УДК 514.8+517.986
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ
А. А. Кириллов
СОДЕРЖАН ИЕ
Введение 141
§ 1. Постановка задачи 142
1.1. Математическая модель классической механики в гамильтоно-
вом формализме 142
1.2. Математическая модель квантовой механики 147
1.3. Постановка задачи квантования. Связь с методом орбит в тео-
теории представлений 149
§ 2. Предквантование 150
2.1. Представление Купмаиа — ван Хова — Сигала .... 150
2.2. Эрмитовы расслоения со связностью. Предквантование Сурьо —
Костанта 152
2.3. Примеры. Предквантование двумерной сферы и двумерного
тора 155
2.4. Предквантование симплектических супермногообразий . . 157
§ 3. Поляризации 158
3.1. Определение поляризации 158
3.2. Поляризации на однородных многообразиях 160
§ 4. Квантование 163
4.1. Пространство квантования 163
4.2. Квантование плоского пространства 165
4.3. Связь с индексом Маслова и представлением Вейля . . . 171
4.4. Общая схема геометрического квантования 173
4.5. Операторы квантования 174
Литература 176
ВВЕДЕНИЕ
Слово «квантование» употребляется и в физических, и в ма-
математических работах во многих разных смыслах. В последнее
время это стало явно отражаться на терминологи: появились
термины «асимптотическое», «деформационное», «геометриче-
«геометрическое» и т. д. квантование.
Общую основу всех этих теорий составляет предположение о
том, что классическая и квантовая механики — это разные реа-
реализации одной и той же абстрактной схемы. Основными ком-
141

понентами этой схемы являются алгебра наблюдаемых (физи-
(физических величин) и пространство состояний.
В асимптотическом квантовании считается, что наблюдаемые
и состояния можно разложить в ряды по малому параметру h.
Свободные члены этих рядов соответствуют классической меха-
механике, а члены первого порядка задают так называемое квази-
квазиклассическое приближение.
Деформационное квантование исследует алгебраическую
структуру алгебры наблюдаемых и рассматривает квантовую
ситуацию как деформацию классической.
Геометрическое квантование ставит своей целью построение
квантовых объектов, исходя из геометрии соответствующих
классических объектов.
Источниками геометрического квантования являются, с од-
одной стороны, попытки физиков распространить известные про-
процедуры квантования простых механических систем на более об-
общие конфигурации и фазовые пространства, а с другой сторо-
стороны,— развитие математиками теории унитарных представлений,
приведшее к методу орбит.
Слияние этих двух источников произошло в конце 60-х годов
и оказалось полезным и для физиков, и для математиков.
Физики включили в свой арсенал новый математический ап-
аппарат (расслоения, связности, когомологии), математики обо-
обогатились новыми эвристическими соображениями и постановка-
постановками задач.
Хотя возможности геометрического квантования еще далеко
не исчерпаны, но уже сейчас можно дать описание основ этого
метода и указать приблизительно рамки его применимости.
§ 1. Постановка задачи
1.1. Математическая модель классической механики в га-
мильтоновом формализме (см. [1] и том 3 настоящего изда-
издания). В простейших механических системах фазовое простран-
пространство является обычным 2п-мерным вещественным векторным
пространством с координатами ди .. ., qn, р\,. . . , рп, описыва-
описывающими положение и скорости частиц, составляющих систему.
В более сложных системах фазовое пространство М является
кокасательным расслоением над гладким многообразием N
(конфигурационным пространством). Координаты q\,. . ., qn в
этом случае определены лишь локально и отображают часть U
многообразия N на область V в R". Соответствующие коорди-
координаты р\ рп пробегают двойственное к R" пространство
(R")* и задают тривиализацию кокасательного расслоения над
U, отождествляя T*U с V X (R")*-
п
На M = T*N корректно определена 1-форма 8 = 2
142

а значит, и ее дифференциал @ = dQ = ^ddpkAd<Jk- Форма со,
очевидно, замкнута и невырождена на М.
Для формулировки гамильтонова формализма достаточно
иметь гладкое многообразие М (необязательно вида T*N) с
замкнутой невырожденной формой со на нем. Такое многообра-
многообразие называется симплектическим.
Теорема Дарбу (ср. [1] и статью В. И. Арнольда, А. Б. Ги-
венталя) утверждает, что локально в подходящих координатах
форма со всегда может быть записана в виде
A.1)
однако эти канонические координаты определены далеко не од-
однозначно, и разделение их на «позиционные» и «импульсные»
носит условный характер.
Форма со устанавливает изоморфизм между касательным и
кокасательным пространствами в каждой точке М. Обратный
изоморфизм задается бивектором с, который имеет вид:
A.2)
в той же системе координат, где выполняется равенство A.1).
В общей системе координат форма со и бивектор с записы-
записываются в виде
с взаимно обратными кососимметрическими матрицами
Ik" II.
Физические величины или наблюдаемые отождествляются с
гладкими функциями на М и образуют пространство С°°(М).
Относительно обычного умножения С°° (М) образует коммута-
коммутативную ассоциативную алгебру. Кроме этого, в С™ (М) опре-
определена скобка Пуассона, задающая структуру алгебры Ли:
Тождество Якоби для скобки Пуассона
{{F, G}, H} + {{G, Я}, F} + {{H, F), G}==0 A.4)
равносильно условию Ло = 0, а также обращению в нуль скобки
Схоутена (см. [11])
1 m
143

где знак ¦*= означает сумму по циклическим перестановкам ин-
индексов i, j, k.
Подмногообразие NczM называется изотропным, если фор-
форма со обращается в нуль на TN. Размерность изотропного мно-
многообразия не превосходит п. Если она равна п, многообразие
называется лагранжевым. Локально лагранжево многообразие
задается системой уравнений
Fk=ck, k=l,2,...,n, A.6)
где {Ft}—система функций, находящихся в инволюции, т. е.
порождающих коммутативную подалгебру относительно скобки
Пуассона:
{Fu ^}=0.
Изменяя постоянные ch в уравнениях A.6), мы получаем разби-
разбиение пространства М на лагранжевы подмногообразия. Такое
разбиение называется (глобальной) вещественной поляриза-
поляризацией, если оно является гладким расслоением. Как правило,
многообразие М не допускает глобальных поляризаций. Если
же такая поляризация есть, то многообразие М, или некоторое
его накрытие отождествляется с открытым подмножеством в
кокасательном расслоении T*N, где N— база поляризации. От-
Отметим, что при этом отождествлении форма со не перехо-
переходит, вообще говоря, в каноническую форму A.1) на T*N, a
отличается от нее слагаемым вида
A.7)
Для системы, изображающей материальную точку в R3, это
слагаемое интерпретируется как внешнее магнитное поле.
Состоянием системы называется линейный функционал на
С°°(М), принимающий неотрицательные значения на неотрица-
неотрицательных функциях и равный 1 на функции, тождественно рав-
равной 1. Общий вид такого функционала — вероятностная мера
(х на М.
Чистым состоянием называется крайняя точка множества
состояний. Это — мера типа б-функции, сосредоточенная в од-
одной точке М.
(Как мы увидим ниже, пределами чистых квантовых состо-
состояний всегда являются смешанные классические состояния,
удовлетворяющие классическому аналогу принципа неопреде-
неопределенности. В связи с этим интересно предложение Вейнстейна
(A. Weinstein) [46] рассматривать в качестве элементарных
классических состояний б-функции, сосредоточенные на лагран-
жевых подмногообразиях в М.) Динамика системы опреде-
определяется выбором функции Гамильтона (W. Hamilton) или энер-
энергии, роль которой может играть любая функция HczC°°{M).
Возможны два эквивалентных способа описания динамики.
В первом из них — так называемой картине Гамильтона, —
144

состояния от времени не зависят, а физические величины явля-
являются функциями от точки фазового пространства и времени, то
есть функциями на MxR. Уравнения движения имеют вид:
F={H,F), A.8)
где F — произвольная наблюдаемая. В частности, применяя
A.8) к каноническим переменным ph, qk, мы получаем уравне-
уравнения Гамильтона
A.9)
Здесь точкой обозначена производная по времени. Другой спо-
способ описания движения состоит в том, что физические величи-
величины считаются не зависящими от времени функциями на М, а
состояния системы со временем меняются таким образом, что
чистое состояние с координатами p(t), q(t) подчиняется урав-
уравнениям Гамильтона A.9). Легко проверить, что смешанное
состояние с плотностью p(p,q,t) меняется при этом по закону
i>(p,q,t)={p,H}=*-{H,p}. A.10)
Это описание движения называется картиной Лиувилля
(J. Liouville) и обычно используется в статистической меха-
механике.
Обе картины эквивалентны, так как среднее значение ве-
величины F в состоянии р меняется со временем одинаково:
didt < F, р > = ^ {Н, F} pdpdq = jj F {р, Щ dpdq.
м м
Последнее равенство справедливо потому, что гамильтонов
поток сохраняет каноническую меру dpdq = a>n, n= - dimM.
Функция F называется первым, интегралом системы, если
она находится в инволюции с Н, то есть {F, //}=0.' В этом
случае векторное поле с (F)^^ciJdjFdt порождает гамильто-
'./
нов поток, перестановочный с эволюцией системы. Наличие не-
нескольких первых интегралов, порождающих конечномерную ал-
алгебру Ли g относительно скобки Пуассона (S. Poisson), при-
приводит к реализации соответствующей группы Ли G = expg как
группы симметрии рассматриваемой системы.
Набор Fh . . ., Fm физических величин называется полным,
если из условия {FitG}=0, i=l,... ,т, следует, что G = const.
Легко проверить, что это условие равносильно тому, что функ-
функции F\, . .., Fm локально разделяют точки почти всюду на М
(то есть этих функций достаточно для построения локальных
систем координат на М).
Примером полного набора являются координаты и импуль-
импульсы в случае M = T*Rn.
Пример 1.1. Малые колебания. Осциллятор.
10—2538 145

Всякое многообразие в первом приближении является
плоским, а всякая функция в окрестности экстремума — квад-
квадратичной. Этим объясняется большая роль специального при-
примера механической системы — так называемого осциллятора.
Здесь конфигурационное пространство отождествляется с R",
фазовое — с R"X(R™)*. Определены глобальные координаты
Я\, ¦ ¦ ¦, Яп, Р\, ¦ ¦ ¦, рп- Гамильтониан системы имеет вид:
Эту систему можно рассматривать как объединение невзаимо-
невзаимодействующих систем с одной степенью свободы. (На языке га-
мильтонова формализма объединению систем без взаимодейст-
взаимодействия соответствует перемножение фазовых пространств и сложе-
сложение гамильтонианов.)
Будем поэтому считать, что п=1. В этом случае движение
системы состоит в равномерном вращении фазовой плоскости с
единичной угловой скоростью. Траектория точки совпадает с
линией уровня функции Я, то-есть окружностью p2 + q2 = const.
Отметим еще, что скобки Пуассона между основными наблюда-
наблюдаемыми имеют вид:
{H,p}=-q, {H,q}=p, {p,q} = \.
Пример 1.2. Математический маятник.
Конфигурационное пространство N— двумерная сфера S2,
задаваемая уравнением x12-f-x22+A:32 = г2. Фазовое пространство
M = T*N — кокасательное расслоение к сфере S2.
Многообразие М можно отождествить с подмножеством в
R6 с координатами х\, х2, х$, у\, г/г, Уз, задаваемым уравне-
уравнениями:
X12 + x22-rx32 = r2, х1у1-1-х2у2-\--хгу3=0.
В качестве локальных координат на N можно взять qx = xx
с:2—х2- Относительно квадратичной формы Т = -~ (у2-\-у22-\-
-'гУз2)> задающей кинетическую энергию системы, дуальные
координаты в слоях имеют вид р1 = ш- —, р2 =
координатах р и q кинетическая энергия вы-
ражается формулой
Т — — in 2 ' гу 2
i
где т — масса маятника.
Если маятник рассматривается в постоянном гравитацион-
гравитационном поле, направленном по оси Хг, то потенциальная энергия
имеет вид:
V = _ mgXa =-
146

Гамильтониан H = T-\-V обладает первым интегралом — момен-
моментом относительно оси Хъ.
Совместные линии уровня функций Н и Р задают на М по-
поляризацию с особенностями. А именно, слои Р = 0, H = ±tngr
вырождаются в точки, а остальные слои являются двумерными
торами, по которым совершается условно периодическое дви-
движение (см. [1]).
Пример. 1.3. В качестве фазового многообразия М возьмем
сферу х2-\-х22 -\-Хц2 = г2, а в качестве формы со — обычную пло-
площадь, которая в локальных координатах u—Xi, v = x2 имеет
duAdv
вид: fo = r——
У г- — «2 — г»2
(В этом случае М нельзя представить как кокасательное
расслоение T*N — конфигурационного пространства не сущест-
существует! Известная теорема гладкой топологии утверждает, что на
М нет векторных полей, не обращающихся в нуль. Тем самым,
нет и вещественных поляризаций.)
Как мы увидим ниже, в этом примере существует комп-
комплексная поляризация, позволяющая построить квантование
этой системы при условии, что объем М является целым чис-
числом. Эта экзотическая система оказывается классическим ана-
аналогом квантовой системы с одной спиновой степенью свободы.
В приложениях она встречается, как правило, не сама по себе,
а в виде «нароста» над обычным фазовым пространством.
В качестве гамильтониана этой системы обычно рассматри-
рассматривается линейная функция Я — ахХ\-\-а2х2-\-аъХъ, коэффициенты
которой интерпретируются как проекции вектора напряжен-
напряженности магнитного поля. Движение системы состоит в равно-
равномерном вращении сферы. Таким образом, понятие о спине как
о «скрытой вращательной степени свободы» получает здесь
точное классическое истолкование.
1.2. Математическая модель квантовой механики (см. [17]).
В квантовой механике физические величины или наблюдаемые
являются самосопряженными линейными операторами в неко-
некотором комплексном гильбертовом пространстве Ж. Они образу-
образуют линейное пространство, в котором определены две билиней-
билинейные операции:
1) йорданово умножение
(ЛЯ+ЯЛ) = (^)-(±р^; A.11)
2) коммутатор
^ A.12)
где h — постоянная Планка (М. Planck).
10* 14Г

Относительно первой операции множество наблюдаемых
образует коммутативную, но не ассоциативную алгебру; отно-
относительно второй — алгебру Ли. Эти две операции являются
квантовыми аналогами обычного умножения и скобки Пуассо-
Пуассона в классической механике.
Пространство состояний, или фазовое пространство, в кван-
квантовой механике состоит из так называемых «матриц плотности»,
то есть неотрицательно определенных операторов S со свойст-
свойством trS = l. Чистые состояния (крайние точки множества со-
состояний) являются одномерными проекторами в Ж. Обычной
реализуется в виде пространства функций с интегрируемым
квадратом; в этом случае чистое состояние задается функцией
¦ф с единичной нормой (так называемой волновой функцией),
причем функции, отличающиеся числовым множителем, задают
одно и то же состояние.
Среднее значение величины А в состоянии S по определению
равно 1гЛ5. Для чистого состояния, задаваемого функцией tp,
эта величина равна (Лф, г|з). В квантовой механике наблюдае-
наблюдаемая А даже в чистом состоянии гр не обязана иметь точно
определенного значения. Ее вероятностное распределение за-
задается монотонной функцией р(К) = (Е^, гр), где Ех — спект-
спектральная функция оператора А. В частности, если оператор А
имеет простой дискретный спектр с собственными значениями
Хи и собственными функциями грй, то в состоянии -ф она прини-
принимает значение Xh с вероятностью ph= \ (ty, ip&) |2. Динамика сис-
системы определяется оператором энергии Н. (Шапочку над бук-
буквой принято ставить, чтобы отличить квантовомеханическую
величину — оператор в Ж-—от соответствующей классической
величины — функции на М.) Здесь, как и в классической ме-
механике, возможны два способа описания. Если состояния не за-
зависят от времени, а меняются величины, то мы получаем кар-
картину Гейзенберга. Движение описывается уравнением Гейзен-
берга (W. Heisenberg)
A = [H,A]h, A.13)
которое является точным аналогом уравнения Гамильтона
A.6). Интегралами системы являются все операторы, переста-
перестановочные с Я. В частности, сам оператор энергии не меняется
со временем (закон сохранения энергии в квантовой механике).
Другое описание, при котором операторы, отвечающие фи-
физическим величинам, не меняются, а меняются состояния, на-
называется картиной Шрёдингера (Е. Schrodinger). Легко про-
проверить, что для эквивалентности этих двух способов описания
движения нужно, чтобы чистое состояние гр менялось по за-
закону
^ = ^1//^, (Ы4)
148

называемому уравнением Шрёдингера. Собственные функции
оператора Шрёдингера задают стационарные состояния систе-
системы. (Напомним, что функции, отличающиеся скалярным мно-
множителем, задают одно и то же состояние.)
Набор квантовых физических величин Ли ... ,Ат назовем
полным, если всякий оператор В, перестановочный с A,-, i=
= 1,..., т, кратен единичному. Можно показать, что это
условие равносильно неприводимости набора Аи ..., Ат. Это
значит, что всякое замкнутое подпространство в Ж, инвариант-
инвариантное относительно всех A,, l^t'^m, равно либо {0}, либо Ж.
Пример 1.4. Материальная частица в потенциальном си^-
ловом поле на прямой.
Гильбертово пространство Ж состоит из комплексных функ-
функций ty(x) на вещественной прямой с суммируемым квадратом
модуля. Основные физические величины представлены следую-
следующими операторами:
оператор координаты х состоит в умножении функции
г|)(дг) на х;
оператор импульса p = ifid/dx;
h2
оператор энергии Н = — ^ d2/dx2 -\-V (х).
Здесь V (х) — заданный потенциал, й = д приведенная по~
стоянная Планка.
В частности, в состоянии ¦ф координата частицы имеет ве-
вероятностное распределение с плотностью | if(x)f, а ее импульс
распределен с плотностью | ij) (kin)\2, где ^ (к) = \ if (x) e~ikxdx —
преобразование Фурье функции -ф.
1.3. Постановка задачи квантования. Связь с методом орбит
в теории представлений. Задача геометрического квантования
состоит в том, чтобы, исходя из геометрии симплектического
многообразия (М, со), задающего модель классической механи-
механической системы, построить гильбертово пространство Ж и на-
набор операторов в нем, задающие квантовый аналог этой систе-
системы. Если исходная классическая система обладала группой
симметрии G, естественно потребовать, чтобы получаемая кван-
квантовая модель также обладала этой симметрией. Это значит,
что в пространстве Ж должно действовать унитарное представ-
представление (быть может, проективное, см. ниже) группы G.
Максимальной группой симметрии симплектического много-
многообразия (М, со) является бесконечномерная группа Symp(M, со)
всех симплектоморфизмов, или канонических преобразований
М, сохраняющих форму со.
Для квантовой системы максимальной группой симметрии
является бесконечномерная группа Р11(Ж) всех проективных
унитарных преобразований.
149

Эти две группы не изоморфны. Поэтому априори нет надеж-
надежды на то, что каждой классической симметрии соответствует
квантовая. В конкретных ситуациях те или иные конечномер-
конечномерные группы симметрии могут сохраняться, в то время как дру-
другие могут нарушаться. В физической литературе говорят в
последнем случае о «квантовых аномалиях» в коммутационных
соотношениях.
Особый интерес представляют однородные симплектические
многообразия (М, со), на которых транзитивно действует неко-
некоторая группа Ли G. Такие системы не имеют G-инвариантных
подсистем. Поэтому в соответствующих квантовых системах
должны возникать неприводимые представления группы G.
Если справедлив тезис о том, что каждая квантовая система с
группой симметрии G получается квантованием классической
системы с той же группой симметрии, то неприводимые пред-
представления группы G должны быть связаны с однородными
симплектическими G-многообразиями. Метод орбит в теории
унитарных представлений групп Ли связывает унитарные пред-
представления группы Ли G с орбитами этой группы в коприсоеди-
ненном представлении, действующем в пространстве 9*, дуаль-
дуальном к алгебре Ли группы G.
Связь между квантованием и методом орбит основана на
следующем замечательном обстоятельстве.
Теорема 1.1 ([8], [29], [42]). Каждая G-орбита в д*
является однородным симплектическим G-многообразием и об-
обратно, всякое однородное симплектическое G-многообразие ло-
локально изоморфно орбите в коприсоединенном представлении
группы G или ее центрального расширения.
Процедура геометрического квантования является естест-
естественным обобщением на неоднородную ситуацию процедуры по-
построения неприводимого унитарного представления группы G,
исходя из G-орбиты в коприсоединенном представлении. Более
точно, квантование с помощью выбора вещественной поляриза-
поляризации (см. ниже § 3) обобщает конструкцию индуцированного
представления; понятие комплексной поляризации возникает из
конструкции голоморфно индуцированного представления;
наконец, представления в когомологиях в последнее время так-
также нашли аналог в методе геометрического квантования (см.
§4).
§ 2. Предквантование
2.1. Представление Купмана—ван Хова—Сигала. Пусть
(М, со)—симплектическое многообразие. Через !?(М,(й)
обозначим алгебру Пуассона на М, т. е. пространство С°°{М),
снабженное скобкой Пуассона A.3).
Согласно Дираку (P. A. M. Dirac), квантованием назы-
называется линейное отображение F^-F алгебры Пуассона (или не-
150

которой ее подалгебры) в множество операторов в некотором
(пред) гильбертовом пространстве, обладающее свойствами:
1) 1 = 1 (здесь единица слева означает функцию на М, тождест-
тождественно равную 1, а единица справа — единичный оператор);
2) {F, О}* =[F, G]h( = ilh(FG-GF))\
3) F* — (/=")* (звездочка слева означает комплексное сопря-
сопряжение, а звездочка справа — переход к сопряженному оператору);
4) для некоторого полного набора функций Fb ..., Fm опера-
операторы Fv ...,Fm также образуют полный набор.
Линейное отображение F^F, обладающее первыми тремя
свойствами, называется предквантованием.
Для случая M = T*N, co = c?0 (см. п. 1.1) предквантование бы-
было построено в 1960 г. Сигалом (I. Segal) [37], обобщившим ре-
результаты Купмана (D. Koopman) [28] и ван Хова (Van Ho-
Hove L.) [45]. Оно имеет вид:
где c(F) —гамильтоново векторное поле на М с производящей
функцией F, рассматриваемое как оператор в С°°(М). Про-
Пространство предквантования состоит из гладких финитных функ-
функций на М со скалярным произведением
(Я>1, <Р2) =
м
где v = ti)n = dripdnq —мера Лиувилля на М.
Линейность отображения и выполнение условия 1) очевидны.
Выполнение условия 2) следует из хорошо известных тождеств [2]
[с (F), c(Q)] = c({F,G})
и
{F, G} = со (с (F), с (G)) = c(F)Q (с (G)) - с (G) е (с (F)) -
-Q([c(F), с (О)]).
Условие 3) равносильно самосопряженности операторов F для
вещественных функций Р&С"(М). Симметричность этих опера-
операторов вытекает из того, что поле c(F) гамильтоново. Если поле
c(F) полно (то есть порождает однопараметрическую группу
преобразований М), то оператор Р существенно самосопряжен.
В частности, если функция F финитна, условие 3) выполняется.
Предквантование B.1) не является квантованием, как вид-
видно на простейшем примере M = T*R. В этом случае операторы
координаты и импульса имеют вид:
151

в пространстве гладких функций на плоскости с координатами
р, q и мерой dpf\dq.
Легко проверить, что операторы д/др и d/dq-\--^ p пере-
перестановочны с q и р. Поэтому q и р не образуют полного на-
набора.
Сравнение с примером 1.2 показывает, что в данном случае
можно построить квантование, если ограничить действие q и
р на пространстве функций, не зависящих от р. Обобщение
этого приема мы рассмотрим ниже в § 3.
2.2. Эрмитовы расслоения со связностью. Предквантование
Сурьо—Костанта. Попытка перенести конструкцию Купмана —
ван Хова—Сигала на общие симплектические многообразия
приводит к линейным ( = одномерным' векторным) комплексным
расслоениям над М, снабженным связностью и эрмитовой
структурой в слоях. Дело в том, что возможность представле-
представления операторов предквантования формулой B.1) основана на
равенстве w> = dQ. Поэтому, если форма со не точна (например,
так будет для любого компактного многообразия М), то пред-
представление 2.1) невозможно. Однако замкнутая форма <о всегда
точна локально. Значит, можно покрыть многообразие М
открытыми множествами Ua так, чтобы в каждом Ua выпол-
нялось равенство w> = dQa для подходящей 1-формы Qa в Ua-
Тем самым мы получаем возможность определить операторы
Fa = F+^rc(F) — Qa(c(F)) в С00 (?/„), Оказывается, при до-
дополнительном условии целочисленности на класс когомологий,
задаваемый формой со, эти локальные операторы Fa можно
«склеить» в один глобальный оператор F. Однако этот оператор
действует не на функции, а на сечения некоторого линейного
расслоения L над М. Форма Qa интерпретируется при этом как
локальное выражение для связности в тривиализации L над
областью Ua. Перейдем к точным формулировкам.
Пусть L — комплексное векторное расслоение над М с одно-
одномерным слоем. Мы предположим, что на L определены эрмитова
структура < •, • > и связность v. согласованные естественным
образом:
I < slt s2) = < V|SX, s2 > -f < sv V|S2 > . B.2)
Здесь < su s2 > означает функцию на М, которая в точке х(*М
равна скалярному произведению s1 (x) и s2 (x) в смысле эрмито-
эрмитовой структуры, V| — оператор ковариантного дифференцирования
сечения вдоль поля | на М.
Если расслоение L над областью Ua<z.M допускает неисче-
зающее сечение sa, то пространство сечений Г (Z, Ua) отожде-
отождествляется с С°° (Ua) по формуле
152

, ua).
При этом отождествлении оператор V| принимает вид:
Vs4> = g<P—х-бсфФ, B-3>
где форма Qa определяется из равенства
ViSa=-^iea(S)-sa. B.4)
Сравнение B.3) с B.1) подсказывает следующую формулу
предквантования Сурьо— Костанта:
Выполнение условия 1) очевидно. Условие 3) выполняется
для финитных F в силу B.5), если определить скалярное про-
произведение в пространстве сечений L формулой
j $i. s2)dv B.6)
м
и заметить, что объем dv = o)n = dnp = dnq инвариантен относи-
относительно гамильтонова потока, порождаемого полем c(F).
Проверка условия 2) требует некоторых вычислений. Напом-
Напомним, что форма кривизны связности V определяется как 2-фор-
ма Q на М, задаваемая формулой
i Vnl-V^r,]). B-7)
Из B.3) вытекает следующее локальное выражение для
формы кривизны:
Q = A-1^ea на Uа- B.8)
С другой стороны, условие 2) переписывается в нашем слу-
случае в виде
{F, G}=hQ(c(F),
Таким образом, справедлива
Теорема 2.1. Формула Сурьо—Костанта B.5) задает
предквантование 1?(М, ©) тогда и только тогда, когда форма
Q кривизны связности V совпадает с /г^'со.
Возникает вопрос, какие 2-формы на М могут служить фор-
формами кривизны для связности в некотором линейном рассло-
расслоении L над М и когда на L можно определить эрмитову струк-
структуру, согласованную со связностью. Ответ на эти вопросы дает
Теорема 2.2. Форма Q является формой кривизны неко-
некоторого расслоения L над М со связностью V тогда и только
тогда, когда класс когомологий, определяемый формой Q, —
целочисленный (то-есть интеграл формы Q по любому 2-циклу
в М является целым числом). Эрмитова структура на L, согла-
15»

сованная с V, существует тогда и только тогда, когда форма
Я вещественна.
Доказательство первого утверждения теоремы вытекает из
соотношений, связывающих функции перехода расслоения L с
формами 0а. А именно, если на пересечении Uaf\U^= : Uafi вы-
выполняется равенство
где сарбС°° (Ua?), то из B.4) следует
еР-еа = 2~сПпСар. B.9)
Функции перехода . cafl удовлетворяют соотношениям
?apCpveYa = l в Ua?,y: = Ua[}Up,[}lj\,. Поэтому, если записать
Cap в виде
то в области ?/apv будет выполняться равенство
B.10)
Таким образом, построен целочисленный 2-коцикл Чеха
(Е. Cech) многообразия М с покрытием Ua. По теореме де Ра-
Рама (G. de Rham) класс когомологий этого коцикла совпадает
с классом, задаваемым формой Q.
Обратно, пусть Q задает целочисленный класс когомологий-
Тогда формы Qa, определенные с точностью до слагаемого вида
dfa, /абС00 (Ua), МОЖНО ВЫбрЭТЬ ТЭК, ЧТОбы фуНКЦИИ
#арбС°° (Uafi), задаваемые (с точностью до постоянного слагае-
слагаемого) равенствами
?/&ар = А-1 (Gp — Qa),
удовлетворяли условию B.10). Полагая саЭ = ехр Bniba?), мы
получаем функции перехода искомого расслоения L.
Пусть теперь Г — кусочно-гладкий замкнутый путь на мно-
многообразии М, ограничивающий двумерную поверхность DczUa.
Из B.4) следует, что при параллельном перенесении вдоль Г
сечение sa умножается на числовой коэффициент
= ехр (Ц ^ Qa\ =exp hni ^ qV B.11)
Если V-инвариантная эрмитова структура существует, то
этот коэффициент должен по модулю равняться единице, отку-
откуда следует вещественность Q.
(Отметим, что формула B.11) легко обобщается на любые
кривые T = dD, не обязательно лежащие в Ua. Применяя эту
формулу к замкнутому 2-циклу D, получаем еще одно доказа-
доказательство целочисленности класса Q.)
154

Обратно, пусть форма Q вещественна. Тогда формы 1тЭа
замкнуты и можно найти такие вещественные функции ра в
С-(?/„), что
dpa = 2jlmQa, Ра —pp = lnjcap| в f/af. B.12)
Определим эрмитову структуру на L, полагая
||sa||:=<sa, sa>1/2expPa. B.13>
Легко проверяется, что эта структура согласована со связ-
связностью V: B.2) следует из B.13) и B.4).
Читателю рекомендуется проследить, каким образом пред-
квантование B.1) возникает в качестве частного случая опи-
описанной конструкции. (В качестве единственного открытого мно-
множества Ua надо взять все многообразие M = T*N, положить
ea=e, l=mxc, sa=\.)
Возникает также естественный вопрос, однозначно ли опре-
определено предквантование Сурьо—Костанта (J. M. Souriau —
В. Kostant) симплектическим многообразием (М, со). Для од-
носвязных многообразий ответ положительный. В общем случае
справедлива
Теорема 2.3. Множество предквантований симплектиче-
ского многообразия (М, со), для которого форма Q = h~lu> за-
задает целочисленный класс когомологий, является главным од-
однородным пространством для группы характеров П* фундамен-
фундаментальной группы П многообразия М.
Здесь два предквантования считаются одинаковыми, если
они определены с помощью эквивалентных линейных расслое-
расслоений Ьг со связностью Vi и эрмитовой структурой <•, •><, t = 1,2,
переходящих друг в друга при подходящем диффеоморфизме
L\ на L2. По двум предквантованиям, соответствующим (L\,
Vi) и (L2, V2), строится характер Х126П*, задаваемый форму-
формулой
Xi2([r])=Qi(r)Q2(r)-!, B.14)
где Г — замкнутый путь на М, [Г] — его класс в группе П,
Q,(r)—коэффициент, на который умножается сечение рассло-
расслоения Lt при параллельном переносе вдоль пути Г. Формула
B.11) и совпадение форм кривизны для Vi и V2 гарантируют,
что правая часть в B.14) зависит только от класса [Г] пу-
пути Г.
2.3. Примеры. Предквантование двумерной сферы и двумер-
двумерного тора. Для двумерного многообразия симплектическая
структура — это просто элемент площади. Условие существова-
существования предквантования сводится к целочисленности площади, из-
измеренной в единицах h.
Согласно известному результату Мозера (J. Moser) [34]
площадь является единственным инвариантом компактного
155

двумерного симплектического многообразия (если задан его
топологический род).
Мы разберем здесь два простейших примера: сферу S2 и
тор T*=SlXSl.
Введем на стандартной сфере x2-\-y2-\-z2 = \ в R3 элемент
N h
площади (aN—~ (xdy/\dz-\-ydz/\dx-\-zdx/\dy). Площадь сфе-
сферы будет тогда равна Nh. Мы построим явно расслоение LN
над S2 со связностью V> для которой форма Q/V = h~1(u/V будет
формой кривизны. Для этого покроем сферу двумя координатными
окрестностями U±=S2\{P±}, где Р + = @, 0, +1). В окрестно-
окрестности U± введем комплексную координату w+:
_x±iy
На пересечении U+f]U_ выполняется соотношение w+W- — 1.
Форма Q.N в этих координатах принимает вид:
N dw+/\dw+
о
В качестве 1-форм В± в областях U± возьмем
Тогда для функции перехода с на U+f\U- получаем уравне-
уравнение
откуда
с = (да_)ЛГ==(ге;+)-Лг.
Таким образом, расслоение LN является iV-ой тензорной
степенью расслоения Хопфа (Н. Hopf).
Рассмотрим теперь двумерный TopT2 = R2/Z2. Мы отождест-
отождествим пространство функций на торе с пространством двоякопе-
риодических функций на плоскости:
F(x + m, y+n)=F{x, у), m,
В качестве формы площади на Т2 возьмем
Для каждой пары вещественных чисел (а, Ь) можно опреде-
определить отображение Фа,4 открытого единичного квадрата K(zR2
в тор:
Тогда Ф* b(u)N)=NhdxAdy- Выберем 1-формы Qa,b так, чтобы
Ф* ь (Qa,b)=Nhxdy. Легко проверить, что

Поэтому сечения расслоения LN отождествляются с функциями
на плоскости, обладающими свойством
f(x+m, у+п) = е2"ШтУ/(х, у), т, neZ. B.15)
Расслоения LN обладают многими интересными свойствами.
Так, при Л^= 1 пространство всех гладких сечений LN допускает
изоморфизм на пространство Шварца (L. Schwartz) ^(R). A
именно, каждой функции f(x, у), обладающей свойством B.15),
можно поставить в соответствие функцию <р(х) на прямой:
1
Ф(я) = |/(*,«/)</#. B.16)
о
Обратно, / (х, у) восстанавливается по 9 (х):
-^у. B.17)
Оператор предквантования, соответствующий двоякопериодичес-
кой функции Н (х, у), имеет вид:
Й = Н+Ы (j? {didy-2mx)-*ZLdidx\. B.18)
Отметим, что операторы д/дх и д/ду—2nix переводят в себя
пространство функций, удовлетворяющих условию B.15). При
описанном выше изоморфизме с 5?(R) они переходят в d/dx
и —2шх соответственно.
2.4. Предквантование симплектических супермногообразий.
Описанная здесь схема предквантования Костанта—Сурьо пе-
переносится mutatis mutandis на симплектические супермного-
супермногообразия М (см. [41, [5]) с четной формой си. Подробное изложе-
изложение этой конструкции имеется в [31]. Здесь мы укажем только
основные изменения, которые нужно внести.
В качестве локальных координат на супермногообразии М
фугурируют как обычные числовые координаты х\,..., хп, на-
называемые четными, так и особые нечетные координаты |ь ...
.. . , lm, принимающие значения в некоторой грассмановой ал-
алгебре и удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям
lil} + ljb=O, К*\ ]<т. B.19)
Симплектическая форма ю в подходящих локальных коорди-
координатах приводится к каноническому виду
е/
*=1 /=1
pk, qk — четные, s,- — нечетные координаты, а е/==±1.
Гамильтоново векторное поле, соответствующее функции F,
ет вид
где
имеет вид
157

/•-=1 ='
где a(F) — четность функции F. Скобка Пуассона выглядит
так:
Г-. B.22)
Операция скобки Пуассона определяет в С°° (М) структуру
супералгебры Ли. Она обладает свойствами
{F, G}=-(-:
{Л{О,//}}Н
Определение квантования и предквантования п. 2.1 полностью
сохраняется, если только коммутатор в правой части заменить
на суперкоммутатор
ИЕ>1 AR / 1к(Л)аC)ОД /О 94Л
Сохраняется также связь между 1-формами и связностями
в одномерных расслоениях. Справедливы аналоги теорем 2.1 и
2.2.
§ 3. Поляризации
3.1. Определение поляризации. Пусть (М, со)—симплектиче-
ское многообразие, Т М — комплексификация касательного
расслоения над М. Подрасслоение РсТс М называется поля-
поляризацией, если выполняются условия
1) Пространство Р{х)—лагранжево (= максимальное изо-
изотропное) подпространство в Т% (М) для всех хбМ. ^
2) Распределение х*-*Р(х) интегрируемо.
Последнее условие, согласно известному критерию Фробени-
уса, может быть сформулировано в двух эквивалентных фор-
формах:
а) Назовем векторное поле | на М Р-допустимым, если
Ъ,{х)?Р(х) для всех xdM. Распределение Р интегрируемо тогда
и только тогда, когда коммутатор любых Р-допустимых полей
является Р-допустимым.
б) Назовем дифференциальную форму Э на М Р-допусти-
мой, если форма Q(x) обращается в нуль, когда один из ее ар-
аргументов принадлежит Р(х). Очевидно, Р-допустимые формы
образуют идеал. Распределение Р интегрируемо тогда и только
тогда, когда дифференциал любой Р-допустимой формы Р-до-
пустим.
Ясно, что если подрасслоение Р — поляризация, то комплекс-
комплексно сопряженное подрасслоение Р — также поляризация. Если
158

Р=Р, поляризация называется вещественной. В этом слу-
случае Р является комплексификацией некоторого вещественного
интегрируемого подрасслоения PRczTM. Многообразие М до-
допускает такое слоение половинной размерности, что простран-
пространство PR (х) совпадает с касательным пространством слоя,,
проходящего через точку х. Каждый слой является лагранже-
вым подмногообразием в М, снабженным канонической аффин-
аффинной структурой [1]. Обычно дополнительно требуют, чтобы это
слоение являлось гладким расслоением (ср. п. 1.1).
Если Р(х)[\Р(х) = {0} для всех хШ, поляризация Р назы-
называется псевдокэлеровой. В этом случае
Ь(Х, Y)=i(o.(X,l) C.1)
является невырожденной эрмитовой формой на Р(х). Поляри-
Поляризация называется кэлеровой, если эта форма положительно
определена.
Теорема Ниренберга—Ньюлендера [35], [25] утверждает,
что для любой псевдокэлеровой поляризации Р можно в окре-
окрестности любой точки М ввести локальные комплексные коорди-
координаты Х\,..., zn так, что Р порождается полями d/dzi...., d/dzn.
В общем случае обозначим через Е(х) и D(x) подпростран-
подпространства в ТХ(М), для которых
Ес(х)=Р(х)+Р(х), Dc(x) = P(x)f]P(x). C.2)
Размерности Е{х) и D(x) могут меняться от точки к точке так,
что их сумма всегда равна 2п. Если d\mE(x)=n + k, dimD(x) =
= «—k и если Е — интегрируемое расслоение (отметим, что
D — автоматически интегрируемо), то поляризация Р назы-
называется допустимой. В этом случае в окрестности любой точки
М можно ввести такие локальные координаты хи .. ., хп-н',
У\, ¦ ¦. , Уп-h', Mi, . . ., uh; v\,.. ., vh, что D(x) порождается поля-
полями dfdXj, a P(x) —полями д/дх, и d/dzm, где zm = um + ivm.
В случае, когда Е — неинтегрируемое распределение, ло-
локальное описание поляризации пока неизвестно. Этот вопрос
тесно связан с задачей классификации вещественных подмного-
подмногообразий в комплексном многообразии с точностью до голоморф-
голоморфных замен переменных.
Поляризации Pi и Рг называются трансверсальными, если
Р\{х)[\Р2{х) = {0} для всех хШ. Если Pi и Р2 — любые кэлеро-
вы поляризации, то Pi и Рг трансверсальны.
Для любой поляризации Р обозначим ST {Р) пространство
функций на М, аннулируемых всеми Р-допустимыми векторны-
векторными полями. Ясно, что Ф~(Р) — алгебра относительно обычного
умножения функций и максимальная абелева подалгебра Ли
относительно скобки Пуассона. Для вещественной поляризации
159-

Р алгебра &~(Р) состоит из функций, постоянных на слоях не-
некоторого лагранжева слоения.
Гамильтоновы векторные поля с производящими функциями
из ЗГ{Р) попарно коммутируют, касаются слоев и постоянны
относительно канонической аффинной структуры на слоях. Для
псевдокэлеровой поляризации Р алгебра &~(Р) состоит из го-
голоморфных функций относительно некоторой комплексной струк-
структуры. В общем случае явное описание ЗГ{Р) пока неизвестно.
Обозначим через G(P) группу автоморфизмов (М, со), со-
сохраняющих поляризацию Р. Алгебра Ли д(Р) этой обесконеч-
номерной группы допускает простое описание. Прообраз б(Р) в
^{М, со) совпадает с нормализатором коммутативной подалгеб-
подалгебры &~(Р). Для вещественной поляризации Р алгебра g(P) со-
состоит из векторных полей, производящие функции которых аф-
финны на слоях поляризации Р.
3.2. Поляризации на однородных многообразиях. Предполо-
Предположим, что симплектическое многообразие (М, со) однородно, то
есть допускает трантизивное действие группы Ли G, сохраня-
сохраняющее форму со. Напомним вкратце классификацию таких мно-
многообразий, сформулированную выше в теореме 1.1.
Заметим, прежде всего, что группу G можно, без ограниче-
ограничения общности, считать односвязной.
Пусть й —алгебра Ли группы G, а в* —двойственное к в
пространство. Каждому элементу XQ& соответствует гамиль-
тоново векторное поле \х на М. Переходя, если нужно,
к накрытию М многообразия М, мы можем считать, что поле
\х обладает производящей функцией /х- __ Можно также счи-
считать, что отображение X^fx из й в С°°(М) линейно. Скобка
Пуассона {fx, /у} может отличаться от функции f\x,y\ лишь
на константу, которую мы обозначим с(Х, Y). Легко проверяет-
проверяется, что с (X, Y) является 2-коциклом на алгебре Ли й, то есть
обладает свойствами
c(X,Y) = -c(Y, X),
c([X,Y],Z)+c([Y,Z\,X)-\-c{[Z,X\,Y)=O. C.3)
Этот коцикл определяет одномерное центральное расширение
8 алгебры Ли 8. Как линейное пространство 8 = 8©R, а закон
умножения в й имеет вид:
[Х@а, УЩ=[Х, Y\@c (X, Y). C.4)
Отображение
=fx+a C-5)
является гомоморфизмом алгебры Ли 8 в алгебру Пуассона
!? (М, со). Пусть G — односвязная группа Ли с алгеброй Ли 8.
Л60

Она транзитивно действует на М и это действие является
пуассонов с к им (см. [2], [46]).
Если коцикл с тривиален, то есть
c(X,Y) = b([X,Y]) C.6)
для некоторого Ьвв*, то алгебра а является прямой суммой
8 и R. Группа G в этом случае будет прямым произведением
G и R, причем второй сомножитель действует на М тривиально.
Таким образом, переход от М, G к М, G позволяет считать
действие группы пуассоновским. В этом случае определено ото-
отображение моментов, переводящее точку хвМ в функционал
Fxty*, определяемый равенством
Fx(X)=fx(x). C.7)
Отображение моментов эквивариантно (перестановочно с
действием группы G) и является локальным гомеоморфизмом.
Образом его является одна из G-орбит в д* относительно ко-
присоединенного представления.
Пример 3.1. Пусть М=Ц2п со стандартной симплектиче-
ской структурой со, G = R2ri — группа параллельных переносов
на М. В этом случае G — нетривиальное центральное расшире-
расширение группы G, называемое группой Гейзенберга (W. Heisen-
berg).
Алгебра 3 реализуется в виде пространства аффинных функ-
функций на R2ri (то есть многочленов степени < 1) с операцией
скобки Пуассона. Пространство 8* можно отождествить с 8 с
помощью невырожденной билинейной формы на й:
(Р, Q)=P(d/dx)Q(x)\x=a.
Отображение моментов имеет вид
и переводит М в орбиту, состоящую из всех аффинных функций,
равных 1 в точке 0.
Пример 3.2. Пусть M = R2ri\{0} со стандартной симплек-
тической структурой со, G = SpBn, R) — группа линейных симп-
лектических преобразований. Алгебра Ли д реализуется в виде
пространства SymBn, R) симметрических матриц со скобкой
[А, В] =АыВ—В(лА,
а также как пространство квадратичных форм на R2" с опера-
операцией скобки Пуассона. Пространство д* отождествляется с
д, как и выше. Отображение моментов имеет вид:
и переводит R2n в конус неотрицательных матриц ранга 1 в
SymBn, R).
11—2538 161

Для G-однородного симплектического многообразия М есте-
естественно поставить вопрос о существовании G-инвариантных поля-
поляризаций на М. Поскольку G действует транзитивно, G-инвари-
антная поляризация Р определяется пространством Р (х0)с:Тх0 (М)
для какой-нибудь точки ховМ. Пусть // — стабилизатор точки
х0 и Ь — его алгебра Ли. Пространство ТХо(М) отождествляется
с sib, a Txt(M) — с 8С/5С- Обозначим через v подпространство
в йс, содержащее !>с и такое, что $/Ъс = Р (х0). Напомним, что
подалгебра аед называется подчиненной функционалу .F68*,
если F обращается в нуль на коммутанте [« ><Ч (см. [И]).
Теорема 3. 1. Для того чтобы G-инвариантное распределе-
распределение Р на М было поляризацией, необходимо и достаточно, что-
чтобы пространство р было подалгеброй в дс, подчиненной функ-
функционалу /"бд*, который является образом XqGM при отображе-
отображении моментов.
Известно [11], что для разрешимых групп Ли инвариантные
поляризации существуют для всех орбит в присоединенном
представлении. Это справедливо также для орбит общего по-
положения в любой комплексной алгебре Ли.
Удобную конструкцию поляризаций предложила Мишель
Вернь (М. Vergne) (см. [И]). Эта конструкция основана на
следующем простом утверждении.
Теорема 3.2. Пусть s : 0= VoczViCz . .. czVn — V — цепочка
линейных пространств, dimVft = &. Предположим, что в V зада-
задана билинейная кососимметричная форма В и В), — ограничение
В на Vh.
п
Положим W (s, В) =2 ^ег Bk- Тогда:
а) W (s, В) — максимальное изотропное подпространство в V
относительно В.
б) Если V—алгебра Ли, Vh — идеалы в V, а форма В имеет
вид В(Х, У)=</г, [X, У]> для некоторого F6V*, то W(s, В)—
подалгебра в V.
Известны также примеры орбит, не допускающих инвари-
инвариантных поляризаций. Таковы, в частности, орбиты минимальной
размерности для симплектических групп ранга >2 (см. выше
пример 3.2).
В последнее время интерес к инвариантным поляризациям
на однородных многообразиях возрос в связи с так называе-
называемым групповым подходом в теории вполне интегрируемых га-
мильтоновых систем (см. [12], [13], [14], [15], [16], [18]).

§ 4. Квантование
4.1. Пространство квантования. Как уже отмечалось выше,
пространство предквантования слишком велико, чтобы выпол-
выполнялось условие полноты (условие 4 из п. 2.1). В обычной кван-
квантовой механике волновые функции зависят лишь от половины
координат классического фазового пространства: в координат-
координатном представлении волновые функции не зависят от импульсов,
в импульсном представлении они не зависят от координат.
На языке симплектической геометрии можно сказать, что про-
пространство квантования в обоих случаях состоит из функций,
постоянных вдоль слоев некоторой вещественной поляризации»
Поэтому естественно попытаться построить в общем случае
пространство квантования из тех элементов пространства пред-
предквантования (т. е. сечений расслоения L над М), которые ко-
вариантно постоянны вдоль некоторой поляризации Р, то есть
обладают свойством
= 0 для любого Р-допустимого поля ?. D.1)
Пространство таких сечений мы обозначим T(L, М, Р).
Имеется по крайней мере два препятствия к построению
пространства квантования из элементов T(L, М, Р).
Первое препятствие возникает в случае, когда поляризация
вещественна и ее слои неодносвязны. Параллельный перенос
сечения вдоль замкнутого пути Г, лежащего в слое, приводит
к умножению сечения на число Q(T). Если Г не стягивается в
точку, число Q;(F), вообще говоря, отлично от 1. Ясно, что в
этом случае любое решение уравнения D.1) обращается в нуль
на рассматриваемом слое.
Отображение Г1-* Q(F) задает характер фундаментальной
группы слоя (ср. выше п. 2.2). Обозначим через Мо объедине-
объединение тех слоев, для которых этот характер тривиален. Подмно-
Подмножество Мо называют подмногообразием Бора—Зоммерфельда
(N. Bohr—A. Sommerfeld) в М. Вместо Y(L, M, Р) можно рас-
рассмотреть множество обобщенных решений уравнения D.1). Все
они сосредоточены на Мо и образуют пространство, которое мы
обозначим ГОбобщ(Ь, М, Р).
Пример 4.1. Пусть Af = R2\{@, 0)}, <si = dx/\dy, а поля-
поляризация Р имеет слоями окружности х1 -+-у2 — const. В качестве
формы 8 выберем -^(xdy — ydx). В полярных координатах г ,Ф
форма 6 имеет вид -^г2й4>, и для пути Г, однократно обходя-
Таким образом, подмногообразие Бора—Зоммерфельда в этом
случае состоит из окружностей, ограничивающих площадь яг2=
= nh, «GZ.
11* 163.

Итак, способ обхода возникающего препятствия заключает-
заключается в переходе от обычных сечений к обобщенным.
Другой способ состоит в рассмотрении пучка Wp ростков
сечений из Г(Ь, М, Р) и его высших когомологий Нк(М, 'ё'р).
В [39] показано, что в случае примера 4.1 переход от
Н°(М, g"P)=r(L, М, Р) к #'(М, &р) приводит к тому же
пространству кватонования, которое получается методом об-
обобщенных сечений.
Это подтверждает известный тезис Л. Д. Фаддеева: «когомо-
«когомологий — это те же функции, только с особенностями».
Второе препятствие состоит в том, что скалярный квадрат
сечения s6F(L, M, Р) является функцией, постоянной на слоях
поляризации Р. Если слои некомпактны, то интеграл от этой
функции по многообразию М расходится и нужно заменить его
интегралом по множеству слоев, на котором априори нет ника-
никакой меры.
Выход из этого затруднения дает введенное Блаттнером и
Костантом понятие L-значных полуформ на М, нормальных
к данной поляризации Р.
(Истоки этого понятия можно видеть в предложенной Мак-
ки (G. W. Mackey) около 30 лет тому назад конструкции «есте-
«естественного гильбертова пространства» L2(M), применимой к лю-
любому гладкому многообразию М. На современном языке эле-
элементы этого пространства можно описать как полуплотности
(или плотности веса 1/2) на М, то есть сечения расслоения с
одномерным слоем над М, переходными функциями которого
являются квадратные корни из модулей якобианов.)
Прежде чем дать точное определение L-значных полуформ
и скалярного произведения для них, полезно рассмотреть сна-
сначала модельную ситуацию плоского пространства М с постоян-
постоянной поляризацией Р. Это будет сделано в п. 4.2.
Наконец, третье препятствие состоит в том, что операторы
предквантования F, вообще говоря, не сохраняют пространство
T(L, M, Р). Более точно, справедлива
Теорема 4.1. Если поле c(F) полно, то оператор ехр(^)
переводит F(L, M, Р) в T(L, M, Р(), где Р,— поляризация, в
которую переходит Р при диффеоморфизме фг = ехр (tc(F)).
Доказательство непосредственно следует из коммутационно-
коммутационного соотношения между F и V^:
\F, Ve1=-4-V[c^).6I. D-2)
которое, в свою очередь, вытекает из B.5), B.7) и теоремы 2.1.
Выход из этого затруднения состоит в том, чтобы построить
канонический изоморфизм между пространствами T(L, М, Р)
для разных Р. Оказывается, этого тоже можно добиться (по
крайней мере в плоском случае) с помощью введения L-знач-
L-значных полуформ.
164

Возвращаясь к первому препятствию, заметим, что переход
от сечений L к L-значным полуформам приводит к модифика-
модификации условий Бора—Зоммерфельда. А именно, вместо условия
Q(F) = 1 должно выполняться условие <2(Г)-%(Г) = 1, где %—-
характер фундаментальной группы слоя, соответствующий
естественной плоской связности в расслоении полуформ над
этим слоем. В случае примера 4.1 %(Т)= — 1 для образующего
цикла Г. Поэтому модифицированное условие Бора—Зоммер-
Бора—Зоммерфельда принимает вид nr2 — (n+ 2~)/i, nGZ. Этот результат
(в отличие от полученного выше) согласуется с хорошо извест-
известной структурой спектра оператора энергии для гармонического
осциллятора.
4.2. Квантование плоского пространства. Пусть M = R2nco
п
стандартной симплектнческой формой & — ?}dpk/\dqk. Будем
рассматривать в М лишь постоянные поляризации, для кото-
которых P(x)=PcC2n. Множество таких поляризаций образует
комплексный лагранжев грассманиан Л(С2"). Это — компакт-
компактное комплексное многообразие комплексной размерности
п(п+\)/2. Выделим в нем подмножество Л+(ОВгг) положитель-
положительных поляризаций Р, для которых ограничение формы C.1) на
Р неотрицательно. Группа SpBrc, R) линейных симплектических
преобразований М действует на А(С2") и сохраняет А+(С2гг).
Под действием SpBn, R) множество А+(С2гг) распадается на
п + \ орбит, нумеруемых рангом формы C.1) на Р:
Л+(С2л)=и Л,*(С2л).
Подмножество Л+"(С2п) открыто и состоит из кэлеровых
поляризаций; подмножество А+°(С2") замкнуто и состоит из
вещественных поляризаций. Можно показать, что Л+°(С2п)
является остовом границы А+(С2"). При п=\ А(С2) является
сферой Римана, А+(С2)—замкнутой полусферой, Л+'(С2)—
внутренностью полусферы, а Л+°(С2)—экватором.
В множестве Л+(С2п) можно ввести удобные координаты,
отображающие его на ограниченную область в С"(п+1)/2
А именно, пусть Zj=Pj + iqj, 1^/^п,— комплексные координа-
координаты в М, -с = il-Cjft.ll — комплексная матрица порядка пХп. Рас-
Рассмотрим подпространство Рх в С2п, порожденное векторными
полями
п
D.3)
Теорема 4.2. а) Подпространство Рх является поляриза-
поляризацией; если и только если матрица т симметрична.
б) Поляризация Рх положительна, если и только если мат-
165

рица 1—т*т неотрицательно определена (эквивалентное усло-
условие: ||т||^1 относительно стандартной гильбертовой структуры
в С").
в) Поляризация Рт вещественна, если и только если матри-
матрица % унитарна (эквивалентное условие: т имеет п линейно неза-
независимых вещественных собственных векторов).
Группа G = SpBn, R) линейных симплектических преобразо-
преобразований в координатах z}, г,- записывается в виде блочной матри-
матрицы вида
iА В\
15-г , АВ'=ВА', ЛЛ* — ВВ* = 1. D.4)
[В А) к '
Действие этой группы на Л+ (C2fl) в координатах т имеет вид:
При п=\ это действие превращается в хорошо известное дроб-
дробно-линейное действие группы SpB, R)^SUA, 1) на единичном
круге.
Построим пространство квантования ЖР, соответствующее
поляризации РбЛ+(С2п). Расслоение предквантования над
M = R2n тривиально. Его сечения можно отождествить с функ-
функциями на М, если фиксировать неисчезающее сечение so-
В силу B.4) выбор s0 эквивалентен выбору 1-формы 9, задаю-
задающей связность в L. Удобно положить
D.6)
(Это — единственная 1-форма на М, обладающая свойством
dQ = co и инвариантная относительно линейной симплектичес-
кой группы SpBrc,R).) Поскольку 9 — вещественная форма,
сечение s0 имеет, согласно B.13), единичную норму во всех
точках М.
Определим функцию действия SP на М условием
dSP = Q на Р. D.7)
Это определение имеет смысл, так как dQ = co обращается в
нуль на Р. Поэтому 8 — замкнутая, а значит, и точная форма
на Р. Условие D.7) определяет функцию SP с точностью до
слагаемого из @~(Р) (то есть аннулируемого всеми Р-допусти-
мыми векторными полями, — см. п. 3.1). С помощью функции
действия легко описать интересующее нас пространство
T(L,M,P). А именно,
Г (L, М, P) = F (P) ¦ ехр (Ц SP) -s0. D.8)
В плоском случае в качестве SP можно взять подходящую
квадратичную форму на М. Выбор этой формы однозначно
определяется дополнительным условием линейности вдоль Р.
Если ¦ Fu ..., Fn — комплексные линейные функции на М, для
166

которых поля c(Fi),. .., c{Fn) задают базис в Р, и если ли-
линейные функции Gb ..., Gn определены условиями {Fj, Gh} =
= 6jfc, {Gj,Gfc}=0, то
n
^FkGk. D.9)
Пусть P?A+h(C2n). В обозначениях п. 3.1 пространство )
состоит из функций f(X[,..., xn-h\ Zi,...,zh), голоморфных по
zu ..., zh. При фиксированной функции действия SP простран-
пространство Г(Ь, М, Р) отождествляется с ЗГ{Р). Для построения про-
пространства квантования ЖР остается ввести в &~(Р) подходящее
скалярное произведение. Выбор скалярного произведения дик-
диктуется (с точностью до множителя) следующим обстоятельст-
обстоятельством. Обозначим через !?\{М) совокупность всех вещественных
многочленов степени ^1 на М. Ясно, что @>i(M)—подалгебра
Ли в алгебре Пуассона $Р(М, и). Она называется алгеброй Гей-
зенберга и является нильпотентной алгеброй с одномерным
центром !Ро(М), состоящим из констант. Операторы предкванто-
вания / для Fe^i(M) сохраняют каждое из пространств
T(L, М, Р) и, стало быть, задают представления алгебры Гей-
зенберга в каждом #"(Р). Естественно потребовать, чтобы соот-
соответствующие представления в ЖР были унитарными, неприводи-
неприводимыми и эквивалентными друг другу. Оказывается, этого можно
добиться, определив скалярное произведение в &~{Р) для Рб
6A+ft(C2n) формулой:
(/i. /2)/> =
Sp
^ \ fx (х, z) /2 (х, z) exp' (-4n {mh Sp )dn'kxdkudkv. D.10)
Отметим, что подынтегральная функция может быть записана
в виде < sl5 s2 ) , где s^F (L, М, Р), а < •, • > —эрмитова струк-
структура в слоях L.
Далее, условие эквивалентности представлений определяет
(с точностью до множителя) спаривание между ЖР1 и ЖРг для
любой пары поляризаций Pv Я26Л+ (С2™). Чтобы описать это
спаривание, нам нужна
Лемма 4. 1. Ггусть Рх и Р2 — положительные поляризации.
Тогда
а) PlJrP2 = E^2 для некоторого подпространства Е12аЯ2п;
б) Plf]P2=D^2 для некоторого подпространства Di2cR2";
в) имеет место самодвойственная (относительно перехода
к ортогональному дополнению в (R2", со)) диаграмма вложений
то есть Df = Eh i = l, 2, 12.
167

Как и в пункте 3.1, можно выбрать на R2" специальные ко*
ординаты
таким образом, чтобы Dl2 порождалось полями д/дур 1</<
<п.—от, а Еп — полями д/дур 1</</г — от и д/дик и dldvk,
1<А<от. В этих координатах спаривание между ЖР1 \
имеет вид:
= сРхРг^ ^ /х (х, и, v) /2 (х, и, v) X
X ехр (^ Eр, - 5р.) j dn'mxdmudmv. D.11)
При Рг = Р2 = Р эта формула переходит в D.10). Заметим,
что подынтегральная функция в D.11) имеет вид < sl5 s2 ) , где
Sfc = /fc-exp(-jp 5pJ-so6r(^, M, ЯА). Исследуем «геометрический
смысл» выражения cplrp.dn~mxdmudmv.
Обозначим через /\"Р векторное расслоение с одномерным
слоем над Л(С2л), которое является д-ой внешней степенью
«тавтологического» расслоения над Л (С2") (слоем этого рас-
расслоения над точкой РвА(С2п) является само пространство
РаС2"). Группа Sp Bn, R) действует естественным образом
на Л"^-
Метаплектияеской структурой на M = (R2n, w) назы-
называется расслоение с одномерным слоем над Л (С2"), обозначае-
обозначаемое Yf\nP, вместе с действием на нем метаплектияеской
группы Мр B/г, R) (связного двулистного накрытия Sp Bn, R),
см. [24], [32], [33]), обладающего свойством:
VJsp®V7^p ^ л"Л D.12)
где ss означает изоморфизм Мр B/г, R)-npocTpancTB.
Сечения расслоения |//\пР можно формально записывать
в виде V s , где 5 — сечение /\пР. Для сечения У s , как и
для s, имеет смысл говорить о «постоянстве вдоль Ръ. Приме-
Примером такого сечения может служить
где FfiF{P). D.13)
(Мы отождествляем с помощью © 1-форму dF$ и векторное поле
c(Fi); для F?@~(P) поле c(F) будет Р-допустимым.) Другим»
словами, введение метаплектической структуры на М равносиль-
равносильно согласованному выбору знака квадратного корня в выраже-
выражениях D.13).
Пусть теперь Р\ к Р2 — две положительные поляризации..
Из точной последовательности линейных пространств
168

вытекает изоморфизм
Л "Л® /\nP2^An~mDn® /\п+тЕх2- D.14)
Далее, форма со-, ограниченная на Е12, имеет своим ядром D12
и задает симплектическую структуру в Ег2/Ог2. Отсюда следует
изоморфизм
A"-mDl2^An+mEi2- D.15)
Соединяя D.14) и D.15), видим, что
АпР,®А"Р^(Ап+тЕ ЪJ^{Ап+т (R*7 А/J-
Оказывается, последнее равенство допускает «извлечение квад-
квадратного корня». А именно, справедлива
Лемма 4.2. Имеет место естественный изоморфизм
V7^P~x®^АПР2 = Ап+т (R2n/D12f. D.16)
Таким образом, паре сечений ки ~к2 расслоений У АпР\ и
соответствует дифференциальная форма старшей
степени на MlDl2, которую мы обозначим jj. (К1®Х2).
Оказывается, именно эта форма должна фигурировать в D.11)
вместо выражения Cp1,pid"~'nxdmudmv, если принять систему
единиц, в которой постоянная Планка А = 1. (В общем случае
нужно в изоморфизме D.15) использовать не форму со, а форму
й = А-1со.)
Теперь можно подвести итог и определить пространство
квантования в чисто геометрических терминах.
А именно, пространство квантования 36Р состоит из
сечений расслоения ?®"|/АРР, постоянных вдоль Р. Эти сече-
сечения называют L-значными полуформами на М относительно Р.
Удобно записывать их как s®X, где s?T (L, М, Р), а X — сечение
расслоения V А"Р виДа D.13).
Спаривание между ЖР± и ЖРг имеет вид:
j < sv s2)\i(X1®l2). D.17)
Подынтегральное выражение в D.17) получило название
ядра Блаттнера—Костанта—Стернберга (R. Blattner—В. Kos-
tant—S. Sternberg). Его обобщение на нелинейную ситуацию
будет рассмотрено в п. 4.4.
Построенное в этом пункте квантование плоского простран-
пространства дает простые явные формулы для операторов квантования
F в случае, когда F — многочлен не выше второй степени. От-
169

метим, что пространство ^{М) таких многочленов образует
подалгебру Ли в ^(М, со), в которой ^i(M) является нильпо-
тентным идеалом. Факторалгебра &>2(M)/i?i(M) изоморфна ал-
алгебре Ли симплектической группы SpBn, R). Соответствующие
операторы порождают представление Вейля (A. Weil) (см.
п. 4.3).
Наиболее просто выглядят операторы квантования для
FQ(F (P). А именно, если F&(Р), то F совпадает с операто-
оператором умножения на F. Этот факт вместе со свойством F=P*
позволяет вычислить F для всех FQ^i (M) в случае кэлеровой
поляризации.
Пусть Р+ — фиксированная кэлерова поляризация и ах, ..., ап —
ортонормированный базис в Р+ относительно формы C.1). Опера-
Операторы ах, ..., ап называются операторами рождения, а сопряжен-
сопряженные операторы а*, ...,а„* — операторами уничтожения. Они
связаны коммутационными соотношениями
[dt, ak] = [at*, dk*\ =0, [a>, dk\ =~ blk. D.18)
В пространстве квантования существует единственный
(с точностью до множителя) вектор, аннулируемый всеми опе-
операторами уничтожения. Он называется вакуумным вектором.
Пример 4.2. Приведем явные формулы квантования для
всех постоянных поляризаций в случае /г = 1, когда M = R2 —
обычная плоскость с координатами р, q и симплектической
формой a = dp/\dq.
Постоянная положительная поляризация Рх задается ком-
комплексным числом т с условием |т|<1. Она порождается полем
где z = p-\-iq, d/dz= ^(d/dp — id/ dq).
Если |т|<1, то Рх — кэлерова поляризация. Введем ком-
комплексную координату zx = -~~L^-. Тогда Рх порождена полем
dldzx. Имеем: ©=^- dzr/\dzx, Q = j (zxdzx — zxdzx), ST =
= " Iz* I2- Пространство квантования Жх состоит из выраже-
выражений вида
где / — голоморфная функция. В дальнейшем отождествим
с / и Жт с пространством голоморфных функций с нормой
1
С
где « = Re2;T, v = lmzx.
170

Операторы координаты и импульса имеют вид:
1 +т , A + т) h . ,
р=— zx-\ v 7 d/dzx.
и 2/1 —|т I2 2л,/ V 1 —| т|а т
Вакуумный вектор пропорционален ехр I —
Если же j т | = 1, то поляризация Рх— вещественна. Пусть
T==g2ia. введем координаты ра=р cos a -\-q sin a H^=^psina +
+^cosa. Тогда Px порождается полем д/дра. Имеем: со = dpaЛ
/\dqa, Q=2(padqa — qadpa), ST= — jpaqa- Пространство кван-
квантования Жт состоит из выражений вида
В дальнейшем ty отождествляется с /, а Жт — с пространством
Л2(П, rf^a)- Операторы координаты и импульса в этой реализа-
реализации имеют вид:
^ = ^acosa-;--^- sinad/dqa, pa= — qa sina+^-cos adldqa.
Вакуумный вектор пропорционален ехр I jr~)%
Полезным упражнением для читателя будет проверка того,
что изоморфизм между ЖХ1 и ЖХг, устанавливаемый спарива-
спариванием D.17), в случае \ху | = |т21== 1, хх=—т2, превращается
в обычное преобразование Фурье. Если же Tt=l, а т2 = 0, то
это спаривание дает хорошо известный изоморфизм Баргмсшна
(V. Bargmann) между L2 (R, dq) и пространством Фока
T
T?pq)
4.3. Связь с индексом Маслова и представлением Вейля.
¦Спаривание D.17) порождает набор унитарных операторов
UpttPl\2f$px-^36pl, для которых
(ipi. %)p,.p, = (^p,.p.'*i. Ь)р,- D-19)
Эти операторы обладают свойствами
Pl=c(Pv P2, Рз)-1. D-20)
где с (Pi, P2. Рз) — комплексное число, равное по модулю еди-
единице. Если поляризации Plt Р2, Р3—кэлеровы, то с (Рц Р2, Рз) = 1-
Если же эти поляризации вещественны, то, как показано в [32]
и [33],
* (Pi, Я2, P3) = exp3Jm(P1, P2, Рз). D.21)
171

где т(Ри Р2, Р3) — кососимметричная целочисленная функция,
называемая индексом Маслова в форме Лере — Кашивары
(J. Leray — М. Kashiwara). Этот индекс определяется как сиг-
сигнатура квадратичной формы Q на P*®P*®P* (где Р* =Pif]
П R2™). заданной формулой
Q(xl®x2®x3)=a(xl, х2) + ®(х2, х3)+а(х3, хг). D.22)
Пусть A(R2") =Л+°(С2")—вещественный лагранжев грасс-
маниан (= множество вещественных поляризаций R2"). Хоро-
Хорошо известно, что фундаментальная группа A(R2") изоморфна Z
и поэтому для каждого натурального q определено <7~листн°е
накрытие A,(R2"). Через Aoo(R2n) обозначим универсальное на-
накрытие. Если индекс Лере—Кашивары т(Р\, Р2, Р3) поднять
на Aoo(R2"), то он допускает разложение
m(Pi, Р2, ?"з)=МЛ. ^2)+|х(Л, Рз) + И(Рз, Л). D-23)
где n(Pj, P2) — кососимметричная функция от пары точек на
Ac» (R2")- Именно эта функция была первоначально введена
В. П. Масловым в [11] как индекс пути, ведущего из Рх в Р2
на А(Я2п).
Операторы 11рирг для вещественных поляризаций тесно свя-
связаны с представлением Вейля метаплектической группы
МрB/г, R) (см. [24], [32], [33]). А именно, каждому элементу
#бМрB/г, R) соответствует автоморфизм расслоения /,®^дяР»
переводящий Р в g (Р) и, значит, унитарный оператор Т (g, Р)'-
:Жр-> Зёg{P) (ср. теорему 4.1). Композиция Т (g, P)~1oCfg{Php =
= :Wp(g) действует в пространстве ЖР.
Теорема 4.3. Соответствие g^Wp (g) является унитарным
представлением группы Мр Bп, R) в ЖР. Класс эквивалентно-
эквивалентности представления Wp не зависит от выбора ЯбА+° (С2п).
Это представление называется представлением Вейля (дру-
(другие названия: осцилляторное представление, спинорное пред-
представление, представление Шейла—Вейля (D. Shale—A. Weil))-
Оно соответствует орбите минимальной размерности 2п в ко-
присоединенном представлении симплектической группы
SpB«, R). Можно рассматривать представление Вейля как
проективное представление симплектической группы SpBn, R).
Соответствующий 2-коцикл на SpB«, R) связан с индексом
Маслова равенством ([32], [33]):
17 7
с (gi, g2) = ехр ^ m (P, gl (P), ^lg2 (P)). D.24)
Группа SpBn, R) действует не только на вещественном лаг-
ранжевом грассманиане A(R2n), но и на его двулистном на-
накрытии A2(R2") (элементами A2(R2") являются ориентирован-
ориентированные лагранжевы подпространства в R2n).
172

Можно проверить, что индекс Маслова \i(Pu Pz) mod2g
корректно определен на A,(R2n). Поэтому коцикл D.24) стано-
становится тривиальным в силу D.23) на группе MpBn, R), действу-
действующей на A4(R2n).
4.4. Общая схема геометрического квантования. Исходным
материалом для квантования служит: 1) симплектическое мно-
многообразие (М, со), 2) расслоение предквантования L над М со
связностью V и эрмитовой структурой в слоях, 3) допустимая
положительная поляризация Р на М и, наконец, 4) метаплекти-
метаплектическая структура на М. Первые три объекта обсуждались в
§§ 1—3 соответственно. Метаплектическая структура на кри-
криволинейном многообразии М состоит в согласованном задании
метаплектических структур на касательных пространствах
ТХ{М) (см. п. 4.2) для всех х?М. Это равносильно поднятию
структурной группы расслоения ТМ с Sp{2n, R) до МрBд, R).
Теорема 4.4. ([12]). Для того чтобы на М существова-
существовала метаплектическая структура, необходимо и достаточно, что-
чтобы первый класс Чжэня расслоения ТМ (точнее, ассоциирован-
ассоциированного с ним главного U(п) -расслоения; напомним, что макси-
максимальная компактная подгруппа в SpBrc, R) изоморфна U(n))
делился на 2 в Н2(М, Z). Если это условие выполнено, то мно-
множество метаплектических структур на М является главным
однородным пространством для Я1 (М, Z2).
При наличии всех перечисленных структур построение про-
пространства квантования Жр из сечений расслоения L®V/\пР^
ковариантно постоянных вдоль Р, проводится как и в плоском
случае (см. п. 4.2).
Попытка определить спаривание между пространствами 2ёр,
и Жрг в «криволинейном» случае наталкивается на следующее
препятствие, обнаруженное Блаттнером. Значение эрмитовой
формы { sx, s2 > не обязано быть постоянным вдоль Dl2.
Теорема 4.5 ([21]). Пусть Р;—две положительные поля-
поляризации на симплектическом многообразии (М, g>), L — расслоение
предквантования со связностью V- Равенство
I ( Sl, s2 > =0 D.25)
выполняется для всех 5гбГ (L, M, Pt) и | (л:)бА2 (х) тогда и
только тогда, когда обращается в нуль ковекторное поле
Яр, p?T*Mi{Pi-\-P2), определяемое формулой
k
^L 0. D-26)
где k = dimPxПP2, vv...,vk, wx,..., wk — (Pl+P2) — допусти-
допустимые поля, нормированные условиями
© (г>„ vj) =ш (гг»„ wj) =0, ш (vt, Wj) = 6i}.
173

Простейший пример двух поляризаций, для которых Хр,р=г=0,.
строится для /W = R4, a> = dpl/\dql+dp2/\dq2:
Рх ={а1д/др1 +а2д1др2},
Р2={а(рхд!дрх + р2дIдр2) +6(р2д/dqx — рхдldq2)}. * * '
Отметим, что %р р обращается в нуль, если Pi-{-P2 — интегри-
интегрируемое распределение (в частности, это верно для всех посто-
постоянных поляризаций).
Если %р р =0, то можно, как и в плоском случае, опреде-
определить спаривание 4.17 и интегральный оператор Блаттнера —Кос-
танта —Стернберга Up,,р.- До сих пор неизвестны общие теоре-
теоремы, гарантирующие унитарность этого оператора. Исследование
возникающих здесь возможностей представляется чрезвычайно
интересным.
4.5. Операторы квантования. Если гамильтоново поле c(F)
сохраняет некоторую положительную поляризацию Р (то
есть c(F)?$(P) в терминологии п. 3.1), то исковый оператор F
можно определить в пространстве ЖР следующим образом
F (s®'k)=F (s)®k+s®Lc(F)k, D.28)
где через F обозначен оператор предквантования B.5). В част-
частности, если функция F постоянна вдоль Р, то поле с (F) Р-до-
пустимо, оператор F сводится к умножению на F, a Lc{F)k = O,
так как X —ковариантно постоянное сечение У/\пР относительно
аффинной структуры на Р. Спектр оператора F определяется
в этом случае модифицированным многообразием Бора —Зоммер-
фельда (см. п. 4.1).
Пусть теперь поле с (F) не сохраняет поляризацию Р. Если
с (F) полно, то есть порождает однопараметрическую группу
4>i = exptc (F) преобразований М, то можно определить соответ-
соответствующую группу Ч^=ехр-тр tF преобразований Т (L, М). Пре-
Преобразование Ч:{ переводит поляризацию Р в поляризацию Pt:
P(^7i(x)). D.29)
По теореме 4.1 отображение exp(tF) переводит Г (L, М, Р)
в Г (Z, M, Pt). Кроме того, отображение (Ф^ переводит сечения
расслоения ]/Л"Р, постоянные вдоль Р, в сечения, постоянные
вдоль Pt. Таким образом, возникает семейство операторов
У{:Жр-^ЖР :5®^->ехр [—-tF\ s®D>t)^K, D.30)
где 5бГ (L, M, P), keVTsP.
В случае, когда %р р=0 (например, когда Р —допустимая
положительная поляризация), операторы Ф< унитарны относитель-
174

но структур гильбертова пространства в ЖР и Жрг, определяе-
определяемых спариванием D.17). Если к тому же определен и унитарен
оператор Upt-P, то можно определить оператор квантования
равенством
Это — самое общее определение, которое в настоящее вре-
время используется в теории геометрического квантования. В одно-
однородной ситуации его оказывается достаточно, чтобы построить
полный набор неприводимых унитарных представлений для ши-
широкого класса групп Ли (см. [9], [19], [22], [23]).
В неоднородной ситуации общие теоремы пока отсутствуют,
но ряд конкретных примеров уже изучен. Так, в [40] разобран
случай M = T*N, где N— риманово многообразие, co = dp/\dq,
H=p2+V(q). Для квантового оператора энергии получено вы-
выражение
H = -A + V(q)+±R, D.32)
где Д — оператор Лапласа—Бельтрами на N, a R — скалярная
кривизна многообразия N.
Там же разобран пример релятивистской системы, представ-
представляющей заряженную частицу во внешнем электромагнитном
поле. Многообразие М в этом случае является «скрученным»
кокасательным расслоением над пространством Минковского:
где F — тензор электромагнитного поля на N, а я — проекция
T*N на N.
Квантовый оператор энергии дается по прежнему форму-
формулой D.32), где Д означает «скрученный» оператор Лапласа —
Бельтрами, в котором обычные ковариантные производные V*
заменены «длинными» производными Wl—г— Ak, включающими
электромагнитный потенциал А.
Во многих работах (см., например, [24], [38], [41]) ра-
разобран случай гармонического осциллятора и получен стандарт-
стандартный результат о структуре энергетических уровней.
Также популярна квантовая задача Кеплера, описывающая
движение частицы в кулоновском поле ([36], [38]). В ряде ра-
работ рассматривается га-мерное обобщение этой задачи. Наибо-
Наиболее естественной реализацией фазового пространства этой сис-
системы является орбита минимальной размерности (равной 2п)
в коприсоединенном представлении группы G = SO(n+l, 2).
Как симплектическое G-пространство эта орбита изоморфна
175-

T*Q, где Q — квадрика в RP(n+l), ассоциированная с конусом
изотропных векторов B'i?"+1>1. Разные аффинные формы этой
квадрики соответствуют трем разным случаям задачи Кеплера
(см. [36]).
Связь геометрического квантования с твисторным подходом
Пенроуза обсуждается в работе Вудхауза (N. Woodhouse) [47J.
Интересное направление, связывающее идеи геометрическо-
геометрического квантования с формулой следа Сельберга, развивается в по-
последнее время Н. Е. Хартом (N. E. Hurt) [26].
Геометрический подход к термодинамическим задачам про-
пропагандируется одним из основателей геометрического квантова-
квантования Ж. М. 'Сурьо (J. M. Souriau) [43]. В случае бесконечного
числа степеней свободы метод геометрического квантования
буквально неприменим и требует существенно новых идей. Од-
Одной из таких идей является введенное Ж. М. Сурьо понятие
диффеологии. Вместо структуры гладкого многообразия, кото-
которая не существует во многих конкретных примерах (из-за на-
наличия особенностей, неотделимости или бесконечной размерно-
размерности), предлагается аксиоматизировать класс гладких отобра-
отображений из М в интересующее нас пространство [44].
Другой идеей, оказавшейся очень полезной в теории пред-
представлений бесконечномерных групп, является рассмотрение
Г. И. Ольшанским полугруппы операторов сжатия, лежащих в
замыкании образа группы при ее унитарном неприводимом пред-
представлении.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И., Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1974, 431 с.
2. —, Гивенталь А. Б., Симплектическая геометрия. В сб. «Современные
пробл. математики. Фундаментальные направления (Итоги науки и техн.
ВИНИТИ АН СССР)». М.. 1985, 4, 5—139
3. Березин Ф. А., Квантование. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, 38, № 5,
1116—1175
4. —, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными.
М.: МГУ, 1983, 208 с.
5. —, Лейтес Д. А., Супермногообразия. Докл. АН СССР, 1975, 224, № 3,
505—508
6. Кириллов А. А., Унитарные представления нильпотентных групп Ли.
Успехи мат. наук, 1962, 17, № 4, 57—101
7. —, Конструкции унитарных неприводимых представлений групп Ли.
Вестн. МГУ. Мат., мех., 1970, № 2, 41—51
8. —, Лекции по теории представлений групп. Часть IV. Представления
групп и механика. М.: МГУ, 1971, 24 с.
9. —, Элементы теории представлений. 2-е изд. М.: Наука, 1978, 344 с.
10. —, Инвариантные операторы над геометрическими величинами. В сб.
«Современные пробл. математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ
АН СССР)». М., 1980, 16, 3—29
П. Маслов В. П., Теория возмущений и асимптотические методы. М.: МГУ,
1965, 412 с.
176

!2. Мищенко А. С, Фоменко А. Т., Интегрируемость уравнений Эйлера на
полупростых группах Ли. Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.
М.: МГУ, 1979, вып. 19, 3—94
13. Ольшанецкий М. А., Переломов А. М., Явные решения некоторых вполне
интегрируемых гамильтоновых систем. Функц. анализ и его прил., 1977,
//, вып. 1, 75—76
14. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А., Алгебры токов и нелинейные
уравнения в частных производных. Докл. АН СССР, 1980, 251, № 6,
1310—1313
15. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., Простая связь геометрического и га-
мильтонова представлений интегрируемых нелинейных уравнений. Зап.
Науч. семинара. ЛОМИ, 1982, 115, 264—280
16. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., Интегрируемость по Лиувиллю гамиль-
гамильтоновых систем на алгебрах Ли. Успехи мат. наук, 1984, 39, М° 2, 3—56
17. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике для
студентов-математиков. Л.: ЛГУ, 1980, 200 с.
18. Adler М., On a trace functional, pseudo-differential operators and the
symplectic structure of the KdV—type equations. Invent, math., 1979, 50,
219—248
19. Atiyah M., Schmid W., A geometric construction of the discrete series for
semi—simple Lie groups. Invent, math., 1977, 42, 1—62
20. Bargmann V., On a Hilbert space of analytic functions and on associated
integral transform Part 1. Commun. Pure and Appl. Math., 1961, 14,
187—214
21. Blattner R. J., The metalinear geometry of non—real polarizations. Sprin-
Springer, Lect. Notes Math., 1977, № 570, 11—45
22. Duflo M., Theorie de Mackey pour les groupes de Lie algebriques. Acta
Math., 1982, 149, № 3—4, 153—213
23. —¦, Construction des representations unitaires d'un groupe de Lie. Cours
d'ete du CIME, Cortona, 1980, Liguori ed. Napoli, 1982, 91 p.
24. Guillemin V., Sternberg S., Geometric Asymptotics. Amer. Math. Soc. Math,
surv. № 14, Providence, Rhode Island, 1977, 474 p. (Пер. на рус. яз.:
Гийемин В., Стернберг С, Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981,
500 с.)
25. Hormander L., An introduction to complex analysis in several variables.
Van Nostrand, Princeton, 1966 (Пер. на рус. яз.: Хермандер Л., Введение
в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968,
280 с.)
26. Hurt N., Geometric quantization in action. Dordrecht, Reidel, 1983, 336 p.
27. Joseph A., The algebraic method in representation theory (Enveloping al-
algebras). Springer, Lect. Notes Phys., 1976, № 50, 95—109
28. Koopman В. O., Hamiltonian systems and transformations in Hilbert spa-
spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1931, 17, 315—318
29. Kostant В., Quantization and unitary representations. Springer,
Lect. Notes Math., 1970, № 170, 87—208 (Пер. на рус. яз.: Костант Б.,
Квантование и унитарные представления. Успехи мат. наук, 1973, 28,
№' 1, 163—225)
30. —, Symplectic spinors. Symposia Math. Vol. 14. London, Acad. Press, 1974,
139—152
31. —, Graded manifolds, graded Lie theory and prequantisation. Springer
Lect. Notes Math., 1977, № 570, 177—306
32. Leray J., Analyse lagrangienne et mechanique quantique Strasbourg, 1978,
298 p. (Пер. на рус. яз.: Лере Ж., Лагранжев анализ и квантовая меха-
механика. М.: Мир, 1981, 260 с.)
33. Lion G., Vergne M., The Weil representation, Maslov index and theta se-
series. Birhauser, Boston, 1980, 337 p. (Пер. на рус. яз.: Лион Ж., Вернь М.,
Представление Вейля, индекс Маслова и тэта-ряды. М.: Мир, 1983, 216 с.)
ЗА. Moser J., On the volume element on a manifold. Trans. Amer. Math Soc
1965, 120, № 2, 286—204
12—2538 177

35. Nirenberg L., Newlander A., Complex analytic coordinates in almost com-
complex manifolds. Ann. Math., 1957, 65, № 3, 391—404 (Пер. на рус. яз.:
Ниренберг Л., Ньюлендер А., Комплексно-аналитические координаты в
квазикомплексных многообразиях. Математика. Сб. пер., 1959, 3, № 6,
131—144)
36. Onofri ?., Dynamical quantization of the Kepler manifold. J. Math. Phys.,
1976, 17, № 3, 401—408
37. Segal I. E., Quantization of non-linear systems. J. Math. Phys., 1960, 50,
468—488
38. Simms D. S., Woodhouse N. M. J., Lectures on geometric quantization.
Springer, 'Led. Notes Math., 1976, № 53, 166 p.
39 Sniatycki J., On cohomology groups appearing in geometric quantization.
Springer, Lect. Notes Math., 1977, № 570, 46—66
40. —, Geometric quantization and quantum mechanics. Springer, Berlin. 1980,
230 p.
41. Souriau J. M., Quantification geometrique. Commun. Math. Phys., 1966, 1>
374—398
42. —, Structure des systemes dynamiques. Paris, Dunod, 1970, 414 p.
43. —, Thermodynamique et geometrie. Springer, Lect. Notes Math.,
1979, № 676, 369—398
44. —, Groupes differentiels. Springer, Lect. Notes Math., 1980, № 836,
91—128
45. Van Hove L., Sur certaines representations unitaires des groupes infinies
de transformations. Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mem. Collect., 1951, 29.
1—'102
46. Weinstein A., Symplectic geometry. Bull. Amer. Math. Soc, 1981, 5, № 1,
1—13
47. Woodhouse N. M. /., Twistor theory and geometric quantization. Springer,
Lect. Notes Phys., 1976, № 50, 149—163