В. В. СТРЫГИН, В. А. СОБОЛЕВ
-------------------j.
/
РАЗДЕЛЕНИЕ
ДВИЖЕНИЙ
МЕТОДОМ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 8
ББК-ЗЗтИЗ-
. С87
УДКТЗТТТ-5Ж56-----
Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом инте-
гральных многообразий.— М.: Наука. Гл. ред. фнз.-мат. лит., 1988.— 256 с.
ISBN 5-02-013806-1.
Исследуются математические модели механических систем гироскопического
типа, описываемые обыкновенными сингулярно возмущенными дифференциаль-
ными уравнениями. При анализе существенно используются методы теории
интегральных многообразий, основы которой подробно излагаются в нескольких
главах. Изучаются задача о разделении быстрых и медленных движений гиро-
скопических систем и задача о выделении медленной составляющей движения.
Эффективность предлагаемых методов демонстрируется на примерах решения
задач стабилизации тел вращением, динамики твердых тел и гироскопов, о
динамике сферического демпфера.
Предназначена для научных работников, инженеров, преподавателей, аспи-
рантов и студентов, интересующихся проблемами теории колебаний и динамики
систем твердых тел и гироскопов. •
Ил. 7. Библиогр. 108 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук Д. Р. Меркин
Стрыгин Вадим Васильевич, Соболев Владимир Андреевич
РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Редактор И. М. Бокова
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры: О. А. Бутусова, О. М. Березина
ИБ № 32536
Сдано в набор 06.07.87. Подписано к печати 19.02.88. Т-04581. Формат
60X90/16. Бумага тип. № I. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 16. Усл. кр.-отт. 16. Уч.-изд. л. 17,53. Тираж 1550 экз.
Заказ № 1149. Цена 3 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071 Москва В-71» Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО
«Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 1 13054 Москва, Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука». 121099 Москва r-99f
Шубинский пер., 6. Зак. 1417
г 1703030000-083 ..
С 053(02)-88	89'88
ISBN 5-02-013806-1
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных
уравнений, традиционно связываемая с проблемами аэрогидроди-
намики и нелинейной механики, интенсивно развивается, и ее ме-
тоды активно применяются для решения широкого круга задач
из других областей естествознания и техники. Это объясняется
тем обстоятельством, что такие системы естественным образом воз-
никают при моделировании и исследовании объектов различной
природы, характерной особенностью которых является способ-
ность совершать одновременно быстрые и медленные движения.
Неудивительно, что поток публикаций, посвященных теории и
приложениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно ра-
стет. При этом большое разнообразие задач сочетается со срав-
нительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа.
Абсолютное большинство статей и монографий по указанной те-
матике имеют в своей основе тот или иной метод построения
асимптотических разложений решений начальных или краевых
задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за
поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать за-
дачи качественного исследования системы.
В настоящей книге для исследования сингулярно возмущен- ;
ных дифференциальных систем развивается и используется под-
ход, сочетающий в себе приемы асимптотических и качественных
методов анализа. Сущность этого подхода состоит в выделении
класса медленных движений изучаемой системы. Порядок рас-
сматриваемой системы дифференциальных уравнений при этом
понижается, но получаемая в результате система меньшей раз-
мерности наследует основные элементы качественного поведения
исходной системы в соответствующей области. По сути дела, про-
изводится построение упрощенных моделей изучаемых объектов,
но при этом более простые модели с высокой степенью точности
отражают поведение исходных моделей.'
Этот подход успешно применялся авторами и их учениками и
коллегами при решении различных прикладных задач. При этом
рассматривались системы как обыкновенных дифференциальных
уравнений, так и системы уравнений с частными производными и
системы уравнений с отклоняющимся аргументом.
1
3
В настоящей монографии последовательно излагается теория
интегральных многообразий медленных движений, лежащая в ос-
нове метода разделения быстрых и медленных движений. Значи-
тельная часть результатов, относящихся к математическому обос-
нованию формализма разделения движений, принадлежит авторам.
Основная часть книги посвящена применению этого метода для
решения задач механики систем твердых тел и гироскопов, име-
ющих самостоятельное значение. При их решении удалось не
только продемонстрировать эффективность метода, но и получить
новые результаты, относящиеся к стабилизации искусственных
спутников, теории гироскопических и других сложных механиче-
ских систем.
Основная часть книги писалась при тесном взаимодействии
авторов. Главы V, VIII и IX написаны В. В. Стрыгиным, главы
II и VII написаны В. А. Соболевым.
При подготовке рукописи нам оказали разностороннюю по-
мощь наши ближайшие сотрудники. Мы хотели бы выразить им
здесь сердечную признательность и особенно отметить Е. Я. Го-
релову, А. П. Котенко и Н. В. Пендюхову. Их помощь в под-
готовке гл. IV, V, VIII и IX неоценима.
Мы глубоко благодарны В. В. Румянцеву и М. А. Красно-
сельскому за поддержку и постоянное внимание к работе.
Мы считаем своим приятным долгом выразить благодарность
Д. Р. Меркину, плодотворное общение с которым нашло свое от-
ражение в структуре книги и помогло устранить ряд неточностей
при изложении отдельных вопросов.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей книге развивается математический аппарат, поз-
воляющий в ряде важных практических случаев достаточно полно
исследовать динамику систем твердых тел. Движение таких си-
стем представляет собой сложную композицию из более простых
медленных и быстрых движений. Иногда разделение движения
на медленные и быстрые сравнительно просто. Однако для боль-
шинства задач такое разделение весьма нетривиально из-за силь-
ных нелинейностей и больших параметров, характеризующих ги-
роскопические силы механических систем.
С нашей точки зрения наиболее подходящим математическим
аппаратом, позволяющим высветить качественную сторону задач,
является метод интегральных многообразий. Истоки этого метода
легко обнаруживаются в ранних работах Ж. Адамара, посвящен-
ных изучению окрестности* гиперболической особой точки. Сущ-
ность метода интегральных многообразий с удивительной глуби-
ной понял А. М. Ляпунов, разработавший методику сведения
исследования устойчивости многомерных систем к системам мень-
шей размерности. Именно возможность при качественном иссле-
довании понижать порядок системы и является наиболее сущест-
венной стороной метода интегральных многообразий. Развитие
электронно-вычислительной техники в конце сороковых годов
возродило надежды на возможности качественного исследования
многомерных систем с помощью ЭВМ. Однако возникшие на этом
пути трудности побудили исследователей искать новые математи-
ческие средства, одним из которых стал метод интегральных
многообразий. Основы этого метода были заложены в работах
Н. Н. Боголюбова. Существенное влияние на развитие метода
оказал доклад Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского на
Международном симпозиуме по нелинейным колебаниям *). Основ-
ные результаты по общей теории метода интегральных многооб-
разий изложены в фундаментальной монографии Ю. А. Митро-
польского и О. Б. Лыковой [2J, авторы которой внесли значи-
тельный вклад в развитие этого раздела дифференциальных
j См. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. [1].
5
уравнений и нелинейной механики. Здесь же имеется и обширная
библиография.
Интегральным многообразием дифференциальной системы х =
— f (t, х) обычно называют некоторое множество S пространства
(Л х), состоящее из траекторий этой системы. Таким образом,
по определению, через каждую точку (/0, х0) g S проходит какая-
нибудь траектория (t, x(t)), и каждая траектория, имеющая
хотя бы одну общую точку с S, целиком лежит на этом множе-
стве. Особый интерес представляют устойчивые интегральные
многообразия, обладающие тем свойством, что траектории, начи-
нающиеся вне интегрального многообразия, при t оо прибли-
жаются к траекториям на многообразии.
К сожалению, задача о явном отыскании устойчивых много-
образий практически не разрешима. В связи с этим представля-
ется важной задача о приближенном или асимптотическом оты-
скании интегральных многообразий. Решение этой задачи эффек-
тивно для сингулярно возмущенных систем вида
у = У(/, у, г, 8), zz = Z(t, у, z, е)	(0.1)
(8—малый положительный параметр). Как известно, теория та-
ких систем нашла широкие применения в теории автоматического
регулирования, в кинетике химических реакций, в механике си-
стем твердых тел и др. Для широкого класса систем (0.1) уда-
ется найти устойчивое интегральное многообразие в виде
z = h (t, у, 8).
Говоря иначе, на интегральном многообразии «быстрые» пере-
менные z являются функциями «медленных» переменных у, а
движение описывается уравнениями
y — Y (t, у, h(t, у, 8), 8), z = h.(t, у, 8).
Этот результат можно интерпретировать следующим образом: ме-
тод интегральных многообразий позволяет разделить движение,
выделяя медленные движения по интегральному многообразию.
Такой подход особенно полезен при рассмотрении уравнений
движения сложных гироскопических систем, описываемых, как
известно, сингулярно возмущенными уравнениями. Здесь исклю-
чительно важно выделить медленные, так называемые прецессион-
ные, движения. Однако непосредственное применение известных
результатов теории интегральных многообразий и теории сингу-
лярно возмущенных систем к анализу гироскопических систем и
ряда задач механики систем твердых тел оказалось невозможным.
В связи с этим авторам пришлось значительно модифицировать
теорию метода интегральных многообразий.
Книга состоит из двух частей. В первой части приводятся
без доказательств основные результаты теории интегральных мно-
гообразий, которые затем применяются для решения целого ряда
6
задач механики. Во второй части приводится обоснование мате-
матических утверждений, а также решаются новые математиче-
ские проблемы, связанные с задачами механики гироскопических
систем.
В первой главе приводятся простейшие примеры, иллюстри-
рующие понятие интегрального многообразия. Даются необходи-
мые определения. Здесь же описываются геометрические свойства
интегральных многообразий и приближенные методы их отыска-
ния. Особое место занимают сингулярно возмущенные системы,
для которых удается указать асимптотическое представление ин-
тегрального многообразия по степеням малого параметра. Подоб-
ное представление имеет место и для систем со слабой диссипа-
цией. Последний параграф этой главы посвящен системам с
многими малыми параметрами.
В следующих трех главах даются приложения метода интег-
ральных многообразий к задачам механики систем твердых тел.
Вторая глава посвящена исследованию уравнений движения
гироскопических систем, записанных в форме, предложенной
Д. Р. Меркиным [1]. Показано, что к системам такого типа при-
меним метод интегральных многообразий. Как оказалось, урав-
нения движения по интегральному многообразию, вычисленные с
определенной точностью, совпадают с хорошо известными в ме-
ханике прецессионными уравнениями. Здесь же рассмотрен ряд
конкретных примеров. В § 8 выводятся уравнения прецессионной
теории для систем с вырожденной матрицей гироскопических
сил.
В третьей главе изучается задача о стабилизации вращающихся
тел при помощи пассивных демпферов поступательного типа.
Предполагается, что основные параметры демпферов—коэффици-
енты вязкого демпфирования и жесткости—являются малыми
для части демпферов. Подробно исследован важный частный слу-
чай системы, состоящей из двух тел с двумя демпферами.
Четвертая глава посвящена задаче о динамике твердого тела,1
несущего гироскоп и подвижную массу, связанную с телом упру-
гой связью. В общем случае анализ системы сводится к иссле-
дованию движения на пятимерном интегральном многообразии.
Выделены и исследованы четыре типа стационарных вращений.
Отдельно изучена задача о движении динамически симметричного
тела и гироскопа в кардановом подвесе, а также рассмотрен
случай, когда на динамически симметричном теле имеется одна
подвижная масса.
Следующие три главы посвящены проблемам математического
обоснования наиболее важных случаев применения методов на-
хождения интегральных многообразий, изложенных в первой главе.
В пятой главе с общих позиций изучаются инвариантные
многообразия точечных отображений. Изучаются вопросы суще-
ствования и устойчивости инвариантных многообразий, а также
их гладкость. Результаты могут быть применимы как к системам
7
(Юыкпош'пиых дифференциальных уравнений, так и к системам с
распределенными параметрами.
Шестая глава посвящена сингулярно возмущенным системам.
Здесь установлены теоремы о существовании и устойчивости ин-
тегральных многообразий. Исследуется их гладкость и асимпто-
тическое представление по степеням малого параметра.
Эти же вопросы для сингулярно возмущенных систем, харак-
теризуемых слабой диссипацией, рассмотрены в седьмой главе.
При рассмотрении некоторых тонких задач механики появля-
ется необходимость не только качественно исследовать динамику
движений, но и проследить развитие некоторых конкретных дви-
жений. При этом наиболее важным представляется отыскание
медленной составляющей движения, которая отличается от пол-
ного движения некоторой экспоненциально убывающей добавкой.
Асимптотическому отысканию медленных составляющих движений
посвящена восьмая глава.
В последней главе рассмотрена задача Коши для неавтоном-
ных систем гироскопического типа. Выделены два наиболее важ-
ных случая построения решения: на конечном отрезке времени
и на асимптотически большом.
В качестве приложений рассмотрена задача М. А. Лаврен-
тьева о динамике твердого тела со сферическим демпфером.
Строго говоря, математические модели механических систем,
рассмотренных в гл. II — IV, в некоторых случаях несущественно
отличаются от тех, для которых дано полное математическое
обоснование в гл. V—VII. Мы пожертвовали полнотой "обосно-
вания ради оживления изложения. Дополнительные сведения,
относящиеся к обоснованию метода интегральных многообразий
для указанных систем, можно найти в работах авторов.
ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ИХ СВОЙСТВА
И МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ
В этой главе без доказательств приводятся основные факты
теории интегральных многообразий, которые можно использовать
при исследовании механических систем. Доказательства основных
результатов первой главы даются в главах V—VII, а также в
работах В. В. Стрыгина, В. А. Соболева [1], В. А. Соболева [1 —4].
§ 1. Интегральные многообразия автономных систем
второго порядка ,
Прежде всего напомним определение интегрального многооб-
разия для векторного дифференциального уравнения х = Х(х),
где х — (х1У хп). Гладкая поверхность в пространстве пере-
менных хп . . ., хп называется интегральным (инвариантным)
многообразием рассматриваемого уравнения, если любая траекто-
рия, имеющая хотя бы одну общую точку с этой поверхностью,
целиком ей принадлежит. Простейшими примерами интегральных
многообразий являются особые точки и траектории. Фазовое про-
странство тоже является n-мерным интегральным многообразием.
Особый интерес представляет построение интегральных многооб-
разий, размерность которых меньше п, обладающих дополнитель-
ными свойствами, например устойчивостью, т. е. способностью
притягивать траектории.
1.1. Линейные системы. В плоскости (х1; х2) рассмотрим ли-
нейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами
dxi
®цх1 + Q12X2,
л	’	(1-0
dx2	,	'	'
а21Х1~1 й22Х2'
Допустим, что характеристическое уравнение этой системы
|а11“Х „а1\Ь«0	(1.2)
имеет различные действительные корни Xj и Х2, которым отвечают
собственные векторы hr и Л2 матрицы А = (а(/). Тогда общее ре-
шение этой системы имеет вид
х =- -г CJi^*.	(1.3)
9<
Здесь Cj и С2—произвольные постоянные, х--=(%!, х2)т, (-)т
означает транспонирование. Пусть >0, Х2 < 0. Тогда при
t —оо траектория любого решения неограниченно приближается
к прямой I, проходящей через начало координат и содержащей
вектор При С2 = 0 решения системы (1.1) лежат на прямой/.
Следовательно, прямая I инвариантна для рассматриваемой си-
стемы, т. е. если точка (х?, х2) лежит на I, то траектория, про-
ходящая через эту точку, принадлежит I при всех /. Более того,
для любой начальной точки Ха — С^-'. C2h2 можно указать та-
кую точку 3% — C1h1 С /, что решение (1.3), удовлетворяющее ус-
ловию х — хй при / = 0, экспоненциально приближается к решению
y-^CJi^*,	(1.4)
удовлетворяющему условию у=~уй при / = 0. Траектория реше-
ния (1.4) лежит на прямой I (см. рис. 1.1).
Рис. 1.2
Отметим, что любая траектория на плоскости (хп х2) явля-
ется инвариантным множеством. Однако только множество I об-
ладает свойством притяжения любой траектории, что дает осно-
вание особо выделить инвариантное множество /.
Следует заметить, что в случае, когда Xj —0, прямая I также
является единственным инвариантным множеством, обладающим
свойством притяжения всех траекторий (рис. 1.2, а). Если же
10
1, < О, но Х2 < X,, то все траектории системы обладают свойст-
вом притяжения (рис. 1.2, б).
1.2. Нелинейные системы. Рассмотрим систему
^=ад + ад+ fi(xu х2),
(Ц ~ ^21-^1	^22-^2	/2 (-^1> -^2)*
(1-5)
Предположим, что характеристическое уравнение (1.2) имеет
различные действительные корни Х2 >0, Х2 < 0. Пусть и /2
определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрест-
ности U начала координат и
Л(0, 0)--^М = 0
при г, / = 1, 2.
Как хорошо известно, в рассматриваемом случае малые нели-
нейные добавки не меняют качественной картины поведения тра-
ектории в окрестности начала ко-
ординат (см. рис. 1.3).
Прямая / при малых нелиней-
ных возмущениях деформируется
в некоторую кривую &, которая
является локальным инвариантным
множеством. Геометрически ясно,
что кривая S? притягивает траек-
тории. Однако точное определение
притяжения вызывает некоторые
затруднения, связанные с локаль-
ностью возмущения.
В связи с этим обычно поступают следующим образом. Вместо
системы (1.5) рассматривают новую систему
-^- = а11х1 + а12х2-т Л(Х1, х2),
~ Т ^22-^2 f 2 (^1» -^а)»
(1.6)1
в которой и /2 являются гладкими продолжениями функций
/у и /2 на всю плоскость (хп х2), совпадая с ними в некоторой
окрестности Uoa:U.
Если функции f[ (i = 1, 2) удовлетворяют неравенствам
1Л(*1. х2)
I dfj (xi, х2)
I dxj
М,
М
((хи x2)6U0),
то функции fi (i = 1, 2) можно
неравенства
Iх2)
выбрать так, что аналогичные
djj (Xi, х2)
dxj

1k
будут справедливы для любых хг, х2С(—°°, °°)- Константа М
может быть выбрана достаточно малой за счет выбора окрестно-
сти ио.
Можно доказать, что система (1.6) имеет инвариантную кри-
вую S’, обладающую свойством притяжения в следующем смысле.
Для любой точки (х?, х2) существует такая точка (х*, x2)£J?,
что решение	x2 = x2(t) (xt (0) =^xj, x2 (0) = x°) при t —> oo
неограниченно приближается к решению х, = x((f), x2 = x2(t)
(xJ(O) = xJ, х2(0)=х*), траектория которого лежит на кривой S
(см. рис. 1.4).
Та часть кривой S?, которая принадлежит окрестности t/0,
является локальным инвариантным множеством для системы (1.5).
Аналогичное утверждение имеет место и в случае, когда один
из корней характеристического уравнения (1.2) равен нулю, а
и неустойчивой.
другой — отрицателен. При этом нулевая точка, принадлежащая
кривой Л?, может быть как устойчивой, так
Оказывается, в случае устойчивости кривая 2' может быть не-
единственной.
Приведем несколько примеров.
Пример 1.1. Рассмотрим систему
dxi _________________ dx2______	„2
~dT~Xl’ ~dt------Хг+Зх1'
Произвольное решение этой системы имеет вид
Xi (0 = Xie*, х2 (/) = [х2— (*i)2J e~t + (А*)2-
Кривая х2— xf является инвариантным множеством, так как при Xa = (xi)2
имеем
х2 (0= [*i (О]2-
Очевидно, что эта кривая обладает свойством притяжения. В этом примере
Xi — X]_t Х2 —	♦
12
Пример 1.2. Произвольное решение системы
dXi о dXo
-dF=x*’
имеет вид
[*°+4 (%°)2] -4^e~2f’
х2 (/) - -xfe~t.
Ясно, что прямая х2 = 0 является притягивающим инвариантным множеством
(рис. 1.5).
В этом примере х[ = х?+-g-(х2)2, х2 = 0.
Пример 1.3. Рассмотрим систему
dx^	. dx2	. .	.	.
—jt- = — sin Xi + %2,	— cos xi) (x2——sin %i).
cit	ui'
Можно проверить, что произвольное решение этой системы может быть запи-
сано следующим образом:
Xi (/) — xJ + x”— sin х° — (х“ — sin х?) e~t,
х2 (/)	(х2 — sin х?) e_f---sin X] (/).
Кривая x2=sinx1 является притягивающим инвариантным множеством. При
* о.о о *	.	*
ЭТОМ Х1=Х1-| Х2—Sin %!, X2=SinXi.
§ 2, Интегральные многообразия многомерных систем
2.1,	Автономные системы. Пусть Rn—n-мерное пространство
векторов x = (xt, ..., х„)т, в котором норма вектора х опреде-
лена равенством
||х||= Kxti ...^Х2П.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^АхЛ-fix),	(2.1)
где x£Rn, А — постоянная (пхп)-матрица, a f=(flt , f„)T —
вектор из Rn.
Будем предполагать, что функция f(x) определена при всех
x£Rn, ограничена по норме числом М > 0 и удовлетворяет
13
условию Липшица с постоянной L, т. е.
||/(x)ii<M, lljf(AT)— /(X)||CL||X—х||	(х, x£R'‘). (2.2)
Пусть (t—1, 2) — корни характеристического уравнения
|Д—U | = 0. Предположим, что
Re 0 при i -• 1, ..., k,
Re < 0 при i = k -г 1, ..., n,
т. e. множество корней разбивается на два непересек'ающихся
подмножества
О1=={^5| s—1, ..., k},	o2={Zs| s = &~i-l, ..., n}.
Это условие является главным для существования непритягиваю-
щего инвариантного множества системы (2.1).
В дальнейшем будем считать, что система (2.1) приведена
к виду
-^ — By-'-Yiy,z\ *L = Cz + Z(y, z).	(2.3)
Здесь у, Y£Rk (т=^п—k), z, Z£Rm; В и С—постоянные квад-
ратные матрицы соответствующих размеров. Корни характеристи-
ческого уравнения матрицы В имеют неотрицательные действи-
тельные части, а действительные части корней характеристиче-
ского уравнения матрицы С отрицательны.
Ниже будут рассматриваться некоторые специальные инвари-
антные множества системы (2.3), а именно интегральные много-
образия, которые описываются уравнениями вида
z--h(y), y£Rk, Л(0) = 0.
Иногда они будут называться интегральными поверхностями.
Размерностью интегрального многообразия естественно называть
размерность вектора у.
Если константы М. и L в (2.2) достаточно малы, то у системы
(2.3) существует единственное интегральное многообразие z h (у)
в классе функций, удовлетворяющих неравенствам
II h (J) li < d, IIЛ (y)-h (7)11 < III у -у ||	(J, У € R*).
Если функции Y, Z г раз непрерывно дифференцируемы по всем
переменным и соответствующие частные производные до r-го по-
рядка включительно ограничены в Rn, то функция h имеет ог-
раниченные частные производные по компонентам вектора у до
r-го порядка включительно. Если функции Y, Z регулярно за-
висят от числовых параметров, то и функция h также регулярно
зависит от этих параметров. Доказательство этих фактов приведено
у В. А. Плисса [1].
Интегральное многообразие z = h(y) системы (2.3) обладает
свойством притяжения траекторий этой системы, начинающихся
вне многообразия. Точнее говоря, для любой точки (у0, z0) су-
ществует такая точка (_у„. к (Уо)), лежащая на многообразии
14
x = h(y), что решение y=y(l), г^--г{1~), удовлетворяющее на-
чальному условию j/(O)=j/o, 2'(0) = zo, представимо в виде
^(0=Г(0 + <Р1(0. г(0 = Л(Г(0)^ф2(0.	(2.4)
Здесь y*(t)—решение системы
~ = By-\-Y{y, h(y)),		(2.5)
описывающей поведение решений на многообразии, а функции
<р(- (/) (z — 1, 2) подчиняются неравенствам
ll<panil<ck»-*CVo)k-vZ. ^>0.	(2.6)
где С и у — некоторые положительные числа.
Таким образом, любое решение у = у (t), z^z(t) системы (2.3)
представимо в виде суммы решения	Z-~h (у* (/)),
лежащего на многообразии, и экспоненциально убывающей
добавки.
Инвариантность поверхности z--h(y) вместе с представлени-
ем (2.4) и оценками (2.6) позволяет при решении многих задач
органичиваться рассмотрением «укороченной» системы (2.5) вместо
исходной системы (2.3), имеющей более высокий порядок.
Пользуясь представлением (2.4), можно показать, что решение
у = у (0 системы (2.5) устойчиво (асимптотически устойчиво, не-
устойчиво) тогда и только тогда, когда аналогичным свойством
обладает решение у =у (t), z = h(y(t)} системы (2.3).
Если система (2.5) имеет автоколебание _у-=ф(/), т0 система
(2.3) имеет автоколебание у -- ф (/), z — h (ф (/)), лежащее на ин-
тегральной поверхности, и при исследовании устойчивости этого
автоколебания достаточно исследовать устойчивость автоколеба-
ния у -ф(0 системы (2.5).
В теории устойчивости наибольшие трудности вызывают кри-
тические случаи, когда действительные части собственных значе-
ний матрицы В равны нулю, а У и Z—нелинейности не ниже
второго порядка малости по переменным у, z. Здесь важную
роль играет особый прием, позволяющий понизить размерность
задачи. Этот прием состоит в использовании так называемого
принципа сведения в теории устойчивости (В. А. Плисс [1]), суть
которого заключается в 'следующем. Для системы (2.3) ищется
такая функция z = H(y), чтобы задача об устойчивости нулевого
решения системы (2.3) была эквивалентна задаче об устойчивости
нулевого решения системы
^ = Ву4 У (у, И(у)).	(2.7)
Первые результаты по этой проблеме принадлежат А. М. Ля-
пунову [1]. В наиболее общей форме принцип сведения для сис-
тем типа (2.3) был получен В. А. Плиссом [1]. Он показал, что
в качестве функции И (у) следует брать функцию h(y), опреде-
ляющую интегральную поверхность z = h(y) системы (2.3).
15
Замечание 2.1. Для того чтобы непрерывно дифференци-
руемая функция Z — h(y) определяла интегральную поверхность
системы (2.3), необходимо и достаточно, чтобы ее компоненты
• ••, У к) (j = K , т) удовлетворяли системе уравнений
с частными производными первого порядка
V'' г
2- [ЬцУ1 + • • • 4- ЬмУк+ ¥ i (Ун   > Ук, hi’ • • • > hm)] =
= cyi/z1 + ... + cJmhm 4- Z} (ylf ..., уh, /ii, .... hm). (2.8)
Здесь Ьц, cls—элементы матриц В и С, а У,- и Z7-—компоненты
векторных функций Y и Z.
Если через dh/dy обозначить матрицу Якоби
' dhi	dhi
дУ1	~дУк
.дУ1 ’ ’ ’ dyk ,
то система (2.8) может быть записана в векторной форме
f[By+Y(y, Л(у))] = СЛ(^) + 7О, Ь(уУ). (2.9)
Говорят, что z — h(y) удовлетворяет системе (2.9), если ее
компоненты удовлетворяют системе (2.8).
Для многих прикладных задач условия (2.2) выполняются не
при всех х^Д", а лишь при х из некоторого шара ||х||^р.
В этом случае обычно действуют следующим образом. Вместо
системы (2.1), определенной при || х || р, рассматривается система
g = Ax + /(x),	(2.1а)
где функция f(x) является продолжением функции f(x) на все
пространство Rn с сохранением определенных свойств этой функ-
ции. Например, функция /(х), определенная формулами
-	если ЦхЦ^Ср,
если ||х||>р,
совпадает с f(x) при || х||	р и удовлетворяет неравенствам (2.2)
при любых значениях аргументов. При необходимости дифферен-
цируемая функция /(х), определенная в окрестности начала ко-
ординат, может быть продолжена на все пространство с сохране-
нием достаточной степени гладкости (Келли А. [1]).
Если система (2.1а) имеет интегральное многообразие, то та
его часть, которая принадлежит шару ||х||«Ср, будет представ-
лять собой локально инвариантное множество или локальное
интегральное многообразие системы (2.1).
Исследуя поведение решений системы (2.1) при помощи такого
интегрального многообразия, можно проследить за поведением
16

решения до тех пор, пока оно остается в шаре ||х ||^ р. Для ло-
кального интегрального многообразия справедлив принцип сведе-
ния, позволяющий судить об устойчивости нулевого решения
системы (2.1) по устойчивости нулевого решения системы меньшей
размерности, описывающей поведение решений на многообразии.
Аналогичные утверждения можно доказать для окрестности пери-
одического решения или периодической поверхности.
При использовании локальных интегральных многообразий
могут возникать некоторые затруднения, связанные с тем, что'
локальное интегральное многообразие может оказаться неединст-
венным. Приведем некоторые примеры.
Пример 2.1. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений
_1„з	±_____,
dt~~ 2У’ dt~
Характеристическое уравнение системы линейного приближения имеет кории-
Xj- 0, %2= —1> т. е. один из корней лежит на мнимой оси. Эга система име-
ет однопараметрическое семейство интегральных многообразий
г=_, I С exp	при у ф О,
(	0	при у —0.
Движение по любому интегральному многообразию этого семейства описывает-
ся дифференциальным уравнением
dt 2У
И в этом примере нулевое решение асимптотически устойчиво.
Пример 2.2. Система двух дифференциальных уравнений
dy „ dz
dt=-y2’ dt — Z
имеет однопараметрическое семейство интегральных многообразий
если у > О,
СехР
( 0,
Движение по любому многообразию семейства описывается уравнением'
dt у
Решения с положительными начальными значениями при t —> оо прибли-
жаются к началу координат. А решения, начинающиеся слева от нуля, неог-
раниченно удаляются от него.
В работе А. Н. Куликова [1] для систем вида (2.3) показано,
что локальное интегральное многообразие z = h(y) единственно,
если нулевое решение системы, описывающей движение на мно-
гообразии, асимптотически устойчиво при t —> — оо.
2.2.	Приближенное построение интегральных многообразий.
Метод интегральных многообразий может служить эффективным
аппаратом исследования систем дифференциальных уравнений
только в том случае, когда ингсгралнвве многообразие удается
17
найти точно или приближенно. Если, например, функция Z(y, z)
в системе (2.3) удовлетворяет условию Z(y, 0) = 0, то систе-
ма (2.3), очевидно, имеет интегральную поверхность £ = 0, дви-
жение по которой описывается уравнением
f = ^4 Y(y, 0).
Задачу построения интегральных многообразий можно рас-
сматривать как задачу о построении некоторых замен, приводя-
щих данную систему уравнений к системе вида (2.3) с функцией
Z, удовлетворяющей условию Z(y, 0)^0. Приведем способ
построения интегрального многообразия, основанный на теореме
А. М. Ляпунова [I].
Рассмотрим систему вида (2.3) и дополнительно предположим,
что компоненты вектор-функций Y и Z являются голоморфными
функциями координат уи ..., yk, zn ..., zm векторов у и г,
не содержащими линейных членов.
Из результатов А. М. Ляпунова вытекает существование век-
тор-функции z — h(y), компонентами которой являются голо-
морфные функции hf(yu	ук) (р—1, • т) координат векто-
ра у, удовлетворяющей системе (2.3) и обращающейся в нуль
при у = 0.
Сделаем в системе (2.3) замену z — v u h (ji). Получим систему
|- = Ву-| Y (у, SH Л (J)),	(2.10)
%- = Cv+V(y, ®),	(2.11)
где V(y, г>) = Cft(jr) + Z(y, <o-' h(y))-^{By-\-Y(y, v + h(y))\.
В силу (2.9) выполнено тождество V(у, 0) —0. Поэтому система
(2.10)—(2.11) имеет локальное интегральное многообразие z-h {у).
Это означает, что исходная система (2.3) имеет локальное интег-
ральное многообразие z = h(y)-
Пусть
AO) = ft12)U/b ...-|-^(j) + *r+1(j),	(2-12)
где Л(,)(^) — вектор-функция, компонентами которых являются
формы h^y^ ..., у к) (s = 1, ..., tn) i-ro порядка координат
у1г . .., ук вектора у, a ftr+1(j) содержит члены не ниже (г-; 1)-го
порядка по переменным у1; . .., ук.
Система уравнений (2.8) позволяет однозначно определить
коэффициенты форм Лр*.
Подставив разложение (2.12) с неопределенными коэффициен-
тами в (2.9), получим для h{h уравнения вида
™^By = Ch^ W^(y)	(i=-2, ..г),
где 1V1,)—вектор, компоненты которого W(si} (s = 1, ..., т) пред-
18
ставляют собой формы i-ro порядка переменных у±, .. ., ykr
известным образом выводящиеся из форм (s = 1, ..., tn)
(I ' i). Приравнивая коэффициенты при соответствующих членах,
Получим систему неоднородных линейных уравнений относительно
неопределенных коэффициентов. При сделанных выше предполо-
жениях эта система имеет единственное решение. Пусть hu> оп-
ределены для i = 2, ..., г. Тогда функция h(y) представима в
виде (2.12), причем
С>0.	(2.13)
Функция z — Н {у) = h™ (д') -г ... -'-Л(г)Су) является приближени-
ем функции ,г = ЛСу), определяющей интегральное многообразие
системы (2.3). Движение по этому интегральному многообразию
с точностью до членов порядка г описывается системой
f = Ву + Г(у, И (У))-	(2.14)
Таким образом, метод, предложенный А. М. Ляпуновым, поз-
воляет приближенно отыскивать интегральные многообразия системы
(2.3). Эта процедура может применяться и в случае, когда правые
части системы (2.3) лишь конечное число раз дифференцируемы
по всем переменным в окрестности начала координат.
Пример 2.3. Пусть р— малый положительный параметр. Система диффе-
ренциальных уравнений
dx ।	2 ,
dy ,	4
dz
—z—x2—4xy 4- y2 — 2x2z
имеет интегральное многообразие
z = h (x, y, p) = a20x2 -L auxy + a02y2
Коэффициенты a;j находятся из уравнения (2.9), которое принимает вид
[Ух+У—ху2 + xh] +	[ — х -1 - рр—у3J = — h—х2 — 4ху -ф у2 — 2x2h.
Сохранив в этом соотношении квадратичные члены, получим равенство
(2zz20x-рацу) (ух-\-у)-^(а11х + 2а02у) ( —х-фрр) =
— — а20х2 — ацху — а02у2 — х2 — 4ху + у2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых членах, для а20, аи, а02 получим
систему
2а2оЦ—он = — ®2о — 1»
2^20 Ч- 2poii — 2а02 — — ац — 4,
ац -р 2ро02 = — а02 -р 1.
Решение может быть записано так:
O(j2 = 1 -рО (р.),	011 = 0 (р),	а20 = — 1-рО(р).
19
Уравнения, описывающие поведение решений на интегральном многообразии,
имеют вид
^=pr —Z/—да/Ч-х/!,	х + цг/—Z/3.	(2.15)
Если в правых частях опустить члены четвертого и более высоких порядков
по х и у, а также члены третьего порядка, содержащие в качестве множителя
ц, то уравнения (2.14) примут вид
dx ,	„ dy .	.,
~^t=V-x тУ—х3> ^=—х+цг/—У3.
При достаточно малых значениях р, система, описывающая поведение решений
на притягивающем интегральном многообразии, имеет малое автоколебание.
Следовательно, и исходная система имеет малое автоколебание, лежащее на
поверхности г--—х2-\-у-\~...
2.3.	Неавтономные системы. Рассмотрим систему
= Y(t, у, г),
dz	<2Л6)
Z(t, у, z),
-отличающуюся от системы (2.3) тем, что функции Y и Z в пра-
вой части (2.16) содержат явно t. Будем предполагать, что при
всех t б R, у ё z£Rm функции Y, Z непрерывны по сово-
купности переменных, ограничены по норме достаточно малым
числом М и удовлетворяют условию Липшица по переменным у,
z с достаточно малой константой L. Относительно матриц В и С
сохраняются предположения предыдущего пункта.
При этих условиях система (2.16) имеет интегральное много-
образие z==h\t, у), для которого справедливы представление
(2.4) с оценками (2.6) и принцип сведения.
Если функции Y и Z имеют общий период по t или почти
периодически зависят от I, то такими же свойствами обладает
и функция h (t, у). Как и в предыдущем пункте, из гладкости Y
и Z следует гладкость функции h(t, у).
Если компоненты функций Y и Z являются голоморфными
функциями, представляемыми степенными рядами по переменным
уи .. ., yk, zt, . .., zm с периодическими по t коэффициентами,
то при сделанных выше предположениях относительно матриц В
и С из результатов Г. В. Каменкова [1] следует существование
функции z — h(t, у), удовлетворяющей уравнению
M+M[By+Y(t,y, h)] — Ch + Z(t, у, h).
Компоненты функции h (Z, J) могут быть представлены в виде
степенных рядов по переменным ylt ..., yk с периодическими
по t коэффициентами.
Подобно тому, как это делалось в автономном случае, функ-
цию h представим в виде
h [t, у) = h™ (t, у) + Л<8> (t, у) + ...,
20
где Л(/)(/, у)—функции, компонентами которых являются формы
/•го порядка от координат вектора у с коэффициентами, завися-
щими периодически от t. Для h{i) получаются уравнения вида
^- + ^By---Ch^ \-	у),
dt ду J	\	’
где W41'’ — известный вектор, компоненты которого Wf* (s — 1, ...
.... tri) представляют собой формы i-ro порядка переменных
I/,, ..., yk с периодическими по t коэффициентами, известным
образом выводящиеся из форм h\p (s= 1, ..., т, / < i). Из пос-
леднего уравнения Л0’’ определяются однозначно.
2.4.	Системы уравнений, имеющие многообразие стационарных
положений. Многие задачи механики систем твердых тел приво-
дят к системам дифференциальных уравнений с многообразием
положений равновесия. Исследование таких систем имеет специ-
фические особенности и требует точных определений. Основные
результаты по теории систем, имеющих многообразие стационар-
ных положений, принадлежат В. В. Румянцеву [1], М. А. Айзер-
ману, Ф. Р. Гантмахеру [1]. Нас в основном будет интересовать
попрос о понижении порядка системы.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
ЗГ Л(а, у, г),
^—Ву-г¥(а, у, г),	(2.17)
/7
~^Cz- Z(a, у, г),
где a, A£Rl; у, Y(tRk; z, Z£Rm. Будем считать, что
А (а, 0, 0) = О, Y(а, 0, 0) = 0, Z (а, 0, 0)	0. Тогда система (2.17)
имеет многообразие стационарных положений '№ = {(«, 0)|ag/?z,
0€/?*xP“}.
Следуя В. В. Румянцеву [1], будем говорить, что многообра-
зие ЭЛ устойчиво по отношению к переменным х — (у, z), если
для любой точки а £ R1 и любой окрестности нуля W фазового
пространства RkxRm можно указать такую окрестность нуля
WBc:RkxRm, что для любой точки хо = (_Уо, г0) € соответствую-
щее решение a--=a(t, а9, х0), x^x(t, ав, х0)(а(0, а0, х0)=--а0,
х (0, ав, х0) — х0) удовлетворяет соотношению
x(t, а9, х0) G W при /^0;
З.Н асимптотически устойчиво по отношению к переменным х==(_У, z),
если оно устойчиво по отношению к переменным х и, кроме
этого,
lim x(t, а9, хо) = О
/—*00
для всех хв g W.
Наконец, будем говорить, что 3)? стабилизируемо, если оно
асимптотически устойчиво по отношению к переменным х и при
21
t—>oo{a(/,a0, x0), x(t, ав, x0)} стремится к некоторой точке
многообразия ЗЛ, если ё WB.
Естественно предполагать, что A, Y и Z ограничены по нор
ме некоторой достаточно малой постоянной т и удовлетворяют
по а, у, z условию Липшица с малой постоянной X.
Пусть, кроме этого,
Це81)!<'Ref51 *I, К > 0, я^О, /£(— оо, сю),
||ecz||<l/Ce_a/, а > с, t ё [0, оо).
Тогда система (2.17) имеет устойчивое интегральное многооо
разие z=f(a, у), для которого справедлив обобщенный принциг
сведения. Движение по этому многообразию описывается системой
дифференциальных уравнений
^ = Л(а, у, f(a, у)),
^Ву+ Y(a,y,f(a,y)).
(2.18)
Система (2.18) имеет многообразие стационарных положений
9>1 = {(а, 0)]а€^г, 0£Rm}.
3)1 устойчиво (неустойчиво, асимптотически устойчиво, ста-
билизируемо) по отношению к переменным x = (j, z) в том и
только в том случае, если устойчиво (неустойчиво, асимптоти-
чески устойчиво, стабилизируемо) по отношению к переменным у
многообразие стационарных положений
Отметим, что интегральное многообразие z~f(a, у) наследует
гладкость правых частей системы (2.17).
§ 3. Интегральные многообразия
сингулярно возмущенных систем
3.1. Нелинейные системы. Рассмотрим систему
X, у),	^^g(t,x,y).	(3.1)
Здесь х = (х1( • • •, хт)\ f= (flt fmY ё Rm, У = («/„  • •, У„)т,
g = (g1, ..., g,;)T ё R’l< в—малый положительный параметр. Функ-
ции f и g определены и непрерывны по совокупности перемен-
ных при всех t£R, x^Rm и у из некоторой области DazRn.
Такие системы называются обычно сингулярно возмущенными.
Положив в (3.1) е = 0, получим так называемую порождающую
систему
~=f{t,x, у),	g(t,x,y) = Q.	(3.2)
Допустим, что второе уравнение системы (3.2) имеет изоли-
рованное решение
y = h0(t, х) (t£R, x£Rm).	(3.3)
22
(Говоря об изолированности решения y = h0(t, х), мы подразу-
меваем, что в некоторой окрестности ||_у—й0(/, х) || <1 р нет дру-
гих решений уравнения g(t, х, _у) = 0.)
Тогда на поверхности, определяемой равенством (3.3), система
(3.2) эквивалентна системе
х, h0(t, х)).	(3.4)
Ниже будет показано, что при некоторых естественных огра-
ничениях система (3.1) имеет такую притягивающую инвариантную
поверхность
y=h(t, х, е),	(3.5)
что h(t, х, O)=ha(t, х).
Движение по этой поверхности описывается следующей системой:
X, h(t, х, е)).	(3.6)
Анализ этой укороченной системы часто позволяет просто
решать вопросы об устойчивости, о периодических решениях и
др. для исходной системы (3.1).
Приведем более точные формулировки. Пусть выполнены сле-
дующие условия.
1. В области
G = {t£R, xtR”, Wy-h^t, Х)||< р}
функции h0, f и g, а также их первые и вторые частные произ-
водные по Л х, у равномерно непрерывны и ограничены.
2. Характеристические корни \ (I, х) (j—1, , п) матрицы
B(t, x)--gy(t, х, hB(t, х))
удовлетворяют условию
ReA,y(Z, х)<—2?	(у > О, /=1, ..., п).	(3.7)
Для системы (3.1) справедлива известная теорема А. Н. Ти-
хонова [1] о близости ее решений к решениям порождающей
системы (3.2). Центральное предположение в этой теореме состоит
в том, что изолированный корень y~-=hB(t, х) уравнения (3.7)
является асимптотически устойчивым положением равновесия так
называемой присоединенной системы
1 = ^, X, у),	(3.8)
в которой t и х рассматриваются|как параметры. Предположение 2
обеспечивает асимптотическую устойчивость по первому прибли-
жению. Система (3.1), для которой выполнены предположения 1—2,
будет называться системой с погранслоем.
К. В. Задирака доказал [1], что такая система имеет ин-
тегральное многообразие вида (3.5). Несколько позже Я. С. Барис
23
установил, что для этого многообразия справедлив принцип све-
дения.
Таким образом, решения системы (3.1), начинающиеся доста-
точно близко к многообразию, быстро приближаются к соответ-
ствующим решениям системы (3.6). Говоря точнее, любое решение
(x(t'), у (/)) системы (3.1) с начальным условием (^0, х0, _у0),
близким к интегральному многообразию (имеется в виду, что ве-
личина ||_у0—h(tB, х0, е) || достаточно мала), представимо в сле-
дующей форме:
х(0 = х(0 + Ф1(0,	,39)
у	x(t), е)-! <рД0-
Здесь x(i) — решение системы (3.6), обращающееся в ха при t = t0,
а функции ф,- (i = 1, 2) при t t0 подчиняются неравенствам
11!ф,-(О1КСЬо—й(/0, х0, е)||е“(/ /о),
где у и С—положительные числа. Кроме того, из устойчивости
(асимптотической устойчивости, неустойчивости) некоторого реше-
ния хх (t) системы (3.6) следует устойчивость (асимптотическая
устойчивость, неустойчивость) решения x=-x(t), у x(t), е)
системы (3.1).
В прикладных задачах может оказаться так, что условия 1, 2
выполняются не при всех x£Rm, а лишь для х из некоторой
определенной области DB. В этом случае система (3.1) имеет
притягивающее интегральное многообразие y~h(t, х, е), где
функция h(t, х, е) определена при х(Е Do.
Если функции f и g регулярно зависят от е	х,у, е),
g = g(t, х, у, е)), то в условия, обеспечивающие существование
притягивающего интегрального многообразия, следует внести из-
менения. Они заключаются в том, что h0(t, х) является корнем
уравнения g(l, х, у, 0) = 0, а матрица В (/, х) определяется
равенством
B(t, x) — gy(t, х, hB(t, х),^0).
Возможность замены сингулярно возмущенной системы (3.1)
регулярной системой меньшей размерности (3.6) представляется
весьма привлекательной. В связи с этим особое значение имеет
задача построения точного или приближенного интегрального
многообразия (3.5), т. е. определения функции h(t, х, е).
Простой способ приближенного построения интегральных мно-
гообразий систем вида (3.1) был предложен В. В. Стрыгиным
[1]. Если функции f,gnhB достаточное число раз дифферен-
цируемы по всем переменным, то функция h представима в виде
h (t, х, е) ha (t, х) + e/ti (Z,^x) -? ...
k ... Ч- zkhk(t, x)-r	x, e).	(3.10)
24
Коэффициенты /г, этого разложения однозначно определяются
из формального тождества
х> l^'t4\\ = g(t, х,	(3.11)
( <	i \	1	71	\	1 J
путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е.
При е —0 получается равенство
g{t, х, ha(t, х), 0) = О,
которое удовлетворяется тождественно в силу выбора функции
h9(t, х).
Функции fl t, х, 2 6'Л((Л х)> е\ g( t>x,	х), еА
\	i>0	)	\	i>0	)
можно разложить в формальные суммы по степеням малого па-
раметра е и представить в форме
fit, х,	х), e.\=f(t, х, h0(t, х), 0) + 2e‘Z(^ *).
\	<>0	1	i>\
(3.12)
glt,x,	х), е'\=26'17?(^ x)h;(t, x)-\-g,(t, x)].
\	i>0	J i>l
Здесь fi(t, x) зависят от hj (j a g-^t, x) зависят от hj
Приравнивая коэффициенты при первой степени е в тождестве
(3.11), получим уравнение для определения h1
+ х' h^'	°) = в^> x')h1{t, x) + g^t, х).
Отсюда
х>
Аналогичным образом, приравнивая в (3.11) коэффициенты при
е', получаем уравнение, из которого легко определяется функция
Л, (t, х).
Предположим, что найдены первые члены /г, (i = 0, ..., к)
разложения функции h. Пусть Я (t, х, е) = h0 (t, х) + e/fi (t, х) + ...
... + zkhk (t, х). Замена y = z-\-H{t, х, е) приводит систему (3.1)
к виду
x=f{t, х, z, е),
х, z + H(t, х, е), е),
ег-=2,(/, х, г, е),
g(t, х, z, e,) = — e.^—e,^f + g(t, х, z + H(t, х, е)).
При z = 0 функция g оценивается по норме величиной Cjeft+1
((?!—положительное число). Используя эту оценку, можно пока-
зать, что система (3.13) имеет интегральное многообразие
25
z = ekilhk+1(t, x, e), где hh+x{t, x, e)—ограниченная по норме
функция. Отсюда следует, что исходная система (3.1) имеет ин-
тегральное многообразие у —H(t, х, &)-' &kllhk+1(t, х, е).
Замечание 3.1. При изучении ряда прикладных задач при-
ходится иметь дело с сингулярно возмущенными системами, име-
ющими многообразие стационарных положений (см. п. 2.4). Для
таких систем при несущественных дополнительных предположе-
ниях устанавливаются основные утверждения теории интегральных
многообразий (теорема существования, гладкость, принцип све-
дения, асимптотика интегрального многообразия по малому па-
раметру). Уравнение движения по интегральному многообразию
также имеет многообразие стационарных положений.
Проиллюстрируем сказанное выше на примерах.
Пример 3.1. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка
d2x dx , Г (dx\2l . ,
. edP	Г 51пЛ
Перепишем это уравнение в виде системы
е-^=— у—еу2 — ex+sm t.	(3.14)
HI	lit
Здесь h0(t, x) = sin/, В (t, х)—1. Система (3.14), очевидно, имеет
погранслой и, следовательно, имеет интегральное многообразие y = h(t, х, е) =
= sin /+ 2 e'^z (^> *)•
Уравнение (3.11) в данном случае принимает вид
е [sin Z-| е/ц-фе3...]+	^--[-е3. • • j [sin t-фе/ц+е3...] =
— — ehi—e2ha—e3- • •—e (sin i-t-ehj + e3.. ,)3—ex.
Приравнивая слагаемые при первой степени е, имеем hi =—(x-J-sin2 i-pcos О-
Далее,
dhi . dhi . ,	,	,
-тгг4—sin t — —hi—xhi sin t.
dt ' dx
Отсюда h2 = 2 sin t [2 cos t-|-sin3/-|-х]. Уравнение, описывающее движение по
интегральному многообразию, имеет вид
^=sin t — е (x-[-sin2 t + cos /)У e2 2 sin t [2 cos Z-f-sin3 Z4-хЦ-е3...
Пример 3.2. Рассмотрим систему четвертого порядка
dxi 2 , dx2
ДГ=~Х1+г/1>
У1 — Х1У2 +X1-J-X2—Xi-j-e (yl + y2—Xi),
at
8 	==^2f/l — У 2 — -*-1 — X%— X}X2 “I-® (““ У1У2
26
Перепишем ее в векторной форме
dx ,.	, dy ,
^=g(x,y,e),
X
где
— Xi
Г	2	> 2 г 3\
_./v <, о\ ( У1 — Xlf/2 + *1 + *2—	.
g(x, у, e) = l	)+egi(x, у),
\x2yi — y2—Xi — x2—XiX2J
i '	(	У1+У2—Х1	\
gl (.X, у) = (	S1T!"	).
\ — У1У2—У1—х2/
Для коэффициентов разложения интегрального многообразия ft (х, е) имеем
h1(x) = B~1(x)	AoW) — gi(x, ft0(x))j,
причем
В-1(х) =--!--(— 1 Xi \
1+хЬ!\-х| -1/’
\— Xi—Х2 —XiX2J
/(X, ft0)=( Х*
p-Ux й ^ = ( (х1+хг)2-2х1 Х
°	\*i (xi + x2) — Xi — 2x2.
ал0
дх
Поэтому
Й1(Х)
—Xi _ 2xiX2 -J- х2 -J- Xj (3x2 2xi— Xi—x^x2)
1 “I-XjX2k—x2—Xi-|-X]X2-|-Xi-ф-x2 (xi+2xxx2 — 2xiX2^~x2—Xi) j
Движение по интегральному многообразию у — ft (х, е) исходной системы
описывается уравнением
^=/(х, ft (х, е))=/(х, ft0 (x) + eftj (х)Н-е3..
Если при вычислении функции ft (х, е) ограничиться членами Ло и ftj, то
последнее уравнение можно переписать так:
^-=(Л0-|-еД1)хН e/i(x) + e2...
Здесь
1
Ло —
1\
0/
a fi содержит члены ие ниже второго порядка по переменным xlt х2.
Нулевое решение уравнения, описывающего движение на интегральном
многообразии, асимптотически устойчиво, следовательно, асимптотически устой-
чиво и нулевое решение исходной системы.
/ О
1
27
3.2.	Линейные системы. Утверждения предыдущего пункта
могут быть наглядно проиллюстрированы на примере линейных
однородных дифференциальных систем с постоянными коэффи-
циентами. Рассмотрим систему вида
= Ах-|-Ду, г^-^Cx-Dy,	(3.15)
где x£Rm, y£Rn, а А, В, С и D—-постоянные матрицы. Эта
система имеет погранслой, если корни характеристического урав-
нения матрицы D имеют отрицательные действительные части.
Система (3.15), для которой это условие выполнено, имеет нело-
кальное интегральное многообразие
у — Н (е) х,
где Н (е)—(гехт)-матрица, элементы которой регулярно зависят
от е.
Из (3.11) следует, что Н (е) удовлетворяет матричному уравнению
&Н (А + ВН) - СDH.	(3.16)
Используя теорему о неявной функции, легко показать, что
уравнение (3.16) имеет решение Я(е) = Я0 --	-|- е2772— ...,
представимое в виде сходящегося степенного ряда. Матрицы Ht
(i=--0, 1, 2, ...) однозначно вычисляются путем приравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях е в равенстве (3.16).
Простой подсчет показывает, что
Яо = — D-1C, H1---D~1Ha(A-\ ВНа), ...,
Н; -= D
Н^А+% НрН_,_1+1
1 = 1, 2,
Для системы (3.15) при помощи матрицы Н (е) можно произ-
вести полное разделение движения. Пусть Н является решением
матричного уравнения (3.16). Тогда замена у = z -*• Нх приводит
систему (3.15) к виду
- (A -i- ВН) х — Bz, &^ = (D~eHB)z. (3.17)
Решение задачи Коши
=--(£>—&HB)z, г(О) = го
с помощью матричной экспоненты запишем в виде
Подставив z(t) в правую часть первого уравнения (3.17) е
используя обычную форму записи решений задачи Коши для
28
линейных неоднородных систем, получим
t
x(t) — х0 + F(t, s)ds,
о
F(t, s) —е(ЛьВ/У) {t~s) Be{° &HB} B z0.
Поскольку корни характеристического уравнения матрицы D
имеют отрицательные действительные части, то интеграл
§ е~и+вт s Ве° еНВ) Е zads--= Ах0
о
t	00	00
конечен. Из равенства \F(t, s) ds= \ F(t, s)ds—^F(t, s)ds вы-
текает, что
x (/) =е(Л+а//) ((x0-• Ax0)—e{A+BH}{t~s> Be (D sHB) 8 zods.
t
Решение системы (3.15) с начальными условиями х(0) = хо,
подобно (3.9) запишем в виде
х(/)^х(1)Н <Р1(0» У =	ф2(0-	(3-18)
Здесь х (/)—е<л+ВЛШ (х0 +Ах0)— решение системы
£-(Л,-вя)х,
обращающееся в х0 = х0 + Ах0 при t = О,
J е<л + в«) (z~s> BeiD~sHB)~zods,
t
ф-гНВ)^-
фг— £	^o> ?„—= Jo B[xg.
Функции <pz подчиняются неравенствам
II Ф1 (О II ’С 6^1 \Уо~^ХО I! е Е ,	(2 |д|
Цфа^И^СгИь—нхйIIе	/>0,
с некоторыми постоянными у, Сп С3 > 0. Если выбрать начальную
точку (х0, Jo), принадлежащую многообразию у = Я(е) х, то, оче-
видно, го = 0, фх(/)э0, <р,(0 = 0 и, следовательно, х(/) = х(0,
у (/) = н (е) х (t) — решение, траектория которого лежит на этом
многообразии. Таким образом, для любой _точки (х0, j0) мы ука-
зали такую точку х0 = х0 Ч- Ах0, Jo = Н (е) х0, лежащую на много-
29
образии у = II (е) х, что решение системы (3.15), выходящее из
точки (х0, У о) при / = 0, неограниченно приближается при t —* оо
к решению х = х (/), у = Н (е) х (/), х(О) = лго, лежащему на этом
многообразии.
Рассмотрим теперь систему линейных сингулярно возмущенных
уравнений общего вида
|=Л(0ж-В(1)у+/(0,
X	(3-2°)
= C(0x-| -D(t)y + g(t)t
где х, f£Rm, у, g<ERn, А, В, С, D—матрицы. Пусть функции
и матрицы, входящие в правые части системы (3.20), определены,
равномерно ограничены и равномерно непрерывны вместе со своими
производными при t£R. Пусть корни Х,(/) характеристического
уравнения матрицы D (t) подчиняются неравенству Ре (/)
—а<0 (1 = 1, ..., n; t£R).
При этих предположениях система (3.20) имеет интегральное
многообразие
у = Н (t, е) х h (t, е),
движение по которому описывается системой
^ = (Л + В//)х-|- Bh±f.
В соответствии с (3.11) матрица Н и вектор h являются огра-
ниченными на всей оси решениями уравнений
е^ + еЯ(Д + ВЯ) = С + РЯ,	(3.21)
е-^-|-6В(ВЙ + /)=ПЛ + а-.	(3.22)
Произведя в системе (3.20) замену y-^H(t, &)x~rh(t, е) Ч- z,
можно разделить быстрые и медленные движения, перейдя к си-
стеме
= (А + ВН) х + Bh +/+ Bz,
Подобно тому, как это делалось выше для систем с постоян-
ными коэффициентами, решение системы (3.20) можно записать
в форме (3.18). Отличие заключается лишь в том, что при обосно-
вании вместо матричных экспонент используются соответствующие
фундаментальные матрицы.
Если матрицы и функции, входящие в правые части системы
(3.20), обладают достаточным количеством ограниченных частных
производных по t, то для матрицы H(i, е) и функции h(t, е) спра-
30
неддивы конечные асимптотические разложения по степеням г,
коэффициенты которых однозначно определяются из соотношений
(3.21), (3.22) путем приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях е.
§ 4. Квазиосциллирующие системы
4.1. Два примера. В предыдущем параграфе рассматривались
сингулярно возмущенные дифференциальные системы, для которых
выполнялось условие асимптотической устойчивости присоединен-
ной системы (3.8). Для широкого круга прикладных задач это
условие является слишком ограничительным. Есть системы диффе-
ренциальных уравнений, для которых можно разделить движение,
в частности, методом интегральных многообразий при более слабых
ограничениях. Приведем пример системы, для которой не выпол-
няются условия теоремы А. Н. Тихонова, но существует притя-
гивающая интегральная поверхность.
Пример 4.1. Рассмотрим систему третьего порядка с малым параметром
Решение этой системы с начальными условиями х — х0, У~Уо> z = z0 при
t = 0 имеет вид
x(t, е) = х0-'- J (i/o-i ?о) (1 — e~2t) + en (t, е),
y(t, =	cos-^-/-|-~ (zo4 e*/o)sinA- t j ,
z (t, e) e-t | z0 cos	1 — 1 (y^-| ez0) sin 1J ,
t
, Г I 1 Г 2 /г0-| ey0\2 I 2vt .	z0-|-e(/0 . 2vl )	.
8Я(/, 8) = ^ e-24-2	Zo ) J c°s~sin —
0
(2z0y0 + eyl),
где
Решение порождающей системы
dx
a^=0, J/=0, z —0
имеет вид x = x0, y — 0, z = 0.
Легко видеть, что утверждение теоремы А. Н. Тихонова о том, что
решение исходной задачи при е —>- 0 стремитея к решению порождающей
системы, здесь неверно, поскольку для y(t, е) и z{t, е) предельный переход
невозможен. Для х(/, е) предел при 8—+0 существует, но отличается на конеч-
ную величину (i/q + z2) (1 — e~2t) от решения порождающей задачи. Эго свя-
зано с тем, что не выполняется основное требование теоремы А. Н. Тихонова
об асимптотической устойчивости присоединенной системы, которая в данном
31
примере имеет вид
dy
dx
dz
dx
У-
В то же время система (4.1) имеет интегральное многообразие у = 0, z~Q.
Это многообразие обладает свойством притяжения, поскольку любая траектория
системы (4.1), выходящая из точки (х0, У z0) при t = 0, неограниченно прибли-
жается к траектории (х, 0, 0), лежащей на многообразии. Здесь
со
х^х0 + 4-(#о+2оН	= e)dt.
о
Устойчивость интегрального многообразия объясняется наличием «демпфи-
рующего члена» —2ег, имеющего порядок 0(e) в уравнениях для «быстрых»
переменных у к г.
Пример 4.2. Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами
.вида
Аа — Ьа— Н$-]~Са—k$ = О,
Лр + ^ + Яа + ср-! йа = 0.	( )
Все коэффициенты предполагаются неотрицательными, Н—большой па-
раметр.
Корни характеристического уравнения
1ЛХЧ-6ЛН С —Hk—k I
| HK+k ЛХ2 + ^->С|-0
системы (4.2) имеют вид
Л1,2 = —v±tx, Хз, v-= — 1] ± l'y,
где	_____________
v = (b—	у(— tn+V п)^:2А,
(т4-рлп)^:'2Л,
j/'-£(.— 'n+Vrn)^j2A,
V=(h+	1(/п+/п))/2Л,
П = (№ + 62_4ЛС)2 +16Ak (Ak—bH) + \QACH*,
m=-H* — b* + 4AC.
Для чисел v, х, у, ц справедливо асимптотическое представление
, k . Cb . „ / ’1 \ С	kb . _ I 1 \
Н +//2 +°^ яз ) ’ Н
Точное решение системы'(4.2) с начальными значениями а = а0, Р = Ро»
а = а0, р = Ро при / = 0 можно представить следующим образом:
a(0 = a(/)+<pi (t), РЮ = Р(0 + <Р2(0.	(4-3)
32
адесь
a(t)=e v;[gicosx/ — g2sinx/],
P (/) — e~vZ [gi sin y.t g2 cos x/],
(4.4)
q>i (/) = e-,1Z [p cos y/4-<7 sin y/],
<p2 (/) = e~^c [— p sin 7/4-? cosy/],
где
P = — IСП — v) bx — (x + y) 62] • ,
6j = a,) 4~ 'vao 4“ *Po,
<7=[(x4-y) *i — (n—v)62]-^-,
Z>2 ~ $0 — X.CZq 4- vPo,
gi = «0 — P, ё2~3о— q> A = (x4-Y)24-(n —v)2-
Введя обозначения x — a, //=p, е=1/Я, перепишем систему (4.2) в виде
da	dp
~dF=x’	Гу'
dx	6.1 C	, k „
e -57-=— e —г*4—г У— e—г“4-е-г P,
dt	А 1 А 3 А А'
dy	1	6	С ,о	k
---т х—е.—гУ—е—r-JP—е^а.
dt	A	A	А"	А
Эта система, очевидно, не имеет погранслоя. В то же время из (4.3) — (4.4)
Видно, что она имеет притягивающее интегральное многообразие
х = — va—хР, y = v.a — vp.
Уравнения, описывающие движения по этому интегральному многообразию,
имеют вид
da	а . dp о
-------va-xp, _ = Xa —vp.
Функции a (/) и Р (/) определяют решение этих уравнений с начальным
условием a(0)^g1, P(0) = g2. Точное решение исходных уравнений предста-
вимо в виде суммы «медленной» составляющей (a(/), Р (/)) и экспоненциально
убывающей добавки (<pi (/), <р2 (/)). Если начальные значения выбраны на интег-
ральном многообразии, тогда tp^sO, if>2sO, a = a(/), Р = Р (/).
4.2. Слабонелинейные системы. Рассмотрим систему дифферен-
циальных уравнений вида
^ = ДХ4-Ву4-/(/, х, у, 8),
А	(4.5)
e-jf = C(e)j + 8g(;, X, у, 8),
где х, у, g(tRn, А, В, С—матрицы, 8—малый положи-
тельный параметр.
Относительно функций f и g будем предполагать, что они
определены и непрерывны в области {t£R, x£Rm, ||_у || р,
2 В. В. Стрыгин, В. А. Соболев	33
OsCesCe0} и удовлетворяют неравенствам \\f(t, х, О, 8)||<Л1,
|| g (Л х, 0, е) ||s^ М и условию Липшица с постоянной L по пере-
менным х и у (Л4 и L—достаточно малые положительные числа,
р > 0).
Матрицы А и С (е) будем предполагать такими, что имеют
место неравенства
||ел/1| sC КеР-\'I, t$R,
||ес<£)/|| < Ке~Ы, />0,
с некоторыми числами /С > 0 и р > а 0.
Система (4.5) не имеет погранслоя, поскольку некоторые
корни характеристического уравнения матрицы С (0) могут иметь
нулевые действительные части. Тем не менее при высказанных
предположениях система (4.5) имеет притягивающее интегральное
многообразие
y==h(t, х, е),
движение по которому описывается уравнением
^ = Ахл Bh(t, х, е)-! /(/, х, h(t, х, е), е).	(4.6)
Рассмотренные в примерах 4.1, 4.2 системы являются част-
ными случаями системы (4.5). Как и в этих примерах, решение
(x(t), у (t)) системы (4.5), удовлетворяющее начальному условию
x(t0) = x0, y(t0)=y0, представимо в виде
_ х (0 = x(t) , (fj (/), у (/) ~h(t,~x (0, 8) -- <ра (0,
где x(t) — решение уравнения (4.6), удовлетворяющее начальному
условию х(/) = х0, а функции <р, (/) подчиняются неравенствам
11Ч’/(^ЖС|1Ь~Л(/о, ХО, e)||e-v('-'o),	t0,	(4.7)
с некоторыми положительными числами С и у, а < у < р.
Заметим, что для систем с погранслоем в оценке типа (4.7)
показатель экспоненты содержал малый параметр в знаменателе.
Если матрица С (0) обратима и функции f и g имеют доста-
точное количество ограниченных частных производных по всем
переменным, то функция h(t, х, е) может быть представлена
в виде разложения по степеням малого параметра. Алгоритм
вычисления коэффициентов этого разложения ничем не отличается
от соответствующего алгоритма для систем с погранслоем.
Сформулированные выше утверждения справедливы и для
систем более общего вида.
В следующей главе метод интегральных многообразий будет
применяться для исследования систем вида (4.5), в которых
матрица С будет зависеть от t и х, а функция g может не содер-
жать в качестве множителя е. Возможность применения аппарата
интегральных многообразий для анализа таких систем будет сле-
довать из теорем гл. VII.
34
§ 5. Интегральные многообразия систем
дифференциальных уравнений с несколькими малыми
параметрами при производных
Во многих прикладных задачах встречаются системы с различ-
ными скоростями протекания процессов. Например, в гироскопи-
ческих системах с вырожденной матрицей гироскопических сил
возможны три типа движений: медленные—прецессионные, быст-
рые— нутационные и маятниковые. В управляемых механических
системах, кроме быстрых и медленных движений самой механи-
ческой системы, имеют место и быстрые движения, обусловленные
жесткостью цепей управления. Эти задачи приводят к необходи-
мости исследования дифференциальных систем со многими малыми
параметрами при производных.
Для изложения основных идей можно ограничиться двумя
малыми параметрами. Будем рассматривать системы дифферен-
циальных уравнений вида
f = х, у, 2),
х,у, 2),	(5.1)
-Z(t, X, У, 2),
где х, X£.Rk, у, Y£Rm, 2, Z£Rn\ е и р—малые положитель-
ные параметры. Здесь целесообразно рассмотреть две принци-
пиально различные возможности.
5.1.	Системы с погранслоем. Выделим случай, когда отношение
параметров ц/е мало. Целесообразно ввести обозначения 8 = 8!,
ц/8 = 82. Система (5.1) примет вид
^ = X(t,X,y,2),
Y(t, х, у, 2),	(5.2) ;
8i82-^r = Z(/, X, у, 2),
где 8П 82—малые положительные параметры. Положив в послед-
нем уравнении этой системы 82 = 0, получим уравнение
Z(t, х, у, 2) =0.	(5.3)
Предположим, что это уравнение имеет изолированное решение
2 = h0{t, х, у), t£R, x£Rk, y£Rm.
Пусть выполнены следующие предположения.
1.	В области Q = {(Z, х, у, 2)\t£R, x£Rk, y£Rm,
||z—h0{t, x, _y)||«Ср} функции X, Y, Z, а также их первые и
вторые частные производные по всем переменным равномерно
непрерывны и ограничены.
2*	'	35
2.	Корни характеристического уравнения Z,-, t=l, п,
матрицы
А х’ У) У’ х’ У’ А« х> -У))
удовлетворяют условию
ReX,(£, х, у)<-2у, у>0	(/ С R, х(Е Rk, У ё Rm)-
Как и в п. 3.1, из предположений 1, 2 следует существование
притягивающего интегрального многообразия
z^h(t, х, у, 8г, 82)	(5.4)
системы (5.1). Движение по многообразию осуществляется в соот-
ветствии с уравнениями
-§- = %(/, х, у, h(t, х, у, е3, 82)),
dv	<5’5>
х' У' h^’ х’ У’ ei’ е^)-
Пусть г—некоторое целое положительное число. Если правые
части системы (5.2) обладают достаточным количеством ограни-
ченных частных производных по всем переменным в области Q,
то при достаточно малых еь 82 справедливо асимптотическое
представление
h(t, х, у, ех, е2) = Л0(/, х, у) + &2Ьг(1, х, у, 8,) + ...
...-г8^Л,(Л х, у, 8г) + &r2+1hr+1(t, х, у, 81; е2),
где Ло, Лп ..., Лг+1 — гладкие функции переменных t, х, у и
параметров е,, 82.
Коэффициенты этого разложения, как и в § 3, легко находят-
ся из равенства
8182-^- + 81e2-^-X(/) х, у, h) +
+ ^Y(t, х.у, h) = Z(t, х.у, h) (5.6)
путем приравнивания членов, содержащих в качестве множителя
одинаковые степени параметра 82.
Если уравнение
Y{t, х, у, h0(t, х, J»)) = 0
имеет изолированный корень y=Ha(t, х), для которого выполня-
ются предположения типа 1, 2 этого пункта, то система (5.5) имеет
притягивающее интегральное многообразие
y = H(t, X, 8Х, 82),
поведение решений на котором описывается уравнением
^=X(t, х, H(t, х, 8lt е2), h(t, х, H{t, x, 8П e2)), 8n 3j); (5.7)
36
функция H(t, х, е1; е2) может быть найдена с любой степенью
точности в виде асимптотического разложения по степеням пара-
метра ер Коэффициенты разложения определяются из равенства
X, И, h(t, X, И, 82)) =
~Y(t, х, Н, h(t, х. И, 81, 82)). (5.8)
Сформулированные выше условия, гарантирующие существо-
вание притягивающих интегральных многообразий, сходны с ус-
ловиями теоремы А. Н. Тихонова для систем с несколькими малыми
параметрами. Естественно поэтому, как и в случае одного малого
параметра, называть их системами с погранслоем.
Система (5.5) содержит только один малый параметр 8! при
производных, а в правые части системы малые параметры 8j и 8а
входят регулярным образом. В прикладных задачах система (5.5)
может не иметь погранслоя. Но, как уже отмечалось в § 4, и
в этом случае возможно применение метода интегральных много-
образий. Так, например, если система (5.5) имеет вид (4.5), где
функции fug регулярно зависят еще и от параметра 82, то при
предположениях п. 4.2 система (5.5) будет иметь притягивающее
интегральное многообразие
X, 81, 82)=^81Я1(^, X, 8,)e.2iH2(t, X, 82)+...
• • . +8^ЯГ(/, X, e2)H-8j+W, + 1(Z, X, 8j, 82).
5.2. Системы с произвольными малыми параметрами. Хорошо
известно, что некоторые прикладные задачи по существу явля-
ются многопараметрическими. В таких задачах требование малости
отношения малых параметров является неестественным ограниче-
нием. Вообще говоря, отсутствие связи между параметрами услож-
няет анализ. Но для некоторых классов систем и в этом случае
удается строить интегральные многообразия. Основное отличие
от предыдущего пункта заключается в том, что асимптотические
разложения для функций, описывающих интегральные многообра-
зия, производятся одновременно по степеням всех малых пара-
метров.
Рассмотрим случай, когда правые части системы (5.1) зависят
от 8 и р и имеют специальную структуру:
= х, у, Z, 8, p) + Py + Q,e,
£-&--А (е)_у-4- Y0(t, x) + e,Y(t, х,у, z, 8, р),	(5.9)
р	В (р) г + Zo (/, x)-rpZ(£, х, у, z, 8, р).
Здесь х, X£Rk, у, Fo, Y£R’n, z, Ze, Z£R”, P, Q, A, В—
матрицы.
37
Пусть выполнены следующие предположения.
1.	Все функции, входящие в правые части системы (5.9), оп-
ределены в области П = {(/, х, у, z, е, u.) | f $ R, х € R\ ||у || < р,
||^II < р, 0^е^ео, О^р^ро}, обладают достаточным количе-
ством ограниченных частных производных по всем переменным.
2.	Функции X(i, х, 0, 0, ё, р), Y0(t, х), Y(t, х, 0, 0, е, р),
Z0(t, х), Z(t, х, 0, 0, ё, р) ограничены по норме достаточно
малыми числами.
3.	Функции X, Yo, Y, Zo, Z удовлетворяют условию Лип-
шица по переменным х, у, г с достаточно малыми константами.
4.	Существуют такие числа К > О, Р > 0, что при t > О,
О е е0, 0 < р р0 выполняются неравенства
I /1(Е) Я < Ке- | е W | < Ке~&.
Тогда система (5.9) имеет притягивающее интегральное много-
образие
y — H(t, х, 8, р), z = h(t, х, е, р).	(5.10)
Если матрицы Л (0) и В (0) обратимы, то при достаточно малых
значениях 8 и р для функции h и Н справедливы асимптотиче-
ские представления
H(t, х, 8, р)-=/70(£, х) -|-8/710 (t, х)4-
4 82/720(1, х) 4- ер/7и (t, х) + p2ff02 (t, х)+...,
h(t, х, е, р)=Л0(/, x)-rpftoi(?, х)-1-
4-8%0(^, х) -4-ерЛ11(^, х) + р2Л02(<, х) + ...
Функции Яо, Ло, h[f, Hif, i, /=1, 2, ..., гладким образом
зависят от переменных t и х, могут быть легко найдены путем
приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е и р
в равенствах
8^-е|^[Х(/, х, Н, h, 8, p) + P/f-rQA]-
А (е.) ff ~'r YB (t, х)-|-8К(/, х, Н, h, 8, р),
р^--р-|£[Ха, х, Н, Л, 8, р) иРЯ-! <2Л] =
= В(р)Л-; Z0{t, x)-!-pZ(/, х, Н, h, 8, р).
Движение по интегральному многообразию (5.10) системы (5.9)
осуществляется в соответствии с уравнением
+ X(t, х, Н, h, е, р),	(5.11)
которое содержит 8 и р только регулярным образом.
Изложенный метод в последующих главах будет применяться
для исследования систем вида (5.9) при несколько более общих
предположениях по сравнению с приведенными в этом пункте.
ГЛАВА II
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 6.	О допустимости перехода к прецессионным
уравнениям гироскопических систем
6.1.	Уравнения движения. Гироскопические приборы представ-
ляют собой очень сложную систему связанных между собой твер-
дых тел, среди которых имеются роторы с быстрым вращением.
Одна из особенностей таких систем состоит в том, что при ее
анализе можно выделить гироскопические силы, зависящие от
обобщенных скоростей и не совершающие работы на действитель-
ных перемещениях. Эти силы были введены в рассмотрение Том-
соном и Тетом [1], исходя из метода Рауса малых колебаний.
В уравнения движения гироскопические силы входят в виде ли.
нейных форм ^gikqk по обобщенным скоростям qk с кососиммет-
рической матрицей Точные уравнения движения гироско-
пической системы описываются весьма сложными и громоздкими
нелинейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при ана-
лизе уравнений движения обычно используют разного рода при-
ближенные методы.
Наиболее распространенным является использование более
простых уравнений прецессионной теории гироскопов. По существу
формируется упрощенная механическая модель системы, которая'
отличается от исходной пренебрежением кинетическими моментами
элементов подвеса гироскопического устройства, кожухов его
гироскопов, кинетическими моментами роторов двигателей и дат-
чиков углов, а также экваториальными составляющими кинети-
ческих моментов роторов гироскопов и т. д. Этот метод наиболее
полно разработан А. Ю. Ишлинским [1]. Такой неформальный
подход требует тонкой механической интуиции и опыта работы
с гироскопическими приборами.
Кроме этого, при исследовании сложных электромеханических
систем переход к уравнениям прецессионной теории обычно со-
вершается путем отбрасывания в уравнениях движения некоторых
малых членов. При этом вопрос о допустимости такого подхода
часто остается открытым.
Д. Р. Меркип [2] при исследовании систем, находящихся под
действием гироскопических, консервативных сил, а также сил
39
диссипации и радиальной коррекции, поступает следующим об-
разом.
Исходя из физических соображений, устанавливается, что
гироскопические силы линейно зависят от некоторого большого
параметра Н. Уравнения движения представляются в форме
d дТ2 дТ.2 п  и	/с 1 \
dt dqk dqk~^- H^Sikqj,	(6-1)
где qk, k = l, .... n—обобщенные координаты системы, T,—по-
ложительно определенная квадратичная форма относительно ско-
ростей qk, Н—константа, gJk — —gkj, Qk—обобщенные силы. Пре-
цессионными называются уравнения вида
<^Я2М/ = °-	(6.2)
i = ।
По своей структуре уравнения (6.2) являются существенно более
простыми по сравнению с уравнениями (6.1). В частности, при
замене уравнений (6.1) прецессионными уравнениями порядок
системы дифференциальных уравнений понижается вдвое. Решения
уравнений (6.1) определяются 2п произвольными постоянными,
а решения уравнения (6.2) можно определить с помощью п про-
извольных постоянных. Поэтому возникает вопрос о связи между
решениями этих уравнений.
Будут ли решения прецессионных уравнений и в каком смысле
достаточно полно характеризовать движение механической системы?
В частности, будет ли из устойчивости состояния равновесия
прецессионных уравнений (6.2) следовать устойчивость соответст-
вующего состояния равновесия полной системы (6.1)?
Ответы на эти вопросы будут ниже получены с помощью
метода интегральных многообразий.
В заключение отметим, что вопрос о математическом обосно-
вании прецессионной теории изучался многими авторами. Доста-
точно полный обзор содержится в работах И. В. Новожилова
[1—3]. Линейные автономные и некоторые классы нелинейных
систем исследовались Д. Р. Меркиным [1—2J. Важные результаты
по этой проблеме получены А. И. Кобриным, Ю. Г. Мартыненко
[1—3], И. В. Новожиловым [1—3]. Вопрос о допустимости ис-
пользования прецессионных уравнений рассматривался также
В. С. Новоселовым [1] и В. И. Зубовым [1].
Уравнения (6.1) представим в форме
dt
X)J) =
= -[G(^, х)-\ sB(t, x)]y+^£(A(t,x)y)Yy\-eQ(t,x). (6.3)
40
Здесь x£R", A (t, х) — симметрическая положительно опре-
деленная матрица, G (/, х)— кососимметрическая матрица гиро-
скопических сил, В (/, х) — симметрическая матрица диссипативных
сил, Q(t, х) — вектор обобщенных сил, е=1//7—-малый параметр.
Прецессионные уравнения (6.2) примут вид
[G(/, х)+еВ(/, x)]-^- = eQ (/, х).	(6.4)
Уравнения (6.4) получаются из (6.3) отбрасыванием некоторых
членов, содержащих в качестве множителя малый параметр. С точки
зрения метода малого параметра и его модификаций правомерность
такого упрощения, когда часть малых членов сохраняется, а дру-
гая часть, имеющая тот же порядок малости по е, опускается,
не совсем понятна.
Так как корни характеристического уравнения |Х/— G | = О
лежат на мнимой оси, то основное требование теоремы А. Н. Ти-
хонова об асимптотической устойчивости присоединенной системы
не выполнено. По-видимому, именно этими обстоятельствами объ-
ясняются трудности, возникающие при использовании аппарата
асимптотических методов при обосновании возможности перехода
к прецессионным уравнениям. Для обоснования допустимости
такого перехода применим метод интегральных многообразий.
6.2.	Полные прецессионные уравнения. Рассмотрим сначала
квазилинейные автономные системы, которые могут быть приве-
дены к виду (Д. Р. Меркин [2])
(Во -/7G)4- (С + Р) х = X (х, ).	(6.5)
Здесь x£Rn, G—постоянная кососимметрическая матрица,
В„—диагональная постоянная матрица с положительными эле-
ментами, С и Р — постоянные матрицы потенциальных и некой- ,
сервативных сил, X—достаточно гладкие нелинейности не ниже
второго порядка по х и dx/dt, И—большой параметр. Можно
dx
считать, что функция X представима в виде Х = Х0 (х)4-А'1	+
H-X2fx,где Xi—(пхп)-матрица, Л'1(0)=^0; Х2(^х,
содержит члены не ниже второго порядка по dx/dt.
Для (6.5) прецессионными будут уравнения
(Bo + /7G)^4-(C-P)x = Xo(x)-|A’1(x)^.	(6.6)
Перепишем (6.5) в виде
-G)y-s(C ,-P)x-sX(x, у). (6.7)
Систему (6.5) имеет смысл рассматривать только при доста-
точно малых по норме значениях х и dxldt. Поэтому можно
41
считать, что функция Х(х, у) в (6.7) определена при |[ х || < р
||_у||<р, где р—-достаточно малое положительное число. Так как
корни характеристического уравнения матрицы Во положительны,
а матрица G имеет обратную G-1, то система (6.7) является част-
ным случаем квазиосциллирующей системы (4.1) и, следовательно,
имеет локальное интегральное многообразие
У = h (х, е) = еЛг (х) 4- 82Л2 (х) -|- . . .	(6.8)
Функция h(x, е) определена при ЦхЦ^р, 0 < е < е0, где р
и е0 — достаточно малые положительные числа. Движение по ин-
тегральному многообразию описывается уравнением
%--Л(х,г).	(6.9)
Коэффициенты Л,(х) разложения функции Л(х, 8) по степе-
ням малого параметра однозначно определяются из равенства
е дЛ(£ е) h (х, е) - (G + 8В0) h (х, 8)-
—&{С~Р)х -&Х(х, h(x, е)). (6.10)
Допуская ошибку в членах не ниже третьего порядка по е,
последнее равенство можно заменить соотношением
0 = —[G -г еВ0] h (х, е)—е(С Р) х — &Ха (х) 4-	(х) h (х, е).
Уравнение (6.9) в пределах той же степени точности примет
вид
%- _ e[G щ е (В.-Х, (х))]-1 [(С - Р) х-Х0 (х)]. (6.11)
Уравнения (6.11) после умножения наматрицу G+e(B0 — Xt (х))
превращаются в уравнения (6.6), т. е. прецессионные уравнения
эквивалентны уравнениям, отличающимся от уравнений, описы-
вающих движение по многообразию, лишь членами порядка О (s3).
Уравнения (6.9) будем называть полными прецессионными урав-
нениями *).
Для уравнений примера 4.2 полные прецессионные уравнения
имеют вид
da	„	dB	„
—rr = — va—xp,	-£---xa— vp.
at	1	at	1
Важно отметить, что правая часть полных прецессионных
уравнений может быть найдена с любой степенью точности по 8.
*) Если рассматривать линейные системы (6.5), то линейное интегральное
многообразие'(6.8) единственно и определено при всех x£Rn. Если же система
(6.5) нелинейна, то, вообще говоря, локальное интегральное многообразие
y = h(x, е) может оказаться неединственным. Однако коэффициенты /г,- разло-
жения по степеням малого параметра для различных h одни и те же.
42
Из результатов § 4 следует, что решение уравнений (6.5) пред-
ставимо в виде суммы некоторого решения полных прецессионных
уравнений и быстро гаснущих добавок. Кроме того, нулевое ре-
шение уравнения (6.5) устойчиво (асимптотически устойчиво, не-
устойчиво) тогда и только тогда, когда аналогичным свойством
обладает нулевое решение полных прецессионных уравнений.
Уравнения на многообразии—это точные уравнения для ре-
ально существующего класса «чисто прецессионных» движений,
т. е. уравнения движений со специальными начальными условиями.
В отличие от большинства работ, посвященных математическому
обоснованию прецессионной теории, здесь не строится асимптотика
решений, а выделяется класс медленных движений, которые яв-
ляются главными при построении качественной картины. Полные
прецессионные уравнения являются точными уравнениями для
этих движений. Здесь строятся асимптотические разложения пра-
вых частей этих точных уравнений, а не решений задачи Коши.
Метод интегральных многообразий позволяет получать ясную кар-
тину поведения решений и с достаточной полнотой изучать пре-
цессионные движения.
Ясно, что при решении многих задач нет необходимости изу-
чать полные прецессионные уравнения (как и обычно, при изуче-
нии уравнений, регулярно содержащих малый параметр, доста-
точно ограничиться некоторыми их приближениями, например,
обычными прецессионными уравнениями).
Если уравнения (6.5) явно зависят от времени, то коэффи-
циенты разложения h{ определяются из равенства
[ dh (t, х, е) . dh(t, х, е) ...	,1
е[ ot - дх	х’
= — (G+eB0) h(t, x, e)—e (C+P) х+еЛф/, x, h(t, x, e)). (6.10a)
В этом случае при замене полных прецессионных уравнений;
обычными прецессионными уравнениями совершается ошибка уже
в членах порядка О(е2).
6.3.	Нелинейные неавтономные системы. Обратимся теперь
к системе (6.3). Будем предполагать, что выполнены следующие
условия.
1.	Матрицы Д(/, х), B(t, х), G(t, х) и функция Q (/, х)
определены, непрерывны и ограничены вместе со своими произ-
водными по t£R и x£R'1 до r-го порядка включительно (г^З).
2.	Существует и ограничена при t g R, x£Rn матрица G-1 (t, x).
Ограничимся вначале случаем, когда A (t, х) и B(t, х) —
диагональные матрицы. Обозначим через й1( (/, х), й,,(/, х) диа-
гональные элементы этих матриц. Пусть, кроме этого, выполнено
условие:
3.	Существует такое положительное число а, что
a;i (/, х) а, Ьи (/, х) a (i = 1, .. ., п, t £R, х ё Rn).
43
Тогда система (6.3) имеет единственное притягивающее инте-
гральное многообразие
y~-~-h(t, х, e.) = e.h1(t, х)4-82Л2(/, х)+...	(6.12)
Если же матрицы A (t, х) и В{1, х) не диагональные, то
условия существования такого интегрального многообразия фор-
мулируются более сложно. Так как матрица A (t, х) — симметри-
ческая и положительно определенная, то существует симметри-
ческая положительно определенная матрица F(t, х), являющаяся
квадратным корнем из матрицы А (/, х), т. е. F2^A (см. Ф. Р. Гант-
махер [1]). Предполагается, что матрица F~l(/, х) ограничена
при t£.R, x£Rn. Далее, в уравнениях (6.3) произведем замену
z = F {t, х) у. Учитывая равенство
4	(F (/, X) z) д-^-^ ZA-F (t, х) 4 + [I (F (t, X) г)](/, х) z,
уравнения для х и z можно представить в виде
ТГ-f-'V, *)г.
— L^iG> х)4-еВ1(^, x)+e.F1(t, x)]z-j-eZ(t, х, г)+еХ(^, х),
(6.13)
где
G1 = F"1GF~1, B^F-'BF-1, F1 = F~1-^-,
1	1	’	1 dt ’
X-F'Q.
В (6.13) Gl—кососимметрическая матрица, BL—симметриче-
ская матрица, компоненты вектор-функции Z(t, х, z) являются
квадратичными формами координат вектора z.
Для того чтобы система (6.13) имела притягивающее инте-
гральное многообразие z — H(t, х, е), достаточно, чтобы выпол-
нялись условия 1, 2 и условие:
За. Существует такое положительное число Ь, что корни
ХДС х) характеристического уравнения | X/—Во | = О, В0 = В1-\-
4- у (Ег -г- Fl) подчиняются неравенствам
\ (1, х) >6 (i = 1, . . ., tv, t R, x £ R").
Если dF/dt^O (т. e. A(t, x) не зависит от t), то, очевидно,
Во — BL.
Обоснование сформулированных выше утверждений будет дано
в § 25—28.
Если система (6.13) имеет притягивающее интегральное много-
образие z —H)t, х, е), то система (6.3) имеет притягивающее
интегральное многообразие (6.12), где h = F~YH.
44
Таким образом, условия 1—3 (За) обеспечивают существова-
ние притягивающего интегрального многообразия y=h(t, х, е)
системы (6.3).
Для функции h(t, х, е) справедливо асимптотическое пред-
ставление
Л(/, х, е) = e,hL (/, х) -г ... — ег-1Лг_1 (t, х) -\-e,rhr (t, х, е), (6.14)
где Л,(/, х) (i — 1, ..., г—1) и hr(t, х, 8)— ограниченные по
норме функции.
Функции /tz(i=l, ..., г—-1) определяются из равенства
*77 И (t x)h(t, х, s)) -г е [-^-(Д x)h(t, х, e)) j h{t, х, е) =
—[G(Z, х)н~8В(?, x)]h(t, х, 8)-t8Q(Z, х) +
х’ e)]T*(** х> 8)- (6-15)
Используя (6.14), из (6.15) можно последовательно найти функ-
ции Л,. Приравнивая коэффициенты при 8 в первой степени, имеем
0 = — G(t, xjhitt, x)-rQ(t, х).
Приравнивая коэффициенты при е2, получаем
-^-(Д(/, x)h1(t, х)) —— G(t, xjFi^t, x)—B(t, xjh^t, x).
Отсюда следует, что
Л1 — G-1 (t, х) Q (t, x),
h.^-G-^t, x)\B(t,	х)Л0].
Точно так же можно определить и последующие Л,- (i > 2).
Уравнение
^ = Л(/, х, 8),	(6.16);
которое описывает поведение решений системы (6.3) на интеграль-
ном многообразии, можно записать следующим образом:
4£ = eG-iQ__82G-i |bG-iq b±(4G-iQ)]-re2/i3(/, х, е), (6.17)
где h3(t, х, е) — ограниченная по норме функция.
Матрица G обратима, а В—ограничена. Поэтому при малых
значениях 8 обратима матрица G^-eB. Представив эту матрицу
в виде G(/~eG-1B) и используя известное асимптотическое пред-
ставление для обратной матрицы
(/ —еС)-1=-/ + 8СЧ е2С2-г ... ,
получаем
[G + 8В]-1 = [G (/ 4 eG-'B)]-1 = [/—8 (—G^B)]-^"1 =
^G-i—eG-1BG-1 + e2...
45
Отсюда следует, что уравнения (6.4) можно представить в сле-
дующей форме:
^^eG-’Q —82G-1BG-1Q+e3 ...	(6.18)
Сравним уравнения (6.17) и (6.18) с уравнением (6.16), опи-
сывающим поведение решений на интегральном многообразии. За-
писанные в форме (6.17), они отличаются от прецессионных урав-
нений (6.4) в форме (6.18) членами порядка 0(82) в общем случае
и членами порядка О(83), если матрицы G, А и функция Q не
зависят от t. Прецессионные уравнения в форме (6.18), таким
образом, весьма близки к уравнениям, описывающим поведение
решений на интегральном многообразии. Уравнения (6.16) будем
называть полными прецессионными для системы (6.3).
Любое решение (х (/), у (/)) системы (6.3) с начальным значе-
нием (/„, х0, у0), близким к интегральному многообразию (имеется
в виду, что величина ||_у0—h(tQ, х0, е) |[ достаточно мала), пред-
ставимо в следующей форме:
x(/)-=x(Z) + q>(/),
у (/)= h(t, х (t), в)-; ф(0;
здесь x(t)— решение уравнения (6.16), а функции <р и ф при
t ~^t0 подчиняются неравенствам
IMOIKeCllb—h(t0, Хо, е)
Н(01К ЯЬ-h (i0, х0, 8)||е-?('-Ч
где С и у — положительные числа.
Другими словами, любое решение уравнений (6.3), начинаю-
щееся вблизи интегрального многообразия, представимо в виде
суммы некоторого решения полных прецессионных уравнений и
малой быстро гаснущей добавки. В этом смысле переход к пре-
цессионным уравнениям является допустимым. Кроме того, из
устойчивости (асимптотической устойчивости, неустойчивости) не-
которого решения х0 (i) полных прецессионных уравнений следует
устойчивость (асимптотическая устойчивость, неустойчивость) реше-
ния (x0(t), h(t, x0(Z), 8)) уравнений (6.3).
6.4. Влияние возмущающих сил, зависящих явно от времени.
Уравнения малых колебаний около положения равновесия под
действием возмущающих сил F(t) имеют вид (Д. Р. Меркин [2])
4-^ + (В0 ГC1X—F(t).
Это уравнение можно получить из (6.5), если положить С 4-
+ P = Cj, X = F(t). Будем предполагать, что функция F(I) опре-
делена, непрерывна и ограничена вместе со своими производными
до r-го порядка включительно (г^1) при t£R.
46
Как обычно, эти уравнения можно представить в виде системы
А ~- — — (В0-\-HG)y-C1x-ir F(t).	(6.19)
Эта система имеет притягивающее интегральное многообразие
jy (е)х-и/(/, е), 8=1/Я. Движение по этому многообразию
описывается линейными дифференциальными уравнениями
=	е).	(6.20)
Это—полные прецессионные уравнения исходной системы (6.19).
Матрица 9 (е) и функция /(/, 8) могут быть вычислены в виде
асимптотических разложений 9 (е) = &3\ -i е2У2 н ...,	—
= - еД (/) ~i е2/г(0 т • • • Как отмечалось в п. 6.2, полные прецес-
сионные уравнения (6.20) отличаются от прецессионных уравнений
(Ва~ HG)^-rC1X==F(t)	(6.21)
членами порядка О(е2).
Если при исследовании прецессионных колебаний достаточно
учитывать члены порядка 0(e), то можно ограничиться рассмот-
рением обычных прецессионных уравнений (6.21). Если же необ-
ходимо учесть члены более высоких порядков, то следует восполь-
зоваться либо полными прецессионными уравнениями, либо более
точными их приближениями.
Пусть, например, нужно учесть члены порядка 0(е2). Тогда
в качестве уточненных можно рассматривать уравнения
(Во 4 HG) 4- С1Х --F(t)--^AG^d-^,	(6.22)
которые отличаются от полных прецессионных уравнений членами
порядка О (83).
Рассмотрим уравнения колебаний гироскопического маятника
Аа Н Н$ 4 Ьа 4 Са, --- h. sin (at,
А^—На 4&Р~С₽-0.
Вынужденные колебания имеют вид
а
Р
Вынужденные колебания прецессионных уравнений можно по-
лучить из (6.23), полагая Д=-0. Таким образом, при переходе
к прецессионным уравнениям теряется один главный член в коор-
динате а, имеющий порядок 0(1/№).
(С — 4со2) h .	, bh i , п
— -----hs 2— sln — ТУГ" cos 4- о
Л2С02	П‘(£>
h	4. , Г>( 1 \
(6.23)
47
Уравнения (6.22) в рассматриваемом примере имеют вид
I ba + Са = h. sin <л1,
— На —	— Ср = —	cos со/.
Простой подсчет показывает, что вынужденные колебания этих
уравнений имеют вид (6.23).
6.5. Прецессионные движения тяжелого гироскопа в кардано-
вом подвесе. Рассмотрим движение тяжелого гироскопа в карда-
новом подвесе с вертикальной осью внешней рамки. Предполагаем,
чю общий центр масс ротора и кожуха лежит на оси вращения
ротора на расстоянии / от центра подвеса. Уравнения движения
с учетом вязкого трения в осях подвеса запишем в обозначениях
А. И. Кобрина и Ю. Г. Мартыненко [1]
А (Р) а — Н (cos Р) р + Е (sin 2р) ар — т^а,
Вор—Н (cos Р) а — у £ (sin 2Р) а2 = — т$>—Pl cos р,
Д(Р) .-=(Д-: AJ cos2 р-Н Ci sin2 р-Ь А2,
—	E — Cl—А — Аг.
Здесь а—угол поворота внешней рамки относительно непод-
вижного основания, а р—угол поворота внутренней рамки отно-
сительно внешней; А = В, С и Aj, В], Cj—главные моменты инер-
ции ротора и внутренней рамки, Д2—момент инерции внешней
рамки относительно ее оси вращения, Р — вес гироскопа, гг^
и т2—коэффициенты сил вязкого трения, Н—кинетический мо-
мент ротора.
Сделаем замену времени i — Tx. Пусть
^)^й(Р),	^- = е,
Do
тгТ	т2Т	h
о — °i>	в	—
D о	по
PIT
-- _ V
S0
TH 8'
Рассматривая случай быстро вращающегося гироскопа, будем
предполагать, что постоянная времени Т выбрана так, что без-
размерные величины а(Р), е, v, blf b2 имеют порядок 0(1), as<^l.
В новых переменных а^аТ, ₽! = $£ и уравнения движения при-
мут вид (6.3), где
U Г	(	} к О IJ ’
G(£x)-|	° о cons₽L B(t, х) = Д ? V Q(t, х) = ( Л,° Д
v \ — cos р 0 у ’ v '	\0 У v ’	\ —v cos р У
Неравенства из условия 3 (см. п. 6.3) для матриц А и В,
очевидно, выполняются. Матрица G при р, изменяющемся вне
фиксированных окрестностей точек ± л/2, имеет ограниченную
обратную. Функция Q и все матрицы, входящие в уравнения,
48
имеют бесконечное количество ограниченных частных производ-
ных по р.
Таким образом, выполняются достаточные условия допустимо-
сти перехода к полным прецессионным уравнениям, которые имеют
ПИД
х/ у
=	e)^₽A(P) '^Л2(₽)+...
Из равенства (6.15) найдем коэффициенты Л,
Пусть Л- (f, gy,f—f (р, 8) = гу (Р) -ь 82/2 (PH- ..., g=g(Р, 8) =
₽‘ «£1 (₽) Ч 82£2 (PH . • •
Функция
^(ЛЛН-О.
Учитывая
h и матрица А от т не зависят, следовательно,
выражения для Л и ft, имеем
1 (ДЛ) = £
дх' ' д.
I д_
\дх
/	\0 g'
/О a'f\
\0 О Л
Штрихом обозначается дифференцирование по р.
Равенство (6.15) принимает вид
!	g\
\ g'g )-
«-If 0 C0SP Vuepi. °\|	0 uef 0
| \ —cos Р О J Ь \0 b2j J \ g j 2 \a'f2j 1 v cos P; 
Приравнивая коэффициенты при 8 в первой степени, получаем
А _ f °	cos ₽ \ ( /1 \ !_ ^	0 А
\ — cos р	О И gi / ' k — v cos Р / '
Отсюда следует, что
или f^—v, gi = 0.
При 82 имеем равенство
о _. _ f 0	cos Р А! Ъ \ ! (— 6i 0 \ (А А
\ — cos р О I \g2 И \ 0	— b2 j \gi ) ’
т. е.
Далее, приравнивая коэффициенты при -83, имеем
Л _! О	cosPWM , f-bi 0 WOHl/ 0>
COS р О J AgsH \ о — b2 j \g2] 1 2 \а'1У ’
т. е.
b = -^sinP-!	£3 = 0.
49
Наконец, приравнивая коэффициенты при е4 и учитывая, что
/1 = 0, имеем
[	0 COS ₽ ,! ft \ _ц I — Ь1 0 \ f fs \
\ 0 j V — cos Р 0 ] \ gt) Ц 0	—b2’\g3/'
Отсюда получаем
Уравнения, описывающие движение по интегральному много-
образию, имеют вид
dot	о / t, 'Qi	\	। к
— = ev — eJ v2esinp-! —4 e5 .. . ,
dx	\	cos2 p j
dP
dx
— e2
vdt
COS P
e4 [ ev26j tg p 4- 3vfe3&5- 4- 85. . .
L 1 ° r COS’* P
(6.24)
Выпишем первое из уравнений (6.24) в исходных переменных,
пренебрегая членами, содержащими 8 в степени, выше третьей.
Имеем
Р1 Е (Р/)2	„ РЕп^т^
~7Т /уз—sinP—//3COS2p •
(6.25)
Из (6.25) вытекает, что при наличии диссипативных сил уход
по углу а связан с неуравновешенностью гироскопа и наличием
вязкого трения в осях подвеса, а «магнусов уход» несуществен.
Речь идет, конечно, только о движениях с начальными значениями
«о, 0о, “о, ₽о, Для которых величины | а0—f (₽0, е) | и | ₽0—g (£„, е) |
достаточно малы.
Из второго уравнения системы (6.25) видно, что движение
тяжелого гироскопа с вязким трением в осях подвеса весьма близко
к регулярной прецессии. Сохранив в этом уравнении только глав-
ный член, получим
cos В-^ = — 82vbj.
r dx	1
Интегрируя последнее равенство, получаем
sin Р = — sin ро.
Отсюда следует, что за время порядка О (1/е2) переменная р
примет значение, близкое к —л/2 для v > 0, т. е. за довольно
большой промежуток времени рамки «почти складываются». При
изучении движения вблизи точки р = — п/2 полные прецессион-
ные уравнения неприменимы, так как в этой точке матрица G
вырождается.
Чтобы изучить поведение решений исходной системы в окрест-
ности точки р = — п/2, сделаем замену р = у—п/2. Получаем
50
уравнения
^-В
Л^Р1’
= ^=-.-^(1 rc~sin2Ta 6 г bl
ch с (у) Р1 с (у)	1P1 с (у) ’
е ^1 = sin ?«!-•- ее—а2—— evsiny,
c(y)-afy—-
Исходные уравнения не содержали явно а, поэтому получен-
ная система может рассматриваться как система трех уравнений
Первого порядка относительно переменных у, а, Р15 имеющая ну-
левое положение равновесия.
Чтобы изучить устойчивость этого положения равновесия, рас-
смотрим функцию V — c(y)al P;4~2v(l— cosy), производная ко-
торой в силу системы имеет вид
? = -2MI -2^-еsin2у^ |=
= —2 (bjtZi b2P| j- е sin 2уа?Р1).
Заметим, что функция V—положительно определенная; функ-
ция V является отрицательно определенной в окрестности начала
координат всюду, за исключением прямой а1 — О, Рх —0, на кото-
рой она обращается в нуль. Но эта прямая не является траек-
торией, следовательно, в силу теоремы Барбашина—-Красовского
точка у = 0, а = О, Рх = О асимптотически устойчива, т. е. р —> —л/2
при t —> оо.
Приведенные рассуждения показывают, что при движении
тяжелого гироскопа в кардановом подвесе происходит медленное
«складывание» рамок.
6.6. Прецессионные уравнения гировертикали. Исследование
движения гировертикали с радиальной коррекцией приводит к
уравнениям (см. Меркин Д. Р. [2])
Ла—Яр—/гр.-0,	Др-|-Яа~йа-0.	(6.26)
Нулевое решение этих уравнений неустойчиво. В то же время
Нулевое решение прецессионных уравнений
ЯР 4- йр 0, На Д- ka = О
асимптотически устойчиво. Следовательно, переход к прецессион-
ным уравнениям следует считать недопустимым. Это, конечно, не
противоречит результатам п. 6.2, поскольку для уравнений (6.26)
матрица диссипативных сил нулевая. Тем не менее, метод инте-
гральных многообразий позволяет проанализировать и этот случай.
51
Перепишем уравнения (6.26) в виде системы
dx________________	/ а \	1
dy 1 ! О 1\	, е Г О k\
1	A \-k O)X1
которая заменой переменной у^г—zkx и времени t = — т при-
водится к виду
dx ' k О \	по.
— =	\x—z,	(6.28)
dx \ 0 k /	' ’
_±17°	 ^/-k °VU_ ±1/* °\ г
dx ' А 0; : V 0 — АД] * 1 А2 \0 kJ*’
Во втором уравнении системы (6.28) к вектору z применяется
устойчивая матрица. Поэтому данная система имеет притягиваю-
щее интегральное многообразие z — Р (е) х. Разложение матрицы
Р (е) по степеням е начинается с третьей степени, т. е. Р (е) = е3Р (е).
Движение по многообразию описывается уравнениями
dx	I k 0\	2D-/ \
-г-=е ।	, :—е2Р(е) х.
dx	\0 k	' 7
Нулевое решение этих уравнений при малых значениях е не-
устойчиво. Следовательно, система (6.27) имеет интегральное мно-
гообразие, движение по которому в реальном времени t устойчиво,
а само многообразие неустойчиво, т. е. с увеличением t траекто-
рии, начинающиеся вне многообразия, удаляются от него.
Если же в уравнениях (6.26) добавить диссипативные члены
Ьа, Ь|5, то переход к прецессионным уравнениям становится до-
пустимым.
К тем же результатам можно прийти и другим путем. Урав-
нения (6.26) представляют собой частный случай уравнений, рас-
смотренных в примере 4.2, и могут быть получены из них при
Ь--^0, С-0.
При этом константы v, ц, х и у вычисляются по формулам
, k п! 1 \	k • n I 1 )
V~ Н ±0\H2J ’	Н ^°\Н2)'
Ak2 , _ 7 ’1 \	Н , \Ak2 -{ 1 \
Н2 +°\ТР j '	~ А Н2
Так как константа — ц положительна, то траектория всякого реше-
ния, начинающегося вне интегрального многообразия, удаляется
от него при t—>оо.
§ 7. Прецессионные уравнения гироскопических систем
на подвижном основании
При выводе уравнений движения гироскопической системы на
подвижном основании часто удобно пользоваться системой коор-
динат Ox^xpcJJ, которая движется поступательно относительно неко-
52
(7-1)
торой инерциальной системы. Уравнения движения имеют вид
d дТ* дТ* г, ,	ч
где Т*—кинетическая энергия материальной системы координат
Oxjxjxg. К обобщенным силам Qk добавлены обобщенные пере-
носные силы инерции QJk (Меркин Д. Р. [2J). Последние могут
содержать большой параметр в качестве множителя.
Нам удобно уравнения движения гироскопической системы
представить в виде
dt
(С x)j] = —[G(/, x)-i eGj/, x)-i еВ(/, x)]>H-
+ т[дг(Л (^- *).У)]Т.У-г Qo(/> x) i-eQj/, x).
В отличие от уравнений (6.3), здесь член eQ заменен членом
Qo ; eQj и добавлено слагаемое—eG^ (Gx—кососимметрическая
Матрица).
7,1.	Приближенное построение прецессионных уравнений.
В этом пункте мы не будем останавливаться на вопросах сущест-
нования интегрального многообразия и его свойств. Эти вопросы
будут рассмотрены в гл. VII, в которой будут установлены
утверждения о существовании локального притягивающего интег-
рального многообразия
у =h(t, х, е)
(7-2)
и доказано, что h представимо в виде разложения по степеням
малого параметра е. Коэффициенты hj(t, х) (i = 0, 1, ...) этого
разложения определяются из равенства
‘|ий)2-4ж('4Л)1л“
= _[GH.e(G1.i.B)]A + Q0^eQ1 + |[(А)л]ТЛ. (7.3)
Полагая в (7.3) е —0, получаем 0 — — GA0 —Qo, т. е.
Ло-С-^о.	(7.4)
Приравнивая в (7.3) коэффициенты при е в первой степени,
получим соотношение
4(лЛо) + |^ИЛо)]Ло =
_ Qh1—(G1 • В) Vr I [	л ; Л0]ТЛ0 -- Q !
Отсюда находим
h^-G^	+ [-fe-А°~
-у А )Л0]тАо (G. -I В) Ло-Qi} •	(7.5)
53
Ограничиваясь в разложении h членами, содержащими в
в степени не выше первой, получаем приближенно уравнения,
описывающие движение по интегральному многообразию в форме
^ = Л0(/,х)-'-еЛ1(^х).	(7.6)
Здесь функции Ло, hr определяются формулами (7.4), (7.5).
Во многих задачах анализ уравнений (7.6) дает достаточна
полную картину поведения решений системы (7.1).
7.2.	Гироскоп на равномерно вращающемся основании. В ка-
честве примера рассмотрим движение гироскопа в кардановом
подвесе на равномерно вращающемся основании с угловой ско-
ростью о > 0 (см. X. Л. Смолицкий [1]). Предполагается, чта
ось наружной рамки вертикальна, а гироскоп уравновешен.
Положение системы определяется углами: |3—угол поворота внут-
ренней рамки относительно наружной, а—угол поворота наружной
рамки относительно основания, — <р — угол между осью враще-
ния основания и осью наружной рамки.
Введем в рассмотрение функции
f (p) = Q—Psin2p,
Ф (а, р) = — sin ф sin Р—cos ф cos а cos р,
Р (а, Р) = - (R—Р) cos ф cos а - - 2R соэрФ(а, Р),
V (а, Р) = -^- [7?Ф2 (а, P) -j S cos2 ф sin2a].
Здесь Р Io~'}}ly , Q	, R	,
е (Rz	^2у) Г г	«
3 =------—------------ ; /, /0—осевой и экваториальный моменты
инерции ротора; Ilx, Ilt, /1г—моменты инерции внутренней
рамки соответственно относительно оси ротора, оси внутренней
рамки и относительно оси, перпендикулярной первым двум;
I2x, I2u, I2z—моменты инерции наружной рамки относительно
оси, перпендикулярной плоскости рамки, осей внутренней и на-
ружной рамок.
После замены времени t —»со/ и введения малого параметра
е —co/Q (й—полная угловая скорость ротора) уравнения движе-
ния примут вид (7.1), где
\ о р) ’
° cos р \	/	0Р\
° cosp 0 ] ' Ц— Р 0 ]•
(дФ\	/дУ \
dec | л________। dec ।
дФ ’	\ dV /'
dp /	\ dp /
54
Из (7.4) имеем
/дФ\
.  	1	10 —IW да j / — sin <p 4- cos ф cos a tg p'\
0 cos p 1	0 ] l дФ j \	— cos ф sin a j
Vdp/
Подставив выражение для й0 в (7.5), находим
' _ Г	аф 1	рд2Ф 1	। р ] аФ дф I	дЧ	'
| dp	да cos р да2 cos р J др	2 да cos Р	др
1 г а2ф \ аф _!_< Гр аф 1 ,
V1'1"' дадр) др ’cosp |	’ др ‘ dp 'cosp '
д ! дФ 1 \ 1 дФ 1___________дУ
др Г. др	cos р ) J да cos р	да ;
Легко проверить, что уравнения движения имеют положения
равновесия а = 0, Р = <р; а = л, Р — <р. В этих точках матрица G
невырождена, поэтому в окрестности каждой из них допустим
переход к приближенным уравнениям (7.6). Положив в (7.6)
« -0, получим после линеаризации в точках (0, -- ср), (л, —ср!
уравнения вида
da р dp _ a
dt	cos ф ’ dt	cos ф ‘
Выделим теперь в уравнениях (7.6) главные линейные члены.
Имеем
dht I
dx |a=0, л
Р=± <₽
! ь2 д2Ф \
Г cos Р да2 /а=о, л
₽=± <г
^21
Й12
д / дф 1 \ 1
cos р др \ др cos р / ]а=0, л
₽=± <р
Здесь h12, h2l—числа, полученные подстановкой в соответст-
вующие элементы матрицы dh-Jdx значений а=^0, л, Р = ±<р.
Подсчитаем диагональные элементы матрицы dhyjdx при а = 0, л,
Р = ±ф. Из выражения для Ф находим
д2Ф I
cos2p да2 |а=о
₽=<₽
д / дф 1 \ I =
cos р др др cos р ) |а= о cos ф ’
₽=<₽
Ь2 д2Ф I ________,
cos2p да2 |а=л 2’
₽=-<₽
д / дФ 1 \ I _ by
cos р др \ др cos р ) |а=л cos2 ф’
₽=-<₽
55
Таким образом, уравнения (7.6), линеаризованные в точке
(О, (р), имеют вид
= —eb2a • i —-----г ₽,
dt	2	' \ cos <р 1	12 J1
-дт- - (— cos ср -i e/i21)a—е b\ В.
, dt v т 217 cos2 ф1
Корни характеристического уравнения
— cos ф -j- e/i-2i — е-------т—
Г	СОв2ф
имеют отрицательные действительные части при е > 0 и положи-
тельные действительные части при е < 0. Аналогично для точки
(л, — ср) действительные части корней соответствующего характери-
стического уравнения положительны при е > 0 и отрицательны
при е < 0.
Из принципа сведения вытекает, что полные уравнения дви-
жения имеют при (O/Q > 0 асимптотически устойчивое положение
равновесия а 0, Р = ф и неустойчивое a — л, Р — —ф; при ы/П < О
положение равновесия а= 0, Р = ф неустойчиво, а положение
равновесия а —л, Р- —-л—асимптотически устойчиво.
§ 8. Уравнения прецессионной теории для систем
с вырожденной матрицей гироскопических сил
Переход к прецессионным уравнениям обычно совершается,
когда матрица гироскопических сил G обратима. Однако еще
Д. Р. Меркин отмечал возможность частичного упрощения урав-
нений и в вырожденном случае. В этом параграфе показано, что
для построения аналога уравнений прецессионной теории для
систем с вырожденной матрицей G применим метод интегральных
многообразий.
8.1. Пример, показывающий неприменимость прецессионной
теории в вырожденном случае*). Рассмотрим систему дифферен-
циальных уравнений
eA^+(G-| еВ)^ = 0,
• a \	J	0	0\
х = '\ 3 ,	А = ( 0 7 0,	(8.1)
\?/	\0	0	JJ
/0	gi	g2\	/k	0	0\
G-- [~gi	0	gs , B = {o	k	o).
\— g2	— g3	0 /	\0	0	kJ
) См. Меркин Д. P. [2].
56
Как обычно, прецессионные уравнения запишем в форме
(О •!««#=о.
(8-2)
Простой подсчет показывает, что решение уравнений (8.1)
С начальным условием х (0) = х0,	(0) — х0 имеет вид
(8-3)
С другой стороны, прецессионные уравнения имеют решение
Jf = x0, которое отличается от решения полных уравнений (8.1)
членами, не содержащими е. Таким образом, переход к прецес-
сионным уравнениям приводит к неприемлемым результатам.
Покажем теперь, как можно получить уравнения более низкого
Порядка, решения которых имеют вид (8.3). С этой целью в урав-
нениях (8.1) сделаем замену переменной х = Ту, где
. / g3P —gig gzgs\
T-Tp{-^p ° рг b	+
* х giP gagi gigt'
T—ортогональная матрица (т. e. T~l = (T)T). Уравнения для век-
тора у имеют вид
еЛ-^ + (С1 + еВ)-^^0,	(8.4)
где
в.-Т-ОТ-/’ о,У <V-(_J *).
Перепишем (8.4) в виде следующей системы:
	dth - „			 I y21
	dt	dt 't'22’	2 ~ \^22
dvi dt		 k	D _ ! — J V1’	о eJ^(G2+eB2)v2.		°Л — kj'
(8-5)
Эта система имеет притягивающее интегральное многообразие
t>2 —О, движение по которому описывается уравнениями
dyi	dy2 п dt/з п dvt k _ /Q
57
Решая эти уравнения и возвращаясь к исходным переменным,
легко получить, что х определяется формулой (8.3).
Следует отметить, что в рассмотренном выше примере порядок
уравнений, описывающих движение по интегральному многооб-
разию, выше, чем порядок прецессионных уравнений. Это обстоя-
тельство имеет место и для более общих уравнений.
8.2.	Аналог прецессионных уравнений в вырожденном случае.
Пусть кососимметрическая матрица G в уравнениях (6.3) вырож-
дена. Удобно считать, что уравнения (6.3) заранее приведены
к виду (6.13).
Будем предполагать, что при всех t£R, х £ R'1 характеристи-
ческое уравнение |GX (/,%)—Х/| = 0 имеет п—г нулевых корней.
Хорошо известно, что существует такая вещественная ортого-
нальная матрица T = T(t,x), что при любых фиксированных t
и х справедливо представление
TTGiT-(o -gJ’	М
где Gr—невырожденная кососимметрическая (гХг)-матрица.
Естественно попытаться, используя (8.7), таким образом пре-
образовать исходную систему (6.13), чтобы выделить в ней урав-
нение с малым параметром при производной, в котором роль
матрицы гироскопических сил играла бы невырожденная мат-
рица Gr.
Предположим дополнительно, что матрица Т (t, х) ограничена
и имеет при всех t£R, x(zR'1 достаточное количество ограни-
ченных частных производных ио этим переменным. Тогда в урав-
нениях (6.13) можно сделать замену Z-T(t, x)v. Для новых
переменных х и V получаем уравнения
^L-F~lTv,
at
е-^-(Тс)-—[G^-eBj-l-eF,]?©-; zZ(t, х, Tv) -i- eX (t, x). (8.8)
Так как (Tv) = j +	(F~1Tv) j v + T , то умножая
второе из уравнений (8.8) на Тт слева, получаем
4*F~lTv,
at
e-g-=-TT[(G1-i	+ ^\v+^Z(t, x,Tv)-\- (8-9)
-~s.T-xX(t,x),
где
Z-Z(t, х, ^-[-g-^-’Tc)]©.
Так как для матрицы 7'TG17', входящей во второе уравне-
ние (8.9), справедливо представление (8.7), то целесообразна
58
ипести в рассмотрение векторы с, и с2, компонентами которых
ннляются п—г первых координат и г последних координат век-
тора v соответственно. Легко видеть, что уравнение для вектора с.
Не содержит малого параметра е.
Введем обозначения
г-т=(₽Л).	=
\ ^2 /	\ Л 2 /
Тогда уравнения (8.9) можно записать в виде
P2v2,
^--R^-.-R^-’, Z. X.,	(8.10)
[Gr Н е/?22] с2 -I- е [Z2Х2 /?21с.].
Пусть R ~-j(R22 + Rli)- Если корни Х, = Х; (/, х, с) характе»
ристического уравнения | R—0 удовлетворяют неравенству
ReX,< — ₽<0, i=l,..., г,
При t(z.R, x£Rn, || ®i||^p (р—некоторое положительное число),
То уравнения (8.10) имеют притягивающее интегральное много-
образие с2 = Л(/, х, Ср 8). Это многообразие является локальным,
поскольку функции, входящие в правые части уравнений (8.10),
содержат в качестве множителей компоненты вектора
Уравнения, описывающие движения по интегральному много-
образию, имеют вид
jp = P1(Z, х) ®!-|-Р2(^, х)Л(/, х, Ср е),	(81р
—1 = Ru (t, х) cr+^i2 (Л х) h (/, х, cn e)+Zt (t, x, cn h)-X} (t,x).
Функция h(t, x, Ср е) представима в виде асимптотического
разложения по степеням малого параметра 8.
Найдем первый член этого разложения из равенства
*\%Г Н^(Л®ИЛЛ) i ^HpcHRpfth^G+ZoJ^x, СрЛ)] =
= [Gr-I 8#22]й ; el?21CieZ2(/, x, ©i, h) eX2.
Если в этом равенстве приравнять коэффициенты при первой
степени малого параметра, то получи.м соотношение для оп-
ределения Йр
Grftr-' R^v^-г Z2(i, х, clt 0)-yX2 = 0,
т. е. hl=- — G~1(R21vlA Z2(t, х, ©р ОН Х2).
59
Уравнения (8.11) с точностью до членов порядка 0(e) вклю-
чительно имеют вид
d^-^PlV1-EP2G^(R21V1--	+
(8.12)
5 = ^i®i + Z01 : X^R^G^R^ \ Z02 + X2),
где Z01 = Z1(/, x, c1( 0), Z02 = Z2(Z, x, ©j, 0).
Уравнения (8.11) представляют собой аналог полных прецес-
сионных уравнений, а уравнения (8.12) являются хорошим
приближением последних.
8.3.	Линейные автономные системы. Пусть уравнения гиро-
скопической системы имеют вид
^ + {GH + B0^--vKx^O,	(8.13)
где x£Rn, G, Во, К — постоянные матрицы. Пусть матрица G —
вырожденная кососимметрическая, Во — симметрическая положи-
тельно определенная матрица, Н—большой параметр. Уравнение
(8.13) эквивалентно системе (6.7) при С. Р=-К, Х^О,
Известно, чго корни характеристического уравнения | X2/+
4- X (GH । Ва) — К | — 0 разбиваются на три группы: корни по-
рядка 0(1///), корни порядка О (Н) и корни порядка 0(1). Этим
группам корней соответствуют прецессионные, нутационные и
маятниковые колебания. На примере несвободного гироскопа в
кардановом подвесе (этот пример будет рассмотрен ниже) К. Маг-
нус [1] показал, что и в случае, когда определитель матрицы G
равен нулю, можно получить, перейдя к прецессионным уравне-
ниям, вполне достоверный результат для частот (но не для ре-
шений).
Применим для упрощения уравнения (8.13) метод, изложенный
в предыдущем пункте.
Пусть характеристическое уравнение |G—-Х/|- 0 имеет п—г
нулевых корней. Через Т обозначим такую вещественную посто-
янную ортогональную матрицу, что
T'GT---(„ ° \
\0 GJ’
где Gr — невырожденная кососимметрическая матрица размерно-
сти г х г.
Введем переменные х = Ти, dx/dt ^ Tv. Для и и с из (8.13)
имеем
du/dt = v,
= —	G')Tv — &rKTil,	(8.14)
е= 1/Я.
Пусть и2 и V.,—векторы, компонентами которых являются г
последних компонент векторов и и с соответственно, a W—век-
60
тор размерности 2(п—г), компонентами которого являются п—г
первых компонент векторов и и V. Систему (8.14) представим в
форме
е -- (Gr еР22) 1»2 - ePxw 4 еР22и.
Здесь
Р =(рц ЯиУ	R = {p^'r
где
(J11 Я12\ _ГтвоГ> (£и р^'\.^_ТткТ'
\А21	А22	/	\-T21	*22/
Так как R22—положительно определенная матрица, то система-
(8.15) имеет нелокальное притягивающее интегральное многообра-
зие
V2 = е.Н (е) и2 -т еЛ4 (е) W,
движение по которому описывается уравнениями
— нН (е) «2 -| е.И (е) W,
dw	(816>
-^ = (Р-г eQM)w-\-(R^hQH) и2.
Эти уравнения описывают маятниковые и прецессионные ко-
лебания.
Матрицы Н и М удовлетворяют соотношению
e,sH(Hu2-i Mw) 4 е2Л4 [Pw- Rti2-\- eQMw)] =
= e (Gr -l sR22) (Hu2 I Mw) + e.Pxw+ e.P22ll2-
Отсюда получаем
е2Я2 -I- eM (R 4 e.QH) (Gr + e/?22) Я -i- P22,
£гНМ 4 e,M (P -r e.QH) — (Gr J- eP22) M 4 PP
Полагая H = H1-, e.H2-^-..., M = Мг 4 еЛ42 — . . ., находим
G^-P.,.,^0,	GrM] : P1 = 0,
GrH2 4 R^ = M.R, GrM2 R22M, = MxP,
Отсюда без труда получаем явные формулы для Я;-,
H^ — G^P,,,	M^ — Gr'P,,
H^G^M^—RmHJ, M^Gt'IM'P—RvMJ,
Cl
Заметим, что если в системе (8.15) сделать замену г»2 = г»3 +
+ еЯ«2— e.Mw, то для переменной получим уравнение
=[Gr~e#22—e2H—^MQ]v3.	(8.17)
Это уравнение описывает нутационные колебания.
Если корни характеристического уравнения | Р — М| = 0 имеют
отрицательные действительные части, то система (8.16) в свою
очередь имеет притягивающее интегральное многообразие w —
= L (е) «2, движение по которому осуществляется в соответствии
с уравнением
— е [Л(е) 4-Л1 (е) L (е)] «2.	(8.18)
Это уравнение описывает прецессионные колебания.
В системе (8.16) можно сделать замену w = w1 + L(e)«2 и
получить для переменной уравнение
—	(8.19)
описывающее маятниковые колебания.
Матрица L может быть найдена в виде разложения L — Lo-{-
+ eT-t + . . . из уравнения
еЛ (Я+МЕ) = (Р 4- e.QM)L-\ R^-&QH
путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях
малого параметра. Выпишем уравнения, из которых определяются
матрицы Ло и и вычислим эти матрицы. Так как
РЦ л - R = 0, PLt - QMtL0 QH± - Lo (H, +
то
L„ = - P~'R,	Ц - Р~> [Lo (Н + M^-Q (M.L, + Ях)].
Таким образом, при помощи матриц Н, L и М можно произ-
вести полное разделение движений.
8.4.	Несвободный гироскоп в трехрамном подвесе. Линеаризо-
ванные уравнения малых колебаний несвободного гироскопа в
трехрамном подвесе имеют вид (см. К. Магнус [1])
Ла-|-Яр^Я6 + ^х-| Са = 0,
Ла + Афн-&6 + Ср ; CS-0, g 2Q.
; В'6—Hi + ^ + M + CP4-(CH-C6)6 = 0,
В > В*, fcj > k.
В (8.20) число определяющих координат нечетно, и поэтому
матрица гироскопических сил вырождена. Разрешив уравне-
ния (8.20) относительно старших производных, перепишем их в
62
матричной форме:
а = Аоа-> В0Ь,
eb = (Со + eCj) b -F (Do eDJ а,
Е=1/Н,
Для системы (8.21) можно построить интегральное много-
образие b [Fo -j- eFj -| e2F2]a4- О (е3), движение по которому
осуществляется в соответствии с уравнениями
И(Аг ВД)4 ^F^^F^a^O^,	(8.22)
описывающими маятниково-прецессионные колебания.
Матрицы Fo, Ft, F2 найдем из тождества
в [ Fo +	+ e2F2	[Л 0 — B0F0 л- гВ^ F>...\
(Со - еСО [Fo -г eFj - | e2F2 - . .. ] 4- Do Н eDj..
Приравнивая члены при одинаковых степенях е, получаем
Fo - - C0-*D0, Fi - Со’1 [Fo (А л-
F.2 Co-1 [АВоЛ -I Fi (A 4- BoFoJ-C.FJ.
Уравнения (8.22) запишем следующим образом:
х = (eFj 4- е27(2) х (Ц л- eLj + e2L2)у 4- О (е3),
y = N.y, х-(а,^\ у^(8,8)\	(8.23)
к- (°	с\ к (~kc 0 >	г (0	°\
Fi==\_c оЛ F2—(^ о — kcjy	ч=Цо
Ci = (o о)’	Ь2=^_°кС о). Mo=-;f/
\ В —В*	В —В’/
Собственные значения матрицы Уо имеют отрицательные дей-
ствительные части, и уравнения (8.23) имеют устойчивое интег-
63
ральное многообразие у == 0, движение по которому описывается
уравнениями
х--(е/<1-!-е2Л2)хч-О(е3).	(8.24)
Эти уравнения описывают только прецессионные колебания.
В координатной форме уравнения (8.23) имеют вид
н$+н6^са= —1^с(р-б)
—На + С0 + С6 = ^-Юх,
(В—В*) б 4- (^—k)d-- Сб6=0,
.а уравнения (8.24) имеют вид
Я04-Са = — tUcP+оШ,	— Ha + C$ = ~kCa + 0(~\
1	п *	\ a* )	ri	\ пл j
млн, в пределах той же степени точности,
/7₽-г£а + Са=	— На + k?>- Ср =0
8.5.	Гироскоп с упругим валом. Приведем еще один пример,
интересный тем, что при изучении прецессионных колебаний
удается вчетверо понизить порядок исходных уравнений.
Рассмотрим уравнения колебаний гироскопа в кардановом
подвесе с учетом упругости вала и неуравновешенности ротора
.(К. Магнус [1])
Ах 4- HGx-\- Сх = Е (/),
о о	о \
Bj о	о	\
о ar	о	В
о о arJ
о	—с	о
ср 4- с	0	—	с
О	с	О
— с	0	с
/0 0	0 0\	/ а\
(00	0 0)	₽|
I 0 0 0 1)’ Х “I I’
\0 0 —1 о/	\р^/
(8.25)
/	0	\
(	0	)
£(0 = 1 (Д#—CR) цо)2 sin at j'
\— (^/г—Gr) P®2 cos
Будем предполагать, что на систему действуют диссипативные
силы, обеспечивающие возможность построения интегральных
многообразий. Однако при вычислениях диссипативные члены
учитываться не будут.
Матрица G в (8.25) вырожденная. Используя этот факт, пе-
репишем уравнения (8.25) следующим образом:
а-=Аа^-ВЪ, ей-= GJb4- eL>a + е/(/),
« = (ал, ₽я, а, ₽, а, ₽)т, & = (ай, 6^)т, е = ^-,
>64
о о
о о
о о
о о
О'!
1
о
о
о
°;
(8.26)
о
с
ar
л~Я' И®2 sin ®^
ar
Ап— Са
--------— [ICO2 COS <£>t
При построении интегрального многообразия b = H(t, а, е)
>граничимся первым членом разложения H(t, a,	а) 4-
-г е2.. . Из соотношения
6 ! W	(Аа +	Р G*H + eD" Ь е/ (О
I С/4 C’W’	|
юлучаем при е в первой степени
а) + Da -\-f (Z) = 0
4, следовательно,
a) = -G^(Da^j\ty),
на п\-{ 0 с 0 ~с 0 °\„
п^\1’ и> — \_с ос	0 0 0/“ 1 \ (Ак — CR) [wo2 sin со// ‘
Уравнения движения по многообразию, имеющие вид
а —Аа-\-a)i-O(e2)
i описывающие маятниковые и прецессионные колебания, пере-
шшем в следующей форме:
j =e/C1j-|-£g(t) г О (е2), z = Му -у Nz + О (е2),
_ / 0 с\	т  /0 —с 0 0\
1— с 0)'	^~\с	0 0 0)
	tr(f\ —	( (AR —	СR) [wo2 cos со/	
	S \Ч	\И/?—	CR) [wo2 sin «>t	г
/0	0 \		0	0
/ 0	° \		0	0
			Са -H C	о
AM л;	0 ]	N =	As	
\0	с / в}/		0	— I	Ср-I C Bj
1 О'!
О 1
о о
о о
)
При построении интегрального многообразия z = F(t, у, е)
системы (8.27) ограничимся членами, не содержащими е.
В. В. Стрыгин, В. А. Соболев
(8.27)
65
Из тождества
+	+	e) + eg-(Z) + e2...)^
--My + NF(t, у, е)4-е2...
получаем
/ с
Са~гс
F(t,y, 0) = —N~lMy^
Уравнения движения по многообразию z = F(t, у, е) системы
(8.27) имеют вид
^ = е[^1Л L^it, у, 0)-|-g(0]-i О (е2)
или, в координатной форме,
а« = 6 7^47 Ря + еН (Л R—Ск) ®2 cos	+ 0 (е2)>
с₽+с	(828)
₽« = —е -i- Ф (ar—Cr) ®2 sin at 4 о (е2).
“г6
Заметим, что учет диссипативных членов в уравнениях (8.25)
не влияет на члены порядка 0(e) в уравнениях (8.28).
Уравнения (8.28) описывают только прецессионные колебания.
Отметим, что это система двух уравнений первого порядка, в то
время как исходная система состояла из четырех уравнений вто-
рого порядка. Из (8.28) видно, что собственная частота прецес-
/С^С с г,
(с +”)(с + с) ’ ЧТ0
согласуется с результатом, полученным К. Магнусом [1] другим
способом.
с2с„с„
a p
§ 9. Об одной электромеханической задаче
Гироскопические приборы представляют собой сложные кон-
струкции, в состав которых входят не только механические, но
и электромеханические устройства: двигатели, следящие системы
и т. д.
В рассмотренных в § 6,7 задачах движение гироскопических
систем характеризовалось двумя составляющими—«медленной»
или прецессионной и «быстрой» или нутационной. В системах,
изучающихся в § 8, имелась третья составляющая движения,
определявшая маятниковые колебания. Аналогичная ситуация
возникает при анализе электромеханических систем. К уравне-
ниям, описывающим движения механических частей, приходится
66
добавлять уравнения, описывающие изменение переменных, свя-
занных с электромеханическими устройствами. Это приводит к
появлению еще более быстрых по сравнению с нутационной со-
ставляющих движений. При исследовании таких задач зачастую
удобно применять аппарат теории систем дифференциальных
уравнений с несколькими малыми параметрами при производных.
9.1. Уравнения прецессионных движений гироскопической
Системы с двумя малыми параметрами. Рассмотрим систему урав-
нений вида
dx
чг=-У’
И (*> х)у) -- — [G (/, х) - еВ (t, х)]у +
era	|т	<9J)
+ 2'1	(/-х)У)|У+еб?(/- х) + еР(/, q),
Dq \ R(t, х, у).
Эта система уравнений получена из (6.3) добавлением урав-
пения для «-мерного вектора q и слагаемого еР(К q) во втором
уравнении. Вектор q характеризует изменение дополнительных
переменных, которые могут интерпретироваться как обобщенные
координаты электромеханических устройств.
В отношении функции Q и матриц A, G, В сохраним преж-
ние предположения. Кроме того, предположим, что выполнены
следующие условия: а) функции Р и R ограничены и обладают
достаточным количеством ограниченных частных производных по
всем переменным при t£R, xft.Rn, ||jl|<p, iifl'IKPii б) корни
характеристического уравнения | D—К/ | = 0 имеют отрицательные
действительные части; в) величина	является малым пара-
метром.
Система (9.1) имеет притягивающее интегральное многообразие >
qH(t, х, у, е,	х, у, е) 4-4Н1 (t, х, у, е) + е| . . . ,
(9-2)
движение по которому описывается уравнениями
« ~ (Л (t, х) j) - — [G (t, х) + еВ (t, х)]у +
+ у [37И Jf)y)]Ty-eQ(^. x)-i-eP(f, H(t, x,y, e, Bj)).
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения движения
гироскопической системы (6.3), на которую действуют дополни-
тельные обобщенные внешние силы eP(Z, H(t, х, у, е, ех)).
3*	67
Интегральное многообразие системы (9.3) ищется в следую-
щем виде:
y — h(t, х, е, е1) = еЛ1(^, х, e-J-| е2Л2(/, х, Ej) —е3...	(9.4)
Прецессионные движения исходной системы (9.1) описываются
уравнениями
# = *(*, х, в, С1).	(9.5)
Для вычисления коэффициентов Н,- разложения функции Н
по степеням малого параметра ех удобно представить второе
уравнение системы (9.1) в форме
+ х,!1' е)’
Тогда для Н имеем соотношение
ее1^-+ее1^ + е1^-Ф(/, X, у, И, e,) — DH-\R. (9.6)
Полагая в (9.6) Н= /70-| е.1Н1-\ ... и приравнивая коэффи-
циенты при Ej в нулевой степени, находим DH0-R^Q, т. е.
//„ — D~lR.
Если приравнять коэффициенты в (9.6) при ех в первой сте-
пени, то получим
е^о + е^о +^оф(^	н e) = DHu
Ы _ П-i J е I р
Аналогично можно найти и другие члены разложения.
Если существует ограниченная матрица G-1(^, х), то коэффи-
.циенты hi разложения функции h по степеням малого параметра
е определяются из равенства
Ё[^(АЛ)]Л =
= _[О + еВ]Л + у [-^-Л]ТЛ + еб2Ч zP(t, И (t, х, h, е, 61)) (9.7)
путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е.
9.2. Прецессионные движения силового гироскопического ста-
билизатора. Уравнения движения силового гироскопического
68
।табилизатора имеют вид *)
4 I Ио 2S° cos2 Р) —-2Я cos p-g—Ki = о,
2В0 [	4 [~У sin р cos р] 4- 2Я cos р^- = 0,	(9.8)
Lf + 7?/=J(P), l^ + ri^c^-^pl.
Здесь а—угол поворота рамы гиростабилизатора вокруг оси
стабилизации, р—угол поворота кожуха вокруг вертикальной
оси, / — разность токов в обмотках возбуждения генератора Лео-
парда, i—ток в цепи якоря стабилизирующего мотора, Ло—мо-
мент инерции рамы гиростабилизатора относительно оси стабили-
зации, Во—экваториальный момент гироскопа, Н — кинетический
момент гироскопа, L, I и R, г—коэффициенты самоиндукции и
омическое сопротивление в соответствующих цепях, К—постоян-
ный коэффициент, pl — электродвижущая сила генератора Лео-
da
нарда, с-&—противоэлектродвижущая сила, развиваемая яко-
рем стабилизирующего мотора при его вращении, / (Р)—функция
сеточного напряжения, имеющая вид
| sB, —р*$4р<^р*,	s>0,
sp*signp, |Р|>Р*, Р*>0.	(9,9)
Система (9.8) рассматривается в предположении, что влияние
постоянных времени цепей управления мало.
Произведем замену времени t-—-Tx и введем обозначения
2^--!-cos2P---=a(P), е = у^-,	=
i^-i9qa, 1 = 1^, -^- = Ф(Р),
2В0 ~Л<” Mi0 ' RiQl -Ро'
da _ da _ ,	——п ₽ — JL
dt dx P1’ dt dx P'2' 1 e
Здесь i0 и /0 — характерные значения i и I. В переменных
X = (a, Р)т, у = (У1, у2У, q=-(.qi, <я)т уравнения (9.8) примут вид
(9.1), где
О cos
—cos р О
— 1	0 \
Ро — b)'
B(t, х) —О,
р(‘, «)“(*?)•
\~CyiJ
*) См. Ройтенберг Я. Н. [I].
69
Матрица D — постоянная, имеет отрицательные собственные
значения. Будем предполагать, что функция f (0) задана форму-
лами (9.9) везде, за исключением малых окрестностей точек 0*,
—0*, где она определена таким образом, что при всех 0 явля-
ется непрерывно дифференцируемой.
Запишем уравнения движения в координатной форме
da _____________________ d0 _
dx	771 ’	dx ’
е “77Г = 77+ sin 2₽ + cos Р 'i ^2]’
dx а(Р)	(9.10)
е^- = — у У1sin 2₽—У1 cos ₽,
+ <71 = Ф (₽)>	И -I- ^2 4 Су± - poqA.
Уравнения (9.10) имеют интегральное многообразие
</1 = Н1(0, ylt у2, е, Ej), <?2 = Я2(0, ylt у.2, е, ех).
Функции Н1 и Н2 найдем из формального тождества
ЕЕ^^Н	fe^sin20 i t/2cos0 + etfo/P];-
+	V Т/isin 2₽—1/2 cos 0) - Я1 = ф (0),
1	-1	(9.Н)
eei^^ + ei -^-^[ey1yasin20--y3cos0 ; eX0№] +
+ et	— у 1/1 sin 20—уг cos 0^ + ЫТ2 + Cy2 = рйН\
приравнивая члены при одинаковых степенях ех и полагая
=	г'Н}--. ...,
№=_Я0+-е1Я2+б^22+	(9.12)
#{ = #{(₽. IM 1+ 6), 1=1,2,..., /=1, 2.
Уравнения, описывающие движение по интегральному много-
бразию, имеют вид
е'+Г==77т feyi+ sin2P^ l/2cos0 + e/(o№J,	(9.13)
6-^- = — у Sin 201/1—z/j,cos 0.
Функции h1 (0, е, е^, Л2 (0, е, ej, определяющие интеграль-
ное многообразие уг-~ /г1 (0, е, е^, Уг — Ьг(^>, е, е2) уравнений
(9.13), будем искать в виде разложений
/i1 = elij(0, et)-| е2/гЦ0, et) -| ...,	„
h2 = e/z| (0, Ej) + e2/if (0, Ex) -I- ...
70
из равенств
*	h2 = —Lr[eh'h2 sin2P-|- h2 cosPH e/C0№(P, hl, h2, e, e1)],
"p «(P)	(9 15)
*	~^F	— T (^)2 sln 2^—h1 cos
При вычислении функции H\ Н2, hl, h2 ограничимся членами
до третьего порядка по е и et включительно. Из второго равен-
ства в (9.15) и разложений (9.14) видно, что /г| = 0, /i| = 0, т. е.
разложение функции h1 в ряд по степеням е начинается с члена
третьего порядка но е. Следовательно, в пределах указанной
степени точности в равенствах (9.11) можно положить Ух = О.
Равенства (9.11) принимают при этом вид
88^+^^рЛ1-	(9.16)
Из (9.16)	получаем при	е^О
Я£ = Ф(Р),	Я§ = ^—^-ф(Р).	(9.17)
При	ег	в	первой степени имеем
Из равенств (9.16) видно, что функции Н12 и имеют в ка-
честве множителей величину ъу2 (в дальнейшем у2 будет заменена
функцией h2, имеющей порядок О (е)); следовательно, вклад функ-
ций Щ и Н22 в уравнениях (9.15) скажется в членах выше чет-
вертого порядка по 8 и
Пренебрегая членами выше третьего порядка по 8 в равенст-
вах (9.15), получим следующие соотношения для определения
функции й1 и h2:
0 = /i2cos|3-;	e-iHl), z-^-h2 — -—hlcos$.	(9.19)
Используя выражения (9.17), (9.18), перепишем первое из
этих равенств
h2 cosр - 8/Со [ ф(Р) — у 1	h2 j = 0.
Для 8 в первой степени имеем /i2cosp-|	ф (й) = 0, т. е.
Л' = -Л»Р»-ф(Р).
‘ b cos р r vl '
71
Для е2 имеем h22 cosp = 0, т. е. h% = 0; для е3 имеем соотно
шение
+у) = 0
и, следовательно,
h23^-^ ( 1 -|--И { Ф (₽)•
3	1 \	1 Ь ) \ b cos р ] 4 ' др
Второе из равенств (9.19) дает
Йз = “ соГр “др“ = — G cos2°p ) tp^ C0SP+ Ф(Р) sinP) 'Ф(Р)-
Итак, уравнения, описывающие движение по второму интег-
ральному многообразию с точностью до членов третьего порядка
по 8 и р включительно, имеют вид
S—е’(та?тгУ(тг-~5₽' 4>(₽)sin₽)*(p),
(9.20)
Вернувшись к исходным обозначениям, получим уравнения
d«	= _ До	/ Кр_\г Г (Р) cos Р + /(Р) sin р	f R.
dt	Н3\2Rrj	cos4	p	'
	1 M ,	L\(	Kp\2 f'(P)f(P) ,q9n
dt	~	tf2/?rcosp_H2 \ r 1	R i \2Rr)	cos p ’
Таким образом, прецессионные колебания гироскопического
стабилизатора приближенно описываются двумя уравнениями
первого порядка (9.21), которые можно проинтегрировать в квад-
ратурах.
Если уравнения (9.21) рассматривать в окрестности точки
Р = 0 и при этом ограничиться линейными членами, то получим
линейные уравнения вида
da Во f Кр У 2R
dt И3 \2Rr ) d р’
dp______LAP.R_____
dt ‘ H 2Rr^ \r^ R )\2Rr) * p'
Отсюда получаем
[3^[30e-y a-a0 + ^g2₽0-;
(9.22)
где = •
Выражения (9.22) дают ясное представление о влиянии коэф-
фициентов исходных уравнений на прецессионное движение гиро-
стабилизатора.
72
9.3. Замечание об условиях существования интегральных мно-
гообразий. Отметим, что в уравнении (9.21) учтены все коэффи-
циенты, входящие в уравнения (9.8), за исключением коэффи-
циента с, изменение величины которого при высказанных предпо-
ложениях слабо влияет на прецессионные колебания гиростабили-
затора. Это, однако, не означает, что при изучении движения
можно пренебречь членом . Обсудим этот вопрос несколько
подробнее.
Возможность построения притягивающего интегрального мно-
гообразия	q2-—H2 и перехода к уравнениям (9.13), описы-
вающим движение по этому интегральному многообразию, обеспе-
чивается тем обстоятельством, что матрица D имеет отрицательные
собственные значения. При построении интегрального многообразия
l/i ^hl, y2:--h2 уравнений (9.13) условия существования притяги-
вающего интегрального многообразия не проверялись. Ранее на-
личие положительно определенной матрицы диссипативных сил В
было важным условием существования интегрального многообра-
зия. В уравнениях (9.8) матрица В отсутствует!
Как уже отмечалось, уравнения (9.3) можно рассматривать как
уравнения движения гироскопической системы, на которую дейст-
вуют обобщенные внешние силы eQ (/, х) -  eP(t, h(t, х, у, е, ej).
Предположим, что функция P(t, h(t, х, у, е, et)) представима
в следующей форме:
P-=P„(t, X, е, et) -,-P^t, X, е, \-P2(t, х, у, е, et),
где Р, — (пхп)-матрица, а Р2—нелинейности второго порядка
по у. Матрицу Pj запишем в виде суммы симметрической мат-
рицы Рп и кососимметрической матрицы Р12.
Поэтому вместо матрицы диссипативных сил В можно рас-
сматривать матрицу В(1, х)щРц(Е х, 0, 0). Если следовать
рассуждениям § 6, то необходимо предположить, что собственные
значения матрицы F"1 (Е x)(B(t,x) 1 Pn(F х, 0, 0))Е-1(/, х),
F2 = А удовлетворяют условию За в § 6. В рассматриваемом
примере
F=-0,	F-1	К«(Р)
\	0	1
Из (9.11) имеем № ((3, у,, у2, 0, 0) = (роф(0) — Су^. Отсюда
/___с \
Ры(х, 0, 0)-Р1(х, 0, 0)- b °).
\ о о/
Таким образом,
/ с
F-1 (х) (В (х) ) Pn(x, 0, 0))F-1(x) = ( -W) °Y
\ о о/
73
Условие За, очевидно, не выполняется. Однако это условие
не является необходимым.
Вернемся к уравнениям (6.13). В нашем случае матрица
в (6.13) нулевая, а матрица Gt \-еВ1 имеет вид
С
ЪЬаф)
cos р
В качестве Т рассмотрим матрицу
( ?(Р. е) 1	>
\	1	?(Р, е))’
У а (Р) b cos р — 1/ а (Р) b2 cos2 р — е -2-
Ч (₽> °) =---------------Чс------------------- 
Если в уравнениях (6.13) сделать замену г = Т(х)г1, то вновь
получим уравнения типа (6.13), где роль	будет играть
матрица 7,-l(G1-| sBJ Т, вида
(С	cos р ...	\
— е------	г . 4-?1 (Р, е) \
2ba (Р)	V а (Р)	1
cos Р	С	I ’
-е2^(Р)	/
zo л 2 V abcosP—еС
91	’ Ьа(Р) (?2(Р, е)— 1) •
Для этой матрицы условие За выполняется при [3 = 6, где
6 = inf 9, С > 0.
р 2ba (Р)
Следовательно, возможность перехода к уравнениям (9.20)
при отсутствии диссипативных членов в первых двух уравнениях
системы (9.8) обеспечивается наличием в исходных уравнениях
da
члена с-тт.
dt
ГЛАВА III
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ
ПРИ ПОМОЩИ ПАССИВНЫХ ДЕМПФЕРОВ
ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ТИПА
Изучению условий стабилизируемое™ механических систем,
в которых используются гироскопические свойства вращающихся
тел, посвящено много работ. Наиболее важные результаты в этой
области получены В. В. Румянцевым [1—3], В. В. Белецким [1],
II. В. Ликинсом [1], Ф. Л. Черноусько [1—2].
При исследовании устойчивости механических систем часто
используются метод функций Ляпунова, теорема Рауса, критерий
Рауса—Гурвица и некоторые его модификации. В ряде случаев
весьма удобным является понятие устойчивости по отношению
к части переменных, введенное В. В. Румянцевым.
Определенный интерес представляет изучение задачи о стаби-
лизации системы тел с помощью пассивных демпферов поступа-
тельного типа. Для случая двух тел, на каждом из которых
имеется по одному демпферу, эта задача исследовалась в работах
Д. Р. Тексейра-Фильо, X. Р. Кейна [1], Д. Л. Мингори [1],
Р. Ю. Прингля [1J.
В. А. Сарычев и В. В. Сазонов [1—3], применяя принцип
усреднения, нашли приближенное условие устойчивости в анали-
тической форме в предположении о малости инерционных харак-
теристик демпферов.
Ниже исследуется асимптотическая устойчивость механической'.
системы, состоящей из многих тел и произвольного количества
демпферов. Предполагается, что основные параметры демпферов —
коэффициенты вязкого демпфирования и жесткости — являются
малыми лишь для части демпферов. В рассматриваемом случае
задача сводится к исследованию устойчивости многообразия состоя-
ний равновесия многомерной системы дифференциальных уравне-
ний с малым параметром при части производных. Для ее изуче-
ния используется метод интегральных многообразий (см. § 2, 3).
§ 10. Уравнения движения
Система, движение которой будет исследоваться, схематически
изображена на рис. 9.1. Основными элементами ее являются осе-
симметричные тела В,- (i=^l, ..., п) с массами М;. Относитель-
ное движение тел ограничено вращением вокруг общей оси,
являющейся осью симметрии. На этих телах имеются демпферы
7э
p), которые моделируются частицей Pf массы т},
помещенной в трубку, заполненную вязкой жидкостью, и при-
крепленной пружиной. Трубка демпфирующего устройства Ь,
установлена параллельно оси вращения на расстоянии о,-. Через
Cj и kj обозначаются коэффициенты вязкого демпфирования и
жесткости пружины. Тело Вг для определенности считается основ-
ным. Предполагается, что относительная угловая скорость 07 тела
Bi по отношению к Bt поддерживается постоянной. Более того,
предполагается, что на систему не действуют внешние силы, так
что центр масс не ускоряется.
Удобно считать, что вместе с любым демпфером bf к соответст-
вующему телу жестко прикреплены три дополнительные частицы
(для баланса), масса каждой из которых равна полной массе mbj
демпфирующего устройства. Пусть дополнительные частицы рас-
положены таким образом, что система тел В;, демпферов Ь, (при-
надлежащих телу) и соответствующих дополнительных частиц
симметрична относительно оси вращения, когда частицы Р- нахо-
дятся в номинальном положении, т. е. когда пружины не растя-
нуты.
С каждым телом В. свяжем систему координат (О,-, Х\, Xj, X'j),
начало О,- отсчета которой находится в центре масс тела В,.
Считается, что ось Х3{ направлена параллельно оси симметрии,
а две другие перпендикулярные друг другу оси являются глав-
ными центральными осями инерции тела В;.. Без уменьшения общ-
ности можно считать, что частица Р7, находящаяся на теле Bz,
в номинальном положении лежит в плоскости (О,-, X}, Х|).
Пусть О — центр масс всей механической системы. Движение
системы будем описывать в следующей системе отсчета. Начало
координат поместим в О, а оси Xlt Xt, Х3 направим параллельно
осям XJ, XI, Х[. Через I, j, k, как обычно, обозначаются единич-
ные орты, направленные по осям Xlt Х2, Х3.
Через <»!, <в2, <в3 обозначаются проекции абсолютной угловой
скорости о тела Вг на оси Xt, Х2, Х3. Пусть г,-—уклонение
частицы Pj от номинального положения по направлению оси Х3.
Зафиксируем некоторую инерциальную систему отсчета (О, В*,
т]*, £*) с началом в точке О. Пусть К—кинетический момент
механической системы относительно точки О, К, — кинетический
76
момент частицы Р/, —кинетический момент частицы Pj, кото-
рая во время движения находится в номинальном положении
относительно точки О. Пусть, наконец, К* — кинетический момент
относительно точки О механической системы, у которой во время
движения частицы Pj находятся в номинальном положении.
Так как на систему не действуют внешние силы, то
2-о.	(Ю.1)
Пусть Г/—радиус-вектор точки Pj относительно системы (О,
I*.	£*), а aj—ускорение этой точки. Тогда ~-^=r}Y.mjaj и,
следовательно, уравнение (10.1) можно представить в следующем
виде:
dKt , Л
~dT + L [г/х х тХ] = 0.	(10.2)
/ = 1
Здесь г° и а’ — радиус-вектор и ускорение частицы Pj, находя-
щейся во время движения в номинальном положении.
Так как движение частицы Pf возможно лишь по прямой,
параллельной оси Х3, то
trijittj, k) = fj = — CjZj—kjZj	(/=1,	, p).	(10.3)
Здесь (•, •)—скалярное произведение векторов, a fj—сила,
действующая на Р,- по направлению вектора k.
Уравнения (10.2) — (10.3) описывают движение механической
системы. Для дальнейшего нам понадобится координатная запись
этих уравнений.
Пусть S—геометрический центр масс механической системы,
которая движется в соответствии с уравнениями (10.2) — (10.3),
а частицы Pj по предположению во время движения находятся
в номинальном положении. Пусть SOf = ljk. Если через Л4; обо-
значить массу тела вместе с демпферами и дополнительными
п
частицами, находящимися на В(, то 2^'1,/, —0. Пусть Мт =
1 = 1
п _	Р
«= 2 и	Величина t, характеризует отклоне-
i=i	7=1
пне точки S от центра масс О.
Вектор К* представим в виде суммы К\, где —кине-
тический момент системы без учета демпферов и дополнительных
частиц, a К2— кинетический момент системы, состоящей из допол-
нительных частиц и демпферов, у которых частицы Pj во время
движения находятся в номинальном положении.
77
Тогда
к, = .2 {[м^~О2-I W ь	+ /? (®з 4- к},
(Ю.4)
К\2 = 2 tnb. [2й2й2 i h 2й)й2/ -|- 4aJ(®3 4- оу) к + 4 (/, —£)2 (й/ 4- й2/)],
/ =1 >
(10.5)
где /] = /2, /®—моменты инерции тела В; относительно осей Х\,
XI X3, а оу—относительная угловая скорость тела, на котором
установлен демпфер Ь/.
Введем обозначения
с = 2 Н + 4 2 mbi = 2	+42 ть.а^,
A = 2 Wl + Д) Г 2 (4mbilJ~2mbJa?).
i = l	1=1
Тогда
К. - {Л + AQ2} й/ -| {Л + A-U2} й2/ + (Сй3 -> J) к
и
= {Л®!—(Л — С) й2й3 + Ло2 •;	А4Т£2 (с^—й2ы3)} i 4-
+ {Ли2— (С — Л)^®.,— 2МДиа-|- А4т£2(со2 4-й^,)}/ Са3к.
Радиус-вектор Гу частицы Ру определяется равенством
Гу йу cos Фу14- йу sin фу/ 4- (Zy ф- lj — у к,
где фу = ф°ф-оу/. Отсюда легко получить, что
«у—dVy/d/2—[(zy -i /у — У (со2 4- а>!®3) 4 (—®з 4 ay sin фу—
— йу (<в| 4 <в3) cos фу 4- 2<в2 (zy—£)—2йу<в3 cos фуоу—йуОу’соз фу] i |-
I - [ (Zy 4 /у— £) ( —	4- ®2®з) + «/ cos фу (й3 О),®!) —
— af (со2 4- со2) sin фу — 2йуО,со3 sin фу—2cor (г,-—£)—а^'зт фу]/4-
+[йу sin фу (<»14 сохсо3)-Ь cos фу (—со24-«1со3) — (coHco2)^^-/.—£)4-
4 2йуо/со1 cos фу -| 2a^fi>2 sin фу - > z—£] к.
Используя соотношения (10.4) —(10.5), векторные уравнения
(10.2) — (10.3) можно представить в виде следующей системы
дифференциальных уравнений:
Л®! —(Л—С) й2й3 4- /й24-2Мти®14 А4т£2 (их—й2й3) 4
Гр
+ 2 {2ту (/у—У [zy (й2—й2й3) 4- г.й,] -н
j = 1
4- tn^j [—2£ttx 4- 2гуйх ф- zy (cot—й2й3)—йу (со3 4- ®!й3)] cos фу 4-
4- /пуйу [zy - zy ((й3 4- ст,)2—й2)] sin фу] = 0, (10.6)
78
/1(0,—(С—Л) (OjCOj—J®! -L 2MtU®2+ Mt£2 (<o2—c^cOj) +
+ 2	Q-j—£) lz/ (®24-®i®s)+vM +
/= 1
4~ nijZf [—2£со2 • I- 2z7o>2 1- Zj (co2 + (О^з)]—
— rtljUj [Zj + Zj (<03 + Oy)2— CDjj COS -фу — tn^jZj (й3 —СОгй2) sin 'll-1;} = 0,
(10.7)
p
Cco8— 2 {»W [2z/®2 4- z7 (w2 I- «ЧСОз)] sin ф7- 4-
/= i
4- /Пуйу [2zJ(ol 4- Zj («!—co2co3)] cos фу} = 0, (10.8)
my (Zy— £) 4- mflj [«>! 4- co2 (co3 + 2oy)] sin фу 4-
4- m7a7 [—w2 4- о»! (и2 4- 2oy)] cos фу—
—m, (co| + ®i) Gy 4- Zy —S) 4- C/Zy 4- k}Zj = 0, (10.9)
/=1, p.
Система (10.6) — (10.9) имеет однопараметрическое семейство
стационарных решений
cOi = co2 = O, co3 = Q = const; Zy = z7 = 0	(10.10)
(/=1, ..., р).
Ниже будут найдены достаточные условия асимптотической
устойчивости по отношению к части переменных.
Введем следующие обозначения:
T] = |CQ — J\/A, А=[(С—Л)со;! ;-7]/Лт], т = ф, (10.11)
q—C/A, 6j=m.jaj/A, Lj = lj/a-, <Ру = 'ф7/т],
го -, = о-у/П. /у = ®з/П А 2г?/, р7 = ту/Мт,
Я/ = (®зЛ14-г0/)2, 6у = еуу, ру = ецу, vz/ = K TzTyH/H/» ,
Kf = kjaJ/Ar\i, P7--^CjOj/Ar], / = 1, ..., p.
Здесь предполагается, что т] =$£ 0, 2А =И= | raj |, | rOj ± ra/{ |, j, k=
“1, • • •, Р-
В качестве малого параметра задачи выберем е = 6^
Будем считать, что на телах системы имеются демпферы двух
типов. К первому отнесем демпферы /?7 (/ = 1, ..., k), параметры
К/ и Ру которых — величины порядка е; ко второму типу—демп-
феры (/ = ^4-1, ..., р), у которых параметры К,-, Р/ являются
величинами порядка единицы. В связи с этим введем величины
^y, Ру равенствами /<7 = А7/67, Р7 = Р7/6у (/=1, .... k).
В § 12 будет рассмотрена также система с демпфером третьего
типа, у которого параметр Ру—величина порядка е, a Kj—вели-
чина порядка единицы. Как будет видно из дальнейшего, такая
классификация демпферов связана с тем, что изучение систем
79
с демпферами разных типов приводит к различным классам диф-
ференциальных уравнений.
Новые безразмерные переменные определим равенствами
х2 = со2/г|,	х3-со3/г|,	(10.12)
u^zjlaj,	(/=1, .... р).	(10.13)
Положим Wl = (со, соп со2, ult ..., ир, vlt ..., оА,)т, w2
— (vft+1, •••, у^)т- Ниже точка над переменной будет означать
дифференцирование по новому времени т.
Разделим уравнения (10.9), отвечающие значениям /—1, ...
..., k, на б7-. В новых переменных систему (10.6) — (10.9) можно
представить в виде
В^^ eB2w2 = Л^ : • Л2то2-I(т,	w2, е), (10.14)
fB3w4-! eB4w2 =	-I- Л4ш,е/2(т, w4, ш2, е), (10.15)
где
В^- В[ --	(т, Wi, w2, е), В3—-В£ \-еВ^- В},
B^Bl eBi, Л4- л; f еЛ}, Л3-Л^;-еЛ‘.
Здесь В?, В®, BJ, В°, BJ, Л}, Л°, Л|, Л2, Л4, В2—матрицы,
зависящие только от т и со, а элементы матрицы BJ и компонен-
ты /4, /2 являются нелинейными функциями не ниже второго
порядка по х4, хг, ut, Vj, причем В}(т,	0, 0)=-^0, /4(т,
0, 0) = 0. Следует отметить, что первые р-\ 3 координаты функ-
ции /4 обращаются в пуль при е = 0.
Выпишем вид некоторых матриц, входящих в уравнения
(10.14) —(10.15):
/	7а	i 0
0	sin q>i	—cos ф4	0	...	0 ;
0	sin ф2	—cos ф2	0	...	0 i
\..............................\	?p-k
'0	з!Пф£	—COS фд,	0	...	0 :
/0	Yfe+1-sin Фа+1 — Yfc+I cos фА+1 0
£0 I 0 YA-l-2-Sin ф/е^ 2—YAI 2 COS Ф/г-2 0 ... 0 j
0/
0	4
Хр sin ф?
Yp cos (fp
0
0
,0 Хр -sin фр — урсозфр
О
YA+aSin фА (.а
0
Yfc + isin ф/, + 1
— Yft+i cos Фл+i ~~ Ya+ 2 cos ф£+2 .
0	0
В» =
О
В4 —diag(y7), / = ^+ 1, . • , р,
80
О ; О X,
....О....I....Тк....
diag (—Kj) I diag (— fz) /
j = 1, . . ., k,
’0 0
0 0
.о A
0 3
-л|,
0 )

л2 = (	Л°^(О;сНа§(—Ду)), Л4 = сНаб(-р,),
\1 p-k /
j = k-\ 1, ..p.
Используя невырожденность матриц B°, Bit систему уравнений
(10.14)—(10.15) можно разрешить относительно производных
и записать в следующем виде:
Wj, w2, e).-=£0Wi-| D0w24 g£+O(e).	(Ю.16)
W2(t,	w2, e) =-/%«>!-! G0w2-|-eg2-| O(e2), (10.17)
где Eo = (ЭД-'МУ-ад-’Л»], Do=-(В^)-1 (А^—В.В^А^, Fo =
 Bl Mg, G0-B444, a g-?- g-?(T,	w2), gi =-£“(?, wlt w2) —
нелинейности не ниже второго порядка по переменным х,, х2,
и,, Vj, причем первые (р4-3) компоненты g? равны нулю, а осталь-
ные обращаются в нуль при Vj — Uj = 0 (j = 1, ..., k).
Система (10.16)—(10.17) — это сингулярно возмущенная система,
правые части которой являются почти периодическими функциями
нового времени т. Матрица Go — постоянная диагональная матрица
с диагональными элементами — Р//?/- Следовательно, система
(10.16)—(10.17) имеет погранслой и для ее анализа можно при-
менить метод интегральных многообразий в соответствии со схемой,
изложенной в § 3.
В приложениях важную роль играет частный случай, когда
механическая система содержит только два демпфера.
Будем считать, что в этом случае подвижные системы коорди-
нат (О, X}, X?, Xf) (t = l, 2) на каждом теле, имеющем демп-
фер, выбраны таким образом, что в номинальном положении ча-
стица Р лежит на оси X} (это можно сделать, если демпферы
расположены на разных телах). Тогда <рх = 0, ср2 = ст2т. Если демп-
феры расположены на одном теле, то оси выбираются так, что
4 1 0, ср2 = const. Если положить е = 61, то Yi = l. Через ST и Сх
будут обозначаться sin ст2/sin raj и cos a2t = cos rap: соответ-
стенно.
Уравнения движения системы с двумя демпферами в скалярной
форме имеют вид
</<>> Е (Щ y2U2GT) -Ч ey2u2STx2 =
=-е {2%^—<0x^4 2у2(х1Ст4 x2ST) v2 4- у2 (хА~xfii) «>«},
11 |- eMj («!—2/j) -h у2и2 (и2 4- 2/2)] %1—е (Uj—у2и2Сх) со 4- еуа3щ2 =
— — Лх2—ey2M2STr2a) 4- eu^Wi—2/) соха4- ex&i^A-
-I Еуа (и2 + 2/а) (ох2ц2 4 еу2х2и2 (хгСх 4- x2ST) — .
— 2е (Ut—/) х^—2еу2 (иа4- /2) x±v2 4- • • •,
81
1 “Г 8 (U^	2/j) Т ^Ya (^2 "I" ^2) ^2] %2 еТ2U2<STCO
— е^—ey2Cxv2 Axj + nw2ux -‘ ny2u2r2aCx—
— ulit («! —2/j) coxy—2e (ut— IJ x^—exf^—2ey2(u2 4 /2) x2v2—
—ny2u2 (u2 - I 2/2) toy- ny2u2 (XjCT + x2ST) Xj + ...,
u1 = v1,	u2—-v2,	(10.18)
— ex2 8(1 —epj u’i—82v12J2 =
= — К!«! Pit»! -1 e (X? + x|) (Ui — /j) 8WX! + . . . ,
®T2StXi—8y2CTx2—82V12U1 + ey2 (1 — ep2) v2 =
= Е'у2Г1юСтХ1 SYa^ito^rXa A2U2 Pa^2 T ®Ya C^l 4" ^2) (^2 4" ^2) "Г • • •
Многоточием здесь обозначены нелинейные члены, содержащие
множителями е2и1 или е2и2.
В последующих трех параграфах мы исследуем систему с двумя
демпферами различных типов.
§11. Система с двумя демпферами первого типа
Для рассматриваемой системы в уравнениях (10.18) следует
положить — Устойчивость такой системы исследовалась
в работе В. А. Сарычева, В. В. Сазонова [1] по главным линей-
ным членам методом усреднения.
Последние два уравнения системы (10.18) можно разделить
на 8, так что эта система не является сингулярно возмущенной.
Приведем систему (10.18) к виду, разрешенному относительно
производных. Получим
i = (^о-г eAi)|-|- eL^ + eqJi-l . . . = £/'1(т, |, т], е),
ij^=(M0 + eMJI-! (А0 + еЛ\)'П-1 ФоЧ • • • = U2 (т, |, т], е).
Здесь
| = (со, хп х2)т,
°
АоЧ°
(о
/О
лл /о
^о - ( 0
\0
О'
— Л. ,
0)
о
Л — со
О
(Л г2) Сх
ГО
о
о
о
о
о
(Л—Га) 5%
( О
L1== о
ш2
<Ро> <Р1
*1,
л^(«1, Ul> «2, ^)Т>
о
— Та (Л—г2) CXSX
Л — Г1-- Та (Л — г2)Сх
0
-Т
о
о
О',
о
о/
порядка по переменным
Ао =
1
-11
о
о
О
— Т2(Л —r2)S? t
Та (Л— г 2) Сх /
О Y
О
I ’
-- ₽2/
о
о
о
-Та
о
— ТаГ а^т
у2г 2рх
о
о
о
— нелинейности не ниже второго
х2, «!, и2, vlt v2.
При анализе уравнений (11.1) ограничимся линейными членами
до порядка О (е) включительно.
о
о

82
Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение ]Q0—Х/| = О,
~	(Кп 0 \
где Qo= «л л/ > имеет один нулевой, два чисто мнимых корня
и четыре корня с отрицательными действительными частями.
11оэтому система (11.1) имеет притягивающее трехмерное интеграль-
ное многообразие. Это интегральное многообразие можно искать
в виде т]= У(т, |, е) = 2е% (т, |). Коэффициенты асимптотиче-
i
ского разложения V, определяются из формального тождества
,Г<ЗК,- , dVi
л е‘ —- -J-----
дт 1
Udx, I, £e'V,, В
(11.2)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, полу-
чим уравнения для определения V;. Пусть V}—матрица линейных
членов V, по переменным х1( х2, их, и2, vlt и2. Из (11.2) получаем
^ + VIKO = NOVI+MO.	(11.3)
Движение по интегральному многообразию г) — У описывается
системой дифференциальных уравнений третьего порядка
(Н.4)
Здесь многоточием обозначены линейные члены не ниже второго
порядка по е и нелинейные члены не ниже первого порядка по е.
Матричное уравнение (11.3) представляет собой линейную неодно-
родную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами относительно элементов матрицы VJ. Матрица Л40 пред-
ставима в виде Л40 -- Л40 -|- М2СХ, где ЛК, М1г Л12 — посто-
янные матрицы; поэтому периодическое решение уравнения (11.3)
ищется в таком же виде. Задача отыскания VJ сводится, таким ‘
образом, к решению линейной алгебраической системы. Решая
се, найдем
/ai	bi	\
yi /	Ай]	— Лях	\
I я2Сх— b2Sx	Ь2Ст-|-я23^	у
\(Л — г<j2) ф2Ст -{- a2S-t) — (Л — r<j2) (а2Сх — 62ST)/
где
Й1 = (Л—г,)--= ^~Л--2 , ^(Л-г,)-, ^1Л -2 ,
(М-Л2)Ч ₽2Л2 V 7 (Кз, —Л2)2р(л2
а — (Л- И_
2 [^-(л-Ч)2]2 + Р|(Л-гаг)2’
Ь2 = (Л - г2) -=-MA~rJ-----------.
[К2-(Л-Ч)2]2+Р|(Л-Га1)>
83
Отсюда находим элементы ku- (i, f = 1, 2, 3) матрицы Ai~ EjVJ:
Ах,-0, A,x-0 (i = 1,2,3),
^22 — ?2 [(Л- ГО2)2 ' ’Rz]	‘Sx',
^23 = ?2 [(Л Лт2)2 A2] (^2CT а2*5т)
/г32 = • у2 [(Л- га2У~~ А2] (az^x Cx (A2 7?j) a^',
^33 —	?2 [(Л-	Ai2)2	A2] (^2^T а2$х) Cx	(A2 — Rx) bt.
Матрица Ki + в уравнении (11.4) периодически зависит
от т. Подберем такую периодическую по т квадратную матрицу Yx
третьего порядка, что система (11.4) после замены .у- еУ1.у,
у = (со, ух, угу преобразуется к виду
>^[A0 + e(Ax~‘-MW+ ...	(11.5)
Здесь и в дальнейшем черта над обозначением функции озна-
чает, что вычисляется среднее значение этой функции. Легко пока-
зать, что Ух удовлетворяет уравнению
У1--Ao^i-УЛоА1+
Из этого уравнения Ух однозначно находится как единственное
периодическое решение. Анализ системы (11.5), являющейся си-
стемой третьего порядка с постоянными коэффициентами (с точ-
ностью до членов порядка 0(е2)), достаточно прост и позволяет
найти условие асимптотической устойчивости стационарных поло-
жений.	________
Учитывая то обстоятельство, что у матриц Ко и АхН-МП
первые строка и столбец нулевые, ясно, что это условие запишется
следующим образом:
1 Sp (А„ 4- в (Ах + LxVJ)) Sp (Ai LxVo1) < 0,	(116)
где Sp(-) — след матрицы.
Используя выражения для элементов матриц 4- LxVl, после
вычисления средних значений найдем, что это условие имеет вид
j (А2а+А33) <0, или
Л (Л —со)2 ₽х
2
— е (Л + со) * Л (Л —со)2 Рх________(Л~~Ч) (Л~~Г2)2 Р2 ] < 0
(/Г1-Л2)2+р2хЛ2 + р<2-(Л-Ч)2]2 + (Л-га2)2р2¥2] <
(U-7)
Замечание 11.1. Если оба демпфера находятся на одном
теле В1( то исходные уравнения автономны. Поэтому нет необхо-
димости в нахождении матрицы Yt и усреднении по т. Уравне-
84
G,	о
1.3) не содержит слагаемого —, т. е. является линейным
плгебраическиМ. Условие (11.6) и в этом случае имеет вид (11.7)
при rOi^0, г2 = 0.
§ 12. Система с двумя демпферами второго типа
В рассматриваемом частном случае уравнения (10.18) могут
быть записаны в форме (10.14)—(10.15). При этом и\ = (<о,
хв, «1, u2)T, w2 = (»b и2)т, далее
В1 =	/1 \°	0 y2J		R0— / — 1 5»	Л=		-₽1 0	0 — ₽2/
/0 0	0	0	0\		'0 0	0	0	0
/00	— Л	0	0		0 0	0	0	-Y(4 + “)ST
Л’ = 0 Л	0	0	0	1,	0 0	0	со2	Т(га,+ а) Ст
\ 0 0	0	0	0		0 0	0	0	0
\о 0	0	0	0/		0 °	0	0	0
О о
0 0 1	/1°_/000 Л i о \
io/’ Лз ° °	0	— КгГ
о 1/
Остальные матрицы не вычисляются, так как они не используются
в дальнейшем. Следуя схеме, изложенной в § 10, систему урав-
нений вида (10.14)—(10.15) и в данном случае следовало бы при-
вести к виду (10.16)—(10.17). Так как 60=^—	си-
стема (10.16)—(10.17) является системой с погранслоем, и для ее
исследования можно применить методику, описанную в § 3. Однако
при построении интегрального многообразия сингулярно возму-
щенной системы можно не приводить уравнения к виду (10.16)—
(10.17), а использовать непосредственно уравнения в форме
(10.14)—(10.15). С этой целью подставим формально в эти урав-
нения вместо w2 функцию Н (т, wlt е)=Я0(т, wj -|- еЯДт, Wj) +
4- е2 ..., описывающую интегральное многообразие w2 — Щх, wu в) .
Получим соотношения вида
D • , D [ дН . дН •
11	2 L от 1 дшц 1
„ • , D дН , дН •
еВз^+еВ, ^-1.
A2H + f±(x, wlt H, e),
(12.1)
= Л3да1 + Л4Я+/2(т, H, e).
Эти соотношения следует рассматривать как систему уравнений,
из которых нужно найти и Н в виде разложений по степеням
малого параметра.
Положив в (12.1) е = 0, получим
w1 = A^‘W1-\ А^Нв, O = Alw1 + Aiffo.
85
Отсюда находим Яо = — (Л4)-1 и
^1 = И1—ЛгЧ») тех.
Матрица Л?—имеет вид
ГО	0	0	0	0
0	0	— Л	0	0
0	Л	0	0	0
0	0	0	Kt 01	0
0 V	0	0	0	-А2 ₽а >
Характеристическое уравнение |[Л"—(XJ)-1^’]— М| = Оимее~
нулевой, два чисто мнимых и два отрицательных корня. Таким
образом, при анализе уравнения
Wi=Wl(t, wlt Н (т, тен в), в),	(12.2
полученного из (10.16) подстановкой в функцию Wx вместо те.,
функции И, возникает ситуация, аналогичная той, которая pai
смотрена в § 11. Для уравнения (12.2) также можно построит!
трехмерное интегральное многообразие. С целью уменьшения объема
вычислений целесообразно поступить иначе. Можно сразу строит,
трехмерное интегральное многообразие. Для этого представи?
уравнения (10.18) в следующем виде:
| +	=	еВ,
еС| eDq Рт] + Qt] = e//-| eCj|,	(12.3
I- (со, Xj, х2)т, 'q = (Ui, u2)T.
Здесь
о О'»
о —Л
Л 0 ;
р___( 01
(о
(“ + ОА
(“-! Ч) тсг
0
К2Д
0 А
Т(Ш + 2Д) SJ.
В и Н—нелинейные члены не ниже второго порядка по перемен-
ным xlt х2, ult и2, vt, v„ и компоненты вектор-функции В имею"
множителями и;, и,. Система (12.3) имеет интегральное многообра-
зие т] = еЯ(т, в) — гН, (т, |) -j- в2. . . Подставив вместо т] в урав-
нения (12.3) еЯ (т, |, е), получим соотношения
Ь'-Е!В^//=:а-ЕД//тЕЕ,	(12.4)
zP~H+zQH = zH.	(12.5)
86
Полагая в (12.4) е = 0, находим	Подставляя | =
И уравнение (12.5) и сохраняя только линейные члены порядка е,
получим равенство
СК0 + Р [Н[ 4- ЩК0] !- QH} = Clt	(12.6)
где
\ Л=о
Матричное уравнение (12.6) представляет собой систему линей-
ных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными
Коэффициентами. Матрица СК0 представима в виде суммы трех
Матриц, одна из которых постоянная, а две другие представляют
собой произведение постоянных матриц на Сх и ST соответственно.
Уравнение (12.6) имеет единственное решение вида /7} = T04-7'1St+
• I 7\СХ, где Т[—неизвестные постоянные матрицы. Нахождение
элементов этих матриц, как и в предыдущем параграфе, сводится
к решению линейных алгебраических систем. Несложный расчет
показывает, что
/ О	Ь	а \
Н1=Ло	b,S x-aiCj<
/де
„ _(Л-Ч)?ИЛ-г2)₽2	(Л-г2)72Д2
---------щ	,
ДГ = (Л—гаа)®Р| ; KI	Д —- A20* 4-/Q,
(Л— а) Кг	„ (Л — w) Л₽!
Д’	Д
d2
В выражении -^Н учтем только линейные члены нулевого
порядка по е. Получим
[1Рг (т)	[Я£ 4- //It] =	m -
=-- Н% 4 Hit л ЩК01 !  H[Koi = [Н[ + 2Я{А0 -'Н{ [К0У]
Далее легко подсчитать, что /? = Н[ 4 2Н[К0 4- Н\К1 имеет вид
/О	— А2Ь	—А2а \
1° -(Л~Ч)2(аЛ^йЛ) (Л-Ч)2(ЙА-«А)Л
Если в уравнении (12.4) пренебречь линейными членами не
ниже третьего порядка no s и нелинейными членами не ниже
второго порядка по е, то уравнение, описывающее движение по
интегральному многообразию 1]=^еЯ(т, |, е) с указанной степенью
точности, примет вид
^[А04-е2(В/?-7<1//1)]|.	(12.7)
87
Поступая, как и в предыдущем параграфе, проведем усреднение
матрицы BR—A4//J. Получим

ГО	о
g2
о	— у2-у (Л-! а) (Л — г2) щ
О Л-1 е2 (Л-| со)Х
X (Л—со)& + у (Л —г2)&1
₽2
— л —g- (Л -[ со) (Л — г2) 72*!
— е2 (Л + со)Х
[ (Л — со) а-|- (Л — r2) at 1
Условие асимптотической устойчивости имеет вид
4 Sp (АГ0 - i е2 (BR-KJR)) Sp (BR-KJR) < О,
или
4 <Л + ы) КЛ ~ “)а + Ь (A—r2) «jj -=
£,Л . ,аГА(Л-М)2р! , 2 (Л-гО1)(Л-г2)2р2
2 ( ; Ч л2₽М-№! :'?2 (Л- гО2у ₽24К1
<0. (12.8)
Замечание 12.1. Если оба демпфера находятся на теле
то уравнения движения не содержат переменных по т членов.
В этом случае в последнем неравенстве следует положить гО2— 0,
г,— со.
§ 13. Система с демпфером третьего типа
Рассмотрим систему тел с одним демпфером третьего типа,
расположенным на теле В±. В координатной форме уравнения
движения можно записать в следующем виде:
qw — ии^Ху — е [2%!^!^—wXjMj],
(1 — 2Ьги^ %!-—ен2со — — Лх2 -j- 8 [—2Ь1шх2и1 + x^i^ 4- 2L±x1u1]t
(13.1)
(1 —2L1Ujj х2—ии± = Лхх4- в [2Е1соХ1И1^—xlu± 4- со2их 4- 2L1x2h1J,
— ЕХ2 + е (1-ЕР1) «!	—?<!«!--801«!4-8 (х2-г%!) («!-Ej)-8<0Хх.
В уравнениях (13.1) опущены нелинейные по xlt х2, ult и± члены,
являющиеся многочленами не ниже третьей степени от перемен-
ных е, и1У «! Такими членами будем пренебрегать и в дальней-
шем. Кроме того, все вычисления линейных членов будут прово-
диться с точностью до третьего порядка, а нелинейных членов
с точностью до второго порядка по е включительно.
88
Разрешив уравнения (13.1) относительно производных со, х1(
Xt, Ui, получим следующие уравнения:
о ^=-^-[2х,ц1—(Л+ со) х2ц,],
ч
Xi = — Лх2 + е [х2(х,—2В, (Л — со)) п, |- 2L,x1w1],
X, = Лх,—K1U-] е {[—х, (х,— 2L,(A—со))-| л^-| х2 +
+ (14-Н1) ^гАД «1 -Т (— Pl + 2Дх2) й (Л—со) х,-—В, (х* Аг)}
+ е2 {[—(1 4- Pi)2^, + co2] и—(1 + р,) Pi« 4- (1 - Pi) сох,—
— (1-I PiHi(Xi + *2)}-I е2(14-р,)2(Л—со)х,,
ей 4-ePiU !-/(+,=
= е[(хН*1~ (1 + Н1И1) «1 —(Л—со) х, —L, (х, + х2)] -
+еа[(со2—(1+р,)2А,)« +(А—со) (1-| р,)х,— (bi p1)L1(xa + x22)]4-
|-е3(1 J И1)2(Л—cojxj. (13.2)
Систему (13.2) можно представить в следующей форме:
£= Д|-|-еср(|, Т|, т|, е), ец + еВц + Ст] - еф (|, т], т], в). (13.3)
Здесь | = (со, х,, х2)т, т] = и. Для систем вида (13.3) можно
строить притягивающее интегральное многообразие ц = е/(£, е)^=
efi (l)4-e2f2 (I) + еД3 (|) +   -, n = fig (I, е) -= eg, (|)+s2g2 (|) + . . .,
если только функции ср и ф достаточно гладким образом зависят
от всех переменных, а корни характеристических уравнений
| Л — М | = 0, | еХ2/ еХВ + С | — 0 имеют нулевые и отрицательные
действительные части соответственно. Функции / (|, е) и g(|, в)
определяются путем приравнивания коэффициентов при одина-
ковых степенях е из равенств
e2|Ue2Bg I еС/^еф(|, вД Eg, в). (13.4)
Здесь
!- вер (|, в/, sg, в).	(13.5)
Уравнения (13.5), которые описывают движение по интеграль-
ному многообразию, удобно записать в скалярной форме
w = у [2x,g —(Л ; со)х,Д,
х,^ —Лх2 ;-е[х2(х2—2Л,(Лч-со))/Ч-гДх^],
Х8 = Лх,—/CJ4-
4-е{[— х, (х,—2Л, (А-!-со)) |- х3 4- а;3 —(1 + р,)	-|- со2] f +
+ (—0i ;-2B,x2)g + (Л—со)х,—L,(x2 ;-^)} +
+еа{[со2—(1+р,)2/С,] f—(1+Pi)0ig+(1+Pi) coxx—(1+p,) (х?+х|)} +
+ e3(1 + p,)2(A—co) x,. (13.6)
89
Функции fug вычисляются из тождества
df • , df • , df 
в -i- 4^- %i+4^- х21 =—
L 5со 1 5xi dx2 .]	r 5
ге[(х? гХг—(1 + Pi) Ai)(Л—®)Xi—Л (*£+*!)] г
4-е2[(®2—(1 +|11)2/С1)/Ч (Л—ш)(1 +|11)Х1— (1 -|-Ц1) Li (х2 4 лг|)] -|-
+ б3(Ц И1)2(Л—И) %!, (13.7)
где и, хи х2 определяются равенствами (13.6). Вместо f и g сле-
дует подставить их формальные разложения по степеням е.
Приравнивая в (13.7) члены при одинаковых степенях е, по-
следовательно находим
fi =	[(Л—®) хг—Li (xf 4- х2)],	— Л(^~м) х2,
Л (д~М) Ё1*2 г А~(А~— %1 (l + |x1)L1(x12 + x22) i-
Н W + xl) [ (Л—®) Xi—Lj (X2 ч xi)]},
^2 = Л2 (^2~М) (Рл—Лх2),
f _ 1 J Г Л2 (Л — со)2 (Л-j-со)	Л2 (Л—со) pa , Л2 (Л — со),, :	__
'3 “ Ki )[ ft	Kl 11 1 Ki (1 >' Hi) J-^i
При вычислении функций g2 и f3 нелинейные по хп х2 члены
опущены.
Подставим теперь в уравнения (13.6) вместо функций fug
выражения при е2/2 е3/3 и ngi\-n2g2 и ограничимся при
этом линейными членами по х,, х2 до третьего порядка и нели-
нейными—до второго порядка по е включительно. Получим при-
ближенные уравнения движения по интегральному многообразию
• £2
® = -Tg- [— (Л—®) (ЗА ®) ХхХ2 ч (Л + ®) Ьгх2 (х2 л1)],
1
0 —Л \ ,
е2(Л + Ш)(Л-Ш)2 /	еЛ2 \	Л(ЛН-со)(Л-М)2 -з UX1V
Ki	V	Ai Г	к*
((Л — со) XiX2 — 2Li (Л — со) (2Л-|-со) Х]Х24-	\
-|-2L] (Л -р со) х2 (х14- х2) —LiXiX2 (xi4x2)
2Lj (Л —со) f(Л 4~ со) х! — Лх2] — (Л — со) х±—	.
— 2Li (Л 4 со) Xi (х14-х2) 4-й (xi — со2) (х2 4~х2)/
90
Условие асимптотической устойчивости по отношению к пере-
менным xlt х2 имеет вид
— g3 Л (Л (Л-Ы)2 р
Для построенного интегрального многообразия справедлив
принцип сведения. Следовательно, для системы (13.1) условие
асимптотической устойчивости по переменным xlt х2, ии uL имеет
вид (13.8).
§ 14. Общий случай
Как уже отмечалось в § 10, система (10.16) — (10.17) имеет
иогранслой, и для нее можно построить интегральное многообра-
зие вида
«>2 = Я(т, к»!, е)=Я0(т, Wj еЯДт, wj уО(е2). (14.1)
Коэффициенты определяются единственным образом из фор-
мального тождества
|v if ЭН, । dHi w / x1 hi \\
E \ eZ -Ч^-+ -4—-Wi T, Wj, 2j &lH;, 8	-^=
\ dx 1 dwi 1 \ ’ i	1 )
= Wi, 2е‘Я/,	(14.2)
\	i	1
Полагая в (14.2) e = 0, в соответствии с (10.17) получим
0 = W2 (т, W1, Яо, 0) = Fowt--G0H0,	(14.3)
Т. е. Но = — Gll~1FowL. Движение по интегральному многообразию
описывается уравнением
Wlt H(r, Wi, e), e).	(14.4)
Подсчет показывает, что
Wi = QoWj-г (т> wjH-e. • •	(14.5)
Здесь Q0 = E0—DoGo-^o, ^0(т, ^-^(r, wlt H0(x, wj).
Отметим, что первые p — 3 компоненты q0 (т, WJ равны нулю,
В остальные обращаются в нуль при иу —су—0 (/ = 1,	k).
Нетрудно установить, что среди корней характеристического
уравнения |Q0—Х/| = 0 имеется один нулевой, два чисто мнимых
корня ± iA и (p 'rk) корней с отрицательными действительными
частями.
Поэтому система (14.5) имеет трехмерное притягивающее инте-
гральное многообразие. Для его отыскания положим | = (со, xt, х2)г,
i] = (u1, ..., ир, vlt ..., vfc)r и запишем (14.5) в следующем виде:
t = ^(T, I, е) = КоИ-е...,	(14.6)
U2 (т, I, л- e) = M0£ i-M)1! I- Фо (b I. П)-г е- • •	О4-7)
91
Здесь Ко, Мо, No—соответствующие блоки матрицы Qo, <р0 —
последние ф-Д) компонент функции <70(т, дах)> при этом
фо (т, I, 0) = 0.
Трехмерное интегральное многообразие будем искать в виде
т)=У(т, |, е)=У0(т, ^) + 8V1(t, 1) + е2...
Коэффициенты этого разложения, как обычно, определяются
из формального тождества
I,	е"). (14.8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, полу-
чим уравнения для определения V,. Пусть Vo—матрица линейных
членов Уо по переменным xlt х2. Из (14.8) получаем
4г + У«/<о = ВД + Мо.	(14.9)
Матрицы Ко и No—постоянные, матрица Л40—тригонометри-
ческий полином по т. V'o—условно периодическое решение неод-
нородной системы (14.9) с постоянными коэффициентами.
Движение по интегральному многообразию описывается систе-
мой третьего порядка
1 = ^(т, I, V(r, I, в), 8).	(14.10)
Функцию иг удобно представить в следующем виде:
^(Ко + еКИ-е^Д ...)|4-8ф(т,	8).	(14.11)
Здесь К,—матрицы линейных членов, a tp—нелинейности не
ниже второго порядка по переменным xlt х2. Матрицы Кг, К2
являются тригонометрическими полиномами по т. Можно подобрать
такие квадратные матрицы Y±, У2, являющиеся тригонометриче-
скими полиномами по т, что после замены _у = (со, ylt у2)т, |-
-j + eKjj i е2Уг_у система (14.11) преобразуется к виду
j = (K0-F8P14 82P2)j+ ...	(14.12)
Здесь Pi — среднее значение К\, а Р2—среднее значение ма-
трицы К2——Pj). Анализ системы (14.12) достаточно просто
позволяет найти условие асимптотической устойчивости стационар-
ных решений. Учитывая то обстоятельство, что у матриц Ко, Р±,
Р2 первые строка и столбец нулевые, представим это условие в
виде
у Sp (Ко -г EPi + еР2) -1 Sp (8РХ н 82Р2) <0.	(14.13)
Для анализа условия (14.13) удобно ввести некоторые обоз-
начения. Пусть Q,—угловая скорость тела, на котором установ-
92
лен демпфер bj, и Н = 2 Ц®, + 4 2 ть -а/-у—вращательный момент
i	/	1
механической системы относительно оси Ха. Введем величины р]У
</; равенствами
mjcfjH {И — AQj) (Н—2ДЙу)2 cj
Р/ ~	2А\Н\[Н-ЛЙ,-)2 с/+(й ,• — (И — ЛЙ,-)2)2] ’
туауЯ (// —ЛЙу/(Я—2Лйу)2 су
qj~~	2Л2 | Я | [Я—ЛЙу)2 cy j-(йуЛ)2] '
Условие асимптотической устойчивости для механической си-
стемы с двумя демпферами примет вид р± + р2 < 0, если это демп-
феры первого типа, и q± q2 < 0, если это демпферы второго
типа. Несложный анализ показывает, что если механическая си-
стема имеет только демпферы второго типа, то это условие имеет
вид
2<7/<°-	(И. 14)
Если имеются только демпферы первого типа, то условие
асимптотической устойчивости имеет вид
2а-<°-	(14.15)
Если же имеются демпферы и первого и второго типов, то
следует использовать условие асимптотической устойчивости в форме
(14.15). Это связано с тем, что Sp (ePj) = 2Р/, а величины q,-
имеют более высокий порядок малости по е. Может случиться
так, что величина 2Р/ равна нулю или мала. Тогда нужно учи-
тывать и Sp(e2P2). Этот случай изучен в работе В. А. Соболева,.
В. В. Стрыгина [1].
ГЛАВА IV
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА, НЕСУЩЕГО ГИРОСКОП
И ПОДВИЖНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 15.	Уравнения движений
15.1.	Постановка задачи. Рассмотрим движение свободного
твердого тела D массы т, несущего гироскоп в кардановом под-
весе массы т2 и связанную с телом упругой связью частицу Р±
массы /Ир Пусть О—центр инерции тела, а (\—некоторая точка
тела, представляющая собой среднее (номинальное) положение
частицы Рр Через пи/. обозначим жесткость связи и коэффи-
циент вязкого трения. Обозначим через D* систему, состоящую
из тела D и частицы Рх, находящейся в номинальном положении.
Пусть О*—ее центр инерции. Будем считать, что центр карда-
нова подвеса совпадает с точкой О* и центром масс ротора.
Рис. 15.1
Положение точки О! определяется вектором p = O*Ot, а ча-
стицы Pj—смещением 1 = 01Р1. Обозначим через 7?о, Ro*, Rp,,
Rc^ радиусы-векторы точек О, О*, Ри Oj относительно неподвиж-
ного полюса О4, а через ю—абсолютную угловую скорость тела D.
Введем следующие правые ортогональные системы координат
(рис. 15.1): (О*, £*, т]*, £*) — инерциальная система координат;
94
(О*, £, г], У—система координат, жестко связанная с телом О,
оси которой совпадают с главными центральными осями инерции
системы О*; (О*, t2, t]2, £2)> (^*>	Л1» S1), (О*, ?°» Л0, £°)—си-
стемы координат, связанные соответственно с внешним кольцом,
внутренним кольцом и ротором гироскопа. Пусть ось Е2 направ-
лена по оси вращения внешнего кольца и совпадает по направ-
лению с осью ось г]2 направлена по оси вращения внутреннего
кольца и совпадает по направлению с осью т]1, ось £2 образует
с осями £2 и г]2 правую ортогональную систему координат. Пово-
рот внешнего кольца относительно системы (О*, £, т], £) опреде-
ляется углом а между осями т]2 и т). Ось совпадает с осью
собственного вращения ротора, ось S1 составляет с осями т]1,
правую ортогональную систему координат. Угол поворота внут-
реннего кольца относительно внешнего обозначим через р. Наконец,
ось £° системы координат, связанной с ротором, является осью
его собственного вращения. Положение ротора относительно внут-
реннего кольца задается углом у между осями и £1.
Пусть и — произвольный вектор. Его координаты в системах
(О*, g, т], £), (О*, Н2, -г)2, £2), (О*, g1, т]1, S1), (О*, £>, i]°, £°) обо-
значим через и1, и2, и1, и0 соответственно. Поэтому формулы пе-
рехода из одной системы координат в другую примут вид
где
«2 = Раи’, Z/’ P.M2, ий = Руи\
1	0	° \	/COS Р	0	— sin р
0	cos а	sin а	Р₽= 0	1	0
.0	— sin а	cos а/	\sin р	0	COS р
		f cos у	sin у 0\		
	Ру	== { — sin у	cosy 0 1.		
		\	0	0	1/		
Ради краткости перечисленные системы координат будем обо-
значать цифрами I, 2, 1, 0, а ротор гироскопа, внутреннее и
внешние кольца—цифрами 0, 1, 2 соответственно. В дальнейшем
верхний индекс будет обозначать номер системы координат, а ниж-
ний— номер тела. Пусть J{ (i = 0, 1, 2, /=1, 0, 1, 2)—тензор
инерции i-ro тела относительно /-й системы координат. Анало-
гично определяются угловые скорости Предполагается, что
ротор гироскопа является динамически симметричным относительно
оси £° и что оси системы координат, связанные с кольцами карда-
нова подвеса и ротором, являются их главными центральными
Осями инерции. Тогда
/До 0 0 \	'/Аг 0 0 \
JJ = Jo°= О А) 0 \	/!=_-. О Bi о
\0 О Со/	\0 0 Ci/
fДа 0	0 \
J2 = l 0 В2 0 .
\о о с2/
95
Обозначим через Jl тензор инерции системы D* **) относительно си-
стемы координат (О*,	г], £), т. е.
/А 0 0\
Л= о во).
\о о с /
15.2.	Вычисление кинетических моментов. Для угловых ско-
ростей и тензоров инерции элементов гироскопа имеем
ю'-РМ, <о} = ЗД> ^--РтаР1РК-Рт^Р^ (15.1)
. Л - PUlPa, Л = P£PTrW>«, Л - PjP^iPpPa *). (15.2)
Если — (1, 0, 0)т, е2=(0, 1, 0)т, е3 = (0, О, 1)т, то, очевидно,
«2 = ив! + Расо,
«1 = Р<?2 + Pp»i =-- fie2 Ррае} -!-- Р₽Расо,	(15.3)
ь>0 -= Т<?3 + ®1 = 7<?3 + |3е2 н- PpaCi + PpPaw * *).
Обозначим через К/ (Z —О, 1, 2; j -1, 0, 1, 2) кинетический мо-
мент t-го тела относительно точки О*, вычисленный в проекциях
на оси /-й системы координат. Из (15.1) — (15.3) имеем
Kl = J^ = J!(aeH-Pa®),
= j[ (р>2 j - ррав1 -г Р₽ Раы),
Ко -= Л (те3 -|3е2 Ppaej РрРаю),
К\ = Л^\ ~-= РаЛ<Л = Р1Л (ае?! Раю),
KI = J><o‘ = PJРрт/}ю1 = P^PpTJi(pe2 Рраех + Р₽Рао>),	(15.5)
Ко - />} -= PJP^JJwJ = PjPgJo1 (Р?2 i 7<?.з -I • Ppa<?i - P₽ P«“)
Через Кд обозначим кинетический момент гироскопа в карда-
новом подвесе относительно точки О*, вычисленный в проекциях
на оси системы координат (О*, 5, т], £). Очевидно,
К1а = К1-\	(15.6)
где К} (i = 0, 1,2) определяются соотношениями (15.5).
15.3.	Уравнения движения гироскопа. Следуя Д. М. Климову,
С. А. Харламову [1], разделим моменты, действующие на кольца
карданова подвеса и ротор, на две группы: внутренние моменты
взаимодействия между отдельными телами системы и сторонние
моменты. К первой группе относятся моменты Lni, на осях
внутреннего кольца и ротора и моменты L i, L^, Мц, A4ni нор-
мальных реакций опор осей внутреннего кольца и ротора, ко
второй группе—момент на оси внешнего кольца карданова
подвеса и моменты N^, нормальных реакций опор этой оси.
Будем считать, что моменты N^, L^, A4j. заданы, поскольку они
представляют собой моменты вязкого трения в опорах. Моменты
*) Символ (.)т как обычно, означает транспонирование.
**) Точка над переменной означает дифференцирование по времени t.
96
нормальных реакций опор являются неизвестными. Для состав-
ления уравнений относительного движения гироскопа в кардано-
ном подвесе применим теорему об изменении кинетического мо-
мента твердого тела последовательно к внешнему кольцу, внут-
реннему кольцу и ротору гироскопа, а затем из полученных
уравнений движения исключим моменты нормальных реакций
опор осей внутреннего кольца и ротора.
11о теореме об изменении кинетического момента имеем
X KI = N~ P£L,	-j-•©! x K{ = L - M,
= M	(15.7)
Здесь <a>{, K'i определяются соотношениями (15.3), (15.4), N =
(A^j,	Ng*), L = (Ly, Lx\i, Af=(Mgl, A4g>). Если че-
рез /ц /2, /3 обозначить матрицы
/1	0	0\	/О	О	(К	/О	О	0\
Л= о	о	о),	/2= о	1	о),	/3 = (о	о	о),
\о	0	0/	\0	О	0/	\0	0	1/
то справедливо тождество
/. (ЛГ— ВД 4 (ЛР§ + 4) (L- Ж) + (Л cos р + Ц -1- Ц) М =
= ЛМ 4 ItL	13М + (Л cos р—KPI) М.
Умножим теперь слева первое уравнение из (15.7) на Д, второе—
па ^Pg-j-Aa, третье—на (/х cos р + /2 + /3) и сложим полученные
уравнения. Тогда будем иметь
Л + <01X Kt) 4 (ЛРрт г /2)	4 х 4-
-1-	(Л cosр 4 /2 + /з)	-i- х Kl) =
+	-!3М 4(ЛсозР—IJtyM. (15.8) .
Заметим, что правая часть (15.8) содержит только известные мо-
менты Л7^,	Л4^. Если через 5% обозначить оператор проек-
тирования на ось £, то третье уравнение системы (15.8) можно
записать следующим образом:
^з(~г<о1Х^)==МЕ1.
Так как (cojх Ко) ~ 0, то последнее уравнение имеет вид
[увз-; pe2^PBae1 + PpPaw] = A4£i.	(15.9)
Предположим, что момент сопротивления вращению ротора урав-
новешивается вращательным моментом двигателя, т. е. A4gi = 0.
Тогда уравнение (15.9) имеет первый интеграл
Со [у i-a sinP + «! sinp—со2з1пасозР + (о3созасозР] = Яг = const,
(15.Ю)
4 В. В. Стрыгин, В. А. Соболев	97
означающий постоянство собственного кинетического момента ро-
тора гироскопа. (Здесь <о2, а>3—проекции вектора ю на оси
системы координат О*, £, г], £.) Учитывая (15.10), Ki можно за-
писать в виде
Ki = Ji [р‘е2 Н- aej cos Р + (А + 4) РрРа®] Hge3. (15.11)
Подставляя выражения для К{, «И (i^O, 1, 2; /=1, 2) из (14.4),
(15.11), (15.3) в (15.8), запишем уравнения движения гироскопа
в следующем виде:
Л { JI (aex + Paw) + (авх 4- Pao) X J22 (aCj 4- Pa(o) j -
~u (Л/’р + А) {Л1 (Ре2 4 Р^е, 4 Рр7» 4-
4 (0еа + Ppaej + PpPaw) X J{ (Р<?2 4 Ppaej  | РрРа(о ) 4
(Л cos р 12 + /3)| Ji~ (Ре2 4 aer cosp 4 (К + /2) P₽Paw) 4
4 (ре2 4- Ppat?! 4 P₽Pa®)Jo (₽е3 4 a«?i cos Р -| (1± /2) РрРаю) 4
+ (^г+(Р₽ав1+(Рр/>а®)^е«|’ = A1V-|-/2L4-^зМ+(/1СОзР—Л.Рр) М.
(15.12)
Сразу же отметим, что из (15.10), (15.11) вытекает равенство
для кинетического момента гироскопа
Ко = {PVlPa -I' PWPfiPa 4 PW, (h 4 It) P^Pa} ® 4
4- P^Jlaei 4- P^Jl (pe2 4 PpeJ 4
4 PaP[iJn (Pe2 4 det cos p) 4 P£P$Hge3. (15.13)
Пусть X = (a, Р)т. Предположим, что У|2 = — n2a, An< =— n$.
Запишем уравнения (15.12) в виде
Fx4 (Р4НгС)Ж+С®4НгР®-|-/(х, х, <о) = 0, (15.14)
где
/а 0\
\0 b)’
(а
О
/ О
R \— cos Р
/«2 0\
'	\0 nJ’
щ sin a sin р cos Р
b cos а
cos a cos р
— sin a sin Р
/О cos р
~ \ — cos Р О
— щ cos a sin р cos р\
b sin а / ’
Sin a cos р\
cos a sin р /
f (х, х, (0) =Р (х, х, ®) 4 /2 (X, <о) 4 /3 (х, х),
____/ Г(«1 cos 2Р4-6) «1 — ajWxSinSpjp \
'	\[— (щ cos 2Р4&) щ 401(0! sin 2р]а/
/— (с—&х) «11»!—01(0x0! COS Р Sin Р	\
~ \ai[wi sin Р cos Р —о2 sin Р cos р — щец cos 2р]/ ’
(15.15)
(15.16)
98
j.3 f —2ajaP sin P cos p\
J \ o^a2 sin p cos Р/
II —4,-)- Ct 4- (Ло-|- Ar—Ct) cos2p, a^Aj- At—Clt	(15.17)
Л ’Ло + fit, 6X = Ao -{- Bi !- B2, с — (Ло + Л!—Ct) sin2 P-|-C1-|-C2,
U| (oa sin a—<o3 cos a, v± = a>2 cos a co3 sin a.
15.4.	Уравнения движения системы. Следуя Ф. Л. Черноусько
|2, 3|, подсчитаем количество движения Q всей системы, сос-
тоящей из тела D, частицы Рг и гироскопа, относительно непо-
движного полюса. Обозначим через и0, Vpt, Vo*, Vot абсолютные
скорости точек О, Pj ,0*, Oj. Тогда, очевидно, Q==/n®o+w1®p14-w2®o*-
Заметим, что = vOl А ®Х I + I, где I—локальная производная
Нсктора I в системе координат, жестко связанной с телом. Поэтому
Q == mv0 4- «1 (®ot 4- <о X Z4- Z) -I- m2v0* = Mv0* + (ю XI + Z’) mlt
где M — mA- tnr 4- m2. Предполагая, что внешние силы отсутствуют,
получаем dQldt = 0, т. е. Q = const. Инерциальную систему ко-
ординат можно выбрать таким образом, что Q = 0 и, следовательно,
v0* = — X I— i)mf.	(15.18)
Вычислим в системе координат (О*, 5, т], £) момент количества
движения всей системы относительно точки О*. Имеем
Kb* —KdA Kj^-. Kg,	(15.19)
где Ко, Крх, Kg—кинетические моменты твердого тела, частицы
Р, и гироскопа относительно О*. Легко видеть, что
Ko-m(Ro—R0*)XV0* i-7d®,	(15.20)
где J\>—тензор инерции твердого тела относительно 0*,
^m1{ROi—-Ro* A- Z) х[(®0* 4-®X(Z?0|—Ro*) r<oXZ + Zj.(15.21);
Соотношение (15.19) представим в виде
Ko*^Ko*A-Ko + k,	(15.22)
где
Kd* — Л<о — т (Rq—Ro*) X Vo* 4~ «Zhtd + mt (Rot—Ro*) X Vo* 4~
4 mt(Ro— Ro*)X(i>X(Ro—Ro*) (15.23)
- - момент количества движения системы D* относительно О*, Jl—
тензор инерции системы D* относительно точки О*, а
Л —/nt{Zx[‘0o*4-®X(p4-Z)4-Z]4-pX(<oxZ-1 Z)}. (15.24)
Запишем закон изменения момента количества движения системы
относительно неподвижного полюса 0s:
=	(15.25)
4*
99
где /Со*—кинетический момент механической системы относительно
О», ТИо, — главный момент внешних сил относительно точки О*.
Так как
Ло»= Ко* т- Ro X Q,	лИо, = Мо* 4- Ro* X F,
где Л1о*—главный момент внешних сил относительно 0*t a F—
главный вектор внешних сил, то
^p + «»o*xQ+2?o*X^ = 41o* + 7?o*xF.	(15.26)
В условиях отсутствия внешних сил уравнение (15.26) имеет вид
= 0 или в подвижной системе координат
^ + ЮХАЙ. = О.	(15.27)
Используя представление (15.23), получим
Д^. + ®Х^® + ^ + ®ХЛГЬ + ^-1-®ХА=0.	(15.28)
CIZ	CLl	ul
dXl
Вычислим, наконец, -тг, <йхКо‘
ЧГ =	+ WA + PIPW {h -Г 4) PBPa] ® +
+ {(Pj ЛРа + PlPlAP^Pv + PjPpVj (4+4) р₽ра) | <0 +
+"«{(r«₽s)	(з?	+
+ PUi^ 4- Р\Р1Л (0еа -I - Рравх) +
+ Р^РЩ (₽е2 4 аех cos 0) 4 Pl) J&ei +
+ [(^Р“) Рр“ + Р“ЙР₽) Р] *2+PP“ei)+PW1(
+[(i р«) р₽“+р“ (Др₽) ₽]Jiнcos-1-
+ РаРУо(— aPsinP)?!, (15.29)
<-> X Kh = « х [P&lPa 4- РУПЛРрРа + PIPl (h + 4) P&Pa\ ®
+<0XPlPlHges + ЮХ {Pyi^4- Р1Р1Л(₽e24 PpaeJ4
4-PjP£Jr2(₽e24-ae1cos0)}.	(15.30)
Учитывая (15.18), перепишем (15.24) в виде
k = ml j/x	-^-(®x I 4-/)m14-<ox(p4- f)4- Z]4-px(®x Z4- /)j-==
= /«! ^p4- ^1—x(wx Z4-1) 4-/X<0Xpj-.	(15.31)
100
Тпгдя
«’ {(р+ и) z^x®xZ4 (р+ (1—^х<ох* +
4- f 1	'jZxo>xZ4-yp4-(l — д^Z х 1-\-1х<охр+/хохр|,
(15.32)
вхЛ =т! •|(1)хрхо)ХZ4- ( 1 —^<oxZxo>xZ4-<oXpxZ4-
4-^1—^^<oxZx/ + ®xZxe>Xp|.	(15.33)
Подставляя (15.29) — (15.33) в (15.28), получаем
(S, -| Sj) <» 4- fx 4 Hg (U<a 4- Vx) 4- g (®) 4-
4-g-i(x, x, <o) 1-mjg-^p, <o, <o,
Здесь
/Л 0 0^	/	0
so = JI = I О В 0 1,	(J— ( — cos a cos P
\0 0 cJ	\ — sin a cos p
Z,Z, Z,» = 0. (15.34)
cos a cos P
0
— sin P
sin a cos P'
sin p
0
/	a	Oi sin a sin P cos P —ai cos a cos p sin p\
Sj = I	ai sin a sin P cos P 6i cos2 a-\-c sin2 a (bi — c) cos a sin a j,
\—ai cos a sin P cos P (6i —c) sin a cos a 6i sin2 a-)-c cos2 a 7
(15.35)
z 0	cos P \	y'	a	0 \
V = i — cos a cos P sin a sin P 1 ,	T=\ ai sin a sin P cos P b cos a I
\—sin a cos P —cosasinp/	\—ау cos a sin P cos P 6 sin az
g\(*. x, <о) = ^1(х, 03) Fgi(*.*.®H£iM (15.36)
r—ait>i coi sin P cos P4-(^i — c) «Л
ajco2 cos a sin P cos P4-ai«itOs sin P cos P —
— coi [(&i— c) th sin a4-(c—a) a>3]
ajco2 sin a sin P cos P —	sin P cos P4~
+®i [(6i—c) t>x cos a + (c—a) co2]j
("P [—aicoi sin 2P4-O1 (64-ai cos 2P)]
a [a<o34-«itoi cos a sin 2p — (6i—с)и2]4-
_[_ £ [(aj cos 2p—6) a>i sin a4®i“i sin 2P sin a]
a [ — aa>2 4* 01ш1 sin a sin 2P 4- (6i — c) v2] 4-
,4- P [— (ai cos 2p—6) o)i cos a—sin 2p cos a])
— ai«P sin 2P	\
(Jia2 cos a sin P cos P 4- (ai cos 2p — 6) afj sin a I
aia2 sin a sin P cos P4-(6—Oi cos 2p)ap cosa /
/(C—B) o)2co3\
gr (co) = ( (Л— C) coico3 j,
\(B —Л) ffl1w2/
(15.37)
101
g-2(V <0,(0, I,	+
+(р+(1-^)/)х<йхЬ| (1-^?xo)xZ'j4p+(1-^)z)><
xZ-FZx<oXp + Ix<oxp + <oxpX<oxZ+^l —<oxZx<oxZ+
— <oxpxZ+ (j—	<oxZxZ4-(OxZx<oxp, (15.38)
a, b, alt blt c, u-t, v± определены из (15.17),
«2 = (o2sin2a—co3cos2a,	y2 = w2cos 2a 4-w3 sin 2a. (15.39)
Нетрудно видеть, что для смещения Z имеем
«Ц1 —Z +U + <tZ =-- — «!-^(со, со, р) +
Z)-b4p3(®, Z)]}, (15.40)
где
<рх (<о, (О, р) — (ох <0 Хр 4-<оХр,
ф2((0, (О, Z) =<OX(OXZ + <OXZ,	(15.41)
<р3((0, z’)=^2(oxZ.
Уравнения (15.14), (15.34), (15.40) описывают движение изучае-
мой механической системы.
15.5.	Введение безразмерных переменных и малых параметров.
Обозначим через Q некоторое характерное значение |(о|, через
Ag—величину порядка осевых моментов колец карданова под-
веса и ротора гироскопа (например, A?-^A,), через А*—величину
порядка осевых моментов системы О* (например, А* = В). Пусть
 г,	(О	I	р
Т~ ’	^ТрТ’ е”ТрТ’	(15.42)
J = (P. q, ry, z^(zlt z2, z3)r, e = (e1, e2, e3)T
и
QAg Ag p mi I Pl2 лклчч
e~ Hg ’ Iх Л* ’ v— e ’ Л* •	(15.43)
Заметим, что	где x—некоторое число порядка О (1). Диф-
ференцирование по т будем обозначать (.)'. С учетом (15.42),
(15.43) уравнения (15.34), (15.14), (15.40) перепишутся в виде
(So pSi)у' -|- цТх" + V (Uy + Ух') - g- (j) +
-rP'SiC-*'. х', у) — bg2(e, у, у', z, г', z", х6) = 0, (15.44)
eFx” 4~еРох' 4- Gx' — eQy' 4~Z?_y 4- е/(х, х', у) = 0, (15.45)
6 (1 —хб) z" + бЛх' 4-	—
= —6{Ф1(ЛУ> е)4-(1—x6)[(p2(j, у’, £)4-фз(:У, £')]};	(15.46)
102
*д@еь
<4 n—JIl. n^^-,
\ О Л\)	2	1	624g
кд М Р I2 у _ I Р I2
°  ‘ Q4* ’	- Д*й2 
II дальнейшембудем считать, что2^>бЛ^6,2=0 (1). Лможетбыть
кик достаточно большой величиной, так и величиной порядка 0(1).
15.6.	Стационарные движения. Рассматриваемая механическая
система имеет несколько стационарных движений. С помощью
Метода интегральных многообразий сравнительно просто иссле-
дуются следующие случаи:
I.	(7 = <?0 = const, р = г = О, а = — л/2, Р = 0, 2~-=2п', (15.47)
II.	q =-• q0 — const, р = г = О, а = л/2, P = 0, 2 = 2°, (15.48)
идесь
^° = -g-«(eii о, е3)Л Xt = Z-8(l-K8)q*,
мели точка Oi лежит в плоскости (Е, О*, £), и г° = 0, если Ot ле-
жит па оси т);
111.	г = rB = const,	p = q = O,	а = 0,	[3 = 0,	2 = 29',	(15.49)
IV.	г = r0 = const,	р = (7 = 0,	а = л,	[3 = 0,	2-=2й,	(15.50)
здесь
е2 0), S2 = S-6(l-x6)r2,
если точка О± лежит в плоскости (Е, О*, т]), иг° = 0, если О± лежит
на оси £.
§ 16.	Устойчивость стационарных движений
16.1.	Построение пятимерного интегрального многообразия.
Система (15.44)—(15.48) при условии cos|3=/=0 имеет устойчивое
пятимерное интегральное многообразие
х' *= Н1 (х, у, е, ц, 6), z = h(x, у, е, р, 6), г' — h1 (х,у, е, р, б),
(16.1)
которое будем искать в виде
Н1 (х, у, е, р, 6) =
= Яо (х, у, р, 6) Н- e/f}(x, у, р,‘ 6) -,-е2//|(х, у, р, б)-1- ...,
Л(х, у, е, р, 6) =
— Ло (х, у, е, р) -J- Shi (х, у, е, ц) -4 82h2 (х, у, е, tx) -г ...,
ЛЦх, у, е, [х, 6) =
=- (х, у, е, |х) -j- 8h{ (х, у, е, |х) 4 62Л£ (х, у, е, р) 4- • • •
103
Коэффициенты разложений определим из формальных тождеств
(«о +	у' 4- g- Су) + v (Uy + v/P) + (Xg-! (х, н1, У) +
+ ЦТ ((Я1). Я1 + (Н')уу') + 8g, (е, у, у', h, h1, (Л1), Я1 +
+ (Л1)^',хв) = 0, (16.2)
eF((/F)x Я1 + (Я1),/) Ь (О + еР0) Я1 + Ry -I
HeQ_y' -He/(x, Я1, _у) = 0, (16.3)
6 (1 — хб) ((Л1)* * Я1 + (Л1)^') 4- 6ЛЛ1 +	=
= —6{q>i(^, у', е)4(1 — х6)[<р2(у, у', Л) -Ь Ч>3 СУ, Л1)]}, (16.4)
Лхя*4 М' = Л1-	О6-5)
Приравнивая в (16.2), (16.3) коэффициенты при нулевой степени
малого параметра е, получим
H'n -G'Ry, Uy + VHl = 0.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что
Ло^=О, Ло = О,
Я} = -О-1^(Я5);сЯ5 + Р0Я01 !-/(х, Я4, y) + (FW)y -I- QWO)],
Л1 = _ФПЛ|С1^£))	Л1 = Л1;/Ф(^) = Ч)4СУ),
Ъ =	, ^=л2г,Ф(^)=л<р8су),
где Ф(.У) = —Зо-^СУ)*)-
Будем рассматривать случай, когда Л5>>1. Система уравне-
ний, описывающая движение по интегральному многообразию (16.1),
имеет вид
Soy' -1- g(y) 4- ng1 (*. У) + 82gl СУ) 4- б3Л^5 (у) + ... = О,
х' = Щ(х, у) + еЯ1(х, ^4 •••	1	'
g-1 (х, У) = gi (х, Щ, у) + Т (Н$х WT1 [F(Hb)x Hl +
+Р0ЯЯ-/(х, Яо4 .у)] + [Si -I- T(Hl) ^VO1 (F (Я^ + Q)] ф (у),
(16.7)
gi(y)^<^(y, <Pt(.y, Gy), el <рЛу)1
gb(y) = ^(y> ^ЛУ)> Фб^)),
Ф(у, а(у), ®О)) = — ехф(у)х^4-ех^Х'0(у)-4еХ'0уФ(»+
4-c(y)xy хе—^^хф(у)хе—jxexy х
Zj
X^~-\-y>^exv(y) 4-ух( — —^-ixyxe,	(16.8)
	° k fi J ’
*) При вычислении Л2, hl ограничиваемся членами, содержащими в каче-
стве множителя Л > 1.
104
т-
1
COS Р
i’	NjVi	'i
P G42+Ci)tgp [У1+^£г sin a — B c "%cosaj-|-
-{-UiVi B2—C2—Ci -|~ cos2 p" (1 4-sin2 P) (A2-j- Ci)^ —
k	—NzP—A^aUitgPi
(16.9)
(16.10)
gl (*, y) = (g11 (x, y), g12 (X, y), g13 (X, _y))T,
g11==N2 (p + Mgp),
|”«p[-(C2 + C1)v1 sin a 4 B2utcosa—
— (A2 4 Ci) vt tg2 p sin a 4- N2 sin a tg P] 4-
4 Ui [— (A2 -b Ci) r tg p 4 N2 tg2 p sin a] 4 uf [— (C2 4 Cx—B2) x
XC0»atgP]4 ВД [ — (Л2 J Ci)-^P(1 4-sin2P) sina I l-A^iWiCosa—
~ ’ J I. '	'	' cos*
p	1
{[(Л+ Cl) tg2P4 (C2 4 Ci)] sin2 a 4 B2cos2a} —
— B CA pq {[— (Л 2 4- Cj) tg2 P—C2— Ci 4- B2] sin a cos a],
gu'= p [(C24- Ci) Vi cos a 4 B2Ui sin a 4- (Л2 Cj) vL tg2Pcosa—
—W2cosatgPJ 1- Uj[(424 C\) (7 tg p —7V2 tg2 p cosa] 4-
4- Ui [— (C2 4 Ci—B2) sin a tg P]
4- U1V1 (A2 4- CJ (1 4- sin2 P) cos a j 4- NjOi sin a —
__tlzz£pr {[_(Д2.; cj tg2P—(C24- Ci—B^cosasina} —
—pq {[(A2A Ci) tg2P4-C24- C^ cos2 a 4- B2sin2a}.
16.2. Устойчивость вращения твердого тела вокруг оси ротора.
Исследуем устойчивость решения /?==<? = О, r = r0 = const, a = 0,
Р^ О системы (15.6) в случае, когда ось £ является осью дина-
мической симметрии системы D*, т. е. когда А = В.
Линеаризуем систему (16.6) на решении у =у3 = (0, 0, z0),
Х' О. С этой целью введем новые переменные yr — (р, q, Г1)т, где
rt г—г0. Имеем
У! “ — So1 \gy 4- И (g1)» 4- б2 (gi)y 4- 63A (g3)y] |^o У1 -4
4 и(й-гЦ=>»-*4-
*' = ((^J)y4 е(//])у)|^оУ14 ((/^)х4-6(Я})Л.=о-х-г .°. (16.11)
у^уО	у=у°
Положим <v = (p, q)r и представим систему (16.11) в форме
V' = (да» + ид<1> 4- 62Д(2) 4 6М(3)) v 4 цВ(0) х 4-	, ,, R 19ч
r'i = 0,	( °	}
х' = (С(о) 4- еС(1>) V 4- (О(0) 4 еО'1’) х4- ....
105
где
о — sr0
sr0 О
(О
-^г
А Г°
(jd) __ ( °
А
-N.
\^2 Г0(Ла + В2 — С2)
Dm =
/
Д(1) = |	А
L-^r0(S-i)
^2	\
А Г° \
I Г401 :
(ЛаН В2— Са) а I ’
-----------Го J
D{0} = ( °
го
С—А
’ S-' —
'о
О
2““^г) ГО
В случае, когда точка О, лежит в плоскости
для матриц Д(2), Д(3) имеем
Л(2>=1-4(1
4	/	2
& О*, П) (*3 = 0),
—4
6162
6162 А
—4 /
— 1	О
О —1
Если же точка О± лежит на оси t, (е1 = е2 = 0), то
4'» ^(1 +,).(_« J),
s)s(1 + s)s(”o -,)
Для анализа системы (16.12) удобно воспользоваться методом
интегральных многообразий. Эта система имеет интегральное мно-
гообразие х = Я(р, е, б) v, для которого справедлив принцип
сведения, если только г0 > 0- Уравнение, описывающее движение
по интегральному многообразию, можно записать в виде
V' = (Д(0) -| рД^-щгв^Я-У бМ^Ч-б3^))^
г; = о.
(16.13)
Матрицу Н можно вычислить с любой степенью точности в виде
ряда по степеням малых параметров р, е, 6 из формального тож-
дества
Я[Д(0) + (лД(П J- И5(о)//Н- б2Д(2) -I- 63ЛД<3> +...]- С<0) -i еС(1) +
-|ДЛ<»> + еП(1>)Я4-... (16.14)
При s=/= ±1 из (16.14), в частности, находим
Если ограничиться рассмотрением случая, когда величины ре
и р2 малы по сравнению с б2 и б3Л, то условие асимптотической
106
устойчивости нулевого решения системы (16.13) имеет вид
И 4-	41 1- б3	/^ (1 -s)2 (1 + s) s > 0	(16.15)
к случае, когда е3 = 0, s=/=—1, и вид
р, (Л\ + V2) —т-г-j-2б3	f4(1__s)2(1H s)s>0,	(16.16)
если св= ^ = 0, sy=—1.	-	-
Из принципа сведения для интегрального многообразия (16.1)
системы (15.44)—(15.46) следует, что условия (16.15) и (16.16) и
Иерпвенство г0 > 0 являются достаточными условиями асимптоти-
ческой устойчивости решения (15.49) системы (15.44)—(15.46) по
переменным р, q, х, х', z, z'.
Аналогичными рассуждениями можно получить условия асимп-
тотической устойчивости решения (15.50) той же системы по пе-
ременным р, q, х, х', z, z'. Они будут состоять из неравенств
(16.15), (16.16) и неравенства г0 < 0. Таким же образом исследуется
устойчивость решений (15.47), (15.48).
В случае, когда ось г] является осью динамической симметрии
системы D*, достаточные условия асимптотической устойчивости
решения (15.47) по переменным р, г, х, х', z, z' состоят из
условия q0 > 0 и неравенства
+	+	4-s)s>0,	(16.17)
если точка Oj лежит на оси ц (ei = e3^0) при s~—~	—1,
или неравенства
|i(lV1+^)s-^T-J-63^^(1-s)2(1+s)s>0 fe = 0).	(16.18)
Механический смысл этих результатов заключается в том, что
асимптотически устойчивым по части переменных может быть,
стационарное вращение твердого тела вокруг оси динамической
симметрии ц (£) системы D*, если эта ось является осью макси-
мального момента инерции, причем плоскость внешней рамки кар-
динова подвеса перпендикулярна оси вращения твердого тела,
ииутренняя рамка перпендикулярна внешней, частица Р± нахо-
дится в одном из положений, описанных в случаях I, II (III, IV)
и. 15.6, и направление вращения совпадает с направлением вра-
щения ротора гироскопа.
§ 17. Динамика свободного твердого тела, обладающего
полной динамической симметрией, с гироскопом
в кардановом подвесе
17.1. Уравнения движения. Пятимерное многообразие. Рассмот-
рим движение свободного твердого тела, обладающего полной ди-
намической симметрией (Л — В — С), на котором помещен гироскоп
107
в кардановом подвесе, причем точка подвеса совпадает с центром
инерции твердого тела и центром инерции гироскопа.
Уравнения движения этой системы имеют вид
(So + pSJj' + v^H- Ух') 4-pg\ (х, х', з>)-|-р7'х" = 0, (17.1
eFx"-I- (О + еР0) х' 4 Ry 4- &Qy' 4- е/(х, х', у) =- 0. (17.2
Входящие в систему (17.1)—(17.2) векторные и матричные фунг
ции определены в § 15. При cos0=/=O эта система имеет устой-
чивое интегральное многообразие
х/ = Я1 (х, у, е, р),
(17.3
которое представимо в виде асимптотического разложения по сте-
пеням малых параметров е и р
НЦх, у, е, р) = HI (х, ^)4 e,Hi,.(x, у) 4- р/75, i (х, ^)4-
4- е2Я2\ о (х, у) + ер//), t (х, .у) 4- • •
Простой подсчет показывает, что
Hl	К)т, //„S-0,
Hi,.^-G~'[P.Hl+f(x, Н1., y) + F(Hl)xHl\==(ai, р1)\
Я2,0 = - G-1 [F(Hi, 0)х /7J 4 (ЭДк Н^п (х,	0, у) 4-
- P.Hi,0 + /3 (х, Hl, Hi, 0, ^)], hi, 2 = С
Н{,, = О-1 [Р(Щ)у + Q] (X, у),
Ф1 (х, у) = gl (х, Hl, у) 4 т (Hl)x Н1. 4- VHi, 0,
Г(Х, х', у) определяется из (15.16) и
/3(х, Hl, Hi,.
— at (oco0i 4* aiPo) sin 20
aiajaj sin 2f3
Уравнения движения по интегральному многообразию (17.3) имею’
вид
Soj'+ рф1 (х, _у)4- реф2 (х, .у) 4- Р2Ф3 (х, у) 4- ... = 0, (17.4
х'=Hl(x, у) \ tiHi, о (х, ^) 4 ftyHi,! (х, ^) | eWi.o (х, у) 4- • • •,
(17.5
причем
ф2 = VHI,. 4- gf (х, Hi,0, у) gi(x, Hl, Hi,.) 4-
^T((Hi,.)xHl-Y(Hl)xHi..,
1	— ai (aoPi 4- a}pj) sin 20
2aiajai cos a .gin 0 cos 0-~
(X, Hl, Hi, 0) =	4-(«0014- al₽o) (ai cos 20 — b) sin a
2aiao«i sin a sin 0 cos 0 —
— («0014~ «105) («1 cos 20—b) cos a
Ф3 (X, y) = - («! -4 T (Hl)y) So-V (x, y) 4- VHi,t.
108
17,2. Построение трехмерного интегрального многообразия.
I >ГрИННЧПМ наше рассмотрение случаем z?2 + г2 =/= 0. Из общих сооб-
ражений вытекает, что у системы (17.4)—(17.5) существует устой-
ЧНИМ интегральное многообразие, которое представимо в виде
* = Я(у, е, н) = Я0(у)+еЯ1,0(^) + рЯ0,1(у)4- ... (17.6)
Ппцгчет показывает, что т(н0, у)=о. Отсюда следует, что
ьпринми этого уравнения будут такие аир, что
cosa = ~, sina = — — , tgP = £-, Д = К<72 z'2. (17.7)
Нетрудно убедиться, что
ни о = 0, я0, X =- - {(Я^tfoAV (Яо, у),
Я0/, = -{(Я^я,}-1 (Я01/|х=яо).
Уравнение, описывающее движение по интегральному многообра-
зию (17.6) с точностью до членов порядка О(р2, це, е2), будет
иметь вид
—• [Л1р(Я0, _у)~реф2(Я0, ^)—р2-ф3(Я0, J)—р2^|ж=я0-Я0,!.
(17.8)
Здесь
/ ° \	г 0	\
г ), Я0,1 = ^^р1
\~q)	А \p^&*J
/ ° \
1|)2(Я0, J) = o,	^) = -fc^B2p( Г ,	(17.9)
А	\~qj
Р2-]-Д2
_дг2—__
^pr?-^-q?^-(A2-\-B2-C2) ,
Поэтому систему (17.8) можно представить таким образом:
[ г ) +	N2pq^-^r{A2-C^A\\. (17.10)
А (\— q) А\ N^r/k2—q (А2—-С2)/А/)
17.3. Анализ системы (17.10). Заметим, что исходная система
имеет первый интеграл 7>2 + (72 + r2 = const. Это означает, что
модуль угловой скорости во все время движения не меняется.
Исследуем поведение мгновенной оси вращения О*К твердого тела
М системе координат (О*, л, £)• С этой целью введем сферические
Координаты
p = |^|cosO, (/ = |j | sinO coscp, r = |_y|sinOsin(p.
109
Для угловых переменных 0, <р получим систему
0' = -pW2^=^-ctg0,	(17.11)
/1
ф' — И Л--^С~2 [1 + И Лг^2] I.У I cos0 (|^| = const). (17.12)
Легко видеть, что In | cos 01 = p/W2 т In | cos0o|. Если
А2—С2 > 0, то за конечный промежуток времени т0 значения
In | cos 01 попадают в любую, сколь угодно малую, окрестность
нуля, значит, 0(т) при т—>--|-оо становится сколь угодно малым.
Таким образом, мгновенная ось вращения О*К твердого тела,
медленно вращаясь вокруг оси £, стремится занять ее положение.
Если же А2—С2 < О, то In | cos 01—►—оо при т~>- —оо и,
следовательно, 0(т)-^л/2 прит—оо. Другими словами, в этом
случае мгновенная ось вращения О*К, медленно вращаясь вокруг
оси £, неограниченно приближается к плоскости (т], О*, Q.
Из равенства i/cosa-' rsina = O(e2, ер, р2) вытекает, что
а « <р—л/2. Следовательно, плоскость внешней рамки карданова
подвеса почти перпендикулярна проекции вектора угловой ско-
рости тела на плоскость (т], О*, £).
Нетрудно заметить, что внутренняя рамка карданова подвеса
в первом случае стремится совпасть с внешней рамкой. Во втором
случае при т—оо она стремится стать почти перпендикулярной
внешней рамке.
§18. Динамика свободного твердого тела, обладающего
полной динамической симметрией,
с одной подвижной массой
18.1. Построение трехмерного интегрального многообразия.
Рассмотрим движение свободного твердого тела D с присоединен-
ной массой Pi в случае, когда система D* обладает полной дина-
мической симметрией. Пусть система координат (О*, 5, Л, 0 введена
таким образом, что ось £ проходит через точку Оь т. е. е —
= (1, 0, 0)г. Уравнения движения механической системы имеют вид
soj'-i 6g-2(e, У’ У'>	г'1 z", хб) = °,	(18.1)
6(1— x8)z”^- 8Az'--	=
= — 6{ф1(_У. У', е) + (1— x6)[q>2(^, у', гН<р3(.У, г')]}. (18.2)
Система (18.1) — (18.2) имеет устойчивое интегральное многооб-
разие
z = h(y, 6) = bhr (j) б2й2 (у)	,
z' = &(у, 6) = 6Л} (у) -г 6W2 (у) + ...
(18.3)
по
Подсчет показывает, что
й1 = _>х>Х£, fti = 0,
*i^Xr(3’xy)xyx(yxe), 74 = 0,
Л»" -4-{ф1(°. ёЛУ), е) + ф2(У. 0> й2) + х<р2(у, 0, й4)},
ttl~hihgAy), lIJ,|2 (J>xe). Л4 = -4л- *1 = 0*).
(18.4)
Урнппение, описывающее движение по многообразию (18.3), имеет
«ИД
Ау' -- 62g4 (у) 4- 63g6 (у) + 6*g8 (у) ч- 65Ag, (y) + ..., (18.5)
где gn> gs> g7 определены равенствами
— {ухехухйа+ух^хухйх + у хй2ху xe} =
= —^г(У> e)|yl4yxe,
gt«‘ — {exgAy)xft1^exyxhl + hlxyxe +
 1 Aix g4 (y) x e Ч-y x e xy xh3 +y x й4xy xh3 H-у x й2xy xhv—
—xyxhixyxhj,^,-yxexhl^ yxh3xyxe},
g7 = —{ухехухй4+ухй4хухе}-у.
Произведя необходимые вычисления, получим
. /92Н-''2\	/?2Н-г2\
Й1 = 2^“Р9)’ М = 0, Й2 = ^-|у|2^ ~РЯ j, Й* = 0,
/92+г2\	, .	/ 0 \	. /ЯЧ гЧ
Л8=£з1уН -ря —2^1у|2(-р? —хТ2|у|2( -ря ,
\ —pr J	\~prJ	\ ~pr J
г 0 \	/ 0 \
hl=-^\y\2P\^ )> =	}
i 7 0 \	1	< 0 \
Л} = 0. g4(y) = ^|y \гР^ J- gAy)---- 22|у|4Р^_г
Гн(у)=— [—4з1уГр+-^(21у Гр+х|у|4р-(
,'Я2-'ггЧ
Я7(У) = --^\у\2рЧ -ря •
\ — pr J
*) При вычислении ft4, h\ ограничиваемся членами, содержащими в качестве
множителя Л > 1.
1 11
18.2. Анализ системы на многообразии. Система (18.5)
имеет первый интеграл р24- <?2 Н- r2 = |_у |2 = const. Для исследова-
ния поведения мгновенной оси вращения О*К твердого тела в
системе координат (О*, £, т), £) перейдем к сферическим коорди-
натам
p = |j|cos0, q = |_у | sinO cos ср, г = |_у | sin 0 sin <p.
Для угловых переменных 0 и <р получим систему
Л0' = 66-^з|.у |6 cos3 0 sin 0,	(18.6)
+ ^-[(2-i-x)|^|6cos0-4|^|5cos30]	(|_у| = const). (18.7)
Интегрируя уравнение (18.6), получаем
1пШ+2^=б67^fg0- (18-8)
При 0 < О, 0О < л/2 величина % принимает значения на проме-
жутке (0, -|- оо). Левая часть (18.8) представляет собой монотон-
ную возрастающую функцию %. При т—> — оо правая часть (18.8)
стремится к -j- оо, следовательно, %—>-|-оо, т. е. 0(т)—>л/2 при
т—>-4-оо. При л/2 < 0, 0О < л величина % принимает значения
на промежутке (—-оо, 0). Левая часть (18.8) представляет собой
монотонную убывающую функцию %. Далее, при т —4- оо правая
часть (18.8) стремится к -• оо и, следовательно, %—>—оо, т. е.
0(т)—* л/2 при т—>+оо. Таким образом, мгновенная ось враще-
ния 0*К твердого тела, вращаясь вокруг оси % с достаточно малой
угловой скоростью, при т —> + оо неограниченно приближается
к плоскости (ц, О*, £). Полученные здесь результаты достаточно
хорошо согласуются с результатами работы Ф. Л. Черноусько [3].
ГЛАВА V
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ТОЧЕЧНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ближайшие три главы посвящены обоснованию метода интег-
ряльпых многообразий в наиболее важных с прикладной точки
|рпния случаях. В этой главе приводится доказательство резуль-
тант В. А. Плисса [2] в обобщенной форме, позволяющей исполь-
iiinirib их при изучении некоторых типов систем с распределен-
ными параметрами. Для многих автономных систем (обыкновенных
ц|||к|и‘ренциальных уравнений, с запаздывающим аргументом, а
щкже с частными производными) интегральные многообразия
ппляются инвариантными множествами для семейства операторов,
сднига по траекториям. Оператор сдвига преобразует начальное
условие (точку в некотором функциональном пространстве) в точку,
полученную сдвигом по траекториям системы за фиксированное
нремя. Поэтому возникает задача об отыскании и исследовании
инвариантных многообразий точечных отображений.
§ 19.	Принцип сведения
19.1.	Существование инвариантных многообразий. Пусть U
н V—два банаховых пространства с нормами Ц-lk и ||-||2 соответ-
ственно. Рассмотрим декартово произведение E — UxV с нормой
pll IMP IK (х = (и, ц)£Е) *).	____
Пусть Т—некоторое отображение Е в Е, (м, и) = Т(м, и),,
представимое в виде
и — Аи-\- X (и, v), v = Bv + Y (и, ц),
где А: U —+U, В: V —+ V—линейные ограниченные операторы,
такие, что || А ||^ 7 < 1, В—обратимый, причем ||В-1||^/7 < q~l.
Нелинейные отображения X: UxV—+U, У: UxV—► V удовлет-
Иоршот условиям X (0, 0) — 0, У (0, 0)^0,
И(«. Ц) — Х(й, у)|Кт(|]г/—й||-|-||ц—у||),	р9Д)
||У (и, г) —У (ы, у)Ц< у(||н— й||+||ц— 7||)
для любых и, u£U и v, rgV.
Определение 19.1. Множество SczUxV инвариантно
(относительно Т), если из включения х (Е S следует, что Т (х) С В.
*) В дальнейшем индексы 1 и 2 мы будем опускать.
113-
Множество точек {T'!(x)} (п=1, 2, ...) будем называть траек-
торией х. Очевидно, для инвариантного множества 3 имеем:
Тп (х) g 3 (п=1, 2, ...), если х£3.
Обозначим через £(&) множество функций <p: V—+ U (н = ф(у)),
для которых <р (0) — 0 и
||ф(ц) — ф(у)|К£||у—v||	(19.2)
при всех v, y^V.
Обозначим через у0 следующую постоянную:
(1 — pq k	1	1 — а	\—ра\
у0 - ПИП —— • ц.,.^2 > p(i^k) ’ Т+Т > 2p(l--k) f "
Ниже будет доказана следующая
Теорема 19.1. Если у удовлетворяет, неравенству
у < у»,	(19.3)
.то в t,(k) существует такое ф*, что график 3^* отображения <р*
является инвариантным множеством относительно Т. Отображе-
ние <р* единственно.
Доказательство теоремы опирается на несколько вспомогатель-
ных утверждений. Введем в £(&) норму
<*>
Легко проверить, что с такой нормой является полным мет-
рическим пространством.
Лемма 19.1. График любой функции <p € t,(k) отображением Т
переводится в график некоторой функции ф ££(&).
Доказательство. Положим
/<р(у)^Лф(у) + Х(ф(у), у); §-ф(у) = Ву+У (ф(у), у). (19.4)
Пусть ц = |ф(у)-и у ^=g<f (у). Очевидно, отображения и gv зави-
сят от выбора ф. Покажем прежде всего, что отображение g,,/.
V—взаимно однозначно. Пусть yn v2^V и У1 = ё'<р(У1), у2 =
= £ч>(у2)- Тогда из (19.4) следует, что
1Й~М>||Я(У1—f2)i1—П(ф(^). У1)—Т(ф(и2), у2)||.
Далее, из (19.1) и (19.2) имеем
П(ФЙ), У1)—г(ф(и2), U2)||<y(l Т-А01Й—М- .•
Поэтому
II Vi—У2II = II g<p (Hi) — g-ф (у2) II > [ 1 Ip—у (Н - k)] II у,—У2II. (19.5)
Это означает, что g^ — взаимно однозначное отображение. Пока-
жем теперь, что обратимо. С этой целью возьмем произвольное
у g V. Рассмотрим уравнение
ё-ф(у) = у (»ёЮ-
.114
1 'ио эквивалентно уравнению
Sv — v,
, (ц S{v) = B~1[v—Y (<p (и), у)]. Из (19.1) следует, что для любых
IIS (у)—S (у') ||< ру (1 4- k) || у—у' ||.
HiK как у удовлетворяет неравенству (19.3), то ру (1 k) < 1_,
и отображение S—сжимающее. Следовательно, уравнение g(y)—и
putmeniUMO для любого ygV. Значит, отображение g^ обратимо.
Рассмотрим теперь отображение f^og^1 € V —> U. Очевидно,
(О) --О. Докажем, что ApOg^ €£(&), т- е' чт0 f*0^1 Удов’
ФТИоряет условию (19.2). Пусть уп у2—произвольные элементы
hi V, Положим
Й1 —/ф (.g-ф1 (vj),	U2- /„(g^1^)).
Ник было показано, существуют такие элементы уп v2^Y, что
g<pH^Vi, gip^)^-
Очевидно, Mi = /q>(ui), «2fq, (и2). Из (19.1) вытекает, что
|1"| — м2|| = ||Л<р(у1) + Х(ф(у1), У])—Л<р(у2) — Х(<р(у2), у2)||<
<[^ + ?(1 + k)] || У1—у2||.
Иа последнего неравенства и неравенств (19.5) и (19.3) получаем
Цщ —Ц2 '| .. ?fe-j-y(l-|-fe) <- £
Й—М "" {>р — Т(1+*)
Лемма доказана.
Лемма 19.2. Существует такое число q0, что sup F(t)^
i>0
•Cqu< 1, где
p //ч _ [?-'-?(1-l-fe)] (1-1 О
Доказательство. В силу (19.3) F(0) — q + y(l + k) < 1.
Далее,
р> _ [?-!-y(l-fe)][l —1/р-|-т(1+fe)J
{>	[1-|.(1/р_Т(1+й))/]2
Пели 1 — 1/р-г у (1 + k) 0, то F'(t)^.O и, следовательно,
пир F (Г) -- F (0) < 1. Если же 1 — l/p-j-y(l -yk) > 0, тоЕ'(/)^0
I >о
И, следовательно, sup Е (/) — lim Е (/) ^- ;	 В силу (19.3)
t > 0	t-^a>	ЧР~ У (* 1 «)
последняя величина меньше 1.
Лемма доказана.
Обозначим через Т (<р) отображение f^og-1, действующее из U
u U. В силу леммы 19.1, Т (<p) g £(&). Поэтому можно ввести
115
в рассмотрение действующий в пространстве £(k) оператор Т
Т (ф) = /<р°^1.
Лемма 19.3. Оператор Т является оператором сжатия.
Доказательство. Пусть фп ф2 €£(&)• Введем обозначения
у = Ву4-У(Ф1(у), у), у = Ву+У(ф2(у), у),
и = Лф1(у) + Х(ф1(у), у), м = Л<р2(у)+Х(<р2(у), у).
В силу леммы 19.1 точка (и, у) лежит на графике отображения
Т (<pj) (аналогичное можно сказать и о точке (и, и)). Поэтому
й— Т (Ф1)(и), и = t (ср2) (Б).
Легко видеть, что
й (ФО (и)-f (ф2) (01| < || Г (Ф1) 0--Т (ф2) (У) II-Н
+ IIТ (ф2) (0—Т (Ф2) (0IKII й—WII -I k || у—у ||.
Используя (19.6), последнее неравенство можно усилить следую-
щим образом:
Й(Ф1)(^)-7’(Ф2)(Т)||<
<||Лф1(и)-;- Х(фх(и), v}~Лф2(и) — Х(ф2(у), у)||-|-
-Ь&||Ву+ Y (Фх (у), у)—Во—У(ф2(у), у)||<
< [<Н V (1 + &)] II фХ (v) — Фа (у) II-
Далее, из (19.5) имеем
т(1 -I-ЭД1И
Поэтому из последних двух неравенств и леммы 19.2 вытекает, что
17’(Ф2)-Т(Ф1)| =
_ с,, П Й(фа) (у) — Т (Ф1) (у)||	i!<Pa(0 —Ф1(0|14?-; Т(1-|*)1
1+hll	«е?	1 + [1/р-Т(Н*)]М
<- ci 1 n II Фа <р)~Ф1	И Т (1 -I ^)] (1-ЧМ)
1+HI	’ 1H-U/P—т(1Н *)]М^
^1	I	[?-| т(1-}-*)](1 +0 I I
< I	| • sup ,L_,t)|, sS ?. I <Р1 — ф, I
Лемма доказана.
Для доказательства теоремы 19.1 достаточно отметить, что
у оператора Т в £ (&) существует единственная неподвижная точка
Ф* = Т(ф*). График 8Ф* отображения ф* в пространстве UxV
является инвариантным множеством относительно отображения Т.
Теорема доказана.
19.2.	Принцип сведения. Инвариантное множество Еф» обла-
дает свойством притяжения траекторий отображения Т, т. е. для
116
пЛой точки х0 = (м0, ve)£UxV
lim р(Тп(х0), Зф*) = 0.
И —> СО
чо утверждение будет доказано ниже. Однако можно установить
более тонкий характер приближения траектории {^(хЛ к мно-
 •ч'тву Зф«.
Вудом говорить, что инвариантное множество Зф* отображе-
ти Т является С-притягивающим, если для любой точки х0 =
(Не, vu)€UxV можно указать такую точку %*=(«*, ц*)$8ф*,
 ю
lim || Тп (х0) — Тп (х*)|| = 0.
п —> со
I оЧКН Тп (х*) лежат в множестве Зф», и траектория {Тп(х*)}
належивает траекторию {Тп(х0)}. Точку х* естественно называть
цдтцей.
Теорема 19.2. Если у удовлетворяет неравенству (19.3), то
инвариантное множество Зф* отображения Т является С-притя-
ншающим.
Доказательство. Пусть х0 = (и0, и0) — произвольная точка
Пространства UxV. Обозначим через ип и ип проекции Тп(ий, и0)
ни подпространства U и V соответственно, т. е. (м„, vn) = T'1 (х0)
(и--1, 2, ...). Докажем сначала вспомогательное неравенство
II и:1—ф* (о„)|| < [<7 -!  ? (1 -I £)]" || Wo—ф* (о0)|1-	(19.7)
<  угон целью заметим, что из инвариантности поверхности и = ф* (о)
Для любой точки ogV следует включение ТДф’До), и)€Зф,; это
шиичает, что координаты точки Т(ф*(и), о) (обозначим их через
g* (о)} = {Лф* (о) + X (ф*(ц), о), Ви -у Y (ф* (о), о)}) удовлет-
воряют соотношению
f* (о) = ф* [§* (о)] — Лф* (о) + X (ф* (о), о).	(19.8)
В частности, полагая о — f„_i, получаем соотношения
g*(t»„_i)^Bv„_1 + Y (ф*(ц„_!), v,^^,	19
Ф* [g'*	=- Лф* (U„_i) X (ф* (V„_i), 0,,-j).
11:» этих соотношений вытекает, что
II «и-ф* (vjll < II w„ —Ф* [g-* (V„_ 1)J[| + II ф* [g-* (f„-i)]—Ф* (f„)ll <
< IIЛ u„_! + X (uH_!, vn~x)—Аф* (o„_x)—X (Ф* (v„_ j), vn_i)|| +
-1-А!||^*(о„_])—о„|К(<7-;-у)||н,;_1—ф*(о„_1)|Н-
1-А!||Вц„_1-!-У(ф*(о^1), u„_x)—У(w^i,
<k + y(H-fe)]||w„_1—ф*(о,
Отсюда и следуют неравенства (19.7).
117
Из (19.7) вытекает, в частности, близость точек vn и g*(v„_i).
Действительно,
II g* (vn_ 1)—vn II sC II Bvn_! -I- Y (<p* (v„_ 1), vn_ j) — Bvn_!—
— Y(un-i,	V(1 + ^)]n_1||uo—<P*(Vo)||-	(19.10)
Наша цель — построить отслеживающую траекторию на много-
образии. Поэтому достаточно лишь построить ее проекцию на
подпространство V (вторая ее проекция связана с первой соот-
ношением м = ф*(и)!). В силу (19.10) при больших п вторая ко-
ордината vn исходной траектории приближенно вычисляется по
формулам
vn = Bvn_l-Y	Y (<РЖ-1)> ^-i) = g'*(^-i)-
Это приводит к следующему эвристическому соображению: не бу-
дет ли точка
{ф* (g*"" (ц„)), g*-"(i>„)}
хорошим приближением следящей, если, конечно, п выбрано до-
статочно большим? Ниже будет показано, что это действительно
так. Ради краткости введем следующее обозначение
g* (ц„) = W®>.	(19.11)
Получим следующие конечные последовательности:
©I,”’, ®5"), о>2Лг), ..., ©X1’ = vn,
a)<ontl\ ®<"+1), ю®+1), .... ю®+1), ®£V’ = ^+i,
®^+2), ®1П+2), ®2,1+2).	®л"+2>, ®«++12)- ®Й22) = Уп+2>
Зафиксируем любое целое положительное т<п. Из неравенст-
ва (19.5) получаем
К—£*(^-1)[Н
~ II ё*	g* ~^п ~~m'i (у ) g-* (и—/Д) g-* -(и-да—1) (у 1)||^
> [1/p-y(1+ *)]"“" 11®^-®^-%
Отсюда и из неравенства (19.10) вытекает, что
||®й’—®й-1,1К[1/р—т (1 -1 &)]“-" II g*(y«-i)—yJK
< и°~^(19Д2)
где
1	?-?(!-!-^) I 1
ч* \Vp—т(1 + *) J
При фиксированном т	последовательность	фундамен-
тальна	и	сходится	к некоторому элементу ®т.	Из непрерывности
g* следует, что g* (®J =®„+i.
118
Тик как vm по определению совпадает с со^”, то из неравенств
(10,12)	выводим
^9_у('—я1 -! едл||«о—<р*м+
М/7,П+2
•i ^,/^1 fe) U/Р —У С1 И' 6)]'Л||ыо —<Р*Ы|Н-  • • =
ТРИ «о-ф*(Ml [- + (1 +	(1913)
1—pq—2ру (1 -|- k)	। ' । /j \	/
Таким образом, элементы wm, vm сближаются co скоростью ге-
ометрической прогрессии.
Для завершения доказательства теоремы положим т = 0 и в
ничестве следящей точки возьмем м* = ф*(о)о), v*~®0. Из нера-
нЩ|стн (19.7) и (19.13) легко получаем
||Z'«(A-U) — T“(X*)|HI(U„, У,,) — (<р*К),
С || ип — ф* (у„)|| -ь II ф* (у,,)— ф* (й„)|| ||у„ —со„ II <
т(1-ОД'К—Ф*(у0)Р (1-£)К—®„||<
< [?-i- у (1 k)\n {1 (н fe) 1__P9_2pV—fe)f II «о—ф* (vo)ll-
Утверждение теоремы вытекает из неравенства q-- у(1 &)<1.
В доказательстве теоремы 19.2 мы использовали некоторые
соображения Я. Курцвейля [1] и Ю. А. Неймарка, В. П. Кога-
нв, А. С. Гуртовника [Г].
19.3. Замечания. Пусть теперь точечное отображение опреде-
лено в некотором банаховом пространстве Е и представимо в виде
Tx — Cx + f^x)	(х£Е),
где С—линейный ограниченный оператор, a f удовлетворяет ус-
ловию Липшица с малой константой и f (0)^=0. При решении
многих практических задач приходится иметь дело с оператора-
ми С, спектр которых представим в виде суммы двух множеств
Hi и <т2; причем 04 состоит из конечного числа точек, лежащих
Ни единичной окружности, а о, лежит в круге | X | р0 < 1.
Тогда пространство Е можно представить в виде прямого произ-
ведения инвариантных относительно С подпространств U и V,
причем так, что сужение А оператора С на U имеет спектр, сов-
ППДИ1ОЩПЙ с о2, а сужение В оператора А на V—спектр crj.
I) пространстве Е можно ввести новую эквивалентную норму, в
которой
||А||С<7<1,	||В||^1.
Замечание 19.1. Если постоянная Липшица нелинейной
добавки f (х) достаточно мала, то отображение Т имеет в Е ин-
вариантное многообразие 3, которое является С-притягивающим.
119
Предположим, что это инвариантное многообразие представимо
в виде
u = cp*(v) (уСЮ-
Тогда в пространстве V можно определить точечное отобра-
жение
v — Bv -j- Y (<р* (у), v)^T*(v).	(19.14)
Очевидно, Т*(0) = 0, т. е. нуль пространства V является непод-
вижной точкой Т*.
Определение 19.2. Нулевая точка отображения Т* устой-
чива, если для любого е > 0 существует такое б > 0, что при
всех х из шара ||х|| < б и всех п = 1, 2, 3, ...
II Т*п (х)|| е.	(19.15)
Аналогичным образом определяется устойчивость нулевой точ-
ки отображения Т.
Из теоремы 19.2 вытекает следующее
Следствие 19.1. Для того чтобы нулевая точка отобра-
жения Т была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы была
устойчива нулевая точка отображения Т*.
Если, кроме условия (19.15), справедливо соотношение
ИтТ*п(х) = 0,	(19.16)
П-+<Х>
то говорят, что нулевая точка отображения Т* асимптотически
устойчива.
Следствие 19.2. Для того чтобы нулевая точка отобра-
жения Т была асимптотически устойчива, необходимо и доста-
точно, чтобы была асимптотически устойчива нулевая точка
отображения Т*.
В некоторых задачах индуцированное отображение Т* имеет
инвариантное подмножество Q, имеющее более сложную структу-
ру (цикл, тор и т. д.). Очевидно, Q является инвариантным
подмножеством отображения Т. Его устойчивость (как инвари-
антного подмножества Т) полностью определяется соответствую-
щим свойством отображения Т*.
§	20. Гладкость инвариантных многообразий
Предположим теперь дополнительно, что функции X (и, у),
Y (и, у) п раз непрерывно дифференцируемы по и и о, а их п-е
производные удовлетворяют условию Липшица с некоторой пос-
тоянной Д. Пусть все частные производные функций X (и, у) и У (и, v)
также ограничены этой же постоянной Д. Пусть, наконец, первые
частные производные Ха, Xv, Yu, Yv ограничены постоянной у,
величина которой будет уточнена в дальнейшем.
120
Ниже будет доказано, что инвариантное многообразие и = <р*(и)
лудет п раз непрерывно дифференцируемо, если
pn+l<q~l.	(20.1)
(1нкдзательство этого утверждения опирается на обобщенный
сжатия.
Обозначим через Сп пространство п раз непрерывно диффе-
чщируемых функций и = <р(и) (и(ЕЮ> принимающих значения
U. Пусть, далее, £(&i, .... kn, L)—подмножество функций из
"i для которых выполнены следующие условия:
ф(0) = 0,
SUP ||ф‘И)	< С»
V€ V
||ф1п) (и)—ф<п) (ц)|| С А||ц—ц||
(20.2)
(т= 1, .... и), (20.3)
(и, ugV). (20.4)
Множество g (klt ..., kn, L) превращается в полное обобщен-
ное метрическое пространство, если в нем определить обобщенную
векторную норму по формуле
||ф|1£ =
sup
и
sup
v
II ф (011
H-IMI
II ф'(011
1 -HI V II
(20.5)
В дальнейшем будет доказано, что оператор Т преобразует
И*., •••, kn, L) в себя и является оператором обобщенного
сжатия (см. А. И. Перов [1]). Поэтому он имеет в £(&!, ..., k„, L)
единственную неподвижную точку, очевидно, совпадающую с
функцией ы = ф*, существование которой установлено в § 19.
Пусть £ф: V—>V—введенное в § 19 отображение. Было по-
казано, что при достаточно малых у оно обратимо, причем об-
ратное удовлетворяет условию Липшица с константой
г = г(у)-[1/р—у(1-Н^)]-1	(20.6)
(см. неравенство (19.5)).
Лемма 20.1. При всех достаточно малых у отображение
непрерывно дифференцируемо.'
Доказательство. Из (19.4) имеем
<;(с) = В + У„(ф(и), 0Ф' + УТ,(Ф(1»), ц) =
= В{/-|-В-х[Ув(ф(ц), ц)<р' + Л,(Ф(и), и)]}. (20.7)
Тмк как при малых у справедлива оценка
II В-1 [Уя (Ф (и), и) Ф' + (Ф (и). и)]1| < РУ (1 + &1) < 1 >
121
то отображение g^ имеет ограниченное обратное, причем нетруд-
но подсчитать, что
1Ш‘’)Г1Кг(т)-	(20.8)
Отсюда и вытекает утверждение леммы.
Так как <р и У (и, и) п раз непрерывно дифференцируемы,
то из леммы 20.1 и теоремы о дифференцируемости неявных
функций следует, что g^1 имеет п непрерывных производных.
Отсюда следует, что п раз непрерывно дифференцируемо отобра-
жение (/<р ° ё'ф1) (п). Это означает, что оператор Т, определенный
равенством
=	(20.9)
можно рассматривать как оператор, действующий из пространства
Сп в С‘.
20.1	. Непрерывная дифференцируемость инвариантного много-
образия w—-ф*(г>). Подробно остановимся на случае п=1. Пусть
Ф—произвольная функция из L). Возьмем точку (ф(и), и),
лежащую на графике <р. Под действием отображения Т она пе-
рейдет в точку
и = Лф (и) + X (ф (и), и),
v = Bv-\- У (<р (и), п),
лежащую на графике функции <р = Т (<р), т. е. и — ф (п) или более
подробно
Лф (и) + X (<р (и), и) = ф[ВиЧ У(ф(п), v)] (v^V). (20.10)
Продифференцируем теперь тождество (20.10) по v. Получим
Лч/(к)-! ХИ(Ф(1»), п)ф'(0Э W0. 0=^
= ф' [Ви+ У (ф (п), и)] {В + Уи (ф (и), и) ф' (и) + Yv (ф (и), и)}.
(20.11)
Так как оператор, стоящий в фигурных скобках, обратим при
малых у, то последнее тождество можно представить следующим
образом:
ф' (и) = {Лф' (и) Ха (ф (v), v) ф' (v) -J- Xv (ф (и), и)} X
х{ВЧ-Уи(ф(и), 1»)ф'(и) + Ут,(ф(ц), к)}"1. (20.12)
Отсюда, а также из неравенств || Л || С q, || ф' || ^ klt || Ха || у,
|| XJIC V и (20.8) вытекает, что
||ф'(^Ж5(Т)=:[^1 + ТО +М >(?)•	(20.13)
При у —0 левая часть (20.13) равна ktqp < kJt так как qp < 1
(см. (20.1)). Поэтому справедлива
Лемма 20.2. Пусть k\—некоторое фиксированное положи-
тельное число. Существует такое у0 > 0, что при всех у € (0, у0)
122
•	*	€ (0, k*i) справедливо неравенство
sup||?'(?)|K^;	(20.14)
»w-h t|> -’Т(ф) Ш&» L))-
II дальнейшем нам потребуется следующая
Лемма 20.3. Пусть —некоторое фиксированное положи-
!lhnoe число. Существуют такие у0, L > 0, что при всех
?((), ?<>)» &1€(0» К) и. ф€£(&1, ^) производная ф' (и) (ф^Т(ф))
, 'Ьшстворяет условию Липшица с постоянной L.
Доказательство. Пусть и и их—произвольные точки из V.
Положим v = g<f)(v) и Oi = g<p(o1). Из (20.12) имеем
с' (Р|)  ’ {А<р' (oj + Ха (ф (и,), их) ф' (Oj) + Xv (ф (vj), KJ} х
Х{В + Уи(ф(о1), О1)ф'(О1) + К„(ф(1»1), о,)}.
)(ли сокращения обозначим через F, Flt G, G± следующие выра-
жения:
Г = Дф'(1>) + Хв(ф(1>), »)ф'(о)4-Х9(ф(о), и),
Г1 = Дф'(о1)4-Хв(ф(1>1), их) ф' (01) -|- Xv (ф (uj, oj,
б = В4 Г„(ф(о), о)ф'(о)-Ут,(ф(о), о),
О1 = В+У„(ф(о1), о1)ф'(о1)-ьУг,(ф(о1), Oj).
Тик как при малых у операторы G и Gx обратимы, то, очевидно,
ф' (о) — ф' (Oj) = (F—FJ G-1 F± (G-1 — Gp1).	(20.15)
Оценим теперь поочередно все слагаемые правой части (20.15).
1.	Так как функции Ха и Xv удовлетворяют условию Лип-
шица с постоянной X, то
I /'—ЛIK || д Ф' (V)—А ф' (о, )|| -р || ха (ф (и), о) [ф' (о) — ф' (ох)Ц|| +
+ 1НИ (Ф И к)-^(ф(р), 01)]ф'Ы| ;
I Н„(ф(0, у)—^(Ф(У1), М<[(<7 + ?)М-(1 : йх)27C]||o—ОхЦ.
(20.16)
2.	Положим 6 = G—Gx. Пусть A —Gp1^. Тогда С = Сх-г6 =
- G, (/ + Gp*6) — Gx (/ + А) и, следовательно, в силу (20.8)
ЦО.-—с-Ч<|Сг’Ц'-(/ + 4)-‘Kr(T)JAL1!eT^L.
Легко видеть, что при малых у
||6||< 2у (1 -i kx).
Поэтому
(20.17)
123
3.	Точнее оценим теперь || 61|. Очевидно, имеем
||6|| = ||G—01|К ||Ув(ф(0, ц)[ф'(и) — ф'^ИН-
+ 1|[уи (ф (у), у)—^о(ф(У1). tM] ф' (М+
+11 (ф (у). v)—Y„ (ф (vj, uJll < [yL -'г (1 + kJ Я]|| v—V1Ц.
Поэтому из (20.17) получаем
IОЦ-С-К ^2 ^ + <т' + *%*11—0,1-	(20.18)
4.	Так как || и—Uj |К г (у) || F—FJI, || GKK г (у), И1|К?А:1 +
+ у(1т&1), то из (20.18) и (20.15) получаем
II ф' (?)—ф' (М < с || v —?! ||,
где
С = С (у) —- Cj (у) L + С2 (у),
(у) = + (У) [q -I- у ( П- т^ТТ+Я+К))] ’
а С2(у)— некоторая ограниченная функция у g [0, у0]. Очевидно,
Сх (0) = p2q < 1 • Поэтому константы L > 0 и у0 > 0 могут быть
выбраны так, чтобы при у € (0, у0) было справедливо неравенство
C(y)<L.
Лемма доказана.
Из лемм 20.2 и 20.3 вытекает, что оператор Т действует в
метрическом пространстве t,(kx, L). Проверим теперь, что Т яв-
ляется оператором обобщенного сжатия. Пусть ф (и) и ф (и) —
произвольные функции из t,(kx, L). Обозначим через ф(и) и
ф(ц) значения Т (ф) и Т(ф). Зафиксируем произвольную точку
v € V и введем обозначения
ц = Ви + У (ф (и), и),	® = Ви-| Y (ф (у), и),
и = ф (и) = Лф (и) + X (ф (и), ц), z = ф (®) = Лф (и) 4- X (ф (и), v).
Имеем
|| Ф (и) — ф(и)|| <||ф (?)—ф(й)|| + ||ф(ы)—ф(и)||<________
<||Лф(и)—Лф(и)||-| ||Х(ф(и), и)—Х(ф(и), и)||Ч ||ф(®)—ф(ц)||<
< q || ф (V) — ф (ц)[| 4- у || ф (v) — ф (v)|| + kx || и—v ||.
Так как ||®—v || < || Y (ф (и), v) — У(ф(и), и)|| < у || ф (и)—ф (v)||, то
последнее неравенство может быть усилено следующим образом:
II ф (f)—Ф И < [q н т (1ч ^i)]|| ф Ф «
Разделим обе части последнего неравенства на 1+||о|| и восполь-
124
цгмсн неравенством ||v||>= [1/р—у (1 4- Агх)]|| t>||. Получим
l|y(p)-t(0ll с sup Mrjmi. sup
, ? i+H	1+H
[l?+v(i+fei)](i+IMI)
1+[1/р_?(1+й1)ПМ1 •
И силу леммы 20.3 второй множитель правой части последнего
пиравснства меньше единицы. Отсюда следует, что
II ф (и)—ф(и)||
14-М
Qn sup
ve V
||ф (у) —ф (р) |]
14-11 v II
(20.19)
' К* Qit<l.
Оценим теперь || <р' (и)—-ф' (и) ||. Из (20.12) и соотношения
I' (ш) = {Aip' (u) + Ха (ip (и), и) ф' (и) Xv (ip (и), и)} х
х{В+^о(1|5(0, и) -ф' (у) + Yv (Ф (0. у)}-1
1'4’Ко получаем
|ф'(р) -ip' (и)|К||ф'(и)—i|/(®)|l + ||i|/(®) —ф' (и)||<
<Л||и — о>|| + ||ф'(и)_ip'^co)J| <___
<Л||У(ф(и), и) —Г(ф(и), и)||4-||ф'(и)—у(®)1К
<	|| ф (и) — ip (и) |14-1| ф' (и)—ф' (со) ||.	(20.20)
Осталось оценить ||ф' (и)—ф' (а>)[|. Введем обозначения
Н = Aip' (и) 4- Xa(ip(u), и) ip' (и) + Xv (ф (и), о),
J = В+Уи(1р(и), и) ip'(и) 4 Уо(ф(ц), и).
Тогда
(^(^_ф^(о)||<||Р0-1-Я/-1КИ||.||0-х_/-1||+||р_/7|Н| J-i||.
(20.21)
Кик уже отмечалось ранее,
И||< ^1 + 7(14-^), р-х||<г(7).	(20.22)
Рассуждая, как и в лемме 20.3, легко получаем оценки
|| й—//1|<(<?4 у)Цф'(и)—ф'(и)Ц + (1 4-/г1)/<||ф(гО—ip(u)||, (20.23)
< T=2FWW 11 (р'(uW'(U) 11 + 1-2г(тУ^+к')' Иф (и) II-
(20.24)
Из (20.20) — (20.23) и (20.24) при 0 < kx < ki, ?ё(0, у0) вы-
ти ист неравенство
II 'I1' (0 — 4>' (0II а (?) II ф' (0—Ф' (u) II4- Qn IIФ (у) — Ф («) ||. (20.25)
125
где
о (т)=(?+т) г (г»+
1 —2yr (у) (1+М
a Q21—некоторая постоянная. Легко видеть, что а(0) < 1. Раз-
делим теперь левую и правую части неравенства (20.25) на 1-|-
+1| t>||. Рассуждая, как и при выводе неравенства (20.19), из (20.25)
легко выводим, что
II ф' (0—Ф' ИЦ <-
гЛ 1 +1141
-.л» Иф(0~Ф(011 • п ...п Цф'(0-Ф'(0|1	("90 961
^Q2isup 1+м n-Q22sup 1+М|	,	(20.26)
где Q22<1. Неравенства (20.19) и (20.26) можно представить
в векторной форме следующим образом:
где
г sup Ге v	||ф(и) —Ф(р)|| 1 + 1141		sup v^V	||ф(0 —ф(0|| НИ 41
sup V € V	II ф' (0~ Ф' (у) II 1+1141	<Q	sup UG V	|ф' (0—Ф' (0|| НИ 41
МТ
\ 421
° V
Q22 7
(20.27)
Матрица Q при достаточно малых у g (0, у0), k± G (0, А£), имеет
•спектр внутри единичного, круга. Поэтому Т является операто-
ром обобщенного сжатия в метрическом пространстве £(&!, L) и
имеет единственную неподвижную точку, совпадающую с и~ср* (и).
Таким образом, доказана непрерывная дифференцируемость функ-
ции и = <р*(и).
20.2. Общий случай. Пусть теперь <рС£(^и •••>	L). Про-
дифференцируем тождества (20.10) по и пг раз (m^n). Исполь-
зуя математическую индукцию, без труда можно показать, что
ф(м)(4[gi, g2> •••>
= Иф1"” (u)+X„<p‘m’ (0—-ф' (v) Уйф(и’ (ц)-|-^ет} [hu .... hm], (20.28)
здесь
?,-(В + Г,ф'тГг)й; (i=~-l, .... /и),	(20.29)
а 3>га является m-линейным симметрическим оператором пере-
менных /г1( ..., hm, зависящим известным образом от ф, про-
изводных ф', ф", ..., ф1"*-1’ и производных функций X и Y до
m-го порядка включительно. Так как оператор В + Yatp'— Yv при
малых у обратим, то
h — +	+	(i = l, ...» /и).	(20.30)
126
Ih'KiAy в дальнейшем будем рассматривать соотношения (20.28),.
 'пиля g, произвольными элементами банахова пространства V,
1 hi - определенными по формулам (20.30).
Воспользуемся математической индукцией. Предположим, что
‘IHVIM ki, k2, kn_1 (£,£(0, #)) (i = l, •••, «— 0 уже вы-
прины таким образом, что
||ф‘<> (?)||<kt (i = l, 2, . . ., п— 1)	(20.31}
при всех у 6(0, у0). Простой подсчет показывает, что
|| ф1п) (и) || < Гп (у) [q + У (1 + kJ] sup || ф(п) (и) || + с, (20.32)
 if постоянная с зависит только лишь от уже выбранных kJ ...
, k„.x. Так как функция ' b (у) = г" (у) \q — у (1 + kJ] при у = 0
лоилетворяет неравенству b (0) — г" (0) q — qpn < 1, то при всех
| |Г1лточно малых у 6(0, у0) и достаточно больших kn справед-
лив! неравенство
sup || ф1п) (и) || sup || ф1п) (и) || С kn.	(20.33)
Тек
Нулем считать, что kn^k*n, и зафиксируем k*n.
Пусть теперь v и +—произвольные элементы из V. Повторяя
рассуждения предыдущего пункта, легко получаем, что
II ф‘"‘ (У1)_ф(«> (?) ||<^ [qу (1 + />0] г'41 (у) L || uj—и 1| + Ф || Vi—ц[|,
Где Ф—некоторая постоянная, зависящая лишь от уже выбран-
ных kJ .... kJ Так как qpnl<. 1, то постоянная Л может быть
выбрана таким образом, чтобы при всех достаточно малых у 6
((0, у0) и k( 6 (0, k*t) (i = 1, ..., n) было справедливо неравен-
ство
[? + у(1 + kJ] r”+1 (у) Л + Ф L.
Это означает, что при всех достаточно малых у 6 (0, у0) и выбран-
ных klt k2, ..., kn, L оператор t преобразует ..., kn, L)
И себя. Наконец, используя (20.28) и (20.30), по индукции не-
трудно получить, что для произвольных ф, ф6£ (klt ..., kn, L)
справедливо неравенство
|| ф(/,) (v)— ф(',) (и) ||
< [q -i У (1 + Aii)] гп (у) || ф‘"> (и)—ф(п) (о) || +
п- 1
+ 2 Ф/г||фШ (ц) —(п)||,
£=0
। не постоянные Ф^ зависят лишь от выбора kJ ..., k*n и L. Оче-
видно, при всех достаточно малых у б (0, у0) имеем [<?+у (1 +&i)] х
r"(Y)< 1-
127
Рассуждая, как и в предыдущем пункте, из последнего нерЭ'
венства легко получить векторное неравенство
цфФ)—wn
o' е V	1+М
„,|п 11ф(0~ WII
i+iMi
Q
sup II ф(п) (0 — Ф(,г>Ф)||
~€ V
1+М
||ф(д)(а) —Ф(П)Ф)||
Л+ 1+м
где
причем Q;i < 1 (t = l, ..., п). Матрица Q имеет спектр внутри
единичного круга. Это означает, что Т является оператором
обобщенного сжатия в	k„, L) и, следовательно, имеет
единственную неподвижную точку, совпадающую с u = q>*(v). Та-
ким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 20.1. Пусть функции X и Y п раз непрерывно
дифференцируемы по и и о, а их п-я производная удовлетворяет
условию Липшица с постоянной X- Предположим, что этой же
постоянной ограничены все частные производные. Пусть pnV1<Zq~1
«ил- ил, ил,
Тогда существует такое у0 > 0 и числа klt ..., ka, L, что
при всех у € (0, То) отображение Т имеет единственное инвари-
антное многообразие « = ф*(ц)€? (&i, •••, ka, L).
20.3. Зависимость инвариантных многообразий от параметра.
Предположим теперь, что нелинейные функции X и Y зависят
от некоторого параметра Х$А (А—некоторое банахово простран-
ство). Тогда инвариантное многообразие « = <р* будет также за-
висеть от X, т. е. <р* = ф*(и, X). Эту зависимость легко исследо-
вать при естественных предположениях о гладкости X и Y.
Пусть функции Х(и, v, X), Y {и, v, X) п раз непрерывно диф-
ференцируемы по и, v и X, а их n-е производные удовлетворяют
условию Липшица с некоторой постоянной X. Предположим, что
первые частные производные X и Y ограничены малой постоян-
ной у, а все остальные производные ограничены постоянной X
Теорема 20.2. Пусть pn+1 < q-1. Тогда существует тако*
у0 > 0, что при всех у £ (0, у0) отображение Т имеет инвариант
ное многообразие « = ф*(и, X), и раз непрерывно дифференцируемое
по v, X.
Для доказательства этого утверждения введем в рассмотрение
банахово пространство F — U xVхА. Обозначим через W декар-
тово произведение УхА. Пусть ю = (и, X) и ||со|| = тах {|Ы, ||Х||}.
В банаховом пространстве F рассмотрим отображение S: F —+ F,
128
пределенное соотношениями SRi, ®) = (u, w), где
u = Au-,- X Ri, v, X),	~ J? Ri, v, X),
Cw = (Bv, Ь)£Г, FZRi, v, X)=RYRi, v, X),
Легко видеть, что отображение S удовлетворяет всем усло-
жним теоремы 20.1. Отсюда и следует утверждение теоремы 20.2.
j 21. Нелокальные инвариантные многообразия автономных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть F: Rn —> Rn— непрерывное отображение, удовлетворяю-
щие двум условиям: 1) F(0) — 0-y 2) ||F(x)—z/|| для
//, .vg/?". Рассмотрим систему обыкновенных дифференци-
1Ы1ЫХ уравнений
~ = ^(х).	(21.1)
Для любого x^R" задача Коши с начальным условием
((>) имеет единственное решение xR, х0). Прежде всего за-
метим, что это решение может быть продолжено на всю числовую
Пгь ( — оо, оо). Действительно, для xR, х0) справедливо тожде-
йтио
t
х R, xR = x0 + ^F [х (s, х0)] ds.
о
Поэтому при имеем
t	t
IIxR, .СоЖкоИ i !l7[x(s, x0)]||dS^||x0|]-i- L $ ||X(S, x0)||ds.
о	0
Ma теоремы об интегральных неравенствах следует, что || х R, xR ||^
tguR) (/^0), где uR) является решением задачи Коши
^ = Lu, u(O) = |jxo||.
Другими словами, при tRsQ \\xR, х0) ||	|| х01| еи. Это означает,
•Iго xR, х0) продолжимо на всю полуось [0, оо). Аналогично
угтнпавливается продолжимость xR, xR на полуось (—оо, 0].
Определим теперь оператор сдвига по траекториям системы
(21.1). При фиксированном t£(—оо, оо) через Т R) х0 обозначим
у(/, х0). т. е. каждой точке х0 поставим в соответствие значение
решения xR, xR в момент времени t. Отображение Т R): R”R'1
идиимно однозначно и взаимно непрерывно.
Предположим теперь дополнительна, что отображение F пред-
CTMitiiMO в виде
FRc) = Cx + f(x),	(21.2)
ГД» С —линейное в Ra отображение, а /(0) = 0 и
llfkWQ/)ll<a|k—1/11	(21-3>
$ Й. 13. Стрыгин. Р,	А, Соболев	129
для всех х, y£Rn (а-—достаточно малая положительная посто-
янная). Будем далее считать, что множество характеристических
корней С представимо в виде суммы двух множеств <Tj и <т2; мно-
жество cTj лежит на мнимой оси, а множество <т2—в левой полу-
плоскости. Будем, наконец, предполагать, что характеристические
корни из множества простые. В таком случае Rn является
прямой суммой подпространств Rm и Rk (tn-\ k=--n), инвариант-
ных относительно С. В соответствующем базисе уравнение (21.1)
примет вид
4 =	«),	(21.4)
Gu +f2(v, и), u<tRk, v£Rm,
причем множество характеристических корней матрицы D совпа-
дает с множеством а множество характеристических корней
G—с множеством о2. Если в подпространствах Rm и Rk подхо-
дящим образом выбрать нормы, то будут справедливы неравенства
—сю < t < сю,	(21.5)
||eGt||< Ме^‘,	0</<сю, у > 0.	(21.6)
Можно считать, что М = 1. Зафиксируем некоторое число а > 0.
Тогда для некоторого </ё(0, 1) справедливо неравенство
(я/2<*<я).	(21.7)
Будем считать, что в выбранной норме и /2 удовлетворяют
условию Липшица с малой постоянной а.
При t € [0, а) представим оператор сдвига Т (/) следующим
образом:
Т (/) х0 = ес/х0 + со (/, х0).
Покажем, что а>(/, х0) — x(t, х0)—ectx0 удовлетворяет по х0 усло-
вию Липшица с малой постоянной у, не зависящей от t. Дей-
ствительно,
t
ю(/, х0) = eC{t~s} f [eCsx0 + w(s, x0)]ds.
о
Поэтому для любых t С [0, я] и х0, xa£Rn имеем
||<о(/, х0)—w(Z, Го)||<
t
< $ || еР <z"s> [f (ес% 4- и (s, х0)) — f (eCs *o + ® (s, х0))] || ds «С
о
t
<а [||eCs(x0—x0)|| + ||w(s, х0)—w(s, х0) II ] ds <
о
I
<ая||х0—x0||-| aj||co(s, х0)—a>(s, *o)||ds.
о
130
Ill июремы об интегральных неравенствах вытекает, что
хс)—(o(f, х0)|Кт||х0—х0||, у = аае“а (a/2<f<a).
' 'ц’ЮДН и следует утверждение.
И:» последнего неравенства следует, что при всех t £ [а/2, а]
'нифит<>ры Т (/) удовлетворяют всем условиям § 19. Применяя
|Ф1ульта1ы этого параграфа, получаем, что для некоторого k опе-
|цП(1|)ы t (f) преобразуют пространство £(fe) в себя и имеют един-
• I ценную неподвижную точку u =	v). График этой функции
н Н" обозначим через 3(f). Оператор Т (t) отображает 3(f)
ни В (/) взаимно однозначно, т. е.
T(f)B(f) = 3(f).	(21.8)
11оК11жем прежде всего, что 3 (/) при t g [а/2, а] не зависит от t.
(ейстнительно, пусть fn /2£[а/2, а] и й = Т (f2) 3 (fj. В силу
Ц1ММЫ 19.1, множество Q является графиком некоторой функции
hi $(k). Далее, в силу (21.8) имеем
т (/,) Q = т (Q Т (f2) 3 (fr) = Т (f2) Т (fx) 3 (fr) = Т (f2) 3 (ft) = Q.
ГйКнм образом, Q является инвариантным многообразием опера-
тора Т (ft). В силу единственности (см. лемму 19.3) Q = B(f1),
1, е. Т (f2) 3 (fj) = й = 3 (ft). Но последнее тождество означает,
что 3 (fj) является инвариантным многообразием оператора Т (f2),
I рафик которого определяется некоторой функцией из t,(k). Вновь
применяя лемму 19.3, получаем
3 (fj = 3 (f2) = 3.	(21.9)
I [окажем, наконец, что множество 3 является инвариантным
многообразием для всего семейства операторов сдвига Т (f)
< оо < f < оо). Пусть сначала t 6 (0, а/2). Тогда Т (f) 3 =
Т (/) Т (а/2) 3 = Т (^t +	3 = 3. Пусть теперь t—любое поло-
жительное число. Тогда для некоторого целого I имеем
Z<f < (/+ 1).
Следовательно,
Т (f)E = T(la)T(t —la)E = T (1а)Е = Т (а) ... T(a)3 = 3,
T(-f)3 = T(-f)T(/H-l)B=71[(/+ l)a—f]S = 3.
Таким образом, 3 — инвариантное множество относительно сдви-
гов по траекториям системы (21.4). Из теоремы 19.2 вытекает,
что 3—устойчивое инвариантное многообразие.
Движение по многообразию u = <p*(v) описывается системой
дифференциальных уравнений
-^Яи+Л[Ф*(г), и].	(21.10)
131
Из принципа сведения следует, что нулевое решение системы
(21.4) устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) в том
и только в том случае, если устойчиво (асимптотически устой-
чиво, неустойчиво) нулевое решение системы (21.10).
Отметим, что для исследования устойчивости пулевого реше-
ния системы (21.10) в общем случае нужно знать лишь разложе-
ние правой части системы (21.10) в ряд по степеням перемен-
ных vz (vz—координаты вектора v). Такое разложение в важней-
ших для теории устойчивости случаях получил еще А. М. Ляпу-
нов [1].
Если в системе (21.4) функции и f2 зависят от векторного
параметра h£.Rs, v раз непрерывно дифференцируемы по v, и, л
и их v-e производные удовлетворяют по V, и, % условию Лип-
шица с некоторой постоянной L, то инвариантное многообразие
и = <р(ц, X) v раз непрерывно дифференцируемо по v, X.
। л л iva vi
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ
С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
| 22. Существование интегрального многообразия
22.1. Приведение системы к специальному виду. Рассмотрим
। нетему вида
X, у, f),	х, у, е).	(22.1)
Здесь х = (х„ ..., х,л)т, у--=(уи .... у „У,	•••, fmy,
(Ari, • ••> £„У, е—малый положительный параметр. Функции
J Н g определены и непрерывны по совокупности переменных
НИИ нсех t£R, x£Rm, y^DciR" (D-—область в пространстве
/г'), 0 < е С е0, е0 > 0.
Положив в (22.1) е = 0, получим порождающую систему
g=/(Z, х, у, 0),	(22.2)
g(t, х, у, 0) = 0.	(22.3)
Пусть уравнение (22.3) имеет решение
y--h(t, х) (&££>),	(22.4)
где функция h(t, х) определена при всех t£R, x£Rm. Будем-,
предполагать, что h является изолированным решением уравне-
ния (22.3), т. е. существует такое положительное число р, что
н окрестности lift)/1, х)—j||^P нет других решений этого урав-
нения.
Основные предположения сформулируем в виде следующих
двух условий.
I. В области £l = {tfi;R, x£Rm, ||у—h(t, х)(|С Р, 0^е^ес}
функции f,gwh,a также их первые и вторые частные произ-
подные по всем переменным равномерно непрерывны и ограничены.
II. Корни АД/, х), i=l, ..., т, характеристического урав-
нения ||В(/, х) — А/|| = 0, где B(t, x) = gy(t, <х, hit, х), 0), удов-
летворяют неравенству
Re АД/, х)<—2у < 0.	(22.5)
Для доказательства теоремы о существовании интегрального
многообразия системы (22.1) удобно сделать замену переменной
133
y — z-\-h(t, x). После замены система преобразуется к виду
% = X(t, х, z, е),	е-^ = В(/, x)z + Z(t, х, г, е), (22.6)
где
X=f(t, х, z-\-h(t, х), е),
Z=g(t, х, z + fi(t, х), e)—gy(t, x, h(t, x), 0) —
—eht(t, x) — ehx(t, x)X(t, x, z, e).
Используя формулу разложения функции в ряд Тейлора с
остаточным членом в интегральной форме, представим функцию Z
в виде
1
Z=$[gw(^ х, h(t, x)+Qz, O)z]zdQ-'~
о
5g’e(', X, h(t, x) + z, Oe)dB—fit(t, x) —
_o
—hx(t, x)X(t, x, z, e)
Из условия I, вида функций X, Z и матрицы В следует, что
справедливы неравенства
\\X(t, х, z, 8)||<4, \\Z(t, х, z, e)||< А (И2 -l-.e),
x)||<4,	(22.7)
H(f, xr, zu e.)—X(t, x2, z2, e)||<4 (||хх—x21|-h || ^ —г2||), (22.8J
[\Z(t, xx, zlt e.)~Z(t, x2, z2, e)||C4(||£j|-i-e)(||xi—x2||+^x—x2||),
(22.9)
||B (Zx, Xx)~ B(t2, x2)||<4(|ii — M'HlXi—X2||),
kH max {|| г, ||, Ц^Ц},	(22.10)
где A—некоторое положительное число. Неравенства
(22.10) справедливы при всех значениях
(22.7) —
— оо</, ilt t2<oo, Хх, х2, x^.Rm,
1И1<Р> ki|l<P> 11^а||<р» 0<e<e<
Ниже через Q обозначается область {t£R, x£Rm, ||-г'||^Р»
O^e^eJ, в которой определены правые части системы (22.6).
22.2. Интегро-функциоиальное уравнение для интегрального
многообразия. Будем изучать интегральные многообразия системы
(22.6), описываемые уравнением
z = H(t, х, е).
(22.11)
134
Г|ри этом будем предполагать, что функция Н определена
н области ^ — {t^R, x^Rm, 0<е<е0}, непрерывна в этой
области по t и е, а по х удовлетворяет условию Липшица с
постоянной Д, не зависящей от tz
\H(t, xt,	x2, e)KAlxt-x2||.	(22.12)
I ели, кроме того, в области функция И ограничена по норме
\\H(t, х, e)||<D,	(22.13)
10 интегральное многообразие, описываемое уравнением (22.11),
будем называть (D, Д)-многообразием. Если на таком многообра-
зии лежит траектория (t, x(t), z(t)), то z(t) = H(t, x(t), e).
Функции X(t) и z(t) = H(t, x(t), e) должны удовлетворять
системе (22.6). Первое уравнение системы при этом принимает
Инд
х, H(t, х, е), е).	(22.14)
Из условий (22.7) и (22.12) получаем неравенство
|Х(/, Xi, H(t, Ху, е), е)—X(t, хг, H(t, хг, е), е)||<
<4(1 гДИ^-хЛ (22.15)
Следовательно, правая часть уравнения (22.14) ограничена
но норме и удовлетворяет условию Липшица с постоянной, не
вииисящей от t и х.
Поэтому уравнение (22.14) при каждом фиксированном x^R"1
имеет единственное решение
<р(/) = Ф(С т, хс, е|Я), Ф(т, т, х0, е\Н)~х0,
Определенное при всех t£R.
Функция z(t) — H(t, <р (/) е) является ограниченным на всей 
оси решением уравнения
е^ = В(/, ф(0)гН Z(C ф(0, г, е),	(22.16)
и поэтому z (/) должна удовлетворять интегральному уравнению
%
г(т) = | J ^(т, t, e)Z(t, ф(0, г (Z), e)dt. (22.17)
— 00
Заметим, что П7 (S1, s2, е) —фундаментальная матрица уравнения
e^-=B(si> <Р (si))*>
удовлетворяющая условию (s2, s2, е) — I.
135
Ниже будет установлена при некотором Д’ДИ следующая
оценка:
V
|| IFq, (т, t, е)|КЛе е	(—оо < / < т <-у оо), (22.18)
обеспечивающая сходимость интеграла в (22.17). Пусть хй = х и
<р(/) = Ф(Д т, х, е|Я).
Тогда из (22.17) вытекает, что //(т, х, е) удовлетворяет ин-
тегральному уравнению
Н (т, х, е)—(т, t, e)Z(t, <p(Z), H(t, ф(/), e), e)df.
— CD
(22.19)
С другой стороны, если уравнение (22.19) имеет решение,
удовлетворяющее условиям (22.12), (22.13), то оно определяет
(D, Д)-многообразие системы (22.6). Действительно, для любой
точки (/0, х0, ^о), лежащей на интегральном многообразии, т. е.
удовлетворяющей соотношению z0 — H(t0, х0, &), уравнение (22.14)
имеет решение х (0 <р (/) =Ф (t, t0, х0, &|Я), x(t0)^x0. Из
(22.19) и соотношения Ф(Д т, Ф(т, t0, х0, и\Н), е|/7) =
= Ф(Л /0, ха, е|Л) следует, что z =	ф(/), е) является
решением уравнения (22.19).
Уравнение (22.19) будем рассматривать как операторное урав-
нение для отыскания И.
22.3.	Вспомогательные неравенства. В дальнейшем часто будет
использоваться следующее утверждение (теорема об интегральном
неравенстве). Пусть непрерывная и положительная на сегменте
|70, ta -У Т\ функция удовлетворяет неравенству
t
г $ ГфЛОчуЛФДз)-!-s)]cfs,
/о
где /(/), <Pi(0> ф2(0, Ф(^> s) — непрерывные, неотрицательные
при t g [£0. К \-Т\, s€[^o, d функции. Тогда имеем
«(/)<«, (О,
где
t	с	(I	\
«o(O=/(O + S	$ ф2(т)/(т)exp i 5 <Pi(s) <p2(s)ds )dx+
to	to	vr
*	/ t	\	/ T	\
-y (t) exp ( ) ф! (s) ф, (s) ds ) ф2 (т): ) ф (t, s) ds ) dx.
to 'T	/	'
Заметим, что T может быть выбрано сколь угодно большим,
поэтому оценка справедлива при всех t tQ, если функции f, фп
Ф2, ф определены при ^0^s^i<oo.
136
Тпким же образом можно рассмотреть неравенство
^0
' S [ф1(0 Фг(8) Il (s) ” s)]ds
t
при t C t0 и получить оценку и(t)< u0(t).
Рпссмотрим теперь метрическое пространство ограниченных
Н непрерывных в Qj функций H{t, х, е), принимающих значения
Н R1* и удовлетворяющих условиям (22.12), (22.13).
Введем метрику
р(Я, tf) = sup||tfa, х,	х, е)||-|||Я-Я|||.
й,
•то метрическое пространство в дальнейшем обозначается через
• ЦО, А)-	_
Для произвольных функций Н, H^C(D, А) рассмотрим урав-
нение (22.14).
Лемма 22.1. Пусть А (1 у А) а, где а — некоторое положи-
тельное число. Тогда при всех т I имеет место неравенства
|Ф(/, т, х,	т, х, е|Я)||^
<||х—x||e'z(T-Z) + -r^|!|//—ЯФ1(егх(т-/)— 1)- (22.20)
Доказательство. Функции <f (/)=---Ф (А т, х, е\Н), <р(/) =
= Ф((, т, X, е\Н) удовлетворяют интегральным уравнениям
t
<f(/) = x ! J)X(s, <jp (s), H (s, <p (s), e), e)ds,
T
t
<f(t) — x- § X(s, Ф (s), f/(s, <p (s), e), e)ds.
Используя оценки (22.9), (22.12), (22.13), при x^t получаем
т
h(0—ф(0Кк—*IH 5 А П1 + A)k(s)—ф(s)|]Я|||]^.
t
В силу теоремы об интегральном неравенстве величина !|<f(Q—ф(01!
не превосходит функции и0 (/) при t0~ т, f(i) = ^x—х||, (pt(t) =
- Л(1 + А), <p2(s)^.l,	5) = Л|1|Я-Я||1.
Легко видеть, что и0 (I) совпадает с функцией, стоящей в пра-
ной части неравенства (22.20).
Для обоснования оценки (22.18)  докажем предварительно
нспомогательное утверждение.
Лемма 22.2. Пусть матрица A(t) {—оо < t < оо) ограни-
чена и удовлетворяет по t условию Липшица с константой q.
Пусть веи^ественные части корней Z(/) характеристического урав-
нения |Л(/)—Z/| = 0 при всех t не превосходят числа —2у < 0.
137
Тогда существуют такие положительные числа К и е0, что фунда-
ментальная матрица W (т, t, e)(U7 (t, t, = уравнения
удовлетворяет неравенству
- — (т-0
|| w (т, t,	8
при всех — оо < t т < + оо, 0 < е е0.
Доказательство. При любом фиксированном p£R спра-
ведливо тождество
Г(т, t, е) =
4-Д(р)(т-0	] р 4-4(p)(t-s)
= е	+ТГ	[4(s)-4(p)]F(s, t, e)ds. (22.21)
t
Из ограниченности ||Л(/)|| и неравенства ReX(£)s
следует, что для некоторого К 1 справедлива оценка
1	3v
— Л (р) (т-0	- ^(т~0
(22.22)
при всех — оо</^т<оо,0<е^е0 и любых p^R. Для фикси-
рованных т и t положим /?---т. Тогда из (22.21), (22.22) получаем
при т t
||Г(т, t, е)||<
-^(т-0	. I -£?(T-s)
<Ке 2Е	ЦД (т)—Д (s)||||^(S, t, e)||ds<
t
-^(т-0	1 p -	(t-s)
^Ke 28	|F(s, t, e)||(T-s)ds.
t
Последнее неравенство удобно переписать в следующей форме:
|| W (т, t, е)||е28 ^K + ±Kq \ е2е (т—s)||№(s, t, e)||ds.
le (T“Z)
Положим и (т) -- || W (т, t, е) || е , тогда
и (т) d К ]- у Kq § (т — s) и (s) ds.
Из теоремы об интегральном неравенстве вытекает, что
и (т) < Цо (т) =-
-^(т-0
-I е
138
Отсюда получаем
|Г(Т, t, 8)||<
С 4/‘-'I
(т-П
-I е
Если £,,<777, то при всех 0<е<е0 и ?<т; выражение в
4дб/
киидратных скобках не превосходит двух, т. е. утверждение
леммы справедливо.
Перейдем теперь к доказательству неравенства (22.18). Из.
неравенств (22.7), (22.8), (22.10) следует, что
цв(^, ф(мжл,
<р(О)-В(/2, Ф(МЖД(1/1-Мс||Ф(^)-Ф(и||)<
< А (| t,-М4 -А |/х-М) = А (1 4)| Ж/2[,
I, е. матрица B(t, ф) ограничена и удовлетворяет условию Лип-
шица по t при всех действительных t. Следовательно, для матрицы
A(t)--B(t, ф(0) выполнены условия леммы 22.2. Отсюда и вы-
текиет неравенство (22.18).
Матричная функция Wv (т, t, е) зависит от выбора функции ф.
Оцепим по норме разность W,f (т, I, е)—F~(t, t, г), где ф(/) =
*-Ф(/, т, х, е\Н), ф(/) = Ф(С т, х, е|Я). Для W и W- вы-
полняются соотношения
S2’ e) = B(si> Ф(si)) ^<p(si> s2, e), Wq(s2, s2, e)^/,
S2’ e)B (si’V (si)) («1, s2, e), F- (s2, s2, e) = 7.
Вычтем из первого соотношения второе и полученное равен-
ство представим в интегральной форме следующим образом:
W'q, (Sj, s2, е)—Fy(s!, s2, e) —
= т5Г<р(51’ p’	ф(р))~B(p, Ф(p))] F-(Щ s2, &)dp.
s2
Используя неравенство (22.10) и оценку (22.18), получаем
при Si>S2
II^(Si, s2, е) —F^(s1, s2, e)||<
(	А ||ф(р)—Ф(р)||/Се
s2
V
JZ2 Л — (Si — S2) p	_
8	6	JIMp) —Ч’(р)1Иа (22.23)
130
Величину ||ф(р)—<f (р) || оценим при помощи (22.20). Получим
оценку
||l%(si, s2, &) —F^(S1> s2, e)||<
<	‘	[1 x-71 + W=«l]	dp <
S2
Положив S! = r, s2 = t, из последнего неравенства имеем
||Гф(т, t, е)-Г?(т, t, е)|<
[;1Х_7|., 1!1Л=Ж].	(22.24)
Введем в рассмотрение отображение RxRmxC(D, Д) в R'1:
т
5 r<p(T> e)z(^> f(0. Я(^ф(Л,е), е)^, (22.25)
— 00
где ф(?) = Ф(/, т, х, е|Я).
Лемма 22.3. ТХ,Х(Н) удовлетворяет следующим неравенствам
[Тх, Х(НЦ^± A (D*(22.26)
\\ТХ,Х(Н)-ТХ-(НУ\^
! д) 1 ~(£2J.-e)]l|x-x||,	(22.27)
||Тт.х(Я)-Тт.ИЯЖ
«^Ы<0+е)(11 А) ' ^(D‘1	(22-28)
Доказательство. Из неравенств (22.7), (22.13) и (22.18)
имеем
|| тх, ДЯ) II < 4- \ке~У*	° А (D2 -1- е) dt =	(Р* + 8).
— со
140
Используя неравенства (22.9), (22.12), (22.18), (22.20) и
<Ш124), легко выводим, что
|Г,1#(Я)-тг.-(Я)(<
J [||^ф(^	e)'.H|Z(^, <р(0, n(t, <Р(П, 8), 8)-
— Z(t, ф(/), H(t, <р(/), 8), е)1|4-||:П7(р(т, t, е) —
•-^-(т, t, 8)||П(/, ф(0, Жф(0, е), 8)||И<
*4 S {Ке~" {x~!)a(d 're)[(1J:-A)[;<p(0—<p(0!l-i ЩЯ-ЯЦП +
- 09
г-	-- п	V— P(Z	1
х|| • ЛЦ^Ш.] a (D4 в)
I S	Гр„ 7-и  1ЦЯ-Я1111
е Л (Di е)(1 -I- Д) [И — xh	гТд—]е«(т-о+
- оо
H-JCdi А (D. ,т е)	[и-Т И- Ж=Л]} dt=
.1 j [хд (D . 8)(1 + А) х-^£-(ОЧ
— со
x\KA(D-i e)(b:.A)4-^-p2-i 8)1.
Положив в последнем неравенстве поочередно Н^=Н и х~х,
получим оценки (22.27), (22.28).	.
22.4. Теорема о существовании интегрального многообразия.
В лемме 22.1 положим а = у/2е, а при определении множества
функций С (D, А) будем считать, что D = nD0 и A = sA0. При этом
Числа Do и Ао выберем так, чтобы выполнялись неравенства
Д(1-: еД0)^-Г, .	(22.29)
^Д(8О02 M)<D0,	(22.30)
J^L[(D0-M)(l-;-eA0) + ^(8Dg-;- 1)]	<Ао,	(22.31)
е2-^ Г(Do + 1)(1 -i- 8Ао) (eDH 1)1	< 1. (22.32)
Т L	Т	J 1 г Лоь
Ясно, что это можно сделать при достаточно малых значени-
ях 8 (0 < 8 < Бх).
141
Тогда из (22.26), (22.27) имеем
ii Л, х (И) ||	&D0,
ИТТ1-(Я)-Тт,ДЯЖеД0|1х-х||.
Эти неравенства означают, что 7\,Х(Н) определяет оператор,
преобразующий полное метрическое пространство С (D, А) в себя.
Далее в (22.28) перейдем слева к точной верхней грани по т
и х. Очевидно, из (22.32) следует существование такого числа
q < 1, что
\\Tr,xW-Tx.x{H)\\^q\]\H~ Я|||,
т. е. оператор ТХ,Х{Н) является сжимающим. Следовательно, он
имеет в С (D, А) единственную неподвижную точку.
Итак, уравнение (22.19), которое можно записать в виде
Я(т, х, е) = Тх. х (Н), имеет в C (D, А) единственное решение
fi* (t, х, е). Это означает, что система (22.6) имеет интегральное
многообразие z — H*{t, х, е).
Система (22.6) была получена из системы (22.1) заменой у —
= z-\h(t, х). Следовательно, система (22.1) имеет интегральное
многообразие y = h(t, x)-\-H*(t, х, е).
Высказанные соображения позволяют сформулировать следу-
ющее утверждение:
Теорема 22.1. Пусть выполняются условия I, II. Тогда су-
ществует такое ЕхСДо. что для каждого eg (0, Ej] система
(22.1) имеет единственное интегральное многообразие у — h(t, х) +
+ //*(/, х, е), движение по которому описывается уравнением
х, h(t, x) + H*(t, х, s), e).
Функция H* ограничена по норме числом eD0 и удовлетворяет
условию Липшица по х с константой еА0.
Замечание 22.1. Если выполняются соотношения /(/, О,
О, е) 0, q{t, 0, 0, е) = 0, то и h (t, 0) -=Я*(^, 0, е) = 0.
22.5.	Интегральные многообразия автономных, периодических
и почти периодических систем. Покажем, что если правые части
системы (22.6) не зависят явно от t, периодичны или почти пе-
риодичны по t, то такими же свойствами обладает и функция
И*, существование которой установлено в предыдущем пункте.
Докажем предварительно одно вспомогательное утверждение.
Лемма 22.5. Пусть выполнены условия теоремы 22.1 и су-
ществует такая последовательность действительных чисел {тг},
что для каждого фиксированного е £ (0, е0] матрица В (t, х, е)
и функции X(t, х, z, в), Z(t, х, z, s) в системе (22.6) удовлет-
воряют условиям
||В(/4-тг, х, в)—B(t, х, е) || —>0,
\\X(t + тг, х, z, е)—X(t, х, z, е)|| —> 0,	(22.33)
||Z(^ + tz, х, z, в)—Z(t, х, z, е)|(—>-0
142
lyiu T —►+oo равномерно относительно t£R, x£Rm, ЦгЦ^р.
fiwdll для каждого фиксированного eg (0, е0]
lim sup \\Н* (t -4 тг, x,	x, e)|| = 0.
T -+ X t, X
Доказательство леммы будет основываться на том факте, что
функция H*(t, х, е) — это неподвижная точка оператора Т, оп-
ределенного соотношением (22.25). Введем обозначения
f (0-Ф(?, т, х, е|Я*), XXVX X, f|tf*),	22 34)
t («) <Р (S + Т), ^rr(s)--<PTr(s-t т-1-Tj,		'
|||В —BTJ||=-sup||B(r;-Tr, X, е) — B(t, х, е) ||,
|||Х—Хт |||= sup ||Х(/ + тг, х, z, е) — X(t, х, Z, е)||,
r	t.x,z
HI Z—Zx III — sup || Z (/+ тг, x, z, e) — Z(t, x, z, e)||.
r	t.x.z
Обозначим s — t—г. Тогда для ф и фт^ имеем
-^- = X(s-|-t, ф, Я*(8-! т, ф, е), е),
йФт
-^- = Х(5-;-т + тг, фТг, Я*(5 LT-J-Tr, фТг, е), е),
причем ф(О)~-х, фтДО) = х. Используя интегральное представ-
ление для <р(/), получаем
М (S) — фт/s)--5 [XGSi + T, ф(з1), Я*(8!-;-т, Ф(8Х), е), е) —
X(s1-|-T-!-Tr, Фт/Sj), ^*(Sj-!-T-rTr, фгг(81), е), e)]dsl. (22.35)
Оценим по норме подынтегральное выражение. Имеем
X (Sj -1-т, ф(51), //*(s!-rT, ф(з1), е), е) —
— X(sx-|-T-i-т2, Фт/Sj), //*(sxJ TH тг, фтг(8х), е), е)||<
^|||X-XTJ|H А(||ф(81)-фТг(81)||-Н1^*(з1 + т, ф(81), е)-
—//*(SX4-т-!,-Тг, фт/s,), е)||Х|||Х—X.JI1 +
4 A HI Я*-X ||Н А (1 + Д)||ф(5х)—фт/51)||.
Используя эту оценку, из (22.35) легко определяем, что при
к ; О
h(s)~ Фт/8)|К
< $ [А (1 Ч-Д)||ф(5х) —фгг(8х)||+ |||Х-ХТг|||+ АЦ|Я* -H^r H|]dSx.
В
143
Отсюда и из (22.29) получаем опенку
9Р Г __v_s	1
28 -iJ-
(22.36)
Далее, после замены t = s~, т соотношение И* = Тх, х (Н*), оп-
ределяющее интегральное многообразие, примет вид
Я*(т, х, е) =
о
= 4 J (т> s" т> e)Z(s-';-T, i|>(s), //*(s-!-t, if(s), e), R)ds.
— 00
Аналогично для 7/*(т- xr, x, e) имеем
Я*(т-|-тг, x, e) =
о
= T	т'-’ s-i- х -l- тг, е) Z (s-у т + т,., %.(s),
И* (s 4~ т — хг, ч|)Хг (s), е), е) ds.
Отсюда получаем
||Н* (т, х, е) —Н (т + хг, х, е) |]
<7 J IF«p(T’ S'':'T’ e)||HZ(s + 'r’ ^(s)> ^*(s l т, 4|)(s), e), e)—
— Z(s- т-1 тг, i|)Tr(s), 7Z*(s-' т-i тг, ipv(s), e), e)||-b
-И^ф (T, S4-T, e) —U^Cr-l Д, s4 T-; xr, e)||x
X |] Z(sт-г-тг, %.(s), H*(s + x-\-xr, i|)Tr (e), e) ||] ds. (22.37)
Легко видеть, что
||Z(s-L т +тг, i|)Tr(s), /7*(s^ т-Иг, ^tr(s), e), e) ||< eA (eD? i- 1),
||Z(s4-t, 'Ф(з), H*(s + x, ч|) (s), e) —
— Z(s+T+Tr, %.(s), Я’(«-;-т-| тг, 4v(s), e), e)||<
< III z-zTr III rA (Do 4-1) III я*-< III
rA (Do 4 1) (1 4- еД0) П (s)—i|\r (s) ||.
При оценке нормы разности	воспользуемся тем же
приемом, что и при установлении оценки (22.24). Учитывая, что
= Ibq, =/ при s = 0, получим интегральное соотношение
S2, 8) — ^^ (Si-; тг, S2^-Tr, 8) =
=tJwz<₽(Si’ p' e)~
S2
— B(p- xr, <S>xr(p)’ е)]^фт (P-' Tr> sa + Tr, 8) dp.
144
При S!>S2 из (22.34) имеем
4.(slt	е) —(Si-| тг, s2-| тг, e)||<
i II W4> (S1> p' еЩРС/7’	e)—В(р + тг, <p(p), e) IH-
ai
+ ||В(р + т„ <p(p), e) —B(p-\ %r, ^r(p), e)||]x
X|| ^q>Tr Tr> S2-| Tr, E)|ld/?<
< ALе-т~ J [||| 5-BTf hi -i A || Ф (Р)-фТг (p)mdP <
Ss
-у{|||В_в„ц|+
+	llll X-X„ Ill -I A III III] e~^ "”} dp <
<	{III B-BTr III [III x~xXrIII +
-• A III Я*-< III] } e~~^(S1 ~s,) e~	(S! "T>.
Полагая в последнем неравенстве s1 = t, s2 = t + s, приходим
И окончательной оценке
|^ч>(«1, s2, е) — (sx-S- тг, s2 + Tr, e)||<
{HI B-Bxr HI +	[||| X-Xxr HI -I A HI H*-Hpr I||]} s.
Воспользовавшись полученными оценками, находим из (22.37)-
х, е)—Я*(т-| тг, х, е)||<
< т $ S [ill Z-ZXr III + eA (Z)o л- 1) III H-H* III +
+ eA(D0+l)(l-; eA0) (Hl X—XTf HI-j А|||Я*-<||| +
4 eA(D0+l)(l-; eA0) (||| X—XTr ||| - A|||//*-^r|||e"^s] +
-reA(eDM--l)^[|||B-5Tr||| +
+ 2-у(|Н-Хгг||Ц А||]Я-ЯТг|||)] Л5} ds.
145
После интегрирования последнее неравенство можно преобра-
зовать к виду
X, е)—Я*(т-]-тг, х, е)||^а|||Я*—Ят*г||| +
ь (Ц| в—вХгin -p in x—xXr Hl in z~zXr Hl,
Здесь a = [Do (1 + 2A (1 4- еД0)) +	(e/)*4 1)], a &-наи
больший из коэффициентов при величинах |||В — ВТг|||, |||Х —
- ^Ill.jliz-zXr\\\. „
Перейдем в левой части последнего неравенства к точно?
верхней грани по т и х. При достаточно малых значениях е ве-
личина а меньше единицы. Следовательно,
*	h
III H*—HXr 111 < [А- (Ш В-BXr III 4 III X—XXr III. I- III Z—ZXr III).
Это означает, что для любых т, х имеет место неравенств?
|| Я* (т, х, е) —Я* (т -j- тг, х, е) || 4)
< dll В~В^ HI 'I HI X~X'r III III Z-Zxr HI). (22.38
Пусть теперь {тг} (г —» оо) будет такая последовательное^
действительных чисел, что для фиксированного е равномерно дл?
utzR, x^Rm, ||z||<p выполняются соотношения (22.33). Тогдг
III В—HI —> 0, 111 X— ХТг||[—>0, ||| Z—ZTr||[0 при Г-^ОО I.
согласно (22.38), равномерно по r£R, jrg Rm выполняется coo’
ношение || Я* (т, х, е)—-Я* (т-|-тг, х, е)||—>0. Лемма доказана
Частотный базис почти периодической функции/7(С х)
x^Rm) обладает следующим свойством. Если {тг} — такая после-
довательность, что для любого соа из частотного базиса имее\
е1<йатг —>1 при г-—>----оо,	(22.39
то равномерно по х С Rm
F(t+%r,x)—F(/, х)-*0 при г ->-4- 00.	(22.4С
С другой стороны, если для счетной последовательности де?
ствительных чисел {соа}, линейно независимых над полем раци<
нальных чисел, и для каждой последовательности действительны
чисел {тг}, удовлетворяющей условию (22.39), можно показат
справедливость соотношения (22.40) равномерно по t£R, x£R:
то функция F (if, х) является почти периодической по t равномерн
относительно x£Rm и {соа} — множество базисных частот.
Пусть {соа}—множество базисных частот функций f и g ил?
что то же самое, множество базисных частот функций X, Z
матрицы В. Из приведенных свойств почти периодических фун?
ций и леммы 22.5 вытекает следующая
Теорема 22.2. Если выполнены условия теоремы 22.1 и д,
каждого фиксированного е g (0, е0| функции fug почти пери
дичны по t равномерно относительно х и у, то для каждо,.
146
Фиксированного е € (0, е0] функция И* тоже будет почти перио
•нчй л<>Л по t равномерно по х с такими же базисн ыми частотами
УК у функций fug.
(Следствие 22.1. Из теоремы 22.2 следует, в частности,
ЧЖо //* не будет зависеть от t, если не зависят от t функции
f и g\ И* будет периодической по t периода со, если этим свой-
ством обладают функции fug.
| 23. Гладкость интегрального многообразия
В этом параграфе будет показано, что из гладкости функций,
ММодищих в уравнения (22.6), вытекает гладкость H*(t, х, е).
С этой целью будет введено замкнутое подмножество гладких
функций из С (D, А), которое оператор Т переводит в себя.
23.1. Существование производных первого порядка. Как и
ранее, через Fx будем обозначать матрицу Якоби гладкой вектор-
функции F=F(x). Будем предполагать, что выполнено следую-
щее условие:
((I. Матричные функции Хх, Xz, Zx, Zz удовлетворяют нера-
iii'iic твам
||Хх(/, х, Z, е)||\\Xx(t, х, z, е)||<Л,
\\Zx(t, х, z, е)||<Л (|]г|Н-е), \\Zx(t, х, Z, е)||< А (||г|| + е),
Xi,	е)	Xx(t,	х2,	z2,	е) || А2 (|| хг	Х2||-г||^1	Z21|),
||Х»(t, Xi,	Zi,	в)	Xx(t,	х2,	z2,	в)||^Д2(||х1	XjII + H#!	£2||)>
ftZ2(t, Xi,	zlt	e)	Zpt,	x2,	z2,	e)||^Л2(||Xj	x21|-гIIz^	^а||)>
\\Zx(t, Xi,	Zi,	e) — Zx(t,	x2,	z2,	e)||< AadlXj—Xall + k!—г2||),
где A — константа из неравенств (22.7)—(22.10), а А2—некоторое-
ноложительное число. Пусть, кроме того, частные производные-
(1, х) ограничены по норме числом а и удовлетворяют усло-
вию Липшица по х с постоянной I.
Ниже при получении различных оценок неоднократно будет
1
т	,z	т \ 2
использоваться известное неравенство 2 ai \ т 2	•
,=1	\ с=1 J
Полагая А = Уmdi, Aj--pm6j, рассмотрим подмножество
C'(D, di, 6i) множества С(D, А) (см. § 22), состоящее из функций.
Н^С(р, А), для которых выполняются неравенства
||4|-"(‘.*.«)|р1.
Х1’	5-//(('*.’s)||<6iljri—X.I
(г = 1, ..., т).
147-
i.L .
Очевидно,
х, e)|j<A, \\Hx(t,	e) — Hx(t, x2, e)||< AJ^ —x2||.
Пусть H£C(D, dt, 6j). Обозначим через е,- m-мерпый вектор,
у которого i-я компонента равна 1, а остальные—нули.
Полагая, как и в § 22, ф(£) = Ф(/, т, х, е|Я), для <р(1) (7) =
= -^-Ф(/, т, х, е|Я) из соотношения
1	t
ф(0 = х + X (s, <р (s), H(s, <p(s), е), г) ds (23*)
т
нетрудно получить
t
(fw(t) = ei+^(Xx \ XzHx)<y'(s)ds (—оо < оо).(23.1)
т
Здесь Xx = Xx(s, <p(s), Я(з, <p(s), е), е), Xz~=Xz(s, <p(s),
Ji(s, <p(s), e), e), Hx-Hx(s, <p(s), e).
Оценим по норме функцию ф(1) (/) при Так как
|! ф(1> (О ||< 1 -р f Л (1 -! А) || ф<1> (s) ||ds,
t
то из теоремы об интегральном неравенстве имеем
|| Ф(1) (0 Кел (1+Д) (T~Z)
В этом пункте будем предполагать, что е0 выбрано настолько
малым, что при всех eg (0, е0] А (1 !-А)^у/4е—а.
Неравенство для ф(1) (t) при этом примет вид
2.,т_п
|| <р(1) (О IK е4Ё (КО- .	(23.2)
Оценим по норме разность cp(i) (Z)—ф(1) (/), где q> (t) — Ф (t, т,
х, е|Я). Из (23.1), используя условие III, находим
||ф(1) (О-ф(1) (OIK J {Н* +хгЯх||-Цф(1)(О-Ф(1) (011 +
^Г1|Хх-Хж|| + II XZ~XZ И Нх\\ ^\\XZ\\.\\HX(S, ф(8), 8)-
-Hx(s, ф(8), е)||]||ф<» (s) НII Xz II	о-
k=i
~Wk (S’ (s)> 01 -II Фй1’ (8) II} ds <
< J {А (1 -|- А) || ф‘1> (S)-ф<4> (8) || + [(А2 (1 -и А)* + ААХ) х
Х|| Ф (з)-ф (s) || -1- А2 (1 + А) ||| Н~Н HI г А Ут ЩН^-Н^ |||]X
Xh(1’(s)||}ds.
148
Здесь
|||Я(1)—Я(1)|||-= max sup	х,	х, е)|,
Xx = Xx(s, <p(s), H(s, <р (s), е), е),
Xz = Xz(s, <p(s), H(s, Ф (s), e), e),
Hx = Hx(s, q>(s), e).
Используя оценки (22.20), (23.2) и теорему об интегральном
пяривенстве, получим
ф"’ (0-<Р(1) (П !1 < е [(с10 с11А1) ,| х - х || +
+ c12|||/Z(n—Я(1) ||| И (С1з+С14 AJ ||| Я—Я|||] е2Е	(23.3)
(де r,; (t = 0, ..., 4—величины, зависящие только от т, у, А,
1„ Л).
Продифференцируем теперь по xz соотношение (22.24). Получим
,^*№=4 f t, z)Z(t, ф(0, H(t, ф(7), е), е) +
+	(т, /, е) (Zx -i- ZzHx) q)'1» (0] dt. (23.4)
Здесь
Zx = Zx(t, <р(0, H(t, ф(0, е), е),
Zt = ZAt, ф(0, H(t, ф(0, 8), 8),
Hx = Hx(t, ф(/), 8),	^’(Т, t,	^(Т, /, 8).
Оценим предварительно нормы матричной функции и раз-
ности W™ — исходя из равенств
е^7	s*’ e)"=B(Si. ф (sj) ^(Sn s2, 8),	(23.5)
^<₽(s2, s2, e) =7.
Дифференцируя (23.5) по x;, получаем
’’	(si> s2’ e) = 5 (si> Ф (si)) Wф1’ (si> s2- e) +
л- B‘i> (S1) W9 (S1, s2, 8), •	(s2, s2, 8) = 0, (23.6)
где
B4S,)-AB(S1T(S1)),£ ®2L/.
/=1 '
149
Из условия III и неравенства (23.2) следуют оценки
Л I дЕ

дВ дф/
Эфу дх;
—	^‘-у \ дВ Эф/
< II ф(П (0 - ф(1) (О Н	II ф (0 - ф (О IIII ф,п WII
где L — Yma, Li = Vrml.
Представив (23.6) в интегральной форме при s1^s.2, имее\.
j^(S1, S,
s2
% 8)||^1
e) B(1) (s) ТГФ (s, s2, e) ds d
1 c
s2
(S1-S)
||B(1> (s) \\Ke~{S~S2)aL
Используя оценку для Bw (t) и полагая s^t, sz — t, получаек
(T- t)
|| w<» (T, t, s)||^^	(23.7
где Л\ = 4№Л/у.
Для разности производных имеем
e^-[W7v1,(si> s2’ е) —W(sl> s2> е)] = в (si> Ф (81)) (Si, s2, 8) —
-^’(Sx, s2, 8)]+ [B(S1, q>(S1))-B(S1I Ф^))]^1^, s2) 8) +
s2, 8)-U7-(S1i s2, 8)] +
+	(sJ-B*1’^)]^-^, s2, 8,
B(»(S1) = ^-B(S1, ^(S1),8)
и, следовательно,
in1’(Sv S2, 8)-^’(S1, s2, 8)||<
<lj|in(s1, S, e) || (К В (s, ф (s)) — В (s, Ф (s))||-| n’Cs, s2, s) || + '
+ ||B<i> (S)(||| П(S, s2, 8)-П (s, s2, 6)||+j|Ba)(s)_
— B(1) (s) IHI П (S> S2) 8) II] ds
150
Используя оценки (22.23), (23.2), (23.3), (23.7) и полагая Si = T,
/, после интегрирования получаем оценку
|| ^’(т, t, е)-^’(т, t, е)|<[^10-; 8^11Д1)||х-х||+'
| NVi HI	HI г(и19+^Ау)\\\Н-Н\\\]е	’	(23.8)
где Na (i = l, 4) — величины, зависящие от чисел т, у, К,
и, I, А, А2, Д.
Используя полученные неравенства, оценим по норме произ-
водную функции ТХ,Х(Н) по х;:
|^-7\,ДЯ)|<
J [||ПП(*. t, е)||-||Z(i, ф(0, H(t, ф(0, 8), 8)|Н-
+ П^ (Т, t, 8)||-(||Zx|| rllZ.IHI^IDk*1’ (0||]Л <
<8ТпД-4-8Т1 = Л, (23.9)
где Тп и Ту зависят только от чисел tn, у, A, D, а.
Для разности производных имеем
I	Тх’х W ~~з^ Тх- * № 1
4 ||^’(т, t, 8)H-||Z(/, ф(0, H(t, ф(/), 8), 8)-
--Z(t, ф(/), Н (t, ф(/), 8), 8)||-!-|| №ф(т, I, 8)-
-U7_(T, t, 8)||(||Z^||+£Zz]|-||^||)-k<1’ (011 +
+ 11^ф(+ t, e)||[(||z.-zji-HI^-z,H^|| +
+ II Ze II - II HX~HX II) II ф“> (0 || -i- (|| Zx || + II Ze || • || HXJ X
х||ф(1) (о -ф<» (0 \\]}_dt C (T10 + 8Гц AJ || x-x|| +
-8Т12||//(1>-//(1)|| + (Лз ГЛ4М1//-/Л], (23.10)
Где Тц (i = 0, ..., 4) —величины, зависящие от чисел tn, у, А, А2,
at l, Д, D.
При достаточно малых значениях е выполняются неравенства
8ТП<1, •	(23.11)
еТ12<1.	(23.12)
Оценки (23.11), (23.12) дают возможность выбрать числа dy и
г так, чтобы имели место неравенства Ty^dy, Tyy^Zby, т. е.
оператор Т переводит множество С (D, dL, 6J в себя.
151
Введем в C(D, dlt б,) обобщенную метрику d (И, Н) =
= col (HI Н—Я|||, |||77(1)—77(1) |||) *). Положив в (23.8) х — х и
перейдя в левой части полученного неравенства к точной верхней
грани по т и х, получим для любого i неравенство
1'-^Л, х Л, х (77) |< 8Т12 III 77(1)—77(1) III н- т131|| 77 — 77 Щ.
Присоединив к нему неравенство ||| Тх, х (И) — Тх, х (77) ||| -С
q ||| 77— 77 HI (<7<1) из и. 22.4, получаем соотношение
d (Тх, х (77), Тх. х (77)) < ULd (И, 77),
,,	! а О А
где =	:—матрица, спектральный радиус которой
меньше единицы. Следовательно, оператор Тх, х имеет в С (D, dx, 6J
единственную неподвижную точку 77**. Очевидно, 77* = 77** и, сле-
довательно, функция /7* имеет ограниченные частные производ-
ные по х; и эти частные производные удовлетворяют по х усло-
вию Липшица.
23.2. Высшие производные. Изучим теперь вопрос о сущест-
вовании производных высших порядков у функции 77*.
Введем следующие обозначения:
+'')(/, х, z, е) = - ^(—V)x(Z’-’-2'-e)
дхл^ ... dx^dz^ ... дг^ '
х	Z(t, х, z, е)
Z(z,'>(Z, X, Z, е)=—----------’	~ .. • ,
’ дхл' ...дх^дг}1 ...дг\п
«1 Х2 . . . + Х,в = X, Vt v2 . -I- V„ = V,
№>(t, X,	,
дх°1 ... дха”
<р(Р)(/)= аРф<М’ х’
V дхР' ... дхР?
0^(Т2ф • • • --о’т = о,
Р1Ч р2'|- • • • -t Рт = Р-
Пусть в дополнение к (III) выполнено следующее условие:
III. 1. Функции X и 2 обладают частными производными по
компонентам векторов х и z до r-го порядка включительно, при
этом выполняются неравенства
II Лрт” (С X, Z, 8)||<Ли+г.,
||Z<Z+V’(C х, z, e)||<?lx+v,
JX<x+Vl (t, х1; zlt e)—Xw+vy(t, x2, z2, 8) |K
<Px+v(U Xx — XjHkl — ^11),
II Z<K+V>(t, Xi, zx, 8)—Z<xtv,(C x2, z2, 8) IK
^/’x+vdljfi—*2||+ki—M)>
*) См. Красносельский M. А. и др. [1].
152
। ЦО /lx+v, PK+V—положительные числа. Кроме того, частные про-
итодные матрицы B(t, х) по компонентам вектора X до г-го по-
рядка включительно ограничены ио норме числом а и удовлетво-
рит? условию Липшица по х с постоянной I.
Рассмотрим подмножество Cr (D, da, 60) (а—1, 2, г)
множества С (D, А), состоящее из функций, обладающих ограни-
ченными частными производными по компонентам вектора х до
I -ГО порядка включительно, для которых выполняются неравенства
ЦЯ№(Л х, e)||Cda,
IIH™(t, Х1, е)—Я“” (f, х2,
В этом пункте мы будем предполагать, что е0 выбрано настолько
милым, что при всех е£(0, е0] имеем
А (1 -i- А)<а^у/2 (г : 1)е.
Покажем, что все производные ф<Р) (/) (р<Л) существуют и под-
чиняются при т I неравенствам
+	' >	(23.14)
II Ч,Ф' (О-ф<Р> (О || < е (ср0 cpi6p) IIX X || ср2Ц| Н^-И^ III +
р - 1	_ Л (р+1) у (г-<)
^рз2111^’-//даИ1к as(r+1) • (23.15)
/г—0	.1
Здесь HI Н™ — Zf°’_||| == HI Я — Я |||, (И Я(И — Я‘*> ||| =
max sup || Яш (t, х, е)—/7(А) (£, х, е)||, где максимум вычисляется
t. X
но всем производным k-ro порядка, а ср, cpl (t = 0..3)	— неко-
торые постоянные.
Доказательство будем проводить по индукции. Базу для ин-
дукции дают установленные в предыдущем пункте неравенства
(2.1.2), (23.3). Предположим, что все производные ф<р) (t) до порядка
|l 1, р гД г, включительно существуют и удовлетворяют неравен-
ствам (23.14), (23.15).
Для ф<Ц) имеем интегральное тождество
(/) _ j F,р) (s) ds,		(23.16)
т
где
(s') _. ^(S, <p(s), H(s, <p (s), е), е)
U	. dx’j* ... дх^т
!’i 1Б • • -I В» B-
Производные компонент X,- функции X представляют собой
Суммы различных произведений вида
«tV = R, j, k=\, 2, ..., т. (23.17)
153

Здесь ЦЯ*О) — произведение производных компонент вектора Н
с числом сомножителей, равным v, a Цф^’— произведение про-
изводных компонент вектора ф, причем в JJ q?*p) сумма порядков
производных по всем сомножителям равна р.
Из (23.1) легко получить, что вектор F<MJ (s) представим в сле-
дующей форме:
(s) - (Хх + ХгНх) (s) -г ХРд (s) Рд (s). (23.18)
Компонентами вектора Рц являются суммы произведений вида
(23.19)
где И fp—произведение первых производных компонент вектора <р
с числом производных, равным р. Вектор Рм содержит производ-
ные компонент вектора И и ф лишь до порядка р—1.
Из (23.14), (23.17), (23.19) следуют оценки
(23-2°)
||Рд(0||<М^^То(т-°	(23-21)
Здесь Мц—сумма произведений AKXV (ГГ dj (IT ср), x+vsgjp,
о < р, р < р, а	—число, зависящее только от р, т и п.
Оценим по норме разность Рц—Рц. Здесь и в дальнейшем
черта над функцией означает, что функция вычисляется при ар-
гументах ф = ф и Н = Н. Обозначим через £,• сомножитель, стоя-
щий в произведении Ц на i-м месте. Из (23.19) имеем
ф(0, В) П^-ЙГ (i, Ф(0, е)1П§| <
<К’(^ фЮ, *)-//<»(/, ф(0, в)|-П|^1 +
+ \нГ\21^-П 1£,1 У
k~ 1	\з= 1 J м~/г+1 J
Используя последние неравенства, а также (23.2) и оценку
11^(0 ф(0,8)-№(I, ф(о,е)||<би||ф(/)—ф (011 + |||я<“>-77Л1,
получаем
—	-	—	(Г О
|| /?д-РдII < Кд [6д II ф (0-Ф (0II4• III	111	1)	+
 + .-11V (Т_М
+ с!д||ф(1’(0—ф(1>(01Ие28(г + 1)	• (23.22)
154
Чтобы оценить разность Р^—Р„, запишем произведение (23.17)
/ Р<	W <71	\
it виде A]*+V)i П п I > гДе —это сомножитель Н(°\
\р-\ /\q=l j
 ।нищий в первом произведении на р-м месте, а т]в—сомножитель <р£₽)»
< юищий во втором произведении на g-м месте. Разность произве-
дений оценим обычным образом:
( IH -x‘z+v) (IK ( Пм<
\р=1	/ \<? = 1 J	\р=1	/\<7=1 J\
__	[Pi \ / <7i X
< II х^ -Х'Л || • ПII м) (^ П h9 IIJ +
_ р' _ / к _ \ ( р> \ (р< \
чНГД1 2 11^-^Ц ПИМ П ИМИ ПЫ -I-
>=1	\р= 1	/ \р = /г-1	/ \<?= 1	J
/ Pi _ \ / <7<	_ / к _ \ / <?	\\
I (ПИМ 2IK-MI Пим П им • (23.23)
\р=1	/ V=1	\?=1	/ \<7=*+l J / А
Из (23.14), (23.15) и (23.23) получаем
||Рй-Рц1КМ 2 l[Pz+v(l+ А)||<Р — Ф11 +
x+v < ц V
__	ЦУ (T-Z)
-I Pz+v \\\Ц-Н |||] (п М (П М -ь
Мх.у (П4)(ПМ21бо||ср-ср|Н |||/7--//-’|||^<-1)( ’Л +
|_	а = 1	J
М--1	_	(М.-Р) V {г
+ (ПМ(ПМ 2Ифср>—Фср>11^ае<г+1>	| =
p=i	>
= КЛ ||Х-Х|| г 2 |||1/<а’-//<а’||| >(г + 1)(	(23.24)
\	о = 0	J
Здесь Qp,—сумма произведений dp, ср, 60, Ay^v, PXI.V, о < р,
(> ’ ‘ Ц, х+ V р.
Таким образом, мы получили предварительные оценки для 7?^ (s)
И P|i(s), входящих в Fm (s) (см. (23.18)).
Покажем, что оценки типа (23.14), (23.15) справедливы при
р р, р^г. Из (23.16), (23.18), (23.20) и (23.21) следует
с Г	цт (T-S)l
II <Р^> (01|< $ [л (Ц- Д) ||	(s) || + (Ad^ н- мц)е« (^1)	] ds,
и, следовательно, в силу теоремы об интегральном неравенстве
получаем
IIМ’ (О1К«о(О>
где
и0 (0 = $ (Л^Кц л Мц)	д’ ds.
t
155
L
Отсюда вытекает, что
II <F<W (0II < е ("44)?	-i- Мц) ч(Т’° = сце'^'Л1) <т"°.
(23.25)
Неравенства (23.16), (23.18), (23.22), (23.24) и (23.25) дают
возможность оценить норму разности <p<w—ф<Ц). Имеем
k(W(0-vw(0K
Y $ {[llXr-Xdl-: H2-Xj(j|^||-ni^--^IHlXll]-h<w(s)ll=
7 № II  || хг II -1НХ || ) • || ф<^(5) - ф^> ($) н-
+ IIХг-X, HlRMi|7 IIXII-Ц/?,-7?ц|Н-|!Рц-P^ds^
Y\ jx (i + д)11ф(|Л) (s)-Vw(s)IH-
+ [(Л(1 Д)2 + ДАО (J *—*|| + 4III л-я|||)-I-
+ л2(1 -! A) III И—И III-! Л|||Я‘1’-77и>|||]С(1-Ь
+ Г А2 (1 + А) { || х—х II -с 4 III Н-Н III 4- Л2А \\\Н-Н III I -I-
I	\	I	J
+ АК» Y (Jx— x|| 4 III H-H\\\) -I-HIH(W—HW HI -I-
+	(cn ||x- x || -I  C12 HI H^-H^ HI -! - c18 HI Я-H HI) +
/	-Iх-1	_ Y! iH+nv.(T_sa
+	!|x-x||+ 2 |||77“”-Л‘ш|11 е2е(г + 1) Hs.
\	a=0	7,|	J
Из теоремы об интегральном неравенстве получаем
II Ф<м> (/)_ф<ю (01| се Сц11| х-хII Сц2 111 Н^-Н^ |[| +
М--1	_	1 (Ч + РУ ,т и
+ Сцз 2 !И(/г,~Н™\\\	\ (23.26)
где	М	1
Г» “	Л, (1 + Л)" А, (1 4- Л) 4 ЛК,ЛА + КЛ],
Yr
.2K,U(r-! 1)
а Суз — наибольший из коэффициентов при величинах ||| Н(0}—^О)|||
(<т<р). Таким образом, справедливость оценок (23.14), (23.15)
установлена.
156
Покажем теперь, что для матричной функции выполняются
неравенства
-А/,____Р_\ (Т_А
IIW$> (т, t, £)||<Мре Ц a <r+D> (т
|П’(т, t, е) — Г1р,(т, t, е)]<
< (Мр0 -1 еМр16р) 'I х-х|| + Np2 HI Hi(n—Hipy ||| +
р-1	1 ~у(1~^тг)(т о
-I ^рз 2 III Я1*’-Н™\\\ е 8	(	(23.27)
/г=0
Доказательство проведем по индукции. Для р = 1 имеем оценки
(23.7), (23.8). Пусть оценки (23.27) справедливы при р^р—1.
Продифференцируем соотношение (23.5) р раз по компонентам
вектора х и представим полученное равенство в интегральной
форме. Имеем
s2) «0=4 j ^(si. s, е)Х
$2
У I 2	s2, е) + В™ (s) №„ (s, s2, e)l ds, (23.28)
I.V<K	J
где
s” s)=SjT^'li''(s‘’ *’ ’>
f(s»'
wq1... dx™1
Элементами матрицы B<p) (s) являются суммы произведений вида
(p-fe=l, 2, ..., р),	(23.29) ,
где b^~k) — b(p~k) (s, <р (s)) — частная производная (р—fe)-ro порядка
элемента bi}- матрицы В, а Пфр”—произведение производных
компонент вектора <р по компонентам вектора х с числом сомно-
жителей, равным р—k, причем в H<pp0’ — сумма порядков произ-
водных по всем сомножителям—равна р. Матрицу В<Ц) представим
в следующей форме:
Л ()в
(23.30)
Элементами матрицы B'^y(t) являются суммы выражений вида
(23.29) для р —р, —2. Из (23.29), (23.14) и III.1 следует
оценка
ру
||В<р)(/)|КВре ('•+D
(23.31)
157
где Вр — сумма произведений cfe(fe^p) и I. Для B<w имеем не-
равенство
____ЦУ (т— О
||B‘^)t<B||^'(/)|| ; b^Mr+i) '	\	(23.32)
где Ьр—сумма произведений I и ск (k < р).
Используя оценки (23.27), (23.31), (23.32), из (23.28) при
s^t, s2 = Z имеем
;||UT(t. t, 8)K
< 2(Г^'К LS BvNn_v + bpK + LKcp] e“T (1' 2(r+1)) <T“ ° =
Hr
= ^e e < 2(r"1) /	. (23.33)
Используя следующую очевидную оценку:
j|Bw (/)_£<« (/) || <' £Цф<« (£)_ф<ю (/) ||
ц-1	_
-I- S !l<₽<fe>(0—<₽(fe,(0llll<₽(,J-fe)(0lb
где Lp—сумма произведений I, Г, ct, I <^р, и аналогичные оценки
для || В<р> (I) — В<р> (Г) ||, р < р, получаем из (23.28) следующее не-
равенство:
I Пю(т, t, е)-Г-и,(т, i, е)||<
< f ( XLW-|1)e Sp < Ь'Л || x-x|| -1
(p— 1) У I. \ PTi и I P- у II П
4-	||/7W—^i|X)||-| -Lp У |||Я(А) —^(ft,||| |e "T(l~ 2(rbl)
k=0	J
= [(Np0 + eNM || x-x|| -| NP2 HI fi^-Й^ HI
X i!___H-J—A (T_Z)
+ Np3 2 |||//(*,-//(*,ill e 2(rvl)'	
л= 0
Здесь Lp—сумма коэффициентов при || х—х|| без 6Ц,
ц-1
k= о
(23.34)
........... . .	..................а
наибольший из коэффициентов при величинах |||//(ft)—||| (&<р).
Справедливость оценок (23.27) установлена.
Покажем
что оператор
выполняются
теперь, что существуют такие числа dp, 6Р (р^г),
Т переводит множество Cr(D, dp, 6р) в себя, т. е.
неравенства
д*
Л Х(1
дх^1 ... дх^т
дх^1 ... дх^т Т' Х ~ дх^ ... дх^т
-ц,
А. А”)
(23.35)
(23.36)

358
Кроме этого,
др
дх* ... дх%>
Тт,х(Н)
др
dupl ... ди^п
ТХ,Х(Н)
_	Р-1	_
Ы,, III	III-;- ТРз 2 |||Л/(А)—Л/<АЧ||, (23.37)
k=0
Где Тр2, ТРз—некоторые числа, зависящие от dit 6Z, Xx+V, Px+v>
K,„ x-i v<p, i<p —v.
Доказательство проведем по индукции, основываясь на резуль-
татах предыдущего пункта, где был сделан первый шаг. Продиф-
ференцируем ц раз соотношение (23.14) по компонентам век-
тора х. Имеем
гГ
-----------Л Х(Н)
Ох»' ...дх^ т’ х V '
|ЛЧ,(Т’ е)(О-I (т, t, e)Z(t) +
— 05
-I 2	^Т(т- *, е) G^~v> (0] dt. (23.38)
1 <v< H-1	J
Здесь
Z{t)'	«’W’ НО, £)’£)-
Повторив те же рассуждения, что и при доказательстве нера-
венств (23.25), (23.26), получим оценки
(Т_ А
||G^>(0К*Мфш (ОН (e^_4H ck2)e™^	\ (23.39)
|0<*> (t)-0™ (ОII < egkII<₽<*> (0—(Он
-i- (е^16и ЫН—xHe£HI|tf(ft)—Й(,г,||1 +
+ gks 2 |||//<а’-//<0,|||
а-0
<ft4 DV (т_ А
е 28(^1) <	\ (23.40)
где ск, cki (i — 1, 2), gkj (j = 0, ..., 3) некоторые постоянные,,
причем ckl, ck, ск2 не зависят от dk, 6к, а постоянные gk, gk0,.
цк1 не зависят от 8к.
Из (23.38) и (23.39) имеем
11	II
-----------Тх х (Н) <
| дх^ ... дх»т х' V ’ ||
j H(e+D)(l-A)k<wG)IH-
— со
_ у-ер-а t
+ Л(е4 D)d^ \	Л(е ' D^N^e *	’ +
-i-2linv)(т, t,
где hr не зависит от d^.
При достаточно малых значениях в величина е/г0 меньше еди-
ницы и можно выбрать d^ так, чтобы выполнялось неравенство
e/iodp.-,	т. е. справедливо неравенство (23.35).
Для разности производных из (23.19) имеем
дх^...дх^ Тх’ х (Я) ~ Ох^...дх^ Х-~х (Я) | <
5 {иГФ<Т- z> е)Н^Ч0-с<ц,(01Н
+ |И’->(т, t, е)-^’(т, t, е) 1| IFq, (т, t, 8)-
~^ф(т, t, 8)I|.||^>(011-1-11 W’(^ e) il ’ IIZ-—Z || 4-
Ц-1	_
+ 2 [ll^V,(T. t, 8)(|-||G^-v’(/)-6^-v)(/)|| +
v=l
+ 11^’ (T, t, 8)-W)(T, I, 8)||.||G<^’(/)||]j^. 
Используя неравенства (23.27), (23.33), (23.34), (23.39), (23.40),
получаем оценку
II а*1	—
АЛИЯ"—Я"|||+	;
И- 1 _
-I /цз 2	(23.41)
fc=0
где Рц0—сумма коэффициентов при ||х — х||, не содержащих^6Ц,
а /цз—наибольший из коэффициентов при величинах |||//(ft)—
{k < р).
Положив в (23.41) Н — Н и используя неравенство ePw < 1,
выберем 6ц так, чтобы выполнялось неравенство еРщбц-i- Рц0 6Ц.
Отсюда следует (23.36).
160
Определим на множестве Cr(D, da, ба) обобщенную метрику
d(H, Н) = col (HI И—Н HI, |||Я(1)—Я(1)|||,.. .,|||Я(,Х’—Я(Ц)|||).
Положив в (23.41) х = х и перейдя в левой части к точной
Верхней грани по т, х, получим неравенство (23.37) для р^р.
Тем самым установлена оценка
d{Tx,x(H), Tz,x{H)}^W^d(ti, И),
где
/ q 0 О ... О 0 \
тгу _I Т 13 &Т 12 0	• • •	|
.нН....................... 
\7цз Тцз Тцд ... Тцз еТцг/
При достаточно малых е диагональные элементы меньше 1,
следовательно, и спектральный радиус матрицы W!t меньше 1.
Поэтому оператор Т имеет в Cr(D, da, б0) единственную непод-
нижную точку Я*.
Выше речь шла о дифференцируемости функции Я* по компо-
нентам вектора х. Если предположить, что условия III и II 1.1
справедливы и для частных производных по х, Z и t, то нетрудно
установить дифференцируемость функции Я* по t и х. Для этого
достаточно добавить к вектору хеше одну координату xn+1 — t,
dx
уравнение для которой имеет вид—^-L=l, и применить полу-
ченные выше результаты к новой системе.
Полученные в этом параграфе результаты позволяют сформу-
лировать следующее утверждение:
Теорема 23.1. Пусть выполнены условия теоремы 22.1 и,
кроме того, функции f,guhe области Qo имеют ограничен-
ные частные производные по переменным t, х и у до (г-\-2)-го
порядка включительно. Тогда функция h(t, x)^H*(t, х, е)
в области имеет ограниченные частные производные до г-го
порядка включительно по переменным t и х.
§ 24. Устойчивость интегрального многообразия.
Принцип сведения
В этом параграфе будет показано, что траектории системы
(22.1), начинающиеся в р-окрестности интегрального многообра-
зия у — h (t, х)-, H*(t, х, е), неограниченно приближаются при
t оо к траекториям на интегральном многообразии. Будет
установлен также принцип сведения.
24.1. Решение вспомогательной системы интегральных уравне-
ний. Пусть 1 £/?"", Через (x(t, t0, |, rj, е), z(t, t0, |, я. е))
обозначим решение системы (22.6), обращающееся_в (|, ц) при
/ = /0. Пусть x(t) — x(t, te, I, I, e), e), z(t)=-z(t, t0,
I, e), e). Траектория этого решения лежит на интеграль-
6 В. В. Стрыгин, В. А. Соболев	161
ном многообразии z = H*(t, х, е) системы (22.6). Функции *(/) =
= х (t) + ф (/), z (t) — z (/) ~|- ф (i) будут решениями этой системы,
если ф и ф удовлетворяют следующим уравнениям:
~^ = Р^, ф, ф, I, е),
(24J>
8~ = С(^, ф, 8)ф+<? (/, ф, ф, 8).
Здесь
P = X(t, х(0 + ф> ^(О + Ф, е) — X(t, x(t), z(t), е),
Q = Z(t, х(/) + ф, z (I) + ф, б) — Z(l, x(t), z(t), e)-J-
-I [B (t, x(t)-'rff, s) — B(t, x(t), e)] z(t),
C(t, ф, e) = B(^, x(t)-\ Ф, e).
Основная цель этого параграфа состоит в том, чтобы доказать
возможность такого выбора	что всякое решение (х, z)
(выходящее при t — t0 из малой окрестности интегрального много-
образия) представимо в виде х=х ф, z = z- ф, где функции
Ф и ф оцениваются по норме убывающими экспонентами.
Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Будем искать
решение системы (24.1), у которого компонента ф ограничена на
полуоси [70, оо), а компонента ф удовлетворяет условию ф (70) —Ь.
С этой целью введем в рассмотрение метрическое пространство
Fr(R, а) непрерывных отображений 0 = 0 (/, |, Ь, е) множества
Q - {(/, I, b, 8)11 е [70, оо), l£Rm, р||^ро, 8 e (0, е0]} в Rr, удов-
летворяющих неравенству
||0 (t, |, b, e)\\^R\\b\\e-a^-V^.	(24.2)
Расстояние между 0х и 02 определим равенством
d(0i, О^зире^-^ЦОД/, I, b, б) — B2(t, I, b, б)||. (24.3)
£2
Пусть	a), ty£Fn(K2, а). На прямом произведении
Fm(Klt a)xFn (K2, а) определим оператор S = (Sn S,) соотноше-
ниями
Sj (ф, ф) = —$P(s, ф(5), ф($), I, s') ds,	(24.4)
t
t
S2(<p, Ф^^Т^Л- s)6-i — jv<p(/, s, e)Q(s, ф(5), Ф(5), С, 8)ds.
to
Здесь Рф(^, ta, e) — фундаментальная матрица уравнения
е^- = С(/, ф (Z), e)z, удовлетворятся условию Vv(t0, t0,	— L
Ясно, что УФ(Л s, е) совпадает с ^.-(Л s, е).
162
Ниже будет показано, что S является оператором обобщен-
ного сжатия на Fm(X,, a)xFn(K2, а).
Отметим очевидные неравенства. Имеем
\\P(F ф, ip, I, е) || =-1| X (t, х4-ф, z-\ ф, б) —X(t, х, z, e)||sC
(||ф||4-||ф||) (24.5)
и
\\Р(1, Фо грх, I, e)—P(t, <p2, ф2, I, e)|| =
=- ||X (^, ч?! -I- x, фх4 z, e)—X (t, x, z, e) —
—X (t, ф24-х, Af2 -	e)4-X(/, x, z, e)||^
C;A (Ц^—Ф2||-|-Н1—(24.6)
где
фц<еГ>0-г-#2liH
Далее,
\\Q(t, ф, гр, I, e)||sC||Z(/, х-ф, z-\ ф, е)— Z(t, х, г, е)|( +
•I ||В(/, Х-] ф, 8)—B(t, X, 8)||-||2'||^Д1(||ф||-|- ||Ф||) -I- ДеДоЦфЦ,
(24.7)
ЦО^ФпФпЕ)—Q(t, ф2, ф2, 8)'ll =C||Z(Л X- фх, z- tnjO—
—Z(t, х, z, б)—Z(t, х-г-ф2, z--ty2, e)--Z(t, x, z, e)|| |-
+|[[B(^, ф! । x, e) — B(t, x,e)]z—[B(t, x-\ ф2, e) —
— B(o x, e)]^Ц^ЛДИф!—ф2|| + ||ф1 —ф2||)-г-АеОоЦф!—ф2||,
(24.8)
4^^(^11611-! Da в 4-е).
Используя оценки (24.5)—(24.8), установим некоторые неравен-
ства для операторов Sx и S2. При еа < у имеем
II (ф- гр) || ^
• ОС	-i ж
J ||P(s, Ф(5), ip(s), I, 8)||ds=C \ А (||ф(5)||-| IIФ(s)||)ds
i	t
t ос
^А j е-«(-^)||6||(/<,-!- K2)ds =4	^)РИ’ (24-9)
Ц5'2(ф, ФЖИМЛ t0, 8) ь II4-
t
s’ 8)IH|Q (s- ф(5)> гр(5), I, 8)||
t
^Xe~^{t~ta,\\bV\ 4je’^(/’s) [АД^^^+АеВДх
^0
x II6||e-*-/») ds	Д’||61| [1 +^4^И1(^1+^2)-:- AeOo^jje-^-w
(24.10)
6*	163
Из (24.6) получаем
СО
ЦЗДфх. Ф1)—Si(<p2- Ф2)1К $ А (||<Р1(8) — <p2(s)||- ll^i(s) — ^2(s)||)ds=
t
co
= J ^-a(s-/o) Д —z”> || фт (s) — (p2 (s) || + ва(5~/о)||'ф1 (s) — ф2 (s) II) ds^.
t
Д
C 4 ld (фх- Фз) + d (*!’ ts)] (24.1 1)
Используя равенство Иф (t, t0, e) = IF -(/, t0, e), из (22.23)
получаем
ЦКрДЛ *o> e)—Уф2(К t0, e)||<
V
KM	f „	, 4	.....
<-7-6 8	jHi(s)—<p2(s)||ds=
t ‘°
= -^-e e {t Mje-a(s-^||<p1(s)—<p2(s)||ds^
^0
K2A ,,	.
<-^~^(ф1> Фз)е 8
Далее, из (24.7), (24.8) имеем
H-S2(<Pi, Ф1)—-S2(<p2, 1р2ЖПф,(Л t0, е)—Уф2(/, t0, Е)Н*Ц-г
+4-J[ И УФ1 (К 8, Е) II IIQ (s, <рх (s), ф! (s), 1, е)—Q (s, <р2 (s), ф2 (s), 1, е)||+
-Ь’ЛУфД/, S, Е)—Уф2(г, s, e)]|.||Q(s, <p2(s), i|52(s), e) ||] ds <
/f22l
PIH-
J y
+ 7 j I № e (t s) [(Xj+e/Wo) |] ф! (s)—ф2 (s) Ц+Дх || Ipi (s)—1|52 (s) II] +
to
+ ~-d (Ф,. ф2) e~^ "~s) [Дx (^ + K2) + АеДД,] ||b|| e~a (s~^ j ds<
V
^^Td^> Фг)е МИН
t _jv
+ 7^Ke 8 (/ * e~a(s~1^ j(Xj-|- ЕДД0)еа(5-/»>||ф1 (s) — <p2(8)||4-
-Mie“(s_ /o) ||Ф1(8)-'ф2(8)||+ —ditf!, ф2) [Д! (Kj-i-K^+^eDoKt] x
C4O
1 K2A	—
x||6 ||f ds=C -77-^(фь Ф2)е ||6||-r-
+ -7ДК {хМ(Ч>!, ф2) + Hi-Г ДеД0)б/(ф1, ф2) +
+44PWi+/Q+ леад]ри(ф1, ф8)}е-“(/-/»>.
164
Отсюда вытекает, что
</(Si(<Pi, 4>i), $!(<р2, 4>2)) = sup || Sx (ф1т грх)—ЗДср,, ф2) || е“ </-л>)
Ф2) ' АФ1> ^2))’	(24-12)
rf(S2(<Pi, ^1), S2(<p2, ф2)) =
= sup ||S2 (ф2, 4j—S2(q>2, M’2)ka(/-/»)<-^-d((Pi, ф2)Р|Н-
+ 7Ч>2) + (А-г Ле£>0)Афь ф2) +
+ ^[A(A ! K2)-r AsD^WbWd^, <p2).	(24.13)
Если через C70 обозначить (2x 2)-матрицу с элементами
Ыц = «12=4’ “22=77 А II И
«.<= IIь 11+^дг! А^+А^+~ [А(А+А,)+лада НИI,
то неравенства (24.12) и (24.13) можно записать в следующей
векторной форме:
/d[Si(<Pi, ф1), Sj(<p2> ’h)l\<-7/	ф2)\	(24141
\dlS2(q>i, Ф1), s2(q>2, t2)]J'^	t2)/	'
Рассмотрим теперь интегральные уравнения
X
<p(/) = S1(<p, ф) = — У^*(5’ ф(5)> 4>(s), I, e)^s>
Я’(О = А(‘Р. Ф) = 1/ч>(^ to, Е)*Н-	(24.15)
t
+ 7^ A s> s)Q(s. <p(s), 4>(s), I, S') ds.
^0
Полученные оценки позволяют доказать следующее утверж-
дение.
Лемма 24.1. Существуют такие положительные числа Кв,
р(), что система интегральных уравнений (24.14) имеет единст-
венное решение в пространстве Fm[^.K0, -^-^xFn^2K, 7^, если
только ||6||^р0.
Доказательство. Положим а = у/2е и рассмотрим нера-
венства
у(А + А)^А.	(24-16)
К-\	8£>о+8)(/<1+/<2)-! Л8ад^7<2. (24.17)
163
Ясно, что при достаточно малом р0 эти неравенства имеют
решение = К1 = еК0, где Ко—фиксированное положитель-
ное число. Из (24.9), (24.10) и (24.16), (24.17) вытекает, что
I|S1(<p,	(2418)
[|s2(<p, фЖ2К!1&к’^Л
т. е. оператор S = (S1, S2) переводит пространство Fm (^еК0,
xFny2K, в себя. Введем в этом пространстве обобщенную
метрику (см. М. А. Красносельский и др. [1])
d[(Ti, Ф1), (ф2. Ч>г)]=СО1[(/(ф1, ф2), 4/(11?!, ф2)].
Тогда из (24.14) следует, что
d [S (фх, фх), §(ф2, ф2)] < UQd [(фх, фх), (ф2, ф2)].
Спектральный радиус матрицы Uo равен у (Нц 4- н22 +
+ К(«и — н22)2-|-4нх2н2х). Ясно, что при достаточно малых значе-
ниях ||&|| спектральный радиус меньше единицы, т. е. оператор S
удовлетворяет в F \ еК0, 1.}xF„ [2К, принципу обобщенного
сжатия и, следовательно, имеет в этом пространстве единственную
неподвижную точку (ф*, ф*). Эта неподвижная точка и опреде-
ляет решение системы (24.15).
24.2. Поведение решений в окрестности интегрального много-
образия. Покажем теперь, что при некоторых предположениях
решение (х(/, ta, xlt zr, е), z(t, t0, xlt zr, e)) системы (22.6),
обращающееся в (Xj, Zr) при t —t9, представимо в виде
x(t, tQ, Xx, zx, &)—x(t, te, I, H*(t0,1, e), е)-|-ф*(С I, b),	(24,19)
z(t, tt, Xx, Zi, e.)--=H*(t, x(t, t0,1, Я*(/0,|,Б),е),Е)+ф*(/,|, b).
(24.20)
Здесь x(t, t0,	Я*(/о, I, e), e)— решение уравнения
-^-Л(/, x, Я* (Л х, е), 8),	(24.21)
описывающего движение по интегральному многообразию z —
= Я*(С X, е) системы (22.6), а (ф*, ф*) — неподвижная точка
оператора S.
Достаточно показать, что это представление имеет место при
t = t0. Полагая в (24.19), (24.20) t = tQ, получаем
Xz^l-гФ*^, t Ь),	(24.22)
г1=Я*(/0, I, е) + ф*(/0, I, 6)-Я*(/0, I, 8)-| Ь. (24.23)
Из (24.22) и (24.23) следует, что
Х1 = £-'гф*(*о>	^х—Я*(^о, |, е)),
166
или
| = Х1-<р*(/0, I, z.-НЦЦ, |, 8)).	(24.24)
Рассмотрим отображение v (|) = хх—<р*(/0, I. — Я*(^о, |, б))
(пара Вд радиуса q с центром в начале координат пространства
Rm в пространство Rm.
Имеем
IM^KlWh-h*^, I, ^-я*(/0, I, 8))ц.
Используя оценку ||<р* (t, |, b) || сКа || b ||, получаем
н*ув, i, е)||.
Оценим величину Ц^!—H*(t0, |, е)||, используя (24.24). Так
Как Н* удовлетворяет по х условию Липшица с константой еД0, то
Ц^-Я*^, I, Е)К|г!-Я‘(/о- хх, 8)|Щя*(/0,Х1>8)-Я*^0Л, е)К
^ll^-Я*^, Х(, е) ||-г Е^К-111 = 11^-Я*(Г0, Хх, 8)11 +
+ 8А0||<р*(/0, |, ^-Я*(/о, I, еПКЦ^-Я*(/о, хх, 8)11-1-
Е^ЛЦ^-Я*^,	Е)||.
Пусть теперь е2К0\0 < 1/2 при Eg (0, e0J, тогда
||^-Я*(/о. I, 8)|1<2||^-Я*(4, х>, е)||	(24.25)
И, следовательно,
II ® (£) II < II хх || -| 28^11^—Я* (^0. Хх, Е)||.
Будем считать, что 2еК0 < 1. Пусть начальные значения хх,
gx удовлетворяют условию
II х, II < <7/2,	(24.26)
(IZj —Я*(/„, хх, е)||<ф'2.
Тогда || ©(g) || ^7 и, следовательно, непрерывное отображение
V (I) переводит шар В(/ в себя и, в силу принципа Брауэра,;
имеет по крайней мере одну неподвижную точку |*, т. е. =
= :©(!*). Отсюда вытекает справедливость представлений (24.19),
(24.20) при | = |*, b = zx — V, е).
Полученные результаты позволяют сформулировать следую-
щее утверждение:
Теорема 24.1. Пусть выполнены условия теоремы 22.1.
Существуют такие числа ех, |Зо, ^о> что любое решение системы
(22.6) с начальным значением (хг, zt), при t = t0 удовлетворяющим
неравенству	хх, е) ||	р0/2, представимо в виде (24.19),
(24.20), причем имеют место оценки
!1<р*(/, L 6)||<27<08||^-Я*(/0, хх, 8)||е’£(/~/о),
||Г(ь I, 6)||<4/<1|^-Я*(/0, хх, е)||е'^(/-/о)
при всех t^t0, Eg (0, 8j].
167
24.3. Принцип сведения. Представление (24.19), (24.20) и
оценки (24.27) означают, что траектория любого решения, начи-
нающегося вблизи интегрального многообразия, при t~>-+оо
неограниченно приближается к некоторой траектории, лежащей
на этом многообразии. В этом смысле будем говорить об устой-
чивости интегрального многообразия.
Используя представление (24.19), (24.20), покажем, что для
интегрального многообразия z=H*\t, х, е) справедлив принцип
сведения, суть которого состоит в том, что решение (x(t), z(t)),
где z(t) — H*(t, x(t), е), системы (22.6), лежащее на интеграль-
ном многообразии, устойчиво (асимптотически устойчиво, неустой-
чиво) тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обла-
дает решение x(t) уравнения (24.21), описывающего движение
по интегральному многообразию.
Пусть решение х(1) (х(/0) = х0) уравнения (24.21) устойчиво.
Это означает, что для любого числа р > 0 можно указать такое
6 > 0, что любое решение x(t, ta, |0, к) (х(/0. tB, lo> е)=|0) этого
уравнения подчиняется неравенству
\\x(t, te, |0, 8)-7(/)||<И/2	(24.28)
если только || х0 —|01|	6.
Для решения (x(t), z(t)), обращающегося в (xu zt) при
/ = /0, справедливо представление (24.19), (24.20), если
хп е)КРо/2.	(24.29)
Полагая x = x(t, t0, I»,	|0, е), е), ф(0 = Ф*(^ 1о> Ь),
•ф(/) = ф*(/> lo, 6), b = z1—H*(t0, |0, е), перепишем формулы
(24.19), (24.20) в виде
х(0 = х(0-гф(0>	x(t), е) + ф(0.
Для разности x(t) — x(t) получаем оценку
||лг(0 — х(0К||х(0-*(011 + 11 <Р(ОИ- (24.30)
Из (24.22) имеем
fllo —-rollsCll*! —*о|Н Но — *1||<
^11^! — лг0||-|- e/Coll^!—|0, е)||<
<||Xi—Xoll+e/Cohi—#*(*0, хо- е)1|т еМ1о —-М
и, следовательно,
||1о — х0||^2[||х1 — Хор-е/Ц.?!—Н* (tB, х0, 8)||].
Из последнего неравенства видно, что если || хг — ха || < 6/4
и 8/СоЦгх—Я*(/о, *0. 8)||<6/4, то ||x0—lj0|| < 6, и следовательно.
|х(0—х(0Кн/2-
163
Для || <р (t) || имеем
4>(0||^eKoki—Я*(0, |0, е)||е 2е<*
^еКо[к-Я*(0, х0, е)Н еА0||х0 — |о||] е~^~^ <
(Wo).
Если положить б^тпДрА 6/4}, то при ||jrx—х01| < 61г
\\Zi~H* (t0, ха, е)|| <61 выполняется неравенство ||х(0— х(0||<.
< р (^|>0). Оценим теперь разность z(t)—z(t).
Имеем
Р(0-z(l)\\^\\H*(t, х(0, е)-Я*(0х(0, 8)||-i ||Ч>(ОII- (24.31)
Используя оценку нормы г)(0, получаем
V
Ь (t)-z(t) К eAo k (t)-x (Oh 2K\\^-H*(,t, |0, E)h 2е( "к
<еАо|-2К[к1-Я*(0, х0, е)||-| еД0[|х0-|0||]
Если 2K\\z1—H*(t0, xQ, е)|| <6/2, 2Л/8А0||х0—loll < б/4, то
||г (0—z (01|	р/2 -- бе 2е</ /о> при всех t~^ta.
Пусть 60=r=min{61, 6/4/С, р0/4}, тогда при kj —х0|| < 60,
|ki—Я* (О, х0, е) || < 60 получаем при t^t0 неравенства ||х(0—
— лг(0]| < р, || z (0—z (01| < р, доказывающие устойчивость реше-
ния x(t), z(t) системы (22.6).
Условие 60 Ьо/4 гарантирует выполнение неравенства (24.29),,
так как
ki—Я*(/о, хи 8)11^11^ —Я*(0, х0, е)|Ц sAollXj — х0||^ 260.
Если решение x(i) асимптотически устойчиво, то-|к(0~х(0||—►
—>0 при t-+-roo. Кроме того, || <р (01| -0 и ||i|)(0||—>0 при
/—►4- оо. Из (24.30) и (24.31) получаем, что || х (t)—х(0||—>0
и к(0-—z(0||—>0 при »-4-оо, т. е. решение (х(0, z (t)}
системы (22.6) асимптотически устойчиво.
Случай, когда решение х(0 уравнения (24.21) неустойчиво,
очевиден, так как это решение описывает поведение решений
системы (22.6) на многообразии z = H*(t, х, е).
Если, в частности, система (22.6) имеет нулевое состояние
равновесия, то оно устойчиво (асимптотически устойчиво, не-
устойчиво), когда аналогичным свойством обладает нулевое реше-
ние уравнения (24.21).
169
§ 25.	Асимптотическое разложение
интегрального многообразия
В этом параграфе будет показано, что при некоторых естест-
венных предположениях функция Н* представима в виде разло-
жения по степеням малого параметра.
25.1.	Специальная замена переменных. Будем предполагать,
что функции X, Z и матрицы В и В-1 в (22.6) ограничены вместе
со своими частными производными по всем переменным до г-го
порядка включительно при x£Rm, || z || < р, t^R, е £(0, е0].
Отметим, что функции Z и Zz тождественно равны нулю при
у = 0, 8 = 0.
С уравнениями (22.6) свяжем дифференциальное выражение
D(z) = B(t, x)z--Z(t, х, z, 8) — Е^- —e-jg-X. (25.1)
Покажем, что существует такая функция
z=hk(t, х,	x)-'-E2H2(t, х)4-...\-skHk(t, х)	(k^)r—1),
(25.2)
что для некоторого С > 0
sup е~^ " D (hk(t, х, е))<^С.	(25.3)
t, X
С этой целью подставим функцию hk, определяемую равен-
ством (25.2), в выражение (25.1) и разложим полученные функ-
ции по степеням е. Результат разложения можно представить
следующим образом:
D (hk (t, х, е)) = В (t, х) (е#! + . . . •- £кНк) eZx (t, х)
-!- e2z2 (t, х, Hr) ; ... -h skzk (t, x, Hlt ..., яй-1) +
-h8^‘Zft + 1(/,X,^, ...,Яь8)-8[8^ j-... ! ^\~
)-... ^8^'|[Х(/,Ж, 0,0)4-еХ1(^,х,Я1)+...
. . . -i-	(t, x. Hx, . , Hk_x) -y zkXk (t, x, Hx, . . ., Hk, 8)J.
(25.4)
Здесь использованы представления
Z (t, x, hk (t, X, e). e) -- eZx (t, x) г e2 Z 2 (t, x, Hi) 4 • • •
... 4 skZk(tr x, Hx, Hk_x)-\- EkilZk<1(t, x,Hx, Hk,s)-\ ....
(25.5)
X (t, x, hk (t, x, б), e) = X (t, x, 0, 0) eXx (t, x, Hj) 4- • • 
... -EkXk(t, X,H1, ...,Hk,s) i ...
Очевидно, Zx (t, x) -	(t. x, 0, 0). Функции Я,- (i — 1, . . ., k)
будем выбирать так, чтобы в выражении (25.4) обратились в пуль
все члены, содержащие е в степени ниже &4-1. Обоснование
возможности такого выбора проведем по индукции.
170
При первой степени е имеем
B(t, x)tfj4 Zx(/, х) = 0
и, следовательно,
Н,- — В-1 (t, х)Zi(t, х).	(25.6)
Очевидно, функция Нх ограничена и обладает ограниченными
частными производными но t и х до (г—1)-го порядка включи-
тельно.
Предположим, что удалось подобрать функции И, (i=l, ...
.... k—1<г—1), обладающие ограниченными частными произ-
водными по t и х до (г—k ; 1)-го порядка включительно, так,,
что в выражении (25.4) все члены, содержащие в качестве мно-
жителя е,Р (р=1, ...,/?—1), обратились в нуль. Тогда при е*
имеем
В(Лх)Яй4 ZH/.x./fn •>^_1)-^i-^X(/,x,0,0)-
х, ^-...--^х^^х,	...,я,_г) = о
и, следовательно,
Нк-= — В'1 (t, х) [zk-d-^-d-^X(t, х, 0, 0)—
J . (25.7)
Ограниченность функции Hk и ее частных производных по t
и х до (г—/г)-го порядка включительно вытекает из предполо-
жения о функциях Н[ (i = l, ..., k—1) и свойств функций Zt,
X(t, х, 0, 0), Xn ...,Xk_r. Таким образом, установлено суще-
ствование функции hk(t, х, е), представимой в виде (25.2), при-
чем функции //, ограничены вместе со своими частными произ-
водными по t и х до (г—i)-rO порядка включительно и могут
быть найдены по формулам (25.6), (25.7).
25.2.	Асимптотика интегрального многообразия. Покажем теперь,
чтофункция Н* (t, х, е), описывающая интегральное многообразие
системы (22.6), представима в виде
И* (/, х, е) = еЯх (t, х) -j- ... 4	(/, х) - Н (t, х, е),	(25.8)
где Н—функция, ограниченная по норме величиной ek+1Dk+1
(Dk l j—фиксированное положительное число).
В системе (25.6) сделаем замену переменной z = v + hR (t, x, e).
Для переменных хи® получим уравнения
j = X(f,x, V, е), е-^-В(Д x)®-4Z(Z, X, ®, е), (25.9)
171
где
X (t, х, v, е) = X (t, х, v 4- hk (t, x, e), e),
Z(t, X, v, E) = Z(t, x, v hk(t, x, e), e.) +B (t, x) hk(t, x, e) —
— е^Г~*> ®> e)-
Для обоснования формулы (25.8) достаточно доказать, что
система (25.9) имеет интегральное многообразие v — H(t,x, е).
Из свойств функций Hi (i = 1, .. ., k) следует существование
такого числа р, что выполняются неравенства
\\hk(t,x, е)||<ер, |^‘(/, х, е)|<еР1
|^(/, х, E)—^(t,xt, е) l^epjlx—XjII.
Отметим прежде всего, что из неравенств (22.7)— (22.10) вы-
текает существование такого числа Ло > 0, что при t^R, x^Rm,
]| ® II^Pi < Р, е € (0, Ej], ех е0 справедливы следующие неравенства:
]|Х(/, xlt ®n е)—Х(Л Х2, ®2, е)||^Л0(||х1 — X2|p-||®i—®2||),
\\X(t,x, v, е)КЛ,_
\\Z(t, vlt e)—Z(t, x2, v2, e)||^X0(e+||®||)(||xl—x2||+|l®i—®2|l).
|| Z(/, X, V, e)||CX0[eftu-i e Це И-I-1|® ||2],
где || v || = max {Ц®, ||, ||®2|j}.
Все эти неравенства, за исключением последнего, полностью
аналогичны неравенствам (22.7) — (22.10).
Для доказательства существования интегрального многообра-
зия для системы (25.9) следует воспользоваться схемой рассуж-
дений § 22. Отличие появится только в одном месте. Вместо
оценки (22.25) будем иметь оценку вида
||Л,ДЯЖ-^-Л0(^ 1-eD^e^1).
Здесь 7\,х—оператор, определяемый формулой (22.25), в ко-
торую вместо Z подставлено Z, a D—величина, ограничивающая
по норме функцию Н. Легко видеть, что существует такое число
Dft+l, что при всех достаточно малых е выполняется неравенство
A A0[^Dk.riy-\ е (е*< ЧЭк г1) 4-	< е* ^Dk Fl,
т. е. можно положить D = eft41Z)ft+1.
Таким образом, система (25.9) имеет интегральное многообра-
зие v = H(t, х, е), причем ||Я(/, х, e)|Keft,1Dft+1. Из результа-
тов § 23 следует, что функция H(t, х, е) (г—/г) раз дифференци-
руема по переменным t и х.
ГЛАВ A VII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
КВАЗИОСЦИЛЛИРУЮЩИХ СИСТЕМ
(26.1)
§ 26.	Достаточные условия существования
интегрального многообразия
26.1.	Основные предположения. Рассмотрим систему диффе-
ренциальных уравнений вида
^.^A(t)x-\ f(t, x,y,z),
х’ ^y + Stt’ х’ е)-
Здесь х и /—m-мерные векторы у и g—n-мерные векторы,
А и В—квадратные матрицы соответствующих размерностей,
/g(—оо, оо), е—малый положительный параметр.
Будем предполагать, что выполнены следующие условия.
I.	Матрица А (/) непрерывна и ограничена при t —оо, оо).
Фундаментальная матрица Коши U (I, s) (f/(s, s)=/) уравнения
= А (Ох
подчиняется неравенству
\\U(t, s)||CKe“(3-^	(К>1,а>0)	(26.2)
при всех —oo<^^s<oo.
II.	Матрица В (t, х, е) определена и непрерывна при x£Rm,
—оо, оо), eg [0, е0], удовлетворяет по х условию Липшица
Xj, е)—B(t, х2, eJIKLUxj—х2||
и ограничена при всех t, х, е из области определения. Сущест-
вуют такие числа |3 = |3(е) и М(р>а^0), что для любой функ-
ции <р(0, имеющей непрерывную .производную при /g(—оо, оо),
фундаментальная матрица Коши №Ф(£, s, 8) (№ф(в, s, е) = /) урав-
нения е-^-= В (0 <р (0 > e)j подчиняется неравенству
||Гф(0 s, e)||CMe-₽»-s>	(26.3)
при всех —oo<s^Z<oo, eg(0, е0].
III.	Функции f и g определены и непрерывны в области
Й={(/, х,у, e)|/g(—оо, оо), x£Rm,	еg[0, е0]}
173
и удовлетворяют в Q неравенствам
WfR, X, у, 8)||Са1,	(а)
\\g(t, х,у, 8)||Са2,	(б)
WfR, xlt ylt х2,у2, 8)11^^11X1—-М + М.У1— bib (в)
\\g(t, хиУ1, s)—g(t, хг,у2, е)	-*М l-Mb—М	(г)
где «, = at (и, е) — неотрицательные неубывающие функции пере-
менных и ие (u = ||j||), a bi = bi(v, е) и c; = c;(v, е) — аналогичные
функции переменных v, е max {||у ||, ||j2||}).
Будем изучать RD, Д)— интегральные многообразия системы
(26.1), описываемые уравнением
y = HR,x, е), ^g(—оо, оо), x£Rm, eg [0, е0]. (26.4)
Движение по такому интегральному многообразию описывается
уравнением
^-—AR)x- fR, х, HR, х, б), е).	(26.5)
Если на интегральном многообразии (26.4) лежит траектория
R,xR), у R)) системы (26.1), то xR)-—решение уравнения
(26.5), a yR)^HR, xR), е).
Если x(t)— решение уравнения (26.5), то(х(/), HR, —
решение системы (26.1), траектория которого лежит на многооб-
разии (26.4).
Почти дословно повторив рассуждения, приведенные в § 22,
легко получить, что поверхность у - Н R, х, е) является RD, Д)-
многообразием системы (26.1) тогда и только тогда, когда HR, х, е)
является решением уравнения
т
Н (т, х, e) = Y 1ЕФ(т, t, е) gR, <р (/), HR, <р(/), е), e)dt, (26.6)
— 00
где <р (/) = Ф R, т, х, е | И)— решение уравнения (26.5), удовлет-
воряющее начальному условию <р (т) = х.
Таким образом, Н является неподвижной точкой оператора Т,
определяемого правой частью уравнения (26.6). В дальнейшем мы
покажем, что Т является сжимающим оператором в метрическом
пространстве С RD, Д), введенном в предыдущей главе. Для ана-
лиза этого оператора нам потребуются некоторые вспомогательные
неравенства, характеризующие свойства ф = Ф R, т, х, е | Н) и
t, е). Этому посвящены следующие два пункта.
26.2.	Оценка разности решений. Для произвольных функций
H,H(tCRD,&) рассмотрим уравнение (26.5).
Лемма 26.1. Пусть а + К [bj RD, е) — сх RD, е) Д] у, где у —
некоторое положительное число. Тогда при справедливо
неравенство
|| Ф R, т, х, е | Н)—Ф R, т, х, е | И) К x-jR+^~^ \\\Н~Н\\\).
174
Доказательство. Пусть ф (t) = Ф (t, т, х, е | И), ф (?) =
Ф (/, т, х, е | Я). Эти функции удовлетворяют интегральным
уравнениям
t
y(t) = U (t,r)x 4- $	s)/(s’ <Р (s)> н(s> <Р (s)> е)’ е)ds-
\ _ _ _ (26’7)
ф (l) = U (/, т) х -г U (t, s)/(s, q> (s), H(s, ф (s), е), е) ds.
т
Из (26.7), используя условия I, Ш(в) получаем при т^?
||ф(/)—Ф(^Ж||Я(^, т) ||-||х—х|Ц- J \\U(t, s)II-[||/(S, ф(8),
t
И(8,ф(5), е), е) — /(s, ф(з), И(s, ф(в), е), е)|| 4-
I |l/(s, ф(в), И (s, ф(5),е), е)—/(s, ф(«), Я(в, ф(в), е), e)||]ds<
г; - /Cgafr-n || х—х||	^ga(s-0	(£); е) Cj (£), е) Д] [| ф (s)—ф(5)||-(-
+ c1(D,e)\\\H~H\\\}ds.
Применяя теорему об интегральном неравенстве и полагая
f (/) = КеуЛх~‘}, фг (I) - /([bj (D, е) | Cj (D, е) Л] e~at,
Ф2 (s) = ф (/, s) = Кс1 (D, е) ||| Я—Я ||| ea^-t},
а (?) = ||ф (/) — ф(0||- получаем требуемую оценку.
26.3.	Оценка разности матриц Коши. Оцепим теперь разность
 W<p(/, s, е) — W-(t, s, е), гдеф = Ф(/, t0, х, е|Я), ф(/) = Ф(^, t0, х,
е|Я).
Имеем соотношение
Ф (%> $2» *0 ' ф" ($1 ’ ^2 > *0
*=-^№4)(slt Р, г)[В(р, ф(р), е)—В(р, ф(р), е)]Гф(р, s4, e)dp.
S2
(26.8)
Используя неравенство (26.3), получаем при s1^s2
||^<р (Si, s2, е) — F^(s,, s2, е)||^-^-№Ле-₽<5‘-^> j ||ф(р) —ф(р)||сгр.
(26.9)
Полагая s1^/0 = t, s2 — t, из неравенства (26.6) выводим
|| Wy (т, /, е) — 1Гф(т, t, е)||^
^l№L7<[||x-x||-| C1(D, е)/у.|||Я-Я|||]е-<₽-т)(г^).	(26.ю)
175
26.4.	Теорема существования. Определим па С (D, Д) оператор
ТХ,Х(Н) равенством
Л. х (Я) = 4" J Z, e)g(^q>(Z), Я(Л<р(0,е), 8)Л. (26.11)
— со
Лемма 26.2. Пусть a-i Л [br (D, е) -J- cr (D, е) Д] + у =+7'
Тогда выполняются неравенства
||Л,ДЯ)||<-^-«2(П,е),	(26.12)
|| Тх, х (Я) - Л, ;(Я)К®(D, Д, е) || х-7 II,	(26.13)
||ТТ,4Я)-Л.4ЯЖ
^^1|||Я-Я|||,	(26.14)
I Р/	J
где со (D, Д, е) = 7^75 [е'^^+р) Й2 (D’ е> Н’b* (D’ с* (D’ е) АЬ
Доказательство. Чтобы получить оценку (26.12), вос-
пользуемся условиями II, Ш(б) и неравенством (26.3).
Имеем
т
Гг.4Я)К| j ЦГ^т,/,8)||.||g(/,q>(0,e)||^^
— X
Т
< — N ( е-Р a., (D,	а2(D, б).
6	f)	Sp
— х
Из условия II, 111(6), неравенств (26.4), (26.10) и неравенст-
ва леммы 26.1 при у = (а-1 Р)/2 вытекает справедливость оценок
(26.13) и (26.14). Наконец, имеем
||Тт,ИЯ)-7’т7(ЯЖ
С7 j [11^(4	е)-Г-(т, t, 8)||||g(Z, <р(0, H(t, <р(0, е), е)|| +
+ ||Г-(т, t, e)||||g(;, <р(0, Я(/, <р(0, 8), 8)-
—g(t, ф(0. H(t, ф(0, 8), е)||]^ <
<	17S0 “ ” + ^D- е> + MD, «+ *
x[l-c-*')+++ lll«-«l++^(O, е)|||Я-Я|||.
Положив в последнем неравенстве поочередно Я = Я и х — х,
получим требуемые оценки. Лемма доказана.
Предположим теперь, что при определении класса функций
С (D, Д) величины D и Д удалось выбрать таким образом, что
176
выполняются неравенства
^-a2(D, e)<D,
со (D, А, е) sC А,
2ci(D. е) . WcafDjO .
Е(а+р)	ер	'
(26.15)
(26.16)
(26.17>
Тогда из (26.12) и неравенств (26.15), (26.16) имеем
|| Тх, х (И) || < D, || Тт, ж (Я)-Тх - (Я) К А || х-х||,
т. е. для таких D и А оператор Тх, х (Я) переводит С (D, А) в себя.
Вычислив в (26.14) точную верхнюю грань по t и х, получим,,
с учетом (26.17), существование такого числа q (0 < q< 1), что
III ТХ,Х(Н)-Л, ДЯ) III ^<7 III Я-Я|||. Следовательно, оператор Т
является сжимающим и имеет в С (D, А) единственную неподвиж-
ную точку.
Высказанные соображения позволяют сформулировать следую-
щее утверждение.
Теорема 26.1. Пусть выполняются условия I — III, причем
функции ah bt, Ci (i=l, 2) и числа а, 0, N, К, L и е0 таковы,
что допускают существование таких чисел D и А, для которых
выполняются следующие неравенства-.
1	^[^(D, e)-LC1(D, е)Д]<1(₽-а),	(26.18>
аг (D, е) D sC р,	(26.19)
ер
(°- ') + (°. ') +	') Л]<	(2<5-2«>
^WA-l^£7Fa<1	«><«<«.).	(26-2П
Тогда для каждого е£(0, 80] система (26.1) имеет единствен-
ное (D, ^-интегральное многообразие y = H*(t, х, е), движение-
По которому описывается уравнением
^- = A(t)x-rf(t, х, H*(t, х, 8), 8).	(26.22)
26.5. Некоторые свойства интегрального многообразия. Осно-
вываясь на том факте, что функция H*(t, х, б)—это неподвиж-
ная точка оператора Т, подобно тому, как это делалось в пре-
дыдущей главе, можно показать, что если правые части системы
(26.1) периодичны или почти периодичны по t, то такими же
свойствами обладает и функция Я*. Имеет место
Теорема 26.2. Если выполнены условия теоремы 26.1 и для
каждого фиксированного е (0 е sC 80) функции f,gu матрицы
А, В почти периодичны по t равномерно относительно х, у, то
для каждого фиксированного е (0	8	е0) функция Н* будет
177
почти периодической по t равномерно по х с такими же базис-
ными частотами, как у функций f,gu матриц А, В.
Следствие 26.1. Из теоремы 26.1 вытекает, в частности,
что функция Н* не зависит от t, если не зависят от t f, А
и В. Функция И* будет периодической по t периода со, если этим,
свойством обладают f, g, А и В.
В точности следуя схеме, изложенной в § 23, можно показать,
что из гладкости функций, входящих в правые части системы
(26.1), вытекает гладкость функции И*.
Замечание 26.1. Если условие 111 выполнено не при всех х,
а лишь при ЦхЦ^р!, то функции fug можно продолжить на
все множество Q с сохранением этого условия. В таком случае
интегральное многообразие преобразованной системы для исход-
ных уравнений будет локальным интегральным многообразием.
§ 27.	Устойчивость интегрального многообразия.
Принцип сведения
Найдем условия, когда траектории системы (26.1), начинаю-
щиеся вблизи интегрального многообразия, приближаются к траек-
ториям на многообразии при t—>Ц-оо. При этом будем следовать
схеме рассуждений, приведенной в предыдущей главе.
27.1.	Решение вспомогательной системы интегральных урав-
нений. Как и в § 24, введем обозначения
jc(l) = x(t, t0, I, H*(t0, I, e), e), y(t)=y(l,	I, e), e),
x (t) = x (t, t0, x0, y0, e), у (t)=y (t, t0, x0, y0, e),
ф(0 = х(t)—x(t), Ф(0=у(0— y(t)-
Функции <p(£) и ф(0 удовлетворяют уравнениям
^ = Л(0ф Ф, ф, I, е),
dt	(27J)
e-^-=--C(t, ф, е)ф+О(Е ф, ф, |, е).
Здесь
P=f{t, х(/) + ф, j(/)-t> е)—/(Е х(0, У(О> е),
Q=g(t, Х(О + Ф, ЯО + ф, е)—g(t, х(0, J(o> е) +
•I [B(t, х(/)-;-ф, е) — B(t, x(t), е)]_у(/),
C(t, ф, е) = В(/, х(/)-| ф, е).
Нетрудно получить следующие неравенства:
\\P(t, ф, ф, I, е)|| < Ь. || ф[|-1 с11| ф||,
IIQ (t, ф, ф, I, еЖМф|р-С2||ф|| i-DL||T||,	(27.2)
\\P(t, фо ti, I, e)—P(t, ф2, ф2, I, е)||Ср||ф1—(р2||-;-с1||ф1—ф2||,
178
Ш(/, Ф1. Фп I, £} — Q(t, Ф>, ф2, I, e) К
^2II Ф1 Ф21| C2II 41 4г II "К BL IIФ1 Ф2II*
где *>, = ММ»1Н D, е), с,. = С,.(Т<2||6|| + О, е) (i = l, 2).
Пусть Fm(Klt у) и F„(K.,, у)—метрические пространства, вве-
денные в § 24. Как и ранее, определим оператор S = (Sj, S2) на
прямом произведении Fm(Kj., y)xFn(K2, у) соотношениями
S, (ф, ф) = — J U (I, s) Р (s, <р (s), ф (s), I, е) ds,
t	(27.3}
Л’4(ф, 4) = V<p e) 6 +v(p (^, s, e)Q(s, <p(s), ф(в), I, s) ds,
Используя оценки (27.2), установим некоторые неравенства
для операторов Sj и S3. Имеем при t^t0
IIs. (ф, 4)К s)IH!p(s- ф(8), Ф(8), e)||ds<
<< ~ [Mi + q*2] IIЬ |) a-(27,4>
Ц32(ф, Ф)||<||Уф(^ t0, e)IHI»ll +
+ -|-J||VQ)(/, s, 6)||||Q(s, <p(s), ф(з), I, 8)||ds<
<ЛГ||6||| 1 + (&2+j*^+c2/<2	(27.5>
РЛфх, 41)—32(ф2, ф2) II ;C CM (Ф1 - Ф2)-!-С1^(Ф1, ф2)]е-Я*-*о).
(27.6) >
Используя оценку (26.9) и равенство Уф (t, t0, е) =	+- (t,
t„, е), получаем
||^,(/, t0, е)-Кф2(г, t0,8)К
Jlltpjs)—ф, (s)||ds^^ £(((₽!, ф2)е-₽«-Ч
Поэтому при t t0
(ф1( ФО—S2(q>2, ф2)||^^б||е-₽(^ь>£г((Р1> ф,) +
+ Ub2 -LD)d(<fu <р2) ~rc2d($i, ф2)]е-т<;-<«) +
+	II»II 1(^2 г ^D) К. -F сД2] d (epi, <р2)	(27.7>
179-
Воспользовавшись неравенствами (27.6), (27.7), легко полу-
чить, что
<i[Si(q>i фх), Sj (ф2, ф2)] = sup]|ST(<plt ф^—S^qx., ф2)|]ev(/-Q
< 7=^7 [M (Ф1’ Ф2) -I' cid (ti> Ф2)], (27.8)
•d[S2(q>i, ’I’l). S2 (<p2> ’h)] = sup||S2(q>1, Ф,)—S2(<p2, ф,)<
+ еуф-т)	<p,)+ e c,d^„ 4>J.
(27.9)
Если через Ua обозначить (2х2)-матрицу с элементами
К о	К	N
----——— Р1	tZio   ' 1	C-t . tZi 9   /Q	Со у
11 у — а гп	12 у — а 11	12 е (0—у) 2
N2L,..n । N	/z, , т г-\\ । №£ || b i| Г/, т п. „
“21— еу И&|1+ е(р —у)	^)+ Ev(p_v) [(b2 +LD) Ki гС2К2]
(здесь b — b^K.iWbW-^D^), ct = с,- (К21|b|| + D^) (i = l,2)), то не-
равенства (27.8), (27.9) можно записать в векторной форме
/d (Sj (ф1, ф1), 5i (ф2, ф2))\	Zd (фь ф2) \	.
\d(S2(<jpi, ф1), S2 (ф2, ф2))°\d(t|?i, ф2)/	'	’	'
Рассмотрим теперь интегральные уравнения
<p(O = Si(<p, ф),
ф(/) = 32(ф, ф).
(27.11)
Полученные оценки позволяют доказать следующее утверж-
дение:
Лемма 27.1. Если существуют такие положительные числа
К-i, К2, Ьа, что выполняются неравенства
-L-lb.KiECiK,]^	^К1,	(27.12)
Л? Г i । (^2 |-LP) /<i — с2К,2 1 1 '	е(Р-у)	J-	ZK2,	(27.13)
2 (.^п Н- ^22 ’1"	(^11	^2г)2	^^12^21) <	Z1,	(27.14)
то интегральные уравнения (27.11) имеют единственное решение,
если только ||&||^60. Здесь Ь — Ь^и, е), с; = С;(и, е) вычисляются
при и = К2Ь0щ D.
Доказательство. Из (27.1), (27.12) и (27.5), (27.13) имеем
lisjcp, t)|<^|»k-T,,-4
l|S2(q>, Ф)К*2||&к-?('-'о),
.180
I, e. оператор S переводит пространство Fm (К1У у) xFn (/(2, у)
М себя. Введя в этом пространстве обобщенную метрику d£(<р15 фО,
(W’y. t2)] = col(tf(<P!, <р2), af (-ф1, ф2)), получаем в силу (27.14), что
спектральный радиус матрицы (70 меньше единицы, т. е. опера-
тор S удовлетворяет принципу обобщенного сжатия и, следова-
тельно, имеет в Fm(K!, y)xFH(K2, у) единственную неподвижную
Точку (<jp*, ф*). Эта неподвижная точка и определяет решение ин-
тегральных уравнений (27.11).
27.2. Поведение решений в окрестности интегрального много-
образия. Покажем теперь, что при некоторых предположениях
для решения x(t, l0, х±, yt, е), y(t, /0, хп ylt е) существует
такой вектор	что имеет место представление
х (Б t0, хп е) = х (О ф* (/, I, &),	27 15
y(t, tQ, Xj, ylt 8) = j (0-'7bY
Здесь x(l) = x(l, Zo, I, H* (t0, I, e), 8) —решение уравнения
~ A (I) x + f(t, x, H* (t, x, e), e),	(27.16)
описывающего движение по интегральному многообразию у (/) =
<--- H*(t, x(t), е), а (ф*, ф*)—неподвижная точка оператора S в про-
странстве Fm (Ki, y)xF„ (К2, у) (это, в частности, означает, что
ф* и ф* стремятся к нулю при t—>оо).
Достаточно показать, что это представление имеет место при
/«=/0. Полагая в (27.15) £ = £0, получаем
Х1 = Ц-ф*(^, I, &),	/97 17^
_У1=#*0О- I, 8)-; ф* (/„, I, &) = //*(/„, I, Ь)+Ь.	>
Из второго равенства находим Ь=у±—1, &). Поэтому
Первое равенство может быть записано в следующем виде:
:	1-=Х1—ф*(*0> I- У1—Н*(10, I, 8)).
Рассмотрим теперь непрерывное отображение
w(il) = —ф* (/0, П + Xi, yt— 114-Xi, 8)),	01 = 1—XJ,
Шара Bq радиуса q с центром в начале координат пространства Rm.
Покажем, что при некотором q оно преобразует Bq в себя и, сле-
довательно, в силу принципа Брауэра имеет неподвижную точку-
Предположим, что числа Кл и Л (см. теорему 26.1 и лемму
27.1) удалось выбрать так, что < 1/2. Пусть для начальных
значений хг и _Vi выполняется неравенство ||ji—H*(t, Xj, е)|| sC
b0/2. В качестве q возьмем любое число, удовлетворяющее двой-
ному неравенству Л'Д < q < Ь0/2Д.
Используя оценку ||ф*0, I, &)||^/^i&, получаем
||<о(п)|К/С1||3’1-гЯ*0о, n l-Xi, е)||<
*^1(||.У1—Я*0О, хп 8)||0О, n + Xi, 8)—//*(/„, Xi, е)||)<
181
Таким образом, если начальные значения удовлетворяют не-
равенству \\y1—H*(tQ, х„ е)||<б0/2, то ||<»(т])||<q, и, следова-
тельно, непрерывное отображение <о(т]) переводит Bq в себя и
имеет хотя бы одну неподвижную точку к]*. Отсюда вытекает
справедливость представления (27.15) при | = |* = ц*-р хп & =
— yj—H*(t9, |*, 8).
В силу равенства	—Xj =— ф*(/0, 1*> Уг—Н*(10, I*, 8)) имеем
оценку
V, 8)II<
xt, 8)11 -IIЯ*(^0, Х1, e)—H*(t0, 1*, 8)|)<
^\\yt-H*(t0, г, 8)|Н Д[|ф*(/0, V,	I*, е))К
С||Л-Я*(/о, I*, 8)||--/С1Д||_у1-//*(/0) V, 8)||<
<||Ь-^*(^О>	6)11-1-4-11^!—Я*(^о. I*, е)||.
Отсюда следует, что
ll&HII^!—Я*(^о, V, e)\\^2\\y1—-H*(t0, xlt 8)||.
Приведенные рассуждения означают, что справедливо следую-
щее утверждение:
Теорема 27.1. Пусть выполнены условия леммы 27.1 и нера-
венство < 1/2. Тогда для любого решения системы (26.1) с на-
чальным условием x = xlt у=У1, при t = t0, удовлетворяющим
неравенству —H*(t0, хг, 8)||^Х1/Д, справедливо представление
(27.15), причем имеют место оценки
|| Ф* (t, I, Ь) ||	2К± Уг-Н* (t6, Х1, 8) || е-^-‘°',
||Г(М, b)\\^2K2\\y1-H*(l0, х„ 8)b-v('-O t^t0.	>
Представление (27.15) и оценки (27.17) означают, что траек-
тория любого решения, начинающегося вблизи интегрального
многообразия, при t —> 00 неограниченно приближается к неко-
торой траектории, лежащей на многообразии.
27.3. Принцип сведения. Используя представление (27.15),
установим для интегрального многообразия принцип сведения.
Пусть решение х0 (0 (х0 (Q = Хо) уравнения (27.12) устойчиво.
Значит, для произвольного числа ц > 0 можно указать такое
б > 0, что любое решение x(t) (x(Zo) = lo) этого уравнения под-
чиняется неравенству
||х(О-хо(О|| < |
если только || х0—101| < 6.
Для решения (x(Q, у (0)> обращающегося в (х1; д^) при
/=/0, справедливо представление (27.15), если
ll^-ЯД/о, Xi, 8)||<4-	<27'19)
182
Для разности х (t)— х0(£) имеем оценку
||х(7)_лго(0|| < МО-хо(О|Н |1<Р*(011>	(27.20)
ГДс <р(/) = Ч>*(0 So, yi—|0, в)).
Из (27.17) получаем
Ilin ^oll^a 11-^1 *о|И II lo ^111^5
<ki —Xo||-r/С111.У1—H*(t9, l0, e)II <
II Xl~ X0 II T Kl [Ц.У1 H* (0> xo, 8) II II So xo II]
и, следовательно,
lllo—Jf0||<2[||x0 — Xill + Killb—Ж *o> 8)||J-
Отсюда вытекает, что при ||хг — х01| < 6/4 и KiH^i—
- H*(t0, х0, е)|| < 6/4 выполняется неравенство |||0— х0|| < 6, и, сле-
довательно, ||х(/) — х(/)|| < р/2 (/>/0).
Для ||<р(01| имеем оценку
Цф(ОКК1|1з’1-Я*(/о, |0, 8)[|С
7/*('о- ха, е)|Н А||х0—loll] < 6.
п	о . I U, 6	6	6 1
Если положить б^тш - у, , /р/у, 4^р т0 ПРИ
||х,— ХоК6ь ||_у!—х0, 8);|^61 выполняется неравенство
||х(0 — х0(/)|Кц.
Пусть _у0 (/) = //*(/, хо(О, 8), _у0(/0)=Я*(/0, *0> 8). Оценим
теперь разность у (t)—y (Q. Имеем
11> (0 ~~Уо (0 КIIИ* (t, х (0, е)—Я* (/, х0 (0, 8) II -г || ф (0II, (27.21)
где Ф(0 = 1|р*(/, |0, уг —H*(t9, |0, 8))-
Используя оценку нормы -ф(/), получаем при
Ь(0-^0(0II<ЛIIх(0-х0(/)IH-KtWy^-H*(io, lo, 8)IM
<Д| + К2[||л-7/*(0 х0, 8)|| А||х0—|9|l]e-vU-<.»,
Если А < 1, ^U^i—Я*(0, х0, 8) || С 6/2, /(2А||х0—|0|| < 6/4, то
llj(O-Jo(OIK.< + Se-v^-^.
Пусть 60 = min{6,, 6/2Л)2, &0/4}, тогда при ||хх—х0[| < 60,
Iji—H*(t, х0, е) ]| < 60 получаем неравенства || х (t) — х0 (t) || < р,
|j(0—З’о (0II < И, доказывающие устойчивость решения (х0(/),
Ь(0).
Условие 60 р Ьй'А гарантирует выполнение неравенства (27.19),
так как Ц^—Я*(/о, Х1, 8)	Н* (1в, х0, е)||+А||х1 —х0||< 260.
Если решение xQ(t) асимптотически устойчиво, то || х0 (t) —
--Х(01|—>0 при / -.оо и ||<р(/)|| —► 0, H(0l|—>0 ПРИ i~~’•°0-
Из (27.20), (27.21) следует, что ||х(/) —хо(/)|МО и ||j (^)—_уо(О||->О
при t— >00, т. е. решение (x0(t), у0(1)) системы (26.1) асимпто-
тически устойчиво.
183
Случай, когда решение (х0(/), у0(1)) уравнения (27.16) не-
устойчиво, очевиден, так как это уравнение описывает поведение
решений системы (26.1) на многообразии у =Н* (t, х, е).
§ 28. Об асимптотическом разложении
интегральных многообразий
В этом параграфе мы покажем, что и для квазиосциллирующих
систем можно получить асимптотическое разложение интеграль-
ного многообразия по степеням малого параметра.
28.1. Алгоритм построения интегрального многообразия.
Практический метод вычисления коэффициентов асимптотического'
разложения интегрального многообразия удобно изложить приме-
нительно к системе вида
^ = X(t, х,у, в),
Я	(28.1)
е-^- = С(/, x)y+Y(t, х, у, е).
Здесь х и X—m-мерные векторы, у и Y—n-мерные векторы,.
С—(п хп)-матрица. Функции X и Y, матрицы С и С 1 ограни-
чены вместе со своими частными производными по всем перемен-
ным до (г+1)-го порядка включительно при x£Rm, ||.у1| < р,
—00, 00),	0<8^е0. Пусть, кроме того, выполняется
условие: Y(t, х, 0, е) = 0, Yy(t, х, 0, е) = 0.
Если положить у = еуг -f- егу2 +- ... — гкук, то функции X и Y
можно представить по формуле Тейлора в виде разложений по
степеням малого параметра
Y (t, X, eyj 4- . . . + екук, е) =
= еУ1(/, х)4- 82Г2(^, х, У1)+ ...+ekYk(t, х, ylt .... yk^) +
+	(f, yif ..., ykt e)j (28.2)
X (t, x, ej/j 4- ... 4- &kykr e) =
= X0(t, x)4-8X1(t, x, y,)4- • • • -I ekXk(i, x, ylt .... Js)4-
4 eft+1Xft+1 (t, x, ylt ..., yh, e),
где X0(f, x) = X(/, x, 0, 0), УД/, x) = ^(/, x, 0, 0), a Yk+1,
Xk+1— остаточные члены разложения по формуле Тейлора (k^r).
С системой (28.1) свяжем дифференциальное выражение
D(y) = C(t, х)у \- Y(t, х,у, 8)-8^—8^-Х(Л х,у, 8). (28.3)
Покажем, что существует такая функция
y = H(t, х, =	х)-^ • • • +ekHk{t, х) (k^r), (28.4)
что
х, 8)) = 0(8ft+1).	(28.5)
184
С. этой целью подставим функцию И, определяемую равен-
ством (28.4), в (28.3) и, используя при этом представления (28.2)
При = получим
Р {Н (/, х, г)) = С(1, х) ... +*кНк) + 8УХ
-|-е2У24- ••• -v^kYk-\	—е|е^+...	—
-е	| (ЛИ- 8%х-' . . . -! е*Х4 + е^Х*+1].
(28.6)
Здесь Я,=Я,(4, х), У,. = Г,.(4, х, Ях, ..., Я,_х), Х,=
х, Н}. .... Я,) (1 = 1, ..., k), кроме того, Хк+1 =
~Xk+1(t, х,Н1,...,Нк,г), yk+1 = Yk+1(t, х, Яп ..., Hk, е).
Функции Я,- будем выбирать так, чтобы в выражении (28.6)
йсе члены, содержащие 8 в степени ниже 1, обратились в нуль.
Обоснование возможности такого выбора проведем по индукции.
При 8 в первой степени имеем
СЯх-|-У1 = 0,
отсюда находим Ях = —C~iYl.
Функция Н1 = H1(t, х) ограничена и обладает ограниченными
частными производными по t и х до r-го'порядка включительно.
Предположим, что удалось так подобрать функции fit
(4-1, ..., k—1<г—1), обладающие ограниченными частными
Производными по t и х до (г — k + 2)-го порядка включительно,
что в выражении (28.6) все члены, содержащие в качестве мно-
жителей е' (i = l, ..., k—1), обратились в нуль.
Тогда при 8й имеем
f fj । v	дН^-г у	у	dHi у ____
^Пк+ ук & дГ~Л°
И, следовательно,
и __ P-il v dHk-г dHk-i у дНк_г у	дН\ у I
ЯЛ-—с	Jt-------дГ~л» ~Ai~ • • •—	•
(28.7)
Ограниченность функции Hk = Hk(t, х) и ее частных произ
иодных по t и х до (г — &-| 1)-го порядка включительно вытекает
из предположения о функциях Я,- (i=l, ..., k—1) и свойств
функций Yk, Xi (i = 0, ..., k — 2). Таким образом, установлено
существование функции H(t, х, 8), представимой в виде (28.4),
причем функции Я,- ограничены вместе со своими частными про-
изводными по t и х до (г —i-J-l)-ro порядка включительно
и могут быть найдены по формулам (28.7).
Из ограниченности функций Я, и их производных по х сле-
дует, что существуют такие числа р, q, /, что Я и Нх ограничены
185
по норме величинами гр, eq и Нх удовлетворяет условию Лип-
шица по х с постоянной el.
Если в системе (28.1) произвести замену y = z-\ H(t, х, е),
то для переменной z получим уравнение
8-^- = С (С x)z~Z(t, х, z, е),
где
Z^Y(t, х, z--H(t, х, е), 8)-| C(t, x)H(t, x, 8)—
— e-^—eHx(t, x, e)X(t, x,	x, e), 8).
Отметим, что Z(t, x, 0, e) = D(H) и, следовательно, сущест-
вуют такие числа Р и Q, что выполняются неравенства
||Z(/, х, 0, e)KPeftiI,	(28.8)
\\Z(t, xt, 0, б) — Z(t, х2, 0, е)||sC8ft+'Q||Xj — x2||.
Оценки (28.8) в дальнейшем будут использованы при доказа-
тельстве асимптотического характера разложений интегрального
многообразия.
28.2. Методика оценки остаточного члена. Обратимся теперь
к системе (26.1). Произведем в ней замену y=z-\-H(t, х, 8),
где И—некоторая n-мерная функция, свойства которой будут
оговорены ниже. Для переменных х и z получим уравнения
^-^A(t)x-\ ~f(t, х. z, 8),
L	~	(28.9)
8-Д-=В(/, x, e)z + g(t, x, z, 8),
где
f=f(t, x, z \ H(/, X, 8), 8),
g = g\t, x, z-\-H(t, x, 8), e)-' B(t, x, e)H(t, X, 8) —
-e^--eHx[A(J)x -rf(l, x, z, 8)J. (28.10)
Предположим, что функцию H удалось выбрать так, что для
нее справедливо представление (28.4) и при всех /£(—оо, оо),
x£Rn, 0^8^80, выполняются следующие неравенства:
х, 0, еЖРе^1,
||g(Z, х,, 0, 8)—g(t, хг, 0, еЖСе^^Цх!—х2||,
X, 8)||<8р, \\Hxlt, X, 8)||<8(7,
[\Hx(t, х1; 8)— Hx(t, х2, 8) II с el || Xi — х21|,	 7
где Р, Q, р, q, I—положительные числа.
Существование такой функции Н для системы (26.1) обосно-
вано в предыдущем пункте. Если указанная функция И сущест-
вует для системы (26.1), то из (28.10) — (28.12) и условия III §26
186
получаем
\\g(t, х, z, e)||<a2.	(28.13)
Здесь a2 = a2(u, e) = (c2 -r eqcy) и -|- pek+1, где с(=с((н4- ер, e),
М₽^||гг||. Далее,
Xi, zlt e) -f (t, x2, z2, e)||bx||xv  x2||-• z2ft, ^28 14)
||<(/, xx,zt, e)—g(t, x2, z2, еЖ^х,-x2|| i c2p!—г2||.
Здесь bt—b-^, e)— b-^,-eqclt с^сДсо, e) = Cj, Ь2 = Ь2(ы, e) =
► 2 [b2 4- eqc2 -( (b, т eqcj eq\ 4 e/cjW, c2 = с2(ы, 8) = c2 4- eqcL, причем
bj — bita-'i ep, e), Cj — c,-(a-| ep, 8),
w-max {||^ ||, ||г2||}.
Ясно, что если система (28.9) имеет интегральное многооб-
разие z = H(t, х, 8), то система (26.1) имеет интегральное много-
образие y — H(t, х, e)-\-H(t, х, е). Если при этом имеет место
оценка
\\H(t, х, e)\\^ZD = eki 1с0,
то это означает, что для интегрального многообразия у=Н* (t, X, г)
справедливо асимптотическое представление
И* (I, х, е) — e/7j 4- ... 4- ekHk 4- И,
где || И ||	Уравнение движения по интегральному много-
образию можно в таком случае приближенно заменить уравнением
= Л (t)x-, f(t, х, H(t, х, 8), 8).	(28.15)
Условия существования интегрального многообразия z —
X, 8) системы (28.9) получаются из теоремы 26.1 подста-
новкой в условия (26.18) — (26.21) функций а2, bh с,- вместо
а2, Ь;, С; (i — 1, 2). При этом D—величина, ограничивающая
норму И, находится из условия
^а2ф, е)^Ь.	.	(28.16)
§ 29. Применимость метода интегральных многообразий
для исследования гироскопических систем
В этом параграфе будет показано, что математический аппа-
рат, разработанный в этой главе, применим для анализа урав-
нений (6.3).
29.1. Существование интегрального многообразия. Рассмотрим
уравнения (6.3) и предположим, что выполнены все условия
п. 6.3.
187
Удобно считать, что эти уравнения приведены к форме (6.13).
В уравнениях (6.13) сделаем замену переменной z — v + ehtA-
+ <Мг, где h.-G-^X,	\
Для переменных хи© получим уравнения
e-^--=(G1-| еВг i eFt) V 4 /?0 (Z, X, V, е).
Здесь
P0(Z, х, v, е) =eF~L eh2)F~1v,
/?0(/, x, v, e) = eZ-:	e3Z2,
где
ZJZ, x, e) — Zz(t, X, h, еЛ2) —+
Z2 = Z{t, x, h, 8ft2)-^ + (B14F1)^-(^i-8^](A14 8A2).
Из существования ограниченных частных производных у
функций Q и матриц А, В, G, входящих в уравнения (6.3),
вытекает существование ограниченных частных производных по х
всех функций и матриц, входящих в уравнения (29.1). Компо-
ненты функции Z(t, х, V) являются квадратичными формами
координат вектора V, причем коэффициенты этих квадратичных
форм—это ограниченные функции t, х и е. Отсюда следует
существование такого положительного числа А, что выполняются
неравенства
\]Z(t, X,	®)КЛМ2,	liz^z,	х,	©)||<Л||©||2,	zoo-
\\zv(t, X,	©)||слц©||,	\\ZAt,	X,	е)[|<л,	'
IIZ2(t, х,	8)||<Л,	UZlx(t,	X,	8) IIС АIIVII,
\\zix(t, X,	8)||<Л,	||Г-1(Й1	+ 8Й2)|^Л, |П<Л,
|^Ж(Й1-!-8Й2)]|^л,
Из (29.2) имеем
||P0(Z, х, v, e)|j<a1(u, 8), II/?0 (Z, X, V, 8)|| = й2(и, 8),
||P0(K Xj, ©t, е) —P0(Z, х2, v2, 8)||^
СйДсо, 8) И Xi—Х2|| + сДш, 8)1]©!—г>2||, (29.3)
||/?o(Z, Xi, ©j, 8)—/?0(/, х,, г>2, 8)||^
<&2(W, 8) JlXi —Х2||-Г-С2 (СО, 8)11©! —©2||.
Здесь
^(и,	е) = Л (и 8),	а2(и,	е)	— еА (и2 4- eu-j- 82),
/\((о,	е) = Л (со-| е),	(со,	е)	= Л,	(29.4)
Ьл (со,	8) — еЛ (со2 J-есо 4 82),	с2(со,	8) = еА (со -|- б),
где и = ||©||, сортах {||©ill, ||©2||}.
188
Система (29,1) имеет вид (26.1). Проверим, что для нее выпол-
няются условия I, II, Ш §26. Действительно, так как Л(/) = 0
и, следовательно, К = 1, а— 0, то выполняется условие I.
Обратимся теперь к условию II. Пусть x = (f(t)—заданная
вектор-функция, определенная и непрерывная при t —оо, оо).
Рассмотрим линейное однородное уравнение
^- = |[G1(^, <р(0)-! eB^t, ф(/)) + еЛ(/, <р(0» (29.5)
Как хорошо известно, любое решение (29.5) имеет оценку
11* (01|
II ® (S) II
t
J г (т) dx
es
G>s),
(29.6)
где r(t)—суммируемая функция, удовлетворяющая условию
Г (О > л «j-l- [Gx + eBj + е/д + (Gj |- нВ, 4- sF^] j-
(Л {Л}—наибольшее собственное значение матрицы А).
В рассматриваемом случае G} =— Glt В} = В1г следовательно,.
T^[Gl + eB1 + e/=’1 + (G1 + eB1-i eFx)T] = Вх у (Л Д FJ). Из усло-
вия 3.1 (или условия 3) § 6 видно, что в качестве r(t) можно
взять число —р. Поэтому неравенство (29.6) примет вид
(7>s).
II ® (s) 11	v ’
Эта оценка является равномерной для всех решений уравне-
ния (29.5). Следовательно, такая же оценка справедлива и для
матрицы Коши этого уравнения, т. е.
11^(7, s, e)|<r₽('-!> G>s).
(29.7)
Из ограниченности частных производных элементов матриц
G,, Blf Fi вытекает существование такого положительного числа.
/., что
ЦС1(Л xJ + eB^t, x^+eF^t, xj—Gx(7, x,) —
— еВДС x2) —zF^t, x^UCLIIXj—Xa;|..
Условие III, очевидно, выполняется с функциями a,-, c;
(t — 1, 2), заданными равенствами (29.3).
Проверим, выполняются ли неравенства (26.18) — (26.21) тео-
ремы 26.1. Они принимают вид
Л (D |-е) /1А /1 (79 • А е) < р/2, > -4-(792-l eD-|-82) D,
(29.8)
~	(D2 Д eD + е2) H-e(D2 + eD-;-82) + e(D + e)A]<A,
L ₽ '	₽ -R
18»

Первое из них, очевидно, справедливо при любых достаточно
малых е, D и А. Второе и третье выполняются при D~e2D0
и Д = еД0, где Do и До — некоторые положительные числа. При
достаточно малых 8 и таком выборе D и Д выполняется и по-
следнее неравенство.
Таким образом, система (29.1), эквивалентная системе (6.3),
имеет интегральное многообразие	х, е). Это означает,
что система (6.3) имеет интегральное многообразие
y = h(t, х, e) — e.hi(t, х)-ги-к2(1, x) + H*(t, х, е),
где функция H*(t, х, 8) ограничена по норме величиной 82£)0.
29.2. Устойчивость. Покажем теперь, что для интегрального
'многообразия v = х, 8) системы (29.1) справедлива тео-
рема 29.1. Пусть у — -тгР-
Так как функции bh с; (i —1, 2) в неравенствах (27.12) —
(27.14) леммы 27.1 вычисляются при и = К.Ь(! I е2£)0, то неравен-
ства (27.12), (27.13) принимают вид
[Яг (ЯД-4 D0e2-]-в) Я2]^Я1(
1 +1 {К, [л «яд + 82D0)2 к2ь0 e-D. + 8) 8Щ] +
+ К2А (K2b0 + 82D0 е)}	Я2.
Эти неравенства выполняются при всех достаточно малых зна-
чениях 8 и Ь, если Я2=-2, Я, =~ Яо (Яо > 0).
Далее, элементы матрицы U(> — («17) (см. теорему 27.1) имеют вид
2А „ ,	2А
«и — р (Я2у» г 8), «12 ~~ р ,
•«21 =	[еЛ ((ЯД -; 82D0)2 + 8 (K2b0 + e2D0) + 82) + 82LDo] +
+ [еЛ ((ЯД + 82О0)2 8 (ЯД 4- 82D0) 82) Яо -;
— 2бЛ (К2Ьо — в2П0 -j- б)],
«22 -^^-[К2Ь0 -Г 8'2О0 -- 8].
Поэтому неравенство (27.14) выполняется при &0 -- 8v, где v —
достаточно малое положительное число. Если матрица G1 не за-
висит от х, т. е. Л —еД, то можно положить b„=^v.
Величина ЯД имеет в данном случае вид еЯоДо и ПРИ малых
8 не превосходит 1/2. Таким образом, для интегрального много-
образия v = х, 8) системы (29.4) выполняются все условия
теоремы 27.1.
ГЛАВА VIII
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЙ
ВБЛИЗИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
В предыдущих главах были исследованы устойчивые интеграль-
ные многообразия различных классов дифференциальных уравне-
ний. Алгоритмы приближенного отыскания интегральных мно-
гообразий позволяют реально понизить порядок систем при
Изучении многих вопросов качественного характера. Однако встре-
чаются задачи, в которых необходимо исследовать конкретные
решения, причем на достаточно больших отрезках времени. Напри-
мер, задачи о вычислении движения небесных тел. Для таких
проблем естественно развивать асимптотические методы для реше-
ния задачи Коши. Однако построение асимптотики на больших
отрезках времени нередко весьма затруднительно. Часто проще
выделить у заданного решения ту его медленную часть, которая
лежит на устойчивом интегральном многообразии и отличается
от исследуемого решения на слагаемое, затухающее по экспоненте
при t—>оо. В ряде случаев эта медленная составляющая движе-
ния позволяет в достаточной мере понять динамику систем. На-
стоящая глава посвящена различным аспектам исследования
задачи Коши для автономных систем гироскопического типа.
§ 30. Определение начальных условий
медленных составляющих движений
30.1. Постановка задачи. Ограничим рассмотрение системами
дифференциальных уравнений, которые описывают движение вра-
щающихся твердых тел при наличии малой диссипации.
Пусть п — целое четное положительное число. Через G(x)
(x£R'‘) обозначим вещественную кососимметрическую (пх ^-ма-
трицу, собственные значения gk(x) (k- ±1, ..., ±п/2) которой
различны, отличны от нуля и g_k (х) — gk (х) (k~- 1, 2, . . ., п/2).
11усть Т (х) (х С 7?") — вещественное ортогональное преобразова-
ние, приводящее G (х) к каноническому вещественному виду
/Л(х)	0 \
Go (х) — Т-1 (х) G (х) Т(х)-(	•	I,
\ 0	Л,/2 (*)/
19Г
Ji
где A(*) = (_Xv(°x) \(Х)У Будем считать, что gt (х) = —i'XJx),
g-_i(x) = iXi(x) и т. д.
Пусть В (х)—диагональная (пхп)-матрица, элементы которой
удовлетворяют неравенству bjj(х) о > 0 (х £/?").
Рассмотрим задачу Коши
+ [G (*) - еВ (х)]	= е £ рДх) [-^Г,	(30.1)
s е s L J
х(0)—а, ^- = е₽.	(30.2)
В уравнении (30.1) через S обозначено множество таких «-мер-
ных целочисленных векторов s — (sn ..., s„) с отрицательными
координатами Sy (/=1, , п), что | $ | =-2 s7 Л^, |$|=/=1.
Функции рДх) принимают значения в R", а | |s — произ-
( dxi \si { dxn \sn
ведение	[ — ) 
Будем считать, что
1.	Матрицы G(x), Т (х), Т-1(х), В(х), G-1(x) и функции
ps(х) (sСS, хе /?") бесконечно дифференцируемы и равномерно
ограничены вместе со всеми производными.
Пусть, кроме этого, собственные значения матрицы G (х)
обладают следующим свойством.
2.	Существует такое б > 0, что при всех x£Rn и i =/= /
I £,(*)—
Пусть N—некоторое фиксированное целое число, причем
М>1. Через S^n обозначим множество n-мерных целочисленных
векторов p — (Pi, ..., р„) с неотрицательными координатами
Pj (j = l, •••, п), таких что
Ради краткости через g(X)==(£i (х), g.^x), ..., £_„/2(х))т обо-
значим вектор, координатами которого являются собственные
числа матрицы G(x). Пусть —подмножество векторов из УЛ.,
для которых (/>, g-(x)) = 0 при всех xg/?". Через обозначим
подмножество векторов из для которых (р, g-(x))=#0 при
всех х С Rn.
Будем предполагать, что
3.	(J и для любого р£3*с существует такое ар > 0, что
1(А ff(x))|>a, (x£RnY	(30.3)
Уравнение (30.1) перепишем в виде системы дифференциаль-
ных уравнений
dxidt=y,	(30.4)
^.^-[G(x)/e + B(x)]y FP(x, у),	(30.5)
192
где Р(х, J) = S Ps (*)[>?• Система (30.4) — (30.5) имеет устой-
чивое интегральное многообразие у ~--еЛ(х, е) -- е е'Л(-, на кото-
ром осуществляется медленное прецессионное движение, описы-
ваемое системой
-^ = еЛ(х, е).	(30.6)
Основной целью всех дальнейших рассмотрений является
Отыскание такого начального условия уу (г) € R", что для
решения x=--x(t, у, е) системы (30.6) с начальным условием
Х(0) = у и решения х уравнения (30.1) с заданными начальными
условиями х(0)=а, —др- —6Р справедлива оценка
'|х(0—х(/, у, е)1|<^-^	(С>0, р > 0, />0).
Ниже будет указана процедура отыскания асимптотического раз-
ложения у (е) по степеням малого параметра е.
30.2. Формализм отыскания начального условия у(е) медленной
составляющей движения. Пусть у—произвольный фиксированный
вектор из Rn, a x(t, у, е) — соответствующее решение системы
(30.6) с начальным условием х (0) =- у.
Алгоритм вычисления У (б) удобно разбить на несколько
этапов.
1.	В системе (30.4) — (30.5) сделаем замену переменных
| = х—х, t\=^y—e,h{x, е).
Тогда для векторов ц получим сйстему дифференциальных
уравнений
1 = 4,	__	(30.7)
84 = Fl^,, T], х, 8),	(30.8)
где	_
F&, »]»_*. 8) = — [G(x + S) + sB(x + S)][4_+8ft_(x, 8)] +
I еР[х + §, 8Л(х, 8) 4- T]] + 8 [G (х) + гВ (х)] h (х, 8) —
—8Р[Х, 8Й(х, 8)]. (30.9)
Кроме этого, имеем
£(0) = а-у, 4 (0) = в [0—й (у, 8)].	(30.10)
2.	Будем искать формальное решение системы (30.7)—(30.8),
имеющее следующий вид:
S==eS^(x, 8)4“,	(30.11)
1
| Где lm: RnX ... X.Rn —► Rn—m-линейные симметрические опера-
торы.
Г В В. Стрыгин, В. А. Соболев	193
•Й
3.	Разложим функцию
Я> х, t, е)
в ряд Тейлора по степеням т]. Получим
F = 2F^.	(30.12)
1
Очевидно,
Ft = — [О(х) + ъВ (х)] т] + s2 {— [Gj. (х) h (х, 8) +
+ еВх (х) h (х, 8)] ZjT] Рх [х, ей (х, 8)]	.
В разложении (30.12) Fj (j>l) являются известными функциями
ОТ /j, /3, • • •» ^/'
4.	Подставим теперь (30.11) в (30.7), учитывая при этом,
что 1] = 8-1F, a F определена равенством (30.12). Получим
{чгД" + 1тЬъ Т •••> ТНЛМ •••, Я. л]} =
=8X{-7?'lim 4 TZ'»tF’Tb •••>'г1]+ ••• +г/»Ь.	F]j-=r|.
(30.13)
5.	Приравняем теперь коэффициенты при одинаковых степе-
нях т]. При первой степени т) получаем
8-^-ti—/1{G(x)4-eB(x)}Ti-b82Q1(7, /1)т]==,П.	(30.14)
где	_ _	_ _
Qi(x, т] = — /j {Gx (х) h (х, 8)4 eBx(x)h(x, 8)} ^тЦ-
\ liPx b, ей(х, б)] Zji].
(Здесь и всюду ниже при определении мы считаем, что х —
параметр.) Далее, при т]2 получаем уравнение
8ДГ112-4[{<3(^) + е5Ь)}11> П] —{G(x)4-8B(x)}ti]-!-
4-82Q2(x, Zj, (2)г|2-еФ2(х, /t)T]2.
Если через и S3Z обозначить действующие в А2(7?п, /?"; Rn)
операторы .
!§2/г(х, у) = h (G(xjх, _y) + /i(x, G(xj_y) (x, y£Rn),
(x, y)^h(B (x) x, j) + h (x, В (x)y),
то это уравнение запишется в виде
8^-i§2Z2-8^2Z2 + Q2 = 8Oi.	(30.15)
194
Аналогично при i^3 получаем уравнения
I..	(30.16)
где	_
$ih (х, ..., у) = h (G (х) х, ..у)-1- ... + h(x, ..., G (х)_у),
$}{h(x, ..., y) = h(B (х)х, ..у)-т ... + h(x, ..., В(х)у).
6.	При каждом 1>1 будем искать Q в виде формального
асимптотического ряда по степеням е
(30.17)
где ltj—ограниченные при всех x$Rn функции со значениями
в пространстве L'-tR", ..., Rn; Rn) линейных симметрических
отображений из R"x ... XR'! в Rn.
Рассмотрим вначале случай г = 1. Подставим (30.16) в (30.14)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
— Z10Gt] = t],
—/uGt]—/1оВт] = О,
—Z12Gt]—/пВтЦ Qi (/J -- — (lw)x hxir\,
Так как матрица G невырождена, то все /1у- определяются
однозначно. Заметим, что G-1 равномерно ограничена при всех
X$Rn. Следовательно, при всех /Ч&0 каждая /1у- равномерно
ограничена.
Рассмотрим теперь случай 1 = 2. Заметим, что Кег(32), ядро
оператора $2, ненулевое. Поэтому найти 12 так же, как и llt
1'Нельзя. В связи с этим представим пространство L2(R", Rn‘, Rn),
 в котором действует $2 в виде прямой суммы инвариантных
подпространств Кег($2)ф Im($2). Пусть —инвариантный отно-
сительно разложения проектор на Кег($2), т. е.
552Кег(!§2) = Кег(^2), 5»2Im(S2) = 0.
Разложение (30.16) будем искать так, чтобы /20СКег($2), а
(/>1),
где l\j С Ker (SJ, а g Im (S2).
Подставим (30.16) при i = 2 в уравнение (30.17), учитывая
при этом, что /2у = /2у(х), а х = 8Й(х, e,) = s'^le.ihi(x). Прирав-
няем коэффициенты при одинаковых степенях 8. При 8 в первой
степени имеем соотношение
—Жо = Ф2-	(30.18)
7*
195
Спроектируем теперь соотношение (30.18) на инвариантные под-
пространства Ker (S2) и 1ш(32). Получим
-О2/20--.Ч2Ф2,	(30.19)
—= (/-^2) Ф2 + (/—^2) ®2/20.	(30.20)
Оператор 3\332 действует в подпространстве Кег(£2). Из поло-
жительности элементов матрицы В нетрудно вывести, что на
Кег($2) оператор ^2^2 обратим, причем обратный равномерно
ограничен при всех х € Rn. (Это утверждение будет установлено
ниже.) Поэтому /20 однозначно определяется из (30.19) и явля-
ется равномерно ограниченной функцией при x£Rn. Определив
/ю, рассмотрим уравнение (30.20) относительно x£Rn. Будем
рассматривать это уравнение в подпространстве Im(J?2). Здесь
оператор обратим, и его обратный равномерно ограничен при
всех х С Ra. Отсюда следует, что определяется однозначно
и является равномерно ограниченной функцией хС Rn.
Выделяя теперь коэффициенты при е2, легко получаем
где —известная функция от уже найденных /20 и Послед-
нее уравнение решается точно так же, как и (30.18) и т. д.
Аналогичным образом определяются и при i 3.
7.	Наконец, для нахождения начального условия y = y(s)
медленной составляющей движения составим уравнение
а—у =е2е'/;(7, е)[0—Л (у, е)]!’.	(30.21)
Решение этого уравнения будем искать в виде обычного фор-
мального ряда по степеням малого параметра
У = Уо + eyi + е2у2 -i- • • •	(30.22)
Подставляя (30.22) и (30.21) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях е, получим
у0 = а, У1 = 0, у2 = /2о(?о)[МУо)—0], и т. д.
Найденный ряд (30.22), вообще говоря, не является сходящимся.
Сходимость носит асимптотический характер
V (е) — Vo—eVi—e2V2 —... —8^ = О (в*).
§ 31. Обоснование алгоритма
Возьмем произвольный вектор у g Rn. Пусть х = х (/, у, s) —
решение системы (30.6) с начальным условием х(0) = у. Сделаем
в системе (30.4) — (30.5) замену переменных
§ = х—х, г\=у—еЛ(х, е).
196
Тогда переменные 1 и т) будут удовлетворять системе диффе-
ренциальных уравнений (30.7) — (30.8). Обоснование алгоритма
удобно провести в несколько этапов.
1. Прежде всего построим инвариантную относительно траек-
торий системы (30.7) — (30.8) поверхность вида
§ = е/(т], х, t, е),
где Z(0, х, t, = 0 и Ц(т], х, t, е) || < С || т) ||, С > 0.
будем искать в виде
(31-1)
Функцию I
1 = 1^.	• •  +	(31-2)
Где ^-г-линейные симметрические операторы, действующие на про-
странства R"x . • • xR'1 в Rn, а со—остаток в разложении I. Под-
берем I; таким образом, чтобы они оказались ограниченными на
полуоси [0, оо) решениями уравнения (30.16). Естественно искать
в виде разложения по степеням е. Простой подсчет показывает,
что в качестве коэффициентов разложения можно взять функ-
ции 1ц, описанные в предыдущем параграфе. При построении 1ц
нам приходилось решать вспомогательные уравнения в подпрост-
ранствах, которые являлись ядрами некоторых операторов.
Приведем доказательство разрешимости этих уравнений. Рас-
смотрим случай i=2.
Лемма 31.1. Уравнение
^2^2х=у
в подпространстве Кег 0§2) разрешимо, и обратный оператор
(5%, равномерно ограничен при всех x£Rn.
_ (1/К 2\
До к а з а те л ь ст в о. Матрица S2 = l	приводит
\— НУ 2 ну 2у
f о ал / —а о\ „
матрицу ( Л 0 J к виду ( Q 1 . Положим
fS2
п/2 раз
Отсюда вытекает, что матрица Н (х) = Т (х) Sn приводит G (х)
к диагональному виду
G. = diag(gr_1(x), ^i(x), ..., £_л/2(х), £n/2(x)).
197
Покажем сначала, что все элементы 0у/ (/=1, ...,п) главной
диагонали матрицы Я-1 (х) В (х) Н (х) положительны. Через tkl
и t*kl будем обозначать элементы матриц Т и Т* соответственно.
Пусть j—чегное число. Имеем
в//~ "2
" п	п
_й=1	й=1
п	п
i 2-	21	tjl&ktkj
k=l	k=l
Г П
Lfe=l
n
= -^£Л^-1 + Ъ)Ьк.
6=1
Отсюда следует, что для некоторого б0 > О
07/(х)>бо	(х €/?«).
Аналогично проверяется, что подобная оценка справедлива и для
нечетных /.
Рассмотрим теперь комплексное расширение L2(C“, С"; Ся)
пространства L2(Rn, Rn', Rn). Для комплексного расширения ядра.
Ker (S2) сохраним прежнее обозначение. Докажем, что ^2^2 обра-
тим в Кег($2) cz L2(Cn, Сп; Сп). С этой целью введем в рассмот-
рение базис {Zft} (fe=^±l, •••, ±п/2) собственных комплексно
сопряженных векторов матрицы G (х), отвечающих собственным
значениям gk, пусть е_к = ек. Тогда
Кег32 = {/г(Е Т2(О, С”;	ez) = 0 при /=/=—k}.
Действительно, пусть g2/i^=0, т. е. h(Gek, ej)^h(ek, Gej) =
= (gk -I g/) h (ek, ej) =• 0. При j = — k gk + gj = 0. Отсюда и следует
утверждение.
Проектор ^2 на Кег^2 определяется равенствами
(ед(еА, ez) =
0,	/ ^—k,
h(ek, e_ft), / = — k.
Рассмотрим теперь й2. При /г£Кег$2 имеем
(ЭД (ек, е,) = Л f 2	еЛ -I h (ek, 2 bSIes\ =
\ l	1	\	S 1
= 2blkh (et, ej) + 2 bSJh (ek, es) = b_/kh (e_z, ez) + b_kjh(e_k, ek).
I	s
Нетрудно видеть, что для h£$2 справедливо равенство
(	0,	/ =/=—k,
v	1 I (bkk + b_kk)h(e^k, ek), ] = — k.
198
Как было показано ранее, Ькк Ь_кк > 0. Поэтому оператор 332332
обратим на Ker g2. Как хорошо известно, пространство Ь2(Сп, Сп; Сп)
изоморфно пространству Сп* 0 Сп* 0 Сп. (Достаточно каждому
билинейному по х,у оператору вида (ср2х) (<р2_у) г (ср2 g Сп\ ср2 g С"*,
г С'!) поставить в соответствие элемент тензорного произведения
Ф10Ф20г и продолжить это соответствие по линейному закону
на все пространство Л2(С", С"; Сп.) При таком изоморфизме 332
соответствует действующий в Сп* 0 Сп* 0 Сп оператор
здесь сумма распространена на все / = — k и любые s = ± 1,  • .
,.., ± п/2, и
= j [G(x)-V]-^%,
где % к—окружность с центром в точке gk(x} радиуса 6/4. Отсюда
следует равномерная ограниченность 5*2 вместе со всеми производ-
ными. Из последнего в свою очередь вытекает, что оператор (^а^г)-1
на Кег^2 ограничен вместе со всеми производными по х. Лемма
доказана.
Отметим одно свойство оператора 33г332 при рассмотрении его
в L2(Rn, Rn; Rn). Введем в Rn вещественный базис dk = ek4- e_ft,
d_k~i(ek—e_k) (k—\, ..., n/2). Пусть h(x, y)—вещественно-
значный билинейный функционал из Кег$2 <= L2(Rn, Rn', Rn). Вы-
числим (3\332h) (dk, dj). Рассмотрим три случая.
a)	k, j > 0. Тогда
(5»,®2h)(dft, dJ) = (332332h)(ek-]-e_k,	+	=
== (3\332h) (еь, е,) +	(e_k, ej) + (3\332h) (ek, e_}) 4-
f	0,	k j,
4 (^ЗД(е_й, e_,) = | 2(bkk + b_^k)h(ek, e_k) k = j.
6)	k > 0, j < 0. В этом случае
(W)(rf*, rf/) = i{(W)(es, е7) + (^2ЗД(е_й> ez)-
—(^2®2/i)(eft, e_7)—(^2ЗД(е_й, <?_,)} = 0.
в) k < 0, j < 0. Легко видеть, что
(^2®2/i) (dk, dJ) = — (33^2h)(ek—e^k, ej~e_j) =
I	0,	k^=jy
= \ %{bkk + b_k_k)h(ek, k = j.
Так как e7=l/2(d7—id_y), e_7= 1/2(d7+id_7), to
h(ej, e.^-h^df—id^-, djA id=
= ^h(d/,dJ) + ^h(d4, d.j).
199
in
Поэтому
(	о,	k^j,
(dk, d,) = < 1	. г. i j	\ , t. /м i.
! (y(bfcft-b_ft_ft)[/i(dft,dft)4ft(d_ft,d_ft)], k = ].
Таким образом, если для некоторого h g Ker при всех k, j =
= ± 1, • •± п/2 справедливы равенства (5*2й2й) (dk, dj) — 0,
to h(ek, е_к) = 0 при всех k—1,	п/2, t. e. h = 0. Следова-
тельно, оператор рассматриваемый в L2 (7?n, Rn), обратим
на Ker$2.
Из леммы легко выводится, что все функции /2у(х) бесконечно
дифференцируемы и каждая производная равномерно ограничена
при х € Rn. Аналогичное утверждение справедливо и для i 3.
Итак, пусть все lt имеют вид
= Z/o (7) 4 е1л (7) 4 ... + ^liN (7) 4 8^Qz.	(31.3)
Ниже будет показано существование таких ограниченных по
С[0, оо) и eg(0, е0] функций Qz (Z, е), что /, из (31.3) являются
ограниченными на полуоси [0, оо) решениями уравнения (30.16).,
2. Прежде всего рассмотрим случай 1 = 1. Подставим (31.3)
при i = l в уравнение ((30.14). В силу выбора llf коэффициенты
при (/ = 0, 1......п) обращаются в нуль. Поэтому для Q,-
получаем следующее уравнение:
eQi—Qi {G(x) eB (x)} e2Mi(Qi, x, e)4-
4eJV+3M2(Q1, x, Ej + S^x, e) = 0, (31.4)
где (Q1; x, e)—линейный no Q, оператор, действующий в про-
странстве L(Rn; Rn); Af2(Q1, x, e) —однородный no Qj оператор
второго порядка, действующий в L(Rn; Rn), причем
илмссрл, цлм<с|ад
(|M2(Q1)-m2(Q2)KSM (1ШКR, IAII<«). (31.5)
['[ЗД^С (C> 0, q—^0 при R-+0).
Лемма 31.2. Существуют такие е0 > 0 и 7? > 0, что при всех
»€(0, е0] уравнение (31.4) имеет решение Q(, удовлетворяющее
неравенству
||Q*(Z, е)[</?/е	(0<Z<oo).	(31.6)
Доказательство. Пусть Я)? — метрическое пространство
непрерывных по t функций Y(t, е) (0^/<оо, 0<е^е0) со
значениями в пространстве L(Rn\ Rn). Метрику в ЭЛ, как обычно,
определим равенством
р^, y2) = sup|iK1(Z, e)-K2(Z, е)||.
Пусть Фя = {К(ЕЭЛ |р(К, 0)<47?/е}. Зафиксируем x = x(t, у, е).
Через U(x)(t, s) (0^/s^s<oo) обозначим фундаментальную
200
Матрицу системы
riV	—	—
е-^У{С(х)+еВ (Л)},
Y £L(Rr!', Rn) и Y (s, s)=--Z, I — единичный оператор. Так как В —
диагональная матрица с положительными элементами, то из нера-
венства Важевского (см. Ф. Р. Гантмахер [1]) следует, что для
некоторого С > 0 справедлива оценка
s^Ce'^ (s>Z).	(31.7)
Введем теперь в рассмотрение интегральный оператор
(TY)(t, е) = — $ {e-’Sjx, е)~ еМ, (У, х, е)-~
t
еЛ’,2Л12(У, х, е)} (s) I/ (х) (R s)ds.
Из оценок (31.5) нетрудно вывести, что для некоторых е0 > О
и R > 0 оператор Т действует в шаре Qp> при всех е g (0, е0]
и является сжимающим. Следовательно, он имеет в QK неподвиж-
ную точку Qi, которая, очевидно, является ограниченным при
I € [0, °о) решением уравнения (31.4), удовлетворяющим неравен-
ству (31.6). Лемма доказана.
Так как правая часть уравнения (31.4) зависит от yg/?n, то
найденное также является функцией у. Нетрудно показать,
что Qj (С е, у) непрерывно ио yg/?" равномерно относительно
I € [0, оо) и eg (О, е0]. Чтобы это доказать, достаточно рассмот-
реть метрическое пространство 3)1 непрерывных по i, у функций
Y (/, е, у) (О t < оо, е g (0, е0], у g /?") со значениями в простран-
стве Л(/?"; /?"), соответствующим образом изменив метрику р. Из
равномерной оценки (31.7) вытекает, что Т преобразует шар QK =
* {У g 3JI | р (У, 0) R/e] в себя и является сжимающим. Отсюда
и следует непрерывность Qj (t, е, у) по у.
3.	Рассмотрим теперь случай i = 2. Уравнение для Q2 имеет вид
ей,—$2(х)й2—sS2 (х)	— e2Q, (Q2, х, e)-j S2(x, е) = 0, (31.8)
где $2 и определены в и. 30.2; Q2(Q2, х, е) —линейный по Q2
оператор, действующий в пространстве L2(Rn, Rn\ Rn) билиней-
ных симметрических ограниченных операторов. При этом для
некоторого С > 0
||Q2'|<C|iQ2l|, jSJKC.	_ (31.9)
Предварительно оценим фундаментальную матрицу t/2(x)(i, s)
(0 'С t Л'! s < оо) системы
8^-{ВД + е5Мх)}У,	(31.10)
У gL2(/?n, Rn\ Rn) и У (s, s)=/. Соответствующая U2(x)(t, s)
фундаментальная матрица в пространстве Rn* 0 Rn* 0 Rn имеет
201
вид U*(x)(s, t)(g)U* (x) (s, t)®I- Отсюда и из (31.7) вытекает,
что для некоторого С > 0 справедливо неравенство
s)KCe-?a<s-(’	(s>0-
Из последнего неравенства, используя схему доказательства
леммы 31.2, нетрудно получить существование ограниченного при
Zg[O, оо) решения уравнения (31.8), удовлетворяющего при неко-
тором R > 0 и всех е£(0, е0] неравенству
||йг(^ е,	(0<? < оо, yeRn).
Функция непрерывна по у равномерно относительно t и 8.
Аналогично проводятся доказательства при 1^3.
Будем считать, что в разложении (31.2) функции Z, определены
при всех i = l, ..., N.
4.	Перейдем теперь к изучению остатка о в разложении (31.2).
Будем искать ® в виде — где S g (Rn, ..., Rn', Rn).
Отыскание S и начального условия у (е) медленной составляющей
решения задачи (30.1)—(30.2) тесно связано с решением двух
вспомогательных задач.
Задача А. Для любого ggZ?" найти такую ограниченную
при t ё [0, оо) функцию	е, у) со значениями в LN+1x
X(Rn, ..., Rn; Rn) и функцию т1 = л(^ е, ?) (Z € [0, оо), г](0) =
= eg), экспоненциально стремящуюся к нулю при t —> оо, что пара
т] = Я(^ е, у),
^ = e{Z1i]+ • • • /Л-т]ЛГ-1-^11ЛГ'1}
удовлетворяет системе (30.7)—(30.8).
Задача Б. Найти такое у = у(е), что для g = 0—Л (у, в)
задача А имеет решение, для которого т] (0) = е [0—Л (у, е)],
£(0)=а—у.
Допустим, что обе задачи имеют решение. Тогда функции
x(0 = x(Z, у, е)+ !(/),
j(Z) = eft(x(Z, у, е), е) + п(0
являются решениями системы (30.4)—(30.5), причем х(0) = а
j(O) — 80. Очевидно, T](Z)—>-0, §(/)—*0 при t —>- оо и, следова-
тельно, начальное условие у медленной составляющей найдено.
Перейдем к задаче А. Подставим разложение (31.2) при =
= <2’ЯЛГ’‘1 в -F(eZ, е)- Получим
Л'т I
F= — {Gh eS}n ; 82At]-!-8 5	(31.11)
Л=2
где А, Ак, & — непрерывные функции х, t, е, принимающие зна-
чения в L(Rn; Rn), Lk(Rn, . . ., Rn;Rn), L(Rn-, Rn) соответственно;
W—непрерывная функция S, ц, x, t, e, принимающая значение
202
i* Лу+1(^">	-R"! Я")- Кроме этого, справедливы оценки
рисе, ц/цсс, инее, г3119>
игкси. с>о рм).
Далее, подставим | = е(/1т]/Л-Т)ЛГ-; =S?'nyv+1) в соотноше-
ние | = Т1, учитывая при этом, что ет| = Г(е/, т], х, е). В силу
выбора l; (i = 1, ..., N) для 3: получаем дифференциальное урав-
нение, которое запишем в форме
ej? = j l е,йВы ?1) <£ -; e2Q.v., j S eSiV+, J- e®. (31.13)
Соответствующие ^+1 и 53v+1 операторы в Я”’® • • • ® 7?"*® Rn
имеют вид
G*(x)®7*® ...	   + 7*® •. .®/*®G*(x)®7,
В (x) ® 7* ® ... ® I* ® I -j- ... + 7* ® ... ® 7* ® В (ж) ® I,
Qv, j, Зд^-ч—непрерывные функции x, t, e, принимающие значе-
ния в L(Ly+1 (Rn, . .	R:‘; R"); Ly^(Rn, . . ., 7?"; Rn)) и LN+1X
X (Rn, . .., R’1; Rn) соответственно. Функция w непрерывно зависит
от S, т], х, t, е и принимает значения в LN^1(Rn, ...,Rn; Rn).
При этом для некоторого С>0 при ||.З?Ij7? выполняются не-
равенства
liQjV+1KC, ||sjV+1||<c, м<сц< 141
Пусть теперь ЯП—метрическое пространство непрерывных по
I, е, У функций Z(t, е, у) со значениями в Ly+1(Rn, . . ., 7?"; Rn).
Равномерную метрику в ЯП обозначим через pv Пусть =
v- {Z g ЯП | pj (Z, 0)^7?}. Далее через 9? обозначим метрическое
пространство непрерывных по t, 8, у функций i\(t, е, у) со зна-
чениями в R". Метрику в 91 введем следующим образом:
Рм C4i, П2) = sup j(С е, у)—т]2(С е, У)|)е^.
t, г, ?
Пусть QAr={n€9t|p|X(n, 0)<7<8|Щ}, где g—некоторый фиксиро-
ванный вектор из Rn. В декартовом произведении 9)1x91 введем
обобщенную метрику
р=М-
\Рн /
Фундаментальная матрица Uy+1 (х) (t, s) (0 t s < оо.) системы
e-7F={^+i + e^+i} К,
К € Ду+i (Rn> • • » 1?"; Rn) и К (s, s) = 7, как и в случаях N — 1, 2,
при некотором С > 0, подчиняется неравенству
||1^+1(х)(/, s)KCe-("+oa(s-o (S>/).	(31.15
203
Пусть интегральные операторы I: QrXQk—^^SI и J: Q^xQ^—
определены равенствами
00
/(Z, Т])(/, е, у) = — $ UN+1(x)(l, s){w + Sff+1 + eQN+1Z}(s)ds,
t '
J{Z, Т])(Л e, у)=8(/Л,+1(7)(/. 0)g +
*	_	[	N+l	1
+ \ t/Ar+I(x)(Z, s) e4i|- 2 Akt\k + SZ't\ff+1+ (s)ds.
о	I fe=2	J
Наконец, введем в рассмотрение оператор Т: QRxQK—>3Rx9l
r<z'=
Из оценок (31.12), (31.14) и (31.15) вытекает, что при некоторых
R, К и р оператор Т преобразует Q^xQ^ в себя и, кроме этого,
Pi(z(zi» П1), /(^2, Пг)Х«иР1(Л, Z2) + «i2Ph(t]i, Л2).
"ni)» J (Z2, Лг)) U2i Pi (Zl, Z2) + U22Ph (Л1> Лг)>
где ыц = 0(е), u12 = 0(l), zz21 = O(e), u22 = O(e). Поэтому у мат-
рицы U = (и,/) при достаточно малых 8 спектральный радиус
меньше 1. Следовательно, Т является оператором обобщенного
сжатия и имеет неподвижную точку (Z*, г]*) € Qr X QK. В качестве
решения задачи А возьмем „27 = Z*, т) —-rj*. Таким образом, раз-
ложение (31.2) полностью определено.
Перейдем теперь к задаче Б. Положим £^0—Л (у, е). Так
как т)—решение задачи А, то -q (0) = eg = е [р—й(у, в)]. В раз-
ложении (31.2) положим 1 = 0. Получим
1 (0) = е 2 е'7,- (у, 0, е) [0—h (у, e)]4e^ 2^ (у, 0, е) [0—Л(у, е)]*+1.
Наконец, в соотношение |(0) — а—у представим разложение /,•
по степеням е. Получим следующее уравнение:
N
а—у = 8 2 8'
i = l
ЛГ-rl
2 еД,7(у)4 е^ЧЗДу, 0, 8) [0—h (у,е)]'' +
□-8Л,+2^(у, 0, е)[0—й(у, 8)]л-\ (31.16)
Будем искать решение у = у (е) уравнения (31.16) в виде разложе-
ния по степеням е
У = Уо 4~ eVi+ • • • + е^д,-- 87v,1v(8).	(31.17)
Подставляя (31.17) в (31.16) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях ek (k = 0, 1, ..., N), определим последова-
тельно все yfe. Они совпадают с указанными ранее коэффици-
ентами в алгоритме §30. Для определения v = v(e) получим
204
уравнение, которое имеет вид
V -= е2^ (7о + е?1 + ... + 8*% -l eN+1v, 0, е) х
X [₽-Л (Ъ + е71 + . . . + 8^ + 8*+1v, 8)]'V+i + & (v, е), (31.18)
где <^(v, е)—непрерывная по совокупности переменных функция,
причем
I (v, е)] <С {1 - - е| v |}
для некоторого С>0 и | v | si С -I- 1, 0 < е < е0. Отсюда и выте-
кает, что уравнение (31.18) имеет на промежутке ] v | С J- 1 по
крайней мере одно решение.
5.	В заключение приведем два замечания. При обращении
операторов типа ,‘Р2?32 практически удобно предварительно при-
вести систему к виду, в котором матрица G диагональна. В этом
случае оператор ^2®2 в соответствующем базисе имеет диагональ-
ный вид.
Условие кососимметричности матрицы G не является сущест-
венным. В действительности мы использовали лишь то обстоятель-
ство, что характеристические числа G чисто мнимые и что фунда-
ментальная матрица U (х) (/, s) системы
еУ = У{О(хН еВ(х)}
имеет оценку
(С>0, о > 0, 0<?<s<oo).
Результаты §§ 30—31 получены А. П. Котенко [1]. Следует отме-
тить, что в работах В. А. Соболева [6—8] предлагается другой
подход к решению рассмотренных выше задач, основанный на
предварительном расщеплении систем дифференциальных урав-
нений.
§ 32.	Полное разделение движения в системах	,
гироскопического типа
В этом параграфе для уравнения вида (30.1) предлагается
алгоритм разложения решений в асимптотический ряд на боль-
шом отрезке времени [0, Т/и\, Т > 0.
32.1.	Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши
4G(x)4 еВ(х)]^-8]Г р/х) [^|S|,	(32.1)
S es
х(0) = а, =	(32.2)
о которой шла речь в § 30. Будем считать, что G(x), В (х),
р5 (х) и вещественная ортогональная матрица Т (х) определены
при х из некоторой ограниченной области D a. Rn и удовлетво-
ряют условиям § 30.
205
Уравнение (32.1) запишем в виде системы
dx/dt=y,
8-^г== —[G(x)+eB(x)]j-|-e]P P5(x)[jp.	(32.3)
S6 5
Как было показано в § 29, система (32.3) имеет устойчивое интег-
ральное многообразие у = h (х, е) медленных движений. Это дви-
жение приближенно может быть найдено в виде
х = ®(?)-|-8®1(?),	5T=ey1(g)-; e2j2(?),
где — Подставляя х и у в систему (32.3) и приравнивая
коэффициенты при младших степенях е, без труда получаем
-^=G-1(®)Po(®), ®(0)=--а,	(32.4)
---= — G-' (v) {[G, (®) Ji]®i-r B(®)ji~Ро, (®)	(32.5)
®i(0)^0,
где
Ро (х) -Р(0.о)(х),	Ji = G-1 (®) р0 (®), [G,(®) J,]-[G (х) Ji], |x=v.
Предположим, что
1°. Решение ®(?) задачи (32.4) определено при всех В g [О, Т]
и лежит в области D вместе с некоторой окрестностью.
По аналогии с § 30 определим матрицу Н(%) — Т (®(?))S, при-
водящую G (©(?)) к диагональному виду ОД?). Введем обозначе-
ния: d (А)—диагональная матрица, главной диагональю которой
служат элементы главной диагонали квадратной матрицы А.
Тогда А — d(A) с(А), где с (А) имеет нулевую главную диаго-
наль. Пусть
.^© = G, (©)©!-; B(v),
S(?, e)-G(®) + 8®(|),	(32.6)
(L s) = G* (®) ed (H~l (?) S3 (g) H (?)),
Z exp j — y J S, (er, e) dr >.
I о J
Простая проверка показывает, что все элементы главной диа-
гонали матрицы Н~1 (|) [Од: (®) г»! (?)] Н (I) являются чисто мни-
мыми. Отсюда и из рассуждений леммы 31.1 следует, что все
элементы главной диагонали
(?) = d {/7-1 (?) [G, (©) ®i (?)] H (?) + /У'1 (?) В (я) И (?)}
имеют положительные вещественные части при всех ? £ [0, Т]. Из
последнего, в свою очередь, вытекает, что для некоторых С > 0
и у > 0 справедливо неравенство
||Z|i<Ce-^, 0</<оо, 0 < е< е0.	(32.7)
206
Ниже через Ас будет обозначаться вектор, элементами кото-
рого является диагональ квадратной матрицы А. Как и ранее,
через §={/%,, —zX, г^2> —гЛ>, •••} обозначается вектор собст-
венных значений G. Пусть g(^) = g(v (В)).
Введем в рассмотрение множество 5s n-мерных целочисленных
векторов р — (рг, ...,рГ1) с неотрицательными координатами р7-,
причем 2|р|=-	Через 3\ обозначается резонансное
подмножество векторов р^^Р, для которых (р, g-(t)) == g-y-(5)
(О -С £ С 7) для некоторого / = ± 1, ..., ± п/2.
Предположим, что
2°. Для всех р g 3i\9ir
(Р, g®)^g/@)
при Вё[О, 7] и / = ±1, ..., ±п/2.
Далее, для каждого целого k=l, ...,п/2 определим подмно-
жество
Nk = {Р € & | /?1 = р2, P.^Pi,  , p2k-3 = p2k-2, p2k-l =
= р2!г± 1, • •p„-i = pn}-
Очевидно, при р g Nk имеем
(Р. g) = (Ры ± 1) ih 4 Ptk (—	= ± ih-
Пусть выполняется условие
П/2
3°. 5\ = U N,,.
fc=i
При построении асимптотического разложения решения
системы (32.3) возникает вопрос об обратимости матрицы Я* (5, е)—
--(р> £Ге)Л где /—единичная матрица-, a --=§•(£)-г еВ1с(5).
При p£9>\Sir матрица G*—(р, g) / обратима. Поэтому при доста-
точно малых eg(0, е0] обратима и матрица	*
»(S,e)-(p, ge)I = G[v (|)] + е53©-(р, £(^-еВ1с (£))/ =
= Н (5) G, (5) /7-1 (5) + е.® (5)-(р, g(H) еВ1с (В)) / =
=# (I) {О,(5)+8/7-1(1)^(5)Д(^)-(р)^а))/-е(р,В1са))/}/7-1.
Пусть теперь р£1^с:3*г, т. е. (р, g)=--gj. В этом случае
обратимость матрицы $(5, е) — (р, g) I следует из положитель-
ности элементов Ьп- матрицы В. Действительно, матрица G,—
— (Р> g)I — G»—gjl имеет одно нулевое собственное значение,
которому соответствует собственный вектор е7-=(0,..., 0, 1,0,... ,0).
Матрица !§(5, е) — (р, gs) / имеет малое собственное значение
v (е) = evj -1- e2v2 ... Хорошо известно (И. М. Гельфанд [1]), что
е}^(р, Bic).
Простой подсчет показываетДчто (//-138Де7, е7) = &1у. (&17-—/-й эле.
мент диагональной матрицы BJ. Далее, так как р€3\, то суще
207

ствует такое k£ {1, ...,п/2}, что (р,	Покажем, что
а)	(р,	при (р,	=
б)	(р, Blc)^b2k при (р,	—jXft.
В самом деле, пусть 0,-—положительные реальные части диаго-
нальных элементов Ь1}- *), В случае а) имеем
Re(p, Blc)— Re^_t-
= РД+ • • • 4- (P2ft + 1) 02fe-l + Р2А+ • • • -Г Р„0„-02/1-1 =
= Р101+ • • • + (2р2>г-'- 1)92й-1+ • • • + Р,;0„-02fe — 1 > О"
Аналогичное неравенство имеет место и в случае б). Значит, мат-
рица е) — (р, gR)I обратима при малых eg (0, е0] и при
pg^r.
32.2. Алгоритм асимптотического разложения решений си-
стемы (32.3). Обозначим через 2Р скалярную функцию [Zcp=
= (Zc)i‘ ... (Zc)p"- Зафиксируем N 2js2. Приближенное решение
системы (32.3) с начальным условием
X (0) = а, у (0) = ер
будем искать в виде
_	N
хЛА=‘»(с) + е‘Ц1(с) S	2
«=2 I	р<=^	Г]
(32.8)
^v = e[j! (Ю+Л(1)Ze]+ 2 е” Lvm(£)+Vma)Zc+ 2
m = 2	(	ре//5	J
Здесь v, vt — рапсе определенные вектор-функции, a y^—dv/dZ,.
Через ут® (т^2) обозначены «-мерные вектор-фупк-
ции; Хи(|), Ут(|)—«х «-матрицы; хтр иутр—«-мерные вектор-
функции при каждом pg У*.
Через 9t0 обозначим класс «-мерных вектор-функций, непре-
рывно зависящих от £g[0, Т]; через 9^—класс вектор-функций
вида A(£)ZC, где А (В)—«х«-матрица с непрерывными по
S g [0, Т] элементами; наконец, через 9?^ обозначим класс век-
тор-функций вида 2«р(?)гр- гДе
р
Таким образом, искомое разложение является суммой слагае-
мых, каждое из которых принадлежит одному из перечисленных
выше трех классов.
Подставим теперь разложение (32.8) в систему (32.3), учи-
dZc 1 v „ d^p 1 .	.
тывая, что = — - ^,ZC,	= — ge)zp’
*) Нетрудно показать, что 6i2fe-i = ^i2fc при й=1, ..., л/2.
208
Получим
^XN	I р2 I V" „т р dvm I р dXm у
dt d£ 1 fc d* ’ 2-i	6 dg ' ~dT c
m-2 L
-^|(G* + E^Zc + eV ^tzp~ V xmp~(p, g'e)zp =
_ - t/J	_ tTJ
pt J	pz<J	J
-	2 *фЖМ)^ 2 ympzp\ ,	(32.9)..
_	m—2 L	p^P J
 ТГ "' I£’> -' TI1 r. <c. H-»B,) z. -
n г
н &p^^^^Z-YmL(G^^Zc +
+ E (e^r—^ymP(p>gs))zp --.
peP
= — {G(®)4 eS9 + e2.. .} 8(^ + 7^) +
+ 2 е”Чут-'-.-¥тгс
m-2 у
2 ymPzp\
peP !
+ e2 [р5(®)а ер5л(®)®1-
ses
e2. . -Не^Ч- eFiZ, -!-
N	"Is
+ 2 tm(ym + Ymzc+ 2 ymPzP\
m=2	\	PeP ,'J
(32.10)
Каждое слагаемое в правых и левых частях (32.9) и (32.10) при-
надлежит одному из классов 9(0, 911(	(р£Р)-
Рассмотрим вначале соотношение (32.9) и приравняем в нем по
отдельности слагаемые, принадлежащие каждому классу. Имеем
>п = 2	т = 1
'v Г ЯУ	1	1	"
£ ет |e^LZc_lxm(G,4- eBOzJ == £ ^YmZc, (32.12)
.	= 2	.	tn = 1
N Г dx	1
E e E	^xwzp =
* = 2 L peP	peP
= 2 e™ 2 ympzP- (32.13)
m=2 peP
Из (32.13) при каждом p^P имеем
•v ’ г dx i	1
У em [e-d^~T x^p = У Ету™р- (32-14>
т = 2	т=2
209
11
Так как
1 _ 1
(Р>	' (р, е+ъВус)
1 х_ 1Р (?) + хОр (?) -> ек1р (?) т 8»
то (32.14) имеет вид
Д Г f 1
Е 8mLeUx-lp4
/п=2
%ор-, е- •••
-L'"
т=2
е х-]р хо/> ! е • • • ^Утр- (32.15)
Приравнивая в (32.15) коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем
Хър= к-1рУ2р>	(32.16)
х3р = — Х-1рУ3р—*0рУ3р +	(32.17)
%тр = ~%-1рУ тр ^ОрУ т-1р +
“Ь <Ртр (S’ Х3р' • • • > ^m-tp' Уър’ • • • I Ут-Ър] >	(32.18)
где утр—известная функция своих аргументов.
Обозначим через 5i_1 подмножество индексов р £ для кото-
рых x_ljO(?)^=0, ?(j [О, Т], а через —подмножество индексов
для которых x_lf(t| = 0, ?ё[0, Т].
Будем, наконец, предполагать, что
4°. Э* =	5\. Отметим, что для р£3\ формулы (32.16)—
(32.18) дают рекуррентные соотношения. При вектор хтР
выражается через утр, а также через у[3, х1р с низшими индек-
сами I.
Обратимся теперь к соотношению (32.10). Выделим сначала
слагаемые, принадлежащие ЭТ0. Имеем
N
е2 8“
т = 1
d-Ут
dt,
{G(®H 8^(?) + 82+...}£ 8^m(?) +
т = 1
+ e 2 [рЛ®) + ер»х(®)®1-1-
S€S
' N	Is
_m = 1
В этом соотношении коэффициенты при е и е2 содержат извест-
ные функции v, Vi, yt и y2 = dVi/dl,. Из равенства коэффициен-
тов при 8ra (щ^З) получаем уравнения вида
= — G (v) ут + [рох (v)—Gx (®) vm_i +
+	(?,	• • •, Jm-1> V, Vi,..., vm_2), (32.19)
где Gx(©)^1 = [G(x)^1]x|J=„, a Vm — известная функция.
210
Выделим теперь в (32.10) слагаемые класса 97ц. Получим
Yfi,—GY1 = 0,	(32.20)
FaG.—y-jB,,	(32.21)
''^—Y3G, + GY3 = Y2B1—^Y2—[GX (®) yj X2
I po* (®) X2— [4 Gxx(®) (®I,®1)+Gx(®) v2+Bx (®) У1Ч-Л3(B, Kj),.
(32.22)
'"^-YmG* + GYm = Y^B.-^Y^ + a ф Xm_2 +
+ Л. •••, Гга_8),	(32.23)
где a, b, A3, Am, ...—известные функции указанных аргумен-
тов. Наконец, выделим в (32.10) слагаемые из классов 9?р (р g .3d)..
Получим
-2^'2 Утр(Р, ge)zp = — $(%, е) 2	2 Утр*р +
т=2 pc.tP	т=2 рьУ*
- {РоД®) — [Gx(®)^i]} 2Р“ 2 хтргр-\-
т=2 ре^
2	у^ ^2)+...
• •  4* 2 ®m+ fтр (В> y3qi   •, Ут-^, ^1> • • • > ^4я-1>	• • ч ^"/n-2?) (Zp,
где fmp—известные функции указанных аргументов, причем
| q | С; | р |. Для любого р 5s имеем
— 2 ЬтУтр(Р, g-eH — ^(L е) 2 £тУтр +
т=2	т=2
+ е{рох—[СЛ(^)У1]} 2 етхстр+е3/2р +
т— 2
A-^f3p+...+ 2 ^+1fmp (I <7|С\Р I)-	(32.24>
т=4
Разрешим теперь уравнение (32.24) относительно утр. Заметим,
ЧТО
[»(g, 8)-(р, й-е)7]-1 = Гор©-еГ1р(5)+...(рё^\^г)
И
Р(^, 8)-(р, ffE)7]-i = lr_lpa)4-rop(g)+...	(32.25)
Можно считать, что при всех p(zS* имеет место разложение
(32.25), предполагая, что Г_1;, = 0 при р£9у\9\.
Из 4° вытекает, что
х_1р(?)Г_1р(?) = 0	(р€^, В(Е[О, Т]).	(32.26)
Далее, из (32.24)—(32.26) получаем
У2^ = Г_1р[р0Х(©) —Gx(w)y1]x,/,+/,p(L Л),	(32.27)
узр = — Г_1р [рОх (©) —Gx (V)	хЯр + Гор [рОх (©)—Gx (®)	хЯр - г
+ Г_1р/зД£, yw Л, Г2) ; -Г0р/2р(В,	(|^|<|р|). (32.28)
Утр^-lp [Рох (®)— Gx (®)у 1] Х„р+Гор [рох ( Л—G* (®) Ji] Хт^р+  .
• • • + -ipfтр (^> У%д>  • Ч Ут-lq' Л > • • • >	т-1> X2q<    > %m-2q) ~
+ ra^9f2p(l, Л) (|<И<1/М)-	(32.29)
При t = 0 естественно требовать выполнения следующих ограни-
чений:
«’«(О) + Xa,(0)Zc(0, 8)+ 2 хя,(0)гр(0. е) = 0	(т>2),
ре^3
(32.30)
М0)-Л(0)2г(0,8) = ₽,	(32.31)
Ут (0) + Ут (0) ze (0, 8) + 2 Утр (0) 2Р (0, 8) = О (т > 2). (32.32)
Приступим теперь к отысканию коэффициентов разложений.
Сразу же отметим, что Ym удовлетворяет уравнению вида
GY — YG, = F.
Поэтому Ym может быть найдено в виде Ym = H(£) [Dm-| Ст],
где Dm—диагональная матрица, а Ст — матрица с нулевой глав-
ной диагональю. В дальнейшем Dm будет определяться из диф-
ференциальных уравнений, а Ст— из алгебраических.
Матрицу Yt будем искать в виде Yt = Н (Н) Dt (£), где Dt —
пока неизвестная диагональная матрица, причем yt (0) -| Н (0) х
xZ(0, 8) Dlc (0) = 0. Так как Z(0, 8) = /, то
£)1с(0) = Я-‘(0)[Р-Л(0)].	(32.33)
Итак, первое приближение имеет вид
х = ®(В) + е©1 (|),
где 7^i(5)—пока неизвестная диагональная матрица, удовлет-
воряющая начальному условию (32.33).
Далее, из (32.12), приравнивая коэффициенты при 8, полу-
чаем — Х/?» - Y±. Поэтому
X2(0) = /7(0)D1(0)G.-1(0).	(32.34)
Из (32.16) и (32.27) имеем	।
^2р= Г_]р(рох(‘п) [Gx (t>) Ji]) и_1ру2р + Ff)Pfip (£, VJ. (32.35|
212
Отсюда и из (32.26) следует, что
У^Г-1рЪР& Л)-	(32.36)
Это позволяет нам вычислить сначала _у2/Д0), а затем х2р(0).
Поэтому из (32.30) при т = 2 находим и ©2 (0). Для определения
©2(|) и J2(5) рассмотрим коэффициенты при е3 в (32.11) и ра-
венство (32.18). Имеем
dv2/d%=y3,
y3=G~1 (v) { —^г+(р0ДгО—[Gx (®)Ь]) ®2+^з(5, Щ	•
Таким образом, для ®2(£) получили задачу Коши на отрезке
|’О, Т]. Из линейности системы следует существование решения
©а(|) на отрезке [0, Т].
Далее, из (32.32) при т = 2 вычислим У2(0), учитывая, что
у2р (0) и Уъ (0) известны. Уравнение для Уа имеет вид
GY^-Yfi^Y^-^Y^.	(32.37)
Представим Y2 в виде Y2 = Н (Н) [Д2 + С2]. Подставляя это выра-
жение в (32.37), получаем
HGt (D„ -|- С,) — Н (D2 - С2) G* — HDrBr—33 HD^
Отсюда имеем
G^2—C2G^[B-l — H-1S3H]D1.	(32.38)
Так как Вг = У(Н-‘ЗзН), то уравнение (32.38) разрешимо. Коэф-
фициенты c{j (i j) матрицы С2 вычисляются по формулам
7	D,(g))
2	gj(l)-gi® ’
где через 0^’ обозначены элементы матрицы, стоящей в правой
части (32.38). Матрица D3 на этом шаге не определяется. Однако
определяется £>2(0), так как опа вычисляется через У2(0) и
С2(0, DJ0)).
Подставим теперь Y3 = H(E) [£)3-!- С3] в уравнение (32.22).
'После элементарных преобразований получим
G*C3-CSG* = — ^fiL—H-^HDi—DiB1 -i- А3 (g) Dn (32.39)
где A 3 (?) — известная матрица. В силу выбора Bt
d (—	-l BjD2) = 0.
Поэтому для разрешимости уравнения (32.39) необходимо и доста-
точно, чтобы
^l^dlA^D,].
Отсюда и определяется Z\(£). Далее, из уравнения (32.39) на-
ходим элементы су (i =/= /) матрицы С3 через неизвестные пока
Ь
213
элементы матрицы D2(l). Заметим, что зависимость С3 от D2 ли-
нейная. Матрица D2 определяется на следующем шаге. Наконец,
из (32.16) и (32.36) находим Х2 =— Yfi*1, у2р и х2р. Итак, вто-
рое приближение
х = © (В) + ег»! (В) + е2 Г г»а (В) + Х2 (В) Zc + 2 x2pzp ,
L	ре^ J
У = е [J1 (5) -I- Л (В) zc\ + е21>2 (I) + Га (В) zc + 2 У^Р
решения определено с точностью до диагональной матрицы П2,
от коэффициентов которой зависит У2. Заметим при этом, что
Z)2(0) известна. Аналогичным образом можно вычислить и после-
дующие члены разложения (32.8).
32.3. Обоснование формальных разложений (32.8). Через Се
обозначим пространство непрерывных вектор-функций х(1)
(О Т/е) со значениями в R"; пусть
||х||8= sup || X (/) ||.
О < t < Г/г
1.	Прежде всего покажем, что формальные приближения удов-
летворяют соотношениям
__*L=yN + E»RNx(t, I, е),	(32.40)
е~^Г = ~{G (*")+еВ (Х/v)} J.v+X р, (xN) [J/vp-t-e^'RNy (t, В, s),
sg S
(32.41)
где ||fl/v48<C/v, || RxyWe^ CN, 0<e<e0, CN > 0. Доказатель-
ство этого утверждения проведем по индукции. При N=0 и N=1
утверждение проверяется непосредственно и просто. Допустим,
что соотношения (32.40) и (32.41) справедливы и при N = k—1,
причем невязка RNx определяется равенством
dvk~2 dXk_2 , у, dxt-zp у R 7
Rk-ix —	। Zc , 2^ zp
pe^5
pef*	pe^1
+ Л-1+	2 J,fe-ipzp +
pe^5
-J- 2	2 еЯ"*+1фЯ,р& x2q> •  •> Xm^q) (ItfKIpl).
m > A- 1 pe^*
214
Далее, имеем
dift - _ dxk_1 , „ft d
У»- dt +e dt
—Ук-i — *k	(?) + У и (?) Zc + S У *p (?) 2p
L	pt?
— XkG.tZc — 2 xkp (p, g) гД +
B, e) + e‘-i
•I- eft
.*-1
2 Xhp(P’ Blc) Zp у k YkZc 2 У/грЗ-р'] _L
РёЗ3
' d®ft r dXft	dxkp  _____
—J ~~dl~ZP =
РёЗ3
Ук-i У' к-^с	Ук—ip%p~*
d% "H dl Zc+H
'y , V'dx*-2P
dl dg	dg
реЗ3
*k-^Zc 2 xk-ip(P’ Blc)zp XkG*Ze
РёЗ3
d®fe-2 dX^ 2
2 X^p (p, g) Zp-\- 2 tyftp (?) X2q,    , Xk_2q)
psS3	рёЗ3
(32.42)
В правой части (32.42) мы опустили члены, имеющие порядок
О (efc). Покажем, что выражение, стоящее в квадратных скобках
правой части последнего соотношения, равно нулю. Действи-
тельно, из (32.11), (32.12) вытекает, что
^®А-2 _.. dXfc-z тл Y R Y П
Ук-и	3g—— у к-1 т Лр-1^1 + Ak'J*-
Выделим теперь в квадратной скобке слагаемые, принадлежащие
(Р€ 5s), и приравняем их к нулю. Получим
£ dx^2p	Xft_1;,(^, Blc)zp— X Ук-ipZp—
реЗ3 • реЗ3	рёЗ3
— Z Xkp(p, g)zp+ S <Pftp(5, X2q, .	Xft-29) = 0 (I^KIPl).
РёЗ3	рёЗ3
(32.43)
При р^З3-! имеем (р, q) = 0. Поэтому при каждом р^3>_1 из
(32.43) имеем
\dx^p—Xk_ip(jf, Blc)—y^lp^kp(l, x2q, ..., Xft_2g)=0. (32.44)
Так как (/>, Bic) #=0, то’из (32.44) находим
1	1 Г dxft -2р	I
^-1^=—В1С) Ук~1Р~(р, В1с)[ d§ r<Ppp(S, Х2ч, .... Xft_2?)J .
215
Это равенство в точности совпадает с формулой (32.18) при
Х-1Р=1/(Р, я, с)=^0. Таким образом, соотношение (32.44) всегда
выполняется.
При рСЛ из (32.43) имеем
1
Х*Р (р, g) dl, Ук-lp Xk-lp (Р’	(В> Х2д, • • •, Xk-iq) •
Эта формула совпадает с (32.18) при х_1р = 0 (напомним, что
х_1р = 0 при	Следовательно, (32.43) всегда выполняется
и ||/?ftJc||e С С для некоторого С > 0. Аналогичным образом про-
веряется, что	для некоторого С > 0.
2.	Сделаем теперь в системе (32.3) замену и = х—xN, о =
= у—уN. Тогда для и и о получим систему
| = й4-8'^ (t, В, 8),
е-^ = — {G(xw 4- «) 4- 85 (xN + «)} (Jn 4- ®) -I-
4- {G (Хдг) 4- еВ (xjv)}yN 4- 8 {р0 (xN 4- «)~Ро (xn)} 4-
+ 8 2 {Ps (XN 4- «) [Jw +	Ps (Xn) [yN]S} + e.N+1RNy (t, 8).
sg S
(32.45)
Очевидно,
й(0, в) = 0,	w(0, e) = 0.	(32.46)
Разложим G(xnA-u),	2ps(xa'+w) [J.v + w]5 в ряды
sgS
по и и о. Тогда получим
= — 7 G (x.v) ю—7 [Gx (x,v) jд,] u — [Bx (xN)yN] и —
— B(x;V)<o + p0X(x;V)« + 7Z?(C В, и, о, &) + RNy (t,l, 8), (32.47)
где через R(t, В, и, и, В) обозначены члены разложений не ниже
второго порядка по и, о. Очевидно,
|/?(/, В. «,	8) | <Сого (| и | + | <о |)	(32.48)
при всех t С [0, Т/е], В С [0, Т], 0<8^е0 и, кроме того,
|/?(/, в, «1, 0)1; 8)—R{t, в, «2, <О3, 8) | < Сого (II«!—«2 Ж1 «1—«2II),
(32.49)
где Со > 0, t ё [0, Т/е], В € [0, Т], 0 < е < е0, r0 = max {|| иг ||,
|| «21|, ||W1||, ||о)2||}. Из (32.49), в частности, вытекает, что
\\Ru(t, В, и, 8)||<Стах(|и|, |<о|),	„9,т
||/?ю(/, в, «, О), 8) ||< Стах (| « [, 1<о|)
216
для некоторого С>0 при всех t £ [0, Т/е], g€[0, Т], 0<
< е С, е0.
3.	Прежде чем оценивать и и w, изучим свойства вспомога-
тельной системы
(32.51)
' J-=—{7 G (®) -I	{Рох (®) — [G* (®) (Ji + YiZJ]} и.
Если положить
Ро4®)-Сх(®)^1 = Л4©. — Gx(.,o)YlZc = 2
k = -п/2
где гк—координаты вектора Zc, то систему (32.51) можно пред-
ставить в виде
(Ли \
(32-52)
di /
S) = (M(g)+2Sfc(g)Zfc -G(v)/e-53(g)) ’
Для получения оценок фундаментальной матрицы системы (35.52)
найдем сначала матрицу Wa>(t, е), удовлетворяющую системе
(32.52) с точностью до членов порядка 0(e) при всех /g[0, Т/е]
и е£(0, е0]. Матрицу W(1) будем искать в виде
W(1> (t, е) = ( н (g) 2дЫ (Л g) ч н (g)	+
/	l)Zk //©Y3(g)Z\	, .
где через Фп Ч\, Tg, Чг5 обозначены nxn-матрицы, элементы
которых зависят от ?ё[0, Т]; через Чгоь 4f2ft, 4r4fc (—n/2<Zkn^
—(пхп)-матрицы, элементы которых являются функциями
t С [0, Т/е] и 5€[0. 71]- Подставим (32.53) в (32.52) и прирав-
няем коэффициенты при е-1 и е°, содержащие и не содержащие zk,
по отдельности. Равенства коэффициентов при е-1 имеют вид
-Н © ^.kgkzk = -GHZ^kzk,	(32.54)
—H4yG,Z = —GH^Z.	(32.55)
Из (32.54) при каждом & = ±1, ..., ±п/2 для матрицы Чгой по-
лучаем уравнение
(G* ёьП = О»
откуда находим все элементы 4flo;fe = O	Элементы Чго4 k-n
строки матрицы 4poft из этого уравнения не определяются. Из
(32.55) следует, что Чг1(^) — диагональная матрица с произволь-
ными пока элементами.
217
Из равенства коэффициентов при е° получаем, во-первых, чт
=	(^=±1.....±п/2),
Т3=—Ti-Gr1.
Далее, Ф^О-1 (п(5)) М (£). Для ТД?) получаем уравнение
—4f1B1—4riSG, = —G^—Я-1^ЯЧГ1.
Уравнения такого вида подробно изучены в п.2. Решение егс
+ с(Чг5), причем d (Чг6)— произвольная диагональная
матрица, а с (Чг5)—матрица с нулевой главной диагональю
удовлетворяющая уравнению
G.c(T5)-c(T5) G. = (В.-Н-^Н) Ч\.
Для 4f4ft получаем уравнение вида
k=-n!1
= 2 (^-СЯЧ^-^ЯЧ^г*.
fc = -n/2
Обе части этого уравнения умножим на Я"1 (?) слева. При каж-
дом k (—п/2	п/2) имеем
(G.-gJ) T4ft = -^ + Я-^ (bikI~H-^BH) Ч^, (32.56)
где blk—k-и элемент диагональной матрицы В±. Выделим k-ю
строку в последнем матричном равенстве. Получим
(О...0) = (	+((H~1Sk)kl... (H^Sk)kn),
где через (H~1Sk)ll{ обозначены элементы [fe-й строки матрицы
H~1Sk. Отсюда определим
^(Я-ч^д^../.
Таким образом, матрицы Чг0/г известны. Подставим Ч^ в (32.56)
и рассмотрим равенство /-х строк (/=$£&) входящих в него мат-
риц. Имеем
(gj-gj = (Я-^^-Р/ДЙ.
Здесь через обозначены элементы матрицы blkI—Н~1ЗЗН.
В качестве Ч\ (Н) и d (Чг5) можно взять произвольные диагональ-
ные матрицы. При этом ЧГ1 (I) должна быть невырожденной при
всех | £ [0, Т]. Итак, определена матрица
^(1> (Л е) = (я (g) 2 ¥ofc (Л 2к H®z) +
+ 6 \G~^M+H (g) 2 (Л g) 4 H (I) c (Y. (Ю) Z )'
218
Тогда невязка eri = -^^—A (t, е) М7(1) имеет вид
Pr _/'efi(/> е) e.F2(g, e)Z\
1	\eF3(t, I, s) eF^.sjZj’
где F; (i=l, ..., 4) — (пхп)-матрицы, равномерно ограниченные
при 0^/^Г/е, О^е^Т1, 0<е^е0. Построение W(1} завер-
шено.
Лемма 32.1. Матрица И?(1) обратима при всех t € [0, Т/е]
« 8€(0, 80], если е0—достаточно малое число.
Доказательство. Введем обозначение
IhZ)- •
Очевидно, что матрицы Др1, Др1 равномерно ограничены при
всех t g [0, Т/е], gg[O, Г], eg (0, е0]. Легко показать, что
в условиях леммы существует матрица
TJ7-1_[ Vi еУ2 \
,F<1) Az-% z-wj'
причем V,- (Z=l, ..., 4) равномерно ограничены при всех
ОС^Т/е,	0<е<ео.
Тождество
В, е)
Преобразуем к виду
е)4-еГ]1^]Г(1).
Вычислим
F^d V1 eVa WW+M eFiVa + F^X
1	(1)	eF,V8+F4Vj ‘
^Отсюда вытекает
Лемма 32.2. Существует такое е0 > 0, что при O^t^T/e,
0^5^Т, 0<е^е0 произведение равномерно ограничено.
3.	Для оценки фундаментальной матрицы системы (32.52) нам
Потребуется еще одно вспомогательное утверждение.
Лемма 32.3. Существуют такие числа С > 0 и soJ>_O, что
При всех 0 С; s sC t «С Т/е, 0 < е е0
Ю'^(5.
Доказа тельство. Почти всюду ниже ^аргумент t опус-
кается. Нижний индекс s означает, что соответствующая матрица
219
вычисляется при £ = s, В—es. Имеем
/i/i et/2Z\/	eV25 X
1F(1)(Z, b)F(1|(s, е) = (:/з t/4z/(.Zs-1VS5 Z^Vis)^
= / t/iVis-rWiZZ^Vis ei/iV2s+ et/2ZZs~V4s\
\	~J~ UiZZs Vss e,UtZZs V4S /
Утверждение леммы вытекает из равномерной ограниченности мат
риц Vit U. (1 = 1, ..., 4) и произведения ZZ71 в облает!
О «С s t Т/е, 0<?^7’, 0<е^е0.
Лемма 32.4. При достаточно малых е0 > 0 матрица Коии
W (t, s, е) системы (32.52) равномерно ограничена при
С; t Т/г, О < 8 'С е0.
Доказательство. Пусть ®(Z, s, _е)—произвольный стол'
бец матрицы W (t, s, 8). Уравнение
dW (t, s, e.)’dt = A(t, 8) W
запишем в виде
= И + 8/4 F-e^F-F.
Отсюда вытекает, что to удовлетворяет^ интегральному урав
нению
®(Л s, s) = F(1)(Z, 8)Fa}.(s, 8)ez +
t
~ 8^и/(1)(/, e)F(_jJ(r, e) rj(z, 8)<У(т, s, 8)dx, (32.57)
s
где {г7} — базис в R2n, a r(r, e) = — гДт, e)F^(r, 8). Введем
в пространстве 2п-мерных непрерывных вектор-функций С [О, Т/е
новую эквивалентную норму
|| <о ||лЕ = m ах 5| о (t ,^8);| e~Kst (X > 0).
[О <У < Т/е)
Правая часть интегрального уравнения (32.57) определяет интег-
ральный оператор действующий в пространстве С [0, Т/е].
Пусть
(t, B)FnJ(s, бЖСх, ||r(s, е)||]<С2	(0<s^f^T/8)
Константу X выберем из условия
СгС2 < X.
Тогда оператор S преобразует шар достаточно большого радиусг
х с центром в точке F(1) (t, &)	(s, б) es в себя и являете!
сжимающим. Следовательно, он имеет в С [0, Т/е] неподвижнук
точку. Лемма доказана.
4.	Перейдем теперь к системе (32.45). Используя разложение
xn И Ум П0 степеням 8, выделим линейные по и и о члены
220
Тогда система (32.45) примет вид
(du\
М	Цу//, g, е);
+ (Л I, и, <о, е) 8/?х (/, S, е) и + е/?2 (/, 5, е) co, (32.58)
где R удовлетворяет оценкам (32.48)—(32.49), и, кроме этого,
для некоторого CN > О
II£1 (Л I ^\\<CN, \\Rdt, %, 8)||<C„,
\\Rnx(t, I, е)||<С№	li^vy(i, g, 8)||<С^
при всех t € [0, T/e], ?€[0, Т], [0<8<80. Очевидно, искомые
функции и и со удовлетворяют интегральному уравнению
{и\ 1 / &NRnx \
^)(.^ + ±s+MRie + Srt>- <32.59)
В пространстве непрерывных 2п-мерных вектор-функций
С [0, Т/е] введем в рассмотрение шар
Л(го) = {х € С [0, Т/е] 11| х ||Хе < г»} 
Покажем, что при [подходящем выборе г„ и % оператор J, опре-
деленный правой частью уравнения (32.59), преобразует Т (г0)
в себя и является сжимающим. Удобно считать, что
I(:)I=w+m.
Пусть Л/|>4, r0 = yeN-2 и уС0С1<1/2; здесь Со—константа из
(32.48), a Ci удовлетворяет неравенству
Тогда
11 (“ )1 < 2 j С‘ [ ( еС"+гА) I (“ й) I + С« ’*] * <
< 2С,С„П«-  + С, (2С„ + 8-Г.С.) V* | (“ ) L
Отсюда при достаточно больших % > 0 получаем при 0 < 8	е,,
IJ (“ ) |L < 2C1CnT^~1 + r0%-i (2СХ + 8-2г0С0) < г0.
Точно так же просто проверяется, что J удовлетворяет в норме
IHIxe условию Липшица с константой
q^C^iCy + yC^).
к I»
221
Отсюда следует, что при достаточно больших 1 и ^4 опер;
тор J сжимающий и, следовательно, имеет в С [0, Т/г] неподвия
ную точку.
Таким образом, доказана следующая теорема
Теорема 32.1. Пусть N—целое положительное число. Пусп
выполнены условия 1°—4°. Тогда существуют такие 80 = 80 (JV)
С = С(Л/), что задача Коши (32.1) — (32.2) имеет единственна
решение на отрезке [0, Т/е], для которого справедлива оценка
|х—хх|<Сб^-2	(ЛГ>2)
при всех i £ [0, Т/е], 0 < ssg/80.
Говоря строго, теорема доказана лишь при Л/:>4. Однако г
ограниченности коэффициентов разложения xN и yN легко вь®
сТи справедливость утверждения теоремы и в общем случае.
Отметим, что предложенный алгоритм может быть использ<
ван для асимптотического интегрирования систем более обще!
вида. Например, он применим в случае, когда матрица G(;
имеет п различных чисто мнимых характеристических корней,
элементы диагонали матрицы H~1(V)33 (V)H(V) имеют полож1
тельные вещественные части при всех £ ё [О, Т]. Как раз така
ситуация имеет место в рассматриваемой ниже задаче!
§ 33. К вопросу о динамике твердого тела
со сферическим демпфером
В ряде прикладных задач возникает проблема исследованг
движения твердого тела со сферической полостью, в которой н
ходится другое твердое тело сферической формы. По-видимом
впервые такую задачу изучали М. А. Лаврентьев и С. Г. Крей
Наиболее интересные результаты по этой проблеме принадлеж;
Ф. Л. Черноусько [4].
Обозначим через Охххх2х3 систему координат, жестко связа
ную с твердым телом, причем Ох— центр инерции тела с дем
фером. Пусть со и (Oj—угловые скорости тела и демпфера отн
сительно некоторой инерциальной системы координат Охуху2
соответственно. Обозначим через Еа—единичный тензор, 70—те
зор инерции системы относительно точки Ох при условии, ч
вся масса демпфера сосредоточена в его центре. Пусть I—м
мент инерции демпфера относительно его диаметра. Тогда ура
нение движения механической системы (см. Ф. Л. Черноусы
[4]) имеют вид
J0(o + со х (/ош) = &(<&!—®),
/©! + (/<») X (Bi = —&((0j—(о), k > 0.
Будем считать, что система Охххх2х3 связана с главными осяг
тензора Jo. Обозначим через р, q, г проекции вектора со на о
222
0^!, Oxx2, Oxxs соответственно. Пусть plt qlt r1 — соответствую-
щие проекции вектора (Oj. -Наконец, через Ао, Во, Сй обозначим
главные значения тензора JB в осях 0^, Огх2, О±х3. Тогда в ска-
лярной форме уравнения движения имеют вид
Аор-\ {C0--B^qr — k{p1—p), 1 (Pi-'' qri—rqA^k(p~p^,
Boq + (Ав—Св) гр = ktp^—q), I (q1 + rp1—pr1) = k(q~q1),
Cgr+^—A^pq^-k^—r), I (r’i-1- pqi~qp1) = k(r~r1).
Рассмотрим случай, когда /=1<Л0, В0 = С0<Л0, Л0=/=2В0
И, кроме этого,
1Ч^р^<2/В0.	(33.1)
Будем считать, что проекции р и pt векторов ю и Wj сущест-
венно больше остальных проекций и имеют одинаковый .поря-
док, т. е.
p — Hs, p1 = Hs1,
где Н^>\. Тогда уравнения движения системы могут быть пе-
реписаны в следующем виде:
s=4(si~s)’
Si = k (s—Si) -у е (грг — qrj,
ыц == sz-1—SjZ- ek (q—qj),
eri — srf—sq3 -L ek (r—rj,
(33.2)
здесь 8=1///—малый положительный параметр. Обозначим через
Jf = (s, st)T—вектор медленных переменных, а через у =
= (<?, г, qlt Г1)т—быстрых переменных. Уравнения (33.2) удобно
представить в виде сингулярно возмущенной системы
х = Лх +е/(_у),	8_y = G(x)_y— еВу,	(33.3)
где
/____й_ k \
А = I -^о Ло ),
\ k —kJ
	о ‘	s £>0	0	o'
G(x) =	0	0	0
	0	— Si	0	s
	si	0	—s	0;
223

Характеристические корни матрицы G—чисто мнимые.
Эта система имеет одномерное семейство стационарных решенш
р = р1 = (о0> <7 = <?1 = г = г1 = 0.	(33.4
Как известно, это семейство устойчиво. Мы будем исследоват:
поведение системы (33.3) в окрестности семейства стационарны:
движений (33.4).
Нетрудно видеть, что система (33.3) имеет интегральное мно
гообразие _у = 0, движение по которому описывается системо)
х = Лх.	(33.5
В дальнейшем будем считать, что k = ye, у > 0.
Для построения асимптотического разложения решения сис
темы (33.3) с начальным условием
х (0) = а, у (0) = 80
введем в рассмотрение медленное время £ = бЛ Решение будет
искать в виде
x = ®(g) + 83 ..., ^^[еУД^ + е^Д^ + е7 8 ...]Ze, (33.6
где v—двумерный вектор Ylt Y2, ...—(4х4)-матрицы, Z =
( j t
= exp •!—- [G,; (и (бт)) -|- 82у1В2 (бт)] dr >, В! — пока, неизвестна:
I о	)
диагональная матрица.
Подставим (33.6) в систему (33.3) и формально приравняет
коэффициенты при одинаковых степенях б. Для V (%) получит
задачу Коши
^ = Qv, ®(O)=a = (so, s10)\ Q = f(33.7
Тогда для координат s(g), вД?) вектора u(g) имеем
7/e\_(so—slo)^ + ^oso + sio	„
s (S)--------д^7[	,	(oo.c
7	-^ofsio — So) + Ло«о + Sio	Z	V \
Si (ё)--------ya - -	j.
Для КД?) получаем уравнение
KA-GKi = 0,
решением которого является матрица YX = H (?) Dr (£). Здес
H (I)—матрица, столбцами которой являются собственны
224
векторы G(©), т. е.
	1	1	0	0 i
	i	— i	0	0
	siBq sA3	SlBp sA0	1	1
	Si Во	. SiB0		
	l’ S^o	sA0		J
Di (?)—диагональная матрица. Далее, для Y3 получаем уравнение
yVA-t ГА-'; -5- = 0Гз-ВУ1.	(33.9)
С*ъ
Его решение ищется в виде Y = Н (D3-,- С3). Легко видеть, что
G,C3-C3Gt - уН "BHD,+ yD.B.-H^ D1,
l*g
Для разрешимости последнего уравнения необходимо и достаточно,
чтобы
d	+ yD^—H'1	=0.
\	ag	di- /
Если положить Bl = d(H~1BH), то это условие примет вид
dDi , f <Ш \ п
dfJD-
Так как
	1/2	Ц2	0	0
	1/2	i/2	0	0
	_ SiB0 2s Ag		j siBp 2sA0	1/2	i/2
		 siBq 2?A0	i S1^° 5Ло	1/2	-i/2
' _ dH \
то d \ H	Отсюда следует, что D3(?) = const. Из условия
Y1 (0) Zc (0) = р находим
Dlc(0) = B-1(0)p.
Итак, определено приближенное решение
х = •»(?), j = e^(?)D1(0)Zc	(? = 8i),	(33.10)
удовлетворяющее системе (33.3) с точностью до членов порядка
0(83).
Остается выяснить, при каких условиях коэффициенты мат-
рицы Z экспоненциально убывают при t-»-oo. Очевидно, для
этого достаточно, чтобы все Элементы матрицы
( ]_ SiB0 I_ slBp	|
B1 = d(/f-1BB) = diag j—-^=4-1, 4^+lj
V ^0	^0	Л08 Ло5 /
8 В. В. Стрыгин, В. А. Соболев	225
были положительными, т. е.
Обратимся к задаче Коши (33.7), которая в скалярной форме
имеет вид
=	s(O) = so,
^ = Y(s_Sl)>	s1(O) = slo.
Если первое уравнение умножить на sjs2, второе—на 1/s и из
второго вычесть первое, то получится дифференциальное уравне-
ние для функции (о = Sj/s вида
7Г = Т(1—»(1+О-	<3312)
Легко убедиться, что со = I —асимптотически устойчивое положе-
ние равновесия этого уравнения, а со =— Ао—неустойчивое. При
этом dm/dZ > 0 при (оg (—Ло, 1) и dco/dg < 0 при cog (— оо, Ло) и
U(l, оо). Поэтому для выполнения неравенства (33.11) доста-
точно, чтобы
-Ло<-^<-^.	(33.13)
So £>0
Таким образом, при выполнении неравенства (33.13) прибли-
женное решение задачи Коши системы (33.3) представимо в виде
(33.10) при £g[0, Т/е]. Легко видеть, что это приближенное
решение стремится к положению равновесия системы (33.3) при
t —► оо.
ГЛАВА IX
АСИМПТОТИКА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ
СИСТЕМ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ТИПА
При анализе ряда задач механики приходится находить как
медленные (прецессионные), так и быстрые (нутационные) состав-
ляющие движений. Это приводит к задаче приближенного отыска-
ния решений задачи Коши для неавтономных систем, зависящих
от больших гироскопических сил и имеющих слабую диссипацию.
Интересные результаты для таких систем получены В. И. Зубо-
вым [1], М. Балу-Балачандра, Р. Сетна[1]. Анализ задачи Коши
е позиций теории сингулярно возмущенных уравнений предложен
н работах А. И. Кобрина и Ю. Г. Мартыненко [1], В. В. Стры-
гина и Е. Я. Гореловой [1], Е. Я. Гореловой [1]. Для произволь-
ных неавтономных систем нам представляется удачным метод
А. И. Кобрина и Ю. Г. Мартыненко, основанный на идеях
С. А. Ломова [IJ.
§ 34. Асимптотика задачи Коши на конечном отрезке времени
34.1.	Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциаль-
иых уравнений
//V
^- = а(х, t)y~b(x, t)-\ &f(x, у, /),
dv	(34.1)
e-^- = G(x, l)y + B(x, t) -'~eF(x, y, /),
Где x £ y£Rn, a(x, t) и G (x, t) — матрицы соответствующих
размерностей, a b(x, i), f(x, y, t); F(x,y, /), B(x, /) —т-мер-
ные и n-мерные вектор-функции соответственно. Пусть I £ [О, Т\,
х£9.х, У$.&д, где Qx и —ограниченные области в пространст-
вах Rm и R"; 8—малый положительный параметр. Будем считать,
что правые части системы (34.1) являются аналитическими функ-
циями (t, х, у) 6 [0, r]xQvxQu. Нас будет интересовать решение
системы (34.1), удовлетворяющее начальным условиям
х(О) = хо, j(O).=jo.	(34.2)
При 8 = 0 задача Коши (34.1) — (34.2) переходит в вырожден-
ную задачу
^---а(х, t)y + b(x, V),
х(О) = хо, G(x, t)y-^B(x, t) = 0.	(34.3)
8*	227
Предполагается, что эта задача имеет единственное на отрезке
[О, Т\ решение	= принадлежащее области SX. хЦ;
вместе с некоторой окрестностью.
Введем в рассмотрение матрицу G0(t) = G(v (I), t). Обозначим
через g(t) — вектор, компонентами которого являются собственные
значения gt(t)....gn (t) матрицы G0(Z). Будем предполагать,
что g^t) удовлетворяет следующим условиям:
1)	£((0=/=0 ПРИ всех i=l,  п и t €[0, Ту,
2)	i^i', i, /=1. •••. «.
Через 51 обозначим множество «-мерных целочисленных век-
торов p — {pi, ..., рп} с неотрицательными координатами; |р| =
= 2 А-
Рассмотрим два равенства
и
(р.	5 А^(0 = 0	(|Р|>0),
(34.4)
(р>	5 p-Si^^Sk	(|p|>i)-
i — 1
Будем считать, что:
3)	существуют такие числа С > 0, о > 0, б > 0, что
I (Р> g)|>C|Pl-a ПРИ (Р> g)^°>
l(P> g)~gJ>C|Pl“e ПРИ (Р. g)^§k>
4)	при каждом равенства (34.4) либо выполняются тож-
дественно по t £ [О, Т], либо не выполняются ни при одном
t €[0, Т].
Целью дальнейших построений является отыскание приближен-
ного решения Xм (t, е), У(Л) (/, е), удовлетворяющего при неко-
тором С > 0 и всех t g [О, Т] оценке
\у — У^\ s^Ceft+1,
|х—Х1И|<С8*+1	(0 < 8 < е0).
34.2.	Алгоритм А. И. Кобрина и Ю. Г. Мартыненко. Перейдем
к . построению приближенного решения задачи'Коши (34.1) — (34.2)
на отрезке [О, Т], используя идеи метода подъема С. А. Ломова [1].
Построение удобно разбить на несколько этапов.
1. Введем в рассмотрение вектор регуляризирующих перемен-
ных 0 = {01, ..., 0„}gC"—комплексного «-мерного пространства
и определим операторы I и L равенствами
/1
z(fir)==Hsri(047>	L(<8’ x) = l(g)I—G(x’ О»
где I — единичная матрица. Если
t
0=yJfir(T)dT	(34.5)
о
228
и x — x(t, 0, е), у—у (t, 0, е) — решение задачи Коши (34,1) —
(34.2), то, очевидно,
/(§) х = еа(х, t)y-\ е&(х, /)-| е2/(х, у, I),
s-|f + ^(fir, х)у = В(х, f) + t>F(x, у, /),	(34.6)
x{t, 0, е)Ь=0 = х0, y{t, 0, е)Ь=0 =_у0-
|0=о	|о=о
Будем искать формальное решение задачи (34.6) в виде
x(t, 0, е) = ^е/'лг‘/> (/, 0),	,
y(t, 0, е) = 2е(у‘/>(/, 0).	k	'
2. Обсудим вначале разрешимость некоторых операторных
уравнений, которые возникают при реализации формализма. С этой
целью множество З3 представим в виде суммы пяти подмножеств
^о = {Рё^: |р| = 0}, д'^р^З3: |р|= 1},
|р|> 1, (р, g-)¥=0, (р, g) =£ gh (k = 1, ..., и)},
^з={Рб^: |р| > 0, (p, g) = 0},
=	|р| > 1, (P, g)=gk (k= 1, ..., n)}.
Через %p обозначим множество элементарных функций вида
i С (t)e(P' е>, где с (Z) [OsC /sCT] принимают значения в Сп. Очевидно,
.’что %р инвариантно относительно оператора L(g, v).
Рассмотрим сначала уравнение
L(g, ©)J = O
в %р. Нетрудно показать (см. С. А. Ломов [1]), что решения этого
уравнения могут быть записаны в виде
r/=tf(0eD«»K0,
где Н (I)—матрица собственных векторов Go(O, отвечающих собст-
венным значениям ^,(/), D(Q)—диагональная матрица с элемен-
тами 0;, а КО— произвольная n-мерная вектор-функция [О, Т].
Обратимся теперь к уравнению
L(g, ®)^ = ^(Oe<F’0)-	(34.8)
Пусть сначала р $ 330 U 3\. Решение будем искать в виде у =
; = КОе</,,0). Тогда
L (g, о)У = [(Р, g) I-G* (/)] t, (О 0> = | (0 е(₽. «>.
Так как (р, £) = 0, то £(/)== —G^1 (/)£(/).
Пусть теперь	В этом случае будем искать решение
в виде у = H(i) g (0 е(Р-°'>. Пусть для определенности (р, g) = gk.
Тогда задача разрешима, если k-я координата [Л-1 (01 (0L век'
тора Л-1 (ОКО равна пулю. При этом координата g7- (/#=&)
229
вектора t,(t) может быть определена равенством
134.9)
a —произвольная функция Zg[O, Т]. Если же [Н 1 (OKOJfe=/=O»
то уравнение (34.8) в %sp неразрешимо.
Наконец, рассмотрим случай, когда р^^2. Так как матрица
(р, g)I—Go(/) обратима, то решение у находится в виде
Допустим теперь, что правая часть в уравнении (34.8) имеет
более сложный вид. Рассмотрим уравнение
L(g, v)y = 2 1,(0 ^0).	(34.10)
ре Л?
Для анализа разрешимости (34.10) введем множество индексов
Для которых (р, g)-^gk. Положим vfe= 2 Ip
P^Nk
и пусть У—матрица, столбцами которой являются векторы
(k=\, ..., и). Из анализа уравнения (34.8) вытекает, что урав-
нение (34.10) разрешимо лишь в том случае, если главная диаго-
наль матрицы H~XN равна нулю.
Обратимся к операторному уравнению
Z(g)x = ri(0 9).
где т)(/, 0) = |(/)е(Р-9). Решение его будем искать в виде у —
= /Ое(/’’0)- При р € U/> U •‘Т'д это уравнение имеет единствен-
ное решение. Для его разрешимости в %р при рС/и^з необхо-
димо и достаточно, чтобы |(/) = 0.
Если же уравнение имеет более сложный вид
/(g)x = 2 1р(0^’9>,	(34.11)
ре^3 * * * * *
то оно разрешимо, если
2	1р = 0.	(34.12)
3. Подставим теперь разложения (34.7) в (34.6) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях е. Из равенства коэффи-
циентов при е° получаем
/ (g) х<°> = 0,	(34.13)
£(g, x«»)yM = B(xw, 0-	(34.14)
Далее, для х11’ и _у(1) получаем
I (g) х’1’ = а (х(0), 0/°’ ' &(х1(”, 0 —(34.15)
£(g, xll”)jll’ = {[G(xl0>, t)yw\x~ Bx(xw, t)}xw—
1 F(xl0)- -V10’’ 0- (34.16)
230
Для х(2> получаем уравнение
/(g-)X(2)=a(X(o)(	оу°>к+М*(о), О}**1’—
+	-У10’’	<3417>
Чтобы разложения (34.7) удовлетворяли начальным условиям
(34.2), достаточно, чтобы
х(0) (0, 0) = х0, Уо)(О, O)=jzo,
х(й(0, 0) = 0,	_у(й(0, 0) = 0	(/г>1).
Положим дг(0)(Л 0) = ©(/). Линейное неоднородное уравнение
(34.14) имеет решение вида
_у<о> = Н (t) eD (0> w(1) (t) 4- W (/),
где w(Z) = — G^tyBfv, I), a w(1)(/) —пока произвольная функ-
ция, удовлетворяющая начальному условию
w{1> (0) --Н~1 (0) [j0 4- Go-1 (0) В (х0, 0)].	(34.18)
Перейдем теперь к уравнению (34.15). Правая часть в (34.15)
содержит функции из %р при р g и У\. Поэтому решение х(П
этой задачи находится в виде
xw(t, 0) = Л4(щ 0eO(6)w(1)(/)4-®(1,(0>
где М (®, /) = а(©, t) И (i) D~3 (g), а ©(1) (/) — пока произвольная
функция, причем
®‘1>(0) = -а(х0, 0) /7(0) О-1 (g(0)) Я-1 (0)[j0 + G-‘(0) В (х0, 0)].
:	(34.19)
Рассмотрим теперь уравнение для _у(1). Правая часть его
имеет вид
2	(34.20).
ре^
где Ij, зависят от неопределенных еще функций win и г»11). Урав-
. нение (34.16) имеет вид (34.10). Для его анализа нужно соста-
вить матрицу N со столбцами vk= 2 Уравнение (34.16)
P<=A'ft
разрешимо, если главная диагональ Н 4V равна нулю. Это усло-
; вие в данном случае имеет вид
!	^1 = W^1’, ©(1>, i),	(34.21)
где W полностью определяется правой частью (34.16). При этом
.у11’ (7, 0) = Н (/) eD (z) 4- (р1;
где w<2) — произвольная функция t g [0, TJ, a q>x—известная
функция wll), ©(1), t, 0. Можно проверить, что зависимость «р*
от г»11’ линейная.
231
Перейдем, наконец, к уравнению (34.17). Подставим в правую
часть (34.17) частично определенные функции х(1)(С 0), у(0)(С 9)
и у(1) (t, 9). Она примет вид (34.20). Из анализа уравнений вида
(34.11) следует, что уравнение (34.17) разрешимо, если выполнено
условие (34.12). В данном случае оно принимает вид
^={[«(®> I) w]x\ bx(v,	(34.22К
где функция fi определенным образом зависит от w(1), t.
Таким образом, для w(1) и г»(1) получена система (34.21) —
(34.22) обыкновенных дифференциальных уравнений; начальные
условия для w(1) и vw определены формулами (34.18), (34.19).
Естественно предположить, что wll) и г»11’ можно продолжить
на весь отрезок [9, Т].
Итак, функции х10’, х(1) и у(0) полностью определены. Анало-
гичным образом определяются и х1'11’, у1'1 при г = 1, 2, ...
34.3. Схема обоснования алгоритма. Пусть найдены у(0)(/, 9),
х10) (/, 0), y^"(t, 0), x(ft+1) (О 0). Рассмотрим сужение х(/), у1'*
с помощью (34.5). Получим приближения
ki 1
X^(t, е)= 2 eWy(i, 0)
/=о
i
Г(А,(Л е)= 2 г'У'ЧС 0)
/=0
t	J
e=-j- J g co Л
о
t
0=T $ ^(T)dT
о
Для обоснования асимптотического характера приближений X{k},
У{к> используется модифицированный метод Ньютона — Канторовича
в форме, предложенной Л. С. Срубщиком и В. И. Юдовичем [1].
С этой целью вводится в рассмотрение пространство С1 [0, Т]
(tn 4- п)-мерных непрерывно дифференцируемых вектор-функций.
Затем рассматривается оператор
{/7 f
-5Г—а(х, —&(х, t)—zf(x,y, Г),
dv „
e-^-—G(x,	t)—&F(x, у, t),
действующий из пространства ^[0, Т] в пространство С[0, 71]
(пг 4- п)-мерных непрерывных вектор-функций. Нетрудно прове-
рить, что для некоторых С > 0, 80 > 0
||Р(А™, F*>, 8)||С[о,	(б<е<80).	(34.23)
Далее, используя методику С. А. Ломова [1] исследования
фундаментальной матрицы, линеаризованной на приближении Х{к>,
F(A) системы (34.1), можно показать, что при некоторых С>0,
232
е0 > О
||[Рг(А™, Vм, е)]-1||СЧо.п<С8-3	(0<8<80), (34.24)
здесь z — (x, д/)т. Наконец, из гладкости функций, входящих
в правую часть системы (34.1), вытекает, что для некоторых
С > 0, 80 > О
\\Ргг(Х^, Yw, 8)||<С	(0<8<ео).	(34.25)
Из (34.23) — (34.25) -следует (см. Л. С. Срубщик, В. И. Юдо-
вич [1]) существование таких С > О, 80 > 0, что при всех t £ [О, У]
и е£(0, е0] задача Коши (34.1) — (34.2) имеет решение х, у,.
причем выполняются неравенства
II x(t, —	8) II < Ce*+1,
||j>(Z, 8) — Y™(t, e)|<Cew,
где /г^О.
Системы гироскопического типа (32.2) — (32.5), рассмотренные?
в §32, удовлетворяют всем условиям настоящего параграфа. Поэтому
для решений задачи Коши может быть получена равномерная на
[0, Т] асимптотика. В заключение отметим, что А. И. Кобриным
и Ю. Г. Мартыненко изложенные результаты были применены
к анализу задачи о движении гироскопа в кардановом подвесе [2].
§ 35. Асимптотика решений задачи Коши
на больших отрезках времени для систем гироскопического
типа с периодическими коэффициентами
Этот параграф посвящен изучению систем, находящихся под
действием значительных внешних сил. Предположение о периоди-
ческой зависимости этих сил от времени позволяет использовать
идеи асимптотического метода усреднения и получить асимптотику
на отрезках времени вида [0, 77е]. Здесь, конечно, существенно
используются соображения, развитые в § 32.
35.1. Постановка задачи и некоторые вспомогательные утвержде-
ния. Пусть /г—целое четное число и D—ограниченная область
в Rn. Пусть S—множество //-мерных целочисленных векторов
s = (Si, ..., s„) с неотрицательными координатами sy.
Рассмотрим уравнение
g. + [HG (х) -I В (х)]	= Н^р (х, 0 -г Е /) [^1 \
ses	L j
(35.1)
где Н—больший положительный параметр, G(х) —(пХп)-косо-
симметрическая матрица, В (х) — (пх /^-диагональная матрица с
положительными элементами bjj (х) (/= 1, .. ., п), р (х, Z), р, (х, /)—
n-мерные вектор-функции x^D, i б [0, оо), sgS.
233
Будем считать, что матрицы G(x) и В (х) удовлетворяют всем
условиям § 32, а р(х, t) и ps(x, t) являются со-периодическими
функциями t, бесконечно дифференцируемыми по х £ D и t £ [0, оо).
Обе части уравнения (35.1) поделим на Н и положим /7-1/2=е.
Тогда уравнение (35.1) можно записать в виде системы
dx
е2
dt
[G (х) + е2В (х)]у	ер (х, f) + е2 У р. (х, t) (35.2)
seS
Нас будет интересовать решение
щее начальным условиям
этой системы, удовлетворяю-
х(0, 8) = а, (0, е) = 80	(а€£\ 0CP").	(35.3)
Методика построения решения задачи Коши (35.2) — (35.3)
будет существенно отличаться от методики § 32. В связи с этими
изменениями целесообразно ввести переобозначения. Через Ло будем
обозначать d {Н~1 (x) G (х) Н (х)} с элементами <*) (/=1.п),
вычисленными на х0 € D. Элемент х0 будет определен ниже. (На-
помним, что Н (х) приводит G(x) к диагональной форме.)
Приведем несколько утверждений, которые будут использованы
при построении асимптотики задачи (35.2) — (35.3).
Рассмотрим матричное уравнение
Л0С—СА0- [Аг — H-'VH} D,
(35.4)
где Лг = d {/7-1ГЯ}—диагональная матрица, элементами которой
являются элементы главной диагонали матрицы Н~1ГН, a D—
диагональная матрица. Легко видеть, что решение этого уравне-
ния может быть найдено в виде C^=C0D, где Со—матрица с нуле-
вой главной диагональю, для которой
Л0С0—СОЛО = ЛГ — Н-'ГН.	(35.5)
Лемма 35.1. Пусть Г—вещественная кососимметрическая
матрица, а С0(х)—удовлетворяет уравнению (35.5) и имеет нуле-
вую главную диагональ.
Тогда все элементы главной диагонали матрицы Н~1 (х)Г (х) х
X Н (х) Со (х) (х € О) являются чисто мнимыми.
Это утверждение проверяется непосредственно. Через С" обо-
значается комплексное н-мерпое пространство, а через СпХп—-про-
странство комплексных (пхи)-матриц. Пусть | —е/, £€[0, 71]
и пусть Й == [0, оо)х[0, Т].
Рассмотрим уравнение
ь^' §)’ (35’6)
где a(t, |)— (ихп)-матрица, a b(t, |)—/г-мерный вектор. Будем
искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному
234
условию
л(0) = ло-	(35.7)
Лемма 35.2. Пусть координаты вектора b (t, g) и элементы
матрицы a(t, |) являются ы-периодическими по t и бесконечно
дифференцируемыми по (t,	£ Q.
Тогда существует бесконечно дифференцируемое решение {и (S),
V (t, £)} этого уравнения, причем v (t, с) определяется с точностью
до бесконечно дифференцируемой функции де(£).
Доказательство. Через Mt(f) будем обозначать среднее
значение и-периодической по t функции f(t). Определим и (В) как,
решение задачи Коши
%--Mt{a(t, £)} иМ t {b (t, I)},
и (0) - uQ.
Тогда для v(t, В) получаем уравнение
I),	(35.8)
где
f(t, § = l)-Mt{a(i, £)}]«-, [b(t,	№
Очевидно, Mt {/} 0. Поэтому
®(Л £) = $/(ч
о
Причем w (£)—бесконечно дифференцируема, а ©(/,£)—(^перио-
дична по t. Лемма доказана.
Рассмотрим, наконец, уравнение вида
d-^L^ = a{t, $u + b(t, |),	(35.9)
где a(t, I)—скалярная, co—периодическая no t и бесконечно диф-
ференцируемая по (t, функция, ab(t, £)—w-периодическая
по t, бесконечно дисЭДэеренцируемая по (t, £)gQ вектор-функция.
Очевидно, если
$а(т, |)</т=#0	(|€[0, Т\),
о
то уравнение (35.9) имеет единственное со-периодическое по t, бес-
конечно дифференцируемое по (/, £)$П решение.
35.2. Алгоритм построения асимптотики на больших отрезках
времени [0, 77е]. Пусть ха (|) бесконечно дифференцируемая функ-
ция | g L0, Т] со значениями в D. Положим
Go (5) = G (Хо (I)), Н © Н (х0 ф),
235
Пусть A^ft, |) и Л2(/, S) — пока неизвестные диагональные
матрицы. Через Z обозначим диагональную матрицу
(	С	1
ехР)—6-2 J [Ло (ет)-г eAj (т, ет) -[ еаЛ2 (т, ет)]гЮ, (35.11)
V	о	J
а через Zc — вектор-столбец, координатами которого являются эле-
менты главной диагонали Z. Как обычно, zp(t, €) = [Zc(t, е)р
(PCS’, t € [0, оо), 0 < 8	е0); 3s—множество всех векторов с не-
отрицательными целочисленными координатами р; (/=1, ..., п).
Разобьем 5s на три подмножества
^0 = {р€^|(р, М)М, U[0, Т]},
^г = {р€^|(р, д0со^^(В), всего, т]
для некоторогоk— 1, . .., п],
Л = {Р € | (Р, ЛОс (£)) #= 0, (р, ЛОс (I)) #= Xoft (Н),
В€[0, Т], k = \, ..., п}.
Предположим дополнительно, что для р С (р, ЛОс (£)) =И= 0,
£(Е[0, Т] и для р£3>\5>г-. (р, AOc(|))^WI). U[0. Т],
k= 1, ..., п.
Тогда 3* = 5% U U
Пусть, наконец, 91—множество бесконечно дифференцируемых,
(о-периодических по t вектор-функций вида и (|) + v (t, |), при-
нимающих значения в С; при ££[0, Т] и (t, £)£Й.
Через 910, 91г и 912 будем обозначать множества вектор-функ-
ций вида 2 Яр (Л ^)Zp, где up(t, е)С91, а р принадлежит ^о,
р
и S', соответственно.
Пусть —множество вектор-функций вида U (t, %)ZC, где
U—(n Хп)-матрица, столбцы которой принадлежат 9i. Очевидно,
множества 91, 910, 91г, 912, 9^ являются линейными векторными
пространствами с обычными операциями сложения и умножения
на скаляр.
Зафиксируем некоторое целое положительное число N > 0.
Приближенное решение задачи Коши (35.2) — (35.3) будем искать
в виде
X (Л’> = Хо (Ю-i ех1(Ю-е2х2(/, |) i	l)Zc] +
k=3
N	/V
/V
-!	2 xkp(t, Z)Zp, (35.12)
=	£) + ^a)^]+ 2eft[jft(Z, Ю-I Yk(t, l)Zcn
k = 2
N	N
+ 2 &k 2 y^pkt, B)Zp-!- 2	2	Укр^Л}2р.
k='3 р<&г	k=3	реУчиУ!
236
Здесь Ху, Yj—(пхп)-матрицы, Хц,Уц—векторы из R’1. Коэф-
фициенты приближения х(Л-), _у<л’> будем определять таким обра-
зом, чтобы сами приближения принадлежали пространству ЭЛ =
Для нахождения коэффициентов разложения (35.12) и диаго-
нальных матриц ЛД^, I), АД?, |) подставим х(ЛГ) и _у(ЛГ) в систе-
му (35.2) и представим правую часть (35.2) в виде рядов по сте-
пеням 8, учитывая при этом, что
^ = -8^[A0©-i-eA1(Z, |)-|-е2Л2Д, $]ZC,
dz	(35.13)
-^ = -8-Др, AOc(g)-;Au(f, g)-J е2Л2Д£, l))Zp.
Получим
^(Лг, _ dx0 , „ dXj (t, g) ,	fdxj dx2)
dt	dg 4 dt 1	V dg + dt j~r
N
+ Ё E* E ('-Jr+e-S£—i-(P’ еЛ1е+е2Л2е)^Ла +
N p(S>> L	J
+ E E* E	Л°сЧ eA1₽+e2M*aJZZ>+
p^r	S	J
H'E6* E \-JT-'	A0c + eAlc+e2A2c)xftJ zp =
k=6	p^2	J
=ЕеЧ^(/лнлд/, b)^]+
Л=1
N	N
+EEft £ ykP(t, d^+EEft E укру> (35.14)
*=3 ps^r	k=i
O2 d^(A') _ r.2 V ок(дУк((,1) , „dyk(t,&\ ! „4 dYT
dt ‘
— e/j (A,, J 8A!-|-82A2)-|-	-u
N
+ E Eft [ E2 5г 3- E3	У к (Ло eAi 1 е2Л2) ] Zc -|-
+ Е Sft Е Г е2 + Е3	У кР {Р’ Лос + еЛ1с Д 82А2с) 1 гр +
*=3 ре^>г
.V
+ Е Бй Е б2-Т’' б34г—Ллр(Р. Аос+еЛ1с+е2Л2с) |гр=
k=i pe^MiPY-
237
= —jO(x0)4 8Ox(X0)X1(^ g) +
+ e2 Gx (x0) x2 (t, B) + 4	(x0) (xx, xx) 4- В (x0) ] 4- e3 ..  | X
- N	N	N
£ efttyA+VftZc)4-X e* X hA+Z. Е‘ Z УчРгР 4
U=1	k=3 pe^r	A=4 p65>0U^a J
4-e[p(x0, 04-ep*(xo, t)x^t, E)4-e2...]4-
Г N
4- e2 2 (p,(x0> /)4-ер«(х0, 0^4 e!...) 2 eft(j>ft-F KftZc)4-
SG S	|_/e= 1
N	N	p
-4 2 eft 2 Укр^р - 2 e* 2 УьР2Р •
k=3 P^r	k^i pe.&oUtPi j
(35.15)
Отметим, что классы функций 910. SRx, 5R2, SRr инвариантны
относительно операции дифференцирования по Л В правую часть
(35.15) входят произведения координат вектор-функций, каждая
из которых принадлежит одному из классов $>?, SR0, SRn $lr и 912.
Легко видеть, что в результате перемножения мы однозначно
получим элемент пространства ЭЯ. Это позволяет в равенствах
(35.14), (35.15) приравнять коэффициенты при одинаковых степе-
нях 8, принадлежащие классам SR, SR0, 9?!, SRr, SR2, по отдельности.
Начальные условия искомых коэффициентов будем искать из
соотношений
хо(0) = а, Хх(0, 0) = х2(0, 0) = 0,
Хз(0, 0)4 Х3(0, 0)(1, .... 1)т = 0,
хА(0, 0) + Хк(0, 0)(1,	1)т+ 2 Х.ДО, 0) = 0	(Л>4),
JPJO, 0) + Л(0)(1, .... 1)Т = Р, (35.16)
Л(0. 0)4- У. (0, 0)(1, ...» 1)т = 0,
^(0, 0) + УА(0, 0)(1, ..., 1)т+2^(0, 0) = 0 (^>3).
p€Q
Очередность и способ определения коэффициентов достаточно
сложны. Поэтому алгоритм целесообразно разбить на несколько
этапов.
1.	В равенствах (35.14), (35.15) приравняем коэффициенты
при е из класса SR. Получим
0=-б(х,Ш4-р(х,(В)> 0-
Из второго соотношения находим
3>1-- G"1(XoOp(x0(&), t).
Поэтому для отыскания х0 и Хх получаем уравнение
§4-^^^ = G-1(x0©)p(x0©, 0-
238
Функцию х0 будем определять как решение следующей задачи
Коши
^ = G-4x0(B))Mf{p(x0(B), /)}, хо(О) = а. (35.17)
Естественно предположить, что это решение существует и при
всех В € [О, TJ принадлежит области D.
Тогда для Xj получим уравнение
*^ = О-Чх0(1))[р(х0, 0-{р(Хо, /)}].
Отсюда тотчас же следует, что
Хг(1, B) = tfi(*, В) + гч(£).
где^(/,£) = $ G-4x0(£))[p(xe(£), т) —Mt{p(x0, /)}]Фт, а ®г(В)—
о
произвольная функция. Очевидно, дг (t, |) со-периодична по t.
Чтобы удовлетворить условию xL (0, 0) = 0, следует потребовать
©1(0) = 0.	(35.18)
Итак, в результате первого шага полностью определены х0, ylt
а функция Xi определена с точностью до слагаемого ©ДВ), удов-
летворяющего начальному условию (35.18).
2.	В равенстве (35.15) приравняем коэффициенты при е из
класса Э?х. Получим
(В)
где G0(B) = G(x0(B)), Ao(l) = H-1(Xo(t))G(xo(c))/7(xo(£)). Как
хорошо известно, решение этого уравнения имеет вид
Yi (В) = Н (В) Di (В) (Н (В) = н (х0 (В))),
где Dy—произвольная диагональная матрица. Однако из соответ-
ствующего равенства (35.16) находим
О1Д0) = Н-1(0)[р-у1(0, 0)].	(35.19)
Приравнивая в (35.14) коэффициенты при е из класса
получаем
-Х3(В)А0(В) = У1(В).	(35.20)
Вспоминая, что диагональная матрица Ло (В) (В € [0, Т]) невырож-
дена (ее диагональные элементы есть собственные числа G0(B)),
тотчас же выводим
X3(B) = -//(B)D1(B)Afl-4B).	(35.21)
3.	В соотношениях (35.14), (35.15) приравняем коэффициенты
при 82 из класса 91. Получим
В),	(35.22)
0 = — Go (В)_у2 G*(х0) х±у 1 -\~ fх(J^o,	(35.23)
239
Положим [СДХо)^] {(G (аг)з>1)Д7|Д7=Хо} х2. Легко видеть, что
G,(x0)xby1 = [Gx(x0)j1]x1. Поэтому
y2(t, £) = G0-4£){[G4x0)^] + p4x0, ffix,. (35.24)
Подставим x1 = q1(t, 5)4- ®i (I), y2 в (35.24). После простых пре-
образований получим
+	(35.25)
US	V4
где
Ш 5) = G(71(5){[Gx(x0(5))y1(t &)] + Px(x0, Ob
b^t, 5) = G0-1(5){[GJC(x0(5))b(b 5)]+РДхо, /)}<ММ)-^|^.
Из (35.16) имеем x2(0, 0) = 0. Для v1 и x2 получили задачу,
рассмотренную в предыдущем пункте. В силу леммы 35.2 функ-
ция г», определяется полностью, a х2(1, 5) в виде
x2{t, l) = q2(J, 5)- ®2(5),	(35.26)
где q2—известная, co—периодическая no t функция, ©2(5) —
произвольная функция, удовлетворяющая условию
®2(0) = 0.	(35.27)
Таким образом, хД/, 5) полностью определена, а, следова-
тельно, из (35.24) находится и y2(t, 1).
4.	Приравняем теперь в (35.15) коэффициенты при е2 из
класса ЭД Получим
— 2^0—^iAi= — Goy2—Gx (х0) XjYj. (35.28)
Уравнение (35.28) содержит две новые неизвестные матрицы
Y2(t, |) и А] (0 5), а также П1(5). Ради краткости положим
(/, I) = 6* (х0 (I)) Xi (/, 1). Очевидно, —кососимметрическая
матрица. Она бесконечно дифференцируема по (/, %) £ Й и «-пе-
риодична по t.
Решение уравнения (35.28) будем искать в виде
У2(/, |) = Я(|)[Р8(Л 5)4 С2Д 5)].
(Здесь и всюду в дальнейшем через D будут обозначаться диа-
гональные матрицы, а через С—матрицы с нулевой главной
диагональю.) Подставляя (5) и Y2(t, 5) в (35.28), без труда
получаем
Л0С2—0^ = ^—Я-^Я)^.	(35.29)
Очевидно, D2 из (35.28) не определяется. Для разрешимости
(35.29) необходимо и достаточно, чтобы
Л {Л!—=
240
(Напомним, что d(A)—диагональная матрица, элементами глав-
ной диагонали которой служат соответствующие элементы мат-
рицы А.) Отсюда находим
ЛХ(К =	В) н (В)}.
Как показано в § 32, диагональные элементы I)
..., п) матрицы АД/, |) являются чисто мнимыми и при
всех (/, |) g Q
£)>•••> Ю =	I).
Вид правой части уравнения (35.29) подсказывает, что С2 (Z, Q
следует искать в форме
с2(/,
где С|—матрица с нулевой главной диагональю. Тогда для С%
получаем уравнение
Л0С‘-С1Л„ = Л1—Н-^Н.	(35.30)
Если через с2ц(1, £) обозначить элементы матрицы С|, а через
6,7 (К |)—элементы матрицы Н^^Н, то из (35.30) легко полу-
чить
Sz/(i, I)
.....лмз5-31>
Вернемся теперь к (35.14) и приравняем коэффициенты при
е2 из класса 91j. Получим
-Х4Л0-Х3Л1 = У2.
Отсюда находим
Х4 (*, Ю = -	(t, 1) 4- *з (Ю Аг (Л £)] Ло1 (£). (35.32)
Итак, в результате четырех шагов полностью определены х0(1),
Xi(t, |), у/у, |), y2(t, t). Матричные функции Ylt У2, Х3, Х4
определены с некоторым произволом. Кроме этого, Zc также за-
висит от еще не определенной диагональной матрицы Л2. Однако
начальные условия для Ух, У2, Х3 и Х4 известны. В самом деле,
D2(0, 0) = -Я-1(0)ь(0, 0)-q(0, 0)Dlc(0), (35.33)
а начальные условия для Ха и Х4 вычисляются из (35.21) и
(35.32).
5.	В (35.14) и (35.15) приравняем коэффициенты при е3 из
класса 91. Получим
ag-H^-=j3,	(35.34)
^ = — G0y3—^2— {[Gx(Xo)^i]—рДхо» t)} x2-]-f3(t, £, x1(Ji)r
где /з—известная функция. Как и ранее, из (35.34) легко полу-
чить с учетом (35.27), что функции ®2(^) и.у3(£, £) полностью
определяются. Далее, х3 находится в виде qs (t, Е) + v3 (£), при-
241
чем q3(t, £) полностью известна, а ®3(1) — произвольная функция,
удовлетворяющая начальному условию
vs (0) = Н (0) D, (0) (До1 (0))с.	(35.35)
6.	Рассмотрим в (35.15) теперь слагаемые порядка е3 из
класса Получим
УЛ + УЛ ЛЛ2 = G9Y3-—^1Y2—'S2Y1—B (х0) УР (35.36)
Здесь через $2 (^> £) обозначена вещественная кососимметрическая
матрица
Сж(х0(|))х2(/, £)44G~(*o (!))(*!(/, Ю, £)).
Как обычно, решение уравнения (35.36) будем искать в виде
У3==Я£)-;-С3(7, |)]. Подставляя Ylt У2 и У3 в урав-
нение (35.36), получаем
АЛ C3Att = Q1D2 \ Q.,Dlt	(35.37)
где
Qi-Aj—
ф2=сл-г а2—н~1ъ2н—н-'В(ха) н.
Для разрешимости уравнения (35.37) необходимо и достаточно,
чтобы
d{Q1D2}-\ d{Q2D1} = Q.	(35.38)
В силу выбора Лх имеем d^A^ —	D2} = 0. Подсчет пока-
зывает, что d {CaAjDj} = 0. Поэтому условие (35.38) принимает вид
A2 = d{H~1^1HCl2\- Н-^Н + Н~'В (х0) Н}.	(35.39)
Из вида правой части (35.37) следует, что С3 целесообразно-
искать в виде линейной комбинации
С3(/, |)=Л(/,	E)D2(B),
где С3 и С1 имеют нулевую главную диагональ. Очевидно,
С3 = С2. Матрица С3 определяется однозначно, a D3 на этом шаге
не определяется.
Заметим, что диагональные элементы матриц
d{H-i(№2(t, £)//©}, d{H^^^(t,	£)}
чисто мнимые, а матрицы d {Я-1 (?) В (х0 (?)) И (?)} положительны
при £ё[0, Т]. Отсюда без труда выводим, что при некоторых
С > 0, у > 0
|Л(/, е)||<Се-^	(/>0, 0<е<е0).
Приравняем теперь в (35.14) коэффициенты при е3 из класса 9?j.
Получим
-хл-хл-х3л2 = у3.
Отсюда
Л = - [ХЛ т Х3Л2 -н У3] Л-1.	(35.40)
.242
Для изложения дальнейшего нам потребуется сделать одно
дополнительное предложение.
Как и в § 32, для каждого целого fe=l, п/2 определим
подмножество
Nk = {p^3i\p1=--p.2, P2ft-3 = P8ft-8. Afc-1 =
= p2ft± 1, .... р„-1 = рД.
Будем считать, что
п/2
55r= U Nk.	(*>
a=i
В силу леммы 32.2 для элементов матриц ЛД^),	£) при
всех (/, справедливы соотношения
^01 (£) =	^02(^)> •••> ^0и-1©=	(£)>	/ОС 4|\
Mt £) = -X12(t £),..., V>(t |) = -Xx„(t I). Л
Отсюда легко выводится
Лемма 35.3. При всех р£^о, (t
(р, а1с(л
Доказательство. Рассмотрим множество 5s = {р £ 3* | рг =
= р2, • • •, рп-1 = р„}. Очевидно, для всех р g 5s (р, ЛОс (£)) = 0s
и, следовательно, <^с5*0. Более того, для всех р g 5* в силу (35.41)
(р, Л1с(/, £)) = о ((/, В)ёЯ).
Осталось показать, что ^ = 5%. Допустим противное. Тогда для’
некоторого р* = (pi, р„) С имеем р* По определению
_ (р*. ЛвД|))^0	(U[0, Т]).
Но тогда для р = (р\ + 1, Ц2, •••> имеем
(р, A0c(l))^X01.(g)	(U[0, Т]),
и в силу (*) p^Ni, а, значит, pi = р\, pl = pl, ..., рп^ = р'п, т. е..
p*^Q. Получили противоречие. Лемма доказана.
Из этой леммы вытекает
Следствие 35.1. Для p£S*0
dz
^e)zp.	(35.42)
Если же р£3*г, то существует такой индекс /ё{1, ...» п}, что<
-- — е-2 (\- + еХ1у 4- е2 (р, Л2С)) гр.	(35.43>
7.	Приравняем теперь в равенствах (35.14) и (35.15) коэффи-
циенты при е3 из класса 91г. Получим'
~ 2 ^(Р. AOc)z/,= 2	(35.44)
peiPr	ptfPr
— 2 Узр(Р, AOc)z/, = — G0(g) 2 Узр2р. (35.45).
рьЗ\	pefPr
243.
Из (35.44) для каждого p^S\ найдем
х^‘- = Е)' (35л6>
Из (35.45) для каждого р£3\ получаем уравнение
Узр{Р> Ао<, (В)) = Go (S)
Зафиксируем р^3\. Тогда можно указать такое /, что (В) =
= (р, ЛОс(£)), и поэтому для у3р имеем уравнение
{Go(g)-Xoy(|)}^ = O.
Удобно у3р искать в виде H(£)t,3p(t, g). Тогда для t,3p получаем
{Л,©-М^)} по-
следовательно, все координаты вектора t,3p обращаются в нуль,
кроме /-й:
&‘’(U)sO	(/г=1, ..., п- k^j).	(35.47)
8.	Приравняем, далее, в (35.14), (35.15) коэффициенты при
«4 из класса 5R. Как и ранее, легко определяются x3(t, £) и
yt(t, |). Функция Xt(t, £) находится с точностью до ®4(£).
9.	В равенствах (35.14), (35.15) приравняем коэффициенты
при е4 из класса Получим
Хв = -<Х5Л1 + Х4Л2-;-У4-^-^)Л0-4
и
^+ф-Ллв(5)-ЛА1(/, £)—кал2(/, В) =
= -О)У4-^(/, В)У3-Ш ^)У2-В(х0(^))У2-
+	0 х4-|-
+ Д4(/, |)Dn (35.48)
где Л4 определяется из равенства
2 Ps(*o, ОГУг + ^Р =
Is 1 = 2
+	2 АДМ. 2 Ps(-Vo.	(35.49
a £3(£, £)—коэффициент при e3 из класса 9? в разложении
G (x(Ny) по степеням е.
Как обычно, У4 ищем в виде Я(£)[£>4(/, В) + С4(/, £)]. Тогда
для С4 получаем уравнение
A0C4-C4A0 = -^-^ + Q1D3-hQ2D2H-X4(Z, l)Dlf (35.50
где Qt и Q2 определены в (35.37), а Л4—известная бесконечна
дифференцируемая по (/, |)£Я и «(-периодическая по t матрица
Легко проверяется, что условие разрешимости для уравнения
244
(35.50)	имеет вид
+	£)}£,.	(35.51)
Отсюда немедленно следует (см. лемму 35.2), что Oi(£) опреде-
ляется однозначно, a D2(t, t) — D2a(t, |) + Д2(|), где D2a(t, £)—
известная бесконечно дифференцируемая по (t, £), со-периодическая
матрица, а Д2(£) пока не определена.
Из (35.50) легко находим, что
С4(/, l) = Q(t ^Dt+CKt, l)D3 + Cl(t, B)D3,
причем Cl=Cl = Cz- Матрица на этом шаге не определяется.
Продолжим анализировать коэффициенты при е4.
10.	Приравняем, далее, в (35.14), (35.15) коэффициенты при
е4 из класса 9?0. Получим
Е Л*>Н= £ У*ргр> <35-52>
реЗ'о	реЗ^о
Go (В) 2 УьРгР = 2 Ы*, %, Yi®)Zp, (35.53)
ре 5%	ре5%
где fip определена из равенства (35.49). Отсюда для любого
р£3\ находим
Узр (/, |) = G? ®ftp (С I, Л (£)),	(35.54)
^Г = (Р> А?е(/, ^xip-\-G^)fip{t, I, Л(|)). (35.55)
Напомним, что при всех р£ИР0, ££[0, Т], t^Q
Re(p, A2e(t, В))>0.
Поэтому при каждом фиксированном ^€[0, Т] линейное неодно-
родное уравнение (35.55) с со-периодическими коэффициентами
имеет единственное решение.
11.	Приравнивая в (35.14), (35.15) коэффициенты при е4 из
класса $R2, для каждого р £ 3\ без труда получим
yip(t, g) = [G0 (£)-(/>, АСс(|))]7-4/4ДЛ |),
xep(t, 5) = — ^, дос (g), J«p £)•
12.	Совершенно аналогичную формулу для х6р получим, при-
равнивая в (35.14) коэффициенты при е4 из класса Э1Г.
Равенство коэффициентов при е4 из класса в (35.15) имеет
вид
2 [yip(P, \е)+у3р(Р, Au)]z/,= 2 [G0(£)j4/,H-^(С £)bp]Zp-
pePr	pt?r
Отсюда следует, что для каждого р £3\ имеем
[(j>,	1)~(р, А1с)]Узр. , (35.56)
245
Зафиксируем р£3\. В силу следствия 35,1 существует такое
/ С (1, ..., п), что для (t, Н) С Q
(Р, АОс (I)) Хо/ (В),	(р, AJc (/, I)) Х1у. (/, £).
Поэтому уравнение (35.56) принимает вид
[Z0/-G0(g)]j4/, = [^(Z,	(35.57)
Если решение его искать в виде у10 = Я(£) t,ip(t, 5), то нетрудно
получить [Ло — K/]yip = |Л1/—Н~131Н]узр, и поэтому для всех
k = 1, ..., п (&=#/) имеем
(35.58)
где 6ft/—элементы матрицы Н~'
13.	Заметим, что начальное условие Х4(0, 0) известно (см.
и. 4). Функции xip(t, 1)(р£3>1>) определены в п. 10. Поэтому
из (35.16) при k^~ 4 находим
^(0) = -<мо,0)-Х4(0,0)(1, ..., 1)т- 2 х4Д0, 0).
реЗ'о
Перейдем теперь к изучению коэффициентов в (35.14), (35.15)
при е5. Сразу же отметим, что коэффициенты из классов 9i0, 9?lt
9?2, 9? удовлетворяют уравнениям, аналогичным тем, что рас-
сматривались в п. 8—11. Их анализ мы опустим.
14.	Приравняем коэффициенты в (35.15) при е6 из класса 91г.
Получим
11 [?Г~(^’	(Р, Alc)yip—(p, AJj3 lZjr =
реЗ’г
=-G0(i) 2 у^р-ЪУ, 2 yipzp-
pe3>r	ptS*r
-Р,(Н)тВв(ж,©)] 2 м+ 2 ®zp, (35.59)
рьЗ'г реЗ'г
где fsp (t, £) (р £ ^*г) определены из равенства
— Г Gjc (х0) 2 xipzp 1 YxZc ~• 2 Ps(-^o, 0 [j' 1 + s
l р$3*г -I 1«|=з
^Л6(1,i)ze-- 2 РЛ*О, ОЕлГ г 2ЛД^> $2р-	(35.60.^
1*1=3
Зафиксируем р £ 3\ и уьр будем искать в виде уър = Н (£) t,6p (/, :)
Пусть Х0/ = (р, Ло<.(|)). Тогда для g5/, получим уравнение
(Ло-V)	+
[(р, а2с)1-н-^2н-н-^вн]^р^н-у6р. (35.6Р
246
Так как Взр=0 при k=£j, то приравнивая в (35.61) j-e элементы,
имеем
л _ _	у W- 5)6fe/(^ £) .,
dt	Х<>НВ)-МЮ fe3₽ +
-| (р, Л2Д/, B)-V,(t	В),	(35.62)
где уу(/, В) — J-й элемент главной диагонали	матрицы
Н~гВ (х0) Н, a f[p—j-я координата вектора (/, В).
Из (35.31) и (35.39) следует, что диагональные элементы Х2/-
(/ = 1, ..., п) матрицы Л2 имеют вид
^2/ = Т/~|- 2
k= 1
Подставляя последнее в (35.62), получаем
^ = [(р, А^-« + Ж В),	(35.63)
т. е. Взр удовлетворяет линейному неоднородному уравнению с
w-периодическими коэффициентами.
Простой подсчет показывает, что
Re[(p, А2с) — X2/J /лО, i-... +рпЪп—0/,	(35.64)
где 07- (/ = 1, ..., п)—диагональные элементы матрицы
Н-1 (В) В (х0 (В)) Н(В). Несложно показать (см. лемму 32.4), что
правая часть (35.64) положительна. Поэтому уравнение (35.63)
имеет единственное со-периодическое решение.
Осталось лишь заметить, что из (35.61) определяются коор-
динаты В(5р (k Ф j) через
Последующие члены асимптотических разложений определяются
по указанной здесь процедуре. Полное обоснование этого факта
проводится с помощью математической индукции.
Незначительно усложняя методику § 32, можно доказать, что
существуют такие постоянные С > 0 и е0 > 0, что при
/$[0, 77е], 0<е^е0,
||х(/, е) —e)i|<CeAr^1,
к(Л е)-^,^. e)KCe^*.
Другими словами, построенная асимптотика является равномерно
пригодной на больших отрезках времени [0, 77е].
В заключение отметим, что построения этого параграфа могут
быть проведены и во многих случаях, когда правая часть — почти
периодическая по t.
Результаты этого параграфа получены Е. Я. Гореловой*).
*) См. Горелова Е. Я., Стрыгин В. В. [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р.
1. Stabilitat der Gleichgewichtslage im einem nicht-holonomen System//Z. angew.
Math, und Meeh.—1957.—B. 37, Nr. 1/2.—P. 74—75.
Варне Я. С.
1. Об устойчивости решения нерегулярно возмущенной системы//Укр. мат. ж.—
1975,—Т. 27, № 6.-С. 723-728.
Варис Я. С., Фодчук В. И.
1. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных
систем методом интегральных мпогообразий//Укр. мат. ж.—1970.— Т. 22,
№ 1,—С. 3—11.
Белецкий В. В.
1. Движение искусственного спутника относительно центра масс.— М.: Нау-
ка, 1965.—416 с.
Боголюбов Н. Н.
1. О некоторых статистических методах в математической физике.— Киев: Изд-
во АН УССР, 1945,—137 с.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.
1. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике//Тр. Междунар.
симп. по нелинейным колебаниям.— Киев: Изд-во АН УССР.— 1963,— Т. 1.—
С. 93—154.
2. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Физматгиз,
1963,—410 с.
БутенинИ. В., Климов Д. М., Л у н ц Я. Л., Степаненко И. П.
1. Нелинейные задачи теории гироскопических систем//Развитие механики ги-
роскопических и инерциальных систем.— М.: Наука, 1973.— С. 379—401.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф.
1. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.—
М.: Наука, 1973,—272 с.
Волосов В. М.
1. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравпений//УМН—
1962,—Т. 17, № 6,—С. 3—126.
Волосов В. М., Моргунов Б. И.
1. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.— М.: Изд-во
МГУ, 1971.—506 с.
Гантмахер Ф. Р.
1. Теория матриц.— М.: Наука, 1988.— 552 с.
Гельфанд И. М.
1. Лекции по линейной алгебре.— М.: Наука, 1966.— 280 с.
Горелова Е. Я-
1. Асимптотическое решение одной слабо нелинейной сингулярно возмущенной
системы дифференциальных уравнений//Приближенные методы исследования
дифференциальных уравнений и их приложения.— Куйбышев: Куйбышев-
ский ун-т, 1983.— С. 33—42.
Горелова Е. Я., Стрыгин В. В.
1. Полное разделение движения в некоторых системах гироскопического типа//
Изв. АН СССР. МТТ,— 1985 — № 5,—С. 8—13.
248
3 адирака К- В.
1. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной диф-
ференциальной сисгемы//Укр. мат. ж.— 1965.— Т. 17, № 1.— С. 47—63.
За брей ко П. П., Исаков И. М.
1. Принцип сведения для метода последовательных приближений и инвариант-
ные многообразия//Сиб. мат. ж.—1979.—Т. 20, № 3,—С. 539—547.
Зубов В. И.
1. Аналитическая динамика гироскопических систем.— Л.: Судостроение,
1970,—317 с.
Ишлинский А. Ю.
1. Механика гироскопических систем.—М.: Изд-во АН СССР, 1963.— 482 с.
2. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация.— М.: Наука, 1976.—
670 с.
Каменков Г. В.
1. Избранные труды.— М.: Наука, 1971; Т. 2. Устойчивость и колебания не-
линейных систем.— 214 с.
Карр Дж. (Carr J.)
1. Applications of centre manifold theory.—Berlin a. o.: Springer.— 1981.—
142 p.— (Applied Math, science; 35).
Келли A. (Kelley A.)
1. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds//J. dif-
ferent. equat.— 1967.— Vol. 4.— P. 546—570.
Климов Д. M., Харламове. A.
1. Динамика гироскопа в кардановом подвесе.— М.: Наука, 1978.— 208 с.
К о б р и п А. И.
1.	К оценке точности прецессионных уравнений гироскопических систем//На-
учн. тр. Ин-та механики МГУ.— 1973.— Т. 29.—С. 139—143.
Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г.
1.	Применение теории сингулярно возмущенных уравнений для исследования
гироскопических систем//ДАН СССР.— 1976.— Т. 230, № 1.— С. 52—55.
2.	Об одном методе построения асимптотического решения задачи о движении
гироскопа в кардановом подвесе//Изв. АН СССР. МТТ.— № 3.— С. 40—47.
3.	Асимптотическое решение слабо нелинейной системы//Дифференц. уравне-
ния,—1977.—Т. 13, № 6.—С. 1008—1019.
Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г., Новожилов И. В.
1. О прецессионных уравнениях гироскопических систем/, Прикл. мат. и ме-
хан.— 1976. — Т. 40, № 2,— С. 230—237.
Кокотович П. В. (Kokotovic Р. V.)
1. Control theory in the 8O’s:trends in feedback design//Proc. 9th congr. ofIFAC,
Budapest, june 1984.— Budapest.— 1984.— Vol. XI.— P. 16—26.
Коппел ь В. (Coppel W. A.)
1. Dichotomy and reducibi 1 ity//J. different, equat.— 1967.— Vol. 13.—P. 500—521.
К о т e н ко А. П.
1. Выделение медленных составляющих движения гироскопических систем//
Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их при-
ложения.— Куйбышев: Куйбышевский ун-т, 1984.— С. 56—62.
Котенко А. П., Стрыгип В. В.
1. Нелокальный принцип сведения для точечных отображений в банаховом
пространстве//Приближенные методы исследования дифференциальных урав-
нений и их приложения.— Куйбышев: Куйбышевский ун-т, 1981.— С. 90—102.
Кошляков В. Н.
1. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов.— М.:
Наука, 1985.— 286 с.
Красносельский М. А.
1. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.— М.: Нау-
ка, 1966.— 331 с.
Красносельский М. А. и др.
1. Приближенное решение операторных уравнений/Красносельский М. А.,
Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Ругицкий Я. Б., Стецепко В. Я-—М.:
Наука, 1969.— 456 с.
249
Кузьмина Л. К.
1. Об устойчивости решений некоторых систем дифференциальных уравнен!
с малым параметром при производных//Прикл. математика и механика.-
1977.—Т. 41, № 3,—С. 567—573.
Куликов А. Н.
1. К вопросу о единственности инвариантного многообразия в критическс
случае//Исследования по устойчивости и теории колебаний.— Ярославл
Ярославский ун-т, 1979.— С. 81—85.
Курцвейль Я. (Kurzweil J.)
1. Инвариантные многообразия дифференциальных систем//Дифференц. ура
нения.— 1968,—Т. 4, № 5,—С. 785—797.
Ликинс П. (Likins Р. W.)
1. Attitude stability criteria of dual spin spacecraft//.!, spacecraft and rockets.-
1967,—Vol. 4, № 12,—P. 1638—1643.
Ломов C. A.
1. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.—М.: Наука, 1981.-
398 с.
Ляпунов А. М.
1. Общая задача об устойчивости движения.— М.: Гостехиздат, 1950.—471
Магнус К. (Magnus К.)
1. Гироскоп. Теория и применение.— М.: Мир, 1974.— 576 с.
М е р к и н Д. Р.
1. Применение аналитических методов к анализу гироскопических систем
Развитие механики гироскопических и инерциальных систем.— М.: Наук
1973,—С. 354—367.
2. Гироскопические системы.— М.: Наука, 1974.— 344 с.
М и н г о р и Д. Л. (Mingori D. L.)
1. Effects of energy dissipation on the attitude stability of dualspin satellites
A1AA J.—1969.—Vol. 7,	1.—P. 20—27.
Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б.
1. Об интегральном многообразии нелинейных дифференциальных уравпепи
содержащих медленные и быстрые движепия//Укр. мат. ж.— 1964.— Т. 1
№ 2.—С. 157-163.
2. Интегральные многообразия в нелинейной механике.— М.: Наука, 1973.-
Мищенко Е. Ф., Розов Н. X.
1. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные кол
бания.— М.: Наука, 1975.— 247 с.
Неймарк Ю. И.
1. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.— М.: Наук
1972,—471 с.
Неймарк Ю. И., Коган В. П., Гуртов ник А. С.
1. О гладкости по переменным и параметру инвариантных поверхностей точе
ных отображений в банаховом пространстве/Динамика систем.— Горьки
1978.—Вып. 14,—С. 115-142.
Николаи Е. Л.
1. Гироскоп в кардаповом подвесе.— М.: Наука, 1973.— 136 с.
Нитецки 3. (.\itecki 2.)
1. Введение в дифференциальную динамику.— М.: Мир, 1975,—304 с.
Новожилов И. В.
1.	О понижении порядка уравнений гироскопических систем//Инж. жур
МТТ,—1966,—№ 5,—С. 33—39.
2.	О применении асимптотических разложений теории дифференциальных ура
нений с малым параметром при старшей производной для исследован!
гироскопических систем//Изв. АН СССР. МТТ.— 1970.—№4.— С. 50—5
3.	О переходе к прецессионным уравнениям гироскопии на бесконечном инте
вале времени//Изв. АН СССР. МТТ,—1971.—№ 5.—С. 10—15.
Новоселов В. С.
1. Движение гироскопических систем/,'Прикл. мат. и механ.— 1959.— Т. 2'
№ 1.—С. 176—178.
250
Пендюхова Н. В., Соболев В. Л., Стрыгин В. В.
I. Движение твердого тела с гироскопом и подвижной массой//Изв. ЛН СССР.
МТТ.— 1986,—№ 3.—С. 12—18.
Пл исс В. А.
1. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравне-
ний,—М.: Наука, 1977.— 304 с.
2. Принцип сведения в теории устойчивости движения//Изв. ЛН СССР. Сер.
мат,—1964,—Т. 28, № 6,—С. 1297—1324.
Прингль Р. (Pringle R. Jr.)
1. Stability of forse-free motions of dual spin spasecraft//AIAA J.— 1969.—
Vol. 7, № 6—P. 1054—1063.
Пуанкаре A.
1.	О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.— М.— Л.:
ГТТИ. 1947,—392 с.
Ройтенберг Я. Н.
1.	Гироскопы.— М.: Наука, 1966.— 400 с.
Румянцев В. В.
J.	Об устойчивости по отношению к части переменных//Вести. МГУ. Сер. 1,
Математика. Механика.— 1957.— № 4.— С. 9—16.
2.	Об устойчивости и стабилизации стационарных движепий//Тр. III Между-
нар. симпозиума ИФАК «Управление в космосе».— М.: Наука,—1972.—
Т. 1,—С. 158—168.
3.	Об устойчивости стационарных движений спутника — гиростата//Современ-
ные проблемы небесной механики и аэродинамики.— М.: Наука, 1973.—
С. 171 — 178.
4.	Об устойчивости движения гироскопа в кардаповом подвесе//Прикл. мат. и
механ.— 1958.—Т. 22, № 3,4,—С. 374—378 , 499—503.
Самойленко А. М.
1. Инвариантные тороидальные многообразия систем с медленно меняющимися
переменными/'/Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний.—
Киев: Наукова думка, 1977.— С. 181 —191.
Сарычев В. А., Сазонов В. В.
1.	Некоторые вопросы динамики вращательного движения спутников.
1.	Нутационные демпферы спутников, стабилизируемых вращением.— М.»
1974.— 62 с. (Преприит/АН СССР. Ин-т прикл. математики; № 45);
2.	Нутационные демпферы спутников с двойным вращением.— М., 1974.—60 с.
(Препринт/AH СССР. Ин-т прикл. математики; № 49).
3.	Демпфирующие устройства с несколькими степенями свободы.— М., 1975.—
60 с. (Препринт/АН СССР. Ин-т прикл. математики; № 30).
Сет на П., Балачандра М. (Sethna Р. R., М. Balu-Balachandra)
1.	On nonlinear giroscopic sysiems'Mechanics today.— New York: Pergamon
Press.—1976,—Vol. 3,—P. 191—242.
Смолицкий X. Л.
1.	О движении гироскопа в кардановом подвесе на равномерно вращающемся
основании//Прикл. мат. и механ.— 1976.— Т. 31, № 5.— С. 951—958.
Соболев В. А.
1.	Об интегральных многообразиях сингулярно возмущенных систем в одном
критическом случае//Диффереиц. уравнения.— Куйбышев: Куйбышевский
ун-т,—1976,—С. 63—71.
2.	Исследование дифференциальных уравнений с малыми параметрами при про-
изводных методом интегральных многообразий//Тр. семинара по дифферен-
циальным уравнениям.— Куйбышев: Куйбышевский ун-т.— 1977.-- С. 78—85.
3.	Об асимптотике интегральных многообразий одного класса систем дифферен-
циальных уравнений с малым параметром при производных/уПриближеипые
методы исследования дифференциальных уравнений и их приложении.-—
Куйбышев: Куйбышевский ун-т.— 1978.— С. 85—90.
4.	К теории интегральных многообразий одного класса систем сингулярно воз-
мущенных уравнений//Приближенпые методы исследования дифференциаль-
ных уравнений и их приложения.— Куйбышев: Куйбышевский уп т. — 1980. -
С. 124—147.
251
5.	Уравнения прецессионной теории для систем с вырожденной матрицей ги
роскопических сил//Приближенные методы исследования дифференциальны,
уравнений и их приложения.— Куйбышев: Куйбышевский ун-т.— 1980,—
С. 54—63.
6.	Быстрые и медленные движения гироскопических систем//Периодика поли
техника. Электротехника.— Будапешт.— 1985,—Т. 29, № 1.— С. 57—66.
7.	Сингулярно возмущенные стохастические уравнепия//1У Междунар. конф
по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, июн
1985 г,—Вильнюс, 1985,—Т. III.—С. 146—148.
8.	Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems//System.
& Control Letters.— 1984.— № 5.—169—179.
Соболев В. Л., С т p ы г и н В. В.
1. Асимптотические методы в задаче о стабилизации вращающихся тел npi
помощи массивных демпферов//Изв. АН СССР. МТТ.— 1977.— №5.— С
24—31.
2. О допустимости перехода к прецессионным уравнениям гироскопически
систем//Изв. АН СССР. МТТ,— 1978.— № 5.— С. 10—17.
Срубщик Л. С., Юдович В. И.
1.	О применении метода Ньютона в задачах асимптотического интегрировани.
нелинейных уравнепий//Тез. докл. Всесоюзн. конф, по применению методо
функционального анализа к решению нелинейных задач.— Баку, 1975.— С. 10С
Степаненко Н. П.
1.	О гироскопе в кардановом подвесе на свободном основании//Изв. АН СССР
МТТ,—1970,—№ 3,—С. 155—163.
С т р ы г и и В. В.
1.	Интегральные многообразия в задаче о сингулярном и параметрическо.
возмущении автоколебательной системы//Дифференциальные уравнения
их применение.— Куйбышев: Куйбышевский политехи, ии-т.— 1975,—
№ 2,—С. 108—126.
Стрыгин В. В., Соболев В. А.
1.	О принципах сведения в теории дифференциальных уравнений, имеющи
многообразие стационарных положеиий//Тр. семипара по дифференциальны
уравнениям.— Куйбышев: Куйбышевский ун-т.—1977.— С. 92-—103.
2.	Влияние геометрических и кинетических параметров и диссипации энерги
на устойчивость ориентации спутников с двойным вращением//Космически
исследования.—1976.— Т.14, № 3.— С. 366—371.
3.	Метод интегральных многообразий в задаче о приемлемости решения npt
цессионных уравнений гироскопических систем.'/Проблемы устойчивости двг
жения, аналитической механики и управления движением.— Новосибирск
Наука, 1979.— С. 38 — 43.
4.	Новый вариант прецессионной теории гироскопических снстем//Теор. и npi
ложна механика: Тр. 3-й нац. конгресс, Варна, 1977 г.— София, 1977,-
С. 82 — 87.
Стрыгин В. В., Соболев В. А., Горелова Е. fl., Фридман Э. А
1. Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем и некоторь
их применепия//Дифференц. уравнения.—1985.— Т. 21, №10 — С. 1723—172г
Т е й к с е й р а-Ф и л ь о Д., Кейн Т. (Teixeira-Filho D. R., Капе D. R
1. Spin stability of torque free systems. Part I, II//AIAA J.—1973.— Vol. 1
№ 6,— P. 862 — 867, 868 — 870.
Тихонов A. H.
1. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры пр
производных//Мат. сб.—1952.— Т. 31(73).— С. 575 — 586.
Томсон В. Тет П. (Thomson W., Teit Р.)
1. Treatise on natural phylosophy, Part I.— Cambrige University Press.—187
Фе ни чел H. (Fenichel N.)
1. Geometric singular perturbations theory for ordinary differential equations//
different, equat.—1979.— Vol. 31.— P. 53 — 98.
Халанай A. (Halanay A.)
1. Invariant manifolds for systems with time lag//Different. equat. and dynai
systems.—1967.— P. 199 — 213.
252
С а л а н а й А., Курцвейль Я. (Halanay A., Kurzweil J.)
. Теория инвариантных мпогообразий//Кеу. roum. math, pureset appl.—1963.—
Vol. 13, № 8,—P. 1079—1087.
Таусрат A. (Hausrath A. R.)
Stability in the critical case of purely imaginary: roots for neutral functional
differential equations//!, different, equal.—1973.— Vol. 13.— P. 329 — 357.
Сейл Дж. (Hale J.)
. Колебания в нелинейных системах.— М.: Мир, 1966.— 229 с.
2. Ordinary differential equations.— New York: Wiley Interscience.—1969.— 332 p.
Сейл Дж., Стокс A. (Hale J., Stokes A.)
. Behavior of solutions near integral manifolds//Arch. ration mech. and anal.—
I960,—Vol. 6, № 2,—P. 133—170.
le при Д. (Henry D.)
. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений.— М.:
Мир.—1985,—376 с.
Сирш М., Пью К., Шуб М. (Hirsh М., Pugh С., Shub М.)
. Invariant manifolds.— Berlin а. о.: Springer, 1977.—149 р.— (Lecture notes
in mathematics; 583).
Jepnоусько Ф. Л.
-. Об устойчивости регулярной прецессии спутников//Прикл. математика
и механика.—1964.— Т. 28, №1.— С. 155—157.
2. О движении твердого тела с подвижными внутренними массами//Изв.
АН СССР. МТТ.—1973.—№ 4,—С. 33 — 44.
О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами//Прикл.
мат. и механ.—1978.— Т. 42, № 1.— С. 34—42.
*. Движение твердого тела с полостями, содержащими жидкость.— М.:
ВЦ АН СССР,—1968,—230 с.
J э ф и Н. (Chafee N.)
. The bifurcation of one or more closed orbits from an eqilibrium point//J.
different, equal.—1969.— Vol. 4.— P. 661 — 679.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .........................................................
Введение.............................................................
Глава I. Интегральные многообразия, их свойства и методы прибли-
женного построения ..... ............................................ 9-
§ 1.	Интегральные многообразия автономных систем второго порядка 9
1.1. Линейные системы (9). 1.2. Нелинейные системы (11).
§ 2.	Интегральные многообразия многомерных систем................ 13
2.1.	Автономные системы (13). 2.2. Приближенное построение интеграль-
ных многообразий (17). 2.3. Неавтономные системы (20). 2.4. Системы
уравнений, имеющие многообразие стационарных положений (21).
§ 3.	Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем 22
3.1. Нелинейные системы (22). 3.2. Линейные системы (28).
§ 4.	Квазиосциллирующие системы.................................. 31
4.1.	Два примера (31). 4.2. Слабонелинейиые системы (33).
§ 5.	Интегральные многообразия систем дифференциальных уравне-
ний с несколькими малыми параметрами при производных . . .	35;
5.1.	Системы с погранслоем (35). 5.2. Системы с произвольными малыми
параметрами (3 7).
Глава II. Исследование уравнений движения гироскопических систем 39“
§ 6. О допустимости перехода к прецессионным уравнениям гиро-
скопических систем................................................... 39
6.1. Уравнения движения (39). 6.2. Полные прецессионные уравне-	,
ния (41). 6.3. Нелинейные неавтономные системы (13). 6.4. Влияние
возмущающих сил, зависящих явно от времени (46). 6.5. Прецессион-
ные движения тяжелого гироскопа в кардановом подвесе (48). 6.6. Пре-
цессионные уравнения гировертикали (51).
§ 7. Прецессионные уравнения гироскопических систем на подвиж-
ном основании..................................................... 52
7.1. Приближенное построение прецессионных уравнений (53). 7.2. Ги-
роскоп на равномерно вращающемся основании (54).
.§ 8. Уравнения прецессионной теории для систем с вырожденной
матрицей гироскопических сил...................................... 56
8.1. Пример, показывающий неприменимость прецессионной теории в вы-
рожденном случае (56). 8.2. Аналог прецессионных уравнений в вырож-
денном случае (58).	8.3. Линейные автономные системы (60).
8.4. Несвободный гироскоп в трехрамном подвесе (62). 8.5. Гироскоп
с упругим валом (64).
-'§ 9. Об одной электромеханической задаче........................ 66“
9.1.	Уравнения прецессионных движений гироскопической системы с двумя
малыми параметрами (67). 9.2. Прецессионные движения силового гиро-
скопического стабилизатора (68). 9.3. Замечание об условиях существова-
ния интегральных многообразий (73).
Глава III. Стабилизация системы вращающихся тел при помощи пас-
сивных демпферов поступательного типа................................ 7г
§ 10.	Уравнения движения.......................................... 7г
§11.	Система	с	двумя	демпферами	первого	типа...................... 82
§ 12.	Система	с	двумя	демпферами	второго	типа...................... 8г
§ 13,	Система	с	демпфером третьего типа ............................. 8<‘
§ 14.	Общий	случай .................................................. 9
254
Глава IV. Динамика твердого тела, несущего гироскоп и подвижные
элементы ................................................................. 94
§ 15.	.Уравнения движения............................................... 94
15.1,	Постановка задачи (94). 15.2, Вычисление кинетических момен-
тов (96). 15.3. Уравнения движения гироскопа (96). 15.4. Уравнения
движения системы (99). 15.5. Введение безразмерных переменных и малых
параметров (102). 15.6. Стационарные движения (103).
§ 16.	Устойчивость стационарных движений.............................. 103-
16.1.	Построение пятимерного интегрального многообразия (103).
16.2.	Устойчивость вращения твердого тела вокруг оси ротора (105).
§ 17.	Динамика свободного твердого тела, обладающего полной дина-
мической симметрией, с гироскопом в кардановом подвесе . . .	107
17.1.	Уравнения движения. Пятимериое многообразие (107). ^^.По-
строение трехмерного интегрального многообразия (109). 17.3. Анализ
системы (17.10) (109).
§ 18.	Динамика свободного твердого тела, обладающего полной дина-
мической симметрией, с одной подвижной массой......................... ПО*
18.1.	Построение трехмерного интегрального многообразия (110).
18.2.	Анализ системы иа многообразии (112).
Глава V. Инвариантные многообразия точечных отображений в бана-
ховом пространстве ................................................ 113
§ 19.	Принцип сведения............................................ 113
191.	Существование инвариантных многообразий (113). 19.2. Принцип
сведения (116). 19.3. Замечания (119).
§ 20.	Гладкость инвариантных многообразий........................ 120*
20.1.	Непрерывная дифференцируемость иивариаитиого многообразия
и = (р*(и) (1 22). 20.2, Общий случай (126). 20.3. Зависимость инва-
риантных многообразий от параметра (128).
§ 21.	Нелокальные инвариантные многообразия автономных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений............................ 12У
Глава VI. Интегральные многообразия систем с пограничным слоем 133-
§ 22. Существование интегрального многообразия........................ 133’
22.1	. Приведение системы к специальному виду (133). 22.2. Интегро-
функциональное уравнение для интегрального многообразия (134).
22.3	. Вспомогательные неравенства (136). 22.4. Теорема о существова-
нии интегрального многообразия (141). 22.5. Интегральные многообра-
зия автономных, периодических и почти периодических систем (142).
§ 23.	Гладкость интегрального многообразия............................ 147
23.1.	Существование производных первого порядка (147). 23.2. Высшие
производные (152).
§ 24.	Устойчивость интегрального многообразия. Принцип спедёпия 161
24.1. Решение вспомогательной системы интегральных уравнений (161).
24.2.	Поведение решений в окрестности интегрального многообра-
зия (166). 24.3. Принцип сведения (168).
§ 25.	Асимптотическое разложение интегрального многообразия ...	170
25.1.	Специальная замена переменных (170). 25.2. Асимптотика инте-
грального многообразия (17 1).
Глава VII. Интегральные многообразия квазиосциллирующих систем 173
§ 26. Достаточные условия существования интегрального многообразия 173-
26.1. Основные предположения (173). 26.2. Оценка разности реше-
ний (174). 26.3. Оценка разности матриц Коши (175). 26.4. Теорема
существования (176). 26.5. j 1екоторые свойства интегрального многооб-
разия (177).
§ 27.	Устойчивость интегрального многообразия. Принцип сведения 178’
2 7.1. Решение вспомогательной системы интегральных уравнений (178).
27.2.	Поведение решений в окрестности интегральною многообразия
(181). 27.3. Принцип сведения (182).
§ 28.	Об асимптотическом разложении интегральных многообразий . .	184
28.1.	Алгоритм построения интегрального многообразия (184). 28.2. Мето-
дика оценки остаточного члена (186).
§ 29.	Применимость метода интегральных многообразий для исследо-
вания гироскопических систем.......................................... 187
29.1.	Существование интегрального многообразия (187). 29.2. Устойчи-
вость (190)
25S
Глава VIII. Исследование движений вблизи интегральных много-
образий ........................................................ , .	191
§ 30.	Определение начальных условий медленных составляющих дви-
жений ............................................................. 191
30.1.	Постановка задачи (191). 30.2. Формализм отыскания начального
условия У(г) медленной составляющей движения (193).
§ 31.	Обоснование алгоритма........................................ 196
§ 32.	Полное разделение движения в системах гироскопического типа 205
32.1. Постановка задачи (205). 32.2. Алгоритм асимптотического разло-
жения решений системы (32.3) (208). 32.3. Обоснование формальных
разложений (32.8) (214).
§ 33.	К вопросу о динамике твердого тела со сферическим демпфером 22'.
Глава IX. Асимптотика задачи Коши для неавтономных систем гиро-
скопического типа................................................... 22,
§ 34.	Асимптотика задачи Коши па конечном отрезке времени . , .	22"
34.1.	Постановка задачи (227). 34.2. Алгоритм Л. И. Кобрина в
Ю. Г. Мартыненко (228). 34.3. Схема обоснования алгоритма (232).
§ 35.	Асимптотика решений задачи Коши на больших отрезках вре-
мени для систем гироскопического типа с периодическими коэф-
фициентами .......................................................  23;
35.1.	Постановка задачи и некоторые вспомогательные утверждения (233).
35.2.	Алгоритм построения асимптотики на больших отрезках времени
[0, Т/г] (235).
Список литературы.......................................................247
256