Автор: Фоменко А.Т.  

Теги: математика   геометрия   топология  

ISBN: 5—211—00083—8

Год: 1988

Текст
                    А. Т. Фоменко
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Методы и приложения
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
-вузов, обучающихся по специальности «Математика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1988


B18fc».151 Ф76 УДК 513.83 Заставки к главам и рисунки в тексте выполнены л. i. фом1_ Рецензенты: академик В. П. Маслов, кафедра алгебры и топологических методов ана; Воронежского государственного университета им. Ленинского комсомола Фоменко А. Т. Ф76 Симплектическая геометрия. Методы и приложения Изд-во Моск. ун-та, 1988. — 413 с. ISBN 5—211—00083—8. Учебное пособие, в основу которого положен курс лекций, ч ся автором на механико-математическом факультете, посвящено f находящимся иа стыке классической механики, теории гамильтоь стем и симплектической геометрии. Основное внимание сосредот анализе вполне интегрируемых гамильтоновых систем, алгебро-- ческих методах их интегрирования, а .также иа анализе топол и геометрических препятствий к полной интегрируемости. Разо вопросов специального характера: уравнения Эйлера на алге свойства интегралов гамильтоновых систем и др. 1702040000D309000000)—083 „„ ф §3—88 - Б; 077@2)—88 © Издательство Мо ISBN 5—211—00083—8 универостета, .19..
ОГЛАВЛЕНИЕ 1родисловие '". '"'''. ' .'" , . . '." чраткая историческая справка . . . . ■ Глава I. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ . i j § 1. Некоторые необходимые сведения из теории матричных групп 1 1.1. Группы и алгебры Ли. — 1.2. Полные линейные группы GL(n, R), GL(n, С) и их алгебры Ли. — 1.3. Специальные линейные груп- группы SL(n, R) и SL(n, С). — 1.4. Ортогональная группа О(п) и спе- специальная ортогональная группа SO(n). — 1.5. Унитарная группа 0{п) и специальная унитарная группа SU(n). —1.6. Компоненты связности матричных групп. — 1.7. Операция овеществления и ком- . плексные структуры. • § 2. Группы симплектических преобразований линейного пространства 3| 2.1. Симплектические линейные преобразования. — 2.2. Некомпакт- • ные группы Sp(n, R) и Sp(n, С). — 2.3. Компактная группа Sp(n).— 2.4. Связь симнлектических групп с другими матричными группами. | § 3. Лягрянжева геометрня и лагранжевы многообразия .... 47 3.1. Вещественные1 лагранжевы многообразия в симплектическом ли- линейном, проаранпне. •■- 3.2. Лагранжевы комплексные грассмаиовы многопбря.'ши. -•• 3.3. Лагранжевы вещественные грассмановы много- многообразия. "лава 2. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ГЛАДКИХ МНО- МНОГООБРАЗИЯХ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГА- МИЛЬТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ 63 1§ I. Симплектические многообразия 63 1.1. Симплектическая структура на гладком многообразии. — 1.2. Гамильтоиовы, локально гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона. — 1.3. Интегралы гамильтоновых полей. — 1.4. Теорема Лиувилля. 1§ 2. Геометрические свойства скобки Пуассона 81 2.1. Первичность понятия скобки Пуассона. — 2.2. Теорема Дарбу. i 3. Вложения симплектическнх многообразий. Примеры симплекти- симплектических многообразий 86 Глава 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ, И ИХ ГАМИЛЬТОНОВОСТЬ . . . 97 1§ I. Классические уравнения движения трехмерного твердого тела . 97 1.1. Уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. — 1.2. Интегрируемые слу- случаи Энлерп, Лаграижа и Ковалевской. — 1.3. Общие уравнения дви- движения трехмерного твердого тела. | § 2. Гамильтоновость уравнений движения трехмерного твердого тела 108 У § 3. Некоторые сведения ^_о группах и алгебрах Ли, необходимые для гЯмильтоново.й геометрий". - ";"".' 111 3.1. Присоединенное и коприсоединенное представления, полупростота, система корней и простых корней, орбиты, каноническая симплекти- симплектическая структура. — 3.2. Модельный пример: SL(n, С) и sl(n, С).— 3.3. Вещественные, компактные и нормальные подалгебры. . 3
.. ава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СИМПЛЕКТИЧЕСКОИ ТОПОЛОГИИ. КАЧЕ- КАЧЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ НА СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ 129 § 1. Классификация трехмерных поверхностей постоянной энергии интегрируемых уравнений. Оценка* количества устойчивых периодиче- периодических решений на поверхности постоянной энергии. Препятствия к гладкой интегрируемости уравнений на сцмплектических многообразиях 129i 1.1. Случай четырехмерных симнлектических многообразий. — 1.2. Краткая сводка необходимых сведений из классической теории Морса гладких функций. —■ 1.3. Топологические перестройки торов Лиувилля интегрируемой системы при изменении значения второго интеграла. — 1.4. Сепаратрисные диаграммы высекают нетривиальные циклы на неособых торах Лиувилля.— 1.5. И'зоэнергетические поверхности зада- задаются одномерными графами, вершины которых разбиваются на пять канонических типов, — 1.6. Любая поверхность постоянной энергии интегрируемой системы представляется в виде склейки простейших трехмерных многообразий трех типов. — 1.7. Двулистные накрытия над изоэнергетическими интегрируемыми поверхностями всегда обла- обладают ориентированным интегралом.— 1.8. Нижние оценки на число устойчивых периодических решений системы. — 1.9. Топологические препятствия к гладкой интегрируемости. Далеко не каждое трехмер- трехмерное многообразие может реализовываться как .нзоэнергетическая по- поверхность интегрируемой системы. — 1.10. «Достаточно большие» трехмерные изоэпергетичеекпе поверхности полностью определяются pH фундаментальными группами. 2. Классификация перестроек'торов Лиувилля па многомерных сим- лектическнх многообразиях в окрестности бифуркационной диаграм- диаграммы отображения момента 180 2.1. Бифуркационная диаграмма отображения момента интегрируе- интегрируемой системы. Перестройки общего положения. — 2.2. Классификация бифуркаций торов Лиувплля. — 2.3. Торические ручки. Сепаратрис- ная диаграмма всегда приклеивается к неособому тору Лиувилля по нетривиальному 'циклу. ' А§ 3. Свойства разложения изоэнергетических поверхностей интегри- уых систем в сумму простейших многообразий 194 3.1. Фундаментальное разложение Q = mI-\-pIl+qllI+slV+rV и структура особых слоев. — 3.2. Гомологические свойства изоэпергети- ческих поверхностей. "лава 5. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ КОММУТАТИВНЫХ И НЕКОММУТАТИВНЫХ ГРУПП ЛИ НА • СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ. ГАМИЛЬТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТ- РИЯМИ 209 I § 1. Полные инволютивные наборы функций и максимальные лнней- ' ные коммутативные подалгебры в алгебре функций на симплектиче- ском многообразии 209 { § 2. Гамильтонова система уравнений интегрируема, дели ее гамиль- гамильтониан включается в достаточно большую алгебру Ли функций. . 215 \ § 3. Общие свойства инвариантных подмногообразий гамильтоиорых систем дифференциальных уравнений 222 3.1. Редукция системы на одной изолированной поверхности уров- уровня. — 3.2. Некоммутативное интегрирование в тех случаях, когда набор интегралов не образует алгебры. — 3.3. Некоторые дальнейшие обобщения метода некоммутативного интегрирования. — 3.4. Канони- Канонический вид скобки Пуассона в окрестности особой топки. Случай вырожденных скобок Пуассона.
§ 4. Системы уравнений, вполне интегрируемые в некоммутативном ' смысле, часто вполне интегрируемы по Лиувиллю в обычном смысле. 236 4.1. Формулировка общей гипотезы эквивалентности и ее справедли- справедливость для компактных многообразий. — 4.2. Некоммутативная интег- интегрируемость и ее связь с каноническими подмногообразиями и изо- изотропными торами. — 4.3. Свойства отображения момента системы, интегрируемой в некоммутативном смысле. — 4.4. Теорема существо- существования и явная конструкция максимальных. линейных коммутативных алгебр функций на орбитах в полупростых и редуктивных алгебрах Ли. — 4.5. Доказательство гипотезы эквивалентности для случая компактных многообразий. — 4.6. Отображение момента систем, ин- интегрируемых в некоммутативном смысле при помощи избыточного набора интегралов. — 4.7. Достаточные условия компактности алгеб- аы Ли интегралов гамильтоновой системы. ^5. Динамические системы и .симплектические структуры, порождае- порождаемые секционными операторами 258 5.1. Общая схема построения секционных операторов. — 5.2. Секцион- Секционные операторы на ■ симметрических пространствах. — 5.3. Тензор римановой кривизны и порождаемые им симплектические структуры. Глава 6. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОТОКИ НА ДВУМЕРНЫХ РИМАНО- ВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ . .".■./.. 271 f § 1. Топологические препятствия к аналитической полной интегрируе- интегрируемости 271 1.1. Неинтеррируеность уравнений движения натуральных механиче- механических систем с двумя степенями свободы. наг поверхностях большого рода. - ■ i.2. Jk'iiirrripiipyt'Morn, геодезических потоков на римановых поверхностях большого рода с иыпуклым краем. — 1.3. Неинтегри- Неинтегрируемость задачи п rpanurnpymiiiiix центров при я>2. — 1.4. Неинтег- Неинтегрируемость некоторых гироскопических систем. j § 2. Топологические препятствия к аналитической интегрируемости геодезических- потоков на многомерных неоднюевязных многообразиях. 277 I % 3. Интегрируемость и неннтегрируёмость геодезических потоков на двумерных поверхностях, на сфере и торе . . ' 279 3.1. Голоморфная 1-форма полиномиального по импульсам интеграла геодезического потока и случай рода g>l. ■— 3.2. Случай сферы и тора. — 3.3. Свойства геодезических интегрируемых потоков на сфере. . , Глава 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ ГА- МИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ В ГЕОМЕТРИИ Ц МЕ- МЕХАНИКЕ, МЕТОДЫ И. ПРИЛОЖЕНИЯ- .■,...-.-... 291 |§ 1. Алгебры- Ли и механика. Вложения динамических систем в ал- I гебры Ли на канонические симплектические многообразия . . . 291 I § 2. Левоинвариантные гамильтоновы системы на группах Ли и урав- уравнения Эйлера на алгебрах Ли . 293 2.1. Симплектическая структура и левоинвариантные гамильтониа- гамильтонианы. — 2.2. Квадратичные гамильтонианы, порожденные методом сдвига аргумента. — 2.3. Свойства общих уравнений Эйлера. I § 3. Секционные операторы в случае полупростых алгебр Ли и со- соответствующие им левоинвариантные твердотельные метрики . . . 303 3.1. Секционное разложение полупростой алгебры Ли совпадает с картаповским разложением. — 3.2. Различные виды секционных опе- операторов (твердотельных метрик). Комплексная серия. Нормальная нильпотентная серия. Нормальная разрешимая серия. — 3.3. Ком- Компактная серия операторов (твердотельных метрик). — 3.4. Нормаль- Нормальная серия операторов (твердотельных метрик).
(■ § 4. Явное построение интегралов уравнений Эйлера, отвечающих ' комплексной, компактной и нормальной сериям операторов (лево- инвариантных твердотельных метрик) 312 4.1. Интегралы комплексной серии. — 4.2. Интегралы компактной серии. — 4.3. Интегралы нормальной серии. — 4.4. Инволютивиость •^построенных интегралов. / § 5. Случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера на полупрос- ■^—тых алгебрах Ли 319 5.1. Комплексная серия твердотельных метрик. — 5.2. Компактная серия твердотельных метрик. — 5.3. Нормальная серия твердотель- твердотельных метрик. — 5.4. Интегрируемость уравнений Эйлера на сингуляр-. /-ных орбитах. ( § 6. Список обнаруженных максимальных линейных коммутативных ^-алгебр функций на орбитах1 коприсоедииениых представлении групп Ли ' 332 Приложение 1. Геометрические свойства твердотельных инвариантных метрик на однородных пространствах ..,...,,, 343 Приложение 2. Уравнения Эйлера на алгебре Ли soD.) , , , , , 345 Приложение 3. Выпуклость отображения момента при пуассоновом дей- действии тора 357 Приложение 4. Любая композиция'элементарных бифуркаций (трех ти- типов) торов Лиувилля реализуется для некоторой интегрируемой сис- системы на подходящем симплектическом многообразии. Классификация неориеитируемых критических подмногообразий боттовских интегра- интегралов ...... 358 Приложение 5. Некоторые другие методы построения интегралов диффе- дифференциальных уравнений иа алгебрах Ли 366 Приложение 6. Критерий полноты набора интегралов, получаемых мето- методом, сдвига аргумента .....,, 371 Приложение 7. Новый топологический инвариант гамильтоиовых систем дифференциальных уравнений, интегрируемых по Лиувиллю. Инва- Инвариантный портрет интегрируемых гамильтонианов ....... 375 Приложение 8. Теория типа Морса для гамильтоновых систем, интегри- интегрируемых при помощи неботтовских интегралов ....... 393 1екоторые обозначения . ,,..........< 400 Дополнение. О рисунках , , .,.,.,...».. 400 Титература .,,.......,.•..... 402 Дополнительный список литературы . . ......... 412
ПРЕДИСЛОВИЕ В последние годы сформировалось новое научное направле- направление, органично выросшее из недр классической механики, мате- математической физики,- теории гамильтоновых систем, симплектиче- ской и лагранжевой геометрий. Это направление можно услов* но очертить так: новые методы интегрирования гамильтоновых дифференциальных уравнений на симплектических многообрази- многообразиях. Определяющим фактором здесь являются, в частности, дости- достижения математических школ, созданных С. П. Новиковым, И. М. Гельфандом, В. П. Масловым, Л. Д. Фаддеевым, В. И. Ар- Арнольдом. Были обнаружены новые глубокие связи между эффектом ин- интегрируемости систем и их скрытыми алгебраическими свойства- свойствами, из которых на первое место следует поставить «симметрии систем», понимаемые не просто как группы их инвариантности, а более общо — как совокупность алгебраических свойств систе- системы дифференциальных уравнений, позволяющих естественно свя- связать с системой некоторую алгебру (группу) Ли, орбиты кото- которой инвариантны относительно данной системы. Оказалось, что такого рода механизмы управляют интегралами многих интерес- интересных гамильтоновых систем в геометрии, механике, физике. Известно, что поиск интегралов конкретной системы уравне- уравнений — трудная задача. Более того, дифференциальные уравне- уравнения «общего положения» обычно вообще не имеют достаточного числа интегралов (позволяющих проинтегрировать систему). По- Поэтому задача отыскания редких интегрируемых случаев в без- безбрежном океане всех гамильтоновых систем («большинство» из которых неинтегрируемы) требует эффективных методов поиска интегралов. Одна из целей настоящей книги заключается в том, чтобы дать читателю представление о некоторых алгоритмах поиска интег- интегралов. Особое внимание мы сосредоточим на алгоритмах, позво- позволяющих предъявлять интегралы (в тех случаях, когда их удается найти) в явном виде, например в виде полиномов. Поскольку мы не в состоянии осветить здесь все такие методы, известные на сегодня, то мы сосредоточили внимание в основном на методе «сдвига аргумента». Список литературы может служить путево- путеводителемпо другим важным методам, оставшимся за рамками на- нашего изложения. Понятно, что мы не можем пройти мимо обсуждения общих механизмов, лежащих в основе эффекта неинтегрируемости урав- уравнений общего положения. Поэтому мы уделяем внимание неко- некоторым проблемам неинтегрируемости. При этом останавливаемся на качественной стороне обсужденных эффектов, оставляя в сто- стороне вычислительные аспекты и заменяя их точными ссылками
.~ ^июси;шующую литературу. Для удобства читателя при- зодим необходимые сведения из смежных областей: из теории групп Ли, топологии и т. д. ^_____ —-_. В книге затронуты следующи^^сновные темы: 1) некоторые механические системы и соответствующие им гамильтоновы урав- уравнения; 2) основы симплектической геометрии; 3) элементы симп- аектической топологии; новая качественная топологическая тео- теория интегрируемых дифференциальных уравнений; новый тополо- топологический инвариант интегрируемых * уравнений (позволяющий классифицировать их по топологическому типу); 3) классифика- классификация перестроек торов Лиувилля в момент пересечения критиче- :ких уровней энергии; 5) коммутативное >и некоммутативное4 интегрирование гамильтоновых уравнений; приложения; 6) ин- интегрирование некоторых конкретных динамических систем; мето- методы и приложения; 7) некоторые механизмы иеинтегрируемости гамильтоновых дифференциальных уравнений. Материал книги разбивается на три части, предъявляющие к читателю различные требования. Первая часть (главы 1, 2) до- достаточно элементарна и доступна студентам младших курсов ме- механико-математических факультетов. Вторая часть (главы 3, 4) доступна для студентов, уже знакомых с простейшими элемента- элементами дифференциальной геометрии и топологии. Д'ля чтения этих глав полезно владеть такими понятиями, как дифференциальные формы, гладкие функции на многообразиях, группы и алгебры Ли. Эта часть фактически является дополнением к обязательному курсу «Дифференциальная геометрия и топология». Третья часть (главы 5, 6, 7)__может служить основой для спе- специальных курсов и предназначена для студентов старших кур- курсов, аспирантов, специализирующихся в области симплектической геометрии и ее приложений. Здесь, в частности, развиваются идеи, высказанные С. П. Новиковым. В книге также отражены результаты, полученные автором, в частности теория топологических перестроек торов Лиувилля и полная классификация изоэнергетических поверхностей гамиль- гоновых уравнений, интегрируемых при помощи интегралов об- общего положения. В рамках этой теории обнаружена глубокая :вязь между свойствами интегрируемых уравнений и топологией трехмерных многообразий, обнаружен топологический инвариант интегрируемых уравнений общего положения. В книге освещают- освещаются также результаты, полученные участниками научно-исследова- научно-исследовательского семинара «Современные геометрические методы», дей- действующего под руководством автора на механико-математичес- сом факультете МГУ. Основой книги послужил спецкурс, читавшийся автором сту- 1ентам — математикам и механикам механико-математического эакультета МГУ. Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующих- я приложениями современной геометрии к гамильтоновой меха- ике, теории интегрирования уравнений на многообразиях.
Автор выражает благодарность рецензентам В. П. Маслову, Ю. Г. Борисовичу, В. В. Козлову и В. В. Федорчуку, сделавшим ряд полезных замечаний. КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В. этой книге будут часто встречаться; в частности, следующие термины: функция Гамильтона (гамильтониан), скобка Пуассо- Пуассона, теорема Лиувилля, лиувиллевы координаты, три случая ин- интегрируемости уравнений движения твердого тела, открытые Ла- гранжем, Эйлером, Ковалевской. В современной специальной на- научной литературе эта терминология чаще всего живет в отрыве от личностей упомянутых математиков. Нам представляется уместным хотя бы вкратце осветить некоторые аспекты их дея- деятельности, чтобы подчеркнуть преемственность научных идей, со- сохраняющих актуальность до настоящего времени. 1) Гамильтон Вильям Роуан (William Rowan Hamilton, 1805— 1865) — английский математик и астроном. Родился в ирланд- ирландской семье в Дублине, где провел всю жизнь. В 1827 г. поступил в Триппти колледж (Trinity college), в двадцать один .год стал королевским астрономом Ирландии и занимал этот пост до са- самой смерти. Один нз гл.чвпых его трудов «Общий метод динами- динамики» (General Method in Dynamics) был- опубликован в 1834— 1835 гг. Руководящей идеей Гамильтона было внедрение вариа- вариационных принципов в оптику и^динамику. В современную науку прочно вошла мысль Гамильтона о выводе законов физики и ме- механики путем варьирования соответствующих функционалов (ин- (интегралов). В этом Гамильтон следовал, конечно, идеям Эйлера. Гамильтон впервые записал уравнения динамики в- следующем дН дН ~ . каноническом виде: q = , р= . Эта форма записи се- др dq годня носит название^гамильтрновой, соответствующие уравнения называются гамильтоновыми, а функция Н — гамильтонианом. В 1835—1843 гг. Гамильтон отходит от задач механики и оп- оптики и целиком обращается к алгебре. Как и Гаусс (вероятно, независимо от него), Гамильтон строит теорию комплексных чи- чисел как «теорию пар вещественных чисел», чему посвящен его трактат «Теория алгебраических пар» (Theory of Algebraic Coup- Couples, 1835). Естественно, что следующим шагом Гамильтона была попытка построения соответствующей теории троек вещественных чисел, четверок чисел и т. д. Результатом этих исследований было от- открытие в 1843 г. кватернионов (о которых мы будем говорить в связи с симплектической геометрией). Известное изящество, ко- которым обладает алгебра кватернионов, ее глубокие свойства не могли не вызвать восхищения' в среде математиков того време- времени. Д. Я. Стройк отмечал: «Во времена Гамильтона и долгое иремя спустя кватернионы сами по себе были предметом чрез-
мерного восхищения. Некоторые британские математики видели в исчислении- кватернионов нечто вроде «универсальной арифме- арифметики» Лейбница, что, конечно, вызвало оппозицию (Хевнсайд против Тета), и из-за этого слава кватернионов значительно по- потускнела» [129, с. 240]. Дальнейшее развитие алгебры (в частно- частности, работы Пирса, Штуди, Фробениуса, Кдртана по гнперком- плексным числам) и особенно развитие теории групп отвело ква- кватернионам существенно более скромное (хотя и важное), место. Тем не менее, вплоть до первой мировой войны, активно функ- функционировала «Международная ассоциация для содействия изу- изучению кватернионов и родственных математических систем». Де- Детали этих бурных споров см., например, в [129, 213]. 2) Пуассон Симеон Дени (Simeon Denis Poisson, 1781—1840). Сын солдата, получивший первоначальное математическое обра- образование в Фонтебло, после чего в 1798 г. явился в Париж для поступления в знаменитую Политехническую школу. Здесь он об- обратил на себя внимание Лагранжа, который читал математичес- математический анализ. Диапазон подготовки воспитанников Политехничес- Политехнической школы был чрезвычайно широк: математика, топография, теория мостов и дорог, теория артиллерии, горное дело и пр. Этим объясняется, в частности, широкий спектр интересов Пуассона (как и многих других знаменитых воспитанников Политехниче- Политехнической школы). Например, в 1825 г. Пуассон разрабатывает тео- теорию действия выстрела орудия на его лафет. Использующаяся в симплектической геометрии и гамильтоновой механике скобка Пуассона является видоизменением скобки Лагранжа, введенной Лагранжем при анализе задач небесной механики ■ ([60], с. 292— 293). Пуассон понял роль этой операции в аналитической меха- механике и плодотворно эксплуатировал ее при решении многих фи- физических задач. Дальнейшее развитие скобки Пуассона получили в работе Гамильтона «Second essay on a general- method of dy- dynamics» (Philos. Trans. Roy. Soc. 1835. T. 1. P. 95—144). Имя Пуассона закрепилось во многих математических областях: ши- широко известны интеграл Пуассона и уравнение Пуассона в тео- теории потенциала, закон Пуассона в теории вероятностей и т. д. 3) Лиувилль Жозеф (Joseph Liouviile, 1809—1882). Один из ведущих математиков Франции того времени, профессор Фран- Французского колледжа в Париже, организатор и издатель в течение многих лет известного французского «Журнала чистой и при- прикладной математики» (Journal de Mathematiques pures et appli- quees). В частности, именно Лиувилль в своем журнале в 1846 г. напечатал большую часть работ Галуа, что послужило толчком к развитию теории Галуа. Лиувиллю принадлежат работы по арифметической теории квадратичных форм; он доказал сущест- существование трансцендентных чисел и, в частности, в 1844 г. то, что числа е и е2 не могут являться "корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. В статистической механике известна «теорема Лиувилля». Он интересовался дифференциальной геометрией кривых и поверх- 10
постей, изучил так называемые «поверхности Лиувилля», для ко- которых геодезические могут быть найдены при помощи квадратург Он нашел все поверхности вращения постоянной кривизны, до- дополнив результаты Миндинга. Лиувилль доказал, что гладкие конформные преобразования в пространстве являются компози- композициями преобразований инверсии, подобия (растяжения) и конгру- конгруэнции (т. е. сдвига). Важной (в том числе и для настоящей кни- книги) задаче интегрирования дифференциальных уравнений посвя- посвящена работа Лиувилля «Memoire sur l'ihtegration des equations , differentielles du mouvement d'un nombre quelconque de points materieles» (J. Math. 1849. T. XIV. P. 257—299). 4) Эйлер Леонард {Leonard Euler, 1707—1783). Уроженец Ба- Базеля, один из наиболее знаменитых математиков XVIII в. Его продуктивность поразительна; даже ослепнув, он, пользуясь сво- своей феноменальной, памятью, продолжал диктовать свои открытия. При жизни Эйлер опубликовал 530 статей и книг-, полное же их число составляет 886 (часть работ опубликована посмертно) [129, с. 162—163]. Сделанные Эйлером открытия в самых разных областях математики и приложений послужили основой его гро- громадного авторитета; во время своей деятельности в Берлинской и Петербургской академиях Эйлер основал крупные математиче- математические школы. Гаусс писал: «Изучение работ Эйлера остается наи- наилучшем iiiKOJiDi'l и р.титчиых областях математики, и ничто дру- другое не может что заменить». Работы Эйлера настолько разнообразны, что в рамках крат- краткого замечания невозможно остановиться на всем, что достойно нппмаиия. Для нас здесь особый интерес представляют исследо- исследования Эйлера по механике. Он занимался астрономией, теорией движения Луны, задачей трех тел. Эйлера интересовала задача притяжения эллипсоидов и т. д. Эта сторона деятельности Эй-, лера нашла отражение в его трактате «Теория движения планет п комет» (Theoria motus planetarum et cometarum, 1774). В на- настоящей книге мы познакомимся с важным частным случаем в динамике тяжелого твердого тела (случай Эйлера), когда тело закреплено в центре масс. Эти уравнения (называемые сегодня уравнениями Эйлера) изучены им в «Теории движения твердых тел» A765 г.). Соответствующая система уравнений была проин- проинтегрирована Эйлером. Ему принадлежат работы по теории чи- чисел, по математическому анализу, гидравлике, кораблестроению/ артиллерии, оптике, музыке, философии. 5) Лагранж Жозеф Луи (Joseph Louis Lagrange, 1736— 1813). Лагранж родился в Турине в итало-французской семье. В возрасте 19 лет он стал профессором математики туринской артиллерийской школы. В 1766 г. Фридрих II пригласил Лагран- Лагранжа в Берлин, поскольку (как было сказано в приглашении) «не- «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». После смерти Фридриха Лаграпж пе- переехал в Париж. Берлинский период творчества Лагранжа харак- характеризуется его повышенным интересом к астрономии, небесной 11
If" механике, сферической тригонометрии. Из 5000 страниц семи то- томов, где собраны мемуары Лагранжа, около 2000 страниц посвя- посвящено астрономическим темам [150, с. 27]. Особое место в развитии естествознания XVIII—XIX вв. занимает трактат Лагранжа «Аналитическая механика» A788). Современный термин «лагранжева механика» обязан своим про- происхождением именно этому трактату. Лагранж анализирует с единой точки зрения механику материальной точки, абсолютно твердого тела, механику системы материальных точей со связя- связями, гидромеханику, механику упругих тел и пр. В нашей книге мы коснемся результатов Лагранжа о движе- движении тяжелого твердого тела. Еще раньше Эйлер пришел к этой задаче, рассматривая астрономические проблемы и вопрос о ко- колебательном движении корабля. Задача об устойчивости корабля была сформулирована Петербургской академией наук как важная проблема. Изучая ее, Эйлер столкнулся с необходимостью по- построения общей теории вращения твердого тела. В книге «Ко- «Корабельная наука» A748) Эйлер вводит понятие центра инерции, строит теорию распределения масс в твердом теле и выводит уравнения движения. Ему удалось проинтегрировать уравнения лишь в частном случае, а именно в случае отсутствия силы тя- тяжести (без действия внешних сил). Найти решение в общем слу- случае Эйлер не. смог. Объективные препятствия мы объясним в нашей книге. Лагранж продолжил исследования на эту тему. В 1775 г. он дал несколько усовершенствованное уравнение Эй- Эйлера в случае Эйлера (без действия внешних сил). Излагая ре- результаты Эйлера и Даламбера, Лагранж довел их до квадратур, после чего перешел к изучению второго случая интегрируемости уравнений, получившего впоследствии имя Лагранжа. В этом случае твердое тело имеет ось симметрии (волчок Лагранжа) и точка опоры находится на оси симметрии. Лагранж дал полное решение задачи в этом случае. Лагранж также детально исследовал проблемы гидромехани- гидромеханики, гидродинамики сжимаемых и упругих жидкостей, занимался вопросом о форме колонн под нагрузкой и т. д. Один лишь спи- список полученных им результатов занимает несколько страниц. 6) Ковалевская Софья Васильевна A850—1891). Первая в мире женщина — профессор математики. Так как в России дос- доступ в университеты для женщин был закрыт, то для получения образования она выезжает за границу, в 1869 г. прибывает в Германию и начинает работать под руководством К. Венерштрас- са. Уже в 1874 г. Вейерштрасс направляет в университет Геттин гена три работы Ковалевской: «К теории ур-авпепий в частных производных», «О форме кольца Сатурна», «О приведении одно- одного класса абелевых интегралов третьего рода к интегралам эл- эллиптическим». В 1884 г. Ковалевская становится профессором математики в Швеции, в Стокгольмском университете, где она начинает чи- читать лекции. В 1888 г. за обнаружение третьего случая интегри- 32
})уемости уравнений движения тяжелого твердого тела она полу- получает премию Парижской академии наук. Этот новый случай ин- интегрируемости (случай Ковалевской) существенно отличается от двух известных ранее случаев Эйлера и Лагранжа. В частности, в случае Ковалевской интегрирование уравнений движения тре- требует более тонких аналитических средств. Благодаря усилиям Чебышева, Буняковского и Имшенецкого, в 1889 г. Ковалевская была избрана членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Ковалевская умерла в 1891 г. в расцвете творческих сил и похоронена в Стокгольме. Интерес к ее работам и ее жизни не иссякает как в нашей стране, так и за рубежом. Недавно появи- появились новые интересные исследования творческой биографии Ко- валевской (см., например, книгу Э. Коблитц [215]). 7) Анри Пуанкаре (Henri Poincare, 1854—1912). Один из круп- крупнейших математиков XX в., родился в Нанси (Лотарингия) в семье, которая уже дала Франции нескольких знаменитых людей. Сам Пуанкаре считал, что, математические способности он унасле- унаследовал от бабушки со стороны матери. У дяди Пуанкаре (гене- (генерального инспектора мостов и дорог) было два сына: Раймон — Президент Французской Республики и Председатель Совета Ми- Министров, и Люсьен — известный физик, впоследствии ректор Па- Парижского университета. Имя I ly.'iiiKfipc тесно связано с современной гамильтоповой геометрией п механикой. В частности, созданный им метод иссле- исследования гамильтоиовых систем, близких к интегрируемым, и се- сегодня остается одним из самых эффективных приемов. Имя Пуан- Пуанкаре связано со многим^ фундаментальными открытиями в обла- области математики и приложений. Его универсализм поражал совре- современников. В частности, в многочисленных курсах, которые он чи- читал в Сорбонне по небесной- механике; находят свое отражение все новые и новые его открытия (например, интегральные инва- инварианты и т. д.). Вот некоторые из названий его курсов (и соответ- соответствующих им книг, написанных Пуанкаре): Новые методы небес- ' ной механики, Лекции о фигурах равновесия жидкой массы, Лек- Лекции о космогонических гипотезах, Теория вероятностей, Термоди- Термодинамика, Электричество, Оптика, Теория упругости, Теория света, Электромагнитные колебания. От .исследования дифференциаль- дифференциальных уравнений и периодических решений Пуанкаре естественно перешел к фундаментальным исследованиям по топологии. Этот цикл его работ по праву позволяет считать Пуанкаре одним из ос- основоположников топологии (в ее современном понимании). Кро- Кроме глубоких научных исследований Пуанкаре обращался к вопро- вопросам философии науки. Он является автором нескольких известных работ, объединенных в четырех книгах: Наука и гипотеза, Цен- Ценность науки, Наука и метод, Последние мысли. Всего Пуанкаре написал более 500 мемуаров и книг. С 1886 г. до самой смерти Пуанкаре возглавлял кафедру математической астрономии и не- небесной механики, с 1893 г. занял пост члена Бюро долгот, с 1902 г. заведовал кафедрой теории электричества Высшей школы 13
ведомства связи. В 1887 г. был избран членом Академии наук по отделению геометрии, которое он возглавил в 1906 г. В 1908 г. Пуанкаре был избран членом Французской Академии. Огромное внимание Пуанкаре уделял философским проблемам науки в целом, стремясь осмыслить истинное место науки в жиз- жизни общества. Некоторое представление о позиции Пуанкаре в этом вопросе может дать заключительный параграф, которым Пу- Пуанкаре завершает свою известную книгу «Ценность науки» (А. Пуанкаре. О науке. М.: Наука, 1983, с. 281—282). «Мы не можем познать все факты; необходимо выбирать те, которые достойны быть познанными. Если верить Толстому, уче- ученые делают этот выбор наудачу вместо того, чтобы делать его, имея в виду практические применения, что было бы благоразум- благоразумно. В действительности это не так: ученые считают определенные факты более интересными в сравнении с другими, потому что они дополняют незаконченную гармонию или потому, что они позво- позволяют предвидеть большое число других фактов. Если ученые- ошибаются, если эта неявно предполагаемая ими иерархия фак- фактов есть лишь пустая иллюзия, то не могло бы существовать на- науки для науки и, следовательно, не могло бы быть науки... Уро- Уровень цивилизации зависит от науки и искусства. Формула «наука для науки» возбуждала удивление; а между тем это, конечно, стоит «жизни для жизни», если жизнь не жалка и ничтожна, и даже «счастья для счастья», если не держаться того взгляда, что- все удовольствия равноценны, если не считать, что цель цивили- цивилизации состоит в том, чтобы доставлять алкоголь охотникам до вьшивки. Всякое действие должно иметь цель. Мы должны страдать, должны трудиться, должны платить за наше место в спектакле, чтобы видеть, или, по крайней мере, чтобы другие увидели свет... Геологическая история показывает нам, что жизнь есть лишь бег- беглый эпизод между двумя вечностями смерти и что в этом эпизоде прошедшая и будущая длительность сознательной мысли — не бо- более, как мгновение. Мысль — только вспышка света посреди дол- долгой ночи. Но эта вспышка — всё» (А. Пуанкаре).
ШЖЖ штт
ГЛАВА 1 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Некоторые необходимые сведения из теории матричных групп 1Л. Группы и алгебры Ли. В геометрии часто возникают при- меры групп, оказывающихся в то же время топологическими про- пространствами и снабженных структурой гладких многообразий. На первых порах основной интерес для нас будут представлять мат- ричные группы преобразований, т. е. группы, реализующиеся как подгруппы в группе невырожденных матриц. При этом топология в группе матриц (а следовательно, и на вложенных в нее под- группах) определяется следующим естественным образом: матри- матрицы считаются близкими, если они близки поэлементно. Дадим те- теперь общее определение группы Ли. О nj еделение 1. Гладкое многообразие М Ной Люесли на. нем заданы два гладких отображения f -*-М (называется умножением) и v:M-*-M (называемое взятием обратного элемента), обозначаемые обычно так: f(x, у)=х-уу \(х)=х~\ а также существует отмеченная (выделенная) точка ееМ, удовлетворяющая вместе с отображениями f и v следую- следующим алгебраическим соотношениям (аксиомам группы): 1) x(yz) — (xy)z (ассоциативность), 2) ех=хе=х, хх~]=х]х—е. В дальнейшем будем обычно обозначать группу Ли через ©. . Определение 2. Множество элементов g группы Ли @, которые можно соединить непрерывным путем с единицей группы, называется связной компонентой единицы и обозначается че- через ©„. Предоставляем читателю в качестве полезного и простого упражнения убедиться в том, что множество @0 является подгруп- подгруппой в группе @ и, кроме того, &0 является нормальным делите- делителем в @. В частности, всегда корректно определена фактор-груп- фактор-группа ©/Фо, число элементов в которой равно, следовательно, коли- количеству компонент линейной связности группы &. ■ Определение 3. Линейное пространство V, на котором задана кососимметричная билинейная операция [,] (называемая обычно коммутатором), называется алгеброй Ли, если для любых X Y ZV ется~следующ р , трех элементов X, Y, ZeV выполняется~следующее тождество, на- навиваемое тождеством Якоби: [X, [Y, Z]]+[Z, [X, Y]]+[Y,[Z,X]]=0. 17
Для любого X^V можно определить линейное отображение aux'-V-^-V, полагая aux(Y)=[X, У]. Тождество Якоби, которому удовлетворяет операция коммутирования, с использованием опе- оператора ad может быть переписано в следующем виде: adxl^, %\— =[adx У, -2]+[У, adx-Z]. Следовательно, оператор ad* можно рас- рассматривать как дифференцирование алгебры Ли V. Приведем пример важной алгебры Ли. Лемма 1. Линейное пространство gt(n, R) (или gl(n, С)) всех матриц порядка п с вещественными (или комплексными) элементами является алгеброй Ли относительно коммутатора [X, Y\=XY—YX, где XY и YX обозначают обычные произведения матриц. Доказательство сводится к элементарной проверке тождест- тождества Якоби. Косая симметрия операции XY—YX очевидна. Существует тесная связь между конечномерными группами и алгебрами Ли (в бесконечномерном случае эта связь существенно -сложнее). Имеет место классическая теорема, доказательство ко- которой мы здесь опускаем (см., например, [165]).1М " i.*m Предложение 1. Пусть C — группа Ли и G=Te © — каса- касательное пространство к группе & в ее единице е. Тогда линейное пространство G естественно снабжается структурой алгебры Ли, операция коммутирования в которой является дифференциалом преобразования, индуцированного на G операцией (g\, £г)—>- —*-g\g2grl в группе ©. Если © — матричная группа Ли, то ком- коммутатор в ее алгебре Ли G задается явной формулой [X, У]= =XY—YX, где XY и YX — обычное произведение матриц. Рассмотрим основные примеры матричных групп и алгебр Ли. 1.2. Полные линейные группы GL(n, R), GL(n, С) и их алгеб- алгебры Ли. Рассмотрим евклидово пространство R" и совокупность всех невырожденных линейных преобразований R" в себя, остав- оставляющих на месте начало координат. Они могут быть записаны в виде квадратных невырожденных матриц (пХп) с вещественны- вещественными коэффициентами. Множество таких матриц обозначается через GL(n, R). Совершенно аналогично определяется совокупность матриц GL(n, С) над полем С. Лемма 2. Множества GL(n, R) и GL(n, С) являются неком- некомпактными группами Ли размерностей п2 и 2п2 соответственно. Ал- Алгеброй Ли группы GL(n,. R) является линейное пространство gl(n, R), состоящее из матриц размером (пхп) с вещественными коэффициентами. Аналогично алгеброй Ли группы GL(n, С) яв- является линейное пространство матриц gl(n, С). Доказательство. 'Ясно, что группа GL(n, R) может быть представлена в виде Rn2\(detg=O), где R''2 отождествлено с про- пространством всех матриц размером (пХп) с вещественными коэф- коэффициентами, a (detg=O) обозначает Множество матриц с нулевым определителем, задаваемое одним полиномиальным уравнением в R. Отсюда следует, что GL\n, R) является гладким некомпакт- некомпактным многообразием размерности п2 (рис. 1). Совершенно анало- аналогично рассматривается случай группы GL(n, C)=C"!\(detg'=O). 18
I от факт, что групповые алгебраические операции в GL(n, R) к <il.(n, С) являются гладкими, очевиден. Осталось вычислить ал- м'бры Ли указанных матричных групп. Поскольку алгебра Ли G ■пипадает с касательным пространством Те®, то достаточно изу- изучить матрицы, бесконечна близкие к единице группы. Рассмотрим для определенности группу GL(n, R). Касатель- Касательное пространство ТХМ в точке х к гладкому многообразию М со- состоит из всех векторов у@), являющихся векторами скоростей гладких кривых y(t), лежащих в Л! и проходящих через точку ху т. е. ^@)=^:. В нашем случае очевидно, что пространство, каса- касательное к GL(n, R) в точке Е, совпадает с пространством всех матриц размером (пхп), так как группа GL(n, R) получена вы- выбрасыванием из этого пространства R гиперповерхности, за- Рис. 1 Рис. 2 даваемой уравнением detg=O, причем точка Е не лежит на этой поверхности (рис. 1). Таким образом, группа GL(n, R) вложена в свою алгебру Ли gt(n, R) в виде открытой области. В частно- частности, достаточно малая окрестность единицы в группе GL(n, R> совпадает ,с соответствующей окрестностью в алгебре Ли. Рас- Рассуждения в комплексном случае аналогичны. Лемма доказана. 1.3. Специальные линейные группы SL(n, R) и SL(n, С). Группа SL(n, R) определяется как подмножество в полной линей- линейной группе G'L(n, R), задаваемое одним полиномиальным уравне- уравнением detg=l. Аналогично определяется и группа SL(n,'C). Лемма 3. Множества SL(nt R) и SL(n, С) являются неком- некомпактными группами Ли размерностей п2—Х и 2п2—2 соответствен- соответственно. Алгеброй Ли группы SL(n, R) является линейное простран- пространство sl(n, R), состоящее из всех вещественных матриц X разме- размером (пХп) с нулевым следом, т. е. SpurX = 0. Аналогично алгеб- алгеброй Ли группы SL(n, С) является линейное пространство sl(n, С) ■ всех комплексных матриц с нулевым следом. Доказательство. Рассмотрим на пространстве R"' функ- функцию f(g)=uetg. Прямое вычисление показывает, что gradf отли- отличен от нуля во всех точках поверхности (detg=l). Например, при п=2 имеем g= (° *), f(g)=ad~bc, gradf=(.d, -с, -b, a).
Если grad/=O, то возникающая система уравнений, связывающая элементы а, Ь, с, d матрицы g, показывает, что g=0, что противо- противоречит выбору g. Таким образом, в силу теоремы о неявных функ- функциях поверхность уровня f(g) = \ является гладким (п2—^-мер- (п2—^-мерным подмногообразием в пространстве Rn\ Аналогично проверя- проверяется, что и в комплексном случае поверхность уровня J(g) = \ яв- является гладким подмногообразием1 размерности 2п2—2. В этом ■случае одно, комплексное уравнение detg=l эквивалентно двум вещественным уравнениям. Найдем алгебры Ли указанных групп. Для этого достаточно вычислить касательную плоскость в единице группы. Найдем множество всех векторов скоростей гладких кривых y(t), прохо- проходящих в группе SL(n, R) через единицу Е, т. е. у@)=Е, <dpty(t) = l. Если параметр t мал, то матрицу y(t) можно пред- представить (с точностью до бесконечно малых высших порядков) в виде y(t)=E+tX+..., где Х=^@) — матрица размером (пХп), являющаяся вектором скорости траектории у в точке Е. Ясно, qfo dely(t) = 1 + /-Spur X+ ... . Отсюда мы получаем, что SpurJ = 0. Итак, вектор скорости каждой кривой, проходящей через единицу (вычисленный в единице), изображается матрицей с нулевым сле- следом. Докажем обратное, а именно, что каждая матрица X с ну- нулевым следом является вектором некоторой кривой, проходящей через единицу. Рассмотрим семейство матриц y(t) вида — Хорошо известно, что этот ряд сходится, 2Г=о поэтому определение семейства матриц у(() корректно. Из опреде- определения экспоненты следует, что X— ехр^Х|(_^о. Из курса ал- dt гебры известно, что det exp tX+exp Spur tX. Так как SpurJ = 0, то" dety(£) = l, что и завершает доказательство. Случай группы \ SL(n, С) рассматривается совершенно аналогично. < 1.4. Ортогональная группа О(п).и специальная ортогональная Д труппа SO(n). Рассмотрим пространство R" с билинейной поло- положительно определенной формой {a,b)='2lf_laibi, задающей ев- евклидово скалярное произведение. Вещественная (полная) ортого- ортогональная группа О(п) определяется как группа вещественных "матриц g порядка п, сохраняющих это скалярное произведение, т. е. (ga, gb}=(a, b> для любых векторов a, freR". Аналогичным образом определяется и комплексная ортогональная группа О(п, С) как группа матриц из GL(nt С), оставляющих инвариант- инвариантной квадратичную форму Zi2-h ..+zn2 в комплексном пространст- пространстве Сп(ги .-., zn). Ясно, что detg=±l, если g^O(n). Группа О (п) содержит подгруппу, обозначаемую SO(n) и на- называемую специальной ортогональной группой. Она образована ортогональными унимодулярными преобразованиями, которые, в частности, не меняют ориентации R". Аналогично SO(n, C)=»* =О(п, C)[)SL(n, С). 20
Лемма 4. Множество SO(n) является компактной группой hi размерности п(п—1)/2. Алгеброй Ли группы SO(n) является in не иное пространство so(n), состоящее из всех вещественных ко- i асимметрических матриц размером (пХп). Прежде чем доказывать лемму 4, опишем удобное для многих приложений представление группы О(п) в виде замкнутого под- подмножества в R"\ определяемого системой квадратичных уравнений figT=E. Здесь Rn* отождествляется с линейным пространством матриц g порядка п, а Т обозначает транспонирование. Рассмот- Рассмотрим в R билинейную форму <gb g2>=Spur g\g2T- Ясно, что она определяет евклидово скалярное произведение в базисе, состоя- состоящем из элементарных матриц <?,■/, рассматриваемых как векторы из R. Все элементы матрицы е,-,- равны нулю, за исключением одного элемента, равного 1 и расположенного в Ч'-й строке и /-м столбце. В самом деле, если g1 = Zaiiei/, g2--=I,bijeij, то (glt g2) ---SpurgjgJ —2a,-;-bf;-, что, очевидно, совпадает со скалярным евклидовым произведением. Отождествляя каждую матрицу £еО(я) с вектором, мы можем сопоставить ей евклидо- евклидову длину вектора g, где | g]2=Spur ggT. Напомним, что группа О (п) реализована как подмножество в R"\ удовлетворяющее мат- матричному уравнению ggT = E. Следовательно, для g^O(n) мы имеем \g\ =Уя, т. е. группа О(п) лежит как подмножество в стан- стандартной сфере S"'-1 радиуса Уп (рис. 2). Доказательство леммы 4. Докажем, что множество О(п) является гладким многообразием размерности п(п—1)/2. В действительности, достаточно доказать это утверждение для окрестности единицы в О(п). В самом деле, отображение La'.g—>- -*-ag, где а, geO(n), можно рассматривать как линейное, а по- потому гладкое преобразование объемлющего пространства Rn\ поскольку оно определено не только на подмножестве О(п), но и на множестве всех матриц. Преобразование La'.X-+.aX называет- называется левым сдвигом. Ясно,.что левым сдвигом можно совместить любШе' бее точки на группе О(п), в частности, перевести любую точку из О (п) в единицу .группы. Следовательно, если О(п) ока- • жется многообразием в окрестности единицы, то это же будет верно и для любой точки из О(л). Рассмотрим множество всех гладких кривых g{t), лежащих в SO(n) и проходящих через единицу Е. Вектор скорости каждой такой кривой в единице группы является кососимметрической матрицей, т. е. g@)=X, где Хт=—X. В самом деле, в силу орто- ортогональности всех преобразований вида g(t) мы имеем (S(t)a, g(t)b}=(a, b} для любых векторов a.freR". Дифференци- Дифференцируя по t и полагая /=0 (напомним, что g@)=£), получаем (Ха,Ьу+(а, ХЬУ — О, что эквивалентно кососимметричности матри- матрицы X. Докажем теперь обратное, а именно, что любая веществен- вещественная кососимметрическая матрица X порядка п является вектором скорости некоторой гладкой кривой g(t), проходящей через Е и целиком -лежащей в множестве SO(n). 21
Рассмотрим семейство матриц вида Пегко проверить, что этот ряд сходится, поэтому матрицы g(t) корректно определены и, кроме того, g@)—X. Так как Хт=—Х, го g(t)~1==g(t)T при любом t, т. е. кривая g(t) целиком лежит в множестве ортогональных матриц и имеет в единице вектор ско-- эости, равный X, что и требовалось. В частности, мы доказали, по множество всех векторов скоростей кривых, проходящих через гдиницу в SO(n), образует линейное пространство so(n) размер- размерности п(п—1)/2, состоящее из всех кососимметрических матриц порядка п. Напомним, что каждая кососимметрическая веществен- вещественная матрица X=(xi,) однозначно определяется элементами хц, где £</. Рассмотрим теперь систему из — п(п+1) квадратичных урав- уравнений, определяющих множество О(п). В матричном виде эти уравнения записываются так: ggT=E. Мы должны доказать, что зсе градиенты функций ft/ = 2iLia0ia/fe~~fii7» где t</, g=(a«p), линейно независимы в единице группы. Группа О(п) задается в пространстве всех матриц g — (aap) как решение системы уравне- уравнений /ij = 0, t^/. Уравнения fa —0 означают, что скалярные квад- квадраты столбцов матрицы равны единице, а уравнения fu = O, i<jr означают, что скалярные произведения разных столбцов равны f-const f S°in) Рис. 3 ' Рис. 4 (условия ортогональности). Из курса геометрии известно, что градиент гладкой функции !сегда ортогонален поверхности уровня (если градиент отличен or 1уля) (рис. 3). В единице группы рассмотрим линейное по'дпро- :транство N, состоящее из векторов, ортогональных всем гради- градиентам grad/i/, t</. Мы утверждаем, что подпространство N сов- гадает с пространством всех кососимметрических матриц. В самом 1,еле, если вектор X принадлежит N, то он ортогонален одновре- 4енно всем градиентам и, следовательно, касается совместной по- уровня всех функций /;/=0, i*ij. Но мы знаем, что-
via поверхность уровня совпадает с группой О(п) (согласно ее определению). Следовательно, согласно доказанному выше вектор А' изображается кососимметрическои матрицей. Таким образом, Ncso(n). Обратное включение нами фактиче- фактически доказано выше, так как каждая кососимметрическая матрица, рассматриваемая как вектор скорости кривой, лежащей в SO (n), касается совместной поверхности уровня функции f,,-, £</', и по- поэтому ортогональна пространству градиентов. Для доказательст- доказательства линейной независимости всех градиентов grad /,/, '^Л доста- достаточно доказать, что размерность порожденного ими линейного под- подпространства L в точности равна п(п+1)/2. Ясно, что прямая сумма плоскостей L и N дает все пространство R (рис. 4). Следовательно, dimL=n2—n(n— l)/2=n(n+l)/2. Таким образом, функции fi/, i<j, функционально независимы в окрестности еди- единицы группы и по теореме о неявных функциях их совместная по- поверхность уровня является гладким подмногообразием размерно- размерности л (л—1)/2. 1.5. Унитарная группа U(n) и специальная унитарная группа SU(n). Рассмотрим комплексное пространство C"Bi, ..., zn) с эрмитовым скалярным произведением (a, 6) = Re2"=ia£A-, по- порожденным билинейной комплекснозначной формой X?=iai^'- Через U(л) обозначим группу всех линейных операторов в С", со- сохраняющих это скалярное произведение и переводящих в себя на- начало координат. Другими словами, U (л) — это группа комплекс- комплексных матриц g порядка л, обладающих тем свойствам, что <а, Ь}— —iga, gb} для любых a, be С. Следовательно, унитарные матри- матрицы задаются матричным уравнением ggT=E, где «черта» обозна- обозначает комплексное сопряжение. Если get/(л), то получаем, что detg=ei(f. В группе U(л) содержится подгруппа SU(n), состоя- состоящая из всех унитарных матриц с определителем единица. Лемма 5. Множество U(n) является компактной группой Ли размерности л2, a SU(n) является компактной группой Ли размер- размерности л2—1. Алгеброй Ли и(п) группы U(n) является пространст- пространство всех косоэрмитовых комплексных матриц, а алгеброй Ли su(n) группы SU(n) является пространство всех косоэрмитовых ком- комплексных матриц со следом ноль. Доказательство проводится по схеме доказательства лем- леммы 4, и поэтому мы предоставляем его читателю. Мы определили U(п) как группу матриц, сохраняющих веще- •ствеппозначпое скалярное произведение <a,/;>=Re 2a;5,-. Однако наряду с ним в С" имеется ассоциированная комплексибзначная форма (a, b)' = 2"=i аА'< а потому естественно возникает груп- группа матриц И{п)', сохраняющих комплекснозначную форму. По- Поставим естественный вопрос: совпадают ли группы U(п) и U(n)'? Оказывается эти группы совпадают. В самом деле, поскольку группа U(n)' сохраняет форму <а, ЬУ, то она сохраняет по от- отдельности ее вещественную и мнимую части. Следовательно, U(n)'aU^n). Обратно, пусть задана матрица g^U(n), т. е. 23
я, b~}=(_ga, gby для любых а и Ь. Это тождество верно также и ля векторов вида ia и Ь, поэтому Re<ia, b>'=Re<g(ia), g(&)>'. ак как оператор g — комплексный, то g(ia)=ig(a) и Im<a, Ь>'= = lm{ga, gb)', поскольку Re(iz) = Im(z). Таким образом, преобра- ование g сохраняет не только вещественную часть формы <,>', о и ее мнимую часть, а следовательно, сохраняет всю форму, что- означает включение U(n)czU(n)'. Поэтому в дальнейшем мы не будем различать группы инва- иантиости эрмитовой формы и ее вещественной части. Легко до- :азать, что группа U (п) гомеоморфна прямому произведению руппы SU(п) на окружность. Как и в случае 0(п), группу U(n) [ногда удобно представлять как замкнутое подмногообразие, вло- кенное в R2n' и определяемое в нем системой -квадратичных ■равнений ggT=E. Здесь R2"* = C отождествлено с пространством icex комплексных матриц порядка п. Рассмотрим в R2 скаляр- юе произведение ReSpurg/ir и выделим R2 базис, состоящий (з всех матриц вида A), (i), все элементы которых равны нулю, а исключением одного, расположенного в k-u етолбце и в -й строке и равного 1 или i. Если g—(aa), n—(^ii), то ?е Spur ghT=:Zaijbij, что совпадет с эрмитовым скалярным про- (зведением в С. Отождествляя каждую матрицу g с вектором и :опоставляя ей евклидову длину вектора |g|2=ReSpurggr, г^олу- (аем, что группа U (п) вложена в сферу S2n'~l радиуса У п. 1.6. Компоненты связности матричных групп. Из скольких хвязных кусков» состоят перечисленные группы? Чтобы ответить m этот вопрос, докажем три леммы. Лемма 6. Группа SO(n) линейно связна и совпадает с ком* гонентой единицы в группе О(п). Группа О(п) состоит из двух 'вязных компонент. Доказательство. Из курса алгебры известно, что для лю- >ой ортогональной матрицы go^SO(n) существует ортогональная O() xa имеет вид рица g€ COS фх —sin ф1 =O(n), такая, sin^ СО5ф1 что 1 матрица ^ 0 Г О ри четном п = 2k и cos cpj sin cpj sin cp, cos ри нечетном n=2k+l.
кпчестве непрерывного пути y> соединяющего матрицу g0 с еди- цей группы, можно рассмотреть семейство матриц ( "H'la(t)g, где a(t) = \ Таким образом, группа SO(n) связна (рис. 5).' Поскольку она гомеоморфна также множеству ортогональных матриц с определи- определителем — 1, то группа О(п) со- состоит из двух компонент связно- связности. На одной из них delg= + l, на другой detg = — 1. Лемма до- доказана. Лемма 7. Группы U(n) и SU(n) линейно связны. Доказательство. Из курса алгебры известно, что для любой матрицы go^SU(n) суще- r(t) Рис. 5 Рис. 6 ствует унитарное преобразование g такое, что матрица a = ggog~l является диагональной: а = О Рассмотрим непрерывный путь y(t), соединяющий матрицу единицей Е и имеющий вид y{i)=g~xCL(t)g, где 25
• a{t)J Ясно, что у@)=Е и y(l)=go- Связность U(n) доказывается ана- аналогично. Лемма доказана. Лемма 8. Группа GL(n, R) состоит из двух связных компо- компонент. Группы GL(n, С) и SL(n, С) линейно связны. Доказательство. Группа GL(nt R) распадается в объеди- объединение двух, непересекающихся подмножеств Go и Gb где Go= = {g : detg>0}, Gi = {g : detg<0} (рис. 6). Ясно, что множества GO и Gi гомеоморфны и этот гомеоморфизм задается отображением g->~ag, где матрица а имеет вид I \ I. Осталось до- 1° '-J казать связность Go. Так как каждая матрица g^G0 интерпрети- интерпретируется как некоторый базис в R", то, применяя известный процесс ортогонализации базиса, получаем, что матрица g представима в виде ар, где aeSO(n), ар — верхнетреугольная невырожденная матрица с положительными диагональными элементами. Затем можно непрерывно продеформировать матрицу р в Е и, следова- следовательно, матрицу g в матрицу а. При этом мы воспользуемся тем, что множество указанных верхнетреугольных матриц связно. В яв- явном виде эту деформацию можно задать, например, так: Р@ = | - '-. Ь гДе все Р.>°- Поскольку группа SO(n) связна, то для случая GL(n, R) лем- лемма доказана. Рассмотрим теперь группу GL(n, С). Построим глад- гладкое отображение f:GL(n, C)->S', положив f(g)=detg. Ясно, что образом / является вся окружность; при этом прообразом едини- единицы на окружности является подгруппа матриц с определителем единица, т. е. подгруппа SL(n, С) (рис. 7). Поскольку окружность связна, то достаточно доказать связность группы SL(n, С). При- Применяя процесс ортогонализации, приводящий от произвольного унимодулярного комплексного базиса- к эрмитовому, мы сводим вопрос о связности группы SL(n, С) к вопросу о связности груп- группы SU(n). Но группа SU (п) связна по лемме 7. Лемма доказана. Связность группы GL{n, С) объясняется тем, что эта группа получается из пространства С"г выбрасыванием комплексной ги- гиперповерхности, задаваемой уравнением detg=0. Так как ее ве- вещественная коразмерность равна двум, то поверхность detg=O 26
iff разбивает С" на два куска (рис. 8). В вещественном же слу- <ис поверхность detg = O имеет вещественную коразмерность один i разбивает R на два связных куска, поэтому GL(n, R) со- состоит из двух связных компонент. 1.7. Операция овеществления и комплексные структуры. One- щция овеществления позволяет отождествить пространство С" с lin. Выберем в С" эрмитов базис в\, ..., еп\ каждый вектор as -^О допускает однозначное разложение вида 2"=1г/А> Где zk = xk + ii/k, а хк и iu. вещественны. Рассмотрим попарно ортогональные векторы 't. ..., еп, iei, ..., ien. Каждый вектор а записывается в виде а== JL(rijC. GL(n,C) Рис. 7 . Рис. 8 () Отображение ф:С"-^-^п, задаваемое формулой т>'(а) — (хи ..., хп, Уи ■■■, У"), будем называть оператором овеще- явления. При этом О отождествляется с R2ra.~4i0 ггуиисхидИг с эрмитовой формой <a, by после овеществления ф? Ясно, что =YJа Y k=\ *. e. (a, b) = Re (a, b)' ->-~Zxkck + </ftdft. Это означает, что эрмитово скалярное произведение С" после овеществления переходит в обычное скалярное произведение в R2". Обратно, как задать комплексную структуру в четномериом -•вклидовом пространстве? Снова рассмотрев овеществление D:O-^R2ra, в R2n получим ортобазис е\, ..., еп, ie\, ..., ien, причем 12n=Rn(BiRn=Cn. Поэтому в R2" возникает линейный оператор /, юйствующий по формуле Ix=ix. Ясно, что 12 = —Е и Iiek=—ek- 'ледователыю, относительно указанного ортобазиса матрица / где Е — единичная матрица поряд- собственные числа Х\— шисывается так: [Е О i п. Этот оператор, очевидно, имеет 27
= .. ,=xn—i, Лл+1=.. . = Я2л=—i. Ясно также, что оператор / орто- ортогонален, т. е. /eS0Bn). Эти свойства мы и положим в основу следующего определения. Определение 4. Будем говорить, что ортогональный опе- оператор A^SOBn) такой, что А?=—Е, определяет комплексную структуру в R2n. Иногда комплексной структурой называется сам оператор А. Условие ортогональности в определении 4 можно было бы опустить, но для простоты мы будем рассматривать в дальнейшем именно ортогональные комплексные структуры. Предъявим теперь отождествление R2n с С", используя этот оператор А. Поскольку он ортогонален, то подходящим ортогональным преобразованием базиса можно привести матрицу А к каноническому виду cos ф1 sin cp1 \ О -sin cpt cos о \f Так как Л2 = —£, то yk = ^— + nlk, /fce Z. Делаем еще одну за- замену базиса (перестановки векторов) и приводим оператор к ви- виду 1 — {р j?y. Итак, возникает некоторый ортобазис еи ..., еп, t\, ..., tn такой, что lek=tk, Itk = —ek. Натягивая на векторы еи ..., еп подпространство R™, получаем разложение R2"= = R"(e)©R«@ такое, что /:R»(e)->Rn(f), /:R"(/)^Rn(e). Следо- Следовательно, любой вектор aeR2" допускает однозначное разложение а=х+1у, где x,(/eR"(e). Так как 12=—Е, то можно отождествить R2" с С", рассмотрев все комплексные линейные комбинации век- векторов {ек}. Возникает естественный вопрос: сколько комплексных структур можно задать в R2n? Другими словами, как описать, все такие ор- ортогональные матрицы А, что А2——Е. Так как А~х = —А, А~Х=АТУ то Ат=—А, т. е. оператор А является комплексной структурой тог- тогда и только тогда, когда он кососимметричен. Рассмотрим овеще- овеществление ср:OWR2", и пусть n2fcczR2n — произвольная 2й-мерная вещественная плоскость. Возникает вопрос: когда она является комплексной плоскостью, т. е. когда Y\2k является образом неко- некоторого комплексного подпространства после овеществления? Ока- Оказывается, пло.скость П является комплексной тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно действия оператора j4:R2"->~ ->R2n. Доказательство предоставляем читателю. Для дальнейшего полезно представлять себе, как устроено множество всех комплексных структур в R2", т. е. множество всех различных (ортогональных) комплексификаций R2"., превращаю- превращающих его в С". Рассмотрим группу SOBn) и ее алгебру Ли как подмножества в пространстве всех вещественных матриц пор'яд- ка 2п. Лемма 9. Множество всех ортогональных комплексных струк- 28
,/i n R2" совпадает с пересечением группы SO Bn) с ее алгеброй in ao{2n) (рис. 9). Доказательство сразу следует из обнаруженного нами "Mine факта кососимметричности ортогональной матрицы, являю- пся в то же время комплексной структурой. Полезно помнить, каждая ортогональная комплексная структура А имеет вид ц1ц~\ где g^SOBn). Следовательно, множество всех комплекс- комплексных структур в R2" естественно отождествляется с множеством м.тгриц вида glg~\ где матрица vC- " • •'• ">ч. <nf ц пробегает всю группу SOBn). /\'\'-\'У.:Р\г ' Определение 5. Линейное отображение g^SO Bn) назы- нпстся комплексным, если оно коммутирует с оператором / ум- умножения на мнимую единицу, т. е. если gl = lg. Если рассмотреть отождеств- отождествление R2" с С", т. е. R"©(R"=R2n, то условие комплексности матри- рис 9 цы g означает, что g(iz)=ig(z), где zeC" = R2". Таким образом, определение 5 в точности соответствует стандартному представ- представлению о комплексных операторах. Как устроено множество всех комплексных ортогональных преобразований? Какие события про- происходят с унитарной группой U(n) после овеществления ip : C"-^R2"? Пусть g^U(n). Так как этот оператор сохраняет эрмитову форму, то после овеществления он превратится в оператор фь-, действующий в R2" и сохраняющий евклидову форму, так как эр- эрмитово скалярное произведение превращается при овеществлении в евклидово скалярное произведение. Так как оператор ц>е сохра- сохраняет евклидово скалярное произведение, то он является элемен- элементом группы SOBn). Найдем явный вид вложения' ф:£/(л)->- -*£ОBп). Предложение 2. Мономорфизм ф:С/(n)-»-SOBn), возни- возникающий при овеществлении ф*. O-^-R2", явно записывается так: еде матрицы С и В имеют порядок п и вещественны. Кроме того, выполняется равенство xpU(n)=SOBn)f\<pGL(n, С). Доказательство. Пусть е\,...,еп — эрмитов базис в С". • Тогда при овеществлении он переходит в ортобазис " еи ..., ел, tei ien. Поэтому (C+iB)ek=Cek+B(iek), (C+iB)iek = -Bek+ д °\. Прямое вычисле- вычисление показывает, что det cpg= | det g\2, т. е. det9§>0. Докажем те- теперь, что SOBn)n<pGL(n, С)=ф[/(п). Пусть ф^еф[/(п), тогда, с пдной стороны, (fg^SO Bn), а с другой стороны, оператор ф£ по- 29
лучен овеществлением комплексного невырожденного оператора, т." е. q>U(n)<=SdBn)(](pGL(n, С). Обратно, пусть g<=SOBn) и GL(n, С). Это означает равенство g(iz)=igz, из которого еле- 1С /? ( ) () 1С /? \ дует, что (fg имеет вид I ^ р,), т. е. g^q>U(n), что и требова- требовалось доказать. Предложение 3. Множество всех ортогональных комплекс- комплексных структур в R2" является гладким многообразием и гомеоморф- но компактному однородному пространству SOBn)jV (п), где под- подгруппа U (п) стандартным образом вложена в группу S0Bn) (см. предложение 2). Доказательство. Как мы уже знаем, множество М всех комплексных ортогональных структур в R2" отождествляется с множеством матриц вида glg~\ где g пробегает SOBn). Следо- Следовательно, M—SOBri)jH, где через Я обозначена подгруппа тех матриц, которые коммутируют с матрицей /. Эта подгруппа иног- иногда называется централизатором элемента I^SOBn). Через S0Bn)IH обозначено множество левых классов смежности по подгруппе Н. Условие коммутирования h с /, очевидно, эквива- эквивалентно равенству I = hlh~\ которое означает, что Я — это множе- множество всех преобразований, коммутирующих с умножением на мни- мнимую единицу. Отсюда получаем, что Я совпадает с множеством всех комплексных ортогональных операторов, т. е. H=U(n), что и требовалось доказать. Итак, SOBri)[\soBn)=SO{2n)IU(n). Множество всех ком- комплексных структур оказалось вложенным в группу SOBn) в ви- виде гладкого компактного подмногообразия SO Bn)/U(п). Оказы- Оказывается, это вложение обладает и другими интересными метричес- метрическими свойствами. Напомним в связи с этим определение вполне геодезических подмногообразий. Определение 6. Подмногообразие риманова многообразия называется вполне геодезическим, если каждая геодезическая в подмногообразии (с точки зрения индуцированной на нем римано- вой метрики) остается геодезической и в объемлющем многооб- многообразии. Предложение 4. Множество SOBn)/U(n) всех комплекс- комплексных ортогональных структур является вполне геодезическим под- подмногообразием в группе SOBn). Доказательство. Напомним, что гладкая кривая в группе Ли является геодезической тогда и только тогда, когда она полу- получена левым или правым сдвигом из некоторой однопараметриче- ской подгруппы, проходящей через единицу группы. Поскольку нас интересует группа SOBn)t то любая однопараметрическая подгруппа имеет вид exp tY, где Y — некоторая кососимметриче- ская матрица. С-ледовательно, каждая ортогональная матрица, близкая к единице, однозначно представляется в виде ехр X, где кососимметрическая матрица X имеет малые коэффициенты. Пусть g — произвольная комплексная структура. В силу предыдущего замечания любая другая близкая к ней комплексная 30
структура может быть однозначно записана в виде gexpX, где X ~ некоторая малая кососимметрическая матрица. Таким обра- лом, мы описали структуру малой окрестности каждой точки g в подмногообразии SOBn)/U(n). Докажем следующее вспомогательное утверждение: матрица ЦехрХ является комплексной структурой тогда и только тогда, когда X антикоммутирует с g, т. е. когда gX+Xg=0. В самом де- деле, если матрицы X и g антикоммутируют и g2——E, то —X— = g~lXg, следовательно, ехр(—X) =g~l (expJ)g =—g(expX)g. От- Отсюда получаем равенство (g ехр ХJ=—Е, которое означает, что оператор gexpX является комплексной структурой. Обратно, если (gexpXJ=—E, то, выполняя предыдущие вычисления в обратной порядке, получаем exp{g~:Xg)exp Х=Е. Так как матрица X ма- мала, то g~:Xg=—X, что и означает антикоммутирование g и X. Та-' ким образом, мы доказали, что малая окрестность точки g в под- подмногообразии SUBn)IU(n) состоит из всех матриц вида gexpX, где X пробегает все матрицы из некоторого линейного подпро-- странства в алгебре Ли soBn). Это подпространство состоит из: матриц, антикоммутирующих с g. Следовательно, малая окрест- окрестность точки g в подмногообразии SOBn)IU(n) заполнена траек- траекториями, исходящими из g и являющимися образами однопара- метрических подгрупп при их левом сдвиге из единицы в точку g. Таким образом, SOBn)IU(n) — вполне геодезическое подмного- подмногообразие в группе SOBn), что и требовалось доказать. Множество комплексных структур допускает еще одну инте- интересную геометрическую характеристику, которую мы приведем здесь без доказательства. Оказывается, если в группе 50 Bл) рас- рассмотреть множество всех кратчайших геодезических, соединяющих единицу Е с точкой —Е, то каждая такая геодезическая ровно в- одной точке пересекается с подмногообразием S0Bn)IU(n), вло-. женным в S0Bn). Эта точка расположена на середине геодезиче- геодезической. Следовательно, множество комплексных структур гомео- морфно множеству всех минимальных геодезических в группе S0Bn), соединяющих Е с —Е. Кроме групп GL(n, R), GL(n, С), U(n), SU(n), 0(n), SO(n) в геометрии естественно возникают группы симплектических преобразований, к изучению которых мы теперь переходим. § 2. Группы симплектических преобразований линейного пространства 2.1. Симплектические линейные преобразования. Известно, что свойства евклидовой геометрии определяются свойствами симмет- симметричного невырожденного положительно определенного скалярного произведения <,>, превращающего линейное вещественное «-мер- «-мерное пространство в евклидово пространство R". Параллельно этой Теории строится симплектическая геометрия, свойства которой Определяются свойствами кососимметрического невырожденного вк.члярного произведения (,), превращающего линейное вещест- iP четномерное пространство в симплектическое пространст- 31
во L2n. Наряду с многими общими чертами евклидова и симплек- тическая геометрии обладают принципиальными различиями. Удобно моделировать симплектическое пространство L2" на ев- евклидовом пространстве R2n. . ^ • ■— * Будем говорить, что в R2" задана (линейная симплектическая_ структура, если задано билинейное кос^йм"м^трйчёс'кое""Т1евырож-~ денТюёТкалярное произведение (,), т. е. (а, Ь) = — (Ь, а) для лю- любых двух векторов fl,beR2" и (а, Ь)=0 для любого ceR2" в том и .только в том случае, когда Ь = 0. Пространство R2™ с такой до- дополнительной структурой называется симплектическим линейным пространством. Если в R2™ фиксировать какой-либо базис еи .... ..., в2п, то скалярное произведение (а, Ь) можно записать в явном виде так: (а, ^) = Е^и;/аг^/-) где а,- и Ь; — координаты векторов а и b относительно выбранного базиса, а Й= (©,•/) — невырожденная кососимметрическая матрица, со;,=—со/;. Коэффициенты со;,- пока будем считать постоянными числами, не зависящими от точки пространства R2". При невырожденном линейном преобразовании базиса матрица Q также меняется, но остается кососимметриче- ской. Приведем пример простейшей симплектической • линейной структуры. Для этого введем в R2re координаты р\, ..., рп, q\, ... ..., qn и зададим симплектическую структуру формулой (а, й) = =^Piqi'—pi'qi, где a=(ph ..., qn), b={px', ..., qn'). Ясно, что мат- матрица Q, записанная относительно базиса, соответствующего этим координатам, имеет вид J=\F ^ ), где через Е обозначена еди- единичная матрица размером (пХп). Оператор / уже знаком нам как оператор, задающий комплексную структуру в R2". Если же ко- координаты занумеровать в другом порядке, а именно: р\, qu p2, <72 рп, qn, то матрица Q запишется в следующем блочно-диа- гональном виде: О 1 — 1 О О о О 1 -1 О Этот пример является в некотором смысле универсальным. Де- Дело в том, что если Q — произвольная невырожденная кососиммет- кососимметрическая матрица размером B/гХ2«), то, как известно из курса линейной алгебры, всегда существует такая невырожденная ли- линейная замена координат в R2", что матрица Q приведется к ка- каноническому виду, указанному выше. Поэтому всегда можно счи- считать, что если Q — матрица симплектической линейной структуры в R2n, то всегда можно выбрать такие координаты, относительно которых эта структура принимает простейший вид, описанный вы- выше. Базис из 2л векторов ai, ..., ап, fh, ..., р«, в котором струк- 32
Iура Q принимает канонический вид /, будем в дальнейшем назы- иать симплектическим. Ясно, что матрица попарных кососкаляр- пых произведений базисных векторов имеет в этом случае вид _£ о)' при 1Ф\. Отметим, что скалярный квадрат каждого вектора равен ну- нулю, т. е. все векторы в симплектическом пространстве изотропны. Векторы m и р; будем называть сопряженными, так как (a*, р\) = -1. По аналогии с симметричным скалярным произведением будем говорить, что два вектора а и Ь, косоортогональны, если их косо- скалярное произведение равно нулю, т. е. если (а, Ь)—0. В част- частности, в симплектическом пространстве каждый вектор сам себе косоортогонален. Несмотря на эти различия, между евклидовым и симплектическим скалярными произведениями имеется много объ- объединяющих их черт. Перечислим некоторые из них, нужные для дальнейшего. Множество всех векторов, косоортогоиальных всем векторам н.ч некоторой плоскости П* в R2", называется косоортогональным дополнением к плоскости П* в R2". В частности, косоортогональ- ное дополнение к одному вектору а является Bя—1) -мерной ги- гиперплоскостью в R2", содержащей вектор а (рис. 10). Это утверж- Рис. 10 Рис. 11 депие следует из невырожденности симплектическои структуры, поскольку ненулевой вектор о не может быть косоортогоналеи все- всему пространству R2". Ясно также, что если Т — косоортогональ- imc дополнение к плоскости Ylk в R2", то размерность Т равна Чц-k. Подпространство в R2" будем называть симплектическим, пели ограничение на него симплектическои структуры невырож- чено. Как мы уже видели, из линейной алгебры следует, что в каж- |"м симплектическом пространстве всегда существует симплек- ■ гкий базис. Таких базисов много, и, кроме того, в качестве • иго вектора симплектического базиса можно взять любой не- 1 ной вектор aeR2re. Докажем это последнее утверждение ин- '■ : "ной по п. При п=1 в качестве вектора ег, дополняющего век- t Фоменко 33
тор в\=а до симплектического базиса в R2, достаточно взять век- вектор, не являющийся косоортогональным к а в R2, и подобрать» его длину так, чтобы {Ь, а) = 1. Такой вектор b существует в силу невырожденности формы (,). Пусть теперь п> 1 и а=е\Ф0. Как и на первом шаге, выберем- вектор e2eR2fl так, чтобы (е2, ei) = l. Рассмотрим натянутую на них двумерную плоскость П2, и пусть К — косоортогоналыюе до- дополнение к П2 в R2™. Ясно, что размерность К равна 2п—2 и, кро- кроме того, П2|"|/( = 0 и оба вектора в\ и е2 не лежат в К (рис. 11). В самом деле, если бы, например, в\ лежал в К, то в\ был бы ко- соортогонален к е2, что невозможно в силу выбора е2. Покажем теперь, что Bя—2) -мерная плоскость К является симплектическим подпространством в R2n, т. е. что ограничение: симплектической структуры на К невырождено. В самом деле, д<- пустим противное: пусть некоторый вектор h^K косоортогонален всей плоскости К. Но в таком случае он косоортогонален всемт пространству R2re, поскольку плоскость К косоортогональна плос- плоскости П2, а сумма К и П2 дает R2™. Так как по предположении индукции в симплектическом пространстве К2"^2 можно выбратг. симплектический базис, то, дополняя его двумя векторами е2 и е,_ мы и получаем симплектический базис во всем пространстве R2r. что и доказывает утверждение. Определение 1. Будем говорить, что плоскость П* в сиь- плектическом пространстве R2" является -издтузопной^ если она се- себе косоортогональна, т. е. кососкалярное произведение любых двуг векторов плоскости равно, нулю. Если k=n (т. е. равно половину размерности R2n), то изотропную плоскость и а з ов е м(^шгранже eoR. Поскольку симплектическая структура моделируется намй~ДЛ? удобства на евклидовом пространстве R2", это позволяет задать кососимметрическое скалярное произведение в несколько иног форме. Если {а, Ь) = ^Р1р\ + Я1Я'Р где а={ри ..., qn), Ь= = {Р\, ..., qn') в R2", то кососкалярное произведение (а, Ь) мо>ь- но переписать так: {a, 6)=<Qa, b}, где оператор Q:R2"-vR2" за- задает некоторое линейное невырожденное преобразование. Яснс. что этот оператор кососимметричен относительно выбранного н?- ми ортогонального базиса. Будем в дальнейшем считать для удобства, что симплектичь- ская и евклидова структуры в R2" согласованы в том смысле, чт< векторы симплектического базиса си, ..., а^, рь ..., рп ортоног- мированы, т. е. взаимно ортогональны и имеют евклидову длин^ равную единице. В симплектическом ортонормированном базиса оператор Q, очевидно, задается канонической матрицей. /= = [ |, в частности Q2=—Ein. С геометрической точкг зрения действие оператора Q сводится к следующему: в каждор из п двумерных плоскостей, натянутых на векторы ш, р;, проис ходит поворот на угол я/2. Описанная связь между евклидовой г симплектической структурами, вообще говоря, разрушается прр 34
■произвольном линейном невырожденном преобразовании R2". Од- иадо при фиксации описанного выше базиса из, этой связи извле- извлекаются полезные следствия. Лемма 1. Плоскость П в симплектическом пространстве яв- является изотропной в том и только в том случае; когда плоскости П и QFI взаимно ортогональны (в обычном евклидовом смысле). Доказательство. В силу согласованности симплектической и евклидовой структур мы имеем (a, b) = (iia, b) для любых век- векторов а, йеП. Следовательно, (а, й)=0 тогда и только тогда, ког- когда <Qa, fr>=0, что и доказывает лемму. Лемма 2. Размерность изотропной плоскости Ylk в симплек' тическом пространстве R2" всегда не превосходит числа п. Доказательство. В силу леммы 1 плоскости П и QFI вза- взаимно ортогональны, что эквивалентно изотропности П. Так как оператор Q невырожден, то размерности плоскостей П и QF1 оди- одинаковы. Следовательно, &+&<2п, т. е. &<п. 2.2. Некомпактные группы Sp(n, R) и Sp(n, С). Рассмотрим в симплектическом пространстве структуру (,). Определение 2. Линейное преобразование g:R2"-^R2" симплектического пространства в себя называется симплектиче- ским в том и только в том случае, когда оно сохраняет сим- - плектическую структуру, т. е. сохраняет кососимметрическое ска- скалярное произведение: (ga, gb) = (a, b) для любых a, fteR2". Со- Совокупность всех симплектических преобразований R2", оставляю- оставляющих на месте начало координат, образует группу, которая назы- называется вещественной симплектической (некомпактной) группой и обозначается Sp(n, R). Мы должны проверить корректность определения 2, а именно доказать, что симплектические преобразования действительно об- образуют группу. Тот факт, что композиция (произведение) сим- симплектических преобразований снова является симплектическим преобразованием, очевиден. Докажем, что линейные симплектиче- i'kiip преобразования невырождены'. Для этого напомним связь между кососймметрическими скалярными произведениями и внеш- внешними (дифференциальными) 2-формами. Рассмотрим дифферен- дифференциальную форму юB> =^j=]dpi/\dqi. Ясно, что она определяет кпеосимметрическое скалярное произведение (a, b) = '%j=\piqi — piq{ при естественном отождествлении R2re с касательным к нему про- пространством TR2n. Другими словами, произведение двух векторов n-=(plf ... , qn) и b — (p'v ... , q'n) может быть записано в виде {а, Ь)'=(й(а, Ь), так как dpi(a)=pi, dqi(a)=qi, dpt(b)=p\, dqt(b) = •*sq\ H(dpt/\dqt)(a, b)=piq'.—p'fli. Определение и простейшие свой- свойства внешних дифференциальных форм см., например, в- учебни- учебнике E3]. Поскольку кососкалярное произведение двух векторов равно шичению, которое 2-форма со принимает на этих векторах, то в дальнейшем мы можем пользоваться некоторыми простейшими Ойопгтвами внешних форм.
Лемма 3. Определитель любого линейного симплеКРШескогсг преобразования равен единице. Доказательство. В силу описанной выше связи между кососкалярным произведением и внешними 2-формами линейное отображение g-:R2"->R2" симплектического пространства, отнесен- отнесенного к стандартным симплектическим координатам р\, ..., рп, q\, ..., qn, является симплектическим тогда и только тогда, когда оно сохраняет соответствующую внешнюю 2-форму. Этой харак- характеристикой симплектических преобразований мы часто будем пользоваться в дальнейшем. Рассмотрим п-ю внешнюю степень 2-формы со и положим тBп>= = иЛ---Дш (п раз). Из общих свойств внешних форм следует, что форма х степени 2л имеет вид i=X(x) -йхх/\.. .f\dx2n, где %{х) — некоторая гладкая функция от коэффициентов формы со= "=Sce,7a;b/, а в конечном итоге — функция от координат хи ..., хгп в R2". Мы утверждаем, что X^j/det (col7) = ]/detQ , где Q= = (@i/) — матрица коэффициентов формы. Если А — произвольная невырожденная линейная замена координат, то Q=AQ'AT, где £У — матрица формы со в новой системе координат. Следователь- Следовательно, det Q'■ (detЛJ = det Q. Если координаты выбраны так, как это было сделано выше, т. е. матрица Q' принимает в них канониче- канонический вид, то очевидно, что detQ'=l и detQ=(detАJ. В то же время при замене координат (х)-^-(р, q) форма т преобразуется по следующему закону: т= (detЛ) ■%'=&<&A-dxxf\.. ./\йх2п- Так как det А —- V^det Q, то ^ = ]/detQ, что и требовалось доказать. В частности, если координаты Xi'...,X2n совпадают с канониче- каноническими р\, ..., qn, то det Й=1 и Х=1. Итак, форма т = (оЛ---Л« (п раз) интерпретируется как форг ма 2«-мерного объема в R2", причем мы в явном виде вычислили коэффициент К. Таким образом, симплектическое преобразование, сохраняя форму со, автоматически сохраняет и ее п-ю внешнюю степень, т. е. форму т, и, следовательно, сохраняет форму 2п-мер- ного объема в R2". Отсюда следует, что преобразование унимоду- лярно, что и требовалось доказать. В частности, мы доказали также следующее утверждение. Следствие 1. Кососимжетрическое произведение и (а, Ь) = = {а, Ъ) невырождено в точке ^eR2" тогда и только тогда, когда . форма т=соЛ- ■ -Л(о (я раз) отлична от нуля в этой точке. Из леммы 3 вытекает, что совокупность симплектических пре- преобразований действительно образует группу, так как преобразова- преобразование, обратное к симплектическому, также невырожденное и сим- симплектическое. Из доказанного выше следует также, что симплек- симплектическое преобразование переводит любой симплектичёский базис снова в симплектичёский. Верно и обратное: если некоторое ли- линейное преобразование переводит некоторый симплектичёский ба- базис в сиплектический, то преобразование является симплектиче- симплектическим. Следовательно, любые два симплектических базиса могут быть совмещены симплектическим преобразованием. В этом смыс- 36
ле свойства симплектической группы сходны со свойствами, на- например, ортогональной группы. Однако имеются и различия, неко- некоторые из которых мы сейчас опишем. В евклидовом пространстве все плоскости.одинаковой размер- размерности равноправны в том смысле, что любую из них можно пе- перевести в любую другую при помощи некоторой изометрии R2", т. е. при помощи трансляции (параллельного переноса) и орто- ортогонального преобразования. В симплектическом пространстве это не так. Выше мы доказали, что любой ненулевой вектор симплектиче- симплектического пространства можно взять за первый вектор симплектиче- ского базиса. Следовательно, любой ненулевой вектор симплекти- ческого пространства, можно перевести в любой другой ненулевой вектор симплектическим преобразованием. Другими словами, сим- плектическая группа Sp(n, R) транзитивна на множестве всех не- ненулевых векторов симплектического пространства, выходящих из начала координат. Однако уже для двумерных плоскостей это свойство не выполняется. Существуют такие пары, двумерных плоскостей, которые не могут быть совмещены друг с другом сим- симплектическим преобразованием. Чтобы убедиться в этом, нам по- потребуется следующее утверждение. Лемма 4. Симплектическое преобразование переводит любую изотропную плоскость снова о изотропную. В частности, образ лаг- /шнжевой плоскости при симплектическом преобразовании снова чиляетси лагранжеаой плоскостью. Д о к и i и т с л ь с т п о. Согласно определению симплектического ii|H4iO|Ht.infijiHii»i оно сохраняет кососкалярпое произведение любой пары iM'iwnpon. Следошптлыт, плоскость, в которой произведение .'iiofloft пиры лекторов равно нулю, переходит в плоскость с тем же eimlicTHoM. Поскольку при симплектическом преобразовании размерность плоскости не меняется, то лемма доказана. Отсюда следует, что, например, изотропная и неизотропная Овумерные плоскости не могут быть совмещены симплектическим преобразованием. В качестве примера можно взять изотропную плоскость, натянутую на векторы аг-, -а,-, где 1ф\ (см. выше матри- матрицу попарных произведений базисных векторов), и иеизотропную плоскость, натянутую на пару векторов а«, C,-. В качестве задачи предоставим читателю доказать, что группа Sp(n, R) транзитив- транзитивна на множестве всех неизотропных двумерных плоскостей в R2", проходящих через начало координат, т. е. любые две неизотроп- неизотропные двумерные плоскости могут быть совмещены симплектическим преобразованием. Отметим также, что параллельные переносы в R2" также являются симплектическими преобразованиями. Фиксируем в R2'.' канонический симплектический ортопормиро- ванный базис. Тогда матрица оператора Q, соответствующего симплектической структуре (см. выше), записывается в этом бази- / 0 Е\ се в виде матрицы / = ( . Ясно, что оператор / является Е 0 / 37
симплектическим и Р——Е. Рассмотрим более подробно свойства группы Sp{\, R). Согласно определению эта группа состоит из ли- линейных преобразований, оставляющих на месте начало координат на двумерной плоскости R2 и сохраняющих кососимметрическую форму (a, b)=alb2 — a2bh где а= {аи а2), b=(bit b2) — координат- координатная запись векторов относительно канонического сймплектического базиса еи е2, являющегося в то же время ортонормированным от- относительно евклидового скалярного произведения. Лемма 5. Группа Sp(l, R) изоморфна группе вещественных матриц порядка два с определителем 1, т. е. группе SLB, R). С топологической точки зрения эта группа матриц некомпактна, имеет размерность 3 и гомеоморфна прямому произведению ок- окружности на двумерную плоскость. В частности, группа Sp(l, R) неодносвязна и ее фундаментальная группа изоморфна группе це- целых чисел Z. Доказательство. Ясно, что кососкалярное произведение пары векторов a, b равно площади параллелограмма, натянутого IP Q" на а и Ь. С другой стороны, известно, что если g = \r s произвольное линейное однородное преобразование плоскости, то площадь параллелограмма, натянутого на векторы g(a) и g{b), получается из первоначальной площади умножением на определи- определитель преобразования g. Следовательно, преобразование g сохра- сохраняет кососкалярные произведения векторов в том и только в том случае, когда оно унимодулярно. Как известно из линейной ал- алгебры, каждое унимодулярное преобразование плоскости можно однозначно представить в виде композиции двух преобразований: ортогонального поворота плоскости и преобразования, задающе- задающегося верхнетреугольной матрицей. Получаем топологическое раз- разложение группы матриц SLB, R) в прямое произведение окруж- окружности 50B) и множества матриц вида ( ], где а>0. Ясно, \ 0 1/а / что указанная группа верхнетреугольных матриц гомеоморфна от- открытой полуплоскости R+2={(a, b), a>0, b — произвольное}. Лем- Лемма доказана. Группы Sp(n, R) при п>\ имеют более сложную структуру, которую мы частично опишем ниже. Наряду с группой Sp(n, R) нам потребуется также группа Sp(n, С) симплектических преоб- преобразований комплексного линейного пространства. Рассмотрим эр- эрмитово пространство С2", отнесенное к стандартному базису е\,..-.,е2п. Положение точки в С2™ будем задавать набором ком- комплексных чисел BЬ .._., 22п). Эрмитова форма в С2" задается фор- формулой (a, b} = '£2i!Liaib(, где знак «черта» означает комплексное сопряжение. Симплектическую структуру в С2" зададим так: (a, b) = 2H^\aibn+i—an+ibi. Определение 3. Невырожденное комплексное линейное пре- преобразование g:Q2n->Cln называется симплектическим^ если оно сохраняет симплектическую структуру в Cire, т. ёГсохргшяет внеш- 38
нюю 2-форму dZ\f\dzn+\+. • .+dzn/\dzin (форма записана на язы- языке координат в С2"), Совокупность всех симплектических преобра- преобразований С2", оставляющих на месте начало координат, образует группу, которая называется комплексной симплектической группой II обозначается через Sp(n, С). Корректность определения 3 проверяется, как и в случае опре- определения 2. Ясно, что группа Sp(n, R) содержится в группе Sp(n, С) как подгруппа вещественных симплектических преобразований. Изучим подробнее алгебраическую структуру комплексных и ве- вещественных симплектических преобразований. Рассмотрим сим- плектические преобразования, близкие к тождественному, т. е. записывающиеся в виде матриц Е+еХ, где Е — единичная матри- матрица, е — бесконечно малый параметр, а X— некоторая матрица. Здесь удобно пользоваться понятием алгебры Ли, соответствую- соответствующей данной группе Ли. Напомним, что если @ — группа Ли, а G = Te<3 — касательное пространство к группе в единице, то G естественным образом превращается в алгебру Ли. В следующей лемме мы дадим описание алгебр Ли вещественной и комплекс- комплексной симплектических групп. Для дальнейшего полезно также пом- помнить, что каждая из этих групп определяется матричным уравне- уравнением gIgT—I, где /=[ ), а матрица ~g порядка 2п яв- ляется вещественной для случая Sp(n, R) и комплексной для слу- чмя Sp{n, С). Лемма 6. Группа Sp(n, С) является некомпактной группой 1и вещественной размерности 2пBп+\). Алгебра Ли sp(n, С) >ТОЛ группы состоит мя комплексных матриц вида где Zj — произвольная комплексная матрица порядка п, а ком- комплексные матрицы Z2 и Z3 симметричны. Группа Sp(n, R) является некомпактной группой Ли размерно- размерности пBп+1). Алгебра Ли spin, R) этой группы состоит из веще- (Хх Х2\ ственных матриц вида ( |, где Х\ — произвольная ее- (Хх \х3 щестаенная матрица порядка п, а матрицы Х2 и Х$ имеют порядок п и симметричны. Д о к а л а тел ьство. Проверка того, что перечисленные груп- группы являются гладкими многообразиями, проводится по схеме, из- изложенной нами в § 1 для случая ортогональной группы. Изучим теперь структуру алгебры Ли группы Sp(n, С). Матрица g при- принадлежит Sp(n, С) и том и только в том случае, когда она удов- удовлетворяет матричному уравнению gIgT=I. В трм случае, когда элемент g близок к единице, его можно представить в виде g= = exptZ, где t—бесконечно малый параметр. Следовательно, 39
g-\ т. е. exp(//-'Zr/)=exp(—tZ), так как Л(ехрХ)Х i = exp(AXA-i). Поскольку для элементов, близких к едини- единице, представление в виде exp tZ однозначно, мы получаем, что Ze ^sp(n, С) в ton; и только в том случае, когда /~'Zr/=—Z, т. е. когда ZT/+/Z = 0. Записывая матрицу Z в виде zz U3 где Z, — комплексные матрицы порядка п, мы получаем, что ука- указанное выше условие эквивалентно равенствам ZiT + Z4 = 0, Z2= =Z2r, Z3 = Z3r. Тем самым лемма доказана для случая Sp(n, С). Ясно, что рассуждения дли случая Sp(n, R) полностью аналогич- аналогичны, поэтому мы их опускаем. Лемма доказана. Можно доказать, что группы Sp(n, R) и Sp(n, С) линейно связны. Доказательство мы предоставляем читателю. Мы уже отметили связь между симплектической и комплекс- комплексной структурами в R2n. Обе они порождаются одним и тем же оператором ^= ), но разными способами. В частности, множество всех комплексных структур SOBn)IU(n) является ор- орбитой, порожденной элементом / при действии на него группой SOBn), а группа симплектических преобразований является груп- группой, сохраняющей форму с матрицей /. Выше мы видели, что эрмитово скалярное произведение представляется в виде (а, Ь) + + i(a, b), где вещественная часть {а, Ь) совпадает с симметрич- симметричным евклидовым скалярным произведением, а мнимая часть (а, Ь) совпадает с кососкалярным произведением. Ниже мы более подробно опишем взаимные включения и пересечения симплекти- симплектических групп с другими основными матричными группами. Отметим еще одно важное свойство симплектических преобра- преобразований. - Предложение 1. Характеристический полином !(%) = = det(g — КЕ) симплектического вещественного преобразования g^Sp(n, R) обладает свойством f {i) =Х2п/AД), что означает симметричность его коэффициентов: ak — ain-h, zdef(K)~2л=оЯ*Л*. В частности, если X — собственное число симплектического преобразования, то 1/л, также собственное число. "Доказательство. Из определения симплектического преобра- преобразования следует, что gIgT = I, т. е. g — —Ig~iT/, так как /2 = —Е. Отсюда /^) = det(g— X£)=det(—Ig~XTI— X£)=--det(—£-1Г + Щ = =det (—E + Xg), так как det g — det gT = 1. Окончательно det (— \ - X2nf{l!K), что и требовалось. — -j-E\ Полезно также и_меть в виду, что если X — собственное (комп- (комплексное) число, то X — также собственное число. Это вытекает из вещественности характеристического полинома /(л). Таким обра- образом, в случае общего положения собственные числа вещественного 40 .
снмплектического преобразования разбиваются на-четверки вида X, К, l/k, 1/K, т. е. собственные числа расположены симметрично относительно вещественной оси и относительно единичной окруж- окружности. Это обстоятельство полезно при изучении устойчивости симплектических преобразований [5]. 2.3. Компактная группа Sp(n). Мы познакомились с двумя группами симплектических преобразований: комплексной группой Sp(n, С) и ее «вещественной формой» Sp(n, R), Оказывается, группа Sp'(n, С) содержит еще одну под- подгруппу, обозначаемую через Sp(n) и на- называемую «компактной формой», Эта группа играет важную роль в современ- современной геометрии. Удобно определить груп- группу Sp(n) при 'помощи алгебры кватер- кватернионов Q. Напомним ее определение. Рассмотрим евклидово пространство R4, фиксируем в нем ортонормированный базис векторов, которые обозначим 1, f, /', k (рис. 12). Следовательно, каж- каждый вектор q из R4 однозначно' за- записывается в виде линейной комбинации <7=/ i r,\k, где числа rt вещественны. Определим" затем умножение век- трон (точек) в R4, задай его сначала на векторах базиса 1, £, /, I,-, и затем продолжив по линейности па опальные векторы. Таб- Таблице умножения базисных векторов 1, I, \, k имеет вид Рис. 12 1 i / k i 1 i ' J k i i — i —k i i i k i — i k k £" j Это умножение ассоциативно и косокоммутативно на обра- образующих. Например, ij = —ji. Вектор 1 играет роль единицы. Оче- Очевидно, возникает четырехмерная вещественная алгебра с едини- единицей, снабженная ассоциативным умножением (некоммутативным). Эта алгебра п намывается алгеброй кватернионов Q. Векторы q из Q называются кватернионами. В алгебре кватернионов естест- естественно определена операция сопряжения, переводящая кватернион ц в кватернион <7 = го1—rxi — r2j — г3&. Векторы i, j, k называются мнимыми единицами, компонента rol кватерниона q называется его вещественной частью и обозначается Re q, а составляющая rii + r2j + r3k называется мнимой частью и обозначается Iraq. Сле- Следовательно, каждый кватернион допускает однозначное разложе- 41
ние q=Req+Imq. Ясно, что q=Req— Imq. Легко проверить, что ЯхЯг — Я&х- Кватернионы с нулевой вещественной частью на- называются мнимыми. Из определения умножения следует, что про- произведение двух мнимых кватернионов косокоммутативно, т. е. \mqlq2=—1т^2<?ь если Re<7i = Re<72=0. В алгебре Q можно определить вещественнозначное симметричное скалярное произве- произведение (<7ь q2)=Reqiq2. Если qi = r\-l + r2i+r3j + r4k, q2 — U-\ + + t2i + t3j+tik, то (<7ь q2)~=riti + r2t2+rztz+r4t4, т. е. это скаляр- скалярное произведение совпадает с обычным евклидовым произведе- произведением в R4. Можно определить норму (длину) \q\ кватерниона, положив |<?|2=(<7. q), т. е. |<7|2=Re<7<7=£ri2. Это число совпа- совпадает с обычной евклидовой длиной вектора q в R4. Очевидно, что алгебра Q распадается в прямую сумму двух ортогональных под- подпространств, а именно R'®RS=Q, где R1 — прямая, состоящая из вещественных кватернионов, a R3 — ортогональная трехмерная плоскость, состоящая из мнимых кватернионов. В алгебре Q есте- естественно определяется понятие обратного элемента <?"' для каждо- каждого <7=И=0, а именно q~l=ql\q\si. Ясно, что qq-l=='q~lq=l. Рассмотрим п-мерное линейное кватернионное пространство Qn с базисом ех еп. Каждый вектор a<=Qn допускает одно' эначную запись вида а=2пг=1а*еь где a^eQ. Рассмотрим в Qrt вещественнозначное невырожденное скалярное произведение {а, b) = Re2"=i aipi. Оно симметрично. Число п называется кватерни- онной размерностью Qn. Эта форма является вещественной частью следующей кватернионнозначной формы (а, &)' = 2?=1а,-6{. где аи &i<=Q. Ясно, что Q' = Q. Определение 4. Симплектической компактной группой Sp(n) называется множествоТсёх линёМых~кватернионных пре- преобразований g пространства Qn, оставляющих на месте точку О и сохраняющих вещественнозначное скалярное произведение в Qn: : (a, b) = Re2ai5i, т. е. (ga, gb) = (a, b). Как и в комплексном случае, наряду с группой Sp (n) опреде- определена группа Sp(n)r инвариантности кватернионнозначной формь (а, Ъ)'. Имеет место следующее утверждение: группьь Sp(n) i Sp{n)' совпадают. Доказательство проводится по схеме доказа тельства § 1 для комплексного случая. Кватернионное пространство Q" можно канонически отождест вить с комплексным пространством С2п. Начнем с п=\, тогдг Q':=Q. Запишем <?eQ в виде q^=rol + rii+r2}+rzk. Использу! таблицу умножения, можно переписать кватернион q в виде q= ■=(го+г11)+}(г2 — Ы)=г1 + ]г2, где zi = ro+/-i£, Z2=i\+tzi- комплексные числа. Выполняя эту операцию вдоль каждой ква тернионной координаты в Qn, мы и получаем отождествление Q с С2п. Обозначим эту операцию через ф: Qn^C2n. Что происходи при этой операции с кватернионнозначной формой (а, Ь)'? Поле ■ф жим п=\, тогда <a, _6>'->(p + jq) (c+jd)= (p + jq) {c — dj) = = (pc — jqdj) — {pdj — jqc) =\pc+ qd) + (~pd + qc)j. Здесь ipa=
=p + /<7, tyb = c+jd. Выше мы воспользовались тем, что jq=qj, j2 = — 1, ab = 5a. Следовательно, при произвольном п кватерни- онная форма (а, Ь)' переходит в форму I,nk=ipkCk + qkdk + d{){ j i~)b (h7hft pkh)j,P£{u1){p jq iq) — {bu...,bn)->~(Ci + jdi,...,cn+jdn). Указывая в явном виде ко- коэффициенты форм, получаем ф : (а, ьуц-+{а, Ь)'с + (а, Ь) с, , где (а, Ь)'с =2pfeCfe + <7fedfe, (a, b)c =2<7ьС/: — phdh. Форма {a, b)fc эрмитова, а форма (а, Ь) с кососимметрична. Лемма 6. Множество Sp (n) является связной компактной группой Ли вещественной размерности пBп+1). При отождест- отождествлении Q" с С2п группа Sp(n) вкладывается как подгруппа в группу £/Bп). При этом вложении алгебра Ли sp(n) группы S() состоит из комплексных матриц порядка In следующего 1 z z\ V-z2 zj 1 zi z*\ вида: I _ _ I, где Z\ — комплексная косоэрмитова матри' ца порядка п, a Z2 — комплексная симметрическая матрица по- порядка п. Если матрицы из группы UBn) представить в виде А В \ \, г<)е Л. В, С, D — комплексные матрицы, то подгруппа w LJ Sp(n) it UBп) состоит it:i унитарных матриц вида ( А В\ I _ _ I. \-В А ( А П\ При птои матрица I _ _ I является унитарной в том и толь- \-Д А) лп п том случае, когда комплексные матрицы А и В удовлетво- удовлетворяют уравнениям ААТ + ВЁТ=Е, ВАТ=АВТ. Доказательство. Проверка того факта, что множество Sp(n) является связным гладким подмногообразием, в линейном пространстве матриц, проводится по схеме, изложенной в § 1, по- полому здесь мы его опустим. Каждое кватернионное преобразова- преобразование g^Sp(n) сохраняет кватернионную форму (а, Ь)'о и, следо- следовательно, сохраняет эрмитову комплексную форму (а, Ь)'с и ко- сосимметрическую комплексную форму (а, Ь)с. Таким образом, кватериионный оператор g в Q" является унитарным оператором в C2"-<-Qn. Ht.'ik, мы получили вложение группы Sp(n) в группу UBn). В частости, снмплектические операторы — это в точности унитар- унитарные операторы, сохраняющие кососимметрическую форму в С2и. Рассмотрим более подробно вложение Sp(n) в U.{2ri), Представляя матрицу g&Sp (п) в виде g = ( ) и записывая условия ее симп- лектичности и унитарности, получаем gIgT = I, gT = g~l, т. е. gl = = /g, откуда 43
IA BX /О -Е\ \С D) \Е о) Следовательно, В =—С, A = D, т. е. g=4 _ _ ). Условие уни- { - -У \-В А) тарности оператора g дает искомые уравнения на матрицы Л и Б, а именно: ААТ + ВВТ = Е, ВАТ = АВТ. Если матрица g близка к; еди- единичной, т. е. если то легко проверяется, что полученные выше уравнения для А и В означают: Z^=^ZX, Z3 = —Za, Z\ = -r-Z1( Zl = Z.%, что и требовалось доказать. / 7 7 \ Итак, g — E + e\ _ _ I-f ... , где Zx—косоэрмитова, a Za— V-2a zj симметричная матрицы. Эти утверждения можно получить еще и так. Рассмотрим про- произвольный кватернионный оператор X из алгебры Ли sp(n) и за- запишем его в виде X = A + Bj, где А и В — комплексные матрицы порядка п, а в качестве образующих поля комплексных чисел взяты элементы 1 и i в алгебре кватернионов. Выполненное нами выше вычисление показывает, что при отождествлении Qn с С2п матрица X переходит в матрицу порядка 2п вида Накладывая на эту матрицу условие косоэрмитовости (т. е. при- принадлежности алгебре Ли иBп)), получаем, что А — косоэрмитова, а В — симметричная матрицы. Лемма доказана. 2.4. Связь симплектических групп с другими матричными груп- группами. Предложение 2. Рассмотрим стандартные вложения групп, описанные выше: O(n)czU(n), U (n) <=:SO Bn), Sp(n)<=U Bn). Тогда имеют место следующие соотношения: - 1) SOBn)[\Sp(n)=U(n); здесь группы SOBn) и Sp{n) <pac- сматриваются как подгруппы в одной группе UBn); . 2) Sp(n, C)(]UBn)=Sp(n); 3) Sp(n, R)(]GLBn, C)=t/(n); 4) t/(n)=Sp(n, ЮПЩ2л). Доказательство. Соотношение 2 фактически уже доказа- доказано выше (см. лемму 6), так как симплектические операторы — это в точности унитарные операторы, сохраняющие, кроме того, косо- симметрическую форму в С2п. Операторы, сохраняющие кососим- метрическую форму в С2п, образуют группу Sp(n, С). Докажем соотношение 1. 44
Ясно, что каждая матрица g из Sp(n) имеет определитель, •равный единице. Следовательно, условие принадлежности матри- матрицы g пересечению SOBn)f\Sp(n) эквивалентно следующей систе- системе равенств: ggT — E (принадлежность SOBn)); ggT=E (при- (принадлежность UBn)), т. е. g=g; glgr = l (принадлежность Sp(n)). Записывая матрицу g в виде I У, где А, В, С, \С D) D — вещественные матрицы, получаем A = D, B = — С, АТВ + ВТА^=О, АтА + ВтВ=гЕ. Рассмотрим матрицу A + iB и запишем условие ее унитарности: ;{A + iB) (Ar— iBT)=E. Раскрывая скобки, мы, очевидно, получаем последние два условия из четырех приведенных выше. Эти условия эквивалентны унитарности оператора A + iB, что и требовалось доказать. Равенства 3 и 4 проверяются аналогичными рассуждениями. Лемма доказана. Изучим топологическую структуру группы Sp(n). Предложение 3. Группы. Ли SUB) и Sp(l) изоморфны \{в алгебраическом смысле) и обе гомеоморфны трехмерной сфере S3. Факторгруппа группы SUB) по подгруппе Z2, состоящей из ideyx элементов Е, —Е, изоморфна группе S0C) и гомеоморфна трехмерному проективном;/ пространству RP3. Доказательств). Грунпл >S"pA) действует в пространстве 'Qi:=Q как умножение на «скллмр»— кпнтсрпноп, т. е. каждое Преобразование tf:Q-*-Q, где f><~Sp(\), имеет вид gq=qa, где <$prrQ, aCwQ, Здесь элемент а фиксирован и полностью задает пре- «ОрН'ШИйИКг Ц. Тик кик киптерпнонная форма {q\, <?2)'=<7i92 co- Хрйингтси при действии преобразования g, то qiq2=q[uaq2=: щ' I'M'Vi'/iii т. е. |я|2=*1, |а| = 1. Так как для любых кватернио- Нон а II 1> иыполпепо тождество \а-Ь\ = \а\ ■ \Ь\, то группа Sp{l) изоморфна группе всех кватернионов а таких, что |а| = 1. Все та- такие кватернионы единичной длины образуют сферу 53 в R4, так как , |а|2 = 2f=or;, где a=ro\ + rxi+r2] + rzk. Единицей группы Sp(\) является точка 1 = A, О, О, 0). Рассмотрим описанное выше вложение Зр(п)-»-£/Bп). При п=\ это вложение имеет вид (I, где [р|2+|9|2=1, р и q—комплексные числа. Дру- гимн словами, множество таких матриц образует в группе VB) подгруппу, изоморфную $рA). В самом деле, действие кватерни- оппого оператора g:r-+ra после отождествления Q1 с С2 прини- принимает ипд = (ар + $q) + $p Отсюда следует, что матрица оператора правого сдвига на (Р —Я\ элемент а записывается в пространстве С2 так: I _ _ I. После р (Р —Я\ : I _ _ I. \Я PJ 45
I р <?\ замены q-*-—q мы получаем матрицу - - г Осталось заме- \ — q p i тить, что каждый кватернионный оператор geSp(l) задает изо- метрию R4, так как он сохраняет евклидово скалярное произведе- произведение (см. выше). Следовательно, этот оператор сохраняет форму объема, а потому определитель преобразования равен единице,, что и означает, что |р|2+ |^|2=1. В частности, так как (га, га) = = (г, г), то |г|2 = гаа7= |а|2|г|2, т. е. |а|=1. Итак, мы доказали, что группа 5рA) изоморфна группе мат- где \р\2+ \q\z=l. В частности, группа Sp(l) го- мебморфна стандартной трехмерной сфере. Поскольку группа Sp(l) изоморфна трехмерной подгруппе унимрдулярных матриц в. группе U[2), т. е. Sp(l)<^:SUB), то мы получаем, что в действи- действительности Sp(l)=SUB), так как размерность SUB) также рав- равна трем; В частности, мы доказали, что матрицы из группы SUB}, ( Р Я\ всегда могут быть записаны в виде I _ _ ), |р12+|<?|2=1- V—ч р) Впрочем, этот факт легко усмотреть непосредственно из опре- определения группы SU B), не обращаясь к анализу группы Sp(l) (докажите!). Осталось найти связь между группой SpA) и груп- группой SOC) собственных вращений в R3. Докажем существование эпиморфизма f :Sp(l)-vSQC) с ядром Z2. Реализуем группу Sp(l) как группу единичных кватернионов в пространстве Q=R4 и положим f(a)r—ara, где aeS3=Sp(l), |а|=1, r<=Q и Rer= = 0, т. е. группа преобразований вида f(a) действует на мнимых кватернионах, образующих гиперплоскость R3 в R4, ортогональ- ортогональную вектору 1. Ясно,_что отображение f задает гомоморфизм, так как f(a1a2)r = ala2ra^i1 = f(a1)f(a2)r. Преобразование f(a) перево- переводит в себя трехмерное подпространство мнимых кватернионов и является его изометрией, так как \ara\2 = araarq— |r|2. Итак, f(a) является собственным ортогональным преобразова- преобразованием, т. е. f(a)<=SOC). В силу связности сферы образ fE3) ле- лежит именно в SOC). Найдем ядро /. Коммутирование а се всеми мнимыми кватернионами означает, что мнимая часть а равна ну- нулю, поэтому а=а~\ т. е. а=±1. Если ага = г при любом г, где Rer=0, то аг=га. Так как эпиморфность отображения f очевид- очевидна, то из Kerf= (±£)=Z2 следует 50C) =SpA)/Z2. Предложе- Предложение доказано. Можно доказать, что группа Sp B) изоморфна группе Spin E), являющейся универсальным накрытием над группой SO E). На- Напомним, что при п^З односвязная группа Spin(n), дважды на- накрывающая группу SO(n), называется спинорной группой. Все остальные группы Sp(n), n>2, уже не сводятся к унитарным и ортогональным группам. 46
Можно проверить, что группа Sp(n) является максимальной- компактной подгруппой в группе Sp(n, С). На этом основании группа Sp(n) называется компактной формой комплексной груп- группы Sp(n, С). Группа Sp(n) односвязна, что можно проверить ис- исходя из точной гомотопической последовательности расслоения Sp(n) ■sp<*-|>_>.s4"~1. Подробнее доказательство см., например, в [53]. § 3. Лагранжева геометрия и лагранжевы многообразия 3.1. Вещественные лагранжевы многообразия в симплектиче- ■ском линейном. пространстве. Пусть R2™— симплектическое про- пространство, моделью которого является евклидово пространство с симплектической структурой (,). Мы уже знакомы с понятием л.агр_анжевых плоскостей. Определение 1. Подмногообразие М в „сдшлектическом пространстве R2n назыъаетсяСлагранжевым многообразие^, если все его касательные плоскости являются лагранжевыми плоско- плоскостями в R2". В частности, размерность лагранжева многообразия равна п. Важнейшим примером лагранжевых подмногообразий явля- является так называемые торы Лиувилля (лагранжевы торы), кото- которые возникают в так называемых вполне интегрируемых гамиль- тоновых системах. Эти объекты появятся у нас позже. Здесь же мы познакомимся с общими свойствами лагранжевых многооб- многообразий. Как мы уже знаем, симплектическая структура в R2n может •быть задана внешней дифференциальной 2-формой (u==2dpjA^</t, где Pi,...,pn, <?ь• • • >Яп — канонические координаты в R2n. Лемма 1. Подмногообразие Мп в симплектическом простран- пространстве R2n является лагранжевым в том и только в том случае, ко- когда ограничение на него дифференциальной формы ^]=\dpt/\dqi тождественно равно нулю. Доказательство. Кососкалярное произведение в R2n сле- следующим образом связано с формой ю: (а, Ь)=а(а, Ь). Отсюда следует, что касательная плоскость изотропна тогда и только то- тогда, когда ограничение формы тождественно равно нулю. Рассмотрим примеры лаграижевых многообразий. Ясно, что кнждля изотропная плоскость Пп в R2" является лагранжевым Mi[()i'()of)|)ii:iiieM. Следующий пример особенно важен потому, что в некотором гочмом смысле позволяет описать локальную структуру произнолмюш ллгрпнжепа многообразия. Окааьикюгси, е.рафик градиента гладкой функции S(qi,,..,qn) всегда является лагранжевым многообразием. Дадим необходи- необходимые пояснения. Пусть plt...,pn, qu...,qn — канонические сим- плектические координаты в R2n и пусть S(qi qn) — гладкая -функция, зависящая только от переменных qi,...,qn и определен- определенная в некоторой области U координатной плоскости Rn(q\,...,qn). 47
Пусть рс = dS(qi, ... , qn) dqi n, задает гладкое отображение P—p(Q) области U в координатную плоскость R"(/?b... ,р„). Так как R2" распадается в прямую сумму координатных плоскостей R2n(p, a) = Rn(p)®Rn(<7), то в R2n можно построить график это- „■ / aS (q) \ го отображения, рассмотрев множество М точек вида I—-—, q\ |(рис. 13). Здесь для сокращения записи мы использовали собира-, тельные символы р и q вместо plt... ,рп и qu... ,qn. \ Рис. 13 Рис. 14 Предложение 1. Для любой гладкой функции S(q) график ' • as () является лагранжевым мно- . . as (а) p=p(q\ ее градиента р — -21 dq q гообразием в симплектическом пространстве R2n(p> q). Функция- S называется при этом производящей функцией. Доказательство. Рассмотрим в R2n стандартную 2-форму 2,dpi/\dqi и ограничим ее на подмногообразие Мп, задаваемое , as , ^. ^ „ графиком pi — , l^i^n. В координатах <7i.---.9n получим oqi да.доь dqk/\dqt = (ввиду косой симметрии внешнего умножения). Итак, ограничение симплектической 2-формы dp/\dq на подмногообразие М триви- тривиально, что и требовалось доказать. Обратно, оказывается, любое гладкое лагранжево многообра- многообразие Ml1 в R2n можно локально представить в виде графика гради- градиента некоторой гладкой функции S. Докажем это утверждение. Предложение 2. Пусть Мп —произвольное гладкое ла- лагранжево подмногообразие в симплектическом пространстве R2n. Тогда подмногообразие Мп в окрестности каждой своей точки мо- может быть взаимно однозначно спроектировано на некоторую ла~ 48
гранжеву координатную плоскость размерности п в R2" и пред-- ставлено в виде графика градиента гладкой функции, определен- определенной на некоторой области в этой координатной плоскости. В част- частности, если лагранжево многообразие взаимно однозначно проек- проектируется на координатную плоскость Rn(q), т. е. является гладким графиком в R2n (p, q), то это многообразие в действительности за- задается некоторой производящей функцией S(q) no формуле р= *Ш (рис.14). dq Для разных точек на М локальное представление многообра- многообразия в виде графика градиента некоторой функции будет, вообще- говоря, различным, поскольку при изменении точки будет ме- меняться и та координатная плоскость, проекция на которую опреде- определяет искомую производящую функцию. Для доказательства нам потребуется следующая алгебраическая лемма. Лемма 2. Пусть Пп.— произвольная лагранжева плоскость в симплектическом пространстве R2n. Тогда всегда существует та-' кая координатная п-мерная лагранжева плоскость, которая пере- пересекается с плоскостью Пи только в одной точке. Замечание. Две л-мериые плоскости, пересекающиеся лишь в одной точке, называются иногда трансверсальными. До к n :t л те л ь ст в о. Пусть Р —лагранжева координатная плоскость'pi /»„. Рассмотрим се пересечение с лагранжевой плоскостью 11. В результате получим плоскость Т1' размерности k, где О^/г^я. В линейном л-мерпом пространстве Р всегда можно- иыбрнть такую (л — k) -мерную координатную плоскость N, кото- ран тршк'иерсальпа плоскости Т. Предположим, что эта коорди- натнян плоскость N порождена координатами р,;, ,..., р,-„_А. Обо-- яннчим набор индексов i\,...,in-k сокращенно через /, соответ- соответствующий набор координат — через pi. Итак, мы имеем N(&T = = /*, N[}T—0. Дополним координатную (л — k)-мерную коорди- координатную плоскость ./V до л-мерной координатной лагранжевой плос- плоскости X. Для этого рассмотрим л-мерную плоскость X, порожден- порожденную координатами р,-„ ... , pin_k, q,\, ... , qjk, или в наших со- сокращенных обозначениях р7, qj, где набор индексов /=(ii,.... ...,in-h) является дополните^чьпым к набору индексов /—(/i,... ...,jh). Так как ни один из индексов набора / не встречается в. наборе /, то кососкалярное произведение любых двух векторов в плоскости X равно нулю; следовательно, X — лагранжева коорди- координатная плоскость. Докажем теперь, что плоскости Хп и Пп — дополнительные в R2", т. е. что Xf|ll = 0. Так как Тс=П, то плоскость Т косоортого- нальпа плоскости II. Так как ./VczX, то плоскость ТУ косоортого- нальна плоскости X. Следовательно, сумма N®T косоортогональ- ня пересечению Х[\Х\ (рис. 15). Но так как N(&T=P, то плоскость Р косоортогональна плоскости ХПП. Но Р является лаграпжевой плоскостью, поэтому любой вектор, косоортогональный плоскости Р, ей принадлежит. В противном случае мы получили бы изотроп- изотропную плоскость размерности большей, чем п, что невозможно (см.
§ 2). Следовательно, ХППс=Р. Отсюда Xf\U={XpiP)(](Uf]P)=Tf] 0^=0. Лемма доказана. Рассмотрим теперь лагранжево многообразие М в R2" и пусть М — произвольная точка. Через ТтМ обозначим касательную лагранжеву плоскость к М в точке т. Рассмотрим два дополни- дополнительных набора индексов /= (£i,...,tn-fe) и /=(/,,... ,/й) и пред- представим пространство -R2n (р, q) в виде прямой суммы двух под- подпространств Rn(pi, qj)®Rn(pj, qi), порожденных координатами Pi, qj и pJt qi соответственно. Так как наборы / и / дополнитель- дополнительны, то оба указанных выше подпространства являются лагранже- выми плоскостями в R2n. Л е м м а 3. Для любой лагранжевой плоскости ТтМ, касатель- касательной к лагранжевому многообразию М, всегда существует такой набор индексов I, что естественная проекция плоскости ТтМ на рп ТтМ Рис. 15 Рис. 16 координатную лагранжеву плоскость Rn(pj, qi) (вдоль дополни- тельной плоскости Rn(Pi, qj)) является линейным изоморфизмом. В частности, координаты pj, qi задают локальную систему коор- координат в некоторой окрестности точки m на многообразии М (рис. 16). Доказательство. Обозначим касательную плоскость ТтМ через П. Так как П — лагранжева плоскость, то в силу леммы 2 существует такая координатная лагранжева n-мерная плоскость X, которая трансверсальна плоскости П. При этом в обозначениях, использованных при доказательстве леммы 2, можно представить эту координатную плоскость X в виде Rn(pi, qj), где / и / — не- некоторые дополнительные наборы индексов. Рассмотрим плоскость Rn(p/, <?/), ортогональную плоскости Rn(P/. Qj) (iH0 He косоортогональную). Рассмотрим естественную ■проекцию h всего пространства R2n (p, q) на плоскость R" (pj, qi) вдоль дополнительной плоскости Rn(P/, qj). Мы утверждаем, что эта проекция является искомой. В самом деле, мы должны дока- доказать, что отображение h :II-»-Rn(pj-, qi) является линейным изо- изоморфизмом. Так.как обе плоскости имеют размерность п, то до- достаточно доказать, что ядро проекции h пересекается с плоскостью П только в одной точке. Другими словами, ядро проекции h -дол- 50
жно быть трансверсально плоскости П. Но ядро проекции h со- совпадает с плоскостью R"(pi, qj)- Следовательно, нужно убедиться? в том, что плоскости Rn(pi, qj) и П трансверсальны. Но это усло- условие ^выполнено в силу выбора плоскости X—Rn(pi, qj), ^порож- ^порожденной набором индексов /. Из теоремы о неявных функциях сле- следует, что для подмногообразия М в R2n координаты pJt qi за- задают локальную криволинейную регулярную систему координат в. окрестности точки т^М в том и только в том случае, когда про- проекция h: TmM-yRn(pj, qt) является изоморфизмом. Таким обра- образом, утверждение леммы вытекает из теоремы о неявных функ- функциях, поскольку нужное свойство h уже доказано. Определение 2. Пусть т — произвольная точка на лагран- жевом многообразии М в R2n. Тогда будем говорить, что коорди- координаты pj, Ци существование которых доказано в лемме 3, задают локальную _Kaf±22^iecKUto систему координат в окрестности точ- точки т." Утверждение леммы 3 можно переформулировать следующим образом. Для любой точки т&М нам удалось найти такую от- открытую окрестность U, в которой многообразие М можно пред- представить в виде графика некоторого гладкого отображения f:(pj,, qi)-*~{pi, qj). Другими словами, f отображает некоторую область из R"(p./, qi) в область из Rn(pj, qj). Таким образом, на поверх- поверхности М координаты р, и qj являются гладкими функциями от ко- координат pJt qx. Запишем эту зависимость в виде Pi = Pi(Pj, 97). 4j — 4j{Pj* qi)- Открытая карта U на многообразии М, в кото- которой локальными координатами являются координаты pj, q,, на- называется иногда канонической картой. Таким образом, утвержде- утверждение Леммы 3 можно переформулировать еще и так: на любом ла- гранжевом многообразии всегда существует атлас канонических карт. Оказывается, утверждение леммы 3 можно существенно уси- усилить. Мы доказали пока лишь тот факт, что поверхность М в окрестности каждой своей точки является графиком некоторого гладкого отображения. В действительности это отображение мож- можно задать в виде градиента некоторой гладкой функции, которая и будет искомой производящей функцией, существование которой утверждается в предложении 2. Доказательство предложения 2. Рассмотрим произ- произвольную точку пг на М и каноническую карту U с координатами Pj, q,. Запишем 2-форму 2dpi/\dqi с учетом найденного нами разбиения координат р, q на группы pIt qJt pJt qi. Ясно, что фор- форма примет вид u>=dpI/\dqI — dqj/\dpj. Для того чтобы форма о» приняла стандартный вид, когда мы вместо прежних базисных координат q— (qh... ,qn) возьмем новый набор координат pj, qu нужно переписать ее в виде i>-) — d{—qj)/\dpJ-Jrdpif\dqJ. Следова- Следовательно, форма о» принимает канонический вид в координатах — qJt Pj и pi, qt. Другими словами, нужно изменить знак у коорди- координат qj. Поскольку мы хотим представить поверхность М локально в виде графика градиента некоторой функции S=S{pj, <?/), то мы 51
> „ dS " dS л должны решить систему уравнении -*—— Pi, д = —Qj- Функ- Функция S является решением такой системы в том и только в том случае, когда она удовлетворяет следующему уравнению, запи- записанному на языке дифференциальных- форм: dS = Pidqt— qjdpJt так как dS~ ,"- dq,-\ -5—dp.j. Напомним, что употребляемые I J нами обозначения расшифровываются так: Для того чтобы дифференциальное уравнение указанного вида было разрешимо, достаточно, чтобы одномерная форма Pidq, — — djdpj — a была бы замкнутой на карте U в многообразии М. Проверим условие замкнутости. Ясно, что Итак, da—to. Поскольку нас интересует разрешимость уравне- уравнения a=dS на поверхности М в R2", то мы должны ограничить уравнение da — ы на многообразие М. Но поскольку М лагранже- лагранжево, то ограничение формы ы на М является тождественным нулем. Это* означает, что в окрестности U на многообразии М форма a замкнута, т. е. da—О. Так как мы всегда можем- считать, что окрестность U гомеоморфна открытому я-мерному диску на М, то замкнутость формы означает ее точность. Следовательно, в окрестности U существует функция S = S(pj, qi) такая, что dS = =p,dq, — qjdpj. Таким образом, уравнение dS = a разрешимо в достаточно малой окрестности точки т и многообразие М пред- ставимо в виде графика градиента некоторой гладкой функции S. Предложение 2 доказано. 3.2. Лагранжевы комплексные грассмановы многообразия. Мы видели, что лагранжевы плоскости играют важную роль при изу- изучении лаграпжевых многообразий, естественно возникающих во многих математических и физических задачах [5], [48], [42]. Ясно, что свойство плоскости быть лагранжевой не является «свойством общего положения». Другими словами, для любой ла- лагранжевой плоскости в симплектическом пространстве R2n всегда существует линейное преобразование, задаваемое матрицей, сколь угодно близкой к тождественной (единичной), которое пере- переводит лагранжеву плоскость в плоскость, не являющуюся лагран- лагранжевой. Это означает, что подходящим малым линейным шевеле- шевелением плоскости можно всегда разрушить ее лагранжевость. Сле- Следовательно, множество лагранжевых плоскостей имеет «меру ноль» в множестве всех «-мерных плоскостей в пространстве R2™. Если мы будем деформировать лагранжево подмногообразие в R2n, то деформация общего вида разрушает, вообще говоря, его лагранжевость. Значит, для того чтобы деформируемое многооб- разие< оставалось лагранжевым, следует рассматривать лишь до: 52,
сгаточно узкий класс деформаций. В связи с этим полезно пред- представлять себе структуру множества всех вещественных лагранже- вых плоскостей в симплектическом пространстве. Обозначим это множество через LG*. Оказывается, это топологическое про- пространство является гладким многообразием. Обычно оно назы- называется вещественным лагранжевым грассмановым многообразием. Его роль в симплектической геометрии обусловлена тем простым, но важным обстоятельством, что любое лагранжево многообразие естественно отображается в LGn. В самом деле, если М — глад- гладкое лагранжево многообразие в R2n, то, сопоставляя каждой точ- точке пг из М касательную плоскость ТтМ в точке т (и перенося ее параллельно в начало координат), мы и получаем гладкое отобра- отображение f:M->~LG*. Эта конструкция копирует соответствующую схему, часто использующуюся при изучении вещественных подмно- подмногообразий в евклидовом пространстве R^. В связи с этим напом- напомним некоторые определения. Рассмотрим в пространстве R^ пучок ft-мерных плоскостей IP, проходящих через начало координат. Вводя естественным образом топологию в этом множестве, "мы получаем гладкое многообразие, которое обозначается через G%,k и называется вещественным фшсмановым многообразием. Тот факт, что Gu.k является мно- многообразием, следует ил представления этого множества в виде од- однородного пространепш SO(N)/S(O(k)xO(N — k)). В самом де- деле, любые две Л-мерпыс плоскости u R^ можно совместить соб- собственным ортогональным преобразованием. При этом плоскость IP переходит в себя при преобразованиях вида [„ !;), где А — вращение и плоскости II'1, а В — вращение в ортогональной к ней плоскости размерности N — k. При этом det ЛВ = 1. Через S[O(k)xO(N — k)) мы и обозначили подгруппу ортогональных матриц вида(|? „], где detAB—l. Следовательно, G%,k гомео- морфно множеству классов смежности группы SO(N) по подгруп- подгруппе S(О(к) XО{N — к)). Наряду с многообразием неориентируемых плоскостей, опи- описанным выше, в геометрии часто рассматривается грассманово многообразие ориентируемых k-мерных плоскостей, обозначаемое через GNfk. Точками этого пространства являются ориентируемые Л-мерные плоскости в RN. Ясно, что пространство G^ допускает представление в виде однородного пространства SO{N)/SO(k)X XSO(N — k). Сопоставляя каждой ориентируемой плоскости со- соответствующую ей неориентируемую плоскость (т. е. просто «за- «забывая» ориентацию на плоскости), мы получаем естественную проекцию- многообразия G^.fe на многообразие G^j k. Ясно, что это отображение является двулистным накрытием. Можно убедиться в том, что многообразие Грассмана ti%,k ориентированных плос- плоскостей односвязно, а многообразие Грассмдна !v,fe неориентиро- 55
иных плоскостей имеет фундаментальную группу, изоморфную . ЯСНО, ЧТО G*>k = GN,N-k- Аналогичным образом определяются комплексные грассмано- i многообразия. Рассмотрим множество всех fe-мерных комплекс- комплексах плоскостей, проходящих через начало координат з CN. Это южество также естественно снабжается структурой гладкого югообразия, допускающего представление в виде однородного остранства G%.k = U (N)/U (k)XU (JV— k) = SU (N)/S(U (k)xUt(N~ k)). Здесь через S(U(k)U.U(N— k)) обозначена подгруппа 1триц вида (А °в\, где A<=U(k), B<=U{N — k} По такой же схеме определяются и кватернионные грассмано- \ многообразия, допускающие представление в виде однородных остранств Sp(N)/Sp(k)xSp{N — k). Напомним, что множество всех ортогональных комплексных руктур g, где g2——Е, совпадает с однородным пространством )Bя)/£/(«) и допускает представление в виде пересечения груп- . SOBи) с ее алгеброй Ли soBn). Аналогичным свойством об- обдают и комплексные грассмановы многообразия. Лемма 4. Рассмотрим группу U(N) и ее алгебру Ли u(N) к подмножество в пространстве матриц. Тогда пересечение уппы с ее алгеброй, т. е. U(N)f\u(N), совпадает с несвязным ъединением всех комплексных грассмановых многообразий, об- зованных комплексными плоскостями всех размерностей от I [N/2] в комплексном пространстве CN. Другими словами, U(N) f) 1 (М) — U fi%,k- При этом пересечение U(N)[)u(N) совпадает с '.ожеством унитарных матриц g таких, что g2=—Е. Доказательство. Пересечение группы U(N) с ее алгеброй ггоит из матриц g таких, что gT — g~\ gT ——g, т. е. g2=—£. ждая комплексная косоэц^/штова матрица g может быть приве- на подходящим унитарным преобразованием а к диагоналыю- виду, т. е. agfa-I=j Q '• J. Так как gz=— E, то (г"фаJ = \ 'Щп1 — 1, т. е. фа=±1. Таким образом, каждое унитарное преобра- «ание g такое, что g2=—Е, взаимно однозначно определяется ксимальной fe-мерной инвариантной плоскостью, на которой i преобразование равно —it. Другими словами, это число k зно количеству собственных чисел преобразования g, равных . Множество матриц g, у которых кратность собственного чис- —i равна k, образует тем самым грассманово многообразие ;х fe-мерных комплексных плоскостей в пространстве CjV. Лемма сазана. Следует иметь в виду, что пересечение группы U(N) с ее ал- рой Дп u(N) несвязно и отдельные компоненты связности име- разные размерности.
Таким образом, .определение лаграижева вещественного грас- ■сманова многообразия LG* полностью аналогично приведенным примерам классических однородных пространств. Определим также лагранжево комплексное грассманово мно- многообразие. Рассмотрим эрмитово пространство С2ЛГ и зададим в нем симплектическую структуру, т. е. кососимметрическую ком- плекснозпачную билинейную форму (а, Ь), определяющуюся в стандартном базисе матрицей / = Ip ^|. Как мы уже знаем, группа комплексных симплектических преобразований Sp{n, С) может быть определена как группа инвариантности этой формы, т. е. как группа матриц g, удовлетворяющих матричному уравне- нию gIgT-=L Как и в вещественном случае, назовем комплексное подпространство П" в С2п лагранжевой плоскостью, если ее раз- размерность равна п и ограничение формы (а, Ь) на эту плоскость тождественно равно нулю, т. е. кососкалярное произведение лю- любых двух векторов из П" равно нулю. Совокупность всех лагран- жевых плоскостей, проходящих через начало координат в С2п, обозначим через LGn и назовем лагранжевым комплексным грассмановым многообразием. Как мы вскоре увидим, это множе- множество действительно является гладким многообразием. Оба много- многообразия Щ* и IXh\ допускают представление в виде однородных ■ пространств. Рассмотрим сначала комплексный случай. Легко проверить, что любое комплексное симплектическое пре- преобразование переводит лагранжеву плоскость снова в лагранже- ву. Оказывается, комплексная симплектическая группа транзитив- на на множестве всех комплексных лагранжевых плоскостей. Предложение 3. Любые две комплексные лагранжевы плоскости могут быть совмещены друг с другом при помощи под- подходящего симплектического преобразования. Доказательство. В качестве примера, лагранжевой плос- плоскости возьмем координатную «-мерную изотропную плоскость О, порожденную первыми « координатами ги...,гп. Докажем, что "для любой лагранжевой плоскости П в С2п существует симплекти- симплектическое преобразование g такое, что оно переводит С" в П, т. е. n=gO. Фиксируем в С2п стандартный базис el,...,e2n; тогда получим, что плоскость С" натянута на первые п векторов этого базиса. Так как П является комплексным n-мерным подпростран- подпространством в С", то в П всегда можно выбрать ортонормированный комплексный базис из векторов аи...,ап. Разложим эти векторы по базису еи...,егх, т. е. ak = ^=1 akpep + ^=1 bkpen+P. Выписывая координаты векторов аи...,а„ относительно базиса еи...,е2п, мы получаем прямоугольную комплексную матрицу X из п строк и 2п столбцов вида (Л, 5), где A = (akp), B= (bkp) —матрицы порядка п. Построим теперь матрицу порядка 2я, положив по определению g— I ). Оказывается, матрицы Л и В не \ — В AJ могут быть произвольны. Они связаны простыми соотношениями. 55
Лемма 5. Матрицы А и В, образующие матрицу g, удовле- >пяют уравнению ААт+ ВБ=Е. Доказательство. Векторы а.\,...,ап образуют ортонорми- ванный базис в комплексной плоскости П, поэтому скалярный здрат каждого из них равен единице, а попарные их произве- произведя (относительно эрмитовой формы) равны нулю. Очевидно, i условия в точности эквивалентны уравнению АА + ВВТ = Е. Лемма 6. Матрицы"А и В, образующие матрицу g, удовлет- ыют уравнению АВТ = ВАТ. ( Доказательство. Плоскость П является лагранжевой оскостью, что накладывает дополнительные ограничения на трицы А и В. Лагранжевость плоскости П означает, что по- рные кососкалярные произведения всех векторов баз«са ей,..* ,ап тождественно равны нулю. Следовательно, мы должны за- задать равенство нулю попарных произведений векторов относи- пьно кососимметрической формы, задаваемой матрицей {Я, £), но, что это условие принимает вид Х1Хт-= О, где Х= (А, В). Отсюда (А,В)(°Р ~Е) (j.TT) = 0, что эквивалентна авнению АВТ = ВАТ. Лемма доказана. Доказательство предложения 3. Из условия ортб- 1альности базиса.аи...,а„ в плоскости П мы получили соотно- ние ААТ + ВВ —Е, а из условия лагранжевости плоскости П: отношение АВТ — ВАТ. Оказывается, отсюда уже вытекает, что трица ё—\ — — ) является комплексной симплектической. самом деле, мы должны проверить выполнение тождества g ?г=/. Подставляя сюда явную формулу для g и используя лмы 5 и 6, получаем ВТ \ВАт—АВт) \Е О > и требовалось доказать. В частнрсти, любая лагранжева плоскость может быть пред- влена в виде gCn, где g<^Sp(n, С) и С" — координатная ла- шжева плоскость, натянутая на первую половину базиса. Построим естественное отображение f:Sp(ii, C)->LGnc, no- кив f(g)=gCn. Предлож.елие 3 означает, что f является*Ьтоб- кением «на». Пусть И—подгруппа симплвктической группы, тоящая из всех преобразований, переводящих в себя лагранже- плоскость Cn = O(ei,...,е„). Предложение 4. Лагранжево комплексное грасснаново вообразив LGn допускает представление в виде однородного 'странства Sp(n, С)/Я, где стационарная подгруппа Н состоит натриц вида "g= № Л-м)' ^ 'А<=<Щп,С) и АВТ=ВАТ.
- Достаточно найти стационарную подгруппу Н, т. е. подгруппу симплектических преобразований, переводящих в себя плоскость О(£],-•• |£п). Симплектическое преобразование можно предста- представить в виде ё~[р о)> где gIgT — L Следовательно, матрицы А, В, С, D удовлетворяют соотношениям ВАТ = АВТ, ВСТ—ADT' = = —Е, DCT — CDT. Накладывая на g условие инвариантности плоскости Cn(ei,...,en), получаем С=0. Отсюда ВАТ = АВТ и ADT—E. В качестве матрицы А можно брать произвольную невы- невырожденную комплексную матрицу. Предложение доказано. Наряду с представлением, описанным в предложении 4, мно- многообразие LGn допускает и другое представление в виде однород- однородного пространства. Предложение 5. Лагранжево комплексное грассманово многообразие LGn диффеоморфно однородному пространству Sp(n)/U(n), где группа U(n) вложена в компактную группу Sp(n) как подгруппа матриц вида („ /»_1чГ], Л е У (я). Доказательство. Пусть П — произвольная комплексная лагранжева плоскость. Выше было доказано, что П можно пред- представить в виде Il=gCn, где g — комплексное симплектическое преобразование, ge?.Sp(n, С). В действительности мы доказали более сильное утверждение, а именно: можно всегда считать, что преобразование ц но только симплектическое, по и унитарное, т. e..geUBn). В самом деле, из лемм 5 и G следует, что преобра- преобразование g допускает представление в виде! _ _ J, где АВТ — ВАТ, \ — В А / ААТ -\- ВВТ ---£. Но эти два условия эквивалентны унитарно- унитарности матрицы g, так как унитарность матрицы g записывается / А В\ 1АТ —Вт\ (Е 0\ ^ уравнением I 2 _ I _r = I ■ Очевидно, что эти две системы уравнений совпадают. В силу предложения 2 из п. 2.4 получаем, что совокупность таких преобразований обра- образует компактную группу Sp(n), так как Sp{n, C)f]UBn)=Sp(n). Таким образом, компактная симплектическая группа транзитивна на множестве всех лагранжевых комплексных плоскостей. Осталось найти стационарную подгруппу, т. е. подгруппу, тех преобразований, которые переводят в себя плоскость Cn(ei,... ,..,е„). В силу предложения 4 достаточно вычислить пересечение Hf\UBn). Так как матрицы из подгруппы Я имеют вид '& — [ п< л—\\т ). т0 условие унитарности означает ggT = E, откуда \ и v1 ) / получаем В = 0. Предложение доказано. 3.3. Лагранжевы вещественные грассмановы многообразия. В вещественном случае многообразие LG* также можно представ вить в виде однородного пространства. При этом можно было бы повторить вычисления предыдущего пункта. Но мы сократим рас- 57
рдении, используя полученную информацию о структуре много- )азия LGn • Предложение 6. Лагранжево вещественное грассманово эгообразие LGn диффеоморфно однородному пространству пIО(п), где группа О(п) естественно вложена в группу U (га) с подгруппа вещественных матриц. Для доказательства нам потребуется установить естественную [зь между комплексными и вещественными лагранжевыми эскостями. Рассмотрим в С2п вещественное 2я-мерное подпро- •анство R2n, порожденное линейными комбинациями базисных сторов е\,...,е2п с вещественными коэффициентами. Ясно, что 1 является «вещественной частью» С2п. Ограничение формы ) с С2п на подпространство R2n задает на нем кососимметриче- гю вещественнозначную форму, которую мы обозначим для эстоты тем же символом. Ясно, что R2n является симплектиче- ш пространством с формой (,). Рассмотрим в С2™ операцию мплексного-сопряжения, т. е. переводящую вектор a=2fc=iflA зектор a = 2f=i afeefc. Ясно, что это отображение о: а-+а яв- гтся антикомплексной инволюцией, т. е. cr2=id (тождественное гобразование) и a(Xa)=ho(a). При этом подпространство R2" :тоит в точности из всех неподвижных точек этой инволюции, е. aR2"=R2n. Лемма 7. Операция комплексного сопряжения а: С2п->С2г> оеводит любую лагранжеву комплексную плоскость снова в ла- гнжеву плоскость. Доказательство. Пусть П — произвольная лагранжева эскость. Тогда для любых двух векторов а, &еП имеем (а, Ь) — > 0. В то же время (ста, аЪ) = (а, Б) = (а, Ь)=0. Таким образом, эскость all также лагранжева. Определение 3. Лагранжева плоскость П в С2п называется явственной лагранжевой плоскостью, если она инвариантна от- •.ительно операции комплексного сопряжения. Лемма 8. Пусть П — произвольная вещественная лагранжева плоскость в С2". Тогда Re С 2n Рис. 17 1) nnR2"=n<T, где через Па обозначено подпространст- подпространство неподвижных векторов пре- преобразования а; 2) плоскость nflR2™ являет- является лагранжевой (веществен- (вещественной) плоскостью в веществен- вещественном симплектическом прост- пространстве R2"= (C2n)a =ReC2n; пг. е. П = ИеПф1тП (рис. 17)'. Доказательство. Пер- Первый пункт следует из того, что
подпространство R2" в С2" состоит в точности из неподвижных век торов преобразования а. Далее, так как плоскость П изотропна в С2", то любое его подпространство также изотропно, поэтому для доказательства утверждения 2 достаточно проверить, что dim (nnR2n)=«. Для этого нам потребуется сначала доказать п. 3. .. . Рассмотрим более подробно действие антикомплексной инво- инволюции а в С2я. Если aena=nnR2n, то ш^Па, так как ia=ia= =—ia. Следовательно, Па(\Ша=0. В то же время для любого вектора оеП можно однозначно определить векторы х — — (а + + а)еП°, i/ = —(a-a)e№. Ясно, что a=x+iy, где х, уеП". Таким образом, мы представили плоскость П в виде прямой сум- суммы Па©Щст, что и доказывает п. 3. Поскольку умножение на чис- число i определяет обратимое линейное преобразование С2", то dimRn^ + dimRiTI01, откуда dimRn = 2 dimRna = 2штсП = 2я. Таким образом, dimcn = /t. Лемма доказана. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между вещественными лагранжевыми плоскостями (комплексной размерности п) в пространстве С2п и лагранжевыми (веществен- (вещественными) плоскостями вещественной размерности п в пространстве R2". Следует обратить нннманне на несколько различное употреб- употребление здесь термина «нещестиенный». Особенно наглядно это раз- различие видно на рис. 17, где «настоящая вещественная» плоскость до в R2n определяет плоскость ПаФШ°, инвариантную относитель- относительно сопряжения a: C2n->C2n. Ясно, что вещественная плоскость Пс0Шп в С2" отнюдь не содержится в множестве неподвижных точек о. Другими словами, мы доказали, что каждая веществен- вещественная лагранжева плоскость П в С2п получается комплексификацией вещественной лагранжевой плоскости Пст, лежащей в R2nc:C2n. Лемма 8 важна для установления соответствия между вещест- вещественным и комплексным лагранжевыми грассмановыми многообра- многообразиями. Доказательство предложения 6. В лемме 8 мы фак- фактически доказали, что вещественное лагранжево грассманово мно- многообразие LG* диффеоморфно множеству Pfn всех веществен- вещественных лаг'ранжевых плоскостей (комплексной размерности п) в С2™. Ясно, что Рта LGn . Рассмотрим в С2п стандартное действие ор- ортогональной группы ОBп). Напомним, что эта группа вложена в группу UBп) как подгруппа вещественных матриц. Рассмотрим в С2" стандартную лагранжеву вещественную плоскость (С2п)а= = R2". Пусть /: Sp (п) -*• LGn —естественное отображение, по- построенное нами при доказательстве предложения 4 и сопостав- сопоставляющее каждому симплектическому преобразованию g^.Sp(n) плоскость gCn~, являющуюся образом стандартной лагранжевой плоскости С"(еь... ,еп) в С2п. Так как / — отображение «на», то Р'2п содержится в образе f. Рассмотрим в Sp(n) подгруппу орто- • 59
ильных преобразований в С2п, т. е. пересечение G=Sp(n)f| >Bгс). Здесь ОBп)—группа ортогональных преобразований в зисе е\,...,в2П. Мы утверждаем, что /(G) — P?n. Это следует из го, что группа ОBп) транзитивна на множестве всех 2«-мерных ад R) вещественных плоскостей в С2п. Значит, Р*п ;= G/H, где -стационарная подгруппа, т. е. подгруппа преобразований, пе- водящих в себя какую-то фиксированную вещественную лагран- :ву плоскость. Мы утверждаем, что G = U(n). Пусть g— вещест- нное симплектическое преобразование из G, т. е. g^Sp(n) и = ОBп). Симилектичность g означает, 4roglgr = /. Так как ge ОBл), то gT = g~i. Отсюда следует, что gl = Ig. Поэтому каж- е преобразование geG задает ортогональное преобразование щественного пространства R2n, коммутирующее с преобразова- преобразовали /. Но, как мы знаем, преобразование / позволяет определить R2n комплексную структуру; при этом операторы, коммутирую- ие с /, оказываются комплексными. Следовательно, каждое пре- разование g^G оказывается унитарным преобразованием из (п). Таким образом, GcU(n). Верно и обратное. Пусть geU (п) -^ произвольное унитарное >еобразование R2", т. е. оператор, коммутирующий с /. Тогда 1лучаем, что g^0Bn) и gl — Ig. Отсюда gIgT — I, что и озна- ет симплектичность преобразования. Тем самым G = U(n), гталось найти преобразования из U(n), переводящие в себя ка- 'ю-то фиксированную вещественную лагранжеву плоскость. Ясно, о вещественные унитарные преобразования из группы U (п) об- обдуют группу 0(п). Предложение доказано. Как и в случае вещественных грассмановых многообразий, на- ду с многообразием LGn рассматриваются лагранжевы вещест- нные грассмановы многообразия LG^, состоящие из ориентиро- нных лагранжевых плоскостей. Ясно, что имеется двулистное крытие LGn -*■ LGa . Общая теория лаграпжевых многообразий строена в работах В. И. Арнольда и В. П. Маслова.
ГЛАВА 2 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ § 1. Симплектические многообразия 1.1. Симплектическая структура на гладком многообразии. Вы- Выше мы ввели фактически симплектическую линейную структуру в касательном пространстве ТхМ2п к четномерному гладкому мно- многообразию. В некоторых случаях на всем многообразии М2п можно задать симплектическую структуру, гладко зависящую от точки* Другими словами, может случиться, что на М2п определено глад- гладкое косодимметрическое тензорное поле со;/ второго ранга, невы- невырожденное в каждой точке многообразия М и удовлетворяющее некоторому условию «замкнутости». В этом случае М называется симплвктичсским многообразием. Можно показать, что далеко не на каждом чстпоморном гладком многообразии можно задать та- такую структуру. Определение 1. Гладкое четшшерное многообразие М2п называется симплектическим] если на нем задана внешняя диффе- дифференциальная 2-форма (т. е. степени два) со = V a>ijdxif\dxj, об- '</ ладающая следующими свойствами: 1) Эта форма невырождена, т. е. матрица ее коэффициентов. п{х) = (со;/ (х)) невырождена в каждой точке многообразия. 2) Эта форма замкнута, т. е. ее внешний дифференциал раве» нулю: ёау^О. Такая форма называется симплектической структу- структурой на М. Здесь хи. ..,хчп— локальные регулярные координаты на М2п.. Такая 2-форма, очевидно, определяет в каждой точке х^М ли- линейную симплектическую структуру <а(а, Ь)—(а, Ъ) ^Заща^Ь/, где а, Ь^ТхМ. Для любой фиксированной точки х форма со опреде- определяет линейную симплектическую структуру в ТХМ. Напомним, что с каждой точкой х^М естественно связано не только касательное пространство ТХМ, но и кокасательное прост- пространство ТХ*М, сопряженное к ТХМ. Пространство ТХ*М состоит из всех ковекторов, т. е. линейных форм (линейных функционалов) на касательном пространстве. Вообще говоря, в случае произволь- произвольного гладкого многообразия линейные пространства ТХМ и ТХ*М нельзя отождествить так, чтобы это отождествление было инва- инвариантно относительно замен координат, т. е. чтобы оно носило- тензорный характер. Однако если на многообразии задано, на-
пример, невырожденное тензорное поле второго ранга qif, то такое отождествление можно сделать. Для этого зададим отображение .q : ТхМ-*-Тх*М, положив (q{a)){ = 2jU Qiflh гДе а== (аь • • • - а«)<= ^ТХМ. Так как матрица (с/,-,) обратима, то можно задать обрат- обратное линейное отображение. Следовательно, q задает изоморфизм между Тх и Тх*, инвариантный при заменах координат. Операция канонического отождествления касательного и кока- кокасательного пространств особенно важна в случае, когда qn — gn задает риманову метрику кг. М, или в случае, когда qij = <Hij задает на М симплектическую структуру. Рассмотрим на М гладкую функцию f(x). Ее градиент gradf(x) является в каждой точке х ковектором, т. е. элементом пространства ТХ*М. Ецли многообра- многообразие М риманово, то, используя отождествление касательного и кокасательного пространств при помощи метрики gn, можно рас- рассматривать градиент функции как векторное поле на М, которое обозначим для простоты тем же символом grad/(x). Если же М — симплектическое многообразие, то при отождествлении ка- карательного и кокасательного пространств при помощи симплекти- ческой структуры со ковекторное поле gradf превращается в век- векторное поле, которое мы обозначим через sgrad f и которое, ко- конечно,'отличается от векторного поля gradf. Ясно, что векторное поле grad/ однозначно определяется ра- равенством (v, grad/) = u(f), где v пробегает все векторные поля на M,'v(f) — производная функции / вдоль поля v, а (,} — ска- скалярное произведение, соответствующее римановой метрике. Определение 2. Пусть / — гладкая функция на М2п и « — ^симпд^ктическая структура. Кососимметрическим градиентом "'sgrad / функции f (косым градиентом) называется гладкое вектор- ~~«©е~Поле на М, однозначно определяемое соотношением со (и, sgrad/) =v(f), где v пробегает множество всех гладких векторных полей на М, a v(f) — значение поля v на функции / (т. е. произ- производная функции f по направлению поля и). Видно, что определение sgrad/ фактически копирует определе- определение grad/. Отличие заключается .в том, что вместо симметричного тензора gn рассматривается кососимметрический тензор <лц. Как мы отмечали, риманова метрика всегда может быть при- приведена в одной точке к каноническому диагональному виду б,-/ вы- выбором подходящих локальных координат на многообразии. Точно так же и симплектическая структура (со,-/) может быть всегда .приведена в одной точке к каноническому виду ( р п)" ^Ри доказательстве этого мы опираемся на сведения из алгебры, изло- изложенные в гл. 1. Таким образом, в этом отношении риманова и ■симплектическая структуры похожи. Однако при переходе к рассмотрению не одной изолированной точки (и отдельного касательного пространства), а целой откры- открытой окрестности данной точки сразу же обнаруживается карди- кардинальное различие между риманавой метрикой и симплектической структурой. ■Ы
Хорошо известно, что риманова метрика в общем случае не приводится локальной заменой координат к диагональному виду- сразу в целой окрестности точки. Этому может воспрепятствовать отличие от нуля тензора кривизны Римана. А именно если в дан- данной точке отлична от нуля хотя бы одна его компонента, то ни- никакими локальными заменами координат нельзя привести метрику к диагональному (единичному) виду сразу во всех точках любой, сколь угодно малой открытой окрестности данной точки. Симплектическая структура ведет себя совсем по-иному. Ока- Оказывается, подходящей заменой координат она всегда может быть / О F\ приведена к каноническому виду р п сразу во всех точ- ках некоторой (быть может малой) окрестности любой точки на симплектическом многообразии. Этот факт составляет содержание известной теоремы Дарбу, аналога которой (в указанном смысле) нет в римановой геометрии. Теорема 1 (Дарбу). Пусть со,-,- — симплектическая струк- структура на М2п. Тогда для любой точки хеМ всегда существует ок- окрестность с локальными регулярными координатами Р\,...,рп, qi,...,qn такими, что в них форма со записывается в простейшем каноническом виде Tdpi/\dqit т. е. в каждой точке этой окрестное сти матрица (t<>,,) имеет вид ( р ~i). О и jn' дс л о и и I1 '.I. Локальные координаты р\,...,рп, q\,...,qn на симплектическом многообразии, в которых форма со записыва- записывается K.iионическим образом, называются симплектическими. Итак, для каждой точки можно указать открытуит^окрестность с симилектическнмп координатами. Покрывая многообразие та- такими окрестностями, мы получаем симплектический атлас. Дока- Доказательство теоремы Дарбу мы здесь опускаем. Пусть в окрестности некоторой точки з-адана симплектическая система координат. Как запишется в них векторное поле sgrad/? Так как матрица формы имеет вид [ F о) и так как гРа" / df df \ , , диент имеет вид ——, ... ,—— I—gradf, то косой градиент \ dpi dqn-J записывается так ' . , / df " df df df К ' \ dqL ' '' ' ' dqn dpt' dpn Пример симплектического многообразия ^""евклидово простран- пространство К2"(р\,... ,q,i), на котором задана невырожденная замкнутая 2-форма n) = ^dpi/\dqi. Другой пример — гладкие двумерные ори- ориентируемые римаповы многообразия. Симплектическая структура задается здесь 2-формой риман'ова объема (площади). Более об- общий пример: кокасательное расслоение Т*Мп произвольного глад- гладкого многообразия Мп. Это — 2л-мер'ное многообразие, на кото- котором имеется естественно определенная замкнутая и невырожден- невырожденная 2-форма. 3 А. Т. Фоменко 65
1.2. Гамильтоновы, локально гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона. Обозначим через V(M) бесконечномерное ли* нейное пространство всех гладких векторных полей на многообра- многообразии М. Если М2п — симплектическое многообразие, то в V(М) выделяется' линейное подпространство Н\0С(М) векторных полей" специального вида, называемых локально гамильтоновыми поля- полями, а в Н\ис(М) в свою очередь содержится еще одно линейное подпространство Н(М), состоящее из так называемых гамильто- новых полей. Итак, 1/(Л1)гэЯ!ос(Ж)^эЯ(М) (рис. 18). Рис. 18 Рис. 19 Определение 4.. Гладкое .векторное поле v на симплектич£=_ ском многообразии М, имеющее вид u = sgrad/:, напвается £га;... мильтоновым на М, если гладкая функция F определена на всем ■многообразии. При этом функция /; называется гамильтонианом. Итак, гамильтоновы поля — это в некотором смысле аналоги-- градиеитиых (или потенциальных) полей y = grad/, играющих важную роль в механике и геометрии. Не менее фундаментальную- роль играют гамильтоновы поля в симплектической геометрии и механике. Отметим, что в современной геометрии и механике встречаются случаи, когда гамильтониан, не является однозначной функцией на многообразии (многозначен). См., например, работу С. П. Новикова [104]. Поэтому следующее определение является ■содержательным. Определение о. Гладкое векторное поле v на симплектлче- •ском многообразии называется локально гамильтоновым, если для любой точки х^М существуют такая открытая окрестность U(х) точки х и такая -гладкая функция Fu, определенная на этой окре- окрестности, что y = sgrad Fu, т. е. поле v гамильтоново в окрестности U с локальным гамильтонианом Fu. Ясно, что локально гамильтоновы поля образуют линейное под- подпространство НЬс(М) в V(M) и что Hinc(M)^H(M), так как любое гамильтоново поле, очевидно, — локально гамильтоново. Обратное неверно. Это означает, что существуют поля, допус- допускающие в окрестности каждой точки представление в виде sgrad/-'у, однако не допускающие единого представления в виде o = sgradf, где F — однозначная функция, определенная на всем М. Другими словами, локальные гамильтонианы, определенные на 66
отдельных окрестностях, нельзя «сшить» в одну гладкую однознач- однозначную функцию, заданную на всем многообразии. Простейший пример: рассмотрим на евклидовой плоскости с выброшенным началом координат векторное поле v, где х, у — декартовы координаты. Это поле является полем ско- скоростей потока жидкости, вытекающего из начала координат по радиальным лучам (рис. 19). Легко видеть, что оно локально гамильтоново на симплектическом многообразии R2\0, снаб- снабженном 2-формой dx/\dy. В качестве локального гамильто- гамильтониана Fu достаточно взять функцию полярного угла ф =arctg-;—, являющуюся гладкой функцией в достаточно малой окрестности любой точки {х, у)^@,0) и определенную с точностью до посто- постоянной. Ее обычный градиент имеет вид к* 4 Тик кик еимилсктичеекаи структура dx/\dy на R2\0 выбрана Ними кйшшичвской, то иектор s^iailf получается из вектора grad/--(/j,, /„) тик: sgrnd/- (—fu, /,). Отсюда Однпко .что поле не является глобально гамильтоновым, так Кйк полярный угол ср(х, у) — многозначная функция на плоскос- плоскости без точки и указанные выше локальные гамильтонианы нельзя «сшить» в единую гладкую однозначную функцию. В данном слу- случае этот эффект коренится в неодносвязности многообразия R2\0 (рис. 20). Рис. 20 Рис. 21 Вернемся к гамильтоновым полям. Они могут быть также опи- описаны на языке порожденных ими однопараметрических групп диф- диффеоморфизмов многообразия. Пусть v — гамильтоново поле и <9" — одномерная группа диффеоморфизмов М, представленная
на М сдвигами вдоль интегральных траекторий поля у. Это озна- означает, что группа ®v состоит из гладких преобразований gt, дей- действующих так: gt(x)=y, где х = у@), y = y{t), и у — интеграль- интегральная кривая поля v, проходящая через точку х при < = 0. Другими словами, диффеоморфизм gt сдвигает каждую точку х на время / вдоль траектории \{t) (рис. 21). Так как 2-форма со, задающая симплектическую структуру, переводится диффеоморфизмом gt в некоторую новую форму gt*(o (определяемую так: (gt*®) {x) = = <>}{gt(x))), то корректно определена производная day/dt формы diti(x) d / * ч, »„ w вдоль векторного поля v, т. е. —L-i- -- (g,^)\t=o- Можно dt dt ' проверить, что симплектическая структура инвариантна относи- относительно группы диффеоморфизмов, порожденной гамильтоновым полем "у. Мы докажем здесь более общее утверждение. Теорема 2. Гладкое векторное поле v на симплектическом многообразии с симплектической структурой со является локально- гамильтоновым тогда и только тогда, когда оно сохраняет сим- симплектическую структуру, т. е. когда производная формы со по нап- направлению поля v тождественно равна нулю, или, другими слова- словами, когда g(w==co при всех t. Доказательство. В силу теоремы Дарбу (см. теорему 1) достаточно доказать это утверждение лишь для случая, когда М является простейшим симплектическим многообразием R2" с кано- канонической структурой a = 1.dpi/\dqi. Пусть форма и сохраняется однопараметрической группой gt, т.-е. a>(y(t)) — O, где y(t) — dt интегральные траектории поля v=(Xi, Yi). Имеем ] + dPiAdYi = V I-^L + ^ ) dpkAdqt + fJ \ dPk dqi ) \- У (fL_.%*.) dptAdPk--0. *J \ dpk [dpi ) Отсюда следует, что равны нулю коэффициенты перед незави- независимыми мономами, т. е. dXt _ dYk "dXj _ dXk dYj __ dYk dPk . дЯс ' dqk dqi ' dpk dpi ' . , Рассмотрим дифференциальную форму <x — 'Z — Yidpi+Xidql. Она замкнута. В самом деле, da „ 2 ^- dqkAdPi- -^p-dqkAdPl + ^- dpkAdqt + dpk dqk dpk 68
Что обнаруживается после приведения подобных членов и исполь- использования полученных выше условий на частные производные ком- компонент векторного поля и. Замкнутость формы а на R2" означает ее точность (в силу так называемой леммы Пуанкаре), т. е. существует гладкая функция Н такая, что a = dH. Отсюда получаем, что ИЛИ II a = 2^-dpt + -^-dqi= 2-Ytdpt + Xtdqt, dpi дщ V _ дН Y _ дН dpi dpi т. е. y = sgrad#, что и требовалось доказать. Обратное утвержде- утверждение получается повторением предыдущих рассуждений в обрат- обратном порядке. Теорема доказана. В случае двумерного риманова многообразия с римановой мет- метрикой М2 и с формой римановой площади со = У (let [gii)dx/\dy в качертве симплектической структуры условие сохранения формы «и группой &а диффеоморфизмов gt эквивалентно сохранению пло- тадей областей на поверхности М2 при сдвигах этих областей шффеоморфизмами gt. Итак, сдвиги вдоль интегральных траек- и||)цй гамильтонова поля им двумерном симплектическом много- О|)азии сохраняют площади областей. Аналогичное утверждение порно и в многомерном случае. Пусть о» — симплектпчеекаи структура на многообразии М2п. Тогда п-я инешння степень 2-фо|)МЫ м может' рассматриваться как форма piiMUttiMin об'Ы'МН II.I M'in, так как форма т = (оЛ—Л<* (« Раз) iip»'nfipii;iyeri'M и точности так же, как преобразуется форма ри- м а нона объема (домножается на определитель матрицы Якоби (амеиы координат). Так как локально гамильтоново поле сохра- сохраняет форму и, то оно же сохраняет и внешнюю 2л-форму т, т. е. сохраняет объемы областей на многообразии. В случае двумерного симплектического. многообразия условие локальной гамильтоновости поля допускает другую наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть g,,- — риманова метрика на М2 и co = VrdeT(g7/)" dx /\dy — форма римановой площади. В силу теоремы Дарбу всегда можно выбрать такие локальные координаты р и <7,' чт0 в них форма запишется каноническим об- образом dp/\dq. Здесь р и ? — некоторые функции от х и у (и на- наоборот).. Пусть v — локально гамильтоново поле v=(P(x, у), Q(x, У.)), где Р и Q — координаты (компоненты) этого поля в системе координат р и q. Будем трактовать пбле v как поле ско- скоростей потока жидкости постоянной плотности (равной единице) на поверхности М2. Изучим изменение массы жидкости, находя- находящейся в бесконечно малом прямоугольнике на поверхности при его сдвиге вдоль интегральных траекторий поля. Ясно, что масса этой жидкости равна площади прямоугольника. Отсюда следует, что Масса жидкости, заключенной в "ограниченной (достаточно 69
"■ ■'' t малой) области на М2, равна площади области. Пусть D — огра- ограниченная область с кусочно гладкой границей в М2 и D(t) — об- область, полученная из области D ее сдвигом на время t вдоль ин- интегральных траекторий поля (рис. 22). Другими словами, D(t) = —gt(D), т. е. D(t) является об- образом области D при диффеомор- ."" физме gt: M-rM. Обозначим через дР dp — dq дивергенцию поля v и пусть5 (t) — площадь области D(t), т. е. масса заключенной в ней жидкости. Рис. 22 Рис. 23 Предложение 1. Для любой ограниченной области D(t) на поверхности М2 выполнено соотношение Поток жидкости называется несжимаемым, если изменение массы жидкости в любой области равно нулю. Из предложения 1 вытекает следующее полезное утверждение. . Следствие 1. Поток v жидкости постоянной плотности на поверхности М2 является несжимаемым тогда и только тогда, ког- когда div(y) =0. Доказательство предложения 1. Достаточно дока- доказать утверждение для области D, имеющей вид бесконечно малого прямоугольника. Хорошо известно (см., например; [53]), что из- изменение его площади при сдвиге измеряется определителем мат- матрицы Якоби преобразования. Итак, достаточно вычислить указан- указанный определитель для бесконечно малого преобразования \p,q)-*- -+(р + еР(р, q), q + zQ(p, <?)), где 8 — бесконечно малый пара- параметр. Ясно, что матрица Якоби имеет вид 70
. , дР 1 + е—- др. — i - ь dp Ее определитель (с точностью до е2) имеет вид 1 -f e div (и) = , , / дР . dQ \ ■ . — l-j-Ё 1 . 1аким образом, искажение площади беско- \ dp dq I нечно малой области измеряется дивергенцией поля, что и дока- доказывает предложение 1. Итак, в случае двумерного симплектического многообразия ЛО' кально гамильтоновы векторные поля — это в точности потоки не- несжимаемой жидкости, т. е. поля с нулевой дивергенцией. Иными ■словами, условие лекальной гамильтоновости поля v в двумерном случае эквивалентно равенству div(y)=0. Выше мы привели пример локально гамильтонава векторного поля на R2\0, не являющегося гамильтоновым. Здесь симплекти- ческое многообразие было некомпактным. Однако примеры такого рода можно строить и на компактных замкнутых (т. е. не имею- имеющих края) многообразиях. Возьмем, например, обычный плоский тор Г', снабженный евклидовой метрикой. Тогда 2-форма площади лпппшетси в декартовых координатах х, у (па торе) как dx/\dy, т. v. будет канонической. Рассмотрим на торе векторное поле и=- A, 0), задающееся рав- равномерным движением жидкости идоль его плрлллелей (рис. 23). Интегральными траекториями поля являются параллели тора. До- КВЖем, чти sto иоле негамнльтоцово на всем торе (хотя и локаль- локально гйМНЛЬТонннн, что очоишдпо). В самом деле, допустим сущест- RiiHNinii* глпдкчП одио.-шачиой функции f(x,'y), определенной на торс, т. с. дноикопориодической на плоскости R2(x, у), а именно: f(x[m, у | n)=f(x, у) для любых целых m, n и такой, что o-sgracl/, т. е. A, 0) = (—fy, fx). Тогда f* = 0, fy= — 1. Отсюда следует, что векторное поле да=@, —1) на торе является потен- потенциальным, т. е. w = gradf. Это поле сопряжено полю v, т. е. их интегральные траектории взаимно ортогональны. Следовательно, ■ интегральные траектории поля w являются меридианами тора (рис. 23). В частности, все они замкнуты. Осталось напомнить, 'что если гладкое векторное поле w на многообразии М имеет хотя бы одну замкнутую траекторию \ Cw;i особых точек поля w, то это поле не может быть потенциаль- потенциальным. II самом деле, допустим существование потенциала /, т. е. такой функции, что выполнено равенство a> = gradf. Параметри- Параметризуем траекторию у параметром t так, чтобы v@) =v(l)• Проин- Проинтегрируем 1-форму df вдоль замкнутой траектории Y- Получим = ^dxt{t)=f{l)-f(O) Ф 0, 71
так как функция монотонно возрастает вдоль траектории у. Итак, / не может быть однозначной функцией. Полученное противоречие доказывает отсутствие неособых зам- замкнутых траекторий у потенциальных полей. Таким образом, поле w на торе не потенциально, а следовательно, исходное поле v не гамильтоново на всем торе, что и требовалось доказать. Напомним, что многообразие называется односвязным, если каждый замкнутый путь (петля) стягивается по нему ib точку. Дифференциальная /г-форма т называется замкнутой на М, если dx=0, и форма называется точной, если x=dp для некоторой (k—1)-мерной формы р. Любая точная форма замкнута. Обрат- Обратное, вообще говоря, неверно. Отчетливо видно препятствие, мешающее произвольному ло- локально гамильтонову полю быть гамильтоновым. Это — неодно- неодносвязность многообразия. В первом нашем примере многообразие R2\0 неодносвязно за счет- выкалывания точки из плоскости. Замкнутый путь, обходящий эту точку, не стягивается в точку по R2\0. Во втором примере неодносвязным является тор Т2. Его па- параллель -и меридиан задают образующие в ненулевой фундамен- фундаментальной группе Я\(Т2) =Z©Z. Из доказательства теоремы 2 видно, что локальная гамильто- новость поля v=(Xi, У,-) эквивалентна замкнутости дифференци» альной 1-формы а = 2—Ytdpi + Xidqi на многообразии М. Для гло- глобальной гамильтоновости достаточно, чтобы эта форма была точ- точной. Например, так всегда будет на R2" (лемма Пуанкаре). Одна- Однако если симплектическое многообразие неодноавязно, то на нем могут существовать замкнутые, но не точные 1-формы. Так будет, если группа одномерных когомологий Hl(M, R) отлична от нуля. В обоих наших примерах мы имеем ненулевую группу когомоло- когомологий, а именно: Hl(R2\0, R)=R и Я1 (Г2, R) = R®R=R2. В частно- частности, замкнутые 1-формы a = dp и a' = dq на торе не являются точными. Предложение 2. Пусть симплектическое многообразие М имеет нулевую группу вещественных когомологий Я1 (М, R) {на- {например, так будет всегда, когда многообразие односвязно). Тогда любое локально гамильтоново векторное поле на многообразии будет в то же время и глобально гамильтоновым. Если многообразие односвязно, то всегда Н[(М, R)=0. Обрат- Обратное, вообще говоря, неверно. Существуют неодносвязные много- многообразия, для которых Hl(Mu R)=0. Правда, в этих случаях фун- фундаментальная группа П](М) 'многообразия М «не очень велика» в том смысле, что ее фактор по коммутанту, т. е. группа nil[n\,n\] (совпадающая с одномерной группой целочисленных гомологии H-i(M, Z)), не .имеет элементов бесконечного порядка. Перейдем к описанию важной операции вычисления скобки Пуассона двух функций на симплектическом многообразии. Определение 6. Скобкой Пуассона гладких функций / и g на симплектическом многообразии М с формой со называется 72 ~
функция {/, g}, задаваемая формулой п {/. ё) = «(sgrad /, sgrad g) = 2 юг/ (sgrad /);'(sgrad g)p Здесь (u = H(uljdxif\dx1 и sgrad/ = ((sgrad/)lt ... , (sgrad /J„). Та- Таким образом, скобка Пуассона функций fug — это кососиммет- рическое скалярное произведение (относительно формы со) их ко- косых градиентов. Если через со'7 обозначить коэффициенты матри- матрицы, обратной к матрице (со,;), то скобку Пуассона можно записать в локальных координатах Xi,...,X2n на М так: f -fk Мы опираемся здесь на тот факт, что градиент функции и ее косой градиент связаны соотношением (sgrad/) ,-= Ткким ибрйяом, скобка Пуассона вычисляется, если известны гра- ЛН0Н1Ы функций I \\ ц. Лги формула момч>т выть принята .ш определение скобки Пуас-J юна. При чтом формула может бит. распространена и на тот олучйй, когда митрицв Ы") яилиеп-н вырожденной. В некотором точном смысле скобка Пуассона является более первичным и об- общим тшптШ'М, чем симплектическая структура. Конечно, задание ШМ1Ш«К1 нчеокой структуры (в ее классическом понимании) поз- иолиег корректно (и. однозначно) определить операцию взятия скобки Пуассона. Однако скобку Пуассона можно определить в существенно более широком классе случаев, когда соответствую» щпя структура ю вырождена. Однако пока мы будем, придержи- паться определения скобки Пуассона через форму ш. Скобка Пуассона имеет простую интерпретацию. Имеет место ьажпое соотношение (f, g}= (sgrad f)g, т. е. скобка Пуассона сов- совпадает с производной функции g no направлению векторного поля sgrad/. В силу косой симметрии формы о) справедливо также ра- нспстио {/, g}=—(sgrad^)/. Это сразу вытекает из определения «Kracl j?, а именно (v, щпн\ g) где v — произвольное гладкое поле на М. Предложение 3. Операция взятия скобки Пуассона f,g-> -*■{}, g} удовлетворяет следующим свойствам: 1) билинейность, т. е. {af+$g, h} = a{f, h} + fi{g, h), где аир — постоянные числа; 2) кососимметричность, т. е. {f, g}=—{g, /};
3) справедливо тождество Якоби, т. е. {h, {f, g}} + {g, {h,f}} + + {f,{g,ft}}=0 для любых гладких функций f,g и h на М; 4) скобка Пуассона, рассматриваемая как дифференциальная операция, удовлетворяет тождеству Лейбница, т. е. {h, fg} = {h, f)g + f{h, g}, где fg — произведение функций fug. Доказательство. Свойства 1 и 2, очевидно, следуют из определения скобки Пуассона. Проверка свойства 3 нуждается в некотором вычислении. Ясно, что JL J!L- Jl + dxj dxi dxp dxq дхс дх/дхр dxq EL .*« dxi дхр dxjdxq "Циклически переставляя h, f, g и суммируя получающиеся выра- выражения, мы обнаруживаем, что первая сумма обращается в ноль за счет того, что форма to замкнута, т. е. ^- dxa/\dxt/\dxj = 0. Вторая и третья суммы обратятся в ноль за счет симмет- симметрии вторых частных производных и того обстоятельства, что ком- коммутатор двух векторных полей есть снова векторное поле, т. е. дифференциальный оператор первого (а не второго) порядка. На- Наконец, свойство 4 следует из того, что {/г, fg}= (sgrad/г) (fg) = = ((sgrad h)f)g + f (sgrad h)g, что и требовалось доказать. Из предложения 3 вытекает важное следствие, аналога которо- которому нет в римаповой геометрии, основанной на понятии симмет- симметричного скалярного произведения. Предложение 4. Линейное бесконечномерное пространство СХ(М) гладких функций f на симплектическом многообразии М, снабженное операцией взятия скобки Пуассона f, g-*~{f, g}, естест- естественно превращается в некоторую бесконечномерную алгебру Ли (над полем R). Роль коммутатора играет скобка Пуассона. Напомним, что алгебра Ли — это линейное пространство, снаб- снабженное билинейной кососимметричной операцией, удовлетворяю- удовлетворяющей тождеству Якоби. Подчеркнем, что появление структуры ал- алгебры Ли в пространстве функций на симплектическом много- многообразии целиком обязано наличию симплектической структуры (скобки Пуассона). Легко убедиться, что операция /-э-gradf, з'а- даваемая симметричным (т. е. римановым) скалярным произве- произведением, не порождает в пространстве функций естественной струк- структуры алгебры Ли. В этом важное различие римановой (симмет- (симметричной) и симплектической (кососимметричной) геометрий на мно гообразии. Имеется тесная связь алгебры Ли С°°(М) (с операцией — скобка Пуассона) с алгеброй Ли V(M) всех гладких векторньп полей на многообразии (с операцией — обычный коммутатор век торных полей). Построим естественное отображение а простран
iisd функции 1_,--^ш; в пространство векторных полей V(M), за- задав его формулой a(/)=sgradf. Предложение 5. 1) Отображение oc:/->sgradf задает го- гомоморфизм алгебры Ли С°°(М) в алгебру Ли V{M), т. е. sgrad{/, g}= [sgrad f, sgradg]. Другими словами, скобка Пуассона {f, gj при отображении а переходит в обычный коммутатор векторных полей sgrad/, sgrad gf. 2) Образом алгебры 'Ли С°°(М) при гомоморфизме а является подалгебра Н(М), состоящая из всех гамильтоновых векторных полей. 3) Если многообразие связно, то имеет место изоморфизм H(M)=C°°(M)/Rl, где через R1 обозначен идеал в С°°(М), состоя- состоящий из постоянных функций на М (т. е. из констант). 4) Локально гамильтоновы поля образуют подалгебру Ли Н\0С(М) в алгебре Ли V(M) всех векторных полей. 5) Гамильтоновы поля образуют идеал в-алгебре Ли локально гамильтоновых векторных полей. Доказательство. Из определения операции sgrad получаем (sgrad {/, g}) h = {{/, g), h) = (в силу тождества Якоби) = ~{{h, /}, g}~ -{{tf.A},/} = {/.{ff.A}}-{g.{f.A}}-(sgrad/)(sgradg)A-(sgradg) X X (ицгнс1/)А [sgr.-id/, sgrad#]/i, что и доказывает п. 1. Для дока- амтслы'гии II. 2 дистнточио происрить, что обычный коммутатор Дйук niMHJHiiuiionwx нолей мцпн1 / и sRrarig снова является га- мнльпшопым 11ол«М, Это срезу следует им п. 1, так как [sgrad f, sgrid^j—sgrttd ((/, и), В частности, гамильтониан коммутатора Гймильтономых нолей иилистся скобкой Пуассона гамильтонианов «тих полей, Таким обрияом, пространство гамильтоновых полей — ЯГ» notiuAevflpa « пространстве всех векторных полей на много- многообразии, Докажем и. 3. Пусть f — гладкая функция на связном мипкшбрп.'иш и такая, что sgrad f = 0. Так как форма ш невырож- Д«чк1, то grad/ = O. Так как многообразие связно, то f постоянна на всем М, что и требовалось доказать. Докажем п. 4. Пусть vl и У2 = локально 'гампльтоновы поля. Это означает, что для любой точки на многообразии существует такая до- достаточно малая ее окрестность U, в которой v1 = sgrad /f7, v2--- sgrad f\j. Тогда коммутатор [и1;и2] в этой окрестности допускает представление [Vl,v2] = [sgrad /у, sgrad %]= sgrad{ ft, %}; {/^/2у} = ш (sgrad/f, sgrad fV) = w(v1,vi). Таким образом, коммутатор [и]; Уг] является глобально опре- определенным гамильтоновым полем, так. как гладкая функция <i>(i>i, v2) корректно определена на всем многообразии (и не зависит от выбора окрестностей U). Итак, мы сразу доказали не только п. 4, но и п. 5. В самом деле, как выяснилось, коммутатор двух локально гамильтоновых полей V] и v2 является настоящим гамильтоновым полем. Поэтому гамильтоновы поля образуют идеал в пространстве локально га- гамильтоновых полей. Теорема доказана. 75
Отметим, что подалгебры Ли Н(М) и Н\ОС{М) зависят от вы- выбора формы ш на М. При изменении симплектической структуры эти подалгебры будут, вообще говоря, меняться в алгебре Ли всех функций. Для приложений полезно знать явное выражение для скобки Пуассона двух функций в канонических симплектических коорди- координатах. Пусть pi,...,pn, q\,...,qn — канонические координаты в R2". Тогда dg df {f, g} = o, (sgrad /, sgrad g) = V f~ f-- f- -f LJ dpi idqt dpi dqi 1=1 Здесь мы воспользовались тем, что форма to имеет матрицу / 0 £\ ' - \-EOj- 1.3. Интегралы гамильтоновых полей. Напомним, что гладкая функция f на многообразии М назьявается интегралом векторного поля v, если она постоянна вдоль поля и(/)=0. Это эквивалентно тому, что функция / постоянна на всех интегральных траекториях поля v (рис. 24). Хорошо известно, что наличие интеграла у поля v(x) = (vi(x),..., vN(x)), отвечающего системе обыкновенных диф- дифф () l^i^N MN ференциальных уравнений Xi = Vi(xi,...,x»r), д дй на MN, поз- позфр ур i i(i,,), ^, , воляет понизить порядок исходной системы на единицу. Дело в Рис. 25 том, что интегральные траектории системы.лежат на поверхностях уровня интеграла f. Эти поверхности'являются (в точках общего положения) гладкими гиперповерхностями в М. Если известно несколько интегралов flt...,fr поля (уравнения) v и если они функционально независимы на какой-то открытой области в мно- многообразии, это позволяет понизить порядок системы- (в этой об- области) на г единиц (рис. 25). Таким образом, .поиск максимально возможного числа незави- независимых интегралов векторного поля — важная задача. Длягамиль- 76
тоновых систем поиск интегралов иногда облегчается за счет спе- специфики таких систем. Теорема 3. 1) Пусть u = sgrad/ — гамильтоново поле с га- гамильтонианом f на с'имплектическом многообразии М. Тогда функ- функция g на М является интегралом поля v тогда и только тогда, когда ее скобка Пуассона с гамильтонианом f тождественно рав- равна нулю, т. е. {/, g}=0. . 2) Гамильтониан f всегда является интегралом гамильтонова поля t/ = sgradf. 3) Если hug — два интеграла поля u = sgradf, то их скобка Пуассона {h, g) также является интегралом этого поля. Этот ин- интеграл может, впрочем, оказаться зависимым с интегралами h и g (выражаться через них). Доказательство. Функция g является интегралом поля -sgradf = u тогда и только тогда, когда v(g)=0, т. е. когда {sgrad f)g = {f, g} = 0, что и доказывает п. 1. Есл.и g = f, то в силу косой симметрии скобки Пуассона полу- получаем {/, f} = 0, что и доказывает п. 2. Если h и g — два интеграла, то из тождества Якоби получаем {{h, g}, f}+{{/, h), g}+{{g,f), ft} = 0 и так как {f, h} = {g,f} = 0 (функции hug — интегралы), то {{h, ё), f}=0. т. e. {h, g) — интеграл. Теорема доказана. Итак, зная некоторый запас интегралов гамильтонова поля, можно строить серию других интегралов, вычисляя попарные скобки Пуассона исходных интегралов. Не все получающиеся при чтом пп'ктралы будут существенно -новыми, т. е. независимыми от предыдущих. Дело <ц том, что на 2п-мерном с'имплектическом MHOtoofipii-itiii не может существовать более чем п функционально Ht>aanU(intit\ (на открытых областях) функций. Однако в некото- некоторых случиич (iiiiicttiiiifiii процедура действительно дает новые инте-- грйЛЫ, lll'lliniU'llMUl' ОТ ИСХОДНЫХ. Рнгсмотрим поле y = sgradf на М. Гамильтониан f можно рас- смптринать как элемент алгебры Ли С°°(М) гладких функций на М. Можно рассмотреть линейное подпространство G(f) всех функ- функций g&C°°(M), коммутирующих с элементом f относительно скоб- скобки Пуассона, т. е. удовлетворяющих уравнению {f, g}=0. Ясно, что подпространство G(f) является совокупностью всех интегралов гамильтонова поля f = sgradf. Очевидно, что feG(f) (рис. 26). Таким образом, каждый гамильто- гамильтониан f однозначно определяет не- киторог подпространство G(f) ком- коммутирующих с ним функций, т. е. пространство всех интегралов по- поля si — strati /, Ии теоремы 3 сразу следует, что прск-трипстмо G(f) всех иптегрнлои янлнется подал- подалгеброй в алгебре Ли О(М) функ- функций на М. Подпространство G(f) сможет иметь бесконечную размер- яость, однако в нем можно выбрать . . Рис. 26 77
не более чем п различных коммутирующих функционально неза- независимых интегралов поля sgradf на 2я-мерном многообразии М. Остальные элементы пространства G(f) будут функциональ- функционально выражаться через эти независимые интегралы, если G (f) ком- коммутативна. Приведем полезную теорему, обобщающую результат Э. Нётер. Теорема 4. Пусть на симплектическом многообразии М дана гамильтоново поле y = sgrad/. Пусть гамильтониан f инвариантен относительно однопараметрической группы @х преобразований gt: М-э-М, порожденных некоторым другим гамильтоновым полем T = sgradg. Тогда гамильтониан g является интегралом поля v. Доказательство. Так как гамильтониан f сохраняется преобразованиями gt, то -r(f)=O, или (sgradg)f = O, т. е. {g, f} = 0, что и требовалось доказать. Существуют и другие обобщения теоремы Нётер. Пусть дано гамильтоново поле u = sgradf и другое гамильтоново поле w — = sgradg, коммутирующее с v. Это означает, что [v, ку]=0. На- Напомним, что это эквивалентно тому, что две соответствующие од- иопараметрические группы преобразований @" и <3W коммутируют как диффеоморфизмы многообразия М. Из коммутирования полей v и w следует 0=[и, w] = [sgrad[, sgradg] =sgrad{f, g). Из предложения 5 следует, что скобка Пуассона {f, g} являет- является локально постоянной функцией, а если многообразие М связно, то эта функция постоянна «а всем М. Итак, мы доказали, что два гамильтоновых поля v и w коммутируют (как векторные поля) ■& том и только в том случае, когда скобка Пуассона их гамильто- гамильтонианов {f, g) локально постоянна (в случае связного многообра- многообразия '— постоянна. 1.4. Теорема Лиувилля. Если для поля v на многообразии Мн удалось найти г независимых (почти всюду) интегралов fi, •••,)>, то порядок соответствующей системы дифференциальных уравне- уравнений понижается на г единиц. Геометрически это означает, что ин- интегральные траектории системы v движутся по .совместным по- поверхностям уровня интегралов f\,...,fr, которые (в случае общего положения) являются (N—г)-мерными гладкими подмногообра- подмногообразиями в М. Поэтому для полного интегрирования системы нужно иметь ./V—1 независимых интегралов. Тогда их совместные поверх- поверхности уровня будут одномерны и совпадут с интегральными тра- ркториями системы. Однако такой идеальный случай встречается редко. Чаще всего найти полный, запас интегралов не удается (или его вообще нет). Поэтому приходится довольствоваться раз- различными версиями «.частичной интегрируемости». При этом жела- желательно, чтобы частичная интегрируемость выглядела примерно так. Требуется найти набор независимых (почти всюду) интегралов fi,...,fr таких, чтобы их совместные поверхности уровня были дос- достаточно простыми, например, чтобы все они (в случае общего по- положения) были диффеоморфны какому-то одному и тому же простому многообразию. Кроме того, хотелось бы, чтобы исходная 78
система, будучи ограничена на эту совместную поверхность уров- уровня, превращалась бы на ней в «просто устроенную» систему, что- чтобы интегральные траектории допускали простое описание. Замечательно, что эта программа во многих случаях может быть реализована. Для некоторых гамильтоновых систем имеет место чрезвычайно полезная частичная интегрируемость, когда совместная поверхность уровня интегралов оказывается тором и ограничение- на него исходной системы задает условно периодиче- периодическое движение по тору. Остановимся подробнее на этой ситуации, которую условно на* зовем случаем коммутативной интегрируемости гамильтоновой системы. Будем говорить, что две функции f и g находятся в инволюции на симплектическом многообразии М2п, если их скобка Пуассона равна нулю (тождественно). Оказывается, чтобы более или менее полно описать картину движения интегральных траекторий га- гамильтоновых систем, достаточно найти лишь п независимых интег- интегралов, находящихся в инволюции. В этом случае каждый интег- интеграл «засчитывается за два- интеграла». Более точно каждый такой интеграл позволяет понижать порядок системы не на единицу, как и общем случае, а сразу на две единицы. Мы приведем здесь из- («Остпую теорему Лнувилля, решающую эту задачу интегрирова- интегрировании | П |. Теорема fl Пусть на симплектическом многообразии-М2п шОан набор п гладких функций /, /„, находящихся в инволю- инволюции, Обозначим через /И6 совместную поверхность уровня, зада- п'п-мун) системой уравнений f\ (х) =\\,... ,fn(x) =|n. Предположим, •'(к нц ней пес функции fi функционально независимы (т. е. гра- функций или их косые градиенты линейно независимы в точке на поверхности уровня). Тогда выполняются следу- следующие утверждения: 1) Поверхность уровня Мъ является гладким п-мерным под- подмногообразием, инвариантным относительно каждого векторного поля y, = sgrad fi, т. е. все эти поля касаются поверхности уров- уровня Mi. 2) Если поверхность уровня Мъ связна и компактна, то она диффеоморфна п-мерному тору Тп. В общем случае если М% связ- связно (но не обязательно компактно), и если все векторные поля я паяются полными на поверхности уровня, то Мъ диффеоморфно некоторому «цилиндру», т. е. фактору евклидова пространства R" tlo некоторой решетке (ранг которой не превосходит п). 'Л) Пели поверхность уровня Мъ связка и компактна (тогда она является тором Тп), то в некоторой ее открытой окрестности мож- можно ввести регулярные криволинейные координаты su...,sn; <pi,... ,ср„, называемые «действие — угол», с такими свойствами: а) Функции Si(x),... ,sn(x) задают координаты в направле- направлениях, трансверсальных (нормальных) тору Тп., и функционально выражаются через интегралы fi,...,fn. В этих координатах урав- уравнение тора задается так: Si = ...^=sn=0. 79
• б) Функции ф] (х),..., <р„ (х) задают угловые координаты на торе Тп (и, следовательно, на близких к нему торах, являющихся поверхностями уровня интегралов fi,...,fn). Другими словами, ф,- изменяются от 0 до 2л и задают представление тора Тп в виде стандартного прямого, произведения п окружностей, где ф,- — уг- угловая координата на 1-й окружности. в) Симплектическая структура ш, будучи записана в окрестно- окрестности тора Тп в координатах «действие—угол», приобретает канони- канонический вид co = 2ds<A^<P;- Это эквивалентно тому, что попарные скобки Пуассона координат «действие—угол» имеют простейший вид: {5£,5/} = {ф()ф;} = 0, {si,^j}—б(/. г) Каждое векторное поле u = sgradf, где f — любая функция из набора f],...,fn или любая функция, функционально выража- выражающаяся через функции fi,...,fn (поле касается тора), будучи за- записано в координатах «.действие—угол», приобретает простой вид: (fi = e{(si = O,... ,sn = O) = const. Здесь уравнения s, = 0 экви- эквивалентны уравнениям U — Ъ, где %\,...,%,п— постоянные, опреде- определяющие тор Тп как поверхность уровня fi = sb ... ,fn = ln. Таким образом, поле и имеет на торе Тп (в координатах '(pu...,<fn) про- простейший вид: его компоненты постоянны и интегральные траекто- траектории поля задают прямолинейную обмотку тора, т. е. условно пе- периодическое движение по тору. В каждой точке тора векторы vt = = sgrad/j образуют базис в касательной плоскости к тору. д) Функции qu...,qn из предыдущего пункта определены и в .некоторой окрестности данного тора. Поэтому на поверхностях уровня, близких к тору (и также являющихся торами), мы также имеем (fi = qi(sl°,.. .,sn°), где уравнения sx = st°,..., sn = Sn° задают близкую поверхность уровня. Таким образом, исходная система u = sgradf записывается в окрестности тора в координатах «дей- «действие—угол» так: sj = O,.. .,sn = 0, (pi = qi(su.. ■ ,sn), l<i^n. ■ Торы, указанные в теореме, иногда называются торами Лиу- Лиувилля. Ясно, что все они являются лагранжевыми подмногообра- подмногообразиями. Итак, если интегралы f\,...,fn независимы, то неособые ком- компактные совместные поверхности уровня являются объединениями торов. Вложение каждого из этих торов в объемлющее многооб- многообразие может быть достаточно сложным. Оно задается функциями f\,...,fn и тем сложнее, чем сложнее эти функции. Тем не менее, зная функции f\,...,fn, можно многое сказать о характере распо- расположения тора в многообразии. На торе исследуемое поле sg'radf устроено максимально просто. В координатах ф[,. .., <р„ оно ста- становится полем с постоянными компонентами, т. е. полностью опре- определяется заданием вектора скорости в какой-то одной точке то- тора. Все остальные Лекторы скоростей -получаются из него парал- параллельным переносом в координатах cpi,...,tpn (рис. 27). Теорема Лиувилля приобрела большое значение в современной геометрии и механике, физике благодаря тому, что, как оказа- оказалось, многие физические системы (и их геометрические многомер- многомерные аналоги) обладают набором интегралов в инволюции, позво- 80
Рис. 27 ляющим проинтегрировать систему в указанном смысле. Будем говорить, что гамильтонова система u = sgrad/ на симплектическом многообразии М2п вполне интегри- интегрируема по Лиувиллю (или допускает полное коммутативное интегриро- интегрирование), если для нее существует на- набор из п функций fi,..., fn, нахо- находящихся в инволюции и* пезависи-. мых, причем f\ = f и функции /],...,/„ удовлетворяют условиям теоремы Лиувилля. Набор функ- функций /ь ..., fn будем называть пол- полным коммутативным (инволютив- ным) набором функций. Задача интегрирования данной системы по Лиувиллю означает включение ее гамильтониана f в семейство функций, находящихся в инволюции и таких, что из них можно выбрать п независимых функций, где п — половина раз- размерности объемлющего многообра- многообразия. Если такой набор функций удается найти, то (в предположе- предположениях теоремы 5) траектории системы движутся по торам половин- половинной размерности, задавая на них условно периодическое движение в подходящих координатах. С точки зрения алгебры Ли С°°(М) функций на М2п, задача интегрирования гамильтоновой системы эквивалентна поиску ком- коммутативной подалгебры G(f), содержащей гамильтониан f данной системы и обладающей тем свойством, что в G(f) можно выбрать аддитивный базис из п независимых (функционально) функций. . § 2. Геометрические свойства скобки Пуассона 2.1. Первичность понятия скобки Пуассона. При изучении сим- плектических многообразий иногда чрезвычайно удобно класть в основу определения пшплоктпчноети на внешнюю 2-форму со, а операцию вычислении скобки Пуассона. Свойства скобки Пуассо- iiii могут быть определены аксиоматически. При этом понятие скобки Пуассона и некотором смысле 'более гибкое, чем понятие каноническом симнлектичеекон структуры, порожденной невырож- невырожденном формой о). Во многих палачах механики можно успешна полышипты'И вырожденной скобкой Пуассона. Однако пока мы сосредоточим внимание ни пены.рожденной скобке Пуассона. Определенно I, Ьудем считать, что иа гладком многообра- многообразии задана кммоничеаищ структура (скобки Пуассона)^ если на пространстве С°° (М)~гл1П1Ких функций "на М определена операция {,}, сопоставляющая каждой паре функций fug новую функцию {f, g} со следующими свойствамл: 81
1) {f-&}=—{&- f} {косая симметрия); 2) {f\ + fi, g} = {f\, g} + {f2, g} (билинейность); 3) {fg, h} = f{g, h} + g{f, h} {правило Лейбница); 4) {f,{g, h}} + {h,{f, g}} + {g,{h,f}} = ® (тождество Якоби); 5) если в некоторой точке *<=Л1 имеем df^O, то существует такая функция g, что в этой же точке {f, g}фO. Это свойство озна- означает невырожденность операции (скобки Пуассона). , Пусть- F = (fu...,fi), G=(gu...,gm) — два набора гладких функций на симплектическом многообразии М. Рассмотрим мат- матрицу Пуассона {F, G}, составленную из попарных скобок Пуассона функций наборов F и G, т. е. {F, G}= ({/,-, gj}). Тогда многие свойства скобки Пуассона можно переформулировать на языке матрицы {F, G}. - Лемма 1. Пусть в некоторой открытой области на многообра- многообразии М функции наборов F и G функционально выражаются через какие-то другие функции Z— (z\,..., zk). Тогда в этой области мы .имеем равенство {F,G} = A{Z,Z}BT, где А и В — матрицы Якоби: °П \ п_._ dg _/ dgj дг \ дгр / дг \ dzp Здесь fi = fi(zu...,zk), gj = gi(zu...,zk). . Доказательство вытекает из определения матрицы {F, G} и простых вычислений, которые мы предоставляем читателю. Отсюда следует, что если S — некоторое пространство функ- функций, функционально порожденных функциями r\,...,rs, то для за- задания скобки Пуассона на всем пространстве S достаточно задать ее лишь на функциях r\,...,rs, а затем продолжить на все про- пространство в соответствии с формулами леммы, 2. Ясно, что все предыдущие рассуждения можно провести для функций, опреде- определенных п-е на всем многообразии, а лишь на какой-то открытой его области. Следствие 1. Пусть х= (х\,... ,xN) — локальные координа- координаты на гладком многообразии MN. Рассматривая эти координаты как функции, определенные на некоторой открытой карте в М, мы можем построить соответствующую им матрицу Пуассона J = {x, х}= ({xi, х/}). Тогда матрица J кососимметрична и невырождена, в частности Ат = 2я. Если F и G — два произвольных набора глад- гладких функций, определенных на М, то выполняются тождества к ' дх дх Доказательство. Достаточно в качестве функций zu ... ,zk из леммы 2 взять локальные координаты х\,...,хы, а в качестве ■А и В — матрицы Якоби dft дх \ дхр I дх \ дхр
Если задать скобку Пуассона равенством {F, G} = —— J дх дх то условия 1, 2, 3 из определения 1 выполняются автоматически. Условие 5 эквивалентно условию det 1фО, т. е. невырожденности J=(Ja») в классическом смысле. Условие 4 (тождество Якоби) приобретает следующий вид (см. работу Я. В. Татаринова [133]):. . dJva r •> p; — "Г Jyp dx Г Jyp dxt dxp Для дальнейшего нам будут полезны некоторые простые свой- свойства ранга матрицы {F, G}. Пусть rk С обозначает ранг матрицы. С. Напомним известные неравенства для ранга произведения двух матриц. Если имеется матрица А размером lXk и матрица В раз-, мером kXm, то гкЛ^/, k; гк B^k, m и для ранга их произведения АВ выполняются неравенства гкЛ + гкБ—/г<тк ЛВ^гк Л, гк В. Обозначим через гк F ранг матрицы dfjdz, где F=(fu ..., /;),. Z=(zu ..., zk) и fi=fi(zu ..., zk). Тогда для общего равенства {F,G} = ——{Z,Z}—^-, считая для простоты, что rkZ=k', полу- получаем rkf + rkG + rk{Z, Z}—2k^rk{F, G}<rk F, rk G, rk{Z, Z). В частном случае, когда в качестве функций набора Z взяты локальные координаты х\, ..., х%п на многообразии, т. е. когда k = 2n, для соотношения {F,G\ — —— J —^— получаем следующие дх ох неравенства для рангов: rk^ + rkG—2/z^Crk{.F, GJ^Crk F, rk G. При этом мы использовали равенство rki = 2n. Будем понимать под независимостью функций их функциональную независимость. Лемма 2. Пусть (F, G}——— J —— , где х=(хи ..., х2п) — дх дх локальные координаты на многообразии. Если ранг матрицы {/•', G} максимален (пусть для простоты он равен l^m), то хотя бы в одном из наборов функций F, G составляющие его функции неза- независимы (соответственно rk F = l). Если в каждом из наборов F, G составляющие их функции независимы и {F, G} = 0, то l + m^.2n. Доказательство сразу следует из приведенных выше неравенств для рангов матриц. Определение 2. Будем говорить, что функции набора F находятся в инволюции с функциями набора G (в одной точке или и области), если {F, G} = 0, т. е. {/,-, g,} = 0 для всех i, j. Если /•'— (!, то будем говорить, что функции набора F находятся в инво- инволюции (инполютивный набор). Вообще (а особенно в алгебраических ситуациях) будем гово- говорить, что функции, находящиеся в инволюции, образуют инволю- тивный набор функций. Ясно, что если набор F находится ,в инво^ люции с набором G, то и набор G находится в инволюции с набо- набором F. Поскольку, как мы знаем, операция взятия скобки Пуассо- Пуассона превращает пространство гладких функций в алгебру Ли, то 83-
только тогда, когда они коммутируют (в смысле алгебры Ли -функций). На многообразии М2п, снабженном невырожденной £кобкой Пуассона, не может быть больше • чем п независимых функций в инволюции. В самом деле, напомним, что если функции f[, ..., ft независимы, то в точках общего положения независимы их градиенты. Следовательно, линейно независимы их косые гра- градиенты. Плоскость, натянутая па косые градиенты, является, «очевидно, изотропной плоскостью в пространстве, касательном к многообразию. Из гл. 1 следует, что в невырожденном случае размерность изотропной плоскости не превосходит п, что и требо- требовалось доказать. Рассмотрим на М2п симплектическую структуру о и порожден- порожденную ею скобку Пуассона. Ясно, что локальная система координат Z==(pi, ...,_р„, q , qn) является симплектической в том и только в том случае, когда матрица Пуассона этих функций имеет канонический вид J = {Z,Z}~ [p ^)=/. В этих канонических \ / симплектических координатах скобка Пуассона принимает клас- классе п\ V* dF dG , dF д<3 сическии вид {F,G}= \ 1 . Ami dpi dqc dqi dpi ■ i 2.2. Теорема Дарбу. Эта теорема утверждает, что если симп- лектическая структура на М2п невырождена, то для любой точки существует открытая окрестность с локальными координатами р\, ..., рп, q\, ■■■, qn такими, что форма ы записывается в кано- каноническом виде 'Ldpi/\dqi. Существует много разных доказательств этой теоремы. См., на- -пример, [5], [133], [42]. Следуя работе Я. В. Татаринова [133], мы приведем доказательство,, опирающееся на'свойства матрицы Пуассона. Лемма 3. Пусть на многообразии М2п в- окрестности некото- некоторой точки заданы п независимых функций р„ находящихся в ин- инволюции. Тогда существует набор из п независимых функций ц„ также находящихся в инволюции и таких, что полный набор не- независимых функций р\, ..., рп, q\, ..., qn задает симплектические координаты в окрестности данной точки. Доказательство. Обозначим набор функций ри ..., рп через Р. Рассмотрим векторные поля sgradp;, отвечающие функ- функциям pt. Так как {pi, p/}= [sgradp,-, sgradp,] и так как функции Pi находятся в инволюции, то поля sgradp, коммутируют. Из кур- курса дифференциальной геометрии известно, что если заданы k ли- линейно независимых векторных полей у,- таких, что все их попарные коммутаторы равны нулю в окрестности некоторой точки, то су- существует локальная регулярная система координат х\, ..., л>, JCk+i- ■■■, хп такая, что в ней и,-= , 1<(<^. Другими словами, 0X1 • любые k коммутирующих независимых векторных полей могут ■быть локально представлены как поля скоростей k координатных «4 '
sgrad p, существует система координат xu- ■-, xn, У и • ••, Уп такая, чт© sgradPi = . Поэтому равенства {р;, p.) = (sgradрЛ р, = —f-L = О dxi dxi означают, что функции pj не зависят от координат х\,...,хп, "т. е. pi = Pj(yu .... уп). Далее {*,-, Р/} = (—sgrad pj) xL = — —^- = — 6{/. Следовательно, OX j матрица Пуассона набора функций xhpf невырождена и все дальней- дальнейшие рассуждения можно вести в системе координат ху, . .. ,хп,р1,... ... ,рп. Заметим, что {хь х,} = %{,- (р1?... ,р„) = Ц-(Р), так как -~L = = sgrad ра (к:/) = (sgrad ра){хг, л:,-} = {ра, {г,-, а:/}} = {^-, {ра, ^£}} -f {x£, {х,-, Ра}} = 0 И .{P(,JC/} = const. Будем искать координаты (функции) qf в виде qj = Xj—fj(P)- Мы получаем тождества {pi,qj)=—8i;- и уравне- уравнения на функция /.-, а именно: {<?,-, <7/} = ^,-;Н—-——— = 0. Здесь мы — ■ dpi dpi использовали общее равенство: , В нашем случае Для того чтобы полученная выше система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество дру дрр ^Ра которое действительно выполнено в силу тождества Якоби, так как {{*«. ^р}. ^v} = {^Р> xv) = т^ • Лемма доказана. Легко проверить, что если qx> ... ,qn—какие-то другие координа- координаты, дополняющие координаты р\,...,рп, ю они связаны с коорди- иитамп A),..\,A„ соотношениями (/( г/Н- -—-, где <р = <р(Р). apt Д ox ti i ;i л v л ьс:т но т е о р е м м Дарбу. В силу леммы 3 допятчип покипит)», что в окрестноеги любой точки существуют п iKMtiHiifiiMMX функций и нниолюции. В действительности спра- ведлино более сильное ипд^уктпппое утверждение, а именно, если имеется к неэппигимых функций р\, ..., pt, находящихся в инво-^ люции, где к<п, то всегда существует независимая от них функ-" ция"р*+1, такая, чго {Рн+i, Р,}~0, 1<г<й. В самом деле, следуя доказательству леммы 3, получаем, что в некоторых координатах 85
\-to' "" PI) PJ- = —££-, из которых следует, что Pi=--pi(y\, .... Уъп-ь). Так как 2л—k>k, то существует новая функция Рк+\(у), независимая с функциями Pi(y), ..-, Рк(у). Тогда {р*.ц. Pi} = ^- = 0,что и требовалось доказать. Теорему Дарбу можно рассматривать как теорему о существо- существовании локального вложения окрестности любой точки симплек- симплектического многообразия М2" в симплектическое пространство R2" с каноническими координатами, причем исходная 2-форма, задан- заданная на М2п в окрестности точки, индуцируется стандартной фор- формой 2 dpi/\dqi из R2". Мы естественно приходим к следующему- вопросу: для любого ли симплектического многообразия М2п с точкой симплектической 2-формой существует глобальное вложе- вложение в некоторое конечномерное симплектическое пространство R2N, при котором каноническая 2-форма R2yv~индуцирует на М2п исход- исходную 2-форму? Решению этого вопроса посвящен следующий па- параграф. § 3. Вложения CHMiMeKTHHetKHx многообразий. Примеры симплектических многообразий Хорошо известно, что каждое компактное гладкое замкнутое многообразие Мт можно вложить в некоторое конечномерное евк- евклидово пространство R^ch-", где т — размерность многообразия, а s — число открытых шаров, образующих покрытие М. Известные теоремы Уитни позволяют существенно понизить размерность вложения, однако мы не будем здесь на этом останавливаться. Пусть теперь М2п — симплектическое многообразие. Можно ли вложить его в некоторое пространство R2N таким образом, чтобы симплектическая структура со на М2п индуцировалась бы стандарт- стандартной симплектической структурой Q па R2/V, т. е. чтобы ш = /*Й, где / : M->-R2N — вложение? Можно рассматривать как компакт- компактные, так и некомпактные многообразия. Определение 1. Пусть даны два симплектических много- многообразия (М, toi) и (N, ©г). Отображение f : M-+N назовем симп- лектическим, если /*(сог) =ыь т. е. симплектическая форма toi на многообразии М является прообразом симплектической формы ы2. Рассмотрим симплектические многообразия М и N одинаковой размерности. Согласно теореме Дарбу для любой точки х^М и для любой точки y^.N существует симплектический диффеомор- диффеоморфизм некоторой окрестности U (х) точки х на некоторую окрест- окрестность V(у) точки у. Таким образом, локально вопрос о вложении симплектических многообразий тривиален. Что касается вложения симплектического многообразия М в целом в другое симплектическое многообразие N, то может не существовать даже симплектического отображения / : A1-WV'. В са- самом деле, отображение / порождает гомоморфизм групп когомо- 86
логий f*:H2(N, R)-*IP{M, R). Класс когомологий [ол]е ^Н2(М, R), определяемый 2-формой соь может не принадлежать образу группы H2(N, R) ни при каком гомоморфизме j*:H2(N, R)-+H2(M, R). Итак, необходимым условием существования симплектического отображения из многообразия (М, coi) в многообразие (R2V, Hdpi/\dqi) является точность формы ом, т. е. возможность ее записи в виде a\~da, где a — некоторая 1-форма. Отсюда, в ча- частности, следует, что компактное замкнутое симплектическое мно- многообразие (М2п, Ш() нельзя симплектически вложить ни в какое симплектическое пространство (R2N, Й). Существование такого вложения противоречило бы невырож- невырожденности симплектической формы coi на М. Дело в гом, что точная 2-форма ом па компактном замкнутом ориентируемом многообра- многообразии не может быть невырожденной. В самом деле, если мы допус- допустим существование точной невырожденной фо_рмы, то, с одной •стороны, ее п-я внешняя степень дает 2п-мерную форму ы\п рима- нова объема на многообразии. Следовательно, jMwi" = vol М^---0. С другой стороны, форма ы\п точна, так как w\=da и ом" — =d{af\daf\.. ./\da) (n—1 раз). По формуле Стокса интеграл по замкнутому компактному многообразию М2п от точной формы <oi" равен нулю. Полученное противоречие доказывает отсутствие •симплектических вложений М2п в R2/V для компактного случая. В частности, мы доказали, что па компактном симплектическом - многообразии форма coi всегда иекогомологична нулю, т. е. опре- определяет ненулевой элемент в группе когомологий Н2(М, R). В част- частности, всегда Н2{М, R)=/=0. В силу невырожденности симплектической формы а>\ на много- многообразии М всякое симплектическое отображение f;M-*-N, coi = = /*(со2), будет погружением. Доказательство предоставляем чи- читателю. Необходимым условием существования симплектического погружения симплектического многообразия (М, coi) в симплекти- симплектическое многообразие (N, шг) является существование такого отоб- отображения f : M-+N, что индуцированный им гомоморфизм групп когомологий f* : H2(N, R)-^№(M, R) переводит класс когомоло- когомологий формы со2 в класс когомологий формы (oi, т. е. /* : [u^j—^lwi]. Согласно М. Л. Громову, это условие является и достаточным для существования симплектического погружения М в N в случае, 4>сли dim N^2d\mM (см. [270]). Приведем точную формулировку •тих результатов. Обозначим через /'(Л1, /V) многообразие 1-струй отображений из М и N. Тогда Jl(M, N) является расслоением над М, слой ко- которого есть объединение над х^М по всем y^N пространств ли- линейных отображений TxM-*-TyN. Обозначим это пространство L(TXM, TyN). Пусть QczJl(M, N) — подрасслоение расслоения Jl(M, N), состоящее из таких отображений h^.L(TxM, TyN), что для любых X, Y^TXM имеем coi(X, Y)=ix>2{hX, hY). Обозначим через B = BS(Q), s = 0, l,...,oo, пространство О-сечений M-^Qcz <zJl(M, N), а через A=As+l(Q) пространство С-с-отображений 87
v : M-*-N, струи которых /Tv : M-^Jl(M, N) переводят М в Q. Кро- ™е того, потребуем, чтобы В состояло из иммерсий с допустимьши гомоморфизмами, т. е. для любого у^В имеем у* ( [со2]) = [coi]. Рассмотрим естественное вложение / : А~*~В, J : y-^Jyl. Теорема 1. Отображение I индуцирует изоморфизмы /*: т(А)-+тц(В), s = 0, 1, ..., всех гомотопических групп пространств А и В, если сНтЛГ>2сНт./И. Рассмотрим вопрос о вложении симплектических многообразий в комплексные проективные пространства. Рассмотрим канонический гомоморфизм e:Hk(M, Z)-*- -+Hk{M, R), отображающий группы целочисленных когомологий многообразия М в группы его вещественных когомологий. Этот гомоморфизм возникает, когда мы стандартно вкладываем Z в R и рассматриваем каждую целочисленную -коцепь как веществен- вещественную. Напомним, что замкнутая внешняя /е-форма на многообразий ~М называется целочисленной, если ее класс когомологий является образом некоторого целочисленного класса когомологий при гомо- гомоморфизме 8. Удобно работать также со следующей формой этого определения. Замкнутая й-форма щ многообразии М называется целочисленной, если ее интеграл по любому замкнутому ^-мерному целочисленному циклу в М является целым числом. Эти интегра- интегралы называются периодами формы. Пространство CPN снабжается естественной кэлеровой струк- структурой, которой соответствует каноническая симплектическая струк- структура на СР^, задаваемая 2-формой йо. Легко проверить, что эта 2-форма представляет образующую в группе H2(CPN, R), являю- являющуюся образом образующей группы Н2(СР№, Z) при гомоморфиз- гомоморфизме 8. Следовательно, Qo является целочисленной формой. Ясно, что необходимым условием существования симплектического вло- вложения симплектического многообразия (М2п, coi) в (CPN, Qo) яв- является условие целочисленпости формы соь Оказывается, это усло- условие достаточно в случае замкнутого многообразия. В работе VI. Л. Громова содержится следующее следствие. Следствие I. Если симплектическалг форма на М2п имеет целочисленные периоды, то ее можно индуцировать из стандартной '-формы в СР2п (cdimRCP2n = 4n = 2dimAl). Это означает, что всегда существует симплектическое погруже- ие многообразия М2п в СР2п. Что можно сказать о существовании имплектического вложения? Следствие 1 имеет еще и такую- юрму. Следствие 2. Если М2п — замкнутое симплектическое мно- эобразие (компактное) и он — симплектическая структура на \2п, являющаяся целочисленной 2-формой, то всегда существует гмплектическое вложение М2п в CP-V для некоторого достаточно эльшого числа N. Следствие 2 было отмечено Тишлером как простая комбинация ;зультата Громова с известной теоремой Мозера о стабильности, риведем здесь эту полезную теорему.
Теорема 2. (Мозер [271]). Пусть Мт — замкнутое многооб- многообразие и mt (O^C^l) — гладкое семейство невырожденных 2-форм (или пг-форм) из одного класса когомологий. Тогда существует семейство диффеоморфизмов Ft:M-^M, 0</<l, такое, что Эта теорема Мозера-позволяет аппроксимировать построенное симплектическое погружение симплектическим вложением (в неко- некоторых случаях, указанных выше). Существование симплектического погружения М2п в CPN при условии целочисленности симплектической формы со сформулиро- сформулировано Громовым в [270]. Как мы отметили, существование симп- симплектического вложения следует из этого результата, скомбиниро- скомбинированного с теоремой Мозера. В самом деле (см. [253]), пусть g — симплектическое погружение М в CPN' при достаточно большом N. Можем считать, что N достаточно велико для того, чтобы погру- погружение g можно было сколь угодно близко аппроксимировать вло- вложением /. Выберем вложение /: М-^СР" так, чтобы форма /*Q0- была близка к форме ом. По теореме Мозера существует диффео- диффеоморфизм h многообразия М на себя такой, что h*(f*Q0) — W|. Сле- Следовательно, r=fh — искомое симплектическое вложение. Эти результаты были .обобщены Тишлером в [253] в следую- следующей форме. Оказывается, в некоторых случаях можно ослабить требования на форму coi, а именно: достаточно потребовать лишь ее замкнутости и целочисленности (т. е. отказаться от условия невырожденности). Теорема 3 (Тишлер). Пусть М — замкнутое компактное многообразие и со — целочисленная замкнутая 2-форма на много- многообразии (необязательно невырожденная). Тогда для достаточно большого N существует симплектическое отображение f : M-^CPN, такое, что f*(Qo)=cu, где Qo — стандартная симплсктическая форма на CPN. Стандартная 2-форма на CPN в однородных координатах (г0: Z\ : ...: zN) имеет вид N N Ц, - { [(TV,) (\\dzkAdzl N у » ичфсме 3 не предполагается невырожденность формы, то ут1Нфждп(ччям еущестпование не вложения, а всего лишь отображении мишппЛразим "» проективное пространство. Напом- Напомним еще раз, что люГша симплектическое отображение симплек- симплектического многообразия является погружением. Приведем идею доказательства теоремы Тишлера. Искомое отображение / строится в несколько этапов; /-й этап обознача- 89
ется через ft, 0</<p (p — некоторое число, зависящее от числа элементов некоторого открытого покрытия компактного многооб- многообразия М). Выберем fQ:M^~CPn таким, что /o*Qo и ш лежат в од- одном классе когомологий. Это можно сделать, так как СРп явля- является 2п-остовом комплекса Эйлеиберга—Маклейна типа /((Z, 2). Обозначим через da точную форму da = (o— /o*Qo. Для каждой точки х^М найдем такую ее окрестность Wx, что множество /о(И^а)с:СР" покрывается симплектической картой на СРп доста- достаточно малых размеров. Существование симплектического атласа следует из теоремы Дарбу и явно строится на СР" Тишлером. Выберем конечное подпокрытие W\, ..., Wp этого покрытия. Тогда существует набор вещественных функций /;*, 1и, 1^/г^р, носите- носители которых содержатся в одном из элементов покрытия {№",} и такие, что 11dhAdt da Для каждого /, 1^/^р, предположим выполненным индуктив- индуктивное предположение: существует отображение /,--i : ДО-»-СРя+'-;,. такое, что /!_, Q-г/-. =/;q» + ± 2i~;l dhkf\dtk. Заметим, что отображение fp было бы искомым. Остается про- провести шаг индукции, т. е. построить отображение // исходя нз ото- отображения fj_i. На M\Wj положим fj = ifj-U где i: CPn+J "]->- ~*-СРп~!' — естественное включение. Существует симплектическая карта на СРЯ+/ со значениями в шаре радиуса 1, B"+iR2 Обозначим через ai проекцию шара Bn+i(\) .на шар dR2<-n+i А\ а через лг проекцию шара В'н/A) на шар Пусть фх : DX~^BNA) — карта. Определим отображение gi : Wt-*-Bn+i(\), положив Л1^, = фх//-ь no,q, = hj+\:—П/, и отоб- отображение fi = (fx~lgi. Через фх обозначено симплектическое коорди- координатное отображение ц>х: Dx-*-BN (\), DxaCPN (для любого N). Теорема Мозера о стабильности симплектических форм позво-- ляет аппроксимировать построенное симплектическое погружение / : M~*-CPN сийплектическим вложением g : M-*-CPN. Чтобы полу- получить симплектическое вложение g замкнутого симплектического многообразия М с целочисленной симплектической формой о> в CPN, исходя из имеющегося симплектического погружения I: M~^CPN, аппроксимируем / вложением g0: M-^CPN таким, что все формы A — t)a + tgo*£~ioN = wi, 0</<1, невырождены. Тогда по теореме Мозера существует диффеоморфизм /•": М-*-М такой, что /г*со1 = ыо, т. е. /7*^о*Оол' = ш. Вложение gF : M-*CPN будет искомым. Теорема доказана. ч. Приведем еще несколько результатов о симплектических отоб- отображениях некомпактных многообразий, полученных В. А. Попо- Поповым (теоремы 4, 5, 6). Теорема 4. Пусть (М, ы) — произвольное симплектическое многообразие размерности m = In с точной симплектической формой 90
•w — da. Тогда существует собственное симплекгическое отображе- отображение (погружение) f : M^-R2N, /*B£Li dP(Ad<7,) = со, где Л: = ' Теорема 5. Пусть (М, со) — произвольное симплектическое многообразие с целочисленной симплектической формой со. Тогда существует симплектическое погружение f :M-+CPN, N — m3, 4imM — m = 2n. Существует симплектическое погружение g : AJ-> -*-<СР*"+1, образ которого g(M) содержится в V2n+1 = {Bq, ..., Zn, Zn+\, ..., z2n+\), существует k^.N, гкФ0} и отображение g:M^- -+V2N+l — собственное. Тогда g гомотопно вложению. Доказательство получается некоторой модификацией тео- теоремы Тишлёра, и мы его здесь опустим. Далее оказывается, что- справедливо обобщение теоремы Мозера на случай некомпактного многообразия; это обобщение позволяет строить симплектическое вложение, исходя из собственного симплектического отображения (погружения) (В. А. Попов). Приведем примеры симплектических многообразий. Теорема 6 (С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко). Пусть МА — лю- любое глпдкое компактное замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, Р\ — отрезок. Тог- ди примое произведение M3XD| MliJltlt'lCII lllMIUU'KrilMl'l'KIIM MIIO- rtjonini.'uieM, н чш'тностн, любое KOMiuiKTHoe ориентируемое грех- Мерное многообразие является нэокморгетпческой поверхностью (Т. е, многообразием постоянной чнерпш) некоторой гладкой га- мильтоповой системы. Как мы отмечали, простей- простейшим примером являются гладкие двумерные ориентируемые замк- замкнутые римановы многообразия, т. е. двумерные сферы с ручками (рис. 28). В качестве снмплекти- ческой структуры можно взять стандартную 2-форму римановой площади. Более сложный пример — ко- касательные расслоения к глад- гладким многообразиям. Эти расслоения возникают в классической механике как фазовые пространству механических систем. Если М — конфигурационное пространство механической системы (ко- (которое отождествим с некоторым многообразием М, простран- пространством положений системы), то ее фазовое пространство совпа- совпадает с кокасательным расслоением Т*М к М. Определим на Т*М естественную симплектическую структуру. Точкой Т*М является пара (х, I), где х^М, 1^ТХ*М, т. е. 5 — ковектор в точке х. Про- Рис. 28
екция p:T*M^f-M определяется так: р(х, |)=х. Слоем проекции над точкой х является кокасательное пространство ТХ*М. Построим на Т*М гладкую 1-фор'му а. Пусть а<=Ту(Т*М) — вектор, касательный к кокасателыюму расслоению Т*М в точке у^Тх*М. Дифференциал отображения р: Т*М^-М переводит вектор а в вектор р\а, касательный к М в точке х = р(у) =р(х, £ (рис. 29). Определив 1-форму а равенством а{а)=у{р„а), получь Of. i/гпЫ Рис. 29 ем, что значение формы а равно значению ковектора у ни р*а. В качестве искомой 2-формы возьмем w = da. . Легко рить, что эта 2-форма замкнута и невырождена. Следов^. Т*М превращается в симплектическое многообразие. Следующий пример — кэлеровы многообразия. Пуст- . комплексное многообразие, на котором задано эрмитово скалку- произведение {а, Ь). Рассмотрим co(a, b) =Im(a, Ъ). Тогда кососимметрическая невырожденная 2-форма. Кэлеровы многоии- разия задаются тем условием, что м.нимая часть со скалярного произведения {а, Ь) является замкнутой дифференциальной фор- формой. Следовательно, каждое кэлерово многообразие является сим- плектическим (обратное — неверно). Таковы, например, комплекс- комплексные проективные пространства (см. выше). Четвертый пример симплектических многообразий особенно важен здесь для нас, поскольку связан с алгебрами Ли. Это — орбиты коприсоединенного действия групп Ли. Пусть G — алгебра Ли некоторой группы Ли @. Напомним, что присоединенным пред- представлением группы Ли ® на алгебре Ли G называется действие, AdX Xl @ XG М ру р задаваемое формулой AdgX = gXg~l, где Л й д X<=G. Мы счита- считафру ем, что группа Ли является матричной группой, поэтому символ gXg имеет смысл как произведение матриц g, X, g~l. Присоеди- Присоединенное представление группы индуцирует присоединенное пред- представление алгебры Ли, а именно: adA- Y= [X, Y). Для нужд гамильтоновой механики особый интерес представ- представляет другое представление алгебры Ли, называемое коприсоеди- ненным. Пусть G* —. пространство, дуальное (сопряженное) к пространству G, т. е. пространство ковекторов (линейных функ-
ционалов) на алгебре G. Определим коприсоединенное представ' ление Ad* группы C на G* так: (Adg%)X — £,{Adg—iX). Диффе- Дифференциал этого представления в единице группы называется ко- присоединенным представлением алгебры Ли, , а именно: (ad*xZ)Y=Z([X, У]), где X, YzeG, £e=G*. Особый интерес для нас будут представлять орбиты коприсо- единенного представления группы @ на G*..Оказывается, на этих, орбитах имеется естественная симплектическая структура, в ре-1 зультате чего каждая орбита оказывается симплектическим мно- многообразием. Отметим, что в случае произвольной алгебры Ли ор- орбиты представлений Ad* и Ad, вообще говоря, различны (неэкви- (неэквивалентны). Однако, если на алгебре Ли существует невырожден- невырожденное скалярное произведение {X, У) такое, что (AdgX, AdgY) = (X, У> для любого ge @, то присоединенное и коприсоединенное пред- представления эквивалентны; в частности, они имеют одинаковые ор- орбиты (при отождествлении G с G*). Все так называемые полупростые алгебры Ли удовлетворяют этому условию. Билинейная форма {X, y> = Spur ad.? ady называ- называется формой Киллинга на алгебре G. Полупростые алгебры Ли характеризуются тем свойством, что форма Киллинга Невырож- Невырождена на алгебре G. Перейдем теперь к построению симплектической структуры на орбитах коприсоединенного представления. Пусть $^G* — про- произвольный ковектор. Через О(|) обозначим орбиту этого элемента при действии группы ©, т. е. O(g)={Adg*g; ge@ } (рис. 30). Лемма 1. Касательное пространство в точке | к орбите О(|) состоит из всех векторов вида adx* |, где X пробегает G. Доказательство. Любой касательный вектор к орбите О(|) в точке | имеет вид dt для некоторого X^G. Пусть в\, ..., еп — базис в G, а е1, ..., еп — 'базис в G*, сопряженный к базису ei, т. е. е'(е/) =б/'. Если то £ = 2|»е', где & — линейная функция на G*. Получаем v = ] где что и требовалось докипать. Определение 2. Пусть о, ЬеГ^О(^) -т два касательных вектора к орбите 0A) в точке |. Тогда в силу леммы 1 можно считать, что векторы а и Ь допускают представление (неоднознач- (неоднозначное) в виде a — ad*Oil, р = аё^|, где аь b,^G. Положим. <i){(a, b)=|([ai, bi]). Кососимметрическая 2-форма ш оказывается
замкнутой и невырожденной на орбитах 0A) и называется стан- стандартной симплектической структурой (формой Кириллова) на ор- орбитах. Можно проверить корректность этого определения, см., например, [5]. Поскольку форма со задает симилектическую струк- структуру на каждой орбите, то все орбиты коприсоединенного пред- представления четномерны. Из определения формы легко следует, что она инвариантна относительно коприсоединенного представления.
ГЛАВА 3 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ И ИХ ГАМИЛЬТОНОВОСТЬ § 1. Классические уравнения движения трехмерного твердого тела 1.1. Уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие движение тя- тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Рассмотрим твердое тело, находящееся в поле силы тяжести и движущееся во- вокруг неподвижной точки О. Для описания движения удобно поль- - зовать'ся двумя системами декартовых координат. Первая из них бе- берется неподвижной в объемлющем трехмерном евклидовом прост- пространстве R3; координаты точки относительно нее обозначаются х\, у\, Z\. Вторая, подвижная система координат, жестко связана с твердым телом («вморожена в'него»); координаты точки относи- относительно нее обозначим х, у, z. Удобно считать, что оси подвижной (вмороженной в тело) системы координат направлены по главным осям инерции тела для точки О. Рассмотрим единичным помор с, направленный но оси zx неподвижной в проем ранстне < uruwii.i координат. Пусть его коор- координаты относительно подвижном ечктсмы координат (вращающей- (вращающейся имеете с телом) (>\ iyr u, |i, у. Ясно, что эти координаты явля- являются функциями иремони / (рис. 31). Через Р обозначим центр масс шердого тема и пусть х0, Уо, z0 — его координаты относи- относительно подвижной системы координат. Так как эта система жестко связана с телом, то числа х0, у0, z0 от времени не зависят (центр масс не меняет своего положения в теле относительно вморожен- вмороженных в него координатных осей). Пусть т — масса твердого тела И Л, В, С — главные моменты инерции тела относительно точки О. В силу выбора подвижной системы координат тензор инерции твердого тела можно записать в виде квадратной диагональной /А О 0\ матрицы I о В 0 )• Диагональный вид этой матрицы объяс- \о о с) няется тем, что оси вмороженной системы координат направлены по главным осям инерции тела. Пусть со — вектор мгновенной угловой скорости тела, коорди- координаты которого относительно подвижной системы координат обо- обозначим р, q, г. Ясно, что р, д, г являются функциями, времени. Итак, движение твердого тела описывается шестью функциямиу Р@. <?@> Г(Й> а@> Р@> т@- Через g обозначим ускорение силы тяжести. Ясно, что если d — вектор силы тяжести, приложенный 1 Л. Т. Фоменко ■ 97
в центре масс тела, то он направлен вертикально вниз (вдоль оси Ozi) и имеет вид d ——mge. Из классической механики известно, что если К — это кине*- тический момент тела относительно точки О, а М — момент внеш- внешних сил (в нашем случае — силы тяжести d), то согласно теореме об изменении кинетического момента имеет место соотношение dK ,, . „ —— = УИ, выписанное относительно неподвижной системы kooi- dt динат хи уи г,. Величины К и М можно вычислить явно. Эти вь числения мы здесь опустим. Проектируя указанное вектошю^ х Рис. 31 Рис. 32 уравнение на оси подвижной системы координат х, у, г, получао. следующие три скалярных уравнения, называемых обычно динп- мическими уравнениями Эйлера: A-%- + (C—B)qr = mg(zop—yoy), С — -rlB- dt ~^~ Эти уравнения содержат шесть неизвестных функций времен! р, q, г, а, р, у и шесть постоянных величин А, В, С, хо, Уо, Zo, ■x? рактеризующих распределение массы тела относительно главны; осей инерции для точки О. Чтобы замкнуть систему уравнение к ним следует добавить еще три уравнения, выражающих тсг факт, что скорость конца единичного вектора е в неподвижно! системе координат xi, y\, Z\ равна нулю (этот вектор неподвижен, Проектируя получающееся векторное уравнение на оси подвиг ной системы координат, получаем три недостающих скалярны уравнения: ___ da — qy, dt dt 98
Эти уравнения называются уравнениями Пуассона. Полная си- система всех шести дифференциальных уравнении называется урав-. нениями Эйлера—Пуассона. Задача их интегрирования весьма нетривиальна. Положение твердого тела в R3 в каждый момент времени од- однозначно определяется положением подвижной системы координат А", у, z, вмороженной в тело, относительно неподвижной системы. Чтобы задать это положение, достаточно задать так называемые углы Эйлера 8, ф, ф (рис. 32). При этом 8 обычно называется углом нутации, a ty — углом прецессии. Углы Эйлера можно вы- выразить через введенные выше функции р, q, r, а, р, у. Непосредст- Непосредственным вычислением устанавливается, что 0=arccosY, 9 = arctg-^-, ty = pa-,- «2 -Ь р2 Отсюда видно, что если тем или иным способом найдены ре- решения уравнений Эйлера—Пуассона p(i), q(t), r(t), a(t), Щ/), •у@, то приведенные выше формулы задают нам законы измене- изменения углов нутации 0(t) и собственного вращения ф(/) твердого тела. Закон же изменения угла прецессии ty(t) определяется квад- квадратурой из последней формулы (см. выше). Итак, для- описания 1 движения тяжелого твердого тела следует решить уравнения Эй-\ лера—Пуассона. Из теории дифференциальных уравнений извест- известно, что обнаружение первого интеграла системы позволяет пони- понизить ее порядок на единицу. Если же обнаружено k функциональ- функционально независимых интегр.члоп, это позволяет понизить порядок сис- системы па к единиц. Полому одной из важнейших задач в теории движения тяжелого твердого тела является поиск достаточного числа независимых интегралов. Для полного интегрирования уравнений Эйлера—Пуассона достаточно найти пять независимых первых интегралов, не содержащих времени, и затем выполнить еще одну простую квадратуру. Поскольку эта последняя операция принципиальных затруднений не вызывает, то задача сводится в основном к поиску пяти независимых интегралов. Оказывается три из них легко указать: 1) Так как функции a(t), p(tf), у(t) являются координатами единичного вектора е, то очевидно, что с^+рМ-у2 — 1. 2) Интеграл энергии Ap2 + Bq2+Cr2+2mg(xoa+yo$ + zoy) = = const. 3) Интеграл площадей Apa+Bqfi + Czy — const. Эти интегралы выписаны в координатах подвижной системы. Следовательно, для полного интегрирования уравнений Эйлера— Пуассона достаточно найти еще два независимых первых интег- интеграла. В действительности достаточно указать еще всего лишь один независимый (четвертый) интеграл (не зависящий от времени), после чего система может быть полностью проинтегрирована. Ос- Остановимся подробнее на этом важном обстоятельстве. 4* 99
Напомним известную тео£емц_^Якоби- из теории дифференци- дифференциальных уравнений. Пусть^задано дифференциальное уравнение £; — ^ которое можно переписать так: X2dxi— Х1 (*,, x.t) Хг(хи х2) —X^dx2 = 0. Хорошо известно, что для нахождения первого интег- интеграла этого уравнения следует найти такую функцию (так назы- называемый множитель Якоби) М(хи х2), умножение на которую (на- (нашего уравнения) обращало бы его левую часть й полный диффе- дифференциал некоторой функции f(x\, х2), т. е. чтобы выполнялось ра- равенство М (X2dx\—X\dx2)=df. В самом деле, если такой множитель существует, то d/ = O в силу нашего дифференциального уравнения, т. е. /(хь x2)=const и есть искомый интеграл. Интегрирующий множитель {множитель Якоби) может быть найден путем решения некоторого дифферен- дифференциального уравнения. В самом деле, поскольку df = ——dx. -\ —dx2, то из определе- dxj dx-i ния М следует, что —— = МХ„ и —'— = —MX,. Отсюда и из тож- дхх дхг дества / = / следует, что ——(МХ1)+—— (УИХ2)=0. oxidxi дхгдхх dxi дх2 Если множитель М известен заранее, то первый интеграл находится: по формуле f (Xj, х2) = \ М {xt, хг) Ха (xv х2) dxt—^ М (h, x.2) Xt (h, x2)dx2 — c h h Отсюда следует, что для нахождения первого интеграла / = const исходного уравнения достаточно решить уравнение -■■. (МХ,) + д dXl ~\ (МХ2)=0 относительно интегрирующего множителя, причем дхц достаточно найти любое частное решение М этого уравнения. Аналогичная конструкция' проходит и для системы п уравнений первого порядка —— = X,- (xv ... , хп), 1 ^ I ^ п. Представим эту сис- систему в виде —~— ... --—'—. Последним (интегрирующим) множи- Xi Хп телем Якоби для этой системы будем называть функцию М(хх, ... ,хп)г являющуюся одним из решений уравнения Теорема Якоби. Если для системы дифференциальных уравнений -*-1- — ... = —~ известны последний множитель ■ х1 хп М(х{, ..., хп) и п—2 первых интеграла системы, т. е. {з(х\, .. ..., xn)=const, ..., fn(X[, .... x,,)=const, то заменой переменных У\=хи У2—х2, yz=h, •••> Уп=]п исходная система уравнений при 100
водится к уравнениям —— = = —^2- известным интегрирую- щим множителем М(у\, ..., уп), который алгоритмически выра- выражается через известные п—2 первых интеграла /з, ..., fn и функ- функцию М. Поскольку это явное выражение нам в дальнейшем не потре- потребуется, то мы его здесь опустим. Таким образом, общий случай сводится к случаю уравнения для двух переменных, который ин- интегрируется описанным выше приемом. Вернемся теперь к ана- анализу уравнений Эйлера—Пуассона. Интегрирование этих уравне- уравнений, очевидно, эквивалентно интегрированию системы dp dq dr , da , dp _fi, dy где q'=-±-(mg(xoy-zoa)-(A-C)rp), a r' - a'=r-r$—qy, p'--=pv— ro, y' = qa—pp. Эту систему можно представить,в следующем каноническом ниде: dp dq _j_ dr _ da dp dy _ ~~Г~~~~~"~Г~~~~~~ ,, Как было указано выше, эта система всегда обладает тремя неза- независимыми первыми интегралами: Ар2 + Bq% + Сг* + 2mg (хоа + у0Р + гоУ) = ^ (= const), Ара + 5<7Р + Cry = с2 ( — const), Составим теперь уравнение для последнего интегрирующего множителя М:. dp dq op dy dr да 101.
Из явных формул, задающих функции р', q', г', а', {5', у' (см. выше) как функции от переменных р, q, r, а, р, у, легко получаем dp' dq' дг' ■ da' д[У ду' п — _ — — .._ —. у dp dq дг да dfi dy Поэтому уравнение для М заведомо удовлетворяется, если поло- положить Л1==1. Итак, мы нашли одно частное решение этого уравне- уравнения и можно считать, что М=\ и есть последний множитель урав- уравнений Эйлера—Пуассона. Следовательно, по теореме Якоби, для сведения этих уравнений к квадратурам достаточно знать лишь четыре (из пяти) первых интегралов, т. е. нужно добавить к трем уже известным квадра- квадратичным интегралам еще один дополнительный четвертый интеграл. Поискам этого четвертого интеграла посвящено много работ крупных математиков. Хотя в общем случае он не найден, однако многие его свойства (в тех случаях, когда его существование можно ожидать) удается выяснить. В некоторых случаях (для специальных форм твердого тела) четвертый интеграл можно указать явно. При этом четвертый интеграл можно искать в раз- разных классах функций: аналитических, гладких и т. п. Частные случаи, когда четвертый интеграл можно указать, ха- характеризуются ограничениями на форму твердого тела, т. е. на постоянные А, В, С (моменты, инерции) и Хо, у0, zQ (координаты центра масс тела). Перечислим некоторые из этих частных слу- случаев. 1.2. Интегрируемые случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. 1) Случай Эйлера. Он характеризуется тем, что тело произ- произвольной формы предполагается закрепленным в его центре масс, т. е. Хо = г/о = Zo = 0 (рис. 33). В этом случае уравнения Эйлера принимают вид + (CB)qr Q, B% at at Умножая их соответственно на Ар, Bq, Cr и складывая, получаем, очевидно, искомый четвертый интеграл A2p2+B2q2 + C2r2 = = с4( = const). Уравнения Эйлера интерпретируются как гладкое векторное поле в евклидовом пространстве R3 переменных р, q, r. Так как р, q, r — это координаты вектора со мгновенной угловой скорости в теле, то интегральные траектории уравнений Эйлера описывают нам эволюцию вектора угловой скорости со временем (относительно системы координат, вмороженной в тело). Уравнения Эйлера имеют два первых интеграла: Ap2 + Bq2 + + Cr2 = const и А2р2+B2q2+ C2r2 = const. Для исследования траек- траекторий системы удобно перейти к рассмотрению вектора кинетичес- кинетического момента К, связанного с вектором со угловой скорости прос- 102
(л и и \ О В О I — оператор О О С/ инерции, т. е. диагональная матрица, собственные числа которой совпадают с моментами инерции. Тогда уравнения Эйлера могут быть записаны в терминах кинетического момента следующим образом: -- [К, со], где К = Н(ы) и через [,] обозначено век- векторное произведение векторов в R3. Указанное дифференциальное уравнение можно рассматривать, конечно, и как уравнение отно- Рис. 33 Рис. 34 ительно вектора угловой скорости со, так как оператор h обратим в случае общего положения, когда все три главных момента 1нерции тела отличны от нуля). Так как <o = fo~1(/(), то /г(со) = - | /г (со), со], или (a = h-l[h((a), to]. Если декартовы координаты вектора кинетического момента К шозначить через (ku k2, k3), то уравнения Эйлера примут вид где —В ВС . Тогда указанные" выше два первых ' * СА ' квадратичных штеграла уравнений Эйл>ера запишутся так: —i- -i - + —— — const и k\ k2 -!- k\ -- const. Первый из них означает закон сохранения энергии, а второй — :акон сохранения момента. Таким образом, вектор кинетического ломента K(t), двигаясь вдоль интегральных траекторий вектор- 103
ного поля, изображающего уравнения Эйлера, движется в дейст- действительности по траекториям, получающимся как пересечения сфе- сферы и эллипсоида (рис. 34), Для определенности можно фиксировать эллипсоид и менять радиус сферы. Качественная картина траекторий показана на рис. 34. Среди них следует отметить шесть точек — концы шести полуосей эллипсоида. Это отдельные траектории уравнений Эйле- Эйлера. Этим шести положениям вектора .кинетического момента со- соответствует постоянное значение вектора угловой скорости, на- направленного вдоль одной из осей инерции тела, причем угловая скорость со при этом остается все время коллинеарной вектору кинетического момента. Таким образом, здесь тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в прост- пространстве оси инерции тела. Движение тела, при котором вектор угловой скорости постоянен, в классической механике называется стационарным вращением. Таким образом, из существования двух указанных выше первых интегралов следует такой результат: твердое тело, закрепленное в своем центре масс, всегда допуска- допускает стационарное вращение вокруг любой из трех своих осей инерции. Эти вращения отличаются друг от друга с точки зрения их ус- устойчивости. Можно проверить, что стационарные решения K(i), соответствующие большей и меньшей осям инерции (в том слу- случае, когда все моменты инерции попарно различны), устойчивы по Ляпунову, а решение K(t), соответствующее средней оси, неустой- неустойчиво. В самом деле, как видно из рис. 34, при малом возмущении начальных данных около большой, и малой осей интегральная траектория уравнений Эйлера остается малой замкнутой кривой (окружностью), следовательно, стационарное решение устойчиво. В случае средней оси малое возмущение стационарного решения заставляет конец вектора кинетического момента двигаться по замкнутой траектории «большого диаметра», в результате чего вектор К(t) быстро удаляется от средней оси эллипсоида (рис. 34). Таким образом, в случае Эйлера мы получаем довольно полное описание движения твердого тела вокруг закрепленного центра масс. Сделаем полезное для дальнейшего замечание. Твердое тело в случае Эйлера является механической системой, конфигурацион- конфигурационным пространством которой является группа ортогональных соб- собственных вращений пространства R3, т. е. группа SOC). Как мы увидим далее, эта ситуация является частным случаем более об- общих «групповых систем», являющихся многомерными аналогами уравнений Эйлера и также допускающих полное интегрирование 2) Случай Лагранжа. Он характеризуется тем, что А — Б и хо = уо = О. Это означает, что мы имеем дело с.осссиммстричным твердым телом {волчком), поэтому обычно говорят, что случай Лагранжа — это случай симметричного волчка. Другими словами ■симметричный волчок (или волчок Лагранжа) -~- это твердое тело 104
чллипсоид инерции которого является эллипсоидом вращения, центр тяжести лежит на оси вращения (рис. 35). В этом случае последнее из уравнений Эйлера приобретает вид г = 0. Следовательно, четвертый искомый интеграл устроен особен- особенно просто и имеет вид r = const. Движение волчка Лагранжа мо- может быть описано весьма детально, например, в терминах углов Эйлера Э, ф, г|л. В частности, наклон 0 оси волчка Лагранжа ме- меняется периодически по времени между двумя предельными зна- значениями Gmin и Этах (рис. 36). Если рассмотреть две параллели, Рис. ;)Г) Рис. 36 отвечающие углам бпи,, и Этах, то между ними возникает полоса, в которой и движется ось волчка. Периодическое изменение "угла О называется нутацией. Изменение угла <р называется прецессией. Следовательно, окончательное движение волчка Лагранжа состоит из вращения вокруг собственной оси, нутации и прецессии. Геомет- Геометрические свойства этих движений см., например, в [5]. 3) Случай Ковалевской. Этот важный случай интег- интегрируемости, как и случай Эйлера и Лагранжа, приобрел в послед- последние годы особое значение, поскольку были обнаружены многомер- многомерные аналоги (см., в частности, обзор С. П. Новикова [104], ра- работы А. М. Переломова). Случай Ковалевской характеризуется тем, что А=В = 2С и //о== zo = O. Уравнения Эйлера приобретают в этом случае вид cy', r = —cp, где постоянная с имеет вид с=-—mgxQ, где С — третий момент инерции. Умножая второе уравнение на i и складывая его с пер- 105
вым, получаем 2 (p + i</) =—ir(p + iq) +icy. Рассмотрим те- dt перь два первых уравнения Пуассона: a — rfi—qy, |3 = ру—Га- ^м" ножая второе уравнение на i и складывая с первым, получаем (а + Ф) = —ir(a-\-i$)-riy(p + iq). Исключим из двух полу- dt ченных нами комплексных уравнений величину у..Для этого умно- умножим первое уравнение на p+iq, а второе — на —с, "после чего сложим. В результате получаем [(p dt Это уравнение, очевидно, переписывается в следующем виде: JL In [(р + iqf-c (a + Щ = - ir. Аналогичным образом, только заменив умножение на i умноже- умножением на —I, получаем уравнение lii[(/?—iqJ—c(a—ф)] — ir. Складывая эти два последних уравнения, получаем тождество at * Следовательно, мы получили четвертый интеграл, который можно записать так: {(p + iqJ — c(a + i$] ■ [(р — iqJ — c(a — ip)]=const, или (p2—q2—caJ+ Bpq—c$J = const. Во Всех трех указанных случаях (Эйлера, Лаграпжа, Кова- Ковалевской) задача сводится к квадратурам. Общее решение урав- уравнений Эйлера—Пуассона выражается в случаях Эйлера и Лаг- ранжа в эллиптических функциях, а в случае Ковалевской — в ги перэллиптических функциях (см., например, [8]). К интегрируемым случаям относится также так называемьн случай Горячева—Чаплыгина, хотя здесь интегрируемость имев' место лишь на одной поверхности уровня. 1.3. Общие уравнения движения трехмерного твердого тела • Движение твердого тела в R3 под действием различных сил опи сывается во многих задачах классической механики следующим; общими уравнениями: К= [К, а] + [е, и], ё.— [е, го], где /( - кинетический момент тела, ы — угловая скорость тела, а вектор! е и и определяют физическое содержание задачи и зависят о ,г - ' д} условии движения твердого тела. Удооно считать, что со = — д] и « — , где Я (К, е) — некоторая известная функция наев1 де лидовом пространстве R6 = R3(K) XR3(e). Здесь каждый из вект( ров Кие меняется в трехмерном пространстве R3(/() и R3(£ соответственно. Как ча-стный случай, получаем уже рассмотреннь нами выше уравнения движения твердого тела с закрепление .106 .
точкой в поле силы тяжести. В самом деле, пусть е — единичный нсктор, направленный по вертикальной оси z, a u = mr — произ- произведение массы тела пг на радиус-вектор г центра масс. Полная энергия, т. е. функция Н, имеет тогда следующий вид: Н = — (К, /г1 (/С)} +т (г, е). Здесь {,) — обычное евклидово скалярное произведение в R3, a hrx — положительно определенный самосопряженный оператор. Уравнения движения тела запишутся теперь так: h (ш) = [h (ш), ш]+ш[е, г], ё=\е, со]. Сравнивая их с уравнениями" п. 1.1, мы видим, что это в точности уравнения Эйлера—Пуассона движения тяжелого твердого тела с закреплен- закрепленной точкой. Так как h — самосопряженный оператор, то в некото- некотором орторепере, связанном с вращающимся телом, он приводится к диагональному виду и тогда его матрица приобретает вид К 0 0 0 К 0 0 0 А. Собственные направления матрицы h называются осями инерции тела, а собственные значения hu h2, /г3 — главными моментами инерции тела. В этом случае уравнения движения содержат шесть параметров: hu h2, hz и mx0, my0, mz0, где r= (x0, yQj z0) — радиус- вектор центра масс тела. Приведем еще один важный пример. Возьмем в качестве функ- функции Н следующую положительно определенную квадратичную форму на шестимерном прострннстве Rw — R:i(K) XR3(e): II (К, .-) -j(AK, K)-\ (/Ж,' е) + ±-(Се,е). Тогда выписанные выше общие уравнения превращаются в так называемые #£08Н£нця Кирхгофа^ описывающие движение твер- твердого тела в идеальной безграничной жидкости. При этом векторы дн , . „ с и и = обыч1ю называются импульсивной силой и импуль- импульде сивным моментом соответственно. Так'как матрицы А, В, С сим- симметричны, то, не ограничивая общности, можно считать, что матрица А уже приведена к диагональному виду, т. е. А = При этом, конечно, остальные матрицы В и С отнюдь не обязаны диагопализироваться. * ' - Следовательно, в общем случае квадратичная форма Н (пол- пая энергия тела) зависит от 15 вещественных параметров — коэффициентов матриц А, В, С. Если накладывать па тело различ- различные ограничения (типа симметрии тела и т. п.), то число пара- 107
cl 0 0 0 C2 0 0 0 с. 15тров будет, конечно, уменьшаться. Например, если тело имеет язи взаимно ортогональные плоскости симметрии (таким свойст- свойством обладает, например, трехосный эллипсоид), то 6 = 0, С = § 2. Гамильтоновость уравнений движения тришерного твердого тела Напомним, что движение твердого тела в RJ описывается урав- уравнениями К= [К, со] + [е, и]', ё= [е, со], где К. — кинетический мо- момент тела, со — угловая скорость тела, а векторы е и и опреде- определяются физическим содержанием задачи, описывают взаимодей- взаимодействие внешних сил. Указанные общие уравнения имеют следующие три интеграла: /i = //, где полная энергия Н имеет вид H=-j-(K, h-1 (К)) + ш (г, е) (см. § 1, п. 1.3), затем f2 = (K, е) и }з = (е, е). Рассмотрим, например, задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвиокной точки. Тогда е — единичный вектор, направленный, по вертикальной оси z, и, следовательно, третий интеграл /з имеет вид 1ъ — (е, е)=1. Общие уравнения движения твердого тела задают векторное поле на шестимерном пространстве R6 = R3(/() XR3(e). Оказывает- Оказывается, это поле гамильтоново на совместной поверхности уровня двух интегралов /2 = с2 = const и /з = с3 = const относительно некоторой естественной скобки Пуассона (С. П. Новиков). Это позволяет применить к этой системе богатый аппарат исследования общих гамильтоновых систем. Рассмотрим, следуя [67], совместную поверхность уровня М2з двух интегралов f2 и /з, т. е. Л42з={/2 = С2, /з = с3>0}. Эта поверх- поверхность является четырехмерным подмногообразием в R6. Более то- того, ее топологическая структура легко описывается. Лемма I. Поверхность уровня М2з диффеоморфна (ко)ка- (ко)касательному расслоению двумерной сферы. Доказательство. Запишем в R5{K, e) два квадратичных уравнения: (е, e) = c3=const>0 и (К, e) = c2 = const. Так как вектор е меняется в R3(e), то первое уравнение означает, что его конец пробегает все точки стандартной двумерной сферы радиуса Ус3. Второе уравнение можно интерпретировать так. Отождествим R3(K) с R3(e), тогда уравнение (К, е) = с2 превращается при каждом фиксированном е в уравнение двумерной евклидовой плоскости, ортогональной вектору е и удаленной от начала коор- координат на одну и ту же величину (не зависящую от направления вектора е), см. рис. 37. Меняя е, мы получаем множество плоско- плоскостей, касательных к двумерной сфере фиксированного радиуса. Следовательно, два вектора К, е, удовлетворяющих указанным 108
уравнениям, однозначно определяют некоторый вектор, касатель- касательный к двумерной сфере, что и доказывает лемму, так как каса- касательное расслоение к сфере S2 определяется как четырехмерное многообразие, точками которого являются пары вида (е, |), где е — точка на сфере, а | — произвольный вектор, касающийся сфе- сферы в точке е (рис.38). _ - Рис. 37 Рис. 38 Определим теперь на пространстве R6(/(, е) некоторую опера- операцию {,} (из которой впоследствии мы изготовим скобку Пуассона на поверхности уровня М2з). По определению будем считать, что если К— (ki, k2, h) и е—(ёи е2, ег), то {ku ех} = {к2, e2} = {h, e3} = 0, {ки еи} = —е3. ('.(Kiiiii'TC1!чующая квадратная таблица, задающая операцию (,} па ofipji tyioimix ki и еи имеет вид 1 *l к кг *з ч е3 0 0 «3 -,2 ^2 -*з 0 *i -в. 0 * кК кг -к, 0 е2 0 0 е3 -Ь 0 0 0 ег 1 ез -,з 0 0 0 0 «2 —е1 0 0 0 0 Легко видеть, что эта операция задает на пространстве Я6(/С,_ е) структуру алгебры Ли, причем эта алгебра изоморфна алгебре Ли группы движений трехмерного пространства R3. Другими ело-' вами, она изоморфна полупрямой сумме двух подалгебр Ли: трех- 109
мерной подалгебры Ли R3(/(), изоморфной алгебре Ли группы SOC) вращений R3, и трехмерной абелевой подалгебры Ли R3(e), изоморфной алгебре Ли группы сдвигов (трансляций) в R3. При этом подалгебра Ли-R3(/(). представлена на подалгебре R3(e) стандартным образом. Считая теперь операцию {,} билинейной, косрсимметрической и удовлетворяющей правилу Лейбница дифференцирования про- произведений функций, мы можем распространить ее на пространство всех гладких функций, заданных на R6(K, e). Можно проверить, .что так определенная операция удовлетворяет тождеству Якоби. Итак, теперь мы можем вычислять «скобку Пуассона» любой па- пары функций па R6(K, e). Можно проверить (см. [67]), что урав- уравнения движения твердого тела представляются теперь в виде «,= = {*,,//}, ei = {eitH}, i= 1,2,3. Однако построенная выше операция обладает одним сущест- существенным недостатком: она вырождена. Действительно, функции (интегралы) /2 и fa коммутируют (в смысле нашей скобки) с лю- любой гладкой функцией g(K, e). Для того чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что функции f2=(K, е)=Е^г^г и !з = (е, e) = Ze,-2 коммутируют со всеми образующими k,, а. Подсчитаем, например, скобку {/2, k^}=-'L{kiei, k1} = 2 {kL, k^e^ +fe£ {eit k^} — = k3e2—k2e3+k2e3—k3e2 = 0. Аналогично проверяется, что {f2, k2} = = {/2, *8} = 0. Далее вычислим {/2, el}^2{kiei, e1}=2{ki, e^ei + 2 ki{et, et}= = 2{ki, e1}e£=e3<?2—e2ea = 0. Аналогично {/2, е2}~{/2, е3} = 0. Кроме того, {/„ e;} = 2{e?, e,) =0, {/3, *1} = 2{e?, *x> - 2e^8-2вле2 - 0 и аналогично {/3, k2}--={fa, ka} — 0. Следовательно, построенную выше вырожденную скобку Пуас- Пуассона можно сузить (ограничить) на совместную поверхность уров- уровня М2з интегралов /2 и f3. Можно убедиться, что в результате на пространстве функций, определенных на многообразии М2з, воз- возникает уже невырожденная скобка Пуассона {,}'. Вычисление этой скобки можно описать еще и так. Пусть f и g — гладкие функции на поверхности уровня Af23. Продолжим их гладким образом до функций /' и g', заданных на всем простран- пространстве R6(K, e). Положим по определению {/", g}'(x)={f, g'}(x), где х^М2з- Такое определение скобки {,}' корректно, т. е. не зависит от способа продолжения функций / и g до,функций f и g'. Итак, скобка Пуассона {,}' задает на поверхности Л42з структуру сим- плектического многообразия. Теорема 1. (С. П. Новиков, И.-Шмельцер [105]). Уравнения движения твердого тела R= \K, со] + [е, и], ё=[е, со] можно представить на совместной поверхности уровня M2i двух интегра- интегралов f2 и /з в гамильтоновом виде f = {f, h}', где h — сужение функ- функции Н на поверхность М2з- В том случае, когда второй интеграл f2 равен нулю, эта кон- конструкция принимает более простой вид, т. е. на поверхности Л4°2з— (/2=0, f3=const). Мы опишем ее здесь, следуя работе В. В. Козлова [67]. НО
Пусть /2=0 и К= [р, е]. Если /з>0 и fe={K, e) = 0, то вектор р существует и определен однозначно, с точностью до сдвигов вдоль вектора е. Положим далее М(р, е)=Н([р, е], е). Теорема 2 ([67]). Функции pit) и e(t) удовлетворяют ка- г дМ • дМ ноническим и равнениям Гамильтона р = , е = . де др Векторы е, р, К допускают простую интерпретацию, а именно: е — радиус-вектор точки в R3, р — ее импульс, К — кинетический момент (взятый с противоположным знаком). В случае /2=7^=0 за- замену переменных {К, е)-*-(р, е) следует производить более дели- деликатно (см. работу Новикова, Шмельцера). „ о т, „ • дМ дН дК Доказательство теоремы 2. паидеме= = . = др дК др = [е, о]. Поскольку К = [р, е], то е] = - [^-, е]+[р, [е, о,]), = +.и + 1<а,Р1 де де дК де L И1 Отсюда К=-[и, е]+[е, К р]]+[р, [е, <о]] = [К, со] + [е, и], что и завершает доказательство. Гамильтоиовость уравнении дпижеиия твердого тела на по- поверхности уровня Мгз интегралов /'., н f;) имеет глубокий алгебраи- алгебраический смысл. В дальнейших глпипх мы увидим, что этот факт справедлив и для различных многомерных аналогов уравнений движении тверд(I'о тела и именно благодаря ему удается проин- тегриронать по Лиуииллю соответствующие многомерные уравне- уравнения движения. / § 3. Некоторые сведения о группах и алгебрах Ли, необходимые для гамильтоновои геометрии В этом параграфе систематизируем уже известные (и некото- некоторые другие)-классические факты из теории групп и алгебр Ли. Как мы увидим дальше, в современных вопросах гамильтоно- гамильтоновои механики и геометрии часто возникают системы, обладающие теми или иными, вообще говоря, некоммутативными группами симметрии: Поэтому нам потребуются некоторые понятия, которые для удобства читателя мы собрали вместе в настоящем парагра- параграфе. Доказательства мы опускаем, отсылая читателя к учебной ли- литературе, например [53]. 3.1. Присоединенное и коприсоединенное представления, полу- полупростота, система корней и простых корней, орбиты, каноническая симплектическая структура. Пусть @ —группа Ли и иеТе @— вектор, касательный в единице. Разнесем вектор v с помощью ле- ■вых сдвигов по всей группе © . Получим векторное поле на груп- 111
пе. Более точно, для каждого aeS положим La(g)—ag. По- Поскольку La^1 = La-s то левый сдвиг является диффеоморфизмом группы. Положим £a= (dLa)rv. Построенное векторное поле яв- является левоинвариантным, т. е. 1аь= {dLa)bb,b для любых а, £>е@. Линейное пространство всех левоинвариантных векторных по- полей, очевидно, отождествляется с алгеброй Ли G данной группы Ли. Операцией здесь является коммутатор векторных полей. Если | — левоинвариантиое векторное поле на группе, то оно порождает некоторую глобально определенную группу диффеомор- диффеоморфизмов. Однопараметрической подгруппой в группе Ли назы- называется гладкий гомоморфизм g : R1—>-<§. Легко проверить, что ле~ воинвариантное поле | порождает однопараметрическую под- подгруппу. Итак, алгебру Ли группы Ли можно определить одним из че- четырех эквивалентных способов: 1) множество однопараметриче- ских подгрупп, 2) множество касательных векторов в единице группы, 3) множество левоинвариантиых векторных полей, 4) мно- множество левоинвариантных R'-действий. Можно определить отображение . exp:G-v@, при котором exp(tX) : R'-vjp, задает однопараметрическую подгруппу с векто- вектором скорости Jf в единице группы. Определение 1. Группа & действует еама на себе посред- посредством сопряжения (a, b)-+abcrl. Это действие индуцирует линей- линейное действие группы на ее алгебре Ли Ad :@-vGL(G), которое называется прцг.пр.диненным представлением группы. При этом AA ' ' g(g) Присоединенное представление труппы индуцирует присоеди- присоединенное представление ее алгебры Ли, а именно ad = d(Ad)e: G-v -vHom G. Имеет место равенство ad* Y= [X, Y], где [, ]-—ком- ]-—коммутатор в алгебре Ли. Для нужд гамильтоновой механики нужно другое представление. Пусть G* — пространство, дуальное к G, т. е. пространство линейных отображений /:G-vR. Определим коприсоединенное представление Ad* : @ -+GL(G*), (Adg* f)X= = f(Adg—iX). Дифференциал этого представления называется ко- присоединенным представлением алгебры Ли: ad* : G->Hom G*. Имеет место равенство: (ad** f)Y=}( [X, У]), X, Y<eeG, G* Иногда adx*/ будем обозначать через {X, /}. Здесь X^G, (Не путайте со скобкой Пуассона!) Мы будем интересоваться орбитами коприсоединенного пред- представления. Как мы уже отмечали, на них имеется естественная симплектическая структура и любое однородное симплектическое многообразие с инвариантной 2-формой можно реализовать в виде орбиты коприсоедииенного представления в некоторой алгебре Ли. Заметим, что орбиты присоединенного и коприсоединенного пред- представлений в общем случае различны. Приведем простейший пример, иллюстрирующий это явление. Пусть О—группа афинных преобразо- преобразований вещественной прямой х -*■ ах + Ъ, афО, а, Ъ eR. Эта группа / о, Ь \ г, допускает матричную реализацию: . Легко проверяется, что 112
о o cue,— *н? 2 О o o Из явного вида присоединен- то Ada E = .0 0 ного представления имеем |i = tii, Ц2=Ъ^1— Ъаь Следовательно, орбиты устроены так, как показано на рис. 39. Исследуем теперь орбиты коприсоединенного представления. В алгебре Ли G выбе- / 1 0\ / 0 1\ рем базис ех = 1 , е2— , а в G* — сопряженным базис /i, f2, где /,(e,) ==б,;. В этом базисе зададим координаты хи х2. Простые вычисления показывают, что Ad (Г поэтому орбиты устроены так, как показано на рис. 40. В частно- частности, представления Ad и Ad* этой группы неэквивалентны. ■•«•»»>( . Рис. 39 Рис. 40 Если на алгебре Ли существует симметричное невырожденное скалярное произведение (,) такое, что (AdgX,'AdgY) = (X, У), то присоединенное и коприсоединенное представления эквивалент- эквивалентны, т. е. они имеют, в частности, одинаковые орбиты. Все так на- называемые полупростые алгебры Ли удовлетворяют этому усло- условию. Билинейная форма Spurad.tady (или Re Sp'ur ad^ ady) на- называется формой Киллшга на алгебре Ли. Обозначим ее просто через {X, Y). Полупростые алгебры характеризуются тем, что эта форма невырождена. Напомним вкратце структурную теорию комплексных полу- иростых алгебр Ли. Максимальная абелева подалгебра TczG та- такая, что ad/i для всех элементов h^T является полупростым ли- линейным преобразованием G (т. е. приводится к диагональному ниду), называется подалгеЬрой.Картана. Если XeG — произволь- произвольный элемент, то через Т(Х) обозначим подпространство коммути- коммутирующих с X элементов в G. Элемент X называется регулярным,
Рис. 41 если dimT(X) минимальна. Если X — регулярный элемент, то Т(Х)—подалгебра Картапа. Регулярные элементы образуют в G открытое всюду плотное подмножество. Если алгебра Ли полупроста, то любая ее подал- подалгебра Картана коммутативна. Пусть дана" нолупростая алгебра Ли над полем комплексных чисел. Фиксируем некоторую подалгебру Картана Т. Линейная форма, a(h) на Т называется корнем, если существует такой эле- элемент Ea<=G, ЕаФ0, что \h, Ea] = tt{h)Ea для любого hdT. Пусть Ga — собственное подпро- подпространство, отвечающее элементу* а. Тогда G=r®Za^oGa, где знак Ф обозначает прямую сумму ли- линейных подпространств. В полу- полупростой алгебре Ли все подпро- подпространства Ga одномерны при афО (над полем комплексных чисел). Известно, что [Ga, Gf]czGa+Si, т. е. [Еа, Еь]==ЫацЕп+р. Если а + р=т^0, то E.j, и £е ортогональ- ортогональны относительно формы Киллинга. Векторы Па и Е-а, напротив, ие- ортогональиы (рис. 41). Ограни- Ограничение формы Киллинга иа картановскую подалгебру невырожде- невырождено. Если r=dimcT (число г называется рангом алгебры Ли), то существует г линейно независимых корней алгебры Ли (относи- (относительно Т). Полное число всех корней, вообще говоря, больше г. Поэтому множество всех корней не является линейно независи- независимым. Если а, р, а4 |3 — корни, не равные пулю, то [Ga, Gf,\=Ga+i. Единственные корни, пропорциональные корню аФО, это 0, ±а. Корни можно представить векторами Н'а^Т. Так как форма Кил- Киллинга невырождена на Т, то для каждого аеГ* (где Т* — про- пространство, дуальное к Т) существует единственный вектор Н'а^Т такой, что u(h)={h, Ha') для всех йеГ, Тогда если а^О, то [£«, Х]={Еа, Х)На' для X<=G_a и (а, а>^0. Через ТоаТ обозна- обозначим подпространство в Т, порожденное всеми векторами //«' с ра- рациональными коэффициентами. Ясно, что Го является «веществен- «вещественной частью» плоскости Т. Оказывается, что dirriQ 7=dimc T = 1 = — dimR7\ Здесь Q — поле рациональных чисел (не путайте с прежним обозначением алгебры кватернионов!). Далее, ограничение на То формы Киллинга положительно опре- определено и принимает рациональные значения; a(li')eQ при любоу й'еГс В частности, а(п')—вещественное число, если h'^Tu В дальнейшем через А мы обозначим множество ненулевых кор- корней алгебры Ли. Пусть Н\,...,НТ — какой-нибудь фиксированный базис в То. Если К, ц — две линейные формы па 70, то говорят, чт( 114
\;>\i, если k(tti)=i\(tli) при t=i, z,...,n и A.(nn+l)](+) Напомним, что если к, ц^корни, то Х(п'), ц (ft') — вещественные числа для любого Л'еГ0. Таким образом, на множестве А возни- возникнет естественное линейное упорядочение. Корень аеД называется положительным, если а>0, т. е. u(#i)=0 при t=l, 2,...,п и а(Яп+1)>0. Положительность корня и означает тем самым, что первая ненулевая его координата по- положительна. Линейная упорядоченность вводится неоднозначно. В дальнейшем будем предполагать, что базис Н\,...,НГ (где г= ранг алгебры) фиксирован. Обозначим множество положительных корней через Л1. Тогда A = A+UA~, где A+(]h~ = 0, причем суще- существует взаимно однозначное соответствие между Л+ и Д~, уста- устанавливаемое инволюцией а-*—а. Ясно, что если аеД+, то —аЕ е=Д-. Положительный корень а называется простым, если его. нельзя представить в виде суммы двух положительных корней. Если г= = ранг G = dimc Т, то существует ровно г простых корней ai,.., ..., а,-, образующих базис в Т над С и базис в То над Q. Кроме того, каждый корень |3geA можно представить в виде p = 2m,a;, где т, — целые числа одного знака. Если т,^0, то PgeA+; если tn^O, то р^А~. Система простых корней а\,...,аг обычно обо- обозначается через П. Система А однозначно восстанавливается по системе П. Положим V+=Sa>oGa, V-=2a<oGa, тогда G = T®V+®V~. Для дальнейшего в алгебре Ли фиксируем базис специального вида. Произвольный базис Ни...,Н,- в Т (над С) порождает ба- базис На в То (над Q) и в Т (над Q). Этот базис дополним векто- векторами E^Ga, a^O, аеД. Векторы Еа можно выбрать так, что (Еа, E-a)=i. Тогда операция коммутирования в алгебре G за- задается так: [ft, Ea]=a{h) Ea, hesT (a(ft) = Q, если ft GE To), afi£«-P> a + ^ 0—корень, 'Qf ■ а + р^0--не корень, (<ft, H'a)=*(h), he^T. Векторы Еа можно выбрать так, что JVaB = JV_a-,_B. Постоянные Л^ац можно считать вещественными (после соответствующей нор- нормировки векторов Еа). Рассмотрим коприсоединенное представление Ad* группы Ли, т. е. Ad*: ®-±GL(G*), где G* — пространство, дуальное к алгеб- алгебре Ли. Если .f^G*, то множество 0([)={Adg* f, geE®} назы- называется орбитой, проходящей через точку f. Как мы уже отмечали, на орбитах коприсоединенного пред- представления любой группы Ли имеется естественная симплектиче- ская структура (форма Кириллова), инвариантная относительно коприсоединенного представления. Остановимся па этом по- подробнее. 115
^ \l ) pd 1Ш1фШ.иСДШ1СППи1 U ф касательное пространство к ней имеет вид TfO(f) ={adx*/, geG}c=G*. Определение 2. Пусть |, r)er;0(f). Тогда, как было дока- доказано выше, можно считать, что | = ad*-;i/, ti = ad*n, f. Положим по определению o>(s, r\)=f{[h, *li])- Проверим корректность этого определения формы Кириллова. Вообще говоря, gi, r)i определены неоднозначно. Пусть /eG*. То- Тогда аннулятором ковектора f называется подпространство Апп/= = {IeG : adx* f=0}. Подпространство Ann/ является, как легко видеть, подалгеброй. Очевидно, что s=ad*5l/=ad*E! f тогда и только тогда, когда gi — |2^Апп f. Поэтому для проверки кор- корректности определения симплектической структуры надо показать, что f\h + h, 4\ + 4o]=f[h, Л|]. где |0, r)o^Annf, а это вытекает из линейности f и определения аннулятора. Утверждается далее, что со.— невырожденная внешняя 2-форма на орбитах. Это означает, что либо a) det(o>,-;) ¥=0, либо б) если A'(ь, ч) — 0 для любого l^TfO(f), то ц — 0. Проверим второе утверждение. Пусть о>(£, тг|) = f [si, r\]] ~0 для любого |ь где | = ==ad*5l f, Ti = ad*tllf. Тогда (ad*n,f)gi = O для любого |ieG, по- поэтому ad*,,, /:=0 и, следовательно,.Ti = ad*^,/=0. В частности, размерность каждой орбиты коприсоединенного представления четна. Ясно также, что симплектическая форма ин- инвариантна относительно коприсоединенного действия группы на орбите. Оказывается далее, что dw = 0' (т. е. форма замкнута), см. [5]. Как мы уже знаем, теперь мы можем определить на каж- каждой орбите скобку Пуассона. 3.2. Модельный пример: SL(n, С) и sl(n, С). Все основные эф- эффекты, связанные с системой корней полупростых алгебр Ли, в полном объеме проявляются на примере важной полупростой ал- алгебры Ли sl(n, С). Поэтому для удобства читателя мы проиллю- проиллюстрируем на ее примере основные свойства системы корней. После этого заинтересованный читатель уже без особого труда сможет уверенно оперировать с корневыми системами и в других полу- полупростых алгебрах Ли. Кроме того, уверенное владение техникой корней сегодня необходимо во многих вопросах гамильтоновой механики и геометрии. Если алгебра Ли является матричной (каковой является sl(n, С)), то операция коммутирования в ней задается так: \Х, Y] — = XY—YX, где XY и YX — обычные произведения матриц из ал- алгебры Ли. Для алгебры sl(n, С) форма Киллинга имеет простой вид (X, Y) = Spur XY. Напомним, что алгебра sl(n, С) состоит из комплексных квадратных матриц X размером (пХп) таких, что SpurX = 0. В качестве картановской подалгебры Т можно взять семейство диагональных матриц /а, 0. V 0 аП1 116
*де oi+ ... +ап=0. Элемент h регулярец тогда и только тогда, <огда все собственные числа матрицы I1 Различны, т. е. а^Фа-, при 1 Через Tij обозначим элементарную матрицу, в которой отли- 'ен от нуля лишь один элемент на м^ст^ (г, /), равный единице. Здесь i — номер строки, /— номер столбца. Картановская подал- подалгебра уже описана нами выше. Векторы Еа, являющиеся соб- •твенными для всех преобразований ad;,, имеют вид Tiit если /</, л —Tih если г>/ (рис. 42). В самом Дбле> вычисляя ad^r,;, полу- У J -\-~<л) \ о о \ \ - ч Рис. 43 l-, Тц]; т. е. а{1г)~щ — Qj. Таким образом, корни оры si(ti, С) нумеруются парой индексов г, /. Мы будем пи- ienepb a=a,j; aij(h)=cii — af (р'Ю. 43). Итак, алгебра s/(n, к;) представляется в виде ГФЕСГ,-,-. Та^им образом, в качестве корневого разложения алгебры можно ^зять ее стандартное раз* -пожение в прямую сумму одномерных подпространств ' СГ^- и :кости Т. .^етим, что картановскую подалгебру J можно при желании рассматривать как собственное подпр<^ранство преобразований adr, отвечающее собственному значеда^ равному нулю. Крат- -jCTb нулевого собственного значений Равна рангу алгебры, т. е. размерности картановскои подалгебрь1 (рис. 44). Так как Ea = Tij, то, коммутируя матрицы Еа = Тц и Е$ — ТРA, мы получаем соотношение [Г,,-, Tpq) =*NE Л^ 0 если все индексы г, /, р, q различны и \ц q формы Киллинга мы указали выше. Поэтому если а+$Ф0, то {Еа, £B) = Spur TijTpq=O. Таким образам, Еа и Eg, ортогональны ' лри а+|3#Ю. Если же а+р = 0, то векторы Еа=Тц и Е_а =—Тп неортогональны, так как (fa, f^^Spur Тц(—Т^)——1. Нако- Наконец, равенство [Ga, GB]=Ga+B, где, Например, a=alb- i<j, p = = аРч, p<q, может иметь место в то^ Ч только в том случае, ко- когда среди четырех индексов г, /, р, q есть два совпадающих: либо / = р, либо i=q. Это эквивалентно условию, что сумм_а корней a+р также является корнем. В саМо^ деле, ац{1г) +apq{h) = = {a+$)h = at — aj + ap — aQ равняется at — aq, если j = p, и рав- равняется ар — CLj, если i=q. Этот механизм показан на рис. 45, где так Tjq]=T iq как Л^аВ = 0, Явный вид 117
корень a,j (/*)== а* — а,- при i</ изображен стрелкой, щей, что. аг вычитается а,-. В случае sl(n, С) корень На', где a=aj.,-( i<j, изобоажае матрицей, показанной на рис. 46. Если a=a,,-, i>j, то па см рис. 47. Итак, Н'а=а.1.= Ти — Ти. Отсюда следует, что лине- оболочка матриц Та — Тц совпадает с подалгеброй Т. Рис. 44 Рис. 46 Рис. 47 3.3. Вещественные, компактные и нормальные подалгеин. сих пор мы рассматривали в основном комплексные полупоо'. алгебры Ли. Однако большую роль играют также различные вещественные подалгебры. Одна из них особенно замечате;.-. так как соответствующая ей группа Ли является компактно* группой. Определение 3. Пусть G — комплексная полупростая ал- алгебра Ли. Вещественная подалгебра Go алгебры Ли G (рассмат риваемая как алгебра над полем R) называется вещественно' формой комплексной алгебры Ли G, если каноническое отображе ние комплексного расширения Goc = Go®rC алгебры Go в алгес- ру G является изоморфизмом. В этом случае мы имеем равенствс- dimRG(j=dimc G. Это означает, что, комплексифицируя вещественную алгебра Go, т. е. рассматривая линейные комбинации ее элементов с 118
илексными коэффициентами, мы получаем всю объемлющую ал- алгебру G. Пусть Go— какая-либо вещественная форма комплексной по- полупростой алгебры Ли G. Тогда всякий элемент, из алгебры G од- однозначно представляется в виде X + iY, где X, Y^G^ Это разло- разложение алгебры G порождает естественную инволюцию а, отобра- отображающую алгебру G в себя. А именно o{X + iY)=X — iY. Эта ин- инволюция зависит от подалгебры Go и обладает следующими оче- очевидными свойствами: ст2=1, оХ = Х, если IeG0; a(A + B) =оА + оВ, <у(Ы)=коА,л[А, В] = [оА, оВ). Лемма 1. Пусть на алгебре Ли G задана инволюция а, об- обладающая перечисленными выше свойствами. Тогда эта инволю- инволюция определяет некоторую подалгебру Go в алгебре G, являющую- являющуюся вещественной формой. Доказательство. Обозначим через Go множество непо- неподвижных точек инволюции о на G. Из свойств а следует, что Go — вещественная подалгебра в G. Любой элемент А из алгебры G представляется в виде X+iY, где X, Y^G0. В самом деле, А — = (A + oA)/2+i(A — oA)jBi), где Х= (A + oA)/2<eeG0, Y=(A — — oA)/Bi), так как оХ = о{А + оА)/2 = Х, oY=Y. Лемма доказана. Рассмотрим на алгебре G форму Киллиига < ,). Ее можно ограничить на вещественную подалгебру Go. Обозначим это огра- ограничение формы через (, H'. На подалгебре Go определена своя форма Киллинга ( , )о- Возникает вопрос: совпадают ли эти две формы (с точностью до скалярного ненулевого множителя)? Во- Вообще говоря, ограничение формы Киллинга с объемлющей алгеб- алгебры на произвольную ее подалгебру не совпадает1 с формой Кил- Киллинга этой подалгебры. Однако в случае вещественных форм си- ситуация более благоприятная. Лемма 2. Если Go — вещественная форма полупростой ал- алгебры Ли, то две указанные выше формы совпадают (с точностью до ненулевого скалярного множителя). Определение 4. Вещественная алгебра Ли называется компактной, если ее форма Киллинга отрицательно определена, т. е. если соответствующая квадратичная форма удовлетворяет не- неравенству (X, Х)<0, если ХфО. Определение 5". Вещественная форма Go комплексной ал- алгебры Ли G называется компактной вещественной формой алгеб- алгебры G, если Go — компактная вещественная алгебра. Название «компактная алгебра» обусловлено тем, что группа Ли, имеющая компактную алгебру Ли, сама оказывается компакт- компактным многообразием. Лемма 3. Для того чтобы вещественная форма Go алгебры Ли G была компактной, необходимо и достаточно, чтобы эрмито- эрмитова форма (А, сгЛ) на алгебре G была отрицательно определена. Доказательство. Пусть Go — компактная алгебра Ли и A = X+iYe=G, тогда <Л, oA) = (X+iYt X — iY) = (X, X) + {Y, У>< <0. Обратно, если форма (А, оА) отрицательно определена, то при /4eG0, АфО имеем оА = А и (А, Д)<0. Лемма доказана. 119
и дальнейшем компактную форму мы будем обозначать рез Gc. Задача классификации всех вещественных форм алгебры сводится к классификации всех неэквивалентных инволюций полупростых алгебрах. Компактная форма определяется спе альиой инволюцией, которую мы сейчас опишем. Сначала рассмотрим наш модельный пример sl(n, С). Р смотрим на G инволюцию оА=А, т. е. операцию комплексного пряжения. Множество неподвижных точек этой инволюции сов. дает, очевидно, с подалгеброй вещественных матриц, являющей алгеброй Ли sl(n, R). Ясно, что форма Киллинга на алгеС Т=Тоф[Т0' Рис. 48 Рис. 49 sl(n, R) является вещественной формой вида Spur Х2=1,х2ц. Она, очевидно, не является отрицательно определенной (она индефи- индефинитна!). Поэтому $l(n, R) —вещественная, но не компактная фор- форма комплексной алгебры Ли sl(n, С). Компактная форма Gc строится так. Рассмотрим инволюцию T.G-+G, тА——Ат, где Т — транспонирование. Неподвижными точками этой инволюции являются косоэрмитовы матрицы со сле- следом ноль. Легко видеть, что это пространство является алгеброй Ли компактной группы SU(n). И в самом деле, вычисляя на этой вещественной форме Go форму Киллинга, мы сразу получаем, что она отрицательно определена. Оказывается, рассмотрев случай алгебры sl(n, С), мы факти- фактически смоделировали ситуацию, общую для всех комплексных по- полупростых алгебр Ли. Теорема 1. Каждая полупростая комплексная алгебра Ли обладает компактной вещественной формой. 120
Доказательство, мы просто предъявим в явном виде вло- жеипе компактной подалгебры в'алгебру Ли. Рассмотрим базис Иенли в алгебре G (см. его определение выше). Рассмотрим инво- инволюцию а, задаваемую на базисе Вейля так: оЕа = Е-а, если аф$, ah = —h для любого вектора /igT0, где ГосГ — «вещественная часть» подалгебры Картана Т. При этом будем считать, что а (XX) —ХоХ. Итак, отображение а действует так, как показано на рис. 48, т. е. O-.V+-+V-, a:V--vV+, а:Т0-+-Т0, <J:iT0~+iT0. Из свойств базиса Вейля сразу следует, что а—автоморфизм ал- алгебры. Найдем теперь вещественную форму, отвечающую этой инволюции. Из явного вида инволюции следует, что в качестве веществен- вещественного базиса в подалгебре неподвижных точек инволюции а можно взять векторы Еа+Е-а\ i(Ea—Е.-а); iHa. Утверждается, что это и есть компактная подалгебра в алгебре>С В самом деле, так как {Е„, Еа) = 0 и (Еа, £-а)= — 1, то достаточно вычислить сле- следующие скалярные произведения: (Еа+Е-а, Еа+ Е-а) = — 2, (i (Еа— Е-а), i (Еа~Е-а)) = {Еа + Е-а, i {Еа — Е-а)) = 0, (ili'a, Ша)== —а(Н'а) <0, учитывая при этом, что а(#а)>0 и что'вектор На является двойственным к линейной форме а. Следовательно, форма Кил- линга отрицательно определена на всей подалгебре неподвижных точек. Теорема доказана. Рассмотрим теперь более подробно вложение компактной фор- формы в алгебру. В G можно выбрать, очевидно, следующий вещест- вещественный базис: Еа -т.Е-а, i{Еа—~£-<*). Еа—-Е-а, i(Ea +£-«), На, Ша.' Это означает, что наряду с корневым разложением алгебры G = = T®V+®V~ (над С) имеется еще одно естественное разложение" (уже над R): G = T0®iT0®W+®W-, где W+=-.{Ea +E-a, i(Ea-~ -Е-а)}, W-^iEa-E-a, i {Ea + Е-а)},Ть ={На), гТи-{Ша}.В фи- фигурных скобках (не путайте со скобкой Пуассона!) указаны век- векторы, образующие базис в соответствующей плоскости (рис. 49). Ясно, что а= + 1 на плоскости W+@iT0 и а= — 1 на плоскости W~@T0. Следовательно, плоскость W+@iTa является подалгеброй (в отличие от плоскости W~(BT0). Эта подалгебра неподвижных точек совпадает с компактной подалгеброй Gc в алгебре G, т. е. \V4-@iTo=Gc. Итак, компактная алгебра Ли Gc в комплексной л.небре G натянута на следующие векторы: {£« + £_«, i {Еа—Е-а), Ша). 121
Рассмотрим присоединенное действие алгебры Ли Gc на себе, т. е. изучим действие преобразований вида аф, : Gt.-+Gc, где /ig &Го. Так как элемент h лежит в картановско'й подалгебре, то преобразование adft переводит в себя плоскость W+, ортогональ- ортогональную к плоскости it о- Мы пользуемся тем, что операторы ad/, ко- сосимметричны относительно формы Киллинга, а потому сохра- сохраняют ортогональное дополнение, переводя его в себя. Пусть h — iq, где q^.T0. Ясно, что adh {Еа + Е-а) =- i adp (Еа + Е-а) = га (q) (£„—£_„), где а(^)—вещественное число. Следовательно, adk(Ea +Е-а) = = a(q)i(Ea— Е-а.). Аналогично ad/,/(£«— £_«) = —a(q)(Ea + + £_«). Итак, оператор адн переводит в себя двумерную вещественную плоскость, натянутую на векторы Ea + E-a, i(Ea — E-a), и па этой плоскости задается следующей кососимметрической матрицей вто- , / 0 a(q)\ , . тл рого порядка: ad,= - . гДе h=iq. Итак, мы видим \ — a(q) 0 / отличие действия оператора adh на компактной алгебре от анало- аналогичного действия на комплексной алгебре. Если в комплексном случае этот оператор приводился к диаго- диагональному виду в базисе, составленном из корневых векторов, то в вещественном компактном случае этот оператор пе имеет вещест- вещественных собственных векторов в ортогональном дополнении к кар- тановской подалгебре iT0. Он приводится к блочно-диагоналыюму виду, т. е. записывается в виде матрицы, по диагонали которой стоят блоки размером Bx2). Каждый из них соответствует одно- одному корню и записывается указанной выше матрицей. В нашем модельном примере компактная алгебра Gc=su(n), где GcczG — sl(n, С), разлагается в прямую сумму подпространств su(n)=W+®iT0 где »Т0 = где Р/ вещественны, О Re №+ = {£«+£_»} = . — 1 122
вумерное инвариантное подпространство, натянутое на пару век- ■1в Еа + Е а, г(£а — Е-а), имеет в данном случае вид а + ib + ib I, где а, Ь вещественны. шается, компактная форма единственна в G с точностью омопфизма алгебры G. мы изучили корневое разложение алгебры sl(n, С). По- -""Db мы можем легко выписать в явном виде канониче- чие компактной формы Gc в алгебру sl(n, С). чторы Еа совпадают с элементарными матрицами а>0, и_с матрицами —TPq, p>q, если а<0. Сле- = Jp,— Tqp, i(Ea — E-^—lTpq + iTqp И, НЭ- Tq<i), если a{h)=ap — aq, p<q (рис. 50). Рис. 51 подпространство iTQ совпадает с подпростран- диагональных чисто мнимых матриц со следом ноль. _._остранство {Еа + Е-а} совпадает с подпространством всех -цественных кососимметрических матриц. Подпространство (£а — Е-а)} совпадаете подпространством всех симметрических .исто мнимых матриц с нулями по диагонали. Подалгебра Gc=W+@iT0 совпадает с подпространством всех косоэрмитовых матриц со следом ноль, т. е. с алгеброй Ли группы SU(n). Итак, нами фактически доказано следующее утверждение. Лемма 4. Стандартное вложение подалгебры su(n) в алгеб- алгебру Ли sl(n, С) совпадает с каноническим вложением компактной формы Gc в G. 123
Наряду с канонической компактной формой каждая полупро- полупростая комплексная алгебра Ли обладает канонической некомпакт- некомпактной формой, называемой иногда нормальной некомпактной формой. Рассмотрим снова базис Вейля в алгебре G и построим инво- инволюцию T.G-+G, где tEa=Ea, т#а' = Яа', т. е. отображение т тождественно на вещественной части плоскостей V+ и V~, а так- также на вещественной части Го картановскои подалгебры Т. Но эта инволюция отнюдь не является тождественной на всей алгебре, так как ■z(kX)=kzX. Следовательно, t(iT0)=—iT0, t(iEa.) =—iEa. Множество неподвижных точек инволюции т совпадает с плос- плоскостью fo®Re V+®Re V~, т. е. с линейной оболочкой (над R) век- векторов Еа, Е-а, На.'. Ясно, что это подалгебра. Определение 6. Вещественная подалгебра {Еа, £_а, #«'} называется нормальной некомпактной формой алгебры Ли G. В нашем модельном примере эта подалгебра совпадает с под- подалгеброй вещественных матриц со следом ноль, т. е. с sl(ii, R). Инволюция т совпадает здесь с инволюцией тЛ=Л, где черта означает комплексное сопряжение. Как и компактная форма, некомпактная нормальная форма определена однозначно с точностью до автоморфизма объемлю- объемлющей комплексной алгебры. Взаимное расположение ком- компактной и некомпактной форм в алгебре G см. на рис. 51, а более подробную схему на рис. 52. Это разложение по- показано над полем R, поэтому отдельно изображены как ве- вещественные, так и мнимые плоскости. , Компактная вещественная форма Ос допускает еще одну инвариантную характеристи- характеристику. Эта подалгебра является максимальной компактной под- подалгеброй в комплексной ал- алгебре Ли. Укажем еще одну часто появляющуюся в конкретных задачах гамильтоновой гео- геометрии и механики компакт- компактную подалгебру в комплекс- комплексной полупростой алгебре. Рассмотрим две описанные выше инволюции: а (опреде- (определяющую компактную форму) и % (определяющую пеком- Рис. 52 пактную нормальную форму). 124
Рассмотрим множество Gn точек, неподвижных относительно обеих инволюций. Так как а=1 на W+®rT0, а т=1 на То®{Еа}Ф{Е-а}, то Сп натянуто на векторы Еа + Е-а, так как они и только они остаются на месте при действии обеих инволюций одновременно. Следовательно, Сп является компактной подалгеб- подалгеброй. Она совпадает с пересечением в алгебре двух ее вещест- вещественных форм: компактной и некомпактной нормальной. Отметим, что подалгебра Gn отнюдь не является вещественной формой алгебры, так как ее комплексификация не совпадает с G. Подалгебра Gn иногда называется нормальной компактной подал- подалгеброй (но не формой! Не путайте!). В нашем модельном примере алгебры sl(n, С) получаем Gn= = Gcf1 (нормальная некомпактная форма) =so(n) —su(n)f}sl(nr R), так как косоэрмитовы вещественные матрицы являются косо- симметрическими. Изоэнергетический инвариант интегрируемых систем. В за- заключение настоящего параграфа сделаем анонс. В следующей главе будет предъявлен, в частности, обнаруженный автором го- пологический инвариант интегрируемых систем v на четырехмер- четырехмерных симплектических многообразиях М*. Инвариант представляет из себя граф К, двумерную поверхность Р2 и вложение т: К-*~Р2. Наряду с К можно рассматривать сопряженный граф К* = Г. В случае нерезонансных систем v все эти объекты не зависят от выбора второго интеграла. Вкратце опишем построение инвари- инварианта. Пусть /:Q-»-R—боттовский интеграл на компактной неособой '"связкой трехмерной изоэиергетической поверхности Q, т. че. инте- интеграл, все критические точки которого организованы в невырож- невырожденные критические подмногообразия. Пусть fa — связная компо- компонента поверхности уровня /"' (а) интеграла / иа Q. Совокупность всех связных компонент уровня а обозначим через {fa}- Пусть а — регулярные,-а с—критические значения интеграла f. Множество критических точек интеграла {, лежащих на множестве (на кри- критическом 'слое) /с обозначим через Nc. Для простого интеграла множество Nc связно, для сложного — несвязно. Пусть U(fc)—связная компонента трехмерного многообразия /"'[с + е, с — е], где е—мало, содержащая связное множество fc. Тогда t/ (fc)—3-многообразие, край которого состоит из торов. Можно считать, что Q имеет вид склейки 2t/(/c), где сумма бе- берется по всем критическим значениям с и по всем компонентам {fc}. Обозначим U(fc) через Qc. Тогда Q=SQC. Оказывается, каждое 3-многообразие Qc является расслоением Зейферта со слоем 51 иад базой.Рс2, являющейся некоторым дву- двумерным многообразием с краем. При этом, особая поверхность f,., вложенная в Qc, является подрасслоением этого расслоения. •В частности, поверхность /с является расслоением Зейферта со слоем S1 над .некоторым одномерным графом Кс, вложенным в по- поверхность Рс2. При этом база Рс2 и граф Кс однозначно определя- определяются заданием гамильтоновой системы v и интеграла f. 125
Пусть рс—проекция описанного расслоения Зейферта. Тогда имеем рс'- Q<-+Pc2 и pc'-fc-*~Kc- Край поверхности Рс2 состоит из окружностей. Их прообразы при проекции рс являются торами ■Лиувдлля в Qc. По этим торам происходит склейка 3-мпогообра- зин Qr и Qr' внутри Q. Эти склейки граничных торов, очевидно, индуцируют склейки соответствующих граничных окружностей по- поверхностей Рс и РС'- В результате получаем некоторую двумер- двумерную замкнутую поверхность Р = ИРС- На поверхности Р естественно возникает некоторый граф К. Для его построения возьмем объединение всех графов Кс (каж- (каждый из них вложен в Рс) и добавим к этим компонентам окружно- окружности К,-, являющиеся результатом склейки граничных окружностей поверхностей вида Ре и Рс> пр.и конструировании поверхности Р. Итак, положим К = {КС}+{КГ}- В результате получили пару: замкнутую 2-поверхность Р (ори- (ориентируемую или неориентируемую), а на ней — граф К. Имеет место важная теорема. Пусть v — гамильтонова не- нерезонансная система (т. е. система общего положения) на Q, а f — боттовский интеграл. Сконструируем пару I(H, Q, /) = (Р2, К), исходя из v и из /. Тогда пара (Р, К) не зависит от выбора вто- второго интеграла f. А именно, если' f и /' — любые боттовские инте- интегралы системы v, то существует гомеоморфизм ф: Р->-Р' такой, что следующая диаграмма коммутативна: К —-> Р Следовательно, пару (Р, К) можно обозначить через /(#, Q). Этот объект является топологическим инвариантом самого инте- интегрируемого случая (гамильтониана) и позволяет классифициро- классифицировать интегрируемые гамильтонианы по их топологическому типу и по сложности. Пару /(#, Q) мы назовем изоэнергетическим то- топологическим инвариантом ^интегрируемого гамильтониана'(инте- гамильтониана'(интегрируемой системы). Фиксировав Н и меняя постоянную энергии h (т. е. мёйяя Q), мы, получаем дискретное множество I (H) = = {I(H, Q)}. Назовем его полным топологическим инвариантом интегрируемой системы. Детали см. в Приложении 7.
ГЛАВА 4 ЭЛЕМЕНТЫ СИМПЛЕКТИЧЕСКОИ ТОПОЛОГИИ. КАЧЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ НА СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ § 1. Классификация трехмерных поверхностей постоянной энергии интегрируемых уравнений. Оценка количества устойчивых периодических решений на поверхности постоянной энергии. Препятствия к гладкой интегрируемости уравнений на симплектических многообразиях ■ 1.1. Случай четырехмерных симплектических многообразий. ,, Хорошо известно (см., например, [65—70]), что системы «общего Положения» обычно иеинтегрируемы. Поскольку для приложений фсобук? важность представляет случай, когда система интегри- интегрируется (например, по Лиувиллю), то становится понятно, насколь- насколько сложен поиск таких редких интегрируемых систем в необозри- необозримом океане систем, из которых «большинство» неинтегрируемо. ]|Начиная с этой главы мы переходим к рассмотрению самого фе- феномена интегрируемости и к поиску эффективных условий инте- интегрируемости, дополняющих уже известные. •|, Естественно начать со следующего вопроса: как связан факт ^интегрируемости гамильтоновой системы с топологией фазового ■\*(или конфигурационного) многообразия? |_ Традиционно считается, что полная интегрируемость по Лиу- Лиувиллю гамильтоновой системы дает более или менее полное каче- качественное описание поведения интегральных траекторий системы. Безусловно, в принципе это так. Однако при этом часто игнори- игнорируется то обстоятельство, что для такого описания требуется эф- эффективно найти переменные действие — угол (относительно кото- которых траектории системы превращаются в прямолинейные обмотки торов) в окрестности торов Лиувилля. Вложения торов Лиувилля в объемлющее фазовое многообразие могут быть весьма сложны- сложными (и примеры этого мы вскоре увидим). Ясно, что сложность вложения торов растет по мере усложнения интегралов системы. Так как обычно интегралы являются полиномами (с растущими степенями) или рациональными функциями, то конкретное иссле- исследование торов и переменных действие — угол часто затруднено, поскольку связано с решением нетривиальных алгебраических и иналитических проблем. На этом пути фундаментальные резуль- результаты .получены С. П. Новиковым и его школой. Ь А. Т, Фоменко . . 129
Поэтому уместно поставить следующий вопрос. Как распола- располагаются торы Лиувилля в фазовом пространстве? Как они примы- примыкают друг к другу? Как они заполняют открытые области? Кар они перестраиваются'в окрестности критических поверхностей ин тегралов? Другими словами, как построить качественную теории топологического расположения и взаимодействия торов Лиувилля (и тем самым расположения интегральных траекторий системы) например, на поверхности постоянной энергии системы? В настоящей главе мы дадим ответы на некоторые из этих во просов. Для простоты изложения мы. начнем с четырехмерной случая, хотя почти все формулируемые здесь результаты доказы ваются нами и в многомерном случае. Об этом подробнее будс рассказано в § 2. В последние годы получено много новых результатов в направ лении интегрирования гамильтоновых систем на симплектически: многообразиях. См., например, [103—106] (С. П. Новиков); [10G ПО] (М. . А. Ольшанецкий, А. М. Переломов); [123, 124 (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский, И. И. Френкель) [16—18] (О. И. Богоявленский); [22—27] (А. В. Браилов); [21 (А. В. Болсинов); [29] (А. П. Веселое); [50—52] (Б. А. Дубрс вин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков); [55] (В. Е. 3axapoi Л. Д. Фаддеев); [84] (С. В. Манаков); [93—100] {А. С. Мищен ко, А. Т. Фоменко); [134—144] (В. В. Трофимов); [146—149 (В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко); [152—157] (А. Т. Фоменко) [266] (М. В. Карасев, В. П. Маслов); [5] (В. И. Арнольд) [168—169] (Адлер, ван Мёрбеке); [101] (Мозер); [201—203 (Гийемин, Стернберг); [206] (Хольм, Купершмидт); [225-] (Mai ри); [226] (Мамфорд); [227] (Марсден, Вейнстейн); [228] (Mai Кин); [245—246] (Ратью) и др. (см. список литературы в кони книги). Таким образом, накоплен богатый экспериментальный матер! ал. В связи с этим особый интерес представляет задача обнар] жения устойчивых замкнутых интегральных траекторий интегр1 руемых систем. Такие траектории отвечают периодическим движ! ниям системы. В настоящей главе автор доказывает, что в некоторых случая можно гарантировать существование по меньшей мере двух усто, чивых периодических решений на трехмерных поверхностях пост* янной энергии (изоэнергетических поверхностях) у интегрируемс системы, исходя всего лишь из данных об одномерных гомология этих поверхностей (теорема 1) или из данных о фундаментально группе. Этот результат следует из общей классификационной теор Мы 3 автора о полной топологической классификации и о канон ческом представлении поверхностей постоянной энергии интегр руемых систем (на четырехмерных симплектических многообр зиях М4) в виде объединения (склейки) трехмерных многообр зий трех простейших типов. В частности, это дает простую кла 130 .
сификацию всех неособых поверхностей постоянной энергии инте- интегрируемых систем. При этом мы предполагаем, что система обладает вторым гладким интегралом, который мы назовем «боттовским». Это ин- интеграл, критические точки которого могут быть вырождены, но обязательно организованы в невырожденные гладкие критические подмногообразия. В связи с этим нам потребовалось развить новую специфиче- специфическую «теорию типа Морса» интегрируемых гамильтоновых, систем, отличающуюся от обычной теории Морса и от теории Ботта функции с вырожденными особенностями [180]. В частности, мы развиваем также некоторые важные идеи, вы- высказанные Д. В. Аносовым [1], С. П. Новиковым [103, 105], В. В. Козловым [65], С. Смейлом [126]. Мы ставим затем следующий вопрос: обладают ли неособые поверхности постоянной энергии интегрируемых систем специфи- специфическими свойствами, выделяющими их среди всех гладких трех- трехмерных многообразий? Естественно ожидать, что в боттовском, аналитическом и ал- алгебраическом случаях далеко не всякое многообразие может вы- выступать в такой роли. Другими словами, вероятно, далеко не вся- всякое многообразие реализуется в виде поверхности постоянной энергии интегрируемой системы. В следствии 4 эта гипотеза доказана нами в боттовском слу- случае. Отсюда, в частности, мы получаем некоторые новые тополо- топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем в классе гладких боттовских функций (следствие 2). Исследуя гео- геодезические потоки на двумерной сфере (и доказывая неинтегри- .руемость потоков общего положения в указанном классе интегра- интегралов), мы опираемся'на работу Д. В. Аносова [1], а также на ре- результаты Клингенберга и Такенса [63]. Как отмечалось выше, сегодня известно много способов дока- доказательства аналитической неинтегрируемости систем общего по- положения. См., например, работы [62—68] (В.4 В. Козлов), [70] (В.-В. Козлов, Д. А. Онищенко), [20] (С. В. Болотин), [56, 57] (С. Л. Зиглин) и др. Некоторые из этих способов обобщают ме- методы А. Пуанкаре [121, 122]. Наши результаты дополняют эти ис- исследования, поскольку позволяют эффективно давать ответ на во- вопрос о существовании или о несуществовании (в некоторых слу- случаях) боттовских интегралов. Этот класс интегралов отличается от класса аналитических интегралов. Подчеркнем, что, по нашему мнению, следует уделить особое ■внимание изучению эффекта интегрируемости на- одной, отдельно взятой, фиксированной поверхности постоянной энергии. На это обстоятельство неоднократно указывали С. П. Новиков- и В. И. Арнольд. Это связано с тем, что часто встречаются ситуации в механике и физике, когда гамильтонова система интегрируема лишь на одной поверхности постоянной энергии и неинтегрируема на остальных поверхностях. Аналитические же системы обычно *)• ■ ■ 131
либо интегрируемы сразу на всех поверхностях уровня гамильто- гамильтониана, либо ни на одной. Поэтому нам представляется полезным рассматривать гладкие системы и гладкие интегралы, допускаю- допускающие одновременное присутствие как «интегрируемых», так и «не- интегрируемых» поверхностей постоянной энергии. В связи с этим возникает следующая общая задача. Пусть за- задана гамильтонова система с гамильтонианом Я. Требуется выяс- выяснить: существует ли среди поверхностей постоянной энергии этой системы хотя бы одна поверхность, на которой система интегри- интегрируема? Возникает естественная гипотеза, что у многих гамильтоновых систем (в целом неинтегрируемых) такая «одинокая» поверхность существует. Ясно; что гладкий (или аналитический) интеграл f, интегрирующий систему t> = sgrad# лишь на одной поверхности уровня гамильтониана, удовлетворяет более слабому уравнению, чем обычное уравнение инволютивности {Я, f}=0. А именное он должен коммутировать с гамильтонианом Я лишь на самой по- поверхности уровня, а вне ее он уже не обязан коммутировать с Я. В простейшем виде это условие можно записать равенством {Я, f}=K(H), где функция К(Н) такова, что Л@)=0 н —- =0 / ап я=о (см. [65]). Здесь мы считаем, что интересующая нас изолирован- изолированная поверхность уровня гамильтониана задается уравнением Н= =0. Таким образом, общее уравнение {Я, f}=X(H) заслуживает самого тщательного изучения. Рассмотрим на поверхности уровня гамильтониана два векторных поля: 8§гас1Я и sgradf. Для того чтобы они коммутировали на поверхности уровня, достаточно, чтобы градиент функции {Я, /} обращался в ноль на поверхности Я=0 [65]. В самом деле, мы знаем, что [sgrad#, sgradf] = = sgrad{//, /}. Итак, функция К{Н) должна быть квадратичной по Я в окрестности значения Я=0. В частности, можно было бы сначала изучать общие свойства уравнения {Я, /}=еЯг, где е — постоянная, отличная от нуля. Перечисленные выше задачи являются частными случаями об- общей задачи некоммутативного интегрирования, фактически восхо- восходящей еще к Э. Картану [61]. Разные современные версии этой задачи проанализированы В. В. Трофимовым и А. Т. Фоменко в обзоре [145]. Из теоремы Лиувилля следует, что все неособые двумерные компактные поверхности уровня второго интеграла / (на многооб- многообразии по'стоянной энергии), т. е. совместные поверхности уровня обоих интегралов Я и f, являются объединениями торов. Оказы- Оказывается, можно полностью описать структуру особых поверхностей постоянной энергии. Они оказываются гомеоморфными двумерным клеточным комплексам, получающимся специальной (легко описы- описываемой) склейкой двух двумерных торов. Это описание позволяет ' в частности, полностью описать поведение интегральных траекто- траекторий системы на особых поверхностях уровня интегралов. 132
В § 2 настоящей главы мы строим новую многомерную топо- топологическую теорию интегрируемых систем. В качестве одного из сг приложений мы даем полную классификацию перестроек обще- i-ii положения торов Лиувилля в окрестности бифуркационных диаграмм отображения момента интегрируемых систем. Оказы- нается, канонические перестройки торов могут быть описаны явно: и эффективно. Это позволяет описать события, происходящие с торами Лиувилля и с интегральными траекториями системы на критических уровнях энергии (т. е. в тот момент, когда тор Лиу- Лиувилля «натыкается» на критическое значение интеграла энергии). Перейдем к точной формулировке наших результатов. Пусть М4 — четырехмерное гладкое симплектическое многообразие, на котором задана гамильтонова система t> = sgrad#, где Н — глад- гладкий гамильтониан. Положения равновесия хо системы v — это кри- критические точки функции Н. Так как Н—интеграл системы v, то поле v можно ограничить на инвариантную трехмерную поверх- поверхность Q постоянной энергии, т. е. Q={x^M : Н{х)= const}. Яв- Являясь симплектическим многообразием, М4 ориентируемо, а пото- потому многообразие Q также ориентируемо. Рассмотрим некритические поверхности уровня Q, т. е. такие, на которых gradH=£0. Для полной интегрируемости по Лиувиллю системы v на многообразии М достаточно найти еще один (вто- (второй) интеграл f, независимый с Н (почти всюду) и находящийся с ним в инволюции на поверхности уровня. Пусть такой интеграл существует. Ограничим его па поверхность Q и получим гладкую функцию. Как уже отмечалось, мы будем рассматривать интегри- интегрируемость системы лишь на какой-то одной поверхности постоян- постоянной энергии. Определение 1. Будем называть гладкий интеграл / бот- товским па поверхности Q, если критические точки функции f на Q образуют невырожденные критические гладкие многообразия. Общие свойства таких гладких функций (не интегралов) изу- изучены в известных работах Р. Ботта (см., например, [180]). На этом основании такие функции уместно назвать боттовскими. У нас не возникнет путаницы с обычными функциями Морса, так как последние в нашем анализе будут встречаться редко (такие случаи мы оговорим). Напомним, что критическое подмногообра- подмногообразие для функции f называется невырожденным, если гессиан d2fs функции / невырожден на плоскостях, нормальных к подмногооб-. разию. В нашем случае невырожденные критические подмногооб- подмногообразия для функции / на Q могут быть нульмерными, одномерными и двумерными. Мы будем интересоваться существованием именно боттовских интегралов у гамильтоновой системы. Дело в том, что из накопленного опыта исследования конкретных систем (см., на- например, [117, 118] (Т. И. Погосян), [120] (Т. И. Погосян, М. П. Харламов), [163] (М. П. Харламов), [131] (Я. В. Татари- пов)) можно извлечь, что подавляющее большинство уже обнару- обнаруженных интегралов являются боттовскими в указанном нами, смысле. Недавно А. Ошемков доказал боттовость хорошо извест-' 13а
ных интегралов для движения четырехмернога твердого тела (слу- (случай типа Эйлера). Поэтому введенный нами класс боттовских ин- интегралов представляется естественным. Определение 2. Пусть у — замкнутая интегральная тра- траектория системы v на поверхности Q (т. е. периодическое реше- решение). Будем говорить, что траектория у является устойчивой, ес- если некоторая ее трубчатая ок- окрестность целиком расслоена (без щелей) на концентриче- концентрические двумерные торы, инвари- инвариантные относительно системы v. Это означает, что все инте- интегральные траектории, близкие к у, «укладываются» на инва- инвариантные двумерные торы, об- общей осью которых является траектория у (рис. 53). Устойчивость траекторий означает, что нормальный дву- двумерный диск (малого радиуса) целиком, без щелей, расслоен на концентрические окружно- Рис. 53 Рис. 54 сти. Поскольку мы главным образом рассматриваем интегри руемые системы, то данное определение устойчивости совпа дает с традиционным понятием сильной устойчивости. Дело i том, что неособые поверхности уровня второго интеграла тако{ системы являются двумерными торами Лиувилля. Следователь но, устойчивые траектории — это те, на которых второй (допол нительный) интеграл достигает локального минимума или мак симума. Система может быть интегрируемой, но не иметь при этом ш одной замкнутой устойчивой траектории (хотя замкнутых траекто рий может быть очень много). Простой пример: геодезический по ток двумерного плоского тора, т. е. тора Т2 с локально евклидово! 134
метрикой gij = 6ij. Легко видеть, что этот геодезический поток имеет дополнительный линейный интеграл, однако все замкнутые траектории системы являются неустойчивыми (I). Оказывается, существует простая качественная связь между следующими тремя объектами: а) Дополнительный боттовский интеграл f на поверхности по- постоянной энергии Q (т. е. система вполне интегрируема). б) Устойчивые периодические решения системы на. этой по- поверхности. / в) Группа одномерных целочисленных гомологии #i(Q, Z) (или фундаментальная группа ni(Q)) этой поверхности. Итак, мы рассматриваем одну поверхность Q постоянной энер- энергии, на которой задан второй интеграл. Если он определен не толь- только на поверхности Q={#=0}, но и в некоторой ее окрестности, то f удовлетворяет уравнению {#, f}=K(H) (см. выше). Рассмотрим критические невырожденные подмногообразия Т интеграла f на Q. Каждое из них обладает сепаратрисной диа- диаграммой. Напомним, что сепаратрисная диаграмма — это объеди- объединение интегрльных траекторий поля grad/, входящих вТи исхо- исходящих из Т. В соответствии с этим будем говорить о входящей сепаратрисной диаграмме Р-(Т) и исходящей сепаратрисной диа- диаграмме Р+{Т). В малой окрестности подмногообразия Т обе диа- диаграммы (входящая и исходящая) являются двумерными гладки- гладкими многообразиями с общим краем Т. Они могут быть как ориен- ориентируемыми, так и неориентируемыми. Определение 3. Будем говорить, что боттовский интеграл / на поверхности Q является ориентируемым, если все его крити- критические подмногообразия ориентируемы. Если хотя бы одно крити- критическое подмногообразие неориентируемо, то будем говорить, что интеграл неориентируем. Изоэнергетическую поверхность, на которой существует боттов- боттовский интеграл, будем иногда называть для краткости «интегриру- «интегрируемой поверхностью». Оказывается, без существенного ограничения общности можно изучать лишь ориентируемые интегралы f на Q. Дело в том, что, рассматривая изоэнергетические поверхности Q с точностью до двулистного накрытия (над ними), можно всегда считать, что ин- интеграл f ориентируем (А. Т. Фоменко). Утверждение 1. Пусть Q3 — неособая компактная поверх- поверхность постоянной энергии в М4 и f — боттовский неориентируемый интеграл на Q. Тогда все его неориентируемые критические под- подмногообразия гомеоморфны бутылке Клейна (рйс. 54), причем ин- теграл f достигает на них либо минимума, либо максимума (ло- (локального). Пусть U(Q) — достаточно малая трубчатая окрест-' ность поверхности Q,e M. Тогда существует двулистное накрытие n:(O(Q), Я, ~f)-+(U(Q), H, f) (со слоем Z2), где С(й) - сим- плектическое многообразие с гамильтоновой системой и= —8grad# (где гамильтониан Я имеет вид. Я=я*Н), интегрируе- интегрируемая на Q—n~l(Q) при помощи боттовского ориентируемого (I) 135
интеграла f = n*f. При этом все критические бутылки Клейна ■«разворачиваются» в критические торы Т2 в Q (максимумы или минимумы интеграла J). Многообразие 0 (Q) является трубчатой окрестностью Q. Отсюда следует, что если f — неориентируемый интеграл на Q, то автоматически n\(Q)¥=0 и в группе Л\ (Q) содержится под- подгруппа индекса два. Если, например, Q гомеоморфно сфере S3 '(частый пример в механике), то любой боттовский интеграл f на £3 всегда ориентируем. В дальнейшем через m—m(Q) будем обозначать число устой- устойчивых периодических решений системы v на Q. Пусть далее г= = f(Q) — число критических подмногообразий интеграла f на Q, томеоморфных бутылке Клейна. Если интеграл ориентируем, то г=0. Теорема 1 (А. Т. Фоменко). Пусть М* — гладкое симплекти- ческое четырехмерное многообразие (компактное или некомпакт- пое) и f=sgrad Н — гамильтоново векторное поле на М4, где Я — гладкий гамильтониан. Предположим, что система интегри- интегрируема по Лиувиллю на какой-то неособой компактной трехмерной поверхности уровня Q гамильтониана Н, причем второй гладкий -интеграл f коммутирует с Н на Q и является боттовским на Q. Тогда число m—m(Q) устойчивых периодических решений си- системы v на поверхности Q следующим образом оценивается снизу через топологические инварианты поверхности Q: 1) В случае, когда интеграл f ориентируем на Q: а) т>2, если группа гомологии #i(Q, Z) конечна; б) т>2, если фундаментальная группа ni(Q)=Z. '( 2) В случае, когда интеграл f неориентируем на Q: а) т+г>2, если группа гомологии HX(Q, Z) конечна; б) т>2, если HX(Q, Z)=0 (при этом группа n{(Q) может быть бесконечной); в) т>1, если группа #i(Q, Z) — конечная циклическая; г) т>1, если ni(Q)=Z или если n\(Q) — конечная группа; д) т>2, если группа H{(Q, Z) — конечная циклическая и поверхность Q не принадлежит к небольшой серии мно- многообразий Qo= (S1x£J)+s/l3+rK'3, которые легко описы- описываются в явном виде (см. описание ниже). В обоих случаях интеграл f достигает локального минимума или максимума на каждом из этих устойчивых периодических ре- решений системы v (или на бутылках Клейна). Если группа гомо- гомологии Я, (Q, Z) бесконечна, т. е. ранг #i>1, то система v может -вообще не иметь на поверхности Q устойчивых периодических ре- решений. Полученный критерий достаточно эффективен, так как провер- проверка боттовости интеграла и вычисление ранга группы одномерных гомологии обычно не составляет труда. У многих интегрируемы? систем поверхности постоянной энергии часто диффеоморфны ли бо сфере S3, либо проективному пространству RP3, либо S'xS2 Например, для уравнений движения тяжелого твердого, тела в зо 136
ие больших скоростей после некоторой факторизации (см. гл. 3^ можно считать, что поверхности Q гомеоморфны R.P3. Кроме того, если гамильтониан Я имеет изолированный минимум или макси- максимум (т. е. изолированное положение равновесия системы) на М*г то все достаточно близкие поверхности уровня Q={#=const} яв- являются трехмерными сферами S3. Через Lp,q обозначим так назы- называемые линзовые пространства (факторы сферы S3 по действию циклической группы). Выделим случаи, представляющие интерес для гамйльтоновой механики, в виде отдельного утверждения (А. Т. Фоменко). Предложение 1. Пусть гамильтонова система i>=sgradtf интегрируема при помощи боттовского интеграла f на какой-то от- отдельной поверхности Q постоянной энергии, гомеоморфной одному из трёхмерных многообразий S3, RP3, S'xS2, Lp,q. Тогда 1) В случае, когда интеграл f ориентируем, всегда т>2, т. е„ система v обязательно имеет по меньшей мере два устойчивых периодических решения на каждой из этих поверхностей. 2) В случае, когда интеграл f неориентируем, т>2 для S3 и т>1 для многообразий RP3, S^S2, Lp,q. В частности, на сфере S3 интегрируемая система всегда имеет по меньшей мере два ус- устойчивых периодических решения для любого боттовского ин- интеграла. Итак, два устойчивых периодических решения у интегрируемой системы существуют не только на трехмерных малых сферах, близ- близких к изолированному положению равновесия (минимуму или максимуму энергии Н), но и на всех расширяющихся поверхно- поверхностях уровня функции Н до тех пор, пока они остаются гомеоморф- ными сфере 53. Критерий теоремы 1 является точным в следующем смысле: Известны случаи, когда интегрируемая система v имеет на поверх- поверхности Q=RP3 или на Q—S3 ровно два (и не больше\) устойчивых, периодических решения [65]. Из результатов Аносова, Клингенберга и Такенса следует, что* в множестве всех геодезических потоков на гладких римановых многообразиях существует открытое всюду плотное подмножест- подмножество потоков без замкнутых устойчивых интегральных траекторий (см. Аносов [1], Клингенберг [63]). Это означает, что свойство гео- геодезического потока не иметь устойчивых траекторий является свойством общего положения. Напомним еще раз, что здесь, имеется в виду «сильная устойчивость» (см. определение 2). Следствие 1 (А. Т. Фоменко). Пусть двумерная гладкая по- поверхность гомеоморфна сфере и снабжена гладкой римановой метрикой общего положения, т. е. на поверхности нет ни одной устойчивой замкнутой геодезической. Тогда соответствующий этой метрике гладкий геодезический поток неинтегрируем (на каждой неособой поверхности постоянной энергии) в классе гладких бот- товских интегралов. Назовем рангом R фундаментальной группы n\(Q) наимень- наименьшее возможное число образующих (в копредставлении этой груп- ■ 137-
пи). Итак, если ранг ni(Q) = l, то система v, интегрируемая на Q при помощи- боттовского интеграла f, обязательно имеет на Q хотя бы одно устойчивое периодическое решение. Например, в не- некоторых интегрируемых случаях задачи движения четырехмерного твердого тела по инерции с закрепленной точкой (см.[151]) неко- некоторые трехмерные неособые поверхности постоянной энергии диф- «реоморфны SlXS2 (замечание А. В. Браилова; до конца ситуации проанализирована А. Ошемковым). Это означает, что n^S'xS2)^ =Z и jR=1. Аналогично, как хорошо известно, в интегрируемом случае Ковалевской (для трехмерного тяжелого тела) некоторые поверхности постоянной энергии (после подходящей факторизации, см. выше) также гомеоморфны S'xS2. Предложение 2. Пусть гамильтонова система v интегри- интегрируема на какой-то одной неособой компактной трехмерной по- поверхности Q постоянной энергии с помощью боттовского интегра- интеграла f. Тогда, если система v не имеет на Q устойчивых периодиче- периодических решений, то 1) группа H](Q, Z) не является конечной циклической, 2) ранг iii(Q)>2, причем хотя бы одна из образующих в груп- группе ni(Q) имеет бесконечный порядок. Рассмотрим геодезический поток плоского двумерного тора, т. е. снабженного локально евклидовой метрикой. Этот поток ин- интегрируем в классе боттовских интегралов и, очевидно, не имеет замкнутых устойчивых траекторий. В силу предложения 2 мы должны иметь ранг ni(Q)>2. В самом деле, неособые поверхно- поверхности Q диффеоморфны здесь трехмерному тору Г3, у которого л, Gз, z)=zezez. Следствие 2. Пусть f=sgrad# — гладкая гамильтонова •система на М4 и Q — некоторая неособая компактная трехмерная поверхность постоянной энергии, пусть выполнены следующие два условия: 1) система v имеет на Q не более одного устойчивого перио- периодического решения; 2) группа Нг (Q, Z) — конечная циклическая или ранг ni (Q) <: <1. Тогда система неинтегрируема в классе гладких боттовских ин- интегралов на данной поверхности Q. В качестве приложения этого утверждения укажем на следст- следствие 1 о неинтегрируемости гладких геодезических потоков общего положения на двумерной сфере. В случае геодезического потока плоского тора Т2 имеем Q=P, Я, (Г3, Z)=Z3, #=3 (т. е. условия следствия 2 не выполнены). Хотя поток не имеет на Q замкнутых устойчивых траекторий, тем не менее он интегрируем в классе бот- боттовских интегралов. В работе [97] была доказана теорема о некоммутативной ин- интегрируемости гамильтоновых систем с симметриями, обобщаю- обобщающая классическую теорему на тот случай, когда гамильтониан Я включается в некоторую конечномерную алгебру Ли функций G, удовлетворяющую условию dim G+ранг G = dimM Хотя здесь 138 - ' '
функции из алгебры Ли G уже не обязаны быть интегралами по- поля sgrad#, тем не менее оказывается, что такие системы также обладают инвариантными торами размерности, равной рангу G, па которых траектории системы задают условно периодическое движение [97]. Следствие 3. Пусть гамильтонова система u=sgrad# «к- тегрируема на М2" в некоммутативном смысле и G — алгебра Ли функций на М2п (относительно скобки Пуассона) с функциональ* но независимыми (вообще говоря, некоммутирующими) образую* щими f\, ..., fk, где /ч=#, &=dim G и dimG+ранг G—dimM. Пусть ранг G = 2. Предположим, что среди функций fi есть хотя бы одна функция fa такая, что ее ограничение на какую-то одни совместную трехмерную компактную поверхность уровня Q осталь- остальных функций fj, где ]фа, является боттовской функцией. Тогда для системы v на Q выполнены все утверждения из теоремы 1. Напомним, что ранг группы гомологии (в отличие от ранга фундаментальной группы) — это число независимых образующих бесконечного порядка. Выше мы сформулировали вопрос: любое ли трехмерное замкнутое многообразие может быть реализована как поверхность уровня гамильтониана некоторой интегрируемой системы? Ответ на него дает Следствие 4. Далеко не каждое трехмерное гладкое ком- компактное замкнутое ориентируемое многообразие может выступать в роли поверхности постоянной энергии гамильтоновой системы* интегрируемой при помощи боттовского гладкого интеграла. Таким образом, препятствием к интегрируемости гамильтоно* вой системы может быть топология поверхности постоянной энер* гии. Ниже мы подробнее расшифруем слова «далеко не каждое многообразие». Мы предъявим в явном виде топологическое пре* пятствие, мешающее «подавляющему большинству» трехмерных многообразий реализовываться в виде поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем. Можно построить конкретные при- примеры достаточно простых многообразий, которые не могут являть- являться такими поверхностями. Перечисленные выше результаты в действительности являют- являются следствиями общей теоремы о топологической классификации? поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем. Прежде чем сформулировать ее, опишем пять типов простейших трехмер- трехмерных многообразий, оказывающихся теми «элементарными кирпи- кирпичами», из которых, оказывается, склеена произвольная поверхность постоянной энергии интегрируемой системы. Тип 1. Прямое произведение SlxD2 назовем полноторием*. Ето край — один тор Т2 (рис. 55). Тип 2. Прямое произведение T2xDl назовем цилиндром. Его край — два тора Р (рис. 55). Тип 3. Прямое произведение N2xSl назовем ориентированным седлом (или более образно «штанами»), где N2 — двумерная сфе- сфера с тремя выброшенными дисками (или диск с двумя дырками). 13Ф
Многообразие N2 гомотопически эквивалентно восьмерке, т. е. бу- букету двух окружностей. Край N2xSl — три тора Т2 (рис. 55). Тип 4. Реализуем многообразие N2 как диск с двумя дырка- дырками, которые фиксируем и занумеруем цифрами 1 и 2. Рассмотрим нетривиальное расслоение /!3->-S1 с базой окружность S1, со сло- слоем N2. Ясно, что над окружностью существует лишь два неэкви- неэквивалентных расслоения со слоем N2. Это — прямое произведение (см. выше тип 3) и расслоение А3 (рис. 56). Оно харак- тпип! Рис. 55 Рис. 56 теризуется тем, что после переноса слоя N2 вдоль базы S1 он воз- возвращается на прежнее место с переменой местами дырок \ и 2. Так как N2 гомотопически эквивалентно восьмерке, составленной из двух окружностей 1 и 2, то типы 3 и 4 можно представить еще и так. В типе 3 (с гомотопической точки зрения) мы имеем пря- прямое произведение восьмерки на окружность, а в типе 4 восьмерка движется по окружности так, что после полного оборота две ок- окружности 1 и 2 меняются местами (восьмерка переворачивается) ■(рис. 56). Получаем бутылку Клейна, погруженную в R3-(рис. 57). Малая окрестность окружности-базы S1 гомеоморфна в этом случае двум листам Мебиуса, пересекающимся трансверсально по общей оси. Краем многообразия А3 являются два тора. Ясно, что А3 можно для наглядности реализовать в R3 и тогда оно имеет следующий вид. Рассмотрим полноторие, ограниченное стандарт- стандартно вложенным тором, внутри которого высверлим тонкое полно- полноторие, два раза наматывающееся на образующую большого пол- нотория (рис. 57). Многообразие А3 мы назовем неориентируемым седлом. Ясно, что Л3 является пространством ориентированного 140
косого произведения N2xSl. Впрочем, с топологической точки зре- зрения многообразие Л3 не является новым. Оно получается склей- склейкой полнотория и штанов по некоторому диффеоморфизму тора. Условно это можно записать так: Л3 = /+///= (S1XD2) + (N2xSl). Доказательство будет дано ниже. Тип 5. Через К2 обозначим бутылку Клейна,'а через /С3 — пространство ориентированного косого произведения К2 на отре- зок.'т. е. K?=K2XD1 (рис. 58). Границей А'3 является тор Т2. С то- лологической точки зрения многообразие /С3 также не является Рис. 57 Рис. 58 принципиально новым, так как (см. доказательство ниже) оно представляется в виде склейки следующего вида: /C3=/+/V= () () Таким образом, из указанных пяти типов многообразий лишь 1 •и 3 являются топологически независимыми. Типы 2, 4, 5 разлага- разлагаются в комбинации многообразий типов 1, 3. Однако при изуче- изучений траекторий системы v (динамики системы) многообразия Л3 и К3 представляют большой самостоятельный интерес, так как соответствуют различным движениям механической системы. Теорема 2 (теорема топологической классификации трехмер- трехмерных поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем; А. Т. Фоменко). Пусть М4 — гладкое симплектическое многообра- многообразие (компактное или.некомпактное) и u = sgradН — гамильтоно- ва система, интегрируемая по ^Лиувиллю на какой-то одной неосо- неособой компактной трехмерной поверхности постоянной энергии Q при помощи боттовского интеграла f. Пусть m — число периоди- 141
ческих решений системы v на поверхности Q, на которых интеграл f достигает строгого локального минимума или максимума (тогда они устойчивы). Пусть далее р — число двумерных критических торов интеграла f (минимумов или максимумов интеграла); q — число критических окружностей интеграла f (неустойчивых траек- торий системы) с ориентируемой сепаратрисной диаграммой; s — число критических окружностей интеграла^ (неустойчивых траек- траекторий системы) с неориентиру<емой сепаратрисной диаграммой; г — число критических бутылок Клейна (минимумы или максиму- максимумы интеграла). Это — полный список всех возможных критиче- критических подмногообразий интеграла f на Q. Тогда многообразие Q представляется в виде склейки (по некоторым диффеоморфизмам граничных торов) следующих «.элементарных кирпичей-»: Q=mI+pII+qIII+sIV+rV= =m(S1xD2)+p(T2xDl)+q(N2xSl)+sA*+rK3. Если интеграл f — ориентируемый, то последнего слагаемого нет* т. ё. г=0. Указанное разложение поверхности Q назовем гамиль- тоновым. Таким образом, в полученном нами каноническом гамильто- новом представлении многообразия Q все неотрицательные целые числа m, p, q, s, r имеют четкую интерпретацию: они сообщают нам, сколько критических подмногообразий каждого типа имеет данный интеграл f на данном многообразии Q, Если же мы бу- будем игнорировать эту интерпретацию чисел m, p, q, s, r и поста- поставим вопрос о наиболее простом топологическом представлении изоэнергетической поверхности Q, то на этот вопрос отвечает сле- следующая теорема. Теорема 3 (А. Т. Фоменко). Пусть Q — компактная неосо- неособая поверхность постоянной энергии гамильтоновой системы v— =sgrad# на Q, интегрируемой при помощи боттовского интегра- интеграла f. Тогда Q допускает топологическое представление Q — m4+ + p'II + q411 = m'(&xD2)+p'(FxD>)+q'(N*xSi), где m', p',q'~— некоторые неотрицательные целые числа. Эти числа связаны с чис- числами т, р, q, s, г из теоремы 2 гак: m'=m+,s+2r, p'=p, q'— = q + s + r. Более того, Q = m"l+q"III, где m"=m' + p', q" = q'+p'. Таким образом, для изоэнергетической поверхности Q3 возни- возникают два разложения: Q=mI+pH+qIH+sIV+rV и Q = m'I+p'II+ +q'III. Первое из них — гамильтоново разложение, второе—топо- второе—топологическое разложение. Ясно, что гамильтоново разложение — бо- более «подробное», оно «помнит» структуру критических подмного- подмногообразий боттовского интеграла. Топологическое разложение — бо- более грубое (хотя и более простое). Его элементарные блоки уже частично «забыли» исходную гамильтонову картину. В дальней- дальнейшем мы будем пользоваться каждым из этих разложений в зави- зависимости от интересующей нас задачи. Теперь мы можем дать полную классификацию всех перестроек торов Лиувилля, возникающих при изменении значения интегра- 142
via f. Меняя Я и f местами, можно было бы говорить о бифурка- бифуркации торов Лиувилля, когда они проходят через критический уро- уровень энергии при фиксированном втором интеграле f. Рассмотрим следующие 5 типов перестроек тока Р, отвечаю- отвечающих указанным выше многообразиям I, II, III, IV, V. Реализуем тор Р как одну из компонент края соответствующего много- многообразия. Тогда тор Р, увле- увлекаемый изменением интеграла /, преобразуется в объедине- объединение торов Лиувилля, являю- являющихся остальными компонен- компонентами края. Эти перестройки имеют вид рис. 59: 1) Тор Р стягивается на осевую окружность полното- рия и «исчезает» затем с по- поверхности уровня интеграла f. Обозначим эту перестройку так: Р—*-S'—>-0. 2) Два тора Р движутся навстречу друг другу по ци- цилиндру, сливаются в один тор и «исчезают». Обозначение: 3) Тор Р распадается на два тора, проходя через центр штанов (ориентированного седла), которые затем «оста- «остаются» на поверхности уров- уровня интеграла f. Обозначение: 7'22Р Рис. 59 4) Тор Р два раза наматы- наматывается на тор Р (следуя при этом топологии неориентиро- неориентированного седла Л3) и остается затем на поверхности уров- уровня интеграла f. Обозначение: 5) Тор Р превращается в бутылку Клейна (два раза на- накрывая ее) и затем «исчезает» с поверхности уровня интеграла f. Обозначение: Пять перестроек, получающихся из указанных выше заменой стрелок на обратные, мы не будем считать новыми. Теорема 4 (теорема_классификации бифуркаций двумерных торов Лиувилля; А. Т. Фоменко). Пусть f — боттовсшй интеграл на неособой поверхности постоянной энергии Q3. Тогда любая пе- перестройка общего положения тора Лиувилля, возникающая при 143
его ■ проходе через -критическую поверхность уровня интеграла ft является композицией перечисленных выше элементарных пере- перестроек 1—5. Более того, из этих пяти перестроек независимы (с топологической точки зрения) лишь первые три. Перестройки 4 . и 5 распадаются в композиции перестроек вида 1 и 3. Общая теорема классификации бифуркаций многомерных то- торов Лиувилля будет сформулирована нами ниже. В качестве важного следствия этих результатов мы получаем возможность представить каждую изоэнергетическую поверхность Q с интегралом f на ней в виде одномерного графа T(Q, f), все типы вершин которого E типов), оказывается, допускают точное и полное описание. Для построения графа достаточно изобразить каждый тор Лиувилля точкой. Меняя значение функции f, мы за- заставляем эти торы (т. е. «точки») перемещаться, в результате че- чего они заметают ребра одномерного графа. Подробное описание см. ниже. Рассматривая все неособые поверхности Q, на которых интег- интеграл f — боттовский, мы получаем конечный набор графов {Г (Q/)}. Оказывается, в случае общего положения этот набор графов за- зависит только от самого интегрируемого гамильтониана Я и не за- зависит от конкретного вида второго интеграла f. При замене f на другой интеграл f графы T(Q, f) заменяются на гомеоморфные им графы F(Q, f). Поэтому набор графов F(Q) является инвари- инвариантом самого «интегрируемого случая», т. е. интегрируемого га- гамильтониана. Подробнее о построении нового топологического ин- инварианта интегрируемых уравнений см. в приложении 7. Рассмотрим теперь четыре класса трехмерных компактных ори- ориентируемых замкнутых многообразий. 1) Класс (Я) состоит из поверхностей Q3 постоянной энергии {изоэнергетических поверхностей) интегрируемых гамильтоновых систем (при помощи боттовского интеграла). 2) Класс (Q) состоит из всех многообразий, разлагающихся в сумму «элементарных кирпичей» типов 1, 2, 3, т. е. в сумму m'(SixD»)+p'(T*xDl)+q'(N*xSi). Как доказано автором (тео- (теорема 2), класс (Я) содержится в классе (Q). 3) Исходя из внутренних задач трехмерной топологии, Вальд- хаузен в [255] ввел класс (W) трехмерных многообразий. W, на- названных им Graphenmannigfaltigkeiten. Определяются они так. Требуется, чтобы в W существовал набор непересекающихся дву- двумерных торов, выбросив которые мы получаем многообразие, каждая компонента связности которого расслаивается со слоем окружность над двумерным многообразием (возможно с краем). 4) Недавно, развивая идеи автора, описанные в настоящей гла- главе, С. В. Матвеев рассмотрел класс (S) трехмерных -многообра- -многообразий, на которых существует гладкая функция g, все критические точки которой организованы в невырожденные окружности, а все неособые поверхности уровня функции g являются объединениями двумерных торов.; 144
Оказывается, для классов (Я) и \Q) имеет место обратное включение, т. е. в итоге классы (Я) и (Q) совпадают. Утверждение 2 (А. В. Браилов, А. Т. Фоменко). Имеет место равенство (H)=i(Q), т. е. любое многообразие, полученное склейкой полноторий, цилиндров и штанов, может быть реали- реализовано в виде компактной поверхности Q3 постоянной энергии не- некоторой интегрируемой (при помощи боттовского интеграла) га- мильтоновой системы на подходящем симплектическом многообра- многообразии М4 {быть может, некомпактном). Далее, А. Т. Фоменко и X. Цишанг доказали равенство (W) — = (Q), а С. В. Матвеев — равенство E) = (Q). Собирая вместе все эти результаты, получаем следующую теорему. Утверждение 3. Все четыре класса трехмерных многооб- многообразий, описанных выше, совпадают, т. е. (Я) = (Q) = (W) = (S). Оказывается далее, что число критических подмногообразий ин- интеграла f на Q можно оценить снизу универсальной постоянной, зависящей только от первой группы гомологии Hi(Q, Z). Пусть р-ранг H\(Q, Z) (т. е. одномерное число Бетти), е — число эле- элементарных множителей в конечной части Tor#i группы #i(Q, Z). Если Тог Я] разложена в упорядоченную сумму подгрупп, где по- порядок каждой подгруппы делит порядок предыдущей, то е — чис- число таких слагаемых. Утверждение 4 (А. Т. Фоменко, X. Цишанг). Пусть Qe е (Я), т. е. Q3 — поверхность постоянной энергии интегрируемой системы (при помощи боттовского интеграла f). Пусть m — чис- число устойчивых периодических решений системы, s — число неус- неустойчивых периодических решений с неориентируемой сепаратрис- ной диаграммой, г — число критических бутылок Клейна. Тогда всегда выполнены неравенства m/=m+s+2r»E—2p+l, <7'>т'—2 при m+r+s+q>0. Если m=r=s=^=0, то е-2р«:0> причем равен- равенство г — 2$ действительно достигается для некоторых (Q,f). Кроме того, q>m+r—2 (где числа q', q определены выше). Если инте- интеграл f ориентируем и все сепаратрисные диаграммы его критиче- критических подмногообразий также ориентируемы, то s = r=0, г. е. в этом случае мы получаем следующую оценку снизу на число m устойчивых периодических решений системы: пг^-е—2р+1, а также q^m — 2 (если m+q>0). Следствие 5 (А. Т. Фоменко). Пусть интеграл f «полностью ориентируем», т. е. он ориентируем и ориентируемы все сепарат- сепаратрисные диаграммы его критических подмногообразий на Q. Тогда многообразие Q допускает следующее представление. Пусть m — число устойчивых периодических решений системы на Q, на кого- рых f достигает локального минимума или максимума. Рассмот- Рассмотрим двумерное замкнутое связное компактное ориентируемое мно- многообразие Mg2 рода g, где g^-Х (т. е. сферу с g ручками) и рас- рассмотрим прямое произведение Mg2xSK Выделим в Mg2 произволь- произвольный конечный набор непересекающихся и самонепересекающихся гладких окружностей аи, среди которых есть ровно m стягиваемых 145
окружностей (остальные негомотопны нулю в Mg2). В прямом произведении Л1Я2Х«51 окружности щ определяют двумерные торы r;2=a/xS1. Разрежем Mg2xSl no всем этим торам 7\-2, после чего обратно отождествим эти же торы (два берега разреза) при по- помощи,, вообще говоря, нетождественных диффеоморфизмов. В ре- результате получается новое трехмерное многообразие. Оказывает- Оказывается, связная поверхность постоянной энергии Q является многооб- многообразием именно такого типа и все получающиеся таким образом многообразия являются изоэнергетическими поверхностями неко- некоторых интегрируемых систем. Выше мы рассматривали случай, когда совместная поверх- поверхность уровня обоих интегралов Я и f компактна. Однако не со- составляет труда сформулировать и доказать аналогичные утверж- утверждения и для некомпактного случая. 1.2. Краткая сводка необходимых сведений из классической теории Морса гладких функций. Если на гладком многообразии -Q задана гладкая-функВД4*-?— а невырожденными критическими точками, т. е. функция Морса, Jp, как хорошо известно, знание этих точек и их индексов позволяет многое сказать о топологии многообразия Q. Как мы покажем в настоящей главе, аналог этой теории существует и в том случае, когда на симплектическом мно- многообразии задан набор независимых функций в инволюции, коли- количество которых равно половине размерности многообразия. Напомним, что точка Xo^Q называется критической для функ- функции J, если grad/(ATo)=O. Критическая точка называется невы- невырожденной, если матрица второго дифференциала d2f, т. е. матри- матрица ( —|, невырожденна в точке ха. Индексом критической \ dXidxj ) й точки х0 называется максимальная размерность линейного под- подпространства в касательной плоскости TXoQ, на котором били- билинейная симметричная форма d2f отрицательно определена. Други- Другими словами, форму d2f всегда можно привести в критической точ- точке х0 к диагональному виду, и тогда индекс критической точки «будет числом отрицательных квадратов в диагональной записи этой формы. Функция f называется функцией Морса, если все ее критиче- критические точки невырожденны. Хорошо известно (см., например, кни- ту Дж. Милнора [91]), что на любом гладком компактном много- многообразии всегда существуют функции Морса. Причем они всюду плотны в пространстве всех гладких функций на многообразии. Каждая функция Морса имеет на компактном многообразии Q лишь конечное число критических точек, в частности, все они изо- изолированы. В множестве всех функций Морса существует всюду плотное подмножество, состоящее из таких функций, что каждо- каждому критическому значению такой функции отвечает одна и только одна критическая точка на многообразии. Другими словами, «а каждом критическом уровне такой функции находится в точности одна критическая точка (рис. 60). J46
Важным этапом в построении обычной теории Морса является шестная лемма Морса. Она утверждает, что в некоторой откры- открытой окрестности невырожденной критической точки Хо функции \^орса f всегда существуют такие локальные регулярные коорди- КП1.1 г/ь ..., уп, что в этих коорди- штах функция f запишется в виде (У)=-Ух2- ■ ■--У2>.+У\+1+У2п, где » — индекс критической точки. ■ Пусть f — функция Морса на Q. Введем обозначения.: fa = f~l(a) — по- зерхность уровня функции f, отвечаю- отвечающая значению a; Qa= (x^Q :f (л;)<а), ". е. Qa состоит из всех точек х, в ко- горых значения f не превосходят а. Яс- Ю, ЧТО 6Qa = fa. Пусть отрезок [а, Ь] (где а<Ь на ве- дественной оси) не содержит критиче- ■ких значений функции f, т. е. в множе- множестве f~[[a, b], лежащем в многообразии Q, нет критических точек эункции f. Тогда многообразия fa и fb диффеоморфны и, кроме4 -ого, многообразия Qa и Qb также диффеоморфны. При этом Qa чляется деформационным ретрак^ом Q& (рис. 61). Рис. 60 Рис. 61 Рис. 62 Пусть в слое f~l[a, b]=Qb\Qa имеется ровно одна критическая точка индекса К. Тогда многообразие Qb гомотопически эквива- эквивалентно конечному клеточному комплексу, получающемуся из мно- многообразия Qa приклейкой к краю fa=dQa одной клетки о*1 размер- размерности К (рис. 62). Ручкой Я*" размерности п и индекса i назы- называется прямое произведение двух дисков D^xD"-*. Край ручки имеет вид дЯ^^-'хD"-K)\J(D*xSn->~1). Пусть Sx-lczfa - глад- гладко вложенная сфера такая, что -ее достаточно, малая трубчатая; 147"
окрестность NtSt~1 радиуса е>0 представляется в виде прямого произведения S^-'x^""*, где Z)"-* — нормальный диск размерно- размерности п—К радиуса е. Тогда можно построить новое гладкое много- многообразие Qa с краем, рассмотрев склейку многообразия Qa с руч- ручкой //*" по диффеоморфизму g:Sx~lxDn-t--^N^S'-1=S^1xDn-\ Имеет место важное утверждение (М. Морс). Оказывается, многообразие Qb получается из многообразия Qa именно такой операцией, т. е. Q& является результатом приклейки к краю мно- многообразия Qa ручки- #хп индекса К. Другими словами Qa~Qb- Как мы покажем ниже, важный аналог этих утверждений име- имеет место, если заменить функцию f на отображение момента сим- плектического многообразия, порожденное полным набором ком- коммутирующих интегралов. В частности, можно рассмотреть один ин- интеграл на трехмерной поверхности постоянной энергии интегрируе- интегрируемой системы. Перейдем к доказательству теорем п. 1.1. 1.3. Топологические перестройки торов Лиувилля интегрируе- интегрируемой системы при изменении значения второго интеграла. Пусть в дальнейшем выполнены все предположения теоремы 2. Лемма 1. Гладкий боттовский интеграл f не может иметь на меособой компактной поверхности постоянной энергии Q изолиро- изолированных критических точек. Доказательство сразу следует из того, что на Q3 нет кри- критических точек функции Н. Поэтому из каждой критической точ- та хо функции / на Q вырастает невырожденная интегральная тра- траектория поля v, целиком состоящая из критических точек функ- функции f.- Лемма 2. Критические точки гладкого боттовского интеграла на компактной неособой поверхности Q заполняют либо изолиро- изолированные гладкие критические окружности, либо гладкие двумер- двумерные торы, либо бутылки Клейна. Доказательство. Если невырожденная интегральная тра- траектория поля v, выходящая из критической точки х0 интеграла f, замкнута, то она является окружностью. Если траектория незамк- незамкнута, то ее замыкание Р является двумерным связным подмно- подмножеством, состоящим из критических точек интеграла. Поэтому Р .лежит на какой-то двумерной критической совместной поверхно- поверхности уровня L интегралов Н и f. Вообще говоря, особая поверхность уровня интеграла не обязана быть многообразием. Так как интег- интеграл f — боттовский, то его критические точки организованы в не- невырожденные подмногообразия. Следовательно, Р лежит в дву- двумерном критическом подмногообразии Р' для функции f. Утверж- Утверждается, что пересечение L с достаточно малой открытой окрестно- окрестностью Р' в Q совпадает с Р'. Так как по нормали к Р' функция f невырожденна, то она либо строго возрастает, либо строго убы- убывает по обе стороны вдоль нормали к Р'. Следовательно, близкая неособая поверхность уровня Р двулистно накрывает Р'. В силу интегрируемости системы неособые компактные поверхности уров- уровня Р (на Q) являются торами Лиувилля, а потому Р' гомеоморф- .148
ло либо тору, либо бутылке Клейна. Дело в том, что на многооб- многообразии. Р' есть ненулевое векторное поле sgrad#. Такое поле мо- может быть лишь на торе Г2 и на К2. На проективной плоскости RP2 такого поля нет. Лемма доказана. В лемме 2 мы имели дело с критической поверхностью уровня L, вообще говоря, не гомеоморфной объединению торов, так как она может иметь особенности (но вдали от Р'). Неособые поверх- поверхности уровня интеграла f на Q компактны по теореме Лиувилля являются объединениями торов. Пусть S1 — критическая окружность интеграла f на Q. Припи- Припишем ей индекс 0, 1 или 2 в зависимости от того, какой индекс имеет ограничение -f на нормальный двумерный диск к окружно- окружности. Ясно, что индекс S1 не зависит от выбора точки на S1. Окруж- . ности индекса ноль — это локальные минимумы интеграла f, ин- индекса два — максимумы, а индекса 1 — седловые окружности. Лемма 3. Критические окружности интеграла f на Q могут иметь индексы 0, 1, 2, а критические торы и бутылки Клейна — талько индексы 0 и 1. Доказательство следует из,леммы 2. Изучим теперь перестройку поверхностей уровня Ва—(х^ ^Q:f(x)=a)=f-l(a) функции f при увеличении а. Полбжим Са= = (jceQ;/(x)<a). Ясно, что Ва=дСа. Если а — некритическое зна- значение, то Ва — это объединениелщюв^Диувилля. Определение 4. гКруглой ручкой_у{азовеи прямое произве- произведение окружности на двУмерныиТгискТна границе которого выде- выделены две связные непересекающиеся дуги А и h (рис. 63). Круг- Круглая ручка (полноторие) —,-это утолщенный цилиндр с подошвами (основаниями) liXS1 и kxSK Опеределим операцию приклейки круглой ручки к трехмерно- му многЬобраТшкГСг<Гс~ краём?аГ~11усть на Ва лежат две непересе- кающиеся и самонепересекающиеся окружности Yi и у2. Рассмот- Рассмотрим их малые трубчатые окрестности Ni и N2. В силу ориентируе- ориентируемости Ва эти окрестности гомеоморфны SlXDl, где D1 — отрезок. Приклеим круглую ручку к Ва, отождествив с помощью гомео- гомеоморфизма кольцо hxS1 с кольцом Ni и кольцо kxS1 с Л^г- Полу- Получим новое трехмерное многообразие. Окружности Yi и Y2 назовем осями подошв круглой ручки (рис. 64). Сепаратрисную диаграм- диаграмму критической окружности S1 мы обозначим через sdS1. Лемма 4. Пусть а — критическое значение интеграла f на Q. Предположим, что на критической поверхности уровня Ва ле- лежит роено одна критическая седловая окружность S1. Пусть е> >0 настолько мало, что на отрезке [а—е, а+е] нет других критиче- критических значений функции f, кроме а. 1) Пусть sdS1 ориентируема. Тогда Са+е получается из Са~.. приклейкой к краю Ва-е многообразия Са-е круглой ручки. При этом Са+е гомотопически эквивалентно Са-„ к которому своими обеими краями приклеен цилиндр SXXDK 2) Пусть sdS1 неориентируема. Тогда Са+г гомотопически эк- эквивалентно Са-г, к которому приклеен лист Мебиуса. 149
Доказательство. Начнем со случая 1. Рассмотрим седло- вую критическую окружность S1 индекса 1. В каждой ее точке х рассмотрим нормальный диск D2(x) малого радиуса е. Рассмот- Рассмотрим поле grad/ на Q, вводя на многообразии Q какую-нибудь ри- манову метрику. Из каждой точки xeS1 выпустим сепаратрисы поля grad f. Их объединение — это сепаратрисная диаграмма сед- ловой окружности. В силу невырожденности функции f на диске D2(x) сепаратрисная диаграмма каждой точки x^S1 является ги- Рис. 63 Рис. 64 перболической (седло). Меняя точку х вдоль S1, мы гладко де- деформируем сепаратрисы в нормальном диске D2(x). Рассмотрим «входящую» часть Р-=Р-2 сепаратрисной диаграммы, содержа- содержащуюся в слое a—z<.f*g.a (рис. 65). Так как е мало, то Р- являет- является гладким двумерным подмногообразием, содержащим S1 и име- имеющим край, гомеоморфный либо окружности, либо несвязному объединению двух окружностей. Одна из них — критическая ок- окружность S1. В первом случае многообразие Р_ гомеоморфно ли- листу Мебиуса, во втором случае — цилиндру S^xD1. Так как сепаратрисная диаграмма критической окружности S1 предположена нами пока ориентируемой, то первый случай (лист Мебиуса) здесь невозможен. Следовательно, трубчатая окрест- окрестность поверхности Р- гомеоморфна круглой ручке. Она приклеена к Со-е именно так, как это требуется определением операции при- приклейки круглой ручки (см. выше). Оси обеих подошв круглой ручки приклеены к двум гладким окружностям yi и ^2, которые 150
f'l f>/0 прочерчиваются на Ba~t точками А и В (рис. 65) при скольжении точки х по S1. Лемма доказана в случае, когда sdS1 ориентируема. Если же sdS1 неориентируема, то из предыдущего рассмотре- рассмотрения, ясно, что вместо толстого цилиндра (полнотория) приклеи- приклеивается «толстый лист Мебиуса,». Лемма доказана полностью. Отметим, что круглая ручка может приклеиваться к Ва-е лишь двумя способами: к одному тору или. к двум разным торам. «Тол- «Толстый лист Мебиуса» может при- приклеиваться лишь к одному тору, так как его граница связна (в отли- отличие от границы цилиндра). 1.4. Сепаратрисные диаграммы высекают нетривиальные циклы на неособых торах Лиувилля. Лемма 5. Пусть на критиче- критическом уровне Ва расположена роено одна критическая седловая окруж- окружность SK 1) Пусть sdS1 ориентируема. Рассмотрим круглую ручку, соот- соответствующую критической окружно- окружности S1 и приклеенную своими двумя подошвами к Ва-г. Тогда каждая из подошв лежит на каком- то торе Лиувилля. Кроме того, ось каждой из подошв ручки является гладкой самонепересекающейся ок- окружностью, реализующей ненулевой элемент фундаментальной группы тора. Если обе подошвы приклеены к одному и тому же тору, то оси у\ и 72 обеих подошв круглой ручки не пересекаются на торе, реализуют одну и ту же образующую фундаментальной группы гора и изотопны друг другу на этом торе. 2) Пусть sdS1 неориентируема. Тогда входящая сепаратрисная диаграмма Р-, гомеоморфная листу Мебиуса, приклеена своей граничной окружностью к одному тору Лиувилля, на котором эта гладкая самонепересекающаяся окружность реализует одну из не- ненулевых образующих фундаментальной, группы тора. Трубчатую окрестность сепаратрисной диаграммы Р_ в неори- ентируемом случае мы называем утолщенным (или толстым) ли- листом Мебиуса. Лемма 6. 1) Пусть sdS1 ориентируема. Если круглая ручка приклеивается к двум разным торам, то эти торы перестраивают- перестраиваются в один тор после прохода через критическую седловую окруж- окружность S\ соответствующую ручке. Если же ручка приклеивается к одному тору, то он распадается в объединение двух торов пос- после прохода через критическую окружность S1. Рис. 65 151
'be Рис. 66A) Рис. 66C) Рис. 66B) Рис. 66D) Т., Рнс. 66E)
2) Пусть sd S1 неориентируема. Тогда тор Лиувилля, к кото- которому приклеен лист Мебиуса (в виде диаграммы PJ), преобразу- преобразуется снова в один тор Лиувилля после прохода через критическую седловую окружность Sx. Доказательства лемм 5 и 6. Пусть sdS1 ориентируе- ориентируема. Рассмотрим первый случай, когда ручка приклеивается к раз- разным торам Г1 и Т2. Пусть yi и уг — однократные оси подошв руч- ручки, a S1 — критическая седловая окружность на уровне Ва. Рас- Рассмотрим два тора Т\,, и T2,t, лежащие на Ва-С и являющиеся дву- двумя компонентами связности Ва-, (не считая остальных его ком- компонент, которые сейчас нас не интересуют). Пусть 71е и у2е— Две окружности, высекаемые на Т\,, и Т2л входящей сепаратрисной диаграммой Р- (рис. 66 A—5)). Можно считать, что 7\=7\> и Yi=Y'8'. гДе i=1.2 и ео — достаточно малое фиксированное число. С уменьшением е окружноети yf и ^2е, конечно, сближаются и при s=0 сливаются в одну окружность S\ являющуюся критиче- критической седловой окружностью. Так как f — боттовский интеграл, то сближение однократных окружностей Yie и Y2e происходит гиперболическим образом. Торы 7"i,e и T2,t при изменении s не пересекаются и сближаются лишь в окрестности своих окружностей Yie и Y2e- Поэтому можно счи- считать, что на каждом из неподвижных торов Т\ и Т2 выделены две достаточно малые трубчатые окрестности U\ и £/j окружностей Yi и Y2 соответственно, внутри которых (окрестностей) -шевелятся окружности Yie и Y2e, не выходящие за пределы U\ и U2, причем Yie изотопны Yi. t—1. 2. Ясно, что все торы Г,-,, (при переменном е) канонически отождествляются при помощи диффеоморфизма вдоль интегральных траекторий поля gradf с неподвижным то- тором Т,=Т,-,Р0, i=l,2. Рассмотрим точку М на окружности Yie и выпустим из нее ин- интегральную траекторию т поля v. Возможны два случая: а) она замкнута, б) она незамкнута. В ^случае а) окружность т, целиком лежащая на торе 7\,в," близка^ к замкнутой траектории S1, «ели е достаточно мало. В таком случае окружность т замкнута на неособом торе 7\,е. Так как система v интегрируема, то к тору Т\л применимы утверждения теоремы Лиувилля. • Следовательно, на каждом из торов 7\е и Т2,г существуют регулярные криволи- криволинейные координаты, относительно которых ограничение поля v иа торе определяет условно периодическое движение. Поскольку у поля v на Т\,е обнаружилась замкнутая интегральная траекто- траектория т, то все остальные траектории этого поля на Ti,e также замк- замкнуты. В таком случае однократная траектория т, сделав полный оборот по тору 7,р,.*реализовала нетривиальный элемент фунда- фундаментальной группы n\(Ti]C), поскольку она порождена прямоли- прямолинейной обмоткой тора. Но траектория т сколь угодно близка -к Yie, так как обе они близки к седловой окружности S1. Следова- Следовательно, Yie реализует ненулевой элемент группы ni(fi,e), а пото- потому yi реализует ненулевой элемент группы ni(Ti). Аналогично в случае а) кривая Y2 реализует ненулевой элемент ni(T2). .153
Рассмотрим случай б), когда траектория т незамкнута на 7\,е. Так как т при уменьшении е можно считать проходящей сколь угодно близко от интегральной траектории S1 (седловой окружно- окружности) на каждом наперед заданном (но фиксированном) интерва- интервале времени, то, уменьшая е, можно добиться, что через некоторое время траектория т. снова (и впервые!) вернется в малую окрест- окрестность точки М. Пусть Л^ет — точка возврата, расположенная около точки М в Q. При этом траектория т не покинула окрестно- окрестности Ui окружности YiE на торе ТЬе, Следовательно, траектория т совершила по тору TUz один полный оборот и снова вернулась в малую окрестность начальной точки М на торе. Очевидно, что здесь мы воспользовались ориентируемостью се- паратрисной диаграммы. Соединяя точки М и Mi малым геодези- геодезическим отрезком на торе 7\,Е, получаем из траектории т новую замкнутую траекторию т', целиком лежащую в окрестности Ui. Из теоремы Лиувилля следует, что т/ реализует ненулевой эле- элемент группы ni(Tl]t), так как она получена малым замыканием- почти периодической траектории, совершившей один полный обо- оборот по тору и вернувшейся в точку, близкую к начальной (пер- (первое возвращение). Так как однократная траектория т' сколь угод- угодно близка к однократной траектории yie, to Yie и, следовательно, Yi реализуют ненулевые элементы в группах niG\,e) и ni(T{) со- соответственно. Мы существенно использовали то, что траектория тг вернувшись в точку Ми совершила по 7\,8 один полный оборот. Итак, если ручка приклеивается к двум разным торам, то лем- лемма 5 доказана в ориентируемом случае. Пусть теперь ручка при- приклеивается к одному тору (случай 2). Можно считать, что теперь торы 7*1,,, и Гг.е (из предыдущего рассуждения) совпали. Обозна- Обозначим этот тор через Т-„ Мы получаем на торе Т-, две окружности Yi~e и Y2~e, которые при уменьшении е слегка деформируются внутри своих первоначально выбранных (конечных) окрестностей Ui и U2 и не покидают их. Окрестности (кольца) U] и t/2 можно, очевидно, выбрать на* торе Т-г непересекающимися, так как слия- слияние окружностей уге и Y2~e при уменьшении е происходит морсов- ским образом (рис. 65). Снова рассмотрим случаи а) и б). В случае а) (замкнутая интегральная траектория т.) доказав тельство повторяется дословно. В случае б) требуется дополни- дополнительное рассуждение. ■ Пусть траектория т незамкнута. Уменьшая е, можно добиться того, что она через некоторое время (впервые) вернется в неко- некоторую точку Mi, лежащую в малой окрестности точки М. Здесь нуждается в доказательстве тот факт, что точка Мх расположена близко к точке М с точки зрения (топологии) тора Т-е. Близость точек М и Mi в многообразии Q .еще не гарантирует, что они близки в топологии тора Т-е. Из леммы 4 следует, что тор Т-г пересекается с трубчатой окрестностью окружности S1 по двум- окрестностям Ui и U2. Можно считать, (при малом s), что Ui(] П^2=0 (вследствие боттовости интеграла /). Но тогда за один оборот траектория т не сможет выйти из Hi и попасть в £/2, так 154
как во время первого оборота траектория т движется близко от окружности угв, оставаясь в ее трубчатой окрестности Ux. Факти- Фактически мы снова опираемся на ориентируемость сепаратрйсной диа- диаграммы, вследствие чего после одного полного оборота точки В на yi (рис. 65) вернется в свое прежнее положение, а не в точку А. Другими словами, использован тот факт, что пересечение Р- с Ва-г состоит ровно из двух непересекающихся окружностей у\ и Y2- Итак, в случае 2 обе окружности yi~e и уг~е реализуют не- нетривиальные циклы на одном и том же торе Т~г. Эти окружности не пересекаются, так как сепаратрисы критических точек не пе- пересекаются вне критических течек. Из элементарных свойств дву- двумерного тора следует, что эти окружности изотопны и реализуют один и тот же цикл на торе Т~е. Пусть теперь sdS1 неориентируема, т, е. сепаратрисная диа- диаграмма Р- гомеоморфна листу Мебиуса. Здесь после первого обо- оборота вдоль окружности S1 точка А перейдет в точку В (рис. 65), т. е. точка Мл не будет близка к точке М в топологии тора Т-е. Другими словами, траектория т совершит лишь половину полного оборота по тору Т-г. Сделав еще один оборот вдоль S1, траекто- траектория т завершит свое движение по тору Т-Е, вернувшись в некото- некоторую точку М2, близкую к точке М в топологии тора Т_е. Дальней- Дальнейшее рассуждение, очевидно, повторяет рассуждение ориентируемо- ориентируемого случая. Лемма 5 доказана. Перейдем к доказательству леммы 6. Начнем с ориентируемого случая. Пусть круглая ручка, отвечающая седловой окружности, приклеивается к разным торам Т\ и Т% по кольцам, осями кото- которых являются нестягиваемые (в силу леммы 5) окружности Yi и Y2 соответственно. Разрезая торы по этим окружностям, мы получаем два кольца (из каждого тора). Приклеивая круглую ручку и рассматривая границу получившегося трехмерного многообразия, мы получаем один тор в качестве верхней компоненты границы. Обращая рас- рассуждение, получаем перестройку двух торов Лиувилля в один. В неориентируемом случае обе компоненты Р+ и Р- сепаратрйс- сепаратрйсной диаграммы sdS1 критической окружности S1 гомеоморфны листу Мебиуса (по отдельности). Следовательно, их границы связны и гомеоморфны окружности. Отсюда следует, что один тор Т-е перестраивается в точности в один тор Т+е. Лемма 6 доказана. При доказательстве лемм 5 и 6 существенно использовался тот факт, что седловая окружность является интегральной траек- траекторией поля v. Если ограничиться рассмотрением лишь гладкой боттовской функции f, неособые поверхности уровня которой яв- являются двумерными торами (т. е. если отбросить условие, что f — интеграл гамильтонова поля), то число вариантов перестроек набора торов Лиувилля в набор торов сразу увеличится. Приведем соответствующую таблицу, например, для ориенти- ориентируемого случая. Возможны следующие четыре случая расположе- расположения двух гладких самонепересекающихся и непересекающихся ок- окружностей yi и Y2 на торе (рис. 67 A—4)). 155
1) Окружности yi и Y2 нестягиваемы. Тогда они реализуют один и тот же нетривиальный цикл на торе и изотопны друг другу. 2) Окружность yi нестягиваема, а окружность у2 стягиваема. 3) Окружности yi и Y2 стягиваемы и расположены вне друг друга. 4) Окружности yi и уг стягиваемы и уг расположена внутри yi- В результате приклейки круглой ручки один тор превращается соответственно в следующие поверхности (в случаях 1—4): Рис. 67A) Рис. 67B) Рис. 67C) Рис. 67D) 1) два тора, 2) один тор, 3) крендель (т. е. сфера с двумя ручками) и сфера, 4) два тора. Итак, по сравнению с утверждением леммы 6 добавились бы еще два новых превращения тора: тор превращается в тор (нетри- (нетривиальное преобразование) и тор превращается в крендель и сфе- сферу. Случаи 2, 3, 4 запрещены леммами 5 и 6, если sdS1 ориенти- ориентирована. Итак, опираясь на условия теоремы 3, мы отбрасываем «75 процентов» всех возможных перестроек тора и оставляем лишь случай 1, т. е. те «25 процентов», которые разрешены теоремой Лиувилля. 1.5. Изоэнергетические поверхности задаются одномерными графами, вершины которых разбиваются на пять канонических типов. Рассмотрим интеграл f на Q. Возможны следующие два случая: А) функция f имеет хотя бы одну критическую седловую окружность на поверхности Q, Б) функция / не имеет критиче- критических седловых окружностей. Начнем со случая А и предположим, что sdS1 ориентируема. Пусть S1 — седловая окружность на Q. Рассмотрим две близкие некритические поверхности уровня Ba+t и Ba-t- Согласно лемме 6 окружность S1 порождает либо распад тера Лиувилля на два то- 156
pa, либо слияние двух торов в одни тор. Рассматривая вместо t функцию —f, Можно считать, что мы изучаем распад одного тора на два тора. Выделим в слое (а—е</<а+е) связную компоненту V(Sl) (трехмерное многообразие с краем), содержащую S1 и имеющую в качестве границы: один тор Т~с в составе «нижней» поверхности Рис 68 Рис. 69 Ba-t и два тора 7i,e и Гг.е в составе «верхней» поверхности Ва+С (рис. 68). Тор Т-е распадается на два тора 7\,е и Гг,г при про- прохождении через критическое значение а. Сепаратрисная диаграм- диаграмма Р- выходит из критической окружности S1 и, спускаясь вниз, встречает тор Г-, по двум окружностям yi и уг (см. выше). Из лемм 5 и 6 следует, что yi и Y^ являются границами кольца, ле- лежащего на торе Г_е. Обозначим оба кольца, в объединение которых окружности yi и Y2 разбивают тор Т-с, через /Ci и /Сг- Построим новую поверх- 151
ность Pi, добавив к сепаратрисной диаграмме Р_ кольцо К\ и вто- вторую поверхность Р2, добавив Р_ кольцо /Сг (рис. 68). Ясно, что обе поверхности Pi я Рг гомеоморфны тору (рис. 69). Лемма 7. Пусть sdS1 ориентируема. Тогда торы Pi и Р2 изо- изотопны в многообразии U (S1) торам 7\,е и Г2,е соответственно. Ок- Окружности yi> Y2. S1 леоюат на каждом из торов Р\, Рг и реализуют на них нетривиальные образующие циклы, (они не пересекаются и негомотопны нулю). Доказательство. Изотопию тора 7\> на тор Pi можно построить при помощи рассуждений, использующихся в обычной теории Морса при деформации поверхности уровня вдоль интег- интегральных траекторий векторного поля до тех' пор, пока поверх- поверхность не окажется в малой окрестности сепаратрисной диаграм- диаграммы, после чего стягивание производится «по нормалям» к сепа- сепаратрисной диаграмме. Остальные утверждения следуют из лемм 5 и 6. Лемма доказана. Выше мы постоянно предполагали, что на критическом уровне Ва находится ровно одна критическая седловая окружность. Рас- Рассмотрим теперь общий случай, когда на Ва находится, вообще говоря, несколько таких окружностей (их всегда конечное число). 'Лемма 8. Всегда можно считать (при изучении перестроек торов Лиувилля), что на каждом критическом уровне Ва находит- находится роено одна критическая седловая окружность. Другими слова- словами, можно всегда считать, что круглые ручки или толстые листы Мебиуса приклеиваются последовательно, а не одновременно. Доказательство. Аналог этой леммы в обычной теории Морса хорошо известен, однако в нашем случае его доказатель- доказательство более деликатно, так как здесь мы имеем дело с интегралом f (а не просто с гладкой функцией). Поэтому нужно существенно использовать условия теоремы 3. Произвольное гладкое возмуще- возмущение интеграла дает, вообще говоря, уже не интеграл. Рассмотрим близкую неособую поверхность Ва-е — объединение нескольких торов. Предположим, что с каким-то одним из этих торов Г_е встречается несколько сепаратрисных диаграмм седловых окруж- окружностей. В силу боттовости интеграла / каждая сепаратрисная диа- диаграмма пересекает тор Г_е по гладкой самонепересекающейся окружности, причем окружности, отвечающие разным диаграм- диаграммам, не пересекаются. К каждой из окружностей по отдельности применимы все предыдущие рассуждения. Следовательно, каждая из них является осью узкого кольца, по которому приклеивается подошва одной круглой ручки- или подошва толстого листа Ме- Мебиуса. Из рис. 70A) (изображающего для простоты лишь ориен- ориентированный случай) видно, что все круглые ручки и толстые ли- листы Мебиуса можно считать приклеивающимися независимо друг от друга к тору Т_е. Пусть, .например, .на ;гор Г_е «вышли» сепа- ратрисные диаграммы нескольких седловых окружностей 1—4 (на рис. 70A) они изображены точками). Сначала можно выполнить перестройку по окружности 1. В результате тор 7\^ распадется на два тора, изображенных пунктиром. Очевидно, что пересечения 158 '
этих пунктирных торов с прежними сепаратрисными диаграммами окружностей 2, 3, 4 имеет тот же топологический тип, что и преж- прежде (нестягиваемые образующие на торе). Пунктирные торы мож- можно считать близкими к тору Т-„ объединенному с сепаратрисной диаграммой Р- окружности 1. Поэтому прежние диаграммы высе- высекают на них изотропные образующие (на рис. 70A) они показаны белыми кружками). . Теперь можно выполнить следующую перестройку по окружно- окружности 2 и т. д. Итак, можно считать, что каждый раз мы приклеи- приклеиваем лишь одну круглую ручку или один толстый лиет Мебиуса, Рис. 70A) Рис. 70B) т. е. проходим только одну критическую седловую окружность. Важно, что в нашем случае круглые ручки и толстые листы Ме- Мебиуса приклеиваются не друг к другу (что запутало бы картину), а к одному и тому же неособому тору (причем а разных его мес- местах) или к его малому сдвигу по интегральным траекториям поля grad/ (рис. 70B)). Благодаря'этому обстоятельству мы можем теперь коммутировать приклейку круглых ручек и листов Мебиу- Мебиуса, порожденных критическими седловыми окружностями, отвеча- отвечающими одному и тому же критическому значению интеграла. Кро- Кроме того, непересекающиеся и самонепересекающиеся окружности на торе (в любом числе), реализующие ненулевые элементы фун- фундаментальной группы, реализуют один и тот же элемент, а потому попарно изотопны. Теперь мы можем соответствующим образом деформировать функцию /, чтобы на каждом " ее критическом уровне осталась ровно одна седловая окружность. Гладкая деформация поверхно- поверхностей уровня функции /, позволяющая задать и гладкую деформа- деформацию самой функции, показана на рис. 71. Здесь изображено сече- сечение трехмерного многообразия Са в окрестности его особой по- 159
верхности уровня Ва. При деформации функции f она, конечно, перестает быть интегралом поля v в целом, но остается интегра- интегралом в малой окрестности каждой отдельной сепаратрисной диаг- диаграммы. Лемма доказана. Можно также считать, что все локальные минимумы функции f расположены на одном уровне f @), а все локальные максимумы интеграла — на одном уровне f~l(l). Этого можно добиться изме- изменением функции f лишь в малой окрестности минимальных и мак- __ ft 1 I л * 4 У щп A tt;; % > 2 * I с Рис. 71 Рис. 72 -симальных подмногообразий. Новых критических точек при этом не возникает. Многообразие Q удобно задавать в виде некоторого графа Г = = F(Q, f). Пусть O^f^l на поверхности Q. Все минимумы ,и мак- максимумы интеграла можно считать абсолютными (см. выше). Так как f — боттовская функция на Q, то картина распада и уничто- уничтожения неособых торов Лиувилля вблизи критических седловых окружностей —- строго определенная. См. леммы 5 и 6. Изобразим неособые двумерные торы Лиувилля обычными точ- точками (на каждый тор отведем по одной точке). Меняя значение -функции f, мы заставляем эти точки перемещаться, так как каж- каждый неособый слой функции (интеграла) изображается теперь на- набором точек (по числу торов Лиувилля). В результате получится 160
некоторый одномерный граф, начинающийся на плоскости (f=0) И заканчивающийся на плоскости (f—\). При этом введем следу- следующие обозначения. 1) Большой черной точкой (черным кружком) с исходящим (соответственно входящим) ребром графа мы обозначим мини- минимальную соответственно максимальную окружность -для интег- интеграла. 2) Белым кружком с двумя исходящими (соответственно вхо- входящими) ребрами графа мы обозначим минимальный (соответ- (соответственно максимальный) двумерный тор для интеграла. 3) Трилистником («треножником»), т. е. точкой с тремя ребра- . ми графа, встречающимися в атой точке, мы обозначим связную трубчатую окрестность критической седловой окружности с ориен- ориентированной сепаратрисной диаграммой sdS'. 4) Звездочкой (с входящими и исходящими ребрами) обозна- обозначим трубчатую окрестность критической седловой окружности с неориентированной сепаратрисной диаграммой sdSK 5) Кружком с точкой внутри и с исходящим (соответственно входящим) ребром графа мы обозначим минимальную (соответ- (соответственно максимальную) критическую бутылку Клейна. Каждый трилистник (треножник) описывает либо распад одно- одного тора на два тора, либо, наоборот, слияние двух торов в один. Это зависит от того, как ориентирован треножник: либо двумя ребрами вверх, либо одним ребром вверх. Получающийся граф показан на рис. 72. Ясно, что- его можно реализовать в R3. Очевидно, существует непрерывное отображение h поверхности Q на граф T(Q,f). Меняя интеграл f (но сохраняя поверхность Q), мы будем, вообще говоря, менять граф. Поэтому в обозначении графа учтено как многообразие Q, так и слегка возмущенный интеграл /. Однако, если заменять интеграл f на боттовский интеграл, не меняя гамильтониана Я, мы в случае общего положения не изме- изменим граф Г(<2, }). Точнее, мы заменим граф на граф, ему гомео- морфньщ. Другим* словами, замена второго интеграла приводит к гомеоморфизму нашего графа. В основе доказательства лежит тот факт, что тор Лиувилля почти всегда (в случае несоизмери- несоизмеримых частот, т. е. в нерезонансном случае) является замыканием любой интегральной траектории, лежащей на нем. Следовательно, тор Лиувилля полностью определяется только гамильтонианом Я (в интегрируемом случае). Таким образом, мы, оказывается, по- получаем возможность сопоставлять каждому «интегрируемому га- гамильтониану» его характеристический набор графов T(Q). Это позволяет наглядно различать между собой различные случаи ин- интегрируемости. Каждый случай .интегрируемости, например, в тео- теории движения тяжелого твердого тела получает свое наглядное изображение, отличающее его от других случаев. На рис. 73а мы занумеровали все эти типы вершин графа Г цифрами 1, 2, 3, 4, 5 не случайно. Дело в том, что имеется взаим- взаимно однозначное соответствие между этими пятью видами вершин (J Л. Т. Фоменко 161
"ШЛУА'ЦТ m=0 О i /77=/ m--0 z О/ - fl>'0 /U>/2 /77=/ m*o Q/oo 20 2Q/« 207oo V V 2 ►2. 2 % B) 1 9 1 C) D) m=Z E) F)-
(г) т-0 т-0 /и ьЗ (О т-0 т = 1 © 2О°° 2®'~ 1* \у л/ 2X2, у\ А (DIoi 2(Э7„ 2<Ь1 2Э J3>,0 m=0 Y-IY-I Y-1 m>2 Рис. 73
графа г и пятью простейшими типами трехмерных многообразий, перечисленных нами в теореме 2. Оказывается, достаточно малая «окрестность»-вершины графа типа I (где i=l,2,3,4,5) гомео- морфна (с точки зрения поверхности Q) элементарному много- многообразию типа i в теореме 2. Рассмотрим связное критическое подмногообразие L и близкие к нему неособые поверхности уровня Ва+г и Ва-е. Пусть U(L) — связная компонента слоя между 5а+Е и Ва~г, содержащая L. Лемма 9. 1) Пусть 51 — критическая седловая окружность и ее сепаратрисная диаграмма Р_ ориентируема. Тогда трехмерное многообразие £/(S!) с краем TUt,\jT2,t\jT-t гомеоморфно прямому произведению N2XS\ где N2 — двумерная сфера с тремя дырка- дырками {диск с двумя дырками). 2) Пусть теперь сепаратрисная диаграмма Р- неориентируема.. Тогда U (S1) гомеоморфно многообразию А3, т. е. нетривиальному расслоению Л3->5' со слоем N2; U(Sl) =N2XSl (косое произве- произведение). 3) Пусть L = Sl — максимальная (или минимальная) окруж- окружность для интеграла. Тогда f/(S1)=5'xD2 (полноторие). 4) Пусть L = T2 — максимальный или минимальный тор. Тогда T2) = T2xDl (цилиндр). 5) ПустьЬ = К2 — максимальная (или минимальная) бутылка Клейна. Тогда U(K2)=K3 = K2XDl- (косое произведение). Двумерное многообразие N2 можно рассматривать как элемен- элементарный кобордизм («штаны»), содержащий ровно одну кри- критическую точку индекса 1 (рис. 74). Доказательство. Нач- Начнем с ориентируемого случая. Из лемм 5, 6, ■ 7 следует, что многообразие U(Sl) содержит два тора P^P-UKiK P2 = P[}K2, изотоп- изотопные торам 7*1,е и Г2,8 соответ- соответственно. Фиксируем эти изото- Рис. 74 Рис. 75 164
пин. Поднимающаяся вверх (вдоль поля gradf) часть сепарат- сепаратриснои диаграммы окружности 5! высекает на торе Г1|8 образую- образующую 7ie> а ца торе Г2,8 — образующую у2е (Рис- 69, 75). При изотопии тора Т\,Е вниз на тор Р\ окружность yf переходит в S1. Аналогично пр.и изотопии тора 7,е на тор Рг окружность 72"- переходит в S1. Любая образующая на двумерном торе всегда может быть дополнена (неоднозначно) другой окружностью, явля- являющейся второй образующей на торе и пересекающейся с первым циклом ровно в одной точке. Выберем такую вторую образующую на торе Т\,е (рис. 69,75). Опуская ее вниз при изотопии тора Т\л на Р\, получаем на торе Р\ некоторую его образующую у, изоб- изображенную пунктиром на рис. 69, 75 и являющуюся дополнитель- дополнительной к окружности (образующей) 51. Окружность 7 распадается на две дуги: y = yUy' в кольце К\. Ясно, что циклы усе ,и \2~г изо- изотопны на торе Г_е и разбивают его в объединение колец К\ и К%. Дополним дугу у дугой у" в К2, чтобы окружность,yUY" была бы образующей на торе Рг, дополнительной к S\ а окружность т~Е = = y'Uy" была бы образующей иа торе 7"_е, дополнительной к уге (или к у2~г, что эквивалентно), см. рис. 69, 75, 76. Это можно сде- сделать, так как б достаточно мало и часть сепаратриснои диаграм- диаграммы Р- диффеоморфна цилиндру. Очевидно, что цикл yUy" являет- Рис. 76 165
ся образующей на торе Р2, дополнительной к 51. Пр.и изотопии тора Р2 на Ту,* его образующая 51 перейдет в у2в на^тор Т2,„ а цикл yUy" перейдет в кривую Т2Е, являющуюся на торе Т2>е обра- образующей дополнительной к образующей у2е. Итак, мы построили систему координат в многообразии {/(S1). В качестве N2 возьмем поверхность, заметаемую двумя окружно- окружностями yUy' и 7Uy" пРи изотопии торов Р, на торы Г,,«, где i=l,2. Ясно, что Т1Е = ЛГ2ПГ!е и Т2Е=Л[2П7'2 „ где т;е — образующая на торе Ти, i=l, 2. Далее, yV2nr_e = <rE = YW. где T-e = Ki[jK2. Очевидно, что окружности, изотопные S'-при указанных изотопиях Р,- на торы Г,-,е, i=l, 2, задают слои прямого произведения A/^XS'3 = {7E'). В ориентированном случае.лемма доказана. Теперь рассмотрим нео.риентируемый случай. Гранич- Граничная окружность сепаратрисной диаграммы Р_ (листа Мебиуса) приклеена к тору Г_г по какой-то его образующей y~e- Дополним эту образующую на торе Г_е второй образующей, которую обозна- обозначим через т~Е. Вторая образующая т"Е определяется неоднозначно, но для нас это не имеет значения. Так как окружность т~е лежит на неособом торе Лиувилля, то в каждой ее точке определено нормальное векторное поле gradf. Это поле увлекает за собой окружность тгЕ. Очевидно, мож- можно корректно определить непрерывную деформацию окружности тгЕ, индуцированную деформацией поверхности уровня. При этом возможны два варианта: 1) Окружность тгЕ сначала превращается в восьмерку (две ее точки склеиваются на особой поверхности уровня Ва), после чего восьмерка разрывается и превращается в пару непересекающихся окружностей. 2) Обратный процесс, когда окружность т~Е и ее дубликат, по- получившийся после однократного обхода вдоль критической окруж- окружности 51, сначала сливаются в одной точке, образуя восьмерку, после чего восьмерка перестраивается и превращается в одну ок- окружность. Очевидно, что при обоих вариантах перестройки деформирую- деформирующаяся окружность т"Е (или удвоенная окружность т~е) заметает двумерный диск с двумя дырками. Более того, после одного пово- поворота вдоль окружности 51 этот диск возвращается на прежнее место, но две его дырки меняются местами. Мы получаем много- многообразие Л3, расслоенное над базой 51 со слоем Л^2. Пусть 51 — критическая окружность индекса 2 или 0. Рас- Рассмотрим ее трубчатую окрестность U{Sl). Из боттовости функции f следует, что U(S]) расслаивается на торы, сжимающиеся на окружность 51 и являющиеся поверхностями уровня функции f. Так как они лиувиллевы, то .интегральные траектории системы v лежат на них. Тогда окружность S1, очевидно, устойчива. Лемма 10. Имеют место следующие гомеоморфизмы: 1) Л3 = Л'2х51=E1Х/J) + (ЛГ2х51), т. е. А3 получается в ре- результате склейки полнотория со штанами; 166 ,
2) K* = () () + ( получается склейкой двух полноторий со штанами. Доказательство. 1) Рассмотрим на рис. 57 точку 0 — центр восьмерки. Выбрасывая трубчатую окрестность окружности р (т. е. выбрасывая полноторие), получаем многообразие R, по- показанное на рис. 77. На рис.78 показано расслоение многообра- многообразия R со слоем окружность над двумерным многообразием с кра- краем. Эта база гомеоморфна диску с двумя дырками, т. е. ./V2. На рис. 78 показана соответствующая проце- дура получения N2. Разрезая пер- воначальное кольцо пополам и склеивая два отрезка в соответ- соответствии со стрелками, получаем N2. Склейки определяются характе- характером расслоения R на окружности. Рис. 77 Рис. 78 2) Рассмотрим меридиан h на бутылке Клейна К2, показанный на рис. 79. Этот меридиан можно считать базой нетривиального s> расслоения K2-*h со слоем окружность. Поэтому многообразие К3 расслаивается над окружностью h со слоем кольцо, т. е. SlXD{. Итак, имеем р: /С3-»-/». При этом граничный тор Т2 (где Т2 = дК3) расслаивается при проекции р со слоем, состоящим из пары ок- окружностей (граница кольца). Это расслоение условно изображе- изображено на рис. 79. Ясно, что бутылка Клейна К2 может быть вложена в пространство расслоения К3 как «нулевое сечение» (рис. 79). Следовательно, в К3 можно выделить окружность Я, лежащую на «нулевом сечении» и проектирующуюся (гомеоморф- но) на базу h при проекции р. Выбросим окружность h из К3. 167
В результате получаем новое расслоение р: /С3\Я—*-/г со слоем N2 (так как, выбрасывая из кольца точку, получаем N2). Ясно также, что полученное расслоение нетривиально, т. е. /С3\й = Л3. Итак, /С3 = Л3+E!Х/J)=2E1 + /J) + (ЛГ2х51), .что и требовалось до- доказать. 1.6. Любая поверхность постоянной энергии интегрируемо* системы представляется в виде склейки простейших трехме'рны. многообразий трех типов. Пусть Q3—«интегрируемая» повег-- К2- Рис. 79 ность постоянной энергии. Выделим в Q все критические гообразия интеграла /. Имеем: 1) т>0 максимальных и минимальных окружностей S1; 2) р>0 максимальных и минимальных торов Г2; 3) 9>0 седловых окружностей 5+1, для которых сепаратрисная диаграмма ориентируема; 4) s>0 окружностей SL, для которых сепаратрисная диаграм .ма неориентируема; 5) г>0 максимальных и минимальных бутылок Клейна. Тогда Q допускает гамильтоново представление Q = mU(S1) — '+pU(T2)+rU-{K2)+qU{S+l)+sU(SJ), где через U(L) обозначен; .связная регулярная трубчатая окрестность критической поверхно- поверхности уровня, содержащей критическое подмногообразие L (см. вь- 168
шс). В лемме 9 все эти многообразия полностью описаны: U(S1)=S1XD2, U(T2)=T2XD\ U{S+l)=N2xS\ U(SJ)=A\ U(К2) =К3. Отсюда, очевидно, следует утверждение теоремы 2. Доказательство теоремы 3 получается из теоремы 2 и из лем- леммы 10. 1.7. Двулистные накрытия над изознергетическими интегрируе- интегрируемыми поверхностями всегда обладают ориентированным интСгра- лом. Пусть К\2,...,Кг2 — конечное число бутылок Клейна, явля- являющихся минимумами или максимумами интеграла f. Поверхности уровня интеграла, близкие к /С,-2, гомеоморфны тору Т2, причем этот тор двулистно накрывает бутылку Клейна К . Вырежем из Q3 все многообразия Ki3, окружающие Ki2. Напомним, что /G3— это трубчатая окрестность бутылки Клейна Ki2. Возьмем два эк- экземпляра- Q+ и Q-, гомеаморфные Q\\]ri=iKi3. Ясно, что край d(Q+\JQ-) состоит из 2г торов T2i+, T2i-, получающихся удвоением торов дК?, \<i<r. Рассмотрим 2г экземпляров Л,-, В,- цилиндров T2Y.Dl, причем сопоставим каждой паре торов 7;+) T2t- два ци- цилиндра: Ai = T2i+XD1 и Bi — T2i-XDK Отождествим у каждого из цилиндров его основание T2i+ (соответственно Г2,-) с тором Г2,-+ (соответственно Г2,_) в Q+ (соответственно Q-). Два оставшихся основания цилиндров отождествим так, чтобы было корректно оп- определено двул,истное накрытие Ai\JBt-+Ki3 (рис. 80). В результате Рис. 80 169
получается новое многообразие Q=Q+\JQ-[](\]ri=iAi{]Bi). Очевид- Очевидно, мы построили двулистное накрытие я: <3->-Q, причем Q+ и Q- проектируются на Q\\Jri=iKi3 тождественно. Так как трубчатая окрестность U(Q) поверхности Q в М4 гомеоморфна прямому произведению QXD\ то можно построить двулистное накрытие O(QU(Q) Так как проекцию я: Q—>Q можно считать гладкой, то задан- заданные на Q симплектическую структуру со, гамильтоново поле sgrad H и интеграл f можно перенести обратно на Q. При этом все эти объекты сохраняют свои характеристические свойства. Утверждение доказано. 1.8. Нижние оценки на число устойчивых периодических реше- решений системы. В силу теоремы 2 для Q3 имеет место гамильтоново разложение Q = mI + pII + qIII+sA3+rK3. Копредставление конечно порожденной группы G с образующими п\,...,ап и соотношениями W\,... ,Wm будем записывать так: G— (а\,..., ап\ W\ = 1,..., Wm= 1^- Легко вычислить фундаменталь- фундаментальные группы этих пяти элементарных кирпичей: 1) ni(S1XD*)=Z; 2) n1(PxZI)=ZeZ; 3) n\(N2XS1) =F2{a, b)@Z{c), где F2 — свободная группа; далее tfi^xS^-ZezeZ;. 4) ni{A*)=m{A2)=F2(a, b)/(ab2 = b2a), далее tf,^3)=Z®Z; 5) ni{K3)=ai{K2) = {a, b\aba-*b = l), далее Я,(/С3) =Z©Z2. Рассмотрим Q, интеграл f и соответствующий им граф Г = = Г(<2, /). Выделим следующие 4 случая: 1) ^ = 0 (т. е. нет шта- штанов), 2) q=\, 3) q = 2, 4) q>2. Опишем все возможные связные графы T(Q, /) в случаях 1—3. Лемма 11. Пусть q = 0. Тогда все возможные связные графы Г(<2, f) показаны на рис. 736. Для т<1 графы T(Q, f) приведены на рис. 736A—3). Число экземпляров А3, т. е. число s звездочек на ребрах графа, моЖет быть произвольно. Доказательство сводится к простому перебору всех воз- возможных случаев. На рис. 73 рядом с каждым из узлов (вершин) на графе Г мы поставили два числа: количество свободных обра- . зующих (со значком оо) и число всех образующих в группе Hi соответствующего элементарного многообразия. Например, рядом с полноторием (черная вершина на графе) стоят числа 1» и 1. Пусть р — одномерное число Бетти, ц — число всех образующих в группе гомологии H{(Q, Z). Лемм а-12. Пусть q=l. Все связные возможные графы Г по- показаны на рис. 73в. Графы Г, для которых т<1, приведены на рис. 73вA—4). Число s (т. е. число звездочек) может быть произ- произвольно. Лемма 13. Пусть q — 2. Все связные возможные графы Г, для которых т<1, приведены на рис. 73г. Число звездочек любое. 170 ' .
Теперь перейдем к доказательству тех утверждений теоремы 1, в которых участвует группа гомологии H\(Q, Z). Лемма 14. 1) Пусть граф T(Q, f) связен и q = 0. Для графа Г рис. 736A) группа Hi всегда бесконечна, т. е. C>1. Для графа Г рис. 736B) группа HY имеет не менее одной (возможно, конеч- конечной) образующей, т. е. цзП и р>0. В частности, Hi может быть циклической конечной группой, если Qo= (SlXD2) +sA3+K3. Для графа Г рис. 736C) группа Hi имеет не менее двух независимых (возможно конечных) образующих, т. е. ц>2, р:>0. 2) Пусть граф Г связен и q—l. Для . графов Г рис. 73вA,2)' группа Hi всегда бесконечна, т. е. р>1. Для графов Г рис. 73вC,4) р>0, ц>2 (для рис. 73вC)) и р>0, ц>3 (для рис. 73вD)). В частности, в случаях рис. /ЗвC,4) группа Нх всегда отлична от нуля и не может быть конечной циклической. 3) Пусть граф Г связен и q = 2, пг^.1. Если граф Г содержит сотя бы один цикл (см. рис. 73гA)), то группа Hi всегда беско- гечна, т. е. р>1. Для графа рис. 73гB) Р>0, \к~>А, для графа оис. 73гC) р^О, \£^. В двух последних случаях группа Hi всег- всегда отлична от нуля и не может бьпь конечной циклической. 4) Пусть граф Г связен и q>2. Если граф Г содержит хотя бы один цикл,"то группа Hi бесконечна. Если нет ни одного цикла, то граф Г является деревом. В этом случае всегда \i^\ + q>3, поэтому группа HY всегда отлична от нуля и не может быть конеч- конечной циклической группой. Доказательство. Пусть комплекс X получен склейкой двух ■своих подкомплексов У и Т, пересекающихся по связному подком- подкомплексу R. Пусть Ру (соответственно \iY) и Рг (соответственно [хт) — числа Бетти (соответственно количество, всех образующих), причем здесь имеется в виду наименьшее число образующих) для групп гомологии Hi(Y, Z) и Hi(T, Z). Пусть цл — минимальное число образующих в группе Hi(R, Z). Тогда из теоремы ван Кам- пена следует, что рх>6к+Ру—Рн и \1Х>Цг+Цт—\ir. Далее, если граф T(Q, f) содержит хотя бы один замкнутый цикл, то из той же теоремы ван Кампена (примененной для случая несвязного пересечения R) следует, что группа Hi(X, Z) содержит по крайней мере одну бесконечную образующую. Комбинируя эти два прос- простых наблюдения, следует перебрать все случаи, перечисленные на рис. 73: 1) В случае рис. 736A) граф Г содержит цикл, т. е. Hi — oo. В случае рис. 736B) p(Q) >p(SIX£>2) +P(/C3) +s$(A*) — (s + + l)P(r2) = l + l + 2s — 2(s+l)=0, т. е. р>0. Аналогично n(Q)^ >jxE'XD2) + \i(K3) +sv(A*) — (s+ 1)VG) = 1 +2 + 2s—2(s+ 1) = 1. Легко построить пример (подбирая нужные диффеоморфизмы двумерных граничных торов), когда Hi = Za. Следовательно, здесь группа Hi может быть конечной циклической, но в рассматривае- рассматриваемом случае мы имеем т=1. Это событие происходит, .если Qo= = (SlXD2) +sA3+K3= (s + 4) (S1XD2) + (s + 2) (WxS1). Если же нам заранее известно, что многообразие Q недиффео- морфно Qo, то этот особый случай (когда Н\ — конечная цикли- 171
,ческая) вычеркивается. Все остальные случаи рассматриваются аналогично. Приведем только окончательные ответы. Для рис. 736C) . Р (Q) > 2Р (К3) + sp (Л3)- (s + 1) р G2) = = 2+2s— 2(s+l) = 0, т. е. p(Q)>0; n(Q)> >2ц(А:з) + 5и(Л3)-E+ 1)hG") = 4 + 2s—2(s + 1) = = 2, т. е. ц(<Э)>2. 2) При q—l графы рис. 73вA,2) имеют циклы, поэтому Н\ = = оо. Для рис. 73вC) р (Q) > 2р (К3) + р (S1 х D2) + р (Л^2 х S1) + sp (Л3)— -(s+3)p(r2) = 2 + l+3 + 2s— 2(s+3) = 0; p(Q)>0; H(Q)>2pi(K3)+n(S1xD2)+n(^2xS') + sn^3)- = 4+l+3 + 2s—2(s + 3) = 2; Для рис. 73в D) P(Q)>3p(/C3) + PC^xS^ + sp^3) — (s + 3)p(T2)>0; M(Q)>3n(/C3) + n(^2xS1)+snn3)-(s+3)n(n>3. 3) При <7 = 2 и m<l графы р.ис. 73гA) имеют цикл, поэтому \ = оо. Далее, для рис. 73гB) Для рис. 73гC) 51KЛ3 ( [() ( )j()^ 4) Пусть q>2, m^l. Если Г содержит цикл, то #i = oo. Пусть Т — дерево. Тогда возможны лишь два случая: Q= В первом случае Во втором случае n(Q) >2 + <7>4. Лемма 14 доказана. Доказательство гомологической части теоремы 1 завершаете^ следующим образом. Если интеграл ориентируем, то г = 0, следо- следовательно, при условии конечности группы Hi на рис. 736, в, г, ос- остаются лишь графы, расположенные справа от вертикальной пунк- пунктирной линии, т. е. при т>2. Если интеграл неориентируем, то томологические утверждения теоремы следуют из леммы 14. Нера- 172
ненство m + r>2 (при условии конечности группы Hi), очевидно, .эквивалентно неравенству пС^2 (в ориентируемом случае), если засчитывать каждое Къ за полноторие (см. лемму 14). Осталось доказать утверждения теоремы 1, связанные с груп- группой n\(Q). Пусть n\(Q)~Z в случае ориентируемого интеграла. Из леммы 14 (рис. 73) следует, что для графов вида рис. 736B,3), 73вC,4), 73гB,3), 73дB,3) группа Hi(Q, Z) имеет не менее двух независимых образующих, следовательно, п\{Q)ФZ. Таким образом, эти графы нас сейчас не интересуют. Осталось -проверить, что если граф T(Q,f) содержит хотя бы один цикл, то тогда в группе iti(Q) есть по крайней мере две независимые обра- образующие. Рассмотрим случай рис. 736A), т. е. склейку двух цилиндров. Нужно изучить случаи рис. 736A), 73вA, 2), 73гA), 73дA). В слу- случае рис. 73г( 1) два седла могут быть склеены по двум (из трех) своих граничных торов, см. рис. 73г A) слева. Подсчет дает, что здесь ц>3, а потому zti{Q)=£Z. Если два седла склеены в виде дерева (рис. 73гA) справа), то нужно заклеить четыре граничных тора. Возможны два варианта: приклейка двух цилиндров (тогда j3>2 и л\фТ) либо приклейка одного цилиндра и двух полното- рий (но в таком случае т = 2). Аналогичные рассуждения показывают, что в случае рис. 73дA), т. >е. при <7>2, тем более п\фХ. Осталось разобрать слу- случаи рис. 73вA) слева и рис. 736A). Ясно, что достаточно изучить «случай рис. 736A), так как в случае рис. 73вA) слева вклейка полиотория в штаны может дать в худшем случае коммутативную группу с двумя образующими, а это как раз случай нижнего, ци- цилиндра рис. 736A). Итак, рассмотрим случай Q = 2(T2XDl) + sAz (см. рис. 736A)). Граф. Г содержит один нетривиальный цикл. Соответствующую •ему образующую в группе iti(Q) мы обозначим через t. Предста1 ■вим Q в следующем виде. Разрезав на графе Г одно ребро, получим цилиндр T2XDl, в который вклеено несколько неориентированных седел. Предполо- Предположим сначала, что этих седел нет, т. е. что s = 0. Пусть G = hi(T2) = = Z©Z и i\, i-2 — два вложения тора Т2 в верхний и нижний края цилиндра T2XDl соответственно. Получаем гомоморфизмы t"i*:G-> -+m(T2xDl)=Z®Z и i2.: G->ni(T2xDl). Ясно, что ii* и i2* — изоморфизмы групп. Обозначим через C?i и Ог образы группы G лри этих гомоморфизмах. Тогда группа Jti(Q) получается из сво- свободного произведения Z(t)*G введением соотношений tiXi(h)t~l = -= t2*(/г), где h^G. Сокращенно совокупность этих соотношений запишем так: tG\t~l = G2- В нашем случае Gi«sG2~Z©Z=G, так как i\ и г2 — гомеомор- гомеоморфизмы торов. Можно было бы с самого начала считать, что Gi = G, т. е. что отображение h тождественно, a h — некоторый гомео- гомеоморфизм. Тогда i2* можно задать унимодулярной матрицей \ и соотношения примут вид /а^' = аарс, /p^~1 = abpd, где аир — 173
образующие группы Gi = G = Z©Z. Отсюда видно, что ранг nt(Q)>2, причем по крайней мере одна образующая t имеет бес- бесконечный порядок. Пусть теперь в цилиндр Рх/51 вклеено ровно одно неориенти- неориентированное седло. Поступая по предыдущей схеме, оценим снизу ранг Jti(Q). Найдем ni(Q), где <5 получено из Q разрезом вдоль одного тора Лиувилля, т. е. на графе Г разрезается одно ребро. Ясно, что Q гомеоморфно Л3, а Л3 гомотопически эквивалентно- двумерному комплексу Л2, который можно получить следующим образом. Возьмем окружность и ортогональную ей достаточно ма- малую восьмерку. Затем будем перемещать восьмерку вдоль окруж- окружности ортогональным образом, одновременно вращая восьмерку так, чтобы после одного полного оборота она вернулась в прежнее положение, но чтобы при этом две ее окружности а :и у поменя- поменялись местами. Из рис. 57 следует к, (Q) = F2 (а, у) * Z (PVtfap-1 = Y, = Z (о) * Z (р)/(р2сф-2 = a) = F2 (а, Р)/(Р»а = «р»). Здесь F2 — свободная группа с двумя образующими. Вычислим группу iti(Q). Пусть i\ и ii — снова два вложения тора Т2 на верхний и нижний края многообразия Q=A3. Считаем, что вложе- вложение h тождественно. Здесь iu и i2*, отображающие группу Z©Z в Я1(Л3), устроены следующим образом. Будем считать, что обра- образующие группы niG'2)=Z0Z при гомоморфизме ti* переходят в элементы аир2 группы ni (Л3). Чтобы понять, что произойдет с элементами а и р2, после того как мы обойдем их вдоль образую- образующей t, обратимся к ,рис. 57. Из него видно, что при этом нужно- сравнить образующие на двух торах Лиувилля, расположенных по разные стороны от особого слоя, гомеоморфного изученному нами выше двумерному комплексу Л2. Имеем tatl=ix$a$-1, /p2^=|j3. В самом деле, образующие аир можно считать образующими; на внутреннем тонком торе в Л3, обходящем два раза ось р боль- большого полнотория. При этом a — меридиан тонкого внутреннего то.ра. Используя структуру Q, выводим внутренний тор из Л3 в Q и переводим его на внешний тор Л3. При этом, элемент tat'1 (т. е. образ а при этой операции) охватит восьмерку снаружи. Ясно, что восьмерка'имеет вид a(pap~!). Мы проверили первое, утвержде- утверждение. Аналогично длинная параллель внутреннего тонкого тора поки- покидает Л3 и возвращается на Л3 «снаружи» (.рис. 57). При этом она превращается в элемент t$2t~l ,и разматывается, однократно пок- покрывая р, что и требовалось проверить. Итак, zti(Q)=Fs(a, Р, О/Самара?-1, /р2^ = р). Отсюда следует, что ранг iti(Q)>2, причем по крайней мере одна образующая, а .именно t, имеет бесконечный порядок. Ясно, что увеличение числа неориентированных, седел в составе Q не может уменьшить ранг ниже двух. Итак, в ориентируемом случае теорема 1 доказана. 174
Пусть теперь интеграл неориентируем. Докажем, что т>1, ес- если ni(Q)=Z. Рассмотрим двулистное накрытие л : Q->Q, построен- построенное в утверждении 1. Так как щ(й) — подгруппа индекса два в группе iti(Q), то jti(<5)=Z. Но теперь на й мы имеем ориенти- ориентированный интеграл и по предыдущему рассуждению для f=n*f получаем т>2. При проектировании вниз на Q две устойчивые периодические траектории могут слиться в одну, следовательно, Л1>1. Теорема 1 доказана. Легко видеть, что в случае графа рис. 736A) путем выбора подходящей склейки цилиндра можно добиться, чтобы Hi (Q, Z) = = Z, хотя группа Jti(Q) остается при этом по крайней мере с дву- двумя образующими. В самом деле, выше мы выписали соотношения в фундаментальной группе jti(Q). Переходя к гомологиям, полу- получаем соотношения а = аа + сC, p = ba+dp, т. е. а(а—1) + рс=О, b (d—1)=0. Рассмотрим матрицу этой системы: г- а— '-{ ь d -.)■ Если ее определитель отличен от нуля, то #i(Q, Z)=Z, по- поскольку в этом случае система имеет лишь нулевое решение, т. е. «=р=о. В качестве примера возьмем унимодулярную матрицу (а \\ = = [ ^ }V, в этом случае /=( J ^ У] и det/=l=^O. Следова- Следовательно, многообразие Q, полученное из цилиндра T2xDl склейкой двух его граничных торов диффеоморфизмом с матрицей ( , : ), имеет группу Hi(Q, Z)=Z, т. е. ранг Т/i = 1. Этот пример основан лишь на топологических соображениях. Однако всегда можно реа- реализовать такое многообразие Q в виде поверхности постоянной энергии некоторой интегрируемой системы. Важно, что многообразия Л3 и К3 действительно возникают в конкретных механических интегрируемых системах. Например, в работе М. П. Харламова П^З] предъявлены топологические пере- перестройки в динамике трехмерного тяжелого твердого тела, эквива- эквивалентные А3. Далее, геодезический поток плоской метрики-на бутылке Клей- Клейна К2 обладает, как легко вычислить, изоэнергетической поверхно- поверхностью Q3 = 2/C3, на которой определен боттоюский интеграл. При двулистном накрытии обе бутылки Клейна К2 (минимум и макси- максимум интеграла) разворачиваются в двумерные торы, в результате чего получается многообразие <33 = 2G12XDI) с ориентированным интегралом. Пусть выполнены все условия следствия 5. Пусть система име- имеет на Q ровно, т периодических траекторий, являющихся локаль- локальными минимумами или максимумами интеграла f. В силу теоре- теоремы 3 поверхность Q склеена из цилиндров, ориентируемых седел, 175
неориентируемых седел и ровно из т полноторий. Так как теперь f предполагается полностью ориентированным интегралом, то в составе Q нет неориентированных седел. Число цилиндров равно числу максимальных и минимальных критических торов интегра- интеграла. В каждом из этих элементарных кирпичей мы ввели выше систему координат прямого произведения, которую мы зафикси- зафиксируем. Попробуем ввести единую систему координат прямого про- произведения на всем многообразии Q. Ясно, что, вообще говоря, этого сделать нельзя. Дело в том, что если два «кирпича» склеены по тору, то каждый из них индуцирует на торе свою пару обра- образующих, ^задающих на нем систему координат. Любая пара обра- образующих на торе совмещается при помощи некоторого его диффео- диффеоморфизма. Разрезая Q по этому тору и применяя указанный диф- диффеоморфизм, мы, очевидно, совмещаем две системы координат прямого произведения (согласовываем их на общей части). По- Последовательно продолжая этот процесс, мы распространяем эту единую систему координат на все остальные «кирпичи». Процесс завершится т тот момент, когда перестраиваемая нами поверхность Q превратится в прямое произведение M2sXSl. Ясно, что при этом интеграл f изменится и превратится в некото- некоторую гладкую функцию на прямом произведении, постоянную на ■сомножителе S1. Следствие 5 доказано. 1.9. Топологические препятствия к гладкой интегрируемости. Далеко не каждое трехмерное многообразие может реализовы- заться как изоэнергетическая поверхность интегрируемой системы. Докажем следствие 4. Привлечем результаты Вальдхаузена,-изло- Вальдхаузена,-изложенные в [255]. На эту работу мое внимание обратил X. Цишанг. В [255] изучается специальный класс трехмерных многообразий W, названных Вальдхаузеном «многообразиями, подобными гра- графам». Они определяются следующим образом. В многообразии W должно существовать семейство Т непересекающихся торов Т2, выбросив которое мы получаем многообразие, каждая связная компонента которого расслаивается со слоем окружность над дву- двумерным многообразием (возможно, с краем). Легко видеть, что многообразия W содержат все поверхности Q постоянной энергии гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи боттовского гладкого интеграла. Это вытекает из теоре- теоремы 3. В самом деле, в силу этой теоремы классификации изоэнер- гетических поверхностей многообразия первых трех типов, а имен- именно: 1) полнотория, 2) цилиндры, 3) ориентированные седла (шта- (штаны),'очевидно, расслаиваются со слоем окружность над двумерным многообразием с краем. Рассмотрим многообразие четвертого типа, т. е. Л3. Его, ко- конечно, нельзя представить в виде расслоения Л3 — -*-М2, где М2 — двумерная поверхность с краем. Однако Л3 можно разре- аать на два куска Л] и Л2, каждый из которых допускает нужное нам представление. На рис. 78 показано такое разбиение. Выре- Вырезаем маленький диск с центром в точке О на N2. Этот диск опре- определяет в Л3 тонкое полноторие, один раз обходящее вдоль оси Л3, 176
Выбрасывая это полноторие из Л3, получаем многообразие Р, рас- расслаивающееся со слоем окружность над диском с тремя дырками. На рис. 78 показан один такой слой, два раза обходящий вдоль оси Л3' и в двух точках протыкающий диск с тремя дырками. Итак, AS = P + (SlXD2), где каждое ,из этих многообразий явля- является «многообразием-графом» (в смысле Вальдхаузена). Аналогично проверяется, что и К3 принадлежит множеству «многообразий-графов». Итак, изоэнергетические поверхности интегрируемых систем имеют вид склейки элементарных кирпичей, каждый из которых распадается в объединение косых произведений двумерных много- многообразий с краем на окружность, т. е. является многообразием типа W. В действительности можно показать, что' класс многообразий вида W в точности совпадает с классом поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем. Далее, в [255] отмечено, что класс многообразий вида W не совпадает с классом всех трехмерных многообразий. Таким обра- образом, следствие 4 доказано. В [255] указаны примеры трехмерных многообразий (с краем), не принадлежащих классу W (а потому и нашему классу поверх- поверхностей Q). Возьмем сферу S3 и высверлим в ней полноторие U(K), ось которого задается каким-либо узлом (или зацеплением) К. ■ Если получившееся многообразие S3\U(K) имеет тип W, то узел (зацепление) К должен, оказывается, быть определенным обра- образом связанным с торич-ескими узлами. Точное определение мы здесь опустим, см. [255]. Поскольку такие узлы ^близкие к тори- ческим) составляют «малый процент» в множестве всех узлов, то мы видим, что многообразия типа W (и потому поверхности по- постоянной энергии интегрируемых систем) «очень редки-», их отно- относительно мало в множестве всех трехмерных многообразий. X. Цишанг отметил, что этот пример можно модернизировать, и в результате получить замкнутое многообразие, не принадлежа- принадлежащее классу Q. Достаточно заклеить границу указанного выше многообразия полноторием так, чтобы получить гомологическую (но не стандартную) сферу. Таким образом, явно указываются многообразия, не являющиеся поверхностями постоянной энергии интегрируемых систем. Если допустить у интеграла f на Q минимальные и максималь- максимальные окружности в числе, превышающем единицу, то утверждение о бесконечности группы #i(Q, Z) становится неверным. Приведем пример: линзовые пространства, получающиеся склейкой двух иолноторий по граничному тору. На них можно задать функцию ровно с двумя критическими окружностями: минимумом и макси- максимумом. 1.10. «Достаточно большие» трехмерные изоэнергетические по- нерхности полностью определяются своими фундаментальными группами. Здесь мы приведем обнаруженную X. Цишангом и Л. Т. Фоменко универсальную оценку снизу на число полноторий 177
зп' в топологическом разложении изоэнергетической поверхности <23 в сумму элементарных кирпичей. Оказывается, что m'=»m + s + 2r^(e — 2$+l) q'^m'— 2, q^ ^m + r — 2, где числа m, q, s, r и m', q' задают число соответ- соответствующих элементарных кирпичей в гамильтоновом и топологиче- топологическом разложениях изоэнергетической поверхности. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь топологическое (разложение Q, т. е. разложение в сумму тп' полноторий, р' ци- цилиндров и q' штанов. Объединим некоторые штаны, полнотория и цилиндры в мак- максимальные блоки Si, являющиеся многообразиями Зейферта [239]. При этом некоторые полнотория могут оставаться, а ямен- во те, некоторые из меридианов которых являются слоями сосед- соседних штанов. Такие полнотория назовем тривиализирующими. Сна- Сначала, склеивая разные блоки Si цилиндрами, получаем «дерево». Остальные цилиндры определяют . «ручки». Пусть Si имеет m(i) особых слоев с инвариантами (ац, Ьи),..., (а,-т(о> bim(i))- Здесь можно предполагать, что ац>\, 0<.Ьц<.щ/ и НОД (а,-,-, Ьц) = \, т. е. числа взаимно простые, а НОД — наибольший общий дели- делитель). Пусть k(i) — число тривиализирующих полноторий. Пусть n(i) — число компонент края dSi, соответствующих ручкам или цилиндрам в дереве. Пусть g(i) — род базисной поверхности про- пространства Зейферта S,-. Напомним, что S,- ориентируемо; это ©лияет на соотношение Bа), указанное ниже. Утверждение 5 ([239]). Фундаментальная группа jti(S,-) имеет следующее копредставление, задаваемое следующей табли- таблицей. A) Образующие: (а) hi (соответствует слою), (б) {гц\ l^j<m(i)}\]{Xij] \<.j^k(i)} (соответствует компонен- компонентам dSi), (в) {stj\ l</<m(i)} (соответствует особым слоям S,-), (г+){^,;, м,-/| l^j<g(i)} (соответствует ручкам базы, если она ориентирована), "(г") {vi,-\ 1</<^@) (если база — неориентированная поверх- поверхность). B) Определяющие соотношения группы: (а) [ri,,h{]==\, [xij,hi] = \, [sij,hi] = \, [^ЛЛ£] = 1, [uil,hi\ = \, vijhivT.1hi= 1, где / пробегает все подходящие числа (см. выше); (б) s,e/;-A?f/ = l, 1</<т@; n(i) k(i) m(i) g(i) (в) /!-'Пг<|Пх(/П s<7 K=l, где K = Y\[tij, «,,], если база ;=i /=i /=i /=1 g(O ориентирована, и К= П v\n если ^аза неориентирована. Если n{i) + + k(i)yO, то можно предполагать, что et = Q. Приклеивание цилиндров индуцирует соответствие Ф между 178
нсеми граничными компонентами, не заклеенными тривиализиру- ющими полноториями. Здесь Ф(£, j)¥=(i, j) и Ф2 = 1с1. Получаем изоморфизмы Ь/ ■ (П/, ^) -*• (гфA-,/), АФ1(£,/)\. где Фг (i, /) —первый • член пары ФA, /). При этом ^Ф(г./> = Ч7/1- Пусть Здесь определитель имеет вид a(i, j)8(i, /)—P(i, /)v(i. /) — ± Теперь приклеивания определяют новые образующие: C) {ш,|< 1 <()} и соотношения: D) (а) и^1г£; (В)-Шф(;>/) = Ш-.1 ДЛЯ 1<1<р; 1</<ПA). Ясно, что для каждой пары (i, /), ФA,/) потребуется только од%а пара соотношений D а, б). Для склеивания требуется новая обра- образующая только в том случае, когда склеивание порождает ручку. Если (г, /) отвечает цилиндру, включенному в дерево, то имеем: (Г) Wi}=\. Наконец, приклеивание тривиализирующих полноторий добавит ■соотношения: (о) до;/= 1, если k(i)>\. Теорема 5 (А. Т. Фоменко, X. Цишанг). Фундаментальная группа трехмерного многообразия Q (т. е. изоэнергетической по- поверхности интегрируемой системы) имеет непредставление с обра' зующими Aа—г), C) и определяющими соотношениями Bа—в), Dа-г), E). Тем самым мы в явном виде описали фундаментальные груп- группы класса поверхностей постоянной энергии интегрируемых сис- систем. Теорема 6 (А. Т. Фоменко, X. Цишанг). Если все блоки Si «достаточно сложны» (в точном смысле, указанном в [239, 255]) (например, если k(i) +m(i) +n(i) +g(i) >3) и если нет тривиали- тривиализирующих полноторий, то фундаментальная группа Jti(Q) опреде- определяет изоэнергетическую поверхность Q однозначно с точностью до- гомеоморфизма, и числа, определяющие копредставление группы, являются (почти-) инвариантами этой группы. Из теоремы 6 следует, что все «достаточно большие» неприво- неприводимые многообразия Q3 (изоэнергетические поверхности) класси- классифицируются своими фундаментальными группами. Тем самым мы указали дискретный набор инвариантов, задающих «большие» изоэнергетические поверхности достаточно сложных интегрируе- интегрируемых гамильтоновых систем. Остается вопрос: сколько имеется «маленьких» изоэнергетиче- ских поверхностей Q3? Задача (пока нерешенная) заключается в. •их полной классификации. , 179
Ниже автором будет дано "полное описание интегральных мно- многообразий Хп+\ обобщающих трехмерные изоэнергетические по- поверхности и описывающие бифуркации торов Лиувилля общего положения в окрестности критических точек отображения момента интегрируемой гамильтонавой системы. Другими словами, Xn+i — прообраз регулярной кривой (при отображении момента), транс- версально пересекающей бифуркационную диаграмму. Они имеют вид ()p()q() где Тг — r-мерный тор. Задача: описать фундаментальную груп- группу таких интегральных многообразий. Здесь можно ож,идать ре- результатов, близких к теоремам, приведенным выше. Возможно, здесь окажется полезной теория многомерных многообразий Зей- ферта, развитая В. Нейманом, Ф. Раймондом, Б. Циммерманом, X. Цишангом и др. § 2. Классификация перестроек торов Лиувилля на многомерных симплектических многообразиях в окрестности бифуркационной диаграммы отображения моме'нта : 2.1. Бифуркационная диаграмма отображения момента интег- интегрируемой систе'мы. Перестройки общего положения. В настоящем лараграфе мы даем классификацию перестроек общего положения торов Лиувилля, возникающих в тот момент, когда тор «пересе- «пересекает» критический уровень интеграла энергии. Оказывается, такие перестройки распадаются в композиции некоторых канонических ■перестроек четырех типов и эти последние явно описывают и •имеют простую геометрическую природу. При этом мы, в частно- частности, развиваем некоторые идеи, высказанные С. Смейлом в его известной работе «Топология и механика» [126]. Пусть u = sgrad# — гладкая система на гладком симплекти- ческом многообразии М2п. Пусть система интегрируема, т. е. су- существуют п независимых (почти всюду) гладких интегралов fi,...,fn, находящихся в инволюции. Будем считать, что fi = H. Пусть /;: AJ2"->R" — соответствующее этим интегралам отображе- отображение момента, т. е. F(x) = (f\(x),... ,fn(x)). Напомним, что точка лгеМ называется регулярной для отображения F, если ранг dF(x)=n, т. е. отображение dF(x) : TxM-+Rn = TF{x)Rn является эпиморфизмом. В противном случае точка х называется критиче- критической, а ее образ F(x) — критическим значением. Пусть N<=M — множество всех критических точек отображе- отображения момента. Ясно, что оно замкнуто. Пусть X=F(N) — множе- множество всех критических значений. Оно называется бифуркационной диаграммой (бифуркационным множеством). Так как отображение F гладко, то dimS^/z—1. Если точка xeR" не является критиче- критическим значением, т. е. xeRn\2, то ее полнь;й прообраз Ва = ■=/7~1 (а) с=М (т. е. неособый слой) не содержит критических точек отображения F. В силу теоремы Лиувилля каждая его компактная компонента связности диффеоморфна тору Лиувилля Тп. Предпо- 180
южим пока для простоты, что весь слой Ва компактен (рис. 81). Ij полученных нами ниже результатов будут легко следовать со- ггветствующие утверждения и для некомпактных слоев, т. о. для ■«.цилиндров». Если d<^2, то совместная поверхность уровня (т. е. •лой) Ва является особой (критической) и dim Ba^.n. При деформации точки а в R" ее прообраз, т. е. слой Ва% <ак-то деформируется. До тех пор пока точка а, двигаясь по R", ie встречается с бифуркационной диаграммой S, слой Ва преоб- Рис. 81 Рис. 82 разуется посредством диффеоморфизмов, т. е. не претерпевает ка- качественных топологических перестроек. В частности, любые два слоя Ва и Вь, где точки а и Ь могут быть соединены гладкой кривой y^^XS (т. е. не содержащей ни одного критического значения отображения момента), диффеоморфны, состоят из одно- одного и того же числа торов Лиувилля. Если Же непрерывная кривая у встречает в какой-то точке с бифуркационную диаграмму S, то слои Ва и Вь могут быть раз- различны. Если точка а при своем движении протыкает 2, то слой Ва подвергается, вообще говоря, качественному топологическому преобразованию, перестройке (рис. 82). 181
Сформулируем общую задачу: описать топологические пере стройки торов Лиувилля, возникающие в тот момент, когда точке а пересекает бифуркационную диаграмму 2. Изучение указанных перестроек позволяет описать механиз\ перестройки движения интегрируемой системы в зависимости о: фиксированных значений интегралов. Напомним, что интегральные траектории интегрируемой системы определяют (при выборе под ходящих координат действие—угол) прямолинейные обмотки то ров Лиувилля (условно периодическое движение). Преобразование этих движений при переходе от одного совместного уровня интег- интегралов к другому и задается перестройками торов Лиувилля пр> изменении точки aeR". Как мы покажем ниже, перестройки общего положения можне классифицировать, и они имеют достаточно простой вид. Ясно что выделяются следующие ч два случая: 1) dimS<n—1, 2) dim2 = «—1. В случае 1 диаграмма 2 не разделяет -R", т. е. лю- любые две точки a, beR" соединяются гладкой кривой y^^X^ Следовательно, компактные неособые слои диффеоморфны межд> собой, в частности, состоят из одного ,и того же числа торов Лиу- Лиувилля. Сущестюен-но более сложным является случай 2. Здесь диаграмма 2, вообще говоря, разбивает R" на несколько откры- открытых непересекающихся областей. В каждой из них топология не- неособого слоя (например, количество торов Лиувилля), вообще го- говоря, своя. Она может меняться от области к области. Итак, пусть dim2 = n—1. Рассмотрим точку с на 2 и изучим перестройки торов Лиувилля, когда гладкая кривая у (след дви- движения точки .а) протыкает'диаграмму 2 в точке с. При этом дос- достаточно рассматривать лишь малую окрестность U=U(c) точки с в R". Мы изучим случай «общего положения», т. е. когда путь \ трансверсально протыкает 2 с ненулевой, скоростью в точке с, ле- лежащей на (п—1)-мерном гладком страте (листе) диаграммы 2. Другими словами, будем предполагать, что £/|~|2 является гладким (п—1)-мерным подмногообразием в R". В случае общего положе- положения можно считать, что множество N^F'^U) критических точек является объединением конечного числа гладких 'подмногообразий в М, стратифицированных рангом dF. Это означает, что N можно представить в виде объединения непересекающихся подмногооб- подмногообразий N;, на каждом из которых ранг dF в точности равен i (не- (некоторые из этих подмногообразий могут быть пустыми). Понятие общего положения можно уточнить еще и так. По- Поскольку мы -предположили, что в окрестности точки с множество 2 является (п—1)-мерным подмногообразием, то можно считать, что в окрестности какой-то одной связной компоненты Вс° особо- особого слоя Вс последние п—1 интегралов f2,...,fn независимы, а первый интеграл /i = # (энергия) становится зависимым с ними на подмножестве критических точек T=N[\BC°. В самом деле, ог- ограничим отображение F на подмножество Nf\F'l(U), являющееся согласно требованию общего положения объединением конечного 182
числа гладких подмногообразий. Так как ограничение F на каж- каждый, в том числе и на максимальный, страт N'[]F~l(U) является ишдким отображением гладкого подмногообразия, то dF(x): : TxN'-+-Tfu)% является эпиморфизмом и ранг dF(x)>-n—1, по- поскольку" dim£/(~|2 = rt—1. В то же время так как x^N — крити- критическая точка, то ранг dF(x)^n—1. Следовательно, ранг dF(x) = — п—1. Поэтому можно считать (в случае необходимости заменяя базис в множестве интегралов), что }г,•■.,}» независимы на Вс°. Следовательно, интеграл fi становится зависимым с ними на мно- множестве T=N(]BC°. Теперь мы рассмотрим несколько типов (п+1)-мерных много- многообразий, краями которых являются торы. 1) Рассмотрим стандартное вложение в Rra+1 «сполнотория» В2хТп'1 с «осью», являющейся тором Т"~1. Его граница — тор Тп. Назовем D2xTn~l диссипативным полноторием. По поводу этой терминологии, восходящей к механике, см. ниже. 2) Прямое лроизведение TnX~Dl назовем цилиндром. Его край — два тора Г". 3) Пусть N2 — диск с двумя дырками. Прямое произведение N2XTn~l назовем торическим ориентированным седлом. Его край -<- три тора Тп. 4) Над тором Тп~1 рассмотрим все неэквивалентные друг другу ■расслоения со слоем отрезок Dl=[—1, +1]. Они классифициру- классифицируются элементами а группы гомологии Н\(Тп~х, Z2) =Z2©...©Z2 {п—1 раз). Обозначим пространство расслоения, отвечающего элементу а, через Уап. Ясно, что Yan является «-мерным гладким многообразием, край которого состоит из двух торов 7я, если а = 0, и из одного тора, если афО. Поскольку нас интересуют ин- ' тегрируемые системы, то мы будем- рассматривать далее только такие расслоения, краями которых являются торы. Выделим в расслоении нулевое сечение и обозначим его через Г™. Оно го- меоморфно базе, т. е. тору. Имеем расслоение У£ — -»■ Т"~\ Рассмотрим теперь новое расслоение (ассоциированное с пер- вым) вида Aan+1-~>-Tn'] с базой тор Г"-.1 и со слоем N2. Оно опре- определяется следующим образом. Диск с двумя дырками гомотопи- чески эквивалентен восьмерке. На Л^2 рассмотрим отрезок D1 — = [—1, +1], проходящий через центр диска и соединяющий (пос- (после его продолжения) центры двух выброшенных дисков (дырок). С каждым расслоением Уа— -^-Т можно, заменив слой D1 на слой N2, ассоциировать расслоение Л£+1 — -э-Т (причем та- такое, что его границей являются торы). Частным его случаем явля- является прямое 'произведение N2XTn~l, т. е. многообразие типа 3. Оно получается в том случае, если а = 0. Если же а=^Ю, то соот- соответствующее расслоение Аап+1 нетривиально. Напомним, что при афО краем «-мерного многообразия Yan является один тор Тп~1. Назовем (п+1)-мерные многообразия Aan+l неориентированными торическими седлами, если а=?^0. Краем многообразия Аап+1 явля- являются два тора, если афО. 183
Легко видеть, что все многообразия Аап+1 при афО диффео- морфны друг другу, поэтому будем записывать их так: Лап+1 = — N2xTn~l (косое произведение). Это следует из того, что любая несамопересекающаяся траектория на торе может быть взята в качестве одной из образующей на нем. Таким образом, как и в четырехмерном случае, получаем лишь два топологически различ- различных многообразия типа 4, а именно: N2xTn~\ N2xTn~K- Многообразия типа 4 допускают наглядное описание. При п = 2 мы получаем многообразие Л3, уже встретившееся нам в § 1. В многомерном случае нужно реализовать аналогичную конструк- конструкцию. 5) Пусть р: Тп->Кп — двулистное накрытие над неориентируе- мым многообразием Кп. Все такие накрытия р можно классифи- классифицировать (см. Приложение 4 в конце книги). Для каждого Р = 0,1 обозначим через Gp группу преобразований тора Tn—Rn(Zn, по- порожденную инволюцией (А. В. Брзилов, А. Т. Фоменко) (—«1. «2 + —. «з. • • • . ап), Р = 0, (а2, av а3+ -J-, а4, ... ,ап), р = 1, где u=(ab...,fln)eRn/Zn. Здесь предполагается, что п>2 при Р = 0 и rt>3 при р=1. Группа Gp действует на торе Тп без непод- неподвижных точек, следовательно, фактор-множество K&n = Tn/G$ явля- является гладким многообразием. Преобразование R$ меняет ориента- ориентацию, поэтому К»п — неориентируемое многообразие. Многообра- Многообразия Коп и К\п не гомеоморфны. В Приложении 4 доказано, что любое неориентируемое связное многообразие минимума или мак- максимума .интеграла f гомеоморфно либо Коп, либо К\п- Пусть Кп = Через K»n+l обозначим цилиндр отображения р : Tn-*Kpn. Ясно, что dim К»п+1==п+ 1 и дК»п+1 = Тп, р = 0,1. Оказывается, что многообразия Л„п+1 и Крп+1 представляются в виде склейки многообразий первых трех типов, т. е. с топологи- топологической точки зрения независимыми «элементарным,и кирпичам-и* являются лишь многообразия T"XDl, N2XT"~\ D2xTn~x. Доказательство этого утверждения проводится аналогично четырехмерному случаю и мы его здесь опустим. *■ Теперь опишем 5 типов перестроек тора Тп. 1) Тор задается как граница диссипативного полнотория D2XTn~l и затем стягивается на его ось, т. е. на тор Тп'К Назовем эту операцию предельным вырождением. Условно обозначим эту перестройку так: Тп-*-Тп~1-*-0 (рис. 83). 2) Два тора Т\п и Т2п, являющиеся границей цилиндра TnxDxb движутся по нему навстречу друг другу и в середине цилиндра сливаются в один тар Тп. Условное обозначение: 2Тп-у-Тп-у0- (рис. 84). 184
3) Top Tn, являющийся нижним краем ориентированного тори- ческого седла N2XTn~\ поднимается вверх и в соответствии с то- топологией многообразия №хГга~' (см. выше и § 1) распадается на <)ва тора Tin и Т2п. Обозначение: Тп-+2Тп (рис. 85). 4) Тор Тп, являющийся одним из краев многообразия Aan+l, <v)e афО (например, реализованный как граница внутреннего тон- Рис. 83 Рис. 84 Рис. 85 "кого полнотория, см. рис. 57), поднимается по Аап+1 «вверх» и в его середине перестраивается, превращаясь в один тор — в верх- верхний' край многообразия Аа. Обозначение: Тп-*Тп. Все такие пере- перестройки параметризуются ненулевыми элементами aeZ2ra~1 = ■=Н1(Т»-\ Z2) (рис. 86). ; 5) Реализуем тор Т" как край многообразия К&п+1. Деформи- Деформируя тор внутрь Яр"+|, вдоль проекции р, мы, наконец, двулистно накрываем тором Тп многообразие К$п. После этого тор «исче- 'зает». Условное обозначение: Гга->Яц"->0. 185
Сформулируем теперь окончательное определение перестройки общего положения тора Лиувилля. Фиксируем значения последних п—1 интегралов fi,...,fn и рассмотрим получившуюся (я+1)- мерную поверхность уровня Xn+l. Ограничивая на нее первый ин- интеграл (энергию) fi = H, мы получаем гладкую функцию f на мно- многообразии Х"+1, которую будем называть интегральной поверх- поверхностью. . - ' ' Рис. 86 Определение 1. Будем говорить, что перестройка торов Лиувилля, образующих неособый слой Ва, является перестройкой общего положения, если в окрестности перестраивающегося тора Тп поверхность Хп+1 является компактным и неособым подмного- подмногообразием, а ограничение энергии f\ = H на Хга+1 является (в этой окрестности) боттовской-функцией (в смысле § 1). 2.2. Классификация бифуркаций торов Лиувилля. Теорема 1 (теорема классификации перестроек торов Лну- вилля, А. Т. Фоменко). 1) Если dimlKrt—1, то все неособые слои Ва диффеоморфны между собой. 2) Пусть dimS = «—1 и невырожденный тор Лиувилля Тп дви- движется вдоль совместной неособой поверхности Хп+1 уровня послед^ них интегралов /г, • • ■, fn, увлекаемый изменением значения интег- интеграла энергии fi = H. Это эквивалентно тому, что точка a = F(Tn)& R" движется по гладкому отрезку у по направлению к бифурка* 186
ционной диаграмме 2. Пусть в некоторый момент времени тор Г" подвергся топологической перестройке, т. е. вышел на критиче- i кий уровень энергии. Это происходит 'в том и только- в том слу- случае,, когда тор Тп встречает на своем пути критические точки N отображения момента F :M2n->Rn (т. е. путь у в точке с трансвер- (■ильно и с ненулевой скоростью протыкает (п—I)-мерный лист диаграммы 2). Предположим, что эта перестройка является пе- перестройкой общего положения. Тогда все возможные типы пере- перестроек тора Лиувилля исчерпываются композициями указанных выше {и обратных к ним) канонических перестроек типов 1, 2, 3, 4, 5. В действительности с топологической точки зрения независи- независимыми из них являются лишь первые три, а перестройки 4 и 5 яв- являются их композициями. Перестройки первых трех типов 1, 2, 3 назовем топологически- топологическими, а все перестройки типов 1, 2, 3, 4, 5 — гамильтоновыми. При этом в случае 1 (перестройка Г"-»-7'п~1-»-0) с ростом энер- энергии Н тор Тп сначала превращается в вырожденный тор Г", после чего вообще исчезает1 с поверхности постоянной энергии //—const (предельное вырождение). В этом случае тор Тп «не пробивает» критический уровень энергий, «тормозится» и исче- исчезает. В случае 2 (перестройка 2Г"->Г"->0) с ростом энергии Н два тора Т\п и Т2п сначала сливаются в один тор Тп, после чего-исче- зают с поверхности уровня #='Const. Здесь тор Тп также «не Ьробивает» критический уровень энергии. Впрочем, можно считать, гго здесь тор Тп «отражается» от критического уровня энергии. В случае 3 (перестройка Тп-*-2Тп) с ростом энергии Н тор Тп кпробивает» критический уровень энергии w на поверхности Н = J=>const распадается на два тора: 7\" и Тгп. ' В случае 4 (перестройка Тп-уТп) с ростом энергии Я тор Тп также «пробивает» критический уровень энергии ,и превращается снова в тор Тп (нетривиальное преобразование двухкратной 'на- 'намотки, см. выше). В случае 5 (перестройка 7""->/Ср"->0) тор Тп двулистно накры- накрывает неориентируемое многообразие К»п, после чего исчезает с по- поверхности # = const. Меняя направление движения тора Лиувилля, мы получаем-5 обратных процессов: 1) рождение тора Тп из тора Т"-'1, 2) тривиальное рождение двух торов Т\п и Т2п из одного тора Т\ 3) нетривиальное слияние двух торов Т\п и Т2п в один тор Г", 4) нетривиальное превращение тора Тп в тор Тп, 5) рождение тора Тп из многообразия К»п, т. е. K»n->~Tn. Некоторые из указанных выше канонических, перестроек уже обнаруживались в конкретных примерах важных механических систем (см., например, работы М. П. Харламова ,и Т. И. Погосяна [163, 119]). В частности, таковы перестройки торов в случае Ко- Ковалевской и в случае Горячева—Чаплыгина [163]. Можно пока- 187
зать, что перестройки двумерных торов, найденные в [163] и обозначенные там следующим образом: 0->-S1->7'2, P->#->2F 2P—>Q->2r2, Г2->Р->Г3, являются частными случаями перестрое!, описанных нами в теореме 1. Первая из них порождена диссипатиь ным полноторием и является перестройкой типа 1 (в нашей клас- классификации). Вторая из них порождена ориентированным седлом i. есть перестройка типа 3. Третья из них порождена двумя ориеь- тированными седлами, т. е. распадается в композицию 2Г2-*-Г2— ->2Г2 двух перестроек типа 3. Четвертая из них, порожденная не- неориентированным седлом Аъ, и есть перестройка типа 4. Как и в четырехмерном случае, можно было бы различат!, ориентируемые 11 неориентируемые гамильтонианы Н. Гамильто ниан назовем ориентируемым, если все его критические подмного образия (на Хга+1) ориентируемы, т. е. нет ни одного критической многообразия К&п. В противном случае гамильтониан называется неориентиру емым. Предложение 1. Если (U(Xn+l); sgradH; /2, ■■■,fn) — ut- тегрируемая гамильтонова система с боттовским неориентируемыл гамильтонианом Н на поверхности Хп+\ то ее всегда можно дву листно накрыть гамильтоновой системой (O(Xn+l); sgrad/7, h,■■■,{п) с ориентируемым гамильтонианом Я на накрытии Xn+l. Здесь О (Xn+l) — двулистное накрытие окрестности U(Xn+l) мно- многообразия Хп+\ Доказательство аналогично доказательству утвержде- ния-1 § 1. Пусть v — интегрируемая система на М2п. Фиксируем значе- значения всех последних лнтегралов /2 fn и предположим, что полу- получающаяся при этом (я-Ь1)-мерная поверхность Xn+l компактна и неособа, т. е. интегралы f2,...,fn независимы на Xn+l. Поверхность Хп+1 является инвариантным подмногообразием системы v. Меняя значение энергии Н, мы перемещаем тор Лиувилля Тп вдоль по- поверхности Xn+l. Иногда при этом возникают предельные вырожде- вырождения, т.'е. тор Тп стягивается на тор Г" (см. перестройки типа1). В. В. Козлов обратил внимание автора на то, что предельные вы- вырождения реально возникают в конкретных механических систе- системах с диссипацией. При я=1 перестройки Г'-vO и Т1-*-2Т1' можно увидеть в задаче о движении тяжелой точки в «двухгорбой» яме. За счет малой диссипации энергии движение точки в фазовом про- пространстве происходит по одномерным торам (т. е. по окружнос- окружностям), которые слегка эволюционируют и, встречая, наконец, кри- критический уровень энергии, подвергаются перестройкам. Если в интегрируемую систему вводится малое трение, то в первом приближении можно считать, что рассеяние энергии моде- моделируется уменьшением значения интеграла f\ = H и вызывает, сле- следовательно, медленную эволюцию (дрейф) торов Лиувилля вдоль поверхности уровня Xn+l. Рассмотрим описанный выше пример■ движения шарика в яме под действием силы тяжести (рис. 87).- Это движение (в отсутствие силы трения) может быть полностью^ описано. Если ввести малое трение, то можно считать, что на 188
каждом достаточно малом отрезке времени движение по-прежне- по-прежнему интегрируемо. Однако с ростом времени трение начинает ска- скачиваться все больше и больше. В результате шарик будет подни- подниматься на все меньшую и меньшую высоту. Наконец, в некоторый момент времени опускающийся уровень коснется седла и движение качественно перестроится: шарик окажется либо в левой, либо в правой яме. Это и есть момент пере- перестройки тора Лиувилля в момент пе- пересечения критического уровня энер- энергии. Ясно, что характер такой пере- перестройки полностью определяется топо- топологией поверхности уровня Хп+К . Ответ на вопрос, как устроены инте- интегральные поверхности Хп+1, дает сле- следующая ' ■ ' ' Теорема 2 (А-. Т. Фоменко). Пусть М2п—-гладкое симплёктическое многообразие и система u = sgrad# интегрируема с помощью гладких независимых ком- коммутирующих интегралов H—fi, fa,...,jn. Пусть Xn+l — любая фиксированная, компактная неособая совместная поверхность уровня последних п—1 интегралов f2>. .-., fn. Пусть ограничение Н на Xn+l является боттовской функцией. Тогда поверхность Хп+г имеет вид m{D2xTn-1)+p{TnxD>) + q(N2XTn-1)+sAan+1 + + гЯрп+1, т. е. получается в результате склейки граничных торов (при помощи некоторых диффеоморфизмов) следующих «элемен- «элементарных кирпичей»: m диссипативных полноторий, р цилиндров, q торических ориентированных седел, s торических неориентирован- неориентированных седел и г многообразий К»п+>- Число m в точности равно числу предельных вырождений системы v на поверхности Хп+1, на которых энергия Н достигает локального минимума или макси- максимума. 2.3. Торические ручки. Сепаратрисная диаграмма всегда прик- приклеивается к неособому тору Лиувилля по нетривиальному циклу. Перейдем к доказательству теорем 1 и 2. Нам придется построить для этого новую многомерную теорию «типа Морса» интегрируе- интегрируемых гамильтоновых систем. При этом мы будем следовать схеме § 1. Мы не будем повторять уже изложенные в § 1 рассуждения и лишь дополним их теми новыми моментами, которые нуждаются в особом доказательстве в связи с многомерностью системы. Введем следующие обозначения. Пусть ceS и ма- малая окрестность £/(с)(]2 точки с на 2 является гладким (п—1)-мерным подмногообразием. Пусть 7 — гладкий путь, трансверсально протыкающий 2 в точке с и соединяющий два некритических значения а и Ь, расположённых по разные сто- стороны от гиперповерхности 2. Рассмотрим связную компоненту Вс° особого слоя Bc = F-1(c). Пусть T=Bc°r\N, a Xon+i — связная компонента слоя F~lU(c), заключенная между двумя близкими неособыми слоями Ва и Вь. Так как ,а и Ь — некритические значе- значения, то Ва и Въ являются объединениями торов Лиувилля. 18»
пусть 0аи = Лоя+1ПВа и #йи=Xon+*[)Bb, т. е. dX0"+i = Ba0(\Bb°. Обозначим через f ограничение первого интеграла fi на интег- интегральную поверхность Хоп+1 = ХО (рис. 88). Лемма 1. Точка хеХ0 является критической для функции f тогда и только тогда, когда в -ней первый интеграл fi зависил (на М) с последними п—1 интегралами fi,...,fn. Доказательство. Так как Хо — совместная поверхность уровня последних интегралов, то их градиенты образуют базис f плоскости, нормальной к Хо в М. Зависимость функции fi с функ- В, Рис. 88 циями f2,...,fn эквивалентна тому, что в этой точке grad/i является линейной комбинацией градиентов gradf,, ^ ^п. Ясно, что gradf на Хо получается ортогональным проектирг- ванием gradf] на Хо. Лемма доказана. Лемма 2. Множество Т критических точек функции f на А, является несвязным объединением некоторого числа п-мерных тс- ров Тп, (п— I)-мерных торов Тп~\ п-мерных неориентируемы: многообразий К.9п. Доказательство. Если Т=ВС°, то Т является совместной (особой) поверхностью уровня всех л интегралов fi,...,fn- Близ- Близкие к ней поверхности уровня R являются неособыми, компактны- компактными торами Лиувилля. Ясно, что R — граница трубчатой окрест- окрестности У"+1 подмногообразия Т в Хо. Если d\mT=k, то R^T0 рас- расслаивается над Т со слоем Sn~h. Это может быть только в том случае, когда n — k—О или 1, т. е. когда dim Т=п, либо л—1, Если Гоп — связная компонента Т, то Топ = Тп, или ' Топ = К»п. Если Вс°фТ, то рассуждение усложняется. Ясно, что в этом слу- случае dim7<dimBc°=n, т. е. dimr<n—1. Из условий, наложен- наложенных на интегралы системы, следует, что на Т интегралы f2>..., fn независимы (они независимы на всем Вс°). Следовательно, на 190
Ге" имеется п—1 независимых коммутирующих векторных по- полей sgrad fi 2<t^re. Как известно, отсюда сразу следует, что f0"- \ = Тп~1. Лемма доказана. Если критический тор имеет размерность п, то он является либо множеством локального минимума, либо локального макси- максимума энергии Я. В этом случае два близких неособых тора Лиу- вилля либо сливаются в один тор Тп, либо тор Тп распадается на два тора Тп. Пусть P-n = P-n{Tn~x) и Р+П = Р+П(Г"-1)—соответ- Р+П(Г"-1)—соответственно входящая и исходящая сепаратрисные диаграммы крити- критического подмногообразия Р1. Определение 2. Назовем торйческой ручкой индекса X и степени вырождения k прямое произведение ThxDKxDn+1-h~xr подошвой ручки — следующую часть ее границы: (Г^Х^-■) X. XDn+i~h-1, осью подошвы — пространство TkxSK~l. Определим операцию приклейки торйческой ручки к краю Vn (п+ 1) -мерного многообразия Wn+1. Пусть край содержит вложен- вложенное подмногообразие JhXSx~l. Предположим, что его трубчатая окрестность гомеоморфна прямому произведению (PxS^") X Х£)п+1-ь-я; Можно выбросить эту трубчатую окрестность, край которой гомеоморфен ThXSk~lXSn~h~\ С другой стороны, край подошвы торйческой ручки также гомеоморфен произведению ThxSk~lXSn~h~K. Отождествляя этот край с краем выброшенной окрестности, получаем новое (п+1)-мерное многообразие. Его- край будем называть торйческой перестройкой края' Vn. Для даль- дальнейшего можно считать, что гладкий путь y—y(t)czRn модели: руется отрезком иа вещественной оси R1, на которой лежат три точки: а<с<Ь, где с — критическое значение, а и Ь близки к с. Положим Ca=F~1(t^a), Cb — F-l(t^b); тогда CaczCb. Другими: словами, можно считать, что / ^o^+'-vR1 и Ca=(f^a), Cb=( Лемма 3. Предположим, что на особом слое Вс° лежит ров- ровно один критический (седловой) тор' Тп~1. 1) Пусть P_n(J"-') ориентируема. Тогда Сь получается из С„ приклейкой к краю Ва торйческой ручки индекса 1 и степени вы- вырождения п—1. При этом Сь гомотопически эквивалентно Са, к которому приклеено многообразие Tn~lxDl no двум непересекаю- непересекающимся ТОраМ Than-1 U Т2,ап~1. 2) Пусть P_n(rn-') неориентируема. Тогда множество Сь го- гомотопически эквивалентно Са, к краю Ва° которого по тору Та71 приклеено п-мерное многообрЬзие Ya, имеющее край Тп~1 и являющееся расслоением Yan-*-Tn~l, отвечающим ненулевому эле- менту aeZ2"-' = Я, (Г", Z2). Доказательство проводится по схеме доказательства леммы 4 из § 1 с уточнениями, вызванными многомерностью си- системы. Эти технические подробности мы здесь опустим. .Лемма 4. Пусть тор Га", вложенный в какой-то неособый тор Лиувилля Тап<=Ва°, является либо одной из подошв торйче- торйческой ручки (индекса 1 и степени вырождения п — 1), либо краем 191
жнигиииризия га" {в случае, когда Р-(Тп~1) неориентируема). То- Тогда этот тор Га" всегда реализует одну иэ образующих в группе гомологии Нп-Л(Тап, Z)=Zn-'. Если обе подошвы торической руч- ручки приклеены к одному и тому же тору Лиувилля Тап, то соответ- соответствующие оси этих подошв, т. е. торы Т\,ап~1 и T%an~i, не пересе- пересекаются, реализуют одну и ту же образующую группы гомологии Нп-\{Тпп, Z) и, следовательно, изотопны внутри тора Тап. Доказательство. Рассмотрим критический седловой тор Тп~\ Из леммы 2 следует, что он является орбитой действия абе- левой подгруппы R"-1, вложенной в группу R", порожденную по- полями sgrad/,-, 1<л^л. При этом базис в подгруппе Rn-1 обра- образуют поля sgrad/г, 2^t^n. Фиксируем эту подгруппу. Так как действие Rn (и Rn~') определено на всем М2п, то мы всегда мо- можем рассмотреть орбиты группы Rn~', близкие к орбите Тп~\ Рассмотрим достаточно близкий к слою Вс° неособый тор Лиувил- Лиувилля Т„п, ни котором сепаратрисная диаграмма Р_п высекает неко- некоторый тор Тап~1. Этот тор, конечно, не является орбитой действия группы R"~' на торе Гп". Однако, как мы сейчас покажем, тор Го" можно аппроксимировать некоторой орбитой действия груп- группы R"-1. Для этого рассмотрим элемент аеЯ^^Г"-1, Z2). Из леммы 3 мы знаем, что тор Тап~1 является одной из компонент края многообразия Yan, приклеенного к тору Га". Если а=^=0, то аУ„» = Го»-1; если а=0, то дУа» дТ^О<) ТТ\ Задание элемента а определяет некоторое число k образующих в критическом торе^?п~1,. обходя вокруг которых нормальный от- ■резок сепар^трисной диаграммы Р- меняет свою ориентацию. Вы- Выделим эти образующие. В ориентируемом случае k — О, так как а=0. Поскольку тор Гп~' является орбитой действия группы Rn~', то, заменяя образующие в группе.R"~' (если это необходи- необходимо), всегда можно считать, что в неориентируемом случае (fe^l) среди полей sgrad f,-, 2^t^n, есть ровно k полей: sgrad /2,... .:.,sgradfk+\ таких, что однократный обход вдоль орбит,точки хеГ", порожденных соответствующими им одномерными под- подгруппами R21,.... R'/i+i, меняет ориентацию нормального отрезка сепаратрисной диаграммы. Рассмотрим сначала ориентируемый случай, когда k — Q. Тогда в подгруппе Rn~' можно выделить {п—1)-мерный параллелепипед П — фундаментальную область действия группы Rn-1 на торе Тп~1._ При естественном отображе- отображении группы Rn~' на тор Гп~' 'этот параллелепипед П накрывает весь тор, т. е. тор Тп~{ получается отождествлением противопо- противоположных граней этого параллелепипеда. Так как параллелепи- параллелепипед П состоит- из преобразований на М, то можно рассмотреть орбиту этого параллелепипеда при его действии па некоторую точку /геГ[/"'cTj", Конечно, эта орбита уже не будет-замкну- будет-замкнутым (п— 1)-мерным тором в Тап. . Однако так как точка /ге^/ близка к точке х<=Тп~1, то ■можно считать, что орбита П(/г) является «почти-тором», т. е. каждая из образующих параллелепипеда П переходит в отрезок, 192
концы которого близки на торе Тап (т. е. получается «почти- окружность»). Выберем на торе Тап координаты (pi,...,cpn в соот- соответствии с теоремой Лиувилля. Мы используем здесь то обстоя- обстоятельство, что точки параллелепипеда П представлены симплекти- ческими преобразованиями. Тогда в этих координатах «почти-тор» П (h) является линей- линейным, вполне геодезическим подмногообразием, быть может с не- непустым краем. Изображая тор Тап (в этих координатах) в виде стандартного куба, противоположные грани которого отождествле- отождествлены, мы получаем в нем плоскость П'. Ее пересечения с противопо- противоположными гранями являются (п — 2)-мерными подпространствами, которые оказываются близкими после отождествления граней. Ясно, что плоскость П' можно слегка повернуть так, что она пре- превратится (после факторизации куба на тор) в некоторый (п—1)- мерный линейный, вполне геодезический тор Т*п~' в торе Тап. -Ясно, что тор Г»п~' близок к «почти-тору» H(h) и в то же время близок к тору Ti,an~l. Отсюда следует, что эти торы изотопны. Итак, мы доказали существование малой изотопии тора Т\,ап~{ в торе Тап, переводящей его в линейный тор. Но в таком случае тор Тиап~1 реализует образующую в группе #n_iGV\ Z), что и требовалось доказать. Итак, в ориентируемом случае лемма доказана. Отметим, что при малом шевелении плоскости П мы получили новую плоскость П*, образующие которой уже могут включать в себя образующую sgradfi, которая была исключена на исходной плоскости П. Ясно, что Г*п-'=П*(/г). , Рассмотрим теперь неорйентируемый случай. Здесь рассужде- рассуждения более деликатны. Дело в том, что здесь нельзя обойтись са- самим параллелепипедом П. В самом деле, из определения неори- :нтируемой сепаратрисной диаграммы следует, что орбиты (ПП f\R2l)h,..., (nf\Rlh+i)h образующих^ R2',..., R'h+i (соответствую- (соответствующих полям sgradfi, 2^i^k+l) не являются «почти замкнуты- замкнутыми» траекториями на торе Тап. Обозначим соответствующие ребра параллелепипеда П через Ш, т. е. П,- = ПЛКЛ 2<1£<1&+1. При действии Пг- на точку h она успевает пробежать лишь половину полного оборота на торе Тап. Для того чтобы она сделала почти полный оборот, следует еще раз подействовать на нее ребром па- параллелепипеда Пг-. Другими словами, чтобы заставить точку h сделать почти полный оборот на торе Тап, к пей следует приме- применить преобразования из 2II2-, т. е. удвоить соответствующую сто- сторону параллелепипеда П. Итак, мы подходим к следующей схеме. Нужно удвоить все стороны параллелепипеда П2,... ,П&+ь В результате получится новый (вытянутый) параллелепипед П, растянутый в k направлениях в два раза. Теперь подействуем этим растянутым параллелепипедом П на точку h. В результате мы получим некоторую орбиту U(h). Ясно, что теперь эта орбита изображается (в переменных действие — угол на торе Лиувилля) линейной плоскостью, которая «почти замкнута» после фактори- факторизации куба на тор. Дальнейшие рассуждения повторяют рассуж- рассуждения ориентируемого случая. Лемма доказана. 7 Л. Т. Фоменко 193
Все остальные построения проводятся по аналогии со схемой § 1 и мы их здесь опустим. Теоремы 1 и 2 доказаны. Возникает естественный вопрос: как устроены топологические перестройки торов Лиувилля, когда путь у протыкает бифуркаци- бифуркационную диаграмму 2 в ее особых точках, не лежащих на внутрен- внутренности ее (п—1)-мерных листов? Другими словами, как устроены перестройки особых типов (не общего положеиия)? Далее, аналогичная теория типа Морса имеет место и для га- мильтоновых систем, допускающих некоммутативное интегрирова- интегрирование. При этом сохраняются все утверждения, доказанные в на- настоящей главе, но только п-мерные торы Лиувилля заменяются всюду на r-мериые торы, где г<п. . § 3. Свойства разложения изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем в сумму простейших многообразий 3.1. Фундаментальное разложение Q = mI + pII + <7lII + sIV+/-V и структура особых слоев. Выше мы доказали, что кажда.я неосо- неособая трехмерная поверхность Q3 постоянной энергии интегрируе- интегрируемой системы представляется в виде ml + pII + glll + sIV+rV, где т, р, q, s, г—неотрицательные целые числа, а через I, И, III, IV; V обозначены элементарные многообразия пяти простейших ти- типов, описанных в § 1,2. Таким образом, с каждым таким многооб- многообразием естественно связываются пять целых чисел. Если указан- указанное-разложение порождено боттовским интегралом f, т. е. яв- является гамильтоиовым, то число т равно количеству устойчивых периодических решений исследуемой гамильтоновой системы. Если же забыть о существовании второго интеграла, то указан- указанное разложение можно упростить и рассматривать его самостоя- самостоятельно с точки зрения теории трехмерных многообразий. В таком случае числа т', р', q' определяются по заданному многообразию Q, вообще говоря, неоднозначно. Например, на рис. 73е показаны два графа F(Q), задающие многообразия Q, допускающие разное представление в виде склейки простейших многообразий. Предложение 1. Каждое из элементарных многообразий I, II, III, IV, V действительно встречается в разложениях вида Q = =mI + pII + GlII + sIV + rV для поверхностей постоянной энергии конкретных механических гамильтоновых интегрируемых систем. Следующий вопрос касается свойств чисел m, p, q, s, r, a именно: любое ли трехмерное многообразие вида ml + pll + <7lll + + sIV+rV (где m, p, q, s, r — произвольная пятерка чисел и склейки граничных торов — также произвольны) можно реализо- реализовать в виде поверхности постоянной энергии некоторой интегри- интегрируемой системы? Ответ положительный. См. выше теорему А. В. Браилова и А. Т. Фоменко (утверждение 2 в § 1). Аналогич- Аналогичный вопрос возникает, конечно, и в многомерном случае и /также решается положительно. Мы видели далее, что любая перестройка торОв Лиувилля об- общего положения распадается в композицию пяти канонических пе- перестроек типов I, II, III. IV, V. 194
Предложение 2. Каждая из указанных канонических пе- перестроек в четырехмерном случае действительно реализуется в конкретных механических интегрируемых системах. Вероятно, это утверждение справедливо и в многомерном слу- случае. Возможно, все канонические перестройки реализуются в слу- случаях интегрируемых систем уравнений движения многомерного твердого тела [151]. Полученные выше результаты позволяют наглядно описать структуру особых слоев, т. е. особых поверхностей уровня второго интеграла f (в четырехмерном случае) и особых слоев отображе- 1 \_ Jj > >• УУ\ J Рис. 89 Рис. 90 ния момента F (в многомерном случае). Для определенности оста- остановимся на более простом четырехмерном случае. Как было показано выше, каждый особый слой,, содержащий седловую критическую окружность, получается так. Нужно взять два неособых тора Лиувилля, задать на каждом из них по циклу (т. е. нарисовать нестягиваемые окружности), после чего склеить оба тора по этим циклам. Другими словами, два тора должны коснуться друг друга таким образом, чтобы две нарисованные иа них окружности совпали. На рис. 89, 90 показаны простейшие случаи касания двух торов, которые можно изобразить в R3. Ана- Аналогичная картина получается и в многомерном случае (см. § 2). Здесь только нужно заменить окружность S1 на тор Тп~К Два 195
тора Лиувилля Тхп и Т2п должны коснуться друг друга так, что- чтобы два «нарисованных» на них (п—1)-мерных тора совпали, сли- слились в один тор Тп~1. В результате получится особый слой отоб- отображения момента F : Af2n—>-Rn. Возникает следующий вопрос: как устроены интегральные тра- траектории системы на особых слоях (особых поверхностях уровня)? Согласно лемме 2 см. § 2 седловое критическое множество интег- интеграла f на поверхности Хп+1 состоит из (п—1)-мерных торов в компактном случае. Можно доказать, что на особых поверхностях уровня интегральные траектории системы либо лежат на этих критических торах, либо асимптотически наматываются на эти торы (рис. 91). Таким образом, мы получаем полное описание по- п-2 Рис. 91 Рис. 92 ведения траекторий системы на особых поверхностях уровня ин- интегралов. Теорема 1 (А. Т. Фоменко). Пусть u = sgradtf — гамиль- тонова система на МА, интегрируемая по Лиувиллю на какой-то одной поверхности постояннай энергии Q3 при помощи боттовско- го интеграла /. Тогда каждая критическая поверхность уровня второго интеграла, являющаяся гладким подмногообразием, обя- обязательно диффеоморфна либо тору Г2, либо окружности S1, либо бутылке Клейна. Далее, каждая особая седловая поверхность уровня f"](c) интеграла f, не являющаяся многообразием (это бу- будет в том случае, когда критические точки заполняют седловую окружность), получается склейкой двух двумерных торов Т{2 и 2V по нетривиальным циклам (окружностям) yi и у^, располо- расположенным соответственно в торах Т^ и Г22. При этом, интегральные траектории системы на таком особом слое асимптотически нама- наматываются (в случае общего положения) на этот нетривиальный цикл или совпадают с ним. Справедлив и аналог этой теоремы в многомерном случае. Выше в § 2 мы описали перестройки торов Лиувилля, возни- возникающие в тот момент, когда точка а, двигаясь вдоль гладкого от- отрезка у в R", пересекает (с ненулевой скоростью) бифуркацион- 196
иую диаграмму 2 в ее неособой точке на страте размерности п — — 1. Что произойдет, когда путь у проткнет 2 в какой-то ее осо- особой точке, т. е. пройдет через страт меньшей размерности? Предположим, для простоты, что диаграмма 2 является объ- объединением непустых стратов 2°, 2', 22, . ..,ЕП~', каждый из кото- которых выделяется «своим» интегралом. Тогда операцию «протыка- «протыкания» диаграммы 2 в какой-то ее особой точке можно (в частных случаях) разложить в композицию последовательных более про- простых операций, показанных на рис. 92. Сначала путь у трансвер- сально встречает (п—1)-мерный страт 2й", затем движется по этому страту до тех пор, пока трансверсально пе встречает сле- следующий (п — 2)-мерный страт, затем движется по страту 2П~2 до встречи со стратом 2"~3 и т. д. Каждый раз можно считать, что возникающие перестройки торов Лиувилля классифицируются ти- типами I, II, III, IV, V (с понижением размерности).. Это можно сделать, если на страте 2* зависимы в точности п — i+\,интегра- i+\,интегралов. Зависимые интегралы можно устранить и свести задачу к меньшей размерности. В общем случае задача, конечно, сущест-' венно сложнее. , - 3.2. Гомологические свойства изоэнергетических повёрхнрстей. Мы уже знаем, что трехмерное многообразие Q, являющееся по- поверхностью постоянной энергии и обладающее ориентированным интегралом f, склеивается из четырех типов многообразий: 1) пол- полноторий, 2) цилиндров, 3) ориентированных седел (штаны), 4) не- неориентированных седел. Таким образом, многообразие Q точно описано, если нам известно, сколько экземпляров элементарных многообразий .каждого типа в нем содержится и, что особенно важно, посредством каких склеиваний границ оно получено, дру- другими словами, какие диффеоморфизмы граничных торов мы ис- используем. Склеивая элементарные многообразия, мы должны по- получить связное замкнутое (т. е. без края) многообразие. Как было доказано автором выше, класс таких (изоэнергетических) много- многообразий не совпадает со всем классом трехмерных многообразий. Более того, изоэнергетические поверхности образуют «тощее» под- подмножество в множестве всех трехмерных многообразий. Дальней- Дальнейшее изучение класса изоэнергетических поверхностей по предложе- • нию автора было предпринято Г. Мамедовым, некоторые из ре- результатов которого мы здесь изложим. Практический интерес (для оценки снизу числа устойчивых пе- периодических решений интегрируемой системы) представляет ответ на следующий вопрос: сколько полноторий участвует в склейке изознергетической поверхности? Отметим сначала два особых случая. Случай 1. Многообразие Q3 склеивается из двух полноторий. Для такой склейки достаточно задать диффеоморфизм между дву- двумя торами, каждый из которых является границей соответствую- соответствующего полнотория. Два многообразия Q, полученные таким обра- образом, не отличаются топологически, если соответствующие диффео- диффеоморфизмы, участвующие в их построении, гомотопны в множестве 197
непрерывных отображений тора в тор. Напомним, что классы го- гомотопных непрерывных отображений тора в тор, в каждом.из ко- которых содержится диффеоморфизм, находятся во взаимно одно- однозначном соответствии с матрицами A = где a{ e Z и det Л = ± цилиндр тор В этом случае можно получить: а) трехмерную сферу, б) мно- многообразие SlXS2, в) линзовые пространства. Обратим внимание, что в случаях а) и в) ранг группы Н\ (Q, Z) равен нулю. Случай 2. Многообразие Q получается склейкой двух или нескольких цилиндров. В этом случае можно получить многообра- многообразие Q, у которого Я,(<3, Z)=Z (см. пример выше в § 1). Отметим следующее наблюде- наблюдение. Если в построении многооб- многообразия Q участвуют еще какие- либо элементарные многообразия, кроме цилиндров, то многообра- многообразие Q можно склеить вообще без цилиндров. Действительно, мно- многообразие Q получается из Q\ \(цилиндр) добавлением цилин- цилиндра посредством приклеивания границы цилиндра (являющейся объединением двух торов) к двум торам из множества Q\ \ (цилиндр). Очевидно, что ци- цилиндр T2XDl можно продефор- мировать в тор (стянуть на тор). Это означает, что, вместо - того чтобы «соединять» два тора из множества Q\(цилиндр) с помощью цилиндра, можно просто склеить эти два тора диффеоморфизмом (рис. 93). Если же Q склеено из одних цилиндров, то, конечно, описан- описанный процесс редукции осуществить до конца не удастся. Нижеследующие утверждения, полученные Г. Мамедовым, ос- основаны на чисто топологических соображениях. Теорема 2. Если трехмерное связное многообразие Q склее- склеено из q штук ориентированных седел, m штук полноторий и любо- любого числа s неориентированных седел и если известно, что ранг Hi(Q, Z)^.k, то выполнено неравенство tn^q + 2 — 2k. Теорема верна и при q=0. Следствие 1. Если ранг HX{Q, Z) равен нулю, то в состав Q входит ровно q + 2 полнотория. Следствие-2. Если ранг Hi (Q, Z) равен нулю, то tri^-2. Это следствие мы, впрочем, уже знаем (см.§ 1). Напомним, что для каждой изоэнергетической поверхности можно построить граф T(Q) этого многообразия. Каждое ориен- ориентированное седло (штаиы) будем изображать в виде «треножни- Рис. 93 198
ка» (трилистника) (рис. 94), а полноторие— в виде черного круж- кружка с одним ребром, исходящим из него. Места склеек на графе мы изображать не будем. Примеры графов см. на рис. 95 A). Нас интересуют только связные многообразия, а значит, и связные графы. Итак, число черных кружков (вершин графа) равно т, число треножников равно q. Концы «ног» тре- треножника — это двумерные торы. В графах, Ч у изображающих многообразия Q, не может \S ^ быть свободных концов, так как мы рассмат- | Т риваем замкнутые многообразия. Графы, ' I склеенные из треножников (с пока еще не „. заклеенными концами) , могут содержать в себе замкнутые подграфы, или замкнутые ломаные, а могут и не 'содержать ни одной замкнутой ломаной. Последние графы мы будем называть "ветвящимися (деревом). Лемма {.'Число концов связного графа, склеенного из q тре- треножников, не превосходит q+2, причем число концов равно q+2 в том и только в том случае, когда граф ветвящийся. Эта лемма легко доказывается индукцией по q. Итак, если m — число черных кружков, которыми (т. е. полно- ториями) заклеены концы графа, то tn^q+2. Теперь предполо- предположим, что задан неветвящнйся граф. Это означает, что в нем со- содержится некоторая замкнутая ломаная (цикл). Разрежем граф по любому месту склейки, лежащему на этой ломаной. Если граф Рис. 95A) Рис. 95B) не стал после этого ветвящимся, то в нем есть еще одна замкну- замкнутая ломаная. Продолжаем разрезы; в результате превратим граф в ветвящийся. Каждое такое разрезание обладает следующими свойствами: 1) оставляет граф связным, 2) не меняет число тре- треножников, 3) увеличивает число свободных концов графа на две единицы. Если было выполнено k разрезаний, то q+2—m + 2k, где m — число концов первоначального графа, q — число тренож- треножников (т. е. штанов). Число концов окончательного графа равно q+2. Доказательство теоремы 2. Рассмотрим сначала для простоты полностью ориентированный случай, т. е. когда в соста- составе Q.HeT неориентированных седел. Докажем, что ранг H\(Q, Z)^, где k — число разрезов, необходимых для того, чтобы пре- 199
j ииидныи граф в ветвящийся. Рассмотрим любой разрез. Небольшая его окрестность является цилиндром T2XDl. Можно считать, что изоэнергетическая поверхность Q получена объедине- объединением двух своих подмногообразий: 1) k цилиндров, 2) связного многообразия, являющегося дополнением к внутренности первого подмногообразия. Если пространство Q является объединением двух своих под- подпространств Y] и Уг, причем Yi(]Y2=Y — их пересечение, то при незначительных ограничениях имеет место следующая точная по- последовательность Майера—Вьеториса: ... -► Hw (Q) -* Ht (Y) Ь-+ Ht (К\) 0 Hi (Yt)-+ Нс (Q) -*..., где /»(*) = G'i.(*). —/2.W), a j1: Y-*-Yv ja: Y-+Ya~вложения. Если обозначить объединение к цилиндров через Yu а допол- дополнение к их внутренности в Q — через У2, то Yl(]Y2=Y представ- представляет собой несвязное объединение 2k торов. Рассмотрим конец последовательности Майера—Вьеториса В нашем случае эта последовательность имеет вид * Z -у 0. Из точности последовательности легко следует, что ранг #i(Q, )k а так как по условию /гарант Hi(Q, Z), то получаем ti^s q + 2— m)/2, т. е. m^sq + 2 — 2k. ^ что переход к общему случаю, т. е. после вклейки неори- неориентированных седел, не влияет на результат. Дело в том, что по- прежнему 1) у каждого многообразия есть граф, 2) число разре- разрезов, необходимых, чтобы граф стал ветвящимся, равно k=(q + + 2 — /п)/2, 3) в месте каждого разреза можно вырезать цилиндр (граница которого — два тора Г2). Отсюда следует, что ранг #,(B, Z)>£, т. е. 2k^2M=q + 2 — m, где.£ = ранг #i(Q, Z). От- Отсюда получаем, что trC^q+2 — 2k. Теорема доказана. Следствие 2 очевидно. Учитывая, что m^.q + 2, получаем след- следствие 1. , ' Доказательство было фактически проведено для q~^\. Но если в' построении многообразия не используются седла, то возможны лишь следующие два случая. 1) Два полнотория соединяются с помощью некоторого числа цилиндров. Фактически (см. выше) этот случай сводится к склей- склейке двух полноторий. 2) Многообразие склеено из одних цилиндров. При этом можно считать, что число цилиндров равно двум. В случае 1 условие теоремы 2 выполняется тривиально. В слу- случае 2 это условие легко доказывается; а именно докажем, что у 200
многообразия, склеенного из двух цилиндров, ранг #i(Q, Действительно, Q является объединением двух цилиндров Yx и У2, причем Y=Yif)^2 — это два тора. Из последовательности Май- ера—Вьеториса получаем Отсюда видно, что ранг HX(Q, Z)^l. Итак, утверждение теоре- теоремы 2 верно и «ри <7—0. В § 1 доказано, что из двух цилиндров можно склеить много- многообразие Q, для которого #i(Q, Z)=Z. Как уже отмечалось, из обнаруженных нами пяти типов эле- элементарных многообразий невозможно склеить произвольное трех- трехмерное многообразие. Тем более любопытен следующий резуль- результат Г. Мамедова. Теорема 3. Из ориентированных седел '(штанов) и полното- рий можно склеить трехмерное ориентированное многообразие с любыми возможными (для ориентированных многообразий) груп- группами целочисленных гомологии. Этот результат можно вывести, используя свойства многообра- многообразий Зейферта, но можно дать ему и элементарное доказательство, которое мы здесь приведем. ^ Прежде прокомментируем условие теоремы. В силу теоремы 3 с точки зрения гомологии класс изоэнергетических поверхностей «совпадает» с классом всех трехмерных многообразий. Другими словами, опираясь лишь на группы гомологии, невозможно выде- выделить изоэнергетические поверхности среди всех трехмерных мно- многообразий. Заметим, что группы гомологии компактных многообразий все- всегда конечно порождены и абелевы. Хорошо известно, что любое трехмерное ориентированное многообразие W склеивается из двух шаров с g ручками. Для таких многообразий H?.(W, Z)—свобод- Z)—свободная абелева группа и ранг #s(W, Z)=paHr H^(W, Z). Для ори- ориентированных связных замкнутых трехмерных многообразий Hz(W, Z)=Z. Из сказанного ясно; что для доказательства теоре- теоремы достаточно склеить из ориентированных седел и полноторий трехмерное многообразие с любой абелевой конечно порожденной группой Нх. Ясно, что ориентированное седло — это полноторие, из которо- которого параллельно вырезаны два полнотория (рис. 95B)). Вклеивая вместо одного из них повое ориентированное седло, мы получаем полноторие с тремя вырезанными полноториями (рис. 95C)), Итак, из q— 2 полноторий можно склеить полноторие, из которо- которого параллельно вырезаны q—1 полноторий, т. е. можно склеить (S2\qD*)XSK Докажем, что можно так вклеить q— 1 полноторий вместо вы- вырезанных полноторий и одно полноторие—снаружи, что в резуль- результате получится любая абелева конечно порожденная группа в ка- 201
честве H^Q, Z). Рассмотрим последовательность Манера—Вьето- риса: О -> Я3 (Q) -»■ Я2 (К) ->- Я2 GJ ф Я2 G2) -»- Я2 (Q) ->• -*• Ях (К) -^//j (Kj) ф Ях (К2) _► Нх (Q) -> Z" -> Z"+1 -> Z -+. 0. Здесь Y\—это q полноторий, Уг — это полноторие с вырезанными q—1 полноториями, т. е. (S2\qD2) XSl, a Y—Yif\Y2 — это q дву- двумерных торов. Поскольку Hz(Q, Z)=Z и Я;(У), Нг(Ук) для i = i-й тор Рис. 95C) = 1, 2 и &=1, 2 — свободные группы, то легко видеть, что из по- последовательности Майера—Вьеториса выделяется следующий фрагмент: О -*• Яа (Q) - Н, (Y) -U Я, (Кх) ф Ях (К2) - Я, (Q) - О, где Итак, f: Z2i-+Z2i. По-разному вклеивая полнотория, мы будем получать различные гомоморфизмы f. Очевидно, Z2«/Imf=#i (Q) и Я2(С)=Кег/. Чтобы исследовать гомоморфизм f, нам нужно представить его в матричной форме. Для этого нужно задать ба- -e помоторие Рис. 95E) Рис. 95F) 202
зисы (образующие циклы) в группах HX(Y), HX(YX), Hi(Y2). На рис. 95 D)—95 F) показаны соответствующие образующие. 1) Для тора см. рис. 95D); 2) для полнотория см. рис. 95E); 3) для полнотория с вырезанными полноториями см. рис. 95F). Если для г-го полнотория матрица склейки имеет вид (д' Y'l, то \ Р» о* / я,- переходит в atCi+pid и Ь{ переходит в yiCi + bid, \^i^.q—1. Особый случай — полноторие, которое приклеивается снаружи к нолноторию с вырезанными полно- полноториями (см. рис. 96). Здесь, aq пе- переходит в aq{cx + c2-\-. •• + cq-\) + P4(i И bq-*-yq(C\ + C2+ . . . +Cq-\)bqd. Оче- видно, вложение Y-+Yx следующим образом действует на образующие: щ~*-\-еи bi~+-O-ei, l^ii^q. Упоря- Упорядочим базисы HX{Y) и HX(YX)@ ' Рис д6 (BHX(Y2) следующим образом: для Hx(Y) — (ax, ..., aq, bx, ..., bq), для Hi(Yx)(BHx(Y2)-(e1, ...,'eq, cx, ..., cq-u d). Отсюда следует, что матрица гомоморфизма / в этих базисах имеет вид 1 0 о ' •'• 1 а\ о £ 0 '■ • : а„-х ■ а9 о ft 0 \ о Y? о '•. ; Ye-i Y? Строго говоря, в нижней части матрицы всюду перед числами нужно поставить знак минус. Однако, очевидно, от минуса можно избавиться, если считать, что матрицьГсклейки имеют вид — а,- — у,- -р£ -6, Числа <ц, p,, Yj, Sj зависят от того, как мы склеиваем торы. Пусть (а„ Тогда матрица / имеет вид 203
1 0 о. "• Pi... 0 •0 a<7-i P«-i 1 1 1 0 Yi 0 Si • 0 0 Ye i ■ • 8,_, 1 Обозначим группу, в которую отображает f, через N. Имеел f : Z2«->Z2« = N. Мы уже задали базис в N. Пронумеруем его одь паковыми буквами (е\,... ,eq,... ,e2Q). Если менять базис в груп- группе .V, то матрица гомоморфизма будет также изменяться. Прег положим,'что склейка уже произведена. Заметим, что если для какого-то i имеет место равенство уг=О, то из условия целочи; (а< у,\ ленности и унимодулярностн матрицы следует бг-^±1 Теперь предположим, что для некоторого t, например для г= 1 Ь. Сделаем следующую замену базиса в группе JV: в-, в,, ... , в„ в„, — ^9-Н I Vi • В новом базисе ei,...,e2q матрица гомоморфизма / имеет виг 1 ■ а, и 'Р 0 0 • п • р,-1 1 1 i 0 Yi 0 0 0 • и Yrr-i Г где / = —«A/Yi+Pi- Мы видим, что матрица изменилась сле- следующим образом: 1) число 8{ стало равным пулю, 2) число Pi заменилось числом t. Сделаем аналогичную аамену для всех, i таких, что угфО. Для удобства обозначений будем считать, что уг=^О для 1^л<!/г и -у* — = 0 для k+l^i^q—l. После произведенной замены базиса в группе N матрица гомоморфизма f примет'вид ' .':
1 ■ • . ° 0 1 0 0 aft±i : ' •. i h • • • h pft+i • • • P<7—l 0 0 Yx 0 Y* 0 о •• 0 + 1 +1 1 Обозначим новый базис по-прежнему через ех e2q и произве- произведем последнюю замену: ek+\ =ek+i ± eq-\ = e?_i ± В новом базисе гомоморфизм f имеет матрицу 1 ■ . о о • . 'l 0 0 Yi о'-. Yfe ±1...±1 1 205
Теперь очевидно, что JV/Im / = ZVl ф ... ф ZVft ф Z'~*+1, где Z?( = О, если Yi=l. Беря q достаточно большим и матрицы склейки беря с нужными нам числами уь мы можем в качестве N/lmf полу- получить произвольную конечно порожденную группу, что и доказы- доказывает теорему. ^. В4 частности, отсюда видно, что одномерной группой гомологии связного компактного ориентированного замкнутого многообразия (размерности три) может быть любая конечно порожденная абе- лева группа. Известно, что трехмерные многообразия могут иметь одинако- одинаковые группы гомологии, но не быть диффеоморфными. Можно доказать следующие утверждения. а) Из -трех полноторий и одного ориентированного седла мож- можно склеить гомологическую, ло не гомотопическую сферу. б) Из «-мерных ориентированных седел, неориентированных седел, цилиндров и полноторий (при я>3) нельзя склеить много- многообразие с H\(Q, Z)=0.
ГЛАВА 5 СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ КОММУТАТИВНЫХ И НЕКОММУТАТИВНЫХ ГРУПП ЛИ НА СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ. ГАМИЛЬТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЯМИ § 1. Полные инволютивные наборы функций и максимальные линейные коммутативные подалгебры в алгебре функций на симплектическом многообразии Напомним, что действие группы Ли диффеоморфизмов гладко- гладкого симплектического многообразия называется симплектическим, если все эти диффеоморфизмы сохраняют на многообразии сим- плектическую структуру. Определение 1. Пусть на гладком симплектическом мно- многообразии (М2п, со) задан набор F из п функционально независи- независимых гладких функций f\,...,fn, находящихся в инволюции, т. е. {{и fj}=0. Тогда будем говорить, что функции f\,...,fn образуют полный инволютивный (коммутативный) набор. Особый интерес представляет тот случай, когда одна из этих функций является гамильтонианом какой-либо интересующей нас гамильтоновой системы и. В этом случае все функции fi,...,fn яв- являются интегралами системы и. В силу теоремы Лиувидля каж- каждый такой интеграл «засчитывается за два интеграла», в резуль- результате чего удается достаточно полно описать поведение интеграль- интегральных траекторий системы. С .другой стороны, если на многообразии обнаружен полный инволютивный набор функций, то все они яв- являются интегралами каждого гамильтонова потока вида sgradf, где f<=F. Рассмотрим гладкие векторные поля а(/;) = sgradf,-. Каждое из -них касается поверхности уровня, поэтому мы получаем набор п касательных векторных полей на торе Лиувилля .Тп (см. выше теорему Лиувилля). Мы утверждаем, что эти поля попарно ком- коммутируют и линейно независимы в каждой точке. В самом деле, симплектическая структура со определяет каноническое отождест- отождествление е касательного и кокасательного пространств, в результа- результате которого ковектор gradf, переходит в вектор sgrad/,. Посколь- Поскольку е — изоморфизм Тх и Тх*, то линейная независимость ковекто- ров grad/г эквивалентна линейной независимости векторов- sgradf;. Далее, a{ft-, fj}= [afu afj]—O, так как функции /,-, f5 на- находятся в инволюции. Следовательно, поля sgradf* попарно ком- коммутируют, что и требовалось доказать. 20»
Таким образом, поля sgradfi образуют базис в каждой плос- плоскости, касательной к тору Тп. Отсюда, в частности, следует, что ограничение формы со на касательные плоскости ТхТп равно нулю, т. е. каждый тор Лиувилля является лагранжевым подмногообра- подмногообразием в объемлющем симплектическом многообразии. Рассмотрим абелеву группу Rn, образующие которой обозна- обозначим через е\,...,еп. Каждая образующая е\ порождает одномер- одномерную подгруппу R,-1, которую мы представим в виде однопарамет- рической группы ®И диффеоморфизмов, порожденной векторным полем Ui = sgradfj на торе Тп. Тем самым мы представили все об- образующие et, ...,en группы Rn с помощью диффеоморфизмов, со- сохраняющих симплектическую структуру. Теперь мы можем определить гладкое действие всей группы R™ на всем многообразии. Для этого фиксируем на многообразии точ- точку х и сопоставим элементу r=t\e\+ .■.. +tnen гладкое преобра- преобразование а(г):М-*-М, являющееся следующей композицией: 'a(r)x = ®tl6 ■ ■ • °®1п(х)- Поскольку векторные поля v{ коммутируют на многообразии, то наше определение гладкого действия комму- коммутативной группы R™ на всем многообразии (при изменении точки х) корректно. Поскольку векторные поля Vi линейно независимы в каждой точке на поверхности (на торе) Тп, то группа Rn действует ло- локально тр~анзитивно на торе, следовательно, отображение а: R™-*- —>-Гп является отображением «Сна!». Такое действие группы R' называется пуассоновским. Отличие от симплектического действие в том, что каждая однопараметрическая группа порождена гг- мильтоновым полем, гамильтониан которого является однозначно1 функцией, определенной на всем многообразии. Из определения ' следует также, что тор Т7' является орбитой действия группы R' Эта орбита <Свырастает^> из точки хо^Тп. Таким образом, на то ре Тп задано п линейно независимых коммутирующих векторны: полей. Отсюда следует, что Г" является фактором группы Rn m некоторой решетке. Рассмотрим в R" стационарную подгруппу Г точки х0, т. е. множество всех элементов r = Rn, таких, что ohi оставляют точку х0 на месте: г(хо)=хо. Из предыдущего следует что Г — дискретная подгруппа. Можно доказать, что существую" л линейно независимых векторов ei,...,eneRn таких, что Г с(- впадает с множеством всех их целочисленных линейных комбина- комбинаций, т. е. r = Z(e,,...,en)Z». Таким образом, мы можем определить на симплектичесжп многообразии М2п гладкое симплектическое (пуассоново) дейс~ вне коммутативной группы R". Компактными связными неособь- ми орбитами этого действия являются торы Лиувилля Тп. Следо- Следовательно, с каждым полным инволютивным набором функцш естественно связано гладкое действие «-мерной коммутативно! "группы на многообразии, сохраняющее симплектическую структу- структуру (и даже пуассоново). Итак, каждая вполне интегрируемая гамильтонова системе обладает определенным типом симметрии, а именно: с ней связа
Но симплектическое (даже пуассоново) действие коммутативной «-мерной группы на М2п. При этом связные, компактные, неосо- неособые поверхности уровня интегралов совпадают с орбитами дейст- действия этой группы. Возникает естественный вопрос: на каждом ли гладком много- многообразии существует хотя бы один полный инволютивный набор функций? Оказывается, если требовать от искомых функций только глад- гладкость, то ответ положителен (замечание А. В. Браилова). Предложение 1. На каждом симплектическом гладком многообразии всегда существует полный инволютивный набор гладких функций, функционально независимых почти всюду на многообразии. Доказательство. Согласно теореме Дарбу в некоторой шаровой окрестности любой точки х на М2п существуют снмплек- тические координаты р,-, G,-. Рассмотрим этот шар с центром в точке х и зададим на нем функции fi=Pi2+qi2. Ясно, что {fit f;} = =0, т. е. эти функции находятся в инволюции. Рассмотрим теперь п функцию /=V fi = 2 р? + <7?, которую можно рассматривать как «квадрат расстояния» от переменной точки до центра шара. По- Построим теперь на шаре гладкую функцию h(p, q)=g(f), завися- зависящую только от радиуса (расстояния до центра шара), равную единице в центре шара, равную тождественно нулю на границе шара и монотонно убывающую с ростом f от нуля до границы шара (рис. 97). Эту функцию можно продолжить нулем на все многообразие. Ясно, что {h, /,-}«= 0, следовательно, {hfu hfj}=0. Ряс. 97 Рис. 98 Мы утверждаем, что функции- hfu... ,hfn независимы внутри диска (шара). В самом деле, если допустить функциональную за- зависимость, то существует функция F такая, что F(hfu... ,hJn)s=Or т. е. /=1(gBfi)/1,...,gBfi)fr.)=0. Ясно, что функции /i,...,/» не- независимы, поэтому можно заменить их формальными переменны- переменными tit...,tn. Если мы докажем, что функция F(gB,ti)ti,..* ...,g(Z,ti)tn) не равна тождественно нулю, тем самым мы дока- докажем независимость функций ftfi,..., hfn. 211
Допустим противное: пусть указанная функция тождественно обращается в ноль, т. е. функции gCLti)t\,... ,g{J>t{)tn функцио- функционально зависимы. Якобиан / этой системы функций, очевидно, имеет вид , где /=2/{. Если /=0, то g±t —^-=0, т. е. g(t) —линейная функ- . dt ция, что противоречит построению. Итак, нам удалось построить на открытом шаре набор из п независимых функций, находящихся в инволюции и (что важно!) обращающихся в ноль вне шара. Следовательно, покрывая почти все многообразие М2а (за ис- исключением замкнутого множества меры ноль) открытыми непере- непересекающимися шарами и строя на каждом из них указанный набор функций, мы можем определить п функций, заданных уже на всем многообразии, находящихся в инволюции и независимых на открытом всюду плотном множестве (рис. 98). Предложение до- доказано. * Из приведенного доказательства видно, что построенный нами гладкий полный инволютивный набор функций принципиально не может быть набором аналитических функций (если многообразие аналитическое), поскольку каждая из функций этого набора тож- тождественно равна нулю на связном замкнутом множестве, являю- являющемся дополнением-к объединению счетного числа открытых не- лересекающихся шаров. Таким образом, следует еще выяснить возможность существования: а) аналитических полных инволю- тивных наборов, б) боттовских полных инволютивных наборов. В гл. 2 мы познакомились с теоремой Лиувилля, позволяющей описывать поведение интегральных тректорий систем, обладаю- обладающих полным набором интегралов в инволюции. В этой главе мы лознакомимся с современными новыми методами интегрирования, частным случаем которых является классический метод интегри- интегрирования с помощью теоремы Лиувилля. Через С°°(М) обозначим линейное (бесконечномерное) про- пространство всех гладких функций на симплектическом многообра- многообразии М2п. Как мы уже знаем из гл. 2,' это пространство естествен- естественно превращается в бесконечномерную алгебру Ли относительно скобки Пуассона {f, g}, где f, g&.C°°(M). С точки зрения гамиль- тоновой механики значительный интерес представляют различные подалгебры (как конечномерные, так и бесконечномерные) в ал- тебре Ли С°°(Л4). При таком подходе теорема Лиувилля приобре Тает следующее освещение. Гамильтониан Н системы .u=sgrad h можно представить как вектор (т. е. функцию) в алгебре СХ(М) Если система v вполне интегрируема по Лиувиллю, то Н вклю "чается в коммутативную подалгебру функций G(H), с размер- 212-
иостью, в точности равной п (половине размерности многообра- многообразия); при этом в G(#) можно выбрать аддитивный базис /i,... ...;/„, все функции которого функционально независимы (почти всюду) на М. Можно считать, что f\ — H (рис. 99). Конечно, такая коммутативная подалгебра G(#) может не су- существовать. Тогда система u = sgrad# неинтегрируема по Лиу- виллю. Как мы уже отмечали, «большинство» систем неинтегри- руемы в указанном смысле. Поэтому обнаружить достаточно боль- большую коммутативную оболочку функции Н — это редкое событие. Если geG(#)—любая другая функция из коммутативной подалгебры G(H), то система sgradg также интегрируема на М с тем же набором первых интегралов, чт«г и система sgrad H. По- Рис. 99 Рис. 100 этому обнаружение на М2п коммутативной подалгебры функций GczC°°(M) размерности п, обладающей аддитивным базисом из л функционально независимых функций, сразу дает нам целое се- семейство интегрируемых систем. Определение 2. Будем говорить, что на симплектическом многообразии М2п задана максимальная линейная коммутативная подалгебра функций Go (в алгебре Ли С°° (М) относительно скоб- скобки Пуассона), если dimG0=n и в Go можно выбрать аддитивный базис, состоящий из п функционально независимых на М2" (почти всюду) функций /i,...,/n. Иногда будем называть такую алгебру функций полным инволютивным (коммутативным) набором функций. В дальнейшем термин «почти всюду» будем опускать как очевидно подразумевающийся. Если ,g — произвольный элемент (функция) из Go, то g=cifi+ ... +cnfn, где с\,... ,сп — некоторые постоянные (вещественные) числа. Следовательно, любой элемент .geGo представляется в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами независимых функций f\,...,fn- Поэтому в опре- определении 2 мы ввели термин «линейная алгебра». Термин «макси- «максимальная» в этом определении также имеет смысл, проясняемый следующей простой леммой. Лемма 1. Если Т — коммутативная линейная подалгебра (не обязательно максимальная) в алгебре функций ^(М), причем addutueubiu бази