т. е. для X £ LL имеем

=	(39)

где tk (g) — координаты элемента g £ G.

Аналогично элемент Y из LR, сопоставляемый с правыми сдви-
гами (т. е. из левоинвариантной алгебры Ли), имеет вид

y&-bk(g(t))-^.	(40)

Ввиду утверждения 1 все функции ак (g) и Ьк (g), k = 1, 2, ...
..., dim G, аналитичны на G. Более того, [ввиду утверждения
2 функция Ьк (g) может быть выражена через ак (g) или, обратно,
с помощью аналитического преобразования, определенного по АЛ-

Е. Тождества в алгебрах Ли

Пусть L — вещественная алгебра Ли, a G — соответствующая
связная односвязная вещественная группа Ли. В этом разделе мы
выводим два тождества в алгебре Ли, содержащие элементы,
их преобразования при внутренних автоморфизмах, определенных
элементами из G, и производные локальных координат второго
рода относительно некоторого параметра.

Как известно, экспоненциальная функция е'- реализует неко-
торую открытую окрестность единицы в G, если х пробегает неко-
торую открытую окрестность V нулевой точки в L. Если х1т
хг — базис в L, то V может быть выбрано достаточно малым, так
что для любого х £ V имеем ех = e*iX1...efrXr (координаты второго
рода), причем е*->- (4, ..., tr) является локальной картой в G для
некоторой окрестности W единицы, содержащейся в ev. Кроме
того, мы можем предположить, что W выпукла, т. е. такая, что если
ег/ н e*e^ лежат в W, то е^е5' £ W, где Ос / « 1; это следует из
того факта (см. [390], стр. 34 и 92—94), что отображения /-►
etxev являются геодезическими для связности Картана — Скоу-
тена.

Таким образом, если е* С №и0</< 1,то е(ж = е,Л... ё'Хг,
где координаты аналитичны по t.

Чтобы упростить обозначения, мы предположим (используя,
например, теорему Адо), что алгебра Ли L точно реализована
в виде матричной алгебры. Таким образом, некоторая окрестность
единицы в G, содержащая W (и все произведения элементов из W,
необходимые ниже), будет реализована как окрестность матрич-
ной группы.

Следовательно, из тождества

d tx

At е

= xe'* = e'xx =

=	+------h • • •e'^-ixre-,'--i^-i. . .e~ilX1) е{х =

= е* .. .е-'^’х,-^ ё*Хг.. .е^' ф-  • •
находим

х = Xi Н--------+ IF Int (tiXi) ... Int (t^Xr-i) xr,

x — Int ( trxr) ... Int ( t2x2)Xi -(-••• ф- xr , (41)

где Int (tx) обозначает внутренний автоморфизм Ad (etx) алгебры
L, определенный в любой реализации как у eixye~tx.
Более того, если х, у £ А и е», ехе'у £ W, то, как мы видели,
для 0 с t < 1 etxey £ W. Тогда мы можем записать

ezV = е“Л ... е“^, еу == е|?Л ...

и из тождества

4- ((е#хеу) е“0 = 4	• • • ^гХ'^'х'  • • е~р,х') =

= (^т+---+е'

. .. fr-fr-iX'^L	. е-“*хЛ е/х

выводим соотношение

* =4	-----+ ЧГInt М • Int (ar-ixr-i) xr- (42)

В дополнение, как хорошо известно, для всех х, у £ L и t £ R
мы имеем

ОО

eixye~tx = Int(tx)у « -L(ad(tx))ny.	(43)

/S)

§ 4. Прямое и полупрямое произведения

С помощью прямого и полупрямого произведений групп мы
можем строить новые группы из заданных групп и сводить иссле-
дование некоторых более сложных групп к исследованию более
простых подгрупп.

А. Прямое произведение

Определение 1. Пусть G± и G2— абстрактные группы.
Группа всех упорядоченных пар (gb g2), g± £ G±, g2 £ G2, с за-
коном умножения

(gl, g2)(gl, gl) = (glgl, gig?)	(1)

является прямым произведением G^G^. Элемент e = (еъ e2) —
единица группы GiXG2, a (gb g2)-1 = (gT1, gi1) — элемент, об-
ратный (glt g2).~

Подгруппа Gi группы G1xG2, состоящая из всех пар вида
(gi, ег)> является инвариантной подгруппой в G1xG2, изоморфной
Gv Действительно, для любого (g1; е2) и (gi, gi) GxxG2 имеем

(gi,	e2)(gi, gi) = (gi "gigi, e2)cGr
Этот изоморфизм задается отображением q>: gt -> (glt е2). Анало-
гично Ga = |(е1; g2)} —инвариантная подгруппа в GjXG2, изо-
морфная G2. Подгруппы и G2 имеют следующие свойства:

GiG2 = G1XG2,	(2)

Gx П G2 == (elt еа).	(3)

Обратно, если группа G содержит две инвариантные подгруппы
Gx и G2 со свойствами

G1G2 = G,	(4)

G1HG2 = e,	(5)

то G разлагается в прямое произведение подгрупп Gj и G2. Исполь-
зуя инвариантность Gr и G2 в G и формулу (5), легко проверить, что
каждый элемент gr £ Сг коммутирует с каждым элементом g2 £ G2;
ясно, что, согласно (4), каждый элемент g может быть однозначно
представлен в виде произведения g = gtg2, gi € Glt gz € G2.

Если Gx и Ga — топологические группы, то прямое произведе-
ние GjXG2 также может рассматриваться как топологическая
группа. Топология на GjXGa является топологией произведения.
Если Gx и G2 — группы Ли, то G1x.G2 может рассматриваться как
группа Ли, аналитическое многообразие которой является про-
изведением аналитических многообразий групп Gj и Ga.

Б. Полупрямое произведение

Пусть G — абстрактная группа, GA — группа всех автомор-
физмов группы G, G% — подгруппа в GA, a A (g) — образ элемента
g( G при аналитическом автоморфизме А £ G% (см. 1.1. В).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Полупрямым произведением G*)G% групп G
и G^ является группа всех упорядоченных пар (g, А) с групповым
умножением

(g, A) (g't А') = (gA (g'), AA').	(6)

Единичным элементом в Gx)G^ является е = (е, I), а обратным
к элементу (g, А) является пара

(g, A)-1 = (A_1(g~1), А-1).	(7)

Топологией в Gx)G^ служит произведение топологий пространств
G и G~a.

Полупрямые произведения играют существенную роль в тео-
рии групп Ли и в теории представлений. Фактически, как мы
покажем ниже, произвольная группа Ли локально изоморфна
полупрямому произведению групп (см. § 5). Более того, все не-
приводимые унитарные представления важного класса полупря-
мых произведений групп могут быть получены как индуцирован-
ные представления (гл. 17).

Теорема 1. Полупрямое произведение	с G = j(g, 1)\

и G% = {(е, А)} имеет следующие свойства:

1)	G — нормальная подгруппа в G*)G%,

2)	GXjGjJG изоморфна G%,

3)	G*)G% - - GG% и G П Сл- = (e, I).

Доказательство. 1. Пусть (g', /) E G и (g, A) £ G^G^,
Тогда имеем

(g, A)(g', Z)(g, A)-1 = (gA (g'), АНАЛОГ1). A-1) =

= (^A(g')g-1, I)£G,

t. e. G — инвариантная подгруппа в Gx)G^.

2.	Заметим, что множество (G, А) при фиксированном А £ G^
представляет собой класс смежных элементов из Gx) G^/G. Поэтому
отображение q>: (G, А) (е, А) является изоморфным отображе-
нием G^G^IG на G%.

Свойство 3 следует из определения групп G и G^ и формулы (6).

Пример 1. Пусть а — четыре-вектор, а А — однородное пре-
образование Лоренца четырехмерного пространства Минковского.
Преобразование Пуанкаре L = (а, А) определяется формулой

Хц = (Ах)ц = А^х^ ар.	(8)

Произведение LL' = (а, А) (а', А') дает

Хр = (Lx)p = АрАц xv Apflp -|- ар.	(9)

Таким образом, произведение (а, А) (а', А') может быть пред-
ставлено как преобразование

(а, А) (а', А') = (а + Аа’, АА'),	ПО)

т. е. закон композиции для преобразований Пуанкаре такой же,
как формула (6) для полупрямых произведений. Следовательно,
группа Пуанкаре является полупрямым произведением Т4 х)
х) SO (3, 1) четырехмерной группы трансляций Т4 и однородной
группы Лоренца SO (3, 1). Группа SO (3, 1) действует на Т4 как
группа автоморфизмов. Заметим, что Т4 — инвариантная под-
группа в Т4 х) SO (3, 1) и 74 х) SO (3, l)/?4 изоморфно SO (3, 1).
Формула (10) может быть записана как матричное произведе-
ние, если мы представим (а, Л) в виде

(«, Л) =

"Л а

0 1

(11)

Пример 2. Пусть R3 — евклидово пространство, R — вра-
щение, и и а — 3-векторы, a b — вещественное число. Преобра-
зование Галилея g = (b, а, v, R) определяется формулой

х' = Rx 4- vt 4- а,

(12)

Это определение имеет в виду следующий закон композиции для
группы Галилея:

(Ь', а', <о', R')(b, а, v, R) =

= (Ь'4-Ь, а' 4- R'a 4- bv', v'4-R'c, R'R),

(13)

который является законом композиции типа полупрямого произ-
ведения. Он может быть записан как матричное произведение, если
представить (b, a, v, R) в виде

R v а

0 1 Ь
0 0 1

(14)

Обратным к элементу g является (b, а, v, R)1 = (—b, R1 (а —
— bv), —R1©, R'1). Эти формулы получаются из соответствую-
щих преобразований Пуанкаре из предыдущего примера путем
предельного перехода (х0 = ct):

?0, с->сх> так, чтобы Aofc—>v£,

а0 —> оо, с —► оо так, чтобы о0/с —»Ь.

(15)

Предельному переходу (15) в алгебре Ли соответствует кон-
тракция, введенная в гл. 1, § 8, пример 2.

§ 5. Разложение Леви—-Мальцева

А. Разрешимые, нильпотентные, простые
и полупростые группы Ли

Пусть G — абстрактная группа. Сопоставим каждой паре эле-
ментов х, у С G элемент q = хух~1у~\ который называется комму-
татором элементов х и у. Множество Q всех элементов g £ G,
которые представляются в виде g = q±q2 ... qm, где каждое qt яв-
ляется коммутатором двух элементов х(-, yt £ G, называется ком-
мутантом группы G. Коммутант D является инвариантной под-
группой в G. Действительно, произведение элементов q =	...
... qn и q' = q{qi ... q’m является элементом из Q, и обратный эле-
мент q~l = q~n ... g'j к q также элемент из Q. Более того, если
g С G и q =	... qn Е Q, то

g~lqg = П g~xqig = П g-lxlgg-1yig^1x7tgg-xy{g £ Q,
1=1	1=1

т. е. Q — нормальная подгруппа в G. Однако в общем случае Q не
является топологической подгруппой (см. определение 2.2.2).

Взяв замыкание коммутанта Q в топологии группы G, полу-
чаем нормальную топологическую подгруппу.

Фактор-группа G/Q абелева. Действительно, если х, у £ G,
a X = xQ и Y = yQ — любые два элемента из G/Q, то

XYX^Y~l = xQyQx-lQy-lQ = xyx^y^Q = qQ = Q^eQG/Q,

т. e. G/Q коммутативна.

Рассмотрим теперь цепочку коммутантов

G = Qo ZD Qi ZD . . . ZD Q„^ ZD Q„ ZD...,	(1)

где каждое Qn — коммутант для Q„„1. Если для некоторого т
Qm = {е|, то говорят, что группа G разрешима. Если Н — под-
группа разрешимой группы G, то для n-го коммутанта для Н имеем
(QH)„ cz: Qn. Поэтому каждая подгруппа разрешимой группы
разрешима. Разрешимые группы всегда имеют коммутативные ин-
вариантные подгруппы. Действительно, если Qm = {е|, но
Qm-i Iе) > то Для любой пары х, у Q Qm-1 имеем хух^у"1 = е,
т. е. ху = ух.

ПРИМЕР 1. Пусть G — группа движений евклидовой пло-
скости R2. Каждый элемент g Q G может быть представлен в виде
g = (а, Л), где а — элемент группы трансляций Т2, а Л — эле-
мент группы вращений SO (2). Групповое умножение задается
формулой (см. пример 4.1)

(а, Л) (а', А') = («-{- Аа’, АЛ'),	(2)

т. е. группа движений Д2 — полупрямое произведение Т2 х) SO (2).

Согласно (4.7) и (2), коммутатор элементов х = (а, Л) и у =
= (а', Л') совпадает с

q = (а, Л) (а', Л') (а, Л)-1 (а', Л')-1 = («-{- Аа' — а’ — А'а, I) б Т2.

Поэтому Qr = Т2, Q2 = (0 /) = е, т. е. группа Т2 х) SO (2) разре-
шима.

Теорема 1. Каждая разрешимая связная группа Ли может быть
представлена в виде произведения

G = TJ\...Tm
однопараметрических подгрупп Т,, где для любого k, 1 < k <Zm,
множество

G/{ — Т/i+17'fe+2 • •. Тт

является нормальной подгруппой в G.

Доказательство прямо следует из теоремы 1.2.2, и мы оставляем
его читателю как упражнение.

Пусть К. — множество всех элементов, порожденных коммута-
торами

q = хух^у-1, х Q Q, yQG.

Как и в предыдущем случае, легко проверить, что К — инвариант-
ная подгруппа в G. Рассмотрим последовательность инвариантных
подгрупп

G = Ко ZD Ki ZD К2 =□ - - - => K„_1 ZD Kn ZD . . .,	(3)

где K,!+i — подгруппа в G, порожденная коммутаторами q =
= xyxMf\ х С Кп, У € G. Если при некотором т Кт = !е}» то
говорят, что группа G нильпотентна. Из определения следует, что
подгруппа нильпотентной группы нильпотентна. Более того, так
как Кп ,г = 1> 2, ..., то каждая нильпотентная группа раз-
решима.

Каждая нильпотентная группа имеет нетривиальный центр.
Действительно, если Кт = Iе} > но Km-i =/= О, то Для любых
х € Km-i и у С G имеем хух~1у~1 = е, т. е. ху = ух.

Группа Ли нильпотентна, если она нильпотентна, как аб-
страктная группа.

Группа Ли проста, если она не имеет собственных связных
инвариантных подгрупп Ли. Подчеркнем, что в противополож-
ность к простым конечным группам простая группа Ли может
содержать дискретную инвариантную подгруппу. Например,
группа SU (и) имеет дискретную циклическую инвариантную
подгруппу Z„ порядка п, порожденную элементом

g — exp £ ~~ J е, eQSU (ti).	(4)

Однако все группы Gt = SU (n)/Zz, где Z, — подгруппа в Zn,
рассматриваются согласно определения как простые группы Ли.

Группа Ли полупроста, если она не содержит собственной
инвариантной связной абелевой подгруппы Ли.

Б. Разложение Леви—Мальцева

Разрешимые и полупростые группы образуют два непересекаю-
щиеся класса. Действительно, каждая разрешимая группа Ли
содержит инвариантную абелеву подгруппу, тогда как полупро-
стая группа Ли не содержит такой. Теория групп Ли может быть
сведена в некотором смысле к исследованию свойств разрешимых
и полупростых групп. Действительно, имеет место

Теорема 1 (теорема Леви—Мальцева). Каждая связная группа
Ли G локально изоморфна полупрямому произведению

N х) S,	(5)

где N — связная максимальная разрешимая инвариантная под-
группа в G, a S — связная полупростая подгруппа в G.

Доказательство. Пусть L — алгебра Ли группы G. В силу
теоремы 1.3.5 Леви—Мальцева L — полупрямая сумма N 4) S
радикала N и полупростой подалгебры Ли S. Пусть N x)S обо-
значает связную группу Ли с алгеброй Ли N 4) S, где N и S —
связные подгруппы, соответствующие N и S соответственно (см.
теорему 3.3). Тогда, согласно теореме 3.3, G и N х) S локально
изоморфны.

§ 6.	Разложения Гаусса, Картана, Ивасавы и Брюа

В гл. 1, § 6, мы рассмотрели разложения Гаусса, Картана и
Ивасавы для алгебр Ли. Теперь мы дадим соответствующие гло-
бальные разложения для групп Ли.

А. Разложение Гаусса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Топологическая группа G допускает разло-
жение Гаусса, если G содержит подгруппы 3. О и Z, удовлетво-
ряющие условиям:

Г Множества 3D и DZ являются разрешимыми связными под-
группами в G, коммутанты которых совпадают с 3 и Z соответ-
ственно.

2° Пересечения 3 П DZ и D П Z состоят только из единичного
элемента и множество %DZ плотно в G.

Из первого условия следует, что D — абелева подгруппа,
а 3 и Z — разрешимы и связны. Второе условие означает, что
почти каждый элемент g £ G имеет разложение вида

£ез, sen, z^z,	(1)

и если такое разложение существует, то оно единственно. Элемент
g С G называется регулярным, если он допускает разложение (1),
и сингулярным в противном случае.

ТЕОРЕМА 1. Каждая связная полупростая комплексная группа
Ли G допускает разложение Гаусса

G=3DZ,

(2)
где абелева группа D связна, а группы % и Z односвязны и нильпо-
тентны; QD и DZ — максимальные связные разрешимые подгруппы
в G. Множество сингулярных точек (дополнение к QDZ) замкнуто
и имеет меньшую размерность, чем G; компоненты £, биг регуляр-
ной точки g С 3DZ являются непрерывными функциями от g.

Два разложения этого типа связаны автоморфизмом группы G,
(Доказательство см. в [875], § 5.)

Проиллюстрируем эту теорему примером группы SL (2, С),
которая является накрывающей группой однородной группы Ло-
ренца.

ПРИМЕР 1. Пусть G = SL (2, С). Пусть 3> D и Z — под-
группы в SL (2, С), состоящие из матриц вида

Гб’1 01	[10

б =	„ „ , z =	,

[ 0 6J [z 1

(3)

соответственно. Для простоты мы обозначили матрицы и соответ-
ствующие им комплексные числа одинаковыми буквами. Группа D
изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, а каж-
дая из подгрупп 3 и Z изоморфна аддитивной группе комплекс-
ных чисел. Сравнивая произведение £6z и матрицу

£ — I СГ Ct € SL (2, С), gllgzz gl2§21— 1»
1б21 622.

проверяем, что каждый элемент g С SL (2, С), для которого
g22 =(= 0, имеет единственное разложение вида

g =	С€3, бео, z^Z,	(4)

где компоненты £, б и z определяются по формулам

£ = -§“• «-г». *=*-•	(5)

Пусть S = DZ; тогда для коммутантов имеем
S‘1> = Z, S<2> = Z<?> = {е}.

Следовательно, S — разрешимая группа. Подобным образом про-
веряется, что К = ЗД разрешима. Обе подгруппы связны, так
как каждый элемент из S или К может быть достигнут непрерывно
из единичного элемента. Множество матриц вида (4) плотно
в SL (2, С), так как его дополнение, определенное условием g22 =
= 0, имеет меньшую размерность, чем SL (2, С). Следовательно,
разложение (4) представляет собой разложение Гаусса для
SL (2, С).
Замечание. Если мы предположим, что абелева подгруппа D
состоит из диагональных матриц вида

0]

6 = [о б2.

(6)

то, согласно определению 1, 3DZ дает разложение Гаусса группы
GL (2, С).

ТЕОРЕМА 2. Пусть G = SL (n, С), и пусть
группы в G, элементы которых имеют вид

3, D и Z — под-

1 £12	£13	•	•	•	£1л

1	£гз	•	•	•	£гп

(7)

* = г21

_2ni Zn2 . . . 1_

Тогда разложение

G = $DZ	(8)

и разложение

G = ZD3	(9)

являются разложениями Гаусса для SL (п, С).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего покажем, что для почти каж-
дого элемента g £ SL (n, С) существует элемент z £ Z, такой, что
gz £ К, где К — подгруппа всех верхних треугольных матриц
с единичным детерминантом. Действительно, из определения
подгруппы /С следует, что все матричные элементы в gz под глав-
ной диагональю должны равняться нулю. Более того, zPq = 0
для р <2qwzPP = 1. Следовательно, условие gz £ К эквивалентно
системе линейных уравнений

п

U <Ws9 = 0 ДЛЯ P>q,

S=Q

т. е. системе
При фиксированном q определитель, составленный из коэффи-
циентов системы (10), совпадает с минором вида

gq+l, q+1 • • • gq+l, n

gq+l —

(H)

gn, q+1 • • • gnn

Следовательно, если g^ не равно нулю, то система (10) имеет ре-
шение относительно zs9. Таким образом, почти все элементы
g С SL (п, С) могут быть представлены в виде g — kz. Теперь
каждый элемент k £ К однозначно представляется в виде

k =	£€3,	(12)

Действительно, равенство (12) означает, что

kpq — tpqbq (суммирование отсутствует).	(13)

В частности, для р = q t,PP = 1- Поэтому

= kpp, tpq —	.	(14)

Таким образом, каждый элемент g £ SL (n, С), для которого ми-
норы (11) при <7=1,2, ..., п — 1 не обращается в нуль, имеет
разложение вида

g = tfz,	^D, z£Z.	(15)

Множество сингулярных точек, для которых по крайней мере
один минор (11) обращается в нуль, имеет размерность меньшую,
чем размерность группы SL (п, С). Следовательно, его дополне-
ние QDZ плотно в G. Итак, разложение (8) доказано. Легко про-
верить, что подгруппы 3, D, Z, 30 и DZ обладают всеми свойст-
вами, сформулированными в теореме 1. Поэтому (8) дает желанное
разложение Гаусса для SL (n, С).

Разложение (9) выводится подобным же образом.

Замечание. Явный вид непрерывных функций £ (g), 6 (g) и
z (g) дан в упражнениях 11.6.1 и 11.6.2.

Компактные полупростые группы Ли не допускают разложе-
ния Гаусса, поскольку они не имеют разрешимых подгрупп.
Однако для некомпактных полупростых вещественных групп Ли
существуют некоторые аналоги разложения Гаусса. Действительно,
имеет место

Теорема 3. Каждая связная полупростая вещественная группа
Ли G допускает разложение

G = 3DZ,
где D — прямое произведение

D = A®K
односвязной абелевой группы А и связной полупростой компактней
группы К, а группы 3 и Z нильпотентны и односвязны.

Множество сингулярных точек (дополнение к 3DZ) замкнуто
и имеет размерность, меньшую чем G. В разложении регулярной
точки g = £6z все компоненты £, 6 и г являются непрерывными
функциями от g.

(Доказательство см. в [875], § 6.)

Б. Разложение Картана

Пусть L — вещественная полупростая алгебра Ли, и пусть

L - К + Р	(16)

— ее разложение Картана (см. теорему 1.6.9). Существует гло-
бальный вариант этого разложения, который описывается следу-
ющей теоремой.

ТЕОРЕМА 4. Пусть G — связная полупростая группа Ли с ко-
нечным центром. Алгебра Ли L группы G имеет разложение Кар-
тана (16). Пусть — связная подгруппа в G, алгебра Ли которой
совпадает с К, и пусть &—образ векторного пространства Р
при экспоненциальном отображении. Тогда

G==lPy£.	(17)

(Доказательство см. в [167].)

Пример 2. Пусть G = SL (п, R). Разложение Картана ал-
гебры Ли L группы G является разложением произвольной ма-
трицы с нулевым следом в сумму кососимметрической матрицы и
симметрической матрицы с нулевым следом (см. пример 1.6.2).
Связная подгруппа У£ группы G, алгебра Ли которой совпадает
с К, состоит из ортогональных матриц. С другой стороны, множе-
ство 5s является множеством унимодулярных эрмитовых матриц.
Поэтому глобальное разложение (17) в настоящем случае совпа-
дает е хорошо известным полярным разложением унимодулярной
матрицы в произведение ее эрмитовой и ортогональной частей.

В. Разложение Ивасавы

Пусть L — вещественная полупростая алгебра Ли, и пусть

L^K + HP + NO	(18)

— ее разложение Ивасавы (см. теорему 1.6.3). Глобальный ва-
риант разложения (18) описывается следующей теоремой.
ТЕОРЕМА 5. Пусть G — связная группа с алгеброй Ли L, и пусть
Ж, stp и Ж—связные подгруппы в G, соответствующие подалгебрам
К, Нр и No соответственно. Тогда

С = Ж$?-РЖ,	(19)

и каждый элемент g £ G однозначно разлагается в произведение
элементов из Ж, stp и Ж. Группы stp и Ж односвязны.

(Доказательство см. в [390], гл. VI, § 5.)

Пример 3. Пусть L = si (п, R). Разложение Ивасавы (18)
для si (n, R) представляет собой разложение произвольной ма-
трицы с нулевым следом в сумму кососимметрической, диагональ-
ной и верхней треугольной, причем последняя с нулями на глав-
ной диагонали (см. пример 1.6.3). Итак, группа Ж — ортогональ-
ная группа SO (п), группа stp абелева, а группа Ж нильпотентна
и состоит из верхних треугольных матриц с единицами на главной
диагонали. Следовательно, глобальное разложение Ивасавы (19)
для группы SL (п, R) представляет собой разложение произволь-
ной унимодулярной матрицы в произведение ортогональной, диа-
гональной и верхней треугольной матриц, причем последняя с еди-
ницами на главной диагонали.

Г. Разложение Брюа

Пусть 'З — ЖлЛЖ— разложение Ивасавы связной полупро-
стой группы Ли S с конечным центром. Пусть Ж — централиза-
тор алгебры Ли А группы st- в Ж, т. е. Ж = \Н^Ж : Ad^X = X
для каждого X из А}. Полагаем SP = Л st Л1.

Так как st- и Ж нормализуют Ж, то SP—замкнутая подгруппа
в <3.

Подгруппа & и подгруппы, полученные из нее сопряжениями
в S, будут называться минимальными параболическими подгруп-
пами в S.

Пусть L и А — алгебры Ли для S и st соответственно, и пусть
1Г — группа Вейля пары (L, А). Пусть Ж* — нормализатор
алгебры А в Ж, т. е. Ж*' = {k £ Ж~. AdftA с: А}. Очевидно, что
Ж — нормальная подгруппа в Ж*. Группа Вейля W может быть
отождествлена с фактор-группой Ж*1Ж.

Пусть /Пщ — любой элемент из Ж*, лежащий в классе смежных
элементов, сопоставляемом с w. Обозначим через двойной
класс смежных элементов Фт^Р. Следующая лемма дает так на-
зываемое разложение Брюа группы S’.

ЛЕММА 5. Отображение

w'—»	'w £ W,
является взаимно однозначным отображением W на множество
двойных классов смежных элементов £Рх&, х^З, т. е.

3 = U (непересекающиеся слагаемые').

(Доказательство см. в [150].)

Пример 4. Пусть 9 = SL (2, R). Тогда

(Г cos (г — sin <р	)	(Г а 0	1

, (р£(0, 2л)1, ^/ = 1	а£7Н,

[[sin<p	cos <pj	j	[[0 fl1]	J

(Г1 cl ]

= | 0 jJ, cfEflj-

Легко проверить, что централизатор Jll алгебры А в состоит

Г1 °’

из двух элементов М = {е, —е], е = q । •

Минимальные параболические подгруппы имеют вид

x£SL(2, /?),

a£R+, b£R

Используя определение подгруппы^*, легко проверить, что из
условия АфИ с А следует, что ф — пл/2. Это предполагает, что
Я* является группой из трех элементов:

Следовательно,

W =	= е,

'° “ ’11
— 1 0 ]}‘

Поэтому SL (2, R) может быть
щееся объединение двух двойных

представлена как непересекаю-
классов смежных элементов.

§ 7.	Классификация простых групп Ли

В силу теоремы 3.3 классификация Киллинга—Картана про-
стых алгебр Ли приводит к классификации соответствующих
простых групп Ли. Явная форма простой группы Ли, соответ-
ствующей простой комплексной или вещественной алгебре Ли L,
может быть легко получена путем взятия экспоненты от явно опре-
деленного представления алгебры Ли L, заданного в гл. 1.5. На-
пример, алгебра Ли si (п, С) была реализована в виде множе-
ства всех комплексных //X//-матриц с нулевым следом. Поэтому
группа SL (и, С) состоит из всех элементов

х^ех, X£sl(n, С).	(1)
В силу тождества det ех = еТг х она является множеством всех уни-
модулярных /г х/г-матриц. Аналогично вычисляется явная реали-
зация всех других простых групп Ли, соответствующая явной
реализации в гл. 1.5 сопоставляемых им алгебр. Ниже мы их пере-
числяем.

А. Группы, соответствующие алгебрам А^:

SL(n, С)

SU00
SL/и. Л)
SU(/>,9),
SU*(2n)
SL(zi, C)R

P + q = n, pit q.

(2)

1.	SU (p, q), p H q = n, p q — группа всех матриц из
SL (п, С), которые оставляют инвариантной квадратичную форму

ZjZi ф-   • ф~ ZpZp Zp+l^p+l • • ' ZnZtl	(3)

в Cn. При <7 = 0 получаем унитарную группу SU (/г) унимодуляр-
ных матриц. Остальные группы SU (р, q), q 4= 0, могут быть наз-
ваны псевдоунитарными группами.

2.	SL (и, R) — группа всех вещественных матриц с единич-
ным детерминантом.

3.	SU* (2/г) — группа всех матриц из SL (2/г, С), которые ком-
мутируют с преобразованием о в С2п, заданным формулой

о: (zb.... z2„)	(zn+1,..., z^, — zi..., — z„).	(4)

4.	SL (n, С)к — группа SL (n, С), рассматриваемая как веще-
ственная группа Ли.

Б. Группы, соответствующие алгебрам Вп:

SO(2n + l,C)

5О(2л + 1)

SO0>,9), p + q = 2л + 1, p > q-
SO(2n + l,C)*

(5)

1.	SO (2/г г 1, C) — группа всех матриц'из SL (2/г Ф 1, C),
которые сохраняют в С2п+1 квадратичную форму

zi 4~    Ч- г2Л+1-	(6)

2.	SO (р, q), р ф q = 2п ф 1, р q — группа всех матриц из
SL (2/г - 1, R), сохраняющих квадратичную форму

Х1 ф • • • ф- Хр ф+1 — • • • — Х2п+1'	(?)

При q = 0 получаем компактную ортогональную группу
SO (2/г ф 1). Остальные группы SO (р, q), q > 0, могут быть
названы псевдоортогональными.
3.	SO (2п + 1, C)R — группа SO (2/<	1, С), рассматривае-

мая как вещественная группа Ли.

В. Группы, соответствующие алгебрам Сп:

Sp(„.С)

Sp(n)

- Sp(p,y),
' Sp(n. С)"

pH q

(8)

n, p > <7-

1.	Sp (n, C) — группа всех матриц из GL (2n, С),
сохраняют в С2п внешнюю форму х)

которые

zi Л zn+i 4~ z2 Д z„+2 4~ •  • -j- ztl Д z2n.

(9)

2.	Sp (р, q) — группа всех матриц из Sp (п, С), которые сохра-
няют в С2" эрмитову форму

(Ю)

где

(П)

При <7 = 0 получаем компактную симплектическую группу
Sp (п). Из (10) видно, что

Sp(n) = Sp(n, С) П П(2п)

Sp(p, <7) = Sp(n, С) П U (2р, 2q).

3.	Sp (n, R) — группа всех матриц из GL (2п, R), которые
сохраняют в Rin внешнюю форму



и

*1Л хп+1 -[-••• Д х2п.

(12)

4.	Sp (п, C)R — группа Sp(n, С), рассматриваемая как веществен-
ная группа Ли.

х) Внешняя форма определяется формулой (х Д </)!/ =	(х{у1 — х1у‘).
Г. Группы, соответствующие алгебрам Dn:

SO (Zn, С)

soezn)

SO*(Zn)
---- SO(p,?),

SO(Zn,C)

p + 9 = Zn,
R

(13)

1.	Определения групп SO (2n, C), SO (p, q), p q = 2n,
p q, SO (2/i, C)R следуют из определений Б. 1, Б. 2 и Б.З путем
замены в соответствующих формулах индекса 2/г -|- 1 на 2/г.

2.	Группа SO* (2/г) является группой всех матриц из
SO (2/г, С), которые сохраняют в С2" косоэрмитову форму

г1гп+1 4~ ^п+1^1	^2^л+2 4~ ^л+2^2	’ * ’ ‘ ' %гЛ2п 4” ^2л^л- ( 1^)

Д. Связность классических групп Ли

Мы показываем в гл. 5, что если группа Ли G /г-связна, то су-
ществуют /г-зиачные представления группы G. Следующая тео-
рема дает описание свойства связности классических групп Ли.

ТЕОРЕМА 1. а) Группы GL (/г, С), SL (/г, С), SL (/г, R),
SU (р, q), SU* (2/г), SU (/г), U (/г), SO (/г, С), SO (/г), SO* (2/г),
Sp (/г, С), Sp (/г), Sp (/г, R), Sp (р, q) связны.

б)	Группы SL (/г, С) и SU (/г) односвязны.

в)	Группы GL (/г, R) и SO (р, q) (0 <[р Р + <?) имеют по
две связные компоненты.

(Доказательство см. в [390], гл. IX, § 4.)

В табл. 1 дается описание центра Z (G) универсальной накры-
вающей группы G компактных простых групп Ли.

Таблица 1

6	z (C)	dim G
SU (л) SO(2n+l)  Sp (n)  SO (2/i)	Z-i  z2  Z4> если n нечетное  Z2)<Z2, если n четное	Ai n2—1 n (2n+1) n (2n |-1) n (2n—1)

§ 8. Структура компактных групп Ли

Мы доказываем здесь замечательный результат, состоящий в
в том, что любая компактная группа Ли является прямым произ-
ведением ее центра и конечного числа компактных простых под-
групп.
В гл. 1, § 2, Г мы определили компактную алгебру Ли L как
алгебру, в которой существует положительно определенная ква-
дратичная форма (-,-), удовлетворяющая условию

([X, У], Z) + (У, [X, Z]) = 0.	(1)

Теперь мы докажем

Утверждение 1. Алгебра Ли L компактной группы Ли G
компактна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (X, X) — любая положительно опре-
деленная квадратичная форма на L (например, (X, X) =
где Xi — координаты элемента X в некотором базисе).

Положим cpg (X) = (/gX, /ёХ), где lgX обозначает действие
присоединенной группы в L, заданное формулой (3.29). При
фиксированном g £ G ipg (X), как функция вектора X £ L, яв-
ляется положительно определенной квадратичной формой, в то
время как при фиксированном X <pg (X) — непрерывная положи-
тельная функция на G. Поскольку G компактна, новая билиней-
ная форма, определенная формулой

(X, Х)' = JT<,(X)dg,

G

является положительно определенной квадратичной формой на L.

В силу инвариантности меры Хаара при любом h £ G имеем

(/АХ, lhX)' = J (lhgX, lhgX) Ag = J (lgX, lgX) d£ = (X, X)', (2)
G	G

t. e. ( •, • )' инвариантно относительно действия присоединенной
группы. Взяв в (2) однопараметрические подгруппы h (tf), i ==
= 1, 2, ..., dim G, присоединенной группы и дифференцируя
по tt при ti = 0 получим формулу (1).

Теперь докажем основную теорему.

Теорема 2. Компактная связная группа Ли G является пря-
мым произведением ее связного центра Go и простых компактных
связных подгрупп Ли.

Доказательство. Пусть L — алгебра Ли группы G. В силу
утверждения 1 L компактна. Поэтому из теоремы 1.3.2 заключаем,
что

L, = N ф ф Х2 ф ... ф Sn,	(3)

где N — центр в L, a S/;, k = 1, 2, ..., п, — простые идеалы в L.
Следовательно, в силу теоремы 3.3 получаем

G = Go х Gt х G2 X ... X Gn,	(4)

где Go — связный центр группы G, a Gk, k = 1, 2, ..., п, — про-
стые связные подгруппы Ли в G.
§ 9. Инвариантная метрика и инвариантная мера
на группах Ли

А. Инвариантная метрика

Из теоремы Биркгофа—Какутани 2.4.3 мы знаем, что каждая
группа Ли допускает правоинвариантную метрику. Теперь мы
явно построим эту метрику для любой матричной группы Ли.

Утверждение 1. Пусть G— матричная группа Ли. Пусть
dg — матрица, состоящая из дифференциалов всех матричных
элементов матрицы g £ G, и пусть w (g, dg) — дифференциаль-
ная форма на G, заданная формулой w (g, dg) = dgg1. Тогда

ds2 = Tr wwT = £ w}j

(1)

является правоинвариантной метрикой на G.

Доказательство. Форма w (g, dg) правоиивариантна на G.
Действительно, w (gh, d (gh)) = dghh^g'1 = w (g, dg). Следо-
вательно, ds2 правоинвариантна и положительна.

Пусть теперь G — простая группа Ли, а с'^ — структурные
константы алгебры Ли L группы G. Отображение g -> goggo”1 по-
рождает автоморфизм (3.29) алгебры Ли L. Следовательно, струк-
турные	константы	и метрический тензор Картана

ЛПЛ	/О\

Qij ~~~ cilcjm	(2)

двусторонне инвариантны. Поэтому метрика

ds2(/)==gi/dPd//	(3)

также двусторонне инвариантна. Если G	компактна, то метриче-

ский тензор gij положительно определен; в противном случае он
является индефинитным. Поэтому каждая простая группа Ли яв-
ляется или римановым, или псевдоримановым пространством.

Если q и h — произвольные элементы в G, то расстояние
d (g, h) определяем формулой

d(g, h) = inf f ds,

V
V

(4)

где inf взят относительно всех непрерывных кривых, связываю-
щих g и h. Ясно, что расстояние (4) имеет те же свойства инвари-
антности, что и метрика ds.

Пример 1. Пусть G — SL (п, Н). Инвариантный метрический
тензор Картана для SL (я, И) имеет вид (1.2.14)

gsm, s'm' 2/16,ns'.	(5)
В силу примера 2.1 координаты l‘i элемента

х =	/=1 С SL (п, R)	(6)

являются матричными элементами x‘i. Следовательно, в силу
формул (1) и (6) инвариантная метрика имеет вид

ds2 == gsm, s'm’ dxsm dxs'm' = 2n Tr (dx)2,	(7)

где dx — матрица [dx1/]. Эта метрика двусторонне инвариантна.

Расстояние между двумя любыми точками теперь получается
подстановкой (7) в (4).

Б. Инвариантная мера

Мы доказали в гл. 2, § 3, что на любой локально компактной
топологической группе G существует левоинвариантная или пра-
воинвариантная мера dp (х). Это предполагает, в частности, что
все группы Ли обладают левоинвариантными или правоинва-
риантными мерами Хаара.

ПРИМЕР 2. Пусть G — трехмерная группа треугольных ма-

триц

1

£(сс,р, у) = о
0

а

1

0

У = (а, р, у), а, р, у £ Я1-

1

Эта группа называется группой Вейля. Ее групповое пространство
изоморфно R3. Закон умножения в G задается следующей форму-
лой:

(«» Р> У) « Р'> У') = (« + Р + У + У' + аР')-

Поэтому евклидова мера на R3, заданная формулой

dg(cc, р, y) = dadpdy,

как левоинвариантна, так и правоинвариантна.

Другие примеры инвариантных мер для отдельных групп Ли
даны в упражнениях.

§10. Комментарии и дополнения

А. Экспоненциальное отображение

Мы обсуждаем здесь свойства однопараметрических подгрупп
g (/) в G, полученных взятием экспоненты элементов X алгебры Ли
L группы G. Сначала мы рассмотрим эту теорию для матричных
алгебр Ли.
Пусть X — произвольная «X «-матрица Х = [Х(/]. Пусть
р, = max I Хц I. Тогда для матричных элементов (Хк)ц k-й сте-
Ч

пени Xk (0 k <<оо) матрицы X имеем

1(Х%| < (пр)*.	(1)

Действительно, неравенство (1) справедливо при k — 0. Предпо-
ложив, что (1) справедливо для некоторого целого k 0, полу-
чаем

| (X*+')iy I = | (X*)l7XZ/1 < n(np)* Р = (nfi)ft+1.

Следовательно, согласно индукции, неравенство (1) справедливо
для любого k. Теперь полагаем

0(Х) = ехрХ = / + 4- + -^- + .-- +4г+-‘--	&

В силу (1) при фиксированных i и j каждый ряд



мажорируется рядом У рЛДг!; поэтому он абсолютно сходим. Сле-
довательно, для матрицы X = {Хгу}, удовлетворяющей условию
| Xjj | < со, экспонента exp X всегда существует. В силу равен-
ства Якоби

det exp X = exp Tr X	(3)

экспонента любой матрицы является регулярной матрицей.

В силу теоремы Адо каждая алгебра Ли имеет точное пред-
ставление, заданное конечномерными матрицами. Пусть Xlt ...
..., Хп — базис в этой матричной алгебре. Тогда отображение
(6Л + • • • + /лХ„)—>ехр (^Х, + • • • + tnXn) (4)

задает отображение окрестности точки 0 из L в окрестность еди-
ницы е в G.

Ясно, что в силу (2) мы имеем

exp (/ s) X = exp tX exp sX

(5)

и

exp tX = X exp tX.

Поэтому X — касательный вектор к кривой exp tX в t = 0. Нера-
венство (1) предполагает, что отображение t exp tX из R в G
аналитично.

В некоторых случаях отображение X -+ exp X, X L, по-
крывает всю группу G (см. упражнения). Однако это имеет место
не во всех случаях. Например, диагональная матрица в GL (n, R)
с отрицательными матричными элементами не может быть пред-
ставлена как экспонента некоторой вещественной матрицы.

В применениях полезно иметь абстрактную формулировку
понятия экспоненциального отображения. Она дается следующей
теоремой.

ТЕОРЕМА 1. Пусть G — группа Ли, a L —ее алгебра Ли. Тогда
1. Для каждого X С L существует единственный аналитиче-
ский гомоморфизм 0 (t) = exp tX из R в G, такой, что

exp (t 4 s) x = exp tX exp sX,	(6)

4-	exp tX |^> = X,	(7)

exp OX = I.	(8)

2.	При X,Y £ L мы имеем

exp tX exp tY = exp [t (X 4 Y) 4 -y* Iх- rl + 0 (Н),	(9)

exp (— tX) exp (— tY) exp tX exp tY = exp {P [X, У] -}- О (t3)}, (10)

exp tX exp tY exp (—tX) == exp {tY 4 £a[X, ^1 + O(^)}- (П)
В каждом случае О (t3) обозначает вектор в L со следующим свой-
ством: существует е > 0, такое, что t3O (t3) ограничено и анали-
тично при | 11 < е.

3.	Существуют открытая окрестность No точки 0 в L и откры-
тая окрестность Ve единицы е в G, такие, что отображение ехр
является аналитическим диффеоморфизмом No на Ve.

(Доказательство см. в [390], гл. II, § 1.)

Пусть Хъ ..., Хп — базис в L. Отображение

exp((1Xi+-.. 4W-(^.-..Q	(12)

из Ve на No задает систему координат на Ve, которая называется
канонической.

Б. Разложение Тейлора

Пусть G — группа Ли, а £ — ее алгебра Ли. Пусть X и X —
левоинвариантное и правоинвариантное векторные поля соответ-
ственно, заданные формулами (3.39) и (3.40) и соответствующие
элементу X £ £. Тогда имеет место
ТЕОРЕМА 2. Пусть f — аналитическая функция на G. Тогда
при 0 < t < 1 имеем

“ k

f(gexpZX) = 24r^](^’	<13)

k=0

ео
f(expfXg) = ]P-^l£fl(g).	(14)

(Доказательство см. в (390], гл. II, § 1.)

В. Теорема Леви—Мальцева для групп

Мы формулируем расширенный вариант теоремы 1 из § 5.

ТЕОРЕМА 3 (теорема Леви—Мальцева). Пусть G — связная
группа Ли, a L = N •£) S — разложение Леви—Мальцева ее алгеб-
ры Ли, и JT и § — аналитические подгруппы, соответствующие N
и S соответственно. Тогда

G = JT^§,	(15)

где — инвариантная подгруппа в G, а § — максимальная полу-
простая связная подгруппа в G.

Если G односвязна, то подгруппы М и S односвязны и для любого
Ц G G разложение g = ns, где п £ JT и s Q S, однозначно.

(Доказательство см. в (184 1.)

Г. Унимодулярные группы Ли

В применениях важно знать, является заданная группа Ли G
унимодулярной или нет (см. 2.3). Следующая теорема дает пере-
числение групп Ли, о которых известно, что они унимодулярны.

Теорема 4. Следующие группы Ли унимодулярны:

Г Группы Ли G, для которых множество значений модулярной
функции {А (х), х £ G] компактно.

2° Полу простые группы Ли.

3° Связные нильпотентные группы Ли.

(Доказательство см. в (390], гл. X, § 1.)

Д. Меры на полупрямых произведениях групп Ли

ТЕОРЕМА 5. Пусть G — T х) х, U пусть At и Ak обозначают
левоинвариантные меры Хаара на Т и К соответственно. Тогда
лсвоинвариантная мера Хаара на G имеет вид

. cl/ d£

йе=^- <16>
а модулярная функция AG (g) на G имеет вид

A°(g) = Ar(0AK(*)/6r(*)>	(17)

где функция 8Т (k) является однозначно определяемой положитель-
ной функцией, удовлетворяющей соотношению

\f(t)At, f£L(T,At). (18)
г	т

(Доказательство см. в [6131, гл. II, § 7.)

Формула (17) предполагает, что G — унимодулярна тогда и
только тогда, когда Т унимодулярна и 67 (k) = Ак (k).

Е. Библиографические комментарии

Понятие локальной группы Ли было введено Софусом Ли как
инструмент для анализа свойств дифференциальных уравнений
в частных производных (см. [523], часть III). Связь между ло-
кальными и глобальными группами Ли была впервые выяснена
Картаном [161]; он доказал, что каждая алгебра Ли над R яв-
ляется алгеброй Ли некоторой группы Ли. Первое систематиче-
ское изложение теории групп Ли с глобальной точки зрения было
дано Шевалле [182].

§11. Упражнения

§ 1.1.	Пусть Т1 — фактор-пространство RIZ, где Z — множе-
ство целых чисел. Наделяем Т1 естественной топологией фактор-
пространства. Покажите, что если класс смежных элементов р £
С Т1 не содержит числа*1^ или 3/4, то функция sin 2лр может быть
использована для определения системы координат (т. е. карты
(U, sin 2пр)) в окрестности точки р. Если класс смежных элемен-
тов р не содержит 0 или V2, то функция cos 2л р тоже может быть
использована с этой целью.

§ 2.1.	Покажите, что каждый элемент g £ SU (2) может быть
записан в виде

g = «о°о +	(1)

где 1Щ £ R и удовлетворяют условию
w0 “1" Ы1 W2 -ф- и3 = 1,

(2)

о0 = I, а были определены в главе 1.1.А.

§ 2.2.	Покажите, что SU (1, 1) состоит из тех элементов
g G SL (2, С), которые удовлетворяют условию
§ 2.3.	Покажите, что элементы g £ SU (1, 1) могут быть за-
писаны в виде

g = ЦДо 4- *№ +	+ ВД-	(4)

где Гц С R »
2	2	2 । 2 I	/j-x

f 0 '—	— t>2 -|- Гз = 1.	(5)

§ 2.4.	Покажите, что SL (2, /?) состоит из тех элементов из
SL (2, С), которые удовлетворяют условию

g*o2g = <>2,	(G)

и могут быть записаны в виде

g — ®о°о 4~	4~	“4'	(7)

где йУц С R-

§ 2.5.	Покажите, что отображение

g~*g' = P*gl>,	(8)

где
р = exp [inOj/4],	(9)

отображает SU (1, 1) на SL (2, R).

§ 2.6.	Покажите, что каждый элемент g £ SO (3) может быть
представлен в виде

	g (ф,	6. Ф) - (ф) Ry (6) Rz (Ф),	(Ю)
где 0 <	Ф С 2л, 0 с 0 ’cos ф — sin ф	С л, 0 с ф < 2л и  О’]	Г1	°	°	
RZ(<P) =	sin ф	cos ф  0 0	0 , R,;(0)- 0 cosO	- siiiO  1	0 sin 0	cos 6	(Н)

— вращения вокруг осей z и у соответственно. Найдите геоме-
трическое значение углов Эйлера ф, 6 и ф.

§ 2.7.	Покажите, что группа SU (2) является двукратной уни-
версальной накрывающей группой для SO (3).

Указание. Введите в R3 координаты стереографической проек-
ции

Т|

и комплексную переменную £ — g I h) и покажите, что вращение
g в R3 предполагает проективное отображение

+ Р

тС -I - 6
в С, где матрица

является элементом группы SU (2).

§ 2.8.	Покажите, что элементы g £ SO (3) могут быть пара-
метризованы вещественными ортогональными Зх 3-матрицами 7?
с матричными элементами

Rlf = cos 06 -}- (1 — cos 0) ЩП) — sin 0ez/ ktik,

з

i,	/ = 1, 2, 3, OcOcn, nz = 1.

i=i

Покажите, что групповое пространство является шаром радиуса л
(причем начало и поверхность шара отождествлены) или сферой S3
в четырехмериом пространстве с отождествленными противопо-
ложными точками.

§ 2.9.	Покажите, что каждый элемент из SU (2) может быть
записан в виде

и = exp (i -тг°3) ехр 0 ехр ТПз)’

О < ц 2л, 0 с £ с л, --2л<т<2л.

Покажите, что углы Эйлера р, % и v являются координатами на S3.

§ 2.10.	Покажите, в частности, что вращению g (<р, 0, ф)
соответствует унитарная матрица вида

ехр (йр/2)
0

0 Г cos 0/2
ехр(—itp/2) i sin 0/2

i sin 0/2
cos 0/2

’ехр(1’ф/2)

X 0
cos (0/2) exp ф )
i sin (0/2) exp --y -- )

0

exp (— 1ф/2)

i sin (0/2) exp — i

cos (0/2) exp — i

• (14)

§ 2.11.	Канонические уравнения движения классической ме-
ханики

дН •	дН	•	,	.	о

-ч— = —pk,	-ч— =	qk,	я =	1,	2,	.... /V,

dqk '	dpk	7

где Н— гамильтониан классической системы, могут быть записаны
в фазовом пространстве Rin координат

Xt = qt, хп+{ = pt
„ ,	on	г ‘	J

в матричной форме как — Jx, где J — матрица

а I — единичная и X «-матрица.

1.	Найдите максимальную группу симметрий канонических
уравнений.

2.	Покажите, что эволюция канонических переменных зада-
ется однопараметрической группой симплектических преобра-
зований.

§3.1.	Пусть х -> Тх — представление группы Ли G, задан-
ное правыми сдвигами на 77 = L2 (G):

Т?Ф (у) = Ф (ух), ф С 77.

Определите вид инфинитезимальных генераторов как дифферен-
циальных операторов первого порядка на Н.

§ 3.2.	Пусть G =• SO (р, q). Покажите, что генераторы ал-
гебры Ли so (р, д) могут быть представлены в С3 (7?р+«) в виде

г, / == 1, 2, . . ., р или I, / — р ф-1, . . ., р Ц- <7,

i= 1, 2, . . ., р, /==/?+ 1, . . ., р {-</,

и что они удовлетворяют следующим коммутационным соотно-
шениям:

Щ/, Lrs] = b(sL/r + bjrLb - 617L/s - bjsLir,
[Bq, Brs] = ^ir^js + ^is^jr + ^jr^is “F £>js,Lir’
[Bq, Brs] = bjrBis + bjsBir - 6irBjs - SlsBjr.

Покажите, что генераторы L17 образуют базис максимальной
компактной подалгебры so (р) ф so (q).

§ 3.3.	Пусть G — связная группа Ли, {— базис в лево-
инвариантной алгебре Ли LR группы G, a — базис в право-
инвариантной алгебре Ли LL группы G. Пусть а = (ах, ..., ар),
где а,- = 1, 2, ..., d — мультипндекс, и пусть

Пусть | а | обозначает порядок мультипндекса. Покажите, что

Ха

IPjCIal

(16)
2) каж	дый дифференциальный оператор первого порядка Р
с коэффициентами из С“ (G) может быть записан в одной из форм

S Ра*а ИЛИ S раХа,

где А — [аар (х) ] — аналитическая матричная функция на G.

§ 3.4.	Пусть и — бесконечно дифференцируемая положите-
льно определенная функция на группе Ли G, и пусть К — эле-
мент правоинвариантной обертывающей алгебры для G. Пока-
жите, что (К+Кп) 2s 0.

§ 5.1.	Если 7?! (а) — вращение вокруг оси х в R3 на угол а,
Т?2 (Р) — вращение вокруг оси у на угол р, то коммутант q —
- 7?i(a) Т?2 (р) Т?Г1(а)Т?2-1(Р) для бесконечно малых углов яв-
ляется вращением вокруг оси z на угол а р.

§ 5.2.	Покажите, что группа Ли Gn, соответствующая канони-
ческим коммутационным соотношениям (ККС) в квантовой ме-
ханике, заданным формулой (1.1.41), имеет следующий закон
композиции:

(?> П, £)(?', П'> s') = (£ + £', n + n', ехр(—in£')ss'),	(17)

где I, т] £ Rn, a s £ S1 (одномерная сфера). Покажите, что Gn
нильпотентна.

Указание. Положите

Gn3g& s) = exp[i(BQ + пТ5 + s/)J

и используйте формулу Бейкера—Хаусдорфа.

§ 5.3.	Покажите, что бесконечномерная группа Ли G„, соот-
ветствующая ККС [<р (л:), л (у)] = 16 (х — у) в квантовой теории
поля, имеет вид

Сю = Н -f- Н + S1,

где Н — вещественное бесконечномерное гильбертово пространство.

§ 5.4.	Покажите, что трехмерная вещественная группа, оп-
ределенная законом умножения

(Аь Уъ zi)(x2> Уг> гг) = (xi х2> У1ЬУг> Ч~ г2 hA’iA/2), (17а)
х, у, z^R1,

нильпотентна. Покажите, что подгруппа Z = ((0, 0, z)} явля-
ется центром в G, а подгруппа N — {(0, у, z)} нормальна в G.

Покажите, что группа G, определенная формулой (17а), явля-
ется полупрямым произведением

G = TV х) S,	(176)

где S = )(х, 0, 0)} [см. пример 9(2)].
§ 6.1.	Пусть G = SL (п, С), и пусть 3> D и Z — подгруппы,
заданные теоремой 6.2. Покажите, что матричные элементы мно-
жителей Гаусса (6.7) для разложения (6.8) имеют вид

q + 1 • • • п

1 • • • п

~ gq

P<q,



Bp
gp+i ’

Гр p + 1 •  • n
I <7 p4- 1 ... П

P><7.

(18)

z =-*-
m gp

где gp — минор, задаваемый формулой (6.11), и

Р\	Рг   Р„,

<h	Яг <7,„.

— минор матрицы, полученный вычеркиванием в элементе g G

всех строк, за исключением строк с номерами plt р2, ..., рт, и
всех столбцов, за исключением тех, которые имеют номера

Qli <72. •> <7т‘

§ 6.2.	Покажите, что вещественная подгруппа в GL (n, С),
определенная условием

Г

s 1 gs = g*"1,

(19)

1’

1

О

где о — матрица порядка р, е — единичная матрица порядка
п — 2р, изоморфна группе U (р, q). Покажите, что множитель
Гаусса D для U (р, q), р^ q, состоит из всех блочно-диагональ-
ных матриц вида

6 = и

О

О -

Г1.

(20)

где X — диагональная комплексная матрица порядка р, а и —

унитарная матрица порядка п — 2q.

§ 6.3.	Пусть G — GL (n, С), и пусть g = £6z — разложение
Гаусса элемента g. Покажите, что

det

gn

gpi

giP

gpp

— 6162 • • •	= ^p-

(21)

§ 6.4.	Используя разложение Картана, покажите, что каж-
дое преобразование Лоренца g £ SO0 (3, 1) может быть записано
как произведение вращения и чисто лоренцевого преобразования
(буста), т. е.

g — exp (iaJ) exp (ifW).	(22)

§ 6.5.	Найдите разложение Ивасавы для группы Лоренца.

§ 6.6.	Полярное разложение. Покажите, что каждый элемент
g £ GL (л, С) допускает следующее однозначное разложение:

g = hu,	(23)

где h — положительно определенная эрмитова матрица, а и —
унитарная матрица.

Указание. Возьмите р = gg* и покажите, что р = h2, где h
положительно определена. Покажите, что и — h~rg унитарна.

Замечание. Каждый невырожденный оператор X в гильбер-
товом пространстве имеет разложение

X = HU,	(24)

где Н — положительно определенный самосопряженный оператор,
a U — изометрический оператор.

§ 6.7.	Разложение Грамма. Покажите, что каждый элемент g £
£ GL (n, С) допускает следующее однозначное разложение

g = zeu,	(25)

где z — элемент подгруппы нижних треугольных матриц
в GL (и, С), е — элемент множества Е всех положительно опре-
деленных диагональных матриц, а и — унитарная матрица.

§ 6.8.	Покажите, что при тех же обозначениях, что и в упраж-
нении 7, имеет место разложение

GL(h, С) = U (п) EU (и).	(26)

Указание. Положите g = hu и приведите h к диагональному
виду.

Замечание. Разложение (26) для произвольной полупростой
группы Ли G принимает вид

G = КАК,	(27)

где К — максимальная компактная подгруппа в G, а А — мно-
житель в разложении Ивасавы (G = NAK) (см. 1150]).

§ 7.1.	Покажите, что группа SL (2, С) является двукратной
универсальной накрывающей группой для SO (3, 1), и накрытие
задается формулой

1,1’ = 4тг(ацЛал’Л’).	(28)

где

LCS0(3, 1), 4£SL(2, С), ац = (7, о), ац = (/, —о).

§ 7.2.	Докажите обратную формулу

А =	№ = L^vLv6Tr (oW4 (29)
Таким образом,

SO(3, 1) = SL(2, C)/D,

где

D—\I, ~I}.

Указание. Используйте взаимно однозначное соответствие ме-
жду эрмитовыми 2 X 2-матрицами X и векторами пространства
Минковского, заданное формулой

’ Х0 I Д-З д-1 _ |д.З '

Л ]“ 1Л л  л

и тот факт, что преобразование X' = ЛЛЛ*. Л £ SL (2, С),
в матричном пространстве индуцирует преобразование Лоренца
в Ri.

§ 7.3.	Покажите, что элемент

' - 1 — 1

*-=	0-1.

накрывающей группы для SO0 (3, 1) не может быть записан в виде
(22).

§ 9.1.	Пусть d (х, у) — левоинвариантное расстояние на связ-
ной группе Ли G. Положим т (х) — d (е, х) и Vt (л) ~	...

..., Х„т), где —базис в левоинвариантной алгебре Ли L
группы G. Покажите, что

I Vt (х) j < | Vt (с) (.

§ 9.2.	Пусть р()— левоинвариантная мера на G. Покажите,
что существует константа X, такая, что

J ехр [—Хт (х)] dp (х) < оо.
с

§ 9.3.	Покажите, что коэффициенты ааР (х) в формуле (1)
упражнения 3.3, которая связывает элементы левоинвариантной
и правоинвариантной алгебр, удовлетворяют неравенству

К₽(*)| < ехр [с + ст (х)],
где с — константа.

§ 9.4.	Покажите, что инвариантная мера на группе SO (3)
для двух различных параметризаций (упражнения к § 2.6 и
§2.8) имеет вид

dg== 8^2 sin()cl<l'd()<h|',	(30)

dg(co, n) =d/z sin2 dco.	(31)
§ 9.5.	Покажите, что инвариантная мера на SU (2) совпадает с
dP = -1^2 sln5d5dP-dv-	(32)

Указание. В

a b 1

положите

а -- ехр [j (р [- v)/2j cos g/2,
b = exp [i (pi — v)/2] sing/2.

§ 9.6.	Покажите, что

/ э	\ з

dg(«) = л”2б I У, Uj — 1 ) П d«t-,	(33)

\/=0	/ 1=0

3

dg(v) = л~26 (det о — 1) П de,,	(34)

i=0

3

dg (t<y) = л ”26 (det w — 1) П day;	(35)

i—0

— инвариантные меры на SU (2), SU (1, 1) и SL (2, /?), соот-
ветствующие параметризациям (1), (4) и (7) соответственно.

§ 9.7.	Пусть G = Т2 х) SO (2). Покажите, что с помощью
параметров хх, х2, а, где х = (хх, х2) £ 72 и а £ SO (2), 0 <
с а < 2л, инвариантная мера записывается в виде

dp (х, а) = dx, dx2 da.

(36)

§ 9.8.	Покажите, что инвариантная мера на группе Пуан-
каре G = Т4 х) SL (2, С) имеет вид

dg = d4a dg,

(37)

где d'a — мера Лебега на 7?4, a dg — инвариантная мера на
SL (2, С), заданная формулой (2.3.9).

§ 9.9.	Пусть G = Z, т. е. подгруппа нижних треугольных
комплексных матриц из GL (n, С); ее элементы являются матри-
цами вида

?/,. = Xkj h xkj, ykj C R.
Покажите, что инвариантная мера Хаара на Z совпадает с евкли-
довой мерой на С'’("л)/2, задаваемой формулой

d|i(z)= П AxkjAykj.
k, /=i
k>i

(38)

Указание. Как в примере 9.1, найдите закон композиции для Z.

§ 10.1.	Пусть О = GL (и, С). Покажите, что экспоненциальное
отображение exp X, X £ L, покрывает всю группу G.

Указание. Используйте форму Жордана произвольного эле-
мента g £ GL (n, С).

§ 10.2.	Покажите, что G = GL (п, R) не может быть покрыто
экспоненциальным отображением.

Указание. Рассмотрите диагональную матрицу, в которой все
матричные элементы отрицательны.
Глава 4

Однородные и симметрические
пространства

§ 1.	Однородные пространства

Пусть Г — топологическое пространство, a G — топологическая
группа. Мы говорим, что G — топологическая (левая) группа пре-
образований на Г, если выполнены следующие условия:

1° С каждым g G сопоставляется гомеоморфизм у -> gy из Г
на Г.

2° Единичный элемент е группы G является тождественным
гомеоморфизмом на Г.

3° Отображение (g, у) -> gy из GxT в Г непрерывно.

4° (gigi) Т = £1(£гТ) Для £i, g2 € G и у £ Г.

Топологическое пространство Г, на котором действует G,
называется G-пространством.

Мы говорим, что G действует транзитивно на Г, если для каж-
дой пары точек yj, у2 € Г существует элемент g £ G, такой,
что у2 = gyx. Если е — единственный элемент в G, который ос-
тавляет каждую точку у £ Г неизменной, то говорят, что G
действует эффективно на Г, и G называется эффективной.

Из определения 2.2.4 следует, что хаусдорфово пространство Г
однородно, если G действует на Г транзитивно.

Подгруппа в G, которая оставляет точку v £ Г неизменной,
называется стационарной (изотропной, малой) группой точки у.
Если Ну — стационарная группа точки у и у' — gy, то стационар-
ной группой точки у' является группа = gHyg"1. Поэтому ста-
ционарные группы любых двух точек однородного пространства Г
изоморфны.

Важной реализацией однородного пространства служит фак-
тор-пространство G/Н. Действительно, пусть G — топологическая
группа, Н — замкнутая подгруппа в G, a G/H — семейство левых
классов смежных элементов хН, х £ G. Определяем топологию
на пространстве G/Н посредством канонического проектирова-
ния л: G Э х -> хН £ G/Н', именно, мы говорим, что множество
X с: G/Н открыто в G /Н, если л-1 (X) открыто в G. Легко про-
верить, что такой набор открытых множеств определяет хаусдор-
фову топологию на G/Н. Если каждому g £ G мы предписываем
отображение g: хН -> gxH, то G становится транзитивной тополо-
гической группой преобразований, действующей на GIH, и,
следовательно, G/H — однородное пространство. Эти утвержде-
ния проверяются, используя непрерывность группового умно-
жения в G.

Группа G действует эффективно на G/Я тогда и только тогда,
когда Н не содержит нормальной подгруппы N группы G. В са-
мом деле, если N с Н — нормальная подгруппа в G, п £ N
и х £ G, то х~гпх = п' £ N и пхН = хп’Н = хН, т. е. каждому
п =f= е соответствует тождественное преобразование. Чтобы дока-
зать вторую часть утверждения, заметим, что по условию 2°
множество N элементов п £ G, которые удовлетворяют условию
пхН = хН для каждого % £ G, порождает подгруппу в G. Для
каждых х, g £ G, п £ N и h Q Н имеем (gng~l) хН = хН и
(йнй-1) Н = Н. Поэтому N — нормальная подгруппа в G, содер-
жащаяся в Н.

Это построение показывает, что каждое фактор-пространство
G/Н топологической группы G по замкнутой подгруппе Н явля-
ется однородным пространством. В частности, если Н = {е\,
то G само однородное пространство.

Аналогично однородное пространство {Hgj правых классов
смежных элементов обозначаем символом H\G.

Возникает интересный вопрос: может ли каждое однородное
G-пространство быть представлено в такой форме? Следующая
теорема дает положительный ответ на этот вопрос.

ТЕОРЕМА 1. Пусть G— локально компактная топологическая
группа со счетным базисом, действующая транзитивно на локально
компактном хаусдорфовом пространстве Г. Пусть у — любая
точка вТ,аН — подгруппа в G, которая оставляет у неизменным.
Тогда

Г Н замкнута,

2° отображение

gH-*gy

является гомеоморфизмом из G/Н на Г.

(Доказательство см. в [390], гл. II, теорема 3.2.)

Теорема также справедлива для однородных пространств
правых классов смежных элементов /7\G.

Однородные пространства играют важную роль в теории пред-
ставлений. Мы используем их для построения индуцированных
представлений различных групп (гл. 16).

§ 2.	Симметрические пространства

В этом параграфе мы рассматриваем специальный класс од-
нородных пространств, фундаментальная группа G которых
является группой Ли.

Пусть G — связная группа Ли, и пусть о — инволютивный
автоморфизм в G (т. е. о2 — 1, о Щ 1). Пусть Go — замкнутая
подгруппа в G, состоящая из всех точек из G, инвариантных при о,
a G„ — компонента единицы в Go. Пусть Н — замкнутая под-
группа, такая, что Go Н Go. Тогда мы говорим, что G/H —
симметрическое однородное пространство (определенное по о).
Если мы обозначим через о инволютивный автоморфизм алгебры
Ли L группы G, индуцированный автоморфизмом о, то в силу
рассуждений, приведенных в гл. 1, § 6 [формулы (9)—(13)1,
получаем

£ = Я + Л	(1)

где

K = \X£L-. о(Х) = Х}	(2)

и совпадает с подалгеброй, соответствующей подгруппе Н, а

P={X(L: а(Х) = -Х).	(3)

Очевидно, что мы имеем (см. теорему 1.6.2)

к, Я] с К, [Я, Р] с Р, [Р, Р] с Я.	(4)

Двухточечную функцию f (х, у), которая удовлетворяет ус-
ловию

f(gx, gy) = f(x, у), х, уЕГ, g£G,	(5)

мы называем инвариантом симметрического пространства.

Ранг симметрического пространства G/Н определяется как раз-
мерность максимальной абелевой подалгебры в Р при разложе-
нии (1). Это понятие имеет большое значение в теории представ-
лений, поскольку оно дает число алгебраически независимых
инвариантных дифференциальных операторов в пространстве
L2(G/H) (см. теорему 15.1.1).

Пример 1. Пусть G = SO (n -|- 1), и о определено формулой

o(g) = SgS-\ g£G,	(6)

где

а 1„ — единичная матрица в Rn. Находим, что Go = SO (n)
и совпадает с ее компонентой единицы. Поэтому Я = SO (п).
Симметрическое пространство Г = SO (n 4- 1)/SO (п) гомеомор-
фно n-мерной сфере Sn. Действительно, группа G = SO (п + 1)
действует транзитивно на многообразии Sn, заданном уравнением
(л1)2 + (х2)2 + • • • + (*n+1)2 = 1 •	(8)

Транзитивность сферы Sn по отношению к группе SO (n + 1)
следует из того факта, что любой вещественный вектор х =
= (х1, х2,	х"+1), удовлетворяющий уравнению (8), может

быть получен из вектора е1 = (1, 0, 0,	0) с помощью матрицы

вращения g (х) с первым столбцом g\ (х) = х‘. Следовательно,
любые два вектора х', х" £ S" могут быть связаны один с другим
матрицей вращения g = g (х') g~l (х"). Подгруппа в SO (п 4- 1),
которая оставляет точку х = е1 £ S'1 инвариантной, изоморфна
На = SO (п). Поэтому, согласно теореме 1.1, отображение

gH — ge1	(9)

является гомеоморфизмом из SO (п 4- 1)/SO (п) на S".

Разложение Картана алгебры Ли группы SO (п 4- 1) задается
формулой

so (п 4-1) = so (/г) 4- Р-

Поскольку Р натягивается на элементы п+1, ..., Мп-п+1,
из коммутационных соотношений видно, что максимальная абе-
лева подалгебра в Р одномерна. Поэтому ранг пространства S'1
равен единице.

ТЕОРЕМА 1. Каждое однородное пространство GIH, где G —
группа Ли, а Н — компактная подгруппа, допускает инвариант-
ную метрику.

Доказательство. Пусть о — точка в G /Н, представляемая
классом смежных элементов Н, а Н —группа линейных преоб-
разований касательного пространства То {GIH), индуцированных
элементами из Н. Поскольку И компактна, то И также компактна,
и рассуждения, аналогичные рассуждениям в § 3.8 [формула
(3.8.2) ], показывают, что существует положительно определенное
внутреннее произведение в То (GIH) (назовем его g0), которое
инвариантно при Н. Для каждого у £ G/Н мы берем элемент
х £ G, такой, что х (о) — у, и определяем внутреннее произве-
дение gv в Ty(GIH) формулой gv(X, Y) —g0 (х*Х, х~гУ), X,Y £
£ Tv (G/Н). Множество X точек х £ G, которые переводят о
в у, порождает левый класс смежных элементов в G относитель-
но Н. Метрика gv не зависит от выбора элемента х. £ X. Действи-
тельно, если х, у £ X (т. е. xly = h £ Н), то

g0(rlX, y^Y^gotlr'x-PX, h^x^Y) = g0(x~1X, x~W).

Так же легко проверяется то, что так полученная риманова
метрика инвариантна относительно G.

Пусть G — связная группа Ли, a G/H — симметрическое
однородное пространство с компактным Н, Пространство G/H,
снабженное G-инвариантной римановой метрикой, заданной в те-
ореме 1, называется глобально симметрическим римановым про-
странством. Согласно формулам (1)—(4), мы можем сопоставлять
с каждым глобально симметрическим римановым пространством
G/Н пару (L, о) со следующими свойствами:

1)	L — алгебра Ли для G;

2)	с — инволютивный автоморфизм в L;

3)	множество /( = [X £ L: о (X) = X} является компактной
подалгеброй в L, и X, Р удовлетворяют коммутационным соот-
ношениям (4).

Пара (L, о) называется ортогональной симметрической алгеб-
рой Ли.

Сопоставление ортогональной симметрической алгебры с гло-
бально симметрическим римановым пространством Г позволяет
свести задачу классификации этих пространств к задаче класси-
фикации ортогональных симметрических алгебр.

Глобально симметрическое риманово пространство называют
неприводимым, если соответствующая ортогональная симметри-
ческая алгебра Ли удовлетворяет следующим условиям:

1)	L — полупроста, а К не содержит отличных от 0 идеалов
из L;

2)	X — максимальная собственная подалгебра в L.

Пример 2. Пусть Нп — множество всех положительно оп-
ределенных эрмитовых матриц порядка п с единичным детерми-
нантом. Рассмотрим движения в Нп, заданные формулой

=	(Ю)

где g б: SL (п, С). Проверяется, что SL (п, С) действует тран-
зитивно на Нп. Стационарная подгруппа И точки In £ Нп сов-
падает, согласно (10), с множеством всех матриц, удовлетворяю-
щих условию In = gg*, т. е. с подгруппой SU (и). Инволютивный
автоморфизм о в SL (n, С), который оставляет каждую точку
из SU (п) неподвижной, задается формулой о (g) = g*~l. Поэтому
G/Н — глобально симметрическое риманово пространство, кото-
рое, согласно теореме 1.1, гомеоморфно Нп. Так же проверяется,
что ортогональная симметрическая алгебра (si (n, С), о) непри-
водима. Следовательно, глобально симметрическое риманово про-
странство SL (n, C)/SU (п) неприводимо.

Картан показал, что задача классификации глобально сим-
метрических римановых пространств может быть сведена к задаче
классификации неприводимых пространств, и решил последнюю
задачу [161—165]. В табл. 1 мы перечисляем компактные и не-
компактные неприводимые глобально симметрические римановы
пространства (типы I и 111 в классификации Картана), группы
преобразований которых являются простыми вещественными
связными классическими группами Ли.

Таблица 1

Неприводимые глобально симметрические римановы пространства,
группы преобразований которых являются простыми
вещественными связными группами Ли

Компактные	Некомпактные	Ранг	Размерность
SU (n)/SO (п)	SL (n, J?)/SO (n)	n—1	(n—1) (n+2)/2
SU (2n)/Sp (п)	SU* (2n)/Sp (n)	n—1	(n—1) (2n+l)
SU (p+q)IS (U (p)xU (9))	SU (p, ?)/S (U (p)xU (?))	min(p, ?)	2p?
SO (p+?)/SO (p)xSO (?)	SO0(p, ?)/SO(p)xSO(?)	min(p, ?)	P9
SO (2n)/U (n)	SO* (2n)/U (n)	[n/2]]	n (n—1)
Sp (n)/U (n)	Sp (n, R)/V (n)	n	n (n-f-1)
Sp (p+?)/Sp (p)xSp (?)	Sp (p, ?)/Sp (p)xSp (?)	min(p, ?)	4p?

Все пространства в табл. 1 односвязны. Мы не включили
в табл. 1 симметрические пространства, сопоставляемые с исклю-
чительными группами, поскольку ниже мы их не используем.

В дополнение к перечисленным неприводимым симметриче-
ским пространствам существуют еще два других класса. Первый
класс состоит из неприводимых глобально симметрических ри-
мановых пространств, которые являются простыми компактными
связными группами Ли (тип II). Последний класс (тип IV) содер-
жит неприводимые глобально симметрические римановы про-
странства, которые являются пространствами G/Н классов смеж-
ных элементов, где G — связная группа Ли, алгебра Ли которой
совпадает с вещественной формой (L)/? простой комплексной ал-
гебры Ли L, а Н — максимальная компактная подгруппа в G.

Следует также заметить, что изоморфизмы комплексных и веще-
ственных простых алгебр Ли низших размерностей (см. гл. 1,
§ 5, табл. 1) предполагают ряд совпадений симметрических про-
странств низших размерностей; например,

SU(2, 2)/S(U(2) х U (2)) ~ SO0 (4, 2)/SO(4) X SO (2)

(соответствует изоморфизму su (2, 2) ~ so (4, 2)). Полный спи-
сок совпадений см. в [390], гл. IX.

В табл. 2 мы перечисляем симметрические пространства с не-
компактными стационарными подгруппами.
Симметрические пространства G/H
с некомпактной стационарной группой

Таблица 2

\g н\	SL (л, С)	SL (л, Я)	SU (р, 9)

SO (n, С)

SL (n, R)	SO (p, q)

SL(p, C)xSL(q, QxC1 Sp (n/2, R}

SL (p, fl)xSL {q, R)x R1 SU (k, H ft)x SU (p~k,
n-k-h)x.\i (1)

SU (р, q)
Sp (n/2, С)
SU* (n)

Sp (n/2, С)х R'

SO (p, q)
Sp (p/2, ql‘>)
SO*(n)
Sp (n, R)
SL(n, C)x/?’

p=q=n!2

\о			
н\	SU* (л)	SO (л, С)	SO (р, ?)

SU* (p)xSU* (p)xtf1 SO (p, QxSO (q, C)

Sp (p/2, g/2)
SO* (n)
SL (n, C)xU(l)

p= 1 или p > 2, q > 2

SO (p, fe+ft)xSO (p—k,
n—k—h)

M-Л > 2, n—k—h > 2

SO (n—2)XCx
SO (p, q)
SL (n/2, QxC1
SO* (n)
SO* (n/2, C)

SU(p, 9)xU(l)

SO (p-2, p)xU(l)

SO (p-1, q—VjxR1

SU (p/2, ?/2)xU(l)

SL (n/2, RjxR1 1 p—q=

SO (n/2, Q f =n/2

SO(n-2)XU (1)}р2_2

\ G			
н \	Sp (л, С)	Sp (л. 7?)	Sp (р, q)

SL (n, QxC1

Sp (n, R)

Sp (p, C)XSp (q, C)

Sp (p, q)

Sp (p, QxSp (?, R)

SU(p, <?)XU(1)

SL (n, RjxR1
Sp (n/2, C)
SU* (n)x/?\l
Sp(n/2, Q

p=p=n/2

Sp (k, /H A)xSp (p—k,
n—k—li)

SU (p, p)xU(l)

Замечание, p + q — n.	— аддитивная группа вещественных (комплексных)

чисел. Там, где стоит п/2, р/2..... пир	четные.

Полная классификация симметрических пространств, включая симметрические прост-
ранства, сопоставляемые с исключительными простыми группами Ли, разработана Берге-
ром [110].
§ 3. Инвариантные и квазиинвариантные меры
на однородных пространствах

Пусть X — однородное пространство, группа преобразований
которого является локально компактная сепарабельная группа G.
Из теоремы 1.1 мы знаем, что X изоморфно пространству классов
смежных элементов H\G или G/Н, где Н — стационарная под-
группа точки х0 £ X.

Пусть S — подмножество в X = H\G. Под «сдвигом» подмно-
жества S элементом g £ G мы понимаем множество Sg = {xg:
: х £ Пусть dp. (х) — положительная мера на X; определяем
меру dpg (х) = dp (xg) как меру, заданную следующей формулой:
Pg (Л == J / (*) dp (xg) = J f (xg'1) dp (x) для всех f £ Co (X).	(1)

X	X

Другими словами, pg (S) = p (Sg) для каждого борелевского
множества S в пространстве X.

Мы видели, что на каждой локально компактной топологкче-
ческой группе существует инвариантная мера (см. теорему 2.3.1).
Следующий пример показывает, что на однородном пространстве
инвариантная мера может не существовать.

Пример 1. Пусть G — группа треугольных вещественных
матриц вида

Га О

g =	, а > О,	(2)

L 7 а 1 J	' ’

и пусть

(Га 0 11
Н =	„ _г -

I [ 0 а 1 J )

Каждый элемент g £ G может быть представлен в виде (разло-
жение Макки из теоремы 2.4.1)

Га 0’1 0

0 а"1 уа 1

(3)

Поэтому каждый элемент из правого класса смежных элементов Hg

может быть однозначно представлен точкой х = уа вещественной

прямой /ф Следовательно, X = H\G = R. Поскольку элемент

[1

х X соответствует групповому элементу
действие группы G в X согласно формуле

0 1

1]

, то мы получаем

1 0 ’ Га 0 1 Г а	0

х 1 J |у а-1 J ~ [ ах ф- у а-1

а 0

0 а'1

1 ° 1
а2х ф ay 1 J ’

или

g: х —> а2х ф ау.

(4)

(5)
Инвариантная относительно G мера на X должна быть, в част-
ности, инвариантной относительно преобразований х х у;
поэтому она должна быть пропорциональна мере Лебега на R
(см. упражнение 2.3.3). Однако такая мера не может быть инва-
риантной относительно гомотетических преобразований х -> а2х.
Следовательно, не существует инвариантной относительно G
меры dp (х) на X.

Отсутствие инвариантных мер на однородных пространствах
приводит к понятию квазиинвариантных мер.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Положительная мера dp (х) на X называ-
ется квазиинвар иантной, если мера dpg (х) = dp (xg) и dp (х)
эквивалентны для каждого g £G.

Замечание. Положительные меры dpx и dp2 называются экви-
валентными, если они имеют одни и те же множества меры нуль.
Согласно теореме Радона—Никодима (приложение А.5), тогда
существует функция р (х)	0, такая, что

dpx (х) = р (х) dp2 (х).	(6)

Функция р (х) = dpi (x)/dp2 (х) называется производной Радона—
Никодима.

Следующая теорема описывает основные свойства квазиин-
вариантных мер на однородных пространствах.

Т ЕОРЕМА 1. Пусть G — локально компактная сепарабельная
группа, Н — замкнутая подгруппа в G и X = H\G. Тогда:

1° Существует квазиинвариантная мера на X, такая, что про-
изводная Радона—Никодима dp„ (x)/dp (х) является непрерывной
функцией на GxX.

2° Любые две квазиинвариантные меры на X эквивалентны.

3° Все квазиинвариантные меры могут быть получены следу-
ющим образом: пусть р (g) — строго положительная локально
интегрируемая борелева функция, удовлетворяющая условию

Л,, Ф)

p(hg) = р для всеХ h Н’	<7)

где и А6 — модулярные функции для Н и G соответственно.

Тогда р связано с квазиинвариантной мерой ц на X формулой

J/(£)pte)dg= Jdp(g) J/(/Tg)d/i, g = Hg, f £C0(G). (8)
G	X	H

Мера p удовлетворяет условию
dp(gg') = -Ҥ4~dp(g)	(9)

и для заданного p определяется однозначно с точностью до муль-
типликативной константы.

(Доказательство см. в [544] и [552].)
Следующее следствие дает удобный критерий существования
инвариантной меры на пространстве X = H\G.

СЛЕДСТВИЕ 1. Инвариантная мера р на однородном простран-
стве X = H\G существует тогда и только тогда, когда Де (/г) —
= Дп (/г) для всех h И. С точностью до мультипликативной
константы эта мера определяется однозначно и удовлетворяет
условию

Jf(g)dg = Jdp(g) \f(hg)dh, g-=Hg. (10)
G	X н

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно для каждого g из (8) взять
Р (g) = 1- В частности, если G и И унимодулярны, то Де(/г) =
= Дн (/г) = 1 и X = H\G обладает инвариантной мерой.

Пример 2. Пусть G = SO (3, 1) и Н = SO (3). Однородное
пространство X = H\G может быть представлено в виде гипер-
болоида

хо — X? — xl — .ri = р2 > 0	(11)

(см. упражнение 1.2). Поскольку G и Н унимодулярны, то для
всех h £ Я мы имеем Де (/г) = Дн (/г) — 1. Следовательно, в силу
следствия 1 X обладает инвариантной мерой.

Теперь вычислим явный вид инвариантной меры dp на X =
= H\G. Раньше свяжем поверхность (11) второго порядка с диф-
ференциальной формой dp, определенной формулой

dx0 dxt dx., dx3 = d (xpxp) dp = 47d (xpxp) dxx dx2 dx3. (12)
Якобиан преобразования (x0, xx, x2, xs) -> (xpxp, хъ x2, x3)
принимает вид = x0/2, где x0 = (p2 4- x2)1/2 [для верхнего ги-
перболоида (11)1. Поэтому в силу (12)

dp(x)-—(13)

Правое преобразование х -> xg сохраняет дифференциальные
формы dx0dx1dx2dx3 и d (хрхр). Поэтому дифференциальная форма
(13) инвариантна и задает инвариантную меру на х = H\G. В силу
следствия 1 эта мера определяется однозначно с точностью до
мультипликативной константы.

В релятивистской кинематике четыре-вектор энергии-импульса
частицы с положительной массой удовлетворяет условию р^ —
— р2 = т2; поэтому это точка на однородном пространстве H\G,
и, следовательно, инвариантная мера совпадает с &Ар12рц.

Теперь мы дадим так называемую теорему о разложении меры.
Пусть X — локально компактное пространство, счетное на бес-
конечности, г — соотношение эквивалентности в X, a Y — фак-
тор-пространство Х/r. Обозначим через л каноническое отобра-
жение из X на У. Пусть р — конечная мера на X. Множество
Е с: Y является борелевым множеством тогда и только тогда,
когда л"1 (Y) — борелево множество в X. Это дает борелеву
структуру в Y, индуцированную борелевой структурой в X.
Определяем меру р. на Y формулой

ц (Е) — р (л'7:), Е — борелево множество в У. (14)
Если борелева структура на Y сепарабельна (т. е. существует
последовательность борелевых множеств в Y, которые отделяют
точки в У), то мы имеем следующую теорему.

Теорема 2. Для каждого у £ Y существует мера р;/ на X
с носителем л-1 (у) (т. е. р,, (X — л-1 (t/)) = 0), такая, что для
каждой функции f L1 (X, р) имеем

p(*)dp(-v)= f dp.(£/) [f(x)dpjx).	(15)

X	Y	X

(Доказательство см. в 1552], § 11.)

§ 4.	Комментарии и дополнения

Л. Следующая теорема дает полезную формулу разложения
меры, соответствующую разложению Ивасавы.

Теорема 1. Пусть G — связная полупростая группа Ли, и
пусть ЖЛ1ГЛ — ее разложение Ивасавы. Пусть dk, da и dn —•
левоинвариантные меры на Ж, Лр и Л соответственно. Тогда
левоинвариантная мера dg на G может быть нормализована так,
что

[ f (fi) dg =	[ f (kan) exp [2p (log o)] dk da dn =

о Xxs’fpXJf

=	[ f (kna) dk dn da,	(1)

где logo обозначает единственный элемент X в алгебре ЛиНр,
для которого ехр X — а, и р = У а.

2 а£В+

[См. формулу (1.6.18).]

(Доказательство см. в [390], гл. X, § 1.)

Б. Исторические замечания

После завершения классификации комплексных простых групп
Ли [158] и вещественных простых групп Ли [159] Картан начал
в 1925 г. анализ свойств однородных пространств, сопоставляемых
с простыми группами Ли. В ряде впечатляющих работ [161—
165] он завершил классификацию глобальных неприводимых
симметрических римановых пространств. Он также дал геометри-
ческое описание всех этих пространств.

Классификация симметрических пространств с некомпактными
стационарными подгруппами дана Бергером [НО].

Описание квазиинвариантпых мер на однородных простран-
ствах в виде, представленном теоремой 3.1, было дано Люмисом
1544 1.

§ 5. Упражнения

§ 2.1.	Пусть G = U (п) и Н = U (п — 1). Покажите, что
пространство X = G.H симметрично и может быть представлено
в виде многообразия в Сп, заданного формулой

2121 + • • • + znzn — 1 •	(1)

§ 2.2.	Пусть G = SO (р, q) и Н = SO (р — 1, q). Покажите,
что пространство X = G/H симметрично и может быть представ-
лено как гиперболоид, заданный формулой

xl 4- . . . И- х2р — х2+1 — ... — х;,+9 = 1.	(2)

§ 2.3.	Покажите, что стационарной группой конуса

Ло ~ Xi — х2 — Хз •= 0	(3)

является группа И = Т2 х) SO (2).

Указание. Используйте описание пространства Минковского Л4
с помощью 2 X 2-матриц, заданное соответствием

Л1Э х —► X =

(см. упражнение 3.7.3), и найдите стационарную подгруппу то-
чки х = (1, 0, 0, 1) в этой реализации.

§ 2.4.	Покажите, что симметрическое пространство X —
= SU (1, 1)/U (1) может быть реализовано как единичный диск

D = {г £ С: | z | < 1}. Покажите, что действие группы SU (1, 1)

на D задается дробно-линейными преобразованиями g =

а, РЕС, |а|2 — |₽|2=1)



02 + Р
pz + а

(4)

§ 2.5.	Покажите, что метрический тензор Римана на простран-
стве D предыдущей задачи имеет вид

£,,^(1 -И2) 2б</,
gH = (1 - |Z|2)2 6Z/,

(5)
и что элемент объема dp на D задается формулой

dp (z) = V (det g) dx Ay = [ 1 — (x2 ф- у2)Г2 Ax Ay. (6)

§ 3.1.	Покажите, что инвариантный метрический тензор gy$
на гиперболоиде (2) имеет вид

дх1 r)xk

=	(7)

где {x'Jf+f — декартовы координаты на пространстве Минков-
ского Мр'q, в которое гиперболоид (2) вложен и	— лю-

бые «внутренние» координаты на гиперболоиде (например, сфе-
рические).

§3.2.	Найдите меру на конусе (3), инвариантную относительно
SO(3, 1).

§ 3.3.	Покажите, что SO (р, ^-инвариантная мера на гипер-
болоиде (2) имеет вид

р+<7-1

dp (/) = (det g)1/2 П d/ф

а=1

где &z₽ (0 задается формулой (7).
Глава 5

Представления групп

§ 1. Основные понятия

Пусть G — локально компактная сепарабельная унимодулярная
топологическая группа, и пусть Н — сепарабельное комплексное
гильбертово пространство.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отображение х -* Тх группы G'в простран-
ство L (Н) линейных ограниченных операторов в Н называют
представлением группы G в Н, если удовлетворяются следующие
условия:

(1)

Условие TxtJ = ТХТУ означает, что отображение х Тх
является гомоморфизмом группы G в множество линейных опера-
торов в Н. Условие Те = I обеспечивает обратимость операторов,
которыми задается представление х Тх, действительно,

ТХТХ-. = ТХ->ТХ =	= /.

Следовательно,

Т'х = Тх->.

Кроме того, на представление х -► Тх группы G в Н также
налагаются определенные условия непрерывности. Говорят, что
представление сильно непрерывно, если для всех и £ Н отобра-
жение х Тхи является непрерывным отображением группы G
в Н. Это означает, что для любого х0 £ G и для всех векторов
и £ Н

|| Тхи — ТХои || -* 0 при	х —> х0.

(2)

Условие (2) эквивалентно следующему, вообще говоря, более
сильному условию, которое обычно дается в определении пред-
ставления топологических групп.

Отображение (и, х) Тхи является непрерывным отображе-
нием H'/G в Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо показать, что при x-+x0£G
и и и0 £ Н

TxU—>TXeu0.
Пусть К — компактная окрестность точки х0 в G. Согласно'ус-
ловию (2), для любого и £ Н множество S — \Тхи Сх £ К\
является компактным (и, следовательно, ограниченным) подмно-
жеством в Н. Из принципа равномерной ограниченности г (см.
приложение А.4) вытекает существование константы Ск, такой,
что для всех х £ К

\\тл<ск.	(3)

Без потери общности можно предположить, что х £ /<. Тогда

II Тхи	ТXoliq|| <" || Тхи	Тxiiq || -1| Тхч<1 ТXatio || < Ck || и - — ii(> || - | -

+II Тхи$~ТХои01|.

Первое слагаемое стремится к нулю, так как и -> и0. Второе
слагаемое стремится к нулю в силу условия (2). Следовательно,
Тхи ТХеи0 при х х0 £ G и и ->- и0 £ Я, и отображение
(и, х) Тхи является непрерывным отображением H'/.G в Н.

Говорят, что представление ограничено, если sup || Тх || < оо.
Из (3) следует, что представление любой локально компактной
сепарабельной топологической группы ограничено на любом ком-
пактном подмножестве К с= G. В частности, представление ком-
пактной группы ограничено.

Говорят, что представление унитарно, если всякий оператор
Тх, х £ G, унитарен в Н, и тривиально, если Тх = I для всех х
из G.

Представление х -> Тх группы G для краткости обозначаем
символом Т. Пространство Н, в котором действует представление
Т, называется пространством представления Т.

Определение 1 фактически определяет линейные представле-
ния группы G. В дальнейшем под представлением топологической
локально компактной сепарабельной группы G будем понимать
линейное сильно непрерывное представление в сепарабельном
комплексном гильбертовом пространстве Н, если не уточняется
другое (например, нелинейное, слабо непрерывное или разрывное).

Пример 1. Пусть G = R1, а Н — произвольное гильбертово
пространство. Рассмотрим отображения

1)	R13x-->Tx = ex.p[ipx]-1, p£R\

2)	R1 Э х - > Тх -= ехр [рх] • I,	р£ R1.

Очевидно, что эти отображения удовлетворяют условиям (1) и
(2). Следовательно, Т и Т' являются представлениями группы R1.
Представление Т' не ограничено на R1, хотя оно ограничено
на каждом ограниченном подмножестве из R1.

ПРИМЕР 2. Пусть G — топологическая группа преобразо-
ваний, действующая непрерывно на локально компактном про-
странстве S с мерой и оставляющая эту меру инвариантной. По-
ложим Н = L2 (S, р). Пусть отображение х Тх определено

посредством левых сдвигов, т. е.

(Тхи) (s) = и (х Es), и^Н, s^S, x£G.	(4)

Ясно, что каждый оператор Тх линеен. Более того,

Гд (T„u)] (s) = (Tt,u) (x-h) = и (y~'x~'s) = (7» (S),
т. е.

ТТ :: -Т Т ~ I

1	X1 у 1 XU1 1 с 1 •

Следовательно, отображение (4) определяет представление груп-
пы G в Н.

Инвариантность меры предполагает, что

(Тли, Txv) = J и (x“\s) v (x-1s) dp (s) = (и, v),
т. e. что оператор Тх изометричен, а поскольку его область опре-
деления Dtx совпадает с Н, каждый оператор Тх унитарен.
Если и £ Со (S), то, согласно равномерной непрерывности,

sup | и (х h) — u(s) | —> О

при х -> е (см. утверждение 2.2.4). Более того, существует фикси-
рованное компактное множество К сд S, содержащее носители
функций и и Тхи для х, достаточно близких к е. При этом

\\Тхи — w||-—

I |«(Л- !«) — H(.s)|2dp(s)

S

1/2

< щах | и (х *s) — и (s) | У р (/() -> 0 при х —> е.
s(:K

Свойство непрерывности при х-+у получается заменой и на Тди.
Если и С L2 (S, р) и е > 0, то существует v £ Со (S), такое,
что [I и — v || < е. Тогда

|| Тхи - и || <|| Тх (и - v) || +1| Txv - v || +1| v - и],

и инвариантность р относительно G предполагает, что

||Л.н-г/||<2Е+||Лц-п||.

Следовательно, || Тхи — и || < Зе, если х достаточно близко к е.
Таким образом, отображение (4) определяет сильно непрерыв-
ное унитарное представление группы G в L2 (S, р).

Если S = G, то представление (4) называется левым регулярным
представлением. Если S = G//<, где К — замкнутая подгруппа
в G, то представление (4) называется квазирегулярным представ-
лением. Ясно, что с помощью правых сдвигов

Тхи (у) = и (ух)

(5)
подобным образом можно определить правое регулярное представ-
ление группы G в L2 (G, р).

Говорят, что представление х Тх группы G в Н слабо не-
прерывно, если для произвольных и, v £ Н

(TXU, V)—>(TXoU, D) При Л*> A'q.	(6)

Для унитарных представлений слабая и сильная непрерывности
эквивалентны. В самом деле, имеем

Утверждение 1. Пусть Т — унитарное представление груп-
пы G в гильбертовом пространстве И. Тогда следующие формули-
ровки эквивалентны:

Г Т сильно непрерывно.

2° Т слабо непрерывно.

3° Функция х -> (Д, и, и) непрерывна в е для всякого и £ Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что Г=>2° и 2°=>3°. Поэтому доста-
точно показать, что 3° => 1°. Действительно, для любых и Н
и х, у £ G имеем

Тхи — TtJu ||2 = (Туи, Тхи) — (Тхи, Туи) — (Туи, Тхи)-\-(Туи, Т„и) =
= 2 (и, и) — 2Re(Ti,«, Txti) < 21 (и, и) — (Tyti, Туи) | =
= 2|(w, и) — (Tx-ryti, п)|.	(7)

Следовательно, если имеет место 3°, то ввиду (7) || Тхи — Туи || ->
-> 0 при х -» у. Таким образом, 3° => Г.

Замечание. Для унитарных представлений слабая непрерыв-
ность предполагает также сильную левую равномерную непре-
рывность [см. (2.2.13)1. Действительно,

\\Txti — Туи\\ = \\и — Tx-iyu\\.

Следовательно, для произвольного е > 0 существует окрестность
Ve точки е, такая, что

|| Тхи — Туи || < е, как только х~1у £ Ve.

Интересно, что унитарное представление х -> Тх группы G
может не быть непрерывным. Этот важный факт иллюстрируется
следующим примером.

Пример 3. Пусть G = R, и пусть {— базис Гамеля х)
для R. Положим g1 = 1. Пусть g2 — любой другой базисный эле-
мент, который, ввиду r-независимости базисных элементов, дол-
жен быть иррациональным. Ясно, что любой элемент х £ G
может быть записан в виде х = У щср. Рассмотрим отображение
ср: х - > Т, = ехр (//-.,) I,	(8)

’) Базисом Гамеля в 7? является (несчетный) базис в 7? при условии, что R рас-
сматривается как векторное пространство над полем Q рациональных чисел.
где х £ G и / — единичный оператор в гильбертовом пространстве
Н, в котором действуют операторы Тх. Мы имеем соотноше-
ния Тху = ТхТу и Те = I. Более того, Тх = I, если х рацио-
нально (так как в этом случае х = Д1) и	= ехр II. Следо-

вательно, отображение (8) приводит к разрывному унитарному
представлению группы G в Н.

Замечание. Представления топологической группы G, заданные
определением 1, не исчерпывают всех возможных представлений
группы G, которые встречаются в теоретической физике или
геометрии. Например, если пространством представления явля-
ется само групповое многообразие, то отображение х -> Тх,
заданное в виде

Тху = ух, или Тху==х'у,	(9)

удовлетворяет условиям (1) и ввиду непрерывности группового
умножения также удовлетворяет условиям непрерывности. Од-
нако отображение х Тх является нелинейным, даже если груп-
па G коммутативна. Следовательно, возникает новый тип пред-
ставлений группы G. Подобная ситуация имеет место, если, на-
пример, G действует на кривом однородном пространстве G/K
или на нелинейном дифференцируемом многообразии М. Чтобы
отличать их от линейных представлений, их обычно называют
реализациями.

Пусть <р — гомоморфизм х -> Тх из определения 1. Множе-
ство К всех элементов из G, удовлетворяющих условию ф (х) =
= /, х £ G, называется ядром гомоморфизма ф. Если х, у С К,
то ху С К и х"1 С К. Более того, если х G К и у С G, то
Ф (уху"1) -TyTy-i = I, т. е. уху"1 £ К- Поэтому К является
инвариантной подгруппой в G.

Представление х -> Тх группы G называется точным, если отоб-
ражение х Тх взаимно однозначно. В этом случае К = je}.
Если К =г |е|, то все элементы класса левосмежных элементов хК
для фиксированного х £ G представляются одним и тем же опе-
ратором, а два разных класса левосмежных элементов — раз-
ными операторами. Следовательно, гомоморфизм ф: х Т,,
который приводит к представлению группы G, не являющемуся
точным, может рассматриваться как точное представление фактор-
группы G/К, заданное изоморфизмом ф: хК Тх.

Заметим, что простые группы Ли с тривиальными дискретными
центрами, в частности SU (ri)/Zn, где

Zn = {ехр [—J е, k = 1, 2, . . ., п — 1

не имеют инвариантных подгрупп. Следовательно, все представ-
ления простых групп Ли с тривиальными дискретными центрами
являются либо точными, либо тривиальными.
Матричная форма представлений

Пусть 1, N < 'зо, — ортонормированный базис в простран-
стве Н представления. Оператор Тх, х £ G, переводит базисный
элемент в TxCj £ Н. Последний может быть представлен в виде

7y;-==£\;(x)et.,	(10)

Следовательно,

Д£;.(х) = (ГЛе/( е£), «', / = 1, 2, . . ., М. (Н)

Поэтому оператор Тх в базисе может быть представлен ко-
нечной или бесконечной матрицей [D,•/(%)]. Из утверждения 1
следует, что каждый матричный элемент (11) является непрерыв-
ной функцией на G. Матрица оператора Тху является произведе-
нием матриц (11), т. е.

^/(лу) = П1.Нл-)П/г/(у).	(12)

Действительно,

D4 (ху) = (Тхре{, е{) = (Т.Т^-, е[) = (Т^, Т&) =

(7 yCj, ei{) (ек, 7xCi) = (7 gCj, ek) (i xek, Ci)

= Dik(x)Dkj(y).

Ясно, что матричная форма (11) оператора 7\ зависит от вы-
бора базиса в пространстве Н. Если L — унитарный оператор,
отображающий И на себя, и если h; = Ue,, i = 1, 2, ..., N,
то базис (/itli7 ортонормирован и

U~4)(x)U	(13)

является матричной формой оператора Тх в новом базисе. Здесь
матричные элементы Uоператора U = имеют вид

Уц = (^/, е;) = (hj, ?,).

Действительно,

D^} (х) ~-= (TxUej, Uet) = (TxUej, es) (es, Uei) =

-(Щ, T^e,, ие{) ^-(ие!,ер)(ер, Kes)(es, Ue^^

= UlsDsp (x) UPj.

Унитарный оператор Tx представляется унитарной матрицей
(D/j (х) ] только в том случае, когда базис Icili7 ортогонален.
Пусть Т — матричное представление топологической группы G
в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим отображения

1 ~	о- _ Т’Г

I Л - > 1 X — 1 X-*,

2° х — > Тх = Тут = Тх,
3° х->Тх = 7'^«.

(И)

Легко проверить, что любое из отображений (14) определяет пред-
ставление группы G. Например,

'е— I 11	Тху — Т— (Тy-il Х~1)* —ТхТу.

Непрерывность отображений (14) следует из того факта, что опе-
рации «Т» и «*» непрерывны.

Представления (14) 1°, (14) 2° и (14) 3° называют контрагра-
диентным, сопряженным и сопряженно-контраградиентным пред-
ставлению Т соответственно. Для унитарных представлений
контраградиентное и сопряженное представления совпадают.

§ 2. Эквивалентность представлений

Пусть х Тх — представление топологической группы G
в гильбертовом пространстве Н. Пусть S — ограниченный изо-
морфизм из Н на гильбертово пространство Н'. Тогда 'отображе-
ние ср: х -> Т'х = STxS'1 определяет представление группы G
в Д'. Действительно,

ТХу = STxS-'STyS-1 = Т'хТ'у, Т'^1	(1)

и

II Т'хН — Т'уН^ = || S (TxS lu —TyS'и )|| <

< || S || || Тхи — TyU || - > 0 при



Таким образом, отправляясь от заданного представления х ->
-> Тх группы G, можно построить целый класс новых представле-
ний, действующих в одном и том же или изоморфных простран-
ствах. Однако эти представления не являются существенно раз-
личными. Поэтому мы собираем их в один класс представлений,
используя понятие эквивалентности представлений.

Определение 1. Представление х Тх топологической
группы G в гильбертовом пространстве Н эквивалентно представ-
лению х Т’х в Н', если существует ограниченный изоморфизм S
из Н на Д', такой, что

S7\ = TxS для всех х Q G.	(2)
В этом случае мы будем писать Тх Т'х. Эта операция «^»
рефлексивна, симметрична и транзитивна. Это означает, что

Т ^Т,

(3)

т^г

Т ^Т'	,

и

Поэтому она является отношением эквивалентности. Следовате-
льно, она разбивает множество всех представлений группы G
на непересекающиеся классы эквивалентных представлений.

Дальше мы вводим более узкое понятие унитарной эквивалент-
ности двух представлений в гильбертовых пространствах Н и Н'.

Определение 2. Два представления х Тх в Н и х Тх
в Я' унитарно эквивалентны, если существует унитарный изо-
морфизм U: Н Н’, такой, что UTX = T'XU для каждого
х С G.

ПРИМЕР 1. Пусть TL и TR — левое и правое регулярные
представления группы G. Инволюция /: и (х) и (х-1) опреде-
ляет унитарное отображение из Н на себя. Мы имеем

(1Т*и) (у) = (7fи) (у~1) = и (х У’) = (/и) (х~гу) _ (Тх1и) (у).

Поэтому

= Тх/.

Утверждение 1. Два эквивалентные унитарные представле-
ния унитарно эквивалентны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Взяв сопряжения от обеих частей соот-
ношения (2), получаем

TXS* •  S*TX.	(4)

Следовательно, из (4) и (2) имеем

ss*tx = stxs* -= t;ss*,

т. е. каждый Т'х коммутирует с положительным эрмитовым опе-
ратором SS* и поэтому также с А = ]-ASS*. Оператор /1'1S
является унитарным оператором, который удовлетворяет усло-
вию (2). Действительно,

THST A~lT'S = Г A !S.

Поэтому Т и Т’ унитарно эквивалентны.

Два эквивалентных унитарных представления х -> Тх в Н
и х -> Тх в Н' могут быть описаны одними и теми же матрицами
при надлежащем выборе базисов в Н и Н'. Действительно, пусть
S — изоморфизм из Н
{еДС, N < оо, — базис
множество \е( = Sei\i,

на Н', такой, что STX = TXS, и пусть
в Н. Тогда, взяв в качестве базиса в Н'
получаем

Тщ,  , (л ) с,

(5)

и

Dtj (х) с] = T'xe'j = TxSet- = STs, = Жу (x) с,- =	(x) e,',

t. e. обе матрицы совпадают.

Пусть Т и Т' — представления группы G в Н и Н' соответст-
венно. Ограниченный оператор S из Н в Н' называется перепле-
тающим оператором для Т и Т', если STX = TXS для каждого
х £ G. Множество всех переплетающих операторов образует
линейное пространство, которое обозначаем через R (Т, Т').
Утверждение 1 может теперь быть переформулировано так: два
унитарные представления Т и Т' эквивалентны тогда и только
тогда, когда в R (Т, Т") существует унитарный оператор из Н
на Н'.

Заметим, что при Т = Т' R (Т, Г) — алгебра.

§ 3. Неприводимость и приводимость

Пусть х -+ Тх — представление топологической группы G
в гильбертовом пространстве Н. Подпространство или подмно-
жество пространства И инвариантно (относительно Т), если
и G предполагает, что Т.и G Hi Для каждого х £ G.

Каждое представление имеет по крайней мере два инвариант-
ных подпространства: нулевое пространство {0} и все простран-
ство Н. Эти инвариантные подпространства называют тривиаль-
ными. Нетривиальные инвариантные подпространства или под-
множества называются собственными. Теперь мы введем понятие
неприводимости, которое играет существенную роль в теории
представлений.

Определение 1. (Алгебраическая неприводимость.) Пред-
ставление х -> Тх группы G в И называют алгебраически неприво-
димым, если оно не имеет собственных инвариантных подмно-
жеств в Н.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. (Топологическая неприводимость.) Пред-
ставление х Тх топологической группы G в Н называют топо-
логически неприводимым, если оно не имеет собственных замкнутых
инвариантных подпространств.

Ясно, что алгебраическая неприводимость предполагает топо-
логическую неприводимость. Представление, которое имеет соб-
ственные инвариантные подпространства, называют приводимым.
Ниже термин «неприводимое» («приводимое») обозначает тополо-
гическую неприводимость (приводимость) представлений, если
не утверждается другое.

По крайней мере два новых представления могут сопоставля-
ться с каждым топологически приводимым представлением. Пер-
вое получается ограничением каждого Тх до замкнутого под-
пространства Н1. Это представление называется подпредставле-
нием в Т и обозначается через 111Т. Второе может быть реализо-
вано в фактор-пространстве HIH^. Действительно, поскольку Нг
инвариантно, класс смежных элементов и ф- переводится опе-
ратором Тх в Тхи Нх £ Н1НХ, т. е. Н!НХ также является инва-
риантным пространством.

Пусть Н — гильбертово пространство, а Нх — собственное
инвариантное подпространство. Ортогональное дополнение Hi
к Н1 может в общем не быть инвариантным подпространством
в Н. Однако если представление х -* Тх в Н унитарно, то Hi
инвариантно. Действительно, имеет место следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть хТх— унитарное представле-
ние любой группы G в гильбертовом пространстве Н. Пусть Нг —
подпространство в Н, и пусть 1\ — проективный оператор в И
с областью значений Нг. Тогда

1° Ортогональное дополнение I!!' к Hi инвариантно тогда и
только тогда, когда инвариантно Нг.

2° Нг инвариантно тогда и только тогда, когда PiTx = TxPt
для каждого х £ G.

Доказательство. 1°. Пусть Нг инвариантно. Тогда при
и G П\, v £ Hi для всякого Тх имеем

(Тх-,, и) = (щ Т*и) = (и, Тх-ш) = О,

так как Тх-ш £ Hi. Следовательно, Hi также инвариантно.
Обратное утверждение следует при замене ролей подпространств
Hi и Hi.

2°. Пусть Hi инвариантно и и С Н. Тогда ТхРги £ Нх для
каждого х С G и Р^Т^и = T^Ppi. Поскольку и произвольно,
то мы имеем PiTxP1 = TJ\. Взяв сопряжения от обеих частей,
получаем, что PiTxPx = РХТХ или PiTx-iPx = PxTx-i. Поло-
жив у = Ж1, мы имеем Pj'y = РХТ,,Р1 = ТуРг для каждого
у С G. ^Обратно, если PtTx = ТхРг для каждого х С G, то
при их С Нг мы получаем Тхиг — Т^и^ = Pi^Uy С Нг. Сле-
довательно, /Д инвариантно.

Следующий пример показывает, что предположение унитар-
ности в утверждении 1 существенно, т. е. для неунитарных пред-
ставлений ортогональное дополнение к инвариантному подпро-
странству в общем не инвариантно.
Пример 1. Пусть G = R\ и пусть И — двумерное веществен-
ное гильбертово пространство со скалярным произведением (н, и) =
= щгу 4- н21>2. Мы представляем R1 в Н треугольными неунитар-
ными матрицами

/?Эл- -»Т.

1 Л']	»,	[Uj 4- -лт/2

„ , , т. е. Тх

О 1J	z/2J и2

(1)

Из (1) следует, что подпространство Нъ состоящее из векторов

и =

, инвариантно относительно Т, тогда как ортогональ-

. 0.

ное дополнение Н±, состоящее из векторов и —

' 0 ’

, не инва-

риантно.

Гильбертово пространство Н является прямой суммой под-
пространств Нъ Н2, т. е.

// /ЛО //2(:;•••	(2)

если выполнены следующие условия:

1° Ht J. Н, для i -р j.

2° Каждый элемент и £ Н разлагается в сходящийся ряд

и = 1] Щ, гДе	111 € Hi-

Определение 3. Представление Т группы G в гильбертовом
пространстве Н называют прямой суммой представлений Т,
группы G в Hh если Я, — инвариантные подпространства в Н,
такие, что Н = У © Hit и если каждое является подпредстав-

I

лением представления Т.

В этом случае мы пишем

T-'L&Ti.	(3)

i

Представление Т группы G в // вполне приводимо (или ди-
скретно разложимо), если оно может быть выражено в виде пря-
мой суммы неприводимых подпредставлений. Приводимые конеч-
номерные представления, которые не являются вполне приводи-
мыми, называются неразложимыми представлениями (см. пр i-
мер 1). Если мы возьмем в качестве базисных векторов в У© Я;
базисные векторы ортогональных подпространств Н;, то увидим,
что матричное представление
имеет вид

вполне приводимого представления

	"М(л) 0	0	•  Д2(л) •	.	0	• ••"  •	0	
О(х) =				(4)
	0	0 .	• D{ (х) ...	

где каждое D1 (л) неприводимо. Пример 1 показывает, что приво-
димое представление не обязательно должно быть вполне приво-
димым. Однако для унитарных конечномерных представлений
имеет место

Следствие 2. Конечномерное унитарное представление лю-
бой группы вполне приводимо.

Доказательство. Если Ну— собственное инвариантное под-
пространство в Н, то по утверждению 1 Н‘ также инвариантно
и Н = Ну@Н^-. Если Ну или Ну содержит собственное инвари-
антное подпространство, то мы снова используем утверждение 1
до тех пор, пока не получим разложение на неприводимые инва-
риантные подпространства при условии, что этот процесс имеет
конец (что имеет место в конечномерном случае).

Следующее утверждение существенно для теории представле-
ний групп.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 (Лемма Шура). Пусть Т и Т' — унитарные
неприводимые представления группы G в Н и Н’ соответственно.
Если S — ограниченный линейный оператор из Н в Н', такой,
что

STX = T’xS для каждого xTG,

(5)

то или S — изоморфизм гильбертовых пространств Н и Н'
(т. е. Т ~ Т'), или 5 = 0.

Доказательство. Сопряжение соотношения (5) дает TS* —
= S*T'. Поэтому положительно определенный эрмитов оператор
V = S*S коммутирует с Т.

Если V = J AdE (%) — спектральное разложение оператора V,
то ТЕ (А) = Е (А)Т. Следовательно, каждое замкнутое подпро-
странство Н (X) = Е (А) Н инвариантно. Так как Н неприводимо,
то Н (А) совпадает с Н или с нулевым пространством )0). Это
предполагает, что V = А/. Подобным образом получаем, что V =
= 55* = ИГ. Так как AS = SS*S = A'S, то или А = А', если
S + 0, или S = 0 в противном случае. В первом случае, поло-
жив U = V/-S, получаем U*U = / и UU* = Г. Поэтому S —
изоморфизм пространств Н и Н' и, согласно определению 2.1,
имеем Т ~ Т'.

Лемма Шура 3 предполагает следующий критерий неприво-
димости.

Утверждение 4 (Лемма Шура — унитарный случай). Уни-
тарное представление Т группы G в Н неприводимо тогда
и только тогда, когда единственными операторами, коммутиру-
ющими со всеми Тх, являются операторы, кратные единичному
оператору.

Доказательство. Если STX = TXS, то S*TX = TXS*. По-
этому самосопряженные операторы Sj = (S Д- S*)/2 и S2 = (S —
— S*)/2i также коммутируют со всеми Тх. Следовательно, по
утверждению 3 S = Ц ф Х2/ = X/. Обратно, если каждый опе-
ратор S, коммутирующий с Т, имеет вид X/, то проективный опе-
ратор Р, коммутирующий с Т, совпадает с I или 0. Поэтому, со-
гласно утверждению 1.2°, единственными замкнутыми инвариант-
ными подпространствами являются нулевое пространство или
все пространство Н. Следовательно, Т неприводимо.

Результат утверждения 4 позволяет дать новое определение
неприводимости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2'. Унитарное представление Т группы G
в Н неприводимо, если единственными операторами, коммути-
рующими со всеми Тх, являются операторы, кратные единичному
оператору. Эта формулировка неприводимости называется опе-
раторной неприводимостью представления Т.

Утверждение 4 имеет следующий аналог для конечномерных
(унитарных или нет) представлений.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. (Лемма Шура — конечномерный случай).
Пусть Т — неприводимое представление группы GeH, dim Н <<х>.
Единственными операторами, коммутирующими со всеми Тх,
являются операторы, кратные единичному оператору.

Доказательство. Пусть

STX = TXS для всех х £ G,	(6)

и пусть У = \и £ Н: Su = 0). В силу (6) мы имеем

{0} = TXSN = STXN.

Следовательно, Тх У d У, т. е. У — инвариантное подпростран-
ство в И. Поскольку Т неприводимо, то У равно или Н.
Поэтому S является изоморфизмом или S = 0. Теперь пусть S —
любой изоморфизм, который коммутирует со всеми Тх, и пусть
X Ж 0 — собственное значение изоморфизма S. Ясно, что (S —
— X/) не является изоморфизмом на Н, поэтому (S — X/) = 0.
Приводимые представления

Существует полезная классификация приводимых представ-
лений, согласованная со свойствами центра CR (Т, Т) алгебры
R (Т, Т) переплетающих операторов. Мы начнем со случая, когда
CR (Т, Т) минимален.

Определение 4. Представление Т группы G является фак-
тор-представлением, если центр алгебры 7? (Т, Т) содержит
только кратные единичного оператора. Представления этого
типа называют примарными представлениями.

Ясно, что неприводимое представление является фактор-
представлением. Следующее утверждение дает интересную осо-
бенность фактор-представлений.

Утверждение 6. Пусть Т — фактор-представление, кото-
рое содержит неприводимое подпредставление V- Тогда существует
целое число п, п = 1, 2, 3, ..., такое, что Т nV = V © V @
@ V © ••• © У (п слагаемых).

(Доказательство см., например, в [682], утверждение 6.14.)

Этот результат предполагает следующее определение так на-
зываемых фактор-представлений типа I.

Определение 5. Если фактор-представление содержит не-
приводимое подпредставление, то говорят, что оно типа I. Группа
G является группой типа I, если она имеет фактор-представления
только типа I.

В этой книге мы будем иметь дело исключительно с фактор-
представлениями типа I. Фактор-представления типа I появля-
ются наиболее часто в применениях в задачах редукции тензор-
ных произведений представлений. Тогда нам нужны дополни-
тельные инвариантные операторы (квантовые числа), чтобы раз-
делить факторы nTL на неприводимые части. Мы имеем дело с этим
в § 5 и в гл. 18, § 2.

Другой интересный класс представлений получаем в случае,
когда центр алгебры R (Т, Т) наибольший, т. е. если он совпадает
со всей R (Т, Т).

Определение 6. Унитарное представление Т называют сво-
бодным от кратностей, если R (Т, Т) коммутативна.

Заметим, что если Т является фактор-представлением и
свободно от кратностей, то R (Т, Т) = [М[, т. е. в силу леммы
Шура Т неприводимо.

Если Т свободно от кратностей и дискретно разложимо, то
7’ = Е©7‘".

i

где все 1Ч взаимно неэквивалентны и неприводимы. Это следует
прямо из того факта, что R (Т, Т) содержит в этом случае макси-
мальное число попарно коммутирующих инвариантных операто-
ров. Итак, в противоположность фактор-представлениям в слу-
чае представлений, свободных от кратностей, генераторы алгебры
R (Т, Т) обеспечивают разделение представлений с помощью
собственных значений.

§ 4. Циклические представления

При анализе свойств представлений заданной группы G по-
лезно разложить представление Т на более элементарные состав-
ляющие. Для этой цели могут быть полезны циклические пред-
ставления.

Представление Т группы G в II называют циклическим, если
существует вектор v Н (называемый циклическим вектором
для Г), такой, что замыкание линейной оболочки всех Тро сов-
падает с самим Н. Следующая теорема позволяет сосредоточить
наше внимание в случае унитарных представлений только на цик-
лических представлениях.

ТЕОРЕМА 1. Каждое унитарное представление Т группы G
в Н является прямой суммой циклических подпредставлений.

Доказательство. Пусть Vj с Н — любой ненулевой вектор,
и пусть HVi — замыкание линейной оболочки векторов Txvlt
х С G. Пространство HVi инвариантно относительно Т. В самом
деле, пусть HVl — линейная оболочка всех векторов Тхор, тогда
для каждого и £ HVl существует последовательность \ип] век-
торов ип С HVt, которые сходятся к и. Ясно, что Txult Q HVl.
Непрерывность каждого Тх предполагает, что Т.ип -+ Txii.
Поэтому вектор Тхи лежит в IIVt и, следовательно, HV1 инвари-
антно. Итак, подпредставление ' 11Т циклично и — цикличе-
ский вектор для него. Если HVi = II, то доказательство завер-
шено. В противном случае выбираем любой ненулевой вектор и2
в Ну, = II — HVl и рассматриваем замкнутую линейную обо-
лочку HV2, которая инвариантна относительно Т и ортогональна
к HVl, и так далее.

Пусть т обозначает семейство всех наборов {Hv\, каждый
из которых составлен из последовательности попарно ортогональ-
ных инвариантных и циклических подпространств, и упорядо-
чиваем семейство х посредством отношения включения cz. Тогда
т — упорядоченное множество, к которому применима лемма
Цорна (см. приложение А. 1), которая гарантирует существование
максимального набора [^JMaKC- Из сепарабельности простран-
ства Н следует, что существует не более чем счетное число под-
пространств в {Hv} , и их прямая сумма согласно макси-
мальности [И., I должна совпадать с II.
<	if макс
Используя теорему 1 мы можем теперь дать удобный критерий
неприводимости унитарных представлений.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Унитарное представление Т группы G в И
неприводимо тогда и только тогда, когда каждый ненулевой вектор
и £ Н цикличен для Т.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Т неприводимо, то из доказательства
теоремы 1 следует, что каждый ненулевой вектор цикличен для Т.
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что /Д —
нетривиальное инвариантное подпространство в Н, и выберем
вектор О =А Ui t /Д. В силу инвариантности Н1 мы имеем
Txv1 £ Ну. Более того, замыкание линейной оболочки всех Txvlt
которое по предположению совпадает со всем И, содержится в Нг.
Поэтому мы приходим к противоречию. Следовательно, И не со-
держит нетривиальных инвариантных подпространств и по-
этому Т неприводимо.

Более того, мы имеем следующий удобный критерий унитар-
ной эквивалентности циклических представлений.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть Т и Т' — унитарные циклические пред-
ставления группы G в И и И' с циклическими векторами v £ И
и и’ £ Н' соответственно.

Если

(Txv, v)H =(T'xv', о')И' для каждого x^G,	(1)

то Т унитарно эквивалентно Т'.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть И (соответственно Д') — линейная
оболочка всех векторов Txv (соответственно Тхи'), которая плотна
в И (соответственно в Н'). Тогда любой вектор и р И имеет вид

11

и == S a-iTx.y.	(2)

Мы определяем отображение S формулой

Su = ^iT'x.v' .	(3)

i=i ‘

Тогда, согласно (3) и (1),

J atai и)й=И1й-
i, ;=1

Поэтому S — линейное изометрическое (следовательно, непрерыв-
ное) отображение, такое, что STxu = TxSu для всех и £ И.
Итак, S может быть однозначно расширено до унитарного отобра-
жения S из Н на ЕЕ, такого, что ST = T'S. Следовательно, Т
унитарно эквивалентно Т'.

§ 5. Тензорное произведение представлений

А. Тензорное произведение прост ранете и операторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть Е и Ё— два векторных простран-
I 2

ства. Пусть Е □ Е — векторное пространство, элементы которого
являются формальными линейными комбинациями

Eo,</U', у), x(i:, у^Ё,

с конечным числом отличных от нуля коэффициентов cSiS £ С.
I 2

Пусть N обозначает подпространство в Е □ Е, натянутое на все
векторы вида

(х, У! + у2) - (А, У)) - (X, у2), (лу I Х2, у) - (лу, у) - (Х2, (/),
(Хх, у) — X (лу у), (х, Еу) - X (х, у).

Тогда тензорное произведение определяется как фактор-простран-
ство
12	12

Е^уЕ Е \e;n.

Пусть ф2 — ограничение канонического отображения
12	12	12

ф: £□ Е -> Е 0 Е до декартового произведения Е X Е\ тогда
мы полагаем ср [(х, t/)l = х ® у. Мы имеем:

1)	X ® (1/1 + Уъ) = X ® у г 4- X ® у2,

2)	(х1+хг)®1/ = х1®г/ -|-х201/,	(1)

3)	(Хх) ® у = х ® (Ху) = X (х 0 у),
k
(k )dim Е	1	2

Пусть (cji=i , k = 1, 2, — базисы в Ё и Ё соответственно.
12	12

Тогда отображение ср сопоставляет каждой паре (е;, <?/;) из ЕхЕ
12	.1	2

элемент 0 ek\ для х = х1С; и у = ykek, где лишь конечное
число координат отлично от нуля, имеем

1	2

х®{/ = х‘Усу Qez..	(2)

1	2

Если Е и Е — гильбертовы пространства со скалярными про-
1	2

изведениями i = 1, 2, то скалярное произведение в E0E
может быть определено формулой

(Х!®1/1, x2®t/2) х (хь х2)г(У1, у2)2.	(3)
12	12

Если Е или Е конечномерно, то пространство Е 0 Е, снабженное
1	2

скалярным произведением (3), полно. Если Ей Е бесконечномерны,
1	2

то пополняем Е ® Е по норме, определенной формулой (3), и
1	.	2

обозначаем его символом Е ® Е.
i	it	i

Пример 1. Пусть Н = L2 (й, р), где й— открытые под-
1	I	12	12

множества в Rn, а р — меры на Й. Пусть мера р ® р на ЙХЙ
обозначает произведение мер. Тогда

L2 (Й, р) 0L2 (Й, р) = L2 (Й х Й, р 0 р).
1	2

Если А и В — ограниченные операторы в Е и Е соответственно,
то тензорное произведение А ® В операторов А и В определяется
1	.	2

в Е ® Е формулой

(Л0В)(л-01/) = Ах® By.	(4)

Из (4) следует
(40Е)(Л'0Е') = Л4'0ВЕ'.	(5

Б. Тензорное произведение представлений
12	11

Пусть G и G — топологические группы. Пусть g-^Ti и
2	2	12	1^2

g -+ Тг —	представления	групп	G и G,	действующие	на	Е и Е

&	12

соответственно.	Определяем	в	Е ® Е	операторную	функцию

12	12	1	2

G ХСЭ0, 0 >Л0Т2.	(6)

g g

Имеем

А®А=/0Л	с?)

и в силу (5)

Поэтому отображение (6) задает представление прямого произве-
12	12

дения GxG в тензорном произведении Е ® Е.

1	2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Представление (6) группы G'/G в простран-
1	2

стве Е ® Е называется внешним тензорным произведением пред-
12	12

ставлений. Если G — G и g = g, то представление (6) называется
внутренним тензорным произведением (или кронекеровским произг
ведением) представлений.

Пусть Е и Е — гильбертовы пространства, и пусть Н —
1	.	2

= Е ® Е — гильбертово пространство, являющееся их тензор-
ным произведением. Тогда из (6) и (4) следует, что если представ-
12	12	12

ления Т и Т групп G и G соответственно непрерывны, то Т ® Т
также непрерывно.

12	1.2

Пусть е,- ® ек — базис в гильбертовом пространстве Е ® Е.
Тогда в силу (4) и (3) матричные элементы тензорного произве-
1	2

дения Т ® Т имеют вид

12	1	2	12	12

D*. im (g, g) == (('A 0 ) (c'y 0 em), et 0	=

111	2 2	2	1	1 2	2

= (Ace^ (= Du (g) Dkm (g). (9)

1	1

Пример 2. Пусть Q — релятивистская частица массы m.
i 1

Ее волновая функция ф (р) в импульсном пространстве является
1	it	i

элементом пространства Е = L2 (П, р), где Q — массовый ги-
11 1 11

перболоид р2 = т2, и dp = д?р/р0. Группа Пуанкаре П = Т4 х)
х) SO (3, 1) имеет унитарное непрерывное представление в Е,
заданное формулой

Тл)Ф (Р) = ехР ОР») Ф (А 1Р)-	0°)

2	2

Пусть Q — вторая релятивистская частица массы т. Волно-
1	2

вая функция ф> (р, р) системы двух частиц является элементом

11.	2	12

тензорного произведения L2 (П, р) ® L2 (Q, р). Используя оп-
ределение 1, легко находим

II. 2	2	1212

L2(Q, p)0L2(Q, p) = L2(Q;<£2, р0р),	(П)

12	12

где ц ® ji обозначает произведение мер ц и ц. Тензорное произ-
1	2

ведение Те ® ТЙ представлений группы Пуанкаре в тензорном
произведении (11) пространств в силу соотношения (4) задается
формулой

1	2	12	12	12

(ТЛ} ® т{а. Л} )Ф (/’, Р) = exp [i (р + р) а} ф (Л^р, Л1р).

Очевидно, что это представление унитарно и непрерывно в про-
странстве (11).
Заметим, что даже если представления Т и Т группы G непри-
1	2

водимы, то внутреннее тензорное произведение Т ® Т в общем
сильно приводимо, т. е.

1	2	X

(12)

х

где Т — неприводимые представления группы G, а шк — крат-
X	1	2

ность представления Т в тензорном произведении Т ® Т.

Определение кратностей тк представлений Т в тензорном
1	2

произведении Т ® Т — проблема «ряда Клебша—Гордана». Это
одна из наиболее трудных задач в теории представлений групп,
решение которой известно только для нескольких групп и опреде-
ленных типов представлений. Даже для таких важных групп,
которые подобны группе Лоренца, эта задача еще полностью не
решена.

1	2

Пусть С — оператор в Е ® Е, который приводит внутреннее
1	2

тензорное произведение Т ® Т к блочно-диагональному виду,
т. е.

12	X	1	2	X

C(TQT)C '	С(Е®Е)^@т}Е.	(13)

Матричные элементы оператора С называются «коэффициентами
х

Клебша—Гордана». Они позволяют выразить базисные элементы е,
пространства Е неприводимого представления Т через тензор-
1	2

ный базис е, ® ек. Коэффициенты Клебша—Гордана играют
для групп физических симметрий (таких как группа Лоренца
или группа Пуанкаре) существенную роль в физике частиц.

§ 6. Разложение унитарных представлений в прямой
интеграл

Пусть g — унитарное представление группы физической
симметрии в гильбертовом пространстве Н. В приложениях в боль-
шинстве случаев представление Т приводимо. Однако только не-
приводимые компоненты Т (А.) представления Т имеют более пря-
мое физическое значение. Поэтому очень важно иметь формализм,
который дает описание представления Т в терминах его непри-
водимых компонент.

В общем разложение заданного приводимого унитарного пред-
ставления в прямую сумму неприводимых представлений невоз-
можно, и следует использовать понятие прямого интеграла пред-
ставлений и прямого интеграла соответствующих пространств
представлений. Мы иллюстрируем это на простом примере.

Пусть G — группа трансляций вещественной прямой R, и
пусть g -+ Тр — унитарное представление группы G в гильбер-
товом пространстве Н = L2 (/?), заданное формулой

Ген(х) = н(х-[-£).	(1)

В силу леммы Шура каждое неприводимое представление группы G
одномерно (см. утверждение 6.1). Поэтому представление (1)
приводимо. Предположим, что Нг — одномерное инвариантное
подпространство в Н. Тогда для каждого иг G имеем

Tglli (х) = uY (х + g) = (g) //j (х).

Поэтому и± (х) должна быть экспоненциальной функцией.
Но щ = 0 является единственной экспоненциальной функцией
в L2 (R1). Следовательно, II t = {0}. Итак, Н не содержит одно-
мерных инвариантных подпространств. Однако если мы перейдем
к прямому интегралу гильбертовых пространств, то найдем
одномерные пространства, в которых реализуются неприводимые
представления группы G. В самом деле, пусть А = id/dx — само-
сопряженный оператор в Н. Используя спектральную теорему,
мы видим, что А индуцирует разложение пространства Н в пря-
мой интеграл (см. приложение Б.З)

И«— И = J Н (X) dp (X),	(2)

л

где Л — спектр оператора А, Н (X)— одномерные гильбертовы
пространства, a dp (X) — спектральная мера, сопоставляемая
с А. Каждый элемент и из Н является вектор-функцией и =
= \и (X), и (X) G Н (X)}. В рассмотренном случае связь между
элементами и (X) £ Н (X) и и (х) £ Н задается обычным преоб-
разованием Фурье

+оо

и (X) = j exp (iXx) и (х) dx.

— ОО

Мы получаем закон преобразования элементов и (X) из Н (X),
взяв преобразование Фурье от TR и (х):

+ со

(Tsu) (X) = -у==- ( exp(iXx)(Tgu)(x)dx — ехр( AKg)u(k).

Поэтому каждое гильбертово пространство И (X) в прямом инте-
трале (2) является инвариантным пространством для ТР (X).
Итак, разложение (2) пространства Н, индуцированное опера-
тором А, влечет разложение

Те=-- f 7g(X)dp (X)

(3)

представления Т в прямой интеграл неприводимых представле-
ний. Заметим, что оператор А (или более точно, его спектральные
проекторы Е (X)) лежит в коммутанте Т' представления Т. Итак,
разложения (2) и (3) могут рассматриваться как разложение в пря-
мой интеграл, которое осуществляется абелевой «*»-алгеброй Т’.

Теперь мы даем общее определение прямого интеграла пред-
ставлений. Пусть (А, р) — борелево пространство с мерой р,
и пусть

Н — J Н (Х)с'р (X)
л

— прямой интеграл гильбертовых пространств (см. приложение
Б, § 3). Предположим, что для каждого X £ А определен опе-
ратор Т (X) на Н (X). Мы говорим, что операторное поле X ->- 7 (X)
интегрируемо тогда и только тогда, когда выполнены следующие
условия:

1.	\Т (X)} равномерно ограничено, т. е. существует число М,
такое, что

||7’(Х)[!// (X) с М для любого Х£А.

2.	Для любых и, v Е Н комплекснозначная функция X ->
—> (Т (X) tz(X), v (Х))? р-измерима.

Теперь мы можем определить оператор Т на Н, положив

Ти = J 7 (X) и (X) dp (X), где и = | и (X) dp (X).	(4)

Условия 1 и 2 гарантируют, что Т — ограниченный оператор
на Н, т. е. Ти £ Н для и £ Н и || Т\\~ с М.

Пусть G — группа, а А — борелево пространство с мерой р.
Предположим, что для каждого X б А задано унитарное пред-
ставление Т (X) группы G в Н (X). Мы говорим, что поле пред-
ставлений X ->- 7' (X) интегрируемо, тогда и только тогда, когда
для любого g £ G интегрируемо операторное поле X Те (X).
Так как || Tg (X) || = 1, то поле представлений Tg (X) интегрируемо
тогда и только тогда, когда функция (Ts (Х)н (X), v (Х))? р-инте-
грируема.
Для любого интегрируемого поля представлений мы можем
определить оператор

y'£ ;" J T’Hk)<lp(z)	(3)

л

в Н. Из определения видно, что

1°

2° ^, = 7^,.

з° т^т'.

Поэтому отображение g -> ТР задает унитарное представление
группы G в Н.

Значение понятия прямого интеграла представлений следует
из следующей теоремы.

Теорема 0. Каждое унитарное представление Т сепарабель-
ной локально компактной группы G является прямым интегралом
неприводимых представлений

7= j7(Z)dfx(4	(6)

л

где (Л, р.) — некоторое пространство с мерой и Т (Z) неприводимы.

Если G имеет тип I, то разложение в (6) по существу един-
ственно.

(Доказательство см. в [554], гл. 1, § 4.)

Теперь мы разработаем общий формализм разложения уни-
тарного представления g группы G на неприводимые компо-
ненты. Этот формализм базируется на теореме фон Неймана о
диагональных и разложимых операторах (см. приложение Б.З).

Основные шаги разложения приводимого унитарного пред-
ставления Tg на неприводимые компоненты следующие:

1.	Рассматриваем «*»-алгебру Т операторов, порожденных
представлением Tg:

T = |S с,Т  с^С
I i=i 1

2.	Находим абелеву «*»-подалгебр у г4- в коммутанте Т' ал-
гебры Т.

3.	Применяем теорему фон Неймана и получаем разложение
пространства Н в прямой интеграл гильбертовых пространств

= p/(X)dp(7v),	(7)

которое осуществляется алгеброй id-.
Поскольку Tg лежит в , то Тр — разложимый оператор.
Поэтому

T^Tg= J 7^(X)dH(Z).	(8)

Ясно, что если и —две абелевы «*»-алгебры в Т’ и
то разложение j Т (Х2) dp (Х2), которое осуществляется алгеб-

Аг	1

рой s42, является усилением разложения J Т (XJdp (Хг), которое

А,

осуществляется алгеброй Можно ожидать наиболее эффек-
тивного разложения в случае, когда — абелева максимальная
«*»-алгебра в Т'. Это составляет содержание следующей сущест-
венной теоремы.

Теорема 1 (Маутнер). Пусть G — сепарабельная локально
компактная группа. Пусть g-^- Ts — непрерывное унитарное
представление группы G в гильбертовом пространстве И. Пусть
.Л — абелева НЛ-алгсбра в коммутанте Т' для Т. Тогда

1)	существует разложение И и Т в прямой, интеграл, заданное
формулами (4) и (5) соответственно,

2)	Т (X) почти всюду неприводимо относительно р в Н (X) тогда
и только тогда, когда si максимальна в Т’.

Набросок ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Разложения (7) и (8) для Н
и Т в прямой интеграл (5) являются прямым следствием теоремы
фон Неймана (см. приложение Б.З). Теперь покажем, что макси-
мальность гЛ предполагает по существу неприводимость Т (X).

Пусть Ao cz А — множество с положительной мерой р (Ао) >
> 0. Для каждого Хо £ Ао пусть В (Хо) Т I (Хо) — ограниченный
оператор в Н (Хо), который коммутирует с каждым TR (Хо), g £ G.
Для X £ А — Ао положим В (X) — 0. Можно показать, что
существует измеримое операторное поле В (X). Положим В ~
= | В (X)dp (X). Поскольку В не диагоналей в Н = | Н (X)dp (X),

Ао	А

то В <£ s4‘, но так как В разложимый оператор, то В £ $4'. Итак,
алгебра (J В является коммутативной подалгеброй в Т' и
Л (J В содержит S&, не совпадая с ней. Поэтому не максимальна
в Т'. Следовательно, максимальность предполагает неприво-
димость представлений Т (X) для почти всех X относительно р.

Чтобы показать обратное, положим, что

Т — J Т (X) dp (X),

А

где для почти всех X относительно р представления Т (X) непри-
водимы в Н (X). Если коммутативная алгебра гЛ- не максимальна,
то существует ортогональный нетривиальный проектор Е £ (Т' —
— si), коммутирующий с si. Следовательно,

£= [ £(X)dp(X),

Ло

где Е (X) — ненулевой проектор в П ( X) для X из некоторого мно-
жества Ло с р (Ло) >0. Так как Е £ Т', то теперь мы имеем
£(Х)7(Х) = 7(Х)£(Х).

Поскольку для почти всех X относительно р Т (X) неприводимы,
то Е (X) = I, и мы приходим к противоречию. Следовательно,
si должна быть максимальной.

(Полное доказательство см. в [554].)

Теорема Маутнера играет важную роль в теории представ-
лений групп и в ее приложениях.

Следующая существенная теорема, которая является прямым
следствием теоремы Маутнера, показывает, что топологическая
группа всегда имеет нетривиальные неприводимые представления.

Теорема 2 (Теорема Гельфанда—Райкова). Пусть G — се-
парабельная топологическая группа. Тогда для каждых двух эле-
ментов glt g2 Е G, gr =k g2, существует неприводимое представ-
ление g -+Tg группы G, такое, что Tgl + Tg2.

Доказательство. Пусть TL — левое регулярное представле-
ние группы G в L2 (G). Поскольку TL является точным, то Tgl =h
+ Tg2. Пусть

TLg ==frg(X)dp(Z)
л

— разложение в прямой интеграл представления TL. Если
T'g, (X) = Tg2 (X) для почти всех X относительно р, X £ Л, то
Tgl равнялось бы Tg2, что приводит к противоречию.

Теорема Гельфанда—Райкова была доказана (с помощью
положительно определенных функций) в начале развития теории
представлений групп в 1943 г. Она представляет собой один
из наиболее важных результатов в теории представлений. В слу-
чае абелевых групп теорема 2 дает:

Следствие. Пусть G — абелева сепарабельная топологическая
группа. Для каждых gr Т- g2 существует характер % (g), такой,
что х (gj X (g2).

Следует подчеркнуть, что выбор максимальной коммутативной
алгебры si в Т' не единствен. Явный пример выбора различных
унитарно неэквивалентных множеств коммутирующих опера-
торов в Т' дается в (9.6.11).
Многим физикам кажется, что множество инвариантных опе-
раторов группы G (и, следовательно, также для Т') коммутативно.
Приведем контрпример.

Пример 1. Пусть X — замкнутая подгруппа группы Ли G,
такая, что X = G/X = {gX, g (z G\ обладает инвариантной
мерой р. Пусть N (X) — нормализатор подгруппы X в G, т. е.
множество всех п £ G, таких, что пХп~1 сд X- Пусть Н =
— L2 (X, р), и пусть g Т„ — унитарное представление группы G
в Н, заданное формулой

Tgu(x) it(g ^).	(9)

Пусть Tn, п £ N (X), — оператор в П, заданный формулой

Tnti (gX) = и(gXri) == и (gnX).

Тогд;

W и (gX) - (Tg0) и (gXri) = и (go'gnX) = (Те^и) (gX).	(10)

Правые сдвиги на элементы п £ N (X) хорошо определены в X
и коммутируют со всеми Tgo, go £ G. Итак, каждый правый
сдвиг Tn, п £ N (X), лежит в коммутанте Т'. Следовательно, если
N (Х)/Х — некоммутативная подгруппа, то Т неабелева.

Можно ожидать, что разложение (8) наиболее простое в том
случае, когда Т' абелев. Представления с этим свойством назы-
ваются свободными от кратностей. В таком случае мы можем
взять = Т' и получить по существу единственное разложение
представления Т на неприводимые компоненты. Следующая те-
орема показывает, что для групп типа I мы имеем по существу
единственное разложение представления Т на неприводимые
компоненты.

Теорема 3. Пусть G — сепарабельная топологическая группа
типа 1. Пусть g -+Tg — унитарное представление группы G
в гильбертовом пространстве Н, и пусть G — множество классов
эквивалентных неприводимых представлений. Тогда существуют
стандартная борелева мера р на G и функция п (Z) HaG, такие, что

П<^Н^ j//(X)n(X)dp(l),
о

Т <-> Т - f Т (7.) п (X) du (7.).

G

(Доказательство см. в [574], гл. V, §2.)
§ 7.	Комментарии и дополнения

А. Некоторые обобщения непрерывных унитарных
представлений

До сих пор мы рассматривали свойства унитарных непрерыв-
ных линейных представлений топологической группы G. Можно
спросить о существовании теории, в которой некоторые из этих
условий, наложенных на представителей Тх группы G, ослаб-
лены. Во-первых, можно построить гомоморфизмы из G в L (Н),
для которых Те 4= /. В самом деле, если, например, G ~ R1,
то отображение

R13x->TX =

exp (ix)
О

О

О

где 0 —• нулевой оператор в подпространстве пространства Н,
удовлетворяет условию Тху = ТХТУ в любом гильбертовом про-
странстве, но Те А Следующее утверждение показывает, что
мы практически ничего не теряем, налагая условие Те = I.

Утверждение 1. Пусть х-+Тх— гомоморфизм из G в
L(/7). Тогда Н является прямой суммой Нг ф Но инвариантных
подпространств и Т имеет вид

где Т — представление группы G в Н±.

Доказательство. Положим Ht = {и £ Н: Те и = и\ и
Но = \и £ И: Теи = 0|. Ясно, что Н± П Но — {0|. Для про-
извольного и из Н мы имеем, что и = Теи + (и — Теи), где
Те (Теи) = Теи и Те (и — Теи) = 0. Поэтому Н — прямая сумма
Д1 Ф Но. Очевидно, что Нг и Но — замкнутые инвариантные под-
пространства в И. Для и из Но Тхи = ТхТеи — 0. Итак, ТХНО =
= {0} и отображение х -+ Тх принимает вид (1).

Во-вторых, мы можем отбросить условие непрерывности.
Чтобы увидеть, что в этом случае происходит, мы вводим понятие
так называемого измеримого представления. Пусть р. — мера
Хаара на G, и пусть Т — унитарное представление группы G
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Говорят, что Т
р-измеримо, если функция х -> (Тхи, v) р-измерима для всех
и, v из Н. Имеет место

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Унитарное представление Т непрерывно
тогда и только тогда, когда оно ^.-измеримо.

(Доказательство см. в [4051, (22.20в).)
Этот результат показывает,что разрывные представления дол-
жны быть неизмеримы. Поскольку для неизмеримых функций мы
имеем только теоремы существования, то мы не надеемся на ясные
конструктивные реализации разрывных представлений (см. при-
мер 1.3). Поэтому их физическое значение сомнительно г). Однако
можно было бы получить измеримые разрывные представления,
если допустить несепарабельные гильбертовы пространства, на-
пример неймановские бесконечные тензорные произведения гиль-
бертовых пространств f] ® ТУ,.

i

Интересную характеристику унитарных представлений в не-
сепарабельных гильбертовых пространствах дает следующее

Утверждение 3. Пусть Т — унитарное у-измеримое пред-
ставление локально компактной группы G в несепарабельном гиль-
бертовом пространстве Н. Пусть Hs — подпространство всех век-
торов и из Н, таких, что для всех <р из L1 (G) и всех v из Н имеем

J <р (х) (Txii, п) dp (х) = 0.

Тогда

1° Н — прямая сумма двух инвариантных подпространств:
Н = Нс® Hs.

2° Представление "сТ непрерывно. Представление HsT син-
гулярно в том смысле, что отображение х -> {Тхи, и} эквивалент-
но 2) нулю для всех и из Hs.

3° Если Н сепарабельно, то подпространство Hs отсутствует.

(Доказательство см. в [753].)

Б. Комментарии

1.	В математике эквивалентные представления Т и Т' группы G
неразличимы. Однако в физике унитарно эквивалентные представ-
ления не обязательно физически эквивалентны. В самом деле,
пусть И — гамильтониан системы двух взаимодействующих нере-
лятивистских частиц или частицы в потенциальном поле. Пред-
положим, что для такого взаимодействия Н имеет только непре-
рывный спектр (т. е. отсутствуют связанные состояния).
Тогда существует унитарный оператор рассеяния S, такой, что

SHU =- HS,
где Нп— свободный гамильтониан. Поэтому операторы временного
сдвига Ut = exp(itH) и i/, = ехр (1Шо) унитарно эквивалентны.

!) Мы получим разрывное трехмерное представление группы вращений SO (3),
если заменим в матричных элементах функции cos ф и sin ф на cos f (ф), sin f (ф),
где f (ф! + ф2) = f (Ф1) + f (Фа) и f (ф) разрывна.

2) Функция f (x) на G [в нашем случае f (х) = (Тхи, и)] эквивалентна нулю,
если для почти всех х £ G относительно р. / (х) = 0.
Однако они не эквивалентны физически, так как описывают времен-
ную эволюцию существенно различных физических систем. Такое
же заключение имеет место при рассмотрении эквивалентных пред-
ставлений группы Галилея или группы Пуанкаре. Причина этого
различия кроется в том факте, что в физике мы используем не
абстрактные группы, а группы, генераторы которых отождествля-
ются с физическими наблюдаемыми. Одна и так же группа мо-
жет быть использована для описания различных физических си-
туаций.

2.	В § 3 мы описали фактор-представления типа I. Другие
типы фактор-представлений могут быть описаны с помощью по-
нятия конечных представлений.

Если тТ с^Т, то мы говорим, что Т бесконечно. Если ни
одно подпредставление представления Т не является бесконеч-
ным, то мы говорим, что Т конечно. О фактор-представлении Т,
которое имеет конечные подпредставления, но не имеет неприво-
димых подпредставлений, говорят, что оно является типа II.

Наконец, если Т приводимо, но каждое собственное подпред-
ставление в Т эквивалентно Т, то говорят, что Т является фактор-
представлением типа III. Такое Т обязательно является фактор-
представлением и бесконечно.

Общее представление Т группы G не обязано принадлежать
к одному из описанных выше трех типов. Однако имеет место

ТЕОРЕМА 1. Пусть Т — любое унитарное представление груп-
пы G. Тогда существуют однозначно определенные проекторы Plt
Р2 и Р3 в центре алгебры R (Т, Т), такие, что

1)	Pi -|- Р2 ф- Р3 = R

2)	Р*НТ, Р‘НТ и Р*НТ типа I, II и III соответственно,

3)	при i =/= / никакое подпредставление представления Р‘НТ
не эквивалентно подпредставлению представления piHT.

Эта теорема показывает, что мы можем ограничиться анализом
фактор-представлений типов I, II и III.

Почти во всех приложениях мы встречаемся только с представ-
лениями типа I. Свойства фактор-представлений типов II и III
менее интуитивны. Относительно простое построение фактор-
представлений типа II дано в книге Наймарка [622], § 38. Не-
давно также были построены фактор-представления типа III (см
[224]).

Интересно, что в релятивистской квантовой теории поля мы,
вероятно, не можем избежать использования факторов типа III.
Действительно, Араки и Вудс недавно показали, что представле-
ние канонических коммутационных соотношений скалярного ре-
лятивистского квантового поля приводит к факторам типа III.
Хорошее описание теории факторов и их приложений к тео-
рии представлений групп представлено в книге Диксмье [224].

§ 8. Упражнения

§1.1	. Покажите, что матричные элементы неприводимых пред-
ставлений группы SO (3) имеют вид

£>мм'(<Р, 0, ф) = ехр(—(6)ехр(~1Л4'ф),	(1)

где <р€[0, 2л], ОНО, л], ф<[0, 2л], J = 0,	1,	., М,

=	-J+ 1, . . ., J — 1, J и

jJ /а\	/ 1 4-COS 0 no, 2М , „д,

«Л1М'(6) = ^-2---/ (cos 6).	(2)

Здесь Р“’р (х) — полином Якоби.

§	5.1. Покажите, что «ряд Клебша—Гордана» для SO (3) имеет
следующий вид:

rJ.	(3)

.7 = 1 J1-J2I
Глава 6

Представления коммутативных групп

Мы начинаем анализ теории представлений локально компактных
групп с коммутативных групп. Коммутативность группового ум-
ножения предполагает значительное упрощение теории предста-
влений. Однако она не делает теорию тривиальной, так как в боль-
шинстве случаев для описания свойств представлений мы должны
использовать прямые интегралы.

§ 1. Неприводимые представления и характеры

Прежде всего мы докажем простое, но существенное свойство
неприводимых представлений абелевых групп. Если не утвержда-
ется другое, мы рассматриваем локально компактную абелеву
группу.

Утверждение 1. Любое неприводимое унитарное представ-
ление абелевой группы G одномерно.

Доказательство. Для любого х с G и фиксированного у б G
имеем

TxTv = TX!f = Tex==TvTx.

Поэтому, согласно утверждению 5.3.4,

Ту = а(у)1, а(у)£С.

(1)

(2)

Следовательно, любое одномерное подпространство Нг простран-
ства представления Н инвариантно. Но Т неприводимо. Поэтому
должно совпадать с Н.

Характером абелевой локально компактной группы G явля-
ется любая непрерывная функция х: G -> С, которая удовлетво-
ряет условиям

|х(х)| = 1,	(3)

х(хлх2) = х(хг)х (х2).	(4)

Из (3) и (4) следует, что х (е) = 1 их (х’1) — х (х) = х (х)-1.
Следовательно, характер — это одномерное непрерывное уни-
тарное представление труппы G.

Дуальным пространством G произвольной группы G является
множество классов эквивалентных представлений в семействе
всех непрерывных неприводимых унитарных представлений груп-
пы G. Согласно утверждению 1, для абелевых групп G состоит
из всех характеров группы G. Если хх и х2 лежат в G, то функция
х -> (ххх2) (*) = xi (х) х2 (х) удовлетворяет условиям

1)	| (хЛх2) (х) | = 1,

(5)

2)	х1х2(хг/)==х1(хг/)х2(хг/) = (х1х2)(х)(х1х2)(г/).	(6)

Более того, поскольку х-1 (х) = х (х), то G также абелева группа.

Пример 1. Г. Рассмотрим G = Rn как аддитивную векторную
группу. Тогда каждый характер х (•) имеет вид

х (х) = ехр i (xrxi - ]-------р x„xn) = ехр [i (х - x)J, х £ Rn. (7)

Итак, группа характеров G изоморфна G.

2°. Если G — мультипликативная группа комплексных чисел
х = ехр (i6), модули которых равны единице, то каждый характер
имеет вид

х (х) = ехр (in6), п — целые числа.

(8)

Итак, в этом случае G изоморфна аддитивной группе целых чисел.
Если п — произвольное вещественное число, то характер (8)
является многозначной функцией на G. Однако он является одно-
значным представлением накрывающей группы G — R1 для G.

В этих примерах группа характеров G также является локально
компактной абелевой топологической группой. Можно показать,
что это свойство имеет место для произвольных абелевых локально
компактных групп, если мы наделим G топологией равномерной
сходимости на компактных множествах (см., например, [829],
§ 2Д).
Чтобы использовать симметрию между G и G, мы вводим более
симметрическое обозначение для характеров, положив х (х) —
= (х, х). Тогда формулы (3)—(6) принимают вид

К*. *)1 = 1,
(Л'1Х2, х) = (хь х)(х2, X),
(х, х1х2) = (х, Xj)(x, х2).

(3')

(4')

(6')

Комплексный характер абелевой локально компактной группы G —
это представление группы G в С.

§ 2. Теоремы Стоуна и СНАГ

Теперь мы выведем существенную теорему о разложении про-
извольного унитарного представления абелевой группы.

Теорема 1 (Теорема Стоуна, Наймарка, Амброуза, Годе-
мана). Пусть Т — унитарное непрерывное представление абелевой
локально компактной группы G в гильбертовом пространстве И.
Тогда на группе характеров G существует спектральная мера
£(•), такая, что1)

Тх = J(x, x)dE(x).	(1)

о

Доказательство. Пусть и £ Н. Тогда функция х -> (Тхи, и)
положительно определена. Поэтому, согласно теореме Бохнера,
существует конечная регулярная борелева мера pu u на G, такая,
что

(Txii, и) = j (х, x)dp„,„(x),

6
и, в частности,

J dp и, И Pu, и (^) = Д'

О

Используя полярное разложение, (Тхи, v) может быть записано
как линейная комбинация выражений вида (Тхи', и'). Поэтому
существует единственная комплексная мера p„t„ такая, что
(Тхи, u) = J(x, x>dp„,c(x).

G

х) Свойства спектральной меры йЕ и спектральную теорию фон Неймана
см. в приложении Б.З.
Теперь фиксируем любое борелево множество В cz.G. Тогда
(В) является билинейным функционалом F~ (и, о) на И,
который эрмитов, так как

F- (и, ц) = v (В) =	„ (В) = F~ (v, и),

и ограничен, так как

| F?j (и, v) р < р„, „ (В) lk„ v (В) < || и |р || v ||2,	(2)

В самом деле, для любого вещественного к положим

и' = и ф- Ащ,, „ (В) v.

Тогда

0 < [W, w (В) = |1и, и (В) + 2Z | , v (В) |2 ф- Z21	v (В) |2 щ,, v (В),

что предполагает

I р«, V (В) I4 — р«, U (В) рв, v (В) | ц,,, v (В) I2 < 0.

Отсюда следует (2).

Поэтому, согласно теореме Рисса, для каждого борелева мно-
жества В cz G существует оператор Е (В) на Н, такой, что для
любых и, v £ Н имеем

(В (В) и, v) = F- (и, v) = р.„, v (В).	(3)

Ei

Очевидно, что [Е (В)]* = Е (Бу, более того, простое вычисление
показывает, что

(Е (В) Тхи, о) = J (х, х) (Е (dx) и, п).

в

Следовательно, если для каждого борелева множества Вх положим
Q (BJ = Е (В П BJ, то имеем

J (х, х) (В (dx) и, v) J (х, х) (Q (dx) и, и) = (В (В) Тхи, v) —
в	а

= J (х, х) (В (В) В (dx) и, о).

G

Отсюда легко заключаем, что

В(ВПВ1) = В(В)В(В1).
Легко проверить, что операторная функция В -> Е (В) удовлет-
воряет всем условиям, наложенным на спектральную меру (см.
§ 3 в приложении Б). Поэтому, согласно (3), мы имеем

(7>, v) = J (х, х) dp((, v (х) = J (х, х) (Е (dx) и, v).
g	о

Из этого равенства следует справедливость теоремы 1.

В специальном, но очень важном случае абелевых векторных
групп мы получаем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 2 (теорема Стоуна). Рассмотрим G = R'1 как адди-
тивную векторную группу, и пусть Т — унитарное] непрерывное
представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Тогда
существует единственное множество попарно сильно коммутирую-
щих самосопряженных операторов ..., Yn, таких, что

Тх -= П ехр (1хлУД.	(4)

*=1

Доказательство. В силу примера 1.1° группа характеров G
совпадает с Rn и (х, х) = ехр [i (xjXj + ... + х„хп)]. Поэтому
согласно (I) имеем

Л = J ехр [i (х2Х| -]--------р х„х„)1 &Е (х).

нп

(5)

Теперь, используя теоремы 4.1 (пункт 3) и 4.2 из приложения Б,
получаем

п

тх = П J ехр lix/eX/,] йЕ (х) = П J ехр [ix/sxft] йЕ (хЛ) =
к—1 руг	R1

= П ехр [ix*rj,	(6)

где

d£(xft) = [ d£(x), Yk = jxftdE (xft).	(7)

дп-1

Пример 1. Пусть G = У3’1 — группа трансляций простран-
ства Минковского Л44, и пусть х -> Тх — унитарное представление
группы G в гильбертовом пространстве Н. Дуальное пространство
G отождествляется в физике с импульсным пространством Р,
которое изоморфно Л44. Поэтому формула (4) может быть записана
в виде

Тх = J exp (ixp) dE (р), хр = х»р„,	(8)

р

где Е (•)— спектральная мера на импульсном пространстве.
Коммутирующее множество самосопряженных операторов, опре-
деленное формулой (7), в этом случае совпадает с

Р» = J dE (р), р = 0, 1, 2, 3,	(9)

р

и представляет собой четыре-вектор энергии-импульса.

§ 3.	Комментарии и дополнения

А. Теорема дуальности Понтрягина

Опишем здесь важное свойство представлений абелевых ло-
кально компактных групп.

Заметим сначала, что отображение G Э х -* (х, х) опреде-
ляет непрерывную функцию на G, которая удовлетворяет соот-
ношениям (1.3') и (1.6'). Поэтому каждый элемент х £ G опреде-
A	А	А

ляет характер х группы G. Следовательно, G с G, где G — мно-
жество всех х. Следующая теорема утверждает, что не существует
других характеров на G, кроме тех, которые определяются эле-
ментами из G.

т ЕОРЕМА 1. Отображение G Э х -> х С G является тополо-
гическим изоморфизмом

G^G.

(Доказательство см. в [405], § 24.)

Пример 1 дает две простейшие иллюстрации дуальности
Понтрягина.

Б. Комментарии

Теорема СИАГ обычно формулируется в операторном виде,
заданном формулой (2.1). Следующая интересная форма этой
теоремы, основанная на теореме Бохнера, была недавно дана
Хьюиттом и Россом.

ТЕОРЕМА 2. Пусть Т — непрерывное циклическое унитарное
представление абелевой локально компактной группы G. Существу-
ет положительная мера v(-) на G, такая, что Т унитарно экви-
валентно следующему представлению:

Uxv (х) = х (x)v(x) = х (x)v (х), x£G, v£L2(G, v).	(1)

(Доказательство см. в [406], § 33.8.)

Теорема СНАГ была первоначально доказана Стоуном для
G = Д" [786, 787]. Позже Наймарк в 1943 г., Амброуз в 1944 г.
и Годеман в 1944 г. дали различные обобщения этой теоремы
для произвольных абелевых локально компактных групп. Мы
следуем здесь изложению, данному Мореном [574], гл. VI.

В. Гармонический анализ на локально компактных коммута-
тивных группах рассматривается в гл. 14, § 1.

Г. Неразложимые представления

Дадим построение неразложимых представлений векторных
групп, которые наиболее важны в приложениях. Пусть G = Rn.
Формула

1

0

Rn 5 х —»Тх — ехр (ipx)

Ч(рх)

1

где рх = pkxk — скалярное произведение в Rn и 7 С С, дает
простейший пример неразложимого представления. Используя
индуктивный метод, можно найти, что /i-мерное неразложимое
представление группы Rn может быть взято в виде

Rn Э х -> Тх = ехр (ipx) х  1 Уп-i (РХ) Ь-гТп-л (pxf/2 • • •	_V2" (рх)'1-2  1	Уп-‘Арх)	(n —1)1	>
1	(РХ)  0	1	^(рх)1  Ti (рх)  1

Эти представления неунитарны. Они используются для теоре-
тико-группового описания нестабильных частиц (см. гл. 17,
§ 4).

Неразложимые представления других коммутативных групп
могут быть построены подобным образом с помощью треугольных
матриц. Например, неразложимое представление мультиплика-
тивной группы комплексных чисел может быть взято в виде

1

О



In г

1

§ 4. Упражнения

§ 1.1.	Пусть Drl — {6 = (6Ъ ..., 6„), 8k £ С} —мультипли-
кативная группа комплексных чисел. Покажите, что отображе-
ние

п

хе = П 16SS |

S—1

™s+iPs

ss

(1)

6

где ms — целые числа, a ps — вещественные числа, является ха-
рактером группы Dn.

§ 1.2.	Положите ps С С в формуле (1). Покажите, что в этом
случае отображение (1) дает комплексный характер группы Dn.

§ 1.3.	Постройте разрывное неприводимое унитарное пред-
ставление группы G = R1.

Указание. Используйте базис Гамеля.

§ 1.4.	Пусть G = N х) R, где N — коммутативна. Пусть п ->
-> Un и k -> Vk — представления подгрупп N и К соответственно
в пространстве Н. Каким условиям должно удовлетворять U,
для того чтобы отображение (n, k) -► UnVk было представлением
группы G?

§ 3.1.	Классифицируйте все конечномерные неразложимые
представления группы G = R1.

§ 3.2.	Классифицируйте все неразложимые представления
группы R1 в гильбертовом пространстве.

§ 3.3.	Классифицируйте все конечномерные неразложимые
представления группы G = Rn.
Глава 7

Представления компактных групп

§ 1. Основные свойства представлений компактных групп

Теория представлений компактных групп образует мост между
сравнительно простой теорией представлений конечных групп
и теорией представлений некомпактных групп. Большинство
теорем для представлений конечных групп имеет прямой аналог
для компактных групп, и эти результаты, в свою очередь, служат
отправной точкой для теории представлений некомпактных групп.

Всюду в этой главе G будет обозначать компактную топологи-
ческую группу, a dx — инвариантную меру на G, нормированную
на единицу. Под представлением группы G мы будем понимать
сильно непрерывное представление в гильбертовом пространстве
Н. Напомним, что, согласно (5.1.3), любое представление компакт-
ной топологической группы ограничено.

Покажем сначала, что в случае представлений компактных
топологических групп мы можем без потери общности ограни-
читься анализом только унитарных представлений.

Теорема 1. Пусть Т — произвольное представление компакт-
ной группы G в Н. В Н существует новое скалярное произведение,
определяющее норму, эквивалентную первоначальной норме, от-,
носительно которого отображение х->-Тх определяет унитарное
представление группы G.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (•, ) — первоначальное скалярное
произведение в Н. Определим новое скалярное произведение
формулой

(и, v)' = \(Тхи, Txv)dx.	(1)

о

Легко проверить, что (•, •)'—скалярное произведение в Н.
В частности,

(и, и)' — J {Тхи, Тхи) dx = 0 => и = 0.
о

В самом деле, (Тхи, Тхи) равно нулю почти всюду. Если х £ G
такой, что Тхи = 0, то Т?Тхи = и = 0.
Тогда для каждого Ту имеем

(Туи, Tyv)' - = J (Тхуи, Tyxv)dx = J (Тги, Tzv) dz = (u, v)'.	(2)

Поэтому каждый оператор Ту, у G G, изометричен и = Н.

Итак, каждый оператор Ту, у £ G, унитарен.

Чтобы показать непрерывность представления в топологии,
индуцированной скалярным произведением (1), докажем сначала
эквивалентность норм. Заметим, что

II11II'2 = («, “)' = J (Лн» Л") dx < (sup || 7\.||)2 j (и, и) dx =

= № (и, и) = /V21| и ||2,
где мы положили N = sup || Тх ||. Обратно, из неравенства

II и ||2 = (Tx-iTxu, Т^Тхи) < (sup || Тх ||v (Тхи, Тхи) = /V21| Тхи ||2

\ G J

следует

II11 II2 = J (и, «) <1* < № [ (Тхи, Тхи) dx = № (и, u)' = N21| и ||'2.

Поэтому

IH < Л^ЦнЦ,

(3)

т. е. нормы ||  || и || • ||' эквивалентны. Эквивалентные нормы || • II
и ||  ||' определяют эквивалентные сильные топологии т и т' соот-
ветственно на И. Поэтому отображение х -> Тхи из G в Н непре-
рывно относительно т', и, следовательно, отображение х -> Тх
является унитарным непрерывным представлением группы G
в Н.

Следующий важный результат для компактных групп показы-
вает, что каждое неприводимое унитарное представление конечно-
мерно. Но сначала докажем следующую полезную лемму.

Лемма 2. Пусть Т — унитарное представление группы G,
и пусть и — любой фиксированный вектор в пространстве пред-
ставления Н. Тогда оператор Вейля Ки, определенный для всех
v £ Н формулой

K„t> = [ (v, Тли)Тхпйх,

(4)

имеет следующие свойства:

1° Ки ограничен,

2п К„ТЛ 7\Ки ^1}ч каждых х ( G и и G Н-
Доказательство. Г.

IIMl < J l^> M|||7>||dx< f IPIIII7^ЫЦ||u|]dx = [|«
Q	G

2°. Для каждых у £ G и v £ Н имеем

TyKuv = J (п, Txu) TyxuAx J (Tyv, Tuxu)TuxuAx =
g	a

= [ (Tyv, Txii) Txu d.r = KuTyv,
G

t. e. TyKu = KuTy.

Перейдем теперь к основной теореме.

Теорема 3. Каждое неприводимое унитарное представление Т
группы G конечномерно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 2, мы имеем, что для каж-
дых у G G и а С Д КиТу — ТуКи- Поэтому, согласно утвержде-
нию 5.3.4, Ки ’ а (и) I и, следовательно,

(Kuv, o)=J (о, Тхи)(Тхи, v)Ax--a'.ujlv, V).

о

Поэтому

J \(Тхп, u)|3dv МДМ2-	(5)

G

Переставив в (5) и и v и использовав равенство
j/(x-I)dx =- J f(x)dx,
G	О

получаем

а (V) || и ||2 = J | (Txv, и) |2 d.v J | (и, Txv) |2 dr = J | (Tx-ai, v) |2 dr -=
G	О	G

= J | (Дм, V) |2 d.r - - а (и) || у |р.

Поэтому для всех и G Д а(п) = с||м||2, где с — константа. По-
ложив в формуле (5) v = и и || и || = 1, мы получаем, в частности,
[ | (Т,и, и) |2 dx = а (и) || и ||2 = с || и ||* = с.	(6)

G

Поэтому с > 0, так как неотрицательная непрерывная функция
х 1 (Тх и, и) | принимает значение || и || = 1 при х = е. Теперь
докажем существенную часть теоремы. Пусть — любое
множество ортонормированных векторов в Н. Положив в (5)
и = ek и v = ег, получаем

J \(Txek, e1)|2dx = a(eft)||e1||2 =	1, 2, . . ., п.

о

Следовательно, ортонормальность векторов Txek, k = 1, 2, п,
и неравенство Парсеваля приводят к формуле

п	п

пс = S J | {Та, ех) I2 dx = J 2 I {Та, ег) |2 dx < JII е,||2 dx = 1.

k=l О	О fe=l	о

(7)

Формула (7) показывает, что размерность пространства представ-
ления Н не может превосходить 1/с и поэтому она конечна.

Мы видели в следствии 5.3.2, что конечномерное унитарное
представление любой группы вполне приводимо. Этот результат
в случае компактных топологических групп может быть усилен
следующим образом.

ТЕОРЕМА 4. Каждое унитарное представление Т группы G
является прямой суммой неприводимых конечномерных унитарных
подпредставлений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что оператор Ки, опре-
деленный в (4), имеет следующие свойства:

1° Ки = Ки,

2° Ки — оператор Гильберта—Шмидта,

3° каждое собственное подпространство Д, оператора Ки
Т-инвариантно,

4° Н = Но + У, ф Hi, dim Н, < оо, где Но — собственное

L

подпространство оператора Ки с нулевым собственным значением,
которое может быть бесконечномерно.

1°. Для каждых v, w £ Н имеем

(Д,А су) -= j {v, Тки)(Тхи, ui)dx== j (ui, Txti){v, Txu)dx =

= (u, j (ui, Txii) Txu dx) = (v,	).

Поэтому Ku Ku
2°. Напомним, что оператор А является оператором Гильбер-
та—Шмидта тогда и только тогда, когда для произвольного ба-
зиса в Н мы имеем У ||Лег||2 < сю. В нашем случае имеем
I

S Ил|12 == S f f (ео Txti)(Txu, Tyti}(Tyu, ez)dxdz/ =
i	i G G

== J J	Тхи)(Тхи, Tyti)(TyU, ei)dxdy =

G G i

— J J (Txu, TyU)(TyU, Txii)dxdy <oo.	(8)

G G

Замена порядка суммирования и интегрирования оправдана те-
оремой Лебега и тем, что

L | (е{, Тхи) (Туи, с;)	( LI (е;, Тхи) |2 % | fe, Туи) |2)1/2 = ||и ||\

4°. Это свойство следует из спектральной теоремы Реллиха—
Гильберта—Шмидта для компактных операторов (см. приложение
Б.З).

Перейдем теперь к доказательству основной теоремы. Для
всех векторов v £ Н, которые не ортогональны и, имеем (K.uv, о) >•
> 0 [см. формулу (6) и ниже]. Таким образом, оператор Ки
имеет по крайней мере одно отличное от нуля собственное зна-
чение, т. е. пространство Н Q Ни не пустое.

Следовательно, мы показали, что пространство Н Q На =
- У ф Н, является прямой ортогональной суммой конечномер-
i

ных инвариантных подпространств Н,:. Используя следствие 5.3.2,
мы можем разбить каждое Hi в прямую ортогональную сумму
неприводимых инвариантных подпространств. Чтобы разбить
пространство Но, мы рассматриваем подпредставление Тх =
= Н°ТХ и строим для него оператор (4). Тогда, согласно свой-
ствам 3° и 4° оператора Ки и следствию 5.3.2, мы заключаем, что
Но содержит также нетривиальное конечномерное минимальное
инвариантное подпространство. Из этих рассмотрений видно,
что заключение справедливо для любого инвариантного под-
пространства.

Чтобы завершить доказательство теоремы 4, покажем, что
наименьшее подпространство Л1 в Н, содержащее все минимальные
попарно ортогональные инвариантные подпространства, совпа-
дает с Н. В самом деле, поскольку Т унитарно, а М инвариантно,
то Л4-1-также инвариантно. Поэтому, согласно отмеченному заклю-
чению, Л4-1- содержит нетривиальное инвариантное конечномерное
подпространство, что противоречит определению М. Следовате 1ь-
но, /И1- == 0 и М — Н.
J Ds4(x)D^n (x) dx ==
о

где ds — размерность

Доказательство.

ГД6 \^ii) vi ОI,

Дальше мы выведем полезные соотношения ортогональности
для матричных элементов неприводимых унитарных представле-
ний.

ТЕОРЕМА 5. Пусть Ts и Ts’ — любые два неприводимые уни-
тарные представления группы G, обозначенные индексами s и s'
соответственно. Тогда их матричные элементы удовлетворяют
соотношениям

0 если Ts и Ts’ не эквивалентны,

-^-6,т6/л» если T^TS',	(9)

представления Ts.

Рассмотрим операторы

Еч =-J ГхечГ^ dx,	(10)

о

т = 1, 2, ..., ds, j, n= 1, 2, ..., ds. Для

каждого у С G операторы (10) удовлетворяют соотношению

tsF ___F -T"1’

1 У1^ 11 —	111 у •

В самом деле,

TsyEti = [ ГухечТ^ dx == J Гх-ечТ^и dx' = EifTy .	(11)

о	с,

Следовательно, если Ts не эквивалентно Ts', то, согласно лемме
Шура, имеем Ец = 0, или в матричной форме

j Dsa (х)	(х-1) dx = J Dsu (x) 5gj>) dx = 0.	(12)

G	G

Если s = s', то оператор, заданный формулой (10), также удов-
летворяет условию (11) и, следовательно, согласно утверждению
5.4.3, Ei,- = Поэтому при (/, i) =/= (k, j) соотношения орто-
гональности (12) все еще имеют место. Однако если (/, i) — (k, j),
то, согласно формулам (10) и Ец = Х(1/, получаем

(Ец)ц = f Dsti (х) Dsit (х-1) dx = J | Dh- (x) |2 dx = XZ1-	(13)

G	G

(суммирование отсутствует). Чтобы вычислить константу Х£,-,
положим в (10) i = j и возьмем след от обеих частей. Тогда полу-
чаем

Тг Ец = dsKi = j Tr (TsxeiiTx-i'') dx = Tr eH = 1,
G

или = l/ds. Это завершает доказательство соотношения (9).
Теперь мы покажем, что правое регулярное представление
содержит все неприводимые представления. В самом деле, имеет
место

УТВЕРЖДЕНИЕ 6- Каждое неприводимое унитарное пред-
ставление Ts группы G эквивалентно подпредставлению правого
регулярного представления.

Доказательство. Пусть {Dsjk (х)}, /, k=\, 2, ..., ds — ма-
тричная форма представления Ts и пусть Hs — подпространство
в L2 (G), натянутое на ортонормированные векторы е* =
= | ДД) Dsth (х). Подпредставление I,fTR правого регулярного
представления Тк неприводимо и эквивалентно Ts. Действительно,

T*esk (х) = Dsu (хх0) = Dsu (х) Dslk (х0) = Dslk (х0) ef (х).

Характер % (х) конечномерного представления Т группы G —
это след оператора Д, т. е.

% (х) = Тг Тх = (Де;, е,) = Du (х).	(14)

Свойства характеров неприводимых унитарных представлений
группы G резюмированы в следующем утверждении.

Утверждение 7.

1° Х(£/-1Х£/) = х(х),

20 У.(х-1) = %(х),	(15)

3° если Ts Ts', mo yf = xs\

С __________ f 0, если Ts + Ts',

4 j Xs (т) Xs (x) dx = J j, если Ts _ Ts,

Доказательство.

г. X (y'^y) = Tr (T^) = Tr (TU->TXTV) = KTX^ (x).

2°. X (x-1) = Tr Д-« = Tr Гх =	= ^).

3°. Если T^T', то T = S-'T'S и ТгД = ТгЗ^ДЗ = Tr Tx.

4°. Согласно (9),

Jxs(x)Xs'(x)dx= fDh(x)D-; (x)dx = { °’ еСЛИ * T '
о	о	I 1. если Ts Ts .

Пусть T — конечномерное представление группы G. Тогда,
согласно следствию 5.3.2 и формуле (14), мы имеем

X (х) = т.-Хг (х),	(16)
где m(- — кратность, с которой неприводимое представление 71',
i.= 1, 2, п, группы G содержится в разложении представле-
ния Т. Используя (15) 4°, получаем

mt -= f %(x)Xi(x)dA-
G

(17)

и

n

X(x)x(x)dx.

i=l G

(18)

Соотношение (17) показывает, что характер % определяет конеч-
номерное представление Т группы G с точностью до эквивалент-
ности. Формула (18) может использоваться как критерий не-
приводимости представления Г; именно, представление Т непри-
водимо тогда и только тогда, когда J % (х) % (х) dx = 1. Если Т
G

приводимо, то J % (х) % (х) dx > 1.

G

§ 2. Аппроксимационные теоремы Петера—Вейля и Вейля

В этом параграфе мы докажем несколько полезных теорем,
которые позволят нам распространить обычный анализ Фурье на
вещественной прямой до гармонического анализа на компактных
группах. Начнем со знаменитой теоремы Петера—Вейля.

Теорема 1 (Петер—Вейль). Пусть G = {Ts\—множество
всех неприводимых неэквивалентных унитарных представлений
группы G. Функции

l'(ds)Dsjk(x), s£G, 1</, k<.ds,	(1)

где ds — размерность представления Т\ a Dsjk (х) — матричные
элементы представления Ts, образуют полную ортонормирован-
ную систему в L2 (G).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L — линейное замкнутое подпро-
странство в L2 (G), натянутое на все функции (1), и пусть 1Л —
ортогональное дополнение к L. Пространство L инвариантно при
правых сдвигах TR (см. доказательство утверждения 1.6). Поэтому,
согласно утверждению 5.3.1, 1Л также является подпростран-
ством, инвариантным относительно TR. Пусть 0 =р v €
Положим

» U) J	(У)) v(у) dy.	(2)
Это непрерывная функция на G, принадлежащая L-С В самом
деле, из (2) имеем

J и (х)Dsjk (х) dx = j v (х)Dsn (х) dx j v (у) Dski (у) dy = 0.

Более того, и (е) = || v ||2 > 0. Теперь положим

w (х) = и (х) j и (х-1)	(3)

и рассмотрим оператор

Лф (х) = j w (xif1) ф (у) dy.	(4)

В силу (3) и в силу конечности инвариантной меры на G А является
самосопряженным компактным оператором. Поскольку w 4= 0,
то существует собственное значение X, X =/-= 0 и конечномерное
собственное подпространство Н (X) оператора А. Пусть фх (х) —
собственная функция оператора А. В силу (4) мы имеем

J фх (х) Di, (х) dx = -1- J (Лфх) (х) Dlj (х) dx •=

=т S fw DS‘k Лх' I D'ik С1Л ;= °-

k

Поэтому фх (х) £ LA. Оператор Л Тл-инвариантен. В самом деле,
(Тг Лф) (х) = J w (xzy~x) ф (у) dy = J w (xzf!) ф (zy) dy = (АТг ф) (х).
Следовательно, Н (%) также инвариантно относительно Тк и фор-
мула 7\ф? (у) = ф? (ух) определяет представление группы G
в Н (%). Это представление вполне приводимо. Пусть —
базис неприводимого подпространства ТТ (X) пространства И (X),
заданный собственными функциями оператора Л. Мы имеем

(у) = el (ух) Dsik (х) е• (у).

Так как все собственные функции оператора Л непрерывны,
имеем (суммирование по s отсутствует)

4 (x) = Dsjk (х)е7-(е),

т. е. esk С Б. Поэтому Н (X) = (0), что противоречит предыду-
щему заключению. Следовательно, по (3) и (2) L 1 — 0.
Следствие. Пусть и (х) с L? (G). Тогда
ds

« (х) = S S cSjkDSjk (х)
s€g '• ft=1

и

ds
J|«(x)|2dx = S ds S |^|2,
°	s€o <'к-Л

где

cp =-. ds [ и (x) Dsjk (x) dx

G

(4')

(5)

(6)

и сходимость в (4') понимается в смысле нормы в L2 (G).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формула (4') следует из полноты множества
функций (1). Чтобы доказать (5), положим и (х) = uN (х) -]- eN (х),
где

N ds

и и (х) = S S c]kD]k (х).

S=1 J. *=1

Ясно, что || eN (х) || -► 0 при N -► со. Тогда, согласно соотно-
шениям ортогональности (1.9), получаем

N	ds

J | и (х) |2 dx = J] d~sl j I I2 + (uN,
O	s=l j. k=l

En) + (e.V, Uyv) + (Zn, Ejv).

Используя неравенство Шварца, получаем

Равенство (5) называется равенством Парсеваля.

Из утверждения 1.6 мы знаем, что каждое неприводимое уни-
тарное представление группы G является подпредставлением
правого регулярного представления. Более того, мы также знаем
из теоремы 1.4, что регулярное представление является прямой
суммой неприводимых унитарных (следовательно, конечномер-
ных) представлений. Следующая теорема завершает описание
структуры регулярного представления с помощью его неприводи-
мых компонент.

ТЕОРЕМА 2. Каждое неприводимое унитарное представление Ts
группы G появляется в разложении регулярного представления
с кратностью, равной размерности представления Ts. На орто-
нормированные векторы

Ys(n k(x)==V ds Dsjkix), sGG, j, k=l, 2, . . ds, (7)
при фиксированных j и s натягиваются инвариантные неприво-
димые подпространства правого регулярного представления, а на
ортонормированные векторы

Yk(n(x)= l''dsDskj(x), s£G, j, k = 1, 2, . . ds, (8)
при фиксированных j и s натягиваются инвариантные неприво-
димые подпространства левого регулярного представления.

Доказательство. Обозначим через Н\п, где s £ G, a j фикси-
ровано, инвариантные неприводимые подпространства в Н =
= L2 (G), натянутые на ортонормированные вектора (7). Пусть
и (х) £ L2 (G). Согласно формуле (4), имеем	;

ds	‘!s

U(x) = Е S ^Dsjk(x)-= E £«?/)(*),	(9)

c © J • ^=1	c

S t Cl	S t 6

где us(n H\j}. Поскольку H\n J Hfy}, если (s, j) (s', j'),
то разложение (9) однозначно. Поэтому

‘!s

z е©д©	(io)

Более того,

ds

tIii(x) ^ E E	(x),	(ii)

s € G ’ 1

j jS
где <DT — неприводимые унитарные подпредставления пред-
ставления TR в H(j), заданные формулой

« W =	W Л) I (х>-	(12)

Итак, для каждого I — 1, 2, ..., ds Н<РТН Т и, следовательно,
по определению 5.3.3

т«=Е©^Д’-	(13)

s€g

Такой же результат может быть доказан для левого регулярного
представления, если в качестве базисных векторов неприводимых
подпространств взять функции (8).

Теорема Петера—Вейля может быть значительно усилена. Для
непрерывных функций на G вместо аппроксимации по норме про-
странства L2 мы можем получить равномерную аппроксимацию.
Это составляет содержание следующей аппроксимационной тео-
ремы Вейля.

Теорема 3. Пусть f — непрерывная, функция на G. Для каж-
дого е > 0 существует линейная комбинация

е

S S ЭДИх)

S=1 /, k

матричных элементов неприводимых унитарных представлений,
такая, что

1Уе as

f(x)~S s esikDsjk(x)
s=1 j, fe=l

для всех x£G.

(14)

< E

Доказательство. Мы докажем теорему 3, используя метод так
называемых операторов сглаживания. Этот метод очень полезен
при решении многих задач в теории представлений. Пусть <р £
£ С (G), f £ L2 (G), и пусть — оператор

М (х) = f ф (у) T„f (х) ду = j <р (у) { (у~'х) ду. (15)

Операция (15) также обозначается через <р * f и называется
сверткой функций ф и f. Оператор Llf имеет следующие свойства:

Г он является непрерывным отображением из L2 (G) в С (G),
2° если HN — множество конечных линейных комбинаций

S S cikD}k(x),

S—1 j, k

где DS/k (х) — матричные элементы неприводимого унитарного
представления группы G, то

Ly (HN) с= HN.

(16)

В самом деле, используя неравенство Коши, имеем

\Др[(х) |2 =

JФ(y)f (У гх)ду 2 < J |Ф(£/) [2dz/ J|f(y Mfdj/.
G	GO

Пусть Ilf Це (G) = sup|f(x)|. Тогда
Ac°

IIMIIc(G) ccllfllts где с-=||ф||Ь2.

(17)
Более того, если fN (х) £ HN, мы имеем

N

L<pf N W = 2 X f Ф (у) Dsjk (y~lx) dy =
s=l j, k G

N

— Ул Ул cjkDPk (x) J cp (y)D jp (jj ) dy =
s=l j. k, p	6

N

= S cpkDpk (x) (E Hn, где cspk •= Cp, (<p) cjk (/).
s—1 k,p	I

Чтобы доказать основную теорему, пусть f — любой элемент
из С (G). Поскольку любая непрерывная функция на G, согласно
утверждению 2.2.4, равномерно непрерывна, то существует окрест-
ность VE единицы, такая, что

Щх1) — Цх-;)) О, как только Х1Х21 е. (18)
Пусть фе Е С (G) — неотрицательная функция, которая отли-
чается от нуля только на Ve и удовлетворяет условию J фе (х) dx —

G

— 1. Тогда для сглаженного оператора L(( получаем

“ /||с (G) < Е-	(19)

В самом деле, согласно (18),

II W ~ f llc(G) = SUP J Те (У) If (У^х) - f W1 dy =
x€g g

— sup f фе (x) I ftx-'y) - f(y) I dx < E.

*€g ve

Из теоремы 1 мы знаем, что каждый элемент f (Е С (G) может
быть как угодно аппроксимирован по норме в L2 (G) элементами
из HN, т. е., в частности,

II/ -- /лН'г.2 < II фе II Jb.

Итак, согласно формулам (19) и (17), мы имеем

| f (х) -	(х) | < | f (х) - L^f (х) | -f-1(f (x) - fN (x)) |

< E + II/ — fN ||r2 II Фе Ik2 < 2e.

Поскольку функция (x), fN £ HN, является элементом из
HN, то доказательство теоремы 3 завершено.
Заметим, что из формул (4) и (6) мы получаем соотношение

оо dS ________

I 2	(%'№(*)== 6 (х-х').	(20)

S=1 j. k=l

Это альтернативная форма соотношения полноты для DSjk~
функций, которая очень полезна в вычислениях.

§ 3.	Проективные операторы и неприводимые
представления

В этом параграфе рассматриваются свойства проективных
операторов, сопоставляемых с неприводимыми представлениями
компактных групп. Техника проективных операторов очень
полезна, изящна и эффективна при решении различных практиче-
ских задач теории представлений и квантовой физики.

Пусть Dspq (х) — матричные элементы неприводимого пред-
ставления Ts. Определим операторы

Ppq = Jsj Dpq{x)Txdx,
О

(1)

где ds — размерность неприводимого представления Ts, dx —
инвариантная мера Хаара на G, х 7\ — унитарное представле-
ние группы G в пространстве И.

Поскольку Dspq (х) и Тх — непрерывные функции на G и по-
скольку G компактна, то операторный интеграл (1) вполне опре-
делен (см. приложение Б.2). В частности, все операторы Pspv огра-
ничены. В самом деле,

(I PSpqU II С ds J I Dspq (х) 11| Тхи || dx « ds sup I Dsp4 (x) 11| и ||.

G

Поэтому



sup I Dpv(x) |.
xC G

Утверждение 1. Операторы PSpq имеют следующие свойства:

1° (PSpqY^=PSqp,

2° PlqP^' = &S'bqp'PSpq'.

(2)

(3)

Доказательство. Г. Поскольку для каждого ограниченного
оператора А мы имеем || А* || = || А Ц, то отображение А -► А*
непрерывно в слабой операторной топологии. Поэтому в (1)
мы можем переставить операции сопряжения и интегрирова-
ния, т. е.

(Р^)‘ = ds [ Dpq (х) Т*х dx = ds [ Dpq (x-1) Tx d (x-1) =
G	G

= ds J DqP (x) dx = Pgp,

где мы использовали то, что Тх = Тх' = Тх->, и инвариантность
меры Хаара.

2°. Из (1) следует, что

PpqPp'4' = dA' JDP0 WDp'q' (k'}TxTx- dx dx'.

Используя групповое свойство TXTX> = Тхх< и соотношение
Dpq (*) == Dpq (хх ) = Dpr (X) Drq (.X ) -= Dpr (х) Dqr (X ),
где хх' = х, а также соотношения ортонормировки (1.9), мы
получаем

Ps ps' = d d , f Ds (x') 0s' (x') dx' [ Ds (x) T~ dx = 6SS'6 ,P*.
pq pq s s' J qr'- / p'q' \ > J prK ' X	qp' pq’

Следствие. Операторы Pp = Ppp являются проективными
операторами, т. е.

W = Psp, PspPs;. = 6SS'VPsp.	(4)

Операторы Ppq имеют простые трансформационные свойства
относительно действия группы G. Действительно, мы имеем

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть Рр7 заданы формулой (1). Тогда
(суммирование по s отсутствует)

TxPSpq = Dsrp(x) Psrq,	(5)

PSpqTX = DSqr(x)PSpr.	(6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку Тх непрерывен, то он может быть
перенесен под знак интеграла в (1). Используя групповые свойства
функций Dpq, получаем

(ДТ7)	d/=d, J ДДЛ) T- <ii=

= Д м J ДО Т; di_ D‘rp« p-rt.

Формула (6) доказывается подобным же образом.

Заметим, что в силу (5) векторы

Is SpqU, q фиксировано, и £ Н,
преобразуются как базисные векторы пространства Hs неприво-
димого представления Ts. Этот факт является отправной точкой
большинства применений проективных операторов Р^, (см.

§ 4.	А н § 4.Б).

Заметим также, что, согласно (5) и (6), мы имеем

TxPsP4T-^Dsrp(x}Dstg(x) Psrl.

(7)

Формула (7) означает, что Ps„ преобразуется как тензорный опе-
ратор, соответствующий тензорному произведению базисного
вектора е® и вектора, сопряженного с е® (т. е. в обозначениях
Дирака как произведение js; р) (s; q\).

Существуют также полезные проективные операторы, сопо-
ставляемые с характерами

А

Xs (л) - S Dpp W-

Они определяются следующим образом:

Р® =- ds J Xs (х) Тх dx.

G

(8)

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Операторы Ps имеют следующие свойства-.

(Р®)* - Р\

Р'Р'' = 6SS<P®,

(9)
(W)
(П)

Доказательство. Поскольку Ps = У,Рр, то формулы (9) и
(10) сразу следуют из утверждений 1 и 2, а (11) следует из (8)
и из того факта, что X (*) = X (У*Ух)-

Докажем еще один полезный результат.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть Т — унитарное представление
группы G в Н. Тогда

YiPs = I	(12)

и

%Рр = 1-

S, р

(13)

Доказательство. Пусть {е’} — базис в И. Тогда в силу (8)
S pS'er = S М ck S DPP w U) esm = esr. (14)
s'	s'	p

Отсюда следует (12). Соотношение (13) следует из определения
операторов Ps и из (12).
Пример. Пусть G = SO (3). Если мы описываем вращения
с помощью углов Эйлера (р, 0 и ф,

0<Ф<2л, О<0<л, 0сф<'2л,	(15)

то в силу упражнения 5.8.1.1 и (3.11.30) имеем

clj = 2J --j- 1, dx = (8л2)"1 sin 0dtp dO dt|-,

DJM, м (<p, 0, 40 = ( 1 W P°j-m (cos 0) exp (-iM (<p + ф)], (16)
j

X (ф, 0, ф)=- S DJmm(4'-, °. 4).

Тх (V, e, W - exp (—i<p/z) exp (—iOJj exp (—1’фЛ).
Следовательно, проективные операторы PJM и PJ задаются фор-
мулами

Ли =	- J DJMM(<p, 0, ф) Тх (<Р, е, sin 0 dv dO бф, (17)

PJ = J °’ Tx 6- W sln 0 d(((le <18)

§ 4.	Приложения

А. Разложение фактор-представления на неприводимые
представления

Во многих задачах неприводимое представление Т' группы G
входит в пространство представления Н несколько раз. Во многих
приложениях требуется разложить фактор-представление nsTs
(суммирование отсутствует) на неприводимые компоненты и явно
построить соответствующие ортогональные пространства. Мы ре-
шаем эти задачи, используя проективные операторы Ppq. Как
отмечалось, векторы

|s; р) = PSp/u q фиксировано, и^Н,	.(1.)

преобразуются как базисные векторы <у, пространства № непри-
водимого представления Т\ т. е.

7\ls; р) = DrP (х) Psrqu == Р)"гр (х) | s; г).	(2)

Это соотношение дает простой и изящный метод явного построения
ортогональных базисных векторов | s; р) неприводимого про-
странства Hs из векторов гильбертова пространства Н, в кото-
ром реализуется приводимое унитарное представление Т группы G.
Рассмотрим раньше случай, когда каждое неприводимое пред-
ставление Ts появляется в разложении представления Т только
один раз. Пусть Pspqu =}= 0, р = 1, 2, ..., ds(ds — размерность
неприводимого представления 7е) для некоторого и £ Н и для
фиксированных s и q. Тогда векторы

| s; р)	=	PpqU,	р — 1, 2, ..., ds, s и q фиксированы,	(3)

где № =	(и,	Pqqu),	образуют ортонормированное множество

векторов. В самом деле,

(s; р'	I S;	р) =	(Рр'дЩ Ppqtt) = (и, (Pp’q) Р pqU) =

— "ДГ2- (Ы’ Pqp'Pptp) = ^р'р д?2 (Ы’	= $р’р-	(4)

Согласно (2), замкнутая линейная оболочка Hs ортонормирован-
ных векторов (3) образует пространство, в котором реализуется
неприводимое унитарное представление Т' =

Замечательно, что этот метод работает даже в том случае,
когда приводимое унитарное представление Т содержит непри-
водимое представление Ts несколько, скажем (лс), раз. В самом
деле, пусть Т = У ф nsTs — разложение представления Т на

S

фактор-представления nsTs, и пусть Н = У ф ns//s — соответ-

S

ствующее разложение пространства Н. Более того, пусть Hq =
= P*qH, где s и q произвольны, ио фиксированы. Тогда мы имеем

Утверждение 1- Если и 0 — произвольный вектор из Hsq,
где s и q фиксированы, то существует только единственное под-
пространство Н\ц), содержащее этот вектор и являющееся про-
странством неприводимого представления Ts =

Если и + 0 и v р 0 — ортогональные векторы из Hq, то
Н\и} и являются ортогональными пространствами неприво-
димого представления Ts = |£>*Д.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть О + и £ Hq, и пусть ||и|| = 1. Век-
торы

|s; рУ — РрдЩ р— 1, 2, . . ., ds s и q фиксированы, (5)
составляют ортонормированное множество векторов. Согласно (2),
замкнутая линейная оболочка Д(Ц) всех векторов (5) составляет
пространство неприводимого представления 7s = ID,-,}. Вектор
Is, q) = PgqU = и не может лежать в двух различных неприводи-
мых подпространствах Н\и} и так как пересечение L =
= Е\и) П //(«> является инвариантным подпространством, удо-
влетворяющим следующим условиям:

LC//U U//U L + H\av
Следовательно, в силу неприводимости и H\U) это инвариант-
ное подпространство пустое, т. е. L = 0.

Если и  0 и V о — ортогональные векторы из Hq, то
пространства и Hsw являются ортогональными простран-
ствами одного и того же неприводимого представления Ts =
= {D®/}. В самом деле,

(Pp'gV, Р^) = (V, М'Р’р^) = (V, Pqp'Pp^) =

= W(U> p;4w) = 6pV(v, h) = 0.

Таким образом, беря последовательные ортогональные векторы
из пространства Hq, мы получаем столько ортогональных про-
странств одного и того же неприводимого представления Ts —
= какова размерность подпространства Hq. Ясно, что
dim Hsq = ns. Следовательно, утверждение 1 дает в общем случае
систематический метод выделения неприводимых подпространств

i = 1, 2, ..., ns, из приводимого пространства Н. Оно про-
изводится следующими этапами:

1° Нахождение подпространства Hs4 = PS4H (s фиксировано,
q произвольно, но фиксировано).

2° Выбор в пространстве РРЧ произвольным образом ортого-
нального базиса «1, «2, .... Uns, ns = dim Hq.

3° Последовательное применение формулы (5) к каждому из
векторов ult i = 1, 2, ..., ns, чтобы найти неприводимые подпро-
странства #(«(.)> содержащие эти векторы.

Согласно утверждению 1, соответствующие неприводимые под-
пространства	Н\и2)> •••» Н(ип попарно ортогональны.

Их набор дает эффективное разложение приводимого подпростран-
ства PSH = nsHs на неприводимые компоненты i — 1»
2, ..., ns, в которых реализуется одно и то же неприводимое уни-
тарное представление Ts — {D®,-}. Последовательно применяя
этот метод ко всем s, получаем эффективное разложение пред-
ставления Т на неприводимые компоненты Ts.

Б. Коэффициенты связывания («коэффициенты Клебиш—Гордана»)

Пусть TS1 и Т'2 — неприводимые представления группы G
в гильбертовых пространствах №* и HSs соответственно. Пусть
| s,p() — ортонормированный базисный вектор в i = I, 2.
Предположим сначала, что G просто приводима, т. е. что в тен-
зорном произведении двух неприводимых представлений кратность
данного представления не превышает единицы. В тензорном про-
изведении Н = 77s* ® 77s* мы можем построить два множества
ортогональных базисных векторов. Первое состоит из кронеке-
ровского произведения первоначальных базисных векторов:

|sipi, S2P2) = |sipi)IS2P2), /п = 1, 2, . . ., ds„ p2 = \,2, . . ds„

(6)
а второе содержит базисные векторы

I spsis-z),	(7)

на которые натягивается неприводимое пространство 77s, содер-
жащееся в пространстве 77s* ® HSt == ^ ф 77s. Согласно (3),

S

базисные векторы (7) могут быть получены из базисных векторов
(6) с помощью формулы

I Sis2sp) =	ds J DpP- (x) Tx I SjpJ^/22) dx, (8)

где p', p[, p'2 фиксированы, a Np'pfy — нормировочная кон-
станта. Оператор Tx действует на базисные векторы (6) по формуле

Тх \s1p1S2p2) =	(х) Dsp\Pi (х) | Sip'i^pz}.	(9)

Так называемые коэффициенты Клебша—Гордана являются ма-
тричными элементами унитарного оператора (называемого ма-
трицей перехода}, связывающего базисные векторы (6) и (7),
и согласно (8) и (9) задаются формулой

(S1/21S2/22 | SpS\S2) =	) ds J Dpp' (x) Dp-pj (x) Dp^ (x) dx. (10)

Чтобы найти нормировочную константу Мр'р'р', вычислим ква-
драт базисного вектора (8):

1	=	(Sip'iS-2p2 I Ppp-PSpp- I S1P1&2P2} =

=	I PSp'p' I SiPi^Pl} =

= (^p'p'‘p'2 ) ds J dx Dp'p’ (x) Dp\p' (x) ^p\p2 (x) =
J	-11	4 4

G

= (Wp'p'p') 1 {S1P1S2P2 1 SiSzSp').

Поэтому

NpS'p{p'2 = {S1P1S2P21 Sis2sp’) = {sis2sp’ I Sipisopz)•	(11)

Следовательно, мы видим, что нормировочная константа сама
является другим коэффициентом Клебша—Гордана (К—Г). По-
скольку индексы р', р{ и /ъ произвольны, мы можем выбрать коэф-
фициент К—Г (11) как можно проще.

Коэффициент К—Г (10) не определяется однозначно. В самом
деле, если мы умножим базисные векторы (6) на постоянные фазо-
вые множители <ps, | <ps | = 1, то снова получим полную ортонор-
мированную систему. Поэтому коэффициенты К—Г определяются
с точностью до фазового множителя. Мы можем использовать
эту произвольность, чтобы выбрать один из коэффициентов К—Г
неотрицательным. Тогда нормировочная константа в (10) опреде-
ляется однозначно. В самом деле, положив в (10) р = р', р\ = р[
и р2 = Р2. в силу (11) получаем

^р'р[р'2 ~ f!s J^р’р’	(х) ^р’,р2 W

с

(12)

Таким образом, знание матричных элементов Dspq неприводимых
представлений позволяет полностью определить коэффициенты
К—Г для просто приводимых групп.

Если заданная группа G не просто приводима, то сначала мы
разбиваем фактор-представление nsTs, содержащееся в тензорном
произведении пространств, на неприводимые представления,
используя технику раздела А. Построив базисные векторы (7)
в пространствах H(U^, ..., H^Un у поступаем так же, как
и выше.

Формулы (10) и (12) составляют основу для явного определе-
ния коэффициентов К—Г компактных групп, представляющих
физический интерес (таких как SO (3), SO (4), SU (3) и т. д.).
Поскольку матричные элементы Dspq (х) могут быть выражены
в терминах произведений специальных функций (см. гл. 14),
задача определения коэффициентов К—Г сводится к задаче инте-
грирования произведения трех специальных функций по конеч-
ной области.

В. Физическое приложение: распределение состояний
по изотопическому спину

В дополнение к массе, общему угловому моменту (спину) и
четности сильно взаимодействующим частицам могут быть при-
писаны определенные внутренние квантовые числа. Внутренние
квантовые числа различают частицы с одними и теми же спином
и четностью; они сохраняются при сильных взаимодействиях.
В частности, каждой такой частице мы приписываем изотопиче-
ский спин t, соответствующий группе SU (2) (внутренних) симме-
трий. Пусть Ilt /2 и /3 — генераторы этой группы SU (2). Состоя-
ние частицы тогда характеризуется вектором | t, 0, х), где Р =
= Л + Л + Л и 13 имеют собственные значения t (t + 1) и 0
соответственно и х обозначает остальное множество квантовых
чисел. Когда мы имеем дело с таким квантовым числом, как изо-
топический спин, для набора свободных частиц мы берем простран-
ство тензорных произведений | 7^, /202, ...), и общий изотопиче-
ский спин системы определяется векторной суммой 1 = У
i

В процессе сильных соударений общий изотопический спин началь-
ных частиц равен общему изотопическому спину конечных частиц.
Другими словами, S-матрица, выражающая амплитуду вероят-
ности перехода из начального состояния в конечное, коммутирует
с представлением g -* Т\ группы SU (2) изотопического спина
в гильбертовом пространстве векторов состояний. Более подробно
о квантовомеханических свойствах инвариантности см. в гл. 13.

Рассмотрим процесс рассеяния двух частиц в реакции

+ В Ci -j- С.2 -j- • • • Д- Сп,

где частица Cz, i = 1, 2, ..., п, имеет изоспин tL и третью компо-
ненту изоспина 9г. Вероятность того, что определенное конечное
состояние со значениями 0х, 02, ..., 0„ будет найдено с заданными
общим изоспином 1 и его третьей компонентой 73, равна

= Г SI(7101, • •7„е„I naa)I21 rs L I (ДОь ..., 7„е„1р?1.

L a	J L(0f) а	j

(13)

Здесь а обозначает все дополнительные изотопические квантовые
числа, требуемые для полного описания n-частичного состояния
в изоспиновом пространстве. Мы предположили, что каждое со-
стояние а с фиксированными I, 13 встречается с равной вероят-
ностью. Используя технику проективных операторов, мы легко
можем найти конечное выражение для вероятности (13). Факти-
чески величина

Sl(7101, ..., 7„б„]ад|2	(14)

и является квадратом проекции вектора 17101, ..., 7„0„) на под-
пространство в тензорном произведении, натянутое на базисные
векторы | 1, 73, а) с заданными 7, 73. Следовательно, если бы мы
смогли явно вычислить длину этой проекции, то смогли бы обой-
тись без длинных вычислений компонент и определения полного
множества квантовых чисел а. В общем случае в тензорном про-

п

изведении одночастичных представлений [Д ® Т1 может ока-
1—1

заться больше, чем одно (27 + 1)-мерное подпространство пред-
ставления Т1. Обозначим прямую сумму этих подпространств
через Г(/). Тогда проекция на Г(/) задается формулой (3.18),
где теперь

рГ(/> = 2ЙJХ(/)(<Р> °- WФ) sinнdtpdOбф,	(15)

Tg = П Tf, T(gky = exp I-i<p (tTh] exp [-10(tk)y] exp [- 1ф
k--i

или в матричном виде

[rg «р, е, lojej. ... е;го„ = Д De'kek	°> ’!’)•

Квадрат проекции вектора | /(01,	fn0„) на Г(/) равен

„ Ц}„)1ММ>1, . . Wn\pr“>l/Д, . . ., /„ОД

Здесь мы использовали формулу (3.10). Следовательно,

Р^....е, = J %' (*Р> 0, ф) fl (Т, 0, ф) sin 0 dtp dO Оф. (16)

k=i

Используя представление матричного элемента Dmm (g) в виде
(см. упражнение 5.8.1.1)

DJMM (ср, 0, ф) = Д +_cose Д pO-JM (Cos gj exp [—iД1 (((	ф)],

где Pj—m (x) — полином Якоби, и используя выражение (3.16)
для xtz>, после интегрирования по <р и ф получаем

Ре"  е„ = (2/ + 1)2-2/з-' f dx (1 + х)2/’ Р0^ (л) П P°t^‘ (л). (17)
-1	z=i

При получении последней формулы было предположено, что
13 > 0. Однако это не является ограничением, поскольку можно
легко доказать, что

Подынтегральная функция в (17) является полиномом степени
п

N = I + tt — 213. Если представим этот полином в виде
1=д

S GjXi,
i=n

то

[W/2]

...<>„-(2/+1)2-!'- £	(18)

/=0
Из (17) или (18) получаем конечное выражение для ....е для

различных частных случаев:

1.	Случай п пионов (т. е. р 4- р -+ п+п+ -ф поп° -ф пл")
= (2/ -|-(-!)'-' X

4- (—1)"о А (I - /3 — V, Ло, 2п+ 4- V)],

где

2.	Случай одного нуклона и и пионов

Р‘т1. п+, По, = (J 4-1) 2’ (^+n-+J+1> (-1/-M х

J-M

X S (“1)V С М t v) [А + 1 + V, и0, J - М - v) 4-
V -и

4~ 4 1 Г" A (J — Д1 — v, п0, 2и+ 4- 1 + v)],

где J = I — х/2, М = 13 — х/2 и — третья компонента изо-
спина нуклона.

Заметим, что перестановки частиц одного и того же вида и за-
ряда между собой не приводят к различным изоспиновым состоя-
ниям. Следовательно, чтобы найти вероятность определенного
зарядового распределения, следует умножить коэффициент

......еп на число перестановок компонент 0lt ..., 0„, которые
приводят только к изменению порядка чисел 0Ъ ..., 0„. Например,
вес зарядового распределения для и пионов без рассмотрения их
импульсов задается формулой

«I pi
п+!п0!п_! Гп+-п°-п-’

§ 5. Представления конечных групп

В этом параграфе рассматриваются свойства конечных групп
и их представления. Конечные группы имеют много важных
приложений в квантовой физике, в особенности в атомной, молеку-
лярной физике и физике твердого тела. По этой причине и для того,
чтобы можно было рассматривать представления симметрической
группы S/V. мы даем краткое изложение представлений конечных
групп.
Каждая конечная группа компактна. Поэтому все теоремы
этой главы справедливы для конечных групп. Только во всех
формулах необходимо заменить интегрирование по групповому
многообразию J dx суммированием по групповым элементам.

А. Симметрическая группа SN

Симметрическая группа 3А? (группа перестановок N объектов,
ее порядок равен А!) существенна в изучении конечных групп,
в приложениях, а также в теории представлений непрерывных
групп. Мы имеем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1 (Кели). Каждая конечная группа G порядка N изо-
морфна подгруппе группы SN.

Доказательство. Рассмотрим перестановку элементов из G,
определенную левым умножением на элемент х:

. х2

,л =

" \ХХ( хх2

Хм \
xxNJ

(I)

Перестановку множества (хъ ..., xN) в множество (ххъ ..., xxN),
т. е. элемент из SN, мы обозначаем стрелкой (как выше). Все пере-
становки |Ал, х £ G} образуют группу. Отображение /: х -► Ал
взаимно однозначно и

/: ху > А-Л^л •— хиЯ.

Ясно, что перестановку можно также определить правым
умножением.

Элементы из SlV могут быть порождены более простыми элемен-
тами, называемыми циклами или транспозициями. Цикл представ-
ляет собой перестановку, в которой некоторые г < N объектов
переставляются между собой циклическим образом. Например,

/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\

i U 3 4 1 6 7 5 8 9 10 = 2 3 4><5 6 7)(8)(9)(Ю),	(2)

где мы ввели стандартное обозначение для циклов. Цикл может
быть записан иначе: (1 2 3 4) == (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3);
произведение непересекающихся циклов коммутативно:
(1 2 3 4) (5 6 7) = (5 6 7) (1 2 3 4); цикл с одним символом
может опускаться в разложении (2). Цикл из двух символов назы-
вается транспозицией. Любой цикл может быть записан как
произведение транспозиций: (1 2 3 4) = (1 2) (1 3) (1 4) (дей-
ствие слева..направо). Продолжая этот процесс, получаем сле-
дующую теорему, и
§ 7.7. Для алгебры Ли so (3, 1) ~ si (2, С) с генераторами
Jk = a*°ka> Mt = -g" ’ (a*okCa* <?CoAo), k = 1, 2, 3,

О 1

1 О

действующей иа гильбертовом пространстве состояний, натянутом
на

| /т) = [(/ + т) l(j — т) 1]-1/2а1 {i+m)a2	10),

покажите, что С2 = J2 — А2 = 0 и С'2 — J N = —3/4. Если
| 0) или а* | 0) — нижайшее состояние, то получаем два само-
сопряженных представления с /0 = /МН!1 = 0 или соответст-
венно. Алгебра si (2, С) имеет две серии унитарных представлений,
обозначаемых двумя числами:

.1,3

1)	основная серия: /0 = -g-, 1,	.... — оо < а < оо;

2)	дополнительная серия: /0 = 0, 0 с ia с 1, где

С*2 = /о^> С2 — 1 Д а — /о-

Используя две пары бозонных операторов а,-, Ь,-, i — 1, 2, и

4 = 4"	+ b*Gkb), Nk (а*акСЬ* - aCokb),

постройте эти представления (см. также гл. 19).
ТЕОРЕМА 2. Г Каждая перестановка может быть представ-
лена в виде произведения непересекающихся циклов (однозначно
с точностью до порядка множителей).

2° Каждая перестановка может быть представлена в виде
произведения транспозиций смежных символов', для заданного
х £ SjV число транспозиций в любом разложении или всегда четно
или всегда нечетно.

Два групповых элемента хг и х2 называются сопряженными,
если существует другой групповый элемент у, такой, что хг =
= ух2у~1. Это соотношение является 1) рефлексивным: xt =
= ех^1, 2) симметрическим: х2 = у^1х1у, и 3) транзитивным:
если хА = ух2у~1 и х2 = zx3z-1, то хА — (yz) xs (yz)-1. Поэтому
группа может быть разделена на классы сопряженных элементов.
Единичный элемент сам составляет класс. В общем в классе
имеется много элементов.

Если, например, хг = (1 5 3 6 7 4 2) (8 10) и

/1 2 3 4 5 6--Л

У=[\.. . .	, ТО Х. = УХ1У г = (1115 G'6 '7'1'2) (<8'ю)-

V1 <2 *3 U * * ’

Таким образом, все элементы в классе имеют одну и ту же цикли-
ческую структуру. Длины циклов характеризуются разбиениями
числа 7V; поэтому число классов в SN равно числу разбиений
числа N.

Поскольку циклы коммутируют, мы можем упорядочить их
от большего к меньшему. Таким образом, циклическая структура
(разбиение) задается множеством чисел К, удовлетворяющих
условию

Л/ 7х 72 -|- • • • -|- 7^, 71 72	7/, 0,	(3)

где k произвольно. Иначе, разбиения могут характеризоваться
множеством неотрицательных целых чисел а = (аь а2, ..., аЛ,),
таких, что

N = «г + 2а2 + За3 4- • • • ф- NaN, а, > 0.	(4)

Здесь ak — число циклов длины k. Ясно, что 04 < (V, a,v с 1
и т. д.

За исключением бесконечного ряда (см., например, [694]),
общей формулы для числа разбиений не существует, но имеются
таблицы (см. [356]). Однако мы ответим на такой вопрос: чему
равно число элементов в каждом классе группы Sv?

Пусть U — подгруппа в G. Элементы вида \хи | и £ U\ = xU
образуют класс смежных элементов. Ясно, что классы смежных
элементов xU и yU или тождественны, или не имеют общих эле-
ментов. Каждый элемент х из G лежит в некотором классе смежных
элементов, именно в классе xU. Все классы смежных элементов
имеют один и тот же порядок, который равен порядку подгруппы Ц.
Таким образом, группа разделяется на v непересекающихся
классов смежных элементов, где

[G : (/] = V = индекс подгруппы U в G ==  порядок!/'	(5)

Таким образом, порядок подгруппы U (или класса смежных эле-
ментов xU) является делителем порядка группы G (теорема Ла-
гранжа).

Делимость порядка группы G также справедлива для классов
сопряженных элементов.

Теорема 3. Порядок класса сопряженных элементов является
делителем порядка группы G.

Доказательство. Мы определяем подгруппу их, называемую
централизатором элемента х из G:

£Д = {У| уху~1==х\-	(6)

Мы хотим знать число различных элементов, сопряженных к х.
Два элемента ихи'1 и охи-1 тождественны тогда и только тогда,
когда и и а лежат в одном и том же левом смежном классе по Ux.
Поэтому число различных элементов, сопряженных к х, равно
числу смежных классов по Ux или индексу подгруппы U х, кото-
рый, согласно предыдущей теореме, является делителем порядка
группы G.

Пример 1. Для примера вычислим порядок ha класса сопря-
женных элементов группы SN, определенного в (4). Согласно (5),
достаточно вычислить порядок централизатора Ux, определенного
в (6). Перестановка х циклической структуры а = (аъ ..., ал)
является левоинвариантной в виде уху'1 = х при	[ ау!jai пере-

/

становках, так как цикл длины / остается неизменным при / ци-
клических перестановках и, кроме того, а,-циклы могут пере-
ставляться между собой. Таким образом,

ha=M!/[ai! 1а1а2!2а2.--^!Л/^]	(7)

и IX = М!.
а

Нормальная подгруппа N группы G полностью состоит из
классов сопряженных элементов.

Пример 2. При N -ь 4 знакопеременная группа AN (под-
группа группы SN, состоящая из четных перестановок) является
единственной собственной нормальной подгруппой в S.v; ее индекс
равен двум. При N =р 4 AN проста, т. е. не содержит собственных
нормальных подгрупп. При N — 4 Л4 содержит собственную
нормальную подгруппу У4 (группа Клейна с четырьмя элемен-
тами). (Замечание: At также известна как группа тетраэдра Т,
т. е. как группа вращений и отражений, которая оставляет инва-
риантным регулярный тетраэдр).

Б. Свойства представлений конечных групп

Общие определения гл. 5 естественно применимы здесь; мы
не нуждаемся только в понятии непрерывности. Критерии экви-
валентности и неприводимости представлений снова содержатся
в двух леммах Шура. Перечислим некоторые полезные результаты
на языке конечных групп.

1° Каждое представление конечной группы G эквивалентно
унитарному представлению (теорема 1.1).

2° Каждое неприводимое представление конечномерно (тео-
рема 1.3).

3° Теорема Машке: каждое неприводимое представление конеч-
ной группы вполне приводимо, т. е. является прямой суммой
неприводимых представлений (теорема 1.4).

4° Пусть Ts и Ts' — два неприводимые представления группы G.
Тогда соответствующие матричные элементы в ортонормированном
базисе удовлетворяют условию

S £><Г* (X)	(х) = 6ss'6(-m6z„ 4-,	(8)

xQg	as

где ds — размерность матрицы £>s_, h — порядок группы, a s
обозначает различные неприводимые представления. Если Ds
унитарно, то DSji'(х) = DSij (х) (теорема 1.5).

5° Если dlt d2, ..., dk — размерности неприводимых представ-
лений, то h = df + d* -)-• •  + df.

6° Число различных неприводимых представлений равно числу
классов сопряженных элементов.

Таким образом, симметрическая группа SN имеет столько не-
приводимых представлений, сколько существует разбиений
числа N.

Поскольку произвольное представление является прямой сум-
мой неприводимых конечномерных представлений, то каждый
характер задается формулой

X (х) = S ^SX(S) (х), х С G,	(9)

где '/?>, s = 1, 2, ... —так называемые примитивные, или про-
стые характеры неприводимых представлений, удовлетворяющие
условию (8). Поэтому общий или составной характер (9) удовле-
творяет условию

3(WxW==^ Ы	(10)

s

Соотношение (10) является критерием приводимости. Критерий
неприводимости такой:

(X, Х) = й.	(И)

Рассмотрим теперь правое регулярное представление группы G,
определенное в теореме 1. Характер этого представления равен

( й, х = в,

х + <12>

Таким образом,

S xreg(A-)xregU) = /12.	(13)

х € G

Следовательно, регулярное представление приводимо (т. е. пред-
ставляется в виде (9)) и коэффициенты Xs удовлетворяют условию

Е(/..Г')2-/1.	(И)

S

С другой стороны, из соотношения

S
при х = е легко получаем

/1==£Хе%.	(15)

S

Из (14) и (15) имеем ts = Xseg и h = У /2. Таким образом:

S

7° Размерность неприводимого представления равна его крат-
ности в регулярном представлении (теорема 2.2). Каждое непри-
водимое представление содержится в регулярном представлении
(теорема 1.6) и

/I = У /2.	(16)

S—1

В. Представления группы SN

Начнем с регулярного представления группы SN, которое
особенно полезно во многих физических ситуациях. Рассмотрим
функции от N объектов f (1 2 ... N), например волновую функцию
системы Л? частиц; каждый аргумент 1, 2, I, ... стоит вместо
множества квантовых чисел i-й частицы. Пусть х (12 ... У) —
перестановка N объектов, х £ 5Л-. Множество М! функций

/{х(1 2---М)}=Л(1 2 •  • Л/), x£SN,	(17)

образует базис регулярного представления размерности h ~ М!
В этом базисе элемент х группы представляется формулой

где

xfx == S D (х){1 fx

‘	/=i	1

D (х)ц = bjk, если xxt -= xk.

(18)

(19)

Регулярное представление приводимо, так как, например, вполне
симметрические и вполне антисимметрические функции, обозна-
чаемые через f (1 2 ... N) и f {1 2 ... N\ соответственно, образуют
одномерные инвариантные подпространства при преобразова-
ниях (1). В самом деле, из общих теорем предыдущего раздела
мы знаем, что регулярное представление должно содержать каждое
неприводимое представление размерности /s ls раз. Поскольку
число неприводимых представлений (равное числу классов сопря-
женных элементов) дается числом разбиений числа N, то непри-
водимое представление, соответствующее разбиению

. . ., 7/.),

N, 7. ।	7/,

определяет множество функций определенного типа симметрии

НП 2 . . . X,]	+ 1, . . ., +	• • -Ь (20)

которые вполне симметричны по первым 7.i переменным, по сле-
дующим 7.2 переменным и т. д. Число линейно независимых функ-
ций определенного типа симметрии равно размерности соответ-
ствующего неприводимого представления. Функции заданного
типа симметрии преобразуются между собой.

Это рассуждение характеризует интуитивным образом все
неприводимые представления группы SN, но его необходимо сде-
лать более явным и точным.

Прежде всего отметим, что разбиение числа N может быть по-
казано с помощью «таблицЮнга». Например, разбиению (71, ...
..., 7.Л) соответствует таблица
Существует N клеток и N\ способов распределения N чисел 1,
2, N в эти клетки. Таблица Юнга с записанными в нее числами
называется «.диаграммой Юнга» (диаграммой Фробениуса—Юнга).
Таким образом, любой таблице соответствует NI диаграмм. В тер-
минах наших функций (4) № функций, соответствующих Л'!
диаграммам, не являются линейно независимыми. Число линейно
независимых функций задается числом стандартных диаграмм.

Стандартная диаграмма — это такая диаграмма, в которой
числа 1,2...N в таблице Юнга на приведенном рисунке распре-

делены возрастающим образом в каждой строке слева направо
и в каждом столбце сверху вниз.

Теперь вычисление числа стандартных диаграмм /щ, соответ-
ствующих разбиению (^), становится комбинаторной задачей.
Мы даем три таких формулы:

I •	/(М =	— П («/ — «л),	(21)

П «{l<k
f=i

где (см. рисунок)

щ + (fe — 1),
п2 = К + (k — 2),

nk — К-

Можно проверить, что

Е^) = м’.

(А)

2.	Формула Фейта [2541

/(Л) = М!det[l/(Z{-t+ /)!!, t, / = 1, 2, . . ., М. (22)
Детерминант в (22) представляет собой детерминант N X N-
матрицы А с матричными элементами — \/(^ — i + /)!.
Заметим, что

ур = 0, если х < 0, и 1/0! = 1.

3.	Формула Фрейма, Робинсона и Срелла [281]

lw=N'lphih

(23)

Л,7 = 1 |-Ш~(‘ + /).

Здесь К; — число клеток в столбце /.

Мы увидим, что каждой таблице соответствует неприводимое
представление группы 5Л- размерности Z<z>-

Чтобы исследовать неприводимые представления группы SN,
рассмотрим групповую алгебру как регулярное представление
и разложим на неприводимые части с помощью проекционных
операторов (идемпотентов).

Рассмотрим диаграмму Т. Пусть

Н (Т) — множество горизонтальных перестановок, т. е. мно-
жество перестановок р £ S.v, которые переставляют числа в каж-
дой строке в Т, но не переставляют чисел из разных строк.

V (Т) — множество вертикальных перестановок, т. е. пере-
становок q £ 5Л, которые переставляют числа в каждом столбце
в Т, но не переставляют чисел из разных столбцов.

Н (Т) и V (Т) — подгруппы в 5Л-. Ясно, что их единственным
общим элементом является единица: Я (Т) П V (Т) = I.

Утверждение. Величины, определенные для каждой диаграммы
формулой

е (Т) = £ Eqpq £ Ж,
рЕн (Т)
q€V(T)

( -|-1 для четных перестановок,

4	| —1 для нечетных перестановок,

являются в существенном идемпотентами [т. е. скалярными крат-
ными идемпотентного элемента в е (71)2 = (М!//(х>) е (Т) 1
и задают разложение алгебры st на неприводимые подпространства.

Доказательство. Ясно, что е (Т) =р 0 в Кроме того, для
pi £ Н (Т) имеем соотношения

РК (Л = Е VqPiPq = X VqP'<] = е(Т),

и подобным образом для qi £ V (Т) е (Т) qi = е91е (Т). Образуем
идеал s/e (Т). Мы покажем, что все эти левые идеалы минимальны
что идеалы, соответствующие разным диаграммам, ио одной
и той же схеме, эквивалентны (изоморфны) и что идеалы, соответ-
ствующие различным схемам, неэквивалентны.

Рассмотрим две диаграммы Т и Т', соответствующие заданной
схеме. Запишем Т' = gT, где g G SN — перестановка, которая
переводит цифры из Т в цифры из Т', т. е. если число а находится
в положении (t, /) в Т, то ga находится в положении («, /) в Т' =
= gT. Для этих двух диаграмм е (Т), е (Т'), Н (Т), Н (Т') свя-
заны соотношениями

e(T') = ge(T)g-1 = e(gT).

H(T')^gH(T)g~l^H(gT),
V(T’)^gV(T)g-^V(gT).

Если р £ Н (7’), то р переставляет строки в Т, a gpg-1 перестав-
ляет строки в Т’, и т. д. Рассмотрим теперь соответствующие
идеалы &1-е (Т) и &1е (Г'):

sT" (Т') = .s£ge (Т) g~l = s/e (Т) g l.

Два идеала связаны друг с другом правым умножением. Поэтому
они эквивалентны.

Рассмотрим теперь две разные схемы, соответствующие раз-
биениям (П1П2	«*) и («1П2 ... п'п) соответственно. Если на пер-

вом месте, где размещение различается, /?,- >> n’t, то мы пишем
(П1П2 ... nk) > (щпг ««)• Для двух таких диаграмм, соответ-
ствующих двум таким схемам, имеем

е(Л)е'(Т2) = 0.

Чтобы показать это, заметим, что должны существовать два сим-
вола а и Р, которые расположены в одной строке в Т и в одном
столбце в Т' (иначе подходящими перестановками можно было бы
показать, что п\ = п[, иг = иг, ...). Пусть h — перестановка,
переставляющая а и р. Тогда h £ Н (Ti) и h £ V (Т2). Поэтому

е (Т2) е (Ti) = е (П) hhe (7\) = -е (Т2) е (7Д.

Здесь мы использовали свойство е (Т) q = e^q. Поэтому
е(Т1)е'(Т2) = 0.

Дальше покажем идемпотентный характер величины е (Т).
Для любого числа а имеем рае (Т) q = e.qae (Т). Обратно, пусть
a С такое, что для всех р £ Н (Т) и q £ V (Т) paq = е^а.
Тогда существует число а, такое, что а = ае (Т). Чтобы убедиться
в этом, положим a = E а (х) х, х £ SN. Тогда

а = zqp~xaq~l = е, Е а (х) (p'baf1) = е9 Е « (РУФ У-

X	U
Таким образом,

а(у) = в9а(рх^) при рС//(Т), q£V (Т).

Положив у = 1, получим а (1) = &ча (pq). Чтобы завершить дока-
зательство, мы должны показать, что а (х) = 0, если х не пред-
ставляется в виде pq, р £ Н (Т), q С V (Т). Это в самом деле
выполняется: если х не представляется в виде pq, то должны
существовать символы, расположенные в одной строке в Т и в од-
ном столбце в Т' хТ. Пусть h — перестановка а и (3. Тогда
h £ Н (Т) и h £ V (хТ), и поэтому h = xqx-1 при некотором
<7 е V (Т) и

а (х) ~	(hyq~1) =--= t-y-ia. (х) = —а (х).

Следовательно, а (х) =- 0, если х не представляется в виде pq.
Теперь рассмотрим

pe(T)2q^pe(T)e(T)q^^(T)2.

По предыдущему результату е (Т)2 = ае (Г). Чтобы вычислить а,
рассмотрим отображение Т (а) = ае (Т), а £ s£, и матричную
форму для Т в базисе, состоящем из групповых элементов xi == 1,
Х2, хз, ..., xN. Тогда если

е (Т) а1х1 -|- а2х2 ,
то

Че (Т) = ару + а2 (ххх2) + . . .,

х2е (Т) = cli (х2х,) - [  а2х2 -|~ . . ,

так что Tr (Т) = aiNl. Кроме того, так как xi = 1 оказывается
в е (Т) с коэффициентом 1, то ai = 1. Рассмотрим теперь второй
базис (yi, ..., yt, ..., yN), такой, что (yi, ..., yt) — базис для идеала
J = sie (Т). При Qi С J ciie (Т) — aai, поэтому

У!е(Т)==ау1,
yte (T^ayt,
а в y!+ie (Т) первые I элементов отличны от нуля, а остальные
элементы равны нулю, так как

у/+,е(ЛС^е(7).

Теперь след (Т) равен al. Так как след инвариантен, то
al = Nl, a = Nl/l.

Таким образом, величина и (l/Nl) е (Т) является истинным идем-
потентом.
Наконец, покажем, что идеал (Т) минимален. Для этого
достаточно показать, что е(7).?7е(7) скалярное число, кратное
е(Т). Но

pe(T)^e(T)q^e(T)^e(T)ep, р£Н(Т), q^ViT),

и по предыдущей лемме е (7)	(Т) кратно единице.

Если две диаграммы Ti и Т2 принадлежат различным схемам,
то, как мы знаем, е (7i) е (Т2) = 0. Поэтому е (Т2) ае (71) =
= е (7г) ае (Ti) ala = е (Тъ) е (аТ\) а = 0. Поэтому два идеала
s£e (71) и s4-e (Т2) неэквивалентны.

Резюмируя, можем сказать, что мы показали, что каждая диа-
грамма Т, соответствующая схеме (inti2 ... nk), определяет в су-
щественном идемпотентный элемент е (Г) = У, vqpq, такой, что
г. ч

£&е (7) является минимальным левым идеалом групповой ал-
гебры st- группы S’jV и, следовательно, неприводимую компоненту
регулярного представления. Кроме того, идеалы, соответству-
ющие различным диаграммам с одной и той же схемой, изоморфны,
а идеалы, соответствующие различным схемам, неизоморфны.

К сожалению, не существует общего алгоритма, который
давал бы минимальные идеалы групповой алгебры для любой
конечной группы, как в случае группы SN. Кажется, что это не-
разрешимая задача.

§ 6.	Комментарии и дополнения

1.	В доказательствах большинства теорем этой главы мы
явно использовали конечность группового объема V = j dx.

а

Поэтому мы не можем ожидать, что эти теоремы могут быть прямо
распространены на некомпактные группы, для которых V = оо.
Однако обобщение некоторых теорем (в частности теоремы Пе-
тера—Вейля) на некомпактные группы возможно (см. гл. 14, § 2).

2.	Функции Dpq (х) играют особую роль в теории представле-
ний компактных групп и их приложениях. К сожалению, эти
функции явно известны только для некоторых случаев: SO (3)
(см. упражнение 5.8.1.1), SO (4) (см. упражнение 7.1.2), U (3).
Гельфанд и Граев вывели рекурсивные формулы для функций D
для U (п). См. также работу Лезнова и Федосеева [516].

3.	Можно показать, что для простых групп Ли функции Dspq (х)
являются собственными функциями максимального множества
коммутирующих операторов обертывающей алгебры. (Общее до-
казательство этого утверждения для компактных и некомпактных
групп см. в гл. 14, § 2.) Это свойство является отправной точкой
в явном вычислении Dpq (х) для отдельных групп.
4.	Теорема 1.3 была впервые доказана Гуревичем [357]. Здесь
мы следовали изящному доказательству Нахбина [612] (см. также
[479]). Проективные операторы для конечных и компактных
групп обширно использовались Вигнером [8541. Он впервые по-
казал эффективность этой техники в решении ряда задач кванто-
вой механики.

Интересно, что теория проективных операторов может быть
распространена на некомпактные группы (см. гл. 14, § 5).

Первое явное вычисление коэффициентов К—Г восходит
к Вигнеру. Он вывел формулу (4.10) для группы SO (3).

В вычислении весов изоспиновых состояний мы следовали
работе Церулуса [178]. Он также вычислил другие частные случаи
формулы (4.18). Недавно были рассмотрены более общие формулы,
в которых проведено суммирование по всем возможным конечным
состояниям (см. [7201).

	Таблица 1  Все конечные группы до порядка 15
Порядок	Группы
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12	Z,  ^2 X ^2	^2  ^2 X Z3, S3 D3  Zg, Dj, Z4 X ^2> Ql ^2 X X %2  Z&»	X Z3  Zi0	^2 X	Z)5  Zji  Z3 X Z-ii ^2 x Zg^2 x %2 x Z3, Dq Z% X D3  Л, <2, 2, 3>
13  14  15	Z13  ' Z% X Zf, D7 Zt5 ~ Z3 x Zb

5.	В табл. 1 мы даем все конечные группы до порядка 15.
Относительно этой таблицы отметим следующее:

1)	Ап — циклическая группа порядка п. Если п — простое
число, то существует только одна группа, именно циклическая
группа.

2)	Если р и q — простые одно относительно другого, то Zpq ~
~ Zp х Zr/ (изоморфно прямому произведению).

3)	D„ — группа диэдра порядка 2п (группа преобразований,
отображающая регулярный n-угольник в себя, которая состоит
из п вращений на угол 2лг/п, г 0, 1,2, ..., п — 1, и отражения
плоскости с вращением на 2лг/п). Dn порождается двумя эле-
ментами х и у, удовлетворяющими соотношениям

х2 = е, уп = е, (ху)2—е.

4)	(2, 2, т) — двухциклическая группа порядка 4m. Она по-
рождается двумя элементами х, у, удовлетворяющими соотно-
шениям ’)

л’4--е, л'2 ут, yx~-xirx.

6. Мы рассмотрели в этой главе только сильно непрерывные
представления. Однако оказывается, что компактные группы
имеют интересные разрывные представления. Приведем две тео-
ремы, которые прекрасно иллюстрируют эту проблему.

ТЕОРЕМА 1. Унитарное представление связной компактной
полупростой группы Ли в конечномерном гильбертовом простран-
стве обязательно непрерывно.

(Доказательство см. в [823].)

Ясно, что в силу рассмотренной в гл. 3, § 8, структуры ком-
пактных групп эта теорема несправедлива для некомпактных
групп.

ТЕОРЕМА 2. Пусть G — локально компактная топологическая
группа, каждое неприводимое унитарное представление в гиль-
бертовом пространстве которой непрерывно. Тогда G дискретна.

(Доказательство см. в [1151.)

Теорема 2 предполагает, что каждая связная компактная
полупростая группа Ли должна допускать разрывные бесконечно-
мерные неприводимые унитарные представления в гильбертовом
пространстве. Интересно, что в случае группы вращений такие
представления имеют важное физическое значение.

§ 7. Упражнения

§ 1.1.	Покажите, что матричные элементы неприводимых пред-
ставлений группы SO (4) имеют вид

Dm'm' м >.<’(л> 6> Ф, Р. т) = DJ' ..'(ср, 0, ф) .,'(«, Р, у),

где функции D'mm’ задаются формулой (5.8.1).

Указание. Используйте изоморфизм so (4) ~ so (3) ф so (3),
данный в табл. 1.5.1.

]) Кокстср и Мозер [1991 дали большие классы групп, порождаемых с>и-
ношениями этого типа.
§ 3.1. Пусть TZi и — неприводимые представления группы
SO (3). Выведите следующее соотношение для матричных эле-
ментов:

Dm'm' (g) D^ m' (g) =	£ рч/щА2/гг2 I D^m' (g) X

11	22 x=im-mi

X (ХДгХт' |

Указание. Найдите матричные элементы операторного равен-
ства (5.8.3).

§ 4.1. Покажите, что ряд Клебша—Гордана (5.8.3) для SO (3)
предполагает следующее соотношение для матричных элементов:

DJ* м’ (g) DJM2 M'(g)= S ’	1JJJM) x

Л11Л11	Л12Л12	r — ir i' 1	2| 1 2	/

J - I J l~~ J 2 I

X	te) <WM' I

Указание. Используйте формулу (5.8.3) и соотношение полноты
для состояний | JiJ2JМ}.

§ 5.1.	Покажите, что SN может быть порождена двумя элемен-
тами х = (1 2) и у — (1 2 ... N).

Указание. Любая перестановка может быть записана в виде
произведения циклов. Любой цикл имеет вид

(ЧЧ  •  Ч) =; (ЧЧ) (ЧЧ)   • (Ч-1Ч)-

Любая транспозиция имеет вид

(Ч / + 1) = (/, / + 1) W) (/> / + I)’1-

Тогда упх Q/")-1 дает все транспозиции вида (/, / 4- 1).

§ 5.2.	Найдите таблицу умножения, а также 2-мерное и 3-мер-
ное представления группы Пз ~ £з. Найдите нормальные под-
группы и классы сопряженных элементов.

§ 5.3.	Покажите, что матрицы Паули ±1, ±Oi, ±02, ±Оз
представляют собой реализацию кватернионной группы Q =
= (2, 2, 2) (см. табл. 7.1).

§ 5.4.	Рассмотрим &. Существует три схемы Юнга:
Соответствующие существенные идемпотенты имеют вид
е1 = S х,
о

ер = / + (1 2) — (1 3) — (3 2),

ef»^/ + (l 3) — (1 2) — (1 3 2),
е3 = £ е (х) х.

Рассмотрите свойства идемпотентов, минимальные левые идеалы
и двусторонние идеалы, которые ими порождаются, и соответ-
ствующие неприводимые представления.

§ 5.5.	Если х, у, z — три тождественных объекта, то пока-

(- у-А

1	Irb	I

жите, что	—(х ф- У	Ь ?) 11	I 1	I	преобразуются

V6	'	\ -4=	(у - г)	/

\ V 6 J ' J

по 1-мерному п 2-мерному представлениям соответственно
группы перестановок Sa.

§ 5.6. Покажите, что матрицы Дирака, определенные формулой

TmTv + YvYm = 2gMV, pi, v = 0, 1, 2, 3,
порождают (относительно матричного умножения) конечную
группу порядка h = 32, что она имеет 17 классов сопряженных
элементов, а следовательно, 17 неприводимых представлений,
16 из которых одномерны, а одно четырехмерно.
Г лава 8

Конечномерные представления
групп Ли

В этой главе излагается теория конечномерных неприводимых
представлений произвольной связной группы Ли в глобальной
форме. Глобальный подход вносит значительные упрощения в тео-
рию по сравнению с инфинитезимальным подходом Картана—
Вейля; он дает классификацию конечномерных неприводимых
представлений на языке старших весов и одновременно простую
каноническую реализацию пространства представления посред-
ством полиномов от нескольких комплексных переменных. В свою
очередь это делает возможным решение различных практических
задач, таких как сужение представления заданной группы на под-
группу, разложение тензорного произведения, явное вычисление
«коэффициентов Клебша—Гордана» и тому подобное.

В § 1 обсуждаются общие свойства представлений разрешимых
и полупростых групп Ли. В частности, дается общий вывод зна-
менитых теорем Ли и Вейля.

В § 2 излагается техника индуцированных конечномерных
представлений групп Ли и доказывается основная теорема о том,
что всякое конечномерное неприводимое представление группы
Ли G, допускающей разложение Гаусса, является представлением,
которое индуцировано одномерным представлением некоторой
подгруппы.

В § 3—6 развивается глобальная теория представлений ком-
плексных и вещественных групп Ли.

Наконец, в § 7 рассматривается классификация конечномерных
неприводимых представлений произвольных связных групп Ли.
Метод основан на использовании разложения Леви—Мальцева
группы G и свойств неприводимых представлений разрешимых
и полупростых групп.

В этой главе для простоты мы будем часто опускать термин
«конечномерный», поскольку будем иметь дело здесь исключи-
тельно с конечномерными представлениями.

§ 1. Общие свойства представлений разрешимых
и полупростых групп Ли

Теория представлений групп Ли основана на существовании
для каждой комплексной или вещественной группы Ли характе-
ристической разрешимой связной подгруппы. Явный вид этой
подгруппы определяется разложениями Леви—Мальцева, Гаусса
или Ивасавы. Прежде всего доказывается фундаментальная тео-
рема Ли о представлениях разрешимых групп. Эта теорема яв-
ляется ключом к классификации неприводимых конечномерных
представлений произвольных групп Ли. Мы даем глобальную
версию теоремы Ли, удобную в теории индуцированных пред-
ставлений.

А. Теория представлений разрешимых групп

Пусть N — разрешимая топологическая группа. Пусть Q (N) —
ее коммутаторная подгруппа, т. е. замыкание в топологии группы G
множества, порожденного элементами вида хух 1у1- Положим
Qi (N) = Q (Qi-i (W- Поскольку N разрешима, имеем Qp (N) =
= {е} при некотором /?; наименьшее р называется высотой
группы N. Легко видеть, что если N — связная разрешимая
группа, то Q (Д') также связна и разрешима.

Теорема 1 (Ли). Всякое конечномерное неприводимое пред-
ставление связной топологической разрешимой группы N одно-
мерно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказываем теорему по индукции. Если N
имеет высоту единица (т. е. N абелева), то утверждение теоремы
следует из леммы Шура 5.3.5. Предположим, что N имеет вы-
соту р и теорема доказана для групп высоты р — 1. Пусть п Тп —
конечномерное неприводимое представление N в векторном про-
странстве И. Подгруппа Z = Q (N) имеет высоту р — 1. Значит,
представление z Tz подгруппы Z = Q (Д') содержит одномерное
представление группы Z. Следовательно, мы можем найти ком-
плексный характер z —у (z) и ненулевой вектор в И, такие, что

Tz'h. ‘ X (?)	(।)

для каждого z в Z. Обозначим через Ф множество характеров х
группы Z, таких, что (1) имеет ненулевое решение и% в И. Ясно,
что Ф — конечное множество. Поскольку Z инвариантна в N,
мы можем для всякого характера х группы Z и всякого п С N
определить новый характер Хп. заданный формулой

Х«(?) = X(nlzn).	(2)

Равенство (1) предполагает, что

тZTпиу = ТпТ~пТ.гТпи% Хп (г) Тпиу.	(3)

Следовательно, х € ® влечет х« € Ф Для всякого п £ N. Введем
теперь следующую топологию в Ф: х -► '//> если х (?) -> X' (z)
для всякого г. В этой топологии Ф является дискретным простран-
ством. Непрерывность группового умножения означает, что для
заданного у характер у„ зависит непрерывно от п £ N. С другой
стороны, связность группы N означает, что для каждого у из Ф
множество всех у„ связно. Поскольку это множество также ко-
нечно, мы получаем, что у„ — у для всякого у Е Ф и всякого
п £ N. Таким образом, заключаем, что если у £ Ф, то на век-
торы удовлетворяющие равенству (1), натягивается под-
пространство в Н, инвариантное относительно Тп. Так как Н
неприводимо относительно Т„, заключаем, что для всякого z £ Z

Тг = 7Лг)-1.	(4)

Иногда Ф содержит только один характер подгруппы Z.

Пусть п0 — произвольный элемент из N, и пусть с — любой
корень полинома х -> det (Т\ — х1). Поскольку ТПа не выро-
ждено, с не может быть нулем. Значит, в Н существует ненулевой
«0, такой, что

Т„ищ == ыу.	(5)

Поскольку щпп-'ir1 £ Z, равенство (4) означает, что

Tnjn = У (псПП^П^ТпТп,,.

Отсюда и из (5) получаем

Tn'Tniio == су (щ.ппо'n~l) Тпи0.

Значит, для всякого п С N Тпи0 является собственным вектором
для ТПо. Соответствующее собственное значение с-у (ноППо'/О1)
непрерывно зависит от п и имеет лишь конечное число возможных
значений. Следовательно, связность W означает, что у не зависит
от /г. Полагая п = щ, получаем у («о/г/го1/?-1) = 1. Таким образом,

Tnjnllo = cTntl0.

Поэтому линейное подпространство \ио £ Н’, ТПаио = сио] инва-
риантно по отношению ко всем Тп. Следовательно, оно должно
совпадать с Н. Это, в свою очередь, ввиду леммы Шура означает,
что ТПо сводится к скаляру с! для всякого n0 С N. Следовательно,
в силу неприводимости ТПо получаем утверждение теоремы Ли.

СЛЕДСТВИЕ 1. В любом пространстве представления связной
разрешимой группы N существует ненулевой вектор и ненулевая
непрерывная мультипликативная функиия у (п), такие, что

Т„и% = X (/г) иу. для всех nGN.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства достаточно выделить
неприводимое подпространство и применить теорему Ли.
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякое представление связной разрешимой
группы N можно свести к треугольному виду

(6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование
всех Тп эквивалентно приводимости

собственного вектора для
матриц Тп, т. е.

Матрицы Т„ снова образуют представление группы N. Таким об-
разом, последовательное применение этой формы дает (6).

Заметим, что многие важные группы из рассматриваемых в фи-
зике разрешимы; например, группа Пуанкаре П2 = Г*1- х)
xjSO (1, 1) в двумерном пространстве-времени и группа Гей-
зенберга, ассоциированная с коммутационными соотношениями

[X, Y] = Z, [X, Z] =0, [Y, Zi = 0 (или [щ а*] = 1),

являются разрешимыми группами высоты 2. Действительно,
например, групповое умножение в П2 означает, что Qi (П2) =
= T(1- 1>, Qi (П2) = |е|. Поскольку эти группы связны, из тео-
ремы Ли имеем

СЛЕДСТВИЕ 3. Всякое конечномерное неприводимое представ-
ление группы Пуанкаре П2 и группы Гейзенберга одномерно.

Таким образом, группы движения одно- и двумерного про-
странства-времени Минковского и евклидова пространства-вре-
мени должны быть разрешимыми.

Б. Теория представлений полупростых групп Ли

Связная простая группа Ли имеет только тривиальное одно-
мерное представление g —1. Действительно, связная простая
группа может иметь лишь два типа инвариантных подгрупп:
Gi — дискретный центр группы G (или его подгруппу) и G2 = G.
Если гомоморфизм g Г., имеет в качестве ядра Gi, то Tg яв-
ляется точным представлением для GIGi. Следовательно, оно не
может быть одномерным, поскольку G/Gi некоммутативна: если
ядром является Gi, то Тё — тождественное представление.
Поскольку полупростые связные группы Ли являются прямыми
произведениями инвариантных простых связных подгрупп, эти
группы также имеют только тривиальное одномерное представ-
ление.

Докажем теперь интересное свойство представлений простых
групп Ли.

Теорема 2. Связная простая некомпактная группа Ли G не
допускает конечномерных унитарных представлений, за исключе-
нием тривиального.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что ядро отображе-
ния g -> 7'g состоит только из единицы. Тогда гомоморфизм g Т„
является точным. Следовательно, группа изоморфна G.
Кроме того, {Tg\ связна в силу непрерывности отображения
g —Tg. Значит, если G допускает конечномерное, скажем «-мер-
ное, унитарное представление, то jТк\ является связной и простой
подгруппой в U (п), которая, согласно теореме 3.10, является
замкнутой. Следовательно, G компактна.

Пусть теперь ZG — центр в G. Ясно, что ZG дискретен. Пусть
ZG — подгруппа в ZG, совпадающая с ядром гомоморфизма
g Tg. G локально изоморфна GIZg. Ввиду некомпактное™ G
формы Киллинга как для G, так и для GIZg, не дефинитны.
Следовательно, G/Zg также некомпактна и удовлетворяет пред-
положению первой части доказательства.

Эта теорема имеет важные следствия в квантовой теории.
Так как представление g-+ ТЁ физической группы симметрии G
должно сохранять вероятность (скалярное произведение), то Т
должно быть унитарным (гл. 14). С другой стороны, многие физи-
ческие группы симметрии, такие как группа Лоренца SO (3, 1)
или группа де Ситтера SO (4, 1), являются простыми и некомпакт-
ными. Следовательно, мы должны пользоваться бесконечномер-
ными представлениями для описания состояний рассматриваемых
физических объектов.

Замечание. Теорема 2, вообще говоря, для полупростых не-
компактных групп не верна. Например, полупростая связная
некомпактная группа Ли

G = SO(3, 1) х SU(3)

имеет унитарное конечномерное представление:

(£i, gT) >I-Tg!, ^€$0(3,1), g2CSU(3).

Однако теорема 2 влечет за собой для полупростых групп сле-
дующее следствие.
СЛЕДСТВИЕ 4. Связная полупростая некомпактная группа Ли
не может допускать точного унитарного конечномерного пред-
ставления.

Доказательство вытекает из разложения G на простые факторы
и из теоремы 2.

Пусть теперь G — комплексная группа Ли, и пусть ti, G, ...

— локальные (комплексные) координаты в G. Различаем сле-
дующие классы представлений G.

Определение 1. О представлении g Т\, комплексной
группы G говорят, что оно комплексно-аналитическое, если оно
аналитически зависит от параметров it, ..., tn, комплексно-анти-
аналитическое, если оно аналитически зависит от tt, ..., tn, и
вещественно-аналитическое, если оно аналитически зависит от
параметров Re it, Im tt, ..., Re tn, Im tn (или ti, ..., tn, It, tn).

Пример 1. Пусть G — комплексная матричная группа. Тогда
представление g -> g аналитично, g g антианалитично и g ->
-> g ® g вещественно.

Если g -> Т& — комплексно-аналитическое неприводимое пред-
ставление группы G в И, ограничение его на подгруппу N может
быть, вообще говоря, приводимым. Однако если N — вещественная
форма группы G (т. е. комплексное расширение N совпадает с G),
то имеется следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Пусть TG — комплексно-аналитическое представ-
ление группы G, a TN — сужение TG на вещественную форму N
группы G. Тогда TG неприводимо (вполне приводимо) тогда и только
тогда, когда TN неприводимо (вполне приводимо).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предположению каждый матричный эле-
мент является аналитической функцией комплексных параме-
тров tt, ..., tn в G. Если некоторый матричный элемент равен нулю
на G, то он, в частности, равен нулю и на N\ обратно, в силу един-
ственности аналитического продолжения, если матричный эле-
мент равен нулю на N, то он равен нулю и на G. Это доказывает
утверждение теоремы 3.

Используя «унитарный трюк Вейля» (построение представлений
вещественных форм GK заданной комплексной группы Ли Gc
путем ограничения представлений группы Gc на GR), получаем
глобальные представления вещественных полупростых групп,
таких как SL (п, R), SU (п), SU (р, q) и других, из представлений
комплексной группы Ли GL (п, С). Поскольку структура ком-
плексных групп более проста, чем вещественных, этим способом
получается значительное упрощение теории представлений полу-
простых групп Ли.
Докажем теперь фундаментальную теорему Вейля о полной
приводимости представлений полупростых групп Ли.

Теорема 4 (Вейль). Пусть G — связная полупростая группа Ли,
и пусть g-+Tg— любое конечномерное представление группы G
в пространстве Н. Тогда

Н == ф Н2 ф . . . ф Нп,	(7)

где каждое Н, инвариантно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство заключается в сведении за-
дачи к полной приводимости в случае компактных групп. Пусть
L — алгебра Ли группы G, Lc — ее комплексное расширение и
LCk — максимальная компактная подалгебра в Lc. Из теоремы
1.5.2 мы знаем, что Lck также является вещественной формой Lc,
т. е. комплексное расширение алгебры Lck совпадает с £с. Пред-
ставление Т группы G индуцирует представление L р X Т (X)
алгебры L в Н посредством линейных (матричных) преобразова-
ний. Поскольку Lc = L + i L, представление Т (X) алгебры L
задает представление Тс алгебры Lc, а также представление Tck
алгебры Lk. Согласно теореме 3, алгебра Ли линейных преобразо-
ваний вполне приводима тогда и только тогда, когда ее комплекси-
фикация вполне приводима. Следовательно, мы можем свести за-
дачу доказательства полной приводимости Т (X) к доказательству
полной приводимости 71 (через Тс). Пусть G*. — связанная с Lck
компактная группа Ли. Тогда ввиду теоремы 7.1.4 мы знаем, что
каждое представление Gk вполне приводимо. Значит, представле-
ние Tck алгебры 71, а следовательно, и Т (X) должны быть вполне
приводимыми. Взяв экспоненту от представления Т (X) алгебры L,
что дает глобальное представление Т группы G, получаем тре-
буемую полную приводимость Т.

Теорема Вейля фактически утверждает, что всякое представле-
ние полупростой группы Ли G построено из неприводимых пред-
ставлений. Следовательно, задача классификации конечномерных
представлений полупростых групп Ли сводится к задаче класси-
фикации всех неприводимых представлений. Эту задачу мы
решаем в § 3, 4 и 5.

Обобщение теоремы Вейля на произвольные связные группы Ли
дано в § 7 настоящей главы.

§ 2. Индуцированные представления групп Ли

Как видно из утверждения 7.1.6, каждое конечномерное не-
приводимое представление компактной группы входит в регу-
лярное представление. Покажем теперь, что всякое непрерывное
неприводимое представление g -> Tg произвольной топологиче-
ской группы G может быть вложено в регулярное представление,
реализованное в пространстве С (G). Действительно, пусть Н —
пространство представления Т, и пусть Н — сопряженное про-
странство. Возьмем фиксированный элемент 0 + v £ Ни положим
=	v), ti£H.

Множество полученных таким образом функций образует линей-
ное подпространство Н cz С (G). Отображение V: Н -> Н является
взаимно однозначным, так как прообраз нуля пространства Н
является инвариантным подпространством, которое не может
отличаться от нуля, поскольку Н неприводимо. При отображе-
нии V функция fu (ggo) соответствует вектору Tgou, т. е. G пред-
ставлена в Н посредством правых сдвигов Tg0. В пространстве Н
можно выбрать базис, состоящий из функций

Ct (g) = Du (g), i = 1, 2, . . ., dim/7,	(1)

где £>,-,• (g) — матричные элементы представления T,A. Тогда

T'^ei (g) •= Ct (gg0) = Du (gg0) = Dlk (g) Dki (go) Dki (go) ek (g).

Таким образом, пространство H, натянутое на непрерывные
функции с, (g), i - - 1, 2, ..., dim Н, на группе G, может быть
взято в качестве пространства заданного неприводимого пред-
ставления g-> Tg группы G.

Изложим теперь основанный на обобщении этой идеи метод
построения индуцированных конечномерных представлений ком-
плексных классических групп Ли. Начнем с построения простран-
ства представления.

Представления группы G, индуцированные J)
представлением L подгруппы К

Пусть К — замкнутая подгруппа в G, и пусть k -> Lk — ко-
нечномерное представление К в гильбертовом пространстве И.
Рассмотрим линейное пространство HL функций и с областью
определения в G, множеством значений в Н, удовлетворяющих
следующим условиям:

1° Скалярное произведение (и (g), v)H непрерывно

в G при произвольном v G Н.	(2)

2° и (kg} — Lku (g) для всех k Q К-

Определим

TgQu(g) ~ и (ggu).	(3)

J) Индуцированные представления, в особенности бесконечномерные, более
подробно рассматриваются в гл. 16.
Функция и (gg0) удовлетворяет условиям Г и 2° и поэтому при-
надлежит HL. Кроме того, имеем

(Tg.Tg.u) (g) = и (ggigJ = Тgig,и (g)-
Следовательно,

" ^=/.

В силу условия (2) 1° отображение g Tg непрерывно. Значит,
отображение	задает непрерывное, вообще говоря, бес-

конечномерное представление группы G.

Отображение g -> Tg называется представлением группы G,
индуцированным представлением L подгруппы К.

Реализация индуцированного представления g -> Tg группы G
при помощи правого регулярного представления стирает инди-
видуальность данного представления. В связи с этим дадим дру-
гую реализацию TL в линейном пространстве HL (Z) функций
в Z = K\G.

Пусть G — классическая группа Ли, допускающая разложе-
ние Гаусса вида

G=3E>Z,	(4)

где D — абелева замкнутая подгруппа в G, &D и DZ — разре-
шимые связные подгруппы в G, коммутаторными подгруппами
которых являются 3 и Z соответственно, и

Z?[~)Z=

Пусть К =- и пусть k —> Lk — одномерное представле-
ние К. Поскольку 3 — коммутаторная подгруппа в К, представ-
ление k -» L,, тривиально на 3> т- е- ~ I- Следовательно, ото-
бражение

=	(5)

задает фактически одномерное представление подгруппы D.
Если HL — пространство функций, удовлетворяющих усло-
виям (2) с Le, заданным согласно (5), то из соотношений (4) и (5)
следует, что для и (g) f HL мы имеем

«(g) = а (£М = Ь6и (г) = L6u (z), z G Z.	(6)

Поскольку L6 фиксировано, мы можем заменить каждую функ-
цию и (g) £ HL ее контракцией и (г), заданной на области Z, и
рассмотреть вместо линейного пространства HL на G соответству-
ющее линейное пространство HL (Z) функций с областью опре-
деления Z. Отображение HL HL (Z) взаимно однозначно. Дей-
ствительно, прообраз нуля в HL (Z) есть нуль в HL. И если и (г) =
О, то и (g) =- 0 для регулярной точки g из G, которая допускает
разложение g кг. С другой стороны, и (g) непрерывна, a [}DZ
плотно в G. Следовательно, a (g) == 0. Найдем теперь представ-
ление g —► Tg в этой реализации пространства представления.

Лемма 1. Действие операторов Tg в пространстве HL (Z)
задается формулой

7й<,и (2) ==	(zg)»	(7)

где 6 и г~ определяются из разложения Гаусса элемента g = zg =
=

g

Доказательство. Записывая

gg0==/;zg0= ^6z-,	(8)

получаем из соотношений (6) и (5), что вектор Tg„u (z) в HL (Z),
соответствующий вектору (Т^и) (g) = и (gg0) в HL, имеет вид

Цги (ggo) == L^LkL^guiz-) = L^uiz-).	(9)

Отсюда вытекает равенство (7).

Замечание. Строго говоря, векторы и (z), так же как и представ-
ление в HL (Z), следовало бы обозначать различными символами,
скажем, и (z) и Tg. Для простоты мы использовали один и тот же
символ, так как недоразумение здесь исключено.

Следует также подчеркнуть, что представление TL в HL (Z)
может быть приводимым и бесконечномерным. Будем обозначать
неприводимое подпространство в HL (Z), содержащее функ-
цию и0 (z) = 1, через HL (Z). Для простоты ограничение пред-
ставления TL на HL (Z) будем обозначать также символом TL.

Равенство (7) означает далее, что

Тгои (z) = и (zzo) для всех гос^-	(10)

T£u(z) =	(6~’z6) для всех d£D.	(11)

Ясно, что одномерные представления L подгруппы D (а значит,
и подгруппы К) задаются характерами. Если

Г>Э6 =

0~

б.- Д 0,

(12)
то наиболее общий комплексно-аналитический характер 6 ->
имеет вид

Z? = 8W . . . б?’,

(13)

где iiii, i = 1, п, — целые числа. Наиболее общий комплексно-
антианалитический характер имеет "вид

L6 = № . . . С

где mt- — целые числа.

О характере L, который определяет индуцированное неприво-
димое конечномерное представление TL группы G, говорят, что он
индуктивен относительно группы G. Ниже мы докажем, что
только некоторые характеры L подгруппы D могут быть индук-
тивными относительно G.

Следующая теорема устанавливает основной результат в тео-
рии конечномерных представлений групп Ли.

ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа Ли, допускающая разложение
Гаусса G = %DZ. Тогда всякое неприводимое конечномерное пред-
ставление группы G является представлением TL, индуцирован-
ным в пространстве HL при помощи однозначно определенного
характера 8 -> L6 подгруппы D. Два неприводимых представле-
ния T'-i и TL* эквивалентны тогда и только тогда, когда D = L2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т — неприводимое представление G,
и пусть Тк обозначает его сужение на разрешимую связную
подгруппу Д = Дд. Из следствия 2 теоремы Ли мы знаем, что
все операторы Tk, k £ К, могут быть одновременно приведены
к треугольному виду, т. е.

(14)

_ *

где k —> Lk — характеры группы /С Далее, всякий характер
группы К тривиален на коммутаторной группе 3 из К. Следова-
тельно,

U = ^6==L‘.

Фактически L‘k является характером группы D. Простран-
ство Н неприводимого представления Т может быть натянуто на
векторы

(g) = Dit (g),

(15)
где D-f (g) — матричные элементы представления Tg [см. соот-
ношения (1)]. В силу (14) мы имеем

ef (kg) = Dts (k) Dsi (g) = Llkei (g).

Поэтому всякий элемент и (g) из HL является непрерывной функ-
цией на G, удовлетворяющей условию

u(kg) = L\u(g).

Таким образом, условия 1° и 2° в (2) выполнены. Следовательно,
Т может быть реализовано как представление 7"Л> группы G,
индуцированное одномерным представлением k -> L'k подгруппы Д’.
Действие представления T‘g в пространстве HL' задается пра-
вым сдвигом (3), а в пространстве HL (Z) — по формуле (7).

Применяя следствие 1 теоремы Ли для разрешимой подгруппы
N = DZ, заключаем, что пространство HL (Z) содержит общий
для всех операторов Тп, п £ N, собственный вектор u0 (z). Ясно,
что этот вектор инвариантен относительно действия коммутатор-
ной группы Z cz N, т. е. TZ(u0 (z) = и0 (z) для всех zo из Z. Так
как, согласно (10), подгруппа Z действует в HL (Z) как правый
сдвиг, фиксированный собственный для всех Тг вектор может
быть только константой, т. е. u0 (z) = 1. Отсюда вытекает, что
HL совпадает с HL (Z), и в силу равенства (11) мы получаем

Т’е *По (z) = LgUo (z).	(16)

Следовательно, индуктивный характер L1 однозначно определен.

Если L1 = L2, то, очевидно, TL' и TL-2 эквивалентны. Обратно,
если TL' и Т,:" эквивалентны, то существует оператор V, такой,
что VTLlV~l = TL1 и ТТ = УНг. Следовательно, ввиду (16) по-
лучаем ЕТ'б’Е”1 (V«o) (z) = Lg (Сщ) (z); это влечет равенство
L1 = L2.

Последняя часть доказательства дает следующий важный ре-
зультат.

СЛЕДСТВИЕ 1. в пространстве HL всякого неприводимого ко-
нечномерного представления группы G существует один и только
один (с точностью до нормировки) инвариантный вектор и0 (z)
подгруппы Z, т. е.

TzUo==tio для всех z£Z.	(17)

Этот инвариантный вектор удовлетворяет, кроме того, условию

Тбио = L^uo для всех	(18)

и может быть собственно нормализован, так что

n0(z)=I.	(19)
Характер 6 —> Lb называют целочисленным старшим весом не-
приводимого представления TL. Поскольку TL = ехр ( У Нрак^ ,
где Hk — генераторы представления подгруппы D, а а„ — пара-
метры в алгебре Ли группы D, мы можем перейти к инфините-
зимальным преобразованиям и с помощью равенств (18) и (13)
получить

/Дл0 = mku0, k = l, 2, . . п.	(20)

Вектор т = (тъ т2, тп) называется старшим весом представ-
ления TL, а вектор и0 — старшим вектором. Согласно теореме 2,
т определяется однозначно и в свою очередь задает неприводи-
мое представление TL. Старший вектор и0, соответствующий т,
будем обозначать также через ит.

СЛЕДСТВИЕ 2. Если пространство Н представления Т содер-
жит только один инвариантный вектор подгруппы Z, то Т не-
приводимо.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Всякое представление Т группы G согласно
теореме Вейля вполне приводимо. Значит, оно может быть при-
ведено к блочно-диагональному виду (5.3.4) с неприводимыми
представлениями D'1, i = 1, 2, ..., N. Повторяя конструкцию
теоремы 2 для каждого блока D‘, находим N инвариантных век-
торов подгруппы Z. Следовательно, в случае N~ 1 Т должно быть
неприводимым.

Из равенства (19), разложения Гаусса и закона композиции
для операторов Т& вытекает следующий полезный результат.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пространство HL (Z) неприводимого представ-
ления TL натягивается на векторы

(21)

где g пробегает G. Фактор Гаусса б элемента zg является непре-
рывной функцией z и g. Эти функции удовлетворяют соотношению

(г, g^) ~ ^6 (г, g,)^6 (?gj, g2)-	(^2)

Из равенств (7) и (21) следует, что если L — аналитическое
(антианалитическое) представление, то представление — также
аналитическое (антианалитическое).

Следствия 2 и 3 дают следующую процедуру разложения при-
водимого представления Т группы G.

1° В пространстве Н представления находим максимальное
подпространство 77О, которое фиксировано относительно под-
группы Z.
2° В Но выбираем нормированный базис и^Д. Тогда простран-
ство /Д‘) неприводимого представления Т* натягивается на век-
торы

и^ (z) = Теи{0‘} =	= Ц.

Действие ТЫ в пространстве /Д‘) задается формулой (7).

Следующее утверждение описывает структуру простран-
ства HL (Z) неприводимого представления TL. Для простоты
предположим, что Z — связная нильпотентная группа (это
именно тот случай, который понадобится нам в дальнейшем).

УТВЕРЖДЕНИЕ з. Пространство HL (Z) неприводимого пред-
ставления TL (Z) состоит из функций и (z), которые являются
полиномами матричных элементов zpq элемента z £ Z.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, в силу следствия 2 теоремы 1.1 всякое пред-
ставление п —> Тп разрешимой связной группы N = DZ может
быть записано в треугольной форме. Следовательно, представле-
ния Tz коммутаторной подгруппы Z могут быть записаны в тре-
угольной форме с L на главной диагонали. Это означает, что ал-
гебра Ли А группы Z, порождаемая матрицами Xpq, р > q, ото-
бражается в алгебру нильпотентных матриц (т. е. для X Q А
Хт = 0 при некотором целом т). Поэтому матричные элементы
матриц Т2 f=exp YizpqXpq\ являются полиномами от матричных
элементов zpq элемента г £ Z. С другой стороны, согласно (15)
и (14), имеем

£t (g) = Du (g) = Du (kz) = Dts (k) Dsi (z) = LlkDu (z) = Цее (z).

Поскольку отображение HL (G) —> HL (Z) взаимно однозначно,
пространство П (Z) натягивается на матричные элементы (z)
представления Тг.

Следующее утверждение полезно при определении всех харак-
теров б -> L6 группы D, которые индуктивны относительно G.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Предположим, что разложение Гаусса для G
индуцирует разложение Гаусса подгруппы Go группы G:

Gu = 3oDoZo,

где Зо> D и Zo — пересечения Go с подгруппами 3, D и Z группы G
соответственно. Пусть ГД — ограничение характера £б группы D
на подгруппу Do. Если характер L индуктивен относительно G,
то характер IX индуктивен относительно подгруппы Go.

Доказательство. Поскольку характер L группы D индукти-
вен, линейная оболочка функций ug (z) = L~, б = б (z, g), со-
стоит из полиномов от zpq п, согласно утверждению 3, имеет
конечную размерность. То же справедливо для функций

ugo (Zo)	«О $(Z0> й0),	Йо £ Go-

Ясно, что функции ugo (zo) непрерывны на Zo X Go. Следовательно,
в линейной оболочке Но этих функций реализовано некоторое
представление подгруппы Go. Вектор и0 (z0) = 1 является един-
ственным вектором в Но, фиксированным для подгруппы Zo.
Значит, ввиду следствия 3 представление подгруппы Go в Но
неприводимо. Следовательно, характер L° подгруппы Do индук-
тивен.

Метод индуцированных представлений имеет ряд преимуществ
по сравнению с инфинитезимальным методом Картана—Вейля.
Он дает классификацию неприводимых представлений на языке
старших весов, и в то же время он дает естественную реализацию
пространства представления как линейного пространства HL (Z)
полиномов над стандартной подгруппой Z. Это весьма полезно
при решении различных практических задач.

Рассмотрим теперь явное построение операторов Tg и про-
странства представления HL (Z) для группы SL (2, С), накрыва-
ющей группы Лоренца SO (3, 1).

Пример 1. Пусть G = SL (2, С). Факторы Гаусса 3. D и Z
в этом случае задаются в виде [см. (3.6.3) ]

а Р
Y $

где £, 6 и z принадлежат С. Если g =

С SL (2, С), то

множители 6 и z~ элемента g = zg = £6z~ имеют вид

6 —	6,

_ аг + у

2 — Рг + б •

Произвольный комплексный аналитический характер группы D,
согласно (13), задается при помощи



(23)

где т — целое число, которое будет определено ниже. Согласно
теореме 2 и равенству (7), всякое неприводимое представление
g -> 7’g, индуцированное одномерным представлением (23) груп-
пы D, действует по формуле

TLeu (z) = L~6u (z~) = (₽z + 6)« и	-

(24)
Остается лишь определить число т. Ввиду следствия 3 простран-
ство HL (Z) представления натягивается на векторы

"fi(z)-L-= (pz + 6)m,	(25)

где Р и 6 принимают все значения, допустимые для элементов g
из SL (2, С). Таким образом, пространство HL (Z), в частности,
содержит все сдвиги

u»(2') = (z + 6()m.

Поскольку HL (Z) конечномерно, существует число г > 1, такое,
что произвольный набор г + 1 функций является линейно зависи-
мым. Следовательно, определитель

u2(z) ••• ur+1(z)

Д(2)=	02 (z) ’* и'г+1&

Mir) (z) Uz} (z) • • • Ur+\ (z)

тождественно равен нулю. Здесь

as

az

II

_d_____l_/_d  d \

dz ~~ 2 \ dx 1 dy / ‘

Полагая z = 0, получаем

6Г 621	... 6J"+1

Д(0)= щбГ1 тбГ1 ... тбР‘11 =

= mr(m— l)r-1 ... (m — г-|-1) (б^ ... бг+1]т-г.^(б),
где

А7(6) = П(б/-6/).
i<l

Всегда можно выбрать числа б,-	0 и такими, что все онн раз-

личны. Тогда если т неравно ни одному из чисел 0, 1, ..., г — 1, то
Л (0	0. Следовательно, только неотрицательные целые числа

т -- 0, 1, 2, ... задают индуктивные комплексно-аналитические
характеры L вида (23). Для целого т > 0, согласно (25), простран-
ство представления HL содержит все одночлены 1, z, z2, ..., zM
ii натягивается на них. Таким образом, имеется

ТЕОРЕМА 5. Всякое комплексно-аналитическое неприводимое
представление SL (2, С) определяет и само определяется целым
числом т > 0. Оно реализуется согласно формуле (24) в простран-
стве Нт (Z) всех полиномов степени, не большей, чем т.

Мы имеем также комплексно-антианалитические неприводимые

представления индуцированные характером

L6 = б'!.

(26)

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что п снова должно
быть неотрицательным целым числом. Представление g -> Tg за-
дано в пространстве Нп (Z) полиномов от переменных 1, г, г2,
..., zn по формуле

Т^(г) = (₽г + 6)"и(^±^).	(27)

Наконец, если взять .вещественно-аналитический характер
6 -> L6 = б"‘бп, то получим вещественно-аналитические пред-
ставления SL (2, С). Таким образом, всякое неприводимое конеч-
номерное представление SL (2, С) определяется парой (т, п)
неотрицательных целых чисел. Оно задано в пространстве всех
полиномов и (г, г) степени, не большей чем т по г и не большей
чем п по г, согласно формуле

TLgU (z, г) = (₽г + б)- (₽г + 6)" и

«г + т\
г

(28)

Другими словами, всякое вещественно-аналитическое неприводи-
мое представление группы SL (2, С) является тензорным произ-
ведением вида

TL*®T&,	(29)

где Т£>_ и Т1-* —комплексно-аналитические неприводимые' пред-
ставления группы G, a TL обозначает сопряженное к TL представ-
ление. .

При сужении на подгруппу SU (2) формула (24) дает неприво-
димое унитарное представление SU (2) (см. упражнение 9.2.1).
Действительно, используя «унитарный трюк Вейля», мы приходим
к заключению, что каждое неприводимое представление группы
SU (2) является сужением неприводимого комплексно-аналити-
ческого’ представления группы SL (2, С) на подгруппу SU (2).
§ 3. Представления групп GLf/z, С), GL (п, R), V(p,q), V(n),
SL(n,C), SL(n,R), SU (p,q) и SlJfn)

Теорема 2.2 сводит задачу классификации всех неприводимых
представлений группы G к задаче перечисления всех индуктивных
старших весов. В данном параграфе мы решаем эту задачу для
полной линейной группы GL (n, С), для SL (п, С) и для их веще-
ственных форм.

А. Представления группы GL (и, С)

Разложение Гаусса для GL (и, С), G = QDZ, дается согласно

г2 1

_гл1, гл2

Комплексно-аналитический характер L группы D имеет вид

= W ... &п,

(2)

где mt — целые числа.

ТЕОРЕМА 1. Всякое комплексно-аналитическое неприводимое
представление группы GL (n, С) определяет и в свою очередь опре-
деляется старшим весом т = (mlt т2, ..., тп), компонентами
которого являются целые числа, удовлетворяющие условиям

> /п2 > т%>- ••• > тп.

(3)

Пространство представления HL (Z) состоит из полиномов от
матричных элементов zpq элемента z £ Z.

Представление TL действует в HL (Z) при помощи формулы

TLeu(z)= L*u(z-)t	(4)
где б и z~ — множители в разложении Гаусса элемента g =
= zg= t$z~.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 2.2, всякое комплексно-
аналитическое неприводимое представление GL (/?, С) является
представлением TL, индуцированным при помощи комплексно-
аналитического характера б -> L6 подгруппы D. Таким обра-
зом, т{ — целые числа. Как следует из утверждения 2.3, пред-
ставление TL может быть реализовано в пространстве HL (Z)
полиномов и (г) от матричных элементов гп элемента г £ Z.
Чтобы классифицировать все неприводимые представления, не-
обходимо найти все допустимые старшие веса.

Пусть L° — сужение L на подгруппу Do, состоящую из матриц
вида

(5)

Подгруппа Go всех матриц вида

аб — ру = 1,

(6)

О

изоморфна SL (2, С). Следовательно, в силу утверждения 2.4 за-
ключаем, что характер

L0	* mi-m2

до =

индуктивен относительно SL (2, С). Следовательно, по теореме 2.5
mi — ша — неотрицательное .целое число!	...

Двигаясь вдоль главной диагонали в (5), аналогичным образом
заключаем, что т2 — т3, ..., тм — тп — также неотрицатель-
ные целые числа. Это доказывает необходимость условий (3).

Обратно, когда условия (3) выполнены, функции

wg(z) = L6> 6 = б(г, g),	(7)

являются полиномами матричных элементов zpr) элемента г, сте-
пени которых равномерно ограничены по отношению к g С G.
Действительно, характер (2) можно записать в виде

Ье = Д{*Д(’ ... д'",	(8)

где

Лр = 6Д ... 6р

и

Р = 1, 2, .... n, ш„+1=0.

Согласно упражнению 3.11.6.3, Др равно минору порядка р
главной диагонали матрицы g. Следовательно, является по-
линомом от матричных элементов элемента г~, где 6 и г~ — мно-
жители в разложении Гаусса элемента g = zg = £6z~. Поэтому
линейная оболочка HL векторов (8) конечномерна, а представле-
ние TL группы G в HL задано при помощи формулы (4). Вектор
и0 (z) = 1 является единственным элементом в HL, который фикси-
рован по отношению к подгруппе Z. Значит, в силу следствия 2
теоремы 2.2 представление TL неприводимо. Это доказывает, что
условие (3) является также и достаточным.

Из этих рассуждений и из теоремы 2.2 вытекает, что неприво-
димое представление TL может быть реализовано в пространстве
HL (г) полиномов на Z при помощи формулы (4).

Замечание 1. Формулу (4) можно записать в более явном виде,
удобном для дальнейших вычислений. Действительно, ввиду (4)
и (8)

T^(z) = LgU(z~)= Д'*(6)Д'!(6) ... Д^(б)и(г2) =

\2ё 1-21 \2ёП2

Здесь был использован тот факт, что для последнего минора
det (zg) == det g.

Замечание 2. Для обозначения неприводимого представле-
ния, ассоциированного со старшим весом rn = (mlt т2, ..., т„),
часто используют символ f = [Д, /2, ...,fn 1. fk = tnk — mk+i>
тп+1 = 0. В последующем для старшего веса будем использовать
круглые скобки, а для символа f — квадратные.

Антианалитические представления GL (n, С) реализуются
в пространстве полиномов от переменных zpq элемента z £ Z.
Эти представления индуцированы характерами 6 —> Ь6, где L6 —
комплексно-аналитический целочисленный старший вес.

Произвольное вещественно-аналитическое неприводимое ко-
нечномерное представление группы GL (и, С) индуцируется ха-
рактером L^- Согласно равенствам (4) и (2.21), его можно за-
писать в виде тензорного произведения

®	(10)

комплексно-аналитического и комплексно-антианалитического не-
приводимых представлений [см. пример 2.1, соотношение (2.29)1.

Группа GL (п, С) обладает, в частности, набором одномерных
представлений. Эти представления имеют вид т]Рт]?, где

T](g) = detg.

С этими представлениями можно ассоциировать бесконечнознач-
ные неразложимые представления

где г — комплексное число.

1 loglnl

0	1

(II)

Б. Представления группы SL (и, С)

Пусть TL — неприводимое представление группы GL (и, С)
в пространстве HL (Z). Формула (9) означает, что всякое непри-
водимое представление TL имеет вид

Tg =(detg)m«fg,	(12)

где g —> (det g)m« — одномерное представление GL (и, С),
a Tg — снова представление GL (и, С), которое также непри-
водимо. Если представление g -> Tg сузить на SL (п, С), то по-
лучим неприводимое представление группы SL (и, С) в простран-
стве HL (Z). Из равенства (12) следует, что два неприводимых
представления GL (n, С) дают одно и то же представление SL (n, С)
тогда и только тогда, когда они различаются некоторой сте-
пенью det g. Ввиду (9) этот факт позволяет нормировать целочис-
ленный старший вес т = (mb т2, ..., ш„) таким образом, что
тп = 0. Применяя непосредственно теорему 2.2 к SL (и, С),
мы видим, что всякое комплексно-аналитическое неприводимое
представление SL (n, С) является сужением некоторого представле-
ния группы GL (и, С). Следовательно, имеет место

ТЕОРЕМА 2. Всякое неприводимое конечномерное представление tL
группы SL (n, С) определяет и в свою очередь определяется старшим
весом т = (гщ, т2, ..., mn_x), компонентами которого являются
целые числа, удовлетворяющие условию

тг>> т2>- ...	(13)

Все эти представления реализуются в пространстве HL (Z) по-
линомов при помощи формулы (4).
Ясно, что существуют также соответствующие комплексно -
аналитические и вещественно-аналитические представления
группы SL (и, С). Поскольку SL (и, С) односвязна, каждое ее
неприводимое представление однозначно.

В. Представления групп GL+ (п, /?) и SL (п, R)

Группа GL (и, Я), в силу теоремы 3.7.1, обладает двумя связ-
ными компонентами. Комплексное расширение группы GL+ (п, R),
элементы которой удовлетворяют условию det g > 0, совпадает
с GL (и, С). Следовательно, остановим свое внимание на группе
GL+ (и, /?). Воспользовавшись теоремами 1.3 и 1, заключаем,
что всякое аналитическое неприводимое конечномерное представ-
ление GL+ (п, /?) определяет и само определяется старшим весом
т = (mlt т2, ..., тп), компоненты которого — целые числа,
удовлетворяющие условиям

т-! > т2 > ... > тп.	(14)

Пусть ^RD^ZR — разложение Гаусса для GL+ (п, R). Тогда
неприводимое представление TL, индуцированное одномерным
представлением L подгруппы DR, реализуется согласно формуле
7>) = £г«(г~),	(15)

где 6 £ DR и z~ £ ZR определяются из разложения g = zg =
=

Используя аргументы, аналогичные случаю SL (n, С), мы по-
лучаем, что всякое неприводимое представление группы SL (п, R)
определяет и само определяется старшим весом т = (m1; ш2, ...,
тп_г), компонентами которого являются целые числа, удовлетво-
ряющие условию (13). Действие TL в пространстве HL (ZR) за-
дано при помощи (4).

Г. Представления групп U (р, q), р + q = п, U (n), SU (р, q),
р + q = п, SU (п) и Q (и)

Эти группы также являются вещественными формами групп
GL (и, С) и SL (n, С) соответственно. Значит, при помощи тех же
аргументов, что и в разделе В, получаем, что всякое неприводи-
мое представление группы U (р, q), р + q ~ п, и группы U (и)
характеризуется старшим весом т = (тг, т2, ..., тп), компоненты
которого удовлетворяют условиям (3). Аналогично неприводимые
представления групп SU (р, q), р + q = п, SU (п) и Q (и) харак-
теризуются старшим весом т — (mlt т2, ..., w„.j), компонентами
которого являются целые числа, удовлетворяющие условию (13).
§ 4.	Представления симплектических групп Spf/г, С), Sp(n, R)
и Spf/z)

Симплектнческую группу Sp (п, С) можно реализовать в виде
множества всех линейных преобразований n-мерного комплекс-
ного векторного пространства (п — четное, т. е. — 2v), сохраня-
ющих кососимметрическую форму

[*> у} — хгУп 4~х2Уп~14~ •  • + ххУу+1 xv+iVv — • • •	хпУ1 	(О

Таким образом, g £ Sp (и, С) тогда и только тогда, когда

ГО — S I

о 1 go = (gT) \ где о =		so]	(2)
и S — v X v-матрица вида		
	~0 0 ... 0 1-	
	00 ... 1 0	
S =		
	0 1	0 0	
	_1 0	0 0_	

В частности, Sp (2, С) изоморфна SL (2, С).

Разложение Гаусса группы GL (п, С) индуцирует разложение
Гаусса для Sp (n, С):

Sp (n, С) = 3SDSZS,	(3)

где 3s, Ds и Zs — пересечения
подгруппами группы GL (n, С).

Из равенства (2) следует, что

Sp (и, С) с соответствующими

О “I

является элементом из Ds, если любые два из чисел
$i, 62, . . ., 6V, $v+l, • • ., 6„_j, 6ZI,

(4)

равноудаленные от середины, являются взаимно обратными, т. е.
6,i = 6г1, б„_ j = 621 и т. д. Взяв 61, ..., 6V в качестве независи-
мых параметров элемента 6 £ Ds, мы видим, что всякий комплекс-
но-аналитический характер на Ds имеет вид

б-Гб-бГ^2 ... 6vv.

(5)

Таким образом, имеет место
ТЕОРЕМА 1. Всякое комплексно-аналитическое неприводимое
представление TL группы Sp (n, С) определяет и в свою очередь
определяется старшим весом т = (пц, т2, mv), компонентами
которого являются целые числа, удовлетворяющие условию

пц > т2 > • • • > mv > 0.	(6)

Пространство HL (Zs) представления TL состоит из полиномов
от матричных элементов zpq элементов z £ Zs. Представление TL
реализуется в HL (Zs) посредством формулы

TLgu(z) = Lzu\z~),	(7)

где д и z~ — множители в разложении Гаусса (3) элемента g =
= zg = t&~.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть TL — неприводимое представле-
ние Sp (и, С), индуцированное характером 6 -> L6 подгруппы Ds,
заданным согласно (5). Пусть Glt G2, Gv — последовательность
подгрупп группы Sp (п, С), изоморфных SL (2, С). В частности,
Gj состоит из всех линейных преобразований вида

а (3

у 6

1

аб — [Зу = 1.

(8)

Подгруппы G2, Gv_! получаются аналогично, если двигаться
вдоль главной диагонали. Подгруппа Gv состоит из всех унимоду-
лярных преобразований, которые действуют только на коорди-
наты xv и xv+1. Повторяя теперь аргументы из доказательства
теоремы 3.1, приходим к выводу, что все числа тг— т2, ...,
т^ — mv, mv являются неотрицательными целыми. Это доказы-
вает необходимость условия (6).

Предположим теперь, что т = (/nlt ..., mv) удовлетворяет
условию (6). Тогда старший вес in = (tnlf ..., mv, 0, ..., 0) под-
группы D группы GL (и, С) является индуктивным относительно
GL (п, С) ввиду теоремы 3.1. Следовательно, характер (5) индук-
тивен относительно Sp (п, С) ввиду утверждения 2.4. Это доказы-
вает, что условие (6) является также и достаточным.

Из утверждения 2.3 и соотношения (3.7) следует, что про-
странство представления HL (Zs) состоит из полиномов в Zs.
Тогда формула (7) следует из леммы 2.1.
Свойства комплексно-аналитических и вещественно-аналити-
ческих неприводимых представлений группы Sp (и, С) анало-
гичны свойствам соответствующих представлений SL (n, С). По-
скольку Sp (п, С) односвязна, гее неприводимые представления TL
группы Sp (n, С) однозначны.

Воспользовавшись теоремами 1.3 и 1, заключаем, что всякое
неприводимое аналитическое представление вещественной сим-
плектической группы Sp (n, R) определяет и само определяется
старшим весом т = (тг, т2, ..., mv), компонентами которого яв-
ляются целые числа, удовлетворяющие условию (6). То же спра-
ведливо для компактных симплектических групп Sp (и) =
= Sp (п, С) П U (2и).

§ 5.	Представления ортогональных групп SO f/г, С), SO (p,q),
SO*(n) и SO(n)

Определяющим представлением ортогональной группы SO (n, С)
является множество всех линейных унимодулярных преобразо-
ваний, сохраняющих квадратичную форму

zi 4_ 22 4* • • • 4~ 2«.

Однако для наших целей более удобно реализовать SO (и, С)
в виде группы унимодулярных линейных преобразований, со-
храняющих форму

4-------------1-

(1)

Над полем комплексных чисел обе формы совпадают. Каждый
элемент g £ SO (п, С) удовлетворяет условию

о 1 ga = (gr) \ где а =

(2)

О S

S О

В реализации (1) разложение Гаусса группы GL (и, С) индуци-
рует соответствующее разложение Гаусса группы SO (n, С), т. е.

so (л, С) = ЗА4.

(3)

где Зо, Do и Zo — пересечения SO (п, С) с подгруппами 3» &
и Z группы GL (и, С) соответственно.
Группа SO (2п + 1, С) двухсвязна, a SO (2n, С) — четырех-
связна (см. гл. 3, § 7, Д). Следовательно, можно ожидать, что
SO (n, С) имеет также и многозначные неприводимые представ-
ления. Это является отличительной чертой теории представлений
ортогональных групп. Например, четырехмерное уравнение Ди-
рака можно рассматривать как прямое следствие существова-
ния дополнительных спинорных представлений ортогональной
группы SO (4, С).

Полная ортогональная группа О (и, С) состоит из двух связ-
ных компонент О+ (и, С) и О- (n, С), элементы которых удовле-
творяют условиям det g = — 1 соответственно. Следовательно,
исходя из произвольного элемента о в О-, можно получить все
остальные элементы из 0“ путем применения левого или правого
сдвига на элемент g £ О*. В качестве элемента о можно взять
матрицу о = —е в случае нечетного п или 2v X 2v-MaTpHuy

1

(4)

в случае четного п, п = 2v. Матрица (4) соответствует перестановке
координат zv и zv+1. В обоих случаях имеем о2 = е.

Ясно, что группа SO (п, С) = 0+ (n, С) является нормальной
подгруппой в О (n, С). Это, в частности, означает, что отображе-
ние

g—g = ogo-1

(5)

оставляет подгруппу SO (n, С) инвариантной. Внешний автомор-
физм (5) группы SO (n, С) будем называть зеркальным автомор-
физмом, а соответствующее преобразование о — зеркальным от-
ражением. Используя явный вид подгрупп Зо, Do и Zo, нетрудно
проверить, что зеркальный автоморфизм оставляет эти подгруппы
инвариантными. Следовательно, разложение Гаусса g = iybz пере-
ходит в соответствующее разложение Гаусса элемента g.

Матрица 8 £ D сохраняет форму (1), если в ряду бъ б2, ..., 6V,
6V+1, •••. 6„_1, симметрично расположенные элементы взаимно
обратны (т. е. б] = б^1, 62 = 6Д4 и т. д.). Следовательно, как
в случае четного п (п = 2v), так и в случае нечетного (n = 2v
+ 1), в качестве независимых матричных элементов матрицы
б С Do мы имеем только числа бъ б2, ..., 6V. Таким образом,
всякое одномерное комплексно-аналитическое представление
L подгруппы Do имеет вид

6-4e = 6T<'...6vv.	(6)

ЛЕММА 1. Если Т — неприводимое представление группы
SO (2v, С), соответствующее старшему весу т = (пц, т2, ...,
mv), пго зеркально-сопряженное представление Т„ = соопгвет-
g
cmeyem старшему весу

т = (тъ т2, . . ., mv_b —mv).	(7)

Если п = 2v -|- 1, то каждое неприводимое представление является
зеркально-самосопряэн енным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку отображение g -+g сохраняет
структуру подгрупп Зо> Do, Zo, достаточно найти образ харак-
тера L6. Если п четно (п = 2v), то все параметры бг остаются
без изменения, за исключением параметра 6V, который переходит
в б^1. Если п нечетно, то о = —е и 6 не изменяется.

Следующая теорема дает классификацию всех комплексно-
аналитических неприводимых представлений группы SO (п, С).

Теорема 2. Группа SO (n, С) обладает двумя сериями ком-
плексно-аналитических неприводимых представлений. Каждое
представление первой серии определяет и в свою очередь определяется
старшим весом т = (mlt т2, ..., mv), компонентами которого
являются целые числа пц, удовлетворяющие условиям

1° для n = 2v:	т,^ т2о • • • > mv-1 > | mv |,

2° для п = 2v	Г. пц > т2 > • • • > mv_i > mv > 0.

Каждое представление второй серии определяет и само опреде-
ляется старшим весом т = (тг, т2, ..., mv), компонентами т,
которого являются полуцелые числа, также удовлетворяющие усло-
виям (8).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай п = 2v. Пусть Go — подгруппа
в SO (2v, С), состоящая из всех матриц вида

' ё О'

~ , geSL(v, С),	(9)

1°

где g = S-1 (gr)-1 5. Ясно, что Go изоморфна SL (v, С). Если ха-
рактер Lm подгруппы О0 является индуктивным относительно
SO (2v, С), то его сужение на Go индуктивно относительно Go.
Отсюда ввиду (13) получаем

mj > т2 > • • • > mv_i > mv,	(10)

где тг — целые. Повторяя эти рассуждения для зеркально со-
пряженного представления, получаем

> т2 ... > mv_! >- —mv.	(11)

Кроме того, с помощью (3.13) мы находим, что оба числа

tnt — mv и т, -I- mv

целые. Следовательно, компоненты т1, ..., niv должны быть одно-
временно либо все целыми, либо все полуцелыми числами. Это до-
казывает необходимость условия (8) Г.

Предположим теперь, что условие (8) 1° удовлетворяется для
некоторого веса т = (тъ т.,, ..., /nv), где все т,- являются либо
одновременно целыми, либо полуцелыми числами. Поскольку
зеркально сопряженный характер может быть индуктивным
только одновременно с исходным характером, мы можем пред-
положить, что mv > 0. Тогда характер подгруппы D (2v) группы
GL (2v, С), заданный весом т = (тх, ..., mv, 0, ..., 0), индукти-
вен относительно GL (2v, С) согласно теореме 3.1. Следовательно,
в силу утверждения 2.4, сужение его на SO (2v, С) является ин-
дуктивным относительно этой группы.

Случай п = 2v + 1. Доказательство проводится аналогично
случаю четного п. Последнее условие в соотношении (8) 2° (mv >
> 0) следует из рассмотрения подгруппы SO (3, С), состоящей из
вращений, преобразующих только координаты xv. xv+1 и xv+2.
Действительно, поскольку SO (3, С) локально изоморфна SL (2, С),
по теореме 3.2 получаем tnv > 0.

Неприводимые представления группы SO (м, С), ассоцииро-
ванные со старшими весами с целочисленными компонентами, яв-
ляются тензорными представлениями. Остальные представления
называются спинорными представлениями.
Наинизшие спинорные представления играют существенную
роль в физике. В случае группы SO (2v 4- 1, С) нижайшее спинор-
ное представление задается старшим весом

т+===(~2~’	(12)

В случае SO (2v, С) существуют два нижайшие спинорные пред-
ставления, а именно т+ [соотношение (12)] и

т- = ("2"’ Т’ ~ ~2~)'	0$)

Эти представления зеркально сопряжены. Линейные объекты, ко-
торые преобразуются по представлениям TL'n+ и TL>n~, назы-
ваются спинорами первого и второго рода соответственно.

Группа SO (п, С) также обладает комплексно-антианалитиче-
скими и вещественно-аналитическими представлениями. Их свой-
ства аналогичны свойствам соответствующих представлений
группы SL(/z, С).

С помощью теоремы 3.1 приходим к заключению, что тео-
рема 2 справедлива также для связных компонент вещественных
форм группы SO (п, С), т. е. SO (р, q), р + q = п, SO* (м), п —
= 2v, и SO (п).

§ 6.	Фундаментальные представления

Пусть G —• группа Ли, допускающая разложение Гаусса G —
= $DZ. Как было показано в § 2, всякое неприводимое представ-
ление Тьт группы G является индуцированным представлением,
а именно, оно индуцировано одномерным представлением

6--L™ = 6f'6^ ... <Г«	(1)

подгруппы D группы G. Компоненты старшего веса т = (тъ
т2, ..., т„) удовлетворяют определенным условиям, установлен-
ным нами для каждого класса классических групп.

Определение 1. Неприводимое представление TLm назы-
вается произведением Юнга неприводимых представлений Тьт
и Тьт', если

£6т = ГГ'гГ.	(2)

Из равенства (2) ввиду соотношения (2.21) вытекает, что про-
странство представления HLm (Z) является линейной оболочкой
произведений полиномов р' (г) р" (г), где р' (г) £ HLm (Z) и
р" (г) £ HLm (Z). Отметим разницу между этим произведением
Юнга и тензорным произведением Тьт ® Тьт', чье простран-
ство натягивается на произведения р' (г') р" (г").
Пользуясь понятием произведения Юнга, мы можем выразить
произвольное неприводимое представление TL<n через совокуп-
ность наиболее простых представлений, называемых фундамен-
тальными представлениями. В случае группы GL (п, С) в качестве
фундаментальных мы можем взять следующие представления (для
простоты предполагаем, что тп — целое):

т = (1, 0, . .	0),

2

m = (l, 1, 0, . . ., 0),
......................................... (3)

k

т = (\, 1, . .	1, 0, . . ., 0),

k"1

m = (l, 1, .... 2)-
п

Из соотношения (1) очевидно, что всякое другое неприводимое
представление группы GL (п, С) является произведением Юнга
представлений типа (3).

В случае групп SL (п, С) и Sp (2n, С) фундаментальные веса
совпадают с первыми п — 1 фундаментальными весами группы
GL (n, С). В случае SO (2v + 1) фундаментальными весами яв-
ляются

т = (1, 0, 0, . . ., 0),

2

т = (1, 1,0,.. ., 0),
................................... (4)

Vm =(1, 1, .... 1, 0),
v / 1 1 1 1 \
т~~ \ 2 ’ 2 ’ ' • ' ’ 2 ’ 2 /

Последний вес соответствует спинорному представлению. Нако-
нец, в случае SO (2v) имеем два спинорных представления, и фун-
даментальные веса имеют вид

т = (1, 0, . . ., 0),

2

т = (1, 1,0,.. ., 0),
................................... (5)

V-2

т =(1, 1, . . ., 1, 0, 0),
Если воспользоваться условиями, налагаемыми на компоненты
старших весов, соответствующих индуктивному характеру, то
получим следующую теорему.

Теорема 1 (теорема Картана). Для всякой простой классической

i

группы Ли G ранга п существует п фундаментальных весов т,
i = 1, 2, ..., п, таких, что каждый старший вес т — (mi, m2, ...,
..., тп), соответствующий неприводимому представлению TL"‘
группы G, дается линейной комбинацией

" »
т = 2j fim
f=i

с неотрицательными целочисленными коэффициентами

fi=tni-mt+1, i= 2, . . п, тл+1 = 0.	(6)

В современной литературе символ DN lflt f2, исполь-
зуется для обозначения неприводимого представления размер-

1	2	п

ности N со старшим весом т = ftm + f2m +   • + fnm, выра-
женным через фундаментальные веса. Эгот символ следует отли-
чать от символа DN (mlt пц, ..., mrt), где m.- — компоненты стар-
шего веса, определяющие индуктивный характер Lm = б^б'"»...

н ‘

Ввиду формулы (1) и определения 1 ясно, что представле-
ние TLm, соответствующее старшему весу т = (mi, m2, ..., mn),
является произведением Юнга фундаментальных представле-
I

ний TLm, взятых fi раз каждое.

§ 7. Представления произвольных групп Ли

Из теоремы Леви—Мальцева мы знаем, что произвольную
односвязную группу Ли G можно представить в виде полупрямого
произведения

G = /?x)Gs,	(1)

где R — максимальная односвязная разрешимая нормальная под-
группа в G, a Gs — полупростая односвязная подгруппа в G. Под-
группа R называется радикалом группы G. Это свойство групп Ли
позволяет развить теорию представлений для произвольных групп
Ли, подобно случаю полупростых групп. Прежде всего покажем
интересное свойство сужения Т неприводимого представле-
ния Т группы G на радикал R.

ТЕОРЕМА 1. Пусть g-> Tg— неприводимое представление
односвязной группы Ли G, и пусть N — произвольная связная раз-
решимая нормальная подгруппа в G. Тогда для всех п N имеем
Тп — 7(п)1,	(2)

где % — характер подгруппы N, удовлетворяющий условию

X (g-1 ng) = X (п) для всех g£G.	(3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Ли в пространстве И представ-
ления Т существует ненулевой вектор и характер х под-
группы N, такие, что

7\цх == X(п) и7 для всех n^N.

Поскольку N — нормальная подгруппа в G, мы имеем

TnTgUy.— Т&Тg-tTпТgU% = 7.{g ng)Teu7,	(4)

т. e. Tsu% также является собственным вектором для Тп для
всех п £ N. Отсюда следует, что сужение TN представления TG
вместе с характером х (п) содержит все характеры

Хё(п) = УМ lng).

Повторяя теперь рассуждения из доказательства теоремы Ли
[после соотношения (1.3)], получаем

X (g-1 ng) = X («) Для всех g £ G.	(5)

Поскольку TG неприводимо, инвариантная линейная оболочка
всех векторов Т„и7 совпадает со всем пространством Н. Следо-
вательно, Тп = х(л)/ в силу (4) и (5).

Как следствие теоремы 1 имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Всякое неприводимое представление Т односвяз-
ной группы Ли G имеет вид

Т = у®Т,

где 7. (g) — характер G, равный единице при g C:GS и удовлетво-
ряющий условию (3), а Т — неприводимое представление полупро-
стой группы Gs.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сужение Ту представления Тв на я, согласно
теореме 1, задается характером х (r)> г € Д- По теореме Леви—
Мальцева всякое g f G можно представить в виде g = \r, gs\,
r € К, gs € Gs- Полагая х (g) = X (k, gsl) = X (?) и исполь-
зуя (3), мы можем расширить характер х на G. Представление
группы G, задаваемое как Т = у1 ® Т, тривиально на В- Значит,
Т задает представление фактор-группы G/R Gs. Следовательно,
Т ~ у ® Т. Ясно, что неприводимость Т подразумевает непри-
водимость Т.

Таким образом, задача классификации неприводимых пред-
ставлений произвольной односвязной группы Ли сводится к за-
даче классификации характеров разрешимых групп и классифи-
кации неприводимых представлений полупростых групп Ли.
Кроме того, теория представлений полупростых групп Ли позво-
ляет дать явную реализацию операторов Tg и пространства Н
неприводимого представления Т группы G. Действительно, если
фактор Леви Gs для G является комплексным, то всякое неприво-
димое представление односвязной группы Ли G реализуется по
формуле

^{г,в5)ы(г) = %(г)^бы(гв)^	£=	£s}	= х) Gs, (6)

где % — характер радикала R, удовлетворяющий равенству (3),
6 -> Lb — характер фактора Гаусса D в разложении Гаусса
Gs — 3DZ, а 6 и z~ определяются из разложения g — zgs =
= £6zg элемента zgs. Элементами и (z) пространства представле-
ния Н являются полиномы от матричных элементов zpq матриц
z £ Z.

Если фактор Леви Gs для G — вещественная полупростая
группа Ли, то представление Т^r, gs) группы G может быть также
реализовано при помощи равенства (6); в этом случае подгруппа Z
представляет собой фактор Гаусса комплексного расширения (G$)c
группы Gs.

Следующий пример показывает, что условие (3) налагает жест-
кие ограничения на класс допустимых характеров и, следова-
тельно, на класс конечномерных неприводимых представлений
односвязной группы Ли G.

Пример 1. Пусть G = Г4 х) SL (2, С), т. е. G — группа Пу-
анкаре. Произвольный характер для Г4 имеет вид

X (а) = expipa, ра = рра^, р^С1.	(7)

Из закона группового умножения находим (g — \b, А}, а = ja, 1\)
g-iag={— A-1} {a, Ц{Ь, А} == {А'Лг, I\.

Но тогда из (3) вытекает

X (A~4a) = х (а) для всех А из SL (2, С).

Следовательно, Ар = р для всех А ввиду соотношения (7). Это
возможно, только если р — нулевой вектор. Значит, х (°) — 7.

Следовательно, все неприводимые конечномерные представле-
ния группы Пуанкаре являются неприводимыми конечномерными
представлениями SL (2, С), поднятыми до группы Пуанкаре с по-
мощью соотношения (6).

Теорема 2 имеет различные интересные следствия. В частности,
справедливо

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Односвязная группа Ли G допускает нетри-
виальное неприводимое унитарное представление Т с 1 <> dim Т<
<; оо тогда и только тогда, когда фактор Леви Gs содержит не-
тривиальную компактную нормальную подгруппу.

Доказательство. По теореме 2 Т = х ® Т, где 7’ — непри-
водимое представление связной полупростой подгруппы Gs
группы G. Тогда если Gs содержит нетривиальную компактную
нормальную подгруппу /С, то, выбирая х унитарным, а в качестве Т
неприводимое унитарное представление К, можно расширить Т
до Gs, и мы получаем унитарное неприводимое представление Т
группы G с 1 <3 dim Т < оо. Если же Gs не содержит компакт-
ной нормальной подгруппы, то она является прямым произведе-
нием простых односвязных некомпактных групп. По теореме 1.2,
следовательно, Gs не допускает нетривиальное конечномерное
унитарное представление.

Интересно, что теорему Вейля можно обобщить на произволь-
ные односвязные группы Ли.

Теорема 4. Представление Та односвязной группы Ли G вполне
приводимо тогда и только тогда, когда его ограничение Тк на ради-
кал R вполне приводимо.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно рассмотреть случай, когда ин-
вариантное подпространство Нг пространства представления Н
и фактор-пространство H/Hi неприводимы. Если сужение TR
представления Тв на радикал R вполне приводимо, то существует
пространство Нг с Н, дополнение подпространства Н1г которое
инвариантно по отношению к R. Из теоремы 1 следует, что дей-
ствие радикала R в Нг и Н2 сводится к умножению на характеры
Xi и 7л радикала R соответственно. Если Xi Ха> т0 является
максимальным подпространством в И, на котором действие ради-
кала R задано посредством умножения на ул; рассуждения,
проведенные при доказательстве теоремы 1, показывают, что Н2 ин-
вариантно и по отношению ко всей группе G. Следовательно,
7’ вполне приводимо в Н.

Если Xi = Хг = X, то, полагая X (g) = X (k, gs}) = X (И и ис-
пользуя соотношение (3), мы можем расширить характер х на всю
группу G. Взяв затем тензорное произведение х1 (ё) ® Tt, по-
лучаем представление G, которое тривиально на радикале. Таким
образом, это дает представление полупростой группы Gs ~ GIR,
которое вполне приводимо по теореме Вейля.

§ 8. Другие результаты и комментарии

Обсудим теперь вкратце ряд других результатов, важных для
приложений.
А.. Сужение представления на подгруппу

Во многих физических задачах возникает следующий вопрос:
какие неприводимые представления подгруппы Go группы G вхо-
дят в сужение на подгруппу Go неприводимого представления Т
группы G?

Основной результат для случая GL (м, С) состоит в следующем.

Теорема 1. Неприводимое представление GL (п, С), задавае-
мое старшим весом т — (mlt т2, ..., тп), при сужении на под-
группу Go ~ GL (п — 1,0) содержит все неприводимые представ-
ления Go со старшими весами I ~ (1Ъ 12,	/„.j), удовлетворяю-

щими следующим условиям:

т2^ 12^т3>- ...	тп. (1)

Каждая неприводимая компонента содержится однократно.

(Доказательство см. в [874], § 13.)

Эта теорема ввиду теоремы 3.1 справедлива также для всех
вещественных форм группы GL (n, С) и, в частности, для редук-
ции неприводимых представлений унитарной группы U (м) по
отношению к U (п — 1).

Аналогичный результат имеем для ортогональных групп.

ТЕОРЕМА 2. Неприводимое представление группы SO (2v +
+ 1, С), задаваемое старшим весом т = (тг, т2, ..., mv) с цело-
численными (полуцелочисленными) компонентами, при сужении на
подгруппу Go ~ SO (2v, С) содержит все неприводимое представ-
ления подгруппы Go, старшие веса q = (qr, q2, ..., qx) которых
удовлетворяют следующим условиям:

т^ ft > m2 > q2>> ••• > mv > 9V > — mv.	(2)

Компоненты q, являются одновременно все целыми (если т, целые)
или все полу целыми (если т, полуцелыё). Каждое неприводимое
представление входит однократно.

Аналогично сужение неприводимых представлений группы
SO (2v, С), задаваемых старшим весом т = (тг, т2, ..., тх) с це-
лочисленными (или полу целочисленными) компонентами, содержит
все неприводимые представления подгруппы Go ~ SO (2v — 1, С),
старшие веса р = (рг, р2, ..., pv_t) которых удовлетворяют соот-
ношениям

mi> рг^т2^ р2> •••	pv_i>|mv|.

Компоненты р, являются одновременно все целыми (все полуцелыми)
вместе с пц. Каждое неприводимое представление входит одно-
кратно.

(Доказательство см. в [874], § 13.)
Ясно, что все утверждения теоремы 2 справедливы и для ве-
щественных форм группы SO (п, С), в частности для веществен-
ных ортогональных групп SO (п) и SO (р, q), р + q = п.

Аналогичные, хотя и более сложные, результаты имеют место
для симплектических групп.

Доказательства этих теорем могут быть проведены различными
методами. В частности, можно дать элементарное доказательство
на языке схем Юнга (см. [363], гл. 10).

Техника индуцированных представлений, использовавшаяся
Желобенко [874], позволяет не только изящно доказать тео-
ремы 1 и 2, но также построить пространства, в которых реали-
зуются неприводимые представления соответствующих подгрупп.

Задача редукции представлений SU (т + п) по отношению
к SU (m) ® SU (п) рассматривалась Хагеном и Макфарлейном.
Некоторые частные случаи редукции SU (т + п) по отноше-
нию к SU (m) ® SU (п) и SU (и) по отношению к SO (/г) рас-
смотрены Желобенко ([882], гл. XVIII). Эти задачи исследова-
лись также Уиппманом [845].

Б. Весовые диаграммы

Пусть TLm — неприводимое представление полупростой
группы Ли G, соответствующее старшему весу т, и пусть ит (г) =
= 1 — старший вектор в пространстве Нт (Z) представления TLm.
Обозначая генераторы подгруппы Z (3) через Ёг/, (Е_а), а генера-
торы подгруппы D — через Н, и используя коммутационные
соотношения Картана—Вейля, получаем

HiE+uUm = (E±a,Ht zb О- (7/,) £±а) ит = (ш, + ос (7Д-))	(3)

Векторы, собственные для называются весовыми векторами,
а собственные значения являются компонентами веса. Следова-
тельно, векторы Е+аЦт наряду с ит формально также являются
весовыми векторами в пространстве представления Нт. Однако
действие подгруппы Z в Нт означает [см. (2.17)], что

7*z0	(z) = Um (ZZ0) = U,n,	(4)

или в инфинитезимальной форме

Еаи,п = 0.	(5)

Значит, ввиду (3) в Нт не может быть весового вектора с весом
т' ~ (т1 + а (Н^, тп + а (Я„))х). Это объясняет термины
«старший вес» и «старший вектор» для т и и,п. Пусть

f=£_a(l)£_a(2) ••• £_a(S-l)£_a(s)Hm, s=l, 2, . . .,	(6)

J) Мы говорим, что вес т' старше чем т, если первая неисчезающая компо-
нента вектора т'—т положительна.
где генераторы Е_а и Еа расположены в произвольном порядке.
Тогда из (3) вытекает

Н-и = (т1 — сс(1> (Hj) — а(2> (Hj) — • • • — (Hj) -ф- a<s> (Hj)v,

(7)
т. е. каждый ненулевой вектор (6) является весовым вектором.
Далее, старший вектор ит цикличен для представления TL'n
в силу следствия 3 теоремы 2.2. Таким образом, на весовые век-
торы (6) натягивается пространство Нт представления TL'n.

Ввиду равенства (7) произвольный вес имеет вид

т — kxu.{ — k2a2 — ... — Д(ап,	(8)

где kt — неотрицательные целые числа, а2, ..., ап — простые
корни, ап — размерность подалгебры Картана. В соотношении
(8) мы можем ограничиться только простыми корнями благодаря
тому факту, что всякий положительный корень является суммой
простых корней с неотрицательными коэффициентами. Поскольку
размерность Нт конечна, число различных весов также конечно.

Оказывается удобным с каждым весом (8) ассоциировать
точку в n-мерном векторном пространстве Rn. Диаграмма в Rn,
соответствующая совокупности всех весов, называется весовой диа-
граммой данного представления.

Равенство (7) означает, в частности, что все генераторы Н.
подгруппы Картана D диагональны в пространстве Нт. В физи-
ческих приложениях, если G — группа симметрии некоторой фи-
зической системы, то генераторы Н{ являются одновременно диа-
гонализуемыми, а следовательно, наблюдаемыми. Например,
в случае симметрии SU (3) в физике элементарных частиц в ка-
честве генератора /Д можно взять третью компоненту изоспина,
а в качестве генератора Н2 — гиперзаряд. Таким образом, веса
дают значения измеримых величин.

Важнейшей для приложений является задача нахождения всех
весов, связанных с данным старшим весом, и их кратностей.
Эта задача была решена Фрейденталем [283] и Костантом [482].

Для формулировки теоремы Фрейденталя необходимо ввести
скалярное произведение корней и весов. Заметим сначала, что
корни и веса являются элементами дуального пространства Н*
алгебры Картана Н. С другой стороны, согласно формуле (1.4.3),
для всякого X £ Н* существует однозначно определяемый эле-
мент Н-, (jj Н, такой, что

X (X) = (Нк, X) для всех X £ Н,	(9)

где (•, •) — форма Киллинга алгебры L группы G. При X, р £ Н*
скалярное произведение (X, р) можно определить как

(X, р) = (/Д, Дц).	(10)
Поскольку G полупроста, по теореме 1.4.1 сужение формы Кил-
линга на Н, а следовательно, и скалярное произведение (10)
являются невырожденными. Формула Фрейденталя выражает
кратность пм веса М через кратности весов М + ka, а >> 0.
В более точном виде имеем:

ТЕОРЕМА 3. кратность пм веса М в весовой диаграмме, ассо-
циированной со старшим весом т, дается рекуррентной формулой

[(m + г, т + г) - (М + г, М ф- г)] п = 2 £ £ nM+ka (М ф- ka, а),
1^=1 а>0

(Н)
где

-42-

а>0

(Доказательство см. в [283].)

Формула (11) дает эффективный метод вычисления крат-
ности пм веса М, начиная с пт = 1. Ясно, что в силу (8) суммиро-
вание по k в формуле (11) является конечным.

Введем теперь группу Вейля с целью дать формулу Костанта.
Пусть р — вектор из весового (или корневого) пространства, и
пусть а — корень. Положим

p' = Sa(p) = p-Ag^-a.	(12)

Поскольку Sa (а) = —а, а для р I a Sa (р) = р, отображение
a является отражением по отношению к гиперплоскости,
перпендикулярной вектору а. Ясно, что S„ = I и Sa — ортого-
нальные преобразования, т. е.

(Sa(pi), Sa (р2)) = (рл, р2).	(13)

Порождаемая преобразованиями Sa. (а, — простые корни) ли-
нейная группа называется группой Вейля W. Если S £ W пред-
ставлен произведением четного числа отражений относительно
гиперплоскостей, перпендикулярных к корням, то det 3 = 1.
В противном случае det S = —1.

ТЕОРЕМА 4. Пусть Р (R), R £ Н* — функция разбиения, рав-
ная числу решений (ka, kfl, ..., /г6) уравнения

R = kaa,	(14)

a>0

где a — положительные корни, a ka — неотрицательные целые
числа. Тогда кратность пм веса М, ассоциированного со старшим
весом т, дается формулой

(det 3) Р [S (т г) — (А1 -|-г)].	(15)

€
(Доказательство см. в [482].)

Формула Костанта полезна скорее в теоретическом рассмотре-
нии. Для практических вычислений она малоэффективна, по-
скольку нет эффективного метода для вычисления функции раз-
биения Р (Р).

В случае алгебр ранга 2 и алгебры А3 явные выражения для
функции Р (/?) были получены Янски.

Другие формулы для кратностей весов, иногда более удобные
для приложений, были найдены Климыком [467, 468].

В. Разложение тензорного произведения

Задача разложения тензорного произведения Т ® Т’ непри-
водимых представлений Т и Г топологической группы G назы-
вается задачей о «ряде Клебша—Гордана».

Рассмотрим сначала случай GL (и, С). На представлениях

L"‘ =

подгруппы D определяем следующие операторы 6Л, k — 1, 2, ...,п:

... 6^+1 ... б"1» если rn* x>mk,

K{L"l= 1 z k n ’	(16)

I	0	если mk_1 = mk.

Заметим, что операторы S* некоммутативны. Следующая теорема
дает общую формулу для разложения тензорного произведения
TLm ® TLm неприводимых представлений по операторам дк.

ТЕОРЕМА 5. Пусть Тьт и TLm — неприводимые представле-
ния группы GL (и, С), индуцированные представлениями Lm и Lm'
подгруппы D соответственно. Тогда тензорное произведение Тьт 0
® Тьт сводится к

£ е ?£т",

т”

где Lm" — слагаемые в разложении следующего детерминанта:

	гт,	Гт,+1	• • • Гт, + (п-1)	
Г	(т1 ~  Утут2...тп^ -	Гщг-1  Гтп - (п-1)	Гтг  Гт„ - (П~2'	 ‘ ' Г,„2 + (п-2)  ” Гтп	, (17)

в котором

Г„, = S	•••Sn”, Гт = 0 для т<^0.

V,+V2+ ... +V„=m

(Доказательство см. в [875], теорема 12.)
В дальнейшем из соображений простоты для тензорного произ-
ведения TL'n ® TL'n’ будем пользоваться обозначением т 0 т'.

В качестве примеров рассмотрим два важных класса тензор-
ных произведений представлений GL (и, С).

со

1° Умножение вектора т на тензор

tn = (mJ, m2, . . тп), min (m'; — m}) > 1.

Формула (17) немедленно дает

Г1,о, . ..oL"1'= 61ZX \	;--- |

(18)

Дадим теперь полезное графическое представление этих ре-
зультатов. Заметим сначала, что с каждым старшим весом

т = (ть . . ., тп),	> тп, (19)

можно связать следующую диаграмму:

где первая строка содержит пц клеток, вторая — т2 клеток и т. д.
Из (19) следует, что длины последующих строк не возрастают,
а число строк не превышает п.. Такие диаграммы называются
допустимыми. Они находятся во взаимно однозначном соответ-
ствии со старшими весами неприводимых представлений. Эти
диаграммы являются не чем иным, как схемами Юнга, характери-
зующими неприводимые представления группы перестановок
(см. гл. 7, § 5. В).

Пользуясь схемами Юнга, мы можем изобразить равенство (18)
графически, например, для т' — (3, 2, 1,0) следующим образом:
2° Тензорное произведение двух поливекторов: пусть тит
обозначают связанные с поливекторами старшие веса. Тогда тео-
рема 5 немедленно дает

(/г) (о (/г)	(1+1) (Л-1)	(i+Л)

Г(П1... 1И0 ... 0)Lm = LmLm -\-Lm Lm -j------------'r Lm L°. (20)

Этот результат также можно изобразить графически при помощи
схем Юнга, например

Эти два примера наводят на мысль, что должен существовать
графический метод для разложения произвольного тензорного
произведения т 0 т'. Действительно, в силу соотношения (16)
и того факта, что компонента т£ веса т представляется как длина
i-й строки в схеме Юнга, формула (17) дает допустимые схемы
Юнга неприводимых представлений, входящих в разложение.
Общее правило может быть установлено следующим образом:

Фиксируем схему Юнга, соответствующую старшему весу т,
а строки второй схемы нумеруем следующим образом, например

Прибавляем теперь клетки первой строки, нумеруемые а, к пер-
вой схеме всеми возможными способами, таким образом, чтобы
вновь получать допустимые схемы. Затем ко всем полученным
в результате схемам прибавляем клетки второй строки, потом
третьей строки и т. д., требуя на каждом шаге, чтобы получаю-
щиеся схемы были допустимыми (т. е. m'k >

Из этого множества схем исключаем те схемы, которые содер-
жат появляющиеся в столбце одинаковые индексы. Затем выбра-
сываем столбцы длины п. Наконец, упорядочиваем клетки схем:
начинаем с первой строки и берем клетки в порядке справа на-
лево. Затем проходим вторую строку справа налево и т. д. Эта
упорядоченная последовательность содержит клетки с индексами
и пустые клетки. Если оборвать эту последовательность^ любой
точке, то количество индексов b не должно превосходить коли-
чества индексов а, количество индексов с не должно превосходить
количества индексов b и т. д., считая от начала и до обрыва.

Получающиеся схемы, которые различаются по форме или по
расположению индексов, соответствуют различным неприводи-
мым представлениям, содержащимся в тензорном произведении.

Пример 1. Пусть G = SU (3). Рассмотрим тензорное произ-
ведение представлений т = (3, 0) и т' = (2, 1). Правило прибав-
ления клеток второй схемы, соответствующей т', к первой схеме,
соответствующей т, дает следующий набор схем:

Схемы с символом «*» нашими правилами запрещены. Таким
образом, получаем

Над схемами мы проставили размерности получающихся непри-
водимых представлений, найденные из формулы Вейля (29), при-
веденной ниже (подробное доказательство этих правил разложе-
ния тензорного произведения т ® т' см. в [427] или [131]).
Ясно, что теорема 1, ввиду теоремы 3.1, верна для GL (п, /?),
U (и), SL (и, С), SL (и, R) и SU (и).

Общая формула для разложения тензорного произведения не-
приводимых представлений произвольной полупростой группы
Ли G была получена Костантом и Стейнбергом.-
ТЕОРЕМА 6. Пусть т и т' —два неприводимых представления
полупростой группы Ли. Тогда кратность пт« неприводимого
представления т" в тензорном произведении т 0 т' дается фор-
мулой

Пщ"== 2 det (ST)-Р\S(m -[- г) ф- Т (пТ г) — (т"-\-2г)\, (21)
s, r£w

где W —группа Вейля группы G, г = ~ а функция разбие-
ния Р (В) та же, что и определенная в теореме 4.

(Доказательство см. в [7791.)

Использование формулы (21) является затруднительным даже
для алгебр Ли низких размерностей. К счастью, Паясом были раз-
работаны специальные компьютерные программы и опубликованы
таблицы кратностей для наиболее важных групп [6571.

Некоторые разновидности формулы (21) для кратностей были
выведены Страуманном [7901 и Климыком [4661. Существует
также интересный графический метод, разработанный Спейсе-
ром [7731. Относительно более поздних работ отсылаем к [350].

Задача разложения тензорного произведения т 0 т' на не-
приводимые представления является завершенной, если мы мо-
жем указать способ выделения пространства Нт", в котором реа-
лизовано неприводимое представление т". Для решения этой за-
дачи достаточно выразить базисные векторы щ., k = 1, 2, ...
..., dim Нт", пространства Нт" через базисные векторы е^е]
пространства Нт ® Нт' тензорного произведения, т. е.

e'i = Ck'eie’j.	(22)

Коэффициенты eV называются коэффициентами Клебша—
Гордана. Ясно, что они зависят от базисов в пространствах Нт,
Н™' и Нт" соответственно. К сожалению, явный вид коэффициен-
тов Клебша—Гордана известен лишь в нескольких случаях: для
SU (2) (см., например, [2411), SL (2, С) (см., например, [3131)
и для SU (и), например в [799] для SC (3) и в [759] для SU (и).

. Теоремы 5 и 6 были получены при помощи алгебраических
методов.. Их можно получить также и глобальными методами. Дей-
ствительно, можно было бы.воспользоваться теоремой о тензор-
ном -произведении, для глобальных индуцированных унитарных
неприводимых представлений компактных трупп (см. гл. 18, § 2).
Затем, пользуясь теоремой 3.1, распространить эти результаты
на все некомпактные комплексные и вещественные полупростые
группы, связанные с данной компактной группой.. Во всех извест-
ных случаях этот метод является весьма изящным и эффективным.
Г. Характеры и размерности представлений

Характер представления Т группы G определяется формулой
Х(6) —ТгТв, 6 —фактор Гаусса для g = c,dz. (23)
Это весьма важное понятие было введено Вейлем. Характер (23)
не обладает мультипликативным свойством х (б + б') — % (б) X
X х (б'), справедливым для характеров абелевых групп. Вейль
получил общую формулу для характеров неприводимых представ-
лений всех простых групп Ли.

ТЕОРЕМА 7. Пусть Тьт — неприводимое представление груп-
i

пы G, задаваемое старшим весом т~ Jjfitn. Пусть k — r + m,
i

где г = -g- а и сумма берется по положительным корням. Поло-
жим

| (т) = У det S ехр [i (Sk) б],	(24)

где W —группа Вейля (определенная согласно (12) и (13)), а ад —
= а1д1 -Г а2б2 + • •  + апдп 1). Тогда

(25)

(Доказательство см. в [839].)

Формула (25) дает более простые выражения в случае класси-
ческих групп. В частности, для GL (п, С) имеем (см. [842],
гл. VII, § 6)

<26>
где lt = mi + п — i, a d (4, l2, ..., /„) — детерминант

б{* б{« ...

g's ...
п п	п

Ясно, что формула (26) дает характер также для всех веще-
ственных форм группы GL (п, С) и, в частности, для U (п). В этих
случаях Т& = ехр (id/H^, где Hj — генераторы подалгебры Кар-
тана.

с	2т-г

) лт = т---------г является отражением весового вектора т относи-

тельно гиперплоскости, нормальной к г.
Явный вид характеров для симплектических и ортогональных
групп был дан также Вейлем [8421, гл. VI, § 8 и 9 соответственно.

Формулу (25) для характеров можно использовать для вычис-
ления размерности Nm неприводимого представления Тьт
группы G.

Действительно, поскольку

=	(^	(28)

то размерность TL>n получается предельным переходом 6 ->-е.
Другими словами, справедлива следующая теорема.

Теорема 8.

П (а, г + т)

а>0

где умножение берется по всем положительным корням.

(Доказательство см. в [840].)

Формула (29) в случае GL (и, С) (и, в частности, для U (и))
приобретает вид

П (/;-//)

"" = ПК-,у	<3°)

«</

где lj — Ш; 4- п - / И 1‘- = nij — j.

Комментарии

Доказательство теоремы Ли в представленной здесь форме было
получено Годеманом. Свойства представлений полупростых групп
Ли исследовались Картаном [154] и Вейлем [840—842]. Возмож-
ность использования теоремы Ли в качестве средства для гло-
бальной классификации неприводимых представлений полупро-
стых групп Ли была продемонстрирована Годеманом. Этот подход
был использован и распространен на произвольные группы Ли
Желобенко [874, 875]. Здесь мы следовали подходу Желобенко.

Заметим, что всякое неприводимое представление полупростой
группы Ли G индуцируется характером подгруппы D. В гл. 19
мы показываем, что бесконечномерные представления простых
комплексных групп Ли также индуцируются комплексным харак-
тером L подгруппы D.
§ 9. Упражнения

§ 1.1.	Покажите, что алгебра Гейзенберга

[Qi. =	*, /=1, 2, . . ., и, (1)

не имеет конечномерных неприводимых представлений.

Указание: воспользуйтесь тем фактом, что для матриц Тг [Л,
В] = 0.

§ 1.2.	Постройте трехмерное представление алгебры Ли

[Q, P] = Z, [Q, Z] = 0, [Р, Z] = 0.	(2)

§ 2.1.	Пусть G = SU (2), и пусть HJ, J = 0,	1, А.....—

пространство всех однородных одночленов степени 27:

j

f(zt, z2) = S aMzJ~Mz{+M, aM^C.

M=-J

Положим

U(z) = f(z, 1), g = “ g , a = 6, T = —p.
Покажите, что из преобразования

TJgf(zx, z2) = f (azi + уг2, p?i + 6z2)	(3)

следует преобразование

(^u)(z)=(Pz + 6)2JM(^|±J),	(4)

что является спинорным представлением SU (2) веса J.

§ 2.2.	Покажите, что в HJ существует скалярное произведение,
по отношению к которому векторы

фм (г) = [(7 - М)! (7 + М) \]-'pzJ~M = | JM) (5)
ортонормированы.

Указание: воспользуйтесь теоремой 7.1.1.

§ 2.3.	Покажите, что представление (4) неприводимо в HJ и
что всякое неприводимое представление SU (2) эквивалентно TJ.

§ 2.4.	Покажите, что на пространстве функций и (г) из за-
дачи 2.1 генераторы группы SU (2) заданы посредством дифферен-
циальных операторов

1	d

J ,и — — -J- и,

+	dz ’

7 и — z2 4- и — 2Jzu,

(6)

J—- - Z и —J и.
§ 2.5.	Пусть G = SL (2, С) и Н — пространство полиномов
р (г, г) степени <т по г и степени сп по г. Неприводимые спинор-
ное и тензорное представления группы G размерности (т + 1) X
X (п + 1) в Н могут быть записаны в виде

Т te) Р (z, i) » (fte + Т)" (Р? + 8)" р	),	(7)

Эквивалентность этой формы двухкомпонентным спинорам с индек-
сами без точек и индексами с точками получается, если пред-
ставить р (г, г) в следующем виде:

Р(г, г)=	£ фл1...лтв1...в„г(Л1+ --+л"г>г(в1+- -+в«),	(8)

А, B.=i

где (т + 1) (п + 1)-мерный 2-компонентный спинор ф симме-
тричен по индексам Л* и симметричен по индексам Вк. Покажите,
что по отношению к Т (g) спиноры ф преобразуются согласно
^'а1...а„;в1...вп=&а1с1 •••
где

gu =«. Su = ₽. £21 = Y. £22 = 6-	(9)

Замечание. Неприводимые представления SL (2, С), заданные
согласно (7), обозначаются

§ 2.6.	Пусть а* — матрицы Паули (см. пример 1.1.1). Пока-
жите, что матрицы

4 = 4“ °*’	= 4~2>3>	(Ю)

являются генераторами представления группы Лоренца.
Покажите, что матрицы

4 = -у °*- Nk = — 4" io*’	(*')

являются генераторами представления */®) группы Лоренца.

§ 2.7. Пусть {у^о — набор матриц Дирака, заданных согласно

То =

'0 Г

I 0

Покажите, что матрицы

yWuv = 4’('V|iTv~'Vv'V^

(12)

(13)

0

о
являются генераторами представления £М’/..°) ф £)(°. */•) группы
Лоренца в блочно-диагональной форме

Г Dd/2, о» м) 0	।

£)(л) = [	0	£)<о. 1/2) (Л) J ‘	(14)

§ 2.8. Покажите, что в так называемом представлении Ди-

рака у-матриц, заданных согласно

Г 1 °’

% = |о -/]’

генераторы (13) имеют вид

Ой]
0 J

(15)



Л = eklm^ltn ~2

 а* 0

. о

^ = Л1СА = 4-

0

Ok

ok
0

§ 3.1. Покажите, что SU (3)/Za обладает самосопряженными
представлениями только размерностей 1, 8, 27, 64, ..., и3, .... По-
кажите, в частности, что фундаментальные представления раз-
мерности 3 группы SU (3) (так называемые кварковые представле-
ния) не являются представлениями SU (3)/Za.

§ 7.1. Дайте классификацию конечномерных представлений
евклидовой группы Т3 К) SO (3).

§8.1.	Пусть Нт — пространство неприводимого представле-
ния группы и (и), характеризуемого старшим весом т — (mw
т2п, ..., тпп). Покажите, что всякий вектор из Нт может быть
представлен схемой

"inг.....................тпп

т =

т1, п-1.......тп-1,	п-1

т12 т22
тп

где ти удовлетворяют условию

>> tni+Uj, i = 1, 2, .... и — 1,	/ — 2,3........и.

Указание. Воспользуйтесь теоремой 8.8.1.

§ 8.2.	Пусть Н2 — пространство неприводимого представле-
ния и (2), характеризуемого старшим весом т = (m12, т22).
Покажите, что представление генераторов Д{, i, j = 1,2, задается
формулой

Akktn = (rk — rk-i) т (£—1,2), А21т = al (т) т},
Д12ш = b} (m) т\,
k

где r0 =0, rk = (k = 1, 2) и

(Z2i — Zu) (Z21 — Zu — 1)



^12 ^22

mll + 1

^12	^22

mu~ 1

§ 8.3.	Пользуясь графическим методом, покажите, что тензор-
р р
ное произведение фундаментального представления Тт, т —
— (1, ..., 1, 0, ..., 0), на произвольное представление Тт, т =

~ (т1, ..., тп), группы U (п) имеет следующее разложение:

_Р _	_т' =(т, , .... т; +1,.... т, +1, ..., т,.\

Тт ® Тт == У ।	ф Т ( 1	4 'Р ' \

1<Ч<‘’2< •••

§ 8.4.	Покажите, что неприводимые представления полу-
простой группы Ли G образуют полугруппу по отношению к умно-
жению старших весов.

§ 8.5.	Найдите унитарные неприводимые бесконечномерные
разрывные представления группы SU (п).

Указание. Возьмите разрывные представления абелевой под-
группы D группы SL (п, С), описанные в примере 5.1.3, индуци-
руйте их до SL (n, С), а затем сузьте их до получения представ-
лений SU (п).
Глава 9

Тензорные операторы, обертывающие
алгебры и обертывающие поля

Тензорные операторы {Ги} и тензорно-полевые операторы {Га (х)},
сопоставляемые с представлениями групп, играют существенную
роль в квантовой теории. Такие физические величины как угловой
момент J, четыре-вектор энергии-импульса спин, поля и токи,
отождествляются с объектами этого вида. Описание большинства
физических явлений в квантовой теории сводится, следовательно,
к анализу свойств определенных тензорных операторов.

В § 1 мы описываем основные свойства тензорных операторов
и выводим теорему Вигнера—Эккарта.

В § 2 мы рассматриваем основные свойства обертывающей
алгебры, которая в принципе является алгеброй тензорных опе-
раторов. Свойства инвариантных операторов, которые фактиче-
ски являются простейшими тензорными операторами, даны в § 3.

Если данная группа G является группой симметрии некоторой
физической системы, то спектры инвариантных операторов, сопо-
ставляемых G, определяют наблюдаемые квантовые числа физи-
ческой системы. Следовательно, с точки зрения физических при-
ложений мы заинтересованы в том, чтобы найти в явном виде

1)	множество {Ср} независимых инвариантных операторов,
которые порождают кольцо инвариантных операторов в оберты-
вающей алгебре Е алгебры Ли L группы С;

2)	спектры этих независимых инвариантных операторов Ср.

В § 4 мы даем явное решение этих двух задач для всех клас-
сических простых групп Ли.

Наконец, в § 5 мы рассматриваем важное понятие оберты-
вающего поля алгебры Ли и, в частности, знаменитую теорему
Гельфанда—Кириллова о генераторах обертывающего поля.

§ 1. Тензорные операторы

В квантовой теории атомной и ядерной спектроскопии появ-
ляются множества операторов {Гт}, т == —J, —J + 1, ...

J~ 1, J, которые преобразуются под действием группы враще-
ний SO (3) как сферические гармоники YJm (6, <р) (или как век-
торы состояний), т. е.1)

UgTJmUg^DJmm’(g)TJn,.	(1)

Мы используем определение тензорного оператора, данное в [854].
Это приводит к введению в математической физике понятия
тензорных операторов. Теперь мы дадим общее определение. По-
скольку мы будем иметь дело с некомпактными группами, мы
делаем различие между контравариантными {Т°\ и ковариант-
ными {74 тензорными операторами.

Определение 1. Пусть g->D(g)— конечномерное пред-
ставление группы G в векторном пространстве V, и пусть {£>*} —
его матричная форма в базисе {ea}iim v пространства V. Пусть
g-> Ug — унитарное представление группы G в гильбертовом
пространстве Н.

Множество {Та\, а = 1, 2, ..., dim D, операторов называется
контравариантным тензорным оператором, если

U^TaUg = Dab(g)Tb,	(2)

где \D° (g){ — матричная форма представления g->D(g) в V.

Итак, контравариантный тензорный оператор {Та\ в Н пре-
образуется как {контравариантный вектор относительно пред-
ставления g -> D (g) в V.

Соответствующее определение тензорного оператора на уровне
алгебры Ли получается при подстановке представления генера-
торов

D(X) = -^-£>(exp0X)|e=o, iU(X) = -^-f/expex|e=o (3)
в формулу (2). Мы находим

[U(X), Та] ~ iDab(X) Tb, X£L.	(4)

Замечание 1. Мы будем предполагать, что генераторы U (X),
X £ L, имеют общую плотную инвариантную область определе-
ния D cz Н. Построение таких областей определения и точные
определения генераторов (3) даются в гл. 11, § 1. Мы будем пред-
полагать, что D является областью определения для операторов Та.
В этой главе мы сосредоточим внимание на алгебраических свой-
ствах тензорных операторов, так что конкретный вид области D
не имеет значения.

В общем определения (2) и (4) тензорного оператора эквива-
лентны, если представление алгебры Ли L группы G может быть
получено из глобального представления Ug группы G путем диф-
ференцирования. Поучительно показать также, что из (4) следует
(2). Используемый здесь метод применим для многих практических
вычислений. Пусть глобальное представление g-+ Ue задано
формулой

Ug = ехР ('spZ- (хр))>
где представления генераторов мы обозначили через V (Хр).
Рассмотрим «однопараметрическую» подгруппу глобального пред-
ставления Ug (х) = ехр (i Xsp{7 (Хр)). Положим

T’'a(k) = (7g1(WT°(7g(X)	(5)

и продифференцируем это равенство по X:

= —isp ехр (-iXSp(7 (Хр)) [U (Хр), Т°] ехр (iXspC/ (Хр)).

Используя (4) и (5), получаем

^L = SpD?(Xp) 7>).

Это дифференциальное уравнение с начальными условиями
Т'а (0) = Та имеет следующее решение:

Т'а^} = [exp(ZspD(X))lg7’'6.

В силу (5) при Z = 1 мы получаем формулу (2).

Говорят, что тензорный оператор	неприводим, если

g-+D^(g) неприводимо. Простейший пример неприводимого
тензорного оператора дается любым инвариантным оператором С
группы G. В этом случае

U-gCUg = с,

т. е. g->D(g) = 1. Следующий пример менее тривиален.

Пример 1. Пусть G — группа вращений в Н = L2 (/?")

и ({7йф) (х) = ф (gr’x). Пусть Т» = х^ — оператор координаты
(х^ф) (х) = хН|> (х). Тогда

(UgX^Ugty) (х) = (лм(7йф) (gx) = g^xx (<7йф) (gx) =

=	(*) = gv-v'ty (*)•

Поэтому

t/g1^'it/g = g-Vxv,	(6)

т. e. множество {x^i является контравариантным тензорным
оператором.

Определение 2. Множество {Т,,}, а = 1, 2, ..., dim D,
операторов называется ковариантным тензорным оператором,
если оно преобразуется по представлению D (g) = DT (g-1), кон-
траградиентному D (g), т. е.

Ug TaUg = DTab (g-1) Ть = Dba (g-1) Tb.	(7)
На уровне алгебры Ли соотношения (7) и (3) дают

[(7(Х), Та] = -iDba(X)Tb.	(8)

Замечание 1 применимо также к определению 2.

Если g -> D (g) — унитарное представление группы G, то
пространство V имеет метрический тензор gab — Ь"ь. Следова-
тельно, мы можем положить Db (g) = Dab (g) во всех формулах.
Мы видим, что стандартное определение тензорного оператора Т'т
для SO (3), заданное формулой (1), соответствует определению I
контравариантного тензорного оператора.

Пусть L — произвольная алгебра Ли с базисом Ха, и пусть
Ха -> U (XJ — представление алгебры L самосопряженными опе-
раторами в Н. Тогда множество {То} = {U (Хо)}, а = 1, 2, ...
..., dim L, является ковариантным тензорным оператором для L.
В самом деле, в силу соотношений коммутации в L мы имеем
для этого специального тензорного оператора

[U (Х6), Ta\ = iccbaTc.

(9)

Множество матриц D (Ха) = —Са = || —саЬ || задает пред-
ставление алгебры L в силу тождества Якоби (1.1.7). Поэтому
условие (8) удовлетворено. Итак, множество \U (Хй)} является
ковариантным тензорным оператором.

Для произвольных тензорных операторов |QO} и {7°} опера-
тор С — QaTa является инвариантом. В самом деле,

UgCUg - Db (g-1) Db> (g) Qb Tb' =	(g-’g) Qb Tb’ = &bb,Qb Tb' = C,

(10)

или

[C, G(Xo)] = 0.	(10')

Это дает удобный метод построения инвариантов алгебры Ли,
который мы часто используем ниже.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Множество	называется кон-

травариантным тензорным оператором ранга г, если

^^•"^^^(^^(g) ••• ^(g)Tv^-V	(11)

Аналогично определяются ковариантные тензорные операторы
{т’и1и2...цг} и смешанные тензорные операторы

Замечание 2. Не каждое множество операторов \Та\, которое
имеет тензорный индекс а, представляет собой тензорный опера-
тор. Важным контрпримером являются генераторы группы Пуан-
каре. В самом деле, под действием группы Пуанкаре генераторы
преобразуются следующим образом:

W(aA)PliU(аЛ)ф] (Р) = (РцС(аА)) exp (—ipd) ф (Хр) =

= (Л)ц/А, exp (ipa) (К(аЛ)) Ф (Ap) =

= ApPvi]>(p) ==(Л-1)£рл,ф(р),
t. e.

^л)РЛл> = (A-1)^..	(11')

Таким образом, Рц преобразуется по контраградиентному пред-
ставлению группы Пуанкаре, заданному формулой

(а, Л) >(0, Л)-1Г = (0, Л1Г),

т. е., согласно определению 2, Р|Г — ковариантный тензорный
оператор. С другой стороны, коммутационные соотношения гене-
раторов A4ftv, например с дают

а> XI] = i v ' ЁхоРц)-

Следовательно, множество {Al не может образовывать тензор-
ный оператор для группы Пуанкаре П согласно определениям
(4) и (8). Однако множество {Рр, JfMv| образует тензорный опе-
ратор согласно (9).

Определение 4. Ковариантный тензор	} в V на-

зывается инвариантным, если он удовлетворяет условию

(g) 	(б) g^\ • vp =	... цр-	(12)

Символ Кронекера и символ Леви—Чивита e,;fe — един-
ственные инвариантные тензоры в Я3 по отношению к SO (3).

Следующая теорема описывает некоторые важные свойства
тензорных операторов.

Теорема 1. Г Свертка {	pf] тензорного опера-

тора (		 р / снова является тензорным оператором.

2° Если 1— тензорный оператор, который преоб-
разуется по тензорному произведению D0...0D представлений
g-+D(g), a g^.^p — ковариантный инвариантный тензор
относительно контраградиентного представления Ь (g) = DT (g-1),
то оператор

является инвариантом группы G, т. е.

U?TU]=T.
Доказательство. Г. Это утверждение следует из (10).
2°. Используя (11) и (12), получаем

= gv1...vJV1-v₽=7’.

1	2

Если {Т0} и {Т0}, а = 1, 2, ..., dim D, —два контравариант-
ных тензорных оператора, которые удовлетворяют соотношению
(2), то, согласно определению 1,

1	2

Та — Та I Та

также контравариантный тензорный оператор того же вида.
1	2

Если и {7а} — два контравариантных тензорных опе-
1	2

ратора, которые преобразуются по представлениям D и D соот-
1	2

ветственно, то множество |7'ай = ТаТь\ определяет контрава-
риантный тензорный оператор, который преобразуется так:

01 TabUs = D$b. (g) Г'6',	(11")

где

Daa\>(g)^Daa.{g)Dhb.{g),

Тензорный оператор |7'ой} называется тензорным произведс-
1	2

наем тензорных операторов {Та\ и {Т6}.

Из тензорного произведения двух неприводимых тензорных
операторов {Тщ,} и {} можно образовать новый неприводимый
тензорный оператор. Мы покажем эту конструкцию для того слу-
чая, когда G — просто приводимая компактная группа г). По-
скольку каждое представление компактной группы эквивалентно
унитарному представлению, мы будем использовать только ниж-
ние индексы.

Пусть ЦХр /njJ}—базис в неприводимом пространстве Н'',
{| Х2; т2)\ — базис в неприводимом пространстве НКг и || \‘k2‘km') \ —
ортонормальный базис в неприводимом подпространстве про-
странства /Д» 0 Н'*. Положим

Г* = £	(13)

ГП^ГП^
где

17.рт^2т2} = | 0/П1) | >.2т2).	(14)

!) Компактная группа просто приводима, если в разложении тензорного
произведения любых двух неприводимых представлений каждая неприводимая
компонента появляется не более одного раза.
Используя соотношение (1) для Т'т, и Т'т,, имеем

U~g'T*Ug = S | ^ПЦ^ ^\mi (й)Ят2т.1 &	(15)

Согласно упражнению 7.3.3.1,

He)Du '(£) =

= S (XimiX2/n2|XiX2X/n)D^~j (g)(XiX2Xmi|XimiX2/n2). (16)

X=| Х,-Л21

Подставляя это выражение в (15) и используя соотношения пол-
ноты и ортогональности для векторов | X1m1Z2m2) и | ХхХ2Хт)
соответственно, получаем

UgT^Ug^D%mm^g)T^.

Поэтому выражение (13) является неприводимым тензорным
оператором.

Следующая теорема описывает основное свойство неприводи-
мого тензорного оператора, весьма полезное для приложений.

Теорема 2 (теорема Вигнера—Эккарта). Пусть и Uj* —
неприводимые унитарные представления просто приводимой ком-
пактной группы G в гильбертовых пространствах H}i и НКг
соответственно. Пусть	и {I —ортогональные

множества базисных векторов в HKl и НКг. Пусть {Т’т} — не-
приводимый тензорный оператор. Тогда

(Х2т2 (Т'т | Хрщ) = (ХХ1Х2т21 KmKimi) Т (X, Xi, Х2),	(17)

где (ХХ1Х2т21 ХтХ1т1) — коэффициент Клебша—Гордана, а Т (к,
Хх, Х2) — так называемый приведенный матричный элемент тен-
зорного оператора {Т'т}, задаваемый формулой

Т (X, Хь Х2) = 4~ У {HiUni | XXiX2n2) (Х2п21 П | Х1П1),	(18)

и d}.2 — размерность представления Т*-*.

Доказательство. В силу (7) мы имеем

(Х2т21 Гт | Ximi) = £ DL (g) (>.2т21 U^ftUg | Xi/ni). (19)
п

Используя равенство Ug | Хт) =	(g) | Хп), получаем

<Х2т21 Т* | Xj/nj) = Ц D^mjg)	(g) D^mi (g) (X2n21 T%n | Хщ^.

n, nlt ns

(20)
Интегрируя по групповому пространству G и используя соотно-
шения (7.4.10) и (7.4.11), находим

(Х2т2 I Тт I Tumi) =

= (ZZiZ2m21 ZmZimi)	- р j Mita/i2) (Тг/гг |	| Мщ). (21)

n, nt, n2

Это дает утверждение теоремы.

Замечание. Если G — не просто приводима, то в силу того
факта, что в тензорном произведении ® № неприводимое
представление Lri может появиться более чем один раз, т. е.

{А? 0	ф c^UK, ск > 1,

к

могут возникнуть осложнения. В этом случае фактор-представле-
ние c7UK следует разбить на неприводимые компоненты, исполь-
зуя формализм из раздела 7.4.А, и продолжать так же как выше.
Однако в противоположность общему мнению даже в случае
группы U (ri), п~уЗ, при выводе теоремы Вигнера—Эккарта
встречаются значительные трудности (см. [419]).

Во многих приложениях мы интересуемся отношением матрич-
ных элементов (17) тензорного оператора {7^}. В этом случае
для фиксированных инвариантных чисел 7, лх и Z2 (17) дает

(Х2т2 |т* | \тх) _ (ХХдХата | кгп11т1)

<Мг2 |	| Vh) ~	'

т. е. задача сводится к вычислению отношений коэффициентов
Клебша—Г орда на.

Заметим также, что для фиксированных инвариантных чисел К,
Хх, Х2 (17) позволяет вычислить произвольный матричный элемент
оператора Тт, если известен любой частный матричный элемент.

Если тензорный оператор {Та} зависит от координат х, то
определяются более общие объекты. Такие объекты часто встре-
чаются в квантовой теории поля и называются тензорно-поле-
выми операторами. Трансформационные свойства тензорно-поле-
вых операторов определяются формулой

1^Т» (х) Ug =	(g) Tv (g-\).	(23)

В частности, если G — группа Пуанкаре, ]х} = М — простран-
ство Минковского, а Т (х) — оператор скалярного поля, то фор-
мула (23) дает

Т (х) U{aA} = Т (Л*1 (х - а)).	(24)

Примером тензорно-полевых операторов могут служить токи
{Д (х)[, которые преобразуются по прямому произведению G0II
группы внутренних симметрий G (как, например, SU (2) или
SU (3)) и группы Пуанкаре П. Трансформационные свойства
операторов {Jk (х)} имеют вид

UeJk (х)	= Dk'k (g-1) ft (х), g £ G,	(25)

и

U?aA)Jt (x) U(aA) = (Л)«Д (Л-1 (x - a)), (a. Л) £ П. (26)

§ 2. Обертывающая алгебра

Пусть L — алгебра Ли над Д' — R или С. Пусть т — (свобод-
ная) тензорная алгебра над L, рассматриваемая как векторное
пространство, т. е.

т = фт' = КфДф(Д®Д)ф(Д® Д®Д)ф. . . .	(1)

г=0

Векторное пространство т является ассоциативной алгеброй с аб-
страктным законом умножения, заданным тензорным произве-
дением ®. Пусть J — двусторонний идеал в т. порожденный
элементами вида

X ® Y-Y ® Х-[Х, Г], где X, Y£L. (2)

Тогда фактор-алгебра Е = t/J называется универсальной накры-
вающей алгеброй алгебры Ли L. Ясно, что обертывающая алгебра
ассоциативна.

Пусть л: Z-> Z + J = Z, Z £ Е, обозначает каноническое
отображение (т. е. естественный гомоморфизм) из т на Е. Ясно,
что л (Zx 0Z2) = л (Zx) л (Z2) = ZXZ2 х). Векторное подпро-
странство в Е, натянутое на элементы Х^ Х^... Xlr, Xlk £ L,
порядка г будет обозначаться через Ег. Элемент

((л(Х), л(У)]-л[Х, KJ), X, Y£L,	(3)

является образом элемента (2) при каноническом отображении
и, следовательно, равен нулю. Ясно, что каноническое отображе-
ние л алгебры т на Е индуцирует линейное отображение из £ в Е.

Пусть X -► Т (X) — представление алгебры Ли в векторном
пространстве Н. Формула

т (Xti ®	® ... о Х1г) = Т (Xfi) Т (Xfg) ... Г (Xif) (4)

однозначно определяет представление f ассоциативной алгебры 2)

х) Для простоты мы будем опускать символ умножения в Е.

2) Построение плотной инвариантной области определения для операто-
ров (4) дано в гл. 11, § 2.
Е в Н. Ясно, что t (X) = Т (X) для X из L. Более того,
Т (X ® Y - У о X - [X, У]) =

= У(Х)Т(У)-71(У)71(Х)-71([Х, У]) = 0.

Таким образом, каждое представление Т алгебры L может быть
расширено до представления Т универсальной обертывающей
алгебры Е алгебры L.

Базисы в обертывающей алгебре

Мы построим два удобных базиса в Е. Заметим сначала, что
если Хъ Х2, .... Хп — базис в L, то на одночлены

... Xtf, Xlk-^n{Xlk},	(5)

натягивается пространство Ег. Используя соотношение 1Хх,
Х21 = CikXi для базисных элементов алгебры L в Е, мы можем
привести (5) к стандартному одночленному виду

гдс	•••	(6)

(с точностью до введенных элементов (5) из Er~v). Тогда элементы
(5) из Ег~~1 в свою очередь могут быть сведены к стандартному
виду (6). Таким образом, вместо пг элементов, на которые натя-
гивается Ег, мы получаем

(n + r — 1) !

(п — 1)! г!	' '

элементов, на которые натягивается Ег. Например, пространство
Rs, сопоставляемое с алгеброй Ли su (2), содержит 10 базисных
элементов вида (6) вместо 27 элементов вида (5). Взяв набор век-
торов (6) из Е°, Е1, Е2, ..., мы получаем множество

i j < i2 < ... < i r, г = 0, 1, 2, ...}, на которое натягивается Е.
Мы оставляем как упражнение для читателя доказательство того
факта, что элементы (6) линейно независимы. Базис (6) в Е назы-
вается базисом Пуанкаре—Биркгофа—Витта. Элементы (6) могут
быть также записаны в виде (-г = Х/Х22 ... Хп", где
fei + k2 + • • • + kn = г.

В приложениях удобно использовать следующий симметриче-
ский базис в Е.

Утверждение 1. Пусть L — алгебра Ли с базисом Хх,
Х2, ..., Хг. Элементы

е{{112 '/•) = ТГ S Х‘° (1)	/’ = 0» !> • • •’ '8)

О
где iк = 1, 2, dim Luo пробегает все перестановки множе-
ства (1, 2,	г), образуют базис в универсальной обертывающей

алгебре Е алгебры L.

Доказательство. Элементы

А ••• 4-4(1) ••• Анн	(9)

из Ег можно выразить через элементы из Ег~\ если использовать
коммутационные соотношения XiXk = XkXi + clihXi. Если про-
суммировать (9) по всем перестановкам о, то получим

••• Xir = ег,- ... -[-выражения из Er~L

Повторяя теперь этот процесс для выражений из Ег~1, Ег~2
и т. д., находим

dim L

XL ... Xi Е	(10)

A	'it	i _1	* 1 К)

‘г е2..‘Л1

Отображение о: ei1i9...ir	. .tr} устанавливает взаимно

однозначное соответствие между базисными элементами (6) и сим-
метрическими элементами (8). Поэтому элементы (8) также обра-
зуют базис в Е.

Центром Z универсальной обертывающей алгебры Е является
множество всех элементов С в Е, которые удовлетворяют условию

[С, X] = 0 для всех X из L.	(11)

Одной из основных задач теории представлений является на-
хождение центра Z и определение спектра элементов из Z в про-
странствах представлений. Для полупростых алгебр Ли эта за-
дача решается явно в § 4 и в § 6, А.

§ 3. Инвариантные операторы

Мы описываем здесь общие свойства инвариантных операторов
произвольных алгебр Ли.

Согласно (2.6), любой элемент обертывающей алгебры Е за-
данной алгебры Ли L может быть записан как сумма элементов
вида х)

... Xis, 8 = 0,1,....	(1)

х) В дальнейшем для простоты произведение X, ... X. обозначаем как
ti	ts

Xi - xi •

4 ls
Элементы Х[ ... Xis представляют собой тензорные операторы
относительно присоединенного представления (или присоединен-
ной группы). Следовательно, задача построения инвариантов
алгебры Е сводится, согласно теореме 1.1.2, к задаче поиска
подходящих инвариантных тензоров gei--'s, В самом деле,
имеет место следующая теорема.

ТеОРЕМА 1 (Гельфанд). Для того чтобы элемент Р

P^cI+'Zg^+Zg^XiX^ 2 g^iX^X;(2)
i	i, k	i, k, j

универсальной обертывающей алгебры E лежал в центре Z алгебры Е,
достаточно, чтобы коэффициенты

gl, gik, gik>, • • •	(3)

были инвариантными тензорами для присоединенной группы GA.
Если, кроме того, Р записано в таком виде, что коэффициенты
gik, glki, ... симметричны, то это условие также необходимо.

Доказательство.Обозначим через Рг элемент £i—'rXt ...Xir.

Тогда в силу инвариантности тензора gG—1' получаем

Ad gPr = gPrg'1 = g1 ’ ’ ‘lr П Ad gXi =
fe=i	E

Взяв g = exp (tx,) и перейдя к инфинитезимальной форме
в приведенном равенстве, получаем

1Р„ х(] = о.

Это заключает в себе первую часть теоремы 1. Пусть теперь
тензоры (3) симметричны. Тогда в силу (2.8) каждый элемент Рг
из (2) может быть записан в виде

ij. ....

Если Р £ 2, то РГ £ Z и [Р,, X,] = 0. При произвольном
g — ехр (tx,) отсюда следует

gPrg'1 = MgPr = Pr.

Поэтому

g‘i lr П (Ad у)Ре..	==g‘i ” ’rg

& lk Piё	{ei-' er}

Следовательно, каждый тензор (3) должен быть инвариантным
для GA.
Задача явного построения инвариантных операторов для полу-
простых алгебр Ли впервые рассматривалась Казимиром 1175].
Используя метрический тензор Картана gik в L, он построил
оператор второго порядка

C2 = g%Xt,	(4)

который в силу (1.2.18) удовлетворяет соотношению
[С2)	^ХЛХ," Xz] = (cWs + cstt)X!X‘ = 0.

Чтобы понять свойство инвариантности оператора (4) с точки
зрения теоремы 1, заметим, что, согласно (1.2.8), тензор gik мо-
жет быть записан в виде

gik = ТгЯХ	(5)

где Xi — —Ci = {—сц\ — присоединенное представление
алгебры Ли L, определенное структурными константами. Эле-
менты присоединенной группы переводят каждый элемент Xz
в gXig'1 и, следовательно, оставляют тензор (5) инвариантным.
В силу теоремы 1 отсюда следует, что оператор (4) инвариантен
для L.

Инвариантные операторы высших порядков теперь строятся
непосредственно. Действительно, по той же причине тензор

является инвариантом присоединенной группы. Поэтому в силу
теоремы 1 операторы

СР =	- 'Л*1*'2 • • • Х'"’ Р = 2, 3, . . .,	(7)

являются инвариантами обертывающей алгебры Е.

Для построения инвариантных тензоров (6) мы можем исполь-
зовать конечномерные представления X -> V (X) заданной алгебры
Ли. Действительно, если

е'Л- »“Tr(V(X,,)V(X,!) ... И(Х,„)),	(8)

то присоединенное представление XgXg1 предполагает, что
e'v...<„ = Tr(V(gx,ig ') ... |/(gx,pg-)) =

= Tr(V8K(X,i)V'i' ...

-Tr(V(X,,) ... Г(Х,„))=8,Л ...,p,	(9)

т. e. тензор (8) инвариантен. Мы используем этот факт для построе-
ния независимых инвариантных операторов для произвольных
полупростых групп Ли. В приложениях важно знать минималь-
ное число инвариантных операторов, которые порождают центр Z
обертывающей алгебры Е. Следующая теорема дает решение этой
задачи для полупростых алгебр Ли.

ТЕОРЕМА 2. Для каждой полупростой алгебры Ли L ранга п
существует множество п инвариантных полиномов от генерато-
ров Xh собственные значения которых характеризуют конечно-
мерные неприводимые представления.

(Доказательство см. в [185].)

Задача нахождения явного вида спектров инвариантных опе-
раторов имеет большое значение, в частности для приложений.
Эта задача может быть легко решена для инвариантных операто-
ров второго порядка полупростых алгебр Ли. В стандартном базисе
Картана—Вейля алгебры L оператор С2 из (4) имеет вид

с2 = S + Е ЕаЕ_а.	(10)

i=l	а

Когда этот оператор действует на вектор старшего веса и,н непри-
водимого представления, в силу условия Еаи,.п = 0 для положи-
тельных корней [см. (8.8.5)] получаем

С2ит = (	£ [Еа,	j ип =	Г иг2 -1- £ (а,	т)]	ит. (11)

I.	а>0	J	L а>0 J

Из теоремы 8.8.1 мы знаем, что каждое неприводимое представ-
ление характеризуется компонентами старшего веса т = (mlt
т2, ..., тп). В силу леммы Шура каждый инвариантный оператор
в пространстве неприводимого представления пропорционален
единичному оператору, т. е. Сг- = КД. Число является функцией
компонент старшего веса т = (mlt т2, ..., тп) и представляет
собой спектр оператора Казимира Cz, т. е.

С2 (т) = т2 -ф 2rm,	(12)

где

<13>

а>0

и суммирование ведется по положительным корням. Тогда при
k = т + г мы имеем

С2(й) = й2-г2.	(14)

В таком виде собственное значение оператора Казимира С2 инва-
риантно относительно действия группы Вейля k -► Sk. Это спра-
ведливо для всех инвариантных операторов. Действительно,
имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА з (S-теорема). Пусть С — любой инвариантный
оператор, а Нт — пространство неприводимого представления
алгебры L, определенного старшим весом т. Тогда собственное
значение С (т) оператора С, записанное в терминах k — т -|- г,
инвариантно при преобразованиях из группы Вейля, т. е.

с (Sk) = С (k) для всех SQW,	(15)

где

С (k) = С (/? - г).	(16)

Доказательство. Характер xm (g) = Dpp (g) является соб-
ственной функцией для произвольного инвариантного оператора.
Поскольку след матрицы Dm инвариантен при преобразовании
подобия Dm (g) -► Dm (g') Dm (g) D’n (g'1), то характер (g)
полупростой группы Ли является функцией на классах сопря-
женных элементов и принимает форму Вейля (8.8.25). Из формулы
Вейля видно, что характер (6) левоинвариантен при преобра-
зовании S: /г—>- Sk, за исключением возможной смены знака.
Следовательно, собственное значение

C'xm(6) = C'(/e)xm (б)

инвариантно при преобразованиях из группы Вейля.

Эта S-теорема полезна при определении явного вида спектров
операторов Казимира для полупростых групп Ли и будет исполь-
зоваться в последующих разделах.

§ 4. Операторы Казимира для классических групп Ли

А. Операторы Казимира и их спектры для U(n)

Рассмотрим сначала группу U(n). nX/i-Матрицы ufU(n) удо-
влетворяют условию и*и = 1. Следовательно, п2 генераторов
Mt, i, k = 1, 2, ..., п, однопараметрических подгрупп удовлетво-
ряют условию

(W = Mt.	(1)

Однако поскольку коммутационные соотношения для генераторов
Mki не имеют симметрического вида, обычно переходят к алгебре
Ли gl (п, R), коммутационные соотношения которой имеют вид

[А-, А*] = 6,А--6*Aj.	(2)

Если генераторы At удовлетворяют условию (А*)* = А1, то
/г2 независимых эрмитовых генераторов, удовлетворяющих усло-
вию (1), задаются формулами

Mkk== Akk,	/г= 1, 2, . . ., п,

Mlk = Alk + Af, k<l<n,	(3)

Mt = i(Al - At), k<l<n.
Если элемент F обертывающей алгебры Е удовлетворяет условию
[F, Л*] = 0 для всех i, k,
то в силу (3) он также удовлетворяет условию

[F, МП = О, i, k= 1, 2, . . ., п.

Следовательно, задача построения инвариантных операторов для
и (п) сводится к этой задаче для gl (п, R). Последняя задача
может быть легко решена с помощью теоремы 3.1. В самом деле,
используя (3.8) и присоединенное представление алгебры gl (n, R)

(4)
получаем

«й ••• 5=Tr(v(4:) v(-4))-

= б^б'? • • • б'*5-1.	(5)

‘1 *2 *3	lp	V ’

Следовательно, согласно (3.7), инвариантные операторы имеют вид

Ср = g-1-2 . •. Ж* ... а -р =

У oljlg	tp II /2	lp

р=1, 2, ....	(6)

Следующие две теоремы дают вид спектров инвариантных
операторов (6) в пространствах неприводимых представлений.
Заметим, что использование тензорных операторов значительно
упрощает доказательство теоремы 1.

ТЕОРЕМА 1. Пусть Нт — пространство неприводимого пред-
ставления группы U (п), определенного старшим весом т =
= (mlt тп). Тогда спектры инвариантных операторов (6)
в Н'п имеют вид

Ср(тъ . . ., ги„) = Тг(ярЕ),	(7)

где матрица а = i, / = 1, 2, ..., п, такова:

Оц = (т,- + п —	— Qtj,

( 1 при i< j,	(8)

Qii ~ I 0 при i у,

ар — р-ая степень матрицы а, а Е — матрица, все матричные
элементы которой равны 1.

Доказательство. Чтобы вычислить спектры инвариантных
операторов Ср, р — 1, 2, ..., п, мы используем идею, которую
Рака использовал для вычисления спектров оператора Кази-
мира С2 произвольной простой группы Ли [см. (3.10)—(3.12)].
Напомним связь между генераторами At и генераторами Кар-
тана—Вейля Hi, Еа [см. (1.4.10) и (1.4.11)]:

/Л= А-, i= 1, 2, . . ., п,
£	_ Д* ; । /,	($)

L(ei~ek) ~	1 ~Г k,

где е i — (0, 0, ...» 1, .... 0,0), i — 1, 2.п, — ортонормиро-

(0

ванные векторы в Rn. Следовательно, генераторы Xz, i ~>k,
сопоставляются с положительными корнями алгебры и (п), и они
играют роль повышающих операторов.

Рассмотрим теперь неприводимое представление алгебры и (/г),
которое определяется старшим весом т ~ (тъ ..., т,,), и обо-
значим через ip,n вектор старшего веса. Поскольку при i > j опе-
раторы A'i являются повышающими операторами, мы получаем

=	/>/.	(10)

Перепишем теперь (6) в виде

СР = (ТР-$А{, где (Т9)'. = А^А-' • • • А^~1.	(11)

Оператор (7"p_i)/ имеет те же транс4юрмационные свойства отно-
сительно U (п), что и поэтому он является тензорным опера-
тором. Следовательно, в силу соотношений (1.9) и (2)

14 (ТрМ = (Tp^i - 6‘z (Tp-tfj,	(12)

(Тр_1))4,„	0 при i<J.	(13)

Из (10), (11) и (13) следует

сж = £	+ S [(TV-ОС 41 ф™ =

1—1	1,	;

= | £ (Tp-^iAi + S	(Tp^Yj - (Тр_$ I	(14)

I <=1	I» /	I

'	i>i	>

[в (14) суммирование по повторяющимся индексам не произво-
дится ].

Используя соотношение Afym = находим

СД>п = £ (т< + п 1 - 2i) (Тр-1)^т.	(15)
Величина (Тр_1); фт может быть вычислена рекурсивно. Именно
используя (И)—(13), получаем

— Xj (Тq-1)/4{'фт— S О»/(16)
/=1	7=1

где матрица имеет вид

о,7 = (тг + п - 0 6(;- - Qf/,

J 1 при i<j,	(17)

( 0 при i > /.

Последовательно понижая степень в Tq и используя (16) и тож-
дество

S п,7 = т,+«+1 — 2/, Y,aij = tni,	(18)

i=l	'	/=1

получаем такой результат:

Ср(пц, tn2, . .	ш„) = £ (ор),/.	(19)

/=1

Введя матрицу Е с матричными элементами Еи — 1, i, j =
= 1, 2, п, мы можем переписать формулу (19) в виде

Ср(тп . .	т„) = Тг(пР£).	(20)

Следующая теорема дает удобную производящую функцию
для спектра операторов Казимира Ср, р = 1, 2, ....

Теорема 2. Функция

G(z) = z-1(l — П(г)), zEC1,	(21)

где

п

П«-П(1—(22)
i=l

U

= тг п — 1,	(23)

является производящей функцией для спектра операторов Кази-
мира, т. е.

G(z)= Xj Cp(mb .... mn)zp.	(24)

p=0

Доказательство. Элементарным методом треугольная ма-
трица а = {ац] может быть сведена к диагональному виду.
Поэтому мы можем выразить Cp(mlt т„) с помощью собствен-
ных значений X,- матрицы а:

п п 1 _ 1 _ 1

Ср(/И1.....«„) = £ X? П 	(25)

X,- = /н, n — i.

Далее мы можем упростить (25), используя следующее интеграль-
ное представление:

п

Ср(тъ . . ., т„) =	(j) Хр П (1 х — X, )	(26)

где контур интегрирования окружает (в положительном направ-
лении) все полюса X = Xz. При X = 2-1 имеем

п

с.<mi, . . .. ™„) = П (1 - ,		(27)

Из (27, следует, что функция

H(z)== П(1 -Т^Д—)-=1- Сог- Qz3 -..., С0 = п, (28)

при | z | <j I/Xz имеет в роли коэффициентов разложения собствен-
ные значения следующих один за другим операторов Казимира.
Следовательно, функция

G(z) = z'1[l -П(х)1

(29)

является производящей функцией для операторов Казимира, т. е.

оо

G (z) = £ CpZP.
р=0

(30)

Производящая функция (21) очень удобна для вычисления
собственных значений произвольного оператора Казимира Ср.
Чтобы проиллюстрировать ее силу, рассмотрим следующий при-
мер.

Пример 1. Вычислим собственные значения операторов Ка-
зимира для полностью симметрического (/, 0, 0, ..., 0) или пол-
ностью антисимметрического {1*} представлений алгебры и (ri).
Фактически оба эти представления являются частными случаями
более общего представления, характеризуемого старшим весом
(f, f, f, 0,	0), k < n. Для этого более общего случая имеем

k раз

(f -I- п — i при 1 < i < k,

(31)
( п — I при l^>k.

Из (22) и (31) следует

п (2) =	.	(32)

Х 7	1 — (/ + п — k) 2	V '

Поэтому

G (Z) п +	•	(33)

v '	'1 — (/ + п — k) г	' '

Используя (30), находим

С„ (А   ., /, °...0) kf V + п ~ 1г)Р~'•	(34)

k раз

Если в этом выражении положить k = 1, то получим спектры
операторов Ср для полностью симметрического представления
(/, 0, ..., 0). Если положить f — 1, k произвольно, k < п, то
получим спектры операторов Ср для полностью антисимметриче-
ских представлений {1*} соответственно.

Формула (6) дает бесконечное число инвариантных операто-
ров. Не очевидно, однако, что она дает все генераторы из центра Z
обертывающей алгебры Е для и (п).

В силу теоремы 3.2 алгебра и (п) имеет п независимых опе-
раторов Казимира. Можно ожидать, что первые п операторов
Казимира С1г С2, ..., Сп, заданных формулой (6), порождают
центр Z. В самом деле, элементарными вычислениями можно
показать, что

<35>

Следовательно, для i < / имеем (%; — %() > 0. Якобиан (35)
положителен. Поэтому инвариантные операторы С1т С2, ..., Сп
независимы и их собственные значения однозначно определяют
неприводимые представления группы U (п).

Б. Операторы Казимира группы SU (п)

Алгебра Ли su (п) порождается операторами
операторами Aвида

П 3

А{; I + j, И

(36)
Действие операторов А\ на старший вектор ф,п задается форму-
лой (10):

(п \
т»------— У тД фт = т^т.

z=i /

Следовательно, применяя рассуждения, использованные для вы-
вода формулы (19), получаем

Сри> (rhi, . . тД= L («P)ij>	(37)

«. /=!

где

~	т I	V

а = а----1, т — 2-1 ть

п	i=i

и I обозначает единичную матрицу.

Следовательно, мы получим соответствующие выражения для
спектра инвариантных операторов Сри) группы SU («), если во
всех формулах для С(ри) заменим числа пц на числа

п

S=1

В частности, для представлений, определенных старшим весом
(/, f, f, 0......0),	получаем

k раз

сГ.(А f, • ., f, о, ..., 0)

k раз

_ kf(n + f)(n — k) (Г (f + n)(n~k) 1Р-1 Г kf IP-n

~ n(n+f—k) U Tl ]	[' n J )•

В. Операторы Казимира и их спектры для О («) и Sp («)

1. Ортогональная группа О («) состоит из всех линейных пре-
образований «-мерного евклидова пространства Е'\ которые
сохраняют квадратичную форму

(ё1)2 + О+---+(^)2=1.	(39)

Симплектическая группа Sp (2«) образована из всех преобразова-
ний 2«-мерного комплексного пространства С2п, которые сохра-
няют билинейную форму

п	п

1>, у] = hh-xlyi = U (х*у~{ — х~‘у‘),	(40)

l—l
где метрический тензор hif имеет вид

hij - &i^i, -j i

О

при
при
при

1 = 0,
i>0,
t<0.

(41)

В дальнейшем удобно рассматривать обе группы вместе. Поэтому
в случае ортогональной группы мы переходим от декартовых
координат i = 1, 2, п, к «сферическим координатам» х‘,
i = ^=1, 7^2,	-t[n/2] (и х°, если «нечетно):

£1 I. jt2	_ tl______jt2

х1 = Т_ ,	х-1 = ——7=.— ,	и г = Ел. если « нечетно.

/2	К2

Квадратичная форма (39) теперь принимает вид, аналогичный (40):
п

(X, л)= Е ёцХ1У>,
i, j=-n

Генераторы X) однопараметрических подгрупп удовлетворяют
следующим коммутационным соотношениям:

[х'( x?] = 6^xi-6jx- +

6/lXk.t - для О (я),

Я~1 Yk	У~> с /о \ ^2)

EiEjOj X_f — EjEkO-iXi' ДЛЯ Sp(2«).

Равенство



-Хр, i, / = 1, 2, . . ., п,

(43)

для генераторов группы О (я) в декартовых координатах соответ-
ствует теперь следующему равенству:

X • = — Х1\, i, j = —л, . . ., -|-«.	(44)

Для генераторов группы Sp (2/г) имеем соответственно

X) = г/ЕуХ"/, i, j = —я........... |-«.	(45)

Из коммутационных соотношений (42) следует, что операторы Х\
коммутируют один с другим и соответствуют генераторам //, из
базиса Картана, в то время как генераторы Х‘ при i > J соответ-
ствуют генераторам Еа, отвечающим положительным корням
алгебры. Коммутационные соотношения для тензорного опера-
тора Т[, который имеет те же трансформационные свойства,
что и Xlj, задаются формулой

[Х‘-, Т1\ = $Т‘{ -	+

для 0(п),

+ {	,	.	(4о)

(i для Sp (2n).

В частности,

[Xj, т{] = (1 + 60) (т\ - 70,	(47)

где знак — (+) соответствует ортогональной (симплектической)
группе.

Используя теорему Гельфанда 3.1, легко проверить, что опе-
раторы

Ср= £ x'ix;: ... Х>	(48)

li...1р

являются инвариантными операторами для О (н) или Sp (2н),
так как соответствующие полиномы (3.6) в дуальном пространстве
являются инвариантами присоединенной группы. Мы вычислим
спектры инвариантных операторов тем же методом, что и в случае
группы U («). Используем тот факт, что в пространстве Нт не-
приводимого представления, определенного старшим весом т =
= (/«!, ..., тп) (п — ранг группы), вектор старшего веса ф,„
имеет следующие свойства:

Х/фщ = 0 для i j,	(49)

На основе соотношений (44) и (45) получаем, что
Представляя теперь инвариантные операторы (48) в виде

h i
где

= S Х\ Хй . • • Х0-»,	(50)

и используя (49) и (47), получаем

срут = (I (r(p-1,)W +1 [(т(р-1));, Х{]) фт =

= L (т{ 4- 2п) (Т('’-1)Яфт,	(51)

1—-п

где

<52>

/<*•
Выражение (Т{р' может быть вычислено рекурсивно:

('/"Яц m = {(т^’Хх; + S x{]}=

= f mt + к 1 =i= 6i/) [(Т^я -	1 i|im =

I	/<>	)

= I aif
/=-«

где

fl,7 = (6 + «) 6,-y - 0/(. + 4 ₽ (1 + M 6/,

[ 1 при j < i,	($3)

/i = m« + /'<> °fl = |o при />i.

Константы аир для различных групп и явные выражения для
г, даны в табл. 1.

Таблица 1

Ал- гебра	Группа	Инвариантная форма	а	6		Значения, кото- рые пробегает индекс
^п-11)	SU(n)	п  7=1	п— 1	0	И + 1	1, 2	п
			2		2	1	
Вп	0(2п+1)	У Х1У~'1 i=—n	— |cN  1 С	1	(п+т)е‘-‘	1, 2	п,  0,—п, ...  • —2, —1
Сп	Sp(2n)	1=1	п	—1	(n+l)ef — i	1, 2, .... п,  —п, ...  ..., —2, —1
Dn	0(2п)	У (x'r'+^'V) 1=1	п—1	1	— i	1, 2, .... п, —п, ...  ... —2, —1

1) Для U (п) а, р и имеют те же значения, что и для SU (п).

Используя (51) и (53), мы получаем, наконец,

Ср(иг1; m2> . .	m„) = Tr(nP£).

(54)

Следовательно, нахождение спектров инвариантных операторов
(48) сведено к элементарной задаче нахождения р-й степени из-
вестной матрицы а.
Используя формулу (54), легко вычислить, что спектры инва-
риантных операторов низших порядков групп О (2н), О (2п ф- Г)
и Sp (2 л) имеют вид

С2—2S.Z, С, = 2 Га_ d]c2,

L 2 J	(55)

C4 = 2S4-(2aP + P- 1)S2,
где

Sk = E (lki - '?)•	(55)

f=i

Из (55) и (56) следует, что спектр оператора С2 имеет вид

C2 = 2(m2 + 2rm).	(57)

Он совпадает (с точностью до множителя 2) с результатом Рака,
данным в (3.12).

Важная задача нахождения независимых инвариантных опе-
раторов, которые порождают центр обертывающей алгебры, может
быть решена с помощью S-теоремы Рака, рассмотренной в разделе А.
На языке переменных /х, /2, ..., 1п эта теорема утверждает, что
спектры инвариантных операторов инвариантны при действии
группы Вейля S. В терминах переменных /х, /2, ..., 1п любой
элемент s £ S для О (2/г + 0 или Sp (2п) может быть представлен
как перестановка чисел ..., 1п и как произвольное число отра-
жений:

i + L

Следовательно, спектры инвариантных операторов могут быть
записаны с помощью симметрических полиномов четного порядка
от переменных

п
Sk^lki
1=1

или переменных

Sk = X (li - ri),	(58)

i=i

которые более удобны для практических вычислений (например,
для тождественного представления т — (0, 0, ..., 0) из Sk = 0
сразу следует, что Ср = 0).

Следовательно, инвариантные операторы Ср с нечетным р
зависимы и могут быть записаны в терминах операторов С2?
с 2q < р. Прямым вычислением можно показать, что для О (2п 4-
4-1) и Sp (2п) якобиан

& (С2, С4, . . С2п)
d(mlt т2, . . тп)

не обращается в нуль. Итак, множество операторов С2, С4, С2п
порождает кольцо инвариантных операторов для групп О (2п 4- О
и Sp (2п). В случае группы О (2п) ситуация несколько отличается.
Спектры инвариантных операторов C2t, i = 1, 2, ..., п, все еще
инвариантны при действии группы Вейля, которая в случае
группы О (2п) сводится к перестановкам чисел /z, i = 1, 2, ..., п,
и парным отражениям:

li-t-li,	(59)

Однако, как мы показали в 8.5, для этой группы существуют два
неэквивалентных фундаментальных спинорных представления Д+
и Д_, старшие веса которых имеют вид

Спектры инвариантных операторов C2i, i = 1, ..., п, выражаются
в терминах сумм Sk с четным k, и, следовательно, на них не дей-
ствует подстановка тп	—тп (которая приводит к 1п ->

так как = 0). То же имеет место для пар представлений Д^Д’
и Д^.Д£. Следовательно, множество инвариантных операторов C2i
не может характеризовать различные неэквивалентные представ-
ления. Поскольку для спинорных представлений тг >0, i —
= 2, 3, ..., п—1, и только тп может принимать как положитель-
ные так и отрицательные значения, для установления взаимно
однозначного соответствия между компонентами старшего веса т,
и спектрами инвариантных операторов достаточно заменить,
скажем, оператор С2п на новый инвариантный оператор, на кото-
рый действует подстановка т,. -> — тп. Такой инвариантный
оператор может быть построен с помощью полностью антисимме-
трического тензора е,-	,• /п, все ненулевые компоненты кото-

рого в сферических координатах определяются условием
6п, „-г. •••, —п+1, _п = —1- Инвариантный оператор, построенный с по-
мощью полностью антисимметрического тензора, имеет вид

£е, у ...f / У1'1 ...	...

1'1 1п!п	. .	.	'1 hi Г1	1п

llfl ltvn

(61)

Действуя оператором Сп на вектор старшего веса и используя
(49), мы можем выразить собственное значение оператора Сп
через собственные значения т,- диагональных операторов X*.
Старший чуюн имеет вид

2	••• т . =(—\)n{n'v>l22nn\mi ••• тп.

i .... I Ч ' ” lrt li	ln

’ гг

Следовательно, переходя к переменным находим, что Сп —
полином степени п от переменных /х, ..., 1п со старшим членом
(—1)п<п-1>/22пп!/1/2 ... 1п. Симметрия относительно группы Вейля S,
выраженная через /, группы О (2п), означает, что спектр инва-
риантных операторов должен оставаться неизменным при любых
перестановках переменных /х, ..., 1п и при любых парных отраже-
ниях (59). Этим условиям удовлетворяют следующие симметриче-
ские полиномы, степени которых не превышают п:	...1п и

1“ +	4- • ’ ’ + In для четных а < п. Чтобы найти оконча-

тельный вид спектра оператора С'п, мы используем тот факт, что
оператор (61) является псевдоскалярным оператором в расширен-
ной группе О (2п), содержащей пространственные отражения.
Мы показали, что если заданное неприводимое представление Т6
группы SO (2п) характеризуется старшим весом т = (mlt ..., tnn_lt
тп), то зеркально сопряженное представление

fs = Тоео-‘> g € SO (2n), о — отражение,

имеет старший вес т = (т1,	—т,^ (см. лемму 8.5.1).

Так как для группы О (2п) гп = 0, то мы получаем, что тп ~ 1п и

C;.(/i, . . .,	- Л,) — —С; (Л, . . ., /п_1, 1п).	(62)

В силу S-теоремы Рака С'п — симметрическая функция от чисел
1г, ..., 1п, и, следовательно, соотношение (62) удовлетворяется
для любых /,-, i = 1, 2, ..., п. Поэтому выражение для спектра
оператора С„ может содержать только члены, пропорциональные
G/2.../,,, т. е.

С'п(т}, . . ., /п„) (—1)"1>/22"п!/^2 ••• In-

Прямым вычислением может быть показано, что

3(/ni,	.......mn)
2. Частные случаи.

Рассмотрим сначала случай полностью симметрических пред-
ставлений групп О (2п), О (2п + 1) или Sp (2п), которые харак-
теризуются старшим весом т = (Д 0,	0). Используя формулу

(54), получаем

Ср (Д 0, . . ., 0) = (f + 2а)Р + (-/)₽ + (2а + Р-1) +

, /2ге - П / 1 4 P + 1	__ (/~Ь2а)р-—1 1

+ (2а	1Ц1 4 2(а —1)/[ /+1	/ + 2а —1 J +

а(Н1) (f + 2a)P-(-7)P
+ 2 (а — 1)	/ + а	‘

Для наинизших значений р эта формула упрощается:

Cz = 2f(f + 2a),	(64)

C4 = 2f(f + 2a) [)'2 + 2<4 + 2а2-сф-^-(Р - 1)].	(65)

В случае полностью антисимметрических фундаментальных пред-
ставлений, характеризуемых старшими весами т = (1, 1, ..., 1,
k раз

0, ..., 0), спектр операторов Ср имеет вид

СР ({14) = ~(2сс + 2 - /г)Р - kP 4-(-l)P(2a + р -f- 3) +
i	,	Р-1 \Rp-(-l)p , (2а + 2-А)Р-(-1)Р] ,

+ (2а + 3) 1 + 2(a-+-2) J [ "Я- Г +--2а+3-А-------J +

(a+D(P-l) /гр — (2<7.-|-2 —/г)р ,fifi

~Г 2 (а+ 2) a-pl— k '

Для р = 2 и 4 получаем

С2 = 2Л(2а + 2-Л),	(67)

С4 — 2/г (2а ф- 2 — Л) £ /г2 — 2 (а ф- 1)/г-|-

+ (а+1)(2а + 2-р) + 4<₽+1)]-	(68)

Как мы уже упоминали, для О (2п + 1) и О (2п) кроме фунда-
ментальных тензорных представлений {1А} имеем еще фундамен-
тальные спинорные представления, старшие веса которых равны

т —

4.......4)

1 1

2 ’ • • • ’	2 ’

для О(2п-{-1),
для О (2/г).
Спектры операторов Ср для этих представлений задаются фор-
мулой

для О (2п ф- 1),
для 0(2п).

§ 5. Обертывающие поля

Некоторые физические наблюдаемые описываются операто-
рами, которые являются отношениями полиномов от генераторов
алгебры Ли. Например, квадрат оператора релятивистского спина
имеет вид

S2 =	=	(1)

где Р», Ма1‘ — генераторы группы Пуанкаре П. Величины типа
(1) не лежат в обертывающей алгебре группы П. Последняя со-
стоит только из полиномов от генераторов. Поэтому мы вводим
понятие обертывающего поля алгебры Ли, которое объединяет есте-
ственным образом отношения полиномов от генераторов алгебры
Ли. Обертывающее поле имеет также другие интересные свойства:
оно слабо зависит от первоначальной алгебры Ли и может быть
порождено алгеброй Гейзенберга рг, ..., рп, qn и некоторым
числом коммутирующих операторов Сг, ..., Ck. Этот результат
важен для теории динамических групп в физике частиц.

Кольца и поля отношений

Начнем с анализа некоторых свойств колец и полей. Напом-
ним, что кольцо R — это абелева группа относительно сложения
и (в общем некоммутативная) мультипликативная полугруппа
с единичным элементом или без него. Говорят, что элемент b
из R регулярен (или не делитель нуля), если не существует с £ R,
с 4 0, такого, что cb — 0 или Ьс = 0.

Кольцо R называется левым нётеровым, если каждая цепочка
(левых) идеалов из R

Ri (s (е • • 	(2)

обрывается *) (т. е. существует индекс п, такой, что Rn = 7?п+3 =

Кольцо R называется (левым) кольцом Оре, если для каждых
a, b £ R, где b регулярен, существуют a', b' £ R, где Ь' регу-
лярен, такие, что Ъ'а = а'Ь.

*) Ri <£ ^2 означает, что является собственным идеалом в R2.

Ид. Барут, Р. Рончка
Введем теперь важное понятие отношений. Пусть (а, Ь) и
(с, d) — две упорядоченные пары из R XR, и пусть а и с — регу-
лярны. Мы говорим, что (а, Ь) эквивалентно (с, d), если суще-
ствуют х, у £ R, такие, что

(ха, xb) = (yc, yd).	(3)

Легко проверить, что все аксиомы эквивалентности выполнены.

Отношение, сопоставляемое с кольцом Оре R, определяется
как упорядоченная пара (a, b), a, b £ R, где а регулярно. При-
чем для отношений должно выполняться приведенное соотноше-
ние эквивалентности. Отношение (а, Ь) мы обозначим символом а~'Ь.
Подобным образом определяется правое отношение, обозначае-
мое ab~1.

Далее в множество всех отношений следующим естественным
образом вводятся операции сложения, вычитания, деления и
умножения:

(a-1bi a^b2) = аг1 (bi ± Ь2),	(4)

(Л)’1 (a~lb2) = b?b2,	(5)

(e^bi) (a2Jb2) = (Ь/сц) l(a21b2).	(6)

Напомним, что кольцо R с единичным элементом / называется
полем, если для любого а £ R, а =£ 0, существует а-1, такое,
что аа"1 = а^а = I. Мы видим, что множество всех отношений,
сопоставляемое с кольцом Оре без делителей нуля и наделенное
операциями (4)—(6), образует поле, которое называется полем
отношений.

Пример 1. Пусть R — кольцо всех четных целых чисел: R =
= jztz2n, п = 0, 1, ...}. Каждый элемент а £ R, а 4= 0, регу-
лярен в R. Если а — 2п, b = 2т, т --R 0, то существуют о! (рав-
ное, например, 2п) и У =£ О (равное, например, 2m), такие, что
Ь'а — а'Ь. Следовательно, R — кольцо Оре.

Пусть (а, Ь) = (2п, 2т), а =£ 0. В силу условия (3) любая
пара (с, d) = (2п', 2т'), эквивалентная (а, Ь), удовлетворяет
условию

пГ __ т

п’ ~ п	' ’

Итак, абстрактное частное а~1Ь соответствует классу всех пар
(2п’, 2т') вида (ха, xb), х £ R, которые имеют постоянное отно-
шение тЧп' = Ыа. Следовательно, абстрактное поле отношений,
определенное соотношениями (4)—(6), соответствует в настоящем
случае полю рациональных чисел.
Кольцо и поле Гейзенберга

Введем теперь поле, сопоставляемое с алгеброй Гейзенберга
и порожденное нётеровым кольцом А и р, q.

Пусть А — произвольное нётерово кольцо над R или С без
делителей нуля. Через Rn (Л) мы обозначаем алгебру над А с 2п
генераторами ......р„, qlt qn, удовлетворяющими коммута-

ционным соотношениям

(А. <7/1 = бч7’ IA’ Р,] = 0> Iqh <7/1 = 0.	(8)

Введем в Rn (Л) базис.

Утверждение 1. Алгебра Rn (Л) является свободным А-модулем
и имеет базис, состоящий из всех одночленов вида

(А)** • • • (?„)*« (А)'1 * • • (<7> = Р%“\	(9)

где р^ = 1ц и q<F> = 1R.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что одночлены (9) по-
рождают Л-модуль Rn (Л). Пусть [7?п (Л) ]А обозначает множе-
ство всех элементов из Rn (Л), которые могут быть записаны в виде
полиномов от \р, q\ с коэффициентами из Л, имеющих степень
<k. Ясно, что

Я,И)= U U4GW	(10)

k

Предположим, что это предположение верно для k < k0. В силу
коммутационных соотношений (8) мы можем привести любой
одночлен степени к одночлену вида (9) (т. е. к виду, в котором
все р на левой стороне) по модулю [Rn (Л) Поскольку пред-
положение, очевидно, верно для k = 0 и k = 1, высказанное
в начале доказательства утверждение следует из метода индукции.
Покажем далее, что одночлены (9) линейно независимы над Л.
Пусть х = У aklp<k}q(6 = 0, где ак1 £ Л, и по крайней мере
одно из ак, не равно 0. Вводим лексикографическое упорядочение
в множества (k, I) — (fa,	..., 1п). Пусть (fa, /0) — наиболь-

шее множество (согласно лексикографическому упорядочению), для
которого ак1 -R 0. Простым вычислением проверяется, что

"о	О	11

П adk‘ (~qi) adl‘ptx = П kt ! /<!	+ 0.	(11)

fol	i^=l
Это противоречит равенству х = 0. Поэтому pik>qlt> не могут
быть линейно зависимыми.

Утверждение 2. Rn (А) — кольцо Оре.

Доказательство. Введем в Rn(A) фильтрацию, заданную
формулой

[R,, (А)]о с [7?„ (Д)]1 с [7?„ (Д)]2 с . . .,	(12)

где Rn (А),. — те же объекты, что и в доказательстве утвержде-
ния 1. Рассмотрим градуированную кольцевую структуру, задан-
ную формулами

gr<fc>fl„(A) =

(13)

и

gr7?„0) = £ gr<*>fl„(A).
л=о

В силу утверждения 1 получаем взаимно однозначное соответствие

gr7?„(A)~7?[p, gl,	(14)

где R [р, ql — кольцо полиномов от (/?, q). Ясно, что R [р, ql —
нётерово кольцо без делителей нуля (так как оно является коль-
цом полиномов). Следовательно, gr Rn (А) также нётерово кольцо.
Поэтому в силу утверждений 1 и 2 из приложения А.2 заключаем
что Rn (А) — кольцо Оре без делителей нуля.

Благодаря утверждению 2 мы сопоставляем теперь с кольцом
Rn (А) поле отношений Dn (А). В последующем основное кольцо А
будет кольцом полиномов над множеством k неизвестных |Clf
С2, ..., Ck\ = С с коэффициентами из множества К вещественных
или комплексных чисел. Положим



(15)

Dn,k(R) = поле отношений, сопоставляемое с Rnt k(K). (16)

Следующий рисунок иллюстрирует связь между различными
объектами.
Коммутативное

Поле отношений

(А)

Обертывающее поле алгебры Ли

Пусть L — алгебра Ли над множеством К вещественных или
комплексных чисел, и пусть Е (£) — обертывающая алгебра для L.
Имеет место следующее утверждение.

Утверждение 3. Е (L) — кольцо Оре.

Доказательство. Введем на Е (£) фильтрацию, заданную
формулой

£<°) cfd) с=Е(2> с:. . .,	(17)

где Е^ обозначает множество всех элементов из Е, которые
могут быть записаны как полиномы от генераторов алгебры L
с коэффициентами из К и имеют степень </г. Рассмотрим соответ-
ствующую градуированную кольцевую структуру, определенную
формулами

gr*£ = £<*)/£(*-’),	(18)

со

gr£=£gr*£.	(19)

л=о

Ввиду утверждения 1 и определений (18) и (19) мы имеем взаимно
однозначное соответствие

.... Xm),

(20)
где R (Xlt Хт) — кольцо всех полиномов от т переменных,
т ~ dim L. Следовательно, gr Е — нётерово кольцо без дели-
телей нуля (так как оно является кольцом полиномов). В силу
утверждений 1 и 2 из приложения А.2 заключаем, что Е — кольцо
Оре без делителей нуля.

Вышеизложенное свойство позволяет построить поле отноше-
ний D (L) для Е (L). Это поле называется обертывающим полем
для L или просто полем Ли.

Мы видим, что понятие поля отношений позволяет естествен-
ным образом рассматривать отношения произвольных элементов
обертывающей алгебры заданной алгебры Ли L. Если L — алгебра
Пуанкаре, то элементы вида (1) лежат в поле D (L) алгебры L.

Это не единственное использование понятия поля D (L), со-
поставляемого с Е (L). Интересно, что свойства поля D (L),
в противоположность свойствам Е (L), слабо зависят от первона-
чальной алгебры Ли. Мы можем грубо сформулировать это так:

Поле D (L) алгебры Ли L изоморфно полю Гейзенберга Dlt k (К).
Докажем этот результат сначала для поля D (L) полной ли-
нейной алгебры gl (n, С).

ТЕОРЕМА 4. Обертывающее поле D (gl (n, С)) алгебры Ли
gl (n, С) изоморфно полю Гейзенберга Dn(.n-i}/2,n (С).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что если Ln — алгебра
Ли всех пХп-матриц с нулями в последней строке, то

D(Ln)	(n-i),o(C).	(21)

Докажем это индукцией по п. Пусть еИ, i — 1, 2, ..., п\ j =
= 1, 2, ..., п 4-1, — естественный базис в Ln+], заданный фор-
мулой (1.1.11). Положим qi = eit n+i, pt = e^qr, ец; =
= eikql'qk (суммирование отсутствует).

Поскольку det qt = 0, величина q]:' не определена как ма-
трица, а определена как формальная величина, правила дей-
ствия над которой подчиняются соотношению эквивалентности
отношений. Прямым вычислением можно проверить, что

[Qt, 9/1 = 0, [Ph Pj] = ®, \Ри	(22)

kb 9/1 = M/’ k*- P/] = — SkjPj (суммирование отсутствует).

(23)

Действительно, например

~ ii+L^/r	/и i “

$/»	м+1 ~~~ л+l	(24)
Согласно определению отношений, из этого соотношения сле-
дует

PiQl1 = ql'qj,	(25)

т. е. q[l и qj коммутируют.

Подобным образом вычисляем

[Рь 9/1 = eaq1lqj — qjeuql1 = eaq^ql1 — ejt n^euq~il =

= вцбj, пг+iqi1 Si, n+16 jiqt1 = m+ltfi ~ Si jQi(JI — $ijl
(здесь суммирования отсутствуют). Если коэффициенты cik ма-
трицы с удовлетворяют условию

У, cik = 0, i = 1, 2, . . ., п,	(26)

к

то из (23) мы видим, что оператор а (с) = clkeik коммутирует со
всеми операторами р,- и q,. Пусть L обозначает множество всех
матриц с порядка п, матричные элементы которых удовлетворяют
условиям (26). Множество L изоморфно Ln. В самом деле, если
lii — матричные элементы элемента I £ Ln, то соответствие

С/ = hj, i = 1, 2, . . ., п — 1, j = l, 2, . . ., fl, (27)
и

сп,-=-^1ц, j=\,2,...,n,	(28)

дает взаимно однозначное отображение L на Ln-

С каждой матрицей с £ L теперь сопоставляем элемент а (с) =
= ctkeik €	(Ln+i)- Легко проверить, что

“(ki. с2]) = [a(q), а(с2)].	(29)

Ясно, что поле Ли D (L„+1) порождается элементами вида а (с),
с £ L, и элементами р1г ..., рп, qt, ..., qn. Следовательно, для
того чтобы получить наше утверждение, достаточно показать, что
поле, порожденное элементами а (с), изоморфно полю Dn (n-i)/2, о(С).
Теперь L изоморфно Ln; поэтому соотношение (21) для L„+1 сле-
дует по индукции.

Центр алгебры Е (gl (n, С)) порождается п элементами вида
Сх, С2, .... Сп, С, = Tr es, е = {etk\.

Элементы последней строки входят линейно в одночлены Сг.
Следовательно, D (gl(n, С)) порождается элементами Clt С2, ..., Сп
и D (Ln). Итак,

D (gl (п, С)) = Р(п/2>	, п (С).	(30)

Следствие. D (si (п, С)) = n„(n_i)/2,n-i(C)-
Доказательство.D(si(п, С)) порождается элементами С2, С31...
Сп и D (Ln). Поэтому (30) следует из (21).

Чтобы обобщить основной результат до произвольной полу-
простой алгебры Ли L, удобно использовать конкретную реали-
зацию алгебры L дифференциальными операторами на много-
образии X = N\G, где N — нильпотентная подгруппа из раз-
ложения Ивасавы G == KAN. В этом случае могут существовать
инвариантные операторы в пространстве Н ~ L? (X), которые
не являются элементами центра алгебры Е (L). Пусть Ё (£)
обозначает расширение алгебры Е (L) кольцом инвариантных
операторов, которые не порождаются элементами центра Z алгебры
Е (L)1). Тогда имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Пусть L — полупростая алгебра Ли, и пусть
D (L) — обертывающее поле расширенной обертывающей алгебры
Ё (L), реализованной в пространстве Н = £2 (X), X ~ N\G.
Пусть (ta, г,), а = 1, 2, ..., п, п ~ dim N, и i = 1, 2, ..., k =
= rank С — координаты в пространстве X. Тогда поле D (L)
изоморфно полю Гейзенберга D,,. k (С), порожденному операторами

д	,	„ д .	ч

Pa. — -Qf-->	= Ct — rz (суммирование отсутствует).

(31)

(Эта теорема доказана Гельфандом и Кирилловым).

Последние авторы доказали также аналогичную теорему для
класса нильпотентных алгебр Ли [312].

Эти теоремы показывают, что существует общая основная
структура обертывающих полей всех полупростых алгебр Ли,
и эта структура изоморфна структуре полей Гейзенберга.

Числа п и k, которые появляются в поле Гейзенберга Dn, k (С),
имеют определенный смысл в теории представлений; а именно,
в случае конечномерных представлений k является числом ком-
понент старшего веса т = (гщ, ..., гщ), который характеризует
неприводимое представление Тьт группы G (гл. 8). Число п
является размерностью области определения G0\G функций про-
странства £/(Go\G) неприводимого представления Т,т группы G
(гл. 8). Эта интерпретация чисел k и п справедлива также в тео-
рии бесконечномерных представлений (гл. 19).

*) Заметим, что центр Z в Е (L) содержит инвариантные операторы, которые
являются полиномами от генераторов; Е (L) содержит инвариантные операторы,
которые являются рациональными функциями от генераторов. Однако в общем
случае могут существовать инвариантные операторы, которые являются более
общими функциями от генераторов, например псевдодифференциальные опе-
раторы.
Тот факт, что обертывающее поле алгебры Ли порождается
алгеброй Гейзенберга и множеством С1( Ck инвариантных
операторов, полезен в квантовой механике и в физике частиц.
В частности, он служит инструментом для интерпретации и ана-
лиза так называемых динамических групп (гл. 13).

§ 6.	Дальнейшие результаты и комментарии

А. Операторы Казимира и их спектры для полупростых
алгебр Ли

Распространим теперь теорему 4.2 на другие полу простые
алгебры Ли. Для произвольных полупростых алгебр Ли завер-
шенного тензорного исчисления не существует. Поэтому мы ис-
пользуем формулу (3.7) для операторов Казимира:

=	••• ХЧ р == 2, 3, ...,	(1)

где

= Тг (Хм Хм •  • Хр )	(2)

(Хр — представление генераторов Хр в произвольном неприво-
димом представлении заданной алгебры Ли). Для классических
алгебр Ли Ап, Вп, Сп и Dn мы берем в роли представления Хм ->
-> Хр простейшее фундаментальное представление т — (1,
О, ..., 0). Следующая теорема дает прямое обобщение результатов
теоремы 4.2 для полупростых алгебр Ли.

ТЕОРЕМА 1. Пусть т = (т1........ тп) — старший вес непри-

водимого представления любой из классических алгебр Ли Ап,
Вп, Сп, Dtl, п = 1, 2, ..., и пусть Хм -> Хр — простейшее фун-
даментальное представление т = (1, 0, ..., 0). Функция

° И ” 0 +	(1 - п й).	(3)

где

П(г)==-п(1 - Л A i «.	(4)

i

lt = nil -[- r(-, i > 0,	= —Zz, /0 = 0,

является производящей функцией для спектра операторов Кази-
мира (1), т. е.

О®

G(z) = L Cp(mi, . . ., mn)zP.	(5)

р=0
Параметры а, (3, и rt для различных алгебр Ли даны в табл. 1.
(Доказательство см. в [672].)

Переломов и Попов [672] вычислили также вид спектра опе-
раторов Казимира некоторых исключительных алгебр Ли.

Б. Комментарии

1.	Понятие тензорного оператора впервые введено Вигнером
[851 ]. Техника тензорных операторов успешно использовалась
Рака, Элиоттом, Яном и другими в теории атомных и ядерных
спектров (ссылки см. в сборнике [118]). Недавно эта техника
была использована также в различных задачах теории элемен-
тарных частиц и, в частности в подходе алгебры токов (см., на-
пример, [3]).

2.	Различные обобщения теоремы Вигнера—Эккарта дали
Шарп [758], Стоун, Биденхарн [116], Дин, Жинибр [330], Мо-
шинский и Климык [469].

3.	Выбор генераторов центра Z обертывающей алгебры Е
не единствен. Например, в случае алгебры и (п) вместо генера-
торов (4.6) можно взять операторы

Ср = А-2А-я • • • А-1 Тг АР.	(6)

Они являются инвариантными операторами для и (п) в силу
теоремы 1.1. Используя коммутационные соотношения (4.2),
можно выразить операторы Казимира Ср через Ср, Ср_ъ ..., С\.
Например, в случае р = 3 получаем

Сз = Сз-пС2 + (С!)2.	(7)

Часто используются также симметризованные операторы Казимира
вида

с"р=^тЛх‘'А'::- *9'	<8>

где символ Р обозначает суммирование по р\ перестановок гене-
раторов в скобках (см., например, [107, 302]). Однако формула
(1) для операторов Казимира, по-видимому, наиболее удобна
для вычисления спектров инвариантных операторов.

4.	Инвариантные операторы С и С' в Е всегда коммутируют.
Но это свойство не справедливо для произвольных инвариантных
операторов. Например, операторы г и d/dr, г = |jc|, являются
инвариантными операторами для группы вращений, действу-
ющими в Н = L2 (Е3), но они не коммутируют.

5.	Существуют два важных результата, касающихся струк-
туры кольца инвариантных операторов в обертывающей алгебре,
реализованных в пространстве Н = L2 (X), где X — симметриче-
ское пространство.
Теорема Гельфанда—Шевалле. Число генераторов кольца
инвариантных операторов, реализованных в L2 (X), равно рангу
симметрического пространства X.

(Доказательство см. в [390].)

Таким образом, в частности на симметрических пространствах
ранга один центр обертывающей алгебры порождается единствен-
ным элементом. В этом случае имеет место

ТЕОРЕМА 2. Кольцо инвариантных операторов, реализован-
ных в L2 (X), где X — симметрическое пространство ранга один,
порождается оператором Лапласа—Бельтрами

д (*) = I £ l-1/l3<zgaP (*) I g ГАдр,	(9)

где gf/p (х) — левоинвариантный метрический тензор на X и
g (х) = det [gap (х)].

(Доказательство см. в [3901.)

6.	Дадим теперь важную так называемую теорему коммута-
тивности Сигала, касающуюся структуры алгебры инвариантных
операторов в L2 (G, р.). Пусть G — унимодулярная локально ком-
пактная группа с мерой Хаара р, и пусть g -> 7g и g -> ТГ& —
левое и правое регулярные представления группы G в L2 (G, р).

Обозначим через (или ^?R) замыкание в слабой оператор-
ной топологии множества всех линейных комбинаций из Т1.,
(или из 7g). Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Если G унимодулярна, то мы имеем

SIl,	(16)

(^£ (J — 9?]. п 91'ц = &L П = 9?г< П ^R-	(11)

(Доказательство см. в [745] или в [574], гл. 6, § 7.)

§ 7. Упражнения

§ 1.1.	Пусть G = SO (3). Покажите, что эрмитово сопряже-
ние тензорного оператора Ум, заданное формулой

(Ум)* = (-1)МГ-м,
также является тензорным оператором.

§ 1.2.	Докажите теорему Вигнера—Эккарта для произволь-
ных компактных групп.

Указание. Разложите на неприводимые компоненты то пред-
ставление группы G, по которому преобразуется произведение
и используйте метод доказательства теоремы 2.
§ 2.1.	Покажите, что обертывающая алгебра алгебры Гейзен-
берга [Р, Q] = I имеет тривиальный центр.

§ 3.1.	Покажите, что центр обертывающей алгебры евклидо-
вой алгебры Ли Тп х) ьо (п) порождается \п/2\ элементами.

§ 3.2.	Найдите генераторы центра обертывающей алгебры по-
лупрямого произведения С3 х) SU (3).

§ 3.3.	Покажите, что следующие операторы

C2=4-MMvMhv = J2-№,

С2 = -	= J-N,

где J = (Л123, 7И31, ТИ12) и N = (7И01, ЛТ02, М03), порождают
центр обертывающей алгебры группы Лоренца.

§ 5.1.	Является ли оператор спиральности J-pl\p\ элемен-
том обертывающего поля группы Пуанкаре?

§ 5.2.	Разработайте расширение понятия обертывающего поля
евклидовой алгебры Ли, которое содержало бы инвариантные
операторы вида |r|, l/|r|, d/d|r| и т. д.

§ 5.3.	Пусть g ТЁ — квазирегулярное представление группы
SO (3) в пространстве Н = L2 (X), X = SO (3)/SO (2). Покажите,
что не существует псевдодифференциальных инвариантных опе-
раторов на Н.

§ 5.4.	Найдите генераторы центра обертывающего поля D (L)
для полупростых алгебр.

§ 5.5.	Пусть П = Т4 х) SO (3, 1), N — множитель Ивасавы
группы SO (3, 1) и Go = Т4 х) N. Покажите, что в пространстве
Н = L2 (X), X = n/G0, существует больше чем два инвариантных
дифференциальных оператора группы П.

§ 6.1.	Найдите спектры операторов Казимира для неприво-
димых представлений исключительных алгебр Ли.

§ 6.2.	Найдите производящую функцию (6.5) для спектров
операторов Казимира исключительных алгебр Ли.
Глава 10

Точное построение конечномерных
неприводимых представлений

Метод индуцированных представлений, описанный в гл. 8, дает
решение задачи о классификации всех конечномерных неприво-
димых представлений для всех простых групп Ли. Однако, чтобы
рассмотреть все следствия для физических приложений, нам не-
обходимо явно определить:

1° Множество независимых инвариантных операторов.

2° Полный набор коммутирующих операторов (ПНКО), кото-
рые мы интерпретируем как физические наблюдаемые; природу
и множество точек их спектров (гл. 13).

3° Свойства базисных функций и размерность пространства
представления, отождествляемого с пространством физических
состояний.

4° Свойства разложения представления группы G по отноше-
нию к ее подгруппе Go.

5° Матричные элементы операторов Tg или Т (X) представле-
ния группы G или алгебры Ли L.

В этой главе мы рассмотрим четыре общих метода построения
неприводимых представлений, для которых часть или все задачи
1°—5° решаются точно.

§ 1.	Метод Гельфанда—Цетлина

Первым методом построения неприводимых представлений,
который также дает решение перечисленных выше задач 1°—5°,
является так называемый формализм Гельфанда—Цетлина. Он
применим как к компактным, так и к некомпактным группам и
представляется особенно удобным для приложений в квантовой
физике. Мы дадим подробное описание этого формализма на
примерах алгебр и (п) и so (п).

А. Представления и (п)

Группа U (п) определяется как группа преобразований в С",
сохраняющих эрмитову форму

•гл + z2z2 4- • • • +	= const.	(1)
Таким образом, для и £ U («) и*и = ии* = 1. Следовательно,
генераторы однопараметрических подгрупп удовлетворяют усло-
вию эрмитовости ')

Mlk = М{к.	(2)

На совокупность из п2 генераторов (2) натягивается алгебра Ли
группы U («). Однако, как было отмечено в гл. 9, поскольку
коммутационные соотношения для М1к нельзя записать симме-
тричным образом, мы исходим из алгебры Ли группы GL (n, R),
элементы которой удовлетворяют коммутационным соотношениям

[А/. Azi =	- АА/, / = 1- 2, . . ., п. (3)

Алгебра Ли (3) имеет «2-мерное представление, задаваемое ма-
трицами Картана—Вейля

A/-(ez/b = W	(4)

Эти матрицы подчиняются условию

А =	(5)

Введем следующие п2 операторов:

Mkk = А/,/;,

Мк1 = Aki 4' Ant, M,tl = i (Аы — Ajk), k'Zl < n. (6)
Когда Ац = e(/, операторы (6) являются «X «-матрицами, удовле-
творяющими условию эрмитовости (2). Значит, они являются
генераторами U («), и для них автоматически выполняются ком-
мутационные соотношения алгебры и (п). Поэтому произвольное
представление алгебры Ли группы GL (n, R), для которого спра-
ведливо условие (5), индуцирует эрмитово представление алгебры
и («), определенное согласно (6). Ясно, однако, что этот факт не
означает, что алгебры Ли групп U («) и GL (n, R) изоморфны,
так как обе алгебры вещественны, а преобразование, задаваемое
формулами (6), — это комплексная линейная подстановка.

Далее мы строим канонический базис в пространстве произ-
вольного неприводимого представления алгебры и («). Построение
основано на следующих двух свойствах неприводимых представ-
лений и («):

1.	Конечномерное неприводимое представление алгебры Ли
и («) однозначно определяется «-мерным вектором тп = (т1п,
т2„, ..., тпп) с целочисленными компонентами min, подчиняющи-
мися условию

»Zi„ > т2п > • • • > «?„„.	(7)

J)	В гл. 9 мы использовали тензоры вида Ml или Al. Это было удобным для
вычисления инвариантов. В этом параграфе будем использовать коварная,ные
тензоры вида Л;;-, Aki » т. п.
Этот вектор представляет собой старший вес представления.
Пространство, в котором реализуется неприводимое представление,
определяемое вектором тп, обозначаем через Ят,!. Будем пред-
полагать, что алгебра Ли и (п — 1) вложена естественным образом
в и (н), т. е. она натягивается на генераторы Л(/, i, j = 1, 2,
п—1 (раздел 8.3.Г).

2. В разложение неприводимых конечномерных представле-
ний и (п) входят лишь те неприводимые представления и (п — 1),
для которых компоненты mit „_j старшего веса тп^ удовлетворяют
условию

> т,т,+1, п, 7=1,2./г-1.

(8)

Кратность каждого неприводимого представления и (п—1), вхо-
дящего в разложение представления и (п), равна единице (см.
теорему 8.8.1).

Рассмотрим убывающую цепочку алгебр

и(п) и(п — 1) zd • • • тэ и(2)	н(1)	(9)

и разложим неприводимое пространство Ят« на подпростран-
ства Нт,1-\ неприводимые по отношению к и (п — 1). Каждое
из этих подпространств в свою очередь разлагается на подпро-
странства, неприводимые относительно и (п—2) и т. д. вплоть
до и (1). Так как неприводимые представления и (1) одномерны,
пересечение убывающей цепочки подпространств

Нт"	-j ... ^,Нт^Нт'

(Ю)

однозначно определяет это одномерное подпространство. Одно-
значность следует из свойства 2. Единичный вектор, на который
натягивается это одномерное подпространство, обозначаем при
помощи так называемой схемы Гельфанда—Цетлина т:

т1п т21	••• тп_ъ п тпп

ти п-1	"'2, /1-1	• ’ 	тп-1, fl-l

'"12	"'‘22

/"11

(11)

Первая строка схемы определяется компонентами старшего веса
неприводимого представления и (п). Эта строка фиксирована для
данного неприводимого представления и (п). В последующих
строках стоят произвольные числа, удовлетворяющие следующим
неравенствам:

"'.j j-х "'ли,/.

/ = 2, 3, . . ., п,

i = 1,2,.. ., н — 1.

(12)
Эти неравенства отражены в схеме Гельфанда—Цетлина при
помощи того факта, что числа mZi j_t в (/—1)-й строке расположены
между числами mis и т(+1 в j-й строке. Для определенного k,
k = 1, 2, .... п—1, числа mik, 1 с i < k, представляют собой
компоненты старшего веса mk неприводимого представления под-
алгебры и (k), которое появится в разложении неприводимого пред-
ставления и (н).

Чтобы определить эрмитово представление алгебры Ли и (п)
соотношения (6), достаточно определить действие операторов Ati,
i, j = 1, 2, п, на схему т и проверить выполнение коммута-
ционных соотношений (3) и равенств (5). Мы можем ограничиться
генераторами Akk, Ak,k_1 и Ак_^к, поскольку действие остальных
генераторов можно получить из коммутаторов этих генераторов;
например, из (3) имеем

А-2, k = (-^А-2, А—1» Лг-1, а],
а в общем случае

Ak, k-h = Ма, /г-1, Л-1, A-ftl,

Ak-h, k = [Л-А, A-l, AK_ltk], /г>1.	(13)

В случае алгебры Ли и (2) действие генераторов Akk, А
и Ak_ltk хорошо известно (упражнение 8.9. 8.2). Руководствуясь
этим случаем, определяем действие операторов Akk, Ah, k-i и
* для произвольной алгебры и (и) следующим образом:

где

Akljn = (/а — 'а-i) tn,
a-i

А1г, k-un = £ a';-i (rn) m'k.u

/=i

A-l	~

Ak-i, km~Y. b'k-i (m) ml-i,
i—i

A

rf, = 0, rk = У m.jk, 6=1, 2, . . ., n,

k	A-2	-1'/,

П (iik — ijt k-A + О П k-2 — tj, k-i)

__	_ i=4________________________t=l__________________

П (Zr> k-i— k-l + 1) (Zf, /г-1 —' Ij, /г-1)
_ __________________________________________________________

A	A-2	“172

Г1 (hk — Ij, k-i) П (h, k~2 tj, k~i 1)

X 	_ /=1___________________1=1__________________________

П (lj, k-i tj, k-l) (ti, k-i lj, k-l 1)

i+j

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

н

’-ik== trtik—t-
Здесь (т{ л) — схема, получаемая из т заменой числа m/t ft_i
в (k—1)-й строке схемы т на число —1 k_v -р 1), За-
метим, что формально существуют схемы т',_\ и т^—i, для кото-
рых неравенства (12) не выполняются. Однако такие схемы в (15)
или (16) не возникают, так как коэффициенты 4-i (4i) отличны
от нуля только для схем, подчиняющихся неравенствам (12).
Более того, для допустимых схем знаменатели в коэффициентах
4-1 и 4-1 не равны нулю, а подкоренные выражения неотри-
цательны. Поэтому

a'k-i = 4-1 и 4-1 = 4-1-	(20)

Имеем также

4-1 ("О = 4-1 G4-i), 4-i (m) =	(21)

Все эти утверждения следуют непосредственно из соотношений
(18), (19) и (12).

Следует заметить, что для некоторых недопустимых схем
знаменатели в 4-1 или 4-1 могут обращаться в нуль. Однако
в таких случаях числители также равны нулю, а такие отношения
по определению равны нулю.

Покажем прежде всего, что операторы АМ{ и Ak,k_i удовлетво-
ряют правильным коммутационным соотношениям, т. е.

[Aft, Аг, /г-11 Аг, /г-1,	= 2, 3, . . ., П.	(22)

Действительно, из (15) и (14) следует
ft-i .

X = AkkAk, k-itn = S [rft (m'ft Q — (mLi)] mLi-
/=1

Используя определение схемы m'lc и (17), находим

/г-1	k-1

X = [/ft (m) — Г/г-1 (/«)] X 4-1 (ш) lllk-1 4 X 4-1 ('») '4-1 =
/=1	/==!

= Ak, k~lAkkm А Аг, ft-lm,

так что

[Akk, Аг,/г-11"'= Ak'k^tn,	(23)

что совпадает с (22) ввиду произвольности схемы tn. Аналогична
можно показать, что операторы Akk, Ak,lf k, и Ak удовлетворяю ?
коммутационным соотношениям (3). Следовательно, в силу (13)
операторы AZ/, i, j = 1, 2, ..., п, удовлетворяют коммутационным
соотношениям (3). Затем проверяем условие эрмитовости (5),
налагаемое на генераторы Л(/-, что в свою очередь обеспечивает
эрмитовость генераторов (6) алгебры и (п); именно,

(п, Ацт) = (п, А^т), i, /=1, 2, . . п, (24)
для произвольных схем п и т.
Генераторы Akk, k = 1, 2, п, эрмитовы, поскольку в про-
странстве представления они диагональны, а их собственные
значения вещественны в силу равенств (14)—(17). Для генера-
торов Ak<k_1 имеем

____________ _____________ k 1 ___

(«, Ak. k-im) = (Ak, k-im, ri) = (tn, Ak, k-iri) = a!k-i (n) J •
j=l	’

(25)

Поскольку (ri) вещественны и удовлетворяют (21), мы полу-
чаем
k-i

(п, Ak.k-itri) = £ bLi (»Li)6 j =
(-=i	»/f-i

k-i

= S t>k-i(m)b - = («, Ak^,km).
/=1	". «>l-i

(26)
Использованное здесь равенство

6 j = б -
m, «Г,	j

R n- mk-1
следует из того факта, что п совпадает с тогда и только
тогда, когда т совпадает с n{_i.

Ввиду произвольности схем п и т в (25) и (26) имеем

Ak, /г-1 = А/г-l, k, ^fe-1, k = Ak, ft-1.	(27)

Применяя метод индукции и используя рекуррентные формулы (13),
получаем

Ak. k-h = [Ak, k-l, Ak-1. /.-(J* = [7Ц-1. k-Ч, Ak, Л-1] =

== 1 A-Л, k-i, Ak_i, = Ak_k, k-	(28)

Поэтому условие эрмитовости (5) выполняется для произволь-
ного А,/, i, j — 1, 2, ..., п, в пространстве представления Ят".
Следовательно, генераторы (6) алгебры и (ri) представляются
в Я”1" эрмитовыми операторами.

Пространство Нтп, в котором реализовано представление
(14)—(19), по определению неприводимо. Независимое формальное
доказательство неприводимости следует из того факта, что схема

т1п ^2п т3п ' ’ '	^я-2> п Шп-Ъ п ^'1пп

^2п т3п ........... тл-1, П ^пп

т3п ••••••.............. тпп

^Л-1, п ^ПП

tn,m

является единственным инвариантным вектором подгруппы Z
(т. е. А^т = 0 для р > q), и из следствия 2 теоремы 8.2.2.

Пример 1. Наиболее простая схема Гельфанда—Цетлина
получается в случае, когда все компоненты старшего веса равны
между собой:



= шпп= т.

(29)

В этом случае в силу неравенств (12) все остальные входящие
в схему величины также равны т. Таким образом, получаем одно-
мерное представление U (п), которое имеет вид

U (n)3g^TLgm = (detg)'".	(30)

Пример 2. Схема Гельфанда—Цетлина для группы U (3).
(Последняя является важной группой высшей внутренней сим-
метрии фундаментальных частиц; гл. 13.) Состояния, на которые
натягивается пространство неприводимого представления группы
U (3), можно нумеровать при помощи собственных значений че-
тырех коммутирующих операторов, именно I2, /3, связанных с под-
группой SU (2), а также Y и В. Оказывается, схемы Гельфанда—
Цетлина в точности соответствуют физическим состояниям, нуме-
руемым этими квантовыми числами. Выражая операторы /а,
/3 и Y через операторы Д* подгруппы U (2) и используя фор-
мулы (14), (15) и (16), получаем

где

^13 "Ь ^23 т ™зз оВ.

Величину В можно интерпретировать как барионное число. Мы
видим, что для определенных I и Y существует 2/ -j- 1 схема
с различными 13. Компоненты старшего веса алгебры и (3) также
можно выразить через физические величины. Действительно,
пусть Yh — наивысшие возможные значения Y, a Ih — соответ-
ствующее (единственное) значение Г, тогда из (8) имеем

т1з — В -j—g- Yh	Ih, т23 = В -| 2*	— Ih< т33 = В — Yh.

(31)

Из неравенств (12) и формул (31) следует также, что неприводимые
представления с одинаковыми Yh и /Л, но различными значе-
ниями барионного числа В, имеют одинаковые размерности.

Теперь мы в состоянии дать решение задач, перечисленных
в введении.

1.	Размерность пространства Н'”11 неприводимого представле-
ния находится по формуле Вейля [см. соотношение (8.8.30)1

П (/, -//)

(32)

где

j, —

2.	Максимальный набор коммутирующих операторов состоит
из инвариантных операторов следующей цепочки подалгебр:

U(n) ZD U(n — 1) ZD • • • ZD U (2) ZD н(1),	(33)

т. е. он состоит из (и2 ф- п)/2 операторов

С1Я, С2п, . . ., Cn_i,и, Спп

Ci,п-i» • • •» Qj-i, zi—i	/олЧ

Cj2, ^22
Сц
Здесь

С.=ЛМ'2 ...Л'У-М'о, р=1, 2, .... p<k, (35)
pK 12	*3	1Р11	7

где А} — генераторы gl (k, Р), а суммирование по повторяющимся
индексам производится от 1 до k.

3.	Собственные значения любого из этих операторов были вы-
ражены явно через старшие веса в гл. 9, § 4. Например,

/;	k

Ci, a L tn,,k L mi>k(mi<k-^n 1 — 2t) и т. д. (36)
f = l	i“l
4.	Матричные элементы генераторов алгебры Ли и (п) сле-
дуют из равенств (14)—(16) и (6). Например, матричные элементы
генераторов Aktk_v равны

k-\

(tn', Aft,fe-im)=2j cLi(m)6 ,	,, £ = 2,3.......и—1.	(37)

/=1	mk-V

Мы видим, что имеет неисчезающие матричные элементы
только между соседними схемами тит'. Пользуясь рекуррент-
ными формулами (13), можно определить действие любого гене-
ратора Aik на любую схему т. Точные формулы даны в гл. 11,
§ 8 [соотношения (15)—(24)1 как для компактных, так и для
некомпактных генераторов алгебры Ли и (р, q).

5.	Пусть g -> Tg — представление, сопряженное представле-
нию g -> Tg группы U (п). Тогда в силу (5.1.14) 2° получаем для
эрмитовых генераторов Mik

М1/г = (—М17.)г.	(38)

Таким образом, для U (и), используя (6), мы видим, что представ-
ление сопряжено данному, если генераторы Aik(=Mik— i/4,7()
удовлетворяют условию (38). Воспользовавшись (37) и соотноше-
ниями (14) и (19), можно проверить, что неприводимые представле-
ния, задаваемые при помощи тп = (mln, m2n, .... m,„) и m„ =
= (mln, m2n, ..., тпп), взаимно сопряжены тогда и только тогда,
когда

т,-„ == —m„+1_f, п, i = 1, 2, . . ., п,	(39)

а представление т является самосопряженным, если

т,„ = — т„+1_г,„, t = 1, 2, . . ., п.

6.	Совокупность всех представлений, задаваемых старшим
весом тп — (т1п, т^, ..., т„„), можно разбить на классы экви-
валентности проективно эквивалентных представлений, полу-
чаемые следующим образом. С данным представлением, задавае-
мым старшим весом тп, связываем подкласс всех неприводимых
представлений, определяемых при помощи тп, для которых
компоненты т,„ старших весов удовлетворяют условию

тт - mln = s,	(40)

где s — любое целое число. На основе формулы Вейля (32) легко
проверить, что представления, связанные с произвольным старшим
весом тп, удовлетворяющим условию (40), имеют ту же размер-
ность, что и исходное представление, связанное с тп. Кроме того,
на основе (14)—(16) проверяем, что матричные элементы любого
генератора А\ связаны соотношением

(т’, А’рп) = (т , Л{т)

т	т

Поэтому глобальные представления TL п и TL " связаны друг
с другом. Действительно, из (42) имеем

Т1-^ = exp is (ф! -f- <р2 + • • • + %)	= (det 6)s 7^'"" =

= (det g)s№n,

где exp (срJ = 6ft и det б = det g (упражнение 3.11.6.3). Следо-
‘	znr	m

вательно, представления TL n и TL n проективно эквивалентны,
и совокупность неприводимых представлений U («) можно раз-
бить на классы проективно эквивалентных представлений. Каждый
подкласс проективно эквивалентных представлений содержит
бесконечное множество неприводимых представлений, для стар-
ших весов которых выполняется условие (40). Любой подкласс
проективно эквивалентных неприводимых представлений U («)
становится одним неприводимым представлением группы SU (и).

Б. Представления алгебры о («)

Ортогональная группа О («) — это множество всех линейных
преобразований g «-мерного евклидова пространства

>-’l = gls^s, s, I = 1, 2, . . ., n,
сохраняющих квадратичную форму

-----ЬЛг

Группа О(«) содержит -i- п (п—1) различных однопараметриче-
ских подгрупп, а именно вращений в плоскостях (xh xk);

	’1  0	0 ••• 0  1 ••• 0	(0 0  0	(*)  • 0  0	... o-  0	
	0	0 ... 1	0	0	... 0	
	0	...0	cos 6	sin 6	... 0	...(i)
g«(6)=	0	... 0	0	• 0	... 0	
	0	... 0	—sin 6 • • •	cos 6	0 ••• 0	• •  (k)
	0			. 0	1 ... 0	
	о				. . . !	

(41)
В представлении g -> Tg = g генератор Xik однопараметри-
ческой подгруппы gik представляется кососимметрической пХп-
матрицей с элементами (Xik)u, = —(X.:b)ki = 1 и нулями на
остальных местах. Поэтому генераторы О (п) можно выразить
следующим образом через генераторы [соотношение (4)]
группы GL (и, R):

Xik^eik-ekl.	(42)

Коммутационные соотношения для генераторов Xik могут быть
получены из коммутационных соотношений для eik:

[Х(Ь Х/т] = bklXiln blmXkt ^КтХц ^ilXkm- (43)

Как и в случае и (п), построение неприводимых представлений
о (и) опирается на следующие два результата:

1.	Конечномерное неприводимое представление алгебры Ли
о (и), п = 2v или и = 2v -}-1, однозначно определяется старшим
весом т = (тъ т2, ..., mv) с целочисленными или полуцелочислен-
ными компонентами, удовлетворяющими условию

1° для n = 2v:	т2>- • •  > гпх.Л > | mv |,

2° для п = 2v 1 : mj > т2 > • • • >> tnv^ >- mv:>Q

(см. теорему 8.5.2).

2.	В разложение неприводимого конечномерного представле-
ния о (и) каждое неприводимое представление подалгебры о (п—1)
входит однократно, причем компоненты старшего веса этих
представлений подчиняются условиям

1° для п = 2v:

т-^ р^т^ р2^ • •  > mv_x > pv х > I tnv |,	(44)

2° для и = 2v 4-1:

т2 > gi > m2 > g2 > • • • > mv > qv > — mv

(см. теорему 8.8.2).

Построение неприводимых представлений алгебры Ли (43)
будет проведено в два шага:

1.	Построение множества орто нормированных состояний, свя-
занных с данным старшим весом.

2.	Определение действия генераторов Xik на базисные состоя-
ния и проверка коммутационных соотношений (43).

Компоненты старшего веса обозначаем через
mr=(™i,2*+i> гп2г2к+ъ . . ., mA.+i,2*+i),	(45)

где п четное (и = 2k 4- 2), и через

/н = (т1>2А, m2i2ft, . . ., т,^,	(46)

где п нечетное (п — 2k 4- !)•
Заданному старшему весу сопоставляем схему Гельфанда—
Цетлина т. Повторяя рассуждения, проведенные для U (и),
и используя соотношения (44), мы заключаем, что схемы имеют вид:
для четного п (п = 2k + 2)

№1; 24+1 m'Z, 24+1 mk, 24+1 mk+l, 24+1

Uli, 2k	* ' '	Hlk, 2k

24-1	’  ’	mk, 24-1

Hl}, 2k—2 ’ ’ ’ Ulk— 1, 24—2

; _	Hlt,2k-3 ' ’ ’	24—3

№|4 Шц
№13 т-гз
m12
mu
для нечетного n (ti = 2k + 1)

(47)

/«1, 2k

,2^-1

№2124 '

lfl2, 24-1 '

,ni, 24-2

ml, 24-3

№4-1, 24 ,nk, 24

№4-1, 24-1	№4, 2k—1

tH-k-1, 24-2

mk-l, 24-3

m =

(48)

№u

№13

m24

m23

№j2

mu

Схемы (47) или (48) определяются верхней строкой, которая
содержит фиксированные компоненты старшего веса неприводи-
мого представления. При п = 2k + 2 числа Шц в других строках
подчиняются неравенствам [см. соотношение (44) ]

№j, 24+1	411, 24	№2, 24+1 -=^ 412, 24	41k, 24+1	41k, 24	1 Hlk+1, 24+11 >

№1, 24	П1, 24-1 Uli, 2k Uli, 24-1	Ulk, 24-1 Hl-k, 24>	(^9)

И11, 24-1	111у: 24-2	HI-2, 24-1 > • • • fllk-l, 24-2 I ^4, 24-1 |

и т. д.; для произвольной строки

Uli, 2р+1	Ш-i, 2р	Hli+1, 2р+1,	i	— 1,	2, .... р	1,

Hip, 2Р+1	41 р, 2р | Шр+1, 2Р+1 I,

Uli, 2р	Uli, 2р-1	Hl-i+1, 2Р’	1	1 >	• • •• Р	1 >

Ч1р, 2Р Шр, 2p~l Hlpt 2р-
Числа т,ц в /-й строке представляют собой компоненты стар-
шего веса подалгебры о (/ + 1). Связанные с данной схемой числа
tnit являются одновременно все целыми или все полуцелыми
в отличие от старшего веса группы U (и), где все mif были целыми.

При п = 2k + 1 имеем

HZj, 2k ^1, 2^-1 tdl'2, 2k =" W-2, 2k-l ‘ ‘ W-k, 2Л>_1	^k, 2h

т1, 2fe-l	,П1, 2k-2 =' //!2, 2Л-1	2k-2 i 1П k, 2/?-1 I 11 Т• Д-

Из коммутационных соотношений (43) следует, что действие
всей алгебры можно воспроизвести, как только станет точно
известно действие генераторов Х2р+1, 2₽, р = 1, 2, ..., [(и — 1)/2]
и ^2Р+2, 2p+i> Р = 0, 1. 2,	[(и — 2)12]. Теперь, при п = 3 и 4

действие этих генераторов нетрудно вычислить непосредственно;
пользуясь этими выражениями, можно вывести формулы дей-
ствия генераторов X2p+i, 2Р и -^2Р+2, г»+1 Для произвольного п.
Поскольку эта процедура состоит в прямых алгебраических вы-
числениях, мы ограничимся тем, что приведем лишь конечные
формулы (полный вывод см. в [653]).

Пусть m'k (m'k) — схема, получаемая из т заменой rtijk на
mjk — 1 (mik + 1). Тогда операторы Х2р+1, 2р и Х2р+2, 2р+1 опре-
деляются следующими соотношениями:

р	р

X2p+i,2Рт = S A (nij, 2р-1) т^р_1 — S Л (mz, 2p_i — 1)
;=1	j=l

р=1, 2, ...,	(50а)

И
р	р

X2p+2,2p+im = £ B(m,-,2p)m^— £ B(m/i2p— l)m^-j-iC2pm.
7=1	7=1

(506)

Используя обозначения

Шр’ 2р-1 =~ ^р, 2р-1>	^р> 2р Т 1	' ^р, 2р,

тр-1, 2р-1 И 1 — ^р-1, 2P-1I	тр-1, 2р + 2 == /р_ь 2р,	(51 )

ml. 2р-1 “h Р — 1--------^1, 2р-1>

т1, 2р + Р-11, 2р>
определяем коэффициенты А, В и С следующими формулами:

A (mf> 2p-i) —

p-i

(С, 2р~2

Г=1

С', 2р-1	1) (^Г, 2р-“2 “Ь ^/> 2р-1)

1/2

X

Р

П(/Г>2р

Г = 1

^/i 2р-1	1) Gr, 2р “Г Ь> 2р-1)

1/2

v (П (l\	- ll 2pJ [/;, 2p.t -	+ 1)2]V1/2,

''	J

(52)

п(ии.Ал 2p+i-^.2p)

4 2p^ii—i) n (4 2p -ii^ [(/. 2p -1)2 - 4 2p]

r*i

p	p+1

П lr. 2p-1 П ф. 2p+l

r-1 r~l

p

fl lr, 2p (lr. 2p~- 0

r=l

Из коммутационных соотношений (43) и выражений (50) для
Х2р+1, 2Р и ^2р+2.2p+i мы можем затем получить явный вид любого
генератора Х1к алгебры Ли о (и). Непосредственными вычисле-
ниями, как и в случае и (и), можно проверить, что коммутацион-
ные соотношения для генераторов Xik выполняются. Кроме того,
если предположить ортонормированность схем Гельфанда—Цет-
лина, ассоциированных с данным весом т, то генераторы Xti
удовлетворяют условию эрмитовости

%,.;==(53)

Пример 1. Неприводимые представления алгебры Ли о (4).
Схема Гельфанда—Цетлина в этом случае имеет вид

т =

т13 т23
т12
ти

т1 т2

J

М

(54)

где числа т13 и являются фиксированными компонентами стар-
шего веса. Из коммутационных соотношений (43) следует, что для
определения действия любого генератора достаточно задать дей-
ствие Х21, Х32 и Х43. Из (50) получаем

Х21т = 1Мт,

гщ т2

J

М

(J + M+l) (J —Л1+1)	— (J —m2+l) (j + m2+l) (mt+J + 2) 11/2

(27 + 1) (27 + 3) (7 + I)2	J X

^1	^2

J +1
M

m2

(7 + M) (7 — M) (mj— 7 + 1) (fflj + J + Г) (J— m2)(J-\-m2) T1/2
(27 + 1) (27 — 1) 72	J

/П] m2

J ~l

M

m1 m2

J

M



[(J _ M + 1) (J + M)]V2

m2

J

M - 1



где, согласно (49),

т1 > J > | m„ |, J :> M > —J,

a mj, m2, J и M являются одновременно все целыми или все полу-
целыми.

Пространство Нт представления (50) алгебры о (и) натяги-
вается на базисные векторы (47) или (48) и является, по определе-
нию, неприводимым. Можно опять, как и в случае и (п), дать
независимое формальное доказательство, используя метод /-ин-
вариантов.

Размерность неприводимого представления, определяемого ком-
понентами старшего веса, находится по формуле Вейля (8.8.29).

Максимальный набор коммутирующих операторов в простран-
стве представления содержит следующие операторы:

1)	О (2^ + 2):

С2(2^ + 2) С4(2^+2)	•••	(2/г-j-2)	C'k(2k^-2)

C2(2k-\ 1)	С4(2Л-I-])---С2	(2Z?H- 1) C2ft(2*+1)

C2(2k)	C4(2k)	C2lk^(2k)	C'k(2k)

C2(4) C2 (4)	(55)

C2(3)
2^21

2)	O(2k-[~ 1):

C2(2 + l) CZ(2^+l)...C2(ft_1;(2^4-l) C2k (2^+1)

C2(2k)	C^(2k)	• • • C2 (fc_i) (2A:)	C’k(2k)

C2(2k — I) •••
................................................ (56)

C2(4) C2(4)

C2(3)

X3l

Здесь

C2i (p) = Tr X2‘(p)	(57)

и

Ci (21) = e'i'r ....l^X(i/Xl2l-2 • • • Xilh, (58)

где Xй (p) означает 2/-ю степень матрицы X (р) = (Xik (/?)),
составленной из генераторов Xlk(p) группы О(р), а e'l'i’ 'г4> ••• ЧН—
полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты (см. гл. 9,
§ 4, Б). Следует отметить, что для группы О (2k), в противополож-
ность группе О (2k + 1). совокупность операторов Казимира (57)
не обеспечивает набора независимых инвариантных операторов,
и поэтому необходимо включить псевдоскалярный оператор (58).
Спектры операторов (57) и (58) были даны в гл. 9, § 4, Б.

В общем случае, если компоненты старшего веса алгебры о (п),
кроме (44), не ограничиваются другими соотношениями, то в про-
странстве представления, натянутом на схемы Гельфанда—Цет-
лина, мы имеем

" = T[-iV2 + {iiL}] <59>

независимых коммутирующих операторов, где п (п — 1) и
у" 1- j — размерность и ранг группы О (п) соответственно.
Однако если компоненты старшего веса не являются независимыми,
то некоторые из операторов (57) или (58) становятся функциями
других и количество независимых коммутирующих операторов
уменьшается. Например, если старший вес имеет вид

tn (J, 0, .... 0),	(60)

то ввиду строения схем (47) и соотношения (56) всего п — 1 комму-
тирующих операторов

0(п), 0(/г — 1), . . ., С2(3), Х-21	(61)

порождают кольцо коммутирующих операторов в пространстве
неприводимого представления алгебры о (п), задаваемого старшим
весом (60).

Заметим, наконец, что поскольку любой старший вес (44) со
всеми целочисленными или всеми полуцелочисленными компонен-
тами порождает, в подходе Гельфанда—Цетлина, неприводимое
представление, этот формализм дает описание всех неприводимых
конечномерных представлений алгебры о (и).

§ 2. Тензорный метод

Многие физические законы, такие как уравнения Максвелла
или Эйнштейна, наиболее компактно выражаются на языке тен-
зоров — объектов, преобразующихся по конечномерным тензор-
ным представлениям группы G физической симметрии.

В этом разделе мы устанавливаем связь между теорией тен-
зорных представлений и теорией индуцированных представле-
ний. В частности, мы даем классификацию всех неприводимых
тензорных представлений групп GL (п, С) и SO (и, 0. Ясно, что,
используя теорему 8.3.1, мы получаем описание всех неприводи-
мых тензорных представлений также для вещественных компакт-
ных и некомпактных форм этих групп, например U (р, q) и
SO (р, q), р + q = п.

Тензорный метод не решает непосредственно практические
задачи 1°—5°, указанные в введении. Однако он дает красивую
связь между теорией представлений группы G и теорией пред-
ставлений группы перестановок Sn. Эту связь нельзя увидеть при
помощи других методов.

А. Тензоры

Пусть группа G реализована как матричная группа, т. е.
G Э g {gf = Di \ Dki, i, k = 1, 2, ..., N. Величина T =
{T, t i }, iTi i t C 0 ik = 1, 2, ..., N, k = 1, 2,...
г, называется тензором ранга г относительно группы G, если
она преобразуется по следующему закону:

=	(D

12	12

Если Т и Т — тензоры ранга г, то сгТ + с2Т также является
тензором того же ранга; следовательно, множество всех тен-

Г

зоров данного ранга образует векторное пространство Нт. Из (1)

Г

следует, что Нт является пространством, в котором реализуется
тензорное произведение TR 0 TR 0 ... ® Tg {г раз). Это пред-
ставление называется тензорным представлением.

Г

Следующее утверждение дает описание пространства НТ.

Утверждение 1. Компоненты

kr

Ttll2 ir~'=XilXi2  • • X‘n	!' 2> '	- N’	(2)

k

где x, k = 1, 2, ..., N, являются линейно независимыми комплекс-
ными N-мерными векторами, линейно порождают тензорное

Г

пространство НТ всех тензоров Т ранга г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Компоненты 7,- ,о....., являются точками

k

в CNr. Полагая х — е1{, где ek — базисные векторы в CN, мы полу-

Г

чаем базис в CNr. Следовательно, векторы (2) образуют базис в Нт.

Основным свойством тензоров, которое впервые обнаружил
Вейль, является тот факт, что операция перестановок индексов
ilt i2, ..., ir коммутирует с действием G в Нт. Действительно, если
s — элемент симметрической группы Sr и

(s7X*2 ir = Ts ... tj = Ts pp s (y ... s	(3)

TO

(sT\l2 - Ts (l\)s (У  •s	(M =

— Us (ii}Ds (,2) •	•	•	us (tjl s	s (*2)  • • s (kr) —

= d\ ($Ds {>j •	•	•	Dss j-r{ (sT)k k ...k =

5 VIJ (. 2)	5 V/9 V	12 r

b h	b	,

-= DSD1   • (sT)kik2 ...kr = (sT)iii2 . ir.

Следовательно, те тензоры	, (Д, компоненты которых

обладают свойством симметрии, соответствующим заданной схеме

Г

Юнга, образуют инвариантное подпространство в пространстве Цт,
Таким образом, тензорные представления в общем случае яв-
ляются приводимыми.

Говорят, что тензор Т =	симметрический, если

(s7X ••• *7 = Ts ГЛ • • М Ttil2

для всякой перестановки s £ Sr индексов.

Тензор является кососимметрическим, если

s7 = (—l)6s7, s£Sr,	(4)

где 6S — четность перестановки s. Тензоры, кососимметрические
по всем индексам, называются также поливекторами. Воспользо-
вавшись идемпотентными операторами Юнга и соотношением (2),
можно получить в некоторых случаях компактные явные формулы
для компонент тензора с заданным свойством симметрии, соответ-
ствующим схеме Юнга. Действительно, например, компоненты
симметрического тензора соответствуют схеме Юнга

и могут быть представлены в виде элементов тензорного произве-
дения вектора х, т. е.

riliz...ir = Xil xi2... Xil. =	•	(5)

Антисимметрические тензоры могут быть представлены при
помощи определителей; например, величины

(6)

представляют компоненты кососимметрического тензора второго
ранга, ассоциированного со схемой Юнга р. В общем случае
величины	П

представляют компоненты кососимметрического тензора ранга г,
Г

определяемого разбиением Юнга % = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0), г =

= 1, 2, ..., п. Тензоры (7) являются поливекторами.
Тензоры (5) и (7) можно реализовать в виде функций на фак-
торе Z разложения Гаусса G = ?>DZ. Действительно, пусть,
например, G — это GL (и, С). Тогда Z состоит из всех нижних
треугольных комплексных матриц, заданных согласно (3.6.7).
Поливекторы (7) могут быть выражены через миноры элементов
z £ Z в виде

Т

Аналогично можно показать, что симметрические тензоры
могут быть реализованы в классе полиномов от эле-

ментов первого столбца матриц г ( Z: 1, z21, z31, ..., znl, одно-
родных степени г. Среди компонент тензора Т с заданной сим-
метрией Юнга X существует выделенная компонента, задаваемая
Упорядочим индексы тензора с заданной симметрией Юнга
X = (?v!, Х2,	Х„),	+ Л2 Н— •+ Кп = г таким образом, чтобы

они соответствовали так называемой стандартной схеме Юнга.
В соответствии с этим независимые компоненты тензора Т соот-
ветствуют стандартной схеме, которая имеет неубывающие ин-

дексы слева направо и возрастающие индексы сверху вниз. Напри-
мер, для тензора третьего порядка, ассоциированного с диаграммой

Юнга

где в соответствии с пра-

мы записываем

вилом Юнга 11? t2, t3 — 1, 2, п и i\ < t2, i\ <t t8; для п =
= 2 имеем поэтому следующие независимые компоненты:

1	1

1	2

2	2

В частности, для компонент полностью симметрического и пол-
ностью антисимметрического тензоров в соответствии с этой
договоренностью имеем тогда соответственно

1, 2

Б. Тензорные представления групп GL (и, С), SL (п, С), GL (и, 7?),
SL (n, R), U (р, q), SU (р, q), U (n), SU (n) и SU* (n)

В этом разделе неприводимое представление TL'n группы
GL (и, С) мы отождествляем с некоторым тензорным представле-
i

нием. Прежде всего с представлением TLm группы GL (n, С)

с фундаментальным весом т = (I, 1, I, 0,	0) сопоставляем

(б

тензорное представление.

Пусть х — (Хр ..., х„)—элемент линейного пространства

= Сп, в котором GL (n, С) реализована как g -> Tg = D (g) =
= g. Пусть Z — фактор разложения Гаусса G = 3DZ. Тогда
действие (I)

в Нт элемента z £ 1 задается по формуле

	1	0	*1		Xi	
	z2i 1	%2		^21^1 ~l~ -^2	
гх =	Z31	Z32	1	X3		z31xl 4~ Z32X2 ~|- x3	 (И)
	Znl Zn2 Zn3 ’ ' ' 1	Xn		znlXl 4‘ Zn2x2 + • • * + xn	

Отсюда видим, что элемент 7j~ t [ = xi  xi в пространстве,
натянутом на компоненты Тп—i~является единственным инва-
г1 г" lid

риантным вектором в Z, определенным с точностью до константы
нормировки. Значит, в силу следствия 1 теоремы 8.2.2 Т| । j—
старший вектор. Для 6 = (6Х, б2, ..., б„) £ D получаем

= бХ1.

(12)

Следовательно, tn = (г, 0, ..., 0). Это предполагает, в частности,
что векторное представление Т: g -> Тg = g соответствует пред-
ставлению TL'n, ассоциированному с фундаментальным старшим
весом m = (0, 0, ..., 1).

Следующая теорема показывает, что все фундаментальные
представления GL (п, С) могут быть реализованы как поливек-
торные представления.

Г

Теорема 2. Линейное пространство НТ всех поливекторов

Г

ранга г является пространством неприводимого представления TL'n
группы GL (/г, С), ассоциированного с фундаментальным старшим

Г

весом т = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0).

Я
Г

Доказательство. В качестве базисных векторов в НТ мы
можем взять поливекторы (7). Поскольку для б £ D, дх = (дгхг,
б2х2, ..., дпх„), мы имеем

(Т^б)/ £ ••• ir = бйбс ... б^Ьй ir,	(13)

т. е. всякий базисный вектор z ir является весовым векто-
ром. Используя равенства (11) и (7), убеждаемся, что вектор е12...г
является единственным инвариантом подгруппы Z. Таким обра-
зом, в силу следствия 2 теоремы 8.2.2, он является старшим век-
тором неприводимого представления. Ввиду (13) соответствующим
целочисленным старшим весом является бх б2 ... бг; значит,
неприводимое представление TLm в НТ определяется старшим
весом т = т ~ (1, 1,	1, 0,	0).

(г)

Следовательно, представление (1) GL (п, С) в пространстве
всех поливекторов ,г} ранга г соответствует представле-

Г	г

нию TL'n, определяемому фундаментальным весом m = (l, 1, ..., 1,

Кроме того, с помощью определения 8.6.1 и теоремы 8.6.1
получаем

СЛЕДСТВИЕ 1. Всякое неприводимое представление GL (п, С)
является произведением Юнга поливекторных представлений.

Г

В соответствии с (4) линейное пространство НТ, натянутое
на компоненты тензора ранга г с заданной симметрией Юнга,
образует инвариантное подпространство по отношению к G.
Таким образом, предполагается тесная связь между индуцирован-
ными представлениями TL"‘ и тензорными представлениями

Г

группы G, реализованными в пространстве Нт. Действительно,
имеет место

Г

Теорема 3. Пусть Нт — пространство тензоров ранга г по
отношению к GL (п, С), которые обладают симметрией, задавае-
мой разбиением Юнга К = (Хь Х2, .... ?.„) с г ~	+ Z2 Н--Ь А-„.

Г

Тогда представление GL (и, С), реализованное в НТ, эквивалентно
представлению TL<n со старшим весом

т = (Хь К,   •>	(И)

1	2	г

Доказательство. Пусть х, х, ..., х — совокупность г неза-
висимых векторов из Сп. Тензор Т с компонентами	=

= х( х^ ... х,г не обладает симметрией по отношению к симме-
трической группе Sr. Следовательно, действуя на Туу , г идем-
потентным оператором Юнга соответствующим разбиению
Z = (Д, ?.2, ..., ?.„) с Xi + Х2 + • • •+	= г, мы получаем ненуле-

вой тензор Т с этой симметрией Юнга; таким образом, Y-,T £
г	г

Е Нт. Мы утверждаем, что элемент и”1 из Нт, единственная
неисчезающая компонента которого задана при помощи (8),
инвариантен по отношению к действию подгруппы Z группы
GL (и, С).
Действительно, рассмотрим действие однопараметрической под-

группы из Z в пространстве Нт, заданной, например, матрицами				
	Z —	“1 z 1	0“	(15)
		0  k	’ 1  k	k	k k	k
В = 1,	силу соотношения (1), zx = 2, ..., г. Это дает		(%1, ZX! + х2, х3	х„), k =	

(7^)123 . . г = е123 г + ZC113 ... г = С123 - г-	(16)

Пользуясь представлением (9) для компоненты (8) и равенством
(16), заключаем, что компонента (8) инвариантна относительно
действия подгруппы (15). С помощью (11) непосредственно про-
веряется, что действие любой другой однопараметрической под-
группы из Z также оставляет без изменения компоненту е12...г,
также как и компоненту Тг~.—,—.. Следовательно, компонента (8)
i 1 г • • j 1 j

Z-инвариантна, и поэтому элемент и"1 представляет старший век-
Г

тор в Нт. Проверка действия проектора показывает, что для

любого элемента Т в Нт, отличного от u'n, можно легко найти
однопараметрическую подгруппу в Z, которая преобразует этот
Г

элемент. Значит, линейное пространство Нг имеет только один
Z-инвариантный элемент, и поэтому оно неприводимо в соответ-
ствии со следствием 2 теоремы 8.2.2.

к

Для х С С", k = 1, 2, ..., г, и б =

61

СО имеем

к к к	к

6л' ==(6^, б.,Х2, . . ., б.,Хп).

Таким образом, ввиду соотношений (8) и (14) действие Т6 на ком-
поненты (8) тензора Т задается согласно

Т и1 = бМХ2  • • бх«мт
2 6U() Uj U2	Uo .

(17)

Следовательно, согласно (8.2.18), старший вес т, ассоциирован-

Г

ный с неприводимым представлением g Tg в Нт, имеет вид
m = (Х1( Х2, ..., Z„).
Ясно, что если т = т = (1, 1,	1, 0, ..., 0), то теорема 3

т
сводится к теореме 2. Если т = (/, 0,	0), представление Т1-”1

может быть реализовано в пространстве полностью симметриче-
ских тензоров порядка f.

Представляется интересным, что в квантовой физике полностью
симметрические представления используются для совокупности
бозонов, а полностью антисимметрические представления — для
совокупности фермионов. Представления с другими типами сим-
метрий используются в так называемой парастатистике, или при
описании систем со скрытыми переменными.

Замечаний. Все неприводимые тензорные представления
GL (п, С) остаются неприводимыми при сужении на подгруппы
GL (п, R), U (р, q), р + q = п, U (n), SL (и, С), SL (п, R),
SU* (2n), SU (р, q), р + q = п, или SU (п) как результат уни-
тарного трюка Вейля.

В. Тензорные представления групп SO (п, С), SO (n), SO (р, q)
и SO* (и.)

Элементами ортогональной группы SO (п, С) являются ма-
трицы, удовлетворяющие дополнительному условию

ggT == gTg = I, или gtjgik = &ik.	(18)

Г

Условие (18) предполагает, что в линейном пространстве НТ,
натянутом на компоненты Т,- г ,г тензора Т, существует новая
операция, коммутирующая с групповым действием. Действительно,
рассмотрим свертывание (след) тензора, задаваемое согласно
формуле

<19>

Эта операция свертывания и групповое преобразование посред-
ством элемента g £ SO (и, С) коммутируют:

(Т^Т),^ ••• ir = gi^gi^gi^ • ’ • girkr^kik2 “ kr~

== VkbgiJZ'. ••• giJtl k,k„k.---k.= gi.J:.. ' ” girkr k9kC"kr~

==(^Т(12)),з14...1г.	(20)

Операцию свертывания можно применять к любой паре ин-
дексов тензора	,г}. Тензор {7\ г . называют бессле-

довым, если свертывание по любой паре индексов обращается
в нуль. В силу равенства (20) под действием SO (л, С) бесследовые
тензоры преобразуются друг в друга, и поэтому образуют инва-
риантное подпространство. Более того, имеем
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Всякий тензор {может быть

разложен единственным образом на бесследовый тензор Т и тен-
зор Q с компонентами

 ‘г =	• • «'г г • ’ ‘	ip lip+1 iq_pq^  «> +

Ч------Г	'г 2 (	Ч/1еНОв} ’	<21)

т. е.

Т = Т 4- Q.

Это разложение инвариантно по отношению к SO (п, С).
Г

Доказательство. Введем в пространстве НТ всех тензоров
ранга г скалярное произведение (•, •) при помощи формулы

(7, Г) = 7,1,-2...1Д(-2...,г.	(22)

Г

Пусть Ж — подпространство в Нт, состоящее из всех тензоров
вида (21). Тензор Т ортогонален к подпространству Ж, т. е.

(Т, Q)^7,i,-2...17Q,-i,.2...Ir = 0)	(23)

если все следы тензора Т исчезают. Действительно, для определен-
ного Q £ Ж, такого, что только Д(12) Д= 0, равенство (23) пред-
полагает, что 7(12> должно равняться нулю. Перебирая последо-
вательные неисчезающие члены в (21), мы видим, что все следы Т{р^
тензора Т должны равняться нулю. Следовательно, линейное
множество всех бесследовых тензоров t £ Нт образует под-

Г
пространство, ортогональное Ж. Поскольку все пространство Нт
является суммой Ж и Ж1-, произвольный тензор Т можно един-
ственным образом представить в виде

T = 74-Q, ТСЖ1-, §£Ж.	(24)

Поскольку Т образуют инвариантное подпространство, разложе-
ние (24) инвариантно относительно SO (п, С) по теореме Вейля
о полной приводимости.

Последовательно применяя утверждение 4 к тензорам R^
и т. п., получаем инвариантное разложение произвольного тен-
зора Т на бесследовые тензоры ранга г, г — 2, г — 4 и т. д.

По отношению к действию симметрической группы бес-
следовый тензор преобразуется в другой бесследовый тензор.
Таким образом, мы предполагаем, что неприводимые представле-
ния SO (n, С) реализуются в линейном подпространстве про-

Г

странства Нт, которое натянуто на компоненты бесследового
тензора iT(- ,-г\ с заданной симметрией Юнга, определяемой
разбиением (2^, 72, • • • >	числа г =	+ Л2 + • • • + 7.п.

Прежде всего находим индуцированные представления, соот-
ветствующие поливекторным представлениям.

Теорема 5. Тензорное представление группы SO(/?, С), n = 2v
Г
или п = 2v + 1, реализованное в линейном пространстве НТ
всех поливекторов ранга г, ассоциированных с диаграммой Юнга

Г

X = (1, 1, ..., 1, 0,	0), эквивалентно представлению TL'n,

(г)
Г

ассоциированному со старшим весом т = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0).

п-

Тензорные представления I и I эквивалентны.
Г

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пространство НТ натягивается на базисные
векторы (	,г, определенные при доказательстве теоремы 2.

Поскольку = (6ххх, б2х2, ..., 6пх„), мы получаем

(W- =	(25)

т. е. всякий вектор е,- ,	(-г является весовым вектором. Группа

SO (п, С) сохраняет форму

xixn + х2х/?-1 Г • • ‘ k xnxt>	(26)

так что однопараметрические подгруппы в Z теперь имеют, на-
пример, такой вид

2 =	”1 0	0“  Z 1  1 0  0	—z 1	(27)

а все другие однопараметрические подгруппы в Z получаются при

помощи надлежащих перемещений «активных блоков»

1
и

Г. 01
г I

01

I . Действие (27)

на вектор х £ Сп следует из (11). Отсюда,

подобно (16), имеем

— z

(Дс)123.. г = С12з-. г ZC113.. ,г — ZC123-. ц-l, п-1 == С123 - ri (28)
т. е. Тг воспроизводит е123...г. Аналогичный результат имеет
место для всех остальных однопараметрических подгрупп в Z,
действующих на вектор е123...г. Таким образом, е123...г является
инвариантом подгруппы Z. Можно проверить, что любой вектор
Г

в Нт, отличный от е12... Г, не инвариантен относительно Z. Следо-
вательно, е12...г—старший вектор. Ввиду соотношения (25)
соответствующий старший вес имеет вид

tn m = (1, 1, . . .,_Ь 0, . . ., 0).

(п

Пусть теперь {е,1(-2... гп_г}, r <v, является поливектором,
л—г

ассоциированным с диаграммой Юнга X = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0).

Тогда е12...„_г — старший вектор, согласно предыдущим рассу-
ждениям. Соответствующий целочисленный старший вес, согласно
(25), имеет вид Lm = 8г82 ... 6„_г. Но для SO (n, С) элемент 6
подгруппы D должен сохранять форму (26); это предполагает
ограничение 6, = 8n_i+1 для произвольного п и дополнительное
п—г

ограничение 6V+1 = 1 для п = 2v + 1. Значит, Lm — 8г82 ... бг =
Г

= L'", г <$v. Следовательно, представления, определяемые диа-
г п—г

граммами Юнга UiX, г <v, эквивалентны в силу теоремы 8.2.2.

Замечание 1. Заметим, что для SO (2v + 1) старший вес tn,
Г

г <;v, соответствующий поливекторному представлению X, совпа-
Г

дает с фундаментальным старшим весом т, заданным согласно
(V)

(8.6.4).	Однако поливекторное представление X = (1, 1, ..., 1) =
(V)

= т задано при помощи произведения Юнга спинорных пред-
ставлений; действительно, из соотношения (8.6.4) имеем

(V) V V

Lm = L"l-Lm.	(29)

г

В случае группы SO (2v) поливекторное представление % совпадает
с фундаментальным представлением (8.6.5) при г < v — 1. Пред-
(V—1)	(V)

ставления X и X являются произведениями Юнга спинорных
представлений; действительно, согласно (8.6.5), имеем

(v-l)	V-1 V	(V) V-l V-1

L т =Lm Lm и Lm—LmLm.	(30)

Г

Замечание 2. Эквивалентность поливекторных представлений Л
п—г

и л, г < v, является обобщением хорошо известного в физике
факта эквивалентности относительно вращения между трехмер-
1

ным вектором {Т,\ (~X = (10 0)) и кососимметрическим тензо-
ром {ТИ\ [~Х = (1 1 0)1.

Следующая теорема дает связь между тензорными представле-
ниями и индуцированными неприводимыми представлениями.

Теорема 6. Представление TLm группы SO (п, С), п = 2v
или п = 2v + 1, задаваемое старшим весом т = (пц, т2, ..., mv)
(с целочисленными компонентами), эквивалентно тензорному пред-
ставлению, реализованному в пространстве бесследовых тензоров'.

Щ,,,Г-Д™-

с симметрией Юнга, определяемой разбиением X = (пц, т2, ..., mv).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представление TLm, для которого пц яв-
ляются положительными целыми числами, может быть реализо-
11 k
вано как произведение Юнга представлений TL'n с т =
= (1, 1,	1, 0,	0), k — 1, 2,.., V. Пространство, в котором

(Ю

реализовано произведение Юнга представлений, натянуто на
(fe)

произведение базисных векторов представлений Тьт [см. заме-
чание после соотношения^ (8.6.2) ]. Таким образом, компонента

' е12

7?7г, множителей

(31)

где e12...s заданы при помощи (7), является старшим вектором и™
с т = (mj, т2, ..., тг). Этот вектор обладает симметрией Юнга,
определяемой разбиением X = (пц, т^, ..., тг). Пространство тен-
зоров, ассоциированное с представлением TL , получается из
старшего вектора (31) по формуле (8.2.21). Поскольку действие
группы коммутирует с перестановками, полученный тензор обла-
дает симметрией, определяемой разбиением X = {пц, т2, ..., тг).
Наконец, поскольку пространство представления неприводимо,
полученный тензор должен быть бесследовым.

Представления SO (n, С), задаваемые старшими весами с полу-
целочисленными компонентами, являются спинорными представ-
лениями и не могут быть описаны на языке диаграмм Юнга.
Остальные старшие веса имеют целочисленные компоненты. Сле-
довательно, теорема 6 дает описание всех тензорных представле-
ний группы SO (/?, С). Это дает также, согласно теореме 8.3.1,
описание всех неприводимых тензорных представлений групп
SO (и), SO (р, q), р + q = л, и SO* (п).

§ 3. Метод гармонических функций

Мы показали, что для группы вращений SO (3) базисные век-
торы ем пространства HJ неприводимого представления могут
быть реализованы при помощи сферических гармонических функ-
ций Ум (0, <р), определенных на симметрическом пространстве
X = SO (3)/SO (2). Эта реализация чрезвычайно полезна при реше-
нии различных задач теории представлений и в физических при-
ложениях. Мы предполагаем поэтому, что реализация базисных
векторов в пространстве представления Н в виде общих гармони-
ческих функций 1), которые являются собственными функциями
максимального набора коммутирующих операторов в Н, будет
полезна также для других групп.

А. Гармонические функции для SO (р)

В этом разделе мы подробно рассмотрим теорию представлений
группы SO (р) в подходе гармонических функций. Этот подход
фактически является непосредственным распространением метода
гармонических функций для SO (3).

Симметрические пространства и теория представлений

Из табл. 1 в гл. 4, § 2 следует, что существуют две последова-
тельности симметрических пространств X, которые можно свя-
зать с группой SO (л):

X	ранг размерность X

SO (р -Р <7)/SO (р) х SO (q) min (р, q) pq

Г 1 л	(О

SO (2n);U (л)	-=- л л (л — 1)

Согласно теореме Гельфанда—Шевалье (см. гл. 9, § 6, Б5),
число генераторов кольца инвариантных операторов в оберты-
вающей алгебре в пространстве Н = IX (X, р) равно рангу сим-
метрического пространства X. Таким образом, конструкция пред-
ставлений будет наиболее простой в симметрических простран-

Термин «гармонические функции» иногда употребляется (в математической
литературе) для обозначения собственных функции инвариантных операто-
ров Сг, .... Сц с пулевым собственным значением, т. е. решений уравнения
Сри ~ 0, р = 1, 2, N [например ,\и - 0]. Мы будем использовать этот тер-
мин для обозначения всех собственных функций Ср.
ствах ранга один. Изучение табл. 1 показывает, что симметриче-
ские пространства ранга один для SO (р) мы получаем только
в следующих случаях:

X = SO(p)/SO(p — 1), X1 = SO(4)/t/(2) и Х2 = SO (6)/С/(3).

(2)

Теорема 9.6.2 утверждает, что в симметрических пространствах
ранга один кольцо инвариантных операторов в обертывающей
алгебре генерируется одним только оператором Лапласа—Бель-
трами. Этот оператор имеет вид

(3)

где gafi (х) — левоинвариантный метрический тензор на X, и
g (х) = det [ga₽ (х) ].

Пусть (х) — собственные функции для Л (х), т. е.

А(*)Ы*)==Мх(*)-	(4)

Тогда, поскольку любой генератор Y группы SO (р) коммути-
рует с А (х),

[А (х), и = о,

линейная оболочка Нк всех функций (х) образует инвариант-
ное подпространство в Н (X). Таким образом, построение непри-
водимых представлений в Н (X) может быть осуществлено при
помощи следующих шагов.

1.	Построение удобной модели абстрактного фактор-простран-
ства (2) и выбор надлежащей системы координат на X, такой,
что метрический тензор gap(х) диагоналей.

2.	Решение задачи (4) на собственные функции для оператора
Лапласа—Бельтрами А (х).

3.	Доказательство неприводимости и унитарности представле-
ний ТЁфк (х) =Фх(ё-1х), ассоциированных с совокупностью гар-
монических функций {ф\(х)}, X фиксировано.

Построение гармонических функций

Прежде всего введем удобную модель абстрактного фактор-
пространства X = SO (p)/SO (р — 1). Модель должна быть тран-
зитивным многообразием по отношению к группе и иметь те же
размерность и группу стабильности, что и симметрическое про-
странство X. Выбираем сферу Sp-1, вложенную в р-мерное евкли-
дово пространство RP и задаваемую уравнением

(х1)2 (хД •••	1.	(5)

Транзитивность сферы относительно группы SO (р) следует
из того факта, что любой вещественный вектор х = (х1, х2, ..., хр),
удовлетворяющий уравнению (5), может быть получен из вектора
е1 = [1, 0, 0,	0] при помощи матрицы вращения g (х), первый

столбец которой g{ (х) = х‘. Поэтому любые два вектора х' и х",
удовлетворяющие (5), могут быть связаны посредством матрицы
вращения g — g (х') g (х'У1. Стационарной группой точки е1 =
= [1, 0, 0, ..., 0] является группа SO (р — 1). Стационарной
группой любой другой точки х гиперповерхности Sp_1 является
группа

Go — (*) SO (р — 1) gl (х),

которая при фиксированном g (х) изоморфна SO (р — 1). Следо-
вательно, стационарная группа сферы Sp-1 та же, что и стацио-
нарная группа абстрактного фактор-пространства (2). Размер-
ность X, определяемого согласно (2), есть

dim X = dim SO (р) — dim SO (p — 1) = p — 1

и равна размерности сферы Sf-1.

В общем случае существует много различных систем координат
на сфере Sp_1. Оказывается, однако, что наиболее удобной яв-
ляется бигармоническая система координат, поскольку в этой
системе не только оператор Лапласа—Бельтрами разделяется,
но также подалгебра Картана диагональна, и поэтому гармони-
ческие функции можно выразить через одни только хорошо из-
вестные экспоненты и d'N, м (cos 0)-функции.

Бигармоническую систему координат на сфере Sp-1 построим
при помощи рекуррентной формулы. Предположим, что р четно
(р = 2п) и что мы уже построили систему координат для
х'1, ..., х'2й-2 (k < п). Тогда выражение для переменныхх1, ..., x2k,
удовлетворяющих (5), задается в виде

x‘=x'1sinOft, i==l, 2, . . ., 2k — 2,

x2k~l = cos срй cos 0й, <pfc £ [0, 2л), k = 2, 3, . . ., n, (5a)

х2й = sinq?cos0й, 0Й£^0, -у)» k — 2, 3, . . n.

Поэтому, полагая

x'1 — cos q)1,

x'2 = sin q)1, ip1 £ [0, 2л),

и последовательно применяя процедуру (5а), мы получаем пара-
метризацию всех координат для сферы Sp-1 для произвольной
четной размерности р.

Если же р нечетно (р = 2п + 1), мы строим сначала коорди-
наты х'1 (i = 1, 2, ..., 2п) при помощи метода, описанного выше
для р = 2п; получаем в этом случае соответствующие xk, k —
= 1, 2, 2n + 1, согласно

x' = х'г sin 6'г+1, i = 1, 2, . . ., 2n,
x2/!+1 = cos 0n+1, ОП+10О, 2л).

В дальнейшем мы будем обозначать совокупность углов (ф1, ф2,...
..., ф[р/21, О2, О3, ..., 0{p/2j) через со, где квадратные и фигурные
скобки означают следующее:

г „	если р = 2п,	. ,	если р = 2п,

р ___	j р 1_

-р ~1 , если р = 2пф-1,	2	если р = 2 + 1,

(7)

п — 1, 2,...

Метрический тензор gaa (Sp-1) на сфере £р-1 индуцируется
метрическим тензором gah (Rp) на евклидовом пространстве Rp,
в которое вложена сфера S₽-1, и задается в виде

Р== 1, 2, . . ., Р — 1, (8)

где

gtk (fip) = i, fe = 1, 2, . . ., р,

а d(J, обозначает частную производную по углу ф“ при а = 1,

2, ..., [-j"]’ и по ®2’	ПРИ а =	[4г]

ЦМ — соответственно.

При помощи формул (8) находим, что метрический тензор
gc?p (S₽-1) диагоналей в бигармонической системе координат и
имеет следующий вид:

1)	SO (2/0

gKK (S2"-1) = sin2 ()“g.^ (S2"-3),	x,	UI,	2,	. . .,	2n — 3,

U, 2,,-i (8'2,!-1) -cos2	a= 1,	2,	. . .,	2n,	(9)

8e, 2n-2 (S~n r) = 6e,2„_2,	в = 1,	2,	. . .,	2n 2;

2)	SO (2/t -I- 1)

gv-к (S’2,!) = sin2 (S2"-1), x, 1, 2, . . ., 2n — 1,
ga, « - 6a, 2л, a = 1, 2, . . ., 2n.	<10)

Поскольку метрический тензор ga$ (Sn) диагоналей в этой системе
координат, оператор Лапласа—Бельтрами (3) может быть разло-
жен на две или три части:

1)	SO (2/г)
при п = 1

при п = 2, 3, ...

Д (S1) = д2!д (ф1)2,

Л2	л

Д (S2"-1) = (cos2 О")-1 —-j- + (sin2"-3 0" cos О")-1---------(sin2"-3 0" cos 0") х

5ф	56"

х + (sin2 О")-1 Д (S2"-3);

2)	SO(2«+ 1), n= 1, 2, . . .

Д (S2") = (sin2"-1 0"+i)-i ^_(sin2"-10"+1)-Ar +	.

оо	оо sin" 6

Здесь Д (S2"“3) и Д (S2"-1) — снова инвариантные операторы
Лапласа—Бельтрами для групп SO (2п — 2) и SO (2п) соответ-
ственно, которые могут быть дальше разложены аналогичным
образом. Поэтому с помощью метода разделения переменных
можно выразить любую собственную функцию инвариантного
оператора Д (Sp) в виде произведения функций только одной
переменной. Поскольку оператор Лапласа—Бельтрами Д (Sp-1)
равен оператору Казимира второго порядка (9.6.48) группы
SO (р), его собственные значения %, р , с точностью до множи-
•т!

теля —2 даются формулой (9.4.64). Пользуясь этой формулой,
получаем х)

р = 3, 4, 5, . . .,

= ’'{?}('{<}zm-°- '•2'  •  110
1	1 ’ 4 1 ’	' I 2 /

Благодаря индуктивной конструкции оператора Лапласа—
Бельтрами мы можем разделить переменные в задаче на собствен-
ные значения для оператора Д (Sp-1) и получаем окончательно
обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

__________1_____________d

sin'2"-3» 6"COS 0" d6"

sin (2"-3> 0" cos 0"

d

de"

cos2 e"

61-1 (61-1 4~ 2» — 4)
sin2e"

+ /„(/„4-2n-2) z (en) = o (12)

"‘n’ ‘n-1

Доказательство того, что это представление ассоциируется со старшим
весом т -= р 0, Оу см. в разделе Б.
при р = 2п или

Г_______!__________sin<2n-1> fi”+1 d	2n ~~ %) 4-

[ sin*2"-1*e"+1 de"+1	de"+1 sin2e"+1

+ /„+1 (In+14- 2n - 1)14^+1 (0"+1) = 0	(13)

J ln

при p = 2n + 1.

Поскольку спектр (11) оператора Д (Sp_1) чисто дискретный,
решения уравнений (12) или (13) принадлежат гильбертову про-
странству квадратично интегрируемых функций относительно меры

п	п

П cos 0й sin(2ft-3> 0й 00й П d(p‘, р = 2п,

fe=2	i=l

dp^P”1) = | g(S₽^) p/2d(o =

п

sin2"-10'1+1 d0"+1 П cosOfcsin(2fc_3> ОЙ0ОЙ x

fc=2

n

X П d<|/,
i=i

p = 2n 4- 1.

(14)

Полагая в уравнении (12)

ilA (0") = tgl z"-i10" cos'" 0“ и (0")
mn' ln-l

и вводя новую переменную у = —tg2 0”, мы сводим (12) к стан-
дартному гипергеометрическому уравнению и получаем

! (°") = 1g'' °" cos'" 0" х
mrv ln~l

>< 2^1 [ -у (| ln-\ | — In 4- mn). 4" (I \~ln — mn),

/„_! + «-1; -tg20"]>	(15)

при p = 2

(ф1) = (2л)~1/2 exp (iwp1).

где ln, ln_i, mn связаны условием, что in (б") является
квадратично интегрируемой функцией относительно меры (14),
т. е.

+	= — 2s, s = 0, 1, . . [4- /„] .	(16)
Аналогично, полагая в уравнении (13) ib1"-11 (0"+1) =.= tgz" (О',+!) х
X cosz"+i (0"+1) и мы сводим его к гипергеометрическому
уравнению и получаем

(o',+1) = tgz" o"+1 cosz«+i o"+1 x

'<	| 4 < - Ur), T^-Ui + D. ln + n- -tg20"<’] (17)

с ограничением

ln^ln+i-k, /г = 0, 1, . . ln+l.	(18)

Как решения (15), так и (17) могут быть выражены через днм~
функции обычной группы вращения SO (3) [см. соотношение
(5.8.1)]. Ортонормированные базисы в соответствующих гильбер-
товых пространствах Н‘п (S2"-1) и (S2n) задаются тогда
выражениями

1)	SO(2n):

у\::; w - п »"	(»*) Д «ч>(«)

2)	SO(2n + l):

Y1»...z«+i (co) = AT1,2 sin1’" e"+1 d'z"+i n (0"+1) x

m^, ...» mn v 7 rz+1	/*2+1’v 1

n	J	n

X n Sin2-fc (0ft) d * ' (2Gfe) П exp (imsrps),	(20)

k=2	k	s—1

где Nn, Nn+1 — нормировочные множители, заданные согласно

Nn -2л" П (lk-i-k- l)-i,
/?=2

П	(21)

Mm = 4л" [2 (/п+1 + л) - 11-1 П (4 k - I)-1,
k=2

а индексы 7/г/, M'k определены согласно

Jk =4-(/* + /г~-2)'

7И,^ = -q- (nik -р /Л,_! k — 2),	= ш,,

1	(22)

Mk у ~~ Ле -i — ф 2), k = 2, 3, . .	/?,

^rj+l	’	^п+1 ' Ь 1 
Здесь //., k — 2, 3... п -|- 1 — неотрицательные целые числа,

mk, k — 1, 2, и, —- целые числа, удовлетворяющие условиям
(16) и (18).

Б. Неприводимость и унитарность

Пусть Н = L2 (S₽-1, р). Глобальные преобразования из
SO (р) в Н определяются посредством левых сдвигов, т. е.

Теи (х) = и (g~rx).	(23)

Генераторы однопараметрических подгрупп g(ik) (6). определяе-
мые при помощи равенства (1-41), согласно (23), имеют вид

Llk = xldk — xkdt, i, Л=1, 2, . . ., р.	(24)

На совокупность всех генераторов Lik натягивается алгебра Ли
группы SO (р) со следующими коммутационными соотношениями:

^rsl == ^is^jr “Ь ^ir^is

Ясно, ЧТО

[A(Sp),	= i, 1, 2, . . ., p,	(25)

так что на гармонические функции, ассоциированные с опреде-
ленным собственным значением оператора Л (Sp), натягивается
инвариантное подпространство пространства Н. Покажем теперь,
что это подпространство неприводимо; совокупность {L2k)
k = 1, 2, ...,	коммутативных генераторов образует под-

алгебру Картана в о (р). Используя соотношение (24) и вводя
бигармонические координаты, получаем

Л=1, 2, . . ., Г4-р].	(26)

1 дер	I- 2 J

Рассмотрим сначала группу SO (2п) и обозначим через Н1п про-
странство, натянутое на векторы (19). В силу (19) и (26) всякий
базисный вектор в Н1п является весовым вектором с весом т =
= (тп, mn_lt ..., mj). Воспользовавшись (16), находим, что тп
максимально (и тогда тп = /п), если 1п_г = 0; в свою очередь
в результате последовательного применения соотношения (16)
это предполагает, что тп__1 = тп_2 — • • • = тх = 0. Следовательно,
вес

« = (/„, 0, ..., 0)	(27)

представляет старший вес в Н1п. Любой другой допустимый стар-
ший вес в Htn, согласно (16), должен иметь вид

т' — (тп, 1п — тп, 0, 0, . . ., 0).	(28)
Однако обращение к соотношению (9.4.57) показывает, что только
вес (27) дает собственное значение (И) для оператора Казимира
второго порядка A (Sp-1). Таким образом, старший вес (27) яв-
ляется единственным. Следовательно, пространство представле-
ния Н1'1 неприводимо.

Пользуясь аналогичными аргументами и соотношениями (16)
и (18), можно показать, что в пространстве натянутом на
базисные векторы (20), реализовано неприводимое представление
группы SO (2zi + 1), определяемое единственным старшим ве-
сом т вида

/п = (/„+1, 0, . . ., 0).	(29)

Глобальные представления группы SO (р), определенные в Н1п
или Hln+X при помощи равенства (23), унитарны в силу инвариант-
ности меры р на

Замечание 1. Неприводимые представления группы SO (р),
р = 2н или р = 2/1 + 1, определяемые старшим весом (27) или
(29), в силу теоремы 2.6 соответствуют тензорным представле-
ниям, задаваемым разбиением Юнга Т = (Л-i, 0, ..., 0) с = 1п
или 1п+1. Следовательно, представления в Н1'1 или в Н'п+1 экви-
валентны тензорным представлениям, реализованным в про-
странстве симметрических тензоров ранга 1п или /,1+1 соответ-
ственно.

Замечание 2. В общем случае максимальный набор коммутиру-
ющих операторов для SO (р), в силу (1.55) и (1.56), содержит
р2/4 (р четно), или — (р нечетно) операторов.

Для этих специальных представлений максимальный набор
коммутирующих операторов является наименьшим и состоит из

QP -
и

A[SO(p)], A[SO(p — 2)], . . ., A [SO (4)] при р четном,
A[SO(p)], A [SO (р-1)], A[SO(p —3)], . . ., A [SO (4)]
при р нечетном, р > 3,

A[SO(3)[ при р = 3

~Г’ *==1,2,..
dqi

1

Набор Н состоит из операторов подалгебры Картана. Спектры
собственных значений U, ..., /< р ,, /щ, ..., т, р , определяются
l~)	'“‘fl

соотношениями (16) и (18).

Бигармоническая система координат является, по-внднмому,
наиболее удобной с точки зрения физических приложений: если
с каждым оператором, входящим в максимальный набор коммути-
рующих операторов, ассоциировать физические наблюдаемые,
то тем самым фактически будет выявлено максимальное число
линейных законов сохранения, поскольку всякий оператор под-
алгебры Картана диагоналей в бигармонической системе коор-
динат.

§ 4.	Метод операторов рождения и уничтожения

В элементарной квантовой механике одной частицы с сопря-
женными динамическими переменными р и q, [р, q] = —i, хорошо
известно, что операторы, определяемые в виде

а + й* = TY~(1)

и называемые соответственно операторами уничтожения и рожде-
ния, удовлетворяют коммутационному соотношению

[а, а*]=1.	(2)

Своими названиями они обязаны тому факту, что гамильтониан
Н = ///2 ф- </2/2 линейного гармонического осциллятора прини-
мает вид (в единицах fiw = 1, т = 1)

Н = а*а-\-±-,	(3)

так что если | 0) (= ехр [— \ 2 х2]) — основное собственное
состояние оператора Н с энергией 1/2, то а* 10) является другим
собственным состоянием Н с энергией (1 + г/2),	— соб-

ственным состоянием с энергией (2 + V2) и т. д. Кроме того,
а (а*п) | 0) пропорционально а* "-110) и а 10) = 0. Таким образом,
а* рождает одну единицу «возбуждения» (т. е. повышает энергию),
а а уничтожает одну единицу «возбуждения» (понижает энергию).

Понятно, что алгебра Ли (2) эквивалентна алгебре Гейзенберга
Ip, ql = —i.

Соотношения (1), (2) и (3) легко обобщаются на совокупность
независимых операторов рождения и уничтожения:

[щ, а;] = [ц,-, ц?] = 0,	[щ, (7}] =6,;-, i, / = 1, 2, . . ., N, (4)

и

N

Н = £ (7М7, - j- N/2,	(5)

i 1

так что собственные состояния оператора Н содержат 1Ц возбу-
ждений типа 1, /г2 возбуждений типа 2 и т. д., то есть
Операторы a,, a*i называются также бозонными операторами.
Чтобы пояснить эту терминологию, реинтерпретируем состоя-
ния (6) следующим образом. Рассмотрим квантовую механику N
тождественных частиц. Пусть i — индекс, обозначающий сово-
купность квантовых чисел, характеризующих состояния одной
частицы (эти квантовые числа могут быть дискретными или не-
прерывными с соответствующими областями изменения); другими
словами, полным набором одночастичных состояний являются
фг, i = l, 2, .... Согласно общему постулату квантовой теории
неразличимых частиц, различными состояниями системы N тожде-
ственных частиц являются только те, которые характеризуются
числом частиц /г,- в состоянии <pz, i = 1, 2, .... Таким образом,
состояние (6) можно интерпретировать как пг частиц в состоянии
<Р1, «г частиц в состоянии ф2 и т. д. Следовательно, ак рождает
частицу в состоянии k, ak ее уничтожает.

Пусть Н — пространство состояний системы бозонов с базис-
ными векторами | пз« •••)> нумеруемыми числами заполне-
ния, а V — пространство одночастичных состояний.

В Н операторы а/ и aj действуют следующим образом:
пп) = |//г£- |%, . . ., щ_ъ щ — 1, н1+1, . ., пп),
____________________________	(7)
a*\nt, П2, . . ., Пп) = V nt 4- 1 |«1, • 	Щ-1,	1> fli+l,   )•

Непосредственные вычисления показывают, что из этих равенств
действительно получаются коммутационные соотношения (4).
В 20.2 мы покажем, что с точностью до эквивалентности существует
только одно неприводимое (интегрируемое до группы) представле-
ние канонических коммутационных соотношений (4).

Следующий пример демонстрирует другую интересную реали-
зацию канонических коммутационных соотношений (4).

Пример 1. Пусть Н — гильбертово пространство функций
комплексных переменных zlt ..., zn со скалярным произведением

(и, j’) = j и (z) v (z) exp (—zz) dz dz,	(8)

где

п

dzdz ^a " П d.iydz//., zk = хк ф(9)
k—i

Тогда отображение

>zh	(10)

определенное на аналитических функциях и (z) в Н, задает пред-
ставление алгебры Ли (4).
Построение алгебр Ли из билинейных комбинаций
операторов рождения и уничтожения

Физические величины наподобие энергии (3), момента количе-
ства движения M;j = qjpj — p^q, и т. п. являются билинейными
формами вида

cijcucij.

Это наталкивает на мысль строить все базисные элементы Xt
алгебры Ли L в виде таких билинейных комбинаций. Действи-
тельно, пусть ah i = 1, 2, п, — совокупность бозонных опе-
раторов в гильбертовом пространстве Н. Положим А/ = a*aj.
Тогда с помощью соотношений (4) получаем

[Ар Аг] = ^ik^n — &цА11г.	(11)

Следовательно, в силу (9.4.2) набор |A/]"/=i образует совокуп-
ность генераторов алгебры Ли gl (и, С). Поскольку любая алгебра
Ли является подалгеброй в gl (и, С), по теореме Адо любая другая
комплексная или вещественная алгебра Ли генерируется подна-
бором набора {А/}г,/=1- В частности, воспользовавшись (1.6),
находим, что операторы

Mkk = akak, k = 1, . . ., п,

АДг— HftO/ 'а/6/fe,	1

! K< / c n,
АД / = i (ci*kai — a}ak), J

(12)

генерируют алгебру Ли и (ri).

Аналогично, воспользовавшись (1.42), находим, что операторы

Xik = a*a.k — dkCH

(13)

генерируют алгебру Ли so (ri). Явное построение генераторов
алгебры sp (п) дано в упражнении 6.4.5.

С помощью операторов рождения и уничтожения можно также
построить некомпактные алгебры Ли, такие, как и (р, q), so (р, q),
SP (Р< ?) ит. п. В качестве иллюстрации дадим построение генера-
торов для алгебр Ли и (р, q), которые часто используются в физике
частиц. Пусть щ, a*j, i, / = 1, 2, ..., р, и b't, b*., i, j = р + 1, ...
••> р + q, — наборы операторов рождения и уничтожения,
удовлетворяющих соотношениям

[(7/, п7]==6/.-, 1ft-, ft-| = 6—
‘	/ I i !
а все остальные коммутаторы равны нулю. Определим совокуп-
ность А операторов при помощи таблицы, состоящей из билиней-
ных произведений

А/

А*~

i1

—а* а, + г6(-;

-Ь?й/

а*Ь

(15)

b~b% Ц- гб,.

где г — произвольное вещественное число. Легко проверить, что
элементы из совокупности А удовлетворяют коммутационным
соотношениям алгебры Ли gl (р 4- q, R), тогда как операторы

Мш = Ал, k— 1, 2, . . ., n,
= Akl 4- Alk, Mkl = i (Akl — Alk\ k c I c t

N ~ = А А~ , N ~
kl kl	I k	k i

<1,

(16)

генерируют алгебру Ли и (р, q).

Пользуясь (7), можно построить затем представления всех
этих алгебр Ли.

§ 5.	Комментарии и дополнения

а.	Алгебраический метод построения неприводимых представ-
лений, рассмотренный в § 1, был разработан Гельфандом и Цет-
линым в [322, 323]. Они выписали только конечные формулы,
такие, как (1.14)—(1.19). Бэрдом и Биденхарном в [32] был дан
интересный вывод этих формул, основанный на теории Вейля
тензорных представлений, а также исправлены некоторые формулы
в оригинальной работе Гельфанда и Цетлина. В 1965 г. Гельфанд
и Граев обобщили и усовершенствовали этот формализм, им уда-
лось вычислить матричные элементы глобальных конечномерных
представлений GL (п, С); алгебраический подход они распростра-
нили также на теорию представлений некомпактных алгебр Ли.
Мы излагаем эту теорию в гл. 11. Подробный анализ представле-
ний алгебр и (п), so (zi), и (п, 1) и so (ti, 1) на языке схем Гель-
фанда—Цетлина был сделан Оттосоном [653, 654]. Пользуясь
техникой Гельфанда—Цетлина, Холмэн и Биденхарн в [419]
дали альтернативный вывод различных результатов для представ-
лений и (п).

Между базисными векторами Гельфанда—Цетлина и компонен-
тами тензора существует взаимно однозначное соответствие.
Действительно, рассмотрим ассоциированные со старшим весом
т = (т1н, т2п, т,1П) схемы Гельфанда—Цетлина (1.11) и обра-
зуем схему Юнга, которая содержит:
в первой строке символов 1, после которых
(/7212 — т11) СИМВОЛОВ 2, . .	(/721п— /72lrt_i) СИМВОЛОВ 11,

во второй строке /7222 символов 2, после которых
(/7223 — /7222) символов 3, . . ., (т2п — символов /г,

в k-й строке mkk символов k, после которых

(mk,k+l - tnkk) СИМВОЛОВ (k 4- 1), .... (rnktl — ткп_1) символов п.
Очевидно, что этот рецепт дает взаимно однозначное соответствие
между базисными векторами Гельфанда—Цетлина и компонентами
тензора; компонента тензора (2.14), соответствующая старшему
вектору rn, полученному этим способом, имеет старший вес т =
= (/721п, т2п, ..., тпп) в силу соотношения (2.17). Соответствие
между схемами Гельфанда—Цетлина и базисными векторами
| пъ ..., /г„), определенными согласно (4.6), было установлено
Холмэном и Биденхарном 1419].

б.	Теория тензорных представлений простых групп Ли создана
главным образом Вейлем [842]. Теория Вейля основывалась на
связи между группой перестановок и линейными группами. Здесь
мы изложили подход, опирающийся на понятие индуцированных
представлений. Начало этому подходу положил Годеман, а окон-
чательно он был разработан Желобенко.

в.	Теория гармонических функций на компактных симметриче-
ских пространствах восходит также к Вейлю [840]. Впоследствии
усилиями Годемана [334] и Хариш-Чандры [374, 375] она пре-
вратилась в один из основных инструментов анализа неприводи-
мых представлений полупростых групп Ли. Представленный
в § 3 случай гармонических функций группы SO (/г) был разра-
ботан Рончкой, Лимичем и Нидерле [701 ]. Ими же этот подход
был распространен на некомпактные группы SO (р, q) (гл. 15, § 3).

Гармонические функции и соответствующие неприводимые
представления могут быть построены также для других классиче-
ских групп Ли. Случай U (/г) исследовался Рончкой и Фишером
в [700 |. Они построили класс гармонических функций, определяе-
мых одним и двумя инвариантными числами. Случай симплекти-
ческих групп Sp (/г) рассматривали Паяс и Рончка [658].

Гармонические функции для некомпактных унитарных групп
U (р, q) были построены Фишером и Рончкой [261 I, а для Sp (р,
q) — Паясом в 1969 г.

В 1955 г. Вигнер показал, что теория представлений евклидо-
вой группы представляет собой основу для теории функций Бес-
селя; в частности, он показал, что закон умножения элементов
группы предполагает различные функциональные соотношения
для бесселевых функций. Впоследствии Виленкин в серии статей
распространил этот подход на другие специальные функции.
Результаты Виленкина собраны в его монографии [819]. Недавно
появились и другие монографии, посвященные исследованию
специальных функций математической физики с точки зрения
представлений групп, а именно, Миллера [594] и Талмана [801];
последняя основана на лекциях Вигнера 1955 г.

г.	Операторы рождения и уничтожения своим началом восхо-
дят к квантовой теории осцилляторов и излучения (Дирак). Фо-
ковское пространство было введено в 1932 г. (Фок). Представле-
ния бесконечномерных операторов Ферми и Бозе были даны впер-
вые Гордингом и Вайтманом в 1954 г., после чего в этом направле-
нии была проделана значительная работа.

Гильбертово пространство целых аналитических функций
восходит, по-видимому, к Лондону, но в законченном виде было
введено Баргманном [39] и в 1965 году распространено Сигалом
на бесконечную систему операторов рождения и уничтожения.

Построение представлений компактной алгебры Ли su (2)
при помощи операторов рождения и уничтожения было осуще-
ствлено Швингером. Некомпактный случай обсуждался Барутом
и Фронсдэлом [75] для su (1,1) и Андерсоном, Фишером и Ронч-
кой [12] для и (р, q).

§ 6.	Упражнения

§ 1.1.	Постройте неприводимые представления алгебры Ли
sp (и), пользуясь методом Гельфанда—Цетлина.

Указание. Разработайте структуру схем Гельфанда—Цетлина,
используя разложение неприводимых представлений sp (п) от-
носительно цепочки последовательных максимальных подалгебр
алгебры sp (и).

§ 2.1.	Покажите, что определяющее представление L группы
Лоренца"в Р4

х —> х* = Lx

эквивалентно представлению £><’/»• */»), т. е.

De,2.y2^TLT-i

§ 2.2.	Покажите, что генераторы группы Лоренца для пред-
ставлений £)<'/»• °> и £)<°. */«) могут быть выбраны в виде [k =
= 1, 2, 3)

r(i./2, 0) __	1 . дтЦ/г, о) _ 1

Jk — g 10^» k — g Ф>,

НО, 1/2)
Jk

1 •	дг(0, 1/2)	1

у KTfc, м =
§ 2.3. Покажите, что представление £)<*/» о) (g £)(о.*/г) груп-
пы SL (2, С) можно записать в виде



ехр(’Ггг’"2) = cos'f'+ iW-S sin-^-
для специальных вращений,

ехр (--g-u-aj ~ ch^5— K-ash-g-

для специальных преобразований Лоренца,

(2)

где w и и — единичные векторы в направлении w и и, u> = ]w|,
и = | и | и

Г<т 01	Г—о 01

2 = „	, а = I „ I •

[0 ст]	[ 0 aj

(3)

§. 2.4. Покажите, что неприводимое представление
группы SL (2, С) может быть реализовано в пространстве симме-
трических бесследных тензоров .....м^..

§. 2.5. Покажите, что представления Ь(й°) и DC0-/) группы
SL (2, С) удовлетворяют следующим равенствам:

£Д/, о) = т-2/ (ар) 0 (ар) 0 • • • 0 (ар) (2/ раз),

£)(о. /)	= rn-2/ (ар) 0 (ар) 0 • • • 0 (ар) (2j раз),

где а — —а.

§ 4.1.	Пусть

ak = 2—1/2 (xk -|- idk), ak = 2~l,2(Xk— idk), 6=1, 2,3,
и

Xki — o.kOi 4~	6/

(4)

Покажите, что на операторы (4) натягивается алгебра Ли и (3).

Покажите, что в пространстве Н = L2 (Rs) реализуются лишь
наиболее вырожденные представления и (3), характеризуемые
старшими весами т — (т, 0, 0). Покажите, что наименьшими раз-
мерностями этих представлений являются 1, 6, 10 и 15.

Указание. Покажите, что операторы Казимира С2, С3, С4, ...

з
являются функциями оператора Сг — ZjX,,.
§ 4.2.	Пусть Н = L2 (/?"), и пусть a-t и at, I — 1, 2.п —

операторы уничтожения и рождения, заданные согласно

at = 2“1/2 (qi 4- \pt), a*t —	(5>

Покажите, что вектор

10) = nr"/4 exp ( —	(6)

удовлетворяет условию

az |0> = О
и

(а;Г|0) = Яр(х'1)|0), /7=1,2,...,	(7)

где Нр (х,) — нормированные полиномы Эрмита.

§ 4.3.	Положите

ea(z) = exp(az).	(8)

Покажите, что функции (8) удовлетворяют условиям (по отно-
шению к скалярному произведению (-, •), заданному при помощи
(4-8))

(еа, еь) = еь(а), (еа, и) = и{а),	(9)

так что они играют роль 6-функций Дирака.

§ 4.4.	Пусть М, N и R — п X «-матрицы. Покажите, что
справедливы тождества

\а*Ма, а*Ма\ = а* [М, 7V] а,

[aNa, a*Rd*] = a*(RTNT Д- RtN Д- RNt Д- RN) а,

[a*Na, aRa] = —a (RTN 4- RN) a,

[a* Ma, a*Ra*\ = —«* (RMT 4- RM) «*,
где a*Ma = atMikak и т. п.

§ 4.5.	Пусть at, at, i = 1, 2, ..., n — набор бозонных опера-
торов. Покажите, что билинейные комбинации

Fij = a{ah G1-/ = g14-4-4-6<7. Нч = аЩ (И)

удовлетворяют коммутационным соотношениям

[G(/> Gw] = 6/ftG„-6„G/ft,	(12)

[Fih GH] = 6^4-W/	(13)

и образуют алгебру Ли sp (п, С).

§ 4.6.	Найдите набор Мпт матриц, таких, что билинейные
комбинации а*Мпта образуют

1)	алгебру Ли и (п),

2)	алгебру Ли so (/г).
§ 4.7.	Пусть операторы bk удовлетворяют антикоммутацион-
ным соотношениям

[bh bk]+ = 0 = [b*t, b*k]+, [bh b*k]+ = 8lkl, I, k = 1, 2_n. (14)

Покажите, что представления алгебры (14) эквивалентны пред-
ставлениям конечной группы порядка 2".

§ 4.8.	Обозначим через Z+ множество положительных целых
чисел, а через Ak, k £ Z+ — копию алгебры всех матриц ранга
два с комплексными элементами. Пусть А = ® Ak, и обозначим



через at, р = 0, 1, 2, 3, каноническое вложение в А единицы о°
и матриц Паули oz, I = 1, 2, 3, из ЛА. Покажите, что

bk =-£	• • • од-i (о* 4- ioi),

bk = 4>- CT1O2 • • • Oft-l (<4 — xcr*)

(15)

удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям
(14) с п = оо.
Глава 11

Теория представлений алгебр Ли
и обертывающих алгебр
неограниченными операторами:
аналитические векторы
и интегрируемость

В данной главе мы излагаем общую теорию представлений алгебр
Ли и обертывающих алгебр линейными неограниченными опера-
торами в гильбертовом пространстве. Это одна из наиболее инте-
ресных и в то же время трудных областей современной математики.
Она требует знания алгебры, топологии, функционального ана-
лиза и дифференциальных многообразий. Теория дает также
строгую формулировку различных задач квантовой теории и
физики частиц.

Даже в нерелятивистской квантовой механике такие наблю-
даемые, как координаты, импульсы и угловые моменты, представ-
ляются дифференциальными операторами в частных производных,
которые неограничены в пространстве физических состояний.

В § 1 рассматривается теория Гординга представлений алгебр
Ли неограниченными операторами. В § 2 мы распространяем эту
теорию на обертывающую алгебру; Е^алгебры Ли. В частности,
мы выводим фундаментальную теорему, которая определяет,
когда элемент Y из Е существенно самосопряжен.

Основное понятие аналитических векторов и аналитической
доминантности операторов вводится в § 3. Здесь мы выводим ряд
важных теорем об аналитических векторах для самосопряженных
операторов и аналитической доминантности в алгебрах Ли и обер-
тывающих алгебрах.

В § 4 мы вводим понятие аналитических векторов для пред-
ставления Т группы G и показываем, что аналитические векторы
для представлений алгебр Ли и для представлений групп совпа-
дают. Мы также показываем, что аналитические векторы для опе-
ратора Нельсона А = xf Н---Н х%, d = dim L, также являются

аналитическими векторами для представлений групп.

В § 5 содержится критерий Нельсона об интегрируемости
кососимметрического представления алгебры Ли L до глобального
унитарного представления соответствующей односвязной группы
Ли G.

В § 6 представлена красивая теория интегрируемости пред-
ставлений алгебр Ли, разработанная Флато, Саймоном, Снелма-
ном и Стернгеймером. Эта теория базируется на понятии слабой
аналитичности и позволяет выразить условия интегрируемости
в терминах свойств генераторов Ли алгебры Ли. В противополож-
ность теории Нельсона в большинстве практических случаев она
сводит задачу интегрируемости к задаче проверки простых свойств
дифференциальных операторов первого порядка. Выведенный
критерий интегрируемости может быть легко проверен в приложе-
ниях и важен для квантовой физики.

В § 7 излагается изящный метод явного построения плотного
множества аналитических векторов для представления Т группы G,
используя решения уравнения теплопроводности на G. Это мно-
жество является общей инвариантной областью определения для
алгебры Ли группы G и ее обертывающей алгебры.

Наконец, в § 8 описана техника Гельфанда—Цетлина для
построения неприводимых представлений алгебры и (р, q), исполь-
зующая диаграммный метод.

Приложения в квантовой теории рассматриваются в гл. 12,
13, 17, 20 и 21.

§ 1.	Представления алгебр Ли неограниченными операторами

А. Общие свойства представлений алгебр Ли

В конечномерном случае представление X -> Т (X) алгебры
Ли L определялось как гомоморфизм из L в gl (n, С), т. е. для
X, Y из L и а, Р из С1 мы имеем

аХ + РУ — аТ (X) + рТ^У),	(1

[X, У] — [Т (X), Т (У)] = Т (X) Т (У) - Т (У) Т (X),	(2)

где Т (•) — элемент из gl (п, С) (см. гл. I, § 1.В). Равенство
IT (X), Т (У) 1 = Т (X) Т (У) — Т (У) Т (X) следует из того
факта, что каждая алгебра Ли L является подалгеброй в gl (п, С),
в которой коммутационные соотношения совпадают с [X, У ] =
— ХУ — УХ.

Одной из основных трудностей в общей теории представлений
алгебр Ли является тот факт, что во многих важных случаях пред-
ставители Т (X) элементов алгебры Ли заданы неограниченными
операторами (см. пример 1). Поэтому мы должны рассматривать
задачу выбора собственной общей области определения D для
множества неограниченных операторов. Это фундаментальная
проблема функционального анализа. Обзор основных результа-
тов функционального анализа дан в приложении Б. Читателей,
не знакомых с этими результатами, мы отсылаем к этому при-
ложению.

Поскольку мы хотим рассматривать наряду с представителем
Т (X) сопряженный оператор Т (X)*, общая область определения D
должна быть плотной в пространстве представления И. Однако
область определения не может совпадать со всем пространством,
так как на таких областях определения определены только огра-
ниченные операторы (см. приложение Б, лемма 1.2). Более того,
поскольку мы хотим определить коммутатор Т (X) Т (Y)—
Т (Y) Т (X) для представителей Т (X) и Т (У), область значе-
ний R (Т (X)) должна лежать в D для любых X из L. Поэтому
область D должна быть инвариантной. Следовательно, мы прихо-
дим к следующему общему определению представления абстракт-
ной алгебры Ли L.

Определение 1 Представление Т алгебры Ли L в гильберто-
вом пространстве Н — это любой гомоморфизм X -> Т (X),
X £ L, из L и множество линейных операторов, имеющих общую
линейную плотную инвариантную область определения D.

Определение 1 означает, что для произвольных X, Y из L,
а, 0 из С1 и и из D имеем

Т (аХ 4- {ЗУ) и = аТ(Х) и + РТ (У) и,	(3)

Т ([X, У]) и = [Т (X), Т (У)] и = (Т (X) Т (У) - Т (У) Т (X)) и. (4)
Заметим, что, согласно (4),

[Т(Х), [Т (У), T(Z)\\u X[T(Y), [T(Z), Т(Х)]]и +

+ (T(Z), (T (X), T(Y)]]u — Q,

t. e. тождество Якоби выполняется автоматически.

Поскольку область D инвариантна, любое представление Т
алгебры Ли L может быть расширено до представления оберты-
вающей алгебры.

Множество N = Т"1 (0) cz L является идеалом в L. В самом
деле, если X £ N и У £ N, то Т ([X, У]) = [Т (X), Т (У) 1 = 0,
т. е. [X, У] £ N. Поэтому, в частности, нетривиальные представ-
ления простых алгебр Ли точны, т. е. отображение X Т (X)
взаимно однозначно.

Представление Т алгебры L называют кососопряженным (косо-
симметрическим), если гомоморфизм X ->• Т (X) отображает L
в множество кососопряженных (кососимметрических) операторов.
Ясно, что в кососопряженном представлении Т операторы i Т (X)
самосопряжены (эрмитовы) и удовлетворяют коммутационным
соотношениям с чисто мнимыми структурными константами.

Представление Т топологически неприводимо, если не суще-
ствует собственного замкнутого подпространства Н' ас Н, содер-
жащего общую линейную инвариантную относительно L область
определения D' а Н', которая плотна в Н'.

Пример 1. Пусть L — алгебра Ли группы Пуанкаре, и пусть
Н = L2 (Q), где П — четырехмерное пространство Минковского.
Коммутационные соотношения для L даны в (1.1.23а—в). Можно
проверить, что следующие формальные дифференциальные опе-
раторы

= *iA ~	= v. Н=°.	2- 3>	<5>

где дц = д!дх^ удовлетворяют этим коммутационным соотноше-
ниям. Чтобы получить представление Т алгебры L, следует опре-
делить общую плотную линейную инвариантную область опреде-
ления D для операторов (5). Мы можем взять одно из следующих
двух плотных подпространств в L2 (Q):

1°	о=сгя	(6)

2°	D = S (Q);	(7)

здесь S (Q) — пространство Шварца С00 (й)-функций ф (х) с

supA | xaD4p (х) | <' сю,	(8)

где

х“ = л'“'’л'“‘л'“2л'з8,	(9)

D₽ = д|₽7дхс₽«дхМгдх|Ь, IP | = + ₽i + ₽2 + й> (10)
«и, fV = °> 1. 2, . . ., p = 0, 1, 2, 3.

Легко проверить, что все генераторы (5) кососимметричны на этих
областях и что эти области инвариантны для операторов (5).

Б. Теория Гординга

Рассмотрим теперь стандартный метод построения общей
линейной инвариантной плотной области определения для пред-
ставления X -> Т (X) алгебры L, задав представление х Тх
соответствующей группы Ли G. Пусть х (/) = exp (tX), X £ L, —
однопараметрическая подгруппа в G, а Тх — соответствующая
однопараметрическая подгруппа операторов. Если для и £ Н
существует	— I) и, то действие генератора Т (X)

подгруппы Тхщ определяется формулой

7'(Х) и = lim t~l(Tx (м — /) и х (t) = exp (/X).	(11)

Множество всех и £ Н, для которых правая часть соотношения
(11) определена, называют областью определения для Г (X).

Пусть С“ (G) — множество всех бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем в групповом пространстве G,
и пусть Т (<р), ф £	(G), — новый «сглаженный» оператор,
определенный формулой (теорию интегрирования операторных
функций см. в приложении Б.2)

Т (<р) и = j ф (х) Txii dx, и £ И.

G

(12)

Обозначим через Da линейное подпространство, натянутое на все
векторы и (ф) = Т (ф) и, и £ Н. Следовательно, для и (ф) £ De
имеем

Tuii (ф) = и (Т^ф).

В самом деле,

T^zz (ф) = j ф (х) Tyxii dx = j ф (z/-1z) Tzu dz = j (Д/|) (z) Tzu dz. (13)
G	G	G

Теорема 1. Пусть T — представление группы Ли G в гильбер-
товом пространстве Н. Тогда

1° подпространство Da плотно в Н,

2° подпространство Da является общей линейной инвариант-
ной областью определения для генераторов однопараметрических
подгрупп из G.

Доказательство. 1°. Пусть ф С (G) с носителем К та-
кая, что

Ф > О,

j ф (х) dx = 1.

к

Тогда, согласно (12), для любого и из Н имеем
и (ф) — и = J ф (х) (Гх — Г) и дх.
о

Поэтому

|| и (ф) — и || < шах || Тхи — и ||.
х^К

Следовательно, если К стягивается к единице е вС, то, согласно
непрерывности Тх, и (ф) -> и. Поскольку и — произвольный
вектор из Н, то множество Da векторов (2) плотно в Н.

2°. Пусть у (t) = exp (tY) — однопараметрическая подгруппа
в G. В силу инвариантности меры Хаара dx на G получаем

f Ф (У-1 (0 х) Тхи dx = j ф (х) Ту w хи dx = Ту (<) j ф (х) Txii dx.

G	G	G

Поэтому

Г1 (Ту (О — 011 (ф) == J f11ф (У"1 (0 х) — Ф (X)] Тхи dx. (14)
G
Для ВСЯКОГО V из И функция | Л1 [ф (у-1 (О Л') - - ф (%) ] (Тл11, и) |
интегрируема на G и предел при / -> 0 лежит в С“ (G). Поэтому,
используя теорему Лебега (приложение А.6), мы можем переста-
вить lim со знаком интеграла. Тогда при /->0 получаем

Т {¥) и (ф) = и (У ф),	(15)

где

(Уф)(х) -- lim	ес	।

задает действие левого регулярного представления алгебры L
в пространстве Со (G). Поэтому для любого и (ф) из Da и любого
генератора Т (У) Т (У) и (ф) также лежит в Do. Это означает,
что Dc является общей инвариантной плотной областью опреде-
ления для всех элементов алгебры Ли L группы Ли G. Очевидно,
что эта область линейна.

Область Dg называется подпространством Гординга.

Замечание 1. Отображение У -> У, заданное формулой (16),
является представлением алгебры Ли L правыми инвариантными
дифференциальными операторами первого порядка, действующими
в С“ (G).

Следствие 1. Пусть L — алгебра Ли [группы G, и пусть
х-^Т\—представление группы G. Тогда отображение X ->
-> Т (X), X (- L, заданное формулой (15), является представле-
нием алгебры L.

Доказательство. Так как Dc является общим линейным плот-
ным инвариантным подпространством в Н и условие (3), очевидно,
выполнено, достаточно проверить условие (4). В самом деле,
согласно (15), имеем

Т\Х, У] и (ср) = и ([X, У] ср) = и [(ХУ — УХ) <р] =

= Т (X) и (Уф) - 7 (У) и (А» = (Т (X) Т (У) - Т (У) Т (X)) и (Ф) =
= [Т(Х), Т(У)]«(ф).

Замечание 2. В силу инвариантности DG мы можем определить
с помощью (15) действие любого элемента

М = S %	‘

обертывающей алгебры Е алгебры Ли L формулой

Т (Л1) и (ф) = и (Л4ф), Л1С Е,	(17)
где М — «левый» дифференциальный оператор на С" (G), соот-
ветствующий элементу М из Е. Поэтому представление X Т (X)
алгебры L может быть расширено до представления М —> Т (Л1)
обертывающей алгебры Е.

Утверждение 2. Пусть х-+ Тх — унитарное представление
группы Ли G. Тогда операторы \Т (X), X £ L, симметричны.

Доказательство. Пусть и, v £ DG. Тогда

(iT (X) и, о) = lim Г1 ((iTx </> — /) и, о) = lim П1 (и, —i (Тх — /) о).
с>о	с>с

Так как для унитарного представления Тх = Tx\ti = Тх (()~г —
— Тх(-п> мы получаем

(iT (X) и, v) = lim t~l(u, —i (Тх	— /) и) ==

= lims-1(zz, i(7\(s) — I)v) = (и, iT(X)v).

s->0

Пусть T — представление группы G в Н. Вектор и из Н назы-
вают бесконечно дифференцируемым или регулярным вектором для
Т, если отображение х -> Txii из G в Н принадлежит классу С°°.
Говорят, что вектор и из Н аналитичен для Т, если отображение
х^- Т.и из G в Д аналитично. Каждый элемент и (<р) из Da яв-
ляется регулярным вектором для Т. Действительно, используя
те же аргументы, что и в доказательстве пункта 2° теоремы 1,
для любого п = 1, 2, ... получаем

(<р) = д^ J Т (у) Тхуи бу = <?;<п) J <р (х-'у) Туч Фу =
G	О

^\д\П}^(х-уу)ТуиФу.	(18)

G

Поскольку dfn)<p (x~'y) G Со, то определены частные смешанные
производные всех порядков и, следовательно, DG является плот-
ным множеством регулярных векторов для Т. В § 4 и 6 мы опи-
шем конструкцию Нельсона и Гординга плотного множества ана-
литических векторов для Т.

Иногда удобно в качестве области определения операторов,
представляющих заданную алгебру Ли L, брать подпространство D
в Н, отличное от подпространства Гординга DG. Например:

1° Если Т — квазирегулярное представление группы G на
однородном пространстве G/Н, то D = С" (G/Н) — естественная
область определения.

2° Если Т — ограничение к G представления более широкой
группы, то в качестве области определения может быть взято под-
пространство Гординга более широкого представления. Мы исполь-
зуем эту область для вывода результатов Нельсона—Стайнспринга
(§ 2, следствия 1—5).

3° Если И = L2 (Q) и L задана формальными дифференциаль-
ными операторами, то в качестве области определения для пред-
ставления Т алгебры L может быть взято подпространство С" (Q)
или пространство Шварца S.

4° В качестве области определения может быть взято про-
странство аналитических векторов для представления Т группы G,
сопоставляемых с оператором Т (А) = Т (XJ2 + • • • + Т (Х</)2.
d = dim L (§ 4). Мы используем эту область для решения задачи
интегрируемости заданного кососимметрического представления
алгебры Ли до глобального унитарного представления соответ-
ствующей группы Ли (§ 5).

5° В качестве области определения может быть взято про-
странство аналитических векторов для представления Т группы G,
сопоставляемых с генераторами Ли представления Т (L). Это
пространство наиболее удобно в приложениях (§ 6).

6° В качестве области определения может быть взято про-
странство аналитических векторов для представления Т группы G,
сопоставляемых с решениями так называемого уравнения тепло-
проводности на группе Ли (§ 7).

§ 2. Представления обертывающих алгебр неограниченными
операторами

Мы утверждали, что большинство наблюдаемых в квантовой
теории и в физике частиц является элементами обертывающей
алгебры. Чтобы гарантировать правильную интерпретацию изме-
рений, мы требуем, чтобы эти наблюдаемые представлялись по
крайней мере существенно самосопряженными операторами. Среди
физиков широко распространена вера в то, что в унитарном пред-
ставлении группы Ли элементы обертывающей алгебры всегда
являются существенно самосопряженными операторами. Сле-
дующий контрпример фон Неймана (не опубликовано) показы-
вает, что это не так.

Пример 1. Пусть G — трехмерная нильпотентная группа всех
вещественных матриц вида

1 а у
О 1 р
-ООП

а, Р, у Р/?1.

Закон композиции в G задается формулой

[я, Р> Т1 [<*', Р', y'i = [« + o'/, Р + р', у + ар' -р у'].
Подгруппа [0, 0, у], у £ Z?1, является центром в G.

(1)

(2)
Пусть Н = L2 (—оо, оо). Отображение

Ла, P.v]“ (х) = ехр Пл (у 4- х0)] «г (х ф-а), и^Н, (3)
определяет унитарное представление группы G в И. Согласно
определению (1.11), мы находим, что генераторы однопараметриче-
ских подгрупп группы G, соответствующих параметрам а, 0
и у, имеют вид

T(X) = d/dx, T(y) = iV, T(Z) = iX.	(4)

Например, для подгруппы [0, 0, 0], согласно (1.11) и (3),
имеем

Т (У) и == lim ex.PLi?4^ -» = ixxw.	(5)

В->о Р

Генераторы (4) удовлетворяют соотношению [Т (X), Т (У)] =
= Т (Z), которое при X = —1 эквивалентно гейзенберговым
коммутационным соотношениям [р, q] = —i. Следовательно,
обертывающая алгебра для G отображается на множество всех
обычных дифференциальных операторов с полиномиальными коэф-
фициентами. Хорошо известно, что многие из этих операторов
симметричны, но не существенно самосопряжены.

Этот пример показывает, что унитарность представления
группы не гарантирует того, что образы элементов обертыва-
ющей алгебры Е представляются существенно самосопряженными
операторами. Поэтому мы должны найти некоторый дополнитель-
ный критерий, который позволит определять, когда элемент М
из Е представляется существенно самосопряженным операто-
ром Т (М).

Мы видели, что представители \Т (X), X £ L (G), в унитарном
представлении Т группы G являются симметрическими операто-
рами на области Гординга Da (§ 1, Б, утверждение 2). Теперь
мы расширим этот результат на определенные элементы оберты-
вающей алгебры Е алгебры Ли L. В дальнейшем мы будем иметь
дело с универсальной обертывающей алгеброй правоинвариантной
вещественной алгебры Ли L (гл. 3, § 3, Е).

Определим в Е операцию 4- формулой

=	...i Xi Xi -^М+= S at ... < Xt • •• X-,	(6)

*1 ln

где для каждого X из L

Х+ = -X.	(7)

Отображение М -> М+ определяет инволюцию в Е. Говорят,
что элемент М симметричен в Е, если М = М.
Утверждение 1. Пусть

Л1 = L а,-	X,- ... Xi £Е.	(8)

“	‘1 1п ‘1	1п	v '

‘1 ••• '»

Оператор Т (Л1), определенный формулой (1.17), удовлетворяет
соотношению

(Т (М) и, v) — (и, Тu,v£De.	(9)

В частности, если М = М' в Е, то Т (М) — симметрический
оператор в Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Повторяем вывод утверждения 1.2 для про-
изведения X* ... Xtn и в результате получаем

(Т (М+) и, и)=/ L ^...^(ху ...Т(Х^и,	=

' Ч ’' ’ {п	'

= («. Е	-..T(Xin)v\ =(и, T(M)v). (10)

'	‘1 ” ‘rt	'

Поэтому если М+ — М, то Т (М)* — Т (М), т. е. Т (А1) симме-
тричен на Dg.

Выведем теперь критерий Нельсона—Стайнспринга, который
позволяет определять, когда симметрический представитель Т (М)
элемента М обертывающей алгебры Е задан существенно само-
сопряженным оператором.

В этих рассмотрениях важную роль играют так называемые
эллиптические элементы обертывающей алгебры. Говорят, что
элемент L из Е эллиптичен, если он эллиптичен как дифферен-
циальный оператор в частных производных на G. Напомним, что
формальный дифференциальный оператор

L (х, D) = £ аа (х) £)“, х = {хъ . . ., хп\ £ G, (11)
где

Da = d|a|/dxJW?2 • • • дх\ |а|=а,Н---|-а ,	(12)

эллиптичен, если для любого вектора £ = (^х, ..., £„) £ Rn о-ли-
нейная форма

t(x,9=Eoe«’ =	(13)

|а|=а

отлична от нуля.
ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа Ли, а х-+ Тх — унитарное
представление группы G. Если L — эллиптический элемент пра-
воинвариантной обертывающей алгебры для G, то

ТЦЛ) == (Т (L))*.	(14)

В частности, если L эллиптичен и симметричен, то Т (L)
существенно самосопряжен (с. с. с.).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала частный случай эллип-
тического элемента L, представимого в виде L — Х+К при неко-
тором К. £ Е. Для доказательства существенной самосопряжен-
ности А = Т (L) объединим следующие два факта.

1.	(Д + I)'1 ограничен. Чтобы показать это, заметим, что
(Аи, и) > 0 для всех и из подпространства Гординга Dc. В самом
деле, поскольку отображение X -> Т (X) определяет представле-
ние алгебры Е, то мы имеем А — Т (Х+К) = Т (К+) Т (К). Таким
образом, из утверждения 1 следует

(Аи, и) = (Т (К+)Т(К)и, и) = (Т(К)и, Т(К)ы)>0

для всех и из Do. Следовательно,

((Д -ф /) и, (Д -f-1) и) = (Аи, Аи)А~2(Аи, и)\-(щ и) > (и, и)~>0.
Поэтому (Д + I) положительно определен, и на области опреде-
ления оператора (Д + Z)1, состоящей из векторов v — (Д + I) и,

т.	е. (Д + 7)-1 ограничен.

2. А 4- I имеет плотную область значений. Чтобы показать
это, предположим, что и £ Н ортогонален к области значений
оператора А + I. Тогда

((А 1) Т (<р) и, и) = 0 для всех <pQCo (G).	(15)

Из (1.17) следует, что для М £ Е Т (М) Т (<р) и = Т (Му) и.
Поэтому (15) может быть записано в виде

J [(£ + 1) <р] (х) (Тхи, и) dx = 0.	(16)

о

Это означает, что функция / (х) = (Тхи, и) является слабым
решением дифференциального уравнения в частных производных
(L + 1) f — 0 на G. Поскольку L + 1 эллиптичен, функция
(Тхи, и) аналитична (см. [435]) и

(1+ 1)(7>, «) = 0

(17)
в обычном поточечном смысле. Поскольку функция (Тхи, и)
положительно определена, при и ф 0 из упражнения 3.11.3.4
имеем

((1 + 1)Ш = (£Л(с) + («, и)>о,

что противоречит соотношению (17). Поэтому и = 0 и, таким об-
разом, (Д + I)-1 ограничен и плотно определен. Из этих двух
фактов следует, что А с. с. с. (согласно лемме 5.3 из приложе-
ния Б).

Пусть теперь L — общий эллиптический элемент. Из предыду-
щего случая мы выводим, что Т (L+L) = Т (L+) Т (L) с. с. с.
Отсюда получаем

ТД/) = Т(£)*

(согласно лемме 5.4 из приложения Б). Следовательно, если эл-
липтический элемент L £ Е симметричен (т. е. L+ = L), то

(Ж

т. е. Т (L) существенно самосопряжен.

Более общий критерий для существенной самосопряженности
элементов обертывающей алгебры дается следующей важной
теоремой.

ТЕОРЕМА 3. Пусть G — группа Ли и пусть Т — унитарное
представление группы G. Пусть L — эллиптический элемент
правоинвариантной обертывающей алгебры Е для G, такой,
что L+ = L. Если М. — произвольный элемент из Е, такой, что
Т (М+М) коммутирует с Т (L), то

(18)
В частности, если, кроме того, М. симметричен, то Т (М) суще-
ственно самосопряжен.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть г — положительное целое число, боль-
шее чем порядок дифференциального оператора М, соответству-
ющего элементу М. из Е, и пусть А = Т (L2r), В = Т (М*М)
(— Т (М+) Т (7Й)) и С = А + В. Тогда L'2r эллиптичен, так
как L эллиптичен; L'2r + М+М эллиптичен, так как порядок L2r
больше, чем порядок М+М. Следовательно, А и С — представи-
тели эллиптических симметрических операторов из Е, и поэтому,
согласно теореме 2, они с. с. с. Более того, эти операторы комму-
тируют на области Гординга.

Покажем теперь, что замыкания А и С также коммутируют,
т. е. эти операторы имеют взаимно коммутирующие спектральные
разложения. Чтобы увидеть это, заметим, что ограниченные
операторы (1 + Д)-1 (1 + С)-1 и (1 + С)*1 (1 + Д)'1 совпадают
на их общей области определения, т. е. на области значений опе-
ратора (1 + Д) (1 + С) — (1 + С) (1 + Д). Более того, оператор
(1 + Д) (1 + С) являгтся представителем симметрического эллип-
тического оператора, и по теореме 2 он с. с. с. Он также имеет
плотную область значений. Это следует из того факта, что оператор
D А\С\АС положительно определен. Поэтому оператор
I + D положительна определен и самосопряжен. Следовательно,
(I + D)~1 ограничен. Отсюда получаем, что область значений
R (I + D) = R (Г+D) = И, т. е. R(I + D) плотна в Н. Сле-
довательно, Д и С коммутируют.

Докажем теперь основную часть теоремы, а именно что
Т (Л4+) = Т (М)*. Заметим сначала, что, согласно утвержде-
нию 1, Т (М+) с. (Т (М))*. Поэтому если мы сможем показать,
что оператор В = Т (М+) Т (Л4) с. с. с., то утверждение теоремы
будет следовать из леммы 5.4 приложения Б. Положим = С — А.
Чтобы показать, что В с. с. с., покажем сначала, что Вг с. В.
Пусть v £ D (BJ = D (Д) (1 D (С). Можно выбрать последова-
тельность такую, что

DG3vn~-*v и Cvn —>Cv,	(19)

так как С — замыкание оператора С. Для произвольного и из Do
имеем || Ди || < || Си ||. Действительно, так как А = Т (Lr) Т (Lr)
и операторы Т (L) и Т (М+М) коммутируют, имеем

(Си, Си) = (Ди, А и) + (Ви, Ви) + 2 (ВТ (Lr) и, Т (Lr) и).

Здесь второе и третье слагаемые положительны (поскольку В
положительно определен) и, следовательно, || Си || > || А и ||. Поло-
жив и = vn — vm, получаем

|| Avn — Avm|| < ||Cvn — Cvm|| —>0 при m>n—>oo.

Поэтому последовательность {Дп„} сходится и

Avn —» Av,	(20)

так как А замкнут. Используя (19) и (20), получаем

Bvn = Cvn — Avn —> Cv — Av — BjV.

Следовательно, при v £ D (ВУ) B±v = Bv, т. e. Вг с. В. Оператор

Bi с. с. с. по лемме 5.4 из приложения Б:

h = В^ => В* =) В =>Вг,

следовательно, мы имеем В* = В, т. е. В с. с. с.
Теорема 3 имеет ряд следствий, определяющих, когда элемент М
из обертывающей алгебры Е представляется существенно само-
сопряженным оператором.

Ниже важную роль играет так называемый оператор Нель-
сона А:

А =	-]----|_ X2d, d = dim L,	(21)

где Xit i = 1, 2, ..., d, — генераторы группы G. Этот оператор
эллиптичен. В самом деле, так как X, = aik (х) dk, то, согласно
(13), имеем

А (х, с) = alk (х) atk. (х) lklk' = ft2 > 0,	(22)

где bi (х) = aik (х) V1.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть G — абелева или компактная группа Ли.
Тогда представитель Т (М) произвольного элемента М оберты-
вающей алгебры Е удовлетворяет условию (18), т. е.

ТЦМ*)	(Т (М))*.

В частности, если М* = М, то Т (М) существенно самосопряжен.

Доказательство. Обертывающая алгебра каждой абелевой
алгебры Ли содержит эллиптический симметрический элемент
вида

а0 .= х{ г... + хЪ

который, очевидно, лежит в центре алгебры Е. Поэтому по
теореме 3 каждый элемент М из Е с. с. с.

Каждая компактная группа Ли является прямым произведе-
нием ее центра Go и инвариантных простых подгрупп G,, i = 1,
2, ..., N (см. теорему 3.8.2). Оператор

A(t) = (Ар)2 4- (Хр)2 + •  • + (Xf)2, i = 0, 1, 2, . . ., N,
di = dim G,,
записанный в базисе, в котором метрический тензор Картана ал-
гебры Ли группы G, диагоналей, является центральным симме-
трическим эллиптическим элементом обертывающей алгебры Е,
группы G,, I = 0, 1, ..., N. Таким образом, оператор А =	Д(<)

является центральным симметрическим эллиптическим элемен-
том обертывающей алгебры Е группы G. Следовательно, по тео-
реме 3 для каждого М из Е имеем

Т (АГ) = (7 (/И))*.

Тогда если М+ = М, то Т (М) с. с. с.
Рассмотрим теперь случай некомпактных полупростых групп
Ли. В этом случае мы имеем следующее следствие.

Следствие 2. Пусть G — некомпактная полупростая группа
Ли, К — максимальная компактная подгруппа в G, и пусть

dim К

— оператор Казимира второго порядка подгруппы К- Тогда
представитель Т (Л1) любого элемента М. обертывающей алгебры Е
для группы G, который коммутирует с удовлетворяет усло-
вию Т(М+) = (Т(М))*.

Замечание. В частности, все симметрические операторы Кази-
мира группы G или подгруппы Gt zd К существенно самосопря-
жены.

Доказательство следствия 2. Из теоремы 1.2.7 сле-
дует, что метрический тензор Картана алгебры Ли группы G
может быть диагонализирован. Поэтому оператор Казимира
второго порядка группы G имеет вид С2 = — Дк + Др, где

dim L

Кр-^ Ё xl

dim /<+1

Соответствующий оператор Нельсона Д = (Дл- + ДР) эллипти-
чен и симметричен на G [см. (22) J. Поскольку —Дк -|- Др центра-
лен в Е, любой элемент М из обертывающей алгебры Е для G,
который коммутирует с Дк, также коммутирует с (Дк + ДР) =
— С2 + 2ДК. Следовательно,

[АГ, (Дк + Др)] = [М, (Дд 4- Др)1+ = 0.

Поэтому, согласно теореме 3,
ЭД =

В общем случае имеем следующее следствие.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть G — произвольная группа Ли, и пусть
М — центральный элемент в Е. Тогда Т (М+) = Т (М)*. В част-
ности; если М+ ~М, то Т (М) существенно самосопряжен;

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Элемент М из Е коммутирует с симметри-
ческим эллиптическим элементом Д, заданным формулой (21).
Следовательно, [ЛК, Д] — [Д, Л4 ]+ = 0. Поэтому данное утвер-
ждение- следует из теоремы 3.	<

Замечание. Если Л! и N центральные и симметрические
элементы из Е, то в силу следствия 3 и формулы (1.17) операторы
Т (ЛО и Т (N) с. с. с.

Однако заранее не очевидно, что самосопряженные операторы
Т (Л1) и Т (Л) сильно коммутируют и коммутируют ли операторы
Т (М) и Тх, х G G. Эти важные задачи решаются в § 5 после раз-
работки критерия коммутативности (теорема 5.3).

Следующее следствие показывает, что представители всех
генераторов, сопоставляемые с унитарным представлением
группы G, существенно самосопряжены, т. е. они имеют собствен-
ные спектральные свойства. Этот факт важен для физических
приложений.

Следствие 4. Пусть х~^Тл— унитарное представление
произвольной группы Ли G. Пусть X — произвольный элемент
алгебры Ли группы G, а р (X) — любой вещественный полином.
Тогда оператор Т (р (iX)) существенно самосопряжен на Ос.
В частности, Т (iX) существенно самосопряжен.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Элемент р (iX) является симметрическим
элементом обертывающей алгебры однопараметрической (а следо-
вательно, абелевой) подгруппы Сь порожденной элементом X:
((р (iX))+ = р (iX). Поэтому, согласно следствию 1, представи-
тель Т (р (iX)) с. с. с. на области Гординга DG. В частности,
представитель элемента р (iX) = iX с. с. с.

Следует подчеркнуть, что в унитарном представлении группы
Ли симметрические элементы обертывающей алгебры не обяза-
тельно представляются существенно самосопряженными опера-
торами на подпространстве Гординга. Чтобы проиллюстрировать
этот важный факт, рассмотрим следующий простой контрпример.

Пример 2. Пусть G — двухпараметрическая группа преоб-
разований х = ах + Ь, а >> 0, вещественной прямой R, и пусть
Н = L2 (—оо, +°о)- Унитарное представление группы G в И
задается формулой

(7» (%) = сг^и (^-) , и^Н.	(23)

Генераторы однопараметрических подгрупп задаются фор-
мулами

Т (X) = d/dx, Т (У) = i exp х.	(24)

Симметрический элемент М — XY ф- YX в обертывающей ал-
гебре Е группы G имеет представителя Т (ХУ + УХ) — 2ie*d/dx +
+ iex, который, согласно утверждению 2.1, является симметри-
ческим оператором. Чтобы проверить, что М с. с. с. или может
быть расширен до с. с. с. оператора, нам следует найти его ин-
дексы дефекта согласно теореме 1.4 приложения Б. Решая диффе-
ренциальное уравнение первого порядка M*u i = ±iu±, получаем

D+ = {С ехР [ ~ -у (А‘ + ехР *))]
Множество D_ тривиально, так как второе решение

н_ — С ехр ------ (х — ехр (—х) j

не лежит даже в L2 (—со, +оо). Поэтому индексы дефекта совпа-
дают с (1, 0) и, следовательно, по теореме приложения Б. 1.4
оператор Т (XY + YX) не имеет самосопряженных расширений.

Следует также подчеркнуть, что все вышеизложенные резуль-
таты справедливы при предположении, что представление алгебры
Ли получено из заданного унитарного представления соответ-
ствующей группы Ли согласно соотношению (1.11). Эти резуль-
таты могут быть не верны, если мы имеем представление алгебры
Ли, которое не интегрируется до глобально-унитарного представ-
ления соответствующей группы Ли. Пример рассматривается
в гл. 21, § 5.

Дадим теперь интересное приложение теории представлений
групп и оператора Нельсона в квантовой механике. Хорошо
известно, что одной из основных задач квантовой механики яв-
ляется построение области определения D с Я, на которой опера-
тор энергии самосопряжен. Приведем пример, который дает
решение этой задачи, использующее теоретико-групповую технику.

Пример 3. Пусть Хг = д/дх, Х2 = ix, Xs = 12.x2 и Х4 ==
= 17 — кососимметрический базис алгебры Ли L на L2 (R1) с 2. £ R1.
Очевидно, что L нильпотентна с очевидными коммутационными
соотношениями и что подалгебра L, порожденная элементами
Х2, Х9 и Х4, инвариантна. Из теоремы 3.5.1 мы знаем, что каждый
групповой элемент нильпотентной группы Ли G, сопоставляе-
мой с L, может быть записан в виде произведения элементов
однопараметрических подгрупп. Так как все однопараметрические
подгруппы в L2 (R1), порожденные операторами Xk, унитарны,
то отображение

g (с/.) —> Tg («) = (-«iA',ea2A'2ea3A'3e«4 А',	(26)

задает унитарное представление группы G в L2 (R1).

В силу (22) и (6) оператор Нельсона А эллиптичен и симметри-
чен. Поэтому в силу теоремы 2 оператор

4

Т (А) = £ Т (ХА)2 = -g2- - X2 - Ax* - 7
k=\

существенно самосопряжен на области Гординга DG для представ-
ления (26). Отсюда следует, что оператор энергии для ангармони-
ческого осциллятора, который совпадает с —Т (А) — I, также
существенно самосопряжен на Dc.
Очевидно, что этот метод может быть обобщен на большой
класс операторов энергии Н = Но + V с потенциалом V (х) —

fe=i

§ 3. Аналитические векторы и аналитическая доминантность

В этом параграфе вводятся два фундаментальных понятия:
понятие аналитических векторов и понятие аналитической доми-
нантности.

В разделе А мы рассматриваем основные свойства аналитиче-
ских векторов для неограниченных операторов и, в частности,
доказываем, что каждый самосопряженный оператор имеет плот-
ное множество аналитических векторов. В разделе Б мы разви-
ваем исчисление абсолютных значений операторов, которое слу-
жит основой для теории аналитической доминантности опера-
торов.

В разделе В доказывается основная теорема исчисления абсо-
лютных значений и вводится с его помощью понятие аналитиче-
ской доминантности.

Наконец, мы развиваем теорию аналитической доминантности
для операторов, составляющих алгебру Ли.

А. Аналитические векторы

Пусть А — оператор в гильбертовом пространстве //. Элемент
и С Н называют аналитическим вектором для А, если ехр (As) и
разлагается в ряд с положительным радиусом абсолютной сходи-
мости, т. е.

(О

для некоторого вещественного
II Аи || < С || и || для каждого и

sO 0. Если А ограничен,
£ //, то

т. е.

У -уут II Л"ч IIS” < У ~Г cns>n = ехР (Cs) < °°-
п=0	п=0

Поэтому для ограниченного оператора А каждый вектор и из Н
является аналитическим вектором для А. Таким образом, пред-
ставляют интерес только аналитические векторы для неограни-
ченных операторов.
Если и и v из Н — аналитические векторы для А, то аи + pt»,
а, р £ С1, также аналитические векторы. В самом деле, исполь-
зуя неравенство

|| Л (а« + Ро)|| < |a|||4u|| + IP HI М

получаем

СО	оо

2 тг ||л" (аи+iis" < ।а । У ^41 s"+

п=0	п=0

Поэтому аналитические векторы для оператора А образуют линей-
ное подпространство в Н.

Понятие аналитических векторов полезно, так как для неко-
торого класса неограниченных операторов они образуют плотное
множество в гильбертовом пространстве Н. В самом деле, имеет
место следующая лемма.

Лемма 1. Если оператор А самосопряжен, то А имеет плот-
ное множество аналитических векторов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта лемма является прямым следствием
спектральной теоремы. В самом деле, пусть Е (2.) — спектральное
разложение единицы, сопоставляемое с Л, и пусть б = [«, 6] —
ограниченный интервал вещественной прямой. Тогда любой век-
тор из области значений оператора Е (б) является аналитическим
вектором для Л. Действительно, если Л = j 2. d£ (X), то по

Sp4
формуле (3.16) приложения Б получаем

|| Лп£(б)ц||< |с|"||£(б)ц|| < |с|Д|«||,

где с = max (| а |, | b |). Поэтому

оо	во

(2)

п~ 0	п—Э

Следовательно, Е (б) и — аналитический вектор для Л. Согласно
следствию 2 спектральной теоремы (приложение Б.З), множество
всех векторов вида и = Е (б) и, где б = [а, b ] пробегает все ко-
нечные интервалы из R, а и пробегает Н, плотно в Н. Поэтому Л
имеет плотное множество аналитических векторов.

Замечание 1. Утверждение, обратное лемме 1, также верно:
если замкнутый симметрический оператор имеет плотное мно-
жество аналитических векторов, то он самосопряжен (см. [628],
лемма 5.1).
Замечание 2. Ясно, что \Х имеет те же аналитические векторы,
что и X. Поэтому лемма 1 и замечание 1 остаются справедливыми,
если «симметричность» заменить на «кососимметричность», а «само-
сопряженность» на «кососопряженность».

Пример 1. Пусть А — самосопряженный неограниченный
оператор в Н. Если А имеет дискретный спектр (как, например, для

А =	в Г (0, 2л)),

то каждый собственный вектор ип оператора А с собственным
значением Лл является аналитическим вектором. В самом деле,

оо	оо

SJTi— "	-|М«ч>(М

/.-Ю	*=0

Линейная оболочка векторов образует плотное множество
аналитических векторов для А.

Если А имеет только непрерывный спектр (например,

Л == 4- -4- В L2 (—сю, сю)),

то из доказательства леммы 1 следует, что плотное множество ана-
литических векторов состоит из всех векторов вида

г = £(6)п, £(б) = £(Х) -£(р),	(3)

где Е (А) — спектральное разложение единицы, сопоставляемое
с A, 6 пробегает все ограниченные подмножества в R, а и пробегает
все пространство Н.

Б. Абсолютное значение оператора

Рассмотрим теперь исчисление так называемых абсолютных
значений операторов. Пусть О (Н) — множество всех линейных
операторов в И. Напомним, что для А, В из О (Н) сумма А + В
имеет область определения D (Л) f| D (В), а произведение АВ
имеет областью определения множество всех векторов и £ D (В),
таких, что Ви лежат в D (Л). Если и £ D (Л), то определено
|! Аи ||. Если и D (Л), то полагаем, что || Аи || = оо.

Пусть Л, В, С 4 О (И). Если соотношение

|| Си || <|| Аи || +1| Ви ||	(4)

удовлетворяется для всех и £ Н, то символически мы записываем
это в виде

|С|<|Л| + |В|.

(5)
Следующие соотношения верны для всех операторов А, В, С из
О (Я):

1°	|А + В|<|А| + |В|,	(6)

2°	если | А | < |В|, то |АС|<|ВС|.	(7)

В самом деле, если и £ D (A) f) D (В), то || (А + В) и || <
с || Аи || + || Ви ||. С другой стороны, если u<£D (А) [] D (В), то
|| А и [| + || Ви || = оо согласно нашему соглашению, т. е. (6) все
еще верно. Если || Аи || < || Ви || для всех и, то, в частности, для
вектора v — Си имеем || АС и || < || ВСи ||, т. е. неравенство (7)
верно.

По аналогии с абсолютными значениями обычных чисел символ
| А | называется абсолютным значением оператора А. Фор-
мально мы можем определить абсолютное значение | А |
оператора А как множество, состоящее только из А. Пусть
[ О (Н) | — свободная абелева полугруппа с множеством всех
j А |, где А из О (/7) рассматриваются как генераторы (см.
приложение А.З). По определению свободной^абелевой полугруппы
элемент а £ | О (Н) | является конечной формальной суммой
вида

« = |И11 ;---НМ	(8)

Мы используем понятие свободной полугруппы в определении
I О (Я) |, поскольку мы не рассматриваем обратного элемента
к элементу а из | О (Н) |.

Элемент р £ | О (Н) | вида

₽-=|Bi|+---+|Bm|	(9)

равен а, если их слагаемые с точностью до порядка совпадают.
Если а — положительное число, то мы будем отождествлять а
с | а! |, где / — тождественный оператор в Н. Определяем
произведение ар элементов а и р, заданных формулами (8) и (9),
формулой

I т

«Р= £ £ |А^|.	(10)

i=i /=1

Множество | О (Н) | с операцией (10) является полукольцом, и
в силу отождествления а = | а! | — это полуалгебра. Для
а £ | О (Н) |, заданного формулой (8), для всех и из Н опре-
деляем || аи || формулой

м = 1^11+ ... +11 АМ	(11)

Полагаем, что а < р, если '|| аи || < || Р« || для всех и из Н.
В дальнейшем мы также будем использовать элементы

ОО
ф = L
п-=0
полуалгебры, состоящей из всех степенных рядов по некоторой
ео

переменной s с коэффициентами из | О (Н) |. Если ф = У, p„s'!,
то мы определяем, что ф < ф, если ап п = 0, 1, 2, ..., и
для и из Н определяем || фи1| формулой

со

||<Р« II = Е ||a„w||s'1.
w=0

(13)

Дальше формальным дифференцированием и интегрированием
S

определяем (d/ds) ф (s) и j ф (1) At.

При этих соглашениях имеем

со

||exP(H|.s)«||=2Jl#JLs"-	(14)

л=0

Таким образом, наряду с понятием | А | мы можем дать близ-
кий символ для суммы из (I). Следует иметь ' в виду разницу
символов exp (As) и ехр (|А | s) =	| A |nsn/n! [которая

возникает, например, в силу (11) 1.

Согласно (13), (12) и (10), для а, заданного формулой (8),
получаем

||exp(as)n|| = ^-^-||(|A1l++|Az|)"u||sn =
п—0

ОО

-Si S	us)

п=0	...in<l

Сравнивая последнее выражение с выражением (1), видим, что
|| ехр (as) и || <оо тогда и только тогда, когда разложение в ряд
для ехр (А^ -|- A2s2 + ... +Лд) и абсолютно сходится для
любых достаточно малых (sb s2, ..., s,). Следовательно, мы видим,
что посредством понятия абсолютного значения можно удобно
описать свойства абсолютной сходимости разложения в ряд для
ехр (XxSj + ... +Л;8;) и. Говорят, что вектор и из Н является
аналитическим вектором для а из | О (//) |, если || ехр (as) и || <
< оо дня некоторого s > 0. Заметим, что в силу (15), если и — ана-
литический вектор для а, то он также аналитический вектор для
любого А;, i = 1, 2, ..., /.

Заметим, что вышеприведенное определение аналитических
векторов в случае алгебр Ли операторов дает:
Определение 1- Вектор и Q Н называют аналитическим
вектором для всей алгебры Ли L, если для некоторого s > 0 и
некоторого линейного базиса {Хг...Ха\ алгебры Ли ряд

абсолютно сходится.

Последнее условие эквивалентно тому, что || Xi± ... X/ « |]<
< Cnti\ для некоторой константы С > 0.

Мы определили в алгебре Ли операцию (ad X) Y = XY — YX.
Ясно, что эта операция может быть определена также в О (//).
Теперь мы распространяем эту [операцию на элементы | =
— |	| + ... +| Xd | и а = | Аг | -|- ... -|- | Ат | из | О (Н) |

формулой

dm	dm

(ad|)a=E Е	= Е E|adX/H/)|.	(16)

r=i /=i	<=i (-=i

Следовательно,

(ad|)"a = X Е I ad Xi .. .ad Xi АА. (17)
.............../=1' 11

Нам понадобится понятие коммутаторов абсолютных значений.
Для этой цели мы сначала рассмотрим исчисление коммутаторов
для операторов, а именно, мы вычислим коммутатор оператора А
с произведением п других операторов Хп ... Хъ Следующая лемма
дает удобный алгоритм для решения этой задачи.

ЛЕММА 2. Если А, Хп ..., Х„— операторы в Н, то1)

АХп.. .Х±^) Хп.. ,Х±А — Qn,	(18)

где

Qn = Е Zj (adXO(i.).. .adХа(1)Л)Ха(п>.. .X0(ft+i) (19)
аЗ(п- k)

I П\
u (n, k) обозначает множество всех I . перестановок о чисел

\ К J

1, 2, ..., п, таких, что о (п) > а (п — 1) > ... > о (k + 1) и
a (k) > о (k — I) > ... > о (1).

Если Хъ ..., Хп, А имеют общую инвариантную область опре-
деления, то в (18) имеет место равенство, и мы имеем

[Х„.. .Хь А] == Q„.	(2))

1) Напомним, что А гэ В означает, что D (А) гэ D (13) и Аи = Ви для всех
и е D (В).
Замечание. Равенство (20) может быть записано в ином виде,
который часто используется в квантовой теории. В самом деле,
для л — 2 и для операторов, имеющих общую инвариантную об-
ласть определения, из (20) получаем

[Х3Х3, А] = Q2 = ad Х± (А) Х2 ф ad Х2 (А) Хг ф ad Х2 ad Xi (А) =
= ad Х2 (A) Xj ф- Х2 ad Xi (А) = [Х2, А] Х± -|- Х2 [Хь А],
(21)
и в общем случае

[Х„... Хъ А] = Qn == [Х„, А] Х„_!... Хф ф

+ х„ [Х,гЛ, А] Х„_2... X, + • • • + Х„... Х2 [Хь А].	(22)

Это равенство может быть легко доказано методом индукции,
используя формулу (21).

Доказательство леммы 2. Докажем формулу (18) мето-
дом индукции. Раньше покажем, что

X;j...XiAzdE (adXo (А).. .adXa (j) А) Ха („)... XO(,ii_[-i). (23)
k~°a(z («. *)

Для и = 0 включение (23) утверждает, что А А, а для п = 1
оно утверждает, что

XtA zd А Аф ф (ad Аф) A,	(24)

что также верно.

Предположим теперь, что (23) имеет место для п, и пусть Хп+1 —
оператор в Н. Тогда, согласно (24), получаем

Хп-рХ,,... XjA ZD

п

Е	X„+i (ad Ха (ft).. .adХа (i>А) Хо („>.. .ХО(*н-1)

/г=0	/?)

п

Е {(ad Аф (А)... ad Хо А) Хо (П> • • • Ха (fe+i) X„+i ф

*=° се («. М

Ф (ad Хпц_| ad Хо (&)... ad Хо (i)А) Хо (п> • • • Хо (ац_1) }.	(25)

Покажем теперь, что выражение

(adХт (А).. .ad Xt (i,A) Xt(„+i)...Xt(k+i),	(26)

соответствующее перестановке т из (п ф 1, k), появляется или
перед знаком ф в фигурных скобках соотношения (25), или после
знака ф. Фактически оно появляется перед знаком ф в скобках
[соответствующих о из (и, Л)], если т (п ф 1) = п ф- 1, и после
знака ф в скобках (соответствующих о в (п, k — 1)), если т (п ф
ф 1) фи ф 1, так как по определению (и, k), или т (п ф 1),
или r(k) должно равняться «4-1. Поскольку I .	= I . 4-

\	/	\ АС /

I п \

+ К ]/’ т0 с00тветствне взаимно однозначно. Следовательно,
включение (23) имеет место для «4-1.

Чтобы доказать (18), заметим, что оно справедливо для « = 0
и п = 1. Предположим, что оно справедливо для «, и пусть Хп+1 —
оператор в Н. Тогда (18) имеет место при замене Хп, Хг на
Хп+1, ..., Х2 и при соответствующей модификации Q. Обозначая
через Q'n выражение, которое заменяет Qn, и умножая обе стороны
на получаем

АХ„+1... X2Xi =) Хп+1... X2AXi - Q'nXi zd Xn+i- • •
... X2XM - X„+i... X2 (ad XO A - Q'nXi.

Применяя (23) к Хп+1 ... X2 (ad Xx) А [где (ad Xx) А играет
роль А в (23)1, мы видим, что X„+i ... Х2 (ad Xi) А 4- Q„Xi zd
td Qn+i, где каждая перестановка т из (п + 1, &) с т (1) = 1 соот-
ветствует выражению в Х,1+1 ... Х2 (ad Хх) А и каждая т с т (1) 4=
4= 1 соответствует выражению в Q'nXi.

Наконец, если Xlt Х2, ..., Х,„ А имеют общую инвариантную
область определения, то обе стороны в (15) имеют ту же область
определения и, следовательно, они равны.

Докажем теперь аналог леммы 2 для элементов из | О (И) |.

Лемма 3. Пусть 1иа лежат в | О (Н) |. Тогда

ar<ra+S('0[(ad^a]r^-	(27)

/г=1

Доказательство.Пусть £ = | Хг | 4-... 4-1 Xd |, а = | Аг | 4-...
... +|AZ|, и пусть обозначает сумму по всем 1 < i </,
1 < gi < d,	1 < gn < d. Тогда, используя (10) и (18), по-

лучаем

“Г = У' | АЧ• • •	I < S‘ I х>„    xtXI +

. ad Х„ А() Х„ ... Х„ . ,
4(1)	/ Ч (п) еа (fc+i)

+S' S S

Ь—* ОС («. к)

..ad^X^.-.X^

(28)

/« \

Ha последнем шаге мы использовали тот факт, что имеется 1,1
перестановок в (n, k). Поэтому благодаря суммированию по g( мы
находим, что каждое выражение (ad Х&п ... ad ХЁ1А,) Х&п ... Xgfc+1
I nA

появляется I I раз. Второе выражение последнего равенства
равно второму выражению из (27).

В. Аналитическая доминантность

Теперь мы вводим фундаментальное понятие аналитической
доминантности для элементов а и £ из | О (И) |,

Теорема 4. Пусть £ и а лежат в | О (И) I. Пусть £ с
< са, (ad£)na < спа и

<29>

/7=1

*<s)-j=W-	<30>

о

Тогда ехр (£$) с ехр [сах ($) ].

Если с и сп такие, что с < о© и v (s) < ©о для некоторого
s > 0, то мы будем говорить, что а аналитически доминирует

Чтобы уяснить содержание теоремы, мы раньше докажем
следствие.

Следствие 1. Пусть £ и а лежат в \О(Н)\. Если а
аналитически доминирует то каждый аналитический вектор
для а аналитичен для £.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если и аналитически доминирует I, то v
имеет положительный радиус сходимости, и это свойство имеет
место для х. Следовательно, по определению каждый аналити-
ческий вектор для а является аналитическим вектором для £.

Доказательство теоремы 4. С помощью рекурсивной
формулы
п

л0 = 1Л, л«+1 = сл„а -4-	} ckJt,l+1_k, (31)

i

определим элементы С I О (Н) |. Ясно, что = са, л2 =
= с2а2 -|- сгса и каждое л„ является полиномом по а. Покажем
сначала методом индукции, что

(32)

Заметим, что из £ < са следует < са£п"*. Поэтому (32) пред-
полагает, что

Г < л„.	(33)
При п = 1 (32) утверждает, что а с а. Предположим, что (32)
выполняется для всех k < п. Тогда, используя лемму 3, предполо-
жение теоремы и неравенства (32) и (33), получаем

п

ar<ra+S(0[(ad^)a]r“ft<

fe=l

п

к^1
п

с лпа	ch nn+i k ~с~ ^n+i-

Таким образом, (32) и, следовательно, (33) имеют место для любого
п. Пусть л (s) — степенной ряд

ОО
n(s)==S^Ts,!-	(34)

л=0

/ П \

Согласно (31) и соотношению , = -г,-——гт-г-, имеем
4 '	\k) k\ (n — k)\

(п + ]) -Л'-= с^г- 4- У >(n + 1 - k)	 (35)

4 1 ’ (я + 1)! я! ' kl ' 1	’ (n+1— k)l ' '

k=i

Используя определения (31) и (30) для л (s) и v (s) и соотношение
(35), получаем

W п	($) а 4- v (s) -^- л (s),	(36)

т. е.

= сап (s)/(l — v (s)).

(37)

Поэтому из определения к (s) получаем
л (s) = exp(«zx(s)).	(38)

Действительно, дифференцируя формулу (38), получаем (37), и,
положив s = 0, получаем л (0) = | / | в согласии с определе-
нием (34). Используя (32), получаем наконец

ехр (^s) < л (s) = ехр (can (s)).

Заметим, что мы нигде не использовали тот факт, что операторы
..., А( линейны или что пространство Н полно.
Следующее полезное следствие теоремы 4 может быть сформу-
лировано без использования терминологии теории абсолютных
значений.

Следствие 2. Пусть Хг, ..., Xd и А —операторы в гиль-
бертовом пространстве Н. Пусть k и k„, п = 1, 2,	— положи-

тельные числа, такие, что для всех и из области определения
оператора А

(39)
и

IjadXq.. .а(1Х1пЛи|| с/г„(||ЛпН-||«11) при 1 < tb..., in < d.

(40)

Предположим, что k и

£ (kn’!d)sn< ОО
п=1

для некоторого s > 0. Если существует s > 0, такое, что

(«)

м=0

то для (Sj.....Sj), достаточно близких к (0,	0), имеем

оо

2 ЯГ Xl ||Х«'Г  •X«'„w||s'r '	<42)

п=0	1 1..... in

Доказательство. Пусть | = | Xi | д-... д| xd | и а = I А | +
+ | / |. Согласно (16), (ad %)па = (ad £)" | А |. Согласно (39), I <
< d/га и, согласно (40), (ad £)na < йп1гпа. Поскольку v (s) =
= У dnknsn/til < оо для некоторого s > 0, то, используя тео-
рему 4, получаем, что а аналитически доминирует Сле-
довательно, по следствию 1 каждый аналитический вектор для
а является аналитическим вектором для £, т. е. из (41) следует
(42).

Лемма 5. Пусть Хг, ..., Xdu А—симметрические операторы
в гильбертовом пространстве Н с общей инвариантной областью
определения D, и пусть А существенно самосопряжен. Пусть
£ = 1 xi I + •• + I Xdl , а = М I + I 1 l> J < са и (ad |)"а С
< спа с с < оо и сп < оо для всех и > 1. Тогда для всех конеч-
ных последовательностей ilt ..., in имеем

п(ЛсП(х)1...х1п).

(43)
Пусть Ь = П D (А"), и пусть Х±, ..., Xd и А — ограничения
__	__ п—1 _

Х1г ..., Xd и А соответственно до Ь. Пусть £ = | Х± | 4- ...
... + | Xd |, а = | А | + \ 11. Тогда

| с са, (ас! |)'! а < спа для всех и > 1.	(44)

Если а аналитически доминирует то существует s > 0, такое,
что множество элементов и £ D, для которых Цехр (|s) и || <
< оо, плотно в И и каждый X, существенно самосопряжен.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем соотношение (43) методом индук-
ции. Пусть п = 1. Если и е D (А), то по определению замыкания А
существует последовательность щ в D (А) =О со свойством н,—>
—» и н Auj - > v — Аи. Поскольку | < са, то | Xz | < са,
i = 1, 2, ..., d. Отедовательно, для всех i = 1, 2, ..., d

II	(11 j - uk) II < с (IIA (Uj - uk) II4 II Uj - uk II)	0,

когда j, k —-> 00. Поэтому и лежит в D (X,). По той же причине мы
получаем, что если С = ad Xifc ... ad Xi}A, то и лежит в D (С),
т. е.

D (А) с D (ad Xik ... ad Х{А).	(45)

Покажем теперь, что

D(7fi)cD(AX/i...X(ni).	(46)

Заметим, что из (46) следует (43) для случая п — 1, рассмотрен-
ного выше. Предположим, что соотношение (46) выполняется для
некоторого п, и пусть и лежит в D (А"4-1). Поскольку А = А*,
достаточно показать, что X, ... Xinu лежит в D (А*), т. е. что
(Ап, Х,-г... Щи) = (XZ/j ... Х{ Av, и)

— непрерывный линейный функционал от v из D. В силу (20)
имеем Х,-п ... XZjA = АХ,п ... Xz 4 Qn- Согласно предположе-
нию индукции и лемме 2, Qn (v, и) — линейный непрерывный
функционал от v из D. Более того, поскольку и лежит в D (А"4-1),
то А*и = (Ап) лежит в D (А'!). Следовательно, (АХ,л ... Х,-^,
и) = (Х,п ... Xtv, А*и) по предположению индукции является
непрерывным линейным функционалом от v. Поэтому соотношение
(46) выполняется.

Кроме того, из (46) следует, что операторы Хь ..., Xd и А
оставляют D инвариантным.
Покажем теперь, что % с са. Если и лежит в Ь, то и £ D (А)
и в О существует последовательность и, со свойством —♦ и,
Atij Аи. Согласно неравенству £ с са, имеем

d ~	d

L II X(U II = S Пт || Xia, (I < lim c (|| Aiij || +1| и, ||) = с (|| Au || + || и ||).
i—l	i=l /->©o	/->oo

Поэтому | < са. Используя неравенство (ad £)" a < cna, подоб-
ным же образом может быть показано, что (ad |)" а с спа.

Пусть теперь а аналитически доминирует |, так что степенной
ряд v (s) и х (s) из теоремы 4 имеют положительный радиус сходи-
мости. Пусть Е (К) —• разложение единицы для самосопряженного
оператора А, и пусть В — множество всех векторов и, таких, что
для некоторого ограниченного множества Д Е (Д) и = и. Из след-
ствия 2 спектральной теоремы (приложение Б.З) мы знаем, что
В плотно в Н. Более того, В с= D и || ехр (at) и || < °о для
всех и из В и 0 с t < оо [согласно соотношению (2)1. Взяв s
таким, что х (s) < оо, мы получаем, согласно теореме 4, что
|| expels) и || с || ехр [сан (s)I и || < оо для всех и из В. Любой
аналитический вектор для | является аналитическим векто-
ром для каждого Х;. Поэтому, согласно замечанию 1 к лемме_1,
каждый X; существенно самосопряжен. Поскольку X,- а X, а X,,
каждый Х{ (= Х;) самосопряжен, т. е. Х£ существенно самосопря-
жен.

Пусть L — алгебра Ли кососимметрических операторов, имею-
щих в качестве общей плотной инвариантной области определения
линейное подпространство D Н, и пусть Е — обертывающая
алгебра для L. Говорят, что элемент Y £ Е имеет порядок <л,
если он является вещественной линейной комбинацией операторов
вида Y^ ... Ykc k п Vl Yt £ L. Множество всех элементов из
Е порядка будет обозначаться через Если Х1( ..., Xd,
d = dim L, — генераторы в L, то операторы

Х;, Ни = X(.XZ + XjXl	(47)

составляют множество линейных генераторов дляЕ(2> (см. утверж-
дение 9.2.1).

Следующие две леммы и замечание показывают, что эллипти-
ческий оператор Д = X? + ... + Xd [см. (2.21)1 играет особую
роль в теории представлений алгебр Ли.

Лемма 6. Пусть Д = Xi + ... + Xd- Если А — произволь-
ный оператор из Е&\ то для некоторого k < оо

| А| < /г | Д -/|.	(48)
Доказательство. Для любого В = н,Х, 4- ачНц С В(2)
имеем | В | < | а, || X, | 4-1 а.ц ||	|. Поэтому достаточно доказать

лемму 6 для генераторов (47) из £<->. Для генераторов X,-, i =
= 1, d, и всех и из D получаем

d	d

s II X,-w II2 -•= £ (X,-w, X(-„) = (— Д«, li) <
i=l	i=l

<((-La2-a4-4-)«> «) = (4-(д-/)2«. «)=4-нд-/)«1р.

(49)
Следовательно, мы можем записать

1|А>11« (4)‘А И(А - W	(50)

Если и &D, то обе стороны неравенства (50) бесконечны. Таким
образом,

| X, | < (d/2)’/:! | Д — 7|.	(51)

Докажем теперь (48) для А = //,•,. Пусть В+ обозначает огра-
ничение оператора В* до D, если В лежит в В. Таким образом,
(X,- ... Х1/;)+ = (—1)п Х,п ... Х^. Пусть Р — множество эле-
ментов из Е, состоящее из конечных сумм вида 2 YrYr. Ясно, что
Г

оператор —А лежит в Р. Более того,

_д + я0. = (х.--х;У(х,-х/)+ Е xtxk, i=kj,
k + i, j

-2Д + /7г; = 2 £ XU.,	(52)

- Д - Hti = (Xf 4- xy (Xf 4 x;.) 4- S X£Xk.

k=f=i, /

Поэтому если A =	ai} вещественные, то существует

а > 0, такое, что

— оД 4- А С Р.	(53)

Рассмотрим теперь оператор 4Д2 — Н^. Мы имеем

4Д2 - Щ,- = (2Д - Нц) (2А + Нц) + Аь

где Ах = 2 [Hjj, Д] лежит в £(3> согласно (21). Согласно (52),
—(2Д — Hi,) = У, YkYk, где Yk из L. Подобным образом —(2Д 4~
к

4- Hij) — ^ZjZi, rjaeZi из L. Следовательно, используя коммута-
i

цнонные соотношения алгебры Ли L, получаем

4А2 - В?;- = I (YkZ^ (Y.Zt) -h А2,	(54)

k. i

где A 2 лежит в £(3).
Согласно утверждению 9.2.1, £(3> натягивается на операторы
(47) и операторы вида

Hijk = X.XjX, + X.X.Xj + Х;-ХгХА + XiXkXl +

+ XftXjX; + х/гхух(..

(55)

Следовательно, мы можем записать Л2 = l-CjHij -f- S, где S —
вещественная линейная комбинация из Хг и Hijk. Поскольку
другие выражения в (54) симметричны, S должно быть симметрич-
ным. Но X,- и Hij!c кососимметричны. Поэтому S также кососим-
метрично. Следовательно, 5 = 0. Поэтому, согласно (53), суще-
ствует а > 0, такое, что —аЛ 4- Л3 лежит в Р. Следовательно,
согласно (54), 4А2 — Я?/ — оА также лежит в Р. Используя тот
факт, что (A2w, w) > 0, (.Хи, и) с 0, и полагая k = max (2, а/4),
для всех и из D получаем

II Н^и II2 < ((4Д2 — «А) и» «) < 4 (А2«, и) — a (/Хи, и) 4- ~ (и, и) с
< k2 (A2w, w) — 2k2 (Xu, и) 4- k2 (и, и) = /г21| (A — /) и ||2.

Поэтому || НПи || с k || (А — I) и ||. Если и <£ D, то обе стороны
этого неравенства бесконечны. Поэтому | Htj | < k | А — 11.

Лемма 7. Пусть | = | Хг | 4~ ... 4~1 Xd |, и пусть а = |А — I [.
Тогда а аналитически доминирует над Фактически | <
(d/2)’/’a, и существуем с < оо, такое, что для всех п > 1
(ad £)'' а с с^а. Также | А | 4- | 11 аналитически доминирует
над

Доказательство. Неравенство g с (d/2)v2a прямо следует из
(49). Чтобы доказать неравенство (ad £)" а < спа, введем сначала
норму HI • ||| в £(2). Заметим, что £i2> является фактически
конечномерным векторным пространством, так как оно натяги-
вается на элементы (47). Если А лежит в £(2;, то мы определяем
HI A HI как наименьшее число, такое, что | А | < fea. По лемме 6
оно всегда конечно и задает норму в £(2>. Более того, если ||| А ||| =
= 0, то А = 0. Поэтому £(2> с этой нормой является конечно-
мерным банаховым пространством. Для любого А из £<2> (adX()4
лежит в £(2> согласно (21). Поскольку (ad Х() — линейное отобра-
жение в конечномерном пространстве £<2>, то оно непрерывно по
норме HI • |||. Поэтому существует с(- <оэ, такое, что |||(adX;) А ||| <
< ct HI А |||. Положим с = d шах с,-. Согласно (17), (ad £)п а
является суммой dn выражений вида | ad Х;„ ... ad Х^А |, кото-
рые	Щ-Сс. Следовательно, (ad £)" а с"а. Поскольку

с < сю и величина v (s) из теоремы 4 конечна (v (s) = ехр (cs)), то
а аналитически доминирует над |. Если положим а' = | А | 4-
4-111, то, согласно соотношению (17) и неравенству ||(А — /) «||с
< || Aw || 4-1| и ||, (ad £)" а' < спа < с" а'. Поэтому | А | 4- | / |
также аналитически доминирует над £.

Замечание. Лемма 6 может быть обобщена. Можно показать, что
если В лежит в Е(2'"> (m = 1, 2, ...), то для некоторого k < оо

| В | -< kam,

где ат = | (А — /)"' |. Более того, если оператор, соответствую-
щий 1] = | У1 | 4- ... 4-1 Y[ |, лежит в Е<2т> и ad Yj, i = 1,
2, ..., I, отображает E<2"'> на себя, то а”1 аналитически домини-
рует 1] (см. [628], лемма 6.3). Однако мы не нуждаемся в этом
результате.

§ 4. Аналитические векторы для унитарных представлений
групп «Пи

В § 1 мы показали, что каждое представление Т группы «Пи G
приводит естественным образом к представлению ее алгебры «Пи L,
определенному на подпространстве Гординга DG. Однако это
соответствие в таком виде не является вполне удовлетворительным.
Действительно, может оказаться, что подпространство [D az DG
(или само Dc), которое инвариантно при действии алгебры Ли L,
не инвариантно для G. Например, если G — однопараметрическая
группа трансляций, представленная в гильбертовом пространстве
L2 (—оо, 4-оо) формулой T J (у) = / (х 4- у), то каждое подпро-
странство С” (0, n), п = 1, 2, ..., инвариантно при .действии опе-
ратора X = d/dx алгебры Ли. Однако очевидно, что они не инва-
риантны при действии группы трансляций.

В общем дело в том, что ряд Тейлора регулярных функций не
обязательно сходится к регулярной функции. В самом деле, на
подпространстве Гординга для генератора Xi из L, <р из Со (6)
и и (<р) из Dg вектор

Т^и^-и^)	(1)

является регулярным вектором для представления Т группы G,
так как Тхи (Х"<р) = j (X"(p)(x'’y) Туийу, но разложение

N	N

S ~ т (X,)" W (ф) = J £ Х^ (I) Тхи dx (2)
гг- 0	п—О

в общем случае не сходится при X —>• оо. Те векторы и из Н, для

Т (Xi)nu, i — 1, 2, ..., dimL, сходится,
представляют особый интерес и, согласно § 3, называются анали-
тическими векторами для представителей Т (X,). Правильно
выбранные аналитические векторы гарантируют удовлетворитель-
ную связь между представлениями L и G в Н. Мы покажем, в част-
ности, что инвариантные подпространства аналитических векторов
относительно Т (L) являются также инвариантными подпростран-
ствами аналитических векторов относительно Т (G) и обратно.

Этот параграф посвящен анализу свойств аналитических
векторов для унитарных представлений групп Ли. Сначала мы уста-
новим связь между аналитическими векторами для представления
х —> Тх группы и аналитическими векторами для операторов
Т (X), X £ L, в смысле соотношения (3.1).

Лемма 1. Пусть х —> Тх — представление группы Ли G
в гильбертовом пространстве И. Пусть Xlt Xd, d = dim L, —
базис для алгебры Ли L группы G, и пусть £ = | Т (XJI +••
... ф-1 Т (Xd) |. Тогда если и С Н— аналитический вектор
для L той — аналитический вектор для представления Т группы G.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что если Тхи аналитичен в окрест-
ности точки е в G, то Тхи аналитичен всюду. В самом деле,

Тхи — ТуТy~ixu

аналитичен, если элемент х близок к фиксированному элементу
у G G. Более того, мы знаем, что экспоненциальное отображение
является аналитическим изоморфизмом окрестности точки 0 в L
с окрестностью точки е в G (см. теорему 3.10.1). Поэтому доста-
точно доказать, что если и G Н — аналитический вектор для £,
то X —> Тек„ х I1 аналитично в некоторой окрестности точки 0
в L. Пусть X = Х^ К ... + Xdtd. Тогда 7ехрХц аналитичен в не-
которой окрестности точки 0 в L тогда и только тогда, когда

S4 S	<з>

п—0	<Xj4--п

для достаточно малых 4, ..., td, где а— коэффициент
при Zi1 ... fdd в разложении для ехр (7 (Xj) G 4- ... 4- Т (Xd) td] и.
Используя (3.15), видим, что ||...adl| является нормой суммы
нескольких выражений, которые также появляются в разложе-
нии || ехр (|s) и ||, если мы положим = ... = td = s. Поэтому
левая часть (3) < || ехр (£s) и ||, когда s = max(|t1| , ..., | ta |);
следовательно, она <сю по нашему предположению.

Замечание 1. Приведенный результат может быть усилен. Можно
показать, что вектор и Н является аналитическим вектором
тогда и только тогда, когда и аналитичен для представления Т
группы G (см. [628], лемма 7.1).

Докажем теперь два основных свойства множества аналитиче-
ских векторов для унитарного представления Т группы Ли G.
Теорема 2. Пусть х —» Тх — унитарное представление группы
Ли G в гильбертовом пространстве Н. Тогда множество АТ анали-
тических векторов для Т плотно в Н. Если Хг, Xd— базис
алгебры Ли L группы G и А = XI 4- ... 4- Х%, то любой аналити-
ческий вектор для Т (Д) является аналитическим вектором для
представления Т группы G, и множество А Т <д> таких векторов
плотно в И.

Доказательство. Пусть 7(Х,), i=l, 2, ..., d, обозначает
образы генераторов Х; алгебры L, и пусть Т (Д) = Т (Хх)а + ••
... 4- Т (Xd)2. По утверждению 1.2 Т (XJ кососимметричен на
области Гординга DG и по теореме 2.3 Т (Д) существенно само-
сопряжен.

Положим D = П D(T (Д)"). По (3.43) каждый вектор из D
______1 _______________

лежит в D (Т (X,) ... Т (Xit^) для всех конечных последователь-
ностей ix, ..., in. По теореме Стоуна область определения D (Т (X))
для X из L является множеством всех векторов и из Н, для кото-
рых предел (т. е. производная) в (1.11) существует. Следовательно,
если и лежит в Ь, то и лежит в D (Т (X)), поэтому Тхи имеет все
частные производные в х = е. Внутренний автоморфизм у -> хух"1
в G порождает внутренний автоморфизм

X —> АсГДХ) = хХх”1	(4)

в алгебре Ли L группы G [см. (3.3.28)1. Поэтому для образов
(относительно Т) имеем

7(Х)Тхи = Тх (Тх->Т(Х)Тх) и = TXT(Y) и,	(5)

где Y = Adx-i (X). Для X', X" из L имеем

Т(Х") Т(Х') Тхи = ТХТ (У") У (У') и

и подобное выражение для произвольных произведений Т (X(j ...
... Т (Xin). Таким образом, Тхи имеет частные производ-
ные всех порядков для всех х из G и и из D. Следовательно, D
содержится в пространстве DG всех бесконечно дифференцируемых
векторов. Ясно, что DG nDG. Если и лежит в DG, то и лежит
bD (Т (Д)“) для любого п\ следовательно, и С D. Поэтому!) дэ DG
и, следовательно, D = DG. Любой аналитический вектор для
Т (Д) лежит в D, и, следовательно, он является аналитическим’
вектором для Т (Д). Оператор Т (Д) самосопряжен, и поэтому по
лемме 3 он имеет плотное множество аналитических векторов.'
Так как, согласно лемме 3.7, а = | Т (Д) — 11 аналитически
доминирует над £, то это все аналитические векторы для | и по
лемме 1 они являются аналитическими векторами для представле-
ния Т группы G.

Пример 1. Пусть G — трехмерная нильпотентная группа из
примера 2.1, и пусть

Т[амы (*) == ехР I— i (Y + *Р)1«(А‘ - г а)	(6)

— унитарное представление группы G в L2 (—сю, 4-оо). Тогда
генераторы однопараметрических подгрупп имеют вид

р = 4-	с---и.	(7)

Они удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга
[Р, Q1 = —1/. В качестве общей плотной инвариантной области
определения D для алгебры Ли (7) возьмем пространство Шварца
S О-функций и (х) с

sup | х“ « (*) j -<00, а, Р = О, 1,... .

Вычислим плотное множество аналитических векторов для опера-
тора Т (Д) = Р2 + Q2 + С2. Единичный оператор —С2 в Т (Д)
может быть отброшен, так как каждый аналитический вектор для
Т (Д) аналитичен для

Т (Д') = Р2 4- Q2 ==	- л-2.

(8)

Операторы (8) имеют тот же вид, что и гамильтониан для одномер-
ного гармонического осциллятора. Хорошо известно, что норма-
лизованные на единицу собственные функции ип (х) оператора
Т (Д') могут быть выражены через полиномы Эрмита, т. е.

(х) = (V л2"п!) ехр (— х2/2) Нп (х).	(9)

Они соответствуют собственным значениям = 2n + 1 (см.
[587 ], стр. 492). Эти собственные функции являются аналитиче-
скими векторами для Т (Д'). В самом деле, для s < оо

У 1-||р(Д

AfseJ К-

fe='j

Множество {ип (х)| образует полное ортонормированное мно-
жество в- L2 (—оо, 4-оо). Поэтому в силу теоремы 2 конечная
линейная оболочка ЛГ(Д> функций \ип (х)[ дает плотное мно-
жество аналитических векторов для представления (6) группы G.
Каждая собственная функция ип (х) лежит в пространстве Швар-
ца S, которое является областью определения D для Т (L). Более
того, из элементарных свойств полиномов Эрмита следует

(Ю)

Поэтому плотное подпространство Лг(д> аналитических векторов
для Т (А) является общей инвариантной плотной областью опре-
деления для представления (7) алгебры Ли коммутационных
соотношений Гейзенберга.

Доказательство леммы 3.1 дает метод явного построения плот-
ного множества аналитических векторов для Т (А). Пусть Е (%) —
спектральное разложение единицы для Т (A), a S = [а, Ы пробе-
гает ограниченные интервалы в R1. Тогда векторы вида Е (6) и,
и^Н, составляют плотное множество аналитических векторов
для Т (А).

Мы уже видели, что при подходящем выборе плотное множе-
ство АТ(} аналитических векторов для представления х —* Тх
группы G образует общую плотную инвариантную область опре-
деления для представления X — > Т (X) алгебры Ли L группы G
и ее обертывающей алгебры Е и каждый элемент из Атс лежит
в Ат (Д) (см. (7.32)1.

Если мы возьмем в качестве общей плотной инвариантной
области определения для представления X —Т (X) алгебры Ли L
плотное множество Ат0 аналитических векторов для представле-
ния х —> Тх группы G, то будем иметь удовлетворительную связь
между инвариантными замкнутыми подпространствами для алгебры
Ли и для группы Ли. В самом деле, если D с А^-^ — инвариант-
ное замкнутое подпространство для алгебры Ли, то для любых
Т (X) из £ и и из D Т (X)" и лежит в D и, следовательно,

оо

Техр (ftX) И = ехр [hT (X)] и =

k—0

Т(Х)пи

(П)

сходится и дает элемент из D. Поэтому D также инвариантно отно-
сительно представления Т группы G. Обратно, если D — замкну-
тое подпространство, инвариантное относительно G и содержащее
плотное инвариантное множество А аналитических векторов, то А
также инвариантно относительно алгебры Ли L. В самом деле,
согласно (11), для любых h > 0 и и из А имеем

Т’схр (ЙХ)" U

h

= 7(X)//-L/i7(X)2h-|----GD.

(12)

Устремив h — * 0, получаем Т (X) и £ D.

§ 5. Интегрируемость представлений алгебр «Пи

В квантовой теории и физике мы используем обычно непосред-
ственно представления алгебр Ли. Однако во многих задачах
глобальные групповые преобразования сами имеют прямое физи-
ческое значение. Например, если группа G содержит физическую
группу Пуанкаре П как подгруппу, то (унитарные) представители
7\длях £ II описывают изменения заданной физической системы,
соответствующие изменениям системы отсчета. Таким образом, во
многих случаях нас интересуют те представления алгебры «Пи,
которые могут быть проинтегрированы до глобального (унитар-
ного) представления группы G. Имеется много примеров, в кото-
рых глобальные представления привносят новые физические связи,
показывая, что природа использует скорее представления групп,
чем алгебр Ли.

В этом параграфе мы даем фундаментальную теорему Нельсона,
которая устанавливает, когда представление алгебры Ли L косо-
симметрическими операторами может соответствовать унитарному
представлению односвязной группы «Пи G, имеющей L своей
алгеброй Ли.

Рассмотрим сначала связь этой задачи с аналитическими век-
торами.

Лемма 1. Пусть алгебра Ли L представлена кососимметри-
ческими операторами в гильбертовом пространстве Н, имеющими
общую инвариантную плотную область определения D. Пусть
Хь ..., Xd — операторный базис для L, £ = | Хг [ ф- ... ф- | Xd |.
Если при некотором s > 0 множество векторов и из D, для
которых l| ехр (gs) и || < со, плотно в Н, то на Н существует
единственное унитарное представление Т односвязной группы ЛиС,
имеющей L своей алгеброй Ли, такое, что для всех X из L
Т1Х) = X.

Доказательство. Условие || ехр (gs) и || < оо при некото-
ром s > 0 означает, что и является аналитическим вектором для g.
Поскольку любой аналитический вектор для g является аналити-
ческим вектором для элемента X £ L, мы заключаем, что любой
X £ L имеет плотное множество аналитических векторов. Следова-
тельно, согласно замечанию 1 к лемме 3.1, оператор iX само-
сопряжен.
Пусть ехр — экспоненциальное отображение в том смысле, как
оно определено для групп Ли (гл. 3, § 10, А), и пусть X — окрест-
ность точки е в G, такая, что ехр является взаимно однозначным
отображением из окрестности точки 0 в L на Для х = ехр X
из N мы определяем Тх как унитарный оператор ехр X.

Пусть X, Y и Z лежат в L, и предположим, что ехр X ехр Y =
= ехр Z в G. Тогда два степенных ряда

оо	оо

у ' Z", у Ц-4-х*г'

n=o	k, 1=0

формально совпадают. Следовательно, если и такой вектор, что
Цехр(|Х| + |Y|)н||<оо, Цехр (|Z|)h|| <сю, то ехр(X)ехр(У)и —
= ехр (Z) w, т. е. TexpZu = ТехрхТырхИ- Теперь для достаточно
близких к нулю X, Y, Z из L (таких, что абсолютные значения
координат cs/2) существует (по нашему предположению) плот-
ное множество векторов н£О, таких, что |]ехр(|Х| -|~|У|)«1]<оо
и Цехр (|Z|) ыЦ <оо. Следовательно, если х и у из G достаточно
близки к е, то ТлТу = Тху. Это означает, что в окрестности точки е
отображение х —>ТХ определяет унитарный гомоморфизм локаль-
ной группы. Этот гомоморфизм сильно непрерывен. В самом деле,
когда X —0 в L, то |1ехр(Х)ы — w || —> 0 на плотном множестве,
так как, согласно нашему предположению, Цехр (£s) и|| < сю на
плотном множестве. Более того, поскольку множество \ТХ} равно-
мерно ограничено, = сильная непрерывность на плотном
множестве может быть расширена до сильной непрерывности в Н
(согласно непрерывности всех операторов 7\). Следовательно,
отображение Т: (х, и) —> Тхи из NxH в И определяет локальное
унитарное представление группы G. Поскольку G односвязна,
существует единственное расширение представления Т до унитар-
ного представления группы G в И.

Фактически эта лемма дает критерий для интегрируемости косо-
симметрического представления алгебры Ли. Однако этот критерий
может не быть легко применимым в конкретных случаях. Следую-
щая теорема дает простой критерий интегрируемости.

Теорема 2. Пусть L — алгебра Ли кососимметрических опе-
раторов в гильбертовом пространстве Н, которые имеют общую
инвариантную плотную область определения D. Пусть Х\, ...
.... Xd операторный базис для L, а Д = X? -р ... 4- Х^. Если
Д существенно самосопряжен, то в Н существует единственное
унитарное представление Т односвязной группы Ли G, имеющей L
своей алгеброй Ли, такое, что для всех X из L Т (Х) = X.

Доказательство. Пусть £ = | Хг | -р ... 4-1 xd | и р -
— | Д | + | 11. По лемме 3.7 |3 аналитически доминирует над
а по последнему утверждению леммы 3.5 множество векторов, для
которых ||ехр (Hs) и|| <со при некотором s > 0, плотно в Н. По-
этому, согласно лемме 1, мы получаем утверждение теоремы.

Из теоремы 2 вытекает следующее следствие, которое дает полез-
ный критерий неинтегрируемости заданного кососимметрического
представления алгебры Ли L.

Следствие 1. Пусть L — такая же алгебра Ли, как и
в теореме 2. Если хотя бы единственный элемент iX для X из L не
существенно самосопряжен, то с L не может сопоставляться ника-
кое унитарное представление Т (G) односвязной группы G. Следо-
вательно, А не может быть существенно самосопряженным.

Доказательство. Если А существенно самосопряжен, то
по теореме 2 существует единственное унитарное представление
Т (G) односвязной группы G и Т (X) = X для всех X из L. Согласно
следствию 4 теоремы 2.3, Т (iX) самосопряжен и, следовательно,
каждый IX должен быть существенно самосопряженным. Поэтому
если некоторый iX не существенно самосопряжен, то не суще-
ствует глобалыюго унитарного представления Т группы G, такого,
что Т (X) = X. Следовательно, А не может быть существенно
самосопряженным.

Пример 1. Пусть L — гейзенбергова алгебра Ли, опре-
деленная следующими коммутационными соотношениями:

[X, У] = Z, [X, Z] = 0, 1 У, Z] = 0.

(1)

Пусть Н — L2 (S), где S — открытый интервал (0, 2л), и пусть

Х = -£~, Y==iw, Z = il
dtp ’	* ’

(2)

— кососимметрическое представление алгебры L, определенное на
С“ (S), которое является общей инвариантной плотной областью
определения. Для и из С“ (S) и для любого v из С1 (S) имеем

(Xu, v) = j Хи (<р) v(ф) dtp = (и, — Xv) + и (2л) v (2л) — и (0) v (0) =

= (и, — Xv) = (и, X*v).

(3)

Поэтому D (X*) гэ D (X) и на С1 (S) X* = —d/d<p. Оператор X
был бы существенно самосопряжен, если бы он имел индексы
дефекта (и+, п_) = (0, 0). Из формулы (11) приложения Б.1 сле-
дует, что индексы дефекта п+ и п_ симметрического оператора iX
равны числу решений уравнения

X*v± = ±v±.

(4)
Для оператора X* = —d/d<p на С1 (S) имеем = ехр (^<р).
Поэтому индексы дефекта п+ и п оператора X равны (1, 1). Таким
образом, оператор X не существенно самосопряжен. Следовательно,
в силу следствия 1 представление (2) алгебры Гейзенберга не
интегрируется до глобального представления соответствующей
нильпотентной группы.

Следующее полезное следствие дает основной результат теоремы
2, но с более слабым предположением на область определения пред-
ставления. Грубо говоря, теорема 2 касается перехода от области D
типа С°° до Ск, /г < сю, а приведенное ниже следствие — перехода
от Ck до С2.

Следствие 2. Пусть L — вещественная алгебра Ли, а Н —
гильбертово пространство. Для каждого X из L пусть р (X) —
кососимметрический оператор на Н. Пусть D — плотное
линейное подпространство в П, такое, что для всех X, Y из L D
содержится в области определения для р (X) р (У). Предположим,
что для всех X, Y Q L, и Q D и вещественных чисел а и b имеем
р (аХ ф- bY) и = ар (X) и -ф- Ьр (У) и,	(5)

р(1Х,У])ы = (р(Х)р(У)-р(У)р(Х))и.	(6)

Пусть Хп ..., Xd — базис для L. Если ограничение А оператора
Р (^i)2 + • • • + Р (-Хф2 до D существенно самосопряжено, то на Н
существует единственное унитарное представление Т односвязной
группы Ли G, имеющей L алгеброй Ли, такое, что для всех X из L
Т(Х) =77х).

Доказательство. В рассматриваемом случае, как и в лемме
3.5, для каждого п имеем

D(?)cD(F(X;)...p(Xj).	(7)

Доказательство этого соотношения совпадает с доказательством
соотношения (3.43). Только вместо рассмотрения ad р (X) А,
который может иметь в своей области определения только 0, мы
рассматриваем р ((ad X) Д), где Д = Х{ ф- ... ф- X2d. Поскольку,
согласно (3.21), (ad X) Д £ Е2, то оператор р ((ad X) Д) определен
на Д. Положим D = П D (Лп), А — ограничение А на Д, а Xz —
________________	п~1

ограничение р (Хф на Д. Согласно (7), Д инвариантно относительно
Х;. Более того, так как А а А а А, мы находим, что А (=Л)
самосопряжен, т. е. А существенно самосопряжен. Итак, все
предположения теоремы 2 выполняются и, следовательно, следст-
вие справедливо.

Из теоремы 2 и следствия 2 получаем удобный критерий силь-
ной коммутативности неограниченных операторов. Напомним, что
два неограниченных самосопряженных оператора называются
сильно коммутирующими, если коммутируют их спектральные
разложения.

Следствие 3. Пусть А и В — симметрические операторы
на гильбертовом пространстве П, и пусть D — плотное линейное
подпространство в Н, такое, чтоО содержится в области опреде-
ления операторов А, В, А2, АВ, В А и В2, и такое, что АВи =
= ВАи для всех и из D. Если ограничение А2 -|- В2 на D суще-
ственно самосопряжено, то

1° А и В существенно самосопряжены,

2° А и В сильно коммутируют.

Доказательство. 1°. Пусть L — двумерная абелева алгебра
Ли с базисом X, Y, и пусть р (аХ -|- bY) = iaA Д- ibB.
Тогда все предположения следствия 2 выполнены. Следовательно,
на П существует единственное унитарное представление Т одно-
связной абелевой группы (т. е. изоморфной R2) G, такое, что
Т (Z) = р (Z) для всех Z из L. По следствию 4 теоремы 2.3 \Т (Z)
самосопряжен. Следовательно, А — —IT (X) и В = —iT (У)
существенно самосопряжены.

2°. Поскольку G абелева, унитарные операторы 7expZ =
= ехр [7 (Z) ], х = ехр Z £ G, Z £ L, коммутируют. Поэтому
самосопряженные операторы \Т (X) = А и \Т (У) = В сильно
коммутируют.

Из следствия 3 теоремы 2.3 мы знаем, что симметрические эле-
менты L, М центра Z обертывающей алгебры Е отображаются на
существенно самосопряженные операторы Т (L) и Т (7И). Однако
если G — группа физической симметрии, то мы требуем, чтобы
соответствующие самосопряженные операторы Т (L) и Т (М),
так же как и Тх и Т (L), х С G, L = L+ £ Z, сильно коммутиро-
вали. Следующая теорема показывает, что это в действительности
имеет место.

Теорема 3. Пусть Т — унитарное представление связной
группы Ли G в гильбертовом пространстве И, и пусть Z — центр
левоинвариантной обертывающей алгебры Е для G. Тогда

1° Для любых симметрических L, М из Z самосопряженные
оператора Т (L) и Т (7И) сильно коммутируют.^

2° Для любых симметрического N из Z и х из G операторы
Т (N) и Тх сильно коммутируют.

Доказательство. 1°. Для любого
(DG — область Гординга), согласно (1.17), имеем

Т (L) Т (Л1) и (<f.) = и (LMq) = и (Мкр) = Т (Л1) Т (L) и (q>).

Поэтому’, взяв D = D& получаем, что все предположения след-
ствия 3 выполняются. Следовательно, самосопряженные операторы
Т (L) и Т (М) сильно коммутируют.

2°. Пусть и (т) С Dg. Тогда, используя тот факт, что левые
сдвиги Lyq (х) = (( (у-1х) коммутируют с любым элементом N £
С Z, и используя (1.17) и (1.13) для любого и ((f) £ DG, получаем
равенство

ТУТ VV) и ((f) -= Туи (Ny) = и (LyNq>) = и (NL^ =

= 7(7V)u(L,(p) = TGV)7,u((f.).

Поэтому операторы Т (М) и Тх для любых N из Z и х из G комму-
тируют на области Гординга. Операторы Т (М) и Тх также комму-
тируют на D (Т (N)). В самом деле, если и £ D (Т (М)), то из
определения замыкания Т (М) оператора Т (М) следует, что суще-
ствует последовательность DG Э ип ->и, такая, что Т (М) ип —> v
и Т (У) ип —> Т (М) и = и. Поскольку каждый оператор Т„
х £ G, непрерывен, для каждого и С D (Т (7V)) имеем

TAT(/V)« = lim Г (Лг) и„ = lira Т.Т (Д') ип = ИтТ(Л') Txtin =

= Т (/V) Тх Нт и, = Т (Д') Txii.

Утверждение пункта 2° следует теперь из того факта, что каж-
дый ограниченный оператор, коммутирующий с самосопряженным
оператором, сильно коммутирует с ним.

§ 6, ФС3-теория интегрируемости представлений алгебр Ли

В этом параграфе мы приводим красивую теорию интегрируе-
мости представлений алгебр Ли, разработанную Флато, Саймоном,
Спелманом и Стернгеймером (ФС3-теория). В противоположность
теории Нельсона, изложенной в § 5, она дает критерий интегри-
руемости прямо в терминах свойств генераторов алгебр Ли. Сле-
довательно, в общем она более эффективна для практических
приложений, в особенности для алгебр Ли высших размерностей.

Начиная рассуждения, заметим, что в случае конечномерных
вещественных алгебр Ли можно ввести несколько других опреде-
лений аналитических векторов, которые эквивалентны (или слабее)
определениям, использованным в § 3 и 4 (см. определение 3.1):
1.	Вектор и £ Н аналитичен для каждого элемента из алгебры
Ли (в смысле аналитичности для одного оператора, как опреде-
лено в § 3).

2.	Вектор и £ Н аналитичен для каждого элемента Xit 4 = 1,
2, ..., dim L, заданного линейного базиса алгебры Ли.

3.	Вектор и £ Н аналитичен для каждого элемента Xk,
являющегося генератором Ли алгебры Ли 1).

Очевидно, что понятия аналитичности по 1—3 слабее понятия,
введенного в § 4.

Докажем теперь основной результат, который говорит, что
достаточно иметь общее инвариантное плотное множество аналити-
ческих векторов только для базиса алгебры Ли (в смысле определе-
ния 2), чтобы гарантировать интегрируемость первоначально
заданного представления алгебры Ли. Мы начинаем с некоторых
предварительных результатов.

Пусть х —> Т (х) — представление алгебры Ли L в комплексном
гильбертовом пространстве Н кососимметрическими операторами,
определенными на общей плотной инвариантной области определе-
ния D. Очевидно, что такое представление сильно непрерывно в Н.
В дальнейшем мы будем писать X = Т (х), Y = Т (у) и т. д. и
будем использовать обозначение

ео

A{tX, y)=^^(ad<K

n=0

Лемма 1. Для любых х, у £ L и и £ D ряд

оо

АЦХ, У)и=^^-((аЗ<У)«	(1)

сходится для всех t £ R и

Т (ехуе~ху) и = А (X, У) и.	(2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Соотношение (2) следует из (3.3.43) и из
вышеупомянутой сильной коммутативности. Заменяя х на tx,
мы получаем сходимость ряда A (tX, Y) и для всех t £ R.

Легко проверить, что для любых х, у £ L и и £ D имеем

m

р=0

х) Напомним, что множество !	п dim L, называется множеством

генераторов Ли для L, если L натягивается на линейные комбинации повторя-
ющихся коммутаторов от элементов IX;, }"=г
Утверждение 2. Пусть Т и Т' — два представления веще-
ственной алгебры Ли L кососимметрическими операторами на
общих инвариантных областях определения D uD' {соответственно)
плотных в Н, с D a D' и таких, что для любого у б L Y = Т {у)
яляется ограничением на D оператора Y' = Т' {у). Тогда если D —
область аналитических векторов для некоторого X = Т (х) б
t Т (L), то, обозначая через {, } скалярное произведение в Н,
для любых t б R, и б D и v б D' имеем

{—etxYu, v)^{ctxu, A{tX',Y‘)v).	(4)

Доказательство. В силу замечания 1 к лемме 3.1 замыка-
ние X оператора X (и оператора X’) кососопряжено и, следова-
тельно, порождает единственную однопараметрическую группу,
которую мы обозначим через ёх. Для всех и б D функции t —>
--> ёхи и t —» etxYu аналитичны в R. По лемме 1 функция t —>
- A {tX', Y') v с v б D' также аналитична в R. Следовательно,
функции a {t) = (—e‘xYu, v) и b (t) = (е‘хи, A {tX', Y') v)
также аналитичны для всех вещественных t. Мы имеем

= (5)

(0)=S ( р ) <х₽ ц’(ad х'^р Y'v>
р=0

Так как Y a Y' с Y'* (и то же для X), то из (3) мы получаем, что

(0) =	(°)- Поэтому а (0 = b (t) для всех t б R-

Следствие 1. При условиях утверждения 1 e~-xv принад-
лежит области определения D {Y*) оператора Y*, сопряжен-
ного Y, при всех v б D' и t б R и

Т' {etxye~tx) v = — etx Y*e~txv.	(7)

В самом деле, в силу непрерывности по и правой стороны в (4)
e~:xv б D (У*), откуда следует формула (7) [(так как D плотно
в Н).

Предположение (А). Т является представлением алгебры Ли
L на плотной инвариантной области определения D векторов,
которые аналитичны для всех кососимметрических представителей
X, = Т (л.) элементов базиса хг, ..., хг алгебры L.

Лемма 3. Если предположение" (А) удовлетворяется, опре-
деляем как пересечение областей определения всех одночленов
... Xin для всех 1 < it, ..., i,, г, п £ N. Пусть Xi — огра-
ничение Xt до Нс„. Для всех

i=i
определяем

V = Т'(У) ~ £^х-

i-1

(с инвариантной областью определения Нг.). Тогда Т' — пред-
ставление алгебры L кососимметрическими операторами (на НД
и для любых двух элементов xL и Xj базиса и для v £ Н~ имеем

A (tX'i, X'j) v = е/Х, Х/е“'Х/у.	(8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению Исодержит D и инва-
риантно относительно всех

х(=х;=-х; = -х;’(

а потому и относительно всех У', которые, согласно сделанному
предположению, кососимметричны. По определению Т' также
линейно. Но если

ki, Xj] = Е О/л,
fc=i

то для всех v £ Нх и и С D имеем

((XiX] - X'jX'tYo, и) = (v, (XjXi - XiXj) и) =

=	CijkXfeu'Y — jkXkV, h'Y’

\ k	'	' k	s

Следовательно, T' — представление, и мы можем применить
формулу (7) с D' = Ню к у = х/, откуда следует (8).

Лемма 4. Если выполняется предположение (А), то опре-
деленная выше область Н«, инвариантна относительно Т' (L)
и относительно всех однопараметрических групп d\ и если
tlt ..., tr — дифференцируемые функции некоторого параметра t,
то для всех и С Пт векторнозначная функция

t^e1^' ... e*rXru

имеет первую производную по t.
Доказательство. Из (8) и из инвариантности относи-
тельно Т' (L) для всех базисных элементов xlt х , х и всех
v £ получаем

A(tXi, ху ... A(tXi, X’Jv^e^X^... Xife tXiv,

и e~tx‘v принадлежит области определения всех операторов
Xj ... Х/п, откуда следует инвариантность /7» относительно е~1Х‘.

Свойство дифференцируемости следует 1по индукции из диф-
ференцируемости векторнозначной функции t —> U (t)u (i), где
t - u(t) £ Ha сильно дифференцируема, a t V (£) — унитар-
ная операторнозначная функция, сильно дифференцируемая на
Нх (такая, что отображение (/, и) --> U (t) и из RxH в Н непре-
рывно).

Теперь мы даем основной результат.

Теорема 5. Пусть Т — представление' алгебры Ли в ком-
плексном гильбертовом пространстве, удовлетворяющее предполо-
жению (А). Тогда Т интегрируется до единственного унитарного
представления группы.

Доказательство. Пусть х, у — элементы из L, достаточно
близкие к 0, так что ех, еу, ехеу и, следовательно, е'хе« при 0 <
< t < 1 лежат в окрестности W единицы группы G, введенной
в 3.3. Ж- Запишем

tx U СХ...Х..	СХ, X

ееи = е 1 1 ... е г г,

etx = е1*1 ... е'\

(9)

у Р,
е' = е 1 1

Рл,
е г г.

Для любого z £ £, такого, что е?- G И7. запишем (если базис
выбран, то единственным образом) ez = егг'т ... еггхг и определим

Т(ег)^ег,Л' ... егХг.	(10)

Так как G порождается конечными произведениями элементов
из W, то нам следует только показать, что групповой закон имеет
место в W, т. е. что для любых ех, еу С W, таких, что ехеу £
имеем Т (ех) Т (еу) = Т (еху) и что на D Т (L) является дифферен-
циалом от Т (G). Однозначность очевидна, так как соотношение
(10) является необходимым условием.
Из леммы 4 следует, что при и £ Т (е!х) и и Т (е*хеу) X
X Т и — дифференцируемые функции от t. Так как

d tiXi — tiXf	tiX, —

-ъ7-е u = X,e lu = e Х,и,
all	‘	‘ ’

то прямым вычислением получаем

...е-'Л)т(е")и

и подобным образом

^Т(е/Х) и = Т (е1х) e~trXr... е~*2*2 Х^е2*2 ...

Из соотношений (3.3.41), (2), (8), (9) и (10) находим

Т (е1х) и = XT (е1х )и = Т (е'Л) Х'и.	(11)

С другой стороны, для всех и £ Нк прямым вычислением получаем

Ат(^ег/)т(ег')-1п =

= (-^ Xr И----+ -^г “1Х1... e^^Xre	...е “1Х1) х

X7(e'V)T(e!/)-,w.

Поэтому из соотношений (3.3.42), (2), (8), (9) и (10) получаем,
что для всех и £ Н«, Т (etxey) Т (е^У1 и (которая принадлежит
Я„) является также дифференцируемым решением векторнознач-
ного дифференциального уравнения (со значениями из и диф-
ференцированием в топологии пространства Н)

~u(t) = X’u(t),	(12)

Такое уравнение имеет единственное решение (см. [449],
стр. 481). В самом деле, легко проверить, что для любого решения
и (s) £ Н„ и 0 < s < ( с 1 Т (r’'<~s> х) и (s) дифференцируема по s
и что

А. (у х) и (s)) = т (е(^>х) х’и (s) I т х) Хи (s) = 0.
Следовательно, Т (еч S) А) и (s) не зависит отs. Приравнивая ее
значения при s = 0 и s — t, получаем, что и (/) = Т (etx) и (0),
откуда следует единственность решения уравнения (12) в НС., и
групповой закон (который мы можем расширить из Н„ до Н по
непрерывности)

Т (е^е11) = Т (etx) Т (ev).

Более того, соотношение (11) показывает, что Т (L) является
ограничением до D дифференциала от Т (G).

Заметим, что, согласно результату Нельсона, аналитический
вектор для Д обязательно аналитичен для всей алгебры в целом,
в то время как ситуация в теореме 5 иная: из того, что мы говорили
до сих пор, мы знаем только, что существование плотного инва-
риантного множества аналитических векторов для базиса пред-
полагает интегрируемость и, следовательно, по глобальной теореме
существование (другого) плотного инвариантного множества ана-
литических векторов для всей алгебры (в смысле Нельсона) и
поэтому для группы.

Теперь мы дадим более сильный вариант теоремы 5, который
использует наиболее слабое понятие аналитичности, данное в опре-
делении 3.

Теорема 6. Пусть выполняется предположение (А). Пусть
jxy, ..., х,г\ — множество генераторов Ли алгебры Ли L, и пусть
А обозначает множество аналитических векторов для каждого из
Т (лу), ..., Т (хц) в отдельности. Тогда:

1.	Множество всех аналитических векторов для заданного
произвольного элемента из L инвариантно относительно Т (L).

2.	Существует единственное, унитарное представление соот-
ветствующей связной односвязной группы Ли (имеющей L алгеброй
Ли) на замыкании наименьшего множества А', содержащего А и
инвариантного относительно Т (L), дифференциал которого на А'
равен Т.

(Доказательство см. в [2661.)

Следует отметить, что инвариантность множества аналитиче-
ских векторов относительно Т (L) была получена автоматически.

Следующая теорема полностью выясняет связь между слабой
аналитичностью, сильной аналитичностью Нельсона и аналитич-
ностью для представления группы.

Теорема 7. Пусть G — вещественная конечномерная группа
Ли. Тогда существует базис jxj, ..., соответствующей алгебры
Ли L, такой, что если задано любое представление группы G
в гильбертовом пространстве, то любой вектор, аналитический
в отдельности для замыканий представителей базиса [лу, ...,
будет аналитичен для представления группы (что означает анали-
тичность для всей алгебры Ли, т. е. аналитичность в целом).

(Доказательство см. в [266].)

Теперь мы перейдем к другому вопросу: являются ли аналити-
ческие векторы в действительности необходимыми для гарантиро-
вания интегрируемости?

Первый пример, показывающий такую необходимость, был
построен Нельсоном [628]. Следующая теорема хорошо иллю-
стрирует эту проблему.

Теорема 8. Каждая компактная алгебра Ли размерности
п > 1 имеет по крайней мере одно представление (в гильбертовом
пространстве) на инвариантной области определения, такое, что
каждый элемент алгебры представляется существенно кососопря-
женным оператором на этой области и каждый элемент некоторого
линейного базиса алгебры интегрируем до однопараметрической
компактной группы, но представление не является интегрируемым.

(Доказательство см. в [268].)

ФС3-теория очень удобна для приложений. В частности, Ни-
дерле и Микельсон [639] и Нидерле и Котецкий, используя
ФС3-критерий интегрируемости, показали, что представления
алгебр su (р, q) и so (р, q), полученные методом Гельфанда—Цет-
лина (§ 8), интегрируемы.

ФС3-теория нашла также интересные приложения в квантовой
теории поля Вайтмана. В частности, Снелман [771 ] доказал, что
действие полиномиального кольца от полевых операторов на
вакуум содержит плотное множество аналитических векторов
для группы Пуанкаре. Этот анализ впоследствии был расширен
Нагелом и Спелманом [615].

ФС3-теория допускает обобщения на пространства, отличаю-
щиеся от гильбертовых.

Теория интегрируемости представлений алгебр Ли в квази-
полных локально выпуклых пространствах была дана в работе
Флато и др. ([269], § 5). Случай представлений в банаховых
пространствах детально разработан в работе [462 ].

§ 7. «Уравнение теплопроводности» на группе Ли
и аналитические векторы

В этом параграфе мы опишем интересный глобальный метод
построения аналитических векторов для представления Т группы
Ли G. Он представляет собой обобщение метода Гординга построе-
ния регулярных векторов. Фактически мы заменяем функцию
Ф £ С" (G) в интеграле (1.12), т. е.

u (q) — | ф (л) Тхи d.v,	(1)

о
на определенную аналитическую функцию, которая достаточно
быстро убывает на бесконечности вместе со всеми смешанными
частными производными. Классом всех таких функций являются
решения уравнения теплопроводности на группе Ли. Случай
неунитарных представлений требует только незначительного рас-
ширения доказательства леммы 3 (см. ниже). Поэтому мы рассмот-
рим здесь случаи унитарных и неунитарных представлений одно-
временно. Для простоты изложения мы ограничимся унимодуляр-
ными группами Ли.

Пусть Xt, t = l, 2, ..., d — dim L, — генераторы правых
сдвигов в Н = L2 (G), и пусть А = XI Ц- ... -р Х$. Тогда под
уравнением теплопроводности на группе Ли G мы понимаем урав-
нение вида

X^Q’	(2)

где t — вещественный параметр и х £ G.

Если G — группа трансляций вещественной прямой, то (2)
имеет вид

/ д д2 \ ,,	, п

(	----) <Р V, *) = 0,

\ dt дх2 1	’

(3)

т. е. это обычное одномерное уравнение теплопроводности.

Из теоремы 2.2 мы знаем, что симметрический эллиптический
оператор А в L2 (G) существенно самосопряжен. Обозначим через А
его самосопряженное расширение в Н и положим

<р(£, х) = (ехр (/А) В (х),	(4)

где f £ С“ (G) и t > 0. Согласно спектральной теореме (приложе-
ние Б.З, теорема 1), мы имеем д,ф = Аф — Аф. Поэтому ф — реше-
ние уравнения теплопроводности (2). Более того, ф (I, х) —♦ f (х)
при t —» 0.

Пример 1. Пусть G — группа трансляций вещественной пря-
мой. Тогда А = d2/dx2 и общие решения (4) соответствующего
уравнения теплопроводности (3) имеют вид

-f-eo

ф (t, х) = ехр f (х) = J ехр b(x-y)f (у) dy.

— OD
Ядро ехр (/d2/dx2) 6 (х — у) может быть записано в виде

+“

ехр (M2/dx2) ~ j ехр [ip (х — р)[ dp =

— со

1 f	р \ 4t /

2^- J ехр (— tp2) ехр [ip (х - р)] dp =------------------^==-----------

(5)

Поэтому

оо

= J exp[--^^]f(p)dp, feC»(G). (6)
---------00

Ядро (5) является хорошо известным фундаментальным решением
(функция Грина) уравнения теплопроводности.

Заметим, что если t —> 0, то

1

~р— ехр
4л<



и, следовательно, <р (/, х) —> f (х).

Мы видим, что функции (5) и (6), так же как и все их производ-
ные, убывают на бесконечности быстрее, чем любая экспоненциаль-
ная функция. Это является общей особенностью решения (4)
уравнения теплопроводности (2) для произвольной группы Ли.
Чтобы сформулировать это свойство точно, используем понятие
расстояния на произвольной группе Ли (гл. 3, § 9).

Пусть т (х) = т (х, е) — расстояние от единицы е до х в связной
группе Ли G. Покажем, что функция <р (/, х) = ехр (£А) / с f £
£ С“ (G) убывает быстрее любой экспоненты.

Лемма 1. Пусть <р (t, х) = ехр (/А) / (х), / £ С“ (G), и
пусть s — вещественное число. Тогда

(ехр (st) <р, <р) « ехр <2/) (ехР (ST) А /)>	(7)

где (•, •) обозначает скалярное произведение в И = L2 (G).

Замечание. Ясно, что правая часть (7) конечна, так как f
имеет компактный носитель. Умножая обе части (7) на
ехр £----s2 (t 4- в) j, где в > 0, получаем

(ехр [---g- s2 (f 4- в) 4- st] <р,	< (ехр [-- es2 st] /, / ) . (8)
Интегрируя затем обе части по s в интервале (—сю, 4-00), имеем
(/ + е)-1/2 (ехр [ —j qj, с г/ 1/2 (ехр [— т2'2е] /, /).	(9)

Таким образом, в силу множителя ехр (—т2/2 (t 4- е)) в левой
части (9) при фиксированном t и при х сю функция ср убывает
быстрее, чем

Это прямое обобщение на произвольную связную группу Ли
результата, полученного нами для группы трансляций прямой
[см. (6)].

Доказательство леммы 1. Пусть ..., Xd — базис в ле-
воинвариантной алгебре Ли L, и пусть

V» = {А^ц, ..., Xdu]	(11)

— градиент функции и из И. Скалярное произведение Vu и Vo
равно

d

^и, \v)^^(XiU, XiV).	(12)

1=1

Ясно, что

(V//, Vo) = (—Au, о) = (и, —Ao),

где A = XI 4- ... 4- Xd — левоинвариантный лапласиан на G.
Пусть H1 — линейное подпространство в Н, состоящее из элемен-
тов и С удовлетворяющих условию

HI4-||Vu||<oo.	(13)

Для дифференцируемых по t функций v С Н1 и для вещественной
функции h, ограниченной вместе с ее производными ht = dth и
Xth, удовлетворяются следующие тождества (vt = dtv):

(vt, h?v) 4- (h2v, vt) = dt(hv, hv) — 2 (hthv, v),

(Vo, V (/i2o)) 4- (V (h2o), Vo) = 2 (V (hv), V (hv)) - 2 (0 V/i, 0 Vh).

Просуммировав эти тождества и разделив на 2, получим

Re((oz, A2o) + (Vo, V(ft2o))}	+

+ || V (hv) ||2 —1| 0 Vh ||2 — (hthv, 0).

Пусть AZ > 0. Положим

ф (t) = фд, (x) = min j exp

[-^-st(x)J, N
Тогда ip ограничена. В силу упражнения 3.11.9.1 получаем
d

| V ехр sr (х) J |2 = У, | Х„ ехр [ ST (A') j | =
fi=i

d

= ехр [st (х)] У | ХГ1т (х) |2 <	1|;2 (х) | Vt (е) |2 = ip2 (х). (16)

П=1

В (15) мы полагаем v (t, х) = ср (t, х) == ехр [/Л/ (х)] и h (t,
х) = ip (х). Тогда, поскольку для любого ю из И1

(<[’/, <») + (V<p, Vco) = (ф, — Aq), со) = О,

левая часть в (15) равна нулю. Поэтому

dd|iM2<2hV<.	(17)

Из неравенства (16) получаем

< 4“s2H,fr’l, т. е. О, ехр s2/) ЦярфЦ < О-

Следовательно, мы можем записать

||1рф||сехр

При N - * оо получаем неравенство (7).

Введем теперь асимптотические свойства, аналогичные (7) и
(10), для произвольных конечных сметанных производных от
Ф (t, х). Пусть а — (X], ..., ар — мультииндекс, где а, =
= 1, 2, ..., d, и пусть Ха— произведение

= А' , ... Х„	(18)

где Ха. — левоинвариантные генераторы в L.

Полагаем

Pa = d(tk)Xa, Ра = д^Ха,	(19)

где Ха = Xai ... Хар — соответствующие элементы правоинва-
риантной обертывающей алгебры [из (1.16)1.

ЛЕММА 2. Пусть

1р(/, х) = (Раф)(/, х) или 4 (/, х) = (Раф) (Л х),	(20)

и пусть х (х) — числовая непрерывная функция на G, которая
возрастает не быстрее некоторой экспоненты. Тогда (хЛ‘,
ограничена для ограниченных t.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала ф = Раф. Тогда,
поскольку левоинвариантные и правоинвариантные генераторы
коммутируют, мы имеем

Ра<р = ехр (/A) (A)fc Xaf =- ехр (tA) f = ф,	(21)

где f £	(G). Следовательно, ф — решение уравнения тепло-

проводности. Таким образом, в этом случае лемма 2 является
следствием леммы 1.

Случай ф = Раф может быть сведен к предыдущему, если
использовать соотношение

Ха '' @afi (х)

для элементов левоинвариантпой и правоинвариантной оберты-
вающих алгебр.

Тогда мы имеем

Ркф = dkt Хаф = L «кр (х) d’t ХРф = £ ааР (х) Ррф.

Согласно упражнению 3.11.9.3, коэффициенты аа$(х) возрастают
не быстрее некоторой экспоненты. Поэтому последняя сумма и,
следовательно, Ра<р удовлетворяют утверждению леммы.

Построим теперь новое множество векторных решений уравне-
ния теплопроводности и покажем, что это множество является
плотным множеством аналитических векторов для представления
Т группы G.

ЛЕММА 3. Пусть f С с™ (G) и ф (t, х) = ехр(/А)/(х). Тогда

Ф(/, х) = [ ф(/, y~rx) Tyii dy, и£Н,	(22)

с

также является решением уравнения теплопроводности (2), регу-
лярным при t > 0 с начальным условием

Ф(0, х) = \f{y~1x)Ts/udy.	(23)

Более того, при t > 0 функция Ф (t, х) аналитична по х £ G.
Доказательство. Пусть Ly — левый сдвиг на G, т. е.

Ь^Ф (х) = ф (1/-1х). Поскольку А левоинвариантен, то для каждого
у из G мы имеем [Ly, А ] = 0. Поэтому

(4г - А) ф *) = J (1F ~ А) Ф V' Туи =
G

= J Ly — А) ф (t, х) Туи dy = 0, (24)
т. е. Ф (t, х) — решение уравнения теплопроводности (2). При
t —*0 ср(/, у" lx)>f(yflx'), следовательно, Ф (^, х)—»j f (у^х) Tyiidy.
Пусть ф— производная (20) от функции гр. Рассмотрим интеграл

¥(Z, х) = |>(/, у-'х)Тиийу.	(25)

Положив у -> ху~\ получаем

XF (/, х) = J ф (7, у') Н (х, у) dy,	(26)

где

Я(х, у) = 7\;г-.«.

Покажем теперь, что интеграл (26) абсолютно сходится. В самом
деле, согласно неравенству Шварца,

И 1Ш iOliiW, //)i|th/p -

Ig	j

-=И|ф(Л Wlexp [-^-T(^)j||/f(x, r/)||exp [—-^T(r/)j df/Г <

Ig	)

< J IW. F) I2 exp [Хт (у)] || H (x, у) II2 dr/ j exp [ - at Q/)J dy, (27)
a	c

где % вещественно. Взяв % достаточно большим и использовав
упражнение 3.11.9.2, получаем, что последний интеграл в (27)
сходится. Для первого интеграла мы используем лемму 2. Так как

II//(-С У) II < ехр [с 4- ст (//)],

где с конечно для конечных х, предпоследний интеграл в (27)
также конечен по лемме 2. Следовательно, интеграл (26) абсолютно
сходится для ограниченных t и х.

Пусть GN — {х С G: т (х) > N\. Тогда, если заменить в (27)
G на Gn, то правая сторона в (27) даст удобную мажоранту для

J 1Ш У) III//(х, f/)||df/

G.v

(28)

В самом деле, в силу последнего интеграла в (27) выражение (28)
стремится к нулю при N —-> оо равномерно для ограниченных /
и х. Следовательно, функция

ЧД/, х) —lim j ф(£, у)Н(х, y)dy	(29)

G,,
N

непрерывна, так как она является равномерным пределом непре-
рывных функций. Положим теперь ф = Pep и возьмем % £ С“ (Z X
X G), где Z — полупрямая t > 0. Поскольку Р левоинвариантен,
мы имеем

J ф (/, у *х) Рх (/, х) d/ dx = j РуРц (t, x) % (t, x) At dx =

= J Ф (Л у Д) x (t, x) At.

Умножим обе стороны на Туи и проинтегрируем по у. Согласно
теореме Фубини, мы можем изменить порядок интегрирования. Из
определений (22) и (25) получаем

j Ф(/, х)Р*х(/, x)d/dx=J4f(G x)x(G x)d/dx. (30)

Поскольку это равенство выполняется для произвольного
X С (Z X G), все производные РФ непрерывны в смысле теории
распределений. Следовательно, Ф регулярна. Строго говоря, это
было доказано только для числовых функций. Однако элементар-
ный вывод этого факта [738, 739 ] может быть легко распространен
на функции со значениями в гильбертовом пространстве. Теперь
генераторы

2 aki W дхк ’

А=1

i — 1, 2, .. ., d = dim L,

являются аналитическими векторными полями на G. Поэтому
коэффициенты aki (х) аналитичны. Следовательно, оператор Л
является эллиптическим оператором с аналитическими коэффи-
циентами. Хорошо известно, что любое решение параболического
уравнения с аналитическими коэффициентами аналитично (см.
[298], лемма 10.1). Следовательно, функция Ф (t, х) аналитична
по х С G.

Дадим теперь основную теорему этого параграфа.

Теорема 4. Пусть х->Тх— представление связной группы
Ли G в гильбертовом пространстве П. Пусть f С С“ (G) и
Ф (t, х) = ехр (/Л) f (х) — решение уравнения теплопроводности.
Тогда для любых фиксированных конечных t > 0 (и всех f из Ср (G)
и и из И) множество всех векторов

и (/) = [ ф (/, F1) Туи Ау	(31)

о

образует плотное множество аналитических векторов для Т.

Доказательство. Функция

Тхи (/) = j ф (t, у'1) Тхуи Ay = j ф (/, у-1 х) Туи Ау
удовлетворяет всем предположениям леммы 3. Следовательно,
функция Txii (t) ~ Ф (t, х) регулярна при t > 0 и при t > О
аналитична по х G. При t 0 вектор и (t) стремится к регуляр-
ному вектору

о = н(0) = f ffjf^Tyiidy.

Согласно теореме 1.1, множество всех таких векторов плотно в Н.
Следовательно, в силу непрерывности по t множество аналитиче-
ских векторов (31) также плотно в Н.

Плотное множество аналитических векторов (31) представления
Т группы G образует общую плотную инвариантную область
определения для представления Т (X) алгебры Ли L группы G.
В самом деле, для любых h > 0 и X из L имеем

4“	(>,X)U (/)] — и (t)	-t- j ф (/, у !) (Техр (ftX) — /) ТyU бу =

= J [4* у 1 ехр ~(f V’у1У> j7Ау-

Функция в квадратных скобках имеет предел

4" [<р (/, у 1 ехр (ИХ)) — ф (/, у х)] =

= -ехРл(/А) tf (У~1 ехр (/iX) - f (у~')]	ехр ((A) [(Xf) (у'1)] =

= ехр (/A) f (у-1) = <р (£, [Г1),
где

f(x) = (X/)W = g«(-W-I-.

Поскольку ~f (у-1) £ С“ (G), функция <р (/, у1') является решением
уравнения теплопроводности. Следовательно, вектор

[T(X)u](0 = Jt(Z, y-^TyUAy	(32)

аналитичен согласно теореме 4. Ясно, что таким же образом можно
определить действие любого произведения генераторов.

Следовательно, линейная оболочка всех аналитических векто-
ров (31) дает общую плотную инвариантную область определения
для представления X,- ... Xin -> Т (X,-) ... Т (Х,п) обертываю-
щей алгебры Е.
§ 8. Алгебраическое построение неприводимых
представлений

В предыдущих параграфах мы обсуждали общую теорию
представлений алгебр Ли неограниченными операторами. Здесь
мы представляем некоторое альтернативное явное построение
неприводимых представлений некомпактных алгебр Ли, основан-
ное на схемной технике. Эта техника работает для любых простых
некомпактных классических алгебр Ли. Мы проиллюстрируем ее
для случая алгебр и (р, q), так как и (1, 1), и (2, 1), и (2, 2), и (6, 6)
и т. д. появляются в физике частиц.

Рассмотрим алгебраическое описание неприводимых самосопря-
женных представлений алгебр Ли класса и (р, q). Этот подход явля-
ется прямым обобщением подхода Гельфанда—Цетлина для компак-
тных алгебр Ли и (п), рассмотренных в гл. 10, § 1. Дискретная серия
неприводимых представлений алгебры и (р, q), которая здесь
строится, может рассматриваться как «ответвление» дискретной
серии неприводимых представлений компактной алгебры Ли
« (Р + <?)•

Напомним, что псевдоунитарная группа U (р, q) определяется
как группа линейных преобразований (р -f- ^-мерного комплекс-
ного пространства Ср4Л которые сохраняют эрмитову форму

?zl-|----ЬЛ"-?+,2рИ----------?l?zpl". (1)

Поскольку U (р, q) и U (q, р) изоморфны, мы можем ограничиться
случаем U (р, (/) с р х/.

Эрмитова форма (1) может быть записана в виде

z*oz,	(2)

где г представляет собой столбец, состоящий из zA, /г = 1,
2, ..., р -J[-q, z* = (zl, ..., z/’+'O -= z7’, и матрица о имеет вид

(3)

Используя определение группы V (р, q), получаем

Z*U*GUZ = Z*G2, u(^U (р, q).

Следовательно, в силу произвольности z имеем

и*си = о для u^U (р, q).	(4)

Теперь мы можем дать эквивалентное определение группы
U (р, q), а именно, U (р, q) — группа всех линейных преобразова-
ний в удовлетворяющих условию (4). Положив в (4) и (t) =
= ехр (1Ш), продифференцировав по t и приняв t = 0, получаем,
что генераторы М удовлетворяют условию

М* = о/Ио	(5)

с коммутационными соотношениями
[М, АГ] = Л4ЛГ - ЛГ/И.	(6)

Рассмотрим теперь матрицу Л.,:

(А-/)//е = б,/б/ь i, j, k, 1=1, 2...р + q. (7)

Эти матрицы удовлетворяют коммутационным соотношениям
алгебры Ли pl (р + q, R):

[Д/, Ad —	— «//Ае,-	(8)

Ясно, что каждая комплексная пх «-матрица выражается в виде
линейной комбинации матриц Л(/. В частности, каждый генератор
М fu(p, q), удовлетворяющий условию (5), может быть выражен
через А:р Действительно, (р ф- q)2 независимых матриц

Мкк = Ак!г, А-=1, 2,

= Аы ф- Atk, Мк1 = i (Ак1 — А1к), 1г<^1 с р или р ' k<[ I,
Nki — А — А1к, A!i:t - i (Д/ ф- Л/А,), k < p < /,	(9)

удовлетворяют условию (5) и, следовательно, являются генерато-
рами группы U (р, q). Коммутационные соотношения для генера-
торов (9) группы U (р, q) могут быть получены с помощью комму-
тационных соотношений для pl (р ф- q, R), заданных в (8). Условие
эрмитовости для генераторов Л4;/( и Nlk

N

A4ik^Mik.
налагает следующие условия на

=	Eki =

Nik

ik

генераторы Ак1:

k, I < p или p < k, I,
k < p<Z l или I < p < /г.

(10)

(H)

Следовательно, задача поиска неприводимых эрмитовых представ-
лений алгебры и (р, q) сводится к задаче поиска тех неприводимых
представлений алгебры pl (р ф- q, R), генераторы которых удовлет-
воряют условию (11). С практической точки зрения это значитель-
ное упрощение задачи, так как генераторы алгебры pl (р ф- q, R)>
в противоположность генераторам алгебры и (р, q), удовлетворяют
простым и симметрическим коммутационным соотношениям вида
(8) (см. также гл. 10, § 2, и гл. 9, § 4).

Построение эрмитовых неприводимых представлений алгебры
и (р, q) может быть выполнено следующими этапами:

1.	Построение пространства представления.
2.	Определение действия генераторов Aijt удовлетворяющих
коммутационным соотношениям (8) и условию эрмитовости (11).

3.	Доказательство неприводимости и неэквивалентности полу-
ченных представлений.

В случае компактной алгебры и (л) пространство представления
Нтп определялось старшим весом тп — (т\п, ..., тпп), который
размещался в верхней строке схемы Гельфанда—Цетлина (см.
гл. 10, § 1). Мы определяем пространство представления некомпакт-
ной алгебры Ли и (р, q) также верхней строкой («старший вес»)
тп = (т1п, 	т,1п), п = р q, схем и так называемым типом

представления. Тип представления определяется разложением
числа р в сумму двух неотрицательных целых чисел а и |3:

Г = « + Р-	(12)

Если верхняя строка тп = (т1п, ..., тпп) и тип (а, |3) заданы, то
обобщенные схемы Гельфанда—Цетлина определяем следующим
множеством неравенств:

mjk > m]+it к+1, k = 1, 2,	1,

mll; ml,A+l + 1 m2k >	+ 1 > ' ’ ' > Г1а!с > mai /i+1 4“ 1,

k = p, ..., n — 1,

mh A.+1 > mjk m,+b A+1, j = a 4~ 1, . . ., k — |3, k = p, . . ., n — 1,
m/?-P+2. A+l "" 1	k mk-№, k+1 —	(13)

— 1 » . . . > mk+li k+1 — 1 > mkk,

к = p, . . ., n — 1.

В настоящем некомпактном случае числа mlk пробегают интер-
вал 4- 1, °°), а числа ткк — интервал (—оо, mk+lt к+1 — 1 J.
Следовательно, пространство представления Нт всегда беско-
нечномерно.

Структура схемы т определяется следующим образом. Разме-
щаем все числа mjk /г-й строки между числами т./ /г+1 и ml+1, к+1
(k + 1)-й строки, как в случае схем для компактной алгебры
и (л). Потом сдвигаем каждый из первых а элементов лгъ п_к, ...
..., п-i (г —1)-й строки на одно место влево. Аналогично
каждый из последних |3 элементов (п — 1)-й строки сдвигаем на одно
место вправо. Затем сдвигаем элементы „_2 (п — 2)-й строки
относительно (п — 1)-й строки и т. д. вплоть до элементов т1р р-н
строки включительно. Положение элементов j-ii строки, / < р,
относительно соседней верхней строки остается неизменным.
Такая структура схем отражает свойства неравенств (13), наложен-
ных на числа Шц. Предполагается, что единичные векторы, соот-
ветствующие различным схемам, ортонормированны и что на них
натягивается пространство представления Нт .
Пример. Алгебра Ли и (2, 1). В этом случае мы имеем
три типа:

(а, 0) ~ (2, 0), (1, 1) и (0,2).

Соответствующие схемы имеют вид

т1Э

т12

тп

т23 mss

т22

т12

т1Я

т23

ти

тзз

т22

туз	т33

azZi2 т22

тп

Числа т.-у первой схемы удовлетворяют следующим неравенствам:
М12 > Шуз Ц- 1, туз т22 ni№ ini2 /Пц т22,

а числа второй схемы — неравенствам

т12 '-» туз ! 1,	m33 - - 1 > т.г2,	т12 ти > т22.

Таким образом, бесконечномерное пространство представления
Нщп определяется множеством целых чисел тп = (туп, ..., тл„)
(«старшим весом»), которые удовлетворяют неравенствам

туп т2п >

> тпп, п = р-\- q,

и типом (а, 0).

Чтобы получить эрмитово представление алгебры и (р, q)
в Нтп, определим действие Л1у, i, j — 1, 2, ..., п, на базисные
векторы из Нтп так, чтобы выполнялись коммутационные соотно-
шения (8) и условия эрмитовости (11). В гл. 10, § 1, показано, что
любой генератор Ak_h, k, h > 0, может быть представлен в виде
коммутатора генераторов Akk, Akf k_y и к с помощью соот-
ношений

Ак, k-h ~ М/г. k-l< Лг-Л, /г-h], Аг-h, k = I^ft-h, /г-1, 4/-1, ft], Л > 1. (14)

Следовательно, чтобы определить действие произвольного генера
тора At,, i, j = 1, 2, ..., р q, в пространстве Нп1п, достаточна
определить действие генераторов Akk, Au_y,k и Ak k_y, k = 1,
2, ..., p q. Действие этих генераторов на схему т С
может быть определено так же, как в случае алгебры и (п). Обозна-
чим через	схему, полученную из схемы т замена']

ть л-i на mh — 1 (mz, k_y -|- 1).
Теорема 1. Пусть Нт— линейное пространство, натя-
нутое на векторы, соответствующие схемам, определенным форму-
лами (12) и (13). Пусть действие операторов Akk, A*_i, /, и Aki k_lt
k = 1, 2, p + q, определяется формулами

Akkm = (rk — r^) m,

k—l

Ak,k-im = £ 4-i (m)ml-i,
/=i
k—l '	c

Ak-i, ktn = Yi b!k^ (m) mi-i>
/=1

где

ak—i (m) =

k

0, rk=Jjmjk, k=\,2,...,n,

k	k—2

П (lik   lyk-1 + 1) П 2  Ijtk 1)

1=1	1=1

1/2

П (/;, k-i — ij, k~i +1) (it, k-i — i j, k~i)
i i k

k	k—2

П (hk - //, k-l) П (0, k-2 - Ij, k-l -1)

rl_________________>=1________________________

П (/[, k-l Ij, k 1) (lit k- i	!jt k-l	')

1/2

lik

arg 4-i = arg 4-i =

при

при

k pi- 1,

£ = p + 1.

(15)

(16)

(17)

(16)

(19)

(20)

(21)

(22)

4 i («0 ---=

Тогда действие произвольного оператора А1а задается следую-
щими формулами'.

Aktm = . Е , a,k_i •   ч № r . ,z, k > I, (23)
lk-i..........li

Akim =	2 Ь( .....t (m)rn7 ~ , k<'l,	(24)

+ ••<+1	lk--4-i

где x)

«+-i-o(m)= П "<1(4) П	k:	(25)

s=Z-H	s=Z4-2 ‘s-l«s-2i >

k

По определению произведение равно 1, если I = k — 1.

s=H-2
Чг...«/-Л»О= ПЧ-хМ П~т=^р k<1’
s=.ft-H	s=ft-}-2 ‘s-l‘s-2' '

ats (m) = ass (m), Ьц (m) = b\s (tn),	(27)

r/s,(. (m) = [(/,sS - li/t {- 1) (/(> - /,y)]1/2 > 0,	(28)

E/S,z (m) = Sign (lisS - l,tt),	(29)

a is пробегает множество значений 1, 2, s. Схемы rnt л
и m- ~ определяются индуктивно'.

"Д ! - 'Г = ('”«/,-!   • '/-! )Р’ k>1’	7;i

= Л/г- - VZ1»	(30)

\ ‘ft	1

где

пи ---тп^, т~ = m‘s.	(31)

S	I	S

Операторы Аы удовлетворяют условиям эрмитовости (11) и
коммутационным соотношениям (8).

Каждое самосопряженное представление алгебры и (р, q),
р q ~ п, определенное старшим весом тп = (т1п, тпп) и
типом (а, Р), неприводимо. Два представления унитарно экви-
валентны тогда и только тогда, когда их старшие веса и типы
совпадают.

Доказательство этой теоремы включает только алгебраические
вычисления, и поскольку они очень длинны, мы его опускаем.
(Детали см. в [643].)

Множество самосопряженных представлений алгебры и (р, q),
заданных теоремой 1, называется дискретной серией. Из формул
(15), (23) и (24) очевидно, что общая плотная линейная инвариант-
ная область определения D в НШп для и (р, q) состоит из всех конеч-
ных линейных комбинаций базисных элементов т, определенных
типом (12) и неравенствами (13). Ясно, что пространство D явля-
ется также инвариантной областью определения для обертываю-
щей алгебры Е алгебры Ли и (р, q).

Разложение относительно подалгебр. Множества генераторов
Ап, i, j = 1, 2, ..., р + q— 1, определяет подалгебру и (р,
q — 1) в и (р, q). Подалгебра и (р, k) может быть выбрана подоб-
ным образом в алгебре и (р, k 1). Следовательно, мы, наконец,
получаем цепочку уменьшающихся подалгебр:

и (р, q)zDu(p, q — 1) Э • • • дэ и (р, 0) zz> ... zd и (2, 0) ZZ) и (1, 0).

(32)
Мы завершаем этот параграф следующими замечаниями:

а.	Приведенное выше построение представлений разработано
Гельфандом и Граевым в 1965 г. Они просто отгадали вид схем для
и (р, q) и формулы действия генераторов Акк, А-, k-1 И It
в fim’n на основе компактного случая и (п).

До сих пор не существует вывода ни структуры допустимых
схем, ни формул действия операторов Akk, Akk-i и Ak_bk.

б.	Представления алгебры и (р, 1). Случай алгебры и (р, 1)
рассмотрен более детально (Гельфандом и Граевым в 1965 г. и
Оттосеном в 1968 г. [654]). Этот случай значительно проще, чем
общий случай с q > 1, так как и (р, 1) имеет компактную подал-
гебру и (р) в роли максимальной подалгебры. Поэтому хорошо
разработанная техника Гельфанда—Цетлина для и (р) может быть
использована для анализа неприводимых представлений алгебры
и (р, 1). Очень детальный вывод структуры схем для и (р, 1) и
действия генераторов Ак1„ Ak_T k и Ак, k_lt а также классификации
всех неприводимых унитарных представлений алгебры и (р, 1)
дан Оттосоном [654]. Интересно, что в случае и (р, 1) получаем
кроме дискретной серии представлений полудискретные серии,
которые определены р — 1 дискретными параметрами и комплекс-
ным числом.

в.	Вырожденные представления алгебр и (р, q). Тодоровым
[810] было замечено, что существует дискретная серия так назы-
ваемых вырожденных представлений, которые не содержатся
в множестве дискретных представлений, рассмотренных выше.
Действительно, если мы наложим ограничения

п == TTlk+l, п== ' ' ' mk+r, п< Г Qt	(33)

на г соседних компонент «веса» тп, то получим

/г — г<а + Р<р

(34)

и, следовательно, получим новую дискретную серию представле-
ний алгебры и (р, q). Более того, неравенства тап > та+ь п и
т„_р, п > п могут быть нарушены. Полученные (ajk)2 и
(bjk)2, которые имели бы в общем неправильный знак для таких а
и |3, здесь или обращаются в нуль (в силу большого числа нера-
венств для mik), или могут быть переопределены таким образом,
чтобы дать эрмитово представление алгебры и (р, q). Существует
два интересных случая. В первом мы имеем

т2„ = • • • = тпп = 0, а = 1, (3 = 0.	(35)
Базисные векторы для такого

представления имеют вид

О

О



Эти вырожденные представления соответствуют так называемым
«лестничным» представлениям, которые были использованы для
описания свойств мультиплетов элементарных частиц. Другая
дискретная серия так называемых максимально вырожденных само-
сопряженных представлений получается тогда, когда компоненты
min удовлетворяют соотношениям

«ы "= —	= . • - = т„_ъ „ == 0, а = Р = 1.	(37)

Соответствующие схемы имеют вид

т1п 0	0	...	0	0 —т1п

0	0

о . . . о ’

Щ1з	0	Шзз

^22

Шц

(38)

Эти представления также были использованы для описания свойств
мультиплетов элементарных частиц [810]. Полная классификация
дискретных вырожденных серий и полудискретных серий для
общей алгебры и (р, q) еще не разработана.

Представления группы U (р, q). Задача интегрируемости пред-
ставлений дискретной серии была решена Микельсоном и Нидерле
[591] и Котецким [493]. Используя условие интегрируемости
Саймона для вещественных алгебр Ли, они доказали, что каждое
представление дискретной серии алгебры и (р, q), построенное
методом Гельфанда—Граева, является дифференциалом унитар-
ного однозначного представления группы U (/?, q).
Глобальная форма однопараметрических подгрупп группы
U (р, q) была вычислена в явном виде Гельфандом и Граевым.
Используя представление группового элемента g G U (р, q)
в терминах однопараметрических подгрупп, можно вычислить
глобальную форму представления. Гельфанд и Граев выразили
матричные элементы для глобальных представлений через обоб-
щенные p-функции. Однако они не смогли получить окончательных
формул в замкнутом виде. Эффективное решение этой задачи было
бы очень полезным для многих приложений.

Представления алгебр so (р, q). Дискретная серия неприводимых
эрмитовых представлений алгебры so (р, q) была построена Нико-
ловым [641 ]. Очень детальный анализ основной, дополнительной
и исключительной серий представлений алгебры so (п, 1) в рамках
схем Гельфанда—Цетлина дан Оттосоном [653].

§	9. Комментарии и дополнения

Теория представлений алгебр Ли, рассмотренная в§ 1, основы-
вается на работе Гординга [297]. Интересно, что теорема 1.1,
дающая общую плотную инвариантную область определения для
генераторов алгебры Ли, может быть легко распространена на
полугруппы и даже на произвольные дифференцируемые много-
образия.

Теория представлений обертывающих алгебр, приведенная
в § 2, основывается на работе Нельсона и Стайнспринга [629].
Некоторые разрозненные результаты были известны раньше.
В частности, следствие 4 теоремы 2.3 доказано раньше Сигалом
[748].

Теория аналитических векторов была начата Хариш-Чандрой
[367 ]. Он показал, в частности, что для определенных представле-
ний полупростых групп Ли множество аналитических векторов
(векторов хорошего поведения в его терминологии) плотно в Н.
Затем Картье и Диксмье [174] показали, что если Т ограничено
или скалярнозначно на определенной дискретной центральной
подгруппе Z группы G, то множество аналитических векторов для
Т плотно.

Понятие аналитических векторов и их приложения в § 3, 4 и 5
основаны на фундаментальной работе Нельсона [628]. Более
детальное доказательство теоремы Нельсона 8.5.2 и различные
расширения понятия аналитических векторов даны Гудманом [336 ].
Наиболее важная теорема 5.2, которая дает удобный критерий
интегрируемости представления алгебры Ли, находит много при-
ложений в физике частиц и квантовой теории поля (гл. 21).

Пример 5.1 неинтегрируемых представлений имеет тот недоста-
ток, что оператор X = d/d<p не существенно самосопряжен.
Нельсон [628] нашел пример, который удивил многих физиков:
именно, он построил два существенно самосопряженных оператора
А и В, коммутирующих на общей плотной инвариантной области,
и показал, что глобальные преобразования ехр (iM) и ехр (ИВ) не
коммутируют. Это показывает, что абелева алгебра Ли может не
быть интегрируемой до глобальной абелевой группы, если опера-
тор Нельсона А = X2 + ... X2 не существенно самосопряжен.

Теорема 5.3 была доказана К- Мореном и Л. Морен [575].

Теория интегрируемости представлений алгебр Ли, использую-
щая понятие слабой аналитичности, разработана Флато, Саймоном,
Снелманом и Стернгеймером [2691. Упрощенный вариант этой
теории, использующий только условия на генераторы Ли алгебры
Ли, разработан Саймоном [765] и Флато и Саймоном [266].

Идея использования решения уравнения теплопроводности на
группе Ли G для построения аналитических векторов для представ-
ления Т группы G впервые была предложена Нельсоном ([628],
§ 8). В § 6 мы следовали упрощенному варианту этой теории,
разработанному Гордингом [298].

Можно спросить, нельзя ли развить теорию представлений
алгебр Ли, имеющую дело только с кососимметрическими ограни-
ченными операторами. Тогда молено было бы освободиться почти
от всех трудностей, которые встречались в этой главе. Эта инте-
ресная задача рассматривалась Л^бнером и Мелшеймером. Они
доказали такую теорему.

Теорема 1. Нетривиальное представление некомпактной
алгебры Ли кососимметрическими операторами содержит по
крайней мере один неограниченный оператор.

§10	. Упражнения

§ 1.1.	Покажите, что каждое кососимметрическое представле-
ние X —> Т (X) алгебры Ли L в комплексном гильбертовом про-
странстве, имеющее общую плотную инвариантную область опре-
деления D, сильно непрерывно на D.

Указание. Наделите евклидовой топологией и используйте
линейность представления.

§ 1.2.	Пусть G = SO (3) и Н = L2 (S2, р). Покажите, что
самосопряженные генераторы левого квазирегулярного представ-
ления Тхи (s) = и (x-1s) имеют вид

Lx = i (sin <р+ etg6cos ср	,

7JZ==i(cos<p~ + ctgesincp^?),	(1)

г - _-JL

' dif •
§ 1.3.	Пусть G — SO (3), <р, 6, ф — углы Эйлера для G и Н =
= L2 (G, р). Пусть Т — правое регулярное представление группы
G в Н. Покажите, что генераторы алгебры Ли so (3) имеют вид

г	,	, д , sin W д , д

Lx = - ctg 0 sin Мт	-J—г—-у- 4- cos ib зз-,

x	1 дф 1 sin 0 дф 1 Y d0 ’

г	. d , cos^b д .	, d	/лх

LJZ = -ctgecosi],w-4- -^--smip^-,	(2)

= dip •

Найдите область Гординга DG в H. Найдите генераторы левого
регулярного представления TL в Н.

§ 1.4.	Пусть G = Т* *) SO (3, 1), и пусть Н = L2 (7?4). Пусть
Т — левое квазирегулярное представление группы G в Н. Найдите
вид генераторов алгебры Ли -0 so (3, 1) в Н.

§ 1.5.	Пусть Е (R2n) — пространство Шварца пробных функций
на R2n. Пусть F (q, р) — функция на фазовом пространстве R2n,
которая лежит в Е (R2n). Покажите, что оператор F, сопоставляе-
мый с функцией F формулой

— ’У (4-4- —-44).	(3)

Z-l \ dqi dpi dpi dqi Г	v '

I

дает в пространстве Е (R2n) представление алгебры Ли классиче-
ских скобок Пуассона, т. е.

{F?G}^-i[F, С].	(4)

§ 1.6.	Пусть W — любая функция из Е (R2n). Покажите, что
отображение

F' = {W, F\-\-F	(5)

все еще дает представление алгебры Ли скобок Пуассона в про-
странстве Е (7?2п).

§ 1.7.	Пусть о — каноническое преобразование в R2n, т. е.
о: (р, q) —» (/4, q°). Пусть для произвольного F из Е (R2n) вели-
чины F и Fc' обозначают представление (3) в переменных (р, q)
и (р°, qa) соответственно. Покажите, что существует унитарное
преобразование Uc в L2 (7?2п), такое, что

UaFU^1 = для всех F.	(6)
§ 1.8.	Пусть .9~— пространство начальных условий (ф, л)
для классического скалярного поляФ (х), удовлетворяющего нели-
нейному релятивистскому волновому уравнению

(□ + т2) Ф (х) := ХФ3 (х), К < 0,	(7)

Ф(0, х) = ф(х), (Э/Ф)(0, х) = П(0, х) = л(х).	(8)

Пусть F (ф, л) — гладкий функционал на начальных данных.
Покажите, что оператор F, сопоставляемый с F формулой

F>F=.I-------~DF [(tp, л)](ф, л)—

_j	____е_______L____LA	(9)

J \ 6q> (г) бл (г) бл (г) 6ф (?) / ’	' '

где DF — дифференциал Фреше в точке (ф, л), а 6/6ф и 6/6л —
производные Фреше, дает алгебраическое представление класси-
ческой алгебры Ли скобок Пуассона.

§ 1.9.	Введите топологию в пространстве Е (9~) гладких функ-
ционалов на пространстве FT начальных данных и найдите класс
гладких функционалов, для которых отображение F —> F, задан-
ное формулой (9), будет давать операторное представление. (Част-
ное решение этой задачи см. в 1341.)

§ 1.10.	Пусть Ф [х | ф, л] — решение уравнения (7), опре-
деленное начальными условиями (ф, л). Покажите, что операторы
Ф и П, сопоставляемые с Ф и П соответственно, формулой (9) при
равных временах удовлетворяют следующим коммутационным
соотношениям:

[Ф(/, х), П(/, у)] = i6<3) (X — у),	(Ю)

[Ф(/, х), Ф(/, р)] = (П(/, л), П(/, р)1 = 0.	(И)

§ 1.11.	Пусть \ht\™ — ортонормальный базис в L2 (R9). Пусть
Ф W ~ ILA (х) и л (х) = ^Pihi (х) — разложение канониче-
ских переменных (ф, л) по базису {/izj. Покажите, что формула
квантования (9), записанная с помощью переменных {qt\i и {pz}f,
совпадает с формулой (3).

§ 2.1.	Пусть G — SO (3). Покажите, что оператор углового
момента J2, сопоставляемый в пространстве L2 (Я3) с квазирегу-
лярным представлением Тли (у) = и (х-1у), имеет только неотри-
цательные целые собственные значения, т. е.

J2Yx(r) = AYx(r) с X = J(J+1), 7 = 0, 1, ...,	(12)

тогда как в пространстве L2 (SO (3)) он имеет целые и полуцелые
неотрицательные собственные значения.
§ 2.2.	Пусть Т — представление группы Т4 х) SO (3, 1) из
упражнения 1.4. Найдите спектр оператора Казимира М2 = Р^Р11.
Покажите, что второй оператор Казимира S2 = является
тождественным нулем в Н.

§4.1.	Пусть х -> 7\ — левое регулярное представление группы
трансляций R в Н = L2 (R). Покажите, что функция

«(х) = £ 2 "[(л-НОЧ'Г'Г1- xQR, (13)
п—1

аналитична в Н, но не является аналитическим вектором для Т.

§ 4.2.	Покажите, что и (х) — аналитический вектор для пред-
ставления из 4.1, если ее преобразование Фурье и (р) для некото-
рого Z > 0 удовлетворяет условию

ехр(М/;|) н (р)е£2(К).	(14)

§ 5.1.	Покажите, что операторы

J+ = A + i4 = z2^-2Xz,

= Му ~ jp	(15)

при Хф С образуют бесконечномерное представление алгебры
Ли so (3) в пространстве аналитических функций, интегрируемых
по мере Гаусса. Покажите, что алгебра Ли не может быть интегри-
руема до глобального непрерывного представления группы SO (3).

§ 5.2.	Дайте классификацию неинтегрируемых представлений
канонических коммутационных соотношений

1/Л 91 = 1/.

§ 6.1.	Покажите, что функции

ф(<,	0, ф)^ ехр [-/7(7 |- 1)] D'mk (<р, 6, ф) (16)

являются решениями уравнения теплопроводности на группе вра-
щений SO (3).

§ 6.2.	Найдите решения уравнения теплопроводности на
группе Пуанкаре.

§ 7.1.	Дайте полную классификацию дискретных вырожденных
и полудискретных вырожденных серий алгебры Ли и (р, q).

§ 7.2.	Пусть X — линейный оператор в гильбертовом про-
странстве Н. Найдите необходимое условие существования плот-
ного множества аналитических’векторов оператора X в Н.
§ 7.3.	Покажите, что каждое неприводимое существенно косо-
сопряженное представление вещественной конечномерной алгебры
Ли, определенное на инвариантной плотной области в гильбертовом
пространстве, интегрируемо.

§ 7.4.	Дайте алгебраическую формулировку Ли аксиоматиче-
ской квантовой теории поля.

§ 7.5.	Найдите условия интегрируемости для представлений
бесконечномерных (гильбертовых) алгебр Ли в гильбертовом про-
странстве.

§ 7.6.	Покажите, что три серии самосопряженных неприводи-
мых представлений алгебры Ли su (1, 1) — so (2, 1) ~ sp (2, Д) ~
--- si (2, Я) могут быть построены с помощью операторов рождения
и уничтожения следующим образом. Пусть алгебра Ли представ-
лена формулами

Xi ==-^-я*О1«, Х2 = -^- аО2а, Х3 -= -^0*0^ с

у 2	у 2

с2 = Аз — Al —- А2»

где ак, k = 1, 2, 3, — матрицы Паули и а —

а* = (я’, аг);

la,-, a*j ] = 6,-;-; i, / = 1, 2. Рассмотрите векторы

| <[>, т) =	| 0), а,-10) == О, i = 1, 2.

Тогда Х3 ]<р, т) = т | ф, т), С2 | ф, т) — ф (ф ф- 1) | <р, т)
и унитарными представлениями [<р (<р ф- 1) вещественны, X,-
эрмитовы] являются

1)	дискретная серия D~ при ср < 0 и вещественном; для D+

т = — ф,	—ф ф- 1,	—ф ф- 2, . ..

и для D

т = ф, ф — 1, ф — 2, ...;

2)	дополнительная серия: [7’г<£« при —1 ф-| Ео | <ф < | Е„ |,
______1 < | £ I < _L

1 со I 2

т — Е„, Е„ ± I, Д, А 2, .. .;

3)	основная серия D4,a при ф —---g—|- io, о вещественны.

О глобальной форме этих представлений см. гл. 16.